Similar
Text
УДК 517.948
ББК22.311
Р19
S3
Рецензенты:
докт. физ.-мат. наук, проф. В. Ф. Демьянов (С.-Петерб. гос. ун-т),
докт. физ.-мат. наук, проф. А. П. Жабко (С.-Петерб. гос. ун-т)
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
С. -Петербургского государственного университета
Ракин Л. В.
Р19 Уравнения в частных производных второго порядка в зада-
чах и решениях: Учеб, пособие. - СПб., 2007. - 120 с.
Пособие написано на основе курса лекций «Уравнения математической
физики», который автор читает несколько последних лет студентам, обучаю-
щимся на факультете прикладной математики - процессов управления
С.-Петербургского государственного университета.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности «Приклад-
ная математика».
ББК 22.311
БИБЛИОТЕК |
факультета
(Tirr«T'v
© Л. В. Ракин, 2007
© С.-Петербургский
государственный
университет, 2007
Содержание
Предисловие ..................................................... 4
§ 1. Основные понятия и методы................................... 5
1.1. Классификация линейных уравнений второго порядка. 5
1.1.1. Произвольное число независимых переменных... 5
1.1.2. Две независимые переменные.......................... 6
1.1.3. Метод характеристик................................. g
1.2. Общее решение уравнения с частными производными.......... g
1.3. Постановка начальных и граничных задач................... 9
1.4. Метод Даламбера......................................... ]0
1.5. Метод Фурье ( метод разделения переменных)............... Ю
§ 2. Условия задач............................................ 11
l" 2.1. Дифференцирование..................................... 11
2.2. Замена переменных..................................... 14
2.3. Метод характеристик..................................... 17
111 2.3.1. Приведение к каноническому виду.................... 17
э' 2.3.2. Нахождение общих решений........................... 18
2.4. Задача Коши (метод Даламбера)......................... 1
д- 2.5. Смешанная задача (метод Фурье разделения переменных).. 21
И § 3. Решения задач.............................................. 24
3.1. Дифференцирование....................................... 24
3.2. Замена переменных....................................... 32
3.3. Метод характеристик..................................... 46
3.3.1. Приведение к каноническому виду.................... 46
3.3.2. Нахождение общих решений........................... 67
3.4. Задача Коши (метод Даламбера)........................... 80
3.5. Смешанная задача (метод Фурье разделения переменных).. 91
Ответы.......................................................... 114
Литература...................................................... 118
- Предметный указатель........................................... 119
Предисловие
Пособие посвящено первоначальному знакомству с методами реше-
ния линейных дифференциальных уравнений в частных производных
второго порядка.
Оно предназначается для студентов III курса университетов, слу-
шающих курс «Уравнения математической физики», и преследует цели:
— активизировать процесс самостоятельной работы студентов по ос-
воению методов решения уравнений, указанных выше;
- придать процессу освоения предмета альтернативную форму: по-
пробовать решить задачу самому или (и) познакомиться с предлагаемым
решением.
- дать, при небольшом объеме пособия, такой набор задач, который
мог бы достаточно полно иллюстрировать лекционный курс уравнений
математической физики.
Кроме того, оно может пригодиться и преподавателям, ведущим
практические занятия по данному предмету.
Все задачи, приведенные в пособии, снабжены подробными реше-
ниями, помещенными в отдельный параграф. Это позволяет обучающе-
муся попытаться самому решить задачу, свериться с ответом и, при не-
обходимости, обратиться к предложенному решению.
В § 1 приводятся основные понятия и методы, используемые при
решении задач математической физики.
В § 2 помещены условия задач.
В § 3 даны подробные решения этих задач.
В пособии имеется предметный указатель, позволяющий обучающе-
муся быстро найти уравнения, задачи или методы, которые его интере-
суют.
Нумерация формул (если она имеется) в решении каждой задачи
своя. Начало и конец решения обозначаются символами ► и ◄ соот-
ветственно.
4
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
1.1. Классификация линейных уравнений второго порядка
1.1.1. Произвольное число независимых переменных
Уравнение вида
д2и
;,к=1 дхдхк
ди ди
’”’Эхт
= 0
(1)
называется квазилинейным дифференциальным уравнением с частными
производными второго порядка. Если функция F линейна по всем сво-
им аргументам кроме, быть может, первого, то оно называется линей-
ным.
Здесьх = (xj,...,Xflt)e Rm , т>2; и(х) - неизвестная функция
класса С2, т.е. дважды непрерывно дифференцируемая. Напомним, что
норма вектора в пространстве Rm определяется так:
Уравнения вида (1) классифицируют по собственным числам мат-
рицы А — \cijk , которые вещественны в силу ее симметричности [7].
Пусть в точке х области Q с Rm задания коэффициентов cijk
уравнения (1) распределение собственных чисел матрицы А по знаку
следующее: положительных - ОС, отрицательных - 0, нулевых - у. Та-
ким образом, а + 0 + у = т.
Говорят, что уравнение (1) имеет точке X эллиптический тип, ес-
ли СС = т, Р = у= О; параболический тип, если ОС = /И — 1, 0 = 0,
У = 1; гиперболический тип, если ОС = т — 1, 0 = 1, у = 0.
В поведении решений уравнения (1) фундаментальную роль играет
5
характеристическая форма уравнения. Так называют квадратич
V-5 т
форму 2-,j,k=lajkkjkk>
х х ЮЫХ
составленную по коэффициентам при втол
производных уравнения (1).
Определение 1.1. Поверхность <р(х) = 0 называется характ^ ~
стической поверхностью уравнения (1) или просто характеристик011’
если в каждой ее точке имеет место равенство
=0-
При этом уравнение (2) называют уравнением характеристик ура^не
ния (1).
1.1.2. Две независимые переменные
Пусть т = 2, X = Xj, у = х2 . Тогда уравнение (1) имеет вид
аихх+2Ьиху+сиуу + р(х,у,и,их,иу)=0. (3)
Пусть коэффициенты а = а(х,у), b = b(x,y), С = с(х,у) имеют
/>ра-
прерывные производные до второго порядка включительно и не сг~ ‘
щаются одновременно в нуль в области Q.
Если ас — Ь2 >0 в каждой точке области Q, то уравнений
имеет эллиптический тип в этой области.
2 (2)
Если ас — Ь — 0 в каждой точке области Q, то уравнений v '
имеет параболический тип в этой области.
Если ас — Ь <0 в каждой точке области Q, то уравнений '
имеет гиперболический тип в этой области.
Если же знак выражения ас—b1 не постоянен в области £7 ’ г0
говорят, что уравнение (2) имеет в этой области смешанный тип.
1.1.3. Метод характеристик
В решении задачи 29 произведена в уравнении (3) замена
§ = §(х,д), Т) = Г)(х,д),
Удовлетворяющая сформулированным там условиям. Для того что^
результате этой замены уравнение (3) приобрело наиболее простой *
конический) вид, нужно, чтобы, согласно равенству (4) из задачи 29, ДЛЯ
и 'Г) выполнялось уравнение характеристик
6
(5)
В гиперболическом случае это уравнение распадается на два:
+ L + д//?2 -ас)^- = 0, (6)
дх ' ду
a^^ + lb-^b2-ас}^^-= 0. (7)
дх ' ду
Если
ср ,(х, у) = const, (р 2 (х, у) = const (8)
являются интегралами [4], соответствующих уравнениям (6) и (7),
обыкновенных дифференциальных уравнений
dx dy dx _ dy
° b + yfb2 -ac a b- -Jb2 - ac
то левые части этих интегралов, если у них существуют непрерывные
вторые частные производные, являются решениями уравнений (6) и (7)
[8]. Кривые (8) являются характеристиками уравнения (3).
Методы решения уравнений в частных производных первого по-
рядка подробно изложены, например, в книге [6].
Замена
£=Ф1(х,У), т] = ф2(х,у)
приводит уравнение (3) в гиперболическом случае к каноническому виду
д2и
ди ди
(Ю)
Замена = сс + Р, Г] — со — Р приводит уравнение (10) к виду
д2и
да2
д2и „ ди dll'}
—- = F сс,Р,м, —,— ,
Эр2 да ЭрJ
который также называют каноническим.
Если уравнение (3) имеег параболический тип, то уравнение харак-
теристик (5) приобретает вид
Эф , ^ф А
а--- + Ь— = 0.
дх ду
7
В этом случае уравнение (3) имеет только одно семейство характеристик
<р(х, _р) = const. Чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду,
нужно сделать в нем замену
§ = ср(х,у), П = У(х,У)-
Здесь <р(х,_у)- решение уравнения характеристик, a у(х, у) - любая
дважды непрерывно дифференцируемая функция такая, что якобиан
чО
-----—- 0 в окрестности точки (х0, _у0), в которой уравнение (3)
д(х,у)
приводится к каноническому виду.
В результате такой замены параболическое уравнение (3) приобре-
тет канонический вид
дги „ ди ди
ди ди
(И)
Если уравнение (3) имеет эллиптический тип, то, считая коэффициенты
а, Ь и с аналитическими, можно утверждать [2], что характеристиче-
ское уравнение (4) имеет два решения комплексных и комплексно со-
пряженных <Р](х,у) и ср2(х,у) в окрестности точки (х0,_р()), в кото-
рой уравнение (3) приводится к каноническому виду.
Чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду, нужно сде-
лать в нем замену
= т (<Р1 (*> У) + <р2 (х> у)) > П = 4? (<Р1 <*> у) - Ч>2 (*= у))
2 2i
В результате такой замены эллиптическое уравнение (3) приобретет
канонический вид
д2и д2и ди ди
—г + C,ri,u, —,—
д^2 dt[2 I/ д^ dt]
Описанный здесь метод упрощения уравнения (3) называют мето-
дом характеристик.
ди ди
(12)
1.2. Общее решение уравнения с частными производными
Решение дифференциального уравнения определяется не однознач-
но. Например, решением уравнения
ы'(х,у) = 0, x,yeRl
8
является совершенно произвольная функция одного переменного
W =
Решение уравнения с частными производными, зависящее от про-
извольных функций, как, например, приведенное здесь, часто называют
общим решением уравнения (см., например, [9,10]), хотя далеко не все-
гда все решения уравнения им исчерпываются. Здесь все же использует-
ся эта терминология. Использование более точного выражения «сово-
купность решений» в данной работе, на взгляд автора, не дает преиму-
ществ и в тоже время затрудняет работу с другими источниками, посвя-
щенными этой теме.
В ряде случаев, после приведения уравнения к каноническому виду
(см. задачи 36-54), оказывается возможным найти общее решение уп-
рощенного уравнения и, перейдя к первоначальным переменным, полу-
чить общее решение исходного уравнения (см. задачи 55-78).
1.3. Постановка начальных и граничных задач
Основными уравнениями математической физики принято назы-
вать следующие уравнения.
Волновое уравнение (гиперболический тип )
Un = а2 Ди + (13)
Уравнение теплопроводности (параболический тип )
U, = а2 Ди + f (x,t). (14)
Уравнение Пуассона (эллиптический тип )
- Ди = /(х). (15)
Уравнение Лапласа (эллиптический тип )
Ди = 0. (16)
Здесь U—u(x,t), Д =--------— + ...Ч---— - оператор Лапласа,
дх2 дх2
X G R'”, t - время, а - постоянная (в пределах данного пособия).
Каждая задача математической физики ставится как задача решения
некоторого уравнения, например, одного из уравнений (13)—(16) при
определенных условиях, которые диктуются ее физической постанов-
кой.
Одной из важнейших задач в теории дифференциальных уравнений
является задача Коши, которая для волнового уравнения ставится сле-
9
дуюшим образом: найти решение уравнения (13), удовлетворяющее на-
чальным условиям
4=0=Фо их =<piU)>
г=0
где ф0(х), <Pj (х) - заданные функции.
Для уравнения теплопроводности задача Коши состоит в отыска-
нии решения уравнения (14), удовлетворяющего начальному условию
4=о = <PU) >
где (р(х) - заданная функция.
Если кроме начальных условий задаются те или иные граничные
условия, то такую задачу называют смешанной (см., например, задачу
94).
Для эллиптических уравнений, например, для уравнения Лапласа
задаются только граничные условия (см., например, задачу 102).
1.4. Метод Даламбера
При решении задачи Коши, если известно общее решение, среди
произвольных функций, входящих в него, отыскивают конкретные
функции такие, чтобы при них это общее решение стало частным, удов-
летворяющим заданным начальным условиям.
Например, решение задачи Коши для уравнения колебаний беско-
нечной струны, т.е. для уравнения (13) в случае тп = 1, дается формулой
Даламбера (см. задачи 79-88).
Эта же идеология позволяет решать задачи Коши в некотором
смысле близкие к задаче, описанной в предыдущем абзаце (см. задачи
89—93).
1.5. Метод Фурье ( метод разделения переменных)
При решении смешанных задач широко применяется метод Фурье
(метод разделения переменных). Читателю, не знакомому с этим мето-
дом, предлагается внимательно разобрать решение задачи 94, в котором
подробно изложена суть этого метода, и уже потом пытаться решать ос-
тальные задачи этой темы.
§2. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
2.1. Дифференцирование
Доказать, что функции, данные в задачах 1—11, являются гармо-
ническими, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа Aw(x) — 0.
1. и(х) = г“2Х], х = (х15х2) е R2, г = ||х|| = ^х2 + х2 .
2. и(х) = еХх (xj cosx2 - х2 sinx2), х = (х(,х2) е R2.
3. и(х) = Inr ; г = ||х — £,||; х,£, G R2 ; х Ф £ .
4. и(х) = In —— сингулярное решение уравнения Лапласа (см. 3).
г
/ ч 1
5. и(х) = т 2 — сингулярное решение уравнения Лапласа.
Здесь г = ||х - £||; х, £ е Rm, т > 2; х .
6. w(x) = — потенциал простого слоя.
Г г
Здесь т > 2, Г - граница области Q с Rln, х е Q, е Г, ц(£>) -
плотность потенциала непрерывная на Г , Г = ||х — £,||.
1
7. v(x) = |<3’(4>)--— потенциал двойного слоя
дп гт 2
Здесь обозначения, принятые в 6 и, кроме того, Г - гладкая, п - нормаль
к Г , о(^) - плотность потенциала непрерывная на Г
гч *2~Р2
8. и(х) —-----------ядро Пуассона.
11
Здесь г = ||х - S||; х, S е R"’ ; ||S|| = 2?; р = И < R; т > 2.
1 . J?2-p2
9. и(х) =---- I <p(S)-------—<FSR - формула Пуассона, ре-
$л(0)
шающая задачу Дирихле для уравнения Лапласа в случае шара: найти
функцию и(х) такую, чтобы выполнялись условия:
Аг/ = 0 при ||х|| < R, u\g = cp(S)
Здесь приняты обозначения задачи 8. Кроме того, функция ф(<|) непре-
рывна на сфере SR (0), (.15) - мера единичной сферы в Rm .
10. Дважды непрерывно дифференцируемые функции и(х) и
г?(х) (хе/?2), удовлетворяющие условиям Коши-Римана-.
ди _ dv dv _ ди
oXj дх2 дх} дх2
11. Любая аналитическая функция комплексного переменного [5].
12. Пусть г/(х) = /(г),хе/?т, г = ||х||, f- дважды диффе-
ренцируемая функция. Показать, что Ди = F(r), и найти функцию F.
13. Пусть хе/?”1, функции w(x) и v(x) дважды дифференци-
руемые. Выразить A(//v) через Ди и Av .
Доказать, что функции, данные в задачах 14—16. удовлетворяют
уравнению теплопроводности Ut (x,t) = <72 Ди(х,1).
14. u(x,t) = 0.5 -|jx||2 +tm (х е Rm , t е R1 ,а = 1) .
। (х~ь>2
15. г/(х,/) =--4° * — фундаментальное решение уравне-
la^Tlt
ния теплопроводности. Здесь х,/ —скаляры; а и Ь -постоянные.
1
16. w(x,0 = y— -у— е 4(* <о) — фундаментальное реше-
ние уравнения теплопроводности.
12
Здесь Г = ||х —Х°||; х,х° G Rm ; t G i?1; a = 1.
17. Доказать, что если функция м(хД) удовлетворяет уравнению
теплопроводности ll't — а^и”^ = 0 (а - постоянная), то функция
, . 1 "А (* 1
v(x,f) = —*at-и ~,------------— ,
a^lt \at at)
также удовлетворяет этому уравнению. Здесь х, t G 2?1 (t > 0).
