Text
                    Of 4.» .
. г --	-	—-	
‘
ВОЛНЫ
В ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ !
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
СТРУКТУРАХ
С ГОРЯЧИМИ
ЭЛЕКТРОНАМИ
ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПРИБОРОВ
А.А. БАРЫБИН
ВОЛНЫ
В ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ
С ГОРЯЧИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
MOCKIJA НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИК» МА ГЕМА ГИЧЕСКОЙ ЛИ Г I РА I УРЫ
I 9 Н 6
ЬБК 22.579 Ь26
У ЛК 559.21
E-ZG3
Барыбин А.А. Полны в тонкопленочных полупроводниковых структурах с горячими электронами. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — (Физика полупроводников и полупроводниковых приборов). - 288 с.
С единых позиций исследованы дисперсионные свойства и структура разных типом волн в полупроводниковых пленках с отрицательной шсффср н-цналыкзй проводимостью. Особое внимание уделено ключевой проблеме гра личных условий на поверхности дрейфовых потоков носителей заряда
Для научных работников, преподавателей, аспирантов и инженеров, спе-циализирующихся н области полупроводниковой электроники и радиофизики
Табл. 3. Ил. 35. Библногр. 280 назв.
Реценте нт доктор физико-математических наук
ВЛ. Бонч-Бруевич

Анатолий Андреевич Барыбин
ВОЛНЫ В ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ С ГОРЯЧИМИ ЭЛЕКТРОНАМИ
Серия "Физика полупроводников и полупроводниковых приборов”
Редактор Т.1 Борисова
Художественный редактор Т.Н Кольченко Технические редакторы ОБ. Черняк, С В. Геворкян
Корректор Т.В. Обод Набор осуществлен в издательстве на иаборно-печагающик автоматах
ИБ № I 2944
Сдано в набор 03.09.85 Подписано к печати I 1.12.85
Т-22373. Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная № I
I ариигура Пресс-Роман. Печазь офсетная. Усл.леч.л. 18.0 *	•' ---- ал л«	Э 1ЛЛ
I
ИАНИАМЬИЬЛ
EL
кр.-огт 18.0. Уч. изд.л. 19,95 . Тираж 2 100 экз I ип. так 928 Цена 3 р. 30 к.
Орлена Трудового Красного Знамени издательство "Наука”
7 Главная редакции физико-математической литературы ЛОДАЖ1
17071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4 и типографии издательства "Наука"
630077 । .Новосибирск-77, ул.Станиславского. 25
1704060000 018
- -  111 г И <) 053(02) 86
V Издатслы-тио ‘'Наука". Главная редакции фи 1НКО-Ма1СМ41ИЧССКОЙ литературы. Г>К6
ОГЛ/ЧВЛЕНИЕ
Предисловие...................................<......................... 6
Глава I. Уравнении динамики горячих электронов л полупроводниках .... II
§ I.	Кинетическое описание невырожденной плазмы полупроводников в условиях нагрева электронного газа....................................... 12
§ 2.	Макроскопические характеристики плазмы и динамические уравнения переноса............................................................... 17
§ 3.	Межзлектронные столкновения и локальные приближения............... 21
§ 4.	Уравнения квазигидродинамнческого приближения..................... 24
§ 5.	Уравнения гидродинамического приближения.......................... 30
§ 6.	Уравнения локально-нолевого приближения .......................... 37
§ 7.	Физические условия применимости уравнений динамики горячих электронов ................................................................. 43
§ 8.	Неравновесные неоднородности в полупроводниковой плазме........... 46
§ 9.	Анизотропия дифференциальной подвижности горячих электронов....	53
Г Л а в а 2. Электродинамические вопросы распространения электромагнитных волн в плазме полупроводников.......................................... 62
§ 1.	Вихревые и кваэистатическис решения уравнений Максвелла........... 63
§2.	Уравнения квазиэлектростатического	приближения................ 67
§ 3.	Уравнения квазимагнитостатического	приближения................ 68
§ 4.	Вихревые и квазиетатические волны в незамагннченной плазме полупроводников ........................................................... 73
§ 5.	Эффективные параметры многослойной	пассивной структуры............ 81
Г л а в а 3. Поляризационное описание невырожденной плазмы и граничные условия на поверхности дрейфовых потоков носителей заряда в полупроводниках ......................................................... 86
§ 1.	Лагранжево и эйлерово описания заряженной среды................... 89
§ 2.	Уравнения динамики заряженных частиц в поляризационных переменных. 93
§ 3.	Микроскопическое обоснование поляризационного описания невырожденной плазмы полупроводников.......................................... 98
§ 4.	Поверхностные источники электромагнитного поля и электродинамические граничные условия.............................................. 102
§ 5.	Вывод уравнения движения поверхностных зарядов и дополнительного граничного условия..................................................   113
1
3
« f» Граничные услонн* Hl жесткой границе потока Леэ заряженных поверх* НОСТИЫХ слоев а • •............ ........................... '
« 7. Граничные условия на квазисвободной граница потока с обедненным слоем......................................  .	. .. •
я 8. Граничные условия на жесткой границе потока с обогащенным слоем
Г л а а а 4. Полны в тонкопленочных полупроводниковых структурам С продольным дрейфом носителей заряда.................................
§ 1.	Постановка задачи и граничные условия....... . .................
§ 2.	Дисперсионные уравнения для вихревых волн 77-типа...............
5 3.	Дисперсионные уравнения для потснииально-внхрсвых волн ТИ-типа. . . .
§ 4.	Нормальные переменные и граничные условия для волн пространственного заряда.........................................................
§ 5.	Соленоидальные и несоленоилальныс моды ВПЗ в изотропной полупроводниковой пленке...................................................
§ 6.	Дисперсионные уравнения для ВПЗ в анизотропной полупроводниковой пленке..............................................................
§ 7.	Влияние анизотропии дифференциальной подвижности на дисперсию и структуру ВПЗ в приближении нулевой диффузии........................
§ 8.	Влияние диффузии на дисперсию и структуру ВПЗ в анизотропной полупроводниковой пленке................................................
128
130
131
134
137
142
148
150
164
Гл а в а 5. Флуктуационная и электрическая устойчивость тонкопленочных полупроводниковых структур с продольным дрейфом носителей заряда ............................................................. 176
§ 1.	Флуктуационная устойчивость тонкопленочной полупроводниковой структуры с ОДП.............................................. •  • •
§ 2.	Граничные условия на токовых контактах полупроводникового образна .
t? 3. Ток внешней цепи тонкопленочного полупроводникового образца... 192
§ 4.	Импеданс и электрическая устойчивость одномерного полупроводникового образца с ОДП................................................
§ 5.	Импеданс тонкопленочного полупроводникового образца............ 203
§ 6.	Условие электрической устойчивости тонкопленочного полупроводникового образца с ОДП................................................. 210
Глав а 6 Волны в тонкопленочных полупроводниковых структурах с по-
перечным дрейфом носителей заряда............................. 219
§ 1.	Постановка задачи и граничные условия.............................. 221
§ 2.	Неустойчивость и усиление волн в активной полосковой линии........	223
§ 3	Дисперсионное уравнение активной щелевой линии...................... 231
§ 4.	Волновой импеданс и параметры эквивалентной схемы активных линий передачи................................................................ 237
Глав а-7. Волны в замагниченных полупроводниковых структурах..... 240
й 1. Влияние мшнитного поля на усиление волн пространственного заряда в полупроводниковых пленках с ОДП.................................. 242
6 2. Геликонные и скиповые волны в продолыю-замагниченной плазме.....	248
0 3. Влияние на грен а носителей на геликонные и скиповые волны....... 257
4. Дисперсионное уравнение для магнитиллазменных волн н продольно-эамагииченных ТПС................................................... 260
ч 5. Дисперсия геликонных волн в металлизированной полупроводниковой пластине.........................................................   265
й 6.11<>нерхиосп1ые токи и бесстолкновитсльнос затуханмс геликонов...	268
4
$ 7. Влияние собственного магнитного поля образца на дисперсию геликон-
ных воли.......................................................   272
Приложения..........................................................  275
I.	Вывод соотношений в поляризационных переменных на основе лаграяже-вого описания...................................................... 275
2.	Вывод соотношений в поляризационных переменных на основе эйлерово го описания......................................................   277
3.	Соотношения между объемными и поверхностными операциями дифференцирования .................................................    279
Список основных сокращений и обозначений............................. 281
Список литературы................................................     282
ПРЕДИСЛОВИЕ
Начиная с середины 60-х годов и по настоящее время наблюдается не-ослабевающий интерес к волновым свойствам плазмы твердого тела (ПТГ). Свидетельством этого является большое число научных публикаций, в том числе обзорные статьи и монографии (1-14]. Исследование распростране-ния и неустойчивости волн в ПТТ не только открывает новые возможности для изучения физических свойств твердого тела, но также имеет практическое приложение в качестве основы для создания функциональных уст, ойств интегральной электроники СВЧ [ 15 18].
Физические аспекты волновых взаимодействий и токовых неустойчивостей в ПТТ интенсивно исследовались в последние годы. В большинстве опубликованных работ объектом физического изучения являлась плазма полупроводников как безграничная среда. К настоящему моменту можно считать, что основные закономерности волновых процессов в неограниченной плазме полупроводников изучены всесторонне, включая эффекты нагрева электронного газа в сильных электрических и электромагнитных полях [5 13]. Кроме того, имеется ряд публикаций в виде журнальных статей, посвященных изучению поверхностных волн в полупроводниковой плазме и волноводных эффектов в тонкопленочных полупроводниковых структурах (см., например, обзоры ]9, 14. 17| >.
В настоящее время в связи с развитием интегральной электроники СВЧ диапазона актуальным становится изучение особенностей распространения, возбуждения и взаимодействия волн в тонких слоях полупроводников [14, 15, 17] Поиски путей создания твердотельных СВЧ устройств с распределенным взаимодействием 1181 вызвали интерес к исследованию волновых процессов в многослойных структурах, содержащих в своем составе полупроводниковые слои с дрейфующими носителями заряда. Полупроводниковые пленки являются своеобразными волноводами, в которых распространяются потенциальные и вихревые электромагнитные волны. Взаимодействие этих волн со сторонними волновыми процессами (такими, как электромагнитные волны в замедляющих структурах, акустические волны в пьезо диэлектриках, спиновые волны в магнитодиэлектриках) приводит при определенных условиях к конвективной неустойчивости систем, проявляющейся в виде пространственного усиления сторонних волн - замедленных электромагнитных [19-21], акустических [22-25]. спиновых [26-29].
6
Особый интерес представляют полупроводниковые пленки с отрицательном дифференциальной проводимостью (ОДП), возникающей, например. в сильных электрических полях а результате междолинного переноса электронов в полупроводниках типа /i-GaAs [30] Малая толщина пленки обеспечивает стабилизацию распределения электрического поля и заряда в режиме ОДП [311. В этих условиях возможна конвективная неустойчивость. проявляющаяся в виде пространственного нарастания собственных волн дрейфового потока носителей - как квазистатических волн пространственного заряда [17. 31-33], так и вихревых электромагнитных волн [17. 34-36|. Этот эффект практически был воплощен в тонкопленочных полупроводниковых усилителях бегущей волны (УБВ) [18. 37-39) и активных линиях передачи [ 18. 40].
Довольно многочисленные журнальные публикации различных авторов, посвященные исследованию волновых процессов и взаимодействий в тонкопленочных структурах, носят разрозненный характер и не дают цельной физической картины в силу различия модельных представлений, методов анализа и упрощающих предположений, использованных в разных работах. Однако нельзя назвать ни одной монографии в отечественной и зарубежной литературе, содержащей систематическое изложение теории распространения волн в тонкопленочных полупроводниковых структурах (ТПС). в том числе с учетом нагрева электронов в сильных электрических полях. Настоящая монография по замыслу автора призвана устранить имеющийся пробе : в физике волновых процессов в тонких полупроводниковых пленках с горячими электронами.
Основная задача книги рассмотреть с единых теоретических позиций физическую картину распространения волн в полупроводниковых пленках с учетом влияния дрейфа, диффузии, анизотропии дифференциальной подвижности, характера границы дрейфового потока носителей, асимметрии внешней многослойной среды по разные стороны пленки и статического замагничивания структуры.
Понимая всю сложность поставленной задачи, автор не стремился в небольшой по объему книге дать широкий охват всей проблеме волновых процессов в тонкопленочных структурах. К тому же в настоящее время эта область активно развивается. По этой причине было решено ограничиться рассмотрением собственных волн в ТПС, в том числе при наличии ОДЛ в полупроводниках, вызванной нагревом электронного газа статическим электрическим полем. Вопросы взаимодействия дрейфующих носителей со сторонними волноведущими системами оказались настолько обширными и самостоятельными, что их, несмотря на всю важность, пришлось исключить из рассмотрения.
В монографии рассмотрены волновые процессы в монополярной (однокомпонентной) плазме полупроводников. Естественно, это сразу ограничивает круг физических явлений, оставляя за его пределами ряд не менее важных и интересных процессов в электронно-дырочной (двухкомтюнент-ной) плазме, таких, как альфвеновские волны, дву.хпотоковыс взаимодействия и тл.. описание которых можно найти в [4, 6, 9-13).
При изучении распространения волн в условиях ОДП мы не конкретизируем механизм ее возникновения. Однако для численных оценок в качестве модельного полупроводника будем использовать n-GaAs. в кото-
7
ром ОДП порождена межаолии«ъ.м переносом
Существование в кристаллеп >двухкомпонентной электронной требует, строго говоря, Ра^^яет аи^иэ, не изменяя в принципе плазмы. Такое рассмотрение у	g неравновесные электронные
обшей	ТрамкаТ модели списком —й
Хэмы обладавшей ОДП в сильных пектрических полях N общепринятому в теории эффекта Ганна подходу [5, 31 ], будем испольэо-вать простейшую модель монополярного полупроводника с изотропным квадратичным законом дисперсии носителей, характеризуемым скалярной эффективной массой.
Первые три главы книги имеют достаточно обшии характер и содержат материал, представляющий самостоятельный интерес в применении не только к физическим ситуациям, рассмотренным в последующих главах. Сюда относятся: динамические уравнения, описывающие движение носителей заряда в полупроводниках в рамках разных приближений (гл. 1,3), электродинамические особенности и уравнения квазистатических волновых процессов в плазме (гл. 2), электродинамические и дополнительные граничные условия на поверхности дрейфовых потоков носителей заряда (гл. 3).
Первая глава посвящена обоснованию применимости динамических уравнений переноса к реальным ситуациям в плазме, соответствующим гидродинамическому, квазигидродинамическому и локально-полевому приближениям. Как известно [5-8]. наиболее полное и строгое описание плазмы достигается методами физической кинетики, учитывающими коррелированные движения частиц. Корреляционные эффекты, вызванные короткодействующими взаимодействиями между частицами, вносят вклад в индивидуально-частичные эффекты в виде рассеяния носителей заряда и некогерентного возбуждения флуктуаций плотности в плазме Дальнодействуюшие взаимодействия между частицами плазмы определяют ее коллективное поведение, проявляющееся в виде когерентных плазменных возбуждений, называемых коллективными модами. Для анпиза коллективных возбуждений адекватной является макроскопическая тео-рия. основанная на использовании уравнений переноса, которая корректно описывает коллективные моды. Поэтому в основу' монографии положено динамическое описание невырожденной ПТТ.
Вторая глава посвящена изложению основных электродинамических представлений о вихревых и потенциальных (квазистатических) полях применительно к плазме полупроводников. Обсуждаются уравнения квз-зиэлектростатического и квазимагнигостатического приближений. Здесь же рассматриваются особенности распространения волн в незамагниченной плазме, а также вводятся эффективные параметры многослойной пассив-ния КГ>РЬ|- приводящие ее к эквивалентной (в смысле взаимодействия с полупроводником) однородной безграничной среде
Он/ео^еп'^Г являетея 151К)Чевой ДЛЯ решения граничных задач для ТПС. полнительных ЯЬ1В‘и 11 Суждение как электродинамических. так и до-фового потока НОНитёЛРаНИЧНЬ,Х ^словий Х1И авУх моделей границы дрей-хностью кви чал-гл - И *ееткои (при совпадении границы потока с повер-- и квазисвободной (при оттеснении границы потока от по-О
вбрхностн кристалла) Annin. v...	~
нни и овосмпиамии , ИЭ КВазисвободной границы потребовал ннеде-риэашюнного описании плазмы, ”ОЯуПровоаниковой мсктроники) поля-поопоссов в in им«т°*' тлт" сод®Ржат результаты исследования волновых 1 инейном анализе mwk пояучвнные в рамках линейной теории. При нике Сташчч'к-* •'*’»’«-чнгаются лить переменные поля в полупроводника элекпхнш )JR К1рическос пояе может быть достаточно сильным для подвижных но ч|Д- * Ua’ "° нсаостаточ1,ь,м ДЛЯ изменения концентрации песеов IS 71 Н . ,аряда га счет ионизационно-рекомбинационных про-мзменяет его J*'Р.° х,ектР°нмого газа статическим электрическим полем пповопимо тк ‘осигналькь,е свойства, в частности дифференциальную Р°	’ L отражается на характере волновых процессов в полупроводниковых пленках.	у
иаииД ч' гги1ЛВа посвящена выводу и анализу дисперсионных урав-с дрейфом носителей в плоскости пленки в отсутствие статического замагничивания. При этом учитываются как потенциальные, так и вихревые электромагнитные поля в условиях ОДП. Детальное исследование волновых процессов в ТПС выполнено для квазистатических волн пространственного заряда (ВПЗ), лежащих в основе работы тонкопленочных полупроводниковых УБВ [17, 18, 37-39].
Пятая глава рассматривает условия флуктуационной и электрической устойчивости тонкопленочных полупроводниковых образцов с ОДП. На основе общих представлений об отражениях волн на краях системы длины! с учетом как амплитудных, так и фазовых соотношений показано совпадение критерия глобальной неустойчивости в асимптотическом смысле (при L ->°о) с критерием абсолютной неустойчивости. Анализ электрической устойчивости потребовал вычисления тока внешней цепи тонко
пленочного образца путем решения граничной задачи о возбуждении мод ВПЗ на токовом (омическом) контакте. Получен соответствующий критерий электрической устойчивости ТПС с учетом диффузии и высших
мод в пленке.
Шестая глава содержит вывод и анализ дисперсионных уравнений для ТПС с поперечным дрейфом носителей. Такие структуры используются в качестве активных линий передачи [17, 18, 40]. Изучены особенности распространения и усиления волн в полосковой и щелевой линиях передачи, выполненных на полупроводниковых пленках с ОДП.
Седьмая глава посвящена волновым процессам в полупроводниковых пленках при наличии статического замагничивания. Рассмотрено влияние магнитного поля на моды ВПЗ, распространяющиеся вдоль дрейфа носителей в условиях квазиэлектростатическогс приближения. Особенности квазимагнитостатического приближения изучаются лишь для про-дольно-замагниченной структуры, в которой распространяются геликонные волны. Исследована ’’скиновая природа поверхностной волны и ее роль в полупроводниковых образцах конечной толщины с учетом разогрева электронов. Изучен спектр быстрых и медленных геликонных мод в металлизированной пластине и влияние на него собственного магнитного поля, созданного током в образце.
Каждая глава начинается с вводной части, кратко освещающей современное состояние исследований с уточнением терминологии по данному раз-
лену Список литературы по каждой главе содержит лишь те работы, кото, рыс необходимы при изложении основного материала главы и нс прстсн-дует на исчерпывающую полноту рассмотрения.
Все формулы и соотношения записаны в системе единиц ( И. При ссылках ин формулы и параграфы в пределах одной главы указывается лишь их номер, а к номерам <|юрмул и параграфов из других глав добавляется арабская цифра, указывающая номер соответствующей главы (например, формула (2.4.7) формула (4.7) гл. 2, 8 4.5 — 5 5 гл. 4). Ссылки на фор-мулы приложений сопровождаются дополнительной буквой П (например, (11.2.8) формула (2.8) приложения 2).
Эта книга появилась в результате исследований, проводимых в ЛЭТИ имени В.И. Ульянова (Ленина) на кафедре, возглавляемой О.Г. Венциком, которому автор благодарен за постоянную поддержку и внимание к работе. Большую помощь в исследованиях и при обсуждении их результатов на разных этапах работы оказали В.М. Пригоровский, Н И. Михайлов, МС. Кравцов, Б.Л. Калиникос, А.А. Захаров и другие коллеги по кафедре, которых автор искренне благодарит.
Автор весьма признателен В.Л. Гуревичу и Г.Е. Пикусу, острые дискуссии с которыми, возникшие при обсуждении граничных условий, послужили стимулом получения и физической интерпретации результатов, изложенных в третьей i лаве.
Слова глубокой благодарности автор адресует ВЛ. Бонч-Бруевичу, по инициативе которого написана эта книга, сделавшему ряд важных и полезных замечаний при чтении рукописи, которые содействовали ее улучшению.
ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ГОРЯЧИХ ЭЛЕКТРОНОВ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Основная задача данной главы — обоснование применимости динамических уравнений к описанию невырожденной плазмы полупроводников с горячими электронами в различных физических ситуациях, соответствующих гидродинамическому, квазигидродинамическому и локальнополевому приближениям.
Термин горячие электроны в настоящее время прочно вошел в физику полупроводников [1 -6], характеризуя неравновесные носители заряда, средняя энергия которых превышает равновесную тепловую энергию, соответствующую температуре решетки. Степень нагрева электронного газа привычно оценивать, вводя температуру горячих электронов (называемую электронной температурой) как меру их средней энергии. Однако в неравновесных условиях термодинамическое понятие температуры теряет однозначный смысл и пользование им требует специальных оговорок.
Электронная температура имеет термодинамический смысл только в тех случаях, когда распределение электронов по энергиям (описываемое симметричной частью функции распределения) в неравновесной ситуации сохраняется максвелловским. В формировании такого распределения принципиальную роль играют межэлектронные столкновения, перераспределяющие подведенную от внешнего источника энергию равномерно внутри электронной подсистемы кристалла. Такую физическую ситуацию в работе [4] принято называть энергетическим контролем, имея в виду то обстоятельство, что межэлектронные столкновения контролируют перераспределение энергии. Наряду с энергетическим, возможно существование также импульсного контроля при достаточно частых межэлектронных столкновениях, контролирующих перераспределение не только энергии, но и импульса, полученного электронами от внешнего источника. Соотношения между частотами соответствующих процессов рассмотрены ниже.
В работе |5| принята иная терминология в отношении физических ситуаций, соответствующих наличию импульсного и энергетического контроля. Условия существования полного (как энергетического, так и импульсного) контроля названы гидродинамическим приближением, поскольку частые межэлектронные столкновения формируют средний импульс и температуру электронного газа в целен как гидродинамической системы. Условия существования частичного или неполного (только энер
11
гетического) контроля названы квазигидродинамическим приближением при котором электронная температура еще сохраняет термодинамический смысл. Как отмечается ниже (см. § 3),оба приближения соответствуют локально-равновесным ситуациям.
В условиях редких межэлектронных столкновений отсутствует энергетический (а тем более импульсый) контроль, устанавливающий внут-реннее равновесие в электронном газе. При этом понятие электронной температуры теряет однозначный термодинамический смысл. В таких условиях средняя энергия и средний импульс неравновесных электронов формируются в результате их столкновений с внешними рассеивателями (фононами и дефектами решетки). Физическая ситуация существенно уп-рощается и приближается (в смысле математического описания) к локально-равновесным ситуациям при наличии контроля в том случае, когда пространственные неоднородности в распределении неравновесных электронов по энергии пренебрежимо малы. Такая ситуация названа локальнополевым приближением. Смысл названия будет ясен из дальнейшего.
Уравнения динамики горячих электронов, записываемые в виде уравнений переноса, строго говоря, применимы лишь в рамках гидродинамического приближения [3-5]. Ниже показана тождественность форм записи плотности тока во всех трех приближениях. Различие между ними состоит только в кинетических коэффициентах, отличающихся по величине на численные множители порядка единицы. При записи уравнений переноса для горячих электронов существенным становится учет термосилы в уравнении сохранения импульса. Пренебрежение ею не позволяет в гидродинамическом приближении записать плотность тока и соотношения между кинетическими коэффициентами в форме, совпадающей с аналогичными выражениями, получаемыми на основе кинетического уравнения в квазигидродинамичес-ком приближении.
Идентичность записи плотности тока для трех приближений позволяет применять динамическое уравнение переноса импульса не только при полном и частичном контроле.но и в его отсутствие при выполнении условий локально-полевого приближения. Это послужило’обоснованием концепции эффективного греющего поля при выводе тензора дифференциальной проводимости плазмы в магнитном поле с учетом нагрева электронного газа постоянным электрическим полем.
§ 1. Кинетическое описание невырожденной плазмы полупроводников в условиях нагрева электронного газа
1. Кинетическое описание основано на микроскопической модели плазмы в виде системы -V взаимодействующих частиц, состояние которой характеризуется точкой в 6Л-мерном фазовом (координатно-импульсном) пространстве. Наиболее детальное кинетическое описание получается с помощью функции плотности фазовых точек (плотности вероятности), подчиняющейся уравнению Лиувилля [7-10]. Меньшая детализация описания достигается при использовании многочасгичных функций распределения. получаемых из плотности вероятности путем ее интегрирования по соответствующим многомерным поверхностям в фазовом пространстве.
12
Многочастичные функции распределения связаны друг с другом цепочкой уравнении Боголюбова в виде "зацепляющейся” системы интегро -ди ффе-ренциальных уравнении [7-10] . По мере снижения "многочастичности” функций распределения (т.е. при переходе от ^-частичной к двух- и одночастичной функциям) снижается степень учета корреляционных эффектов в плазме. Одночастичная функция распределения	игнорирует
корреляционные эффекты высших порядков. Учет ближних корреляций (или столкновений частиц) приводит к кинетическому уравнению для од-ночастичнои функции распределения (см. ниже § 3.3)
df	е	t v
— +v-V,/+—(E + vX В)	(11)
dt	m	v
где E и В — электрическое и магнипюе поле, действующие на частицу с зарядом е и эффективной массой т, движущуюся со скоростью v. Интеграл столкновений J [/'] в правой части (1.1) учитывает парные корреляционные эффекты, приводящие к рассеянию частиц. Он не имеет универсальной формы записи и принимает различный вид для разных механизмов рассеяния [1 16].
Обычно интеграл столкновений представляют в виде |1— 5]
/[/1=4/1/] + 4е1/1,	П-2)
где слагаемое Jej учитывает рассеяние электронов на динамических и статических несовершенствах решетки (фононах и структурных дефектах), а слагаемое 1ес описывает рассеяние электронов друг на друге.
Выделение интеграла межэлектронных столкновений Jec вызвано тем, что эти столкновения занимают особое место в процессах рассеяния электронов. Характерным для них является то, что вследствие равенства масс сталкивающихся частиц каждый акт алектрон-электронного взаимодействия приводит к эффективному обмену как импульсом1 ), так и энергией между частицами. При этом полный импульс и полная энергия электронной подсистемы кристалла сохраняются. Процессы рассеяния импульса и энергии при межэлектронных столкновениях характеризуются частотой межэлектронных столкновений vee.
В отличие от межэлектронных столкновений, рассеяние электронов на структурных дефектах решетки (нейтральных и заряженных атомах примеси, дислокациях и т.п.) является упругим в силу большого различия в массах рассеивателя и электрона [1-5, 14, 15].
Рассеяние электронов на фононах в большинстве случаев носит квази-упругий характер [1-5, 14, 15]. Неупругость рассеяния характеризуется параметром неупругости 5 = Де/е, определяющим долю энергии Де, потерянной электроном с энергией е при столкновении с рассеивателем. При взаимодействии с фононами электроны могут как поглощать, так и испускать фононы. Как известно [1.2, 5, 14], вероятность (или частота) поглощения фонона с энергией пропорциональна Nq , а вероятность (или частота) его испускания пропорциональна Nq + 1, где Nq — среднее число фононов с энергией определенное в равновесных условиях при тем-
1) Здесь и далее, говоря об импульсе электрона в кристалле, имеем в виду его квазиимпульс в обычном понимании (5, 14].
13
пературс решетки То распределением ПланкаNq = |ехр(h(lq/kс, /о/ |j  Следовательно, на Nq + 1 актов испускании фонона приходится N.t поглощения, гак что потеря энергии электроном имеет место лишь /цщ одного акта из 2Nq + 1 [4]. Отсюда энергия, теряемая электроном тлж столкновении с фононом
Де = hQq
(Nq + \>-Nq (Nq + 1) + ^
2/Vq ♦ 1
(13)
Используя распределение Планка, неупругости
5(е) =
Де h£L, ----= ------ th
е е
2АБГо
получаем (ЬП^)2 2*бГ0
I
е
выражение для параметра
I
— при 11 rAq < kb Tq, €
(14)
при 1эП4>^б7о
Для акустических фононов закон дисперсии описывается формулой hSlg =fH)Dj, где и, — скорость звука, h<? величина кваэиимпульса фоно на, примерно равная квазиимпульсу электрона hA =	гак как из
законов сохранения импульса и энергии следует, что электроны поглощают и испускают фононы cq * А [5, 14]. Тогда, подставляя h£lq * и, \/btu в (1.4), получаем
mv]lkbTa - Гкр/Г0 = const при h llq <кьТд,
5(e)*
x/imvj/e* (Ткр/Г)1/2 ~ е-,/2 при ЪЩ>къТ9,
(1.5)
где введена критическая температура Гкр  "iu2lkb, примерно равная 0,1 К (при ш = 0,1шо, и1=4- 103м/с). Следовательно, рассеяние электронов на акустических фононах является квазиупругим (4 <1) вплоть до очень малых энергий электрона е * kb Т и низких температур решет-ки Го (близких к гелиевой), где существенным уже становится рассеяние на нулевых колебаниях решетки (1,5).
При рассеянии на оптических фононах, для которых =* hfio (где Qo - граничная частота оптических фононов |4]), из (1.4) получаем
(ЬП0)2 I T2d
7“ W "’* "«««‘ьто.
П.6)
1	TD
hfi0 — * ---- — € при hQ.0> кьТ0.
е	Т
Здесь введена температура Дебая Го = ЬП0/АБ, составляющая сотни градусов [14]. Как следует из (1.6), высокотемпературное оптическое рассеяние сохраняется квазиупругим (5 < 1) в силу малости отношения ЪП0/АбГ0<1 вплоть до энергий хлектрона h£20. в то время как низкотемпературное рассеяние является квазиупругим лишь для электронов с энергией е > hQ0 Го.
14
Однако, кик впервые было показано в 117]. рассеяние на оптических фононах при низких температурах можно считать кваэиупругим даже для электронов с энср| ней еЧМ2о. Действительно. при Л& Тп ВПо отношение вероятности испускания к вероятности поглощения фонона электроном равняется (Nq + \)/Nq = ехр(ЬП0/ЛБ Тп) > 1, т.е. время испускания много меньше времени поглощения. В силу справедливости неравенства е процесс рассеяния почти всегда начинается с индуцированного поглощения фонона, за которым мгновенно следует спонтанное испускание. Эти два последовательных акта неупругого электрон-фоно иного взаимодействия в силу быстрого испускания фонона можно рассматривать как одноактный процесс, называемый составным рассеянием. Благодаря малой дисперсии оптических фононов составное рассеяние оказывается почти упругим (4. 17].
В силу квазиупрутости процессов рассеяния каждый акт столкновения приводит к существенному изменению направления импульса электрона при малом изменении его энергии. Иными словами, квазиупругие столкновения эффективно рассеивают импульс лчектрона и сравнительно медленно изменяют его энергию. В результате этого упорядоченная составляющая скорости м много меньше хаотической ит. а именно u/vr — х/б'<1 |4. 1 I. 18]. Процессы обмена импульсом и энергией между электронами и рассеивателями характеризуются разными частотами столкновений импульсной частотой и энергетической частотой ие. На основании вышесказанного их отношение veJv,„ при квазиупругом рассеянии имеет порядок параметра неупругости 6 << 1. Величина <5 — i^/я,,, сохраняется много меныпей единицы даже в условиях нагрева электронного газа сильным электрическим полем (4,5,11,18].
2. При изучении горячих электронов удобно представлять функцию распределения в виде суммы симметричной и антисимметричной частей |3.5|:
f(r,y.t)=fs(r,v, t) + fa(r,y,t),	(1.7)
где
fs(r.v,t)=f$(r. -v. г).
fa(r,V.l)9	<J-8)
Тогда исходное уравнение (1.1) распадается на два уравнения для четных и нечетных (по v ) функций:
~ + * V,fa + — £ •?1Лв41Л.	(1.9)
di	in
+ V 4,ft*	+ — (VX ») Vu/a =Л1/|.	(1.10)
о/	m	m
где J, и Ja четная и нечетная (относительно изменении направления v) части интеграла столкновений. При выводе (1.0) и (1.10) учтено, что й/, v
четная и?и/| - ~	* — нечетная функции аргумента v: последнее
ди и
выражение привело к исчезновению в (1,9) члена, содержащего магнитную силу Лоренца е (v X Н} .
15
Симметричная часть fs функции распределения (не зависящая от направления v) соответствует изотропному распределению электронов по скоростям и при нагреве электронного газа отличается от равновесной максвелловской функции. Антисимметричная часть fa учитывает анизотропию функции распределения (в пространстве скоростей), возникшую при отклонениях от равновесия, и ответственна за появление потоков в системе.
При квазиупругом рассеянии малость упорядоченной скорости электрона в сравнении с хаотической является следствием малости антисимметричной функции по отношению к симметричной/, (4J. Иными словами, малая неупругость рассеяния (5 < 1) обеспечивает малую анизотропию функции распределения в импульсном пространстве, т.е. /а 5/, </ [1-5, 15]. Это делает удобным представление функции распределения в виде разложения по сферическим гармоникам [4,11 15, 18) (соответствующие обозначения см. в приложении 3):
у	a	w
/(г, у, Г)=/О(г,и, r)+/i(r, и, 0* —	+...,	<1.11)
и	v
где функции	и тл. зависят от модуля скорости и (или от энергии
е электрона при стандартном законе дисперсии е = ти ‘/2). В разложении (1.11) из-за малости анизотропии отношение каждого последующего члена к предыдущему порядка 5<1 [4[. Это позволяет оборвать ряд (1.11), ограничившись друмя первыми членами разложения. Тогда на основании (1.7) и (1.11) можно записать
/,(г,и, Z)=t/o(r.v,0.	0-12)
/e(r,v,0 «=/|(ли,О-—-	(113)
и
Возможность пренебрежения тензорной функцией /2 по сравнению с /о определяется неравенствами [4]
1 и	(1.14)
где LM - характерный масштаб пространственного изменения функции /, = vlvni - импульсная длина свободного пробега. Приближение, основанное на неравенствах (1.14). позволяющее представить функцию распределения в виде суммы двух слагаемых (1.12) и (1.13), называется диффузионным и впервые было введено и обосновано в [ 18].
Дифференциальные уравнения для /0 и /| получаются подстановкой (1.12) и (1.13) в (1.9) и (1.10) с последующим интегрированием по углам Q и сферической системы координат. После ряда преобразований уравнения принимают вид [4. 11 -15, 181
З/о "эГ	и + у	ft +	е	Э 2	_ (v Е -ft)~ So- Зти	ov	(1.15)
9/> Э/	+ uVr/0 + — Е nt	dfo с — + — (fiX/,) = 5,. о и	. т	(1.16)
Входящие сюда интегралы столкновений и5| преобразованы к виду, включающему энергетическую ие и импульсную v,n частоты столкновений.
16
Таблица I
Диапазон температур	Рассеяние на фононах					Рассеяние на дефектах				
	DA	РА	1)0	"°	СоО	NI	с,	°"	DD	PD
		Ч	-1	0	1/2	1/2	0					
	*БГа	> М2	-1/2	1/2	-1/2	1/2	—	0	3/2	1/2	1	3/2
Ге	*БГо *БГ0	Ч М2 > М2	-1/2 -1/2	1/2 1/2	1/2 1/2	3/2 3/2	0	—	—		—	-
Обозначения: первая Р - поляризационный. Со гтолькый; вторая буква -____
кие фононы, / - примеси,/7 —
буква характер взаимодействии: О— деформационный, - составной, N - нейтральный. С - кулоновский, Di ди объект рассеяния: А — акустические фононы, О — оптичес-- дислокации.
а именно [4, 11-13]
JsMdOd^—L £	-Ll fu/JI (!,17)
4п о о	2и2 Эи]. \ т Эи /J
3’2* v
S, = J J J — sin0d6dv=-pf„f,	(1.18)
4л о о и	'
Выражения для vm и vc при разных механизмах рассеяния можно найти в [1—5,14,15]. Зависимости (е) и pf(e) от энергии электрона е = = mv212 имеют степенной вид:
^(е)^ е'Ч ре(б) = ^е”Ч	(1.19)
Показатели степени гт и ге для разных механизмов рассеяния, взятые из [2,4,19| (в иных обозначениях), приведены в табл. 1,
Выражение (1.17) справедливо при высокотемпературном рассеянии электронов на акустических и оптических фононах, когда £BT0>h £2 [4]. Для низкотемпературного рассеяния на фононах формула (1.17) видоизменяется. Как показано в [4], формула (1.17), кроме ve, содержит в общем случае еще одну энергетическую частоту столкновений i^'e, которая входит во второе слагаемое в круглых скобках в виде vfQv'elve. Это усложнение в дальнейшем не будем учитывать, используя в форме (1.17).
2. А Д. Барыбин
§ 2. Макроскопические характеристики плазмы и динамические уравнения переноса
Система дифференциальных уравнений (1.15) - (1.18) позволяет, в принципе, при известных зависимостях vm (е) и ve (е) выразить изотропную /0 и анизотропную /1 части функции распределения через внешние поля Е и В. В ряде случаев электромагнитное поле рассматривается как самосогласованное поле, созданное зарядами и токами в плазме. В этих случаях уравнения (1.15) - (1.18) дополняются уравнениями Максвелла, в которых необходимо макроскопические источники поля p(r,t ) и / (г ,t)
НАУЧШ БИБЛИОТЕК
мм. Горьноге
выразить через функции /0 (г, и, I) и ft (г,и,f), усредняя их в простраист. вс скоростей.
Функции распределения несет настолько полную информацию о сисгемс частиц, чю позволяет вычислить любую ее макроскопическую характерис. тику. Для этого необходимо знать правила усреднения функции расирсделе. нии и ее моментов. Для физических величин, представленных и форме скалярной, векторной и тензорной функций вида Л (и), A(v) «Л (и) и А (v)  А (и) v v/t?, средние значения соответственно равны (12]
т ।	1 4п ~
/1  —//l/(vX/’u= —J zl (u)v2/o<f></и,	(2.П
л	л „	>
-	1 , „ „ . 4л *
Л  —J/t/(v)J3we ------f A(u)vifi(v)dv,
и	Зл о
(2.2)
А 1 А	А 4л °"	8я “	А
в	! A j(v)d и = / —— J A (v)u2f(l(u)du + - J A (u)v2f2(v)dv,
л П	Зп °	15л о	(2
где / — единичный тензор второго ранга. Плотность частиц л определяется из условия нормировки функции распределения
л »Sf(y)d3v  4л J u2f0(v)du.	(2.4)
В диффузионном приближении, когда /а</0> вторым слагаемым в (2.3) можно пренебречь.
Используя (2.1) - (2.4), запишем макроскопические (средние) значения для следующих физических величин: плотность заряда
Р ^еп = cff(v)d3u = 4пе f v2fQ(v)dv = о
_ 4>/2п£ -т3'2 о е	(2.5)
плотность тока
j'=env=pu = efyf(y)d}v= ~~ f v3fx(v)dv = 3 о
8яе “
Зап q	(2.6)
кинетическая энергия электрона р _ гни2 щ	«,
~' U	^о(^ =
п о
4 л/Тп ”

плотность потока кинетической жерг ии
FFI	2 7ГЛЛ/ ••
q - ПСУ -	/ и2У f(y)d  -----------/ 1/7, (и)(/и
3	0
8n * , f e 2ft(e)de\
3 m2 о
(2 9)
плотность потока импульса л _______	Л 4ят “ .
Р*птуу  w/vv/(v)J3y= / - — / u4fu(u)du
3 о
(2.Я)
Л8\/Тя -
s 1	ч/2 f ‘/o(€)t/e.
3mJ'2 о
Последние равенства в (25)	(2.9) записаны для стандартного (изот-
ропного и квадратичного) закона дисперсии злектронов с - h2 к2/ 2 т -= ти2 /2, в рамках которого будет проведено все дальнейшее рассмотрение.
Из сравнения (2.7) и (2.9) видно, что в диффузионном приближении (при Л = 0) всегда справедливо соотношение А 2 Р = — лй/, 3
т.е. плотность потока импульса определяется скалярной величиной Р - % и &.
Представляя скорость электронаv в виде суммы средней (упорядоченной) скорости и и хаотической скорости w, а именно
v = u + w, где у = и и к1 = 0, можно записать величины (2.7) — (2.9) в общем виде
£ = ё = mu2/2 = mu2/2 + ST .
q = ncv ^nfmv2 v/2= n&u + p -u + qT
(2.10)
(2.11)
P= ninyy = nmuu + p , где
/лн‘	3	m	,	,
8, =----=-А:БТ = —J(v
2	2	2n
- кинетическая энергия хаотического (теплового) движения: mw2w т	.	,
7Т = п----- = — f (v - и)2 (у - u)/(y)d3v
2	2
-	плотность теплового потока;
p-nrnww = т S(y - u)(y - u)f(y)d3v
-	тензор давления, представляемый в виде суммы
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.18)
2
>9
в которой изотропное (скалярное) давление равняется
р « п mw^/З япкьТ,	(2.19)
а тензор вязких напряжений
И = nm(ww — l/3 w21)	(2-20)
имеет след, равный нулю (12].
Выражение (2.15), по сути, является определением электронной температуры Т, которая в условиях нагрева электронного газа электрическим полем превышает температуру решетки Т^. Понятие электронной температуры как термодинамической величины имеет физический смысл лишь при частых межэлектронных столкновениях, когда их частота vet существенно превосходит энергетическую частоту столкновений ve [1 —6]. В этих условиях электроны в кристалле можно рассматривать как термодинамически самостоятельную подсистему, квазиравновесие внутри которой достигается достаточно быстро в результате перераспределения энергии между электронами за счет частых межэлектронных столкновений Роль фононов и дефектов решетки в установлении телловбго равновесия внутри электронного газа при этом несущественна, так как в силу неравенства < vee обмен энергией между электронной подсистемой и внешним окружением происходит сравнительно медленно. Физические ситуации, при которых межэлектронные столкновения контролируют перераспределение энергии внутри электронного газа, обеспечивая существование термодинамической электронной температуры, соответствуют случаю энергетического контроля [4].
Поскольку макроскопические величины выражаются через функции /ои/1, связанные между собой кинетическими уравнениями (1.15) (1.18), то естественно ожидать, что и между макроскопическими характеристиками плазмы также существует связь в виде динамических уравнений. Обычно эти уравнения, называемые уравнениями переноса и выражающие законы сохранения числа частиц, импульса и энергии, выводят из основного кинетического уравнения (1.1). Ниже, следуя [12], укажем способ получения динамических уравнений исходя из (115) — (1.18).
Уравнение сохранения числа частиц получается из (1.15) умножением на 4яи2 и интегрированием по и от 0 до В пренебрежении процессами генерации и рекомбинации носителей, когда столкновения не изменяют OD
полного числа частиц, т.е. 4п J v2Sodti =0 [11-13], получаем о
дп
— + V -(ли) = 0.	(2.21)
Учет этих процессов дает в правой части (2.21) ге не рацио нно-ре комби на ционные слагаемые [3,4. 12].
Уравнение сохранения импульса получается из (1.16) умножением на 4irmu3/3 и интегрированием по и от 0 до ». Тогда, используя (2.4), (2.6), (2.9) и равенство
а /л4я/п °°	\	/ Ачтт «•
V?=Vr U — fu fo(r,v,t)dv hvl---------------f v*f0(r,v, r)dv
' •» °	'	\ 3 о
20
получаем
Э(тл«) „ *
	 + V Р-ле(£ + иХ Д) = и/?	(2.22) а/------------------------------’
где столкновительный член R, учитывающий передачу импульса электрона фононам и дефектам решетки, введен равенством
4я/п «	4пт «
R ~ "Т J° Si(v)dv =--------/ vrn(v)v3fi(v)dv.	(2.23)
Зл о	Зл 0
Уравнение сохранения энергии получается из (1.15) умножением на 2ядт4 и интегрированием по и от 0 до °®. Тогда, используя (2.6) — (2.8), получаем
Э(л£)
------+ V q~jE~nQt	(2.24) dr
где столкновительный член Q, учитывающий передачу энергии электрона рассеивателям, введен равенством
Q-— 1 И5оМЛ=	7г.(»)и<—°	G.25)
Ио	Ио \ т ди /
При выводе (2.22), (2.24) и (2.25) выполнялось интегрирование по частям с учетом того обстоятельства, что при v -* °° функции /о(о) и /i (и) стремятся к нулю быстрее, чем нарастает степенная функция va(ct >1).
Уравнение (2.21), переписанное в виде
-^ + V/ = 0.	(2.26)
dr
представляет собой обычное уравнение непрерывности, вытекающее из электродинамических уравнений Максвелла [9,11].
Уравнения (2.22) и (2.24) описывают динамику процессов взаимодействия носителей заряда с электромагнитным полем с учетом их разогрева. Специфика механизма рассеяния носителей в криста.1ле отражается в столкновительных членах R и Q. Величина nR имеет физический смысл силы сопротивления, оказываемого движению электронного газа как целого (с гидродинамической скоростью и) со стороны решетки и создаваемого ее несовершенствами. Величина п Q представляет собой мощность потерь, выделяющуюся в единице объема вследствие столкновений. Ниже эти величины будут вычислены в рамках разных приближений.
§ 3. Межэлектронные столкновения н локальные приближения
Математический вывод уравнений динамики горячих электронов (2.21) - (2.25) не накладывает каких-либо ограничений на их применимость. Выполнение условия справедливости диффузионного приближения (1.14) в данном случае не обязательно, так как эти уравнения могут быть получены в общем случае из (1.1) вне рамок диффузионного приближения.
21
Л.1)11>11<'Нн1кн пи up ui пинии it piiccMiH рении различных физических ситуаций, мни ПСИ I яуюшнх I идродинамичсскому, KBU ин идродинамическому и цокялмв» нопепому Приближениям |3, >| Эти приближения отличаются p.i шоп 11 опеныо учас гии меж электронных столкновений в перераспределении нн*р1 нн и импульса внутри электронного газа И б]
/ )л)/»<я)|МЛЛШЧ<Ч'Ког нДЦО/ШмеЛне реализуется в рамках полного конгро-«и. koi ди между час ютами t юлкпонений существуют соотношения [1 6]
М₽) <	(3.1)
II них условиях HMoei моек» как шсргетический, так и импульсный контроль, поскольку частые межэлектронные столкновения контролируют обмен как энергией, так и импульсом между электронами. Электроны, д<н-оночно быстро ( tn время •* нД) перераспределив между собой приобретшие oi внешнего источники энергию и импульс, медленно (за время порядка нг' и pj ) передают их внешней среде путем квазиупругих столкновений с фононами и дефектами решетки. В результате этого электронный rai и кристалле ведет себя как близкая к термодинамически независимой квази равновесна» подсистема, характеризуемая средней кинетической »нсргисй (или шсктронной температурой Г) и средним импульсом (или ।идродннамическон скоростью и). Так как межэлектронные столкновения не могут изменить полной энергии и полного импульса электронного газа, то величины / и и устанавливаются в результате медленных процессов взаимодействия электронов с решеткой.
Анизотропность рассеяния электронов на несовершенствах решетки (хотя в малая при квазиупругих столкновениях) приводит к тому, что сформи рованная частыми межэлектронными столкновениями функция распределения представляет собой смешенное (на величину средней скорости м) локально-равновесное максвелловское распределение т (v — и)
3/2
2
f(r,v, t) -	t) =
Параметры этого распределения п,и и Т являются медленно меняющими ся функциями координат г и времени Г. Величина этих параметров определяется характером взаимодействия электронов с рассеивателями.
Кии ^гидродинамическое приближение реализуется в рамках неполного (частичного) контроля, когда выполняются неравенства [1 -6]
^(с)<Ме)< »т(е)-
При этом имеет место лишь энергетический контроль, поскольку соотношении (3.3) межэлектронные столкновения контролируют
ехр
(3.2)
(3.3)
в силу ,	,, только
обмен жергией между электронами. Перераспределение импульса внутри электронного газа осуществляется в результате кваэиупругого рассеяния электронов на фононах и дефектах решетки. Частые межэлектронные столкновения формируют в данном случае не полную функцию распределении / (как при полном контроле), а лишь ее симметричную (изотропную) часы,/0 и виде локально-равновесного максвелловского распределения (Гни (.мешения)
/«(г, и, t) •• /м(г, и, f)  п
,п \з/а / дни* , 7 ‘7 I СХР 2яЛьГ/
2kt,T
(3.4)
22
Параметры Распределения п и Т являются локальными и мгцененными. т.е. завися! о! г и I, Величина их устанавливается и результате «таимо-действия электронов с рассеивателями.
( редняя скорость электронов и определяется их кваэиупрутими столкновениями с фононами и дефектами. Эти же столкновения формируют и антисимметричную (анизотропную) часть ft функции распределения, вид которой, таким образом, оказывается зависящим от механизма рассеяния
Локально-полевое приближение соответствует отсутствию контроля, при котором справедливы неравенства [1-6]
МО-	(3.5)
В этом случае межэлектронные столкновения становятся несущественны ми. так как они настолько редкие, что нс контролируют перераспределение энергии и импульса внутри электронного газа. Обмен как энергией, так и импульсом между электронами происходит через посредство их взаимодействия с рассеивателями. При этом электронный газ теряет свойства самостоятельной термодинамической подсистемы, в частности, исчезает термодинамическое понятие электронной температуры, поскольку vte < Невзаимодействие электронов с внешним окружением в данном случае становится доминирующим в формировании как функции распределения, так и средних значений импульса и энергии. Это взаимодействие зависит от механизма рассеяния и описывается уравнениями (1.15)	(1.18) для
функций /о и . При определенных условиях, рассмотренных ниже (см. § 6), эти уравнения принимают вид, дающий локальную связь кинетических коэффициентов с электрическим полем [3, 20].
Так как частота межэлектронных столкновений vee пропорциональна концентрации электронов п [3—5, 12, 15]. то переход от гидродинамического приближения к квазигидродинамическому и далее к локально-полевому осуществляется путем уменьшения п. Критические концентрации, соответствующие равенствам vee = и vee = ие, и их обсуждение приведены в [1-5, 15].
Локальность указанных приближений приводит к тому, «по кинетические коэффициенты приобретают зависимость от времени и координат только через зависимость от мгновенного и локального значения определенной макроскопической величины [3, 20]. Такой величиной, как увидим ниже, является электронная температура при наличии контроля (полного или частичного), а в его отсутствие электрическое поле. Использование кинетических коэффициентов в виде зависимостей от электронной температуры принято называть температурной аппроксимацией (моделью), а в виде зависимостей от напряженности электрического поля — полевой аппроксимацией (моделью) 1) [3]. Ниже будет показано, что при анализе зарядовых (электрических) неоднородностей в плазме электронная температура принципиально может быть представлена как функция электрического поля (точнее, эффективного греющего поля для замагничен-
‘) В отсутствие контроля полевая аппроксимация является наиболее распространенной, но не единственно возможной Используются также "токовая" и "мощностная” модели, в которых кинетические коэффициенты зависят соответственно от плотности тока и от мощности, потребляемой в образце 131.
23
нон пли imi.i) h() пошили) для зарядовых ноодно родное тс й перейти от темперит урной модели к полевой.
II последующих параграфах магсмагически обоснована применимость динамических уравнении в рамках рассмотренных приближений. С этой целью Суде» покатано, что но всех грех случаях выражения для плотности тки сонипдлют по форме записи и отличаются лишь кинетическими коэф, фидмон П1МИ. В большинстве случаен но отличие выражается в виде численных множителей порядка единицы и нс является существенным, тем более при феноменологически введенной полевой зависимости кинетических коэффициентов.
Й 4. Уравнении квачи i и продина ми чес кого приближения
I.	Рассмотрение грех вышеназванных приближений методически удобно начать с кваэигидродинамичсского приближения, справедливого в условиях частичного контроля, выражаемого неравенствами (3.3). При этом мсжэлсктронныс столкновения формируют лишь симметричную часть/0 функции распределения, удовлетворяющую уравнению (1.15). Наиболее существенным членом в этом уравнении при достаточно частых межэлек-тронных столкновениях является слагаемое в правой части, порожденное ними столкновениями, которое имеет порядок veefo [4]. Тогда в нулевом приближении (по параметру сс/и^,) уравнение (1.15) принимает вид50 fC =0 |4]. Решением его является максвелловское распределение (Гзсэ смещения)ЯА/ вида (3.4).
Анизотропная часть ft функции распределения находится из решения уравнения (1.16) с правой частью в виде (1.18). Это уравнение удобно представить в виде
А=а + (/|Х/>),	(4.1)
где
а =-------
I'm
е df0
- — E^f0) т ди
(4.2)
е и)с	еВ
b =----- В = — = евЬ, Ь =--------------
т и„, р	т и,п
(4.3)

со(. = еВ/т - циклотронная частота, ев - орт направления магнитного поля В -ев В, которое будем считать пространственно однородным. Здесь принято и < р,„ что позволило опустить временною производную в (1.16). В противном случае в (4.2), (4.3) и во всех последующих формулах следует заменить v,n на(р/я + /сс).
Решение уравнения (4.1) записываем в форме
А =6 а
с тензором		
А	1	/1+	b\bi + 63
Л 		1 1 + Л2'	6361 — Ь3	1 + b\
	\b3bi + b2	b 3bi — bi
(4.4)
Ъ \Ь} — Ь3\
^2^3 + I,	(4.5)
I+&5	
24
составленным ”’ »*• ’мп от тент вектора ft (ft,, Ь,, Ь3) в системе координат { А _ (Лk  ”а,|Равлсннон вдоль магнитного поля (е> "е0, гак что bt • b3 = 0), из (4.2)	(4.5) получаем
А е Э/о	л
aV
где введено обозначение
(4.6)
b
О
О 1 + ft2
(4.7)
О
\ О
Подставляя (4.6) в (2.6), запишем общее выражение для плотности тока
/ = а • Е - V • (Ь р),	08)
где тензоры электропроводности а и коэффициентов диффузии D введены соотношениями
4я е	•	Э/о	8\/2я е2	-	й/0
о------- — J т(и)иэ — dv = -	— / т(е)е3/2 — de,
3 m	о	Эи	3m32 m	о	Эе
(4.9)
А 47Г л	8х/2я 1 ««
Z) = — ; T(v)v*f0(v)dv = -— — ff(e)e3'2f0(e)de. о	Зт*'* пт о
Вводя операцию усреднения
а 4л - А -Э/о 8\/2я - А Э/о
(г) = - — J r(u)i? — dv = - ------jjyJ т(е)е3/2 — de
Зп о	dv	Зпт 'о	де
переписываем (4.9) в привычной для кинетической теории форме [5,14,16] е
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
о =---(т> = елд,
m	тп
где д - тензор подвижности. Используя в (4.10) максвелловскую функцию/и =/о вида (3.4), для
которой
Э/о mu	df0 f0
--- =-------/о ИЛИ ----- =-----— , ди к&Т	йе к б Т
получаем известное соотношение Эйнштейна (5, 14, 16]
п	, а *Б л
D =---- {т> =--- д,
m е
обобщенное на случай замагниченного полупроводника. Общее выражение (4.8) для плотности тока можно представить в виде
суммы
(4.14)
(4.1S)
25
трех составляющих тока проводимости
/пр"3 Е,	<4,6|
диффузионного тока
/„,ф.-ОГр	(4.17)
и термодиффузионного тока
A A VT
/,.о.ф=-0(?	.	(418)
где тензор коэффициентов термодиффузии определен соотношением
a dD л f * d In д \
РТ=Г---- =£>•(/+-----— .	(4 19)
dT \ d\nT /
В последнем равенстве (4.19) использовано соотношение Эйнштейна (4.14), при этом / обозначает единичный тензор, а логарифмическая производная д по температуре в силу свойства перестановочности тензоров вида (4.7) равняется
_а_,	Л.,
Jin Г	dT dT
где д"1 - тензор, обратный тензору д(д д'' =д"* -д=/).
Ниже покажем, что термодиффузионный ток (4.18) полностью совпадает с термоэлектрическим током, и получим выражение для плотности потока кинетической энергии q. Для этой цели удобен другой подход с использованием химического потенциала электронов в невырожденном полупроводнике.
2.	В условиях локального квазиравновесия, описываемого распределением (3.4), можно ввести в рассмотрение химический потенциал ’) f таким образом, что максвелловская функция (3.4) принимает вид |5. 14]
/ ш \3 /f - € \
=	) exp\7~F Г	<4 20’
Подстановка (4.20) в условие нормировки (2.4) дает известное дзя невырожденных полупроводников соотношение между концентрацией электронов п и химическим потенциалом f (5,14]
п = Нс cxp(f/Ab7'), Мс = 2(ткБТ12п\\1)згг,	(4.21)
где Nc называется эффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Выражая f из (4.21) как функцию п и Т в форме f = къ Т!п(д'Лг), легко получить равенства
ЗГ	кБТ	df	f	ЗЛБ	/ f \	3	ГГ
дп	п	дТ	Т 2	\кБТ/	п 2 Т
* Поскольку при наличии потоков в системе величина f зависит от координат, то ее правильнее называть квазихимичсским потенциалом по аналогии с квазиуровнем Ферми (или квазиэлектрохимичсскнм потенциалом! |5|
26
Аналогично дня f„ u фп„ ..
Vo._tfo._j_ ы эЛ ?_е ЭЛ
« а* «и Эи 	— 
Отсюда с учетом (4.22) получаем mV Г Зи
ЭГ
(4.23)
къТЧ — /71 U	1 -	_ 
mu2 VT | d/0
кьТ
Эи
Подставляя (4.24) в упавнРМИ(, л	<4 24)
котором величина Ь по-ппежнек^ 6 ’ пр€обРазУсм его к виду (4.1), в чис от (4.2) величина о равняет™ ',рснеляется Формулой (4.3), а в отпи (1>ми п/iv 1 vH £.	V7U/„
2е где введено обозначение
(4.25)
E-lvfVI^L
Q	‘ е / е Т
Записывая, как и прежде,искомое решение (4.1) в форме (4.4) и (4.5), при ориентации магнитного поля вдоль оси 3 (так что 4 = е, и b > = b = 0
f _ е а ( . ту2 fi-----т • I Е----
2е
где тензор т по-прежнему равняется (4.7).
Подстановка (4.27) в (2.6) и (2.8) дает выражения для плотностей потоков в форме [4]
(4-26)
rn
ЭД Эи ’
(4.27)
j = o t + 0-V/,	(4.28)
q =- T0 E* +k • VT.	(4.29)
Здесь наряду с тензором электропроводности о, определенным в вице (4.9), введены два других тензора:
а 5 е Л
0 =--------пкъ \< т >/, i
2 ш
для которых в дополнение нения
А 35 квТ к =-------— пкь «т»,
4 ш
(4.11) использованы новые операции усред-
(4.30)
4л
Г5Й 16>/2л 15/нл3/2
m к^Т
1
5/2
0
/ TH \2
л	4п
«?» = _ ----
105// \ кьТ / о
Э/о , ---- UV = ди д/о , ----de, де
7	,
и -----du -
ди
(4.31)
F’-F kbT е
0
к
2
327?*	7?(е)£’л-^Л.
105 ши3'2 (ЛЬТ)2 о	де
(4.32)
27
Подставляя» (4.11), (4.31) и (4.32' ма ксиоллон с кую функцию/м /. я вводя обозначение v е/А 7‘, с учотом (4.13) получаем операции усрецлг имя, используемые н стандартной кинетической теории [5, 16)
4 •
(г)" ----- J r(.v)x *l2e~xdx,
(4.33)
А 8 ч(г>/------
2
5
(434)
«т»=------- fr(x)x1l2e~xdx  -—>< тх )/ — <тх3>.
105V? о	7	35
Введем в рассмотрение тензор дифференциальной термоэдс » общепринятым способом (5. 14. 16,22)
(4 35)
a VT = E
'	' /«о
Тогда (4.28) с учетом (4.26) дает соотношение
(436)
А Ак f а\
“+— Т~т' ' (4-37> е	*б Т J
a — о • р------------/ ияи
е кБТ
Подставляя (4.26) и (437) в (4.28), можно записать плотность тока в виде суммы трех слагаемых:
/“/пр + /диф + /т.эл>	(438)
из которых два первых по-прежнему имеют вид (4.16) и (4.17), а последнее слагаемое, называемое термоэлектрическим током, равняется
/т.эл =-о «т  VT.	(4.39)
Здесь введен полный тензор дифференциальной термоэдс ат, связанный с а равенством
А А 1 А А кБ aT = a +----/ = а + —
е ЬТ	е
(4.40)
кБТ
Пэ сравнения (4.38) с (4.15) естественно вытекает полная тождественность термоэлектрического и термодиффузионного токов в рамках квази-гидро ди намического п рибл и же ни я.
Сложение трех членов в (438) с использованием равенства
d In д \
----- ГГ (4.41) d In Т /
V-(Dp) = D Vp + p — •V7’=D Vp+o • ~ dT	c
записанного на основании соотношения Эйнштейна (4.14), дает плотность тока в виде
f*o-E V(Pp)-o-
а
с
V А б <У1пр
ЗА б Г / с d In 7’
28
Из сравнения (4.42) с (4.8) следует искомое соотношение x—ib-f/i	*бГ/5 м* лпд]
°' < Ц'’та/ + Л^]*Т (Т-7?)°7Й7]^3>
Равенства (4.39), (4.40) и (4.43) являются обобщением стандартных формул термоэлектрических явлений 13, 5, 14, 16] на случай магнитного поля (В 0).
3.	Перейдем к анализу выражения (4.29), чтобы найти выражения для тензоров теплопроводности и коэффициентов Пельтье. По определению [5, 14, 16] тензор теплопроводности х связывает плотность потока кинетической энергии q в отсутствие тока (называемого тепловым потоком дг) с градиентом температуры VT соотношением
?1/г0=?т=-Г7Г.	(4.44)
Выражая Е из (4.28) и подставляя в (4.29), получаем с учетом (4.44) выражение для плотности потока кинетической энергии в виде
7 = ПТ /-X-VT,	(4.45)
где
nT»-7’Ja-‘,	(4.46)
X = - к - 7]В • а~* • 0 = - к + Пт р.	(4.47)
А Л
Вид тензоров р и к определен соотношениями (4.30) —(4.32).
Подставляя (4.37) в (4.46), представляем полный тензор коэффициентов Пельтье в форме
Пт = о • в • о-1 Г+—Z = П + — 7.	(4.48)
е	е
Здесь введен тензор коэффициентов Пельтье П, связанный с тензором дифференциальной термоэдс а соотношением
П’паа-'Т,	(449)
которое является обобщением известного соотношения Томсона П ='аТ [5, 14, 16, 22] на случай магнитных полей. Тензор П определяет вклад переноса теплоты Пельтье в общий поток полной (кинетической и потенциальной) энергии (5]
и» = q +	+ f/e); + 11 •/ - х • V Т.
Это выражение получается аналогично д путем усреднения величины (mu2/2 + ev>) по формуле (2.8). В отсутствие магнитного поля оно совпадаете результатом феноменологической теории [22].
Подстановка (4.43) и (4.49) в (4.48) дает соотношение
(4.50)
2 е е d In Г
29
Из (4.30) и (4.47) получаем связь между тензорами теплопроводности
X и электропроводности о
(к \2
— ) Г[<тх2)(тГ‘ -(<тх>-(т>‘*) |-3.	(4,51)
е /	г ,
Это равенство в отсутствие магнитного поля (когда т = и',„ I) ;ixt из вестное соотношение Видемана - Франца [14, 16|.
Ниже покажем применимость полученных здесь соотношений как для гидродинамического, так и для локальночюлевого приближений.
§ 5. Уравнения гидродинамического приближения
I. В условиях полного контроля, соответствующих неравенствам (3.1), частые межэлектронные столкновения обеспечивают локальное квазирав-новесне и формируют полную функцию распределения (как изотропную, гак и анизотропную ее части) в виде смешенного максвелловского распределения (3.2). Данное распределение, как известно [3 5. 9, 12, 13] обращает в нуль интеграл межэлектронных столкновений Jei. Математически это соответствует нулевому приближению при решении кинетического уравнения [4], Действительно, при частых межэлектронных столкновениях в кинетическом уравнении (1.1) можно пренебречь всеми слагаемыми по сравнению с наибольшим членом Jee, имеющим порядок veef (4) Тогда решением уравнения нулевого приближения Jee [/ (0) | =0 является смещенное максвелловское распределение У40’ = /Л;М вида (2.3). Локальные параметры п(г, г), и(г, г) и Т(г, г) этого распределения находятся из решения уравнений переноса (2.21), (2.22) и (2.24).
Целью настоящего параграфа является получение на основании динамических уравнений переноса (2.22) и (2.24) выражений для плотностей потоков /, q и соотношений между кинетическими коэффициентами, совпадающих по форме записи с аналогичными формулами предыдущего параграфа, полученными на основе кинетического уравнения для .
Подставляя (3.2) в (2.7) —(2.9), получаем макроскопические (средние) величины в гидродинамическом приближении:
пш2 3	3
S-e = —— + —кьТ^~къТ,	(5J)
___	5
q = не v = п&и + пкъ Ти = — пкъ Ти,	(5.2)
Р=птуу = пшии +пкьТ1^ пкъТГ.	(53)
Приближенные равенства в (5.1) —(5.3) соответствуют малой анизотропии функции распределения возникающей при квазиупрутом рассеянии, когда и Ч ут - \'к б Т/m' (см. ниже (5.19)). В этом случае функция (3.2) может быть ран о же на в ряд по степеням величины ту и/ксТ< I 14],тогда	Б
(5-4)
30
Здесь симметричная часть функции распределения по форме записи имеет вид максвелловской функции (без смещения)
(5.5)
где введенное обозначение п* - я ехр(-нт2Ilk^T) представляет собой
нормировочный множитель, вычисляемый из условия нормировки (2.4).
Резульгл вычислений дает соотношение между п’ и f *, аналогичное (4.21)
п* = Nc exp
Nc = 2
n.i. T\^
>П К ц I \
2тт1г /
Отсюда получаем выражение для концентрации электронов :
(5.6)
полностью совпадающее с (4,21), в котором величина f = f * + inu2/2 представляет собой квазихимический потенциал дрейфующих электронов в
полупроводнике.
Анизотропная функция //'’’ в (5.4) равняется пг<°)
(0) <ио wh (0)
/1	="7—г/о	.
Эи А.бГ
Простой подстановкой (5.5) и (5.7) в (2.7)-(2.9) легко получить приближенные равенства в (5.1)-(5.3), справедливые при квазиупругом рассеянии электронов. Уточнения потребует лишь формула (5.2), которая, как можно показать, и н гидродинамическом приближении принимает вид (4.45).
Сравнивая (5.2) и (5.3) с общими выражениями (2.13), (2.14), (2.18) и (2.19), можно заметать, что = 0 и я = 0. Это означает, что решение, получаемое в нулевом приближении в виде смещенного максвелловского распределения (3.2), соответствует модели идеального газа, в котором отсутствуют тепловые потоки (qr = 0) и вязкие силы (V- я = 0), обусловленные теплопроводностью и вязкостью [8, 9].
Тепловой поток и тензор вязких напряжений я могут быть получены в следующем приближении, когда функция распределения записывается в виде суммы решения нулевого приближения и малой добавки /'1' первого приближения, а именно
/ = /(0)+/(1) = (/о<О>+/о<1)) + (/|(0) +/|(О) - = fo+/i —-	(5.8)
V	V
Здесь учтено, что величина 1) (как и в форме (5.4)) имеет симметричную /о” и антисимметричную /i(l>-v/u составляющие, при этом A/(0)
ЯП «* г (°) - г	в'0	Z,
/о </о -Jm, f\	—и ~	.	(5.9)
31
Представление функции распределения (5.8) в виде смещенной максвел ловскон функции fy" = /,с) и малой добавки/01 лежит в основе извеСт. ного метода Энскога - Чепмена [8, 9, 13], которому мы не будем следе вать. Haun задача состоит в том, чтобы учесть величину /(1} для обоснован ного введения термосилы Лт, без которой невозможно получить полное совпадение между уравнениями гидродинамического и квазигидродинами-ческого приближений.
Учет малой добавки f''11 позволяет в первом приближении восстановить величины т и <?т, которые отсутствовали в нулевом приближении. При этом, согласно (2.9), изотропная часть добавки /о1* дает тензор вязких напряже-ний я, а ее анизотропная часть fi') на основании (2.8) и (5.2) определяет вектор плотности теплового потока в виде
Q, = —— f»5fi \^dv.	(5.10)
3 О
Ниже покажем, (см. (5.21)) что вклад вязких сил в (2.22) пренебрежимо мал (V я * 0) по сравнению с силой динамического трения. Поэтому далее будем пренебрегать изотропной частью добавки /о** в (5.8), полагая /о 5=:/о(0) =Лр где имеет вид (5.5).
2. Будем вычислять столкновительные члены R и Q, входящие в динамические уравнения (2.22) и (2.24).
Подставляя (5.8) в (2.23), получаем силу сопротивления в виде
R =------и / f,„(u)w3 ----dv- —— fvm(v)v /iU)Ju = /?Tp +ЯТ. (5.11)
Зп о	dv Зп о
Первое слагаемое Ятр в (5.11) представляет собой упомянутую выше силу динамического трения, равную
4тпл ~	. Э/о niu
Ятр=—------и fv„,(u)v3 —— dv =-------,	(5.1-)
F Зп о	dv	тр
где Гр время релаксации импульса, введенное соотношением
1 4я «	. Э/о	8х/2п -	Э/о
— =--------fvt/l(v)u3---dv = - ------d€-(vM1).
та Зп о	Эи	Зпт3'2 о	de
р	(5.13)
при этом угловые скобки (...) имеют тот же смысл, что и в фор муле (4.11).
Второе слагаемое Ят в (5.11), равное
4пт
(5.14)
/\(«)v7i(lW.
Зп о называется термосилой и появляется в результате введения анизотропном добавки /о) для учета теплопроводности электронного газа (см. (5.Ю))« Ниже найдем выражение для Rx. 32
При вычислении О учтем, что для максвелловского распределения (5.5) справедливо равенство (4.13). Тогда из (2.25) получаем
<?• — ® 7 ~ Т°
(5.15)
2
где введено время релаксации энергии тг, определяемое соотношением
7” Зл" /Ге^и3 7—	fpe(e)€3/2 — de=(ye>.
Tt Зп 0	Эи Злтл3/2 о	де
г	(5’6)
Следует заметить, что выражения (5.15) и (5.16), определяемые симметричной частью /о функции распределения (имеющей как в гидродинамике, так и в квазигидродинамике максвелловский вид), справедливы и для квази гидро динамического приближения. В этом приближении также "работает уравнение баланса энергии (2.24) со столкновительным членом Q в форме (5.15).
Равенства (5.13) и (5.16), определяющие времена релаксации импульса тр и энергии те, имеют одинаковую форму записи, в которой интегралы выражают правило усреднения (4.11), обозначаемое (...) соответственно для импульсной р,„ и энергетической ие частот столкновений. Для максвелловского распределения - fQ правило усреднения (...) принимает форму (4.33). В этом случае степенные зависимости v„(e) и ув(е), соответствующие формуле (1.19), дают для (5.13) и (5.16) общее выражение
1	4	« .
--- =	= *'т(е>(*БГ)  f *{3'2	Xdx-
тр{е)	Зу/ir 0
4/5	\
»%(,)(*б Л-
Здесь	~ значение импульсной (энергетической) частоты
столкновений рт(е)(е)> взятое при энергии электрона е =А'бЛ rm(e) -показатели степени для зависимостей н,„(<)(е) вида (1.19), численные значения которых при разных механизмах рассеяния приведены в табл. 1;
Г
5	\	5
— ~rm{e) ) ~ гамма-функция аргумента —~rm(e) (21J. Из (5.17) 2	/	2
следует, что времена релаксации тр и те с точностью до численных множителей порядка единицы равняются значениям обратных частот столкновений и if'1, взятым при энергии электрона е = кь Г, где Т — температура горячих электронов. В частности тр и те зависят от Т, как тр-'-т'т и 7.
3. Перейдем к вычислению плотности тока j и нахождению термосилы/?,. Для этого приведем с помощью (2.14), (2.18), (2.19), (2.21), (5.11) и (5.12) уравнение баланса импульса (2.22) к форме уравнения движения
Ъи	е	Г(иА'бГ)	V • п	и	1
— + (и • Г)и = — (Е + и X В) --------—------------+ — Л
dt	т	тп	тп	тр	т
(5.18)
3- А.А. Барыбин
33
Оценим отдельные слагаемые в (5.18), учитывая, что н<ит = \ДБ Т/т? Это неравенство является следствием предположения о квазиупругости рассеяния (й< 1). Действительно, при сильном нагреве электронов (Т >Г0) из равенства mu2/2тр * /nuj/2re следует выражение для параметра неупруго сти
5	~ 7р/те < 1.	(5.19)
Более легальное обоснование соотношения и/ит	в том числе для
переменных полей, можно найти в |4, 11, 18].
Полагая характерный масштаб гидродинамических неоднородностей равным £м, получим следующее отношение слагаемых в (5.18):
|(и-Г)н|	nmul/LM
- -    Ill  » '“w  	
I V(nkbT)/mn |	пкъТ/Ьм
и1
— <1.
v.
(5.20)
Для оценки вязкостного члена V- л воспользуемся результатами кинетической теории газов |8|. согласно которой nf/ = r^ujbxj, где rj = пкъ Ттр = = тп1р1тр - коэффициент вязкости. Тогда получаем
|V(M^g7")|	л£б//,м Lm ит Lm	Lm
1
|(7-л)/тм|	|V-n| nmPpUlTpL^ ( lp \2
-----;------ = ------- ~---------------= I — I < 1.
| и/тр |	| лЛтр | mnu/Tp
Выполнение неравенств (5.20) и (5.21) обеспечивается условиями применимости диффузионного приближения (1.14). Неравенства (5.21) дают возможность пренебречь вязкостью электронного газа в сравнении как с градиентом изотропного давления Т(иЛБГ), так и с динамической силой трения Атр = -ти/Тр.
Для полупроводниковых материалов в диапазоне СВЧ справедливо неравенство штр < 1. Оно позволяет опустить временную производную в уравнении (5.18). Тогда с учетом (5.20) вся левая часть уравнения (5.18) становится пренебрежимо малой. В результате чего получаем
Г	1	1
w - д (£ + н X В}--Щпкь Т) +—R
еп	е
где д - (е/ш)Тр - подвижность носителей заряда. На основании (4.22) можно записать
5
+ — пкьЪТ
(5.22)
(5.23)
?(^БГ) = лЛБТ? --
\кьТ
Подстановкой (5.23) в (5.22) легко получить уравнение для средней скорости и в форме
м=в+(«ХЛ),	(5 24)
34
где введены обозначения
5 ЛБ 1 ч
•’ЯР -----------VT + —Лт),	(5.25)
\	2 с с /
Л = дД-глЛ, Ь~ цВ-состр,	(5.26)
св орт направления магнитного поля В = еп В. Величина Е*, входящая в (5.25). представлена в виде (4.26).
5равнение (5.24) по форме совпадает с (4.1), так что его решение по аналогии с (4.4) имеет вид и = Ь а с тензором b в форме (4.5). При ориентации магнитного поля вдоль оси 3 (когда ео = е3 и ~ Ь2 =0) по аналогии с (4.6) записываем решение уравнения (5.24) в виде
Ы = д-/Е — vr+—Л )	(5.27)
\ L с е	/
где введен тензор подвижности
=	(5.28)
И	АЛ	J /	1 Ь 0	\
тр=трЬ, Ь=-------- ( -b I 0 I.	(5.29)
1 + b\	I
\ 0 0	1+62/
Данный тензор h отличается от аналогичного тензора (4.7) тем, что величина Ь(Т) = gjctp(T), входящая в (5.29), является функцией электронной температуры Т, в то время как (4.7) содержит величину Ь( е) = = a)c/v„,(e), зависящую от энергии электрона е, которая усредняется с помощью операции < ... > при нахождении д.
Из (5.27) следует выражение для плотности тока / -спи. которое с помощью (4.26) можно представить в виде суммы трех слагаемых (4.38). Два первых из них — ток проводимости /пр и диффузионный ток /диф имеют прежнюю форму (4.16) и (4.17), при этом, как и в квазигидро-динамическом приближении, выполняется соотношение Эйнштейна (4.14). Третье слагаемое в (4.38), выражающее термоэлектрический ток, в данном случае равняется
/ кс	1	\
/т.,л=-а (-Vr -Лт).	(5-30)
\ с	е	/
Сумма трех слагаемых в (4.38) с использованием (4.16), (4.17), (4.41) и (5.30) даст плотность тока в виде
Л	а А / к d In и	1	\
j=o Е - V (Z)p) + a- I - —— VT+ —/?т ) .	(5.31)
\ е d In Т	е	/
Обоснуем обращение в нуль последней скобки в (5.31). Величины qr и Лт, как видно из (5.10) и (5.14), определяются одной и той же добавкой /|(1) к функции /[0> = «Э/о/Эи. Поскольку в уравнеште баланса энергии (2.24) тепловой поток qf входит под знаком дивергенции V </т, то величина у, инвариантна с точностью до ротора произвольного вектора. Эта роторная инвариантность позволяет так сконструировать функпню/i1 ’,
35
3
чтобы тсрмосила Ят компенсировала первое слагаемое в круглой скобке (531) и обращала ее в нуль. Таким образом, из (531) окончательно получаем
/ = а-£ -V (Dp), с/In м Ят = -4б---------• VT.
т (1 In Т
(5 33)
Следовательно, в гидродинамическом приближении правильное выражение (532) для плотности тока / получается только при введении в уравнение движения (5.18) термосилы Ят в форме (5.33). Естественно, при этом для / применима также форма записи (4.28).
Аналогичное утверждение можно сформулировать и в отношении плотности потока кинетической энергии q, а именно: учет добавки /(11 к смещенной максвелловской функции /д* = f,0> даст в гидродинамическом приближении выражение для q в форме (4.29) или (4.45). Это означает, что все соотношения между кинетическими коэффициентами, полученные в квазигидродинамическом приближении, такие, как (437), (4.43) и (4.46)-(4.51), применимы и для гидродинамического приближения. Различие между ними состоит лишь в численных значениях самих кинетических коэффициентов, которые отличаются, как увидим ниже, множителями порядка единицы.
Нетрудно убедиться в том, что все выражения для кинетических коэффициентов в гидродинамическом приближении получаются из соответствующих формул квазигидро динамического приближения, если в последних полагать величину т не зависящей от е, при этом <т> = \(т>/ = = << т» = т или <тх> = s/2 т и <т х2 > = Э5/4 т. В частности, из (4.51) получаем выражение для тензора теплопроводности в гидродинамическом приближении
Х = 5/г(-7-) 7'Й=5/2-^-нЛб7’ц.	(534)
4. На основании совпадения формул гидродинамического и квазигилро-динамического приближений можно заключить, что уравнения динамики, справедливые для гидродинамического приближения, остаются применимыми и в условиях квазигидродинамического приближения, отличаясь от них лишь численными значениями кинетических коэффициентов.
Для оценки этого отличия сначала пренебрежем магнитным полем (b = wclvm < 1). В этом случае подвижность ц = (е/ш) три коэффициент диффузии D = (k^T/m ) тр определяются временем релаксации импульса тр , различным для разных приближений.
Гидродинамическое приближение. Согласно (5.17),
f vm(x)x3/2e Xdx
(5.35)
1 Р ' *ГН '
36
КпазигидроАццлмическое приближение. Согласно (4.33), гг',Л “< *'»»•' >" _А—। / (x)xlf2e * dx 
•Wff о
’	П*/> +Гл. )^'(ЛвГ),	(5.36)
где гт показатель степени зависимости vm (е) = ^е~Гт • 11 т (А ь Г) х "•. Отсюда получаем отношение
* - Г(,/1 4г-)Г(>/, -г„)
г" <»«>•'	H’/.tn’/j)
 •^Г(‘/1+г„)Г(«/,-г„),	(5J7)
которое принимает значения: 1,015 при гт = ±1/2; 1,67 при гт = ±1; 3,05 при гт - ±3/2. Следовательно, при рассеянии импульса на фононах (гт ~ *1/2) величины ТрГД и ТрД практически равны (за исключением случая DA-механизма при низких температурах, где = — 1 — см табл. 1).
В сильном магнитном поле (Л = wclvm > 1) компоненты тензора <т ) в квазигидродннамическом приближении, вычисленные с помощью (4.7), определяются обеими величинами т£гд и т™, а именно (магнитное поле направлено вдоль оси 3)
! ) = (т21 ) = (pw >/gj’ = 1/щ’трП,
(5.38) (т12 ) = -<г21 )= |/щс , <т33 > = (р,;‘ ) = г*гд.
В отличие от (5.38), в гидродинамическом приближении все компоненты тензора < т) = тр определяются одной величиной гра (см. (5.28) и (5.29)) . Следовательно, при b > 1 поперечные кинетические коэффициенты для разных приближений совпадают, а продольные отличаются, в соответ-гвии с (5.37), множителем, близким к единице.
§ 6. Уравнения локально-полевого приближения
1.	В отсутствие контроля, в соответствии с неравенствами (3.5), функция распределения (как ее изотропная /0, так и анизотропная /1 части) формируется рассеянием носителей заряда на фононах и дефектах решетки. В этом случае необходимо решать общие уравнения (1.15) - (1.18), кото-
рые перепишем в виде
дг
е
3 mv2
Э , — (vI 2E/,)
I ЭГ 2МбГ0 ЭЛ \
 —1 ~	-------~+ у/о/ ,
2и2 dul \ m ди
д/(	<•’ д/0 е
nt	m ov rn
(6.1)
(6.2)
37
1!*м рентная фуикпия 1п является решением дифференциального урявне имя, по лученного подстановкой и (6 I) функции /t, найденной из (6.2) н оАикм опчае решение пою уравнения представляет серьезные матсмати «♦с* кие трудности Упрощение достигается в рамках локально-полевого приближения, при котором функция /о связана с электрическим (в общем счуме эффективным) полем локально, т.е. значение се в каждой точке пространства выражается лишь через поле в той же точке [3, 20]. Матема-тнческм >то достигается пренебрежением пространственными производными н (6 1) и (6.2). Найдем условия справедливости этого пренебрежения оценив порядок соответствующих членов в (6.1) и (6.2), считая при этом • " i'i  кьТ7т и Э/о/dv ^-/o/vT:
IP'7'!	v,f,/L„_hsT lr	1
I —			 (v’£-/i )l —	cIzl^ Г >л 1зтЗди h 1	I «
(63)
LI'AL »г/о//-м _	/е.
I ш Эи ' ш ит
(6-4)
где L м характерный масштаб пространственного изменения функций /о и /ь // • ЛцТ/г// длина нелокальное™, на которой электрон в позе А приобретает энергию е/ // . равную тепловой энергии к^Т (3J. Ниже (см $8) будет подробнее рассмотрен физический смысл неравенств (6.3) и (6.4).
Кроме выполнения неравенств (6.3) и (6.4). будем считать w < v и что позволяет опустить временные производные в (6.1) и (6.2) в сравнении с правыми частями уравнений 50 ~ г,./0 и S, = — Тогда упрощенное уравнение (6.2) (без двух первых членов в левой части) принимает вил (4.1), решение которого можно записать в форме [ 14J
/i ~ —~ [а + (а h )Ь -г (а X b I]. I ♦ !г
(6.5)
rue
а •
I JA
v,n m ди
с , оэ.
Ь * В • ---------- • ец/>
Отсюда получаем
>//*% ди где введена величина

сВ
(6.6)
(6.7)
(6.8)
""'m	»П1
(6.9)
названная эффективным греющим полем, так как оно определяет, как увидим ниже, эффективную температуру электронов. Величина связана с е через функциональную зависимость Л(с).
Подставляя (6.8) в упрощенное уравнение (6.1) (без двух первых членов в левой части), получаем
*бЛ>/, 2 <•’ ----1 । + т------
in \	3 П1квто
+ vevfo
(6.10)
!' р \ д/0
^III / ди
Интегрирование (6.10) дает
t'c
2 е_____________\ э/0
' 1,1 к б То »*,м н<- / ди
+ v/o
const
(6.11)
Постоянную интегрирования в правой части (6.11) необходимо положить равной нулю, так как при ъ -* 0 левая часть должна оставаться конечной (4]. Отсюда приходим к дифференциальному уравнению для /0:
дУо	III и	fy0	/о
ди	.	Jo или А б Г(и)	,	-	.	-	(6.12) де	АбГ(с)
где введена величина
Г(е) = Т0 1
2 е2 Ар(е) I
3 мЛб7*0 р1П (е)р, (е) J
(6.13 ►
с размерностью температуры, зависящая от энергии электрона е и названная эффективной температурой электронного газа. Вследствие отсутствия контроля эта величина, как отмечалось в § 3, нс имеет термодинамического смысла температуры в отличие от электронной температуры при наличии контроля.
Для дальнейшего анализа важным обстоятельством является то. что уравнение (6.12) по форме в точности совпадает с соотношением (4.13), справедливым для максвелловской функции распределения. Это позволит ниже записать уравнения локально-полевого приближения в форме, близкой к гидродинамическим уравнеющм.
2.	Перейдем к вычислению макроскопических величин в локально-полевом приближении. Для нахождения плотности тока / представляем уравнение (6.2) (с опущенной временной производной) в виде (4.1). решение которого записываем в форме (4.4), а именно f\ = b а, где вектор а определен равенством (4.2), а тензор b при ориентации магнитного поля вдоль оси 3 имеет вид (4.7). Таким образом, решение уравнения (6.2), как и в квазигидродинамическом приближении, принимает форму (4.6). Это означает, что общее выражение (4.8) для плотности тока применимо и в локально-полевом приближении, а именно
/ = а Е V(Лр).	(6.14)
Здесь тензоры* электропроводности а и коэффициентов диффузии D по-прежнему определяются формулами (4.9) и (4.10). в которые входит изотропная функция распределения Jo (в общем случае отличная от
39
максвелловской), удовлетворяющая уравнению (6.12) с эффективной температурой Г(е) как функцией энергии электронов е в форме (6.13).
Вводя операцию усреднения <... > по формуле (4.11) и используя в (4.10) соотношение (6.12), получаем из (4.9) и (4.10) стандартные по форме записи тензоры электропроводности о и подвижности р, а также тензор коэффициентов диффузии D (сравни с (4.12) и (4.14)):
а =	= енц,	(6 15)
D
(616)
Равенство (6.16) является аналогом обобщенного соотношения Эйнштейна (4.14). Это соотношение получается из (6.16) в условиях су-шествования электронной температуры (при полном или частичном контроле) , которая не зависит от энергии е и выносится из-под знака усреднения. давая D = (А б Г<е)ц.
Таким образом, в гидродинамическом, квазигидродинамическом и локально-полевом приближениях выражение для / имеет одну и ту же форму (6.14). в которой ток равен сумме трех слагаемых: тока проводимости /	= о Е. диффузионного тока / диф = — D- Гр и термодиффузионного
тока /т ДИф = — pDT XT Т. Идентичность формы записи тока для трех приближений позволяет формально применять динамическое уравнение переноса импульса (2.22) (с учетом термосилы Ят) не только при полном и частичном контроле, но и в его отсутствие.
Легко убедиться, что пренебрежение первыми двумя слагаемыми в левой части (6.1) (сделанное выше при выводе выражения (6.13)) приводит уравнение баланса энергии (2.24) к виду
“ з / *Б Го Vo \
/ E=—nQ= 2ят J г>( v )и (--------- + vfo Ми-
0	\ m ov /
Здесь тождественное равенство соответствует определению (2.25). Используя (6.12) при вычислении интеграла в (6.17), получаем (сравни с (5.15))

