Эллиптические
дифференциальные
уравнения
с частными
производными
второго уу
nx порядка />-'/>,

Д. ГИЛБАРГ
Н. ТРУДИНГЕР
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Перевод с английского языка Л.П. Купцова
Под редакцией А.К. Гущина
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
1989

ББК
УДК 517.956
David Gilbarg Neil S. Trudinger
Elliptic Partial
Differential Equations
of Second Order
Second Edition
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York Tokyo 1983
Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные
уравнения с частными производными второго порядка: Пер. с англ. / Под.
ред. А.К. Гущина. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 464 с.
ISBN 5-02-013938-6
Посвящается изложению теории квазилинейных эллиптических дифференциаль-
дифференциальных уравнений второго порядка, в основном задачи Дирихле в ограниченных об-
областях.
Состоит из двух частей: линейные уравнения и квазилинейные уравнения.
Включается большой разнородный материал, значительная часть которого в моно-
монографии излагается впервые: современное изложение неравенства Харнака, оценки
Морри и Джона - Ниренберга, теоремы Лере - Шаудера, значительная часть результа-
результатов о квазилинейных уравнениях.
Для специалистов в области дифференциальных уравнений. Доступна аспирантам и
студентам старших курсов, специализирующимся в данной области.
Ил. 2. Библиогр. 364 назв.
© by Springer-Veriag
Berlin, Heidelberg,
1602070000-137 1977> 1983
Г 12-89
053 @2) -89
© "Наука".
Физматлит,
перевод на русский язык,
ISBN 5-02-013938-6 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 7
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 8
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 9
Глава 1. Введение 11
Часть 1. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21
Глава 2. Уравнение Лапласа 21
2.1. Неравенства для средних значений 22
2.2. Принцип максимума и минимума 23
2.3. Неравенство Харнака 24
2.4. Представление Грина 24
2.5. Интеграл Пуассона 27
2.6. Теоремы о сходимости 29
2.7. Внутренние оценки производных 30
2.8. Задача Дирихле; метод субгармонических функций 30
2.9. Емкость 35
Задачи 36
Глава 3. Классический принцип максимума 38
З.Ь Слабый принцип максимума 39
3.2. Сильный принцип максимума 41
3.3. Априорные оценки 43
3.4. Оценки градиента решения уравнения Пуассона 44
3.5. Неравенство Харнака 48
3.6. Операторы в дивергентной форме 52
Примечания 53
Задачи . ^ 54
Глава 4. Уравнение Пуассона и ньютонов потенциал 57
4.1. Непрерывность по Гёльдеру 57
4.2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона 59
4.3. Оценки Гёльдера вторых производных 61
4.4. Оценки вблизи границы 68
4.5. Оценки Гё'льдера первых производных 71
Примечания 73
Задачи 73
1* 3

Глава 5. Банаховы и гильбертовы пространства 75
5Л, Принцип сжимающих отображений 76
5.2. Метод продолжения по параметру , 76
5.3. Альтернатива Фредгольма 77
5.4. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 81
5.5. Гильбертовы пространства 82
5.6. Теорема о проекции 82
5.7. Теорема представления Рисса 83
5.8. Теорема Лакса - Мильграма 84
5.9» Альтернатива Фредгольма в гильбертовых пространствах 85
5.10. Слабая компактность 86
Примечания . . 87
Задачи 87
Глава 6. Классические решения; метод Шаудера 88
6.1. Внутренние оценки Шаудера . 90
6.2. Граничные и глобальные оценки 95
6.3. Задача Дирихле 101
6.4. Внутренняя регулярность и регулярность вблизи границы ПО
6.5. Другой метод ИЗ
6.6. Неравномерно эллиптические уравнения 117
6.7. Другие граничные условия; задача с косой производной 121
6.8. Приложение 1. Интерполяционные неравенства 130
6.9. Приложение 2. Леммы о продолжении 136
Примечания 138
Задачи 142
Глава 7. Пространства Соболева 143
7.1. Пространства l/* '¦'. 144
7.2. Осреднение и аппроксимация гладкими функциями 146
7.3. Слабые производные 148
7.4. Цепное правило , 150
7.5. Пространства W *р 152
7.6. Теоремы о плотности 153
7.7. Теоремы вложения 154
7.8. Оценки потенциалов и теоремы вложения 156
7.9. Оценки Морри и Джона - Ниренберга 161
7.10. Теоремы о компактности 163
7.11. Разностные отношения 164
7.12. Продолжение и интерполяция 165
Примечания 168
Задачи 169
Глава 8. Обобщенные решения и их регулярность 170
8.1. Слабый принцип максимума 172
8.2. Разрешимость задачи Дирихле 174
8.3. Дифференцируемость слабых решений 176
8.4. Глобальная регулярность 179
8.5. Глобальная ограниченность слабых решений 181
8.6. Локальные свойства слабых решений 186
8.7. Сильный принцип максимума 190
8.8. Неравенство Харнака 190
8.9. Непрерывность по Гёльдеру 191
8.10. Локальные оценки вблизи границы 193
8.11. Оценки Гё'льдера первых производных 199
8.12. Задача на собственные значения 202
Примечания 204
Задачи 206

Глава 9, Сильные решения 207
9.1. Принцип максимума для сильных решений 208
9.2. Оценки в Lp; предварительный анализ. 213
9.3. Интерполяционная теорема Марцинкевича 214
9.4. Неравенство Кальдерона - Зигмунда 216
9.5. Оценки в LP 220
9.6. Задача Дирихле « 225
9.7. Локальный принцип максимума 228
9.8. Оценки Гёльдера и неравенство Харнака 230
9.9. Локальные оценки вблизи границы , . . 233
9.10. Граничные оценки Гельдера градиента 235
Примечания 237
Задачи 238
Часть II. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 240
Глава 10. Принципы максимума и сравнения . . 240
ЮЛ. Принцип сравнения 243
10.2. Принципы максимума , 245
10.3. Контрпример , 247
10.4. Принципы сравнения доя операторов в дивергентной форме 248
10.5. Принципы максимума для операторов в дивергентной форме 250
Примечания 255
Задачи 255
Глава 11. Топологические теоремы о неподвижной точке и их применения ... 257
11.1. Теорема Шаудера о неподвижней точке 257
11.2. Теорема Лере — Шаудера; специальный случай 258
11.3. Применение 260
11.4. Теорема Лере - Ыаудера о неподвижной точке . 263
11.5. Вариационные задачи 265
Примечания 269
Глава 12. Уравнения с двумя переменными 269
12.1. Квазиконформные отображения 270
12.2. Оценки Гельдера градиента решения для линейных уравнений 275
12.3. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений . ^ 279
12.4. Неравномерно эллиптические уравнения * 284
Примечания 290
Задачи 292
Глава 13. Оценки Гельдера градиента 293
13.1. Уравнения в дивергентной форме 294
13.2. Уравнения с двумя переменными 297
13.3. Уравнения общего вида; внутренняя оценка 298
13.4. Уравнения общего вида; граничная оценка . 302
13.5. Применение к задаче Дирихле 304
Примечания 305
Задача , 305
Глава 14. Граничные оценки градиента 306
14.1. Общие области 307
14.2. Выпуклые области 309
14.3. Условия на кривизны границы 313
14.4. Результаты о несуществовании 318
14.5. Оценки модуля непрерывности 323
14.6. Приложение: граничные кривизны и функция расстояния 324
Примечания 327
Задачи 327
5

Глава 15. Глобальные и внутренние оценки градиента . • 328
15.1. Принцип максимума для градиента 329
15.2. Общий случай 331
15.3. Внутренние оценки градиента 337
15.4. Уравнения в дивергентной форме 341
15.5. Избранные теоремы существования 347
15.6. Теоремы существования для непрерывных граничных данных 350
Примечания 351
Задачи 352
Глава 16. Уравнения типа уравнения со средней кривизной 353
16.1. Гиперповерхности в R." 353
16.2. Внутренние оценки градиента 363
16.3. Применение к задаче Дирихле 367
16.4. Уравнения с двумя независимыми переменными 369
16.5. Квазиконформные отображения 372
16.6. Графики с квазиконформным гауссовым отображением ....._... 380
16.7. Приложения к уравнениям типа уравнений со средней кривизной . . . 385
16.8. Дополнение: эллиптические параметрические функционалы 389
Примечания 391
Задачи 393
Глава 17. Вполне нелинейные уравнения 394
17.1. Принципы максимума и сравнсаия 397
17.2. Метод непрерывного продолжения по параметру 399
17.3. Уравнения с двумя переменными 403
17.4. Оценки Гёльдера вторых производных 406
17.5. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений 413
17.6. Оценки вторых производных для уравнений типа уравнения Монжа-
Ампера 418
17.7. Задача Дирихле для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера. ... 421
17.8. Глобальные оценки Гёльдера вторых производных 424
17.9. Нелинейные граничные задачи 430
Примечания 433
Задачи 436
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 438
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 455
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 463

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В этом издании мы осуществили небольшую переработку и, учитывая
новые достижения в линейной и нелинейной теории, включили в книгу
новый материал, составивший две главы.Мы благодарны многочисленным
читателям первого издания, замечания которых мы учли тем или иным
способом в настоящей книге. Мы благодарны также Пей Хсу и Л.Ф. Там
за их помощь при чтении корректур и особенно Гарри Либерману за его
отдельные замечания.
Июль 1983 г. Дэвид Гилбарг Нейл С. Трудингер
Стэнфорд Канберра

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга представляет собою независимое изложение некоторых
разделов теории квазилинейных эллиптических дифференциальных урав-
уравнений с частными производными второго порядка, в основном задачи Ди-
Дирихле в ограниченных областях. Она появилась в результате обработки
лекций для аспирантов, которые читали авторы в Стэнфордеком универ-
университете, и содержит материал, значительно дополняющий эти лекции. Вклю-
Включив подготовительные главы с такими темами, как теория потенциала и
функциональный анализ, мы попытались сделать книгу доступной широ-
широкому кругу читателей. Кроме того, мы надеемся, что читатели этой книги
получат правильное представление о множестве различных технических
приемов, которые развивались при изучении эллиптических уравнений и
стали частью анализа.
В этой работе в течение нескольких последних лет нам помогали мно-
многие ученые. В частности, мы благодарны М.Л. Саймону за ценные дискуссии
и за его работу над разделами 15.4—15.8; И.М. Кроссу, А.С. Гью, Дж. Нэшу,
П. Трудингер и Б. Тюркингтону — за полезные замечания и уточениния;
Г. Вильямсу — за помощь в написании раздела 10.5; А.С. Гью —за помощь
в написании раздела 10.6. Кроме того, мы благодарны за безупречную
перепечатку рукописи, осуществленную объединенными усилиями Изоль-
Изольды Филд из Стэнфорда и Анны Запуски из Канберры. Исследования авто-
авторов, связанные с этой книгой, были частично поддержаны Национальным
научным фондом.
Август 1977 г. Дэвид Гилбарг Нейл С. Трудингер
Стэнфорд Канберра

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
R" — w-мерное евклидово пространство, п > 2, с точками х =
= (Xi,..., х„), X; GR(R- множество действительных чи-
чисел) ; |х | = Bxf)xf2; если ? = (&i,.. ., bn) есть «-мерный
вектор,тоШ=B??I/2
R" - полупространство в R", R+ = | х & Rn | хп > О! .
35 — граница множества S; S — замыкание S, S = S U dS.
ss' =ixes\x$s'\
S* CCS -замыкание множества Sr компактно и вложено в 5; мно-
множество S' строго вложено в S
О, — открытое подмножество в Rn, не обязательно ограниченное;
если такое множество связно, то оно называется областью;
112 | т объем 12.
В (у) -шар bR"c центром ^; Вг(у) - открытый шар радиуса г с
центром у.
2п"'2
соп ~~ объем единичного шара в R , соп = — .
п Г (п/2)
l
Du - (DiW, . . . tDnu) - градиент функции и\
D2u = [/)г*/м] - матрица Гессе, элементами которой являются
вторые производные Д/W. /, /=1,2,...,//.
/3 = (K!,. . . , /Зл), где Pt — целые неотрицательные числа, - мульти-
индекс:
Эх?1
C°(S)iC°A2)) - множество функций, непрерывных в п (в 12).
^ - множество функций, имеющих все производные поряд-
порядка <&, которые непрерывны в Г2 (к -целое {геотрицательное
число wink = «>).
9

Ск (?2)~ множество функций из CfcA2), все производные которых
порядка <к имеют непрерьгоное продолжение на Г2.
supp и - носитель функции и, замыкание множеств, на котором и Ф0\
Cq(?1) — множество функций, принадлежащих Ск (?1) и имеющих
компактный носитель, вложенный в О,.
С = С(*,...,*) — постоянная (константа), зависящая от величин,
указанных в скобках. В тексте одна и та же буква С будет
как правило использоваться для обозначения различных пос-
постоянных, зависящих от одинаковых аргументов.

ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
Краткое содержание
Основной целью этой книги является систематическое изложение общей
теории квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка и ис-
используемой при этом линейной теории. Это означает, что мы будем иметь
дело с проблемой разрешимости граничных задач (и прежде всего зада-
задачи Дирихле) и с соответствующими общими свойствами решений
линейных,
Lu = a^(x)Difu + Ь^хЩи +ф)и = /(*), hi = 1, 2,. .., и, A.1)
и квазилинейных,
Qu=aij(x, и, Du)Difu + b(x, м, Du) = 0, A.2)
уравнений. Здесь Du = (PiU,..., Dnu), D(u = Эм/Эх/, Вци = Э2и\Ъхгbxj
и т.д. и используется обычное соглашение о суммировании по повторяю-
повторяющимся индексам. Эллиптичность этих уравнений означает, что матрица
коэффициентов [а*1'] является положительно определенной в области
изменения соответствующих аргументов. Мы говорим, что уравнение
равномерно эллиптично, если отношение у максимального собственного
значения к минимальному собственному значению матрицы [а4 ] ограничено.
Мы будем иметь дело как с равномерно, так и с неравномерно эллипти-
эллиптическими уравнениями.
Классическим примером линейного эллиптического уравнения являет-
является, разумеется, уравнение Лапласа
и его неоднородный вариант — уравнение Пуассона Аи =/ Вероятно, наи-
наиболее известным примером квазилинейного эллиптического уравнения
является уравнение минимальных поверхностей
появляющееся в задаче минимизации площади. Это уравнение является не-
неравномерно эллиптическим с у = 1 + \Du\2. Свойства дифференциальных
операторов приведенных примеров объясняют многое в теории общих
классов уравнений, рассматриваемых в этой книге.
11

Необходимая линейная теория развита в гл. 2—9 (и в части гл. 12). Хотя
этот материал интересен сам по себе, особое внимание здесь уделено тем
аспектам теории, которые необходимы для изучения нелинейных задач.
Поэтому теория делает акцент на слабые условия о коэффициентах и не
затрагивает многих важных классических и современных результатов о
линейных эллиптических уравнениях.
Поскольку в конечном счете нас интересуют классические решения урав-
уравнения A.2), нам в определенный момент потребуется в качестве основы
теория классических решений достаточно широкого класса линейных
уравнений. Для этого в гл. 6 излагается теория Шаудера, которая по сущест-
существу является полной теорией уравнений вида A.1) с коэффициентами, не-
непрерывными по Гельдеру. В то время как для таких уравнений имеется раз-
развитая теория разрешимости и гладкости классических решений, соответст-
соответствующие результаты для уравнений только с непрерывными коэффициен-
коэффициентами могут не иметь места.
Естественной стартовой точкой для изучения классических решений
является теория уравнений Лапласа и Пуассона. Она изложена в гл. 2 и 4.
Имея в виду дальнейшие обобщения, изучение задачи Дирихле для гармо-
гармонических функций с непрерывными граничными значениями осуществляет-
осуществляется с помощью метода Перрона и субгармонических функций. При этом в
доказательствах делается особое ударение на принцип максимума и кон-
концепцию барьеров, используемую прм изучении граничного поведения реше-
решений, которые легко распространяются на более общие решения в последую-
последующих главах. В гл. 4 мы выводим, исследуя ньютонов потенциал, основ-
основные оценки Гёльдера для уравнения Пуассона. Основной результат этой
главы (см. теоремы 4.6, 4.8) утверждает, что все функции и, принадлежа-
принадлежащие С2 (?2) и являющиеся в области О С R" решениями уравнения Пуассо-
Пуассона Аи = ff удовлетворяют на любом множестве О! С С ?2 равномерной оцен-
оценке вида
с постоянной С, зависящей только от а (О < и < 1), размерности п и от
dist(?2\ ВО) (обозначения см. в разделе 4.1). Эта оценка, носящая внут-
внутренний характер, так как Si' С С П? и называемая потому внутренней оцен-
оценкой, может быть усилена до глобальной оценки, т.е. до оценки во всей
области П, для решений, имеющих достаточно гладкие граничные значения,
в случае, когда граница 8 О области Г2 также достаточно гладкая. В гл. 4
оценки вплоть до границы доказываются только для плоской и сферичес-
сферической границ; этого достаточно для дальнейших применений.
Кульминация теории классических решений линейных эллиптических
уравнений второго порядка достигается в теории Шаудера, которая в моди-
модифицированном и обобщенном виде представлена в гл. 6. По существу,
эта теория распространяет результаты теории потенциала на класс урав-
уравнений вида A.1) с коэффициентами, непрерывными по Гельдеру. Это
осуществляется с помощью простого, но фундаментального способа рас-
рассматривать уравнение локально как возмущение уравнения с постоянными
коэффициентами, получающегося замораживанием старших коэффициен-
коэффициентов в выделенной точке. Кропотливые вычисления, опирающиеся на упомя-
12

нутые выше оценки для уравнения Пуассона, приводят к неравенству,
аналогичному неравенству A.3), для произвольного решения уравне-
уравнения A.1), принадлежащего пространству С2'а, причем теперь постоян-
постоянная С зависит также от норм Гёльдера коэффициентов уравнения и, допол-
дополнительно, от минимума и максимума собственных значений матрицы коэф-
коэффициентов [а**] в области ?2. Эти результаты представлены в виде внутрен-
внутренних оценок на языке весовых внутренних норм (теорема 6.2), а для доста-
достаточно гладких граничных значений —в виде глобальных оценок в терминах
глобальных норм (теорема 6.6). Здесь мы знакомимся с важной и постоян-
постоянно используемой концепцией априорных оценок, а именно: оценка (через
заданные значения) имеет место для всех возможных решений класса задач,
даже если рассматриваемые условия не гарантируют существования таких
решений. Большая часть книги посвящена получению априорных оценок
для решений различных задач. (Мы пользуемся правом замены латинского
выражения a priori единым словом apriori (априорный), которое мы и
будем использовать повсюду).
Роль подобных априорных оценок демонстрируется в гл. 6 в различных
применениях, в том числе: для доказательства разрешимости задачи Дирих-
Дирихле с помощью метода продолжения по параметру (теорема 6.8); для дока-
доказательства гладкости более высокого порядка решений из С2 (теоре-
(теоремы 6.17, 6.18) при выполнении подходящих условий гладкости. В обоих
этих случаях априорные оценки обеспечивают для определенных классов
решений необходимые свойства компактности, из которых достаточно
просто и выводятся эти результаты.
Обращаем внимание на многочисленные дополнительные факты, изло-
изложенные в гл. 6, которые не являются необходимыми для дальнейшей раз-
разработки теории, но которые расширяют сферу применимости основной
теории НЗаудера. В разделе 6.5 устанавливается, что доказательство разре-
разрешимости задачи Дирихле для уравнения A.1) для достаточно широкого
класса областей в случае непрерывнвга граничных значений может быть
целиком осуществлено с помощью внутренних оценок, благодаря чему
упрощается структура теории. В разделе 6.6 теория разрешимости зада-
задачи Дирихле распространяется на некоторый класс неравномерно эллипти-
эллиптических уравнений. Здесь мы увидим, как соотношения между геометри-
геометрическими свойствами границы и вырождением на границе эллиптичности
определяют непрерывное принятие граничных значений. Методы доказа-
доказательств основаны на барьерной технике. Некоторые результаты предвос-
предвосхищают аналогичные (но более тонкие) результант для линейных урав-
уравнений, рассматриваемых во второй части книги. В разделе 6.7 теория урав-
уравнения A.1) распространяется на регулярные задачи с косой производной.
Метод по существу является экстраполяцией к таким же граничным усло-
условиям для уравнения Пуассона, рассмотренного ранее, и использует тео-
теорию Шаудера (без привлечения барьерной техники).
В предыдущих рассмотрениях, особенно в теории существования и
в доказательствах с помощью барьеров, важную роль играет принцип
максимума для оператора L (с коэффициентом с < 0). Принцип максиму-
максимума - характерная особенность эллиптических уравнений второго порядка,
упрощающая построение теории и усиливающая ее результаты. Основные
факты о принципе максимума, а также примеры применения методов
13

сравнения изложены в гл. 3. Из принципа максимума следуют самые пер-
первые и простейшие априорные оценки общей теории. Небезынтересно от-
отметить, что все оценки гл. 4 и 6 могут быть получены с помощью только
методов сравнения, опирающихся на принцип максимума, без какого бы
то ни было упоминания ньютонова потенциала или интегралов.
Другой и более общий подход к изучению линейных задач, не исполь-
использующий теорию потенциала, может быть развит с помощью методов гиль-
гильбертова пространства, использующих обобщенные или слабые решения,
как в гл. 8. Дня пояснения рассмотрим дифференциальный оператор второ-
второго порядка/,', главная часть которого имеет дивергентную форму:
L'u =Di(aif(x)DjU + bl\х) и) + с1\х) Dtu + d(x)u.
Если коэффициенты являются достаточно гладкими функциями, то, оче-
очевидно, этот оператор входит в класс операторов, рассматриваемых в гл. 6.
В случае же, когда коэффициенты уравнения принадлежат более широко-
широкому классу функций и когда решение является лишь слабо дифференци-
дифференцируемой функцией (в смысле гл. 7), можно определить слабые или обоб-
обобщенные решения уравнения L'u = g, принадлежащие соответствующим
классам функций. Например, если коэффициенты aij\ b\ с ограничены и
измеримы в S2 и если функция g интегрируема в S2, то функция и назы-
называется слабым или обобщенным решением в ?2 уравнения L'u = g, если
она принадлежит W1'2 (?2) (определения см. в гл. 7) и если выполняется
интегральное тождество
/ [(aij'Dfu + Ь*и)О(и - (с(В(и + du)v]dx = -fgvdx A.4)
а а
для всех функций v E Cq (?2), называемых пробными функциями. Ясно,
что если коэффициенты уравнения и функция g достаточно гладкие и
если слабое или обобщенное решение и принадлежит С2 (?2), то функция и
является, очевидно, также и классическим решением в S2.
Можно говорить также о слабом решении и обобщенной задачи Дирихле
L'u=g в S2, м = <р на 3S2,
с граничной функцией <р€ W1*2 (?2), понимая под решением и такое слабое
решение уравнения, что и - у ? И^>2 (S2). Если предположить, что мини-
минимальное собственное значение матрицы [aij] отделено от нуля в Г2, в сла-
слабом смысле выполняется неравенство
Dibi + d<0, A.5)
а функция g принадлежит L2(S2), то мы, согласно утверждению теоре-
теоремы 8.3, получим, что обобщенная задача Дирихле имеет единственное ре-
решение и в классе W1>2(?2). Условие A.5) является аналогом условия
с < 0 для уравнения A.1), обеспечивающим справедливость принципа
максимума для функций, удовлетворяющих неравенству L'u > 0 (ьи < 0)
в слабом смысле (теорема 8.1), и, следовательно, единственность решения
обобщенной задачи Дирихле. Существование решения в этом случае следует
из альтернативы Фредгольма для оператора L' (теорема 8.6), доказывае-
доказываемой с помощью теоремы Рисса о представлении линейного ограниченного
функционала в гильбертовом пространстве Wq* 2 (S2).
14

Большая часть гл. 3 посвящена теории регулярности слабых решений.
Из дополнительной гладкости коэффициентов в тождестве A.4) следует,
что решения оказываются принадлежащими пространствам Wk'2 (тео-
(теоремы 8.8, 8.10). С помощью теорем вложения Соболева из гл. 7 доказы-
доказывается, что достаточно высокая гладкость коэффициентов уравнения при-
приводит к тому, что слабые решения оказьюаются в действительности клас-
классическими решениями. Глобальная регулярность этих решений доказывает-
доказывается с помощью распространения внутренней регулярности до границы при
условии, что граничные данные являются достаточно гладкими (теоре-
(теоремы 8.13, 8.14).
Теория регулярности слабых решений и соответствующие поточечные
оценки являются основой нелинейной теории. Эти результаты служат
отправкой точкой доказательств методом последовательного улучшения
гладкости*), типичным для нелинейной теории. Идея, кратко, состоит
в том, чтобы начинать со слабых решений квазилинейного уравнения,
рассматривая их как слабые решения линейного уравнений, получающегося
при подстановке решений в коэффициенты уравнения, а затем доказьюать
большую гладкость этих решений. Начиная вновь с полученных (более
гладких) решений и повторяя процесс, можно постепенно увеличивать
степень гладкости решения до тех пор, пока не будет доказано, что исход-
исходное слабое решение является достаточно гладким. Такова суть доказа-
доказательств регулярности для классических вариационных задач и — в неяв-
неявном виде — в нелинейной теории, рассматриваемой здесь.
Оценки Гёльдера слабых решений, столь необходимые для нелиней-
нелинейной теории, получаются в гл. 6 из неравенств Харнака, доказываемых
итерационным методом Мозера (теоремы 8.17, 8.18, 8.20 и 8.24). Эти
результаты обобщают фундаментальные априорные оценки Гёльдера,
полученные Де Джорджи и являющиеся первым существенным дости-
достижением в теории квазилинейных уравнений с числом переменных, боль-
большим двух. Доказательства используют интегральные оценки слабых реше-
решений и и получаются с помощью соответствующего выбора пробных функ-
функций v в тождестве A.4). Выбор пробных функций является основным
техническим приемом для получения оценок, используемым постоянно
в этой книге.
В это издание книги мы включили в гл. 8 новый материал о критерии
Винера регулярности граничных точек, о собственных значениях и собст-
собственных функциях и об оценках Гёльдера первых производных решений
линейных уравнений дивергентного вида.
Часть I этого издания книги мы завершаем новой главой 9, посвящен-
посвященной изучению сильных решений линейных эллиптических уравнений. Силь-
Сильным решением называется решение, имеющее вторые производные — по
крайней мере, в слабом смысле — и удовлетворяющее уравнению A.1)
почта всюду. В этой главе переплетаются два направления. Во-первых,
доказывается принцип максимума Александрова и соответствующая
априорная оценка (теорема 9.1) для решений, принадлежащих Соболев -
скому пространству Й/*>Я(Л), посредством чего на неклассические реше-
*) В тексте - the "bootstrap" arguments. - Примеч. пер.
15

ния переносится ряд основных результатов гл. 3. Далее в этой главе полу-
полученные результаты используются для получения различных поточечных
оценок, включая недавние оценки Гёльдера и Харнака, принадлежащие
Крылову и Сафонову (теоремы 9.20, 9.22; следствия с 9.24,9.25). Во-вто-
Во-вторых, в этой главе развивается LP-теория линейных эллиптических уравне-
уравнений второго порядка, аналогичная теории Шаудера, изложенной в гл. 6.
Основная оценка для решений уравнения Пуассона — неравенство Каль-
дерона — Зигмунда (теорема 9.9) — получается из интерполяционной тео-
теоремы Марцинкевича без применения методов преобразования Фурье. Внут-
Внутренние и глобальные оценки в пространствах Соболева W2yP(?l), 1 < р < °°,
установлены в теоремах 9.11, 9.13 и применяются к задаче Дирихле для
сильных решений в теореме 9.15 и в следствии 9.18.
Часть II этой книги посвящена в основном задаче Дирихле и соответст-
соответствующим оценкам для решений квазилинейных уравнений. Частично ре-
результаты касаются общего оператора A.2), а частично - операторов в ди-
дивергентной форме
Qu = divA(x, и, Du)+B(xf и, Du), A.6)
где А(х, z, р) и В(х, z, p) - векторная и соответственно скалярная функ-
функции, определенные на О, X R X Кп. В гл. 10 принцип максимума и принци-
принципы сравнения (аналогичные результатам гл. 3) распространяются на реше-
решения и субрешения квазилинейных уравнений. В частности, получены априор-
априорные оценки для решений неравенства Qu > 0 (уравнения Qu = 0), где Q —
оператор в дивергентной форме, удовлетворяющий определенным струк-
структурным условиям, более общим, чем условие эллиптичности (теорема 10.9).
В гл. 11 излагаются основные результаты, используемые в последующих
главах при изучении задачи Длрихле. Мы рассматриваем в основном клас-
классические решения, а уравнения могут быть как равномерно эллиптически-
эллиптическими, так и неравномерно эллиптическими. При весьма общих условиях
любое глобально гладкое решение и граничной задачи для уравнения Qu = 0
в области ?1 с гладкой границей может быть получено как неподвижная
точка (w = Ти) компактного оператора Г, действующего из Cli<* (?1) в
ClrOc(Q,) с_произвольным a G @, 1). В приложениях функция Ти, где
и ? Cly0L (Q.)у является единственным решением линейной задачи, получаю-
получающейся при подстановке функции и в коэффициенты оператора Q. Из теоре-
теоремы Лере — Шаудера о неподвижной точке (доказанной в гл. 11) следует
существование решения граничной задачи при условии, что справедлива
априорная оценка в С1*01 (п) для решений некоторого непрерывного се-
семейства уравнений и = Т{и\ а), 0 <а <1, где Т(и; 1) = Ти (теоремы 11.4,
11.7). Гл. 13—15 посвящены получению таких оценок для достаточно ши-
широкого класса задач Дирихле.
Общая процедура получения требуемой априорной оценки для возмож-
возможных решений // является четырехшаговым процессом, состоящим из после-
последовательных оценок величин sup| и |, sup | Du\, sup | Du \ и || и \\ Ь0? __ для
« an n с (а)
некоторого а > 0. Каждая из этих оценок использует предыдущую, а конеч-
конечная оценка для || и\\ <bQf _ используется в доказательстве существования
С (П)
решения, основанном на теореме Лере — Шаудера.
16

Как уже отмечалось, оценка для sup | и | обсуждается в гл. 10. В после-
последующих главах эта оценка или имеется в условиях, или следует из свойств
решений уравнений.
Уравнения с двумя независимыми переменными (гл. 12) занимают в
теории особое место. Это обусловлено, в частности, существованием силь-
сильных методов, созданных для таких уравнений, а также наличием результа-
результатов, присущих только этим уравнениям и не имеющих аналогов для урав-
уравнений с числом переменных, большим двух. К уравнениям с двумя незави-
независимыми переменными применимы метод квазиконформных отображений
и методы, использующие дивергентную структуру уравнений (гл. 11).
Они сравнительно просто приводят к требуемым априорным оценкам в
Сх>а, из которых легко вытекает разрешимость задачи Дирихле.
Особого внимания заслуживает следующий факт: решения равномерно
эллиптических линейных уравнений с двумя независимыми переменными
удовлетворяют априорной оценке в С1%а с постоянными, зависящими толь-
только от постоянной эллиптичности и верхних граней модулей коэффициентов^
без каких бы то ни было предположений о гладкости (теорема 12.4). Для
уравнений с числом переменных, большим двух, такая оценка в С1'а
и даже оценка градиента при столь общих условиях неизвестны. Другой
специфической особенностью двумерной теории является существование
априорной оценки в С1 — оценки вида | Du \ К К — для решения и произ-
произвольного эллиптического уравнения
аихх +2Ьиху + сиуу = 0 A-7)
в предположении, что функция и непрерывна на замыкании ограниченной
выпуклой области ?1 и принимает граничное значение <р на Э?2, причем
функция {р удовлетворяет условию ограниченности наклона (или условию
трех точек) с постоянной К. Элементарное доказательство этого класси-
классического результата, обычно получаемого с помощью теоремы Радо о седло-
вых поверхностях, дано в лемме 12.6. При наличии оценки градиента,
выполняющейся для всех решений и общего квазилинейного уравне-
уравнения A.7) с коэффициентами а =а (х, у, и, их, иу) и т.д., таких,что и = $ на дп,
задача Дирихле с функцией <р сводится к задаче Дирихле для равномерно
эллиптического уравнения, рассмотренной в теореме 12,5. В теореме 12.7
мы получаем решение общей задачи Дирихле для уравнения A.7) в пред-
предположении, что коэффициенты локально непрерывны по Гёльдеру, а гра-
граничные значения удовлетворяют условию ограниченности наклона (без
дополни!ельиы& требований о гладкосга этих значений).
В гл. 13, 14 и 15 получаются оценки градиента, участвующие в про-
процедуре доказательства существования, описанной выше. В гл. 13 доказы-
доказываются фундаментальные результаты Ладыженской и Уральцевой об оцен-
оценке Гёльдера производных решений эллиптических квазилинейных уравне-
уравнений. В гл. 14 мы занимаемся оценкой градиента решений эллиптического
квазилинейною уравнения на границе. После рассмотрения общих и вы-
выпуклых областей мы приводим обзор теории Серрина, которая связывает
условия на обобщенную кривизну границы с разрешимостью задачи Дирих-
Дирихле. В частности, из результатов гл. 11, 13 и 14 выводится критерий Джен-
кинса и Серрина разрешимости задачи Дирихле для уравнения минималь-
2. Д. Гилбарг \7

ных поверхностей, а именно: эта задача разрешима для гладкой области
при производных гладких граничных данных тогда и только тогда, когда
средняя кривизна границы (относительно внутренней нормали) неотри-
неотрицательна в любой точке (теорема 14.14),
Глобальные и внутренние опенки градиента решения квазилинейного
уравнения доказаны в гл. 15. Используя усовершенствование классиче-
классической техники Бернштейна, мы получаем оценки sup | Du | через sup | Du \
п. ъп
для класса уравнений, содержащего равномерно эллиптические уравнения,
удовлетворяющие естественным условиям роста, и уравнения, имеющие
такие же структурные свойства, как и уравнение поверхностей с заданной
средней кривизной (теорема 15.2). Вариант нашего метода приводит к
внутренним оценкам градиента для более узкого класса уравнений (теоре-
(теорема 15.3). Мы также рассматриваем равномерно эллиптические и неравно-
неравномерно эллиптические уравнения дивергентной формы (теоремы 15.6,
15.7 и 15.8). В этих случаях с помощью соответствующего выбора проб-
пробных функций получаются оценки градиента решений при других услови-
условиях на коэффициенты, отличных от условий общего случая. Гл. 15 мы
завершаем серией теорем существования, иллюстрирующих широту ох-
охвата теории. Все эти теоремы получаются с помощью различных комби-
комбинаций априорных оценок из гл. 10, 14 и 15 и разумного выбора соответ-
соответствующих семейств задач, к которым применима теорема 11.8.
В гл. 16 изучается уравнение поверхностей с заданной средней кри-
кривизной, для решений которого получается внутренняя оценка градиен-
градиента (теорема 16.5), а с ее помощью доказываются теоремы существова-
существования решения задачи Дирихле для непрерывных граничных значений (тео-
(теоремы 16.8, 16.10). Мы рассматриваем также семейство уравнений с дву-
двумя переменными, в определенном смысле столь же аналогичных уравне-
уравнений поверхностей с заданной средней кривизной, как равномерно эллип-
эллиптические уравнения из гл. 12 аналогичны уравнению Лапласа. Для них
с помощью обобщения понятия квазиконформного отображения полу-
получаются внутренние оценки первых и вторых производных. Оценки вто-
вторых производных обеспечивают хорошо известную оценку Хайнца для
решений уравнения минимальных поверхностей (теорема 1б*.20) и, кро-
кроме того, влекут обобщение знаменитого результата Бернштейна, глася-
гласящего, что целые решения уравнения минимальных поверхностей с
двумя независимыми переменными являются линейными функция-
функциями (следствие 16.19). Возможно, наиболее примечательной особенностью
теорем 16.5 и 16.20 является метод. Взамен рассмотрений в области ?1
мы работаем на поверхности 5, являющейся графиком решения и, и ис-
используем различные соотношения между тангенциальной составляющей
градиента, оператором Лапласа на 5 и средней кривизной поверхности S.
В это издание книги мы добавили новую гл. 17. В ней рассмотрены
вполне нелинейные эллиптические уравнения и изложены результаты
недавних работ об уравнениях Монжа - Ампера и об уравнениях типа
уравнения Беллмана — Пуччи. Это уравнения общего вида
F[u] = F(x, и, Du, D2u) = 0, A.8)
включающие линейные и квазилинейные уравнения вида A.1) и A.2)
18

в качестве специальных случаев. Функция F определена для (х, z, p, r) G
G ?1 X R X R" XR"Xn, где RwX" - линейное пространство веществен-
вещественных симметрических матриц порядка п X п. Метод продолжения по па-
параметру (теорема 17.8) сводит изучение разрешимостизадачи Дирихле
для уравнения A.8) к доказательству оценок в С2'а(?2) с некоторым
а > 0, т.е. для вполне нелинейных уравнений дополнительно к оценкам
первых производных, требующимся для изучения квазилинейного слу-
случая, нужны еще и оценки вторых производных. Такие оценки получают-
получаются для уравнений с двумя независимыми переменными (теоремы 17.9,
17.10), для равномерно эллиптических уравнений (теоремы 17.14, 17.15)
и для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера (теоремы 17.19, 17.20,
17.26). Из них, в частности, следуют недавние результаты о разрешимо-
разрешимости задачи Дирихле для равномерно эллиптических уравнений, получен-
полученные Эвансом, Крыловым и Лионсом (теоремы 17.17, 17.18), и для урав-
неий типа уравнения Монжа — Ампера, полученные Крыловым, Каффа-
релли, Ниренбергом и Спруком (теорема 17.23).
Мы завершим этот обзор некоторыми замечаниями читателю. Материал
не имеет строгого логического порядка. Так, теория уравнения Пуассона
(гл. 4) должна, естественно, следовать за уравнением Лапласа (гл. 2).
Но, учитывая элементарность утверждений о принципе максимума (гл. 3)
и возможность пораньше познакомить читателя с некоторыми общими
задачами для уравнений с переменными коэффициентами, мы помести-
поместили соответствующий материал сразу после гл. 2. В действительности общий
принцип максимума не используется до теории разрешимости гл. 6. Основ-
Основной материал по функциональному анализу (гл. 5) для теории Шаудера
необходим в более слабом виде: достаточно знать принцип сжимающих
отображений и основные факты теории банаховых пространств, исклю-
исключая доказательство альтернативы в теореме 6.15. Для изучения нелиней-
нелинейных задач во второй части достаточно знать результаты разделов 1—3 гл. 6.
В зависимости от интересов читателя изучение линейной теории можно на-
начать прямо с L2-теории, излагаемой в гл. 8; для этого достаточно знаком-
знакомство с предварительным материалом по функциональному анализу (гл. 5)
и с теорией слабо дифференцируемых функций (гл. 7). Неравенство Хар-
нака и оценки Гёльдера из гл. 8 не используются до гл. 13.
Теория квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменны-
переменными (гл. 12) по существу не использует гл. 7—11, ее можно изучать сра-
сразу после гл. 6, ознакомившись лишь с теоремой Шаудера о неподвижной
точке (теорема 11.1). Метод квазиконформных отображений вновь встре-
встречается в гл. 16, остальные главы не используют гл. 12. После ознакомле-
ознакомления с основами нелинейной теории в гл. 11 читатель может непосредствен-
непосредственно приступить к изучению и-мерной теории, излагаемой в гл. 13—17. Гл. 16
в целом не использует гл. 13—15. Гл. 6 и 9 достаточно подготавливают к
усвоению большей части результатов гл. 17.
Дополнительные замечания
Кроме основ вещественного анализа и линейной алгебры в этой книге
не используются другие сведения, и материал книги в целом является ав-
автономным. Возможно, многие предварительные сведения из теории потен-
2* 19

циала и функционального анализа, равно как и теория пространств Собо-
Соболева и теоремы о неподвижной точке, могут быть знакомы многим чита-
читателям. Но, думается, доказательство теоремы Лере - Шаудера, не исполь-
использующее понятие топологической степени (теорема 11.6), не столь широко
известно. Ряд хорошо известных вспомогательных результатов, таких как
интерполяционные неравенства и леммы о продолжении гл. 6, приведе-
приведены в книге ради полноты изложения.
Имеются большие пересечения с материалом книг Ладыженской и Ураль-
цевой [147] и Морри [208]. От первой из них наша книга отличается ис-
используемой аналитической техникой, а также тем, что в нелинейной теории
больше внимания обращено на неравномерно эллиптические уравнения.
От второй наша книга отличается тем, что непосредственно не посвяще-
посвящена вариационным задачам и методам. Настоящая книга содержит также
результаты, полученные после публикации названных двух книг. С другой
стороны, наша книга более ограничена содержанием. Среди тем, не рас-
рассмотренных в книге, укажем на системы уравнений, полулинейные урав-
уравнения, теорию монотонных операторов и разделы, использующие геомет-
геометрическую теорию меры.
В изложении материала, нередко весьма технического, мы не всегда
стремились к максимально возможной общности. В частности, это заме-
замечание касается используемых модулей непрерывности, оценок, интеграль-
интегральных условий и т.п. Мы ограничили себя рассмотрением условий, описы-
описываемых степенными функциями: условие Гёльдера — а не условие Дини,
пространства LP — а не пространства Орлича, структурные условия в тер-
терминах степеней \р | — а не в терминах более общих функций от \р \ и т.д.
Модифицируя доказательства, читатель самостоятельно может получить
соответствующие обобщения.
Исторические сведения и библиографические ссылки приводятся, как
правило, в примечаниях в конце глав. Примечания не претендуют на полно-
полноту, а являются скорее дополнениями к тексту, поясняющими его. Более
обстоятельный обзор литературы до 1968 г. имеется в книге Миранды
[195]. С целью дополнения текста в конце каждой главы приводятся за-
задачи. Надеемся, чю они будут полезными упражнениями для читателя.

ЧАСТЬ I
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
Пусть Г2 — область в R", а и — функция из С2 (п). Лапласиан от функ-
функции и, обозначаемый через Аи, определяется равенством
Аи = 2 Оцы = dwDu. B.1)
/= 1
Функция и называется гармонической (субгармонической, супергармо-
супергармонической) в 12, если в ?2 выполняется соотношение
Аи = 0 (Аи > О, At/ < 0). B.2)
Настоящая глава посвящена изложению некоторых основных свойств
гармонических, субгармонических и супергармонических функций, кото-
которые используются при изучении разрешимости классической задачи Ди-
Дирихле для уравнения Лапласа Аи - 0. Как отмечалось в гл. 1, уравнение
Лапласа и его неоднородная форма — уравнение Пуассона— являютсяос-
являютсяосновной моделью линейных эллиптических уравнений.
Отправной точкой исследования является хорошо известная теорема
о дивергенции в R". Пусть И 0 - ограниченная область с границей Э?20
класса С1 и пусть v — единичная внешняя нормаль к Э?20- Для произволь-
произвольного векторного поля w класса С1 (п0) справедливо равенство
/ divwdx = J w vds, B.3)
ds ~ (п — 1)-мерный элемент площади на Э?20 ). В частности если и —
функция класса С2 (По), то, полагая в B.3) w = Du, получаем равенство
/ Audx = / Dwvds = / —ds B.4)
(более общую формулировку теоремы о дивергенции см. в [122]).
*) Обычно формула B.3) называется формулой Гаусса — Остро градского. -
Примеч. пер.
21

2.1. Неравенства для средних значений
Первое утверждение, являющееся следствием тождества B.4), содер-
содержит в себе хорошо известное свойство среднего для гармонических, суб-
субгармонических и супергармонических функций.
Теорема 2.1. Пусть и G С2 (?1) удовлетворяет соотношению Аи-О
(Аи > 0, Аи < 0) в ?1. Тогда для любого шара В = BR(y) С С п справед-
справедливы равенства (неравенства)
Ф) = К>) ТГГТ / uds> B-5)
na)nR ъв
и(у) = (<t>) Z fudx. B.6)
cjnRn в
Для случая гармонической функции теорема 2.1 утверждает, что значе-
значение этой функции в центре шара В равно ее интегральному среднему как по
сфере ЪВ, так и по самому шару В. Эти утверждения, известные как тео-
иемы о среднем, полностью характеризуют гармонические функции (см.
теорему 2.7).
Доказательство теоремы 2.1. Пусть р G @, R). Применим
тождество B.4) к шару Вр =Вр(у). Получим
/ —ds = / Audx = (>,<H.
ЪВр Ър Вр
Вводя радиальную и угловые координаты: г = \х - у I, со = (х - у)/г,
и представляя и (х) = и (у + г со), имеем
Л дм л Ъи _ , Л Эм
/ s / (у pco)ds р /
ЪВр 0V ЪВр OV |w|=l ОГ
= р" / w(y + pco)<ico = р"—[р1"" /
Эр I w | = 1 Эр э Вр
Следовательно, для любого р G @, Л)
р1"" / uds = (>,<)Я1~п f uds,
ЪВр BBR
а так как
lim p1"" / uds = nojnu(y),
то получаем соотношение B.5). Соотношение B.6) немедленно получает-
получается из B.5), если последнее записать в виде
П'ыпрп-1и(у) = (<,>) f uds, p<R,
ЪВр
и проинтегрировать по р от 0 до R. П
22

2.2. Принцип максимума и минимума
Теорема 2.1 позволяет получить сильный принцип максимума для суб-
субгармонических функций и сильный принцип минимума для супергармо-
супергармонических функций.
Теорема 2.2. Пусть Аи > О (<0) в п. Предположим, что существу-
существует такая точка у ? 12, что и (у) = sup и (inf м). Тогда функция и являет-
п si
ся постоянной. В частности отличная от постоянной гармоническая функ-
функция не может иметь внутренних точек максимума и минимума.
Доказательство. Пусть Аи > О в 12, М = sup и. Определим 12 м =
= { х ? 121 и(х) = М) . По предположению 12 м не пусто. Кроме того, так
как функция и непрерывна, то множество О.м является замкнутым в 12.
Пусть z — произвольная точка 12^. Применим неравенство B.6) к суб-
субгармонической в шаре B=BR(z) С С 12 функции и - М Получим
О = u(z) - М < / (и - M)dx < О,
o>nRn в
т.е. ы = М в BR(z). Следовательно, ?1М является также и открытым в 12.
Таким образом, &м = ^ •
Утверждение теоремы для супергармонических функций получается
из доказанного утверждения заменой и на - ы. П
Сильные принципы максимума и минимума немедленно приводят к гло-
глобальным оценкам, а именно к следующим слабым принципам максимума
и минимума. _
Теорема 2.3. Пусть область п ограничена, we С2 (п) П С0 A2 ) и
Аи>0 (<0) в п. Тогда
sup и = sup и (inf м = inf и ). B.7)
a an n эп
2? частности, для гармонической функции и
infw<w(x)< sup w, jcG?2.
Из теоремы 23 следует теорема единственности решения классической
задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона в ограниченной области.
Теорема 2.4. Пусть функции и, v G С2 A2) П С0 A2) удовлетворя-
удовлетворяют равенствам Аи = Аи в 12 м w = и нд Э12. 7Ьгдя ы = и в 12.
Доказательство, Обозначим и - и через w. Тогда Aw = 0 в 12 и
w = 0 на Э!2, А в силу теоремы 2.3 w = 0 на 12. ?
Отметим также, что из теоремы 2,3 вытекает следующее утверждение:
если функции и и v, гармоническая и субгармоническая соответственно,
совпадают на границе Э12, то v <мв 12, Отсюда и название "субгармоничес-
"субгармоническая функция",
Соответствующее замечание справедливо и для супергармонических
функций. Далее в этой главе это свойство субгармонических и супергармо-
супергармонических функций класса С2 A2) берется за основу при распространении
понятий суб- и супергармоничности на более широкий класс функций.
23

Другой метод доказательства теорем 2.2, 2.3 и 2,4 приводится в следую-
следующей главе, в которой устанавливаются принципы максимума для общих
эллиптических уравнений (см. также задачу 2Л).
2.3. Неравенство Харнака
Еще одним следствием теоремы 2.1 является следующее неравенство
Харнака для гармонических функций.
Теорема 25, Пусть и - неотрицательная гармоническая функция
в ?2. Тогда для любой ограниченной подобласти п' С С ?2 существует та-
такая постоянная С, зависящая только от п, п' и?1, что
supw<Cinfw. B.8)
«' я'
Доказательство. Пусть у € 12, B4R (у) С 12. Тогда для любых
двух точек Хь х2 €Е BR (у) имеют место соотношения B.6)
S udx< — / udx,
() R {)
u(x2) = / udx > f udx.
(bR)n B3R(x2) conC/0'J B2R{y)
Отсюда получаем
sup u<3n inf и. B.9)
M BR(y)
Пусть теперь 12# С С 12. Выберем точки хь х2 ? !2# так, чтобы u(xi) =
= sup и, и(х2) = inf и. Пусть Г С 12' — замкнутая дуга, соединяющая Х\ и
х2. Возьмем такое положительное число R, что AR < dist (Г, Э12). В силу
теоремы Гейне — Бореля дуга Г может быть покрыта конечным числом
N (зависящим только от О' и 12) шаров радиуса R *). Применяя оцен-
оценку B,9) в каждом шаре и комбинируя их, получаем неравенство w(jci) <
< 3nNu(x2). Тем самым получена оценка B,8) с постоянной С = 3nN. ?
Заметим, что постоянная в B,8) инвариантна относительно преобразо-
преобразований подобия и ортогональных преобразований. Неравенство Харнака для
слабых решений однородных эллиптических уравнений будет доказано в
гл.8.
2.4. Представление Грина
Прежде чем перейти к изучению вопроса о существовании решений, полу-
получим некоторые следствия теоремы о дивергенции, а именно тождества
Грина.
Пусть О, - область, к которой применима теорема о дивергенции, и пусть
и и v ~ функции из С2($2). Подставляя w = v Du в тождество B,3),по-
*) Чтобы добиться независимости числа N от рассматриваемой функции и, доста-
1 -
точно взять R < ~ dist (П', ЭГ2) и выбрать конечное покрытие шарами радиуса R
множества п'. -Примеч. ред.
24

лучим первое тождество Грина
Ъи
f V- Audx+ f DuDvdx= f v ds. B.10)
a. n an Ър
Меняя в BЛ0) функции и и и местами и вычитая получающееся тож-
тождество из B Л 0), получаем второе тождество Грина
/ Ъи Эу \
/ (v-Au-u- Av)dx= f (и и )ds. B.11)
si ъа \ Ър Ър /
Уравнение Лапласа имеет радиально-симметричное решение г2~п для
п > 2 и log г дня п = 2, где г — расстояние до фиксированной точки. Фик-
Фиксируем точку у G 12 и введем нормированное фундаментальное решение
уравнения Лапласа
\х-у\2~п, п >2,
nil - n)cjn
, B.12)
— loglx -у I n = 2.
2тг
Простые вычисления показывают, что
- -J- -я
Очевидно, что функция Г гармонична при х Ф у. Для дальнейших целей
мы отметим следующие оценки производных:
1
-у)\ < — и-я ,
~^I < \х-у\~пу B.14)
Особенность в точке х = у не позволяет использовать функцию Г вместо
v во втором тождестве Грина B.11). Однако эту трудность можно обойти,
заменив 12 на ?2 - /?р, где /?р = Вр(у) — шар достаточно малого радиуса р.
Формула B.11) тогда принимает вид
г ( Ъи ЭГ\ / Ъи ЭГ\
/ TAudx = /(Г w —)cte+ /(Г и —I
~Яр эп \ д^ Э^/ ъвр\ Ър Ър/
Далее,
дм Эм
/ Г — ds = Г(р) / — ds < wcowpw-1r(p)sup|Dw | -* 0
двр Ър ъвр д*> вр
при р -> 0
25

и
/ и — ds = -Г'(р) • / uds =
(заметам, что р есть внешняя нормаль к 12 - Вр)
__ . f и- ds •+ -и(у) при р -> 0.
Отсюда, устремляя в B.15) р к нулю, получаем формулу
/ ЭГ Эм\
: / (и — (х-у)-Г(х-у)— )ds + jr(x-y)Audx,
эа\ Э*> Ър / а
У е 12, _ B.16)
дающую представление произвольной функции и е С2 A2) через Аи и зна-
Ъи
чения и и — на Э12. Будем называть ее представлением Грина. Для ин-
интегрируемой функции / интеграл /Г(х - y)f(x)dx назьюается ньютоно-
ньютоновым потенциалом с плотностью /. Если и имеет компактный носитель
в Н",тоиз B.16) следует часто используемая формула
и(у) = JT(* - jOAn(*)d*. B.17)
Для гармонической функции и мы имеем также представление
г ( ЭГ • Эм\
w(j0 = J lw — (х -у) — Г(х -у) — }ds, yGU. B.18)
а а \ Ър Ър /
Так как в этом равенстве подынтегральные функции являются беско-
бесконечно дифференцируемыми и, более того, аналитическими по у, то из
представления B.18) следует, что и также аналитична в 12. Таким образом,
гармонические функции аналитичны всюду в своей области определения
и, следовательно, однозначно определяются своими значениями на любом
открытом подмножестве области определения. _
Предположим теперь, что функция й € С1 A2) П С2A2) удовлетворяет
уравнению Ah = 0 в 12. Тогда, используя второе тождество Грина B.11),
получаем
/Эй Эм\
~f[u й —)ds = fhAudx. B.19)
ъа \ Ър Ър / а
Обозначая G = Г + й и складывая B.16) и B.19), получаем более общее
представление Грина
/ bG Ъи\
и(у) = flu G — jds + fGAudx. B.20)
Если дополнительно G = 0 на Э12, то
Э<7
= /и — * + fGAudx. B.21)
эа Эу п
26

Такая функция G = G(x, у) назьюается функцией Грина (задачи Дирихле)
для области 12. Иногда ее также называют функцией Грина первого рода
для 12. Из теоремы 2.4 следует единственность функции Грина. Существо-
Существование функции Грина влечет возможность представления формулой B.21)
любой гармонической функции из С1(й) П С2A2) через ее граничные
значения.
2.5. Интеграл Пуассона
В случае, когда 12 есть шар, функция Грйна может быть построена
методом отражения. Это приводит к хорошо известному интегральному
представлению Пуассона гармонической функции в шаре. А именно, пусть
BR -BR @) и пусть для x€BR, хФО,
R2
х = — х B.22)
есть точка, получаемая инверсией точки х относительно ЪВК; если х = 0,
то положим Зс* = о°. Тогда, как легко видеть, функция Грина для BR за-
задается равенствами
IXI*-Я) ~ г(-~~ Iх-?1)' у ф °>
^ R / = B.23)
1Х1х|)-Г(Д), Д> = 0
для всех х, у € BRi x Фу.
Функция, G, определенная формулой B.23), обладает следующими
свойствами:
G(x,y) = G(y,x), G{xty) < 0 для х,у е BR. B.24)
Кроме того, непосредственное вычисление показьюает, что для х G ЪВК
нормальная производная G задается формулой
bG dG R2 -! У I2
ov о\х\ nconR
Следовательно, если функция и Е C2(BR) П C*(Br) гармонична, то в
силу B.21) справедлива интегральная формула Пуассона
R2 - ! у |2 udsx
и{у) = ~~ * / — . B.26)
Правая часть этой формулы называется интегралом Пуассона функции м.
С помощью аппроксимации можно показать, что интегральная формула
Пуассона остается верной и для и е C2(BR) П C(BR). Заметим, что при
у - 0 получаем теорему о среднем для гармонической функции. И вообще,
все предыдущие теоремы этой главы могут быть получены как следствия
представления B.21) с ?2 =BR @).
27

Для доказательства существования решения классической задачи Ди-
Дирихле в шаре нам потребуется обратное утверждение* которое мы сейчас
и докажем.
Теорема 2.6. Пусть В = BR@) и \р - непрерывная на ЪВ функция.
Тогда функция и, определенная равенствами
R2-\x\2 <p(y)dsy
j __: г— $ля х Е В,
nojnR ъв \х-у\п B.27)
ф(х) для х ? ЪВ,
принадлежит С2 (В) П С (В) и удовлетворяет уравнению А и = 0 в В.
Доказательство. Гармоничность в В определенной равенства-
Ъв
ми B.27) функции и, очевидно, следует из того, что G, а потому и ,
Ъи
гармоничны по х; это можно проверить непосредственным вычислением.
Для доказательства непрерывности и вплоть до границы ЪВ мы применим
формулу Пуассона B.26) к специальному случаю и = 1. Получим тож-
тождество
/ K(x,y)dsv = 1 для всех х G Ву B.28)
ъв
где К — ядро Пуассона,
К(х.у) = ——*—^ , хев, у еъв. B.29)
Разумеется, интеграл в B.28) может быть вычислен непосредственно,
однако эти вычисления довольно громоздки. Пусть теперь х0 € ЪВ,
а € - произвольное положительное число. Выберем б > 0 так, что
|</?(х) — v^o)! < € для |х - хо| < б; пусть | у | < М на ЭА Тогда
если | х - х0 I < 6/2, то из B.27) и B.28) имеем
| и{х) - и(хо)\ = / К(х, у) (<р(у) - <p(xo))dsy
ьв
< f
+ / K(x,y)\<p(y)-<p(xo)\dsy <
\У-хо\>8
2M(R2 -\x\2)-Rn~2
< б + •
E/2)"
Отсюда следует, что если взять расстояние |х - хо| достаточно малым,
то \и(х) — и(хо)\ < 2е. Следовательно, и непрерывна в точке jc0. Итак,
uG С°(В)У что и требовалось доказать, а
Подчеркнем, что приведенные рассуждения локальны, т.е. если <р толь-
только ограничена и интегрируема по ЪВ и непрерывна в точке х0, то и(х) ->
) при х -> х0.
28

2.6. Теоремы о сходимости
В этом разделе мы отметим некоторые непосредственные следствия
интегральной формулы Пуассона. Три следующие теоремы не будут, одна-
однако, нужны для дальнейших рассмотрений.
Прежде всего мы покажем, что гармонические функции могут быть
охарактеризованы их свойством среднего.
Теорема 2.7. Непрерывная в области Г2 функция и гармонична в
этой области тогда и только тогда, когда для любого шара В =BR (у)СС ?1
выполняется свойство среднего
1
пып& 1 ъв
Доказательство. По теореме 2.6 для любого шара В СС О, су-
существует такая гармоническая в В функция /г, что h = и на ЪВ. Разность
w = и - h является функцией, удовлетворяющей свойству среднего для
любого лежащего в В шара. Следовательно, к функции w применимы прин-
принцип максимума и результаты о единственности — теоремы 2.2, 2.3 и 2.4,
поскольку их обоснование использует только свойство среднего. Поэто-
Поэтому w = 0 в 5, и, следовательно, функция и обязана быть гармонической
вП.П
Немедленным следствием предыдущей теоремы является следующее
утверждение.
Теорема 2.8. Предел равномерно сходящейся последовательно-
последовательности гармонических функций является гармонической функцией.
Из теоремы 2,8 следует, что если { ип} — последовательность гармони-
гармонических в ограниченной области ?1 функций с непрерывными граничными
значениями {«?„}, которые сходятся равномерно на 3J2 к функции <р, то
последовательность {ип } сходится равномерно (в силу принципа макси-
максимума) к гармонической в Q, функции, принимающей граничные значения
</? на 3fl. С помощью неравенства Харнака — теорема 2.5 - мы можем
также получить из теоремы 2.8 теорему Харнака о сходимости.
Теорема 2.9. Пусть {ип} - монотонно неубывающая последова-
последовательность гармонических в области ?1 функций. Предположим, что для
некоторой точки у € п последовательность {ип(у)} ограничена. Тогда
последовательность {ип} равномерно на любой ограниченной подобласти
п* СС О, сходится к гармонической функции.
Доказательство. Последовательность {ип(у)} сходится, т.е.
для любого е > 0 существует номер Атакой, что 0 <ит(у) -ип(у) < е
для всех m>n>N.Но тогда в силу теоремы 2.5 sup | ит (х) - ип (х) \ <Се
а'
с некоторой постоянной С, зависящей от 12' и П. Следовательно, последо-
последовательность { ип} сходится равномерно, и согласно теореме 2.8 ее предел
является гармонической функцией. ?
29

2.7. Внутренние оценки производных
Непосредственным дифференцированием интеграла Пуассона можно
получить внутренние оценки производных гармонических функций. Такие
же оценки следуют также и из свойства среднего. Пусть функция и гармо-
гармонична в 12 и В = BR(y) CC 12. Так как градиент Du также является гармо-
гармонической функцией в 12, то по свойству среднего и теореме о дивергенции
мы можем записать
1 1
Щу) = —^ fDudx = —^ • / uvds>
G3nRn в cjnRn ъв
\Qu(y)\ < — sup I ill,
R ъв
и, следовательно,
\Du(y)\ <~ supiwl, B.31)
dy n
где dy = dist(y, Э12).
Последовательным применением оценки B.31) к набору равноотстоя-
равноотстоящих друг от друга вложенных шаров получаются оценки для производных
высших порядков.
Теорема 2.10. Пусть и - гармоническая функция в 12 и пусть 12' -
произвольное компактное подмножество в 12. Тогда для любого мульти-
индекса а
sup \Dau\ < ( -^ ) sup | и |, B.32)
si' \ d / si
где d=dist(u\du).
Непосредственным следствием оценки B.32) является равностепенная
непрерьюность на компактных подмножествах рассматриваемой области
производных любого ограниченного множества гармонических функций.
По теореме Арцела из этого следует, что любое ограниченное множество
гармонических функций является нормальным семейством. Таким обра-
образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2.11. Любая ограниченная последовательность гармониче-
гармонических в области 12 функций содержит подпоследовательность, сходящую-
сходящуюся равномерно на компактных подмножествах 12 к гармонической
функции.
Отметим, что теорема о сходимости — теорема 2.8 — может быть по-
получена непосредственно из теоремы 2.11.
2.8. Задача Дирихле; метод субгармонических функций
Теперь мы можем перейти к изучению вопроса о существовании ре-
решений классической задачи Дирихле в произвольной ограниченной об-
области. Метод, используемый нами, является развитием метода Перрона
30

субгармонических функций [234], который существенно опирается на
принцип максимума и разрешимость задачи Дирихле для шара. Этот метод
имеет рад привлекательных особенностей; он элементарен,, отделяет собст-
собственно задачу существования от изучения граничного поведения решений
и очевидным образом обобщается на более общие классы эллиптических
уравнений второго порядка. Имеются другие хорошо известные методы
получения теорем существования, такие как метод интегральных урав-
уравнений, использованный, например, в книгах [122], [74], вариационный
метод или метод гильбертова пространства, который мы опишем далее
в гл. 8.*)
Определение субгармонических и супергармонических функций клас-
класса С2(О) следующим образом обобщается на непрерывные функции.
Непрерывная в области ?1 функция и назьюается субгармонической
(супергармонической) в ?1, если для любого шара В СС ?1 и любой
функции hy гармонической в В и удовлетворяющей неравенству и <h
(и > h) на ЪВ, имеет место неравенство и < Л (и > К) в В. Легко устанав-
устанавливаются следующие свойства непрерывных субгармонических функций:
(i) Для непрерывной субгармонической в области ?1 функции и спра-
справедлив сильный принцип максимума, а если функция и супергармонична
в ограниченной области ?1 и v > и над?2**),толибо v > и всюду в 12, либо
v^u.
Чтобы доказать последнее утверждение, предположим противное. Тогда
в некоторой точке х0 Е ?2 (и - и) (х0)- sup (к - и) =М > О, и можно
п
считать, что существует такой шар В = В(х0), что и - v Ф М на ЪВ. Пусть
и, v — гармонические функции, равные и, v на ЪВ (теорема 2.6). Тогда
М > sup(i7- v) > (п- v)(x0) > (и - v)(x0) = М,
ЪВ
и, следовательно, в этой формуле знаки неравенств можно заменить на
знаки равенства. В силу сильного принципа максимума для гармонических
функций (теорема 2.2) и - Ъ = М в 2?, а тогда и - и = М и на ЪВ, что проти-
противоречит выбору шара В.
*) Впервые строгое доказательство существования решения задачи Дирихле, а
также задач Неймана и Робена без специальных требований (типа выпуклости) на
структуру рассматриваемой области было получено В.А. Сгекловым в работах
1896 - 1902 гг.; см. его книгу: Основные задачи математической физики. -
2-е изд. - М.: Наука, 1983. При эхом был применен весьма оригинальный метод яс-
следования, опирающийся на теорию потенциала и своеобразные теоремы вложения.
Основанное на методе интегральных уравнений доказательство теоремы сущест-
существования имеется также в учебниках: Владимиров B.C. Уравнения математи-
математической физики. - М.: Наука, 1981; Петровский И. Г. Лекции об уравнениях
с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. В последнем приводится и из-
изложение метода Перрона. Опирающийся на понятие обобщенного решения метод
изучения разрешимости основных краевых задач (вариационный метод) содержит-
содержится, например, в учебнике Михайлова В.П. Дифференциальные уравнения в
частных производных. - М.: Наука, 1983; см. также монографию Ладыжен-
Ладыженской О.А. и Уральцевой Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллип-
эллиптического типа. - М.: Наука, 1973. - Примеч. ред.
**) Предполагается, что супергармоническая функция и и субгармоническая функ-
функция и непрерывные п. - Примеч. ред.
31

(ii) Пусть функция и субгармонична в 12 и В — шар, лежащий строго
внутри 12. Обозначим через и гармоническую в В функцию, которая за-
задается интегралом Пуассона по значениям и на дВ, удовлетворяющую
равенству п• = и на ЪВ. Определим в 12 гармоническую срезку и относи-
относительно В *) равенством
U(x)=\ B.33)
v ' \ и(х\ хеп-в. v }
Функция U будет субгармонической в 12.
Действительно, пусть В* СС 12 -произвольный шар в 12 и пусть h —
гармоническая в В' функция, удовлетворяющая неравенству А > Uна ЪВ1.
Так как и < l/в В', то и < h в В* к, следовательно, ?/<Л в В9 - В. Но С/
гармонична в 5. Поэтому в силу принципа максимума U<h в В OB*. Сле-
Следовательно, U< h в В\ т.е. U субгармонична в 12.
(ш) Пусть функции Wj, и2,..., Ндг субгармоничны в 12. Тогда функция
и(х) = max{wi(x), w2(^),..., uN(x)} также субгармонична в 12.
Это свойство является тривиальным следствием определения субгармо-
субгармоничности. Соответствующие результаты для супергармонических функций
получаются заменой в свойствах (i), (ii) и (iii) функции и на — и.
Пусть теперь 12 — ограниченная область, а у — ограниченная функция
на 912. Непрерывная в 12 субгармоническая функция и назьюается суб-
субфункцией относительно </?, если она удовлетворяет неравенству w.<</?
на Э12. Аналогично непрерывная в 12 супергармоническая функция и назы-
называется суперфункцией относительно <р, если и > <р на 312.
В силу принципа максимума каждая субфункция меньше или равна
любой суперфункции. Субфункциями (суперфункциями) являются, в част-
частности, постоянные функции, значения которых не больше inf <p (не мень-
эп
ше sup ip). Обозначим через Бф множество всех субфункций для «р.
Основной результат метода Перрона содержится в следующей теореме.
Теорема 2.12. Функция и(х)= sup v(x) гармонична в 12.
ye s#
Доказательство. В силу принципа максимума любая функция
v € 5^ удовлетворяет неравенству u<sup</?; следовательно, функция и
определена всюду на 12. Пусть у — произвольная фиксированная точка 12.
По определению функции и существует такая последовательность {vn} С
С Sy,что vn(y)-+u(y). Заменяя vn на тах(иЛ, inf<p), мы можем считать,
что последовательность { vn} ограничена. Выберем теперь R так, чтобы шар
В = BR(y) С С 12, и обозначим через Vn гармоническую срезку функ-
функции и„ относительно В\ см. формулу B.33). Тогда VnGS^y Vn(y)->
->и(у), и в силу теоремы 2,11 последовательность {Vn} содержит подпо-
подпоследовательность {^Wjth сходящуюся равномерно в любом шаре Вр(у)
с радиусом р < R к гармонической в В функции и. Ясно, что и <«в5
и что v(y) = u(y). Покажем теперь, что на самом деле и-и в В. Пред-
*) В оригинале: "harmonic lifting". - Примеч. пер.
32

положим, что v(z) < u{z) в некоторой точке z Е В. Тогда существует такая
функция п G S^, что u(z)<m(z). Полагая wk -тгх(п, Vnjc) и взяв гар-
гармоническую срезку Wk этой функции, см. формулу B.33), мы, как и ра-
ранее, получим подпоследовательность последовательности { Wk}, сходящую-
сходящуюся к гармонической функции w, удовлетворяющей неравенствам и <
< w<ub В, причем и(у) - w(y) = и(у). Но тогда в силу принципа макси-
максимума должно выполняться равенство и = и>в В, что противоречит выбо-
выбору и. Таким образом, функция и гармонична в 12. ?
Мы конструктивно построили гармоническую функцию, которую естест-
естественно считать решением (она назьгаается решением Перрона) классической
задачи Дирихле: Aw = 0 в 12, и = </>на Э12. В самом деле, если задача Ди-
Дирихле разрешима, то ее решение совпадает с решением Перрона. Действи-
Действительно, пусть н>есть предполагаемое решение. Тогда, очевидно, w€5^,
а в силу принципа максимума w>u для всех мЕ 5^. Заметим, что в до-
доказательстве теоремы 2.12 можно вместо теоремы о компактности (тео-
(теорема 2.11) воспользоваться теоремой Харнака о сходимости, теорема 2.9.
(См. задачу 2.10.)
В методе Перрона изучение граничного поведения решения существен-
существенно отделено от вопроса о его существовании. Непрерывное достижение
решением Перрона заданных граничных значений определяется геометри-
геометрическими свойствами границы рассматриваемой области и изучается с по-
помощью барьерных функций,, __
Пусть % — точка Э12. Функция w = w^, принадлежащая С0A2), назы-
называется барьером в точке ? для 12, если
(i) w супергармонична в 12,
(u) w>0bU-%; w(?) = 0.
Более общее определение барьера требует, что супергармоническая
функция w является лишь непрерывной и положительной в области 12 и
удовлетворяет условию w(x)->0 при х -> ?. Результаты этого раздела в
том же самом виде справедливы и для таких слабых барьеров (см., напри-
например, [330, с. 168]).
Важной особенностью концепции, основанной на построении барьеров,
является тот факт, что он опирается лишь на локальные свойства грани-
границы Э12. А именно, пусть определена функция w, являющаяся локальным
барьером в точке ? Е Э!2, т.е. существует такая окрестность Сточки ?,
что функция w удовлетворяет данному выше определению в 12 П N. Тогда
барьер в точке % для 12 может быть построен следующим образом. Пусть В
есть шар, удовлетворяющий условиям ? G В CC7V, и пусть т = inf w>
N-B
> 0. Функция
w (х) = {
будет барьером в точке ? для 12. В этом можно убедиться, проверив выпол-
выполнение свойств (i) и (ii). В самом деле, функция w непрерывна в 12 и явля-
является супергармонической в 12 в силу свойства (ш) субагармонических
функций; свойство (ii) очевидно.
3. Д. Гилбарг 33

Граничную точку будем называть регулярной (для уравнения Лапласа),
если в этой точке существует барьер.
Связь между существованием барьера и граничным поведением реше-
решения описью ается следующим утверждением.
Лемма 2.13. Пусть и - гармоническая в п функция, определенная
в теореме 2 Л 2. Тогда если ? - регулярная точка границы области ?2,
а функция у непрерывна в ?, то и (х) -> <р(?) при х -> ?.
Доказательство. Возьмем произвольное б > 0 и пустьМ = sup|<p |.
Так как ? — регулярная граничная точка, то существует барьер w в точ-
точке ?, и благодаря непрерьюности у существуют такие постоянные дик,
что I <?>(*)-<р(?)|<епри |х-? |<5, kw(x)> 2Mпри \х-% \>д. Функ-
Функции </?(?) + е + Ьи(р(?) — е - kw являются соответственно суперфункцией
и субфункцией для </?. Следовательно, согласно определению «ив силу
того, что каждая суперфункция превосходит каждую субфункцию, имеем
дляхЕ ?2
или
Отсюда, поскольку w(jc) -> 0 при д: -> |, получаем, что w(x) -> (p(?) при
Из доказанного утверждения непосредственно получаем следующую
теорему.
Теорема 2.14. Классическая задача Дирихле в ограниченной области
разрешима для любых непрерывных граничных значений тогда и только
тогда, когда все граничные точки области регулярны.
Доказательство. Если граничная функция <р непрерывна и грани-
граница Эп состоит из регулярных точек, то в силу предыдущей леммы опре-
определенная в теореме 2.12 гармоническая функция является решением соот-
соответствующей задачи Дирихле. Обратно, пусть задача Дирихле разрешима
для всех непрерывных граничных значений и пусть % — произвольная точка
границы Э?2, Тогда гармоническая функция, являющаяся решением зада-
задачи Дирихле в Q, с непрерывной граничной функцией <р= | х - % |, будет,
очевидно, барьером в точке ?. Следовательно, точка ? является регуляр-
регулярной. ?
Остается неисследованным важный вопрос: у каких областей все гра-
граничные точки регулярны? Примечательно, что общие достаточные условия
могут быть даны в терминах локальных геометрических свойств границы.
Мы укажем ниже некоторые из таких условий.
При w = 2 рассмотрим ограниченную область 12. Пусть z0 — ее граничная
точка. Пусть г, 9 — полярные координаты на плоскости с началом коорди-
координат в точке z 0. Предположим, что существует такая окрестность Сточки z 0,
что в ней выделяется однозначная ветвь функции в, определенная в ?1 HN
или на компоненте ?2 П N, содержащей точку z0 на своей границе. Легко
видеть, что функция
1 logr
log(z-z0) log2r + 02
34

является (слабым) локальным барьером в точке z0, и, следовательно,
точка z0 является регулярной точкой. В частности, z0 — регулярная точка
границы, если она является концевой точкой простой дуги, лежащей
вне 12. Таким образом, задача Дирихле на плоскости всегда разрешима
для непрерывных граничных значений в (ограниченной) области, всех гра-
граничных точек которой можно извне коснуться концом простой душ. Бо-
Более общо, тот же барьер показывает, что краевая задача разрешима,
если любая компонента дополнения области содержит более одной точки.
Примерами таких областей являются области, ограниченные конечным
числом простых замкнутых кривых. Другой пример — единичный круг
с разрезом вдоль некоторой дуги; в этом случае граничные значения могут
быть заданы на обоих берегах разреза.
Для больших размерностей ситуация существенно отлична от рассмот-
рассмотренной, и задача Дирихле может быть неразрешимой в столь общем слу-
случае. В примере, приведенном Лебегом, построена замкнутая поверхность
в пространстве трех измерений, имеющая достаточно острый шип, направ-
направленный внутрь области: острие этого шипа является нерегулярной точкой
границы области, ограниченной этой поверхностью (см., например, [140]).
Простым достаточным условием разрешимости в ограниченной об-
области 12 является условие внешней сферы:
для каждой точки ? € Э12 существует шар В = BR(y), удовлетворяю-
удовлетворяющий условию В П 12 = ?.
Если это условие выполнено, то функция w, определенная равенствами
R2-" -\х~у I21 для п> 3,
, \х-у\ <234>
log для п = 2,
XV
является барьером в точке ?. В частности, у области с границей класса С2
регулярными являются все граничные точки (см. задачу 2.11).
2.9. ёмкость
Физическое понятие емкости дает другие средства характеризации
регулярных и исключительных точек «границы. Пусть 12 — ограниченная
область bR" (п > 3) с гладкой границей Э12 и пусть и — гармоническая
функция (обычно называемая потенциалом проводимости), определен-
определенная на дополнении к 12 и удовлетворяющая краевым условиям: и = 1 на
Э12 и и = 0 на бесконечности. Легко устанавливается существование и
как (единственного) предела гармонических функций и , определенных в
расширяющейся последовательности ограниченных областей, имеющих Э12
в качестве внутренней границы (на которой и' = 1) и с внешними грани-
границами (на которых и1 = 0), стремящимися к бесконечности. Если через 2
обозначить Э12 или любую замкнутую поверхность, охватывающую 12,
то величина
Ъи
сар!2=-/ ds= / \Du\2dx, B.35)
2 bv
35

где v — внешняя нормаль, определяет емкость ?2. В электростатике сар?2
с точностью до числового множителя совпадает с полным электрическим
зарядом, размещенным на Э?2 и имеющим потенциал, равный 1 на Э?2.
Емкость может быть определена также для областей с негладкими
границами и для любых компактных множеств как (единственный) предел
емкостей последовательности приближающих их вложенных друг в друга
ограниченных областей с гладкими границами. Эквивалентное определе-
определение емкости может быть дано также и без аппроксимирующих областей
(см., например, [154]). В частности, справедлива следующая вариацион-
вариационная характеристика:
capft= inf f\Dv\2dx, B.36)
где
lRw)| u=l на ft}.
Для описания регулярной точки х0 границы Э?2 рассмотрим для произ-
произвольного фиксированного Х? @,1) емкость
\х-х0
Критерий Винера утверждает, что точка х0 границы области 12 является
регулярной тогда и только тогда, когда ряд
? с/.Х-Л"-2) B.37)
/ = о
расходится.
Для ознакомления с понятием емкости и с доказательством критерия
Винера мы отсылаем читателя к монографиям [122], [154]. В гл. 8 кри-
критерий регулярности будет доказан для общих эллиптических операторов
дивергентного вида.
Задачи
2.1. Выведите слабый принцип максимума для субгармонических функций класса
С2 (П) из необходимых условий локального максимума
Ъи
2.2. Докажите, что если Ди = 0вПии = — = 0 на открытом гладком куске гра-
bv
ницы Э п, то функция и тождественно равна нулю.
2.3. Пусть G - функция Грина для ограниченной области П. Докажите, что:
а) G{x,y) = G{yfx) для всех х,у е ft, хФу;
б) G(xty)<0 длявсех дс,^еп, хФу;
в) / G {х,у) /(у) dy -* 0 при х -* д п, если функция / ограничена и интегрируема
п
по П.
2.4. (Принцип симметрии Шварца,) Пусть п* - подобласть полупространства д^ >
> 0, имеющая частью границы открытый кусок Т гиперплоскости хп = 0. Предполо-
Предположим, что функция и гармонична Bfi+, непрерывна в п * и Т и что и = 0 на Г. Покажи-
Покажите, что функция U, определенная равенствами
u{xl9...,xn_i,xn) при хп>0,
u(xlt...,xn_i,-xn) при хп<0,
36

гармонична в области ft+ и Г и ft ~, где ft ~ - область, получающаяся отражением об-
области ft+ относительно плоскости хп = О (т.е. ft ~ = { (х1, . .., хп) е Кп | (xw,..., — хп) е
€ ft+}).
2.5. Постройте функцию Грина для шарового слоя, ограниченного двумя концент-
концентрическими сферами в Rn.
2.6. Пусть и - неотрицательная гармоническая функция в шаре Вц @). Выведите из
интегральной формулы Пуассона следующий вариант неравенства Харнака:
Rn-\R-\x\) R»-\r + \x»
2.7. Покажите, что непрерывная в ft функция и субгармонична в ft тогда и только
тогда, когда она локально удовлетворяет неравенству для средних значений, т.е. если
для любо*[ точки >> е ft существует такое число б = б (у) > 0, что
и(у)< г / uds для всех R<6.
R"-1 bBR{y)
2.8. Интегрируемая функция и в области ft называется слабо гармонической {суб-
{субгармонической, супергармонической) в ft, если
/м- A<pdx = 0 (>0, <0)
ft
для всех функций *р > 0 из С2 (ft), имеющих компактный носитель в ft. Покажите, что
слабо гармоническая (субгармоническая, супергармоническая) функция класса
С0 (ft) является гармонической (субгармонической, супергармонической).
2*9. Покажите, что для функции и класса С2 (ft) эквивалентны следующие три ус-
условия: (i) Аи>0вп; (ii) и является субгармонической в ft; (iii) и является слабо
субгармонической в ft .
2.10. Докажите теорему 2.12, используя вместо теоремы 2.11 теорему 2.9.
2.11. Покажите, что область ft с границей d ft класса С2 удовлетворяет условию
внешней сферы.
2.12. Покажите, что задача Дирихле разрешима для любой области ft, удовлетво-
удовлетворяющей следующему условию внешнего конуса;
для любой точки ^ е dft существует конечный прямой круговой конус К с верши-
вершиной в точке |, удовлетворяющий условию К n ft = ?. Покажите, что в произвольной
точке (¦ е Э ft (считаем ее началом координат) соответствующий локальный барьер
может быть взят в виде w = г /(в), где в — полярный угол.
2.13. Пусть функция и гармонична в ft с R". Используя рассуждения, аналогичные
рассуждениям при выводе оценки B.31), докажите внутреннюю оценку градиента
1Як(*оI< -Г- [suPM-t/(x0)], do=dist(x0,9ft).
ао ft
Покажите, что если и> 0 в ft, то
\Du(xo)\ < -р .и(х0).
2.14. а) Докажите теорему Лиувилля: определенная на всем R" гармоническая
ограниченная сверху функция является постоянной.
б) Докажите, что при и = 2 теорема Лиувилля из пункта а) справедлива и для
субгармонических функций.
в) Покажите, что при п> 1 определенная на всем Rn ограниченная субгармони-
субгармоническая функция может не быть постоянной.
2.15. Пусть «eC2(ft) и и=0 на dfteC1. Докажите следующее интерполяцион-
интерполяционное неравенство: для любого е > 0
/ \Du\2dx<ef(AuJdx+ —- fu2dx.
ft ft 4e ft
37

2Л6. Докажите теорему 2.12 с помощью построения в каждом шаре В С С 12 моно-
монотонно неубывающей последовательности гармонических функций, являющихся суже-
сужением субфункций на В, которая сходится равномерно к и на плотном множестве то-
точек из В. В качестве следствия покажите, что теоремы 2.12 и 2.14 могут быть дока-
доказаны без использования сильного принципа максимума.
2.17. Покажите, что объемный интеграл в B.35) сходится, и докажите эквивалент-
эквивалентность определений емкости B.35) и B.36).
2.18. Пусть функция и гармонична на (открытом, связном) множестве 12 С Rn
и пусть Вс(х0) с С П. Покажите, что если а < Ъ < с, где Ъ2 =ас, то
/ и(х0 +аш) -и(х0 +cu))du)= / и2(х0
|w|al Iw 1= 1
Выведите отсюда, что если и постоянна в некоторой окрестности, то она тождественно
равна постоянной (см. [73]).
ГЛАВА 3
КЛАССИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП МАКСИМУМА
Целью этой главы является обобщение классического принципа макси-
максимума, установленного в гл. 2 для оператора Лапласа, на линейные эллипти-
эллиптические операторы вида
Lu = aif(x)DijU +b\x)DiU + ф)и, aif = aji9 C.1)
точка х = (xx,...,xn) лежит в области ?2 пространства Rn, n > 2. Будем
предполагать, если нет особых оговорок, что функция и принадлежит
С2 (п). Здесь и всюду далее считаем, что по повторяющимся индексам про-
производится суммирование от 1 до л. Через L будем всюду обозначать опе-
оператор, определенный равенством C.1).
Примем следующие определения.
Оператор L называется эллиптическим в точке xG 12, если матрица стар-
старших коэффициентов [а{/(х)] положительна; это означает, что наименьшее
собственное число матрицы [ai;(jc)] (обозначим его через \(х)) положи-
положительно. Если Л(х) есть наибольшее собственное число матрицы [alJ'(x)]9
то справедливы неравенства
0< \(х)Ш2 < *"(*)&*/< Л(*)|$|2 C.2)
для всех ? = (? 1, • .., ?n) G Rw - { 0}. Если X > 0 в п, то оператор L на-
называется эллиптическим в 12. Если же X > Хо > 0, где Хо — постоянная,
то оператор L называется строго эллиптическим в п. Оператор L будем
называть равномерно эллиптическим в 12, если отношение Л/Х ограниче-
ограничено в 12. Так, оператор Dx х + xtD22 эллиптичен, но неравномерно эллипти-
эллиптичен в полуплоскости хх > 0; этот же оператор равномерно эллиптичен в
полосе вида (а,0) XR, гдеО< а< /3 < °°.
Большая часть результатов, относящихся к эллиптическим операторам
вида C.1), требует дополнительных условий, ограничивающих влияние
подчиненных слагаемых вида ЬгВги по сравнению с главной частью alIDjjU.
38

Всюду в этой главе мы будем предполагать выполненным условие
\Ь1(х)\/\(х)< const< °о, i=l,...,/i, xGfi. C.3)
Рассматривая вместо L оператор L9 = \'1L, мы можем считать X = 1,ab1 —
ограниченными функциями. Если, дополнительно, оператор/, равномерно
эллиптичен, то мы можем также считать, что и коэффициенты alJ ограни-
ограничены. Заметим, что если коэффициенты ai} ,b* эллиптического оператора L
непрерывны в 12, то в любой подобласти 12' СС 12 он равномерно эллип-
эллиптичен и выполнено условие C.3). На коэффициент с также будем наклады-
накладывать некоторые ограничения, однако они будут различного характера и
поэтому будут указьшаться в соответствующих условиях.
Принцип максимума является важной характерной чертой эллипти-
эллиптических уравнений второго порядка, отличающей их от уравнений высокого
порядка и от систем уравнений. Помимо других многочисленных приме-
применений принцип максимума используется для получения поточечных оце-
оценок, что приводит к созданию более развитой теории, нежели это было бы
доступно иным способом. Большинство результатов этой главы основыва-
основывается исключительно на эллиптичности оператора L, а не на каких-то дру-
других специальных свойствах его коэффициентов (таких, как гладкость).
Именно такая общность делает возможным использование принципа мак-
максимума для получения априорных оценок, особенно в нелинейных задачах.
3.1. Слабый принцип максимума
Для многих приложений достаточно следующего слабого принципа
максимума.
Теорема 3.1. Пусть L - эллиптически^ оператор в ограниченной об-
ласти 12. Предположим, что и G С2 A2) П С°(Й) и что
Lu>0 (Z,M<0)e!2, c = 0e!2, C.4)
тогда максимум (минимум) функции и в 12 достигается на В12, т.е.
supM = supM (inf м = inf м). C.5)
Утверждение остается в силе, если предполагать только локальную огра-
ограниченность в 12 отношений \bl |/Х; например,достаточно,чтобы я17, &' Е
Е С0A2). Если же не предполагать непрерывность и в 12, то вместо C.5)
справедливо равенство
supM = lim supu(x) (Мм = lim inf и). C.6)
Доказательство. Легко видеть, что если Lu > 0 в 12, то справед-
справедлив сильный принцип максимума, означающий, что функция и не может
иметь внутренний максимум в 12. В каждой точке внутреннего максимума
х0 справедливы соотношения: Z)h(xo) =0и матрица D2u(x0) = [Оуи(х0)]
неположительна. Однако, поскольку в силу эллиптичности оператора L
матрица [aij(х0)] положительна, то Lu(xQ) = aij(xo)Difu(xo) < 0, а это
противоречит неравенству Lu>0. (Отметим, что проведенные рассуждения
используют только полуопределенность матрицы [aij'].)
39

В силу условия C.3) имеем | Ьг | /X < Ъо = const. Так как аХ1> X, то
существует такая достаточно большая постоянная у, что
LeyXl =(у2а11 +уЬх)еуХ1 >\(у2 -ybo)eyXl >0.
Следовательно, для любого б> 0 в Я выполняется неравенство
L (и + ее7*1) > 0. Поэтому в силу доказанного ранее
sup(w + ее7*1) = sup(w + ее7*1).
а эа
Устремляя б -> 0, получим равенство sup и = sup w, что и утверждалось в тео-
реме.П
Замечание. Из доказательства видно, что утверждение теоремы
справедливо при следующих более слабых предположениях: матрица
[а**] неотрицательна и для некоторого к отношение \Ьк\/акк локально
ограничено.
Для удобства введем следующую терминологию, связанную с принципом
максимума. Функцию и, удовлетворяющую равенству Lu = 0 (неравен-
(неравенству Lu > 0, неравенству Lu < 0) в 12, будем называть решением {субре-
{субрешением, суперрешением) уравнения Lu = 0 в 12. В случае, когда оператор L
является лапласианом, введенные понятия переходят соответственно в
понятия гармонической, субгармонической и супергармонической функции.
Рассмотрим теперь более общий случай: с < 0 в ?2. Обозначим через 12 +
подмножество 12, на котором и > 0. Ясно, что если Lu > 0 в 12, то Lou =
= aijDijU + b{D{U> -си > 0 в 12+ . Поэтому максимум и на 12 + должен
достигаться на Э12 +, и следовательно, на Э!2. Полагая тогда м+ = max(w, 0),
и" = min (w, 0), мы получаем следующее утверждение.
Следствие 3.2. Пусть оператор L эллиптичен в ограниченной об-
области 12. Предположим, что и G С0 A2) и в 12 выполняются неравенства
Lu>0 (Z,w<0), c<0, C.7)
тогда
supM< supM+ (mfu>infu). C.8)
а ъп а ъа
Если Lu = 0 в 12, го
sup |м| = sup|M |. C.9)
а ъп
Из существования положительных собственных значений к задачи
Aw + ки = 0 в 12, и = 0 на Э!2 следует, что для операторов с положитель-
положительным коэффициентом с это утверждение, вообще говоря, неверно.
Непосредственным и важным применением слабого принципа максиму-
максимума является вывод теорем единственности и теорем о непрерьюной зависи-
зависимости решений от их граничных значений. Из следствия 3.2 автоматически
следуют теоремы единственности решения классической задачи Дирихле
для оператора L и принцип сравнения, являющиеся типичной формой
применения этого следствия.
40

Теорема 3.3. Пусть оператор L эллиптичен в ?1 и пусть с < 0 в 12.
Предположим, что функции и и и, принадлежащие С2A2) П С0(ft),удов-
С0(ft),удовлетворяют равенствам Lu = Lv в 12 и и = v на Э12. Тогда м = у в 12. /fa/ш
Lu> Lv в h и и < у ня Э12, row < v в 12.
3.2. Сильный принцип максимума
Несмотря на то, что для большинства приложений достаточно слабого
принципа максимума, нередко возникает необходимость иметь и его силь-
сильную форму, исключающую существование нетривиального внутреннего
максимума. Мы получим такой результат для локально равномерно эллип-
эллиптических операторов с помощью следующей часто используемой леммы
о граничных точках.
Будем говорить, что область 12 удовлетворяет условию внутренней
сферы в точке jc0 ? Э12, если существует шар В С 12 такой, что х0 ? ЬВ
(это означает, что дополнение 12 удовлетворяет условию внешней сферы
в точке Xq).
Лемма 3.4. Предположим, что оператор L равномерно эллиптичен,
с = 0 и Lu> 0 в 12. Пусть х0 - такая точка границы Э12, что:
(i) функция и непрерывна в точке х0;
(и) и(х0)> и(х) для всех х ? 12;
(in) граница Э12 удовлетворяет условию внутренней сферы в точке х0.
Тогда если в точке х0 существует производная функции и по направле-
направлению внешней нормали к Э12, то она удовлетворяет строгому неравенству
Ъи
— (*0)>0. C.10)
bv
Если с < 0 и функция с/\ ограничена, то та же самая оценка имеет
место в предположении, что и(х0) > 0, а если и(х0) = 0, то она справед-
справедлива независимо от знака с.
Доказательство. Так как 12 удовлетворяет условию внутрен-
внутренней сферы в точке х0, то существует такой шар В = В^(у) С^12, что
jc0 ? ЪВ. Для 0 < р < R введем вспомогательную функцию v равенством
v(x) = e~ar - e~aR , где г = \х - у\ > р, а а - положительная постоян-
постоянная, которую мы выберем позднее. При с < 0 имеем
Lv(x) = е"*'2 [4aV'(*i - У,) (*/ - yj) - 2а(аи + Ъ'(х, - yt))) + cv>
><Гаг* [4а2ЦхУ -2а(а*> + \Ь\г) + с],
Ь = {Ъ\Ъ2 Ъ").
По предположению функции atJ/\, \ Ь \ /X и с/\ ограничены. Следова-
Следовательно, взяв число а достаточно большим, мы можем добиться выпол-
выполнения неравенства Lv > 0 в шаровом слое А = BR (у) - Вр(у). Так как
и - и(х0) < 0 на ЪВр(у), то существует такая постоянная е > 0,
что и - и(х0) + ev < 0 на ЪВр(у). Это же неравенство выполняется и на
bBR (у), где v = 0. Тем самым, мы имеем L (и - и (х0) + ev) > -си(х0) >
> 0 в А и и - и(х0) + ev < 0 на ЪА. В силу слабого принципа максимума
(следствие 3.2) и - и (х0) + ev < 0 всюду в А. Вычисляя нормальную про-
41

изводную в точке jc0 , мы получаем неравенство
Ъи bv
— (хо)>-€— (xo)=~evf(R)>0.
bv ov
Если м(*о) = 0, то с может иметь произвольный знак, ибо предыдущие
рассуждения остаются справедливыми в случае, если оператор! заменить
в них на оператор// — с+. ?
В более общей ситуации, вне зависимости от того, существует нормаль-
нормальная производная функции и или нет, мы получаем
и(х0) - и(х)
liminf -^ — >0 C.11)
х->х0 \Х-Х0\
при условии, что угол между вектором х0 — х и нормалью в точке х0
меньше тг/2 — 5 с некоторым фиксированным 6 > 0.
Хотя условие внутренней сферы может быть несколько ослаблено,
все-таки утверждать справедливость неравенства C.11) без соответствую-
соответствующих условий гладкости 3fi в точке х0 нельзя. Например, пусть/, = А и
?2 С R2 -область в правой полуплоскости,в которой w = Re(z/logz) < 0.
Простые вычисления показывают, что Э?2 G С1 вблизи точки z = 0 и
их@,0) = 0, т.е. оценка C.11) не имеет места.
Теперь мы можем доказать следующий сильный принцип максимума
Э. Хопфа [324].
Теорема 3.5. Пусть оператор L равномерно эллиптичен, с = 0 и
Lu > 0 (<0) в области Q. {не обязательно ограниченной). Тогда если
функция и достигает своего максимума {минимума) во внутренней точ-
точке ?1, то она является постоянной. Если же с < 0, а функция с/Л ограниче-
ограничена, то отличная от постоянной функция и не может достигать неотрица-
неотрицательного максимума (неположительного минимума) внутри О..
Утверждение остается справедливым, если оператор L только локально
равномерно эллиптичен, а функции \Ъ*\1\, с/Х локально ограничены.
Доказательство. Предположим противное: пусть функция и
не является постоянной и достигает своего максимума М > 0 внутри ?2.
Тогда множество 12", на котором и < М, таково, что ?2~С?2 и Ы1" ПО.Ф
Ф ф. Пусть jc0 — точка из ?1~, расположенная ближе к Э?2~, чем к ЭГ2.
Рассмотрим наибольший шар В С 12 ~ с центром в точке л*0. Тогда и (у) ~
= М для некоторой точки у G дВ, причем и < М в В. Из предыдущей лем-
леммы следует, что Du{y) Ф 0, а это в точке внутреннего максимума невоз-
невозможно. D
Если с < 0 в некоторой точке, то постоянная, которой, как утверждает
теорема, является решение, равна, очевидно, нулю. Кроме того, если и = 0
во внутренней точке максимума (минимума), то из доказательства тео-
теоремы следует, что и = 0 независимо от знака с.
Сильный принцип максимума может быть доказан непосредственно,
без использования теоремы 3.1 и леммы 3.4 (см., например, [195]) .
Следствиями леммы 3.4 и теоремы 3.5 являются теоремы единствен-
единственности и для других типов граничных условий. В частности, получаем сле-
следующую теорему единственности для классической задачи Неймана.
42

Теорема 3.6. Пусть и G С2(?2) П С°(п) - решение уравнения
Lu = 0 в ограниченной области ?2 с равномерно эллиптическим операто-
оператором L, с < 0, функция с/Х ограничена и пусть область ?1 удовлетворяет
условию внутренней сферы в каждой точке границы Э?2. Тогда если нор-
Ъи
мольная производная определена всюду на ЪО. и — = 0 на Э?2, то и
bv
постоянно в ?2. Если, кроме того, с < О в некоторой точке ?1, то и = О.
Доказательство. Если и Ф const, то мы можем утверждать, что
одна из функций и или —и достигает неотрицательного максимума М в не-
некоторой точке х0 границы Э?2 и ее значения в ?2 меньше М (благодаря
сильному принципу максимума). Применяя к этой точке х0 лемму 3.4,
Ъи
заключаем, что — Ф О, что противоречит условию теоремы. ?
Ър
Результат теоремы 3.6 может быть обобщен на задачи со смешанными
краевыми условиями и на задачи с косой производной (см. задачу 3.1).
Если граница Э5Г2 имеет углы или ребра, на которых производные и не
определены, то в приведенном выше виде результаты могут не иметь
места даже в случае, если решение и непрерывно в ?2 (см. задачу 3.8 а)).
33. Априорные оценки
Принцип максимума позволяет получать также простые поточечные
оценки решений неодно jpo дно го уравнения Lu =/ в ограниченной области.
Отметим, что при этом используются только эллиптичность оператора и
ограниченность коэффициентов. Эти оценки важны при изучении нелиней-
нелинейных задач.
Теорема 3.7. Пусть Lu > f (Lu = /) в ограниченной области ?2,
оператор L эллиптичен в ?2, с < 0 ы we С0 A2 )П С2 (?2). Тогда
/X C.12)
p p
ft ъп
(supM< sup | и | + С sup | / I/X),
где постоянная С зависит только от диаметра diam?2 области п и постоян-
постоянной Р = sup \b\ /X. В частности, если ?1 лежит между двумя параллельными
плоскостями, удаленными друг от друга на расстояние d, то оценка C.12)
имеет место с постоянной С = e^+1*d — 1.
Доказательство. Пусть область 12 лежит в полосе 0 < хг < d.
ПоложимLо = яг/А/ + Ь*О(.Дяяа> ($ + 1 имеем:
1 =(а2а11 +abl)ea*1 > Х(а2 -aftc**1 >X.
Пусть v =supw* + (eaJ - eaXl )sup|/~| /X. Тогда, гак как Lu =Lov + cv <
< ~Xsup(|/-|/X),ro?(u -w) < ~X(sup|/-|/X + //X) <ОвГ2 nv -u>
>0над12. Итак, turn случая Lu > / мы получаем, требуемый результат:
sup и < sup v < sup и + + Csup | / | /X
ft ft 3ft ft
43

С постоянной С - ead — 1 и а > 0 + 1. Заменяя и на —и, мы получаем тре-
требуемое утверждение и в случае Lit =/. ?
В гл. 8 и 9 теорема 3.7 будет усилена: будут установлены аналогичные
оценки sup и через интегральные нормы /.
Если условие с < 0 не выполняется, то можно получить аналогичные
C.12) априорные оценки, предполагая, что область 12 лежит между двумя
достаточно близкими параллельными плоскостями.
Следствие 3.8. Пусть Lu=f в ограниченной области 12, оператор L
эллиптичен, а и Е С0 A2) П С2 A2). Пусть С - постоянная из теоремы 3.7.
Предположим, что
d = l -Csupc+A>0. C.13)
а
Тогда
sup In|< l/Ci • (supM+Csup|/|/X). C.14)
Замечание. Так как в качестве постоянной С в оценке C.12)
можно взять число С = е^ + 1^ — 1, где d — ширина полосы, содержа-
содержащей 12, то в предположении ограниченности св.ерху величин | Ъ | /X и с/\
условие C.13) будет выполнено, если только область 12 будет достаточно
узкой. Если с+ = 0 (т.е. если с < 0), то Сг = 1 и оценка C.14) совпадает
с оценкой C.12).
Доказательство следствия 3^. Представим выражение L и =
= (Lo + с)и =/ в виде (Lo + с~)и =/'= / + (с" - с)и = f - с+и. Оценка
C.12) дает
sup |и | < sup |и | + Csup |/'i/X <
< sup |w| + C(sup l/l/X + sup |w| -supc+A).
"" an n n a
Из этого неравенства и условия C.13) следует оценка C.14). ?
Из следствия 3.8 немедленно вытекает единственность решения задачи
Дирихле в достаточно малой области (в предположении, как обычно, огра-
ограниченности сверху величин \Ь\/Х и с/Х).
3.4. Оценки градиента решения уравнения Пуассона
При дополнительных условиях на уравнение с помощью принципа макси-
максимума можно получать и оценки производных решения. Для иллюстрации
этого метода мы получим такие оценки для решений уравнения Пуассона.
Далее эти результаты использоваться не будут. Пусть Аи = f в кубе Q =
= {х = (хь ..., хп) G Rn\ \х, | < d, i = 1,..., я}, и е C2(Q) П C°(Q)
и функция / ограничена в Q. Используя принцип сравнения, докажем
оценку
п d
lA /= 1,...,л. C.15)
7 uP|w' suPl
d bQ 2 Q
В полукубе Q'={ x = (*ь ... ,х„I |дс,|< d, i= I,...,«- 1, 0< хп < d)

рассмотрим функцию
V(x'.xn)=- [и(х\хп)-и(х\ -*„)]>
где x'=(xlf... ,хп_х), х = (х',хп). Ясно, что
</?(*',0)= 0, sup|</>|< M = sup|м| и |Д^|< 7Vr=sup|/| в Q'.
bQ' bQ Q
Рассмотрим также функцию
ф(х',хп) = —j-[|jc'|2 +xn(nd — (n — l)xn)] +jY—(d -xn).
Отметим, что ф (xr, xn) > 0 при хп = 0 и ф > M на остальной части bQ'.
Кроме того, Аф = —N. Поэтому А(ф ± у) < 0 в Q* и ф ±^>0на bQ\
из чего в силу принципа максимума следует оценка \ip(x\ xn)\ <
< ф(х\ хп) в Q'. В выражениях для (риф положим jc' = 0, разделим
их на хп и устремим хп к нулю. Получим
1А,||@)|= Ит
что и является требуемой оценкой C.15) при / = п. Так же устанавли-
устанавливается справедливость этого результата при / = 1, 2,...,« — 1. Если / = 0,
то из C.15) следует независимое доказательство оценки градиента B.31)
для гармонических функций.
Из C.15) следует, что в произвольной области ?1 ограниченное реше-
решение и уравнения Ам=/удовлетворяет оценке
supdx\Du(x)\< C(sup|M| + supc*2l/(*)|), C.16)
где dx = dist(x, d?2) и С = С(п). Если х € ft и Q есть куб с центром в
точке х с длиной ребра d = dx/\Jn\ то из C.15) следует неравенство
dx\Du(x)\< C(sup|a|+d2sup|/|)< C(sup|n|
bQ Q П П
(Здесь мы используем одну и ту же букву С для обозначения различных
постоянных, зависящих только от и.)
В тех же предположениях, применяя аналогичные рассуждения, мы те-
теперь получим оценку модулей непрерывности градиента решений уравне-
уравнения Пуассона. _
Пусть опять функция u G C2(Q) П C°(Q) является решением урав-
уравнения Дм =/в кубе ?); положим М= sup \u\, iV=sup|/|.
Q Q
Пусть Qf — область в Rw+1, заданная формулой
<2'= i(xi,...,xn_1,y,z)\\xi\< d/2, /=1,...,h-1,0<j>, z<d/4};
45

определим в Qf функцию
ip(x\ V, z) =
= -- [и(х',у + z) -и(х\у - z) - и(х , -v
4
Рассмотрим эллиптический оператор
_Д-1 Э2 1 Ъ2 1 Э2
~А Эх2 2 Эу2 2 dz~
2
от n+ 1 переменных хь . .., хп„х, у, z. Видно, что \L*p\ < N ъ Q*. Далее
в Q' имеем:
(ii) |</?| < М при |^| = ??/2, /= 1 я — 1;
(Hi) I </? (х\ J/4, z) | < /i z и | v? (л:', у, of/4) | < /i у, где д — такая посто-
постоянная, что \Du\ < д в Q'; выражение постоянной ji через А/ и N получа-
получается из оценки C.16). В качестве функции сравнения возьмем опреде-
определенную в Qf функцию
4М\х'\2 4м Id
Ф(х ,y,z)~ ; + — yz + kyz log » C.17)
d d ' у + z
где fc — положительная постоянная, которую мы выберем позднее. Отме-
Отметим, что ! ip | < ф на Э()\ Так как
3
^ 4
4
то Ьф < -N при /г > — (N + 8(w - \)M/d2). С такой достоянной к функция
,л z) = —~- + yz { — - + ^log )
с/2 V с/ .v+2/
удовлетворяет условиям L (ф ± <р) < 0 в Q' и $ ± «р > 0 на 3Q'. Поэтому
Положим в этом неравенстве xf = 0, разделим его на z и ycTpeNtHM г
к нулю. Получим
1^@. у. 2)
- иу@, -у)\ = Нш — —
" о
4ju 2c/
< —у + A:viog C.18)
d * у
С помощью несложной модификации проведенных выше рассуждений
аналогичная оценка может быть получена для | Djti(Q, хп) - Д-м@, -хп)\
46

э
(где Z)/- > /= 1,2, ...,и-1). Пусть
= ~ ["(ЯУ, г) - u(xf -у, z) + и(х, у, -z) + и(х, -у, -z)],
где х = (xi,. .. ,хп_2)' В области
О < yf z < d/2 }
выберем функцию сравнения, аналогичную C.17), вида
4М\х\2 (A[i Id
\
)
z/
ф(х,у,г) + У2\Т Л1°В
d2 \d y+z
- 2
где (а и к — такие постоянные, что \Du\ <jub б'и/:>—
3
()/]
Несложно проверить, что Д (^ ± $) < 0 в Q* и ф ±$> 0 на Э(?'> а отсю-
отсюда следует, что | \р \ < ф в Qf. Если, как и выше, мы положим в этом нера-
неравенстве х = 0, а затем поделим на j> и устремим у к нулю, то получим
оценку
1
-|A,
= }lm _. ^ —- z + ^ziOg— . C.19)
y-+Q у d Z
Ясно, что тот же самый результат получается, если Dn_x заменить на Д.,
/ = 1, 2,.., , п - 2. Отметим, что в отличие oi предыдущего случая дока-
доказательство оценки C.19) не требуе! введения оператора в Rw+1.
Если теперь Аи = / в области ?2 пространства Rn, то мы можем полу-
получить из C.18) и C,19) оценку для \Du(x) Du(y)\ , где х и j ~~ дае
произвольные точки области ft. Пусть dx = dist(x, d?2); J^, = dist(д*, Э?2),
a Jx>, = min(c/,x, dy). Считаем, что dx < dy, т.е. <:/Л- = с/ЛЧ),. Предположим
сначала, что \х - у\ < d = dxjB\f7i), и рассмотрим отрезок, соединяю-
соединяющий точки л: и v. Возьмем середину этого отрезка в качестве начала коор-
координат и выберем систему координат так, чтобы точки х и у находились
на оси хп\ в новых координатах х = @, хп), у ~ @, - *„). Куб B ~
= {(xj,..., Л"ЛI I -хг/ | < с/, i = 1,. ,., л} лежит в п па расстоянии от
ЭП, меньшем dxj2. Поэтому мы можем использовать C.16), C.18) и
C.19) непосредственно в Q. Получаем оценку
, \Du(x)- Du{y)\ , Id
- C(supU/|+(i2sup|/|)log
-y\ Q Q ' \ •* - у \
47

с некоторой постоянной С= С(п). Следовательно,
, \Du(x) -Du(y)\
dl
Если x, >> - такие точки области 12, что |х - у\ > d, то из C.16) имеем
Комбинируя полученные неравенства, приходим к оценке
\Du(x)-Du(y)\
\х-у\
в которой постоянная С зависит только от п.
Полученные результаты объединим в следующей теореме.
Теорема 3.9. Пусть функция и € С2A2) удовлетворяет в области
п уравнению Пуассона Аи =/. Тогда
supdx\Du(x)\<
p p
an
и для всех х, уизп, х Фу,
\Ри(х)-Ри(у)\
\х~у\
< С( sup | и I + suprf2 |/(дс) |) (\ log ^_ + Л C.20)
= С(п). Здесь dx = dist(x, Э12), <f^;>, = п^п(dx»^)•
Несмотря на элементарный характер доказательства, эта теорема явля-
является по существу точной, оценка C.20) не может быть улучшена без допол-
дополнительных условий о непрерывности функции/. Теорема 3.9 остается спра-
справедливой и для слабых, в смысле гл. 8, решений, в предположении ограни-
ограниченности правой части/ (см. задачу 8.4).
Усиление установленных выше результатов на случай непрерывных
по Гёльдеру функций / будет осуществлено другими методами в гл. 4,
в которой для этого с успехом используется метод сравнения (см. [41],
[42]).
3.5. Неравенство Харнака
Из принципа максимума цолучается элементарное доказательство обще-
общего неравенства Харнака для равномерно эллиптических уравнений с двумя
независимыми переменными. Обозначая через Dp =Z)p@) открытый круг
радиуса р с центром в начале координат, мы докажем этот результат в
следующем виде.
Те о р е м а 3.10. Пусть и Е С2 (DR) - неотрицательное решение урав-
уравнения
Lu = аихх + 2Ъиху + сиуу - 0
48

Рис.1
в круге DR. Предположим, что оператор L равномерно эллиптичен в DR.
Тогда для всех точек z = (х, у) ? Z>#/4 справедливо неравенство
Ки @) < и О) < К'1 и @), C.21)
в котором положительная постоянная К зависит только от величины ijl =
= sup Л/\, называемой модулем эллиптичности оператора.
Доказател ьство. Отметим сначала, что так как уравнение Lu = 0
и модуль д инвариантны при подобных преобразованиях, то достаточно
доказать теорему в круге Z) = D\. Так как и > 0 в Д то из сильного прин-
принципа максимума (теорема 3.5) следует, что или и = 0, или и > 0 в Z), так что
достаточно рассмотреть последний случай. Рассмотрим множество G тех
точек из ?), в которых и > и @)/2, и пусть G' CG — его связная компонента,
содержащая 0. Из принципа максимума следует, что множество bG* П bD
непусто, и следовательно, не ограничивая общности, можем считаА, что
точка Q = @, 1) лежит на bG*. Определим функции у+ и v_ равенствами
и± (х, У) = ± х + 3/4 - А: (^ - 1/2J, в которых fc - положительная постоян-
постоянная. Параболы Г±: v± - 0 имеют вершины (+ 3/4, 1/2), лежащие в Д и
общую ось у = 1/2. Если постоянная к достаточно большая (достаточно
взять к > 3), то области Р±> состоящие из точек области Z), в которых
v± > 0, имеют пересечение Р+ П Р_, ограниченное дугами Г+, Г_ и лежа-
лежащее в верхней половине D (рис. 1). Функции v± удовлетворяют в Р± нера-
неравенствам 0 < v+ < 7/4. Вводя функции Е± - exp(av±), где а. — положи-
положительная постоянная, которую мы выберем позднее, непосредственно вы-
вычисляем, что
LE± = E±\ot2\a + 4bk(y- -J + 4ck(y--\ \-2akc\,
и поэтому LE± > E± (a2 X - 2akA) >0вД если а > 2k\i. Выберем число a
4. Д. Гилбарг 49

удовлетворяющим этому условию. Тогда функции
1) C.22)
будут удовлетворять соотношениям:
Lw± > О в D; w± = 0 на Г±; 0< w± < 1 в Р±.
Пусть теперь z — произвольная точка пересечения Р+С\ Р__. Тогда: или
(i)u > и@)/2 и zG G;
или __
(ii) точка z лежит в компоненте U+ множества Р+ —G такой, что Ы/+ С
СГ+и 3G;
или __
(ш) точка z лежит в компоненте {/_ множества Р__ — G такой, что
Ы/_ С Г_ U 3G (см. рис. 1).
Имеют место только эти варианты, так как или Р+ П Р_ С G', или
3G' разделяет Р+ U Р_. (Здесь существенным образом используется дву-
двумерно сть.)
В случаях (ii ) и (ш) имеем:
1 1
и- -m@)w± = -м@)A -w±)> 0 на 3G П 9[/±;
1
и - — и @) w± = м > 0 на Г± П Э U±.
1 / 1 \
Тем самым и -— и @) • w+ > 0 на Ы/±. Так как L (и - — и @) w±] <0, т
мы заключаем, что
1
и (z) > - м@) • min(w+ (z), w__(z)) Vz G P+ П P_.
В частности, на сегменте>> = 1/2, | jc | < 1/2 имеем:
и[х, 1/2) > Кги @) V* е [-1/2,1/2], C.23)
где
= - inf [w+(jc, l/2),w«(xf 1/2)].
2 |jc | < 1/2
Рассмотрим теперь другие функции сравнения, аналогичные C.22).
Пусть v =>' + 1 - 6х2. Рассмотрим область
Р ={(х,у)е D\v(x,y)> 0, у< 1/2}.
50

Область Р ограничена сегментом у = 1/2, | х | < 1/2 и дугой Г параболы
v = 0 с вершиной @, -1), проходящей через точки (± 1/2, 1/2). Как и
ранее, при подходящем выборе числа /3 > 0, зависящего только от /i,
функция
w = (е*ю
будет обладать свойствами:
Lw > 0 в D; w = 0 на Г; 0 < w < 1 в Р.
Из неравенства C.23) имеем: и - Klu@)w> 0 на ЭЛ а так как
L (и - /fj w @)w) <0, то из принципа максимума следует, что
u(z) > Kxu@)w(z) VzG Р
Так как D{j^ СР, то, полагая К2 = inf w, получаем, неравенство
м (z) > АлЛ^м @) = А'м @) Vz G ZI/3. C.24)
Ясно, что постоянная К зависит только qt д.
Если жег 6 #1/4* то кРУГ^з/4 12) лежит в/)и неравенство C.24),
примененное в круге Di^(z), дает
м@)> /O/(z) Vz е ZI/4.
Комбинируя это неравенство с C.24), получаем
Аи @) < u(z) <К 'ги@) Vz G ZI/4. ?
Из C.21) непосредственно следует, что
sup и < к inf м, C.25)
?>Л/4 DR/4
где к = 1 /ЛГ2. Применяя такие же рассуждения, как и при доказательстве
теоремы 2.5, можно получить неравенство Харнака для произвольных
областей пространства R2 в следующем виде.
Следствие 3.11. Пусть в области ?1 С R2 выполнены условия теоре-
теоремы 3.10. Тогда для любой подобласти О,' С С ?2 существует постоянная к,
зависящая только от 12, п'и ц, такая, что справедливо неравенство
sup и < к inf и. C.26)
а' а'
В случае единичного круга D приведенное доказательство теоремы 3,10
распространяется (с небольшими изменениями) и на более общее строго
эллиптическое уравнение
Lu= aijDijU + Ь!О(и + си = 0, с < 0, /,/ - К 2, C.27)
с ограниченными коэффициентами; утверждение остается тем же самым,
но постоянная К будет зависеть не только от /х, но и от величин, оцениваю-
оценивающих в D коэффициенты. Аналогичный результат справедлив и для круга
PR радиуса R, но постоянная К будет зависеть, кроме того, йот/?
(см. задачу 3.4).
4* 51

Неравенство Харнака C.21) приводит к следующей теореме Лиувилля.
СледствиеЗ.12. Если определенное на всей плоскости решение и
равномерно эллиптического в R2 уравнения Lu = ащ^ + 2Ъиху + сиуу
ограничено снизу {сверху), то и постоянно.
Доказательство. Мы можем считать, что inf и = 0 и, следователь-
следовательно, для любого € > О найдется точка z0 такая, что u(z0) < e. Возьмем
произвольное R > О и применим в круге D2r(z0) неравенство C.21).
Получим неравенство и (z) < Ке для всех* Е DR (z0). Так как постоянная
К не зависит от R, то отсюда следует, что u(z) < Ке, каково бы ни было
z E R2. Устремляя е *-* 0, мы получаем, что u(z) = О для произвольной
точки z G R2. ?
Доказательство обобщений неравенства Харнака (теорема ЗЛО), и след-
следствия 3.12 на случай больших размерностей дано в гл. 9. Другие виды
неравенства Харнака для уравнений дивергентного вида и их приложения
приведены в гл. 8 и 1-3.
3.6. Операторы в дивергентной форме
Мы завершим эту главу кратким обзором результатов для операторов
в дивергентной форме. Во многих ситуациях их рассматривать более естест-
естественно, чем операторы вида C.1). Простейшие операторы дивергентной
формы имеют вид
Lu = Djia^Dtu). C.28)
Далее нужно будет рассматривать и более общие операторы, у которых
дивергентную форму имеет главная часть. Оператор L назьюается эллип-
эллиптическим в 12 , если матрица [alJ (х)] его старших коэффициентов поло-
положительна при всех х Е 12.
Очевидно, что результаты о принципе максимума применимы также
и к оператору C.28), если коэффициенты ^достаточно гладкие. Однако
если это не так или, как это бьюает в нелинейных задачах, нежелательно
делать предположения о гладкости коэффициентов (типа предположения
ограниченности их производных), то существенно алгебраические методы
предыдущей части этой главы неприменимы и должны быть заменены
на интегральные методы, более естественные для оператора /,, имеющего
дивергентную структуру.
Равенство Lu = 0 (неравенство Lu > 0 или Lu < 0), которому удовлет-
удовлетворяет решение (субрешение или суперрешение), может быть определено
для более широкого класса коэффициентов aij n функций м, нежели те,
которые формально допускаются в C.28). Так, в случае измеримых и
ограниченных коэффициентов д'7 и и Е С1 A2) будем говорить, что функ-
функция и удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению Lu = 0 (неравенству
Lu> 0или//М<0) в области 12,если
/ aij(x)DiUD,ipdx = 0 C.29)
п
( / aij'(x)DiU.D,ipdx < 0 или / аьf(x)Dtu- D^dx > 0)
52

для всех неотрицательных функций у G С\ (?2). Если aij Е С1 (?2 ) и
м€ С2 (?2), то в силу теоремы о дивергенции это определение, как легко
видеть, эквивалентно уравнению Lu = 0 (неравенству Lu > 0 или /,м < 0)
в обычном смысле. В дальнейших главах обобщенные решения будут
определены как функции из более широких и более подходящих функ-
функциональных пространств.
Слабый принцип максимума является непосредственным следствием
C.29). Действительно, пусть функция и удовлетворяет соотношению
< 0 для всех \р G С\ (?2), <р> 0, C.30)
и пусть, вопреки доказываемому утверждению, выполняется неравенство
sup и > sup и = и0. Тогда существуют постоянная с > 0 и подобласть
п ьп
fi'cc fi такие, что v = и - и0 - с > 0 в?Уи1>=0на Э5Г2'. Соотношение
C.30) остается справедливым, если функцию и заменить на функцию v
и взять ^ равной увй'и равной нулю в остальных точках ?2. (Так опреде-
определенная функция <р, вообще говоря, не принадлежит Cj (^2), но соотноше-
соотношение C.30) с такой функцией кр справедливо, в чем- можно убедиться, ап-
аппроксимируя у функциями из Со (?2)). Тогда
ij 0
а'
и, в силу положительности матрицы [aiJ], Dv = 0 в ?1'. Так как v = 0 на
Э5Г2', то получаем равенство v = 0 в ?2', что противоречит определению и.
Это противоречие доказывает слабый принцип максимума.
Сильный и более общий принципы максимума для операторов дивергент-
дивергентного вида будут установлены в дальнейших главах. Дополнительно к уже
отмеченным различиям в методах изучения этих двух классов операторов
отметим, что и результаты, касающиеся принципа максимума, имеют
различный вид для операторов C.1) и C.28), коль скоро накладываются
слабые условия на гладкость коэффициентов. Например, утверждение
леммы 3.4 для равномерно эллиптического оператора дивергентного вида
C.28) неверно, даже если все коэффициенты оператора имеют произволь-
произвольную гладкость внутри рассматриваемой области и непрерывны вплоть
до ее границы (см. задачу 3.9).
Примечания
Лемма о граничной точке (лемма 3.4) доказана в этой главе методом
Е. Хопфа [328]; независимое доказательство, отличающееся только выбо-
выбором функции сравнений, было дано О.А. Олейник [226]. Результат леммы
остается справедливым при тех же самых предположениях о коэффициен-
коэффициентах, если граница Э5Г2 имеет нормаль, непрерывную по Дини [114]. Даль-
Дальнейшее обобщение на класс областей, содержащий липшицевы области,
приводит к доказательству единственности решения задачи Неймана для
таких областей [212]. В общем случае для сильно и равномерно эллипти-
эллиптических уравнений дивергентного вида лемма 3.4 неверна, даже если коэф-
53

фициенты непрерывны в граничной точке (см. задачу 3.9), однако утверж-
утверждение леммы справедливо, если коэффициенты непрерывны по Гё'льдеру в
некоторой окрестности (Финн - Гилбарг [307]).
Результаты, аналогичные результату леммы 3.4, для областей, удовлет-
удовлетворяющих вместо условия внутренней сферы условию внутреннего комуса,
были получены Оддсо ном [225] и Миллером [190], [192]. Ими установле-
установлены оценка C.11) и более точные результаты,в которых величина | х — х0 |
заменяется на | х - х0 Iм, причем показатель д зависит только от раствора
конуса и от постоянной эллиптичности (здесь вектор х - х0 лежит внутри
фиксированного подконуса конуса с вершиной х0, существование которого
предположено). Эти по существу неулучшаемые результаты основаны на
изучении экстремальных эллиптических операторов Пуччи [243].
Принцип максимума в такой же общности, как и в теореме 3.5, был
впервые доказан Э. Хопфом [324]. О первых результатах при более силь-
сильных предположениях см. ссылки в [241, с. 156], где, кроме того, рассмот-
рассмотрены и различные обобщения принципа максимума. Некоторые из этих
результатов будут рассмотрены в гл. 8 и 9.
Раздел 3.4 основан на идеях Брандта [41], [42], который показал, что
многие факты линейной теории классических решений эллиптических и
параболических уравнений второго порядка, включая и оценки гл. 4 и 6,
могут быть получены методом сравнения, использующим принцип мак-
максимума. Как и в разделе 3.4, этот метод требует построения соответствую-
соответствующей (в общем случае — не очевидной) функции сравнения, которая исполь-
используется для оценок разностных отношений, а затем и производных.
Неравенство Харнака (теорема 3.10) и некоторые его обобщения дока-
доказал Серрин [261]. Это доказательство было, по-видимому, первым дока-
доказательством неравенства Харнака, основанном на принципе максимума.
Очень похожий результат совершенно другими (весьма тонкими) методами
получили Берси Ниренберг [31].
Теорема Лиувилля (следствие 3.12) связана с геометрической теоремой
Бернштейна о поверхностях неположительной кривизны (см. [327]),
которая утверждает, что целое решение и любого эллиптического урав-
уравнения аихх + 2Ъиху + си у у = 0, удовлетворяющее условию и = о (г) при
г -* °°, должно быть постоянно. Примечательным при этом является тот
факт, что от уравнения требуется только поточечная эллиптичность. При
столь общем условии утверждение следствия 3.12, как показывает
контрпример, не имеет места. Результат Бернштейна также основан на
принципе максимума, однако рассуждения качественно другие и носят
геометрический характер.
Задачи
3.1. Пусть оператор L удовлетворяет условиям теоремы 3.6 в ограниченной иб-
ласти П и пусть Lu = 0 в ?2.
а) Пусть 3S2 = Sy и S2 (Sl - непусто) и пусть выполнено условие внутренней
сферыв каждой точке S2. Предположим, что функция и е С2 A2) п С1 A2 и S2) n
п С0A2) удовлетворяет смешанному краевому условию
и = 0 на 5,, X&tDjU = 0 на S2 ,
в котором вектор р(х) = (?, (*), . . . , 0«ОО) имеет в каждой точке х е S2 ненулевую
нормальную (к внутренней сфере) компоненту. Тогда и = 0.
54

б) Пусть граница 3ft удовлетворяет условию внутренней сферы и пусть функция
и е С2 (ft) п С1 (?1) удовлетворяет регулярному граничному условию с косой произ-
производной :
а(х)и + ЗД(х)?;{< = 0 на ЭП,
в котором a(j3i>) > 0, v - внешняя нормаль. Тогда и = 0.
3.2. а) Если оператор L эллиптичен, в области ft выполняется неравенство Lu > 0
(< 0) и с < 0, то функция м не может достигать внутри ft положительного максиму-
максимума (отрицательного минимума). (Не налагается никаких ограничений на коэффи-
коэффициенты Ь1.)
б) Если оператор L эллиптичен, коэффициент с < 0 в ограниченной области ft
и функция «GC2 (ft) п С0 (ft) удовлетворяет в ft уравнению Lu = /, то
sup | и | < sup I м I + sup \f/c I.
ft dft ft
3.3. Пусть оператор L равномерно эллиптичен и функция и удовлетворяет уравне-
уравнению Lu - аихх + 2Ьиху + сиуу = 0 в области г>г0. Докажите, что если функция и огра-
ограничена с одной стороны, то она имеет предел (возможно, бесконечный) при г -* °° (см.
[67]). (Примените неравенство Харнака в кольцевой области, расширяющейся к
бесконечности.) Используйте этот результат для доказательства теоремы Лиувилля
(следствие 3.12).
3.4. Пусть и — неотрицательное решение уравнения
Lu =а*'Ъуи + blDiu + си = 0, с < 0, /,/ = 1,2,
коэффициенты которого удовлетворяют неравенствам
Л/Л < м, | bll M, \c/\\<v (м, ^ = const).
Докажите неравенство Харнака C.21) с постоянной К- К(ц, v) и следствие 3.11 с
постоянной k = к (д> v, ft, ft').
3.5. Предположим, что условия задачи 3.4 выполняются для оператора L в про-
проколотом круге DQ: 0 < г < г0 и пусть Lu = 0 в Do. Докажите, что если решение и
ограничено с одной стороны, то оно имеет предел (возможно, бесконечный) при
г-+0 (ср. [67]).
3.6. Пусть функция и El С2 (ft) п С0 (ft) - решение уравнения
Lu ^a^DijU + blDtu + cu=f, с < 0,
в ограниченной области S) с Rn класса С1, удовлетворяющей условию внешней сфе-
сферы в точке *0 е aft, BR(y) n ft = jc0, и пусть Л, Л - положительные постоянные
такие, что
aiJ(x)Hikj > МП2 Vxeft, ?e#w,
itf';i, \bl\, icк л.
Покажите, что если ^ е С2 (ft) и и = у? на dft, то функция ы удовлетворяет в точке
х0 условию Липшица:
\и(х)-и{хо)\<К\х - х0 |, xeft,
с постоянной К - К(\, AyR, diam ft, sup I/I, I <^i2; n).
Выведите отсюда, что если и ^ С1 (П) и граница 3ft достаточно гладкая, то гра-
градиент и на границе dft оценивается постоянной К (ср. [ 140 ], с. 343). Покажите, что
если с меняет знак, то справедлив тот же самый результат с постоянной Л', зависящей
дополнительно от sup \ u\.
ft
3.7. а) Пусть оператор L из предыдущей задачи имеет непрерывные по Гельдеру
в начале координат коэффициенты Qif:
\ а*\х) - с#@) t < К\ х |а, а> 0, при \х\<г0
с некоторой постоянной К. Предположим, что 1и>0ис = 0в проколотом шаре
55

..{
о (log г), если п = 2,
~п), если п > 2
приг -*0. Докажите, что справедливо неравенство
limsupM(x)< sup u{x\ C.31)
причем равенство здесь может быть только при и = const.
б) Докажите,.что при п > 2 справедлив тот же, что и в пункте а), результат, если
коэффициенты j1' непрерывны в точке х = 0, а и - О(г2~п+6) приг -> 0 для некото-
некоторого 6 >0 (ср. [67]).
3.8. Рассмотрим уравнение
^ //^-, /,/=1,...,л. C.32)
Докажите, что уравнение Lnu = О имеет радиально симметричное решение и = и (г),
и" _
удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению вида —у- "
1 -п
гA + *)
а) Покажите, что при п - 2и^(г) = — 2/B + log г) уравнение C.32) равномерно
эллиптично в круге D: О < г <г0 - е"**, имеет непрерывные в начале координат коэф-
коэффициенты и имеет ограниченное решение а + b/logr в проколотом круге D — {0}.
Проверьте, что это решение не удовлетворяет неравенству C.31).
б) Покажите, что если п > 2 ug(r) = - [1 + (и - ljlogr], то уравнение C.32)
равномерно эллиптично при 0</-<го=еи имеет непрерывные в начале координат
коэффициенты. Покажите, что соответствующее решение и - и {г) удовлетворяет
условию и = о (г2~п) приг -* 0, но не удовлетворяет неравенству C.31).
в) Для п > 2 постройте функцию g (r) такую, чтобы уравнение C.32) было равно-
равномерно эллиптическим и имело ограниченное решение и - и (г), непрерывное в точке
г = 0, которое, однако, не удовлетворяло бы неравенству C.31).
г , j ч l/2-i
3.9. Пусть w = z • ехр - (log -— J . Рассматривая соотношение w- = v(z)wz,rp,e
bz 2 \Ъх by J bz 2\Ъх by
покажите, что функция
и = Re w = х • ехр
(-КL1)
удовлетворяет равномерно эллиптическому уравнению дивергентного вида
(аих + buy)x + (bux + cuy)y = О,
в котором коэффициенты а -> 1, Ъ -* 0, с -* 1 при (х, у) -> @, 0) и регулярны при
0<г< 1.
Отметим, что и @, 0) = 0, и (х, у) > 0 при х > 0 и их @, 0) - 0. Сравните с лем-
леммой 3.4.
3.10. Пусть L — оператор из задачи 3.6, но на знак коэффициента с не накладыва-
накладывается условий. Предположим, что существует такая функция v, что и>0и?и <0в
П. Покажите, что если Lu > 0, то функция w = u/v не может иметь неотрицатель-
неотрицательный максимум внутри п, кроме случая, когда она постоянна.
56

ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА И НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ
В гл. 2 мы ввели фундаментальное решение Г уравнения Лапласа
\х-у\2~п, если и>2,
пB-п)соп
х D1)
log | х - у |, если /2 = 2.
2я
Пусть функция / интегрируема по области О. Ньютоновым потенциалом
с плотностью f называется функция w, определенная на R" равенством
w(jc)= / T(x-y)f(y)dy. D.2)
п
Формула Грина B.16) показывает, что любая функция из С2 (?2 ) в об-
области с достаточно гладкой границей Э ?2 может быть представлена в виде
суммы гармонической функции и ньютонова потенциала от ее лапласиана.
Поэтому неудивительно, что изучение уравнения Пуассона Аи =/ в значи-
значительной степени может быть осуществлено с помощью изучения ньютонова
потенциала /. Настоящая глава посвящена прежде всего оценкам производ-
производных ньютонова потенциала. Эти оценки не только позволяют получать
теоремы разрешимости классической задачи Дирихле для уравнения Пуас-
Пуассона, но и образуют основу шаудеровского и опирающегося на теорию по-
потенциалов подходов к изучению линейных эллиптических уравнений, рас-
рассмотренных в гл. 6.
4.1. Непрерывность по Гёльдеру
Если функция/из D.2) принадлежит С% (?2), то, записывая
= fT(x-y)f(y)dy= f Y(x-y)f(y)dy =
F(z)f(x-z)dz,
n
мы видим, что и функция w будет принадлежать С°° (?2 ). Если, с другой
строны, функцию / предполагать только непрерывной, то ньютонов по-
потенциал w может не быть дважды дифференцируемым. Классом функций,
полезным и удобным при изучении ньютонова потенциала, является класс
непрерывных по Гёльдеру функций, который мы сейчас введем.
Пусть Хо — точка R" и функция / определена на ограниченном множест-
множестве Д содержащем лг0. При 0 < а < 1 будем говорить, что функция / непре-
непрерывна по Гёльдеру с показателем ос в точке х0, если конечна величина
1Я*)-/(*оI
[Я*,*о= sup ¦ —. D.3)
Величину [f]a;Xo будем называть коэффициентом Гёльдера (с показате-
57

лем а) функции / в точке jc0 относительно множества D. Ясно, что если
функция / непрерывна по Гельдеру в точке дг0, то функция/ непрерывна
в точке х0. Будем говорить, что функция / непрерывна по Липщицу в точ-
точке jc0, если конечна величина D.3) с а = 1.
Пример. Определенная в шаре Вх @) равенством/(рс) = | х |^ функ-
функция / непрерывна с показателем /3 в точке х = 0, если 0 < /3 < 1, и непре-
непрерывна по Липшицу, если /3=1.
Понятие непрерывности по Гельдеру естественным образом распростра-
распространяется на все множество D (не обязательно ограниченное). Назовем функ-
функцию / равномерно непрерывной по Гельдеру на D с показателем а, если
величина |?(х)-/(х)|
'у У\; , D.4)
у
хфу
конечна, и локально непрерывной по Гельдеру на Dc показателем а, если/
равномерно непрерывна с показателем а на всех компактных подмножест-
подмножествах множества />. Эти два понятия совпадают, если D есть компакт. Под-
Подчеркнем, что локальная непрерывность по Гельдеру есть более сильное
свойство, нежели поточечная непрерывность по Гельдеру на компактных
подмножествах. Кроме того, ограниченная в D локально непрерывная
по Гельдеру функция / будет поточечно непрерывной' по Гельдеру на
всем/).
Непрерывность по Гельдеру оказьюается качественной характеристикой
непрерьюности, хорошо приспособленной для изучения дифференциальных
уравнений с частными производными. В определенном смысле ее можно
рассматривать как дробное дифференцирование. Она приводит к естествен-
естественному обобщению понятий хорошо известных пространств дифференцируе-
дифференцируемых функций.
Пусть ?2 — открытое множество в R" и к - неотрицательное целое число.
Пространство Гёльдера Ск'а(?1) (Ск'а(п)) определяется как подпрост-
подпространство Ск (?2) (Ск (?1)), состоящее из функций, все к-е. производные
которых равномерно непрерывны по Гельдеру (локально непрерывны по
Гельдеру) с показателем а на ?1. Для простоты будем писать
при этом всегда будем считать, если нет специальных оговорок, что 0 <
<а< 1.
Полагая, при а = 0,
Ск>°(п) =
мы можем считать пространства Ск (?1) (Ск(?1)) включенными в шкалу
пространств Ск'а(п) (Ск*а(п)), где 0 < а < 1. Обозначим также через
Ск*а (?2) пространство функций, принадлежащих пространству Ск'а(Ц)
и имеющих компактный носитель в Q.
Положим
М/с,0;Л =1#*и1о;П= *UP Slip |Z)?tt|, * = 0,l,2,...,
{0[ssk П D.5)
[),, [];П P
101= к
58

С помощью этих полунорм мы можем определить в пространствах Ск
и Ск>а (?2) соответственно нормы
к
= 2
D.6)
Иногда, и главным образом ь этой главе, нам будут полезны безразмер-
безразмерные нормы в Cfe(H) и Ckf0L(U). Если п ограничено и d = diam?2, то по-
положим
с (Л) / = о /=о D.6)
Пространства Cfc(?2) и С^'а(?2), снабженные этими нормами, являются
банаховыми пространствами (см. гл. 5) .
Отметим здесь, что произведение непрерывных по Гёльдеру функций
является также непрерывной по Гёльдеру функцией. Действительно, если
и е Са(й) иие С\п), то uve C7(ft), где 7 = min(а,0) и
Для областей 12, рассматриваемых в этой работе, справедливо (теоретико-
множественное) вложение Ск 'а (U) С Ck'a(U), если только к + а <
< к' + а'. Подчеркнем, что такое вложение в общем случае может не иметь
места. Рассмотрим, например, область ?1 = {(х, у) G R2 | у < IjcI1^2,
jc2 + jy2 < 1} , и пусть функция и(х, у) равна (sgnx) - у@ с некоторым |3,
1 < /3 < 2, для у > 0 и равна нулю для у <0. Ясно, что мбС1 (?2). Однако
легко проверить, что и ? Са (Й ) при 1 > а > 0/2, и, следовательно, С1 (Й ) (^
4.2. Задача Дирихле для уравнения Пуассона
Мы покажем, что в ограниченной области 12 классическая задача Дирих-
Дирихле для уравнения Пуассона с ограниченной и непрерывной по Гёльдеру
правой частью / разрешима при тех же самых условиях на границу, при
которых разрешима задача Дирихле для уравнения Лапласа (теорема 2Л 4).
Прежде всего, приведем некоторые результаты о дифференцируемости
ньютонова потенциала в ограниченной области.
В дальнейшем оператор D всегда действует по переменной х.
Лемма 4.1. Пусть функция f ограничена и интегрируема в О. и пусть
w - ньютонов потенциал с плотностью /. Тогда w ? С1 (Rw) и для всех
еп
DMx) = / П{Пх - y)f(y)dy, i = 1, 2,..., п. D.8)
59

Доказательство. В силу оценки B.14) для?>Г функция
у(*)= fDir(x-y)f(y)dy
si
определена для всех х Е Rn. Чтобы доказать, что v = D/W, зафиксируем
функцию т? из С1 (R), удовлетворяющую условиям
0<т?<1, 0<т?'<2, т?(г) = О для Г<1, 77@= 1 для г>2,
и определим для е > 0 функцию
we(*)=/ rn€f(y)dy9 Г = Г(х-у), пе=п()х-у\1е).
п
Ясно, что w€(x) e С1 (Rn) и
v(x)-D,we(x)=
так что
-Z>/We(x)|<sup|/| • /
I x-y I < 2e \ €
2ne
для w>2,
4бA +|1о§2б|)для /2 = 2.
Следовательно, w€ nD;W€ сходятся при е ->0 к w и у соответственно рав-
равномерно на компактных подмножествах Rn. Поэтому w G С1 (Rn) и Dtw =
Лемма 4.2. Пусть / ограничена и локально непрерывна по Гёльдеру
(с показателем а < 1) на ft и пусть w - ньютонов потенциал с плотностью
/. Тогда w G С2 (ft), Aw =/e ft ы для всех х G. ft
Здесь ft о - любая содержащая ft область, для которой применима теорема
о дивергенции, а функция f продолжается нулем вне ft.
Доказательство. В силу оценки B,14) для D2T и поточечной
непрерывности по Гёльдеру функции/ на ft функция
и(х) = / А/ Г(/Ы -/(*)) dy - /(х) / Д,1>7(дО dsy
определена для всех х ? ft. Пусть у = D/W. Для е > 0 определим
где 17€ — функция, введенная в доказательстве предыдущей леммы. Ясно,
что v€ (x) GC1 (ft). Дифференцируя и считая число е достаточно малым,
60

получаем
D, ие(х) = / DjiDt Гт?е) f(y)dy =
откуда при условии 2е < dist(x, Э12) имеем
Z>,ue(*)l = l / Dj{(l-4?)Dir} (f(y)-f(x))dy\<
\x-y\<2e '
,* f (lDi/r{ + -\Dtr\)\x-y\ady<
4) [f]aiXBer.
Поэтому DjV€ равномерно на компактных подмножествах 12 сходится
к и при б -*0. А так как uf сходится равномерно к v = D/W на Г2, то полу-
получаем, что w Е С2 (Г2) и м = Z>/yw. Наконец, полагая в D.9) ^0 =^W,
для достаточно больших R имеел!
Таким образом, лемма 4.2 доказана. ?
Из лемм 4.1 и 4.2 и теоремы 2Л4 мы можем теперь вывести следующее
утверждение.
Теорема 4.3. Пусть ?1 - ограниченная область. Предположим, что
все точки границы ЭГ2 регулярны (по отношению к оператору Лапласа).
Тогда если функция f ограниченй и локально непрерывна по Гельдеру в
?2, то классическая задача Дирихле Аи = / в ?1, и = у на ЭГ2, однозначно
разрешима для любой непрерывной граничной функции у.
Доказательство. Обозначим через w ньютонов потенциал с
плотностью / и положим v = и - w , Тогда задача Аи =/вГ2,м = <?надГ2,
эквивалентна задаче Av =0вГ2,и = у — w над?2, однозначная разреши-
разрешимость которой имеет место в силу теоремы 2.14. D
В случае, когда Г2 есть шар, ?1 = В = BR(fi)> теорема 4.3 следует из
интегральной формулы Пуассона (теорема 2.6) и лемм 4.1 и 4.2. Кроме
того, в этом случае мы имеем явную формулу для решения
и(х) = / К(х, у) <р(у)dsy + / G(x,y)f(y)dy, D.10)
ъв в
- ядро Пуассона B29), a G - функция Грина B.23).
4.3« Оценки Гельдера вторых производных
Следующая лемма дает основную для излагаемой далее теории оценку.
Лемма 4.4. Пусть By = BR (хо)_. Вг = B2r (х0) - концентрические
шары в Rw. Предположим, что f Е С** (В2 ), 0 < а < 1,и пусть w - ньютонов
61

потенциал с плотностью f наВ2. Тогда w e C2'a(Bi) и
JD2w\'O0;Bi<C\f\'o,a;Bl, D.11)
т.е.
\D2w\0;Bl +Ra[D2w)a;Bi <С(|/1о;вя +лв[/1а;иа)
с постоянной С = С (и, а).
Доказательство. Для произвольной точки х ? Вг по формуле
D.9) имеем
D,,w(x-)= f Dvr{x-y)(f{y)-f{xj)iiy-f(x) f D,r(x-y)vs{y)dsy.
B2 dB2
В силу B Л 4) отсюда получаем
R1-H f dsy+±n^f \x-y\°-"dy<
а
<Cx(\f(x)\+R°[f]aix)9 DЛ2)
где Сг = С! (л, а).
Далее, для произвольной другой точки х € В\ мы снова имеем в силу
D.9).
Difw(x)= fD,fr0c-y){f(y)-fOc))dy-f{x) S DiT(x-y)vi(y)dsy.
вг ъвг
Обозначая Ь-\х — х\, % = {х + х)/2, получаем
D(jw(x)-Difw(x) =
= f(x)h +(№-f(x))It +/э +/4 +(/(*)-/(*))/s +/б,
где интегралыIi,I2,hbh,h и/6 задаются равенствами
/2= /
/5= / Difr(x-y)dy,
ВВ(О
Эти интегралы оцениваются следующим образом:
\h\<\x-x\ / 5
ьв2
62

(где х — некоторая точка, лежащая между хих)
<п2 •2n~1\x-x\IR<
(так как \х -y\>R длгя уЕ:ЬВ2)
<п2 -2п~
так как б = | х - х \ < 2R.
| ж I <" п\—П С Л„ _")/!— 1.
1^21^ -»v J '-**у ~" ^ ,
1/зК / 1Д//Г(дс-^)|-|/(дс)-/Ы1*<
()
[f)a;x f
« /38\a
f \y\dy (
в38/2(х) а \ 2
так же, как и при оценке /3.
С помощью интегрирования по частям получаем оценку
Dtr<x-y)Vj{y)dsy\<
АГ(х -y)Vj(y)dsy | + | _/_ Dtr(x-y)pf(y)dsy I <
б>
U6|<|*-*| J \DDvr&-y)\-\fQc)-f{y)\dy<
(где х — некоторая точка, лежащая между хих)
dy<
\у~х\>ь [Я-уГ1
(где с = и (я + 5)/wn)
(так как |jc-^|
3