18. Доказать, что функция
= +С2еаг)
г ’
удовлетворяет уравнению Гельмгольца Ли = а2и . Здесь х G Rm,
г = ||х||; Cj, С2 - постоянные.
19. Пусть XG Rm, г = ||х||, функции иг(х) и и2(х) удовлетво-
ряют уравнению Лапласа Ли = 0. Доказать, что функция
v(x) = z/j (х) + г2и2 (х)
удовлетворяет бигармоническому уравнению Д(Дт) = 0.
20. Доказать, что функция
и(х, t) = Ф(х + at) + Т(х - at)
удовлетворяет уравнению колебаний струны u"tt — а2и" Здесь Ф, Д'
- произвольные функции класса С2, x,t G R1.
21. Выписать уравнение характеристик (см. § 1) для волнового
уравнения
utt — а2 Ли +f(x,t). (1)
и доказать, что характеристической поверхностью для уравнения (1) яв-
ляется прямой шаровой конус (характеристический конус)
a2(t-t0)-r2 =0, (2)
где х,х° G Rm , t G R1, r = ||x — x°|| ,(x°,t0)— фиксированная точка
(вершина конуса), и = u{x,t) .
13
2.2. Замена переменных
В задачах 22-35, полагая U функцией присутствующих в уравне-
нии аргументов X,y,Z,t& R1 и вводя новые переменные, преобразо-
вать следующие уравнения:
д2и Э2и
22. а)--— Ч---— = О - уравнение Лапласа',
Эх Эг
) Э2и _ Э2и 7 Э2и
б) X —— + 2ху- + у —- - 0 ;
Эх2 ЭхЭу ду
7 д2и Л Э2и о Э2и
Эх охоу оу
X = Г COS (р, у = Г SID (р (Г, (р - полярные координаты).
Эи Эг/ ] „
г0’
полагая
Э2и Э2и
23. — Ч--— = и — уравнение Лапласа, полагая:
Эх Ъу
г * У 2 2 2
а)^ = —, Г) =------Г’гдег =Л +у ;
г г
б) % = Cj ч- аих Ч- cz12 j' , Т] = с2 ч- а21х Ч- а22у ,
где Cj и с2 произвольные постоянные, а коэффициенты при х и
у также постоянные и удовлетворяют условиям:
<2ц ч- а12 — 1, а21 ч- а22 — 1, jа2} Ч- <з12О!22 — О
(перенос начала координат и ортогональное преобразование осей коор-
динат);
В) х = (р(^, Т|), у = _ любая невырожденная замена пе-
ременных, удовлетворяющая условиям Коши-Римана:
Эф _ Э\|/ Э(р _ Э\|/
Э^'Эп’ Эл~~Э^’
Доказать, что уравнение Лапласа инвариантно (т.е. не меняет сво-
его вида) относительно каждой из этих трех замен переменных.
Эи _ Э2и
24. —— — - уравнение теплопроводности (для однородного
31 ох
тонкого стержня), полагая
14
Доказать, что оно инвариантно (т.е. не изменяет своего вида) отно-
сительно данной замены переменных.
25.
полагая
26.
,л /, л ди
(1 + х2)-—+ (1 + Д)—- + х — + у—= 0,
дх2 ду2 дх ду
£ = 1п(х + д/1 + Х2 , Г| = 1п(у + 71 +Д2)-
Em dll 1 &U с/ \
-a*^+2^=>',‘s;+c“=z<x)’
полагая
и{х) — Ev(x), Е ~ ехр
где ак, Ък — постоянные, ак >0 (к = , х = (х13...,хт) .
д2и д2и _, ди , , _ ч ,
27. —х~а—г + 2о----------i-Си (a,b,c>V) - телеграфное
дх2 dt2 dt
ь
—1
уравнение (одномерное), полагая u(x,t) = Ev(x,t), Е = е ° .
д2м ди , ди п , ,
28. 1- а-------Ьо-----1-си = 0 (а,Ь,с- постоянные),
дхду дх ду
полагая
u(x,y) = Ev(x,y), Е = е°^у
и выбирая постоянные ос, р так, чтобы преобразованное уравнение не
содержало первых производных.
д2и д2и д2и ди ди^
29. а—- + 2Ь------+ с—- + F х,у,и, —,—
дх2 дхду ду2 дх ду
= 0,
полагая
= Т] = (х,д).
Здесь а,Ь,с - заданные функции от х и у, не равные нулю од-
новременно и имеющие непрерывные производные второго порядка, а
15
функции и Г] предполагаются дважды непрерывно дифференцируе-
мыми с якобианом
S(£,T|) О^дх] д^дх]
=-----(J
б(х,д)-----------дх ду ду дх
в некоторой области Q с Я2.
30. Доказать, что если в задаче 29 исходное уравнение линейно то
преобразованное уравнение тоже линейно.
31. Доказать, что предложенная в задаче 29 замена не меняет типа
исходного уравнения.
д2и д2 и д2и
32. а—- + 2.О------t-c—- = 0 (а, Ь, с - постоянные),
дх2 дхду ду2
полагая = х + осjу , Г] = х + ос2у, ас — Ь2 <0 и выбрать постоян-
ные ос13а2 так, чтобы преобразованное уравнение имело наиболее
простой вид.
д2и д2и д2и д2и
33. —— = —— Н------— -I--— — волновое уравнение, полагая
dt дх2 ду2 dz2
t-Vx t х - Vt „
Т = -Г----Г—-,n = y,Q = z.
л/1-F2 Vl-F2
Это преобразование Лоренца Скорость распространения волны
принята за единицу. V - постоянная скорость движения одной галилее-
вой системы координат параллельно оси х относительно другой меньше
единицы.
Доказать, что волновое уравнение инвариантно (т.е. не изменяет
своего вида) относительно данного преобразования.
1 д2и
34. Дг/--— 'J ~ волновое уравнение, полагая
и = u(x,t) ,х е R"’, t е R1 ,т = t + —, £ = х, г = х||.
д2 и д2и д2и д2и д2и д2и п
35. —- + —- + —- +----------+-------+------= 0,
дх2 ду2 dz2 Sxdy dxdz dydz
полагая ^ = y + z — x,x\ = x + z — y,C, = x + y — z.
16
2.3. Метод характеристик
2.3.1. Приведение к каноническому виду
В задачах 36-54, полагая и функцией присутствующих в данном
уравнении аргументов X,y,t е R*, используя метод характеристик
(см. § 1), определить тип и привести к каноническому виду следующие
уравнения.
36. д2и 2 d2w —7“ = а —+ dt2 дх2
38. + о д2и । -д2и-о
дх2 дхду
40. д и . д2и д2и —г + 5 + 4—г = 0- дх2 дхду ду2
42. д2и _ д2и -дх2^!»2 , ди + Ьо — + сои dt
Здесь постоянные а !о ’ »со >0
37. д дх 1 2 ди' х — дх ? 2 д2и х W
39. д2и дх2 + 2^ дхду -3^ = 0. ду2
41. д2и дх2 г д2и 6 дхду + 13^ = 0
телеграфное уравнение.
д2и . д2 и . д2 и -ди ,ди
43. —г + 4------+ 4—г + 3 — + б— = 0.
дх2 дхду ду2 дх ду
2 д2и _ д2и д2и 4а„
44. ап —- - 2ап-----4---— = —— и . Здесь а(. ,ЬС постоянные.
° дх2 dxdt dt2 b2
45.
46.
2 d2W _
У —г~2ху
дх2 дхду
2 д2 и _ д2 и
х —--2ху
Л '2 J
47.
у2
дхду
д2и 2
-----X ----у
^.2 -ч 2
48.
д2и - д2 и
—г + 2------+ cos
дх2 дхду
д2и 2 д2и г,
— + х —г = 0-
ду2
-> д2и ди ди
Г —у + х — + у —
ду2 дх ду
- ди
- 2.x— = 0.
дх
д2и
ди I ди ди\ п
x-^-ctgx — + — =0.
ду
2
17
49.
51.
53.
2 d2U 2 л
50. х2—--у2—— = 0.
дх2 ду2
д2 и д2 и 1 ди
52. —-- у—- =----
дх2 ду2 2 ду
54.
г д2и 2 д2и
у —- + х2—- = 0.
дх2 ду2
д2 и д2 и
У—г + -^- = 0-
дх2 ду2
д2 и д2и 1 ди
ху—— +—т + ~У----- - !___> ✓
дх2 ду2 2 дх 2у ду
д2и _ д2и . 2 д2и . ди
—--2cosx-------sm х—г-51пл'— = 0.
дх2 дхду ду2 ду
2.3.2. Нахождение общих решений
В задачах 55—78, полагая и функцией присутствующих в данном
уравнении аргументов X,y,Z,t е R1 (если нет других пояснений), най-
ти общие решения следующих уравнений.
55.
д2и{х,у} Q
58.
-^ = 0.
дхдудг
йад=с
дх”
д4и
59. ——— = 0.
дх2ду2
д2и
57.----- = 0.
дхду
д2и f ч
60. —- = и{х,у).
дх2
61.
64.
д2и(х,у) ! ^ди(х,у) = 0
дх2 дх
д*и д4и >д4и
дх4 дх2ду2 ду4
Уравнение из задачи 36.
62 хд2и(х,у) । du(x,y)__Q
дх2 дх
65. Уравнение из задачи 37.
66. Уравнения из задачи 38.
67. Уравнение из задачи 39.
68. Уравнение из задачи 40.
69. Уравнение из задачи 43.
70. Уравнение из задачи 44.
71. Уравнение из задачи 46.
72. Уравнение из задачи 48.
73. Уравнение из задачи 50.
74. Уравнение из задачи 53
при {х > 0, у < 0}
75. Уравнение из задачи 52
при у > 0.
18
76. Уравнение из задачи 54. 77. (х — у)----------1---= 0.
ЭхЭу Эх ду
1 д2и
78. Ли---------— = 0 - волновое уравнение,
a dt
Здесь и = и(х, f) ,хе Rm, t G R'.
2.4. Задача Коши (метод Даламбера)
В задачах 79-88, полагая U — u(x,t), найти решение уравнения
колебаний бесконечной струны
д2и 2 д2и , .
—-у — а —- {а = const),
dt дх
удовлетворяющее следующим начальным условиям.
79. и (х,0) = и0 (х), — (х,0) = (х) .
dt
80. а = 1, u(x,0) = cos х , — (х,0) = 0.
dt
81. w(x,0) = ——, (х,0) = 0.
х dt
, sinx ди, х
82. и(х,0) =----, — (х,0) = --------.
х dt 1 + х
Л Z Х ди ,
83. а — 1, и(х,0) =------, —(х,0) = sm х .
1 + х2 dt
84. <7 = 1, w(x,0) =-----, — (х,0) = cos х.
1 + х dt
85. <7 = 1, i/(x,O) = е х , — (х,0) = —.
dt 1 + х
О, хе R\[-h,h],
86. и(х,0) = <h — х, хе [О,А],
h + х, хе [—й,0],
19
где h > 0— заданное число, w'(x,0) = 0.
Построить профиль струны в моменты времени: t = 0, t = hl2а,
t - hl a, t = 2h I a.
a
0
87. l/' (x,0) ~
х е [0, Л],
х е 2?\[0,й].
где h > 0 — заданное число, w(x,0) = 0 .
Построить профиль струны в моменты времени: 1 = 0, t = hl2а,
t = hl a, t = 2h!a.
-a
x e [-й,0],
x e (0,/z],
x e R\[-h,h],
88. l/'(x,O) = <
a
0
где h > 0— заданное число, u(x,G) = 0.
Построить профиль струны в моменты времени: 1 = 0, 1 = Л / 2а,
1 = hl a, t -2h/ а.
89. Найти решение уравнения колебаний полубесконечной струны
д2и г д2и
—^--а —-,
dt2 дх2
удовлетворяющее условиям
г/(х,0) = <р(х) = х2, u'(x,0) = y(x) = sin2x, w(0,l) = 0.
°o,
ии=3х2’ и'у\
= 0.
у=0
В задачах 90-93, полагая и функцией присутствующих в данном
уравнении аргументов X,y,Z,t G 7?1, найти решения следующих урав-
нений при заданных условиях.
90. ^ + 2^-3^ = 0.
дх2 дхду ду2
д2и д2и д2 и п
91. —- + 5-+ 4—— = 0,
дх2 дхду ду2
2 д2и _ д2и д2и 4а2
92. а2—--2а-— + —- = ——
дх2 dxdt dt2 b2
= 12х2, и'\ = 0 .
w|
J2=0
20
"|J=0 =<f>0),
1 U r\ I z . ,1
93’ Aw~?a^ = 0, wl'=°= ф(г)’ =^(г)>
где U = u(x,у, , Г G -Jx + y7 + Z2 (случай центральной сим-
метрии).
2. 5. Смешайная задача (метод Фурье разделения переменных)
94. Найти отклонение u(x,t) от положения равновесия однородной
горизонтальной струны, закрепленной на концах х = 0, х -1. В на-
чальный момент времени струна имела форму <р(х), начальные скоро-
сти определяются функцией \р(х). Внешние силы отсутствуют.
95. Найти отклонение от положения равновесия однородной
горизонтальной струны, закрепленной на конце х = 0, правый конец
которой при х I перемещается так, что касательная к струне в этой
точке остается постоянно горизонтальной. В начальный момент времени
Il I 1ттх 4тгх
струна имела фоРмУ — sin——— COS-----------
15 2/ 21
начальные скорости отсут-
ствовали. Внешние силы отсутствуют.
96. Найти вынужденные колебания однородной струны длиной I,
закрепленной на концах, под действием распределенной внешней силы с
плотностью В начальный момент времени струна имела форму
<р(х), начальные скорости определяются функцией \|/(х)
97. Найти вынужденные колебания однородной струны длиной /,
закрепленной на концах, под действием распределенной внешней силы с
плотностью = sin 0)?. Начальные смещения и скорости отсут-
ствуют.
98. Решить задачу о распространении тепла в стержне длиной I,
на концах которого поддерживается нулевая температура и выполняется
начальное условие u(x,G) = <р(х) . Здесь <р - непрерывна, имеет ку-
сочно-непрерывиук» производную и равна нулю при х = 0 и х - I.
21
99. Решить задачу о распространение тепла в стержне дайной I,
на концах которого поддерживаются заданные переменные температуры
Vi (О > V2 (О и выполняется начальное условие w(x,0) = ф(х) Здесь
V] > V? > 9 _ заданные функции. Иначе говоря, требуется найти реше-
ние уравнения
ди 2 Э2Ц
dt дх2
при граничных условиях
О|х=о = Vi (О, и(х, 0|х=, = V2 (О
и начальном условии
«(*>O|r=o = 9(*)-
100. Найти решение неоднородного уравнения теплопроводности
ди 2 д2и _z .
^7 = “ Т?+ж')'
dt дх
удовлетворяющее однородным граничным условиям
w(x,OLo=O> w(x,0|x=/=0
и однородному начальному условию
w(x,O|z=o =0
в предположении, что функция f(x,t) непрерывна, имеет кусочно-
непрерывную производную по х при х G [0,Z], t > 0 и, кроме того,
/(0,0 = /(7,0 = 0.
101. Найти решение уравнения теплопроводности
ди 2 д2ц . . . 2ЛЛ' 4лх
— = а —- + g(/)sm-----------------cos----,
dt дх2 7 I
удовлетворяющее граничным условиям
w(*/)Lo=O, u(x,t)\x=i=0
и начальному условию
z .1 , . тис 2тис
п(х,0|1=0 =о Sin—COS—j—.
Здесь х G [0,7], t > 0 .
22
102. Решить задачу Дирихле для круга: найти функцию и(х,у),
удовлетворяющую уравнению Лапласа:
д2и д2и
— + —- = 0
дх2 ду2
в круге радиуса 1 с центром в начале координат, и принимающую за-
данные значения на его границе:
и\г =/(<?)•
где f - заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция, (р -
полярный угол.
103. Решить задачу о свободных колебаниях однородной прямо-
угольной мембраны со сторонами длины р и q , закрепленной по кон-
туру, т.е. найти решение уравнения
д2и 7
—у = а'
dt2
д2и ди
удх2 + ду2.
при граничных условиях
и|х=0 = °, и\х=р = 0’
и\у=0 = о, u\y=q = О
и начальных условиях
<Эг/
u\t^=f(x,y\ ~ = F(x,y).