(6.18)
(? =
где угловые скобки по-прежнему означают операцию усреднения (4.11).
3.	Нам осталось лишь установить, от какой величины зависят кинетические коэффициенты д, о и D в локально-полевом приближении. С этой целью вычислим среднюю кинетическую энергию электрона, используя (2.7), (6.12) и правило усреднения (4.11):
а =
пт32
f e*Jifo(e)de = о
8 -у 2 я
Зпш3 2
3*Б 7т< I З/J Vo . - 3 ---- J Т(е )е ----de = —
2 о	Зе -
(6.19)
40
Отсюда на основании общего соотношения (2.10) между 8 и тензором плотности потока импульса Р = PI получаем
Р - -| п& = пкъ <Т>.
(6.20)
Выражения (6.19) и (6.20) имеют стандартную (гидродинамическую) форму (5.1) и (5.3), в которых усредненная эффективная температура { Г; играет роль электронной температуры. По этой причине величину
- пк{Т/ можно трактовать как изотропное давление, которое (в отличие от гидродинамического ’ давления р = пкТ) сформировано не межэлектронными столкновениями, а квазиупругим рассеянием электронов на фононах и дефектах решетки.
Для дальнейшего рассмотрения удобно ввести функцию, характеризующую распределение энергии,
4 у/Тп
^о(е) = —Г^-е3,/о(€).	(6.21)
пт *	'	’
такую, что
& = / F0(e)Je.	(6.22)
о
Условие нормировки (2.4) накладывает на F9 (е) требование
f е~‘ F0(e)dc = 1.	(6.23)
о
Найдем положение максимума функции F0(e). Легко видеть, что он имеет место при значении энергии
~ 3/1 Б Т(€т )•	(6.24)
Это равенство после подстановки в него (6.13) дает уравнение для нахождения €т= (Зкъ/2)Тт.
Полагая, что усредняемые величины Л(е) суть плавные функции энергии е, а максимум Fa (е) достаточно острый (для того чтобы с хорошей точностью вынести за знак интеграла А (ет) при значении е= е,п [5]), можно существенно упростить вычисление средних значений в локальнополевом приближении и сделать их по форме записи близкими к соответствующим гидродинамическим выражениям. Обычно физические величины А (е ) имеют степенную зависимость от е, подобную (1.19), а функция распределения /0(е) является экспоненциальной [19], гак что F0(e) имеет один достаточно острый максимум. Нарушение этой зависимости возникает лишь при убегании электронов в сильных полях, когда состояние электронного газа становится неустойчивым [4, 19, 23].
Применим указанную процедуру упрощения при вычислении интегралов в (4.10), (4.11) и (6.23).
Нормировочное условие (6.23) приводит к равенству
JF0(e)Je * ет = 3/а къТт .	(625)
о
41
На основании (6.19), (6.22) и (6.25) записываем
в - •/, Ав< Т) - / /’0(с)</е * е,п • 3/з *БГ„,. о
(6.26)
Следовательно, усредненная эффективная температура <7’> по порядку величины равна Т,„ a T(ew) - значение функции (6.13) в точке ст максимума функции / ’о (f ) •
Аналогично вычисляем (т) по формуле (4.11), используя (6.12), (6.21) и (6.25):
А «\Л2я
<т>-----—
Зпт
э/2 д/о ,	2
3/2 — <1€ = "Г Эе
“ т(е)
J ------• F0(e)c/e =к
о АБТ(е)
3/2 ' О
2 т(ет)
3 кБТ(е„,)
<,п
\ — Л
= т(е,„) = т„, .
(6.27)
Подстановка (6.27) в (6.15) дает приближенные значения тензоров подвижности и электропроводности:
1	2
а е , а . е» а а а и . а . е п д	/к \
М *т {т}^т т'п ’ ° ’	" ~т (т > * т~ т"> •	(628)
А
Вычисление тензора D по формуле (4.10) с учетом (6.21) и (6.25) дает
А в^/Ттт 1	2 “Л
15 = —^--------J г(е)е3'2/о(е)с/е = -— f T(e)F0(e)de %
3m ' nm о	3/zz о
2	л, .	a	z,
* — r(em)em =------------т,„.	(6.29)
3 m	m
Из (6.28) и (6.29) получаем приближенное соотношение Эйнштейна (сравни с (4.14)):
к Б Лл а ( Г) л D =8 ------fj ----------ц.
с	е
(6.30)
Аналогично с (5.15));
можно записать приближенное выражение (6.18) (сравни
3*Б Тт То	ЗАб ( Т> - То
гет	- 7ет
(6.31)
где Tf',, = vc (е ж) - значение энергетической частоты столкновений в точке ет максимума функции Fo (е).
Все приближенные равенства в формулах (6.25)-(6.3 Г) записаны с точностью до поправочных множителей порядка единицы.
Таким образом, в локально-полевом приближении все основные соотношения принимают привычную гидродинамическую форму, а кинетические коэффициенты являются функциями средней энергии электрона = (ЗЛБ/2)< Г) «s (ЗАБ /2) Т,п = ет. Усредненная эффективная температу-
42
pa ( I ' I hi Полностью определяется (при известных механизмах рассеяния) надменном ><|>фекдивного греющего поля Л,, (Л), введенного равен-<гном (6.9). (ледов а только, в локально-полевом приближении кинетические коэффициенты можно рассматривать как функции эффективного греющею поля /,,(< ), в гятого при значении < е ft * с„(. Основной физической предпосылкой для такого заключения является существование функции распределения с единственным достаточно острым максимумом при е,„ * &- (ЗАн/2) < D.
На практике встречаются иные физические ситуации, н которых функция распре деления имеет более сложный вид В лих условиях возможно явление убегания электронов (4, 19, 23]. Оно характеризуется наличием большого числа электронов с высокой энергией, что делает их функцию распределения /'о(с) ненормируемой (т.е. интеграл (6.23) расходится). Физическая причина этого заключается в том. что с увеличением электрического поля электроны получают от поля большую энергию, чем отдают решетке, и тем самым увеличивают свою энергию, "убегая'’ в область больших ее значений. Состояние полупроводника при этом становится неустойчивым. Детальное рассмотрение эффекта убегания, изложенное в оригинальных работах |4,19,23]. выходит за рамки данной книги. В дальнейшем будем исключать физические ситуации, соответствующие убеганию электронов (см. § 9).
§ 7. Физические условия применимости уравнений динамики горячих электронов
Вывод уравнений переноса из кинетического уравнения, как отмечалось, нс накладывает никаких математических ограничений на их применимость. Эти ограничения должны следовать из чисто физических соображений. Три физические ситуации, соответствующие гидродинамическому, квазитидро-динамичсскому и локально-полевому приближениям, были подробно обсуждены выше. Применимость макроскопического описания плазмы в рамках трех приближений требует дополнительных физических ограничений. Эти ограничения сводятся к необходимости выполнения следующих двух требований [ 12, 24]: во-первых, требование пространственной локализации частицы по отношению к действующим на нее силам и, во-вторых, требование физически усредненного (во времени! движения частицы под действием внешних сил. Эти два требования, как увидим ниже, являются взаимосвязанными (г.е. выполняются при одних и тех же условиях) и могут быть реализованы как для столкновительной, так и для бесстолкно-вительной плазмы [12].
В столкновительной плазме макроскопические величины п, и и Т формируются, как отмечалось в § 3, в результате процесса столкновений носителей с рассеивателями (фононами и дефектами), характеризуемого временами и длинами свободного пробега по импульсу (тр и /р = иттр) и по энергии (т. и /, =нттг). При квазиупругом рассеянии тр < т( и /р <	. Макроскопическое описание столкновительной плазмы возможно
лишь в том случае, если на характерных для плазмы интервалах времени (тр, Tt ) и длины (/р, /, ) внешние условия практически не меняются. Это означает, что динамические процессы, описываемые переменными
43
м(т. n, и(г, /) и Г(г, /), достаточно медленно меняются ио времени и в пространстве, а именно
r₽ « г< < Гм	или	итг Ч ште < I.	(7.1)
/г < it < /.м	или kip < klr < I.	(7 2)
гае Гм и /. м характерные интервалы временного и пространственного изменения макроскопических величин (например, период Т - 2г/ии длина волны X " 2п А коллективного возмущения в плазме).
Эти неравенства обеспечивают одновременное выполнение требований локализации и физического усреднения Действительно, на малых длинах /р и 1Г свободного пробега макроскопические величины при условии (7.2) практически не изменяются, так что электрон воспринимает действующую на него внешнюю силу как локальную. С другой стороны, за времена 7М электрон испытывает большое число актов рассеяния, так что его движение под действием плавно изменяющихся внешних сил является физически усредненным.
Неравенства в (7.1) и (7.2), справедливые для энергетических параметров т( и /е , ’’работают" лишь в условиях нагрева электронного газа. Условие шт( < 1 позволяет пренебречь временной производной как в уравнении баланса энергии (2.24), так и в кинетическом уравнении (1.15) по сравнению с соответствующими столкновительными членами. Однако такое же пренебрежение возможно и при обратном неравенстве ште > 1. Действительно, при высокой частоте электромагнитного поля в силу инерционности передачи энергии от электронов рассеивателям средняя энергия электронов и температура (равно как и функция /0) не успевают следовать за быстрыми осцилляциями поля и принимают средние значения, не зависящие от времени [4, 11J.
При изучении коллективных явлений в плазме на величины 7~м и L м накладываются дополнительные условия.
Известно (9 13], что плазма откликается, коллективным образом на внешнее воздействие с частотой, не превышающей плазменную частоту
= 2ir/Tp = у/пе2 l€\rn (где е i — решеточная диэлектрическая проницаемость). В частности, продольные (электростатические) колебания в плазме возникают как раз на частоте , являющейся их резонансной частотой. Поперечные электромагнитные волны распространяются сквозь плазму лишь при gj > Это вызвано коллективным откликом плазмы на внешнее электромагнитное возмущение при со < проявляющимся в виде экранировки объема плазмы подвижными носителями от внешнего воздействия. При > а)р носители не успевают следовать за изменениями поля и осуществлять экранировку, т.е. коллективные явления исчезают и плазма пропускает электромагнитные волны
Пространственным масштабом, разделяющим микроскопические и макроскопические процессы в плазме, является дебаевская длина I и = ж x/t iknT/не 3. Внутри сферы Дебая (при £м < /а) энергия хаотического движения частиц превосходит энергию их кулоновского взаимодействия, т е. индивидуально-частичные процессы преобладают над коллективными При £м > /о каждая частица не ’’ощущает” присутствия 44
других «ряженных части по отдельности, и воспринимает их как непрерывное заряженное облако, и результате чего крупномасштабные процессы носят коллективный характер 112, 13].
Иными словами, система заряженных частиц проявляет себя как плазма, откликаясь коллективным образом ня внешние воздействия лишь за промежутки времени Гм > Тр и на расстояниях /,м > /у. Полому при изучении коллективных явлений в плазме необходимо выполнение неравенств
ш < и>р и klD < 1.	(7.3)
Таким образом, макроскопическое описание плазмы неприменимо для быстроперсменных (с частотой ш > шр) и мелкомасштабных (с длиной волны X < Iи) возмущений. Для их описания необходимо использовать кинетическое уравнение, которое учитывает индивидуально-частичные взаимодействия, преобладающие в данном случае над коллективными (к ним, в частности, относится бесстолкновительное затухание Ландау [9-11]).
В бесстолкновительной (или слабо столкновительной} плаэ.ме. когда нарушаются неравенства (7.1) и (7.2), казалось бы, невозможно пользоваться макроскопическим описанием плазмы. Однако это не так. При изучении волновых процессов в бесстолкновительной плазме определяющим является соотношение между фазовой скоростью волны т»ф и тепловой скоростью частиц ит. Если иф > ит, то явления, протекающие в плазме, можно в достаточной степени считать локализованными и физически усредненными даже без участия столкновений [9, 12, 24|. Действительно, при этом за период поля Т электрон в среднем проходит расстояние и, 7, которое много меньше длины волны X = v фТ, те. его можно считать локализованным в области с размером	С другой стороны, рас-
стояние, равное длине волны X , электрон проходит за время X /и т, которое много больше периода Т = X / v , т.е. на длине волны он подвергается воздействию большого числа циклов поля, чем достигается временное усреднение. Таким образом, при условии
ит < Пф или Лит < ш.	(7.4)
называемом приближением холодной плазмы, выполняются требования локализации и физического усреднения. Это делает возможным макроскопическое описание бесстолкновительной холодной плазмы, т.е. электронного потока в вакууме. В этом случае функция распределения по скоростям имеет вид 6-функции, гак что скорость частицы совпадает с гидродинамической скоростью среды и (г, /).
Все вышеприведенные соотношения справедливы для неэамагниченной = 0) или слабо замагниченной плазмы (при шс тр < 1 в столкновительном случае и шс < шр и бесстолкновительном случае). Магнитное поле не влияет на продольное движение частиц, для которого по-прежнему остаются применимыми неравенства (7.1)	(7.4).
В поперечном направлении магнитное поле подавляет движение частиц. При сильном замшничивании (о\. тр > 1) столктюннтельнан плазма в поперечном направлении становится как бы свободной от столкновений. В ре-45
эультатс этого исчезает физическая причина (в вине частых столкновении) пространственной локализации и усредненного движения частиц. В этом случае характерным временным интервалом усреднения становится период циклотронного вращения тс = 2 я/а>г , а пространственным размером локализации частицы средний циклотронный радиус I, = uT/u>t . В условиях, когда гс^Ти и	или
со < ъзс и kjc < 1,	{1-5}
движение частицы в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, можно представить в виде суперпозиции быстрого циклотронного вращения (по которому проводится усреднение) и медленного дрейфа центра циклотронной орбиты [12,13}.
Неравенства (7.5) обеспечивают выполнение требований пространственной локализации и временного усреднения. Действительно, при А i /( < | электрон проходит в среднем за период циклотронного вращения тс - 2л/сог расстояние иттс = 2nlt., которое много меньше поперечной длины волны X 1 = 2я/А1 , что и обеспечивает локальность воздействия внешнего поля. С другой стороны, расстояние, равное X i , электрон проходит за время Xx/vT = lvr)T, которое много больше как т,. (при If < X ! ), так и периода поля Т (при ит < Уф ). В результате этого на длине волны X £ электрон совершает большое число циклотронных орбит и испытывает многократное воздействие периодов поля, что приводит к его усредненному движению. Иными словами, сильное магнитное поле, заставляющее электрон вращаться по циклотронной орбите, препятствует ему следовать непосредственно за внешним полем, так что влияние последнего может проявиться только в усредненном дрейфовом движении циклотронной орбиты.
§ 8. Неравновесные неоднородности в полупроводниковой плазме
1. Результаты, полученные в §4 — 6, свидетельсгвуют о применимости уравнений переноса для описания динамических процессов в условиях справедливости гидродинамического, квазигидродинамического или локально-полевого приближений. Эти уравнения в общем виде описывают нелокальные макроскопические ситуации. Ниже рассмотрим, при каких условиях можно пренебречь нелокальными эффектами, в частности свести общее уравнение баланса энергии (2.24) к локальной форме (6.17), а также выясним условия существования различных типов неравновесных неоднородностей в плазме.
Запишем общи^вид уравнений баланса импульса и энергии:
Эи,	„ е1Г,	Ч(пкБТ)	и	1
— + (м • Г)и =- {Е + и X В)------------+-/{.,	(8 1)
о/	ш	тп	тр т 5
5 / 3	\	3	Т-Тп
— (-гнАБТ)+ V q = j Е - ^/гХБ--------- ,	(8.2)
d / \ 4	/	2	Tt
46
где
Rx = -к
d \п у Ь</ In Т
ТТ.
я s и, / J Vr.
(83)
(8.4)
(8.5)
н - ~2 AlA г 7" </ 1п я
• е с d In Т •
А 5	А
X = - —«*БГд.
• (
(8.6)
Эти уравнения остаются все еше достаточно сложными для анализа волновых процессов в плазме. Входящие сюда времена релаксации Tp.Te и кинетические коэффициенты р. П,. \. определяемые величиной тг. являются функциями электронной температуры Т. величина которой неизвестна и подлежит определению нз решения задачи о нагреве электронного газа электрическим полем Е. Сложность решения такой задачи в общем виде состоит в том. что уравнение (8.2) дает нелокальную связь между Т и Е из-за наличия пространственных производных: V - q и V (ни), последняя из которых неявно содержится в первом слагаемом.
г(4«*бТ) = ^пкь ~ - ~къТ^ (пи).
Of \ -	'	- о/
Оценим их порядок по отношению к другим слагаемым в (8.2), исполь-
зуя (83) - (8.6):
|з*б7~УН/ш)| nkbTulL"
I/ £|	спиЕ
IV (Щ 7)1 м*бTu!Lм =
I/-EI	епиЕ
IV (X-VT)I \Т/1.2М -	-V -
ЬбТ = /д_ ^'М
Ав Г	1Е	
cLL^ 1. м	(8.8)
хт« _//о V	
	(8.9)
L м \ L м /	
где lE = k^Tjef-. — длина нелокальности (встречавшаяся выше). 10 = = \ЛхМБ)т — длина остывания [4.20J, для которой с учетом (8.6) получаем
/о = у/—* те - ит у/ T.Tf = V D т^,	(8.10)
пкь
коэффициент диффузии. При квазиупругих столкновениях, когда, согласно (5.19), и'- ит vT'- vT x/iplit' характерные длины /jr и
47
Iо имеют одинаковый порядок:
, *бГ	и? тр	ит	ПтТр -----------,
4 " —Г" ' —7-----------ui тр " ~~гг " ит '*/тРГе /'»'
et	р Ь	и	\/ о
<8.11>
Таким образом, пренебрежение пространственными производными в (8.2). обеспечивающее локальную связь температуры и поля, допустимо лишь при условии If- ~ 10 < LM. Рассмотрим различные физические ситуа-ции, при которых возможно выполнение этого условия.
2. Распространение волн в плазме по самой своей сути соответствует неравновесной пространственно неоднородной системе. При этом в от. сутствие волнового процесса плазма может либо быть пространственно од-дородной, либо иметь внутренние макроскопические неоднородности, вызванные, например, наличием контактов, неоднородным легированием и т.п. (3). Проблемы, связанные с пространственной неоднородностью систем детально обсуждены в [3. 20]. В дальнейшем исключим из рассмотрения внутренние неоднородности и будем изучать лишь неравновесные неоднородности, сопровождающие волновой процесс в плазме.
В общем случае неравновесных условий в плазме существуют неодно- • родности в распределении плотности зарядов н(г,1) (зарядовые неоднородности) и в распределении электронной температуры Т(г.г) (температурные неоднородности). И те. и другие в условиях гидродинамических приближений определяют симмеричную часть функции распределения, являясь локальными параметрами квазиравновесной максвелловской функции. Временные масштабы этих неоднородностей- различны: зарядовые неоднородности релаксируют в результате проводимости среды за время порядка максвелловского времени релаксации rM=ei /o, а характерным временем изменения электронной температуры является время релаксации энергии те.
Зарядовые и температурные неоднородности в электронном газе могут иметь двоякую природу. Во-первых, диффузионные неоднородное™, вызванные существованием нелокальных эффектов типа диффузии и теплопроводности, приводящих (в условиях их проявления) к ’’диффузионному” размытию локального возмущения в распределении заряда или температуры. Во-вторых, енотовые неоднородности, вызванные наличием упорядоченного движения электронов, в результате чего локальное возмущение в распределении заряда или температуры сносится в пространстве со средней скоростью и.
Пространственные масштабы диффузионных неоднородностей определяются диффузионной длиной /диф = vZ) т,т.е. расстоянием, на которое диффундирует возмущение за характерное время своего существования т. а именно:
для диффузионных зарядовых неоднородностей
/ дИф = х/Ь тЛ1' = ID - дебаевская длина;	(8.12)
для диффузионных температурных неоднородностей
^диф	lo - длина остывания.	(8.13)
Пространственные масштабы сносовых неоднородностей определяются сносовой длиной 1ем=ит, т е- расстоянием, на которое возмущение за
характерное время своего существования т сносится в пространстве со скоростью и, а именно:
для сносовых зарядовых неоднородностей
/’я=мтм;	(8.14)
длясносовых температурных неоднородностей '
/?я=мте-	(8.15)
Сносовые длины (8.14) и (8.15) связаны (по порядку величины) с диффузионными длинами (8.12) и (8.13) следующими соотношениями:
,3 .ИТш.и Jk.JL 'о ~ /г 'Ь 'о _ '!>	„)М
«он итМ и ~	----^\0 ----- ~~ ---- ।	** — ,	(8.16)
и Ут Ут	щтр ит V TpTt la
и	ч	i2o i*
/сн =UTf-u~- -------------7?----------------Я— ~io (8.17)
и ит ут гр ит тр ит V тг те
Таким образом, диффузионные и сносовые температурные неоднородности имеют один и тот же пространственный масштаб, совпадающий, согласно (8.11), с длиной нелокальности
lo^lk^lE,	(8.18)
т.е. длина нелокальности 1Е является единым масштабом температурных неоднородностей.
Для зарядовых неоднородностей диффузионная (дебаевская) и сносо-вая длины в общем случае различны и связаны между собой соотношением (8.16).
Соотношения между перечисленными характерными длинами, включая импульсную /р = Уттр и энергетическую /е = итте длины свободного пробега, полученные с учетом (5.19) и (8.10)	(8.18), сведены в табл.2.
Рассмотренные выше неоднородности являются чисто плазменными неоднородностями, порожденными внутренними неравновесными процессами в плазме. Наряду с ними в системе заряженных частиц могут возникать неравновесные неоднородности электромагнитного характера. Если масштабы этих неоднородностей сильно различаются, то результирующее возмущение слабо ’’раскачивает” плазму, так что плазменные свойства среды проявляются незначительно и неоднородности носят электромагнитный характер, возмущенный присутствием носителей заряда. Если эти масштабы сближаются, то возникают комбинированные (плазменно-электромагнитные) неоднородности, при которых наиболее сильно проявляются плазменные свойства среды.
Таким образом, тот или иной вид плазменных неоднородностей (зарядовых или температурных) проявляется тем сильнее, чем ближе пространственный масштаб /, этой неоднородности к характерной длине LM макроскопического возмущения в плазме. В общем случае длина L м (на которой заметным образом изменяются все физические величины) может быть ’’навязана” электронной подсистеме кристалла сторонними возмущениями электромагнитного, акустического или спинового происхождения. По мере приближения LM к// возрастает роль соответствующего механизма переноса возмущения в плазме. Тогда, наряду с электро-
4. А.А. Барыбин
49
Таблица 2
	!р	It	<D	*си	
Ip	1	ь	fM	&»/2 l£_	
It	6-'	1	ьА!2^ fM	6-‘/2 2_ . fM	б"’/2
		61/2^5 V ft			
Id			1	fM	fe
/си	ft	ft	/тм* ft	1	fM ft
Iq *“ 'сн ~ 1Е	6-1'2	ь1'2	fM	fM	1
lj = ад /*, ад - элементы таблицы.
магншными, акустическими или спиновыми возмущениями, в плазме начинают распространяться связанные с ними собственные плазменные возмущения в виде зарядовых неоднородностей (волн электронной плотности), температурных неоднородностей или в общем случае зарядовотемпературных неоднородностей, образующих единый волновой процесс в системе.
Как видно из табл. 2, соотношения между пространственными масштабами определяются соотношением между максвелловским тм и энергетическим те временами релаксации. Рассмотрим для этого соотношения три случая, соответствующие разным физическим ситуациям.
Случай 1. «srt. Из табл. 2 получаем соотношения
Ip Осн "" 1о ~ 1сы .	(8.19)
В данном случае зарядовые и температурные неоднородности имеют одинаковые временные и пространственные масштабы. Это означает, что они одновременно раскачиваются при распространении возмущения в плаз-V7 J*0) ИМеЮТ и*™ заРядово’темпеРатурные неоднородности (у«*0 и
При длинноволновых возмущениях с характерной длиной LM>1„ ~
1емпеРатуРы и поля, В ,10„0,Д (8°^-;2)ХнХА°:“‘НУЮ СВ”Ь
т-та
rt(T) 
У"
,	А (8.20)
\ с/In Т f '
с
~ и к ь
2 ь
(8.21)
50
При коротковолновых возмущениях с характерной длиной £м интенсивность возбуждения зарядово-температурных неоднородностей возрастает. В этом случае пространственными производными в (8-2) пренебречь нельзя и волновые процессы в плазме описываются общими динамическими уравнениями (8.2) и (8.20).
Случай 2.	. Из табл. 2 получаем соотношения
& < 1Р * Id < (1О ~	) «/е.	(8.22)
В данном случае зарядовые возмущения в сравнении с температурными настолько быстрые (тд/<те) и мелкомасштабные (/’и d 1о)> что при изменении электронной температуры они успевают релаксировать, обеспечивая однородное равновесное распределение электронов с концентрацией п vnn. Следовательно, в. плазме могут распространяться лишь температурные неоднородности (V7V 0, V/i^O).
В этом случае волновые процессы (как длинноволновые с £м^*/о’ так и коротковолновые с £м </о) описываются соответствующими уравнениями предыдущего случая, в которых следует положить п = «о И V л = 0.
В обоих случаях (тл/=“т€и тм<те) распространение электромагнитных волн в условиях локальной связи (/о ~ 1Е < £м) между температурой и полем, задаваемой уравнением (8.21), соответствует нормальному скин-эффекту, а в нелокальных условиях (£м «/о ~ 1е) - аномальному скин-эффекту [4].
Случай 3. те < тм . Из табл. 2 получаем соотношения
1Р « (/о~ IJh)< /« £ iD < <’н.	(8.23)
В данном случае температурные возмущения в сравнении с зарядовыми настолько быстрые (те < тд/) и мелкомасштабные (/о	£н). что они
успевают следовать за изменениями электронной плотности, не создавая пространственных неоднородностей в распределении температуры (так как 1о<1о)- Следовательно, в плазме могут распространяться лишь зарядовые неоднородности (7л 0,VT^O). Несмотря на быструю температурную релаксацию (тб <'м), электронная температура Т в условиях нагрева электронного газа отличается от температуры решетки, так как конечное превышение температуры (Г - То) обеспечивает ненулевую мощность л I Q I = 3/а пк (Т-Т0)/те , передаваемую от электронов решетке.
Поскольку длина волны коллективных возмущений не может быть меньше/д (см. (7.3)), то при всех физических условиях из (8.23) получаем £м >2О" 1е- Согласно (8.7) - (8.9), это позволяет опустить пространственные производные в (8.2), а в (8.1) необходимо положить vT = 0. Таким образом, зарядовые неоднородности в плазме описываются уравнениями
7Л
и = ц(Т)Е - D(T)---	j~enu,	(8.24)
п
3 Т-То
jE = —nk---------(8.25)
2 Б те(Г)
В данном случае локальная связь 7’ и Е, даваемая уравнением (8.25), принципиально позволяет выразить Т через Е и перейти к полевой модели, 4*	S’
в которой кинетические коэффициенты ц и Dявляются функциями электрического поля (в общем случае эффективного — подробнее см. § 9).
При выводе (8.20), (8.21) и (8.24) из (8.1) и (8.2) были опущены временные производные в силу выполнения неравенств (7.1). Из (8.23) следуют неравенства lp^le	что соответствует условию (7.2)
применимости макроскопического описания для зарядовых неоднородностей.
В отличие от вышеуказанного случая, для температурных и зарядовотемпературных неоднородностей, как видно из (8.19) и (8.22), возможны ситуации (например, при аномальном скин-эффекте [4]), когда LM<lt, т.е. не выполняется энергетическое условие (7.2). Строго говоря, при этом необходимо использовать кинетическое описание. Тем не менее обычно этого не делают и применяют макроскопическое уравнение переноса энергии (8.2) для анализа скин-эффекта даже в области высоких частот, где ште >1 [4]. Физическим оправданием этого является инерционность процесса передачи энергии от электронов рассеивателям. При ште > 1 изотропная функция распределения f0 не успевает отслеживать быстрые осцилляции поля и воспринимает лишь его усредненное значение. Это позволяет при наличии контроля (тее < те) вместо кинетического уравнения для /0 использовать получаемое из него усреднением динамическое уравнение для электронной температуры [4].
3. Соотношение между' обратным максвелловским временем релаксации T~^t и частотой процесса определяет разные квазистатическис приближения в уравнениях Максвелла (см. гл. 2). В условиях существования зарядовых неоднородностей (при те < тм) можно без нарушения неравенств (7.1) реализовать как квазиэлектростатическое (u>r1W » 1), так и квазимагнитостатическое	1) приближения. Последнее соответ-
ствует достаточно высокой проводимости среды, позволяющей пренебречь в уравнении Максвелла электрическим током смещения по сравнению с током проводимости (cl>€| < а). Следствием-этого является электро-нейтральность (pi =^0) квазимагнигостатических волн в плазме. Именно такая ситуация (п^п^) возникает в условиях существования температурных неоднородностей (при тм< те), при этом справедливо лишь квази-магнитостатическое приближение (см. гл. 2).
Таким образом, при наличии контроля (тее < те) в плазме существуют либо зарядовые неоднородности (при те < тм), либо температурные неоднородности (при тм <т€). Первые описываются в рамках полевой модели, в которой кинетические коэффициенты являются функциями элек-трическогоЧв-обшсм случае эффективного) поля, а вторые — в рамках температурной модели, в которой кинетические коэффициенты зависят от электронной температуры. В обеих моделях давление электронного газа p-nk^J является изотропным, так как оно сформировано частыми меж-элсктронными столкновениями.
Очевидным является соответствие между полевой моделью (при наличии контроля: тее < тв < тv) и локально-полевым приближением (в отсутствие кон гриля. те < Тее)- 8 обоих случаях кинетические коэффициенты зависят от электрического поля, а давление изотропно: в первом случае давление р = лАБТ формируется частыми межэлектронными столкновениями, а во втором -г давление Р = пкБ < Т> формируется квазиупругими
^-нэлкновения'1* с фононами и дефектами решетки. Локально-полевое приближение, являясь аналогом полевом модели. в отсутствие контроля справедливо лиц» при достаточно низкой проводимости среды, такой, что ге < rH* f i/o
Пер®40-1 к устовиям идеальной гидродинамики путем повышения про-родммостм среды (а~‘ои, гw-»0) возможен лишь в рамках температурной ждели. где неравенство ге >rw допускает переход tw-»0. При этом сохраняется изотропность давления и этектронейтральностъ среды л^чо (а значит, зохможжкть пренебрежения током смешения I и исчезают градиент температуры и тепловой поток (в силу того, что \ -,ос при а—00) Р. 12|.
Распространение волн в условиях существования температурных неоднородностей достаточно полно изучено [4] и по этой причине в дальнейшем рассматриваться не будет. Предметом последующих исследований в монографии являются зарядовые (электрические) неоднородности в тонких слоях полупроводниковой плазмы.
§ 9.	Анизотропия дифференциальной подвижности горячих электронов
1.	Зарядовые (алектрические) неоднородности в плазме описываются уравнениями (824) и (825), которые, как отмечалось в § 8, должны быть сведены к полевой модели с зависимостью кинетических коэффициентов от электрического поля. Это достигается введением эффективного грею щего доля Ер, аналогичного введенному в § 6. Ниже в изложении будем следовать работам [25,26].
На данном этапе можно опустить диффузионную составляющую скорости в (824) в силу соотношения
1/д.ф! _ I PVnl	Dn!Lu = къТ = /£
1/Пр1	I л цЕ I	прЕ eELM
Тогда (824) н (8.25) принимают вид и = 4Г)£ + иХд(Г)5.
3*Б Г- Го ей • Е = -----------.
2 Ге(П
Решением (9.1) является
« = —— [£ + (й-£)6+(£ХЬ)], 1 +&2
где b = ы^тр = цВ =fBb, b = g)ctp = цВ. Подстановка (93) в (9.2) дает уравнение баланса энергии:
(9.1)
(92)
(93)
Это уравнение в точности повторяет аналогичное уравнение в отсутствие магнитного поля при замене электрического поля Е на эффективное грею-
шее поле, введенное равенством
совпадающим по форме записи с (6.9) Следовательно, при любой ориента. цнн и величине магнитного поля его влияние на эффекты разогрева учиты-вастся эффективным греющим полем, в которое оно входит в виде ком. бинации (9,5).
Равенство (9.4) при известных температурных зависимостях времен ре лаксации гр(Г) и тс (Г) повзоляет в принципе найти функциональную зависимость Т(ЕР). При однозначной зависимости Т(£р) (обычно монотон-но возрастающей) возникает возможность перехода от температурных зависимостей д (Г) и 0(7) к полевым зависимостям д (£р) и D(EP). Это наверняка имеет место при механизмах рассеяния, не приводящих к убеганию электронов в отсутствие контроля (23]. Если доминирующими являются механизмы рассеяния, обеспечивающие убегание в отсутствие контроля, то при его наличии уравнение (9.4) либо не имеет решения, либо дает многозначную зависимость Т(ЕР) с падающим участком [4, 23]. В последнем случае устойчивые решения (для которых с ростом энер! ии £ = = 3/2 * с Т мощность потерь п I (J । возрастает быстрее мощности тепловыделения /  F) соответствуют максимумам функции распределения энергии Еа (е), а неустойчивые решения минимумам Ь о (f) [23]. При многозначной зависимости Т(Ер) состояние электронного газа становится неустойчивым из-за наличия падающего участка на кривой Г(Ер). Это приводит к появлению разрывов температуры как функции поля и к гистерезисным явлениям [4]. В этом случае однозначное представление м иОв виде полевых зависимостей невозможно и переход к полевой модели не может быть выполнен. Поэтому в дальнейшем подобные ситуации следует исключить из рассмотрения.
2.	Электрические свойства полупроводниковой среды в отсутствие магнитного поля характеризуется поЛе-скоростной характеристикой (ПСХ)’), выражающей зависимость дрейфовой скорости электронов от напряженности электрического поля и (Е).
Как известно (см., например, (1 3,6,27]), в полупроводниках типа //-GaAs нагрев электронного газа электрическим полем вызывает междолинный перенос электронов, что приводит к появлению на ПСХ участка с ОДП при полях, превышающих пороговое поле Еп (рис. 1). В этих условиях, как увидим ниже, проявляется анизотропия дифференциальной подвижности: в направлении дрейфа малосигнальная подвижность электронов определяется дифференциальной подвижностью juj = (du/dE) I e=f„ (равной tg/? на рис. I), а в поперечном направлении статической подвижностью (Jt. = ii(/:0)/E0 (равной tg а на рис. 1).Характер анизотропии будем оценивать коэффициентом анизотропии к 0 =	•
1 > Мы будем различать ПСХ материала и ВАХ (вольт-амперную характеристику) образна, которые совпадают по форме лишь в случае однородного распределения носителей по образцу. При наличии ОЛП это и общем случае не выполняется, но может быть достигнуто, например, путем создания специальных контактных условия (27), Вид 11( X (который нс зависит от характера токовых контактов) определяется эксперимешалыю для »i-GaAs методом СВЧ нагрева ( 2. 271.
54
условие изотропности, реализуемое во всех полупроводниках при малых полях смешения, соответствующих омическому участку ПСХ;
О < к о *' । положительная анизотропия, реализуемая в /»-GaAs при допороговых смешениях;
к о < 0 ~ отрицательная анизотропия, реализуемая в л-GaAs при зало-роговых смешениях, когда возникает ОДП.
Анизотропию дифференциальной подвижности будем выражать математически в виде тензоров малосигнальной подвижности или проводимости o,j - ciioUd. Последующая задача состоит в получении этих тензоров, в том числе с учетом статического магнитного поля.
Рис. I. Качественный вид ПСХ для полупроводников типа л-GaAs. проявляющих ОДП (к, < О) в области запорэговых полей (£ > £п)
Тот факт, что равенство (9.4) дает связь между Т и Ер того же вида, что и в отсутствие магнитного поля, позволяет сделать утверждение о том. что ПСХ, снятая в отсутствие магнитного поля, имеет тот же вид и при В Ф О, но при этом по оси абсцисс вместо Е отложена величина Ер. Это утверждение бесспорно при наличии контроля (тс<. < тв), так как величины тр(Г) и т((Т) получаются из vm (t) и (е) усреднением < ...) по общему правилу (4.11) или (4.33) с помощью максвелловской функции /0 (е)» не зависящей явно от магнитного поля. В отсутствие контроля (те < ггг) подобное утверждение менее очевидно, поскольку изотропная функция распределения f0 в общем случае зависит от магнитного поля. Однако оно по-прежнему верно при условии, что функция /0(е) ^е3у*7о(с) имеет достаточно острый максимум при €,„ S, чтобы с хорошей точностью обеспечить вычисление кинетических коэффициентов при значении е,„ * &. Действительно, в локально-полевом приближении зависимость кинетических коэффициентов от энергии (а через нее от величины эффективного греющего поля hp(em)) получается сразу без рассмотрения баланса энергии (см. § 6). Соотношение между = J/; АТ,н * £ и Ар(ет) сохраняет один и тот же вид (6.13) как в отсутствие .магнитного поля (при этом £р(еш) = Е). так и при В * 0. Именно это и обеспечивает справедливость высказанного выше утверждения, в том числе в рамках локально-полевого приближения (в отсутствие контроля).
В дальнейшем кинетические коэффициенты как функции поля будем считать либо феноменологически заданными, либо определенными из экспериментальных зависимостей типа ц(£) и Р(£). полученных при В = 0. При наличии магнитного поля вид этих кривых, как следует из вышесказанного. сохраняется, если под полем £ понимать эффективное греющее ноле Ер Равенство (9.5), в котором величина 6(£р) =ц (Ер) В является функцией можно рассматривать как уравнение для нахождения Ер.
55
Рис. 2. Графическое определение -зависимости	для малых (а) и больших (£>>
магнитных полей
3.	Рассмотрим сначала статические поля £0 и Во. Поскольку при продольном замагничивании плазмы (До НЕо) из (95) получаем Еро=-Ей, то интерес представляет поперечное замагничивание (Ьп  Еа =0). При этом уравнение (95) для нахождения Ер0 может быть записано в виде
[д(ЯрО)Ьро]2 = (El - Е2О)/В2О.	(9.6)
Графическое решение уравнения (9.6) качественно представлено на рис. 2. Левая часть этого уравнения в виде кривой /1 (Е^о) = [.и (£ро)£ро|2 изображена сплошной линией, а правая часть/2(^ро) = (^о	-
штриховыми прямыми, соответствующими разным значениям Ео. При малом магнитном поле (рис. 2,а) имеет место единственная точка пересечения кривых /1 и /2, определяющая искомое значение Ер0. При большом магнитном поле (рис. 2,6), начиная с некоторого критического значения £окр, возникают три точки пересечения, дающие три значения Ер0. При этом функция Еро(Ео) становится многозначной. Многозначность греющего поля приводит в результате решения уравнения (9.4) к многозначной зависимости средней энергии (или температуры) электронного газа от электрического поля. Как отмечалось выше, подобную ситуацию следует исключить из рассмотрения.
Как видно из рис. 2, для получения однозначной величины греющего поля необходимо обеспечить выполнение неравенства
дЕ2р0 ЪЕ2р0
Дифференцируя (9.6), получаем это условие в виде
1+ко^о^0,	(9.8)
где
b0 = b(Ep0) = n(EpQ)H0 = peBQ,	(9.9)
Ко = 1 + ^£)	=	(9Л0)
с/1п£	£ = £ро	д(£р0) це
Величины 60 и к о определяются значениями де -ufE и ,ud -dujdE, взятыми из ПСХ в точке, соответствующей статическому греюшему полю £ро
LiKWM образом, требование однозначности греющего поля наклады-unci определенное условие (9.Н) ни параметры полупроводника и величину miiihhihoio пиля. Данное условие можег нарушаться, т.е. возникает многозначная швисимость Аро(Г0) лишь в области ОДП (при хо<0). При >юм минимальное критическое значение магнитной индукции, выше которого нарушается справедливость нашего анализа, найденное из условия I к о I шпд />(| mjn ] t равняется
#*lnin	1/2  1/дг >/ । «о । max-
Для /т-GaAs при ц, =0,25 м2/В с и1 к0 I тах =0,5 получаем ffomin = = 5,7 1л, что превышает реально достижимые значения магнитной индукции.
4.	Перейдем к изучению малосигнальных (дифференциальных) характеристик плазмы н условиях нагрева хлектронного газа. Для этого запишем поля в виде
£ = Е0+£,. Д = До+Д1. Ер«Ер0 + Epi,	(9.11)
где малосигнальные величины (с индексом 1) много меньше статических величин (с индексом 0). Тогда в линейном приближении
(d In д \ Ев. dlnh / е=еР' ЕРо Ер} Ib^KEpo), Vei sVe(€K0-1)	,
Ьро
Ь(Ер) = ц(Ер)В= цеВ0 +(veBl+neiB(t)= Ьо + />,,
д0=де50. bt= цеВ{ + iieiB0.
Подставляя (9.11) - (9.13) в (9.5) и используя равенство писанное для статических величин, после ряда преобразований
Epl _ _5_ Г» +“о X Д,
Еро Eq	t.o
_________
(1 +Ко^о)2 + (2 +/>о — *о)(^о ’Ео )* /^о
Для продольного (Ьо и £о) и поперечного (b01 Е9) замагничивания плазмы вектор Fo равен
Ео (при bo II Fo) ,	(9.15)
—-----— Ео (при bQ 1 Го) •
1 +к о Ьо
Линеаризация уравнения (9.1) дает
и, =дс(£1 +м0 X Я,) + «т X цеВ0 +^~ и<>,	(9-16)
Ue
где u0 =цс(Ео +«о ХГо) - статическая скорость дрейфа, а отношение 57
получаем
(9.12)
(9.13)
(93), заполучаем
(9.14)
ц,\/рг в соответствии с (9.12) и (9.14) равняется
Pel	.	^pi .	, х ° ti+Uo^Bi
--- . ----« (к 0 - 1 ) --- - (к0 - 1) — . ------------
Me Тро	г.р$	Г- О	л о
Подставляя (9.17) в (9.16), получаем
«1 «Д/ •(£, + w0 X Я|)+м, X д0,
где введен тензор дифференциальной подвижности
А	Л	А
да = ре [/ + (к0 - 1 )Л],
(9.17)
(9.18)
-	1	(9.19)
Л = «о^о •
Тензор Л образован диадным произведением векторов «о и Fo.
Выше при записи (9.1) была опушена диффузионная составляющая скорости, так как ее отношение к дрейфовой составляющей имеет порядок малости	1. Это справедливо для полной (постоянной и пе-
ременной) скорости, но, как показано в [20]. малосигнальные флуктуации этих двух составляющих могут быть одного порядка.
С учетом диффузионной составляющей в (8.24) мал о сигнальная скорость (9.18) равняется
их = Д/ • (Ej + Uq X Вх) + их X Ьо - — О, VPi,	(9.20)
Ро
где De = D(Epo). По аналогии с (5.24) решение (9.20) относительно и, можно записать в форме
„	De А
Mi = рВ. • (Е> + и0 X Вх)~ d0-Vpi,	(9.21)
Ро
А
где тензор Ьо получается из (4.5) заменой вектора Ь(Ьх, Ь2, Ь3) на вектор д0(д01, d02>d03), Pj =д0 • pd.OTCioua получаем выражение для малосигнальной плотности тока:
/1 =Po«i + Pi “о = оj ' (^1 + ио х Bi)~De b0 • Vp1 + pi м0>	(9.22)
где
ов = еп0 pB=b0'(id=oe[bQ+ (ко - 1) до Л]	(9.23)
— тензор дифференциальной проводимости с учетом магнитного поля, Od = ел о Pd, °е = еп0 Ре- Л л
Конкретный вид тензоров Л, d0, od и ° j получается заданием расположения поля смещения Еь и магнитной индукции Во по отношению к полупроводниковой пленке (рис. 3). Направим ось z вдоль поля смещения Еь = - е,Еь, в общем случае не совпадающего со статическим полем Ео. Для практических приложений представляют интерес лишь три ориентации магнитного поля по отношению к полю смещения, показанные на рис. 3. Ниже приведен вид тензоров для полупроводниковых структур, изображенных на рис. 3. 58
Рис. 3. I П( с различной ориентацией электрического и магнитного статических 1кшей: без магнитного пола (в); с продольным магнитным полем (б); с поперечным тангенциальным магнитным полем (в); с поперечным нормальным магнитным полем (г)
Структура без магнитного поля (рис. 3, а); во=О.
/ О Л = [ О
\0
О о о
о о
Во
Oj = Оа - ое
1 о о
О
О
1
о
.0
0 \ о .
и0=е.и0, ча=реЕь-, О
О
О\
0 )•
1/
Ко /
Продильно-замагниченная структура (рис. 3, б): Во — е~ Во.
I 0 Л=( О ’ о
0 0 О
£"о	В-ь>
О' о
/ 0
А	1	/
’	“ ТТь'- ~ь°
'★ь°\ о
и0=е:и0. и0=реЕь: Во 1 О
о о

Oj = o,
/ I
о
\ о
О
О
(9.24)
(9.25)
(9.26)
(9.27)
(9.28)
о
о
°е = _____
°d I + h1
I + Do
к0'
—Во
О
1
о
о
о
Ко ( 1 +Ло)
(9.29)
Тангенциа. гьно-замагниченная струк п ра (рис. 3,в):
= ед Во. Ео = еу (-Во Еь) * <• Лл-
(с холловским
полем)
(9.30)
»O=f:Uo. UQ-UeEb'.
59
I /0 ° ° \
Л  ------г I О О О I ’
1 ♦ К° *0 \	. I
\ О -Оо I '
[\ + bl	0	0 \
л 1 I л	.1
*•= Г"5 Р	।	М.
1 +Ь» ' 0	,	1 /
X''	—Dq	I '
О
1
(1 - Ко) Ьо
1 + КО bl
О
О
<6(1 +Ьо)
1 + Ко Ьо
1 + Ко Ьо О
О	|
0	-Ко Ьо
° \ ко Ьо I.
ко /
Нормально-замагниченная структура (с холловским током) ^0 - fy Bq, Eq — Eh - ez E f),
/ Ьо Uq \	/ u0 \
/0 0 ~b0\
A- —------ 10 0 0	’
«^obo\ о о 1 /
1 0	-b0
0 1 + bl о . bo 0	1 /
1 0
Oj = o(- 01
^0 0
(1 - k0' b0 \ 1 + K0 bl 0
K0 (1 +bl)
1 + «о b20 J
/1 o
0 1 +bj \bo 0
1 - Ko (2 +dg)\ ’o-------------
1 + k0 bo
0
k0 + bo
1 + k0 bl
(9.31)
(9.32)
(рис. 3, г):
(9.33)
(9.34)
(9.35)
60
оэффициент анизотропии к0 -ца1це и величина Ьо = Во вычисляются Из ПС в точке, соответствующей эффективному греющему полю E_q. Нетрудно убедиться, что в первых трех случаях Е-о = Еь, т.е. поле смешения /:Л непосредственно задает ’ рабочую’’ точку на ПСХ. Это вызвано совпадением направлении Mq и £ь. Лишь при нормальном замагнмчивании пленки в результате появления холловского тока проекция £„ на направление ио уменьшается и равняется величине Е^ ’Е^ТТьр.
Тензор аа учттываст нагрев электронного газа в хлектрическом поле И В отсутствие его (при х* « 1) принимает обычную форму, при этом
я Приведенные выражения для о/ совпадают с аналогичными формулами, полученными в [28. 29| (1ругим способом.
Таким образом. н условиях нагрева и при наличии магнитного поля дифференциальные (мячосигиальные ) характеристики плазмы станов ят ся текзор»<ы*в1. Это позволяет говорить о навепенной статическими полями анизотропии электрических свойств полупроводников (25) (в пополнение к структурной анизотропии, вызванной тензорным характером эффективной массы и времени релаксации импульса, которой в данном рассмотрении пренебрегаем)
г л \ н \ ?
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ НОЛИ
В ПЛАЗМЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Основная задача данной главы обсуждение применимости kuiiiki.i тичееких прмбтнжснин к ам&лип распространения медленных волн. нзу'и мне особенностей волнового процесса в безграничной плазме но ivnponoa-инков и введение эффективных параметров пн многослойных пассивных сред.
Ниже обоснован переход к кназистатическим приближениям нулем пренебрежении в уравнениях Максвелла токами смешения (магнитным или электрическим).
Переход к квазистатичееким приближениям приводит к уравнениям квазизлсктростатического или кващмагннтостагического приближении, которые описывают медленные волновые процессы соответственно электрической (зарядовой) или магнитной (токовой) природы.
Разделение волновых процессов в плазме на быстрые вихревые (с фазовыми скоростями, близкими к скорости света в среде) и медленные квази-статические (с фазовыми скоростями. близкими к скорости дрейфа носителей) позволяет получить достаточно ясную физическую картину распространения волн в плазме полупроводников.
Ниже изучены особенности распространения трех типов ноли в неза.маг ничейной плазме. два из которых соответствуют быстрым вихревым I. */• и LI -волнам, а один медленным квазистатичееким волнам пространственного заряда (ВПЗ). распространяющимся преимущественно вдоль дрейфа носителей. Из-за большого различия фазовых скоростей эти волновые процессы существуют практически независимо друг от друга в объеме плазмы, не связываясь в том числе и на ее границах, параллельных направлению дрейфа носителей.
Полупроводниковая пленка является основной частью тонкопленочных полупроводниковых структур (ТПС) разных типов.
Многообразие различного рода слоистых сред, внешних по отношению к полупроводнику, делает эти структуры настолько несхожими друг с другом. что кажется невозможным получить общее по форме дисперсионное уравнение, применимое для тонкопленочных полупроводниковых структур разных типов.
Общность анализа волновых процессов в различных многослойных структурах достигается введением эффективных дипектричес-ких и магнитных проницаемостей хая любой слоистой пассивной среды. Эти эффективные параметры войдут в общей форме в дисперсионное уравнение, одинаковое по структуре для ТПС разных типов.
62
§ । Вихревые и квазистатические решения Уравнений Максвелла
В рамках макроскопической
процессы в любых средах вк лти Тродинамики Н~4] электромагнитные каются уравнениями Максвелла:	"олУ,,Р°воДниковую плазму, описи-
V X £i = -/w/?,.
VX Я, =/соЯ, + /.
г- -	d-2)
V ' D । ~ р 1,
(1.3) V В\ =0,
(1.4)
Г lt	вектоРЫ электрической и магнитной индук-
ци У Р° никовои среде с диэлектрической С| и магнитной Pi проницаемости ми решетки, р1 и / , — плотности заряда и тока, созданные движением носителей в полупроводнике (включая в случае необходимости сторонние источники) и связанные между собой уравнением непрерывности (1——6)- то уравнение неявно присутствует в уравнениях Максвелла, в чем можно убедиться, взяв дивергенцию от (1.2) с использованием (1.3).
В уравнениях (1.1)	(1.4) и далее повсюду индекс 1 имеет двоякий
смысл. Во-первых, он характеризует малосигнальные приращения всех физических величин к их невозмущенным (статическим) значениям, отмеченным индексом 0. Во-вторых, он относится к полупроводниковой пленке, входяшей в состав многослойной ТПС, с нумерацией последующих пассивных слоев 2,3 и т.д. в порядке их удаления от поверхности полупроводника; при этом индексы 2.3 и т.д. также имеют .малосигнальный смысл.
При решении граничных задач, связанных с распространением электромагнитных волн в средах конечных размеров (включая многослойные структуры), уравнения Максвелла дополняются электродинамическими граничными условиями (ЭГУ) вида [3.4]
X Е, + п2 X Е2 = 0.
хя1 + л2 хя2 = /'
• Pi + л2 d2 =
' В i + fl2 ' В2 = 0,
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Л|
Я1
«i «i
где индексы 1 и 2 отмечают значения векторов поля, взятые на разных сторонах граничной поверхности, характеризуемых единичными внутренними нормалями ил2, направленными соответственно в глубь полупроводника и смежного с ним диэлектрика. В 31 У (1.5)	(1.8) включены
лишь электрические поверхностные заряды р' । и токи/п, созданные движением носителей в пограничных слоях полупроводника.
Волновой процесс в полупроводниковой плазме сопровождается в общем случае как вихревыми (£1<г и Я1Г). так и потенциальными (£)	= Г^|) полями, так что полное электромагнитное поле представ-
ляется в виде [3-5]
£,=£•, <.-Vs5i, Я1 “Я
где
(1.9)
= 0, VZ/j.r'O.
(1.10)
63
Дня сред с магнитными свойствами (6, 7] магнитное поле Ht в (1.9) как и электрическое поле £,, содержит в общем случае потенциальное слагаемое	Г</1( связанное с существованием скалярного магнит-
ного потенциала ^|, анало> ичного электрическому потенциалу и. Условия (1.10), накладываемые на вихревые поля (выполняющие роль кулонов с кой калибровки Н|), приводят в общем случае к уравнениям Пуассона для скалярных потенциалов H^It порожденных электрическими р' и магнитными р™ зарядами (или к уравнениям Лапласа в отсутствие последних). Поэтому потенциалы и^] при выполнении условий калибровки (1.10) являются нединамическими [3]. а квазистатически.ми потен циалами, не учитывающими эффекты запаздывания.
Вихревые электромагнитные поля существуют в любых средах (включая вакуум), характеризуемых феноменологическими параметрами е, д, о. и для их описания не требуется никаких уравнений в дополнение к вихревым уравнениям Максвелла (1.1) и (1.2). Такие среды будем называть пассивными.
В отличие от этого, потенциальные поля, порожденные квазистатически-ми потенциалами 4>\ и v i. возникают в результате действия специфических для данной среды сил взаимодействия (например, поле пространственного заряда в полупроводниковой плазме и вакуумных хтектронных потоках, поле пьезоэффекта в пьезоэлектриках, обменное поле в магнетиках). Во всех этих случаях, наряду с вихревыми электромагнитными волнами, распространяются квазистатические (потенциальные) волны, специфичные для данной среды (волны пространственного заряда, пьезоэлектрически активные акустические волны, спиновые волны). Такие среды будем называть активными средами1).
Для описания активных сред в дополнение к уравнениям Максвелла требуются уравнения движения среды, позволяющие связать ее поляризационный отклик с полями £i и . Эта связь может носить либо локальный (в общем случае анизотропный) характер, либо нелокальный характер.
В первом случае свойства среды учитываются в уравнениях Максвелла с помощью характеристик e(u>), p(w) и о(сд), отражающих всю специфичность внутренних процессов в среде. Зависимость этих характеристик от частоты о» принято называть частотной дисперсией [8].
При нелокальных эффектах появляется дополнительная зависимость этих характеристик от волнового вектора А. называемая пространственной дисперсией [8). Появление пространственной дисперсии однозначно вызвано нелокальной связью между полями и откликом среды на них. выражае-
1 * Следует обратить внимание читателя на многофункциональное использование термина "активный” в технике и физике. В электротехнике активными сопротивлениями называются элементы схемы, потребляющие (диссипирующие» энергию. В противоположность этому в электронике под активными элементами понимают электронные приборы, способные генерировать или усиливать энергию колебаний, в отличие от пассивных элементов схемы, предназначенных для линейного преобраэо вания или передачи сигнала (в общем случае с диссипацией энергии). В физике ср£ды с гиротропными свойствами принято называть оптически активными (8. 9| или магнитоактивными [5 |.
С электродинамических позиций при разделении полей в среде на вихревые и потенциальные удобным представляется определение активной или пассивной среды в указанном выше смысле.
f-4
мои < помошки |11<|>||и р, ипи.1 льных уравнений (в дополнение к «лектроди нямичньим у равнениям <1 I) (14)). Это повышает общий порядок днффк pt hi ъных уравнений, описывающих волновые процессы и средах с пространственной диспепсией i
'	' Последнее при решении граничных чадам
неизбежно втечет за собой тпрд*»»	’
реоование дополнительных (к электродинамическим) граничных условий
Проблема донолнии льных граничных условий (ДГУ) возникает всегда при изучении физических процессов в материальных средах различной природы, но о тязатслыю обладающих пространственной дисперсией, т.е. в (.рсдах i нелокальным поляризационным откликом на возмущающее поле. Известным примером Д1 У являются обменные граничные условия для вектора намагниченности на поверхности магнетиков [6, 7]. Эти условия необходимы только при учете нелокальных обменных эффектов, лежащих в основе распространения спиновых волн в тонких магнитных пленках [7].
Наибольшую разработку проблема ДГУ получила в кристаллооптике при изучении экситонного поглощения света [8. 9]. Нелокальносгь поляризационного отклика на электромагнитное поле световой волны в кристаллах с пространственной дисперсией повышает порядок дисперсионного уравнения. Новые корни дисперсионного уравнения, порожденные нелокальным эффектом, были физически интерпретированы как добавочные световые волны [9]. Их роль проявляется вблизи резонансных частот экситонного поглощения. Решение задачи об отражении и преломлении света в присутствии добавочных волн неизбежно требует новых граничных условий (в количестве, равном числу добавочных волн) в дополнение к электродинамическим. Эти ДГУ в кристаллооптике были выведены на основе макроскопического рассмотрения (из феноменологического уравнения движения поляризации с учетом пространственной дисперсии) [8|, а также получили микроскопическое обоснование (исходя из уравнения Шредингера) [9).
Для дрейфовых потоков носителей заряда в полупроводниках проблема ДГУ возникает в связи с учетом влияния диффузии горячих электронов, как нелокального эффекта, на распространение зарядовых (электрических) неоднородностей в плазме полупроводников. Здесь роль добавочной волны играет "диффузионная” волна, появляющаяся в дополнение к волнам пространственного заряда, имеющим "сносовую" природу (см § 4). ДГУ для моделей жесткой и квазисвободиой границы дрейфового потока носителей впервые были получены автором [10].
Совместное решение уравнений Максвелла и уравнений движения среды (кинетических или динамических) при соответствующих ЭГУ и ДГУ дает физическую картину единого волнового процесса в среде. В общем случае он представляется в виде связанных вихревых и кваэистатических полей, сопровождающихся характерными для данной среды пространственными неоднородностями (типа зарядовых и температурных неоднородностей в плазме или пространственных неоднородностей в распределении намагниченности магнетика). Как правило, решение общей системы уравнений представляет серьезные математические трудности, особенно при статическом замагничивании плазмы. Поэтому часто идут по пути упрощения, применяя кваэистатические приближения. К этому еще имеется побуждаю-< Д > Г.	65
а.д. Ьарыбнн
тан причина  нидс практического интереса к кназистатичсским (потенциальным) волнам и тонкопленочных структурах как основы для создания функциональных устройств интегральной микроэлскроники СВЧ [II, 12). Вызнано ло 1см, чю, в отличие от вихревых электромагнитных волн (с длинами, и «меряемыми сантиметрами и миллиметрами в СВЧ диапазоне). ква «истаотческие процессы являются настолько замедленными по отношению к скорости света в среде, что длины их волн составляют десятки и единицы микрометров [12].
Н макроскопической электродинамике уравнения квазистатических приближений получаются из уравнений Максвелла в результате пренебрежения магнитным или электрическим токами смещения. Ниже покажем, что при этом заведомо возникают медленные волны (Уф-<С1) соответственно электрической (зарядовой) или магнитной (токовой) природы.
Для проводящих сред в зависимости от соотношения между частотой процесса <*> и обратным максвелловским временем релаксации ти уравнения Максвелла дают три предельных случая, соответствующие разным физическим ситуациям.
ытм > I (при ое <со€|). Здесь ток проводимости аеЕ\ мал по сравнению с электрическим током смещения /coefj, что соответствует диэлектрической среде с малыми потерями. Такая физическая ситуация в дальнейшем рассматривается как предельный случай общей ситуации при сотм * 1.
ытм * 1 (при ае ascofj). Здесь ток проводимости и электрический ток смещения сравнимы по величине, так что процессы описываются полной системой уравнений Максвелла (1.1) — (1.4). Ниже будет показано, что пренебрежение магнитным током смещения iupiHi в уравнении (1.1) дает квазиэлектростатическое приближение. Оно соответствует распространению в среде медленных квазистатических волн, порожденных зарядовыми неоднородностями в плазме и носящих разные названия: волны пространственного заряда (ВИЗ), волны носителей заряда или волны электрон ной плотности. Наряду с ними в этом случае существуют также быстрые вихревые электромагнитные волны (ЭМВ), возмущенные присутствием носителей заряда.
< I (при ис > cofj). Здесь можно пренебречь электрическим током смещения в уравнении (1.2). Это соответствует квазимагнитостатическому приближению, описывающему процессы в сильно проводящих средах. Именно в этом приближении строится классическая теория скин-эффекта [2, 4[.
Ниже будет показано, что в этих условиях невозможно существование зарядовых неоднородностей (Pi ^0) и электромагнитный процесс носит вихревой характер. При этом, наряду с обычными ЭВМ ’’скиповой” природы [2, 4], в замагниченной плазме могут распространяться медленные волны, порожденные существованием магнитной силы Лоренца (типа геликонных волн), которые собирательно будем называть магнитоплазменны-ми волнами (МПВ). Данный случай допускает распространение температурных волн в горячей плазме в условиях их существования (тд/ **» ге) • Однако мы исключили их из рассмотрения в настоящей монографии.
66
s 2. Уравнения кназиэлектроетятмческогп приближения
Покажем, что н утопиях пренебрежения магнитным током смешения ” уравнении(I I) волновой процесс является сильно замедленным(иф< с,) и имеет «лсктричсскую природу в том смысле, что плотность запасенной электрической икни ни w, - е, /< ’/2 много больше плотности магнитной энергии н м - р| «I/2. Для этого произведем оценку членов в (1.1) и (1.2), записанных в форме
ik X £| - »о»Д| Я, = 0,	(2.1)
ik X Н} + koejfi + /, =о,	(2.2)
соответствующей волновому множителю в виде ехр [/(со/ - к г)].
Как видно из (2.1), пренебрежение магнитным током смешения /п'м = = |'ШР1 Я| означает выполнение неравенства
I / см I = I * I < I - ik X Е, I = IV X Ех |.
Отсюда следует мял ость отношения
1/см I______Цф Z0Z/j	, ч
IVXFil *Eilsin0£| 4 «ли	- <|sin0£| <1,	(2.3)
где Zo = х/д i /^i — волновой импеданс полупроводниковой среды (без учета подвижных носителей заряда), иф = ш/к — фазовая скорость волн, распространяющихся под углом 0Е к направлению поляризации электрического поля Et.
В отличие от (2.1), в уравнении (2.2) все слагаемые одного порядка малости в условиях квазиэлектростатического приближения (в том числе ток /1 и электрический ток смещения /см = *toei£’i). тогда
1/см1	^ше>£*^иФ	УФ
-----------------—------------- ~ 1 или ----- ~---- ,	(2.4)
IV X Н, |	кНх с, Z0Ht	Ех Ct
где учтено, что, согласно (1.4), к Нх =0.
Подстановкой (2.4) в (2.3) приходим к искомым соотношениям:
< I sin 0F |< 1,
(2.5)
wm_ Pi^i
< I sin дЕ I <
\ Et /
Чисто электрическая природа квазиэлектростатического волнового процесса позволяет при его описании полностью исключить из рассмотрения магнитное поле Их. Во-первых, вместо вихревого уравнения Максвелла (12), содержащего //|, следует брать эквивалентное ему при учете (1.3) уравнение непрерывности (1.2.26). Во-вторых, в выражении (1.9.22) для /i можно опустить//| в силу оценки
IUqX^|//||	ПоД|//| «о ZqHi Uq 1>ф
IЕ11	к । с । А । с । с ।
(26)
67
Следовательно, в кваэизлсктростзгическом приближении плотно )|( тока записывается в виде
h “Ро"| +р|Ио • »!! ‘^i -0е*о • Vp, + p|W(),	(2.7)
где тензоры Oj и Ьо приведены п формулах (1.9.24)	(1.9.35)
Следует иметь в виду, что исключение из рассмотрении магнитного поля Х/| не означает его полное отсутствие. Более того, магнитное ноле вне полупроводниковой пленки, созданное полным током в пленке, мож<*г быть достаточным для обеспечения магнитной связи ее с внешними си< темами. Величина Н। легко восстанавливается из (1.2) после решения квазистатичсской граничной задачи для ВИЗ.
Таким образом, в условиях квазизлектростатичсского приближении, выражаемых неравенством (23), магнитный ток смешения	яв-
ляется величиной более высокого порядка малости по сравнению с ротором вектора £’|, для которого справедливо приближенное уравнение
VX£, «*0.	(2.8)
Это уравнение вместе с (1.3) описывает потенциальное электрическое поле Et	порожденное переменным зарядом рх и подчиняющееся
уравнению Пуассона
= Р1/с, .	(2.9)
Квазистатические (потенциальные) волны пространственного заряда (ВПЗ) получаются в результате совместного решения уравнений Пуассона (2.9) и непрерывности (1.2.26) с учетом ЭТУ (1.5) и (1.7). Первое из них (1.5) обеспечивает на границе потока носителей непрерывность потенциала
<Pis<Pa,	(2.10)
а второе (1.7) — разрыв его нормальной производной поверхностными электрическими зарядами
61 ——	62 ~ “РгЬ	(2.11)
Эл	Эл
где производные берутся по направлению внешней нормали л = -пх - п2 к поверхности полупроводника, а индексы 1 и 2 относятся соответственно к полупроводнику (€|) и граничащему с ним диэлектрику (е2).
Поскольку ВПЗ в силу своей несоленоидальности (р2 *0) подвержены влиянию диффузии, то их анализ, помимо ЭГУ (2.10) и (2.11), требует задания ДГУ на границе потока носителей.
§ 3. Уравнения квази магнито статического приближения
В квазимат цитостатическом приближении пренебрежение электрическим током смешения приводит (1.2) к виду
ГХЯ,*/,.	О-1)
Взятием дивергенции от (3.1) получаем
V /i *0,	<3 2’
т.е. плотность тока является солено и дал ьным вектором. Из сравнения 68
этсктри-ксХ'гок'ом "м'ХХиТХа I'	'"° ПР“«6|»«"И'
Следовательно, корректная лостаХТ^^ ”₽,Ш приближении требует пренебрежения объемным тарном" ческих уравнениях.	зарядом
Таким образом, квазимагнитостатический волновой
Да1Т! .	. ДаПЬНЫМИ Т(>ками в сильно проводящей
задачи в квазимагнитостатическом во всех динами-
процесс по рож-_ ____ __________________________ „________,_ среде в отсут-
ств**е *’ Р® в*’*х заР^°В- В этих условиях электромагнитные процессы описываются уравнениями (1.1), (1.4), (3>]) и (32). Пренебрежение электрическим током смещения математически эквивалентно нулевой диэлектрической проницаемости среды (е; =0). По этой причине уравнение V • £| -- Д| /в) нс работает” в квазимагнитостатическом приближении, так как имеет в правой части неопределенность типа — . Электрическое поле Е\ (имеющее в том числе и продольную компоненту вдоль волнового вектора А) находится из других соотношений, рассмотренных ниже. Покажем, что в квазимагнитостатическом приближении волны всегда являются сильно замедленными (Уф < cj) и при определенных условиях распространения имеют магнитную природу (в том смысле, что wM > и/а). Для этого по аналогии с предыдущим параграфом оценим члены в уравнениях (2.1) и (2.2).
Пренебрежение электрическим током смещения /£м=/сое|£| в уравнении (2.2) означает малость отношения
1/см ।	1	МФ	j	(3 3)
IVX/7, I кНх сх ZoHt
В условиях квазимагнитостатического приближения оба слагаемых в (2.1) одного порядка, тогда
1/см ।	уф Z0Ht j
I V X £,1 kb\ | sinflf I fi Ь\ j sin0£-1
или —— I sin0f I	(3.4)
Z0Hi	d
Подстановкой (3.4) в (3.3) приходим к неравенствам
/ Уф V
—1 < | sin 0FI< 1,
\Ci /	(35)
% _ €1^1 = / Е\ V 1
*м	\ ZOHX / I sin 0^1
Первое из неравенств (3.5) показывает, что в условиях квазимагнито-статического приближения, выражаемых в виде (3.3), распространяющиеся волны всегда являются сильно замедленными по сравнению со скоростью света в среде. Из второго неравенства (3.5) видно, что эти волны имеют магнитную природу (н-м ► и-э) только при такой поляризации электричес-КОГО поля Г,, при которой I sin Oft -1. те. К, 1 *. В противном случае
6»
ВОПИМ сохраняют электрг>магиитиую природу (w3 *wM) паже в пренебре-женин электрическим током смешения.
1аким обратом, кватимагнигостатическое приближение соответствует 1лвой физической ситуации, при которой в среде с высокой проводимостью протекает оолсноидальный ток, создающий вихревое магнитное поле, а переменный заряд и силу соотношения wrw< I ’’рассасывается” за счет upon тдимости сре;ты та время ту, малое по сравнению с периодом поля 2я/(*з. Именно такая ситуация существует при скин-эффекте, когда переменное мат ииткое, ноле проникает в проводящую среду на глубину скин-слоя I  х/Т/оэд।|2,4|, ’’Скиновое” решение с волновым числом к % *16 соответствует сильно замедленной ЭМВ с фазовой скоростью Оф * *с'1	< С|. Волны, порожденные скин-эффектом, будем называть
’’скиповыми” волнами,
В отсутствие статического магнитного поля (Во=О) ’’скиновое” решение (возмущенное дрейфом и разогревом электронов) является единственным решением квазимагнитостатического приближения. При этом электрическое поле является чисто поперечным 1 А), т.е. "ски-новая” волна в отсутствие магнитного ноля имеет магнитную природу 0% > и/,).
Статическое заматничиванис плазмы, во-первых, изменяет природу ’’скипового” решения, оно становится электромагнитным (h’,=»vm), и, во-вторых, порождает новое ’’плазменное” решение. Последнее вызвано появлением магнитной силы Лоренца, которая играет в колебательном процессе роль возвращающей силы аналогично кулоновской силе при плазменных колебаниях (р| #=0). Соответствующие этому решению медленные низкочастотные (о>< тм' ) волны в замагниченной плазме будем называть магни голлизме иными волнами (МПВ). Известным примером МПВ являются геликонные волны в продольно-замагниченной плазме 113] - Следовательно, в общем случае решение уравнений квазимагнитостатического приближения дает совокупность ’’скиновых” и магнито-плазменных волн, сня <анкых в единый волновой процесс.
В противоположность квазиэлсктростатике при описании квэзимаг-цитостатического волнового процесса можно исключил» из рассмотрения электрическое поле £|. В данном случае (при р( ~0) плотность тока с помощью (1.9.20) записывается в виде
/| “ РиН । ~ ' (^1 + X Мi) +/1 Рс^о»	(3.6)
где роД</ и тензор определен в форме (1.9.19). Можно убедиться, что в этом выражении в противоположность (2.6) нельзя пренебречь электрическим полем £>, т.с. электрический и магнитный вклады в ток соизмеримы
Подставляя (36) в (3.1) и вычисляя ротор от обеих частей уравнения, после ряда преобразований с учетом (1.1), (1.4) и (3.2) в отсутствие статических неоднородностей (ое,и0 и Вп = const в пространстве) получаем уравнение
V2 И \ + (р£. В()  V) (V X Н \) — р । ое (i и + u0 • V । “
-(I -xo)orVX [,V(£t + ir0 Xp.//,)].	(3.7)
л	1
Вид тензора A = и»F0lpef-.'o для конкретных структур, изображенных на рис. 3, приведен в формулах (1.9.24) - (1.9.35).
70
Правая часть (3 7) учитывает нырев носителей в мантрическом поле с пометы»’ коэффициента анизотропии к 0 В отсутствие нагрева (к о * I) волновой процесс полностью описывается уравнением (3.7), содержащим лишь магнитное поле //( При учете наг рева (к0 I) электрическое поле , вхоляшес в правую часть (3.7), необходимо выразить через //, Для лого воспользуемся выражением (1.9,22), которое при рх = О принимает форму
X д,//,),	(3.8)
А»
где вид тензора 'VIя структур, изображенных на рис. 3. приведен в формулах (1.9.24)	(1.9.35). Тогда (3.1) и (3.8) позволяют выразить
через компоненты Н х и их производные. В результате этого электрическое поле оказывается полностью исключенным из рассмотрения и волновой процесс описывается двумя независимыми компонентами вектора Нj (в силу V И, = 0).
При решении граничных задач в квазимагнитостатическом приближении используются । раничные условии (1.6) и (1.8). наложенные на компоненты магнитного поля В отсутствие поверхностных токов (/$i = 0) непрерывность касательных компонент 7/( приводит к непрерывности нормальной компоненты
(VXWj)„»/1W.
Следовательно, получаемое в квазистатическом приближении решение для Я। автоматически обеспечивает исчезновение нормальной компоненты плотности тока (я -jx = 0) на границе полупроводника с диэлектриком при =0[2].
Существование поверхностного тока (/£ > ¥= 0) создает в соответствии с (1.6) разрыв Н\т, а вместе с ним л/,	0. Поверхностный ток на гра-
нице полупроводника может возникать в двух случаях; во-первых, при идеальной металлизации поверхности полупроводника и, во-вторых, как результат сильного скии-эффекта, при котором толщина скин-слоя (отли-чаюшаяся в общем случае замагниченной плазмы от величины s = х/2/юд , о,.) много меньше длины магнито плазменной волны. В последнем случае магнитоплазменная волна ’’воспринимает” скиновую волну как поверхностный ток (см. § 7.6).
При наличии электрических поверхностных источников (заряда р\х и тока;fi) нормальная компонента объемного тока п jx ’’питает” их в соответствии с общим граничным соотношением
я 71	/ы •
Это соотношение будет получено в следующей главе из уравнения непрерывности (1.2.26) как результат предельной математической операции. В условиях квазимагнитостатического приближения, когда отсутствуют объемные заряды (Pi ^0), применение аналогичной предельной операции к уравнению (3.2) дает граничное соотношение
»7i*v,./',.	(3.10)
Из сравнения (3.10) с (3.9) следует, что физически непротиворечивая ситуация, соответствующая кназимагнитостатическому приближению, требует пренебрежения поверхностными зарядами (p‘ti ^0). Поверхностные токи, существующие на границе полупроводника в отсутствие новерхност-
71
ногб заряда, поддерживаются нормальной компонентой объемного тока п /i *0. Таким образом, физически корректное квазимагнитостатичес|со1 решение получается в пренебрежении как объемными, так и поверхностны ми зарядами [2] . В результате этого для решения граничных задач поста точно □I'y (1.6). (1.8) и необходимости в 11.ГУ нс возникает.
Следует обратить внимание на разную физическую природу продольною (к направлению распространения волны) электрического поля, возникаю щего в условиях квазиэлектростатики (в слабо проводящей среде) и ква зимагнитостатики (в сильно проводящей среде). В первом случае это пол» порождается пространственным зарядом в среде (Pi /0). Во втором с.чу чае оно появляется по прямо противоположной причине для обеспечения соленоидхльности тока (Г-/| = 0) в сильно проводящей среде Наиболее явно это проявляется в случае пренебрежения нагревом электронов (к 0 = 1). когда Oj =1ие. Тогда на основании (3.6) условие соленоидальности тока имеет вид
к ц = се(к • £|) +	• (к X м0 ) - a(.ut • (Л X ) = 0.	(3 J1)
Отсюда видно, что продольное электрическое поле может возникать (к Е} =#0) в тех случаях, когда волна распространяется пол углом к направлениям скорости дрейфа и0 или магнитного поля /?о.
Полагая
Мо=^«<о, В0=евВ0,
из (3.11) получаем
к  Е\ = В0(к X ев) иi - и0(к X е:) • д1Я1.	(3.12)
Таким образом, продольное электрическое поле в квазимагнитостатическом приближении появляется хля компенсации вкладов в величину к ii, создаваемых магнитной силой Лоренца, которые нарушают соленоидальность тока. В отсутствие дрейфа носителей (м0 = 0) и замагниченности плазмы (Во = 0) продольное хлектрическое поле не возникает.
Сопоставление двух квазистатических приближений позволяет сделать следующее заключение. В отличие от квазимагнитостатического приближения (справедливого при ыти< I) квазиэлектростатическое приближение вводится при самых общих физических условиях (сот w * 1), описываемых полными уравнениями Максвелла без пренебрежения токхми смешения. В обоих приближениях единый волновой процесс в плазме представляется как совокупность двух связанных процессов рахтичного происхождения-электромагнитного (быстрые вихревые ЭМВ в квазихлектростатике и медленные вихревые волны ’’скиновой” природы в квазимагннтостзтике) и плазменного (медленные ВПЗ в квазиэлектростагике и медленные МПВ в квазимагнитостатике). Следовательно, переход от общих физических условий квазизлектростатического приближении к частному случаю квази-магнитостатического приближения для сильно проводящей среды, во-первых. замедляет вихревые ЭМВ. превращая их в "скиновые" волны, и. во-вторых, принципиально трансформирует природу плазменных волн. Последнее вызвано тем. что при ~ 0 исчезают кулоновские силы, ответственные за распространение ВПЗ. а их функцию принимает на себя магнитная сила Лоренца. обеспечивающая распространение МП В.
>2
§ 4. Вихревые и квазмстатические волны и ислама гни чей ной плазме полупроводников
Рассмогрим особенности полупроводников с учетом электрическим нолем.
Ра<-пространсним волн в беэГраиичН0й плазме Дрейфа носителей и их нагрева статическим
тапяда pi и токз'Г'^с 'п'OIU4u’' 11 1юлупронодниковой среде с плотностями коХые H3B«t?mL‘ Л™СЬ,ВаЮТСЯ УР«в»^ямн Максвелла (1.1)	(1.4),
уравнения Гельмгольц?' '	M°*H° пРсобРаэовать * Форме неоднородного
V3£i +М Fi “iwPi/i +Vp,/ell	(41)
где = о) s/е"» д Г = co/i‘i волновое число среды с проницаемост ями е । и д,. Величины Pi и /, связаны между собой уравнением непрерывности (1.2.26),а именно
iwpi+V./,=0.	(4.2)
Плотность тока /| имеет обпгую^ <Ьорму (1.9.22), в которой для незама! ниченной плазмы тензоры Ло ио* = д, равняются (1.9.25) и (1.9.26). Из соотношения (2.6) следует, что I £*> I > | ц, X д, I не только для медленных квазистатических ВПЗ (когда ~ и0 < а ), но и для быстрых вихревых ЭМВ (когда Нф~с1). Это позволяет пренебречь магнитной частью силы Лоренца как имеющей порядок малости uo/fi I по сравне-нению с ее электрической частью и записать (1.9.22) в виде
Ji =Ои Ei -DcVpt +piM0.	(4.3)
Запишем уравнения для компонент электрического поля Е1х,Е1у и Ь\х. подставляя (4.2), (4.3) и (1.9.26) в (4.1):
V’tfix	+ А-?	i — t —	\	1 )^lx =	 /	<1	1 -	f ua	У GJ		, I Эр,
		\	gj			\ 61	/	Ш[)	I bx	6i dx
		1 -1	 co /	1 [ £iy = — 1 1	-I	f »o^ < Ct )	3 1 J	Эр i 	 by	(4.4) 1 Эр, fi Э.у
(4.5)
Uo V w	1 dpi
)	Pi 35------—,
fi / 6i«0	dz
(4.6)
гдек0 =	- коэффициент анизотропии (см. § 1.9),
“ Oel^l = CH0Uelti	(4.7)
максвелловская частота релаксации и
“и е uJ/Dr	(4.8)
’’диффузионная” частота [ 14|. Поскольку для реальных полуг.роводни-
73
ко» » диапазоне СИМ имеем а> £ и)п 11 2, 14], то в (4.4)	(4.6) прибли-
женнме рлвснс111й записаны в силу ип <<,.
И' <|н’\ уравнений (4.4)	(4.6) независимыми являются любые два.
гак как компоненты вектора Е| связаны уравнением (13).
Подставляя (4.3) п (4.2) и используя (1.9.26) и (1.3), приходим к уравнению для плотности заряда
.	Э^1а
/Э,Г’р| -(*о V)P| ~(ьиА/ +М/>1 *-(1 -*о)°е —— ‘	<4-9)
Гяким образом, для незамагниченной плазмы о качестве независимых динамических переменных удобно выбрать, например, ktx. Elt и р}, связанные между собой уравнениями (4.4), (4.6) и (4 9). Эти уравнения применимы в общем случае для описания волновых процессов как в без-грвничной плазме полупроводников, так и в тонкопленочных полупроводниковых структурах (ТПС). Полагая зависимость от координат в виде ехр(—/А • г) = схр|-/(*хх ♦ куу + V)], записываем эти уравнения в ал-। ебранческон форме
(к1	(4-10)
(*3 -п,1 )eiк11 • ik.Pi,	(4-11)
(^ ‘ “ *7f))Pi e_,^’s(l ~ Ko।(4-l-)
где введены обозначения
к1 = к} +к* + к} =	+ к?,	(4-13)
г?’ в П3 « п3 = М( 1 “	•	(4-14)
nra“^(l-/xo4wM.	(4-15)
^=Sol>*, -(I’m ♦«.>!•	<416>
(1. = w/«o. 0^ я ы^/Uo = oeftlu,, fD= toD/uo = Ua!Oe. (4.17) Из (4.10)-(4.12) получаем характеристическое уравнение
(*’ -п1Ж*2 -П?)(*2 -пЬ)-(1 -*о)Мо^] =0.	(4.18)
Прежде чем анализировать (4.18), уточним терминологию в отношении классификации типов волн, которой будем придерживаться в дальнейшем. По отношению к направлению распространения волны (в безграничной плазме или в ТПС) в соответствии с общепринятой классификацией [3] будем различать волны ТЕИ-типа (отсутствуют продольные компоненты векторов Е| и Hi), ТЕ-типа (отсутствует продольная компонента вектора Ei) и ГМ-типа (отсутствует продольная компонента вектора Hi). Наряду с этим, будем классифицировать волны по отношению к направлению дрейфа носителей (в данном случае совпадающему с осью z) следующим образом1): LE-волны (продольно-электрические), в которых £12	0, НХ1 = 0; £Л/-волны (продольно-магнитные), в которых Н i: ^=0,
Eu а 0.
1) Использованная классификация отличается от LE- и I.V-воли в волноводах с
пассивным диэлектрическим заполнением [15].
74
Такая классификация будет относиться только к быстрым вихревым ЭМВ, тогда как мелюнные ветви волнового процесса, соответствующие квазистатичсским волнам, будем выделять как самостоятельные, в частности, в виде ВПЗ,
В зависимости от направления распространения волны по отношению к дрейфу носителей /,Е- и LM-волны по своей структуре могут соответствовать волнам ТЕМ-, ТЕ- или ГАЛтипов В частности, при распространении в направлении, совпадающем с направлением дрейфа LE- и ЛЛ/-ВОЛ-ны являются соответственно волнами ТМ- и ГЛ'-типов.
Характеристическое уравнение (4.18) распадается на два независимых уравнения:
Л2-т?х = 0,	(4.19)
(*’ -T}j)(k2	=	(4.20)
Нетрудно видеть, что (4.20) получается из условия существования ненулевого решения системы уравнений (4.11) и (4.12) вне связи их с (4.10).
Покажем, что (4.19) описывает вихревые £Л/-волны, в то время как (4.20) распадается на две слабо связанные ветви, соответствующие быстрым вихревым LE-волнам и медленным квазисгатическим ВПЗ.
Вихревые LM-волны. Характеристическое уравнение (4.19) соответствует такому волновому процессу в плазме, при котором Р\ = 0 и Е\- = 0. Действительно, подстановка (4.19) в (4.10) дает Pj = 0, а тогда из (4.11) или (4.12) получаем Е1г = 0. Следовательно, £М-волны являются соленоидхльными (Р) = 0) и описываются уравнением (4.4), принимающим вид
V’£lx+т?2£1х =0.	(4.21)
Компонента Е1у связана с Е1Х соотношением
_ 0
дх ду
(4.22)
получающимся из (13) при Р] = 0 и £1г = 0. Магнитное поле = = (//u>P))(V X £\) имеет в общем случае все три компоненты, равные
_	1	д/. !>•
О I t-------- -----
topi dz
i / дЕ i..
Я,г--------л
o>Pi \ Эх
Характеристическое уравнение (4.19), переписанное с помощью (4.14) в виде
i ЬЕ1х ">У = ----- —-
GJ Pi dz
Л ду /
I —
(4.24)
нс содержит к0. и0, Dr и учитывает лишь статическую проводимость среды ое. Это означает, что LM-волны не ’’чувствуют” анизотропии дифференциальной подвижности (kq), дрейфа (п0) и диффузии (£)г) носителей. Присутствие носителей приводит к чисто резистивному эффекту, выражающемуся в затухании волны за счет проводимости среды.
75
Рис. 4. Угловые зависимости фазовой скорости (фазовые поляры) для ви ревы
1.М- и ЛЛ’-волн (tf) и квазистатических ВПЗ (б) (штриховая линия соответствует скорости света в среде)
Для безграничной среды уравнение (4.24) затухание LM-волн. При о>м < w имеем
определяет .дисперсию и
к =» ±Л,
2 GJ .
(4.25)
Отсюда получаем фазовую скорость /.Л/-волн
GJ	С[
,;ф |Refc| 1+oj^/8w2
(426)
не зависящую от направления распространения волны по отношению к дрейфу носителей (и0 = e,w0). Следовательно, фазовая скорость LAf-волн не зависит от угла 0 между направлением распространения волны и направлением дрейфа носителей, что показано на рис. 4, а в виде сферы.
Рассмотрим частные случаи распространения плоских волн в безграничной плазме вдоль и поперек дрейфа носителей заряда.
При продольном распространении имеем кх - ку • 0, к. Ф 0. Тогда (4.23) дает Н1Х =# 0, Н {у 0 и //12= 0, что с учетом £1г = 0 соответствует волнам ТЕИ-типа.
При поперечном распространении имеем кх 0, ку 0, кт = 0. Из (4.23) получаем // 1Х = НХу = 0 и НХг * 0, в то время как (4.22) дает соотношение кхЕ1х + куЕХу = к • Ех =0. Следовательно, структура поля также соответствует волнам ГЕИ-типа.
Вихревые ЬЕчммны. Выделим из общего характеристического уравнения (4.20) решения, соответствующие быстрым ЭМВс фазовыми скоростями Оф *С|. В соответствии с этим положим к] и А2 < Ид *
* 0р(3.м + 'Ре) > тогда (4.20) принимает вид
(4.27)
где А2 • к2х * к2 = A’sin’O, к] = A2cos2fl. 0 - угол между направлением вектора к и направлением дрейфа носителей (осью г). Характеристическое
/6
уравнение (4.27) можно переписать п виде ,	' >м Ны________	|
К f (Kqco»’0 ♦ мп'О)^ " | Испольэояаиие ын быстрых ноли |,м, отряжается на уравнениях (4 4) (4.6).
ненис (4.9), в котором исчезают /— ,,VKOWA .ШСна и вахлиис влияние диффузии и дрейфа носителей. При отношение
I п? при О -О, | п’ при 0-90*.
неравенств < 0I 2 и Р -* Пр не ', но сильно видом змеияег уран диа первых члена и левой части, учигы-,ЛА'	I лом (4.9) дает со-
(4.28)
«о)ог ал:
Р\  ------71-----Г
и)м ♦ ди	dz
Легко убедиться, что стся на основе связанных новными динамическими и £j
характеристическое уравнение (4.27) получа-уравнений (4.6) и (4.29). Следовательно, ос-1Гльлпли.ит^ переменными в /инном случае являются pt z „К°МП0ИСИТЬ' центрического поля Е]х и ЕХу выражаются через рх (или -и с помощью (4.4) и (4.5) На основе этих же уравнений можно получить	7'
/ / дЕ.
Нм*-------
СОД! \ Эх
Эи )	°’
(4.30)
В то время как в общем случае Н Хх Ф 0 и НХу ¥= 0. Таким образом, рассматриваемый случай действительно соответствует ££-волнам (ЕХ1 ФО, Н1г=0).
Из (4.28) видно, что ££-волны, как и LM-, не ’’чувствуют” дрейфа (но) и диффузии (De), но, в отличие от них, чувствительны к разогреву электронов (к0) и анизотропии среды (0), вызванной дрейфом носителей. Рассмотрим частные случаи распространения плоских волн в безграничной плазме вдоль (0 = 0) и поперек (0 = 90°) дрейфа носителей в условиях, когда < со.
При продольном распространении (0 = 0) имеем кх = ку = 0, кг Ф 0, так что (4.28) даст
Л| = kz * ±кх
2	\ _ i
8	со2 /	2	со
(4.31)
Отсюда фазовая скорость равняется
СО	С|
иф" ’ I Re*nl’ ~ 1 + c^W
(432)
При 0 = 0 на основании (4.28) имеем кг - р2, тогда из (4.10) и (4.11) получаем рх = 0 и ЕХг =0. Следовательно, ££-волна при продольном распространении является волной ТКИ-типа (ЕХг = О, Н Xz = 0). Из сравнения (4.3Г) с (4.25) видно, что эта волна является вырожденной с LM-волной и также затухает за счет проводимости среды.
При поперечном распространении (0 = 90°) имеем кх Ф 0у ку Ф 0, кг = 0, так что (4.28) дает
I + _ _r_J2 )--------------•	(4.33)
8	о,’ /	2 ш
77
Отсюда находим фазовую скорость
UJ
I Rc*J
(4 34)
I ♦	)’/Hu?
При к. * 0 из (4.29) получаем pt = 0. Тогда из уравнений V Е\  0 и V • Я। "0 следуют соотношения kxEix + куЕХу - kL  Е, = 0 и к,И।, ♦ * кхН।,. =	• Я| =0, свидетельствующие о том, «по ££-волна при попе-
речном распространении также является волной ГЛ И-типа, в которой Л'|- # 0. В отличие от продольного распространения, эта волна не является вырожденной с £ Л/«волной и при наличии ОДП («о < 0) пространственно нарастает, поскольку при этом, как видно из (4.33), Im kt > 0.
Так как обычно j к0| < 1, то из (4.32) и (4.34) следует, что Ыф й 1Гф(, т.е. имеет место анизотропия фазовой скорости. Угловая зависимость фазовой скорости (называемая фазовой полярой [5]) для LE-волн качественно изображена на рис. 4, а. Здесь вектор, проведенный под углом б* к направлению дрейфа (ось z), имеет длину, равную фазовой скорости волны в этом направлении. Пространственная фигура представляет собой тело вращения вокруг оси z.
При отклонении от продольного направления наблюдается переход от затухания волны к усилению (при к0 < 0). Это объясняется тем. что при в = 0 отсутствует компонента поля Е\г в направлении дрейфа носителей, вдоль которого < 0. По мере отклонения от продольного направления компонента Eiz возрастает и становится наибольшей при 0 = 90
Продольному (0 =0) и поперечному (0 =90°) распространению/./-волны соответствуют соленоидальныс электрические поля (pt - 0), имеющие структуру Г£7И-типа. При ’’косом” распространении под произвольным утлом в к направлению дрейфа Lf-волна является всегда несолено-идальной (pi #= 0). Однако величина этого заряда, как показано в конце параграфа, много меньше величины р\ для ВПЗ.
Квазистатические ВПЗ. Выделим из общего характеристического уравнения (4.20) решения, соответствующие медленным ВПЗ с фазовыми скоростями 1>ф * и0. В соответствии с этим положим к2 > п«. тогда (4.20) принимает вид
к2 - rj2D - (1 - к0 )0M0Dcos20 = 0,	(4.35)
где cos2fl = к21к2. Использование для медленных волн неравенства к2 > т]2 ~ п2 позволяет опустить вторые слагаемые в левых частях уравнений (4.4)-(4.6). Тогда эти уравнения приводят к уравнению Пуассона (2.9), что и должно быть в рамках квазиэлектростатики. Уравнение (4.9) не изменяется, но с учетом того, что £] = - Vv?i, принимает вид
Эр|	d2<pi
OrV2pl -Uo ------------(Чч +/CD)P1 =(1 - Ko)o, ~т
az	oz
(4.36)
Легко убедиться, что характеристическое уравнение (4.35) получается из (2.9) и (4.36). Следовательно, основными динамическими переменными, описывающими квазистатический волновой процесс в незамагни-ченной плазме, являются и <pi, через которые могут быть выражены все другие физические величины.
78
Для того чтобы отличать меш
ти для них постоянную распростпа.’,,Ь'С ВПЗот Острых ЭМВ, удобно в всеянная затухания (или нарастания п ИЯ 7 = ik = а + '0' гдс “ и 0 посто-дя (4.35) с учетом (4.16) принима',РИ К° < °* И Фазовая постоянная. Тог-
^ст.о.......(437)
начнем с 1фиближения^улсвоТпи<ЬЬНСНИЯ ВПЗ “ 6езгРаничной плазме (4.37) имеет единственный корень^Гны’/^	' ПрИ
7o=ao+^o=(K0cos2t?TSin20) £лт_ +
cos 0	соз0 ’	{4J8)
где индекс ”0” означает Hvnenvin
влниям пасппп<-тп>.,а	ДИФФУЗИЮ. Это решение соответствует
волнам, распространяющимся ппп vm«,. п  >	...
скоростью	П°Д -глом к Дрейфу носителей с фазовой
иф = w/0o = uocosfi.	9}
Отсюда следует, что фазовый поляр [5] для волн пространственного заряда в плазме с дрейфом носителей представляет собой сферу, образованную вращением вокруг оси z окружности, построенной на векторе и0 как на диаметре (см. рис. 4, б). Таким образом. ВПЗ распространяются с наибольшей фазовой скоростью, равной и0, в направлении дрейфа носителей (0 = 0) и не распространяются (иф = 0) в перпендикулярном направлении (6 =90 ). Это вполне естественно, так как в пренебрежении диффузией имеется единственный ’’сносовый” механизм распространения зарядового возмуще ния за счет дрейфа.
Как видно из (4.38), при наличии ОДП имеет место пространственное усиление волны с максимальной постоянной нарастания |а0 |max = | к0 10д/ вдоль направления дрейфа. По мере отклонения от этого направления величина | а01 уменьшается до нуля при критическом угле 0кр = arctg х/| к01. При 0 > 0кр усиление волны сменяется затуханием, которое увеличивается сростом/? и, как видно из (4.38), а0 при 0 -*90°.
Учтем влияние диффузии на распространение ВПЗ. Для этого перепишем (4.37) с помошью (4.38) в форме
72 + 70о cos 6 ~ 7о0о СО5 0 = °-	(4.40)
Будем считать диффузию достаточно слабой, так что l7ol^ 0pCosO -= UqCos d/De (это неравенство нс выполняется при 0	90
De Ф 0). В этом случае корни уравнения (4.40) имеют вид
7о
71 =7о - ------*
0ocos и
72 =-0DCOS0 -71 где 7о = «о + '0о определенная в виде (4.38).
в условиях
/	02/cos20
I а0 +--------
\	0D cos О
- 0D cos 0 - 7о ~ - PD cos ° ~	•	(4 42)
- постоянная распространения при нулевой диффузии,
Таким" обра^м? даффузия, во-первых, возмужает решение нулевого аким о ирам; гм, “"Ч'тэ	. и во-вторых, порождает вто-
приближения 7о» приводя его к виду V». и,	1
(4.41)
+ '0о,
79
рое (“днффу тонное”) решение у, Как muiiio hi (4 41), ш имущение ис-IININRacr ЛИПП. Постоянная I.IIV4IIHHII (НарВСТПННЯ), и го ярема K.IK фаю-ная скорость НН < практически не п<> iMvuiaeten слабой диффу шеи (в силу 1л<>1 ж 3/>0os0) и остается равной (4.34) Второе решение у3 (отсутствую шее при />г О) cooiiieitiiiyei полис, pacnpocip.iioiioiucucH в направлении, обратом по отношению к нерпой полис, так как За 3i 3<>  Зе/cos 0.
Будем называть первую волну сносовой (или примой) волной, л иго. рую диффузионной (или обратной) волной. Последняя порождена диф фузионным размытием зарядового возмущения в направлении, обратном дрейфу носителей. Дрейф сносит это возмущение в прямом направлении, порождая сносовую волну. Так как обычно 3/? > Д. г° обратная волна всегда (в том числе и при Ко < 0) является сильно 1атухающей, поскольку для нес, согласно (4.42), | ct21 ► 13т1. В отличие от этого, прямую волну будем в дальнейшем считать слабо затухающей (или нарастающей), обеспечивая для нее выбором проводимости среды выполнение неравенства |а,| < 1311. Следовательно, ВПЗ обладают свойством невзаимности, проявляющимся в том, что на большие расстояния от области возбуждения зарядовые возмущения переносятся лишь прямыми волнами, обеспечивая ’’развязку” в обратном направлении.
Невзаимность распространения волн по отношению к дрейфу носителей является принципиальной особенностью ВПЗ, отличающем их от вихревых LM- и LE -волн. Последние являются взаимными волнами в том смысле, что любой волне, распространяющейся под углом 0, соответствует волна, бегущая в обратном направлешш с той же фазовой скоростью» одинаковым затуханием (или нарастанием). Однако при строго поперечном распространении (0 = 90°) ВПЗ становятся взаимными при De * 0, так как в этом направлении действует диффузионный механизм передачи возмущения, а сносовый механизм не работает. Из (4.37) действительно видно, что при 0 = 90° существует две волны, распространяющиеся в противоположные стороны с равными фазовыми скоростями Мф \2De со и одинаковой постоянной затухания a ^x/cojlDj. В пределе нулевой диффузии эти волны исчезают (Ьф -*0 и а так как исчезает механизм их переноса.
Оценим соотношение между плотностями заряда р| (для LЕ-волны) и p|SC (для ВПЗ). Дзя этого на основании (4.29) и (4.36) записываем (при De=0)
LE	л (1-К0)ьЭд/ Lf.
Pl - — IK COS 0 ----------- 6111 2 ,
u) v + iw
sc
Pt = у cos 0
(I — >4) )$|/
7 cos 0 - (/?u + /Д.)
(4.43)
(4.44)
,. sc e I ' 11
л	„LE „SC z
Отсюда при условии " Ei: (что действительно имеет место при возбуждении волн на омическом контакте — см. > 5.6) получаем искомое соотношение;
iP|/r|/lP.SC| -	< 1.	(4.45)
80
Несмотря на малость заояпяи / а ..
нти u г 1 В L BOJ,MUV Пренебрежение нм при авали к С  как получается I °Шим и,У'ис косого распространения недопустимо, ПК как получается физически некорректное репки,к 11<,|
§ 5.Эффективные параметры многослойной пассивной структуры
1. Задачей последующих глав является изучение волновых процессов в ТПС, при этом внешняя по отношению к полупроводниковой пленке среда может быть многослойной. Представляется удобным введение эффекте-ных проницасмосгем еа и ц/1 слоя, непосредственно примыкающего к полупроводнику. Зги параметры должны учитывать произвольную слоне тость структуры таким образом, чтобы полупроводниковая пленка ’’ощущала на своей границе многослойную структуру ик же, как если бы вместо jree быта безграничная однородная среда с эффективными парамо рами и Дг - Это позволит получать дисперсионные уравнения в форме, общей для всех многослойных структур. Использование конкретных па эф эф
раметрое е2 и дает дисперсионное уравнение для соответствующей ТПС.
Рассмотрим многослойную структуру, изображенную на рис. 5,д, в которой первый слой является полупроводником (с проницаемости ми с( ИД|), а все последующие слон — пассивными средами, характеризующимися про-ницаемостями q и ц/ (/ = 2,3,...).
Рис. 5. Многослойные тонкопленочные структуры: общее расположение слоев (в); Однослойная структура с металлизацией (<7); двухслойная структура без металлизации (в); двухслойная структура с металлизацией (г)
, 6 А.Д. Барыбин
Электромагнитные процессы во всех пассивных слоях описываются г,л породным уравнением Гельмгольца с волновым числом	Ut для
данном среды. Как известно (3, 4), в области бет ист<лчилков из тести компонент kick грома г нитиого поля независимыми являются только лове Таковыми удобно полагать £/г и Н1г. При данном рассмотрении, в отличие от условий предыдущего параграфа.ось z совпадает с направлением распро. стране ни я волны в плоскости (xz ) стоя, которое ничем не выделено среди других направлений в пассивной среж. По отношению к дрейфу носителей в полупроводниковой пленке волна может распространяться в плоскости (xz) под произвольным углом 9. Для слоев бесконечной протяженности в тангенциальном направлении х, перпендикулярном распространению волны. имеем Э/Зх = 0. В нормальном к поверхности стоя направлении / (см. рис. 5) изменение полей полагаем в виде exp(i^y), где
<1 = V*/ -	(5.1)
— поперечное волновое число для /-го стоя соответствующее продольному волновому множителю ехр[/(оя k.z)].
Уравнения Гельмгольца, записанные для продольных компонент Eiz и Hiz в /-м слое, имеют вид
+ i'.Eu =0. ^Т- *	=0	(5-2)
Эти уравнения описывают два независимых волновых процесса в пассивной среде: один соответствует волнам ГЛУ-типа с компонентами
ik
полей
-ТМ Ei,
,, тм
Е* /и
Зу
ТМ
тм 1^1 ЬЕ,2 fl t г ~ -5“ ----
Ц ду
(5.3)