Объединяя эти оценки, имеем
< C2(R-*\ f(x)\ + [/]«; * + [ Л а; * ) I * - * 1°, D.13)
где постоянная С2 зависит только от п и а. ?
Доказываемая оценка следует теперь из D.12) и D.13).
Замечание, Если Л i ип2 — такие области, что ?1г С Bi,?l2 D B2i
функция / Е Саф,2) и w — ньютонов потенциал с плотностью / на Г22, то
справедлива оценка D,11) леммы 4.4, в которой В\ и В2 заменены соот-
соответственно на Г21 и Г2 2, т.е.
Из леммы 4.4 немедленно вытекают оценки Гёльдера решений уравне-
уравнения Пуассона.
Теорема 4.5. Пусть функция и Е Cl(Rn) удовлетворяет в ^урав-
^уравнению Пуассона. Аи = f с правой частью f Е Co(Rw). Тогда и Е Co'a(Rw)
и для любого шара В -BR (x0), содержащего носитель функции и, справед-
справедливы оценки
\D2u\'o,a.B<C\f\'o,aiB, C = C(n,a),
\u\'l;B<CR2\f\0;B, C=C(n). DЛ4)
Доказательство. В силу представления B.17)
= Lr(x-y)-f(y)dy, D.15)
так что оценки для Dun D2u следуют соответственно из лемм 4,1 и 4.4
и того факта, что функция / имеет компактный носитель, лежащий в В.
Оценка для \и 10; в получается одновременно с оценкой для Du. ?
Освободиться от условия компактности носителя функции м, а это
нужно для получения следующих внутренних оценок норм Гёльдера реше-
решений уравнения Пуассона, можно различными способами (см. также за-
задачу 4.4),
Теорема 4.6. Пусть ?1 - область в Rn и пусть функция и Е С2 (Г2)
удовлетворяет в п уравнению Пуассона Аи =/ с правой частью /Е Са (Г2).
Тогда и Е С2*а (Г2) и для любых двух концентрических шаров Вх -BR \х0)
и В2 =B2r (*о) С С ^2 имеет место оценка
\*\2,*lBl <CQu\OiB2 +*2 \f\o9a;B2) D.16)
с постоянной С=С(п,а).
Доказательство. В силу представления Грина B.16) или в силу
леммы 4.2 мы можем записать для х Е В2, что и (х) = v (х) + w (x), где
v — гармоническая в В2 функция, w — ньютонов потенциал с плотностью
/вВ2. Согласно теореме 2.10 и леммам 4.1 и 4.4 имеем
R\Dv\0;Bi +R2\D2v\l0i0l,Bi <C\v\Q.B%<C{\u\0.B% +
Последнее неравенство для v = и - w очевидно при п > 2. При п = 2, запи-
записывая u(xlr xi, x$) = и(хх, х2)у мы можем рассматривать и как решение
64

уравнения Пуассона в шаре пространства R3, и это неравенство получается
тем же способом. Требуемая оценка решения и получается комбинировав
нием этих неравенств. D
Непосредственным следствием внутренней оценки D.16) является
равностепенная непрерывность на компактных подмножествах вторых
производных любого ограниченного семейства решений уравнения Пуассо-
Пуассона Аи = /. Отсюда с помощью теоремы Арцела получается обобщение теоре-
теоремы о компактности (теоремы 2 Л1) на решения уравнения Пуассона.
Следствие 4.7. Любая ограниченная последовательность решений
в области п уравнения Пуассона Аи = / с правой частью / Е С* A2) содер-
содержит подпоследовательность, сходящуюся равномерно на компактных под-
подмножествах ?1 к решению того же уравнения.
Иногда предпочтительнее работать с другой (но эквивалентной) формой
внутренней оценки D.16), с оценкой в терминах внутренних норм, исполь-
используемых далее. Для х, у G О,, Г2 — любое открытое подмножество Rw, будем
писать dx = dist (x, Ъп), dXjy = mn(dx> dy). Определим для функций
классов Ck(?l), и Ck>0L(p,) следующие величины, аналогичные глобаль-
глобальным полунормам и нормам D-5) и D.6):
М*,о;я = М*;П- sup d*|Mi(*)|, * = 0,1,2,...;
к
>я° ' D.17)
Мм;п= sup dkxy УУ>
ЕЯ \х-у\а
В этих обозначениях
Заметим, что величины |ы|?.п и |w|^a.n являются нормами йа под-
подпространствах функций из Ск (Г2) и Ск'а (п) соответственно, для которых
эти величины конечны. Если множество 12 ограничено и d = diam?2, то,
очевидно, эти внутренние нормы и глобальные нормы D.6) связаны нера-
неравенствами
u\kta;n. D.17)'
Если п' С С Q, и а = dist(ft', ЭП), то
min(l, ok+a) | и U, а; а1 < I и \t,a; n- D.17)"
Здесь удобно ввести норму
d*\f<?c)\+ ^р ^'^У, D.18)
являющуюся частным случаем некоторых норм, которые будут определены
далее.
5. Д. Гилбарг 65

Из теоремы 4.6 мы можем теперь для случая произвольных областей
получить внутреннюю оценку, кото рая, как будет показано в гл. 6, в весь-
весьма похожем виде переносится на общие эллиптические уравнения.
Теорема 4.8. Пусть функция и ? С2 (?1) удовлетворяет на откры-
открытом множестве Г2 пространства Rn уравнению Пуассона Аи = / с правой
частью feCa(?l). Тогда
|о;а+1/|(о2?а;п), D.19)
гдеС=С(п,а).
Доказательство. Если одна из величин | и |0; п или | /1^ а. п
бесконечна, то оценка D.19) тривиальна. Если они конечны, то для х Е
1
е ?2, R = — dx, B\ = BR (х), B2 = B2r (х) мы имеем для каждой первой
производной Du и каждой второй производной D2u оценку
dl\D2u(x)\<CR)\Du\0;Bl +(ЗДJ \D2u\0;Bl
(в силу D.16))
<С(|и|О;п+1/1о,а;п). откуда
I и la; п < С(| и |0; п +1 / 1(о,«; п )• D.20)
Для получения оценки [м]2,а;п возьмем точки x,yGQ,\ считаем, что
dx <dy. Тогда
\D2u(x)-D2u(y)\
х'у \х-у\а
+ 3aCRJ (|D2u(x)\ + I D2u(y)\)<
<C(\U\OIB2 +^
(в силу DЛ6))
lo;n+l/l(^;n) всилуD.20).
Из полученных оценок следует D.19). П
Из доказанного утверждения следует существование оценок на ком-
компактных подмножествах для Du, D2u и оценок коэффициентов Гёльдера
для D2u через величины, оценивающие правую часть в D.19) .Такие оцен-
оценки являются основой результатов о компактности семейств решений урав-
уравнения Пуассона. В частности, следствие 4.7 также немедленно вытекает
из теоремы 4.8, если заметить, что из нее следует равностепенная непре-
непрерывность решений и их первых и вторых производных на компактных
подмножествах,
С помощью результата о компактности, следствие 4.7, мы можем теперь
получить теорему существования для уравнения Пуассона Аи =/ с неогра-
неограниченной правой частью/.
Теорема 4.9. Пусть В - шар в Rn, a f - такая функция из Са (В),
что с некоторым 0,0 < j3 < 1, выполняется неравенство sup dx~^\f{x) \ <
< N < °°. Тогда существует единственная функция и ? С2 (В) П С0 (В),
66

удовлетворяющая уравнению Аи -f в В и условию и = 0 на ЪВ. При этом
решение и удовлетворяет оценке
sup d-t\u{x)\<CN D.21)
х ев
с зависящей только от 0 постоянной С
Доказательство. Оценка D.21) следует из рассуждений, основан-
основанных на построении несложных барьеров. А именно, пусть В = 2?# (х0), г =
= \х - хо\ и пусть w(x) = (Л2 — г2)Р. Непосредственным вычислением
получаем для г <R
Aw(x) = - 20(Д2 - r2)V~2[n(R2 - г2) + 2A - 0)г2] <
<_40A-0)Д2(Л2 -г2)^-2<-/3A
Предположим теперь, что Дм=/в5им = 0на ЪВ. Так как dx = R — г, то
по условию \f(x)\ < Ndx~2 = N(R - r)p~2 < - C0NAw9 где Со =
= [0A - f$)RP] . Отсюда A (C0Nw ± и) <0в5и C0Nw ± и = 0 на ЪВ.
Следовательно, в силу принципа максимума
\u(x)\<C0Nw(x)<CNdx для хбД D.22)
т.е. справедлива оценка D.21) с постоянной С = 2/0 A — 0).
Наконец, чтобы показать существование решения, положим
;т, если f>m,
f, если I/Km,
-т, если f<-m,
и пусть {/?fr} — такая последовательность концентрических шаров, ис-
исчерпывающих В, что |/| <k в 2?Л. Обозначим через mw, m = 1, 2, . . ., ре-
решение задачи Aum =fm в В, ит = 0 на ЭЯ
В силу D.21)
supd^|iiw(jc)|<C sup dl-P\fm(pc)\<CN,
х ев jc ев
так что последовательность {ит } равномерно ограничена и для т > А:
выполняется равенство Дит = / в 5fc, Поэтому в силу следствия 4.7, пос-
последовательно примененного к последовательности шаров 2?fc, некоторая
подпоследовательность последовательности {ит} сходится в В к функ-
функции и из С2 (Б), удовлетворяющей уравнению А и = / в В. Отсюда следует,
что | и (х) | <CNdx, и поэтому и = 0 на Э2?. ?
Несложно построить пример, показывающий, что при 0 <0 теорема 4.9
неверна. Отметим, что эта теорема может быть доказана для более широ-
широкого класса областей, отличных от шаров (см. задачу 4.6). Более того,
для произвольных областей с регулярными граничными точками класси-
классическая задача Дирихле для уравнения Пуассона Аи = f разрешима для
неограниченной правой части /, удовлетворяющей некоторым условиям
интегрируемости (см, задачу 4.3).
5* 67

4.4. Оценки вблизи границы
Теорема 4.8 будет использована в гл. 6 для получения внутренних оце-
оценок Гёльдера для решений линейных эллиптических уравнений. Для полу-
получения же глобальных оценок, которые требуются для исследования раз-
разрешимости, нужен вариант теоремы 4.8, применимый к пересечению облас-
области Г2 с полупространством.
Вначале получим соответствующее обобщение оценки Гёльдера для
ньютонова потенциала (лемма 4.4). Далее через R+ будем обозначать
полупространство хп > 0 и через Т — гиперплоскость хп = 0; В2 =B2r (*o)
и В\ = Br (Xq) — шары с центром в точке Xq Е R? и положим В2 = В2 П
DR^B+i^Bi OR?. _ .
Лемма 4.10,Пусть функция f€ С* (В2) и пусть w - ньютонов потен-
потенциал с плотностью f в В2. Тогда w €:C2>a (Bj) и
гдеС=С(п,а).
Доказательство. Предположим, что В2 пересекает Т, так как в
противном случае результат содержится, очевидно, в лемме 4.4. Пред-
Представление D.9) верно для D^w с О,0 - Вг . Если один из индексов i или
/ отличен от w, то часть интеграла по границе
/ DiT{x-y)vJ{y)dsy{^ f
В ЬВ
которая соответствует интегрированию по ЪВ2 П Т, равна нулю, так как
там Vj или Vj равны 0. Оценка D^w (/ или / не равны п) леммы 4.4 тог-
тогда получается точно так же, как и выше, с заменой В2 на В2, В$ (?) на
В$(?) П В2 и di?2 — на Э^2 -.Г. Наконец, так как оценки дляDkkw уста-
установлены, &=1,...,л— 1,то производная Dnnw может быть оценена из
уравнения Aw =/. П
Теорема 4.11. Пусть функция и G С2 (В2) ПС0 (В2) удовлетворя-
удовлетворяет в В 2 уравнению^Аи = /с правой частью f ? Са(В2) и пусть и =0наТ.
Тогда и GC2'01 (В \) и
\u\29a;Bi<C(\u\0;B}+R2\f\l>9a.B}), ¦ D.24)
гдеС=С(п, а).
Доказательство. Пусть х' = Qci9 . . . 9хп^г)9 х*= (х',-^хп).
Определим функцию/ *(х) равенствами
Г(х) = Г(х' х ) = ( /(*' Хп)' еШИ Xw >°'
l/(^-xw), если xw<0.
Предположим, что В2 пересекается с Т; иначе Г4,24) следует из теоремы
4.6. Обозначим В2 = { х е Rn\x*e B2) nD = B2UBJ U (В2 П Г). Тогда
/•ЕСа(/))и 1/*1о,о;и<2|/1о,в;в+. Теперь,полагая
w(x) = у+ [Г(х - у) - Г(х* - у)] /(^) dy =
= у+ [Г(х - у) - Г(д: - у*)] f{y) dy, D.25)
68

имеем w(x*, 0) = 0 (см. задачу B3с)) и Aw =/в В%. Заметив, что
/
получаем
И*) = 2 f r(x-y)f(y)dy-f Г(х-у)Г(у)с1у.
В{ D
Положим и>*(х) = / Г (х - y)f*( y)dy. В силу замечания, следующего за
D
леммой 4.4 (в котором мы положим Q,\-B\,Q.2 =/>), имеем
i
Объединяя полученное неравенство с леммой 4,10, получаем
\D2w\'0,a;Bt<C\f\'0>a;Bt. D.26)
Положим теперь v = и — w. Тогда Аи =0в^2 ии = 0 на Г. Отражением
функцию v можно продолжить в В2 (см, задачу 2,4) так, что полученная
функция будет гармонична в Вг. Тогда оценка D.24) следует из внут-
внутренней оценки производной для гармонической функции, теоремы 2,10. ?
Замечание. Если дополнительно к условиям теоремы 4.11 функция
и имеет компактный носитель в В\ U Г, то мы получаем из D.26) более
простую оценку (обобщение D,14)) вида
\D2u\'O9a;Bt<C\f\'Ota;Bt. D.27)
В этом случае имеем представление
и(х)= w(x)= Г [Г(х-у)-Г(х* - y)]f{y) dy. D.28)
Bt
Полезно иметь аналог теоремы 4.8, в котором дается оценка вплоть
до плоского куска границы. Для его получения введем некоторые частич-
частично внутренние нормы и полунормы, аналогичные D.17) и D.18). Пусть
?1 - открытое подмножество R+, а Т— лежащий на гиперплоскости хп = 0
открытый кусок его границы. Для хЙу в Г2 будем писать
dx = dist(x, ЭП - Г), dxy = min(dx, dy).
Введем следующие величины:
М?,о;пиг=М*;пи:г= SUP 3x I Dfiu (х) |, к = 0,1, 2,...;
.^
I = к D.29)
U T
Используя эти обозначения, сформулируем следующее утверждение.
69

Теорема 4.12. Пусть Г2 - открытое множество в R", а Т - лежащий
на гиперплоскости хп = О кусок его границы, и пусть функция и Е С2(?1) П
П С0 (п, U Т) удовлетворяет в ?1 уравнению Аи= fc правой частью f E
Е Са (?1 U Т) и граничному условию и =0наТ Тогда
п и г). D-3°)
(,)
Этот результат следует из теоремы 4.11 точно так же, как теорема 4.8
следует из теоремы 4.6; поэтому доказательство мы опускаем.
Теоремы 4Л1 и 4.12 дают результаты о регулярности решений уравнения
Пуассона вплоть до плоского куска границы. Справедлив более общий ре-
результат: если ?2 — ограниченная область, функция и Е С2(Г2) П С°(?2) удов-
удовлетворяет в п уравнению Дм=/с правой частью /ЕСа(?2) и если грани-
граница ЪО, и граничные значения и достаточно гладкие, томЕС2'а(й), Этот
результат — по существу, теорема Келлога [121] - будет попутно установ-
установлен в гл. 6 при рассмотрении линейных эллиптических уравнений. Тем не
менее получим его сейчас для случая, когда ?2 есть шар; в этой ситуации
он непосредственно следует из теоремы 4.11.
Теорема 4ЛЗ. Пусть В - шар в R", а функция иеС2(В)ПС°(В)
удовлетворяет в В уравнению Au=fc правой частью f Е Са(В)и и = 0
наЪВ. ТогдаиеС2>а(В).
Доказательство, Параллельным переносом можно добиться то-
того, что граница ЪВ пройдет через начало координат. Преобразование инвер-
инверсии х »-> х* = х/\х |2 является гомеоморфным гладким отображением
Rn — {0} на себя, которое отображает шар В на полупространство В*.
Кроме того, если uGC2(В)'П С0(В), то преобразование Кельвина функ-
функции и, определяемое равенством
v(x)=\x\2-nu(x/\x\2),_ D.31)
принадлежит С2(В*)ПС°(В*) и удовлетворяет (см. задачу 4.7) соотно-
соотношениям
АхМх*) = \х*Гп-2лхНх), х'ев*, хев,
= \х* Гп~2/(х*/\х* |2), х*ев*.
Следовательно, к преобразованию Кельвина и применима теорема 4.11,
а так как с помощью параллельного переноса любая точка границы ЪВ
может быть сделана началом координат, то получаем, что м G С2>аE). ?
Следствие 4Л4. Пусть ^> G С2 'аE) и / G Са(В). Тогда задача Ди-
Дирихле Au-feB9u = у на ЪВ однозначно разрешима и решение и при-
принадлежит С2'°Ч2?).
Доказательство. Обозначая и = и - у, сведем рассматриваемую
задачу к задаче Av = f-Ay в B,v = 0 на ЪВ> для которой по теореме 4.3
существует решение vGС2(В) П С0(В), а по теореме 4ЛЗ uGC2'aE). ?
Из доказательства теоремы 4.13 видно, что справедливо следующее
обобщение леммы 4.4: если / Е Са(В), то ньютонов потенциал с плот-
плотностью / на В принадлежит С2 ¦а (В ).
70

4.5. Оценки Гельдера первых производных
Нередко возникает потребность рассматривать уравнение Пуассона,
в котором правая часть является дивергенцией некоторого векторного
поля
Аи = div/= АД /= С/1 J2, • • • ,/я) • D.33)
Соответствующие оценки решений могут быть сведены к аналогичным
оценкам, установленным в предыдущем разделе, но при этом можно полу-
получить и некоторые обобщения, которые будут полезны далее.
Если / Е С*' аA2), то, конечно, справедливы установленные ранее оценки
ньютонова потенциала с плотностью div/ и решений уравнения D.33),
в которых функция / всюду заменяется на div/. Если граница Э12 являет-
является достаточно гладкой, то
jr(x-y)diwf(y)dy= fDr{x-y).f(y)dy+ f Г(х-y)fvdsy,
SI SI дП
и поэтому ньютонов потенциал с плотностью div/в 12 является суммой гар-
гармонической функции и функции, заданной равенством
w(x)=D fr(x-y)f(y)dy=Df fr(x-y)f\y)dy. D.34)
si 'si
Это выражение совпадает с ньютоновым потенциалом, если вектор / имеет
компактный носитель в ?2. Мы видим, что w определяется при /, только
интегрируемой в ?2; в этом случае за определение обобщенного ньютоно-
ньютонова потенциала с плотностью div/ в 12 можно взять соотношение D.34).
Если, кроме того, вектор / непрерывен по Гёльдеру, то первые произ-
производные w в 12 (по лемме 4.2) задаются равенствами
D(w(x)= ^Dijr(xff
-/>(*) jDir(x-y)vjdsy D.35)
dSl
и могут быть оценены, как в лемме 4.4. Таким образом, используя обозна-
обозначения леммы 4.4, можем записать, что
\Dw\'Ota;Bi <C\f\'OiOi;B2i С = С(л,а). D.36)
Поэтому можно утверждать справедливость внутренних оценок в С1>0?.
Т е о р ечм а 4.15. Пусть 12 - область в Rn и пусть функция и удовлет-
удовлетворяет уравнению Пуассона D.33) с правой частью /GC01 A2), 0 < а < 1.
Тогда для любых двух концентрических шаров Вх = BR(x0) и В2 =
= B2r (x0) С С 12 имеет место оценка вида
r;B2), С = С(и,а). D.37)
Доказательство этого утверждения — такое же, как и доказательство
теоремы 4.6, если в нем оценку D.11) заменить оценкой D.36).
Аналогично можно получить и оценки вплоть до границы. Если Вх
и В2 такие же, как и в лемме 4.10, то потенциал D.34) имеет первые
производные, определяемые формулами D.35) с 12 = В2, и справедлива
71

оценка
С = С(п,а). D.38)
\Dn\'o,a;B+1<C\f\>o<a.tB+, С=С(и,а). D.38)
Чтобы получить аналог теоремы 4.11 для норм в С1'" решений уравне-
уравнения D.33), обращающихся в нуль на гиперплоскости х„ = О, используем,
как и в теореме 4.11, метод отражения. Пусть
G(x, у) = Г(* -у)- Г(х - у') = Г(х -у)- Г(х* - у)
-функция Грина в полупространстве R"; рассмотрим функцию
v(x) = -fDG(xy).f(y)dy =
рр
-fDyG(x,y).f(y)dy
в;
= fDyr(x-y).f(y)dy+ fDyr(x'-y)-f(y)dy. D.39)
в*2 в;
Для каждого i = 1, . . . , п обозначим через V/ слагаемые v, определенные
равенствами
v,(x)= fDir(x-y)fi(y)dy + SDyiT{x*-y)ny)dy.
в; в;
Видно, что v и V; обращаются в нуль на Т = В2 П { хп = 0}. Предположим
теперь, что / G Ca(Bl), и продолжим / нечетным образом через плоскость
хп = 0. Продолженную функцию обозначим снова через-/. Тогда для / =
= 1, 2, . . . , п — 1 мы получаем, как и в доказательстве теоремы 4.11, ра-
равенства
ц (х) = Dt [ 2 f T(x-y)f\y)dy - f Г(х-у)Г(у)Aу ] . D.40)
в*2 в; и в-
Апри / = л, поскольку
/ DynГ(х* -y)fn(y)dy= jDnГ(* -y)fn(y)dy9
в; в;
получаем
vn(x) =Dn I Пх-У)Гп(У)<1у. D.41)
в*2 и в;
Теперь из оценок D.36) и D.38), примененных к D.40) и D.41), следует
!Я<,а;БГ<аЯо,а;Б2+> С = С(п, а). D.42)
Теорема 4.16. Пусть функция и Е С* (Bl) удовлетворяет уравнению
Пуассона D.33) с правой частью f^Ca{Bl)u пусть и =0наВ2 П {*„ = 0}.
Тогда
а;В2+Х С=С(«,а). D.43)
Доказательство получается из D.42) с помощью рассуждений, анало-
аналогичных заключительным рассуждениям доказательства теоремы 4.11.
Можно получить и аналоги теорем 4.3, 4.13 и следствия 4.14 для реше-
решений уравнения D.33). Предоставляем это сделать читателю.
Предыдущие результаты могут быть обобщены на уравнения вида
Aw=^ + div/, D.44)
72

где / непрерывна по Гё'льдеру, a g ограничена и интегрируема. Подчерк-
Подчеркнем, что первые производные ньютонова потенциала удовлетворяют оцен-
оценкам Гёльдера с произвольным показателем а < 1 (см. задачу 4.8 а), а так-
также теорему 3.9). Из этих оценок для ньютонова потенциала следует, что
аналогичные D.37) и D.34) оценки вС1>а решений уравнения D.44)
имеют вид
e; Ля ), D.45)
где С = С(п9а).
Замечание. Если g G Lp (п), где р = л/A - а), то слагаемые, содер-
содержащие g в правой части в D.45), D.46), могут быть заменены на
R1+(*\\g\\p (см. задачу 4.8 в)).
Примечания
Содержащиеся в этой главе оценки Гёльдера в основном получены Кор-
Корном [128].*)
В лемме 4.2 непрерывность по Гёльдеру может быть заменена условием
Дини; а именно, ньютонов потенциал с плотностью / является решением
класса С2 уравнения Аи =/, если
\№-f{y)\<<p{\x-y\)t D.47)
где /\p(r)r~ldr < оо (см. задачу 4.2). Однако если /только непрерывна,
о+
то ньютонов потенциал может не быть дважды дифференцируемым (см.
задачу 4.9).
Весовые внутренние нормы и полунормы D.17), D.29) мы использо-
использовали, следуя Дуглису и Ниренбергу [92]. Основной целью использования
частично внутренних норм и полунорм D.29) является упрощение про-
процедуры получения граничных оценок с помощью непосредствершой ими-
имитации вывода внутренних оценок (см., например, теорему 4.12 и лем-
лемму 6.4).
Задачи
4.1. а) Докажите D.7).
б) Докажите, что если/е Ca(Rw) иg е С^(П), то /о g e С°^(П).
4.2. Докажите лемму 4.2 в предположении, что функция / непрерывна по Дини
в П (т.е. /удовлетворяет D.47)).
4.3. Покажите, что теорема 4.3 остается справедливой, если вместо ограничен-
ограниченности/потребовать, чтобы/е//(П) с некоторым р > л/2 (см. лемму 7.12)).
4.4. Выведите теорему 4.6 из теоремы 4.5, используя формулу представления
B.17) для v(x) = и(х)п(\х - х0 l//?), где ц - срезающая функция такая, что ц G
6C2(R),T}(r)= 1для г< 3/2, т?(г) = О для г > 2.
*) Утверждение леммы 4.2 о том, что ньютонов потенциал с плотностью / е С^П)
является классическим решением в П уравнения Пуассона Aw = /, было впервые
доказано Гёльдером в его диссертации "Beitrage zur Pothentialtheorie", Inauguraldis-
sertation, Stuttgart, 1882. - Примеч. ред.
73

4.5. Докажите следующее обобщение на случай уравнения Пуассона формул B.6)
для шаровых средних от решений уравнения Лапласа: пусть функция м G С2(П) п
п С°(П) удовлетворяет соотношению Аи = f(Au > /, Дм < /) в П. Тогда для лю-
любого шара В = /?д (;)СП
//()* (/?)&} г=\х-у\,
где
^ г2-
(г2-"-Я2-")-(Я2 -r2)/2Rn, n>2
log-
¦ ¦ R>
4.6. Докажите теорему 4.9 для случая ограниченной области SI с границей 312
класса С2. (Используйте лемму 14.16 и функцию сравнения d^n, где 17 - подходя-
подходящая срезающая функция и d - функция, значения которой равны расстоянию до
границы.)
4.7. Пусть Аи = / в п С Кп. Покажите, что преобразование Кельвина функции м,
определенное равенством
v(x)=\x\2-nu(x/\x\2),
удовлетворяет уравнению Дv(x) = |jc \n ~ 2f(x/\x \2) при х/\х I2 GI2.
4.8. Пусть w — ньютонов потенциал с плотностью/ъВ = Br{xQ).
а) Покажите, что если/ е/,°° (В), то Z)wGCa(Rw) длялюбогоае @, 1) и
б) Покажите, что если / G /,р(#), где р = л/A - а), 0 < а < 1, то Dw G Ca(Rw)
р
4.9. а) Пусть мультииндекс а, | а \ = 2, и однородный гармонический полином Р
степени 2 таковы, что DaP Ф 0 (например, Р = JCj jc2, ZI2P = 1). Возьмем функцию
1? е С0°°({дс | | jc I < 2}), удовлетворяющую условию: г) = 1 при I jc I < 1. Пусть tk = 2k
и пусть с^ -> 0 при ?->«>, причем ряд 2 с^ расходится. Определим функцию
Покажите, что функция / непрерывна, однако в любой окрестности начала координат
уравнение Д м = / не имеет решений класса С2.
б) Возьмем мультииндекс а, | а | = 3, и однородный гармонический полином Q
степени 3 такие, что DaQ Ф 0. Пусть величины п9 tk И ск такие же, как и в части а).
Определим функцию
оо оо
м(х)= Xckn(tkx)QW= 2 ск(п0)ЦкхЩ.
О О
Тогда
ое
Au=g(x)= 2 ckA(nQ)(tkx)/tk.
О
Покажите, что g G С1, но, какую бы окрестность начала координат мы ни взяли,
функция м не принадлежит С2*1 в этой окрестности. (Это означает, что лемма 4.4
неверна при а = 1.)
4.10. Пусть функция м G С$(В) удовлетворяет уравнению Аи =/ в шаре
B = Br(x0). Покажите, что:
а) 1«1о<^- 1/10;
б) \DfU |0 <Я|/|в, 1=1,...,п.
(Следовательно постоянную С во втором неравенстве из D.14) можно взять равной 3:
\u\lUB<3R*\f\0;B.)
74

ГЛАВА 5
БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе излагаются сведения из функционального анализа, кото-
которые будут использоваться в гл. 6 и 8 при изучении вопроса о существова-
существовании решений линейных эллиптических уравнений. Этот материал может
быть хорошо знаком читателю, уже владеющему основами функциональ-
функционального анализа, но мы предполагаем лишь некоторое знакомство с элемента-
элементами линейной алгебры и теорией метрических пространств. Подчеркнем,
что все используемые в этой книге линейные пространства рассматри-
рассматриваются над полем вещественных чисел. Материал этой главы переносится
без значительных изменений на случай, когда поле вещественных чисел
заменяется полем комплексных чисел.
Пусть V' — линейное пространство над R. Норма на V есть отображе-
отображение р: W-* R (далее мы пишем: р(х) = \\ х || = || х \\т, х €??), удовлетво-
удовлетворяющее аксиомам:
(i) || х || > О для всех х € W, II х || = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
(ii) || ах || = | а\ .\\x\\ длявсехаеК, xGf;
(iii) || x + у || < || х || + || у || для всех х, у G V (неравенство треуголь-
треугольника).
Линейное пространство V, снабженное нормой, называется линейным
нормированным пространством. Линейное нормированное пространст-
пространство У? является метрическим пространством с метрикой р, задаваемой
равенством
Следовательно, последовательность {хп} С Ф сходится к элементу
х GV, если \\хп - х || -* 0. Последовательность {хп} называется после-
последовательностью Коши, если || хп - хт \\ -> 0 при т, п -* °°. Если W— пол-
полное пространство, т.е. любая последовательность Коши сходится к эле-
элементу V, то ^называется банаховым пространством.
Примеры.
(i) Евклидово пространство Кп является банаховым пространством
с нормой
п 2/2
||*||= ( .2 х) ) , * = (*!,...,*„).
(ii) Для ограниченной области fiCR" пространство Гёльдера Ck>Ci(Sl)
является банаховым пространством с одной из эквивалентных норм D.6)
или D.6)', введенных в гл. 4 (см. задачи 5.1 и 5.2).
(iii) Пространства Соболева Wk>p(u)nWo>p(Sl) (см. гл. 7).
Теоремы существования для дифференциальных уравнений с частными
производными часто сводятся к разрешимости уравнений в соответствую-
соответствующих функциональных пространствах. В шаудеровской теории линейных
эллиптических уравнений мы будем использовать две основные теоремы
существования для операторных уравнений в банаховых пространствах,
а именно принцип сжимающих отображений и альтернативу Фредгольма.
75

5.1. Принцип сжимающих отображений
Отображение Т линейного нормированного пространства V в себя
называется сжимающим отображением, если существует такое число в < 1,
что
\\Тх-Ту\\<в\\х-у\\ длявсех х,у<^Ф. E.1)
Теорема 5.1. Сжимающее отображение Т банахова пространства 3d
имеет единственную неподвижную точку, т.е. существует единственное
решениеx^Sdуравнения Тх = х.
Доказательство. (Метод последовательных приближений.)
Пусть х0 Е55. Определим последовательность { хп } С 3d равенствами хп =
= Тпх0, п = 1, 2, . . . Тогда в силу неравенства треугольника и сжимаемос-
сжимаемости отображения Г имеем для п > m
п п
хп ~ хгп II ~ II L Kxj - */- l) II ^ ^ II */ - */- 1 II -
/ = m + 1 / = hi + 1
п . п
V* II Т/ — 1^. 1"» /— 1 ^. || ^ V1 л / — 1 11 _, _. и ^*»
— л^ || J[ Л| — J[ Aq I] ^ JLj U Л jCi — лл ]| ^s
/ = HI + 1 / = HI + 1
(в силу E.1))
-> 0 при m -* <».
Следовательно, последовательность {х„} является последовательностью
Коши; а так как пространство $? полно, то она сходится к элементу х ?$?.
Ясно, что Г является непрерывным преобразованием; поэтому
Тх= lim Тхп = lim xn + 1 =х,
YI —>¦ оо ^ —>¦ оо
т.е. л: — неподвижная точка 53. Единственность д: следует непосредственно
из E.1). ?
В утверждении теоремы 5.1 пространство 3d может быть, очевидно,%
заменено на любое его замкнутое подмножество.
5.2. Метод продолжения по параметру
Пусть 1Ух и ^2 — линейные нормированные пространства. Линейное
отображение Т: V\ -* V2 называется ограниченным, если конечна ве-
величина
II Тх ||г
|| Т ||= sup 11 . E.2)
*Gr> 11*11^
х Ф О
Легко показать, что линейное отображение Т ограничено тогда и только
тогда, когда оно непрерывно. Обратимость линейного ограниченного
отображения может быть иногда вьюедена из обратимости другого отобра-
отображения благодаря следующему факту, известному в приложениях как ме-
метод непрерывного продолжения по параметру.
76

Теорема 5.2. Пусть 33 - банахово пространство, V -линейное
нормированное пространство и пусть Lo, Lx - ограниченные линейные
операторы из 3d в V. Для каждого f G [0,1] положим
и предположим, что существует такая постоянная С, что для всех t E [0,1]
выполняется неравенство
||y. E.3)
Тогда для того чтобы оператор Lx отображал S3 наф, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оператор Lo отображал S3 на 2Р.
Доказательство. Предположим, что для некоторого s G [0, 1]
отображение Ls является отображением на. В силу E.3) оператор Ls
осуществляет взаимно однозначное отображение S3 на W; следовательно,
существует обратный оператор Lg1: V-+S3. Для всех t € [0, 1] к у V
уравнение Lt x = у эквивалентно уравнению
Lsx=y+(LS-Lt)x =y+(t- s)Lox - (f -
которое, в свою очередь, эквивалентно уравнению
x=L;1y+(t-s)L~s1(Lo -Lx)x.
Отображение Т пространства 33 в себя, заданное формулой Тх = L~sly +
+ (t - s)LJ1(Z0 ~ Lx)x, является, очевидно, сжимающим отображением,
если
II + Il?i И)] э
а следовательно, для всех t G [0, 1], удовлетворяющих неравенству
i s - 11 < б, отображение Lt является отображением на^. Разбивая отре-
отрезок [0, 1] на отрезки длины меньше б, получаем, что отображение Lt
является отображением на 2? для всех / G [0, 1], если только оно являет-
является отображением на V для некоторого конкретного значения / G [0, 1],
например для t = 0 или для t = 1. П
5.3. Альтернатива Фредгольма
Пусть Wi и ^2 — линейные нормированные пространства. Отображе-
Отображение Т: V\ -> V2 называется компактным (или вполне непрерывным),
если Т отображает ограниченные множества b^J в относительно компакт-
компактные множества в % или, эквивалентно, если Т отображает любую ограни-
ограниченную последовательность элементов пространства V\ в последователь-
последовательность элементов пространства 2^, которая содержит сходящуюся под-
последовательность. Можно показать, что компактное линейное отображе-
отображение является непрерывным, однако обратное утверждение, вообще говоря,
не имеет места, за исключением случая конечномерного пространства V*2.
Альтернатива Фредгольма (или теория Рисса — Шаудера) относится
к теории компактных линейных операторов, отображающих пространст-
пространство V в себя, и является обобщением теории линейных отображений ко-
конечномерных пространств.
77

Теорема 5.3. Пусть Т - компактное линейное отображение линей-
линейного нормированного пространства Vв себя. Тогда или
(i) однородное уравнение х - Тх = 0 имеет нетривиальное решение х €
&V, или
(ii) для каждого у Е V уравнение х - Тх~у имеет единственное реше-
решение х GW. Кроме того, оператор (I - Т), существование которого ут-
утверждается в случае (ii), является ограниченным.
Доказательство теоремы 5.3 использует следующий простой резуль-
результат Рисса.
Лемма 5.4. Пусть V - линейное нормированное пространство
и Л - замкнутое подпространство V, не совпадающее с V. Тогда для
любого в < 1 существует элемент хв G V, удовлетворяющий условиям
IIхв || = 1 и dfetfo,Jt) >в.
Доказательство. Пусть х ? V-Л. Так как Л замкнуто, то
dist(jc,»>#) = inf || x - у || = d > 0. Поэтому существует такой элемент
ув еЛ, что || х - ув || < d/в. Полагая хд = (х - ув)Ц\х - ув ||, имеем
II хв || = 1 и для любого у ejC
*Н >d/\\ye-x\\>e. ?
Ясно, что если V = Rw, то можно взять в = 1, выбирая элемент хе орто-
ортогональным к %М. Это же можно сделать в любом гильбертовом пространст-
пространстве. Однако в общем случае взять в равным 1 нельзя: лемма 5.4 утвержда-
утверждает существование лишь "почти ортогонального" к JI элемента.
Доказательство теоремы 5.3. Удобно разбить доказательст-
доказательство на четыре этапа.
1) Пусть S = / - Т, где I - тождественное отображение, и пусть Jf-
= S~\0) = {x &V\ Sx = 0} - нуль-пространство S (ядро S). Тогда су-
существует такая постоянная К, что
dist(x9JV) < К || Sx || для всех хЕ.^. E.4)
Доказательство. Предположим, что утверждение неверно. Тогда
существует последовательность { хп} CV, удовлетворяющая условиям
\\Sxn || = 1 и dn = dist(jc,jT) -> °°. Выберем последовательность {уп} CJT
так, чтобы dn <\\хп - уп \\ < 2dn. Тогда для zn = (хп - упI\\ хп - уп ||
имеем || zn \\ = 1 и \\Szn || <^х -* 0, так что последовательность { Sxn} схо-
сходится к 0. А так как отображение Т компактно, то переходя, если в этом
есть необходимость, к подпоследовательности и обозначая ее также че-
через хп, мы можем считать, что последовательность {Tzn} сходится к эле-
элементу у0 Е V. Тогда мы имеем, поскольку zn = (S + T)zn, что и после-
последовательность { zn} также сходится к у0, а следовательно, у0 ZzJT. Однако
это приводит к противоречию, так как
= inf \\zn-y\\ =
у
78

2) Пусть <R = S(W) - область значений S. Тогда <R - замкнутое под-
подпространство W.
Доказательство. Пусть {хп } — такая последовательность в У,
что последовательность их образов {Sxn} сходится к элементу у Е 2^.
Чтобы показать замкнутость (R, мы должны показать, что у = Sx для
некоторого элемента ^ G^! В силу предыдущего результата последова-
последовательность { dn), где dn = dist(xw,jV"), ограничена. Выбирая уп ЕЖ, как и
ранее, и полагая wn = хп - уп, мы имеем, что последовательность { wn)
ограничена, в то время как последовательность {Swn} сходится к у. Так
как Т компактно, то переходя, если в этом есть необходимость, к под-
подпоследовательности и обозначая ее также через { wn), мы можем считать,
что последовательность { Twn} сходится к элементу w0 Е ф. Тогда сама
последовательность { wn} сходится к элементу у + w0, а в силу непрерыв-
непрерывности S получаем равенство S(y + vv0) = у. Следовательно, <R замкнуто. ?
3) Если Ж = {О,}, то п = V. То есть если случай (i) теоремы 5.3 не имеет
места, то имеет место случай (ii).
Доказательство. В силу предыдущих утверждений множест-
множества fly, определенные равенствами <R;- = S*(V), / = 1,2,..., образуют
невозрастающую последовательность замкнутых подпространств 2^. Пред-
Предположим, что никакие два из этих пространств не совпадают. Тогда каждое
является собственным подпространством своего предыдущего и не совпа-
совпадает с ним. Следовательно, по лемме 5.4 существует такая последователь-
последовательность {уп} Сф, что упеап, || 7п 11=1 и distOw, Rn + 1)> 1/2. Это
значит, что если п > т, то
Тут - Туп =ym +(-yn-Sym +Syn)=ym ~у
с некоторым^ 6 Лт + х. Отсюда следует, что || Тут - Туп \\ > 1/2, а это
противоречит компактности Г.
Поэтому существует такое целое число к, что <Ry = &.к для всех / > к.
До этого момента мы не пользовались условием JT- {0 }. Пусть теперь у —
произвольный элемент 2^. Тогда Sky &Rk = (Rk + i н Sky = Sk + 1x при не-
некотором х G V. Следовательно, S к( у - Sx) = 0 и поэтому у = Sx, так как
^@)=51@) = 0.Итак, fl= <R; =^ для всех /. П
4) Если <R = ^, то JT= {0}. Следовательно, имеет место либо слу-
случай (\),либо случай (ii).
Доказательство. Определим неубывающую последовательность
замкнутых подпространств {»Лу}, полагая JTj = S ~7@). Замкнутость Л^
следует из непрерьюности S. Используя результат леммы 5.4 и рассуждая
подобно тому, как это мы делали на третьем этапе, получаем, что JTj =
= Jfi для всех /, не меньших некоторого целого /. Тогда если п ~ V*, то лю-
любой элемент у Е Jf\ представляется в виде у = Slx с некоторым д: Е ?Р.
Следовательно, 52/jc = 0, так что х Е Jf2l =JTt. Отсюда,у -Slx = 0. Утверж-
Утверждение 4) доказано. ?
Ограниченность оператора S = (/ - Т) в случае (ii) следует из JT =
= {0} и утверждения 1). Заметим, что доказательство можно несколько
упростить, полагая на этапах 1) и 2) J\T= { 0} и заметив, что этап 4) не за-
зависит от предыдущих.
79

Таким образом, теорема 5.3 полностью доказана. D
Из теоремы 5.3 и леммы 5.4 вытекают некоторые утверждения о струк-
структуре спектра компактных линейных операторов *). Число X называется
собственным значением оператора Т, если существует ненулевой элемент
х 6^ (он называется собственным вектором), удовлетворяющий ра-
равенству Тх = Хх. Ясно, что собственные векторы, соответствующие различ-
различным собственным значениям, должны быть линейно независимыми. Раз-
Размерность нуль-пространства оператора S\ = XI - Т называется кратностью
собственного значения X. Бели число X Ф О, X Е R, не является собственным
значением Т, то из теоремы 5.3 следует, что резольвента jR\ = (X/ - Г)
определена на всем V и является ограниченным линейным отображени-
отображением V на себя. Из леммы 5.4 мы можем вывести следующий результат.
Теорема 5.5. Множество собственных значений компактного линей-
линейного оюбражения линейного нормированного пространства в себя являет-
является не более чем счетным и не имеет предельных точек, исключая, быть
может, точку X = 0. При этом каждое ненулевое собственное значение
имеет конечную кратность.
Доказательство. Предположим, что существуют последователь-
последовательность не обязательно различных собственных значений { \п } такая, что
\п -* X Ф 0, и линейно независимая последовательность соответствующих
собственных векторов {хп}. Пусть JCn — замкнутое подпространство,
натянутое на {хг, . . . , хп). По лемме 5.4 существует такая последователь-
последовательность {.у*}, что >>„ €.#„, ||jbll = l и АЩуп,Лп_1)>\12 (« = 2,3,...).
Если и >т, то
= Уп + (~Ут - К1 S\n Уп + Хт$\т Ут) =Уп " z>
п
где z GJfn _!. Так как уп = 2 0.x,-, то
/ = 1
УпКуп .^0,(^^, „!
и аналогично SKm Ут ^Лт • Поэтому имеем неравенство
*) О спектре линейного оператора естественнее говорить в банаховом пространст-
пространстве над полем комплексных чисел. В полном пространстве обычно формулируется
и теорема Фредгольма. Доказанная в этом разделе теорема 5.3 может быть получена
и как простое следствие теоремы Фредгольма в банаховом пространстве.
Отметим, что используемое здесь определение компактности оператора Т (см.
начало этого раздела) требует, чтобы для любой ограниченной последовательности
{хп } последовательность образов { Тхп} содержала сходящуюся (именно сходящуюся,
а не фундаментальную!) подпоследовательность. В частности, если Т - компактный
оператор в банаховом пространствеS, ^с 38 и Г^с У, то сужение Г на Сможет
не быть в принятом определении компактным оператором в ^; для таких опера-
операторов, как легко видеть, утверждение теоремы 5.3 неверно. Для того чтобы в этой
ситуации можно было гарантировать справедливость альтернативы Фредгольма, доста-
достаточно дополнительно потребовать, чтовы TWc^f. - Примеч. ред.
80

которое в силу предположения \п -> X Ф О противоречит компактности
оператора Г. Следовательно, сделанное в начале доказательства предполо-
предположение ошибочно, а это влечет справедливость теоремы. ?
5.4. Сопряженные пространства и сопряженные операторы
Для полноты мы приведем некоторые результаты, которые далее будут
доказаны в случае гильбертовых пространств; только в этой ситуации
они и будут использоваться. Пусть V — линейное нормированное прост-
пространство. Функционал насесть отображение W в R. Пространство всех ли-
линейных ограниченных функционалов на V называется сопряженным прост-
пространством к V и обозначается через V*. Несложно проверить, что 2^* есть
банахово пространство с нормой
H/||r.« sup-!{^-L E.5)
х Ф О || X ||
Пример. Сопряженное к Rn пространство изоморфно самому R".
Сопряженное к V* пространство, обозначаемое^**, называется вто-
вторым сопряженным к W. Ясно, что отображение /: 2^-> W* *, определяемое
равенством /*(/) = /(*) для всех /Е^*, является сохраняющим норму
линейным взаимно однозначным отображением *2Р на/2^ С 2Р**. Если
JV= 2^**, то пространство V называется рефлексивным. Рефлексивные
банаховы пространства имеют ряд свойств, делающих их более удобными,
нежели общие банаховы пространства, для приложений в теории дифферен-
дифференциальных уравнений. Пространства Соболева WkyP(?l), рассматриваемые
в гл. 7, рефлексивны при р > 1, а пространства Гельдера Ск>а(п), рассмот-
рассмотренные в гл. 4, нерефлексивны.
Пусть Т — ограниченное линейное отображение из банахова пространст-
пространства 53 х в банахово пространство ЗВ2- Сопряженный к Г оператор, обозна-
обозначаемый Г*, — это линейное ограниченное отображение из^ вир опре-
определяемое равенством %
(T*g) (x) = g(Tx) для всех ^Й2*их6^. E.6)
Обозначим через jT, <R, JT*', <R* нуль-пространства и области значений опе-
операторов Т п Т* соответственно. При условии замкнутости <R справедливы
следующие соотношения:
y = 0 длявсех g6/*},
!/(*) = О длявсех *е JT).
Кроме того, из компактности оператора Т следует компактность Т*. По-
Последние два результата доказаны, например, в [107].*) Отсюда видно, что
в случае (i) альтернативы Фредгольма в банаховом пространстве S для
существования решения х Е ^ уравнения х - Тх = у необходимо и доста-
*) Там же имеется и доказательство замкнутости области значений действующего
в банаховом пространстве оператора / - Г, где Т - компактный оператор. - Примеч.
ред.
6. Д. Гилбарг 81

точно, чтобы g(у) = 0 для всехgG В*9 удовлетворяющих равенству T*g =
= g. Этот последний результат будет непосредственно установлен в случае
гильбертовых пространств.
5.5. Гильбертовы пространства
Мы изложим здесь теорию гильбертовых пространств, которая потре-
потребуется в гл. 8 для исследования линейных эллиптических уравнений. Ска-
Скалярное (или внутреннее) произведение на линейном пространстве V есть
отображение q\ fflX W -> R (далее мы пишем q(x, у) = (х, у) или (х, у)у,
x,yGW), удовлетворяющее аксиомам:
(О (х,У) = (У,х) Для всех xjG^;
(И) (Х^ + Х2х2,.у) = Xi(*i, у) + Х2(х2, J>) для всех Хь Х2 G R,
(ш) (х,х)>0 для всех хФО, х€ г/.
Линейное пространство 2^, снабженное скалярным произведением,
назьюается пространством со скалярным произведением или предгильбер-
предгильбертовым пространством. Обозначая || х \\ = (х, хIП для хG ^ мы имеем сле-
следующие неравенства:
неравенство Шварца *)
l(x,^)|<llx||.||^||; E.7)
неравенство треугольника
11х+;Н1<||*|| + Ы1; E.8)
и равенство параллелограмма
II х +у ||2 + || х -у ||2 = 2A1 х ||2 + \\у ||2). E.9)
В частности, пространство Vсо скалярным произведением является норми-
нормированным линейным пространством. Гильбертово пространство опреде-
определяется как полное пространство со скалярным произведением.**)
Примеры, (i) Евклидово пространство Rn есть гильбертово прост-
пространство со скалярным произведением
(х,у)= Zxtyi, х = (х1}...,хл), у = (у1,...9Уп).
(ii) Пространства Соболева Wk> 2(?2) (см. гл. 7).
5.6. Теорема о проекции
Два элемента х и у пространства со скалярным произведением называют-
называются ортогональными (или перпендикулярными), если (х, х) = 0. Пусть
JC— подмножество пространства со скалярным произведением. Через
М1 будем обозначать множество элементов пространства, ортогональ-
ортогональных всем элементам из М. Следующая теорема утверждает существова-
*) Неравенство E.7) часто называется неравенством Коши - Буняковского. - При-
Примеч. ред.
**) Имеется в виду полнота по метрике, порожденной скалярным произведе-
произведением. - Примеч. пер.
82

ние ортогональной проекции любого элемента гильбертова пространства
на замкнутое подпространство.
Теорема 5.6. Пусть Л - замкнутое подпространство гильбертова
пространства Ж. Тогда для любого х Е Ж имеет место представление х =
= у + г9гдеуЕЛ, a z ЕЛ1.
Доказательство. Если х €Л, то положим у = х, z = 0. Далее мы
можем предполагать, что ЛФЖЬ а хф Л, Определим
d = dist(x>e40= inf IU-yll>0,
у <ЕМ
и пусть {уп} С Л - минимизирующая последовательность, т.е. такая по-
последовательность, что || л: -уп || -> d при я -> °°. Используя равенство па-
параллелограмма, получаем
4 [л- ||
Отсюда, так как —(ут +Уп)^Л> следует, что \\ут -уп ||-*0, при т,
п-+°°9 т.е. последовательность { уп } сходится (напомним, что К — полное
пространство). Так как Л замкнуто, то у = lim уп Е Л и || х - у \\ = d.
п -*¦ °°
Представим теперь элемент х в виде x=^+z, где z =* -.у. Чтобы за-
завершить доказательство, мы должны показать, что z^JC1. Для любых
jy' Е J^ и о: Е R мы имеем ^ + ay' E Jif, и поэтому
d2 <\\х - у - ау' \\2 = (z - ay',z ~ ay')=\\z \\2 -2a(y\z) + ot2 II/ II2.
А так как || z || = d, то получаем, что для всех а > 0 справедливо нера-
венство |(/,z)|< — Hjh'II2» так что (/,z) = 0 для всех у ^Ji. Следо-
Следовательно, z Е Л *~. П
Элемент j; назьюается ортогональной проекцией х на JC. *) Теоре-
Теорема 5.6 также показывает, что любое отличное от JC замкнутое подпрост-
подпространство ортогонально некоторому (ненулевому) элементу пространст-
пространства JC.
5.7. Теорема представления Рисса
Теорема представления Рисса дает чрезвычайно полезное описание огра-
ограниченных линейных функционалов на гильбертовом пространстве через
скалярное произведение.
Теорема 5.7. Для любого ограниченного линейного функциона-
функционала F на гильбертовом пространстве Ж существует единственный элемент
/Е Ж такой, что F(x) = (х, /) для всех х Е Ж ; при этом \\ F \\ = ||/1|.
Доказательство. ПустьЖ= {х \ F(x) = 0} есть нуль-пространство
функционала F. Если jV*= Ж, то доказываемое представление справедливо
с /= 0. Пусть шЛГФЖ. Тогда, так как JT— замкнутое подпространство Ж,
по теореме 5.6 существует такой элемент z Е ЗС, гФО,, что (х, z) = 0 для
*) Очевидно, что представление х ~у +z, у еЛ?, zgJC , существование кото-
которого утверждает теорема 5.6, единственно. - Примеч. ред.
6* 83

всехх еЖ. Следовательно,F(г) Ф 0, и кроме того, для всехх€ К
F(x)
/ F(x) \
F(x) I F(x) \
Поэтому х- гб/. Это означает, что [х- z,z) = О,
F(z) \ F(z) /
F(x)
т.е. (х, z) = ——1| z ||2, а следовательно,F(x) = (/, х), где/ = zF(z)/1| z ||2.
t(z)
Единственность элемента / доказывается несложно, и мы оставляем
доказательство этого утверждения читателю. Чтобы показать, что II F \\ =
= ||/||, мы, во-первых, заметим, что по неравенству Шварца
!(*,/)! ^ 1UH-I1/11 „,„
||F||= sup ——— < SUp ——; = Il/Ц,
x Ф О || X || х Ф О || X ||
а во-вторых, что
11Я12=(/,/) = П/)<НЛ1 -11/11,
и следовательно, || /1 < || F ||. Таким образом, || F \\ = || /1|. П
Теорема 5.7 показывает, что пространство сопряженное гильбертову
пространству, может быть отождествлено с ним самим и, следовательно,
гильбертовы пространства рефлексивны.
5.8. Теорема Лакса — Мильграма
Теорема представления Рисса достаточна для рассмотрения линейных
эллиптических уравнений, появляющихся из вариационных задач, т.е. яв-
являющихся уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторых кратных интегра-
интегралов. Для исследования общих уравнений дивергентной формы нам потре-
потребуется некоторое обобщение теоремы 5.7, данное Лаксом и Мильграмом.
Билинейная форма В на гильбертовом протранстве Ж назьюается огра-
ограниченной, если существует такая постоянная К, что
\В{х,у)\<К\\х\\.\\у\\ для всех x9yGX. E.10)
Определенная на гильбертовом пространстве Ж билинейная форма В на-
назьюается коэрцитивной, если существует такое число v > 0, что
B{x,x)>v\\x\\2 длявсех хек. E.11)
В частности, ограниченной и коэрцитивной билинейной формой является
само скалярное произведение.
Теорема 5.8. Пусть В - ограниченная коэрцитивная билинейная
форма на гильбертовом пространстве Ж. Тогда для любого ограничен-
ограниченного линейного функционала F G Ж* существует единственный элемент
/G3C такой, что
B(xJ) = F(x) для всех х е Ж.
Доказательство. В силу теоремы 5.7 существует линейное
отображение Т: Ж -+ Ж, определенное равенством В(х, /) = (х, Г/) для всех
84

хеЖ. Кроме того, в силу E.10) || Tf\\<K\\f\\9 т.е, оператор Т ограни-
ограничен. А из E.11) получаем
Следовательно,
v\\f\\<\\Tfl\<K\\f\\ Для всех feX.
Полученная оценка означает, что отображение Т является взаимно одно-
однозначным, его область значений замкнута (см. задачу 5.3), и обратное
отображение Т~1 ограничено. Предположим, что Т не является отображе-
отображением на все Ж. Тогда существует такой элемент z Ф 0, что (z, Tf) = 0 для
всех/G Ж. Выбирая/= z, получим равенство (z, Tz) = B(z, z), из которого
в силу E.11) следует, что z = 0. Таким обраом, ограниченное линейное
отображение Г определено на всем Ж. ТогдаF(x)-(x,g) = В(х, T~lg)
для всех хЕ Ж и некоторого единственного элемента g ЕЖ.' Тем самым
установлено утверждаемое теоремой представление с / = Г'1 g. П
5.9. Альтернатива Фредгольма в гильбертовых пространствах
Теоремы 5.3 и 5.5, в частности, применимы к компактным операторам
в гильбертовых пространствах. Сейчас мы для случая гильбертовых прост-
пространств докажем сформулированные выше в банаховых пространствах
утверждения о сопряженных операторах. Теорема 5.7 позволяет смотреть
на сопряженное отображение несколько иначе. Если Т — ограниченный
линейный оператор в гильбертовом пространстве Ж, то сопряженный к не-
нему оператор Т* является ограниченным линейным оператором в Ж, опре-
определяемым следующим равенством:
(Т*у,х) = (у,Тх) для всех х,уеЖ. E.12)
Ясно,что|| Г* Ц = Н ГЦ, где ||Г||= sup || Тх ||/|| х \\.
х Ф 0
Лемма 5.9. Если Т - компактный оператор, то Т* - также компакт-
компактный оператор.
Доказательство. Пусть {хп } ~ последовательность элементов Ж,
удовлетворяющих неравенству || хп ||<Af. Тогда
II Т*хп ||2 = (Т*хП9 Ттхп) - (х„, ТТ*хп) <
<\\хп || . || ТТ*хп \\<М- || ГМ| Т*хп ||,
т.е. || Т*хп || <М|| ГЦ, что означает ограниченность последовательности
{Т*хп}. Следовательно, поскольку оператор Т компактный, выбирая,
если в этом есть необходимость, подпоследовательность и обозначая ее
также через {*„}, мы можем считать, что последовательность {ТТ*хп}
сходится. Но тогда
\\Tm(xn -xm)\\2=(T*(xn -xm), T*(xn ~xm)) =
= (*п -хт, ТТ*(хп -xm))<2M\\ TT*(xn -xm)\\->0
при m, n ->оо.
Так как Ж — полное пространство, то последовательность { Т*хп} схо-
сходится и, следовательно, Т* — компактный оператор. ?
85

Лемма 5.10. Замыкание области значений оператора Т является
ортогональным дополнением нуль-пространства оператора Т*.
Доказательство. Пусть (R — область значений оператора Г, JT* —
нуль-пространство оператора Г*. Если у = Тх9 то мы имеем (у, /) =
= (Тх, /) = (х, Г*/) = 0 для ВСех /G/*, т.е. (RC/Г*1, а так как Ж*1
замкнуто, то и (RC./T*1, Предположим теперь, что у? (R. По теореме
о проекции (теорема 5.7) ^ = уг +уг, где ух Е <R, j>2 ^ &1 — { 0}. А так
как ( j;2, 7х) = (Т*у2, х) = 0 для всех х Е ?С, что означает у2 Е jT*,
и {У2,у) = (У2,У1) + (У2,У2)=\\Уг И2, то y$JT*\ П
Подчеркнем, что утверждение леммы 5.10 справедливо независимо от
того, компактен оператор Гили нет.,Объединяя леммы 5.9 и 5.10 с теоре-
теоремами 5.3 и 5.5, можно доказать альтернативу Фредгольма для компактных
операторов в гильбертовых пространствах в следующем виде.
Теорема 5.11. Пусть Ж - гильбертово пространство ,аТ - компакт-
компактное отображение Ж в себя. Тогда существует такое не более чем счетное
множество Л СК9не имеющее отличных от нуля предельных точек, что
если ХФОи \фА9тоуравнения
Хх-Тх=у, Хх-Т*х=у E.13)
имеют единственные решения х Е Ж для всех у GK и обратные операторы
(XI - Т) и (XI - Г*)" ограничены. Если X Е Л, *) то нуль-пространства
операторов XI - TuXI - Т* имеют положительные конечные размерности
и уравнения E.13) разрешимы тогда и только тогда, когда элемент у
ортогонален нуль-пространству оператора XI — Т* в первом случае, и нуль-
пространству оператора XI — Т — во втором.
5.10. Слабая компактность
Пусть 2^ — нормированное линейное пространство. Последовательность
{хп} назьюается слабо сходящейся к элементу хЕ V, если/(х„) -* Дх)
для всех /, принадлежащих сопряженному пространству W *. В силу тео-
теоремы представления Рисса (теорема 5.7) последовательность {х„} элемен-
элементов гильбертова пространства К слабо сходится к хЕ К, если (х„, у) ->
-> (х,>>) для всех у Е К. Следующий результат часто используется при изу-
изучении дифференциальных уравнений методом гильбертовых пространств.
Теорема 5.12. Любая ограниченная последовательность элементов
гильбертова пространства содержит слабо сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность.
Доказательство. Пусть сначала пространство Ж сепарабельно,
и предположим, что последовательность { хп} С Ж удовлетворяет условию
II хп И <М. Пусть {ут} — плотное подмножество в Ж. С помощью канто-
ровского диагонального процесса мы получаем подпоследовательность
{xnjc} нашей исходной последовательности, удовлетворяющую условию
(хПк, ут)-*ат ЕКпри к-+°°. Отображение /: { ут) ~> R, определенное
равенством f(ym) = am> можно расширить до линейного ограниченного
*) Имеется в виду: \ Ф 0. — Примеч. ред.
86

функционала / на К и, следовательно, по теореме представления Рисса
существует элемент х GK, удовлетворяющий условию (xnjc, у)-+ f(y) =
= (х,у) при к->°°, для всех yGK. Следовательно, последовательность
{хПк } сходится слабо к х.
Чтобы обобщить результат на произвольное гильбертово пространство Ж,
обозначим через Жо замыкание линейной оболочки последователь-
последовательности {*„}. Тогда в силу наших предыдущих рассуждений существуют
подпоследовательность { хПк) С Ко и элемент х Е ЗС0, удовлетворяющие
условию (хПк,у)->(х,у) для всех j>e3C0. По теореме 5.5 для произволь-
произвольного у^Кимеем равенство у^уо + У\, где у0 G?C0, yx ?ЗС<^. Следова-
Следовательно, (хПк,у) = (хПк9уо)-+(х,уо) = (х,у) для всех у^К, поэтому
{хПк) слабо сходится к х, что и требовалось доказать. ?
Первая часть доказательства теоремы 5.12 автоматически переносится
на рефлексивное банахово пространство с сепарабельным сопряженным
пространством (см. задачу 5.4). Результат справедлив также для любых
рефлексивных банаховых пространств.
Примечания
Материал этой главы является стандартным и может быть найден в кни-
книгах по функциональному анализу, таких как [75], [359], [107].
Задачи
5.1. Докажите, что пространства Гё'льдера Ск'а(?1), введенные в гл. 4, являются
банаховыми пространствами с одной из эквивалентных норм D.6) или D.6)'.
5.2. Докажите, что внутреннее пространство Гё'льдера с?»а(Л), определенное
соотношением
является банаховым пространством с внутренней нормой, определенной равенст-
равенством D.17).
5.3. Пусть 53 - банахово пространство, а Т - ограниченное линейное отображе-
отображение 33 в себя, удовлетворяющее неравенству
II х ||< КII Тх || для всех х <= 58
с некоторой постоянной К е R. Докажите, что область значений отображения Т замк-
замкнута.
5.4. Докажите, что любая ограниченная последовательность в сепарабельном ре-
флексивном банаховом пространстве содержит слабо сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность.

ГЛАВА б
КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ; МЕТОД ШАУДЕРА
В этой главе развивается теория линейных эллиптических уравнений
второго порядка, которая является, по существу, развитием теории потен-
потенциала. Она основана на том фундаментальном наблюдении, что уравнения
с непрерывными по Гельдеру коэффициентами можно локально рассмат-
рассматривать как возмущения уравнений с постоянными коэффициентами. Из
этого факта Шаудер [346, 347] смог построить глобальную теорию, разви-
развитие которой излагается здесь. Основой для такого метода являются априор-
априорные оценки решений, являющиеся обобщениями оценок теории потенциала
на случай уравнений с коэффициентами, непрерывными по Гельдеру.
Эти оценки обеспечивают возможность получения результатов о компакт-
компактности, существенных для теории существования и регулярности, и, посколь-
поскольку они применимы и к классическим решениям при относительно слабых
предположениях о коэффициентах, они играют важную роль в последую-
последующей нелинейной теории.
Всюду в этой главе мы будем рассматривать уравнение вида
v^bi(x)Diu^c(x)u^ Дх), aiJ'=aJi, F.1)
и будем записьюать его в виде Lu =/, коэффициенты и правая часть/ кото-
которого определены на открытом множестве Q, С Rn9 и, если не оговорено
противное, будем предполагать, что оператор L - строго эллиптический,
т.е. выполнено неравенство
'/a F.2)
с некоторой положительной постоянной X.
Уравнения с постоянными коэффициентами. Прежде чем рассматри-
рассматривать уравнения F.1) с переменными коэффициентами, мы установим нуж-
нужные для этого вспомогательные утверждения, обобщающие относящиеся
к уравнению Пуассона теоремы 4.8 и 4.12 на случай эллиптических уравне-
уравнений с постоянными коэффициентами. Дающая эти обобщения следующая
лемма использует внутреннюю и частично внутреннюю нормы, определен-
определенные формулами D.17), D.18) и D.29).
Здесь и всюду далее в этой главе все показатели Гельдера, если не огово-
оговорено противное, считаются принадлежащими интервалу @,1).
Лемма 6.1. Пусть [А|у ] - постоянная матрица такая, что
, <\\%\2
с некоторыми положительными постоянными X, Л. Рассмотрим уравнение
Lou=A 1>Оци = /(*), А*1=А". F.3)
а) Пусть функция и е С2(?2)удовлетворяет на открытом множестве п
пространства R"уравнению Lou = fc правой частью f&Ca(?l),Тогдаспра-

ведлива оценка
1о;Л+1ЯО(^;п) F-4)
с постоянной С = С (и, а, X, Л).
б) Я^С7ъ 12 - открытое подмножество R+ с границей содержащей плос-
плоский кусок Ту расположенный на гиперплоскости хп = 0.Пусть функция
и G С2 (п)П С0(UUT) удовлетворяет в п уравнению Lou=f с правой
частью /Е Са(п иТ)ии = ОнаТ. Тогда справедлива оценка
\U |0;П + 1/й;« U Г> )
с постоянной С = С (и, а, X, Л).
Доказательство. Пусть Р — матрица с постоянными коэффи-
коэффициентами, определяющая невырожденное линейное преобразование у =
= хР пространства Rn на себя. Полагая и(хР) = и(х)9 несложно проверить,
4JoA^Difu(x) = A^DifS(y)9 где А =РХАР (Рг - матрица, получающая-
получающаяся из матрицы Р транспонированием). Существует такая ортогональная
матрица Р, что матрица А будет диагональной матрицей; ее диагональны-
диагональными элементами будут собственные числа Х1?..., Х„ матрицы А. Если,
далее, Q = PD, где D — диагональная матрица [ХГ1/25^ ], то преобразование
у =xQ переведет уравнение Lou = /в уравнение Пуассона Дм (у) = f(y),
где и (у) = и (xQ) = и(х), /(у)= fix). При этом, осуществляя, если потре-
потребуется, поворот, можно добиться, чтобы полупространство хп > 0 переходи-
переходило в полупространство уп > 0.
Так как ортогональная матрица Р сохраняет длины, то Л~1/2 \х\ <
< \xQ |<Х~Ш \х |. Отсюда следует, что если при преобразовании y=xQ
имеем ?1 -+ ?1, и(х)->и(^), то нормы D,17), D,18), вычисленные для
и и и на ?1 иЙ соответственно, удовлетворяют неравенствам
К у QL\ ль
с постоянной с = c(k9 п9 X, Л).
Аналогично можно проверить, что если О, — открытое подмножество
R" с границей д?2, содержащей лежащий на гиперплоскости хп = 0 плоский
кусок Г, и. если 12 при преобразованииy = xQ отображается на множест-
множество & в R+ с границей, содержащей плоский кусок Г, являющийся обра-
образом Т при этом преобразовании, то нормы D.29) в 12 и U удовлетворяют
неравенствам
c-Muij>a;nu7,<iu,<;^u?<ciuC;nur F-7)
с постоянной с = с(Л:, и, X, Л).
89

Теперь приступим к доказательству утверждения а) леммы. Применим
теорему 4.8 в й и неравенства F.6). Получим
<С(|и1о;П+1/1о2.)в;п)'
а это и утверждалось в F.4). (Здесь мы использовали одну и ту же бук-
букву С для обозначения разных постоянных, зависящих только от и,
о,Х,Л.)
Утверждение б) леммы доказьюается аналогично, с помощью теоремы
4.12 и неравенств F.7). ?
Из леммы 6.1 непосредственно получаются обобщения оценок дня ша-
шаров из теорем 4.6 и 4.11 для уравнения Пуассона на более широкий класс
уравнений F.3) с постоянными коэффициентами. Получающиеся при этом
постоянные будут зависеть, помимо величин п и а, еще и от постоян-
постоянных X и Л.
6.1. Внутренние оценки Шаудера
Нашим первым объектом при изучении уравнения Lu =/ будут внутрен-
внутренние оценки Шаудера. Эти оценки играют далее важную роль при изучении
вопросов о существовании решения и о его регулярности. Их доказательст-
доказательство использует результаты, аналогичные полученным ранее в F.4) для ре-
решений уравнения Lou =/.
Отметим, что для получения оценки внутренней нормы | и\*2а; ^ реше-
решения уравнения Lu = f в О, достаточно оценить только норму | и |0; & и
полунорму [w]2,a; п (эти величины определены в D.17)). Это вытекает
из следующих интерполяционных неравенств.
Пусть функция и Е C2'a(?2), Q, - открытое подмножество в R". Тогда
для любого е > 0 существует такая постоянная С = С(е), что справедли-
справедливы неравенства
Mlfi-.n <C\u\0;Sl +е[и];,а;П, F.8)
/= 0,1,2; О<<*,0 < 1,
/ + 0 < 2 + а;
Доказательство этого утверждения содержится в приложении 1 к этой
главе — см. лемму 6.32.
Для получения точных оценок Шаудера, имея также в виду их даль-
дальнейшие применения, введем следующие новые внутренние полунормы
и нормы в пространствах Ck(Q,L Ck'a(U). Для вещественного числа о
90

и неотрицательного целого к определим величины
х sup rffc/° \D<>f(x)\;
W = fe F.10)
I/SI = it
I Л(а) =2 Г f\(a) *
I f l(G) = I f l(G) + IY 1(G)
L/ ' k.a; SI { J ' fc;fi Ly J fc,a; a*
При a = 0 введенные величины совпадают с величинами, введенными в
D.17) : [ • ] @) = [ • ] *и | • | С°) = | • Г. Легко проверить, что
1Л1@;«;О <- l/lo^n" ^ 1о?«;П Д1Я a + Г > 0. F.11)
Основные внутренние оценки Шаудера содержатся в следующей теореме.
Теорема 6.2. Пусть 12 - открытое подмножество Rn и пусть функция
и Е С2»а A2) является ограниченным решением в Г2 уравнения
Lu = j/7Z>z7m + b'ZJ/ii + см =/,
с правой частью f E Ca A2 ). Пусть, далее, существуют положительные пос-
постоянные X, Л такие, что справедливы неравенства
> X Ш2 V х G 12, | Е R", F.12)
Тогда справедлива оценка
I«l2,«;n <C(l"lo;n + l/l(o2i;n) С6-14)
с постоянной С = С (л, а, X, Л).
Доказательство. В силу F.9) достаточно установить оценку вида
F.14) для [w]^ a. n ' а последнюю достаточно доказать для компактных
подмножеств 12. Действительно, пусть {12,} - последовательность откры-
открытых подмножеств множества 12 таких, что 12/ С 12,- +1 С С 12 и U 12/ = 12.
Для каждого / величина [и]*2 п# конечна. Если неравенство F.14) вы-
выполнено во всех 12/, то мы можем считать, что для любой пары точек
х, у Е 12 , для всех достаточно больших / и для каждой из вторых произ-
производных выполнены неравенства
91

где dJQ = min [dist (x, but), dist (у, Э12/)]. Устремляя i -*«>, мы получим
неравенство
из которого следует такая же оценка для [и] *2 а. п • Таким образом,
достаточно доказать утверждение теоремы для случая, когда величина
Мм;п конечна.
Условимся, как и прежде, одну и ту же букву С использовать для обоз-
обозначения разных постоянных, зависящих от л, а, Л, Л.
Пусть дс0, у о — произвольные точки из ?2 . Предположим, что dXo =
= dXo, у о = min (dXQ /dyQ). Пусть yt < 1/2 — положительная постоянная (она
будет указана далее) и пусть d =/я^, В =Bd(x0). Перепишем уравнение
Zm=/b виде
ai1\x0)Diju = (aii{x0)-aii(x))Diju - Ъ%и -си + / = F(x\ F.15)
и рассмотрим его как уравнение с постоянными коэффициентами а'\х0)
в В. Применяя к решению этого уравнения лемму 6.1 а), мы получаем,
что если у0 G Bdj2 (*о)» то ДДЯ каждой из вторых производных D2u спра-
справедливо неравенство
\D2U(XO)-D*u(yo)\
<
и тем самым
Если |лг0 ->^о l> d/2,ro
\хо-Уо
4
Объединяя полученные неравенства, получаем оценку
|?>2
92
' Uo-.оГ <^
— [иI.а- F.16)

Оценим теперь \F \^а.в через |и|0;п и ["] 2,а-,п- Имеем
АЙ;В ^;В ;J|. F.17)
Далее нам потребуется следующее неравенство. Заметив, что для всех
х G В справедливо неравенство dx = dist (лг, ЭГ2) > A — ) ^
мы можем для произвольной функции g E Са (^2) записать
2 +а
Обозначая (J1'(х0) — а**'(x))Dqii для краткости через (j(jc0) — a(x))D2ut
из F.11) и F.18) получаем оценки
< | а(хо)-а(х) |@°)в;В (V [«];.„
Так как
о «(*)! + da [a]a;B
' ' хев
< 2da[a]a;B <21+аца [а]*0.а;а < 4ЛМа,
то мы приходим к следующей оценке старших членов в F.17) :
+ Ма[«]2>а>п)< 32 и2 Л/u2 +а(С(ц) |1||0!„ + 2лв[ы]5§в;П).
F.19)
Последнее неравенство здесь получается с помощью интерполяционного
неравенства'F.8), в котором берется е =/ха.
Обозначая Z?f • Z)/M для произвольного i кратко через Ъ • Z>w, из F.18)
и F.13) получаем неравенство
93

Здесь при доказательстве последнего неравенства используется интерпо-
интерполяционное неравенство F.9) с е = д2а. Тогда имеем
Аналогично из F.18), F.11) и F.9) получаем
Наконец,
Обозначая через С постоянные, зависящие от п, а, Л, Л, а через
постоянные, зависящие также и от д, и объединяя неравенства F.19) —
F.22), получаем оценку
Подставляя ее в правые части неравенства F.16) и используя F.8) с
постоянной € = д2а для оценки [и]*2. ^ ,из F.16) получаем оценку
-Уо
Так как правая часть доказанного неравенства не зависит от х0, у0, то из
него следует оценка верхней грани по всем х0, у0 Е Г2. Следовательно,
Выбирая теперь число fi=ii0 так, чтобы Сд о ^1/2, мы придем к требуемой
оценке
Полученная форма внутренних оценок решений уравнения Lu = / поз-
позволяет рассматривать уравнения, в которых коэффициенты и правая часть
могут быть неограниченными функциями, лишь бы выполнялось условие
F.13). В типичных приложениях внутренних оценок при получении резуль-
результатов о сходимости решений достаточно установить равностепенную непре-
непрерывность семейств решений и их производных до второго порядка на ком-
компактных подмножествах. Для этой цели обычно используется следующее
утверждение.
Следствие 6.3. Пусть функция и G С2'а (?1) удовлетворяет в огра-
ограниченной области п уравнению Lu- f с правой частью f Е Са (Г2). Пусть
оператор L удовлетворяет условиям F.2), а его коэффициенты принадле-
94

окат Са (О, ). Тогда если ?1' С С Г2 и dist (?2', ЭГ2) > d, го существует пос-
постоянная С такая, что справедливо неравенство
d\Du\0;a' + d2 \D2u\0;n> + с/2+а [Д2и]а;Л' <
< C(|ii|0;n + 1Яо,а;п). F-23>
причем постоянная С зависит только от постоянной эллиптичности Хи от
норм коэффициентов оператора L, вычисленных в Са (Т2 ) {равно как и от
п,аи диаметра ?1).
Замечание. Непосредственным следствием этого результата являет-
является следующее утверждение: равномерно ограниченное семейство решений
эллиптического уравнения Lu = /, коэффициенты и правая часть которого
локально непрерывны по Гёльдеру, вместе с семействами их первых и вто-
вторых производных равностепенно непрерьюно на каждом компактном под-
подмножестве. Этот результат справедлив и для решений произвольного семей-
семейства таких уравнений с операторами, постоянные эллиптичности X которых
отделены от нуля равномерно на компактных подмножествах Г2' С С Г2,
а коэффициенты и правые части имеют равномерно ограниченные нормы
в пространстве Са(п').
6.2. Граничные и глобальные оценки
Для распространения полученных выше внутренних оценок на всю
область необходимо иметь оценки, справедливые вблизи границы. Такие
оценки можно получить, предполагая, что граничные значения решения
и сама граница является достаточно гладкими. Во многих отношениях
доказательство таких граничных оценок близко к доказательству внутрен-
внутренних оценок.
Глобальные оценки, которые являются основной целью этого раздела,
будут установлены для областей класса С2'а.
Определение. Будем говорить, что ограниченная облась [2 в R"
и ее граница Э?2 принадлежат классу CkfCLy 0 < а < 1, если для каждой
точки х0 G Ъ?1 существуют шар В = В(х0) и взаимно однозначное отобра-
отображение ф этого шара В на D С R" такие, что:
(i) ф(В П Л) с R?;
(ii) ф(ВП ЪП)С ЭК?;
(ш) феск\в\ ф~1е ск'a(D).
Будем говорить, что область ?1 имеет кусок границы Т С Э?2 класса
Ск>а, если в каждой точке х0 G Т существует шар В = В(х0) такой, что
В П дп С Т и выполняются приведенные выше условия. При этом мы
будем говорить, что диффеоморфизм ф выпрямляет границу вблизи
точки х0.
Отметим, в частности, что область ?1 принадлежит Ск>а, если каждая
точка границы дп имеет окрестность, в которой ЭО является графиком
функции класса Ск*а от (п — 1) координат из координат хх, . .. ,лги. Если
к > 1, то верно и обратное утверждение.
Из определения следует, что область класса Ckf0L является также
областью класса 0 +/?, если / + 0<? + а, 0<а, 0<1.
95

Функцию v?, определенную на куске Т границы области дп, класса Ск'а,
будем называть функцией класса CktCL (Г), если </? © ф е Ck>a (D П 3R+)
для каждой точки х0 Е Т. Важно отметить, что если дп, принадлежит^
Ск'а(к > 1), то функция v? G C*f а(Э?2) может быть_продолжена на ?1
функцией класса Ск*а Ш ). Обратно, функция из Ск*а (Г2 )'имеет гранич-
граничные значения класса Ск'а (Э?2 ) (см. лемму 6.38). Поэтому несуществен-
несущественно, будем ли_мы в дальнейшем рассматривать функцию </? из Ск'а(д?1)
штизСк>а(П).
Граничную норму в Ск'а(д?1) можно определить различными способа-
способами. Например, если </? G Ск>а (дп ) и Ф есть продолжение </? на ?1, то можно
определить
I ф II к а = fof И Ф I - _ ,
где_нижняя грань берется по множеству всех продолжений Ф функции <р
на ?2. Снабженное такой нормой пространство Ск'а'(д?1 ) является бана-
банаховым пространством. В этой книге мы не будем использовать гранич-
граничные нормы функций, заданных на неплоских границах, а вместо этого
будем, как правило, рассматривать граничную функцию как сужение
глобально определенной функции с присущей ей нормой.
Для получения граничных оценок решений уравнения Lu =/в областях,
граница которых имеет кусок класса С2'а (а > 0), мы сначала установим
такую оценку для областей, граница которых имеет плоский кусок. Для
этого нам потребуются следующие интерполяционные неравенства, анало-
аналогичные неравенствам F.8) и F.9), формулировки которых используют
частично внутренние нормы и полунормы, определенные равенствами
D.29).
Пусть ?1 - открытое подмножество пространства R+, граница которого
содержит плоский кусок Т, расположенный на плоскости хп = 0, и пусть
и & Cky0L A2 и Т). Тогда для любого е >0 существует постоянная С(е) та-
такая, что справедливы неравенства
Wle.nvT < С|и|0;П +e[n]2f«;nur> F-24>
/= 0,1,2; 0< а,0 < 1; / + 0 < 2 + а;
\u\lfi;SlU Т < С1о;П + е["]*2,а;Пи Т- F-25)
Эти неравенства доказаны в приложении 1 к этой главе — см. лемму 6.34.
Теперь мы можем утверждать следующую локальную граничную оценку.
Лемма 6.4. Пусть п - открытое подмножество пространства R",
граница которого имеет плоский кусок Т, расположенный на гиперплоскос-
гиперплоскости хп г 0. Предположим, что функция и Е C2>0L (?l U Т) является ограни-
ограниченным решением в D, уравнения Lu = /, удовлетворяющим граничному
условию и =0наТ. Наряду с F.2) предположим, что
и т> 1«1(&,п и т < л;
96

Тогда имеет место оценка
с постоянной С-С (л, а, Л, Л).
Доказательств_о идентично доказательству теоремы 6.2, если
в нем заменить dx на dx и вместо леммы 6.1а) и неравенств F.8), F.9)
воспользоваться леммой 6.16) и неравенствами F.24), F.25). ?
Эта лемма дает оценки первых и вторых производных решения и коэф-
коэффициентов Гёльдера его вторых производных на любом подмножестве 12'
множества 12, для которого distA2 ', 312 — Т) > 0. В частности, граница
Э12' может содержать произвольный плоский кусок, лежащий в Г и уда-
удаленный на положительное расстояние от 312 — Т.
Дня обобщения результата предыдущей леммы на области с неплос-
неплоским граничным куском нам потребуются нормы и полунормы, обобщаю-
обобщающие D.29). Пусть 12 —открытое множество в R", граница которого содер-
содержит кусок Г класса Ск'а. Для х, у ? 12 положим
dx = dist(x, 312- Г), JXty
а для функций и Е Ск> а(Г2 U Т) определим следующие величины:
[«liUour- M^our-^^l-^"!. *-0,l,2,...;
IPI = *
= A:
t . F-28)
*;n и г " /J0^] /;« и r»
fe;ftur + Iй] к, а;П U T9
Если Г=0и12иГ = 12,то эти величины совпадают с внутренними полу-
полунормами и нормами, введенными ранее в D.17) и D.18).
Пусть ?1 — ограниченная область, граница которой содержит кусок Т
класса Ск* а, к > 1, 0<а < 1. Пусть О, С С ?>, где D - область, которая
диффеоморфизмом ^класса Ск> а отображается на D*. Пусть ф(?1) = 12'и
1//(Г) = Г' Определим вй'иТ'величины F.28). Если х = ч//(аг),/ = ^О),
то, очевидно,
К'1 \х-у\ < \х'-у'\ < К\х-у\ . F.29)
для всех точек х, у G 12 , где постоянная К зависит от фя 12. Положив
и(х) *+ й(х) при преобразовании х »-> х и используя неравенства F.29),
7. Д. Гилбарг 97

получаем
AT1 |к(хI/,0;П < \u(x'y\hfi.& < K\u(x)\ffP;n;
К'1 \и (х) \}9р. п и т < | и(х') \1р;п>и Т' < К\и (х) |;* р. п и т ;
F.30)
К1 \и(х)\Ыр.по т < 1и(*I@Л,п'и Г <*!«(*) 1%;пи г-
В этих неравенствах через А" обозначены постоянные, зависящие от отоб-
отображения ф и области 12.
Лемма 6.4 вместе с неравенствами F.30) может быть теперь использо-
использована для получения локальной граничной оценки в общем случае, когда
граница содержит неплоские куски. При этом удобно пользоваться гло-
глобальными нормами D.6).
Ле мма_6.5. Пусть 12 - область в R" класса С2> а и пусть функция
и G С2' а(?1) является решением задачи Lu- f в 12, и = 0 на Э?2 с правой
частью f E С01 A2 ). Предположим, что коэффициенты оператора L удов-
удовлетворяют условиям F.2) и выполнены неравенства
1*"|0,«;П, l*'ke;n, klo.ejft < Л. F.31)
Тогда при некотором б > 0 для каждой точки х0 Е Э12 в шаре В =В$ (х0)
справедлива оценка
< С(|м|0;п + 1/10,в;п) F-32)
с постоянной С = С(л, а, Х,Л,П).
Доказательство. В силу определения области класса С2' а для
каждой точки лг0 Е Э12 существует окрестность ТУ^этой точки и существует
диффеоморфизм класса С2*а, выпрямляющий границу в N. Пусть
Вр(х0) С С N Положим В' = Вр(х0) О п, D'= ф (В'\ Т * Вр(х0) П
П ЭЯ С Э5' и Г' = 0 (Г) С 3Z)' (Г' - плоский кусок границы Э?>'), При
преобразовании у = ф(х)= (фх (х),.. ., ф„(х)) пусть w (д/) = « (х), Z
= Iw(x), где
Lu = 7iJDif и + Ь*В(и +7и= J(yK
b.(y)= .^L. . ars(x)
Отметим, что в D * выполняется неравенство
98

где
X = Х/К F.33)
с зависящей только от преобразования ф на В* положительной постоян-
постоянной К. В силу F,30) также имеем (с выбранной в F.33) постоянной)
№'\0,а;П\ l*'lo,a;D'> l?lo,a;D' < Л' = *Л; F.34)
Тем самым для уравнения L и~ /в области /)', граница которой содержит
плоский кусок Т\ выполнены условия леммы 6.4. Следовательно, справед-
справедлива оценка
с постоянной С = С (и, а, Х,Л). Из F30) следует, что
\u\*2,a;B'UT <С(|и|0,В' + |
с постоянной С, зависящей теперь от п, а, X, Ли 5'. Полагая 5" =#р/2 (хо) п
ППи замечая, что
min(l, (p/2J + e) |M|2fe;Bw< |Ml2,e;B'U Г,
получаем оценку
;п). F.35)
В полученных оценках радиус р зависит, вообще говоря, от точки х0 Е ЭП
Рассмотрим теперь совокупность шаров Вр^ (х) для всех х Е Э?2. Конечное
подмножество 5P//4(^i)» / = 1, 2, . . . , TV, этой совокупности покрьюает
границу Э?2. Пусть 5 = tnin pf-/4 - наименьший из радиусов входящих в
это конечное покрытие шаров. Мы утверждаем, что для этого б справед-
справедливо утверждение леммы. Действительно, путь Ct — постоянная в F.35),
соответствующая точке xi9 и пусть С = шах Сг. Рассмотрим произвольную
точку х0 Е Э?2 и шар #б (х0). Ддя некоторого i будет выполнено соотно-
соотношение xQ ? Вр.ц{хг) и, следовательно, В = В6 (х0) С Вр./2 (Xf) = Bf. Из
F.35) получаем требуемую оценку
I" 12, а; ВПЙ < I" 12,а;В/П П < С ( | II |0;« + 1/1о,а;п)
с постоянной С, зависящей от п, а, X, Ли ?2. ?
Подчеркнем, что в лемме 6.5 зависимость постоянной С от области ?2
описывается через постоянную К из F.30), F.33) и F.34), а постоян-
постоянная К, в свою очередь, зависит только от нормы в пространстве C2>Oi преоб-
преобразования фу которое определяет локальное представление границы Э?2.
Если эти нормы преобразований ф могут быть оценены равномерно по
7*
99

границе (что всегда имеет место для областей класса С2>а), то в форму-
формулировке оценки F.32) зависимость от 12 можно заменить на зависимость
от К% а область 12 может быть даже неограниченной.
Основным результатом этого раздела является следующая априорная
глобальная оценка в областях класса С2'а решений с граничными зна-
значениями из С2>а.
Теорема 6.6. Пусть 12 - область в Rn класса С2$С1, а функция
и Е: С2%<*(?1) является решением в 12 уравнения Lu =/, правая часть f ко-
которого принадлежит СаA2), я коэффициенты удовлетворяют неравенствам
* ХШ2
с положительными постоянными \ и Л. Пусть </?(*) G С2*аA2) и пред-
предположим, что и=*рнад?1. Тогда справедлива оценка
|Ml2fa;n < <7(| U |0;П + I *> 12,«; SI + l/lOfa; П> F-36)
с постоянной С = С(л, а, X, Л, 12).
Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая и = О
на Э12, v? = 0. Действительно, если_мы введем функцию v = и - у, тои=0
на 312 HLv=f — L<p=f'G CaA2). Оценка F.36) для функции v, удов-
удовлетворяющей нулевому граничному условию, имеет вид
Так как |?<Ho,a;ft < C| v? l2,a;n» то мыможем записать,что
I«l2.a;n < I V |2,а; П + I Ч> 12,а;П < С(| М |0;П +lv?l2,a;fi +
а это и утверждается в теореме.
Далее будем считать, что м = 0 на 312.
Пусть х Е 12. Рассмотрим две возможности:
(i) х G50 =52<г(хо) ^ ^ ДДЯ некоторой точки х0 G 312, причем 5 = 2а-
радиус из леммы 6.5;
(й) х G аа = {jc G12 | dist(jc, 312) > a}.
В случае (i) из леммы 6.5 следует, что
\Du(x)\ + \D2u(x)\ < С(|м1о+1/1о,«) F.37)
(здесь и далее, поскольку это не вызьгоает недоразумений, мы опускаем
букву 12). В случае (ii) мы получаем такое же неравенство, но с другой
постоянной С, в силу следствия 6.3; в F.23) следует взять d = а. Выбирая
наибольшую из двух постоянных, мы получаем оценку F.37) для любой
точки х из 12. Тем самым получается оценка и для | и 12.
Пусть теперь х, у — различные точки из 12. Рассмотрим три возможности:
(i) x,yGBQ для некоторого л:0;
()
()yff;
(iii) хотя бы одна из точек х или у лежит в 12 \ 12$, но ни для какой
точки л:о G 312 обе точки х и у не лежат в одном шаре2?о*
100

Этими случаями исчерпываются все возможности.
Рассмотрим отношение | D2u(x) - D2u(y)\l\ х - у \а.
В случае (i) к требуемому неравенству
\Р2и(х)-Р2и{у)\
( °
приводит лемма 6.5.
В случае (ii) получаем такое же неравенство, но с другой постоянной
из следствия 6.3.
В случае (iii) dist(x, у) > о и поэтому
\D2u(x)-D2u(v)\
КУ) < o
\х~у\а
в силу F.37). Полагая С = max(Ci, C2, С3) и беря точную верхнюю грань
по всем х, у G ?2, мы получаем [?2и]а < С(| w |0 + 1/1о,а)- Объединяя
этот результат с вытекающей из F.37) оценкой | и |2, получаем | и \2tOi <
< С(| м 1о + I / 1о,а)»что и доказывает теорему. D
3 амечание. Типичным является применение теоремы 6.6 к множест-
множеству решений уравнения или семейства уравнений, каждое решение которых
удовлетворяет равномерной оценке F.36). Ограниченность в С2'а (?2) мно-
множества решений влечет его предкомпактность в С2(?2) (см. лемму 6.36).
Несложная модификация доказательства теоремы 6.6 приводит к
следующей локальной оценке в области, имеющей кусок границы клас-
класса С2'а.
Следствие 6.7. Пусть 12 С Rn — область, имеющая кусок границы
Т С дп класса С2'", и пусть и G С2'а(п U Т) - решение уравнения
Lu = / в п, удовлетворяющее условию и = у на Т, где L, f и у удовлет-
удовлетворяют условиям теоремы 6.6. Тогда для каждой х0 GTu шара В =Вр(х0)
радиуса р < dist(jc0, дп \ Т) имеет место оценка
I U 12,а,ВГШ < С(\ U |0;П + I V? \г,а;П + 1/1о,а; п) F.38)
с постоянной С = С(п, а,\,А,ВГ\?1).
Непосредственным развитием установленных в этом и предыдущем
разделах оценок являются аналогичные оценки производных более высо-
высокого порядка решений уравнений, коэффициенты и правые части которых
являются функциями класса Ск'а, где к > 0 (см. задачи 6.1, 6.2).
6.3. Задача Дирихле
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Lu =/ в ограниченной обла-
области S2 пространства Rw. Используемая здесь процедура ее решения для
уравнения с переменными коэффициентами состоит в сведении с помощью
метода продолжения по параметру к случаю постоянных коэффициентов.
Коротко говоря, применяемый здесь метод отправляется от решения
задачи для уравнения Пуассона Аи = /, затем уравнения Дм =fnLu=f
непрерывно соединяются семейством эллиптических уравнений.
Рассмотрим сначала задачу Дирихле для достаточно гладких областей
и граничных данных. В этой ситуации связь между разрешимостью уравне-
101

ния Пуассона и уравнения Lu = /, в котором с < О, описывается следую-
следующей теоремой.
Теорема 6.8. Пусть 12 - область в R" класса С2%а и пусть L - сильно
эллиптический оператор в 12 с коэффициентами из Са A2), причем с <0.
Тогда если задача Дирихле для уравнения Пуассона (Аи = f в JT2, w = <p на
912) имеет решение_из С2»аA2) для любой функции /G СаA2) и любой
функции ур G С2»01 A2), го задача
Lu = / в 12, и = у на Э12 F.39)
также шие^г (единственное) решение из С2>а(Г2) длл всех гак*ш: функ-
функций f и у.
Доказательство. В силу условий теоремы мы можем считать,
что коэффициенты оператора L удовлетворяют условиям
XI S I2 < я'7*/*,- v х е п, s e R",
l*';lofa, Ift'lo,*, lclo,c < А
с положительными постоянными X, А. (В написанных нормах мы для крат-
краткости опускаем индекс Г2.) Так как задача F.39) эквивалентна задаче
Lv = / — Lip =/' в f2, v =0на 912, то достаточно ограничиться рассмотре-
рассмотрением случая нулевых граничных значений.
Рассмотрим семейство уравнений
Ltu - tLu + A ~ t)Au = /, 0 < t < 1. F.41)
Заметим, что Lo = Д, L\ = L и что коэффициенты оператора Lt удовлет-
удовлетворяют F.40) с постоянными
Xt = min(l,X), At = max(l,A).
Оператор Lt можно рассматривать как линейный ограниченный оператор
из банахова пространства Вх ={i/GC2'Q!A2)|w=OHa312}B банахово
пространство В2 = С** A2). О дно значная_ разрешимость задачи Дирихле
Ltu =/в 12, и = 0наЭГ2 для всех/G СаA2) эквивалентна взаимной одно-
однозначности отображения Lt на Са(п). Обозначим через ut решение этой
задачи. В силу теоремы 3.7 справедлива оценка
\Ut\0 < Csup|/| < С|/|оа,
n
в которой постоянная С зависит только от X, А и диаметра области 12.
Следовательно, из F.36) следует, что
, F.42)
т.е.
||и||Б1< C\\Ltu\\B2,
где постоянная С не зависит от t. Так как по условию оператор Z,o = A
отображает Вх на все В2, то применим метод продолжения по параметру
(теорема 5.2), откуда и следует утверждение теоремы. ?
Одним из условий теоремы 6.8 является условие разрешимости в про-
пространстве С2'аA2) задачи Дирихле для уравнения Пуассона в случае, когда
102

область п и граничные данные принадлежат классу С2'а. В действительно-
действительности это условие не является ограничением: факт соответствующей разре-
разрешимости задачи Дирихле - теорема Келлога - может быть установлен
непосредственно методами теории потенциала. Однако мы здесь не будем
ни предполагать, ни доказывать его, а получим его позднее из общей эллип-
эллиптической теории. В специальном случае, когда ?2 есть шар, теорема Келлога
была нами доказана в следствии 4.14. Таким образом, для случая, когда
область является шаром, мы доказали следующую теорему существования.
Следствие 6.9. Пусть в теореме 6.8 область ?1 является шаром В
и пусть оператор L удовлетворяет условиям теоремы 6.8. Тогда если
/Е Са(В) и у е С2 •*(!?), то задача Дирихле Lu=fв В, и = \р наЪВ, имеет
{единственное) решениеu€C2tCi(B).
Условия на граничные данные можно ослабить в рамках следующего
обобщения, которое будет использовано далее.
Лемма 6.10. Пусть Т - кусок границы (возможно, пустой) шара
В С R" и пусть кр Е С°(ЬВ) п С2'а (Т). Тогда если оператор L удовлетво-
удовлетворяет в шаре В условиям теоремы 6.8 и f Е Ca(B)t то задача Дирихле
Lu = / в В, и = <р на дВ, имеет (единственное) решение и Е С2*а (В U Т) П
П С0 (В).
Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка Т, если Г не-
непусто. Мы можем предполагать, что граничная функция \р непрерывно
продолжена по радиусу и продолженная функция (обозначим ее также
через ф) принадлежит С°(В') П С2'а(С), где В1 ~ шар, содержащий В,
a G = Вр(х0) СС В' (см. замечание 2 после леммы 6.38). Пусть {ук} -
последовательность достаточно гладких в В* (например, из класса С3)
функций таких, что
\Vk l2,a;G < C\<P\2,a;G И 1 ifk - <р |0 ;В ~+ 0 ГфИ k ~> ~ F,43)
с постоянной С, не зависящей от к. (По поводу существования такой
аппроксимации см. обсуждение после леммы 7.1.) Для каждого к обозна-
обозначим через ик соответствующее решение задачи Дирихле Lu- f в В, и = ук
на ЪВ. В силу следствия 6.9 функции {ик} существуют и принадлежат
С2*а(В). Из принципа максимума следует, что последовательность
{ик} равномерно сходится к функции и Е С0 (В) такой, что и = у на дВ.
Компактность семейства { ик] обеспечивается следствием 6.3, гарантирую-
гарантирующим также, что последовательность {ик} сходится к решению уравнения
Lu = / на компактных подмножествах В и, следовательно, предельная
функция и будет решением класса С0(В) уравнения в В. Кроме того, в
силу следствия 6.7 в области D = Bpi2(x0) П В функции ик удовлетворяют
оценке
I "* !2,<*;?> < С(\ ик \0;В + | урк |2,a;G
Из F.43) и теоремы Арцела следует, что функция и удовлетворяет
такой же оценке (с заменой ук на \р) в Д и, в частности, что и Е С2|0! (D).
Таким образом, функция и Е С2'а(В U Т), и лемма доказана. ?
Специально отметим, что из этой леммы следует существование реше-
решения задачи Дирихле в шаре, если граничные значения просто непрерывны.
Решение в этом случае будет принадлежать С0(В) П С2>а(В).
103

Теперь мы можем перенести на рассматриваемую ситуацию изложенный
в гл. II метод Перрона субгармонических функций, а полученные там для
гармонических функций результаты распространить на задачу Дирихле
для уравнения Lu = /. Функцию и класса С°A2) будем называть субре-
субрешением (суперрешением) уравнения Lu =/ в области 12, если для любого
шара В СС ?2 и любого решения v, такого, что Lv =/ в В, из неравенства
и < v(u > у), выполняющегося на дВ, следует неравенство и <u(w > v)
во всем шаре В, Если мы предположим, что оператор L удовлетворяет
условиям сильного принципа максимума и задача Дирихле для уравнения
Lu = / разрешима в шарах для непрерывных граничных функций, то суб-
субрешения и субгармонические функции обладают многими одинаковыми
свойствами. Мы сформулируем эти свойства без доказательств. Доказа-
Доказательства этих утверждений по существу те же, что и для субгармонических
функций. Если функция / и коэффициенты оператора L принадлежат
СаA2) и с < 0, то в этих доказательствах следует теоремы 2.2 и 2.6 заме-
заменить теоремой 3.5 и леммой 6.10 соответственно.
(i) Функция и ? С2(?2) является субрешением тогда и только тогда,
когда Lu > /.
(ii) Если функция и является субрешением в ограниченной области 12,
а функция v является суперрешением в 12, причем на 912 выполняется
неравенство v>u, то либо v > и всюду в 12, либо v = и.
(iii) Пусть функция и является субрешением в 12 и В — такой шар,
что В С 12. Обозначим через м решение уравнения /,м =/ в В, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию и = и на ЪВ. Тогда функция С/, определенная равенством
( п(х), х е в,
U(x) =
I и(х\ х е ?1-В9
является субрешением в S2.
(iv) Пусть wb и2, . . . , uN — субрешения в области 12. Тогда функция
и(х) = тях{их(х)9.. ., uN(x)} является также субрешением в ?2.
Аналогичные (i), (ii) и (iv) свойства имеют место, очевидно, и для
суперрешений.
Пусть п — ограниченная область, а <р — ограниченная функция на дп.
Функцию и G С0(?2) будем называть субфункцией (суперфункцией)
относительно <р, если и является субрешением (суперрешением) в S2 и вы-
выполняется неравенство и <у (и > у) на Э?2. В силу свойства (ii) каждая
субфункция не превосходит произвольную суперфункцию. Обозначим
через Sy множество субфункций в 12 относительно <р. Предположим, что
Sy непусто и ограничено сверху. Такова ситуация, например, в случае,
когда оператор L строго эллиптичен в 12 и его коэффициенты и функция/
ограничены. Действительно, если 12 лежит в полосе 0 < Х\ < d, то функции
v+ =
F.44)
y Suplv4(ee0
X
являются соответственно суперфункцией и субфункцией, если постоянная у
104

достаточно велика (см. теорему 3.7). Суперфункция i>+ ограничивает
сверху функции из 5^, а существование субфункции v~ гарантирует не-
непустоту S^.
Мы можем теперь сформулировать основной результат о существова-
существовании решения, получаемого процессом Перрона, для уравнения Lu = / в
предположении, что / и коэффициенты оператора L принадлежат Са(Г2)
и что с < 0.
Теорема 6.11. Если функция и(х) = sup v(x) ограничена, то
«?^
она принадлежит С2*а(п) и является решением уравнения Lu-fe об-
области п.
Доказательство этой теоремы лишь незначительно отличается от дока-
доказательства теоремы 2.12, и мы оставляем его читателю. При этом обратим
внимание на то, что используемая в доказательстве компактность решений
обеспечивается внутренней оценкой следствия 6.3, а подходящая форма
принципа максимума дается теоремой 3.5.
Перейдем теперь к описанию условий, гарантирующих непрерывное
принятие построенным в теореме 6.11 решением граничного значения <р.
Как и в случае гармонических функций, эта задача может быть решена
на основе барьерной концепции, которую мы изложим в случае уравне-
уравнения /,м=/сс<0в ограниченной области. Пусть <р — определенная и ограни-
ограниченная на дп функция, непрерывная в точкех0 ? Э?2. Последовательность
функций {W{(x)} ({щ(х)}) из С°(Ц) назьюается верхним (нижним)
барьером в ?2 для Z,, / и <р в точкех0, если:
(i) wf(Wi) является суперфункцией (субфункцией) относительно
у и Г2;
(ii) wf(x0) -> <р(х0) при i -> оо.
Если оба — верхний и нижний — барьера существуют в точке, мы будем,
для краткости, говорить просто о барьере в точке.
Основное свойство барьеров дано в следующей лемме.
Лемма 6.12. Пусть функция у ограничена на Ъ?1 и непрерывна в
точке х0, а и - определенное в теореме 6.11 решение в ?1 уравнения Lu =/.
Тогда если в точке .х0 существует барьер, то и(х) -+и(х0) при х -* х0.
Доказательство. Из определения и и из того, что любая субфункция не
превосходит любую суперфункцию, мы имеем для всех i w](x) <u(x) <
< wj(x) в п. Для произвольного б > 0 и для всех достаточно больших
г из условия (ii) следуют неравенства lim и>7(х) > <р(*о) — 6,
lim Wf(x) < if(x0) + 6. Отсюда lim sup| u(x) - <p(xo)\ < e, и, следова-
x
0
тельно, и(х) -><р(^о) при х ->х0. ?
Мы расширим концепцию барьеров с помощью следующих замечаний.
Замечание 1. Во многих интересных случаях специальная струк-
структура уравнения упрощает определение барьера. Например, в случае с = 0,
/ = 0 ситуация аналогична ситуации для уравнения Лапласа, для которого
барьер в точке х0 определяется просто как суперрешение wG C°(Й), об-
обладающее свойством: w > 0 на ЭГ2 - х0. Покажем это. Возьмем произ-
произвольное € > 0; тогда в силу ограниченности и непрерывности в точке х0
функции \р существует такая положительная постоянная k€> что
105

функции
We = ip(xo) + €+k€W, w; = y(X0)-€-k€W
будут соответственно суперфункцией и субфункцией в 12 по отношению
к <р, причем, очевидно, w*(x0) -*<?(*(>) при € ->0. Таким образом, семейст-
семейства и?* (х) определяют барьер.
Рассмотрим другой класс уравнений. Предположим, что функция / и
коэффициенты оператора L ограничены в 12. В этом случае одна функция
wG С°A2) Г» С2A2) определяет барьер в точке х0) если она удовлетворя-
удовлетворяет условиям:
а) Lw < -1 в 12;
б) w > 0 на Ш-х0, w(xo) = O.
Действительно, для € > 0 найдем, как и ранее, положительную постоянную
к€ такую, что
+ kew(x) > у(х), ip(xo)-e - k€w(x)<$(x) на Э12.
Если теперь мы возьмем к'€ = тзх(ке, supl/- сф(хо)\), то функции
И>е = y(xo)+€+k'6W, w; = ip(X0)-€- k'eW
будут соответственно суперфункцией и субфункцией и определят барьер
в точке х0. Действительно, w% > <р, w^ ^<? на 912 и, так как Z,w< —1, то
+ € + k'€w] < с((р(х0) + е) - к'е < c^(x0) - к'е < /.
Аналогично L[(p(x0) — € - k'€w] > f. Поэтому семейства функций и^
определяют барьер относительно <р в точке х0.
В случае, когда, как и в рассмотренных примерах, барьер в точке х0
строится с помощью фиксированного зависящего только от L и области
суперрешения w уравнения Lit = 0, мы будем говорить, что функция w
определяет барьер в точке Хо.
Замечание 2. Введенное определение барьера нередко трудно
использовать в приложениях, так как при этом требуется построение
глобальных суб- и суперрешений, определенных во всей области 12. Поэто-
Поэтому возникает потребность в построении локальных барьеров, позволяю-
позволяющих получать нужные результаты. Пусть М*(М~) — верхняя (нижняя)
грань множества значений решения в 12, поведение которого изучается
вблизи точки хо ? Э12. Последовательность функций{ w/(x)} ({w](x)})
будем называть локальным верхним (нижним) барьером относительно
L, /, v? и М+(М~) в точке х0, если существует окрестность JT точки х0
такая, что:
(О w/"(w/~) является супер (суб) решением в /П 12;
(ii) wf > ip (wf < vO на JTn 312;
(iii) wt > M+ (wf < M~) на 12 Г» дЖ;
(iv) w?(x0) -> <p(x0) при i -> oo.
(В частности, если 12 С JT9 то функции wf определяют барьер в точке х0
в введенном ранее глобальном смысле; в этом случае условие (iii) может
быть опущено.) Непосредственно видно, что если решение м, существова-
существование которого установлено в теореме 6.11, удовлетворяет в 12 неравенст-
106

ву | и | <Л/, то лемма 6.12 остается справедливой в предположении, что
существует локальный барьер в точке х0 относительно граней ±М
Локальные барьеры будут играть далее в этой книге важную роль при
изучении граничного поведения решений.
Замечание 3. Так же, как и в лемме 6.12, показывается, что барьер
определяет вблизи границы модуль непрерывности решения, непрерывно
принимающего свое граничное значение. Тем самым в рассмотренных в
замечании 1 случаях справедливо следующее утверждение: если и — ограни-
ограниченное решение уравнения Lu = / такое, что и(х) -*у(х0) прих ->х0, то
для произвольного е > 0 существует положительная постоянная к€ такая,
что в 12 выполняется неравенство \и(х) - <р(хоI ^ € + kew(x). Если
функция w определяет локальный барьер в точке х0, то такое же нера-
неравенство выполняется в фиксированной окрестности точки х0 (не завися-
зависящей от б).
Для уравнения Lu = /, как и для уравнения Лапласа, существование
барьеров и методы их построения тесно связаны с локальными свойства-
свойствами границы. Проиллюстрируем сказанное примером, интересным для
дальнейших приложений. Пусть L - заданный в ограниченной области
?2 строго эллиптический оператор с коэффициентом с < 0 и пусть функ-
функция / и коэффициенты оператора L ограничены в п. Предположим, что
область ?2 удовлетворяет условию внешней сферы в точке х0_? Э_О, т.е.
найдется шар В - BR(y) такой, что выполняется соотношение В Г» п =х0.
Покажем, что при некоторых положительных постоянных г и а функция
w(x) = r(R~° - r'aX r = \x-yl F.45)
удовлетворяет в ?2 неравенству Zw< — 1, а следовательно, w определяет
барьер в точке х0. Полагая для простоты >> = 0, из F.40) и из неравенства
с <0 мы получаем в точках х G п
Так как область 12 и коэффициенты оператора L ограничены, то правая
часть полученного неравенства при достаточно большом значении о будет
отрицательна и, более того, будет строго меньше отрицательной постоян-
постоянной. Поэтому, как и утверждалось, для достаточно больших г и а будет
выполняться неравенство Lw < — 1.
Таким образом, если уравнение Lu = / удовлетворяет перечисленным
выше условиям, а ограниченная область il удовлетворяет в каждой точке
х0 Е сШ условию внешней сферы (это имеет место, например, для любой
области класса С2), го для каждой граничной точки существует барьер и
применима поэтому лемма 6.12, если только заданные граничные значе-
значения являются непрерывной функцией. Объединяя этот результат с теоре-
теоремой 6.11, мы получаем следующую общую теорему существования.
Теорема 6.13. Пусть оператор L строго эллиптичен в ограниченной
области ?2, коэффициент с <0 и пусть функция f и коэффициенты опера-
оператора L ограничены и принадлежат СаA2).Предположим также, что область
п удовлетворяет условию внешней сферы в любой граничной точке. Тогда
107

если функция у непрерывна на 912, то задача Дирихле
Lu = / в 12, и = ф нд 312,
имеет (единственное) решение и, принадлежащее С0 A2) П С2'аA2).
Эта теорема может быть обобщена на более широкий класс областей.
В частности, при тех же самых условиях на L и/ можно доказать утвержде-
утверждение теоремы для областей, удовлетворяющих условию внешнего конуса
(см. задачу 6.3).
Если требования теоремы несколько^усилить, например, если предпо-
предположить, что функция/и коэффициенты оператора L принадлежат СаA2),
то можно доказать, что классы областей, для которых задача Дирихле
разрешима при произвольных непрерывных граничных значениях для опе-
оператора Лапласа и для оператора L, совпадают (см. примечания).
Вернемся теперь к вопросу о глобальной регулярности построенных
выше решений для достаточно гладких граничных данных. Мы видели,
что при выполнении условий теоремы_6.8 решение задачи Дирихле для
уравнения Lu - f принадлежит С^'а(Й), если только справедлив соот-
соответствующий результат (теорема Келлога) для уравнения Лапласа.
Сейчас мы докажем теорему о регулярности непосредствено из ре-
результатов этого раздела.
Теорема 6.14. Пусть оператор L строго эллиптичен в ограничен-
ограниченной области 12, коэффициент с_< 0 и пусть функция f и коэффициенты
оператора L принадлежат СаA2). Предположим, что 12 - область клас-
класса С2* * и что функция if G С2'а A2). Тогда задача Дирихле
Lu = f в 12, и = у на 912,
имеет {единственное) решение, принадлежащее С2'**A2).
Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 6.13, то
решение и задачи Дирихле существует. Из теоремы 6.13 мы знаем, что
и ? С0 A2) П С2*а A2), так что остается только показать, что для каждой
точки х0 Е Э12 и для некоторой окрестности D этой точки и G C2'a(D П 12).
Так как 12 есть область класса С2><\ то существует такая окрестность Лоточ-
Лоточки х0, которая при диффеоморфизме у - ф (х) класса С2 *а отображает-
отображается в окрестность N таким образом, что \j/(N П 12) содержит замыкание
шара В9 а содержащая точку х0 часть Т пересечения N Г\ дп отображает-
отображается этим преобразованием в часть Т границы шара В. При этом отображе-
отображении уравнение Lu(x) = f(x) переходит в уравнение Lid (у) = f(y), опре-
определенное в шаре В. Так как отображение принадлежит классу С2*а, то
<? »-> !р G С2'а (В), а функция / и оператор L удовлетворяют в В тем же
условиям, которым в 12 удовлетворяли функция/и оператор L. Это значит,
что оператор L строго эллиптичен в В, коэффициент *с < 0, функция / и
коэффициенты оператора L принадлежат Ca(j&) (см. лемму 6.5). Рас-
Рассмотрим решение v задачи Дирихле: Lv =/ в В, и ~И на дВ. Так как И =
= У на Т С дВ, то и G С0 (дВ) П С2'а(Г) на дВ. Следовательно, в силу
единственности задачи Дирихле и леммы 6.10 решение Id =и Е С0(В) П
П С2'01 (В U Г). Возвращаясь в 12, обозначим Df = ф~1 (В). Получим, что
108

и е C2>a(D'uf), а_так как х0 - произвольная точка Э12, то мы заклю-
заключаем, что и е С2'а A2). D
Полученный результат может быть обобщен на случай более слабых
требований о регулярности коэффициентов, области и граничных зна-
значений (см. примечания).
Если оператор L не удовлетворяет условию с < О, то, как показывают
несложные примеры, задача Дирихле для уравнения Lu - f может, вооб-
вообще говоря, не иметь решения. Однако можно утверждать справедливость
альтернативы Фредгольма, которую мы сформулируем в следующем виде.
Теорема 6.15. Пусть оператор L = я17 А/ + blDt + с строго эллипти-
эллиптичен, его коэффициенты принадлежат СаA2) и пусть область 12 является
областью класса С2'а. Тогда или
а) однородная задача Lu = 0 в 12, и - О на 312, имеет только тривиаль-
тривиальное решение в С2'аA2) и в этом случае неоднородная задача Lu =/e 12,
и = ^ на ЪП^меет единственное решение класса С2*а (Й) для произволь-
произвольных /е са A2), $ е с2>а(П)9или
б) однородная задача имеет нетривиальные решения, которые образу-
образуют конечномерное подпространство пространства С2 'а A2).
Доказательство. При сделанных предположениях относительно
функций / и <р неоднородная задача /,и=/в12,м=<рнаЭ12, эквивалент-
эквивалентна задаче Lv =/-/,<рв!2,и=ОнаЭ12. Будем рассматривать далее зада-
задачу Дирихле с нулевым краевым условием: и = 0 на Э12, и поэтому доста-
достаточно рассматривать оператор L на линейном пространстве В = { и G
G С2><*A2)|и = 0 на Э12}. Пусть о — какая-то постоянная удовлетворяю-
удовлетворяющая неравенству о > sup с. Пусть La = L — о. В силу теоремы ,6.14 отобра-
отображение Lo: В -> СаA2) обратимо. Кроме того, в силу оценок F.36) и тео-
теоремы 3.7 обратное_отображение LJ1 является компактным отображением
пространства Са( 12) в пространство С2 A2) и потому является компакт-
компактным отображением и как отображение С* A2) вСа(Й). Рассмотрим урав-
уравнение
и + oLo1 и = L~lf, f G СаA2), F.46)
в котором оператор L^1: Са A2) -* Са A2) является компактным.
По теореме 5.3 о компактных операторах в банаховых пространствах
имеет место альтернатива Фредгольма, и уравнение F.46) имеет решение
и из СаA2), если только однородное уравнение и + oL^lu = 0 имеет лишь
тривиальное решение и = 0. Если же последнее условие не выполняется, то
нуль-пространство оператора / + oL J1 (/ - тождественный оператор) яв-
является конечномерным подпространством пространства СаA2) (теоре-
(теорема 5.5).
Для того чтобы перенести эти утверждения на задачу Дирихле для урав-
уравнения Lu =/, прежде ьсего заметим, что, так как оператор LJ1 отображает
СаA2) в В, любое решение и G С" A2) уравнения F.46) принадлежит
также и В. Следовательно, действуя на F.46) оператором Lo, мы по-
получим
Lu = La(u +oL'lu) = /, и е В. F.47)
Ясно, что имеется взаимно однозначное соответствие между решениями
109

уравнения F.46) и решениями краевой задачи F.47). Отсюда следует
утверждение теоремы. ?
Важность установленной альтернативы для задачи Дирихле состоит
в том, что вопрос о существовании сводится к изучению вопроса о един-
единственности. Отметим, что в силу леммы 6.18 (которая будет доказана
в следующем разделе) решения уравнения Lu - f из класса С2 A2) при-
принадлежат С2>а(?2) и поэтому нуль-пространство оператора L в С2 (?1)
также конечномерно. Отметим также, что из теоремы 5.5 следует, что
множество Z вещественных чисел а, для которых однородная задача
Lu — (ш = Ов?2,и=:ОнаЭ12, имеет нетривиальные решения, является
не более чем счетным и дискретным. Кроме того (по теореме 5.3), если
о ф 2, то любое решение задачи Дирихле Lau - f в П, и = <р на Э12, удов-
удовлетворяет оценке | и \г,а. ^ С(\ Ф Ь,^ + i/lo,a) c постоянной С, не зави-
зависящей от и,/и ip.
6.4. Внутренняя регулярность и регулярность вблизи границы
В предыдущих разделах правая часть / и коэффициенты оператора L
предполагались функциями класса Са. Соответствующее решение и урав-
уравнения Lu Доказывалось принадлежащим классу С2'а. Теперь мы перейдем
к изучению гладкости более высокого порядка и изучим ее зависимость
от гладкости правой части / и коэффициентов оператора L. Глобальная
регулярность решений будет зависеть также и от гладкости границы и
граничных значений.
Сначала покажем, что любое решение уравнения Lu =/ класса С2 являет-
является решением класса С2'а, если правая часть / и коэффициенты операто-
оператора L принадлежат С01.
Лемма 6.16. Пусть и ~~ принадлежащее С2 (П) решение на откры-
открытом множестве п уравнения Lu = / с коэффициентами и правой частью
из С" (П). Тогда и еС2>а(п).
Доказательство. Достаточно доказать, что w G С2'а (В) для про-
произвольного шара В С С 12. Пусть В такой шар; рассмотрим в В зада-
задачу Дирихле
Lov = aifDifv + b*DiV = /' = / - си в В, v = и на Э& F.48)
Так как и ? С2 (В), то/; ? С01 (В). Кроме того, коэффициенты операто-
оператора Lo также принадлежат Са(В). Следовательно, в силу леммы 6.10 су-
существует решение v задачи F.48), и оно принадлежит С2'а(В) П С0 (В).
В силу единственности решения и и и задачи F.48) совпадают в В, т.е.
z./?C2(?).D
Подчеркнем, что в предыдущем утверждении и в следующих за ним
результатах этого раздела не делается предположения относительно зна-
знака коэффициента с.
Из приведенной выше леммы и внутренних оценок Шаудера следует
теорема о внутренней регулярности решений.
Теорема 6.17. Пусть и - принадлежащее С2 (п) решение на откры-
открытом множестве О уравнения Lu ~ / с коэффициентами и правой частью
изСк>а(П).ТогдаиеСк + 2'а(П). Если правая часть f и коэффициен-
коэффициенты оператора L принадлежат С°° (О), то и и €= С°° (И).
110

Доказательство. Утверждение теоремы, соответствующее случаю
к = 0, доказано в лемме 6.16. Докажем его теперь для к = 1. Пусть v -
функция на П. Обозначим через et (/ = 1, 2,... , п) (единичный) направ-
направляющий вектор оси л:/. Определим разностное отношение v в точке х в
направлении et равенством
. и(х + /iez) — v(x)
Ahv(x) = Д?()
Беря разностное отношение обеих частей уравнения
Lu = aijDifu + ЬгВги + си = /,
получим
= Дй/ - (AhaiJ)DiJi[ - (Ahbi)DiTi - (ДЛс)м, и = м(х + Ае|). F.49)
Все разностные отношения в этом уравнении вычисляются в точке х & Q,
в направлении е{ для некоторого / = 1,...,«. Так как / G С1>0!(Г2) и
7 * ТК* r/e')Jr
Л о dt
то видим, что Дл/ Е (^(П') на любом подмножестве Qf С С ?2, для ко-
которого | Л | < dist (?2', ЭГ2). В частности, если В и В' — такие шары в ?2,
что В1 С ЯСС ft и dist (Я',ЭЯ) =Ло > 0, то AhfG Са(В') дляО< |А|<
< h0. При этом справледлива равномерная оценка I Дл/1о,а; в' ^ const,
с независящей от h постоянной. Аналогичные оценки справедливы для
разностных отношений AhalJ\ Ahb\ Ahc9 которые также принадлежат
Са(В'). Так как и G C2»a(ft) (лемма 6.16), тоFh G Са(В') для | h \< h0
и, кроме того, \Fh \ 0>а; в* < const для всех h. Используя оценку
sup | Ahu | < sup | Du | и внутренние оценки следствия 6.3, получаем,
в' в
что множество функций Ahu и их первых и вторых производных DtAhu,
DijAhu (i, / = 1,. .., л) ограничено и равностепенно непрерывно в про-
произвольном шаре Bff CCB. Следовательно, любая последовательность
функций из этих множеств содержит подпоследовательность, равномер-
равномерно сходящуюся на В". Так как А^и ^Dtu при h -*0, то мы можем заклю-
заключить, что DfjA^u -> Д/;-,и при ft -*0 и что м G С3>"(В"). А так как 5" яв-
является произвольным шаром, лежащим вместе со своим замыканием в
?2, то и € C3>Q! (U). Тем самым мы доказали теорему для к = 1.
Для доказательства теоремы в случае к > 1 воспользуемся индук-
индукцией по fc. Вместе с условиями теоремы на! и/ предположим, что и G
G С*+1'*(П). Докажем, что ы G С/г+2*0!(П). Так как функция/и коэф-
коэффициенты оператора L принадлежат Ск>а(п), то уравнение Lu =/ можно
продифференцировать fc - 1 раз. Получим уравнение вида Lu =/, где и =
=О$и, р - мультииндекс, | 0 | = fc - 1, а функция / равна сумме DPf и ко-
конечного числа произведений производных коэффициентов уравнения
111

порядка не больше к - I и производных и порядков не больше к. Ясно,
что функция / G С • (S2). Рассуждая так же, как и в случае к = 1, ус-
устанавливаем, что и G С3>а{?2), и поэтому и G С*+2'а(?2), что и утверж-
утверждалось в теореме. Доказательство последнего утверждения теоремы о
бесконечной дифференцируемости решений очевидно. D
В случае, когда правая часть / и коэффициенты оператора L являют-
являются вещественными аналитическими функциями, любое решение уравне-
уравнения Lu - f будет вещественной аналитической функцией. Доказательство
этого утверждения можно найти в [326].
Для того чтобы можно было утверждать справедливость аналогичных
результатов о регулярности решений вплоть до границы, очевидно, необ-
необходимо требовать, чтобы сама граница и граничные значения решений
были достаточно гладкими. Прежде чем перейдем к получению таких
результатов, мы докажем аналог леммы 6.16.
Лемма 6.18. Пусть граница области $1 содержит кусок Т класса
С2'а, а функция у принадлежит С2*а (Й). Предположим также, что функ-
функция и из С0 (?2) П С2 (О) удовлетворяет условию и = <р на Т и уравнению
Lu = / в ?2, причем правая часть^/ и коэффициенты строго эллиптическо-
эллиптического оператора L принадлежат С* (U). Тогда и G С2'а (п U Т).
Доказательство. Так как кусок Т границы дп принадлежит
классу С2'**, то для каждой точки х0 € Т можно найти граничную окрест-
окрестность Г' С С Г и лежащую в ?2 область D класса С2'а такие, что х0 G Т' С
С 3D. Кроме того, область D может быть выбрана столь малой, что к ней
применимо следствие 3.8, а тогда задача Дирихле для уравнения Lu = f
в D имеет не более одного решения, принадлежащего С0 (D) П C2(D).
Далее доказательство весьма близко к доказательству леммы 6.10.
Так как и G С0 (bD) П С2'а(Г'), то мы можем так продолжить гранич-
граничные значения и с границы bD на Д что продолженная функция v будет
принадлежать С0 ф') П С2'аE), где D С С Ъ\ а В = Вр(х0) С С Df (по
поводу построения такой функции v см. замечание 1 после леммы 6.38).
Пусть {ufc} — последовательность функций из С3 (?)') такая, что \vk —
— v 1о;?> -^0 ПРИ ^ -*°° И | Ufc 12,а;В ^ C|u |2,<*;В ДЙЯ ВСвХ fc. При кажДОМ
к в силу альтернативы Фредгольма (теорема 6.15) задача Дирихле Lu = f
в Д w_= и*: на ЭД имеет единственное решение м^ и оно принадлежит
C2'a(D). Из следствий 6.3 и 3.8 вытекает, что последовательность {ик}
сходится к решению и в Д а в силу следствия 6.7 это решение и €=
G С2'а(В* П D), где В' - Вр/2 (*(>)• Так как л:0 - произвольная точка на
Ту то отсюда следует, что и е С2>0! (п U 7*). ?
Если коэффициент с < 0, то предыдущий результат содержится по су-
существу в доказательстве теоремы 6.14. Однако здесь мы не делаем огра-
ограничений на знак коэффициента с, и поэтому пришлось соответствующим
образом изменить доказательство теоремы 6.14. Другое доказательство,
основанное на иных идеях, можно найти в работах, указанных в приме-
примечаниях.
Результат леммы 6.18 остается справедливым, если и в ее условиях, и в
утверждении принадлежность С2'а заменить на принадлежность Cl>Q!.
Соответствующие результаты хорошо известны и в более общем случае
(см. [68]).
112

Используя результат леммы 6.18, мы можем доказать теперь следующую
глобальную теорему о разрешимости.
Т е о р е^м а 6.19. Пусть п - область класса С^ + 2'а (к > 0), а у G
Е Ск + 2'а(п). Предположим, что функция и G С0 (?2) П С2 (?2) удовлет-
удовлетворяет уравнению Lu = f в ?1 и граничному условию и = $ на дп, причем
правая часть f и коэффициенты строго эллиптического оператора L при-
подлежат Ck>a (U). Тогда и е Ck + 2'a (U).
Доказательство. Для к = 0 утверждение теоремы следует из
леммы 6.18. Докажем его для к = 1. Пусть х0 — произвольная граничная
точка области п. Рассмотрим диффеоморфизм ф класса С3>с\ выпрям-
выпрямляющий границу вблизи точки х0. С помощью этого отображения мы
сводим задачу к случаю уравнения Lu = / в области G, граница которой
имеет лежащий в гиперплоскости хп = 0 кусок Г, в то время как другие
условия остаются неизменными. Рассматривая разность и — у вместо и
и замечая, что Lip G С1 •а (G), мы можем далее считать, что \р = 0.
Как и в доказательстве теоремы 6.17, возьмем разностное отношение
для уравнения Lu = f в направлении е/ для каждого / = 1,...,л-1. По-
Получим уравнения вида F.49), которым удовлетворяют разностные отно-
отношения Ahu. Если 0 < | h | < /г0, то это уравнение выполняется на множе-
множестве G1 = {х G G\ dist (x, bG - Т) > h0} , содержащем плоский кусок
Т' С Г. Из предположений о правой части / и об операторе Ly из равен-
равенства и = 0 на Т и из условия м G C2jOC(G) следует, что выполнены усло-
условия леммы 6.4 для уравнения F.49) и его решения Ahu. Из леммы 6.4
следует, что семейства функций Ahu, DtAhu9 DtjAhu (/,; = 1,. . ., п) ог-
ограничены и равностепенно непрерывны на компактных подмножествах
Gf U Т'. Так как А^и -> Dtu при h -> 0, то мы можем заключить, что
DijA^u -*ОцХи для /,/ = 1 йи/=1,...,я-1и, кроме того, Вги ?
G C2'a(G' U Г') для / = 1,...,« — 1. Остается только «показать, что Dnw G
? C2*a(G' U Г). А это следует из равенства ?>www = (l/ann)(f - (L -
— annDnn)u) и из предыдущих результатов, поскольку правая часть при-
принадлежит С1 'a'(G' U Т). Так как лг0 - произвольная точка границы Э п,
то мы в итоге получаем, что и €= С3'а (Г2).
Доказательство теоремы для к > 1 осуществляется индукцией по &
подобно тому, как это делалось в теореме 6.17, с помощью рассмотре-
рассмотрения уравнения, которому удовлетворяет произвольная производная по-
порядка к — 1, и тем самым доказательство сводится к случаю к = 1, рас-
рассмотренному выше. ?
Из предыдущих рассуждений, локальных по существу, следует, что ут-
утверждение о регулярности остается справедливым для любого куска гра-
границы Т класса Ск+ lCl в предположении, что решение непрерывно вплоть
до Г и имеет граничные значения на Г класса ск + 2><*ш
6.5. Другой метод
Анализ доказательства теоремы 6.13 показывает, что эта теорема суще-
существования устанавливается с помощью процесса Перрона из утверждения
о разрешимости задачи Дирихле в шарах при произвольных непрерыв-
непрерывных граничных значениях. Доказательство последнего результата (содер-
8. Д. Гилбарг 113

жащегося в лемме 6.10) существенно опирается на граничные оценки
шаудеровской теории. Однако, как мы увидим позже, возможно такое
построение теории разрешимости задачи Дирихле с непрерывными гра-
граничными значениями, которое использует только внутренние оценки Шау-
дера и никак не использует граничные оценки.
В этом разделе изложение будет основываться на следующем обобще-
обобщении внутренних оценок теоремы 6.2. В их формулировках мы будем ис-
использовать полунормы и нормы, определенные в F.10).
Лемма 6.20. Пусть функция и G С2'а(?1) удовлетворяет уравнению
Lu = / на открытом множестве Г2 пространства Rw, а коэффициенты one-
ратора L удовлетворяют условиям F.12) и F.13). Предположим, что
'и ' о~п < °° и \f\ ^а-^в < °° для некоторого $ G R. Тогда справедли-
справедлива оценка
с постоянной С = С (л, се, X, Л, /3).
Доказательство. Пусть х — произвольная точка области ?2, dx —
расстояние от точки х до Э?2 и d ~ dx/2. Тогда в силу неравенства F.14),
примененного к шару B-Bd (x), имеем
<c[sup вГ*|и001+ sup
Iу е в у у е в
ПТ^Ь с(|"'°т"
Следовательно,
F.5D
Для оценки [и] \^а возьмем РРе различные точки х и у из 12 такие,
[] \^а р у
что dх < dy, и пусть, как и выше, В = Bd(x). Рассматривая два случая
>> | < d/2 и | jc - у | > J/2, для любой второй производной D2u имеем
Беря точную верхнюю грань по х9у и применяя F.51), получаем
Объединяя это неравенство с неравенством F.51), мы приходим к требуе-
требуемой оценке F.50). ?
Отметим, что при 0 = 0 полученный результат дает оценку F.14). При
0 > 0 требование конечности величины | и \ ^7?? приводит очевидно к ус-
условию и = 0 на Э п.
В этом разделе мы будем строить решение задачи Дирихле для урав-
уравнения Lu = / в шаре, используя метод непрерывного продолжения по па-
114

раметру. Для этого потребуется априорная оценка решений в случае не-
неограниченной правой части. Аналогичный результат для уравнения Пуас-
Пуассона содержится в теореме 4.9.
Лемма 6.21. Пусть в шаре В = BR (x0) оператор L строго эллипти-
эллиптичен (удовлетворяет F.2)), его коэффициенты ограничены величиной Л,
а коэффициент с < 0. Предположим, что функция и из С0 (В) П С2 (В)
является решением в В уравнения Lu = / и равна нулю на ЗВ. Тогда для
любого /3 G @, 1) справедливо неравенство
sup d-P\u(x)\ < С sup d2~P\f(x)\ F.52)
х х а в
с постоянной С = С05, и, R, X, Л).
Доказательство. Пусть число ]3 зафиксировано. Предположим,
что sup d2~P\f(x) | = N < °°. Требуемая оценка F.52) может быть по-
х? В Х
лучена с помошью осуществляющей оценку и функции сравнения. Для
простоты считаем, что х0 - 0, и положим wx (х) = (R2 — г2)^, г = | jc |.
Тогда
Lwx{x) =
-2(#2 -r2)(Z^7+
< ™/3(^2 - r2f~2 [4A -/3)Xr2 + 2(R2 r2)(n\- y/n Ar)].
Ясно, что для некоюрого ROy 0 < Ro < R, при /^о <r <R выражение в
квадратных скобках будет положительным. Поэтому
Lwx(x) < -Ct(R ~rf~2 для Ло < г < R,
Lwx(x) < c2(R ~-rH~~2 дкя 0 < г < Ro,
где Ci, с2 ~ положительные постоянные, зависящие только от & п, R, X
и Л (при iR0 = 0 второе неравенство, разумеется, излишне).
Пусть теперь нч (х) = eaR - еа*1, где а > 1 + sup i & |/Х. Как и в теоре-
в
ме 3.7, получаем, что в В выполнено неравенство Lw2 (x) < ~Xe"aR и по-
поэтому
Lw2(x) < -с3(?
Lw2(x) < 0
где с3 = Xe^aR (R
= /? — г. Тогда
Ь(ух ivi + 72w'i)
где 7i ~ ^A1! и 72
l-rf'~2
- ЛоJ"
< - (Л -
= A «¦ с
для
для
3. По
\ '•? - 2
2/^1 )А
0 < г < /^0>
До < г < Д,
предположению
< — | Ях) | W
'з - положи тел i
dx =
при 0 <\х\< R,
гая w = 7i^i + 72^2^ видим, чго и'(А') -> 0 на Э/i, н-'(х) =0в точке х =
= (Я, 0, . . . , 0) и L (Nw ± w) < 0 на В, Nw ± и > 0 на ЪВ. Из принципа мак-
максимума (следствие 3.2) по.тучаем
|m(jc)| < iVu»(x) в В. F.53)
Рассмотрим теперь произвольную точку х ? Я Без ограничения общно-
общности можно считать, что точка х лежи г на оси Xj. Тогда из F-53) следует
8* 115

неравенство \ы(х) \ < CN(R - г)& = CNd^ с некоторой постоянной С =
(
Полученный результат может быть обобщен на случай более общих об-
областей, например на области класса С2 (см. задачу 6.5).
С помощью результатов двух последних лемм мы можем теперь дока-
доказать обобщение теоремы 4.9 на уравнения Lu = /. Подчеркнем, что прово-
проводимое доказательство не использует граничных оценок.
Теорема 6.22. Пусть В - шар в R", а функция / G С01 (В) такова,
что 1/1 о а-^в ^ °° ^ля некотоРого 0 е @> 1). Пусть оператор L строго
эллиптичен 'в Д его коэффициенты удовлетворяют условиям F.2) и
F.31) и с<0. Тогда существует (единственное) решение и G С0(В) П
П С2** (В) задачи Дирихле Ьи=/вВ,и=0на ЭЯ Кроме того, | и | ^7^ < °°
и, следовательно, функция и удовлетворяет в В неравенству F.50).
Доказательство. Доказательство основано на методе продолже-
продолжения по параметру. Как и в теореме 6.8, рассмотрим семейство уравнений
Ltu = tLu + A - t)Au = /, 0 < t < 1,
и заметим, что коэффициенты оператора Lt также удовлетворяют F.2)
и F.31) в В с постоянными \t = min(l, X), Лг = max(l, Л), заменяющими
X и Л соответственно. В силу F.11) имеем
|««V Ifr» | Ъ%и Ifr» | си !<%-» <С\и |<-«.
и следовательно, для каждого t оператор Lt является линейным ограни-
ограниченным оператором из банахова пространства S3i={uG C2%a(B)\\u\^~^}B <
< «> } в банахово пространство 532 = {/ € Са (Я) I I / Iq^T^ < °°} • Однознач-
Однозначная разрешимость задачи Дирихле L tи = / в В, и = <р на ЭД для всех/ € $?2
эквивалентна тому, что отображение и *+ Ltu является отображением
ЗЗх на$}2 и обратимо.
Пусть ut - решение этой задачи для некоторого г Е [0, 1]. Из F.52)
тогда имеем оценку \щ |?-Ю < С|/|^2-^> < C\f\<2'n. А из F.50)
следует, что \ut l^JP ^ C\/\q2~^> или, что эквивалентно, Н^||^ <
ft ,где постоянная С не зависит от t. В силу теоремы 4.9 опе-
оператор Lo = Д отображает 58! на все 582- Следовательно, можно приме-
применить метод непрерьгоного продолжения по параметру (теорема 5.2), отку-
откуда и следует требуемое утверждение. ?
Полученная теорема может быть обобщена на случай произвольных
непрерывных граничных значений.
Следствие 6.23. При выполнении условий_теоремы 6.22 задача
Дирихле Lu =/ в В, г/ = $ на ЪВ, для любой у € С0(В) имеет (единствен-
(единственное) решение и Е С0(В) П С2>а(В).
Доказательство. Пусть {<?*;} — последовательность функций
из С3(В), равномерно сходящаяся к <р на Я В силу теоремы 6.22 задача
Дирихле Lvk = / — Lkpk в В, vk = 0 на Э?, однозначно разрешима для каж-
каждого к и определяет решение ик = ufc + <pfc задачи L% =/ в В, ик = <рЛ на дВ,
с неоднородными краевыми условиями. Обычным способом из принципа
максимума получаем, что последовательность { ик} равномерно на В схо-
116

дится к функции и G С0(В) такой, что и = \р на ЪВ. Из компактности, сле-
следующей из внутренних оценок (следствие 6.3), вытекает, что Lu = / в В
и, следовательно, функция и является искомым решением. ?
Опираясь на эту теорему существования для шаров, мы можем, как
и ранее, осуществить процесс Перрона в более общих областях и полу-
получить, в частности,теорему 6.13.
6.6. Неравномерно эллиптические уравнения
Теоремы существования, установленные в предыдущих разделах для
произвольных гладких ограниченных областей, были получены в пред-
предположении равномерной эллиптичности дифференциального оператора L.
Когда уравнение перестает быть равномерно эллиптическим, условия
разрешимости являются более ограничительными; в общем случае они
содержат ограничения на геометрию рассматриваемой области или уста-
устанавливают связь между ней и дифференциальным оператором.
Для иллюстрации рассмотрим пример, в котором задача Дирихле не-
неразрешима. Рассмотрим решение и (х, у) уравнения
«** +У2"уу = 0 F-54)
в прямоугольнике R, О < х < тг, 0 < у < У, такое, что и G C°(R) П С2 (R)
и и удовлетворяет граничным условиям м@, у) = м(тг, у) = 0, 0 <у <Y.
Любое такое решение и(х, у) раскладывается в ряд Фурье вида
2/и(у)sinnx, в котором коэффициенты fn(y) удовлетворяют обык-
обыкновенному дифференциальному уравнению у fn - n2fn = 0. Это урав-
уравнение имеет фундаментальную систему решений у^п, уУп, где ft, =
= A + л/1 + 4л2)/2 < 0, 7и = О - Vl + 4л2)/2 < 0. Так как решение
и(х, у) ограничено вплоть до у = 0, то fn(y) = const * у^п9 и поэтому
/„@) = О. Следовательно, непрерывные на[R решения, принимающие задан-
заданные граничные условкя, обращаются внуль при у = 0; поэтому произволь-
произвольные граничные значения при у = 0 задавать нельзя.
Основные моменты доказательства теоремы 6.13 можно распростра-
распространить на неравномерно эллиптические уравнения при соответствующих
условиях на коэффициенты и область. Прежде всего отметим, что если
правая часть / и коэффициенты оператора L в уравнении Lu=f,B котором
с < 0, Локально непрерывны по Гёльдеру в области ?2, а множество суб-
субфункций задачи Дирихле относительно заданной граничной функции у не-
непусто и ограничено сверху, то процесс Перрона определяет в ?1 ограни-
ограниченное решение уравнения Lu - f (теорема 6.11). В частности, такова
ситуация в случае, когда функции 1 Ъ |/Х, //X, где X = Х(х) - наимень-
наименьшее собственное значение матрицы старших коэффициентов А (х)= [а^(х)]9
и область 12 ограничены (см. теорему 3.7). Далее мы предполагаем вы-
выполненными эти условия.
Чтобы выяснить, когда и(х) -+ <р(*о) в точке х0 G Э?2 непрерьюности
граничной функции <р, предположим, как и в обсуждении перед теоре-
теоремой 6.13, что область 12 удовлетворяет условию внешней сферы в точке
Хо, и пусть В = BR(y) - такой шар, что В П ?2 = х0. Вместо предположе-
предположения равномерной эллиптичности вблизи точки х0 оператора L мы пред-
117

положим, что выполняется другое (менее ограничительное) предположе-
предположение: \А (х) - (х — у)\ > 5 > 0 для всех точек х из пересечения ЛЛП ?2 об-
области ?2 с некоторой окрестностью JT точки jc0. (В частности, для непре-
непрерывной в точке л:о матрицы А (х) это условие будет выполнено, если
А(х0) • (jc0 -у) =? 0, т.е. если радиус-вектор х0 - У шара В (нормаль к
Э?2) не принадлежит ядру отображения А (х0). Тогда, несмотря на то, что
минимальное собственное значение Х(х) и может стремиться к нулю при
х -> х0, для всех л: ЕЛГП ?2 имеет место неравенство яz/ (jc, - yt) (xy - yf)>
> Л'|л* - у |2, где X' — некоторая положительная постоянная).Предпо-
постоянная).Предположим также, что все коэффициенты оператора L ограничены. Теперь
применимы основанные на построении барьеров рассуждения из доказа-
доказательства теоремы 6.13: при соответствующем выборе постоянных т и о
функция w(x) = t(R~° —r~~°) (см. F.45)) является локальным барьером
в точке х0, и следовательно, и(х) -*ip(x0). Отметим, что в рассмотрен-
рассмотренном выше примере краевой задачи для уравнения F.54) нормаль в каж-
каждой точке граничного отрезка >> = О, 0 < х < п принадлежит ядру матри-
/1 0\
цы старших коэффициентов ( ), и заменяющее равномерную эллип-
эллиптичность условие не выполняется.
Пусть теперь [я1;(х)] — произвольная положительная матрица. Пред-
Предположим, что функции |Z?|/X, с/Л, //X ограничены. Деля уравнение на
минимальное собственное значение X, мы можем без ограничения общно-
общности считать, что оператор L строго эллиптичен в ?2 и X = 1. В этой ситуа-
ситуации стремление и(х) к sK-^o) можно гарантировать, если потребовать,
чтобы область ?2 удовлетворяла строгому условию внешней плоскости
в точке х0- Под последним мы будем понимать существование такой гипер-
гиперплоскости, что в некоторой окрестности точки х0 ее пересечение с О состо-
состоит из одной точки .т0. Это условие выполнено, например, в случае, когда
ЭГ2 строго выпукла вблизи х0. Чтобы доказать, что и(х) -+ф(х0), будем
считать, что точка х0 совпадает с началом координат (это не ограничивает
общности), и предположим, что нормаль к имеющейся внешней плоскости
в х0 имеет направление оси xi3 причем х{ > 0 для точек ?2 из окрестно-
окрестности х0. В этом случае существует такая полоса 0 < хг <d, что ее пересече-
пересечение D с областью ?2 вблизи точки х0 таково, что jci > 0 для точек из
D — хо« Как и в доказательстве теоремы 3.7Э можно проверить, что
функция w(x) = (f(ii{\ - е*1) удовлетворяет в /.) неравенству Lw< X,
16 1
если у ^ \ ь sup ~—. Л поскольку мы взяли X ™ 1, то Lw<* -l. Отсюда
D /\
следует, аналогично замечанию i после леммы 6.12, что для некоторой
постоянной k ~ k(e) «функции
с + Jew, vi'~ = .^(дг0) ~е - kw
определяют локальный барьер в точке х0 относительно верхней и нижней
граней функции w на 12.
Заметим, что в случае, когда граничная функция ф постоянна вблизи
точки xOi утверждение и(х) -> $(х0) выполняется, даже если ?2 удовлет-
удовлетворяет нестрогому условию внешней плоскости в точке jc0. В связи с этим
118