§3. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- ? 1 2
д2и _ х,2 -Зх|
---= — 2х. —------
дх2 ‘ г6
3.1. Дифференцирование
Доказать, что функции, данные в задачах 1—11, являются гармо-
ническими, т. е. удовлетворяют уравнению Лапласа Ди(х) = 0 .
1. и(х) = г~2х}, х = (хх,х2) е R2, г = ||х||.
ди _ х2 - х2 ди
дх{ г4 ’ дх2
д2и _ х.2 -Зху
—- = 2х, ——-—-.
дх2 г
2. м(х) = ех' (х, cosx2 -х2 sinx2), х = (х15х2) е R2
ди г г/
► ——= e ‘L(Xj +l)cosx2-х2 sinx2],
Э2г/ х
—2 = е ' [(Xj + 2)cosx2 —х2 smx2],
X г
-— = -е '[(х. +l)smx2 +х, cosxj,
дх2
д2и
~е ’Кх1 +2)cosx2 -х2 sinx2]_ ◄
3. и(х) = In г ,
где г=||х-^||; x = (xi,x2)^ = (^,^2)g/?2; х^§.
► ди/дхк = г "2 (х, - , к = 1,2,
24
4. i/(x) = In —— сингулярное решение уравнения Лат аса.
г
Здесь- г - ||х-; х,^ G R2; X Ф
, 1
► In— = — In г (см. задачу 3). ◄
г
5. и (х) = —^~2~ сш,гулярное решение уравнения Лапласа.
Здесь г ~ ||х - £,||; х,^ g R"’, т >2; х
ди _ т - 2 хк -
£—<к=1
д2и
т - 2 1
rm Z-ak=\ г2
г~
= 0. ◄
6. м(х) = - потенциал простого слоя.
Г г
Здесь т > 2, Г - граница области Q С R, Xе Q, G Г, ц(^) -
плотность потенциала непрерывная на Г , Г = ||х — £,||.
► Так как подынтегральная функция непрерывна по £, (х Г ) и
бесконечно дифференцируема по X, то функция м(.х) дифференцируе-
ма [5], и ее производная обладает теми же свойстаами Поэтому (см. за-
дачу 5)
г д 1
7. v(x) = |п(£,)---dЛ' -потенциал двоимого слоя
‘ ‘ дп гт~2
Здесь обозначения, принятые в задаче 6 и, кроме того, Г - гладкая, п —
нормаль к Г , о(^) -- плотность потенциала непрерывная на Г .
25
^Tcos(n,^)^r.
► Вычисляя производную по направлению, функцию v(x) запи-
с а
шем в виде v(x) = су(с)~~
г ^к
Так как подынтегральная функция непрерывна по (х £ Г) и
бесконечно дифференцируема по X, то функция v(x) дифференцируе-
ма [5], и ее производная обладает теми же свойствами. Поэтому (см. за-
дачу 5)
Av = jo(£)cos(^ A-Jy^r = 0. ◄
г Г
8. г/(х) —-—---—ядро Пуассона.
► Воспользуемся формулой Лейбница [5].
а2 Гт?2-р2) 1 а2(т?2-х?2) t
ахД rm J~rm' dxl
?s(R2-p2)
дхк
Имея в виду равенства
д_Р_ = ** и Хк ~^к
дхк р дхк г
и суммируя по к, получаем
л A R2 ~ Р2 2п?Г 1 2 2 -> е ч
Дгу = А >- "7^ -1+^(7г +р ~2х^
так как г2 = - х,^ - х) = 7?2 + рг -1хк^к . ◄
. . 1 f ,fc. К - р , „
9. и(х) —- I <р(%)------—аR-формула Пуассона.
s/;(0) Rr
► Здесь приняты обозначения задачи 8. Кроме того, функция <р(£,)
непрерывна на сфере SR (0) и ||х < R , поэтому допустимо дифферен-
цирование под знаком интеграла [5] сколько угодно раз.
26
Используя решение задачи 8, получаем
1 ( R2 — г>2
Ам(х) = — f Ф(^)А \d^Sl{ = 0. ◄
sR(0) к Kr )
10. Дважды непрерывно дифференцируемые функции и(х) и
v(x) (х G Л 2 ), удовлетворяющие условиям Коши-Римана-.
ди _ dv dv ди
дхх дх2 ЙХ] дх2
► Дифференцируя первое из этих уравнений по Xj, второе - по х2
и складывая полученные уравнения (при учете равенства смешанных
производных), приходим к уравнению Лапласа для функции и:
Aw = 0. Аналогично получим Av = 0. ◄
11. Любая аналитическая функция комплексного переменного [5].
► Известно [5], что, если w(z) = и + iv- аналитическая функция
комплексного аргумента X + iy, то функции и и v удовлетворяют ус-
ловиям Коши—Римана. Остается воспользоваться решением предыдущей
задачи. ◄
12. Пусть и(х) = f(F) , X G R”', г = Н, f— дважды диффе-
ренцируемая функция. Показать, что Aw = F (г) и найти функцию F .
ди х, .
► —- = /(r)—, i = l,...,m
дх, г
д2и .„..х2 1 х2
~TF = f w—+ /w--/w—•
dXj r r r
Таким образом, Aw = f(F) + (m- l)r~'/'(r) = F(r) . ◄
13. Пусть X G Rm, функции w(x) и v(x) дважды дифференци-
руемые. Выразить A(wv) через Aw и Av .
► Суммируя равенства
62(wv) д2и _ du dv d2v . .
---7— =—-v + 2----------kw—- (i = l,
dx2 dx2 dx, dXi dx2
получаем
27
A(w) = и Av + vAu + 2^''” uX/ v.; . ◄
Доказать, что функции, данные в задачах 14-16, удовлетворяют
уравнению теплопроводности u't(x,t) — a2 Au(x,f).
14. u(x,t) = 0.5 Н2 +tm (хе Rm , t е R\a = Y).
du
— = m,
dt
du d2u , z. , . .
---= X:, —- = 1 = Au = m . ◄
dx, dx2
। <-x~b'>2
15. u(x,f') =-- ,_в 40 1 - фундаментальное решение уравне-
2аДт11
ния теплопроводности (для однородного тонкого стержня).
Здесь х, teR1; а иЬ - постоянные.
► Находим производные
~ - (x-fe)2 (x-fc)2
ди _-2а t + (x-b) ди _ x-b ДуДф
dt ’ дх
2
т т -> (.х-Ь)
д2и _ - 2crt + (х - Ь) ууу
дх2 8а5 у/Tit5
и подставляем их в выражение и'{ — а2и"хх. ◄
1 f2
16. и(хД') =-,--- 4<~' - фундаментальное решение
(2/n(t-t0)J
уравнения теплопроводности ( Г = ||х — <^||; х, G Rm ; t G Rl ).
► По аналогии с решением задачи 15 находим производные
- т + —-------
2(^ ~~ У )
2
е 4(/-/0)
28
,2
8и =_______е~ 4(/-г0)
8х, 2т+] ^m(t-t0)m+2
_ 1 п (^-^)2
дх* 2m+l^Ttm(t-t0)m+2 L 20-ro) .
4(r-/0)
суммируем вторые производные и сравниваем их сумму с и'.
Aw =
2
Г
-т-\---------
2(Z-Z0)
е 4(/-/0)
17. Доказать, что если функция u(x,t) удовлетворяет уравнению
теплопроводности u't — а2и'хх = 0 {а - постоянная), то функция
v(x,t) = -^-=e 4"?/ -и\ —J-
ayt \а t at
также удовлетворяет этому уравнению. Здесь X, t е 7?1 (/ > 0).
► Находим производные
2
(нижние индексы у производных означают номер аргумента, по которо-
му производится дифференцирование) и подставляем их в выражение
v't — a2v”xx. В результате получаем
1 - —
Ъ' ~ «X = •• г- е 4°2' (г/; - а2и",).
a4t
Согласно условию и'2 — а2и"х = 0 . Поэтому v' — <72v"x = 0. ◄
29
18. Доказать, что функция
w(x) = -(c]e’or + С2еог]
г
удовлетворяет уравнению Гельмгольца Г.и = <72и . Здесь X & R’",
Г = ||х||; С], С2 - постоянные.
Е/и 7 2
Д.-1 Хк = Г ’ П0"
лучаем
Зд _а.г За а.г а _пг
txu = —Cxe —уС2е —2Схе (3-дг) +
г~ г г
+ ~-С2е~аг (3 +аг) = —Схе~аг +^—С2еаг = а2и,
г г г
что и требовалось доказать. Ч
19. Пусть X&R", г = ||х|, функции их(х) и и2(х) удовлетво-
ряют уравнению Лапласа Aw = 0. Доказать, что функция
v(x) = Wj (х) + г 2и2 (х)
удовлетворяет бигармоническому уравнению A(Av) = 0.
► Последовательно дифференцируя, находим
dv ди, п 2 дщ
— = —L + 2x,w, + г —-,
6х,. Sx, Эх,
d2v д2и, _ л ди2 2 д2и? .. , _ „.
-^- = —^ + 2w2+4х,-^- + г2—(/ = 1,2,3).
дх2 дх2 2 ' дх, дх2
Следовательно,
30
Av = + 6г/2 + 4^'^
dUy 2 л
—- + г Ащ
дх,
Учитывая условия Аг/] — Дг/2 = 0, получаем
Эг/,
Av = 6г/2 +4^]Х —
дх,
a2 (Av) .. 1 _
Находя производные-2— (/ = 1, 2, 3) и складывая их, имеем
дх,
A(Av) = 14Aw2+4^
no-
д3иэ д' иу д иг
X -----У + Xi----Г xi У 7
дхдх2 дхдх дх,дх
fl '2 ' 3
= 14Аг/2+4^=]х,-£-(Аг/2)
и, пользуясь тем, что Аг/2 — 0, убеждаемся в справедливости равенства
A(Av) = 0. ◄
20. Доказать, что функция
г/(х, /) = Ф(х + at) + Т(х - at)
удовлетворяет уравнению колебаний струны и"п = а^и^. Здесь Ф, Ч'
- любые дважды непрерывно дифференцируемые функции, x,t е R ,
а - постоянная.
► Находим производные
— = я(Ф'-Ч"), ^- = а2(Ф" + Ч>"), д^- = Ф" + ^"
dt dt2 дх2
и подставляем их в исходное уравнение. ◄
21. Выписать уравнение характеристик (см. § 1) для волнового
уравнения
Агг—L|^ = /(x,n (1)
а2 дг
и доказать, что характеристической поверхностью для уравнения (1) яв-
ляется прямой шаровой конус (характеристический конус)
a2(t-t0)-r2 =0, (2)
31
где х,х° е R"', teR1, г — ||х —x°||,(x°,Z0)-фиксированная точка
(вершина конуса), и = u(x,f) .
► Сопоставляя уравнение (1) с общим уравнением (1) из § 1, при-
ходим к выводу, что в данном случае акк =1, если к — и
^m+i.m+i = ~а ~ (коэффициент при производной по /). Остальные ко-
эффициенты aJk — 0. Поэтому уравнение характеристик здесь имеет
вид
' Эф 1 ГЭф У
---гНг =0- (3)
\J3xk J a \ot )
Рассмотрим нижнюю половину конуса (t < /0 ), т.е. часть, определен-
ную уравнением
г
t0-t----= 0.
а
Докажем, что функция
ф(х,/) = t0 -t----
а
удовлетворяет уравнению (3). Это и будет означать, что конус, опреде-
ляемый уравнением (2), является характеристическим.
Находим производные
Эф _ Эф _ 1 дг хк ~хк
dt дхк а дхк аг
и подставляем их в уравнение (3). В результате получаем тождество
а г сг а~
3.2. Замена переменных
В задачах 22—35, считая и функцией присутствующих в уравне-
нии аргументов X,y,Z,t & R1 и вводя новые переменные, преобразо-
вать следующие уравнения:
22. а) £хи(х,у) = 0 —уравнениеЛапласа',
32
г д2и „ д2и
б) х —- 4- 2ху-----
дх2 дхду
2 д2и д2и
в) у —у-2ху--------
дх2 дхду
полагая х = г cos ср, у — г sin ср
► Имеем
ди ди дг ди Sep
— =--------1------,
дх дг дх Sep дх
до> дг Sep дг
Производные----, —, -—, —
дх дх ду ду
дифференцированием равенств х = г COS ср, у = г sin ф по х и у :
’^ = о;
2 д2и
а/“
(г,if
ди ди'
\ дх dy J
— полярные координаты).
ди _ ди дг ди Sep
ду дг ду Sep ду
(1)
находим из системы, полученной
. dr . Sep _ dr . Sep
1 = cos ср----rsincp—, 0 = cos ср----г sin ср—,
дх дх ду ду
. dr Sep , . dr Sep
O = sincp— + rcoscp—L, l = smcp— + rcoscp —
dx dx dy dy
Отсюда получаем
dr Sep sinep dr . Sep coscp
— = coscp, — =---------— = sinep, —- =----------- . (2)
dx dx r dy dy r
Используя равенства (2), равенства (1) запишем в виде
ди ди ди sinep ди ди . ди cosep
— =— coscp----------, — =— sin ср ч----------—. (3)
дх dr Sep г ду dr Sep г
Дифференцируя равенства (3) и вновь используя равенства (2), находим
S2z/ _ д Г ди A Sr д (ди\д<р
дх2 дг\дх)дх д(р\дх)дх
д2и > ди sin2 ср „ ди coscpsincp д2и sin2 ср
= —у cos2 ср +------- + 2--------+ —----------
dr2 dr г Sep г2 Sep г~
д2и д (диЛдг д (ди\до> д2и
------- — —------1---— —~ =-------уcoscp sinep -
дхду дг\дх)ду дсрудх ) ду дг2
33
2
дг
д2и
r Sep
д (ди\дг д (ди'
ди cos <р sin <р ди sin2 ер - cos2 ер д2и coscp sin ср
Э<р2 г2
Эф д2и . 2 ди cos2 ср
— =—-Sin ф+—-------------
dr^dyjdy dop^dyjdy dr dr г
du cos <р sin ср д2и cos2 ср
Эф г2 Эф2 г2
На основании этих равенств получаем
д2и 1 ди 1 д2и п д2и _ д2и
а) —- +------+ —------ = 0; б) —г = 0; в) ---- = 0. ◄
дг2 г дг г2 дор дг2 дор
д' и д2и
23. --— Н----— = 0 — уравнение Лапласа, полагая
дх2 ду2
X V 2 2 2
а) £ = —у > П = > гДе г = х + У J
г г
б) = с, + апх + а12у , т| = с2 + а21х + а22у ,
где ct и с2 произвольные постоянные, а коэффициенты при х и у
удовлетворяют условиям
а2] + а22 - 1, + а22 — 1, аПа21 + а}2а22 = 0 (1)
(перенос начала координат и ортогональное преобразование осей ).
в) х = <р(£,Т]), у = ф(£,т|)- любая невырожденная замена пере-
менных, удовлетворяющая условиям Коши-Римана:
Эф _ Эф Эф Эф
Э£ Эг] ’ Эт] Э£, )
Доказать, что уравнение Лапласа инвариантно (т.е. не меняет своего
вида) относительно каждой из этих трех замен переменных.
а) ► Имеем
ди ди до, ди Эт] _ ди у2 -х2 ди 2ху
дх д^ дх Эт] дх дЕ, г4 Эт] г4
д2и _ д2и (у2 —х2)2 д2и 4ху(^2 _х2)
дх2 Э^2 г8 Э^Эт] г8
34
д2и 4х2у2 ди 2х(х2 — 3j>2) ди 2у(у2 — Зх2)
<Эг]2 г8 д^ г6 <Эг] г6
Аналогично получаем
ди _ ди 2ху ди у2 - х2
ду д£> г4 <Эт] г4
д2и_д2и4х2у2 д2и 4ху(у2-х2)
'ду2 ~ aV' г8 a^a-q 78 +
+ (у1 _ ди 2х(х2 -Зу2) _ ди 2у(у2 - Зх2)
а?]2 г8 д^ г6 а^ г6
Учитывая эти вычисления, приходим к равенству
'д2и(&,ту) । а2<,ПЙ _ д2и(х,у) + д2и(х, у)
ч а^2 ат]2 ) дх2 ду2
из которого следует, что вид уравнения при данной замене не изменил-
ся. ◄
б) ► Вычисляем первые производные
ди ди ди ди ди ди
— = аи--------h а7, —•, — = а,-, — + «99 -—
дх 11 а^ 21 а^ ду а^ 22 а^
А теперь вторые:
д2и 2 д2и д2и у д2и
—г = —г *" 2а.,,а.2\--------ь «9| —— >
ах2 11 а^2 1 21 ^ат] 21 а^2
д2и 2 д2и „ д2и 2 д2и
—— — а, у —~V + 2<7,74z77--------h tz99 ——.