другой — волнам ТЕ-типа с компонентами полей
"Г =<' =<Л =0,
ТЕ	7
«,Г*0.	. е,7—
" И ау «* Й Ьу
Из (5.3) и (5.4) видно, что на границах между пассивными слоями граничные условия в виде непрерывности касательных компонент полей и нормальных компонент индукций Dly = ctEly, В1у = ц(Н1у обеспечиваются непрерывностью величин: » „ТМ тм et bEtl
T-i, И ~5 ---------------
by
для Ж-волн,
(5.5)
для ТЕ-\
Эти граничные условия не связывают между собой поля ТМ- и Г£-типов. Такая связь возможна только на границе слоя / = 2 с полупроводником (см. рис.5)при косом распространении волн под произвольным углом 0.
2. Перейдем к введению *ффск тинных проницаемостей многослойной ^рсдьь чго можно сделать и общем случав, независимо от направления распространения волны. ( этой целью запишем решения уравнений (5.2) ДЛЯ слоя / • 2. смежною с полупроводником, в форме
К,Г,М(у} - С^»“* °—’ ♦ с;ке	(5.6)
• С'ш °’"’ ♦ С,«(5.7) где поперечное волновое число выбрано так, что его мнимая часть Im G > 0. В этом случае первые слагаемые с амплитудами С2£(я> °°от' встствуют волнам, возбужденным нижней границей слоя / = 2 и распространяющимся в этом слое в поперечном направлении с затуханием при удалении от границы. Аналогично, вторые слагаемые с амплитудами СгЕЦП со' ответствуют обратным волнам, возбужденным верхней границей слоя (с учетом влияния всех вышележащих слоев).
На основании (5.6) и (5.7) при у - а записываем:
для волн ГЛ/гипа
£2х (я) = ^2Е + С2Е ~^2Е^ *	^-8)
ТМ( »-	F™( \ ikl	_ к1 1Г' Г” Is
Р2у {а)-е2Егу (а)----ТТ “7------- ~ > €2(^2Е~Е2Е>
« дУ у^а *2
= А е,с;£.(1 -г£)е А е’*Е	(5.9)
Ь	<2
для волн 77>типа
Я2г (в) = Е2Н + ^2Н = ^2Н^ + ' //) = ^2Я>	(5.10)
ТЕ
В™Ы-1ьН%Ы = -У± р, -А- [	= А - С"гн) =
* v М.Сг’„(1 - ги>= -Г	<51 •>
<2	«
Здесь по аналогии с описанием волн в линиях передачи [17] введены в рассмотрение поперечные коэффициенты отражения Гц //> = Qe(h)/G е(Н) » определяющие эффективные проницаемости в виде
€аэф =е2(1 - Г£)/(1 + Г£),	= да(1 - Г„)/(1 + Гя).	(5.12)
Выражения (5.8)-(5.11) для компонент полей, входящих в ЭГУ (1.5)-(1.8), после введения в них эффективных параметров получились по форме такими же, как если бы внешняя к полупроводнику среда была безграничной (С2£ = (?2н ~ ° или ~ Гя ~ 0)- Следовательно, граничная задача дзя любой многослойной структуры свелась к задаче для полупроводниковой пленки, граничащей с однородной безграничной средой, имеющей ди-
Э(Ь Э<Ь z
электрическую и магнитную проницаемости, равные и (в общем случае асимметричной структуры - различные по разные стороны пленки). В соответствии с (5.9) и (5.11) эффективные проницаемости внешней сре-6’	83
ды определяют лишь величины я2 D: и я2  В-, входящие в ЭГУ (1.7) и (1.8). При этом волновые числа к, = ц/ и =у/к] -к: определяются реальными проницаемостями С/ и Д/ для l-го слоя (/ = = 2,3,...).
Для вычисления эффективных параметров многослойных структур используются условия непрерывности величин (5.5) на границах между слоя-
I- -
= 0 и ЕЕЕ - 0. Результаты вычислений для конкретных многослойных структур, изображенных на рис. 5,6, в, г, следующие.
Однослойная структура с металлизацией (рис. 5,6):
Г£«Г* •/«,«»{,»;	<5-13)
г„<5.14»
Двухслойная структура без металлизации (рис. 5, в):
г _ Ь/Ь — <з/*2
Е	Ь/Ь + е3/е2	(5 15)
эф _ fj/fj - »’(Ь/Ь)Ц
_ Ь/Ь — Мз/дз ^/3$2Ь
Н ЬДз+Дз/Дз	(5,16)
Зф _ мз/дз - <(b/b)tg
Дз = Дз . ..---:—г—т—т •
Ь/Ь - НДз/ДзИЗ
Двухслойная структура с металлизацией (рис. 5, г) :
Ь/Ь - i(f3/E2)Ctg $3С t
Г = ----------------- е 2 * 5 °,
Ь/Ь +Цез/ез)«8Ь<-	(5.17)
эф = (e3/e2)ctgbc-(b/b)tg?2b ‘€2 Ь/Ь+U3/62)tgb* etgbe
г = Ь/Ь -b/(P3/P3)tg Ьс е<2£1&
н Ь/Ь ~ »(дз/дз)^ ?зС
Эф-_ (M3/M2)tgbc + U3/$2)tg$2£	( 1б)
М* Ь/Ь -(Дз/яз№$з&-tgbe’
Нетрудно заметить, что формулы (5.17) и (5.18) получаются из (5.15) и (5.16), если в последних под е3 и р3 понимать эффективные проницаемости третьего слоя с металлизацией, т.е., согласно (5.13) и (5.14),	=
84
»	*ф
alfjCtgfjf И Пэ = -rpjtot,r '1-
ммногослойные структуры с	"раВИЛО можно распространить
Для критических ^енн^ИЗп7ЛЬ,^М ’<ИСЛОМ пассив’,ых слосн
щаются В этом случае *, ~	(S.13)-(S.I«) упро-
...З.п-> одинаковое поперечное волновое чисто
.	. Дня квазкстаптческих потенциалов
равенствами £2 р - - Vipj и//2 р зрения и Г
Г. = lim г£ и '	(,-»т
(*= 2,3....)
^2 и Фг в слое / = 2, вводимых ~ поперечные коэффициенты отра-* находятся из предельных соотношений \ = lim ['
(*1.3....)
П0'Т'""“е .таКИМ Овра“м вь'₽аже™« «»я Г, и совпадают с рапсе выведе	рамках квазиэлектростатмческого приближения [18].
(5.19)
ГЛ /\ В 1
ПОЛЯРИЗАЦИОННОЕ ОПИСАНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЫ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ДРЕЙФОВЫХ ПОТОКОВ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Основная задача данной главы изучение проблемы граничных условии на поверхности дрейфовых потоков носителей заряда, являющейся ключом к анализу волновых процессов в ТПС. Она включает в себя два основных вопроса: во-первых, обоснование поверхностных источников на границе дрейфового потока носителей и выражение их через объемные физические величины; во-вторых, вывод и обоснование дополни тельных (к электродинамическим) граничных условий, которые возникают при учете нелокального эффекта в виде диффузии, повышающего порядок дифференциальных уравнений, описывающих волновые процессы. Выражение поверхностных источников через объемные переменные делает замкнутой систему электродинамических граничных условий (ЭГУ) Введение эквивалентных поверхностных источников на квазисвободной границе потока носителей с учетом ее поперечных колебаний возможно лишь в рамках нового (для полупроводниковой электроники) поляризационного описания невырожденной ПТТ.
Впервые поляризационные переменные были использованы дли малосигнального анализа электронных потоков в вакуумной СВЧ электронике, наряду с широко известными эйлеровыми и лагранжевыми переменными [1,2]. Введение поляризационных переменных позволило строго обосновать поверхностные источники Хана [3. 4], появляющиеся при поперечных колебаниях границы потока, и доказать малосигнальную теорему, прояснившую физическую картину взаимодействия между модами в электронно-лучевых приборах СВЧ (5, 6]. Позже некоторые авторы [7 9| автоматически перенесли основные уравнения и результаты поляризационного описания электронных потоков в вакууме на случай полупроводниковой плазмы, исключая из рассмотрения ее особенности, связанные со столкновениями, тепловым движением и рекомбинацией носителей.
Первой попыткой обобщения поляризационного описания вакуумных электронных потоков на случай невырожденной ПТТ с последовательным учетом столкновений, диффузии и рекомбинации носителей является работа автора (10], результаты которой позднее были более детально обоснованы |Н| Поляризационное описание ПТТ было использовано для анализа модели границы дрейфовых потоков носителей и изучения граничных условий на их поверхности 112, 13], а также для доказательства малосигнальной энергетической теоремы для активных поляризованных сред [ 14| н тонкопленочных нолноведуших структур на их основе 1151. Поляризационные переменные позволили предезавить полупроводниковую пленку с дрен-
86
ноли сторонними источниками (16|. 1й на поверхности потоков казался далеко нс тривиальным. Впер-изучении волн носите-нулевой температуры.
^’^Тнмимодействов сПо’?оГ'Раэную волмоведущую систему, которая >->мл?т взап'**»* • нонать с iinvn<\n, ....	7	J
.кусгаческой, спиновой	„*Л»ь	и'с"'ма'"' Опск.ромагнит.
^пюпкн"" ортогонально™, и ,? * “ |*Му "
возбуждения собственных г '	" П,Г " "ЫВСС1И УР”’
Вопрос о правильной мписи граничных усами
*«"«•*" в не»,„рожденной 1111 окзхсея .и,.ко вые на это было обращено внимание в [17 18] пои ,С“ В^°Хюш?еХВкЙ П;'а’Х,е В приближении В П|\п "оаботэют” опыиГ' >U’l’>K^,0’CM носителей (в пределе нулевой лиф-Ф'зИ электпич^ск ЬК ГУ’ выРажающис разрыв соответствующих компонент электрического и магнитного J .
N п	1 ного полей поверхностными зарядами
и токами. о э тс м слу ые встает вопносо ь-лпол,. -”	„„„	-	«опрос о корректном записи поверхностных
ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ ТОН или ИНОЙ молот/ .	- 1
и .	иной модели границы дрейфового потока
носителем.	г
Боль с о торов использует модель жесткой границы, в которой поверхность потока совпадает с реальной границей кристалла, препятствующей выходу подвижных носителей за его пределы. Для учета поверхностного заряда в этой модели оыло предложено [18] использовать граничные условия ана [. ти условия ранее были введены для электронных пучков в вакууме [4.5]. Каино [17 19], а вслед за ним и другие авторы [20 23] применяли [раничные условия Хана к анализу распространения и неустойчивости волн н полупроводниках в пределе нулевой диффузии. В [12. 13] было отмечено несоответствие между физическими моделями Хана и Кайно. Как можно заключить из рассмотрения [18]. физическая ситуация соответствует тому случаю, когда граница потока носителей совпадает с реальной поверхностью кристалла, т.е. реализуется модель жесткой границы. В этом случае имеется очевидное расхождение с моделью, в рамках которой справедливы граничные условия Хана.
Как известно [2—5], условия Хана были введены для свободной поверхности потока электронов в вакууме, допускающей поперечные колебания частиц. Поперечное смещение границы потока под действием переменного сигнала эквивалентно введению поверхностных зарядов и токов на невозмущенной границе (поверхностные источники Хана). Введение эквивалент
ных источников является естественным следствием поляризационного описания [5, 10, 24].
В противоположность этому в модели жесткой границы, использованной в [17-23], поверхность кристалла препятствует поперечным смещениям частиц, поскольку для электронов в зоне проводимости поверхность ’’ощущается” как потенциальный барьер высотой, равной работе выхода. В этой модели не должны возникать эквивалентные поверхностные источники Хана, а появление реальных поверхностных зарядов может быть вызвано Другой физической причиной. Заряд, доставляемый нормальной компонентой тока из объема к поверхности полупроводника, накапливается там в отсутствие диффузии и поверхностной рекомбинации в виде бесконечно тонкого заряженного листка подвижных носителей, создающих реальный поверхностный заряд. Тепловое движение приводит, как показано в [25, 26], к диффузионному размытию этого заряда в приповерхностный слой конечной толщины (сравнимой с дебаевской длиной). Таким образом.
87
реальный поверхностный заряд возникает в модели жесткой границы только в пренебрежении диффузией.
Поверхностный заряд Хана, эквивалентный поперечным колебаниям границы потока, в применении к полупроводниковой плазме может быть введен лишь в модели квазисвободной границы. В этой модели эффективная поверхность потока удалена от реальной границы кристалла из-за наличия заряженного слоя (обедненного или инверсионного) в приповерхностной области полупроводника. Предположение о квазисвободной границе дрейфового потока носителей в полупроводниковой пленке было сделано в [27, 28J. Расхождение между экспериментальными данными авторов [27-29] и теоретическими результатами, полученными на основе модели жесткой границы, заставило их отказаться от этой модели [30], предположив, что граница потока удалена от поверхности кристалла и может смещаться в поперечном направлении. По аналогии с электронным лучом в вакууме, поперечное смещение границы может быть представлено в виде эквивалентного поверхностного заряда [12]. Поверхностные заряды в моделях квазисвободной и жесткой границы, несмотря на их различную физическую природу, становятся математически тождественными в граничных условиях только в пренебрежении влиянием диффузии. В этом случае имеет место ’’вырождение" моделей, которое снимается ненулевой диффузией [12, 26].
Диффузия, будучи нелокальным эффектом, повышает порядок дифференциальных уравнений, описывающих волновой процесс в плазме, и требует дополнительного (к электродинамическим) граничного условия. В качестве такого условия обычно используется [31-34] условие отсутствия нормальной компоненты тока на поверхности кристалла (л -ji =0). Это простейшее условие полностью отражающей границы справедливо при жесткой границе потока. Оно математически отражает тот факт, что носители "чувствутот” реальную поверхность кристалла, которая препятствует их движению по нормали к поверхности. Данное условие естественным образом вытекает из обычных феноменологических представлений о компенсации тока проводимости диффузионным током на поверхности кристалла (вотсутствие влияния поверхностных состояний).
Для модели квазисвободной границы дополнительное граничное условие (ДГУ) впервые было получено автором [12] в виде нулевой плотности объемного заряда - 0), что соответствует полностью поглощающей границе. Это условие не было известно авторам [29], поэтому они избавились от необходимости в ДГУ с помощью предположения о равновесном распределении носителей по Больцману, что является в общем случае бездоказательным.
Ниже на основе поляризационного описания невырожденной полупроводниковой плазмы строятся модели границы потока носителей с учетом реальных, эффективных и эквивалентных поверхностных источников. Обсуждается применимость граничных условий в рахчичных физических ситуациях, отличающихся степенью влияния диффузии, поверхностных состояний, заряженных слоев и поперечного смещения эффективной границы потока.
88
8 1Л*Г,Т.“',П	««a™»
’«ряженной среды
1.	В гидродинамической модели
В виде сплошной заряженной средн НОСИТелеи заРяда представляют .юлы Частицей сплошной среды ^алсь от сс корпускулярной при-(злектрон, ион, молекула) a Tllr	С цельная реальная частица
в качестве жидкой частицы выбирают'*1?5Г36|‘ содержащий достаточно большое число бесконечно малый объем, можно было говорить об усредненных	ЧаСТИЦ’ ДПЯ ТОГО’ ЧТобы
ках жидкой частицы. Понятно что ш ^Роск‘,,1ИЧсских) характеристи-жидкой частицы нс может бык меньше Г™’ минималы,ый РазмеР венно превосходит такие микроскопий ЛСбаевскои что сУшест' .TVU тлинч Сйпбшимг-, кР°скопические длины, как постоянная ре-чТсХв объеме ж Пробега И Др- Микроскопические движения ре-чяпакте пи стики каковыми**0” Частицы Формируют ее макроскопические Х Р rvnnncTi, и run - Н 171 ^Р°Динамике являются гидродинамичсс-каЯ п гл 1 ясно ит рос1а™ческо€ (изотропное) давление р. Из рассмот-Р6	’° ПРИ Полном контроле обе эти величины сформирова-
ны за т межэлектронных столкновений. При неполном контроле межэлектронные столкновения формируют лишь изотропное давление р л б , а скорость движения частиц усредняется в результате их частых квазиупругих соударений с рассеивателями. В отсутствие контроля при выполнении условий локально-полевого приближения частые квазиупру-гие столкновения с рассеивателями формируют как среднюю скорость и, так и изотропное давление Р - пк% < Т). Для бесстолкновителыюй плазмы
гидродинамическое описание возможно лишь в приближении холодной плазмы (см. § 1.7), когда понятие давления исчезает, а скорости всех частиц в пределах физически бесконечно малого объема равны (в силу S-образного распределения частиц по скоростям) и определяют гидродина-^мческую скорость среды и.
Выбор положения жидкой частицы и способа представления ее движения определяет то или иное физическое описание система заряженных частиц. В классической гидродинамике общеизвестны лагранжево и эйлерово описания [35, 36]. Они широко используются при анализе электронных явлений в вакууме [ 1, 2,4, 37] и в полупроводниковой плазме [11, 38]. В вакуумной электронике при малосигнальном анализе эти два описания дополняются поляризационным описанием [2, 5], которое позднее было распространено и на невырожденную ПТТ [10, 11].
При линейном анализе малосигнальных процессов в потоках носителей заряда обычно рассматривают два состояния потока — невозмущеннос (в отсутствие переменного сигнала) и возмущенное (при налички малого сигнала). Координаты жидкой частицы, взятые в не возмущенном или возмущенном состоянии потока (в зависимост от выбора описания системы) являются независимыми пространственными переменными данного описания, а свойства зарядов в объеме жидкой частицы (плотность, скорость, Давление и др.) — зависимыми переменными [2, 10].
Основная задача любого описания системы заряженных частиц заключается в установлении динамической связи между зависимыми переменными, в частности, выражение плотностей заряда р и гока /, входящих в уравне-
89
пня Максвелла, через основные динамические переменные соответствующего описания
Рассмотрим кратко фи шческую сущность и соотношения между динамическими переменными для лагранжево го (/.) и эйлерового (Л) описаний.
2.	Лигранмгво описание проводится в терминах классической динамики частиц путем задания в любой момент времени t положения жидкой частицы вдоль траектории се движения (возмущенного или нсвозмуще иного)
Рис. 6. Движение жидкой частной: / вдоль невоэмущенной, 2 вдоль возмущенной траектории; Р - элемент в отсутствие сигнала, Е - элемент при наличии сигнала
(рис. 6). Траектория описывается с помощью радиуса-вектора г (г), который является основной динамической переменной в £ описании, через которую выражаются все другие динамические переменные. В качестве независимых переменных в /.описании могут выступать либо координаты г положения частицы в начальный момент времени г = 0, либо момент времени t°, соответствующий прохождению выбранной частицы через некоторую фиксированную поверхность (например, плоскость сетки в вакуумном приборе) [I, 37]. Иными словами, в /.описании /-я частица индивидуализирована и движется по собственной траектории *’/(/,/’“) или г, (г, г °), отличающейся от траектории другой частицы. .Можно сказать, что каждая жидкая частица "маркирована” своими начальными координатами г° или г°, совокупность которых и составляет независимые L -переменные.
Лагранжева скорость определяется как кинематическая скорость движения частицы по траектории, а именно
о»
dt
где для простоты записи опущены независимые переменные г® или Г®. Динамическое уравнение в /.-переменных имеет привычную форму второго закона механики
d'rAt)	1
—ГГ- = — FIZ-	(1-2)
dt2	т
где суммарная сила FiX (приведенная к массе т реальной частицы) учитывает действие на выбранную жидкую частицу как внешних, так и внутренних сил, включая в общем случае градиент давления и силы динамического и вязкостного трения [35, 36].
Если i-я жидкая частица находится в точке гДг), се скорость v,(r) и заряд , то плотности заряда р и тока j в точке г могут быть записаны 90
спомошью 6-функции [1,37):
p(r, t) ° -	- r],	(1.3)
j(r, r)- S Д<7/v,(/) 5 (л, (r) _ rj t	(j 4)
где суммирование проводится по всем /м частицам, находящимся в единице объема в районе точки г.
^описание в равной мере применимо как к невозмущенному, так и к возмушсн,юмУ движению частицы и при переходе к малосигнальному анализу не даег видимых упрощений динамических уравнений. Физический смысл этого в том, что даже при малом сигнале частица за большие интервалы времени смещается от своего начального положения на большие расстояния. Поэтому Л-переменные малоинтересны для линейного анализа плазмы и в дальнейшем не рассматриваются.
3.	Эй/tcpoeo описание соответствует "полевому” представлению заряженной среды, при котором частицы теряют свою индивидуальность, а динамические свойства потока характеризуются векторным полем гидродинамической скорости и(г, г), которая является основной динамической переменной в £'-описании. Иными словами, ^описание имеет дело с полем скоростей, являющимся результатом движения всей совокупности частиц, оставляя вне рассмотрения движение каждой жидкой частицы по траектории.
В f-описании физически бесконечно малый элемент объема (^-элемент) выбирается в возмущенном состоянии потока, т.е. при наличии переменного сигнала. Координаты £'-элемента, характеризуемые радиусом-вектором г (см. рис. 6) являются независимыми пространственными переменных» в f-описании. Положение, форма и объем выбранного F-элемента остаются неизменными с течением времени, а также при наличии и в отсутствие сигнала. Поэтому f-элемент содержит совершенно различные группы зарядов в разные моменты времени, а также в возмущенном и невозмущенном состояниях потока. В результате этого динамические переменные — скорость и(г, г), плотность заряда p{r, t) и плотность тока/(г, г) определяются положением £-элемента вне связи с конкретными зарядами, которые заполняют этот объем.
Соответствие между £- и Еописаниями достигается при отождествлении гидродинамической скорости и(г, /) с кинематической скоростью \ (/ ) той жидкой частицы, которая в момент времени т занимает выбранный ^-элемент в точке с радиусом-вектором г. Тогда с учетом полной (субстанциональной) производной вектора и (г, t) по времени [39]. равной
tfy(r) _ du(r(t),r) ди(г, г) + Эи(г, Г) dr (г) _
dt ~ ~di	dt Ьг dt dt
Динамическое уравнение (1.2) принимает привычную форму сравнения Движения
Ьи	]
77+(«-Г)м = — Л.
аг	т
91
Это уравнение представляет собой не что иное, как преобразованное к другой форме записи уравнение сохранения импульса (1.2.22). Действительно, используя уравнение непрерывности (1.2.21), легко преобразовать (1.2.22) к виду (сравни с (1.5.18) при/?г ~7Г = 0)
Ъи	е	Ч(пкТ\	и
— +(mV)m = —(Е + иХЯ)---------------------.	(1.6)
ot	т	тп	тр
Вообще все динамические уравнения, полученные в гл. 1. соответствуют полевому (тл. эйлеровому) описанию полупроводниковой плазмы. Основное удобство f-переменных в том, что они естественным образом согласуются с уравнениями .Максвелла для электромагнитного поля, давая его источники p(r, t) и /(г, г) = p(r, г )u(r, t) сразу в полевом представлении Кроме того, f-переменные при малосмгнальном анализе допускают упрощение динамического уравнения путем его линеаризации
Малосигнальная эйлерова скорость (г, t) вводится как разность между полным мгновенным значением скорости и(г, г) и ее невозмушен-ным значением и0(г) в отсутствие сигнала, взятыми в одной и гон же точке, а именно
ut(r, t)-u(r. t)~ u0(r).	0-7)
Эта величина не имеет прямого физического смысла, так как представляет собой приращение скорости за счет сигнала, но не для одной и той же группы зарядов, а для разные групп, которые занимают данный f-элемент в возмущенном и невоэмушенном состояниях потока. Это является естественным следствием полевого описания и не должно вызывать недоразумении.
Напротив, малосигнальная эйлерова плотность заряда, введенная как
Pi(r, r) = p(r,r)-p0(r),	U-8)
имеет реальный физический смысл приращения плотности заряда в данной точке пространства, вызванного действием сигнала.
Линеаризация уравнения непрерывности (1.2.26) и уравнения движения (1.6) с учетом (1.7) и (1.8) дает матосигнальные уравнения в £-перемен-ных [10,11J:
=0.	(!•’>
dt
—- + (Цо ‘ V)Mi + (иj  V)Mo =	(f i + “о ' Bi + ui *
Эг	т
v*	Vp0	Ml	U0 7р1
	Vpi +	Pi	
Ро	Ро Ро	?р0	ТрО 7р0
(1.Ю)
где
/, =Ро«1 + Р1«о-	(1.11)
Уравнение (1.10) описывает лишь зарядовые (электрические) неоднородности в плазме, гак как при его выводе, во-первых. использовано уравнение (1.6) без учета термосилы и. во-вторых, опушен градиент температу-
92
pUt т.е. V (пкТ) = mu’v/i. В этом
таксации импульса т (£ ) Яа ^’У4*» как показано в § 1.9, время ре-
/г = Е.^+Е та^к-Яеки Функцией эффективного греющего поляЛр Еро ср,, так что в малосиги,,..
, ,, "«-'осигнальном приближении
h₽i -Гро+трЬ £ро
ро определено в виде (1.9.17), а именно
Е$ Е\ + Uq X Bi
- “ Ёо
(1.12)
ТрО
р
где Tpi тро« отношение тр1/Г| —
' Е ' <11пЕр' Ео *’ D—=(к0-1)_Д . fcp0 р	г-ро	Е9
Уравнение движения (1.101	(113)
жения какими,либо слагаемыми	°б^М ВИДС
(за исключением VT — 0) в том числе с ^Ти^ХН?ХНзИе™ГД,Ю!ЮПН“С™ "возмущенных ™Х« Л тпк-пй В неолнопо-п/ ИТЬ интерес ПРИ анализе вакуумных электро1шых потоков в неоднородных статических полях (1,4]. Общность этого уравне-Т" °ZX-,^»n^1MCK1,MOC,b как ’ “НИС сголкновительной, так и бес-стояк	. олоднои плазмы. Первый случай будем называть полу-
проводнико в ым_ приближением. так как пренебрежение ’’инерционными” членами в левой пасти (1.10) по сравнению со столкновительным членом UilTpo приводит ( .10) и (1.11) к выражению для плотности тока /\ в форме (1.	) Второй случаи будем называть вакуумным приближением.
так как пренебрежение тепловым движением (уу = 0) и столкновениями (гр0 “ 01 лает известное в вакуумной электронике малосигнальное уравнение движения в ^-переменных (2,5].
Таким образом, эйлерово и лагранжево описания соответствуют прямо противоположным физическим моделям заряженной среды: полевой модели в виде векторного поля я (г, t) в ^-описании и частичной модели в виде движения жидкой частицы по траектории с ради усом-вектором г(г) в £ описании. Промежуточная частично-полевая модель, одновременно учитывающая особенности как £-, так и ^-описания, реализуется в поляризационных переменных.
§ 2.	Уравнения динамики заряженных частиц в поляризационных переменных
1.	Поляризационное (Р) описание соответствует представлению потока носителей заряда в виде движущейся поляризованной среды. Для этого необходимо ввести в рассмотрение вектор поляризации заряженной среды, аналогичный вектору поляризации диэлектрика.
В Рю писании физически бесконечно малый элемент объема (Р-элемент) выбирается в невозмущенном состоянии потока, т.е. в отсутствие переменного сигнала. Координаты P-элемента, характеризуемые радиусом-векто-ром г0 (см. рис. 6), являются независимыми пространственными переменными в P-о пи сании. Положение, форма и объем выбранного Р-элемента остаются неизменными с течением времени (как в £-описании) лишь в отсутствие сигнала. Под влиянием переменного сигнала заряды, которые в его отсутствие занимали данный Р-элемент в невозмущенном положении
93
rOt перемешаются как единая жидкая частица в новое возмущенное положе, пне в точке г, соответствующее Е-элементу (см. рис. 6). При этом форма и объем жидкой частицы могут измениться, что ведет к изменению плотности заряда и тока. Эти два положения одной и той же группы зарядов, возникшие лишь в результате действия сигнала, отстоят друг от друга на расстояние малосигнального вектора смещения (см. рис. 6)
MWWlO -Го,	(2.1)
рассматриваемого как функция невозмущенной координаты г0, Вектор смешения Г|(Го, г) является основной динамической переменной в P-описании, через которую выражаются все другие динамические величины [2, 10]. В частности, вектор поляризации вводится в виде р, = pori, где р0 -невозмущенная плотность заряда.
Малоснгналы1.1Я поляризационная скорость Vj(ro> О вводится как разность между полным мгновенным значением скорости м(г, г) и ее невозму-щенным значением мо(Го)> взятыми для одной и той же жидкой частицы, расположенной в разных точках г и га, которые разнесены друг от друга под действием сигнала на расстояние Г\. а именно
V|(A). t) = u(r, O-UoO-o).	(2.2)
Эта величина имеет реальный физический смысл приращения скорости выбранной группы зарядов в фиксированный момент времени, вызванного действием сигнала.
По аналогии с (2.2) вводятся другие поляризационные величины, например [2,10]
р! (r0,r) = p(r, г)-ро(го) и hP(r0, t)=j(r, t) /0(г0)	(2.3)
— поляризационные плотности заряда и тока. Эти величины, в отличие от и vb не имеют прямого физического смысла и играют вспомогательную роль при установлении связи между поляризационными и эйлеровыми переменными [2,10, 11].
2.	Дальнейшей задачей является выражение эйлеровых плотностей заряда pi и тока ji, входящих в уравнения Максвелла как источники поля, через вектор смешения г, (или вектор поляризации Р) = pori). Сначача
Р .р
установим связь между vt, Pi, /1 и соответствующими эйлеровыми величинами м,, pj, взятыми в одной и той же точке г0. Для этого запишем
полную мгновенную скорость и (г, г) двумя способами: во-первых, согласно (2.2),
и (г, г) = и0 (r0 ) + V1 (г0. г),	(2.4)
во-вторых, из разложения в ряд Тейлора в линейном приближении
и(г. г) »и(г0 +'’!./) = u(r0,t) + (г, V)Uo0o),	(2.5)
где на основании равенства (1.7), записанного в точке имеем
u(r0, /) = «o(/’o) + «j(/,o.0.	(2.6)
Подставляя (2.6) в (2.5) и сравнивая с (2.4), получаем
ui(ro,t) = *,(/<>,/)--(/, ?)м0(Го).	(2.7)
93
СООГНОЩСННЯ
p
(2.Ю)
Днмошчно «тжно nu„y,MIk аюцут111|)с
(2H)
/iUo.n-(r,	9)
Если подставить (1.11) D no» M м.п
поляризационную плотность тока в фор^”0*** (2,7) И (2,8)’ ТО,,ОЯУ'ШМ
j\ “ PvVl + Р I w0 .
совпадающей с эйлеровой формой (1 I п япв ,• Таким образом, из (2 я) > щ» ' для
) видно, что для выражения эйлеровых
величин pi и /1 через г( (или о, = « г \ .. =	р
РоГ\) необходимо связать р । и»|СГ|.
Для нахождения поляризационной	?
свойство сохранения заряда жидкой™ 3арЯДа Р' используем ложсю,ях. соответствую,Ш1Х	„ 3с™™	“х“"“'йс".в дв>"1 ло'
м., = о(г г)ДГ) мяти» о к ,емснг> (•*</ -Ро(Го)Д1о) И ^-элементу ионном и возмущенном фиксированный момент времени в невозмущенном и возмущенном состояниях потока, а именно
р(г,ОДГ = ро(го)ДГо,
™ Д X г	L•ЗЛСМе,,га- Д' « - объем /--элемента. Величи,» Л Г свята-
на с Д1 о при помощи якобиана преобразования г =	♦ г,, а именно
	Эх	dv	dz	
	•— - 	——	—	
	Эх'о	Эх0	дх0	
Э(х, у. z)	ах	др	дг	
ДИ= 	 ДГ0 =				Д1о
<4*0..Уо, г0)	дг0	д_)’о	д.)’о	
	Эх	ду	dz	
	—	—	1	~. —	
	dz0	dz0	dz0	
Э21 \
+ — ДИ0 =(I +V г, )Д Ио, д-0 /
(Эх, dvj
1 +-- + —-—
3Xq ЭГу
(2.12)
где приближенное равенство записано в линейном приближении. Из (2.3), (2.11) и (2.12) получаем
Р ?(Го. /) = - Ро(Го) V * G (Го. ') •	<2-13)
Подстановка (2.13) в (2.8) дает искомое соотношение:
р, »_? д, s-v-(рцг,).	(1,4>
Для установления связи vt с г( и выражения /, в поляризационных временных используем в качестве исходного уравнение непрерывности (1-9). Подстановкой в него (2.14) получаем
/ dpi \ vV' -4-)=0’
\ Зг / откуда следует равенство
др!
=vxc, dt
(2.15)
(2.1b)
os
где С - произвольный (на данном этапе) вектор, который необходимо н..... ги. Используя (1.11), (2.7) и V /0 = 0, преобразуем левую часть (2.16) к виду
dp.	/	дГ|	\
/I	=ро *|---------и0 Vr, l + VX(po'i Х«о).	(2.17)
df	\	dr	/
Из сравнения (2.16) и (2.17) видно, что их тождественность выполняется только при условии обращения в нуль первого слагаемого в правой части (2.17) и при С — por, X и0. Следовательно, одновременно получаемсоотно шсние
V, »-р-+(и0 Г)П	(-18)
дг
и выражение для эйлеровой плотности тока в /’•переменных
Хи0)^	Хи0).	(2.19)
Зг	Эг
Следует заметить, что (2.19) можно получить подстановкой (2.10). (2.13) и (2.18) в (2.9) с использованием V /о s 0 и векторно-диадного тождества [39)
V АВ s (V • А)В + (А • V)B =	(2.20)
= (V А) В +ГВ А - .4 X (V X В).
Соотношение (2.18). дающее связь между *, и г,, было получено на основе уравнения непрерывности в Г-пере.менных. Поэтому оно является аналогом уравнения непрерывности в ^переменных. так как последнее в обычной форме (1.9) выполняется тождественно прир, и /, в виде (2.14) и (2.19).
3.	Осталось получить уравнение движения в /’-переменных, исходя из уравнения движения (1.10) в /-переменных. Используя (2.7) и (2.18). преобразуем левую часть (1.10) к виду
ЗМ|	9V|
---+ (м0 Г)и, + (и, V)u0 = —— +lu0 V)v> - (г, V)(«p V)u„.
dr--Ъг
Диффузионные члены в правой зуются следующим образом:
v:	у» Vp0
— Гр, ♦—-------р, =
Ро	Ро Ро
(2.21'1
части (1.10) с помощью (2.14) преобра-
VJ Г	%	Гро
---I РоЧ V Т,) + Г(г, -Vp0)-----(г, • Vp0 )
До L	Ро
(2.21")
Подставляя (2.21') и (2.21") в (1.10) и используя рез\ льгаг действия оператора (г, V) на уравнение (1.6) . записанное для невозмущенного движения зарядов в статических полях, окончательно получаем уравнение движешь
((ЯЯ Н поляримционных переменных
t(«0 V)V| • bt
«	। * (r> V)£o ♦ *i /	+ м0 X Bt +uliX(rf V)Bct J ♦
A (pov(vr,)+vr, -vpoj - A A 2lA2_ZA2. (iej
TpO 7pO	Tp0
где VH ~ граДЛеит вектора r( (диадное произведение векторов V и<1) |39], такой, что
ГГ1 'VPo =(Vpo V)r, +VPo XfVXrj-
= V(fi "Vpo) — (ri
Уравнение (2.22) в пренебрежении диффузией (и* = 0) и столкновениями (т’ро = превращается в аналогичное уравнение, полученное ранее для электронных потоков в вакууме (2, 5|.
Следует помнить, что в Р-персмснных все динамические величины являются функциями невозмущенных координат г0, так что во всех формулах этого параграфа оператор V означает дифференцирование оо г0.
Уравнения (2.7), (2.14), (2.19) и (2.22) дают в каждой точке пространства связь между эйлеровыми переменными (pt, ut, Jt, £г, В t) и юл яр и -зационными переменными (гt, vI). Значения этих переменных и их производит берутся в одной и той же точке, но ее координаты отвечают разным состояниям потока носителей, для F-переменных - возмущенному состоянию (при наличии сигнала), а для ^-переменных - не возмущенно му состоянию (в отсутствие сигнала).
Выражения (2.14) и (2.19) для плотностей заряда pt и тока ц в P-переменных по форме в точности совладают с аналогичными выражениями для поляризованной диэлектрической среды с вектором поляризации pi, движущейся со скоростью и0 (40). Именно это и дало название поляризационным переменным. Подстановка р[ и , выраженных через р\, в уравнения Максвелла превращает их в уравнения электродинамики движущихся заряженных сред в формулировке Чу (41).
Ввиду важности поляризационных переменных для анализа поверхностных источников на границе дрейфовых потоков носителей [12. 1->) и для доказательства мал о сигнальной энергетической теоремы [14, 15] в приложениях 1 и 2 приведены другие способы получения основных динамических соотношений в Р-переменных, исходя из L - и Р-описанин. Здесь не учтены процессы рекомбинации носителей, как несущественные для дальнейшего рассмотрения. При необходимости их учет можно найти в [10, 11]. В следующем параграфе дан вывод аналога уравнения непрерывности и выражений для плотности заряда и тока в Р-переменных на основе кинетического уравнения.
А, Барыбин
97
§ 3. Ми кроскопическое обоснование поляризационного описания невырожденной плазмы полупроводников
1. Применение основной идеи поляризационного описания (связанной с рассмотрением возмущенного и невозмущенного положений выделенной жидкой частицы) к движению фазовых точек, характеризующих состояние системы заряженных частиц в фазовом (координатно-импульсном) прост, ранстве, позволит довольно коротким и изящным способом получить выражения для плотностей заряда рх и тока /'j и аналог уравнения непрерывности в Л переменных (см. (2.14), (2.19) и (2.18)).
С этой целью рассмотрим совокупность фазовых точек как фазовую жидкость, плотность которой характеризуется функцией распределения /(г, v> где г и v - независимые координаты фазового пространства, совокупность которых обозначим в виде шестимерного вектора Rb (г, у}. Основная идея кинетического описания заключается в предположении о независимости воздействия на движение частицы усредненных силовых полей F (действующих на этапе свободного пробега частицы) и флуктуационных микрополей (действующих в моменты столкновений).
Под действием силы F фазовая жидкость течет в фазовом пространстве .111
с шестимерной скоростью R6{r, v}= Rb . v, — F i. Результирующее изме-l nt r
нение количества фазовой жидкости (числа фазовых точек) в произвольном шестимерном объеме фазового пространства происходит по двум причинам: во-первых, в результате вытекания фазовой жидкости с плотностью потока fRt через поверхность 56, ограничивающую выделенный объем , и во-вторых, за счет рассеяния частиц в результате столкновений, а именно
д	-	/ а/ \
— S fdV^-ffRo dSb+f\—\ dVb.	(3.1)
Эг и. S.	\ Эг /ст
На основании формулы Остро градского - Гаусса переписываем (3.1), вводя дивергенцию в шестимерном пространстве Я • (/Л6). Тогда в силу произвольности выбора объема И6 получаем
-^- + 7б	=	•	(3-2)
dr	\ dr /ст
Вычисление шестимерной дивергенции дает
-(/Л6) = Л6 V6/+/(Ve ^6) = v-Vr/+ —Г-Гу/+Г(76 Л6), (33) т
1	е	е
V6 Rs = V, -v+ —	— Vg-(£ + vX/1)=-2?-(V0X v) = 0,
m	m	m
(3.4) где F = e(E + v X В) — сила Лоренца, V,  v = 0 в силу независимости координат г и v в фазовом пространстве. Подстановка (3.3) и (3.4) в (3.2) приводит к обычному кинетическому уравнению:
— +v v,/+— (F + vX£) ?„/=(— .	(35)
dr	тп	\ dt J
98
павнснием (3 5)	Фазов°й жидкости описывается кинетическим
,Это позвмяет »^М Деи<:1“ия сн-',0“ых "°™ » столкновений раз-гииу в	"₽острансп,с
ЖиГтег,в 01
Дуемое вектором ЛДе “'''“"сл'а " "Ш",ЧИИ Ма''°П’ сигнала)' ха’вк' час™ш	в?к™7
*•»('»	= Я6Ь, v } _ Льо{го. v0},
где малосигнальные величины
Г1(го, f) = r(r) -г0 и p1(v0,z) = v(r)- v0
считаются функциями невозмущенных координат т0 и v0. В силу того, что вдоль фазовой траектории
мал оси гнал ьные приращения vx и rt связаны между собой соотношением
,	^1(Го(0,0
ММ) = ----------
dt	dt
(3.6)
(3.7)
Эг,
drx dr0 drx(r0, r)
7~~ ’ ~T~ = —--------------+ v0 • Vr, (r0, t).
or0 dt dt
(3.8)
Определяя макроскопическую поляризационную скорость как
(3.9)
V1 (г0. 0 = ~	f v 1 (v0, г )/0 (г0, v0) d3 v0,
Wo ио )
путем усреднения (3.8) сразу получаем макроскопическое соотношение между vi и rj (аналог уравнения непрерывности) в виде
dri ('о. f)
*i(го, г) = —-------+ и0(Го)-^Г1(г0, г),
дг
(3.10)
(3.11)
где
«о(r0 ) =----f vofo (r0, v0) d3v0,	n0(r0) = //о(Го. v0 )d3 v0.
«о(Го)
2.	По аналогии с введением эйлеровых и поляризационных динамических переменных можно рассмотреть в одной и той же точке (г0, v0) фазового пространства два типа приращений функции распределения под действием сигнала:
^шсигшиьное приращение эйлерового типа
/|(ГоЛо. t) =/(ro,v0, t) -/0(го. *о).	(3.12)
вводимое как разность возмущенного и нсвозмущешюго значений /, взятых в одной и той же точке;
мааосигнальное приращение поляризационного типа h (r0,v0, f)=/(r, v, г) -fo(ro, v0),
(3.13)
99
вводимое как разность возмущенного и нсвозмущснного значений f, взятых в разных точках, соответствующих возмущенному (/(<,) и невозмущен ному (Я60) положениям выделенной жидкой частицы.
Для установления связи между Л и// запишем на основании (3.12) и (3.13) полное значение v, г) в возмущенном положении жидкой частицы
/(г, V. z) = /о(Го, v0) + //(г0. v0, /) я/0(Л *) + Л(г. М).	(314)
гдев линейном приближении с учетом (3.7) имеем
fo(r, v)^f0(r0, v0) + fi • Vr/oOo. vo) + «6 7и/о(гоЛо),
/1 (г. v, Г)»/,(/<>, v0,f).	(3.15)
Из (3.14) и (3.15) следует искомое соотношение:
/i(ro.vo, г)=/'Лг0, v0,r) —Г| • Vr/o(ro, v0)-Pi ^u/o(ro,vo)- (3.16)
Два рассматриваемых положения выделенной жидкой частицы (соответствующие невозмущенному и возмущенному состояниям фазовой жидкости) отличаются друг от друга лишь отсутствием и наличием малого сигнала. Этот сигнал не влияет непосредственно на акты рассеяния частиц, согласно основной идее кинетического описания. Тогда количество фазовой жидкости (число фазовых точек) в двух положениях рассматриваемой жидкой частицы остается неизменным, в то время как форма и объем жидкой частицы могут измениться. Па основании этого записываем
/(r,v,f)Vr6 =/o(ro.Vo)Vr60,	(3.17)
где Д 1'б и ДГ60 - возмущенный и невозмущенный объемы жидкой частицы, связанные между собой при помощи якобиана преобразования R6{r, v) = /?60{г0, v0} + (Г 1, V| ), т-е. В линейном приближении аналогично (2.12) записываем
Э (Xq, У о 1 г0 > ЧхО> иу0> о)
/ Эх1 ЭУ! dz I duxl Эиу1 Эи;1 \
=s I 1 +--+-----+-----+------ +—-— +---------1ДГ60 =
\ dx0 дуо dz0 ЭЦхо duyo du,0/
= (1 + ^гГ1+Г1)*|)Д1,бо = (1 + ^б-Лй1)Д1,бо-	(3.18)
Из (3.9), (3.17) и (3.18) получаем
/f (Го, v0 . О = П (го. г) +	• 1/| (Vo ,	Vo). (3.19)
Подстановка (3.19) в (3.16) дает
Xi(ro,v0,r) = -Vr.[rl(r0,0/o(i’o,v0)]-
(n(vo,r)/o(ro,vo)].	(3.20)
3.	Используем (3.20) для вывода малосигнальных плотностей заряда Pi и тока/1 в P-переменных, определяя их как
Pi (Го. О ~ е ffi (Го. vo . /)</3и0»	(3-21)
/1 (г0. t) = е f v0/, (r0, v0 . tjcPvo.	(3.22)
100
||одстян’1МЯ (3.20) в (3.21), полуцасм pj (Гу» 0 “ “ С • (г I ffnt/3uo)
V- (р0Г|).
/Г.-СЙМ*»,. J0,	(3.24)
где учтено, ЧТО /о ~*0 при и0 -*°о.
После подстановки (3.20) в (3.22)
...Л1„1П	’ 7	(4.2*.) преобразуем подынтегральные
выражени шью векторно-диадного тождества (2.20), а именно v0 V,-(П/о) = ?г*(ГЛ0/0), v0 V„ ♦ (р,/0) = vv . (p,vo/o)-yt/0.
Vw)v0 - Hj. Тогда (3.22) прини-
v0 Vr • (г i/o) = V,. (riV0/0), rae учтено, что О’. • Vr)v0 = о и (v,. мает вид
/i('o. О = -е Vr. [rjv0/0d3u0]
-e/Vv • (h Vo/o)</3uo + e fvxf0d3v0
(3.25)
где величина в квадратных скобках является диадой. Второй интеграл в (3.25) записывается по аналогии с (3.24) как [39]
/Vv • (yi v0/о)с/3н0 = lim f(»o • ₽|ЬоЛЛ, «0.
«О
Тогда (3.25) с учетом (3.9) и (3.11) приводится к виду
/! = — V • (р0Г]М0)+рор,.	(3.26)
Для дальнейшего преобразования (3.26) используем (3.10), в результате чего получаем окончательное выражение для плотности тока
Э(Ро^т) _
/1=	~	+ vx (РоП Х«о).	(3.27)
Таким образом, кинетическое рассмотрение дало те же выражения для v j, Д] и /1 в P-переменных, которые были получены в § 2 и в приложе* ниях 1 и 2 на основе макроскопического рассмотрения. Полная тождественность всех соотношений, выведенных на основе различных физических предпосылок, обосновывает применимость Р-описания к невырожденной плазме.
Подводя итоги поляризационному описанию плазмы и переходя к рассмотрению граничных условий, следует подчеркнуть основной недостаток ^•описания по сравнению с Лописанием, который делает необходимым введение P-переменных для анализа волновых процессов в ограниченных СЛОЯХ плазмы с поперечными колебаниями границы. Оба способа описания имеют дело с полевым представлением плазмы либо в виде заряженной среды, характеризуемой полем скорости «i(r, I) (в А'-опмсании), •1ибо в виде поляризованной среды, характеризуемой нолем вектора поляризации pt (го, /) (в P-описании). Зависимые переменные в этих двух ^писаниях связаны между собой динамическими соотношениями, так что и|,исание не является противопоставлением A-описанию, а дополняет
Н1
и расширяет его, приближая к частичному (лагранжевому) описанию путем введения новой динамической переменной вектора смешения частицы Г| под действием сигнала. Принципиальное различие между ними заключается в выборе независимых пространственных переменных: в f-описании это координаты г возмущенного положения потока носителей, а в Р-описании - координаты г о невозмущенного положения При поперечных колебаниях границы потока под действием сигнала положения и форма этой границы заранее неизвестны, что делает невозможным рассмотрение этих колебаний с позиций чисто эйлерового описания. При использовании P-переменных необходимо знать положение границы потока в невозмущенном состоянии. Тогда его возмущение сигналом и есть основная динамическая переменная г у {г 0, t), которая должна быть найдена из решения граничной задачи. При этом граничные условия задаются на невозмущенной поверхности потока, положение которой считается известным из решения статической задачи.
§ 4. Поверхностные источники электромагнитного поля и электродинамические граничные условия
1. Проблема электронной структуры и электрических свойств реальных поверхностей полупроводников чрезвычайно сложна даже для равновесных условий, не говоря уже о дальнейших осложнениях при наличии неравновесных возбуждений. Поэтому необходимо разработать достаточно простую модель поверхности, которая физически корректно учитывала бы влияние поверхностных зарядов и токов на малосигнальное поведение носителей в объеме полупроводников.
Поляризационная модель полупроводниковой плазмы с дрейфующими носителями при приближении к поверхности полупроводника применима вплоть до некоторой границы, которую будем называть эффективной границей потока носителей. По другую сторону этой границы располагаются приповерхностные слои полупроводника, свойства зарядов в которых отличаются от их объемных свойств и, строго говоря, не могут быть описаны в рамках гидродинамической модели. Поэтому влияние зарядов в приповерхностном слое (подвижных и локализованных) на процессы в объеме полупроводника разумно учесть введением поверхностных источников (зарядов и токов) на эффективной границе.
Как известно |42, 43], вблизи реальной поверхности кристалла имеются локализованные поверхностные состояния, возникшие, во-первых, из-за обрыва идеальной кристаллической решетки, действующего как двумерный дефект (состояния Гамма и Шокли), и во-вторых, из-за присутствия дефектов и примесей на реальной границе кристалла (в том числе окислов и адсорбированных слоев инородного материала). С этими поверхностными состояниями связаны дискретные (или непрерывно распределенные) уровни энергии, лежащие в запрещенной энергетической зоне кристалла. Эти уровни в принципе могут действовать как поверхностные ловушки или рекомбинационные центры, обменивающиеся зарядами с объемом полупроводника Однако времена релаксации поверхностных состояний ддя реальных кристаллов много больше периода СВЧ колебаний, так что их влияние (как и процессов рекомбинации в объеме) пренебрежимо мало-102
ппиложенные по н\|° Г,,Ь,е. СОСТОяния и в,,с,ш*ие электрические но Л ' 1	к поверхности, могут созданать пряженные
П£!*а|||₽нИЯ fnnu ° КДНс,,Ня (при недостатке основных носителей), а молгиппим Ь1Тке основных носителей) или инверсии (при избытке неосновных носителей) [42, 43|. В случае сильного обеднения носители оттесняются от поверхности, гак что эффективная граница потока не совпадает с реальной границей кристалла. В случае обогащенных (или инверсионных) слоев, где в приповерхностной области имеются подвижные носители заряда, ситуация более сложная. Свойства этих подвижных носителей отличаются от их свойств в объеме полупроводника Гранина кристалла приводит к дополнительному рассеянию носителей, движущихся в поверхностных слоях, так что их подвижность, как правило, меньше объемной подвижности [43, 44]
Ниже, будет показано, что подвижные носители в поверхностных слоях можно рассматривать как двумерный газ заряженных частиц со средней частотой столкновений pt0 > р0 = т~*0 (как результат дополнительного поверхностного рассеяния), определяющей поверхностную подвижность Мх = el,uvso<" - с/tnvQ. Более того, предполагаем для общности, что подвижные носители в поверхностном слое как двумерный газ испытывают тепловое движение, которое характеризуется по аналогии с объемным случаем поверхностной тепловой скоростью uTJ и коэффициентом поверхностной диффузии Ds = v?s/vs0.
Направленное продольное движение носителей внутри поверхностного
слоя происходит под действием касательной компоненты электрического поля Е т и нормальной компоненты магнитной индукции В п. Тогда сила Лоренца FT = е(£т + us ХВп), действующая со стороны электромагнитного поля на заряд е, движущийся со скоростью ut параллельно поверхности, не выводит его из поверхностного слоя. В общем случае возможно также поперечное движение носителей в слое со скоростью и}1. возбуждаемое нормальной компонентой объемного тока n-/t на эффективной
границе потока.
Носители в поверхностном слое, движущиеся в тангенциальном и поперечном направлениях, будем учитывать в виде эффективных поверхностных источников — заряда с плотностью р‘ { — ps 1 и тока с плотностью /\е* = JS1 + jilt созданного тангенциальным (/ц) и нормальным (/» л) движением носителей.
Эффективная граница может совпадать с реальной границей кристалла или быть удаленной от нее при наличии заряженных слоев на поверхности. В первом случае носители на границе потока не могут смещаться под действием сигнала в поперечном направлении и такую границу' оудем назыгать жесткой. При удалении эффективной границы от поверхности кристалла она в общем случае может испытывать поперечные колебания и по этой причине называется квазисвободной. Поперечные колебания квазисво-бодной границы учитываются в дальнейшем в виде эквивалентных поверхностных зарядов р'Л и токов ///, нанесенных на невозмушенную эффективную границу.
Модель полупроводника с поверхностными источниками схематически изображена на рис. 7. Здесь, кроме упомянутых выше эффективных и
«03
Пощц/оЬпйии*
Рис. 7. Модель приповерхностной области полупроводника с поверхностными источниками: / реальная |рш<ииа кристалла; 2 приповерхностный заряженный слой;
3	нсвоэму щснкос положение эффективной границы потока; 4 возмущенное по-
ложение к казнено бодной границы потока; 5 реальные поверхностные источники (рг( ’ ^т!	зффектнпныс поверхностные источники (р^( .//]). - эквива-
лснтыс поверхностные ИСТОЧНИКИ (PJ | . /, | )
эквивалентных источников, учтены также реальные поверхностные источники (pji и /,Г|). Они могут возникать лишь в модели жесткой границы потока, когда эффективные и эквивалентные источники исчезают. Появление реальных источников связано с локализацией и накоплением реальных носителей заряда на поверхности кристалла, что имеет место в следующих физических ситуациях [12]:
I) локализованные поверхностные состояния, роль которых в обмене зарядами с объемом полупроводника пренебрежимо мхча в диапазоне СВЧ,
2) бесконечно тонкий заряженный листок подвижных носителей, созданный накоплением зарядов на поверхности в результате:
а)	эффекта Холла при наличии статического магнитного поля,
б)	подвода носителей из объема полупроводника к поверхности нормальной компонентой объемного тока п при нулевой диффузии,
в)	стягивания заряда обогащенного (или инверсионного) слоя в бесконечно тонкий листок в пределе нулевой диффузии.
Таким образом, исключая из рассмотрения локализованные поверхностные состояния, можно сказать, что реальные поверхностные источники Р, 1 и /Л возникают на границе кристалла лишь в пренебрежении тепловым движением носителей (в приближении нулевой диффузии).
В дальнейшем вместо того, чтобы рассматривать сложное поведение подвижных носителей заряда в поверхностных слоях, будем представлять их в виде поверхностных источников, расположенных на эффективной границе потока.
2. Корректное введение поверхностных источников и анализ их свойств возможны лишь в результате применения предельной математической операции к уравнениям Максвелла, непрерывности и движения. Обычно эта операция заключается в интегрировании уравнений по элементарному обьему Д Г (рис. 8. а), расположенному на границе раздела сред, с последующим стягиванием этого объема в точку на границе. Результат применения такой операции к уравнениям Максвелла дает электродинамические граничные условия (ЭГУ) в привычной форме (2.1.5) —(2.1.8). Однако предельный переход Д V -* 0 возможен при достаточно резкой границе раздела сред, когда толщина переходного слоя Д много меньше тины 104
волны возмущения н среде, н ц ю
делать меньше толщины пс|)сх«м«1«МИИОМ сл^Час n»»»cofy оГтьема Д И нельзя ситуация существует при распрост СЛ°Я & <рИС’ Я’ Имс,,ио такая чвскых волн, длина которых М( 1 |’’",с,,ии н плазме медленных квазистати рая в свою очередь является мивм^П|’Ий’ИЖаТЬСЯ К 8еличиие Л о.кото-расстояний в плазме Поэтому ни» ?ЫМ масн,табом макроскопических д Г. равной толщине переходного г . дМ ФиксиР°вать «Ь1с0ТУ объема ходД5-*0.	° Слоя А. и совершать предельный пере-
Нвсдем в рассмотрение предельную операцию в виде интегпиоования по объему Д V, деления результата ня Л с ,, ,	Д интегрирования
> у тэта на ДЛ и перехода к пределу при Д5 -+0.
с. ы ор положения элемента объема ЛИ на эффективной границе потока (а) и распределения плотности заряда р0(г) для обедненного (б) и обогащенного (в) сл®с^Л показыыаюшие взаимное расположение эффективной границы потока (при у — 0), внешней стороны переходного слоя (при у — А ) и реальной границы кристалла (при у - ае). I - полупроводник. II - переходный слой. III - внешняя среда Будем обозначать эту предельную операцию специальными скобками ]...[. Тогда для произвольной величины А получаем
м 1 • дй. тг ЛAiV - №. it L Чл Js в
-h(y)dy-	(41)
где
=— f A(y)dy	(4.2)
Д о
- усредненное по толшине переходного слоя значение величины А. Как видно из (4.1), предельный переход Д5 -» 0 не является принципиально необходимым, так как операция )Л [ свелась к интегрированию А (у) по переходному слою Д. Следовательно, размерности величин А и |Л [ отличаются друг от друга на размерность длины. Поэтому из всех физических величин Р и / являются единственными величинами, для которых соответствующие нм 1 р [ и ]/ | имеют непосредственный физический смысл поверхностных плотностей заряда и тока:
Р» = ]Р|= I P{y)dy = Ьр°\ Л = 1/1= ?j(y)dy= bjav .	(43)
о	о
105
llpcjicioHHM p( v> •• ниде интеграла Фурье
/>(,у)  i p(ky)fflkyydky,	(44)
« «в
Тогда усредненное по толщине Д значение равняется
I А	" ат(АуД/2) » ал..
р‘" -—1рМ<1у • / р(К,) т > ЛУ^кг	MJ)
До	-- ЛуД/2
Появившийся в (4.5) весовой множитель чт(АуД/2)/(А>,Д/2) к тому, что в поверхностный заряд р,  Др" вносят вклад лиги, м>. ме значения волнового числа ку 2п/Д, т.е. для короткоиолг-’-ылл лущений с X ,, <С Д поверхностные источники пренебрежимо малы
Применяя предельную операцию J...| к дифференциал», с • преторам, определенным равенствами (П.3.5)— (П.34), получаем ля вольных векторов Л, В и скаляра следующие сооти'ип чия д
] V<p[ = / (V^)tZ.y = (л* <р* + л ') ♦ V, |<р |,	*4.6)
о д
] V 4[ = f (VA)dy = (л* /Г+ л"-4") + V, ]А [.	(4.7)
о
д
] VX4 [ = J(VX4)t/y = (л*Х А * + п X А ) ♦ V, X | А (.	(44)
о
д
| Г (4Я)[ = f (V (AB)]dy = |(л* А*)В* *(л А )Я J ♦ V, )АВ1 о
(4.9) Здесь верхние индексы ± характеризуют значения физических величин, взятые на разных сторонах переходного слоя, отмечаемых единичными внешними (по отношению к этому слою) нормалями п п на внутренней стороне (при у = 0), прилегающей к потоку носителей; п* = +л на наружной стороне (при у = Д), прилегающей к диэлектрической среде (см. рис. 8,а). Величины, стоящие под знаком оператора V,, определены соотношениями (4.1) и (4.2), т.е. равняются усредненным по переходному слою значениям »рли, Aav и (4Я)ви, умноженным на толщину слоя Д. В дальнейшем будем применять предельную операцию ] ... | к уравнениям Максвелла, непрерывности и движения, используя равенства (4.6) (4.9).
3. Начнемс уравнений Максвелла (2.1.1)-(2.1.4), которые после дейст-
вия операции ] ... [ дают соотношения л*Х£1++л'Х£1’ = -Zw|M-v>X (ГД,	(4.10)
л*Х Ht + n'Xif; = ]/i[ + /w|D,(- V,X !//,{.	(41!)
D{ + n Di » ] Pi [ - V, • ] £),(,	(4.12)
n* Bt + n- в; = -v, -]/),(4.13)
Левые части векторных равенств (4 10) и (4.11) содержат лишь касательные к границе раздела компоненты, в го время как правые части
106
имеют ” нормальные компонент! 
*	,	_	и™» которые должны обращаться и нуль:
(»Х |S„|) . 0	(4|4)
|А„|	(4,
Касательные проекции (4.10) и (4.11) вместе е (4.12) и (4.IJ) дат 1лектродинамические граничные условия (ЭГУ) в форме
яХ(£?-Я?) = -/Л,	(4.16)
п X (Hi - Я|) = /п,	(4.17)
я •(/>!*-/>Г) * Рн,	(4.18)
п-(Bl - Bl ) « д71»	(4.19)
где л — единичная внешняя нормаль к поверхности полупроводника. Из сравнения (4.16)-(4.19) с ЭГУ в форме (2.1.5)-(2.1.8) видно, что учет конечной толщины Д переходного слоя дал в дополнение к имеющимся в (2.1.5) —(2.1.8) электрическим поверхностным источникам в форме
Рл =	]Dlr[,	(4.20)
Л1 = J /17 [+^]0.r [-V,x ]Я1я [,	(4.21)
также магнитные поверхностные заряды и токи
РГ1 =	I.	(4-22)
/3 = fw]/?lr( + V,X J£i„[.	(4.23)
При записи (4.14) —(4.23) использованы выражения для касательной и нормальной компонент поверхностного ротора любого вектора А
(^sXA)r = V,XX„. (V,X4)n = V,X/1r = -nV, (яХ4г). (4.24)
4. Перейдем к анализу электрических поверхностных источников. Для вычисления ]Pi [ и ]/1 [ = ]/1т I + ]Лл I используем выражения (2.14) и (2.19) для объемных плотностей заряда и тока в поляризационных переменных, а именно
Р1 = -Vpi = -V(p0'i),	(4-25>
ji = /topi + VX (pi X «о) =	+ vx <РоП х “0).	(4.26)
Применяя к (4.25) и (4.26) предельную операцию ] . . . [ с использованием (4.7) и (4.8), получаем
] Pl ( = -(л* • Pl + п Pl ) - V, • 1 Pit 1 ~п -Pl -	' 1 Pofir I’ (4,27)
I />г I = Iя* ’ (Pi* X «о ) + л  (рГ х «о )] +
+ /w]plr | + X ]pi X м0[„ =
= (л- Pi)u0 + /cojpor1T I + ?,X 1Рог»т x “ol.	(4—8)
l/jn I = /w]Pi« [ +V, X |pj x M0|r =
	/co ]pofiw I (n X ]роГ|Х Mo I)
	/ W Jpo'j n I +я^з ’ I (n Por( )M0(1	(4-9)
где обозначено pt P\ и м0 м0. При выводе (4.27) (4.29), во-первых, 107
использованы равенства (4.24) и. во-вторых, учтено, что носители дрейфу, ют вдоль поверхности (л  и0 = 0) и на внешней стороне переходного слоч (при у * Д) всегда л* pt+ = р£(л* • гГ ) = 0, так как для обедненного слоя (см. рис. 8, б)
ро -0,	(4 30')
а для обогащенного слоя (см. рис. 8,в)
Ро * 0, п'	= О.	(4.30")
Здесь равенство л+  rf = 0 физически означает невозможность поперечных смешений носителей на реальной границе кристалла из-за существования сильных внутрикристаллических полей, вызванных обрывом решетки
Подставляя (4.27) и (4.28) в (4.20) и (4.21), получаем значение плотно, сти заряда электрических поверхностных источников, записанное в виде
суммы слагаемых
₽я=р;{+рЛл, /:{+/;?.	«зи
учитывающих эффективные поверхностные источники (индекс "ef" далее опускаем)
p'/isPsi = ~7з • 1 РоПг I = -V, •(₽,<)'и)»	(4.32)
/11 =hi =i^]Po’’ir I +V, X |рог1гХ и0| =
—	X (Pjo^ir X us0),	(4.33)
эквивалентные поверхностные источники
Рп =Л Pi ePo(" n).	(4.34)
hi = (Л • Pi )«o = (n n )Po«o	(4.35)
и дополнительные поверхностные источники
]О1Л=	(Д/>Гг),	(4.36)
/п = /щ]£)1г[-7тХ]ЯП1(=/(0(ДР^)-Г,Х(ДЯГп).	(4.37)
Последние появились из уравнений Максвелла как следствие конечной толщины Д переходного слоя. Здесь использованы (4.1), (4.2) и введены в рассмотрение усредненные по поперечному спою величины, в том числе статическая поверхностная плотность заряда pj0 = Дро11 и средняя скорость дрейфа носителей в переходном слое uj0 = Uou .
Из сравнения (4.32) и (4.33) с (4.25) и (4.26) видно, что эффективные поверхностные источники связаны со средним касательным смещением носителей в переходном слое соотношениями, аналогичными объемным переменным. Так как равенства (4.25) и (4.26) полностью эквивалентны эйлеровой форме (1.11) для объемного тока jx = potii + pjuo, то по ана-логии для поверхностного тока можно записать
fsi ~ Psousi +PxiusOt	(4.38)
где введена тангенциальная или продольная (вдоль переходного слоя) поверхностная скорость usl, которая связана с соотношением
«л =iujraivT +(i/10 • Vs)rf«,	(439)
аналогичным (2.18) для объемных переменных.
108
^\нвн<'нпшниш Ml *?Тп,,НИКов> Учитывающих поперечные колебания ^фективной Гранины потока, из (4.34) и (4.35) следует выражение
/№^“о.	(4.40)
Сл едова1 ел ыю,^^”В‘’Л.’'Н,НЫ“ JaP”4 Р»‘/ движется со скоростью дрейфа и0 ^отсутствует (p'g ЕУ0^°ВОДНИК‘> а соответствующий ему статический (?6^п^тавленныхИпУиПОПСРеЧНЬ,Х колебяний носителей в переходном
СЛ°®’ Afiniwauark <	” ПОВСРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТИ ПОПСрСЧНОГО ТОКИ
(4.29), обозначаемой в дал ьнейшем как
= 1/1 л I - ' MW™ + nV, • [(л . pjOrf°)ajO |.	(4 41)
Полагая эффективную границу однородной в статическом режиме (Vjfto uso ~ °), легко преобразовать (4.41) к виду
/: Г = PsOurl .
(4.42)
«л! s = (wrft + (и,0 • Vjrfv	(4 43)
- средняя поперечная скорость движения носителей в переходном слое. Выражение (4.43) полностью аналогично поляризационной скорости (2.18) дня движения носителей в объеме полупроводника. Таким образом, смещение носителей в поперечном направлении не сопровождается переменным зарядом (р.т1 — 0), а поперечный ток (4.42) создается движением статического поверхностного заряда рго с переменной скоростью .
5.	Перейдем к анализу электрических дополнительных и магнитных поверхностных источников. Далее выясним роль граничных соотношений (4.14) и (4.15), чтобы найти условия, при которых влияние этих источников пренебрежимо мало.
Полагая, что ось z, вдоль которой распространяется волна с волновым множителем ехр(— ik:z), лежит в плоскости границы потока носителей, из (4.22) и (4.36) получаем
р” = -V, • 1 BlT [ = -V, (ДВ^) = 1(*2Д)^,	(4.44)
Рп = -V, • J Dlr I = -V, (A.D™) = ((*2Д)П?”.	(4.45)
Отсюда, как и следовало ожидать, вытекает возможность пренебрежения зарядами р?\ и р^, при малой толщине переходного слоя по сравнению с длиной волны (£ГД < 1). При этом граничные соотношения (4.18) и
(4.19) принимают форму
n (Df-Df) =	+ р^,	(4.46)
" (*i*-*f) = 0,	(4.47)
совпадающую с (2.1.7) и (2.1.8), где = psi + р'Ь
В этих условиях также могут быть опущены поверхностные роторы ViX]£ln| и V,X ]Н{„ [ в выражениях (4.23) и (4.37), тогда
/н * /со |£1г ( = /ш(ДЯ?”) =	+	(4.48)
>а<]	/LlKiA	„
/я * i!ы	т [ = / сэ( ДЯ™) =  ---- (£t*T + £|»,	(4.49)
>09
где в силу малости толщины переходного слоя усредненные значения полей £,**' и Н*'т‘ приняты равными полусумме их значений на краях слоя Перепишем (4.16) и (4.17) с помощью (4.31), (4.48) и (4.49) в виде
п X (£*г - £fr) +	(ЯГТ +Я1г) = 0,	(4.50)
п X (ЯГГ - ЯГг) -	(£*f +£Гг) = /„ +/'*.	(4.51)
Умножаем (4.51) векторно на (2//сое 1Д)л, а затем прибавляем и вычитаем (4.50),тогда получаем
(л X £1т) +
Л,Д\2 ~2~ I
/ А^Д V 1 \ 7 /
i
Hit----------Т
cjci Д

wcj Д .
i
U)t1 Д
(4.52)
(« х е;т)
ki Д
2
21
ягт
i
CJ€i Д
Y*
(4.53)
При условии = u>v/fiPi Д < 1 Два
частях (4.52) и (4.53) становятся равными, что дает граничное условие
л X (£fT - £j’T) = 0,	(4.54)
последних слагаемых в левых
совпадающее c (2.1.5).
Умножаем (4.50) векторно на -(2i/<*>Mi Д)л, а затем прибавляем и вычитаем (4.51), тогда получаем
(лхя;г)------— ।
сдД]Д
+
i
о>Д| Д
(4.55)
(л X Я,*г)----1—-
GJMl Д
= у (М +А7).
+
/
Д
(4.56)
Отсюда аналогично (4.52) и (4.53) при А^Д < | приходим к граничному условию
лХ(Я,\- Я1Г) =/41 +/,7,	(457)
совпадающему с (2.1.6), где //( - Д, +	.
Таким образом, при достаточно резкой границе, когда Л,Д~ <-Д	*•
ллектрические дополнительные и магнитные поверхностные источники ПО
i
+ —-
GOfj Д
2
Я
i
пренебрежимо малы, так что ЭГУ (4 16) (4.|Ч> принимают привычную д1Я заряженных нема1нигных сред форму С 1 5) (1 I 8)
В W ««МИЖИ в,„ „ £1г „ „ер„оаном
слое имеем * В ш и £ir ~	;\!°Гаа гРаничиое соотношение (4.14) записывается с учетом
(4.24) к (П.3.7) в виде
/сав|И = "V, (л X £|Т) = х £Jt _ х £	_
»-(ГХ £*,)„.	(458)
Легко увидеть, что (4.58) не имеет нового физического содержания, являясь проекцией уравнения Максвелла (2.1,1) на направление нормали п.
6. Прежде чем выяснжь физический смысл граничного соотношения (4.15). являющегося нормальной компонентой общего соотношения (4.11), установим связь эффективных и эквивалентных поверхностных источников с нормальной составляющей объемного тока п • /(, доставляющей заряд к эффективной поверхности потока. Для этого применим предельную операцию ] . . . [ к уравнению непрерывности (1.9) Тогда с учетом (4.1) и (4.7) получаем
П+л’/Т =	(439)
где. согласно (4.27), (4.28) и (4.32) -(4.35). имеем
]Pjl = Psi+Pn, 1/1т( =/л +Л7-	(4-60)
Так как внешняя граница переходного слоя (при г = Д) соприкасается с диэлектрической средой (без объемных и поверхностных зарядов), то, в силу (4.30), как для обедненного, так и для обогащенного слоев имеем
Я* /Г = Ро1л+ •«!*) = о.	(4-61)
Обозначая /\ =/Г,из (4.59)-(4.61) получаем
л Ji = / w(p51 + р7 ) + V, • (/п +/7).	(4.62)
На основании (4.32) и (4.33) для эффективных поверхностных источников можно записать
iwpsi +VS jsl = 0.	(4.63)
Тогда из (4.62) следует граничное соотношение для эквивалентных источников
»wp7 + V, •/// = п ji,	(4.64)
где и /,7 определены в виде (4.34) и (4.35). Беря нормальную компоненту от плотности тока (2.19), легко убедиться в то.м. что равенство (4.64) выполняется тождественно.
7. Теперь выясним роль поперечного тока /Т1 = ]/,„[ в переходном слое, входящего в граничное соотношение (4.15). Это соотношение при условии, что
] Din ( = (Di,, + D[„ ), ] т [ = j (Hi- + Н;г ),	(4.65)
принимает форму
'л * d ; - п - р,-)+v, • (п * х н; - п ’х н;»= - 2	.66)
1И
. а и _ ' . j гае /|и =
| п j' । ( - усредненная по переходному слою вели
чина нормальной компоненты тока n-jt. Используем в (4.66) граничные условия (4.11) и (4.12), в которых пренебрегаем дополнительными поверхностными источниками (р^/ =	= 0), тогда получаем
м»' о; и<₽„	)]+v. [я’х и;-	»)-/“•	'“•ч
< п • о;- ₽„ +р,7»+V,  in* х н; - ы /„47 >1=•	• -»,ь a ।
С учетом (4.62) эти соотношения принимают вид
iw(n"Z)l’)+VJ(n’X Я,") = 16(л	(4.6«Ъ
»uj(n’ D;)+Vv-(n’X	= '-2(л /,)	(4.70»
Проекция уравнения Максвелла (2.1.2) на нормаль п = п - —п даст на эффективной границе потока (при г = 0) равенство
— V , • (л X Ну) = ia)(n • Dy^) + п .	(4 ?] |
из сравнения которого с (4.69) получаем средний поперечный ток в переходном слое:
=А(л или Л1 = л/|4“=зжя7|).	<4-7-'
Тогда (4.70) дает нормальную проекцию уравнения Максвелла (2.1.2) на внешней стороне переходного слоя (при г = Д) в форме
—V , • (л X Н*\) = /ш(л • D\),	(4.73)
соответствующей отсутствию здесь (при г = Д) нормальной компоненты тока л* =0.
Таким образом, поперечный поверхностный ток /5 = Д/ ^ играет важную роль в граничных условиях, обеспечивая "зануление” нормальной компоненты тока на внешней стороне переходного стоя. т.е. выполнение граничного условия (4.61).
8. Из сравнения поверхностных уравнений непрерывности (4.63) и (4.64) для эффективных и эквивалентных источников выясняется разный физический механизм возбуждения этих источников Нормальная компонента объемного тока л /, ’’питает” эффективную границу потока, возбуждая ее поперечные колебания лг>, учитываемые в граничном условии в виде эквивалентного заряда р'Д = р0(л г1), записываемого на основании (4.40) и (4.64) в виде
л| »(ш — ktu0cos6 )
где к. проекция волнового вектора к на направление дрейфа носителей u0 = е.и0. В отличие от этого, эффективный поверхностный заряд.
112
записанный на основании (4.38) и (4 63) в виде
Pl1 /(w-Мл) ’	(4.75)
нс ’’чувствует нормальной компоненты тока п i на эффективной грани-Он возбуждается за счет	'» на эФФек™внои грани
ц лгьлстм и котлпяо и «однородности продольной поверхностной сК Р°Пппе|1| ’ г г СВ0К> очеРедь порождена касательной компонентой силы Лоренца F. т - е (£>т + Их0 х в(<|) в переходном
^rrernrn^Tn^V K3P™Ha '-Ушествует лишь при конечной толщине Д пеР®х -	* ' пуделе нулевой диффузии, когда Д — 0. для квази-
сво о Р иы потока с обедненным слоем принципиальных изменений в физической ситуации на поверхности потока не происходит: сохраняется эквивалентный поверхностным заряд (в виде поперечных колебаний границы), питаемый током л •/,, а эффективный заряд становится пренебрежимо малым.
В случае обогащенного слоя приближение эффективной границы потока при Д -*0 к реальной поверхности кристалла подавляет поперечные колебания границы (те. исчезают эквивалентные источники). Эффективный заряд в переходном слое стягивается в бесконечно тонкий заряженный листок, дающий реальные поверхностные источники p't и /(г( на границе кристалла. Применяя к этим источникам предельную операцию при Д -*0, из уравнения непрерывности получаем
* V, /ы =п ц.
(476)
Полагая в общем случае по аналогии с (4.38) реальный поверхностный ток в виде
/и “Рхо",1 + Дн“л»	(4.77)
из (4.76) приходим к выражению
. = »;Л -У,-О>А>«а»)	(4.78)
/(о) - kzul0 )
Таким образом, реальный поверхностный заряд возбуждается как нормальной компонентой тока л-/, (подобно эквивалентному заряду), так и неоднородностью поверхностной скорости Vt • (р[0“и) (подобно эффективному заряду).
Дальнейшая задача состоит в выводе, во-первых, уравнения движения поверхностных зарядов для нахождения м31 и, во-вторых, дополнительных граничных условий (ЛГУ), необходимых при учете ненулевой диффузии. И то, и другое будет получено ниже применением предельной операции | ... [ к объемному уравнению движения (1.10).
§ 5. Вывод уравнения движения поверхностных зарядов и дополнительного граничного условия
1- Прежде чем переходить к математическим операциям над уравнением Движения. вычислим статическую плотность поверхностного заряда
8 переходном слое, необходимую в дальнейшем при анализе граничных Условий для обедненного и обогащенного слоев.
А.Д. Барыбин
Представляя распределение заряда н переходном слое по Больцману
РоО') • Ро схр(-е^0(у)ЛБ7')>	(5.1)
। де р0 однородная плотность заряда в объеме полупроводника, получаем уравнение Пуассона в виде
^о(у) Ро| ,	/ е^о(У)
-----т— = — I - exp I---------- dy2 fi	' къТ
Интегрирование левой части (5.2) по дает
। г
~— d*0=f — dy*	dy
d*fo( d2ip0\ d<p0 , df0\ l/d<p0\
—— |<7v = f <71  = —I I dy* J dv \ dy / ~ \ dy '
(5.2)
Тогда интегрируя по правую часть (5.2) и находя постоянную интегрирования из условия d^e/dy = 0 при <0 = 0, получаем для нормированного потенциала К0О’) = е<р0 (У)/кь Т уравнение
dY<Ay) _ ? dy
(5.3)
Здесь верхний и нижний знаки соответствуют обеднению (Yo > 0) и обогащению (Уо < 0). В данном случае (в отличие от рис. 8) ось у направлена в глубь полупроводника с началом на его поверхности, где задан поверхностный потенциал <^01 (или YOf = е^0}/ къТ).
На основании (5.1) и (5.3) записываем плотность поверхностного заряда в переходном слое:
dt	о
Р10 = f Po(y)dy =Ро f о	rOj
dYo =
e~Y°dYQ
х/е ~у° +	-1
(5.4)
где <70 - ширина приповерхностной области объемного заряда: для обедненного слоя d0 - >/2ег\рОц/ро = ID х/'З Уо/ > I и, для обогащенного слоя d0 =s ID. Интеграл (5.4) в общем виде не вычисляется.
Для случаев сильного обеднения (У01 > 0) и обогащения (KOj < 0), когда | YOs | > 1,из (5.4) приближенно получаем
lD<
(5.5)