отметим, что в граничной задаче, рассмотренной для уравнения F.54),
интеравал границы у = О, 0 <х <тт выпукл, но не строго выпукл, а гранич-
граничная задача разрешима только для граничной функции, равной на интерва-
интервале нулю.
Предыдущие замечания непосредственно позволяют получить следую-
следующее простое обобщение теоремы 6.13 на неравномерно эллиптические
уравнения.
Теорема 6.24. Пусть оператор L строго эллиптичен {удовлетворя-
{удовлетворяетF.2)) в ограниченной области п, его коэффициенты а11, Ь\ с, и функция
f принадлежат Са(п), Ъ\ с, /ограничены и с <0. Предположим также,
что область п удовлетворяет условию внешней сферы, а в тех точках
границы, в которых какой-либо из коэффициентов ач неограничен, до-
дополнительно строгому условию внешней плоскости. Тогда для любой не-
непрерывной на дп функции у задача Дирихле Lu = f в п, и = $ на Ъп,
имеет (единственное) решение и ? С0A2) П С2>а(?2).
Из проведенных выше рассуждений понятно, как можно модифици-
модифицировать различными способами получаемый результат (см., например, за-
задачу 6.4). В случае, когда уравнение однородно, а оператор L не содержит
младших членов, справедливо следующее утверждение.
Следствие 6.24'. Пусть коэффициенты aij эллиптического уравне-
уравнения ai}Dyu = 0 принадлежат Са(п), а область U ограничена и строго вы-
выпукла. Тогда задача Дирихле ачВ^и = 0 в п, и = у на Ъп, разрешима в
С°(п) П С2'а(п) для произвольной непрерывной граничной функции у.
Хотя этот результат является прямым следствием теоремы 6.24, его
доказательство может быть получено непосредственно, если заметить,
что в силу строгой выпуклости области Пив силу специального вида
уравнения линейная функция определяет барьер в каждой граничной точке.
Другие общие достаточные условия существования барьеров дает тща-
тщательное изучение связи между коэффициентами оператора L и локальны-
локальными свойствами кривизны границы области. Пусть функция / и коэффи-
коэффициенты оператора L, у которого с <0, ограничены в области п класса С2.
Минимальное собственное значение матрицы старших коэффициентов
[alJ'(x)] может обращаться в нуль в точках Ъп. Попытаемся найти усло-
условия, достаточные для существования локального барьера в точке х0 ? Ъп
относительно непрерьюной граничной функции кр и граней ±М
Пусть В — шар с центром в точке х0, aG=5ni2; шар В будет выбран
далее. Пусть ф ? C2(G) - фиксированная функция такая, что ф(х) > О
на G - х0 и ф(х0) = 0. Для произвольного е > 0 и соответствующей
постоянной k = k(e) выполняются неравенства
е + кф(х) > |<р(х)-<р(хоI на Ъп П В,
е + кф(х) > М на ЪВ П п.
Введем теперь функцию, значения которой равны расстоянию до грани-
границы, d(x) = dist(x, Ъп), х ? Ъп (см. приложение к гл. 14); она являет-
является функцией класса С2 в некоторой окрестности JT- {х ? п\ d(x) < d0}.
Можно считать, что G С JT. Найдем условия, при которых функции w± (x)
вида
)-e- кф - Kd,
119

где К = К(е) — некоторая положительная постоянная, определяют барьеры
в точке х0 в G. Так будет, если в G выполняются неравенства Lw+ </
и Lw~> /. В частности, функции w± определяют барьеры, если в G с неко-
некоторой постоянной К выполняется неравенство
Kiat'Dijd + VDid) < -k\L\p \-\f-c^(xo)\. F.55)
Таким образом, получено достаточное условие существования барьера,
проверяемое с помощью данного уравнения и области.
Для более конкретной реализаций условия F.55) предположим, что
коэффициенты aij (х) непрерывны в точке Хо- Выберем систему коорди-
координат так, чтобы точка л:0 являлась началом координат, а ось хп совпадала
с внутренней нормалью Dd в точке jc0. Вращая координатные оси вокруг
оси хп (пусть это вращение осуществляется матрицей поворота Р), можно
добиться того, что новые оси совпадают с главными направлениями по-
поверхности дп в точке х0. В этом случае гессиан [Dydtyo)] будет диаго-
диагональной матрицей:
(-fcb -k2,. .. , -*„_!, 0),
где kl9 k2, • . . , kn_x — главные кривизны поверхности Э12 в точке xOi
вычисленные в направлении внутренней нормали в точке х0 (см. приложе-
приложения к гл. 14). Если а\, а2, . . . , ап — соответствующие диагональные эле-
элементы матрицы Рх[aiJ(x0)]P, то
Xe = -Ъ а&. F.56)
Поэтому если
п- 1
2 atki > sup I * |, F.57)
i = l n
то из непрерьгоности следует, что в G = В О ?2, где В — некоторый шар с
центром х0, выполняется неравенство F.55), коль скоро величина К доста-
достаточно велика. Если, кроме того, в точке х0 непрерывны коэффициенты
Ъ* и если bv ~ нормальная составляющая вектора b(x0) = (^(Xq), . . .
. . . , bn(x0)) по направлению внутренней нормали, то условие F.55)
выполняется в некоторой области G в случае, когда
п- 1
- bv > 0. F.58)
При перечисленных условиях неравенства F.57) и F.58) являются,
следовательно, достаточными условиями существования локального барье-
барьера в точке л:0. При Ь(х0) =0 неравенство F.58) принимает следующий
простой вид:
*S afy > 0,
i = 1
в котором участвуют только старшие коэффициенты уравнения, главные
кривизны и главные направления границы.
120

Нетрудно освободиться от требования непрерывности коэффициентов
на границе и сформулировать соответствующим образом аналоги усло-
условий F.57) и F.58).
Предыдущие рассуждения применимы даже в случае, когда граница
ЭГ2 не является границей класса С2, если предположить, что существует
область п класса С2 такая, что х0 ? ЭГ2 П ЭЙ и существует некоторый
шар В, содержащий точку х0 такой, что В Г\ п С В П Й. Описанные выше
условия существования барьера в точке остаются справедливыми, если
в них функцию расстояния d(x) заменить на функцию d(x) = dist(x, ЭЙ).
Предыдущие замечания и их уточнения, сделанные в этом разделе и
касающиеся условия внешней сферы, показьюают, что барьер существует
на следующих множествах граничных точек области класса С2 :
множество Si = {х0 G ЭГ2 | выполнено неравенство F.58)}
и F.59)
множество 22 = { х0 G ЭГ21 а{1'р((х0)^(х0) Ф 0, где v(x0) - нормаль
к ЭП),
в предположении, что в точках этих множеств коэффициенты а11, Ь1 не-
непрерывны.
Эти результаты вместе с результатом теоремы 6.11 приводят к следую-
следующей теореме.
Теорема 6.25. Пусть оператор L (см. F.1)) эллиптичен в области
П класса С2, с < 0 в П, a aij\ Ь*/\, с, //X принадлежат Са(п) П С°(п).
Предположим, что Sj UE2 = ЭГ2. Тогда задача Lu- f в ?1, и = у'нъ д?1,
имеет единственное решение и для произвольной граничной функции
^ е С°(ЭЮ) и это решение принадлежит С2 (О) П С°(п ).
Заметим, что при некоторых условиях на L и д?1 решение однозначно
определяется значениями у на Sj П Z2, даже если Sj U 22 ^ ЭГ2; это
имеет место, например, в случае, описанном в примере F.54). Принцип
максимума для такой граничной задачи приведен в задаче 6.10.
6.7. Другие граничные условия; задача с косой производной
До сих пор мы рассматривали только граничные условия Дирихле.
Сейчас мы изложим аналог теории Шаудера для регулярных задач с косой
производной.
Уравнение Пуассона
При обобщении шаудеровской теории на другие линейные граничные
задачи отправной точкой является теория уравнения Пуассона в полупро-
полупространстве К?={х|х„>0}с граничным условием для косой производной
вида
п
Nu = аи + 2 bfDiU = у при хп = 0, F.60)
1= 1
с постоянными коэффициентами а9 bf. Запишем граничный оператор TV в
121

эквивалентной форме
Nu = аи + b- Du = аи + btDtu + bnDnu,
где ? = (*ь ...,*„) = (**,*я) ий= (Dl3 . . . ,/)„) = (DuDn); вектор
Z)fw является касательной составляющей градиента и. Всюду далее пред-
предполагаем, что задача с косой производной регулярна, т.е. выполняется
условие Ъп Ф 0, и будем сначала считать, что
Ъп > 0, 1*1 = (\bt\2+b2nI'2 = 1. F.61)
Последнее нормировочное условие позволяет записать, что
Nu = аи +Dsu,
ди
где Dsu = - производная по направлению вектора о.
ds
Рассмотрим сначала однородное граничное условие: Nu = 0 при хп = 0.
Построим функцию Грина в R? для рассматриваемой задачи. Пусть Г -
фундаментальное решение D.1) уравнения Лапласа. При п > 3 и а < 0
возьмем
G(x,y) = r(x-v)-r(x-^*)~-2^/efl^wr(x-^*+^s)cfs, F.62)
' ' 3 °
где х, у е R^, 1>„ = ~— , а ^* = (^ь . . . , yn_lf -уп) = (У, -.
Э
Ясно, что функция G гармонична по х я у при х ^ у. Непосредствен-
нььм вычислеьшем проверяется, что
NG(xfy) = 0 при хп = 0. F.63)
(Здесь N — оператор, действующий на функцию G как на функцию пере-
переменных х при фиксированном у.) Таким образом, функция G обладает
нужными свойствами функции Грина задачи с граничным условием F.63).
Выбор функции G вида F.62) объясняется следующими соображения-
соображениями. Если G(x, у) = Г(х - у) + h(x, у) — искомая функция Грина, удовлет-
удовлетворяющая условию F.63), то функция NG будет гармонической по х
(для х Ф у) и будет равна нулю при хп - 0. Из принципа симметрии Шварца
(задача 2.4) следует, что функция NG без сингулярности
аГ(х - у) + btDtГ(х - у) + 6Я/>Я Г(х - v) -
регулярна в R"; здесь мы воспользовались тем, что DjT(х* — у*) =
= DiT(x - у) для/ = 1, 2, . . . ,л ~ 1и/)„Г(л*~^*) = -?>„ Г (х -^). Поэ-
Поэтому, учитывая стремление функции М? к нулю на бесконечности, в силу
теоремы Лиувилля получаем
Dsh+ah =-ar(x-y*)-btDtr(x-y*)+bnDnr(x-y*) =
откуда
Ds[e
+ DS
ash(x
Г(х~
+ b-
У* +
s,y)]
b • s)]
= _
efl^
[<*Г(х-
\-2bnDt
~y* +
„Г(х-
b
-y
s) +
* +b
122

Интегрируя последнее равенство по s от 0 до °° и пользуясь интегри-
интегрированием по частям, получим
h(x,y) = ~Г(х ->'*)- 2bn feasDnГ(х ~у* + b-s)ds.
о
Это выражение для h и приводит нас к равенству F 62), имеющему
место и при Ь„ = 0.
Для получения оценок, аналогичных оценкам гл. 4 для ньютонова по-
потенциала и для решений уравнений Пуассона, более детально ознакомим-
ознакомимся со свойствами функции G(x, у).
Полагая ? = (jc - у*)/\ х - у* \, имеем
G(x, у) = Г(х - у) - Г(х -у*)+ 6(х, у),
где (напомним, что а < 0)
0(х,у) = -2bn f easDnV(x - у* +b- s)ds =
о
co,, о (l+2«-*)s+s2y|/2
Видно, что функция g — регулярная функтщя своих аргументов, так как
(в силу F.61)) выполняется неравенство %Ъ > —\bt\ > -1 для всех
х, у €Е Rj и, следовательно, знаменатель подынтегрального выражения
всюду не меньше положительного числа. Функция в(х, у) = (?(д* -~ .у*)
удовлетворяет соотношениям
DXie(x. У) = -Dyi6(x, у), / = I /I- 1;
DXnO(xty) = DynO(pc,yy, F.64)
\D*0(x,y)\ < С\х-у* |2-и-1^1, С = C(/i, I jS|,ftn).
Этих соотношений будет достаточно для перенесения на интеграл
f6(x, y)f(y)dy утверждения леммы 4.10, дающей оценку ньютонова
потенциала. При | Ь \ Ф \ в предыдущем рассуждении нужно заменить а
на а/\ Ь |, а Ъп на bnj\ b |. Отметим, что поскольку а < 0, постоянную С
в неравенстве из F.64) можно взять не зависящей от а.
Теорема 6.26. Пусть Вх =BR (хо),В2 ~B2r (*o) - шары с центром
в точке х0 Е Ri,Bt =Вг П R?, В2+ = В2 П RJ, аТ^В2 Г\ {хп = 0}. Пред-
Предположим, что функция и Е С2{В2) П Cl(B2 U 7) удовлетворяет урав-
уравнению Аи = f в В2 с правой частью f 6CQ (#2 ) и граничному условию
F.60) Nu = у на Т, в котором а<0,Ьп>0иу? Сх'а (Г). Тогда и Е
; Г
F.65)
с постоянной С = С(л, a, bn/\ b\).
(Здесь через | • |' обозначается весовая норма, определенная формула-
формулами D.6)', в которых d = R.)
123

До казательство. Предположим, что Т непусто; в противном
случае утверждение, очевидно, содержится в теореме 4.6. Предположим
сначала, что <р = О, | ? | = 1 и и > 2. Рассмотрим функцию
w(x) = fG(x,y)f(y)dy =
где
= f[r(x-y)-r(x-y*)]f(y)dy9
в2
= fe(x,y)f(y)dy.
в;
В силу D.26) функция wt удовлетворяет оценке
). F-66)
Оценка функции w2 по существу такая же, как и оценка для ньютонова
потенциала в лемме 4.10. Пусть функция/(х) продолжена четным обра-
образом: /(*', —хп)= f(x',xn). Тогда для вторых производных функции w2
имеет место оценка, аналогичная оценке D.9). А именно, для х ? В*2 и
1,7 = 1,...,« имеем
-f(x)
ьв+2
где Р* = (^i,..., рп) — единичная внешняя нормаль к ЬВ\. В силу F.64)
на рассматриваемый случай без существенных изменений переносятся
рассуждения из доказательств лемм 4.4 и 4.10. В результате получается
оценка
2 ;а;в;> С=С(п,а,Ь„).
Объединяя это неравенство с F.66), получаем
a;B+' С=С(п,а,Ъ„). F.67)
Если \Ь | Ф 1, то в этой оценке величину Ьп надо заменить на Ъп\ \ Ь |.
Для получения оценки для и введем срезающую функцию г\ € С%(В2)
такую, что г? (л:) =1 для |jc -х0 \<C/2).Яи \D&r\ |< C/R !^! при Ijj |< 2.
Тогда
Если х G ^i, то | х - у | > Л/2, и поэтому /)т? =? 0. В этом случае
и(*)= f(nGf+u.Arj)dy + 2 fG-DuDridy =
в\ в;
- 2 /m(Z)G • Dr? + G. At?) dy.
Требуемая оценка F.65) при*р=0 следует теперь из F.67), оценки
124

\^\/u\(,y)\\y\ \
вытекающей из B.14) и F.64). В последней оценке производная может
быть взята по обеим переменным* и у.
Освободимся теперь от ограничения <р = 0. Для этого построим функцию
\//еС2>а(/?2 )> удовлетворяющую условию М// = <рна Г. Можно считать,
что функция у так продолжена вне Т на всю плоскость хп = 0, что продол-
продолженная функция (обозначим ее также через <р) принадлежит^ ' a(Rn ~ *)
при хп = 0 (см. лемму 6.38). Взяв неотрицательную функцию т?€ Со (Rw~ *)
такую, что )ц(у)rf/ = 1, у = (^,...,уп _х)9 определим
Ф(х)=ф(х'9хп) = Ь^хп f *{х'-хпу')ц(у')с1у'. F.68)
Легко убедиться, что ф(х\ 0) = 0, Dn ф(х'9 0) = Ь„г$(х'), и поэтому
Nil; = кр при дсл = 0. . F.69)
Из соотношений
следует,что ф ЕС2' a(R+). Отметимтакже>что
= СЛ|^Г1§а;Г, F.70)
где постоянная С зависит только от пи выбора т?. Теперь мы можем осу-
осуществить редукцию рассматриваемого случая_к случаю <р = 0. Полагая
и = и-#, находим, что Аи » /- Аф ^Са(^2+ ) и в силу F.69) имеет
место равенство Nv = 0 на Г. Из F.70) и доказанной оценки для и мы
получаем F.65). ?
Заметим, что в общем случае при Ьп->0 постоянная С из неравенст-
неравенства F.65) неограниченно возрастает.
Следующая оценка является следствием предыдущей теоремы и форму-
формулируется без доказательства. Доказательство ее аналогично доказательст-
доказательству теоремы 4.8.
Лемма 6.27. Пусть 12 - открытое ограниченное множество в R", гра-
граница которого содержит плоский кусок Г, расположенный на гиперплос-
гиперплоскости хп = 0. Пусть функция и 6С2(П)ПС1(ПиГ) удовлетворяет в 12
уравнению Аи -fc правой частью /€ 6^A2) и граничному условию F.60)
Nu = ipna Г, в котором д<0, Ьп>0 и $еС1 >а(Т). Тогда имеет место
оценка
Iм 15, а; Пи
с постоянной С = С(п, а, Ъп/\ Ь |, diamO).
Рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 6.1, можно дока-
доказать следующее утверждение для задачи с косой производной.
125

Лемма 6.28. Пусть выполнены условия леммы 6.27 и пусть функ-
функция и удовлетворяет уравнению Lou-f (вместоуравнения Дм =/),где
Lo — оператор с постоянными коэффициентами, определенный в лемме 6.1.
Тогда справедлива оценка
I" 15, в; Пи r<C(i^lo;n+kll,a;r + l/!o^;12) F-71)
с постоянной С - С(п, a, X,A,bn/\b |, diarn Q,).
Переменные коэффициенты
Рассмотрим теперь уравнения с неременными коэффициентами и соот-
соответствующую задачу с косой производной в областях с криволинейными
границами. Обобщения оценок шаудеровской теории на эти граничные
условия получаются с помощью идей, изложенных в разделах 6.1 и 6.2.
Докажем сначала аналог леммы 6,4.
Лемма 6.29. Пусть SI - открытое ограниченное множество в R", гра-
граница которого содержит плоский кусок Т, лежащий на гиперплоскости
хп = 0. Пусть функция и ? С2*а(&1 U Т)является решением в ft уравнения
Lu~f {уравнение F.1) ), удовлетворяющим граничному условию
2 &i(x')DiU = v(x\ x ei\ F.72)
i
в котором 113„ |> к > 0, к — некоторая постоянная. Предположим, что
оператор L удовлетворяет F.2) и выполнены условия
причем
\al}\bl,c 1о,а;п, l7,]3/li,a;r<A, i,/= 1,. . . ,л.
Тогда
I" 1*2, а; 12 U r<C(lWlo;a+l^ll,a;r+i/lo,a;n) F-73)
с постоянной С = C(w, а, X, Л, к, diam О).
Доказательство. Прежде всего заметим, что без ограничения
общности можно считать, что 7^0 и /Зи >0. Действительно, если поло-
к х
жить v-u *е ", где Я* > sup I7 1/к, то граничное условие F.72) перей-
у (п) /Д р ( ~*jSn)<0. В то же
время уравнение Lu =/преобразуется в уравнение Ь'и~/\ для которого
выполнены те же самые условия. Требуемая оценка F.73), очевидно,
эквивалентна аналогичной оценке для v .
Техника "замораживания" коэффициентов, использованная при дока-
доказательстве теоремы 6,2 и леммы 6.4, применима и в рассматриваемом
случае. Но при этом она нуждается в некоторых поправках, порождаемых
граничным условием F.72). Пусть х0, у0 - произвольные точки из П.
Предположим, что dXo = min(dх , dy ), где dx = dist(x, ЭО - Г). Пусть
д<1/4 — положительная постоянная (ее мы выберем позднее) и пусть
d = fidXo, Bd =Bd(x0). Если Bd П Г^ф, то через *i обозначим проекцию
126

точки x0 на Г. Как и в теореме 6.2, запишем уравнение Lu =/в виде FЛ5),
а граничное условие F.72) — в виде
) - N(x')]и(х') + ф') = Ф(А *' € Г. F.74)
Рассмотрим теперь в Bd П 12 задачу с косой производной, , порождае-
порождаемую уравнением F.15) и граничным условием F.74), и будем рассмат-
рассматривать ее как задачу с постоянными коэффициентами. (При Bd П Т = ф
условие F.74) отбрасывается.) В этом случае применимы рассуждения,
аналогичные рассуждениям доказательства теоремы 6.2 и рассуждениям,
приведенным в лемме 6.4, с заменой леммы 6.1 на лемму 6.28. На этом
пути вместо F.16) мы получим неравенство
-2 + а 1^2"(хо) -D2u(y0) | С
|Х° "^Ol M 4 F.75)
Оценка слагаемых справа, кроме слагаемого |Ф|1,а;впг> аналогична
оценкам, осуществляемым в теореме 6.2. Для оценки слагаемого
I ф 11 f а;в п т заметим, что
\[N(xL)-N(x')]u(x')ll9aiBnT <
Детали доказательств — такие же, как и при выводе FЛ 9) и мы не будем
их здесь излагать. Объединяя последнюю оценку с оценкой других слагае-
слагаемых в F.75), мы придем к требуемой оценке F.73). ?
Результат предыдущей леммы может быть обобщен на области с неплос-
кой границей. Повторяя рассуждения доказательств леммы 6.5 и теоре-
теоремы 6.6, мы получим следующую глобальную оценку решений задачи с
косой производной.
Теорема 6.30. Пусть ?1 - область в R" класса С2*01 и пусть функ-
функция и GС2>а(?2)является решением в 12 уравнения Lu-fu удовлетво-
удовлетворяет граничному условию
в котором нормальная компонента $v вектора ? = (ft,.. ., 0Я) отлична от
нуля, причем
|0„|>к>О на Э?2 {непостоянная). F.76)
Предположим, что оператор L удовлетворяет условию F.2), / Е
I, /= 1,...,Л.
127

Тогда справедлива оценка
|Ml2fa;n<C(|M|o;n+l^life5n+l/ke;n) F-77)
с постоянной С = С(п, а, X, Л, к, П).
Замечания, 1. Условие F.76) означает, что направление диффе-
дифференцирования в /3 - Du нигде не является касательным к Э?2. Это условие
существенно в проведенных рассуждениях.
2. В формулировке теоремы удобно предполагать, и это не ограничива-
ограничивает общность, что функции <р, 7 и Pi определены глобально (и вне ЭО),
так что нормы I • 11,а;п определены для этих функций. В теореме 6.26
и в леммах 6.27 — 6.29, в которых имелся плоский кусок границы Т, гло-
глобальное продолжение <р (и 7, 0/ в лемме 6.29) не использовалось, посколь-
поскольку нормы | • 11 a. T определяются естественно.
3. Тот факт, что в оценку F.77) входит | <р | г t a, не является неожидан-
неожиданным, ибо в выражение Nu входят первые производные функции миз С2'а.
Этот факт определенным образом контрастирует с глобальной оценкой
F.36) для задачи Дирихле, в которой требуется, чтобы <р € С2»а.
До сих пор мы занимались только оценками решений задачи с косой
производной. Фактическое решение задачи для уравнения Lu-f может
быть методом непрерьюного продолжения по параметру (как в теоре-
теореме 6.8) сведено к исследованию аналогичной задачи для уравнения Пуас-
Пуассона, однако теперь необходимо осуществлять непрерывное продолжение
пары операторов — дифференциального оператора L и граничного опера-
оператора N. Однозначная разрешимость задачи с косой производной при соот-
соответствующих ограничениях на операторы L и N доказывается в следую-
следующей теореме.
Теорема 6.31. Пусть оператор L строго эллиптичен в области ?2
класса С2**,его коэффициенты принадлежат С01 {О,),а с <0.Пусть Nu =
= у и + E Du - граничный оператор, заданный над?1, такой, что у • (/3 -?)>
>0ня Э?2, F— внешняя единичная нормаль к Ъ?1. Предположим также,
что у, /ГеС^СЭП} Тогда для всех /е Са(п) и уеС1>а(дп) задача с
косой производной
Lu=f ей, Nu = y на дП F.78)
имеет единственное решение из С2*а(Ц).
Доказательство. Без ограничения общности можно предпола-
предполагать, что 7>0Hjif-F>0 на Ъпи что функции \р и 0 продолжены на всю
область и принадлежат пространству С1>аA2). Рассмотрим семейство
задач
L (l-t)Au=f в 12,
/Эи \ <6-79>
t (l-t)\— +w ) = ip на Ьп
\bv /
Э
с параметром Г, 0<f<l. Ясно, что Lt =L, Lo = A, NX =N, N0 = — +
bv
128

+ тождественный оператор и что с некоторыми положительными постоян-
постоянными X, Л выполняются неравенства
(черезalj9 Ь\ь ^обозначены коэффициенты оператора Lt). Тогда как
J •?>($'> 0 и 7^7' > 0, где &\у* — положительные постоянные, то
на ЭП,
а величина | /? | j а будет ограничена постоянной, не зависящей от г.
Рассмотрим произвольное решение и G С2»а(П) задачи F.79) (для не-
некоторого значения f). Норма | и \ 2, a удовлетворяют неравенству F.77)
с постоянной С, не за зависящей от t. Если мы сумеем оценить | w |o через
нормы у и /, то сможем получить оценку
|Kl2,«<C(Mifa + l/lo,«)> F-80)
справедливую для всех решений задачи F/79) из С2'а (Г2).
Для получения оценки нормы \и |0 сделаем замену i> = и/со, где со —
фиксированная функция класса С0A2) О С2(О) (не зависящая от г), удо-
удовлетворяющая условиям:
(i)
(ii)
(iii) yt+~Pt.Dojlu>y>0 на ЭФ, где со, с, т" — постоянные. Такая
функция и может быть взята в виде со(х) = Су - с2 е1**1, если величина /х
достаточно велика, а Су, с2 — подходящие положительные постоянные.
При замене у = и/и рассматриваемая задача F.79) преобразуете^ в задачу
Ltv-f =f/co в 12, Ntv = ?> =v?/co на ЭП.
Коэффициент при у в выражении Ltv равен Ltco/cjn удовлетворяет нера-
неравенству Ltcu/cu < с/cj < 0. Коэффициент 7r в выражении Ntv удовлетворя-
удовлетворяет неравенству yt = yt + 0f• Dco/co>y>0. Если наибольшее значение
функции |t>(х)| достигается в точке xoe?l, Tosup|u| = |у(дго)| <
<sup|/|/|c |и, следовательно,\и |0 <supco . sup( w|<C|/|0,
п no
где постоянная Сне зависит от г. С другой стороны, если sup | v \ = | v(x0) \
и точка х0 G ЭГ2, то или п
ft
или
а
9. Д.Гилбарг 129

— в обоих случаях имеет место неравенство | и |0 < С sup \<p\. Оценка F.80)
получается тогда из F.77).
Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям из доказательства
теоремы 6.8. Пусть 9дг = С2>а(п) и SZ2 = С*(П) X С1 »а(Э12) - банаховы
пространства. Норму в SB2 введем равенством \\(/,<р)\\ф2 = l/lo,a-,n +
+ \Ч> li,a;an- Рассмотрим оператор ?t = (LtiNt): &x -*$2- Разрешимость
задачи F.79) при произвольных функциях/^ Са(Ц) и <р ? Сl* a(dfi) сле-
следует из того, что отображение ?t является взаимно однозначным отобра-
отображением Si на 3d 2- Обозначим через щ решение этой задачи для заданных
/и <р. Это решение единственно (см. задачу 3.1). Из F.80) следует оценка
I "г Ь,« < С(|/|0,а + I *P 11,«),или, что эквивалентно,
\\иЪ,<С\\Ъи\\$г> F.80
причем постоянная С не зависит от t. Тот факт, что оператор ?0 обратим,
является следствием разрешимости в С2>а(?2) третьей граничной задачи
ди
Дм=/ в 12, w+ — = у на Э12.
bv
(Этот результат можно найти в литературе по теории потенциала; см., на-
например, [74].) Используя этот результат, с помощью F.81) и метода не-
непрерывного продолжения по параметру (теорема 5.2) мы получаем дока-
доказательство утверждения теоремы. D
Если в условиях предыдущей теоремы не выполняется или условие
у > 0, или условие с < 0, то единственности решения может не быть, но
так же, как в теореме 6.25, справедлива альтернатива Фредгольма. Ее до-
доказательство аналогично доказательству в теореме 6.25. Непосредственным
следствием этой альтернативы является разрешимость задачи при выполне-
выполнении условий с < 0, 7^0, причем или с ^ 0, или 7^0, так как при выпол-
выполнении этих условий имеет место единственность.
6.8. Приложение 1. Интерполяционные неравенства
В этом разделе мы докажем интерполяционные неравенства, использо-
использованные в гл. 6. Начнем с неравенств для внутренних норм и полунорм.
Лемма 6.32. Пустьj+ P<k + <x, /,fc = l, 2, ... и 0<а, 0< 1. Пусть
?1 - открытое множество в R". Предположим, что функция и G Ckt a(?2).
Тогда для любого е > 0 существует положительная постоянная С = С(е, fc, /)
такая, что справедливы неравенства
jE>esn,
;fe;|l. F }
Доказательство. Мы докажем оценки F.82) для используемых
в этой книге случаев /, к = 1, 2, 3. Непосредственное развитие используемых
при этом идей и применение индукции позволяет доказать неравенства
F.82) при произвольных /, к.
130

Предположим, что правая часть в неравенстве F.82) конечна. В против-
противном случае неравенство справедливо. Будем для краткости опускать зна-
значок 12, помня о том, что он должен быть. Рассмотрим несколько случаев:
(i) / = 1, к = 2; а = 0 = 0. Мы хотим показать, что
*, F.83)
каково бы ни было е > 0. Пусть х - произвольная точка из 12, dx - расстоя-
расстояние от х до Э12~, ju< 1/2 — положительная постоянная (ее выбор осущест-
осуществим позднее). Пусть d = [idx и B = Bd(x) — Шар с центром х Возьмем лю-
любое i = 1,2,..., п и обозначим через х и х" концевые точки отрезка дли-
длины 2d, параллельного оси xi9 серединой которого является точках На этом
\и(х')-и(х")\
отрезке существует точка х такая что | Z),w(x ) | = <
2d
1 . * 1
< -|ы|о и lDiu(x)\=\Dtu(x)+ IDtiudXi\< -\и |0 +d . sup \Duu\<
d - d в
< —\u\o+d- sup dZ2 • sup ^ylAiwC^)!- Так как для всех у € В
d уев уев
справедливы неравенстваdy> dx - с? = A — /i)ck > ^/2» то dx \D(u(x) \ <
11« lo +4ju sup <dy \Duu(y) | < м \u |0 + 4/i[«]2.Следовательно,
[м] J = sup ^х|/>/{|(х)|<дж1|и lo +4ju[m]^ Если взять число м такое,
1 < / < п
что /I < е/4, то мы получим неравенство F.82) с постоянной С= м.
(ii) /<fc; ]8 = 0, а>0. Поступаем аналогичным образом. Пусть х € 12,
0<ju< 1/2, d = iidXi B = Bd(x) и пусть х'и х" — концевые точки отрезка
длины 2tf, параллельного оси xh серединой которого является точка х.
На этом отрезке существует точка х такая, что
\Duu(x)\= ' < - sup\DiU I F.84)
2d d «в
и
\Duu(x)\ <\Dau(x)\ + \Dnu(x)-Dnu(x
1
< - sup d • sup dy\Diu(y)\ +
+ da - sup dx~2y~a • sup
Так как для всех .у е 5 справедливы неравенства dy > dx/2, dXty > d/2,
2
получаем, что dx \ Ditu{x) \ < —[и] J + 22 + аца [и] *2 а. Беря верхнюю грань
по I, / и по х Е12 и выбирая число /i такое, что 8ца < е, мы получаем нера-
неравенство
J >a F.85)
с постоянной С=2/д.
9*
131

Бели в неравенстве F.84) заменить Dtu на и и осуществить очевидные
изменения рассуждений, то получим F.82) для / = к = 1, /3 = 0, а> 0:
;1в. F.86)
Объединив F.85) и F.83), соответствующим образом подобрав значе-
значение в в каждом из этих неравенств, мы приходим к неравенству F.82)
для? = 2, /= 1,2.
(ш) j<k\ 0>О, а = 0. Пусть*, )>GJ2, dx <dy, dx = dXyy. Пусть ju, d и
i? определены, как и ранее. Неравенство F.82) для случая / = 0 будем
доказывать, отправляясь от интерполяционного неравенства
в котором 0 < 0 < 1, а число е > 0 может быть произвольным.
Если у Е. Ву то из теоремы о среднем при 0 < 0 < 1 следует, что
если же уф В,то
Объединяя эти неравенства, получаем, что при 0 < 0 < 1
-^!!!]?. F.88)
Отсюда при 0 < 1, взяв 2д * ~ ^ < е, получаем неравенство F.82). Применив
к правой части F.88) неравенство F.83) и подобрав соответствующее
значение ц , получаем неравенство F.82) для/ = 0, к = 2, а = 0, О<0< 1.
Для случая / = 1, к = 2 доказательства проводится по той же схеме, если за-
заменить и на Djit. Однако при этом появляется следующее отличие: вместо
F.87) появится неравенство
-у
Утверждение вновь последует из F.83).
(iv) / > к; а, 0 > 0. Достаточно взять / = к и, следовательно а > 0. При-
|и(х) -и{у)\
меняя предыдущие обозначения, для у G В имеем dx <
\x-yr
Ц х 1
< 2д"~^|м |0. Объединим эти неравенства и возьмем верхнюю грань по
х, у Е 12. Мы придем к неравенству F.82) при / = к = 0 с постоянными
132

Оставшиеся для / = к = 1,2 случаи исследуются аналогично, с помощью
результатов случая (И).
Интерполяционные неравенства F.82) для полунорм непосредственно
приводят к неравенствам для норм вида
Из леммы 6.32 вытекает следующий результат о компактности.
Лемма 6.33. Пусть ?2 - открытое ограниченное множество в Rn и
пусть S - ограниченное подмножество банахова пространства
СЧ>« ={иеСк'«(п)\\и\*каоо <оо},
к = 0,1,...; 0 < а < 1.
Предположим также, что функции из S равностепенно непрерывны на ?2.
Тогда при к + а > / + 0 множество S предкомпактно в С{' ^(?2).
Доказательство. Так как множество S равностепенно непрерыв-
непрерывно на ?2 и ограничено в С*>0?, то оно содержит последовательность функ-
функций {ит}9 равномерно на ?2 сходящуюся к функции и G С*'а. Из усло-
условий леммы следует, что | ит |*^ <^ (величина М не зависит от т). Из
F.82) следует, что для любого* е > 0 существует положительная постоян-
наяС = С(е) такая, что \ит - " 1/^ <С\ит -и\0 +е\ит -и|?в.Есяи
N столь велико, что | ит - и |0 < е/С при всех m > N, то | wm - и 1/^ <
< еA + 2М) для т> N. Следовательно, последовательность { ит } сходит-
сходится к и в С{^9 что и доказывает утверждение леммы. ?
Обобщим результат леммы 6.32 на чисто внутренние нормы и полу-
полунормы в областях, границы которых содержат плоский кусок.
Лемма 6.34. Пусть п - открытое подмножество в R+, граница ко-
которого содержит плоский кусок Т, лежащий на гиперплоскости хп = 0.
Пусть и G С*'*(П U Г) и пусть / + & < к + а, где/, к = 1, 2,. . . и 0 <а,
0 < 1. Тогда для любого е > 0 существует положительная постоянная
С = С(е, /, fc) гакгая, vro выполняются неравенства
?,а;Пи:г,
fc,a;nur-
, До к а зательство. Снова предполагаем, что правые части нера-
неравенств конечны. Доказательство неравенств F.89) мало чем отличается
от доказательства леммы 6.32, и мы отметим лишь те места, в которых
доказательства отличаются. Для краткости далее индекс п U Т опускаем,
.помня о том, что он всегда присутствует.
Рассмотрим сначала случаи 1 </ < к < 2, 0=0, а > 0, начиная с нера-
неравенства
[иВ < С(е) | и |0 + €[и] 5,а, а > 0. F.90)
Пусть х — произвольная точка в п, dx — расстояние от х до 912 — Т,
d = ndX9 д < 1/4 — положительная постоянная (ее выбор осуществим
далее).
133

Если dist (x, T) > d, то шар Bd(x) вложен в п9 и такие же, как и при
доказательстве леммы 6.32, рассуждения приводят к неравенству
d2x\Dnu{x)\ <C(e)[n]I+e[n]5,e,
если только число д = д(е) взято достаточно малым.
Если dist(x, Г) < d9 то рассмотрим шар В =Bd(x0) С S2 с центром х0,
лежащим на луче, выходящем из точки х и перпендикулярном к Г, таким,
что dist(x, х0) = d. Пусть х' и х" - концевые точки диаметра шара В,
параллельного оси X/. На этом диаметре существует точка х такая, что
\Dau{x)\ =
2а
< I sup \D,u\ < - d? sup dy \D,u(y)\ < ~ d;2[u]l
d в и уев ц
так как для всех у ЕВ справедливо неравенство dy > dx/2. Далее
\Dau(x)\
<2 «•
Следовательно,
dl\Dau(x)\ < - [«И , ,
коль скоро 16да<еиС = 2/д. Возьмем число д столь малым, чтобы вы-
выполнялись оба неравенства, как в случае dist(x, Т) > d, так и в случае
dist(x, Г) < d. Взяв далее точную верхнюю грань по х G п и по /, / =
= 1, . . . , /1, мы получим неравенство F.90). Если в предыдущих рассужде-
рассуждениях DfU заменить на и и сделать соответствующие изменения, то получим
F.90) для / = &=1.
Доказательство неравенства F.89) в случае j = 19 к = 2,а = 0 = 0 про-
проводится так же, как и доказательство леммы 6.32, с изменениями, кото-
которые намечены при доказательстве неравенства F.90). Вместе с предыду-
предыдущим случаем это дает нам оценку F.89) для 1 </ <fc <2, /J = 0, а>0.
Доказательство неравенства F.89) при 0 > 0 аналогично доказательст-
доказательству случаев (Hi) и (iv) из леммы 6.32. При этом возникнет отличие в
. случае 0 > 0, а = 0, для которого потребуется теорема о среднем в усечен-
усеченном шаре Bd (х) П 12 с центром х таким, что dist (х, Т) < d. П
Мы завершим это приложение доказательством глобального интерпо-
интерполяционного неравенства в гладких областях.
Лемма 6.35. Предположим, что j + & < к + а, где) = 0, 1,2,... ,к =
= 1,2,... и 0 < а, 0 < 1. Пусть ?1 - область в Rn класса Ск*а. Пред-
Предположим, что функция и G С*>а(?2). Тогда для любого е > 0 существует
положительная постоянная С = С(е, /, к, ?1) такая, что справедливо нера-
неравенство
134

Доказательство. Доказательство основано на сведении к ре-
результату леммы 6.34 с помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям
доказательства леммы 6.5. Как и там, возьмем шар Вр(х0) с центром
х0 ? Ьп, и пусть ф - диффеоморфизм класса С*'а, выпрямляющий гра-
границу в окрестности точки х0, содержащей В1 = Вр(х0) П S2 и Т = Вр(х0) П
П Э12. Пусть ф(В') = D1 С R!J, ф{Т) = Т' С 3R+. Так как Т1 является
плоским куском границы 3Z)', то, применяя интерполяционное неравенст-
неравенство F.89) в области D* к функции и = и о ф ~1, ползаем неравенство
Из F.30) следует, что
(в этом неравенстве через С(е) обозначена другая, нежели выше, функ-
функция е). Полагая^" = Яр/2(*о) п ^, где D.17)' и D.17)" получаем
F.92)
Пусть BPii4(xf)9 Xj Е Э?2, i = 1, ... ,ЛГ, — конечный набор шаров, покры-
покрывающих границу д?2, таких, что выполняется на каждом из множеств
В? = BPij2(Xi) П Л неравенство F.90) с постоянной Q(e). Пусть 5 =
= min pi/4 и С = С(е) = max Q(e). Тогда для произвольной точких0 ? Э?2
шар В = Вд (х0) вложен в шар BPii2(Xi) с некоторым /, и поэтому спра-
справедливо неравенство
1/^;впп < C|ii|0;n+e|iiU,e;n. F-93>
Завершающие доказательство рассуждения такие же, как и в доказательст-
доказательстве теоремы 6.6. Мы предоставляем осуществить их читателю. ?
Глобальное интерполяционное неравенство F.91) справедливо для
более широкого класса областей, например, для областей класса С0*1
(см. задачу 6.7). Однако, как показывает пример на стр. 59, для справед-
справедливости вложения Ск'а(п) С С;>/3(?2) при/ + & < к + а необходима опре-
определенная регулярность области; в произвольной области глобальное интер-
интерполяционное неравенство не имеет места.
Из леммы 6.35 вытекает утверждение о компактности.
Лемма 6.36. Пусть ?1 - область в Rn класса Ск>а9 к> 1, и пусть S -
ограниченное в Ск*а(й) множество. Тогда S предкомпактно в Cf^(U)
при k + ot < j +$.
. Доказательство сформулированного утверждения по существу такое же,
как и доказательство утверждения леммы 6.33, и мы его опускаем. Ре-
Результат справедлив, очевидно, и для областей, в которых справедливо
глобальное интерполяционное неравенство F.9), в частности, для областей
класса Со>1.
135

6.9. Приложение 2. Леммы о продолжении
В этом разделе доказываются некоторые утверждения, использовавшие-
использовавшиеся ранее в этой главе и необходимые для дальнейшего, относящиеся к про-
продолжению заданных в области функций на большие области и заданных
на границе области функций на область.
Будем использовать разбиение единицы. Пусть 12 — открытое множест-
множество в R", покрытое счетной совокупностью {12/} открытых множеств 12/.
Счетное число функций { щ } называется локально конечным разбиением
единицы, подчиненным покрытию {12/}, если:
(i) п(еСо(п;) для некоторого /= /(/);
(И) щ>09 2т?/=1 в 12;
(ш) для каждой точки множества 12 существует окрестность, в кото-
которой только конечное число из функций r\t не равны нулю. Доказательство
существования такого разбиения единицы можно найти в литературе (на-
(например, в [107]; см. также задачу 6.8). Используемая далее конструкция
разбиения единицы сравнительно проста.
Лемма 6.37. Пусть 12 - область в Rn класса Ск*а, к > 1,и пусть
12' - открытое множество, содержащее 12. Предположим, что и G С*'аA2).
Тогда существует функция wG Co'a(!2') такая, что w= и в 12 и выполняет-
выполняется неравенство
Iw !*,*;<!' < C\u\k§a;a F.94)
с постоянной С = С(к, 12,12').
Доказательство. Пусть у = ф(х) — диффеоморфизм класса
Ск*а, выпрямляющий границу Э12 вблизи точки х0 ? Э12, и пусть
ф(х0) ? G, G и G+ = G П R+ - соответственно шар и полушар, полу-
получающиеся после выпрямления границы. Полагая и (у) = и о ф~1(у)9 у -
= (У\,... ,Уп-\> Уп) = (У> Уп)> определим продолжение функции и(у)
на уп < 0 равенством
и(у\ уп) = 21 ай{у\ -уп/г\ уп < 0,
/= 1
в котором Сь с2,..., ck+i — постоянные, удовлетворяющие системе урав-
уравнений
к+1
2 C/(-l/0w = 1, m = 0,1,... Д.
Несложно проверить, что так продолженная функция и непрерывна вме-
вместе, со всеми производными до порядка Л: в области G и что й€ Ck'a(G).
Таким образом, для каждой точки х0 G 912 существует шар В = В(х0)
такой, что w = и о ф G Ск*а(В) им>=ив2?П!2. Следовательно,
функция w является продолжением функции и в область 12 U В, причем
w является функцией класса CkfOt. В силу F.30) выполняется неравенст-
неравенство F.94), в котором 12' надо заменить на 12 U В.
Рассмотрим теперь конечное покрытие границы 912 шарами Bi9 i =
= 1, 2,... ,iV, и пусть W/ — соответствующее шару Вг продолжение клас-
136

ca Ck>a9 построенное выше (шар В надо заменить на Bt). Мы можем
считать, что радиусы шаров Bt столь малы, что объединение этих шаров с
областью 12 вложено в 12'. Пусть 120 CC 12 — открытое подмножество
области 12 такое, что совокупность 120, #ь В2,... , BN является откры-
открытым покрытием области 12. Пусть {t?/}, i = 0, 1,... 9N9 — разбиение
единицы, подчиненное этому покрытию. Положим w = и • щ + 2 W/ify,
считая, что Wity = О там, где 77/ = 0. Как видно из предыдущих рассуж-
рассуждений, функция w является продолжением функции и на 12' и имеет тре-
требуемые свойства. ?
Следующий результат касается продолжения граничной функции в
область с сохранением класса регулярности.
Лемма 6.38. Пусть 12 - область в R" класса CktCt, k > 1, и пусть
12' - открытое множество, содержащее 12. Предположим, что функция
<р G С*>а(Э12). Тогда существует функция Ф G С$*а(п') такая, что
Ф = <р на Э12.
Доказательство. Для произвольной точки х0 G 312 рассмотрим
отображение ф и шар G, определенные аналогично тому, как это делалось
в доказательстве предыдущей леммы. Ясно, что !р = <р о ф~1 е
G Ckt0L(G П 3R?). Определим в G функцию Ф(у', уп) = <?(У) и положим
Ф(х) =Фо ,//(*) для л: Е t~l(G). Ясно, что Фе Ск*а(В), тщВ =5(х0) -
некоторый шар, и что Ф = <рна/?ПЭ!2. Пусть теперь {/?,} — конечное
покрытие границы Э12 шарами, такими, как шар В, и пусть Ф/ — соответст-
соответствующие продолжения класса Ск%а, определенные в шарах Вг. Доказательст-
Доказательство утверждения леммы теперь завершается точно так же, как и в предыду-
предыдущей лемме, с помощью соответствующего разбиения единицы. ?
Замечания. 1) Если функция^ G С0 (Э12) ПСк'а (Г), где ТС 912,
то методами, аналогичными использованным выше, можно показать су-
существование продолжения Ф G С0 A2') П CkiOt(G), где G - открытое
множество, содержащее Т. Несложная модификация этих методов по-
позволяет показать, что если 12 — произвольная область, граница которой
содержит кусок Т класса Ск*а, и если функция <р принадлежит Ск'а(Т),
то существует такое продолжение Ф класса Ck*a(G) функции <р на содер-
содержащее Т открытое множество G, что Ф = <р на Т. Для доказательства этого
утверждения используется счетное покрытие шарами куска 7! Если
V? ? С°(Э12) П Ск*а(Т), то продолжение Ф можно осуществить так, что
()()
2) конструкция продолжающей функции нередко — например, для
областей, достаточно простых с геометрической точки зрения — может
быть осуществлена более простыми методами. Пусть, например, В =
= Br (*о) - шар в Rn и <р G С°(Э12) П Ск>а(Т), Т С ЭА Продолжение
функции <р на все R" можно получить по формуле Ф(х) = Ф(х0 + гсо) =
= <р(Лсо)т7(г), где г = | х - х01, со = (х - хо)/г, а г)(г) - такая бесконеч-
бесконечно дифференцируемая функция, что т?(г) = 0 при 0 < г <R/4 и т?(г) = 1
при г > R/2. Ясно, что функция Ф(х) совпадает с функцией <р на Э/?, при-
принадлежит С°( Rn) и классу Ск*а. в конической области, ограниченной луча-
лучами, выходящими из точки х0 и проходящими через точки Т.
137

Примечания
Априорные оценки и теоремы существования, изложенные в разде-
разделах 1—3, являются современным вариантом результатов исследований
Шаудера [346], [347]. Приблизительно в то же самое время Каччиополи
[117] доказал, за исключением некоторых деталей, аналогичные утвержде-
утверждения, которые затем были усовершенствованы Мирандой [195]. Сходные
идеи имеются в работе [326] Хопфа, который первым доказал теоремы о
внутренней регулярности, изложенные в разделе 4. Проблема существова-
существования и общие свойства решений по существу для того же самого класса
задач были ранее изучены Жиро [95—97], использовавшим для этого метод
интегральных уравнений, связанный с представлением решений в виде
поверхностных потенциалов. Дальнейшие усовершенствования этих щ-
тодов, позволившие усилить получаемые результаты, были даны Миран-
Мирандой [195]. Хёрмандер [333], используя метод Фурье, обобщил шаудеров-
ские оценки на уравнения произвольного порядка.
Формулировки внутренних оценок раздела 1, использующие внутренние
нормы, и метод дифференцирования следуют Дуглису и Ниренбергу [92],
распространившим также внутренние оценки на эллиптические системы.
Если сначала, с помощью теоремы 4.6, получить оценки для шаров и пре-
преобразовать их в оценку 6.14 для внутренней нормы в С2>а, то можно в
некоторой степени упростить доказательство теоремы 6.2. См., например,
доказательство теоремы 9.11.
Вывод глобальных оценок, изложенных в разделе 6.2, и основанное на
этих оценках доказательство теоремы 6.8 осуществляются в предположе-
предположении, что граничные данные принадлежат С2>а. При более слабых условиях
доказательство теорем существования решений, скажем, из С1>а(?2) П
П С2(?2), не следует из теории Шаудера в ее обычной форме. Подобная
теорема существования выводится из результатов о регулярности, полу-
полученных Видманом [52]. Гилбарг и Хёрмандер [68] обобщили глобальную
шаудеровскую теорию, ослабив требования на регулярность коэффициен-
коэффициентов, области и граничных значений. Эти результаты, применимые также и
к исследованию регулярности высокого порядка, сформулируем в следую-
следующем виде?
Пусть 0<к<а = к + а<к+ 1, #Л(?2) - пространство Гёльдера функ-
функций с конечной нормой \и |аП = \и \ktOt; n (т.е. На(п) = Ск*а(?1)).
Пусть пд = {х G S2 | dist(x, btl) > 5). Для а + Ъ > О введем множество
//*ь)(?2), состоящее из определенных в ?2 функций, принадлежащих
На(п6) для всех 5 > 0 и имеющих конечную норму
' 8 > О
При а > Ъ > 0 и нецелом Ъ имеет место вложение #а(~~Ь) с ^~Ь) = Нъ\
верхний и нижний индексы у нормы \и \^~ описывают глобальную и
внутреннюю регулярность функции и соответственно. Определим также
#д(ь~0)(Л) как множество функций из#д(ь)(?2) таких, что да+ь\ и \а^8 -*
-* 0 при 5 -* 0. Пусть ?1 — ограниченная область класса С7 с некоторым
у > 1, а, Ъ — нецелые числа такие, что 0 < b <а, а> 2, b <у. Рассмотрим
138

на ?2 эллиптический дифференциальный оператор второго порядка
/>= 2 pfi(x)Dfi,
101 < 2
удовлетворяющий условиям
Р0 G И<1-Ь\Я)9 если | 0 | < 2,
Р0 е С0 (Л), если |/3i = 2,
), если |jS| > *,
(таким образом младшие коэффициенты могут быть неограниченными
при Ъ < 2). Тогда если функция и G С2{п) П С°(й) является решением
задачи
Ри = / в п, и = <р на Ъп, F.95)
где / G Н^~Ь\ПУ. иуе Нь(Ьп)9 то к е Яа(~ь)(?2) и вьшолняется нера-
неравенство
с постоянной С, зависящей от Л, а, ?>, норм коэффициентов и минималь-
минимального собственного значения матрицы старших коэффициентов оператора/*.
При Ро <0 задача Дирихле F.95) имеет в #*~ь* единственное решение,
а в общем случае справедлива теорема типа Фредгольма. Случай, когда
2 + а<а = 2><% рассмотрен в этой главе. Если О, — липшицева область, то
аналогичные результаты верны для значений Ь < 1, зависящих от условия
внешнего конуса, имеющего место на границе. При этом достаточно,
чтобы рр G Н^°22 для | /31 =2, так что старшие коэффициенты не обязаны
быть непрерывными вплоть до границы.
Условия, при которых граничная точка, регулярная для оператора Лапла-
Лапласа А, является регулярной граничной точкой для эллиптического опера-
оператора L, и наоборот, изучались многими авторами. Эквивалентность поня-
понятий регулярности граничной точки для А и для L была доказана: для строго
эллиптического оператора L, удовлетворяющего условиям теоремы 6.13
и условию, что вблизи границы коэффициенты оператора непрерывны по
Липшицу [362] или непрерывны по Дини [131], [221]; для некоторых
классов операторов с разрывными коэффициентами [12]; для вырожден-
вырожденных эллиптических операторов [222]. Важную роль в этих исследо-
исследованиях играют понятия емкости и критерий Винера (раздел 2.9). Если
коэффициенты оператора L только непрерывны, то утверждение об экви-
эквивалентности понятий регулярной точки для А и для L в общем случае не
справедливо (см. пример в задаче 3.8а) и [193]). Но для уравнений
дивергентного вида это утверждение об эквивалентности справедливо,
даже если коэффициенты только ограничены и измеримы [179] (см.
также гл. 8). О других результатах, относящихся к регулярности гранич-
граничных точек, см. [220], [181], [153], [191-192].
Хопф [326] дал непосредственное доказательство результата о внутрен-
внутренней регулярности (лемма 6.16), не использующее теорему существова-
существования. Его метод, основанный на идее Корна [129] возмущения уравнения
139

с постоянными коэффициентами, приводит к обобщению результатов из
[325] о регулярности решений вариационных задач и предвосхищает
важные аспекты теории Шаудера. Простое прямое доказательство лем-
леммы 6.16 (и более общих результатов), основанное на регуляризации и
внутренних оценках, имеется в [2, с. 723].
О других методах см. доказательство леммы 9.16, а также [208], раз-
раздел 5.6.
Простое доказательство регулярности решения вплоть до границы
(лемма 6.18) может быть осуществлено следующим образом. Достаточ-
Достаточно доказать, что и G Са(?2 U Г), после чего применить такие же рассужде-
рассуждения, как и при доказательстве леммы 6.16. Рассматривая вместо и раз-
разность и - <р, можно считать, что <р = 0. Пусть п' С S2, (912' П Э?2) =
= Т' СС Г, и пусть 5 = dist(?2\ Ъп - Т) < 1. Для любого х е п' пред-
предположим, что d = dist(x', Э?2) = \х' - хо\ < 5, х0 G ЭГ2. Тогда в силу
результата задачи 3.6 имеем | и(х) | < С\х - хо\ для х G S2, и поэтому
|ы(х)| <Cd для всех х G Bd(x'). Беря в F.23) области п' = ;
и п = Bd (*'), получаем, что для всех * е Bdi2(xr)
d\Du(x)\ 2
и поэтому
где постоянная С зависит только от 5 и от данных задачи. Если d > 5, то
это же самое неравенство имеет место с постоянной С, зависящей теперь
от б. Таким образом, получается оценка \Du\ в 12', откуда следует,
чтоиеС^'Ч^иГ)-
В разделе 6.5 изложены в модифицированном виде идеи Михаэля [201],
показавшего, что в общем случае вопрос о существовании решений с не-
непрерывными граничными значениями может быть изучен с использованием
только внутренних оценок. Его результаты применимы к некоторым
классам уравнений с неограниченными вблизи границы коэффициента-
коэффициентами (см. задачи 6.5 и 6.6).
В разделе 6.6 рассмотрены некоторые классы неравномерно эллипти-
эллиптических операторов, у которых допускается вырождение на границе. Теория
эллиптических операторов, вырождающихся внутри области, основывает-
основывается на других методах, существенно отличающихся от методов этой главы.
Соответствующие результаты читатель может найти в литературе по гипоэл-
липтичности — см., например, [332], [227], [124].
Некоторые аспекты изложенной в разделе 6.7 шаудеровской теории
задачи с косой производной отличаются от известных ее вариантов. Напри-
Например, Фиоренца [310] основывал свой подход на представлении решений
краевой задачи F.60) для уравнения Пуассона в полупространстве в виде
поверхностных потенциалов, к которым применял некоторые результаты
Жиро [97]. В случае переменных коэффициентов установленные им оцен-
оценки шаудеровского типа демонстрируют точную зависимость от границ
изменения коэффициентов и их постоянных Гёльдера. Эта зависимость
использована в [147], гл. 10, Фиоренцой [311] и Уральцевой [298] при
изучении квазилинейных уравнений с нелинейными граничными условия-
140

ми. Обобщение шаудеровской теории на другие типы граничных задач
для уравнения высокого порядка и для систем было осуществлено Агмо-
ном, Дуглисом и Ниренбергом [2—3]. Их метод основан на явном интег-
интегральном представлении решений задач для случая уравнений и систем с
постоянными коэффициентами в полупространстве с помощью ядер Пуас-
Пуассона, соответствующих заданным граничным условиям. Хотя детали их
изложения отличаются от изложенных здесь, можно в определенном смысле
считать, что методы, использованные в разделе 6.7, являются специальным
случаем этих рассмотрений. См. также Булиган [49]. Исследование нере-
нерегулярной задачи с косой производной, в которой производная по
направлению в граничном условии может становиться тангенциальной
(т.е. в F.76) возможно равенство /3„ =0), значительно труднее исследо-
исследования регулярного случая. Получающиеся при этом результаты носят
другой характер — см., например, [331], [94], [276] и [57—58].
Изучение внешних граничных задач может быть без труда проведено
с помощью результатов этой главы. Мейерс и Серрин [187] рассмотрели
краевую задачу для уравнения Lu=f в области ?2, содержащей внешность
некоторого шара, в предположении, что коэффициент с <0, а коэффициен-
коэффициенты оператора L и функция / непрерывны по Гёльдеру на ограниченных
подмножествах в ?1. При некоторых общих условиях на поведение коэф-
коэффициентов на бесконечности они установили существование решения
в ?2, как предела последовательности решений, строящихся для расширяю-
расширяющейся последовательности областей. В частности, они получили следующий
результат: если на бесконечности / = 0, Ъ1 = 0, aij -> а% и матрица [а^]
имеет ранг, не меньший 3, то существует единственное решение в П за-
задачи Дирихле (и других задач), обращающееся в нуль на бесконечности.
При выполнении перечисленных выше условий в случае п > 3 оператор L
может быть неравномерно эллиптическим на бесконечности, но краевая
задача будет все-таки корректно поставлена. Обобщение теории Шаудера
для аналогичных областей при.л > 3, включая оценки Гёльдера на беско-
бесконечности и соответствующие исследования внешних задач Дирихле и Ней-
Неймана, было дано Осколковым [228]. При п > 3 внешняя задача Неймана
для класса квазилинейных уравнений изучалась в [308].
Интерполяционные неравенства, доказанные в приложении 1, довольно
просто выводятся из общего свойства выпуклости гёльдеровских норм:
\u\kta <C(|lfUlfei/-fliiUffeaI^,
где
0 < t < 1, k + ot = tikx +ai)+(l -t)(k2 + a2),
причем ъ этом неравенстве нормы могут быть как внутренними, так и гло-
глобальными. Доказательство этого неравенства см. у Хёрмандера [333].
141

Задачи
6.1. а) Пусть функциям е C*+2'a(ft), к > 0, является решением уравнения Lu =/
в ограниченном открытом множестве ft с R". Предположим, что коэффициенты
оператора L удовлетворяют условию F.2) и выполнены неравенства | *'', Ь\ с |&,а; ft<
< Л. Докажите, что если ft' ее ft, то справедливо неравенство
I « 1*+2,а; ft' < «I « «О; Л + «Я*, а; ft)
с постоянной С = С(л, *,а, Л., A,d), где d = dist(ft', dft).
б) Предположим, что иеС*+2»аA2),Л> 0, и что выполнены условия теоремы 6.2
с заменой условия F.13) на условие
Докажите внутреннюю оценку
с постоянной С = С (ft, к, а, Л., Л).
6.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.6, ft - область класса С *а, А: > 0.
Пусть
Докажите глобальную оценку
I и 1*+2,а < С(\и\9 + I v»l*r+2,a + I/I* a)
с постоянной С - C(/i, A:, a, Л., Л, 12).
6.3. Докажите утверждение теоремы 6.13 для ограниченной области П, удовлетво-
удовлетворяющей условию внешнего конуса. Покажите, что для каждой точки х0ЕЗа сущест-
существует локальный барьер вида r**f(e)t где г = |;с - х0 |, а 0 - угол между вектором
х - х0 и осью внешнего конуса (см. [190], [192]).
6.4. Докажите следующее обобщение следствия 6.24'. Пусть ft - ограниченная
строго выпуклая область в Rw и пусть уравнение
Lu ^a^Dfj и + b*Di и = 0
эллиптично * ft, а коэффициенты оператора L принадлежат Ca(ft). Пусть р =7> (х0) -
направленная из ft единичная нормаль к опорной плоскости границы Э ft в точке х0 е
е dft. Предположим, что для каждой точки х0 е dft существует такой шар В(х0),
что в В (х0 ) П ft выполняется неравенство b • v~ > 0. Тогда для произвольной непре-
непрерывной граничной функции задача Дирихле для уравнения Lu = 0 имеет единствен-
единственное решение из С2>а(ft) пС° (П ).
6*5. а) Докажите утверждение леммы 6.21, в котором шар В заменен на область
П класса С2 (см. задачу 4.6).
б) Обобщите результат пункта а) на случай, когда коэффициенты Ь удовлет-
удовлетворяют условию sup dx Y| Ьг (х) | < «> с некоторым 7 е @, 1), а с < 0.
ft
6.6. а) Используя задачу 6.5, постройте барьер и докажите разрешимость задачи Ди-
Дирихле /л=/(с<0)вП, и=0на dft, если L - строго эллиптический оператор в
области класса С*, при следующих предположениях: коэффициенты а*' ограничены;
д/;, Ъ*> с, /е Ca(ft), suptf^lfc'oO I < ~ и $updl~P\f(x) I < - для некоторого
0€= @,1).
б) При дополнительном предположении sup<i?T"^|c(x) | < «> обобщите утвержде-
ft
ние пункта а) на случай неоднородного краевого условия: и « ^ на dft, функция ?>
непрерывна.
142

6.7. Докажите глобальное интерполяционное неравенство F*91) для случая, ког-
когда ft - область класса С0»1 (липшицева область). Этот результат можно получить,
следуя схеме рассуждений,
(i) Докажите, что существует такая зависящая только от ft постоянная К, что
произвольная пара точек х, у из ft может быть соединена лежащей в ft дугой у (х, у),
длина которой | у (х, у) | не превосходит АГ| х - у |.
(ii) Покажите, что существуют такие зависящие только от ft постоянные р0 и М,
что если у е ft и dist (>>, 3 ft) < р0, то для всех р < р0 имеется точка х е Вр(у) та-
такая-то Вр/м2(х)с ft.
(ш) Используя результаты пунктов (i) и (ii) и модифицируя доказательство лем-
леммы 6.34, докажите F.91).
6.8. Пусть {ft/} - счетное открыто* покрытие открытого множества ft с Rw.
Если выполнено одно из условий:
или а) множество ft ограничено и ft с и ft;,
или б) множества ft/ ограничены и ft,- с ft, ^
то существует разбиение единицы {1?,}такое, что i?,-e C~(ft,).
6.9. а) Используя разбиение единицы и определение областей класса С *а из разде-
раздела 6.2, покажите, что любая такая область ft при* > 1 может быть определена с помо-
помощью функции F е Ск*а (ft) следующим образом: F >0 Bft,F = OHadftH grad F Ф
Ф 0 на 3ft.
б) Используя результат пункта а) и аппроксимацию гладкими функциями, покажи-
покажите, что любая область ft класса Ск>ау к > 1, определенная неравенством F > 0, может
быть исчерпана бесконечно гладкими областями ftp, определяемыми неравенствми
Fv > 0 такими, что IF,, \k0L. a < C1F l/t,a; ft и bQtv ~^9ft при р ->«», где С - пос-
постоянная, не зависящая от v! ' * _
6.10. Пусть оператор L эллиптичен в области ft класса С2, с < 0 ид ', У е C°<ft).
Пусть ? = Lj UL2 с 8 ft, где 2 j и?, определены в F.59). Предположим, что функ-
функция и е С0 (ft) О С2 (ft - 2) удовлетворяет в ft неравенству Lu > 0. Докажите
что если на Э ft - 2 или с < 0, или <*" > 0 для некоторого i, то
sup и < sup к .
ft Г
(Предположите, что максимум достигается на dft - 2, и, используя функцию расстоя-
расстояния до плоского куска границы вблизи точки максимума, рассмотрите здесь диффе-
дифференциальное уравнение. См. [227].)
6.11. При выполнении условий теоремы 6.30, в которой вместо I 0/li a < Л пред-
предполагается, что I /3/ lo, a < Л, докажите оценку
с постоянной С = C(/i, а, Л., Л, Аг, ft).
ГЛАВА 7
ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
Для того чтобы показать возможные применения излагаемой в этой гла-
главе теории, мы сейчас рассмотрим отличный от использованного в гл. 4 под-
подход к изучению разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона. По
теореме о дивергенции (формула B.3)) решение и уравнения Aw =/клас-
=/класса С2(?1) удовлетворяет интегральному тождеству
/ DuDydx = - ff-tpdx G.1)
ft ft
143

для всех <р Е Со (?2) - Билинейная форма
(u,v) = f DuLkpdx G.2)
является скалярным произведением в СЦ?1) и пополнение пространства
Со (?2) по метрике, порождаемой скалярным произведением G.2), являет-
является, следовательно, гильбертовым пространством, которое мы будем обозна-
обозначать через Wo'2 (?2)- Кроме этого, для подходящей функции / линейный
функционал F, определенный на пространстве Со A2) равенством F (<р) =
= - //' *pd*> может быть продолжен как ограниченный линейный функцио-
п
нал на Wo'2 (?2). Тогда по теореме представления Рисса (теорема 5.8) су-
существует элемент и Е Wo'2 (?2), который удовлетворяет равенству (и, <р) =
= (Fy if) для всех <р Е Со (?2). Таким образом, мы получаем совсем простое
доказательство существования обобщенного решения задачи Дирихле Аи =
= / в ?2, и = 0 на Э?2. Вопрос о существовании классического решения сво-
сводится к вопросу о регулярности обобщенного решения при достаточно глад-
гладких граничных условиях, В следующей главе при изучении эллиптических
уравнений в дивергентной форме будет использована (точно так же, как
только что была использована теорема представления Рисса) теорема Лак-
са — Мильграма (теорема 5.8) и будут установлены, исходя из интеграль-
интегрального тождества, утверждения о регулярности решения. Но прежде чем
мы сможем это сделать, нужно будет изучить класс соболевских про-
пространств WkfP (?2) и WotP (?1), в который входит и пространство Wo*2 (?2).
Некоторые из устанавливаемых в этой главе неравенств будут также необ-
необходимы в части II при построении теории квазилинейных уравнений,
7.1. Пространства L р
Всюду в этой главе через ?2 мы обозначаем ограниченную область в R".
Измеримой функцией на 12 мы называем класс эквивалентных измери-
измеримых функций, отличающихся друг от друга только на подмножестве меры
нуль. Всякое точечное свойство приписывается измеримой функции, если
оно имеет место в обычном смысле для некоторой функции в этом классе
эквивалентности. Точной верхней и точной нижней гранями измеримой
функции мы называем ее существенные точную врехнюю и точную нижнюю
грани.
Для р > 1 пространство Lp(?l) — классическое банахово пространство,
состоящее из измеримых на ?1 функций, р-я степень которых интегрируема
по 12. Норма в Ьр(п) определяется равенством
Чр
II и \\Pt п = II и lLP(n) = ( / | и | pdx ) . G.3)
Ль
Для векторной или матричной функции и мы будем использовать аналогич-
аналогичные понятия. Через | и | обозначается обычная евклидова норма. Для р = °°
пространство L°° (SI) — банахово пространство функций, ограниченных на
12, с нормой
II U Нос; П = II И '^-(П) = SUP ' U '• С7*4)
144

В дальнейшем мы будем использовать запись \\и\\р вместо \\и
случаях, когда такая запись не вызывает неясности.
Для осуществления интегральных оценок нам будут необходимы сле-
следующие неравенства.
Неравенство Юнга
a-b<ap/p+bq/q, G.5)
имеющее место для положительных чисел af b, р, q, где числа pf q связаны
равенством 1/р + \\q = 1. При р = q = 2 неравенство G.5) является извест-
известным неравенством Коши. Заменяя в G.5) число а на число ellpa, а число
Ъ — на число e~"llVb9 где е — произвольное положительное число, мы полу-
получаем интерполяционное неравенство
ab<e-ap/p+e-q/pbq/q<e-ap +e~q/pbq. G.6)
Неравенство Гёльдера
f wvdx<\\u IL- \\v\\q, G.7)
n
имеющее место для функций и G Lp(?l), v E Lq (п), 1/р + l/q = 1. Это не-
неравенство следует из неравенства Юнга. При р = q = 2 неравенство Гёльдера
является хорошо известным неравенством Шварца.
Выражение G.3) определяет норму в Lp(?l). Этот факт является след-
следствием неравенства Гёльдера. Отметим некоторые другие простые след-
следствия неравенства Гёльдера:
\пГ1/р\\и\\р<\пГ1^\\и\\я для и G Lq(u\ p<q; G.8)
II и \\q < II и ll? II и II/~х для и G //(ft), G.9)
где p<q<r и \\q = Х/р + A - Х)/г.
Объединяя неравенства G-6) и G,9), мы приходим к интерполяционно-
интерполяционному неравенству для /Анорм,а именно
II и \\я<е\\и II, + е-" II и 11р, G.10)
где
Мы будем также по мере надобности пользоваться обобщенным неравен-
неравенством Гёльдера для m функций ии и2, . . . , ит, принадлежащих LPl,
LPi, . . , , LPm соответственно, где \{рх + 1/р2 + . .. + l/pw = 1. Оно имеет
вид
/ uxu2...umdx<\\u1\\p^...\\u\\Pm G.11)
и получается из случая т = 2по индукции.
Интересно рассмотреть /,р-норму как функцию р. Пусть
1 у
—- / \u\pdx)
G.12)
для р > 0. В силу неравенства G.8) Фр(и) - неубьшающая функция отр
при фиксированной функции и. Неравенство G.9) означает, что Фр(и) —
10. Д. Гилбарг 145

логарифмически выпуклая функция аргумента 1/р. Отметим, что Фр(м) =
= | 12 \1р|| и \\р при р > 1. Несмотря на то, что функционал Фр(и) не
является нормой для р < 1, он, однако, будет полезен в дальнейшем (см.
гл.8).
Отметим здесь также хорошо известные функционально-аналитические
свойства пространств Lp (см., например, Ройден [249]). Пространство
Z,pA2) сепарабельно при р < «>. Пространство С0 A2) образует в Ьр(п)
плотное подпространство. Сопряженное пространство к Z,pA2) изоморфно
пространству Lq(u), где 1/р + \Jq = 1 ир < «>. Следовательно, пространст-
пространство Ьр(п) рефлексивно при 1 < р < °°. Показатель q-pl{p - 1), опреде-
определяемый из равенства 1/р + 1/^=1, называется сопряженным по Г'ёаьдеру
показателем для показателя р. Мы будем часто обозначать его через р\
Наконец, пространство L2 A2) — гильбертово пространство со скалярным
произведением
(и, у) = / и • у с&с.
7.2. Осреднение и аппроксимация гладкими функциями
Пространства Ck> a A2), введенные в гл. 4, являются локальными прост-
пространствами. Локальные аналоги пространств Lp мы вводим как линейные
прстранства измеримых функций, локально интегрируемых в р-й степени
по ?1, и обозначаем через Lfoc A2). Пространства Ь{*ос A2) не нормируемы,
но в них можно ввести топологию. А именно, будем говорить, что последо-
последовательность {ит} сходится к и в смысле Lfoc(?l), если последователь-
последовательность {ит } сходится к и в метрике пространства Lp(?l') для каждой
области п' С С п.
Пусть р— неотрицательная функция из С°° (Кл), обращающаяся в нуль
вне единичного шара JBt @) и удовлетворяющая условию / pdx = L Та-
Такую функцию нередко называют сглаживающей. Типичный пример такой
функции — функция
где число с определяется из условия / pdx = 1, график которой имеет коло-
колообразную форму- Для функции и G L{oc A2) и числа h > 0 определим
осреднение uh с помощью свертки по формуле
G.13)
n ' " '
Ясно, что uh принадлежит С°° A2') в любой области 12Р С С12, если только
h < dist A2', Э12). Если же и G Ьл A2) и область 12 ограничена, то при
любом h > 0 функция uh принадлежит С% (Rn).
(х - у\
J стремится к дельта-функции
Дирака, сосредоточенной в точке х. Важной особенностью осреднений ин,
146

которую мы сейчас слегка наметили, является тот смысл, в котором uh
аппроксимируют и при Л ->(). Грубо, говоря, если функция и принадлежит
локальному пространству, то осреднения uh аппроксимируют и в естествен-
естественной топологии этого пространства.
Лемма 7.1. Пусть uG C° A2). Тогда осреднения uh сходятся к функ-
функции и равномерно в любой области 12' СС 12.
Доказательство. Имеем
\x-y\<h /
х~~ У \
замена z = 1 = J p(z) u(x - hz)dz;
у h / \z |< l
следовательно, если 12' С С 12 и 2h < distA2', ЭЛ), то
sup | и - Uh I < sup / p(z) I м(х) — м(х - hz)\ dz <
n' «en1
< sup sup \u(x) — u(x- hz)\.
jten' | z \< l
Так каки равномерно непрерывна на множестве/?/, (?2') = {х | dist (x, I2')<
< h } , то ыл. стремится к и равномерно в Q,9, ?
Сходимость, о которой говорится в лемме 7.1, будет равномерной по
всей области &2, если функция и непрерывна вплоть до границы ЭГ2 и рав-
равна на ней нулю. Более того, если м€С° (?2) и существует функция и такая,
что и = и в ?2 иЛЕС0 (?2) для некоторой области Й D Э 12, то осреднение
"л функции и в области 12 при h -* 0 сходится к и равномерно в 12.
Процесс осреднения может быть применен также для аппроксимации
непрерывных по Гельдеру функций. В частности, если и ? СаA2), 0 <а <
<1,то
Ыа;П'<Ма;П% G.14)
где 12" = В^ (?2Г) и, следовательно, осреднения ин при h -> 0 стремятся к
w в смысле метрики Са' A2;) при любых а' < а и 12' СС 12. Используя лем-
лемму 637 и лемму 7.3 из следующего раздела, можно получить результаты
об аппроксимации функций из С*'а A2) (см. раздел 63).
Обратимся теперь к вопросу об аппроксимации функций из про-
пространств L fo c A2).
Лемма 7.2. Пусть и G L?oc A2^ (Z,pA2)), p < «>. Тогда осреднения
ин при h-+0 сходятся к и в смысле Z,foc(!2) (Z?(!2)).
Доказательство. Используя неравенство Гёльдера, мы получа-
получаем из G.13), что
IM*)IP< / P(z)\u(x-hz)\pdz;
\z\< 1
поэтому если 12' С С 12 и 2Л < distA2', 312), то
/ \uh\*>dx<f f p(z)\u(x-hz)\pdzdx =
a n' izi<i
= / p(z)( f \u(x-hz)\pdx)dz< f \u\pdxt
\z\<\ a' Bh{a')
10* 147

где Bh (?2') = { х | dist(x, S2') < h }. Следовательно,
G-15)
Доказательство теперь можно завершить с помощью аппроксимации, опи-
опираясь на лемму 7.1. Пусть е > О и w — такая непрерывная в 12 функция,
что II w - wiLpisl"y < е, где Q," = #„• (ft') и 2h' < dist(ft\ dft). В
силу леммы 7.1 для достаточно малых h справедливо неравенство
II w — wh "^Р(п') ^6- Применяя оценку GЛ5) к разности и - w, мы полу-
получаем неравенство
- wh ILP(nf) < 2e + II и - w УхР(пЯ) < 3e
для достаточно малых h <h*. Следовательно, осреднения uh сходятся к
функции и в /,/^(?2). Утверждение для функции и Е Z,p(ft) получается
из установленного результата, если продолжить функцию нулем вне ?1
и применить этот результат в Lfoc(Rn). ?
13. Слабые производные
Пусть функция и локально интегрируема на 12, а а — произвольный
мультииндекс. Локально интегрируемая функция v называется а-й
слабой производной функции и, если для всех функций у G CJ>a'(ft) вы-
выполняется равенство
= (- II a' / и • Da<p dx. f/Лб)
В этом случае мы пишем v = Daw. Подчеркнем, что призводная Ef*u опреде-
определена с точностью до значений на множестве меры нуль. Поточечные соот-
соотношения, включающие в себя слабые производные, будем всегда пони-
понимать выполняющимися почти всюду. Функцию, имеющую все слабые произ-
производные первого порядка, будем называть слабо дифференцируемой. Функ-
Функцию, имеющую все слабые производные до порядка к включительно, будем
называть к раз слабо дифференцируемой. Линейное пространство к раз сла-
слабо дифференцируемых функций будем обозначать через Wk(Q,). Ясно,
что Ск (п) С W (п). Понятие слабой дифференцируемое™ является обоб-
обобщением понятия классической дифференцируемости, что легко устанав-
устанавливается с помощью интегрирования по частям (формула GЛ6)).
Перейдем к рассмотрению основных свойств слабо дифференцируемых
функций. Первая лемма описывает связь слабых производных и осред-
осреднений.
Лемма 7.3. Пусть и Е L{oc A2) ,да- мультииндекс. Предположим,
что существует Dau. Тогда при выполнении условия dist (x, ЭГ2) >h спра-
справедливо равенство
D"uh(x) = (D*uMx). GЛ7)
148

Доказательство. Дифференцируя под знаком интеграла и исполь-
используя G Л 6), получаем
u(y)dy
Из лемм 7.1, 7.3 и определения G.16) автоматически следует основная
теорема об аппроксимации слабых производных, доказательство которой
мы оставляем читателю.
Теорема 7.4. Локально интегрируемая функция.v является <х~й
слабой производной локально интегрируемой функции иу v = Dau, тогда
и только тогда, когда существует последовательность {ит} функций
из С°°(п), сходящаяся к и в Lioc(?l)9 производные которых Daum схо-
сходятся кие L\oc (Г2).
Это эквивалентное описание слабых производных можно использовать
как их определение. Производные, получающиеся при таком определении,
обычно называют сильными производными. Теорема 7.4 утверждает, что
понятия слабых и сильных производных совпадают. Благодаря теореме 7.4
многие результаты классического дифференциального исчисления могут
быть с помощью аппроксимаций перенесены на слабые, производные. В
частности, справедлива формула дифференцирования произведения двух
функций
D{uv) = и - (Dv) + (Dm) • v G.18)
для всех и, v Е W1 (п) таких,- что uv> u-Dv + (Du) • v E L\oc (п) (см.
задачу 7.4), Аналогично, если функция ф отображает область Г2 на область
Й CR^ фес1 (П), ф'1 е С1 (Й) и если и е W1 (О), то v = и о ф-1 е
Е W1 (Й) и применима обычная формула замены переменных, т.е.
^ G.19)
Эх,- 7
для почти всех х Е ?1, у Е Й,у = ф (х) (см. задачу 7.5).
Важно отметить, что локально равномерно непрерывная по Липшицу
функция слабо дифференцируема, т.е. С0*1 (п) С W1 (п). Это утвержде-
утверждение следует из того, что функции из пространства С0'1 (п) абсолютно не-
непрерывны на каждом прямолинейном отрезке, лежащем в п. Следователь-
Следовательно, их частные производные (существующие почти всюду) удовлетворяют
соотношению G.1), а поэтому почти всюду совпадают со слабыми произ-
производными. С помощью осреднений можно в действительности доказать
больше: функция слабо дифференцируема тогда и только тогда, когда она
эквивалентна абсолютно непрерывной на почти всех лежащих в п и парал-
параллельных координатным осям отрезкам функции, частные производные
149

которой локально интегрируемы (см. задачу 7,8). Основные свойства
слабого дифференцирования, о которых говорится в этом и следующем
разделах, могут быть также выведены и из этого свойства.
7.4. Цепное правило
Пополним основные правила слабого дифференцирования следующим
простым цепным правилом.
Лемма7.5. Пусть f е С1 (R), /' е L°° (R) и и G W1 (п). Тогда
композиция/о ие W1 (п) uD(fo и) =/'(") Du.
Доказательство. Пусть ит ? С1 (?2 ), т = 1, 2,..., а последова-
последовательности { ит) ,{ Dum)сходятся в L\ос(Г2 ) к и, Du соответственно. Тогда
для п' С С Г2 имеем
/ \f(um)-f(u)\dx < sup|/;|/ \um-u\dx->0 при m-»°o,
I f{um)Dum- f\u)Du \dx < sup|/'| • / \Dum-Du\dx
n'
n'
Некоторая подпоследовательность последовательности {ит } ? которую мы
обозначим также через{ ит) , сходится почти всюду в п' к м, а так как
функция /' непрерывна, то и последовательность {f'(um )} сходится к
f'(u) почти всюду в Г2' . Поэтому последний интеграл стремится к нулю
в силу теоремы о мажорированной сходимости. Следовательно, последо-
последовательности if(um)} , {/ (um)Dum} сходятся к f(u),f'(u)Du соответ-
соответственно, а это и означает, что Df(u) =/' (и) • Dm. ?
Определим положительную и отрицательную части функции и следую-
следующими равенствами:
м+ = тах{м, 0} , и" = тт{м,0}.
Ясно, что и = м+ + и' и | и | = и* — w". Из леммы 7.5 можно получить сле-
следующее правило дифференцирования этих функций.
Лемма7.6.#;у<тьие W1 (?1).Тогдаи*Уи~ ,\и\ eft
х [Du, если w>0, | 0, если и> 0,
Dm ={ Dm" =
10, ес/шм<0, I Dm, если м<0,
Я", ес/ш м > 0,
0, если и =0, .
-Du, если и < 0.
150

Доказательство. Для е > 0 определим функцию
\{и2 +е2I/2-е, если м>0,
10, если и < 0.
Применяя к ней лемму 7.5, имеем
и- Du
f | f€(u)-D<pdx = - / <p. 2 /2 rfx
a u> о (и +62I/z
для всех (/jGCJ (Л). Устремляя б ->0, получаем
/ uDipdx = - f у- Dudx,
ft м > О
что и доказывает G.20) для м+. Остальные утверждения следуют из ра-
равенств if = — (—м)+ и | и\ = и+ -и~. ?
Лемма 7.7. Пусть uG W1 (п ). 7Ъгй* Du = 0 почти всюду на любом
множестве, на котором функция и постоянна.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать
постоянное значение функции равным нулю. Тогда результат сразу
следует из G.20), так как Du = Du* + Du. ?
Функцию, непрерывную и имеющую кусочно непрерывные первые
производные, будем называть кучочно-гладкой. Следующее цепное правило
обобщает леммы 7.5 и 7.6.
Те о рем а 7.8. Пусть функция f - кусочно-гладкая на R и /' Е
G L°° (R). Тогда если и G WxiSl ), то /о м ? W1 (п). Кроме того, если
L - множество точек излома функции f, то справедливо равенство
\f\u)Du, если иф. L,
D(fou)AiK ' G.21)
10, если и G L.
Доказательство. Используя индукцию, можно свести доказатель-
доказательство теоремы к рассмотрению случая одного излома. Без ограничения
общности можно считать, что эта угловая точка расположена в начале
координат. Пусть функции fl9 f2 € С1 (R) удовлетворяют условиям /{,
/2 G L°° (R), fx (и) = f(u) для и > 0 и /2 (и) = f(u) для и <0. Тогда, так
как f(u) = fx (ii+) + /2 (if), то утверждение теоремы следует из лемм 7.5
и 7.6. ? .
Объединяя лемму 7.7 и теорему 7.8, мы видим, что если h — функция
на R, принимающая конечное число значений, такая, что h(u) =/ (и) для
и фЬу то Df(u) = h(u) • Dm. Цепное правило в этом виде обобщается на
непрерывные по Липшицу функции / и функции и G W1 (?2), для которых
Л(м) • Z>w G Z, 1^A2). Доказательство этого утверждения требует больших
сведений из теории меры, нежели мы используем; однако оно является
следствием характеризации слабо дифференцируемых функций, данной
в задаче 7.8.
151

7.5. Пространства W*'p
Пространства Wktp(?l ) являются банаховыми пространствами,_анало-
гачными в некотором смысле банаховым пространствам Ск'а(?1). В
WktP(?l) понятие непрерьгоной дифференцируемо ста заменено на слабую
дифференцируемость, а непрерывность по Гёльдеру — на интегрируемость
в р- й степени. При р > 1 и неотрицательном целом к мы положим
Wk>p(Sl) = { 11G W*(ft) | />аы € Z,p(ft) для всех | а | < к}.
Ясно, что Wfc'p (?2) является линейным пространством. Норма в WkfP(?l)
определяется равенством
^(п) / OP. G.22)
Мы будем также использовать обозначение IIи \\kfPвместо \\и llfc>p. n там,
где это не будет вызывать неясности. Норму, эквивалентную норме II и llfc>p,
можно ввести равенством
1и1'**-'СП)-1в|^ 11Гч1р. G.23)
Проверку того, что пространство Wk'p(?l) является банаховым простран-
пространством с нормой G.22), мы оставляем читателю (задача 7.10).
Банахово пространство Wq*p (?1) является замыканием С* (?i) в мет-
метрике WKp(u). Пространства WKp (U) и И#>р(?2) не совпадают
для ограниченных ?2. В случае р = 2 пространства Wk'2 (?1) и Wkf2 (п)
являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением
(и, v)k = f S Dau. D"vdx. G.24)
a la I < к
Их мы будем обозначать через Нк (?2) и Нк (?2) соответственно.
Ряд функционально-аналитических свойств пространств Wk*p(?l ) и
^'^(?2) являются следствием их естественного вложения в произведе-
произведение Nk экземпляров пространств Z,p(?2), где Nk — число мультииндексов,
удовлетворяющих условию | а \ < к. Поскольку конечные произведения
и замкнутые подпространства сепарабельного (рефлексивного) банахова
пространства являются снова сепарабельными (рефлексивными) простран-
пространствами (см. [75]), мы получим, что пространства WktP(?l) и W tP(?l)
сепарабельны при 1 <р < °° (рефлексивны при 1 < р < °°).
Цепное правило (теорема 7.8) также переносится на пространства
W1'P(?L\ и?'р(?2). Действительно, в качестве следствия теоремы 7.8
и определений пространств WltP(?l ), Wo*p(?2) непосредственно полу-
получаем, что пространство W1 (?1) в формулировке теоремы 7.8 можно заме-
заменить на пространство WlfP(u), а если дополнительно /@)= 0, то
и на W Vp (^).
Локальные пространства Wk?(?l) определяются как пространства
функций, принадлежащих Wk>p(?l') для всех ?2' С С 12. Теорема 7.4пока-
152

зывает, что функции из пространства Wl'p(?l ), имеющие компактные
носители, на самом деле принадлежат пространству И^'р(?2). Более того,
функции из WltP(?l), непрерьюно обращающиеся в нуль на Э?2, принад-
принадлежат на самом деле пространству W10tP(^l)9 поскольку их можно прибли-
приблизить функциями с компактными носителями.
Пространства Соболева с р = °° и пространства Липшица совпадают.
В частности, Wkx? (п ) = С*~1 л (п ) для любой области пи Wk>°° (?2) =
= Ск~~1*1 (?2 ) для области п с достаточно гладкой (например, липшице-
вой) границей Э?2 (см. задачу 7.7).
7.6. Теоремы о плотности
Из лемм 7.2 и 7.3 следует, что если функция и принадлежит простран-
пространству WktP(?l ), то для всех мультииндексов а, удовлетворяющих нера-
неравенству | а | < к, производные Ef*uh стремятся при й->Ок производ-
производной Lfu в смысле Lpoc (?2). Используя этот факт, докажем общий резуль-
результат об аппроксимации.
Теорема 7.9. Подпространство С°° (п ) П Wk'p(п) плотно в
Wk>p(u).
Доказательство. Пусть ?2;-,/ = 1, 2,..., — подобласти области ?2,
удовлетворяющие соотношениям ?2;- С С ?2;- + х С С ?1 и U?2;- = Г2, и пусть
{ ^/ } »/ = 0> 1» 2, . . . , — разбиение единицы (см. задачу 6.8), подчиненное
покрытию {?lj+i — ?2/_i>; ?2о и Г2_х определяем как пустые множест-
множества. Тогда для произвольной и G Wk'p(?l) и произвольного е > 0 мы можем
выбрать числа А/,/ =1,2,..., удовлетворяющие неравенствам
А- < dist(fy,afy41)> /> 1,
G.25)
Обозначая и/ = (^/")л» из G.25) получаем, что только конечное число и;-
не обращаются в нуль7на произвольном подмножестве ?1' С С Л. Следо-
Следовательно, функция v = Su7- принадлежит пространству С°° (?2). Кроме
того,
e'
Этим завершается доказательство. П
Теорема 7.9 показьгоает, что пространство WkfP (?1) можно определить
как пополнение пространства С°° (Г2) по норме G.22). Во многих случаях
такое определение предпочтительнее.
В формулировке теоремы 7.9 в случае произвольной области п заменить
С°° (п ) на С°° ( п ) нельзя. Однако С°° ( Г2 ) плотно в W*4 р(?1) для широ-
широкого класса областей ?1. В этот класс входят, например, области класса С1
(см. задачу 7.11). Справедлив следующий более общий факт: если
область Г2 удовлетворяет условию сегмента (это означает, что сущест-
существуют локально конечное открытое покрытие { %t) границы^ Э?2 и соот-
соответствующие векторы уг такие,^то х + tyl G ?1 для всех х G ?2 r\%t и t G
€ @,1)), то пространство С°° (п) плотно в W*'p(?2) (см. [4]).
153

7.7. Теоремы вложения
Этот и следующий разделы посвящены изучению связи между значения-
значениями в точках и интегральными свойствами слабо дифференцируемых функ-
функций и их производных. Один из простейших результатов такого типа име-
имеет вид: слабо дифференцируемая функция одной переменной обязатель-
обязательно абсолютно непрерывна. В этом разделе мы докажем хорошо известные
неравенства Соболева для функций из Wo*р (п).
Те о рем а 7.10.
\ при р<п,
при р>п.
( Lnp^n'
I С°(п)
Более того, существует постоянная С = С (и, р) такая, что для любой функ-
функции uEiWg *Р(Г2) справедливы неравенства
И" hp/(n-p) < C\\Du \\p при р< п, ,п~,\
G.26)
sup \и | < С\ SI |1/л ~ 1/р IIDu IL при р>п.
а
Доказательство. Сначала докажем оценки G.26) для функций
из Cj (?2 ). Пусть р = 1. Так как для любой функции w из Со (Л) и для
xi
любого i\ 1 < f < w, вьшолняется неравенство I w(jc)| < / I Дм| dxiy
т0 « - i/(« - 1)
| и (рс) Iw/(w - 1} < ( П / | DiU \dxt) . G.27)
i = i —°°
Неравенство G.27) последовательно проинтегрируем по каждой пере-
переменной xi9 i =1,2,..., л, причем после каждого интегрирования приме-
применим обобщенное неравенство Гёльдера G.11) с показателями рх =...рл =
= я— 1ит = и— 1. Получим неравенство
\\и\\пКп _ 1} < ( П / |Z),ii|rfjc) < ~ / 2 |/>fii|djc <
II г. G.28)
Тем самым доказано неравенство G.26) для случая р = 1. Чтобы доказать
это неравенство для остальных значений ру заменим и в неравенстве G.28)
некоторой степенью | и\ 7. При )> 1 в силу неравенства Гёльдера полу-
получим оценки
И l«l7 Kun-i) < "?=-/ \и\у~х \Du\dx <
<^||||МГ-Ч1Р.. nz)u|lp.
154

Для р<«мы возьмем число у удовлетворяющим равенству упЦп-Г) =
= (Т ~ 1)р' = (т-Ор/(Р ~ О» т-е- 7 =(п-1)р/п-р. Получим требуемое
неравенство
II" ИЯр/(я - р) < (у1у/п) • ИЯи Ир.
В случае р > п требуемая оценка получается немедленно, если объединить
неравенства G.34) с q = °° и /i= 1/л и G.37) из следующего раздела. Здесь
мы дадим другое доказательство, которое опирается на уже доказанную
оценку в случае р = 1. Введем (при р > п) функцию м= ул | м| / II ?>м ||р и
предположим, что | ?2 | =1. Тогда получаем II и у II „' <у Им7 II рр, п =
/)У/)
II U \\уП' ^ t nU n'(y-l) ' I' p' »
так как | ?1 | =1. Теперь подставим вместо у значения 5^,^ = 1,2, ...,
где б -nip1 > 1. Получаем
Итерируя эти неравенства начиная с v = 1 и используя оценку G.28), при-
придем к неравенству II fu\ntbv- < д*р6~Р = X для любого целого v. При
v -> °° в силу утверждения задачи 7.1 получаем sup и <х> и поэтому
sup|nf< (x/V^) * I' ^« Ир- Чтобы освободиться от ограничения | ?2| =1,
сделаем преобразование переменных вида yt = \ п \ llnxt. Мы получим
тогда
sup и < (хА/я) • \п\11п~11р WDu lp,
что и требовалось установить.
Для перенесения оценок G.2) на произвольные функции и G Wj'p(?2)
возьмем последовательность {wm} функций из Со(^), стремящуюся
кмв метрике WliP(Sl). Применяя оценки G.26) к разности wWj - mWj,
мы получим, что последовательность { ww } является последовательностью
Коши в Lnpl (п~р) (п) при р < п и в С0 ( П,) при р > л. Следовательно,
предельная функщя и также лежит в Lnp^n~p^ (п) при р < п и соот-
соответственно вС°(й) прир > л и удовлетворяет оценке G.26). ?
Замечание. Наилучшая постоянная С в оценке G.26) для случая
р <п была вычислена Родемичем [248] (см. также [33], [278]),который
показал, что
c--L(
пу/ъ \
и!Г(и/2)
2Г(п/р)Г(п + 1-п/
При р = 1 это число равно хорошо известной постоянной п'1 {^n)~lfn.
Будем говорить, что банахово пространство Здх непрерывно вложено
в банахово пространство $?2, и писать 3&х -> 33 2, если существует огра-
155

ничейное линейное взаимно однозначное отображение ISli -*$?2- Теорема
7.10 может быть записана в виде:
Wl >р (ft) -* Lnp/{n ~ P\SI\ если р < п,
C°(ft), если р> п.
Применив утверждение теоремы 7.10 к раз, мы придем к ее обобщению
на случай пространств Wqp(&)
С л е д ствие7.11.
Л кр\п) для кр <п,
W fP(?l) —
о '^>>ст(п) для 0 < т< к - п/р.
Второй случай есть следствие первого, как и случай р >п теоремы 7.10.
Оценки G.26) и их обобщения на пространство W%*p(?l) показывают,
властности, что на W*tP(u) можно определить эквивалентную G.22)
норму равенством
К \D*u\*dx)IP. G.29)
-
B следствии 7.11 пространство W%tP(?l) в общем случае нельзя заменить
на Wk>p(?l). Однако эта замена может быть обоснована для широкого
класса областей. В этот класс областей входят, например, области с грани-
границами, непрерывными по Липшицу (см. теорему 7,26). Более общо: если
область ?2 удовлетворяет равномерному условию внутренного конуса
(это значит, что существует фиксированный конус K$i такой, что каждая
точка х GMQ является вершиной конгруэнтного конусу К& конуса
К&1 (х) С ?2 ), то имеют место вложения
тпр/(п - *р)(Д) д/1Я кр < П,
/ G.30)
(ft) для 0 < т< к - п/р,
а| < т}.
7.8. Оценки потенциалов и теоремы вложения
Теоремы вложения предыдущего раздела могут быть получены другим
способом с помощью оценок некоторых потенциалов. Пусть д €@, 1].
Определим оператор FM на пространстве L1 (ft ) с помощью потенциала
Рисса
G.31)
а
Оператор Уц определен для всех/ € L1 (ft) и отображает пространство
Z,*(ft) в себя. Этот факт вытекает из следующей далее леммы. Но прежде
156

заметим, что если в G.31) взять/= 1, то получим
FM1 < /T^VlOr G.32)
Ибо если выбрать R > О такое, что | п\ = | BR (х) | = cowjR" , то
Лемма 7.12. Оператор FM непрерывно отображает пространство Lp(?l)
в пространство Lq (п ) при любом q, 1 < # <«>, удовлетворяющем нера-
неравенствам
0< Ь = б (р, ^) = р - G < ju. G33)
Более того, для любой функции fGLp(?l)
f V"б J^ | П |
М-
V
/
II/ |р. G.34)
Доказательство. Возьмем число г > 1 такое, что г ~х = 1 + cf1 —
p-i = 1^6. Тогда h(x-y) =| х-;|я(м" ° €// (П),ив силу G.32)
/1 - бХ1" ,
получаем II /г 11Г < ( ) со^м I Я I м " • Оценку G.34) можно
теперь получить, приспосабливая обычное доказательство неравенство
Юнга для сверток b.R". Записыйая'/г | /1 = hrl<t h Ki- i/p) | f\^\f \Pd,
мы можем оценить с помощью неравенства Гёльдера G.11)
так что
< sup If hr(x-y)dy}i/r • l/lp
1-6
«я1-*4 I ЩМ I/I». П
Отметим, что лемма 7.12 может быть усилена в том смысле, что оператор
FM преобразует пространство Lp(?l) в пространство Lq (?2) непрерывно,
если выполнены неравенства р > 1 и 6 < д. Доказательство этого факта
157

осуществляется с помощью неравенств Харди и Литтлвуда (см. [319]).
Однако для наших целей достаточно приведенного утверждения. Заметим,
что при р > д оператор V^ непрерывно отображает Z,p(ft) в Z,°° (ft),
рассмотрим теперь промежуточный случай р = д .
Лемма 7.13. Пусть f G Lp(?l ) и g = V1/pf. Тогда существуют такие
постоянные Сг и С2, зависящие только от п и р, что справедливо нера-
неравенство
1 ехр([я~т~ГLс < Сг ' п '• р>= р/(р " °- G'35)
Доказательство. Из леммы 7.12 для произвольного q > p сле-
следует, что И* И(?<^1/р+ 1/<?со1л-1/Р| n| l/q II / 11р,такчто/|^|^^<
а
<ql+q/p' O3qlp' | ft | . II / II* и поэтому при q > р - 1 / | ^ К«<йс<
^ И/ IIS )^ I ftl- Следовательно, ^
р'Аг
j
лг 1/1*1 V
г 2 — f-iiJ—) dx
п k = N0 Jfe! VC! II/Ир/
Требуемая оценка G.35) получается в силу теоремы о монотонной сходи-
сходимости и G.8), так как ряд вправой части сходится при с? > есопр. П
Следующие леммы полезны для уяснения связи между слабыми произ-
производными и потенциалами, введенными выше.
Ле м ма7.14.Я^сгьмЕ И^1'1 (Л). Тогда
1 (Xiyi)DiU(y)
и(х) = / dy почти всюду в п. G.36)
n<*nti \х-У\
Доказательство. Предположим, что и G Со(Г2). Продолжим
функцию и нулем вне ?1 . Тогда для любого вектора со такого, что
|со| =1, имеем и(х) = — / Dru(x + rco) dr. Интегрируя по со, получаем
о
1
и (х) = / / Dru (jc + rco) drdoj =
л <*>л о | w | = 1
\x-y\n
ay
Теперь утверждение леммы следует из леммы 7.12 и того факта, что прост-
пространство Со (ft) плотно в Wox д (ft). ?
158

Отметим, что из формулы G.36) с помощью формулы интегрирования
по частям G.16) получается представление ньютоновым потенциалом
функций класса Со (?2 ) — равенство B.17). Мы также получаем для
we W*'1 (ft) оценку
|и| < — V1/n\Du\. G.37)
лсо„
Объединяя результаты леммы 7.12 и неравенство G.37), мы получаем
вложение Wo'p(ft) -> Lq (ft) дляр~* — q~* < п ~*, которое почти совпа-
совпадает с утверждением теоремы 7.10. Для целей этой книги достаточна и эта
более слабая форма соответствующих вложений. К тому же, объеди-
объединяя лемму 7.13 и неравенство G.37), мы получим уточнение этого утверж-
утверждения в случае р = п, выражающееся следующей теоремой.
Теорема 7.15. Пусть и G WQl *п (ft). Тогда существуют такие постоян-
постоянные Сх и С2, зависящие только отп, что
~ )
dx <c>^1 G-38)
Замечание. Оценка G.37) легко обобщается на слабые производ-
производные высокого порядка. Для и G W**l (ft) она имеет вид
\и\< —-^ Vk/n |Dku |. G.39)
С ее помощью и с помощью леммы 7.13 можно получить обобщение теоре-
теоремы 7.15. А именно существуют такие постоянные Сг и С2, зависящие толь-
только от п и к, что если мЕ H^'^ft) cn = kp, то
В случае р > п теоремы вложения Соболева могут быть уточнены сле-
следующим образом.
Л е м ма 7Л6.Пусть область ft выпуклой и G W1*1 (ft). Тогда
dn
\u(x)-us\ < —— / | х - у | п | Du (y) | dy почти всюду в (ft),
# I S I ft
G.41)
1
fu(x)dx,
= diamft,
д S - произвольное измеримое подмножество ft.
Доказательство. В силу теоремы 7.9 достаточно доказать утверж-
утверждение теоремы для функций и из С1 (ft). В этом случае для произвольных
159

точек х,у Е ?2 мы можем записать, что
Ul у-х
= — J Dru(x + rco)dr, co =
о \у-х\
Интегрируя это соотношение по у ? 5, получаем
\х-у |
/
Dru(x
о .
Ввводя функцию
имеем
()
ТТГ ' dyf
\S\ \x-y\<d 0
l
777^ / S
\S\ О |ш|=1 О
* -^- 7 / V(x+rG>)do>dr=^—S\x-y\l-n\Dru{y)\dy.U
n\S\ о |wi=i n\S\a
Мы можем теперь доказать теорему вложения Морри. __
Теорема 7.17. Пусть и € W^p(u)u р > п. Тогда и G С7(ti), где
7=1— п/р. Более того, для любого шара B = BR
osc u<CRy\\Du\\Pi G.42)
п. п br
гдеС=С(п,р).
Доказательство. Объединяя оценки G.41) и G.34) для слу-
случая, когда S = ?2 = 2?, q = °° и /i = гГ1, получаем:
I u(x) -uB\<C(n,p)Ry ||Du ||p почти всюду впПВ.
Отсюда следует требуемый результат, так как \и(х) — и(у)\ <
< \и(х)-ив | + |г/(^)~«Б \<2C(n,p)Ry\\Du \\p почти всюду в п ПВ. ?
Объединяя результаты теорем 7.10 и 7.17, получаем оценку для и G
G Wj'^ft) в случае р>л:
||||о,т<С[1+(с11атПЯ .||Л|||р. G.43)
Запишем результаты теорем 7.10,7.15 и 7.17 в*виде следующей диаграммы:
?яр/(»-р>(П)э если р<п,
C если (р = ехр(иГ/<Л-1>)-1, р = /2,
^ если Л=1-л/р, р>л.
Здесь через Ь*(?1) обозначено пространство Орлича, порождаемое функ-
функцией <р (более точное определение пространства Ь*(?1) см. в [283]).
160

В этой книге для получения большинства априорных оценок будет
достаточно более слабых форм неравенств Соболева, известных как нера-
неравенства Пуанкаре. Из лемм 7.12 и 7.14 мы имеем для мЕ Wq'p(u), 1 <
/ 1 \1/я
II и И„ <( —Ш|) ||Л|||р, G.44)
а в силу лемм 7.12 и 7.16 для и G W г'р(Ц) в выпуклой области ?1
G45)
7.9. Оценю! Морри и Джона - Ниренберга
Перейдем теперь к рассмотрению потенциальных операторов FM на дру-
другом классе пространств и докажем результаты, принадлежащие Морри
(теорема 7.19) и Джону и Ниренбергу (теорема 7.21). А именно, интегри-
интегрируемую функцию / будем назьюать функцией класса Мр(п), 1 < р < °°,
если существует такая постоянная К, что
/ \f\dx<K.Rn(<l-1lP) G.46)
для любого шара BR. Норму Wf\\MP^\ определим как наименьшую по-
постоянную К, с которой выполяется неравенство G.46). Легко видеть,
что
Ограничимся рассмотрением случая, когда р > д "х.
Лемма 7.18. Пусть /еМр(П) и б=р <д. Тогда
I УцГ(рс)\< —^(йштп)п^-дЦ/\\мртпочтивсюдув п. G.47)
Доказательство. Продолжим функцию /нулем вне п и опре-
определим *>(р)= / 1/(^I^. Тогда (р= \х-у |, rf=
*<>
ST2
d
д -5
в силу G,46). ?
Следующая теорема обобщает теорему 7.17.
Теорема 7.19. Пусть и GWl>l(u). Предположим, что существуют
положительные постоянные Киа (а < 1)такие, что
f\Du\dx<KRn~1+<* для всех шаров BR С п. G.48)
BR
И. Д. Гилбарг 161

Тогда и е С°*а(п) и для любого шара BRC?l
oscu^CKR", G.49)
где С=С(п,а).Если ?2 = Й ПЕ?={х?Й| хп>0), й - некоторая об-
область Rn и неравенство G.48) выполнено для всех шаров 5лСЙ„го«6
? С°»а(?2 П ?1) и неравенство G.49) выполнено для всех шаров BR С ?1.
Теорема 7.19 получается в результате объединения утверждения лем-
леммы 7.16 E=12) и леммы 7.18.
В качестве следствия леммы 7.18 имеем следующее утверждение.
Лемма 7.20. Пусть /емр(п) (р>1) и g=V»f, yi = p~l. Тогда су-
существуют постоянные Сх и С2, зависящие только от пи >, такие, что спра-
справедливо неравенство
f ехрГ-?¦!- ) dx < C2 (diam п)п, G.50)
п \ С\К /
где К = \\ПмР{ау
Доказательство. Представив при q > 1 величину | х - у |п ^ '
в виде
\Х -у |w0*-l)= |^_ у |(М/9-1)»/9|л _^ |ИA-1/<?)(М/<?+М-1)
и воспользовавшись неравенством Гёльдера, получаем неравенство
В силу леммы 7.18
Также, в силу леммы 7.12,
fvu/(
Следовательно,
а
^p'ointtp-VqW-d", p'=pKp-l).
Отсюда
AT \g\™ N
f
n
если (р - l)e < Ci. УстремляяiV->«>, получаем G.50). П
Объединяя результаты леммы 7.16 и 7.20, имеем следующее утверж-
утверждение
Теорема 7.21. Пусть ?1 - выпуклая область и u€Wl у1(п). Предпо-
Предположим, что существует такая К, что для любого шара BR справедливо
162

неравенство
f \Du\dx<KRn~1. G.51)
SI О BR
Тогда существуют такие зависящие только от п положительные постоян-
постоянные о0 и С, что
/expf -\u-un \)dx < C.(diamfiI1, G.52)
а \К /
где о = а0 • i п | • (diam п)~~п.
7.10. Теоремы о компактности
Пусть банахово пространство ЗВ\ непрерывно вложено в банахово прост-
пространство 532. Будем говорить, что в&х компактно вложено в $?2,если опе-
ратор вложения /: "S3г -*5Э2 компактен, т.е. если образ любого ограничен-
ограниченного в 931 множества является предкомпактным множеством в 9И2 -
Сейчас мы для пространств Wq'p(?L) докажем теорему о компактности
Кондрашова.
Теорема 7.22. Пространство W$ > р(?1) компактно вложено:
(i) в пространство Lq(?i) при любом q < пр/(п - р), если р<п,
и __
(ii) в пространство С0(?2), если р>п.
Доказательство. Утверждение (ii) является следствием теоремы
Морри (теорема 7.17) и теоремы Арцела о равностепенно непрерывных
семействах функций. Остановимся на утверждении (i) и докажем сначала
его для случая q - 1. Пусть А — ограниченное множество в JfJ * р(?1). Без ог-
ограничения общности можно считать, что А С Со (?1) и что II w II i, р; п ^ 1 ДДЯ
всех иЕА. Для h > 0 определим множество Ah = {uh \ и €А } из осредне-
осреднений ин функций и (см. формулу G,13)). Покажем, что множество Ah яв-
является предкомпактным в L1 (?1). Для и G А имеем
< / P(z)\u(x -hz)\dz<h-nsupp\\u\\1
UK l
\Duh(x)l<h'1 f
UKi
Поэтому множество Ah является ограниченным равностепенно непрерыв-
непрерывным подмножеством С0(?2) и в силу теоремы Арцела будет предкомпакт-
предкомпактным в С°(?2). Следовательно, оно также предкомпактно в /,*(?2). Для и G
? А справедлива следующая оценка:
|< / p(z) • \и(х) -и(х - hz)\dz <
z)|2|<1
P() f\Dru(x-roj)\drdZi w = z/\z\.
|z К 1 0
И* 163

Интегрируя ее по х, получаем оценку
f\u(x)-uh(x)\dx<h f\Du\dx<h. j^l1^.
Следовательно, uh равномерно (по и из А) близко к мв!1^). А так как,
как мы показали выше, при каждом h > О множество Ah вполне ограни-
ограничено в Ll(?L), то отсюда вытекает полная ограниченность множества А.
Тем самым в случае q = 1 утверждение установлено.
Для распространения результата на случай произвольного q < npl(n — р)
оценим в силу G,9) и теоремы 7.10
где X +A — Х)A/р — 1/и) = 1/q. Таким образом, и при q > 1 ограниченное
в Wq>p(u)множество является предкомпактным в Lq(?l). Теорема до-
доказана. ?
Несложное обобщение теоремы 7.22 показьюает, что вложения
тя кр<п> ЖпКп-крХ
для 0<т<к-п/р
компактны и что для некоторых классов областей 12 пространство
можно заменить на Wk'p(U); см. теорему 7.26, задачу 7.14.
7 Л1. Разностные отношения
8 дифференциальных уравнениях с частными производными слабая или
классическая дифференцируемость функций часто может быть получена
непосредственно из рассмотрения разностных отношений. Пусть функ-
функция и определена в области п С R", Обозначим через е/ единичный коор-
координатный вектор 1-й оси. Как и в гл. 6, мы определим разностное отношение
в направлении вектора е/ формулой
X\ G53)
Следующие фундаментальные леммы посвящены разностным отноше-
отношениям функций из пространств Соболева.
Лемма 7.23. Пусть uew lfP(u). Тогда для любой u'cc?lnpuh<
< dist(O', Э12) разность Ahu € Lp (п') и имеет место оценка
с с,
Доказательство. Предположим сначала, что и € С1 (Sl)nWг *р(п).
Тогда
Д
1 л
= - /
п о
164

По неравенству Гёльдера
1 ь
\Ahu(x)\p< -/
h о
и следовательно,
/ \Ahu(x)\pdx< - f f \DiU\pdxdH< f\Dni\pdx.
a' ho вн(П') to
Обобщение результата на произвольные функции из WX>P(Q.) получается с
помощью аппроксимации и теоремы 7.9. ?
Лемма 7.24. Пусть и GLP(U)9 Kp<<*>. Предположим, что сущест-
существует постоянная К такая, что Ahu eLp(Sl') и \\ Ahu HLP(n') < К для всех
h > О и Q! С С 12,удовлетворяющих условию h < dist(?2', Э?2> Тогда сла-
слабая производная Dtu существует и удовлетворяет неравенству
\\DiU\\LPia)<K.
Доказательство. В силу слабой компактности ограниченных
множеств в Lp(?lf) (задача 5.4) существуют стремящаяся к нулю последо-
последовательность чисел {hm }, функция v ?Lp(u), || v \\p <K такие, что для всех
ip G Со (?1) выполняется соотношение
f<p.Ahmudx-+ fip.vdx.
Если hm < dist(supp<p, 312), то
/(р • Ahmudx = -f и • A"Hmipdx -> -/ и
о п to
Следовательно, fy- vdx = — fu- D^pdXy откуда и =D,w. ?
to to
7.12. Продолжение и интерполяция
При некоторых условиях на область 12 функции из Соболевских прост-
пространств Wk*p(u) могут быть продолжены на все пространство Rw так, что
продолженные функции будут принадлежать Wk*p(Rn). Мы начинаем этот
раздел с фундаментального результата о продолжении, аналогичного резуль-
результату леммы 6.37. Он будет применен к обобщению ранее доказанных тео-
теорем вложения и для получения интерполяционных неравенств для норм
Соболевских пространств.
Тео.рема 7.25. Пусть П -область в Rn класса С*"'1, к>1.Тогда:
(О С°°(п)плотно в Wk>p(u), 1 <р<оо;
(ii) для любого открытого множества 12' Э Э 12 существует ограничен-
ограниченный линейный оператор продолжения Е, действующий из Wk'p(u) в
Wk'p(p!), такой, что Ей =и в области п и для всех и G Wk>p(u)
\\Е*\\*.Р;П'<С\\и\\к9р.п9 G.54)
где С = С(Л,12,П').
165

Доказательство. Отметим, что в силу лемм 6.37 и 7.4 утвержде-
утверждения (i) и (ii) эквивалентны. Сначала рассмотрим результат о плотности,
сформулированный в (i), для полупространства R+ = {х Е Rn \ хп > 0}.
Легко проверить, что функция vh (x), заданная формулой
/x
f и(у)р{
h() h( n) f (у)р{
уп > о V h
сходится при h -> 0 к функции и в метрике Wk'p(R+). Соответствующее
продолжение Еои функции и на все пространство Rn можно определить
так же, как в лемме 6.37, а именно:
и(х), для хп>0,
* аи(х',-хп/0, цдяхп<0,
i~ 1
где С\, С2, - . > , с к — постоянные, удовлетворяющие системе уравнений
/= 1
Если и е C°°(R?) П Wk> P(R?), то Еои G C^ >l(Rn) П H^fe' P(RW) и, кроме,
того,
l?ro«lkfPiR«<CI«lkfP.R?, G.57)
где С = С(&), Отсюда следует, что оператор Ео отображает Wk*p{R!l) в
W*'P(R"),причем выполняется неравенство G.57) для всех wG Wk'p(R+).
Рассмотрим теперь случай, когда ?1 — область в Rn класса Ск~1 jl, Сог-
Согласно результатам, доказанным в разделе 62, существует конечное число
открытых множеств ?lj С О,',/ = 1, 2,,, . ,N, которые покрывают границу
дп, а соответствующие им преобразования \pj области 12у на единичный
шар В = By @) С Rn таковы, что выполняются условия:
(i) ^-(Ц- П ^2) = В+ = В П RJ;
(И) i
(ш)
Пусть 12о — подобласть 12, S20 С С 12 такая, что объединение { ?2;- } , / =
= 0, 1, . . . , TV, является конечным покрытием области 12, Пусть г?;-, / =
= 0, 1, . . . , N, — разбиение единицы, соответствующее этому покрытию.
Тогда (r}jii)° i//;rl ?. Wk'p(R+) (задача 7.5), и следовательно,Ео [(т?7-м) о
о ф^1] е Wk>P(Rn). Отсюда J?0[(t?/M) ° ^,г1] ° */ € ^^(П,),/ =
= 1, 2, , , , ,7V, так как supp r?y- С 12;- • Тем самым отображение Е, определен-
определенное для функций и ? Wk*p(p.) формулой Ей- ищ + 2 Ео [(r?;w) о i//7~1 ]о
° Ф], удовлетворяет следующим условиям: Ей € И^о'^Чй1),-/?!* = и на 12 и
¦Яи1*,р; п <С1и1*,р; п.гдеС^СС*,^*/,!?/) = С(*,П, Я'), Кроме
того,(^)л ->wb ^л'рA2) при/г -*0,П
Объединяя результат теоремы 7,25 для случая к = 1 с предыдущими
результатами о вложениях (теоремы 7Л0, 7Л2 и 7,22) , мы получаем соот-
166

ветствующие теоремы для соболевских пространств Wl'p(Sl) в областях
12 с границей, удовлетворяющей условию Липшица. Итерируя эти результа-
результаты, мы получаем следующую общую теорему вложения для пространств
k
Теорема 7.26.Пусть 12 - область в Кп класса С0'1. Тогда:
(i) если кр < п, то пространство Wk*p(?l) непрерывно вложено в прост-
пространство LР*(Р>),р* = пр/(п - кр),и компактно вложено в Lq A2) для лю-
любого q<p*;
(ii) если 0 <m <k - п/р < m + 1, то пространство Wk'p(?l) непрерыв-
непрерывно вложено в Ст'а(п ),а = к -п/р - т,и компактно вложено в С'* A2)
для любого Р < а.
Обратимся теперь к выводу интерполяционных неравенств. Сначала рас-
рассмотрим случай пространств Wo' рA2).
Теорема 7.27. Пусть и G Wk'p(u). Тогда для любого е > 0 и любо-
любого мультииндекса /3,0 < | /31 < к, справедливо неравенство
*)|tt |p;O, G.59)
гдеС=С(к).
До казательство. Мы докажем неравенство G^9) для случая
IР | = 1, fc = 2, который будет в необходим в гл. 9. Соответствующая индук-
индукция приводит к требуемому результату в случае произвольных 0, к.
Пусть и € Со(Rw)* Рассмотрим интервал (д, Ъ) длины е,Ь - а = е. Для
х' в (а, а + б/З) и х" €Е (Ь — е/39 Ь) по теореме о среднем мы можем запи-
записать
и(х')-и(х")
х'-х"
3
€
где л: — некоторая точка из (а, Ь). Поэтому для любого х Е (а, Ь) справед-
3 ъ
ливо неравенство | м# (х) | < — (| и (*') | •+ | и (х" ) |) + / | и" (у) | dy. Инте-
в й
грируя его по х' е (а, а + е/3) и х" е (Z> - б/З, Ь)9 получаем неравенство
ьг ,, 18 ьг
I w (^г)| < J \и (у)\dy + -т— J Iu(y)\ dy. Отсюда в силу неравенстваГёль-
а € а
дера имеем
{ь A8)^ ъ )
a €p + 1 a )
Интегрируя это неравенство по интервалу (а, Ь), получаем
f\u'(x)\pdx<2p~x \epf \и\у)\р4у+Щ— flu(y)\pdy\.
a la ер а )
Разделим числовую прямую R на интервалы длины €, для каждого из
них запишем полученное выше неравенство и сложим их. Получим следую-
следующее неравенство:
{/ 18 \р )
ер f\u\y)\pdy+( ) f\u(y)\pdy\. G.60)
167

Это и есть требуемое неравенство в одномерном случае. Для его обобщения
на многомерный случай зафиксируем i, I </ </t, и применим неравенство
G.60) к функции и Е Со (?2), рассматриваемой как функция одной пере-
переменной Xj, Последовательным интегрированием по оставшимся перемен-
переменным мы придем к неравенству
/ |Dtu{x)\pdx <2Р~Х [ер / \DHu \pdx+(lSle)p f \ и \pdx) .
с
Итак, II Dtu 11р < € II DijU \\р + — II и \\р с постоянной С= 36. D
Объединяя результаты теорем 7,25 и 7.27, мы приходим к интерполя-
интерполяционным неравенствам для соболевских пространств.
Теорема 7.28. Пусть Г2 - область в Кп класса С1'1, а и G Wk>p(U).
Тогда для любых е > 0,0< | 01 < fc выполняется неравенство
ИМ/ \\р; а <е \\и\\Кр, n+Ce^W^-k>\\u \\p, n, G.61)
гдеС=С(к,?1).
Другие источники интерполяционных неравенств указаны в задачах 2,15,
7Л8 и 7Л 9, Отметим, что результаты о плотности, продолжении, вложении
и интерполяции (теоремы 7,25, 7.26 и 7,28) имеют место при менее огра-
ограничительных условиях на область Г2 (см, [4]).
Примечания
Родственный материал о соболевских пространствах читатель может
найти в книгах [4], [313], [208] и [214] .*) Следуя традиции, мы называем
рассматриваемые в этой главе пространства слабо дифференцируемых
функций Соболевскими пространствами, хотя различные понятия прост-
пространств слабо дифференцируемых функций использовались и до работы Со-
Соболева [267] (см, по этому поводу [204] и [208]), Методы осреднения
или регуляризации функций появились у Фридрихса [314]. Теорема о плот-
плотности (теорема 7.9) установлена Мейерсоми Серрином [188]. Неравенства
Соболева (теорема 7Л0) были по существу доказаны Соболевым [267],
[268]; для случая р < п мы следовали доказательству Ниренберга [217].
Оценки Гёльдера (теоремы 7Л7 и 7.19) были получены Морри [204]. Тео-
Теорема 7.21 доказана Джоном и Ниренбергом [85]; наше доказательство
взято из [283], где имеется также оценка теоремы 7Л5, Результат о ком-
компактности (теорема 7.22) принадлежит в случае р = 2 Реллиху [246], а в
общем случае — Кондрашову [125].
*) См. также работу: Соболев С.Л. О некоторых оценках, относящихся к
семействам функций, имеющих производные, интегрируемые с квадратом // ДАН
СССР. - 1936. - Т. 1. - С. 267-270, и книги; Никольский С,М. Приближение
функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969; Бесов О.В.,
Ильин В.П., Никольский СМ. Интегральные представления функций и теоре-
теоремы вложения. - М.: Наука, 1975; [147 ]; М а з ь я В.Г. Пространства Соболева. -
Л.: Изд-во ЛГУ, 1985, в которых можно найти и изложение истории этого вопроса. -
Примеч. ред.
168

Задачи
7.1. Пусть п - ограниченная область в Rw. Если функция и измерима на а и тако-
такова, что j и \PG. Lх (П), то можно определить функционал
Фр{и)=[\ПГ1 J \u\pdx]1/p,
Покажите, что
(i)
(ii)
(iii)
lim
lim
lim
p-* 0
Фр(") =
фр(м) =
: sup
а
inf
Фр(м) = ехр
ImI;
Iwl;
1
mi
-;
tog | и \ dx 1 .
7.2. Покажите, что функция и слабо дифференцируема в области ft тогда и только
тогда, когда она слабо дифференцируема в окрестности любой точки ft.
7.3. Пусть а, /3 - мультииндексы им — локально интегрируемая в области $1
функция. Покажите, что если какие-либо две из трех слабых производных Da+PUt
Da(P^u), D^(Dau) существуют, то существуют все три и они совпадают в ft почти
всюду.
7.4. Выведите формулу дифференцирования произведения G.18). (Указание:
рассмотрите сначала случай и е W1 (П), и е С1 (П).)
7.5. Выведите формулу G.19) и покажите, что она остается справедливой и в
предположении, что ф е С »* (ft), \р~* е С0»1 (Й).
7.6. Пусть П - область в R", содержащая начало координат. Покажите, что функ-
функция 7> определенная равенством у = \х |*"°, принадлежит И/*,П) при ^ + а < п.
7.7. Пусть ft - область в R". Покажите, что функциям принадлежите0»1 (?2) тогда
и только тогда, когда она слабо дифференцируема и имеет локально ограниченные
слабые производные.
7.8. ПустьчП - область в Rw. Покажите, что функция и слабо дифференцируема
в ft тогда и только тогда, когда она эквивалентна функции п, которая абсолютно
непрерывна на почти всех отрезках в ft, параллельных координатным осям, а ее
частные производные (которые существуют почти всюду в ft) локально интегри-
интегрируемы в ft (см. [208, с. 66 ]). Выведите из этого свойства формулу дифференциро-
дифференцирования произведения и цепное правило для слабого дифференцирования.
7.9. Покажите, что нормы G.22) и G.23) являются эквивалентными нормами
BV*'P(fl).
7.10. Докажите, что пространство W ' p(fl) полно по каждой из норм G.22) и
G.23),
7.11. Иусщ ft - область, граница которой локально может быть представлена как
график непрерывной по Липшицу функции. Покажите, что пространство €°° (Л) плот-
плотно в пространстве Wk>p(a) при 1 <р < <*>,к > 1, и сравните этот результат с результа-
результатом о плотности (теорема 7.25).
7.12.. Пусть П - область в R" класса С0»1. Для произвольной функции и е
FV1^(ft), где 1 <р < п, докажите неравенство Соболева - Пуанкаре
(«-p); П < с й Du »р; П
(постоянная С не зависит от м) с помощью рассуждений методом от противного, ос-
основываясь на теореме о компактности 7.26,-
7.13. Выведите из теоремы 7.19 соответствующий глобальный результат. А именно:
пусть ue W1 (ft), dft e С0»1. Предположим, что существуют положительные постоян-
постоянные К, а(а < 1) такие, что / | Du\ dx < К - д*»-!+<* для всех шаров BR С Rn. Тогда
и € С0» <*(П) и [и]а. ft < СК, %fi С = С(л, а, П).
7.14. Пусть ft - ограниченная область в Rw, в которой имеет место вложение
W >Р(П) -»LP*(n)t 1 <р < оо, Покажите, что вложение Wx>p(?l) -*Lq(n) компакт-
компактно для любого q < р*ш
169

7.15. Пусть ft - область в Rnt Полной вариацией функции и е L1 (Г2) называется
величина
J \Du\dx = sup{f и- divvdx I veCj(ft), lv|<l}.
Покажите, что пространство BV(?l) функций, имеющих конечную полную вариацию,
является банаховым пространством с нормой
и и ^ВУ(П) = ¦ " ii +/ \Du\dx.
$1
Покажите, что W1»1 (О) является его замкнутым подпространством.
7.16. Пусть u e /?К(П). С помощью осреднений, модифицируя соответствующим
образом доказательство теоремы 7.9, покажите, что существует последовательность
функции {ит} С С°°(«) О W1»l{Sl) такая, что мт -» и в Z,1 (П) и / \Dum\dx-+
П
-* f\Du\dx.
П
7.17. Пусть Г2 — ограниченная область в R , для которой имеет место вложение
Соболева W1*1 (Г2) -* LnMn~l) (ft). Покажите, что тогда имеет место вложение
BV(?l) -+Lnl(n~~l) (П) и, кроме того, для всех q <п (п - 1) вложение В V (?1) ->
-^/.^(П) компактно.
7.18. Выведите теорему 7,27 при р ^ 2 из первой формулы Грина B.10) (см.
задачу 2,15).
7.19- Пусть ft - область в Rn класса С0»1. Докажите интерполяционное неравен-
неравенство G.61) в более слабой форме:
I ^ 1р; П < € И и 1Л> Р; П + С(е) II и lp; n
(постоянная С(е) не зависит от м) с помощью рассуждений методом от противного,
основываясь на результате о компактности (теорема 7.2),
7.20. Используя осреднения, покажите, что локально интегрируемые решения
уравнения Лапласа (в смысле, данном в задаче 2.8) являются гладкими, и потому
для таких решений справедливы внутренние оценки гл. 4.
7.21, Используя неравенство Морри G.42), докажите, что функции из простран-
пространства Соболева Wl>p(?l) при р > п дифференцируемы в классическом смысле почти
всюду в 12.
ГЛАВА 8
ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ И ИХ РЕГУЛЯРНОСТЬ
В этой главе при относительно слабых условиях на гладкость коэффи-
коэффициентов изучаются линейные эллиптические операторы, старшая часть ко-
которых имеет дивергентную форму. Рассматриваются операторы L вида
Lu = Di(a\x) DjU + Ъ\х) и) + c\x) Dt и + d(x) и, (8.1)
коэффициенты aij\ b*, c*9 d (i, / = 1, 2, . . . , n) которых предполагаются
измеримыми функциями в области 12 С Rn. Оператор общего вида C,1)
можно записать в виде (8.1) в том случае, если его старшие коэффициенты
alJ дифференцируемы. Подход, основанный на методе гильбертова прост-
пространства, развиваемый в этой главе, можно рассматривать как новый, от-
отличный от проведенного в гл. 6, вариант исследования проблемы разреши-
170

мости. С другой стороны, если в (8.1) коэффициенты aiJ' иЬ1 дифференци-
дифференцируемы ии?С2 (?2), то оператор L можно записать в общем виде (ЗЛ),
так что результаты, полученные в гл. 6, могут быть применены к такому
уравнению. Однако дивергентная форма имеет то преимущество, что поз-
позволяет определить оператор L на значительно более широком классе функ-
функций, нежели класс С2 (?2). Действительно, пусть функция и дифференци-
дифференцируема в слабом смысле, а функции a1*D.u + blu, clDtu + du, i = 1, ... , n,
локально интегрируемы. Будем говорить, что функция и в слабом или
обобщенном смысле удовлетворяет уравнению Lu = О (неравенствам
Lu > 0,Lu <0) в ?2, если
?(и, v) = / {(a'tDj и + Ъ*и)Div - (с'Д-и + du) v) dx = 0
n (8.2)
(?(u, v)<0, ?(u,v)>0)
для всех неотрицательных функций v € Со A2).
В случае, когда- коэффициенты оператора L локально интегрируемы,
с помощью теоремы о дивергенции B.3) можно установить, что если функ-
функция и из С2 (?2) удовлетворяет уравнению Lu = 0 (неравенствам > 0, <0)
в классическом смысле, то она удовлетворяет этим соотношениям и в
обобщенном смысле. Кроме того, если коэффициенты а'1', Ъ1 имеют
локально интегрируемые призводные, то принадлежащее С2 (?2) обоб-
обобщенное решение и является также и классическим решением.
Пусть/1, g, / = 1, ...,«,- локально интегрируемые функции в ?1. Тог-
Тогда слабо дифференцируемая функция и будет называться слабым или
обобщенным решением неоднородного уравнения
Lu^g+Dif* (8.3)
в ?2, если
JC(n, v) = F(v) s / (f% v-gv)dx V v e Cj(ft). (8.4)
a
Несложно проверить, что классические решения уравнения (8.3) являют-
являются также и обобщенными решениями и что приналежащее С2 (?2) обоб-
обобщенное решение является также и классическим решением, если коэффи-
коэффициенты оператора L и правая часть являются достаточно гладкими функ-
функциями.
Нашей целью является изучение обобщенной задачи Дирихле для урав-
уравнения (8.3). Естественная постановка этой задачи зависит от коэффициен-
коэффициентов оператора L. Мы будем всюду преполагать, что оператор L строго
эллиптичен в ?2.,Это значит, что существует положительное число X такое,
что
?GR". (8.5)
Мы также всюду предполагаем (если нет специальных оговорок), что коэф-
коэффициенты оператора L ограничены, т.е. существуют такие постоянные Л и
v > 0, что для всех х612
?\а'*(х)\2<А\ \-2ZQb\x)\2 + \c\x)\2) + \-1\d(x)\<v2. (8.6)
Отметим, что аналогичная теория может быть развита и при более слабых
требованиях [288]. Функция м, принадлежащая пространству Соболева
171

W1'2 A2), называется решением обобщенной задачи ДирихлеLu -g + rf
в12,м=<?наЭ12, где <р ? W1'2 A2), если она является обобщенным реше-
решением уравнения (8.3) им-ipG Wq>2 A2).
Функции v E Со A2), участвующие в формулах (8,2) и (8.4),называют
также пробными функциями. Заметим, что в силу условия (8,6) с по-
помощью неравенства Шварца можно получить оценку
I?(u, v)\ <f {\aij'DiiiDfv | + | b^-DiV I + |Л- Дм | + \duv 1} dx<
<ctulwiaw-lvtwiaw. (8.7)
Следовательно, для фиксированного м€ Й^1»2 A2) отображение и >-+? (и, v )
является ограниченным линейным функционалом на W1'2 A2). Поэтому из
справедливости соотношения (8,2) для функций v €: Со A2) следует его
справедливость для всех и Е И^'2 A2).
Оценка (8,7) важна также и для рассмотрения проблемы существования
решений уравнения (8,3), так как она показывает, что оператор L опреде-
определяет формулой (8,2) ограниченную билинейную форму на каждом из гиль-
гильбертовых пространств W1'2 A2) и Wo'2 A2). Для фиксированного элемента
и ? W1'2 A2) его образ Lu можно определить как элемент сопряженного
к Wq'2 A2) пространства, отправляясь от равенства Lu(v) = ? (и, и), В силу
теоремы Рисса о представлении линейного ограниченного функционала
пространство Wq'2 A2) можно отождествить с его сопряженным простран-
пространством, и поэтому оператор/, порождает отображение W1'2 A2) -*Wo'2 A2).
Мы покажем, что исследование разрешимости задачи Дирихле для уравне-
уравнения (83) непосредственно связано с изучением обратимости этого отоб-
отображения.
Подход к изучению линейной задачи Дирихле, описанный выше, не яв-
является единственным важным вкладом этой главы. Поточечные оценки,
получаемые в разделах 8,6, 8,9 и 8,10, служат основой для последующего
построения теории квазилинейных уравнений, осуществляемой во второй
части книги. Имея в виду только эти приложения, читатель может ограни-*
читься рассмотрением субрешений и суперрешений уравнения (8,3), при-
принадлежащих пространству С1 A2), и при этом считать, что в уравнении
(8,1) коэффициенты Ъ\ с1, d равны нулю, что означает, т.е. v = 0 в (8,6).
8.1. Слабый принцип максимума
Классический слабый принцип максимума — теорема 3.1 — допускает
естественное обобщение на операторы дивергентного вида. Чтобы сформу-
сформулировать его, введем для функций из Соболевского пространства W *2 A2)
понятие неравенства на границе Э12. Будем говорить, что функция и G
G W1'2 A2) удовлетворяет неравенству и <0 на Э12, если ее положительная
часть и+ = тах{м, 0} принадлежит w\'2 A2). Если функция и непрерывна
в окрестности 12 , то она удовлетворяет неравенству и <0 на 312 тогда и
только тогда, когда это неравенство выполняется в классическом смысле.
К введенному понятию неравенства на границе Э12 легко сводятся и другие
типы неравенств. Например, и > Она Э12, если - и <0 на 312; функции
172

и, v из W1*2 A2) удовлетворяют неравенству и <v на Э12, если и - v <0
наЭ12;
sup и = inf {к | и <fc на Э12, Л G R},
inf м = — sup (— и).
ъп ъп
При получении классического слабого принципа максимума (следст-
(следствие 3.2) мы требовали, чтобы коэффициент при в C,1) был неположите-
неположителен. Соответствующая этому коэффициенту величина в (8.1) имеет вид
Djb* + d. В рассматриваемой ситуации Djb* не являются функциями. Тем
не менее неположительность величины ?>/?' + d можно интерпретировать
в обобщенном смысле: справедливо неравенство
/ (dv~biDiv)dx<0 (8.8)
а
для произвольной неотршшельной функции и из Cj A2). Поскольку функ-
функции Ь* и d ограничены, неравенство (8,8) по непрерывности распростра-
распространяется на все неотрицательные функции v из W\*1 (?1).
При выполнении этого условия имеет место следующий слабый принцип
максимума.
Теорема 8Д. Пусть функция «G W1 >г (?2) удовлетворяет неравенст-
неравенству Lu> 0 (<0) в 12. Тогда
sup и < sup м+ (inf и > inf м~ ) . (8.9)
Доказательство. Если функция и принадлежит W1 *2 A2), а функ-
функция v принадлежит W\t2 A2), то uv G И^'1 (^) и Dwu = uDw + и Dv (за-
(задача 7.4). Это позволяет нам записать неравенство ? (и, и) <0 в виде
/ { аЩ и • D(o - (У + с1*) uDjti} ^х < /{ duo - Ь%(ии)}с1х < О
для всех v > 0 таких, что ыи > 0 (в последнем неравенстве использова-
использовано (8,8)), откуда, в силу ограничений (8.6) на коэффициенты уравнения,
имеем
/ а*Ь*u-DiVdx<2\v J v-\Du\dx (8.10)
для всех v > 0 таких, что uv > 0. В частном случае, когда Ь* + с1 = 0, до-
доказательство требуемого утверждения получается немедленно, если взять
v = шах {и - /, 0 }, где / = supw+. В общем случае возьмем число к, удов-
летворяющее неравенствам I <k< sup и, и положим v = (и - к)+. (Если
такого числа к не существует, то доказьюаемое утверждение справедли-
справедливо.)
В силу цепного правила (теорема 7.8) имеем: v G Wq>2 A2) и
Du9 цдяи>к (т.е.для v ФО),
О, для и <к (т.е. для v =0).
173
-I

Поэтому из (8Л0) получаем
^ alJDjV - DjV dx < Tkv f v • | Dv | dx, Г = supp Dv С supp v,
и следовательно, в силу строгой эллиптичности оператора L, (см» (8.5))
получаем
/ | Dv \2dx < 2v f v | Dv \dx < 2v II и il2 r • II Du ll2,
а г
так что \\Dv\\2ta ^ 2И1 и 112>г-. Применяя теперь неравенство Собо-
Соболева (теорема 7,10) при п > 3, получим II v hn/in-i) ^Cllull2,r ^
< С | supp Dv | xfn ' II и ll2w/ (и-2) > гДе С = С(п, v), и поэтому | suppZ)u | >
> С~п, При « = 2 неравенство такого же вида с постоянной С = С(п, v)
также получается из неравенства Соболева, если вместо 2л/(и — 2) в
предыдущих оценках взять произвольное число, большее 2,
Так как постоянная в этих неравенствах на зависит от к, то они останут-
останутся справедливыми и тогда, когда к устремим к supw. Таким образом,
а
функция и достигает своего наибольшего значения на множестве положи-
положительной меры, а на нем, в силу леммы 7.7, Du = 0. Получили противоречие
с последним неравенством. Следовательно, supM </. ?
о
Непосредственным следствием теоремы 8.1 является единственность
решения обобщенной задачи Дирихле для уравнения 8.3.
Следствие 8.2. Пусть функция и G Wq*2 (?1) удовлетворяет в п
уравнению Lu = 0. Тогда и = 0 в ?2.
Об условиях, заменяющих неравенство (8.8), см. задачу 8.1; см. так-
также [292].
8.2. Разрешимость задачи Дирихле
Главная цель этого раздела — доказательство следующего результата
о существовании решения.
Теорема S3. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5), (8.6)
и (8.8). Тогда для любых у е Wi'2(Ql) и g, ff GZ2(ft),/ = 1,2, . . . ,п,
обобщенная задача Дирихле
Lu-g +Dtfl в ?2, и = у на Э?2,
имеет единственное решение.
Доказательство. Теорема 8,3 может быть получена из альтерна-
альтернативы Фредгольма для оператора L. Сначала сведем задачу Дирихле к слу-
случаю нулевых граничных условий. Полагая w = и - ip, из (8.5) получим
Lw =Lu- Ly=g - с*Пцр -d<p+ Dt (f-aifDj^- &V) =g + Dif*, а из ус-
условий, наложенных на L и <р, вытекает, что gy f G L2 A2), i = 1, ...,«,
и w E Wo'2 (?2). Следовательно, достаточно доказать теорему 8.3 только
для случая (р = 0.
Обозначим Я = И^'2(?2), g = (g, f\ . . . , /") и F(v) = - / (gv -
ft
- fiDiv)dx для и G Я. Так как | F(и) | < II $ ^ * И у IL 1 2 ,о ч, то F G Я*.
174

Если бы билинейная форма JC, определенная формулой (8,2), будучи огра-
ограниченной, была бы еще и коэрцитивной на Я, то однозначная разрешимость
задачи Дирихле для оператора L немедленно следовала бы из теоремы 5.8.
В рассматриваемом случае коэрцитивность может не иметь места. Вместо
неравенства коэрцитивности воспользуемся следующим неравенством.
Лемма 8.4. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6).
Тогда
?(w, v)>- f \Du\2dx-lw2 f u2dx. (8.11)
2 a a
Доказательство. Имеем:
?(u, v) = / {a^DtuDjU + (b* - с1) и • Dtu - du2) dx >
a
(в силу неравенства Шварца)
> f (\\Du\2-~- \Du\2 -\v2u2)dx =
a \ 2 /
= - J \Du\2dx~Xv2 f u2dx.n
2 a a
Определим теперь для о €Е R оператор La формулой Lau = Lu — ои. Из
леммы 8.4 вытекает, что соответствующая оператору Lo форма ?а будет
коэрцитивной, если либо число о достаточно велико, либо объем |О|
достаточно мал. Определим далее оператор вложения /: Н -> И* равен-
равенством
Iu(v)= f uvdx, иея (8.12)
а
Лемма 8.5. Отображение I компактно.
Доказательство. Мы можем представить / = 1Х • 12, где 1%: Н -*
->L2 (ft) - естественное вложение, а отображение 1г: L2 (^2) ->Я*опреде-
леио формулой (8.12). В силу теоремы о компактности (теорема 7.22)
оператор /2 компактен (и в случае р = п = 2), а так как оператор 1Х непре-
непрерывен, то и / будет компактным. D
Выберем далее число а0 так, чтобы форма ?а была ограниченной и
коэрцитивной на гильбертовом пространстве Я. Уравнение Lu = F для
и е Я, F G Я* эквивалентно уравнению LOqu + o0lu = F. По теореме 5.8
оператор Ь„^ задает непрерьшное взаимно однозначное отображение Я*
на Я. Поэтому, применяя его к написанному выше уравнению, мы полу-
получаем эквивалентное уравнение
u+oQL-\lu = L-\F. (8.13)
Отображение Т = — о^Ьд* I в силу леммы 8.5 компактно, и следовательно,
по альтернативе Фредгольма (теорема 5.3) существование функции и ? Я,
удовлетворяющей уравнению (8.13), является следствием единственности
в Я тривиального решения уравнения Lu = 0. Утверждение теоремы 8.3
тогда следует из теоремы единственности, следствие 8.2. ?
175