ду2 12 дС 12 22 а^ат] 22 а^2
Складывая эти производные, вычисляем оператор Лапласа:
a z 2 2 ч д2и „z д2и ,2 7 . д2и
LXU — (ап + й12)—у + 2(<7]1<721 + 4Z]2<722) -+ («21 + «22) ~ э
дс, <х,от] ат]-
Используя условия (1), получаем
в) ► Дифференцируя функцию и ~ ?7(ср(^,д), у(Э,,д)) по пере-
менным Д и используя условия (2) Коши-Римана, получаем
ди ди Эф ди Эср ди _ ди Эср ди Эср
Э£, дх д'^ ду Эд ’ Эд дх Эд ду Э£
Аналогично вычисляем вторые производные
д2и Эср Эср + д2и 'ЭсрЛ
дхду Э£ Эд ду2 Эд J
ди Э2ср
2
д2и д2и( д(р
~д^~ дх2
ди Э2ср
2 д., деа~
+ 2 ^9 дф + д2и ^Эср^ +
дхду д^ Эд Эд2 ^Э^
ди Э2ср ди Э2ср
дх Эд2 ду Э^Эг
Складывая два последних равенства, получаем
д2и д2и
2 + -.2
д2и д2и^д(р
дх2 ^Эд
Эд2
Эср
Эср
д2и д2иУ
а7+а7>
ди Э2ср Э2срч
+ эЦэ|т + эд7>'
Первое слагаемое правой части равно нулю по условию, а второе — со-
гласно решению задачи 10. Таким образом, приходим к уравнению
д2и д2и
—г + —Г = 0>
Э^2 Эд
что и требовалось доказать. ◄
ди д2и
24. — =-----— — уравнение теплопроводности (для однородного
dt дх
тонкого стержня), полагая
1
t
2
и, $=Х-
4Г
t
36
Доказать, что оно инвариантно (т.е. не изменяет своего вида) отно-
сительно данной замены переменных.
► Обратите внимание на то, что здесь заменяются не только аргу-
менты х и t, но и функция и .
Дифференцируя по х равенство
v(^(x,O,T(O) = Vz esw)w(x,0, (1)
получаем
dv 1 г х s г s du
----= y/t—е u + y/t е —.
d^t2t дх
Разрешим последнее равенство относительно производной и по
ди 1 с dv х
— = —ре------------и.
дх t4t д^ 2t
Продифференцируем полученное равенство по х :
д2и х _s dv 1 _s d2v 1 x ди
~дё~~2t24te ^+~t\jte ~de~Ttu~Tt^'
Пользуясь равенством (2), получим выражение второй производной
и по х в новых переменных
д2и х _s dv
—- =------------р е " —
дх t24t dt,
Продифференцируем по t равенство (1)
х dv 1 dv 1 s х2
1 a2v i
—f=e —--------и —
Ji 2t
х ди
2t дх
(2)
(3)
X :
е Г S ди
— -----+ —-----— —е"и--------pe'u + yte —
t dt, t дх 2t 4ty/t dt
Разрешим это равенство относительно производной и по t
ди х _< dv 1 _с dv 1 х du
dt t24t t2-Jt дх 2t 2t dx
Приравнивая в силу исходного уравнения теплопроводности пра-
вые части равенств (3) и (4), получаем
dv d2v
д2и du du
—- + x— + у— = О,
дуг dx ду
(4)
д2и
дх1
37
полагая = Inyx + 71 + х2 у, т) = In + д/1 + у2 J.
► Дифференцируя сложные функции, находим
ди ди 3S, ди 1
дх д£> дх дд, 71+ х2 ’
д2и д (ди~\д^ ди d 1 _
дх2 д^ дх J дх д^ дх <Л/1 + х2 ,
д2и 1
" с^2 1 + х2
ди х
ди ди Зд ди 1
ду Зд ду 5д 71+ / ’
, Z \ С Л
д2и д | ди | Зд ди d 1
ад2 ад [ ду J ду ад ay ^Ji+y2 ,
д2и 1 ди х
d^i + y2 ад^1+у2у ’
Подставляя полученные выражения в исходное уравнение прихо-
дим к уравнению Лапласа
д2и а2 и
aV ад2
о. ◄
чг—v» (3 U х-'чи? г г/ \
26- Ък-хак^у + 2Ък-хЬк^-+си^
к дхк к' дхк
полагая и{х) = £v(x), Е = ехр(- ^”=1 (bk /ак )хк),
где ак, Ьк - постоянные, ак >0 (к х = (х} ,...,хт)
► Выразим производные функции и через функцию v и ее произ-
водные
ди ( dv bk 7 д2и _ f a2v Ьк dv Ь2к '
ахл [дхк ак )’ дх2к [дх2 ак дх а2к ?
38
После подстановки полученных выражений в исходное уравнение
приходим к уравнению
Я2 ( г2 \
° V V’"' ° к Г-1 С/ \
> а, —- - > — -с v - Е f(x),
ca/t у ak j
В котором не содержится первых производных. Этот результат распро-
страняется на все эллиптические уравнения после их приведения к кано-
ническому виду. ◄
d2u d2u _,ди . , .
27. —т-а—-+2Ь-------------\-CU (а,Ь,С>0) - телеграфное
дх2 dt2 dt
b
- - f
уравнение (одномерное), полагая u(x,f) = Ev(x,f), Е = ехре " .
► Имеем
„,5г/ _Ь2 „6г
2Ь — = -2 — Ev + 2ЬЕ —,
dt a dt
Э2и
а—- =
dt2
Ь2 Г „.„Sv 17
— Ev - 2bE h aE ——
a dt dt2
d2u „d2v
—T = E—T-
dx2 dx2
После подстановки полученных выражений в исходное уравнение
приходим к уравнению
d2v d2v ,
—г = °) Г +
dt2 dx2 1
1 , b -ас
где «]= — ,£?]=------— .
а а
Таким образом, в результате произведенной замены член уравне-
ния, содержащий первую производную, исчез. ◄
d2u du , du _ , .
28.------И a — + b-----i-cu = 0 (a,b,c- постоянные),
dxdy dx dy
полагая u(x,y) = Ev(x, y) , E = ea'v+₽J и выбирая постоянные oc,|3
так, чтобы преобразованное уравнение не содержало первых производ-
ных.
39
dv
dv
(dv ) _ ди [ dv п _
=-----hav Е, —= —• + pv Е,
дх
d2v dv dv
= ----+ Р-— + a— + apv h,
. дхду дх ду
► Выразим производные функции и через функцию V и ее произ-
водные:
ди
дх
д2и
дхду
и подставим их в исходное уравнение. В результате получаем уравнение
d2v , ^ди ,, .ди z Л
------i- (а + Р)-ь (Ъ + а)-— + (ар + аа + Z?p + c)v = 0.
дхду дх ду
Выбирая а = — b , Р = —а, приходим к уравнению
a2v
-----+ с} v = 0,
где С; = с — ab . ◄
д2 и __ д2и д2и
29, а—z- + 2Z?
дх2
полагая
д2и _( ди ди \ п
+ с—- + F х,у,и,—,— =0,
( дх ду)
дхду ду
(1)
(2)
(3)
^ = ^(x,y), Т| = Т)(х,^).
Здесь а,Ъ,с — заданные функции от х и у, не обращающиеся в
нуль одновременно и имеющие непрерывные производные второго по-
рядка, а функции и Т] предполагаются дважды непрерывно диффе-
ренцируемыми с якобианом
а(^,т|) _ д^ аг| а?] Q
д(х,у) дх ду ду дх
в некоторой области О CZ R2.
► Имеем
ди _ ди д^ ди 5т] ди ди дЕ ди Sr]
дх д^ дх Эт] дх ’ ду д^ ду dr] ду ’
^т] д2и (дг\'
д^дг\ дх дх dv\2 у Эх,
д2и _ д2и f д^
дх2 d^2
40
ди 62^ ди <Э2т]
дх2 <Эт] дх2
д2и _ д2и ' dt,''2 ^2 д2и +
ду2 dt,2 Jdy^ д^дг\ ду ду бд2^;^
ди 52£, ди д2т\
dt, ду2 <Эт] ду2
д2и _ д2и dt, dt, д2и (dt, <Эт] dt, Эд'' д2и 6д ад ।
дхду dt,2 дх ду б^ад^Зх ду ду дх J <Эт]2 дх ду
ди d2t ди д2т[
_j---------f- -—— - .
<Э^ дхду од дхду
Подставляя вычисленные производные в уравнение (1), вновь при-
ходим к квазилинейному уравнению с неизвестной функцией и и неза-
висимыми переменными t, и Г]:
~ д2и ~ д2и ~ д2и
а —— + 2о —-------- _
dt,2 dt,dr\ Зд‘
~ди с ди ди]
+ с—- + /< t,v\,u,—,— =0,
ад2 I? dt, drij
где
+ 24^
дх ду
ч пг^Т] Sr] f дт]^
\дх J дх ду ду
ч 5т| , (dt, ar| dt, ar| dt, ат|
дх дх ду ду дх) ду ду
F - функция F, в которой старые аргументы выражены через
новые. ◄
30. Доказать, что если в задаче 29 исходное уравнение линейно то
преобразованное уравнение тоже линейно.
► Доказательство следует из того, что производные по старым ар-
гументам линейно выражаются через производные по новым. ◄
41
31. Доказать, что предложенная в задаче 29 замена не меняет типа
исходного уравнения.
► Вычислим выражение ас — Ь2, составленное из коэффициен-
тов уравнения (4) задачи 29, предварительно вычислив его составные
части:
ас
Г Э^ЭдУ
а-----
V дх дх )
+2аь^ы^+
дх дх у дх ду
' д^ Эд^ ( д^ Эд^
удх ду ) уду дх
дЕ, д^ Эд Эд
дх ду дх дуу
Ь2
+ 2Ьс——\ +
Э£, Эд^
с---------
f Э^Эд^
- а------
дх дх j
д^ Эд ( д^ Эд Эс, Эд
+ lab----------------------1---------
_ Э£ Э£ Эд Эд
+ ас 2———1—
+ 2&с Г
2
+ Ь21
с£^Эд
Вычитая из первого равенства второе (сокращается все кроме выделен-
ного квадратными и фигурными скобками), получаем
ас
ас -
Второй сомножитель правой части не обращается в нуль в рассматри-
ваемой области согласно неравенству (3) задачи 29 и поэтому он поло-
жителен. Таким образом, знаки выражений ас — Ь2 и ас —Ь 2 совпа-
дают. Что и требовалось доказать. ◄
д2и д2и д2и _ ,
32. а —— + 2о-------1- с —- = и (а, о, с — постоянные),
дх2 дхду ду2
полагая £, = х + а,у, д = х + сс2д, ас - Ь2 < О
42
и выбирая постоянные (Х,, сс2 так, чтобы преобразованное уравнение
имело наиболее простой вид.
► Воспользуемся решением задачи 29. В данном случае F = 0.
Вычислим якобиан предлагаемой замены:
^). = а _а
д(х,у)
Потребуем, чтобы ОС] ^сс2, и выпишем для рассматриваемого
случая преобразованное уравнение (4) из задачи 29:
, 2 ч <?2г/ _. , с2 и
(осе, +2ооС] +а)—^- + 2(соС]СС2 +Ьах +оос2 +а)----------------h
д£,дг\
, ? х д2и
+ (ссс, + 2рсс2 + а)—7 = 0. (1)
dr]"
Выберем в качестве СС],СС2 корни уравнения
ссс2 + 2Ьа + а = 0,
которые вещественны и различны в силу условия ас - Ь2 < 0 . Заме-
тим, что в этом случае
ССС]СС2 +6(сС] +сс2) + а 0.
Таким образом, исходное уравнение привелось к каноническому виду
32ц п
--------------------------------= 0. ◄
д^дг{
д2 и 82и 82и ё2 и
33. —— = —— Ч------г- -I-т- — волновое уравнение,
St2 дх2 ду2 dz2
t-Vx v x-Vt „
полагая т = ..... --, с, = - ... ~ , T| = у, C,= z.
Vl-F2 Vl-r2
Это так называемое преобразование Лоренца. Здесь для простоты
скорость распространения волны принята за единицу. Соответственно и
постоянная скорость V движения одной галилеевой системы координат
параллельно оси х относительно другой меньше единицы.
Доказать, что волновое уравнение инвариантно (т.е. не изменяет
своего вида) относительно данного преобразования.
► Вычислим первые, а затем вторые производные:
43
ди du dt, ди дх _ 1 J ди у ди
дх dt, дх дх дх 71-И2
ди 1 Г у ди + ди j
dt у]1-у2 I St )’
S'и _ 1 (д2и 2jZ S2w +j/2S2w'1
&2 ’l-l/2^'2 S§St+ Sr2 J’
d2u _ 1 ( 2 d2u c2n a2«'|
а2 1-й2 [ a§2 a& + &t2J'
Поскольку TJ — у , = Z , то ясно, что
д2и _ д2и д2и _ д2и
'^2~д^, ~д?~~д^'
Остается выразить в новых переменных разность
д2и । _ д2и дги с2и дги _
1 Г 2 б2и д2и дги 2 а2и^ В2и д2и
а2« .
_ йт2
» 1 92« А
34. Ли----—— 2~ = 0 - волновое уравнение, полагая
и = u(x,f),xeR’, t g Rl ,1 = t + r/a, ^ = x, r = ||x||.
► Имеем
du du d2u d2u du du x. du
•—~ t = —т» — = — <-----------—
dt dx dt2 dx2 dxt dt, ar dx
44
д2и 8'и + 2Х> d1™ + ж,2 Э2« + 1 С Ц'18«
&,2 85? аг 85,8т а2 г2 дх2 ar г2 J 8т
Подставляя полученные выражения для производных в исходное
уравнение, получаем уравнение в новых переменных
52и д2и 2 д (г ди ди )
85? 852 аг 8т '85, "’85,,, J
д2и д2и д2 и д2и д2и д2и
35. —г-+—т +—7+--------+----+------= 0,
дх2 ду2 dz2 дхду dxdz dydz
полагая t, = y + z-x, x\ = x + z-y,C>-x + y-z.
► Дифференцируя и как сложную функцию, находим
ди ди ди ди ди ди ди ди
~дх~~~д^+ап + аС ар ~а^-а^ аС
ди _ ди ди ди
dz д£> от] а^
Далее, вычисляем вторые производные:
_ д2и + д2и + д2и д2и д2и
~ 8t,2 Sr,2 852 858п 8585 дцд^’
д2и _ д (8иУ д (8и\ д (ди
дхду 8t, t дх J 8t]^8s:J 8548^7
_ д2и д2и д2и + 82и
*”85Г~ 8?f+852'+ 858г|
Вычислив аналогично остальные вторые производные, получаем
уравнение Лапласа
д2и д2и д2и „
—г+—г+—5- = 0-4
852 8п2 852
45
3.3. Метод характеристик
3.3.7. Приведение к каноническому виду
В задачах 36-54, полагая и функцией присутствующих в данном
уравнении аргументов X^y,t GjR1, используя метод характеристик
(см. § 1), определить тип и привести к каноническому виду следующие
уравнения.
д2и 2
36. = а —тг уравнение колебаний струны.
dt2 дх2
► Данное уравнение имеет гиперболический тип (проверьте!). Со-
ставим уравнение характеристик:
/2 2/2 Л
ф, -а фЛ =0,
из которого следуют равенства
ф^-4Гф,=0 , (р'+й(р^-О.
Соответствующие им обыкновенные дифференциальные уравнения
dx — adt = 0, dx + adt ~ 0
имеют интегралы
х - at = С и х + at = С.
Поэтому функции ф, = х — at и ф2 = х + at являются решениями
уравнения характеристик. Введем новые независимые переменные
= х — at и = ха-at.
Перейдем от старых независимых переменных к новым, воспользо-
вавшись уравнением (1) из решения задачи 34, положив в нем а, = —а,
а2 = а.