(£*)	----7jle-^r0=»<nDexp(yM. (5.6)
\^0 /обог V - О	\ Z /
Так как р*0 =	, то на основании (5.5) и (5.6) можно приближенно
принять для обоих случаев Д * (D, а усредненную плотность заряда в пере-
114
ч0дн°м сяос ПОЛОЖИ1|> Рапной
Vff/2 Ро * Ро
х/2росхр(|е^Ог |/2ЛбГ)>Р()
Для обедненного слоя,
Для обогащенного слоя.
(5.7)
2-№.ккХю™7" ур“"ения тихетя ™ы« э. Ряд0 !».< И 10) к-огпп	ВЬ1Вояа используем объемное уравнение
движсп ’ Р° ”eoJXO'WMO привести к форме, содержащей pt и Л io/i (П 28 ппЛЬн УМН0Жаем 0.10) на р0 и с помощью (1.9), (I.H). (2.20) и (П.2.8) преобразуем к окончательной форме
Mibh-M aMi +V -(«о/. +Ли0 -р1МоИо)-
+У1 Х В^~т +/о ХЛ,) +
+ u’VPi + п0/1 + Н/о =0, где введены обозначения e_L „ =________L 1₽1
Р° Гро ’	1 Гр0 Тро ’
(5.8)
(5-9)
а фигурные скобки обозначают совокупность переменных, определяющих величину М\ {...).
Применение к (5.8) предельной операции ] ... [ с использованием (4.6)
и (4.9) дает следующее соотношение:
[(л*7*)«о +(л '7i")«o] +п?(л*р1 + л‘р^) +
+	[+	‘ ]«О /1 *huo ~ PiUqUq ( —	] PiFq +/i X Во ( -
-^JPofi+ZoX/?! [+V	[ + ]ро/1 +и/о[ = 0,
(5.10)
где учтено, что л ’ • До = л ’ и~0 = 0.
Обозначим суммарный (продольный и поперечный) поверхностный ток как /v, = /, । + Д . Тогда с учетом (4.1), (4.27) - (4.29), (4.32) — (4.35) и (4.41) можно записать
1/>, [-дрГ=>„ +р,7. 1Л 1 = Д/Г=4. +Л7-	(si»
Для статических величин аналогично имеем
]р<> [ = Др™ =pj0 ,	]/о [ = Д/=Ло ~Psouso ’ “о •	(512)
При вычислении слагаемых в (5.10) будем использовать (5.11), (5.12) и Учитывать, что для эквивалентных источников pi0 - 0, us0 - и0 и другие «рзкгеристки движения (в,1, "о) ”кже совпадают с объемными 1см' Н). С учетом этого отдельные слагаемые в (5.10) равняются
'“I/, [.MA/D’Mv, +'«//’	(513)
)“о/1 [» V, • «"Д/Г"» = т, • (».о/д I >+7т  <“»А7 >	15 *♦>
о»	• • 5
V,]/1«0[ = VJ-(M“XU)=V,‘(/x1^o)+Vr.(/J7Uo),	(5.15)
V,]P>Mo[ = Vt.(ipfW) =
= V, '(Pn“iO«5O) +v, (p,7Mo“o)«	<516)
1 p,£0 +/. X Bo [ - (Др^Г + Д/7 X О =
= (p,1£oU+fxi ХОЧр,7£оЧ7ХЯ0).	(5.17)
JPof, +/oXB, (=(Др0°Хи +4/0ewX2O =
= (Р,о£?+ЛоХЯ‘Ч	(5.18)
]V?P1 [а(«Ъ*,’ДрГи = «?>Рл +w’p,7.	(5 19)
]voh ♦Мо( = <Д/Г + 0/ои =
= (‘'.о /х, + F,! /г0) + v0 /,7,	(5.20)
где аналогично ит,т>0, v i введены поверхностные величины ит,, р,0. vt i-Подставляя (5.13) - (5.20) в (5.10) и учитывая, что pf = л* •/г, = О, получаем новое граничное соотношение:
( /, IU„ tnujp, •#„(>„	+
• +Xi’lP.7./,7lt41U.1).	(5.21)
где
Д»1(РЯ .Л|> S'W/»| +Vj («jo/,1 +Л,«я) - Pji«so“io) -хв;->-й ((>«>£,'“ */rtx «7) +
+ ur»VjPji +^к>/з1 +vtiisO:	(5.22)
*7u,7 • /7>» м ,7+ v, •«/,7) -^ (р7е0 +л7 х Ло) +
^?V,p,7^o/7.	(5.23)
='W/,X + V» (“зоЛ1)—^(/sx X В“и) + р,о/,. .	(5.24)
Выражения (5.22) - (5.24) по структу, е повторяют .tf,{Pi,Л) в форме • ), в которой объемные переменные заменены на соответствующие поверхностные переменные, указанные в фигурных скобках. Выражение с помощью (4.40), (4.64) и (П.2.8) может быть преобразовано к следующему виду:
мз7 * (« /1 »“о + w? | Г,Рл7 - я V2 1" г« >]•	(5-25)
L	о/1	J
116
Запишем с учетом (5.25) нормально торного граничного соотношения (5.21)
J дРо
И'1МГ("Г'Т«<-М(*,Л,
dpo
10 и касательные составляющие век-соответственно в виде
(5.26)
(*я).+<«.х)г=-«?у,/>;>’
(5.27)
Равенство (5.26) является дополнительным граничным условием (ДГУ) которое в дальнейшем будет -работать" лишь ори X О
Левая часть (5.2.1 может быть преобразована к виду
(Afjl )т + ( )т ~ РзО${р11 , Ит1) ,
(5.28)
где
S{Pn «ы) =^о[Ин -Д,(£Г;+и,о
+ ,„	♦ £„„].	(5.29)
При выводе (5.29) было использовано приближение полупроводниковой электроники, а также формулы (2.20), (4.38), (4.63) и граничное соотношение для статических величин
ут(п	+ п -ро ) = - (us0 V,) До + (Р,оЕаои + До X *7) -
— утз^sPsO ~ ^jo Ao »	(530)
полученное применением предельной операции ] ... [ к невозмущенному уравнению движения (П.2.8), умноженному на р0.
Таким образом, равенство (5.27), как видно из (5.28) и (5.29), является уравнением движения поверхностных зарядов, описывающим возбуждение продольной скорости i/y, (входящей в левую часть (5.27)) объемными источниками, каковыми являются усредненные по переходному слою поля Е™ и > а также поверхностная неоднородность эквивалентного заря-па VjPj*, оказывающая влияние лишь при и ‘ # 0.
Анализ граничного соотношения (5.21) или его нормальной и касательной проекций (5.26) и (5.27) в общем виде является делом довольно безнадежным из-за их сложности. Поэтому в дальнейшем будут рассмотрены частные случаи плоских зон, обеднения и обогащения. В этих случаях упрощение граничного соотношения (5.21) связано с возможностью пренебрежения теми иди иными слагаемыми в его правой части. Так как величины Ми{рц,/Л1 ). (Рн' /'*> и	1 имеет одинаковую структуру
и отличаются лишь поверхностными переменными, указанными в фигурных скобках, то соотношения между ними определяются соотношениями между соответствующими поверхностными зарядами и токами. Для их °пенки используем (4.32) - (4.35) и (4 41), на основании которых
117
чаши нем
|р,11	lV,(pj0r7)|	Ро	аи Lll	К-Д 1.
। р7 ।	1Ро(л Гу )1	Ро	'in	
141 1	1 “*>р,ог 1т 1	р™	av г1т	(&Д),
1/71	|(л Г| )Ро«о1	Ро	'in	
1/ч1	1 «“Рзо г1п 1	аи Ро	au f 1 n	(M)-
1/71	1(Л г,)р0м0|	Ро	rl n	
(5.31)
(532)
(5.33)
Соотношения (5.31) и (5.32) будут различными для случаев обеднения и обогащения, однако (5.33) дает одно и то же соотношение для обоих слу-
чаев. Действительно, из (4.72) следует j = — (л / t), где в соответствии с (4.41) и (4.74)
(л =	- к2и0}р0гХп.
Отсюда видно, что как при обеднении (когда р'о * р0), так и при обогащении (когда раои >р0) всегда имеем
<'7 -РоГт-	(534)
Следовательно, в условиях слабой диффузии, обеспечивающей выполнение неравенства Л.Д =» k:lD < 1, на основании (5.33) и (5.34) можно записать
и	(535)
Это позволит ниже в процессе приближений пренебречь слагаемым Ms в (5.26) и (5.27).
Рассмотрение частных случаев начнем с режима плоских зон, когда на поверхности кристалла отсутствуют заряженные слои.
§ 6. Граничные условия на жесткой границе потока без заряженных поверхностных слоев
В отсутствие поверхностных слоев граница потока совпадает с поверхностью кристалла, так что статическое распределение заряда в районе границы представляет собой ступенчатую функцию, для которой Эр0/дд = 00 В этом случае при v] * 0 наибольшим слагаемым в (5.2 Г) с учетом (5.25) является последнее слагаемое в квадратной скобке (5.25). Оно дает граничное условие
л -г( =0 или	= 0,	(6.1)
отражающее отсутствие поперечных колебаний границы потока, совпадаю-
118
utf* пгг1Ьлппчра,Ш111'Й кристалла. При выполнении (6.1) из (4.74) получаем JU > в Ф°Рме
л / = °*	(6.2)
явля*ош*-’еся условием жесткой или полностью отражающей границы. Оно ранее применялось разными авторами на основе феноменологических предъявлении о взаимной компенсации токов проводимое™ и диффузии на границе кристалла при и‘ * 0.
В приближении нулевой диффузии (ц? = 0) взаимная компенсация токов невозможна, так что на границе имеем ток nj {	0 Этот ток подво-
дит заряд из объема полупроводника к его поверхности, где он накапливается в виде бесконечно гонкого листка реального поверхностного заряда Pi । • ^Ри этом работает граничное соотношение <4 76), позволяющее связать р[| ил j । равенством (4.78).
При vj * 0 общее граничное соотношение (5.21) с учетом (5.25) принимаем форму
-Л,) +	.{/, } =0.	(6.3)
Преобразуя (5 22) и (5.24) с помощью (2.20). (4.38). (4.42).	(4 63) и
(5.30). приводим (6.3) к виду
+tu-o V )«v, + (иХ| V )мт0-
u<o * TUi.i > + l\owii +,/»iWjo1 = 0-	(6.4)
где ib i = Ms( 4 и» — суммарная (продольная и поперечная) поверхностная скорость.
В отсутствие статического поверхностною заряда (р'о = 0) соотношение (6.4) выполняется тождественно. Статический зарял р'о может возникать на поверхности замагниченной плазмы при определенной ориентации магнитного поля /?(1. приводящей к появлению холловского поля Ео = —и,, X В,, (см рис. З.а), связанного с холловским поверхностным зарядом Pjq соотношением
PfO = Р5о ~ €| (Л Ео ) = €|Л (ill) X йо).	(6.5)
Этот подвижный заряд, перемещаясь вдоль поверхности с переменной скоростью w, 1, вносит вклад в реальный поверхностный ток (4 77). Скорость и, । может быть найдена из (6.4). Из сравнения выражения в квадратных скобках (6.4) с (1.10) видно, что оно представляет собой объемное уравнение движения при и? = 0 в обозначениях и, 0 = м„. “li ~ Ui, v,o = ро. »'«। - *Ч- Это не должно быть неожиданным, так как при плоских зонах движение носителей у поверхности ничем не отличается от их движения в объеме полупроводника, а при бесконечно тонком листке !|сверхиостного заряда Е*1 = £( и В ( (0) =	Следовательно,
И‘ • = “ir и ul0 -	, т.е. статический холловский заряд р/() перемещается
т 19
вдоль поверхности со скоростью, равной касательной составляющей объемной скорости к)г. в тягой ня поверхности полупроводника, в то время как переменный заряд .твижется с объемной скоростью дрейфа В резуль. тате чего реальный поверхностный ток (477) записывается в виде
Й *Рто«тг *Р.и“о-	-	(66>
а реальный поверхностный заряд (4.78) равняется
» /1 Г, tp.QWi,) j(cj Kmq )
(6 71
В приближении полупроводниковой электроники уравнение движения (1.10) дает выражение для и(, совпадающее с (1.9.21), а именно (при D, ~ 0)
U| =4j I fi ♦ «о X Bi).
где тензор дифференциальной подвижности = о* Ро лтя структуры с холловским полем дается формулой (1.9.32). Тогда (6.7) принимает вил
,	л/,	•(£, +И.Х2?,)]
р Ж------------------------------- .	(6.4 |
/(«-*.««)
где о? = P^aPj — тензор наведенной (холловской) поверхностной диф-,	- * в
ференциальнои проводимости, связанный с осоотношением
Формулы (6.5)	(6.9) выражают реальные поверхностные источники
через объемные величины, что делает замкнутой систему ЗГУ и позволяет решить любую граничную задачу для полупроводника с плоскими зонами в приближении нулевой диффузии.
Ненулевая диффузия, как увидим из дальнейшего, приводит к тому, что реальный поверхностный заряд "размывается" тепловым движением носителей в слой дебаевской толщины [12. 26). При этом в ЗГУ исчезают поверхностные источники и начинают работать ЛГУ в форме (6.2) для жесткой (или полностью отражающей) границы потока, совпадающей с поверхностью кристалла.
§ 7.	Граничные условия
на квази св ободной (ранние потока с обедненным слоем
1.	Если для полупроводника с плоскими зонами ДГУ вида п jt = 0 является точным, то в случае обедненного и обогащенного слоев анализ ДГУ (5.26) и уравнения движения поверхностных зарядов (5.27) будем проводить последовательными приближениями (по малому параметру I). выбирая в качестве нулевого приближения предел нулевой диффузии (£>,. =0 или * /о = 0).
120
Дчя обедненного слоя на основании (5.7) имеем р™ * Р<, Кроме того. кИ>зисвободнля поверхность потока на границе с обедненным слоем допу-.каст как продольные, так и поперечные колебания носителей (г** — г 1п)-Тогда из (5.31) и (5.32) при flc & — | к2 Д | < I получаем
М,,| <!»"<• 1411 < |/,71	<’•'»
Эти неравенства вместе с (5.35) обеспечивают для квазисвободяой границы потока с обедненным слоем при | кх Д | <1 соотношения
|*,J ~1М„ ।	(7.2)
На основании (7.1) и (7.2) процесс последовательных приближении может быть построен следующим образом.
В нулевом приближении (при Д = 0) полностью опускаем эффективные поверхностные источники (рп = /п =0). Тогда в ЭГУ электрический поверхностный заряд р^ создается одним лишь эквивалентным зарядом ре,\ . т-е- на основании (4.74) имеем
рея =Рн =Я Л ~ *«"• )•
Это равенство вместе с (4.40) делает замкнутой систему ЭГУ и позволяет решить любую граничную задачу для обедненного слоя в приближении нулевой диффузии. Выражение (7.3) для эквивалентного заряда на квази-свободной границе по форме совпадает с аналогичным выражением (6.7) для реального заряда (при р'/() = 0) на жесткой границе, несмотря на их различную физическую природу. Тождественность выражений (6.7) и (7.3) свидетельствует о физической неразличимости (вырождении) моделей жесткой и квазисвободной границы в приближении нулевой диффузии. Это вырождение снимается при учете даже слабой диффузии
2.	В первом приближении при слабой диффузии (ЛХД < 1) соотношения (5.31) и (5.32) позволяют по-прежнему (как и при De = 0) не учитывать эффективные поверхностные источники в ЭГУ (рх1 * 0и/л|	0). Тогда
определяется по формуле (7.3) нулевого приближения Учет слабой диффузии и первом приближении проводим с помощью ДГУ (5.26), которое в силу (7.2) не включает в рассмотрение эффективные источники в правой части Гак как на эффективной границе потока с обедненным моем (при у - 0) имеем др^дн = 0 (см. рис. 8,6), го (5.26) дает ДГУ Цервою приближения (без учета эффективных поверхностных источников) в виде
Р\ • 0.	(7.4)
Это условие противоположно условию полностью отражающей грани-(6.2) и соответствует полностью поглощающей границе. В данном слу-
Чае физическая ситуация такова, что весь объемный заряд р,, достав «мый нормальной компонентой тока л Л к эффективной границе, Исче’ает на ней (р( =0), преобразуясь и эквивалентный поверхностный ^Ря.ч. обусловленный поперечным смешением ква эи св ободной поверхно-
Потока. Граничное условие (7.4) по существу аналогично условию на
12»
nonepxHiH in идеального идеорбентн, mix которого скорость поглощения мною больше ско|мн in подводи iiuuicciiia из внешней среды независимо 01 iiowKii подводимого пешее।ин, адсорбент поглощает все вещество, обес-печи u и я нулевую плотность массы ни своей поверхности.
Прямую аналогию дополнительным граничным условиям (6.2) и (74) можно Н1Ш1Н и (сории спиновых волн |4S|, и именно условие жесткой границы (ни которой п pi *0) аналогично условию жесткого закрепления спинов (А/| 0) на поверхности магнетика, в го время как квазисвободная граница (на которой V 'Р\ 0) соответствует свободным спинам (л = - 0). Можно усмотреть также гидродинамическую аналогию этим Д| у отряжающая граница соответствует течению жидкости вдоль стенки, в го время как полностью поглощающая граница реализуется на кромке водопада.
В электронике граничное условие (7.4) полностью поглощающей границы впервые было получено автором 112] и применено для анализа распространения волн в полуотравняем ной полупроводниковой плазме [46| ив гонкой пленке полупроводника |2б, 47,481.
3.	Следующее приближение связано с учетом эффективных поверхностных источников как в ЭГУ, так и в ДГУ. Для этого, преобразуя нормальные компоненты выражений (5.22) и (5.24) с помощью (5.30), запишем (5.26) в виде
nvir pi +
ЙРо
— 0» n)
Эл
2/ ♦ ♦	_
uj (л р(> + п р0)-------
РаО
+ «то X + «,, X ед -/; J,
(7.5)
где о, =Р,оДА и дл = е/шл|0 - проводимость и подвижность носителей в переходном слое.
Так как в полупроводнике с обедненной областью переходный слой располагается внутри объема кристалла вдали от его поверхности, то естественно принять статические параметры этого слоя (гл0, д,,м$0) равными соответствующим объемным величинам (г0,	о0), при этом
о, = Рао Ра ~ ^PovPe * Дое. Учитывая, что для обедненного слоя р*о=0 (при у = Д) и dp'o/dn = 0, р] - р| (при у = 0), переписываем (7.5) в виде й701 - —	<7.б)
\ РгО '
При малой толщине Д переходного слоя будем принимать
RZ = «от. *Тя =	* + E'^Y	Wr = И(*г т + Я,-т).	(7.7)
Взяв нормальную проекцию уравнения движения (1.10), получим на эффективной границе потока (при у = 0)
I	De dpi
п (£7,t + M;X/Gr + Mlr ХЛ1Н.)= — (л-Л) +--------— .	(7.8)
ае	ае Э/г
Аналогичное равенство, записанное при у = Д (где pt = л* •/* =0), имеет вид
л (£,*„♦ «вх//;т + м;г хед = о.	(7.9)
122
физическим смысл (7.9) заключается в nr-vr
ца Fiit *а внешней стороне кв«эив1Г 1>еТВиипоперсчнойсилыЛорсн-щего с обедненной областью. одного переходного слоя, гранича*
Подставляя (7.7)-(7.9) в п
я /я ж^(я'ЛУ2, получаем ” -УЧнгывая. что, согласно (4.72),
_ (	Р°	Д др.
De\ Pi------psl +-—	’
* "	Psa	2
— (м*г + и^г) Х Яог| •
— I = —о»л -ал /	*
(7.13)
(7.14)
(7.10)
Естественно по аналогии с (7.7) определить скорость и*т на внешней стороне переходного слоя соотношением
и„ »И(И1т+мГг).	(7.11)
В этом случае отпадает необходимость в анализе поверхностного уравнения движения (5.27), а ДГУ (7.19) принимает вид
Ро	Л 3Pi
Pi-'---- P,i * — ~~ =0.	(7.12)
Pjo	2	йл
При достаточно тонком переходном слое (Л1) последнее слагаемое в (7.12) пренебрежимо мало по сравнению с pt. Эффективный поверхностный заряд pxi имеет вид (4.75). Тогда (7.12) записывается как
^f’(PoUjr)
Pi + -------------- = 0.
/(со -A2Uo)
где W|r- . Из уравнения непрерывности находим
Э(л /,)/йл + V, (рои1т)
Pi =-----;--------------------•
1(ш — к.и0)
Тогда (7.13) и (7.14) дают окончательную форму ДГУ второго приближения (с учетом эффективных поверхностных источников):
3
--(л 70 = 0.
дп
Таким образом, если на жесткой границе потока ’’зануляется” нормальная компонента плотности тока (л/i = 0), то при квазисвободной границе обращается в нуль ее нормальная производная (Э (л j\ )/дп = 0).
В гл. 4 будет показано, что использование вместо (7.4) ДГУ вида (7.15) не вдияет на дисперсию ВПЗ в приближении слабой диффузии, изменяя ’’ишь распределение плотности заряда по толщине пленки.
Учет эффективных источников в ЭГУ дает на основании (4.74), (4.75) и (7.13) значение электрического поверхностного заряда
л-Л -7,(₽во«1т) ж	,Лл ...
--------;---ч---------~----7----+ДР1. (716) i(Gj ~ k.u0)	i(G) - к. и0)
в соответствии с (7.1), pJt = A/h а < р'Ч Электрический по-Р<Ностный ток равен ie = .•«’а .
11 Л1 + Iji ~ ps । и0 + psq иi r.
(7.15)

(7.17)
123
Касательная компонента скорости м)т на эффективной поверхнг)ГТи потока находится из (1.9.21) с тон юрами Д') •toBdlpQ и Лг> Для струкгу , разного типа (см. рис 3), приведенными в формулах (1.9.24) (| 9.35,
§ 8. Граничные условия на жесткой границе потока с обогащенным слоем
1. Для обогащенного слоя на основании (5.7) имеем Ро1*р0ехрХ X (1 <Vo41 /2Л'бЛ >Ро Кроме того,сильное статическое поле в обогащенном слое (связанное с изгибом зон) подавляет поперечные колебания носителей (г1я< г*®). В результате этого (5.31) и (5.32) даже при слабой диф. фузии, обеспечивающей выполнение неравенства Д - |&г Д| < 1, могут дать при условии p“v (кг Д) > р0 соотношения
l/^K lAil,	(8.1)
обратные соотношениям (7.1) для обедненного слоя.
Эти неравенства вместе с (5.35) обеспечивают для эффективной границы потока с обогащенным слоем соотношения
IM,J« 1.^11.	(8.2)
На основании (8.1) и (8.2) процесс последовательных приближений следует строить, в противоположность модели кназисвободной границы, начиная с пренебрежения эквивалентными источниками. При этом можно полностью исключить из (5.26) и (5.27), полагая в них/я = р,0“^ -= 0. Эти равенства теперь с учетом (5.28), (5.29) и (7.5) принимают вид
bpo дн
ло| р} +
,	5 , ♦ ♦	Psi
{п г х) - -14 (Л Ро + Л Ро)----
Pso
- t>« — (ffS ♦ ».» X	+ «.i X ,	(8.31
т
-o,(e;j + u,0x«“ + i<„ х«0*„")+о,г,₽„ ♦
+	Л B.V.p/’.	(8.41
^10	^«0
В нулевом приближении (при Д = 0) полностью опускаем в ЭГУ эквивалентные поверхностные источники =/j/ =0). так как при ж,м эффективная граница потока совпадает с реальной границей кристалла, которая не допускает поперечных смешений носителей. На поверхности кристалла имеются при этом реальные заряды (4.78), которые дают един*-1 венный вклад в электрический поверхностный заряд р‘,>.
Для нахождения поверхностной скорости их1 надо обратиться к Is и (8.4). Так как и? = с^Д2, а, р,0 = Др™, то в пределе нулево диффузии (при Д »0) из (8.3) и (8.4) получаем
^1л=е(£\л+м|0Х/31т1-л1|Х//дг) = 0,
_	fji	(8.6)
ut\ ~	1 г + uj0 X Н\ ) + Ut| X д,Л()М	- UjQ.
^0
124
ряненство нулю и (8.5) отражает iu
й СИЛОЙ Лоренца Flr, в сравнении “Мож’,ость пренебрежения поперек-иэанннм с изгибом эон в режиме обо еияьным поверхностным полем, ^Выражение (8.6) является уравнением"’™"™
«штап, чп' быстрая поверхностная „ нахождения мл1. Будем Согреву электронного газа в обогащениТ^"*"1 ЭНер™И пРепятствУет Г = 0. В данном случае дополнительное пп».	’ ЧТ° позволяет положить
^му.что |i/,ol < I по |. Решение (8.6) иРассеяние ПРИВОДИТ
s Дf • <^*« т + мго X Вj „),
(8.7)
1 +&,2	1 )	(8.8)
- тензор поверхностной подвижности при наличии магнитного поля ВОп, bs~Ps^On	°)' 01 да электрические поверхностные источники
равняются
е г _ п	[д? (^17+«,оХ/Г1и)]
----------------.	<8.9)
Jji ~js\ ~ ° s ’ (^1г + uso X Bin) + pfiUj0,	(8.10)
Л П	АР
где (JsPsoPs ~ тензор поверхностной проводимости.
2. В первом приближении, наряду с эффективным поверхностным зарядом psi, учитывается также эквивалентный заряд ptf, они в соответствии с (4.74) и (4.75) равняются
Psi = ~ V, • (ProMf i )/i (^ “ кг	>
peJ ="	~кгио).
Поверхностная
Оценим отдельные
— Д.М?
"io
I __
I PfO Ut 11	| co - kz u0 I Ps0
так как при сильном обогащении (kz Д) ра
(8.11)
(8.12)
скорость u$i находится из общего уравнения (8.4). слагаемые в (8.4), используя (4.32), (4.34) и (439):
используя (4.32), (4.34) и (439):
Лд ------J—(8 и)
»?. г‘“	|4,д|
D, _ ч„1*г'п1д_4 , (8 14)
De |со-ЛгЫо1
aw г*(ЛхД) росхр(|е^оз1/-^БЛ ^'в'этом	(«.«)• Сяеаом'епыю. при №«»,.
«кии неравенств (8.13) и (8.14) скорость и,, можно вычисли.ыю форм) ЛаМп^7' " (8 Й) иУ^вото "Р»6”"*;"™,, нэ обшего соотношения (8.3), ЯГУ первого приближения нах0'*™	,5 И „ (5.7) имСем
котором для обогащенного слоя на основан ( .
ро=Роехр(|е^0,|/ЛБЛ=(Ро,;)а/2^ >Ро Ро’
M2z ♦ 4	Ps\	2	^jl =flU)J
4(nP(,t„-p-o)_.	И
vso D. Dsk- psi
PS1 ~
Psi
Рю
—— pjt • 2р0
125
Учитывая, что для обогащенного слоя при у = 0 имеем др'0/дп =0 (см рис. 8,в), записываем (83) в виде
D,Pi	»-р,од,л (Е‘и +ut9 ХВ‘1 +мп Х^‘), (8.16)
2р0
где ww - rj} = o/Ze, = wfjvo - максвелловская частота релаксации. Для вычисления правой части (8.16) воспользуемся равенствами (7.8) и (7.9). Последнее из них для обогащенного слоя записано по аналогии с (85) и физически означает подавление поперечной силы Лоренца Fvп на внешней границе обогащенного слоя сильным изгибом зон. Используя (7.7)-(7.9) и (7.11), получаем
1 /	Эр, \
n.(E^iU,0XB^tU]J ХЯ‘?) = — л /, +Пе —— +
г	2ае\,	дп /
+ («л> X В™ )- — (1ZO X В\г + и0 X 5ГТ)	(8.17)
Полагая по аналогии с (7.7) и (7.11) us0 х в™ = >а(и*о х в;т + и0 х в;г), приводим (8.16) с помощью (8.17) к форме 2ро	Эр, De	Pi+De	+л /1 Чир,1 -0. Р4о	дп	(8.18) (8-19)
Оценка слагаемых в (8.19) показывает, что между ними существуют следующие соотношения:
2р0	9pi
Z),.—— Pi < De—- < |л ЛК |^р„|,	(8.20)
PjO	on
в частности, Ifl/il	Кц-*»“о)Ро(”-г1)1 . Iw^fPiil	।	" (PjO^t )1 Ро 1 X 	< 1. paov 1*гД1	1^-^гМо1 Г1п (8.21)
Таким образом, ДГУ первого приближения (8.19) для обогащенного слоя имеет вид
р„ * 0.	(8.22)
Тогда на основании (8.11) получаем
V,-(pfo«fi)* 0 или к, uti * 0,	(8.23)
где скорость ufl равняется (8.7). В частности, в отсутствие поперечного магнитного поля (ЯОп = 0) из (8.7) и (8.23) получаем ДГУ в форме
(£1у + и,0Х £,„),* 0.	(8.24)
Равенство (8.24) напоминает известное в магнитной гидродинамике [49] условие идеальной проводимости плазмы, в которой электрическое 126
поле в системе отсчета, движущейся m
равняется нулю. Отсюда следует ° ск°ростью плазменного потока, (8.22) или (8.24). Высокая прово ,,”Чеекая и»терпретация ДГУ в форме вает настолько малое максвелловской » В обогащенном слое обеспечи-поверхностный заряд в обогащенном t ДРвМЯ Р6"31**10®’ чт0 переменный 'У)" а продольное хлектричТкХ ™ £Прак™-с-отсутствует (*, ? поверхностной проводимости обращается в нуль '° В'П '	” ВЫС°К°И
Следовательно, при учете диффузии ЭГУ _________
О^умпгтного злпяпа < пе	У не содержат электрического
поверхностного заряда (рп = 0), так как ДГУ (8.22) подразумевает выполнение неравенств 8. , те осЧ г -л п	И 12	-
1	/ й '	’’ ,	Psi - 0. В этом случае эффективный
поверхнос ыи ток /Х1 -рх0«х11 в силу (8.23), может протекать лишь поперек направления распространения волны. Отсутствие эквивалентных ИСТОЧНИКОВ ПРИВОДИТ К ТОМУ, ЧТО Л •/, - Зе о.
В целом физическая картина при обогащенном слое близка к той, что имеет место при плоских зонах. Действительно, в обоих случаях в пределе нулевой диффузии нормальная компонента объемного тока (л-Л^О) ’’питает” поверхностный заряд в форме (6.9) или (8.9), который накапливается в бесконечно тонком поверхностном слое. Ненулевая диффузия ’’размывает” этот слой на длину Дебая, в результате чего ток nji =0. При плоских зонах это есть результат компенсации тока проводимости диффузионным током, а при обогащении - следствие высокой поверхностной проводимости, при которой П ji < psi * 0.
Таким образом, в модели жесткой границы,реализуемой как при плоских зонах, так и в режиме обогащения, при учете диффузии исчезают поверхностные источники в ЭГУ (р/, = psi + рх/=0), а вместе с ними обращается в нуль и нормальная компонента объемного тока (л /, -0). Последнее условие выполняет функции ДГУ.
В режиме инверсии, являющемся предельным случаем сильного обеднения эффективная граница потока оттеснена на ширину обедненного Z от поверхности кристалла, вблизи которой располагается сильно проводящий инверсионный канал. Следовательно, физическая картина =Хет комбинации модели кваз,.свободной границы потока с _	У	л™™ жесткой границы на поверхности кристалла
обедненным слоем и модели же Р„№СНОВНЫМ11 носителями заряда, с инверсионным слоем, обогащенным
ГЛАВА 4
ВОЛНЫ В ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ С ПРОДОЛЬНЫМ ДРЕЙФОМ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
Основная задача данной главы вывод и анализ дисперсионных урав. нений для ТПС с продольным дрейфом при учете потенциальных и вихре, вых полей, а также изучение особенностей распространения волн в раз. личных физических условиях, отличающихся характером границы дрейфового потока носителей, асимметрией структуры и степенью влияния дрейфа, диффузии и анизотропии дифференциальной подвижности носителей в условиях ОДП. В настоящей главе рассматривается незамагничен-пая плазма полупроводников. Влияние магнитного поля на распространение воли в ТПС изучается в гл. 7.
Под ТПС с продольным дрейфом понимаем полупроводниковые структуры с распространением волн в плоскости пленки в направлении дрейфа носителей. В таких структурах особую роль играют потенциальные поля, сопровождающие распространение квазистатических волн пространственного заряда (ВПЗ). Эти волны лежат в основе работы тонкопленочного полупроводникового усилителя бегущей волны (УБВ).
Впервые интерес к волновым процессам в тонких пленках полупровод, ников с ОДП возник в связи с созданием и исследованием планарных диодов Ганна |1, 2]. Экспериментальные результаты по подавлению ган-невских осцилляций тока в образцах л-GaAs уменьшением их поперечных размеров [3, 41 и диэлектрической нагрузкой их боковой поверхности (5 9]. а также теоретические исследования [10-16) показали практическую возможность стабилизации распределения электрического поля и заряда в тонкопленочных образцах с ОДП. В тонких эпитаксиальных слоях и-GaAs со стабильным профилем поля, проявляющих ОДП в сильных хчсктричсских полях, наблюдается пространственное нарастание квазистатических волн электронной плотности, распространяющихся вдоль дрейфа носителей [10,12, 17]. Эксперименты [18-22) подтвердили возможность использования этих волн для создания тонкопленочных полупроводниковых УБ В.
Помимо квашстатичсских ВПЗ, в плазме могут распространяться также вихревые ЭМ В. Однако теоретические работы по тонкопленочным структурам посвящены в основном исследованию ВПЗ в пренебрежении вихревыми полями. Первыми работами н этом направлении были по-видимому. работы Кайно [10 12]. в которых выполнен анализ распространения квашстагических волн (названных волнами носителей заряда), включая влияние поперечных ратмеров структуры, но н пренебрежении диффузией 128
полученного в )10), показал родниковых пленках (231. 'Ги,,сско’о волнового процесса в полу-Принимались оядом'чпг	на распространение ВПЗ в ГИС
лреД,’р. путем тех или иш *ОР°Н 24 271’ когоРь,е в отдельных частных случая*	’ Ухищрений стремились уйти от рассмотрения
дГУ при ' акп ‘-ютекжер (24) вместо граничной задачи, решае-М°й пре/ У	рами [10-16], рассматривал начальную задачу,
стремясь	> результаты двумерной теории (10,12) в пределе
бесконечно толстой пластины полупроводника с результатами одномер-лого анализа, ак мио известно [28], в безграничном полупроводнике существуют две ^плоские волны носителей заряда, распространяющиеся параллельно дрейфу носителей в прямом и обратном направлениях, одна из которых (о ратная), исчезает в пределе нулевой диффузии (см. § 2.4). Однако ни один из результатов двумерного анализа [10 16] не давал эти плоские волны при увеличении толщины полупроводниковой пластины. Поскольку результаты [24] соответствуют временно'му поведению начального возмущения, а не устойчивому распространению волн, то они не помогают понять возникшую неясность. Объяснение этого позднее было дано в [29].
В [25] приводится дисперсионное уравнение для тонкопленочной полупроводниковой структуры с ненулевой диффузией без упоминания о виде дополнительных граничных условий, хотя физическая ситуация, судя по
всему, соответствует модели жесткой границы дрейфового потока носителей заряда.
В [26] впервые была введена в рассмотрение модель квазисвободной границы дрейфового потока носителей. При анализе волнового процесса авторы [26] использовали без какого-либо обоснования предположение о равновесном распределении носителей по Больцману. Это избавило их от необходимости в ДГУ для квазисвободной границы потока (в извест-
э
ной теперь форме Pi = 0 [30] или ------ (л/j) =0 - см. § 3.7). Однако
г) п
это же делает сомнительной достоверность их результатов, которые носят не более чем качественный характер.
Авторы [27] избежали необходимости в ДГУ путем представления полупроводниковой пленки в виде бесконечно тонкого листка с током, содержащим диффузионную компоненту, который учитывается в ЭГУ. Естественно, что при этом теряется многомодовый характер волнового процесса в ТПС, а учет влияния диффузии нельзя считать достаточно корректным.
В наиболее общей форме задача о распространении квазистатических волн в ТПС с учетом диффузии и анизотропии дифференциальной подвижности горячих носителей впервые была решена в [29] для моделей жесткой и квазисвободной границы потока. Полученные дисперсионные уравнения позднее были исследованы для различных физических ситуаций [31, 32), й ’ом числе с учетом вихревых полей [33].
9. А *
Л "арыбин
129
§ 1. Постановка задачи и f раничиые условия
Как было показано в § 2.4, в неэамагпичепной плазме полупроводником могут в общем случае распространяться вихревые /, Л/-волиы, вихревые /./•.’-волны и квазистатическис ВПЗ. При распространении под произвола-ным углом 0 к направлению дрейфа эти волны должны связываться на гр,, винах полупроводниковой пленки. Исключение составляет случаи продол ь-ного распространения (0 = 0), когда ЛМволны существуют независимо от /, А-волн и ВПЗ, которые в свою очередь представляют собой две слабо связанные ветви единого волнового процесса.
Рис. 9 Расчетная модель ТПС с асимметрией внешней среды по разные стороны полупроводниковой пленки
’е2в 2н,Д2в М2н'
Анализ волнового процесса будем выполнять для случая распространения волн вдоль направления дрейфа носителей (ц, =егДо) с волновым множителем ехр [/(сот - Лхг)]. Исследуемую структуру, изображенную на рис. 9, будем считать двумерной (Э/Эх = ikx = 0) и в общем случае асимметричной. Поверхностям у-±а соответствует эффективная граница потока носителей (жесткая или квазисвободная). Внешнюю среду, расположенную выше (индекс ”в” приу >а) и ниже (индекс ”н” при у < -а) полупроводника, будем считать в общем случае многослойной (включая сюда и обедненный приповерхностный слой при квазисвободной границе потока) и характеризовать эффективными проницаемостями е2**(н) и д’* (и) ’ введенными равенствами (25 Л) — (25.18).
Вихревые £Мволны, имеющие соленоидальный характер (Pi = 0), при продольном распространении (Э/Эх^О) по своей структуре соответствуют волнам ТТГ-типа с компонентами полей
£1>=^1г=//1х = 0,	£1х*0,	Н1х*0,	(1.1)
связанными между собой при помощи (2.4.23).
Компоненты полей (1.1) на границах полупроводника при у = ± а должны удовлетворять ЭГУ (2.15) - (2.1.8), записанным в виде
£1х(±в) = £’2х(±а),	(12)
Я1г(± а) - Н2г(± а) = T/J|X (± а) = 0,	(13)
Д|//1У(±д) = д2Н2у(±а).	(I-4)
В (1.3) равенство f*ix(±a) =0 справедливо при продольном распространении волн (0 = 0) для эквивалентных источников = всег' да, а для реальных источников (jsl = psiu<t +Pj0Wji) лишь в отсутствие статического подвижного поверхностного заряда (когда pt0 =0 или и, । = = 0) . Из (1.1) — (1.4) и (25 .4) видно, что (1.2) и (1.4) являются тождественными.
130
Теним образом, /ши волн гл;.1М|1а _
.«ольюмтъ условия (| п и п .. к,чес1м и«»исимых ЭГУ следует *дптПЮГО поля.	4)1 мапо*'нные ня компоненты Н, и Яг
Будем рассматривать />/:-вопны и шп
аРЙ волновой процесс несоленой Хм? а	сди,,ь,и потс"циапк,ю "и^с
’ rrnvKTVnc или	,’НОИ "рироды (Р!*0), который по
CPtH Т во пим ТЛ/типа С D ДО ЬНОМ РаспРостранении (Э/Эх=О) соответ-ствуст волнам /М-типа с компонентами полей
й'1х *Н'У = Я>< °.	£1х*0, Я1х¥=0.	(1.5)
К°	"° л ей (1.5) на границах полупроводника при v = *а долж-
на удовлетворять ЭГУ (2.1.5) - (2.1 Л), записным в виде
ej/fi<0 ~^2Л2у(±д)= ^Pjj(±o)t
Я1х(±д)-Я2х(±о) ^±/Ju(±a).
(1-6)
(1.7)
(18)
Нетрудно показать, что (1.7) и (1.8) являются тождественными при использовании граничного соотношения (3.4.64) или (3.4.76).
Таким образом, для связанных потенциально-вихревых волн ГИ-гнпа в качестве независимых ЭГУ следует использовать условия (1.6) и (1.7), наложенные на компоненты /*.2 и Еу электрического поля. При учете диффузии к этим условиям добавляется ДГУ в форме (3.6.2) для жесткой границы потока или в одной из форм (3.7.4), (3.7.15) для квазисвобод-ной границы потока.
§ 2. Дисперсионные уравнения для вихревых волн ТТГ-тнпл
Для полей 777-типа из трех компонент FIr, Н1у и НУг, каждая из которых удовлетворяет уравнению типа (2.4.21), в качестве основной динамической переменной удобно взять Hi2. Уравнение для HXz имеет вид
д2 Ц
+ (^-^)//12 = 0.	(2.1)
ar
Общее решение (2.1) записываем в форме
Я|г(у) = Л cos^r_y +5 sin куу,	(2.2)
где поперечное волновое число для волн 76-типа равняется
к у = \/ni-*2=x/*i(l	•	(23)
Граничные условия (1.3) и (1.4) требуют, кроме fll:, также задания компоненты //1 v, которая связана с IIi г соотношением
ikz ЬЩг ikz ЭЯ!г ку ду kJ ду
(2.4)
вытекающим из (1.1) и (2.4.23)
Во внешней среде, непосредственно примыкающей к полупроводниковой пленке сверху (с2„.л»2и) и снизу (е2м, д2„), волновой процесс 74-типа описывается компонентой поля Нц. Она удовлетворяет уравне-
9*
131
нию (25.2) при /  2
?г:
* Gb(h) ^а« “ ®
(25)
с поперечным волновым числом
Ь. (н) = ^*1в(н) к' с >/^Ч.(И)Р2в(и)’-*Г	(2 6)
хтя верхней ($2в) и нижней (tin) среды.
Как показано в § 2.5, любая пассивная многослойная среда может быть заменена эквивалентной однородной безграничной средой, имеющей эф. фективные проницаемости	и ДгвГн) этом основании общее
решение уравнения (2.5) для внешних сред выше (г > а) и ниже Q < а) полупроводниковой пленки записываем в форме (см. (2.5.7) и (2.5.10))
(2.7)
I Си ехр [—/$2н (>’ + а)|, у<-а,
гае ^2в(н) в виДе (2.6) выбраны так, что их мнимые части 1гп£2о (и> >0. Это обеспечивает при форме записи (2.7) затухание полей в поперечном направлении при удалении от границ пленки у = * а- На основании (2.5.4) записываем
ikg dH2z
ЪН2г
y-ta
(2Л)
(2.9)
(2.10)
к2
Ку
и-----
<2и(и)
и’Ф ^2н(и)
Hi

ikt	Mf,
У $2в (и)	0.У	к2- ^2в(н)	ду
При форме записи (2.7) граничное условие (1.4) вместо ц2в(и) должно содержать	Таким образом, ЭГУ (1.3) и (1.4) с учетом (2 4) и
(2.8) принимают вид
Я1г (±а) = Н2:(±а),
Эу
где введено обозначение п’Ф с Р2Хн) С?и(и) ------------
Hl
Подстановка (2.2) и (2.7) в (2.9) и (2.10) позволяет найти соотноше
ние между амплитудами симметричного (/(cosAryy) и антисимметричного (U bin куу) распределений Н iz по толщине пленки, а именно
Н	ку * it2ttQuci%kya	ку + /bN(?HctgA>tf ,
A	ky — /{jh Un (g kyo	кy —	<i
Отсюда следует общее дисперсионное уравнение для волн ГГ-гипа
(Ау ♦ Iг{2и	cig к а) (А(g +
+ ( ку ♦	~ /Ьв<2в<8*ув)в°.	>
применимое при произвольной асимметрии внешней среды по разные стороны полупроводниковой пленки. Существенное упрощение (2.13) достигается в двух частных случаях:
132
•) для симметричных ТПС. котла t п
л£/Ь"	в^2,ф/Ь;	^-^’ЬнСн’Ье. Т.е., иначе.
«) для ТПС с сильной асиммптг..,».-
Н«ЧС. (МгФ/Ь)тйм -Д?ф/£	' *",Да <b(?)mix > (bC)min. т е.,
^/ь.‘	" (гв ,И"И«^/ЬВ)> &,}♦/{,)„,„.„й/ь.
Ж,Х" uT“XLXX’m,b,K ур“ удо6"° *°PM“b-
^которого равняется	Уравнение относительно ку, реше-
ку * —+ ^2нС?н) (tgfc>ra
- ctg kya) +
НЧ*^ + с'8М>/ь7±^31^У!й1,м '	(214)
' £1в(?В +GhCh '
Отсюда лег ко получаются дисперсионные уравнения для симметричных и сильно асимметричных структур.
Симметричные ТПС:
-itiQ ctg куа - симметричные моды, ку =	.. _ .	(2.15)
, 1^2 Ut£kya — антисимметричные моды.
Уравнения (2.15) соответствуют симметричному (Hix = A cos kvy) и антисимметричному (//1г =5sin^v) распределениям Н1х. существующим независимо друг от друга. В пределе нулевой проводимости среды (ww* -*0), когда, согласно (2.3), ky=\/ki -к}, уравнения (2 15) переходят в дисперсионные уравнения для волн Г/-типа в диэлектрической пластине [34]
ТПСс сильной асимметрией:
_ [-/(b<?)max ct8 2М-	(2 16)
I 0.
Нетрудно убедиться, что нижнее уравнение ку = 0 дает тождественно нулевое решение.
Таким образом, дисперсионное уравнение для ТПС с сильной асимметрией по форме сходно с уравнением (2.15) для симметричных мод в сим-метричной ТПС, при этом на дисперсию волн оказывает влияние лишь среда с наибольшим параметром (£j (?) тех (^2	) max* ® этом случае
подстановкой (2.16) в (2.12) получаем
/?	I	-Щкуа при	£2в(?в	Ьн£?н.	(2.17)
A	I	при	£jh^h	Ь»<?в-
Тогда распределение (2.2) принимает вид
_______Coskv(y+a) при
cosfcyfl	(2.18)
Н^(У)= А
—--------cosky(у-а) при $з„(?н >Ь»С«
cos куа	по голшине пленки является
Следовательно, распределение / и i	максимальное значение
резко асимметричным. Как видно из -
(точнее, начало отсчета зависимости cos ку (у ♦ в)) "закреплстк,-на границе пленки, примыкающей к среде с наименьшим параметром (tiOmln*" (Pi^/ta) mlir
Дисперсионные уравнения (2.13) - (2.16) и выражение (2.3) для покалывают, что волны Г£-типа не "чувствуют” дрейфа (и0 ). диффузии {De) и анизотропии подвижности (к0), а также характера границы (жесткой или квазисвободной) дрейфового потока носителей. Они не могут быть усилены за счет ОДП в пленках типа л-GaAs. Присутствие подвижных носителей в полупроводнике всегда приводит к затуханию Г£-волн, независимо от величины поля смешения. По этой причине такие волны не представляют практического интереса.
§ 3. Дисперсионные уравнения для потенциально-вихревых волн Г.И-типа
Для полей ГМ-типа из трех компонент Е1у, Е1: и в качестве основной динамической переменной удобно взять Е12, связанную с плотностью заряда Pi уравнением (2.4.6), переписанным в виде
д2Е1г ,	,	ikz
----4ril-k})Elz------------ р,.	(3.1)
Эр2	е,
Уравнение (2.4.9) для записываем в форме
92р1
—-^- + (Vd - *z)Pi = ik:0 *o)0wl3oei£It.	(3.2)
Эу3
Связанные уравнения (3.1) и (3.2) дают характеристическое уравнение вида (2.4.20), в котором к2 = к2. + к2. Оно позволяет найти поперечные волновые числа для волн KV-типа. В данном рассмотрении ограничимся нулевой диффузией, когда Зо"*00 и i7£> = 0Dfr*. -(0.w+*0/)| >kz. При этом решение характеристического уравнения (2.4.20) имеет вид
к2у = T?i к2
ik: - (КоДм + iPe) ikz - (Зм + *&)
Общее решение £1г (у) записываем в форме
Е \ г (у) = A cos к у у + В sin к у у.
(3.3)
(3.4)
Граничные условия (1.7) и (1.8) требуют, кроме £1г , также задания компоненты Ely и выражения поверхностного заряда р^, через Е1у. Последнее получается из (1.10) при /',, = ffs , На и /, у = afEi,, в виде
0.W
<!(±а)вТ -LT . e^iyCie).	(3.5)
• Iя/ “ Ре)
Для нахождения связи £, у с £1Х продифференцируем уравнение V £, = Pi/fi по у и полученный результат подставим в (2.45), тогда получим (сравни с (2.4))
_iks д£>
Эу
(36)
134
вне 1юпупровоцник« (при ».>-	.
»писм»аотс1» компонентой поля /• Vll ’° “олновой процесс ТМ-типа '% с поперечным ...........	У'">“««ч-<>|-нн...шй урепненпп, тип.
,v, .нешиепо сропу «|>фем„,„„... п^Йе^мпЧ’*
„^«лмм по .н».о. ин е (2.7) поло „„ .юлупрое’ХкА’йе ’............
C. cxpVb.O’ a)].
См охр I ib,t(v+a)|.
(3.7)
Mg основании (2.5.3) записываем (сравни с (2.8))
”	**’	ikt
dy fcj
/Л, На (и)
fly
(3.8)
При форме записи (3.7) граничное условие и «ч
,»Ф	т...,.	„ ио Условив (1.8) вместо е2. должно
содержа” *2и(н). 1 аким образом ЭГУ м 7» и л ut	п^.\
. I R1 ппнннмти UI.1. i .	1 у (* ') и (1.8) с учетом (3.5), (3.6)
и (3-8) принимаю! вид (сравнив (2.9) и (2 10))
ЭЛ»
-о ЬЕ*
V»(n) —— у»*а	о.У
Эу где введено обозначение (сравни с (2.11))
yta
(3.9)
(3.10)