Теорема 5.1 позволяет дать описание спектральных свойств оператора L.
Для этого определим формально сопряженный для L оператор L*
формулой
- с*и)-Ъ%и +du. (8.14)
Так как ?*(и, и) = ? (<и, и) для и, v G Н = Wq'2 (^) > то L * также сопряжен
оператору L в гильбертовом пространстве Я. Заменяя в предыдущем рас-
рассуждении L на L*, мы видим, что уравнение Lau-F эквивалентно уравне-
уравнению и + (а0 — а)/, а*/и - ^а*^* и что сопряженный оператор Г 5 компакт-
компактного отображения Та = (а0 — о)Ь"^го1 дается формулой Т% = (а0 — а)Х
X (Z, Jo ) ~lL Теперь мы можем использовать теорему 5 Л и получим следую-
следующий результат.
Теорема 8.6. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5) и
(8.6). Тогда существует не более чем счетное дискретное множество Б С
С R такое, что если о ф 2, то задачи Дирихле Lau = g + D,/1, ??м =
= g + Dgf', и = у на д^2, однозначно разрешимы для произвольных g,fl в
G ?2(Г2) м (р G V1'2 (Я). 2?с/ш а?2, го подпространства решений одно-
однородных задач Lau = 0 и L%u = 0, и = 0 на д?1, имеют положительные ко-
конечные размерности и задача Lau = g + D//*, м = <р на ЗЯ, разрешима тогда
и только тогда, когда
f {(g- с%# -dy-Oip)v- {fl - aijDiU - b^DiVJcix = 0 (8.15)
n
для всех v, удовлетворяющих условиям L^v ^ОвЯ, v -0 над О,. Кроме
того, если выполнено условие (8,8), то 2 С (— <», 0).
Оператор Ga: Н* ~* Н, определяемый равенством Ga = L^x при аф X,
назьюается оператором Грина для задачи Дирихле для La. В силу теоре-
теоремы 5.3 оператор Ga является ограниченным линейным оператором, опре-
определенным на Н*, и поэтому справедлива следующая априорная оценка.
Следствие 8.7. Пусть функция «€ W1'2 (О,) является решением
уравнения Lau = g + Difi в ?1, удовлетворяет краевому условию и = <р на
Ь?1, и пусть о ф. 2. 7Ъг<Эа существует постоянная С, зависящая только от
L, ои ?1, такая, что
In lwi.2(n)<C(l, »2 + I* lwM(n)). (8.16)
Из теоремы 8.6 следует, что утверждение теоремы 8.3 остается справед-
справедливым, если в условии (8.8) заменить Ъг на — с1.
8.3. Дифференцируемость слабых решений
Оставшаяся часть этой главы будет посвящена в основном изучению
регулярности решений. В этом разделе мы рассмотрим вопрос о сущест-
существовании слабых производных более высокого порядка у слабых решений
уравнения (8.3). С помощью результатов о дифференцируемости, получае-
получаемых здесь, мы докажем теоремы существования решений для класси-
классической задачи Дирихле на основе теоремы 8,3. В последующих разделах
мы изучим такие поточечные свойства слабых решений, как принцип мак-
максимума и непрерывность по Гёльдеру. Наш первый результат о регуляр-
176

ности относится к выяснению условий, при которых слабые решения урав-
уравнения Lu =/ будут дважды слабо дифференцируемы.
Теорема &Я. Пусть функция и G W1' (?2) является слабым реше-
решением уравнения Lu = f в ?2, оператор L строго эллиптичен в ?2, его коэф-
коэффициенты а**9 Ь\ /,/ = 1,. .., пг равномерно непрерывны в п по Липшицу,
а коэффициенты с1, d, i = 1, . . . , п, существенно ограничены в ?2. Пусть
правая часть f принадлежит L2 (T2). Тогда для любой подобласти ?1* С С ?2
решение и приналежит W2*2 (?2')м справедлива оценка
с постоянной С = С(п, X, К, df), где X - постоянная из условия (8.5),
tf = max {1а'1,Ь'1со91(пУ Не', d iL-{a)) ,
м j' = dist (?2', d?2). Кроме того, функция и удовлетворяет уравнению
Lu=aifDiIu+(pfaJi + bi+ci)Diu+(Dibi+d)u=f (8.18)
почти всюду в ?2.
Доказательство. Из интегрального тождества (8.4) мы имеем
/ aij'DfuDiVdx= f gvdx VuGCj(i2), (8.19)
a ft
где через g G L2 A2) обозначена функция
g = (p* + c') A-m + (Dib* +d)u-f. (8.20)
Для 2\h\< dist(supp и, ЭГ2) заменим функцию v ее разностным отноше-
отношением Д~л у = Д?h v для некоторого /:, 1 <& <«. Получим
/ Д^А u)DiVdx = ~f a^Dj и • D( A~hvdx = - / gA
a y ft ft
Так как
Ah(aifDf и) (х) = д'7(x + Л еЛ) AhDf u(x) + Д^г/(х).Dy u(x),
TO
/ fll7(jc + h ek) Dj Ahu • /); ^x =
ft
= -/ (^ Dv+g- A~hv)dx,
где J = (g1, . . . , ^w) и ^ = Ahai}DjU. Используя (8.20) и лемму 7 23, мы
можем оценить
/ aiJ(x+hek)DfAhu-Divdx<0\g\\2 +1* l2)- iDo II2 <
<(С(п)К \\и twiaw + ifh) IDo ll2.
Далее, возьмем функцию r\ G Cq(^2), удовлетворяющую неравенствам
0 < г? < 1, и положим v = т]2 Ahu. Используя неравенство Шварца и (8.5),
12. Д. Гилбарг 177

получаем
X / i r\DAhu \2dx<f т? V'(x + hek i AhDt и • AhDj и dx =
ft ft
= / aii(x+hzk)DjAhu(Div-2AhuriDiri)dx<
n
< (C(n)К II и \\wi ,2(a) + Jl/ ll2) • (И vDAhu \\2 + 2 II AhuDn l2) +
Отсюда в силу леммы 7.23 и с помощью неравенства Юнга G.6) получаем,
что
WvAhDu h <C\Wu lvi,2(n)+ I/«2 + WAhu-Dri II2)<
<C(l+sup|Z>T7i)(yii iwiaia)+tfh)
с постоянной С = С(п, X, К). В качестве функции 77 можно выбрать такую
срезающую функцию, что т? = 1 на ?2' С С ?2 и \Dri\ < 2/J , где d* =
= distC?2, Г2'). В силу леммы 7.24 получаем тогда, что Du ? W1'2 (T2')
для любой подобласти ?2'* С С i2, т.е. м & W2 (Г2) и справедлива оценка
(8.17). Наконец, мы имеем Lu €L\oc(?l) и, очевидно, Lu =/почти всюду
в 12 в силу интегрального тождества (8.4). ?
Отметим (см. задачу 8.2), что в оценке (8.17) величина ImII^i^.^^
может быть заменена на II и L 2 ,о ч*
Следующий общий результат о существовании решения задачи Дирихле
для эллиптического уравнения вида
Lu = aij'(x) Оц и + Ъ\х) D(u+c(x)u=f (8.21)
может быть теперь получен из теорем 8.3 и 8.8.
Теорема 8.9. Пусть оператор L строго эллиптичен в 12 и имеет коэф-
коэффициенты aij Е С0'1 (п), Ъ\ с G L °° Ш.), с < 0. Тогда для любой функции
f G L2 A2) и любой функции $ G Wl' A2) существует единственная функ-
функция и е W1JA2) П ^?о'с(^) такая, что Lu =/е 12 w и - у е 1^J^A2).
Если граница Э12 достаточно гладкая и если у ? W2»2 A2); то теорема 8.9
остается справедливой и при условии непрерывности в 12 коэффициентов
а11 (см. теорему 9.15). Однако для разрывных коэффициентов утверждение
неверно: условие alJ & С0 A2 ), как показывает следующий пример, нельзя
заменить более слабым условием: alJ G L°° A2). Уравнение
Xi X; П — 1
Дм+Ь ~-О(;и = 0, Z> = -1+ , 0<Х<1, (8.22)
[ х ^ 1-Х
имеет при п > 2 B - X) > 2 два решения их(х) = 1 и и2 (х) = | л: | *, принад-
принадлежащие Й/2'2 (В) и совпадающие на Э2?, 2? — единичный mapi?i @).
Дифференцируемость более высокого порядка слабых решений может
быть легко установлена такими же рассуждениями, как и при доказатель-
доказательстве теоремы 8.8. Наложим более жесткие ограничения на гладкость коэф-
коэффициентов:
aijbi е С1Л(й), c\d е С°1
178

и пусгь/ G W1'2 (?2). Тогда, заменяя v mDkv для некоторого к, 1
в тождестве (8.19) и применяя интегрирование по частям, получаем
faifDfku- DfVdx = fDkgvdx Vv G Cj(S2), (8.23)
а так как м G W2^2 (?2), то Dkg G Z,2qc (?2). СледовательнЧ), 1>ли G W2? (?2).
С помощью индукции доказывается следующее обобщение теоремы 8.8.
Теорема 8.10. Пусть функция и G Wlf2 (Г2) - слабое решение урав-
уравнения Lu = / в ?2, оператор L строго эллиптичен в ?2, коэффициенты я17',
Ь1 принадлежат C*fi(?2), коэффициенты с1, d принадлежат Cfc~ ljl (?2),
я функция f принадлежит W*'2(?2), Л > 1. Тогда для любой подобласти
п1 С С 12 решение и принадлежит И^ + 2>2(?У) « справедлива оценка
II «II * + 2 2 , <С(||М|| 12 + II/II Л 2 ) (8.24)
с постоянной С = С(п,\, К, d\ к), где
К - max { И А й' || ^д || с', с/ || Л _ lfl } .
По теореме вложения Соболева (следствие 7.11) из теоремы 8.10 выте-
вытекает следующее утверждение.
Следствие 8.11. Пусть функция и G W1'2 (?2) является слабым
решением строго эллиптического уравнения Lu - f в Г2 и пусть функции
aiJ, bl, c\ d, f принадлежат С°° (Г2). Тогда функция и также принадле-
принадлежит С°
8.4. Глобальная регулярность
В предположении определенной гладкости границы результаты преды-
предыдущего раздела о внутренней гладкости решений могут быть распростра-
распространены на всю область Г2. Сначала докажем такой глобальный аналог теоре-
теоремы 8.8.
Теорема 8.12. Пусть выполнены условия теоремы 8.8 и пусть, допол-
дополнительно, граница Э Г2 является границей класса С2 и существует функция
у G W2*2 (Г2) такая, что и - у G Wl0>2 (П). Тогда и G W2>2 (П) и справед-
справедлива оценка
11/11,,
с постоянной С = С(и, X, К,
Доказательство. Заменяя и на и — <р, мы без ограничения общ-
общности можем считать, что ^ = 0, т.е. и G Wo'2 (?2). В силу леммы 8.4 спра-
справедлива оценка
1|М|1^'2(П) < СA1Ь + H/II2) (8-26)
с постоянной С = С(п, X, К). Так как Э?2 G С2, то для каждой точких0 G
G Э ?2 существует шар 2? = 5(х0) и существует взаимно однозначное отобра-
12* 179

жение ф этого шара на открытое множество D С Rn такое, что
ф(ВГ\П) С R^ = { х Е Rw|xw > 0}, ф{В П 3ft} С 3R?
и i// G С2(?), i// G C2(D). Пусть Яд(х0) СС А Обозначим
Я+ = /?u(x0) П ft,
/У =
При отображении i// уравнение преобразуется в уравнение Lu = / такого
же вида в области В+ (см. с. 98). Постоянные X, К для преобразованно-
преобразованного уравнения оценивается величинами, зависящими от отображения ф и от
значений X, К для исходного уравнения. Кроме того, так как мбИ'о'2 A2),
то решение v -и о Ф'1 преобразованного уравнения принадлежит W1'2 (?>+)
и удовлетворяет условию -qv Е Wq'2 (D+) для всех ц G Cj (?)'). Поэтому
мы будем считать, что функция и G Wlt2(D*) удовлетворяет уравнению
Lu = / в D+ и рЕ Н^о*2 ф+) для любой функции t?G Cj (/)'). Тогда при
I h | < dist (supp??, Э/)г) и для 1 < к <п - 1 имеем ц2к\и G Wl0>2(D+).
Поэтому применимы рассуждения доказательства теоремы 8.8. В резуль-
результате получим, что DfjU G L2 (ф(Вр П Г2)) для любого р< R, если только
i или / отличны от п. Осталось оценить вторую производную Dnnu. Она мо-
может быть оценена непосредственно из уравнения (8.18). Возвращаясь в
исходную область Г2 с помощью отображения ф'1 G С2, мы получим,
что м? и/2»2 фр П Г2). А так как х0 — произвольная точка границы Э12,
а м G W*^2c(?l) в силу теоремы 8.8, то получаем, что и G W2>2(?2). На-
Наконец, взяв конечное число точек х^ Е Э12 таких, что шары Вр(х^)
покрывают границу ЭГ2, мы придем к оценке (8.25), используя (8.17)
и (8.26). ?
Заметим, что из условий и е W2'2 (Z)+), щ е Wh>2 ф+), где т?е Cj (Z)'),
следует, что также и r\Dku E И/q'2 ф*), если только 1 <А: <м — 1. Действи-
Действительно, в силу леммы 7.23мы имеем T?A^w E W?'2(D+)h || 1?Д^м|| ^i,2(D+) <
^ II V\\~i /r.+\ ' II и!!™2»2 /г^> если только h достаточно мало. Отсюда по
С \U ) W (Ы )
теореме 5.12 следует, что существует последовательность {tjA'm}, слабо
сходящаяся в гильбертовом пространстве Wq*2 (D+). Предел этой последо-
последовательности является, очевидно, функцией rjDku. Далее глобальная регу-
регулярность решений уравнения Lu = / доказывается точно так же, как теоре-
теорема 8.10 доказывалась на основе теоремы 8.8. Итак, справедливо следую-
следующее обобщение теорем 8.10 и 8.11.
Теорема 8.13. Предположим, дополнительно к условиям теоремы
8.10, что Ъп Е Ск + 2 и что существует функция у Е Wk + 2i2(?l) такая,
чтои-у€ Woa (ft). Тогда и Е Wk+ 2'2 (ft) и справедлива оценка
(8.27)
с постоянной С = С(л, X, AT, A:, 3ft). Если функции я", b', с1, d,f и у при-
принадлежат C°°(ft) м если граница Э ft принадлежит классу С°° уто решение и
также принадлежит С°° (ft).
180

Объединяя теоремы 8.3 и 8.13, мы получаем теоремы существования
решений для классической задачи Дирихле для уравнения (8.21). Ранее
она была установлена в гл. 6 (см. теоремы 6.14 и 6.19).
Теорема 8.14. Пусть оператор L, заданный формулой (^.21), стро-
строго эллиптичен в п и имеет бесконечно дифференцируемые в ?1 коэффи-
коэффициенты, причем в п коэффициент с неположителен. Пусть дп G С°°. Тог-
Тогда существует единственное решение и ? С°° (?2) задачи Дирихле Lu = /
в ?2, и =у надп, при любых /, у G С°° (п).
С помощью аппроксимации из теоремы 8.14 могут быть получены теоре-
теоремы существования, установленные в гл. 6. При этом, разумеется, потре-
потребуется, чтобы априорные оценки гл. 6 гарантировали сходимость аппрокси-
аппроксимирующих решений.
8.5. Глобальная ограниченность слабых решений
В этом разделе мы получим результаты о глобальной ограниченности
тех решений уравнения (8.3) из Wly2(?l), которые ограничены на дп.
Будет использована интересная техника, основанная на специальном выбо-
выборе пробных функций. Используемые при этом построения применимы не
только к линейным, но и к нелинейным операторам определенной струк-
структуры. Запишем уравнение (8.3) в виде
DtA\x9 и, Du) + В(х, и, Du) = 0, (8.28)
где
А\х, z, р) = а»Хх)Р/ + b\x)z - /'(*),
В(х, z, р) = с\х)рг + d(x)z - g(x), ( '
а (х, z,p) e SIX RX R".
Слабо дифференцируемая функция и называется слабым субрешением
(суперрешением, решением) уравнения (8.28) в ?1, если функции А* (х, w,
Du) и В(х, иу Du) локально интегрируемы и если
f(Dtv • А\х, и, Du) - vB(x, и, Du))dx < 0 (> 0, = 0) (8.30)
п
для всех v > 0, принадлежащих j()
Обозначая Ь = ф\ .. . , Ьп), с = (с1, ..., с"),/= (Г1,...,/") иисполь-
зуя условие (8.5), с помощью неравенства Шварца получаем оценку
ptA\xtz9p) >-\p\2 -~(\bz\2 + |/|2),
2 Х (8.31)
\В(х,?,р)\ < |с|- |р| + \dz\ + |^|.
Неравенства вида (8.31), которым удовлетворяют величины А (х, z, p)
и B(x,ztp) из уравнения (8.3), будем называть структурными неравен-
неравенствами. Упростим вид структурных неравенств. Пусть
г = \z\ + *, Ь = \-\\b\2 + |с|2 + А:!/!2) + (8.32)
+ X-^ldl + k-l\g\)9
где к — некоторое положительное число. Тогда для любого б, 0 < е < 1,
181

выполняются неравенства
PtA\x,z,p) >-(\p\2 - bz2\ \TB(x,z,p)\ < (8.33)
+7F>
Эти неравенства более удобны в дальнейших приложениях. Докажем сле-
следующую теорему.
Теорема 8.15. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5) и
(8.6). Предположим, что!1 еЬя(П), i = 1,. . ., nig GLQl2 (n),edeq >n.
Тогда если функция и из И/1J(Г2) является субрешением (суперреше-
(суперрешением) уравнения (8.3) в ?1, удовлетворяющим неравенству и <0 (м > 0)
на границе дп,то справедливо неравенство
supw < C(|U+||2 + *) (sup(-u) < С(||м-||2 +*)), (8.34)
n n
где fc = Х-ЧН/IU +Н^11ц/2) и С = C(«fi;,flf,|n|).
До к аз ательство. Предположим, что функция и — субрешение
(8.3). Для 0 > 1 и 7V> fc определим функцию Н G С1 [к, «э) s полагая Я(г) =
= z$ ~ к& для z G [&, 7V] и взяв Я линейной при z > Ж Обозначив и> =г7+ =
= w+ + к, подствим функцию
v = G(w) = /|#'(s)i26?s (8.35)
к
в интегральное тождество (8.30). В силу цепного правила (теорема 7.8)
функцию v можно подставить в качестве пробной функции в (8.30). После
подстановки, используя неравенства (8.33), получаем
f\Dw\2Gf(w)dz < f(bG'(w)w2 + -G(w)\B(x,u,Du)\)dx <
e fG\w)\Dw \2dx + (l + - ) fb • G'(w)w2dx,
П \ € / П
ибо G(x) <sG'(s) и Dw =Dw при v =^G(w) > 0. Взяв е = 1/2, получим не-
неравенство / G'(w)\Dw \2dx <6 / b - G'(w)w2dx, откуда в силу (8.35)
следует, что / \DH(w) \2dx < 6 / 61 //(w)w |2c?x. Так как #(w) G
G Woy2(fl), то мы можем применить неравенство Соболева G.26) и не-
неравенство Гёльдера. Получим
Й-2) < C(p(H'(y>)wJdx)ll2 <
<C\\b\\lJ\ 4^'(W)w|| .
л л
Здесь обозначено: w = п при и > 2, 2 — любое число, удовлетворяющее
неравенствам 2 < 2 < q. В полученном неравенстве постоянная С зави-
зависит только от п при «>2и зависит от 2 и | 12 | при л = 2.
182

Если fug равны нулю, то (см. (8.32)) в структурных неравенствах
(8.33) и в полученном неравенстве можно взять к = 0. Если же \\f\\q +
+ II? 11G/2 > 0» то> выбирая число к > 0 равным X (||/ \\q + \\g \\q/2)
(так, как это указано в формулировке теоремы), мы получим, что ве-
величина || ZHlcj/2 может быть оценена величиной, зависящей только от л,
v и | п |. Итак, выбирая число /: так, как указано в утверждении теоре-
теоремы, мы получаем неравенство
II "W II гн,(и - 2) < С» w"» II 2,/(, - 2) (8-36>
с постоянной С = С(л, v, i Г2 |).
Устремим здесь N-+°°. Функция #(z) станет равной z^ - к? на [Л:, °°).
Из неравенства (8.36) получим: при любомл /} > 1 из условия w Е
G L2(iQl(q~2)(n) следует условие w G I21* {"~2) (п). Введем числа
?* = 2ql(q -2), Х = й(^ - 2)lq(n - 2) > 1,
и перепишем неравенство (8.36) в виде
1^||w||^.. (8.37)
Требуемый результат получается с помощью итераций неравенства (8.37).
По индукции получаем, что w G П Lp(?l). Пусть 0 = xm, w = 0,
1 <р < оо
1,... Тогда
^- 1 -т
II w || * < П (CXW)X II w || <
К ч т = О ^
< CVllwHo* < C||w|i a = S Х"т, г= 2 тХ"т,
с постоянной С = С(п, v, q, \ п\). Устремляя N-><*>, получаем неравенство
supw < С|| w || #. Отсюда с помощью интерполяционного неравенства
S 2
следует неравенство sup w < C|| w ||2. Осталось вспомнить, что w = w+ + к.
п
Для суперрешений соответствующее утверждение следует из доказанного,
если заменить и на —и. ?
Техника итераций /Лнорм, использованная выше, была предложена
Мозером [209]. Доказательство теоремы 8.15 можно усовершенство-
усовершенствовать, если другим способом выбирать пробные функции (см. [147] или
[273]).
Пусть в утверждении теоремы 8.5 условие и <0 на дп заменено более
общим условием и < / на dft, где / - некоторая постоянная. Тогда, так
как L(u - I) = Lu - LI = Lu -I (D{bl + d), то можно использовать утверж-
утверждение теоремы 8.5 для функции и - I. При этом в качестве постоянной к
надо будет взять величину к = к + X1 / |(|| b \\q + \\d\\qf2). Таким об-
образом, субрешение (суперрешение) и уравнения (8.3) удовлетворяет
неравенству
sup и < С(||м||2 +* + |/|) (sup(~w) < С(||и||2 +* + |/|)), (8.38)
где, как и ранее, к = X (||/||^ + \\g\\q/t) и С = С(п, v,q9 |O|). В част-
частности, если и - решение, то неравенство (8.38) имеет место для | и\.
183

Получим оценку для sup и, не зависящую от \\и ||2. Такого типа апри-
орная оценка обобщает слабый принцип максимума (см. теорему 8.1). В си-
силу оценки (8.16) норма || и ||2 может быть оценена величиной, не завися-
зависящей от и, если и — решение уравнения (8.3) с оператором L, осуществляю-
осуществляющим взаимно однозначное отображение. Последнее имеет место, напри-
например, в случае, когда выполнено (8.8). Аналогичная оценка может быть
получена для субрешений с помощью слабого принципа максимума и тео-
теоремы существования (теорема 8.3). Если функция «является субреше-
субрешением уравнения (8.3) и если выполнено (8.8), то существует функция и,
являющаяся решением обобщенной задачи Дирихле Lv = g + Dtfl в ?2,
v -и на ЭГ2. В силу теоремы 8.1м<ив?2и тогда || и* ||2 ^11 и II2 • Поэто-
Поэтому для субрешений уравнения (8.3) справедливо неравенство sup и <
а
<sup и* + Ck с постоянной С, не зависящей от и.
э п
Покажем, что этот результат может быть получен на основании струк-
структурных неравенств (8.31), без привлечения теорем существования для ли-
линейных уравнений, причем постоянная С будет зависеть от тех же вели-
величин, что и постоянная из неравенства (8.34).
Теорема. 8.16. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5),
(8.6) и (8.8). Предположим, что f( e LQ(U), i = 1,. .. , n,g e Lql2 (п)
для некоторого q > п. Тогда если функция и является субрешением (су-
(суперрешением) уравнения (8.3), принадлежащим W1*2 (?2), то
sup и < sup z/ + Ck (sup (-w) < sup и" + Ск), (8.39)
где к = \-\\\f\\q + \\g\\q,2) и С = С(п, v, q, | п |).
Доказательство. Предположим, что функция и — субрешение
уравнения (8.3). В силу условия (8.8) величина / = sup и* является супер-
решением. Не ограничивая общности, можно считать, что / = 0. Поступая
так же, как в доказательстве теоремы 8.1, получаем
S(aijDjUDiV - {tf+c^vD^dx < /(TD/U - gv)dx (8.40)
для всех неотрицательных функций и из W\y2 A2) таких, что uv <0. Для
интегрального неравенства (8.40) выполнены структурные неравенства
(8.31), если в них положить Ъ1 = d = 0, а вектор с заменить на Ъ + с. Пусть
и+
к > 0 и М = sup м+. Подставим в (8.40) пробную функцию v = ?
а М+к- и
G Wo'2 (?2). Используя (8.31), получим
X r \Du*\2 ^
- / — dx <
2 п (М + к-и+)
-и+ М + к-и
184

Отсюда, в силу определения к, получаем
\Du\2 2 \b+c\-\Du+\
f 7^dx < С + - / ; dx, С = C(\ п |).
Положим теперь w = log г. Применив неравенство Шварца, по-
М + к- и
лучим
f\Dw\2dx < СA + X f\b + cl2dx) < C(v, [П|),
а отсюда по неравенству Соболева G.26) следует, что
\\w\\2<C(n, и, 1П1). (8.41)
Покажем, что функция w является субрешением уравнения (8.3). Беря
функцию т? G Со (?2) такую, что 77 > 0, t?w > 0 в п, подставим в (8.40)
V
пробную функцию v = . Тогда
М + к-и
- (b* +
Следовательно,
- (Ьг* + c')T??>,-w)cfoc + X / т? I Dw I2 <
Щя O^
2XA:2/ M + к - u+) 2 a
(b1 + cI)T?Z)/w)djc< / (|т? +//DfT?)dx, (8.42)
где I = l^!//c+ I/I2/2X/c2,/'' =/V(Af + * - w+ ), и, очевидно, ll| \\qj2 <
Л
< 2X, II/ 11^ < X. Итак, функция w является субрешением. Мы можем,
следовательно, воспользоваться теоремой 8.15. Получим, учитывая не-
неравенство (8.41), что sup w < СA + II w И2) < С, где С = С(я, v q, I П I).
Итак, (Л/+ A:)/A: < С, а из этого неравенства следует требуемая оценка
(8.39). Соответствующий результат для суперрешений получается из до-
доказанного заменой и на —и. ?
Теорему 8.16 можно рассматривать как обобщение классической ап-
априорной оценки, теорема 3.7. Отметим, что результат остается справед-
справедливым, если в условии (8.8) величины Ь1 заменить на величины -с1 (см.
теорему 9.7). Кроме того, из проведенного доказательства видно, что
ограниченность коэффициентов Ь*, с1 и d можно заменить условием Т> е
е Lql2(u),q > п.
185

8.6. Локальные свойства слабых решений
Перейдем к изучению локального поведения решений. Пусть а(х) —
матрица [aiJ' (x)], x ? ft. Дополнительно к структурным неравенствам
(8.31) и (8.33) введем условие вида
\A(x,z,p)\< \a\- \p 1 + \bz I + I/L (8.43)
Поделив уравнение (83) на постоянную Л/2, мы можем считать, что в
структурном неравенстве постоянная X равна 2. Запишем все получив-
получившиеся неравенства:
\A(x,z,p)\<\a\\p\+2(bI/2z,
р • А(х, z, р) > I р I2 - 2 • Ъ z 2, (8.44)
Iz • B(x,z,p)\<e\p\2 +-H2.
_ е
Величины ? и b определены в (8.32) с X = 2, а число е - любое из @, 1].
Для получения локальных результатов введем величину к:
k = k(R) = X-l(R8 1/1, + Д*1,/а), (8.45)
где R > О и 6 = 1 - n\q. Докажем локальный аналог теоремы 8.15.
Теорема 8.17. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5)
и (8.6). Предположим, что f G Lq (ft), / = 1,... , л, g G Lq/2(?l) для
некоторого q > п. Тогда если функция и является субрешением (супер-
решением) из Wlt2(?l) уравнения (8.3) в ft, то в любом шаре B2r^ ^~
С ft для любого р > 1 справедливо неравенство
sup и
( sup (-и)
с постоянной С- С(п, Л/Х, ^Л, ^, р).
Основным результатом, на котором основываются изучение локаль-
локальных свойств решений и последующая нелинейная теория, является сла-
слабое неравенство Харнака для суперрешений.
Теорема 8.18. Пусть оператор L удовлетворяет (8.5) и (8.6). Пред-
Предположим, что fl G Z,9(ft), g € Lql2 (?l) с некоторым q > п. Тогда если
функция и является суперрешением в ft уравнения (8.3), принадлежа-
принадлежащим Wlf2(ft), и если функция и неотрицательна в шаре В^^(у) С ft, то
при 1 < р < п\ (п - 2) справедливо неравенство
l < С( inf и + k(R)) (8.47)
С)
с постоянной С = С(я, Л/Х, ^jR, qt p).
Далее центр — точка у — фиксируется. Шар Вц (у) будем коротко обоз-
обозначать через BR для любого jR.
В случае, когда и — ограниченное неотрицательное субрешение, можно
доказывать теоремы 8.17 и 8.18 одновременно. Полное доказательство
теоремы 8.17 может быть получено с помощью варьирования используемых
пробных функций. Существо этого подхода было продемонстрировано
186

ранее в доказательстве теоремы 8.15. Изменения, необходимые для про-
проведения доказательства, предоставляем сделать читателю. Грубо говоря,
схема одновременного доказательства получается объединением итера-
итерационной техники Мозера (см. [210]), описанной в предыдущем разде-
разделе, и теоремы Джона — Ниренберга (теорема 7.21), позволяющей
перекинуть мост в решающем месте проводимых итераций. Пробные
функции вновь берутся в виде степенных функций, но для доказатель-
доказательства теоремы 8.18 необходимо, чтобы показатели степеней принимали
всевозможные, как положительные, так и отрицательные, значения. Пе-
Перейдем к детальному доказательству теоремы 8.18.
Предположим, что R = 1. Общий случай сводится к этому случаю про-
простой заменой координат х ^x/R. Пусть к > 0, 0 Ф 0, функция т? G С\ (/?4)
неотрицательна. Возьмем пробную функцию в виде
v =г}2 пР (п =и + /с). (8.48)
В силу цепного правила и правила дифференцирования произведения
имеем
Dv = 2ц • Dri • п$ + 0т?2 и$~ lDu, (8.49)
причем функция v является допустимой для подстановки в (8.30) в ка-
качестве пробной функции. Подставляя в (8.30). получаем выражение
0 S r\2u^-xDu • A(x,u,Du)dx +
+ 2 fri-Dri-A(xfu, Du)u^dx - f V2 u^Bix, u, Du)dx. (8.50)
n n
Это выражение неположительно, если и — субрешение, и неотрицательно,
если и - суперрешение. Используя структурные неравенства (8.44), для
любого б? @, 1] получаем
г]2п^- 1Ви • A(x,u,Du)> г}2пР-г \Ои I2 - 2 &т?2г70+ \
1т? • Dr\ A(x,u,Du)uP)\ < I a I • r? • \Dr\ I • п$ • I Du I +
^+1 < -tJuV~l\Dii\2 +
2uV+l + Ъц2и'^\ (8.51)
< er{2u^1 \Du\2 + Ьт?ЙГ^.
e
Далее мы полагаем, что ]3 > 0, если и - субрешение, и |3 < 0, если и -
суперрешение. Взяв е = min(l, I/3I/4), из (8.50) и (8.51) получаем не-
неравенство
/ v2u^~l\Du\2dx<
п
< С(\Р I) / (И2 + A + I a I2) \Dv2)up+1dx, (8.52)
в котором постоянная СA/31) не превосходит величины, зависящей
187

только от /30, при I 0 I > 0П > 0. Введем функцию w:
* -1,
logw, если /3 = —1.
Полагая у = /3 + 1, неравенство (8.52) можно записать в виде
С(\ /31)т2/ ( Ьт?2+ A + I я I2) I Di] \2)w2dx, если /3 =? -1,
/ \t}Dw\2dx<
п С S(br}2 + (l + \a\2)\D>n\2)dx, если/3 = -1.
(8.53)
Итерационный процесс осуществляется на основе первого неравенства
из (8.53). По неравенству Соболева G.26) имеем
ль
Л А
где п = п при п > 2, а 2 — любое число, удовлетворяющее неравенствам
2 < 2 < q при п = 2. Постоянная в полученномнеравенстве зависит толь-
только от п. Используя неравенство Гёльдера G.7) и затем неравенство
G.10), для любого е > 0 получаем
< II Ъ \\qj2 • (е II nw 12Й/(Й _ 2) + €-° II vw II2J,
где а = л/(# — «). Подставляя полученное неравенство в неравенство
(8.53) и подбирая соответствующее е, получим
11 ^ |!(Й - 2) < С0 + ' ^ ')а + ' " & + IZ)T? ')w »2, (8.54)
где С = С(й, Л, v9 q, I/3I). Эта постоянная ограничена величиной, зави-
зависящей от п9 A, v, q, /30 при I /31 > |30 > 0. Введем срезающую функцию
т?. Пусть числа rt и г2 таковы, что 1 <г х < тг <3, и пусть т? = 1 в ВГх,
П= 0 в п - Вг2, причем \Dr\\ <2/(г2 - rt). Пусть х = пЦп - 2). Из
(8.54) вытекает, что
IIW lL2x < СA '^1)|| w |L,
Г2—Г\ 2
Для г < 4 и р т^ 0 введем функционал
(8.56)
Имеем (см. задачу 7.1):
Ф(°°, г) = lim Ф(р, г) = sup м
и
Ф(~°°, г) = lim Ф(р, г) = inf м.
188

Неравенство (8.55) можно записать в виде
/СA + Ы)а+1\2/171
Ф(Х% П) < (—- ) Ф(% г2), если т > О,
V г2 -гг /
(8.57)
/C(l + l7l)a+1
(—
/C(l + l7l)V
Ф(% га)<(— ) Ф(Х7, г2), если у < 0.
Итерирование этих неравенств и приводит к требуемым оценкам. На-
Например, если и — субрешение, то /3 > 0 и у > 1. Беря р > 1, мы можем
взять 7 = 7ш = Хшр и rw = 1 + 2~m, m = 0, 1, 2,... В силу неравенства
(8.57) получим
Ф(Хтр, 1) < (cxJA +aJmx"m Ф(р, г) = СФ(р, г),
С = С(й, Л, i;, q9 p).
Устремляя здесь т ->• °°, придем к неравенству
< СИ iiILP(Ba). (838)
К оценке (8.46) мы придем, осуществив Преобразование x*-+x/R.
Если и — суперрешение, то ^ < 0 и 7 < 1. Мы можем поступить ана-
аналогичным способом и для любых р, ро, удовлетворяющих неравенствам
0 < р0 < р < X, получить неравенства
Ф(р, 2)<СФ(ро,3),
(8-59)
Ф(-Л 3) < СФ(-оо, 1), С = С(Й, Л, q, p, )
Утверждение теоремы 8.18 будет доказано, если мы докажем, что при
некотором р0 > 0 выполнено неравенство
Ф(Ро,3)<СФ(-ро,3). (8.60)
Чтобы доказать это неравенство, воспользуемся вторым неравенст-
неравенством из (8.53). Пусть В 2 у - произвольный шар радиуса 2г, лежащий в
В$(^В$(уУ). Возьмем срезающую функцию г) так, что г) = 1 в Вг, г\ =
= 0 в П-54 и I DtjI < 2/г. С помощью неравенства Гёльдера G.7) из
(8.53) следует, что
/ \Dw\dx < Ол/2( J \Dw\2dxI/2 < Crn~l, C = C(n, Л, v). (8.61)
Br Br
Отсюда, по теореме 7.21, заключаем, что существует такая постоянная
Ро > 0, зависящая только от л, Ли v, что будет иметь место неравенство
/ exp(pol w - vv0 \)dx < С (я, Л, v), где w0 = \В3 I / wdx. Отсюда
получаем
ep°wdx- f e~powdx< Cep°w<> e"~p°w° =C.
Подставив сюда выражение для функции w, мы приходим к оценке (8.60),
что и доказывает теорему 8.18 при R = 1 и к > 0. Остается сделать пре-
преобразование xt+xjR и устремить к ->0. D
189

Сильный принцип максимума для субрешений уравнения Lu = 0, нера-
неравенство Харнака для решений уравнения Lu - О, локальная непрерывность
по Гёльдеру решений уравнения (8.3) — все эти факты могут быть полу-
получены в качестве следствия слабого неравенства Харнака. Мы вскоре дока-
докажем эти интересные локальные утверждения.
8.7. Сильный принцип максимума
Теорема 8.19. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5),
(8.6) и (8.8) и пусть функция и GH/1J(fi)удовлетворяет неравенству
Lu > 0 в ?2. Тогда, если для некоторого шара В С С ?1 справедливо нера-
неравенство
sup и - sup и > О, (8.62)
в п
то функция и постоянна в п. Кроме того, если и фо,то в (8.8) имеет
место равенство.
Доказательство, Обозначив BR (у) через В, не ограничивая общ-
общности, предполагаем, что B^R{y)C О. Пусть М - sup и. Применяя слабое
неравенство Харнака (8.47) ср = 1 к суперрешению v = M - и, получим не-
неравенство R~~n f (M~u)dx < Cinf(M~u) = 0, из которого следует,
b2R в
что и=Мв B2r. Применяя далее рассуждения, аналогичные рассужде-
рассуждениям в доказательстве теоремы 2.2, мы получаем, что и =Мв п. П
Теорема 8.19 показывает, что внутри области субрешение уравнения
Lu - 0 не может иметь положительный максимум, понимаемый в некото-
некотором обобщенном смысле. Для непрерьюного субрешения утверждение
является сильным принципом максимума в классическом смысле. Сильный
принцип минимума для суперрешений уравнения Lu-О получается из до-
доказанного утверждения немедленно, с помощью замены и на — м. Прямым
следствием доказанного утверждения является также и слабый принцип
максимума (теорема 8.1) для субрешений класса С°(п).
8.8. Неравенство Харнака
Объединяя результаты теорем 8.17 и 8.18, получаем неравенство Хар-
Харнака.
Теорема 8.20. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5)
и (8.6) и пусть функция и GW1'2^) неотрицательна в пи удовлетво-
удовлетворяет в ?1 уравнению Lu = 0. Тогда для любого шара B^R(y)C О. имеем
sup м< С inf и (8.63)
BR(y) B()
с постоянной С = С(п, Л/Х, vR).
Представляет интерес характер зависимости постоянной С в неравенст-
неравенствах (8.54) и (8.61) от величины Л. Можно показать, что постоянная С
в неравенстве (8.63) может быть оценена сверху следующим образом:
С0 = С0(и).
190

Если матрица [д'; ] симметрична, то эта оценка может быть улучшена
(см. задачу 8.3). С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям
в доказательстве теоремы 2.6, из теоремы 8.20 выводится неравенство
Харнака следующего вида.
Следствие 8.21. Пусть оператор L и функция и удовлетворяет
условиям теоремы 8.20. Тогда для любой ft' С С ft имеем
supt/<Cinfw (8.64)
а' л'
с постоянной С = С(п, Л/Х, v, ft', ft).
8.9. Непрерывность по Гёльдеру
Следующий результат является основным для теории квазилинейных
уравнений второго порядка. Его открытие Де Джорджи [76] и Нэшем
[224] для операторов вида Lu-Di{aliDju) существенно продвинуло
вперед теорию квазилинейных уравнений с более чем двумя независимы-
независимыми переменными.
Теорема 8.22. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5)
и (8.6).Предположим,что /'eZ/^ft), i= I,... ,n, geLq/2(u)d/M неко-
некоторого q>n. Если функция и является решением в ft уравнения (8.3),
принадлежащим Wlj2(ft), то функция и является локально непрерывной
по Гёльдеру в ft, и для любого шара Во = BRo(y)C ft и любого R< Ro
справедливо неравенство
osc u<CR a(/*^aosc и + k) (8.65)
Br (у) з0
с положительными постоянными С= С(п, Л/Х, v, q, Ro) и а = а(и, Л/Х,
vRo,q)u постоянной k = \-l(\\f\\q+\\g\\qi2).
Доказательство. Без ограничения общности можно предпола-
предполагать, что R <R0/4. Введем обозначения:
Мо = sup|w |, Л/4 = supt/, m4 = infw, Мг = supw, mx = infw.
B B B BR BR
Тогда
Следовательно, если взять
6 = 1- п/^r,
и применить слабое неравенство Харнака (8.47) с р= 1 к функциямМ4 - и
и и - т4 в шаре B^r , то мы получим неравенства
191

Сложим эти два неравенства:
М4 - т4 < С(М4 - т4 + тх -
Отсюда, обозначая co(R) = oscu=Ml -ml9 получаем co(R) <ycoDR) + k(R),
Br
где 7= 1 -С, C=C(n9A/\,pR0,q). Требуемый результат получается с
помощью следующей простой леммы. ?
Лемма 8.23. Пусть функция со неубывает на полуинтервале (О, Ro],
удовлетворяет при ecexR <R0 неравенству
о>(тД) < yco(R) + o(R), (8.66)
где а - неубывающая функция ,ау,т - числа такие, что О < у9 т< 1. Тогда
для любого IX Е @,1) и всех R<RQ справедливо неравенство
J ?(/?o) + a(/?^oi"M)j (8.67)
с положительными постоянными С = СG, г) м а = а(у, г, ju).
Доказательство. Зафиксируем некоторое R\ <R0. Тогда для
любого R </?! имеем co(r/?)<7c°(^) +^(^i)» так к^к a *~ неубьюающая
функция. Проитерируем полученное неравенство: для любого натурально-
натурального m получим, что
m-l .
2 у1 <
i = 0
(,)
J
Для произвольного R<Rt мы можем найти число т так, что TmRx <R
< т т ~ XR1. Следовательно,
Iog7/logr
7
Полагая здесь /?i = Rq " МЛ м, приходим к неравенству
Утверждение теоремы 8.22 получается при выборе дакого значения /д,
что A -ju)(log7/logr)<jLtS. Доказательство оценки (8.65), опирающееся
на теорему 8.17, несколько проще проведенного выше доказательства
(см. задачу 8.6).
Объединяя результаты теорем 8.17 и 8,22, мы полутаем следующую
внутреннюю оценку Гёльдера для слабых решений уравнения (8.3).
Теорема 8.24. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5)
и (8.6). Предположим, что /' Е Lq(ft), i = 1,..., и, q G Lq/2(Щ для неко-
некоторого q>n. Тогда если функция и ? Wl>2(u)является решением урав-
уравнения (8.3) в ?1, то для любой области SV С С 12 справедлива оценка
11"»са(п')<с(»1хЧп) + Л:) <8-68>
192

с положительными постоянными С= С(п, Л/Х, v, q, d'), d' = dist(?2', ЭГ2),
a = a(n, Л/Х, yd') и с постоянной к = X (|| f\\q +\\g \\q/2)-
Доказательство. Оценка (8.68) получается, если в теореме 8.22
взять R0 = d'n воспользоваться результатами теоремы 8.17 для оценки
sup | и |. D
Замечание. Из проведенных доказательств видно, что постоян-
постоянные Сиз неравенств (8.46), (8.47) и (8.63) не убывают по аргументу vR,
постоянная Сиз (8.65) не убьюает по Ro, постоянные а из (8.65) и (8.68)
не убьюают по аргументам vR0 и vd' соответственно. При v = 0 постоян-
постоянные Сиз (8.46), (8.47) и (8.63) и постоянные а из (8.65) и (8.68) могут
быть выбраны не зависящими от R,R0 и от d\ и потому не зависят от
областей, входящих в утверждения теорем 8.17, 8.18, 8.20, 8.22 и 8.24.
8.10. Локальные оценки вблизи границы
Введенные нами ранее неравенства для функций из Wly2(?l) на грани-
границе ЭГ2 области ?2 могут быть обобщены следующим образом. Пусть Т —
произвольное подмножество 12 и пусть функция и принадлежит Wlf2(f2).
Будем говорить, что и <0 на Г в смысле W1 >2(Г2), если функция м+ являет-
является пределом в Wl'2(Q,) последовательности функций, принадлежащих
Со (?2 - Т). Ясно, что для непрерывной на Г функции и это определение вы-
выполнено, если м<0 на Т ъ обычном смысле. При Г= Э?2 введенное опреде-
определение совпадает с определением из раздела 8.1. Определения других типов
неравенств на Г аналогичны определениям, данным выше. Докажем следую-
следующие обобщения теорем 8.17 и 8.18.
Теорема 8.25. Пусть оператор L удовлетворяет (8.5) и (8.6).Пред-
(8.6).Предположим, чтоf GLq(?L), i=l,...,rt,g€= Lqt2(?l)для некоторого q> п.
Тогда если функция и является субрешением в 12 уравнения (8.3), при-
принадлежащим Wlj2(?2),то для всех у GR", R>0up>l выполняется не-
неравенство
* ' (8-69)
где
М= sup и+, u?f =
постоянная к задана формулой (8.45), а С = С(и, Л/Х, vR,q,p).
Теорема 8.26. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5)
и (8.6).Предположим, что f GZ/* (?2), j = 1,..., п9 g GЬя/2(П)для неко-
некоторого q> п. Тогда если функция и является суперрешением в Г2 уравне-
уравнения (8.3), принадлежащим Wlt2(p,)u неотрицательным в п П ^/гС^)
для некоторого шара B^R(y)CRntTO для любого р, удовлетворяющего
неравенствам 1 <р <п/(п — 2), справедливо неравенство
(8.70)
13. Д. Гилбарг 193

где
/inf{ii(x),/n>,x€=n,
т = mf w, ujx) = ,
э« n B4R Im, * y=ft,
Доказательство. Осуществим сведение доказательства теоремы
к теоремам 8.17 и 8.18. Положим и =м^ +к в случае, когда функция и
является субрешением, и п = м^ + к в случае, когда функция м является
суперрешением. В качестве пробной функции в интегральном тождест-
тождестве (8.3) возьмем функцию
& &, если 0>О,
*, если 0<О.
Функцию t}^Cq(B4r) выберем позже.
На носителе функции и справедливы структурные неравенства (8.44)
с величинами J = п np = Du. Воспользовавшись тем, что и < т?2 й^, мы при-
приходим к оценке вида (8.52) для функции п. Требуемые оценки (8.69)
и (8.70) получаются далее так же, как и в доказательстве теорем 8.17
и 8.18. D
Глобальный (вплоть до границы) результат о непрерьюности не выво-
выводится из теоремы 8.26, если на область ft не накладывать определенных
условий. Будем говорить, что область ft удовлетворяет условию внешнего
конуса в точке хо?ЭГ2, если существует конечный правильный круго-
круговой конус V= VXo с вершиной х0 такой,что (Г2 П VXq) = x0. Условие внеш-
внешнего конуса, очевидно, выполняется, если выполняется условие внеш-
внешней сферы.
Справедливо следующее обобщение оценки Гёльдера (8.65).
Теорема 8.27. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5)
и (8.6). Предположим, что ff e Lq (ft), i = 1,..., п, g e Lq I2 (П) для неко-
некоторого q > п. Тогда если функция и является решением в ?1 уравнения
(S3), принадлежащим Wlf2(?l)9и если область ft удовлетворяет условию
внешнего конуса в точке Хо ? 3ft, то для любого 0 < R ^Rq и любого
шара Во = BRo(xo) справедливо неравенство
osc u<C{Ra(Roa sup \u
a n br n п в0
где o(R)= osc и, а С -С(п, Л/Х, v, q, Ro, Vx ) и а = ot(n, Л/Х,
ЭП П BR(x0)
vRo,Ч,УХ ) - положительные постоянные.
Введем обозначения: ft nBR(x0) = ft#, 3ft П^л(лг0) = Cft)^, R- про-
произвольное положительное число. Точку д:0 G 3ft фиксируем.
Доказательство. Следуем доказательству теоремы 8.22. Предпо-
Предположим сначала, что R < inf {ROI4, высота Vx }. Обозначим:
Мо = sup \и\9 М4 = supw, ш4 = inf и, Мх =supt/, Wi = infw.
n ci si si
194

В каждой функции М4-ми и-т^в шаре #4я(*о)запишем оценку
(8.70). Получим
R ~п /
(т - т4)
f (u-m4)n_m4dx< С(тг -m4
Я(*о)
где Л/= sup и, т- inf м. Используя условие внешнего конуса,
(Э«) (9П)
получаем
М4 - М< С(М4 -Мх+ k(R))9
т-т* <C(mi - m4 +k(R)).
Сложим эти неравенства:
osc и < у • osc и + osc м,
где 7 = 1 - С1, C=C(n,A/\,vR0,q,VXQ). Далее оценка (8.72) получает-
получается из леммы 8.23. ?
Если выполнены условия теоремы 8.27 и o(R)-+Q при R -> 0, то из
оценки (8.72) следует, что существует предел lim м(х) = м(х0). Следую-
щий результат о глобальной непрерывности вытекает из теорем 8.22 и 8.27.
Следствие 8.28. Дополнительно к условиям теоремы 8.27 пред-
предположим, что область п удовлетворяет условию внешнего конуса в каждой
точке х0 границы Ъ?1 и что osc и ->0 при R -* 0 для всех точек
эп n br(x0)
xQ G bQ. Тогда функция и равномерно непрерывна в 12.
Если область ?1 удовлетворяет некоторым дополнительным условиям,
то равномерная оценка Гёльдера может быть получена и из теоремы 8.27.
Будем говорить, что область Г2 удовлетворяет равномерному условию
внешнего конуса на куске ГС Э12, если область ?1 удовлетворяет условию
внешнего конуса в каждой точке х0 G 7* и конусы Vx конгруэнтны некото-
некоторому фиксированному конусу V. При выполнении равномерного условия
конуса справедливо следующее обобщение теоремы 8.24.
Теорема 8.29. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5)
и (8.6) и пусть f1 e Lq(?l), i = 1,.. . , п , и geLq/2(Q,) для некоторого
q > п. Предположим, что область О, удовлетворяет равномерному усло-
условию внешнего конуса на куске границы Т. Тогда если функция и G W1 *2(?2)
удовлетворяет в ?1 уравнению (8.3), и если существуют постоянные к,
13* 195

a0 > 0 такие, что
osc u<KRa° \/xoeT, R>0,
an пвк(х0)
то функция и принадлежит Ca(?l UT)c некоторым показателем a > О
и для произвольной подобласти ?1' С С (О, U Т) выполняется неравенство
(8.73)
p
с постоянными a = a(n, Л/Х, i>d', F, #, a0), С = C(n, Л/Х, *>, с?', К, q, a0),
d' = distA2\ ЭП - T) и k = X-4II/IU +"H>llQ/2)- Яри П'"= п величи-
величину df надо заменить на diamto.
Доказательство. Пусть y^Q!9 Ь = dist(>>, b?l)<d'. В силу тео-
теоремы 8.22 сRo = 8 для произвольной'точкиxGBs имеем
\u
\x-yl* v в.
Возьмем теперь точку х0 Е 312 так, что |х -у | = б. Взяв в (8.72) R = 26
и Ro = 2d\ получаем
б ~а osc w < 5 ~"а osc и < C(sup \и | + А: + ^Г),
«26
если только 2а <а0. Следовательно, для любой точки х? Вб (у) выполня-
выполняется неравенство (считаем, что м(х0) = 0)
(8.74)
Вновь применяя оценку (8.72) с/? = 2|л:->'|и/<!о=: 2с?', мы видим, что
(8.74) выполняется при d'>\x-y\>3.n
В утверждении доказанной теоремы объединены отдельные оценки
Гёльдера внутри области и на границе в единую оценку смешанного харак-
характера. Отметим следующий факт. Пусть u^vGW1 '2(п) и и - v G w? >2(п).
Тогда если и?С°(Г2), то osc и -* 0 при R -> 0 для всех у Е ЭГ2.
А если иЕСао(^2), то osc u<KRa* для всех у Е ЭПи Л > 0.
зп n B()
Справедливо замечание, следующее за доказательством теоремы 8.24,
касающееся постоянных С из неравенств (8.69) и (8.70) и постоянных а
из неравенств (8.72) и (8.73). Из теоремы 8.3 и следствия 8.28 следует
теорема существования для уравнения (8.3) для произвольных непрерыв-
непрерывных граничных данных.
Теорема 8.30. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5),
(8.6) и (8.8) и пусть f ELq(?l\ i = 1,..., и, и g E Lq/2(?l) для некоторо-
некоторого q > п. Предположим, что область 12 удовлетворяет условию внешнего
конуса в каждой точке Э?2. Если <рЕ С°(Э?2), то существует единственная
функция и EWjfjg (?1)ПС0(?1),удовлетворяющая в 12 уравнению Ьи-
=g + А*/' и граничному условию и. = <р нд Э12.
196

Доказательство. Пусть {$т} - последовательность функций
из С1 (О,), сходящаяся равномерно к у? на Э12. В силу теоремы 83 и след-
следствия 8.28 существует последовательность {ит} функций из Wl>2(?l) П
ПС0 A2) такая, что Lum = ? + Д/1в 12 и ит =ут на 312. По теореме 8.1
имеем
sup|wmi -ит2 |<sup lv?mi ~^m2 I _"> О при ml9m2 ->oo.
Следовательно, последовательность {ит} равномерно сходится к функ-
функции м€С°A2), удовлетворяющей равенству м = у?на 312. Кроме того,
из неравенства (8.52) вытекает, что для произвольной области 12' С С 12
интеграл f\D(umi - t/m2)|2dx стремится к нулю приди ьт2 -*(). Поэто-
му функция м принадлежит №^A2) и удовлетворяет в 12 уравнению
(8.3). Единственность решения и следует из теоремы 8.1, примененной
для областей 12' С С 12. D
Критерий Винера. Если в условии теоремы 8.30 опустить ограничения
на область 12, то, поступая, как и выше, можно доказать существование
функции и € С0A2) П W\^l A2) такой, что Lu = g + Д/' в 12, причем м(л:) ->
->(р(хо) ПРИ х->лг0 ?Э12, если в точке лг0 область 12 удовлетворяет усло-
условию внешнего конуса. Каждая точка х0 границы 312, в которой и(х) -> <р(хо)
при произвольном выборе заданных функций y,g,f\ называется регуляр-
регулярной точкой для оператора L. Используя методы работы [362] или рабо-
работы [179], можно показать, что регулярные точки для оператора L совпа-
совпадают с регулярными точками для оператора Лапласа (определение послед-
последних см. в гл. 2). Метод барьеров, развитый в гл. 6, может быть применен
и в рассматриваемом случае. Отметим, что, как видно из доказательства
теоремы 8.27, условие внешнего конуса можно заменить условием вида
с |Яя(лгоI2|
Л^о inf -^p > О- (8.75)
Более того, развивая технику, описанную в этом разделе, можно дока-
доказать достаточность условия Винера B.37) для регулярности граничной
точки. Докажем сначала оценку, аналогичную слабому неравенству Харна-
ка (теоремы 8.18 и 8.26), содержащую градиент суперрешения. Рассмот-
Рассмотрим внутренний случай. Предположим, что выполнены условия теоре-
теоремы 8.18. Тогда, как следует из доказательства 8.18, вместе с оценкой
(8.47) мы можем получить и оценку вида
(R2~n /.(w)"pl^!2^I/B~p)< C(infw+?(*)),
B2R Br
где 1 < p < nj(n - 2), а постоянная С = С(п, Л/Х, vR, q,p). Применяя не-
неравенство Гёльдера, получаем
Rl~n f \Du\dx < (R~n f (ufdxI!2.
B2R B2R
(R2'n f (Ti)-p\Du\2 dxI'2 < C(inf и + k(R))
B BR
197

с постоянной С = С (и, A/\,vR,q) для фиксированного значения р, напри-
например для р = пЦп — 1). Если дополнительно предположим, что выполнены
условия теоремы 8.26, то, проводя доказательство, аналогичное ее дока-
доказательству, мы получим, что в (8.76) величину и можно заменить на м^.
Поэтому
Rl~n f \Du^\dx<C( inf u'm + k(R)) (8.77)
J2 П B2R Л П B#
с постоянной C = C(n, A/\,vR, q). Взяв далее срезающую функцию г? ^
G Со (#2#) такую, что 0 < т? < 1, т? = 1 на ?# и |Zh?| <2/Я, подставим
в качестве пробной функции в (8.30) функцию v = г}2 (т-и^), заметив,
что т = sup Um при 2?4Д (^ ЬО. Ф ф. Предположим далее, что последнее
имеет место. Нормируя значение R к единице и используя условия (8.5)
и (8.6), получим
/ v2\DUn \2dx < C(m + k) f (п +\Du\)dx.
в2 в2
Пусть w = rju^. С помощью (8.70) и (8.77) получаем неравенство
dx < C(m + A:) /(и + |Dw |)^x<
< С(т + A:) (inf u~m + А:).
Следовательно, для произвольного R справедливо неравенство
R2~n f \Dw\2 dx < С(/я+*)(inf u'm + А:(Л)). (8.78)
B B
)(
B2R BR
Напомним, что емкость множества Вц — ?1 определяется равенством
cap (BR - 12) = inf /I Dv\2 dx (8.79)
(см. B.36)), где JC= {v e C^(R") | и =1на^-12}. Так как и'т =т
на BR — 12 и пространство Cq(B2r) плотно в Wo'2(B2r) и так как
cap (BR -12) <СКи~2,тоиз (8.78) следует,что
mR2~" сар(#я -12) < С inf (и„ + k(R)). (8.80)
Br
Поэтому если и - решение уравнения (8.3) в 12 и если у = х0 ? Э12, то,
применяя обозначения из доказательства теоремы 8.27, можем записать
(т - m4)x(R)
где х(^) - R2n - cap EЛ - 12). Складывая эти неравенства, приходим
к оценке колебания вида
osc и <(\- —^ osc и + ^-^ osc и + it (Л). (8.81)
л/? \ С / n С (bn)
Оставляем читателю для самостоятельной проверки следующий факт:
если выполнено условие B.37) с постоянной X = 1/4, то с помощью итера-
198

ций неравенства (8.81) подобно тому, как это делалось при доказатель-
доказательстве леммы 8.23 (задача 8.8), можно получить оценку модуля непрерыв-
непрерывности функции и в точке х0. Таким образом, мы можем утверждать спра-
справедливость следующего обобщения теоремы 8.30.
Теорема 8.31. Пусть оператор L удовлетворяет условиям (8.5),
(8.6) и (8.8) и пусть р G Z,«(ft), / = 1, . . . , п, g G Lq*2 (ft) для некото-
некоторого q> п. Предположим, что выполнено условие Винера B.37) в каждой
точке 3 ft. Тогда для произвольной функции у? G С0 C ft) существует един-
единственная функция и G W\lo'c (ft) П С0(ft), удовлетворяющая в ft уравне-
уравнению Lи =? + Dtfl и равная у над?1.
Наконец, в заключение этого раздела мы отметим, что результаты раз-
разделов 8.6-8.10 остаются в силе, если условия (8.6) на коэффициенты Ь, с
и d заменить на следующее: Ь, с G Lq(ft), d G Lq^2 (ft), q> п. Полагая
b = X~2 (| b | 2 + \c\2) + X^, v2 = II ?11^2' мы должны тогда в оценках
8.17-8.29 заменить vR на vRb. В некоторых предыдущих локальных ре-
результатах можно ослабить условия, касающиеся и равномерной, и строгой
эллиптичности оператора L (см. [285], [288], [299]).
8.11. Оценки Гёльдера первых производных
Если старшие коэффициенты уравнения (8.3) непрерывны по Гёльдеру,
то исследование проблем существования и регулярности может быть осу-
осуществлено по примеру теории Шаудера, изложенной в гл. 6, и приводит к
аналогичным результатам. Отправной точкой вновь является уравнение
Пуассона вида
Аи = g + Dif*. (8.82)
Если функции g, f G L°° (ft) и если /G Cft(ft) с некоторым показателем
a G @, 1), то нетрудно проверить, что ньютонов потенциал правой части,
определенный формулой
w(x) = fr(x~y)g(y)dy + fDir(x-y)fi(y)dy,
является слабым решением уравнения (8.82), и следовательно, можно
применить оценки раздела 4.5 к этому слабому решению уравнения (8.82)
(см. задачу 7.20). В частности, отметим внутренние и граничные оценки
D.45) и D.46). Из леммы 6.1 следует, что такие же оценки справедливы
и для слабых решений уравнения
Lou =
где Lo — эллиптический оператор с постоянными коэффициентами.
Применим технику возмущения, изложенную в разделе 6.10, к изуче-
изучению уравнения
Lu =g + A/f, (8.83)
где L - оператор вида (8.1). Заморозим коэффициенты alJ в произволь-
199

ной точке х0 и перепишем уравнение в виде
a*Xxo)Difu = Di{(aif(x0)-aif(x))DJu-bi(x)u) -
(8.84)
- с\х) Dfu -d(x)u+g + DtP = G(x) + DtF\x)9
где
F\x) = (e"(x0) - (fi (*))Dfu - b\x) и + /'(*),
G(x) = -<*{x)Dtu - d(x) к +g(x).
Полученное уравнение для фиксированной точки х0 имеет вид (8.82),
есливзять// = F* ng = G.
Предположим, что оператор L строго эллиптичен, удовлетворяет усло-
условию (8.5) и что aif , Ь1 G Са (П), с1", d, g G Z°° A2) и / G Ca (tt). Пусть
max {le'^ft'lo.e.n. l^dlo.nX*. (8.85)
/, / = 1, . . . , n
Докажем следующие внутренние и глобальные оценки.
Теорема 8.32. Пусть функция и€С1'а (?2) — слабое решение урав-
уравнения (8.83) в ограниченной области S1 Тогда для любой подобласти
?1' С С ?1 справедливо неравенство
Ml,a;n' < C(|tllo;n + 1*1о;П + 1Яо,«;п)
с постоянной С = С(п, \tK,d')9 величина \ определена неравенством (8.5),
величина К - постоянная из (8.85) 9adf = dist (?l\ Э12).
Теорема 8.33. Пусть функция и G С1 *а A2) является слабым реше-
решением (8.83) в области ?1 класса С1 >(\ удовлетворяет равенству и-^рна ЭГ2,
dCb0?(i2O
I и 11>в < С(| и|0 + I * lifa + 1^о + l/lo,e) (8-87)
с постоянной С = С (я, X, #, Э?2). Постоянные \ и К определены выше
(теорема 8.32).
Доказательство этих результатов по существу совпадает с доказательст-
доказательством утверждений теорем 6.1 и 6.6, но при этом надо для уравнения (8.84)
использовать оценки D.45) и D.46). Отметим, что для доказательства
оценки (8.87) с помощью граничной оценки D.46) потребуется предва-
предварительное выпрямление границы. Так как условия, накладываемые на
уравнение (8.83), инвариантны при преобразованиях класса С1*а9 достаточ-
достаточно, чтобы область ?1 принадлежала классу С1>а, и поэтому теорема 8.33
справедлива для областей и граничных значений из таких же классов. За-
Зависимость постоянной С из (8.87) от границы 3S2 проявляется в виде
зависимости от С1>а—норм Гёльдера функций, осуществляющих выпрям-
выпрямление границы.
Глобальная оценка теоремы 8.33 непосредственно приводит к основной
теореме существования для уравнения (8.83).
Теорема 8.34. Пусть ?1 - область класса Cl'a uL - оператор, удо-
удовлетворяющий условиям (8.5), (8.6) и (8.85) с постоянной К < °°. Пусть
200

e L °° (U), /' G Ca (SI), <p e С1 'a (ft). 7Ъгдд обобщенная задача Дирихле
Lu = g + Dif ей, u = y на дп, (8.88)
однозначно разрешима в С1>а(П).
До к а з а тельство. Применим метод аппроксимации. Пусть /,?
последовательность операторов с достаточно гладкими (например, принад-
принадлежащими С2A2)) коэффициентами aij ,Ъ*к,с*к, dk такими, что ак* -+alJ,
Ь\ -* Ь1 равномерно в п и ск -+с*г, dk -+d bL1 при А: -* °°. Можно считать,
что аппроксимирующие коэффициенты удовлетворяют условиям (8.5),
(8.8) и (8.85). Пусть дополнительно flki gki ук Е С3(?2) и пусть при А: -*°°:
/t->/' , причем |/П 0,а <С|/1'|о,а; ?>* "*^э причем | ^fc | i,a<C|v?l i,a;
ия^яв!1^)' причем \gk\Otn < C\g\ 0,n- Наконец, пусть Ш*}*-
последовательность областей класса С2'а, исчерпывающих область П таких,
что Ьпк -> ЭГ2 и поверхности дпк равномерно принадлежат С1>а (см.
задачу 6.9).
При выполнении этих условий гладкая аппроксимирующая задача
Дирихле
Lku = gk + DJl в П*, w = ^fc на дпк, (8.89)
имеет единственное решение из С2>а (l^fc), удовлетворяющее оценке (8.87).
Так как в силу теоремы 8.16
|к*1о < sup |и*Г
то мы приходим к равномерной вС1'01 оценке вида
+1/1о,а;п) (8.90)
с постоянной С, не зависящей от к. Устремляя к -* °° в интегральном тож-
тождестве, соответствующем уравнению (8.83), мы получим, что существует
единственный предел и последовательности {ик}, являющийся слабым
решением уравнения (8.88). Это решение будет удовлетворять также не-
неравенству (8.90). Построенное решение единственно и в более широком
классе функций - в классе функций W1>2(J2), удовлетворяющих условию
u-vewf'2 (U) (см. теорему 8.1). ?
Оценка (8.87), доказанная для слабых решений класса С1>в, может
быть доказана и для решений класса W1*2 (п) при выполнении тех же са-
самых условий. Пусть функции мЕ W1*2 (п) является решением уравнения
(8.83), выполнены условия теоремы 8.33, и - у G Wq'2 (?2). Тогда функ-
функция и ограничена (в силу теоремы 8.16) и существует достаточно большая
положительная постоянная а такая, что функция и совпадает с единствен-
единственным решением v из С1 »а (п) обобщенной задачи Дирихле
(Z, - o)v = g + Dffl -аи в п, и = <р на Э?2.
Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Следствие 8.35. При выполнении условий теоремы 8.33 для функ-
функции и е И/1|2(П) такой, что и - у е Wolf2($2) справедлива оценка (8.87).
201

(Напомним, что в условиях теоремы 8.33 функция и является слабым
решением уравнения 8.83.)
Локальная принадлежность С1*а может быть установлена и с помощью
аппроксимации решения и гладкими функциями. Справедливо следующее
обобщение следствия 8.35, доказательство которого мы оставляем чи-
читателю.
Следствие 8.36. Пусть Т - кусок (быть может, пустой) класса
С1'0*, лежащий на границе области п. Предположим, что функция и €
G Wlt2(?l) является слабым решением уравнения (8.33), обращающем-
ся в нуль на Те смысле W1 *2(п). Тогда функция и принадлежит С1 *а (п U
U Г) и для произвольной п1 С С (п U Г) имеет место оценка
l"ll,«;n' < С(|И|О;П + 1*1о;П + 1Яо,«;п) (8-91)
с постоянной С = С(п, X, К, d', Т). Постоянные Хи К —те же, что и в теоре-
теореме 8.32. Здесь d* = dist (п\дп~ Т)._
Если предположить, что \р G С1'аф) и функция и равна <р на Г в смыс-
смысле Wlt2(Q,), то в правую часть оценки (8.91) следует вставить ] у \ 1>а; «•
Последнее очевидным образом следует из (8.91) с помощью замены и на
и — <?.
Замечание. Результаты этого раздела остаются в силе, если предпо-
предполагать, что g ? Lp (?l), р = п A —ос). При этом норму \g\ 0; ^ надо заме-
заменить нормой Wg\\p;n- Доказательства соответствующих результатов по
существу те же самые, что и рассмотренные выше (см. замечание в конце
раздела 4.5).
8.12. Задача на собственные значения
В силу теоремы 8.6 из теории Фредгольма следует, что эллиптический
оператор вида (8.1) имеет не более чем счетное число собственных значе-
значений. В этом разделе мы дадим прямое доказательство того, что самосопря-
самосопряженный оператор имеет собственные значения, и рассмотрим их свойства.
Представляет интерес дать здесь доказательство существования собствен-
собственных значений несмотря на то, что этот факт следует и из результатов клас-
классического функционального анализа.
Предположим, что оператор L самосопряжен и имеет вид
Lu = Di(aiJDjU + Ъ*и) - ЪгВги + си,
где [а1}] - симметричная матрица. Соответствующий квадратичный функ-
функционал на гильбертовом пространстве Н - Wq'2(u) определяется формулой
?(и, и) = / {aijDiUDjU + 2ЪгиГ)ги - cu2)dx.
Отношение
J(u) = ?(и, и)/(и, м), и $ 0, йен,
называется отношением Релея для оператора L. Рассмотрим вариационную
задачу минимизации J(u). В силу леммы 8.4 функционал J(и) ограничен
202

снизу. Следовательно, существует
a = inf J(u). (8.92)
я
Мы утверждаем, что число а является минимальным собственным значе-
значением оператора L на Я, т.е. существует нетривиальная функция и € Я
такая, что
Lu + аи = 0 (8.93)
и число а — наименьшее число, для которого это возможно. Чтобы дока-
доказать сформулированное утверждение, возьмем минимизирующую после-
последовательность { ит} С Я такую, что II ит II = 1 и J (ит) -> а при т -> °°. В
силу (8.5) и (8.6) получаем, что последовательность {ит} ограничена в Я,
и, так как вложение Я -*L2(U) компактно (теорема 7.22), существует
подпоследовательность последовательности { ит } , сходящяся в L 2 (?2)
к функции и с нормой Им112 = 1. Обозначим эту подпоследовательность
также через {ит}. Так как функционал Q(u) = ?(и, и) квадратичен, то
для любых щ, ит имеем
т.е.
1
при /, т -> °°. Снова применяя лемму 8.4, получаем, что последователь-
последовательность {ит} является последовательностью Коши в Я. Следовательно, ит-*и
в Н и Q(u) = а. Вывод уравнения Эйлера (8.83) осуществляется стандарт-
стандартным способом, если рассмотреть функцию /(О = J(u + tv) для и Е Яи
вычислить производную/' @) = 2 («? (w, v) — o(u,v)) = 0.
Число а, как легко видеть, является минимальным собственным зна-
значением, так как существование любого меньшего собственного значения
противоречило бы равенству (8.92). Расположим собственные значения в
неубывающем порядке ох, а2, а3, . . . и обозначим соответствующие им
собственные подпространства через VXi V2, V3, . . . Последовательные
собственные числа могут быть охарактеризованы следующим образом:
от = inf{/(w)| ифо, (w,u)=0 VuG { Vlf V2t. .. , Vm_x}}. (8.94)
Разрешимость записанных здесь вариационных задач доказывается точно
так же, как и в случае т = 1. Кроме того, процессом (8.94) будут выяв-
выявлены все возможные собственные значения оператора L, а соответствую-
соответствующие им собственные функции будут образовывать плотное в Я множест-
множество. Подведем итог.
Теорема 8.37. Пусть L - самосопряженный оператор, удовлетворя-
удовлетворяющий условиям (8.5) и (8.6). Тогда существует счетное дискретное мно-
множество 2 = { от } собственных значений оператора L, заданных соотноше-
соотношениями (8.94), а соответствующие им собственные функции таковы, что
их линейная оболочка совпадает с Я.
203

Решение задачи Дирихле для оператора L можно представить в виде
разложения по собственным функциям (см. [140]). Полученные выше
результаты о регулярности применимы и к собственным функциям. В
частности, оказьюается, что эти собственные функции принадлежат
L°° (?2) П Са (п) с некоторым показателем а > 0 (см. теоремы 8.15 и
8.24) и принадлежат Са(п), если область п достаточно гладкая (теоре-
(теорема 8.29). Если коэффициенты оператора/, бесконечно дифференцируемы,
то такими же будут и собственные функции (следствие 8.11).
В заключение отметим одно специальное свойство минимального соб-
собственного значения ох.
Теорема 8.38. Пусть L - самосопряженный оператор, удовлетворяю-
ищи условиям (8.5) и (8.6). Тогда минимальное собственное значение -
простое, а соответствующая ему собственная функция не равна нулю и
может быть взята положительной.
Доказательство. Если функция и является собственной функ-
функцией, соответствующей собственному числу ог, то из равенства (8.92)
следует, что функция | и | также является собственной функцией для это-
этого же собственного значения. Тогда в силу неравенства Харнака (теоре-
(теорема 8.21) функция \и | будет положительна почти всюду в п. Следова-
Следовательно, собственное число Оу имеет положительную собственную функ-
функцию. Точно так же доказьюается, что собственная функция для ох или по-
положительна, или отрицательна. Но две такие функции не могут быть орто-
ортогональными друг другу. Это значит, что пространство V\ одномерно и соб-
собственное число ох — простое. ?
Примечания
Метод гильбертова пространства или вариационный подход к задаче
Дирихле для линейных эллиптических уравнений имеется уже в работах
Гильберта [69] и Лебега [155] об уравнении Лапласа. В течение этого сто-
столетия он был развит многими исследователями, включая, в частности,
Фридрихса [314], [315] и Гординга [71]. Для дальнейшего знакомства
с этими вопросами читатель отсылается к книгам [1], [32] и [313]. Обоб-
Обобщенная задача Дирихле, рассмотренная нами в разделе 8.2, изучалась Лады-
Ладыженской и Уральцевой [147] и Стампаккья [273], [274]. Этими автора-
авторами доказана альтернатива Фредгольма (теорема 8.6), однако их результа-
результаты по проблеме существования и единственности более слабые, нежели
изложенные здесь, из-за наличия условий малости и коэрцитивности. Сла-
Слабый принцип максимума (теорема 8.1), хотя и является непосредствен-
непосредственным следствием слабого неравенства Харнака, появился в [282], а первая
статья об этом принадлежит Чикко [338] (см. также [363]). В своем
изложении мы следовали доказательству Трудингера [288], имеющему то
преимущество, что оно легко переносится на неравномерно эллиптические
уравнения. При справедливости альтернативы Фредгольма теорема сущест-
существования (теорема 8.3) является непосредственным следствием слабого
принципа максимума.
Теоремы о существовании у слабых решений слабых производных
высокого порядка, изложенные в разделе 8.3 и 8.4, были доказаны раз-
различными авторами, в том числе: Фридрихсом [315], Браудером [43],
204

Лаксом [141] и Ниренбергом [215] ,"[216]; см. также [1], [32] и [313].
Глобальная оценка (теорема 8.15) получена в работах [147] и [273],
[274]. Она является обобщением более раннего результата Стампаккья
[270], [271]. Доказательство ее с помощью итерационной техники Мо-
зера, осуществленное в этой книге, следует Серрину [262]. Априорная
оценка (теорема 8.16) получена Трудингером [288].
Локальные поточечные оценки, описанные в конце гл. 8, появились
из пионерской работы Де Джорджи [76], в которой доказан специаль-
специальный случай теорем 8Л7 и 8.22 для уравнения вида
Lit = Dt (a1* (x)D, и) = 0 (8.95)
(см. также работу Нэша [224]). На линейные уравнения вида, рассмот-
рассмотренного в книге, результаты Де Джорджи были обобщены Морри [207],
Стампаккья [272], а на квазилинейные уравнения дивергентного вида -
Ладыженской и Уральцевой [145]. Интересное новое доказательство ре-
результата Де Джорджи дал Мозер [209]. Его доказательство обобщается
на более широкий класс уравнений (см. [147]) и может быть применено
для доказательства теорем 8.22 и 8.24 и для получения граничных оценок
(теорема 8.29) (см, задачу 8.6). Неравенство Харнака для слабых решений
уравнения (8.93) было доказано Мозером [210] и обобщено на квази-
квазилинейные уравнения дивергентного вида Серрином [262] и Трудингером
[282]. Наш метод получения локальных оценок теорем 8.18 и 8.26 осно-
основан на слабом неравенстве Харнака, полученном в [282]. Отметим, что в
случае уравнения с двумя независимыми переменными оценка Гёльдера
и неравенство Харнака могут быть получены более простыми методами,
см, [206], [31] и задачу 8.5. Точные результаты в этом случае см. в [235]
и в [52]. Изложение теорем 8.25 - 8.30 в разделе 8,10 следует работе
[282], в которой дано доказательство достаточности условия Винера,
более простое, чем доказательство Гариепи и Цимер [60].
Методы и результаты разделов 8.1- и 8.2 могут быть перенесены на другие
типы граничных задач. В частности, можно рассмотреть обобщенный ва-
вариант смешанной краевой задачи
f в П, и = ^ на ЗП - Г,
+ b*(x)vtu + a(x)w = <ра на Г,
где Г — открытый кусок класса С1, лежащий на границе Э?2, а V - (yit...
• • • > vn) — внешняя нормаль к Ы1, на Г. Для функций ^ Е W1*2 (&,) и
а, <р2 & L2 (Г) функция и G W1*2 (п) называется обобщенным решением
граничной задачи (8.96), если и - \рх G W}'2 (п U Г) и выполнено тож-
тождество
?(w, v) = / (fDi v - gv)dx + / (<?2 -р щ - аи)vds (8.97)
?1 Г
для всех функций v G Wq*2 (fiUT), Здесь через Wq>2 (п U Г) обозначено
замыкание пространства С<} (п U Г) по метрике W1*2 (?1). В этом случае
справедлив следующий слабый принцип максимума: если выполнены ус-
условия (8.5) и (8.6) и неравенство (ср. с (8.8))
ipur) (8.98)
205

для любой функции v > О, v E Co (ft U Г), то любая функция и G W1>2 ()
удовлетворяющая неравенству ?(м, и) + fouvds< 0 для всех неотрица-
г
тельных функций v G И>о>2 (ft u Г)> должна или удовлетворять неравен-
неравенству sup и < sup w+ или быть положительной постоянной. Из этого утверж-
п г
дения следует единственность обобщенного решения задачи (8.96), если
или Г Ф 3ft и а + у,- Ь1 Щ 0 на Г, или Z, 1 =? 0. При выполнении последних
условий обобщенные решения задачи (8.96) могут отличаться только на
постоянную.
Аналог теоремы существования (теорема 8.2) может быть получен
также с помощью альтернативы Фредгольма. Принцип максимума для
смешанных граничных задач рассматривался в работах [340] и [292].
В последней работе утверждения, сформулированные выше, доказаны для
широкого класса неравномерно эллиптических уравнений.
Наконец, отметим, что непосредственно в рамках теории гильбертовых
пространств с помощью метода Кампанато, использующего некоторые
интегральные характеристики пространств Гё'льдера, может быть постро-
построена теория Шаудера, которая благодаря этому становится независимой от
теории потенциала, изложенной в гл. 4 (см. [111], [89]).
Задачи
8.1. Покажите, что если в слабом принципе максимума (теорема 8.1) предполо-
предположить, что и < 0 на Э ft, то условие (8.8) можно заменить условием
или условием
Г а Ь
Vu>0, иеС^СП) (8.99)
,>0, (8.100)
-с -d
выполняющимся почти всюду в 11 (см. теорему 10.7).
8.2. Пусть функция и е W**2 (ft) является слабым решением уравнения Lu = g +
+ Dffi в ft, причем оператор L удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6), а^,/1 е L2 (ft),
i = 1,. .. , п. Покажите, что в любой подобласти ft' С с ft справедливо неравенство
(8.101)
с постоянной С = С(л,Л(Л., v,d'), d' = distfft', 3 ft).
8.3. Покажите, что если матрица а = [а^\ симметрична, то постоянная С из нера-
неравенства Харнака (теорема 8.20) может быть оценена следующим образом:
8.4. Используя теорему 8.8 и осреднения (см. раздел 7.2), покажите, что теоре-
теорема 3.9 справедлива для функций и е W * »2 (ft). С помощью функции
и(х,у)= \xy\-U>g(\x\ + \y I),
рассматриваемой в области
ft= {(XJ)GR2 ||JC | + |^ |<1} С R2,
продемонстрируйте точность теоремы 3.9.
206

8.5. а) Пусть и - функция из С1 (BR @) ), BR @) С R2. При 0 < г < R обозначим:
и)(г) = osc н, D(r) - J \Du \2dx> где Br - Вг@). Покажите, что если функция
ЪВГ Ёг
а> не убьюает, то для 0 < г < R
oj (r) < s/nD (R)/log (R/r).
б) Докажите неравенство Харнака для уравнения дивергентного вида с двумя
независимыми переменными
Lu = Dt(aV DjU) + b*Dtu = 0, /,/ = 1,2,
удовлетворяющего условиям (8.5) и (8.6), по следующей схеме. Пусть решение и
положительно в круге BR@) с R2. Покажите, что интеграл Дирихле функции и =
= log и оценивается в любом круге Вг@), 0 < г < R, через Л/Л, v, г и R (см. случай
0 = - 1 в доказательстве теоремы 8.18). Примените слабый принцип максимума (тео-
(теорема 8.1) и пункт а) этой задачи для вывода оценки
С'1 -и@)<и(х)<С-и@),
где 1д:!<Л/2иС=Са,Л,Л) (см. [31]).
8.6. а) Используя условия и обозначения теоремы 8.22, покажите, что функции
МА -т4 +k(R) M4 -mA +k(R)
Wj = log , W2 = log =
2(Af4 - u) + k(R) 2(u-m4) + k(R)
являются субрешениями в B4R уравнения вида (8.3) (ср. с доказательством теоре-
теоремы 8.16).
б) Применяя теорему 8.17 к функциям wl$ w2, указанным в пункте а) этой зада-
задачи, используя неравенство Пуанкаре G.45) и случай /J = -l в доказательстве теоре-
теоремы 8.18, дайте другое доказательство оценки Гельдера (теорема 8.22). Заметим, что
одна из функций w, и w2 не положительна на множестве S таком, что \ S \>
> A54Л1/2).
8.7. Пусть Л — ограниченное измеримое множество в Кп. Докажите, что
I П \l~2fn <у(п) -еарП,
где 7 (л) — постоянная из неравенства Соболева G.26) для случая р - 2.
8.8. Докажите, что из оценки (8.81) следует существование модуля непрерывнос-
непрерывности в граничной точке л:0.
?•9. Используя теорему 8.16, покажите, что теорема существования и единствен-
единственности (теорема 8.3) справедлива для неограниченных областей» имеющих конечную
меру. (Заметим, что результаты о компактности (см. теорему 7.22) для таких облас-
областей не всегда имеют место.)
ГЛАВА 9
СИЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
До сих пор в этой книге мы имели дело или со слабыми или с класси-
классическими решениями эллиптических уравнений второго порядка, Слабые
решения дифференцируемы в слабом смысле лишь один раз, в то время
как классические решения непрерьюно дифференцируемы в обычном смыс-
смысле не менее двух раз. Рассмотрение слабых решений было естественно
при изучении оператора L, имеющего дивергентную форму, в то время
как рассмотрение классических решений имеет смысл при изучении опе-
207

раторов с произвольными коэффициентами. В этой главе мы остановим-
остановимся на рассмотрении промежуточной ситуации — на так называемых силь-
сильных решениях. Для операторов общего вида
Lit = а1'(х)Оци+Ь1(х)Оги + с(х)и (9.1)
с коэффициентами aiJ9 bl, c> i, j' = 1,..., п, определенными в области
п С R", и для функции /, определенной в ?2, сильным решением уравнения
Lu=f (9.2)
называется дважды слабо дифференцируемая функция, определенная на
?2, удовлетворяющая уравнению (9.2) почти всюду в ?2. Достижение таким
решением заданных на п граничных значений в задаче Дирихле понимает-
понимается в обобщенном смысле, как в гл. 8, или в классическом смысле, как в
гл. 6, в которой рассматривались решения, непрерывные вплоть до грани-
границы. Ранее, с помощью теорем о регулярности из гл. 8, была доказана теоре-
теорема существования (теорема 8.9) сильных решений, которые могут и не
быть классическими. В этом случае граничные значения принимались в
обобщенном смысле. Некоторые результаты раздела 8.10, в частности тео-
теорема 8.30, устанавливают условия, при которых граничные значения непре-
непрерывны.
Эту главу можно рассматривать как состоящую из двух частей. В первой
части развивается теория решений из соболевских пространств W2'p(?l)>
р > J, аналогичная шаудеровской теории в пространствах Гёльдера
С2'а(п). Эта теория известна под названием "?р-теория". Используемые
при этом оценки в Lp для теории эллиптических уравнений важны сами
по себе. Вторая часть содержит результаты, аналогичные результатам гл. 3
и 8 нашей книги о принципах максимума и локальных свойствах реше-
решений. Поточечные оценки, получаемые в разделе 9.7, играют важную роль
во второй части книги, в частности при изучении в гл. 17 вполне нелиней-
нелинейных уравнений. При этом естественным пространством для рассматрива-
рассматриваемых решений оказьюается соболевское пространство W2*n(Q,). Объеди-
Объединение двух таких частей в одной главе облегчает создание весьма содержа-
содержательной и интересной теории уравнений с решениями из W2*n (п).
9.1. Принцип максимума для сильных решений
В этом разделе мы докажем обобщение классического принципа мак-
максимума гл. 3 на сильные решения - в частности, на решения, принадлежа-
принадлежащие Соболевскому пространству РЦ^1 (?2). Напомним, что оператор L
вида (9.1) эллиптичен в области ?2, если матрица коэффициентов Л-
= [а1'] положительна всюду в ?2. Для оператора L через 3) будем обозна-
обозначать определитель матрицы^, а через 3)* = ЗI!" - среднее геометрическое
собственных значений матрицы*^. Справедливо неравенство
где, как и ранее, через X и Л обозначены минимальное и максимальное
собственные значения матрицы <А. Потребуем выполнения следующих
208

условий на коэффициенты оператора I и на правую часть / в уравнении
(9.2):
с<0ъп. (9.3)
Следующий слабый принцип максимума был получен А.Д. Александровым.
Он является обобщением априорной оценки теоремы 3.7.
Теорема 9.1. Пусть Lu = / в ограниченной области ?1 и пусть и G
еС°(п)ПЦ/{1>сп(п).Тогда
sup и <supu+ + C\\f/SO* \\rnmv (9-4)
где С - постоянная, зависящая только от п, diamft и \\b/2D* \\ьп(п)-
Теорема вложения Соболева, в частности следствие 7.11, гарантирует,
что функция, принадлежащая И>^"(??), непрерывна в п. Если в условии
теоремы 9Л не предполагать, что функция и непрерывна в ?2, то утвер-
утверждение теоремы остается в силе, если величину supw + заменить на
lim sup и + .
Доказательство. Доказательство теоремы 9.1 использует поня-
понятия контактного множества и нормального отображения. Некоторые его ас-
аспекты важны для дальнейшего. Если и — произвольная непрерывная на О,
функция, то верхним контактным множеством функции и (будем обоз-
обозначать его через Г+ или через Г*) назьюается множество всех тех точек
у из ?2, для которых график функции м, рассматриваемый как поверх-
поверхность в Rw+1, лежит не выше (некоторой) опорной плоскости, проведен-
проведенной в точке >>, т.е.
Г+= [у ^Щ и(х) < и(у) +р • (х -у) для всех л: G ?1 и для некото- 1
1 рого р=р(у)еК» ).
(9.5)
Ясно, что функция и будет вогнутой в ?1 тогда и только тогда, когда
Г+ = ?2. Если и Е С1 (?2), то в качестве р(у) в соотношении (9.5) нужно
брать р = Du(y), ибо в этом случае любая опорная плоскость должна
быть плоскостью, касательной к графику и. Более того, если функция
и G С2(?2), то гессиан D2u = [D^u] неположителен на Г+. В общем случае
множество Г + замкнуто в п.
Для любой функции и G С°(Ю) нормальное отображение х(у) =
= Хи(у) в точке у G Q, определяется как множество "наклонов" опорных
плоскостей, проведенных в точке у, лежащих не ниже графика м, т.е.
Х(у) ={ pGR"! u(x)<u(y)+p-(x -у) для всех хеп), (9.6)
Ясно, что множество х(^) непусто тогда и только тогда, когда ;6Г+,
Более того, если функция и G С1 (?2), то x(jO = Du(y) на Г+, т.е. х*вля-
ется потенциальным векторным полем — полем градиента функции и
наГ+.
Рассмотрим полезный пример с недифференцируемой функцией и.
В шаре BR (z) рассмотрим функцию и, графиком которой является конус
14. Д. Гилбарг 209

с основанием ?2 и вершиной (z, а), где а — некоторое положительное
число, a S R, т.е.
гф:) = дA-|* -z\/R).
Тогда
УФ2' (97)
Ba/R@) тя y=z.
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 9.2. Если и G С2(?1) П С°(п), ю справедливо нера-
неравенство
sup и < sup и + —ту- ( / | det?>2w | JjcI/fI, (9.8)
где </ = diam ft.
Доказательство. Заменой м на w - sup w мы можем добить-
ъа
ся того, что и < 0 на Э12. «-мерная мера Лебега нормального отображе-
отображения 12 задается формулой
1Х(П)| = 1х(Г+I = \Du(T+)\ < f \detD2u\dx, (9.9)
г+
так как D2u < 0 на Г+. Формулу (9.9) можно получить как следствие
формулы замены переменных, если для положительного е рассмотреть
отображение х€ = X — е/, матрица Якоби которого равна D2u - e/ и явля-
является строго отрицательной матрицей^в окрестности Г+, а затем устремить
е к нулю. Более того, несложно показать, что отображение Хе взаимно
однозначно на Г +, и поэтому имеет место равенство (9.9).
Теперь покажем, что функция и может быть оценена через
1х(^I- Предположим, что функция и имеет положительный максимум
в точке у ? Г2. Пусть к — функция, график которой является конусом К
с вершиной (у, и(у)) и основанием Ъп, Тогда Хк№) с Хи(&)> так
как для каждой опорной к К плоскости существует параллельная ей плос-
плоскость, касающаяся графика и. Пусть к — функция, графиком которой
является конус К с вершиной (у, и (у)) и основанием В^(у). Ясно, что
X-(ft) С Хл(^), и поэтому | х^(^) I < I ХМ(ЯI- Тогда, используя (9.7)
и (9.9), находим, что
< f |det/Jw|tfjc.
г+
Следовательно,
что и требовалось доказать. П
210

Частный случай оценки (9.4) для Ъ = 0 следует из леммы 9.2 с по-
помощью матричного неравенства
/ trace АВ\п
detA • det# < ( ) , (9.10)
V п )
в котором матрицы Ау В симметричны и неотрицательны.
Полагая А = —D2u, В = [а11'], мы получаем на Г + неравенство
I detD2w | = det(-D2M) < - (- U№\ .
3) \ п /
Сформулируем итоговую оценку, используемую в дальнейшем.
Лемма 9.3. Дая и G С2(?2) П С°(Г2) выполняется неравенство
supw +
(9.11)
Полное доказательство оценки (9.4) следует из следующего обобщения
лемм 9.2 и 9.3.
Лемма 9.4. Пусть функция g неотрицательная и локально интег-
интегрируемая на R". Тогда для любой функции и Е С2A2) П С0A2) справедли-
справедливы неравенства
/ gdx < / g(Du) • I detD2u | dx <
аЧГ>..11 \n
1x9 (9.12)
где М = (sup и — sup м)Д/, d - diam О.
« эп
Доказательство. Доказательство леммы 9.4 аналогично дока-
доказательствам лемм 9.2 и 9.3, соответствующим случаю g = 1. Вместо (9.9)
используется более общая формула
gdx < / g(Du) • | detD2u \ dx, (9.13)
) r+
^ С хм( 12), то оценка (9.12) получается из (9.7) и (9.10). ?
Предположим теперь, что функция и G С°(?2) П С2(п) и выполняют-
выполняются неравенство Lu > f в 12 и условие (9.3). В качестве функции g возьмем
функцию
g(p) = ОрГ/с-п+д-дя-»))!-^
где д - некоторое положительное число, которое мы выберем позже.
Используя неравенство Гёльдера, мы в ?l+ = {x G Sl\u(x) > 0} полу-
получим неравенство
_ qVpytt < b%u-f < |Я-|Ди1+1/1 к
¦пЗ)" ^ п2>* ^ пЯГ
< (\ь\"+ц-"\Г\пI1п
"" nglln3)*
14* 211

Отсюда в силу (9.12)
/ gdx <—- f (.\b\"+»-"\f\n)l3)dx.
вм
Интеграл в левой части можно оценить снизу с помощью неравенства
g(p) > 2г-п(\р\п+цпу1. В итоге получим
п \ 2п~2 (\Ь\п+ц-"\Г\п
) -jr /¦ Ъ **•
Если /^ 0, то положив ц = \\//3)* \\Ln,r*y получим
Если же /= 0, то, устремляя ц -*09 опять получим (9.14).
Итак, оценка (9.4) доказана для функции и G С0A2) П С2A2). Ее
обобщение на функции и G С°(?2) П И^"(Г2) можно получить с помощью
аппроксимации. Предположим сначала, что оператор L равномерно эллип-
эллиптичен в 12, причем отношение | Ъ |/Х ограничено в 12. Пусть {ит } — после-
последовательность функций из С2 A2), сходящаяся в ^'"(^) к функции м.
Для произвольного 6 > 0 мы можем считать, что в области 126 СС 12 после-
последовательность {ит} сходится к функции и в W2fWA26) и что выполне-
выполнены неравенства ит < 6 + sup w на границе Э126. Поэтому, применяя нера-
венство (9.4) к функциям ит (с!2+ вместо 12), получим
supит < 6 + sup w+ + (C/X) • || aifDij(um - и
Устремляя m -> °° и используя равномерную сходимость последовательно-
последовательности { ит } к функции и на Э126, получим неравенство
supw < 6 + suPm++C||//2)* || пш v (9.15)
Отсюда следует неравенство (9.4), если устремить е к нулю.
Освободимся от ограничений на L, использованных выше. Для этого
при т?> 0 рассмотрим операторы
Из (9.15) имеем
+
supw < 6 +sup w++ С
Устремив т? -> 0, на основании теоремы о мажорированной сходимости
мы приходим к неравенству (9.15). Наконец, если устремить е к нулю,
мы придем к доказательству теоремы 9.1.
212

Отметим, что при Ъ = 0 из оценки (9.14) не следует оценка (9.11).
В действительности в (9.11) можно улучшить постоянную и можно полу-
получить резкое улучшение постоянной в (9.14) с помощью точного интегри-
интегрирования функции g и оптимизации выбора д (см. задачи 9.1 и 9.3). Зави-
А А
симость от diam 12 можно заменить на зависимость от 112 |, где 12 — вы-
выпуклая оболочка 12 (см. задачу 9.3).
При /= 0 теорема 9.1 является обобщением слабого принципа макси-
максимума, теорема 3.1 и следствие 3.2. Следующий результат о единственно-
единственности сильного решения задачи Дирихле обобщает теорему 3.3 и получается
автоматически.
Теорема 9.5. Пусть L - эллиптический оператор, заданный в 12 и
удовлетворяющий (9.3). Предположим, что и и v - функции из
\^?"*п(^1) П С0A2), удовлетворяющие условиям Lu = Lv в 12 и и = v на Э12.
Тогда и = v в 12.
Из слабого принципа максимума можно также вывести обобщение
сильного принципа максимума (теорема 3.5). Как и в теореме 3.5, пред-
предположим, что оператор L равномерно эллиптичен в 12 и что функции
| Ъ \/Х, с/Х ограничены.
Теорема 9.6. Если функция и ? ^^"A2) удовлетворяет в 12 не-
неравенству Lu> О и если с = О (с < 0), то функция и не может достигать
максимума (неотрицательного максимума) в 12, если только и не являет-
является постоянной.
Доказательство. Если функция и дифференцируема, то мы можем
следовать доказательству теоремы 3.5, в котором вместо следствия 3.2
надо воспользоваться теоремой 9.1. В общем случае достаточно сделать
небольшое изменение доказательства теоремы 3.5. Если мы предположим,
вопреки утверждению теоремы, что функция и не является постоянной
в 12 и достигает своего максимума М в 12, то будут существовать такие
концентрические шары Вр(у) CBR(y) С 12, что и <Мв Вр(у) ии(х0) =
= М в некоторой точке х0 G BR(y). Тогда, используя теорему 9.1 и вспо-
вспомогательную функцию v из доказательства леммы 3.4, удовлетворяющую
условию v(x0) = 0, мы получим в шаровом слое А = BR(y) - Вр(у)
неравенство М — и — еи>0с некоторым е > 0. Но это неравенство не вы-
выполняется при* =jc0. ?
9.2. Оценки bLp; предварительный анализ
Основным методом получения оценок в Lp в этой главе является метод
интерполяции. В этом разделе мы построим некоторый вспомогательный
аппарат - процедуру разбиения куба, которая потребуется нам для оценок
Гёльдера в разделе 9.7 и в следующем разделе для получения интерполя-
интерполяционной теоремы Марцинкевича.
Разбиение куба. Пусть Ко - куб в R", / - неотрицательная интегрируе-
интегрируемая функция, определенная на Ко. Пусть t — положительное число, удов-
удовлетворяющее неравенству
Ifdx <t\K0\.
213

Поделив пополам каждое ребро куба и проведя через них плоскости,
параллельные граням куба АГ0, разобьем куб Ко на 2п конгруэнтных не-
непересекающихся подкубов. Те подкубы К, которые удовлетворяют не-
неравенству
ffdx <t\K\, (9.16)
к
разобьем аналогичным образом. Процесс разбиения продолжаем до бес-
бесконечности. Пусть 8 - множество подкубов ЛГ, в которых выполнены не-
неравенства
ffdx>t\K\.
к
Для каждого К Е§ через К обозначим куб, разбиение которого содер-
содержит К. Так как \ К \/\ К\ = 2", то для любого К G $ справедливо нера-
неравенство
t < ffdx < 2nt. (9.17)
1*1 к
Более того, введя F = U К и G - Ко - F, имеем
к е$
/ < t почти всюду в С;. (9.18)
Неравенство (9.18) является следствием теоремы Лебега о дифференци-
дифференцировании [275], так как каждая точка G лежит в убьюающей последова-
последовательности вложенных друг в друга кубов, на которых выполняются не-
неравенства (9.16) и диаметры которых стремятся к нулю.
Для получения в разделе 9.7 поточечных оценок нам потребуется мно-
множество
F = U К.
к е?
Ясно, в силу (9.16), что справедливо неравенство ^
ffdx <t\F\. (9.19)
К
В частности, если / = хг> где хг ~ характеристическая функция лежа-
лежащего в Ко измеримого множества Г, из (9.18) и (9.19) получаем, что
. |Г| = |rnF| < t\F\. ' (9.20)
9.3. Интерполяционная теорема Марцинкевича
Пусть / - измеримая функция в (ограниченной или неограниченной)
области ^2 С R". Функция распределения Ц = Ц/ функции / определяет-
определяется при t > 0 равенством
д(Г) = nf<i) =\{xen\f(x) > t}\. (9.21)
Отметим, что функция д невозрастает на @, <»). Основные свойства
функции распределения описываются в следующей лемме.
214

Лемма 9.7. Для любого р > 0 и любой функции f такой, что f ?
LP(U), справедливы соотношения:
(9.22)
t~pf\f\pdx,
si
(9.23)
f\f\pdx = pjtp
а о
Доказательство. Ясно, что
H(t)-tp < / |/|pdx < f\f\pdx
I/I > t n
для всех Г > 0. Тем самым доказано (9.22).
Если /Е L1 (?2), то по теореме Фубини имеем
1/001
Л Я<** = / / dt-dx = f n(t)dt.
a ao о
Отсюда следует (9.23). П
Докажем интерполяционную теорему Марцинкевича в следующем част-
частном случае.
Теорема 9.8. Пусть Т - линейное отображение Lq(?l) П //(?2)
в себя, 1 < q < г < °°. Предположим, что существуют такие постоян-
постоянные Ту и Т2, что
Чт/(*) < (Ti\\f\\q/t)q, UTf(t) < (Г2Н/11гА)г (9-24)
для всех f ? Lq{$X) П Z/rA2) w t > 0. Тогда для любого р из интер-
интервала (q, г) отображение Т продолжается до ограниченного линейного
отображения из Ьр(п) в себя и для всех f E Lq(Ji) П Lr(?l) справед-
справедливо неравенство
\\Tf\\p < CTfT}-°\\f\\p, (9.25)
в котором 1/р = a/q + A — а)/г, а постоянная С зависит только от р,
q и г.
Доказательство. Для / G Lq(fl) П Lr(?l) и s > 0 запишем / =
= /i + /2, где
J /(x)j если |^х>| > 5> ч =( °' если '/W > 5'
1 Х 10, если |/(х)| < s, ( 1 /(х), если |/(х)| < s.
Тогда | Tf\ < | Г/х | + | Г/2 |, и поэтому
/
BT2/tY f I /2 |rdjc.
Отсюда по лемме 9.7 получаем
f\Tf\pdx = pjtp~ J
f \f\qdx)dt
\'f\>3
f \f\rdx)dt.
I/I < s
215

Полученные неравенства справедливы при произвольном s. В частности,
можно взять s, зависящее от t. Беря s = t/A, или t -As, где А — по-
положительное число, получаем неравенство
/I Tf\pdx < pBTl)qAp-q fsp-1~q( f \f\qdx)ds +
П О !/! > s
Так как
Jsp-l-r( f \f\rdx)ds.
f \f\qdx)ds =
I/I > s
/
si о р - q
и
I/I < s
oo 1
1/Г( / sp-l~rds)dx = /
I/I r-p si
I/I
TO
)
p -q r-p
для любого положительного числа А, Выбирая значение А такое, чтобы
выражение в скобках было минимальным, т.е., полагая А =
получаем неравенство
1/р
/ Р Р \
< 2 ( —^— + )
\p-q r-p/
а это и есть доказываемое неравенство (9.25) с постоянной
С = 21 —^ ) . П
9.4. Неравенство Кальдерона — Зигмунда
В этом разделе мы доказываем основные оценки в Lp для решений
уравнения Пуассона, продолжая изучение ньютонова потенциала, начатого
в гл. 4. Пусть ?2 - ограниченная область в R", / — функция, принадлежа-
принадлежащая LP(U) с некоторым р > 1. Напомним, что ньютонов потенциал функ-
функции/есть функция w=Nft определяемая сверткой
w(x) = fr(x-y)f(y)dy, (9.26)
216

где Г — фундаментальное решение уравнения Лапласа (см. D.1)). Следую-
Следующий результат, который является специальным случаем неравенства Каль-
дерона — Зигмунда, является аналогом в Lp оценки Гёльдера из леммы 4.4.
Теорема 9.9. Пусть f ? Lp(?l), I < р < °°, и пусть w- ньютонов
потенциал /. Тогда w.G W2tP(?l), Aw = f почти всюду в 12 и справедливо
неравенство
\\D2f\\p < СII/||р (9.27)
с постоянной С,зависящей только от п и р. Более того> при р = 2 справедли-
справедливо равенство
f \D2w\2dx = ff2dx. (9.28)
R" n
Доказательство, (i) Рассмотрим сначала случай р = 2. Если
/ Е Со (R"), то wG C°° (Rw), и по лемме 4.2 справедливо равенство Aw=/.
Поэтому для произвольного шара BR, содержащего носитель функции /,
имеем
/ (Awfdx = / f2dx.
Br br
Дважды применив первую формулу Грина B.10), получим
/ \D2w \2dx = / X(DifwJdx =
Br BR
= f f2dx + / Dw • Dw • dx.
br ьвя bv
Так как (см. B.14)) при R -> оо
Dw = O(Rl-n), D2w = O(R'n)
равномерно на dBR, то из полученного равенства следует равенство (9.28).
Для доказательства равенства (9.28) для произвольной функции
/ G L2(?l) заметим, что в силу леммы 7.12 при 1 <р < «> отображение
N является ограниченным отображением Lp в себя. Во всей полноте
утверждение теоремы 9.8 при р = 2 получается с помощью аппроксимации.
Действительно, взяв последовательность функций {/„} С Со°(Г2), сходя-
сходящуюся к / в L2(?2), получим последовательность ньютоновых потенциа-
потенциалов {Nfn)> сходящуюся к w в Й/2|2(?2).
(Н) Определим для фиксированных /, / линейный оператор Г: /,2(?2) ->
^L2(O) равенством Г/ = Z)/yw. По лемме 9.7 из (9.28) получаем для всех
t > 0 и всех / G Z,2(O) неравенства
О2. (9.29)
Докажем дополнительно, что для всех t > 0 и всех /Е /,2(
сц/iu/r. (9.зо)
Это неравенство позволяет применить интерполяционную теорему Мар-
цинкевича.
217

Для доказательства оценки (9.30) продолжим функцию / нулем вне 12,
зафиксируем t > 0 и такой куб Ко D 12, что
ffdx < t\K0\.
Куб Ко разобьем так, как это было описано в разделе 9.2, и выделим
последовательность параллельных подкубов {А^}~=1 таких, что
t < • / |/| At < 2nt (9.31)
I Кг | а:,
и |/|<f почти всюду на G = K0 j
i
Функция / теперь разбивается на "хорошую" часть — функцию g, опре-
определенную формулой
*(*) =
/(*) для xGG
1
\кЕ\
ffdx для xGKh /=6,2,...,
и на "плохую" часть — функцию Ъ-f-g. Ясно, что
\g\ < 2nt почти всюду, Ь(х) - 0 для х G G;
f bdx= 0 для /= 1,2,. ..
Так как отображение Г линейно (Г/ = 7& + ТЬ\ то
(iii) Оценка Tg. В силу (9.29)
HTgit/2) < D/r2). f g2dx < Bn+2/t) • /|g|?/x < BИ+27Г).Л/|Л.
(iv) Оценка Tb. Введя
b на Kh
О в остальной части,
имеем
Tb = ? Г*,.
Фиксируем некоторое / и возьмем сходящуюся к Ь\ в L2 A2) последова-
последовательность функций{^/ш} СС^ (АГ?), удовлетворяющих условию
/ blm dx = Г Z?/d^ = 0.
218

Тогда для х ф К\ имеем
ТЬ1т(х) = / DijY(x-y)blm(y)dy =
*/
= f{Diir(x-y)-Diir(x-y)}blm(y)dyt
где J^Jj -центр Kj. Обозначая через 5 = 57 диаметр куба Кг, получаем
(оценивая аналогично тому, как оценивался интеграл 1в в доказательстве
леммы 4.4)
I ТЬ1т (х) |< С(я) 5 [dist (*, К,)] ~п~1 f \Ьш (У) I dy
Полагая Bt -Въ (у) и интегрируя по Ко\ Bj, имеем
dx
I \Tblm(y)\dx <С(п)д f f\blm(y)\dy<
Ко - Bj | x I > 6/2 \x I Ki
<C(n) f\blm(y)\dy.
Устремляя m-+ <», обозначая F* = UBj, G* = Ko — F\ и суммируя по /, по-
получаем неравенство 1
J\Tb\dx < C(n)f \b\dx < C(n)f\f\dx,
G
откуда, по лемме 9.7,
\{xGG*\ \ТЬ\> t/2}\ < CWfh/L
Однако в силу (9.31)
\Fm\ < сои - nn>2 • \F\ < CWf \\xlt.
Таким образом, неравенство (9.30) доказано.
(v) Для завершения доказательства теоремы 9.9 заметим, что в силу
(9.29) и (9.30) выполнены условия интерполяционной теоремы Марцин-
кевича (теорема 9.8) с q = 1, г = 2. Поэтому для всех 1 < р <2 и всех
2)
WTf \\p < C(n,p)\\f \\p. (9.32)
На случай р > 2 неравенство (9.32) переносится в силу двойственности.
Действительно, если/,# ? С<Г (^2). то
S(Tf)gdx = / wDijgdx = / /r(
n n па
< II/llp • \\Tg\\p'
p p
219

и в силу (9.32) для р < 2
И Tf \\р = sup{ f(Tf)gdx | \\g llp< = 1 } < C(n, p') II/ IIp.
Таким образом, (9.32) выполняется при всех 1 < р < °°. Для функций из
Lp утверждение получается, как и в случае р = 2, с помощью аппроксима-
аппроксимации. ?
Отметим, что оператор Т может быть ограниченным на пространстве
Lp (?1 ) даже для неограниченной области 12. В этом случае утверждение
теоремы 9.9 справедливо при п > 3. О других методах доказательства
неравенства (9.27) см. примечание к этой главе.
Из теоремы 9.9 непосредственно следуют оценки в Lp решений урав-
уравнения Пуассона.
С л едствие9.10. Пусть 12 - область в R", и G WO2'PA2), 1<р<°°.
Тогда
\\D2u\\p < С\\Аи\\р (9.33)
с постоянной С = С(п,р). При р = 2 справедливо равенство
\\D2u \\2 = II Aw ll2. (9.34)
9.5. Оценки в Lp
В этом разделе мы получим внутренние и глобальные оценки вторых
производных решений эллиптических уравнений вида (9.2). Исполь-
Используемая при этом техника возмущения операторов с постоянными коэффи-
коэффициентами аналогична той, которая была применена для получения шауде-
ровских оценок в разделах 6.1 и 6.2. Сначала рассмотрим внутренние
оценки. Следующая теорема аналогична теореме 6.1.
Теорема9.11. Пусть 12 - открытое множество в R", а функция
и G Wfap(?l ) П Z,p(?2), 1 < р < °°, является сильным решением урав-
уравнения Lu = / в 12 , причем коэффициенты оператора L удовлетворяют
условиям
aij' G С °(п), Ъ\ с G L~(u\ fGLp(u);
М$\2 V? G R«; (9.35)
I в" I, | 6'|, k I <Л,
где X, Л - положительные постоянные, i, j = 1, 2, . . . , п. Тогда в любой
области 12' С С 12
»« Kp;Sl' <C(\\U \\p;Sl + II/ \\р.п) (9.36)
с постоянной С, зависящей от п, р, X, Л, 12', 12 и от модулей непрерывнос-
непрерывности коэффициентов с?' в области 12.
220

Доказательство. Для фиксированной точки д:0 Е ?2' обозначим
через Lo оператор с постоянными коэффициентами вида
Lou = aif(x0)DijU.
Применяя, как и в доказательстве леммы 6.1, линейное преобразование
Q, мы для любой функции v Е Ц?1уР(?1) в силу следствия 9.10 получаем
оценку
WD2v\\pln <(C/X). \\Lov\\p;u (9.37)
с такой же, как в (9.33), постоянной С = С(л, р). Таким образом, если
функция v имеет носитель, лежащий в шаре BR = Br (jc0) С С ?2, то,
поскольку
в силу (9.37) имеем
\\D2v \\р < (С/Х) - ( sup \а-а(хо)\ • \\D2v \\р + la^D^v Нр),
где д = [alJ]. Так как матрица а равномерно непрерывна в ?2', то сущест-
существует положительное число 5 такое, что | а - а(х0) \ <Х/BС) при
I х - х0 | < 5, и поэтому при R <5 справедлива оценка IIIJ и II р<
<СII a^D^v Up с постоянной С = С (л, р, X).
Пусть a G @, 1). Введем срезающую функцию т? Е Со (##)> удовлет-
удовлетворяющую соотношениям: 0<1?<1,*? = 1в Ба#, г\ = 0 для \ х \ > oR,
о =A +а)/2, | Z)i? I < 4/[A -а)Л],| ^2т? | < 16/[( 1- oJR2].Тогда
если функция и Е ^^?(?2) удовлетворяет в ?2 уравнению Lu =/ и если
и = т?м, то II ?>2ц 11р. BqR < С I i]
Л <5 < 1 с постоянной С = С (п,р, Х,Л).
Введем весовые полунормы
Фк = sup 0-а)*Л* 1/}*и1р;В * = 0,1,2.
О < о < 1 р • ак
Полученное неравенство запишем в виде
Ф2 < C(R2 Wf\\p;BR + Ф1 + Фо). (9.38)
Мы утверждаем, что полунормы Ф& удовлетворяют интерполяционному не-
неравенству
Фх < еФ2 + (С/е) . Фо (9.39)
с произвольным € > 0 и постоянной С = С(п). Так как неравенство (9.39)
221

инвариантно при растяжении координат, достаточно доказать его для
случая R = 1.
Пусть у > 0. Фиксируем о = Оу такое, что
\\Du\\p;B
(j
(в силу теоремы 7.28)
< 6A -aJ 1|?>2Ы Ир;Ва + (С/е) ¦ 1и lp:Bff + 7.
Устремляя у ->О, придем к (9.39).
Подставим теперь (9.39) в (9.38). Получим Ф2 <С (Д2 II/ IIр. Br + Фо),
т.е.
= С(пчр, \,А)иО<о< 1.
Если взять а = 1/2 и покрыть ?2' конечным числом шаров радиуса R/2 с
R = min {5, dist (?2\ ЭП )} , то придем к требуемой оценке (9.36). ?
Чтобы распространить утверждение теоремы 9.11 вплоть до границы
Э?2, рассмотрим сначала случай плоского куска границы. Пусть
l\ xn> 0},
+ = (ЭП) П R^ ={Х g Э?2 | xw > 0} .
Справедливо следующее обобщение следствия 9.10.
Л е мма9.12. Пусть функция и Е Л7*'1 (^2+), 1 < р < °°, удовлетво-
удовлетворяет уравнению А и =/ в слабом смысле в ?2+ и равна нулю вблизи (Э?2)!
Пусть правая часть f принадлежит Z,p(?2+). Гог^д mG^2'pA2+) П
П ^Mp(^+) w
11#21р;п+ < С1/1р;п+ (9.41)
с постоянной С = С(я, р).
Доказательство. Продолжим функции w и/на все полупростран-
полупространство R", полагая их равными нулю в R" — ?2, а затем - на все простран-
пространство Rw с помощью нечетного продолжения через плоскость хп = 0, т.е.
положив
и (х\хп) = -и (х\ -хп\ /(*', хп) = -/(*', -хп)
для хп < 0. Здесьх = (хг лг„_ г). Можно показать, что продолжен-
продолженная функция в слабом смысле удовлетворяет в R" уравнению Ам=/.
Действительно, возьмем произвольную пробную функцию у Е С\ (Rw)
и любое 6 > 0; пусть г\ — такая принадлежащая С1 (R) четная функция,
чтот?(г) =0для | t | <е,т?(О = 1 для |г| > 2е и | rj \ <2/е. Тогда ^
- fvfvdx = fDu-D(r}ip)dx = /i??)m • Dydx + fipri'Dnudx.
222

Далее,
lf<pn'Dniidx\ =| /
О < xn < 2e
< 8 max \Dy\ • f | Dn и \ dx -+ 0
О < xn < 2e
при e -> 0. Устремляя € -> 0, получаем равенство — ffydx = / Du- Dydx,
означающее, что функция и Е W1'1 (R") является слабым решением урав-
уравнения А м=/.
Так как функция и имеет компактный носитель в R", то осреднение
и^ принадлежит С~ (R") и удовлетворяет уравнению Д мЛ =/j, в R". Сле-
Следовательно, в силу леммы 7.2 и следствия 9.10 uh -+ и в W *p(Rn) при
h -> 0 и, более того, функция и удовлетворяет оценке (9.33). Отсюда сле-
следует оценка (9.42) с постоянной, вдвое большей постоянной из оценки
(9.33). Так как ин (х\ 0) = 0, то мы получили также, что и G WlotP(?l*). ?
При получении глобальной (вплоть до границы) оценки мы потребуем,
чтобы граничные значения принимались в смысле Н/1'Р(Г2 ). Пусть Т -
кусок границы Э?2 имЕ W1>p(?2), будем говорить, что функция и равна
нулю на Г в смысле Wl*p(u), если она является пределом в WltP(Sl)
последовательности функций из С1 (?2), равных нулю вблизи Т. Прир =2
это определение совпадает с определением из раздела 8.10, а когда функ-
функция и непрерывна на Г, из данного определения следует, что функция и
обращается на Г в нуль в обычном поточечном смысле.
С помощью результата леммы 9.12 мы получим теперь локальную гра-
граничную оценку.
Т е о р е м а 9.13. Пусть ?2 - область в Rn, на границе которой располо-
расположен кусок Т класса С1'1. Пусть функция «G И/2>Р(Г2) является сильным
решением уравнения Lu = f в ?1 , равным нулю на Т в смысле W1>P?S2),
и пусть оператор L удовлетворяет условиям (9.35)< причем aij G
ЕС0 (S1U Т). Тогда для любой области VJ С С (ПиГ)
1м12|Р;П- <СAи11р;П+ 1Лр;п)> (9.42)
где постоянная С зависит от п, р, X, А, Т, ?1' и модулей непрерывности
коэффициентов а11 в 12'.
Доказательство. Так как Т Е С1 * *, то для каждой точки х0 €= Г
существуют окрестность JT = JTXo и диффеоморфизм ф = ф^ из JT на
единичный шар В-Вх @) С R" такие, что
ф(ЛГП ?1) С R?, 1//(ЖП ЭП) С dRi,
фе cl>\jr\ ф-1 е с1»\в).
Как и в лемме 6.5, записывая у = ф(х) = (фг (х) Фп(х))у и(у) = и(х),
Е Ж G5, получаем уравнение
DijU + blDiU + ??Г =/
223

в области^*. Здесь:
|Ь .2*1
Ъ2ф
f
?(У) =c(x), J(y) = /(*).
Ясно, что оператор L удовлетворяет условиям, аналогичным условиям
(9.35), с постоянными X, К зависящими от X, Ли # Более того, 2е W2tP(B*)
и и = 0 на 5 П ЭК? в смысле И>1>рB?+). Далее поступаем так же, как и
в доказательстве теоремы 9.11, заменив шар BR (х0) на полушар 2?д @) С
С В и используя лемму 9.12 вместо следствия 9.10. Получим оценку
I*
при R < 5 < 1 с постоянной С, зависящей от п, р, X, Л и ф, причем постоян-
постоянная 5 зависит от модулей непрерывности aij в точке jco, а также от ф. Взяв
а= 1/2 и область JT^JT^ = ф (#5/2)*и* возвращаясь к исходным коор-
координатам, получим
с постоянной С = С(п^р, X, Л, 5, ф). Покрывая ?1' П Т конечным числом
таких окрестностей JT и используя внутреннюю оценку (9.36), мы при-
придем к требуемой оценке (9.42). П
Если в-теореме 9.13 кусок Т совпадает с д?2, то мы можем взять ?2'= ?2
и получим глобальную оценку в W2'p(?2). На самом деле справедливо
более сильное утверждение.
Те о ре м а9.14. Пусть ?2 - область в R" класса С1'1. Предположим,
что оператор L удовлетворяет условиям (9.35), причем j/; G С0 (?2)
i\/ = l,2, ...,и. Тогда еслиие W2>f>(?l) HWle
II" К Р;п < С . II La - ам 11р; п (9.43)
всех: а> а0, где С и о0 - положительные постоянные, зависящие только
отп, р, X, А, п и модулей непрерывности коэффициентов.
Доказательство. Рассмотрим в Rn + * (jc, t) область fi0 =П X
X (—1, 1) и оператор Z,o, определенный формулой Lov = Lu + 1>^гу для
ve W2>p(?lо). Если функция «G U/2jP(i2) П Fi/01>p(Q), то функция и,
определенная равенством и(х, г) = и(х) • со8(а^2г), принадлежит
И^2>РA2О) и равна нулю на Э?2 X (—1, 1) в смысле ^^(^о)- Кроме
того, Lov = cos(a1^2f) • (Lu — аи). Поэтому в силу теоремы 9.13, приме-
примененной в ?2' = ?2 X (-€, б), где 0 < € < 1/2, получаем
WDttv ip-si1
224

с постоянной d зависящей от величин, перечисленных в формулировке
теоремы. Взяв теперь е - тг/ (За1 fl), приходим к неравенству
pln' soivlpltl' > a cos (a1'2 €)• B6I'" Ни lPffl >
> 1/2 • BW/3I"- a^^^lnlp.n,
поэтому для достаточно больших значений а будет справедливо нера-
неравенство (9.44)
II и Ир; п < С II Lu - aw llp; Л.
Отсюда в силу теоремы 9.13 получаем (9.43). ?
Заметим, что прир > п теорема 9.14 непосредственно следует из теорем
9.1 и 9.13. В методе гильбертова пространства, рассмотренном в гл. 8,
аналогом теоремы 9.14 является лемма 8.4. Случай р = 2 в действительнос-
действительности можно рассмотреть на основе леммы 8.4. Отметим также, что, используя
в доказательствах теорем 9.12, 9.13 и 9.14 теорему вложения Соболева
(см., в частности, следствие 7.1), можно ослабить условия на младшие
члены оператора L: Ъ* ? Lq A2), с € I/ A2), где q > п при р <и и q = п
прир >п\ т>л/2 прир <л/2 иг =р прир>п/2.
9.6. Задача Дирихле
Основным утверждением этого раздела является следующая теорема
существования и единственности сильных решений задачи Дирихле.
Теорема 9.15. Пусть П - область в Rn класса С4'1. Пусть оператор L
строго эллиптичен в 12, аг*G С°(П ), b?9cEL~9i,f = 1,... ,л, ис<0. Тог-
Тогда если/еЬр(П) и#е W2>р A2), где 1<р<«>, то задача Дирихле Lu=f
в ?2, и - ip G WoltP(?l ), имеет единственное решение и G И/2|РA2).
Доказательство. Существуют различные способы доказательства
теоремы 9.15 на основе теорем существования, полученных в гл. 4, 6 и 8.
Например, при р > п она может быть получена как из теоремь! 6.14 или из
теоремы 8.14 с помощью соответствующей аппроксимации (задача 9.6),
так и из утверждения для уравнения Пуассона с помощью метода продол-
продолжения по параметру (задача 9.7). Используемый здесь подход основан
на теоремах существования в случае р = 2 теоремы 8.9 и теоремы 8.12,
которые утверждают разрешимость рассмотренной задачи при сильных
условиях на коэффициенты. Нам потребуется следующий результат о
регулярности, являющийся уточнением теорем 9.11 и 9.13.
Л е м м а 9.16. Дополнительно к условиям теоремы 9.13 предположим,
что f G Lq (п) при некотором q G (р, «>). Тогда решение и принадлежит
w\o% (° и т) и и-Она Те смысле Wl>q A2) и, следовательно, справед-
справедлива оценка (9.42), в которой величина р заменена на q.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай внутренних оценок,
т.е. случай, когда Т пусто. Как и в доказательстве теоремы 9.11, зафикси-
зафиксируем шар BR = BR(x0) и возьмем срезающую функцию т? такую
же, что ив доказательстве теоремы 9.11. Положим v = т?м,# г^
Lov =
15. Д. Гилбарг 225

Так как Lu = /, то из теоремы вложения Соболева следует, что g G V (SI),
где 1/г = max { l/q, l/p - \\п } . С помощью линейного преобразования Q
диагонализируем матрицу [alJ(x0)]. При этом оператор Lo преобразует-
преобразуется в лапласиан и поэтому
^7,^— функции, получившиеся из функций и, а*К g соответственно
при преобразовании Q. Вычислив ньютонов потенциал от левой и правой
частей, получаем уравнение
v = N [F*" - а*1(х)Щ?>] + Nl
Следовательно, функция v удовлетворяет уравнению вида
v = Tv + h, (9-45)
в котором Т является линейным отображением W2'p(Br) в себя при
любом р Е A, оо), ограниченным в силу неравенства Кальдерона-Зиг-
Кальдерона-Зигмунда (теорема 9.9), a h Е U (BR). Если, как и в доказательстве теоремы
9.11, R < 6, то будет выполнено неравенство 1 ПК 1/2. Тогда из принципа
сжимающих отображений (теорема 5.1) следует, что уравнение (9.45)
имеет единственное решение v €= W2tP(BR) при любомр € [1, 2]. Следо-
Следовательно, функция Щ1 принадлежит W2*r (Г2), и, так как лг0 - произвольная
точка области ?2, получаем, что и Е Wfc? (^2). Если г = q, то утверждение
доказано. В остальных случаях требуемая внутренняя гладкость получает-
получается с помощью теоремы вложения Соболева и повторения предыдущего
доказательства. Гладкость решения вблизи границы устанавливается анало-
аналогично: в доказательстве теоремы 9.13 следует взять лг0 €= Т и шар Br (х0)
заменить на полушар Br @). ?
Доказательство единственности в теореме 9.15 следует из леммы 9.16.
Если оператор L удовлетворяет условиям теоремы 9.15 и е.сли функции
ut v Е W*'p(h) удовлетворяют условиям Lu =Lv в ?2 и и- v G Wo'p(?2),
то по лемме 9.16 м - uG V\rtQ (SI) П Wo*q(Sl) для всех К q<<*>. Исполь-
Используя единственность решения (теорема 9.5) и теорему вложения Соболева
(теорема 7.10), получаем, что и = и. Из единственности получаем также
априорную оценку, обобщающую теорему 9.14.
Лемма 9.17. Пусть оператор L удовлетворяет условиям теоремы 9.15.
Тогда существует постоянная С (не зависящая от и) такая, что
I" «2, р;п < C\\Lu\\p;a (9.46)
для всех и? W2>p(?l)n wl>p(Sl), [ <p О.
Доказательство. Предположим, что (9.46) не верно. Это значит,
что существует последовательность функций {vm} , vm G W2tP(?L) П
П WoltP(Sl), удовлетворяющих условиям II vm II р; ^ = 1, \\Lom llp. n "^ 0.
В силу априорной оценки (теорема 9.13) из компактности вложения
WoltP(Sl) -> Lp(^2 ) и слабой компактности ограниченных множеств в
W2>p(Sl ) (задача 5.5) следует, что существует подпоследовательность
последовательности { vm}, которую мы обозначим также через { v w}, слабо
226

сходящаяся к функции и G W2tP(?l) n Wq*p(U), для которой Ни йр; л =
= 1. Так как f g&*vm ~+ f g -Dav для всех | а | < 2 и всех g€
е Zp/(p"° (ft), то получаем, что f gLv = 0 для всех* G /рИр-*) (п).
Следовательно, Lv = 0 и в силу теоремы единственности и « 0, а это проти-
противоречит условию II v Ир = 1. ?
Теперь мы можем доказать теорему 9.15. Прежде всего заметим, что
если старшие коэффициенты aij принадлежат С°*!(Г2) ир > 2, то утверж-
утверждение теоремы непосредственно следует из теорем 8.9 и 8.12 и лем-
леммы 9.16. В общем случае мы заменяем и на и - <р, чтобы получить нулевые
граничные условия, равномерно аппроксимируем коэффициенты а** после-
последовательностями {я#} С С0§1(Й), а в случае р < 2 и функцию/ - после-
последовательностью {fm} С Ь2(п) в метрике /,Р(П). Обозначим через {ит}
последовательность решений соответствующих задач Дирихле. Из лем-
леммы 9.17 вытекает, что последовательность {ит} ограничена в Н/2|Р(Г2).
Следовательно, снова в силу результата задачи 5.5 некоторая ее подпосле-
подпоследовательность будет слабо сходиться в W2tP(?l) П W*tP(?l) к функции ut
удовлетворяющей в п уравнению Lu =/. Последний факт устанавливает-
устанавливается рассуждениями, аналогичными рассуждениям из доказательства лем-
леммы 9.17. П
Теорема 9.15 может быть получена также и из альтернативы Фредголь-
ма, следующей из замечания 9,14 (задача 9.9). При р > и/2 мы получаем
теорему существования для непрерывных граничных значений.
Следствие 9.18. Пусть 12 - область в R" класса С1*1 и пусть опе-
оператор L строго эллиптичен в п, коэффициенты aij G С°(Й), Ъ*, с Е
G L°°(u)y ij = 1,...,л,мс<0. Тогда если feLp(?l)9p>n/2, <p G
€ С°(Э?2), го задача Дирихле Lu = f в ?1, и = <р на Ъ?1, имеет единствен-
единственное решение и G и?»? (Ш) П С0(п).
Доказательство, Единственность решения следует из теоре-
теоремы 9.5 и леммы 9.6 (в действительности она, очевидно, имеет место для
любой ?2 и любого р > 1). Чтобы доказать существование решения, возь-
возьмем последовательность {$т} С И/2>Р(Г2), сходящуюся равномерно на
дп к функции <р. Пусть ит Е W2tp(Sl') - решение задачи Дирихле Zwm =/
Bfi(«m = ipm на ЭО. Это решение существует в силу теоремы 9.15. Раз-
Разность щ - ит удовлетворяет соотношениям
um) = Q в Ut щ~ит = v?/~^m на Э^2.
Отсюда в силу теорем 9.1 и 9.11 следует, что последовательность {ит} схо-
сходится в С°(й) П W2tP(?l) к решению и задачи Дирихле Lu-fbuyu-<p
наЭЮ.П °
Используя технику барьеров, аналогичную технике гл. 6, можно обоб-
обобщить следствие 9.18 на более широкий класс областей. Результат такого
типа мы получим в разделе 9.7 в связи с установлением непрерывности
вплоть до границы.
В заключение этого раздела мы сформулируем теорему о гладкости
более высокого порядка, обобщающую теоремы 6.17 и 6.19 для класси-
15*
227

ческих решений. Доказательство может быть получено с помощью раз-
разностных отношений подобно тому, к$к это осуществлялось в указанных
теоремах; можно применить также рассуждения, аналогичные рассужде-
рассуждениям доказательства леммы 9.16. Детали доказательства оставляем рас-
рассмотреть читателю (задача 9.10).
Теорема 9.19. Пусть функция и из Й^?($2) является решением
в 12 эллиптического уравнения Lu=f, коэффициенты которого принадле-
принадлежат Ск-1'1(П)(Ск-1'а(П))9 а правая часть f принадлежит И>?«(?2)
(Ск-1'а(П))9 причем \<pt q<<*>, k> 1, 0<а<1.
Тогда функция и принадлежит Wk+2*(Sl) (С*+1-в(Я)). Более того,
если П принадлежит классу с*+1>1 (С*+1-в), а оператор L строго эллип-
эллиптичен в ?2 и его коэффициенты принадлежат Cfe~~lfI(?2), (Cfc~1|0?(?2)),
а правая часть f принадлежит WktQ(?L) (C*"~ltOt(fi)), то и принадлежит
9.7. Локальный принцип максимума
В этом, и в следующих разделах мы сконцентрируем внимание на ло-
локальных поточечных оценках для решений уравнений с операторами обще-
общего вида (9.1) и получим результаты, аналогичные соответствующим ре-
результатам для операторов дивергентного вида (см. разделы 8.6 — 8.10).
До конца этой главы будем предполагать, что оператор L, определенный
формулой (9.1), строго эллиптичен и имеет ограниченные коэффициенты
в области ?2. В соответствии с этим мы зафиксируем постоянные у и v
так, чтобы в области S2 выполнялись неравенства
Л/Х<7, (|Ь|/ХJ, \с\1\<р. (9.47)
В этом разделе мы докажем следующий аналог оценки для субрешений
из теоремы 8.17.
Теорема 9.20. Пусть функция и принадлежит W2*n(?l) и пусть
Lu> f> где f €= Ln(?l). Тогда для любого шара В = B2r (у) С ?2 и любо-
любого р > 0 справедлива оценка
sup u < М f(+)?d)/P +
в()
\В\ в
с постоянной С = С(п, 7, vR2, p).
Доказательство. Без ограничения общности можем считать,
что В = i?i@). Общий случай сводится к этому с помощью замены неза-
независимых переменных х »-> (х - y)/2R. Предположим сначала, что и €
Е С2(?2) П Ц/2|П(?2). Возьмем J3 > 1 и определим срезающую функцию т?
равенством
V(x) = A-UI2/. (9.49)
Дифференцируя, получаем
A-t?= -2Дх,A -Ixl2)^1,
Dtiv = -2fl5^(l - I дг I2/" +4j3(j3- Ojf/X/O - I x I2/.
228

Для функции v =. т\и имеем
-си)
Пусть Г+ = Г^ — верхнее контактное множество функции v в шаре В,
Очевидно, что и > О на Г+. Кроме того, в силу вогнутости функции v на
Г * мы можем на Г * оценить
1 1
| Дм I = — I Dv - uDr} | < - A Dv | + и I Dn \) <
- ( V% t +u-\Dri\)<
Таким образом, на Г + выполнено неравенство
-aifDifv < {A6j32 + 2т70)ЛтГ2/^ + 2р | Ь \ т? & + c)v + г?/
2pv+ f
с постоянной С = С(и, ft 7» *0- Далее, применяя лемму 9.3, для /3 > 2
получаем
Полагая 0 = 2п/р (при условии, что р <и) и используя неравенство Юнга
G.6) вида (sup y*I^ <e sup v+ + е1"^2, где € > 0, приходим к не-
неравенству
sup v < С{( J(iOpd*I/p +0А) j
из которого и следует оценка (9.48). Обобщение на случай м G
получается непосредственно из рассмотренного случая с помощью аппрок-
аппроксимации. Осуществить это обобщение мы предоставляем читателю. ?
С помощью замены и на -и утверждение теоремы 9.20 автоматически
переносится на суперрешения и решения уравненияLu- f.
Следствие 9.2L Пусть и ^ W2>n(Sl). Предположим, что Lw </(=/)
efi«/6 Ьп(п). Тогда для любого шараВ =B2r (у) С ?1 илюбогор>0
справедлива оценка
»
<950)
с постоянной С = С(гг, 7, ^2, р) •
Отметим, что оценка (9.48) с р = 1 дает обобщение неравенства для
среднего значения неотрицательных субгармонических функций. А именно,
229

eamLu> 0 и и> О в BR(y)t то
и(;0 < (<7ДЯ)' / "<** (9.51)
BR(y)
с постоянной С = С(п, у, vR2 ).
Теорема 9.20 остается справедливой и при более общих условиях на
коэффициенты (см. примечания).
9.8. Оценки Гёльдера и неравенство Харнака
В этом разделе мы опишем метод получения оценок Гёльдера и нера-
неравенства Харнака, принадлежащий Крылову и Сафонову [138], [139].
Эти оценки являются аналогами для равномерно эллиптических опера-
операторов общего вида оценок Де Джорджи, Нэша и Мозера для операторов
дивергентного вида. Для последующего изучения в гл. 17 вполне нелиней-
нелинейных эллиптических уравнений важную роль играет слабое неравенство
Харнака для неотрицательных суперрешений. Из него также легко вы-
выводятся оценки Гёльдера и неравенство Харнака.
Теорема 9.22. Пусть функция и € W2*n(?L) удовлетворяет нера-
неравенству Lu </ в ?2, где f Е Ln(?2). Пусть функция и неотрицательна в
iuapeB=B2R (у) С ?2. Тогда
— \\f\\L»iB))>
) Ы fLiB)) (9-52)
где р и С — положительные постоянные, зависящие только от п, у и vR2.
Доказательство. Предположим сначала, что В = Вх @) и X = 1
(последнее достигается с помощью замены L, f на L/X,//X соответствен-
соответственно) . Полагая
(9.53)
w = -log и. и = 17W, g = //w,
где е > 0, а функция т? задана равенством (9.49), с помощью неравенства
Шварца получим
< - a
V
Так как
I2/
то aiJ'Dtj7i > 0, если 2(|3 — l)aijXiXj + af/ |x |2 > д'1, и, в частности, если
2 0 | jc |2 > пА. Следовательно, если 0 < а < 1, а показатель 0 выбран так,
что р > пу/Bа)9 то аг*Вцч\ > 0 для всех |л: | > а. Отсюда получаем, что
230

на множествеВ+ ={х?;В\ w (х) >0 } выполняется неравенство
-ацВц\> < 402A-UI2/~2I*I2 +
+ vx(Ba) • sup (~aif'Difvh) + (I b I2 + \c \
< 40Л + |Ь| + |d+* + т U
1 -a2
Применяя лемму 9.3 и замечая, что \\g ||„; в < 1, приходим к оценке для
функции v. А именно,
sup и <СA+!|и+||„;яа) (9.54)
в
с постоянной С = C(nt at у, v).
Чтобы можно было воспользоваться процедурой разбиения куба, описан-
описанной в гл. 9.2, с этого момента заменим в рассуждениях шары на кубы.
Для любой точки уЕКпи для R > 0 через KR (у) будем обозначать откры-
открытый куб с центром в точке у и с ребрами длины 2R, параллельными коор-
координатным осям. Если а < \j\fn, то Ка = Ка @)ССВ и из (9.54) следует, что
sup v < СA + II и+ \\п;К ) < СA + I K? \1/n sup u+),
в а в
где А'* ={Хе Ka\v > 0}. Поэтому если \К?\/\Ка\ <6 = [2Bа)^"!,
то sup и < 2С, где С = С(п, а, 7> ^) — постоянная из (9.54). Возьмем те-
в
перь а = l/Cw) и одновременно зафиксируем 0. С помощью преобразо-
преобразования х -> а(л: - z)/r мы получаем для произвольного куба А' = A'r(z)
такого, что B3nr(z)CB и
|А'+| < в\К\, (9.55)
оценку
sup w < С, С = С(л, 7, ^ • (9.56)
Доказательство теоремы 9.22 завершается теперь с помощью следую-
следующей леммы.
Лемма 9.23. Пусть Ко - кубе R", wGL^Kq) иГк={хеК\ w(x)<
<k), k G R Предположим, что существуют такие положительные постоян-
постоянные д< I и С, что
sup (w-k) < С, (9.57)
если только число k и куб К = Kr(z) С А'о таковы, что
\ГкПК\ > 5 |А'|. (9.58)
Тогда для всех к
( MJML^Y (9.59)
log 5
231

Доказательство. Сначала с помощью индукции докажем, что
sup (w - к) < тС
для всех натуральных т и к G R, удовлетворяющих условию 1Г* | >
> 6т|АГ0|. При т = 1 это утверждение очевидно. Предположим, что оно
справедливо для некоторого т € N и что | Г* | ** Sm + 1| А'о|. Определим
множество Гк равенством
Г* = V{K3r(z) ПК0\\ Kr(z) ПГк\>8\ Kr(z)\}.
Из процедуры разбиения куба, описанной в разделе 9.2, при t = 8 из нера-
неравенства (9.20) получаем, что или Гк = Ао, или | Гк \ > A/6) • | Гк \ >
> Ьт | К о |. Следовательно, если заменить к на fc + С, получаем sup (w — fc) <
Ко
< (m + 1)С, а это гарантирует справедливость требуемого утверждения
при т + 1. Оценка (9.59) получается с помощью выбора соответствующего
значения т. П
Положим в лемме 9.23 6 = 1 - В, Ко = АТа(О), а = 1/(Зи). Оценка
(9.56) при этом останется справедливой, если w заменить на w— к. Пусть
дг = |{jc G A'ol п(х) > t}\ — функция распределения п на А'о. С помощью
(9.53) и (9.59), полагая t = е~к9 получаем оценку
Ht < C(inf u/t)K , t > 0, (9.60)
где Си к - положительные постоянные, зависящие только от и, 7 и v.
Заменяя куб А'о на вписанный шар Ba(Q), a = l/Cw), и используя лем-
лемму 9.7, получаем оценку
/ (и )pdx < C(inf п У (9.61)
Вд -Век
для р < к , например для р = к/2. Если, далее, устремить е -> 0, использо-
использовать покрытия для получения оценок (9.6) с произвольным а < 1 (напри-
(например, с а = 1/2) и, наконец, использовать преобразование координат
х*+(х - y)l BR), то получим слабое неравенство Харнака в виде (9.52). П
Приспосабливая доказательство оценки Гёльдера для оператора дивер-
дивергентного вида (теорема 8.22) (с небольшими модификациями, компен-
компенсирующими отсутствие значения р = 1 в слабом неравенстве Харнака
(9.52)), из теоремы 9.22 можно получить оценку Гёльдера для операторов
общего вида.
Следствие 9.24. Пусть функция и G W2tft(u) удовлетворяет в
п уравнению Lu =/. Тогда для любого шара Во = BRo(y) С п и любого
R </?о справедливо неравенство
osc и < C(R/Rof( osc и + kR0)9 (9.62)
BR(y) Во
где С = С(п, у, vRl), а = а(п, у, vRq) -- положительные постоянные, а
*=Н/-О<11|.;Вв.
Объединяя теорему 9.22 с оценкой субрешения (теорема 9.20), мы
получаем неравенство Харнака.
232

Следствие 9.25. Пусть функция и G W2*n(?l) удовлетворяет в
Q, уравнению Lu = 0 и неотрицательна. Тогда для произвольного шара
#2 я 00 с И имеем
sup и < С inf м (9.63)
BR(y)
с постоянной С = С(п, 7, *>Л2 )•
9.9. Локальные оценки вблизи границы
Локальный принцип максимума (теорема 9.20) может быть следую-
следующим образом обобщен на случай шаров, пересекающихся с границей.
Теорема 9.26. Пусть функция и G И>2»и(?2) О С°(й) удовлетворя-
удовлетворяет неравенству Lu> f в ?1 и неравенству и < 0 на В П Э12, где f€Ln(Sl)
и B=B2R(y) - шар в Rn. Тогда для любого р>0 имеем
sup и < С (-— / (и*/**) + т II/IIlh (9.64)
с постоянной С = С(п, 7, vR2 >Р) •
Доказательство. Достаточно доказать оценку (9.64) для функ-
функции и G С2(О) П С°(?2), удовлетворяющей неравенству м<0на5П Э?2.
Продолжим функцию и на весь шар В, положив и = 0 в В — 12. Хотя функ-
функция и после продолжения и не обязана принадлежать пространству С2 (В),
но рассуждения из доказательства теоремы 9.20 могут быть применены,
так как множество Г+ - верхнее контактное множество функции v —
лежит в В П ?2, а функция и принадлежит С2(Г + ), и потому можно ис-
использовать лемму 9.3. П
Отметим здесь следующий факт, использованный при доказательстве
теоремы 9.26: если функция и удовлетворяет условиям леммы 9.3, то
по непрерывности оценка (9.11) будет справедлива и в случае, когда
множество Г+ заменяется на верхнее контактное множество функции и
относительно любой большей области О (на которую функция и продолжа-
продолжается нулем), а число d заменяется на diam Й.
Слабое неравенство Харнака (теорема 9.22) справедливо вблизи грани-
границы и имеет следующий вид.
Теорема 9.27 Пусть функция и G W2*n(?l) удовлетворяет в п не-
неравенству Lu </ и неотрицательна в В П п, В = B2r (у) - шар в Rn. По-
Положим m = inf и и
[ inf{w(jc),m} для х G ВПп,
ит (*) = {
I т для х ? В - п.
Тогда
\1/р R
т
где р и С - положительные постоянные, зависящие только от п, у и vR2.
233

Если предположить, что функция и принадлежит только W^"(u)t то не-
неравенство (9.65) выполняется с m= lim infw.
х -* в ъп
Доказательство. Приспособим доказательство теоремы 9.22,
заменив п на и^. Оценка (9.56) в этом случае получается, если w заме-
заменить на w - k при к > —log m, и мы получаем оценку (9.60) при 0 < t <m.
Если t > m, то ut = 0. Следовательно, так же, как и ранее, получается
(9.65). Последнее утверждение теоремы 9.27 является следствием заме-
замечания к теореме 9.1. ?
В качестве следствия теоремы 9.27 получаются оценки глобального
и граничного модулей непрерывности решений. Сформулируем результа-
результаты, аналогичные результатам для операторов дивергентного вида, изложен-
изложенным в теоремах 8.27 и 8,29.
Следствие 9.28' Пусть функция и € W^"(?L) удовлетворяет урав-
уравнению Lu = / в О, где f GLn(Sl). Предположим, что область 12 удовлет-
удовлетворяет условию внешнего конуса в точке у G ЭО. Тогда для любого
0 < R < Ro и любого шара B0=BRo(y) имеем
osc и < C{(R/Ro)a( osc u + kR0) + o(\/RR~o)}i (9.66)
nB ппв
где С = С(п, у, vRq, Vy)f a = а(п, у, vR%, Vy) - положительные постоян-
постоянные, Vу — внешний конус с вершиной в точке у и
o(r) = osc и = lim sup и - lim inf
ъппв ъппв дпп
для 0 < г < Ro.
Следствие 9.29, Пусть функция и G W2>n(Sl) П С°(п) удовлет-
удовлетворяет в О уравнению Lu = / и и = кр на Э?2, причем f €E Z,w(?2) и </> €Е
€ C^(S2) для некоторого 0 > 0. Предположим, что граница дп удовлет-
удовлетворяет равномерному условию внешнего конуса.
Тогда функция и принадлежит Са A2) и справедлива оценка
|и|а;П < С (9.67)
где а и С - положительные постоянные, зависящие от п, у, v, ft 12,
Отметим здесь, что оценка модулей непрерывности вплоть до границы
может быть получена с помощью построения барьеров подобно тому, как
это осуществлено в разделе 6.3. Более того, вместо барьеров при решении
задачи Дирихле методом Перрона может быть использована теорема 9.28.
Чтобы показать это, предположим, что оператор удовлетворяет условиям
теоремы 6.11. Пусть и G С2(О) - решение Перрона задачи ДирихлеLu=f
в О, и = ^ на Э?2, существование которого доказано в теореме 6.11. В силу
следствия 9.28 мы получаем оценку модуля непрерывности решения и в
точке у Е Э?2, если область 12 удовлетворяет условию внешнего конуса,
через модуль непрерьюности функции <? в точке у. Если область О удов-
удовлетворяет условию внешнего конуса в каждой точке Э12, то решение и
принадлежит С0 A2) и равно у на Э12, т.е. является решением рассматри-
рассматриваемой задачи Дирихле.
234

Таким образом, в теореме существования (теорема 6.13) можно за-
заменить условие внешней сферы на условие внешнего конуса. Последне-
Последнему условию удовлетворяют, например, Липшицевы области (см. также
задачу 6.3). Используя результаты раздела 9.5, в частности, следствие 9.18,
мы можем обобщить теорему 6.13 на случай, когда коэффициенты пред-
предполагаются непрерывными.
Теорема 9.30. Пусть оператор L строго эллиптичен в ограничен-
ограниченной области п, а его коэффициенты удовлетворяют условиям: а*1 ?
G С°(П) П Z,°°(?2), Ъ\ с е L°°(Sl) и с <0. Пусть область ^удовлетво-
^удовлетворяет условию внешнего конуса в любой граничной точке. Тогда если
f G Ьр(п),р > п, то задача Дирихле_Ьи- fв п, и=<р на Э?2, имеет единст-
единственное решение ие W^?(u) П С0(?2).
До казательство. Чтобы доказать теорему 9.30 достаточно, в
силу замечаний к предыдущей теореме, доказать существование решения
из W^P(U), аналогичного решения Перрона. Для этого можно применить
процедуру Перрона, описанную для супергармонических функций в гл. 2,
и использовать сильный принцип максимума (теорема 9.6), разреши-
разрешимость задачи Дирихле для шара с непрерывными граничными данными
(следствие 9.18) и внутренние оценки (теорема 9.11) вместе со свойст-
свойством слабой относительной компактности ограниченных множеств в
И>2>Р(П'), S2' СС П. Детали доказательства оставляем читателю. D
9.10. Граничные оценки Гёльдера градиента
Интересные и важные оценки Гёльдера для следа градиента решения
на границе могут быть получены из внутренних (или слабых) неравенств
Харнака. Этот результат был доказан Крыловым [135] в связи с его ис-
исследованиями вполне нелинейных уравнений, которым будет посвящен
раздел 17.8. Для этих приложений достаточно ограничиться рассмотрением
плоского куска, лежащего на границе, на котором решение обращается
в нуль. Будем рассматривать операторы вида
Lu =
удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности (9.47). Для более
общего случая соответствующие результаты получаются очевидным спо-
способом.
Теорема 9.31. Пусть функция и Е W?;" (В+ ) П С°(В+ ) удовлет-
удовлетворяет уравнению Lu-fe полушаре В* = ?#о@) П RJ, функция/ при-
принадлежит L°° (В+) и и =0 на Т = BRq П 3RJ. °Тогда для любого R<R0
имеем
osc
и / R \а/ и |/| \
— < с(—) (osc + Ro sup-—- ), (9.68)
хп \R0 / W xn в* \ /
где аи С - положительные постоянные, зависящие только от пи у.
Доказательство. Предположим, что функция v = u/xn ограни-
ограничена в В+ (локальная ограниченность этой функции может быть получе-
получена с помощью барьеров, построенных в разделе 6.3). Предположим снача-
сначала, что и > 0 в В+ и докажем следующее утверждение: существует число
235

5 = 8(nf у) > 0 такое, что
inf v < 2( inf у + (R/X) • sup |/| ) (9.69)
для любого Л <Л0> где BR5 ={x\\xf \ < R, 0 < хп < 8R). Чтобы дока-
доказать неравенство (9.69), нормируем функцию и так, чтобы X = R = 1 и
inf i>(jc', 6Я)= 1. Рассмотрим в Вх б барьер
1*'1<Л
w(x) = A - |дс' I2 +A +sup
Непосредственными вычислениями проверяется, что справедливо нера-
неравенство Lw > f для достаточно малого б = 6(и, 7) и неравенство w <ы
на 32?lt5. Отсюда в силу принципа максимума (теорема 9.1) вытекает
неравенство yv <г/ в j5lt§. Таким образом, на #i/2,6 ДДЯ достаточно мало-
малого б справедливо неравенство
v> l-U'|a+(l+sup|/|)-(*ii-«)/V®"> 1/2-sup |/|.
Убирая нормировку, мы приходим к требуемому неравенству (9.69).
Пусть Я?/2эб ={лг | |лг' | < R, 8R/2 <хп< 38R/2). Так как 2u/C8R) <
< u < 2u/(8R) в 2??д,5, то в силу неравенства Харнака (следствие 9.25)
получаем неравенство
sup v < С( inf и + Я sup I/7XI) <
Bk/2,8 B*R/2,6
< С( inf и + Лшр|//Х|) <*
lx/| <R
xn= R
(всилу (9.69))
< C(* inf u+/?sup|//X|). (9.70)
Я# /2,6
Предположим теперь, что и > 0. Обозначим Л/ = sup и, m = inf и.
5 В
Применяя неравенство (9.70) к функциям M-vnv — ти складывая
получившиеся неравенства, приходим к оценке колебания решения вида
osc v < а ( osc v + CR sup I //X | ),
# B2R,8
где постоянные О 0 и а < 1 зависят только от п и у. Отсюда с помощью
леммы 8.23 получается неравенство (9.68). D
Теорема 9.31 в действительности показывает, что градиент Du решения
существует на Г и непрерывен на Т по Гёльдеру, причем справедлива
оценка
|дс'КЛ
236
/R >/ u R \
osc Du(x\Q) < С[ — ) ( osc — + — sup |/| ). (9.71)
\<R \ До/ \в* xn . X в* /

Более того, слагаемое osc (и/хп) в правой части неравенства (9.68) и в
в +
правой части неравенства (9.71) может быть заменено на osc (u/R0) или
в
на sup I Du | . Глобальные оценки (оценки вплоть до границы) могут
в*
быть получены из теоремы 9.31 с помощью соответствующих внутренних
оценок, которые обычно и имеют место для нелинейных уравнений (см.
задачу 13.1 и раздел 17.8).
Примечания
Принципы максимума и теоремы единственности для сильных решений
в том виде, в каком они сформулированы в теоремах 9.1, 9.5 и 9.6, были
получены Александровым [6], [7]. Важный результат, пересекающийся
с результатом леммы 9.3, доказан Бакельманом [20]. Детальный анализ
постоянной С из оценки (9.4) имеется в работах [8], [9]. Во всех этих
работах можно заменить норму в Vх на норму в Lp, где р < п [10]. При-
Пример (8.22) показывает, что теорема единственности (теорема 9.5) для
и, v E W\2O? (?2) П С0 A2), где р < п может не иметь места. Другие вариан-
варианты принципа максимума (теорема 9.1) были даны Бони [40} и Пуччи [244].
Неравенство Кальдерона — Зигмунда было получено Кальдероном и
Зигмундом [109], и мы в целом воспроизвели их оригинальное доказа-
доказательство, следуя изложению Стейна [275], использовавшего процедуру
разбиения куба (одномерный вариант этого разбиения принадлежит Рис-
су [247]) и интерполяционную теорему Марцинкевича [181]. Наше дока-
доказательство отличается от доказательств, изложенных в [109] и [275],
тем, что мы не используем преобразование Фурье для получения оценок
в L2. Оператор Г, появляющийся в доказательстве теоремы 9.9, является
специальным случаем сингулярных интегральных операторов, которые
были главным объектом изучения в [109] и в [275]. Другие доказатель
ства неравенства Кальдерона ~ Зигмунда имеются в монографиях [32],
[208]. В более позднем доказательстве этого неравенства, также основан-
основанном на интерполяции, используется пространство ВМО функций ограни-
ограниченного среднего колебания (см. [113], [302]).
Оценки в Lp для решений эллиптических уравнений второго порядка,
изложенные в разделе 9.4, были получены Кошелевым [130] и Греко [72].
Они обобщались на уравнения высокого порядка и на системы различными
авторами, в том числе Слободецким [266], Браудером [45] и Агмоном,
Дуглисом и Ниренбергом [2], [3]. Теорема существования (теорема 9.15)
имеется у Чикко [341], [342]. Наше доказательство отличается от его
доказательства. П.Л. Лионе [166] предложил другие методы изучения
задачи Дирихле. Доказательство гладкости, осуществленное в лемме 9.16,
следует работе Морри [208], рассматривавшему также и теорию в Lp.
Поточечные оценки разделов 9.6, 9.7 и 9.8 происходят из фундаменталь-
фундаментальной работы Крылова и Сафонова (см. [138], [139], [260]), получивших
оценки Гёльдера и неравенства Харнака, изложенные в следствиях 9.24 и
9.25, для случая с < 0. В действительности в [138], [139] изучена более
общая ситуация параболических уравнений. Наше изложение в разделе 9.7
237

следует [293] и основано на их идеях. Локальный принцип максимума
(теорема 9.20) был доказан в [293] при более общих условиях на коэф-
коэффициенты: Л/2)*, Ъ13>* Е Lq(u), q>n\ c/SD*, f/3)* e Iя(П). Оценки раз-
раздела 9.7 могут быть обобщены на случай, когда b/X G L2n(?l), c/\tf/\ ?
€ Ln(fl), хотя для доказательств в этих случаях существенным является
условие равномерной эллиптичности. Обобщения на квазилинейные урав-
уравнения рассматривались в [293], [150] и [182] (см. также гл. 15).
В это издание мы включили доказательство оценки Гёльдера градиен-
градиента, принадлежащее Крылову [135], учитывая упрощения, осуществленные
Каффарелли. Оригинальное доказательство Крылова было дано в англий-
английском втором издании нашей книги в виде задачи.
Задачи
9.1. Докажите, что в оценках (9.8) и (9.11) величину d можно заменить на d/2.
Докажите точность получаемой оценки, рассмотрев пример сферического конуса
(см. [8], [9]).
9.2. Явно интегрируя функцию g и оптимизируя выбор м в доказательстве теоре-
теоремы 9.1, получите уточнение оценки (9.14) (см. (8], [9]).
9.3. Получите оценку (9.11) в виде
sup и < sup и* + С(л) | П\х1п1а*}Ъуи/Ю* lL«(r+)> (9Л2)
а а
где П - выпуклая оболочка П.
9.4. Докажите следующий более общий вариант интерполяционной теоремы Мар-
цинкевича: -
Т^е о р е м а 9.32. Пусть Т - линейное отображение из Lq (п) n?,r(n) eLq(?l) n
п Lr (П), \ <q < г <«,1<^<Г<ов. Предположим, что существуют постоянные
7\ и Т2 такие, что
(Г2 Н/11Г/ОТ (9ЛЗ)
для всех f e Lq(n) п //(п) и всех t > 6. Тогда отображение Тможно доопределить
так, что оно станет линейным ограниченным отображением из ЬР(П) в LP(U) для
любых р, р, удовлетворяющих равенствам
ИР = о/Я + A - tf)/r, Vp = o/q + A - о)/Т
при некотором а в @,1).
9.5. Покажите, используя интерполяционную теорему Марцинкевича, что потен-
потенциальный оператор Кд (см. обозначение в разделе 7.5) непрерывно отображает ?Р(П)
Ья(П) прир> 1 и б =д.
. Используя лемму 9.12, покажите, что если S2 — область класса С , то под-
подпространство
ПI ы = 0 на
плотно в W2iP(p.) п wltP(Sl) для 1<р<«.
9.7. Докажите теорему 9.15, опираясь или на теорему 6.14, или на теорему 8.14,
с помощью метода аппроксимации.
9.8. Докажите теорему 9.15 для специального случая уравнения Пуассона с по-
помощью теоремы представления Рисса и метода непрерывного продолжения (теоре-
(теорема 5.2).
9.9. Отправляясь от следствия 9.14, докажите альтернативу Фредгольма для опе-
операторов вида (9.1) в пространствах Соболева W ^(П), 1 < р < «>, и затем докажите
теорему 9.15.
9.10. Докажите теорему 9.19.
238

9.11. Предположим, что оператор L удовлетворяет в сферическом слое А ~
-Bjt(y) - Вр(у) с Rrt условиям теоремы 9.22. Докажите, что если функция «е
G W*'n(A) удовлетворяет в А неравенствам Lu <f и и > 0, а функция/ принадлежит
Ln(A), то для любого р < г < R
BinfB >*(Jn/ "+ЛЙ/ЙЯ;.4), (9.74)
где К - положительная постоянная, зависящая только от я, p/R, г /Л, 7 и vR2. С по-
помощью этого результата выведите теорему 9.22 из теоремы 9.20.
9.12. Используя оператор
Lu - ААи + (\ - Л) ^L
\х\2
и функцию
доопределив ее соответствующим образом в нуле, покажите, что показатель р в ела*
бом неравенстве Харнака (теорема 9.22) должен удовлетворять неравенству
р<п/«п- 1O-1).