Таким образом, исходное уравнение приведем к каноническому виду
а^ат]
Разумеется, этот переход можно произвести непосредственно, вы-
ражая производные функции и по старым переменным через производ-
ные по новым переменным (проверьте!). ◄
46
► Произведем следующую замену: у(х,у) = хи(х,у). Исходное
уравнение приобретет вид
д2у _ д2у
дх2 ду2
Это уравнение является частным случаем уравнения из задачи 36 при
а = 1 и, следовательно, имеет гиперболический тип во всех точках
плоскости (х, у). Заменой % = х~ у и Г) — х + у оно приводится к
d2v _
каноническому виду----= U (проверьте!). -4
. д2и дги .
38. —;-+2------+ —, = 0
дх' дхду ду
► Составим уравнения характеристик
ф'/±2ч>Х+ф'/ =°-
которые представим в виде
(ф«±ф^)2 =0-
Соответствующие им обыкновенные дифференциальные уравнения
dx + dy = Q
имеют соответственно интегралы X + у — С. Поэтому функции
ф = х + у являются решениями соответствующих уравнений характе-
ристик.
Поскольку в данном случае для каждого из уравнений имеется
только одно семейство характеристик, то оба эти уравнения параболиче-
ские, Поэтому, согласно § I, введем новые независимые переменные
= х + у И Т] - х.
Заметим, что якобианы наших замен равны ±1-^0. Перейдем от
старых независимых переменных к новым. Имеем
ди _ ди ди ди _ _ ди
дх д^ dr\J ду д^
д2и _ д2и д2и + д2и
дх2 д^дх\ + дх\2 ’
47
2 Э2« д2и дги _д2и
дхду д^2 дг}д£, ’ ду7 д£,2
Складывая, согласно исходному уравнению, последние три равен-
ства, получаем, что в новых переменных исходные уравнения приобре-
ла Л
тают каноническим вид —— = 0 Ч
ап2
39.
д2 и ! 2 52и ^д2и
дх2 дхду ду2
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас-b2 =-3 + 1 <0,
т.е. данное уравнение имеет гиперболический тип во всех точках плос-
кости (х,_р). Составим уравнение характеристик
ф'г2 + Зф'.ц/ - Зф^,2 = 0,
которое представим в виде
(Ф, -Ф^ХФх +3ф'р) = о.
Из уравнений
Ф* ~ Фу = 0 и ф* + Зф'у = о
получаем соответствующие им обыкновенные дифференциальные урав-
нения
dx + dy = 0 и 3dx -dy = 0.
Их интегралами будут соответственно
х +у = С и Зх — у ~С.
Поэтому функции ф1 = х + у и ф2 = Зх — у являются решениями
уравнения характеристик. Перейдем к новым независимым переменным
2, = X + у И = Зх - у.
Заметим, что здесь можно сразу выписать канонический вид
^ = о,
а^ат]
поскольку исходное уравнение содержит только вторые производные, а
коэффициенты при них постоянные. Саму же замену найти полезно,
имея в виду получение в дальнейшем решения исходного уравнения. Ч
48
ди . д2и 3 и
40. —г + 5-----+ 4—г = 0.
сх дхду By
► Определяем тип уравнения. В данном случае имеем
ас-b2 = 1-4 —(2,5)2 <0,
т.е. данное уравнение имеет гиперболический тип во всех точках плос-
кости (х, у). Составим уравнение характеристик:
<р'х2 + 5ф/[ф ч-4«р^2 =0,
которое представим в виде
(фл + ф>)(ф', +4ф«) = 0.
Из уравнений
= 0 и ф* + 4(р'г = 0
получаем соответствующие им обыкновенные дифференциальные урав-
нения
dy — dx = 0 и dy - - 4dx = 0 .
Их интегралами являются равенства
у — х = С и у — 4х — С.
Поэтому функции ф; = у — х и ф7 — у — 4х являются решениями
уравнения характеристик. Перейдем к новым независимым переменным
% = у — х и т\ = у~4х.
Имея в виду замечание, приведенное в решении задачи 39, в ре-
зультате получаем канонический вид исходного уравнения
^ = 0.ч
д2и , д2и S2w
41. ----6------+ 13----7 = 0.
дх2 дхду ду
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас -h1 = 13-3>0,
т.е. данное уравнение имеет эллиптический тип во всех точках плоско-
сти (х, у). Составим уравнение характеристик:
ф'/ -бф^ф^ +13ф'/ =0.
49
Решения этого уравнения комплексные и комплексно сопряженные. Со-
ответствующие ему обыкновенные дифференциальные уравнения имеют
вид
ady = (b± i^cic — b1 )dx или dy = (—3 ± 2i)dx
Интегралами этих уравнений являются равенства
у 4- (3 + 2i)x - С.
Отсюда получаем комплексно сопряженные решения уравнения харак-
теристик
ф, = _у + 3х — 2xi и ф2 = y + 3x + 2xi.
Согласно методу характеристик (см. § I), для приведения исходного
уравнения к каноническому виду нужно сделать замену независимых
переменных
= у + Зх, Т] = —2х.
Имея ввиду замечание, приведенное в решении задачи 39, в резуль-
тате получаем канонический вид исходного уравнения
д2и д2и „
---- +---7 = 0. Ч
at,2 дг}2
д2и д2и t ди
42. —— = До —— + £?0---F CqU — телеграфное уравнение.
дх dt dt
Здесь постоянные а0, Ьо, с0 > 0 .
► Определяем тип уравнения. В данном случае имеем
ас-Ъ2 =-а0 <0,
т.е. уравнение имеет гиперболический тип во всех точках плоскости
(х, у). По аналогии с решением задачи 35 введем новые независимые
переменные
—-JgqX и т] = t + у[а^х .
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди I—ди I—ди ди ди ди
— - —Jan---------1- , — - — ч-----,
& V V Sf
д2и ( д2и . д2и д2и
дх2 8t,dri dri2J
50
д2и ( д2и „ с2 и д2и'\
st2 \a§2 а^т) dr)2}
Сравнивая, согласно исходному уравнению, последние две строки и
учитывая последние два слагаемых правой части исходного уравнения,
получаем канонический вид исходного уравнения
д2и Ь(, (диди\ сп
------+ —--I---------+——и = 0 ч
дЕ,дх] 4о0 дг\) 4о0
д2и л д2и л д2и -ди ^ди
43. —~ + 4-----+ 4—- + 3— + 6— = 0.
дх2 дхду ду дх ду
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас-Ъ2 = 4- 4 = 0,
т.е. данное уравнение имеет параболический тип во всех точках плоско-
сти (х9у) Составим уравнение характеристик
ф^2 +4ф'Лф^ +4ф'^2 =0,
которое представим в виде
(ч>; +2ф;)2=о.
Соответствующее ему обыкновенное дифференциальное уравнение име-
ет вид
dy — 2dx — 0.
Интегралом этого уравнения является равенство у — 2х = С. По-
этому функция ф = у — 2х является характеристикой.
Введем новые независимые переменные
?= у — 2х и т\ = х.
Вспоминаем, что в параболическом случае имеется одно семейство
характеристик, которое диктует выбор одной новой независимой пере-
менной (в данном случае £,). Вторую независимую переменную можно
выбрать произвольно, лишь бы замена была не особой. В данном случае
так оно и есть, поскольку якобиан нашей замены равен —1^0.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
^ди ,.ди ^ди ^ди ^ди
3—= -6— + 3—, 6—-6 —,
дх д^ дт\ ду д£>
51
д2и дги д2и дги
—7 = 4—--4-----+ —г,
дх2 SQ д^
4^-=-
дхду
од2и л д2и ,д2и дги
-8—т + 4-----, 4—- 4 —.
aV аг^п ду2 st,2
Складывая, согласно исходному уравнению, все пять уравнений, полу-
чаем, что в новых переменных исходное уравнение приобретает канони-
ческий вид
^ + 3^ = 0 «
St) St)
э д2 и _ д’ и д2и Да»
44. аа —— — 2a(i —— + —— = —— и (си, Ос,- постоянные).
0 дх2 ° dxdt dt1 b2 ° °
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас-b2 = а<, -а} =0,
т.е. данное уравнение имеет параболический тип во всех точках плоско-
сти (х,у). Пусть а0 * 0. Составим уравнение характеристик
а;; ср'/ -2а0ср^ср^, +ср^2 =0,
которое представим в виде
(«u'Pz — <Р/)3 = 0.
Выпишем соответствующее ему обыкновенное дифференциальное
уравнение
dx + aodt - 0.
Интеграл этого уравнения имеет вид
х + aot = С.
Поэтому функция ср = х + dQt является решением уравнения характе-
ристик. Введем новые независимые переменные (см. задачу 43)
- X + И Т] = X.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди ди ди ди ди д2и _ 2 д2и
дх д^ дг\г dt ° д£> dt2 ° д^2
52
д2и_д2и д2 и дги д2 и _ д2и д2и
dx2~dt,2 + a^an + 3n2’ ^xdt~a°^ + a'> дуд'у ‘
Подставляя вычисленные производные в исходное уравнение, получаем
канонический вид этого уравнения
а2г; 4 ч
ТТ = ТТ«(^Л)-
8п2 Ь2
2 д2и a2U 2 д>ги
45. у2—-~2ху-------+ х2—- = 0.
дх2 дхду ду2
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас-b1 =х2у2 -х2у2 =0,
т.е. данное уравнение имеет параболический тип во всех точках плоско-
сти (х, у). Пусть х 0 и у Ф 0. Составим уравнение характеристик
^2(Рх2 ~^ху<р'хЧ>[ +х2(р'у2 = о.
которое представим в виде
(М-х<|\)2 =0.
Соответствующее ему обыкновенное дифференциальное уравнение
xdx + ydy = 0.
Интеграл этого уравнения имеет вид
Поэтому функция ср = х1 + у2 является решением уравнения характе-
ристик. Введем новые независимые переменные (см. задачу 43)
^ = х2 + у2 и Г] = х.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди _ 8и ди ди „ ди
— = 2х— + —, —-2у—,
дх dt, дг] ду ду
г д2и л 2 2 д2и „ г д2и д2 и _ , ди
у —г = 4х2у2—- + 4ху2--------+ у2 —-+2у—,
&2 ay “ a^an an2 aij
д2 и 2 2 й2и 2 дги
—2ху-----= -Ь у —- - 4ху---------,
дхду д^~ дт]6£,
53
2 d2U .22 S2и „ ди
х2 —- = 4х2у —- + 2х~ —.
дуг а<2 as,
Складывая, согласно исходному уравнению, последние три равен-
ства, получаем, что исходное уравнение приобретает вид
? d2U -) 2х ди ~
/т-т + 2(х2+/)—= 0.
dr] ос,
Выражая коэффициенты в этом уравнении через новые переменные,
окончательно получаем канонический вид исходного уравнения
д2и 2£; ди _
ап2 +?-п2
Если же X- 0 или у = 0, то, очевидно, что исходное уравнение
д2и д2и
имеет каноническим вид —т- = U или —— = U соответственно, -Я
дх1 ду1
-> д2и п д2и 2 д2и ди ди п
46. х~—-~2ху-------+ у —^ + х—+у — = 0
дх2 дхду ду" дх ду
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас-Ъ2 = х2у2 — х2 у2 =0,
те уравнение имеет параболический тип во всех точках плоскости
(х, у). Пусть ху 0. Составим уравнение характеристик
х2<р^2 -2ху(р'хср'у +у2(р'у2 =0.
которое представим в виде
Ор', — =0-
Выпишем соответствующее ему обыкновенное дифференциальное
уравнение
xldx + y~'dy = 0.
Интеграл этого уравнения имеет вид ху = С. Поэтому функция
ср — ху является решением уравнения характеристик. Введем новые не-
зависимые переменные (см. задачу 38)
1, = ху и -q = >.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
54
д7и
д2и
ди ди ди ди
дх ? dt ’ ду dt,
ди
dq’ " дх7 " ' dt,2’
д и _ 2 2 ди о 2 д и ди
~2хУ~^- = -2х У -^Т~2ху ~^~2ху~№’
дхду dt, д^дг\ dt,
уди у у д и _ 2 ди уди
У —х = ху~—т + 2л> ------------+У -V
ду2 dt, дг\~
Складывая, согласно исходному уравнению, последние три равен-
ства и учитывая последние два слагаемые исходного уравнения, получа-
ем, что оно приобретает канонический вид
д2и + 1 ди _
5q2 г) Sq
Если же X = 0 или у = 0 (но не одновременно), то очевидно, что
исходное уравнение имеет канонический вид
д'и 1 ди . дги _i ди
---— + у ---= 0 или —- + X --------= О соответственно, -я
Эр2 ду дх2 дх
2 д2и 2 д7и ди _
47. у1—- х - —2х— = 0.
дх7 ду1 дх
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас-Ъ2 = х2у7 <0,
т.е. данное уравнение гиперболическое во всех точках плоскости (х, у),
в которых ху*0. Если же х = 0 или у = 0, то очевидно, что исход-
ное уравнение является параболическим н имеет канонический вид
д2и „ д2и 2 ди
—- — 0 или —— I---------= 0 соответственно.
дх2 ду х дх
Составим в случае ху 0 уравнение характеристик
J?2(Px2 — %2 Фу2 “0,
которое представим в виде
(М - х<ру )(у^х + Х(р’у ) = 0
55
Выпишем соответствующие ему обыкновенные дифференциальные
уравнения
xdx — ydy — 0, xdx + ydy — 0.
Интегралы этих уравнений имеют вид
х2 —у2 = С И х2 + у2 =С
соответственно. Поэтому функции
(pj = X2 — у2 И ф2 ~ X2 + у2
являются характеристиками. Введем новые независимые переменные
£ = х2- у2 иг\=х2+у2.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди _ (ди ди । ди _ (ди ди\
— = 2x1-------------1- — , — = —2 у-----------,
дх ду J
2 д U . 2 2 д И 2 2 д U
у —V = 4х2у2 —- + 8х2 у ------+
дх2 д^2 д^дц
+ 4х2У^ + 2/
' ап
ди ди ।
2 .22 32г< о 2 2 32и
- х2 —- = -4х у —- + Яху------------
ду2 sf а§ап
. 2 2 д U _ 71
“ 4х2у2---- + 2х2:
д^2
ди ди
5т)
Складывая последние два равенства и учитывая последнее слагае-
мое исходного уравнения, получаем, что исходное уравнение приобре-
тает вид
16xVS?-2(x2 -2)™+2(У -3x2)f^=O.
c^dr] д^ dr)
Выражая коэффициенты в этом уравнении через новые переменные,
окончательно получаем канонический вид исходного уравнения
д2и ди 2Е, + т) ди
ЙА, + 2g2 -п2)+ 2g2 ~П2) ЗП
ди ди
дх ду
= 0
д2и _ д2и 2 (ди
48. —- + 2-----+ cos х—- — ctgx\-------1-
дх2 дхду ду2
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ac -h1 = cos2 х -1 < 0,
т.е. данное уравнение имеет гиперболический тип во всех точках плос-
кости (х,у), в которых определены его коэффициенты, т.е. там,
где х & кя, к— целое. Составим уравнение характеристик
фх2 + 2фхф'у +cos2 х ф^“ = 0,
которое представим в виде
(ф'х + (1 - sin х)ф ' )(фх + (1 + sin х)фу ) = 0.
Ему соответствуют обыкновенные дифференциальные уравнения
(1 — sinx)dx — dy = 0, (1+ sinx)dx-dy = 0.
Интегралы этих уравнений имеют вид
у — х — COSX = С и у — X + COSX = С.
Поэтому функции
ф, - у — X— COSX И ф2=>>— X+COSX
являются решениями уравнения характеристик. Введем новые незави-
симые переменные
£=у — X — COSX И Т] = у — X + COSX .
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди , . „ди , . лди ди ди ди
— "(sinx-1)-----------(sinx + 1)—, — = ,
дх дт\ ду д^ дг\
д2и . 2 д2и . 2 п д2и
— = (smx-l) —-2(sm х-1)——+
& ci,
2 д2и |
+ (smx + l) —- + cosx
Sr] 1
82и __.
ди ди
8^ 8г)
. д2и 82и д2и . д2и
2-----= 2(sin х -1)—т - 4------2(sin х +1)—-,
дхду 8^ 8^8г[ <>]
, д2и 2 82и „ 2 82и > д^и
cos х—r- = COS х—- + 2cos х--------и cos х—
ду2 8^ dt.8^ Эп
57
Складывая, согласно исходному уравнению, последние три равен-
ства и учитывая последнее слагаемое этого уравнения, получаем, что
исходное уравнение приобретает вид
ди ди\
л д2 и I
-4sm х — + cosx
I
_ cosx f x _ x+w++™ , 0
sin эс de, dr) vt, Sr) J
Отсюда окончательно получим канонический вид исходного уравнения
, бги 2 „
49. у- - + Х2-----7 = 0.