е А (и)	**	<(^« - Рс) _
«I и.<»> <*.-Ии
(3.11)
Полная идентичность форм записи (3.4), (3.7), (3.9) и (3.10) с соответствующими формулами (2.2), (2.7), (2.9) и (2.10) позволяет применять для волн ТМ-типа дисперсионные уравнения (2.13) - (2.16) и соотношения (2.12), (2.17) и (2.18), полученные для волн ГЕ-типа. При этомЛ^ и@в(м) определены в виде (3.3) и (3.11). В данном случае параметр характеризующий степень асимметрии структуры, определяется отношением
J, аналогичным для волн Т£-типа.
Решение дисперсионных уравнений для волн ТЛ/типа, полученных с учетом потенциальных и вихревых полей, должно, как и для безграничной среды, дать две слабо связанные ветви, сильно отличающиеся фазовыми скоростями волн и соответствующие быстрым вихревым ЭМВ и медленным квазисгатическим ВПЗ.
Для быстрых ЭМВ выполняется соотношение кг ~	* Ду. так что
(33) и (3.11) принимают вид
X- Ч*’» п м к» 1 НМ Н w 1	,	,,	К0О>Л, +ТСО = i£-k\ 	—— =(nl-*z) 	—— . + Т СО	! CJ (3.12)
е эф е.(„ -	ту* —	i&c _ fan GO ку *1 $2в(н)	fl $2в(и) Л2г (3.13)
11Ри этом (3.12) совпало с (2 4.27) при ЛЛ- ж0.
Эти волны в отличие от вихревых волн Т/Г-типа ’’чувствуют” анизотро. нию дифференциальной подвижности (к0) и могут усиливаться в режиме ОДЛ (к о < 0) [17]. В пределе нулевой проводимости среды (o>v-*0) когда, согласно (3.12), к]. = к] -к2, уравнения (2.5) для симметричной ТПС переходят в дисперсионные уравнения для волн ГК-типа в дихлект-
рической пластине [34].
Для медленных ВИЗ имеет место соотношение к. -Переобозначая f । = ку и у = ik.. из (2.6). (3.3) и (3.11) получаем / 7-(*о0лт *'0с)
Ь.(и) в7- П ~7< Т_^д/+/Л)	’
-
(3.14)
е,ф п	- е2в(н) v»(h) ~ 	 е 1	7-'ft- 	Я	(3.15) 7 - ( 0.V + '0с 1
Подстановкой (3.15) в (2.15) и (2.16) получаем дисперсионные да. нения для ВПЗ при Dc - Q.
симметричные 7 ПС ( е2„ -е2и ~	’
7 ~ (0Af + '0с 1 7 * '0с	€гф ctgfjfl 	 	 - симметричные моды. ^'а	(3.16) с?* tgfitf iya 2 - 		 — антисимметричные моды;
ТПСс сильной асимметрией (е2ф ах > е >
7-(0.w+'0c)	. e2min Ctg2htf
—... —------ --lya --------- ---------.	(3.17)
y-i&c	€| fl"
Уравнении (3.16) и (3.17) в точности совпадают с дисперсионными уравнениями, полученными ранее [29. 31] в квазистатическом приближении независимо от вихревого решения Аналогично этому, дисперсионные уравнения для вихревых ГЛЛволн в форме (2.13)	(2.16) могут быть
получены независимо от потенциального решения на основе граничных у слов им (3.9) и (3.10) при использовании *'»• и(?в<Н) в форме (3 12) и (3.13). Это позволяет утверждать, что граница полупроводниковой пленки. пархллельная дрейфу носителей, не связывает между собой квазистэ-гичсские ВПЗ и вихревые ЭМВ Физически это объясняется тем. что. как показано в § 2.4. ВПЗ не могу г распространяться поперек дрейфа носителей в направлении к поверхности пленки Однако на границах, перпендикулярных направлению дрейфа (в частности, на токовых контактах) вихревые и квазистатические волны должны связываться друг с другом, удовлетворяя совместным граничным условиям. В дальнейшем это будет использовано при расчете тока внешней цепи тонкопленочного образца (гл. и при анализе волновых процессов в активных линиях передачи с поперечным дрейфом носителей (гл. 6).
В приближении нулевой диффузии, рассмотренном в настоящем параграфе. нет различия между моделями жесткой и квазисвободной граничь1 потока Вырождение моделей снимается ненулевой диффузией. Как ПОЬ'1 126
who В § *4. плотность заряда в bi
постыл заряда п ВПЗ. Поэтому пл 'Х, евои мапа по сравнению с плог-тнпа несущественно и должно уИЯНие эффузии на вихревые волны ТМ-#ПЗ. Предметом Дальнейшего из ИТЫВаться лишь для квазистатических ВПЗ. рассматриваемые в рамка ^ЧСНИЯ в Наст°ящей главе будут только с учетом диффузии.	КВажэлектР°статического приближения
ДлГвалн п^МеННЫе И гРзничные Условия росгранственного заряда
1. Использование квазизлектпл.
£.=-V^, позволяет рассмотри ™ческого приближения, в котором под произвольным углом е К няп °бЩИИ СТуЧаИ распространения ВПЗ диффузии. В этом случае тенэоп	Др€ифа НОСИтеяей с У4610*’ их
МОЖНО записать в форме Р ДиффеРеициальной проводимости (1.9.26)
od = a'
' Kosin20 + Cos20 О
у (1 -Ко)«П0СО$0
(1 - Ko)sin 0 cos 0
О
ко cos2 0 + sin20
(4.1)
где ось z соответствует направлению распространения волны в плоскости плеики («), так что иа = »,{-Uo»in«) +	(«„cos»). где
Квазистатический волновой процесс в полупроводнике полностью описывается двумя физическими переменными — потенциалом и плот« ностью заряда pt, которые связаны между собой при помощи уравнений Пуассона (2.2.9) и непрерывности (1.2.26). Эти уравнения с учетом (2.4.3) и (4.1) приводятся к виду
Vfri + 72^i = -Pi/fi,
V2P1 +*оР1 =(1 - Ko)ei0Af0D72cos26 .^>1,
где введены обозначения
= 72 + 70ocos0 -QmQd ~
(4.2)
(43)
(4.4)
V2 =d2/d.y2 — поперечный лапласиан (принимаем Э’/Эх2 = 0), при этом продольная постоянная распространения у = ik. определяет волновой множитель в форме exp (zcor — yz).
Для последовательного учета диффузии удобно перейти от физических переменных^ и Р\, связанных уравнениями (4.2) и (4.3), к нормальным переменным
t/a=<p1+Zipl и = >pt + Z2 Pi,	(4.5)
подчиняющимся не связанным друг с другом уравнениям типа
<4-6>
с поперечными волновыми числами fi — kyi и f2 =^j. Для приведения Уравнений (4.2) и (4.3) к форме нормальных переменных умножим (4.3)
137
на величину Z (которую необходимо найти) и сложим с (4.2): +Z/>i)+ [у2 -(1 -ko)Ci0m0d72cos20 Z) X
^Z + 1/е»
= 0.
7J-(1 -Ко)С10м^72со52О-Z
Это уравнение принимает искомую форму (4.6), если положить A^Z + l/e,
(4-7)
Z= , 7 -(1 -»<o)ei0.w0D72cos20 Z
(4.8)
X
Отсюда находим два значения Z1(2, как корни квадратного уравнения, равные
1,2	(1 —ko)ci72cos20 et0M0D^2,i <й(72 -£1,1)’
где введены обозначения
W1,2 = ^0(1 ’х/ТТ:Л)/2, IVo = 1 - (т cos 0 - ifo/fa ,
(4-9)
(4-10)
д 4(1-к0)
Л=—----—
wi
у2cos20	4(1 - к0)
0M0D ^б
(y/£>COS0)2.
(4.11)
Из (4.7) получаем с помощью (4.9) поперечные волновые числа f j и f2, связанные с постоянной распространения у соотношениями
=72-(1 -Ko)€1/Wd72COS20 Z112 =72 -0M0D^l ,2 =
= ^+0M0D^2,i =72
(1 -ko)72cos20	(1 -ko)72cos20
--------------= *П *
H'j.i °
ад
(4.12)
Для конкретного значения у (найденного из решения дисперсионного уравнения) существуют в общем случае два поперечных волновых числа fi и f2, дающих распределение по толщине пленки потенциала и плотности заряда Pi в виде линейной комбинации U\ и именно
<Pi -(Z.(Z2 - Z2Z/|)/(Z2 - Zj), Pi =(t/> — £/j)/(Zj - Zj), (4.13)
где t/J>2 как решения уравнения типа (4.6) имеют вид
,1(у) = A j >2 cos f i i2 у + Bx >2 sin f, >2 у.	(4.14)
Для внешней среды, непосредственно прилегающей к полупроводнику сверху (у > а) и снизу (у < — а), запишем общее решение уравнения Лапласа:
♦ 72>₽2 ж0 в форме
(4.15)
( С2Ве/>О'--) + С2"в^7(х-в)> у>а
*»(У) = | с'	+	v<-a
’ 2и	2и	’ У “
(4.16)
138
Согласно § 2.5, равенство (4.16) представляет собой суперпозицию прямой (С2в(н)) и обратной (Q*B (н)) волн, распространяющихся в поперечном направлении у с затуханием соответственно при удалении и приближении к (ран идам пленки y = ta. Следует обратить внимание на т0> чго Д^1Я Квазистатических волн поперечное волновое число внешней среды явно не зависит от ее диэлектрической проницаемости и всегда равняется продольной постоянной распространения 7 = f*z-
2. В качестве 31. при выводе дисперсионного уравнения для ВИЗ используем (2.2.10) и (2.2.11). На основании (4.16) можно записать
п ,€зв(н)£’а(1	= -€2в(н) I = + е2в(н)^1|	=
on I	ду I
у = ± а	у = ± в
(4.17)
В соответствии с (2.5.12) введена эффективная диэлектрическая проницаемость
е’2ф=е2(1-1»/(1 + Г„),	(4.18)
учитывающая поперечное отражение волн в слоистой среде, при этом, согласно (2.5.19), для квазистатических волн
Г. = Um Г£, /«2,3,...
J/-7
Выражения и е2ф для конкретных многослойных структур (см. рис. 5,6, в и ?) лаются формулами (2.5.13), (2.5.15) и (2.5.17), в которых для ВПЗ надо положить |2 =1э =7- В частности, для однослойного диэлектрика с металлизацией из (2.5.13) получаем
Г,»-?2**,
е2эф = ie2 etg у/>.
ЭГУ (2.2.10) и (2.2.11) с учетом (4.17) принимают вид
Л(*в)=Л(±«).	* 1'7е2?(и}^|(’±а)= ±Pfi(±fl)	(419)
Л =	е
Выражение для поверхностного заряда pt j через объемные переменные °ыло получено для различных физических ситуаций в гл. 3. Основу для этого составляло поверхностное уравнение непрерывности в форме (3.4.62), позволяющее при j^Xz = pesl и0 cos О записать
<,(*<)/|И±Д> .
JCJ - yu0cos в
гте на основании (2.4.3) с учетом (4.1) имеем
i,	I « dpi |
м.Д-л)—ое-------	~ De----,
by I ду !
=	y-ia
(4.20)
(4 21)
139
Для случая нулевой диффузии {Dc = 0) выражение (4.20) справедливо в отсутствие подвижного статического поверхностного заряда, когда Рто = 0 или ил = 0 (см. § 3.6).
Учет ненулевой диффузии (Ле #=0) требует ДГУ, форма которого зависит от модели границы потока. Как показано в гл. 3,при жесткой границе, реализуемой в режимах плоских зон и обогащения, при условии слабой диффузии имеем = 0, а роль ДГУ выполняет условие полностью отражающей границы
я-Л(*«) = ±/1у(±в) = 0,	(4.22)
вытекающее из (4.20) при р^(±а) =0.
При квазисвободной границе потока, реализуемой в режиме обеднения, эквивалентный поверхностный заряд pes^ при условии слабой диффузии существенно превышает эффективный поверхностный заряд = Apt *; ’s/pPj.TaK что pesl =	+ psl * p'f определяется формулой (4.20) (см.
(3.7.3) и (3.7.16)).Роль ДГУ выполняет условие полностью поглощающей границы, записанное водной из форм (см. (3.7.4) или (3.7.15))
pt(±a) = 0 или
Э
дп
(п • /1)
3/1 у
у-* а
= 0.
(4.23)
У = * а
Ниже будет показано, что переход от ДГУ вида р> = 0 к ДГУ вида Э/1у/ду = 0 не изменяе; дисперсии волн в условиях слабой диффузии (когда I I’ =1т	О-
3. Общие дисперсионные уравнения для ВПЗ с учетом диффузии были получены в [29] для моделей жесткой и квазисвободной границы потока при 0 = 0. Аналогичные уравнения при 0^0 приведены в [33, 35]. Анализ этих уравнений в общем виде не представляется возможным из-за трансцендентных функций комплексных переменных, входящих в уравнения Поэтому в дальнейшем будем строить решение, пользуясь методом последовательных приближений с параметром малости Л, пропорциональным коэффициенту диффузии.
В качестве нулевого приближения выбираем предел нулевой диффузии (De - 0 или 3d •* °0) • когда (4.9) -*(4.11) дают
Л<«).о, И0’'0,	.
&М
Z [° > = 0, Z$° > = --—--------- =-----------.
(1 - Ko)€l T2COS20 C1(72 -t?)
(4.24)
При ЭТОМ f 2 = 72 -	^20) *" тогда соответствующее уравнение (4.6),
записанное в виде — Vj(/2 + С/2 = 0,дает(/2 =0. Следовательно, в пределе Г 2
нулевой диффузии кваэистатический волновой процесс описывается одной нормальной переменной Ut, характеризующей распределение потенциала = (7i при Z[G,=0) с поперечным волновым числом^ , равным,
140
C0TjMCH° (4.12) и (4.24),
cos0 - |(k0cos,0 + sin20)^
(1 -Ko)0.vCOS20
7со$0-(0м + i0e)
(4.25)
)’ ,,^и	~ распределение потенциала - (Л
оэначно задаст распределение заряда в нулевом прибли-
—(°) = с. tt*	До»
7 cos в (0M+i0e)
(4.26)
Как следует в форме (4.14) женки:
в качестве первого приближения выбираем случай слабой когда
диффузии,
m >	4(1 - к0) 72cos26
|Л ’*
Выражения (4.9) и (4.10) в первом приближении равняются
..	7cos9-)9,
4(1	*о)
w2 (7/ocos0)2 »♦ о
(4.27)
0.и
(4.28)
2<1) —	/(1) =—________________________!_____
*105/00^0	*	(1	Ko)6i72COS2.0	Ci(72	£?)
Из (4.28) видно, что в первом приближении
(4.29)
« I.
Отсюда следует, что в первом приближении можно записать (4.13) (4.28) в виде
4I}- J,’<’
с учетом
l-ZV7Zi” zr7	(4.30)
,<>._	-(/,) = „«? т’хЛ” - Ия)-₽?”-«.С? -7!)t/>.
Z2
Следовательно, слабая диффузия практически не возмущает распределение потенциала кр\, которое (как и при De - 0) описывается нормальной "«ременной в форме (4.14) с поперечным волновым числом Ji, равным U25). Однако если при De = 0 распределение заряда р\ жестко связано с Распределением потенциала соотношением (4.26), то при слабой Эффузии рДописывается, согласно (4.30), линейной комбинацией L’,
Новая нормальная переменная (/^порожденная ненулевой диффузней, ’’^Диравляет” распределение р\0) ДО величины обеспечивая выпол-*НИе ДГУ на границах потока. Распределение U2 по толщине пленки в
(4.14) характеризуется поперечным волновым числом Ь, равным,
141
согласно (4.4), (4.12) и (4.28),
Ь -V?2 - Md•*,<’1 = s/т’ -	= *D	<430
Так как при слабой диффузии kD *	z >/0мЗо = то
нормальная переменная t/2 соответствует поверхностным волнам диффу. знойной природы, порожденным границами пленки и дающим ее распределение U-i(y) в виде (4.14), со держащем гиперболические функции ch \kD |у и sh\к[) |,у. Исчезновение переменной £/? при De-*0 физически означает стягивание объемного заряда Pi поверхностной волны в бесконечно тонкий заряженный листок, дающий реальный поверхностный заряд на жесткой границе потока (см. § 8).
Внимательный анализ всех выражений, приведенных в этом параграфе, показывает, что переход от случая 0 = 0 к случаю произвольного угла 0 =# 0 получается заменой
и0 "* «в = Hocos 0, Ко * М = Косое2© + sin20.	(4.32)
Это позволит в дальнейшем для упрощения записи рассматривать продольное распространение волн (0=0) и при необходимости переходить к случаю 0 ^0, пользуясь заменой (4.32).
Из (4.9) - (4.12) видно, что упрощение решения, связанное с обращением в нуль величины А (при этом = 0), достигается не только в приближении нулевой диффузии (когда -* °°), но и в случае изотропной полупроводниковой пленки (к0 = 1) и при поперечном распространении волн (cos 0 = 0). В последнем случае (при 0 = 90°) влияние анизотропии подвижности, как видно из (4.9) — (4.12), полностью исчезает даже при к 0	1.
Это позволяет рассматривать общий случай поперечного распространения (0 = 90°,к0 ¥= 1, De ¥=0) как частный случай (при 0= 90°) изотропной пленки (ко = 1, De =#0, 0 - произвольное).
§ 5. Со ленои дальние и несоленой дальние моды ВПЗ в изотропной полупроводниковой пленке
Начнем анализ ВПЗ со случая изотропной дифференциальной подвижности (к0 = 1), реализуемого во всех полупроводниковых материалах в отсутствие разогрева носителей при малых полях смещения, соответствующих омическому участку ПСХ. Рассмотрим сначала приближение нулевой диффузии, а затем учтем ее влияние при квазисвободной и жесткой границах потока. В соответствии со сказанным в конце § 4, все выражения будем писать для случая 0=0.
1. Приближение нулевой диффузии. При к0 = 1 и De =0 уравнение (4.3) переходит в равенство
[7-(0м<- »М1Р| =0.	(5.1)
Отсюда вытекают два независимых типа решений: соленоидалъное решение для которого
A SO,	(5.2)
удовлетворяющее уравнению Лапласа типа (4.15). имеющее вид
’Pu(>') = >lIcosfJy+ В,ып^у, f, = 7 = a+(3;	(5.3)
142
*»<><• решение р, *0. 7-0м*'0г, удовлетворяющее Уравнению Пуассона ^1Я(^)вЛяС08^^ + ^ «in f„y. цз граничных условий необходимо ПЫХ 1
л» ДЛ я которой»
(5.4)
и имеющее иид
(5.5)
Г ВОЛН (Pi -0) величину	"еРвых для солснои.шль
Т‘= »т) и поперечным (к ( - “щуккя одновременно продол вимм /я несоленоидалъных волн (к ’ “олновь,м числом; во-вторых, г1Я v-4v ппопольмор	поперечное волновое число f„. п го
врс**я + | ]	понос число для всех мод одинпково и равно
sflw +|0Г.
ЭГУ (4.19)	с учетом (4.20)	и (4 ->п n	п
1 *** '	’	•)	при [),. 	0	записываются в виде
#1(±в) = ЛО«>.	~~~~~	=4/7	(5 6)
Г ~ iPf ду	€|
Г я ♦ •
Подставляя (4.16). (5.3) или (5.5) в (5.6).получаем равенства (/ - т. л) x.cos^+fi/sin ^ = с;()и2'^с2.,
,	(5.7)
Л/cos !,а - Я,sin = С2н + С2н s С2н.
7-(0м + ад, . . .	7-(0a/ + ou D >	5;
-------—----M,sin +---------------- f(#,cos$ta »<y-
7-*Pe	7-/0r	e,
7-(0М +'0А 2	. У ^ + ‘Ре).о	6’jH
— S,-4fSin i,a +--------- J^cosfya» 17 -----C2h.
7-»&	<i
са.’
(5.8)
7~*Д
Отсюда при fj = 7 (i = $) получаем дисперсионные уравнения дчя солено идальных волн в разных структурах:
симметричные ТПС (e 2„ =
( Л!Ф
-/ ---ctg7a - симметричные моды,
7-(0м + /Дг) е’	(5.9)
л " е’Ф
7“ г"е	।; 2 tg уя _ антисимметричные моды;
С|
П1Сс сильной асимметрией (е 2%ах > ^inin)
(5.10)
7’(0Л<+«Л) fjm.x
----”-----— = _ i <mal etg 27a.
7 - ide	€1
^Уравнения получаются из (3.16) и (3.17) как частный случай при заме-
*** fi * f,» 7.
)Ь.уска» «тесненное преш.оложение.. мш/осп/
»‘1НЫ. по сравнению с фазовой постоянной, т.е. а описывается гипер-7 % *0. В этом случае распределение потенциала (	-•
бол ячеек ими функциями
Ф|Д(.у)  4jCh 0,v + fi,sh 0д<.	(5.11)
Для однородной диэлектрической среды, когда е,‘^(и ( 3 е2в (Н) ’ Уравнения (5.9) и (5.10) допускают аналитическое решение и дают, например, для симметричной ТПС дисперсию двух гиперболических мод - симметричной (ГС) и антисимметричной (Г/4) в виде
а ег Г’
0 = 0,., — = 1 + — Г(0еа) , 0м е,	Р-12)
1 cth 0, а - ГС-мода,
Г(0,а)=
I th 0еа - ГА-мопд.
Фазовая скорость^ = uocos0 обеих мод одинакова и не зависит от частоты и толщины пленки, а определяется лишь скоростью дрейфа носителей
Рис. 10. Нормированные частотные зависимости постоянной затухания	для
различных мод в изотропной полупроводниковой пленке (к. = 1) в приближении нулевой диффузии: ТС и ТА тригонометрические симметричные и антисимметричные моды (вырожденные). ГС и ГА - гиперболические симметричная и антисимметричная моды
и направлением распространения волны. Частотная зависимость постоянной затухания (5.12) для ГС- и ГЛ-мод качественно показана на рис. 10.
Таким образом, соленоидальные моды в тонких пленках, не сопровождаемые модуляцией объемного заряда (Pi=0), порождены поверхностным зарядом рд1 на границах потока и являются суперпозицией двух поверхностных волн, возбужденных источниками на границах раздела сред. Они нс имеют аналога в одномерной модели плазмы.
Для несолсноидальных волн с т = 0.м + равенства (5.8) дают С2л * = С2м - 0, т.е. = 0. Следовательно, в несоленоиадальных модах (Pi 0) отсутствует электрическое поле вне пленки, физический смысл этого в экранировке поля в полупроводнике поверхностными зарядами на  ранидах потока. Равенства (5.7) для / = п дают уравнение
sin2f,|e«0	(5.13)
144
V* .«хождения поперечною .олиоИо,(>
^•нгг/2а,	'’•1,2,..	-Р>»иого
Таким обрезом, иесоленоитшльн.	f5J4)
„ „иле ажокупиости тригономстрХ* "°''HW (р> *°> "№™™"лся метркчнык (fA) мод, и которых .аоял Имметричиых (ТС) и антисим-соотнощенисм	‘ и потенциал п жестко связаны
Pi
2
п>
(5.15)
-<i(fj *
вытекающим из уравнения Пуассона (4 21	.
„ыми „о стенное
0,‘Г’"'" “ 
шим выражением для плоской волны при De = 0 (см (2 4 38) при 6=0) “"а на7иХа7о ВЫрО5ВДейиых не™,зальных >С- и TA-Z изображена на рис. И) в виде горизонтальной прямой линии Вырождение мод снимается ненулевой диффу3ией. (1иже у.^Хо npZ\ XX™  деиие также снимается анизотропией подвижности (к0 * 1/
лияииесла й .шффузии при квазисвободной границе потока. При ненулевой диффузии в изотропном полупроводнике (к0 = 1) из (4 3) получаем уравнение	' '
(5J6)
совпадающее по форме с (4.6). Следовательно,плотность заряда р. является нормальной переменной с поперечным волновым числом ко, определяемым равенством (4.4). Комбинацией уравнений (4.2) и (5.16) приводим их к форме
V2ft/, +?t/| =0,	(5.17)
где
Ui =<pt +Zp., 1 1 z=---------=---------- ,
€i(72-*d) €i^m0DWo
, V - 'А
И'о = 1 - —----
Рм
(5.18)
(5.19)
Таким образом, на основании (5.18) представляем потенциал в потоке носителей в виде	(5 ’’О)
= U\ - Zpj =<р1я +^1л.
где	-U кф =-Zp, -соленоида>дьная (р=0) инесоленоидальная
</. и >pJn z.p.	ие соответственно уравнениям
Р.^0) части потенциала, у 	илальное решения представляем
(5.17) и (5.16). Соленоидальное и несоленоидальное решен™ в общей форме:
*|/у) = Л,cos уу + В,sin уу,
*!•»( У) - Ап cos kDy * #/»sin коУ-
Запишем ЭГУ (4.19) и ДГУ (4.23) через и
БефЫбиН
145
Сначала покажем эквивалентность двух форм записи ДГУ (4.23) для случая слабой /гиффузин. На основании (4.21), (5.16), (5.17) и (5.20) преобразуем ДГУ в форме Э/1 y!by = 0 к виду
72^и(±а) + ^(1 -	(5.23)
С помощью (5.19) переписываем (5.23) в виде
I2
Р.М 0D
а) ♦
Т-(0М + <ДЛ 7~1'0е
0М
0М
<Pin(* а> = 0-
Отсюда при условии слабой диффузии, когда I 72/0m&d I = I 7l/) I2 1, получаем ДГУ в форме
*1я(±Л)*0,	(5.24)
соответствующей граничному условию Pi (± а) = 0, так как \р1п= — 7р1.
Вычисление поверхностного заряда р1п « р^ на квазисвободной границе потока по формулам (4.20) и (4.21) дает
'’•'(±0) = ±7^г[т1Л	•	<5-25)
7 - i0e by	by J
у = ± а
Подстановкой (5.20) и (5.25) в (4.19) с учетом ДГУ в форме (5.24) получаем ЭГУ для квазисвободной границы при слабой диффузии
М>п(*л) =	а).
7~i0e
d.V
эф , . е2в(м) ±/7------—
fl
(5.26)
7 (0м +i&)
у - t a
^j(±a ) ,
которые не содержат несоленоидального решения ^)\п.
Сравнение (5.21) с (5.3) и (5.26) с (5.6) показывает их полную тождественность. Это означает, что соленоидальнос решение при De ± О полностью совпадает с полученным в приближении нулевой диффузии, т.е. дисперсионные уравнения для соленоидальных волн как при De - 0, так и при De # 0 имеют одну и ту же форму (5.9) и (5.10). Следовательно, диффузия не оказывает влияния на соленоидальные волны.
Для несопеноипального решения в форме (5.22) граничные условия (5.24) при у = ±а дают уравнение
sin2£pa = 0	(5.27)
для нахождения поперечного волнового числа, равного
kD-n-nl2a, л =1,2,...	(5.28)
Подставляя (5.28) в (4.4), получаем дисперсионное уравнение для несоленоидальных волн в виде
72 ♦ 70D - 0М0о - '0e0D - (nit 12а)2, п = 1,2,...	(529)
В пределе бесконечно толстой пластины (а -* °°) правая часть (5.29) обращается в нуль, и уравнение превращается в дисперсионное уравнение для плоских волн в безграничной полупроводниковой плазме (см. (2.4.37) при к0 = 1 и 0 = 0).
146
ТаКИм образом, нссоленоидальнре решение
которые безуспешно искал Блотекжеп ГмГ °пись,вает те самые моды’ иий полученных Кайно 110 pi п _11 ’ ПЫгаяеь наити их среди реше-
=• 1 соответствуют со’ле;оид^нпмИТСЛЬ"ОСШ рСЗуЛЬТаты |10’ ,2’ ния. о возможности существования ре,,,СНию Дисперсионного урав-Ху“ 1^1 oLkoTВ0ЛН С " 5 ° ВОЛНЫ, так как применяли модель Lc,кой	Р''' “ М°'',И по,’учи1ь
„ееоленоида.тьная ветвь в чистом виде не ГР’""™. » которой данная X получены автором [29].	""	Впервые эти водны
молами с темя'же п°ЛеН°ИДаЛЬНЬ1с моды являются тригонометриче-СКИМ ими пясппелр 1 опеРечн,,,ми волновыми числами ля/2с, характеризующими распределения заряда р, М „ потенциала у.,„(у) по толщине „ленки, которые ^прежнему связаны между собой соотношением (5.15). Предел нулевой диффузии (/, ’ В) не изменяет поперечные распределения в несоленоидальных модах, однако делает их вырожденными, так как при 0D-+°o решением (5.29) является (5.4).
Таким образом, при квазисвободной границе потока слабая диффузия не связывает солсноидальные (гиперболические) моды с несолсноидальны-ми (тригонометрическими) модами.
3. Влияние диффузии при жесткой границе потока. В данном случае, как и при квазисвободной границе, потенциал в потоке носителей (5.20) представляется в виде суммы соленоидального решения \р [ х = U\ и несо-леноидального решения = — Zp,, записанных в форме (5.21) и (5.22). Так как на жесткой границе при De & 0 отсутствуют поверхностные заряды, то ЭГУ (4.19) записываются через и у?],, в виде
V>i,(±a)+^iM(±<z) = ^2(±a),
(5.30)
эф
_ с2в(н) .. . = ±/у------- $2(±а)-
= ± а
ДГУ полностью отражающей границы в форме (4.22) с учетом (4.21) и
(5.20) принимает вид
d^lj I	У - i^e
|v = ±a + Рм дУ
+ = t a
(5.31)
Т Ли * . „| —1— —ctgApal. 7 — ifie кр
Для антисимметричных мод дисперсионное уравнение полу меня ^32) заменой котангенсов на тангенсы со знаком м_пленке свя-(5 32) жесткая граница потока в изотропной пленке свя (	’ Гнесояено^ьное решения в единый волновой
---- '	147
(5.32)
= 0.
± а
Из (5.30) и (5.31) видно, что жесткая граница, в отличие от квазисвободной, не допускает независимого существования соленоидальных и несоленоидальных волн. В частном случае симметричной ПК подстановка (5.21) и (5.22) в (5.30) и (5.31) дает дисперсионное уравнение для сим-метричных мод:
. Для антисимметричных
Как видно из (____,,
,Ь1Вает соленоидальное и 10*
процесс. Ниже увидим, что в анизотропном полупроводнике (к0 I) выделить соленоидальное решение (р, — 0) также невозможно, т.е. все моды ВПЗ в общем случае являются несоленоидальными (р>	О).
§ 6. Дисперсионные уравнения для ВПЗ в анизотропной полупроводниковой пленке
Для вывода дисперсионного уравнения при к0 # 1 вместо обычного метода сшивания решений на границах раздела сред [29] воспользуемся эквивалентным ему методом, связанным с усреднением физических величин по поперечному' сечению пленки [33, 36]. В основе этого метода лежит полу чаемое из формулы Остроградского - Гаусса интегральное соотношение
J(V^)dS«—f(e: A)dS + Лл A)dl,	(6.1)
5	э' S	£
где контурное интегрирование проводится по длине кривой £ (без учета ее направления), ограничивающей поперечное сечение 5 структуры, перпендикулярное продольному орту е: , п - единичная внешняя нормаль к конту ру £ , лежащая в плоскости S. В применении к дрейфовому потоку носителей контурный интеграл в (6.1) учитывает граничные условия на поверхности потока.
Интегрированием уравнений непрерывности (1.2.26) и Пуассона (2.2.9) по поперечному сечению S с учетом (6.1) получаем
dj.z _	1
= —/сор, - -	J\)dl,	(6.21
pj	1
где j, р, и /,. - усредненные по сечению пленки величины, например.
-	_ 1 , _ 1
~ V J 'PidS - —
о 5	2а
а
 f ipt(y)dy.
— а
Используя (1.9.25), (1.9.26) и (2.2.7), можно записать
-	Jpj _
/,г ' K°°e~d: De~J~ + Piuo-
Подстановка (6.3) и (6.5) в (6.2) дает уравнение d2pt d^
е j-2 «О	+/О))Р] =
- Л'"	л.
£	о £ Эн
(6.4)
(6.5)
(6.6)
148
Последний интеграл в правой части (6.6) с учетом ">rv /л ют
u	' с учетом ЗГУ (4.19) равняется
зр* 1'эГ‘"же,51’1*‘+|о;,л.	(б.7>
гае введен параметр Ь, учитываю^ влияние внешней среды
___l_ g2»ll<g) + е2н1>3 * 51(-Д)
7Д	2e,^j	•	(6.8)
Из (6.3) и (6.7) получаем
Pi =-(1 +6	1	(6.9)
£
Подставив (6.7) и (6.9) в (6.6) и разделив обе части уравнения на (1 +8)б1У*^|, получим общее соотношение
угОе + уи0 - kowv - iw =
1
A +<7 D' *T"« 1Л- (6 10)
являющееся основой для записи дисперсионного уравнения. В (6.10) введена модифицированная максвелловская частота релаксации
ujw = иэм/(1+6 ).	(6.11)
Как видно из (6.10), дисперсионное уравнение для ТПС зависит от кипа граничных условий на поверхности потока носителей, что учитывается контурным интегралом в правой части (6.10).
Для жесткой границы потока, на которой p't = п j j =0, контурный интеграл в (6.10) равен нулю, так что дисперсионное уравнение имеет вид
У*О< + уиь -	- /ш = 0.	(6.12)
Для квазисвободной границы потока , на которой р'} = prf'' + р.% и л = (zo) - ?и0)р/| , контурный интеграл в (6.10) равен
I	72
У Л» Л +<y2De +7UO - iu)p‘x ]dl = —~ $ p,\dl.	(6.13)
£ £
Интеграл в правой части (6.13) вычисляется с помощью ЭГУ (4.19):
5 fp/i^ = -^|6;^1(a)+€^l(-a)] +
£ -Л
cl /
~а \ Зу
у-в Эу
(6 14)
Используя (4.14), (4.30) и (6.4), получаем
-1 / I
2а\ dv |уж0 Эу
_ sin f i а ft =^i	~
(6.15)
149
Тогда (6.8), (6.14) и (6.15) позволяют записать
| fp'}dl = -С|(5т2 + fi)^i-
О
(6.16)
Подстановка (6.13) и (6.16) в (6.10) дает дисперсионное уравнение для ТПС с квазисвободными границами потока:
1 f?/7a
y2De
1 +5
+ yu0 - коа>»/ - /со = 0.
(6.17J
где величина f । определена равенством (4.25), которое при 9 = 0 имеет вид
Г. »7V(7-(Kol3.w +tfr)]/[7-(0w + 'М1-
Следует отметить, что уравнение (6.17) не "чувствует’ разницы между двумя формами ДГУ (4.23) для квазисвободной границы Рахличие между ними отразится на распределении плотности заряда р( (у) по толщине пленки (см. § 8).
Для решения уравнений (6.12) и (6.17) необходимо знать аналитическое выражение величины 6, введенной равенством (6.8). Ниже это будет сделано на основе приближенного выражения (4.30) для потенциала = L\, справедливого при слабой диффузии. Следует отметить, что если при вычислении 5 использовать выражения (4.13), включающие обе нормальные переменные С/, и С2 в виде (4.14), и ДГУ вида (4.22) или (4.23), то подстановка 6 в (6.12) и (6.17) дает общие дисперсионные уравнения для моделей жесткой и квазисвободной границы потока. Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями, полученными ранее методом сшивания [29]. что доказывает полную эквивалентность методов сшивания и поперечного усреднения. Преимущество использованного здесь метода поперечного усреднения проявляется лишь в случае слабой диффузии, когда выполняются неравенства (4.27) и (4.29), обеспечивающие представление yi в виде одной нормальной переменной .
Из сравнения (6.12) и (6.17) видно, что при нулевой диффузии модели жесткой и квазисвободной границы потока дают одинаковую дисперсию ВПЗ, что свидетельствует о вырождении этих моделей.
§ 7. Влияние анизотропии дифференциальной подвижности на дисперсию и структуру ВПЗ в приближении нулевой диффузии
Дисперсионные уравнения (6.12) и (6.17) в нулевом приближении (при De = 0) имеют одинаковый вид для моделей жесткой и квазисвободной границы потока, и их решение равняется
у (0) = а(0) + ,р(0) =	+	(7.1)
где = содг/До ~ &м/(Д + 6) Для введения в (7.1) параметров пленки необходимо вычислить величину 6. С этой целью будем использовать (4.14) и
150
/Л 10), С ПОМОЩЬЮ которых (6.8) мо-А-м к,
(4 ’	, .л	бьпъ преобразовано
f JЧ. +с2н , .	е2’*	в \
S=i' I----72	' c»g f i a +	—11? ££1
7 4 -€‘	2e,	.4 J'
I к виду
.41 /’
(7.2)
ГДе ‘тендиалз c?. ( r7=S С“**,етРИчн<’ГО и антисимметричного распределений потенциала (,i)-c/( (v) в форме (4J4)
Ятя симметричных ТПС, в которых е’ф = с’ф - .’Ф -и
** ?ф	»«рых е2в е2н-€2 • из (?•-) получаем
5 = » €, /«lb*	(73)
После подстан< зки (7.3) в (7.1) последнее преобразуется с помощью (6.18) к виду
е’ф clgM
'7°’-^	1 ~ТГ
(7.4)
Это уравнение полностью совпадает с (3.16), полученным ранее методом сшивания для симметричных мод в симметричной ТПС. Как видно из (3.16), уравнение для антисимметричных мод получается из (7.4) заменой cig f ,а на -tgf .
Для асимметричных ТПС необходимо знать отношение В ।/Аj, которое можно найти из граничных условий (5.6), справедливых в общем случае при Ко 1. Записывая (5.6) при у — а и у = —а, получаем
В'
— = tgf,a Л,
Л/ + /€2в Ctg^fl л/ - тез? tg г, а
. л . . Э(Ь ж.
М +/е2н ctgfxtf
= “ lg f iа ——ГЗф—~, 3f-ze2;f ighfl
(7.5)
где
7-(Ди+'Л)
М = е»----------77----
7
Это соотношение по структуре совпадает с (2.12) и по аналогии с ним, во-первых, дает обшее дисперсионное уравнение при D, = 0 для ГПС с произвольной асимметрией внешней среды и, во-вторых, позволяет _ эф	эф ,
найти Вх/Ах для ТПС с сильной асимметрией (е2 тах > е, mjn), для которых, аналогично (2.17), получаем
.	’Ф , ]Ф
fii	। -tg	при	е 2в > е 2н .
7 = |	>	эф %> ’Ф	(7.6)
л!	I tg	при	е2н > *2в •
Соотношения (7.6) получаются по аналогии с (2.1 7), если в силу нера-а«нства е ’ф а х > е’ф 1П положить в (7.5) е2 min = 0. Аналогичным образом Остановкой (7.6) в (7.2) получаем выражение S дчя ТПС с сильной асимметрией: б’ф t
6 ='^^2^.	э	П-7)
^Раведшвое как при > c2J. так и при е2’Ф > с учетом (7.7)
151
уравнение (7.1» принимает вид
7(0) - (З.М +/3г)	(0) Чт.»
У - 10е	€| fl а
совпадающий с дисперсионным уравнением (3.17), полученным методом сшивания.
Уравнения (7.4) и (7.8) допускают качественный графический аиа.иэ который будем проводить, следуя работе (311, ( этой целью принимаем естественное допущение о малости постоянной затухания (нарастания/ вол-ны по сравнению с фазовой постоянной, т е
|Q(°)| < | 0 <°> |.
Из (7.)) следует 0(О> = 0е при условии вещественности 0Л/ (или 6/ Действительно, выражение (6.18), записанное в этом приближении в виде
f.
сги| - КО0 у а(0,-3.м
|7.Ч»
показывает, что, в зависимости от соотношения между е'01, Зи и *.О0М, значения f । могут быть либо чисто вещественными (тригонометрические моды), либо чисто мнимыми (гиперболические моды) В обоих <_лучая\ формулы (7.3) и (7.7) определяют вещественную величину b (так как значения в’Ф при I а | < 131 всегда вещественные - см. (2.5.13), (2.5.15). (2.5.17) при Ь = Ь = 7 *• '3):
симметричные ТИС -
. е’Ф fl
5 • —
(7.Ю»
ТПС с сильной асимметрией
6 в _1юям lLctg2fltf.	•	(7.Ц)
«I з..
Это подтверждает справедливость равенства 0,о) = 0, Следовательно, при De = 0 все моды ВПЗ распространяются лишь в одном направлении, совпадающем при 0 = 0 с дрейфом носителей, и с одинаковой фазовой скоростью г'ф, равной скорости дрейфа и0. Как будет показано ниже, слабая диффузия не снимает вырождения мод по фазовой скорости, оставляя Г’ф * и0.
Для дальнейшего анализа полагаем внешнюю диэлектрическую среду однородной и безграничной, те. е?4> = е,.
Гипсрболическис моды. для которых f, = Hfi I. в соответствии с (7.q> удовлетворяют неравенствам:
либо а,0) > ко0п и	о((*’ > 0v •
1 % (7,:1
либо о<0) <	и	at0) < Зп
152
Тогда дисперсионные уравнения п 41 .. п
° аютвид:	'	• 1 Лпя гиперболических мод
<1 _L	. Cth 1	1 / • I ~ ГС-мода,
Ъ № °1	th 1 f i* 111 f i a | - ГА-мода,
ТПС с сильной асимметрией
1 Рм - <*(0) = cth 2 | fi0 I
fj ma* Pe° &	I f 1 * I
(7.13)
(7.14)
Правые части (7.13) и (7.14) всегда положительны, в то время как левые части при определенных условиях могут быть отрицательными. Это говорит о физической нереализуемости подобных условий. Действительно, режим затухания (а > 0) при выполнении первых неравенств в (7.12) и режим усиления (оЛО) < 0), ожидаемый при к0 < 0, никогда не могут быть реализованы, так как в этих случаях левые части (7.13) и (7.14) отрицательны Следовательно, в области отрицательной анизотропии (Ко < 0) гиперболические моды существовать не могут, а распространяются лишь тригонометрические моды. В области положительной анизотропии (к0 > 0) всегда существуют затухающие гиперболические моды, удовлетворяющие вторым неравенствам в (7.12), при этом в соответствии с (7.9)
I n I « А, х/(коЛ»-а(о))/(Аи-а<<,))'	(7.15)
В силу однозначности гиперболических функций уравнение (7.13) для симметричных ТПС определяет всего лишь две гиперболические моды симметричную (ГС-моду) и антисимметричную (ГА-моду).
Тригонометрические моды, для которых, в соответствии с (7.9),
i, • I ш - A7(a(0)-«oAvW.«(’•16>
удовлетворяют неравенствам
Мм<а<°)<0м,	<7Л7>
поскольку для полупроводников типа л-GaAs всегда ко 1. Тогда дисперсионные уравнения (7.4) и (7.8) для тригонометрических мод принимают вид:
симметричные ТПС	ctgfifl		
		ТС-моды,	
е, 1 0м-а(О) _	fi*		(7.18)
Сг Реа	а(0)	tg fi*	— ТА-моды;	
	fi*		
ТПС с сильной асимметрией et 1	ctg 2fi*
е2п»ах 3<*	f‘fl
(7.19)
153
В силу многозначности обратных тригонометрических функций урад. нения (7.18) и (7.19) определяют бесконечное число тригонометрических мод — симметричных (ГС-моды) и антисимметричных (ГЛ-моды) ддя симметричной ТПС.
При положительной анизотропии (к0 > 0) все тригонометрические моды затухают с о(0) >	> 0.
При отрицательной анизотропии (к0 < 0) отдельные моды могут как затухать (а^0) > 0), так и нарастать (а(0) < 0, при этом | а<0) | < | к0| 0Af), Следовательно, максимально возможное значение постоянной нарастания усиливаемой моды la^lmax = 1*о13м- Переход затухания в усиление (о= 0) для тригонометрических мод происходит, как следует из (7.18) и (7.19), в полюсах функций ctg и tg La для симметричных ТПС или ctg 2^0 для ТПС с сильной асимметрией. Для обоих типов структур эти полюса совпадают и равны (La)non = nnf2 (п = 1, 2,...). С другой стороны, из (7.16) при а(0) =0 получаем критическое значение (La)Kp = = VlKo Г(Р«в)кр'
Таким образом, при к0 = - | к01 <0 переход затухания в усиление для п-й тригонометрической моды происходит на вполне определенной критической частоте /кр,л =(0еа)кр ли0/2га, где
(Аа>кр, Л =л»/271ко I»	^7,2°^
п = 1, 2,...
При (iea < (0еа)кря п-я мода затухает, а при 0еа > (0еа)кр п - усиливается.
Для симметричных ТПС четные значения п отвечают ГС-модам, а нечетные — ГЛ-модам. В отличие от этого, для ТПС с сильной асимметрией как четные, так и нечетные значения п соответствуют резко асимметричным распределениям потенциала = Ci, описываемым, согласно (4.14), комбинацией симметричной и антисимметричной функций с амплитудами Л] и В\, взятыми в соотношении (7.6).
Для выяснения особенностей распространения гиперболических и тригонометрических мод удобно преобразовать (7.13), (7.15), (7.16) и (7.18) для симметричных ТПС к следующему виду (31):
гиперболические моды (при 0<к0 < 1)
	ethical 	 - ГС-мода,
„л> .>-** a-мм L (I L a I)	j	* «2 *o^a) - |La|	ILal (7.21) th ILal 	 — ГА-мода, ILal
«(0)/^ = 1ко(М2 " I La I2 ]/[(J3ea)2 - I La I2],
(7.22)
где, согласно (7.12) и (7.15), имеем I La I2 <*o(flea)2	;
154
^гонсжгрымескмемоды (при к0 >0 и <0)
..	- ------- - ГС-лтоды,
С« U ~ Ko)flrQ	fl о
_ «. «<«> ♦«.7?"	<W)
^311	- ТА моды,
fl*
о”Ч, *	+ (Г,в)1 ]/((0,а)‘ + (fie)i I,	(7.24)
где. согласно (7.16) и (7.17), при к0 =	| к0| < 0 имеем для затухающих
мод (Г»в) > I Ко I (0«в) , а для Нарастающих мод (С( а)2 < | к01 (flea)2 
Аналогичные уравнения для ТПС с сильной асимметрией получаются из (7.21) и (7.23) заменой е2 на e2lnaxt а также cth |	| на cth 2|£*ta| для
гиперболических мод и ctgfja на ctg 2J’1a для тригонометрических мод. При этом выражения (7.22) и (7.24), полученные из (7.15) и (7.16), остаются без изменения.
Для графического решения трансцендентных уравнений (7.21) и (7.23) на рис. 11 качественно изображен ход левых и правых частей этих уравнений. Корни уравнений в виде зависимости | f ta | от 0еа находятся как точки пересечения соответствующих кривых. Рахличные кривые на рис. 11, а соответствуют следующим случаям:
гиперболические моды при О С к0 < 1 - кривая /, где
61 1/к0 - 1
F(0) = F1(O)=------------ ;	(7.25)
е2 о
тригонометрические моды при 0 ко < 1 — кривая 11. где
155
тригонометрические моды при Ко < 0 — кривые /// и 1И определяют ра3. рывную функцию F2(f|fl): затухающие моды (fifl > VI КоГ&в) - крч. вая Л’ и усиливаемые моды (f 10 < Vl *о l’0e<O — кривая III, где
С| 1/1 к0 | + 1
- F(0) = F,(0) =---------------- .	(7.27)
са 0еа
Частотный ход | f ta | определяется зависимостью Fx и F2 от Как видно из (7.25)-(7.27) и рис. 11,а, с увеличением и | к0 I величина F(0) уменьшается, а "ширина” кривых увеличивается, т.е. точка разрыва Vl КоГ0еЛ удаляется от нуля (I I =0). Найдя I f I как функцию 0еВ< можно по формулам (7.22) и (7.24) построить зависимости a= - для разных мод как при к0 > 0 (положительная анизотропия), так и при к© < 0 (отрицательная анизотропия).
1.	Дисперсия ВПЗ при положительной анизотропии. Этот случай сооь ветствует допороговым полям в л-GaAs, при которых уже наблюдается отклонение от закона Ома (0 < к0 < 1). Из выше описанного ясно что, при этом в пленке могут распространяться лишь затухающие гиперболические и тригонометрические моды.
Гиперболические моды удовлетворяют уравнениям (7.21) и (7.22). Графическое решение уравнения (7.21) находится в точке пересечения кривых рис. 11,6 с кривой I рис. 11, а. Левая часть Fi(| |) уравнения (7.21) в виде кривой I монотонно возрастает от значения Fi(0) при | f }а| = = 0, равного (7.25), до бесконечности при | fia| = \/ic0(iea.
Для ГЛ-моды значения правой части (7.21) в виде th | sха |/| fta | не превосходят единицу (рис. 11,6). Поскольку с ростом величина F} (0) уменьшается в соответствии с (7.25), то пересечение кривой Fj(| |) с кривой th | f 1 /1 f in I начинается лишь со значения (0еа)оТ£. при котором Fi(0)=l, т.е. из (7.25) получаем
е> / 1	\
= ----------1 )•	(728)
° е, \ к„ /
Следовательно, ГЛ-мода имеет низкочастотную отсечку: она отсутствует при (1еа < (0еа)огс и появляется лишь при 0еа > (0еа)Отс- в то время ГС-мода, получаемая как решение (7.21) в точке пересечения Fi(|fi«|) (в виде кривой / на рис. 11, а) с кривой cth | fjtf | /1	| (рис. 11, б),
существует при всех значениях 0еа.
Графический анализ показывает, что для обеих гиперболических мод величина | J | монотонно увеличивается с ростом 0еа от нуля (при 0еа - 0 для ГС-моды и при 0еа = (0еа)отс для ГЛ-моды) до бесконечности. Тогда (7.22) позволяет качественно построить ход зависимости а/0М от Эти кривые показаны на рис. 12: a(0J /0М для ГС-моды монотонно возрастает от нуля (при реа = 0), а для ГЛ-моды монотонно уменьшается от Ко (при 0еа = (0еа)огс) до значения (в<0)/0М )в в области высоких частот, одинакового для ГС- и ГА -мод. Эта величина по-разному зависит от м.
156
a Дм для анизотропией — тригонометрические - гиперболические симметричная и антисимметричная моды
м. 12. Нормирован»,.... ,с1этиые
рядаиых НОВ в полупроводник»,„ц плевке с положите™.»» ( 0 < к® < в ПРИ пнжении нулевой диффузии ТС и ТА симметричные и антисимметричные моды, ГС и ГА
при	к0	1
при	к0 0.
а именно [31] /а<°>\ Um <
Тригонометрические моды удовлетворяют уравнениям (7.23) и (7.24). Графическое решение уравнения (7.23) находится в точке пересечения кривых рис. 11,в с кривой// рис. 11,J. Левая часть Fj (f । а) уравнения (7.23) в виде кривой // монотонно убывает от значения F2 (0) при f = 0, равного (7.26), до нуля при fiа -*<».
Для ТА-моа правая часть (7.23) в виде tg имеет низшую ветвь с номером п = 1 (для которой 0 Стг/2), значения которой всегда превышают единицу (рис. II,в). Пересечение ветви и = 1 с F2(tia) в виде кривой II на рис. 11, а имеет место лишь при значениях $еа < (0ftf)OTC (когда Г2(0) > I). Так как F2(0) = А(0), то величина (М)отс Д™ ГЛ-моды с номером п — 1 определяется, как и для /.-1-моды, формулой (7.28). Следовательно, ГЛ-мода п = 1 имеет высокочастотную отсечку: она существует при $еа С(/?са)от<. и исчезает при $еа > (0е<ООгс* Поскольку на отсечке fjfl=0, то (7.24) дает величину «1(0)/0И = к0. Таким образом, ГЛ-мода п = 1 на отсечке превращается в Г.4-моду (рис. 12). Другие тригонометрические моды (п = 2, 3,... ) существуют во всем частотном Диала-юне, и величина	для них (как и для низшей И-моды -> - I) с
ростом л.а уменьшается от I до к» (рис. I-).
Из рис 12’видно,что в пределе «о -1 для всех тригонометрических мод «!”/!>„ -> 1,т.е. наступает „х вырождение. В соответствии с (7.28)н(7.29) «ри пом -»0 и (в<”/М- - С + е1/е1)-.т.е.Г4.модасушест.
157
яует по поем частотном диапазоне. Следовательно, в пределе Ко • 1 кривые ряс. 12 переходят в соответствующие кривые рис. 10 для пленки с изотропной подвижностью. Иными словами, введение анизотропии дифференциаль ной подвижности снимает вырождение нссоленоидальных мод изотропной пленки и они превращаются в тригонометрические моды пленки с положительной анизотропией (0 < к0 < I).
В другом предельном случае Kq -*•(), соответствующем пороговому полю в n-GaAs, из (7.28) и (7.29) получаем (Д.о)отс и (<*<O,/0W )„ -*0. Это означает, что ГЛ -мода исчезает, полностью превратившись в низшую ТА -моду л = 1, в то время как ГС-мода во всем диапазоне частот имеет нулевое затухание. Все тригонометрические моды (л = 1,2,...) с ростом 0еа изменяют o„O,/0(W от 1 до 0. Изменение знака ко на отрицательный должно (О) изменить знак а„ и перевести затухание в усиление.
Все вышеизложенное касалось симметричных ТПС. В случае ТПС с сильной асимметрией качественный ход кривых	- f(Qea) остается
таким же, как на рис. 12. В этом случае правые части уравнений (7.21) и (7.23) содержат cth 2|	| /1	| и ctg 2f,a/fi а соответственно для
гиперболических и тригонометрических мод. Следовательно, физические закономерности распространения мод в ТПС с сильной асимметрией соответствуют характеру поведения симметричных мод в симметричной ТПС, а именно: на рис. 12 для гиперболической моды остается лишь кривая, соответствующая ГС-моде, а для тригонометрических мод (л = 1,2,...) кривые соответствуют плавному уменьшению	от 1 до к0 с ростом
(отсечка низшей моды п = 1 отсутствует).
2.	Дисперсия ВПЗ при отрицательной анизотропии. Этот случай соответствует залороговым полям в л-GaAs, при которых возникает ОДП («о < 0). При этом в пленке могут распространяться только тригонометрические моды, среди которых имеются как затухающие, так и нарастающие Эти моды удовлетворяют уравнениям (7.23) и (7.24) при к0 = - | к0 I < 0.
Левая часть (7.23) имеет вид функции Г2(^1д), имеющей разрыв при критическом значении (fifl)Kp = х/1 *о Г(0ев)кр и образованной двумя ветвями Ill и /Г (рис. 11, а). Ветвь /// при $Та<(£1а)кр имеет отрицательные значения и при пересечении с правыми частями (7.23) (в виде кривых рис. 1 1, в) даст усиливаемые моды. Ветвь IV при	> (fjа)*р имеет поло-
жительные значения и дает затухающие моды. Учитывая, что с ростом 0(а значение Г2(0) = Г(0) уменьшается по абсолютной величине в соответствии с (7.27), а точка разрыва v I *о №еа функции Г2 удаляется от нуля, можно качественно построить зависимость ,,</ от (Зеа для разных тригонометрических мод (л = 0, 1,2,...). Эти зависимости изображены на рис. 13, а для симметричных ТПС и на рис. 13, б для ТПС с сильной асим метрией. Единственное различие между ними состоит в разных интервалах изменения па для соответствующих мод. Так, для основной моды л =0 в симметричной ТПС, f । оа изменяется с ростом (iea от нуля до я/2, в то время как при сильной асимметрии структуры максималыюе значение ? । ,оа равняется л/4. Аналогичные различия имеют место и для высших мод (п = 1,2,...).
158
Рис. 13. Нормированные частотные зависимости поперечного волнового числа f । пд ЩИ симметричных ТПС (а), для ТПС с сильной асимметрией (ff) и постоянной затухания (усиления) а^/0	(в) для различных тригонометрических мод (л = 0, 1,
2» . . . ) в полупроводниковой пленке с отрицательной анизотропией (к0 < 0) в приближении нулевой диффузии
Пересечение ветви 1П кривой	(Рис- H.fl) с нулевой ветвью
(« • 0) кривой - etg ho/f (рис. 11, в) имеет место при всех£е& Поэто-ИУ основная мода л = 0 усиливается во всем частотном диапазоне (рис.13,в). Для всех остальных мод (и = 1, 2,...) в области низких частот имеет мес-70пересечение соответствующих ветвей тригонометрических функций лишь с ветвью IV кривой Г2, что определяет их затухание. Затухание n-й моды ^кяется усилением, когда точка разрыва (fifl)Kp = х/Г*о t(0e0)Kp Функ-совпадает с полюсами (fi<0non = nifH Функций -сЩ^а/^а и
159
tgf ifl/J"ja. Отсюда можно найти критическое значение (&fl)Kp>„. записанное в виде (7.20), при котором затухание л-й моды переходит в усиление.
Качественный ход а„° /Ду как функции 0еа для разных мод (п г = 0, 1, 2, ... ), построенный на основании (7.24) и кривых рис. 13, а и б, показан на рис. 13,в. Эти зависимости носят общий характер как ддя симметричных, так и для сильно асимметричных ТПС. В частности, в облас-ти высоких частот для каждой моды в отсутствие диффузии независимо от асимметрии структуры усиление достигает наибольшего значения
'mix = * К° 'Дм*
Из анализа кривых, изображенных на рис. 12 и 13, можно понять механизм усиления волн в тонких пленках л-GaAs. При допороговых смещениях (0 < к0 < 1) все моды (гиперболические и тригонометрические) затухают во всем диапазоне частот (см. рис. 12). По мере приближения к0 к нулю затухание мод в области высоких частот уменьшается. При пороговом смещении (к0 = 0) все тригонометрические моды остаются затухающими. а гиперболическая ГС-мода не затухает во всем частотном диапазоне.
Именно эта мода порождает при смещении выше порогового (ко<0) основную тригонометрическую моду (и =0), которая усиливается на всех частотах, начиная с нулевого значения 0еа (рис. 13,в). Для остальных мод (л = 1,2,...) существуют критические значения (&<0кр п = ля/2з/| к0Т, такие, что при Реа > (0вд)кр п затухание л-й моды сменяется усилением. При малых | к0 I Для всех мод значения (0еО)кр<п велики, так что на фиксированной частоте усиление сигнала происходит за счет основной моды. При этом все высшие моды (если они возбуждены в пленке) затухают и тем самым снижают результирующий коэффициент усиления и вносят свой вклад в шумовые характеристики усилителя. По мере увеличения I к0 I должно наблюдаться последовательное ’’включение” высших мод в режим усиления сигнала на фиксированной частоте. Тогда результирующий коэффициент усиления должен возрастать, а коэффициент шума - снижаться. При фиксированном значении | к0 | аналогичный эффект должен наблюдаться с увеличением частоты, т.е. на более высоких частотах усилительные свойства тонкой пленки могут улучшаться за счет перехода высших мод из режима затухания в режим усиления. Однако в области высоких частот проявится влияние диффузии, приводящее к снижению коэффициента усиления и к ограничению высокочастотного диапазона работы усилителя бегущей волны (УБВ).
3.	Структура ВПЗ. Частотная зависимость f для разных мод (л -= 0, 1,2,... ), приведенная на рис. 13,а и б, позволяет качественно изобразить распределение потенциала (у) = Ui(y) по толщине пленки.
Для симметричных ТПС распределение > О-’), описываемое обшей формулой (4.14),имеет вид
( ^jcosfi^ - ТС-моды.
^(У)=	(7J0)
I /?tsin — ТА-моды,
где зависимость =/(/Зея) приведена на рис. 13,0. 160
Рис'Jb РаспРс;1е;,ение Потенциала по толщине пленки в симметричной ТПС («	=
~ f 2н * (сплошные линии) и в ТПС с сильной асимметрией (при г > е (штриховые линии) для двух мод и = 0 (л) и л = | (б) в диапазонах низких, средних и высоких частот, характеризуемых указанным значением поперечного волнового числа f । п а (в скобках - для ТПС с сильной асимметрией)
Для ТПСс сильной асимметрией отношение Вх/Ау равняется (7.6). Тогда распределение (4.14) принимает вид
'	> е . \	эф эф
----— cos f 10 + а)	при е2в > е2н . cos f t я
*(У)=	(7.31)
Л |	X	эф эф
—— cos fj (у - д) при е2и > е2в cos f j а
где зависимость fta =/(&fl) приведена на рис. 13, б.
На рис. 14 по формулам (7.30) и (7.31) качественно построены распределения потенциала для двух мод п - 0 (д) и п = 1 (б) в симметричных ТПС (£2в = «а*) (сплошные кривые) и в ТПС с сильной асимметрией (при f2«	(штриховые кривые). Из сравнения сплошных и штриховых
кривых видно, что асимметрия структуры сильно изменяет характер по-,1еРечного распределения потенциала в модах. Лишь на критической частоте Ля каждой высшей моды (л=1,2,...), соответствующей ее перехо-из режима затухания в режим усиления, характер распределения потен-*иала в симметричных и сильно асимметричных ТПС одинаков (см. кривые 4 ₽ис- 14,6 для и = 1 на средней частоте, равной критической частоте для Пои моды, при которой в обоих случаях (f s"/2)- Этого следовало и^Дать, так как ранее в связи с формулой(7.20)отмечалось, что (&a)Kp, л ,(f ,вКр.я для каждой н-й моды не зависят от асимметрии структуры.
*	« Ад с
А Б«рыбин
Особенностью ТПС с сильной асимметрией является то, что максимум н распределении потенциала смешен к границе пленки, примыкающей к внешней среде с меныпей эффективной диэлектрической проницаемостью »«|»	.	’♦	Э<** v
<	/т(|, (в данном случае к границе / = а, так как е2н < с2в ) и жестко ыкрсплсн там, нс зависимо от частоты и номера моды. Это ясно видно из выражения (7.31). На этой границе (в данном случае при / = а) отсуг. ствует поперечное электрическое поле в пленке Е1у( а) = - (З^ /Эу) | =
У = -с
	0. Физически это объясняется тем, что в ТПС с сильной асимметрией неравенство ( Упищ е* min позволяет положить е 2mJn - 0- При этом продольное электрическое поле=7</’t на этой границе (при/ = -д) макси-малыш (см. рис. 14).
Распределение потенциала по толщине пленки при Dt = 0 дает полную информацию о волновом процессе в ТПС. В частности, по виду<^1(/) можно построить поперечные распределения компонент электрического поля £|г(У) " I'PiO’h Е\у(у) =	Э^|(у)/Эу и плотности объемного заряда
pt (/) = С|(f) - V2)'PiO')> а также вычислить плотность поверхностного заряда , (±и нормальную компоненту электрического поля вне полупроводника п  L'i(±a) = ± Е}у(± а) на границах пленки при/ = ±а. Распределения /1'|х(/) и Р|(/) качественно повторяют характер р।(/), гЕХу(у) определяется крутизной распределения потенциала.
Поверхностный заряд pesX при Р(. = 0 в общем случае присутствует как на жесткой, так и на квазисвободной границах потока и создается нормальной компонентой тока jty. Из (4.20) и (4.21) при 0=0 получаем
7	“ 'Ре	“
Из (7.32) видно, что на поверхности пленки, примыкающей к среде с меньшей проницаемостью е2^п (где закреплен максимум потенциала), отсутствие поперечного электрического поля (Eiy(—а) = 0) обращает в нуль поверхностный заряд р*(, а вместе с ним и нормальную компоненту тока /|У.
Знание распределения потенциала по толщине пленки в разных модах позволяет качественно рассмотреть вопрос об избирательном возбуждении основной усиливаемой моды. Задача о возбуждении мод ВПЗ в строгой постановке в настоящее время не решена.
Экспериментально исследованные конструкции активного элемента УБВ 118 22] представляли собой в упрощенном описании эпитаксиальную пленку д-GaAs на изолирующей подложке /-GaAs с нанесенными на ее свободной поверхности планарными омическими контактами для создания дрейфового потока электронов вдоль пленки. Между этими контактами размещены входной и выходной элементы связи в виде полосковых барьеров Шоттки для подвода и отвода СВЧ сигнала. Усиление основной моды ВИЗ, возбужденной входным элементом связи (возбуждающим также и высшие моды), происходило в области дрейфа с ОДП, которая в экспериментальных устройствах (18 22] представляла собой ТПС с сильной асимметрией без металлизации.
162
л>СЛС С f 2 min зф -
1ин преимущественно^) hoiGvx m....
чтобы н> «« наружной поверхности ГоГ’"»"’" М",“ "	.....
*. аоабуждение) структура пом „ ™	«”ор<>й ooyliworwin
lI rvnil ПОЛОЙ В BhlCliniv	щ нов нон моде сильно отличались от
'T' r,,w,K.....................
^M0 от «сто™ и параметров	"“Г'“ °"”*'
потении	,К,Ч1Ъ,СН на стороне пленки, примыкающей к
(см. рис. 14). Следовательно, в отсутствие металлизации, когда fjmin е2н со. все без исключения моды (м «О, 1,2,... ) имеют одинаковую структуру полей вне свободной границы пленки. Поэтому любой элемент связи, расположенный на этой стороне пленки, будет возбуждать не только >411(111,1.	\килинаемую моду, но и все высшие затухающие
МОДЫ, снижающие результирующий коэффициент усиления и .тающие дополнительным шумовой вклад.
Йеталлизация структуры резко изменяет распределение потенциала в
модах у наружной стороны пленки, где теперь = е3*,ах. В этом случае максиму мы в распределении потенциала для всех мод расположены на нижней границе (_> - - а) пленка - подложка, в то время как в районе наружной траницы О ~ d) структура поля основной моды резко отличается от структуры полей высших мод (см. рис. 14). При достаточно тонкой пленке, как видно из рис. 13, б, для основной моды f ।	* 0, а для высших мод
ii,na ' (-и — 1)л/4. Отсюда следует, что в основной моде потенциал рас-
пределен практически однородно по толщине пленки, а в высших модах имеет на верхней границе при у = а значение, близкое к нулевому (см. рис. 14). Именно это способствует избирательному возбуждению основной моды с помощью хтементов связи, расположенных на наружной стороне активного слоя.
По этой причине в конструкцию активного элемента УБВ целесообразно вводить металлизацию активной области (между барьерами Шоттки) в виде одно- или .многоэлектродной МДП-структуры (отсутствующей в экспериментальных конструкциях [18-22]). В дополнение к выше рассмотренному МДП-структура выполняет еще две функции.
Оттеснение границы потока от поверхности кристалла исключает нежелательное влияние дефектов на границе раздела полупроводник - диэлектрик и позволяет стабилизировать стаптческое распределение электрического поля в области ОДП, подавляя образование доменов при уменьшении токового канала (см. § 5.6).
Кроме того, возникновение обедненного слоя под металлизацией позволяет осуществить модель квазисвободной границы потока. Как будет показано в § 8, преимущество квазисвободной границы перед жесткой может °ыть реализовано лишь в том случае, если эта граница создана на стороне Ш1сйки, примыкающей к среде' с максимальной эффективной диэлектри-*ской проницаемостью е^,ах. Именно такая ситуация возни кает при нс-п°льзовании МДП-структуры, когда е2и *	*** С| ~ е2н« гае Ь и е3 —
°Л1цина и проницаемость диэлектрического слоя. В отличие от этого, во
экспериментах [18 22) отсутствовала металлизация в области усиле-11	163
имя активного элемента. При этом наружная сторона пленки n-GaAs, выра-тонной на полуиэо пирующей подложке /-GaAs, примыкала к внешней среде с минимальной проницаемостью е2в = е0 < е2„ ж ci = 12,5еь- В такой конструкции характер границы потока на верхней стороне пленки нс должен влиять на дисперсионные свойства ВИЗ, в то время как нижняя граница раздела пленка - подложка сохраняет жесткий характер. По этой причине экспериментальные попытки реализовать на практике преимущества квазисвободной границы путем создания ее на наружной стороне пленки с помощью так называемого ’’блокирующего” катодного контакта (в виде расположенного вблизи катода барьера Шоттки, изолированного или электрически соединенного с ним) [26, 41, 42] не могли дать желаемого ре. зультага.
§ 8. Влияние диффузии на дисперсию и структуру ВПЗ в анизотропной полупроводниковой пленке
1. Влияние диффузии на распространение ВПЗ в ТПС с учетом разогрева электронов описывается дисперсионными уравнениями (6.12) и (6.17). Эти уравнения были получены для случаев, когда обе границы потока носи телей либо жесткие (уравнение (6.12)), либо квазисвободные (уравнение (6.17)).
Асимметрия структуры при наличии диффузии создается не только асимметрией внешней диэлектрической среды по разные стороны пленки эф Э(Ь.
(е2в	е2в। ), но и различием границы потока на противоположных поверх-
ностях пленки.
Для ТПС с сильной асимметрией, как было выяснено в § 7, всегда отсутствует поверхностный заряд (р^ = 0) и нормальная компонента тока (л •	= 0) на границе пленки, примыкающей к среде с меньшей эффектив-
ной диэлектрической проницаемостью е 2т|П- Поэтому эта граница не вносит вклада в контурный интеграл в правой части (6.10). На дисперсию волн при De * 0 оказывает влияние характер границы потока лишь на поверх-_	_	эф
ности пленки, примыкающей к среде с наиоольшеи проницаемостью e 2inax если эта граница жесткая или квазисвободная, то дисперсионное уравнение для ТПС с Сильной симметрией имеет соответственно вид (6.12) или (6.17), независимо от характера границы на противоположной стороне пленки
ЭФ с f ;in in •
Из (6.12) и (6.17) видно, что диффузия повышает порядок уравнений, делая их квадратичными. Это означает, что диффузия, во-первых, возмущает решение нулевого приближения (полученное при D( = 0) и, во-вторых, порождает второе (’’диффузионное”) решение. При этом в зависимости от модели границы потока влияние диффузии будет различным.
Для модели жесткой границы потока дисперсионное уравнение (6.12) может быть записано в виде
7 ’ + 70£) “ КО0щ Ро ~ Фе Ро ~	(8-1)
Это уравнение по форме совпадает с дисперсионным уравнением дзя плоских ВПЗ в безграничном полупроводнике 11, 28, 38] и отличается от 164
|1CiV лишь заме й *»» на 3^ ~ 3^/(| +6). При использовании замены
J2) уравнение (И. I) в точности принимает вид (2.4.37)
С iioMi'iHbio ИЬ1|’‘**1 IUUI ( 1' для Решения нулевого приближения можно
^писать (8.1) в виде	и
/ *70п-7(О)Зо»О.	(g 2)
уравнение (8.2) при условии слабой диффузии, такой, что 17(0) I < Зп =
,Wo,/.J,., имеет два корня: /	-Л°>
(П,у(0) । _ Z______
” 7 V fo
' Pd '	\