ЧАСТЬ II
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА 10
ПРИНЦИПЫ МАКСИМУМА И СРАВНЕНИЯ
В этой главе выводятся различные формы принципов максимума и срав-
сравнения для квазилинейных уравнений, обобщающих соответствующие ре-
результаты гл. 3. Мы будем рассматривать квазилинейный оператор Q второ-
второго порядка вида
Qu = a(i(x,u,Du)DijU + b(x,u,Du)9
aiJ' = a'*, A0.1)
где точка x = (xx, ..., xn) принадлежит области 12 пространства Rw, n > 2;
если нет специальных оговорок, то будем предполагать, что функция и
принадлежит С2 A2). Коэффициенты оператора Q — функции о*7 (х, z,p),
i, j = 1, . . . , и, и b(xt z, p) — предполагаются определенными при всех
значениях (х, z, р), принадлежащих множеству Q, X R X R". Два оператора
вида A0.1) будем называть эквивалентными, если один из них получает-
получается из другого умножением на фиксированную положительную функцию,
определенную в О X R X Кп. Уравнения Qu = 0, соответствующие эквива-
эквивалентным операторам Q, мы будем также называть эквивалентными.
Введем следующие определения.
Пусть % — подмножество О X R X Rw. Оператор Q называется эллипти-
эллиптическим на множестве %, если матрица коэффициентов [ai} (x, z, p)]
положительно определена для всех (х, z, p) E %. Это значит, что если
Х(х, z, р), Л(х, z, р) — соответственно минимальное и максимальное соб-
собственные значения матрицы [alJ(x, zf p)]9 то выполняются неравенства
0 < \{х, z, р) Ш2 < а\х, z, р) Ы, < Л(х, z, р) - Ш2 (Ю.2)
для всех % = (?j, . . . , %п) G Rn - {0} и всех (jc, z, p) G %. Если, кроме
того, отношение Л/Х ограничено в % , то мы будем говорить, что оператор
Q равномерно эллиптичен в % . Если оператор Q эллиптичен (равномерно
эллиптичен) на всем множестве 12 X R X R", то будем просто говорить,
что оператор Q эллиптичен (равномерно эллиптичен) в области п. Пусть
функция и G С1 A2). Будем говорить, что оператор Q эллиптичен на функ-
функции и, если матрица [a11 (xt u(x), Du(x))] положительно определена
для всех х G 12.
240

Важную роль в дальнейшем будет играть скалярная функция &, опреде-
определяемая равенством
?(*, z, р) = а"(х, z, p)piPj: A0.3)
Если оператор Q эллиптичен в %9 то из A0.2) следует, что
0 < X(x,z,p).|p|2< &(x,z,p) < A(x,z,p).|p|2 A0.4)
для всех (х, z, p) G %.
Оператор Q является оператором в дивергентной форме, если сущест-
существуют дифференцируемая вектор-функция A(xt z, р) = (Al(x, z, р), . . .
... ,Ап(х, z, р)) и скалярная функция В(х, z, p) такие, что
Qu = divA(x, u,Du) + B(x,u,Du), ueC2(U). A0.5)
Оператор в дивергентной форме можно записать в виде (ЮЛ), где
аЦх, *.Р) = ^ ФРйА'{х. *, Р) + Ор$А\х9 z, p)).
В отличие от линейного оператора квазилинейный оператор с гладкими
коэффициентами может и не приводиться к дивергентному виду.
Оператор Q называется вариационным, если он является оператором
Эйлера — Лагранжа, соответствующим кратному интегралу / F(xt м, Du)dx
с дифференцируемой скалярной функцией F, т.е. если оператор Q имеет
дивергентный вид A0.5), в котором
А\х, z, р) = Dp. F(x, z, p), B(x, z, р) = -D2F(x, z, p). A0.6)
Эллиптичность оператора Q эквивалентна строгой выпуклости функции F
по переменным р.
Примеры
Dm
(i) Qu = Аи + (а - 2) ——
В этом случае
1, если а> 2,
*,Р) =
если а < 2,
АС*. *.р)- 11>1Р|9
если а>2,
1, если а < 2
Таким образом, рассматриваемый оператор B эллиптичен при всех а > 1
и равномерно эллиптичен, если а > 1. Записывая этот оператор в виде
Qu = (I +\Du\2)x "«I2 div(l +|JDw|2)a/2~1Z)w,
16. Д. Гилбарг 241

видим, что он эквивалентен оператору дивергентного вида; кроме того,
оператор Q эквивалентен вариационному оператору, связанному с интегра-
интегралом / A + | Du | 2)а/2 dx. Уравнение Qu = 0 совпадает с уравнением Лап-
ласа при а = 2, и с уравнением минимальных поверхностей при а = 1. При
а Ф 1 и а Ф 2 рассматриваемое уравнение появляется в теории трещин
пластин и моделировании горения.
(ii) Qu = Au+ /ЗДм • DjU • Difu, 0 > 0.
В этом случае
\(x,z,p) = 1, A(x,z,p) = 1+0|р|2, &(*,*,P)=lpl2(l+0IPl2).
Рассматриваемый оператор Q эллиптичен при всех 0 > 0. Он равномерно
эллиптичен лишь при /3 = 0 (в этом случае оператор Q является операто-
оператором Лапласа). При 0 > 0 оператор Q эквивалентен вариационному опера-
оператору, порожденному интегралом / ехр [ — \Du\2) dx. Заметим, что
\2 /
при /3 > 1 минимальное и максимальное собственные значения рассматри-
рассматриваемого оператора Q пропорциональны соответствующим собственным
значениям матрицы старших коэффициентов оператора из предыдущего
примера с ос = 1. Однако теоремы существования для этих операторов
имеют различный характер, что является в значительной степени следст-
следствием различности порядков роста их функций &.
(iii) Уравнение поверхностей с заданной средней кривизной.
Пусть функция и Е С2 (?2). Предположим, что график функции и в
Rn + 1 имеет среднюю кривизну Н(х) в точке (дг, w(x)), x G ?1 (средняя
кривизна вычисляется относительно нормали к поверхности, направлен-
направленной в сторону возрастания xn + i). Тогда (см. приложение к гл. 14) функ-
функция и удовлетворяет уравнению
3Rw = (l+|A<|2)Au-/>|ii DjuDifu = пН{\ + \Du\2K/2\ A0.7)
В этом случае
Оператор SR в A0.7) эквивалентен оператору Q из примера (i) с а = 1.
(iv) Уравнение газовой динамики. Стационарный безвихревой поток
идеальной сжимаемой жидкости описывается уравнением неразрывности
div (pDu) = 0, где и — потенциал скоростей, а плотность жидкости р свя-
связана со скоростью соотношением вида р = p(Du) (соотношение плот-
плотность — скорость). Для совершенного газа эта связь имеет вид
p = 1-
где постоянная у равна отношению удельных теплоемкостей газа, у > 1.
В этом случае уравнение, которому удовлетворяет потенциал скоростей и,
242

имеет вид
Dm • Dm
Ди _ 1 /— ./tyi=O. A0.8)
1- —-\Du\2
2
Минимальное и максимальное собственные значения матрицы старших
коэффициентов этого уравнения соответственно равны
7+ 1
1- \Du\2
\-У— \Du\2
Л=1.
Уравнение эллиптично, если поток дозвуковой, т.е. когда \Du\ <
< [2/G + 0]1/2 и гиперболично, когда [2/G + 1)]1/2 < \Du\ <
< [2/G ~ l)]1^2- Отметим, что уравнение A0.8) при у - —1 совпадает
с уравнением минимальных поверхностей.
(v) Уравнение капиллярности. Профиль установившейся поверхности
жидкости с постоянным поверхностным натяжением в равномерном поле
тяжести подчиняется уравнению капиллярности
/ Du \
div / —=== ) = ки9 A0.9)
Ч\Л +\Du\2 /
или, что эквивалентно, уравнению
SRw = ки{\ +|Z)t/|2K/2 ,
где 5К — оператор, определенный в формуле A0.7); здесь и— высота жид-
жидкости над невозмущенной поверхностью, к — постоянная, положительная
или отрицательная в зависимости от того, внутрь или наружу действует
гравитационное поле. При отсутствии гравитации это уравнение совпа-
совпадает с уравнением A0.7) поверхностей постоянной средней кривизны с
постоянной функцией Я. Функция ? и собственные значения X, Л - те же
самые, что и для уравнения A0.7). Естественное физическое граничное
условие для функции и, удовлетворяющей уравнению A0.9) в области
с фиксированной твердой границей, имеет вид
ди
Ър
= cos 7>
где величина у — так называемый угол контакта, т.е. угол между поверх-
поверхностью жидкости и твердой границей, занимаемый жидкостью.
10.1 Принцип сравнения
Пусть L — линейный оператор, удовлетворяющий условиям слабого
принципа максимума (следствие 3.2), а функции и, v Е С°(п) П С2(п)
удовлетворяют неравенствам Lu > Lv в ?2 и и <v на b?l. Тогда в силу
16* 243

следствия 3.2 неравенство и < v выполняется в 12. Аналог этого прин-
принципа сравнения для квазилинейных операторов имеет следующий вид.
ТеоремаЮ.1. Пусть функции u,v€ C° A2) П С2A2) удовлетворяют
неравенствам Qu > Qv в 12, и <v над 12, и пусть выполнены условия:
(i) оператор Q локально равномерно эллиптичен на функции и или на
функции v;
(ii) коэффициенты a*i не зависят от z;
(Ш) коэффициент Ь является неубывающей функцией аргумента z в
каждой точке (х, р) ? 12 X Rn;
(iv) коэффициенты atJ и Ъ являются непрерывно дифференцируемыми
функциями переменных р в 12 X R X R".
Тогда в 12 справедливо неравенство u<v.
Кроме того, если Qu> Qv в 12 и и <v на Э12 м если выполняются усло-
условия (i), (ii), (iii) (не требуется выполнение условия (iv)), то в 12 имеет
место строгое неравенство и < и.
Доказательство. Предположим, что оператор Q эллиптичен на
функции и. Так как
Qu-Qu = aij'(x, Du) Вц(и - v) + (fl/y(x, Z)t/) -
- aif(x, Dv)) Dyv + Z>(x, ", Du) - b(x, u, Dv) +
+ b(x, ut Dv) - b(x, v,Dv) > 0,
то, записывая
w = и - v, aiJ'(x) = aij(x, Z>w),
[al7(x, Du) - aif(x, Dv) ] Difv +
+ b(x,u,Du) - b(x,utDw) = bi(x)Diwi
получаем неравенство
Lw = ab'WDijW + b^w > 0
на Я1" = (jc € 12| w(x) > 0} и неравенство w < 0 на Э12. Заметим, что су-
существование локально ограниченных функций Ьг следует из условия
(iv) и теоремы о среднем. Таким образом, используя условия (i) и (iv)
и теорему 3.1, получаем, что w < 0 в 12. Если Qu > Qv в 12, то функция w
в 12 не может иметь неотрицательный максимум (см. доказательство
теоремы 3.1). Поэтому w < 0 в 12. Если оператор Q эллиптичен на функ-
функции v, то требуемый результат следует из принципа максимума для супер-
суперрешений. П
Из теоремы ЮЛ непосредственно следует теорема единственности ре-
решения задачи Дирихле для квазилинейных уравнении.
Теорема 10.2. Пусть функции и, v € С0A2) П С2A2) удовлетво-
удовлетворяют равенствам Qu = Qv в 12 и и= v на Э12. Предположим также, что
выполнены условия (i)-(iv) теоремы 10.1. Тогда и = v в 12.
Может показаться, что условие (ii) в формулировках теорем 10.1 И
10.2 не является необходимым. Однако это не так: далее мы покажем, что
в случае, когда старшие коэффициенты зависят от z, утверждения тео-
теорем 10.1 и 10.2 могут не иметь места. Принцип сравнения (теорема 10.1)
будет полезен при получении оценок градиента в гл. 13.
244

Если вместо следствия 3.2 воспользоваться принципом максимума для
сильных решений (теорема 9.1), можно показать, что утверждения тео-
теорем ЮЛ и 10.2 остаются в силе для функций м, v G С°A2) П С1(п) П
Wfn(?l)
10.2. Принципы максимума
С помощью теоремы 10.1 докажем следующее обобщение на квазили-
квазилинейные уравнения априорной оценки, данной в теореме 3.7, иллюстрирую-
иллюстрирующее также важность функции &.
Теорема 10.3. Пусть оператор Q эллиптичен в 12 и пусть существуют
такие неотрицательные постоянные дх и ц2, что
Ъ(х9 z,p) sign z/&(x,zfp) < (м, |р| + IД2 0/1 Pi2 A0.10)
для всех (x,z,p) G 12 X R X R^.
Тогда если функция и Е С°A2) П С2A2) удовлетворяет в ?2 неравенству
Qu>Q (равенству Qw = 0), то
sup и < supM+ + C/u2 (sup |м| < sup | fi | + CfJL2) A0.11)
n an n an
с постоянной C = C(Mi,diam?2).
Доказательство. Пусть функция м G С°(п) П С2 A2) удовлетво-
удовлетворяет в 12 неравенству Qw > 0. Определим оператор Q равенством
Qv = jv(jc» м» Dv)DtfV + Z?(x, м, /)и).
В качестве функции сравнения возьмем такую же функцию и, как и в до-
доказательстве теоремы 3.7. А именно, для д2 > 0 положим
v(x) = sup м+ d
где J — ширина полосы, содержащей область !2,0<л:1 < d и а> цг + 1.
Тогда в 12+ = { jc G 121 м (х) > 0} справедливо неравенство
Qv == -/XaaV1^^^^*1 + b(x,u,Dv)
что, в силу A0.10), меньше 0, а 0 < Qu. Таким образом, Qv < Qu. Следо-
Следовательно, по теореме 10.1 в 12 будет иметь место неравенство и <и. Устре-
Устремив д2 к нулю, получаем соответствующий результат для д2 = 0. ?
Для равномерно эллиптических операторов условие A0.10) эквива-
эквивалентно условию вида
b(x, z, р) • sign z/\(x, z, p) < /и! | р | + д2 A0.12)
для всех (х, z, p) G 12 X R X R". Примером неравномерно эллиптического
оператора, удовлетворяющего условию A0.10) и не удовлетворяющего
условию A0.12), является оператор
Qu - Аи + DfU • Dju • Вци + A + | Du\2).
Из доказательства теоремы 10.3 видно, что для ее справедливости нужны
только следующие условия:
245

(i) &>0 в 12XRXR";
(ii) оператор Q эллиптичен на функции и\
(ш) существует фиксированный вектор р0 Е Rn такой, что выполнено
условие A0.10) во всех точках (х, z, tp0), где (х, z, t) G 12 X R X R.
Другие варианты принципа максимума приведены в задачах 10.1 и 10.2.
Условие A0.12) может быть обобщено, но в несколько ином виде,
на неравномерно эллиптические операторы с помощью принципа макси-
максимума Александрова (теорема 9.1). Следуя обозначениям гл. 9, введем
Теорема 10.4. Пусть оператор Q эллиптичен в 12. ПреОположим, что
существуют такие неотрицательные постоянные /i i и ц2, что
Z>(jc,z,p)-signz/2)*</u1|p|+/x2 V(jc,z,rtGfiXRXR". A0.13)
Тогда если функция иЕ. С0 A2) П С2 A2) удовлетворяет в 12 неравенст-
неравенству Qu > 0 (равенству Qu = 0) ,то справедливо неравенство
sup и < sup м+ + Сц2 ( sup | и I < sup | и | + C/i2 ) A0.14)
ft ЭП П дЛ
с постоянной С = С(м 1, diam 12).
Доказательство. В подобласти ?2+ = { дг €. ?2| к (х) > 0 } выпол-
выполняются неравенства
0 < Qu = e'(D/y w + & sign и <
<aifDifu + [Hiisign Di и) Dt и ^ii2]3)m-
Отсюда с помощью теоремы 9.1 получается оценка A0.14) для sup и. Оцен-
ка A0.14) для sup I и \ получается, если воспользоваться заменой и на-м.П
а
Теорема 10.4 в действительности неявно имеется в доказательстве теоре-
теоремы 9.1. Более того, с помощью леммы 9.4 получается следующий резуль-
результат.
Теорема 10.5. Пусть оператор Q эллиптичен в ограниченной области
12. Предположим, что существуют такие неотрицательные функции g G
е Z,foc(R/I) и heLn(?l), что
b(x, z,р) • signz/(n3)m)<h(x)lg(p) A0.15)
для всех (х, z, р) е 12 X R X R" и
fhndx< f gndp=goo. A0.16)
Тогда если функция и € С0 A2) П С2 A2) удовлетворяет в 12 неравенст-
неравенству Qu > 0 (равенству Qu = 0) ,то справедливо неравенство
sup и < sup t/+ + С - diam 12
n an A017)
( sup | и | < sup I u I + С - diam 12 )
с постоянной С, зависящей OTguh.
Допускается, как и в случае теоремы 9.1, что величина goo может рав-
равняться бесконечности; в этом случае условие A0.16) становится излиш-
246

ним. Если функция g положительна, а функция G определена равенством
С-1@= / 8ndP> G: @,^о»)->@,~),
Bt@)
то постоянная С в A0.17) вычисляется по формуле
hndx ) .
(/
а
В заключение этого раздела применим теорему 10.5 к уравнению по-
поверхностей с заданной средней кривизной A0.7), В этом случае 3) =
= A + \р\2)п~1 и мы можем взять
Вычисления показывают, что
Следовательно, справедлива следующая оценка. __
Следствие 10.6. Пусть функция и^С° (п) П С2 A2) является ре-
решением уравнения поверхностей с заданной средней кривизной A0.7) в
ограниченной области ?1. Тогда если
Ho=f\H(x)\ndx<ojny A0.18)
то
sup \u |<sup \u | + C-diam?2, A0.19)
гдеС=С(п,Н0).
Отметим, наконец, что оценки этого разделаостаются справедливыми
для субрешений и решений, принадлежащих С0 (п) П Kfo'?A2).
10.3. Контрпример
С помощью примера покажем, что теоремы 10.1 и 10.2 не могут быть,
вообще говоря, обобщены на случай, когда старшие коэффициенты а|;
зависят от и. Рассмотрим оператор вида
t Xi
Qu = Au +g(r, ii) -—-Da и, г = | jc |, A0.20)
в сферическом слое 12 = {x€Rw| 1<|х|<2}. Если функция и зависит
только от г, и = и (г) у то уравнение Qu = 0 приводит к обыкновенному
дифференциальному уравнению вида
Пусть и и w — полиномы, удовлетворяющие условиям:
(I) KD = w(l), uB) = wB);
(И) и>'>0 на [1,2];
247

(Hi) »'(
(iv) v",w"<0 на [1,2];
w"(l) _ u"(l) w"B) _ v"B)
(V) w'(l) = w'(l) ' w'B) =u'B) '
Для 1<г<2, и<u <w определим
и — v /и" w" \ v"
f(r, u)= ( г ) г ,
n- 1
Полагая v (jc) = и (| x |), w(jc) = w(| jc |), можно убедиться, что Qu = Qw = 0
в12и1;=и/наЭ^2. Оператор Q эллиптичен на обеих функциях v и w . Кро-
Кроме того, продолжая функцию / соответствующим образом в полосу
[1,2] X R, мы можем получить равномерно эллиптический в 12 оператор
Q с коэффициентами из С°° ф, X R).
10.4. Принципы сравнения
для операторов в дивергентной форме
В случае, когда оператор Q имеет дивергентную форму A0.5), можно
получить следующие интересные варианты теоремы ЮЛ. Напомним неко-
некоторые определения гл. 8. В случае, когда коэффициенты Л1 (jc, и, Du) и
В(х, ut Du) локально интегрируемые в 12, слабо дифференцируемая в 12
функция и удовлетворяет в 12 неравенству Qu > 0 (равенству Qu = 0,
неравенству Qu <0),если
Q(u, Ф) = / (А(х, ", Du)'D$- B{x, u,Du)<p)dx<0 A0.21)
для всех неотрицательных функций у Е Со A2). В следующей теореме даны
три различных варианта принципа сравнения.
Теорема 10.7. Пусть оператор Q эллиптичен в_ 12, если коэффициенты
А и В непрерывно дифференцируемы по z и р в 12 X R X Rw, функция В
при фиксированных (х, р) G 12 X R" не убывает по z и пусть выполняется
одно из следующих условий:
(i) вектор-функция А не зависит от z;
(ii) функция В независитотр;
(ш) (п + 1) X (п + I)-матрица
Г ^ А\х, z, р) - Z)p/ B(x, z, р)
[ DzA*(x, z, р) — DzB(x, z, p)
— неотрицательно определенная в 12 X R X R". Тогда если функции и и v из
С1 A2) удовлетворяют неравенствам Qu > 0 в п, Qv <0в12им<и на
Э12, го и <у в 12.
248

Доказательство. Определим
w = и - v,
DPtA\x,ut9Dut)dt,
*
Ъ*{х)= f DzA\xtuuDut)dtt
о
1
c/(jc)= / DPiB(x,uuDut)dt,
о
= / DzB(x,uuDut)dt.
о
Тогда
,^)= / {(A(x,u,Du)-A(xrv,Dv))?kp-
п
- (В(х, и, Du) -В(х, у, Dv)) чр) dx =
w)y}dx A0.22)
для всех неотрицательных у G Cj (?2)* Следовательно, Z,w > 0, если опера-
оператор L — оператор вида
Lw = Diia^Dj w + Z>V) + с'Д- w + Jw.
Поскольку w, у € С1 (?2), то в силу наложенных условий существуют поло-
положительные постоянные X, Л такие, что
Это значит, что оператор L строго эллиптичен в 12 и имеет ограниченные
коэффициенты. Утверждение теоремы 10.7 можно теперь получить не-
непосредственно из результатов гл. 8. В частности, если выполнено условие
(i), то Ь1 = 0 в ?2, и поэтому в силу слабого принципа максимума (теоре-
(теорема 8.1) в Q. выполняется неравенство w <0. Заключительная часть доказа-
доказательства теоремы 10.7 непосредственно следует из задачи 8.1. Несмотря на
это, мы осуществим полное доказательство здесь. Если выполнено условие
(ii), то с1 = 0 в 12. Заметим, что это условие на оператор L эквивалентно
условию на сопряженный оператор L *. Для е > 0 определим
W +6
249

Подставляя в A0.22), получаем
) 2
dx<J
J г
n (w+ +
Z)log( 1 +— ) <*х<Л/ ZMogfl+ —
\ e / I n \ e
+ e
Отсюда с помощью неравенства Юнга G,6) следует неравенство
/ |D log ( 1 + w+/e)l2 dx <(Л/ХJ • | 12 |.
Применяя теперь неравенство Пуанкаре G,44), приходим к неравенству
/ | log(l + w+/e)\2dx < C(nt X, Л, i 12 |).
Устремляя е -> 0, видим, что функция w+ должна тождественно равняться
нулю в 12. Это и означает, что w < 0 в 12.
Наконец, если выполнено условие (ш), то, положив кр = w+ в 12, после
подстановки в A0.22) получим, что
в 12, так что в силу неравенства Юнга G.6)
|Dw+|2 <лBЛ/ХJ |\v+|2 в 12.
Отсюда при любом е > 0
2\/пА w+ 2\/пА
X w++€
( +-^Л
\ е /
и, поскольку w+ = 0 на Э12, то
/ w \ I 2 •
log f I + J < ——- diam 12.
\ € / \ Л
Вновь устремляя е -> 0, получаем, как и ранее, что w+ = 0 в 12, и потому
w <0b12.D
Заметим, что при выполнении условия (i) теоремы 10-7 достаточно
предполагать, что и, v Е С0 A2 ) П С1 A2) и что производные коэффици-
коэффициентов принадлежат С0 A2 X R X R"), В этом легко убедиться, применяя
результат теоремы 10.7 в подобласти 12' С С 12. Аналогичное обобщение
справедливо и в других случаях, если коэффициенты удовлетворяют под-
подходящему равномерному структурному условию.
10.5. Принципы максимума
для операторов в дивергентной форме
Если оператор Q имеет дивергентную форму, то можно установить прин-
принципы максимума при других условиях, отличных от условий теорем 10.3
и 10.4. Будем считать, что функции А и В в A0.5) удовлетворяют следую-
следующим структурным условиям:
250

при всех (х, z, р) € п X R X R* и некотором а > 1
p\a-\alz\a-a? A0.23)
и
olpf + Г-А^!" +*?", если а>1,
B(x, z, p) • sign z '
I ?0, если а= 1;
здесь дь л2, bo> bx> b2 - неотрицательные постоянные. Первое неравенство
в A0.23) можно рассматривать как условие слабой эллиптичности (см, за-
задачу 10.3). Развиваемый далее метод аналогичен методу получения гло-
глобальных оценок слабых решений линейного эллиптического уравнения, из-
изложенному в гл. 8.
Лемма 10.8. Пусть функция и G С0 (О.) П С1 (Ц) удовлетворяет
в S2 неравенству Qu > 0, а оператор Q удовлетворяет структурным усло-
условиям A0.23). Тогда справедливо неравенство
supM<C {Нм+11а +(ах +?х) supn+ +д2 +Ь2} +supM+ A0.24)
с постоянной С= С(п, а, alf b0, bx, \ П |). _
Доказательство. Предположим сначала, что функция ибС1 (п)
и что и < 0 на Э?2, так что supw+ = 0» Доказательство аналогично доказа-
ъп
тельству теоремы 8.15. но при этом следует учесть, что в рассматриваемом
случае функция и с самого начала предполагается ограниченной и поэтому
нет необходимости в качестве пробных функций брать усеченные степен-
степенные функции.
Обозначив
из неравенств A0*23) с помощью неравенства Юнга получаем
p-A(x,z,p)>\pP-b\z \a, (Ю25)
( ИрР+О!1-"-*!)**0', если а>1,
z B(x, z, р) • sign z =
I bl, если а= 1,
где д > 0. Следовательно, подставляя в интегральное неравенство A0.21)
функцию у = wfi ~ к&, где w = й"+ = и+ + *, ]3 > 1, и полагая д = 0/2, полу-
получаем неравенство
с постоянной С - С@). В силу неравенства Соболева G.26) существует
число 5 > а такое, что
lwr-kr !,<&(/wP-liDw\*dxI/a,
п.
где г = (а + 0 - 1)/а и С = С(«, s, 112 |). Следовательно,
251

для всех г > \. Отсюда с помощью итераций, описанных в доказательстве
георемы 8.15, получается оценка A0.24) , в которой нет последнего слагае-
слагаемого, ибо supw+ = 0. Желая освободиться от сделанного сначала предполо-
жения о функции и, достаточно заменить функцию и на функцию и - L>
где L = sup u+ у и аппроксимировать область 12 областями 12' С С 12. ?
Используя лемму 10.8, можно теперь получить априорные оценки для
субрешений и решений уравнения Qu-О следующего вида.
Теорема 10.9. Пусть функция и G С0 A2) П С1 A2) удовлетворяет
в 12 неравенству Qu > 0 (равенству Qu = 0). Предположим, что оператор
Q удовлетворяет структурным условиям A0.23) с постоянными а > 1,
&! = 0 и одна из постоянных Ьо или а} равно нулю. Тогда справедливо
неравенство
sup м+) + sup н+
ъп ъп
sup и < С(а2 + Ь2
A0.26)
( sup | и | < С(д2 + ^2 + tfi sup | и |) + sup I w I )
ft dft ЭП
с постоянной С=С(п, а,аг, 60, 112 i).
Доказательство. Как и в доказательстве леммы 10.8, мы можем
предположить сначала, что «6С1 A2) и что и <0 на Э12. Мы также пред-
предположим, что к > 0. Два случая, bQ = 0 и at = 0, рассмотрим отдельно.
(i) Пусть Ьо = 0. Тогда, подставив функцию
в интегральное неравенство A0.21), получим неравенство
(*-!)/
п
dx<ab
которое можно записать в виде
w
Dlog —
dx<-
b 112 |.
а-1
В силу неравенства Пуанкаре G.44) отсюда следует неравенство
log
w V
71
dx < Cb с постоянной С = С(п, а, \ 12|). Пусть ЛГ = sup w.
Имеем (см, доказательство леммы 10.8)
a
(т
М\°
т)
так что
М
log —
1+
w
1оет
Следовательно,Л/<Cfc, где С= С(п, а, аХу \ 12|).
(ii) Пусть ах = 0. Доказательство в этом случае аналогично доказа-
доказательству теоремы 8.16, Снова обозначим М = sup w. Подставив функцию
ft
252

^= l/\M- w+k \а~х - l/Af"" в неравенство A0.21), получаем неравенст-
неравенство
(<*-!)/
Dw
M-w+k
Dw
dx<
M-w + k
Отсюда, с помощью неравенства Юнга G.5), приходим к неравенству
М
Dlog
M-w+k
dx<Cb
где С = С (а), из которого с помощью неравенства Пуанкаре G.44) полу-
получаем
log
М
M-w+k
dx <Cb,
A0.27)
где С = С(п, а, 112|). Возьмем далее ^ = т?/(М - w + /:)a J, где т? > 0,
supp I? Csupp w+ и 17 G Co A2), и подставим в A0.21). Воспользовавшись
структурными условиями A0.23), получаем
а
A?h\
Dw
M-w
/>log
Л/-
+ a\r}dx.
Таким образом, функция w = log[M/(M - w + к)] удовлетворяет нера-
неравенству Qw >Ob12+={xGI2| w(jc)>0}, причем для оператора Q вы-
выполняются структурные условия A0.23) с постоянными а\ = Ьх = 0 и д2»
Отсюда в силу леммы 10.8 следует, что
sup w < C(ll w Иа + 1) < C(w, % b0,1 ft I)
a
(см, A0.27)). Поэтому М <Ск, Если устремить fc к нулю, то получим ре-
результат для к = 0. В силу остальных условий: и G С1 A2), w <0 на ЭЛ, как
и при доказательстве леммы 10.8, получаем оценку A0.26) для обоих
случаев, ?
Косвенным результатом теории существования доя уравнения поверх-
поверхностей с заданной средней кривизной, изложенной в гл, 16, является сле-
следующий факт: утверждение теоремы 10,9 не имеет места для случая а= 1.
В следующей оценке, справедливой и для а= 1, требуется, чтобы струк-
' турные постоянные п\ , Ьо и Ьх были достаточно ^алы.
Теорема 10.10. Пусть функция иеС° (п) П С1 (п) удовлетворяет
в О, неравенству Qu > 0 (равенству Qu = 0), а оператор Q удовлетворяет
структурным условиям A0.23). Тогда существует положительная постоян-
постоянная Со = Со (а, п) такая, что если
(ааг +Ъ% +ЬаГх) \п \а/п <С0, A0.28)
253

то справедлива оценка
supn<C{(<7i +b,)supw+ + а2 +b2) +supw+ A0.29)
а эа эа
p ^2> +sup|w |)
ft dft da
с постоянной C= С(и, а, дь Ьо, Ьх, 112 1).
Доказательство. В силу леммы 10.8 достаточно получить оценку
II w+ \a. Как и в предыдущих доказательствах, мы сначала предположим,
что и € С1 (а) и что и < 0 на дО,. Подставляя фукнцию у = w+ = v в интег-
интегральное неравенство A0.21), мы получаем с помощью A0.23) неравенство
/ \Dv\adx< f {ffi+b^-^vO+bovlDvl"-1 +д? +b%-l
п п
а это в силу G.6), в свою очередь, не превосходит
i+?Г^
каково бы ни было е > 0. Если а Ф 1, то возьмем б = а! / (i ~«) и восполь-
воспользуемся неравенством Пуанкаре G.44). Получим неравенство при а > 1:
а а
Следовательно, если С(л, <*)| 121а/Л(д? + Ь? + *g) < 1, то / vadx <
п
<С(а? + 6?) - Отсюда следует требуемая оценка A0.29). ?
Заметим, что при a = 1 постоянные 6i и ^ не войдут в неравенства
A0.28) и A0.29). Используя точный вид неравенства Пуанкаре G,44)
/ {vldx^ilM-Hul/u»I!" f \Dv\dx, vGWh^ia), A0.30)
мы можем в этом случае (при а = 1) взять Со = Со A, п) = псо^п. Записав
уравнение поверхностей с заданной средней кривизной (ЮЛ) в дивергент-
дивергентном виде
Du
div .. = п • Я, A0.31)
VI + | Du |2
несложно убедиться, что оно удовлетворяет структурным условиям
A0.23) с постоянными а = l9ai = 0, я2 = 1, Ь2 = п • sup | Я|. Поэтому если
a
функция Я удовлетворяет неравенству
Яо = sup |Я|<(соя/| ЩI/11, A0.32)
п
то для произвольного субрешения (решения) уравнения A031), принад-
принадлежащего С2 (?1) П С0 (П), справедлива оценка
sup и < sup и + С(и, 112 I, Яо)
а эа A0.33)
( sup | и | < sup | и | + С(п, | Я | э #0) ) .
а да
254

Завершим этот раздел следующим замечанием. Можно рассматривать
структурные условия вида A0-23), в которых величины аи а2, b0, Ьх, Ь2
являются неотрицательными измеримыми функциями. В частности, в пред-
предположении, что функции аи a2i b0, blt b2 принадлежатLq (?2)_, где число q
удовлетворяет неравенствам q > а и q > п, a bj = b\~~1'oty b2 =Ь2~~ 'а,
утверждения леммы 10.1 и теоремы 10.9 остаются справедливыми, но в не-
неравенствах A0Л4) и A0.26) числа аи а^, b0, bl9 b2 надо заменить соот-
соответственно на \\ах IIQ, \\а2 IIQ, Ift0 "<r l*i ЦП*~1), ИМ?'**'0, * пос-
постоянные С будут дополнительно зависеть от числа q. Так же может быть
обобщена и теорема ШЛО, с заменой условия A0,28) на условие
Irf+ftS+ft?-1 \\р<С0, A0.34)
где 0 = max(l, w/a). Для уравнения поверхностей с заданной средней кри-
кривизной справедлив более общий результат (ранее установленный в след-
следствии A0.6) другим способом): если функция Я удовлетворяет неравен-
неравенству
/ \H\"dx<b>n, A0.35)
ft
то справедлив принцип максимума A0.33) с Но = И#11Я. Доказательство
этого утверждения по существу такое же, как и в случае, когда величины
Bit 02* bOi bi, b2 являются постоянными (см. задачу 10.4). Отметим в за-
заключение, что все результаты этого раздела (и их доказательства) спра-
справедливы в предположении, что функция и принадлежит пространству
Соболева W1'* (п) (а не пространству С2 (п) П С0 A2)).
Примечания
Первые результаты этой главы, содержащиеся в теоремах ЮЛ, 10.2 и
103, являются основными вариантами принципа максимума Хопфа. Контр-
Контрпример, приведенный в разделе 10,3, принадлежит Мейерсу [186]. Условия
(i) и (ii) принципа сравнения (теоремы 10.7), были введены Трудингером
[281]. Условие (И) обобщает более раннее условие из работы Дуглиса, Дю-
Дюпона и Серрина [91]. Условие (Ш) по существу введено Серрином [263].
Принцип максимума (теорема 10.9) является новым результатом, хотя тех-
техника его доказательства была ранее описана в [288]. Для ознакомления
с другими принципами максимума для квазилинейных уравнений читатель
отсылается к работам [263], [265].
Отметим также, что неравенство Пуанкаре в виде A0.3) является след-
следствием изопериметрического неравенства (см., например, [301]). Теоре-
Теорема 10.5 и следствие 10.6 имеются у Бакельмана [22].
Задачи
Используя принцип сравнения (теорема ЮЛ), докажите следующие принципы
максимума (задачи 10.1 и 10.2).
10.1. Пусть оператор Q эллиптичен в П XRX {0}, его коэффициенты а1*', Ь,
/,/ = 1,. . . , п, дифференцируемы в п X R X Rn по переменным р. Предположим, что
существует постоянная М такая, что
zb(x, z, 0)<0 для хеп, \z\>M. A0.36)
255

Тогда если функция и € С0 (П) П С2 (П) удовлетворяет в П неравенству Qu > О
(равенству gu = 0), то справедливо неравенство
max и < max{ Mt max ы+ }
П ЭП A0.37)
( max I и К тах{Л/, max I w |} ) .
ЮЛ, Пусть область п лежит в шаре ?# радиуса R. Предположим, что оператор Q
эллиптичен в Л и что справедливо неравенство
(«ign z) Ь{х, z, р) < ~ &*{х, г, р), ^= trace \аЦ\, A0.38)
/с
при всех xen,|z|>Af, \p\> L, где М, L - некоторые постоянные. Тогда если функ-
функция и е С0 (П) п С2 (П) удовлетворяет в ?2 неравенству ?м > 0 (равенству Qu = 0),
то (см. [263])
max w < max { M, max и } + 2Z,/?
П ЭП A0.39)
(max 1 и \ < max { M, max I w I} + 2jLR ) .
si ъа
(Указание: следуйте доказательству теоремы 10.3 для пол у пространства х,> 0,
заменив его на В#.)
10.3. Пусть б - оператор дивергентного вида A0.5). Проверьте, что
1
р • Л(дг, z,p)=f s'2& (дг, z, sp) <fe +p • >1(х, z, 0). A0.40)
О
Покажите на основании этого, что если & > с \ р |а, где с > 0 и а > 1, то
р • А(х, z, р) > —— | р \а + р - А{х, z, 0). A0.41)
а —1
10.4. Докажите утверждение, сформулированное в конце раздела 10.5.
10.5.Пусть*?&(р) - [а** (р) ] — матрица старших коэффициентов оператора урав-
уравнения минимальных поверхностей:
аЦ{р) = A + I р I2) а,у - PtPh р е Кя.
Проверьте, что число 1 является собственным значением матрицы *& и что ему соот-
соответствует собственный вектор р. Проверьте, что число 1 + | р \2 является другим соб-
собственным значением и ему соответствует собственное подпространство, состоящее из
векторов, ортогональных вектору р.
10,6» Примените теорему 10.5 к уравнению
A + I Du |2) Аи - DiU • Dj и • Dtj и = п- Н(х) A + | Du \)s,
где 0<s < °°.
256

ГЛАВА 11
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
В этой главе исследование разрешимости классической задачи Дирихле
для квазилинейных уравнений сводится к установлению некоторых ап-
априорных оценок решений. Такое сведение осуществляется с помощью
топологических теорем о неподвижной точке в подходящих функциональ-
функциональных пространствах. Сначала мы сформулируем общий критерий разреши-
разрешимости и проиллюстрируем его применение в ситуации, в которой нами
уже были получены требующиеся априорные оценки. Получение таких
априорных оценок при более общих условиях будет главным делом по-
последующих глав.
Теоремы о неподвижной точке, требующиеся для осуществляемых здесь
рассмотрений, являются бесконечномерными обобщениями теоремы
Брауэра о неподвижной точке, утверждающей, что непрерывное отобра-
отображение замкнутого шара я-мерного пространства Rn в себя имеет по край-
крайней мере одну неподвижную точку.
11.1. Теорема Шаудера о неподвижной точке
Теорема Брауэра о неподвижной точке может быть обобщена на беско-
бесконечномерные пространства различными способами. Мы дадим сначала
следующее ее обобщение на случай банаховых пространств.
Теорема 11.1. Пусть © - компактное выпуклое множество в бана-
банаховом пространстве 85 и пусть Т - непрерывное отображение & в себя.
Тогда отображение Т имеет неподвижную точку. Это значит, что существу-
существует элементх Е © такой, что Тх=х.
Доказательство. Пусть к — произвольное натуральное число.
Так как множество ® компактно, то существует конечное чисАо элемен-
элементов лгь х2у ..., xN G ®, где N = N(k), таких, что шары В* =
i=l,... , W, покрывают6. Пусть®? С © — выпуклая оболочка {
... 9xN} . Определим отображение Jk: 6> -+®к равенством
Ясно, что отображение /^ непрерывно и для любого элемента хЕ8 спра-
справедливо неравенство
Отображение Jk о Т, рассматриваемое нав*, является непрерывным отоб-
отображением 6fc в себя. По теореме Брауэра о неподвижной точке это отоб-
отображение имеет неподвижную точку х^. (Заметим, чтовд. гомеоморфно
замкнутому шару евклидова пространства.) Поскольку в компактно,
то некоторая подпоследовательность последовательности х^к\ к = 1, 2,...
17. Д. Гилбарг 257

(обозначим ее вновь через xw, к = 1, 2,...) сходится к некоторому
элементу х € ®. Мы утверждаем, что элемент х является неподвижной
точкой отображения Т Действительно, применяя неравенство A1.1) к
Txw yимеем
|| *<*> _ г*<*> || = || Jk о Г*(*> - Txw || < 1/*,
и поскольку Т - непрерьюное отображение, то отсюда следует, что
Тх=х. П
Теорема 11.1, как будет показано в следующей главе, применима к ши-
широкому классу уравнений с двумя переменными. Отметим следующее ее
обобщение, используемое далее.
Следствие 11.2. Пусть © - замкнутое выпуклое множество в бана-
банаховом пространстве 85 и пусть Т - непрерывное отображение множества
в в себя такое, что образ Т& является предкомпактным множеством.
Тогда отображение Тимеет неподвижную точку.
Особо отметим одно существенное отличие предыдущих теорем от
принципа сжимающих отображений (теорема 5.1): в силу этих теорем
неподвижные точки существуют, но они не обязаны быть единственными.
11.2. Теорема Лере — Шаудера; специальный случай
Непрерьюное отображение банахова пространства в банахово простран-
пространство называется компактным (или вполне непрерывным), если образы
ограниченных множеств являются предкомпактными множествами (т.е.
их замыкания являются компактными множествами). Из следствия 11.2
вытекает следующая теорема о неподвижной точке, наиболее часто при-
применяемая в используемом нами методе изучения задачи Дирихле для
квазилинейных уравнений.
Теорема 11.3. Пусть Т - компактное отображение банахова про-
пространства 85 в себя. Пусть существует постоянная М такая, что для всех
х € 85 и о ? [0, 1], удовлетворяющих уравнению х = оТх, справедливо
неравенство
IUHe <М. A1.2)
Тогда отображение Тимеет неподвижную точку.
Доказательство. Мы можем без ограничения общности пред-
предполагать, что М = 1. Определим отображение Т* следующим образом:
Тх, если || Тх || < 1,
Г*/||Г*||, если \\Тх\\>1.
Отображение 7^ является непрерывным отображением^ замкнутого еди-
единичного шара В из 85 в себя. Так как множество ТВ предкомпактно,
то таким же является и множество Т*В. Поэтому в силу следствия 11.2
отображение Т* имеет неподвижную точку х. Покажем, что точка х явля-
является неподвижной точкой отображения Т. Чтобы убедиться в этом, пред-
предположим, что || Тх || > 1. Тогда х = Т*х = оТх, где о = 1/|| Тх ||, и поэтому
11*1! = If 7"*jc || = 1. Но это противоречит неравенству A1.2) с постоянной
М = 1. Следовательно, сделанное предположение || Тх \\ > 1 неверно,.т.е.
117*11 <1. Тогда дг = Г*х = Глг. П
258

Замечание. Из теоремы 11.3 следует, что если отображение Т -
произвольное компактное отображение банахова пространства в себя
(при этом неравенство A1.2) может иметь место, а может и не выпол-
выполняться), то для некоторого о ? @,1] отображение оТ имеет неподвиж-
неподвижную точку. Если, кроме того, справедлива оценка A1.2), то при каждом
а? [0, 1] отображение аГимеет неподвижную точку.
Покажем, как теорема 11.3 используется при изучении задачи Дирих-
Дирихле для квазилинейных уравнений. Фиксируем число |3 ? @, 1). Возьмем
в качестве банахова пространства 95 пространство Гёльдера Clf^(J2),
где 12 - ограниченная область в Rn. Пусть Q — оператор вида
A1.3)
Предположим, что оператор Q эллиптичен в 12. Это значит, что матрица
коэффициентов [aiJ (x, z, p)] положительно определена при всех
(х, z, р) € 12XRXRW: Мы предположим также, что коэффициенты av'9
Ъ принадлежат Са(й X RXR"), где а - некоторое число из интервала
@, 1), граница ЭГ2 принадлежит C2fOL9 а функция <р принадлежит С2>0?A2).
Пусть v - произвольная функция из С1>/?A2), aw- единственное реше-
решение линейной задачи Дирихле
aij\xiv9Dv)Difu^b(x,viDv) = O в 12, и = у на 312. A1.4)
Это решение принадлежит С2>0^A2). Ясно, что и .зависит от v: и = Tv.
Таким образом определяется некоторый оператор Т на С1'*3 A2). Одно-
Однозначная разрешимость задачи A1.4) имеет место в силу теоремы сущест-
существования для линейного уравнения (теорема 6.14). Мы видим, что разре-
разрешимость задачи Дирихле Qu = 0 в П, и = <р на Э?2, в пространстве C2fCL (П)
эквивалентна разрешимости уравнения и = Ти в банаховом пространстве
85 = С1'^(Л). Уравнение и = оТи в 85 эквивалентно задаче Дирихле
Qau = aiJ'(xfu,Du)DifU^ob(xtu,Du) = 0 в П,
м = оу> на Э?2. ^ ' ^
С помощью теоремы 11.3 мы можем теперь доказать следующую теорему
существования.
Теорема 11.4. Пусть 12 - ограниченная область в Rn. Предполо-
Предположим, что оператор Q эллиптичен в пи что его коэффициенты aiJ, Ь при-
принадлежат Ca(^XRXRw), 0 < а < 1. Пусть д?1 G С2>а м^б С2>*(Й).
Тогда задача Дирихле Qu = 0 в 12, и = <р на Э?2, разрешима в пространстве
С2'а(?2), если для некоторого 0 > 0 существует постоянная М, не зави-
зависящая от и и о, такая, что любое решение класса С2>а (п) задачи Дирихле
Qo и = 0 в П, и = а<р на Э12,0 < о < 1, удовлетворяет неравенству
Доказательство. Для доказательства утверждения теоремы до-
достаточно, очевидно, проверить, что оператор Г, определенный выше, не-
непрерывен и компактен. В силу глобальной оценки Шаудера (теорема 6.6)
оператор Т отображает ограниченные в С1*Р(й) множества в ограничен-
ограниченные в С2>а(* A2) множества, а они (по теореме Арцела) являются пред-
компактными множествами и в С2 A2), и в С1>рA2). Для доказатель-
259

ства непрерывности Т возьмем последовательность vm, m = 1, 2,.. ., схо-
сходящуюся ков Сх*Рф). Тогда, поскольку последовательность {Tvm}
предкомпактна в С2 (Л), любая подпоследовательность, в свою очередь,
содержит сходящуюся подпоследовательность. Пусть {Tvm} - такая
подпоследовательность, сходящаяся kw6C2 A2). Тогда, так как
aif (х, и, Dv)D§f и + Ъ (х, и, Dv) =
= ton {aif'(xfvmiDvm)DifTvm^b(xtvm>Dvm)} =0,
мы должны иметь равенство и = Tv9 из которого следует, что последова-
последовательность { Tvm} сама сходится к и. D
11.3. Применение
Теорема 11.4 сводит решение задачи о разрешимости задачи Дирихле
Qu = 0 в ?1, и = ^ на Э12, к получению априорной уценки решений соот-
соответствующего семейства задач в пространстве С1'^(S2) с некоторым 0 >0.
На практике получение априорных оценок удобно осуществлять в четыре
этапа:
I. Оценка sup I и \
п
II. Оценка sup \Du \ через sup | и |
ал а
III. Оценка sup | Du \ через sup | Du | и sup | и \
IV. Оценка [Du]e. о дая некоторого j8 > 0 через sup \Du I, sup |u |.
n a
Этап I был ранее реализован в гл. 10 (см. теоремы 10.3, 10.4 и 10.9).
Этапы II и III реализуются в гл. 14и 15. Вгл. 13 будет показано, что этап
IV может быть реализован при весьма общих условиях на оператор Q.
Проиллюстрируем всю процедуру на примере задачи, где требующиеся
оценки легко получаются с помощью некоторых результатов предыдущих
глав. Предположим, что или оператор Q имеет специальную дивергент-
дивергентную форму
Qu = &\vA(Du\ A1.7)
или п = 2 и оператор Q имеет вид
Qu ^a^{xfu,Du)DijU9 /,/=l,2. A1.8)
В гл. 14 будет показано, что важную роль для разрешимости задачи Ди-
Дирихле для квазилинейных уравнений играют геометрические условия,
накладываемые на границу д?2. Для наших ближайших целей мы потре-
потребуем, чтобы граничное многообразие
Г =
удовлетворяло условию ограниченности наклона. Это означает, что для
любой точки PGP существуют две плоскости в Rn+l, имеющие уравне-
уравнения z = Яр (х) и z = Пр (лг), проходящие через точку Р и такие, что выпол-
выполнены условия:
(i) Пр(х)<#(х)<пр(х)
260

(И) наклоны этих плоскостей равномерно по Р ограничены постоянной
К, т.е. | D*% | <К длявсехРе Г.
Если dft е С2, (р € С2 (ft) и граница dft равномерно выпукла (это зна-
значит, что ее главные кривизны всюду отграничены от нуля), то граничное
многообразие Г удовлетворяет условию ограниченности наклона (см.
[321]). Мы можем теперь доказать следующую теорему существования.
Теорема 11.5. Пусть оператор Q имеет или вид A1.7), или вид
A1.8). Предположим, что оператор Q, область ft и функция </> удовлет-
удовлетворяют условиям теоремы 11.4. Пусть, дополнительно, граничное мно-
многообразие (dft, ф) удовлетворяет условию ограниченности наклона. Тог-
Тогда задача Дирихле Qu = 0 в ft, и = <р на 3 ft, разрешима в С2>а (ft).
Доказательство. Так как Qa = Q, мы можем оценить решения
задачи Дирихле Qu = 0 в ft, и = оу на 9 ft,0 < о < 1. Реализуем этапы I—IV,
введенные выше.
I. Из слабого принципа максимума (теоремы 3.1 или 10,3) следует, что
sup | и | = о sup | у | < sup I у |. (П-9)
II. Условие ограниченности наклона поставляет линейные барьеры, ко-
которые и могут быть использованы для оценок Du на 812. Действительно,
так как alJ (x, и, Du)Djj n% = 0, то в силу слабого принципа максимума
oitp (х) <м (х) <апр (х) для всехх € П. Поэтому имеем
sup\Du\<oK<K, A1.10)
где К - число, оценивающее наклоны плоскостей тгр.
III. Реализация этапов III и IV следует из того, что производные Dku,
к = 1,..., п, являются слабыми решениями простых линейных уравнений
дивергентного вида, которые рассмотрены в гл. 8. Предположим сначала,
что оператор Q имеет вид A1.7), и запишем уравнение Qu = 0 в интеграль-
интегральной форме
п
Зафиксировав к, заменим здесь т? на Z)fc 77. Интегрируя по частям, получа-
получаем тоздество
Обозначим Dk и через w, перепишем полученное тождество в виде
/ aif{Du)Djw • Dtr\dx = 0 Vt? G C$ (ft).
Мы видим, что функция wGC1 (ft) является слабым решением линейно-
линейного эллиптического уравнения
АE"*(*)/>/мО = 0, (П-12)
где а';(х:) = aiJ (Du(x)). Следовательно, в силу слабого принципа макси-
максимума из раздела 3.6 (см. также теорему 8.1) имеем неравенство
sup \Du\ = sup\Du\<K. A1.13)
ft ьа
261

Далее, если оператор Q имеет вид A0.8), то уравнение Qu = 0 эквивалент-
эквивалентно уравнению
а11 2а12
а22 а22
так что
а\а22 а22
Заменяя здесь 1? на D\t\ и интегрируя по частям, получаем для w =
11
2а12
j2
Следовательно, функция w является слабым решением линейного эллип-
эллиптического уравнения
А D (*)#/w) = 0, /,/=1,2, A1.14)
матрица старших коэффициентов которого имеет вид
а11 2а12
— (х, и (х), Du (х)) -—- (х, и (х), Ям (х))
а22 а22
0 1
Аналогично получаем, что и производная D2u является слабым решением
соответствующего линейного эллиптического уравнения. Из этого, снова
в силу слабого принципа максимума, следует оценка A1.13).
IV. Уравнения A1.12) и A1.14), которым удовлетворяют производ-
производные Dku, таковы, что выполнены условия теоремы 8.24 с постоянными
X и Л, зависящими от sup | и |, sup | Du \ и от коэффициентов aiJ. Поэто-
а а
му имеет место внутренняя оценка Гё'льдера Du, т.е. в произвольной под-
подобласти п' СС Q,
,;u'9 A1.15)
где положительные постоянные С и C не зависят отмиа,а^ = dist A2', Э12).
Однако глобальная оценка Гёльдера Du не следует прямо из результа-
результатов, гл. 8. Для получения такой оценки поступим следующим образом.
Сначала, используя гладкость Э?2, преобразуем некоторый кусок Ьп на
плоскость хп = 0. Производные Dy и, к = 1, 2,..., л — 1, по новым пе-
переменным ух* у2,..., «Ул-i можно оценить с помощью теоремы 8.29.
Оставшуюся производную Dy и оцениваем с помощью самого уравнения
и оценки Морри (теорема 7.19). Детали такого типа доказательств будут
описаны в гл. 13 для уравнений общего дивергентного вида. В итоге мы
придем к оценке
[Du]p.a<C A1.16)
262

с положительными постоянными 0 и С, не зависящими отииа. Этим за-
завершается доказательство теоремы 11.5. ?
Отметим, что, используя результаты гл. 14, условие ограниченности
наклона в условиях теоремы 11.5 можно заменить условием ограничен-
ограниченности величины
A(x,z,p)\p\!&(x,z>p)
при x€?l> \z I < sup I <p I, I p\ > 1 (см. теорему 14.1).
Если, кроме того, область ?2 выпукла, то условие ограниченности на-
наклона можно заменить условием ограниченности величины
Нх, z, р)
(х, z,
при а: € п, I z I < sup I <p I, I p I > 1 (см. теорему 14.2).
11.4. Теорема Лере - Шаудера о неподвижной точке
В некоторых приложениях семейство задач Дирихле Qau = 0 в S2, и =
= о$ на ЭГ2, 0 < а < 1, используемое в теореме 11.4, желательно заменить
семейством, которое от параметра а зависит другим способом. В соот-
соответствии с этим докажем следующее обобщение теоремы 113.
Теорема 11.6. Пусть 8S - банахово пространство и Т - компакт-
компактное отображение 85 X [0, 1] в SJ такое, что Т(х, 0) = 0 для всех х €85.
Предположим, что сущеЬтвует такая постоянная М, что
llxlljg <М (П.17)
при всех (х, о) ? S5 X [0, 1], удовлетворяющих равенству х = Т(х, а).
Тогда отображение 7\ пространства 95 в себя, задаваемое равенством
Тхх = Т(х, 1), имеет неподвижную точку.
Теорема 11.6 доказывается с помощью следующей леммы, вытекаю-
вытекающей из следствия 11.2.
Лемма 11.7. Пусть В = Вх @) - единичный шар в 95 и Т - непре-
непрерывное отображение В в 85 такое, что ТВ - предкомпактное множество
и ТдВ С В. Тогда Т имеет неподвижную точку.
Доказательство. Определим отображение Т * формулой
Тх, если 117x11 < 1,
Т*х =
7x/H7x!l, если 117*11 > 1.
Ясно, что отображение Т* является непрерывным отображением В в
себя, и, поскольку ТВ — предкомпактно, то же самое имеет место для
Т*В. Следовательно, в силу следствия 11.2 отображение Т* имеет не-
неподвижную точку х, и так как ТдВ С Б, то Их И< 1 и поэтому а: = Тх. ?
Доказательство теоремы 11.6. Без ограничения общности
можно считать, что М = 1. Для 0 < € < 1 определим отображение Т *:
263

В -* ® формулой
1-
}, если 1 —
\ll jc II е /
Т*х =Т*х =
если II х II < 1 — е.
Ясно, что отображение Г* непрерывно, множество Т*В предкомпактно
в силу компактности Г, и Т*ЪВ = 0. Следовательно, по лемме 11.7, отоб-
отображение Т* имеет неподвижную точку х(е). Положим
1
?A - II хк II), если 1 - — < II хк И< 1,
к
е = 1/к, хк = x(l/fc)> afc "
. 1, если II хк\\ < 1 — 1/к,
где А: = 1, 2, ... В силу компактности Т, переходя, если надо, к подпосле-
подпоследовательности, мы можем считать, что последовательность {(хк> ок)}
сходится в в X [0, 1] к (х, а). Покажем, что тогда о = 1. Действительно,
если а < 1, то II хк II > 1 — \\к для всех достаточно больших к и, следо-
следовательно, II а: II = 1, х = Г(х, а), а это противоречит A1.17). Поэтому а= 1.
Из непрерывности Т вытекает, что T{jkxk -* Г(х, 1), и поэтому а: - не-
неподвижная точка Гх. П
Отметим, что теорема 11.3 является частным случаем теоремы 11.6,
когда Т(х, о) = oTiX. Пусть оператор Q — оператор вида A1.3). Пред-
Предположим, что оператор Q, область Г2 и функция <р удовлетворяют усло-
условиям теоремы 11.4. Чтобы воспользоваться теоремой 11.6 для исследо-
исследования задачи Дирихле Qu = 0 в ?2, и = $ на д?2, мы включим ее в семей-
семейство задач вида
Qou = aij{xt и, Du\ a)DtjU + b(x, и, Du\ a) = 0 в ft,
и = оу на Э12, 0 < о < 1,
такое, что:
(О Gi =G, *(*,*, р;0) =0;
(ii) операторы Qa эллиптичны в ?2 при всех а€ [0, 1];
(iii) коэффициенты д1'7, Ь принадлежат С°(С*(пХ R X R"); [0, 1]);
это значит, что alJ, b G Ca(flXRX Rw) при каждом aG [0, 1] и функ-
функции д';, Ь, рассматриваемые как отображения отрезка [0, 1] в С0(ИХ
X R X R"), непрерывны.
Для всех функций v G Cl>^(U) и чисел а Е [0, 1] оператор Г опре-
определяем равенством и = Г(и, а), где и - единственное решение в С2*а^ф.)
линейной задачи Дирихле
aiJ\x, v, Dv\ о)В#и + b(x, и, Dv; a) = 0 в ft,
и = a</> на 9ft.
Из условия (i) следует, что разрешимость задачи Дирихле Qu = 0 в ft,
264

и = <р на 3ft, в пространстве C2>ot(ft) эквивалентна разрешимости урав-
уравнения и = Г (и, 1) в банаховом пространстве Cb^(S2) и что Т(и, 0) = О
дйя всех v ? С1 э^A2). Непрерывность и компактность отображения Т
устанавливаются с помощью условий (И) и (Ш). Детали этого рассуж-
рассуждения подобны доказательству теоремы 11.4, и мы оставляем их чита-
читателю. Итак, мы можем из теоермы 11.6 вывести следующее обобщение
теоремы 11.4.
Теорема 11.8. Пусть ft - ограниченная область в Rn с границей
dft € С*'а, у е C2*a(ft) и пусть семейство операторов {Qa, 0 <а<1}
удовлетворяет условиям (i), (ii), (iii), приведенным выше. Предпо-
Предположим, что для некоторого 0 > 0 существует постоянная М, не завися-
зависящая от и и а, такая, что любое решение класса C2f а (ft) задачи Дирихле
- 0 в ft, и = Окр на dft, 0 < а < 1, удовлетворяет оценке
Тогда задача Дирихле Qu = 0 в П, и = </> на dft, разрешима в C2fQ!(ft).
Отметим, что если использовать теорию топологической степени
отображений (см. [160]), то условия теорем 11.6 и 11.8 могут быть
немного ослаблены. Однако, поскольку получаемые таким образом улуч-
улучшения не имеют отношения к специфическим применениям, рассмат-
рассматриваемым в этой книге, мы предпочли совсем не пользоваться теорией
степени отображений.
115. Вариационные задачи
В этом разделе мы рассмотрим вариационные задачи и, в частности,
их связь с эллиптическими уравнениями в частных производных. Пусть
ft — ограниченная область в R" и F - заданная функция, принадлежащая
С1 (ft X R X Rw). Рассмотрим функционал /, определенный на С0*1 (ft)
равенством
1(и) = / F(xy и, Du)dx. A1.18)
Заметим, что, поскольку и G C0>1(ft), градиент Du существует почти
всюду, измерим и ограничен (раздел 7.3). Пусть \р — функция, принад-
принадлежащая COf * (ft). Рассмотрим значения 1(и) на функциях м, принадле-
принадлежащих множеству
#= {и Е С°>г(П)\и =</> на dft}.
Рассмотрим задачу (обозначим ее через 3й) вида:
&*: найти функцию и € # такую, что 1(и) </(и) для всех v €$.
Предположим, что и — решение задачи 5s. Пусть функция г\ принадлежит
пространству
%й « {т? € С0* '(ft) I г? = 0 на dft } .
й*да функция v = и + 11? принадлежит % при любом t G R. Таким обра-
образом, I(u) <I(u + tr}) для всех t G R. Введем обозначение: % (t) =/(« +
+ tr}}. Для всех t G R имеем неравенство ? @) <?(*). Следовательно,
265

функция ? имеет минимум в точке 0, откуда j'@) = 0. Дифференци-
Дифференцируя, получаем равенство
/ {Dp F(x, u9 Du)Dtn + DzF(x, и, Du)r)}dx = 0 A1.19)
а /
при всех Т7 € #0. Таким образом, функция и является слабым решением
уравнения Эйлера - Лагранжа
Qu = divDpF(x, и, Du) - DzF(x, u, Du) = 0. A1.20)
Если, кроме того, F G С2 (?2 X R X R") и и G С2 (?2) ПС0»1 (Й), то функ-
функция м является решением классической задачи Дирихле Qu = 0 в п, и = <р
на 9?2. Следовательно, разрешимость задачи 5й влечет разрешимость за-
задачи Дирихле для уравнения A1.20).
Функционал / будем называть регулярным, если функция F строго
выпукла по р. При F G С2 (S2 X R X R") регулярность / эквивалентна эл-
эллиптичности оператора Q, соответствующего уравнению Эйлера — Лаг-
Лагранжа. Предположим теперь* что функция и € С0*1 (?2) удовлетворяет
в п уравнению A1.20) пи = <р на dft. Тогда справедливо равенство
f2 f2
? (г) =?@) + f?'@) + — ?"(f) = ?@) + — ?"(f)
при некотором ^удовлетворяющим неравенству I f I < I t I. Если мы те-
теперь предположим, что функция F выпукла по совокупности перемен-
переменных z и р, т.е. матрица
DPiPfF DPi*F I
Dpf2F DZ2F J
pf2F DZ2
неотрицательна в S2 X R X Rw, то получим
() /
2Dp.zF(x, и
DzzF(xf и + ?tj, Z)m + f/)r?)T?2 }c/x > 0
и, следовательно, ? @) < ?@ для всех f G R. Таким образом, функ-
функция и является решением вариационной задачи &. Бели, кроме того,
функционал / регулярен, то из теоремы 10.1 следует, что решение и един-
единственно. Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 11.9. Пусть функционал I регулярен, а функция F вы-
выпукла по совокупности переменных z и р. Тогда вариационная задача
9 может иметь не более одного решения. Кроме этого, разрешимость
задачи & эквивалентна разрешимости в пространстве Со>1($2) задачи
Дирихле для уравнения Эйлера - Лагранжа: Qu = 0 в S2, и = <р на 9S2.
Другие методы
Прямые методы вариационного исчисления позволяют развивать дру-
другие подходы к изучению задачи Дирихле для вариационных операторов
Q. Прямые методы, использующие включение множества % в качестве
подмножества в подходящее пространство слабо дифференцируемых
функций, рассмотрены в [147] и [208]. Мы кратко опишем другой ме-
266

тод, преимущество которого состоит в том, что функция F может и не
быть функцией класса С2, а решения, получаемые этим методом, будут
автоматически принадлежать классу С0'1 A2).
Определим для К G R
<ёк ={«е«1 1м1^.«(й)< «>
и рассмотрим задачу
3*к: найти функцию и € <@к такую, что
I(u) < I(v) для всех v € %к.
Для задачи 3^ справедлива следующая теорема существования. _
Теорема 11.10. Пусть F G С1 A2X R X R") м F, D2F9Dp.F G C° A2X
X R X R"), i = 1,...,«. Тогда еслм функция F выпукла no р, то задача
&к разрешима при каждом значении К, при котором множество ^к
непусто.
Доказательство. Мы покажем, что функционал / полунепре-
полунепрерывен снизу на % к в метрике равномерной сходимости в 12. Так как
функционал / также ограничен сверху на SgK, а множество %к предком-
пактно в С0 A2), то отсюда и следует утверждение теоремы. Итак, пусть
последовательность { ит} С %к равномерно сходится к функции и €
^- Тогда
1{ит) - 1(и) = / [F(x9 um, Dum) - F(x, ut Du)] dx =
n
m, Dum) - F(x, u, Dum)] dx +
+ / [F^ u, Dum) - F(x, ii, Du)) dx >
> -sup IDZFI • / \um-u\dx+ f D F(xt u, Du) • Dt{um - u)dx
nx^ a « ' (n21)
в силу выпуклости функции F по р. Зафиксировав i, положим у =Dp.F(x,
и, Du). Предположим сначала, что <р Е CjA2). Интегрируя по частям,
получим
f<pDf(um - u)dx = - / (mw - u)D^pdx -+ 0 при w -* «>.
Если у ф Со(п), то поскольку у E L°°A2), для любого е'> 0 найдется
функция </?€ G Cj A2) такая, что /1 </>€ - «p \dx < e/ B/C). Тогда
-u)dx\<
-U)dx\
n
Однако f<p€Di{um - u)dx -* 0 при m -> «>, и поскольку mw, w G 98k,
I A (ww - u) I < 2A:, to /1 <p€ -^11 /)/ (i/w - w) Icfjc < e. Следовательно,
lim sup I fyDiiUm - м)??л: I < e. Число е произвольное. Поэтому из
m > n
267

A1.21) вытекает, что lim inf I(um) > I(u)9 а это и означает, что функ-
т -* оо
ционал / полунепрерьюен снизу на *ёк в метрике равномерной сходи-
сходимости. ?
Решение задачи 9>к будем называть /С-квазирешением задачи^. Бели
существует такое пространство, в котором семейство всех А*-квазиреше-
ний для К € R относительно компактно, то обобщенное решение задачи
2f> можно получить как предел последовательности { ит) Кт-ктзнре-
Кт-ктзнрешений при Кт -* °°. Следующая теорема показывает, что разрешимость
задачи 5й является следствием существования априорной оценки в С0*1 (S2)
для квазирешений.
Теорема 11.11. Пусть и - К-квазирешение задачи S5, удовлетво-
удовлетворяющее неравенству
1м1со,1(й) <К. A1.22)
Тогда если функция F G С1 (?2 X R X Rn) выпукла по совокупности пе-
переменных z и р, то функция и является также и решением задачи &.
Доказательство. Пусть v G #. Тогда в силу A1.22) для не-
некоторого е > 0 имеем w = m+€(u — и) ^*ёк- Поскольку и — решение
задачи &к, то
/ F(x, и, Du)dx < f F(x, w, Dw)dx.
a n
Так как w = A - e)w + ev и функция F выпукла по (z,p), то
/ F(x, w, Dw)dx < A - e) / F(xt u, Du)dx + e / F(x, v, Dv)dx.
to toto
Отсюда
fF(x,u,Du)dx < J F(xf v ,Dv)dx. П
to to
Объединение теорем 11.10 и 11.11 можно рассматривать как утвержде-
утверждение, аналогичное теоремам 11.4 и 11.8. Практически получение требующих-
требующихся оценок для квазирешений осуществляется в три этапа, соответствую-
соответствующих этапам (i), (ii) и (iii) процедуры доказательства существования,
описанной в разделе 11.3. Именно:
0)' оценка sup | и \;
to
(И)' оценка с помощью (i)' величины
/(И) = SUp ; ; ;
xE:to, yEibto \Х —у I
(iii)' оценка с помощью (ii)' величины
\и(х)-и(у)\
1(и) = sup .
x.yGto \x-y\
Многие оценки, полученные в гл. 10,15 и 16 (в частности, принцип
сравнения (теорема 10.7)), в соответствующем виде имеют место для
268

квазирешении вариационных задач, вследствие чего облегчается реали-
реализация указанных.выше этапов. Кроме того, при соответствующих условиях
на оператор Q иг границу Ъ?1 можно доказать, исследуя регулярность реше-
решений, существование классических решений задачи Дирихле Qu = 0 в S2 ,
и = ^на ЭП.
Отметим, что методы, описанные выше, обобщаются на класс опера-
операторов дивергентной формы с помощью теории монотонных операторов
и применимы к задачам с препятствиями. В этих случаях разрешимость
задачи &% устанавливается для соответствующих вариационных неравенств.
Для получения дальнейшей информации читатель отсылается к работам
[45], [323], [159], [157], [233], [55], [123].
Примечания
Теорема Шаудера о неподвижной точке (теорема 11.1) бьйга доказана в
[343] и применена Шаудером к изучению нелинейных уравнений в [345].
Теоремы 11.3 и 11.6 являются частными случаями теоремы Лере—Шаудера
[160]. Наши доказательства этих теорем следуют работам Шефера [348]
и Браудера [44]. Применения к изучению задачи Дирихле (теорема 11.5)
описаны, следуя Гилбаргу [66]. Для уравнения A1.7) Морри ([208],
с. 98) доказал теорему 11.5, предполагая выполненным только условие
ограниченности наклона и не требуя в теореме 11.4 условий регулярности
для п и<р.
В первом издании этой книги было дано доказательство теоремы Брауэ-
ра о неподвижной точке, следующее работе [75]. В последние годы в ли-
литературе появилось много изящных и простых доказательств этой теоре-
теоремы.4)
ГЛАВА 12
УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Теория квазилинейных эллиптических уравнений с двумя переменными
во многих отношениях проще и в некоторых отношениях более развита,
нежели теория уравнений с большим числом переменных. В этой главе
излагаются некоторые аспекты теории, существенно двумерные по своему
характеру, хотя плавные результаты о квазилинейных уравнениях могут
быть обобщены — другими методами — и на случай большего числа неза-
независимых переменных. Как мы увидим, существенной особенностью изла-
излагаемой теории является использование сильных априорных оценок, выпол-
выполняющихся для общих линейных уравнений с двумя переменными.
*) Теорема, называемая теоремой Брауэра о неподвижной точке, была впервые до-
доказана Болем [34].- Примеч. пер.
269

12.1. Квазиконформные отображения
В теории эллиптических уравнений с двумя переменными важную роль
играют различные теоретико-функциональные концепции и методы (см.
например, [140]). Здесь мы будем касаться в первую очередь априорных
оценок, получаемых с помощью теории квазиконформных отображений.
Непрерьюно дифференцируемое отображение р = р(х, у), q = q(x, у)
осуществляемое при помощи функций р(х, у), q(x, у), определенных в
области ?1 z-плоскости, z = (x, у), называется квазиконформным или
К-квазиконформным в ?2 , если для всех (х, у) Е S2 выполняется нера-
неравенство
Р\ + Р% + Q% + Q2y < 2K(pxqy-pyqx), A2.1)
где К — некоторая положительная постоянная. Хотя для наших целей
достаточно, чтобы функции pt q принадлежали С1 (S2), но результаты,
получаемые в этом разделе, могут быть доказаны для непрерывных функ-
функций р, q, принадлежащих W}^, т.е. для непрерывных функций pt q, имею-
имеющих слабые производные, квадраты которых локально интегрируемы.
При К < 1 из A2.1) следует, что функции р и q постоянны. Поэтому
мы будем предполагать, что К > 1. При К = 1 отображение w(z) = p(z) +
+ iq(z) определяет аналитическую функцию перемен той z. При К > 1
неравенство A2.1) имеет следующее геометрическое содержание: в точ-
точках, в которых якобиан отличен от нуля, преобразование (х, у) «-> (р, q)
сохраняет ориентацию и переводит бесконечно малые круги в бесконеч-
бесконечно малые эллипсы с равномерно ограниченными эксцентриситетами, при-
причем отношение меньшей полуоси к большей ограничено снизу положи-
положительной постоянной а = К — (К2 — 1) 1^2 > 0. Этот факт можно прове-
проверить прямым вычислением.
Представляет интерес рассмотрение более широкого класса отображе-
отображений (х, у) *¦> (р, q)y удовлетворяющих неравенству
Pi + Р2У + Ql + Q2y < 2K(pxqy-pyqx) +K', A2.2)
где AT, Kr — постоянные, причем К > 1, К1 > 0. Хотя геометрическое со-
содержание уже не то, что прежде, но мы будем называть отображения, удов-
удовлетворяющие неравенству A2.2), {К, К')-квазиконформными. Далее
мы увидим, что отображения, удовлетворяющие неравенствам A2.1) и
A2.2), естественным образом возникают из эллиптических уравнений
с двумя переменными с функциями р и #, являющимися первыми произ-
производными решения.
В этом разделе мы получим априорные внутренние оценки Гёльдера
для (К, К')-квазиконформных отображений. Главный результат будет
получен как следствие лемм об интеграле Дирихле
?)(nz) = // \Dw\2 dxdy = // (\wx\2 +\wy\2)dxdy A2.3)
Br(z) Br(z)
(AT, АТ')-квазиконформного отображения w круга Br(z). Для краткости
будем писать ©(г) вместо D(r; z) иВг вместо Br (z).
270

Л е м м а 12.1. Пусть отображение w = р + / q (К, К' )-квазиконформно
в круге Br = Br (z0) и пусть неравенство A2.2) выполняется с постоян-
постоянными К > 1, К9 > 0. Предположим, что \р \<М в BR. Тогда для всех
r<R/2
©(г) = // \Dw\2 dxdy < С(г/ЯJа, а = К-(К2- 1I/2, A2.4)
вг
где С = Ct(K) (М2 + K'R2). Если К' = 0, то утверждение имеет место и
при К- 1.
Доказательство. Сначала докажем оценку для интеграла Дирихле
в круге радиуса R/2. Из A2.2) в произвольном концентрическом круге
В г С Br получаем
I2 dd < 2К Я Э
= Я \Dw I2 dxdy < 2К Я
= 2Л: / р — Js + /iTV2, A2.5)
где 5 — длина дуги окружности Сг -ЪВГ, измеряемая против движения
часовой стрелки. Так как ©' (г) = / | Dw|2 d,$, то
J>-—*C/S <( fp2dS* J
cr os Cr cr
f p2ds •
A2.6)
Подставляя это неравенство в A2.5) и заменяя г на R во втором слагаемом
правой части, получаем неравенство
- к,]2 < к2гЪ\г\ A2.7)
где кх = тг#2?\ fc2 = 8пМ2К2. Так как или © (Л/2) < fc, и мы имеем
нужную оценку, или ©(jR/2) > kY, и тогда © (г) >&! для некоторого
г = г0 < Л/2 и, следовательно, для всех больших значений г. Дифферен-
Дифференциальное неравенство A2.7) можно тогда проинтегрировать по г от гх до
Г2^0 <rt< г < г2 <Л. Получим:
> J> () > J_ /2_
*i " r, №(')-kiV к2 °8 г, '
Беря г! = Л/2, r2 = Л, приходим к неравенству
©(Л/2) < (8ir/log2) .М2^2 + nR2K'. A2.8)
271

Заметим, что при выводе этой оценки использовалась только неотрица-
неотрицательность постоянной К и не использовались другие условия для К и К*.
В общем случае, как показывает пример, нельзя получить такую оценку
во всем круге Br: аналитические функции щ = zw, п = 1, 2,.. . , при
I 21 < 1 удовлетворяют неравенству | н^| < 1, но
// \Dwn |2 dxdy -> ее при
С другой стороны, для любого фиксированного 6 > 0 выполнено неравен-
неравенство ff | Dwn |2 dxdy <C(8) < оо с постоянной С(б), не зави-
1-6
сящей от л.
Используя оценку A2.8) интеграла Дирихле в круге Вщ2* получим
оценку роста © (г ). Из неравенств
1 , а 1
2 2а 2 2а
следует, что
а 9 1
2
2 2a
Следовательно, записывая неравенство A2.2) в виде
\wx\2 + \wy\2 < 1KJ +К'
и подставив a = К — (К2 — 1) ^2 (или, эквивалентно, К = A +a2)/Ba)),
получаем неравенство
\Wx\2 <^Г \^у\2 +-—?-
Таким образом,
\х\ 7Ц0^1 |wy|)< Ц(|/)^|
1+а2 у 1+а2\ 1-а2
A2.9)
Так как выражения в A2.2) инвариантны относительно вращений, то
полученное неравенство остается верным при замене производной м^ на
производную ws по произвольному направлению.
Вспользуемся неравенством A2.9) для получения более точной оценки
интеграла / pqsds в A2.5). Пустьр=р (г) - среднее значение^ на окруж-
сг
гости Сг. Тогда
/ PQsds = S(p-P)qsds <¦/ \{Р ~ Р ) + rq\ Ids. A2.10)
с r с r 2Crl г J
272

Нашу неравенства Виртингера [320] имеем
Т
о о
Поэтому
/ (р-р J ds < гг fp2sds. A2.11)
(Это неравенство легко доказывается с помощью равенства Парсеваля,
если разложить функцию р = р(г, 0) в ряд Фурье по 0.) Подставляя нера-
неравенство A2.11) в неравенство A2.10), получаем неравенство
/? 2f 2
откуда в силу A2.9) следует, что
с г
i pqsds < — / \Dw\ ds + т— г*.
cr 2 A + a2) Cr 1 -a
Это неравенство подставим теперь в A2.5) и снова воспользуемся ра-
равенством / | Dw |2 ds = ©'С)- Мы придем к дифференциальному нера-
неравенству
©(г) < — ©'@ + кг2, к = яГ [1 + ~^-т\ A2.12)
2а \ 1 - а2/
из которого следует неравенство
B0? ©()
2акг
г ~ 2а
Проинтегрируем его от г до г0. Получим:
(Г} а
©(г) < ©(го) + *гЦ[-) • A2.13)
L 1 - a J V г0/
Полагая /-0 - Л/2 и используя оценку A2.8), мы приходим к требуемой
оценке A2.4) с постоянной С = max {С2 (К), С3 (К)} - (М2 + KfR2),
где
с -ilZL*2 С -
2 Iog2 ' 3
Отметим, что если К1 = 0, то рассуждения осуществимы и при К = 1, причем
постоянная С получится равной С2М2. D
Следующая лемма Морри играет важную роль при получении оценки
Гельдера самой функции на основании оценки роста интеграла Дирихле.
18. Д. Гилбарг 273

Лемма 12.2. Пусть функция ^принадлежит С1 (?2) и пусть ?2 С С п,
причем dist(?2, Э?2 ) >& Предположим, что существуют положительные
постоянные С, a uR' <R такие, что
®(r;z) = ff \Dw\2 dxdy < Cr2ot
Br(z)
для всех KpyeoeJ3r(z) с центрами z G О, и радиусами г </?'. 7огдя для
веек Zx, z2 ^ Г2гяких, что | z2 - Zx | <R*, справедливо неравенство
\w(z2)-w(Zl)\ < 2>/C/aU2-z1 \\
Эта лемма является непосредственным следствием теоремы 7.19 при
й = 2и получается с помощью неравенства Шварца. Доказательство леммы
в приведенном виде имеется в [309].
Результаты предыдущих лемм объединяются в следующей априорной
оценке Гёльдера для (К, К*)-квазиконформных отображений.
Теорема 12.3. Пусть w — (К, Кт)-квазиконформное в области О,
отображение с постоянными К > 1, К1 > 0. Предположим, что^\ w\ <M*
Пусть О, С С ?2 и dist (?2, Ъ?1) > d. Тогда для всех zlt z2 ? ?2 справед-
справедливо неравенство
C\(z2~Zl)!d Г, a = ^-(^2-lI/2, A2.14)
где С = С\ (АГ) (М + dy/K7). ^слw А:' = 0, то С = Сх (К)М и утверждение
верно и для АГ= 1.
Доказательство. Предположим сначала, что | z2 - zx \ < d/2.
Полагая в условиях лемм 12.1 и 12.2 R = d и R' = J/2, получаем | w(z2 ) —
(z2 -z1)/c/|a,rfleL=C(A:)(M2 + K'd2I!2 <C(K)(M +
|w (z2) - w (zO.1 < 2M < 2M
Этим доказывается теорема с постоянной Сх (К) = max D, С (К)). ?
Замечания. A) Показатель а = К - (AT2 - 1) *'2 является наилуч-
наилучшим (т.е. наибольшим), с которым справедливы утверждения лем-
леммы 12.1 и теоремы 12.3. Этот факт подтверждает пример ?-квазиконформ-
ного отображения w(z) = raez в, а = К - (К2 - 1I/2, точный показатель
Гёльдера которого равен а в точке z = 0. С меньшим показателем а (для
К > 1, К' > 0) аналогичные результаты могут быть получены с помощью
более прямого доказательства леммы 12.1, опирающегося на неравенство
A2.5) и не использующего неравенство A2.9); в этом случае точная фор-
форма неравенства Виртингера A2.11) ненужна (см. [215]).
B) Контрпримеры показывают, что утверждения леммы 12.1 и теоре-
теоремы 12.3 с показателем а = К — (К2 — II'2 не имеют места при К = 1 и
К' > 0, т.е. при а = 1 (см. задачу 12.1). Однако если отображение удовлет-
удовлетворяет неравенству A2.2) с постоянной К = 1, то оно удовлетворяет этому
неравенству и с любой большей постоянной К, и поэтому соответствующие
274

утверждения леммы 12.1 и теоремы 12.3 имеют место с показателем а,
сколь угодно близким к 1.
C) Если область Й ограничена и может быть покрыта Округами диамет-
диаметра d/2, то из доказательства видно, что теорема 12.3 остается верной при
более слабом условии | р | <М, причем в этом случае постоянная С в нера-
неравенстве A2.14) будет зависеть также otN и, следовательно, от диаметра 12.
D) Глобальные оценки. Если отображение w = р + iq является
(К, К1) -квазиконформным в области 12 класса С1 и если wE С1 A2),
то утверждение теоремы 12.3 может быть усилено, а именно: справедли-
справедлива глобальная априорная оценка Гельдера для w. В частности, если | w| <M
и р = 0 на 812 , то функция и>удовлетворяет глобальному условию Гельдера
с показателем и коэффициентом Гельдера, зависящими только от К, К\
М и 12. Наметим метод доказательства этого утверждения. Пусть 912 явля-
является объединением конечного числа перекрывающихся дуг, каждая из
которых может быть выпрямлена с помощью некоторого диффеоморфизма
(х, у) *+ (I, т?) класса С1, определенного в окрестности дуги. Функция w
квазиконформна по переменным (?, rj) с постоянными к, к', зависящими
от AT, К1 и 12. Осуществляя продолжение через прямую rj = 0 по формулам
рA, -г?) = -Р(?> V), Я(%, -V) =q(?, T7), мы приходим к функциир + iq,
определенной в более широкой области в (if, rj)-плоскости и являющейся
(к, к')-квазиконформной. К соответствующему (к, к')-квазиконформному
отображению р + iq применимы доказанные ранее внутренние оценки.
Возвращаясь на (х, у)-плоскость, мы таким образом получим оценку
Гельдера для функции w в 12 :
|w(z1)-w(z2)| < С \z1-z2 Г, zltz2 е~п,
где а =а(К,К\ П) и С = С(К,К\ 12, М). Еслир =рнаЭ12,ре С1 A2) и
I pl 1; п <ЛГ\ то, рассмотрев функцию р - р'вместо функции р, мы уви-
увидим, что функция w удовлетворяет глобальной оценке того же вида, с
постоянными а и С, зависящими теперь от К, К\ МнМ*.
12.2. Оценки Гёльдера градиента решения для линейных уравнений
Применим результаты предьодущего раздела для получения внутренних
оценок Гёльдера первых производных решений равномерно эллиптических
уравнений
Lu = аихх + 2Ьиху + сиуу =* /, A2.15)
с коэффициентами at b, с, определенными в области 12 z-плоскости, z =
= (х, у). Пусть X = X(z), Л = A(z) - минимальное и соответственно мак-
максимальное собственные значения матрицы коэффициентов, так что
+т?2) < а? + 2Ь%г\ + сг?2<Л(?2 + v2) va,r?)GR2. A2.16)
Предположим, что оператор L равномерно эллиптичен в 12:
Л/Х < 7 A2.17)
с некоторой постоянной у > 1. Предположим также, что sup(| /1^) <
п
18* 275

оо. Разделив уравнение A2.15) на минимальное значение X, можем
считать, что X = 1, и поэтому неравенства A2.16) выполняются с X = 1 и
Л = ) и, кроме того, | /1 < д. Далее предполагаем, что X = 1.
Полагая p-ux,q- иуу можем записать уравнение A2.15) в виде системы
а 2Ь f
~~ Рх + Ру + Чу - * ._
се с A2.fS)
Ру =Чх-
Формально дифференцируя, убеждаемся, что функция р является решением
(в слабом смысле) равномерно эллиптического уравнения дивергентного
вида
<а 2Ъ /^
Аналогичное уравнение имеет место и для q (см. доказательство теоремы
11.5). Оценки Гёльдера для р и q, которые устанавливаются в этомразделе,
можно получить с помощью методов, развитых в гл. 8 для уравнений ди-
дивергентного вида. При п = 2 детали соответствующих доказательств не очень
сильно отличаются от рассматриваемых здесь доказательств, использующих
свойства квазиконформных отображений.
Умножая левую часть A2.8) на функцию фх, получаем
Ргх + Р2у < w\ + Я>рхру + ср2у < cJ + fpXf /=* qxpy - qypx>
и аналогично
4% + Я 2У < aJ + /^.
Складьюая эти неравенства и замечая, что 2 <д + с = 1+Л<1+7» получаем
\Dq}2 <(a + c)J +f(Px+qy)<
1 A2.19)
-0+7)M(lRcl + 1^1).
Используя неравенство
A + 7)M(IP*I + lflfyl)<€(p5 +^) + ^(l+7JM2, e>0,
и полагая е = 1, из A2.19) получаем
\Dp\2 +\Dq\2 < 2A + 7)^+ A+7JМ2/2. A2.20)
Следовательно, функция w = p - iq (или w-q+ip) определяет (К, К'у
квазиконформное отображение, удовлетворяющеее неравенству A2.2)
с постоянными
А>1+т, A:' = (l+7J/i2/2. A2.21)
Выбирая число е достаточно малым, мы можем постоянную К сделать
сколь угодно близкой к A + т)/2.
276

Если /= 0, то из A2.16) и A2.17) следует неравенство
\Dw |2 = \Dp |2 + \Dq |2 <(* + с)/<A +7)/.
В этом случае отображение w = р - iq является АГ-квазиконформным с по-
постоянной К = (\ +т)/2. Несложное, но более тщательное вычисление пока-
показывает, что наименьшая постоянная квазиконформности не превышает
К = (у + 1/т)/2 (см. задачу 12.3, а также [277]).
Получим основную оценку решений уравнения A2.15), используемую
далее в нелинейной теории. Введем обозначения dz = dist(z, 312), d\t2 =
»min(rfZl ,dZ2). Нам потребуются также внутренние нормы и полунормы,
определенные в D.17) и F.10),в частности,
Mi\a= ^Р dl+2«\Du(z2)-Du(z1)\/\z2-zx Г,
zt ,z2 e si
|//X|<2) = sup rf22|//X|.
Теорема 12.4. Пусть и ? С2A2) - ограниченное в 12 решение урав-
уравнения
Lu = 0Ы*х + 2Ьм*у + сиУу =/,
оператор L равномерно эллиптичен и удовлетворяет в области ?1С R2 ие-
равенствам A2.16) и A2.17). Тогда с некоторым показателем а =^а(у)>0
выполняется неравенство
Mi,a<C(|u|0 + l//X|i2)), C=C(y). A2.22)
Важной чертой этого результата является то, что постоянная С в оценке
A2.22) зависит только от верхних граней модулей коэффициентов, а не
от каких-либо свойств их гладкости. Это обстоятельство резко отличает
эти результаты от оценок Шаудера (теорема 6.2), в которых участвуют
также постоянные Гель дера коэффициентов уравнения. Оценки Гель дера
гл. 8 для уравнений дивергентного вида от п переменных (теорема 8.24)
также не зависят от свойств регулярности коэффициентов, однако эти
оценки имеют место лишь для самого решения, а не для его производных.
Справедливость аналога теоремы 12.4 в случае п > 2 сомнительна.
Доказательство теоремы 12.4. Пусть z\, z2 — произ-
произвольная пара точек области п. Положим Id = J1Jh определим области
П'={2еп\ dz>d}HSl" = {zeu\ dist(z,3S2')>d>. Заметим, что zl9
j^€J2". Применим теперь теорему 12.3, взяв в качестве областей 12, Й
Области ?2', $2" соответственно и постоянные К=1+уяК' =
~ 1A +T)supl/A 12]/2. Учитывая, что компоненты функции w = р - iq
а1
выражаются через градиент Du, мы можем записать неравенство A2.14)
доя w-p -iq при а = A + у) - (у2 + 2^I/2 в виде
< C(sup|Z>H|+d.sup|/7X|)<
< (C/d) • (supd2 I Du(z) I + sup dz |//X |),
a' n'
277

где С =С(т). Следовательно,
откуда
для произвольной области 12' С С 12. Воспользовавшись интерполяцион-
интерполяционным неравенством F.8) с / = ? = 1, /3 = 0 вида
[и] I <е[м];>в + С1 |u|0, Cj-Ctfc), A2.23)
получим неравенство
м;,«< сеемjte+d in и
Возьмем e так, чтобы Се = 1/2. Получим неравенство
с некоторой постоянной С = С(у), что и требовалось доказать. ?
Из A2.22) и интерполяционного неравенства A2.23) следует оценка
вида
l«life<C(lM|e + l/AlJ2)), C=C(<y). A2.24)
Глобальные оценки
Из теоремы 12.4 при соответствующих требованиях на гладкость гра-
граничных данных и самого решения может быть получена оценка в С1 y0L A2).
Потребуем, дополнительно к условиям теоремы 12.4, чтобы и G С2A2),
область 12 являлась областью класса С2 и и = 0 на 312. В этом случае мы
можем утверждать справедливость глобальной оценки
= аG, Ф) и С=С(у,п, \и |0, 1/А1о)- Наметим в обших чертах ме-
метод доказательства этой оценки. Положим и = м/A + | Du \0). Ясно, что
функция и удовлетворяет уравнению Lv =//A + | Du |0) и | Du \ < 1. Пусть
граничная кривая покрьюается конечным числом перекрывающихся
дуг, каждая из которых может быть выпрямлена в сегмент на прямой
17 = 0 соответствующим диффеоморфизмом (х, у) »-> (?, tj) , определенным
в окрестности дуги и принадлежащим классу С2. Как и при получении
неравенства A2.20), доказывается, что отображение р = р(%, rj), q = g(?, 17),
где р = У^, q = — vn, является (А:, А:')-квазиконформным по перемен-
переменным (f, т?) с постоянными к = к(у, ?1), к* = /:'G, ?2, 1/А 1о) (напомним,
что | Du | < 1). Кроме того, р = 0 при т? = 0. Рассуждение, аналогичное рас-
рассуждению доказательства в замечании 4 в конце раздела 12.1, показывает,
что функции р и q и, следовательно, функция Z>u удовлетворяют в 12 гло-
глобальному условию Гёльдера, причем показатель Гёльдера а зависит толь-
только от у и 12, а коэффициент Гёльдера зависит также от |//Х |0. Таким
образом,
[и] 1, а < СA + \Du lo), С= С(т, 12, |//Х |0).
278

С помощью интерполяционного неравенства (см. лемму 6.35) получаем
оценку
|nli,«;n< СG,П,|и|о,|/Д1о),
Если <р G С2 A2) и и = <р на 912, то, заменив в предыдущих рассуждениях
функцию и на функцию и - у и заметив, что норма | и |0 может быть оце-
оценена через sup | <р | и |//Х |0 (теорема 3.7), мы получаем априорную оцен-
эп
кувида
Следует подчеркнуть, что эта оценка не зависит от каких бы то ни было
свойств гладкости функции/и коэффициентов оператора L. А зависи-
зависимость от области 12, как видно из доказательства, выражается через ее
размерости и верхние грани первых и вторых производных отображе-
отображения ? = %(х,у), г} = Г1(х,у),т.е. через С2-свойства границы Э12.
Позже в этой главе мы дадим следующее применение предыдущего
результата. Пусть ?1 - область класса С2'^, 0 - некоторое положитель-
положительное число и пусть функция f и коэффициенты оператора L принадлежат
С^A2> Тогда если функция и € С2 (п)П С°(п)удовлетворяет в п урав-
уравнению Lu = / и граничному условию и-кр на Ъ$1 с <рЕС2'^(?2), то и €
еС!»в(П), a = a(y9n)9npu4eM\uhfaia<C=C<j9n9\ip\2, |//X|0).Под-
|//X|0).Подчеркнем, что функция и априори предполагается только непрерывной
на Э12. Доказательство сформулированного утверждения получается из ре-
результатов предыдущего раздела с помощью аппроксимации. А именно,
еслиam,bm,cm,fm, m = 1,2,...,функции из С^(п), сходящиеся соот-
соответственно к функциям а,Ь, с, /равномерно на компактных подоблас-
подобластях п, то соответствующие решения ит задач Дирихле Lm um-fm в 12,
ит ~<р на Э12 принадлежат С2A2) и (в силу предыдущего) удовлетворя-
удовлетворяют равномерной оценке в С1» аA2): \ит \\ta<C с некоторыми постоян-
постоянными а и С, не зависящими от т. В силу внутренних оценок Шаудера и
в силу единственности последовательность { ит } сходится к заданному ре-
решению и уравнения Lu =/. Ясно, что и предельная функция и G С1>0?A2)
удовлетворяет той же самой оценке \и \ \ f a < С, что и утверждалось.
12.3. Задача Дирихле
для равномерно эллиптических уравнений
В этом разделе мы докажем теорему существования с помощью про-
процедуры, являющейся вариантом рассуждений, кратко описанных в гл. 11.
Для рассматриваемой здесь задачи Дирихле детали доказательства более
просты, чем в задачах, рассматриваемых далее, и некоторые шаги прог-
программы, описанной в гл. 11, могут быть опущены.
279

Рассмотрим задачу Дирихле для квазилинейных эллиптических урав-
уравнений общего вида
Qu = а(х9 у9 и9 их, иу)ихх + 2b(x9y, и, их,иу)иху +
+ с(х, у, и9 их, иу)иуу + f(x9y, и9 uXiuy) = О,
определенных в ограниченной области ft, расположенной на (х,у) плос-
плоскости. Будем предполагать, что оператор Q удовлетворяет условиям:
(г)футащьа=а(х,у9и9иХ9иу),... 9f=f(x9y9u9uX9uy) определены для
всех (х, .у, «, иХ9 му) из ft X R X R2 и, кроме того, д, Ъ, с9 f G
G (^(ft X R X R2) с некоторым 0 Е @,1).
(ii) оператор Q равномерно эллиптичен в ft, если ограничены значе-
значения и. Это значит, что собственные значения X = Х(х, у, и, иХ9 иу)9 Л =
= Л(х,у, и9иХ9иу) матрицы коэффициентов удовлетворяют неравенствам
1<ЛЛ<7(|ы|) \/(x,y,u,p9q)e?lXRXR2y A2.26)
где у — неубывающая функция;
(ш) функция / удовлетворяет структурным условиям вида
Ы + Ы), 02.27)
lpl + l<H) V(x9y9u,p,q)<ESlXRXR2t A2.28)
где д - неубьюающая функция, a v - неотрицательная постоянная.
В линейных уравнениях эти условия являются условиями на младшие
члены. Уравнения, удовлетворяющие A2.28), рассматривались в гл. 10.
Докажем следующую теорему существования.
Теорема 12.5. Пусть ft - область в R2, удовлетворяющая условию
внешней окружности, и пусть функция у непрерывна на 3ft. Тогда если эл-
эллиптический квазилинейный оператор Q удовлетворяет условиям (i) — (iii),
то задача Дирихле
0м = О в ft, м = <р на 3ft, A2.29)
имеет решение и?С2' 0(п) П С0(ft).
Доказательство. Докажем сначала теорему при более сильном,
нежели A2.27),условии:
|/|/Х<д<оо (М = const). A2.30)
Рассуждения используют сведение к теореме Шаудера о неподвижной точ-
точке (теорема 11.1). Чтобы определить преобразование Т, фигурирующее
в этой теореме, сделаем следующее наблюдение. Пусть и — произвольная
ограниченная функция с локально непрерывными по Гёльдеру в ft пер-
первыми производными и пусть а = а (х9 у) = а(х, у, v(x9 y)9 vx(x, y)9
vy(x9y))9. . . — функции, локально непрерывные по Гёльдеру в ft, получаю-
получающиеся после подстановки v на место и в коэффициенты оператора Q. Так
как функция |/ |/Х ограничена, то из теоремы 6.13 следует, что линейная
задача Дирихле
аихх + 2ЪихУ + сиуу + / = 0 в ft, u = ip на 3ft, A2.31)
имеет единственное решение w EC2(ft)П С0(ft). Отметим, на основании
280

1&оремы3.7,что
|и |0= sup|w|< sup |^| + CiM = ^o, Ct =
Кроме того, если sup | v \ <M0 и если То ~ 7(^o)> то из теоремы 12.4 сле-
следует, что
lull,* < С(|ы|о+м((ИатПJ) < С(М0 + M(diamftJ) = К,
а = оGо), С = С(то). .
Особо подчеркнем, что эта оценка зависит только от верхней грани Мо
функции и, участвующей в определении коэффициентов уравнения
A2.31).
Введем банахово пространство
cla = cla(?i) ={иес1>«(П)\ |«|;,а;п < «>,
где а — показатель Гёльдера из A2.32). Отображение Т множества
6 ={ v<ECla\ |и|}>в <*, |у1о<^о)
определяем равенством и = Ги,где и — единственное решение линейной
задачи Дирихле A2.31), построенной по функции v G в . Из A2.32) и
оценки | ы 1о < Мо следует, что и G ®, и поэтому Г отображает в в себя.
Так как множество в выпукло и замкнуто в банаховом пространстве
С\ ={mGC1(^)I |и1Г;П <«>},
то, доказав, что отображение Т непрерывно в С^и образ Гвпредкомпак-
тен в С\> из теоремы Шаудера о неподвижной точке (следствие 12.2) полу-
получаем, что оператор Т имеет в в неподвижную точку: и = 7к Таким об-
образом доказывается существование решения задачи A2.29) при усло-
условии A2.30).
Для доказательства предкомпактности множества Г® в С\ сначала
заметим, «что множество в, а следовательно, и Г@, равностепенно не-
непрерывно в каждой точке п. Мы утверждаем, что функции множества
Т® также равностепенно непрерывны в каждой точке z0 € Э?2. Чтобы
убедиться в этом, возьмем барьер w, построенный в доказательстве теоре-
теоремы 6.13. Функция w зависит только от модуля эллиптичности 7о (в урав-
уравнении A2.31)) и радиуса внешней окружности для точки z0. Функция
w такова, что для любого е > 0 существует некоторая постоянная к€, не
Зависящая от v Gв, такая, что решение u-Tv уравнения A2.31) удовлет-
удовлетворяет в п неравенству
| 11B) - *B0)| < € + k6w(z) . A2.33)
Так как w(z) -»0 при z -*z0, T0 отсюда и следует равностепенная непрерыв-
непрерывность множества Г© в точке z0. Таким образом, функции множества
71® равностепенно непрерывны на ?2. Так как Г®— ограниченное равно-
равностепенно непрерьюное множество в C\t0Ly то оно предкомпактно в С\ (см.
лемму 6.33).
Непрерьюность Т в С\ доказывается аналогично. Пусть и, vn G @,
я = 1, 2, ... Предположим, что | vn - v I * -*0 при «->°°.Рассмотрим w = 7Ъ
и последовательность ип = Гуи, г? = 1, 2, ... Покажем, что | ип - и \ J->0.
281

Из внутренних оценок Шаудера и замечания к следствию 6.3 следует, что
некоторая подпоследовательность { ит } последовательности { ип } сходит-
сходится равномерно вместе с первыми и вторыми производными на компакт-
компактных подмножествах ?2 к функции м, являющейся решением в ?2 предель-
предельного уравнения A2.31), коэффициенты которого получаются из коэффи-
коэффициентов оператора Q после замены в них функции и функцией и. Мы
утверждаем, что u(z) -> <p(z0) для всех z0 ? ЭГ2. Отсюда (в силу единст-
единственности) следует, что и = и = Tv. С помощью барьеров, подобно тому,
как это делалось ранее, можно доказать неравенство A2.33) с ит вмес-
вместо и. Из него следует, что u(z) -*^(z0) при z ->z0. Таким образом, и = и
и Tvm -> Tv на ?2 для подпоследовательности { vm).
Так как подпоследовательность {Tvm} вложена в Г®, а множество
Г© предкомпактно в С\9 то некоторая подпоследовательность [Tvm)
сходится к Tv по норме С\. Такое же рассуждение, повторенное для произ-
произвольной подпоследовательности последовательности {и„}, показывает,
что | Tvn — Tv 11 -> 0 для всей последовательности. Тем самым доказыва-
доказывается непрерьюность Г на С\, и, как уже отмечалось ранее, мы можем ут-
утверждать существование в © неподвижной точки и, и = Ти.
Итак, теорема доказана в специальном случае: функция I/I/X ограни-
ограничена на п X R X R", в частности, если /= 0.
Вернемся теперь к исходному условию (iii). Будем далее считать, что
\(х, у, и, их, иу) = 1 в ?1 X R X Rw. Этого всегда можно добиться, поделив
функции а, Ь, с, / на X. В этом случае неравенства A2.27) и A2.28) прини-
принимают вид
|/| < д(|и|)A+|р|+1в1), A2.34)
/• sign и < v{\ + | р | + | q |), v = const. A2.35)
Чтобы свести исходную задачу A2.29) к рассмотренному случаю ограни-
ограниченной функции / будем пользоваться усеченной функцией /. Именно,
пусть i//# — функция, определяемая равенствами
U\<N9
I
N- sign t, \t\ > N.
Усеченную функцию fN определим формулой
/n(x, у, и, р, q) = f(x, у, ^N{u\ Фм(р),
Из A2.34) следует, что |/^| <дЛГA + 2N). Рассмотрим теперь семейство
задач
QNu = a(x, yt ut Du)uxx + 2b(x, у, и, Du)uxy +
+ с(х, У> м, Du)uyy + fN(x, у, и, Du) = 0 в п9 A2.36)
и = ip на Э?2.
В силу A2.35) и теоремы 10.3 любое решение и из этого семейства задач
удовлетворяет оценке, не зависящей от N, вида
sup | и | < sup I ip | + Сх(у, diam п) = М. A2.37)
Из проведенного выше исследования задачи A2.3) с ограниченной функ-
282

даей / вытекает, что задача A2.36), в которой функция/# ограничена,
имеет решение и G Cl>a(?l) О С2**(р.) О С°(П), а = аG>, 7 = 7(М)-
Кроме того, из теоремы 12.4 следует, оценка
Ш1* < С(\ uN \0+\fN |<2>), A2.38)
где С = С(у), fN = fN(x, у, uNi DuN). В силу A2.34) и A2.37) отсюда
получается оценка
[uN] I ,а < СA + [uN]D, С = С(Л/, т, М, diam 12), д = д(ЛО.
Применив интерполяционное неравенство A2.23) с постоянной Се = 1/2,
получаем равномерную оценку, не зависящую от N:
I "N \!,а < С = С(М, 7,м, diam п). A2.39)
В силу этой оценки и внутренних оценок Шаудера (следствие 6.3),
примененных к семейству уравнений Qnun = 0 на компактных подмно-
подмножествах, существует подпоследовательность \ип) С {uN}9 которая в ?1 схо-
сходится к решению и уравнения Qu = 0 и это решение удовлетворяет оцен-
оценке A2.39).
Осталось показать, что функция и удовлетворяет также и граничному
условию и = ip. Для этой цели используем барьеры, подобные тем, кото-
которые использовались ранее. В силу A2.34) и A2.37) каждое решение ип
является решением линейного уравнения
Qnv = a*Dvv + b{nD.v + fn = 0, /,/ = 1,2,
где alnl(x, у) = а(х, у, ип, Dun), . . . , а функции b*n(x, y),fn(x,y) ограни-
ограничены равномерно по п. К этому семейству уравнений для произвольной
точки z0 ? Э?2 применима барьерная техника подобно тому, как это было
сделано в доказательстве теоремы 6.13, причем барьер можно взять таким
же, как в F.45). Он зависит только от 7, Ц и радиуса внешней окружно-
окружности для точки z0. Таким образом, для любого е > 0 существует постоян-
постоянная к€, не зависящая от п, такая, что справедливо неравенство
\Un(z)-${zo)\ < e+k€w(z) в П.
Устремляя п -> °°, получаем аналогичное неравенство для м, из которого
следует, что u{z) -> </?(z0) при z -* z0. Этим завершается доказательство
теоремы. ?
Замечания. A) Доказательство предыдущей теоремы основано
только на внутренних оценках производных, что допускает более общие
условия на коэффициенты и граничные данные. Используя глобальные
оценки и немного модифицируя доказательство, можно доказать сущест-
существование решений класса C2>f?(?2) в случае, когда Э?2 и <р принадлежат
С2'0 и а, Ь, с G С^(п XRXR2) (см. задачу 12.5). При тех же самых усло-
условиях решение, существование которого установлено теоремой 12.5, при-
принадлежит С2'^(П). Чтобы убедиться в этом, мы сначала заметим, что
если и G С2>Р(п) П С°(й) и и = <р на Э?2, где «р G С2^(Й), то уравне-
уравнение Qu- 0 после подстановки и в его коэффициенты имеет коэффициенты,
принадлежащие С^Ш). В силу глобальных оценок для линейных уравне-
уравнений, приведенных в конце раздела 12.2, решение и принадлежит С1>в(П)
283

с некоторым а. Следовательно, коэффициенты Qu принадлежат
Отсюда в силу теоремы 6Л4 и теоремы единственности вытекает, что
MGC2>a<J(fl),a это и означает, что коэффициенты Qu принадлежат С^(П).
Следовательно, и G С2>/3(Й), что и утверждалось.
B) Условие A2.28) было наложено для получения равномерной оцен-
оценки на разброс всех возможных значений решений задачи Дирихле для
уравнения QNu = 0. Если такая оценка известна априори, то условие
A2.28) может быть опущено.
C) Условие линейного роста в A2.27) функции I/I/X необходимо для
получения оценки A2.39) с помощью интерполяционного неравенства
для [и]* через [и]1%а и | и |0. Если априорная оценка градиента решения
известна для семейства уравнений Qj^u = 0, то это условие роста может
быть опущено (такие примеры мы будем обсуждать в гл. 15).
D) Требование, что область О, удовлетворяет условию внешней окруж-
окружности, может быть заменено на любое другое условие, гарантирующее су-
существование барьеров для строго эллиптических линейных уравнений
Lu = /, у которых / и коэффициенты являются Ограниченными функция-
функциями. Например, достаточно, чтобы область удовлетворяла условию внешне-
внешнего конуса (см. задачу 6.3).
12.4. Неравномерно эллиптические уравнения
Мы увидим при изучении неравномерно эллиптических уравнений, что, в
отличие от предыдущего раздела, в котором рассматриваемая область
достаточно произвольна, разрешимость задачи Дирихле в общем случае
тесно связана с геометрией области. Эта особенность неравномерно эл-
эллиптических задач уже обсуждалась ранее в линейной теории (раздел 6.6).
В настоящем разделе выясняется важная роль выпуклости области для
разрешимости задачи Дирихле для общего квазилинейного эллиптическо-
кого уравнения вида
Qu = а(х, уу иу их, иу)ихх + 2b(x, уу и, их, иу)иху +
+ с(х, у, и, их, Uy)uyy = 0. A2.40)
Пусть fi — ограниченная область в R2 и у — функция, заданная на Э?2.
Задачу Дирихле для уравнения A2.40) будем формулировать в терми-
терминах граничной кривой
Г = 3
Напомним (см. раздел 11.3), что кривая Г и функция </? удовлетворяют
условию ограниченности наклона (с постоянной К), если для любой точки
Р = (zo» <P(zo)) e Г существуют плоскости в R3, описываемые урав-
уравнениями
U = 7T*(Z) = flf1 .(z-Z0
проходящие через точку Р и такие, что
@ np(z) < <p(z) < tt?(z) Vz e
(ii) |/)тг| | = | ^(zo)! < К vzo e дп. A2'41)
284

Условие (i) означает, что для каждой точки Р кривая Г ограничена
сверху и снизу на цилиндре Э12 X R плоскостями и = ттр (z.) и и = 7?>(z),
совпадает с ними в точке Р.
Условие (ii) означает, что наклоны этих плоскостей равномерно по Р
Ограничены постоянной К. Ясно, что из условия ограниченности наклона
следует непрерывность функции <р.
Относительно условия ограниченности наклона сделаем следующие
замечания.
A) Для произвольной области 12 кривая Г лежит в плоскости (и удов-
удовлетворяет условию ограниченности наклона) тогда и только тогда, когда
функция ip является следом линейной на 12 функции. Однако если Г не
лежит в плоскости и удовлетворяет условию ограниченности наклона,
то область 12 должна быть выпуклой. Чтобы убедиться в этом, запишем
на основании A2.41) соотношения
О ф n?(z) - 7rf(z) = (д+ - а') • (z - z0) > 0 VzG Э12.
Из него следует, что в каждой точке z0 E Э12 имеется опорная линия
(а+ - а") • (z - z0) = 0, а это и означает выпуклость О.
B) Предположим, что граница 912 выпукла и кривая Г = (912, <р)
удовлетворяет условию ограниченности наклона. Пусть Рг = (z*, </?(z/)),
i = 1, 2, 3, — три различные точки на Г. Если точки zb z2, z3 коллинеар-
ны*), то точки Ри Рг, Ръ также коллинеарны на Г, ибо для точек, рас-
расположенных иначе, соответствующая плоскость будет вертикальной, что
противоречит неравенствам B1.41). Таким образом, функция \р линейна
на прямолинейных отрезках ЭГ2.
C) С условием ограниченности наклона тесно связано и по существу
ему эквивалентно так называемое условие трех точек, которое часто встре-
встречается в литературе о минимальных поверхностях и непараметрических
вариационных задачах с двумя неременными. Пусть ?1 — ограниченная
выпуклая область. Будем говорить, что кривая Г = (Э12, <р) удовлетворя-
удовлетворяет условию трех точек с постоянной К, если любое множество из трех раз-
различных точек на Г лежит в плоскости, наклон которой не превосходит К.
В конце этого раздела мы докажем эквивалентность условий ограничен-
ограниченности наклона и трех точек с одной и той же постоянной К,
Из условия трех точек следует, что плоскость, определенная любыми
тремя неколлинеарными точками Г, должна иметь наклон, не превосходя-
превосходящий К. Таким образом, если область 12 строго выпукла (т.е. любой прямо-
прямолинейный интервал, соединяющий две точки 12, целиком лежит в 12),
то наклон любой плоскости, пересекающей Г по крайней мере в трех
точках, не превосходит К. Верно и обратное утверждение: из такого более
сильного варианта условия трех точек следует, что 12 строго выпукла.
D) Нетрудно показать, что если <р€С2иЭ12€С2,а кривизна Э12
всюду положительна, то Г = (Э12, <р) удовлетворяет условию ограничен-
ограниченности наклона, с постоянной, зависящей от минимума кривизны 912 и
верхних граней первых и вторых производных функции \р (см. [345],
[321]).
*) Это означает, что точки zx, z2,z3 лежат на одной прямой. - Примеч. пер.
285

При изучении задачи Дирихле для уравнения A2.40) необходима априор-
априорная оценка градиента следующего вида.
Лемма 12.6. Пусть 12 - ограниченная область в R2, а ее граница
Э12 и определенная на ней функция <р удовлетворяют условию ограни-
ограниченности наклона с постоянной К, Предположим, что функция м€ С2 (?2) П
П С0 A2) удовлетворяет линейному эллиптическому уравнению
Lu = аихх +2Ьиху +сиуу = 0 A2.42)
в 12 и равенству и=<р на 912. Тогда
sup \Du\ < К. A2.43)
п
Подчеркнем, что предполагается только, что оператор L является эл-
эллиптическим. Условия на его коэффициенты не накладываются. Примеча-
Примечательно, что сформулированный результат справедлив при весьма общих
обстоятельствах, для произвольных седгсовых поверхностей и = и(х, у)
(см. [245], [213]).
Доказательство леммы 12.6. Рассмотрим сначала случай,
когда функция у является следом линейной функции на Э12. В силу теоре-
теоремы единственности (теорема 3.3) решение и в этом случае совпадает с
линейной функцией в 12 и условие A2.43) при этом выполняется автома-
автоматически. Как следует из предшествующего замечания A), область 12 можно
считать выпуклой.
Из A2.42) и эллиптичности оператора L имеем:
О < аихх +2Ьиххиух +си%у = с(иху - иххиуу),
О < аиху + 2Ъиху иуу + сиуу = а(иху - ихх иуу).
Следовательно, иххиуу - иху < 0 и равенство имеет место только в точ-
точках, в которых D2u = 0 (заметим, что поверхность и = и(х, у) является
седловой поверхностью). Рассмотрим теперь произвольную точку
Zo = (х0, J>o) ? 12, в которой иххиуу - иху < 0, и пусть уравнением
ио(х, у) = Ах + By + С = 0 определяется плоскость П, касательная к по-
поверхности и = и(х, у) в точке (х0, Уо). Функция w= и — и0 является ре-
решением уравнения A2.42) в 12, и множество точек, в которых w = О,
разделяет некоторый малый круг с центром z0 ровно на четыре области
?>i, . . . , />4, в которых функция w последовательно положительна и
отрицательна, например, w> 0 в Du D3 и w< 0 в ZJ, D4- Пусть D\ Э Dt,
Df3 D D3 — "связные компоненты того множества в 12, где w > 0, и
пусть D\ Э D2, D\ Э D4 — аналогичные компоненты множества в 12,
где w < 0. Тогда каждая из областей D\,. . . , D4 имеет по крайней мере
две граничные точки на 912, в которых w = 0: в противном случае из
слабого принципа максимума (теорема 3.1) следовало бы, что w = 0 в
области. Итак, плоскость П пересекает граничную кривую Г = (Э12, кр)
по крайней мере в четырех точках. Из предшествующего замечания C)
следует, что если любые три из этих точек неколлинеарны, то плоскость
П имеет наклон, не превышающий К. С другой стороны, если точки
на Э12, в которых w = 0, образуют коллинеарное множество 2, то в силу
замечания B) функции \р и и линейны и совпадают с и0 на прямолинейном
отрезке 912, содержащем 2. Тем самым получаем, что w=0b одной из
286

областей Z)J. Пришли к противоречию. Следовательно, наклон касательной
плоскости к поверхности решения не может превзойти К в точках, в кото-
которых И2иФ0.
Рассмотрим теперь множество 5, на котором D2u = 0. Мы можем пред-
предполагать, что S Ф ?2, ибо в противном случае функция и(х, у) была бы
линейной и утверждение становилось бы тривиальным. Если точка z0 E S
является пределом точек, в которых D2u Ф 0, то в силу непрерывности
касательная плоскость в точке z0 должна иметь наклон, не превышаю-
превышающий К. Если же точка z0 является внутренней точкой множества S, то точ-
точка Zq принадлежит открытой связной компоненте G того множества, на
котором D2u = 0. На этой компоненте G функция и линейна, а касатель-
касательная плоскость совпадает с самой поверхностью и = и (х, у). Так как любая
граничная точка G является внутренней точкой ?2 и является пределом
точек, в которых D2u = 0, то получаем, что | Du | < ЛЪсюду на б1 и, в част-
частности, в точке z0. Этим завершается доказательство. ?
Теперь мы можем доказать следующую теорему существования для
уравнения A2.40), обобщающую относящееся к случаю п = 2 утвержде-
утверждение теоремы 11.5.
Теорема 12.7. Пусть ?2 - выпуклая область в R2. Предположим,
что уравнение
Qu = а(х, у, и, uXt uy)uxx +
+ 2Ь(х, у, и, их, иу)иху + с(х, у, м, иХ9 иу)иуу = 0
эллиптично в п с коэффициенты а, Ь, с Е С@(?1 X R X R) для некоторого
& Е @, 1). Пусть Э?2 и определенная на ней функция </? удовлетворяют
условию ограниченности наклона с постоянной К. Тогда задача Дирихле
Qu = 0 в п, и = \р на Э?2,
имеет решение и El С2^(П) П С°(п), причем sup | Du \ < К.
Доказательство. Достаточно предполагать, что область О, вы-
выпукла, так как в противном случае функция <р является следом линейной
функции и результат тривиален. Поделим коэффициенты а, Ь, с на мак-
максимальное собственное значение Л = А(х, у, и, р, q) и обозначим по-
получившееся уравнение снова через Qu = 0. Оператор Q имеет теперь мак-
максимальное собственное значение, равное единице, но его минимальное
собственное значение X может приближаться к нулю в п X R X R2. Рас-
Рассмотрим семейство уравнений
Q€u = Qu+eAu = 0, € > 0, A2.44)
с граничным условием и = <р на Э?2. Для каждого € это уравнение
равномерно эллиптично, а в силу теоремы 12.5 существует решение
и€ € С2 '^(?2) П С°(Г2) такое, что ие = </? на Э?2 (для этого достаточно
утверждения из первой части теорем доказательства теоремы 12.5). В силу
леммы 12.6 имеет место равномерная оценка градиента решений и€ вида
sup \Du€\ < К, A2.45)
287

не зависящая от е. Из принципа максимума следует, что | ме | < sup I <p |.
Таким образом, в произвольной подобласти 12' СС12 минимальное соб-
собственное значение \е = X(jc, у, u€,Du€) линейного уравнения
Qeu = а€ихх +2Ьиху +сиуу +eAw = 0, A2.46)
получающегося при подстановке и6(х,у) в коэффициенты:
<*€(Х>У) = Ф,У> и6,Г>и€),...
где (х, у) € ?2', равномерно положительно в 12'и ограничено снизу
постоянной ХA2') > 0, зависящей только от 12'. Максимальное собст-
собственное значение ограничено сверху числом 2 при всех е < 1. В силу
теоремы 12.4 решения уравнения A2.46) равные функции \р на 312, в
частности, решения и€, на подмножествах ?2" СС 12' удовлетворяют рав-
равномерной (по е) оценке Гёльдера градиента:
[Du]a,n» < С, а = а(ХA2')),
где С = С(ХA2'), sup | <р |, dist A2 ", Э12')). Поэтому коэффициентыа€,
ьп
Ье, се локально непрерывны по Гёльдеру в 12' с показателем оф и равномер-
равномерно ограничены в С°^(!2 "), Так как 12' и 12" произвольны, то из следст-
следствия 6.3 и замечения к нему следует, что семейство решений и€ уравнения
A2.46) равностепенно непрерывно вместе с их первыми и вторыми про-
производными на компактных подмножествах и поэтому, используя из-
известный диагональный процесс, можно выделить последовательность
{и€п } из семейства {и€), сходящуюся в 12 к решению и0 уравнения Qu - О
при еп ->0. Равномерная оценка градиента A2.45) гарантирует, что сходи-
сходимость будет равномерной на 12 и, следовательно, и0 = </? на Э12. Этим за-
завершается доказательство теоремы. ?
Замечания. A) Необходимость выполнения некоторых геометри-
геометрических условий на 12, таких, например, как выпуклость, демонстрирует
классический пример уравнения минимальных поверхностей
A + ы2у)ихх - 2ихиуиху + A + их)иуу = 0 A2.47)
в кольце а < г < Ь, г = (х2 + у2) !^2. Если граничная функция <р равна
положительной постоянной h при г = а и равна нулю при г = Ь, а величина
h достаточно мала, то краевая граничная задача имеет хорошо известное
решение (катеноид). Однако если величина h достаточно велика, то не
существует решений, принимающих заданные граничные значения. В гл. 14
мы увидим, что задача Дирихле для уравнения минимальных поверхно-
поверхностей A2.47) разрешима для произвольных граничных значений класса С2
тогда и только тогда, когда область 12 выпукла.
B) Условия гладкости, косвенным образом содержащиеся в условии
ограниченности наклона, не могут быть заменены в общем случае на усло-
условие непрерывности граничных значений <р. Контрпримеры показьюают,
что задача Дирихле может не иметь решения для непрерывных граничных
значений, даже если граничная кривая является окружностью, а коэффи-
коэффициенты уравнения являются бесконечно дифференцируемыми функция-
288

ми (см. [304]). Разрешимость для непрерывных граничных значений
будет обсуждаться в гл. 15 и 16.
C) Существенный шаг доказательства теоремы 12.7 состоит в сведении
к равномерно эллиптическому случаю, а это возможно в силу наличия
глобальной оценки градиента (лемма 12.6). Такие оценки градаента спра-
справедливы и при других структурных условиях на оператор Q и других
требованиях относительно геометрии области П. Они обсуждаются в
гл. 14 и 15. Например, если область ?2 выпукла, а оператор Q таков, что
Л/Х <д(|н|)A + р* +<72)> то задача Дирихле для уравнения A2.40)
разрешима для произвольной функции <р € С2 независимо от того, вы-
выполняется или нет условие ограниченности наклона (см. раздел 14.2).
Такому условию удовлетворяет, например, уравнение минимальных по-
поверхностей A2.47).
D) Если оператор ??, граница Э?2 и функция у удовлетворяют тем же
дополнительным условиям гладкости, что и в теореме 11.4, т.е. если
а, ЬУ с<=С0(?2 X RX R2), ЪпЕС2^, <рЕС2>0(Ш)
то решение, существующее в силу теоремы 12.7, принадлежит С2
Доказательство этого результата по существу то же, что и доказательство
замечания 1 к теореме 12.5, если воспользоваться тем, что оценка градиен-
градиента | Du | <К делает уравнение Qu « 0 равномерно эллиптическим.
Эквивалентность условия ограниченности наклона и условия трех точек.
Предположим сначала, что кривая Г = (Э?2, <р) удовлетворяет условию
ограниченности наклона с постоянной К и что область ?2 выпукла. Пусть
z 1, г 2, z з - три неколлинеарные точки на Э12. Пусть
и = n*(z) = д* • (z - z/) +i(*f), / = 1,2, 3,
— верхняя и соответственно нижняя плоскости в точкахР/ = (z/, <p(Zf)) € Г,
удовлетворяющие A2.41). Пусть
и = *(z) = az+b ^a-iz-zd + ipiZi), r= 1,2,3,
- плоскости, проходящие черезРь Р2> ^з- Мы ходам показать, что | а \
(Если точки zXt z2, 2Ъ и, следовательно, точкиPlt Р2> Р$ коллинеарны, то
плоскость и = n(z) с наклоном, не превосходящим К, определяется по
непрерьюности.) Из A2.41) следует, что
af(z, -?,)<«• {Zj - zt) < at{Zj - zt\ i, /= 1,2,3. A2.48)
Так как точки zl9 z2i z$ являются вершинами невырожденного треуголь-
треугольника и а - вектор в R2, то для некоторого / = 1, 2 или 3 имеет место
равенство
а = ±2с/(*/-*,), q > 0.
Из A2.48) следует, что или
||2 +2zl-) =afa < К\а\>
или
I a |2 < af • 2Cj(zt-zf) = afa < K\a |,
19. Д. Гилбарг 289

и поэтому | а | < К. Таким образом, из выполнения условия ограниченно-
ограниченности наклона следует выполнение условия трех точек с той же постоянной К.
Обратно, пусть кривая Г = (Э?2, \р) удовлетворяет условию трех точек
с постоянной К и пусть область п выпукла. Пусть А = (zA, y(zA)) -
произвольная точка кривой Г такая, что zA не является внутренней точ-
точкой прямолинейного отрезка на Э?2. Тогда существует последователь-
последовательность треугольников с вершинами в неколлинеарных точках А, /?,-, С/ GF,
1=1,2,..., таких, что Bit Q -+А при / -> «> и плоскости Af, проходящие
через А, #/, Q, сходятся к предельной плоскости А. Можно предполагать,
что отрезки АВ{ имеют предельное направление, которое определяет пря-
прямую линию Z,, проходящую через точку А и лежащую в плоскости А,
причем проекция Lz прямой L на z-плоскость является опорной линией
области ?1. Ясно, что прямая L совпадает с касательной к Г в точке А,
если эта касательная существует. Пусть Q G Г, Q $ L и пусть П - плос-
плоскость, проходящая через точку Q и прямую L. Наклон плоскости П не
превосходит К, так как он равен пределу последовательности наклонов
плоскостей, проходящих через точки A, Q и В(. Рассмотрим множество
плоскостей, проходящих через L и точки QG Г,B^1,и пусть эти плос-
плоскости определяются линейными функциями и = ttq(z). Обозначим через
Н ту полуплоскость z -плоскости с границей L, которая содержит об-
область п. Если itq(z) > itq'(z) в некоторой точке z G Я, то то же нера-
неравенство имеет место и для всех точек z G Я, в частности, для Bcexz G ЭП.
Таким образом, в точке А имеются верхняя и нижняя плоскости, опре-
определяемые равенствами
7T+(z) = SUp 7T/?(z), 7T~(Z) = inf Kn{z), Z G Я
д<ЕГ Q<EY
Плоскости h = 7t + (z) и и - n~(z) в силу предыдущих замечаний имеют
наклоны, не превосходящие К, и лежат выше и ниже Г соответственно
(над Э?2). Следовательно, они удовлетворяют условию ограниченности
наклона в точке А с постоянной К. Ясно, что если точка А лежит на прямо-
прямолинейном отрезке кривой Г, то линия, содержащая этот отрезок, может
заменить прямую L в предыдущих рассуждениях. Таким образом, из
условия трех точек следует выполнимость условия ограниченности наклона
с той же самой постоянной К.
Примечания
Оценки Гёльдера для квазиконформных отображений (раздел 12.1)
были получены различными способами и впервые — Морри [204] (ссылки
см. [302]). Изложенные в этом разделе оценки получены Финном и Сер-
рином [309]. Ими же получена оценка A2.14) с наилучшим показателем
Гёльдера, а в случае, когда в A2.2) постоянная к! = 0, получен соответст-
соответствующий результат с коэффициентом Гёльдера СМ, в котором С - абсолют-
абсолютная постоянная.
Основные оценки Гёльдера в С1*а решений линейных уравнений, из-
изложенные в разделе 12.2, получены Морри [204] и, в более простом виде,
Ниренбергом [215]. Описанный выше вариант — более поздний по време-
290