а-2 By2
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас — Ь2 = х2у2 > 0,
т.е. данное уравнение имеет эллиптический тип во всех точках плоско-
сти (х, у), в которых ху * 0. Оси координат - линии параболичности.
Составим в случае ху Ф 0 уравнение характеристик
дп,
.. ди
ди ди
St,
Эг] д^ Эт]
которое представим в виде
04 - '^4>у )(УЧ>'г + гхфр = 0.
Соответствующие ему обыкновенные дифференциальные уравнения
имеют вид
xdx - iydy = 0, xdx + iydy — 0.
Поэтому функции cpj — X2 — iy2 и (р2 — X2 + iy2 являются решения-
ми уравнения характеристик. Введем (см. § 1) новые независимые пере-
менные
^ = Х2 ИТ|=/.
Перейдем от старых независимых переменных к новым Имеем
ди п ди ди ди
— = 2х—, — = 2у—,
дх д^ ду dr]
58
д2и . д2и „ Ви д2и 2 д2и ди
'дх2" * aiF+ ар а/~ у дг1г+ ап'
Подставляя вычисленные производные в исходное уравнение, получаем
, д2и „22 д2и 2 ди 2 ди „
2х2у2—г + 2х2/—- +у2— + х2— = 0
л aij2 ап2 аг, ап
Выражая коэффициенты в этом уравнении через новые переменные,
окончательно получаем канонический вид исходного уравнения
д2и д2и 1 ди 1 ди п
—=-+—, +---------+----= 0. -«
а§2 ап2 2^ а< 2Л ап
, д2и 2 д2и „
50. х2—--у2—=- = 0.
а,-2 А,2
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
т.е. данное уравнение имеет гиперболический тип во всех точках плос-
кости (х,у), в которыхху АО. А оси координат являются линиями
параболичности.
Составим в случае ху & 0 уравнение характеристик
2,2 ,2,2 А
х Фг -у =0,
которое представим в виде
(мр г - >4 )(-иР > + >4 ) " ° -
Выпишем соответствующие ему обыкновенные дифференциальные
уравнения
x~ydx — —yxdy, х-1 dx — y~ldy.
Функции
ф, =xy и <p2 - уIх
являются характеристиками. Введем новые независимые переменные
= ху И 1} = у/х.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди ди у ди ди ди 1 ди
дх V д<^ х2 От) ’ ду д^ х dr)
59
2 д2и 2 2 О 2 у2 d2jj
—т^х 7 у 2—--2/-----+ —Г>
дх7 aV х7 дп
2 d7U 2 2 и о 2 б*и У2
У 2 ~ X У 2 2.У 2 й 2 ‘
дх- д^ д^дг\ X dr)
Подставляя вычисленные производные в исходное уравнение, получаем
канонический вид исходного уравнения
д<^дг\
д7 и ди п
51. у—— + —г- = 0 (уравнение Трикоми).
Pv-2 А>2
► Определяем тип уравнения. В данном случае имеем
ас — Ъ7 = у.
Поэтому данное уравнение имеет эллиптический тип прид2 > 0, пара-
болический при у = 0, гиперболический при у < 0. Такие уравнения
называют уравнениями смешанного типа.
Составим уравнение характеристик
/2 , ,2 п
Д/’фЛ + ф^ =V.
При у > 0 решения этого уравнения комплексные и комплексно со-
пряжены. Соответствующие ему обыкновенные дифференциальные
уравнения имеют вид
ady ~ (b ± hjac~b2 )dx = 0 или -Jydy + idx = O.
Интегралами этих уравнений являются равенства
3
Отсюда получаем решения уравнения характеристик
3 v
Для приведения исходного уравнения к каноническому виду, нужно
сделать (см. § 1) следующую замену независимых переменных:
60
1 2 I—
= 2 (<Pi + <P2= 3 ’ .
n = 777 (<Pi (*, .Г) - Фг (*. .У)) = *
2i
Перейдем от старых независимых переменных к новым Имеем
ди _ ди ди _ i~ ди
дх dr\ J ду У д£> ’
д2и _ д2и 1 ди
Складывая, согласно исходному уравнению, последние дае строки полу-
чаем, что в случае у > 0 в новых переменных исходное уравнение при-
обретает канонический вид эллиптического уравнения
д2 и д2и 1 ди _
—у <----— н-------— 0.
дц2 3^ о*
Если же у = 0, то очевидно, что уравнение является параболиче-
- д*и п
ским и его канонический вид: —— = \).
Sy1
Если у < 0, то уравнение характеристик можно представить в виде
(ф^ —/-Тфх) (ф', +д/-7фх) = 0 -
Выпишем соответствующие ему обыкновенные дифференциальные
уравнения
yj-ydy + dx = O, у]-ydy -dx = 0.
Общие интегралы этих уравнений запишем в виде
2л/~/ + Зх = С и 2у!-у‘ — Зх = С.
Поэтому функции
ср! = 2д/—j? +3х и ф2 = 2^—у3 — Зх
61
являются решениями уравнения характеристик. Введем новые незави-
симые переменные
£, = 2^1-у3 + Зх и г] — 2^1—у3 - Зх.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
дх dqj’ ду &])’
д2и (д2и д2и 52г/^
д2и „ Г д2и д2и д2и । 3 (ди ди]
—т = й —г- +--------1----у + —т— —— +
ду дц2) Ъ^уХЗЕ, Эг)7
Складывая, согласно исходному уравнению, последние два равен-
ства, получаем, что в новых переменных исходное уравнение приобре-
тает канонический вид
д2 и 1 Г ди ди
dt,dri 3(£ + Т|) l^ + dnj
д2и д2 и 1 ди
дх1 У ду1 2 ду
► Определяем тип уравнения. В данном случае имеем
ас — Ь2 = —у.
Поэтому данное уравнение имеет эллиптический тип при у < 0,
параболический при у = 0 {линия параболичности), гиперболический
при у > 0 Такие уравнения называют уравнениями смешанного типа.
Составим уравнение характеристик
,2 ' 2 А
<рл — у<ру =0
При у < 0 решения этого уравнения комплексные и комплексно
сопряжены. Соответствующие ему обыкновенные дифференциальные
уравнения имеют вид:
ady = (b ± i^jac-b2)dx или dy + i^ydx - 0.
Интегралами этих уравнений являются равенства 2-J— у +xi~C.
62
Отсюда получаем решения уравнения характеристик
((>, = 2->1~У + XZ и ф2 = 2\1~ У - х'
Для приведения исходного уравнения к каноническому виду, нужно
сделать (см. § 1) следующую замену независимых переменных:
Е, = |(Ч>1 (х,У) + Фг(Xу)) = 2урУ •
’1 = (<Pi У) - Фг (х> Л'Л = х
2i
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди _ ди ди _ 1 ди
дх дг\’ ду yl-у *
д2и д2и д2и _ д2и 1 ди
~ydy*~W+2^y
Складывая, согласно исходному уравнению, последние два равенства и
учитывая его правую часть, получаем, что в случае у < 0 в новых пе-
ременных исходное уравнение приобретает канонический вид эллипти-
ческого уравнения
б2г/ д2и _
---г+—г = °-
Эл
д‘и 1 ди
При у — 0 канонический вид уравнения: —— = — ——.
дх 2 ду
Рассмотрим гиперболический случай ( у > 0 ). Уравнение характе-
ристик в данном случае можно представить в виде
(ф'х - л/уф', ) (ф'х + 4уЧ'у ) = 0 •
Соответствующие ему обыкновенные дифференциальные уравнения
dy--Jydx = 0, dy+y[ydx = 0
имеют интегралы
х - 2-Jy = С, х + 2^[у = С.
Поэтому функции
<р, =х-2д/7 и <р2 =х + 2у[у
63
являются решениями уравнения характеристик. Введем новые незави-
симые переменные
1^ = х-2л[у и I] = х+2у[у
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди _ ди ди ди ~ if ди диУ
8х дг]’ ду dqJ’
д2и д2и дги _ д2и
дх2 д^2 дх\2 д£,дц
д2и д2и _ д2и д2и 1 (ди диУ
-у—г =------г + 2----------------—J---------.
ду 3^ д^дх\ от| 2д/71^ ^17
Складывая, согласно исходному уравнению, последние две строки и
учитывая его правую часть, получаем, что в новых переменных исход-
ное уравнение приобретает канонический вид
-^L = 0..
д2и д2и 1 ди 1 ди
S3, ху—-+—- +—у----------------= 0
дх2 ду~ 2 дх 2у ду
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ас-b2 — ху.
Таким образом, при ху > 0 данное уравнение эллиптическое, при
X = 0 оно является параболическим, при ху < 0, т.е. во второй и чет-
вертой четверти уравнение является гиперболическим.
Составим уравнение характеристик в случае X > 0, у > О
Хуф'*2 +9у3 =
Решения этого уравнения комплексные и комплексно сопряженные
Соответствующие ему обыкновенные дифференциальные уравне-
ния имеют вид
adv = (b± ijac — b2 )dx или -jxydy = ±idx.
64
Интегралами этих уравнений являются равенства
-Jy2 ±2jxi = C
3
Отсюда получаем решения уравнения характеристик
2 ГТ
9, = +
I—. 2 г~-
2.^X1 и<р2=—д/у
— 2-Jxi.
Для приведения исходного уравнения к каноническому виду, нужно
сделать (см. § 1) следующую замену независимых переменных:
1 2 г~з
^ = -(%(.х^у)+ч>2(х>уУ) = ^у ’
n = Т7 (ф| (*> У)" <Р 2 (х. у)) = .
2z
Перейдем от старых независимых переменных к новым Имеем
ди 1 ди ди _ I— ди
дх 4х дц’ ду ’
д2и д2и у ди
дх2 У dr}2 2-Jx <?П
д2и _ д2и 1 ди
Используя эти вычисления, получаем в случае х > 0, у > 0 канониче-
ский вид исходного уравнения
д2и д2и .
—5~ +—7 = °-
3^ ^1
Если же X — 0, то очевидно, что уравнение является параболиче-
д2и 1 ди 1 ди _
ским и его канонический вид: —т- 4—У~~------~ — v
ду2 2 дх 2уду
Что касается случая ху < 0, то его нужно разбить на два: { X > 0,
j/<0} и { х < 0, у > 0}. Так, в случае {x>0,j/<0} характери-
стическое уравнение представляется в виде
(фу - -х1х'(~у) <р;) (фу+-у!х-(-у) ф'х )=° -
65
Аналогично предыдущему введем новые независимые переменные
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди _ 3 Г ди ди ди _ 3*J-y (ди ди
дх 2-7x1^ &У 2 дп/
дги 9
сх'1 4х
д2и д2 и д2и
ди ди
д'и _ 9у
Л2
д2и
3
а?гЛ1‘ гЛу' ] 4д/А OT|J’
3
д2и д2и
ди ди
+ z-------— + z=
Э^ОТ| arpj 4-771^ ^17
Подставляя полученные выражения производных функции и в ис-
ходное уравнение, приходим к равенству
д2и _ д2и . -> д2и . ди ..
54. —— — zcosx----------sin" х—— — sinx— = (J.
дх2 дхду ду2 ду
► Определим тип уравнения. В данном случае имеем
ac-b2 =-sin2 x-cos2 х =-1 < 0,
т.е. данное уравнение имеет гиперболический тип в плоскости (х, у}.
Составим уравнение характеристик
ф'х2 — 2cosx(p*(p^. —sin2 хф^2 =0,
которое представим в виде
[ф'х - (14- cosx)(p'?,][(p'. + (1 - cosx)<p^] = 0 .
Выпишем соответствующие ему дифференциальные уравнения:
(l + cosx)dx = -dy, (1—cos x)dx = dy.
Отсюда следует, что функции
cpj = х + y-sinx и <р2=х — y + sinx
являются решениями уравнения характеристик. Введем новые незави-
симые переменные
= х + у — sin х и г) = х — у + sin х.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
66
£ = x + y-sinx и г} = x-j' + sinx.
Перейдем от старых независимых переменных к новым. Имеем
ди ди du ... . ди ди ди
— = — (l cosx) +—(1 + cosx), -------=---------,
дх д£ дт) ду дд, дт)
д2 и д2и .2 « . •> д2и .л . 2
—- =—-(]— cosx) +2--------sm~x +—- (1 + cosx) +
дх2 д^- dt,dr] Эт]2
ди
дт; )
sinx,
д2и д2и „ . _ д2и д2и
------= — (1 — cosх) — 2--------cosx-----—(1 + cos х),
дхду dt? dt,dr] dr?
д2и д2и _ д2и д2и
ду2 dt? dt,dr] dr?
Подставляя полученные выражения производных функции и в ис-
ходное уравнение, приходим к равенству
. д1™ , 2 г с. д2и .
4------(sm х + cos х) = 0 или --------= ().◄
д^дт] д&т]
3.3.2. Нахождение общих решений
В задачах 55-78, полагая и функцией присутствующих в данном
уравнении аргументов X,ytZ,t G R (если нет других пояснений), най-
ти общие решения следующих уравнений.
55 _Q
дх2
► Первая производная не зависит от X, т.е. и'х = Ф(> ). Интегрируя
это уравнение по X, получаем общее решение
= *Ф(.У) + 'f'O') ’
где Ф, Ч7 произвольные функции. ◄
д"и(х,у)
ЭО. -------- — V
дх"
п - натуральное число.
67
д Г d"-'iA
J
► Запись данного уравнения в виде
. д"~‘и . .
~ О показывает, что---— = Ф, О') •
дх"
Интегрируя последнее равенство по х, считая у параметром, по-
лучаем
д" ~'и
—7Т = хФ1Су) + Ф2(^).
дх
После (/7 — 1)-го интегрирования получаем решение исходного
уравнения
Ц(х,у) = х”чФ, (у) + х"~7Ф2 (у) +... + Хф„ , (у) + Ф„ (у),
где Ф1Су),--,ФлО’) _ произвольные функции. ◄
52и „
57. = 0.
дхду
► Запись данного уравнения в виде (и'у)'х — 0 показывает, что
= &(у)
Интегрируя полученное уравнение по у, считая х параметром, нахо-
дим, что
« = + Ф(х).
Полагая
= Ч'(у),
получаем общее решение исходного уравнения
и(х,у) - Ф(х) + Т(у).
Здесь ®3 Ф, Ч7 - произвольные дифференцируемые функции. ◄
дхдудг
► Запись данного уравнения в виде
о , 3
= U показывает, что-----= <р( у, z).
dydz
Интегрируя последнее уравнение по у, получаем
д f д2и
дх dydz
68
dz J
Интегрируя это уравнение no z , получаем
и = J z)dydz + Jxp (x, z)dz + X(x, y).
Поскольку функции 9 и 4/ произвольны, то соответствующие неопре-
деленные интегралы от них также будут произвольными функциями от
тех же аргументов. Обозначив эти интегралы через Ф(у,г) и ^(x^z)
соответственно, получим общее решение исходного уравнения
г/(х, у, z) = Ф(у, z) + Ч'Сх, z) + Х(х, у),
где Ф,1?, X - произвольные дифференцируемые функции. ◄
схсу
Запись данного уравнения в виде
59-
ди ( д3и _ g
Sc^dxQy2 J
показывает, что выражение в скобках не зависит от х, т.е.
д3и ,
,~.,2 =Ф1О')-
дхду
Интегрируя последнее уравнение по X, а затем два раза по у получаем
д2г/ _ , . _ . .
—у = х-Ф1(у) + Ф2(у),
Эу
= х Гф, (y)dy + [ф2 (y)dy + Ф, (х),
ду
и(х,у) = х J |ф, (y)dydy + J |ф2 (y)dydy + у Ф3 (х) + Ф4 (х).
Отсюда следует, что общее решение исходного уравнения можно запи-
сать в виде
«(X, у) = X % (у) + у т2 (х) + % (у) + Т4 (х),
где , ... произвольные фуикцнн, дифференцируемые доста-
точное число раз (выясните какая из них сколько!) . ◄
69
д2и(х,у)
60.---~г^ = и(х,у).