(8.3)
7:' ’ - So - 7 i' ‘ • - 00 -1<0’ > - 3„ - tgr.	(8.4)
Первый корень (8.г) является возмущенным за счет диффузии решением (7-1) нулевого приближения. Он соответствует прямой волне, распространяющейся при О - 0 в направлении дрейфа носителей с фазовой скоростью Пф ^Мо, так как обычно |а<()^ | < (jD. Следовательно, слабая диффузия практически не возмущает фазовую скорость прямой волны, которая по своей природе является чисто сносовой.
Второй корень (8.4) является "диффузионным” решением уравнения (8.2), отсутствующим при De = 0. Он соответствует обратной волне, распространяющейся против дрейфа носителей с сильным затуханием, так как обычно 0р > 0е. Эта волна порождена диффузионным размытием "сгустка" заряда в направлении, обратном дрейфу носителей. Она обеспечивает внутреннюю обратную связь между выходом и входом УБВ.
Для модели квазисвободной границы потока дисперсионное уравнение (6.17) с учетом (6.18) может быть записано в виде
7*(1-Ко)— -(7-*о0Л/~'Л)(7-Д.И -'Де) = О.	(8.5)
Pd
Отсюда видно, что диффузия связывает между собой два решения:
(0)	-
71 жМм+»0е»	(8.6)
(0)
72 =Аи+Т0е.	(8.7)
Первое из них (8.6) является решением (7.1) приближения нулевой эффузии. Выражению (8.7) при Df = 0 соответствует тождественно нулевое решение, гак как из (6.18) при (8.7) получаем f; •*<», что на основа-нии (4.6) дает Ux =	= 0.
Используя (8.6) и (8.7), можно преобразовать (8.5) к виду
-7(7,(”771,”)77.<”7,<О,-0.
'к введены обозначения
• Я, = --------------•
5 Ое	] +5/(i -к0)
модифицированный коэффициент диффузии.
(8.8)
(8.9)
165
Представляя искомое решение уравнении (8.8) в ни де
Т?* АТ». 7з<,)-71(°’*А71.	(в. 10)
>•	I «>>	(0)1УД	. /м
при условии слабой диффузии, такой, что I "У»	- 1г г*. Рл> 
Д71 *-(7.{0))2/^о. ДТз	<8.1I)
Следовательно, корни квадратного уравнения (8.5) или (8.8) равняются 71(,,-71(0)(1 -71(0)/Зо)*(«(0)+Л)^^(’ -2а<°>/0о)*
=s(a(o)+0?/0D) + »0e,	(8.12)
У2^^=72^°\1 + 7г°^/3о) * (0М ~ Ре /Ро) + (3r(l +2(3m/4d)*
*(0w-tf/0o) + tfe.	(8.13)
Первый корень (8.12), как и в модели жесткой границы, представляет собой возмущенное слабой диффузией решение (7.1) нулевого приближения, соответствующее прямой волне, фазовая скорость которой определяется скоростью дрейфа носителей.
Второй корень (8.13), в отличие от ''диффузионного" решения (8.4) для жесткой границы, соответствует не обратной, а прямой волне, распространяющейся всегда с затуханием в направлении дрейфа носи гелей. Следовательно, при квазисвободной границе потока отсутствуют обратные волны, что увеличивает внутреннюю развязку между выходом и входом УЬВ по сравнению со случаем жесткой границы. Физическая природа различного влияния диффузии на распространение волн в пленках с жесткими и квази свободными грашшами потока обсуждается ниже.
Таким образом, в обеих моделях слабая диффузия практически не вот-мущает фазовую скорость волн, равную скорости дрейфа носителей а0-
2. Постоянные распространения 7l(l) прямых волн для обеих моделей границы имеют одинаковую форму и определяются для каждой л-й моды модифицированными величинами п и De п (для модели жесткой границы Den=Dc). Эти величины различны для разных мод и зависят от частоты через зависимость от 0еа параметра Ьп, введенного равенством (6.8) дтя каждой л-й моды. На основе равенства а^0> =к03,ц,(>" = «оЗи/(1 можно выразить параметр через а„° ’/0V в виде
4”=-W---------'	(814)
%
Зная частотные зависимости	Для разных мод, изображенные на
рис. 13, в, можно по формуле (8.14) однозначно определить частотно зависимый параметр Ьп. Частотный ход Ьп, качественно построенныи с помощью формулы (8.14) и кривых рис. 13, я, показан на рис. 15, a. Cooi№' шение (8.14) позволяет выразить модифицированные параметры uj.w,л ' Ое п для л-й моды через ее нормированную постоянную затухания (Уи'
166
Рис 15-Нормированные частотные зависимости параметра 6„ w>. модифицированной максвелловской частоты релаксации DM.n и модифицированного коэффициента диффузии De п («) для различных мод (я = О. 1.2.-- •) в полупроводниковой пле»-’	ке с отрицательной анизотропией (к„ < О»
лсния):	(0)
_	СОд/ СОд/
wAf. Я ~ ;--Г" = ------ ~а ’
I +5„ Ко РА/ .	(0)/Л
£)	1 - Ко Он /РА/ _
D'',S 1 ♦«„/(! -ко) =Z?' ко 1-Л/
(8.15)
Зависимости (8.15) графически изображены на рис. 15. о н в дня тучая
'ирицдтелыюй анизотропии (ко =	|KOi^0),	ВВлПем
Модифицированная максвелловская частота релаксации wjW> введен-
соотношением (8.15). по своему смыслу близка к редуцированной
167
плазменной частоте, вводимой для электронных потоков в вакууме при учете влияния поперечных размеров потока на его колебательные свойства [39]. В отличие от бесстолкновительных вакуумных потоков, диссипативные потоки носителей в полупроводниковой плазме с частыми столкновениями представляют собой не колебательную, а релаксационную систему [40]. Поэтому влияние поперечных размеров на релаксациоц. ные свойства потока учитывается модифицированной максвелловской час отой релаксации	дающей постоянную затухания (усиления)
(0)	‘	.
л-и моды в виде а„ - коь>м.п/ио-
В модели жесткой границы потока для всех мод (л = 0,1,2,...) коэф, фипиент диффузии имеет одинаковое значение Dt п s De, не зависящее от частоты. Тогда (8.3) и (8.15) дают нормированную постоянную затухания (усиления) прямой волны для л-и моды
e«n0)/ftw +	)21а  (3Dа|,	(8.16)
где зависимости а,|°	=/(0еа) изображены на рис. 13. в. При достаточно
малой диффузии кривые, описываемые равенством (8.16), имеют экстремум, соответствующий минимальному затуханию (или максимальному усилению) данной моды. Так, для основной моды (л = 0) в области низких частот может иметь место усиление (o^IJ < 0), которое с ростом частоты сменяется затуханием (йо** > 0). Однако при достаточно большом коэффициенте диффузии второе слагаемое в (8.16) может оказаться больше первого на всех частотах. Это приводит к тому, что основная мода (а тем более и все высшие моды) является затухающей во всем частотном диапазоне. Следовательно, в модели жесткой границы диффузия может полностью подавлять эффект усиления.
В модели квазисвободной границы потока модифицированный коэффициент диффузии De п, введенный соотношением (8.15), зависит от частоты для каждой л-й моды (рис. 15, в). Для основной моды (л = 0) во всем диапазоне частот De 0 < De. Это свидетельствует о меньшем влиянии диффузии в потоке с квазисвободной границей по сравнению с жесткой границей. Квазисвободная граница, в отличие от жесткой, допускает поперечное размытие потока за счет диффузии, в результате чего снижается вклад диффузии в продольное размытие ’’сгустка” заряда. Это приводит, во-первых, к отсутствию обратной ’’диффузионной” волны и, во-вторых, к меньшему снижению за счет диффузии эффекта усиления при квазисвободной границе потока. Математически это выражается в том, что для всех мод в режиме усиления De п < De. Более того, для высших мод (л > 1) „ изменяет знак на критической частоте при переходе от усиления к затуханию. Появление отрицательных эффективных значений Dt п в режиме затухания моды не должно вызывать удивления. Такая аномалия в эффективном коэффициенте диффузии вызвана, прежде всего, аномалы ностью самого существования затухающих мод в области ОДП. Для усиливаемых мод эта аномалия исчезает и при этом всегда Ье„ > 0 (рис. 15. «Д Отрицательные значения De „ говорят о том, что за счет диффузии коэффициент затухания высших мод в области ОЛП уменьшается.
168
toKi uix>noiii«M '11' "”смим о™О1П<ние вкладов диффузном «к •*) Равнос "*,И * усРс/и,си'”,,и ,,п толщине пленки продля*»*
/п,	Г)'	1
Гн, W *® °* *' для жесткой границы, на которой /£, - п /, . 0, из (в.9) с уметом (S.I4) получаем
(8 17)
(8.18)
Тогда (8.17) принимает вид
//и,диф\ Dg Де (&0э)2
Vu. iv ж ая<0)/Злт ал(0>/Рм
(819)
Отсюда видно, что диффузионный ток дня затухающих мод (а„ '* > 0) в фазе, а для нарастающих мод (а,\0> < 0) в противофазе с током проводимости. Такие фазовые соотношения, как следует из вышесказанного в связи с формулой (8.16), обеспечивают увеличение коэффициента затухания для затухающих мод и уменьшение коэффициента усиления (по моду лю) для нарастающих мод по сравнению со случаем De = 0.
Для квазисвободной границы потока из (6.9) и (6.16) с учетом (7.16), (8.14) и (8.18) получаем
Pl \	,2	., v (	> 1. п\! рЛ
—)	=-С1(7л “ti, л)^11 + —Till — ) •	(8.20)
Тогда (8.17) с учетом (8.19) при к0 < 0 принимает вид
(/lz, диф\ / fl, п \( j\z, лиф \
~\1------------------- л -----) =
/ 1г, пр ' св ' I «о I '/1«, пр 1 ж
/ fl. л \	(£е(о)2
l*o^J а<0)//?м
Как видно из рис. 13, а и б, для каждой моды в режиме затухания fi. п > х *о I’ , а в режиме усиления fi,n< VI #о Г 0е- Тогда (8.21) показы-йает’ что при квазисвободной границе как для нарастающих, так и для за-^какпцих мод всегда диффузионный ток в противофазе с током проводи-МостИ. Именно такое фазовое соотношение имеет место в модели жесткой ддя нарастающих мод. При этом диффузия уменьшает их коэффи-еит усиления. Аналогично этому, в модели квазисвободной границы для ^стающих мод получаем i)e „ > 0. Для затухающих мод фазовое соот-।р"1е“Ис между токами противоположно тому, что было в модели жесткой
WnU‘>, Когда диффузия увеличивала их коэффициент затухания. Поэто-
169
единичного коэффициента усиления G, = 8,68 |а0 *^| (дБ/мкм) для основной моды (л = 0) в асимметричной ГПС с пленками разной толщины. 2а - 1 мкм (кривые /), 2 мкм (кривые 2), 4 мкм (кривые 3), 8 мкм (кривые 4). Сплошные линии соответствуют квазисвободной, а штриховые жесткой границе потока
му в модели квазисвободной границы диффузия уменьшает коэффициент затухания для затухающих мод, что математически выражается в виде ZJe.n<0.
Приведенные рассуждения качественно объясняют частотную зависимость De „ для модели квазисвободной границы потока (рис. 15, в). В области низких частот (где, согласно рис. 15, в, De> и -»-«) нарушается условие слабой диффузии (4.27) для высших мод (л > 1) в связи с тем, что для них | %|« |1 - oi«O)//3a/I "* 0- Это ограничивает применимость данного анализа для высших мод областью частот, превышающих некоторую частоту (снижающуюся с уменьшением D,.), для которой выполняется условие (4.27).
Для модели квазисвободной границы потока формулы (8.12) и (8.15) дают нормированную постоянную затухания (усиления) прямой волны для л-й моды
4° i-м 4’4	<л«>’
---- =---- + -----°-----------------------,	(8.22)
Рм	Рм «о
где зависимости о^О>/0м= /(&<*) изображены на рис. 13, в. Особенностью кривых, описываемых равенством (8.22), является то, что каждая мода выше своей критической частоты имеет область усиления. В пределах этой области коэффициент усиления, изменяясь от нуля, достигает максимального значения, а затем снова уменьшается до нуля на частоте, где усиление переходит в затухание за счет влияния диффузии.
170
ПО *°РМ*Л’М <»•'«) и <8 22) ™ «»-ноИ	' ень1 На Рис- 16 в виде частотных зависимостей
нормированной постоянной нарастания | 4 °|//?jW или единичного коэффициента усиления Gi 8,68 I а„ |дБ/мкм дня толщины полупроводниковой пленки > и мкм- ерхняя кривая соответствует случаю нулевой И П0Лучена из Расчета aiO)/0M по формулам (7.23) и (7. )• Р> ривы<. учитывают влияние диффузии при жесткой (штри-ховыс линии) и квазис вободной (сплошные линии) границах потока. В расчете использованы следующие численные значения физических величин, характерные для n-GaAs: и0 = 2 • Ю20 м-3, н0 = 1,2 • 105 м/с, д, = = 0,2 м /В с, De - 0,025 м2/с, к0 = -0,3, е2в = е0, е2Я =е , = 12,5 е0-Из рис. 1о видно, что диффузия существенно снижает коэффициент усиления и ограничивает частотный диапазон в области высоких частот. Влияние диффузии сильнее проявляется при жесткой границе потока в гонких слоях (толщиною менее 1—2 мкм). Реализация квазисвободной границы увеличивает коэффициент усиления в тонких слоях и расширяет частотный диапазон (примерно в 1,5—2 раза). При увеличении толщины пленки разница между моделями стирается, а влияние диффузии снижается: сплошная и штриховые кривые на рис. 16 для 2а = 8 мкм сближаются между собой и приближаются к кривой, соответствующей De =0.
На горизонтальных осях рис. 16 крестиком отмечена критическая частота /кр, 1 для моды л = 1, определяемая из соотношения (Зе°)кр, 1 =
= n/2V I ко Г • Эта мода, затухая при / < /кр> t, играет паразитную роль, снижая результирующий коэффициент усиления и увеличивая шумы УБВ. Для того чтобы перевести эту моду из режима затухания в режим усиления, необходимо работать на частотах / >/кр, i. Этого можно достичь лишь в модели квазисвободной границы потока (поскольку при жесткой границе все высшие моды затухают за счет диффузии во всем частотном диапазоне), увеличивая толщину пленки при |к0| = const. Как видно из рис. 16, если при 2а = 2 мкм /кр, । =*55 ГГц, то при 2а = 8 мкм /кр j «s * 14 ГГц.
3. Перейдем к анализу распределения потенциала и плотности заряда по толщине пленки в приближении слабой диффузии. Как отмечено в § 4, слабая диффузия практически не возмущает распределение потенциала
= U2, полученное при De = 0, но порождает новую нормальную переменную U2, оказывающую влияние на распределение заряда (см. (4.30))
*(,) = ei(fi -72)(^i -t/2) = p!0)-«i(fi ~Уг)иг,
(8.23)
где распределения U\ 2 (у) имеют форму (4.14). Появление второй нормальной переменной V2 при De * 0 физически вызвано необходимостью ВЬ|полнения ДГУ, которое не может быть удовлетворено одной лишь переменной Ul. Задание ДГУ на границах потока носителей при у = ±а позво-'^Яет связать амплитуды А2 и /?2 распределения U2(y) с амплитудами ' । ИЙ1 распределения (у).
171
Для жесткой границы ДГУ вида jiy(* я) = 0 с помощью (4.21) и (4 И)) записывается в форме
11) Э U, (1 _R'1(,)) —1 dj
.-и-,"’ —
у = *
где, согласно (4.28),
у = t а
(8.24)
7a-U
0л/ Pd
w<" =--------------
ei Рм Pd
Подстановка (4.14) в (8.24) дает
1 - w[l)
/Ij A i
sin fi а sin f2 a
(8.25)
1 - И7 = -Bi ------
Для квазисвободной границы в зависимости от вида ДГУ (4.23) (нс влияющего, как показано выше, на дисперсию ВПЗ) выражения для А2 и В2 получаются разными. В частности, для ДГУ вида р2 (± а) =0, переписанного с помощью (4.30) в форме
Ul(±a)=U2(±a), имеем cos fi я	sin fi а
А2 = At ---—, В2 = Bi-----------
cos f 2 a	sin f2 a
Для ДГУ вида (Э/iy/dy) | у = t а =0, переписанного с помощью (4.21) и (4.30) в форме
(1 -<l))fi Crt(±a)=-Wfl\22 t/2(±a).
получаем
cos fi a cos f 2 a
(8.26)
(8.27)
(8.28)
Л2 —Ai
1 - И', ' fl cos f i а
K,Ji) fl cosf2a
(8.29)
Л2 =-/Л
1 H'i	fl sin fi a
^(D	fl sin f2 a
Выражения (8.25), (8.27) и (8.29) получены для структур с одинаковой границей потока на обеих сторонах пленки. Поэтому для симметричных ТПС (е2>п‘ = е2н*) эти выражения дают независимые значения А2 и В:, характеризующие распределение плотности заряда в симметричных и антисимметричных модах.
Дня ТПС с сильной асимметрией значения А2 и В2 не являются незави симыми в силу соотношения (7.6),связывающего между собой Ai и #i-
172
Кроме того, соотношение между л и д
„симметрии характера границы поток 2 окаэьюается чувствительным к «оказать, что при квазисвободной г ’ "а разных сторонах пленки. Можно - ПГЧЛГ,Л с	ранице потока на стороне пленки, при-
мыкающем к среде с большей проницаемостыл ₽
ис на противоположной стороне пол Дем вырХ’шя* ’" *eCTK°"
cos2f,e cosf5fl
Ai s Ai ——--------------
cos 2f2 a cos J-, a ’
A я_л	£1 cosha
3 w}n Г2 cos f| a’
(8.30)
первое из которых соответствует ДГУ вида р, = 0, а второе - ДГУ вида bfiy/^У	° их случаях между В2 и А2 справедливо соотношение
-tg£a а при	,
Т ’ '	<8 J1)
2 tg f j а при	,
аналогичное (7.6) для Z?iMi В остальных случаях асимметрии структуры, вызванной асимметрией внешней среды или различием характера границ потока, отношение B2jA 2 имеет более сложный вид.
Будем анализировать распределение заряда р/1’ (у) для симметричных ТПС с одинаковыми границами потока носителей. Ограничимся лишь основной симметричной модой (w = 0). При слабой диффузии из (4.4) и (4.31) получаем
f, = kD =	*
* i 'JPr *&D ” G7(d) >/ 1 + (& ‘£>)2 ' * Z/ZD-	(8.32)
Тогда для рассматриваемой моды на основании (4.14) записываем
^10) = i/itv) = ^i cosf, у, и2(у) = Аг chy/lD.	(8.33)
Соотношение между А2 и А] для ДГУ трех видов дается формулами (825), (8.27) и (8.29), а именно:
<1м жесткой границы с ДГУ вида hy(t а) - 0
А _ . (fi д>2___________51П а 1 _	(8.34)
’ (0Г в)2 ♦ (ft a)2 sh a/lD ft Id
для квазисвободнойграницы с ДГУ вида Pi (- а) - О
<8JS> ch а//р
Лтя квазисвободной границы сДГУвида (Э/Цл d.i)
л »_л	д)* cos **g	(836)
1 (^af+fftfl)2 che/zo
Рис. 17. Распределения по толщине пленки потенциала ^|О). нормальной переменной Ц О') (в) и плотности заряда О’) (<Я "ри разном характере границы потока носителей: J - жесткая граница с ДГУ вида /\у = 0; 2 квазисвободная граница с ДГУ вида р, = 0; 3 - квазисвободная граница с ДГУ вида 3/ iy I ду » 0. Штриховые линии соответствуют распределениям потенциала ^((у) и плотности заряда р{0\у) в приближении нулевой диффузии
При записи (8.34) — (8.36) использовали (8.32) и полагали I И'/ и| < |, 72
На рис. 17 изображены распределения потенциала <pt, нормальной переменной иг и плотности заряда Pi1} = е( «? + 3*) (<^, - С/2) для основной моды (я = 0) в симметричной ТПС, качественно построенные по формулам (8.33) - (8.36) для моделей жесткой (кривые 1) и квазисвободной (кривые 2 и 3) границы потока при слабой диффузии. Здесь же приведена ил ри-to) ховая линия, характеризующая распределение плотности заряда р\ -= ei G । +02) при De =0.
Как видно из рис. 17, во всех случаях, соответствующих трем видам ДГУ, на распределение заряда р/ ^(у), полученное при De - 0, накладывается ’’диффузионное" распределение заряда ~ С/2 (у) в приповерхностной области, которое уменьшается по дебаевской зкепоненте при удалении от поверхности в глубь полупроводника. Как видно из рис. 17, ненулевая диффузия "обогащает" подвижными носителями приповерхностные области для полупроводника с жесткой границей (обеспечивающей ДГУ вида /\у =0 кривая /) и "обедняет” — для полупроводника с квазисвободной границей (обеспечивающей ДГУ вида р\ = 0 - кривая 2). ДГУ вида Э/|У/Эу = 0 дает распределение заряда, занимающее промежуточное положение (кривая 3) между этими двумя случаями.
По мере уменьшения диффузии (DP -* 0) распределение (и) практи чески нс меняется, а распределение Р[1)(у) изменяется в соответствии с изменением Ог (у). При /д -»0 величина 1/3 (0) = А 2 в центре пленки умеиь-
174
ищется до нуля в соответствии с (8 341 1М
НШИХ либо остаются неизменными ' значения Иг (t а) на три-возрастают до бесконечности (цпи °1|Н' кв“зис“о0с»ДмоЙ границе), либо интерпретации этого результата И|1‘.'и??'К°“ граМщв>' Я1я физической плотность заряда (8.23) и виде	’ усР0/М«снмуи» по толщине пленки
?,<,,-«1(Г?*Д)?1(1-С1/г1).г<»>(| _0]/-
На основании (8.33) - (8.36) можно заиметь
Лтя жесткий границы с ДГУ вида /(и, д). 0
Ui _ _	(f. а?
Г” (М)’+(п<п’;
(8.37)
(8.38)
d.vi квазисвободной границы с ДГУ вида р{ (± а) - О
Ui tha/lD
Т" ®	° '
tg fi а
(8.39)
для квазисвободной границы сДГУ вида (Э/1;)/Эи)
-О
U2	(fiQ)a
(Де + (fl а)г
th а//р tgfi а
fi Id-
(8.40)
У" ’а
При De -* 0 распределение р/ 1 ’(г) должно приближаться к распределению Pi(0*0'), соответствующему нулевой диффузии. Как видно из (8.38) (8.40), при Id -* 0 в модели квазисвободной границы t/j/0'i * 0 (независимо от вида ДГУ), а в модели жесткой границы величина U2l^t остается неизменной. Это означает, что приповерхностный объемный заряд на жесткой границе потока при De -* 0 не исчезает, а превращается в реальный поверхностный заряд. В отличие от этого, при квазисвободной границе имеем pf’^ -*р;0) при U2/ip\ -* 0, т.е. на этой границе не возникает реального поверхностного заряда при Dt. 0.
ГЛАВА 5
ФЛУКТУАЦИОННАЯ И ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУР С ПРОДОЛЬНЫМ ДРЕЙФОМ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
Основная задача данной главы нахождение условий, при которых тон копленочный полупроводниковый образец с ОДП устойчив по отношению к флуктуациям как внутри образца (флуктуационная устойчивость), так и во внешней токовой цепи (электрическая устойчивость).
Уточним терминологию, используемую в теории устойчивости распределенных систем [1— 7). Исследование устойчивости системы по отношению к малым флуктуациям математически формулируется как задача об асимптотическом поведении (при / -»°°) произвольной начальной флуктуации, распространяющейся вдоль системы в виде волнового пакета. Для отдельной монохроматической волны, входящей в состав волнового пакета и распространяющейся вдоль оси : с волновым множителем ехр[/(uir— к.: )}. неустойчивость может возникать при 1тсо<0. Это условие обеспечивает нарастание амплитуды волны в фиксированной точке системы. Флуктуационная неустойчивость определяется временным поведением при : = const не отдельной гармоники, а волнового пакета в целом Принято различать два типа флуктуационной неустойчивости [17} абсолютную неустойчивость, характеризуемую неограниченным возрастанием начальной флуктуации в любой точке системы при t -♦<». и конвективную неустойчивость, имеющую место при сносе начальной флуктуации вдоль системы. предотвращающем ее неограниченное возрастание в данной точке при / -* 00.
Характер неустойчивости (абсолютный нли конвективный) определяется внутренними свойствами системы. Поэтому анализ флуктуационной неустойчивости обычно проводят в предположении бесконечно протяженной (вдоль оси с ) системы, с тем чтобы не "затемнять" эффект объемной неустойчивости влиянием границ, которые, как увидим ниже, могут существенно изменить поведение системы
При возбуждении на реальной частоте <-и( lniu> = 0) конвективно неустойчивая система ведет себя вполне стабильно, обеспечивая стационарное распространение монохроматических волн с пространственным нарастанием амплитуды вдоль направления с > 0 (при Im к. > 0) или г < 0 (при Im А. < 0) Такие системы могут быть, в принципе, использованы в качестве усилителей сигналов Для этого должна быть полностью исключена возможность самовозбуждения системы за счет того или иного механизма обратной связи между выходом и входом усилителя Любой механизм обратной связи может быть отнесен к одному (дли к комбинации• из
176
влмукиш»* трех 1ипвв: ннутрс|(Няя евмгнв.
сЯ1цъ. внешняя пбрлгнлн сия т», "’ратная «.яять, трмтичная обратная упомянутая выше ябс«лЮ1Ная
именно яигт/ч-ивгй обратной С11ч '“ичивость вызвана существованием игр. обеспечиваться волной с а|.п ' ” с.иосмс Гакая связь может напри . Группой, скорое™ npotHMnopXL'rib™'*К<”в'”Л*””“ неустойчивость используется лп»	Порожденная ею абсолютная
у .„^ойттипй^-то. геисрирования колебании. например.
* Ступооводниковая плХ" ^РУГИм примером является изучаемая нами ’ Хняя обратная С Дрей*Уюп«>« Отелями заряда Здесь * ^тлейся против ппейгЬ Ь СОЗдас™я диффузионной” волной, распростра-H**°UT. к абсоли пт НОситслся’ которая при наличии ОДП может при-
_ Q| t.	” ’н'УС70йч»*м>сти безграничного полупроводника
.	• Г 'VBM;u,rl' ЧТо абсолютная неустойчивость возникает при
дщхронизмс рямои и обратной волн, обеспечивающем внутреннюю обратную связь в системе даже в отсутствие г ранни
Граничная обратная (вязь порождается границами в системах конечной длины. Наличие границ вызывает появление отраженных волн, обеспечивающих обратную связь. Пространственное нарастание волн в условиях конвективной неустойчивости может сделать обратную связь положительной. Это приводит к самовозбуждению системы, которое проявляется аналогично абсолютной неустойчивости 1). Гак как эта неустойчивость свя «а на с прямым и обратным прохождением волн через всю систему, го она опре деляется нс только характером границ, но и внутренними свойствами системы. Такую неустойчивость систем конечной длины, порожденную как внутренней, гак и граничной обратной связью, принято называть глобальной неустойчивостью (2, 4, 5, 6, 10]. Ниже покажем, что критерии глобальной неустойчивости в асимптотическом смысле (при /. •“>) совпадает с кри терием абсолютной неустойчивости, а для систем конечной длины отличает ся от него. Термин тлобальной неустойчивости будет сохранен в применении к конвективно неустойчивым системам (самовозбуждение которых при конечной длине может произойти из-за наличия граничной обратной связи) для того, чтобы отличить ее от абсолютной неустойчивости систем бесконечной длины
Внешняя обратная связь осуществляется через внешнюю (по отношению к рассматриваемой) систему. В применении к полупроводниковому образцу роль внешней системы может выполнять электрическая цепь, в которую образец включен своими токовыми контактами. Волны, распространяющиеся вдоль образца, наряду с отражением на контактах преобразуются и ток внешней цепи, который и обеспечивает обратную связь между кон тактами При определенных условиях эта связь может стать положительной, что приведет к неустойчивости злек грической цепи в целом Такую неустойчивость. вызванную внешней обратной связью через токовую цепь образца. Принято называть мектрическои (или импедансной) неустойчивостью |2|
Подавление абсолютной, тлобальной и злек грической неустойчивостей полупроводниковой структуры, предотвращающее и самою» ю\ ждентк,
_	..........u unwnv ин-ми типами неустойчивости (абсо-
' II |..б..„ |7|	....... .А..»..,.,..,,
'""'Ний. тлобальной. электрической) и все они тин и.
"'ПТОЙЧИНОСГИ.
А А. Барыбин
177
не исключает существования конвективной неустойчивости, обеспечиваю, шей усилительные свойства структуры. В таких структурах наблюдается стабильное распространение волн с пространственным усилением. В отличие от этого, в устойчивых структурах (не способных к проявлению конвективной неустойчивости) невозможно существование усиливаемых волн. Такне структуры могут работать либо в режиме пропускания (распространение волн без затухания в полосе прозрачности), либо в режиме непропускания (недиссипативное затухание волн в полосе непрозрачности, аналогичное затуханию в запредельном волноводе) 1) [1—7].
При флуктуационной и электрической неустойчивостях речь идет о развитии неоднородностей системы во времени. Наряду с этим, ь статическом режиме малые неоднородности в пространственно однородной системе могут развиваться в пространстве. Такую ’’пространственную' неустойчивость предложено называть статической [2].
В любом полупроводниковом образце существуют приконтактные области с неоднородным распределением поля и заряда. Кроме того, в объеме полупроводника могут быть ’’затравочные” неоднородности (естественные или искусственно сформированные) [2]. В условиях статической устойчивости неоднородные области локализованы вблизи контактов и затравочных неоднородностей на расстояниях порядка дебаевской длины. В противном случае (при статической неустойчивости) формируются существенно неоднородные распределения поля и заряда, называемые статическими доменами [2].
Известно [11], что в однородных образцах с омическими контактами и ОДП существует неоднородное распределение с прианодным доменом высокого поля. Создание высокоомной прикатодной ’’затравки” позволяет сформировать на большой длине образца (за исключением приконтактных областей) однородное запороговое поле даже при наличии ОДП [11 ]. В тонкопленочных структурах появляется дополнительная возможность управления профилем поля либо с помощью электродов на поверхности пленки, либо за счет неоднородности поперечного сечения (в направлении, вдоль которого размер структуры существенно превышает длину ВПЗ) [II, 17].
В предыдущей главе и далее считаем статическую неустойчивость ТПС с ОДП подавленной одним из указанных выше способов. Распределение поля по длине образца принимаем однородным, а приконтактные неоднородности считаем вынесенными за пределы активной области с однородным полем.
Исследование распространения волн, выполненное в предыдущей главе, соответствует конвективно неустойчивым структурам, в которых, наряду со статической устойчивостью, должны быть обеспечены условия подавления абсолютной, глобальной и электрической неустойчивостей. Определение этих условий следует проводить в два этапа: сначала анализ флуктуационной устойчивости - для нахождения условий подавления абсолютной и глобальной неустойчивостей при сохранении конвективной неустойчивости:
*) Понятия "пропускание” и "непропускание", строго говоря, применимы лишь к системам без потерь. В диссипативных системах наблюдается затухание волн в полосе прозрачности и распространение в полосе непрозрачности
178
,агем лнлп<1 »ик1ричоской устойчивости конвективно неустойчивой Ь 'хождения условий, предотвращающих се самовозбуждение при включении во внешнюю токовую цепь
флуктуационная неустойчивость полупроводниковой среды с ОДП, а также к р ческая неустойчивость одномерных полупроводниковых образцов ылн подробно исследованы в связи с изучением процессов в диодах 1 анна (см., например, [2, 11 ]). Анализ флуктуационной неустойчиво-сти показал, что полупроводник с ОДП может быть абсолютно неустойчив лишь при достаточно большом коэффициенте диффузии, когда существенной является обратная диффузионная” волна, обеспечивающая внутреннюю обратную связь [2, 9|. При слабой диффузии роль обратной волны уменьшается, так что исчезает механизм как абсолютной, так и глобальной неустойчивостей. В этом случае образец может быть лишь электрически неустойчив. Анализ электрической неустойчивости диода Ганна с омическими контактами показал 112], что при нулевой диффузии (De - 0) диод становится неустойчивым в режиме заданного напряжения при выполнении критерия Кремера ^L> (n0L)Kp = 2,7-10,s м"а [11, 12].
Устойчивость полупроводниковых пленок с ОДП изучалась в связи с исследованием активных элементов тонкопленочных УБВ и планарных диодов I анна, работающих в режиме усиления СВЧ сигнала [11]. Многочисленные исследования показали возможность подавления ганновской неустойчивости в образцах /i-GaAs при уменьшении их поперечных размеров или диэлектрической нагрузке боковой поверхности (см. ссылки [3-33] к гл. 4). Впервые теоретическое исследование устойчивости ТПС с ОДП было выполнено в [13], где приведен поперечный критерий неустойчивости nod 1,6-101 5 м " (J — толщина пленки л-Ga As). Этот результат получен из анализа решения дисперсионного уравнения для очень тонкой пленки (jied < 1) при Д = 0. Использованное в [13] приближение нулевой диффузии свидетельствует о том, что полученный поперечный критерий, устойчивости по физическому смыслу характеризует не флуктуационную, а электрическую устойчивость. Строгий ее анализ должен проводиться путем исследования нулей и полюсов импеданса образца [2]. Для нахождения импеданса необходимо знать ток внешней цепи, выраженный через внутрен ние параметры образца, а это не было сделано в [ 13].
Вычисление тока внешней цепи тонкопленочного образца является задачей далеко нс тривиальной. Дело в том, чю в одномерной модели полный ток, вычисляемый как сумма токов смешения, проводимости и диффузионного, сохраняется неизменным по длине образца и по этой причине отождествляется с током внешней цепи [2, 3, 11, 12]. В отличие от этого, в полупроводниковой пленке полный ток изменяется вдоль образца из-за наличия электрического поля (или тока смещения) вне пленки. Поэтому сго отождествление с током внешней цепи становится физически некорректным.
В настоящее время вопрос о токе внешней цепи ТПС недостаточно разра-8°пн. Известны лишь 1ри работы [14-16], в которых намечается подход k Решению этого вопроса. В [14] ток внешней цепи вычисляется как сумма Немного и поверхностного токов на катодном контакте, но упускается Извиду ток смещения вне пленки В 115], основанной на результатах [17], *2’	179
учитывается ток смещения. Однако обе работы 114, 15] рассматривают случай очень тонкой пленки, пренебрегая вкладом высших мол в ток внешней цепи.
Ниже будем следовать работе (16], в которой задача вычисления тока внешней цепи ставится как граничная задача о возбуждении волн простран, ственною заряда на токовых контактах образца.
§ 1. Флуктуационная устойчивость тонкопленочной полупроводниковой структуры с ОДЛ
1. Оставляя в стороне математическую сторону вопроса дадим физическую интерпретацию существующих критериев различения абсолютной и конвективной неустойчивостей, а также распространения волн в условиях усиления, пропускания и непропускания.
Как отмечалось выше, в основу анализа неустойчивости положено исследование асимптотического поведения (при г -*°°) волнового пакета, который можно представить в форме суперпозиции монохроматических волн вида ехр [/’ (о>/ — fcaz)]. Для любой гармонической составляюшей соотношение между частотой со и продольным волновым числом к, (поперечные волновые числа выражаются через kz с помощью характеристического уравнения) находится из дисперсионного уравнения /7(ш, к:) =0. Полому последнее "потенциально” содержит в себе информацию о поведении волнового пакета, т.е. о характере неустойчивости (или устойчивости) системы. Поскольку каждая гармоническая составляющая является неограниченной как во времени, так и в пространстве, то интерпретация решений дисперсионного уравнения возможна лишь с использованием принципа причинности [1,3,7].
В соответствии с принципом причинности отклик системы на пространственно локализованное начальное возмущение должен быть равен нулю для всех z при t < 0, а при г > Одолжен занимать конечную область пространства, имея форму волновых пакетов, разбегающихся в стороны от источника. Скорость движения волнового пакета характеризует групповую скорость процесса (или скорость переноса энергии). Поэтому принцип причинности используется для определения направления групповой скорости (или направления потока мощности) волн, соответствующих корням дисперсионного уравнения при комплексных ш и к. ’). Правило для нахождения этого направления гласит [1-4]: при достаточно быстром нарастании во времени (когда 1m ш — — 00) пространственно локализованного возмущения волны разбегаются от источника в обе стороны (г > 0 и z < 0) в направлении своего затухания Следовательно, корни дисперсионного уравнения £>( Re ц> - i°°, к~:” ) = 0, имеющие Im к~“ < 0 при 1m со -* —°°, соответствуют волнам, дающим вклад в отклик при : > 0, а
11 Интересующийся читатель может обратиться к цитируемой литературе |1 ?!
’) При комплексных ш и к2 привычное определение групповой скорости в виде 1>Гр “ ЭиЯА.){Ък - теряет физический смысл (2. 6, 18] Знак Im А'°* в пределе Ini со — — позволяет в соответствии с приведенным правилом определять лишь иа правление скорости (или потока мощности).
180
корни ,	1 oot hi гс । пуки яллнам, накипим вклад к отклик
при * < °-
Требование Im w - — физи,|ески объясняс1ся следующим образом.
При нсд<н •	негром нарастании возмущения во времени (когда
|п1а>Л 'в меткости при w- Re со) указанные выше знаки 1mA. могут измениться на противоположные. Это дает нарастание волны в направлении потока мощности от источника, что ошибочно может восприниматься как нарушение принципа причинности. Подобная ситуация реализуется, если внутренние свойства системы обеспечивают существование усиливаемых волн, разбег ающихся при со - Re ш с нарастанием от источника. В этих случаях, тем не менее, выполняется принцип причинности, который при недостаточно быстром временном нарастании внешнего возмущения затушеван эффектом усиления волн. Переход к пределу Imcj приводит к тому, что разбегающиеся волны не успевают пространственно нарастать за счет внутренних усилительных свойств системы и остаются затухающими в силу принципа причинности.
Будем называть волны с ImA.” < о, дающие на любой частоте (в том числе при со = Re со) вклад в отклик при z > 0, прямыми у а волны с Im к- “ > 0, дающие вклад в отклик при г < 0, обратными 1). Поскольку указанные направления (z >0 и z < 0) соответствуют направлению потока мощности, переносимой этими волнами, то прямые волны возбуждаются на левом конце системы и распространяются вправо, а обратные волны возбуждаются на правом конце системы и распространяются влево.
Математические критерии различения неустойчивости и усиления волн, разработанные различными авторами [1, 4, 7, 18], по своей сути не отличаются друг от друга и основаны на анализе поведения корней дисперсионного уравнения D(uj, kz) =0 в плоскостях комплексных переменных ш и к,. Анализ устойчивости требует решения дисперсионного уравнения D(w, kz) =0 в двух формах со = gj(Az) и kz = kz (cd). Исходными для анализа являются: во-первых, положение на комплексной плоскости ш корней дисперсионного уравнения c*j° = cc(Rc kz + / О), соответствующих вещественным значениям к2; во-вторых, положение на комплексной плоскости к2 корней дисперсионного уравнения AZ" = A. (Re со - z°°), соответствующих частотам с 1m ш ~* — °°, при этом корни, лежащие в нижней полуплоскости, отвечают прямым волнам ( 1mA- < 0), а в верхней полуплоскости обратным волнам ( 1mA- > 0).
На первом этапе определяется знак Im со0 Если для любого корня при всех вещественных значениях А; имеем lmw° >0 (что обеспечивает за гукание колебаний во времени), то система устойчива. ( оогветствующий лому случаю контур сс°, отображающий вещественную ось Re А. на комплексной плоскости ш, показан на рис. 18.
В такой системе нс могут существовать пространственно нарастающие волны, и весь диапазон рабочих частот (соответствующих вещественным качениям w = Re со > 0) распадается на области пропускания (прозрачно-СтЮ и непропускания (непрозрачности). Волны, существующие в режиме
*> В работе 171 такие волны названы соответственно W гны.ми и неточными
181
пропускания принято называть распространяющимися, а в режиме непро-пускания — исчезающими (последний термин evanescent распространен в зарубежной литературе [1,3, 18]). Исчезающие волны являются не менее реальными, чем распространяющиеся. Так, в направленном ответвителе на связанных волнах с одинаковым направлением групповых скоростей интерференция двух распространяющихся волн (возбуждаемых на одном из концов системы г = 0 или z = L) дает периодический обмен мощностью между связанными волнами (режим прямого переизлучения волн) [8]. В противоположность этому, в направленном ответвителе на связанных волнах со встречным направлением групповых скоростей имеет место экспоненциальный обмен мощностью (режим встречного переизлучения волн), вызванный интерференцией двух исчезающих волн, возбуждаемых на разных концах системы z = 0 и z = L [8].
Если хотя бы для одного корня при некоторых вещественных значениях kz имеем Imo>° < 0, то система неустойчива (абсолютно или конвективно) . Соответствующий этому случаю контур сс£у, отображающий вещественную ось Re к. на комплексной плоскости а>, показан на рис. 18.
Критерии существования распространяющихся, исчезающих и усиливаемых волн, а также абсолютной и конвективной неустойчивостей основаны на исследовании поведения в комплексной плоскости к. корней Jt. (а>) дисперсионного уравнения £>(со, к.) = 0. При этом частота изменяется вдоль прямой, параллельной мнимой оси Im оз (см. рис. 18), от значений со с 1m со -* — дающих к'." = к. ( Re со -/<»), до реальных частот с Im со = 0, дающих № = кг ( Re со + i 0).
Рис. 18. Контур изменения частоты (от1тш- — - до = Q) на комплексной плоскости ю для определения критериев неустойчивости (штриховая вертикальная линия). Крестиками (Х> отмечены точки ветвления функции кг(ы). характеризующие абсолютную (и>а) и конвективную (wK) неустойчивости. Цифры 1,2,3 у точек ветвления gj, и ujk соответствуют тем же цифрам у двойных корней tz(<ua) и tz(wK) на рис. 20. Здесь же показаны контуры о/с ImwJ. > 0 и с lmu;*y < о для устойчивой (шу) и неустойчивой (со^у) систем, соответствующие вещественной оси Re kz комлексной плоскости кг
Рис. 19. Определение критериев существования: 1 распространяющихся; 2 - исчезающих; 3 - усиливаемых волн. Точки к t"z и ксоответствуют частотам на комплексной плоскости о* с Imo»-» — " и Imu = 0 (см рис. 18), Индексы t: характеризуют прямые (* z) и обратные (-а) волны, отличающиеся знаком	* **
182
Рис 20. Определение критериев Су-1дествования: / - абсолютной, 2 3 конвективной неустойчивостей Крее гиками (X) отмечены двойные корн» -------------------------------иные
И * 2}” Г'РИ
и Аг(ик), образовали слиянием корней *"• изменении частоты от значения Rcu? - I-: / - до wa> 2. 3 , Wk Цифры Л 2, 3 у двойных корней и к2(ьок) соответствуют тем же цифрам у точек ветвления ш и ик на рис. 18
Точки, еоответстэующие А, и А®, и переходы между ними изображены стрелками на рис, -шя распространяющихся (/), исчезающих (2) и усиливаемых (5) волн. Из сравнения стрелок 1 и 2 видно, что различие между распространяющимися волнами (в режиме пропускания) и исчезающими волнами ( в режиме нспропускания) состоит в том, что на реальной частоте Re w первые становятся незатухающими, а вторые сохраняют затухание (в направлении потока мощности). Для недиссипагивных систем это затухание носит реактивный характер. При наличии потерь в системе возникает затухание диссипативного характера в режиме пропускания, так что отмеченное различие между распространяющимися и исчезающими волнами
пропадает.
Следовательно, в устойчивой структуре (в которой Im ы° > 0) при изменении Im со от — 00 до 0 корни к±. (со), соответствующие как прямым (с индексом + z), так и обратным (с индексом :) волнам, не выходят из своей полуплоскости (см. рис. 19). В отличие от этого, критерием существования усиливаемых волн является положение точек kt. и А®. по разные стороны вещественной оси Re кг (см. стрелки > на рис. 19), что имеет место при обязательном условии 1m ш° < 0.
Абсолютная неустойчивость, как отмечалось выше, появляется при наличии внутренней обратной связи в объеме структуры. Такая обратная связь может возникнуть в результате взаимодействия прямой и обратной волн. Для этого необходим "синхронизм” волн, записываемый в форме равенст-ва их продольных волновых чисел. На комплексной плоскости к: это отображается в виде слияния двух корней kt2 । и ^-i2 из разных пол\пло скостей (стрелки / на рис. 20). Так как при таком слиянии один из корней <:7 пересекает вещественную ось Re к- , то частота	*“
Рис. 18), на которой возникает двойной корень	чка н
Рис. 20), обязательно лежит выше контура wHy ' wt А? ' ^Х^чи Для самопроизвольного нарастаният^ ХИе,ГяХ=ИТ("	к —
’«"Ой осью Re u> I4 j„□„уш.оекоетей <-
влияние двух корней A,t1 и *—2	1 произойти на частоте
Вегствующих волнам разного напряш t 	* показано стрелками 2 на
‘ '">ы, > о (гочка ветвления 2 на рис. 18). *»к
То*
, соот-
рис. 20 для двойного корня 4г(о>к). В ком случае самопроизвольного нарастания колебании быть не может (Im сок > 0), но конвективная неус-юйчивость сохраняется. Последнее объясняется тем, что один из корней Л. .“ еще до слияния с корнем А пересек ось Re к. (см. стрелки 2 на рис. 20), а это и служит критерием существования усиливаемых волн при конвективной неустойчивости структуры.
Образование двойного корня Аг(о>к) может произойти в результате слияния двух корней к'Т} и из одной полуплоскости кг, соответствующих волнам одного направления, как показано стрелками J на рис. 20. Поскольку ни один из корней до слияния не пересек ось Re к., то частота сск (точка 3 на рис. 18), на которой возникает двойной корень к. (сок) (точка 3 на рис. 20), обязательно лежит ниже контура 'О„у  u>(Re к. + /0) на рис. 18. В этом случае, несмотря на то, что 1m о>к < 0, абсолютная неустойчивость возникнуть не может. Последнее физически объясняется тем, что взаимодействующие в точке ''синхронизма” волны распространяются в одном направлении, так что отсутствует механизм внутренней обратной связи. Однако конвективная неустойчивость при этом имеет место. Действительно, в силу того, что Im < 0. при увеличении Im сс от значения Im wK (соответствующего точке 3 на рис. 18) до значения Im сс = 0 один из корней к.- । на рис. 20 после слияния в точке 3 в дальнейшем пересечет ось Re к.. Это свидетельствует о существовании усиливаемых волн
Таким образом, критерий существования абсолютной неустойчивости математически записывается в виде условия "синхронизма" прямой и обратной волн
при 1ш сио < 0.	(1.1)
где А, .Доз) и к zj (со) корни дисперсионного уравнения, отвечающие волнам разных направлений (с Im А."-7 < 0 и 1тЛ1Т/ >0). Взаимодействие этих волн в условиях "синхронизма” (1.1) приводит к тому, что в каждой точке системы прямая волна рождает обратную и наоборот, вызывая абсолютную неустойчивость системы. Частота , на которой происходит слияние корней, является точкой ветвления многозначной функции к. (щ) и может быть найдена как двойной корень дисперсионного уравнения. удовлетворяющий системе уравнений [1.4,7]
Следовательно, для отсутствия абсолютной неустойчивости точки ветвления функции Ач (со) должны либо отсутствовать, либо лежать в верхней полуплоскости u>(lm со > 0), либо соответствовать ’’синхронизму” волн одного направления.
2. Перейдем к рассмотрению критерия глобальной неустойчивости и покажем, что сю асимптотическое определение (при /.-«») полностью совпадает с критерием абсолютной неустой'птвосги.
Природа глобальной неустойчивости, впервые введенной в [10]. связывается с отражением и трансформацией волн на концах структуры конечной 184
динны |4. N • 1 ранни» при 2  о или »  /
мес волну и трансформируй	‘ Рассси»ает любую падающую на
- rn>uun» • - а	В В0Лны противоположного направления.
ктпаняюшиеся впп ВО’?уждИоТся прямые волны (с Imк~" < (^.распространяющиеся вправо. Пусть ц3	г
,,лн наибольшее значение In, к Д, г»1”" '"С’01' " ВС'Х П|”МЫХ Кч<\Ы) (возможно, н положительное для ^ГСщно большой Ш1инеИ1$/ С1 ' ” волла с волновым числом к.г1. При доста-_	1 поля этой волны преобладают на правой грани-
це * И в°3 •'ЖДаЮ| обратные волны (с 1т£_“ > 0), распространяю-шнсся влево, ели на частоте ш из всех обратных волн наименьшее значение пт (со (возможно, и отрицательное для усиливаемой волны) имеет /-я волна с волновым числом к_г/, то именно она преимущественно и достигает .иной (раницы z = 0. Описанный процесс отражений от границ многократно повторяется и формирует стационарное распределение полей (если оно возможно).
Каждую границу будем характеризовать своим коэффициентом трансформации z-н волны в /’-ю и наоборот: Т.+ — на правом конце г = L и Т_ — на левом конце z = 0. При однократном пробеге вдоль системы прямая /-я волна приобретает волновой множитель ехр(—ik+tiL), а обратная /я волна — множитель ехр( ik_z/- L). Тогда результирующий двойной пробег с учетом двукратного отражения от границ дает амплитудно-фазовый множитель q = Г, Т_ ехр [ -/ (А\г, - k_sj) L ].
Пусть в центре структуры при г ~ L /2 возникла начальная флуктуация, возбудившая прямую /-ю волну с амплитудой ай. Многократные отражения от границ дадут в том же сечении z = Ljl сумму всех прямых волн, распространяющихся слева направо, равную
аД£/2) = а0(1 +<? + q2 + q3 + ...)=л0/(1 q) =
= а01 О - 7;7’_ехр[-/(А\„-k_,j)L |) при Ifll < 1-
Аналогично для суммы обратных волн в сечении z=L)2, ралростра-няющихся справа налево, имеем
a. (L/2) = о0Л ехр [-l(*+2z - к_ zj)L/2] (1 + q + q2 + q3 + - - •) =
= Лехр[-/(Л+г/-Л-х/)Л/2]а+(Л/2) при
Тогда амплитуда полного поля в сечении z - L I ~ равняется
e(£/2) = a+(Z/2) + fl_(I/2) =
1 + Г» ехр	- к_	(1.3)
°0 1 - Т+ Т_ ехр [-Hk+zi - к-
п	ьгга «.остойчивость может возникнуть при обращении
Отсюда видно, что неустойчив*
8 нуль знаменателя (13). т.е. при условии
qsT^T_ ехр [-i(k+zt - к- - 1 •
Полагая Т, = I Т, « »*«" обозначения г = In I Г.Т. I и f =	-
+ переписываем (1-4) в виде
(t + i — (k+zf ~ к- ’
откуда
t + i |s£> - (*+fl -	m » 0, ±1, ±2,.. -,
или. с учетом частотных зависимостей kx (со), Г (со) и ^(w). получаем
*♦»<(«)-*.«/(«) НИ<*>)-21гт] -//(w)) IL.	(U)
Равенство (1.5) является уравнением относительно частоты си = Reto + + flmco, после нахождения которой можно получить условие самовоз. буждсния системы, полагая Im со<0.
При переходе к бесконечно протяженной системе (/. -*«>) правая часть равенства (1.5) обращается в нуль, что приводит его к виду (1.1) для критерия абсолютной неустойчивости. Таким образом, асимптотическое (при L -*°°) определение глобальной неустойчивости, введенное в [10], не дает ничего нового в дополнение к абсолютной неустойчивости. Физический смысл этого заключения состоит в том, что при L -*°° роль границ в обеспечении обратной связи исчезает, тогда единственным каналом обратной связи является сама волноведущая среда, обеспечивающая взаимодействие прямой и обратной волн в условиях их синхронизма (1.1). Последнее означает равенство их волновых множителей
ехр( jA+z/z) = exp( -ik_ifz)
в любой точке системы. Отсюда следуе^ соотношение
A+J/(w) - к_г1(ы) = 2nm/z, т = 0, ±1, ±2,...,	(1.6)
напоминающее по форме (1.5). Так как z — произвольная точка, равенство (1.6) может выполняться лить при т = 0, что сразу дает критерий абсолютной неустойчивости (1.1). Идентичность равенств (15) и (1.6) подчеркивает родственную физическую сущность двух типов обратной связи -внутренней и граничной, приводящих к неустойчивости системы.
Отличие выведенного в работах [4, 6, 10] критерия глобальной неустойчивости (при L ->«>) в виде 1птА+2/ = Im k_2j от критерия абсолютной неустойчивости А+2/ = k_2j объясняется тем, что были учтены лишь амплитудные соотношения при отражениях волн и опущены фазовые соотношения, дающие в пределе! •*<» равенство ReA+2f = ReA_2/.
При конечной длине структуры условие неустойчивости, получаемое на основании (1.5), отличается от критерия абсолютной неустойчивости (1.1). Для неустойчивости такого типа н системах конечной длины, порожденной как внутренней, так и граничной обратной связью, в отсутствие абсолютной неустойчивости сохраним термин глобальная. Соображение о том, что глобальная неустойчивость в таком понимании соответствует самовозбуждению конвективно неустойчивой системы за счет отражений волн на границах, ранее обсуждалось в литературе [ 19].
3. Применим приведенные выше физические соображения к анализу флуктуационной устойчивости тонкопленочных полупроводниковых структур с ОДП. Строгое математическое исследование в данном случае весьма затруднительно, так как дисперсионные уравнения для ТПС содержат трансцендентные функции от се и кг , не допускающие в явном виде аналитической записи со = со(А,) и А, = кх (со).
Как было показано в гл. 4, все моды ВПЗ для полупроводниковых пленок в приближении нулевой диффузии распространяются в одном
186
направлении вдоль дрейфа носителей г
функции kz («) могут быть образованыС^доватепьно’ гочки ветвления веТСтвующих волнам одного направлХи» а слиянием коРней’ соот* абсолютной неустойчивости ТПС ппи л ^То хГарги,тиРует невозможность S Хы- "С~ 1аКЖС " "С ycSTn^'KoZ" и„даГдаффузиотуюХХ^чуаи““отИиЯ "австречу дрейфу "о™™1'*’ Как следует из § 4.8,	лишь при О, * 0.
дрейфового потока носителей. КвазисвХ™” E."ZZ Z' фузии обеспечивает распространение тс-.м-п , граница ПРИ сла6ои OT(P‘ дрейфа, как и при De = 0 Это гГХ« ж P*MHX В0ЛН ® напРавлении структуры (в смысле исключен» i Те аб™ флук5уацио»нУю Устойчивость
тнйппм WYMUPUUU	СНИЯ СС абсолЮТНОИ И ГЛОбаЛЬНОИ НСуСТОИЧИ-
востеи при сохранении конвективной неустойчивости)
Обратная волна в ТПС ппи О * п »Лв	j •
vutt шт,,,,,,,, Р Ue ° возникает лишь при жесткой границе П° пш*ммя /А а m ительн°Р Диффузионное” решение дисперсионного Ур3 aupuua nk J ^тпг ® ЭТ°М случае физическая картина рас-пространени опн в 1 ПС близка к волновому процессу в безграничной плазме, описываемому дисперсионным уравнением (2.4.37). Для случая продольного распределения волн (9 = 0) при замене у = ik2 это уравнение имеет вид
- ikzu0 + kow.w + i<*> = 0.
Решение (1.7) в общем виде дает два корня
Ио /	’
* ТТ~ 1+V1+	— (kow,w +ico)
2De
(1.7)
(1.8)
Легко убедиться, что в пределе Ini эти корни лежат в разных полуплоскостях кг , а именно
Jim кг1 2(ы) = + i lim	V| lm со \/De'.	(1.9)
Imw-y-и	llmcjl-»"
Это создает возможность абсолютной неустойчивости в случае слияния корней, что имеет место в точке ветвления функции кг (со) (когда подкоренное выражение в (1.8) обращается в нуль):
швг»(ко£*>м +Mo/4ZJ(,) = i(KotDJw+ссо/4).	(1.10)
Отсюда видно, что абсолютная неустойчивость (возникающая при totOg < 0) может быть реализована лишь в области ОДП (к о = —  к о । < <0) при I к0 । cjm>uJD/4, когда первое слагаемое в скобке (1.10) отрицательно и по модулю превосходит второе. При слабой диффузии, когда wo> отношение этих двух слагаемых имеет порядок 41 к 0 I <^y,jc^D <
1.	что гарантирует невозможность возникновения абсолютной неустойчивости.
Для ТПС с жесткой границей потока дисперсионное уравнение (4.6.12) 1,0 Форме совпадает с (1.7), в котором wM необходимо заменить на модифицированную максвелловскую частоту релаксации ш.„ = ши/(1 + 5). ^араметр 5 является частотно-зависимым и определив! зависимости шу „ от для каждой моды в пленке, показанные на рис. 15.6. Так Ка* Для всех мод с ростом частоты	го для ТПС формально
187
применимы формулы (1.8) - (110) при замене ым на Как видно из рис. 15, б, при к0 < 0 для высших мод (л = 1,2,...) на частотах ниже критических имеем Шм,л<0, а для основной моды (л = 0)	о>0.
Следовательно, абсолютная неустойчивость принципиально может возникать, как показывает (1.10), лишь на основной моде. Строгий анализ соотношения (1.10) для и=0 затруднен в силу частотной зависимости wM>0. На основании неравенства сЩ* о можно сделать из (1.10) качественный вывод о том, что уменьшение поперечных размеров полупроводника способствует его флуктуационной устойчивости, так как при этом уменьшается первое слагаемое в скобке (1.10),ответственное за изменение знака Imcja при к 0 < 0,
В § 4.8 при вычислении корней дисперсионного уравнения (4.8.1) было использовано условие слабой диффузии J а(0> I < I 7<n) I < 0d = = cj£>/uo, где, согласно (4.7.1), I й1 * * * * * (0) I = I ко0м । = । « о - Следовательно, условие слабой диффузии, записанное в виде I 1 обеспечивает малость первого слагаемого в скобке (1.10) по сравнению с положительным вторым слагаемым ъзо/4. В результате этого Ima)e > 0, что противоречит критерию абсолютной неустойчивости.
Как следует из (4.8.4),обратная ’’диффузионная" волна сильно затухает в направлении распространения с постоянной затухания, равной -uo!De. Поэтому слабая диффузия в достаточно длинных образцах не может обеспечить граничную обратную связь, порождающую глобальную неустойчивость.
Таким образом, условие слабой диффузии в тонких пленках полупроводников с ОДП исключает их абсолютную и глобальную неустойчивость с сохранением возможной конвективной неустойчивости как при квазисвободной, так и при жесткой границах потока носителей. Для использования этих пленок в качестве активных усилительных структур надо обеспечить их электрическую устойчивость во внешней токовой цепи.
§ 2. Граничные условия на токовых контактах полупроводникового образца
1. Анализ электрической устойчивости полупроводникового образца основывается на вычислении его импеданса [2, II 12]. Для этой цели необходимо знать граничные условия на токовых контактах, которыми образец включен во внешнюю электрическую цепь.
По отношению к объему полупроводника приконтактный слой является неоднородностью, сильное внутреннее электрическое поле которой делает неприменимым в этом слое локально-полевое приближение [2]. Поэтому
использование уравнений локальной теории (см. гл. 1) требует исключить
из рассмотрения приконтактные области с сильным внутренним полем. Если толщина этих областей достаточно мала по сравнению с характерными масштабами изучаемой задачи, то влияние контактов можно учесть с
помощью граничных условий. Тонким контактом принято называть контакт с толщиной /к области неоднородного внутреннего поля, удовлетво-
ряющей соотношению /к <$ /р(Ф/АБ7Т, где 1р — средняя длина свободного
пробега по импульсу, Ф — разность работ выхода контактируемых материа-
ла
лов 1-1- Это неравенство обычно выполняется для полупроводников с высокой подвижностью, в том числе и для я-GaAs.
Однако, как показано в [2], явная зависимость функции распределения от координат [определяющая нелокальную связь кинетических коэффициентов с напряженностью хтектрического поля) распространяется за пределы контактной области /к в объем полупроводника на длину /, свободного про era по энергии. Иными словами, внутреннее контактное поле (локализованное на длине /к) "наводит” неоднородность в объеме полупроводника на длине порядка 11.
Таким образом, описание приконтактных областей с помощью граничных условий применимо при lK ~ lf дм> где _ характерная длина пространственного изменения макроскопических величин. Эго неравенство совпадает с условием применимости локальных приближений в объеме полупроводника (см. формулу (1.7.2)). В этом случае приконтактный слой можно заменить эквивалентной граничной плоскостью, на которой одни физические величины сохраняются непрерывными, а другие (быстро изменяющиеся на толщине приконта к того слоя) испытываюгразрыв[2]. Соотношения между этими величинами, записываемые на граничной плоскости, дают граничные условия для решения краевой задачи
Условие корректности краевой задачи требует, чтобы число граничных условий на каждой граничной плоскости равнялось числу волн, уходящих от этой плоскости в объем волноведущей структуры (10, 20] В полупроводниковых структурах диодного типа существование двух волн прямой и обратной (каждой в виде совокупности поперечных мод в случае ТПС), распространяющихся попутно и встречно к направлению дрейфа носителей, требует задания по одному граничному условию на катоде (для прямой волны) и на аноде (для обратной "диффузионной” волны). В приближении нулевой диффузии, когда обратная волна исчезает, для корректности краевой задачи необходимо исключить из рассмотрения граничное условие на аноде.
2.	Контакты к образцу, обеспечивающие его включение во внешнюю токовую цепь, инжектируют носители заряда в объем полупроводника. Будем рассматривать только униполярную инжекцию, играющую важную роль в работе полупроводниковых приборов с униполярной проводимостью (таких, как полевые транзисторы, диоды с барьером Шоттки, инжекционно-пролетные диоды, приборы на эффекте Ганна и др.) [21]. При униполярной инжекции величина инжектируемого тока определяется не только свойствами контакта, но и влиянием пространственного заряда инжектированных носителей.
Принято различать два предельных случая инжекции [22] инжекцию, ограниченную пространственным зарядом (сокращенно ОПЗ-инжекция), инжекцию, ограниченную током эмиттера (сокращенно ОТЭ-инжскция).
По смыслу они аналогичны- известным режимам протекания тока в вакуумном диоде: режиму тока, ограниченного пространственным за* Рядом, и режиму гока насыщения (или тока, ограниченного эмиссией катода) [22,23].
При ОПЗ-инжекции в качестве граничного условия используют обращение В нуль нормальной (к граничной плоскости)компоненты напряженности Метрического поля. Например, ДЛЯ виртуального катода, созданного 189
объемным зарядом, при z » 0 записывают (21,22]
*и(0)-0.	(2.1)
Граничное условие (2.1) обеспечивает зависимость тока инжекции всецело от пространственного заряда, созданного инжектируемыми носителями. При этом инжекционные свойства реального контакта (расположенного на удалении от виртуального катода) не влияют на ток инжекции |21|.
При ОТЭ-инжскции ток эмиттера считается настолько малым что зарядим инжектированных носителей можно пренебречь [22]. Тогда инжекционные свойства контакта становятся определяющими в протекании тока через структуру. На контакте с ОТЭ-инжекцией постоянный во времени ток эмиттера инжектируется в рассматриваемую область. Тогда граничное условие при с - 0 записывают в виде [22, 24,25]
/ииж(О)»/ох(О) = const нлн /|х(0) = 0.	(2.2)
Граничное условие (2.2) практически может быть реализовано путем инжекции носителей в область р—л-перехода между базой и коллектором транзистора, созданных либо эмимерным переходом транзистора, либо их оптической генерацией при освещении р л-перехода [22, 24].
3.	В качестве граничной плоскости, на которой задаются граничные условия, выбирают либо реальные границы раздела между областями с резким изменением проводимости, либо виртуальные границы, соответствующие, например, экстремумам потенциального рельефа структуры.
Нас будут интересовать токовые контакты к полупроводнику (например, омические) в виде металлических или сильно легированных (л+) областей. В этом случае граничная плоскость отделяет объем полупроводника от контактной области с высокой проводимостью (близкой к металлической), в которой электрическое поле пренебрежимо мало и обращается в нуль в приближении идеального металла. По другую сторону граничной плоскости z = 0 существует отличное от нуля поле в полупроводнике £1(0). В соответствии с электродинамическим граничным условием (2.1.7), нормальная компонента этого поля £1г(0) наводит на металле поверхностный заряд
pfi =ei£ix(0).	(2.3)
Граничная плоскость с поверхностным зарядом р£| должна создавать разрыв нормальной компоненты плотности тока (/lx -/j2), величина которого на основании общего граничного соотношения (3.4.59) равняется (в предположении V, /fi = 0)
Zix(O) -Л*(0) = -iwpf, ,	(2.4)
где орт е. -п = -л* направлен внутрь полупроводника. Из (2.3) и (2.4) получаем выражение для плотности тока в контактном слое, дающего вклад в ток внешней цепи.
/j,(0)=/12(0)+/we1£i2(0).	(2.5)
Следовательно, во внешнюю цепь выходит полный ток в полупроводнике (на контакте при z = 0), равный сумме конвекционного тока/12 = A)ui: + + Д1 и0.' и тока смещения /ше г.
190
Ддя решения красной залами необходимо связать на контакте величины и г.1. (О). Обычно это делается с помощью феноменологического соотношения [21,26-32]
/I г(0)= °к 1 z (0)1	(2.6)
где “к дифференциальная проводимость контакта. Из сравнения (2.6) с (2.1) и (-•*•) видно, что контакт с ОПЗ-инжекцией обладает бесконечной проводимо^!мо_(о* -+«>), а контакт с ОТЭ-инжекцисй - нулевой прово-димостью^ (<4. - 0). Контакт, удовлетворяющий общему соотношению (2.6) с °к *0 и Ок Л 0, носит название контакта с управляемой инжекцией [-1. -8|, так как величиной о*. можно управлять, например, с помощью статического поля или постоянного тока, протекающего через контакт. Примером такого контакта является барьер Шоттки [33], используемый, наряду с омическим контактом, для управления инжекционными свойствами структур [27- 30].
Определим дифференциальную контактную проводимость а* для омического контакта и барьера Шоттки.
Омический контакт в модельном представлении является антизапор-ным контактом металла с полупроводником, на границе между которыми отсутствует эффективный потенциальный барьер, препятствующий протеканию тока, а в полупроводнике в районе границы имеется область, обогащенная основными носителями заряда. Отсутствие потенциального барьера не позволяет накапливаться на металле наведенному заряду и он стекает в обогащенный слой полупроводника. По этой причине можно считать, что поверхностный заряд отсутствует, т.е. ^j=0. Равенство /т|=0 естественно принять за феноменологическое определение омического контакта. Тогда из (2.3) получаем граничное условие на омическом контакте при с =0:
£1г(0) = 0.	(2.7)
Следовательно, омический контакт, подробно контакту с ОПЗ-инжекцией, обладает бесконечно большой дифференциальной проводимостью (°к "*оо)1 представляя собой неограниченный резервуар хтектронов. Такой контакт не может лимитировать инжекцию, поэтому при омическом контакте ток униполярной инжекции ограничивается лишь пространственным зарядом [21 ].
Барьер Шоттки возникает на запорном контакте металла с полупроводником, в котором имеется область, обедненная основными носителями заряда. Наличие барьера и обедненного ело я позволяет накапливаться на металле поверхностному заряду pf i, наведенному полем £1г (0).
Как известно [33], плотность термоэлектронного тока, инжектируемого из металла в полупроводник над барьером Шоттки равняется
h жЛ,Т2ехр[—lc I(^ — А^)Мб^1»	(2.8)
гдеЛ’=| е I /z/4^/2rr2h3 эффективная постоянная Ричардсона, учитывающая эффективную массу электрона (для л-GaAs ni* =*0,07wo. А * * * 8,4 А/см2 • К2), понижение исходной высоты барьера под действием сил зеркального изображения, равное [33]
г । i 1
= 7—— £,(0).	(--9)
4пе,
191
Полное поле барьера Ег (0) складывается из статического/-.0. (()) и перс-менного Е\г (0) полей. Тогда из (2.8) и (2.9) в линейном приближении получаем
(Э/2 \ /	^12-
/Е,г
Отсюда следует выражение для дифференциальной проводимости барьера Шогтки:
/ Э/2 \ 1г1/Ог / le I 1г1Д«й>
ок =1---- = ------------- V---------- =а0---;—~~ »	(2.10)
\ дЕг ' еп. 2къТ 4ttci£oz 2к^7
где j0- и Д^о - статические величины, получаемые из (2.8) и (2.9) при Ez °Q~i02/^ог статическая проводимость барьера Шогтки. Статический ток инжекции /0. при данной высоте барьера w однозначно задает поле Ей., что позволяет управлять величиной ок. В работах (34. 35) обсуждаются способы управления аффективной высотой барьера Шоттки для n-GaAs. в частности, путем создания очень тонкого (* 100Л) и’слоя на границе между металлом и полупроводником.
Как видно из (2.10), при сильном обратном смещении барьера Шоттки (Ео. велико) можно получить =*0, т.е. реализовать контакт с ограниченной инжекцией. Использование такого контакта вместо омического (с неограниченной инжекцией) позволяет существенно улучшить характеристики приборов на эффекте Ганна [27, 281.
§ 3.	Ток внешней цепи тонкопленочного полупроводникового образца
1.	Как известно [2, 3. 12]. в одномерной теории уравнение для полного тока d(j}. + i<jj€tEi:)ldz =0 позволяет вычислять ток внешней цепи как сумму токов смещения, проводимости и диффузионного в произвольном сечении z = const образца, а именно (для образца с поперечным сечением5 )
л “ ^полн ~ ( I'1 г + 1<л)€ । / j . )S ~
dEis	dpt
= (к0 ov + icje । )!\-S + ер/о - S - Dc -----S.	(3.1)
dz	dz
В силу независимости полного тока от продольной координаты.: можн воспользоваться операцией продольного усреднения, применяемой в вакуумной электронике СВЧ [23] для расчета емкостного и наведенного токов в плоском диоде. Усредняя (3.1) по длине L , можно получить
1 L
= . / Лк>ли dz — (к0 Go + /<дСо) 1 । ♦
А и
♦»оСо[Л1;(£) A,-(O)J	— DrC0[p,(£)-P,(O)J.	(3-2)
в|
192
Рис. 21- Схематическое изображение ТПС с viz»
лических электродах: катоде	^><ов, замыкающихся на метал-
включая ток /ов в о&ьсме полупмв^Ха ^ииМеТ1ЛЛИЭ^ИИ МЛП-структуры < /м). / вне полупроводника; £ £ г и г ’ Р’ностный ток /пои и ток смешения сечение полупроводника, катод?’ Ми м’~итУР“. ограничивающие поперечное единичные внешние нормали п п п и я металлиза‘“’’. которым соответствуют
 п к- "«' и л м: 1 катод, 11 - анод. III - полупроводник, IV - металлизация
где Go - оеS/L и Со e-^SiL. статические проводимость и емкость образца,
L
Vi=f Eiz(z)dz	(3.3)
о
- падение напряжения на образце.
Как показывает (3.2), ток внешней цепи определяется не только объемными свойствами образца (’’электронной” к 0G0 и емкостной iwC0 проводимостями) , но зависит также от граничных условий, наложенных на £1Х и Pi на токовых контактах при г = 0 и г = L.
2.	При вычислении тока внешней цепи тонкопленочного образца нельзя использовать операцию продольного усреднения, поскольку полный ток в образце изменяется вдоль него из-за наличия электрического поля вне
пленки.
Рассмотрим изображенную на рис. 21 структуру с металлическими токовыми контактами (катодом, анодом и металлизацией МДП-структуры), Подключенными к внешней цепи. В структурах с металлизацией последняя обычно заземляется (как и катод), так что протекающий через нес ток I* вносит вклад в ток внешней цепи, а именно
Z>Me/K +/м =/.,	(3’4)
где 4 и /, - токи, протекающие через катодный и анодный контакты.
Будем вычислять ток катодного контакта /к, исходя из общего гранично соотношения (см. формулу (3.439))
7* ♦ п ' • /7 я - jGjpji - V х 7*т •
2^ - значения плотности объемного тока по	границы,
н*УЩей электрические поверхностные источники и/п (см. рис. 22, ).
13 а	193
А А Барыбин
Рис. 22. Расположение нормалей к границе металла, несущей поверхностные заряды и токи с плотностями и fsi (а) и схематическое изображение отбора тока из внешней цепи катодным контактом через его торцевую (61 и боковую (в) поверхности:
1 - внешняя среда,// - металл (/бОК - iw f (як • DaH) dS)
S бок
При этом для металлических поверхностей имеем
л* £>Г = 0, n* Dt* = pf!.	(3.6)
Токовый контакт (катодный или анодный) отбирает ток как торцевой, так и боковой поверхностями:
'к (а) -I к(а) к(а) *	(3.7)
В соответствии с рис. 22,6 и в на катодном контакте имеем: л * = — л" = = ег - для торцевой поверхности и л* = —л" = лк - для боковой поверхности. Определим торцевой и боковой токи катодного контакта в виде
/к°рц =	/ (ex/r)dS = - f (n'/DdS,	(3.8)
^торц	«^торц
/®кк =	/ (лк /,-Х/5=- f (n’-j[)dS,	(3.9)
$бок	•З'бок
где 5торц и Д'бок площади торцевой и боковой поверхностей токового контакта.
Использование граничных условий (35) и (3.6) позволяет записать (ЗЯ) и (3.9) в виде
/к0₽ц=	/	*,’(/. + /«<,£,) I dS = /o6(0),	(3.10)
^торц	х«0
f (ег оян) I d5+ f(ex /L) I (№/см(0)+/по.(0), A"M	’"° L 1=0	(311)
где SBII площадь поперечною сечения вне полупроводника (с злектри-ческой индукцией />„,»). £ контур, ограничивающий сечение полупро-194
иодника с поверхностным тиком /* и
юианз двумерная формула (V.,’ ри HWBO/,C (310) была исполь нс 22.0)	Роградсхого Гаусса, но которой (см.
/ (Vj 7.г1 MS'" (л ./<\| »._п
Sropu	£k ' * А,)г!//а°.
^lirv Пом выводе1'; 7'l n K H nony,IPOBoaHM’ce/j| имеет лишь z-ю компо-
P= 01 и T4K-4 воспользовались, во-первых, отсутствием зарядов (Ан	в (л /j = qj Я||с 50КОВОЙ поверхности токового
контакта, что позволило записать (см. рис. 22,«)
f n*-U; + iuD?)dS = iu> f (Пк D^jdS
^бок	*^бок
S/W / (*а’^вн) I ^4 s4m(0),
^бОК	2IQ
и во-вторых, соотношением о
f (Vs Jti)dS= f dz j (V, jesi)dl
SboK	£*
= >(<z7fl)l dl=lnOB(0), £	Z=0
(3.12)
(3.13)
полученным в предположении, что jesi (z) -*0 при z
В формулах (3.10) - (3.13) введены продольные токи на катодном контакте: объемный /об(0), поверхностный /пои(0) и ток смешения 4м (°) (см- Рис- 21 и 22).
Аналогично введем продольный ток в произвольном сечении z «const структуры
/(г)вД>б(*) <-Л1ов(г) +/см(г),	(3.14)
равный сумме полного продольного тока в объеме полупроводника
/o6(z ) =/ez Ui	(З-15)
5
поверхностного тока на границе £ полупроводника
4ов(г) = /
н продольного ток» смешения но внешней (относительно полупроводника) среде
4m(z) = /cj / (<2 ’ 2>вн)^.
г	zi шз _ Н 17) tok/(z) определен так, что его гранич-
Согласно (3.7) и (3.10)	- •	- каТ0дн0Г0 и анодного контактов:
иые значения при z = 0 и z = L Днют токи кл а
4 = /к°ра ♦/к6ок =/(°>’	/as/eT,,’“ *4‘”<
3. Выведем .шфферешшаиьное уравнение, опиеывшошее /(е). С лои Целью проинтегрируем уравнения
V (/, +/we1£1) = 0 и V Р.,. =0
В‘
(3.16)
(3.17)
(3.19)
Г 95
соответственно по сечению полупроводника .S и по сечению внешней (в общем случае многослойной) области 5ВМ, используя интегральное соотноще. ние (4.6.!).
Граничные условия на поверхности полупроводника (2.1.7) и (3.4.62) имеют вид
л (Ог-е,£|)вРл и л •/,	+V, /71,	(3.29)
где /), - электрическая индукция в диэлектрическом слое, примыкающем к поверхности полупрон > шика. Сложение результатов интегрирования двух уравнений (3.19) с учетом (3.20) дает искомое уравнение:
<//(z)
—— = ia>f (лм DM)dl.	(3.21)
dz	Хм
Контурный интеграл в (3.21) вычисляется по металлизации МДП-структуры (если она имеется), при этом Лм - нормаль к металлу, направленная внутрь диэлектрического слоя (с индукцией Д,), примыкающего к металлизированной поверхности (см. рис. 21).
Интегрирование (3.21) дает
2	L
/(Z) = 1(0) + /w f dz f (л м • DM )dl = I(L) - iGj f dz f (лм • PM )dl.
о J-m	2 Хм
(3.22)
Усредним (3.22) по длине L, тогда
1 x	(со L z
/(0) = — / I(z)dz-----f dz(f dz f (лм D^dl),	(3.23)
X о	X 0 о XM
IX	i ш X L
= I *~L~ f dz'f (n^ D^)dl),	(3.24)
0	xM
Интегрирование по частям вторых слагаемых в (3.23) и (3.24) приводит их к виду
1 X	{‘w L	.
/(O)‘Z f ; 2d, (ям	(ям
М	° £м
IX	icj l	(3-25)
Z(Z)- — / t(z)dz +— f zdzf (nM DM)d/.	(3 26)
x о	x о xM
Последнее слагаемое в (3.25) порождено той частью тока внешней цепи, которая протекает через металлизацию МДП-структуры:
х
/м - у (лм  DM)dS = i&) f dz j (Лм DM)dl.	(3.27)
^м
Независимые равенства (3.25) и (3.26) с учетом (3.4), (3.18) и (3.27) дают одинаковую форму записи тока внешней цепи:
1 X	L
= Т f{ г</г/м("и
(3.28)
196
Продольная плотность тока в
нию пленки, равняется (4.6.5) °ПупРо,,опни*е711, усредненная по сече-дяетея выражением	’ а усРсдиснная плотность заряда pj опреде-
1 .
Pl dz $ L (л D’ ™	> pfi dl,	(3.29)
получаемым из (4.63). Использси
го интеграла в (3.28) после ряда	Формул при вычислении перво-
му выражению для тока внешней "Р1еобРазований приводит к окончательно-. ~	Цени тонкопленочного образца'
/„-«.с. + .<-С.)Г, +u0Co[£,j(i)_5,i(0)| _
-2- O.C„[p,tf)-p1(0)| ^Лг>,г.(Я, _„;1И1>)(,/ +
*" О £
ио / , , ,	i(jJ L
!d ^D.nUSt О 5»и
zo> L
zdzf («м DM)di,
L О LM
где
L _
И = f Eis(z)dz о
(3.30)
(3.31)
— падение напряжения на тонкопленочном образце.
Формулы (3.30) и (3.31) в отличие от (3.2) и (3.3) содержат усредненные по поперечному сечению пленки напряженность электрического поля El: и плотность заряда Pi. Из сравнения (3.2) и (3.30) видно, что первые три слагаемые в (330), учитывающие вклад объема и токовых контактов полупроводника, полностью совпадают с током внешней цепи одномерного образца. Четыре последние слагаемые в (3.30) присущи только тонкопленочному образцу и отражают характер границы потока носителей и специфику внешней среды (в общем случае многослойной с металлизацией или без нее).
Прежде чем исследовать электрическую устойчивость тонкопленочного эбразца применим формулу (3.2) к анализу устойчивости одномерного (плоского) диода Ганна. Результаты этого анализа будут использованы для сравнения с тонкопленочным образцом, а также при исследовании волновых процессов в активной полосковой линии передачи.
§ 4. Импеданс и электрическая устойчивость одномерного полупроводникового образца с ОДП
Г Выведем формулу для импеданса плоского диода I анна, используя выражение (3.2) для тока внешней цепи, в отличие от общепринятой методики 12, 3, 11, 12], основанной на отождествлении тока внешней цепи  Полным током одномерного образца. Обычно импеданс рассчитывают а приближении нулевой диффузии, учитывая лишь прямую волну носите-
197
пей и ооотвстстаснно одно граничное условие на катоде [3, II, 12, 32| Ниже будем учитывать диффузию миежелей, используя дна граничны* условия на катодном и анодном контактах образна.
Как следует и> § 2.4, квазнстатичсские решения уравнении Максвелла не образуют полном системы, так как помимо ВИЗ я платмс м<нуг распространяться быстрые электромагнитные волны (ЭМВ). Ьудем считан длину образца L настолько малой по сравнению с длиной нолны >Mli (й.L < L), что электрическое поле Е и(т) = £*.А/ е >к:* ★К1'* создан ное прямой (£*.v) и обратной (Е1") волнами между контактными плоскостями (т = 0 и 2 - L), можно считать однородным (Е°{ g • Е1,*1 + Е1 ч;)_ Подробнее ЭМВ в образце будут обсуждаться в гл. 6.
Полное электрическое поле в коротком образце (А/ДЧ I), созданное ЭМВ (индексЕМ) и ВПЗ (индекс5С ),записываем в виде
£ItO) = E™(z) + £^(z) = Е°1г + £ff е-Ь * + Es_ct е’7» \	(4.1)
где £ff и £55 амплитуды прямой и обратной ВПЗ,определяемые из граничных условий. Постоянные распространения прямой ?! и обратной 72 волн являются корнями уравнения (1.7) при к, = - ту и равняются
— J} + 4?°
71.2=
0D
(4.2)
где Уо = *<o0.w + 10е постоянная распространения ВПЗ при нулевой диффузии (см. (2.4.38) при 6=0).
Плотность заряда находится из уравнения Пуассона с учетом (4.1):
p1(z) = -e1y1£^e"7*z-eiy2£^ e~7lS.	(4.3)
Падение напряжения на образце с помощью (4.1) записывается в виде
£	]	। _л"72£
Г, =/	--------Е«’	--------t:sc L. (4.4)
о	У|Ь	у2£ ~г
Подставляя (4.1), (4.3) и (4.4) в (3.2\ получаем
/вн = (*оСо + iu)C0)E°izL -
Со (у?De + yjн0 «о^лт ~М
1
Esc L +
1 — е~
+ (у$£>, + у2Ыо к-о^м - iu>)-----------------Esc L
•у/, f
(4.5)
В силу (1.7) слагаемые в квадратной скобке (4.5) обращаются в нуль и ток внешней цепи одномерного образца равняется
=(«оСо + IсоСо)Е гL.	(4.6)
Следовательно, независимо от вида граничных условий на токовых контактах ток внешней цепи одномерного образца определяется только однородной составляющей полного злектрического поля, обязанной быстрым ЭМВ в образце, для которых kzL<tl. ВПЗ "не выходят" во 198
инешнюю пень в виде состав^.
„нв «носят .клал . „аае„ие ™“' wa /..........Ошико, от„асно 144),
,.,„«кч н. его импецию г- v,!/	™ о6ра1цс и, i, „ мм с;мь|м
Для нахождения Z необходим??.
длшис и (4.4), через Е® Нпи в Ыразить амплитуды Е$с и ESc, ихо-основании (4.1) записываем СИЯу Н 6) ,,Срез Л.н С этой целью на
+£ле = Е1г(0) £°
(4.7)
Используем граничные условия типа (2.6)
/I,(0) » ок /.,2(0),	/,.(£) а o#£i AL}
контактов. Значения* * /^(0? ц'Т "роводимости катодного и анодного записанным на основании (25) в виде связаны с током внешней цепи.
/.н = [/1 z(0) + rwe, Е, г(0)] 5 = [ /, г(£) + lwei£1 /£)] 5	(4 9)
Из (4.8) и (4.9) находим
А.иЧС'к + 'юС0), Elx(L)L = /BH/(Ga + /wCo),	(4.10)
где по аналогии с объемной проводимостью Go = ffe5/£ введены обозначения GK - и ('Л-ог8/Ь. Подстановка (4.6) и (4.10) в (4.7) приводит к искомому результату:
4н / 1 Уг1‘ е у1 е~7«£\к0С0 + /wCo GK + jwC0 Go + twC0
/BH / 1 -e~T>£ + _ e"1^	1
e~7| L- L \ koGo + GK + i<jjCu G'a +/шС0
Подставляя (4.6) и (4.11) в (4.4) и деля обе части равенства на /вн получаем импеданс образца:
7 И (у,£ т2 Z.)-' v
Z =-----=-------------------— X
/вн
71L • 7зЦе~3 • L - е'у’L) + (у, L - 7т^(1 - е~Г| 4)(! е~7>£)
Ко^О + fcoCo
* 71Д(1 -е 7’L )е-^-72£(1 - g"7» £)е~7>Л
G'K + iujCo
7«Ц1 -е~7>£) -7зШ	(4.12)
Ga + icjGo
В отличие от этого, в работе |2| ”йе выходя ши мн 1 но внешнюю цепь названы
*ие Флуктуации поля и заряда, которые Яе лают вклада в падение напряжения на и°Раэцс
199
Таким образом, полный импеданс образца содержит три составлявши/ первое слагаемое учитывает объемные свойства образна при неогракичн ной инжскнии контактов (GK и Gt -» °°), а два других отражают прои июль-ныс инжекционные свойства катодного и анодного контактов. Следователь-но, омические контакты (с неограниченной инжекцией; не вносят вклада в импеданс и выражение (4.12) принимает вид
Z(w)=3^(w)/r0(w),	(4.13)
где Уо(ю) = к0Go + /<дСо - полная электрическая проводимость обрата определяемая статическими параметрами (ко, Go и Со) структуры В?ли-чину36(<*>), введенную равенством
K(w) =
7i£ утЦе '1'L
_е Ъ4) + (7,£-7г£)(1 -<7,4Ю -с'7»4)
7j£ • 7j£(e'7’4 - e*7,£)
(4.14)
и отражающую основную частотную зависимость импеданса, будем называть импедансной функцией. Как увидим в гл. 6, импедансная функция определяет дисперсию волн в ТПС с поперечным дрейфом Выражение (4.13) совпадает с полученным ранее [2] для омического контакта
Существенное упрощение (4.12) достигается при слабой диффузии, когда 70 <0О, так что на основании (4.2) имеем
7о	/
71 = 7о - —= *о£л/( 1 -Рд L \
*(ко0м +— )+
\ До/
коДу\ + &2е &D ) &D
_ ко0.и
71 = ~ Pd ~ 71	~	~ 7о % ~ 0D ~ i^e>
Так как в обычных условиях 0,и 0, < 0D, то в силу I уа | > I 7г£ I 58 0dL > I из (4.12) получаем
1	e-7'4 + 7i£-l	1 e~^L-l
Z =------------- ------------------------------------
K0G0 + /щСо 7i£	Gk + iioCo jiL
(4.15)
(4.16)
I 7i I при
-----------------.	(4.17)
Ga + icuCo 7j £
Как видно из (4.17), инжекционные свойства анодного контакта (при GJ* =^0) практически не влияют на импеданс диода при слабой диффузии, когда I 7j£ I * 0д£ > I. Это свидетельствует о малом вкладе обратной ’’диффузионной” волны в импеданс диода и в дальнейшем послужит основанием не учитывать эту волну при слабой диффузии, опуская вместе с ней и граничное условие на анодном контакте при 2 = L. Влияние диффузии на прямую волну в виде (4.15) следует, однако, сохранить,
В пренебрежении последним слагаемым формула (4.17) при De = О (КО!да 71 = 70 = Ко0.м + *&) Дзет ранее полученные выражения для импе данса диода с инжекционным катодным контактом (26.27.32J. В частно»^ ти. при омическом контакте (G^! =0) из (4.17) получаем известную 200
♦»рм5",?/Х" Л™0" Г’ин* "'•1г).поекоп«у г. . и,с0 •
*' пан^но^*)Иустойчмм\ПУЖ1,Т основпй ДЛЯ исследования электрической ' ст” ,,спи» содержащей полупроводниковый обра-
зен 1-1 •
В обшем случае внешняя цепь по отношению к образцу имеет произвольное сопротивление ZH (со), так что уСТОйЧИвость (или неустойчи-аость) пени определяется суммарным импедансом из условия Z(o>) + ♦	" • ако о ычно рассматривают два предельных случая [2]:
а)	режим заданного тока,при котором образец подключен к разомкнутой цепи (7Н - °°1. реализуемой при питании диода от источника тока;
б)	режим заданного напряжения, при котором образец подключен к короткозамкнутой цепи (Z* = 0), реализуемой при питании диода от источника напряжения.
Для этих предельных режимов собственные частоты колебаний цепи, на которых может возникнуть электрическая неустойчивость, определяются лишь свойствами образца и находятся как полюсы о>«. импеданса
Z(w«) = o°	(4.18)
в режиме заданного тока или нули ш0 импеданса
Z(coo) = 0	<4.19)
в режиме заданного напряжения.
Неустойчивость возникает на тех собственных частотах или wo. для которых 1тш < 0, что соответствует нарастающим во времени колебаниям exp(icof).
Условия электрической неустойчивости (4.18) и (4.19) в привычном радиотехническом представлении могут быть интерпретированы как резонанс токов и резонанс напряжений соответственно [17]. В применении к полупроводниковому образцу первое означает, что на длине образца резонируют волны плотности тока, обеспечивая нулевой переменный ток во внешней цепи. Во втором случае на длине образца резонируют волны потенциала (точнее, продольного электрического поля), обеспечивая нулевое переменное напряжение на образце.
Применим условия (4.18) и (4.19) к плоскому диоду Ганна. Полюсы импеданса (4.12) имеют место всегда при
ехр(- 7iЛ = ехр(- у3£)	(4.20)
независимо от инжекционных свойств контактов. Отсюда получаем
2ттт
7i-7i=i-------» m =0, ± 1, ±2,...	(4.21)
L,
Нетрудно убедиться, что в случае равенства = у2 при т =0 импеданс 12) не имеет полюса, так как раскрытие неопределенности типа 0/0
ПРИ<71 - у2)-> , дает конечную величину (см. § 6.2 для случая омичес-
Ких контактов). Подстановкой (4.2) в (4.21) получаем
«о	/ят\2
»	+---+ DJ—
4De \ LJ
.1	,
= f| K0GJM + —
I 4
(4.22)
201
Пэ (4.22) следует условие электрической устойчивости при к0 <0:
ui
4Д
4
птХ1 uifj
т = 1,2,...
(4.23)
Вычисление импеданса и анализ электрической устойчивости образца имеет смысл лишь в условиях, исключающих абсолютную неустойчивость среды с ОЛП, когда на основании (1.10) имеем
lmwa> или | ко I ь>м < Uo/4Dt* w0/4.	(4.24)
Это условие более жесткое, чем (4.23), т.е. подавление абсолютной неустойчивости среды обеспечивает электрическую устойчивость образна в режиме заданного тока.
Исследование нулей импеданса (4.12) в общем случае трудно выполнимо в аналитической форме. Однако при слабой диффузии и омических контактах, когда из (4.17) получаем
Z(w) =&(w)/y0(w),	26 (co) = (е'Ъ L +	- 1)/7, Л,	(4.25)
нули импеданса находятся из уравнения
_ 1 =о.	(4.26)
Это уравнение впервые было получено и исследовано в (12], где были найдены его комплексные корни
7iZ. = |, + j7?„ я» 1,2,....	(4.27)
для которых	I < 0 при всех J. Подставляя (4.15) в (4.27) и пола-
гая для нулей импеданса о>0 = Rewo +f Imw0,приравниваем действительные и мнимые части:
(Reo>o)2- (1тпо>о)2
коДм“о - Imwo +------------------
fo^o
/	Im со о \
Re gj0I 1 + 2----)-----= т?л.
\	0duo / “о
(4.28)
(4.29)
Для порогового режима неустойчивости, когда Imw0 =0, из (4.29) получаем Rew0A/“o = Ре^ = Тогда (4.28) дает критическое значение
(4.30) определяющее порог электрической неустойчивости в режиме заданного напряжения.
При к0 = I Ко I <0 условие электрической устойчивости образца записывается в виде
|Kol0Afb<lbl + n,W	(4-31)
или
61UO
n0L<—----—
е I Ко IД
(4.32)
202
Как покамно и |1*], правая часть (4.32) имеет минимальное значение для первого нуля импеданса (1 - |>; . 2 09 , . 7 46 (верхним индексом 0 отмечаем одномерный образен см. § 6). Принимая для численных уценок характерные для н-GaAs значения: в! = 12,5 с0 . ио ж 1.2 - 10s м/с, ^0.2м 'lycjxol-0,3, в случае нулевой диффузии (0О » °”) из (4.32) получаем "° ' “• Ю _ м ‘.Это критическое значение близко к вычисленному в |!~| при /Д. = 0 значению (n0Z)Kp, входящему в неравенство
.	.. fl Но
,,oL<(woA)Kp --------— | £? 1 = 2,7- 10” м-2,	(4.33)
е I «о I
которое общепринято во многих работах и часто называется критерием Кремера [11,36,37].
Для оценки влияния диффузии принимаем Dr = 0,025 м2/с, что при /, 3 Ю мкм (диод I анна трехсантиметрового диапазона) дает (т/1)2//ЗрА = = 1,16; тогда из (4.32) получаем л0А<4,5 • 10” м’2. Следовательно, слабая диффузия, как и следовало ожидать, способствует стабилизации диода. С увеличением длины образца влияние диффузии на критерий устойчивости, как видно из (4.32), ослабевает.
В [32] показано, что граничное условие на катоде слабо влияет на устойчивость образца: переход от омического контакта (ак = *>) к контакту с ограниченной инжекцией (ок = 0) увеличивает (л0£)кр всего на 30%. Однако тип контакта сильно влияет на величину и частотную зависимость импеданса стабильного диода. Использование контакта с ограниченной инжекцией существенно улучшает усилительно-частотные свойства диодов Ганна [21,27].
Таким образом, учет влияния диффузии и инжекционных свойств катодного контакта приводит к изменению численных коэффициентов, лежащему в пределах разброса параметров материала. С учетом этого для диодов Ганна обычно принимают условие электрической устойчивости в режиме заданного напряжения в виде n0L < 5 • 1015 м [2, 11]. Диоды, удовлетворяющие этому условию, принято называть субкритическими [11]. Они устойчивы в любой внешней цепи в отличие от суперкритических диодов с более высоким уровнем легирования, для которых n0L >5 • 1015 м 2. Однако и суперкритический диод можно стабилизировать подбором импеданса внешней цепи [37], лишь бы он оыл внутренне стабилен, удовлетворяя условию (4.24).
§ 5.	Импеданс тонкопленочного полупроводниковою образца
1.	Будем вычислять вклад мод ВПЗ в ток внешней цепи, используя общую формулу (3.30). С этой целью по аналогии с (4.1) представим полное продольное электрическое поле виде суммы однородного Поля £®г, созданною быстрыми ЭМВ (для которых k:L < 1), и поля ^f^(z), созданного модами ВПЗ с амплитудами А ц,и>а именно
Т>.(г) * Е‘., +Ё%)• f+ S	<s о
*	1 *	rt
Это равенство является аналогом одномерного равенства (4.1). Поэтому « под знак суммирования в общем случае должны входить моды как
прямой волны (с постоянными распространения п), гак и Обратной (с я). Выражения для У| „ и у2 „ при слабой диффузии даны формула ми (8.3), (8.4) и (8.12), (8.13) (с опущенными индексами и) соответственно для моделей жесткой и квазисвободной границы потока (следует вспомнить, что при квазисвободной границе моды с у2 „ также являются прямыми, но всегда затухающими). При дальнейшем анализе влияние слабой диффузии будет учтено лишь в прямых модах с 7|я, а решения у2 порожденные диффузией, будут опушены (как малые при слабой диффузии). Поэтому входящими в равенство (5.1) можно считать только прямые моды с ун = У| я. Ниже индекс 1 будет восстановлен для постоянной распространения у( 0 основной моды (л = 0) (см. (5.30)).
По аналогии с (5.1) записываем
D2 = +Ds2c(z) = D*2 + ХР2,я^"г,	(5.2)
п ’
= *>£„ +	=	Г*»',	(5.3)
o« = о’м +	£ o«.„ e’’»'.	(5.4)
Для нахождения (z) подставляем (5.1) и (5.2) в (3.29) и используем соотношение
(n.Dfc)|s (±о) =	(±а),	(S3)
записанное на основании (4.4.17). В результате вычислений получаем
Л £•	1а п
= -eJSSnynF1 е-’и1,	(5.6)
п
где для каждой //-й моды ВПЗ по формуле (4.6.8) введен параметр
6 л =---------------------------------.	(5.7)
У»а	2е Ё
xelc iz.n
Тогда с учетом (5.1), (5.2) и (5.6) равенство (3.29) принимает вид
р, (z) =-е, S (1 +бя)у„£1а яе 7"2 -п
-“Г	+4- Ял-^)<Я	(5.8)
Э Л £	’	О £
Подставляем (5.1)-(5.4) и (5.8) в выражение (3.30) и преобразуем его, используя (5.6) и общее дисперсионное соотношение (4.6.10), записанное для п -й моды, в котором на основании второго граничного условия (3.20) имеем
ил h.n)di -	- 7Ле, •/:,.„)<//.	(5-9>
£ £
где нижний индекс п соответствует л-й моде ВИЗ. 204
в результате преобразований получаем
/вн = (*oG'o ♦ /и,С0)£} £ + /° + /ЗС	.
11 вн *ви.	(5.10)
где
(е,.О»в)^+±^ ; ( О.)Л
вн	2 £М	(5.11)
- вклад в ток внешней цепи от вихпРП^ -
данных быстрыми ЭМВ (при кл Т\)	ВНе полУпРовода,ика’ со3'
,SC • т e~7"L-l
И yL \C^nblt>nL-f (ez-DBHn)dS п	5вн
1 /e'T"L +>„£-!	'
' 1п к е-^_.-----------	<"и »„,„)<«	(5.12)
1	' *м	I
- вклад в ток внешней цепи от полей внутри и вне полупроводника, созданных модами ВПЗ.
Для преобразования (5.12) используем результат интегрирования уравнения V  £)вн - 0 по сечению 5ПН вне полупроводника
Тя / (еа * OBH.n)d5 + f («м ^м.п)dl = ~ f (п D. )dl =
5вн	£м	£ А
~ cobn1nEXz nL,	(5.13)
где последнее равенство записано на основании (5.6). Подстановка (5.13)
в (5.12) дает выражение
чг	e~ynL
(5.14) п
показывающее, что моды ВПЗ выходят во внешнюю цепь только через металлизацию МДП-структуры (путем наведения заряда ре = л -ZV, „), в СЛ* __________________ Л	*	ЗГ»Л	м,л ’
отсутствие которой /	= 0.
Для вычисления (5.11) используем результат интегрирования по сечению 5ВН уравнения V Рвн = 0 для вихревых полей вне полупроводника, имеющий вид, аналогичный (5.13), а именно
/*, /(», ./>;,)rfSt f	D'i)dl = t>.	(5.15)
Лвн	£
Подстановка (5.15) в (5.11) дает приближенное выражение
~ |#(» D”)dl+ I (лм />м)Л1 -
*Z £	2м
= '“ / («, D'‘)dS.	(5.16)
с • им Лвн
8 котором использованы неравенства kzL < 1 и kz < (Зе - а)/и0.
205
В дальнейшем будем рассматривать ТПС с сильной асимметрией двух типов, представляющие наибольший практический интерес.
ТПС без металлизации. Рассмотрим пленку л-GaAs со свободной верхней поверхностью, расположенную на изолирующей подложке /-GaAs. В этом случае
‘й-'о	«1-12.5 «о-	(5.17)
В отсутствие металлизации из (5.14) и (5.16) следует
'«-О.	#(»»’,)<«.	(5.18)
кх L
Так как вихревое поле вне полупроводника, вызванное быстрыми ЭМВ, при малой длине образца (kzL < 1) носит квазистатический характер (подобно краевому полю в конденсаторе), то интеграл в (5.18) можно записать по аналогии с выражением (5.6), полученным для квазистатических ВПЗ, а именно
у И"	(S.I9)
Здесь, подобно величине 6„ для мод ВПЗ. введена аналогичная величина 6ЭМ для ЭМВ, связывающая вихревое поле вне полупроводника с продольным внутренним полем Е°Хг. Подстановка (5.18) и (5.19) в (5.10) дает
(5.20)
где эквивалентная емкость структуры равняется
<Т" =СО(1+6ЭМ).	(5.21)
Следовательно, величина 6ЭМ феноменологически учитывает вихревое поле вне полупроводника, создающее дополнительную емкостную связь между токовыми контактами через внешнюю диэлектрическую среду.
Выражение (5.20) по форме совпадает с (4.6) для одномерного образца Таким образом, независимо от вида граничных условий на токовых контактах ток внешней цепи тонкопленочного образца без металлизации определяется только однородной составляющей Е°1г полного электрического поля, обязанной быстрым ЭМВ в образце, для которых kzL <1. Моды ВПЗ не выходят во внешнюю цепь в виде составляющих тока /вн. Однако, как увидим ниже, они вносят вклад в напряжение на образце и тем самым влияют на его импеданс Z =
ТПС с металлизацией. Рассмотрим на подложке /-GaAs пленку л-GaAs, поверх которой располагается металлизированный слой диэлектрика с проницаемостью е2. В этом случае
cit =ei е’?в,е2 ct8* e2cth0r/> * €2/0«.Ь,	(5-22)
где приближенные равенства справедливы для тонкого диэлектрика (7гЛ а * b < i). При этом вихревое поле в диэлектрике 6ВВ из-за наличия металлизации практически не имеет продольной компоненты, а тогда из
206
(5.И) и (5Л6> следует
* °.	• -/ы Е ~~~ ! (»„ • О ул.	(5.23)
п '* £м
Для ОДНОСЛОЙНОГО диэлектпика г	Г	. А
4	. с /П	рИКа с металлизациси поверхности у = а + b
(сМ. рис. 5.0) имеем	г
(лм	I " ~е2лау,„(о+А) = - —_2------ г (а),	(5.24)
£м	sin7„6 ,хл '
где у а соответствует поверхности полупроводника. Для ТПС с сильной асимметрией при е * «	, согласно (4.7.31), имеем
„	✓ ч	, ч -	sin 21- а
^и.лО’) =/l„cosfn(y+а), Е1гп=А„ ------------— .
2^а
Гак как для рассматриваемой структуры, согласно (4.7.7), е’ф 2тах
5 п ~ 1
«1
(5.25)
!п	е’ф
---- ctg2J-„a = / _21
е 1
>п --- Ctg2f„a,
Уп
то из (5.24)-(5.26) получаем с учетом (5.22)
>€2 ЬпУп
0 эф	.'
sin7„6
£ л£ ~ СО6Л7Л£ |г nL при ynb 1.
(5.26)
(5-27)
f (^ DM)dl
Х м
5 л 7я
= С0-------Г
COS 7Л b
Подстановка (5.23) и (5.27) в (5.10) дает
/вн = (ко^о +	iz^* “ /WQ ~ &пе У”1£\z.n^-
п
(5.28)
В отличие от (5.20), ток внешней цепи в структуре с металлизацией содержит вклад мод ВПЗ (второе слагаемое в (5.28)), выходящих во внешнюю цепь в результате наведения заряда на металлизации. Одновременно с этим заземленная металлизация играет экранирующую роль в электромагнитной развязке токовых контактов. Об этом свидетельствует отсутствие в первом слагаемом (5.28) емкостной добайки 5ЭМ ( 0, присутствующей в (5.20) и вызванной связью между токовыми контактами за счет вихревого поля вне полупроводника (имеющего при 1 квазистати-ческий хзрактср)
2. Выделим вклад основной мода (л = 0). нарастающей в режиме ОДП («о < 0), для которой в соответствии с (5.26). (4.7.1) и (4B.I.) при слабой диффузии имеем
«,-(	c.g2U04~ —	с1в2Г,.0«.	(5.29)
ei Уцоа	е*
71.0 =а1.0 + 'Л.0 48 (*0^м.0 + ^C^D.O^ +
(530)
207
ГАС
^,o’M1+So)- 0W " UA = °rle\u0'	(S-3)>
0Ц 0 " >'l) 11 + ^0^ 1 ~ *o)J •	= шо1и0 ~ U0^e	(532)
(для модели жесткой границы 0О 0 = 0£>). Индексы 1,0 при fL0 и 7 характеризуют основную моду (п = 0) прямой волны. Величина f, 0 дается формулой (4.6.18). Зависимость 50 от 0еадля п = 0 качественно показана на рис. 15,а.
Будем полагать пленку достаточно тонкой, так чтобы в области малых значений @еа все высшие моды (и = I, 2,...) можно было считать вырожденным по Ь„ и 7„ и затухающими с одинаковой постоянной а„ (см. рис. 13,в). На этом основании и согласно (4.8.14) можно записать (см. рис. 15,а)
"=U2.*~	(533)
Вырождение высших мод позволяет существенно упростить все выражения, записав, в частности, (5.1) в форме
£и(г) = £ы +£iz,oexP(-T,i>o’)+^£j2.oexPl-^»f +'Мг1’	(534)
в которой выделено поле основной моды ВПЗ. Отношение суммарного усредненного поля высших мод (п= 1,2,...) к усредненному полю основной моды (п = 0) учитывается параметром
Г= S £12М/£и 0.	(5 35)
и = 1
Величина j? определяется условиями возбуждения модна катодном контакте и будет вычислена в следующем параграфе.
Подстановка (533) и (534) в (5.28) дает
/Вн = (*осо	{ 6о ехр(-у10А) -
“ (I -К0)£СХр 1“(0М	^\:,0L-	(536)
В случае омического катодного контакта, для которого Е., (0) = 0, из (534) приг = 0следует
“ S ^1... п - - <1 ♦«> f.... о	(5 37)
п =0
Тогда выражение (5 36) можно записать в форме
4м •	(538)
где
Г0(ш)=* («о6о + i^C0)^icoC080e П.о' Д!+я).	(539)
при этом в фигурной скобке (5.36) опушен вклад от затухающих мод. что справедливо при8ч£ > I.
20В
Используя (51)
Г, f
. £|f(0)L Z
. записываем падение напряжения на образце
У. /. ~ /:ч.лЛ =
е %»Л