ни, однако в нем, следуя Морри, используются оценки роста интеграла
Дирихле. Идея применения таких априорных оценок в ClfOf для линей-
линейных уравнений к изучению задачи Дирихле для квазилинейного уравне-
уравнения A2.40) появилась в работе [204], однако в этой работе имеется ошиб-
ошибка. Идея была реализована и упрощена в деталях Ниренбергом, который,
используя теорему Шаудера о неподвижной точке, доказал, общую теоре-
теорему существования. Его метод является основой построений разделов
12.3 и 12.4.
До 1950 г. теория задачи Дирихле для нелинейных эллиптических урав-
уравнений была развита в основном в случае двух независимых переменных.
Пионерские работы Бернштейна ([25-28]), достаточно ограничительные
по своим условиям, были обобщены Лере и Ыаудером [160], [345], до-
доказавшими существование решения задачи Дирихле для уравнения A2.40)
в предположении, что коэффициенты принадлежат С '^и что граничные
значения достаточно гладкие. Они использовали метод, основанный (как
и в работах Бернштейна) на априорных оценках вторых производных
решений. Эти результаты были усилены и упрощены в указанных выше
работах Морри и Ниренберга. Ниренберг доказал, что если уравнение
A2.40) эллиптично в п> его коэффициенты принадлежат С^(П X R X R2),
граница Э?2 является равномерно выпуклой кривой класса С2>^, а функ-
функция ^ принадлежит С2>@(дп), то задача Дирихле для A2.40) имеет реше-
решение, принадлежащее С2|^(?2) (если же ф € С1A(ЭП), то решение су-
существует и принадлежит С2^(п) П C°(S2)). В теореме 12.7 этот резуль-
результат обобщается на случай более слабых требований о коэффициентах и
граничных данных: требуется лишь выполнение условия ограниченности
наклона без дополнительных условий регулярности. Решения, получающие-
получающиеся при этом, также принадлежат С2'^(Г2), если выполнены те же условия,
что и в теореме Ниренберга (см. замечание 4 после теоремы 12.7). Дока-
Доказательство теоремы 12.7 использует только внутренние априорные оценки
в С1*" для линейных уравнении (теорема 12.4). То, что таких оценок
достаточно для доказательства теоремы существования, было отмечено
ранее Ниренбергом ([215], с. 146).
Задаче Дирихле для равномерно эллиптического уравнения A2.25)
посвящены работы Берса и Ниренберга [31], Ладыженской и Уральце-
вой [147] и Фон Валя [51]. В работе [31] теоремы существования для за-
задач Дирихле и Неймана были получены для решений класса W2*2 (в слу-
случае, когда коэффициенты в A2.25) принадлежат С01, эти решения из W2'2
принадлежат также и С2>ос). Доказательства в [31] и теоремы 12.5 осу-
осуществлены в предположении линейного роста функции f(x, yf ut p, q),
аналогичного A2.27), и основаны на оценках в С1*а для линейных урав-
уравнений и теореме Шаудера о неподвижной точке. Ив [31], и в теореме 12.5
не делаются априорные предположения о решениях. В предположении, что
выполнена равномерная оценка sup | и | для всех решений уравнения
а __
A2.29) при следующие условиях: а, Ь, с е С?(п X R X R2) в A2.25),
За Е С2'*, v е С2^(п) и |//Х | < СA + р2 + q2) (это условие слабее
условия A2.27)), Фон Валь в работе [51] доказал априорную оценку ре-
решений задачи Дирихле, обобщив тем самым аналогичные результаты из
291

[147]. (Эти оценки не следуют из методов настоящего раздела без апри-
априорной оценки градиента.) Существование решений класса С2>^A2) зада-
задачи Дирихле A2.29) может быть получено теперь с помощью применения
теоремы Лере - Шаудера о неподвижной точке.
Доказательство оценки градиента в лемме 12.6 было подсказано ввод-
вводными замечаниями Финна в [304]. Обычно такую оценку выводят из тео-
теоремы Радо [245], утверждающей, что если функция и = и (х, у) определяет
седловую поверхность над выпуклой областью 12, непрерывную в 12, и ес-
если ее граничные значения удовлетворяют в 12 условию трех точек с постоян-
постоянной К, то функция и удовлетворяет в 12 условию Липшица с постоянной
К. В этой теореме слова "функция и = и (х, у) определяет седловую по-
поверхность" понимаются в следующем смысле: функция и(х, у) непрерыв-
непрерывна и функция и (х, у) — (ах + by + с) удовлетворяет слабому принципу
максимума - минимума для произвольных коэффициентов а, 6, с.
В частности, это имеет место в случаях, когда функция и (х, у) удовлет-
удовлетворяет уравнению A2.42) или является поверхностью с неположитель-
неположительной гауссовой кривизной. Элементарное (но непростое) доказательство
этого факта было дано фон Нейманом [213]. Хартман и Ниренберг [322],
[218] обобщили результат на случай больших размерностей.
Касаясь условия ограниченности наклона, Хартман [321] анализирует
связь между свойствами регулярности функции у и Э!2 в случае, когда
у удовлетворяет условию ограниченности наклона на границе 312 ограни-
ограниченной выпуклой области 12 в Rw. В результате он доказывает эквивалент-
эквивалентность условия ограниченности наклона и условия (п + 1)-й точки при
п > 2; однако связь между постоянными в этих двух условиях при п > 2
остается невыясненной. Из других результатов мы отметим следующие.
(i) Если 312 € Сх*а, 0 < а < 1, и функция $ удовлетворяют условию
ограниченности наклона на 312, то <р€ С*'а C12).
(ii) Если граница 312 принадлежит классу С1*1 и равномерно выпук-
выпукла, то функция <р удовлетворяет условию ограниченности наклона на 312
тогда и .только тогда, когда у ? С1'1. Последний результат вытекает из
(i) и того факта, что если 12 — произвольная равномерно выпуклая об-
область и функция кр является следом на 312 функции из С1'1, то функция
V? удовлетворяет условию ограниченности наклона на 312.
Задачи
12.1. Покажите, что функция w(z) » z - log I г | является (К, К')-квазиконформ-
К')-квазиконформной с постоянными К = 1, К' > 0 и т удовлетворяет A2.14) с показателем а « 1.
12.2. Докажите теорему 12.3 для квазиконформных отображений, удовлетво-
удовлетворяющих A2.2) с функциями р> q непрерывными и принадлежащими W*? (см.
[309]).
12.3. Пусть оператор Lu - аихх + 2Ьиху + сиуу равномерно эллиптичен в области
to с постоянной эллиптичности 7 - 8ш>(Л/\), где \ = \(х, у) и Л - Л {х, у) - мини-
минимальное и соответственно максимальное собственные значения матрицы коэффи-
коэффициентов. Пусть Lu = 0. Покажите, что отображение р - iq = их - iuy является ЯГ-ква-
зиконформным в п для произвольного К > Vi (у + 1/7). (Достаточно доказать» что
r*+2s3+t2 \ Л
292

где верхняя грань вычисляется по всем г, s, t, удовлетворяющим равенству а г + lbs +
+ ct - 0 для фиксированной точки (х, у) е п.) Выведите отсюда, что теорема 12.4
справедлива при f - 0 с произвольным показателем а < 1/7 (см. [277] для / Ф 0).
12.4. В условиях теоремы 12.4 предположим, что//Л. е Lp(n), p > 2. Докажите,
что если п' ее П, то для некоторого а е @, 1) справедлива оценка
где С = С G, р, dist (n', d П) ) и а = а G, р). (Можно предполагать, что или ме
И(П).)
. В условиях теоремы 12.5 предположим, что ft G C2»P, ^G С2»^(П) и в, bt
c,/GC^(nxRXR2). Применяя оценки в С1>а(П), описанные вслед за теоремой
12,4, модифицируйте доказательство теоремы 12.5 и покажите, что задача A2.29)
имеет решение в С2»^(П). (Замените С* и Cl>a на С1»а(П) и соответствующим
образом определите множество @ и оператор Т. Используйте теорему 6.14 вместо
теоремы 6.13 и глобальные оценки Шаудера вместо внутренних оценок. Более прос-
простое доказательство получается с помощью рассмотрения семейства уравнений и =
= оТи, а е [0Г1 ] и соответствующих задач Дирихле
Qoи = аихх + 2Ьиху + сиуу + а/= 0 в П,
м = оу на ЭП,
где а - а (х, yt и, их, иу) и т.д. Покажите, что решения равномерно ограничены в
Clja(n) и примените теорему 11.3.)
12*6. Предположим, что оператор Q в уравнении A2.40) равномерно эллиптичен
на ограниченных подмножествах в П X R X R2. Докажите теорему 12.7, не используя
теорему 12.5, с помощью замены множества © из доказательства теоремы 12.5 на мно-
множество
e>'={vt=Cl>a\\v\*Ua<K\ \Dv\<K],
где К - постоянная из условия ограниченности наклона, а К' - постоянная, опреде-
определенная в A2.32).
ГЛАВА 13
ОЦЕНКИ ГЁЛЬДЕРА ГРАДИЕНТА
В этой главе мы получим внутренние и глобальные оценки Гельдера в
ограниченной области п производных решений квазилинейных эллипти-
эллиптических уравнений вида
Qu = aif(x, и, Du)Diju+b(x, uy Du) = 0. A3.1)
Покажем, что этап IV в процедуре доказательств теоремы существо-
существования, описанной в гл. 11, может быть, благодаря наличию глобальных
оценок, опущен, если дополнительно к условиям теоремы 11,4 предполо-
предположить, что или а11 Е С1 (?2 X R X R"), или оператор Q является оператором
дивергентного вида, или п = 2. Оценки этой главы будут доказаны сведе-
сведением к результатам гл. 8, в частности, к теореме 8.18, 8.24, 8.26 и 8.29.
293

134. Урэтщаш w дивергентной форме
Предположим, что оператор Q эквивалентен эллиптическому опера-
оператору вида
Qu = div.4 (х, и, Du) +#(x, и, Du) A3.2)
с вектор-функцией A G С1 (О X R X Rn) и функцией В Е С0 (ДХ R X R").
Если функция и Е: С1 (Q.) удовлетворяет в 12 уравнению Qu = 0, то спра-
справедливо равенство
f{A(xfu,Du}D$-B(x,u,Du)$Ых = 0 V
к% 1 < А; < ^i, заменяя $ «аф* ? и интегрируя яо частям, получаем
где 6^ — дифференциальный оператор, определенный равенством
а аргументами у Dp.Al, 5^,4' и 2? являются х, и(х)9 Du(x). Отсюда, обоз-
обозначая ;
aif{x) = Ор.А*(х, ы(х)уОи{х%
р.
где [6 ^ ] — единичная матрица, получаем, что производная w = Z)^ w удов-
удовлетворяет тождеству
A33)
Таким образом, функция w является обобщенным решением линейного
эллиптического уравнения
Переходя, если это необходимо, от области п к ее подобласти, мы можем
предполагать, что оператор L строго эллиптичен в Г2 и что коэффициенты
5i;, f*k являются ограниченными функциями, т.е. выполнены условия
теорем 8.22 и 8.24. Следовательно, взяв числа Л#, Л#, цК так, чтобы
выполнялись неравенства
0<\K<\(x,z,p), AK>\Dp.Ai(xfzfp)\, A3.4)
для всех х G п, \z\ + | р | < ЛГ, 1, / = 1,. .., пь приходим к следующей
внутренней оценке.
Теорема 13.1. Пусть функция и ? С2 (?1) удовлетворяет в облас-
области п уравнению Qu = 0 с эллиптическим в Г2 оператором Q дивергентной
формы A3.2), коэффициенты которого A G С1 (?1 X R X R") и В G
G С0 (Г2 X R X R"). Тогда в произвольной подобласти п' СС п справед-
294

дива оценка
-a, A3.5)
где
С = С(п, К, Ак/\к, цк/Хк, diam 12),
p
и а = а(п,Ак/\к)>0.
Чтобы распространить утверждение теоремы 13.1 до глобальных оце-
оценок Гёльдера в области п, предположим, что оператор Q эллиптичен в
Г2, коэффициенты A G С1 (й X R X R") н В е С0 (п XRXR"), граница
дО, € С2 и и = <? на ЭГ2, где (^ G С2 (Г2). Заменяя w на w - <?, мы можем без
ограничения общности предполагать, что и = 0 на ЭГ2. Так как ЭГ2 G С2,
то для произвольной точки jc0 ? ЭГ2 существуют шар 5 = 2?(х0) и взаим"
но однозначное отображение ф шара J5 на открытое множество D С Rn
такие, что
Записьшая .у = ф (х), v(y) =ио ф~1 (у),В+ = В П П, D+ = Ф(В*)> полу-
получим, что Dy и = 0 на Э?>+ П 3R", к = 1,..., п - 1, а уравнение б« = О,
рассматриваемое в5+, эквивалентно уравнению
ёу = ^ЛЧ^г^^)+^(^"^«) = О, х = ф-1(у), A3.6)
рассматриваемому в Z)+ , где функции А и В определяются формулами
Следовательно, производные w = Dykv> k = !»•••> п> будут решениями
в D+ линейного эллиптического уравнения
где
Аргументами функций DPsAr, bsAr, Ar и В являются х = ф'1 (у), и(х) =
= v(y) и Du(x) = Duty'1 (у)). Заменяя шар В(х0), если необходимо,
концентрическим шаром меньшего радауса, мы можем предполагать, что
определитель матрицы Якоби [Эф] = [Эд^/Эху] ограничен в В сверху и
295

снизу положительными постоянными и, следовательно, оператор L явля-
является строго эллиптическим в D* и имеет ограниченные коэффициенты
а/;, f*k. Применяя теорему 8.29, в произвольной области D* CC D полу-
получаем оценку
№ук»)«;О'ПП+<С> *=1,...,Л-1, A3.7)
где С = С(п, К, Ак/\к, цк/\К9 u,d), К = \и \х. а, d = dist(D'nD+ , bD)
и а = а(л, АК1\К, Г2) > 0.
Оставшаяся производная Z)^ и может быть оценена следующим образом.
Пусть у о G D+ П ?>', Л < d/3, B2R = #2д Оо)> V ^ Ц (&2r) и пусть с -
постоянная, равная w(y0), если B2r С Z>+ , и равная 0, если B2r П ЭК" ^=
^= ф. Функция f = т?2 (w - с), где w = Z)^ ииЛ = 1,...,л-1, принадле-
принадлежит H/q'2(D+). Подставляя функцию f в интегральное тождество A3.3)
с 12 =D+ , получаем
/ 7i2aifDiwDfwdy< f {\2>n(w- c)aif - D(ri. Dfw \ +
D+ D*
+ I V2flkDfw | + | 2t7(h>- c)flkDfT] \}dy.
Отсюда в силу неравенства Шварца G.6) и эллиптичности оператора L
получаем
jr\2\Dw\2dy<C f(v2 +1Д7?!2 (w-cJ)dy,
где С = С(п, К, Ак/\к, Ик1^к> ^)- Пусть теперь функция т? такова, что
0 < т? < 1, т? = 1 в BR = BR (у0) и 1Z)t? | <2/Л. Тогда, используя A3.7),
получаем
\Dw\2dy<CRn~2(R2 +sup (w-c?)
BR B2R
где постоянные С и а зависят от тех же величин, что и в A3.7). Следова-
Следовательно, поскольку &=1,...,гс-1, имеем
A3.8)
/ ij
*R
если / Ф л. Разрешив далее уравнение A3.6) относительно Dnnv, можем
записать, что
где bij\ Ь - некоторые ограниченные функции, оценивающиеся через ве-
величины Иф, К у Лк/\к, Ик/^к- Отсюда в силу A3.8) получаем
f \Dniv\2dy<C-Rn-2+2a, г=1,...,м.
BR
Используя далее неравенство .G.8) и оценку Морри (теорема 7,19), полу-
получаем, что оценка A3.7) справедлива и для k = п. Возвращаясь обратно в
область п с помощью отображения ф ~1, получаем оценку
для произвольного концентрического шара В1 СС В, где С = С(л, К, Ак/\к,
1Лк/\к, П, 5'). Наконец, взяв конечное число центров х0 Е дВ и шаров
296

В\ покрывающих 312, получаем из A3.5) и A3.9) следующую оценку
Гёльдера. _
Теорема 13.2. Пусть функция и €_С2 A2) удовлетворяет в 12 урав-
уравнению Qu = 0, где Q - эллиптический^ в 12 оператор в дивергентной форме
A3.2) с коэффициентами A G С1 A2 XR X R") и В G С0 A2 X R X R").
Э 12 G С2 w w = v? на Э 12, где v? Е С2 A2), го справедлива оценка
A3.10)
в которой С = С(л, К, Ак/\к, 1Лк/^к> &» Ф), К = \и |1; л, Ф =
и а = a(w, AK/XKi 12) > 0.
Анализ доказательств теорем 13.1 и 13.2 показывает, что оценки A_3.5)
и A3.10) остаются справедливыми в предположении, что и G С0'1 (?2) П
П И/2*2 A2) и^е И>2){/ A2) с некоторым # > п. В этом случае можно взять
Ф = II Я> II w2>q(n)' а величина а будет зависеть также и от q.
13.2. Уравнения с двумя переменными
Если функция и G С2 (п) удовлетворяет эллиптическому в 12 С R2
уравнению A3.1), то производные u>i = DiU, w2 = D2u являются обоб-
обобщенными решениями в 12 линейных эллиптических уравнений
/а11 2а12
2 2 * * 2 2 2 wv i I *^JL ? TV l *-' l 22J
= Z>iI -
A3.11)
/2а12 а
L2w2 =Dnw2 +D2[ D +
12
I , t D\W2 + -
к которым применимы методы для уравнений в дивергентной форме.
Поэтому, если числа Х^, Л# и д# удовлетворяют неравенствам
0<XK<X(x,z,p), Aje>|e"(*,z,p)|, Ма:>1Ь(х, z.p)|v A3.12)
для всех х G 12, | z I + |р I < ЛГ, /, / = 1, 2, то справедлива следующая тео-
теорема.
Теорема 13.3. Пусть функция и G С2 A2) удовлетворяет в 12 С R2
уравнению Qu = 0, оператор Q эллиптичен в 12, коэффициенты alJ, Ъ при-
принадлежат С0A2 X R X R2) .Тогда в любой подобласти 12' СС 12 выполняет-
выполняется неравенство
n,<Cd-a, A3.13)
С = С(Я, AK/\K,^K/XKi diam 12), A:=|Hli.n, J= distA2', ЭГ2) w a =
/
Теорема 13.4. Пусть функция и ? С^A2) удовлетворяет в 12 С R2
уравнениюОц = 0, оператор Q эллиптичен в 12, коэффициенты alJ, Ъ принад-
принадлежат С0A2 X R X R2). Гогда ^cww Э12 G С2, Q G С2(П) и и = i на дП, то
i<Q A3.14)
С = С(?, Л^/Х^, №/^, П, Ф), ^ = lMli;n, Ф = I^l2;n и
k, 12) >0.
297

Заметим, что в гл. 12 с помощью метода квазиконформных отображений
дано другое доказательство теоремы 13.3. Отметим также, что в случае
двух переменных доказательство оценки Гёльдера для линейных уравнений
дивергентного вида проще, чем в случае большего числа переменных (см.
задачу 8.5). Замечание, сделанное к теореме 13.2, очевидно, применимо
также и к теоремам 13.3 и 13.4.
13.3. Уравнения общего вида; внутренняя оценка
Исследование эллиптических уравнений общего вида A3.1) проведем
следующим образом: покажем, что некоторые комбинации производных
решений являются обобщенными субрешениями линейных эллиптических
уравнений дивергентного вида. Требуемая оценка Гёльдера в этом случае
получается из слабых неравенств Харнака (теоремы 8.18 и 8.26).
Предположим, что коэффициенты я'7 и Ь оператора Q принадлежат
соответственно CJ(fiXRX R") и С0 (О, X R X R'1). Пусть Qu = 0 в Г2.
Предположим сначала, что и G С3(Г2). Дифференцируя по хк, к - 1,..., п,
получаем уравнение
aif(x, и, Du)Dkiiu + Dp ai;(x, и, Du)Dlku • Difu +
+ 8kaiJ(x, и, Du)Difu+Dkb(x, и, Du) = 0, A3.15)
где Ьк — дифференциальный оператор, определенный равенством
8kg(x, z, р) = DXfcg(x, z, р) + pkDzg(x, z, p).
Уравнение A3.13) можно записать в дивергентном виде:
+ фра*> - Dpail)Dlku • Difu +
- bt^Dkiu +Dkb = 0. A3.16)
Обозначим v = \Du\2. Умножим уравнение A3.16) на Dku и.просумми-
и.просуммируем получающиеся уравнения по к от 1 до п. Получим
~ацВк1и • Dkju + -Diia^DjV) + ~ (Dpail - Ораа)Оци - Dtv +
1
+ Dku- 8ка1'Пци- -8;а11П^+Пк(ЬПки)-ЬАи = 0. A3.17)
Определим функции
w = wr = 7A-«+»> A3.18)
где 7^Rj r = l,...,n. Объединяя A3.16) и A3.17), приходим к уравне-
уравнению
-2aifDkiu • Dkju +Di(aiiDjW + BДы + 76 ir)b) +
[BDku + у8кг)дка*' - 2bbif] Dtju -
A3Л9)
298

Обозначим
fr\x) = BД- u(x) ,
75*0 M*' -
Запишем уравнение |13.19) в интегральном виде:
f t(a%w +fi)D? + Bа*>Ък<и .Dkfu -a? Dif
- bif'Difu)i}dx = 0 (ф3.2(Х)
для всех f € Co (Л). Мы утверждаем, что интегральное тождество A3.20)
остается справедливым для решений уравнения A3.1) из С2.(?1)- Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим последовательность функций {wm} С С3A2),
приближающих функцию и в метрике С2 A2). Это значит, чщ йоЬледова-
тельность [D^um } сходится к D*u равномерно на компактных подмно-
подмножествах п при всех 1131 < 2. Так как Qu-О в ?2, то Qum -> 0 равномерно
на компактных подмножествах 12. Поэтому, переходя к пределу т -> °° в
интегральном тождестве A3.20) для ит, приходим к тождеству A3.20)
для и. Отметим, что аналогичные аппроксимационные рассуждения пока-
показывают, что в действительности достаточно предполагать, что и ? COflA2) П
П И/2'2(Г2).
В дальнейшем нам потребуется в A3.20) убрать слагаемые, содержа-
содержащие DfjU. Так как оператор Q эллиптичен, то
aifDkiu • Dklu >\\D2u\2>0,
где X = \(х, и(х)у Du(x)). Из A3.20) с помощью неравенства Шварца полу-
получаем:
S (aiiDjw+fir)D?dx<
j W A3.21)
какова бы ни была неотрицательная функция f ? Со A2). Чтобы осущест-
осуществить сведение к линейной теории, заменим f в A3.21) на f • e2xu>, где
X=sup(l+X-22|0/'|2). Пусть
299

Тогда
ifi A3.22)
для всех неотрицательных функций f Е С<}(Г2), т.е. функция w удовлетво-
удовлетворяет неравенству
Lw^D^DjW)^ -Q + Dj1) A3.23)
в обобщенном смысле. Заменяя, если это необходимо, область ?2 ее под-
подобластью, мы можем предполагать, что оператор L строго эллиптичен
в 12 и что коэффициенты aij, fl и ^ограничены.
Пусть у — положительное число. Введем функции w* = ±yDru + v. Пока-
Покажем, что из выполнения неравенства A3.23) при всех достаточно больших
7ЕКиг=1,...,и, следует оценка Гёльдера производных D,ut г = 1,...
...,«. Выбирая у достаточно большим, мы можем добиться того, что функ-
функции w* ведут себя в определенном смысле так же, как и функции ±D,u.
Оказывается, что достаточно взять у = ЮпМ, где М = sup|/)w|. Выберем
у таким образом. Тогда если 6 — произвольное подмножество ?2, а г та-
таково, что
oscDru > oscDjii, i = 1,..., п,
то, как легко видеть,
SnMoscDrU < oscw* < 12nM- oscDru. A3.24)
ев в
Записывая для краткости и>* в виде w± и полагая W± = supw*, имеем
в
inf 2 (W± - wr)> \0nM(mvDrU - infDru) +
§ +,- 6 6
1
+ 2infy- 2snpv> 6nM- oscDru> — osc w . A3.25)
G 6 6 2 6
Теперь мы можем применить слабое неравенство Харнака (теорема 8.18).
Пусть ®= 2?4лО0 с ^- Функции м = W± - w± являются неотрицательными
суперрешениями в ® уравнения
Поэтому, взяв числа Х^ и цк так, что
HK>\aif(x,z,p)\ + \DPkaif(x,zfp)\ +
+ \D2aij\x, z,p)\ + \DXkaij\x, z,p)\ + \b(x, z,p)\ A3.26)
для всех х E Г2, | z | + | p | < K, i, /, к = 1,..., n, и полагая р = 1 в теоре-
теореме 8.18, получаем оценку
R-n j (И/* ~w±)dJC<C(H/±-supw*+a(^)), A3.27)
где С = С(л, АГ, Маг/Ха:), А: = |t/ |1;Л и а(/^) = Л +Д2. Используя A3.25),
300

получаем, что или для w+, или для w~ справедливо неравенство
1 - -- * ^ 1
> — osc w .
4
Предположим, что это неравенство имеет место для w+. Тогда из A3.27)
имеем
osc w+ < C(W* - sup w+ + a(R)) <
< C(osc vv+ - oscvv* + a(R)).
B4R BR
Поэтому, обозначив co(R) = osc w+, получаем неравенство
где
7=1 -С, С=С{п,К,цк/кк).
Нам потребуется теперь следующее обобщение леммы 8.23.
Лемма 13.5. Яусгь с^,..., coNi coj,..., cjn - неубывающие неотри-
неотрицательные на интервале @, #о) функции такие, что для каждого R<Rq
имеется функция €5Г, удовлетворяющая неравенствам
=l,...,iV, A3.28)
где а ~ неубывающая функция, 65>0w0<7> 6<1. Тогда для любого
/и G @,1) и любого R<RQ выполняется неравенство
^o +a(^M/?i*"M)}, A3.29)
где С - C(/V, 50, 5, 7) и а = <x(N, 60, 5, 7» М) ~ положительные постоянные,
а со0 - max со/(Л0)«
1*1 JV
Доказательство леммы 13.5 аналогично доказательству леммы 8.23
и поэтому опускается. Если мы теперь возьмем произвольный вложенный
в П шар Во = ^0(v), то из леммы 13.5 для N - 2п, 50 s 8лЛ/, 5 = 1/4
и д= 1/2 следует, что для любого Я <R0, i = 1,..., п,
osc D(u< CRa, A3.30)
О0
где С г C(/i, i:, MjcAa:» ^o), « в «(«, К MicAic). Следовательно, мы полу-
получили требуемую внутреннюю оценку.
Теорема 13.6. Пусть функция и Е С2 (?1) удовлетворяет уравнению
Qu - 0 в п, оператор Q эллиптичен в п, коэффициенты aiJ G
€ С1 (Я X R X Rn), Ь € С°(П X R X Rn). Тогда в произвольной области
301

12' CC ?1 имеет место оценка
[Dt4]a;U> <€<*"«, A3.31)
где С = Qn, К, МагЛа:, diamft), Я - |Mli;n. ^ = dist(nf, ЭП) и
13.4. Уравнения общего вида; граничная оценка
Предположим теперь, что оператор Q эллиптичен в ?2, а его коэффициен-
коэффициенты я1"', b принадлежат Cl(UXRX Rn) и С°(й XRXR") соответственно.
Пусть ЭФ^С2. Предположим, что и = <р на dft, где <р € С2 (Я). Заменяя
« на и - <р, мы можем без ограничения общности предполагать, что и = О
на Э?2. Кроме того, если % — открытое подмножество п и замена х*+у -
= i/>(x) является заменой независимых переменных класса С2 D1% то для
% имеем
Qu =akl(x, ut Du) ~ -Dy.yM +
Ъхк Ъхг
+ aiJ(x,u,Du) —— Dy u+b(x,u,Du). A3.32)
Следовательно, уравнение Qu = 0, рассматриваемое в %, преобразуется
в уравнение Qv = 0 в ^(%), где у = м о i/r1, а оператор Q удовлетворяет
тем же условиям, что и Q. Таким образом, достаточно рассмотреть уравне-
уравнение A3.1) в окрестности плоского куска границы. Пусть D - открытое
множество в R" такое, что D+ = D П О С R? ={ х G R" |дсл > 0} и Z) П
П Э12 С dR+. Определим функции v nw следующим образом:
и-1
^ r= 1, — ,w — 1, 7GR. A3.33)
Ясно, что w = 0 на D П ЭЯ и что функция w удовлетворяет уравнению
A3.20), в котором суммирование по к производится от 1 до п — 1. В этом
случае
a~liDkiu • Dkju > X 2 \Difu \2.
Отсутствующая здесь частная производная Dnnu оценивается с помощью
уравнения A3.1), если его записать в виде
п,п)
Подставляя A3.34) в A3.20) и поступая так же, как и в предыдущем раз-
разделе, мы приходим к интегральному неравенству A3.22), в котором
п заменяется на Z)+, а функции х и g заменяются соответственно на
функции
p
302

Рассматривая шары с центром в у &D П ЭП, применяя вместо внутреннего
неравенства Харнака (теорема 8.18) слабое граничное неравенство Харнака
(теорема 8.26) и повторяя доказательство, изложенное в предыдущем
разделе, получим граничную оценку Гёльдера для тангенциальных произ-
производных и. Таким образом, для любого шара Во = BRo (у) С D с центром
Э?2 и для любого R^R0 имеет место оценка
osc Diu<CR°L, /=1,...,/!-1. A3.35)
D*OBR(y)
где С=С(п,К, М*Да,Ло), А'=|м|1;п и а = а(л, А', цк/\к)>0.
Переход от оценки A3,35) к оценке оставшейся производной Dnu ана-
аналогичен соответствующему шагу для уравнений дивергентного вида, опи-
описанному в разделе 13.1. Пусть D' СС Д d = dist(/)' П D+, dD), j€/)+n
П/)', R<d/39 B2r -B2Riy), ti?Cq(R2r) и пусть с ~ постоянная, равная
inf w, если B2r С Z)+, и равная 0; если i?2# Г\Ъ?1Фф. Если функция w за-
дана равенством A333), то функция f = i?2(w — с)+ = 172 sup(w - с, 0) не-
неотрицательна и принадлежит Н^Ф*)- Подставляя f в интегральное не-
неравенство A3.22) для п = D+, получаем неравенство
/ v2\Dw\2dx<C f (ч2 +\Dn\2(w-cJ)dx,
где С = С(п, К, икГ^к)- Далее возьмем функцию т? удовлетворяющей усло-
условиям: 0<т?<1,т?=1 в BR=BR(y) n\Dr)\< 2/R. Тогда, обозначив мно-
множество {xEBR | w(x)>c} через 5^, имеем:
fr<CKw-2(K2 + sup (w-cf)<
B
<CRn~2(R2 + (osc wJ) <CRw~2+2a A3.36)
в силу A3.30) и A3.35), где С = С(п, К, цк/\к$ d) и а = а(л, К, к/к)
Полагая 7 = 0 и у = 1 в A3.31), приходим при B2r CZ>+ (в этом случае
Br -Br =D* C\Br) к неравенству
/ {DDru\2dx<2 f (\Dv |2 + |Z)w|2)dbc<CR'|-2+2a,
D+HBr D+HBr
г=1,...,л-1. A3.37)
Если B2R Г\ЪпФф, то полагаем в A3.36) 7 = 0, ±1 • Вновь получаем оцен-
оценку A3.37), поскольку в каждой точке D' П BR по крайней мере одна из
функций w± = ±Dru + v неотрицательна. Следовательно,
/ \DiJu\2dx<CRn-2+2a A3.38)
D+HBr
для любой точки у G D* П /)+ и любого R <d/3, если только /=^«. Учиты-
303

вая A3.34), видим, что оценка A3.38) справедлива также и для t = / = п.
Следовательно, по теореме 7.19
где С = С(п, К, Mjt/Xjt, d) и ol = а (я, К, м^Ла:) > 0- Наконец, возвращаясь
к исходной области Я и исходному граничному значению <р, получаем
основную глобальную оценку Гёльдера, установленную Ладыженской и
Уральцевой. _
Теорема 13.7. Пусть функция и € С2 (п) удовлетворяет уравнению
Qu =_0 в О, оператор Q эллиптичен в ?1, его коэффициенты Д/;_?
еСЧ^ X RX Rn), beC°(UX RX Rw). 7Ъгдаес/ш ЭПеС2, ^€С2(П)
и и-^ на Ъ?1, то имеет место оценка
A3.40)
где
п9 Ф),
Анализ доказательств теорем 13.6 и 13.7 показывает, что оценки
A3.31) и A3,40) остаются справедливыми для иеС°'1(й) П W2a(u)
HipG Й/2'9^), где q > п. В этом случае можно взять Ф = ||<р|| W2,q,ny и
постоянные С и а буду^ зависеть от q.
Кроме того, из рассмотрений этой главы вытекает, что глобальная и
внутреняя оценки Гёльдера могут быть получены как специальный случай
частично внутренней оценки. А именно: предположим, что оператор Q
удовлетворяет условиям теоремы 13.7. Пусть Т — кусок границы д?2,
принадлежащий классу С2 такой, что и, у & C2(?l U Г) и и = <р на Г. Тогда
если Qu = 0 в ?2, то для любой подобласти 12' СС ?2 U Т имеет место
оценка
A3.41)
где
С=С(пшК,цк1\КшТ,Ф,<1)9
d = dist(U\ Ъп-Т)
и
а = <х(п,К,цк/\к,Т)>0.
13.5. Применение к задаче Дирихле
Объединяя результаты теорем 11.4, 13.2, 13.4, 13.7, получаем следую-
следующую фундаментальную теорему существования.
Теорема 13.8. Пусть п- ограниченная область в Кп. Предположим,
что оператор Q эллиптичен в ?2, его коэффициенты я|; G С1 A2 X R X R"),
Ъ е <?*(& X R X R"), 0 < а < 1. Пусть дпеС2>а и<?е С2'а(Г2). Тогда если
304

существует постоянная Mt не зависящая от и и а, такая, что любое реше-
решете класса С2» tt(?2) задачи Дирихле
A3.42J
и = оу на Э?2, 0<а<1,
удовлетворяет оценке
A3.43)
то задаче Дирихле Qu-О в п, и = у на Ъп, разрешима в С2*а(Й), Если
оператор О имеет Дивергентный вид или если п-2,то можно предпола-
гать, чтоаТ1еС*(пХ RX R").
Исследование разрешимости задачи Дирихле теоремой 13,8 сводится к
получению априорной оценки в пространстве С1 (?2) решений соответствую-
соответствующего семейства задач. Предполагая выполненными условия теоремы 13.8,
мы, таким образом, нуждаемся только в осуществлении первых трех
этапов процедуры доказательства существования, описанной в разделе 11.3.
Кроме того, если вместо теоремы 11.4 воспользоваться более общей теоре-
теоремой 11.8, то семейство задач A3.42) в утверждении теоремы 13.8 можно
заменить произвольным семейством вида
A3,44)
на Э12, 0<а<1
удовлетворяющим условиям:
(О Gi=U b(xtz,p;0) = 0;
(ii) операторы Qa эллиптичны в SI при всех о Е [0,1];
(ш)_ коэффициенты aiJ, b достаточно гладкие; например, а**, Ь Е
C1OftXRXR'IX [0,1]).
Примечания
Оценки Гё'льдера теорем 13.1, 13.2, 13.6 и 13.7 получены Ладыженской
и Уральцевой ([145, 146, 147]). Наш метод доказательства теорем 13.6
и 13.7 несколько отличен от метода этих авторов и следует работе [282],
хотя мы используем главную идею сведения к неравенству дивергентного
вида для функции w из A3.33). Заметим, что вместо этого при доказатель-
доказательстве теоремы 13.6 можно воспользоваться слабым неравенством Харнака
(теорема 9.22) (см. [294]). Использования неравенств дивергентного ви-
вида можно избежать также и при доказательстве теоремы 13.7, если восполь-
воспользоваться граничной оценкой Гёльдера градиента, полученной Крыловым
(теорема 9.31) (см. задачу 13.1).
Задача
13.1. Покажите, используя интерполяционное неравенство леммы 6.S2, что внут-
внутренние оценки A3.5), A3.13), A3.31) можно получить в более точном виде
[Du] a,<C(d'l~a sup lul + 1) A3.45)
20. Д. Гилбарг 305

для произвольных областей Л' ее а" с «, где постоянные Си а зависят от тех же
величин, как и ранее, и d = dist(JV, ЪП"). Комбинируя оценку A3.45) с граничной
оценкой (9.68) (подобно тому, как это делается в доказательстве теоремы 8Л9),
получите глобальные оценки A3.10), A3.14), A3.40) для решений меС0>1(Л)п
п С2 (Л). Отметим, что такие глобальные оценки могут быть получены прямо из
имеющихся оценок A3.5), A3.13), A3.31) (см. [295]).
ГЛАВА 14
ГРАНИЧНЫЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА
Анализ доказательства теоремы 11.5 показывает, что для эллиптичес-
эллиптических операторов вида A1.7) или A1-8) разрешимость классической зада-
задачи Дирихле с гладкими данными зависит только от выполнимости второ-
второго этапа процедуры доказательства существования, т.е. от существования
оценки значений градиента на границе. В этой главе мы получим различные
виды условий для общего уравнения
Qu = aij(x, ut Du)Dijii + b(x, и, Du) = 0 A4.1)
в 12 С R", при которых имеет место граничная оценка градиента решений.
Эти условия являются комбинациями структурных условий на оператор Q
и геометрических условий на область 12. Мы увидим, что вопрос об оценке
градиента в теории квазилинейных эллиптических уравнений не является
столь глубоким, как другие вопросы, такие, например, как оценки Гёль-
дера гл. 6 и 13. Получение граничных оценок градиента сводится, благо-
благодаря классическому принципу максимума, к здравому и достаточно
естественному выбору барьерных функций. Тем не менее эти оценки пред-
представляют значительный интерес, так как они оказываются главным факто-
фактором в определении характера разрешимости задачи Дирихле. Это будет
подтверждено в конце главы результатами о неразрешимости.
Используемая далее разновидность метода барьеров является подходя-
подходящей для данной ситуации и представляет собой модификацию идей, встре-
встречавшихся в гл. 2 и 6.
Пусть Q — эллиптический оператор вида
Qu = aiJ(xtDu)Difu + b(xfu,Du), A4.2)
где b(x; z, p) — неубывающая по z функция. Предположим, что функция
и Е С2 (О) П С0 A2) удовлетворяет в 12 уравнению Qu = 0. Предположим,
что в некоторой окрестности JT- JTX точки х0 G Э12 существуют две
функции w* = Wxo ? C2(JTn 12) П Cl(JfC\ й) такие, что выполнены
условия:
(i) ±Qw±<0 в
(и) w *(*<))
(ш) иГ(х) <и(х) < w\xl xGb( JTn 12).
В силу принципа сравнения (теорема 10.1), примененного в области JTD 12,
306

имеем
w"(x) < и(х) < w\x) для всех x
и поэтому на основании (И):
w~(x) - w~(x0) и(х) - и(х0) ^ w\x) -
\х-хо\ \х~-хо\ \х^хо\
Таким образом, нормальные производные функций мг й и в точке jc0,
в предположении их существования, удовлетворяют неравенствам
ЭнГ Ъи bw+
() < — <*о) < — <*о)-
O V
(*о) < <*о) <
OV OV OV
Функции w* назовем верхним и нижним барьерами в точке х0 для опера-
оператора Q и функции и. Их существование для всех точек х0 ? Э?2 и равно-
равномерная ограниченность их градиентов и приводят к требуемой граничной
оценке градиента функции, удовлетворяющей в ?2 уравнению Qu = 0.
Прежде чем приступить к построению барьеров, выведем вспомогатель-
вспомогательную формулу. Пусть, во-первых, / — некоторый интервал в R и пусть
и = ф (у) , где ф G С2{1) ,ф' ФО на /. Тогда для v (x) G / имеем:
Qv = ф'а'%и + ~^- & + *, A4.4)
О)
причем аргументами у функций al^> fkn b являются х, и = ф (v) и Du =
= i//'Du. Пусть и = и + <р, где <р Е С2AГ2). Тогда в точках х € ?2 имеем
Qv = 2м = fl^Dz/U + д|7/>/у(/? + Ъ> A4.5)
причем аргументами у функций а4 и & являются x,u=v + у hDu =Dv +/)</?.
Определив функцию #" формулой
^(х, z, р, q) = aif(xt z, p) (pt - qt) (pj - qf), A4.6)
(x,z,ptq) EflXRXrXR",
убеждаемся, что для преобразованного оператора Q в формуле A4.5) будет
&(х, и, Dv) = ^(х, м, Dw, йф). A4.7)
Хотя формула A4.5) уже была неявно использована в гл. 13 при сведении
к нулевым граничным значениям, явное соотношение A4.7) важно для
дальнейших целей. Как будет видно в этой главе, формулы A4.4) и A4.5)
служат для получения некоторых обобщений структурных условий, не-
необходимых для наших построений барьеров. Мы будем всюду в этой главе
предполагать, что оператор Q эллиптичен в области Г2.
14.1. Общие области
Начнем с построений барьеров для произвольной гладкой области.
Предположим, что область п удовлетворяет условию внешней сферы в
точке х0 G Ьп. Это значит, что существует шар В = BR(x0) такой, что
х0 G В П Г2 = В П ЭГ2. Определим функцию расстояния d(x) = dist (x, ЬВ)
20* 307

и положим w = 4>(d), где ф е С2 [0, °°) и ф' > 0. В силу формулы A4.4)
имеем для любой функции и € С1(п) П С2(п)
- 1 , *"
——-^'Л+Ь+ —— &. A4.8)
При вычислениях и оценках мы использовали равенство.
Difd = |JC-yrs(U-ylaev — <jc# - л)(дс, -7/))-
Предположим теперь, что оператор Q удовлетворяет структурному усло-
условию: существует такая неубывающая функция /i, что
|р|Л + \Ъ\ <ixQz\)& A4.9)
для всех (х, zf р) Е ?1 X R X Rw и | р | > у. (| z | ), Используя условие A4.9)
в неравенстве A4.8), получаем неравенство
Qw < ( ф"!(ф'J + ^)&, A4.10)
если только \р' > /i = /i(M), где и = A + (л — 1)/R)ii, М = sup | w |. Рас-
п
смотрим функцию ф, определенную равенством
ф(О) - - log(l +^d), Л>0, A4Л1>
и окрестность Ж= Ж*о » { х € п \ d(x) < а }, а > 0, точких0. Ясно, что
,/," = „р (ф') 2 в ^ Кроме Т0Г0)
ф(а) * - log(l +*«) = ^» если ка =ерМ - 1, A4.12)
v
и
Л fc волгпп к
¦ *«- тгтйг мг^г - -гв-*»- (МЛЗ)
если fc > ixvtvM. Следовательно, если числа к па выбраны так, что одновре-
одновременно выполняются соотношения
к > циеРМ, ка « е*м - 1, A4.14)
то функция w* = i//(df) является верхним барьером в точке х0 для опера-
оператора Q и функции м, коль скоро w * о на JT П ЭП.
Аналогично функция и>' » -Ф(й) является нижним барьером. Таким
образом, если Qu = 0 в Л, то из A4.3) следует оценка
|/М*о) I < *'@) ¦ мерМ, A4.15)
если в A4.14) имеет место равенство. Поскольку оценки всей этой главы
получаются по существу с помощью аналогичных рассуждений, в которых
поверхность ЪВ заменяется другими поверхностями, ситуацию целесо*
образно проиллюстрировать на рис. 2.
Обобщим теперь оценку A445) на случай ненулевых граничных значе-
значений. Пусть (р G С2 A2). Предположим, что и = у на ЗГ2. Потребуем, чтобы
308

преобразованный оператор, опре-
определяемый равенством A4.5),удо-
A4.5),удовлетворял структурному условию
A4.9). Для этого достаточно, что-
чтобы с некоторой неубывающей фун-
функцией Д~выполнялось неравенство
<U(lz\)f(x,z,p,D<p) A4.16)
для всех (х, z, p) G 12 X R X R"
таких что \р - Dip \ > ~ji(\Jf\).
Так как (используем неравенство
Шварца)
f(x,z,p, q) =
= ai'(x,ztp)(pi-qi)(pj-<
1
> — & - a'qiQj >
A4.17)
Рис. 2
то из структурного условия A4.9) следует A4.16), если только мы вы-
выберем Д~= 4(mA + |</?Ii) + Iv?|2)- Следовательно, будет иметь место оцен-
оценка A4.15), в которой и заменяется на и - </?, а д заменяется на д. Итак,
мы можем утверждать справедливость следующей граничной оценки гра-
градиента. _
Теорема 14.1. Пусть функция и Е С2(?2) П С1 A2) удовлетворяет в
п уравнению Qu = 0 и и = </? на Э?1 Предположим, что область Г2 удовлет-
удовлетворяет равномерному условию внешней сферы и </? G С2(Q,).Пусть выпол-
выполнено структурное условие A4.9). Гогдя справедлива оценка
\Du\ < С на Э12, A4.18)
где С = С(и, ЛГ, м (Д/), Ф, 5), М = sup |м|,Ф=|</?|2;пм$- радиус внеш-
внешней сферы. а
Условие A4.9) часто удобно писать в виде
рЛ, Ъ = 0(?) при | р\ ->«>, A4.19)
причем предельное*поведение по |р| понимается здесь как равномерное
в п X (—ЛГ, iV) для произвольного ЛГ > 0. В частности, если оператор Q
равномерно эллиптичен в 12 X (-N, N) X Rn при любом N > 0у т.е. Л =
= О(Х), и, кроме того, Ь = О(\\р\2), то структурное условие A4.9)
.выполнено.
14.2. Выпуклые области
В этом разделе мы рассмотрим конструкции барьеров, применимых к
выпуклым и равномерно выпуклым областям. Предположим, что об-
область 12 удовлетворяет условию внешней плоскости в точке х0 € Э12. Это
309

значит, что существует гиперплоскость SP такая, что х0 ? 5^ П 12 =#>П_Э12.
Полагая J(x) = dist(x, SP) nw = \p(d)9 для любой функции и € С1 A2) П
ПС2A2), имеем
' ^ == 6+ —т^ ^- A4.20)
(Ф)
(Ф У (Ф)
Поэтому есди Ь = 0(&)» то с некоторой неубывающей функцией у выпол-
выполняется неравенство
|»|</iOz|)& для \p\>ix{\z\). A4.21)
Поэтому применима барьерная техника, описанная в предыдущем разделе,
с постоянными v = IX (М), М = sup | и | .
Итак, мы получили оценку Du(x0) для решения и задачи Дирихле:
Qu = 0 в 12им=ОнаЭ12. Чтобы обобщить этот результат на случай ненуле-
ненулевых граничных значений </?, мы потребуем, чтобы функции AD2<p и Ь были
равны O\W), т.е. чтобы выполнялось неравенство
Л|Я2*1 + |»| <мA^1)^ 04.22)
для | р - D^ | > ju (| z | ), где м — некоторая неубывающая функция. В ито-
итоге мы получаем следующую оценку. _
Теорема 14.2. Пусть функции и, у € С2A2) П С1 A2) удовлетворяют
в п уравнению Qu = 0 м и = </? «а Э12. Предположим, что область п выпук-
выпукла и выполнено структурное условие A4.22). Тогда
\Du\ < С на Э12, A4.23)
где С = С(л,М,/7(Л/), М1;П)> ^ = sup|n|.
Как и в предьщущем разделе, структурное условие A4.22) в условии
теоремы 14.2 может быть заменено условием, не зависящим от гранич-
граничных значений <р. В частности, или из условия
Л = о(&), Ъ = О(&) при \р |-»оо, A4.24)
или из условия
Л, Ь == О(\\р\2) при \р\ -> «> A4.25)
следует справедливость неравенства A4.22) для некоторой функции Д", за-
зависящей от | </? | 2; ю • Первая импликация является следствием неравенст-
неравенства A4.17); вторая импликация следует из неравенства
. f (х, z, р, q) > Х(х, z, р) | р - q |2, (х, z, р, <?) G 12 X R X R" X R"
A4.26)
Итак, мы можем утверждать, что имеет место еледующее_утверждение.
Следствие 14.3. Пусть функция и е С2A2) П С1 A2) удовлетво-
удовлетворяет в 12 уравнению Qu = Oww=<p«fl312. Предположим, что область 12
выпукла и if G С2 A2). Я^сгь выполнено одно из структурных условий
A4.24), A4.25). 7Ъгс)д
|Ои| < С «fl Э12, A4.27)
310

Следствие 14.3 применимо, в частности, к оператору 9К уравнения
минимальных поверхностей:
3Rii = A + I Du\2) Аи ~ Dtu • DjU • Difu. A4.28)
Здесь Х=1,Л=1 + |р|2 (см. гл. 10, примеры (i) и (iii)), и поэтому
граничная оценка градиента для уравнения SRw = 0 имеет место в выпук-
выпуклых областях. Этот результат, точный в случае двух переменных, для
больших размерностей будет усилен в следующем разделе.
Предположим теперь, что область 12 удовлетворяет условию охваты-
охватывающей сферы в точке х0 € Э12: существует шар В = BR (у) Э 12 такой,
что х0 ? ЪВ. Положим d{x) = dist (x, ЪВ) и w = ф(<1). Тогда для любой
функции и е С1(п) П С2(п) имеем
i"
Qw = t'J'Dijd + b ——& <
, t i If
< (^4*) + й+ 4 A429)
< (^4) + й+ 4f A4-29)
где ^"(л:, z, p) = trace [^(jc, 2, p)] = д"(х, z,/?)hT = fi/| p | 2. Послед-
Последнее соотношение получается с помощью равенства
Dyd = -\х-уГ3{\х-у\26„ -(х§-у,)(х,-у/)).
Из A4.29) можно получить теперь граничную оценку градиента, если
функция 2) оценивается или через «/\или через &. Действительно, пусть
\р G С2 A2). Предположим, что существует неубывающая функция д та-
такая, что
I а1*Оцу + * I < - I p ~ D*p\ Sf + M f A4.30)
JR.
для | р - Dy I > д. Будем говорить, что область п равномерно выпукла,
если она в каждой граничной точек удовлетворяет условию охватьюающей
сферы с одним и тем же фиксированным радиусом R. С помощью барье-
барьеров, построенных ранее, доказывается следующая^ценка.
Теорема 14.4. Пусть и, <р Е С2(?2) П С1 A2), функция и удовлетво-
удовлетворяет в 12 уравнению Qu = 0 м ы = <р на Э12. Предположим, что область 12
равномерно выпукла. Пусть выполняется структурное условие A4.30).
7Ьгдд справедлива оценка
\Du\ < С на Э12, A4.31)
где С = С(п,М,Ц(№)9 *.Mi5n).
Ясно, что структурное условие A4.30) с функцией д, зависящей от
I ^ I 2; 12 > следует или из условия
Ь = о(А\р\) + 0(Х|р|2) при |р| -» оо, A4.32)
или из условий
Л = О(\\р\21 \Ь\ <~-^"+ О(Х|р |2) при |р|->~. A4.33)
Поэтому справедливо и такое следствие теоремы 14.4.
311

Следствие 14.5. Пусть функция и € С2(п) П Сг(п) удовлетво-
удовлетворяет в ?1 уравнению Qu - 0 и и = <р на Э?2. Предположим, что область ?1
равномерно выпукла и кр € С2(Л). Пусть выполнено или условие A4.32),
или условие A4.33). Тогда
\Du\<C на Ьп9 A4.34)
где С = С(п,М, Ц(М), М2> *)•
Следствие 14.5 применимо, в частности, к уравнению поверхностей с
заданной средней кривизной
3/2 A4.32)
В этом случае «Г= 1 + (л — 1)A + Ipl 2), и поэтому если Н удовлетво-
удовлетворяет неравенству
IЯ |< (л - 1)/(лД) для | р | > л(| г |), A4.36)
то граничная оценка градиента имеет место для решений уравнения A4.35)
в равномерно выпуклых областях. Для размерностей, превосходящих 2,
этот результат будет усилен в следующем разделе.
Структурное условие A4.32) выполняется, очевидно, при Ъ = 0. В этом
случае следствие 14.5 может быть получено с помощью простой линейной
барьерной функции, поскольку граничное многообразие (Э?2, <р) удовлет-
удовлетворяет условие ограниченности наклона.
Кроме того, если Ь = о(А\р\ ), то для доказательства оценки A4.34)
можно использовать барьер вида w = kd, d = dist (x, Э2?), с достаточно
большим коэффициентом к* Из приведенных выше доказательств видно,
что результаты этого раздела остаются справедливыми и в случае, когда
структурные условия налагаются только в точках лс, принадлежащих неко-
некоторой окрестности границы дп.
Замечание. Слегка модифицируя рассмотрения этого и предыду-
предыдущего разделов, можно получить граничную оценку градиен!а только на
основании локального поведения Э?2. Для удобства сформулируем здесь
результаты такого типа для областей класса С2. Пусть к = к(х0) — наи-
наименьшая из главных кривизн границы Э?2 в точке х0 и пусть v = v(x0) —
внутренняя нормаль к Ьп в точке х0. Предположим, что существует неубы-
неубывающая функция д такая, что для каждой точки х0 & ЭГ2 существует е > 0
такое, что
iJ RXRn A4.37)
при
\х - х0 | < б,
±v
<€ И | р - D$\ > Д
\P-Dy\
Тогда имеет место оценка
\Du\<C на дп, A4.38)
где С = С(п, М, jx(M),x). Если к(х0) > к0 = const для всех точек xQ G
Е Э?2, то неравенство A4.37) может быть нестрогим с постоянной к, за-
замененной на постоянную к0. В качестве иллюстрации возможного типа
312

поведения, рассмотренного здесь, рассмотрим уравнение
Qu = DllLu + A +\D2u\N)D22u = О, N>0. A4.39)
В этом случае граничная оценка градиента будет иметь место для выпук-
выпуклой области 12 и любой <р Е С2A2), если только к(х0) > 0 при v(x0) Ф
Ф (±1,0), т.е. когда кривизна границы Э12 положительна, ислючая, быть
может, точки, в которых касательные параллельны оси х \.
14.3. Условия на кривизны границы
До сих пор в этой главе мы строили барьеры с помощью функции рас-
расстояния до внешней поверхности постоянной кривизны (плоскости или
сферы). Кривизна последних является решающим фактором в определе-
определении структурных условий, накладываемых на оператор Q. С помощью при-
привлечения других внешних поверхностей рассмотренные выше условия
выпуклости могут быть значительно ослаблены в случае числа измерений,
большего 2. Далее предполагаем, что Э12 Е С2. В качестве подходящей
внешней поверхности будем использовать саму границу Э 12. Полагая d(х) -
= dist (х, Э12), в силу леммы 14.16 получаем, что d Е С2(Г), где Г =
= { х Е 12| d(x) < d0 } с некоторым d0 > 0. Следовательно, если w = ф (d),
где ф Е_С2[0, °°) и ф' > 0, то в силу формулы A4.4) для любой функции
иЕС1(П) П С2 A2) имеем
Qw = aif(x , u(x), Dw)Difw + b(xy u(x), Dw)^
iff
= *V'ZV* + b +—— &. A4.40)
Общие результаты этого раздела хорошо иллюстрируются на специаль-
специальном операторе 3ft уравнения минимальных поверхностей. Пусть
а*(х, z, р) = A + | р |2) 5г7 - piPf. A4.41)
В этом случае
a^Dijd = (l+\фt\2)Ad-\ф'\2 Djd- Dfd^Difd = A + | ф'\2) Ad<
A4.42)
(ибо \Dd\ = 1, DidDtjd = 0)
< -{п-\){\+\ф1\2)Н1
в силу леммы 14.17; здесь Н* — средняя кривизна дп в точке у = у(х) G
G 312, ближайшей к лс. Следовательно, если граница дп имеет неотрицатель-
неотрицательную среднюю кривизну всюду, то справедливо неравенство
аналогичное неравенству для выпуклого случая, рассмотренному в преды-
предыдущем разделе. Граничная оценка градиента получается далее так же, как
и впредьщущем разделе, для произвольных граничных значений класса
С2A2), если Ь = 0(|р|2).В следующем разделе мы покажем, что полу-
313

ченный результат для уравнения минимальных поверхностей является
точным. Используя соотношения A4.40) и A4.42), можно получить соот-
соответствующий точный результат и для уравнения поверхностей с заданной
средней кривизной A4.35). Однако сначала рассмотрим общий случай.
Предположим, что коэффициенты оператора Q разложены в сумму так,
что для р Ф 0
aif = Лд'1 + а}&, I, / = 1,..., л,
Ь = \р\-АЪ» + Ьо,
где
аЧ{х,г,р) = аЦ(х,р/\р\)9
Ъ„(х,г,р) = b~(x,z,p/\p\),
*1 0
для всех х Е п }\о\ = 1, | € R", и функция ?«, не возрастает по z. Напри-
Например, в случае оператора SR уравнения минимальных поверхностей можно
взять
al - «,/ - PiPjl\ Р I2, 4 = P/P//IР I2 •
С помощью матрицы [аЦ\ введем обобщенное понятие средней кривизны
следующим образом. А именно: пусть у — точка границы ЭГ2 и пусть *> —
единичный вектор внутренней нормали к Э?2 в точке д>, «!,..., к„_! —
главные кривизны Э?2 в точке ^, a #j, . . . , an_Y, an — диагональные эле-
элементы матрицы [#«], вычисленной в базисе относительно главной коор-
координатной системы с центром в точке у. Определим
Ж±(у) = S <ц(у, ±р) к„ A4.44)
i= 1
Так как д,- > 0, i = 1, . . . , я, то величины #Г~ являются взвешенными
средними кривизн границы Э^2 в точке .у. Для оператора ЗЙ. уравнения
минимальных поверхностей, например, имеем: аг = 1, i = 1, . . . , п — 1,
дп = 0, и следовательно,
!= 1
где Н'(у) — средняя кривизна ЭГ2 в точке;;. Из леммы 14.17 следует,
что кривизны ЗС~ связаны с функцией расстояния d по формуле
ХЧу) = -aJ!(y, ±Dd(y))Di}d(y). A4.45)
Чтобы обобщить полученный выше результат для уравнения минималь-
минимальных поверхностей, предположим, что неравенство
Х+ > МЛ"^) A4.46)
выполняется в каждой точке у Е ЭП. Дополнительно предположим, что
функции al?, boo принадлежат С1 (Г X R X Rn) и что оператор Q удовлетво-
удовлетворяет структурному условию
А,[р\а& Ь0=О(&) при 1р|-*~, *,/=1,...,л, A4.47)
314

т.е. с некоторой неубывающей функцией fi имеем
A + |p|Z|flXl + l*ol<M(UI)& Для lpl>#*(lz|). A4.48)
Рассмотрим сначала случай, когда функция и равна нулю на 812. Тогда,
взяв функцию w такой же, как и выше, имеем
Qw = aif(x, u(x),Dw)Difw + \Dw\- Л(х, и(х),Dw) boo(x, w, Dw) +
+ bo(x,u(x),Dw) =
ЦDa d + b~) + t'a'jDt,d + b0 + 7~- &
в силу A4.4) и A4.43), где
«i Wd + б» = a* (Jt, v)Dijd(x) + ftoc(x, w, v)<
<вЛ' (x. v)иц d{y) + b.(x, 0, i»)<
(в силу леммы 14Л7)
< (аЦ(х, v) - аЦ(у, v))Dij d(y) + Ь„(х, 0, v) - Ъ„{у, 0, p)<
(в силу A4.15) и A4Л6))
<K(L
Здесь у = у (х) - точка на Ъп, ближайшая кх,^ Dd{y) = DJ(x) - внут-
внутренняя единичная нормаль к 812 в точке у, а постоянная К определяется
равенством
Ка?(х,р
К - sup
lX-* A4.49)
Отсюда, используя A4.48), получаем
'+A +|/}2J|)& +
г 1 «Л2
если только \jj'd < 1 и ф' > д, где *> = (А" + 1 + sup | D2^/1) д, ^ = /i(M) и
г
Л/ = sup I u\. Взяв функцию \!/, определенную формулой A4.11), и взяв
г
постоянную к столь большой, чтобы выполнялось неравенство а < d0>
можно добиться того, что функция vv+ = w будет верхним барьером в каж-
каждой точке Ьп для оператора ?? и функции и. Нижний барьер строится ана-
аналогично, если вместо A4.46) добиться выполнения неравенства
Я" > - Ь~(у, и{у\ ~ v) A4.46')
в каждой точке у € Э?2. Следовательно, если выполнены оба неравенства
A4.46) и A4.46') hQu = 0 в 12, то функция и будет удовлетворять оценке
A4.3) в каждой точке х0 е 812. Для получения аналогичных результатов
в случае ненулевых граничных значений у мы потребуем, чтобы функции
315

А, \р\а% и bo были равны 0(!f), т,е. чтобы выполнялись неравенства
Л + \р I 2 14 I + I *>оКUQz |)f для |р - /VI >Д ^ I) A4.50)
с некоторой неубывающей функцией ju. Для преобразованного оператора
Q, определенного формулой A4.5), можно взять
аЦ = д? S-(x,z+<p,p) = bco(x,z9p),
так что условия A4,46) и A4.46') не изменятся. Итак, имеет место сле-
следующая оценка. _ _
Теорема 14.6. Пусть и е С2 A2) П С1 A2), </? е С2 (О) функция и
удовлетворяет в 12 уравнению Qu = 0ми=<р«аЭ12. Предположим, что опе-
оператор Q удовлетворяет структурным условиям A4.43), A4.50) и что в
каждой точке у Е Э О, выполнены неравенства
X+>b»(y,<p(y)9v)9 Я->-Ьоо(у,*(у),-р). A4.51)
Тогда справедлива оценка
\Du \<C на Э12, A4.52)
где С = С(п, М, м(Л/) , 12, К, \ у \ 2. ^ )» JW = sup | и |,.д постоянная К опре-
определяется равенством A4.49), в котором и заменяется на у.
Как и в случае выпуклой области 12, рассмотренном в разделе 14.2,
в предыдущей теореме структурное условие A4.50) можно заменить на
условия, не содержащие граничные значения у. Например, на условие
Л = 0(&), | р | a*i, Ьо = О(&) при | р ! -* ~, A4.53)
или на условие
Л, I р I а%9 Ьо = О{\ | р |2) при | р | -> «>, A4.54)
из которых следует A4.50) с некоторой функцией д, зависящей от | \р |2. п*
В результате получим такое следствие теоремы 14j6. _
Следствие \АП, Пусть и G С2 A2) П С1 A2), <р е С2 (П), функция
и удовлетворяет в 12 уравнению Qu = 0 и и = ф на д?1. Предположим,
дополнительно к A4.43), что выполнено одно из структурных условий
A4.53) или A4.54) и что на Э12 выполнены неравенства A4.51). Тогда
имеет место оценка
\Du\<C на ЬП A4.55)
где С= С(п, М, Д, 12, К, I у |2; п).
Если применить следствие 14.7 к уравнению поверхностей с заданной
средней кривизной
Зйн = п • Я(дс, и) A + | А/12K'2, A4.56)
где ЯЕ С1 A2 X R) иDZH> 0, то получим следующий результат.
Следствие 14,8. Дусть функция и G С2 A2) П С1 A2) является
решением в 12 уравнения A4.35) w и = <^> на Э12, где у ?. С2 A2). Предпо-
Предположим, что средняя кривизна И' границы Э12 удовлетворяет неравенству
1
316
A4.57)

Тогда имеет место оценка
\Du\<C на dft, A4.58)
где
С=С(п,М,П,Нг,\<р\г1а)> Af«sup|i# |, Нх « sup (|Я| + |?>Я|).
а ах (-л/,лг)
Точность утверждения следствия 14.8 будет продемонстрирована в следую-
щем разделе. Отметим, что этот результат может быть получен непосред-
непосредственно, если следовать методу рассмотрения уравнения минимальных
поверхностей.
До сих пор для справедливости результатов этого раздела был необхо-
необходим определенный контроль над поведением максимального собственного
значения Л величинами Ф> & или X. Рассмотрим теперь ситуацию, в кото-
которой такой контроль отсутствует, но в которой для компенсации предпола-
предполагается, что в строгом смысле выполняются неравенства A4.51) всюду на
границе Ьп. Примером такой ситуации является случай в следствии 14.5
со структурным условием A4.32). Далее предполагаем, что в разложении
A4.43) коэффициенты a lJ>\ Ь<*> непрерывны на ЬО, X R X R" и что коэффи-
коэффициенты
а% «о(Л), Ь0=о(\р\А) при |р|-*оо. A4.59)
Пусть функция и & С0 (U) ПС2 (?1) удовлетворяет в Г2 уравнению Qu =
= 0им=<рнаЭ?2, где у Е С2 (?1). Предположим, что всюду на Эй выпол-
выполнены строгие неравенства
яг+>*..ОмЮ'),*0, я^-Мд^Ы,-"). (Н.60)
Рассмотрим сначала случай, когда </? s о. Тогда, полагая w = kdy где к —
некоторая положительная постоянная, имеем
Qw *av(x, u(x)9Dw)Dq w + \Dw \ • А(х, u(x),Dw) • Ь„(х, w, Dw) +
= кЛ(а%(х, Dd) Di} d + b^x, w, Dd)) + kaj[Dv d + bQ
в силу A4.59). Из леммы 14.16, соотношения A4.45) и из того, что функция
Z>oo не убывает по z, следует, что существуют положительные постоянные
X и a <d0 такие, что а*1 (дс, Dd)Dfjd + Ь„ (дс, w,Dd) <- x в окрестности
JT- { х Е П\ d(x) < а}. Следовательно, Qw < Л(- кх + о (к)) < 0 для
достаточно больших к. Отсюда, взяв к столь большим, что будет выполне-
выполнено и неравенство ка > sup I и \, получим, что функция w+ = w является
верхним барьером в каждой точке ЭГ2 для оператора Q и функции и. Ана-
Аналогично функция мГ = — w является соответствующим нижним барьером.
Поэтому для uG С1 (?1) неравенство |?>м|<& будет выполнено на Э?2.
Этот результат автоматически распространяется на ненулевые граничные
значения кр с помощью замены и на и - у и с помощью A4.5). Итак, мы
доказали следующую оценку. _ _
Теорема 14.9.Я^сгь и G С2 (п) ПС1 (ft), <р € С2 (п) .функция и
удовлетворяет в п уравнению Qu =0мм=<рндЭ?2. Предположим, что
317

оператор Q удовлетворяет структурным условиям A4.43), A4.59) и
что выполнены неравенства A4.60) в каждой точке у €Е Ы1. Тогда имеет
место оценка
\Du\<C на ЭГ2, A4.51)
где О С(п, М, аЦ, а% Ьж, Ь&9 ft,1 у |2; п) и Л/= sup t и |.
Зависимость постоянной С в теореме 14.9 от коэффициентов д{/, />0
порождается структурными условиями A4J>9), а зависимость ее от коэф-
коэффициентов ail, boo — их модулями непрсрывносги на Ъп X R X R".
В заключение этого раздела отметим связь полученных здесь результа-
результатов с результатами предыдущих разделов. Если в разложении A4.43) име-
имеем а? = boo =0, то в случае Э?2 ? С2 теорема 14.6 приводит к теореме 14Л.
Хотя» дальнейшие результаты раздела 14.2 о выпуклых областях не явля-
являются частными случаями теорем 14.6 и 14.9, они включаются в более сла-
слабые варианты этих теорем, которые даны в задачах 14.2 и 14.3.
14.4. Результаты о несуществовании
Мы изложим здесь некоторые результаты о неразрешимости, показываю-
показывающие, что многие из условий в теоремах предыдущего раздела не могут быть
заметно ослаблены. Так как класс уравнений, рассматриваемых в этом
разделе, включает уравнения, для которых этапы I и III процедуры дока-
доказательства существования, описанной в гл, 11, были обоснованы ранее, то
неразрешимость задачи Дирихле в этих случаях связана с отсутствием гра-
граничной оценки градиента. В действительности несуществование такой
оценки для этих уравнений может быть показано непосредственно с по-
помощью техники, аналогичной той, которая используется далее. Основным
инструментом излагаемого метода получения результатов о неразреши-
неразрешимости является следующий вариант принципа сравнения, теорема 10.1.
Теорема 14.10. Пусть п - ограниченная область в Rn, Г - откры-
открытый кусок Э?2 класса С1. Пусть Q- эллиптический оператор вида A4.2)
и пусть функции и?С°(п) П С2 (П и Г), v G С0 (п) П С2 (п) удовлет-
удовлетворяют неравенствам Qu > Qv в ?1, и <v на Ьп ~ Г и равенству bvjbv =
= - <*> на Г. Тогда u<v ей.
Доказательство.В силу теоремы 10.1 имеем sup(w - v ) <
а
<sup (и - и)+. Так как на Г
г
Э Ъи bv
{и - v) = = °°,
Эр Ър Ър
то функция м- и не достигает максимального значения на Г. Следователь-
Следовательно, и <и на п. D
Чтобы использовать теоремы 14.10, зафиксируем точку у G Э?2, числа
5 = diam?2, 0 < а < 6/2 и рассмотрим функцию w, определенную равен-
равенством
w(x) = m +ф(г), г=\х-у\,
318

где /w?R,a функция ф G С2 (а, 8) такова, что ф(8) = 0, ф' <0, ф' (а) =
= __ оо. Используя A4.8), получаем для м€С2A2), г>а\
Qw = aif(x, м(х),Dw)Dif w + b(x, u(x),Dw) =
г (ФУ
причем аргументами у величин $'= trace [я17*], ^*=^/|р|2, & и ^ яв-
являются х, w (дс), Dw. Подберем функцию ф таким образом, чтобы в облас-
области Й = { дс G ?21 г >jfl, | и (х) | > Л/ } , где М - некоторая постоянная, выпол-
выполнялось неравенство Qw < 0. Если это сделано, то, учитьюая, что Qu = 0 в
Л,по теореме 14.10 получим неравенство
sup и<М + т + ф(а), A4.63)
где JH = sup м*. Оценку A4.63) можно рассматривать как предвари-
эп в()
тельную.
Рассмотрим два различных случая,
(i) Пусть сначала
Ь<-\р\е& A4.64)
для х €: ?lt\z \> M, \p\>L, где М, L и 0 - положительные постоянные.
Тогда, полагая
ф(г) = KL(8- of - (г - дУ*], A4.65)
где /3_= 0/A + 0^hATGR, для достаточно большого значения К получаем,
что Qw < 0 в 12. Следовательно, в рассматриваемом случае имеет место
оценка A4.63).
(ii) Пусть теперь
Z><0, ?<д(^-&*Iр|1-0 A4.66)
для х е ?2, \z\> M, \р\ > 0, где д, 0 иМ- положительные постоянные.
Тогда, взяв
j3
имеем в Г2
=(-) /(log-) Л и /»=1/A+в), A4.67)
7T-j?<0.
Вновь получается оценка A4.63). Заметим, что функция определенная
равенством A4.67), удовлетворяет равенству lim ф(г) = 0.
Предположим, что область ?2 удовлетворяет условию внутренней сфе-
сферы в^ точке у. Это значит, что существует шар В = BR(x0) С 12 такой, что
В П Э12. Рассмотрим функцию w*, определенную равенством
>*(х) = т* +х(г), г=\х-хо\, A4.68)
319

где т* е R, а функция х € С2 (О, R — е), О < е < R, такова, что х@) - О,
х' > 0 и х' (R - е) = оо. В силу A4.62) для г > 0 имеем
A4.69)
Наложим теперь более сильное, нежели A4.64), условие, а именно пред-
предположим, что
^ , 0<R'<R, A4.70)
R
Win х Е ?2, | z | > Af, \p\> L. Тогда, полагая
М0 0), A4.71)
для достаточно больших А', ползучим, что в области
Я={хеП\ \x-yKR, Д'<|х-хо1<Д-е,
выполняется неравенство Q w* < 0. Следовательно, в силу теоремы 14.10
<0, A4.72)
где т* = sup w. Объединяя оценки A4Л2) и A4.63) для случая
a-R —Rr n устремляя е к нулю, в итоге получаем оценку
A4.73)
где постоянная К зависит от б и L и от т = sup w. Оценка A4.73)
показывает, что на Ъп значения функции и не могут задаваться произволь-
произвольным образом. Так как рассуждения, проведенные выше, могут быть повто-
повторены с заменой «на - w, структурное условие A4.70) можно ослабить и
потребовать, чтобы
1*1>-~-*" + 1р1*& A4.74)
R
для х Е 12, \z\> M, \p\> L. Таким образом, нами доказан следующий
результат о неразрешимости.
Теорема 14.11. Пусть ?2 - ограниченная область в R" Предположим,
что оператор Q удовлетворяет структурному условию A4.74), в котором
R'~ радикс наибольшего шара, вложенного в п. Тогда существует функция
кр G С°°(р.)такая,что задача Дирихле Qu = 0 в ?2, w = <р на Э?2неразрешима.
Теорема 14Л1 показывает, что результаты обеих теорем 14.1 и 14.4
точны в том смысле, что величины &, ф в структурных условиях A4.9),
A4.30) не могут быть заменены на|р|д&,|р|^?*с некоторым в > 0
(даже если оператор Q является лапласианом!). Кроме того, в следствии
14.5 нельзя не заменить A4.32) условием Ь = О(Л|р|) при |pl-*°°, ни за-
заменить во втором неравенстве в A4.33) \\р |2 на Х|рг+д с некоторым
в >0.
320

Продемонстрируем в случае (ii), рассмотренном выше, необходимость
геометрических условий раздела 14.3, Предположим, что выполнено раз-
разложение A4.43) с функцией &«,, не зависящей от z, и с непрерывными
на Э?2 X R X R" функциями д?, &«>. Пусть выполнено структурное усло-
условие A4.59). Дополнительно предположим, что оператор Q удовлетворяет
структурным условиям
b<0, &<iiA\p\1-e A4.75)
для х € ?2, | z | > М, | р | > О, где /i, 0 и Л/ — положительные постоянные.
Легко проверить, что из условий A4.43), A4.59), A4.75) вытекает спра-
справедливость условий A4.66) для х € 12, М < | z | <M, pGR"c некоторой
постоянной Л/ и постоянной /I, отличной, быть может, от постоянной в
A4.75). Кроме этого, поскольку из A4.75) следует, в силу классическо-
классического принципа максимума (теорема 3.1), что
sup и <М + зир и, A4.76)
а ъп
то мы можем считать далее, что неравенство A4.66) применимы в П+ =
= {x€fi| и(х)>0} и что в ?2* величины из A4.59) оцениваются через
sup и. Предположим теперь, что ЭО, € С2 и что
ЛГ-GХ-МЛ-К7)), A4.77)
где функция X" определена в (i4.44), a v — единичная внутренняя нор-
нормаль к ЪО. в точке у. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям
доказательства теоремы 14.11, при этом сфера с центром у заменяется на
другую поверхность второго порядка. Действительно, из условия A4.77)
следует, что для достаточно малого а существует поверхность S второго
порядка, касающаяся Э?2 в точке у и такая, что:
(i) S однозначно проецируется на касательную в точке j> плоскость;
(и)* ПВа(у)Сп;
(ш) кривизна JC поверхности S, CfC§ , удовлетворяет неравенству
, и A4.78)
с некоторым т? > 0. Рассмотрим функцию w*9 определенную равенством
w(x) = m*+x(d), tf = diam(x, S), A4.79)
где т* € R, а функция х € С2 (е, а), 0 < е < а, такова, что хBя) = 0, х <
<0, х' (е ) = - °°. В силу A4.40) в области
П={хёЯ| iJC-j^ |<a, e<d<a, u(x)>M)
имеем
(в силу A459) и A4.78))
<х'Л(г?+оA)+А1ХхГ2""в)
21. Д. Гилбарг 321

в силу A4.75). Полагая
X(d) = К [Bа - ef - (d - ef], _ A4.80)
где 0 = 0/A+0), для достаточно больших К получаем в п неравенство
Qw* < 0. Следовательно, в силу теоремы 14.10 получаем
supw<Af + w*+x(e)<3f + m*+^B^, A4.81)
а
где т* = sup и. Объединяя оценки A4Я1), A4.63) и устремляя
I х-у\ =а
е ->0, в итоге получаем оценку
и(у) < 2М + т + ф(а) + KBaf, A4.82)
где функция ф определена формулой A4.67) и т = sup и. Оценка
Ъ П-Ва (у)
A4.82) вновь показывает, что на Э?2 нельзя функцию и задавать произ-
произвольным образом. Точность теоремы 14.6 демонстрирует следующий ре-
результат о неразрешимости.
Теорема 14.12. Пусть 12 - ограниченная область в Rn класса С2.
Предположим, что оператор Q удовлетворяет структурным условиям
A4.43), A4.59) и A4.75). Тогда если в некоторой точке у € Э?2 выпол-
выполнено неравенство
A4.83)
то существует функция у € С°° (?1) такая, что задача Дирихле Qu = 0 в ?1,
и = у наЪп, неразрешима.
Заменив в предыдущих рассмотрениях и на — и, мы получим аналогич-
аналогичный результат, но при этом неравенство A4.83) заменяется на неравенство
A4.84)
а в структурном условии A4,75) Ъ заменяется на -6. Итак, если в A4.76)
М = 0, то можно брать sup |</?|сколь угодно малым. В частности, для
эп
уравнения поверхностей с заданной средней кривизной A4.56),в котором
#(х, г) = Н(х), получаем следующий результат.
Следствие 14.13. Пусть ?1 - ограниченная область в Rn класса С2.
Предположим, что в некоторой точке у € Ъп средняя кривизна Н* грани-
границы Ъ п такова, что
> A4.85)
п — I
где функция #€ С°(п)или неположительна, или неотрицательна в п. Тог-
Тогда для любого е > 0 существует функция у ? С°°(?2) такая, что sup | у \ < е
и задача Дирихле Qu = 0 в ?1, и = ^надп, неразрешима.
Объединяя следствия 14.8 и 14.13 с проведенным ранее исследованием
разрешимости для специального случая A1.7) в разделе 11.3, получаем
следующий точный критерий Дженкинса и Серрина разрешимости уравне-
уравнения минимальных поверхностей [82].
322

Теорема 14.14. Пусть ?1 - ограниченная область в Rn класса С2*7,
О < 7 < ! • Тогда задача Дирихле®*и = 0 в ?2, и = \р на 3S2, разрешима для
произвольной функции <р € С2 *у (О,) тогда и только тогда, когда средняя
кривизна Н1 границы Ъ п неотрицательна в любой точке Э?2.
Уравнение поверхностей с заданной средней кривизной будет изучаться
в гл. 16. Отметим здесь, что в теореме 14.12 условие независимости Ь*>
от z может быть отброшено. Поэтому условие A4.85) в следствии 14.13
можно заменить условием
H
Н\у)< sup -H—\H(y,z)\ A4.86)
zG R /l-l
(см. задачу 14.5). Представляет интерес сравнить результаты этого разде-
раздела с теоремами существования раздела 15.5 из следующей главы.
14.5. Оценки модуля непрерывности
Барьеры, построенные в разделах 14.1, 14.2 и 14.3, могут быть исполь-
использованы для получения оценок граничных модулей непрерывности для ре-
решений уравнения A4.1) класса С°(?2)ПС2(?2). В частности, отметим,
что если в условиях любых теорем об оценке градиента из этих разделов
мы предположим, что и принадлежит лишь С°(?2)П С2(?2), то вместо
оценки sup | Du | получим оценку величины
за
\и(х)-и(у)\
sup .
х е to \х -у |
у е bto
Кроме того, оценка граничного модуля непрерывности может быть полу-
получена и в случае, когда у G С°(д?2). Чтобы показать это, зафиксируем точ-
ку у € дО, и для любого е > 0 определим число 5 > 0 такое, что выполняет-
выполняется неравенство |<р(х)-<р(у)\<епри всех х> удовлетворяющих неравенст-
неравенству \х -у \<д. Определим функции </>*, принадлежащие С2A2), равенст-
равенствами
2g"PM U - у I2) • A4.87)
Ясно, что на Э12 выполнены неравенства
Следовательно, если оператор Q и функции </>* удовлетворяют произволь-
произвольному набору условий, при котором имеет место какая-либо оценка из раз-
разделов 14.1,14.2 и 14.3, то
<р~ + w~ < и < у* + w* A4.88)
в J/Y\ П, где w* - соответствующие барьерные функции, a JT - некоторая
окрестность точки у. Так как во всех наших предыдущих конструкциях
21* 323

барьеров мы имели равенство w* = - w~ = w, то из A4.88) следует, что
2 sup I <p |
(*)+ —-2 \х~У\2 (Н.89)
в JTC\ П. Мы можем, следовательно, доказать справедливость следующего
утверждения. __
Теорема 14.15. Пусть и, у € С°(?2)П С2(п), функция и удовлетво-
удовлетворяет в п уравнению Qu-Ou и =<р на Ъп. Предположим, что оператор Q
и область ?1 удовлетворяют структурным и геометрическим условиям
или теоремы 14Л, следствия 14.3, следствия 14.5, следствия 14.7, или тео-
теоремы 14.9. Тогда модуль непрерывности функции и на Ьп может быть
оценен через модуль непрерывности функции у надпу sup | tp |, sup | и |, ?2
и коэффициенты оператора Q. ъп п
14.6. Приложение: граничные кривизны и функция расстояния
Пусть п — область в Rw, имеющая непустую границу дп .Функцией
расстояния d называется функция
tf(x) = dist(;t,8ft). A4.90)
Докажем, что функция d равномерно непрерывна по Липшицу. Пусть
х9 ySRn. Выберем точку z € Э п такую, что | у - z \ = d( у). Тогда
d(x)<\x-z\ <\x-y
Отсюда, меняя местами х и у, получаем неравенство
\d(x)-d(y)\<\x-y\. A4.91)
Пусть Э?2?С2. Дпя точки у€Ъ?1 через v(y) и Т(у) обозначим внут-
внутреннюю нормаль к 312в точке у и соответственно касательную плоскость
к дп в точке у. Кривизны Э?2 в точке у0 ?Ъ?1 определяются следующим
образом. Поворотом координат мы можем добиться того, что м-я коор-
динатная ось будет иметь направление, совпадающее с направлением v(y0) .
В некоторой окрестности JT= jV*(j;0) точки у о граница Э?2 имеет тогда
уравнение видах,, = <р(х'), где х1 = {хх, . . . , хп _х), у € С2 (Т (уа) П Ж)
nD{p{yo)= 0. Кривизна 912 в точке у0 огшсьшается через ортогональные
инварианты матрицы Гессе [D2y], вычисленной в точке у'о. Собственные
значения матрицы [D2(p(yb)] обозначим через кг,..., к„_ г. Они назы-
называются главными кривизнами дп в точке у0. Соответствующие им собст-
собственные векторы определяют так называемые главные направления Э ?1
в точке ^о • Средняя кривизна 912 в точке у0 определяется равенством
1 ^ . A4.92)
2*/
/2-1 Я - 1
С помощью последующего вращения координат мы можем добиться того,
что координатные оси:*!,... ,дся_1 будут направлены вдоль главных на-
направлений, соответствующих главным кривизнам к1э..., кп_1 в точ-
точке у о. Такая координатная система называется главной координатной систе-
системой с центром у0. Матрица Гессе [D2ip(y'0)\B главной координатной систе-
324

ме, соответствующей точке у0, имеет диагональный вид
PV(^)] = diag[/c1,..., /сЛ_х]. A4.93)
Единичный внутренний вектор нормали ^(У) = v(y) в каждой точке
\ 'У) e *^*п Э ?2 определяется по формулам
j (И.94)
Следовательно, в главной системе координат с центром у0 имеем
DjMyi) = - М//, /,/= 1 п-1. A4.95)
Для jti > 0 определим Гм = { х Е ?2 | d(x) < д}. В следующей лемме устанав-
устанавливается свзяь между порядками гладкости функции расстояния d на Гм
и границы Э п.
Лемма 14.16. Пусть область О. ограничена, д?1€Ск, к>2. Тогда
существует положительная постоянная д, зависщая от п, такая, что
Доказательство. Из условий, наложенных на область ?2, следу-
следует, что граница д?1 удовлетворяет равномерному условию внутренней
сферы, т.е. для каждой точки у0 Е Э?2 существует шар В, зависящий
от ^о» такой, что В П (R" — ?2) = у0 и радиусы шаров В ограничены снизу
положительной постоянной, которую мы и обозначим через jjl. Нетрудно
показать, что числом д ограничиваются главные кривизны Э12. Итак,
для каждой точки хЕГм существует единственная точкам -у(х) Е Э?2 та-
такая, что \х -у | = d(x). Точки х и у связаны соотношением
х= y + p(y)d. A4.96)
Покажем, что эти соотношения определяют у и d как функции от х клас-
класса Ск ~1. Дня фиксированной точки лс0 Е Гм найдем точку у0 =у(х0) и вве-
введем главную координатную систему в точке у0. Определим преобразова-
преобразование^ = (g1,... ign): % = (Т(у0) ПЛГ(у0)) XR-^Rn равенством
Ясно, что ?€С*-1($0, а матрица Якоби g в точке (.уо , d(x)) имеет
диагональный вид
=diag[l - KlCf,...,l- кЯм1й,1]. A4.97)
Якобиан g в точке (y'o9d(xo)) равен
A4.98)
и положителен, так как d(xo)<M- Следовательно, в силу теоремы о неяв-
неявной функции, в некоторой окрестности JC = JC(x0) отображение у' принад-
принадлежит Сл(^).Из A4.96) следует,чтоDd{x) = v(y(x)) = v{y\x)) E
325

SCk l(Jt) для xSJC. Поэтому d € Ск(Ж) и, следовательно, d €
€ С*(ГМ).П
Выражение для матрицы Гессе функции d в точках вблизи Э ?2 следует
непосредственно из доказательства леммы 14.16.
Лемма 14.17. Пусть область ?1 и число ц удовлетворяют условиям
леммы 14.16. Пусть точки х0 € Гм и у0 € ЪО, таковы, что \х0 - у0 | =
= d(x0). Тогда в главной координатной системе с центром у0 имеет место
равенство
[D2d(x0)] = diag [ -^-,..., '*""' ,0 ] . A4.99)
L 1 - Kxd I - Kn_xd J
Доказательство. Так как Dd(x) = p(yo) = @, 0, #. . . , 1), то
Ал^(*о) = О, /= 1,... ,/г. Чтобы вычислить другие производные, запишем
для /, / = 1,..., п — 1 равенства
если г=]9
учитывая A4.95) и A4.97). ?
Заметим, что утверждение леммы 14.17 геометрически очевидно: сопри-
соприкасающиеся окружности главных сечений поверхности Э О в точке у0
и соприкасающиеся окружности главных сечений в точке х0 параллельной
Э?2 поверхности, проходящей через точку х0, являются концентричес-
концентрическими.
Средняя кривизна. Получим выражение для средней кривизны поверх-
поверхности ©класса С2. Пусть у0 € ©. Предположим, что в окрестности Жточ-
ки у о поверхность ® задана уравнением ф(х) = 0, где ф € С2 (JT) и \Иф \ >
> 0 в ЛГ, Единичная нормаль к © в точке yS&HJT (направленная в об-
область положительных значений функции ф) определяется формулой
р = Оф/\Пф |. A4.100)
Пусть &!,...,?„_! — главные кривизны ©в точке у0. Тогда в главной
системе координат с центром v0 выполняются равенства
^(Р,ф/\Оф |)= -Ki6th U 1 = 1, • • •,п - 1,
Dt(Dn ф/\йф |) = 0, 1=1 л. A4.101)
Отсюда следует, что собственные значения матрицы [Д(/>/ ф/ \Вф\)]в точ-
точке у о в исходной системе координат равны —К1,...,—кя_1, и поэтому
средняя кривизна © в точке у0 определяется по формуле
= - —1—(d
н{уо) = - —1—(d§ [т^тгП? * A4Л02)
В частности, если поверхность ©является графиком в Rw + 1 функции п
326

переменных и € С2(?2), т.е. ® определяется уравнением
то средняя кривизна ® в точке х0 € ?2 вычисляется по формуле
#(*о)= -Ы ^ 1) ¦ 04.103)
Поверхность ® назьюается минимальной поверхностью в п, если Н(х0) =
= 0 для всех х0 € Q,.
Заметим, что из формулы A4.101) следует формула для суммы квад-
квадратов главных кривизн к\,..., кп _ i в точке дг0:
%г = 2 /c?(jco)= 2 DtVjDjViixo), A4.104)
/=i /,/=i
где
Наконец, гауссова кривизна поверхности ® в точке jc0 определяется фор-
формулой
п detD2u
= П /c/ = det[A^] . A4.105)
/i 7 (l |Z)|2/w+2>/2
Примечания
Большинство основных идей рассмотренных выше методов получения
граничных оценок градиента содержались уже в ранних работах Бернштей-
на об уравнениях с двумя переменными [25—30]. Именно Бернштейн
для аналогичных целей ввел вспомогательные функции, такие как функ-
функция i/f в A4.4), а также рассмотрел вопросы неразрешимости. Работы
Бершптейна для двух переменных были продолжены Лере [158], который
рассмотрел также связь между разрешимостью задачи Дирихле в об-
области п и геометрической природой ее границы Э?2. Финн показал, что
выпуклость является необходимым и достаточным условием разреши-
разрешимости задачи Дирихле для уравнения минимальных поверхностей с двумя
переменными [304], [306].
Первые заметные результаты для уравнений с более чем двумя пере-
переменными были получены Дженкинсом и Серрином [82] (см. теорему
14.14) и Бакельманом [22], [23]. Общая теория, охватьюающая много ин-
интересных случаев, была развита Серрином [263], см. результаты разде-
разделов 14.3 и 14.4. При изложении раздела 14.3 мы использовали некоторые
упрощения, принадлежащие Трудингеру [286].
Задачи
14.1. Пусть в условиях теоремы 14.6 величины alo, boo не зависят от х и у s 0.
Покажите, что оценка A4.52) остается справедливой, даже если опустить условие
A4.50) для Л.
327

14.2. Пусть коэффициент Ъ оператора Q раскладывается в соответствии с A4.43).
Покажите, что утверждение теоремы 14.6 остается справедливым, если alj = 0 в
A4.50) и если неравенства A4.51) заменить на неравенства
к(у)> ±bao(y,*p(y),±v), A4.106)
где к (у) - минимальная главная кривизна Э П в точке у.
14.3. Пусть только коэффициент Ъ оператора Q разложен в соответствии с A4.43).
Покажите, что результат теоремы 14.9 остается справедливым, если а$ = 0 в A4.59)
и если A4.60) заменить на условие.
K(y)>±boo(y,<p(y)t±i>). A4.107)
14.4. Покажите, что результаты задач 14.2 и 14.3 могут быть уточнены, если мак-
максимальное собственное значение Л заменить на слеДс^Г. Сравните соответствующие
результаты с утверждением теоремы 14.5.
14.5. Докажите утверждение, сформулированное в конце раздела 14.4 (см. [263]).
ГЛАВА 15
ГЛОБАЛЬНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ОЦЕНКИ ГРАДИЕНТА
В этой главе мы будем в основном заниматься получением априорных
оценок градиентов решений класса С2 (?2) квазилинейных эллиптических
уравнений вида
Qu=aij\xtu,Du)DijU+b(x,u,Du) = O A5.1)
через значения градиента на границе дп и через значения самого решения.
Получающиеся оценки нужны для осуществления этапа III процедуры до-
доказательства разрешимости, описанной в разделе 11.3. В комбинации с
оценками глав 10, 13 и 14 они приводят к теоремам существования для
широкого класса квазилинейных эллиптических уравнений, включающе-
включающего равномерно эллиптические уравнения и уравнения типа уравнения по-
поверхностей с заданной средней кривизной A0.7). Так как методы этой
главы используют дифференцирование уравнения A5.1), будут вводить-
вводиться структурные условия и на производные коэффициентов alJ\ b. В разде-
разделе 15.4 мы покажем, что эти условия о производных могут быть определен-
определенным образом ослаблены для уравнений дивергентного вида, при изучении
которых используются другие методы.
В этой главе мы рассмотрим также и получение априорных внутренних
оценок градиента. Такого рода оценки приводят к теоремам существова-
существования для задачи Дирихле в предположении только непрерьшности гранич-
граничных значений. Внутренние оценки градиента для уравнений типа уравне-
уравнения поверхностей с заданной средней кривизной будут рассматриваться
в гл. 16.
328

15.1. Принцип максимума для градиента
Начнем с оценки градиента при относительно простых условиях, чтобы
проиллюстрировать технику, используемую в следующем разделе. Пред-
Предположим, что старшие коэффициенты оператора Q можно записать в виде
(Р (х, z, р) = аЧ (р) + - (р§ cf (x, z, p) + а (х, z, р)р; }, A5.2)
где аЧ е С1 (R"), с, € С1 (?2 X R X R"), i\ / = 1,..., л, а матрица [4]
неотрицательна. Укажем примеры уравнений, старшие коэффициенты ко-
которых допускают такое представление.
(i) если оператор Q эллиптичен и его старшие коэффициенты зависят
только от р, то, очевидно, можно взять аЧ = aiJ и С/ = 0;
(ii) уравнение Эйлера — Лагранжа, соответствующее кратному интег-
интегралу
fF(x,u,\Du\)dx A5.3)
п
с функцией Fе С2 A2 X R X R), DtF?^0t t=\p\, имеет вид
Аи +{(\ Du \DttFlDtF) - 1} \Du\~2DiuDjuDijU +
+ (\Du\2DtzF + DiUDtx.F- \Du\DzF)/DtF±0. A5.4)
В этом случае представление A5.2) имеет место, если взять
в предположении, что С/ € С1 A2 X R X Rw), / = 1,..., п;
(Hi) в частном случае двух переменных всегда можно представить
*<*=($¦_ ?*M'/ + i (Ptdj+diPj), A5.5)
где
?"« trace [^J=eM +й22,
При /2 = 2, таким образом, уравнение A5.1) эквивалентно уравнению
b* =0, A5.6)
где с, = dil(J- &*), Z>* = Z>/(f- &•). Представление A5.2) для урав-
уравнения A5.6) имеет место с аЧ = б'7.
Основная идея используемого нами метода получения оценок градиен-
градиента, восходящая к работам Бернштейна [25], состоит в следующем: урав-
уравнение A5.1) дифференцируется по переменным Хц, к = 1,..., п, получаю-
получающиеся уравнения умножаются на Dku и суммируются по к; в итоговом
уравнении используется принцип максимума для функции v = |Z>m|2.
329

Используя A5.2), мы можем записать уравнение A5Л) в виде
a*Jфи)Вци + - с,(х, ut Du)Dtv + b(x, и, Du) = 0.
Предполагая, что решение и € С3 A2), и дифференцируя по xki получим
уравнение:
- {ctDik
Умножим его на Dku и просуммируем получающиеся уравнения по к:
Dfk и + aiJDij v +
Pi DPtb +Dk uDk cdDfV* 28bv = 0; A5.7)
здесь 6 — дифференциальный оператор, определенный на функциях из
С1 (п X R X R") и имеющий вид
6=Dx + \p\-2PiDXi. A5.8)
Далее, применив следствие неравенства Шварца вида
аЦDikuDjk и >(ai>Dij иJ/trace [аЦ] =
= (Ь + Йс,/}/и)аЛгасе [а^], A5.9)
получаем неравенство
а^Diiv^BiDiv>2{b2lSFi)t -vdb), A5.10)
где 31 = trace [e^] и
Bt = DPiallDxlu +DPib +DkuDkct -2&1Ь
Ьсг SF
Поэтому, если выполняется неравенство
\p\28b<b2/&. A5.11)
в 12 X R X Rw, то из классического принципа максимума, теорема 3.1,
непосредственно получаем, что sup и = sup и. Чтобы обобщить этот ре-
зультат на решения класса С2 A2), запишем уравнение A5.7) в дивер-
дивергентном виде
- 2аЦ Dik и • Dfk и + Df {aiiDi v) +
+ фр.ах1Вци- Dfaij' +Dku- Dkct)DtV +
+ 2Dk (bDk u) - 2 Aub = 0.
Соответствующее ему интегральное тождество имеет вид
2/ v^*Dik и • Djk udx + / (flr^Z)/ v + 2bDiu)Di'qdx -
- / {(Рр.аУОци- Djaij +DkuDkсл)О{и)п<!х + / 26т? • Audx = 0
n ' n A5.12)
330

для всех т? е Со A2) (см. уравнение A3.17)). С помощью аппроксима-
аппроксимации, так же, как в разделе 13.3, показываем, что уравнение A5.12) ос-
остается справедливым для и ? С2 A2). Интегрируя слагаемое ]lbr\Ludx
а
по частям и поступая далее так же, как мы* это делали для решений клас-
класса С3 A2), приходим к неравенству
f A5.13)
где у 6С1 A2). Равенство sup v = sup v следует тогда из принципа мак-
симума (теорема 8.1).
Итак, мы доказали следующий принцип максимума дня градиента.
Теорема 15.1. Пусть функция и G С2 A2) П С1 A2) удовлетворяет
уравнению A5.1) в ограниченной области 12. Предположим, что опера-
оператор Q эллиптичен в 12, а его коэффициенты удовлетворяют A5.2) и A5.11).
Тогда имеет место равенство
sup|Z>M| = sup|Z>M|. A5.14)
Из проведенного доказательства следует, что достаточно, чтобы усло-
условия A5.2) и A5.11) (см. формулировку теоремы 15.1) выполнялись
только при | z | < sup | и |. Кроме того, если эти условия имеют место при
п
\р | > L с некоторой постоянной Z,, то вместо A5.14) получается оценка
sup \Du | <max {sup \Du |,Z,}. A5.15)
Оценка A5.15) получается с помощью применения теоремы 15.1 в облас-
области 12L ={ х G 1211 Du | > L }.
Отметим, что когда теорема 15.1 применяется к примерам (ii) и (ш),
в которых аг1 =Sij, то условие A5.11) имеет вид
\р\28Ь<Ь2/п. A5.16)
В частности, принцип максимума градиента имеет место при Ь = 0.
15.2. Общий случай
Техника, применяемая в этом разделе, по существу является развитием
техники предыдущего раздела и использует вспомогательные функции.
Предположим сначала, что функция и является решением в 12 класса
С A2) уравнения A5.1). Обозначим: m = infw, M = supw. Пусть ф -
п _п
строго возрастающая функция, принадлежащая С3 [т, М], где m = ф (т),
М = ф(М). По функции и определим функцию п равенством и = ф(п~).
Имеем:
Dtu = 1//'Дг7, Dtj и = ^'DiuDjTi + фЪцп.
Поэтому (см. также A4.4))
i//Vy (х, м, Du)Dij п +2> (*, w,Z)w)+ —— ? (х, м, Z)w) = 0. A5.17)
(Ф )
331

Пусть v = \Du |2, у = \Du |2. Применим операторDk uDk к уравнению
A5.17). Получим
Иш, - - l if
-aJDikuDiku + - alJDtjV +
2
+ ТГ2 U'Dpa«DuU +Dpb + -— Dp.i\D,v+ A5.18)
/ "
ф'8а''О
+8b+
(Ф)
Ф" ( Ф
"
Ввведем дифференциальный оператор 6, определенный на функциях
С1 (п X R X R") и равный
«"-Р/Ау A5.19)
Пусть
о = Ф"КФ'J е С1 [/?i,M]. A5.20)
Учитывая соотношения
получаем следующее уравнение:
-aifDikUDjku + — а*!Пцг) + - (ф'Dp.aikDjkU +Dp.b
*' +8aif)Di,U +
A5.21)
Уравнение A5.21) можно объединить с уравнением A5.17). Возьмем в
качестве г и s произвольные скалярные функции на fl X R X R" и приба-
прибавим к уравнению A5.21) уравнение A5.17), умноженное на v (со(г + 1) +
+ s). Получим:
-aifDijUDjkU + - aifDifv +
+ - WDp.aikDjkU +Dp.b + b>DPi&)DtV +
+ r + l)ef/ + F + s)aif')Difu +
|u" = 0. A5.22)
332

Удобно старшие коэффициенты ai} представить в виде
[PtCj{xtf p) i{,tp)pi]y A5.23)
где a*j, Cj G С1 (п X R X (Rn - {0} )), а матрица [afj] симметрична и по-
положительно определена. Ясно, что представление A5.2) с положительно
определенной матрицей [a'J] является частным случаем, представления
A5.23). Кроме того, старшие коэффициенты произвольного эллипти-
эллиптического операт9ра всегда могут быть записаны в виде A5.23), если прос-
просто положить a*J = а*?, с,- = 0. Действительно, выбор нетривиальных с{ для
предстоящего применения к равномерно эллиптическим уравнениям не да-
дает никакого выиграша. Однако для уравнения минимальных поверхностей
представление вида A5.23) с матрицей [а*{]9 пропорциональной единич-
единичной матрице, играет решающую роль при получении глобальных оценок
градиента.
Подставим соотношение A5.23) в уравнение A5.22). Получим:
—{ \p'DPiafkDjku ~ ^CjDiju +v[coE +r +
+ Dp.b + wDp.&} Dtv+ i//'ir[(o(
W = 0. A5.24)
+ 17
Оцениваем по неравенству Коши G.6) :
ф'и [ы(8 + г + 1)jj/ + E + 8)аЦ]Ъцп
S' |2 2|[(б
<a$DikuDfkU + ~ 2|[co(
4\ф
где \ш - минимальное собственное значение матрицы [аЦ]. Отсюда, под-
подставляя в A5.24), приходим, наконец, к неравенству
A5.25)
с коэффициентами Вг и G, определенными равенствами
A5.26)
333

где
Ц2|(
4Х,
'J]), A5.27)
/
Чтобы получить глобальную оценку градиента решения и, выберем функ-
функции ф, г и s так, чтобы при достаточно большом значении L выполнялись
неравенства:
G<0 для хеп и \Du(x)\>L. A5.28)
Если выполнено A5.28), то из слабого принципа максимума, теорема 3.1,
следует, что
supiT = supF, (пь = { х€п\ \Du(x) \>L)
и, следовательно,
Г Г max ii/'l )
sup|Z>M|<max г sup|D«|,L . A5.29)
п { [ min ф J ьп )
Сделаем следующее замечание: оценка A5.29) имеет место, если реше-
решение и предполагается принадлежащим только С2 (Г2). В этом случае урав-
уравнение A5.18) остается справедливым в слабой форме:
/ riaifDtkuDjkudx + — /a^DfVDjr)dx +
n 2 n
+ ~ / \D,aVDtV - j~ {$>'DPia>kDiku +Dp.b + b>DPi&)Dtv}r\dx-
[ со' \
- f WbaijDtju +5Z>-co(Z> + co&)+ — Ш^ = 0 A5.30)
fit # J
для всех г? > 0, г? G C<J (Г2) (см. раздел 13.3 или 14.1). Применяя такие
же рассуждения, что и ранее для случая и G С3 A2), из A5.30) выводим
слабую форму неравенства A5.25), а именно
f{aifDiVDj"n + (Dja"' - B^DtUri - 2G&vri}dx <0 A5.31)
?2
для всех неотрицательных функций i) E Со (?2). Оценка A529) следует
тогда из слабого принципа максимума, теорема 8,1,
Перечислим теперь условия на коэффициенты оператора Q, обеспечи-
обеспечивающие выполнение неравенства A528) для некоторых ф9 г и s. Чтобы
обеспечить ограниченность сверху величин а, /? и у3 введем следующие
334

структурные условия:
_ __ ' * ' A532)
5а, ба, E +r)z>, E+s)z><0(a) при ipi-*°°.
Предельное поведение понимается здесь как равномерное для (х, z) G
€ Я X [т, Л/]. Определим числа
a,b,c= lim sup a,0,7- A5.33)
jpj-^oo ?l X [т, М)
В этом слзгчае неравенство A5.28) следует из дифференциального нера-
неравенства Риккати
X'(z) +ax2{?) + bx(z) +c + е<0, A5.34)
выполняющегося на отрезке [т, М] с некоторым положительным чис-
числом €- Чтобы получить из решения х этого неравенства вспомогатель-
вспомогательную функцию фу воспользуемся соотношением х = <*> ° ^-1* Заметим,
что неравенство A534) может не иметь решения при произвольных а,
b и Су если величина osc и = М - т не является достаточно малой (см. за-
дачу 15.1). Однако неравенство имеет решение, когда или а < 0, с < О,
или b < — 2 VI яс I • Рассмотрим два важных слзгчая а < 0, с < 0 (случай
b < ~ 2 vT^Tоставляем читателю, см. задачу 15.2), Мы упростим вычис-
вычисления, полагая <p(z) = ф* о ^Г1 (z). Тогда если функция х удовлетворяет
неравенству A5.34), то функцию у можно определить из уравнения
(i) а < 0. Если выполняется строгое неравенство а < 0 и если е выб-
выбрано так, что с + б > 0, то квадратное уравнение дх2 +?х+с + е=0 имеет
положительный вещественный корень х = к- Если взять х = ^» то неравен-
неравенство A534) будет выполнено. Следовательно, (log<p)' = к и поэтому
Если же д = 0,то неравенство A534) имеет место для функции
. е2(| ъ\ + е) {M-z)
\Ь\+с
В этом случае
<p(z) = ехр { - •
(ii) с < 0. Если с < 0, мы можем взять *р (z) = eK2 с некоторой постоян-
постоянной к > 0, как и в случае (i). Если с = 0, то неравенство A534) удов-
удовлетворяется для достаточно малых значений €, если взять х(?) =
т-т- _. *--|д|+|?|+1#В эТОМ(
1
335

Отметим, что в рассмотренных выше случаях функция *р монотонно
возрастает, и следовательно, в оценке A529) имеем: max ф* = <р(М)9
min ф' = <р (т).
Итогом этого раздела является следующая теорема. _
Теорема 15.2. Пусть функция uG С2 A2) П С1 A2) удовлетворяет
уравнению A5,1) в ограниченной области п. Предположим, что оператор
Q эллиптичен в п и что существуют скалярные множители г и s такие,
что выполнены структурные условия A532) вместе или с условием а <0,
или с условием с < 0 (числа а и с определены в A5 21) и A5 33)). Тогда
справедлива оценка
sup \Du\<C A535)
п
с постоянной С, зависящей от величин, входящих в A532), от osc и и
а
sup \Du\,
ъп
Проиллюстрируем теорему 152 на некоторых важных частных случаях.
(i) Равномерно эллиптические уравнения. Если оператор Q равномерно
эллиптичен в п, Tje. еслиaij = О(Х) при \р\-*°° и Ъ = О(&) =О(Х|р|2)
при |р| ->°°,то условия A532), в которых д? -аг\сг = 0,r =s =0,часто
относят к так называемым естественным условиям (см. [147]). Если мы
немного усилим эти условия, требуя, чтобы
при 1р|-*~, A536)
то с < 0, и, следовательно, решения класса С2 (?2) уравнения Qw = о удов-
удовлетворяют априорной оценке градиента. В следующем разделе мы пока-
покажем, что ограничение A536) не является необходимым.
(И) Уравнение поверхностей с заданной средней кривизной. Записав
уравнение A0.7) в виде
D; U DfU 1 г-
-АЦ^СЮ-\/1+1Дц12=0, A537)
где #? С1 (Я), мы можем взять
**=«* <* = -Р//О+1р1а), г=-1 и s =
и,осуществив вычисления, получить:
Поэтому
Отсюда, в силу случая а < 0 теоремы 15.2, следует глобальная оценка
градиента решений класса С2 (Л). В частности, с помощью оценки A5.29)
получается оценка
sup | Du ! < сх + с2п - sup | H\ + c3 sup | Du I • ехр(с4л sup I Z)#| • osc м),
A5.38)
где сь с2, с3 и с4 — постоянные.
336

(Ш) Уравнения, у которых а}[ = 6/у. В предыдущем разделе мы виде-
видели, что если уравнение A5Л) является уравнением Эйлера-Лагранжа
для кратного интеграла вида A5.3) или если размерность п равна 2, то
можно взять а*{ = 5 * . Используя A5.27), получим в этом случае
-Ь-—^ ?—, A5.39)
& 2 &
1 s2 \p\2
E+s)&+
7 Es)&.
Полагая r = — 1, s = 0,имеем:
1 - 1 1
a=—F-l)&, 0 = — [5&+E -1)Z>], 7 = — 56.
& & &•
Отметим,что те же самые формулы_имеют место в случае, когда alj (p) =
= а * (р/\ РI)»^к как в этом случае 5 а*1! = 0,
153. Внутренние оценки градиента
Внутренняя оценка градиента для решений класса С2 A2) уравнения
A5Л) может быть также получена из уравнения A5,24). Пусть В =
= Вц(у) j- шар, строго вложенный в ?2, и пусть tj — функция, принадлежа-
принадлежащая С2(^) такая, что 0 <t? <1 в В, т? = 0наЭД т?О>) = 1ит?>0в& Типич-
Типичным примером такой функции, используемой далее, является функция
т?(х) = A-и-д;|2/Л2А 0>1. A5.40)
Рассмотрим функцию w, определенную равенством
w = rju". _
Ясно, что w G С1 (В), w (.у) = Т)(у), w = 0 на 92? и что производное функ-
функции н> вычисляются по формулам
Подчеркнем, что для обеспечения существования вторых производных
DtjW мы требуем, чтобы и G С3 (Л). Это ограничение может быть,однако,
снято, если воспользоваться слабой формой уравнения A5.24). Умножим
уравнение A5.24) на г\. Учитывая,что w = т?и, получаем уравнение
- т? в У/)/* ttZ)/fc м + - a^ w + - \Вг aifD; n) Dt w +
2 2 \ т? /
+ ф'w[co(8 + r + 1) + E + $)] a^ м +
+F
1 .. 1 }
-~ atJDif r?-— BtDi 17 w = 0,
Z17 ^^? '
aDir\Df r\ aJDif r?BtDi 17 w = 0, A5.41)
22. Д. Гилбарг 337

где функции Bf определены в A526). В этом месте введем дальнейшие
скалярные множители Г/, i = 1,..., п. Если Г/, / = 1,,..,п, — произвольные
скалярные функции, определенные на ?1 X R X R", то, используя уравнение
A5.17) и обозначая df = DPi, можем записать,что
(б"+г+1) + F + 5+1)] с*
(Э/ + U) b + со(Э/ + tt) a =
+ tda'?Dfk U -
2t?
+ tt)
(*)
+ (Э/
2t?
w + v [coE + r + 1) +
+ E + s + 1)] с* + (Э/ + tt) b + co(d, + rf) a.
Следовательно,после подстановки в уравнение A5.41) получим
п + -
w + - 5/Dt w +
+ i|/'w[coE + r + 1) + E + 5) + (d +1)] aflDif и +
со'
со
—7-a + со2E
+6+S
V
~2П
v
+E
где
2rj
Dirt
A5.42)
A5.43)
s 2 .. и
Вместо неравенства A525) приходим к неравенству
a*JDij w+BiDiW + 2G&w > О,
в котором функция G определяется равенством
- СО' ~2?
G = —г + о: со + |3со + 7 ,
A5.44)
A5.45)
338

и
а-а,
2т?
2т?
Если не существует специальных соотношений между функцией т? и коэф-
коэффициентами оператора Q, то мы потребуем выполнения дополнительных
структурных условий, обеспечивающих тот факт, что коэффициенты 0 и у
ведут себя так же, как коэффициенты 0 и у. Поэтому, дополнительно к
структурным условиям A5.32), предположим, что выполнены условия
при | р |
\р\2вА, \p\9(di + ti)&9 \p \e(biг + f,) Z> = <?(&) при \р |->°°, A5.47)
) при Ipl^oo
для if /, к = 1, ,. . , n, и некоторого числа 0 > 0. Как и в A5,32), предель-
предельное поведение понимается равномерным для (х, г) G П X (т, М),
Используя A5,47) и функцию г?, определенную равенством A5.40)
с постоянной ($ = 2/в, мы можем тогда (для достаточно больших значений
\Du |) оценить:
С|?>т?!
r,\Du\e
где постоянная С зависит от п и величин из A5,32) и A5.47). Поэтому,
применив рассуждения, аналогичные рассуждениям предыдущего раздела,
получим, вместо A5,24), оценку
lft*(jOl<C(l +Я~х/в1 A5.48)
22* 339

предполагая, что или я < О, с < О, & < — 2 >/^c, или величина osc и мень-
ше некоторой постоянной, зависящей от а, Ъ, с. Кроме того, можно, оче-
очевидно, заменить шар В = BR (у) произвольным шаром, пересекающимся
с ?2 . В итоге получим, что в любой точке у ? ?2 справедлива аналогичная
оценка с постоянной С, зависящей дополнительно и от sup \Du \ > От-
эп п в
метим, что если вместо A5Л8) использовать A5.30), то предыдущие
рассмотрения применимы к решениям класса С2(П). Итак, справедли-
справедлива следующая оценка.
Теорема 15.3. Пусть функция и € С2 (?2) удовлетворяет уравне-
уравнению A5 Л) в области ?2, Предположим, что оператор Q эллиптичен в ?2 и
что существуют скалярные множители г, s, tif i = 1, . . . , п, такие, что
выполнены структурные условия A5.32) и Q5.47). Тогда если выполне-
выполнено любое из условий: я < 0, с < 0, &<— 2 у/ас, {числа а, Ъ, с определены
в A527) и A533)), то справедлива оценка
\Du(y)\<C(l+R-lle) A5.49)
в любой точке у Е S2 и любом шаре В = BR (у) с постоянной С, зависящей
от величины из A5 32), A5.47), от osc и и sup I Du\ * Для произ-
вп а в п ьп
вольных а, Ь, с оценка A5.49) имеет место для достаточно малого R в
зависимости от а, Ь, с и от модуля непрерывности функции и в точке у.
При выполнении естественных условий для равномерно эллиптических
уравнений оценки модуля непрерывности их решений (и, следовательно,
оценка градиента) следуют из результатов раздела 9Л. Справедлива следую-
следующая оценка, которая в определенном смысле обобщает замечание 9.25.
Лемма 15.4./7усгь функция и? И/2>и(?2) удовлетворяете ?1 неравен-
неравенству
\Lu\<\(j*q \Du\2 +/), A5.50)
оператор L, определенный равенством Lu = а**Щи, удовлетворяет (9.47),
число м о ^ R и функция f € L п (?2 ). Тогда для любого шара Во = BR (у) С
и любого R </?ь справедлива оценка
— ) (oscw +Я И/1я;п), A5.51)
где постоянные С и а зависят от п, А/\и ЦОМ; М=\ и\0- п-
Доказательство. Предположим сначала, что функция и неотри-
неотрицательна и удовлетворяет в 12 неравенству
Lu < \(no\Du\2 +/), A5.52)
где До > 0, /> 0. Положим w=— A ~е~мом). Тогда Lw<f в 12, так что
к функции w применимо слабое неравенство Харнака (теорема 9.22). Так
как и>< и < eMoMvv, то слабое неравенство Харнака (9.48) имеет место и
для функции м, с постоянной С, зависящей дополнительно от у^М. Отсюда
следует оценка Гельдера A5.51). ?
340

Объединяя теорему 15.3 и лемму 15.4, получаем внутреннюю и глобаль-
глобальную оценки градиента при условиях
Л, (д + г + 1)д", (б + s) д", |р Iе (Э* + tk)a*f = О (X),
A5.53)
Ъ, \Р\\Ъ{ + tt)b = О(Х\р\2Х (8 + г)Ъ, (b+s)b <О(Х\р\2)
при | р\ -><«; ^ _ некоторое положительное число.
Теорема 153. Пусть функция и G С2 (п) удовлетворяет уравнению
A5.1) в области ?2. Дусгь оператор Q эллиптичен в ?2 и удовлетворяет
структурным условиям A553) с множителями г, s, /,-, i = 1,... , п. Тогда
в любой точке у G ?2 выполняется неравенство
\Du(y)\ < СA + dyl'e) A5.54)
с постоянной С зависящей от п, величин из A5.53), от \ и \ 0;п йот dy-
=dist(у, Ьп). Если и?С2(?1)ПС1 (?1),то
\Du(y)\ < С, A555)
где постоянная С зависит дополнительно от sup | Du |.
зп
15.4. Уравнения в дивергентной форме
Пусть функция и G С2 (п ) удовлетворяет в области 12 уравнению
в дивергентной форме
Qu = div^l (x, u,Du) + В (х, u,Du) = 0. A5.56)
Как было показано в разделе 13.1, производные Dkи, к = 1,... ,л, удовлет-
удовлетворяют линейным уравнениям дивергентного вида, а именно
kU +fl)DtSdx = 0 VreCj(^), A5.57)
где
F "(x) f Z)py Л '(дс, u (x), Dh (x)),
Д' (x) = 8*4'(x, u (x), Du (x)) + 6*Я (х, u (x), Z)M (*)),
5fc = pfcD2 + DXJc. A5.58)
Предполагаем далее, что оператор Q эллиптичен в следующем смысле:
jVQc.z.p)^ =Пр.А((х,2,р)^ >^(|2|)(l+|p|)MU2 A559)
для всех % G Rw, (x, z, p) G П X R X Rw, где г - некоторое вещественное
число и v — положительная невозрастающая функция, определенная на R.
Глобальная оценка градиента для неравномерно эллиптического операто-
оператора Q может быть получена при дополнительных структурных условиях:
\p\DzA,DxA, B= 0(|р|)A+|р|)г при |р|-*оо. A5.60)
341

Чтобы показать это, положим М = sup | и |, Мх = sup | Du | и применим
а а ^
принцип максимума, теорема 8.16, к уравнению A5.57) в области ?2 =
= {xG п N Dm(x) I >M1/2y/n). Получим:
sup|DfcM| < sup \Dku\ + СB\Л0|т|- 11A + \Du\yTfl \\q A5.61)
\\q
n an
дня q > n,k = 1, ..., n, где С = С (л, у (Jlf), q, \ ?l\). Полагая q = °° и исполь-
используя условия A5.60), в итоге получаем
Мх = sup \Du\ < C(sup|Z)M| + а(Мх)), A5.62)
п эп
где а(г) = o(t) при г ->«>. Следовательно, имеет место априорная оценка
Т е о р е м а 15.6. Пусть функция мЕ С2 (?2 ) удовлетворяет уравнению
A5.56) в ограниченной области ?2. Предположим, что выполнены структур-
структурные условия A5.59), A5.60). Тогда справедлива оценка
sup \Du\ < C(l +.sup, \Du\\ A5.63)
где постоянная С зависит от п, т, v(M) и от величин из A5.60).
Условие A5.60) требует, чтобы коэффициент Ъ в уравнении A5.1)
удовлетворял условию: Ь = о{\ | р |) при | р \ -* °°. Чтобы ослабить это
условие, мы можем или наложить дополнительные условия на матрицу
коэффициентов DpA — такие, как равномерная эллиптичность, или пред-
предположить, что решение и обращается в нуль на границе Э?2 (см. задачи
15.4, 15.5). Заметим, что существование глобальной оценки градиента
приводит, с помощью оценки A5.61), к существованию соответствующих
интегральных оценок для функций A + | Du l)~r/^. Вернемся на этом
этапе к вопросу о получении внутренних оценок градиента для равномерно
эллиптических уравнений, Предположим, что оператор Q равномерно
эллиптичен в!2в следующем смысле:
\DpA(x,z,p)\ < M(|z|)(l + \p\f A5.64)
для всех (х, z, p) G ?1 X R X R", где ju— положительная неубывающая
функция на R. Впредь будем также предполагать, что г > —1; в этом случае
из условий A5.59), A5.64) следует, что
р.'А (х, z,p)-p.A (х, z9 0) > -^— \р\т + \
т + 1
A5.65)
\Ai(xtzfp)-Ai(xfzf0)\ < —A + |pl)r+1, 1=1,...,л
г + 1
Наконец, вместо A5.60) возьмем более общее условие:
g(x,z,p) = (l + \p\)\D2A | + \DXA\ + \B\< At(|z|)(l + |p|)T + 2
A5.66)
342

для всех (х, z, p) G &XRXR".Условия A5.59), A5.64), A5.66) можно
рассматривать как естественные для операторов дивергентного вида. Вы-
Вывод априорной внутренней оценки градиента при этих условиях разобьем
на три шага.
(i) Редукция к оценке в Lp. Заменяем пробную функцию f в A5.57)
на f Dku и суммируем получающиеся уравнения по к. Обозначив v = \ Du\2,
получаем:
/ $JifDikuDikudx + f
n n \2
+ f KflkDikudx = 0.
a
Отсюда с помощью неравенства Юнга G.6) получаем неравенство
/ (JiJDfv + 2Dkufl)DAdx < - /fX-1 ^{flfdx A5.67)
n 2 a
V
для всех неотрицательных f G Cj A2). Полагая W = / A + y/t) T dt, можем
A5.67) записать в виде °
/(^17 + 2D^ifl)Dddx < ^ / fX 2(fiJdx, A5.68)
гдед*7^^17^ + | Du |)~т. К неравенству A5.68) применима внутренняя
оценка для слабых субрешений линейных уравнений (теорема 8.17).
Используя A5.66), получаем в любом шаре B2r =В2я(у) С h upnq>n
оценку
sup v<C{R-"'2 II 17 h>(B2R) + «0+ \Du\Y + ULd\B Л,
где С - С(п, v {M),\i(M), г, G, diam Л), М = sup | и \. Следовательно, для
достаточно большой степени р выполняется неравенство
sup v < C(n, v (М\ IX (М), г, diam П, R ~n J vPdx). A5.69)
BR(y) B2R(y)
(ii) Редукция к оценке Гёлъдера. Нам теперь потребуется слабая форма
уравнения A5.57):
п(и,Ф) = / (Ai(x,u,Du)Diip-B(x,u,Du)ip)dx = 0 Ч<реЦ(П).
п
A5.70)
Из A5.65) следует, что функция А удовлетворяет неравенствам
\A(x,z,p)\<vl(\z\)(l + |p|)r + 1,
A5.71)
p. A(x,f,p)>pl(\z\)\p\r+2-nl(\z\)
343

для (х, z, p) G ?1 X R X Rw, где Дх и vx - положительные неубывающая и
соответственно не возрастающая функции, зависящие от г, м» v и от
sup I А(х, и, 0)|. Подставим в A5.70) пробную функцию </? =
п
= т?2 [и - м(;;)], гдет/G СЦЯ2я)>#2Л =#2*0) с П. Используя A5.66)
и A5.71), получаем
vifv2 \Du \T + 2dx < mi J t?adJC +
n n
+ д /т/2 |m(jc)-m(^)|A
2Ml /I^Dt/I • |ii(x)-iiO0IA + \Du\)T
a
цг f 42dx + 4(ц + Ml)-2rco(^) JVA
n
где со (R) = sup | u(x) - u(y) |. Следовательно, если радиус R выбран
&2R.
столь малым, что со (Л) < ^х2"т/(8(д + дх)), то
< С/(т?2 ^ «(Л)A + | Zte |)T1 Z>t| |а)rfx. A5.72)
где С= С(д, Mi, ^i, г). Заменим теперь функцию т?в A5.72) на функцию
7^@+О/2^ jj > о. Получим оценку
fri2\Du\2(i+T+idx <
С f {\ Du \2^+1\п2 + co(R) A + | Du |)т | Drr |2 ) +
п
0J + 1Jсо(Л) A + | Du |)V»*~М Dv \2}dx. A5.73)
Для оценки последнего слагаемого полученного неравенства возьмем
функцию f = rpvP в неравенстве A5.67). Используя условия A5.59),
A5.64) и A5.66), долучим
fiv f(l + \Du\)rv2v*-l\Dv\2dx <
а
< С JTW+I />"|)W I Яг? 11#u|+(l+| /)ы|)т+3(г?^ 1/^1 +
+ /fyV-! | Dy I) + tj2A + | Dm |)T+V}dx,
где С = С(д, v). Следовательно, применив неравенство Юнга G.6), имеем:
S {\+\Du\)W»*~l\Dv\2dx <
a
< С /A + | Du |J<*+r +2(r?2(l + | Л/ |J + | Z>r? |2 )Лс,
344

где С = С(цу v, 0). Поэтому если величина со (Л) достаточно мала, то после
подстановки в A5.73) получаем:
/i?2(l+|ft«|2'+T+4rfx <
< С / (т?2A + | Du |2«*+1> + | Dn |2A + | Du \)
а
где С = C(ju, i>, 0, г). Заменяя т? на т?B^+т+4)/2 и используя неравенст-
неравенство Юнга G.6), приходим к неравенству
fMl+\Du\)J^T+Adx < С,
п
где С = СAХ,р,1лх, vx,0, т,sup | /)т?| ). В частности,еслит?= 1 в шареBR (у)
и | Z>i? I <2/R,to для любого р> 1
/ (l+\Du\)pdx < С, A5.74)
где С = С(и, ^, ц19 vlt p, r, i?). Объединяя оценки A5.69) и A5.74),
в любом шаре Во = BRo(y) С ?1 и для 0 < а < 1 получаем оценку
\Du(y)\ < С, A5.75)
где C=C(n,T,vin,vlinl,a,[u]0lfy)i a
\и(х)-и(у)\
[и]«>у = s^op u-,1" •
Таким образом, получение внутренней оценки градиента сводится к полу-
получению внутренней оценки Гёльдера для w. Отметим здесь, что для заверше-
завершения доказательства в действительности достаточно иметь оценку модуля
непрерьюности функции и. Кроме того, если структурные условия A5.66)
более ограничительны, например такие: g = о(\р |т) при \р\ -*<», то из
приведенных выше рассмотрений следует внутренняя оценка градиента,
не зависящая от модуля непрерывности м. В этом случае можно также
ослабить требование равномерной эллиптичности оператора Q, а именно
потребовать, чтобы
DPjAl = 0{\р\г + °) при \р\ +оо, /,/=1,...,л,
где о < 1 (см. задачу A5.6).
(ш) Оценка Гёльдера слабых решений уравнения A5.66). Запишем
неравенства A5.71) вместе с условием A5.66) наЯввиде:
\A(x,z,p)\ <aolplw-1 +XW,
p-A(x,z,p) > vQ\p\m-Xm, A5.76)
\B{x,z,p)\ < bo\p\m+Xm,
где m = r + 2> 19 uq, bo, Vq их — положительные постоянные, зависящие,
быть может, от И = sup | и \. Тогда справедлива следующая оценка
Гёльдера.
345

Теорема 15.7. Пусть функция и G С1 (?2) - слабое решение урав-
уравнения A5.66) в области ?2. Предположим, что оператор Qудовлетворяет
структурным условиям A5.76). Тогда в любом шаре Во = BRo(y) С ?2
при любом R < RQ справедлива оценка
osc и < C(l +RoaMQ)Rol> A5.77)
BR(y)
где С = С(п, а0, bQ, vQ, х, Л<ь m, Мо) и а = а(п, а0, bOt vQ, mt Mo) положи-
положительные постоянные, Мо = sup| и |.
в0
Доказательство. Теорема 15.7 может быть доказана по сущест-
существу тем же методом, что и теорема 8.22, или другим методом, описанным
в задаче 8.6. Мы не будем здесь излагать все детали доказательства. Су-
Существенной частью доказательства теоремы 8.22 было использование
слабого неравенства Харнака (теорема 8.18). Полагая k = хС# + RmKm ~ *)),
получаем для неотрицательных слабых решений уравнения A5.56) аналог
слабого неравенства Харнака вида
+Л)> A5'78)
где С = С(л, до, ?о, ^о» ™»Мо, р) и 1 <р < п/(п - т)+. Доказательство не-
неравенства A5.78) может быть осуществлено по образцу доказательства
теоремы 8.18, если в неравенстве Q{ut у) > Овместо (8.48) берется пробная
функция вида у = т?ш п^ • ехр (-Ьоп), /3 < 0, и используется неравен-
неравенство Соболева G.26) с р = m вместо р = 2. Переход от слабого нера-
неравенства Харнака к оценке Гёльдера A5.77) можно осуществить так же,
как в доказательстве теоремы 8.22. Отметим, что случай m > n может
быть получен прямо из неравенства Соболева (теорема 7.17). ?
Объединив теорему 15.7 с оценкой A5.75), в итоге получаем следую-
следующую внутреннюю оценку градиента.
Теорема 15.8. Пусть функция и G С2(?1) удовлетворяет уравне-
уравнению A5.57) в области ?2. Предположим, что выполнены структурные
условия A5.60), A5.64) и A5.66) с постоянной г > -1. Тогда в любой
точке у Е ?2
\Du(y)\ < С, A5.79)
причем постоянная С зависит от величин, п, г, v(M0), ц(М0)9
sup | А(х, и, 0I, Л/(ь MQ/d, где Мо = sup | и |, d= dist(j>, Э?2).
л Bd(y)
Применяя рассуждения, аналогичные рассуждениям доказательства
теоремы 8.29, мы можем из внутренней оценки A7.79) (и глобальной
оценки Липшица, теорема 14.1) вывести следующую глобальную оценку.
Теорема 15.9. Пусть функция и G С2(?2) П С°(й) в ограниченной
области ?1 удовлетворяет уравнению A5.57). Предположим, что выпол-
выполняются структурные условия A5.60), A5.64) и A5.66) с постоянной
т > — 1. Предположим также, что область ?1 удовлетворяет равномерному
условию внешней сферы и что и = <р на Ъп, где у G С2ф,). Тогда
346

справедлива оценка
sup I Z>w | < С A5.80)
n
с постоянной Q зависящей от п, г, v(M), ц(М), s\xp\A(x, и, 0I, Э12,
п
I у I2» где M = sup I и |.
15.5. Избранные теоремы существования
Мы не имеем возможности представить здесь исчерпывающий обзор
теорем существования для классической задачи Дирихле, вытекающих
из результатов глав 10, 13 — 15. Мы опишем лишь часть результатов, иллю-
иллюстрирующих возможности представленной теории.
(i) Равномерно эллиптические уравнения ,общего вида A5.1). Пред-
Предлагаем выполненными структурные условия:
Л 6** = О(Х), &а* = о(Х), Ъ = О(Х \р I2), 8
р |2) (
где |р | -* ©о, равномерно для хЕйи ограниченных z. Тогда в силу тео-
теорем 10.3,13.8,14.1, 15.2 и 15.5 справедлива следующая теорема.
Теорема 15.10. Пусть 12 - ограниченная область в R". Предположим,
что оператор Q эллиптичен в 12, имеет коэффициенты aij\ b G
G Сх(й X R X Rw), удовлетворяющие структурным условиям A5.81)
или A5.53) и условию A0.10) (или A0J6)). Тогда если Ьп G С2»7
и у ? С2 л A2), 0 < 7 < 1» го существует решение и задачи Дирихле Qu = 0
в ?1, и = у на Э?2, ы оно принадлежит С2'7 A2).
В общем случае, если не предполагать в условии теоремы 15.10, что
выполнено условие A0.10) (или A0.36)), то задача Дирихле Qu = 0 в 12,
и = <р на Э12, разрешима, коль скоро семейство решений задач A3.42)
равномерно ограничено в 12. Заметим на основании теоремы 10.10, что
решение единственно, если коэффициенты а** не зависят от z, а коэффи-
коэффициент Ъ удовлетворяет неравенству Dzb < 0. В этом случае условия
да*1 =о(Х), db<o(\ \р |2) в A5.81) выполняютсяв силуусловий
Dxaif = О(Х), Dxb = О(\\р\2у
(ii) Равномерно эллиптические уравнения в дивергентной форме
A5.56). Предполагаем выполненными структурные условия:
\р\т <0(Х), DpA = 0<\рП
\p\DzA,DxA,B = O(\p\T+2) A5*82)
при | р | -*oof равномерно для х G 12 и ограниченных z, с постоянной г > —1.
Тогда, на основании теорем 10.9, 13.8, 14.1 и 15.9, справедлива следую-
следующая теорема.
Теорема 15.11. Пусть 12 - ограниченная область в Rn. Предположим,
что оператор Q эллиптичен в 12, его коэффициенты
Аг € C^nXRXR"), 1 = l,...,w,
В G С7A2ХЯХЯЛ), 0 < у < 1,
347

удовлетворяют структурным условиям A5.82) и условиям теоремы 10.9
при ос = г + 2. Тогда если Э12 € С2*г и у € С2 >у (?1), то существует реше-
решение и задачи Дирихле Qu=Q в 12, и = </? на Э12, и оно принадлежит С2*7 A2).
Для вывода теоремы 15.11 из оценок теорем 10.9, 14.1 и 15.9 рассмот-
рассмотрим в теореме 13.8 семейство задач Дирихле вида
Qau = divioA +(l-a)(l + | Du \2f!2Du) + а? = 0,
A5.83 )
и = оу на Э12, 0 < о < 1.
Отметим, что семейство, определенное в A3.42), не обязательно удовлет-
удовлетворяет условиям теоремы 10.9. Как и выше, если не предполагать, что
выполнены условия специального принципа максимума, такие как теоре-
теорема 10.9, то задача Дирихле Qu = 0 в ?1, и = <р на Э12, будет разрешима,
коль скоро решения соответствующего семейства задач, таких как
A5.83), равномерно ограничены в 12. Заметим, что в силу теоремы 10.7,
если или коэффициенты А не зависят от z, или коэффициент В не зависит
от р и невозрастаетпогдо решение задачи Дирихле Qu = 0 в ?2, и = <р на
Э?2, единственно.
Уравнения вида
Qu = aij(x, u)Djju+b(xt uy Du), A5.84)
у которых aij G С1 A2 X R), можно записать в дивергентном виде A5.57),
причем
А\х, z, р) = aif(x, z) ph
В(х, z, p) = b(x, z, p) -DzaiJ'(x, z)ptpj - Dx.aij{x, z)pf.
Следовательно, используя теоремы 10.3, 13.8, 14.1 и 15.9, приходим к
следующей теореме.
Теорема 15.12. Пусть ?1 - ограниченная область в Rw. Пусть опе-
оператор Q, определенный в A5.84), эллиптичен в ?1, его коэффициенты
aifeCl&XRl Ъ G C7(^XRXRW), 0 < у < 1,
и*Ъ = О(|р |2) при \р | -» оо равномерно для х G ?1 и ограниченных z, и
пусть выполнено условие A0.10) (или A0.36)). Пусть дп G С2*1 и
if ? С2*7 A2). Тогда существует решение и задачи Дирихле Qu = 0 в 12,
и=у надп,и оно принадлежит С2*у A2).
(iii) Неравномерно эллиптические уравнения в общих областях. Пред-
Предположим, что коэффициенты уравнения A5.1) могут быть представле-
представлены в виде A5.23), так что выполняются следующие структурные условия:
\р\а\Ъ =0(?), 6д?" = О(>АД/1р1), ь4 = о(уГКЛ1\р\\
db < О(^), ЬЬ < о(&) A5.85)
при \р\ -> ©о, равномерно для х G 12 и ограниченных z. Тогда, объединяя
результаты теорем 10.3, 13.8, 14.1 и 15.2, получаем следующую теорему.
Теорема^ 15.13. Пусть 12 - ограниченная область в R" коэффициен-
коэффициенты ai], Ь G С1 A2 X R X R") удовлетворяют структурным условиям A5.85)
и условию (ШЛО) (или A0.36)). Пусть Э12 G С2»7 и <р G С2»7A2),
0 < у < L Тогда существует решение и задачи Дирихле Qu = 0 в 12, и = у
на Э12, и оно принадлежит С2 *у A2).
348

Теорема 15.13 является, очевидно, обобщением теоремы 15.10, причем
справедливы замечания, аналогичные замечаниям, сделанным к теоре-
теореме 15.10. Отметим, что при выполнении представления вида A5.2) 5а*1 = 0;
кроме этого, если а*1(р) = a(j\p/\ р |), то также balj = 0.
(iv) Неравномерно эллиптические уравнения в выпуклых областях.
Предположим, что имеет место представление A5.2) и
ЬЪ<О(Ъ21\р\2 ?) (?=traceK']) A5.86)
при \р\ -* °°, равномерно для x?fi и ограниченных z. Тогда из теоре-
теоремы 13.8,15.1 и следствия 14.5 вытекает следующая теорема.
Теорема 15.14. Пусть 12 - равномерно выпуклая область в Rw.
Предположим, что оператор Q эллиптичен в 12, его коэффициенты
а**, Ъ G С1 (О. X R X Rn) удовлетворяют структурным условиям A5.86).
Пусть Э12 G С2»7 uipG С2*7 A2), 0 < у < 1. Тогда если равномерно огра-
ограничено в 12 семейство решений из С2'7 A2) задач
QQu = aif(x, и, Du)DijU + ob(ox + A - о)х0, ои, Du) =0,
и-о^р на Э12, 0 < а < 1,
о - некоторая фиксированная точка области 12, то существует реше-
решение и задачи Дирихле Qu = 0 в О, и = <? на Э?2, м оно принадлежит С2%у (?1).
Для неравномерно эллиптических уравнений дивергентного вида A5.57)
теорема существования получается аналогичным методом, если вместо
теоремы 15.1 воспользоваться теоремой 15.6. Предположим, что коэффи-
коэффициенты А* и В в A5.56) удовлетворяют при некотором г Е R условиям
\р\т < О(Х), \p\DzA, DxAtB = o(\p\T + l) A5.88)
при | р | -*«>, равномерно для х Е 12 и ограниченных z.
Теорема 15Л5. Пусть 12 — равномерно выпуклая область в Rw.
Яисгь оператор Q эллиптичен в 12, в его коэффициенты
A*GС1 '7(Й X RX R"), /= 1 л, ВЕСу(п X RX R"),
0 <т < 1,
удовлетворяют структурным условиям A5.88). Дусп> Э12 G С2'7 м
^ Е С2»7 A2). Тогда если семейство решений класса С2*у A2) здсЫ A3.42)
равномерно ограничено в 12, го существует решение задачи Дирихле
Qu = 0e 12, и-^р на Э!2, ыоно принадлежитС2*у A2).
(v) Задачи с условиями для кривизны границы. Рассмотрим операто-
операторы, удовлетворяющие обеим представлениям A4.43) и A5.23). Предпо-
Предполагаем, в частности, что
aV(x, z, р) = ЛаЦ (х, р/\ р \) + а$(рс, z, p) =
= a'j(x, z, р/\ р |) + - [ PiCf(x, z р) + с/(дг, z, p) pf], A5.89)
Ь(дс, z, р) = | р | Aboo(x, z, р/| р |) + Ь0(л:, z, p),
^ Ч ^()) ej/, boo E C\U XRX^O)),/,/ = 1, . . . , w,
что матрицы [flff], [flr?] неотрицательны и симметричны и что функция
349

boo не убывает по z. Наложим следующие структурные условия:
5& < &+о(&), 64,8й,(У-1)Ь0.< O(&),
да*! = О(у/Ж/\р\)9 а* = оA\ Ь0=о(\р\)
при |р | -* °°, равномерно для хЕПи ограниченных z. Тогда в силу тео-
теорем 13.8, 14.9 и 15.2 справедлива следующая теорема.
Теорема 15.16. Пусть 12 - ограниченная область в R" Пусть опе-
оператор Q эллиптичен в ?1, а его коэффициенты а**, Ъ G С1 (?2 X R X R")
удовлетворяют структурным условиям A5.89), A5.90). Пусть Э12 G С2'7,
{pGC2'y(?l),O<y<liuвыполнены неравенства
Х+ > Ъ„(у,1р(у\р\ ОС' > -М
в каждой точке у G 812, где у - единичная внутренняя нормаль в точке у,
а функции УС*, X", определенные в A4.44), неотрицательны. Тогда если
семейства решений класса С2'7A2) задач A3.42) равномерно ограниче-
ограничены в 12, то разрешима задача Дирихле (?и = 0в12, и=</?няЭ12.
Чтобы в A5.91) можно было допустить нестрогие неравенства, наложим
более сильные структурные условия, нежели условия A5.90) :
5& < &+<?(&), 1,6
бе» = O(VS/| p I), aV
при |р | -* о°, равномерно для х G О и ограниченных z. Тогда в силу тео-
теорем 13.8,14.6,15.2 имеет место следующая теорема.
Теорема 15.17. Пусть 12 - выпуклая область в Rn. Пусть оператор Q
эллиптичен в ?1, а его коэффициенты я/;, Ъ G С1 A2 X R X R") удовлетворя-
удовлетворяют структурным условиям A5.89), A5.92). Пусть Ъп € С2'7, </> G
?С2'7(?2), 0<7<1,ы выполнены неравенства
ЭС+ > Ь„(у,<р{у),р)9 X' > -bo.iy.viyl-v), JC* > 0 A5.93)
в каждой точке у G Э 12. Гогдд если семейство решений класса С2'7 A2)
задач A3.42) равномерно ограничено в 12, то разрешима задача Дирихле
Qu = 0e и =<р на Э12.
15.6. Теоремы существования
для непрерывных граничных данных
Некоторые теоремы из предыдущего раздела (теоремы 15.3 и 15.6)
могут быть обобщены с помощью внутренних оценок на случ'ай, когда
функция if предполагается только непрерьюной на Э12. Основной про-
процедурой, используемой при этом, является равномерная на Э12 аппрокси-
аппроксимация функции ^ с помощью функций ym G С2>7A2) и решение соот-
соответствующих задач Дирихле Qum = 0 в 12, ит = <рт на Э12, приводящих
к решениям ит G С2'7A2). Внутренние оценки, теоремы 15.3 и 15.8, в
комбинации с внутренними оценками Гёльдера производных (теоре-
(теоремы 13.1 и 13.3) и внутренняя оценка Шаудера (теорема 6.2) гарантируют,
что некоторая подпоследовательность последовательности {ит} равно-
равномерно на компактных подмножествах 12 сходится вместе с первыми и
350

вторыми производными к функции и € С2#7A2), удовлетворяющей в
$2 уравнению Qu = 0. Из оценок модуля непрерьюности, теорема 14.15,
следует, что и е С°A2) П С2A2) и, кроме того, и = <р на ЭП. Для осу-
осуществления этой процедуры также потребуется равномерная ограничен-
ограниченность последовательности {ит),и поэтому мы потребуем, как и в гл. 10,
выполнимость принципа максимума. Если аппроксимировать область
12 областями класса С2'7, можно с помощью теоремы 14.15 убрать ограни-
ограничение Э12 Е С2'7. Мы сформулируем две теоремы существования для
общих областей, которые могут быть получены с помощью описанной
процедуры. В разделе 16.3 мы рассмотрим аналогичный результат для
уравнения минимальных поверхностей и уравнения поверхностей с задан-
заданной средней кривизной.
Теорема 15.18. Пусть 12 - ограниченная область в Rn, удовлет-
удовлетворяющая условию внешней сферы в каждой точке границы Э?2. Пусть
Q- эллиптический оператор в 12, его коэффициенты alJ, bGCl(?lXRXRn)
удовлетворяют условиям теорем 15.3 (или 15.5) и 14.1 иусловию A0.10)
(или A0.36)). Пусть v? € С°(Э12). Тогда существует решение и задачи
Дирихле Qu = 0 в ?1, и = у на Э12, и оно принадлежит С0 A2) П С2A2).
Для уравнений дивергентной формы A5.37) справедлива следующая
теорема.
Теорема 15.19. Пусть ?2 - ограниченная область в Rn, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию внешней сферы в каждой точке границы 312. Пусть Q -
оператор дивергентной формы, его коэффициенты
А(еС1'у(П XRXR"), /= 1,... , и,
В G Су(п X R X R"), 0 < 7 < 1,
удовлетворяют условиям теоремы 15.8 и условиям теоремы 10.9 с постоян-
постоянной а = г + 2. Пусть if € С0(912). Тогда существует решение и задачи Ди-
Дирихле Qu = 0 в п, и - ^ на Э12, и оно принадлежит С0A2) П С2'7A2).
Примечания
Основные идеи получения оценок градиента, связанные с использова-
использованием принципа максимума и описанные в разделах 15.1 и 15.2, восходят к
Бернштейну [27], [30]. Метод Бернштейна был существенно развит Ла-
Ладыженской [143] и Ладыженской и Уральцевой [145], [147] для получе-
получения глобальной и внутренней оценок градиентов решений равномерно
эллиптических уравнений. Позже Серрин [263] с помощью представлений ви-
вида A52) обобщил эти результаты на уравнения, похожие на уравнения по-
поверхностей с заданной средней кривизной A0.7). Результаты теорем 15.2 и
15.3 очень близки результатам из [148], 149] (см. также [99], [100]), хо-
хотя они, так же как теорема 15.1, формулируются аналогично результатам из
[264]. Еще до использования множителей г, 5, t авторы в [148], [149]
обращают внимание на то, что требуемые условия должны выполняться для
оператора; эквивалентного данному. Наш метод отличается от рассмотрений
в [148-149] и [264] тем, что рассматриваем решения класса С2 A2) вместо
решений класса С3 A2). Поэтому наши доказательства и результаты остают-
остаются справедливыми для решений из С°'х(п) П W2'2A2).
351