дх
► Это уравнение можно рассматривать как линейное дифференци-
альное уравнение второго порядка относительно функции и, зависящей
от X, а переменную у можно рассматривать как параметр. Итак, имеем
и(х,у) = Ф(у)ек +^(у)е~х..
где Ф,*Р - произвольные функции. ◄
61 ! Зди(х,у)
дх2 дх
► Это уравнение можно рассматривать как линейное дифференци-
альное уравнение первого порядка относительно производной их, но в
отличие от обыкновенного дифференциального уравнения его общее
решение содержит не постоянную, а функцию, зависящую от у. Имеем
= Ф{у)е~2“.
Интегрируя это уравнение, получаем
и(х,у) — Ф(у)е~2х +'¥{у).
Здесь Ф, ЧР - произвольные функции. ◄
62 хд2и(х,у) । ди(х,у)
дх2 дх
► Это уравнение можно рассматривать при X & 0 как линейное
обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относи-
тельно производной и*х, но в отличие от обыкновенного дифференци-
ального уравнения его общее решение содержит не постоянную, а функ-
цию, зависящую от у . Итак, имеем
«Х*.>') = фЬ'К1-
Интегрируя это уравнение, получаем
и(х,у) = ФЦ) 1п|х| + Ч'( Л\)
Здесь Ф, ЧР - произвольные функции. ◄
63 —г-2—-—г + —г = 0.
дх дх2ду ду
70
► Предполагая функцию и(х,у) четырежды непрерывно диффе-
ренцируемой по своим аргументам, производим достаточно очевидные
преобразования этого уравнения’
б2 Гб2гЛ 2 d2 f д2и1+ f
6r2^ox2J дх2 ^Эу2 J
д2 (д2и б2ц'| д2 (д2и
Эу\Г бу\бу2 &2J~
Из решения задачи 36 мы знаем, что замена переменных
= х — у, Т} = х + у
упрощает скобки в последнем уравнении и оно приобретает вид
д2 ( a2» 'l a2 f в2и у р
а? aijar] J бу21 J
Меняя здесь порядок дифференцирования, приходим к уравнению
д2 (д2и дМ_0
c^dq^dx2 ду2 J
Применяя еще раз указанную выше замену, совсем избавляясь от X и
у, получаем следующий вид уравнения:
ajjW
Его общее решение найдено в задаче 59:
=£ ф, Сп)+п ®2 (О+ф3 Сп) + ф4 (О
Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем общее реше-
ние исходного уравнения
ц(х, у) = (X - _у)Ф! (х + _у) + (х + _у)Ф2 (х ~ у) +
ч-ФзСх + ^ + ФДх-у).
где Ф1О'),-->Ф4(>') _ произвольные функции, дифференцируемые
достаточное число раз (выясните какая из них сколько раз должна быть
дифференцируема!). ◄
64. Уравнение из задачи 36.
► В задаче 36 уравнение колебаний струны
71
(1)
д2и 2 5~U
dt2 дх2
приведено к каноническому виду
-^ = 0
awn
(2)
при помощи замены независимых переменных по формулам
Е, = х ~ at , т] = х + at. (3)
В задаче 57 найдено общее решение уравнения (2)
Переходя к исходным независимым переменным по формулам (3),
получаем общее решение уравнения (1)
и(х, f) = Ф(х -at) + ^(х + at).
Оно называется решением Данамбера. Здесь Ф, Ч7 произвольные
функции класса С2 . ◄
65. Уравнение из задачи 37.
► В задаче 37 уравнение
приведено к каноническому виду
д2У «
-----------------------= 0 (2)
при помощи замены переменных по формулам
v(x,y) = хи(х,у), Е. = х-у, у = х + у,х*0. (3)
Воспользовавшись решением задачи 57, получаем общее решение
уравнения (1)
у) = [ф(х - у) + Т(х + >)]/х,
где Ф,Ч? — произвольные функции класса С2 .
66. Уравнения из задачи 38.
► В задаче 38 уравнения
^2 -\2
О U О U О U
—----------1--г —m
дх2 дхду ду
72
при помощи замены независимых переменных по формулам
= x + Т]=Х (2)
приведены к каноническому виду
(3)
Зг)
Общее решение уравнения (3)
«(£.11) = пФ© 1 Ч'©
получено в задаче 55.
Переходя к исходным независимым переменным по формулам (2),
получаем общие решения уравнений (1)
у) = хФ(х + у) + *Р(х + у),
где Ф, 'Р- произвольные функции класса С2 . ◄
67. Уравнение из задачи 39.
► В задаче 39 уравнение
д2и ^д2и 0
дх2 дхду ду2
приведено к каноническому виду
^=0
а^Эг]
при помощи замены независимых переменных по формулам
Е> = х + у, ту-Зх-у.
(О
(2)
(3)
Воспользовавшись решением задачи 57. получаем общее решение
уравнения (1)
г/(х, у) = Ф(* + у) + '{'(Зх - у),
где Ф,\Р - произвольные функции класса С2.
68. Уравнение из задачи 40.
► Общее решение уравнения
д2и с д2и . д2и „
—5-+ 5------+ 4—7 = 0
дх2 дхду су
имеет вид (см. задачи 40 и 67)
ы(х, у) = ф(У - х) + 'РСу - 4х). ◄
73
69. Уравнение из задачи 43
д2и , д2и , д2и „ди ди
—- + 4------+ 4—.- + 3— + 6— = 0.
дх дхду ду дх ду
(О
► В задаче 43 это уравнение приведено к каноническому виду
д2и „ди
---г+3----= 0 (2)
Эт)‘ <Эг)
при помощи замены независимых переменных по формулам
- у — 2х, т) = х. (3)
В задаче 61 получено общее решение уравнения (2)
<,п) = Ф©е-”+>?(£).
Возвращаясь к исходным независимым переменным по формулам
(3), получаем общее решение уравнения (1)
и(х, у) = Ф(у - 2х)с1х + >Р(у - 2х),
где Ф,ЧУ — произвольные функции класса С2. ◄
70. Уравнение из задачи 44.
► В задаче 44 уравнение
г д2и д2и дги ^и>
а —---1а.------1----- =—-и
дх1 dxdt dt2 b
приведено к каноническому виду
при помощи замены независимых переменных по формулам
= х + at и т] = х. (3)
Общее решение уравнения (2) имеет вид (см. задачу 60)
М£,Т1) = Ф(Ое"Л + 'Р©е^1'’.
Возвращаясь к исходным независимым переменным по формулам (3),
получаем общее решение уравнения (1)
u(x,f) = Ф(х + af)e2b 'х + Ч(х + аГ)е~2Ь~'х,
где Ф,ЧУ - произвольные функции класса С2. ◄
71. Уравнение из задачи 46.
► В задаче 46 уравнение
74
, ди „ д2и , дги ди ди
х —^~2ху-------+ у —
дх2 дхду ду дх ду
при ху Ф 0 приведено к каноническому виду
д2и _л ди
—-+-П — = 0
дц Эт]
при помощи замены независимых переменных по формулам
£> = ху, Х\ — у.
Общее решение уравнения (2)
«К,п) = ФЮ1ф|+т©
(1)
(2)
(3)
получено в задаче 62.
Возвращаясь к исходным независимым переменным по формулам
(3), получим обшее решение уравнения (1) при ху 0:
и(х, у) - Ф(ху) ln|j| + 'i'(xy),
где Ф, Т - произвольные функции класса С2 .
Если же х — 0 или у - 0 (но не одновременно), то очевидно, что
д2и ди
исходное уравнение имеет канонический вид —у + у — = О или
ду ду
д2и -1 ди .
------h X — — 0 соответственно. Ооа последних уравнения
дх2 дх
гичны уравнению (2). Их решениями будут функции
и(0, у) - С\ ln|j| + С2 и &(х,0) = С] 1п|х| + С2
соответственно. Здесь С(. С2 — произвольные постоянные.
72. Уравнение из задачи 48.
► В задаче 48 уравнение
д2и
дх2
приведено к каноническому виду
2к = о
а^ат!
д2и 2 . (ди ди) „
2-----+ cos х—— + —1 = 0
дхду ду V дх ду)
анало-
(1)
(2)
75
при помощи замены независимых переменных по формулам
5 = y-x-cosx И Г] = ;p-x + cosx. (3)
Воспользовавшись решением задачи 56. получим общее решение
уравнения (2)
«©•ф = ф© + '*'Сг1)-
Возвращаясь к исходным независимым переменным по формулам
(3), получаем общее решение уравнения (1)
г/(х,>’) = O(v-x-cosx) + 'f/(j-x + cosx),
где Ф,4^ - произвольные функции класса С2. ◄
73. Уравнение из задачи 50.
► В задаче 50 уравнение
дх2 ду
приведено к каноническому виду
при помощи замены независимых переменных по формулам
= ху И Г) — у/х.
Воспользовавшись решением задачи 57, получаем общее решение
уравнения (2)
(1)
(2)
(3)
п©П) = ф©+ '*’©
Возврашаясь к исходным независимым переменным по формулам
(3), получаем общее решение уравнения (1)
м(х, у) = Ф(ху) + ЧЧ у / х),
где Ф, 'F — произвольные функции класса С2 . ◄
74. Уравнение из задачи 53 при {х > 0 ,у <0}.
► В задаче 53 уравнение
дги д'и 1 ди 1 ди
XV------1----- 4-у-----------= и
дх2 ду 2 дх 2у ду
при { х > 0, у < 0 } приведено к каноническому виду
(1J
76
(2)
д^дх\
при помощи замены независимых переменных по формулам
t = 3-Jx-yj-yi , Г} = Зу[х+у1~у3 . (3)
Воспользовавшись решением задачи 57, получаем общее решение
уравнения(2)
«©П) = Ф© + Ч'(т1)-
Возвращаясь к исходным независимым переменным по формулам
(3), получаем общее решение уравнения (1) при у < О
и(х,у) = ф(з7х - 7“ у’)+ + 7“ у3),
где Ф, Ч’ - произвольные функции класса С .
75. Уравнение из задачи 52 при у > 0.
► В задаче 52 уравнение
д2и д2и 1 ди
мг~уду2~ 2ду (1)
при у > 0 приведено к каноническому виду
при помощи замены независимых переменных по формулам
^ = х-2/у и iq =х+2у[у. (3)
Воспользовавшись решением задачи 57, получаем обшее решение
уравнения (2)
«©3)) = ®© + ^).
Возвращаясь к исходным независимым переменным по формулам
(3), получаем общее решение уравнения (1)
и(х,у) = Ф(х - 2&) + ЧИ(х + 277) ,
где Ф, - произвольные функции класса С2 . ◄
76. Уравнение из задачи 54.
► В задаче 54 уравнение
77
д2и ди . 2 д и . ди
—--2cosx—-----sin х—--sinx—- = 0 (1)
дх~ дхду ду ду
приведено к каноническому виду
-^=0
а^Эг)
при помощи замены независимых переменных по формулам
f -- х + у - sin х и /у = х - у + sin х.
Общее решение уравнения (2)
И(Е,т1) = Ф© + Ч'(т1)
(2)
(3)
найдено в задаче 57.
Переходя к исходным независимым переменным по формулам (3),
получим общее решение уравнения (1)
w(x. у) = Ф(х + у - sin х) + *Р(х - у + sin х),
где Ф,'Р - произвольные функции класса С2. *4
. . д2и ди ди
77- — + — = 0 (U
охоу дх ду
► Введем новую функцию V, положив v(x5>') = (х — у)и(х, у) .
Выразим производные функции и, входящие в уравнение, через
функцию v и ее производные Имеем
ди 1 dv v ди 1 dv v
— —------------------—, — _------------1----------
дх х —у дх (х - у) ду х- у ду (х - у)
д2и _ 1 d2v 1 dv 1 dv 2v
дхду х~удхду (х — у)2дх (х — у)2 ду (х — у)3
При этом данное уравнение преобразуется к виду
Воспользовавшись решением задачи 57, получаем общее решение
уравнения (2)
v = <D(x) + T(j).
Возвращаясь к исходной искомой функции и, получаем общее
решение уравнения (1)
78
ад+ад
и =-------------,
х-у
где Ф, Т - произвольные функции класса С2. ◄
, 1 ,, /п
78.----------Aw--------z- = 0 - волновое уравнение, (1;
a dt7
где и = u(x,f) ,х е R"’, т > 2, t е R'.
► В задаче 21 выписано уравнение характеристик для данного
уравнения и доказано, что характеристической поверхностью для него
является прямой шаровой конус (характеристический конус)
a\t~tB)-r7 =0 (г = Цх — х°||)
Используем нижнюю его половину., т.е. часть, определяемую урав-
г
нением t = t0---, для того, чтобы произвести в исходном уравнении
а
следующую замену независимых переменных:
т = ? + —, £ = х, (2)
а
полагая t0 = 0, = 0 .
Эта замена, произведенная в задаче 34, приводит к уравнению
..+^+2.A^^L+...+^ ^+Хо.
Оно будет удовлетворено, например, если оба слагаемых будут рав-
ны нулю, т.е., например,
A,w = 0. £,—+ ... + 5„2^- + w = O. (3)
4 8^ 8^,
В задаче 5 показано, что функция г/, (%) — г 21 является гармо-
нической при и поэтому при любой функции Ч7(т) функция
wfeT) = r-(w’2)T(T)
является решением первого из уравнений (3). Легко проверить, что эта
же функция удовлетворяет и второму из уравнений (3). Заметим, что
общее решение этого второго уравнения приведено, например, в [7}
79
Возвращаясь к исходным независимым переменным согласно ра-
венствам (2), получаем множество решений уравнения (1)
Если в замене (2) знак плюс заменить знаком минус, то получим
еще одно множество решений
В результате получаем общее решение уравнения (1)
^,о=ф(г~а<):7(г+а<).
где Ф,КР — произвольные функции класса С2 .
Формула (4) напоминает формулу Даламбера для решения уравне-
ния колебаний струны (см задачу 64). Решения, даваемые этой функци-
ей в случае т = 3 , называют сферическими волнами. ◄
3.4. Задача Коши (метод Даламбера)
В задачах 79-88, полагая и — и(х9 t) , найти решение уравнения
колебаний бесконечной струны
-»2
О U 2 О И
—— = а —-- {а - const),
dt2 дх2
удовлетворяющее следующим начальным условиям.
ди
79. и(х,(У) = и0 (х), — (х,0) = w, (х).
dt
► В задаче 64 получено общее решение данного уравнения
u(x,t) = Ф(х-<70 + Т(х + <7Г). (I)
Найдем функции Ф и Т такие, которые удовлетворяют началь-
ным условиям, т.е. должны выполняться равенства
и0(х) = Ф(х) + Т(л), щ(х) = -о[Ф’(х)_'Г’(х)]-
Интегрируя второе равенство, получаем
1V
Ф(х) + Т(х) = и0 (х). Ф(х) - Т(х) = — J и, (y}dy + С,
Л
80
где С - произвольная постоянная. Из последних двух равенств находим
2Ф(х) = ив (х) - аJ и, (y)dy + С,
2'lJ(x) = гг0(х) +а 'j^u.CyXv-C.
Подставляя функции Ф, ЧР в равенство (1), получаем
ип (х — at) + иа (х + at) 1 f
u(x,t) =----------------------+ — J Щ (V)dy. (2)
Равенство (2), называемое формулой Даламбера, дает решение по-
ставленной задачи Коши, если функция (х) имеет непрерывные вто-
рые производные, а ц(х)- первые. Единственность этого решения
следует из способа вывода формулы (2). Из этой же формулы с очевид-
ностью следует непрерывная зависимость решения от начальных дан-
ных. ◄
ди
80. <7 = 1, i/(x.O) = cos х. —(х,0) = 0.
dt
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
u(x.t) = cosхcost. ◄
_ sin х ди, „
81. Цх,0) =----, —(х,0) = 0.
х dt
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
. . х sin х cos at - at cos x sin at
uM =------------------------------ *
, Л. sinx du , x
82. w(x,0) =---, —(x,0) =--------7.
x dt 1 + x~
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
, х х sinx cos <7/•-<7/cos х sin <7? 1 , l + (x + ar)_
w(x,Z) =-----------т---—т------------1--In----------—r.
x2-a2t2 4/7 l + (x — at)1
◄
83. <7 =1, w(x,0) = ——y, —(x,0) = sin X .