При омическом катодном контакте (5.40) (5-33)-(5.35) и (5.37) преобразовано к виду
Г, =^(cj)E°1xL.
Безразмерную величинуS6(со), равную
+7l(0/.-l
£(<•>) = —— 1 + £
e ^f * '^ + (рм + i0e)L _ ,
(Рм + iPeH
(5.40)
может быть с помощью
(5.41)
(5.42)
будем, как и в одномерном случае, называть импедансной функцией. При из (5.42) получаем
е~7,,°£ + G+£)7i,o£ ~0+#’)
a$(cj) * ------------------------------,	(5.43)
0 +^)'У1.оЛ
где
f ’ =<?T1i0Mm + W«) * S при |а, 0 | 0М < 0е.	(5.44)
Таким образом, из (5.38) и (5.41) следует выражение для импеданса тонкопленочного образца в форме, аналогичной (4.13):
Z(u) = Vt//^ =^(ca)/Y0 (cd).	(5.45)
Импедансная функция S6(cd), в отличие от Yo (cd) , не зависит от наличия или отсутствия металлизации и равняется (5.43). На основании (5.20) и (5 39) проводимость Yo (cd) может быть записана в общем виде:
Го(си) = кос;о+jcdCJk“ =k0G0 + /wC0(1 + Д),	(5.46)
где
х	- ТПС без металлизации,
д = эм	(5-47)
5ocxP(-7i,o£l/0	- ТПС с металлизацией.
Величина Д учитывает емкостную связь между токовыми контактами за счет вихревого поля вне полупроводника в ТПС без металлизации и вы-код МОД ВПЗ во внешнюю цепь путем наведения заряда на металлизации в ТПСс металлизацией (при этом величина Д комплексная).
А.А. Барыбин
209
§ 6. Условие электрической устойчивости тонкопленочного полупроводникового образца с ОДП
1. Для анализа особенностей импеданса необходимо знать величину gt введенную равенством (5.35) и определяемую соотношением между амплитудами мод, возбуждаемых на катоде (приг = 0). Для омического контакта граничное условие ЕХг (0) = 0 принимает вид
- Е1г П О') = - при -а<У<а.	(6.1)
л =0	’
Будем рассматривать ТПС с сильной асимметрией, в которых продольная компонента электрического поля в л-й моде, согласно (4.7.31), имеет вид
= Ап costi „(y+с),
(6.2)
где верхний знак берется при е’* > е^, а нижний знак — при е’* >f’*. Качественный ход частотных зависимостей f, п в нормированной форме
=/(0еа) показан на рис. 13,б. Ниже для упрощения записи вместо fln будем писать (л = 0, 1,2,...), сохраняя, однако, для основной моды (л = 0) постоянную распространения в виде 0.
После подстановки (6.2) в (6.1) умножаем полученное выражение на cos (у±а) и интегрируем по толщине пленки в пределах от у = а до у = а. Из-за неортогональности косинусов на поперечном сечении пленки получаем бесконечную систему связанных уравнений для нахождения амплитуд мод Ап, возбуждаемых на катодном контакте однородным полем :
1 sin4fmfl	1	“ s*n 2^л + ?я)в
2*'+ 4Г a J A'n+~2 п=о V 2«т+?п)в т	п*т
sin2G-m-rj«	sin2Jmfl
+ ------------- А_ = -Е°. -------- , т = 0, 1,2,...
2«w-f„)a	2^та
(6-3)
Вычислим Ат (т =0, 1,2,...) для тонкой пленки, в которой, согласно рис. 13,6, можно положить
fofl<fwfl«(2/n-l)ff/4, ли =1,2,...	(6.4)
что справедливо при достаточно малых значениях а, когда высшие моды вырождены (см. (533)).
Уравнение (63) для основной моды (/л = 0) с учетом (6.4) принимает вид
1 /	sin4f0<2
— 11 +------------
2 '	4fofl
sin2f_a	sin2fo<7
(63)
Aq +	“
п - 1
В аналогичных уравнениях для высших мод (т - 1, 2,...) все синусы в левой части (63) при выполнении (6.4) обращаются в нуль, за исключе-
210
«пен. ряд»,1соот.етств),10ц1вго „ . Q
—^,-F
2	2J»« “XT'
Отсюда находим связь между Ат и Ло • sin2( а
Лда-_2(4о+£-)-----ЕТ
2Ufl
т = 1,2,...
(6.6)
(6.7)
Подставляя (6.7) в (6.5) и учитывая, что при выполнении (6.4) 51л2Гя*~(-1) +1,так что
• / sin 2L а \г 1	1 л	,
2{-а )	Л. 7LT7F = T'f68)
получаем амплитуду основной моды . -	1Л“"2?оД/2Го“
1 -sin 4foa/4fofl
Из (6.2) находим
(6.9)
1	*	sin 2$" а
Яця* ' Eiz,n(y)dy =Ап ----------------- , И =0,1,2,...	(6.10)
2а ~а	•	• 2{па
Подстановка (6.7), (6.9) и (6.10) в (5.35) дает
1 — sin 4f0a/4 foa
1 — sin 2foa/2foa
S (sin2f„e/2f„a)2 \ n = 1
-2 ----------------------
/ sinz(oa/2foa
(6.П)
В пределе бесконечно толстой пленки исчезают высшие моды (п = 1,2,...), а основная мода (п = 0) переходит в плоскую волну безграничной среды, так что g = 0.
В пределе бесконечно тонкой пленки, когда выполняется (6.8) и
1 — sin4f0n/4f0a lim ------------------- =4,
Гоа-° i _ sin2foa/2foa
(6.12)
из (6.11) получаем g‘= 1, т.е.
£, =	1 Ё	= - — Е° .	(6.13)
1Z, О	** л1а, л	v 7
п - 1	2
Следовательно, для пленок конечной толщины параметр g лежит между предельными значениями g = 0 и g = 1.
2. Основой для исследования электрической неустойчивости тонкопленочного образца являются выражения (5.43) —(5.47) для его импеданса. Как было отмечено в § 4, неустойчивость может возникать только на часто-
14*	21I
тах. соответствующих нулям (Z (со0) »S£(cj0) = 0) и полюсам (Z’1 (w._) = • >'o (<*>•)  0) импеданса, для которых 1та>0(-) •< 0. Эти частоты реализуются в режимах заданного напряжения и заданного тока.
Режим заданного напряжения. В этом режиме электрическая неустойчивость может возникать только в нулях импедансной функции 26 (<о), введенной формулой (5.43). Так как (сс) сохраняет одинаковый вид для ТПС как без металлизации, так и с металлизацией, то выполняемый ниже анализ справедлив для структур обоих типов. Согласно (5.43) и (5.44), уравнение ££(<*?о) = 0 для нахождения нулей импеданса а>0 принимает вид
е'Чо^ + (] + #)т10Л-(1 + #)= 0,	(6.14)
где частотная зависимость скрыта в постоянной распространения у110 основной моды ВПЗ, определенной в виде (5.30). Величину g рассматриваем как параметр, принимающий значения, лежащие в интервале от нуля до единицы. При g = 0 уравнение (6.14) принимает форму (4.26), полученную для одномерного образца.
Комплексные корни
71,01 =	+<чЛ, т = 1,2,...	(6.15)
уравнения (6.14) были вычислены при разных значениях параметра g, при этом для всех s получили = — I I < 0. Зависимости и tj3 от величины g для первых пяти корней показаны на рис. 23. Отсюда видно, что значения п, практически не зависят от g, а величины I I монотонно возрастают, начиная со значений | |, полученных ранее [12] для одномерного образца (при g = 0), до значений, характерных для бесконечно тонкой пленки (при# = 1).
Подставляя (530) в (6.15) и полагая для нулей импеданса со0 = = Rew0 + /1тсоо, после приравнивания действительных и мнимых частей получаем систему из двух уравнений, по форме в точности совпадающую с (4.28) и (4.29), в которых 0М и 0О заменены соответственно на 0М 0 и 0Do ДОЯ основной моды. Условие устойчивости записываем в форме Imo>0 > 0. Следовательно, в критическом режиме, когда 1л1ш0 = Он со0 = Re ю0, из (4.29) получаем
Rew0Z/u0 = 0eL = rj3.	(6.16)
Тогда (4.28) дает критическое значение
(Ко0И,О^)кр ~	—	(6-17)
определяющее порог электрической неустойчивости в режиме заданного напряжения.
Условие электрической устойчивости ТПС при к о = — I к0 I < 0 имеет вид i ко 10м. о L < | ЬI + Л. о L.	(6.18)
Оно по форме совпадает с аналогичным условием (4.31) для плоского диода. Различие между ними состоит в том, что величины Зм.о и 0дов (6.18) являются частотно-зависимыми. В частности, как видно из рис. 13, в для л = 0, величина |к01 Ям, о = lao °J| с ростом 0е а возрастает от нуля до значения |ко10м» соответствующего плоскому диоду. Это приводит к то-
212
Рис. 23. Зависимости мнимой rjf и вещественной «истей корней уравнения (6.14) от параметра g для первых пяти нулей импеданса (»  1,2,3,4,5)
му, что, в отличие от одномерного случая, минимальное значение критического параметра устойчивости при De 0 имеет место не в районе пролетной частоты (при L = т)? = 7,46 * 2я), соответствующей первому нулю импеданса (г = 1), а на гармониках этой частоты (при L =ть ^2 ns), соответствующих нулям более высокого порядка. Физически это вызвано 1ем, что в тонких пленках максимум коэффициента усиления основной моды лежит в области частот, соответствующих гармоникам пролетной ^стоты (см. рис. 16) .
Подставляя (5.31) в (6.18), перепишем его в форме
А!^(ц,1 +J1LA
,+5о е|к01Ме\ 0d.oL
близкой к (4.32) для одномерного случая. Действительно, в пределе бесконечно толстого образца (а -*°°), когда 60 -* 0 (см. рис. 15,о), неравенство (6.19) превращается в (432). В противоположном пределе тонкой пленки, когда 50 > 1, преобразуем (6.19) с помощью (5.29) и (6.16) к виду
tg 2 ft,оа (по ^)кр /1Ы	\	/< лл\
л0 d -г- ----------- <-------—ь I-----+ —------ I,	(6.20)
max 2$l,Oa l$ll \Чж
rned = 2a — толщина пленки, (л0£)кр = u0 |£?l/e|Kol це = 2,7 • 10'5 некритический параметр для одномерного образца, введенный соотношением (433);|^|= 2,09 — величина, соответствующая первому нулю (j = 1) импеданса одномерного образца (при g = 0).
Для обеспечения электрической устойчивости тонкопленочного образца правую часть неравенства (6.20) следует брать соответствующей тому номеру $ нуля импеданса, который обеспечивает ее минимальное значение при данном Р D qL . Введем в рассмотрение функцию
Wo, о I) = I Ь|/п, + Wd. о L.	(6.21)
качественный вид которой для разных номеров s = 1,2,... показан на рис. 24. Как видно из рисунка, при разных значениях величины Зо. qL (зависящей от коэффициента диффузии) функция Fs минимальна для вполне определенного номера s, который и характеризует электрическую устойчивость ТПС. Результаты численного расчета для первых десяти нулей импеданса бесконечно тонкого образца (при g = 1) приведены в табл. 3.
Условие электрической устойчивости (6.20) для достаточно тонкого образца (когда tg 2 fit0 а 2 f jf 0 а) может быть переписано с учетом (6.21) в виде
nod	^(ло^кр F,mto(3o,o^) =
Cl '	кр
= 2,7 • 1015	м-2.	<6-22)
где e’j’* = (е^* + е^)/2 — средняя эффективная проницаемость внешней
Рис. 24. Качественный вид функции Fs($dqL), определяющей электрическую устойчивость тонкопленочного образца, для разных номеров (»  1, 2, ... ) нулей импеданса
214
Таблица 3
 		1	1	2	3	4	1 5
	-2.81	-3,37	4	 -3,73	— -3,99	-4,20
	7,38 47,0	13.83 107,8	20,19 185Л	26,52 279,9	32,83 389,2
Г,	0.538	0,372	0,293	0,245	0,212
Таблица 3 (окончание)
J	6	7	•	1 ’	! ю
	-4,37	-4,52	-4,65	— -4,76			 -4,86
п»	39.13	45,43	51,73	58.02	64,31
(Зо,о£)так	515,4	654,0	809,4	977,3	1161,2
-min	0,188	0,169	0,154	0,141	0,131
среды. Введение ё^ делает формулу (6.22) применимой как для ТПС с сильной асимметрией (когда ё^ % С2тМ/2), так и для симметричных ТПС (когда = е £ = е£).
Для численных оценок принимаем и0 = 1,2 • 10s м/с, De0 =0,025 м2/с,
L = 100 мкм, тогда получаем pDt0L = и0 LlbetQ = 480. В соответствии с рис. 24 и табл. 3 электрическая устойчивость должна быть обеспечена для нуля импедансной функции с номером s = 6, для которого F™ ° = 0,188. В этом частном случае (6.22) принимает вид
л0</^ф< 5* 1014 м'2.	(6.23)
€з
Для ТПС с тонким металлизированным диэлектриком (fie b < 1) имеем
«а  ie2 ctgy b * еа cth02 b *- = — —(6.24)
г)г b
где в данном случае т)а -Т]6 = 39,13 (см. табл. 3). Тогда (6.23) дает
и,</^ -<М10,эк-’.	(6.25)
«а * L
Из сравнения (6.23) и (6.25) видно, что металлизация диэлектрика повышает электрическую устойчивость ТПС. Так, согласно (6.24), использование МДП-структуры с размерами L = 100 мкм и b = 0,2 мкм эквива-
Эф . Л лентно применению безграничного диэлектрика, имеющего е2 * 13Со» Это позволяет более чем на порядок увеличить n^d без потери электрической устойчивости образца.
215
Полагая в соответствии с табл. 3 величину F,min изменяющейся от ~ 0,1 (при малых De0 и больших L) до ~0,6 (при малых L к больших 2)е>0), получаем допустимый диапазон изменения критического параметра (nocZei/eГ1*)кр = (0,3-1,6) • 10,s м"2. Это объясняет разброс различных экспериментальных результатов [И], который практически укладывается в полученный диапазон. Значение критического параметра 1,6 • 1015 м~2 было упрощенным способом получено в работе [13] при (JeL = 2я, что близко к значению ijI = 738 для первого нуля импеданса (s = 1). Этот результат соответствует верхнему краю полученного диапазона изменения
критического параметра.
Режим заданного тока. В этом режиме электрическая неустойчивость может возникать только в полюсах импеданса или в нулях проводимости Уо(со). Согласно (5.46) и (5.47), проводимость Yo может обращаться в нуль только для ТПС с металлизацией. Физический смысл этого в том, что вклад от тока, протекающего через заземленную металлизацию, при определенных условиях может скомпенсировать вклад от тока, протекающего через катодный контакт, и тем самым обратить в нуль ток внешней цепи, что дает Уо = 0. В отсутствие металлизации этого быть не может.
С учетом (5.29) и (6.24) при достаточно тонкой пленке (когда tg2fi>ozi * 2fi>oa) выражение (5.39) принимает вид
Уо(ы) = /ыС0
fj L2
(1 +g)€| ab
ехр(-7|>0^) 1 (71.о^)2	Г
(6.26)
Отсюда, полагая для упрощения | к0 | w# < получаем уравнение для нахождения нулей функции У0(ш) в виде
-Л2(71 oL)2 =0 или e"'r,-°Z'/J ±Л71>0£=0,	(6.27)
где введен безразмерный параметр
Л ,	*12^*4 22 = |0-1 Ч-10-\	(6.28)
Указанный диапазон изменения А следует из численной оценки: при g - 1, €j = 123fo(GaAs), «2 = 2ё2 = 4eo(SiO2), а = 5 мкм, b = 03 мкм, L = 100 мкм получаем А2 « 10"э.
Результаты численного решения уравнения (6.27) для первых пяти корней показаны на рис. 25 в виде зависимостей и r]t от величины А. Значения т]г очень слабо зависят от А, так же как и корни уравнения (6.14) (см. кривые г?, на рис. 23).Однако, в отличие от корней уравнения (6.14), для которых всегда Ь < 0, в данном случае при малых А имеем > 0, что обеспечивает электрическую устойчивость ТП?. Не проводя детального анализа, можно заключить, что неустойчивость ТПС с металлизацией в режиме заданного тока может возникать (как и в режиме заданного напряжения) только на частотах, соответствующих полюсам импеданса высокого порядка, для которых, согласно рис. 25,	< 0.
Следует заметить, что на СВЧ трудно реализовать режим заданного тока, обеспечивая на контактах образца импеданс внешней цепи ZH = °°. Поэтому для получения стабильного усиления ТПС важно обеспечить электрическую 216
Рис. 25. Зависимости мнимой п, и вещественной f , частей корней уравнения (6.27) от параметра Л для первых пяти полюсов импеданса (s = 1, 2, 3,4, 5)
устойчивость образца в режиме заданного напряжения обеспечить выполнение неравенства (6.22)).
Таким образом, точный анализ тока внешней цепи и вычисление импеданса тонкопленочного образца показали, что в области ОДП электрическая неустойчивость может быть вызвана лишь основной усиливаемой модой (л = 0). Возбуждение высших затухающих мод (л = 1, 2,...) способствует стабилизации образца, так как при этом с ростом# возрастает | |по сравнению с одномерным случаем (см. рис. 23). Это приводит к увеличению критического параметра в правой части неравенства (6.22).
217
В отличие от одномерного образца, где диффузия оказывает слабое стабилизирующее действие, в тонкопленочных образцах ее роль в обеспе-чении устойчивости становится определяющей. При нулевой диффузии из (6.21) получаем Fs « | так что F™'n -*0 при г (см. табл.З), т.е.
„mln
минимальное значение Ft , равное нулю, достигается на высоких частотах. Следовательно, критический параметр в (6.22) обращается в нуль. Это означает невозможность обеспечения электрической устойчивости в отсуг. сгаие диффузии для длинных тонкопленочных структур, в которых, согласно (6.19), nQL >(л0/.)кр при60> 1. Действительно, при этом имеет место сильное пространственное нарастание высокочастотных колебаний, соответствующих высоким гармоникам пролетной частоты (л -*°°). В результате этого возникает положительная обратная связь между катодом и анодом через внешнюю токовую цепь, которая приводит к самовозбуждению образца. Даже слабая диффузия оказывает стабилизирующее действие в ТПС, так как она подавляет усиление основной моды в области высоких частот. Тогда функция Fs(0D OL) и критический параметр в (6.22) имеют ненулевые минимальные значения для нуля импеданса с номером з, лежащего вблизи частоты максимального усиления основной моды. В этом случае (при De 0) выбором параметров структуры можно реализовать условие электрической устойчивости (6.22).
ГЛАВА 6
волны В ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ г плпПЛст.,Р0В0ДНИК0ВЫХ СТРУКТУРАХ С ПОПЕРЕЧНЫМ ДРЕЙФОМ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА
имй^пп^ТПС3^43 ЦаНН0И главь’ ~ вмвоД и анализ дисперсионных уравне-С П0ПеРеч’<ым дрейфом при учете потенциальных и вихревых П°Л ЛппЗКЖе Исследование условий устойчивости и усиления волн в уело-
Под ТПС с поперечным дрейфом понимаем полупроводниковые структуры, в которых волны распространяются перпендикулярно направлению дрейфа носителей, лежащему либо в плоскости пленки, либо по нормали к ней. В таких структурах учет вихревых полей необходим, так как потенциальные волны не распространяются перпендикулярно направлению дрейфа носителей (см. § 2.4). ТПС с поперечным дрейфом лежат в основе активных линий передачи — полосковой, щелевой и ко планарной, две из которых схематически изображены на рис. 26.
Как показано в § 2.4, перпендикулярно дрейфу носителей в неограниченном полупроводнике могут независимо распространяться две вихревые волны ГЕАУ-типа. Одна из них LM-волна, являясь соленоидальной (pf 4 = = 0), не имеет компоненты электрического поля вдоль направлению дрейфа = 0) и поэтому не может усиливаться в среде с ОДП. Другая LE-волна при поперечном распространении также не имеет переменного L. Е	It Е
заряда (рх = 0), однако ЕХг ¥= 0. Это обеспечивает при наличии ОДП пространственное нарастание (или неустойчивость) £Е-волны.
Эксперименты по наблюдению усиления и СВЧ излучения из полупроводников с ОДП [1-3] подтвердили возможность возникновения неустойчивости электромагнитных волн, распространяющихся с усилением перпендикулярно дрейфу носителей и отражающихся от концов кристалла. Эти результаты дали новое направление поискам путей создания активных устройств на полупроводниках с ОДП. Были предложены и реализованы копланарные активные линии передачи на эпитаксиальных пленках n-GaAs [4—6]. Экспериментальные исследования показали перспективность такого рода активных устройств в СВЧ диапазоне. Например, был получен достаточно низкий (для приборов на эффекте Ганна) коэффициент шума 6 дБ на частоте 20 ГГц при усилении сигнала на 15,6 дБ [4]. Более подробный обзор работ по усилению в структурах с поперечным дрейфом можно найти в [7].
Теория волновых процессов в полупроводниковых структурах с поперечным дрейфом разработана пока недостаточно. Первые попытки электро-
219
Рис. 26. Схематическое изо6-раженис активных линий передачи: ллосковой (а) и щелевой {б}. К - катод, А - анод (металлизированные поверхности заштрихованы)
динамического анализа волновых процессов относились в основном к распространению плоских поперечных ЭМВ с учетом их отражений на границах структуры, приводящих к неустойчивости в условиях ОДП [8-11 [.Результаты этих работ малопригодны для анализа экспериментов [1-6], так как исследованные полупроводни
ковые структуры на практике имели малые поперечные (в направлении дрейфа носителей) размеры.
Упрощенный подход к анализу волновых процессов в активных линиях передачи, основанный на введении эквивалентных параметров линии, был использован в работах [12, 13]. Распределенная структура в виде полосковой линии с пленкой л-GaAs [12] или прямоугольного волновода, частично заполненного пластиной zt-GaAs [13], заменялась эквивалентной линией с погонными параметрами, вычисленными на основании известного выражения для импеданса сосредоточенного диода Ганна [14]. Аналогичный подход был использован в [15], где к расчету постоянной распространения и волнового сопротивления активной микрополосковой линии (МПЛ) применены известные формулы для пассивной МПЛ с диэлектрическим заполнением. Влияние полупроводника с ОДП учитывалось введением комплексной диэлектрической проницаемости, вычисляемой также из импеданса плоского диода Ганна [14]. Подобный упрощенный подход может дать лишь качественную картину волнового процесса в активной полосковой линии. Количественные результаты можно ожидать лишь от строгого электродинамического анализа. Ниже, используя результаты этого анализа, обоснуем применимость к активным линиям передачи метода эквивалентных схем и вычислим их погонные параметры.
Впервые корректно с позиций электродинамики граничная задача о волнах в ТПС с поперечным дрейфом была сформулирована и решена в [16, 17] с учетом граничных условий на токовых контактах полосковой структуры и объемного заряда в полупроводнике. При конечных поперечных размерах структуры пренебрежение объемным зарядом физически некорректно, несмотря на вихревой характер быстрых ЭМВ, распространяющихся перпендикулярно дрейфу носителей. Этот заряд создается коротковол-
220
НО"и1Г1сй и влияет н?,,МИ. ИозмУ,цени"ми< сносимыми вдоль дрейфа Н0 нолей на токовых (1Иа,ерсик’ ,ми через связь потенциальных и вихревых полей на токоных (омических) контактах
^нжс я1стип11ымСЯ ,;1<?К1роди”амический подход работы (16] в приме jrn	ЯМ "СрСЦаЧИ - "исковой и щелевой, на основании
К°Л^погта И vruCH ЛИСПеРСИониыс уравнения и анализируются условия устойчивости и усиления волн в условиях ОДП.
§ 1. Постановка задачи и 1раничные условия
Как было показано в § 2.4, в незамагниченной плазме полупроводников в общем случае могут распространяться вихревые 1.М -волны, вихревые Lt,-волны и квазистатические ВПЗ. При поперечном распространении под углом 0-90 к направлению дрейфа носителей в неограниченном полупроводнике не существуют медленные ВПЗ (порожденные сносом возмущения вдоль дрейфа). Остаются лишь вихревые соле нои дальние (р] = 0) волны, имеющие структуру Г£М-типа (с нулевыми компонентами полей Е, и Я» в направлении волнового вектора).
В полупроводниковом образце, ограниченном либо шоковыми контактами, либо поверхностям пленки, параллельными дрейфу носителей, либо теми и другими, физическая картина меняется. Конечная толщина пленки (в направлении, параллельном дрейфу носителей) "навязывает” системе конечные значения волнового вектора в соответствующем направлении. Это приводит к тому, что LM - и ££-волны даже при поперечном распространении относительно направления дрейфа "теряют” структуру TEAf-типа, так как результирующий волновой вектор в тонкой пленке за счет двумерности структуры соответствует "косому” распространению волн (0 * 90°). В этом случае, как показано в § 2.4, LM-волна (с Е^ = 0 и 0) сохраняет свои соленой дальний характер (pt = 0), а££-волна (сЯ12 = = 0 и EizF Ф 0) становится несоленоидальной (р\Е =£0). Эти электромагнитные волны (ЭМВ) независимо существуют в объеме полупроводника и связываются между собой на его границах (как на токовых контактах, так и на поверхностях пленки).
Медленные квазистатические ВПЗ, распространяющиеся в объеме полупроводника независимо от быстрых вихревых LM- и LF-волн, в ограниченных полупроводниках ведут себя иначе, чем ЭМВ. Как показано в § 4.3, граница полупроводника, касательно к которой дрейфуют носители, практически не связывает ВПЗ с вихревыми волнами. Такая связь возникает лишь на токовых контактах (перпендикулярно к которым распространяются ВПЗ) в результате удовлетворения этими волнами граничных условий на контактах.
Как уже отмечалось, ТПС с поперечным дрейфом составляют основу Для создания активных линий передачи — полосковой (АПЛ), щелевой (АЩД) и копланарной. Будем исследовать две первые структуры, схематически изображенные на рис. 26, где контакты К (катод) и А (анод) создают дрейф носителей вдоль направления z. Длину структур в этом направлении обозначим через L (как и в ТПС с продольным дрейфом).
221
Распространение волн происходит вдоль оси х с волновым множителем exp[»(u>z -
Для АПЛ (рис. 26,а) размер w вдоль оси у принимаем большим (w >£), чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами и решать двумерную задачу, полагая д/ду = - iky =0.
Для АЩЛ (рис. 26, б) задача заведомо носит трехмерный характер, однако условие малой толщины пленки (2а < L) позволит существенно упростить ее решение и получить его в аналитической форме.
Для LM-волны характеристическое уравнение, связывающее компоненты волнового вектора, имеет вид (2.4.19), а именно
кх + ку + kj =17},	4] = А?(1(11)
Электрическое поле этой волны всегда является соленоидальным LM	..LM
(Pi = 0) и в общем случае имеет лишь две компоненты ЕХх и tly , основной удобно считать ЕХх . Тогда из уравнения (2.4.21), записанного для ЕХуМ, с помощью (2.4.22) легко получить
_£М_	________ _£х дЬ1х
1У	дУ ку ду
Для LE-волны характеристическое уравнение имеет вид (2.4.27), а именно
Л*+Л’(п1/П1) = Пх, я» =*?(1<13)
Электрическое поле этой волны в общем случае является несоленоидаль-ным (р^Е 0) и имеет все компоненты, в качестве основной из которых удобно выбрать ЕХг . Плотность заряда рх связана с EXl уравнением (2.4.29) :
LE .. (1“«о)«М	_££_
pi = — ikt ------:-- ei^i» —
+/а>
pLE
(14)
Компоненты поля и Е{у выражаются через с помощью
(2.4.4),	(2.4.5) и	(1.4):
	kxkt	
Fix		El, =
rL£		
Ely		dy
*х /. У2г \CLE
*Д
= £ Л _	\ ЗЕ^
\ кх + к у / ду
(1-5)
(1-6)
Вторые равенства в (1.5) и (1.6) получены с учетом (1.3).
SC*
Для потенциальных ВПЗ компоненты электрического поля Et = — Wi однозначно определяются квази статическим потенциалом </>,. При выборе _ -SC
в качестве основной переменной £] х = 7У>; можно записать
Fsc-tir „ - ik* rsc rsc	rsc	n 7}
Eix	Eit • EXy	* Eig,
7	7
222
где для компонент волнового вектора ВПЗ использованы принятые выше обозначения. кя, ку = ^ kz~ iy	*
Токовые контакты образца при z - О и г - L будем считать омически ми. • их	1лгизацию идеальной с точки зрения касательного к ней элек-
трического поля, раничные условия на контактах должны удовлетворяться соответствующими компонентами электрического поля, созданного волнами указанных трех типов, а именно:
из условия о ми чно ст и контактов
_	- psc * i LE Л
=0 при	z=0,£;	(1-8)
из условия идеальной металлизации
+fcix +cix =0	при z=0, L.	(1.9)
Аналогичное граничное условие, наложенное на компоненту Е1У, не является независимым при выполнении (1.8) и (1.9).
Перейдем к анализу волновых процессов в активных линиях передачи.
§ 2. Неустойчивость и усиление волн в активной полосковой линии
1. Выведем дисперсионное уравнение для АПЛ. Как видно из рис. 26, а, структура АПЛ представляет собой плоский диод Ганна, вдоль омических контактов которого перпендикулярно дрейфу носителей распространяется электромагнитная волна.
Из-за двумерности структуры (З/ду - - iky =0) LM-волна, как следует из (2.4.22) и (2.4.23), имеет следующие ненулевые компоненты полей: ..LM ,,LM
Eiy , Н 1х и Hiz , что соответствует волне ТЕ-типа (Е1х =0, Н1х 0). Аналогично, £Е-волна по структуре соответствует волне ТАЛтипа (//1Х = 0, Е\х 0) с ненулевыми компонентами полей е[х < Е^г‘ и Н\уЕ. Следовательно, LM-волна не имеет компонент электрического поля, входящих в граничные условия (1.8) и (1.9), и по этой причине не связывается сВПЗ и LE-волной. Дисперсионное уравнение для LM-волны, получаемое с учетом (1.1) на основе граничного условия Е^уМ = 0 при г = 0 и г = L, описывает затухающие волны, не "чувствующие” ОДП и потому не представляющие для нас интереса.
Для £Е-волны распределение полей в поперечном сечении структуры (вдоль оси 2) будем представлять в виде двух бегущих волн с волновыми множителями ехр(«(оЯ — A:±zz)], где поперечные волновые числа ktx на основании (1.3) равняются (при ку=0)
kiz~±kt, kt-~ VuJ - *£•	<21>
Для ВПЗ распределение полей в поперечном сечении (вдоль оси г) в общем случае описывается суперпозицией прямой и обратной волн, бегущих попутно и навстречу дрейфу с постоянными распространениям it и 7». Поскольку *х<71(2, то можно считать, что быстрый волновой процесс
223
в направлении, перпендикулярном дрейфу (по оси х), не возмущает Г определенные в виде (5.4.2) при кх = 0.
Таким образом, поперечное распределение компоненты Е1г в общем случае представляется в виде
fclx(z)sE^1 с *E_te + E*tc +E-Ze ,	(2.2)
где EzxE и ЕХхС — амплитуды прямой (+ z) и обратной (-z) волн соответственно для LE-волн и ВПЗ.
Записываем аналогичное равенство для другой компоненты
р	л^ЕрЕЕ + lkxz SC—SC ~7i г .
£1*и)"а c+z е -а ь_х е + <*i	*	+
где на основании (1.5) и (1.7)
£*u кх \ кх  кх г} х
SC _ „5С.ГЗС .. .
а1,2 -£1х lElz =^х/71,2-
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Используем электродинамическое граничное условие (1.9) на металли-L Е	SC
ческих плоскостях z =0 и z = L для выражения ЕХх через Ехх : sc sc
-LE LE <*1 „SC “2 -.SC — b. . =----------E^.------ F _ .
(2.6)
„LE -ikxL „ LE *ikxL _
E+z f — E_x e ~
SC	SC
Отсюда при kxL < 1 получаем
SC _ «у /	-
CLE CLE tti_____ T| ~ 1
aLE 2ikxL
(2-7)
е~Ъ4~1 Psc aLB 21k XL
Следовательно, прямая и обратная LF-волны возбуждаются на контактах с равными амплитудами. Это приводит к тому, что распределение (2.2) принимает при kxL Ч I форму, аналогичную ранее использованной (5.4.1), а именно
*Е™(2.8) rne F ° и F L . pl Е ^r. L Е
«де C|S c4,	«X.. — однородное поле, созданное прямой и
обратной £Л-волнами равной амплитуды. Подставляя (2.7) в (2.2) и (2J), 224
"аПЛ^ П0Пвр€Ч,<Ь,е РаспРеДсления
компонент электрического поля
£| ,(*)•£’♦«
е-т,х ot^_ 1 -e~',iL
<*LE
+ / Q*C 1 ~е~УгЬ \ r C ~~	-— I
(2.9)
z v SC ~SC I —т Z
Le ' +7 (’ ~e~y,L)] +
SC,.SC -yt2 z
+ a2 £_a [e + — (1-e 7,L) . J
(2.10)
TaK исогласно <2’4) и (2.5), |a^| -1, a |o5cJ -u0/Cl< 1, то из (2.9) и (2.10) получаем оценку
l^xl/l^izl-la^l-no/c, <1,
тл. структура поля в АПЛ соответствует поперечной волне квази-ТОУ-типа.
Дисперсионное уравнение получается наложением на компоненту Е1х в форме (2.9) ’’токового” граничного условия (1.8) на катодном и анодном контактах. После ряда преобразований с использованием (2.4) и (2.5) можно записать окончательно дисперсионное уравнение для АПЛ в форме
»»,(w) 7о 	------- - Л1 --------- . И }	35(со)-ЦЩи) ’
(2.11)
где То = коРм +	= г&в0 ~	~ постоянная распространения
плоской ВПЗ при De = 0, 35(о>) - импедансная функция (безразмерная) для плоского образца, определенная равенством (5.4.14).
Решение уравнения (2.11) дает две симметричные ветви:
*х!,3 (<*>)“ ± AriA’(w), ад-
(2.12)
описывающие прямую и обратную волны, распространяющиеся в противоположных направлениях с одинаковой постоянной распространения. В силу этого АПЛ является взаимным устройством, лишенным внутренней развязки, присущей ТПС с продольным дрейфом.
2. Будем исследовать устойчивость решений (2.12). Так как для корней *xi,i всегда ImAxl » - 1m кх2 (в том числен при Im w ->-<*), то в соответствии с общим правилом, изложенным в § 5.1, слияние этих корней в точке ветвления сов может дать абсолютную неустойчивость, если оно произойдет на частоте с Im cje <0. Как видно из (2.12), это имеет место при №(w.)-0, когда или у0 = 0, или 35	(<о) = 0. Воспользовавшись тем,
что 71,а в виде (5.4.2) обладают свойствами
717а • - 7о0о.	71 - 7а =	>/1 +47о/Др1.
(2.13)
IS. А.А. Барыбин
запишем Кг с помощью (5.4.14) в виде
X
(е-т.ь -е“т’£)
X ------------------------------------—-------------------• (2.14)
ТоМе”7’* - е-^«х’)-VI *<Т®/ДоG “	>
Так как 7| •* 0 и 7з *- &D при То "*0, то (2.14) имеет при этом неопре. деленность типа 0/0, раскрывая которую, получаем
ш. к..	[ I _	«I,	] ' #0.
т»-° коДм I 2	2 J
т.е. равенство 7о = 0 не дает точки ветвления функции кх(а>).
Итак, единственно возможными для абсолютной неустойчивости структуры являются условия, реализуемые в полюсах импедансной функции, исследованные в § 5.4. Числитель (2.14) обращается в нуль (что соответствует Z(a>„) = o°) при равенстве
7i —7а =г(2жт/£),	(2.15)
т =0,± 1,± 2,...,
которое полностью тождественно с (5.4.21). Равенство 71 х7а при m = О не дает точки ветвления функции кх(ы), так как
г, Ы* Г, shfe£/4) 1 -
lim К = ---------------— I 1------------	*0.
(7i -7»)**О *O0JW L РоШ -1
Следовательно, абсолютная неустойчивость АПЛ может возникать лишь в полюсах импедансной функции £С(щ) = Z(co)Fo(w), имеющих место при 71 и 7j, удовлетворяющих (2.15) при т ^0, которые с учетом (5.4.2), (2.13) и (2.15) равняются
7i = - 0d/2 ♦ iim/L,
(2.16)
7а ж - 0о/2 - imi/L.
Постоянные распространения (2.16) описывают прямую и обратную волны, распространяющиеся с одинаковой фазовой постоянной irmfL попутно и навстречу дрейфу носителей, одна из которых (7t) нарастает, а другая (73) затухает в направлении своего распространения. Существование этих волн является общей физической причиной возникновения как электрической неустойчивости одномерной структуры диода Ганна в режиме заданного тока (в полюсах импеданса Z(o>)), так и абсолютной неустойчивости, двумерной структуры АПЛ (в точках ветвления функции кх(ш))-
В первом случае (для плоского диода Ганна) пространственно нарастаю-пйя (71) и затухающая (72) ВПЗ обеспечивают поперечный резонанс волн плотности тока в образце. Такой резонанс токов, как отмечалось в § 5.4, означает неустойчивость образца в режиме заданного тока.
Во втором случае (для АПЛ) тот же поперечный резонанс токов обеспечивает отсутствие поверхностного тока на металлических электродах л я -226
ним Это означает прекращение волнового процесса вдоль линии, т.с. АгХ| я = kX2 = 0, а слияние корней в нулевой точке (кх - 0) дает абсолютную неустойчивость структуры.
Из (2.13) и (2.15) получаем точки ветвления функции кх(ы):
.Г . “о ж / ят VI ( <оп Г /2яти\2]1
W*ST°WM	* —;[ 1 +( JJ.
(2.17) совпадающие с полюсами импедансной функции ЗС(ш), определяемы-ми равенством (5.4.22). Отсюда получаем критерий подавления абсолютной неустойчивости Lm и>а >0, имеющий вид (5.4.23), который можно переписать в форме
Ло£С 61 “° [j 7 2ягл У1_ (”<7)кр г j 7 2lTm V] el ко I4 [	|f»|	4 [ Afol/J*
(2.18) В соответствии с (5.4.33) получаем (n0Z,)Kp = 2,7 • 10* 5м'2 и | f ? I = 2,09 для первого нуля (s = 1) импедансной функции.
Следует обратить внимание на то, что критерий абсолютной неустойчивости АПЛ не накладывает каких-либо ограничений на реальные частоты Rew. Поэтому генерация, обусловленная абсолютной неустойчивостью, должна носить широкополосный шумовой характер.
На рис. 27 в координатах п0 — L (концентрация носителей — толщина структуры) линией 1 показана граница области абсолютной неустойчивости, построенная по (2.18) прил0 = 1,2 • 105м/си£)<, =0,025 м2/с. Горизонтальный ход кривой 1 при толщинах пленки L 5 мкм соответствует порогу абсолютной неустойчивости неограниченного полупроводника, залисанно-
шУмовой генерации (абсолютная неустойчивость). II - область монохроматической ^ерации (электрическая неустойчивость), ///-область устойчивого усиления. Граничные линии / и 2 рассчитаны при (лв£)кр “ 2*7 ‘ ,0’ м •	’ 1,2 ' 10 м/с,£>г -
’ 0,025 м’/с; штриховая линия 3 показывает предельное положение граничной линии
2 при De —О, определяемое равенством па L “ (л0 £ ) кр
15*	227
кХ:^:хроль'“ло₽ог	«о—х
Таким образом, для реализации стабильного усиления в АПЛ ее парамет-> ~ °°огеетствовать т°чке на плоскости п0 - £, лежащей ниже днако и при этом возможна неустойчивость другой природы ызванная бесконечно большим коэффициентом усиления пространственно нарастающей волны.
3. Будем исследовать усилительные свойства АПЛ в области ее конвективной неустойчивости (ниже линии 1 на рис. 27), используя приближение слабой диффузии (справедливое при достаточном удалении от линии /). При этом постоянные распространения ВПЗ и 72 имеют вид (5.4.15) и (5.4.16). Поскольку | у21 > |	|, то при |у2£| * 0д£>1 импедансная
функция (5.4.14) принимает форму
2C(w)«(e“‘>r»1' +7,£- 1)/71Z,	(2.19)
которая после подстановки в (2.12) дает корни дисперсионного уравнения
*JM.2(W)-**1*(W), К(СО)=	(2.20)
</3eZ(e 7‘ +711- 1)
Следует отметить, что решение (2.20) может быть получено, если воспользоваться приближением слабой диффузии не в окончательном результате, а на начальном этапе постановки задачи. Как отмечалось в § 5.4, приближение слабой диффузии позволяет не рассматривать обратную SC
’’диффузионную” волну (£_х =0). Вместе с этой волной исчезает и одно "токовое” граничное условие (1.8) на анодном контакте при z = L.
Как следует из (2.20), Re А (со) определяет фазовую скорость волн, а Im К(ь>) — их затухание (при Im К < 0) или усиление (при Im К > 0). Значениям Re К> 1 соответствует замедление волны (иф < с>) по сравнению со скоростью света в среде ct = (ei pt)“,/2, а значениям ReA< 1 — ускорение волны (Пф > Cj). На рис. 28 приведены зависимости Re К и 1m К от угла пролета (5eL	при разных значениях нормированного парамет-
ра k0^mL. которые были рассчитаны по (2.20) при De =0 когда 71 =7о = = КоРм + ifle • Из рис- 28 ВИДНО»что ПРИ “о < 0 возникает усиление в районе пролетной частоты (Д.£ ~ 2тг) и на ее гармониках (0eZ « 2пт). Это согласуется с частотным ходом проводимости диода Ганна Z* (со) = Y0(gj)Z(w). Действительно, в силу того, что Yo = kqGo + icoCo =	можно пе-
реписать (2.12) в виде
/	I / уг ’	|
» J_____= J------------------- = ------------- .	(2.21)
1 1 iMfa) /coCoSC(w) y/iu>C0Z(cJ
Частотные особенности импеданса диодов Ганна достаточно подробно изучены (см., например, (14,18, 19]), в том числе с учетом влияния диффузии. По аналогии с ними в АПЛ диффузия сужает частотный диапазон усиления, уменьшает коэффициент усиления в районе пролетной частоты и полностью подавляет усиление на ее гармониках [17].
Как видно из рис. 28, при к0 < 0 с ростом параметра |ко10м£ происходит увеличение погонного усиления и расширение его частотного ди ала-228
Рис. 28. Зависимости Re К и Im К от нормированной частоты 0eL при нулевой диффузии и различных значениях параметра к9
эона. Предельная величина I Ко ограничивается критическим значением I ко0мL |	= 1£1 I = 2,09 (см. (5.4.30) при De = 0), при котором ко-
эффициент усиления становится бесконечно большим. Согласно (2.21), это имеет место на частотах, соответствующих нулям ojq импеданса плоского диода Z(co0) = 0. Бесконечно большое усиление приводит к само-аозбуждению системы.
Пороговые условия и частоты самовозбуждения находятся как нули «мпедднсной функции (2.19). Они же определяют и электрическую не-
устойчивость одномерного образца в режиме заданного напряжении, исследованную в § 5.4. Устойчивость структуры определяется условием (5.4.32), которое может быть переписано в форме
noL < -------- I I f° I +---) = (n0L\. _ I 1 + —----- I,
c I * о I Me '	3d 7, /	' I i I I '
12.22)
где в соответствии с (5.4.33) полагаем (n0£)Kp 1 2,7 • 10* ’м-2, |<|,| « “2,09 и 7?° = 7,46 для первого нуля (s = 1) импедансной функции.
При нарушении неравенства (2.22) возникает самовозбуждение структуры, вызванное неограниченным возрастанием коэффициента усиления на частотах, соответствующих нулям импедансной функции. Как известно (см. § 5.4), эта неустойчивость возникает на реальных частотах, для которых (JeL = т}°. Самовозбуждение носит резонансный характер, связанный с поперечным резонансом напряжения между контактами структуры. Такой резонанс обеспечивает протекание большого поверхностного тока вдоль металлических полосок. Поверхностный ток создает положительную обратную связь в АПЛ, аналогичную внешней обратной связи в диоде Ганна через цепь питания в режиме заданного напряжения. По этой причине неустойчивость такой природы в АПЛ будем (в отличие от абсолютной) называть электрической неустойчивостью. Резонансное условие вида $tL = if* должно привести к тому, что генерация, обусловленная электрической неустойчивостью, должна иметь узкополосный характер.
На рис. 27 граница области устойчивости, построенная по (2.22) прим0 • = 1,2 • 10s м/с и De = 0,025 м2/с, изображена линией 2. Здесь же для сравнения показана штриховой линией аналогичная граница 3 для случая De » 0, построенная по критерию Кремера (5.4.33).
Таким образом, плоскость п0 - L оказалась разделенной на три области, характеризующие различные режимы работы АПЛ.
В области /, лежашей выше линии 1, структура абсолютно неустойчива по отношению к самопроизвольным флуктуациям. При этом на частоты этих флуктуаций не накладывается каких-либо ограничений. Следовательно, самовозбуждение структуры должно привести к генерации электромагнитных колебаний с широким спектром частот шумового типа.
В области II, заключенной между линиями 7 и 2, структура не проявляет абсолютной неустойчивости. Здесь неустойчивость носит электрический характер и порождается обратной связью через поверхностный ток, протекающий вдоль металлических полосок. Электрическая неустойчивость возникает в районе пролетной частоты и носит резонансный характер в силу равенства &L =17?= 7,46. Как видно из рис. 28, частотный диапазон, в пределах которого наблюдается резкое возрастание Im К при к0Даг^ "* -* -2,09, достаточно узок. Это говорит о наличии частотно-стабилизирую-ших свойств структуры в режиме генерации. Следовательно, самовозбуждение должно приводить к монохроматической генерации электромагнитных колебаний с узким спектром частот.
В области III, лежащей ниже линии 2 (или линии 3 при D, “ 0), структура электрически устойчива и может работать как усилитель электромагнитных волн. Поскольку АПЛ обладает взаимными свойствами (£xj " - кхг), го отражение волн на концах структуры конечной длины (вдоль оси х)
230
ьюжгт придаст к глобальной неустойчивости. Для ее предотвращения необходимо согласовать АПЛ в местах подключения к внешнему СВЧ-тракту U-Sl-
Усилительные свойства АПЛ можно оценить, пользуясь нормированными кривыми* на рис. 28. В качестве параметров л-GaAs полагаем: ип = s 1.2 10 м/с, це - 0,2 м‘/В.с, к0 = - 0,3, в| = 12,5ео. При этом равенство ко?.»/ L = “ 1 »8 Дает величину н0£ = 2,5 • 10's м"2. Полагая L = 6 мкм, что соответствует пролетной частоте 20 ГГц, получаем необходимую концентрацию электронов п0 = 4,2 • 1020м"\ Кривая ImAf, соответствующая КоДд/1»®» на пролетной частоте (при 0С£ = 2тг) имеет значение 0,5. Тогда погонное усиление = 8,68 I kt 1m К | дБ/м в данном случае составляет 6,4 дБ/мм. Из рис. 28 получаем соответствующий рассматриваемому случаю частотньв”! диапазон усиления (где Im К >0) от 11,5 до 23 ГГц. Естественно, что диффузия уменьшает этот диапазон частот и снижает погонное усиление. Реально на длине активного элемента 2—3 мм можно получить усиление до 10—15 дБ [7, 17]. Частотная характеристика усиления на практике определяется схемотехническими особенностями включения активного элемента в СВЧ схему, так как собственно эффект усиления достаточно широкополосен.
Эксперименты подтвердили существование трех режимов работы АПЛ — шумовой генерации, монохроматической генерации и устойчивого усиления [17].
§ 3. Дисперсионное уравнение активной щелевой линии
1. Как видно из рис. 26,6, структура АЩЛ представляет собой тонкую полупроводниковую пленку (на изолирующей подложке), ограниченную в направлении дрейфа носителей омическими контактами, вдоль которых перпендикулярно дрейфу носителей распространяется электромагнитная волна ’’щелевого” типа. Такая структура является трехмерной и математически строгое решение граничной задачи для нее получить в общем виде невозможно. Для этой цели привлечем полученные физические представления о распространении волн разных типов в полупроводниковой плазме.
Как известно, границы пленки, вдоль которых дрейфуют носители, не связывают квазистатические ВПЗ с вихревыми волнами. По этой причине можно считать, что решение граничной задачи для ТПС с продольным дрейфом, полученное в гл. 4 в квазистатическом приближении, остается применимым и для ТПС с поперечным дрейфом. В этом случае учет вихревых полей порождает быстрый волновой процесс с волновым числом кх < у в направлении, перпендикулярном дрейфу, который практически не возмущает моды ВПЗ (распространяющиеся вдоль дрейфа), полученные при кх = 0. Поэтому для АЩЛ поперечное (к направлению распространения волны) распределение полей в модах ВПЗ будем описывать теми же волновыми числами ку = fi,„ и kz = - iyn, которые ранее были получены для ТПС с продольным дрейфом (см., например, (5.5.29) -(5.5.33)).
Ниже будем решать задачу о распространении вихревых ЭМВ, которые в Дзпьнейщем будут связаны с ВПЗ общими граничными условиями (1.8) и 0-9) на токовых контактах.
В трехмерной структуре АШЛ вихревьг LM• и ££-волны имеют все присущие им компоненты полей, так что в граничное условие (1.9) в дополнение к полям ВПЗ и ££-волны входит поле LM-волны (которое отсутствовало в АПЛ). Покажем, что для тонкой полупроводниковой пленки полем bff' с (1.9) можно пренебречь.
Будем рассматривать единый вихревой электромагнитный процесс, созданный LE- и L М -во л нами, распространяющимися в плоскости пленки (xz) с волновым множителем exp[z(co/ — кхх - ktz)]. Задача в общей постановке состоит в том, чтобы с помощью граничных условий на поверхностях пленки при у = ± а найти соотношение между kt и кх.
Используя (1.1)—(1.6), запишем в общей форме поперечные распределения компонент электрического поля в пленке (по оси/):
для LE-волн
Eif(у) = А, cos + Bi sin ку ty,	(3.1)
EtLf(y) = kfk~ Eif (у) = ****? (Л, cos ку iy + Bi sin ку,у),	(3.2)
kj-ril	kg~vL
Eff(y} = 1кг-у -£—4 <Л *SU1 кУ & ~ Bt со$ кУ
У k\-Ti\ Ъу	k\-riX
(3.3) где в соответствии с (1.3)
-(*’	4x’(i -	О'*)
для LM-волн
Ef” О’) = А 2 cos ку 2у + В2 sin ку2у, ДМ. , lkx ЗЛ|х О') _ El”
кх
= i--- (А2йпку2у - В2созку2У),
ку2
где в соответствии с (1.1)
ky2	♦*’)•
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Как было принято в гл. 2, 4 внешнюю среду, расположенную по обе стороны полупроводниковой пленки, будем характеризовать эффективными проницаемостями	и *4в(и) (см- Рис- 9). Электрическое поле в
этой среде, порожденное полями LE- и LAf-волн в пленке, имеет две независимые поляризации Е2х и Е2х. Каждая из них удовлетворяет уравнению Гельмгольца типа (25.2) с поперечным волновым числом ?2»(н)’ записанным по аналогии с (2.5.1) в виде
^2в(м) в	(н) Я2в (и) —(^х*^:)’ (3-8)
232
Следовательно, касатедьнь
лупроводника записываются ,<\Ломп®ненты электрического поля вне по-( г.	. форме (см. для сравнения (4.2.7) и (4.3.7))
v >а,
, < _ „	О ?)
С1вехр[,$2в0,_д)]	'
С»нехр[_,^н(у+а)]> С2Оехр[1^в(>,_д)^ с2н ехР[-,^2нО +а)], Компонента Е2у выражается через V Е2 - О, продифференцированного
$2 Эу
Тогда подстановка (3.9) и (3.10) в (3.11) дает
Еи(у)-
Егх(У) =
по
** MjX Н Эу
У >а.
(З.Ю)
^2z И Е2х с помощью У, а именно
уравнения
(3.11)
+*хС2в
—	ехР У $2 в (У - «)],	у > а,
к2С1н+кхС2к	(312)
>--------ехр(- Ц2ж(у + а)] ,	у<-а.
Таким образом, общая граничная задача содержит восемь независимых коэффициентов Al 2, Bi2, C1i2b и С1(2н, для нахождения которых требуется задать по четыре граничных условия на каждой поверхности пленки при у - - а. Такими независимыми граничными условиями являются непрерывность касательных компонент полей Ех. Et, Hz и разрыв поверхностным зарядом рл1 нормальной компоненты электрической индукции Dv = еЕу. Условие совместности получающейся системы уравнений (обращение в нуль ее определителя) дает искомое соотношение между kz и кх. Однако получить аналитически обозримое решение в такой общей постановке довольно трудно. Поэтому воспользуемся условием малой толщины пленки, когда kyit2a < 1. Покажем, что в этом случае можно пренебречь полями ЛЛУ-волны, а для ££-волны положить ку\ =0, в результате чего (3.4) дает искомое соотношение между к2 и кх в форме (2.1).
Так как касательные компоненты Е1Х и Elz сохраняются непрерывными при переходе через границу, то их распределение по толщине тонкой пленки должно быть однородным. Это позволяет в силу нечетности синусов в (3.1)-(3.6) положить Bi = В2 =0. Кроме того, одинаковые значения Eix(±a) и Е1г(±а) на противоположных сторонах пленки возбуждают внешнее пространство выше и ниже пленки с равными ампли-гудами (независимо от различия эффекпгвных эволяетположить С1и =CiH-Cl и С,в ан а.	Я|1,ПД«
30 необходимых граничных условий для тонкой пленки сокращается с восьми до четырех.
Граничные условия на касательные компонент
с <313)
*1, = ^2z» &lx +	£'2x
нппей записываются на одной из границ в силу отмеченной симметрии пол
У = ± а пленки (или в ее центре при у )•	233
Для записи граничного условия (2.1.7), представленного в данном сл у чае в форме
»i <*»)♦А" (* «)11(*«)=4! (н>£2, (* «>.	(з.14)
необходимо выразить плотность поверхностного заряда рх1(± а) на грани, цах пленки через поле £1>;(±а). В соответствии с (3.4.74) записываем (с учетом кж <Ре)
Pii(±fl) = ± 7"	,----Г = т‘—	(±<r) + £ly (±4T)J.	(3.15)
»(co-Axu0) w	7
Подстановкой (3.15) в (3.14) с учетом (2.4.14) получаем ЭФ U
£“(±в)+£,“(±в)"-211«? -±Е»(И).	(3.16)
Итак, граничные условия (3.13) и (3.16) с учетом (ЗЛ)-(З.З), (3.5), (3.6), (3.9), (3.10) и (3.12) npHfit =52 = 0,ClB =CiH = Cx, С2в=С2нн = С2, cos Ayli2a 1 и sin >2 л * а дают систему уравнений
Л^С,,	(3.17)
(3.18)
kyikx	кх	е,* к* кгСх + кхС2 _ лч
ТГ~\ <*,.«)>«. ♦ 4	° — -4 —- .01’)
кх-г11	ку2	€i т?£	$2в
JtylAx	кх ,	e’J к] кжСг +кхС2
' 4А <*j. !«)>«, - i -i- (^л, - -i!L 4  1 1	. (3 JO)
*Z-H1	kyi z	6j	$2H
Левые части (3.19) и (3.20) различаются лишь знаком. Поэтому эти уравнения могут быть удовлетворены при наличии произвольной внешней
среды выше и ниже пленки лишь с помощью равенства
ksCi +АгхС2 =0,	(3.21)
обращающего в нуль правые части (3.19) и (3.20). Из (3.17) и (3.21) получаем
Cj -Ai,	С2Я——Ai.	(3.22)
кх
Тогда (3.18) и (3.19) принимают вид
ktk2y2Ai -кх(к2-п[)Аг =0,	(3.23)
k,k2iAi -кМ-п})А2 -0.	(3.24)
Уравнения (3.23) и (3.24) совместны при условии
kxkt (к\ — t?J) (Ayi — Ау2)  0,
которое с учетом (3.4) и (3.7) принимает вид
кхкг(к2^п1)3 (1-пЗД)-0.	(3.25)
234
Отсюда получаем равенство к} =	, При котором кгу । = к*2 = - к\ * 0.
Из (3— следует Л 2 * 0 и А ( = 0, а тогда из (3.22) получаем С( =С2 = 0. Следовательно, полученное решение соответствует независимому существованию 1 -волны (Л2	0) в пленке с нулевыми полями вне ее (С =
- С2 - ) в отсутствие LE-волны (Л! =0). Поскольку LM-волна не имеет компоненты Е, z, то она не будет связываться с ВПЗ на токовых контактах. Так как ее характеристическое уравнение (3.7) не содержит к0, то -волна в Л1ЦЛ будет всегда затухающей, подобно аналогичной волне в АПЛ, и в дальнейшем мы ее не рассматриваем.
Решение уравнений (3.23) и (3.24) в виде Ai =0иЛ2 0, соответствующее независимому существованию LM-волны в АЩЛ, не является единственно возможным. Как видно из этих уравнений, они могут тождественно удовлетворяться при kl и ку1 = к у2 = 0. В этом случае их решением является Л ] ¥= 0 и Аг =0, что соответствует независимому существованию ZE-волны (Л1	0) в пленке при наличии ненулевых полей вне ее (Ci ^0
и С2 0) в отсутствие LAf-волны (Л2 = 0). Равенство к^ = 0 согласуется с принятым допущением об однородности распределения касательных компонент полей по толщине пленки. При этом кх и кг связаны между собой равенством (2.1).
Таким образом, при решении граничной задачи для АЩЛ можно исключить из рассмотрения поля LM-волны (аналогично случаю АПЛ), а для ZE-волны считать касательные компоненты электрического поля однородными по толщине пленки.
2. При выводе дисперсионного уравнения для АЩЛ будем считать диффузию слабой. Это позволяет пренебречь обратной ’’диффузионной” волной и вместе с нею опустить одно ’’токовое” граничное условие (1.8) на анодном контакте. Поля прямой ВПЗ представляем в виде суммы мод, постоянные распространения уп которых в поперечном сечении структуры (вдоль оси z) определены формулами (5.5.29) —(5.5.33). Влияние слабой диффузии отражено в постоянной распространения у1>0 основной моды (л =0) в виде 0О1О.
Распределение по оси г компоненты Elz, усредненной по толщине пленки, запишем в виде
E^z) = #/(*) + Ё*С (z) = Е^е'^ ♦ E_£XV'*“ <
(3.26)
+ £,1гое"Г,'° + 2 Е^е п = 1
где слагаемое с амплитудой Ёы>0 соответствует основной моде (л= 0), а сумма учитывает все высшие моды (л = 1, 2, ...) ВПЗ. Аналогичное выражение для компоненты Е1х(г) получаем с учетом (1.5) и (1.7):
где для LE-волны коэффициент
Zlift,..»'1"'.	(ЗЭТ)
7л имеет вид (2.4), а для основной 235
моды ВПЗ
sc Г. SC ,=sc	.. .
° 1,0	^'ix.o/^u.o ^“x/Vi.o-	(3.28)
Учитывая вырождение высших мод (?„ *Зм + л = 1,2,...) и в&о. дя с помощью (5.5.35) параметр#, переписываем (3.26) и (3.27) в виде
*«.(«)+ £_W'*,Z ♦£iI,0e"7l0Z +#£1г.о^(^*'^)г,
-aLEE^^iktZ +
. SC = -Tin». SC ,= Oi,o^i«.o^ ’ + aito % Eit,oe
(3.29)
(3.30)
где величина#' =g вводится при помощи (5.5.44). Подставляя (3.30) в электродинамическое граничное условие (1.9) на контактах z = 0 и z = L,
выражаем при kzL < 1 амплитуды прямой и обратной ££-волн через Е 1 г. О :
ele~ele c+z c-z
------------—— ------------------- £iz,o. (3.3i)
2iktL
С учетом (3.31) распределение (3.29) принимает при kzL < 1 ранее использованную форму (5.5.34), в которой E°z = E+zE + E-z - 2E+zE пред, с та вл я ет собой однородное поле ZF-волн. Использование ’’токового” граничного условия (1.8) на катодном контакте с учетом (3.29) и (331) дает дисперсионное уравнение для АШЛ в форме
*1 (w) = ^(^УЙХ^) = к j 7оМ$£(ы),	(3.32)
где функция 2С(со) в точности совпадает с ранее введенной импедансной функцией (5.5.42). Для достаточно длинных образцов (0>jL ► О выражение (5.5.42) принимает вид (5.5.43), а именно
&?(«)» к"7,-°£ +(1 +#)71>оА-(1 +#')]/(1+#)7г,0£.	(3.33)
Решение уравнения (3.32) имеет форму
*xl.2(^) = i*l^),	__________________________________ (3.34)
„	/ 7о _ / О +*)71,р£-7о£
A(W)aV/^)
где
7o = KO0Af +	71 ,0 = (K0$M,0 + ^^D,o) + $r-
Величины 0MO H0D 0 определены в виде (5.5.31) и (5.5.32).
Использование приближения слабой диффузии исключает возможность анализа абсолютной неустойчивости АЩЛ, возникающей, как известно из предыдущего, в полюсах импедансной функции ££(со), которые в данном случае отсутствуют. Однако, как и в АПЛ, остается возможность электрической неустойчивости АЩЛ, вызванной неограниченным возрастанием коэффициента усиления волны при определенных критических параметрах структуры. Эта неустойчивость возникает в нулях импедансной функции и подробно была исследована в § 5.6. Ее физическая природа аналогична рассмотренной в предыдущем параграфе для АПЛ.
236
Сравнение (3.32) с (2.11) или (3 34) с (2.20) покапывает идентичность формы записи дисперсионного уравнения как для ЛИЛ, гак и для ЛИЦ!: п обоих случаях дисперсия волн определяется видом импедансной функции iT(io). Эта функция получается из расчета импеданса полупроводники-вого образца, записываемого в форме Z(co) =SC(cj)/ K0(w), который вычисляется между токовыми контактами структуры в отсутствие распространения волн поперек дрейфа носителей (при кх з 0). Найденная таким образом импедансная функция со) определяет не только импеданс, но и дисперсию волн при их поперечном распространении в соответствии с соотношением кл(щ) » »?i(w)/£^c*j). Двоякий смысл импедансной функции является, по-видимому, характерным для всех активных линий пере-
дачи. в том числе и для кондакарной линии. Формула (3.34) для АЩЛ имеет общую форму, из которой при g = g' = 0 и замене у, 0 на у0 получается формула (2.20) для АПЛ. Знание особенностей распространения мод ВПЗ в тонкопленочных структурах, изученных в гл. 4, принципиально позволяет рассчитать на основе (3.34) дисперсию волн в АЩЛ и найти условия их усиления, аналогично тому, как было сделано для АПЛ в S 2.
§ 4. Волновой импеданс и параметры эквивалентной схемы активных линий передачи
Дадим электродинамическое обоснование применимости метода эквивалентных схем, использованного в [13], для анализа волновых процессов в активных линиях передачи. Как известно [20], эквивалентная схема распределенной линии передачи характеризуется погонными параметрами: последовательным сопротивлением Zt и параллельной проводимостью Xj, приходящимися на единицу длины линии. Эти параметры определяют постоянную распространения у = ikxn волновой (характеристический) импеданс ZB линии [20]
z,=x/Z77r?.
(4.1)
Будем вычислять погонные параметры Zj и для АПЛ, выражая их через величины кх и ZB, первая из которых была найдена в § 2 в виде (2.12). Следовательно, необходимо на основе электродинамического анализа найти волновой импеданс Ze. По определению эта величина вводится как отношение напряжения К, между токоведущими электродами к току Л, протекающему вдоль электрода. Следует отметить, что этот ток Ц отличается от тока внешней цепи fBH, определяющего импеданс структуры
Z = И|//вн между ее токовыми контактами.
Вычислим плотность поверхностного тока /Д, протекающего по металлической поверхности электрода АПЛ при х = 0 (см. рис. 26,а). Из граничного условия (2.1.6) находим
/,' ^ХЯ, »-ехЯ1у при х-0.
Выражая Н1 через Е\ с помощью (2.1.1), получаем
1-0
(4.2)
(4.3)
237
Re ZjyO*
Рис. 29. Зависимости активной RcZB(a) и реактивной ImZB(O) составляющих волнового сопротивления АПЛ от нормированной частоты 6eL при нулевой диффузии и различных значениях параметра U/*3 0,2)
(4.4)
Подставляя (2.9) и (2.10) в (4.3), с учетом (2.4) и (2.5) после ряда преобразований приходим к выражению
/ »—	( 1 — е Г| sc 1 — е
wg! 1 -	\ 7iL +Ж *	7j£
С учетом граничного условия (1.8) при z  0 можно прообразовать скобку в правой части (4.4): (1 - i£/*’) (£*с + £ _®с) . _ (1 _	. Тогда,
учитывая однородное распределение тока /, по электроду шириной и», на основании (4.4) можно записать
. ,	***/%Vro	**»v3C(w) n
<*>Д» \**/	«Д|	*•
(4.5)
239
Напряжсше между электродами равняется
И “ /A’ltW* = (	£0 / -О,/ ч,.о .
(4.6)

L _ Zo L
(4.7)
Из (4.5, и (4.6) с учетом (2.12) получаем волновой импеданс АПЛ = ±—^1
кх »v A(w) „ ’
писйК(со) пеапкмто170 ,астотная зависимость ZB(со) определяется функ-™чнье чисЛХ " И МНИМаЯ ЧаС™ КОТ°Р°Й изображены на рис. 28. Анало-расчеты для Re ZB и Im ZB1 выполненные при L/w = 0,2, приведены на рис. 29. Из рисунка видно, что при переходе в режим ОДП (при к0 ) возникает существенная зависимость активной Re ZB и реактивном m в составляющих волнового импеданса от частоты, увеличивающаяся с ростом | к01	L. в области усиливаемых частот (&Z =» 2 я)
волновой импеданс имеет емкостный характер (lm ZB < 0),аего активная составляющая равняется ~ 20 Ом. Численные значения волнового сопротивления свидетельствуют о возможности согласования АПЛ с внешними СВЧ цепями. Формулы (2.12) и (4.7) позволяют на основании (4.1) записать погонные параметры эквивалентной длинной линии:
Zj = ikx ZB = ikx Zo L/w = icjvi L/w,
(4.8)
ikx . кх w Yo ---- = iK 2(о>)-----= w ---------
ZB	Zo L £(<o)S
(4.9)
K(w) = h> ----
S
где У(со)/5 = l/Z(<o)Jf- проводимость плоского диода Ганна, приходящаяся на единицу площади его электрода, Уо =ко<7о+/о;Со-(коа^+/u)6i)S^Z — проводимость плоского конденсатора с потерями (отрицательными при к0 < 0).
Таким образом, последовательное погонное сопротивление Zx определяется индуктивностью двух ленточных проводников шириной »v, разделенных средой с магнитной проницаемостью имеющей толщину L < w. Параллельная погонная проводимость П представляет собой проводимость плоского диода Ганна, имеющего ширину w и единичную длину (в направлении распространения волны вдоль оси х).
Фоомулы (4 8) и (4.9) электродинамически обосновывают применимость модели эквивалентной длинной линии к описанию волновых процессов в АПЛ Они могут быть обобщены на случай щелевой и копланарнои сов в лил. инн ми у	в (4 9) понимается соответствующая
введения в эквивалентную схему соответствую
239
ГЛАВА 7
ВОЛНЫ В ЗАМАГНИЧЕННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУРАХ
Основная задача данной главы — исследование влияния статического магнитного поля на волны пространственного заряда (ВПЗ) и изучение особенностей распространения магнитоплазменных волн (МПВ) в продоль-но-замагниченных полупроводниковых структурах.
Наличие магнитного поля математически усложняет граничную задачу настолько, что ее решение в общем виде для ТПС с горячими электронами при учете вихревых полей не представляется возможным. Поэтому при
Ф 0 будем использовать квази статические приближения, соответствующие медленным волнам: квазиэлектростатическое приближение, связанное с пренебрежением магнитным током смещения, и квазимагнитостатическое приближение, связанное с пренебрежением электрическим током смещения (см. гл. 2).
Различные аспекты распространения быстрых вихревых волн в магнитоактивной плазме, рассмотрение которых не включено в настоящую главу, можно найти, например, в [1-4].
В квазиэлектростатическом приближении медленные ВПЗ распространяются вдоль дрейфа носителей практически независимо от быстрых вихревых ЭМВ (в которых PiМ < Р\С)- Мы будем интересоваться влиянием магнитного поля только на ВПЗ, чтобы выяснить вопрос о том, нельзя ли с помощью замагничивания структуры увеличить коэффициент усиления ВПЗ в условиях ОДП. Влияние магнитного поля ранее изучалось в связи с исследованием пороговых условий возникновения эффекта Ганйа в магнитном поле (см., например, [5-8]). В частности, было показано [7], что поперечное магнитное поле повышает порог ганновской неустойчивости, способствуя стабилизации диода Ганна. Ниже исследуется влияние магнитного поля на усиление ВПЗ в ТПС при трех различных ориентациях Во по отношению к плоскости пленки и к направлению дрейфа носителей, изображенных на рис. 3.
В квазимагнитостатическом приближении ВПЗ существовать не могут. В замагниченной плазме им ”на смену” приходят медленные МПВ (в которых Ру 0), не существующие при Во = 0. Не имея возможности рассмотреть различные случаи ориентации магнитного поля, остановим свое внимание на продольно-замагниченной структуре, в которой магнитное поле параллельно дрейфу носителей заряда (см. рис. 3,6). Продольному распространению волн в таких структурах соответствуют геликонные волны в однокомпонентной плазме твердого тела [9, 10].
240
Геликонные волны со времени их открытия (11. 121 интенсивно изучались теоретически и экспериментально. В первых теоретических работах ясслеЛ1>в*лись геликонные волны в безграничных средах, в том числе их дрейфовая неустойчивость в эле к трон но-дырочной плазме [13-16] и взаимодействие со звуком [9,17-20]. С работы [21] началось экспериментальное изучение геликонов в различных металлах и полупроводниках. Первое наблюдение геликонов в полупроводнике InSb на СВЧ было выполнено в [22]. Расхождение экспериментальных результатов с теорией плоских геликонов потребовало учета конечности поперечного сечения образца. Анализ резонансных и волноводных эффектов при распространении геликонов в прямоугольных и цилиндрических образцах был впервые выполнен в [23, 24]. Вслед за этим появились экспериментальные работы по волноводным эффектам для геликонных волн [25-28], выполненные на образцах InSb и РЬТе, показавшие достаточно хорошее совпадение с теорией [24]. Анализ слоистых структур с дрейфующими носителями [29] предсказал возможность усиления геликонов при скоростях дрейфа, меньших их фазовой скорости. Эксперимент [30] подтвердил этот эффект, НО не дал чистого усиления.
Большой круг вопросов по распространению и неустойчивости геликонных волн в полуограниченных и ограниченных полупроводниках теоретически исследован в работах Яковенко с сотрудниками: взаимодействие объемных и поверхностных геликонов с электронным пучком [31—34]; дрейфовая неустойчивость геликонов в ограниченной электронно-дырочной плазме [35, 36] и в слоистых средах [37, 38]; влияние собственного магнитного поля, созданного током в образце, на пороги и инкременты неустойчивости геликонов [36-38]. Подробный обзор работ можно найти в [39] ив монографии [13] (см. литературу к предисловию).
Теоретический анализ распространения геликонов в ограниченных образцах [23, 24] выполнялся в квазимагнитостатическом приближении путем исключения из уравнений Максвелла электрического поля волны (аналогично сделанному в § 2.3, но прик0 = 1)- Граничные условия обеспечивали непрерывность магнитного поля на границе с внешней средой.
Анализ [23, 24] обнаружил существование в проводящей среде, наряду с объемными геликонными волнами, также поверхностной волны, поле в которой прижато к границе раздела сред. Эта волна приводила к появлению дополнительного затухания геликонов, которое сохранялось в пределе бесконечно большой проводимости среды (бе сстолк нови тельная плазма) и исчезало лишь при металлизации поверхности образца. Эта поверхностная волна была интерпретирована [27] как квазипотенциальная волна электростатической природы (в которой V X Ех «=0), аналогичная поверхностным модам Трайвелписа и Гоулда в бесстолкновительном плазменном столбе [40]. Физическая несостоятельность такой интерпретации очевидна, так как решение, полученное в квазимагнитостатическом приближении, не может быть порождено электростатическими процессами. Напротив, решение [40] получено в квазиэлектростатическом приближении и описывает обычные ВПЗ с pi # 0. Несмотря на это, за поверхностной волной, сопровождающей геликонные волны в ограниченных образцах, укрепилось название квазипотенциальной [34, 36, 38]. Ниже показано, что в ’той волне V X Ei »	/ Ои некорректно называть ее квазипо-
16. А.А. Барыбин	^41
тении альной волной. Она порождена обычным скин-эффектом, видоизмененным в результате замагничивания плазмы и нагрева носителей.
Во всех работах, посвященных геликонным волнам, не учитывался нагрев электронов в сильных электрических полях. Ниже исследуется влияние анизотропии дифференциальной подвижности носителей на характер дисперсии геликонов в полупроводниковых пленках, в частности, получен отрицательный ответ на вопрос о возможности усиления геликонов в области ОДП. Выясняется влияние собственного магнитного поля и конечной толщины полупроводника на спектр быстрых и медленных геликонных мод в полупроводниковой пластине с металлизированной поверхностью.
§ 1. Влияние магнитного поля на усиление волн пространственного заряда в полупроводниковых пленках с ОДП
Представляет интерес установить принципиальную возможность улучшения усилительно-частотных свойств ТПС с ОДП при помощи статического замагничивания.
Магнитное поле Во влияет на распространение ВПЗ в тонкопленочных структурах в общем случае по трем причинам: во-первых, изменяется поле-скоростная характеристика (ПСХ) тонкопленочного образца [5, 8] из-за неколлинеарности направлений векторов поля смешения Еь, статического поля £0 и скорости дрейфа носителей uQ\ во-вторых, изменяется характер поперечного (к направлению Bq) движения носителей из-за появления силы Лоренца е(их Х2?о); в-третьих, изменяется переменный поверхностный заряд р'г на границе полупроводниковой пленки из-за наведения статического холловского заряда р^, дающего вклад в поверх-.е	, н
костный ток / -PjiUiq + Р3рил (наведенная поверхностная проводимость).
Первые две физические причины учитываются путем введения эффективного греющего поля Ерй (задающего ’’рабочую" точку на ПСХ) и тензоров od (дающих связь Л с рь £, и Н{) (см. § 1.9). Третья физическая причина отражается в граничных условиях (4.4.19) в виде зависимости рл1 от Во, учитываемой тензорами о. личину л /1 в выражении для pjt).
и od (последний определяет вс-
Будем рассматривать три типа замагниченных ТПС, изображенных на рис. 3. Для каждой из них уравнения непрерывности и Пуассона в простейшем случае нулевой диффузии (De = 0) дают с учетом (2.2.7) сооношение, связывающее р. с По форме это соотношение совпадает с анало-ХыМк°°^0ШеГ" (4Л26)’ П°^аемым "PH = 0, в котором пара-метры ко и заменены на соответствующие эквивалентные параметры к0 и Учитывающие влияние магнитного поля а именно
(1-КоВ)0*
Pl"?l (11)
где	= <*)m/uq. Далее необходимо найти ммметпы	в
наити параметры «о н для кон-242	™
Рис. 30. Зависимости эквивалентных параметров о;” (а) и хв (d) от нормированной магнитной индукции I ba I = I в а I при наличии ОДП («0 = - I к, I < 0) дли разных ТПС. 1 — гтроцольио-замагннченная структура (см. рис. 3,6)', 2 — кормаль-но-замагниченная структура (см. рис. 3,г); 3 - тангенциально-замагниченная структура (см. рис. 3. в)
кретных структур на рис. 3. Эти параметры позволяют в соответствии с (4.7.20) определить, во-первых, критическую частоту для л-й моды
шкр,л “ ляи0/2д х/Тко Г. л = 1,2,...,	(1.2)
характеризующую ее переход из режима затухания в режим усиления и, во-вторых, максимальный коэффициент пространственного нарастания
I “mu I = I к0 I &М ~ I Ко I шм/ий-	О-3)
Ниже рассмотрим качественные особенности усиления мод ВПЗ при Dt = 0, вызванные влиянием магнитного поля для трех случаев его ориентации (см. рис. 3,6, в иг).
ПродолънО'Замагниченная структура. При продольном замагничивании (До ||£й,см. рис. 3,6) тензор имеет вид (1.9,29). В этом случае уравнения непрерывности и Пуассона с помощью (2.2.7) приводятся к виду (1.1), где
х£ = к0(1+йЗ),	/(1 +^о)-	(1-4)
Значения к0 и Ьо = реВ0 вычисляются из ПСХ при значении эффективного греющего поля Ер0 = Еь. Зависимости xf и от величины магнитного поля в области ОДП качественно изображены на рис. 30 в виде кривых 1.
Полученным выражениям (1.4) можно дать следующее физическое объяснение. Как видно из (1.9.29), продольное магнитное поле не меняет продольной подвижности носителей (дх = Ра) > но подавляет их поперечное движение, так что поперечная подвижность pt ~ Ре /(1 + ^о) уменьшается. В этом случае параметры xf и , определяемые как к® = ptJpt и
~ е no Р tleI» принимают форму (1.4).
16
243
При продольном замагничивании (/?оП«о) не возникает статиче/кий холловский заряд (р^ = ехл • (u<> X Во) » 0). Поэтому отсутствует наведенная поверхностная проводимость = Рг/Ор& = 0), и поверхностный заряд, определенный на основании (1.9.29), (2.2.7) и (3.6.9), равняется (при 0=0)
Рз1(±д) = ±“------
1Ш - уи0
0*
ду
(1.5)
у =
Из сравнения (1.5) с (4.7.32) следует, что выражение для р*, в точности совпадает с аналогичным выражением в случае Во = 0 при замене в послед, нем 0мна
Таким образом, равенства (1.1) и (1.5), определяющие дисперсию волн, совпадают по форме с аналогичными выражениями при = 0. Это означает, что все физические закономерности, полученные для ТПС без магнитного поля при Dt = 0 (см. § 4.7), остаются справедливыми и для про дол ь-но-замагниченных структур при замене к0 и 0М на и ® частности, частотные зависимости f1Я а ио /0^ имеют качественно тот же вид, что и на рис. 13. На основании (1.2) —(1.4) получаем
шкр,л “ П7Ти°/2а х/1ко 1(1 + *оГ= wKp,« / V 1 + Ьо\ .	(1.6)
lamix 1 = 1*0 1^м/"о =1*0 I0.w = |amax I-
(1.7)
Отсюда видно, что продольное замагничивание пленки с ОДП не дает выигрыша в усилении каждой моды (I <*£ ж х I =1 йпи х I ) > но может положительно повлиять на результирующее усиление активной структуры путем перевода затухающих (при Во = 0) высших мод (л = 1, 2, ...) в режим усиления в результате снижения их критической’ частоты, поскольку, согласно (1.6) , щ*р>я < wxp>e.
Нормалъно-замагниченная структура. При замагничивании пленки по нормали к ее поверхности (50Н^у» см. рис. 3,г) тензор Oj имеет вид (1.9.35). В этом случае эквивалентные параметры к® и входящие в (1.1) —(1.3), равны
«о 1 + К(гЬо 1 + bl 1 + Кобо
“£=“м-
(1.8)
Значения к0 = Pd/Pe и Ьо = РеЕь вычисляются из ПСХ при значении эффективного греющего поля EpQ = Еь/ >/1 + Ьо < Еь, равном проекции Еь на направление и0, т.е. Еро = Еьсо$ <рн , где ун = arctg Ьо — холловский угол. Зависимости кр и от величины магнитного поля в области ОДП качественно изображены на рис. 30 в виде кривых 2.
Полученные выражения (1.8) могут быть объяснены на основании следующих физических соображений. Как видно из (1.9.35), нормальное магнитное поле не влияет на поперечное (по нормали к поверхности пленки) движение носителей, т.е. поперечная подвижность рг = ре не изменяется,
244
в
। тогда е п0 ц t/e । = <*>м , что соответствует (1.8). Величина дифференциальной ПОДВИЖНОСТИ ( и . <~ Г)1	ппи	t-
г и ' и). вычисляемая из ПСХ в точке Л„о. остаст-с тр ьнои вдоль направления дрейфа носителей и0 и уменьшается по мо. улю при отклонении от этого направления. При распространении ВОЛНЫ ВДОЛЬ ПОЛЯ Смешения Г — л к?
(.мещення tb - ezEb, составляющего угол с направлением дрейфа и0, продольная подвижность < 0 уменьшается по модулю с ростом магнитного поля, так как при этом растет холловский угол  Это качественно объясняет ход зависимости	t от |Ь0|,
изображенный на рис. 30,5 (кривая 2). Достаточно большое магнитное по-
ле (такое, что |Ьо | V |к0 |’) переводит отрицательную продольную (вдоль направления распространения волны) подвижность (к® < 0) в положительную (к0 >0) и тем самым подавляет эффект усиления ВПЗ.
В нормально-замагниченной пленке (50||л) не возникает статический холловский заряд (p/f( = егий • (Во X п) = 0), т.е. отсутствует наведенная
поверхностная проводимость (of = pf^juf = 0). Тогда поверхностный заряд, определенный на основании (1.9.35), (2.2.7) и (3.6.9), равняется (при (9-0)
iu-7u0j	by
(1-9)
у ° *e
Продольная скорость дрейфа uOz отличается от и0 = Р«ЕЬ и равняется иОг - «о/(1 + Ьо) < «о (см. (1.9.33)). Поэтому в формуле (1.9) и во всех других соотношениях, в том числе в (1.1)—(1.3), вместо 0е и 0М должны быть введены параметры 0ez = w/uOz = 0е (1 + Ьо) и 0Мг = ым/иОг = - Рм(Д + Ьо). С учетом этого обстоятельства (1.9) в точности совпадает с выражением (4.7.32) для р'х при Во = 0.
Таким образом, для нормально-замагниченных структур справедливы все соотношения, полученные в § 4.7 при Во = 0, в которых величины к0, 0g и 0м должны быть заменены на xf, 0е2 и 0Mz • Графики рис. 13 сохраняют тот же качественный характер. Нетрудно убедиться, что нормальное замагничивание, уменьшая |*о I по сравнению с |к0 | (см. кривую 2 на рис. 30, б), с одной стороны, увеличивает критические частоты для высших мод (п= 1, 2,...) :
шкр п = nvu^tl2a\f I к о | > лямо/2д VI «о |'в<^кр,л >	(1.10)
а с другой стороны, уменьшает максимальное усиление каждой моды.
। атаж । “ I К 0 I &MZ < I *0 I = I ат«х I-	(1-1 О
Оба эти фактора снижают результирующее усиление активной структуры. Следовательно, замагничивание пленки по нормали ухудшает ее усилительные свойства в области ОДП и при достаточно больших полях (когда | Ьо | > \/1 *о Г) вообще подавляет эффект усиления ВПЗ.
Тангенциально-замагниченная структура. При тангенциальном замагшгчи-вании пленки перпендикулярно полю смешения (Вй 1 Еь, см. рис. ,«
245
тензор а® имеет вид (1.9.32). Тогда эквивалентные параметры к® и входящие в (1.1) - (1.3), равняются
*ожко. ш® =	/(1+xobg).	(1.12)
Значения к0 и Ьо = це Во вычисляются из ПСХ в точке Ер0 * Еь. Зависимости к® и от |b01 при к0 < О качественно изображены на рис. 30 в виде кривых 3.
Полученные выражения (1.12) могут быть физически объяснены следующим образом. Поперечное (к направлению F/,) магнитное поле в плоскости пленки одинаковым образом влияет как на продольное (вдоль Еь), так и на поперечное (по нормали к поверхности пленки) движение носителей. По этой причине величина к® = дх / д t сохраняет тот же вид к0, что и в отсутствие магнитного поля. Появление холловского поля Е„ (см.рис.3,в) изменяет поперечную подвижность носителей и делает ее, согласно (1.9.32), равной дг = Де/(1 + Kobo) = Д<//*о(1 + «оЬо). Последнее равенство по форме соответствует случаю нулевого магнитного поля, когда д, = д2/к0, при условии, что дх « Да/(1 + к0Ьв). Отсюда следует, что параметры к® ~ и ы^ = еп0 Ht/Ci принимают форму (1.12).
В отличие от предыдущих случаев, тангенциальное поперечное магнитное поле приводит к появлению наведенного холловского заряда р^0 = = €i« - («о X Во). Поверхностная подвижность этого заряда определяется в общем случае тензорной величиной в форме (3.8.8). При тангенциальном замагничивании, когда п-Во = 0, поверхностная подвижность характеризуется скалярной величиной д ,. В этом случае наведенная поверхностная проводимость а, = р,0 д, на границах пленки у = ±а равняется
а^(±А) = ±д,(±а)€1иово =±/лв(и)€1и0Ь0,	(1.13)
где ЩВ(Н) = д,(±а)/де - отношение поверхностной подвижности носителей Дх на верхней (j = а) или нижней (у = — а) границах пленки к объемной статической подвижности д е. Поверхностный заряд, определенный на основании (1.9.32), (2.2.7), (3.8.9) и (1.8), равняется (при 0 = 0)
ez. ч ±/1/±д) + о?(±д)7£’1«(±в) Р1е1(±®) = —L:—1---------------- =
1Ы - 7U0
I . *о0м + 'п»(к)7 “ 1 €| I	I	О о
17-/0е Эу 1,-ta	7-Ше
7>₽i(ia)
(1.14)
Поскольку холловское поле создается носителями заряда разных знаков, локализованными на противоположных поверхностях пленки, то их подвижности различные, т.е. тл Ф т„. Это вносит асимметрию в граничные условия (4.4.19), включающие в форме (1.14). Кроме того, граничные условия носят смешанный характер, так как содержат Э^/Эу и в силу (1.14).
В данном случае решение граничной задачи для ВПЗ на основе уравнения Пуассона (2.2.9), соотношения (1.1) и граничных условий (4.4.19) дает
I
246

У - ifie
T(SB . ,.д . •	(И5)
\Ру + ipe )
= f! определяется w заменено на (3^.

дисперсионное уравнение в
с (4.2.13), в котором введено СОВПаДаюшее 00 Ф°Рме записи Эф Д но дРУгое обозначение (сравни с (4.3.15)):
(2. (к) =	± ibo 12?* *”»(») 7
Поперечное волновое число7 для ronyniloд^нка7 ' соотношением (4.3.14), в котором, со^н0 0 12) Для внешней среды в соответствии с (4.3.14) имеем Ь.<н) *7-
Анализ общего дисперсионного уравнения (4.2.13) с учетом (1.15) до-стат чно сложен, анее упрощение достигалось в двух предельных случаях симметрии структуры: для симметричных ТПС (когда (?„ = (2Н) и для ТПС с сильной асимметрией (когда QB >Q„ или наоборот).
Как видно из (1.15). даже при симметрии внешней среды (е2ф = е2ф) и в предположении нулевой поверхностной подвижности носителей (шв = = тк = 0) имеем # Q* из-за члена t/Z>oKo0w/(7 - Появление этого члена вызвано вкладом продольного поля A'u = 7^1 в нормальную компоненту тока n-f, на поверхности кристалла за счет того, что величина od тензорная. Математически эта ’ магнитная” асимметрия задачи вытекает из смешанного характера граничных условий (4.4.19) с учетом (1.14). В области больших магнитных полей, когда |6охо0п/(7***/<i 1 ♦ ”маг* нитная" асимметрия структуры слабая. Это приводит к тому, что дисперсионные уравнения для мод ВПЗ имеют форму (4.3.16), в правых частях которых стоят дополнительные множители вида
Г	2 /	\ 1 / *0 0* \21 s,n* f 1 J
[	°\е?ф / \7 Icos’fie
где sin2л - для симметричных мод, а cos’f^ - для антисимметричных мод. Полученные дисперсионные уравнения учитывают взаимное возмущение симметричных и антисимметричных мод, связанных между собой за счет слабой асимметрии структуры.
Второе слагаемое в квадратных скобках (1.16) можно рассматривать как малое возмущение. Тогда, представляя у = т’ + бу (где у‘ - решение получаемое при В ° # 0 в пренебрежении магнитной асимметрией структуры) и полагая поперечное распределение в модах слабо возмущек-ным £Хем из (4.3.16) с учетом (1.16) возмущение постоянной затуха-ння (усиления) для л-й моды
, в е, мп2Г,.яа
6а„ =±(*о^о)
(1.16)
(117)
6a„ -±(KODof PyPe е>ф 2jB na
2 .^Lt™uy unn (n = 0 2. -.). а нижний — для где верхний знак для	j каждой высшей моды на крити-
6«. =*•’; Х при ПОМ Щ.,)., • -/2 вескои час	13,а следует, что для симметричных мод в режиме уси-
>0 ” ^е”7а^*т С^е ом -ого’ в то врем, как ДЛЯ	X'< °
(1.17) показывает, «по для все игу	(усилеяяе уменьшается).
247
Возмущение 6ал накладывается на решение , получаемое при
#= 0 в пренебрежении магнитной асимметрией структуры. Для этого решения, в соответствии с (1.2), (1.3) и (1.12),имеем
я s л*“о/.2в V I *оТ- Чср.л ,	<1Л8>

в I =	1к°1
Uq 1 —IKqI^O UO
“max "о
(1-19)
Таким образом, тангенциальное замагничивание не влияет на критические частоты высших мод о>КрЯ, но увеличивает максимальное усиление каждой моды l<*maxl в СИЛУ т°г°. чт0 >ым (кРивая - на рис.30,а). Магнитная асимметрия тангенциально-замагниченной структуры уменьшает усиление нарастающей моды на величину 8аи, даваемую формулой (1.17). Однако при слабой магнитной асимметрии это уменьшение может быть незначительным, так что результирующее усиление активной структуры при тангенциальном замагничивании сохраняется увеличенным по сравнению с незамагниченной структурой.
В заключение данного параграфа можно сказать, что статическое магнитное поле принципиально не изменяет характера дисперсии мод ВПЗ при De = 0. Из трех вариантов ориентации магнитного поля практический инте-
рес представляет тангенциальное замагничивание в плоскости пленки. Магнитное поле по нормали к пленке всегда ухудшает ее усилительно-частотные свойства, вызывая увеличение критических частот для высших мод сскр.л и уменьшение коэффициента усиления |а*ах| вплоть до пол-
ного подавления усиления в сильных полях (при I 1> х/Г^о Г) • Тангенциальное продольное (к дрейфу носителей) магнитное поле снижает шхр,п' оставляя без изменения lamaxl, в то время как тангенциальное поперечное замагничивание не изменяет сдкр я, но увеличивает |afl |. Снижение критических частот высших мод представляет меньший практический интерес, так как их усиление подавлено диффузией, сильнее проявляющейся на высоких частотах. Поэтому принципиальную возможность улучшения усилительных свойств активной структуры следует о жил ять лишь при ее тангенциально-поперечном замагничивании, увеличивающем коэффициент усиления основной моды. Диффузия будет подавлять это усиление на высоких частотах, и ее влияние при Во ¥= 0 может быть учтено способом, аналогичным использованному в § 4.8 при Во = 0.
§ 2. Геликонные и скиновые волны в продольно-замагниченной плазме
1. Квазима! нитостатический волновой процесс в продольно-замагниченной плазме описывается общим уравнением (2.3.7), которое при А, равном (1.9.28), принимает вид
♦Л0^(?ХН,)-д|о^/ш+и0	=
ч I Э£>‘ Э£‘Л
(1 -к0)Цех-^— -	(2.1)
24В
(2-5)
(2.6)
уравнений,
Так как для безграничной среды все направления в плоскости (х,у), перпендикулярной магнитному полю и дрейфу носителей, эквивалентны, то полагаем Э/Эх =—г кх s 0. Поскольку удовлетворяет уравнению
?//,.() ши	(2.2)
by г 1* ’
то независимыми являются лишь две компоненты Н\х и Н \у, связанные, согласно (2.1), уравнениями
- [*i + »(w - к1и0)ц1ае]Hlx =
—-Ц1(23)
V,’ffi,-[t?+l(w-t,u0)|j,oJH„= »„*?H1Jr.	(24)
где V ? = Э 21 bу2 - поперечный лапласиан.
Чтобы выразить £'lz через компоненты Я j запишем j |х двояким образом: во-первых, из (2.3.1) имеем / u = — ЬИХх{Ьу и, во-вторых, из (2.3.8) с учетом (1.9.29) получаем / 1х = K^oeElt. Отсюда следует
с 1 дЯЬя
£ц =	----•
Подставляя (2.2) и (2.5) в (23), преобразуем его к виду
Vr%x - к0((1 + ^)Л2 +/(ы - кгий)цхае]НХх =
= fd0(cj - кгий)цхкйоеНХу.
Уравнения (2.4) и (2.6) составляют систему связанных
описывающих волновой процесс с учетом нагрева носителей как в безграничной плазме, так и в ТПС с продольным замагничиванием (см. рис. 3,6). Они дают характеристическое уравнение
(Л2 +ШД1ОГ)[(£2 +/ПД1К0<Уе)-(1-Хо)*2]+коЬоЛМ3 =0,	(2.7)
где к2 = к у + к2, £1= ы - кхи0.
2. В оставшейся части настоящего параграфа будем исследовать плазму в отсутствие нагрева носителей (к0 = 1) При этом уравнения (2.1)-(2.6) принимают форму, обычно используемую в теории геликонных волн (23, 24, 27]. Характеристическое уравнение (2.7) распадается на два независимых уравнения
к2 ± ib9ktk + Цы — кхи0)1Лхое - 0.	(2.8)
отличающиеся знаками ±. Ниже покажем, что они соответствуют волнам с правой (+) и левой (—) круговой поляризацией по отношению к направлению волнового вектора к.
Прежде чем анализировать уравнение (2.8), получим основные соотношения, характеризующие структуру полей при к0 = 1. С этой целью, учитывая, что /х = V X Я,, перепишем (2.1) в виде
V X/х - Ьо + /Од, аЛг = 0	(2.9)
OZ
249
или
ЛХ/, - bokzJi -ftiiiOfHi =0.	(2.10)
Равенство (2.10) можно рассматривать как уравнение для нахождения /j. Для этого приведем его к форме (1.4.1), в которой
Л =/1.
д----------и 1,
bokz
к b =-------
Ь^кг
(2.11)
Решение (1.4.1) имеет вид (1.6.5). Подставляя в это решение (2.11), после ряда преобразований с использованием (2.3.1), (2.2) и (2.8) окончательно получаем
h=*kHi.	(2.12)
Следовательно, при вещественных к линии тока параллельны или анти-параллельны (в зависимости от направления круговой поляризации) силовым линиям магнитного поля. Поскольку = V X Яь то отсюда следует
к* Hi =iikHi.	'	(2.13)
Покажем, что (2.13) соответствует волнам с правой (tt) и левой ( — /) круговой поляризацией, вводимой по отношению к направлению волнового вектора к - ег*кг Так как к-Hi = 0, то вектор Н\ имеет вид Я] = = ех»НХх, + е у >Нх v». Тогда (2.13) принимает форму
(ех< ± iey>)(Hix. т /Я1у,) = 0.
Отсюда вытекает независимое существование двух структур поля:
для ех, + iey> * 0	Я1х» = iH}y,,
для ех, -iey> * 0	Я1Х' =	»
соответствующих правой (Я 1х» «. iHly>) и левой (Я1х» = — iHXy») круговым поляризациям.
Рассмотрим соотношения между компонентами полей Нх и в системе координат (х, у, z) для волн с круговой поляризацией (по отношению к направлению вектора к). На основании (2.2), (2.4) и (2.8) можно записать
Для нахождения компонент электрического поля используем (2.3.8) и (2.12), дающие равенство
(^1 Хд.ЯО » ikHit
которое после ряда преобразований с учетом (1.9.29) и (2.8) приводит
250
к соотношениям
Е1х ’ т- Н к 1
Е\у _ _ _к_ к*у + »opiof _ * kt ±ibok - iHiOeu0 fc'lx	WMiO,	WMlOe
Elz I E\x ~ *kky I u>MiGr.
(2.15)
(2.16)
(2.17)
егко у питься, что компоненты полей (2.14) —(2.17) удовлетворяют уравнению Максвелла V X Е, = —/сод|Я1, а также равенству (2.3.12) при ев - ег, определяющему продольное (вдоль вектора А) электрическое поле.
Перейдем к анализу дисперсии и структуры волн для трех частных случаев (при к0 = 1).
Продольное распространение волн (ку = 0, к - кг). В этом случае дисперсионное уравнение (2.8) принимает вид
к2 = А3 ~
Н ш 1 ±ib0
где введена величина 2	2
CUp LJ	О)р CJ
Н Ьо с2 с2 | азс | ’
(2.18)
(2.19)
равная квадрату волнового числа плоских геликонов в отсутствие дрейфа носителей (и0 = 0) при сильном замагничивании плазмы (|Л0| > 1) [9, 10,41].
Уравнение (2.18) описывает дисперсию геликонных волн при наличии дрейфа носителей. В общем случае (2.18) имеет комплексные корни кг (ш), характеризующие затухание геликонов, вызванное столкновениями носителей в плазме. В случае редких столкновений и достаточно сильного магнитного поля, когда |Ь01 = I =	I > 1, (2.18) принимает форму
к} = ±	- kzu0)/ ы,	(2.20)
имеющую чисто вещественные решения Аг(сс), т.е. затухание геликонов
исчезает.
Рис. 31. Дисперсионные зависимости для плоских геликонных волн: /, 2 - с правой, 3, 4 - левой круговой поляризациями
Рис. 32. Зависимость величин и ш, от концентрации носителей заряда л, при трех значениях магнитной индукции В9
Введем в рассмотрение параметры
п _	\ Up и0	j	. о on
т I .» w° 2 0° °’	I2-21)
20е 2 С2 | ыс I	2
физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Тогда дисперсион-
ное уравнение (2.20) может быть преобразовано к виду
w0 ± w - ~ (*х ± Ро)3-	(2-22)
2₽о
Знаки ± в (2.18), (2.20) и (2.22) соответствуют правополяризованным и левополяризованным геликонам.
Дисперсия геликонных волн в соответствии с (2.22) изображается ветвями двух парабол, смещенных в координатах w — кг на величины +w0 и *0о . как показано на рис. 31. Ветви 1 н2 соответствуют правополяризованным геликонам, а ветви 3 и 4 - левополяризованным геликонам. Как видно из рисунка, геликоны с левой поляризацией имеют высокочастотную отсечку на частоте w0, т.е. распространяются в диапазоне частот О-Wo.
Частоте w0 соответствует волновое число, равное 0О “ ]о!2.Но  « еп0и0/2Н0 при В0 = д \Н0. Для численных оценок величины 0о и wo представлены на рис. 32 в зависимости от концентрации носителей п0 для трех значений магнитной индукции Во = 0,1, 1,0 и 10 Тл при скорости дрейфа и0 = 1 • 10s м/с. Отсюда видно, что в полупроводниках с концентрацией электронов Но " (10” — 10”) м“’ геликонные волны представляют собой длинноволновые (X 1 см) и низкочастотные (/10 МГц) возбуждения. В диапазоне СВЧ (w0 > 10*° с-1) необходимо использовать сильнолегированные полупроводники с п0 > (1034 — 10”) м-1.
252
Из рис. 3 I видно, что фазовая скорость  ^/kt для геликонов 3 и 4 с левой поляризацией всегда меньше скорости дрейфа и0 в отличие от правополяризованных геликонов / и 2. По этой причине левополяризованные геликоны называют медленными, е правополяриэованные — быстрыми. По направлению групповой скорости
Э ш	/	к \
“ГР = ТГ * “»(1 * тЧ	(2.23)
°*1	\	00 '
геликоны 2 и 3 являются прямыми (цгр >0), а геликоны I н4 - обратными (пгр < 0), при этом только ветви 4 соответствует аномальная дисперсия (знаки 0ф и игр противоположные).
На основании равенств (2.12) и (2.14) —(2.17) получаем структуру полей для геликонов:
я1ж	= о,	Н1х	=	(2.24)
^1г	=0.	Eix	=	= ±iEly,	(2.25)
/lx	= 0,	/jX	=	± кхН^х	= ± ij\y.	(2.26)
Таким образом, вдоль магнитного поля в продольно-замагниченной плазме распространяются только геликоны в виде чисто поперечных вихревых электромагнитных волн с круговой поляризацией, скорость которых существенно меньше, чем скорость света, из-за высокой проводимости среды.
Поперечное распространение волн (кх = 0, к = ку). В этом случае дисперсионное уравнение (2.8) принимает форму
к$ ж -iuni	(2.27)
соответствующую распространению электромагнитных волн в проводящей среде в условиях скин-эффекта [42]. Решение (2.27), равное
ку = ±(Г - 0/s, s =	(2.28)
где s — обычная толщина скин-слоя [42], описывает ’’скиновые” волны, распространяющиеся с затуханием при удалении от границы плазмы. При поперечном распространении эти волны не ’’чувствуют” магнитного поля и дрейфа носителей заряда.
Структура полей для поперечных скиновых волн находится из соотношений (2.12) и (2.14) - (2.17) с учетом (2.27):
Я1у = 0,	Яц=±/Я1х,	(2.29)
Е	и ЛнХх=(2.30)
У \ Ое	'	'Ре '
Eu^±h-Hu=±iElx,	(2.31)
/1У = 0, /u-±Mue±^-	(2‘32)
Качественно эти поля изображены на рис. 33, а. Особенность их состоит в том, что электрическое поле имеет продольную (вдоль вектора к = еуК^
Рис. 33. Структура полей для скиновых волн: пассивных, подчиняющихся дисперсионному уравнению к’	= 0 (а, б), и активных,подчиняющихся уравнению
Лу + iwp, к,<7е = 0 (н), в отсутствие («) и при наличии (б. в) нагрева носителей статическим электрическим полем
компоненту Eiy, которая при сильном замагничивании (|£>ol > 1) равня-ется Eiy « + ib0Eis, т.е. превышает поперечные компоненты Eiz и ЕХх.
Как обсуждалось в § 23, продольное электрическое поле появляется для обеспечения соленоидальности тока (V • Л ~ 0) в сильно проводящей среде, в которой пространственный заряд не может существовать (Pi ~ 0) из-за быстрой максвелловской релаксации (штм < I). В том, что продольное поле (2.30) имеет именно такую природу, можно убедиться с помощью равенства (2-3.12), которое при к = еуку ией = ег принимает вид (2.30).
Таким образом, поперек магнитного поля в продольно-замагниченной плазме распространяются только скиновые волны. Они носят поверхностный характер, так как затухают в направлении своего распространения при удалении от границы плазмы, и имеют большое продольное (вдоль к) электрическое поле при чисто круговой поляризации поперечных компонент полей и тока. Скиновые волны, как и геликонные, порождены соленои-дальными токами (V /1 =0) в сильно проводящей среде,но в отличие от них имеют электромагнитную природу (в том смысле, что w3 * — см. § 2.3).
Произвольное распространение волн в сильно замагниченной плазме (ку Ф 0, к2 Ф О, |2>0| > 1). Данная ситуация соответствует тонкопленочной структуре, в которой величина поперечного (к магнитному полю) волнового числа ку "навязывается” толщиной пленки.
Общее решение квадратного относительно к дисперсионного уравнения (2.8) записываем с учетом (2.19) в виде
ibbkt Г /	4/ k£ w - *,м0
в + —1 + V 1-----------—Z- -----------
21	Ьо к} w
(2.33)
254
д сь р ые знаки Т отражают поляризацию воли, а знаки * в квадратной ско же соответствуют разным решениям: ’’объемному” решению — верхний знак и поверхностному” решению к, — нижний знак. Физическое содержание, вкладываемое в понятия "обьемного" и "поверхностного решения, обсуждаются ниже.
При условии
I ^21 I (со — k2UQ) gj ое| решения (2.33) имеют вид
или |60fcx|>
кн
кг .
- kzu9

к2, « - кги0
кЬ ~	--------------
кг gj
(2.34)
k, = *ibokz -kb **ibokz.	(2.35)
Отсюда получаем выражения для двух поперечных волновых чисел: к* (со - к и0)2	1
----------г--------1 ,	(2.36) GJ--------------------------------J
=	= *bl)k}±2ibbkzkb *
~ -Ьо*2 1 Ubokzkb «в -bbk2z * k2s.
(2-37)
Рассмотрим физическую природу двух полученных решений.
Объемное {геликонное') решение. Волны, описываемые равенствами (2.34) и (2.36), интерпретируются как геликонные волны, поскольку в одномерном случае (при куЬ = 0 и kb = kz) из (2.34) получается дисперсионное уравнение (2.20) для плоских геликонов, распространяющихся вдоль магнитного поля. В двумерном случае (при куЬ =#0) волновой вектор геликона кь отклоняется от продольного направления z, однако магнитное поле Hi (и плотность тока /1) в соответствии с (2.13) сохраняет круговую поляризацию относительно направления вектора кь.
Структура полей определяется из соотношений (2.12) и (2.14) - (2.17) с учетом (2.34) и (236):
kz	kh
_ bokz из	= Ьок2г____________из £
ое u> — kzuo 1Л к2уЬ-1Ьок2И из - kzu0
из — kzu0
--------- £1л.
w
(2.38)
(239)
(2.40)
цх = ±kbHiх = ± i~~~~hу iizs± hx=±iV/L +/1Г- <2-4l> кг
В этом случае все три компоненты магнитного поля ЯДи плотности тока .• = ± кьн,) при |*VJ имеют одинаковый порядок. В то же время, как видно из (239) и (2.40), между компонентами электрического поля
255
£i, в силу Idol ► I, существует соотношение l£ul< |£ixl'4£lv|,T.e. про-дольное (вдоль Во) электрическое поле пренебрежимо мало. При | Л> 6| < |*2| формулы (2.38) - (2.41) переходят в равенства (2.24) - (2.26) для плоских геликонов.
Поверхностное (скиновое) решение. Решение, описываемое равенствами (235) и (237), соответствует поверхностной волне, распространяющейся вдоль границы плазмы (с вещественным kz), при этом мнимое поперечное волновое число kys % ks =« Т ibokz обеспечивает затухание полей при удалении от границы вглубь плазмы.Именно это решение было интерпретировано ранее [27, 34, 36, 38] как кваэипотенциальная поверхностная волна, для которой V X £> * 0. Покажем, что такое физическое толкование несостоятельно, поскольку поля поверхностной волны удовлетворяют вихревому уравнению Максвелла V X Ех = —icopi Нх 0, а она сама является не чем иным, как скиновой волной, видоизмененной сильным магнитным полем. В пользу подобной интерпретации, прежде всего, говорит тот факт, что в этой волне, как и в чисто скиновой, волновой вектор ks * tykys направлен почти по нормали к границе плазмы, поскольку, согласно (2.37), |/с2|<
Запишем компоненты полей поверхностной волны, основываясь на (2.12), (2.14) - (2.17) и (2.35):
Я„ = ±«^1Я„>.±/Я1Х,	(2.42)
Л, ьо	кг
bok.	bakz
Eiy = —i — Hiz * ¥------ Н1г « T iboEi,,	(2.43)
oe	oe
El2 = ±— Яц * ± —Fix = * bo -V3-£1X.	(2.44)
oe	kH
1
ily = ±k3Hiy * —-/lx,	/и в**,Яи *±01x.	(2.45)
£>0
В этом случае, как видно из (2.42), продольная (к направлению волнового вектора kt * еуку1) компонента магнитного поля Hiy мала, а поперечные компоненты Hix и поляризованы по кругу. Это полностью согласуется с (2.29) для плоской скиновой волны. Между компонентами электрического поля (2.43) и (2.44) существуют соотношения |£1х| < < |Fi2| < |Fiy|. Следовательно, как и в чисто скиновой волне с компонентами (230) и (231), наибольшей из них является продольное (вдоль вектора kf * eykyt) электрическое поле Eiy. Сильное замагничивание плазмы повлияло на соотношение между поперечными компонентами Е\х и Eiz, превратив круговую поляризацию (231) в линейную (2.44).
Наличие большой продольной компоненты £|Л.не может служить основанием для интерпретации поверхностной волны как квазипотенциальной, поскольку поля в ней должны удовлетворять уравнению V X Et  = — Ht * 0. В этом можно убедиться, записывая
VxEj =-/k,XE1 = ех (ikf Fi у -ikytEi 2) +
★ey(-iktEix)*et(ikytEix).	(2.46)
256
Я ппи4ньвш^.НебреЧЬ Двумя последними слагаемыми в силу малос-™ ПерВ0Г° слагаемого использовать (2.43) и попе реЧН<п y Г ~ л п Л° В ВИДС куа * § ** * * ‘Ьокх, то действительно полу-rxt, -U. ilo-видимому, именно поэтому в работах [27, 34, 36, 38| поверхностную волну называют квазипотенциальной.
Однако при таком вычислении потеряны слагаемые, имеющие одинаковый порядок с Iwpj Hi I. Во-первых, нельзя опускать г (2.46) компоненты, содержащие Е\х. Во-вторых, для к3 надо использовать точное равенство (2.35), которое с учетом (2.19) и (234) позволяет записать (при |601> О
« *,=Т ib^	_ -L
bokx	bok.
±
bl fck.
(2.47)
Подставляя (2.43), (2.44) и (2.47) в (2.46), получаем компоненты магнитного поля Нх =	(VX 6^), в точности совпадающие с (2.42).
Таким образом, можно с уверенностью заключить, что поверхностная волна порождается скин-эффектом. По мере увеличения магнитного поля она все сильнее прижимается к границе плазмы и в пределе |2>01 должна превратиться в поверхностный ток, обеспечивающий разрыв касательных компонент Hi для геликонных волн. Ниже вычислим компоненты поверхностного тока, созданного скиновой волной (см. § 6).
Перейдем к анализу влияния анизотропии дифференциальной подвижности, вызванной нагревом носителей статическим электрическим полем, на геликонные и скиновые волны. На основании вышеизложенного естественно ожидать, что нагрев носителей должен отразиться только на скиновой волне, в которой в отличие от геликонов имеется поле ЕХ1, совпадающее с направлением дрейфа носителей.
§ 3. Влияние нагрева носителей на геликонные и скиновые волны
Общее характеристическое уравнение (2.7) содержит коэффициент анизотропии к0, учитывающий нагрев носителей заряда. В этом случае не получаются, как при Ко = I» простые соотношения типа (2.12) и (2.13). Это означает, что электрическая анизотропия (Ко Ф 1), вызванная нагревом носителей, изменяет свойства магнитоплазменных волн. В частности, исчезает в общем случае свойство круговой поляризации магнитного поля Hl (и плотности тока />) по отношению к направлению волнового вектора £, выражаемое равенствами (2.12) и (2.13).
Соотношения между компонентами магнитного поля/fi в самом общем случае определяются уравнениями (2.2), (2.4) и (2.6), на основании которых можно записать
- ——,	_	bjkykf________ р
HXt ку НХх к2ktu0)niae’
Hi у _ i к2у^к0 [(1	+'(<*>-*iuo)#iO«J	р 2)
Hix b0	(cj-ktuo)^itc0o3
17. A.A. Барыбин	257
Выразить компоненты электрического поля Ех через компоненты можно из равенства jx = V ХЯьв котором имеет форму (23.8), а именно
+ «0 X р,Н,) - —ifc X Я,, где тензор а® равняется (1.9.29). Отсюда с учетом (3.1) и (3.2) получаем
ШД1
Elx = -—Hiz, ку
ikv Et.-----Hlx,
K0Oe
(33)
' i (1 +5j)P +i(u-ktu0)ni<J' u u
0g	b^ky
Будем исследовать дисперсию и структуру волн для трех частных случаев (при к» * О» рассмотренных в предыдущем параграфе (при к0 = 1).
Продольное распространение волн (ку = 0, к = kz). В этом случае дисперсионное уравнение (2.7) сокращается на величину кв #0 и принимает вид уравнения (2.18), полученного выше при к0 - 1. Следовательно, как и ожидалось, анизотропия дифференциальной подвижности (ко 1) не повлияла на дисперсию плоских геликонных волн при их продольном распространении, поскольку согласно (2.25), они не имеют продольного электрического поля (£lz =0). Свойства этих волн были изучены в § 2.
Поперечное распространение волн (Лг = 0, к = ку). В этом случае дисперсионное уравнение (2.7) принимает форму
(ку ^iG)piOe)(ky *1оД1К0ое) = 0,	(33)
соответствующую независимому существованию двух типов скиповых волн. Скиновые волны, для которых ку +	= 0, не ’’чувствующие”
к0, будем условно называть пассивными в отличие от активных скиновых волн, удовлетворяющих уравнению fc*к0 Де = 0, которые ’’чувствуют” Ха, так как имеют компоненту поля Ец.
Исследуем структуру пассивных и активных скиновых волн.
Полагая кг = 0 в (3.1) -(3.4), получаем следующие компоненты полей: для пассивных волн с ку- ое
НХ1Ф0, Hly=^~Hlz^0, ку к0 Ьо ----------Hlz = 0, 1 -Ко
(3.7) •
Е\х “

Я1ж*0;
258
для активных волн с --/щд, Х(>а,
Я1х*0, Я, -J_	„ жП
z A	“ix 'J
°0
Я1Х =
bokvkz —-----—____. if
ky+icjutOg 1
= о.
(ЗЯ)
E\x ~
ky
=-п0Д1Я1д ^0,
£\z ~
iky
KoOp
(3.9)
Я1х*0.