Глобальная оценка градиента решений уравнений дивергентного вида
(теорема 15.6) получена Трудингером [284], а оценки теорем 15.7, 15.8
и 15.9 для равномерно эллиптических уравнений дивергентного вида были
получены Ладыженской и Уральцевой [144], [145]. Наше доказательство
теоремы 15.8 в некоторых аспектах отличается от доказательств из [145].
Другие оценки градиента для неравномерно эллиптических уравнений
дивергентного вида см. в [106], [228], [229]. Ранее в литературе форму-
формулировались некоторые из теорем существования из разделов 15.5 и 15.6;
см., например, [147], [263]. Обзорная статья [360] содержит ясное изло-
изложение различных аспектов осуществления процедуры доказательства раз-
разрешимости. Отметим также, что многие из сформулированных выше теорем
существования обобщаются на случай граничных данных класса С*>0?,
0<а<1 (см. [161]).
Наконец, мы отметим, что леммой 15.4 положительно решается давно
стоявшая задача: выяснить, достаточно ли для справедливости внутренних
и глобальных оценок градиента, чтобы выполнялись лишь естественные
условия (т.е. когда в A5.53) 0 = 1, /• = $ = Г/ = 0) (см. [150], [293]).
Задачи
15.1. Покажите, что теорема 15.2 остается справедливой для положительных вис
при условии, что величина osc и достаточно мала.
а
15.2. Покажите, что теоремы 15.2 и 15.3 остаются справедливыми для положитель-
положительных вис при условии, что b < —2\fac.
153. Покажите, что утверждение теоремы 15.6 остается справедливым, если струк-
структурное условие A5.60) заменить на условие
\р \DZA, DXA, 3 = o(\p I7) при \р | - ~, A5.94)
где 7 = т + 1 + (т + 2)/л, т > -1, и если и = 0 на Ь п.
15.4. Покажите, что утверждение теоремы 15.6 остается справедливым, если струк-
структурное условие A5.60) заменить на условие
\p\DzAf DxAf B = o(\p\y) при |р|-*~, A5.95)
где 7 = т + 1 + 1/л> т < -1>и если и = 0 на ЭП.
15.5. Покажите, что внутренняя оценка градиента справедлива для решений клас-
класса С2(П) уравнения A5.56) при условии, что структурные условия A5.60)
r*a), A5.64')
g= о(|р|т+2) A5.66')
выполняются при т > -1, а < 1.
15.6. Рассмотрим задачу Дирихле
€Au+g(Du)=f(x) в а, и = 0 на ЭП, A5.96)
в ограниченной выпуклой области П С Rw, где е > 0, ^^), ()9
\fvp\lg = 0A) при \р I -* оо, и #@) < f{x) для всех xEfi. Используя теорему 15Л
и линейные барьерные функции, докажите, что если _е достаточно мало, то задача
A5.96) однозначно разрешима в пространстве С_ A2) п С2(П). Устремляя е-*0,
покажите, что существует решение класса Со»!(^) задачи Дирихле для уравнения
первого порядка
g(Du) =/(х) почти всюду в ft, и = 0 на Ъп. A5.97)
352

Используя соответствующую аппроксимацию, покажите, что условия на / и g, на-
наложенные выше, можно заменить на условия: g G C°(Rn), g -+ «> при \р I -» °°, /G
G Ь°°(П), g@) < /(*) для всех xefi. Сформулируйте аналогичный результат для
произвольных областей, удовлетворяющих условию внешней сферы. В определенном
смысле решение задачи A5.97), получаемое таким образом, единственно (см.
[168], [170]).
ГЛАВА 16
УРАВНЕНИЯ ТИПА УРАВНЕНИЯ
СО СРЕДНЕЙ КРИВИЗНОЙ
В этой главе мы сконцентрируем внимание на уравнении поверхностей
с заданной средней кривизной
=-A + \Du \2)Au -DiiiDjuDijU = w#(l + \Du |2K/2 A6.1)
и на семействе родственных уравнений с двумя независимыми переменны-
переменными. Нашей главной целью являются внутренние оценки производных ре-
решений. Мы увидим, что можно не только получить внутренние оценки
ч градиента решений этих уравнений, но и что их нелинейность приводит к
сильным внутренним оценкам вторых производных, отличных от таких
оценок для равномерно эллиптических уравнений, таких как уравнение
Лапласа. В частности, мы получим обобщение классического результата
С.Н. Бернштейна о том, что решение класса в R2 уравнения минимальных
поверхностей, принадлежащее классу C2(R2), является линейной функ-
функцией (теорема 16.12).
Метод получения внутренних оценок градиента, развиваемый в этой гла-
главе, значительно отличается от методов гл. 15 (хотя и имеет много общих
черт с методом для уравнений дивергентной формы из раздела 15.4). Внут-
Внутренняя оценка градиента для решения уравнения A6.1), теорема 16.5,
получается с помощью рассмотрения тангенциального градиента и операто-
оператора Лапласа на гиперповерхности в Rw+1, являющейся графиком реше-
решения м. Основные оценки на поверхностях получены в разделе 16.1.
Изучение общего класса уравнений типа уравнения поверхностей с задан-
заданной средней кривизной производится в разделе 16.4. Внутренние оценки
первых и вторых производных (теоремы 16.20 и 16.21) получаются в раз-
разделе 16.5 с помощью рассмотрения квазиконформных отображений поверх-
поверхностей в R3, обобщающих соответствующие рассмотрения из раздела 12.1.
Разделы 16.4-16.8 и часть раздела 16.1 этой главы написаны в сотрудни-
сотрудничестве с Л.М. Саймоном и по существу являются изложением его иссле-
исследований.
16.1. Гиперповерхности в Rn+1
Подмножество © пространства Rw+1 называется гиперповерхностью
класса Ск в Rw+1, если © локально представляется в виде графика функ-
функции класса Ск, заданной на открытом подмножестве Rn
23. Д. Гилбарг 353

Наше внимание будет сосредоточено на поверхностях класса С2. Для
удобства будем предполагать, что гиперповерхность © может быть ло-
локально представлена как поверхность уровня функции класса С2. Это зна-
значит, что существуют открытое подмножество % пространства Rn+l и функ-
функция Ф € С2(%) с ненулевым на % градиентом ВФ такие, что
0}. A6.2)
В этой главе гиперповерхность © будет всегда пониматься как график
функции и ? С2(?2), где Q, ~ область в R". В этом случае мы можем взять
% = ?1 X R и записать
Ф =*„+!-*(*'), х' = (х, хя)€й. A6.3)
Если гиперповерхность © задана соотношением A6.2), то нормаль v к©
(направленная в сторону возрастания функции Ф), определяется равен-
равенством
Пусть g G С1 (%). Тангенциальным градиентом 8g функции g на © назы-
называется вектор
6g = Dg-(p-Qg)v. A6.4)
В произвольной точке у €Е © тангенциальный градиент 5g(y) является
проекцией градиента Dg(y) на плоскость, касательную к © в точке у.
Ясно, что
vdg = 0 A6.5)
и
\dg\2 = \Dg\2 - \v-Dg\2b A6.6)
так что
\bg\<\Dg\ A6.7)
A6.8)
если Dn + lg = O.
Отметим, что вектор bg зависит только от значений функции g на по-
поверхности ©. Чтобы убедиться в этом, предположим, что функция ?~при-
?~принадлежит С1{%) и удовлетворяет на © равенству g = ~g. Тогда D(g -~g) =
= kv, где к — некоторая постоянная. Поэтому
Далее, в силу формулы A4.102) из раздела 14.6, имеем:
где Я — средняя кривизна © в направлении вектора v. Следовательно,
справедлива формула
Я= --8,*,. A6.9)
п
354

В следующей лемме доказывается формула интегрирования по частям для
дифференциального оператора 5.
Л е м м а 16.1. Пусть dA - элемент площади S>. Тогда для всех g^Cl (%)
справедливо равенство
J8gdA = -n JgHvdA. A6.10)
Доказательство. Докажем формулу A6.10) в случае, когда®
является графиком функции класса С2. В общем случае доказательство
получается с помощью разбиения единицы. Предположим, что функция
Ф имеет вид A6.3), так что в точках (.х, и(х)) € ®
Dm I I \Dm I
р. _ f 1-1,...,л, ря+1-—, Я-— II/ A6.11)
и и л L v J
и *&4 = vdx t где и = у1+|5ы I2 • Определим функцию ^ЕС1^) равенством
Тогда jf=# на ® и, следовательно, 8g = 5g. Поэтому для i < л:
jbtgdA =
(в силу формулы интегрирования по частям)
(в силу A6.11))
S VjDji
/= 1
П
fi fg( 2 VjDhU + Dtv)dx =
(в силу A6.11))
Для i = л + 1 имеем
= /I 2 DyP/Лг = -л / ?Я^= -л fgHvn+1dA. D
a /=1 п б
Отметим, что случай i = л + 1 леммы 16.1 эквивалентен интегральной
форме уравнения поверхностей с заданной средней кривизной.
Пусть g ? С2(%). Лапласиан (или оператор Лапласа - Бельтрами) на
©на функции g определяется равенством
bg = bfi& A6.12)
23* 355

Из формулы интегрирования по частям A6.10) и из A6.5) следует, что
= fgA<pdA = f ~8g- bydA A6.13)
6 6
для всех ^
Перейдем к выводу некоторых важных неравенств с операторами 5 и А
на Й>. Эти неравенства являются полезными обобщениями неравенств для
средних значений (теорема 2.1) и представлений в виде потенциалов,
лемма 7.14, на случай гиперповерхностей в Rw+1.
Если у — точка на ©, г=\х-у\иф€С2 (R), то справедливы равенства
пф'(г)
X (г2 - 2
|5г|2+
г L г J г
так как в силу A6.6)
Пусть х — неотрицательная невозрастающая функция из С1 (R) с носителем
на интервале (—°°, 1). Положим
оо
Ф(г)= f rx(T/p)dr,
г
где 0 < р.< R, причем BR(y) С ЭД. Тогда в силу A6.14) имеем
Д *(г) = -{"ХШ + гх'Ш! Ьг \2/р + пХ(г/р)Ни ¦ (х - у)) =
= ри+1/)р[р-пХ(г/р)]+гх'(г/р)A -1«Н2)/Р -
-nx(r/p)Hv(.x-y)<
<р"+ х/)р[р-их(г/р)] -пхШНр (х-у). A6.15)
В частном случае, когда®— минимальная поверхность, т.е. Н = 0, неравен-
неравенство A6.15) имеет вид
+1 A6.16)
Соотношения A6.15) и A6.16) играют фундаментальную роль при выводе
внутренних оценок. Проиллюстрируем сказанное на примере минимальной
поверхности, т.е. в случае, когда Я= 0. Пусть g — неотрицательная функ-
функция из L1 (в). Предположим, что
fgA<pdA>0 A6.17)
в
для всех неотрицательных <р Е Cq(U). Полагая в A6.17) <р = ф, непосред-
356

сгвенно из A6.16) получаем неравенство
означающее, что функция /х, определенная равенством
Ч A6.18)
является неубывающей функцией р. Взяв в качестве х функции, аппрокси-
аппроксимирующие соответствующим образом характеристическую функцию
интервала (-°°, 1), получаем, что функция/, определенная равенством
/( Ц /
также не убывает. Так как
lim/(p)=g(» О6-20)
для почти всех (относительно dA) точек у Е@, получаем неравенство для
среднего значения
g(y)< —Цг / gdA, A6.21)
справедливое для почти всех jE6h таких R, что 2?^ (у) С HI. Функцию
g ? C2(*K) будем называть субгармонической (гармонической) на гиперпо-
гиперповерхности @, если Ag > 0 (Ag =0) на ©. Из A6.13) вытекает следующий
результат.
Лемма 16.2. Пусть g - неотрицательная субгармоническая функция
на минимальной поверхности @ класса С2. Тогда в произвольной точке
у G @ для любого шара BR{y) такого, что BR(y) С % , выполняется неравен-
неравенство A6.21).
Если гиперповерхность б является гиперплоскостью, то неравенство
A6.21) превращается в неравенство для средних значений для неотрица-
неотрицательных субгармонических функций, заданных в евклидовом простран-
пространстве ^.Заметим, однако, что в этом случае не нужно предполагать, что
функция g является неотрицательной. Если g — положительная постоян-
постоянная, то из A6.21) следует неравенство
А(&Г\Вк(у))>сопЯп9 A6.22)
где Л(® Л BR(y)) - мера в П BR(y). Далее будем писать ®#(у) ~ © п
^ BR(y) и использовать сокращенную запись ©я(у) = ©# там, где это
не вызывает недоразумений.
Рассмотрим теперь случай общей поверхности © и функции g класса
Сх{$1). Хотя процедура, использованная выше для минимальной поверх-
поверхности, может быть обобщена и на этот случай, мы поступим иначе, в связи
с чем дадим другое доказательство леммы 16.2.
Пусть у - точка на ©. Предположим, что шар BR(y) С % . Пусть х -
неотрицательная невозрастающая функция из С1 [0, °°) с носителем в
357

интервале [О,R]. Определим функцию
Ф(г)= f
равенством
В силу A6.15) имеем:
Аф(г) = -{пХ(г) + rX'(r) \Sr\2 + nX(r)Hv - (x - у)} =
= ~(лХ(') + гХ'(г)) + rXf(r)(l-\8r\2)-nX(r)Hv(x-y).
Поэтому, подставив в A6.13), получаем равенство
- S rx(r){\~\br\2)gdA =
A6.23)
A6.24)
Если функцию х взять так, что
Х(г) = e"w -R~n для г<е,
где 0 < е <Я, то полученное равенство можно записать в виде
п(е-п -R~n) J gdA + / (nxir) + rXf
©в вЛ - в6
/ rX'(r)(\-\br\2)gdA =
= -л/ x(r)gHv(x-y)dA+ f дф-dgdA.
A6.25)
Равенство A6.25) наводит на мысль взять функцию х удовлетворяющей
равенству их(г) +rX(r) = const в интервале [е, R). В соответствии с
этим определим функцию х6:
e"
r
. 0
-n
-n
-R n
-R~n
ДЛЯ
ДЛЯ
ДЛЯ
Q<r <e
e<r<R,
R <r.
Мы не можем в A6.25) просто заменить функцию х на х€- Однако можно
заменить х на функции хт последовательности { хт} неотрицательных
невозрастающих функций класса С1 [0, °°), носители которых лежат на
fO, R) и которые имеют равномерно ограниченные производные. Требуя
далее, чтобы последовательность { хт) равномерно сходилась к хе> а по-
последовательность производных { хт} сходилась поточечно к функции
х'Лг) =
для 0 < r < e,
для e < r < /?,
для Л <r,
358

из A6.25) получаем, что
(е~я--Я"") / gdA + / gr-"(l-\Sr\2)dA =
= R~n / gdA-(e-n-R-n) / g.Hv-(x-y)dA- A6.26)
1
g(r~n-R-")Hv(x-y)dA + -
R
где \^e(r) = / гХеОО^т. Устремляя е->0, получаем
A6.27)
ncon <&R
где
В качестве непосредственного следствия тождеств A6.27) и A6.23) мы
и получаем утверждение леммы 16.2. Используя неравенство
I Ни • (х - у) | < Г2 | v • (х - у) |2 + - #V = 1-| 8r\2 + - #V,
4 4
A6.28)
из A6.27) можно вывести оценку
(< — / g\Sr\2dA + —— / gH2r\r-n-R~n)dA-
<sR 4con bR
ww A6.29)
/ ()(y
П(л)п <SR
Итак, мы доказали следующее обобщение леммы 16.2.
Лемма 16.3. Пусть g - неотрицательная функция из С1 (%). Тогда
для любой точки у ? ® м любого шара BR (у) С % выполнено неравенство
A6.29).
С помощью утверждения леммы 16.3 в следующем разделе будет осу-
осуществлен вьшод внутренней оценки градиента. Заметим, что для функции
g E С2(%) последнее слагаемое в A6.29) можно записать в виде
/
359

Далее в этой главе для изучения уравнений с двумя переменными потре-
потребуются и другие следствия неравенств A6.26) и A6.29). В частности, по-
полагая п = 2 в неравенстве A6.29), получаем
I ( H2R2)dA ^ / Кг - /Г2) |
д 2тг д
A6.30)
Полагая здесь g = 1, получаем неравенство
+ -L j я2^, A6.31)
ttR2 *« *R
где Л (®я) — мера ®Л. Следовательно, если поверхность в является ком-
компактной поверхностью в R3 (или, более обобщенно, если % = R3 и Л (®я) =
= a(R2) при /? -^°°), то справедливо неравенство
/ H2dA > 4тг. A6.32)
G
Кроме того, можно показать, что равенство в A6.32) имеет место тогда
и только тогда, когда поверхность ® является сферой [280].
Определим далее величину / равенством A6.19). Из A6.26) и A6.28)
получим, что
соп/(е) = е~я / gdA <
<R~n f g\br\2 dA + e1""/ ^|Я|^ +
+ - / gH2r2(r'n -R~~n)dA •+ - / d\lje(r).8gdA.
4 Zr n <*r
Воспользовавшись неравенством Юнга G.6), получаем оценку
sup I(p)< -/ g[n\Sr\2 + \HR\n + nH2r2Rn(r~n-R-n)] dA +
@, Я) COW/? QR
+ — / r(r-w -/?-")|б^|^Л. A6.33)
ton <sR
Отметим, что последнее слагаемое в A6.33) может быть заменено на ве-
величину — / \l;(r)(-Ag)+ dA, если g G С2{%). При п = 2 и g = 1
неравенство A6.33) имеет вид
41М < ^ , з ; я^а (,6.34)
(о,я) р2 R2 ък
Пол)'чим оценку величины
ЧР) = Dp[f g\8r\2dA].
<вР
360

Выбирая х так же, как и в доказательстве леммы 16.2, и используя A6.13)
и A6.5),имеем
Dp[fx(r/p)g\drfdA] =
б
= (я/р) * / ХШ [1 + Я* • (х-у)] gdA - A/р) • / 8ф(г) • dgdA.
Заменяя \ функциями последовательности функций, приближающей ха-
характеристическую функцию интервала (—°°, 1), получим, что функция
7(р) может быть определена для всех рЕ @,R). Кроме того, справедливы
неравенства
/(р) < A/р) • / [л|*|A + |Я|г) + r\dg\] dA <
©р
/ \g\dA + / (n\Hg\ + |8*|)A4. A6.35)
В частности, при g = 1 получаем
/р + / \H\dA]
+ / я2^] A6.36)
в силу A6.34),если п = 2.
Соотношения A6.27), A6.29) и A6.30) потенциального типа до неко-
некоторой степени аналогичны соотношениям из лемм 7.14и7.16гл. 7. Действи-
Действительно, для получения аналога оценки Морри (теорема 7.19) для двумер-
двумерных поверхностей мы будем теперь пользоваться неравенством A6.30).
Следующая лемма будет использована в разделе 16.5 при выводе оценки
Гёльдера для обобщенных квазиконформных отображений.
Лемма 16.4. Пусть g € С1(Щ ип-2. Предположим, что существуют
постоянныеК>0и /3G @,1) такие, что
/_ \dg\dA < Kp(plRf A6.37)
для всех у &®R/4(y) и всех p<R/4. Тогда
< CK(p/Rf {A(<SR)/R2 + / Я2^}, A6.38)
где С - постоянная, а ®р(>0 - компонента @р (у), содержащая точку у.
Доказательство. Запишем A6.30) в виде
g(y) < A/я)-( / g(R'2 +H2/4)dA + / р / |6*| A4dp> A6.39)
&r о <$р
и для р </?/4 определим величины
gt g0 = mf ^.
Если gj — ?0 < 6P~lK(p/R)P, то лемма 16.4 доказывается с постоянной
С = 6/3 с помощью неравенства A634), Если gx — g0 > 6($~1 К(p/R)@9то
возьмем такое наибольшее целое число N, что N<P(gi -go)/FK(p/R)P) ,
361

и разобьем интервал [g0 >gi ] на TV попарно различных интервалов 1Х ,/2,.. .
. . . , /дг длины > 6f}~1K(p/R)P. Для каждого/ = 1,. . . ^определим функ-
функцию ф; как неотрицательную функцию из С1 (R) с носителем, вложенным
в If, такую, что max ф^ = 1 и тзхф} </3/2АГ(р//?)/?. (Такая функция су-
существует, ибо длина/;- не меньше 6^K(pJR)^.)Так как множество &р(у)
связно, то для каждого / = 1, .,. ,7Vсуществует точках^ 6 &*р(у) такая,
что \ltj\g(xV))] = 1. Тогда, используя неравенство A639), в котором
заменены: точкам на точкуjc^'^ ,R — на.pug — на ф; о g,получаем
1 р
К- /,., ^/О)(Р +#2/4)<14+ / о'2 f \Ьфjog\dAdo
для всех р </?/4. Отсюда на основании A6.37) получаем
р
Jo J \8ф.- о g \dAdo^
о G (xU)y
<PRPBKp(Sy1 l о'2 f \6g\dAdo<
0 eo(x</>)
p
о
Объединяя последние два неравенства, приходим к оценке
; +Я2/4)сМ + 1/2,
из которой вытекает, что
2 +H2/4)dA
< B/тг) - / Ф№(р-2 +H2l4)dA.
Суммируя по / = 1,... , N и замечая, что 2 ф^ < 1, получаем неравенство
N<B/n)- f (p-2 +H2)dA< C{A(®R)IR2 + /
в силу A634). Отсюда следует оценка A638), ?
Замечание. Если функция g имеет компактный носитель, то, уст-
устремляя/? к °о в A6.27) и A6.29), получаем соотношения
Hv{x~y)
I r (xy)bg
gdA / -^ ^~-dA, A6.40)
ncon © rn
Эти неравенства могут быть использованы для доказательства теорем вло-
362

жения типа теорем вложения Соболева (задачи 16Л, 16.2). Отметим, что
неравенство Соболева (теорема 7.10) обобщали: на минимальные поверх-
поверхности в Rw+1 - Миранда [196], на произвольные подмногообразия -
Аллард [11], Михаэл и Саймон [203].
162. Внутренние оценки градиента
Пусть п — область в R" и и — функция из С2 A2). Если гиперповерх-
гиперповерхность & является графиком функции и в Rw+1, то средняя кривизна ® (от-
(относительно нормали, направленной в сторону возрастания xrt+i) в точке
х = (х\ и (х9)) ? © определяется формулой
1 1 Г Di и 1
') = A vfe9) = - DA ~L— (*'),
п п L v J
1 1 Г Di и 1
#(*') = A vfe9) = - DA ~L— (*'), A6.41)
п L v J
где v = у/l + | Вы \2.
Цель этого раздела — вывод оценки Du(x') через Н и dist(x', Э12).
Запишем соотношение A6.41) в интегральной форме
/ (vD<p-nHv)dx' = 0 A6.42)
п
для всех ^GCjA2). Заменяя у на Dkip к = 1, . . ., п, и интегрируя по час-
частям, получаем
/ (pkv?kp-nDkH*p)dx' = 0 A6.43)
п
для всех кр € Со(П) (ср. уравнение A33))- В A6.43) и всюду далее
предполагаем, что ЯЕ С1 (Г2) . Заменим теперь в A6.43) функцию ip на
,где i/jGCj (?2) • Тогда получим уравнение
/ Dk vgDiVkdx' + / (VkDkViDi у ~ nvkDkHj) dx = 0 A6.44)
ддя всех v? G Со (?2) . Вычисляем:
и =
в силу A5.4) , z = 1, . , . ,«. С помощью формулы A4.104) можем записать
это соотношение в виде
/ %г f ' = 09 A6.45)
где
Возьмем далее % = ?1 X R и предположим, что (pGCj (it) . Заменяя в
A6.45) функцию v? на функцию $(х \хп+1) = у* (*', м(л:г)) и используя
равенства
363

можем из A6.45) вывести тождество
0 A6.46)
для всех \р 6 С10{%). Заметим, что функции р иЯв A6.46) не зависят от
xn+i* В A6.46) и далее в этом разделе мы пользуемся правилом суммиро-
суммирования, согласно которому по повторяющимся индексам производится
суммирование от 1 до п + 1, Пусть
w = log v = - log vn+!. A6.47)
Заменяя в A6.46) <?> на </?и,приходим к неравенству
/ Ew by + \bw\2<p-nv DH<p)dA <0 A6.48)
б
для всех неотрицательных функций <р ? Со (ЭД). Неравенство A6.48) яв-
является слабой формой неравенства
Aw > | 8w |2 - nv • DH. A6.49)
В частности, если S — минимальная, поверхность,т.е. если функция и удов-
удовлетворяет в ?2 уравнению минимальных поверхностей,то функция w слабо
субгармонична на & и, следовательно, к ней применима лемма 162, В об-
общем случае можно воспользоваться леммой 163 и получить для любой точки
у' G 12 неравенство
/I / wH2r2(r-n-R~n)dA +
+ / $(f)vDHdA, A6.50)
если только R < dist(.y', d$l),y = {y\ u(y')) и функция ф определена
равенством A627),Обозначая
Но = sup | Я |, Нх = sup (y-DHf < sup | ?>Я|, A6.51)
п п п
имеем:
1 Я2
/ wdA+^-f р~п~1 f wr2dAdp+ A6.52)
con о
364

(по теореме Фубини)
1 nH\ R ,
- / wdA + f P f wdAdp
<&R 4со„ о <BP
Таким образом, оценка w и, следовательно, Z>w сводятся к оценке А
и / wdA для 0< p<R,
&р
Оц ен к а А (@р). Предположим, что 3R < dist(y, Э^2) и что у' = 0 и
и (у') •= 0 (последние предположения не ограничивают общности). Для
р <Я определим функцию ир равенством
р для р < м,
и для -р<и<р,
-р для w<-p.
Возьмем в интегральном тождестве A6.42) пробную функцию \р =
где г? — равномерно непрерывная по Липшицу функция, удовлетворяющая
соотношениям: г? = 1 при |л:'| < р, г? = 0 при \х'\> 2ри |/>?7| <1/р, Заме-
Заметим, что тождество A6.42) заведомо выполняется для всех кр ? И^о*1 Щ) и»
следовательно, для всех функций \р с носителем в 12, равномерно непре-
непрерывных по Липшицу. Получаем:
/ p f (\Dri\+n\H\n)dxf.
\х'\,\и\<р V Uf|<2p
Следовательно,
А(&р)= f vdx'<
\х'\2+и2<р2
< / vdx'<C(n) {pn+p f \H\<ndx'}<
lx'1,1 u\<p \x\<2p
<C(n)pn(l+H0R). A6.53)
Оценка f wdA, Теперь в A642) подставим функцию \р = r\w (up + р),
где г? — функция, введенная выше. Получаем:
Ijc'I, ImI<p V
<2р / (w\DQ\+ri\Dw\+n\Hwri\)dx'.
I х'\<2р,и> -р
Для того чтобы получить оценку fr}\Dw\dx\ заменим в неравенстве
A6.48) ^ на крг и получим неравенство
/ $2\dw\2dA<-2f ydw6ydA-n f <p2v DHdA
s 6 @
для всех i/)GCo(fl X Rw), Используя неравенство Коши G.6) , получаем
365

далее
f V2\8w\2dA<4f \5y\2dA +пН^ <p2dA.
S G <g
Возьмем функцию \р так, что </? = г}т(хп+1)у где 0<т<1,г=1на
(- р, sup и), г = 0 вне (- 2р, р + sup w), | т' | < 2/р и функцию
\х'\<2р \х'\<2р
г? — такую же, что и выше. Получим тогда
Используя A63) , получаем, что
/ r}\Dw\dx<
I дс'К.2р, м > -р
< / <p\bw\dA<(8p-2 + пЯ! I/2 Л (в Osupp^)<
(в силу неравенства Шварца)
1 jc'|<2p, w >-2p
Так как w < и, то справедливо неравенство
/ wdx < / vdx.
\x'\<2psu>-p \x'\<2p,u>—p
Осталось оценить f vdx'. Для этого в A6.42) возьмем \р =T?max{w + 2р, 0},
где ?7 = 1 для | х'\ < 2р, г) = 0 для | jc' | > Зр и | Dr}\ < 1/р. Придем к нера-
неравенству
/ vdxf<C(n)pn(l +H0R)(l +P sup м).
I jc'|<2p, u>—2p I *'|<3p
Объединяя полученные выше оценки, получаем неравенства
/ wdA < / wvdx <
<&р Ix'l, IhKp A6.54)
(ai)pwA +H0R)(l +H1R2II2A +P supw).
Требуемая внутрення оценка градиента получается теперь с помощью ком-
комбинации оценок A652), A653), A654) и потенцирования.
Теорема 165,Пусть 12 — область в Rn и и ~ функция класса С2 (?2) .
Тогда в произвольной точке у9 Е ?2 имеет место оценка
\Du(y')\ <d exp {C2 sup(n-ii(/))/d}, A6.55)
п
где d = dist(/, ЭП) к d = d (л, ^Яо, ^/^0, С2 = C2(n,dH0, d2H1)
(#ow#i даны в A651)),
Непосредственным следствием теоремы 165 является следующая внут-
внутренняя оценка для неотрицательных функций,
Следствие 16,6, Пусть ?2 — область в R" и и — неотрицательная
функция класса С2 (?2). Тогда в произвольной точке у' Е ?2 выполняется
366

неравенство
, -exp{C2i/(/)/rf}, A6.56)
где Сх, С2 и d - такие же постоянные, как и в теореме 165.
Экспоненциальная форма оценок A655) и A656) не может быть улуч-
улучшена. Это подтверждается для минимальных поверхностей примером, по-
построенным в [306]. В следующем разделе мы применим теорему 16.5 к
задаче Дирихле с непрерывными граничными данными для уравнения ми-
минимальных поверхностей и для уравнений поверхностей с заданной средней
кривизной. Дальнейшие применения к уравнению минимальных поверх-
поверхностей указаны в задаче 16,4. Завершим раздел рассмотрением внутренних
оценок для производных высокого порядка, которые получаются из теоре-
теоремы 165, для оценки Гёльдера (теорема 12.1) и для внутренних оценок
Шаудера (теорема 62 и задача 6.1) .
Следствие 16,7. Пусть 12 - область в Rn и и - функция класса
С2 A2), график которой имеет среднюю кривизну Н <= Ск A2), к > 1. Тог-
Тогда и Е: Ck+l A2) и в любой точке у Е 12 для любого мультииндекса /3,
| Р | = к + 1, выполнено неравенство
\D*u(y)\<C, A6.57)
где С=С(п, к, \Н\к; п ,d, sup | и I), d = dist(>>, Э12).
163. Применение к задаче Дирихле
В этом разделе мы изучим разрешимость задачи Дирихле с непрерывны-
непрерывными граничными данными для уравнения минимальных поверхностей и для
уравнения поверхностей с заданной средней кривизной. Для уравнения
минимальных поверхностей справедлива следующая теорема, обобщающая
теорему 14.14,
Теорема 16.8. Пусть 12 -~ ограниченная область в Rn класса С2.
Тогда задача Дирихле STOw = 0 в ?1, и = у на дп, разрешима для любой
функции у Е С0 (Э?2) тогда и только тогда, когда средняя кривизна грани-
границы Э?2 всюду неотрицательна.
Доказательство. Предположим сначала, что Э?2 Е С2*а для неко-
некоторого а > 0 и что средняя кривизна Э12 всюду неотрицательна. Пусть
{ <?т} - последовательность функций из С2)О\(Г2), которая равномерно
сходится на Э&2 к функции \р. В силу теоремы 14Л 4 задача Дирихле Шит =
= 0 в 12, ит = ipm на Э?2, однозначно разрешима в С2*а A2), а из принципа
сравнения (теорема 10.1) имеем
sup|wmi -MmJ< sup|(^mj ~ym2 i-*0 при mlfm2-*oo.
Следовательно, последовательность {ит} равномерно сходится на 12
к некоторой функции и Е С0 A2) , причем и - у на Э12, Применяя теорему
Арцеля и следствие 16.7, получаем, что иЕ С2 A2) иЗЙ и = 0 в 12, Результат
для области 12 класса С2 получается с помощью аппроксимации 12 об-
областями класса С2>а. Утверждение теоремы 16.8 о неразрешимости явля-
является непосредственным следствием теоремы 14.14. ?
Теоремы разрешимости для неоднородного уравнения A6.1) зависят
от выполнимости для решений соответствующего принципа максимума.
367

Комбинируя теорему 13.8, следствие 14.8 и теорему 152, мы сначала полу-
получим следующий основной результат для гладких граничных данных (см.
также теорему 15.15).
Теорема 16.9. Пусть 12 - ограниченная область в Rn, ЭГ2 € Cjja
для некоторого а, 0 < а < 1, и пусть <р е С2>аA2). Пусть И G С1 A2).
Предположим, что средняя кривизна 312 - функция Н' - удовлетворяет
неравенству
^ A6.58)
п- 1
в каждой точке у ? 312. Тогда если семейство решений задач Дирихле
9Км = апЯ(х)A+|/^|2K/2 в 12, и = оу на 312, A6.59)
равномерно ограничено в 12, то существует единственная функция и €
G С2*а A2), удовлетворяющая уравнению A6.1) в 12 и равенству и = ip на
312.
Необходимость условия A6.58) доказывается с помощью следствия
14.13. Выведем другое необходимое условие разрешимости. Именно, из
интегрального тождества A6.42) для уравнения A6.1) следует неравен-
неравенство
1 1 \Du\
|/ Hr}dx\<- f \v-Dn\dx<- sup , f \Dn\dx,
a n n n a / | D \2 a
какова бы ни была функция г? €= С?(?2). Представив 1 — е0 =
\Du\
~ sup . ==- 9 где б0 — некоторое положительное число, получаем
^ у! + \Du\2
неравенство
| / Я|?*М<A-€0)/л- / |/>т7|^л: A6.60)
для всех г? ^ Со (^2). Обратно, из доказательства теоремы 10.10, очевид-
очевидно следует, что полученное условие A6.60) достаточно для того, чтобы
была справедлива априорная оценка sup | и | для всех решений и уравне-
ния A6.1), принадлежащих С1 A2) . Таким образом, из теоремы 16.9 полу-
получаем следующую точную теорему существования.
Теорема 16.10. Пусть 12 - ограниченная область в_Кп, Э12 G С2'а
для некоторого а,0 < а < 1, w </> € С2>а A2). Пусть НЕС1 A2) и выполнены
неравенства A6.58) и A6,60). Тогда задача Дирихле ЗКм =_пН(\ +
+ |Dm|2K/2 в 12, и = \р на 312, однозначно разрешима в С2'а(?1)._Если
же у ? С0 (912), го задача Дирихле однозначно разрешима в С0 A2) П
П С2 A2).
Заметим,что условие A6.60) вытекает из условия
/ 1Я±Г^<со„ A6.61)
а
(ср. A0.35)). Более общее, чем A6.61), условие дано в [87]. Второе
утверждение теоремы 16.10 следует из ее первого утверждения подобно
368

тому, как теорема 16,8 вытекает из теоремы 14.4. Отметим, что если
и G С0 A2) П С2 A2), то требуем только, что функция Н удовлетворяет
условию A6.60) с б0 = 0.
Если функция Н постоянна в 12, то условие A6.60) в теореме 16.10
становится излишним. Чтобы убедиться в этом, предположим, что выпол-
выполнено A658) . Пусть 121 — подмножество 12, содержащее точки, имеющие
единственную предельную точку на 312. Анализ доказательств лемм 14.16
и 14.17 доказывает, что Ad <- п\Н\ в ?21,где<7(х) =dist(x, 312) .Пусть
и G С0 A2) П С2 A2), х Е12!. Определим функцию
v(x) = sup | и i + (e//z) • A - e-"
где 5 = diam 12 и ц = 1 + n | #|. Тогда
3R v = [- /z + A + | Dv |2) Ad] e"<6 -<*
так что функция v является субрешением уравнения A6.1) на открытом
подмножестве 12j. Следовательно, если функция и удовлетворяет A6.1)
в 12, то в силу принципа сравнения (теорема 10.1) функция w = и - v дос-
достигает максимального в 12 значения или на 312, или на 12 — 12 х. Пусть
у — точка, принадлежащая 12 — 121, у — прямолинейный отрезок от точки
у к 312, ортогональный 312. Если максимальное на у значение w достигает-
достигается в точке у, то Du(y) Ф 0, так что и максимальное значение и на у дости-
достигается в точке у. Это показывает, что функция w не может иметь макси-
максимального значения на 12 — 12 j. Следовательно, справедлива оценка
sup I и |< sup | и i + (емб - 1)/д. A6.62)
Объединяя A6.62) с теоремой 16.9 и следствием 14,13, мы получае^ сле-
следующую теорему существования для уравнения поверхностей с постоян-
постоянной средней кривизной.
Теорема 16.11. Пусть 12 - ограниченная область в R'1 класса С2.
Тогда задача Дирихле 3Rw = пН{\ + | Du\2K^2 в 12, и - <р на 312, разреши-
разрешима в случае постоянной кривизны Н для произвольной функции у G
? С0 C12) тогда и только тогда, когда средняя кривизна Н* границы 312
удовлетворяет неравенству #' > п \ Н\/ (п - 1) всюду на 312.
16.4. Уравнения с двумя независимыми переменными
До сих пор в этой главе мы имели дело с уравнением поверхностей с
заданной средней кривизной и, в частности, с уравнением минимальных
поверхностей. В случае двух независимых переменных можно изучить нес-
несколько более общий класс уравнений. Мы будем рассматривать уравнения
вида
Qu = а*'(х, м, Du) Вц u+b(x, uf Du) = 0, A6.63)
где х = (хь х2) € 12, 12 - область в R2 и aij, Ь, i,j = 1,2,- заданные веще-
24. Д. Гилбарг 369

ственные функции на ?2 X R X R2, удовлетворяющие неравенствам
Ц12-^~7П^ < <tf(x>*>P)%iij <7[UI2 ~ ^1%] A6'64)
при всех (х, z, р) Е п X R X R2 и всех ? = (Ji, Ь) Е R2» и
| Z?(jc, z, p) | < MVT+|p|2 A6.65)
для всех {х, z, p) Е Q, X R X R2. Здесь у и д — фиксированные постоянные.
Заметим, что уравнение минимальных поверхностей 3Rw = 0 можно
записать в виде A6.63), взяв
fl(x, z, р) - 6" - р,р,/A + | р |2), 6 = 0.
В этом случае неравенства A6.64) и A6.65) выполняются с постоянными
7 = 1 и /I = 0. Более того: любое уравнение, которое получается как не-
непараметрическое уравнение Эйлера эллиптического параметрического
функционала (см. приложение 16.8), имеет вид A6.63) и выполнены нера-
неравенства A6.64) и A6.65). Однако, не считая этих примеров, более естест-
естественен и интересен класс уравнений вида A6.63), A6.64), A6.65), называе-
называемый нами классом уравнений типа уравнений со средней кривизной и
полностью характеризуемый следующим образом.
Пусть и — функция класса С2 (h), © — ее график:
в = {(x,z) G R3 | хеа z = u(x)}.
Тогда вещественные функции aij, b, удовлетворяющие A6.63), A6.64),
A6.65), существуют тогда и только тогда, когда главные кривизны кх>
к2 поверхности @ (см. раздел 14.6) в каждой точке ©связаны уравнением
вида
ахкх + а2к2 +/3=0, - A6.63)'
причем <*!, а2 * 0 удовлетворяют условиям
1<а,<7, /=1,2, A6.64)'
101 < /|. A6.65)'
Убедимся в справедливости этого свойства, характеризующего рассмат-
рассматриваемый класс уравнений. Пусть d — функция расстояния до ®, опре-
определенная для точек X = (х, z) G п X R следующим образом: d(X) =
= dist (X, ©), если z < и(х), и d(X) = -dist (Х,<5),если z <u(x). Так
как функция d принадлежит С2 (см. лемму 14.16) и d(xt u(x)) =0,хЕ
Е 12, то в силу цепного правила справедливы тождества
D(d(X) + Dju(x)D3d(X) =0
и
Difd(X) + DiU(x)Dbjd{X)+DjU(x)Dbid(X) +
+ DiU(x)DjU(x)D33d(X) + D3d(X)Difu(x) = 0, A6.66)
/,/ = 1, 2, гдеХ= (jc, m(jc)). Так как D3d(X) =v~l,v =\/l~+\Du(x) |2,
370

то из A6.63) следует, что
I a*J(x)Dijd(x) + v'lbm(pc) = 0, A6.67)
if = i
где ?*(*) = b(x, и(х)у Du(x)), а элементы 3X3 матрицы [я?'(х)] опре-
определяются следующим образом:
a*J(x) = ali(xfu(x\ Du(x)) для i,/ =1,2,
„«(*) = <#(*) = S
/ =
e*3(*) = 2
Отметим, что последние соотношения эквивалентны следующим соотно-
соотношениям:
2 ct&x) vj = S я</ (x) 1^=0, /=1,2,3,
/= l /= l
где ^ = у -1(—D«(jc), 1) (= Dd(X)) — внешняя единичная нормаль к ©.
Пусть <7 — ортогональная матрица перехода к главной координатной систе-
системе с центром в точке X (см. раздел 14.6). Это значит, что qt\Dijd(X')]q =
= diag [к i, к z, 0], где кх, к2 — главные кривизны © в точке X. Тогда ра-
равенство A6.67) можно переписать в виде A6.63)', где аг, а2 — первые два
элемента главной диагонали матрицы qx \alj(x)]q, a |3 = v ~lb*(x). Равенст-
Равенство A6.65)' выполняется в силу A6.65). Чтобы проверить A6.64)',сначала
заметим, что
Тогда из A6.64) следует, что
//¦= 1
Отсюда легко выводится A6.64)'.
Докажем обратное утверждение. Пусть ь точке X - (х, и(х)) Е @ выпол-
выполнены A6.63)', A6.64) ', A6.65)'. Положим
[д^)] = (у-diag K,a2,0] ^*,
где q — га же самая матрица, что и выше, и положим bjx) = ujS. Тогда
выполняется A6.67) и поэтому, так как мы имеем еще соотношения
2 alj (x)vj = 0, / = 1, 2, 3, применение A6.66) приводит к равенству
2
S a'JWDijU + М*) = 0.
!/= 1
24* 371

Определим для i, j = 1,2
!/(*)> если z = w(x) и р = ?>m(jc),
5f/- - PiPj/(l + I p |2) в остальных случаях
f
{ если z = m(x) и p = Du(x),
О в остальных случаях.
Теперь легко проверяются A6.63), A6.64) и A6.65).
Изучение уравнений A6.63), A6.64), A6.65), проводимое в этой главе,
во многих отношениях похоже на проведенное в гл. 12 изучение равномер-
равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными; как и
в гл. 12, мы начнем с изучения квазиконформных отображений, хотя здесь
будет необходимо иметь дело с отображениями поверхностей в R3, а не с
отображениями на плоскости. Как и в гл. 12, основной результат — оценка
Гёльдера для квазиконформных отображений. Частным случаем этой об-
общей оценки является оценка Гё'льдера для единичной нормали к графику
решения и уравнения A6.63), A6.64), A6.65). На основе этой оценки
будут получены априорные оценки главных кривизн графика и и градиен-
градиента и. Одним из наиболее удивительных результатов теории уравнений вида
A6.63), A6.64), A6.65) является следующее обобщение классической
теоремы Бернштейна.
Теорема 61.12. Пусть функция и ? C2(R2) удовлетворяет уравнению
A6.63) на всей плоскости R2 и Ь = 0. Предположим, что выполнены нера-
неравенства A6.64) cJ2 = R2. Тогда функция и линейна.
Далее мы покажем, что эта теорема является также следствием оценки
Гёльдера единичной нормали к графику м.
16.5. Квазиконформные отображения
В этом разделе мы будем рассматривать отображения между поверх-
поверхностями ©, 3CR3 класса С2. Поверхности в и 3 предполагаются
ориентируемыми. Это значит, что существуют поля v, yt единичных нормаль-
нормальных векторов, определенных и непрерывных соответственно на © и 3. Да-
Далее в этом разделе поверхности ви 3 будут графиками и, следовательно,
будут задаваться формулами вида A6.2), A6.3).
Точки R3 будем обозначать через X = (хг,х2,х3). Точка Y= (у\,у2* Уз) —
фиксированная точка ©. Для р> 0 положим ®Р(У) = © ПBP(Y). Через R
будем обозначать фиксированную положительную постоянную такую, что
©я (У) С С ©. Часто будем писать более кратко: ©р вместо ©Р(У).
Нам потребуется классическая теорема Стокса: если п" = (и,, и2, и3) -
вектор-функция класса С1, определенная в окрестности поверхности ©,
и если iScc ©, причем Э f§ состоит из конечного числа простых замкну-
замкнутых кривых класса С1, то
fv-cuilvdA = fp-DXvdA= f Vidxt = f t-vds, A6.68)
372

где А — поверхностная мера на ®, граница ЫЗ соответствующим образом
ориентирована, s — длина дуги на Э$, t — единичный касательный к ЭЗ? век-
вектор. В этом разделе мы пользуемся правилом суммирования: по двум
Повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 3. Если в
A6.68) взять \Г =fDg, где/,# — функции классов С1 и С2 соответственно,
определенные в окрестности в, то в силу операторного тождества!) XD =
ss 0 получаем из A6.68) тождество
fv.DfXDgdA= ffdg = //• ~dst
ч, э& э# as
где dg/ds = t - Dg — производная функции g по направлению t. Так как
в полученное тождество входят только первые производные /, g, то легко
показать, что тождество справедливо и в случае, когда обе функции fug
принадлежат С1. Используя векторные тождества аХа = 0,а-аХЬ = 0,
где a, bGR3, мы можем на ® записать равенство
v DfXDg = v • 5/Х5#,
где 5 — тангенциальная составляющая оператора градиента на ®, опреде-
определенная формулой A6.4). Следовательно, для любых функций /, g клас-
класса С1 на в справедливо тождество
dg
Jv.8fX8gdA= ffdg= И— ds. A6.69)
& ъ& ъ& ds
Главное предположение относительно поверхности 3 будет такое: сущест-
существует вектор-функция со~= (cji, cj2> ^з)> принадлежащая С1 в некоторой
окрестности 3 > такая, что
sup | со | + sup | Dw\ < Ло и Д"-.?> X со = 1 на 3, A6.70)
где Ло - постоянная. Применив формулу Стокса A6.68) на подмножест-
подмножестве $ С 3 (с /Гвместо V и со вместо Ъ), получаем
= f cjtdxi. A6.71)
Это значит, что мера подмножества iS С 3 может быть представлена в
виде криволинейного интеграла по границе Э i§.
Рассмотрим пример, представляющий для нас специальный интерес.
Пусть 3 - верхняя половина единичной сферы: { X = (хь х2, х3) I | -ДГ| =
= 1, х3 > 0} . В этом случае, взяв jT(X) =X, получаем соотношения A6.70),
в которых
ЩХ) = (-*,/A +*3), *i/(l +*з),0).
Полезно отметить (хотя мы и не будем пользоваться этим), что если Я —
произвольная связная ориентированная компактная поверхность класса
С2 в R3, SK С S - компакт, имеющий внутренние точки, и если 3 = Й - SK,
то всегда существует векторное поле со удовлетворяющее A6.70). Дока-
Доказательство этого утверждения можно получить с помощью простого при-
применения теории дифференциальных форм и групп когомологий де Рама;
интересующегося читателя отсылаем к [255].
373

Рассмотрим теперь отображение
принадлежащее С1 в том смысле, что каждая компонента <р,- (как отобра-
отображение © в R) имеет продолжение <?,- в некоторую окрестность © и это
продолжение принадлежит С1. Мы хотим ввести понятие квазиконформ-
квазиконформности отображения у, однако для этого сначала дадим определение коэф-
коэффициента растяжения ориентированной площади*) /(<^) для отображе-
отображения Тр. А именно, определим / (<р) на © равенством
= v .8(cj, о ^) X (8&). A6.72)
Такое определение /(у) сделано по следующим соображениям. Пусть & —
область на © такая, что Э & — связная гладкая кривая. Предположим, что
{р — взаимно однозначное отображение, имеющее обратное отображение
класса С1 на некотором открытом подмножестве 3, содержащем <^(&).
Предполагая, что кривые Э&и Э<^(&) ориентированы соответствующим
образом, мы можем применить формулы A6.69) и A6.71). Получим
= f ojfdXj = ±f cjjOipdipj =± fT> (8ojj
Ъ
со знаком "+" или "—" в зависимости от того, сохраняет или нет отобра-
отображение кр ориентацию на &. Этим тождеством и мотивируется определение
A6.72).
Важным (и интуитивно очевидным) фактом относительно /(<р) являет-
является независимость J(lp) от системы координат в следующем смысле: если
Р, Q — линейные изометрии пространства R3 такие, что
det Р = det Q = 1,
и если
e={P(X-Y) |XG©}, 5 ={Q(X-4p(Y))\ XGv^},
v = Po~v о Р'19 Д = Qojl о Q~l, o3 = Qoc3 о Q'19
TO
V .Fcjf o<p)XE^)G) = ^ -(ScJ/ о ^)ХEй)@), A6.73)
где 5 — тангенциальная составляющая оператора градиента на @. Соотно-
Соотношение A6.73) легко проверить, если представить изометрии Р, Q с по-
помощью ортогональных матриц и воспользоваться двумя элементарными
фактами линейной алгебры, а именно: если А, В — 3 X 3 матрицы, то
det АВ = det Л • det В, и если А имеет собственные значения а, Ь, с, то
det A =ab- с.С помощью A6.70) можно также проверить, что
Д . D X 5 == 1 на 5 .
Если изометрии Р, Q выбраны так, что
7@) - Д@) = @,0,1),
*) В тексте: signed area magnification factor. - Примеч. пер.
374

и если ввести новые координаты
(Г, Гз) = (Г,,?2, Ы =P(X-Y),
то поверхность © вблизи 0 представляется уравнением
Гз ="(?), Г^«,
где % - окрестность точки О Е R2, а функция w принадлежит C2(%), при-
причем Du@) =0. Тогда
«/?з@) = @,0, 1) • 5^@) = Д@) -6M@) = 0, /=1,2,3,
ибо векторы 8/$>@), / = 1, 2, 3, касательны к 3 в точке 0. Таким обра-
образом, 5ip3@) = 0. Следовательно, если отображение ф: % -> R2 определяет-
определяется равенством
Ш = Ьй(Г, ВД, ^а, и(П)Ь fG «>
то функция 0 аппроксимирует функцию у? вблизи 0 в том смысле, что
I«ЧГ), 0) - ЭД\ 2(Г))| = о(| Г I) при | Г | -* 0, Г СЕ «.
Кроме того, используя A6.73) и определение оператора б = D — v {у •/)),
несложно проверить, что
J(ip)(Y) = йгфгф) О2ф7@) - Z)i*2@)/>2*i@), A6.74)
т.е. J (</Г) (У) совпадает с якобианом ф в точке 0. Итак, имеем
^ . A6.75)
Учитывая равенства A6.74), A6.75), естественно, по аналогии с A2.2),
сделать следующее определение: отображение <р называется (К, Kf)-квази-
Kf)-квазиконформным отображением в в 3, если
I2 < 2KJ&) (X) + К' A6.76)
в каждой точке X G в. Здесь ЛГ, К1 — вещественные постоянные, К' > 0,
_ з
и | бур (ЛГ) | 2 = S | 5<^ (X) | 2. Подчеркнем, что постоянная К не обяза-
i = 1
на быть положительной (ср. с A2.2)). Отметим также, что если К1 = 0,
то обязательно \К\ > 1, исключая случай, когда 5<р = 0.
Прежде чем осуществить доказательство основной оценки Гёльдера
для квазиконформных отображений, отметим следующий факт: если g —
произвольная функция на &R, принадлежащая С1, то
для почти всех р G @, R), где г - функция расстояния до точки Y:
r(X) = \x- y\, хек3.
Формула A6.77) является, по существу, специальным случаем важной
формулы ко-меры (см. [301]). Перейдем к доказательству A6.77).
Вначале заметим, что левая часть A6.77) имеет смысл для почти всех
375

p E @, R) в силу теоремы Сарда [349]. Поэтому мы можем записать
^ п (р) ,.ч
д&р = ер п {хек31 1х- п =р} = и г?} A6.78)
/= 1
для почти всех р Е @, Л), где Гр — простая замкнутая кривая класса
С2, а п (р) — натуральное число. В действительности теорема Сарда гаранти-
гарантирует, что для почти всех р Е @9R) тангенциальный градиент дг не исчезает
в точках Э@р; геометрическая интерпретация этого факта следующая:
поверхность <§> и сфера {X Е R3 \ \ X — Y\ = р} пересекаются транс-
версально и потому имеет место A6.78). Возьмем теперь некоторое фик-
фиксированное число р Е @, R) такое, что дг Ф 0 на Э©р, и пусть число е > 0
столь мало, что дг Ф 0 на50, где $= ©р — ©р _ е. Применим теперь теорему
Стокса A6.68). Ориентированные соответствующим образом поля еди-
единичных векторов на Э$ определяются формулами: t = v X br\\ Ъг I на
д&рН t = —v X 8r/\ 8r \ на Эвр _ е. ПустьF — продолжение вектор-функ-
вектор-функции v X бг/1 бг I класса С1 на некоторое открытое подмножество R3,
- 1
содержащее &. Тогда, применяя A6.68) cv = — (г — р + e)gF и заме-
е
чая, что v = 0 на Эвр _ €, получаем
/ gds = /-(/"- р + e)^F • rds =
эвр э& е
/ -(Г-р +e)v(gD X F +D#X F)cL4 +
Gp - Sp _ e* 6
+ - / gv - DrX FdA.
e <5p-ep_e
Так как
p • Dr X F = (у X Dr) ¦ (у X дг/\ дг \) = \v X дг I2/I 5r I = I 5r I
на ®p - ®p _ €, то
f gds = f -(r~p + e)v(gD X F + DgX F)dA +
a<sp ep - ep _ e e
+ - { / g\dr\dA ~ J g\dr\dA) ,
e ©p <sp „ €
и, так как 0 < (г - p + e)/e < 1 на @р - <5p _ e, то, устремив е ->0, по-
получаем A6.77).
Основная оценка Гёльдера будет получена как следствие оценок для
интеграла ?>(р; Z), определенного при Z Е® и р > 0 равенством
d<p\2dA
(ср. с интегралом Дирихле, использованным в гл. 12).
Следущая лемма, результат которой можно сравнить с неравенством
A2.8), дает оценку ©(Д/2; Г)- В утверждении леммы и далее через Aj
376

обозначена постоянная, удовлетворяющая неравенству
А (®зя/4 (Г)) < Лх (ЗД/4J . A6.79)
В следующем разделе будет показано, что если поверхность ® является
графиком, гауссово отображение которого (К, К1)-квазиконформно,
то можно получить оценку Ах через К и К *R2.
Лемма 16.13. Предположим, что отображение у — (К, К9)-квази-
конформное отображение © в 3 класса С1. Тогда
©(Я/2; Y) <С, A6.80)
где С= С(Ло,К, K'R2, At).
Доказательство. Пусть Гр , у = 1,..., п (р), — те же, что и
в A6.78). Предполагаем, что Гр ориентированы таким образом, что
можно на вр использовать формулу A6.68). Тогда, используя опреде-
определение A6.72) для/(<р) и A6.69), получаем тождество
S J&)dA = V / со,- о $—ds A6-81)
$р /= 1 г</> ds
для почти всех р Е @, R). Это тождество играет ключевую роль в до-
доказательстве основной оценки для ©(р; Z), проводимом в следующем
разделе. В рассматриваемом случае достаточно применить неравенство
Шварца и неравенство I dipf/dsl < I 6<p,- I, i = 1, 2, 3. Все это вместе с
A6.81), A6.70) и*A6.77) приводит к оценке
I / J($)dA I < (sup I со I) • I by\ds <
Gp 3 d©p
Л0( / \Ыр\*<ЬI12{ f
bGp 3©p
/ \6r\dA)ll2,
p p
имеющей место для почти всехр€ (Q9R). Таким образом, так как I 5r I <
< I Dr I = 1, то из A6.76) получаем, что для почти всех р G @, 3R/4)
©(р) < 2Л0 UU</'(P)©'(P)I/2 + Л^'Л2,
где ®(р) — сокращенная запись ®(р; У) и где
яр) =^(вР(т
Отметим, что /' (р) и ©' (р) существуют для почти всех р G @, Л), ибо
функции /(р) и ©(р) не убывают по р. Возводя в квадрат обе стороны
полученного неравенства, получаем
©2(р) < 8(Л0КJ/'(Р)?>'(Р) + 2(ГЛ,Д2J.
Пусть
?(Р) =f(P) + РЯ
(так что g'(p) > R) и
р/Л.
377

Тогда из полученного неравенства следует неравенство вида
€2(Р) < СЗ?'(Р)«'(Р)
для почти всех р е (Я/4, Л/2), где С = С(Ло, A, A: 'Я2, Л2). Отсюда
) >
() > 7. A6.82)
dp \«(р)/ tt'(P)
Воспользовавшись неравенством Гельдера и монотонностью ?> получаем
ЗЛ/4
< (gCR/4) - g(R/2)) f
так что
dp (Я/4J (Я/4J
> >
/г{2 7(рУ > g(bRIA)-g(RI2) > gCRI4) '
Далее, проинтегрировав A6.82) по интервалу (Я/2, ЗЯ/4) и воспользо-
воспользовавшись только что полученным неравенством, получаем
J1 2
«(R/2) «CR/4) " CgQR/4)
Поэтому
d(R/2) < ^[A{&3R/4(Y)) + R2}
Теперь требуемая оценка A6.80) получается при помощи A6.79). ?
В следующей теореме дается основная оценка для ©(р; Z)- В утверж-
утверждении теоремы и далее через Л2 обозначена постоянная такая, что
H2dA < Л2, A6.83)
где Н = (к\ + к2 )/2 — средняя кривизна @.
Теорема 16.14. Предположим, что Тр — (А^, К ^-квазиконформ-
^-квазиконформное отображение в в 3 класса С1.
X>(p;Z)<C(p/R)° A6.84)
Z Е ©^/4 (У) w все* Р €= @, Я/4), где С и а — положительные
постоянные, зависящие только от Ло, К, К R2, Лх мЛ2.
Доказательство. Обозначим ®р = ®P(Z) и ?)(р) = й(р; Z),
где Z G ©я/4(У)- Пусть г - функция расстояния до точки Z, г (X) =
= I X — Z\, XG R3. Возьмем р G @, Я/4) такое, что 8г не равно нулю
на Эвр, так что мы можем считать выполненными A6.77) и A6.78).
Так как кривые Гр замкнуты, то
378

Следовательно, если Xj — начальная точка Гр7 (соответствующая зна-
значению s = 0), то интеграл в правой части A6.81) может быть записан
в виде
__ _ d\pt
/,.ч (<*>* о <Р - со,- о <p(Xj)) — ds.
rw) as
Поэтому из A6.81) получаем
г
I J
() (
I / JQp)dA I < 2 sup I со о Tp - со о
Sp /= 1 l(/)
}
ds /.
ГО)
"(p)
f I6co
< sup IDio I S ( / I 8$ IdsJ <
S /= i r(/)
(в силу A6.70))
2Р /
/ = l r(/)
(в силу неравенства Шварца)
^ Ло( / I8ф
(в силу A6.77))
= Л0(?>р / \d<p\2dA)(Dp f
dr\ds)
СЛор©'(Р)
в силу A6.36), где С = C(At, Л2 ). Привлекая A6.76), получаем
©(р) < с ia: |лоря>'(р) + с'/Гр2
для почти всех р G @, Л/4), где С' = C'(At, Л2) в силу A6.34). Теперь
положим
€(Р) =©(Р) + (Р/ЛJ.
Нетрудно убедиться, что предыдущее неравенство можно записать в виде
в(р) <Срв'(Р).
где С = С(Ло, К, KfR2, At, Л2), а последнее - в виде
— logg(p) >(СрУ%.
dp
Так как 6(р) — возрастающая функция р, мы можем проинтегрировать
и получить неравенство
C-1logDp//?)> p
379

Таким образом,
в(р) < 4а«(Д/4)(р/Д)а, р
где а = С1. Так как <&R/4 (Z) С S#/2 (У), то
<?(Д/4) < ©(Л/2; У) + 1/16.
Требуемая оценка получается теперь из A6.80). ?
Используя обобщенную оценку Морри (лемма 16.4), можно из тео-
теоремы 16.14 получить оценку Гёльдера для (К, К1)-квазиконформных
отображений.
Теорема 16.15. Предположим, что у - (К, К ^-квазиконформ-
^-квазиконформное отображение 6 в 3 класса С1. Тогда
sup I Jp(X) - Tp(Y) I < C(p/R)a, p G @, Д/4), A6.85)
хееД(У)
где С и а - положительные постоянные, зависящие только от Ao,K,KfR2,
Л1? Л2, а ®р(У) - компонента вр(У), содержащая Y.
Доказательство. Пусть Z — произвольная точка &R/4 00- В
силу неравенства Гёльдера и оценок A6.84) и A6.34) имеем
6*, Ш < (ССу/2р(р/Л)а/2, р G @, Л/4), i = 1,2,3,
где С, а — такие же, как в A6.84), и С- - С' (Al9 Л2). Таким образом,
выполнены условия леммы 16.4 с К = (СС'I'2 и /3 = а/2. Отсюда сле-
следует утверждение теоремы. ?
16.6. Графики с квазиконформным гауссовым отображением
В этом разделе поверхность в является графиком {(jc, z) G R3 I x G
G Г2, z = и (x) } функции и класса С2 (Г2), у — фиксированная точка об-
области ?1. Мы будем предполагать, что область 12 содержит крут-В& (у) =
= {xGR2 \'\х - у\ < R) . Через У обозначим точку (у, уъ) (уъ = и (>»))
поверхности в, через v — поле единичных нормалей, определенное на
Г2 X R равенством
/ Du(x) 1\ г-
v(x9 z) = v(x) = ( — , -), и = VI + IDu 12, x G ft, z G R.
\ v v/
Гауссовым отображением G поверхности ® называется отображение по-
поверхности @ на полусферу
R3 I 1X1 = 1, х3 > 0} ,
определяемое в каждой точке (jc, x3) G ® равенством
G(x,x3) =v(x,x3). A6.86)
Остальные понятия и терминология — такие же, как в разделах 16.4 и 16.5.
Для у = G осуществим явное вычисление величин \ 8ф \2 и /(^)- Это
делается непосредственно с помощью введения новых координат, как
и в разделе 16.5. В этом случае функция 'ф определяется равенством
\ЙГ) = -A +
380

так что из A6.74) и A6.75) следует, что
= Dxxu@)D22u@)-(Dx2u@)J
Тогда в силу результатов раздела 14.6 имеем
\bG\2(Y)=K\ + к\, A6,87)
где кх ,к2 - главные кривизны @ в точке Y. Произведение кх, к2 появив-
появившееся в A6.87), назьюается гауссовой кривизной ©; это весьма важный
геометрический инвариант теории поверхностей.
Вспомнив определение A6.76), с помощью тождеств A6.87) убежда-
убеждаемся, что отображение G является (К, К1) -квазиконформным тогда и толь-
только тогда, когда в каждой точке @ главные кривизны кх, к2 удовлетворя-
удовлетворяют неравенству
к\ +к\<гКкхкг +К\ A6.88)
Мы видим, что квазиконформные отображения полезны при изучении
уравнений поверхностей типа уравнений со средней кривизной. Действи-
Действительно, возводя A6.63)' в квадрат, получаем равенство
1 о 2 -
— к\ + — к\=
а2 <хх
Отсюда на основании A6,64) и A6.65) получаем, что гауссово отобра-
отображение G графика решения уравнения A6.63), удовлетворяющего A6.64)
и A6.65), является (К, К'у-квазиконформным с постоянными
К = -ъ К' = УЦ2. A6.89)
Поэтому все результаты, полученные в этом разделе для графиков, имею-
имеющих квазиконформное гауссово отображение, применимы к графикам
решений уравнений A6.63), A6.64), A6.65).
Мы хотим в итоге применить теорему 16.15 к гауссову отображению
С, но сначала нам потребуется осуществить выбор подходящих постоян-
постоянных Ло, Ах и Л2 • Ранее, в разделе 16.5, мы видели, что можно взять
1+*з 1+*з
Легко проверить, что подходящим значением постоянной Ло является
значение Лб = 4. Далее, в силу леммы 16.13 и равенств A6.87) имеем, что
если отображение G (К, К1) -квазиконформно, то
где CrC(KfKfR29Axy Так как
к\ +*1> - (кх +к2J =2#2,
то мы можем взять А2 = С/2, где постоянная С определена выше. Следую-
381

тая лемма показывает, что мы можем взять величину Аг зависящей толь-
только отКиК'Я2.
Лемма 16.16. Предположим, что отображение G (К, К1)-квазикон-
К1)-квазиконформно. Тогда для каждой точки Z Е © и для каждого числа р > 0 таких,
что Ър (Z) С вд (Y), выполняется неравенство
iep/2(Z)|<<V, A6.90)
edeC = C(K,KfR2).
Доказательство. Отправляемся от тождества A6.44). Пользу-
Пользуясь формулой A4.104), запишем его в виде
( ) f
п п
для произвольной т? G Co(?l). Здесь Н(х) = Н(х, и(х))9 Kt(x) = К/(х,
и (х) ), х ? ?2. Если т/ G Со (?2), то, интегрируя по частям, имеем
и поэтому, так как Я = (кх +к2)/2,
-2f Ki^r^dx^ f (ViVkDikv-2
для всех г/ G Co (?2). Заменяя т/ на т?2 и используя A6.88), получаем
п
Так как
4/:(/Ci +/с2)т?|/)т?|< - (к\ +к\)п2 +DKDriJ,
то
- /(«! +/<!)т?2<*х
где С = С (К). Пусть теперь р > 0 и Z = (z, w (z)) таковы, что 2?р (z) С ?2,
и пусть функция т/ выбрана так, что 0<т?<1в?2, т?=1 на/?р/2 (z), т/ = 0
на ^2 - Bp(z), \Dr} | <с/р, |D2171 <c/p2, где с - абсолютная постоянная.
(Ясно, что такая функция существует.) Так как К' <KfR2/p2, то
/4*1 +*2)т72<*х<С A6.91)
п
где С = C(jRT, K*R2). Используя неравенство Гёльдера, можем записать
/ (Яг? \dx<(J {HnfdxI!2 \Bp{z) I1/2 <(СяI/2р.
Утверждение леммы следует теперь из A6.53). ?
Из леммы 16.16 и теоремы 16.15 для выбранных постоянных Ло, Ах
вытекает: если отображение G (К, К*) -квазиконформно, то
sup \T(X)-v(Y)\<C(p/R)a, р€@,Д), A6.92)
€*(У)
382

где С и а — положительные постоянные, зависящие только от К, K'R2.
Заметим, что мы установили A6.92) для всех р ? @, #)> что несколько
лучше условия р ? (О, R/4) из теоремы 16.15. Мы смогли это сделать,
так как | v" | = I (в силу чего неравенство A6.92) автоматически выпол-
выполняется при р? (R/4,R)).
Оценка A6.92) может быть использована для получения несколько
более сильных результатов о регулярности для ©. Сначала воспользуем-
воспользуемся A6.92) для получения некоторых результатов о локальных непарамет-
непараметрических представлениях ©. Пусть Р - ортогональное отображение R3
такое, что
Н0) = Рп(у,у3) = @,0,1),
и пусть
где в G @, 1). Так как © является поверхностью класса С2, то мы можем
считать, что для достаточно малого числа в существуют окрестность % точ-
точки 0 ? R2 и функция и класса С2 (%) такие, что Du @) = 0 и
в = графики = {(Г,Гз)еК31Ге«,Гз=1|(ОЬ A6-93)
Кроме того, записывая
в силу A6.92) имеем
где С, а. - такие же, как в A6.92). Поэтому
A +1/>11(Г) I2)1/>м(Г) I2 + [A + I/>и(О I2)'2 - 1]а <
<(СваJ, (GV.
Отсюда
\Du({) I < [1 - (С0*J] -1'2 Сва < 1/2, A6.94)
если только число в таково, что
Сва <1/3. A6.95)
Так как выполнено A6.94), то мы можем доказать, что представление
описанного выше типа имеет место для любого 0, удовлетворяющего
неравенству A6.95). Это следует из того факта, что если число в е @,1)
таково, что выполнены A6.93) и A6.95), то, используя гладкость по-
поверхности S и оценку A6.94), мы можем продолжить и так, что представ-
представление вида A6.93) имеет место для &\e+€yR (У) (е > 0), а не только для
®0д(*О- Для дальнейшего отметим, что из A6.94) следует включение
BeR/2@)C(U. A6.96)
Теперь мы можем доказать нетривиальный результат о связности.
Лемма 16.17. Предположим, что отображение Gявляется (К, К*)-ква-
зиконформным. Тогда существует постоянная в G @, 1), зависящая толь-
только от К, K'R2, такая, что компонента @Р(У) связна для всех р < 0Д.
383

Доказательство. Через С\, С2,. .. будем обозначать постоян-
постоянные, зависящие только от К, К'А2, через Ва, о>09— открытый шар
{X G R3 ||X - Y | < а}. Пусть число в G @, 1) удовлетворяет неравен-
неравенству A6.95), р = 6R/2r j3 G @, 1/4). Определим множество (?р как объе-
объединение тех компонент &р/2 (Y), которые пересекают шар Врр. Для каж-
каждой компоненты #? 6р мы можем найти точку Z G !§ С\ Врц такую, что
8 С ©* (Z). Заменяя Г на Z и Л на Л/2 в доказательстве предыдущей лем-
леммы, мы получим, что компонента iS может быть представлена в виде
A6.93), A6.94). Используя такое непараметрическое представление для
каждой компоненты & Е <5р, а также используя то, что никакие две ком-
компоненты <?? не пересекаются, мы получаем, что объединение всех компо-
компонент & G бр вложено в область, лежащую между двумя параллельными
плоскостями tti , тг2 такими, что
A6.97)
где постоянная а — та же, что и в A6.92).
Покажем теперь, что дня чисел |3 и в, выбранных соответствующим об-
образом, в зависимости только от А" и KfR2, существует только одна компо-
компонента (обозначим ее ®р/2(У)), лежащая в dp. Предположим противное:
пусть существуют две различные компоненты &\,&г е <?#• Компоненты
Ч§\ и &2 можно взять соседними в том смысле, что множество У, ограни-
ограниченное поверхностями 8г> &2 и Э2?р/2, не содержит других компонент
S&G <??• Таким образом, множество ФС\ Врр целиком расположено или
выше графика в, или ниже графика в; тогда очевидно, что если единич-
единичная нормаль V направлена на &г из V (в 2^), то на Э\ она направлена из
2* (в2^). Кроме того, в силу A6.97) имеем
volume 2^= | V |< Сг @ + 0а)р3,
агеа(V П Э5р/2) = Л (^ П ЪВр/2)<С30 + 0а)р2. A6'98)
Применив теорему о дивергенции на 2^, получаем
- f rf -VdA),
где ^" - единичная внешняя нормаль к Э2?р/2. В силу A6.11) и A6.98)
получаем
Отсюда в силу A6.98) и A6.91)
f\H(x)\dxdx3<(fH2(x)dxdx3)l'2\V\1l2
у* у»
Вр/2
Следовательно, если 0 + 0а < 1, то
Л(»1)+^(^2)<С5\^ + ^Р2. A6.99)
384

С Другой стороны, использовав непараметрическое представление вида
A6.93) с условием A6.94), приходим к неравенству
А($)>СбР2 A6.100)
для каждой компоненты $ Е <??, где С6 - абсолютная постоянная. (Так
как ©p/4(Z) С &, то из A6.94) мы можем вывести, что A6.100) выпол-
выполняется с постоянной С6 = 7г/64.) Неравенства A6.99) и A.100) противоре-
противоречат друг другу, если взять числа 0, в достаточно малыми (но зависящими
от К и K*R ). Выбирая такие 0,0, имеем
Использовав представление вида A6.93), A6.94) для@р/2(У), МЬ1> оче"
видно, получим, что ®р/2 (У) ^ Врр связно. Таким образом, связно и
Ърр(У) = ^QdRiiiX)- Отсюда следует утверждение леммы, ибо числа
0, 0 зависят только от К, K*R2. ?
В силу полученного результата о связности можем теперь заменить в
A6.92) &*р(Т) на ©Р(Г) для р <вЯ. Кроме того, так как | V | =1, нера-
неравенство вида A6.92) тривиально для р > OR. Итак, справедлива следую-
следующая теорема.
Теорема 16.18. Предположим, что отображение G является (К,К')-
квазиконформным. Тогда
sup \V(X)-v(Y)\<C(p/R)a, pe@,R), A6.101)
где С и а - положительные постоянные, зависящие только от К, K*R2.
Замечания, (i) Из оценки A6.101) следует, что
\?(Х)~п(Х)\<2аС(\Х-Х \/R)a A6.102)
для всех X, X G ®#|4(У)- Достаточно в A6.101) взять X вместо Y и
R/2 вместо R.
(ii) Если К* = 0 и ?2 = R2, то в A6.101) можно устремить R -+°° и по-
получить, что v (X) = ?~(У) на в. Таким образом, справедливо следующее
утверждение,
Следствие 16.19. Предполоошм, что отображение G является
(К, 0)-квазиконформным и ?1 = R2. Тогда функция и линейна.
Отметим, что следствие 16.19 можно установить сразу, если в A6.94)
устремить R -+ °°, без предварительного доказательства A6.101) или да-
даже A6.92). Однако мы все же воспользовались леммой 16.16, чтобы по-
показать, что постоянная Ai может быть выбрана зависящей только от К.
16.7. Приложения к уравнениям
типа уравнений со средней кривизной
Здесь поверхность & будет графиком решения уравнения A6.63), удов-
удовлетворяющего условиям A6.64) и A6.65). Используемая терминология-
та же, что и в разделах 16.4-16.6.
Сначала заметим, что поскольку гауссово отображение G автоматически
является (К, К*)-квазиконформным с постоянными, определенными ра-
25. Д. Гилбарг 385

венствами A6.89), то теорему 16.12 можно вывести непосредственно из
следствия 16.19.
Покажем, что теорема 16.18 приводит к оценке главных кривизн кх, к2
поверхности ®, если коэффициенты aiJ\ b удовлетворяют условию Гёпьде-
ра с соответствующим показателем. Чтобы убедиться в этом, дополним
матрицу [цУ] до матрицы размера 3X3 (ср. с процедурой из раздела 16.4)
элементами J31 =ахъ,с?г = я23, я33,определенными равенствами
au(xt z, р) = a* (*. z, р) = 2 рр* (*, z, p), i = 1, 2,
(x,z,p)e flXRX R2,
j3 3 (x, z, p) = 2 PiPjd'ix, zt p).
Удобно представить a1*, b как функции X - (x, z) G п XRh? =
= A + | pi2)"/2 в виде
аНх>*) = аЧх.г.р), /,/=1,2,3,
ft*«5)=(l+ \p\2r1/2b(x,z,p)
для (x, z, p) G Л X R X R2. Заметим, что величиныa*J, b* определяются на
множестве (п X R) X { f G R3 | | f | = 1, f 3 > 0). (В случае, когда урав-
уравнение A6.63) является непараметрическим уравнением Эйлера эллипти-
эллиптической параметрической вариационной задачи, в дополнении 16.8 мы пока-
покажем, как естественно возникают функции >alj, ?*.) Предположим теперь,
что функции а*> Ь*удовлетворяют условиям Гёльдера
|4(Х,*)- *1'(Х,")| <nl{(\X-X\/R)fi + \v-f\t},
_ _ а A6.103)
\Ъ.(Х,?)-Ь*(Х97)\ <n2i(\X-X\/R)P + \v-T\V},
для всех X, ХЕ п X R и всех F, ^ G { f G R3 | | f | = 1, Г3 >0},гдем!,
М2 и ^ — постоянные, причем j3 G @,1).
Теорема 16.20. Предположим, что выполнены A6.63), A6.64),
A6.65) и A6.103). Пусть /q, к2 - главные кривизны @ в точке Y. Тогда
к\ + к\ < C/R2, A6.104)
Доказательство. Выберем число д достаточно малым, чтобы
множество ®вя(У) было связным (лемма 16.17) и чтобы оно имело
представление вида A6.93), причем было выполнено A6.95) (а, следо-
следовательно, и A6.94)). Применяя такие же, как и в разделе 16.4, рассужде-
рассуждения к паре: поверхность © и преобразованная поверхность ©, определяе-
определяемая A6.93), мы получим, что функция «удовлетворяет на % уравнению
вида
S1f/(J)D^tt+ КГ)= 0, A6.105)
386

причем
доя всех fG R2,h
Отсюда, в сипу A6.94), для всех f Е В =Ввя/я @) имеем
Ш2/2 <2^(П«/ <тШ2, I ft (О К 2м. A6.Ю6)
В силу A6.103), A6.102) и рассуждений раздела 16.4 отсюда следует,
что справедливы оценки Гёльдера
Т Г/Тед /,/ = 1,2,
A6.107)
Кроме того, из A6.94) и того, что и^О) = 0, следуем, что
sup| 21 < R. A6.108)
в
Используя, далее, внутреннюю оценку Шаудера (теорема 6.2) вместе с
A6.106), A6.107) и A6.108), получаем, что
> CR,
где С- С (% l*R, Мь М2Я ^)- в частности,
2 | Dtj и @) | < С/Л,
откуда с помощью A6.87) следует утверждение теоремы. ?
Оценка Гёльдера A6.101) может быть использована для получения
оценок градиента решения и уравнения A6.63), удовлетворяющего усло-
условиям A6.64) и A6.65). Следующая теорема карается однородного случая,
когда не налагаются ограничения на гладкость и непрерьюность коэффи-
коэффициентов.
Т ео р е ма 16.21. Предположим, что выполнены A6.63), A6.64),
чтоЬ = 0и функции а** (х, и, Du), i, / =1,2, измеримы в п. Тогда
\Du(y)\ < d ехр(С2тя/Д), A6.109)
еде
mR = sup (и-и (у))
х !G),22G)
Доказательство. Как и в теореме 16.20, предположим, что чис-
число в столь мало, что множество &eR(У) является связными что спра-
справедливы представления A6.93) и A6.94). Заметим, что, так как Ъ = 0,
25* 387

мы можем выбрать число в в зависимости только от у. Также мы можем
предположить, что в матрице Р= \рц ] элемент р3 2 =0» Поэтому
A6.110)
Теперь (так как Ъ = 0) уравнение A6.105) можно записать в виде
ocDxl и + 2pD12 и + D22u = 0,
где а = сГц/а22И 0 = ос12/^22. Умножим его i&p3lDnp, где <pG Со (Ш ),
и проинтегрируем по %. Поскольку
=- f D2uD12yd$ = / D2
1
то,обозначив ф= Рз1 А и - p33,получаем
/ (aD i^Dup + 2j3Z>2 \pDi if + D2 \pD2 ф) d$ = 0.
Мы видим, что функция ф является слабым решением равномерно эллип-
эллиптического уравнения
Dx (olD^ + 2($D2 ф) + D2 (D2 ф) = 0
на %. Кроме того, в силу A6.110) на % выполняется неравенство ф>0.
Следовательно, можно применить неравенство Харнака (теорема 8.20)
к функции ф и получить неравенство
sup ф < С- inf ф9 A6.111)
где С = СG). Однако на основании A6.110) и A6.94)
\2)-^2 < ф@ < 2A + \Du(x)\2)-V2
на *М, и следовательно, определив функцию v на 12 X R равенством
v(x,z) =A +|Dw(x)|2I/2, j
из A6.111) получаем, что
sup v(X) < С- inf
X(=BeR/2 X^eRfl
где С = С (у). Варьируя Y, найдем число х е @, 1/2), зависящее только
от % такое, что v(Xi) <Cv(X2), где точки Хх = (хA), ы(хA))) и Л =
= (хB\ ы(хB))) таковы, что | ^ - Х2 \ ^^B)
Положим теперь
Пусть точки Fi = O>A), w CVA))) иУ2 = (iVB), "ОB))) таковы, что
388

I Du (/D) | = sup | Du I, I Dm 0>B)) I = inf I Z>w |.
Возьмем совокупность Хх, . . . , XN точек в @ П (Д*л (j>> X R) такую,
что I Xi+1- X( | < \Rii = 1* • • • ,#- 1,итакую, что ^ =Fb XN= Y2.
Применив A6.111) N раз, получим неравенство v(Yi) <CNv(Y2), из
которого следует, что
\Л+ \Du\2 < С^ inf
sup
Число TV можно взять так, что 7V< C(mR/R + 1), где С = С(у). Следова-
Следовательно,
sup yjl+\Du\2 <{d exp(C2тЛ/Л)} . inf y/ 1 +|Z)w|2,
A6.112)
где Ci = Ci G), C2 = C2 (т)- Теорема 16.21 следует теперь с помощью
неравенства inf | Du \ <x-1^i?/^ (см. задачу 16.5). D
Оценка Гёльдера для V может быть также использована идя получения
оценки градиента и в неоднородном случае, однако при этом на функции
аЦч b* необходимо наложить условие Липшица. Интересующегося читателя
отсылаем для справок к [253].
16.8. Дополнение: эллиптшеские параметрические функционалы
Пусть ?2 — ограниченная область в R2. Рассмотрим функционал /, опреде-
определенный на отображениях Y = Gi,.F2, Y3): SI -> R3 класса С1 равенством
I(Y) = /G(x, Y,DlY,D2Y)dx, A6.113)
п
тде G = G (х, X, р) — заданная непрерывная функция аргументов
(jc, X,p)<ER2 X R3 X R6. (Здесь, как обычно, D{Y= (DiYx,Dt Y2,Dt Y3)
Для i =1,2.) Выясним, какие функционалы / остаются инвариантными при
диффеоморфизмах ф пространства R2, сохраняющих ориентацию. Это зна-
значит, что если ф - диффеоморфизм R2 на себя с положительным якобианом,
то выполняется равенство
/ G (Г, %), А К(Г), D2 К(Г)) d$ = / G (х, Y (x\ Dx У (jc), D2 Y (jc)) dx,
si'
где ?1' = i^(ft )иУ=Уо i/г1. Несложное вычисление (см. [208, с. 349])
показывает, что это равенство будет иметь место для всех рассматривае-
рассматриваемых диффеоморфизмов и областей тогда и только тогда, когда на R3 X
X R3 существует веществ еннозначная функция F такая, что
G (х, X, р) = F{X, Р\ (х, X, р) е R2 X R3 X R6, A6.114)
389

где
Р = (PsPs -РгРв, Р\Рб -РъРа*Рт.Ра ~ PiPs)
и
F(X, Xq) = XF(Xf q), (X,q)e R* X R3, X> 0. A6.115)
Заметим, в частности, что из A6.114) следует, что G(x, X, р) не зависит
отх, T.e.G(x, Xtp) =G@,I,p) для всех (xJC, p) G R2 X R3 XR6.Eara
взять р = (?>! У, D2 У), где У — отображение ?2 в к3 класса С1, то Р опре-
определяется формулой
Р = (D1Y^D2Y2 - DtY2. D2Y3tDtY^ D2Y3 -
-DXY3 • IhYuD^. D2YX -DXYX. D2Y2\
Известно, что если отображение Y взаимно однозначно и ранг матрицы
Якоби [DjYf (х)] равен 2 для всех х G Г2, то последнее тождество можно
записать в виде Р = х^» где v ~ единичная нормаль к поверхности © =
= {У(Зс) | #Е?2},ах — коэффициент растяжения площади преобразования
Y. Таким образом, предположив, что поверхность © ориентирована при
помощи нормали ?, для которой х > 0, мы можем записать
I(Y) = JF(X9p(X))dA(X).
ь
Следовательно, функционал /(К) определен внутренним образом самой
ориентированной поверхностью в, а не конкретным отображением F,
представляющим поверхность ©. В итоге мы приходим к рассмотрению
функционала /, определенного на гладкой ориентированной поверхности
® пространства R3, имеющей конечную меру, равенством
/(в) = / F (X, 7(X))dA (X), A6.116)
б
Этот функционал удовлетворяет соотношению/( © ) =/(К), если Y —
взаимно однозначное отображение 12 в R3 класса С1 такое, что © =
={Y(x) I х ? ?2}и ранг матрицы [Dj У/] равен 2 в каждой точке 12.
Функционал вида A6.116), в котором функция F удовлетворяет
A6.115), будем называть параметрическим функционалом. Функционал /
называется эллиптическим, если функция F принадлежит С2 на R3 X
X (R3 — {0}) и если выполнено условие выпуклости
> UT1 1ST, Г= t-« • Q/\q\)q/\q\, A6.117)
для всех X Е R3, q G R3 -{0} и ? ? R3. Заметим, что с точностью до ска-
скалярного множителя условие A6.117) вместе с условием однородности
A6.115) является условием сильной выпуклости функции^.
Рассмотрим непараметрическую поверхность в, заданную соотношением
где и ? С2 (П). В качестве v возьмем единичную нормаль вида
(Du, -1)/Vl + I /)w I 2. Получим
/(©) = fF(x,u,Du(x\-l)dx.
390

Здесь мы воспользовались равенством dA = \г1 + | Du \2 dx. Выражение
в правой части можно рассматривать как непараметрический функционал,
определенный на функциях м€С2A2). Уравнение Эйлера-Лагранжа для
этого непараметрического функционала имеет вид
Я Dt[DqiF{x,u9Du9-l)] -Dx§F(x9u,Dut-l) = 0.
Используя цепное правило и условие неоднородности A6.115), несложно
убедиться, что полученное уравнение можно записать в виде
где
v (x9u9Du9-l)9 i9 /= 1,2, A6.118)
b(x9u9Du) = v Ъ DqiXiF(x9u9Du9.-l) A6.119)
и v = y/l + \Du |2. С помощью A6.115), A6.17) нетрудно проверить, что
имеют место A6.64) и A6.65) с постоянными у и ц, зависящими от F.
Таким образом, непараметрическое уравнение Эйлера-Лагранжа для эл-
эллиптического параметрического функционала является уравнением типа
уравнений со средней кривизной.
Покажем, наконец, как функции aff9bm9 введенные в разделе 16.7,
естественным образом появляются в проводимых рассмотрениях. Дейст-
Действительно, несложно проверить, что если функции а^9 Ъ определены фор-
формулами A6.118), A6.119), то a *J\ b* определяются формулами
Ъ.(Х9Т)= I DqiXtF(X9p);
кроме того,еслиFG С3(R3 X (R3 - {0»), то условие A6.103) выполняет-
выполняется автоматически с постоянными Цх, д2 > зависящими от F.
Примечания
Внутренняя оценка градиента (теорема 16.5) для уравнения минималь-
минимальных поверхностей в случае двух переменных была получена Финном [304]
и в общем случае — Бомбьери, Де Джорджи и Миранда [36]. Внутренняя
оценка градиента решений уравнения поверхностей с заданной средней
кривизной A6.1) была впервые доказана Ладыженской и. Уральцевой
[149]. Методы обеих работ [36] и [149] использовали изопериметричес-
кие неравенства Федерера и Флеминга (см. [301]) и получающиеся нера-
неравенства Соболева (см. [196] и [149]). Наш вывод теоремы 16.5, вместе
с предшествующим материалом раздела 16.1 является упрощенным вариан-
вариантом доказательства, данного Михаэлем и Саймоном [203] и Трудингером
[287], [289]. Важная идея использования методов, аналогичных мето-
391

дам классической теории потенциала, была использована Михаэлем (не
опубликовано) для упрощения получения неравенства Соболева работы
[196] и затем использована в [203] и в [287], [289]. Формула интегри-
интегрирования по частям (лемма 16.1) доказана Морри [206]. Неравенство для
средних значений (лемма 16.2) доказано Михаэлем и Саймоном [203],
а его обобщение — лемма 16.3 — по существу получено в [289]. Обобще-
Обобщение на случай поверхностей оценки Морри (лемма 16.4) дано в [253].
Процедура, описанная в резделе 16.2, с помощью которой мы получили
внутреннюю оценку градиента из неравенства потенциального типа, лем-
лемма 16.3, взята из [287], [289].
Теоремы существования 16.9 и 16.11 для случаев гладких граничных
данных были доказаны Серрином [264]. Теорема 16.10, по существу,
появилась у Джиаквинта [83]. Отметим, что результаты раздела 16.3 могут
быть получены с помощью вариационных методов, описанных в разде-
разделе 10.5. В последние годы соответствующие вариационные задачи были
изучены в пространствах функций ограниченной вариации (см., например,
[39], [61-64], [83], [84], [200]). Другой метод для уравнений поверх-
поверхностей с заданной средней кривизной описан в [281].
Изучение уравнений типа уравнений со средней кривизной, проведенное
в разделе 16.5, следует работе [253], [255]. Пионерские работы для дву-
двумерных уравнений такого типа принадлежат Финну [303], [304], который
рассмотрел случай fi (jc, z, p) = aij\p) и Z>= 0. Финн назвал эти уравнения
уравнениями типа уравнения минимальных поверхностей и ввел структур-
структурные условия для матрицы коэффициентов, отличные от условий A6.64),
но эквивалентные им. Оценки градиента впервые были получены в [303],
[304]. Дженкинсом и Серрином [81] были получены усовершенствования
(включая неравенство, похожее на неравенство Харнака теоремы 16.21)
для более специализированного класса уравнений, нежели класс уравне-
уравнений, рассмотренный в [304] (по существу — для уравнений вида A6.63)
с Ъ = 0, с такими же, как в A6.118), коэффициентами alJ\ и с некоторой
функцией F, удовлетворяющей условию F(X, р) = F@, p )). Неравенство
A6.112) является, по-видимому, новым. Оценка кривизн, аналогичная
оценке из теоремы 16.20, была сначала получена для уравнения минималь-
минимальных поверхностей Хайнцем [316] и в более сильном виде — Хопфом [327]
и Оссерманом [230]. Дженкинс [80] и Дженкинс, Серрин [81] получили
аналогичные оценки кривизн для уравнения вида A6.63) в случае, когда
Ъ = 0 и коэффициенты д|; имеют вид A6.118) с некоторой функцией F,
удовлетворяющей условию F(X, р) = F@, р). Оценки в [327], [230], [80]
и [81] были по существу получены в более сильном виде
2 2\ A6Л20)
Методы разделов 16.4—16.7 могут быть для специального класса уравне-
уравнений, рассмотренных в [80] и [81] , модернизированы так, что будет полу-
получено неравенство вида A6.120). Это показано в [253]. При Ъ Ф 0 несложно
показать, что оценка, аналогичная A6.120), в общем случае не имеет
места. Из результатов об оценке кривизн для случая Ъ Ф 0, предшествую-
предшествующих результатам, изложенным здесь и в [253], авторам известны лишь
результаты Спрука [269] для уравнения поверхностей постоянной сред-
392

ней кривизны. Следует упомянуть также о результатах для специальных
классов параметрических поверхностей, полученных в [230], [80], [81]
и [255].
Общий результат типа теоремы Бернштейна (следствие 16.19) был по-
получен Оссерманом ([231], с. 137); этот результат хорошо известен
(и имеется много его доказательств) для уравнения минимальных по-
поверхностей (см., например, [219]). Для класса уравнений, введенных
в [80], Дженкинс доказал соответствующий результат, устремляя R -+ °°
в неравенстве A6.120). Вопрос о справедливости теоремы Бернштейна
для уравнения минимальных поверхностей в R" при п > 2 стимулировал
изучение минимальных поверхностей со многими переменными. Симон-
сом [259] доказана справедливость теоремы Bej нштейна в случае п < 7.
При этом использовались некоторые идеи Флеминга [312] и Де Джорджи
[77]. Бомбьери, Де Джорджи и Джусти [36] показали, что теорема Берн-
Бернштейна не имеет места при п > 7. Оценки кривизн, аналогичные оценкам
теоремы 16.20, были получены для уравнения минимальных поверхнос-
поверхностей в случае п < 1 Саймоном [254]. Из них при п < 7 следует и теорема
Бернштейна.
Для более полного ознакомления с теорией двумерных минимальных
поверхностей читатель отсылается к книге [219]. О недавних результа-
результатах теории многомерных минимальных поверхностей см. [256], [257],
[90].
Задачи
16.1. Покажите, что, заменяя при построении функции х в доказательстве лем-
леммы 16.2 число п на некоторое число а, а < л, мы вместо A6.27) и A6.40) получим
следующие соотношения:
1- -.
gdA + I (r~a - R "^gHv -(x -y)dA -
/ (r~0L-R~0l)(x-y)'8gdA A6.121)
n %R
для
1 frgdA+ - /r a(l -\8r \2)gdA =
n/ € n <S
= fr"~0LgHv -(x-y) dA - — fr~a(x -y) -8gdA A6.122)
для W)
16.2. Используя A6.40) и A6.121), докажите следующие неравенства Соболева
для функций g^ClWy.
[f\g\pdA]lfp< C(w,p)(diam^I -WH(©)] 1/p / I 8g \ dA A6.123)
6 $
393

I
1)>Я0,гд(>Р)
[ / \g \2dA ]1/2 < —p / (I bg | + \Hg I)dA A6.124)
© \Jit 6
для л = 2. (Заметим, что в [203] неравенство A6.123) доказано для р = п/(п - 1).)
16.3. Пусть g - неотрицательная субгармоническая функция на гиперповерхности
@ с Rw+1 класса С2. Докажите следующее обобщение неравенства для среднего
значения A6.21):
g(y)<
/ gdA+ — / gH4At если я = 2,
6 4я
если л >2, Яо =sup \H\
6
16.4. Используя следствие 16.6 и неравенство Харнака (теорема 8.28), покажите,
что решение уравнения минимальных поверхностей в Rw, ограниченной сверху ли-
линейной функцией, само является линейной функцией.
16.5. Докажите неравенство
inf \Du\<x'1mR/Rt
использованное при доказательстве теоремы 16.21.
16.6. Используя A6.60), покажите, что постоянные Сх и С2 в теореме 16.5 и след-
следствии 16.6 зависят на самом деле только от л и от d2H1.
16.7. С помощью процесса Перрона, описанного в гл. 2, покажите, что условие
A6.60) достаточно для существования в области ?1 классического решения уравне-
уравнения поверхностей с заданной средней кривизной ЯЙм =ЯA + \Du |2K/2. Покажите,
что условие A6.60) с е0 = 0 необходимо для существования классического реше-
решения. Покажите, что это условие является также и достаточным [88].
ГЛАВА 17
ВПОЛНЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы исследуем разрешимость классичесской задачи Дирихле
для некоторых типов вполне нелинейных эллиптических уравнений, т.е. не-
нелинейных эллиптических уравнений, не являющихся квазилинейными.
Общее уравнение второго порядка, рассматриваемое в области ?1 прост-
пространства Rw, можно записать в виде
F[u] =F(x,i/,A/,Z>2w) = 0, A7.1)
где F — вещественная функция, определенная на множестве Г = ?1 X R X
X R" X R"Xw, где RnXn -п(п+ 1)/2-мерное пространство вещественных
симметричных п X п матриц. Точки множества Г мы будем обозначать
греческими буквами: у = (x9z9p,r), где х е ft, z G R, p G Rw и г GRwX n.
В случае, когда функция F — линейная функция переменных г, уравне-
уравнение A7.1) является квазилинейным; в противном случае оно называется
вполне нелинейным. Следующие определения, обобщающие соответствую-
394

щие определения гл. 10, делаются в предположении, что функция F диф-
дифференцируема по г.
Оператор F называется эллиптическим на подмножестве %у если матри-
матрица [F/;- G)] с элементами
-Т— G), /,/=1,...,и,
Ъгц
положительно определена при всех у = (х, z, p, г)В %. Обозначим через
\G)и ЛG) минимальное и соответственно максимальное собственные
значения матрицы [^/G)]- Будем назьгоать оператор F равномерно эллип-
эллиптическим {строго эллиптическим) в %9 если отношение Л/Х (отноше-
(отношение 1/Х) ограничено в %. Если оператор F эллиптичен (равномерно эллип-
эллиптичен, строго эллиптичен) на всем Г, то мы будем просто говорить, что
оператор F эллиптичен (равномерно эллиптичен, строго эллиптичен) в об-
области 12. Пусть и Е С2 A2). Если оператор F эллиптичен (равномерно эл-
эллиптичен, строго эллиптичен) на области значений отображения х и- (х, и(х)9
Du(x)9 D2u(x))> то мы будем говорить, что оператор F эллиптичен {рав-
{равномерно эллиптичен у строго эллиптичен) на функции и.
Примеры, (i) Уравнение Монжа-Ампера
F[u] =detD2M-/(jc) = 0. A7.2)
В этом случае Ftj G) — алгебраическое дополнение гц и оператор F эллип-
эллиптичен только для положительно определенных г . Согласно определению
уравнение A7.2) эллиптично только на таких функциях и G С2(?2), кото-
которые равномерно выпуклы во всех точках 12. Для существования такого
решения функция / должна быть положительной.
(ii) Уравнение поверхностей с заданной гауссовой кривизной.
Пусть функция и € С2 A2 ). Предположим, что график функции и име-
имеет гауссову кривизну К(х) в точке (х, и(х)), jcG12 . В этом случае (см.
раздел 14.6) функция и удовлетворяет уравнению
F[u] =detD2u-K(x)(l + \Du |2)<"+2>/2 = 0, A7.3)
которое будет эллиптическим только для равномерно выпуклых функ-
функций м€ С2A2). Примеры (i) и (п) можно объединить в семейство урав-
уравнений типа уравнения Монжа—Ампера вида
F[u] =det/JM-/(x,w,A/) = 0, A7.4)
где / - положительная функция на 12 X R X Rw.
(iii) Уравнение Пуччи.
Пусть 0 < а < 1/и, а ?а — множество линейных равномерно эллипти-
эллиптических операторов вида
Lu=aif(x)Difu
с ограниченными измеримыми коэффициентами aij такими, что выпол-
выполняются неравенство а1' ?,•?/> а I ? |2 для всех х G12, % G R" и равенство
Ха" = 1. Максимальный и минимальный операторы Ма и та определяют-
395

ся равенствами
Ма[и] = sup Lu, ma[u] = inf Lu. A7.5)
Операторы Ma, m^ вполне нелинейны. Они связаны друг с другом соот-
соотношением Ма [—и] = —та [и]. Несложное вычисление показывает, что
Ма[и] =аДм + A -nti)%n (D2u),
та[и] =аДм + A -па)<$х{р2и)9
где *&\(г) и $л(г) — минимальное и соответственно максимальное собст-
собственные значения матрицы г. В области 12 можно рассматривать экстремаль-
экстремальные уравнения
Ma[u]=f9 we [«]=/, A7.6)
где / — заданная функция. Хотя функции %х, *вп не дифференцируемы,
понятие эллиптичности легко обобщается таким образом, чтобы был охва-
охвачен и этот случай. Уравнения A7.6) оказываются в действительности рав-
равномерно эллиптическими (см. далее).
(iv) Уравнение Беллмана. Если семейство jCa из предыдущего примера
заменить на произвольное семейство «С линейных операторов, мы получим
уравнение Беллмана для оптимальной стоимости в стохастической задаче
контроля (см. [132]). Пусть, например, семейство ? зависит от пара-
параметра v, изменяющегося на множестве V. Предположим, что каждый опе-
оператор Lv €. ? имеет вид
Lvu = alj\x)DijU + bi(x)DiU + cv{x)u, A7.7)
где alj, blVi cv — вещественные функции на 12, z, / = 1,...,«. Пусть для
каждого v E V функция fv вещественна на 12. Уравнение Беллмана в этом
случае имеет вид
F[u] = inf (Lvu-fv) = 0. A7.8)
v e v
Существуют различные способы обобщения понятия эллиптичности
на случай недифференцируемой функции F, например с помощью моно-
монотонности или аппроксимации (см. задачу 17.1). Для наших целей доста-
достаточно иметь обобщение на случай, когда функция F непрерывна по Лип-
Липшицу по переменным г. Мы будем называть оператор F эллиптическим
в подмножестве % множества Г, если матрица [Ftj] = [3F/3r/7], в случае
ее существования в точке %\ является положительно определенной. Эл-
Эллиптический оператор F в % будем называть равномерно эллипти-
эллиптическим в %, если отношение Л/Х максимального собственного значе-
значения Л к минимальному собственному значению X ограничено в %. Отме-
Отметим, что матрица [F#] существет для почти всех г GR"Xn. Согласно сде-
сделанным определениям уравнение Беллмана A7.8) эллиптично в 12, если
для каждых х G 12, vGV выполнены неравенства
Х(х) | ? |2 <*?'(*)*,{/<Л(х) | % \г A7.9)
для всех ? G R", где X и Л — функции, положительные в 12. Кроме того,
уравнение Беллмана равномерно эллиптично в 12, если отношение Л/Х G
396

17.1. Принципы максимума и сравнения
Принципы максимума и сравнения, полученные в гл. 10 для квазилиней-
квазилинейных уравнений, достаточно просто в общем виде переносятся на вполне
нелинейные уравнения. Докажем следующий вариант принципа сравнения.
Теорема 17.1. Пусть функции uf v G С°A2) П С2 (п) удовлетворяют
неравенствам: F[u] > F[v] в п и и < и наЪ$1и пусть выполнены условия:
(О функция F непрерывно дифференцируема по z9p,r в Г;
(ii) оператор F эллиптичен на всех функциях вида в и + A — 0)и, 0 <
<0<1;
(ш) функция F не возрастает по z в каждой точке (jc, р, г) € 12 X R" X
X R" х п.
Тогда и <v в 12.
Доказательство, Обозначая
w-u-v9 и* =0м + A-0)w,
/ Fif(x9ue9Due,
о
= f Fp (x9ue9Due9
о 1
имеем
Lw = aifDif w + blDi w + cw = F[u] - F[v] > 0.
в 12.
Из условий (i), (ii), (Ш) следует, что оператор L удовлетворяет усло-
условиям слабого принципа максимугЛа (теорема 3.1), и потому w < Ов п. ?
Условия теоремы 17.1 можно, очевидно, ослабить. Из сильного принци-
принципа максимума (теорема 3.5) следует, что или и < v в 12, или и и v совпа-
совпадают друг с другом, Из теоремы 17.1 непосредственно следует теорема
единственности для задачи Дирихле.
Следствие 17.2. Пусть функции m,uG C°A2) П С2A2) удовлетво-
удовлетворяют равенствам F[u] = F[v] в Q, и м=и«дЭ12. Предположим, что выпол-
выполнены условия (i)—(iii) теоремы 17.1. Тогда u = v в 12.
Принципы максимума, оценки Гёльдера решений и граничные оценки
градиента для вполне нелинейных уравнений часто могут быть выведены
прямо из соответствующих результатов для квазилинейных уравнений.
Если и G С2A2), то оператор F[u] можно записать в виде
F[u] =F(x9u9Du9D2u)-F(x,u,Du90)+ F(x,u,Du,0) =
if A7.10)
где
aij'(x9z,p)= f Fii(x9z9p,eD2u(x))dei
о
397

В частности, если ввести
z,p,r), 2)* =
то из теорем 10.3 и 10.4 получается следующая теорема.
Теорема 17.3. Пусть оператор F эллиптичен в 12. Предположим, что
существуют неотрицательные постоянные дх и д2 такие, что
F(x, z, p, 0) sign z
&*(илиЗ>») <"'""+»» V(*.x.p.r)er. A7.11)
ТЬгдя если функция и G С0 (Л) П С2 (?2) удовлетворяет в ?2 неравенству
F[u] >0 (уравнениюF[и] =0),го
sup м < sup м+ + Сц2 (sup I м |< sup I u I + С/12), A7.12)
ft dft ft dft
, diam ?2).
Для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера принцип максимума,
аналогичный теореме 10.5, может быть получен прямо из леммы 9.4.
Теорема 17.4. Пусть оператор F определен формулой A7.4). Пред-
Предположим, что существуют неотрицательные функции g G Z11OC(R"), h G
? L1 (?2) и постоянная N такие, что
f(x,z,p)<h(x)/g(p) VxGU, \z\>N, pGR"; A7.13)
fhdx< fg(p)dP =Soo. A7.14)
ft R«
Тогда если функция м?С° (?2) П С2 A2) удовлетворяет в 12 неравенству
F[u] >0 (уравнениюF[и] =0),го
sup м < sup и* + Cdiam 12 +W
Ш A7.15)
(sup | м | < sup | и | + Cdiam 12 +N)9
ft dft
где постоянная С зависит только от g и h. В частности, если функция F
определена формулой A7,2), то
diam 12 t.
supw<supW+ + 7iTnU\f\dx) /П
ft 3ft @Jn)ЧП ft
/ diam 12 ,. \
(sup I и К sup I и I + —ж (/ \f\dx)l'n\
\ft 3ft (OJn) ' П /
A7.16)
л ес/ш функция F определена формулой A7.3), то оценка A7.15) выпол-
выполнять с постоянной С = С(п,К0) при условии, что
K0=f\K(x)\dx<oon. A7.17)
ft
В заключение этого раздела заметим, что предыдущие результаты и их
доказательства могут быть обобщены и на случай недифференцируемой
функции F. В частности, справедливо следующее обобщение принципа
сравнения (теорема 17.1).
398

Теорема 17.5. Пусть функции и, v G С0 (Л) П С2 (Л) удовлетворя-
удовлетворяют неравенствам: F[u] > F[v] в ?l,u <v на ЭФ. Пусть выполнены условия
(i) функция F локально равномерно липшицева по z,p9r в Г;
(ii) оператор F эллиптичен в ?2;
(Ш) функция F не возрастает по z в каждой точке (х, р, г) G п X Rw X
XRnXn;
(iv) отношение | Fp \/\ локально ограничено в Г.
Тогда и <и в Л.
Из этой теоремы, в частности, следует, что принцип сравнения справед-
справедлив для уравнения Беллмана A7.8), если выполнено A7.9) и если
Ср < О для всех v ? V, а отношение | Z^ |/X локально ограничено в п рав-
равномерно по у. В силу принципа максимума для сильных решений (теоре-
(теорема 9.1) все результаты этого раздела применимы к функциям и, v E
17.2. Метод непрерывного продолжения по параметру
Топологические методы гл. 11 недостаточны для изучения вполне не-
нелинейных эллиптических уравнений или нелинейных граничных задач.
Для этих проблем мы будем использовать нелинейный вариант метода
продолжения по параметру (теорема 5.2). В методе продолжения по па-
параметру рассматриваемая задача включается в семейство задач, завися-
зависящих от параметра, изменяющегося на отрезке, скажем на отрезке [0, 1].
Показывается, что подмножество S отрезка [0, 1], для точек которого
соответствующие задачи разрешимы, является непустым, замкнутым
и открытым, и поэтому S совпадает со всем отрезком [0, 1]. Как и в
квазилинейном случае, рассмотренном в гл. 11, вновь очень важна линей-
линейная теория, однако в рассматриваемой ситуации для доказательства того,
что множество разрешимости S является открытым, она применяется к
производной Фреше оператора F.
Мы начнем с абстрактных функционально аналитических формулиро-
формулировок. Пусть 85j и 8&2 ~~ банаховы пространства и пусть отображение F
отображает открытое множество4 UG 85j в Я52- Отображение F называ-
называется дифференцируемым по Фреше в точке м G 8Ь если существует огра-
ограниченное линейное отображение L: 951 -* 85 2 такое, что
IIFIn+AJ-FM-LAII^/IIAH^^O A7.18)
при h -> 0 в &!. Линейное отображение L называется производной Фреше
(или дифференциалом Фреше) отображения F в точке м. Будем обозна-
обозначать производную Фреше через Fu. В случае, когда 85Ь 852 ,- евклидо-
евклидовы пространства R", Rm, понятие производной Фреше совпадает с обыч-
обычным понятием дифференциала и, более того, основные факты бесконеч-
бесконечномерной теории можно моделировать на конечномерном случае, как это
обычно делается в высшем анализе (см., например, [93]). В частности,
из A7.18) следует, что дифференцируемость по Фреше F в точке и влечет
непрерывность F в точке и, а производная Фреше соотношением A7.18)
определена однозначно. Будем называть отображение F непрерывно диф-
дифференцируемым в точке м, если отображение F дифференцируемо по Фре-
399

ше в окрестности точки и и соответствующее отображение
v »FveE(%>l9 952)
непрерывно в точке и. Здесь символом /Г(85\, 95 2) обозначается банахово
пространство ограниченных линейных отображений из 961 в 852 с нормой
II ^ К
||1||= sup ———*-.
\\\\
Цепное правило имеет место и для дифференцирования по Фреше, Если
отображение F: 951 -> 952 и G: 952 -* 35з дифференцируемы по Фреше
в точках м G 85i и F[w] G 852 соответственно, то композиция отображе-
отображений G о F дифференцируема в точке и G Я6Х и
(GoF)w=GF[l/1oFw. A7.19)
Имеет место также и теорема о среднем в следующем виде: если w, v G
G 85j и отображение F: 85i -* 952 дифференцируемо на замкнутом отрез-
отрезке 7> соединяющем в 951 точки и и и, то
||F[n] -F[u] ||<82 <*||и-и||в1, • A7.20)
гдеА:= sup \\FW ||.
С помощью этих фундаментальных понятий можно сформулировать
теорему о неявной функции для отображений, дифференцируемых по Фре-
Фреше. Предположим, что 951, 952 и X — банаховы пространства и что отоб-
отображение G: 951 X X -> ©2 дифференцируемо по Фреше в точке (и, а),
w G 95i, а G X Частные производные в смысле Фреше GL ff) и ??„ а)
в точке (и, а) - ограниченные линейные отображения из 951 и X соот-
соответственно в 95 2 > определяемые равенством
С(И, а) (^ *) = ^(И, ff) (Л) + GBM> а) (*)
для h G ®i, Л: G X Мы сформулируем теорему о неявной функции в сле-
следующем виде.
Теорема 17.6. Пусть 951, 952 и X - банаховы пространства, G -
отображение открытого подмножества множества 951 X X в 95 2. Пусть
(wo> ао) — точка в 951 XX такая, что
(О G[wo,a0] -0;
(ii) отображение G непрерывно дифференцируемо в точке (м0, а0);
(ш) частная производная в смысле Фреше L = G\UnOn) обратима. Тог-
Тогда существует окрестность JT точки а0 в X такая, что уравнение G[u, о] =
= 0 разрешимо при каждом o€l Jf, причем решение u=uaG 95 х.
Теорему 17.6 можно доказать сведением к принципу сжимающих отоб-
отображений (теорема 5.1). Действительно, уравнение G[u, о] = 0 эквивалент-
эквивалентно уравнению
u = Tu = u-L'lG[u, a],
в котором оператор Т является, в_силу_A7.19) и A7.20), сжимающим
отображением в замкнутом шаре В = Вь(и0) пространства SBi, если
только радиус Ь достаточно мал, а точка а достаточно близка точке а0 в
400

X (детали доказательства см., например, в [93]). Далее можно показать,
что отображение F: X -* ®i, определенное для о € JT,ua G В, G [ма, а] =
= 0 равенством о *+иа, дифференцируемо в точке а0 и производная Фреше
равна
FoQ =-L~lG(uoto0y
В приложениях теоремы 17.6 мы будем предполагать, что 85i и 85г ~ ба-
банаховы пространства, a F - отображение открытого множества UC 85 j
в 85 2- Пусть ^ - фиксированная точка U. Определим для и G U, t G R
отображение G: U X R -> »2 равенством
G[u,t] =F[m]
Пусть S и Е — подмножества отрезка [0, 1] и пространства 85 х соответ-
соответственно, определенные равенствами
S = { te [0,1] \G[u, t] =0 для некоторого wGU},
^= { wGU I G[w, Г] =0 для некоторого re [0,1] } .
Ясно, что I ?. S, ф Е. Е, так что множества S к Е непусты. Предположим
далее, что отображение F непрерывно дифференцируемо на Е и имеет
обратимую производную Фреше Fu. Тогда из теоремы о неявной функ-
функции (теорема 17.6) следует, что множество S открыто на [0, 1]. Следо-
Следовательно, мы получаем следующий вариант метода продолжения по па-
параметру.
Теорема 17.7. Если множество S замкнуто в [0, 1], то уравнение
F[u] =0 разрешимо и решение и принадлежит U.
Покажем, как теорема 17.7 применяется к задаче Дирихле для вполне
нелинейных эллиптических уравнений. Предположим, что функция F
из уравнения A7.1) принадлежит С2>0?(Г). В качестве банаховых прост-
ранств_ 8$i и 852 возьмем пространства Гёльдера 851 = С2'аф.) и 852 =
= Са (?1) с некоторым а Е @, 1). Ясно, что оператор F, определенный ра-
равенством A7.1), отображает 86i в 85г и, кроме того, отображение F
имеет непрерывную производную Фреше Fu, определяемую формулой
Fuh^Lh-Fij(x)Dijh^bi{x)Di\i + c{x)K A7.22)
где
с(х) = Fz (х, и (х), Du (x), D2и (х))
(см. задачу 17.2). Мы не можем надеяться на то, что отображение Fu бу-
будет обратимо на всем С2>с* (Г2)^ Поэтому рассмотрим сужение F на под-
подпространство S5i= { и G С2'а(?1) | и = 0 на Э12} (мы его уже использо-
использовали в разделе 6.3).^1инейный оператор L будет тогда обратим для любой
функции и G С2'а(п), на которой оператор!, строго эллиптичен и имеет
26. Д. Гилбарг 401

коэффициент с, неположительный в ?2, если только ЭП G С2*а (теоре-
(теорема 6.14). Таким образом, с помощью теоремы 17.7 разрешимость задачи
Дирихле сведена к получению априорных оценок в пространстве С2>(*(?2).
Теорема 17.8. Пусть п - ограниченная область в R" с границей
Э?2 G С2>а, 0 < а < 1, U - открытое подмножество пространства С2'а (Х2)
и ф - функция на U. Пусть Е = { и G U \F[u] = oF[<p] для некоторого
аЕ [0, 1], и -ф на Ъп). Предположим, что функция F принадлежит
С2'а (Г) и выполнены следующие условия:
(i) операторFстрого эллиптичен в Sim каждойuGE;
(ii) F2 (х, и, Du, D2u)<0 для каждоии G Е;
(ш) множество Еограничено в С2'а A2);
(iv) ECU.
Тогда задача Дирихле F[u] = 0 в ?2, и = ф, на ЭГ2 разрешима в U.
Доказательство. Сведем задачу к случаю нулевых граничных
значений, сделав замену и нам - ф. Отображение G: SB i X R-> ®2 опреде-
определяется тогда для ф = О, так что
G[u,o] =F[w+0] -
Из теоремы 17.7 и замечаний, предшествующих теореме 17.8, следует,
что данная задача Дирихле разрешима, если только множество S замкну-
замкнуто. Однако замкнутость S (а также Е) непосредственно следует из огра-
ограниченности Е (и условия (iv)) по теореме Арцела - Асколи. ?
Примененная к квазилинейному уравнению, теорема 17.7 дает более
слабый результат, чем теорема 11.8. В квазилинейном случае оценка в
С1» ^A2) с некоторым /3 G @, 1) в силу теоремы Шаудера приводит к оцен-
оценке в С2>а(?2), Требование FG С2 (Г) может быть ослаблено (задача 17.3),
однако для дифференцируемо ста по Фреше оператора F мы накладьюаем
более сильное, нежели в теореме 11.8, условие о гладкости коэффициентов.
Теорема 17.8 сводит задачу о разрешимости задачи Дирихле для вполне
нелинейных эллиптических уравнений к получению серии оценок произ-
производных, обобщающих этапы I—IV из процедуры доказательства существо-
существования для квазилинейного случая, описанной в гл. 11. Вполне нелинейная
задача в общем случае значительно сложнее, так как требуется получить
оценку вторых производных. В последующих разделах мы получим оцен-
оценки вторых производных для различных типов уравнений, включающих
примеры, рассмотренные в начале этой главы. В некоторых случаях эти
оцедки не будут достаточны для прямого применения теоремы 17.7, и
потому потребуются некоторые ее модификации. В частности, при рас-
рассмотрении негладкой функции F в уравнении Беллмана A7.8) исполь-
используются аппроксимации. Для равномерно эллиптических уравнений мы бу-
будем брать U= С2*01 (?1) (в этом случае условие (iv) становится излишним).
Для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера множество U является
подмножеством равномерно выпуклых функций, а условие (iv) имеет
место в силу положительности функции /.
Семейство операторов вида
F[w9o]=F[u]-oF[<l>]9 o€[0,I],
достаточно для исследований, проводимых в этой главе. Но его, очевидно,
402

можно заменить на любое семейство операторов вида
F[u\ о] = F(x, и, Du, D2u\ a),
где F € С2 (Г X [0, 1 ]), F [и; 0] = F [и], лишь бы была разрешима задача
Дирихле,Р[м; 1] =0в п,и =0на Ъп.
17.3. Уравнения с двумя переменными
Для вполне нелинейных уравнений с двумя переменными оценки Гёль-
дера градиента из разделов 12.2 и 13.2 позволяют априорную оценку, тре-
требующуюся для выполнения условия (ш) в теореме 17.8, свести к оценке
б^С2 (?2). Чтобы убедиться в этом, предположим, что функция и G С3 (п)
является решением в п уравнения A7.1). Продифференцируем уравнение
по переменной хк. Получим уравнение
FijDijku+FPiDiku+FzDku+FXk = 0, A7.23)
где аргументами у функций F//, Fp., FZJ F%k являются х9 u,Du,D2u. Обоз-
Обозначим w = Dku, f = Fx (x, и, Du, D2u). Используя обозначения предыду-
предыдущего раздела, уравнение A7.23) можно записать в виде
Следовательно, если оператор F эллиптичен на функции м, то первые произ-
производные и являются решениями линейного эллиптического в SI уравнения.
Соответственно, взяв п = 2 и считая, что числа X, Л, /i таковы, что выполня-
выполняются неравенства
\FpiFZ9Fx(x,u,Du,D2u)\<\n A7.24)
для всех ненулевых {GR2, мы из теоремы 12.4 или теоремы 13.3 полу-
получаем следующий результат.
Теорема 17.9. Пусть функция и G С3 (п) удовлетворяет в п С R2
уравнению F [и] = 0, функция FG С1 (Г),оператор F эллиптичен на функ-
функции и. Пусть выполнены неравенства A7.24). Тогда в любой области
?l' CC ?2 выполняется оценка
[D2u]a;a><(C/da). {\D2u\0;a+lid(l + \Du\1;n)h (П.25)
где постоянные Си а зависят только от Л/Х и d- dist(S2', Э?1).
Для получения аналогичной глобальной оценки мы рассмотрим сначала
общий случай п> 2. Предположим, что Ъп ? С3, и ? С3(?2) П С2(п) им =
= ф на д$1, где ф G С3(?1). Зафиксировав точку х0 G Ъ?1, выпрямим кусок
границы Ъп, лежащий в шаре В= В(х0) с центром х0, с помощью взаимно-
взаимнооднозначного отображения ф шара В на открытое множество D С R"
такого, что выполняются условия:
фес3(В), ф
26* 403

Обозначая
Ф() D
У Ф(х), w Dyku
получаем
w=i)y^ на ВПдп, ?=1,...,и -1.
Используя A7.23), в В П п приходим к уравнению
Элг/ \
* /
07.26)
Следовательно, если п = 2 и выполнены условия теоремы 17.9, то рассуждая
так же, как в разделах 12.1 и 12.2 или в разделах 13.1 и 13.2, получим
оценку Гёльдера для Dwb окрестности точки х0 при к = 1. Кроме того,
в произвольной области D1 С С Z), y0 G D* П D', Я < d/З, где Z)+ =
~ ф(ВГ\ Q)9 d = dist(Z>' П Z)+, 3D), будет выполняться неравенство
где а = а(Л/Х, ^) > 0 и С = С(Л/Х, ^, diam Г2). Используя уравнение A7.26)
для к = 2, получаем
;П)+и03ф|0;О}». A7.27)
Отсюда следует требуемая оценка Гёльдера с помощью оценки Морри (тео-
(теорема 7.19). _
Теорема 17.10. Пусть функция и Е С3(?2) П С2(Щудовлетворяет в
12CR2 уравнению F[и] =0м м=фнддГ2, причем F G С1 (Г), оператор F
эллиптичен на функции w, ЭГ2ЕС3, ф€С3(О)м выполняется условие
A7.24). Тогда справедлива оценка
Р2«]а;П<С(A+м)A + 1«12;п)+1Ф1з;П}, A7.28)
где а. и С зависят только от Л/Х и 12.
В качестве следствия теоремы 17.10 (и результата о регулярности, лем-
лемма 17.16) отметим, что пространство С2>а(?2) в условии (ш) теоремы 17.8
можно заменить на пространство С2(?2), если только Э?2 G С3 и ф G С3(?2).
Для некоторых уравнений требуемая оценка вторых производных мо-
может быть получена с помощью интерполяции подобно тому, как оценива-
оценивались первые производные в гл. 12. Действительно, пусть выполнены сле-
404

дующие структурные условия:
0<\\Ь\2 <Ру(х,г9р9г)М,<А\Ы29
A7.29)
для всех ненулевых | G R2, (x,z,p, г)€Г, где X — невозрастающая функ-
функция \z |, а Ли ц — неубывающие функции | z |. В этом случае оценки A7.25)
и A7.26) выполняются с X = Х(М), Л = Л(М), ц = д(М), где М = | м 10;&.
Следовательно, применив интерполяционные неравенства (леммы 6.32
и 6.35), можно оценить нормы | и \ltOl.n, I" Ь,а;П черезМ.
Теорема 17.11. Пусть функция и ? С3(tl) удовлетворяет в п С R2
уравнению F[u]=0. Предположим, что выполнены структурные усло-
условия A7.29). Тогда справедлива внутренняя оценка
где показатель а >0 зависит только от Л/Х, а постоянная С зависит от Л/Х,
juu | w lo;«. Если, дополнительно, и Е С3(П), d^2GC3 и и =0 на ЭГ2,
где Ф G С3A2), гс? справедлива глобальная оценка
\и\2,а,я<С A7.31)
с постоянной а > 0, зависящей от Л/Х w 12, м постоянной С, зависящей от
А/Х, /х, ?2 м |м 1о;«.
Отметим, что условия теорем 17.8, 17.9 и 17.10 можно ослабить и заме-
заменить на условия:
Fee0*1 (Г), ме^3'2(щ и (t>ew3>2(u)nc2>P(u)
(вместе со структурными условиями A7.24), A7.28), выполняющимися
почти всюду в Г2, Г соответственно). Дифференцирование уравнения
A7.1) осуществляется с помощьк^ обобщенного цепного правила (теоре-
(теорема 7.8). Структурные условия A7.29) можно также ослабить и заменить
условиями, соответствующими естественным условиям для квазилинейных
уравнений (см. примечания).
Объединив теоремы 17.3, 17.8 и 17.11, получаем теорему о разрешимос-
разрешимости задачи Дирихле.
Теорема 17.12. Пусть Г2 - ограниченная область в R2 с границей
312G С3 м пусть ф ? С3(п). Пусть в Г выполняются неравенство Fz < 0 и
структурные условия A7.29). Тогда классическая задача Дирихле F [и] =0
в SI, и = ф на дп, однозначно разрешима и решение и принадлежит С2' а(?1)
для всех а < 1.
Подчеркнем, что для возможности прямого применения теоремы 17.8
требуется гладкость функции F; более сильное утверждение теоремы 17.12
доказывается при помощи аппроксимации функции F и оценки A7.31).
Аналогичные аппроксимации приводят к теореме существования для урав-
уравнений типа уравнений Беллмана — Пуччи, которые мы рассмотрим в разде-
разделе 17.5.
405

17.4. Оценки Гёльдера вторых производных
В этом разделе мы получим внутренние оценки Гёльдера для вторых
производных решений вполне нелинейных эллиптических уравнений при
условии, что функция F — вогнутая (или выпуклая) функция перемен-
переменных г. Это ограничение, не являющееся необходимым в случае двух пере-
переменных, рассмотренном в предыдущем разделе, оказывается достаточным,
чтобы можно было рассмотреть уравнения типа уравнения Монжа — Ампера
и Беллмана — Пуччи. Для демонстрации основной идеи метода рассмотрим
сначала уравнение частного вида
F(D2u) = g, A7.32)
где Fe C2(Rn x w), g G C2(?2) и и е С*(п). Предположим, что:
(i) оператор F — равномерно эллиптичен на функции и, т.е. существуют
положительные постоянные X, Л такие, что
X Ш2 <FV(P2u)%i%l<Л | % |2 A7.33)
для всех
(ii) функция F вогнута на функции и в том смысле, что F — вогнутая
функция на области значений D2u.
Пусть 7 — произвольный единичный вектор в Rw. Дважды продиффе-
продифференцируем уравнение A7.32) в направлении у. Получим:
A7.34)
Матрица
d2F
неположительна в силу вогнутости функции F. Поэтому функция w = D7yu
удовлетворяет в ?2 дифференциальному неравенству
FijDijw>Dyyg. A7.35)
Воспользуемся слабым неравенством Харнака из раздела 9.7. Пусть BRi
B2r — концентрические шары в Г2 радиусов Rt 2R соответственно. Вве-
Введем для s = l,2 величины
Ms = sup w, ms = inf w.
& BsR
Применив теорему 9.22 к функции М2 - w, получим
{R~n
<C{M2-Ml+R2 \D2g\0.a}. A7.36)
Для получения из A7.36) оценки Гёльдера для w нам потребуется соот-
соответствующее неравенство для — w, которое мы получим, рассматривая
уравнение A7.32) как функциональную связь для вторых производ-
406

ных и. Сначала, используя вогнутость F, для любых х,у е О. получим
A7.37)
Установим связь между чистыми вторыми производными с помощью сле-
следующего матричного результата (см. [211]).
Лемма 17.13. Пусть S[\, А] - множество положительно определен-
определенных матриц в RnXn с собственными значениями, лежащими на отрезке
[X, Л], 0 < X < Л. Тогда существуют конечное множество единичных
векторов 7ь • • • >Jn ? Rw и положительные числа X* < А*, зависящие толь-
только от п,\ и А, такие, что любая матрица Л = [ai} ] G S[X, Л] может быть
представлена в виде
Л = 2 folk*!*, т.е. в" = 2 PklkHkh A738>
к = 1 к = 1
где X* < рк < Л*, к = 1,...,N. Кроме того, векторы 7i, •. -, In можно
выбрать так, что среди них будут все координатные векторы е,-, i = 1,..., п,
и векторы A/>/5)(е,- ± е;), i </, /, / = 1,..., п.
Доказательство леммы 17.13 отложим до конца этого раздела.
Применив лемму 17.13 к матрице F/;-, из A7.37) получаем неравенство
Z Pk(Vk(y)-*>k(xy)<g(y)-g(x), A7.39)
к = 1
где wk =&чк*уки, функции &к =Pk(y) удовлетворяют неравенствам 0 <
<^* *^Рк < А*, а векторы 7i,. • • ,7лг и числа X*, Л* зависят только от
п, X, Л. Полагая
M , 5=1,2; fc=l,...,JV,
bsR
видим, что каждая функция wk удовлетворяет A7.36), так что, просумми-
просуммировав по кФ1,т№ I — некоторое фиксированное число, получаем нера-
неравенства
{Д-" /[2 (M2k-wk)]Pdx}l/p<
BR кФ1
<N1Ip 2 {R~n f(M2k-wk)pdx}1/P <
к* I BR
<C{2 (M2k-Mlk)+R2\D2g\0.a} <
к Ф I
где
iV N
io{sR) = 2 osc wk = 2 (MsAr - msk), 5=1,2.
fc = 1 BsR к = 1
В силу A7.39) для xG 52/г, Уе^я имеем
407

так что
{3R\Dg\0;n+** 2 (M2k-wk)}.
X к Ф I
Поэтому
{R~n f(wl-
Br
<C{uBR)-a>(R)+R\Dg\Q.a+R2 \D2g\2.a}9 A7.40)
где постоянная С снова зависит только от л, X, Л. Полагая в A7.36) w = wh
складывая получающееся неравенству с A7.40) и суммируя по / = 1,... ,7V,
мы в итоге приходим к неравенству
GjBR)<C{uBR)-a>(R)+R\Dg\0;a+R2 \D2g\0;a},
из которого следует, что
a>(R)<ba>BR)+R\Dg\0.n+R2 \D2g\0;a,
где 6 = 1 — 1/С. Оценки Гёльдера для функций wki к = 1,..., N9 получают-
получаются теперь с помощью леммы 8.23 и заключительного утверждения леммы
17.13. В итоге получаем оценку Гёльдера для D2u: в произвольном шаре
BR С Г2 для любого R </?0 выполняется неравенство
o
Br bRq
где С и а — положительные постоянные, зависящие только от п9 X и Л.
В терминах внутренних норм Гёльдера оценки A7.41) можно запи-
записать в виде
l"l2fa;n<C(|M|^O + lsU;O), A7.42)
где С и а. зависят от и, X и Л.
Перейдем теперь к общему уравнению A7.1) с функцией F G С2(Г).
Предположим (ср. с (i) и (И)),что:
(i)' оператор F равномерно эллиптичен на функции м, так что сущест-
существуют положительные постоянные X, Л такие, что
MS\2 <Fv(x9u9Du,D2u)iil;,<A\l;\2 A7.43)
для всех ? Е Rw;
(ii)' функция F — вогнутая функция переменных г на области значе-
значений D2u.
Вновь дважды продифференцируем в направлении единичного векто-
вектора 7- Получим уравнения
y и + jiFx. = 0,
Fih PkDihuDkyu +
FpiDiyyu+ A7.44)
2Fp.zDiyuDyu + 2 7/ Fp.x.Diyu +
+ FzDyyu+Fzz(DyuJ+2yiFzxiDyu+yiy,'Fxixr0.
408

Используя вогнутость F, вместо A7.35) получим в рассматриваемом
случае дифференциальное неравенство
Fi/'DiJyyu>-AifyDijyu-Byi A7.45)
где
By = Fp.p.DiyuDjyu + 2Fp.z Diy uDy и + 27/Fp. XjDiy и +
+ FzDyyu +Fzz(Dyuf + 2yiFzx.Dyu+yiyiFXiXV
С третьими производными и в A7.45) поступаем аналогично тому, как
поступали со вторыми производными при получении оценок Гёльдера
градиента (теорема 13.6). Сначала возьмем векторы у\,..., Ум в соответ-
соответствии с утверждением леммы 17.13, примененной к матрице [Fy] . Пусть
М2 = sup \D2u |,
а
hk
(чтобы обеспечить конечность величины М2, заменим, если необходимо,
область Г2 ее подобластью). Тогда из A7.45) следует
-FjjDijhjc^CiAo \D3u | +Я0)/A +^г)> A7.46)
где С=С(п) и
\\D2u\ + \Frz ||Zto| + |Fr;
2\ 1+М2 /'
p{|rp | | \rz | | | \rx |+ |Fp |},
^o = sup{|Fpp | |/JW |2 + |Fpz | |D2w | \Du I + |Fpx | |/Jw | +
+ \FZ | |ZJw | + \FZZ | |Ди I2 + \FZX | |Z)n | + \FXX |}.
Здесь функции Frp = [Fijt Pk] fj- л=1 яи тд. вычисляются *в точке
(x,u9Du,D2u). Умножим теперь A7.46) на hk и просуммируем по к
от 1 до N. Получим
N 1
2 FijDihkDjhk- -FifDiiv<C(A0\D3u\+B0)l(l+M2), A7.47)
где i>= 2 (ЛлJ. В силу сделанного выбора векторов ук мы можем
оценить
\D3u\2= 2 |А/7и|2<4A+М2J 2 |/)^|2,
!,/,/= 1 Л: = 1
а в силу эллиптичности A7.43)
N п N
2 2 FiiDihkD1hk> X 2 |D^ |2.
* = 1 I/ = 1 А; = 1
409

Поэтому, взяв б € @, 1) и w = wk = hk + ev, к = 1,... ,N, и объединяя
A7.46) и A7.47),получаем
N 1 [ N
еХ 2 \Dhk\2- :-F<C\A(i:
fc 1
2 \Dhk\ :ijDifw<C\0(\Dhk\)
fc = 1 2 11 1 +М2)
Отсюда по неравенству Коши
A7.48)
Хб 1+М2/
где ц = .
X V
Теперь мы можем использовать слабое неравенство Харнака (теоре-
(теорема 9.22). Пусть BRy B2R — концентрические шары в п'. Для s = 1,2,
к = 1,..., N положим
Wks = sup w, Mks = sup hki
N N
co(sR) = 2 oschk = 2 (
A: = 1 Л: = 1
Применяя теорему 9.22 к функциям Wk2 - w^, получаем
f(Wk2-wkydx
Br I
A7.49)
где р и С — положительные постоянные, зависящие только от п и Л/Х. Ис-
Используя неравенства
- w* >Mk2 -hk- 2есоBД),
- Wkl <Mk2 -Mkl+2ecoBR),
из A7.49) получаем аналогичное неравенство для функций hki а именно
Фр,я(^*2 -^)<C{Mfc2 -Мк1 +всоBЛ) + /ГЛ2}.
Суммируя по к Ф 1,1 — некоторое фиксированное число, приходим к не-
неравенству
^/ 2 (Mk2-hk)<
ш(Л) + /ГЛ2}, A7.50)
где постоянная С=С(п, Л/Х) — такая же, как и выше. Чтобы компенси-
компенсировать отсутствие неравенства, соответствующего A7.48), для функций
—Afc, мы снова прибегнем к уравнению A7.1) и, воспользовавшись вогну-
вогнутостью функции F (условие (ii)'), запишем
Fti(y,u(y),Du(y),D2u(y))(Diiu(y)-Diju(x))<
= F(y,u(y),Du(y),D2u(x))-F(x,u(x),Du(x),D2u(x))<
<D0\x-y\,
410

где
А>= sup {\Fx(yMy),Du
х, у е а
+ \Fz(yMy),Du(y),D2u(x))\ IA1OO
+ l^(^,«(>'),A/(>'),^2w(x))||ZJM(^
Теперь в силу леммы 17.13 и благодаря сделанному выбору ук имеем
= 2A+М2) 2
л = 1
где 0 < X* < j3fc < Л*, к = 1,... ,Nи отношения Х*/Х, Л*/Х зависят только
от л и Л/Х. Следовательно, для х ЕB<iR,
где Д = Z)O/[XA +Af2)], и поэтому для фиксированного /
— (СХДЛ+Л* 2
X* л
2
где С= C(w,Л/Х). Отсюда, в силу A7.50), для /= 1,... ,N9 получаем
где С= C(w,Л/Х). Прибавляя полученное неравенство для / = к к A7.49)
и суммируя по к, приходим к неравенству
cjBR) < С{A + e)cjBR) - gj(R) + jiR 2
Отсюда
где 6 = 1 — 1/С Наконец, зафиксировав е = A — 6)/2С, вновь приходим
к оценке осцилляции
где 0 < 8 < 1, а постоянные С и б зависят только от и и Л/Х. Требуемая
оценка Гёльдера получается теперь непосредственно из леммы 8.23. Имен-
Именно: для любого шара BRo С ?1 и любых R < Ro справедлива оценка
osc D2u<C(R/R0)ct(l +М2)A +ДД0 +ДЯо), A7.51)
С и а - положительные постоянные, зависящие только от п и Л/Х.
Итоговый результат о внутренней оценке сформулируем в следующей
теореме.
411

Теорема 17.14. Пусть функция и Е С4 (?2)удовлетворяет в ?2 урав-
уравнению F[u] -0, где FG С2(Г), оператор F эллиптичен на функции и
и выполняются условия (i)' и (ii)'. Тогда в любой подобласти ?2' С С ?2
справедлива оценка
[D2u]a;n'<C, A7.52)
где а зависит только от и, X и А, а постоянная С дополнительно зависит
от \и Ь;п, dist(?2', Э?2) и первых и вторых производных функции F,
отличных от Frr.
Из A7.51) выводится более точная форма оценки A7.52), в которой
устанавливается зависимость постоянной С от | м 12;« и от производных
функции F. Бели ввести дополнительные предположения о вогнутости
функции F, то в выражениях для Ао и Во в A7.46) можно убрать неко-
некоторые слагаемые. Например, если функция F вогнута по совокупности
г9риг9 то в A7.45) можно взять
h x.Diyu+FzDyyu
и поэтому в A7.46) получим
p
50 =sup{|Fpx | \D2u | + \FZ | \D2u | + \FZX \ \Du \ + \FXX |}.
Следовательно, при выполнении дополнительных структурных условий
\,\FZ l\Frx l\Fpx l\Fzx \< fi\ A7.53)
для всех ненулевых | G Rw, (jc, z, p, r) G Г, где X — невозрастающая функ-
функция | z \y а Л и jli — неубывающие функции | z |, можно утверждать, что
имеет место внутренняя оценка, обобщающая оценку A7.42), вида
где постоянная а зависит только от п, Л/Х, а постоянная С зависит допол-
дополнительно от /z, diam?2. С помощью внутреннего интерполяционного нера-
неравенства (лемма 6.32) получаем следующую внутреннюю оценку.
Теорема 17.15. Пусть функция и G С4(п) удовлетворяет в п С R"
уравнению F[u] =0. Предположим, что функция F вогнута (или выпук-
выпукла) по z,p,r и выполнены структурные условия A7.53). Тогда имеет
место внутренняя оценка
\«\г,*;п<С9 A7.54)
где постоянная а > 0 зависит только от п и Л(ЛГ)/Х(ЛГ), а постоянная С
зависит дополнительно от ju(Af), diam?2 и М= |м1о;П-
Отметим, что оценка A7.54) может быть в действительности доказана
при более общих условиях, соответствующих естественным условиям
412

для квазилинейных уравнений (см. примечания). Мы завершим этот
раздел доказательством леммы 17.13.
Доказательство леммы 17.13. Пусть R+ х п — конус положи-
положительно определенных матриц в RnXn. Любую матрицу <Ag R"Xw можно
представить в виде
Л= 2 7*®7*, A7.55)
к = 1
где п = п(п + 1)/2 = dimR" х w, 7jt G rW, * = 1,..., л\ а диадические мат-
матрицы Ук ®Ук= [ykiifkj] линейно независимы. Чтобы увидеть это, мы
покажем, что любые две матрицы в R+ х п подобны, и поэтому каждая
матрица *Ag R?Xw подобна, в частности, матрице *А0,у которой диаго-
диагональные и недиагональные элементы равны п и 1 соответственно. Но
так как
,/
*</
то после соответствующей замены базиса получим формулу A7.55).
Следовательно, совокупность множеств вида
w ^ 7*1
где матрицы ук ® ук линейно независимы, образует открытое покрытие
множества S(\9 A)CR"X/t, а так как множество S(X, Л) компактно,
то существует конечное подпокрытие множества покрытия. Поэтому су-
существует фиксированное множество единичных векторов ух, . . , , yN,
зависящих только от X, Ли и, таких, что любая матрица </?? 5(Л, Л) может
быть записана в виде
где j3fc > 0. Чтобы доказать утверждение леммы, заметим, что мы можем
вначале применить описанную процедуру к матрице
Л-Х* 2 7*®7*€5(Х/2,Л),
* = 1
взяв достаточно малое X* (достаточно взять X* =X/27V). Отметим также,
что мы можем взять Л* = Л. Аналогичное рассуждение показывает, что
в число векторов ук может быть включено любое конечное число еди-
единичных векторов. ?
17.5. Задача Дирихле для равномерно эллиптических уравнений
В этом разделе мы покажем, что наличие внутренних оценок производ-
производных» получаемых в предыдущем разделе, в действительности достаточно
для того, чтобы доказать разрешимость задачи Дирихле для некоторых
413

типов равномерно эллиптических уравнений, включая уравнения типа
уравнений Беллмана - Пуччи. Так как эти оценки были доказаны для
решений класса С4, то нам сначала потребуется результат о регулярно-
регулярности, связывающий их с условиями метода продолжения по параметру,
как того требует теорема 17.8.
Лемма 17.16. Пусть функция и ? С2A2) удовлетворяет в 12 урав-
уравнению F[u] = О, а оператор F эллиптичен на функции и. Тогда: если
F G С*(Г), k > 1, то и W.k+2*p(Sl) для всех р < ~; если F G С*'а(Г),
*+2а
Доказательство. Используем подобно тому, как это делалось
при доказательстве теоремы 6.17, метод разностных отношений. Пусть
е/ — фиксированный координатный вектор, 1 </ <л. Запишем
v(x) = u(x + hei), h G R,
w = Aj[u = — (и - v),
h
щ = ви + A - 0)v> 0 < в < 1,
о
l
b\x) =fFPi(x + Oh, uQ, Duet D2ue)d0,
о
() fz
о
l
fix) = fFi $
Зафиксируем подобласть ?l' CC 12 и возьмем достаточно малое h. Разност-
Разностное отношение w удовлетворяет в 12' линейному уравнению
Lw = j^/w + ^D/W+nv = -/, A7.56)
которое является эллиптическим и имеет равномерно непрерывные коэф-
коэффициенты в п'. Из внутренних оценок в Lp (теорема 9.11) следуют не
зависящие от h оценки для ||?>2w||p; n% где п" СС 12, и поэтому в силу
леммы 7.24 функция и принадлежит и?вср(Я) для любого р < «>. В силу
теоремы вложения Соболева (теорема 7.10) получаем, что и ? C2f(*A2)
для всех а < 1. Поэтому если F G С1>а(Г) с некоторым а, 0 < а < 1, то
мы можем к уравнению A7.56) применить результат о регулярности
Шаудера (теорема 6.17). Получим, что w € С**а(п). Отметим, что если
бы мы сначала имели и G С2'^A2) с некоторым j3 > 0, то для получения
доказанного результата не нужны оценки в Lp. Итак, лемма 17.6 доказа-
доказана для к = 1. Доказательство большей внутренней гладкости получается
теперь с помощью обычной итерационной или "bootstraping" процеду-
процедуры. ?
414