1 + x dt
81
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
1 x + t x — t
2 l + (x + r)2 1+(х-/)2
+ sin х smt
84. a ~1, u(xfi) = —, —(x50) = cosx.
i+X2 a
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
, ч 1 1 1
и(х, t)=------------------ +----------
1 l + (x + f) 1 + (х — t)
+ sinxcos(. ◄
85. а = 1, и(х50) = е х , — (х.О) =—
ot 1 + х
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
, х -(х2+1г\ 11 1 + (Х + Г)2
u(x,f) = е 1 -ch 2xt ч— In-------------—. ◄
4 l+(x-f)2
86. z/(x,0) =
О,
h — х,
h + x,
хеЯ\[Ч4
X G [О, Л],
X G [-Л,0],
где h > 0— заданное число, u't (х,0) — 0.
Построить профиль струны в моменты времени: t — 0, t — h! 2а,
t — hl a, t = 2hlа.
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79. имеем
и(х,Г) = |-
0,
h — х + at,
h + x — at,
х - at e R\[-h,h],
x~at e [0. /1],
x al c [~h,0]
0,
h — x — at,
h + x + at,
x + ate R\[-h,h],
x + at с [0,Л],
x + at c [/;,()].
При заданных моментах времени получаем следующие профили:
82
t=2h/a дu
-3h -2h -h
h 2h 3h
87. z/(x,O) = 0. z/,r(x,O) =
x e [0?A],
x £ [0, A],
где h > 0 — заданное число.
Построить профиль струны в моменты времени; t = 0, /
t = hl a, t = 2h I a.
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
1 х+а>
и(х, Г) = — In' (y,0)<fy.
2аЛ
Отсюда получаем решение задачи в заданные моменты.
/?/2л.
83
г/(х.О) = 0;
и
и
2h\
x.— =
a J
О,
х/ 2 + h / 4,
-х/2 + ЗА/4,
О,
x/2 + h/2,
h/2,
—x!2 + h.
0,
x 12 + h,
hl 2,
-x/2 + 3h/2,
хей\[-Л/2. ЗЛ/2],
х е [—Л/2, А/2].
хе(Л/2,ЗА/2];
xeR\[—h, 2h],
xe[—А, 0],
x e (О, A],
x 6 (h. 2h]:
хс/?\[-2Л,ЗЛ],
x c [~2h, - h],
x с (-Л, 2Л],
x c (2h, ЗА].
Профили струны в заданные моменты времени имеют вид:
t=h/2a
-h/2 h/2 3h/2
t=h/a
84
88. ы'(х,О) =
t=2h/a
-a,
a.
0,
x e [-A,0],
xe(0,4,
x e R\[~-h,h],
где h > 0 —заданное число, z/(x,0) = 0.
Построить профиль струны в моменты времени
f = 0, t = h/2a, t = hla, t — 2hla.
► Используя формулу Даламбера (2) из задачи 79, имеем
2«2,
Отсюда получаем решение задачи в заданные моменты:
w(x,0) = 0;
{yfi)dy.
0, хеЛ\[-3/г/2,3/г/2],
— х/2 —З/г/4, х с [—З/г/2, — h/2],
х, х е (-Л/2, h/2],
-х/2 + 3/г/4, хе(/г/2,3/г/2];
0,
-х/2-h,
h/2,
- х/2 + h.
х е 7?\[—2h, 2h],
х е [—2h— h],
х е (0, h],
х е (h,2h];
85
О, X е R\{[-3h, -h]v[h, Зй]},
-х/2-Зй/2, хе[-3й,-2й]
х/2 + й/2, х с |-2й,-/?],
х/2 —й/2, х с (—h,h],
-х/2 + Зй/2, хе(й,2й].
Профили струны в заданные моменты времени имеют вид:
89 Найти решение и = и(х, t) уравнения колебаний пояубесконеч-
ной струны
86
д2и 2
—~-а —-
dt2 Эх2
удовлетворяющее условиям
п(х,0) = <р(х) = х2, w,'(x,0) = V(x) = sin2 х, w(0,f) = 0.
► Обратите внимание на то, что в данной задаче мы имеем дело с
полу бесконечной струной и поэтому кроме начальных условий добавля-
ется граничное условие, которое в данной задаче означает, что струна
закреплена в точке X = 0 и поэтому ее конец в любой момент времени
остается неподвижным. При этом заметим, что начальные условия и
граничное условие должны быть согласованы, что в нашем случае имеет
место (?/(0,0) = 0). Для того чтобы использовать формулу Даламбера
(2) из задачи 79, продолжим начальные данные нечетным образом на
отрицательную полуось:
<p,(x) =
0;
{sin2x3 х>0.
п
— sin х, х<0.
Используя формулу Даламбера, решение задачи запишем следую-
щим образом:
, . ср, (х - at} + ср. (х + at} 1 ’У . ,
и{х, t) = ------2 llV-----L +-- JV1 (y)dy =
2 2а
(х + at)2 + (х — at}2
2
1
2а
x+at
Jsin2 ydy,
x-at
a
(x + at)2 (x at)2
2
1
2a
x+at 0
J sin2 ydy - Jsin2 ydy
0 x-ai
r>->0
a
87
х2 +<72/2 +——— cos2xsin2fltf,
2 4л
2axt +—[2x — sin 2x cos 2 of],
a
В задачах 90—93, полагая и функцией присутствующих в данном
уравнении аргументов X, y,Z,t G R , найти решения следующих урав-
нений при заданных условиях.
-0.
52м _ д2и ~д2и I
90. —- + 2--------3—- = 0, и\
дх2 дхду ду2
► Воспользуемся общим решением данного уравнения, получен-
ным в задаче 67:
и(х, у) - Ф(х + у) + ^(Зх - у),
где Ф и Т — произвольные функции класса С2 .
Производная по у этого решения имеет вид
= Ф'(х + у) - Ч”(3х - у).
ду
Используя начальные данные, получаем равенства
Ф(х) + <Р(Зх) = Зх2, Ф'(х) - Ч”(3х) = 0.
После интегрирования второго из этих уравнений получаем систему
Ф(х) + Т(3х) = Зх2, Ф(х) -1 Т(3х) = С,
где С- произвольная постоянная. Из этой системы находим
3 3 13
Ф(х)--=-х2 +|С, 'Р(Зх) =-^-(Зх)2 -|с.
Обратите внимание на запись правых частей этих равенств. Здесь
явно выражены аргументы функций Ф и Ф, что облегчает следующее
действие.
Подставляя найденные при учете начальных данных функции Ф и
'Р в общее решение данного уравнения, приходим к решению исход-
ной задачи Коши
88
3 1
и(х, у) = — (х+у)2 + —(Зх -у)2 = Зх2 +у2.
4 4
91.
д2 и д2п д2 и
—7 + 5----+ 4—7
йх“ дхду ду2
= 12х2,1/'| =0.
'Vl>-=0
► Воспользуемся общим решением данного уравнения, получен-
ным в задаче 68
и(х9 у) = Ф(у - х) + Т(/ - 4х),
где Фи1?- произвольные функции класса С2 .
Производная по у этого решения имеет вид
^(x1>) = OV-x) + W-4x).
Sy
Используя начальные данные, получаем
Ф(-х) + Т(-4х) = 12х2, Ф'(-х) +Т'(-4х) = 0
После интегрирования второго уравнения получаем систему
Ф(-х) + 'Р(-4х) = 12х2,
-Ф(-х)--?Т(-4х) = С,
где С — произвольная постоянная. Из этой системы находим
->4 ,4
Ф(—х) = -4х2 - -С, ЧИ(—4х) = 16х2 + -С.
Подставляем, найденные при учете начальных данных, функции Ф и
Ч*1 в обшее решение и получаем искомое решение задачи Коши
у) = - 40 - х)2 -г (у - 4х)2 = 3(4х2 - у2 ) ◄
2 д2 и _ д2и д2и . 2 ,
92. а —— — 2а------F—— = 4г? и, м(х,0) = ср(х),
дх cxdt dt~
ut (х,0) = 0, ф(х) дважды дифференцируемая функция.
► Воспользуемся обшим решением данного уравнения, получен-
ным в задаче 70
u(x,t) = Ф(х + at)e2x + ^(х + af)e ~2х, (I)
89
где Ф и - произвольные функции класса С2.
Из множества произвольных функций Ф и Y найдем такие, чтобы
удовлетворялись начальные условия, т.е. должны выполняться равенст-
ва
м(х,0) = Ф(х)е2л + Т(х)е2* = ф(х) , (2)
и{ (х,0) = дФ'(х)е2* + «Т'(х)е-2х = 0. (3)
Из уравнения (2) следуют равенства
'Р(х) = ф(х)е2л — Ф(х)е4х,
Т'(х) = [ф'(х) + 2ф(х) — Ф'(х)е2х - 4Ф(х)е2х]е2л,
а из последнего равенства и равенства (3) получаем равенства
Ф(х) = —[2<р(х) + <р'(х)]е~2', Ч'(х) = — [2ср(х)-ср'(х)]е2'- (4)
4 4
Подставляя выражения (4) с соответствующими аргументами в равенст-
во (1), получаем решение исходной задачи Коши
и(х, 0 = ~ [2<Р(л: + at) + <р'(х + at)] +
+ ^[2<р(х + а?)“<р'(х + а<)]е2х,
которое перепишем в более компактной форме:
м(х,/) = ф(х + at)ch(2x) - ^ф’(х + at)sh(2x). ч
. 1 д~и _ х I / \
93. IXU----— & 2 = U (волновое уравнение), W|/ 0 = ф(Г),
и'| = ф(г) где и = u(x,y,z,f), г g -Jx2 4- у2 + z2 , г > 0 (слу-
чай центральной симметрии).
► В задаче 78 получено общее решение данного уравнения
z Qlr-aij+'i’ir + at)
u(x,t) = -±-----------------i, (1)
г
где Ф,Т - произвольные функции класса С2, т = 3.
Найдем Ф и Т такие, чтобы удовлетворялись начальные условия,
т.е. должны выполняться равенства
90
Ф(г) + Т(г) Ф'(г)-Ч"(г) , ,
----- ------= <р(г), - а------- — = у (г).
Интегрируя второе из этих равенств, получаем равенства
Ф(г) + Т(г) — гф(г), Ф(г) - 'Р(г) ~ —— |р'Р(р)ф + С,
а о
где С — произвольная постоянная.
Из последних двух равенств находим
2Ф(г) = r<p(r) - a' £p\|/(p)dp - - С,
2ЧД-) = r<p(r) —a"' £p\|/(p)dp + C.
Подставляя найденные функции Ф, Т с соответствующими аргумен-
тами в равенство (1), получаем искомое решение задачи Коши
u(r,t) =
(г - «Г)ф(г - at} + (г + <з/)ф(г + «?) + 1 г+? , . ,
2г 2аг г~а[
где функция ф имеет непрерывную вторую производную, а ф — пер-
вую. Как видим, найденное решение напоминает формулу Даламбера из
задачи 79. ◄
3.5. Смешанная задача (метод Фурье разделения переменных)
94. Найти отклонение u(x,t} от положения равновесия однородной
горизонтальной струны, закрепленной на конпах X = 0, X =1. В на-
чальный момент времени струна имела форму ф(х), начальные скоро-
сти определяются функцией ф(х) . Внешние силы отсутствуют.
► Согласно условиям, нужно решить следующую смешанную за-
дачу:
д2 и 3 д2 и
= а а?’ п)
ы(0,Г) = ы(/,Г) = 0, (2)
91
ди(х, 0)
и(х,0) = <p(x), —~— = у(х). (3)
ot
Для решения этой задачи используем метод Фурье (метод разделе-
ния переменных) согласно которому будем искать ненулевые решения
уравнения (1), удовлетворяющие условиям (2) в виде произведения
и(х,/) = Х(х)7’(0, (4)
подставляя которое в уравнение (1), получаем
%(х)7’"(0 = a2 X"(x)T(t)
ИЛИ.
= (5)
a2T(t) Х(х) '
Последнее равенство, левая часть которого зависит только от t, а правая
— только от х, возможно лишь в том случае, если обе части его не зави-
сят ни от t , ни от х, т.е. представляют собой одну и ту же постоянную.
Обозначим эту постоянную через — X, тогда из равенства (5) получим
два обыкновенных дифференциальных уравнения
T\t) + a2XT(t) = 09 (6)
Г(х) + и(х) = 0, (7)
При этом нужно, чтобы ненулевые решения уравнения (7) удовлетворя-
ли граничным условиям
^(0) = Х{1} = 0. (8)
Таким образом, нужно найти собственные числа 'к задачи (7)-(8), и
соответствующие им собственные функции. Такая задача называется
задачей Штурма-.Лиувилля (простейший ее вариант).
Чтобы решить задачу (7)-(8), нужно найти общее решение уравнения
(7) и выделить из него частное решение, удовлетворяющее условием (8).
Вид общего решения уравнения (7) зависит от знака постоянной X, по-
этому нужно рассмотреть три случая: X < 0, X = 0, X > 0.
При X < 0 общее решение уравнения (7) имеет вид
Х(х) = Се^х + /JeJ~‘X
Легко проверить, что в этом случае граничные условия (8) удовлетво-
ряются только при С = D = 0, т.е. Х(х) = 0.
92
При Л, = 0 общее решение уравнения (7) имеет вид
Х(х) = С+Пх
Здесь также условиям (8) удовлетворяет только Х(х) s 0 (проверьте!).
При Л. > 0 общее решение уравнения (7) имеет вид
А'(л) = CcosVXx + ZJsin-Jlx.
Удовлетворяя условиям (8). получаем
С-1 + 2)-0 = 0, CcosVxZ + Dsin-JXZ = 0.
Отсюда получаем С = 0, Dsinjkl — 0. Из условия %(х) 0 (то-
ждественно) получаем равенство sin VXZ = 0.
Следовательно, ненулевые решения задачи (7) (8) возможны лишь
при значениях = к~П21 2, к - целое число. Этим так называемым
собственным числам задачи (7}-(8) соответствуют собственные функ-
ции
ких
A'i(x) = sm~—,
определяемые с точностью до постоянного множителя, который здесь
положен равным единице.
Заметим, что положительные и отрицательные значения к, равные
по абсолютной величине, дают собственные функции, отличающиеся
лишь постоянным множителем. Поэтому достаточно для к брать толь-
ко целые положительные значения.
При X = кк общее решение уравнения (6) имеет вид
knat knat
= Лк COS—J—+ Sin—
где к = 1,2,...; Ак, Вк — произвольные постоянные.
Таким образом, функции
(knat . knat\ ккх
Ак cos—— + Вк sin——J sin-у~
удовлетворяют уравнению (1) и краевым, условиям (2).
В силу линейности и однородности уравнения (1) всякая конечная
сумма решении будет также решением. То же справедливо н для ряда
93
knat kjtaiX knx
cos —-— + Bk sin ——J sin —, (9)
если ои сходится н его можно дважды почленно дифференцировать по
X и t . При этом u(x,f) будет удовлетворять краевым условиям (2).
Выберем постоянные Ак и Вк так, чтобы u(x,f) удовлетворяла
начальным условиям (3), т.е.
у—’. ких
«(х,0) = Ак sin—— = ф(х),
Л=1 7
ди -Д. кпа кпх
v (*,о) = X тй> S|1V,_•
СТ к=1 I I
Но эти равенства представляют собой разложение заданных функций
ф(х) и ф(х) в ряд Фурье по синусам в интервале (0, /) . Поэтому
2 f z ч . кюс . п 2г... кпх
Ак=- \q)(x)sin——dx,Bk =-— h|/(x)sin—dx. (10)
I 7 kna /
Оказывается, что если выполняются следующие условия:
1) <р с С2 ([0,7]), существует кусочно-непрерывная ф т на [0,7]
и <р(0) = ф(7) = ф"(0) = ф"(7) = 0;
2) ф eCJ([0.7]), существует кусочно-непрерывная ф”на [0,7]
и ф(0) = ф(7) = 0.
Тогда функция u(x,f), определяемая рядом (9), в котором коэффи-
циенты Ак и Вк определяются формулами (10), дважды непрерывно
дифференцируема при х G [0,7] и любом t и является решением зада-
чи (1)-(3). Доказательство этого факта приведено, например, в [8]. ◄
95. Найти отклонение и(х, f) от положения равновесия однородной
горизонтальной струны, закрепленной на конце х = 0, правый конец
которой при х — 1 перемешается так, что касательная к струне в этой
точке остается постоянно горизонтальной. В начальный момент времени
1 . 11лх 4лх
струна имела форму —Sin 2/ ~C°S~2/ ’ начальные скорости отсут-
ствовали Внешние силы отсутствуют.
94