Компоненты плотности тока/! выражаются через компоненты fft с помощью равенства * = 7 X//b которое для скиновых воли (при кг = 0) дает
1—ikyH\x при
0 при fly ~
к у =
kj = -Житков',
(ЗЛО)
0
при к у = — /сод1<те>
h* =
ikyH\x при ку ~ — icofiiКо0е.
Структура полей для пассивных и активных скиновых волн качественно изображена на рис. 33, бив. Особенностью этих полей является линейная поляризация в отличие от круговой поляризации поперечных компонент при к0 = 1 (см. рис. 33, л). Во всех случаях имеется продольное (вдоль вектора к - еуку) электрическое поле Е\у, обеспечивающее соленоидаль-ность тока (V • /1 = 0). При к0 -* 1 активная волна вырождается в пассивную, а суперпозиция их линейно-поляризованных полей (рис. 33,6 и в) дает циркулярно-поляризованные поперечные компоненты и суммарное продольное полеEjy, изображенное на рис. 33,в.
Произвольное распространение воли в сильно за магниченной плазме (ку * 0, кг 0, |*o I > 1) • Рассмотрим случай, соответствующий тонкопленочной структуре с горячими электронами (к0 # 1), в которой ку # 0 благодаря конечной толщине пленки.
Полагая I к0 I ~ bo > 1, переписываем характеристическое уравнение (2.7) в форме квадратного уравнения относительно кг:
к* + (койо*,2 + ГОр» ае(1 +	-
-к0((2д1Об)2 -/ПД|О€(1 — к#)*’ =0. При условии
I |> | (о> - ЛгМо)Д1 Ое I
(3.11)
17'.
259
или
|Ko&o*f !►
W — ^ZUO kt (л)
решения (3.11) равняются
.2	^h(w~^xmo)2
"I5	2? “ ’
ях	Си
*j»-K0bo*z ♦ »(1 **o)bokzkb - kb * -K.obokj.
(3.12)
(3.13)
Отсюда получаем выражения для двух поперечных волновых чисел:
k2yb-kl-k^kl
к*н (o)-kzu0)2
1,4	, J
Си
(3.14)
k$t •к] - к2 * - Kq(1 +bb)kl * - KOblkj **k2. •	(3.15)
Из сравнения (3.12) - (3.15) с (2.34) —(237) видно, что нагрев носителей не изменяет объемное (геликонное) решение к2уЬ, но влияет на поверхностное (скиновое) решение Л* * — *о^о^> которое при к0 = 1 превращается в (237).
Следовательно, геликонное решение не чувствует анизотропию дифференциальной подвижности. В то же время изменение знака к о на отрицательный в области ОДП превращает скиновое решение из поверхностного (kyt - мнимое) в объемное (kys - вещественное). Так как в тонкопленочной структуре геликонное и скиновое решения связываются между собой на границах пленки, то нагрев носителей должен оказывать влияние на дисперсию единого волнового процесса в продрльно-замагниченной ТПС.
§ 4. Дисперсионное уравнение для магнитоплазменных волн в продолыю-замагниченных* ТПС
Будем изучать распространение волн вдоль направления магнитного поля и дрейфа носителей с учетом их нагрева в сильном электрическом поле (к0 * 1).
Волновой процесс описывается уравнениями (2.3) и (2.4), которые перепишем для циркулярно-поляризованных компонент Ht = Hlx ± iHiy в виде
ЗЯ1Х	dEi
V2Ht + (1 iib0)k\Ht *ibokz —--- +(1 - ко)»,—
ду	by
Подставляя (2.2) и (2.5) в	(4.1) и	выражая	пН[у через	Я+и Я_,
после ряда преобразований получаем
aJJ2tH. ♦ с^2Н_ + 2к0НЯ+ • 0,
я_^Я_ ♦ с_73,Я+ + 2к0*,_Я_ -0, где введены обозначения
и-и,
(4.1)
w 1±/Ь0
et«(l+*o(l*/Ml/(l */М. с*-[1 -*о(1 ±/М]/(1 260
(4.3)
я з раничнои среды (при?] = dJ/3yJ  0) уравнения (4.2) описывают нс 1ависимое существование полей с правой (Я+) и левой (Н ) круговой поляризацией, удовлетворяющих дисперсионным уравнениям А]  0. ти уравнения, как показывает (4.3), в точности совпадают с (2.18) для плоских геликонов. Однако в ограниченных образцах (при?] = Э’/Э/ * * 0) циркулярно-поляризованные компоненты Я. связаны между собой уравнениями (4.2) и поэтому не являются нормальными переменными.
Введем нормальные переменные
t/т.з =#♦ ♦ У12Я_,	(4.5)
так чтобы они подчинялись несвязанным уравнениям вида
(4.6)
с+
Г р-’°-
(4.7)
с поперечными волновыми числами^ 2 = Ау|2- Для приведения связанных уравнении (4.2) к форме нормальных переменных (4.6) воспользуемся приемом, описанным в § 4.4, который дает, во-первых, уравнение для нахождения У|>2:
/ а+ к3_	а,
Y2 +------=--------
\с_ к3	с_
и. во-вторых, выражение, связывающее f2 2 с Ki,2: fi.2 = 2*о к3кг л-с_к3 У1,2).
Нетрудно убедиться, что 2 являются корнями уравнения
(д+д_ - c+c_)f* - 2к0(в+Дг1 + a_A])f* + 4kqA2+£1 = 0,
которое преобразуется с помощью (4.3) и (4.4) к виду (2.7). Рассмотрим случай сильно замагниченнон плазмы, когда
~ |/>0 | > 1. При этом из (4.4) получаем
(4.8)
(4.9)
I к0
(4.10)
а+/с.. =» — 1, с+/с_--а_/с_ -= i т
(д+д_ -с+с_)«4к0/Ь$, (а+А1 + а_к])»*Хо(Н+Л-
После подстановки (4.10) в уравнения (4.7) и (4.9) они дают решения
yt = — с+1с_ = — (1 + 2//ко Ьо), У2=^-/А2,	(4.11)
=	?2 = ^КоЬо(Л1+Л-).	<4л2>
Выражения (4.11) позволяют переписать нормальные переменные (4.5) в новой форме:
I/, =Я1>. + 21Я1г, U2=Hix + Z2Hly,	(4.13)
где вновь введенные коэффициенты Zlt2 и квадраты поперечных волновых чисел (4.12) записываются с помощью (4.3) в окончательном виде:
к4н (со — к:ио)г j
~к*	'	’
L Л-
(4.14)
Z, =---fi=*z
Kobo
2
к] w
(4.15)
261
Из сравнения (4.14) и (4.15) с (3 14) и (3.15) получаем f? - кгуЬ и U = *>•*• Следовательно, нормальная переменная Ui соответствует геликон-ному решению, a U2 - скиновому решению.
Предельный переход I b0 | -* °° (соответствующий бесстолкновительной или сильно эамагниченной плазме) обеспечивает Zt -* 0 и I I j остан ляя без изменения Zj и fl. Уравнение (4.6), записанное в вилс~" V :tU2 +
Н
+ U2 - 0, при I fl I "* 00 Дает U2 - 0.
Таким образом, в предельном случае | bQ | -* °° волновой процесс н плаз-ме описывается одной нормальной переменной Ui т.е. имеет чисто геликонную природу. При этом в силу U2-G между компонентами //1х и Н\,, существует жесткая связь
=	-------н1у.	«is»
к. со
Исчезновение нормальной переменной С/2 при I b0 | -* 00 физически означает вырождение скиновой волны в поверхностный ток в бесконечно тонком слое на границе полупроводника. Этот ток входит в граничное условие (2.1.6), создавая разрыв касательных компонент магнитного поля Я] для геликонных волн.
Описанная физическая ситуация, возникающая для геликонных волн при I b0 | -*«» , по сути, близка к той, что имела место для волн пространственного заряда в модели жесткой границы при De -* 0. В том случае, как известно (см. § 4.8), исчезновение нормальной переменной U2 соответствовало превращению поверхностного (диффузионного) решения в поверхностный заряд, создающий разрыв нормальной компоненты индукции Din для ВПЗ.
Будем исследовать 1TIC с произвольной асимметрией внешней среды по разные стороны полупроводниковой пленки (д3^ д3.*), схематически изображенную на рис. 9.
Магнитное поле вне полупроводника Н2 удовлетворяет уравнениям магнитостатики V X Н2 = 0, V = 0 и полностью описывается одной переменной квазистатическим магнитным потенциалом ф2, подчиняющимся уравнению Лапласа
=0.	(4.17)
при этом //2 = — V'V'j. Согласно § 2.5, внешнюю многослойную среду будем характеризовать эффективной магнитной проницаемостью
м’ф = Д2(1-Г0)/(1+Гф),	(4.18)
учитывающей поперечное отражение волн в слоистой среде, при этом, согласно (2.5.19), для МПВ имеем Г* = lim Гн, /= 2, 3, . . . Выражения
.	z
Г// И для конкретных многослойных структур (рис. 5, ft в и г) даются формулами (2.5.14), (2.5.16) и (2.5.18), в которых для МПВ надо положить fa и = ik.. В частности, для однослойной среды толщиной Ь с металлизацией (рис. 5,6) из (2.5.14) получаем
Г* • е~п**ь, дэ2Ф = д2 th кг Ь.	(4.19)
262
Введение эффективной проницаемости позволяет заменить любую многослойную СРСДУ эквивалентиой безграничной средой с pj4*, для которой решение (4.17) имеет вид
фа(З’) =
С-ехР Р кг(у а)], у>а
Сн exp [**,(/ + «)]. у<-а,
(4 20)
где верхние знаки отвечают волнам сЛ,»КеЛг>0. а нижние знаки волнам с к, < 0. Выбор знаков обеспечивает затухание нолей в поперечном направлении при удалении от границ пленки v = t а.
Общее решение уравнений (4.6) имеет вид
~ А 1,2 C°S f |,2 у + fi, 2 sin f U2У>	(4.21)
где, согласно (4.14) и (4.15),
f । — кyb — к2
kn (“-кги0)' k2
?2 — kyj i \Zkq I bo | k. - — i \/k0 bok..
(422)
(4.23)
В качестве граничных условий используем требования непрерывности Нг и Вп, записанные в данном случае в форме
дф,
Я,х(±л)=Я2г(±в) = - — S0,	(4 24)
Эх
дф 2
д,Я,,.<±«)-д’*(и)Яг,•(*«)=	•	<4-25»
у = t а
Я|.(±а) = Я2г(±а)^г<-^2(±а).	<426)
Следует обратить внимание на то, что граничное условие (4.24) автоматически обращает в нуль нормальную компоненту объемного тока/, v(± а) -= 0. так как /| ,• = ЗЯ। x/dz = — ik-Hix.
Из (4.13) с учетом I Z| Zj < 1 получаем
н{х^иг -г2щ и
Hiy=U, -ZiUlt
после чего (4.24)-(4.26) с использованием (2.2) преобразуются к виду
ZjtMitf) - t/2(±d) = O.	(4 27)
(4.28)
ЭЯ, Эу
ЭЯ2
Э.У
у • i Ч
= - к*
(4.29)
263
у = 1 а
Подстановка (4 20) и (4.21) в (4.27) — (4.29) после ряда преобразовании приводит к общему дисперсионному уравнению
I иэф мэф
[fj + (f2Z,Z;)2-J1?2Z1Z2(tgr1actgf2z/ +
I * Mi Mi
„эф + „эф	]
+ ctg f iff • tgf2e)] +——-— Ar.fjZjZ: ctg 2f2 a । sin 2f, a t
Mi	’
эф эф
t ** 3lt kz$i cos 2f j a = 0.	(4.30)
Mi
При конечной величине I bo I уравнение (4.30) содержит комплексные коэффициенты, что для х0 >0 дает затухающие волны с комплексными волновыми числами Л. =Л2 + ikz и fjt2 “fi.j + В пределе I b0 I - *» объемное затухание волн, вызванное рассеянием носителей на фононах и дефектах решетки должно исчезать.
Совершим предельный переход I fj I = I \'*obok: I -*30 в уравнении (4.30). При этом величина
1 к}, со - к,и0	1Л ,,.
^Z.Z.------------------— .	<4-’"
V«O к. СО
не зависящая от Ьо. остается неизменной, а тригонометрические функции аргумента принимают значения в соответствии со следующим пределом
(43:)
Знаки ± в (4.32) отвечают волнам с f2 = lmf2 >0 и <0. для которых соответственно fc. = Re к. > 0 и <0 при «о>0.
Используя (4.31) и (4.32). можно преобразовать (4.30) к форме, соответствующей бесстолкновительной плазме ( bo |	:
L, Ф2[.,,1 4 («-W,
I *-• ~ --S*---ГГ --2----
I Mi Mi Ko k:	co
i\^0 k.
co — к - Hq
—-------— J-, cig 2fifl
» n» n
Mi
к и 03 ~ k:uo ]
~7=;----------I
l \ К о ul
„эф + тф
Xsin2f|O± ——-------— fc-fj cos 2f, a = 0	(4.33)
Ml
Верхние и нижние знаки в (4.30) и (4.33) соответствуют волнам с к'. = Re Л. \ 0 при к0 >0.
Уравнение (4.33) включает слагаемые, содержащие i Поэтому при к0 >0 эти слагаемые имеют сомножителем мнимую единицу, что должно дать комплексные значения к., приводящие к затуханию геликонных волн даже в отсутствие столкновений носителей (при I b0 I -» »). Аналогичный результат был получен ранее [23. 24. 34. 36) и объяснен сушеетвовз нием дополнительного механизма потерь в бесстолкновительной плазме, вызванного диссипацией энергии за счет поверхностного тока
264
днако 11рмх° о величина / х/кТ*становится действительной, так что все коэффициенты и корни дисперсионного уравнения (4.33) принимают чисто вещественные значения. Это приводит к исчезновению бесстолкно-витсльного затухания геликонов в режиме ОДП. Рассмотрим распространение геликонов в полупроводниковой пластине с металлизацией, где отсутствует бесстолкновительное затухание даже при к0 > 0.
§ 5. Дисперсия геликонных волн в металлизированной полупроводниковой пластине
Для понимания особенностей распространения геликонов в ограниченных образцах рассмотрим простейшую структуру в виде полупроводниковой пластины с металлизированными плоскостями. В этом случае при
0 из (4.19) получаем р’Ф = р^ = 0. Тогда дисперсионные уравнения (4.30) и (4.33) принимают одинаковую форму sin 2£|0 = О, соответствующую независимому существованию симметричных (17j = Л1 cosfi у) и антисимметричных (i/i = Я) sinfip) геликонных мод, удовлетворяющих уравнениям
cosfifl = 0, sin fia = O.	(5.1)
Из (5.1) полностью исчезло поперечное волновое число £j -kys для скиновой волны. Это свидетельствует о том, что в металлизированной пластине скиповая волна отсутствует не только при I b0 | -*• °°, но и при конечной величине I do I, т.е. Ui = 0.
Уравнения (5.1) дают дискретные значения поперечного волнового чиста fi,л = пя/2а,
и =1,2,...	(52)
Подставляя (5.2) в (4.14), получаем дисперсионное уравнение для геликонных мод (и = 1, 2, . . . ), которое при введении параметров (2.21)
• плаепше	Р- М.« •
рис. 31)	245
принимает вид
ю,, kt ___.  —
Ц)о Ро
(5.3)
где ткачения f| „ определяются из равенства (5.2). При Jj -* 0 (или 0оо~»°°) уравнение (5.3) превращается в дисперсионное уравнение (2.22) для плоских геликонов с правой (верхние знаки) и левой (нижние знаки) круговой поляризацией.
Дисперсия геликонных мод, описываемая выражением (5.3), изображается кривыми ш„(Аг), показанными на рис. 34, а, которые качественно имеют тот же вид, что и для плоских геликонов (см. рис. 31): ветви 1 и 2 соответствуют правополяризованным (быстрам) модам, а 3 и 4 — левополяризованным (медленным) модам. Разница между дисперсионными кривыми рис. 31 и рис. 34, а заключается только в значениях характерных параметров этих кривых, таких, как максимальное значение кг для медленных геликонных мод, равное
• 20„ -/-feO	<54)
\ 2ро '
и значение волнового числа
соответствующее частоте отсечки медленных геликонных мод, равной
Для полупроводниковой пластины эти параметры зависят от fi,n/0o. как показано на рис. 34, б. Отсюда видно,что с уменьшением толщины пластины все величины (5.4)-(5.6) уменьшаются от значений кжтякп = 2^0, * о л ж0о> о „ = wo (соответствующих безграничной среде) до нуля при критическом значении поперечного волнового числа f1Kp = 20о. Следовательно, левополяризованные (метенные) геликонные моды существуют лишь в достаточно толстых образцах при £1>я < 20о и исчезают при > >20о. В отличие от этого, лравополяризованные (быстрые) моды не испытывают отсечки и существуют во всем частотном диапазоне при любых значениях f 1(Л.
Результаты численного расчета по формуле (5.3) приведены на рис. 35,с для медленных и 35, б дли быстрых геликонных мод. Влияние толщины плас1ины, учшываемое величиной £11Л/0о = лл/20ов. проявляется в том, что с ростом а уменьшается частотный диапазон (0 - и>о.и) существования медленных геликонов вплоть др полного их исчезновения при >£|крж - 20о, koi да происходит также слияние ветвей / и 2 для быстрых геликонов на нулевой частоте. При фиксированном значении существует критическое число п„ р  0ол/(л/4), такое, что для низших мод с номерами Я<лИр существуют медленные геликоны, имеющие высокочастотную отсечку при <о0 „, а идя высших мод с п >ли|) медленные геликоны отсутствую! Иными слонами, низшим модам cn<n*f присуще наличие двух 266
Рис. 35. Дисперсионные зависимости для медленных (в) и быстрых (б. в) геликонных мод (л = 1,2,...) в металлизированных полупроводниковых пластинах разной толщины. задаваемые параметром fj п109 ~ пп!10оа, полученные без учета (а. б) и с учетом (в) собственного магнитного поля, созданного током в образце
медленных и двух быстрых геликонов. в то время как высшие моды с п > лкр содержат лишь по два быстрых геликона. Если параметры структуры таковы, что лкр < 1. то во всех модах отсутствуют медленные (левопо-ляризованные) геликоны.
Оценим возможность существования медленных геликонов для основной моды (л = 1) в условиях экспериментов [25-28], выполненных на InSb (де % 50 м2/В с при 77 К) и на PbTe (ju,. * 100 м2/В с при 4,2 К) Из рис. 32 при Во = 0,1 Тл для InSb си0 * Ю21 м"3 [26. 27] получаем 0о * 102 м'1 и ш0 5s 5 • 106 с'1, т.е. левополяризованные геликоны (л = 1)
267
„отитах f< 1 МГц ПРИ толщинах обп, могут существовать лишь на *аст	ю2 3 м'3 Г2<и г, ₽азц»
2а	> 1.5 см. Аналогично, дня №Те ~" Г<
h - 10* м-' и w. - 5 • 10* С’, что c00’’eTCIB" J™	ЧГ« »
2а > 0.15 мм. Увеличение Во, как видно р ’	<1стоту и
увеличивает толщину образца, при которых но . i	°Нание Мед.
ленных геликонов. Выполненные оценки показы а .	. в реальных
условиях в полупроводниковых образцах на сущеч ' lJb быст. рые (правополяриэованные) геликонные моды, едленньк , |.ликонцые моды могут появляться лишь на низких частотах в достаточно толстых образцах, для которых однако может стать существенным собственное магнитное поле, созданное током в образце.
Разогрев носителей не оказывает влияния на дисперсию геликонных мод в металлизированной пластине, так как для них fi =^Ув» рзьное (4.22), нс зависит от к0. Влияние разогрева может проявиться лишь в отсутствие металлизации на поверхности полупроводника, когда появляетс^скиновое решение U2, поперечное волновое число которого fa = kyt - i -\/ка I 60| ’’чувствует” величину и знак к0. Отсутствие металлизации должно проявиться двояко. Во-первых, для каждой л-й моды вместо постоянной величи-ны ?1,л = ил/2а будем иметь f1>n, зависящее от частоты по определенному закону. Это означает, что соответствующие дисперсионные зависимости будут идти на рис. 35, плавно переходя с одной кривой на другую. Во-вторых, в результате возбуждения скиновой волны, описываемой нормальной переменной U2, геликонные моды связываются на границе с этой волной и становятся затухающими при к0 > 0. Качественное рассмотрение в предыдущем параграфе показало, что в пределе I bo | -* °° затухание геликонов сохраняется при к0 > 0 и исчезает при к0 < 0.
Выясним физическую природу бесстолкновительных потерь при геликонном распространении и роль металлизации в подавлении возбуждения скиновой волны.
§ 6. Поверхностные токи и бесстолкновительное затухание геликонов
Как показано в § 4, волновой процесс в бесстолкновительной плазме ( I Ьо | -* °°> описывается одной геликонной переменной = Н1у, в то время как вторая скиновая переменная U2 исчезает в объеме полупроводника, давая поверхностный ток/^ на его границе. Компонентых и /Ь-этого тока входят в граничное условие (2.1.6) .записанное с учетом/Л = = - дф2/дх = 0 в виде
Я1Х(±в) = ±/;1г(±а),	(6.|)
Я|г(± а) - Н2г(± а) = + /;1х(± fl),	(6 2)
где, в отличие от (4.24) и (4.26), Н1х и Я12 являются компонентами поля Hi, созданного только геликонными волнами.
Компонента fsiz связана с нормальной компонентой /] объемного тока на поверхности полупроводника граничным соотношением (2.3.10), являющимся поверхностым аналогом уравнения непрерывности в квази магнитостатическом приближении, записанным в виде
/>>(*«)	Л,/л Л* а) •	(6.3)
268
. в!ог?КМИЯ 1	получаем равенство jiy = -iktHix, лодста-
. й аð В 6’3) пРевРа,1<аст его в (6.1). Следовательно, соотноше-w ' выпол,,ястся тождественно и нс играет роли граничного условия, а служит для выражениячерез основную объемную переменную H\v, а именно с учетом (4.16):	у
l'\t^a)s*ZiHXy(±a) = ±ihl ^h^.Hiy(±a).	(6.4)
кг со
,е В качестве граничных условий выступают (4.25) и (6.2), содержащие Л1л' 11ТО^Ь| сделать эти условия замкнутыми, необходимо найти соотношение между/11зг и /*1х, которое вместе с (6.4) позволит выразить/*.- (±а) через (±а).
С этой целью найдем соотношение между компонентами/^* и/** объемного тока / ( в скиповой волне U2, которое в пределе 1д0 | -* °° должно дать искомое соотношение между /!.- и /*. Из уравнения /* = V X Я. с учетом (2.2) при If’ | >	| получаем
'-у-^”'7-
К
(65)
(6.6)
эя?* г* = iktH\* + — Эу
= -1кол’лг я;*,
>и = - —Т— •
Эу
Соотношение между Я’* и Я** в волне Я2 записываем на основании (3.1):
к* + i^-k2uQ)nxo{
Н*к =----—
1*

М?
£
Н,У - “о*.//"-
(6.7)
Компоненты полей в поверхностной волне U2 должны экспоненциально затухать в глубь полупроводника при удалении от границы. При f2 = = Jmf2 >0 записываем решение в форме: exp [-/f2 О -а)| на верхней границе у = a, exp |/f2 (у + я)] на нижней границе у = -а. В соответствии с этим, из (65)-(6.7) получаем
/** (± а) = ± Zf 2 я;* (± а) = ± it2 «о (*«)=*	а> •
На осно ня и ии	и (6»В) окончательно записываем соотношение
между компонентами поверхностного тока.
/кд*4» =~F (te) ’ \Ао
1 kff (jj — k-Ufj = — ------- -------
(6-9)
хо к*
269
ш «ГТСТВУЮТ воЯМаМ С	> °- ДЛЯ kn
Зиакм « (6 8) и (б 9) COO" 1 мало ИЗМС11ИТЬ на противополо*.. "J рых *; > О при к0 > О; при ’2	поверхностный ток имеет зллиптич
lb (6.0) видно, что при Sj	которая превращается в лин^
(ИЛИ Круговую при «о  1 ) поляри	МУ К)
при КО < &	и Гб 2) С помощью (2.2) и (6.9) преобрази
I раничныс условия (4.25) и (о-ат	УКн.
си к виду
и»Ф Я 2в (н)
kg $ _____
Х^о
и //|V = Ux в форме (4.20) и (4.21) в (6.10) и (6.11)
(6-Ю)
3.V >*“
Z2//l p (±<т) =-к;^2^а).
(6.Ц)
|
Эу у=1а
Подстановка
дает дисперсионное уравнение, которое полностью совпадает с Уравнением (433), полученным из общего дисперсионного уравнения (4.30) в реэудь. тате предельного перехода |?2 I = Ix/x^bokz I -+ 30 при I b0 I * <*». Можно убедиться в том, что слагаемые в (4.33), содержащие / \/к^} и ответственные за бесстолкновительное затухание при к0 > 0, обязаны своим проис. хождением поверхностному току jc3lx в граничном условии (6.2). Поэтому бесстолкновительное затухание геликонов может быть объяснено диссипацией энергии за счет поверхностного тока.
Вычислим среднюю мощность поверхностных потерь, приходящуюся на единицу длины системы, пользуясь известным выражением [43]:
п - у R. /	-£-Л- 4. Re ; а;1жЕ1, +,' гЕ^Л. (6.12)
где L - контур, ограничивающий сечение образца и несущий поверхностный ток /*,. Так как в бесстолкновительном пределе при ое -* °° из (25) получаем Ь1г -+ 0, то поверхностные потери связаны с компонентой £. , равной
сод, «и= — и„.
Подставляя (6.9) и (6.13) в (6.12),окончательно получаем
1
II = ± —
2
(6.13)
кк О *z «V Здесь знаки ± соответствуют к' знак мощности поверхностных потепьпп™	Р~Г-‘"Н7—
той частоты Г2 .ЫЛИ п Рь 0"РеДеляется знаком доплер<ДвиНУ чаем II >0 пп« Л. ояа,ая S на основании рис. 34,а полу-Г(П, >102.* , >Т ^Х/еликонн^ МОД / (Я, > 0. *„ < 0> и кгз > 0) и 4 (П4 < о, кг4 > 0) ;и'Я Мадлвнных геликонных мод 3 (Л 3 < °-вне знаку по^титойИза^Хя^3-^Хь’НаКОВ П’ Установив их соответст-270	'*« Ш1Я быстрых и медленных гели-
W“Mo \
“	(6-14)
Re £ 0, так что результирующий
конных мод, исходя из общих энергетических соображений. На основании закона сохранения энергии в стационарных условиях имеем [43)
— + п • о,	(6.15)
дг
где средняя мощность, переносимая волной в продольном направле-
нин z через поперечное сечение системы. Поскольку = - 2аРх, то dz
из (6.15) получаем связь между а и П вида
«=П/2Р,.	(6.16)
Переносимая волной мощность равняется (43, 44)
(6.17)
где vjH — скорость переноса энергии, отождествляемая в системах без потерь с групповой скоростью волны угр - Зш/ЭА,, W- малосигнальная энергия (избыточная относительно энергии в статических условиях), запасаемая волной в единице длины системы. Согласно правилу Стэррока [44], знак W определяется знаком Q = ы - кги0: для быстрых волн с > м0 Q > 0 и IV > 0, для медленных волн с иф < и0 П < 0 и И' < 0. Знак 1,1 эн будем определять по знаку игр = Ьш/Ьк2 на основании дисперсионных кривых, изображенных для геликонных мод на рис. 34, а.
Запишем знаки соответствующих физических величин для разных геликонных мод, используя (6.16) и (6.17):
для быстрых геликонов (ветвь 1 на рис. 34,а)
угр 1 <0’	>0’ Л| =”гРЛ1 <
П,>0, сц» П,/2РХ1 < 0;
для быстрых геликонов (ветвь 2 на рис. 34,а)
ЦГр2 > °’ К'*>0’ Л2 = ^р2К,2>°>
П2 >0, а2 = П2/2Рх2 > 0;
для медленных геликонов (ветвь 5 на рис. 34,а)
игр3>0,	^<°. <’3 = игРзи'з< °’
П3 < 0, а3 = П3/2Л3>0;
для медленных геликонов (ветвь 4 на рис. 34,а)
vrp4<0. И'дСО.
^4 = ‘'грдИ'д > °-
П4 <0, а4 = П4/2Л4 < 0.
Отсюда видно, что знаки а и у совпадают. т.е. все геликонные моды (быстрые и медленные) при к0 > 0 всегда затухают в направлении потока мощности. Таким образом, бесстолкновительное затухание геликонов вызнано поперечной компонентой /'г|х поверхностного тока, порожденного скин-эффектом в предельном случае I I
Н области ОДП (к0 < 0) величин! \А() в (6. М) становится мнимой,  результате чего II - 0, т.е. исчезает бссстолкновительное затухание геликонов. Это связано с гем, что при изменении знака к0 фаза roKa/fJI, как видно из (6.Q) и (6.13), изменяется на 190' (по опюшению к Л|я) и поверхностная диссипация энергии исчезает. < лсдовательно, ОДП нс при водит к усилению геликонных волн и лишь уничтожает их бесе гол кнови-тельное затухание, вызванное поверхностной скиновой волной.
Выполненный анализ позволяет объяснить физическую причину отсутствия затухания геликонов в мсталлизиров«знной пластине В предельном случае |/>0 | * °° это совершенно очевидно, так как на идеальном металле
(* а) = 0 и поверхностные потери отсутствуют.
При конечной, но достаточно большой величине Ib0 I, когда скин-слой имеет конечную толщину, а объемным затуханием геликонов можно пренебречь, они затухают из-за существования поверхностной скиновой волны U2. Существование згой волны обусловлено необходимостью обращения в нуль нормальной компоненты объемного тока на поверхности полупроводника: /н, (± а) = 0. Согласно (6.3), это граничное условие имеет место в отсутствие поверхностного тока /,)2, так что одна геликонная переменная Ux не обеспечивает его выполнения. Однако при наличии поверхностного тока/, v (±а) = *(to) Ф 0 и необходимость в существовании волны И2 отпадает. Такой поверхностный ток возникает на металлизированной поверхности полупроводника не только при |Л0 | -♦ «о, но и при конечной величине |Л0 |. Следовательно, в этом случае поверхностная волна иг не возбуждается, а вместе с ней исчезает и затухание геликонов (при достаточно сильном замагничивании плазмы, делающим малым их объемное затухание).
§ 7. Влияние собственного магнитного поля образца на дисперсию геликонных волн
До сих пор молчаливо предполагалось, что внешнее магнитное поле z существенно превышает собственное поле, созданное статическим током/0 = е./0 в соответствии с уравнением/0 = ГХЯ^и равное
Но<У) =	= ех (-емоиог).	pj)
Это поле неоднородно по толщине пленки.
При выводе уравнения (23.7) статическое магнитное поле Во предпо-латалось однородным в пространстве. Учет неоднородности приводит к появлению в левой части (23.7) дополнительного слагаемого
дН1х
-Me |(V X Я,) . V| яо = ехи0Д| ос----- ,	(7.2)
dz
последнее выражение для которого записано в применении к (7.1).
Учет нагрева носителей сильно затрудняет анализ в данном случае, так как тензор А, входящий в (23.7), при двух компонентах магнитной индукции В0; и В^ имеет достаточно сложный вид. Поэтому ниже будем исследовать случай ко = 1.
272
(73)
Прибавляя (7.2) к левой части п п которого на оси хиу имеют вид ’ получим Уравнение, проекции
+Z(,oti
+ '(« - *,u0)M,0J H„ . ь„к}н^.	(ТА)
ппп¥четнь|ми в^ппрнИк^ 4* ° аиалогичными уравнениями (2.3) и (2.4). тмогл поля * е Режении Wo> показывает, что учет собственного магнитного ПОЛЯ лишь уничтожил	г
Л МЧ1ижип Доплеровский сдвиг частоты в левой части (2 4) ИВ kzU°f В на w в (7-3) и оставив без изменения
Выражая HXz через с помощью (2.2), можно на основании (73) и (7.4) записать характеристическое уравнение;
(Р + iwMjoJ [t2 +'(^-Мо)М1<те] ♦ Ь2к2к2 = О.	(15)
Нетрудно заметить, что скиповые волны, распространяющиеся поперек дрейфа носителей (kz - 0, к = ку), не почувствовали собственного магнитного поля и по-прежнему описываются дисперсионным уравнением (2.27). Однако продольное распространение (ку - 0, к = кг) геликонных волн подверглось влиянию этого поля.
Исследуем произвольное распространение волн в сильно замагниченной плазме (ку * 0, kz 0, | b0 1 > 1), соответствующее тонкопленочной структуре. Рассматривая (75) как квадратное уравнение относительно к2, получим при
кн
к2 = —
Кь
оХс* I > соц, ае два корня со - kzuQ
(7.6)
к2
к2--Ь2к2,	(7.7)
соответствующие объемному (к2) и поверхностному (к2) решениям. Отсюда можно найти соответствующие поперечные волновые числа: kzuo \
co
/ к*
ь \ и г
= k2-k2s = -(Д+Ь2)к2~-Ь2к2 =
кг yt>
(7.8)
(7.9)
У»
Из сравнения с (236) и (237) видно, что поверхностное скиновое решение к2 не изменилось, в то время как в геликонном решении (2.36) одна из доппер-сдвинутых частот (со — Л2ио) заменена на си, что и дает (7.8). Это на первый взгляд незначительное изменение очень существенно модифицирует дисперсию геликонных мод, вообще уничтожая ветви, соответствующие медленным геликонам. Покажем зто на примере металлизированной полупроводниковой пластины, в которой не существует поверхностная волна.
Записывая Н1у(у) = (/, О') в виде (4.21), где f, = kylt, и используя граничное условие	= 0, получаем уравнения (5.1), из которых
следует (5.2).	273
18 А.А. Барыбин
Подставляя (5.2) в (7.8), получаем дисперсионное уравнение для геликонных мод (п = 1,2,...), которое при введении параметров (2.21) преобразуется к виду
где знаки ± используются соответственно при к, 0.
Дисперсионные кривые, соответствующие (7.10), построены на рис.35,а. Отсюда видно, что при учете собственного магнитного поля медленные геликоны исчезают и остаются лишь быстрые геликонные моды. Их дисперсия по характеру близка к дисперсии правополяризованньгх (быстрых) геликонов при Hq = 0 (см. рис. 35,6). Различие между кривыми рис. 35,6 и рис. 35,в состоит в том, что в последнем случае ветви для прямых (к: >0) и обратных (кг < 0) геликонов всегда сливаются на нулевой частоте, а без учета собственного магнитного поля (рис. 35,6) это слияние происходит лишь при достаточно малой толщине пластины, когда л> = 20о.
Оценим условия, при которых становится необходимым учет собственного магнитного поля. Из (7.1) с учетом (2.21) получаем
«отаЛ = 1ЯСО(± а) \/Н0 =!0а1Н0 = 20оа	(7.11)
Следовательно, собственное магнитное поле пренебрежимо чало в тонких пленках (при 2(30а < I) и становится соизмеримым с внешним полем //0 при 2(30а * 1. Как было установлено в § 5, медленные геликонные моды без учета собственного магнитного поля существуют при = = nir)2a < 20о или при 2|30а > пи/2. Отсюда даже для низшей моды (л = 1) получаем 20оа > п/2 > 1. Это свидетельствует о необходимости учета собственного магнитного поля, которое подавляет медленные геликоны.
Таким образом, медленные геликонные моды вообще не могут существовать, по крайней мере в исследованных структурах с металлизацией: в толстых пластинах (при 2(iQa > 1) они подавлены собственным магнитным полем, а в тонких пленках (при 2Дов’< 1), где это поле незначительно, - толщиною образца. Как известно [9], активные волновые взаимодействия резонансного типа, приводящие к абсолютной или конвективной неустойчивости системы, могут возникать только при участии медленной волны с И' < 0. Поэтому отсутствие медленных геликонов делает невозможными активные взаимодействия за.мы ничен ной плазмы со сторонними пассивными волнами (типа звуковых или спиновых, для которых всегда И' > 0) Экспериментально наблюдаемые взаимодействия спиновых волн с дрейфующими носителями заряда в магнитных полупроводниках [9] имеют другой, диссипативный, механизм нерезонансного типа (аналогичный акустическому усилителю [9)), не требующий для своей реализации существования медленных волн с отрицательной энергией (45].
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Вывод соотношений в поляризационных переменных
на основе лагранжевого описания
В £-описании каждый физически бесконечно малый объем Д К/ заряженной среды в районе точки Г/ рассматривается как отдельная жидкая частица, имеющая скорость v( и заряд Д^. Тогда плотности заряда р (г, t) и тока/(г,т) в точке г записываются в виде (3.1.3) и (3 14).
Исходя из основной идеи Р-описания, рассмотрим два положения выделенной i-й частицы: возмущенное — в точке г{ и невозмущенное в точке ''or По аналогии с (3.2.1) и (3.2.2) записываем
'/(О“'о/(О*МО,	(1-0
V/(0 = Voi(/) + vu(f).	(1.2)
dr, (Г)
Отождествление кинематической скорости /-й частицы vf (f) =--- с
dt гидродинамической скоростью среды м(г/,г), представленное с учетом (32.2) в виде
Г)»мо(Го/)+ъ(Го/’О,	(13)
позволяет на основании (1.2) и (1.3) записать
Ио(/’о/) = *о/(О =
droi(t) dt
(1-4)
drlt(f)
*1('о/. 0 = *ы(0 = —------ •
a t
Рассматривая rti(t) как поле вектора смещения, т.е. полагая ги(т) = -r i	можно из (1.4) получить соотношение между Vi и г1э а
именно
, ч_ ^i(roXO»d	Э'1 Эг, drol
Vi(rol,f) = ----------- = — + :— — =
dt	dt	droi	dt
(roh /) dt
u0(r0/) VfiOoi, t).
(1.5)
Из условия (3.2.11) сохранения заряда Д<?/ жидкой частицы в возмущенном и невоэмущенном положениях можно записать
&<ti = Р (ГI, ОД И = ро (г0 ,)Д Гоh	(1.6)
где Д V/ и Д Г о/ возмущенный и невозмущенный объем i-й частицы. 18*	275
Подставляя (1.1), (1.2), (14) и (1.6) в (3.1.3) и (3.14) и переход* от суммирования по частицам к интегрированию по объему, получаем
р(г. Г) - Ipo (rot)b [к0/ + г,,) - г) Д Ио/ -I
 f Ро(го)Ь ко + 'iko.O~r]dV0,	(1.7)
/к, Г)» 2Роко/Ж/♦ Vи]« [(rQt *гм) г)ДГ0/® /
/роко)[«око)+*iko.OHko +<iko. O-d^o-	(i^)
Будем обращаться с 6-функцией, как с аналитической функцией, а част кости, разлагать ее в ряд Тейлора в линейном приближении
б ко * '1 - d * б ко - d ♦ П  V о бк0 - г),	(1.9)
где оператор V 0 действует на координату г0 •
Подставляя (1.9) в (1.7), получаем
р(Г, t)BPo(f)+Pi(r, Г),	(ЫО)
где
Рок) = /Роко)б(го-r)dVQ,	(111)
Pi к. 0=/Poko)ki -vo6ko ~r)]dK0 =
= /Vo • [ро^бко -OJrfKo -/(Vo •Po'jSko -r)dV0 =
= - v • [pokkik- dJ-	<1Л2)
При выводе (1.12) использована формула Остро градского - Гаусса, дав-шая
/ Vo * [poMko -r)]dV0 я0 • [po'i b(r0’-r)]dS0 =0,
r.	s,
где Hq — внешняя нормаль к поверхности Sq, ограничивающей объем Ио и проходящей в области без зарядов, т.е. Pofi I = 0.
S«
Подставляя (1.9) в (1.8),получаем
/к. О =Ак) ♦/»к. О,	(,лз>
где
/о к) = / Ро ко )«о ко )5 ко - r)d г0 = ро к)«о к),	(114)
Лк. /) = /Poko)(viko, обко +
♦ «ok0)kiko. t) vo(5ko -dJ) dv0 =
э
= —/Ро^бко - r)dV0 +/[к| Xp0u0) X Vo6ko -dJ^^o ♦ dt
★/(PoUc VokiSko -d]HH0.	(115)
Последнее равенство в (1.15) записано на основании (1.5). Будем преоб-276
раэовывать три слагаемых в правой части (1.15):
Э	,	Э
-- J Pori б(г0 - r)dVQ - — [Рп(г)Г| (г. г)].	(1.16)
°*	at
I l(ri х Ро«о ) X Vo6 (г0 - r)| d Ио 
e~/{VoX [(f) X роио)6(г0 — r)J) dV0 +
♦ /lve х (Pof, X «о)]6(Го -r)dV0 - VX IpoWM'.')XM')L	(M7)
/(Po«o 'Vo[M(r0 -r)D dV0 =
• /{Vo (PoMo'i6(r0 -r)l) dV0 -
-/(Vo ’PoU0)Ti5(r0 — r)dV0 =0.	(1.18)
При выводе (1.17) было использовано интегральнее соотношение
/ (Vo X [(п Хро«о)5(Го - г)]} dV0 =
» f [«о X (г, X р0«0)] 5 (г0 - r)dS0 = О,
обращающееся в нуль из-за (^ X о0и0)|5 = 0 в силу отсутствия зарядов на поверхности So.
При выводе (1.18) были использованы уравнение Vo jo = Vo • (а>«о) = = 0, векторно-диадное тождество (3.2.20), в котором Л = Ро“о- В = гхЬ (z0 - г), и интегральное соотношение
/ {Vo • [роЫоМОо -г)]} dVQ =$ (no uo)port 8(r0-r)dS0 =0.
Sa
Подставляя (1.16) (1.18) в (1.15),окончательно получаем
Э
Л(гО= — [Ро(-г)г,(лП1+ V X [р0(г)Г1(г, г) X м0(г)).	(1.19)
Э t
Полученные на основании £-описания выражения (1.5), (1.12) и (1.19) в точности совпадают с аналогичными формулами (3.2.14), (3.2.18) и (3.2.19).
2.	Вывод соотношений в поляризационных переменных на основе эйлеровою описания
Будем применять основную идею поляризационного описания, связанную с рассмотрением возмущенного (Л-элемент) и невозмущенного (/*• элемент) положений одной и той же жидкой частицы (см. рис. 6), к уравнениям непрерывности и движения.
Уравнения непрерывности имеют вид: в возмущенном состоянии потока
♦ V /(r,O = O,	(2 D
dt
в невозмущенном состоянии потока
Vo'/o(ro) = 0.	<2-2>
277
Здесь пространственные операторы V и Vo действуют на разные переменные: Vo - на координату r0, V - на координату г = г0 + г}, так что между ними существует соотношение
Э	Эг	Э	/ dr0	Эг1 \	д	л
Vo =---- = — • — = — + — * — = (/ + Vor,)- Vs
дг0	Эго	dr	\ дг0	ого /	or
= V +(VoH V)SSsV + (Vor1 • Vo),	(2-3)
где Vo'i — градиент вектора rt (дифференциальная диада). Приближенное равенство в (2.3) справедливо для линейного приближения, так как разница между Vo и V имеет порядок величины rt и проявляется в линейном анализе лишь при действии ее на нсвозмушенные (статические) величины.
Вводя соотношениями (3.2.3) поляризацонные плотности заряда и тока/^ и вычитая (2.2) из (2.1), с учетом (2.3) получаем
— + Vo = — • VoPo + Vori : Vo/o	(2-4)
dt	dt
где Vo^i :Vo/o — двойное скалярное произведение дифференциальных dX{ djо*	„	z_
диад, равное ------- ----- . При выводе (2-4) использованы (3.2.3),
dxojt Эх0/
(3 2 8) и равенство
V /(г, /)= V• [/о(то) +/Г(То,01 =
= Vo ‘/о + Vo 'il ~^0r 1 • Vq/o-
В отсутствие статических неоднородностей (когда VoPo=V0 -/о=0) уравнение (2.4) принимает обычную форму (3.1.9) уравнения непрерывности для поляризационных плотностей заряда pf и тока/f.
После ряда преобразований с использованием (3.2.10), (3.2.13) и (2.2) приводим (2-4) к равенству
Эт,
-— +Ро«о • bt
которое тождественно удовлетворяется соотношением
ЭТ]
V, = — +(«О • Vo)г.	(2.6)
dt
(с точностью до ротора произвольного вектора, который из сравнения (2.6) с (3.2.18) следует положить равным нулю).
Таким образом, соотношение (2.6) между v । и г1 выполняет в Р-переменных роль уравнения непрерывности и в точности совпадает с (3.2.18).
Уравнение движения (3.1.6) имеет вид. в возмущенном состоянии потока
ди(г, Г)	е
—------- + и(г, г) Vu(r, t)= — [£(г, г) + u(r, t)X В(г. Г)] -
at	т
Vo • (Po*j)= Vo •
Von ,	(25)
Vp(r, Г)	u(r, Г)
ui -------- — -----------
P(T. t) tp
(2.7)
278
r невоэмущенном состоянии потоке
•М'о) VoMM-- lA\>(r0)f MMX Я0(г0)1 -и?	-
-•о('о)Л>о.	(2Л)
К “У"	2'2)* (3.2.7), (2.3) и (2.6), преобразуем левую часть (2.7)
dt	dt
♦MM'VoVi(ro. О + ММ-VoMM-	(2.9)
На основании (3.2.3)и (2.3) в линейном приближении записываем
Ур(Г'О _ УМм+р/Уол)) / VPo_ + Vpif У рГ \
Р(ЛО Po(^o) + p^(r0, [)	\ р0 р0 Д р0 /
_ Уорр	+ УоР|Г	_ УоРо	Р|Р	_ Уог, • УоРо	(2 10)
Ро	Ро Ро	Ро	Ро
Подставляем (2.9) и (2.10) в (2.7) и вычитаем из него (2.8). После ряда преобразований с использованием (3.2.13) и разложения величин в ряд Тейлора (в линейном приближении):
£(г, г) = £0(г0)+ £,(<(,, +	-Уо)£о(го).
B(r. О = Вo(r0) + Ву (r0. t) + (г, • Vp )B0(r0),
Тр=Тр0 +Tpl +(f! Уо)ТрО.
приходим к окончательному результату, в точности совпадающему с уравнением движения (3.2.22).
3. Соотношения между объемными
и поверхностными операциями дифференцирования
По аналогии с трехмерным (объемным) дифференциальным оператором V вводят в рассмотрение двухмерный (поверхностный) оператору,. С помощью этих операторов определены градиент скаляра \р, дивергенция вектора А. ротор вектора 4 и дивергенция диады АВ в следующем виде:
объемный оператор V^ = lim 	 $ (na^)dS, дк-о ДИ $ V А = lim 	 £ («□ A)dS, д^-о ДИ 5	поверхностный оператор 1 _ Vf^=lim 	f (г >p)dl,	(3.1) Д5’-0 Д5 £ 1 -> . V. -A - lim 	f (г • A}dl, (3.2) Д 5 -0 ДХ £
VX4 = lim — j(n0XA)dS, д г -о Д V s 1 У/1Л = Um —~ f(n0 • AB)dS. д v -> о A J	У,ХЛ« lim — f (?Х4)<//. (3.3) AS-О д5 £ 1 \7, АВ= lim 	 >(7 AB)dl. (3.4) ДЛ-0 AS t	279
(3.5)
(3.6)
(3.7) (3.
Здссъ^Ло - внешняя нормаль к поверхности 5, ограничивающей объем АГ. т внешняя касательная нормаль к контуру £, ограничивающем^ площадку AS (см. рис. 8,л).
Объемные и поверхностные операции дифференцирования, определен ные равенствами (3.1) - (3.4), связаны следующими соотношениями
Э^1
Г^ = л — +V^ = (nV)^+V^) * дп д
V Л = -— (л Л) + Г, Л = (л Г)(Л Л) + V, Л, Эл
Э
?хл= —(лХЛ)+?тХЛ = (л 7)(л ХЛ)+?,ХЛ, Эл
д
V АВ = — (л ЛЛ)+угЛЯ=(л • Г)(л ЛЯ) +V. ЛЯ. Эл
Здесь и в тексте глав книги использованы следующие математические обозначения: Л В, АХ В и АВ — скалярное, векторное и диадное (или тензорное) произведения векторов Л и В, А В С = (Л В) С и Л X В С = = (Л X В) С - скалярное и векторное произведения вектора Л и диады ВС, АВ  CD- (В • С) AD и АВ : С D- (В О (Л • D) — скалярное и двойное скалярное произведения диад Л В и CD.
При этом дифференциадьный оператор V рассматривается как век юр, дающий Г<^ и ГЛ - градиент скаляра v? и вектора Л (диадное произведение векторов V и Л), V • Л и V • ЛЯ — дивергенцию вектора Л и диады AB.VXAhVXAB- ротор вектора Л и диады АВ.
СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
АПЛ и АЩЛ - активная полосковая и щелевая ли: ля.
ВАХ — вольт-амперная каракгернстика.
ВПЗ - волна пространственного заряда.
ГА и ГС моды — гиперболические антисимметричная и с-ммеТрк'с ая
ДГУ — дополнительные граничные условия
МПВ - магнитоплазменная волна.
ОДП - отрицательная дифферсниих1ьная проводимость подвижность).
ПСХ - поле-скоростная характеристика.
ПТТ — плазма твердого тела.
ТА и ТС моды - тригонометрические антисимметричны! я симметричные моды
ТПС — тонкопленочная полупроводниковая структура.
УБ В - усилитель бегущей волны.
ЭГУ электродинамические граничные условия.
ЭМВ - электромагнитная волна.
Невозмущенные (статические) значения физических величин отмечены нижним индексом 0 (Ро. «о. £о и др.). а их возмущенные (малосигнальные) значения - индексом 1 (Pi.u^Ei и др.) Верхние индексы LM.LE, 5 С отмечают физические величины, присущие вихревым L Мволкам, вихревым ££-волнам и потенциальным ВПЗ. а верхний индекс 0 отмечает электромагнитные поля, однородные по длине L образца (при к. L < 1). Верхние индексы ± обозначают значения физических величин на разных сторонах переходного слоя, отмеченных направлением внешних нормалей л * и л
Математические обозначения см. в приложении 3.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К предисловию
1.	Ял>еж>вуМ. УФК. 1964. т. 84. с. 533-
2.	Канер ЭЛ., С ко бон В.Г. - УФН, 19^6,т	' L’ ,7о
3.	Чайнонст А . Бухсбаум С. - УФН. 1^6, т. ‘ Y Fi«cvier 1969
4	HartnagclH. Semiconductor Plasma Instabilities. помённая электрическая н»
5.	Бонч-Бруевич В Л.. Звягин Н.П.. Миронов А.Г. Доменная электрическая неуеТоЯ чип ость н полупроводниках. - М.: Наука. 19 -•	___ ..
6.	Стил М.. Вюраль Б. Взаимодействие волн в плазме твердою тела Пер. с англ цОц рея. И.С. Веселовского. - М.: Атомиздат. 1973.
7.	Басс Ф.Г.. Гуревич Ю Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны н плазме полупроводников и газового разряда. - М.: Наука. 19
8.	Плагцман Ф.. Вольф П. Волны и взаимодействия п плазме твердого te.u/Пср. v англ, под ред. В.С. Скобова. - М.: Мир, 1975-
9.	КанерЭ.А ., Яковенко В М. - УФН. 1975. Т. 115. с. 41.
10.	Владимиров В.В. - УФН. 1975. T. 115. с. 73.
11.	Ножела Ю.К. Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках. - М.; Нахка 1977.
12.	Владимиров В В.. Волков А.Ф., Мелихов Е.З. Плазма полупроводников. - у. Атомиздат, 1979.
13.	Белецкий Н.Н., Булгаков АЛ.. Ханкина С.И.. Яковенко В.М. Плазменные неустойчивости и нелинейные явления в полупроводниках - Киев; Наукова думка. 1984.
14.	Barybin A.A. Electrodynamic Concepts of Wave Interactions in Thin-Film Semiconductor Structures. - In: Advances in Electronics and Electron Physics,ed. by LAiarton. N.Y. Academic Press, 1977, v. 44, p. 99; 1978, v. 45, p. I.
15.	Барыбин А.А., Вендик И.Б.. Вендик О.Г и др. - Микроэлектроника. 1979, г, 8. с. 3
16	Вендик О.Г. - Изи. вузов . Радиоэлектроника, 1980, т. 23. с. 4.
I7	Барыбин А.А.. Пригоровекий В.М. Иэв. вузов. Физика 1981 8 8 С Ч
1&	Любченко БЕ . Макеева ЕС.. Нефедов Е.И. Радиотехника и злёкт^никз. 1982. т. 27, с. 1665,
19.	Sumi М . Suzuki Т. - Appl. Phys Lett.. 1968, v. 13 р 326
20.	ЕУеетапГ.С.. Newhouse V.l... Guoshor R.L. - Appl. Phys. Lett.. 1973, v. 22. p. 641
2! /bicnnorJ. - Journ. Appl. Phys., 1975. v. 46. p. 392$.
22.	J -H ♦ Ixikin k.M,, HaROH PJ — Prnr IF PL’ 1 Q/.O cn л ал
21	».S.	’’fl, 4“ , w
24.	C oldгсп I A (» V	I it гт т гм	* u, i? н, т. ?, i.
25.	Гуляев Ю.В., Григоровский В И.Тми^АМ т’ти * °"2 ' ’P
26.	Пашковский A.B.. Зубков В И	т. И , с. 22.
1972, т. 16, с. 4	ь’Юишев ВЛ.. Мурмужев Б.А. - Письма ЖЭТФ
27.	Szuttakowtkl М.. Wccki В - Pr.w- v . n
28	Kawataki К.. Takagi Ц„ Umeno M 1ГГГ°Ьт' l97liiV- l4 ° 155	,o7J
v. MTT 22 p 918	~ EET Trans. Microwave Theory Tech.. 1974.
n	-	£J, _ ФГГ. 194.
30.	Прохоров JUZ., Белецкий НИ Полепи.
междолинным переносом элсктпои Родниковые материалы для приборов к ,в,	“ОВ- ' Х«РЬкон Вища школа. 1982.
zoZ
31.	М.ЕПожела Ю.К., Шур МС. Эффект Ганна. М.: Сов радио. 1975
J (/.	г *' ~ Ргос- ,ЕЕЕ> 1968- *• 5в. Р- 2056.
35.	мпо и.л.	IEEE Irons. Electron Devices, 1970 v ED-17 p 178.
34.	Baynham А.С.. Colliver D.J. - Electron Lett.. 1970 v. 6 p 498
35.	Giannini F Ottari CM. Salsano A. - Electron Lett.. 1971 v. 1. p. 65
36.	Гуревич Л.Э., Иоффе ИВ - ФГТ, 1976. т. 18. с 1307.
37.	Dean R..H Dreeben А.В. Kaminski J.M.. Thai to А. - Electron. Lett.. 1970. v. 6. p. 775.
38	Dean R H.. Matarcsc RJ. Proc.IEEE, 1972, v. 60, p i486
39.	/rev W. Becker R., Engelmann R.W.H.. Keller K. Arch. Elek Ubertragung., 1973. v. 27. p. 245.
40.	Fleming RL. - Proc. IEEE, 1975, v. 63. p. 1253.
К главе 1
1.	Конузлл 3. Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях - М : Мир, 1970.
2.	Денис В., Пожела Ю. Горячие электроны. Вильнюс Минтис, 1971.
3.	Бонч-Бруевич В.Л., Звягин И.П., Миронов А.Г. Доменная электрическая неустойчивость и полупроводниках. - М. Наука, 1972.
4.	Басс Ф Г., Гуревич Ю.Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда. М.: Наука, 1975.
5	Бонч-Бруевич В.Л.. Калашников С Г Физика полупроводников М : Наука, 1977.
6.	Полсела Ю.К Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках - М.: Наука. 1977.
7.	Гуров КП. Основания кинетической теории (метод Боголюбова). М.; Наука, 1966.
плазмы.
8.	Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов М Наука, 1971.
9.	Ахиезер А.И.. Ахиезер И.А., Половин Р.В и др. Электродинамика М.: Наука, 1974.
10.	Лифшиц Е.М.. Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979
1 Г. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.
12.	Шкаровский И.. Джонстон Т.. Бачинский М. Кинетика частиц плаэмыЩср. с англ, под ред. И.И. Тугова. - М-: Агомиздат, 1969.
13.	Голант В.Е., Миланский А.П., Сахаров ИЕ. Основы физики плазмы. - М.: Атом-иэдат, 1977.
14.	Ансельм А И. Введение в теорию полупроводников. - М.: Наука, 1978.
15	Дыкман И.М.. ТомчукПМ Явления переноса и флуктуации в полупроводниках. -Киев: Наукова думка, 1981.
16	Аскеров Б.М. Кинетические эффекты в полупроводниках. - Л.: Наука. 1970.
17	Давыдов Б.И.. Шмушкевич ИМ. - ЖЭТФ, 1940. т. 10, с. 1043.
18.	Давыдов БИ. - ЖЭТФ. 1937, т. 7, с. 1069
19	Kachlisbvilli Z.S. - Phys. Stat. Sol.(a), 1976. v. 33. p. 15.
20	Бонч-Бруевич ВЛ Нагрев квазичастиц в пространственно-неоднородных енс-’ темах. - В кн : Материалы I Всесоюзной Телавской школы-семинара ’Ткравновес-ные квазичастииы в твердых телах”. - Тбилиси: Изд но ТГУ. 1979.
21.	ЯнкеЕ.. ЭмдеФ. ЛешФ Специальные функции. - М Наука. 1964
22.	Ландау ЛД . Лифшиц ЕМ Электродинамика сплошных сред. - М : Наука. 1959.
23.	Левинсон И.Б. ФТТ. 1964, т- 6. с. 2113; 1965, т. 7. с. 1362. 2417
24	Гинзбург ВЛ. РухадзсА.А. Волны в магнигоактивной плазме. - М.. Наука. 1970.
25.	Ban bin А. А. - Electron. Lett.. 1977, vH3.р.243.
26	Барыбин А А.. Каменецкий Е.О. - ФТП, 1983, т. 17, с. 1356
27.	Левинштейн M E.. Пожела Ю.К. Шур МС Эффект Ганна - М.: Сов. радио. 19 5.
28.	Шур М С. - ФТП. 1976. г. 10. с. 149,
29.	Shur M.S. - Solid-State Electron., 1977. v. 20. p. 389
283
} I
л
б
К I ляпе 2
.4 4   .К«Я электродинамика.	М-: Гостехиэдат, 1955
/•-.V, JIJI Лидиин I M >ncKT|M.jWHaMHKacttnounMxcpcri М Н>УКа- 19т0 НаОишгеОи ЛА )пект|м.мап1нгны«- волны. М-Сов parr. и), 195 I.	S9
Гвев.мч .? Классическая шектродинамика/Пер. с англ, под ред. Э Л. Бурцп
на. М Мир, 1961.	_	, г- л-
4саенр .4 Н Asuricp НА., По/ювин PR.. Ситенко АГ., Степана» к.Н эПс|<1
динамика Плагмы. М. Наука, 1974.
4лгммр А Н liapmnp В.Г., Пелетминский С.В Спиновые волны _ М „ 196?.	У**-
7	Са гйнсхы) НМ., Срухимол Mill. Физические свойства и применение мап1Ити пленок	Новосибирск: Наука, 1975.	и'
8	. Аеранонич НМ, Гинзбург ВЛ. Кристаллооптика с учетом пространственной Персии и теория экситонов. М.; Наука, 1979.
9	Пенар СИ Кристаллооптика и добавочные енотовые волны. - Киев Наук думка, 1982.	”84
It) Harvbin .4 4 Jour. Appl. Phy»., 1975, v. 46, p. 1684.
II	. Барыбин AA , Нендик И.Б., Нендик О.Г. и др. - Микроэлектроника, 1979 с. 3.	’•
12	. Барыбин АА . Пригиронский В.М. Иэв.вузов Физика. 1981,в.8,с. 28.
13	. Попела ЮК. Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках. М гьи-1977.	УК1
14	Rlotek/aer К . (fuate C.F. - Proc. IEEE, 1964, v. 52, р. 360.
15	tesipoH К) R. Частично заполненные прямоугольные волноводы. М Совет, к радио,1967.	°*
1б	Барыбин А.А., Приеоровский В.М. - Электронная техника, сер. Электплии^ СВЧ, 1978, в. 12, с. 8.	*
I 7 1Ъморопский И С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Сов радио, 1963.
18.	Барыбин А А. Нэп вузов (Радиоэлектроника), 1977, т. 20, с. 118.
19.
20.
21.
22.
23.
24
284
К главе 3
1	. Гжээдоиер СД. Теория электронных приборов сверхвысоких частот. М. Гос-темгшат, 1956.
2	Bobruff D.L. - IRE Trans. Electron Device», 1959, v. ED-6.p. 68.
3	Hahn W.C. Gen. Elec. Rev., 1939, v. 42. p. 258.
4	CftodoTOH' M.. Susskind C. Fundamentals of Microwave Electronics. - N.Y.: McGraw-Hill. 1964.
5	. Bobroff D I... Haus H.A.. Kliiver J.W. Journ. Appl. Phys., 1962, v. 33, p. 2932.
b.Dumey C.H., Christensen D.A., Grow R.W - IEEE Trans. Electron Devices, 1969, v. ED-16, p. 609,615.
7	Hasegawa A Journ. Phys. Soc. Japan, 1965, v. 20, p. 1072.
8.	Ishii T. Inuishi Y. Journ. Phys. Soc. Japan, 1968, v. 25, p. 1406.
9.	Goodrich L.C.. Durney CH.. Grow R. И’ Journ. Appl. Phys., 1974, v. 45, p. 357.
10.	Барыбин А.А. Радиотехника и электроника, 1970, т. 15, с. 1556.
11	Barybin	A.A	Ini. Journ. Electron., 1978, v. 44, p. 481.
I 2	Harvbin	A.A	Journ. Appl. Phys., 1975, v. 46, p. 1684.
13	На рыбин А. А.	Известия ЛЭТИ, 1976, в. 190, с. 52.
14	Барыбин А А	Радиотехника и электроника, 1970, т. 15, с. 2205.
15	Harvbin	A A.	Int. Journ. Electron., 1978, v. 44, p. 499.
16	Harvbin	A.A.	Journ. Appl. Phys., 1975, v. 46, p. 1707.
17	Kino G S . Robson r.N. Proc. IEEE, 1968, v. 56, p. 2056.
18	. Kino G S IEEE Trans. Electron Devices, 1970, v. ED-17, p. 178.
Kino G.S Appl Phys. Lett., 1968,v. 12, p 312.
HarinagelH L	Electron. Lett., 1969, v, 5, p. 303.
Hofmann K.R	Electron. Lett., 1969, v. 5, p. 469; 1972, v. 8 p 124
Gueret P. Electron. Lett.. 1970, v. 6, p. 213, 637.
Masuda M., (7r<rnx -V 5., Matsuo У Electron. Lett., 1970, v. 6, p. 605.
Барыбин A A. - Радиотехника и электроника. 1967, т 12, с. 2252.
25.	Sumi M. Japan. Journ. Appl. Phys., 1967, v. 6. p. 688.
2b. Barybin A.A. Journ. Appl. Phys., 1975, v. 46. p. 1697.
27.	/»nwr R H IEEE Trans. Electron Devices, 1972, v. ED-19, p. 1148.
28.	/kwr R H. Matarese R.J. Proc. IEEE, 1972, v. 60, p. 1486.
29.	Dean R If. Dreeben A.B.. Kaminski J. F.. THano A - Electr. Lett., 1970, v. 6, p. 775.
30.	Dean R.H., Robinson В В - IEEE Trans. Electron Devices. 1974, v. ED-21, p. 61.
31.	Blotekjaer K. - IEEE Trans. Electron Devices, 1970, v. ED-17, p. 30.
32.	Heinte W. - Electron. Lett., 1971, v 7, p. 245.
33.	Metz L.S.. Gandhi O.P. - IEEE Trans. Electron Devices, 1974, v. ED-21, p. 118.
34.	Freirc G.F.. Marcante A. - Int. Journ. Electron., 1975, v. 38. p. 443.
35.	Ландау ЛЛ-. Лифшиц E.M. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1953.
36.	Седов ЛИ Механика сплошной среды. М.: Наука, 1970, т. I.
37.	Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками. - М.: Гостехиздат, 1953.
38.	Гуревич В.Л., Лайхтман БД. ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 960.
39.	Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965.
40.	Поповский В., Филипс М. Классическая электродинамика / Пер. с англ под ред. С.П. Капицы. - М.: Наука, 1963.
41.	Penfield Р.. Haus Н.А. Electrodynamics of Moving Media. — Cambridge: MIT Press, 1967.
42.	Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. - М.: Наука, 1977.
43.	Ржаное А.В. Электронные процессы на поверхности полупроводников. М.: Наука, 1971.
44.	Чопра К.Л. Электрические явления в тонких пленках / Пер. с англ, под ред. Т.Д.Шермергора. - М.: Мир. 1972
45.	Ахиезер А.И., Барьяхтар Б.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны. М.: Наука. 1967.
46.	Yen-Chu h'ang. Int. Journ. Electron., 1976, v. 41, p. 169.
47.	Барыбин A.A. — Радиотехника и электроника, 1978, т. 23, с. 1230.
48.	Барыбин А.А. — Микроэлектроника, 1978, т. 7, с. 152.
49.	Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1959.
К главе 4
1.	Левинштейн М.Е., Пожела Ю.К, ШурМ.С. Эффект Ганна - М.: Сов радио, 1975.
2.	Кэролл Дж. СВЧ генераторы на горячих электронах / Пер. с англ, под ред. Б.Л.Гсльмонта. М.: Мир, 1972.
3.	Kumabe К - Proc. IEEE, 1968. v. 56. р. 2172.
4.	Schlachetzki A.. Mouse К. - Electron. Lett., 1972, v. 8, p. 640.
5.	Kataoka S.. Tateno H , Kawashima M. - Electron. Lett.. 1969. v. 5. p. 48, 114.
6.	Kuru L, Tajima Y. - Proc. IEEE, 1969, v. 57, p. 1215.
7.	Hofmann K.R. - Electron. Lett., 1969, v. 5, p. 227.
8.	Hofinann K.R.. t lani H Electron. Lett., 1972, v. 8, p. 122.
9.	Anderson S.J.. Robinson G. Y. - IEEE Trans. Electron Devices, 1974, v. ED-21, p. 377.
10.	Kino G.S.. Robson P.N - Proc. IEEE, 1968, v. 56. p. 2056.
11.	KinoG.S Appl. Phys. Lett., 1968, v. 12, p. 312.
12.	Kino G.S - IEEE Trans. Electron Devices, 1970, v. ED-1 7, p. 178.
13.	Hartnagel H L. - Electron. Lett., 1969, v. 5, p. 303.
14.	Hofmann K.R - Electron. Lett., 1969, v. 5, p. 469; 1972, v. 8, p 1 24.
15.	Gufret P. — Electron. Lett., 1970, v. 6, p. 213,637.
16.	Masttda M.. (Jiang N.S., Matsuo Y. Electron. Lett., 1970, v. 6, p. 605.
17.	Барыбин А.А.. Пригорочекий В.М. Изв. вузов Физика, 1981, выл. 8, с. 28.
18.	Dean R.H.. Dreeben А. В.. Kamincki J.F., Тпапо А. - Electron. Lett., 1970, v. 6, р. 775.
19.	Dean R.H.. Matarese R.J, - Proc. IEEE, 1972, v. 60, p. 1486.
20.	Dean R H. Dreeben A B, Hughes J.J., Napoli L.S. - IEEE Trans. .Microwave Theory Tech., 1973, v. MTT-21, p. 805.
21.	Frey №.. Becker R.. Engelmann R W.H.. Keller К Arch. Elek. Ubertraeune., 1973, v. 27, p. 245.
285
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
I I.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
286
Kanbc H.,Shtmi:u N..Kumtbf A. - ।Ilect,°n-	25^v 35^
Pngclmann R W.ll Arch- Elek. Ubertragung.,197! v 25 p. 357
Hlotcklacr K. IEEE Trans. Electron Device». 1970. v. ED . p. 3 J.
Hrinle W Electron. Lett., 1971, v. 7, p. 2	.
Dean R H. Robinson В В IEEE Trans. Electron Devices 1974 v ED-21, p. 61>
Kreire G.F. Mareante A Int. Journ. Electron. 1975. v 38, p. 443.
Bliitekjaer K., Quote C.F. Proc. IEEE, 1964. v. 5 2,p. 360.
Barybin A.A.	Journ. Appl. Phy».. 1975, v. 46. p. 6 )7.
Barybin A.A.	Journ. Appl. Phys., 1975, v. 46, p. 1684.
Барыбин A.A. — Радиотехника и электроника, I 1	22, с. 1680.
Барыбин А А. - Радиотехника и электроника. 1978, г. 23, с. I 230.
Барыбин А.А. — Микроэлектроника. 1978, т, 7, с. 152.
Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. - М : Сов. радио, 1757
Barybin A.A - In: Advances in Electronics and Electron Physics, cd. by L.Marton
N.Y.: Academic Press, 1978, v. 45, p. 1.
Dean RH Proc. IEEE, 1969, v. 57. p. 1327.
Барыбин A.A. — Иэв. вузов (Радиоэлектроника), 1977, т. 20, с. 118.
Барыбин А.А. - Иэв. вузов (Радиоэлектроника), 1978, т. 21, с. 45.
Клеен В. Введение в электронику сверхвысоких частот / Пер. с англ, под рса
А.С.Тагора. - М.: Сов. радио, 1963, т. 1.
Barybin A.A. IEEE Trans. Electron Devices, 1974, v. ED-21, p. 516.
Dean R H.. Schwartz PM.	Solid-State Electron., 1972, v. 15, p. 41 7.
Dean R Ц. IEEE Trans. Electron Devices, 1972, v. ED-19, p. 1144.
К главе 5
Briggs R.J. Electron-Stream Interaction with Plasmas. - Cambridge: MIT Press. 1964 Бонч-Бруевич В Л., Звягин И.П.. Миронов А.Г. Доменная электрическая нсустой чивость в полупроводниках. М.: Наука, 1972.
Стил М.. Вюраль Б Взаимодействие волн в плазме твердого тела / Пер. с англ пол ред. И.С Веселовского. - М.: Атомиздат, 1973.
Ахиезер А И, Ахиезер ИА.. Половин PR.. Ситенко А.Г.. Степанов КН Электродинамика плазмы. - М.: Наука, 1974.
Доже-пг Ю.К. Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках М Наука,
Лифшиц Е.М.. Питаевский Л.П. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979. ФеОорченко А.М., Коцаренко НЯ Абсолютная и конвективная неустойчивость и плазме и твердых телах. - М.: Наука, 1981.
Люиселл У Связанные и параметрические колебания в электронике / Пер. с англ, под ред. А.Н. Выставкина. - М.: ИЛ., 1963.
Gueret Р Phys. Rev. Lett., 1971, v. 27, p. 256.
Куликовский А.Г ПММ, 1966, т. 30 с 148
Левинштейн М.Е ПпжелаЮ.К, ШурМ.С. Эффект Ганна М.: Сов. радио. 1975.
7 Z • ai^°we,!!A G,- IEEE Trans- Section Devices. 1966, v ED-13.p 4 Kino G.S. Robson P.K. - Proc. IEEE, 1968, v. 56 n 2056
Gueret P Electron. Lett., 1970, v. 6, p. 213.
Dean R.H IEEE Trans. Electron Devices, 197 э v ED-19 n нам Лвгуб/дЛ.Л. Electron. Lett , 1977, v 13 p 239	• P-448.
Vn	7" *FEE Trans- E’ect™" D^ces, 1974 v ED-21. P 6!
SturrockPA Phys. Rev., 1958, v. 112 p 1488	.v-cv-ai.r
Федорченко A M. - Радиотехника и элёюроника 1983 т П л нН Hencl, R Arch. Rat. Meeh. An.iL, 1964 Tl" p 2I3
Dasealu D IEEE Trans. Electron Devices 197’ v ( n io n ino «. in, i	1
"“«’I»""-» при«<>1ю» c.tpx.u««„ - M
Solid State Electron . 1969. v 12 о 619 “*• '“’2.v.8,p 185.
- IEEE I runs. Electron Devices. 1968. v. ED-15, p 819
те хиЗДат, 1956
Alalia M M Moll J / r - j ;
Dasealu D Electron. Lett., 1972 v 8 n us
Kroemer H -« — —	’ - 'Г 3
27.	Напи Т. Ono S.. Shibata Y. - Electron. Lett., 1970, v. 6. p. 666.
28.	Yu S.P.. Tantrapom И' Young J. D. - IEEE Trans. Electron Device», 1971, v, ED I 8. p. 88.
29.	Weller K.P. - RCA Review. 1971, v. 32. p. 372.
30.	CJtu JI... Sze S.M - Solid-State Electron.. 1973. v. 16, p. 85.
31.	Wright GT.. Sultan N В Solid-State Electron. 1973, v. 16. p. 535.
32.	Zetsche H - IEEE Trans. Electron Devices, 1974, v. ED-21, p. 142.
33.	3м CM. Физика полупроводниковых приборов / Пер с англ, под рея Р.А. Суриса. - М.: Мир. 1984.
34.	Hariu Т. Shibata Y. - Proc. IEEE, 1975. v. 63, p. 1523.
35.	Krishnan C.N., Sharan R IF.EE Trans. Electron Devices, 1977, v ED-24, p I 264.
36.	Narayan S. Y.. Sterzer F. — Electron. Lett., 1969, v. 5, p. 30.
37.	Sterzer F. - Proc. IEEE. 1969. v. 57. p. 1781
К глас 6
I.	Raynham AC. - IBM Journ. Res. Developm.. 1969. v. 13. p 568
2.	Baynham AC - Electron. Lett., 1970, v. 6, p. 306.
3.	Baynham A C. Colliver D.J. - Electron. Lett., 1970, v 6. p. 498.
4.	Heming P.L. Proc. IEEE, 1975, v. 63, p. 1253.
5.	Heming P l... Carlson HE. Electron. Lett.. 1979, v. 15. p. 496, 787.
6.	Heming PL.. Smith T. Carlson H.E.. Cox W.A. IEEE Trans. Electron Devices, 1979. v. ED-26, p. 1267.
7.	Любненко BE., Макеева Г.С., Нефедов Е.И. - Радиотехника и электроника, 1982, т. 27, с. 1665.
8.	Lewin L. - Electron. Lett., 1968, v. 4. p. 145.
9.	Chawla B.R., Coleman D.J. — Electron. Lett.. 1969. v. 5. p. 31.
10.	Giannini F.. Ottavi CM., Salsano A. - Electron. Lett., 1971, v. 7, p. 65.
II.	ГуревичЛ.Э.. Иоффе ИВ - ФТТ. 1976, т. 18, с. 1307.
12.	Becker R.. Bosch B.G.. Engelmann R.WН - Electron. Lett., 1970, v. 6, p. 604.
13.	Nejib U.R — Int. Journ. Electron., 1974, v. 36, p. 81.
14.	Me Cum her D.E.. Chynoweth A.G. - IEEE Trans. Electron Devices, 1966, v. ED-13. p. 4.
15.	Симин Г.С. - ФТП. 1976, т. 10, с. 2025.
16	Барыбин Л-4., Пригоровский ВМ. Электронная техника,сер. Электроника СВЧ, 1978, в. 12,0.9.
17.	Барыбин А Л.. Пригоровский В.М - Иэв. вузов (Физика), 1981, в. 8. с. 28.
18.	Кэррол Дж СВЧ генераторы на горячих электронах / Пер. с англ, под ред Б-Л.Гсльмонта. - М.. Мир, 1972.
19.	Левинштейн М.Е.. Пожела Ю.К., ШурМ.С. Эффект Ганна. - М.: Сов. радио, 1975.
20.	Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике / Пер. с англ, под ред. Л.А.Островского, М.И Рабиновича. М.: Сов. радио, 1977.
К главе 7
1.	Гинзбург ВД., Рухадзе А.А. Волны в магнитоакпшной плазме. - М-: Наука, 1970.
2.	Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В., Ситенко А.Г., Степанов К.Н. Электродинамика плазмы. - М.: Наука, 1974.
3.	Басс Ф.Г.. Гуревич Ю.Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда. - М.: Наука. 1975.
4.	Каи Л.И.. Сафонов А.А. Взаимодействие электромагнитных колебаний сверхвысоких частот с плазмой носителей заряда в полупроводнике. - Саратов: Изд-во СГУ, 1979, ч. I и II.
5.	Левинштейн МД., Пожела Ю.К.. ШурМ.С. Эффект Ганна. М.: Сов. радио, 1975.
6.	Heinle W. - Phys. Stat. Sol.(a), 1970, v. 2, p. 115.
7.	ШурМ.С. - ФТП, 1976. т. 10, с. 116.
8.	Shur М. - Solid-State Electron., 1977, v. 20, p. 389.
9.	Стил M.. Вюралъ Б. Взаимодействие волн в плазме твердого тела / Пер. с англ, под ред. И.С. Веселовского. - М.: Атомиздат. 1973.
287
10.	Пожела Ю.К. Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках. - ц
11.	Константинов О.В., Перель В.И. - ЖЭГФ, I960 т. 38, с. 161.
12.	Aigrain Р - Proc. Int. Conf, on Semiconductor Physics. Prague, I960, p. 224,
13.	Bok J.. Nozieres P. - Journ. Phys. Chem. Solids, 1963, v. 24, p. 709.
14.	Ben A., McWhorter A L. - Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 755.
15.	Веселого В.Г., Глушков MB., Рухадзе A.A. - ФТТ, 1966, т. 8, с. 24.
16.	Bartelink D.J. - Phys. Rev., 1967, v. 158, p. 400.
17.	Канер Э.А., Скобов В.Г. ЖЭТФ, 1963, т. 45, с. 610.
18.	Grimes СС. Buchsbaum S.J. - Phys- Rev. Lett., 1964, v. 12, p 357.
19.	Басс Ф.Г., Яковенко B.M. — ФТТ, 1966, г. 8, с. 2793.
20.	Канер ЭЛ.. Яковенко В.М. - ЖЭТФ. 1967, т. 53, с. 712.
21.	Bowen R. Legendy CR , Rose F.E Phys. Rev Lett., 1961, v 7. p. 339.
22.	Libchaber A. Vertex R — Phys. Rev., 1962, v. 127, p. 7 74
23.	Legendy CR Phys. Rev., 1964, v. 135, p. Al713.
24.	Klozenberg J.P., McNamara В. Thonemann P C Journ. f luid Meeh., 1965 p. 545.
25.	Nanney C. - Phys. Rev., 1965. v. 138, p. A1484.
26.	Wisseman W.R.. Danes E J. - Journ. Appl. Phys., 1967, v. 38, p. 3940.
27.	Burke B E. Kino G.S. - Journ. Appl. Phys., 1967, v. 38, p. 4888.
28.	Whitehouse A.C.D. - Brit. Journ. Appl. Phys., 1968, v. 1, p. D1637.
н»Ука,
*• 21,
29.	Baraff G.A.. Buchsbaum S.J. - Phys. Rev., 1966, v. 144, p. 266.
30.	Nanney C.A., Libchaber A.. Gamo J.P. - Appl. Phys. Lett., 1966, v. 9, p. 395.
31.	Ханкина С.И., Яковенко В M. — ФТТ, 1967, т. 9, с. 578, 2943.
32.	Тетервов А.П., Яковенко В.М. - ФТП, 1971, т. 5, с. 1920.
33.	Белецкий Н.Н.. Тетервов А.П., Яковенко В.М. ФТТ. 1975, т. 17, с. 1524- 1976 т. 18, с. 3585.
34.	Белецкий HJL, Тетервов А.П., Яковенко В.М. ~ ФТП, 1972, т. 6, с. 2129.
35.	Булгаков АЛ., Канер ЭЛ., Яковенко В.М. - ФТТ, 1969, т. 11, с. 1509
36.	Белецкий НМ.. Тетервов А.П., Яковенко В М - ФТП, 1973, т. 7, с. 1991.
37.	Белецкий НМ - ФТТ, 1974, т. 16, с. 476.
38.	Белецкий HJL, Яковенко В.М - ФТП, 1975, т. 9, с. 554.
39.	Канер ЭЛ.. Яковенко В.М. УФН, 1975, т. 115, с. 41.
40.	Trivelpiece A. W.. Gould R. W, - Journ. Appl. Phys., 1959, v. 30, p. 1784.
41.	Барыбин A.A. - Радиотехника и электроника, 1970, т 15, с. 2205.
42.	Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1959.
43.	Barybin A.A. - Int. Journ. Electron., 1978, v. 44, p. 499.
44.	Sturrock P.A. — Journ. Appl. Phys., 1960, v. 31, p. 2052.
45.	Barybin A.A. - IEEE Trans. Electron Devices, 1974, v. ED-21, p. 516.