С помощью леммы 17.16 доказывается, что оценки разделов 17.3 и
17.4 имеют место для решений уравнения A7.1) класса С (?2). Мы долж-
должны отметить, что в случае, рассмотренном в разделе 17.4, для проводимых
доказательств достаточно предполагать, что и Е И^'"(Я). Отсутствие
глобальных оценок в С2'аA2) можно компенсировать с помощью видоиз-
видоизменения функции F вблизи границы Э12 следующим образом. Пусть
{Vm} — последовательность функций, принадлежащих Со(?2), удовлет-
удовлетворяющих в ?2 неравенствам 0 < т? < 1 и таких, что г\т(х) = 1 при
d(x, Э12) > 1/т. Вместо оператора F рассмотрим операторы Fm> опреде-
определенные формулами
A7.57)
Если оператор F удовлетворяет условиям теоремы 17.14 или теоре-
теоремы 17.15, то этим же условиям удовлетворяют и операторы Fm со струк-
структурными постоянными, зависящими, быть может, от г\т. В итоге мы полу-
получим внутренние оценки в С2»Л решений уравнений Fm[u] = 0 такого же
вида, как и оценки теорем 17.14 и 17.15. Однако вблизи границы
Э12 Fm[u] = Аи. Поэтому для достаточно гладких граничных значений
оценки в С2'а вблизи Э12 получаются из теории Шаудера, в частности,
из леммы 6.5. Используя описанную процедуру, докажем следующий
результат о разрешимости.
Теорема 17.17. Пусть ?2 - ограниченная область в Rn, удовлетво-
удовлетворяющая в каждой граничной точке условию внешней сферы. Предположим,
что функция F G С2 (Г) вогнута (или выпукла) по совокупности пере-
переменных z, р, г, не возрастает по z и удовлетворяет структурным усло-
условиям A7.53). Тогда классическая задача Дирихле F[u] = 0 в ?2, и = ф
на Э12, однозначно разрешима в С2(П) П С0 A2) для любой ф G С°(Э12).
Доказательство. Сначала рассмотрим случай гладких гранич-
граничных данных. Пусть Э12 G С2»*3, ф G C2f/3A2) с некоторым 0 < j3<; 1. Учиты-
Учитывая замечания, предшествующие теореме, рассмотрим аппроксимирующие
задачи Дирихле :
Fm[u] = 0 в 12, и = ф на Э12, A7.58)
где функции Fm определены в A7.57). Для применения метода продолже-
продолжения по параметру (теорема 17.8) нам будет нужна априорная оценка в
С2$а A2) с некоторым а > 0 решений задач
F[um] - tFmty] = 0 в 12, и = ф на Э12, 0 < t < 1. A7.59)
Уравнения A7.59) удовлетворяют условиям теоремы 17.4 равномерно
по г. Следовательно, для любого решения и G С *^A2) в произвольной
области 12' СС 12 имеет место оценка \и Ь.а;^' < С, где показатель а
зависит только от п, \(М), А(М)9 а постоянная С зависит дополнительно
от д(М)> ^» Я', 0, r\m и М = \и |0;П- Так как Fm[u] = Аи вблизи Э12,
то в силу лемммы 6.5 имеет место соответствующая глобальная оценка
с 12' = 12 с постоянной С, зависящей дополнительно от Э12 и /3. Заметим
далее, что из двух условий Fz <0и A7.53) следует неравенство A7.11)
с постоянными Д! = д2 = д @), так что по теореме 17.3 величина М =
= I u !o; n равномерно ограничена по Г и т. Следовательно, по теореме 17.8
415

существует единственное решение и = ит G С2'*5(?2) задачи Дирихле
A7.58). Так как Fm [и] = F[u] при dist (х, Э12) > 1/т, то в силу внутрен-
внутренней оценки (теорема 17.15) имеет место сходимость последовательности
ium) (равномерно на компактных подмножествах ?2 вместе с первыми
и вторыми производными) к решению и Е С2'^(?2) в ?2 уравнения
F[u] = 0. Но, учитывая представление A7.10), к задаче Дирихле A7.58)
можно применить барьерную технику, такую же, как для квазилинейных
уравнений; в частности, можно применить теорему 14.15. В результате
мы получим, что и € С0|1(?2) и и = ф на Э?2. Обобщения на непрерыв-
непрерывные ф и области 12, удовлетворяющие условию внешней сферы, получа-
получаются аналогично. ?
С помощью аппроксимации условие F ? С2 (Г) может быть ослабле-
ослаблено в том смысле, что существование производных, входящих в структур-
структурные условия A7.53), требуется только в слабом смысле (см. задачу 17.4).
Кроме того, незначительно обобщая предыдущие рассуждения, можно
охватить и равномерно эллиптическое уравнение Беллмана A7.8). Дейст-
Действительно, необходимые модификации можно проиллюстрировать в более
общей ситуации. Пусть F19 . . . , Fm — операторы вида A7.1) и пусть
G G C2(RW) — вогнутая функция, производные которой удовлетворяют
неравенствам
т
1 < 2 DVG < К A7.60)
V = 1
с некоторой постоянной К. Определим оператор F формулой
F[u] =G{Fl[u],...,Fm[u\).
Тогда если u G С4(П) и функции F1, . . . , Fm удовлетворяют условиям
(i)' и (И)' теоремы 17.14, то, дифференцируя, мы вместо A7.44) полу-'
чаем уравнения
m
2 DvGDyFu = Q,
и = 1
m m
2 DvGDyyFv + 2 DVTGDyF DyFT = 0,
V = 1 V, T - 1
так что из вогнутости функции G следует неравенство
2 DvGDyyFv > 0.
V = 1
Следовательно, здесь применимы рассуждения раздела 17.4 (надо вместо
m m
производных DF и D2F рассматривать 2 DVGDFU и 2 DVGD2FV).
V - 1 V = 1
С помощью A7.60) получаем, в частности, что к оператору F примени-
применима оценка теоремы 17.14, коль скоро операторыF,,, v = 1,..., m, удовлет-
удовлетворяют структурным условиям, а числа Лид заменяются на КЛ и Кц со-
соответственно. Теорема о разрешимости (теорема 17.17) обобщается ана-
аналогичным способом. Уравнения типа уравнений Беллмана — Пуччи могут
416

быть изучены с помощью аппроксимации. Именно, определим для у Е RJ
G0(y) = inf yv
v = 1,... ,m
и для h > О введем осреднение G/, функции Go по формуле
т
- h f
Rm
где p - ядро осреднения на Rw. Так как функция Go вогнута, то, как
легко увидеть, и функция Gh является вогнутой. Кроме того, справедли-
т
во равенство 2 DvGh = 1, и поэтому выполняется A7.60) с постоянной
ЛГ= 1. Отсюда следует, что если F1, . . . , Fm, 12 и 0 удовлетворяют усло-
условиям теоремы 17.17, то классическая задача Дирихле
и],... ,FmM) = 0 в 12, м = 0 на Э12,
однозначно разрешима, причем решение и = uh удовлетворяет оценке
|и15,в;П < С,
где постоянные а и С зависят только от и, X, Л, ju, 0 и 12 и имеет место
оценка модуля непрерывности на Э12, зависящая от тех же величин. В силу
аппроксимации результат переносится на предельный случай h = 0 и, так
как предыдущие оценки не зависят от т, также и на случай счетного се-
семейства операторов. Таким образом, мы приходим к следующему обоб-
обобщению теоремы 17.17.
Теорема 17.18. Пусть 12 - ограниченная область в R", удовлетво-
удовлетворяющая условию внешней сферы в каждой граничной точке. Предпо-
Предположим, что функции Fl,F2,... принадлежат С2(Г), вогнуты по пере-
переменным z, р, г, не возрастают по z и удовлетворяют равномерным
структурным условиям A7.53). Тогда классическая задача Дирихле
F[u] = inf{Fl[u],F2[w],...} = 0 в 12, м= ф на Э12, A7.61)
однозначно разрешима в С2 A2) П С0 A2) для любой Ф Е С°(Э12).
Отметим, что в теорему 17.18 включается уравнение Беллмана A7.8),
если только множество индексов V счетно и операторы Lv и функции
fv удовлетворяют следующим условиям:
a'J, b'v,cv, fv G
И
Ш12 <а*Щ <Л|?|2,
'«Л*;!!' 1*'Л;П» 1^Ь;П, 1Л12;П < ДХ, Cv < 0, A7.62)
для всех % Е Rw, v E F, где X, Л и д - положительные постоянные.
Более того, очевидно, допустимы некоторые типы несчетных множеств
V — таких, например, как сепарабельное метрическое пространство, на
котором отображения v •-> а^(х)9 b*v(x), cv{x) непрерьюны в каждой точ-
точке х Е 12. В частности, сюда включается уравнение Пуччи A7.6), если
/Е 2°
27. Д.Гилбарг 417

17.6. Оценка вторых производных
для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера
В этом разделе мы рассмотрим уравнение вида
det/Ям = /(*, u,Du). A7.63)
Как указывалось ранее, уравнение A7.63) эллиптично только тогда,
когда матрица Гессе D2u положительно определена, и поэтому естествен-
естественно ограничиться рассмотрением только выпуклых решений и и полбжи-
тельных функций /. Запишем уравнение A7.63) в виде
F(D2u) = logdetD2M = g(x,u,Du), A7.64)
где g = log/. Осуществив вычисления, получаем
Рц = и*, FiUkl = -ii'V1 = ~FikFjh A7.65)
где [и**] — матрица, обратная матрице D2u. Следовательно, функция F
вогнута на конусе неотрицательных матриц в RwXw и уравнение A7.64)
будет равномерно эллиптическим на компактных подмножествах об-
области 12 на любом выпуклом решении класса С2 A2). Если g E
? С2 A2 X R X R"), то можно применить результаты раздела 17.4 и полу-
получить внутренние оценки Гёльдера вторых производных решений и, следо-
следовательно, с помощью леммы 17.16, оценки производных высокого поряд-
порядка, если g — достаточная гладкая функция.
Опишем теперь метод получения внутренних и глобальных оценок
вторых производных решений, напоминающий метод получения оценок
градиента для неравномерно эллиптических уравнений, описанный в гл 15.
Сначала заметим, на основании уравнения A7.44), что любая чистая
вторая производная Dyyu решения уравнения A7.64) удовлетворяет
уравнению
FijDijyyU = FikFnDihuDklyU +Dyyg. A7.66)
Так как функция и выпукла, то Dyyu > 0. Чтобы оценить Dyyu с помощью
полученного уравнения, рассмотрим положительные функции т?? С2 A2),
h G C2(RW) и положим w = r\h{Du)Dyyu, так что
+ OogA)p Diku + ~^ ,
W 7} к DyyU
DtjW DfwDjW Dyr} DjT}Djri
W W2 7} V
Учитывая A7.66), получаем
+ (iog h)pkP!FifDtkuDnu + Qogh)PkFqDtjku\ +
1 J
+ FikFjiDijyuDkiyU — — FjjDiyyuDjyyU +Dyyg. A7.67)
418

функцию h выберем следующим образом:
h(p) = е^1*'2, 13 > 0.
Для нее (logh)pk = ррк, (logh)PkPJ = &Ькь и поэтому
Qogh)PkPlFifDikuDnu = PFifDikuDfku = 0Дм
в силу A7.65). Если, далее, мы предположим, что выполнены неравенства
| Dg(x, и, Du)\y I D2g(x, и, Du) I < д, A7.68)
то получим
Dyyu(logh)pkFifDifku+Dyyg =
= PDkuDyyu(gXk +gzDku +gPiDiku)+gyy+2gyZDyu +
+ 2gyp(Diyu +gzz(DyuJ +2gzpiDyUDtyU + gPiPj.DikuDfku +
gPi[
где постоянная С зависит от д, sup | Du |.
п
Чтобы учесть другие слагаемые в A7.67), мы рассмотрим функцию
w = w(x, 7) на 12 X 31?! @) и предположим, что функция w достигает макси-
максимального значения в точке (у, у), где у € ?2 и yGdB\@). Производная
DyyU(y) будет тогда максимальным собственным значением матрицы
Гессе D2u(y). Поворачивая координаты, мы можем предположить, что
матрица Гессе D2u(y) имеет диагональный вид, а вектор у совпадает с
координатным направлением. Для глобальных оценок мы берем т?= 1, так
что в A7.67) не будут присутствовать слагаемые, содержащие т?. Тогда из
A7.65) следуем что
FDD < FikFflDihuDklyU
VyyU
в точке yt так что, взяв число 0 достаточно большим, мы получим оценку
для Dyyu(y) через п, ц и |Ям|0;а-
Внутренний случай более труден, так как функция не может быть взята
в виде произвольной срезающей функции (из-за слагаемых FyDyu). В этом
случае будем предполагать, что функция и непрерывна вплоть до Э12 и
равна на Э?2 нулю. Выберем т? = -и, так что т?> 0 в 12 и F/yZ>/yr?= -
= -и. Кроме того, так как Dw(y) = 0, то
П2 1
\Dy"\2 v
= _ + 2/ j
irDyyU • 1Ф у
27* 419

в точке у. Далее,
— { 2 Fu(piyyuJ +F{jDiyyuDfyyu} =
DyyU iФ у
= 2 FyyFu{Dtyyuf + 2 FyyFu{Diyyuf <
{фу <= 1
< 2 FrtFy/(A/-r«J = FfkFflD{fyuDkiyu
в точке у в силу выбора координат. Подставляя полученные оценки в диф-
дифференциальное неравенство A7.67), получаемDyyu(y) <CA - 1/и(у)),
где С= С(и, м, | Du lo;n)> и следовательно,
supw < С, A7.69)
где С = С (и, д, | и |1; Л). Наконец, для оценки г?= -ы снизу воспользуемся
выпуклостью функции и, в силу чего
и(х) infw
< A7.70)
dim 12
dist(x, Э12) diam 12
в любой точке х G 12. Сформулируем итоговый результат.
Теорема 17.19. Пусть и Е С2Ш) - выпуклое решение уравнения
A7.63) в области 12, функция f G С*A2 X R X R*) положительное 12,
а функция g = log/ удовлетворяет A7.68). 7Ьгда ес/ш ы € С2A2), по
sup|D2w| < С, A7.71)
п
где постоянная С зависит от п, ц, \ и \ х. & и sup I D2u |. Если и G С0»1 A2)
' ъй
и функция и постоянна на Э12, то в любой подобласти 12' СС 12 имеет
место оценка
sup \D2ti\ < C/da> A7.72)
n'
с постоянной С, зависящей от п, yt, \u\v & и diam 12, где d^1 =
= distA2', Э12).
Если функция flln выпукла по переменным р, то оценка A7.71) может
быть получена более простыми методами. Более того, в этом случае резуль-
результат обобщается на более широкий класс функций F и решения не обя-
обязательно выпуклые (см. задачу 17.5).
Оценка вторых производных решений уравнения A7.64) на грани-
границе 312 легко получается из уравнения A7.20). Если мы предположим,
что область 12 равномерно выпукла, Э12 G С3 и и = ф на 312, где ф Е
? С3A2), то, учитывая A7.65), первое слагаемое в правой части A7.26)
можно записать в виде
420

Оценка производных &укУпи(х0) в точке х0 ? ?1 следует из теоремы 14.4
или следствия 14.5. Оставшуюся вторую производную ВупУпц(*о) оцени-
оцениваем непосредственно из уравнения A7.64). Так как в главной коорди-
координатной системе с центром х0 (берем ф = 0) выполняется равенство
detD2u = \Dnu\n~2 П kA\Dnu\Dnnu- 2 -^ , A7.74)
где ки . . . , ?„__! — главные кривизны в точке х0, то отсюда, используя
A7.70), получаем оценку для Dnnu(x0). Итак, мы доказали следующую
глобальную оценку вторых производных^
Теорема 17.20. Пусть и Е С3(?2) - выпуклое решение уравнения
A7.64) в п, функция f ? С2ф, X R X R") положительна и граница
д?1 е С3 равномерно выпукла. Тогда
sup\D2u\ < С, A7.75)
п
где С зависит от п, \ и |1;П, /, Э^2 и и = 0 яд ЭФ.
17.7. Задача Дирихле для уравнений типа уравнения Монжа - Ампера
Рассмотрения предыдущего раздела сводят изучение разрешимости клас-
классической задачи Дирихле для уравнений типа уравнений Монжа - Ампера
к получению оценок в С1, Для уравнений с двумя переменными мы можем
прямо использовать метод непрерывного продолжения по параметру, при-
привлекая глобальные оценки Гёльдера вторых производных (теорема 17 Л 0).
Для больших размерностей также существуют процедуры, использующие
только внутренние оценки вторых производных,однако они более сложны,
чем процедуры, примененные для равномерно эллиптического случая в
разделе 17,5 (см, примечания), В следующем разделе мы рассмотрим полу-
полученные недавно глобальные оценки Гёльдера вторых производных, с по-
помощью которых удается несколько приблизить общий случай к двумерно-
двумерному случаю,
Ограничения на рост функции / в A7.63) появляются при получении
оценок градиента. Для выпуклой в области ?1 функции и, очевидно, имеет
место равенство
sup I Du I = sup | Du |, A7.76)
ft dft
поэтому оценка градиента выпуклого решения уравнения A7.63) сводится
к его оценке только на границе. Такие оценки можно получить, как и в
квазилинейном случае, с помощью барьеров. Действтельно,предположим,
что выполнено следующее структурное условие:
pp A7.77)
для всех х из некоторой окрестности JT границы Ъ$1 ,z G R, | р \ > д (| z |) ,
где dx = dist(х, Ьп) , д — неубьюающая функция,/? = у-п — 1> 0. Тогда
справедлива следующая оценка градиента.
421

Теорема 17.21.Пусть и<ЕС° (?2) П С2 (Я) , 0 Е С2 (Я) ПС0
выпуклые функции в равномерно выпуклой области ?1 такие, что
det D2u=f(x, и, Du) вП,и = ф на Ъп. A7.78)
Тогда
sup \Du\< С, A7.79)
Доказательство. Пусть B-BR (у) — охватывающая сфера облас-
области п для точки х0 Е Ьп и пусть w = 0 - \//(d), где d(x) = dist(x, Э1?),а
функция \// определена в A4.11) . Постоянные v и к будут определены да-
далее. Воспользовавшись главной координатной системой для 32? с центром
Xq , мы можем оценить
det 2>2w > det(-
причем из структурного условия A7,77) следует,что
/(*, u(x),Dw)
коль скоро х Е JT, ф' (d) > ц(М) + | ЭФ\, где М = | м |0. Л * Полагая ^ =
= 1 + 27ЛИ~1, так что </#' < 1, и выбирая затем к и а согласно условию
A4,14) (в котором постоянная ц заменена на ц + \Вф\) и так, чтобы
{х G tl \ d < а) С JTy мы получим, что выпуклая функция w будет ниж-
нижним барьером в точке х0 для A7.63) и функции и. Следовательно, в силу
и(х) — и(х0)
принципа сравнения (теорема 17.1), получаем > - С для
\х-хо\
d <а, где постоянная С зависит от п, 0, д, | />Ф|0; п jM,JVhR,Используя
выпуклость и, имеем
и(х)-и(х0)
\х-хо\
для всех*е 12,х0 ^ д&> Отсюда следует оценка A7,79).П
Отметим, что уравнение Монжа — Ампера A7.2) охватьюается теоре-
теоремой 17.21 в случае ограниченной функции/, а уравнение поверхностей с
заданной гауссовой кривизной — только при условии, что кривизна К об-
обращается в нуль на Э?2, удовлетворяя условию Липшица. Комбинируя
теоремы 17,4, 17.8,17.10,17.20 и 1721, мы получаем следующую теорему
существования для уравнений типа уравнения Монжа — Ампера с двумя
переменными.
Теорема 1722. Пусть ?1 - равномерно выпуклая область в R2 с
границей d?2 E С3. Предположим, что f - положительная функция, при-
принадлежащая С2 (?1 X R X R2 ), выполнено неравенство fz > 0 и структурные
условия A7ЛЗ), A7.14) и A7.77) с постоянными п = 2, 0 = 0. Тогда
классическая задача Дирихле
det D2u=f(x, и, Du) в п, и = 0 на ЭП, A7.80)
разрешима и решение и принадлежит C2a(Q.) для всех а < 1.
422

Доказательство, В силу теоремы 17,8 достаточно иметь равно-
равномерную оценку в пространстве С2'аA2) для некоторого а > 0 норм ре-
решений задач Дирихле
det/>2w
F[u] = 1 = oF[<l>] в 12, и = 0 на Э12, 0 < о < 1,
f(pc, и, Du)
где функция ф ? С2 A2) равномерно выпукла и обращается в нуль на гра-
границе 312 (см. задачу 17.8) . Если величина #«, из теоремы 17.4 бесконечна,
то такая оценка сразу следует из теорем 17.4,17.10, 17.20 и 17.21. В про-
противном случае, выбирая, если надо, новую функцию 0, мы можем удов-
удовлетворить условию F[0] < 0 (например, заменив ф на решение задачи
Дирихле detZ>2w = inf/ в 12, и = 0 на 312). ?
Для уравнений Монжа — Ампера с большим числом независимых пере-
переменных справедлив следующий аналог теоремы 1722, являющийся след-
следствием глобальной оценки (теорема 17,26) из раздела 17.8,
Теорема 17,23.Пусть 12 - равномерно выпуклая область вКпс гра-
границей 312 Е С4. Предположим, что f - положительная функция, принад-
принадлежащая С2 A2 X R X R"), выполнены неравенство fz>0u структурные
условия A7.13), A7,14) и A7,77) для /3 = 0, Тогда классическаязадача
Дирихле (ПВО) разрешима, причем решение и принадлежит C3iPl(?l) для
всех а < 1.
Отметим, что теоремы 17.20,17.22 и 17.23 обобщаются на произвольные
граничные значения ф Е С4 (п) (см. [104], [116]), Используя внутренние
оценки вторых производных теоремы 1720, предыдущие теоремы сущест-
существования можно обобщить на случай более общих функций/.
Теорема 17.24.Пусть 12 - равномерно выпуклая область в Rn. Пред-
Предположим, что f - положительная функция, принадлежащая С2 A2 X R X
X R"), выполнены неравенство fz>0u структурные условия A7.13),
A7.14) и A7.77) . Тогда классическая задача Дирихле A1.80)разрешима,
причем решение и принадлежит С3'а A2) П С0»1 A2) для всех а < 1.
Доказательство, Пусть { fm } — последовательность ограничен-
ограниченных функций из С2 A2 X R X Rn) , удовлетворяющих условиям: 0 < fm <
^f>fz ** 0 и /w = / ПРИ U I + I р I < ти ,и пусть { 12/} — возрастающая пос-
последовательность равномерно выпуклых подобластей области 12, принад-
принадлежащих С4 и удовлетворяющих условиям 12/ СС 12,и 12/=12, В силу
теорем 17.22 и 17,23 существует для каждого m последовательность { uml}
равномерно выпуклых решений задач Дирихле
teiD2uml=fm(x,umhDuml) в" 12Ь uml = 0 на Э127.
Используя оценки теорем 17.4 и 17,21 и внутренние оценки теорем 17.14
и 17Л9, мы получаем, что существует подпоследовательность, равномер-
равномерно на компактных подмножествах области 12 сходящаяся вместе с пер-
первыми и вторыми производными к решению ит задачи Дирихле
detD2um=fm(X>um,Dum) в 12, ит = 0 на Э12.
Отсюда, снова в силу теорем 17.4 и 17.25, следует, что для достаточно
больших т функции ит=и являются решениями A7,80), ?
Для частного случая уравнений поверхностей с заданной гауссовой
кривизной A7Л) мы получаем из теоремы 17,24 такое следствие,
423

Следствие 1725. Пусть 12 - равномерно выпуклая область в Rn, a
К - положительная функция, принадлежащая С2 A2) ПС0'1 (п), удовлет-
удовлетворяющая условиям
К = 0 на Э12, / Kdx<un. A7.81)
п
Тогда существует единственная выпуклая функция и G С2 A2) П С0'1 A2)
такая, что и = 0 на 312, а график функции и имеет гауссову кривизну,
равную в каждой точке # G 12 значению К (х),
Оба условия A7,81) следствия 1725 в определенном смысле необхо-
необходимы. Действительно, предположим, что в общем уравнении Монжа—Ам-
Монжа—Ампера A7,4) функция/удовлетворяет неравенству
f(x,z,p)>h(x)lg(p) \f(x,z,p)GUXRXRn, A7.82)
где h и g — положительные функции из L1 A2) и L\oc(Rn) соответствен-
соответственно. Тогда если и G С2 A2) - выпуклое решение уравнения A7.4) в об-
области 12, то его нормальное отображение х совпадает с Du и является вза-
взаимно однозначным отображением. Интегрируя по частям, имеем
/ g(p)dp= I g(Du)detD2udx> f hdx.
х(П) n n
Следовательно, условие
/ hdx<goo = f g(p)dp A7.83)
необходимо для существования выпуклого решения и. Кроме того, стро-
строгое неравенство
/ hdx<goo A7.84)
п
необходимо для существования решения и, нормальное отоб?ажение кото-
которого не совпадает со всем КЛ,в частности, решения и из С0'1 A2 ) .
Относительно второго условия в A7J31) заметим, что благодаря обоб-
обобщению внутренней оценки (теорема 17 Л 9) мы можем допустить в след-
следствий 17.25 произвольные ненулевые граничные значения 0 Е С2 A2) тог-
тогда и только тогда, когда К = 0 на Э12 [297]. Условие A7.81) аналогично
условиям A6.58), A6,60) для уравнения поверхностей с заданной средней
кривизной A6.1),
17.8. Глобальные оценки Гёльдера вторых производных
В этом разделе мы получим глобальный аналог оценок Гёльдера вторых
производных теоремы 17.14 для уравнений типа уравнений Монжа — Ампе-
Ампера. Методы автоматически охватьюают уравнения общего вида 17Л, если
условие (ii)' в теореме 17.14 заменить более сильным условием
2\2 A7.85)
с некоторой положительной постоянной Хо и ДДя всех симметрических мат-
матриц | G RnX n. В силу A7.65) уравнения типа уравнения Монжа - Ампера,
записанные в виде A7,64), удовлетворяют условию A7.85) с постоянной
Хо = ( sup^n)", где %п - максимальное собственное значение D2u. Так
424

как из условий для глобальной оценки Гёльдера вторых производных
следуют с помощью линейной теории более сильные оценки третьих произ-
производных, то итоговый результат удобно сформулировать следующим об-
образом.
Теорема 17.26, Пусть 12 - ограниченная область в Rn с границей
Э12 ? С4 и пусть Ф Е С4 (п). Предположим, что функция и G С3 A2) П
П С4 {^^удовлетворяет уравнению F [и] = 0 в 12, и = Ф на Э12, причем
F ? С2 (Г), оператор F эллиптичен на функции и и выполняются условия
(i)', (ii)' и A7.85). Тогда имеет место оценка
sup \D3u \<C, A7.86)
п
где постоянная С зависит от п, X, Л, Хо, 312, | ф | 4; п > I u \ц n u первых
и вторых производных F,
Доказательство, Пусть у — единичный вектор в R", Мы можем,
подставляя A7.85) в A7,43), усилить неравенство A7,44) и получить не-
неравенство
Ftj Dijyy и>- AihDihu - By + Хо I D2Dyu \2 >- С A7.87)
с помощью неравенства Коши, причем постоянная С зависит от п, Хо и ве-
величин А о, Во из A7,46), Зафиксируем точку ;с0 Е Э?2, Предположим,
что BR (у) — внешний шар для точки х0. Модули непрерывности произ-
производных DyyU могут быть оценены на границе (через их след на Э?2) стан-
стандартным способом с помощью барьеров, так, как описано, например, в за-
замечании 3 к разделу 63. Как показано в этом разделе, функция w из
F.45), определенная формулой w(x) = t(R~° - \х - у \~а), удовлетво-
удовлетворяет в 12 неравенству F/;Z)/yvv <— 1 для достаточно больших г, а, завися-
зависящих от X, Л и R. Поэтому если е > 0 и | Dyyu (х) - Dyyu (х0) | < е для
xG Э12, \х - хо\< 5, то из A7,87) и из классического принципа мак-
максимума (теорема 3.1) мы получим оценку
DyyU(x)-DyyU(xo)<e + Cw + 2sup \Dyyu \ \х-хо\2/д2 <
<е + С\х-хо\ A7.88)
в произвольной точке х G П с постоянной С, зависящей от п, X, Л, Хо,
Ао, Во, \и\2; п, diam?2, R и 5, Теперь, выбирая векторы у%9 y2i .. , , , yN
в соответствии с леммой 17.3 и используя само уравнение A7.1), как в
доказательстве теоремы 17.14, мы получаем из A7,88) оценку
\D2u(x)-D2u(x0)\<€+C\x-x0\ A7.89)
в произвольной точке х G 12, где постоянная С зависит дополнительно от
величиныDo из доказательства теоремы 17.14,
Оценка A7.89) сводит оценку модуля непрерывности вторых производ-
производных на границе Э12 к таким же оценкам их следов на Э12. Похожий резуль-
результат можно установить также с помощью слабого неравенства Харнака на
границе (теорема 9.27) и, более того, если можно доказать без требования
условия A7,85), Далее для получения односторонней оценки третьей
производной мы вновь воспользуемся A7.88) . Без ограничения общности
можно предположить, что функция и равна нулю на Э12 и что граница
425

Э?2 является плоской в окрестности точки х0 ? д?2, т.е. для некоторого
5>0
Это всегда можно добиться, ибо вид уравнения A7.1) вместе с A7,85)
и условиями (i) , (ii) теоремы US сохраняется при замене и на и — Ф
и при замене независимых пере*менных с помощью функции ф класса С4.
Новые постоянные X, Л и Хо будут, очевидно, зависеть от ф (в частности,
от Иф) , а также и от их исходных значений. Взяв 7 совпадающим с танген-
тангенциальными направлениями на 3R+, так что Dyyu = 0 на Г, мы из A7,88)
получаем неравенство Dyyu(x) — Dyyu(x0) < С\х - хо\ для х G В+;
поэтому
Dyynu(x0)>-C, A7.90)
где постоянная С зависит от | ф |4; а и Ф> а также от величин из A7.88),
Обозначив h = Dnu + к\ х |2, мы видим,что для достаточно больших к (к>
> С) Dyyh(x) > 0 для jc G Ту \х - х0 | <б/2; следовательно, функция h
имеет выпуклый след на Э?2 П #6/2 (^о) • Кроме этого,из продифференци-
продифференцированного уравнения A7 23) еле дует, что функция h удовлетворяет равно-
равномерно эллиптическому уравнению и поэтому | FjjDjjh \ < С, где постоянная
С зависит от величин, входящих в формулировку теоремы 17.26. Описан-
Описанные выше свойства функции h используются с помощью следующей заме-
замечательной леммы, доказательство которой мы откладываем до конца этой
главы.
Лемма 17.27.Пусть функция h G С2 (В+) П С0 (В+ U Т) удовлет-
удовлетворяет неравенству
ц A7.91)
в В+, оператор L равномерно эллиптичен в В+', а отношение f/X ограниче-
ограничено. Тогда если функция h\T выпукла, то для любых х, у G Т П B&j2 (x0)
и / = 1,.,. ,я — 1 справедлива оценка
I Dth(x) -DMy)\ <C/A + I log \x - у | |) A7.92)
с постоянной С, зависящей только от п, sup Л/Х, sup//X,5 и sup | Dh \,
Лемма 17,27 обеспечивает оценку модуля непрерывности в точке х0
сужений на Т вторых производных Djnu. Аналогичная оценка для остав-
оставшейся нетангенциальной производной следует непосредственно из самого
уравнения A7Л) - Но тогда из оценки A7,80) следует оценка модуля
непрерывности матрицы Гессе D2u в граничной точке х0 через величины,
указанные в утверждении теоремы 17.26, Эта оценка, в свою очередь,
приводит к оценке модуля непрерывности старших коэффициентов про-
продифференцированного уравнения A7.32), Мы можем тогда использовать
теорию ъ Lp ,ъ частности, теорему 9.13, для получения оценок в Lp третьих
производных DiJku, i, j = 1, , . . , п, k = 1, . . Л ,п ~ 1, в окрестности точки
х0 при любом р < °°, Аналогичные оценки для оставшейся третьей произ-
производной Dnnnu вновь получаются из A7.23), Используя оценку Морри
(теорема 7.19), мы получим, таким образом, оценки Гёльдера для D и
в точке х0 с любым показателем а < 1. Объединяя их с внутренней оцен-
426

кой (теорема 17.14) подобно тому, как это делалось в доказательстве
теоремы 8,29, мы, наконец, получаем глобальную оценку в С2'а(?2),
для любого а < 1, Чтобы завершить доказательство теоремы 17-26, мы при-
применим теорию Шаудера к продифференцированному уравнению A7.23),
в результате чего и получим глобальные оценки в С3>а(?2) при любом
а<1-П
Доказательство леммы 1727. Так как функция h\ T выпук-
выпукла, то производные Dfh, i" = 1, . . . , л — 1, существуют почти всюду на Г, и
поэтому неравенство A7.92) достаточно доказать для таких точек х, у.
Полный результат для всех х, у получается на основании выпуклости и
непрерывности.
Мы можем предположить,что х = 0 и что выполняются равенства
/=1,...,и-1 A7.93)
(последнего всегда можно добиться с помощью вычитания из h соответ-
соответствующей линейной функции). Осуществив поворот координат, мы можем
далее предполагать, что Dxh(y) = а > 0, Dth{y) = О, i = 2, . . . ,п — 1,
где а < sup \Dh\ < С. Далее мы будем пользоваться одной и той же буквой
С для обозначения различных постоянных, зависящих только от величин,
указанных в утверждении леммы. Покажем,что
g|j||, A7.94)
если величина \у\ достаточно мала. Из этого неравенства следует A7.92).
Так как случай а = 0 не нуждается в доказательстве, то будем далее пред-
предполагать, что а > 0.
Записывая ;с = (*', хп) = (xt, , . - ,х„_ь хп) длял: G R, из выпуклости
h на Тполучаем,что h (xf, 0) > 0 и что
ft(x',0)>ft(/,0) + «(*i -y1) = a(x1 -0); A7.95)
величина ($ определяется этим равенством. Полагая здесь х' =0их' = у9,
получаем, что
0<Р<Ух. A7.96)
Рассмотрим функцию
| х'2 +1 (х, - /3) -
2 -D(xn + |х'|2 -Ех2п). A7.97)
Функция w будет барьером}если соответствующим образом,в зависимости
только от постоянных леммы, выбрать постоянные у, е < 1 и Д /Г > 1,
причем
Lw>f>Lh в Я6+( = Яе+@)) A7.98)
w<h на a^g. A7.99)
Предположив на момент, что можно таким образом выбрать постоянные
для функции w, из принципа максимума получаем, чго w <h в В^, Так как
Л@) = w@) = 0, то,положивх' = 0 в A7S7), поделив нахп и осуществив
427

предельный переход хп ->0, получаем
Dnw@)< lim inf — —< sup | Dh | < C,
или
- ay log /3 - Z) < С
Учитывая A7,96), получаем
С + Я C + Z)
OL<
7 I log J3 | 7 | log | j>'||
что и доказывает A7.94).
Осталось определить постоянные для функции w. Обозначив р =
= [(*i — РJ + ^и]1^2» прямым вычислением убеждаемся, что Lp> Х/р
и | L (хп log р) | < бЛ/р, так что при 0 < 7 ^ — inf Х/Л выполняется нера-
неравенство L (р/2 — yxn[ogp) > 0. Теперь,взяв достаточно большую постоян-
/ 1 \
Е (Е > — sup/ / X + w sup Л/Х) и
/ \
ную Е (Е > — sup/ / X + w sup Л/Х) и постояннуюD> 1, мы можем удов-
удовлетворить неравенствам A7.98),
Для доказательства неравенства A7.99) сначала заметим, что оно имеет
место при хп = 0:
= a(xl -p)-D\x'\2 <h(x',0), если xt>li (в силу A7.95)) ,
= -D\x'\2 <0<h(x',0), если хх<р.
На полусферической части S границы ЪВ? выполняется неравенство хп +
+ \х'\2 — Ехп^ — е2, коль скоро постоянная е достаточно мала (в зави-
зависимости от выбора постоянной ?). Так как другие слагаемые функции w
при е < 1 ограничены величиной sup |Z)/i| , то, взяв достаточно большую
постоянную D, мы приведем к неравенству w < - С < inf и на 5, чем и за-
завершается доказательство A7.94).
Наконец, заметим, что из A7.94) следует оценка A7.92) при | х - у | <
< е, а из оценки | Dh \ < С следует та же оценка в В § j2 при | х - у \ > е. D
Доказательство предыдущей леммы взято почти без изменений из [116].
Другой метод. Метод получения глобальных оценок Гёльдера вторых
производных, описанный выше, принадлежит Каффарелли, Ниренбергу
и Спруку [116]. Покажем, однако, что фундаментальные оценки Гёльдера
для смешанных тангенциально-нормальных вторых производных на грани-
границе легко следуют из теоремы 9.31. Соответствующий метод, принадлежа-
принадлежащий Крылову [135], позволяет, кроме того, получить глобальную регу-
регулярность решений уравнения Беллмана A7.8) . В действительности спра-
справедлив более сильный вариант теоремы 17.6,
Теорема 17.261. Пуср> Г2 - ограниченная область в Rn с границей
ЭГ2 G С3 и пусть Ф ? С3 (Г2). Предположим, что функция и G С3 (п) П
428

П С4 (?2) удовлетворяет в ?1 уравнению F[u] =0м равенству и = Ф на
Э12. Пусть F6 С2 (Г), а оператор F эллиптичен на функции и и удовлет-
удовлетворяет условиям (i)\ (iiI. Тогда справедлива оценка
где постоянная а зависит только от п, X мЛ, а постоянная С зависит, кро-
кроме того, от | и |2; п и первых и вторых производных функции F, отличных
oTFrr.
Доказательство, Ситуация упрощается так же, как в доказа-
доказательстве теоремы 17-26, с помощью рассмотрения производных Dinu,
i = 1, , . . , п — 1, на плоском граничном куске Г. Однако здесь, вместо
рассмотрения дифференциального неравенства A7.91) для нормальной
производной и использования леммы 1727, мы рассмотрим равномер-
равномерно эллиптическое дифференциальное уравнение
которому удовлетворяют тангенциальные производные h = D^u, k =
= l,,,,,w - 1,в5+,и воспользуемся теоремой 9.31, Тогда глобальная
оценка Гёльдера для D2u получается не зависящей от модуля непрерыв-
непрерывности старших коэффициентов дифференциального уравнения A7,23), D
Отметим, что с помощью специальных видов оценок (9.68), A731)
можно исключить использование барьеров в начале доказательства теоре-
теоремы 17.26 (см. задачу 13,1, в которой и заменяется на (DiU,.. , ,?)„_!«),
или см. [295]). Доказательство теоремы 17.26 можно также модифици-
модифицировать так, что будет не нужно ограничение A7.85). Чтобы убедиться в
этом, вспомним, что чистые вторые производные v = Dyyu - JiJ/D^u,
у G 9R+, удовлетворяют в В+ равномерно эллиптическим неравенствам
вида
в которых сin - 0 для i = 1, , , . , и- в чем можно убедиться, продифферен-
продифференцировав уравнение A7.23) . Коэффициенты сц и постоянная С могут быть
ограничены величинами, входящими в утверждение теоремы 17.26 (ис-
(исключая величину Хо) • Рассмотрим функцию v как функцию переменных
хи)В области ?1* = В+ X { ye 3R? Il7l<2} CR2" и продолжим на П *
введенный выше оператор, положив
где постоянная Ко выбрана так, чтобы оператор L был равномерно эллип-
эллиптичен в 12 *, С помощью соответствующего продолжения барьера w на 12 *,
например по формуле w(x, у) = w(x) + т'\у - у \2 с постоянной т' и
1.7*1 = 1> мы вновь можем получить одностороннюю оценку третьей произ-
производной A7.90) , после чего завершение доказательства теоремы 17.26 сле-
следует автоматически,
В качестве следствия теоремы 17.26 можно получить глобальную глад-
гладкость решений задачи Дирихле в теоремах 17.17, 17,18 в случае, когда
граничные функции являются достаточно гладкими. Действительно, если
оператор F удовлетворяет структурным условиям A7,53), можно спомо-
429

щью интерполяции добиться того, что постоянная С в A7.86)' будет зави-
зависеть от | и |0. ft , а не от | и |2; а и, кроме того, эта оценка будет равномер-
равномерной относительно аппроксимации задачи Дирихле A7.61), рассмотрен-
рассмотренной в части 17.5. Таким образом получаем, например, следующий аналог
теоремы 17 Л 8.
Теорема 17Л8'.Пусть ?1 — ограниченная область в Rn с границей
Э?2 Е С3 и пусть Ф Е С3 (?1). Предположим, что функции Fl ,F2, . , .Е
Е Са (Г) вогнуты по z, p, г, не возрастают по z и равномерно удовлетво-
удовлетворяют структурным условиям A7.53). Тогда классическая задача Дирихле
A7.61) однозначно разрешима, решение и принадлежит С2>а(?2) ,где а —
некоторый положительный показатель, зависящий только от п,\и А.
17.9. Нелинейные граничные задачи
Метод непрерывного продолжения по параметру, ранее примененный
к задаче Дирихле в разделе 17,2, легко обобщается также и на другие
граничные задачи. Методы неподвижной точки гл. 11 не всегда применимы
даже в квазилинейном случае,так как в общем случае не удается построить
компактный оператор, аналогичный оператору Г из разделов 11.2, 11,4,
Рассмотрим нелинейную граничную задачу вида
F[u] = F(x, и, Du, D2u) = 0 в ft,
A7.100)
G[u] = G(x, u, Du) = 0 на Ьп,
где F,G — вещественные функции, определенные на множествах Г - ?2 X
ХКХКггХК'1ХииГг = Э^ХКХК'1 соответственно, Случай
A7Л01)
соответствует задаче Дирихле F[u] = 0 в Г2, и = ^ на Э?2, рассмотренной
ранее в этой книге. Если Э12 Е С1, G Е С1 (Г'), то граничный оператор
G назьюается оператором с косой производной, если
(x,z,p)- V(x)>0 A7.102)
ЭР
для всех (х, z, р) Е_Г', где v — внешняя единичная нормаль к Э?2, Если
же функция и Е С1 (п ) и
(x,u(x\Du(x))- T(x)>0 A7Л03)
для всех х Е Э?2, то оператор G называется оператором с косой производ-
производной относительно функции и. Чтобы воспользоваться методом непрерыв-
непрерывного продолжения по параметру, мы предположим, что F G С2*а (Г ), G Е
Е С3>а(Г'), а в качестве банаховых пространств возьмем пространства
»! = С2 >а(Й), »2 = Са(п) X С1 >а(ЬП)
с некоторым а Е @,1). Определим отображениеР: 95j ->852 формулой
430

Оно имеет непрерывную на $Ва производную Фреше вида
Л?»1, A7.104)
с оператором L определенным формулой A7.22), и оператором
где
fi'(?c) = GPi(x9u(x), Du(x)).
Из теории Шаудера линейной задачи с косой производной, теорема
6.31, следует, что оператор Ри ограниченно обратим, если оператор F строго
эллиптичен на и, оператор G является оператором с наклонной производ-
производной на функции и и выполнены неравенства с( = 2Л) <0, 7 ^ 0> причем
или с =? 0 в Г2, или 7 ^ 0 на Э?2. В силу этого и в силу теоремы 17.6 мы
получаем следующее обобщение теоремы 17.8.
Теорема 17.28. Пусть п - область в К^класса С2>с\ 0< а< 1,Ц -
открытое подмножество пространства С2'01 (?1) м i//E U. Пусть
Е = {и<Е<и \Р[и]= аР[ф] для некоторого оЕ[0, 1]}. A7.105)
Предположим, что F Е С2>а(Г ), G Е С3*а (Г') м выполнены условия:
(i) оператор F строго эллиптичен в ?1 на каждой функции и Е Е\
(ii) оператор G или имеет вид A7.101), или является оператором
с косой производной на ЭГ2 на каждой функции и Е Е;
(in) Fz (х, и, Du, D2u) < 0, Gz (х, и, Du) > 0 для каждой функции
uG Е такой, что одна из величин Fz и Gz_omu4Ha от тождественного нуля;
(iv) множество Еограничено в C2iCi ( Г2 );
(v) E CU. Тогда граничная задача A7.101) разрешима в Ц.
Замечание, аналогичное замечанию в конце части 17.2, справедливо
и в этом случае. Именно: семейство граничных задач в A7.105) можно
заменить более общим семейством Р [и; о] = 0, гладко зависящим от а,
для которого Р[и; 1] = Р[и] и уравнение Р[и; 0] = 0 разрешимо в %.
Для каждого о G [0, 1] оператор мь>?[м; а] должен, разумеется, удов-
удовлетворять тем же самым условиям, что и Р.
Покажем, что для квазилинейных операторов
F[u] = Qu = aif(xfu,Du)DijU + b(x,u,Du) A7.106)
условие (iv) из теоремы 17.28 может быть ослаблено и заменено усло-
условием, что для некоторого 5 > 0 множество Е ограничено в С1*8 (Г2 ). Этот
результат получается с помощью сведения доказательства существования
для квазилинейных уравнений к получению требующейся априорной оцен-
оценки подобно тому, как это делалось для задачи Дирихле в гл. 11. Для осуще-
осуществления соответствующего сведения нам потребуется следующая лемма
о сходимости.
Лемма 17.29. Пусть F - квазилинейный оператор вида A7.106) с
коэффициентами alJ\ Ь Е Са(п X R X Rw), G - граничный оператор вида
A7.100), причем G, Gp Е С1>а(ЪП X R X R"), 0 < а < {.Предположим,
что оператор F строго эллиптичен в Г2, а оператор G является оператором
431

с косой производной на ЭГ2. Предположим, что существуют последова-
последовательности {ит}С С2>«(п)ЛГт}ССа(п )Л*т}СС1>а(ЪП)такие,что:
(О P[Um]=(fm,*m)\
(ii) {um}< \fm)i {Vm) равномерно ограничены в C1>a(ft), Са(п)ч
С1>0! (ЭГ2) соответственно;
(in) {um}, {/mK {уm}равномерно сходятся к и, /, \р соответственно,
ТогдаиеС2'а(П) иР[и] = (/».
Доказательство. Пусть u = um - щ, где т, к— натуральные числа.
Функция v является решением линейной задачи
Lv = g в Г2, Nv = ф на ЭГ2,
где
/,м = JVDtjU, Nu = FDfU,
1« = а'1(х, ит, Dum ), p* = JGPt (x, umtDuk + t (Dum - Duk)) dt,
g = fm-fk + b(xtuk,Duk)-b(x,um,Dum) +
+ (e"(x, мъ Z>W/t) - flrl7(x, mw, Dum))Difukt
Ф = Vm-Vk + G (^ "At, #Wfc) - С О, UmiDum),
Оцениваем, используя условия леммы:
\g\as < e(m,*)(l + Кх + /^2) + C^lf
I* li,«6 < €(m,k)(l + Кг +ЛГа),
1/3 |в6 <С [jSh,e6 < СA+ ^ + Кг\
где б ->0 притД-»00, постоянная Сне зависит от т, к и
*! = max{|?>2Mw |0, \D2uk\0], K2 = max {[D2um ]aS , [D2«fc]a6}.
Используя модификацию оценки из теоремы 6.30, данную в задаче 6.11,
получаем
ЛГО + е(т,к)К2.
Отсюда, в силу интерполяционного неравенства (теорема 6.35), следует
оценка
М2,«6 < С + A/4 + е)К29 A7,107)
где постоянная С вновь не зависит от m, k и б -> 0 при /и, fc -*«>. Покажем,
что из A7.107) следует ограниченность [uw ]2,a6- Предположим, что
это не так. Тогда для некоторых т, к
Кг = [««]2,аб > 4 [nfc]2fe6 > 4С, е(т, к) < 1/4. A7.108)
Следовательно, [v]2 «б ^ — ^2* так что на основании A7.107) имеем
4
—К2 <С + — АГ2, откуда следует, что К2 <4С,а это противоречит A7.108).
4 2
432

Итак, нормы [Wm]2,a6 ограничены независимо от т и поэтому и G
G С2'а6 A2), причем Р [и] = (/, <р). В итоге, с помощью рассуждений,
аналогичных предыдущим, мы получим, что м G С2*а A2 ). П
Объединив лемму 17.29 с теоремой 17.7, мы получим вариант теоремы
17.28, справедливый для квазилинейных уравнений.
Теорема 17.30. Пусть 12 - область в Rn класса С2>0!, 0 < а < 1. Пред-
Предположим, что оператор Q строго эллиптичен в 12, его коэффициенты ai], b G
G С2 A2 X R X Rn), я оператор G G С3 ( Э12 X R X Rn), является оператором
с наклонной производной на Э12. Предположим также, что alj = 0, bz < 0,
Gz > 0, причем или bz (x, u(x),Du(x)) Ф 0 или Gz (x, u(x), Z)u(x)) # 0
для каждой функции и & С2>а(п). Тогда если для некоторой функции
феС2>а(п) множество
Е ={mG С2>а(п)\ Qu = aQ^ в 12; A7.109)
G [м] = aG [ф] на ЭГ2 для некоторого aG [0, 1]}
ограничено в С1'5 (?1) для некоторого д > 0, то граничная задача Qu -0
в Г2 , G [и] = 0 на ЭГ2 однозначно разрешима в С2*а A2 ).
В A7.109), как упоминалось ранее, могут быть использованы другие
семейства задач. Например, можно рассмотреть семейство, аналогичное
семейству, использованному для задачи Дирихле в теореме 11.4, а именно
Qou = aij'(xtu,Du)DijU + ab(xtutDu)= 0 в 12,
A7.110)
Gou = oG(x,u,Du) + A - a)м = 0 на Э12.
Типичной задачей с косой производной является граничная задача с
конормальной производной для эллиптического уравнения дивергентного
вида, а именно
Qu = 6ivA(x,u,Du) + B(x,u,Du) = 0 в 12,
A7.111)
G [и] = А (х, utDu) • V(x) + <р(х, м) = 0 на Э12.
Интересным частным случаем задачи с конормальной производной является
задача определения поверхности каппиляра с заданным углом контакта,
упоминавшаяся в гл. 10. Для этого примера, а также для равномерно
эллиптического оператора, удовлетворяющего естественным условиям,
таким как в теореме 15.11, требующиеся априорные оценки имеют место,
так что соответствующие теоремы существования следуют из теоремы
17.30. Для ознакомления с дальнейшими фактами читатель отсылается к
литературе, например, к [147], [298], [63], [162], [163].
Примечания
Вполне нелинейные уравнения с двумя переменными изучались мно-
многими авторами, в том числе Леви [156], Ниренбергом [215], Погорело-
вым [236] и Хайнцем [317]. Наиболее тщательно изучались уравнения
типа уравнения Монжа-Ампера и связанные с ними геометрические задачи,
такие как задача Минковского определения выпуклой гиперповерхности
28. Д. Гилбарг 433

по ее гауссовой кривизне. В работе [243] были введены экстремальные
операторы Пуччи и решены соответствующие задачи Дирихле в случае двух
переменных.
Многомерные уравнения Монжа—Ампера были вначале решены в обоб-
обобщенном смысле Александровым [5] и Бакельманом [18], использовав-
использовавшими полиэдральную аппроксимацию. Дальнейшее продвижение осуще-
осуществлено в работах [19], [21], где получена обобщенная версия основной
теоремы существования (теорема 17.24). Обобщенное решение уравнения
Монжа—Ампера A7.2) может быть определено как выпуклая функция,
нормальное отображение которой абсолютно непрерывно с плотностью /.
Внутренняя регулярность обобщенных решений (при достаточно гладких
граничных условиях) была доказана Погореловым [237-240] и Ченгом
и Яу [334], [335], причем существенной основой их доказательств были
внутренние оценки Погорелова вторых производных и внутренние оценки
Калаби [108] третьих производных. Эти авторы доказали теорему 17.24
идя уравнения Монжа—Ампера A7.2). Наш метод получения оценок
вторых производных в разделе 17.6 использует метод Погорелова [236],
[240] с добавлением соображений Л.М. Саймона относительно функ-
функции/г.
Важный стимул к изучению вполне нелинейных равномерно эллипти-
эллиптических уравнений возник в теории стохастического управления. Уравнение
Беллмана A7.8) является уравнением для (достаточно гладкой) целевой
функции в задаче управления, связанной с системой стохастических диф-
дифференциальных уравнений. Первое значительное изучение этих уравнений
осуществлено Крыловым и использует методы теории вероятностей,
см. книгу [132]. Технику дифференциальных уравнений с частными произ-
производными последовательно развивали различные авторы: Брезис и Эванс
[48] (получившие оценки в С2'а для пары операторов); Эванс и Фридман
[358] — для случая постоянных коэффициентов (см. также [176]);
П.Л. Лионе [169], Эванс и Лионе [356] — для общего равномерно эллип-
эллиптического случая. В статьях [169], [356] существование сильного решения
задачи Дирихле при условиях A7.62) доказано с помощью тонкого метода,
основанного на аппроксимации с помощью эллиптической системы и на
априорных оценках в С1'1 (^)- Полное изучение (возможно вырожденно-
вырожденного) уравнения Беллмана и изучение связей между задачей стохастического
управления и динамическим программированием Беллмана было осуще-
осуществлено П.Л. Лионсом [173], [174] и обсуждалось в [175] (см. также
[172] для уравнения Гамильтона-Якоби первого порядка).
Теория классических решений вполне нелинейных эллиптических урав-
уравнений существенно прогрессировала после открытия внутренних > оценок
Гёльдера вторых производных, сделанного Эвансом [353], [354] и Кры-
Крыловым [134], доказавшими, по существу, результаты разделов 17.4, 17.5.
Изложение этих результатов в разделах 17.4, 17.5 осуществлено с исполь-
использованием упрощений, предложенных Трудингером [294]. Для нужд раз-
разделов 17.3 и 17.4 использовались оценки первых и вторых производных,
полученные с помощью интерполяции, но такие же результаты имеют
место и при более общих структурных условиях, аналогичных соответст-
соответствующим условиям из квазилинейной теории [294], [295]. В частности,
условия A7.29) и A7.53) для производных могут быть заменены на
434

следующие условия:
\F(x,z,p9O)\ <MXA + |р|2), A7.29)'
\Fx\, \FZ\9 \Fp\
A + \P\)\FP\, \FX\,\FX\ < mXA + Ipl2 + I r I),
\Frxl \Frz\, \Frp\ <5\ A7.53)'
\FXX\9 \FXZ\, \FXP\, \FZZ\, \FzpU \Fpp )
где м не убывает по | z |, /Гне убывает по \z | + | Р I (при этом в A7.53)
не требуется вогнутость F по переменным риг).
Недавно теория уравнения Монжа—Ампера со многими независимыми
переменными пережила период расцвета. П.Л. Лионсом [170], [171] был
развит метод изучения классической задачи Дирихле с помощью диффе-
дифференциальных уравнений с частными производными; используя его и исполь-
используя более ранние работы_^Бакельмана, П.Л. Лионе доказал теорему 17.24
для решений класса С0 (S2 ) П С2 (?2). Метод Лионса основан на аппрок-
аппроксимации задачами, определенными в Rn. В подобном духе Ченгом и Яу
[336], [337] развит метод, основанный на аппроксимации задачами с бес-
бесконечными граничными значениями. Вероятностный метод был дан Кры-
Крыловым [133]. Глобальная регулярность, представляющая серьезное пре-
препятствие для непосредственного применения метода непрерывного про-
продолжения по параметру, была, наконец, обоснована Каффарелли, Нирен-
бергом и Спруком Г116] и Крыловым [135], [136], которые доказали
теоремы 17.26 и 17.26' соответственно и, следовательно, доказали теоре-
теорему 17.23 в ее полном объеме для уравнения Монжа—Ампера A7.2). Кроме
того, в статье [116] проблема разрешимости задачи Дирихле для общих
уравнений типа уравнения Монжа—Ампера сведена к вопросу существова-
существования глобальных гладких субрешений, из чего легко следует случай C = 0,
7 = и теоремы 17.23.
Работа Каффарелли, Ниренберга и Спрука [116], а также работы Ивоч-
киной [104], [105] охватьюают случай общих граничных значений ФЕ
Е С4 (П). В работе [297] теорема 17.24 обобщена на случай ЭПеС1'1,
ФЕ Cul(U). _
Существование решений класса С2>0!(?2) уравнения Беллмана (теоре-
(теорема 17.18') установлено Крыловым [135]. Идея, использованная в разде-
разделе 17.8, о рассмотрении направлений у как переменных встречается у Кры-
Крылова в [137] при получении внутренних оценок вторых производных.
Теорему 17.18' можно обобщить таким образом, чтобы охватывались
структурные условия вида A7.29)', A7.53)' (см. [294], [295], [115]).
Сведение нелинейных граничных задач к получению априорной оценки
в теореме 17.30 осуществлено Фиоренцой [311] (см. также Ладыженская
и Уральцева [147]). В нашем изложении мы использовали при дока-
доказательстве леммы 17.2 некоторые упрощения Либермана [162], хотя
главной идеей работы Либермана является замена метода непрерывного
продолжения по параметру другим функционально аналитическим мето-
методом, допускающим более слабое, нежели условие (ш) в теореме 17.28,
условие.
28* 435

Краевая задача с косой производной для вполне нелинейных урав-
уравнений была недавно рассмотрена Лионсом и Трудингером [177], [295]
для уравнения Беллмана, Либерманом и Трудингером [165], [295] для
общих нелинейных граничных условий и Лионсом, Трудингером и Урбя-
сом [178] - для уравнений типа уравнения Монжа—Ампера.
Задачи
17.1. Докажите, что если оператор A7.1) эллиптичен в точке те Г , то функция F
в точке у строго возрастает по г. Это значит, что существует положительное число е та-
такое, что
F(x, z, p, r) < F{x, z,p,r + -q) A7.112)
и V и
для всех ненулевых неотрицательных матриц ri e R , удовлетворяющих условию
I П\ <е.
17.2. Докажите, что оператор F, определенный формулой A7.1), дифференци-
дифференцируем по Фреше_как отображение C2>Q:(ft ) в С0>а(ft) при любом а < 1, еслифунк-
ция,РеС2>0!(Г )
17.3^ Докажите,_что оператор F дифференцируем по Фреше, как отображение
С2'а (ft ) в С *^( ft ) при любых а, 0 < 1, у < а?, если функция F дифференцируема
noz, р иг, причем/7, Fz,Fp,Fr G С^(Г ).
17.4. Покажите, что утверждение теоремы 17.17 остается в силе, если условие
F G С2 (Г) заменить на условие существования слабых (в смысле главы 7) произ-
производных A7.53). __
17.5. Пусть ы G С2 (ft ) о С4 (ft) - субгармоническое решение уравнения
F(D2u)= g{x). A7.113)
в области ft С 11Л,_где F G С2 (Rn Xw),geCa(ft ), оператор F эллиптичен на функ-
функции и, trace [F,y(Z)aM)J >1 и функция F вогнута на матрице D2u. Докажите, что
sup\D2u | < C(sup \D2u | + sup \D2g\), A7.114)
ft 3ft ft •
где С = C(n).
17.6. (а) Пусть функция F G С1 (R ) инвариантна при ортогональных преобра-
преобразованиях. Покажите, что для любого г е Кп матрицы F'(r) иг коммутируют.
(б) Предположим, что условия задачи 17.5 усилены следующим образом: функ-
функция F инвариантна при ортогональных преобразованиях и вогнута для г > О, причем
. det[F/y(Da*«)] > 1. Предположим также, что область ft равномерно выпукла, грани-
граница dft G С3 и что и - 0 на dft. Докажите, что если решение и является выпуклой
функцией, то
sup \D2u\ < С, A7.115)
dft
где постоянная С зависит от я, | g \ j. ^, | и \ \. ^ и dft.
17.7. (а) Пусть функция F G С1 (Rw X ") инвариантна при ортогональных преобра-
преобразованиях. Рассмотрим при фиксированных к, I е { 1, . . . , я } полярные координаты
xjc - а + г sin 0, X; = & - г cos в, A7.116)
где a, b - постоянные. Покажите, что если функция цб С3 (ft ) удовлетворяет в ft
уравнению A7.113), то
~- A7.117)
в ft - (а, Ь).
(б) Пусть ft - область в Кп класса С3. Предположим, что О G aft и что внутренняя
нормаль к aft в точке 0 направлена по оси хп. Покажите, что если и е С1 (ft )и и- О
436

и и oil
на ЭП , то в окрестности точки 0 или — или — не превосходят С \ хь- \2:
о в *1с
здесь величина в определяется в A7.116) при соответствующем выборе постоянных
а, Ь и при / = п, а постоянная С зависит от Ъ?1 и | и \ j. ^. Соответственно покажите,
что в задаче 17.6 может быть опущено предположение'о выпуклости и (ср. [103]).
17.8. Пусть П - равномерно выпуклая область в Rn класса С2. Покажите, что
существует равномерно выпуклая функция ие С2 (?1), равная нулю на д?1.
17.9. Покажите, что уравнение
F[u] = (АиJ
A7.118)
эллиптично на любом решении и (или на -м), если функция/положительна. Исполь-
Используя результаты задач 17.5, 17.7 вместе с теоремами 17.14, 17.26, покажите, что клас-
классическая задача Дирихле для A7.118) разрешима для любой равномерно выпуклой
области fiGC3, нулевых граничных условий и любой положительной функции
/ее2 (Л). Подчеркнем, что этот результат обобщается на области, граница кото-
которых имеет положительную среднюю кривизну.
17.10. Пусть функция F G С1 (?1 X R X Rn X Rn ) удовлетворяет условиям
F(x0, 0, 0, 0) = 0, Fr (х0, 0, 0, 0) > 0
в некоторой точке х0 Е П. Используя теорему о неявной функции (теорема 17.6),
покажите, что в некоторой окрестности Ж точки jc0 существует решение и урав-
уравнения A7.1), принадлежащее С1 (JT) и удовлетворяющее условиям и(х0) = Du (xQ) =
= 0. (Указание: взяв х0 = 0, t e R, сделайте замену переменных х~ ty, u = t2v.)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Агмон С. (Agmon S.)
[1] Lectures on Elliptic Boundary Value Problems. - Princeton, N.J.: Van Nostrand,
9
Агмон С, ДуглисА., Ниренберг Л. (Agmon S., Douglis A., Nirenberg L.)
[2] Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations
satisfying general boundary conditions. I // Co mm. Pure Appl. Math. - 1959. - V. 12.-
P. 623-727- (Русский перевод: Оценки вблизи границы решений эллиптических
уравнений в частных производных при общих граничных условиях. - М.: ИЛ,
1962.)
[3] Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations
satisfying general boundary conditions. II // Comm. Pure Appl. Math. - 1964. - V. 17. -
P. 35-92.
Адаме Р.А. (Adams R.A.)
[4] Sobolev spaces, - New York: Academic Press, 1975.
Александров А.Д.
[5 j Задача Дирихле для уравнения det II zi}- II = <p (zt, . . . , zrt, z, xt, . . . , xn). I //
Вестн. ЛГУ. Сер. мат., мех., астрон.. - 1958. - Т. 13, № 1. - С. 5-24.
[6] Некоторые оценки, касающиеся задачи Дирихле //ДАН СССР. - 1960.-Т. 134,
№5.- С 1001-1004.
[7] Условия единственности и оценки решения задачи Дирихле // Вестн. ЛГУ.
Сер. мат., мех., астрон.. - 1963. - Т. 13, № 3. - С. 5-29.
[8] Мажорирование решений линейных уравнений второго порядка // Вестн. ЛГУ.
Сер. мат., мех., астрон. - 1966. - Т. 21, № 1. - С. 5-25.
[9] О мажорантах решений и условиях единственности для эллиптических урав-
уравнений // Вестн. ЛГУ, сер. мат., мех., астрон.. - 1966. - Т. 21, № 7. - С. 5-20.
J10] Невозможность общих оценок решений и условий единственности для ли-
линейных уравнений с нормами, более слабыми, чем в Ln // Вестн. ЛГУ. Сер. мат.,
мех., астрон.. - 1966. - Т. 21, № 13. - С 5-10.
Аллард В. (Allard W.)
A1] On the first variation of a varifoId// Ann. of Math. - 1972.-V. 95. - p. 417-491.
Алхутов Ю.А.
[12 J О регулярности граничных точек относительно задачи Дирихле для эллип-
эллиптических уравнений второго порядка // Мат. заметки. - 1981. - Т. 30, № 3.
С 333-342.
Альмгрен Ф.И. (Almgren F.J.)
[13] Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Berns-
Bernstein's theorem // Ann. of Math. - 1966. - V. 84, 2. - P. 277-292.
АубинТ. XAubinT.)
[14] Equations du type Monge-Ampere sur les varietes k'ahleriennes compactes // C.R.
Acad. Sci. Paris. - 1976. - V. 283. -P. 119-121.
[15] Problemes isoperimetriques et espaces de Sobolev // J. Differential Geometry. -
1976.-V. 11.-P.573-598.
438

[16] Equations du type Monge-Ampere sur les varietes kahle'riennes compactes // Bull.
Sci. Math. - 1978.-V. 102. - P. 63-95.
[17] Equations de Monge-Ampere reelles // J. Funct. Anal. - 1981. - V. 41. -
p. 354-377.
Бакельман И.Я.
[18 j Обобщенные решения уравнений Монжа-Ампера // ДАН СССР. - 1957. -
Т. 114, №6.-С. 1143-1145.
[19] Задача Дирихле для уравнений типа Монжа-Ампера и их «-мерных анало-
аналогов // ДАН СССР. - 1959. - Т. 126, № 5. - С. 923-926.
[20] К теории квазилинейных эллиптических уравнений // Сиб. мат. журн. -
1961. - Т. 2, № 2. - С 179-186.
[21] Геометрические методы решения эллиптических уравнений. - М: Наука,
19^5.
[22] Средняя кривизна и квазилинейные эллиптические уравнения // Сиб. мат.
журн. - 1968. - Т. 9, № 5. - С. 1014-1040.
[23] Геометрические вопросы квазилинейных эллиптических уравнений // Успе-
Успехи мат. наук. - 1970. - Т. 25, № 3. - С. 49-112. %
[24] The Dirichlet problem for the elliptic «dimensional Monge-Ampere equations
and related problems in the theory of quasilinear equations // Proceedings of Seminar
on Monge-Ampere Equations and Related Topics. - Instituto Nazionale di Alta Ma-
tematics, Rome, 1982. - P. 1-78.
Бернштейн CM. / / ч
[25] Sur la generalisation du probleme de Dirichlet, I // Math. Ann. — 1906. —
Bd.62. 7S.253727L
[26] Methode generale pour la resolution du probleme de Dirichlet // C.R. Acad. Sci.
Paris. - 1907. 7 V. 144. - P. 1025-1027..
[27] Sur la generalisation du probleme de Dirichlet. II // Math. Ann. - 1910. -
Bd. 69.-S. 82-136. , .
[28] Conditions necessaires et suffisantes pour la possibilite du probleme de Dirich-
Dirichlet // C.R. Acad. Sci. Paris. - 1910. - V. 150. - P. 514-515,
[29], Sur les surfaces definies au moyen de leur courbure moyenne et totale // Ann.
Sci. Ecole Norm. Sup. - 1910. - T. 27. - P. 233-256. ,
[30] Sur les equations du calcul des variation // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1912. —
Т." 29.-P. 431-485.
БерсЛ., Ниренберг Л. (Bers L., Nirenberg L.)
[31] On linear and non-linear elliptic boundary value problems in the plane. — In: Con-
vegno Internationale sull Equazioni Lineari all Derivate Parziale. - Trieste. - P. 141-167.
Rome: EdizioniCremonese. - 1955.
Берс Л., Шехтер M. (Bers L., Schechter M.)
[32] Elliptic equations. - In: Partial Differential Equations. - New York: Interscience. -
1964. - P. 131-299. (Русский перевод: Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. - Уравне-
Уравнения с частными производными. - М.: Мир. - 1966.)
БлиссГА. (BlissG.A.)
[33] An integral inequality // J. London Math. Soc. - 1930. - V. 5. - P. 40-46.
Боль 1L (Bohi P.)
[34] Uber die Bewegung eines mechanischer Systems in der NaheeinerGleichgewichts-
lage// J. Reine Angew. Math. - 1904. - Bd. 127. - S. 179-276.
Бомбиери Э, (Bombieri E.)
[35] Variational problems and elliptic equations. - In: Proceedings of the International
Congress of Mathematicians Vancouver: 1974. - Vol. 1, p. 5 3-63. Vancouver: Ca-
Canadian Mathematical Congress. - 1975.
Бомбиери Э., Де Джорджи Э., Джусти Э. (Bombieri E., De Giorgi E., Giusti E.)
[36] Minimal cones and the Bernstein problem // Invent. Math. - 1969. - V. 7. -
P.243-268.
Бомбиери Э., Де Джорджи Э., Миранда М. (Bombieri E., De Giorgi E., Miranda M.)
[37] Una maggiorazione a priori relativa alle ipersuperfici minimali non parametriche //
Arch. Rational Mech. Anal. - 1969. - V. 32. - P. 255-267.
Бомбиери Э., Джусти Э. (Bombieri E., Giusti E.)
[38] Harnack's inequality for elliptic differential equations on minimal surfaces //
Invent. Math. - 1972. - V. 15. - P. 24-46.
439

[39] Local estimates for the gradient of non-parametric surfaces of prescribed mean
curvature // Comm. Pure Appl. Math. - 1973. - V. 26. - P. 381-394.
Бот ИМ. (Bony J.M.)
[40] Principe du maximum dans les espaces de Sobolev // C.R. Acad. Sci, Paris -
1967.-V. 265.-P. 333-336.
БрандтЛ. (Brandt A.)
[41] Interior estimates for second-order elliptic differential (or finite-difference) equa-
equations via the maximum principle // Israel J. Math. - 1969. - V. 7. - P. 95-121.
[42] Interior Schauder estimates for parabolic differentiaHor difference-) equations
via the maximum principle // Israel J. Math. - 1969. - V. 7. - P. 254-262.
Б pay дер Ф.Е. (Browder F.E.)
[43] Strongly elliptic systems of differential equations // Contributions to the Theory
of Partial Differential Equations. - Princeton, N.J.: Princeton University Press. -
1954.-P. 15-51.
[44] On the reqularity properties of solution of elliptic differential equations // Comm.
Pure Appl. Math. - 1956. - V. 9. - P. 351-361.
[45]. Apriori estimates for solutions of elliptic boundary value problems; I, II, III //
Neder. Akad. Wetensch. Indag. Math. - 1960. -V.22.- P. 149-159; 1960. - V. 22. -
P. 160-169; 1961. - V. 23. - P. 404-410.
[46] Problemes non-lineaires. // Seminaire de Mathematiques Superieures. - 1965. -
№ 15; Montreal, Que: Les Presses de l'Universite de Montreal. - 1966.
[47] Existence theorems for nonlinear partial differential equations // Proceedings
of Symposia in Pure Mathematics. - 1970.-V. XVI. - P. 1-60. Providence, R.I.: Ame-
American Mathematical Society.
Брезис X, Эванс JI.K. (Brezis H., Evans L.C.)
[48] A variational inequality approach to the Bellman — Dirichlet equation for two
elliptic operators // Arch. Rational Mech. Anal. - 1979. - V. 71. - P. 1-13.
Булиган Г., Жиро Г., ДеленсП. (Bouligand G., Giraud G., Delens P.)
[49] Le probleme de la derivee oblique en theorie du potentiel. - Actualites Scienti-
fiques et Industrie lies. 219. - Paris: Hermann, 1935.
Вайнбергер Х.Ф. (Weinberger H.F.)
[50] Symmetrization in uniformly elliptic problems. - In: Studies in Mathematical
Analysis and Related Topics. - Stanford, Calif.: Stanford University Press. - 1962. -
P. 424-428.
Валь, В. фон (Wahl W., von)
[51] Uber quasilineare elliptische Differentialgleichungen in der Ebene // Manuscripta
Math. - 1973. - V. 8. - P. 59-67.
Видман К.О. (Widman K.-O.)
[52] Inequalities for the Green function and boundary continuity of the gradient of
solutions of elliptic differential equations // Math. Scand. - 1967. - V. 21. - P. 17-37.
[5 3] A quantitative form of the maximum principle for elliptic partial differential
equations with coefficients in Loo 11 Comm. Pure Appl. Math. - 1968. - V. 21. -
p. 507-513.
[54] On the Holder continuity of solutions of elliptic partial differential equations in
two variables with coefficients in Loo II Comm. Pure Appl. Math. - 1969. - V. 22. -
P. 669-682.
Вильяме Г.Х. (Williams GЛ.)
[55] Existence of solutions for nonlinear obstacle problems// Math. Z. — 1977. —
Bd. 154.- S. 51-65.
Винер H. (Wiener N.)
[56] The Dirichlet problem // J. Math, and Phys. - 1924. - V. 3. - P. 127-146.
Винцелль Б. (Winzell В.)
[57 ] The oblique derivative problem. I. // Math. Ann. - 1977. - Bd. 229. - S. 267-278.
[58] The oblique derivative problem. II // Math. Ann. - 1979. - Bd. 17. - S. 107-122.
Гариепи Р., Зимер В.Р. (Gariepy R., Ziemer WJ\)
[59] Behaviour at the boundary of solutions of quasilinear elliptic equations // Arch.
Rational Mech. Anal. - 1974. - V. 56. - P. 372-384.
[60] A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic equa-
equations// Arch. Rational Mech. Anal. - 1977. - V. 65. - P. 25-39.
440

Герхардт К. (Ger hardt С.)
[61] Existence, regularity and boundary behaviour of generalized surfaces of prescribed
mean curvature// Math. Z. - 1974. - Bd. 139. - S. 173-198.
[62] On the regularity of solutions to variational problems in BV (П) // Math. Z. -
1976. - Bd. 149. ~ S. 281-286.
[63] Global regularity of the solutions to the capillarity problem // Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa- 1976. - T. 3,№4.-P. 157-175.
[64] Boundary value problems for surfaces of prescribed mean curvature // J. Math.
Pures et Appl. - 1979. - V. 58. - P. 75-109.
Гилбарг Д. (Gilbarg D.)
[65] Some local properties of elliptic equations // Proceedings of Symposia in Pure
Mathematics. - Providence, R.I.: American Math. Soc, 1961. - V. IV. P. 127-141.
[66] Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in n variables // Nonli-
Nonlinear Problems. - Madison, Wis.: University of Wisconsin Press. - 1963. - P. 151-159.
Гилбарг Д., СерринДж. (Gilbarg D., Serrin J.)
[67] On isolated singularities of solutions of second order elliptic differential equa-
equations // J. Analyse Math. - 1955/56. - V. 4. - P. 309-340.
Гилбарг Д., Хёрмандер Л. (Gilbarg D., Hormander L.)
[68] Intermediate Schauder estimates // Arch. Rational Mech. Anal. - 1980. - V. 74. -
P. 297-318.
Гильберт Д. (Hilbert D.)
[69] liber das Dirichletsche Prinzip // Jber. Deutsch. Math. - Verein. - 1900. - Bd. 8. -
S. 184-188.
Гильдебрандт С. (Hildebrandt S.)
[70] Maximum principles for minimal surfaces and for surfaces of continuous mean
curvature // Math. Z. - 1972. - Bd. 128. - S. 25 3-269.
Гординг Л. (Carding L.)
[71 ] Dirichlef s problem for linear elliptic partial differential equations // Math. Scand. -
1953.-V. 1.-P.55-72.
Греко Д. (Greco D.)
[72] Nuove formole integrali di rraggiorazione per le soluzioni di un'equazione lineare
di tipo ellittico ed applicazioni alia teoria del potenziali // Ricerche Mat. - 1956. -
T. 5.-P. 126-149.
Густин В. (Gustin W.)
[73] A bilinear integral identity for harmonic functions // Amer. J. Math. - 1948. -
V. 70. -P. 212-220.
Гюнтер НМ.
[74] Теория потенциала и ее применения к основным задачам математической фи-
физики. - М.: Гостехиздат, 1953.
Данфорд #., Шварц Дж. (Dunford N., Schwartz J.T.)
[75] Линейные операторы. Ч. 1. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.
Де Джорджи Э. (De Giorgi E.)
[76] Sulla differenziabilita e l'analicita deile estremali degli integrali multipli regolari. //
Mem. Acead. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. - 1957 - T, 3, N 3. - P. 25-43.
[77] Una estensione del teorema di Bernstein // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1965. -
T. 19, N3.-P. 79-85.
Деланю П. (Delanoe P.)
[78] Equations du type Monge - Ampere sur les varietes Riemanniennes compactes. I
// J. Funct. Anal. - 1981. - V. 40. - P. 358-386,
[79] Equations du type Monge - Ampere sur les varietes Riemanniennes compactes. II //
J. Funct. Anal. - 1981. - V. 41. - P. 341-353.
Дженкинс X. (Jenkins H.)
[80] On 2-dimensional variational problems in parametric form. // Arch. Rational Mech.
Anal. - 1961. - V. 8. - P. 181-206.
Дженкинс X., Серрин Дж. (Jenkins H., Serrin J.)
[81] Variational problems of minimal surface type I // Arch. Rational Mech. Anal. -
1963. - V. 12.- P. 185-212.
[82] The Dirichlet problem for the minimal surface in higher dimensions // J. Reine
Angew. Math. - 1968. - Bd. 229. - S. 170-187.
441

Джиаквинта М. (Giaquinta M.)
[83] On the Dirichlet problem for surfaces of prescribed mean curvature // Manuscripta
Math. - 1974. - V. 12. - P. 73-86.
[84] Multiple Integrals in the Calculus of variations and Nonlinear Elliptic Sys-
Systems // Annals of Math. Studies. - 1983. - V. 105. - Princeton: Princeton Univ.
Press.
Джон Ф., Ниренберг Л. (John G., Nirenberg L.)
[85] On functions of bounded mean oscillation // Comm. Pure Appl. Math. - 1961. -
V. 14. - P. 415-426.
Джусти Э. (Giusti E.)
[86] Superfici cartesiane di area minima // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. - 1970.-T.40.-
P. 3-21.
[87] Boundary value problems for nonparametric surface of prescribed mean curvature //
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1976. - T. 4, N 3. - P. 501-548.
[88] On the equation of surfaces of prescribed mean curvature // Invent. Matn. - 1978. -
V. 46.-P. 111-137.
[89] Equazioni ellittiche del secondo ordine. - Bologna: Pitagora Editrice, 1978.
[90] Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation. - Boston: Birkh'auser,
1984.
Дуглас Дж., Дюпон Т., СерринДж. (Douglas J., Dupont Т., Serrin J.)
[91] Uniqueness and comparison theorems for nonlinear elliptic equations in divergen-
divergence form // Arch. Rational Mech. Anal. - 1971. - V. 42. - P. 157-168.
Дуглис А, Ниренберг Л. (Douglis A., Nirenberg L.)
[92] Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations // Comm.
Pure Appl. Math. - 1955. - V. 8. - P. 503-538.
Дьедонне Ж. (Dieudonne J.)
[93] Основы современного анализа. - M.: Мир, 1964.
Егоров Ю.В., Кондратьев В.А.
[94] О задаче с косой производной // Мат. сб. (н.сер.). - 1969. - Т. 78, № 1. -
С. 148-176.
Жиро Г. (Giraud G.) f ,
[95] Sur le probleme de Dirichlet generalise (deuxieme memoire) // Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. - 1929. - T. 46, N 3. - P. 131-245.
[96] Generalisation des problemes sur les operations du type elliptiques // Bull. Sci.
Math. - 1932. - T. 56, N 3. - P. 248-272, 281-312, 316-352.
[97] Sur certains problemes ynon line'aires de Neumann et sur certains .problemes non
lineaires mixtes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1932. - T. 49, N 3. - P. 1 - 104,
245-309.
[98] Equations a integrates principales d'ordre quelconque //Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup. - 1936. - T. 53, N 36. - P. 1-40.
Иванов А.В.
[99] О внутренних оценках первых производных решений квазилинейных не-
неравномерно эллиптических и неравномерно параболических уравнений общего
вида // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1969. - Т. 14. - С. 24-47.
[100] Задача Дирихле для квазилинейных неравномерно эллиптических уравне-
уравнений второго порядка // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1970. - Т. 19. - С. 79-94.
[101] Априорные оценки для решений нелинейных эллиптических уравнений вто-
второго порядка // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1976. - Т. 59. - С. 31—59.
[102] Априорные оценки производных решений нелинейных уравнений второго
порядка на границе области // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1977. - Т. 69. -
С. 65-76.
Ивочкина НМ.
[103] Интегральный метод барьерных функций и задача Дирихле для уравнений с
операторами типа Монжа-Ампера // Матем. сб. (н. сер.). - 1980. - Т. 112, № 2. -
С. 193-206.
[104] Априорная оценка нормы II и \\с2ф)в слУЧае выпуклых областей для урав-
уравнения Монжа - Ампера // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1980. - Т. 96. - С. 69-79.
[105] Классическая разрешимость задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампе-
Монжа-Ампера // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1983. - Т. 131. - С. 72-79.
442

Ивочкина Н.М., Осколков А.П.
[106] Нелокальные оценки первых производных решений первой краевой задачи
для некоторых классов неравномерно эллиптических и неравномерно параболи-
параболических уравнений и систем // Тр. МИАН СССР. - 1970. - Т. ПО. - С. 65-101.
Иосида К (Yosida К.)
[107] Функциональный анализ. - М.: Мир, 1967.
Калаби Э. (Calabi E.)
[108] Improper affine hyperspheres of convex tupe and a generalization of a theorem by
K. Jbrgens // Michigan Math. J. - 1958. - V. 5. - P. 105-126.
Кальдерон А.П., Зигмунд A. (Calderon A.P., Zygmund A.)
[109] On the existence of sertain singular integrals // Acta Math. - 1952. - V. 88. -
P. 85-139.
Кампанато С. (Campanato S.)
[110] Proprieta di inclusione per spazi di Morrey // Ricerche Math. - 1963. - T. 12. -
P. 67-86.
[Ill] Equazioni ellittiche del 11° ordine e spazi ?u> > 11 Ann. Mat. Рига Appl. - 1965. -
T. 69, N4. - P. 321-381. .
[112] Sistemi ellittici in forma divergenza. Regolarita all' interno//Quaderni della Scuola
Norm. Sup. di Pisa. - 1980.
Кампанато С, Стампаккья Г. (Campanato S., Stampacchia G.)
[113] Sulle maggiorazioni in I? nella teoria delle equazioni ellittiche // Boll. Un. Mat.
Ital. - 1965. - T. 20, N 3. ~ P. 393-399.
Камынин Л.И., Химченко Б.Н.
[114] К исследованиям о принципе максимума // ДАН СССР. - 1978. - Т. 240. -
С 774-777.
Каффарелли Л, Кон Дж.Дж„ Ниренберг Л, Спру к Дж. (С^енеШ L., Kohn J.J., Niren-
berg L., Spruck J.)
[115] The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations. II // Comm.
Pure Appl. Math. - 1985.
Каффарелли Л., Ниренберг Л., Спрук Дж. (Caffarelli L., Nirenberg L., Spruck J.)
[116] The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations, I. Monge -
Ampere equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1984. - V. 37. - P. 369-402.
Каччиопполи Р. (Caccioppoli R.)
[117] Sulle equazioni ellittiche a derivate parziali con n variabili indipendenti // Atti
Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. - 1934. - T. 19, N 6. - P. 83-89.
[118] Sulle equazioni ellittiche a derivate parziali con due variabili indipendenti, e sui
problemi regolari di calcolo dell variazioni. I // Atti Accad. Naz Lincei Rend. Cl. Sci.
Fis. Mat. Natur. - 1935. - T. 22, N 6. - P. 305-310.
[119] Sulle equazioni ellittiche a derivate parziali con due variabili indipendenti, e sui
problemi regolari di calcolo delle variazioni. II // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci
Fis. Mat. Natur. - 1935. - T. 22, N 6. - P. 376-379.
[120] Limitazioni integrali per le soluzioni di un'equazione lineare ellittica a derivate
parziali // Giorn. Mat. Battaglini. - 1951. - T. 4, N 4 (80). - P. 186-212.
Келлог О.Д. (Kellog O.D.)
[121] On the derivatives of harmonic functions on the boundary // Trans. Amer. Math.
Soc. - 1931. - V. 33. - P. 486-510.
[122] Foundations of Potential Theory. - New York: Dover, 1954.
Киндерлерер Д., Стампаккья Г. (Kinderlehrer D., Stampaccia G.)
[123] Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.: Мир, 1983.
(Перев. с англ.)
КонДж.Дж. (KohnJ.J.)
[124] Psendo-differential operators and hypoellipticity // Proceedings of Symposia in
Pure Mathematics - V. XXIII. - P. 61-69. Providence, R.I.: American Mathematical
Society, 1973.
Кондратов В.И.
[125] О некоторых свойствах функций из пространств Lp // ДАН СССР. - 1945. -
Т. 48. - С 535-538.
Кордес X.Q. (Cordes H.O.)
[126] Uber die erste Randwertaufgabe bei quasilinearen Differentialgleichungen zweiter
443

Ordnung in mehr als zwei Variablen // Math. Ann. - 1956. - Bd. 131. - S. 278-312.
[127] Zero order a priori estimates for solutions of elliptic differential equations. // In:
Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. - Volume IV, pp. 157-166. Providence,
R.I.: American Mathematical Society, 1961.
Корн A. (Korn A.)
[128] Uber MinimalfTachen, deren Randkurven wenig von ebenen Kurven abwiechen //
Abhandl. Kb'nigl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin: 1909. Anhang. Abh. 2.
[129] Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annaherungen. - Berlin: Schwarz
Festschrift. 1914. - S. 215-229.
Кошелев А.И.
[130] Об ограниченности в Lp производных решений эллиптических дифферен-
дифференциальных уравнений // Мат. сб. (н.сер.). - 1956. - Т. 38(80), № 3. - С. 359-372.
Крылов Н.В.
[131] О первой краевой задаче для эллиптических уравнений второго порядка //
Диффер. уравн. - 1967. - Т. 3, №2. - С. 315-326.
[132] Управляемые процессы диффузионного типа. - М.: Наука, 1977.
[133] Об управлении диффузионным процессом до момента первого выхода из
области // Изв. АН СССР. Сер. мат., - 1981. - Т. 45, № 2. - С. 1029-1048.
[134] Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения //
Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1982. - Т. 46, № Ъ. - С 487-523.
[135] Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в
области. // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1983. - Т. 47, №1. - С. 75-108.
[136] О вырождающихся нелинейных эллиптических уравнениях. I // Мат. сб.
(н.сер.)*- 1983.-Т. 120, №3. -С. 311-330.
[137] О вырождающихся нелинейных эллиптических уравнениях. II // Мат. сб.
(н. сер.). - 1983. -Т. 121, №2. -С 211-232.
Крылов Н.В., Сафоновым\В.
[138] Оценка вероятности попадания диффузионного процесса в множество по-
положительной меры // ДАН СССР. - 1979. - Т. 245, № 1. - С. 18-20.
[139] Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми
коэффициентами. // Изв. АН СССР. - 1980. - Т. 44, № 1. - С. 161-175.
Курант Р., Гильберт Д. (Courant R., ffilbert D.)
[140] Методы математической физики. Т. I, И. - М. - Л.: Гостехиздат, 1951.
Лаке П.Д. (Lax P.D.)
[141] On Cauchy's problem for hyperbolic equations and the differentiability of solu-
solutions of elliptic equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1955. - V. 8. - P. 615-633.
Лаке П.Д., Мильграм A.M. (Lax P.D., Milgram A.M.)
[142] Parabolic equations // Contribution to the Theory of Partial Differential Equa-
Equations. - Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1954. - P. 167-190.
Ладыженская О.А.
[143] Решение первой краевой задачи в целом для квазилинейных параболичес-
параболических уравнений // Тр. Моск. мат. общества. - 1958. - Т. 7. - С. 149-177.
Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н.
[144] On the smoothness of weak solutions of quasilinear equations in several variables
and of variational problems // Comm. Pure Appl. Math. - 1961. - V. 14. - P. 481-495.
[145] Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационные задачи со многи-
многими независимыми переменными. Обзорный доклад, прочит, на заседании Ленин-
Ленинградского математ. общества 24. XI. 1959 г. к 80-летию С.Н. Бернштейна // Успе-
Успехи мат. наук. - 1961. - Т. 16, № 1. 7 С: 19-90.
[146] О непрерывности по Гёльдеру решений и их производных для линейных и
квазилинейных уравнений эллиптического и параболического типов // Тр. МИАН
СССР. - 1964. - Т. 73. - С. 172-220.
[147] Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука,
1973.
[148] О тотальных оценках первых производных по решений квазилинейных
эллиптических и параболических уравнений // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. -
1969.-Т. 14.-С 127-155.
[149] Local estimates for gradients of solutions of non-uniformly elliptic and parabolic
equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1970. -V. 23. - P. 677-703.
444

[150] Оценка гёльдеровской нормы решений квазилинейных эллиптических урав-
уравнений второго порядка общего вида // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. - 1980. -
Т. 96.-С. 161-168.
[151] Оценки для max \ux\ для решений квазилинейных эллиптических и парабо-
параболических уравнений и теоремы существования // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. -
1984.-Т. 138.-С. 90-107.
Ландис ЕМ.
[152] Неравенство Харнака для эллиптических уравнений второго порядка кор-
десовского типа // ДАН СССР. - 1968. - Т. 179, № 6. - С. 1272-1275.
[153] Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. -
М.: Наука, 1971.
Ландкоф Н.С.
[154] Основы современной теории потенциала. - М.: Наука, 1966.
Лебег A. (Lebesque H.)
[155] Sur le probleme de Dirichlet // Rend. Circ. Mat. Palermo. - 1907. - T. 24. -
P. 371-402.
Леей Г. (Lewy H.) ^
[156] A priori limitations for solutions of Monge - Ampere equations. I.II // Trans.
Amer. Math. Soc. - 1935. - V. 37. - P. 417-434; 1937. - V. 41. - P. 365-374.
Леей Г., Стампаккья Г. (Lewy H., Stampaccia G.)
[157] On existence and smoothness of solutions of some noncoercive variational inequa-
inequalities // Arch. Rational Mech. Anal. - 1971. - V. 41. - P. 241-253.
ЛереЖ. (LerayJ.)
[158] Discussion d'un probleme de Dirichlet // J. Math. Pures Appl. - 1939. - T. 18. -
P. 249-284.
ЛереЖ., Лионе Ж.-Л. (Leray J., Lions J.-L.)
[159] Quelques resultats de Visile sur les problemes elliptiques non lineaires par les metho-
des de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. - 1965. - T. 93. - P. 97-107.
ЛереЖ., Шаудер Ю. (Leray J., Schauder J.) ,
[160] Topologie et equations fonctionelles // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1934. -
T. 51. - P. 45-78. (Русский перевод: Топология и функциональные уравнения //
Успехи мат. наук. - 1946. - Т. 1, № 3-4. - С. 71-95.)
Либерман Г.М. (Lieberman G.M.)
[161] The quasilinear Dirichlet problem'with decreased reqularity at the boundary //
Comm. Partial Differential Equations. - 1981. - V. 6. - P. 437-497.
[162] Solvability of quasilinear elliptic equations with nonlinear boundary conditions //
Trans. Amer. Math. Soc. - 1982. - V. 273. - P. 753-765.
[163] The nonlinear oblique derivative problem for quasilinear elliptic equations // Jour-
Journal of Nonlinear Analysis. - 1984. - V. 8. - P. 49-65.
[164] The conormal derivative problem for elliptic equations of variational type //J. Diffe-
Differential Equations. - 1983. - V. 49. ~ P. 218-257.
Либершн ГМ., ТрудингерН.С. (Lieberman G.M., Trudinger N.S.)
[165] Nonlinear oblique boundary value problems for nonlinear elliptic equations //
Aust. Nat. Univ. Gentre for Math. Anal. Res. Report R 24. - 1984.
Лионе П.-Л. (Lions P.-L.)
[166] Problemes elliptiques du 2 erne ordre non sous forme divergence // Proc. Roy. Soc.
Edinburgh. - 1979. - V. 84A. - P. 263-271.
[167] A remark on some elliptic second order problems // Boll. Un. Mat. Ital. - 1980. -
T. 17A,№5.-P. 267-270.
[168] Resolution de problemes elliptiques quasilineaires // Arch. Rational Mech. Anal. —
1980. - V. 74. - P. 335-353.
[169] Resolution analitique des problemes de Bellman - Dirichlet: // Acta Math. -
1981. - V. 146. - P. 151-166.
[170] Generalized solutions of Hamilton - Jacobi equations. - London: Pitman, 1982.
[171] Sur les equations de Monge-Ampere. 1 // Manuscripta Math. - 1983. - T. 41. -
P. 1-44. /
[172] Sur les equations de Monge - Ampere. 2// Arch. Rational Mech. Anal. - 1984.
[173] Optimal control of diffusion processes and Hamilton — Jacobi Bellman equations. I,
II // Comm. Part. Diff. Equals. - 1983. - V. 8.- P. 1101-1174,1229-1276.
445

[174] Optimal control of diffusion processes and Hamilton - Jacobi Bellman equations.
Ill // Collegede France Seminar IV. London: Pitman, 1984.
[175] Hamilton - Jacobi - Bellman equations and the optimal control of stochastic sys-
systems// Proc. Int. Cong. Math., Warsaw; 1984.
Лионе П.-Л., Менальди Ж.Л. (Lions P.-L., Menaldi J.L.)
[176] Problemes de Bellman avec les controles dans les coefficients de plus haut degre //
C.R. Acad. Sci. Paris. 1978. - T. 287. - P. 409-412.
Лионе П.-Л, Трудингер H.C. (Lions P.-L., Trudinger N.S.)
[177] Linear oblique derivative problems for the uniformly elliptic Hamilton- Jacobi —
Bellman equation // Math. Z. - 1985.
Лионе П.-Л, Трудингер Н.С., Урбас Дж.И.Э. (Lions P.L., Trudinger N.S., Urbas J.I.E.)
[178] The Neumann problem for equations of Monge - Ampere type // Austr. Nat.
Univ. Centre for Math. Anal. Res. Report R.16. - 1985.
Литтман В., Стампаккья Г., Вайнбергер Х.Ф. (Littman W., Stampaccia G., Weinber-
Weinberger HJ1.)
[179] Regular points for elliptic equation with discontinuous coefficients// Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa. - 1963. - T. 17C). - P. 43-77. (Русский перевод: Регулярные точ-
точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами // Математика,
сб. перев. - 1966. - Т. 9, № 2. - С. 72-97.)
Лихтенштейн Л. (Lichtenstein L.)
[180] Neuere Entwicklung der Theoriepartieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung
vom elliptischen Typus // Enc. d. Math. Wissensch., 2.3.2. - 1924. - S. 1277-1334.
Leipzig: B.G.Teubner, 1923-27.
Мазья ВТ.
[181] О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического
уравнения второго порядка в дивергентной форме // Мат. заметки. - 1967. - Т. 2,
№ 2. - С. 209-220.
Мамедов И.Т.
[182] Об априорной оценке нормы Гёльдера решений квазилинейных параболи-
параболических уравнений с разрывными коэффициентами // ДАН СССР. - 1980. - Т. 252,
№ 5.-С. 1052-1054.
[183] О поведении вблизи границы решений вырождающихся эллиптических урав-
уравнений второго порядка // Мат. заметки. - 1981. - Т. 30, № 3. - С. 343-352.
Марцинкевич И. (Marcinkiewicz J.)
[184] Sur Interpolation d'operations // C.R. Acad. Sci. Paris. - 1939. - T. 208. -
P. 1272-1273.
Мейерс Н.Г. (Meyers N.G.)
[185] An LP — estimate for the gradient of solutions of second order elliptic divergence
equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1963. - T. 17C). - P. 189-206.
[186] An example of non-uniqueness in the theory of quasiUnear elliptic equations of
second order // Arch. Rational Mech. Alal. - 1963. - V. 14. - P. 177-179.
Мейерс Н.Г., Серрин Дж. (Meyers N.G., Serrin J.)
[187] The exterior Dirichlet problem for second order elliptic partial differential equa-
equations// J. Math. Mech. - 1960. - V. 9. - P. 513-538.
[188] H = W // Proc. Nat. Acad. Sci U.SA. - 1964. - V. 51. - P. 1055-1056.
МелинА., СьестрандДж. (Melin.A., Sjostrand J.)
[189] Fourier integral operators with complex phase functions and parametrics for
an interior boundary value problem // Comm. Part. Diff. Equats. - 1976. - V. 1. -
P. 313-400.
Миллер K. (Miller K.)
[190] Barriers on cones for uniformly elliptic operators. // Ann. Mat. Рига Appl. —
1967.-T. 76, №4.-P. 93-105.
[191] Exceptional boundary points for the nondivergence equation which are regular
for the Laplace equation and vice-versa // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1968. -
T. 22C). -P. 315-330.
[192] Extremal barriers on cones with Phragmen — Lindelof theorems and other applica-
applications// Ann. Math. Рига. Appl. - 1971. - T. 90D). - P. 297-329.
[193] Nonequivalence of regular boundary points for the Laplace and nondivergence
equations, even with continuous coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. — 1970. —
T. 24C).-P. 159-163.
446

Миранда К. (Miranda С.)
[194] Sul problema misto per le equazioni lineari ellittiche // Ann. Mat. Рига Appl. —
1955. - T. 39 D). - P. 279-303.
[195] Уравнения с частными производными эллиптического типа // - М.: ИЛ,
1957.
МирандаМ. (MirandaM.)
[196] Diseguaglianze di Sobolev sulle ipersuperfici minimali // Rend. Sem. Math. Univ.
Padova. - 1967. - T. 38. - P. 69-79.
[197] Una maggiorazione integrale per le curvature delle ipersuperfici minimale // Rend.
Sem. Mat. Univ. Padova. - 1967. - T. 38. - P. 91-107.
[198] Comportamento delle successioni convergenti di frontiere minimali // Rend. Sem.
Mat. Univ. Padova. - 1967. - T. 38. - P. 238-257.
[199] Un principio di massimo forte per le frontiere minimali e una sua applicazione alia
risoluzione del problema al contorno per Fequazione delle superfici di area minima //
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. - 1971. - T. 45. - P. 355-366.
[200] Dirichlet problem with L1 data for the non-homogeneous minimal surface equa-
equation // Indiana Univ. Math. J. - 1974. - V, 24. - P. 227-241.
МихаэлДж.Х. (Michael J.H.)
[201] A general theory for linear elliptic partial differential equations // J. Differential
Equations. - 1977. - V. 23. - P. 1 -29.
[202] Barriers for uniformly elliptic equations and the exterior cone condition. // J.
Math. Anal, and Appl. - 1981. - V. 79. - P. 203-217.
Михаэл Дж.Х., Саймон JIM. (Michael J Л., Simon L.M.)
[203] Sobolev and mean-value inequalities on generalized submanifolds of Rn // Comm.
Pure Appl. Math. - 1973. - V. 26. - P. 361-379.
Морри Ч.Б.; мл. (Morrey C.B., Jr.)
[204] On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations // Trans.
Amer. Math. Soc. - 1938. - V. 43. - P. 126-166.
[205] Functions of several variables and absolute continuity, II // Duke Math. J. -
1940. - V. 6. -P. 187-215.
[206] Multiple integral problems in the calculus of variations and related topics // Univ.
California Publ. Math. (N.S.). - 1943. - V. 1, - P. 1-130.
[207] Second order elliptic equations in several variables and Holder continuity // Math.
Z. - 1959. - Bd. 72. - S. 146-164.
[208] Multiple Integrals in the Calculus of Variations. - Berlin - Heidelberg -
New York: Springer-Verlag, 1966.
МозерЮ. (Moser J.)
[209] A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic
differential equations // Comm. Pure AppL Math. - 1960. - V. 13. - P. 457- 468.
[210] On Harnack's theorem for elliptic differential equations //Comm. Pure Appl.
Math. - 1961. - V. 14. - P. 577-591.
Мотцкин Т., Вазов В. (Motzkin Т., Wasow W.)
[211] On the approximations of linear elliptic differential equations by difference equa-
equations with positive coefficients // J. Math, and Phys. - 1952. - V. 31. - P. 253-259.
Надирашвили Н.С.
[212] Лемма о внутренней производной и единственность решения второй крае-
краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка //ДАН СССР. - 1981. -
Т. 261, №4.-С. 804-808.
Нейман Дж.фон (Neumann J., von)
[213] Uber einen Hilfssatz der Variationsrechnung // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. -
1931.-Bd. 8.-S. 28-31.
Нечас И. (NecasJ.)
[214] Les methodes directes en theorie des equations elliptiques. - Prague: Editeurs
Acadimia, 1967.
Ниренберг Л. (Nirenberg L.)
[215] On nonlinear elliptic partial differential equations and Holder continuity // Comm.
Pure Appl. Math. - 1953. - V. 6. - P. 103-156.
[216] Remarks on strongly elliptic partial differential equations // Comm. Pure Appl.
Math. - 1955. - V. 8. - P. 649-675.
447

[217] On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1959. -
T. 13C).-P. 115-162,
[218] Elementary remarks on surfaces with curvature of fixed sign // Proceedings of
Symposia in Pure Mathematics, Volume III, pp. 181—185. Providence, R.I.: American
Mathematical Society, 1961.
НичеЙ.КЛ. (Nitsche J.C.C.)
[219] Vorlesungen liber Minimalflachen. - Berlin - Heidelberg - New York: Springer-
Verlag, 1975.
Новрузов А.А.
[220] О регулярности граничных точек для эллиптического уравнения с разрыв-
разрывными коэффициентами//Вестн. МГУ. Сер. мат. и мех. - 1971. - № 6. -
С. 18-25.
[221] О модуле непрерывности решения задачи Дирихле в регулярной граничной
точке // Мат. заметки. - 1972. - Т. 12, № 1. - С. 67-72.
[222] Об оценке нормы Гёльдера решений квазилинейных эллиптических уравне-
уравнений с разрывными коэффициентами // ДАН СССР. - 1980. - Т. 253, № 1. -
С. 31-33.
[223] О регулярности граничных точек для вырождающихся линейных эллипти-
эллиптических уравнений второго порядка // Мат. заметки. — 1982. - Т. 30, № 3. -
С. 353-362.
НэшДж. (NashJ.) .
[224] Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. -
1958. — V. 80. — P. 931—954. (Русский перевод: О непрерывности решений парабо-
параболических и эллиптических уравнений. // Математика, сб. перев. - 1960. - Т. 4,
№1.-С. 31-52.
ОддсонДж.К. (Oddson JJC.)
[225] On the boyndary point principle for elliptic equations in the plane // Bull. Amer.
Math. Soc. - 1968. - V. 74. - P. 666-670.
Олейник О А.
[226] О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптическо-
эллиптического типа // Мат. сб. (н.сер.). - 1952. - Т. 30, № 3. - С. 695-702.
Олейник О А., Радкевич Е.В.
[227] Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой //
Итоги науки. Мат. анализ. - М.: ВИНИТИ, 1971.
Осколков А.П.
[228] О решении краевых задач для линейных эллиптических уравнений в неогра-
неограниченной области // Вестник ЛГУ. 1961. - Т. 16, № 7. - С. 38-50.
[229]. Априорные оценки первых производных решений задачи Дирихле для нерав-
неравномерно эллиптических квазилинейных уравнений // Труды МИАН СССР. - 1967. -
Т. 102.-С. 105-127.
Оссерман P. (Osserman R.)
[230] On the Gauss curvature of minimal surfaces // Trans. Amer. Math. Soc. — 1960. —
V.96.-P. 115-128.
[231] A Survey of Minimal Surfaces. - New York: Van Nostrand, 1969.
Панеях Б.П.
[232] К теории разрешимости задачи с косой производной // Мат. сб. (н.сер.)' -
1981. - Т. 114, № 2. - С. 226-268.
Паскали Д. (Pascali D.)
[233] Operatori Neliniari. — Bucharest: Editura Academiei Republicii Socialiste Roma-
Romania, 1974.
Перрон О. (Perron О.)
[234] Eine neue Behandlung der Randwertaufgebe fur Аи = 0// Math. Zeit. - 1923. -
Bd. 18, S. 42-54.
Пиччинини Л.К., Спаньола С. (Piccinini L.C., Spagnola S.)
[235] On the Holder continuity of solutions of second order elliptic equations in two
variables // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1972. - T. 26C). - P. 391-402.
Погорелое AM.
[236] Об уравнениях Монжа-Ампера эллиптического типа. - Харьков: Изд-во
ХГУ, 1960.
448

[237] Регулярные решения л-мерной проблемы Минковского // ДАН СССР. -
1971. - Т. 199. - С. 785-788.
[238] О регулярности обобщенных решений уравнения det(b2u/bxfix/) = ф(х1,...
... ,хп) > 0 // ДАН СССР. - 1971. - Т. 200. - С. 543-547.
[239] Задача Дирихле для многомерного аналога уравнения Монжа - Ампера //
ДАН СССР. - 1971. - Т. 203, № 4. - С. 790-793.
[240] Многомерная проблема Минковского - М.: Наука, 1975,
Проттер М.Х., Вайнбергер Х.Ф. (Protter M.H., Weinberger H.F.)
[241] Maximum Principles in Differential Equations. - Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-
Hall, 1967.
Пуччи К. (Pucci С.)
[242] Su una limitazione per soluzioni di equazioni ellittiche // Boll. Un. Mat. Ital. -
1966. - T. 21, № 3. - P. 228-233.
[243] Operatori ellittici extremali // Ann. Mat. Рига AppL- 1966. T. 72, №4.-P. 141-
170.
[244] Limitazioni per soluzioni di equazioni ellittiche // Ann. Math. Рига AppL -
1966. - T. 74, № 4. - P. 15-30.
Радо Т. (Rado Т.)
[245] Geometrische Betrachtungen iiber zweidirnensionale regulare Variationsprobleme
// Acta Litt. Sci. Univ. Szeged. - 1924-1926. - T. 2. - P. 228-253.
Релаих Р. (Rellich R.)
[246] Ein Satz iiber mittlere Konvergenz // Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math. - Phys.
KL- 1930.- S. 30-35.
PuccM. (RieszM.)
[247] Sur les fonctions conjuguees // Math. Zeit. - 1927. - Bd. 27. - S. 218-244.
Родемич Э. (Rodeinich E.)
[248] The So bo lev inequalities with best possible constant. - In: Analysis Seminar
at California Institute of Technology, 1966.
Ройден Х.Л. (Royden H.L.)
[249] Real Analysis. 2 nd ed. - London: Macmillan, 1970.
Саймон JIM. (Simon L.M.)
[250] Global estimates of Holder continuity for a class of divergence-form elliptic equa-
equations // Archiv Rational Mech. Anal. - 1974. - V. 56. - P. 253-272.
[251] Boundary regularity for solutions of the non-parametric least area problem // Ann.
of Math. - 1976. - V..103. - P. 429-455.
[252] Interior gradient bounds for non-uniformly elliptic equations // Indiana Univ.
Math. J. - 1976. - V. 25. - P. 821-855.
[253] Equations of mean curvature type in 2 independent variables //Pacific. J. Math. -
1977.-V. 69.-P. 245-268.
[254] Remarks on curvature estimates for minimal hypersurfaces // Duke Math. J. -
1976.-V.43.-P.545-553.
[255] A Holder estimate for quasiconformal mappings between surfaces in Euclidean
space, with application to graphs having quasiconformal Gauss map // Acta Math. - 1977.
[256] Survey lectures on minimal submanifolds. — In: Seminar of Minimal Submani-
folds. Annals of Math. Studies, 103, Princeton, 1983.
[257] Lectures on geometric measure theory. - Proc. Centre for Mathematical Analysis.
Australian Nat. Univ. - 1983. - V. 3.
Саймон ЛЖ, Спрук Дж. (Simon L.M., Spruck J.)
[258] Existence and reqularity of a capillary surface with prescribed contact angle //
Arch. Rational Mech. Anal. - 1976. - V. 61. - P. 19-34.
Саймоне Дж. (Simons J.)
[259] Minimal varieties in riemannian manifolds // Ann. of Math. - 1968. - V. 88,
№2.-P. 62-105.
Сафонов М.В.
[260] Неравенство Харнака для эллиптических уравнений и гельдеровость их
решений // Зап. научных семин. ЛОМИ. - 1980. - Т. 96. - С. 272-287.
Серрин Дж. (Serrin J.)
[261] On the Harnack inequality for linear elliptic equations // J. Analyse Math. -
1955/56. - V. 4. - P. 292-308.
29. Д. Гилбарг 449

[262] Local behavior of solutions of quasilinear elliptic equations // Acta Math. - 1964.-
V. 111.-P. 247-302.
[263] The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic differential equations with many
independent variables // Philos. Trans. Roy. Soc. London. — 1969. - Ser. A 264. —
P. 413-496.
[264] Gradient estimates for solutions of nonlinear elliptic and parabolic equations. —
In: Contributions to Nonlinear Functional Analysis, p.p. 565—601. — New York: Aca-
Academic Press, 1971.
[265] Nonlinear elliptic equations of second order. Lecture notes (unpublished). Sym-
Symposium on Partial Differential Equations at Berkeley, 1971.
Слободецкий JIM,
[266] Оценки в L решений эллиптических систем // ДАН СССР. - 1958. -
Т. 123. - С. 616-619.
Соболев СМ.
[267] Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. (н. сер.). - 1938. -
Т. 4, №3.-С. 471-597.
[268 ] Некоторые применения функционального анализа в математической физи-
физике. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1950; Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
СпрукДж. (Spruck J.)
[269] Gauss curvature estimates for surfaces of constant mean curvatures // Comm.
Pure Appl. Math. - 1974. - V. 27. - P. 547-557.
Стампаккья Г. (Stampacchia G.)
[270] Contributi alia regolarizzazione delie soluzioni dei problem! al contorno per equa-
zioni del secondo ordine ellittiche // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1958. - T. 12,
№3,-P. 223-245.
[271] I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico. - In: Atti
VI Congr. Un. Mat. Ital. (Naples, 1959). - P. 21-44. Rome: Edizioni Cremonese, 1960.
[272] Problemi al contorno ellittici, con dati discontinue dotati di soluzioni holde-
riane // Ann. Mat. Рига Appl. - 1960. - T. 51, №4. - P. 1-37.
[273] Le probleme de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre a coeffi-
coefficients discontinues//Ann. Inst. Fourier. Grenoble.-1965.-T. 15, fasc. l.-P. 189-258.
[274] Equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinues. SeWiaire de
Mathe'matiques Superieures, № 16 (Ete, 1965.). Montreal, Que: Les Presses de rUniver-
site de Montreal, 1966.
Стейн Е. (Stein E.)
[ 275] Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. - М.: Мир,
1973.
СъестрандДж. (Sjostrand J.)
[276] Operators of principal type with interior boundary conditions // Acta Math. -
1973.-V. 130.-P. 1-51.
ТалентиГ. (TalentiG.)
[277] Equazione lineari ellittiche in due variabiU // Le Matematiche. -1966.-V. 21.-
P. 339-376.
. [278] Best constant in Sobolev inequality // Ann. Mat. Рига Appl. - 1976. - T. 110. -
P. 353-372.
[279] Elliptic equations and rearrangements // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1976. -
T.3, №4.-P. 697-718.
[280] Some estimates of solutions of Monge — Ampere type equations in dimension
two // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. - 1981. - T. 8,№4. - P. 183-230.
Темам P. (Temam R.)
[281] Solutions generalisees de certaines equations du type hypersurface minima // Arch.
Rational Mech. Anal. ~ 1971. - V. 44. - P. 121-156.
Tpydumep H.C. (Trudinger N.S.)
[282] On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic equati-
equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1967. - V. 20. - P. 721- 747.
[283] OnimbeddingsintoOrlicz spaces and some applications // J. Math. Mech. — 1967. -
V. 17.-P. 473-483.
[284] Some existence theorems for quasi -linear, non-uniformly elliptic equations in
divergence form // J. Math. Mech. - 1968/69. - V. 18. - P. 909-919.
450

[285] On the regularity of generalized solutions of linear, non-uniformly elliptic equa-
equations // Arch. Rational Mech. Anal. - 1971. - V. 42. - P. 50-62.
[286] The boundary gradient estimate for quasilinear elliptic and parabolic differenti-
differential equations // Indiana Univ. Math. J. - 1972. - V. 21. - P. 657-670.
[287] A new proof of the interior gradient bound for the minimal surface equa-
equation in n dimensions//Proc. Nat. Acad. Sci. U.SA. - 1972. - V. 69. - P. 821-
823.
[288] Linear elliptic operators with measurable coefficients // Ann. Scuola Norm. Sup.
Pisa.-1973.- T. 27, №3. - P. 265-308.
[289] Gradient estimates and mean curvature // Math. Zeit. - 1973. - Bd. 131. -
S. 165-175.
[290] A sharp inequality for subharmonic functions on two-dimensional manifolds //
Math, Zeit. - 1973. - Bd. 133. - S. 75-79.
[291] On the comparison principle for quasilinear divergence structure equations //
Arch. Rational Mech. Anal. - 1974. - V. 57. - P. 128-133.
[292] Maximum principles for linear, non-uniformly elliptic operators with measurable
coefficients // Math. Zeit. -. 1977. - Bd. 156. - S. 291-301.
[293] Local estimates for subsolutions and supersolutions of general second order
elliptic quasilinear equations // Invent. Math. - 1980. - V. 61. - P. 67-79.
[294] Fully nonlinear, uniformly elliptic equations under natural structure conditions
// Trans. Amer. Math. Soc. - 1983. - V. 278. - P. 751-770.
[295] Boundary value problems for fully nonlinear elliptic equations // Proc. Centre
for Math. Anal. Austr. Nat. Univ. - 1984. - V. 8. - P. 65-83.
[296] On an interpolation inequality and its application to nonlinear elliptic equations//
Proc. Amer. Math. Soc. - 1985.
Трудингер Н.С., УрбасДж. (Trudinger N.S., Urbas J.)
[297] On the Dirichlet problem for the prescribed Gauss curvature equation // Bull.
Australian Math. Soc. - 1983. - V. 28. - P. 217-231.
Уральцев а Н.Н,
[298] Решение задачи капиллярности. Вестник ЛГУ. - 1973. - Т. 19. - С. 54-64
ФабеЬ Э.Б., Кениг К.Э., Серапиони Р.П. (Fabes E.B., Kenig C.E., Serapioni R.P.)
[299] The local regularity of solutions of degenerate elliptic equations // Comm. Part.
Diff.^Equats. - 1982. - V. 7. - P. 77-116.
Фабес Э.5., Стройк Д.В. (Fabes E.B., Stroock D.W.)
[300] The Z^-integrability of Green's functions and fundamental solutions for ellip-
elliptic and parabolic equations // Duke Math. J. - 1984.
Федерер X. (Federer H.)
[301] Geometric Measure Theory. — Berlin - Heidelberg - New York: Springer-Verlag,
1969.
Фефферман К., Стейн И. (Fefferman С, Stein E.)
[302] Нр space of several variables // Acta Math. - 1972. - V. 129. - P. 137-193.
Финн P. (FinnR.)
[303] A property of minimal surfaces// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. - 1953. - V. 39. -
P. 197-201.
[304] On equations of minimal surface type // Ann. of Math. - 1954. - V. 60, № 2. -
P. 397-416.
[305] New estimates for equations of minimal surface type // Arch. Rational Mech.
Anal. - 1963. - V. 14. - P. 337-375.
[306] Remarks relevant to minimal surfaces, and to surfaces of prescribed mean cur-
curvature // J. Analyse Math. - 1965. - T. 14. - P. 139-160.
Финн Р., ГилбаргД (Finn R., Gilbarg D.)
[307] Asymptotic behavior and uniqueness of plane subsonic flows // Comm. Pure
Appl. Math. - 1957. - V. 10. - P. 23-63.
[308] Three-dimensional subsonic flows, and asymptotic estimates for elliptic partial
differential equations// Acta Math. - 1957. - V. 98. - P. 265-296.
Финн Р., СерринДж. (Finn R., Serrin J.)
[309] On the Holder continuity of quasi-conformal and elliptic mappings// Trans. Amer.
Math. Soc. - 1958. - V. 89. - P. 1-15.
29* 451

ФиоренцаР. (Fiorenza R.)
[310] Sui problemi di derivata obliqua per le equazioni ellittiche // Ricerche Math. -
1959.-T. 8.-P. 83-110.
[311] Sui problemi di derivata obliqu per le equazioni ellittiche quasi lineari // Ricerche
Math. - 1966. - T. 15. - P. 74-108.
Флеминг В. (Fleming W.)
[312] On the oriented Plateau problem // Rend. Ore. Mat. Palermo. - 1962. - T. 11,
№2.-P. 69-90.
Фридман A. (Friedman A.)
[313] Partial Differential Equations. - New York: Holt, Rinehart and Winston, 1969.
Фридрихе K.O. (Friedrichs K.O.)
[314] The identity of weak and strong extensions of differential operators // Trans.
Amer. Math. Soc. - 1944. - V. 55. - P. 132-151.
[315] On the differentiability of the solutions of linear elliptic differential equations //
Comm. Pure Appl. Math. - 1953. - V. 6. - P. 299-326.
Хайнц Э. (Heinz E.)
[316] Uber die Losungen der Minimalflachengleichung // Nachr. Akad. Wiss. Gottingen.
Math. - Phys. Kl. II a. - 1952. - S. 51-56.
[317] On elliptic Monge - Ampere equations and WeyFs imbedding problem // Analy-
Analyse Math. - 1959. - V. 7. - P. 1-52.
[318] Interior gradient estimates for surface z = f(x, y) with prescribed mean curva-
curvature // J. Differential Geometry. - 1971. - V. 5. - P. 149-157.
Харди Дж.Г., ЛиттлвудДж.Э. (Hardy G.H., Littlewood J.E.)
[319] Some properties of fractional integrals. I // Math. Zeit. - 1928. - Bd. 27. -
S. 565-606.
Харди Дж.Г., Литтлвуд Дж.Э., Полиа Г.
[320] Неравенства. -М.: ИЛ, 1948.
Хартман Ф. (Hartman P.)
[321] On the bounded slope condition // Pacific J. Math. - 1966. - V. 18. - P. 495-511.
Хартман Ф., Ниренберг Л. (Hartman P., Nirenberg L.)
[322] On spherical image maps whose Jacobians do not change sign // Amer. J. Math. —
1959.-V. 81.-P. 901-920.
Хартман Ф., Стампаккъя Г. (Hartman P., Stampacchia G.)
[323] On some non-linear elliptic differential — functional equations // Acta Math. —
1966. - V. 115. - P. 271-310.
Хопф Э. (Hopf E.)
[324]- Elementare Bemerkungen uber die Losungen paitieller Differentialgleichungen
zweiter Ordnung vom elliptischen Ту pus // Sitz. Ber. Preuss. Akad. Wissensch. Berlin,
Math. - Phys. Kl. 19. ~ 1927. - S. 147-152.
[325] Zum analytischen Charakter der Losungen fegularer zweidimensiohaler Varia-
tionsprqbleme // Math. Zeit. - 1929. - Bd. 30. - S. 404-413.
[326] Uber den funkitonalen, insbesondere den analytischen Charakter der Losungen
elliptischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Z. - 1932. - Bd. 34. -
S. 194-233.
[327] On S. Bernstein's theorem on surfaces z(x, y) of nonpositive curvature // Proc.
Amer. Math. Soc. - 1950. - V. 1. - P. 80-85.
[328] A remark on linear elliptic differential equations of second order // Proc. Amer.
Math. Soc. - 1952. - V. 3. - P. 791-793.
[329] On an inequality for minimal surfaces z = z(x, y) // J. Rational Mech. Anal. -
1953.-V. 2.-P. 519-522.
ХелмсЛ.Л. (Helms L.L.)
[330] Introduction to potential theory. - New York: Wiley - Interscience, 1969.
Хёрмандер Л. (Hormander L.)
[331] Pseudo-differential operators and non-elliptic boundary problems // Ann. of
Math. - 1966. - V. 83 B). - P. 129-209.
[332] Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math. - 1967. - V. 119. -
P. 147—161. (Русский перевод: Гипоэллиптические дифференциальные уравне-
уравнения второго порядка. // Математика. - 1968. - Т. 12, № 1. - С. 88-109).
[333] The boundary problems of physical geodesy // Arch. Rational Mech. Anal. -
1976.-V. 62.-P. 1-52.
452

Чем СИ., Яу СТ. (Cheng S.Y., Yau S.T.)
[334] On the regularity of the Monge - Ampere equation det (Э2м/Эдс,-Эxj) = F(x, u) //
Comm. Pure Appl. Math. - 1977. - V. 30. - P. 41-68.
,[335] On the regularity of the solution of the n-dimensional Minkowski problem //
Comm. Pure Appl. Math. - 1976. - V. 19. - P. 495-516.
[336] On the existence of a complete Kahler metric on non-compact complex mani-
manifolds and the regularity of Fefferman's equation // Comm. Pure Appl. Math. - 1980. -
V. 33.-P. 507-544.
[337] The real Monge - Ampere equation and affine flat structures // Proc. 1980 Beijing
Symposium on Differential Geometry and Differential Equations. - 1982. — V. 1. —
P. 339-370. Editors S. Chern, W.T.Wu.
ЧиккоМ. (ChiccoM.)
[338] Principio di massimo forte per sottosoluzioni di equazioni ellittiche di tipo varia-
zionale // Boll. Un. Mat. Ital. - 1967. - T. 22, № 3. - P. 368-372.
[339] Semicontinuita delle sottosoluzioni di equazioni ellittiche di tipo variazionale //
Boll. Un. Math. Ital. - 1968. - T. 1,№4. - P. 548-553.
[340] Principio di massimo per soluzioni di problemi al contorno misti'per equazioni
ellittiche di tipo variazionale // Boll. Un. Mat. Ital. - 1970. - T. 3, № 4. - P. 384-394.
[341] Solvability of the Dirichlet problem in H2>P (a) for a class of linear second order
elliptic partial differential equations// Boll. Un. Mat. Ital. - 1971. - T. 4, №4. - P. 374-
387.
[342] Sulle equazioni ellittiche del secondo ordine a coefficient! continui // Ann. Mat.
Рига Appl. - 1971. - T. 88, №4. - P. 123-133.
ШаудерЮ. (Schauder J.)
[343] Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen // Studia Math. - 1930. - V. 2. - P. 171-
180.
[344] Uber die Zusammenhang zwischen der Eindeutigkeit und Lbsbarkeit partieller
Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus // Math. Ann. - 1932.-
Bd. 106,-S. 661-721.
[345] liber das Dirichletsche Problem im Gro/3en fiir nicht-lineare elliptische Differen-
Differentialgleichungen // Math. Zeit. - 1933. - Bd. 37. - S. 623-634, 768.
[346] Uber lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung // Math. Zeit. -
1934.-Bd. 38. -S. 257-282.
[347] Numerische Abschatzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen //
Studia Math. - 1935. - V. 5. - P. 34-4?.
Шефер X. (Schaefer H.)
[348] Uber die Methode der a priori Schranken // Math. Ann. - 1955. - Bd. 129. -
S. 415-416.
Штернберг Ш. (Sternberg S.)
[349] Lectures on Differential Geometry. - Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1964.
Шульц Ф. (Schulz F.)
[350] Uber die Beschranktheit der zweiter Abteilungen der Losungen nichtlinearer
elliptischer Differentialgleichungen // Math. Zeit. - 1980. - Bd. 175. - S. 181-188.
[351] A remark on fully nonlinear, concave elliptic equations // Proc. Centre for Math.
Anal. Austr. Nat. Univ. - 1984. - V. 8. - P. 202-207.
ЭвансЛ.К. (Evans L.C.)
[352] A convergence theorem for solutions of nonlinear second order elliptic equati-
equations // Indiana University Math. J. - 1978. - V. 27. - P. 875-887.
[353] Classical solutions of fully nonlinear, convex, second order elliptic equations //
Comm. Pure Appl. Math. - 1982. - V. 25. - P. 333-363.
[354] Classical solutions of the Hamilton - Jacobi Bellman equation for uniformly
elliptic operators // Trans. Amer. Math. Soc. - 1983. - V. 275. - P. 245-255.
[355] Some estimates for nondivergence structure, second order equations // Trans.
Amer. Math. Soc. - 1985.
ЭвансЛ.К, ЛионеП.-Л. (Evans L.C, Lions P.-L.)
[356] Resolution des equations de Hamilton - Jacobi - Bellman pour des operateurs
uniformement elliptiques // C.R. Acad. Sci. Paris. - 1982. - T. 290. - P. 1049-1052.
[357] Fully non-linear second order elliptic equations with large zeroth order coeffi-
coefficient// Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 1981.- T. 31,fasc. 2.- P. 175-191.
453

ЭвансЛ.К., Фридман A. (Evans L.C., Friedman A.)
[358] Optimal stochastic switching and the Dirichlet problem for the Bellman equation //
Trans. Amer. Math. Soc. - 1979. - V. 253. - P. 365-389.
Эдварде Р.Э. (Edwards R.E.)
[359] Функциональный анализ. Теория и приложения. - М.: Мир, 1969.
ЭдмундеД.Э. (Edmunds D.E.)
[360] Quasilinear second order elliptic and parabolic equations // Bull. London Math.
Soc. - 1970.-V. 2.-P. 5-28.
Эммер M. (Emmet M.) % v
[361] Esistenza, unicita e regolarita nelle superfice di equilibrio nei capillari // Ann.
Univ. Ferrara. - 1973. - T. 18. - P. 79-94.
ЭрвеР.-М. (Herve R.-M.) ,
[362] Recherches axiomatiques sur la theorie des fonctions surharmoniques et du po-
tentiel// Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 1962. - T. 12. - P. 415-571.
ЭрвеP.M., ЭрвеM. (Herve R.-M.,Herve M.) / ,
[363] Les fonctions surharmoniques associees a un ope'rateur elliptique du second ordre
a coefficients discontinus // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). - 1969. - T. 19, fasc. 1. -
P. 305-359.
ЯуС.Т. (YauS.T.)
[3641 On the Ricci curvature of a compact Kahler manifold and the complex Monge —
Ampere equation// Comm. Pure Appl. Math. - 1978. - V. 31. - p. 339-411.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Априорные оценки 13
см.: Гё'льдера оценки; градиента оценки; квазилинейные эллиптические уравне-
уравнения; линейные эллиптические уравнения; принципы максимума; Шаудера
оценки
Банаха пространство 75
Барьер
для уравнения Лапласа 33
для линейных уравнений 105
локальный - 33,106
для неравномерно эллиптических уравнений 119
для квазилинейных уравнений 306, 315
нижний-(верхний -) 105
Беллмана уравнение 396
Бернштейна теорема
для уравнения минимальных поверхностей 393
для уравнения типа уравнения со средней кривизной 372
Билинейная форма
ограниченная - 84
коэрцитивная - 84
Брауэра теорема о неподвижной точке 257
Вариационные задачи 265
Винера критерий 36,197
Виртингера неравенство 273
Вложение компактное банаховых пространств 163
Вложение непрерывное банаховых пространств 155
Внешней плоскости строгое условие 118
Вполне нелинейные уравнения 394
задача Дирихле 413, 414, 417
оценки Гёльдера вторых производных 406, 412
с двумя переменными 403
Вполне непрерывное отображение
см. Компактное отображение
Гармоническая срезка 32
Гармоническая функция 21
на поверхности 357
оценки производных 30, 37
свойство среднего 22, 29
слабая - 37
теоремы о сходимости 29
455

Гауссова кривизна 381
Гаусса отображение 380
оценки Гёльдера 385
Гельдера коэффициент 57
Гёльдера неравенство 145
обобщенное — 145
Гёльдера оценки
для квазиконформных отображений 274
на поверхности 380
для квазилинейных уравнений 259, 265, 294, 297, 302, 304, 345
для отображения Гаусса 385
для уравнения Пуассона 64, 66,123,125
для сильных решений 232
для ньютонова потенциала 61-62
для уравнений с двумя переменными 277
см. также Градиента оценки; Шаудера оценки
Гёльдера пространства 58
нормы и полунормы 59, 65, 69, 91, 97
Гёльдера сопряженный показатель 146
Гессе матрица (гессиан) 324
Гильбертово пространство 82
Гиперповерхность 353
Главная координатная система 324
Главная кривизна 324
Главные направления 324
Глобальные оценки градиента
см. Квазилинейные эллиптические уравнения
Градиент тангенциальный 354
Градиента оценки
для гармонических функций 30, 37
для квазилинейных уравнений
с двумя переменными 211,291
в дивергентной форме 295, 297, 342, 346, 352
общего вида 301, 304, 309, 310
для линейных уравнений 55
для уравнения минимальных поверхностей 311, 312, 366
для уравнения поверхности с заданной средней кривизной 312, 314, 316, 336,
366
для уравнения Пуассона 48
для уравнения типа уравнения со средней кривизной 387
для уравнения Эйлера-Лагранжа 336
Граничная задача внешняя 141
Граничная точка, лемма 41, 53
регулярная -, см. Регулярная граничная точка
Граничное многообразие 260
Граничное условие с косой производной 121, 126, 430
регулярное 55,122, 126
Граничное условие смешанное 54
Граничные задачи нелинейные 430
Грина оператор 176
Грина представление 26
Грина формулы 26
Грина функция
для шара 27
для задачи Дирихле 27
для задачи с косой производной 122
Джона - Ниренберга неравенство 163
Дирихле задача, см.: Квазилинейные эллиптические уравнения; Лапласа уравнение;
456

линейные эллиптические уравнения; Монжа - Ампера уравнение; Пуассона
уравнение; сильно нелинейные уравнения; уравнение минимальных поверх-
поверхностей; уравнение поверхности постоянной средней кривизны; уравнение по-
поверхности с заданной гауссовой кривизной; уравнение поверхности с задан-
заданной средней кривизной; уравнения типа уравнения поверхности с заданной
средней кривизной; Эйлера-Лагранжа уравнение;
Дирихле задача обобщенная 14, 177
разрешимость 144
единственность 174
см. также Дирихле задача
Дирихле интеграл 270, 376
Единицы разбиение 136
Емкость 35
Задача с косой производной 121
для линейных уравнений
оценки Шаудера 126
разрешимость 128
для нелинейных уравнений
для уравнения Пуассона 121
оценки Гёльдера 123,126
нерегулярная — 141
регулярная- 122
Задача с производной по конормали 433
Задача со смешанным граничным условием 205
Интерполяционные неравенства, см. неравенства интерполяционные
Кальдерона - Зигмунда неравенство 216
Квазиконформное отображение 270
оценки Гёльдера 274
на поверхности 375
оценки Гёльдера 380
Квазилинейные эллиптические уравнения (операторы) 11, 240
в дивергентной форме 16, 241
внутренние оценки градиента 295, 346, 352
глобальные оценки градиента 297, 342, 347
задача Дирихле, разрешимость 261, 30- 351
регулярность 346
принципы сравнения 244, 248, 318
общего вида
граничные оценки градиента 309, 316, 327
оценка модуля непрерывности 323
задача Дирихле
единственность 244
неединственность 247
неразрешимость 320, 322
разрешимость 259, 265, 304, 347, 351
глобальные оценки градиента 304, 336
внутренние оценки градиента 302, 340
регулярность 259, 265
принципы максимума 245, 250, 255
для градиента 331
с двумя переменными
задача Дирихле, разрешимость 261, 280, 287, 305
оценки градиента 286, 297
эквивалентные — 240
Квазирешение 268
Келлога теорема 70
457

Кельвина преобразование 70
Ко-меры формула 375
Кондрашова теорема о компактности 163
Контактное множество функции 209
Конуса условие
внешнего - 37,194
равномерное внешнего - 195
равномерное внутреннего — 156
Коши неравенство 145
Коэффициент растяжения ориентированной площади 374
Куба разбиение 213
Лакса - Мильграма теорема 84
Лапласа уравнение 11, 21
задача Дирихле
разрешимость 28, 32
единственность 23
принцип максимума 23
фундаментальное решение 25
см. также Гармонические функции
Лапласа оператор (лапласиан) 21,355
Лапласа - Бельтрами оператор 355
Лемма о граничной точке 41, 53
см. Граничная точка, лемма
Лере — Шаудера теорема о неподвижной точке 258, 263
Линейное отображение, ограниченное 76
Линейные эллиптические уравнения (операторы) 11, 38, 88, 17<
в дивергентной форме 14, 52, 170
см. Слабые решения
классические решения
внутренняя регулярность 110
граничная регулярность 112, 140
глобальная оценка 43
глобальная регулярность 112, 113
задача Дирихле
Фредгольма альтернатива 109
разрешимость 102, 107-108, 113, 142, 181
единственность 40, 44
задача с косой производной
задача Неймана 43
задача с косой производной 125
принципы максимума 39,143
Шаудера оценки 91, 95, 96, 114, 142
с двумя переменными
оценки Гёльдера 277
.сильные решения 207
слабые решения 14,171, 181
внутренняя регулярность 177
глобальная оценка 181, 184
глобальная регулярность 179
граничные оценки 193
Дирихле задача
единственность 174
разрешимость 174,196
Фредгольма альтернатива 175
локальная оценка 186
непрерывность по Гёльдеру 191, 192
принципы максимума 52, 177, 190, 206
Лиувилля теорема 37, 51
458

Максимума принципы, см. Принципы максимума
Марцинкевича интерполяционная теорема 215
Метод непрерывного продолжения по параметру 77, 401
Минимальная поверхность 327
Минимальной поверхности уравнение (оператор),
см. Уравнение минимальных поверхностей
Мозера итерационная техника 183, 187
Монжа - Ампера уравнение 395, 418
задача Дирихле 421, 422, 423
оценки вторых и третьих производных 420, 421, 425
оценки градиента 422
Морри лемма 273
Непрерывность по Гёльдеру 57
Де Джорджи оценки 191
для слабых решений 191
Непрерывность по Дини 73
Непрерывность по Липшицу 58
Неравенства интерполяционные
в пространствах Гёльдера 90, 96, 130,143
в пространствах L? 145
в пространствах Соболева 167, 168
Неравенство для среднего значения 22, 37, 74
на поверхности 357, 359, 394
Норма 75
в пространствах Гёльдера 58, 59, 64, 69, 91, 97
в пространствах Lp 144
граничная —96
Нормальное отображение 209
Нормированное линейное пространство 75
Ньютонов потенциал 26, 57
обобщенный 71
оценки Гёльдера 62, 68
свойства гладкости 59
Область
класса Ск*а 95
с границей, содержащей кусок класса Ск*а 96
Обобщенное решение 14, 144, 171
см. также Слабое решение
Ограниченности наклона условие 260, 284, 289, 292
Ограниченное линейное отображение 76
Ортогональная проекция 83
Ортогональность 82
Осредненные функции 146
Отображение вполне непрерывное, см. Отображение компактное
Отображение компактное 77, 258
банаховых пространств 163
спектр 80
Параллелограмма равенство 82
Параметрический функционал 390
эллиптический - 390
Перпендикулярные элементы 82
Перрона метод 32
Перрона решение 33
Полная вариация 170
Потенциал проводимости 35
Принципы максимума
для квазилинейных уравнений 245, 250, 255
градиента- 331
для линейных уравнений

классические решения 41, 143
сильные решения 208
слабые решения 52, 172, 190, 206
для вполне нелинейных уравнений 397
для уравнения Лапласа 23
Принципы сравнения 243, 248, 318
Пробная функция 172
Продолжение функции 136
Пространства Lp 144
норма 144
оценки в LP 154, 157, 158
теорема вложения 154, 156, 160
Пространства М^ 161
Пространство со скалярным произведением 82
Пуанкаре неравенства 161
Пуассона интеграл 27
Пуассона интегральная формула 27
Пуассона уравнение 57
внутренние оценки Гёльдера 64, 66
граничные оценки Гёльдера 69
задача Дирихле 23, 61, 66-67, 70, 74
задача с косой производной 121
компактность решений 65
оценки градиента 48
Пуассона ядро 28
Пуччи уравнение 395
Разбиение единицы; см. Единицы разбиение
Разностное отношение 111, 164
Равномерно выпуклая область 261, 311
Равномерно эллиптические уравнения (операторы) 11, 38, 240
см. также Линейные эллиптические уравнения (операторы);
квазилинейные эллиптические уравнения (операторы)
Регулярная граничная точка 34, 139, 197
критерий Винера 35,197
Регулярная задача с косой производной, см. Задача с косой производной
Регулярность
решений квазилинейных уравнений 259, 265, 346
классических решений 110, 140
слабых решений 176
см, также Градиента оценки; Гёльдера оценки;
Шаудера оценки
Регулярный функционал 266
Резольвента 80
Релея отношение 202
Рисса теорема представления 83
Рефлексивное пространство 81
Сегмента условие 153
Сжимающее отображение 76
Сильная производная 149
Сильное решение 207
задача Дирихле 225
неравенство Харнака 233
оценки Гёльдера 232
Сильный принцип максимума
см. Принципы максимума
Скалярное произведение 82
Слабая (обобщенная) производная 148
дифференцирование произведения 149
цепное правило 150
460

Слабая сходимость 86
Слабое решение
см. также Линейные эллиптические уравнения
Слабый принцип максимума
см. Принципы максимума
Собственное значение 80
вариационное свойство 203
кратность 80
Собственный вектор 80
Соболева неравенства 154, 156, 160, 39 J
наилучшая постоянная 155
Соболева пространства 152
норма 152
скалярное произведение 152
теоремы о плотности 153
теоремы вложения 154, 156,159, 163
Сопряженное пространство 81
Сопряженный оператор 81-85
формально - 176
Спектр отображения 80
Средняя кривизна 324, 352, 354
обобщенная - 313
Стокса теорема 373
Строго эллиптические уравнения (операторы) 38, 88
см. также Линейны? эллиптические уравнения (операторы); квазилинейные
эллиптические уравнения' (операторы)
Структурные неравенства
см. Структурые условия
Структурные условия 181, 186, 251, 280, 308, 335
естественные - 336, 342
Субгармоническая функция 21, 30—31
на поверхности 357
слабая — 37
Субрешение 40, 52, 104
слабое - 181
Субфункция 32, 104
Супергармоническая функция 21, 30-31
слабая — 37
Суперрешение 40, 52,104
слабое - 181
Суперфункция 32,104
Сферы условие
охватывающей - 311
внешней - 35
внутренней — 41
Теорема о дивергенции 21
Теорема о неявной функции в банаховых пространствах 400
Теорема о среднем значении 22
Треугольника неравенство 82
Трех точек условие 285, 289
Уравнение капиллярности 243, 433
Уравнение минимальных поверхностей (оператор) 11
задача Дирихле 322, 367
оценки градиента 311, 312, 366
оценка кривизны 392
см. также Квазилинейные эллиптические уравнения (операторы)
Уравнение поверхности с заданной средней кривизной 242, 353
граничная оценка градиента 312, 316
задача Дирихле
461

единственность 367
неразрешимость 322
разрешимость 367, 394
оценка градиента 336
принцип* максимума 255
см. также Квазилинейные эллиптические уравнения
Уравнение поверхности с постоянной средней кривизной
задача Дирихле, разрешимость 369
см. также Квазилинейные эллиптические уравнения
Уравнения типа уравнения минимальных поверхностей 391
см. также Уравнения со средней кривизной
Уравнения со средней кривизной 370, 385
оценка градиента 387
оценка кривизны 386
Условие конуса, см. Конуса условие
ограниченности наклона, см. Ограниченности наклона условие
сферы, см. Сферы условие
трех точек, см. Трех точек условие
Фредгольма альтернатива 77, 85
Фреше производная 399
Фундаментальное решение 25
Функционал параметрический, см. Параметрический функционал
Функция расстояния 324
Функция распределения 214
Харнака неравенство
для гармонических функций 24, 37
для линейных уравнений 190
для сильных решений 233
для уравнения с двумя переменными 48
слабое - 186,207
Харнака теоремы о сходимости 29
Шварца принцип симметрии 36
Шварца неравенство 82, 145
Шаудера теорема о неподвижной точке 25 7
Шаудера оценки
граничные 96,101
глобальные 100, 142
внутренние 91, 94, 114, 142
для задачи с косой производной 126
Эллиптические уравнения (операторы)
. см. Линейные эллиптические уравнения (операторы);
Квазилинейные эллиптические уравнения (операторы);
Сильно нелинейные уравнения
Эллиптические уравнения (операторы)
равномерно - 11, 38, 240
неравномерно - 117
см. также Линейные эллиптические уравнения (операторы);
Квазилинейные эллиптические уравнения (операторы)
Эллиптический параметрический функционал 390
Эйлера — Лагранжа уравнение 266
задача Дирихле 266
глобальная оценка градиента 336
см. также Квазилинейные эллиптические уравнения
Юнга неравенство 145
Ядро осреднения (сглаживающее ядро) 146
462

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Пространства, нормы и полунормы
BV(?l) 170 _
С* A2), С* A2), С* (П) 10
Са A2), С<* A2), СКа A2),С*'
Ск>а(ЪП), Ск>ат (Тс ЪП)96
С*'аA2)87,133
Я* A2), Нк(ПI52
Z,*7 A2) 144
Ifoc(«I46
Л/*>A2) 161
W* A2) 148
W*'*7 A2) 152
Й/*'рA2) 152
W*?W 152
65
••иг
57
J oc;xo
)a;D 58
\к,а;П59
lJ,w.o 65
»c*(ffv "-"
¦^•¦¦¦
l 75,76

144
152
394
Другие обозначения (см. также с. 9)
(@RK57
efj 329, 333, 386
ft0,ftoo314
b* 386
C/329
cap 12 35
Ю,Ю* 208
3)(p,Z) 376
Д 21,355
</x, dx-y 65
dx,dXty 69
d(xK24
б 330,354
5*294
б" 332
б/б;355
д, 338
& 241
&*319
е7111
^307
G380
Г (jc - у) 25
Г+209
Я 324,363
/((р) 374
Л*,»" 314
186
Ki 324
Ж a 395
?(м, и) 171
ЗЯ311
ХКУ),
v 21,324
и+,и*40, 150
^,^193,194
«ft 146
463

Научное издание
ГИЛБАРГ Дэвид
ТРУ ДИН ГЕР Нейл С
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Заведующий редакцией АЛ. Баева
Редактор В.В. А бгарян
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы СВ. Геворкян, С.Н. Баронина
Корректоры Н.П.Круглова, Т.В. Обод, ТА. Печко
Набор осуществлен в издательстве
на наборнопечатающих автоматах
ИБ № 12634
Сдано в набор 12.08.89. Подписано к печати 28.09.89
Формат 60 X 90/16. Бумага книжно-журнальная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать Офсетная
Усл.печл. 29,0. Усл.кр.-отт. 29,0 . Уч.-издл. 32,53
Тираж 3900 экз. Тип.зак. $02 , Цена 5 р. 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства "Наука'*
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25