Tags: фундаментальные и общие проблемы математики математика справочник
Year: 1974
Text
f
51
K67
УДК 510 ¦
Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Г. Корн,
Т. Корн.
«Справочник» содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, ана-
аналитическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая инте-
интегралы Лебега и Стнлтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные коорди-
координаты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциаль-
дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление,
абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория
представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и мате-
математическая статистика, численные методы анализа, специальные функции.
В настоящем издании заново написаны главы 11, 20 н значительная часть глав
J3 и 18, Кинга пополнилась значительным количеством новых разделов.
MATHEMATICAL
HANDBOOK
FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS
DEFINITIONS, THEOREMS AND FORMULAS
FOR REFERENCE AND REVIEW
SECOND, ENLARGEND
AND REVISED EDITION
GRANINO A. KORN, PH. D.,
THERESA M. KORN, M. S.
ОГЛАВЛЕНИЕ
McGraw-Hill Book Company
New York San Francisco Toronto London Sydney, 1968
К
, E0201-004
~053@1)-74
75-73
Перечень таблиц 20
Предисловие переводчиков 23
Из предисловия авторов ко второму американскому изданию 25
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ
И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
1.1. Введение. Система действительных чисел 27
1.1-1. Вводные замечания B7). 1.1-2. Действительные числа B7). 1.1-3.
Отношение равенства B8). 1.1-4. Отношение тождества B8). 1.1-5. Нера-
Неравенства B8). 1.1-6. Абсолютные величины B8).
1.2. Степени, корин, логарифмы и факториалы. Обозначения сумм и произве-
произведений 23
1.2-1. Степени и корни B8). 1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональ-
иррациональности в знаменателе дроби B9). 1.2-3. Логарифмы B9)( 1.2-4. Факториалы
C0). 1.2-5. Обозначения сумм и произведений C0). 1.2-6. Арифметическая
прогрессия C0). 1.2-7. Геометрическая прогрессия C0). 1.2-8. Некоторые
числовые суммы C1).
1.3. Комплексные числа 31
1.3-1. Вводные замечания C1). 1.3-2. Изображение комплексных чисел
точками или радиусами-векторами. Тригонометрическая форма комплекс-
комплексного числа C2). 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Сте-
Степени и корни C2).
1.4. Различные формулы 33
1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы C3). 1.4-2. Пропорции C4).
1.4-3. Многочлены. Симметрические функции C4).
1.5. Определители 35
1.5-1. Определение C5). 1.5-2. Миноры н алгебраические дополнения. Раз-
Разложение определителя по строке или по столбцу C5). 1.5-3. Примеры. C5).
1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа C6). 1.5-5. Различ-
Различные теоремы C6). 1.5-6. Умножение определителей C7). 1.5-7. Изменение
порядка определителей C7).
1.0. Алгебраические уравнения: общие теоремы 37
1.0-1. Вводные замечания C7). 1.6-2. Решение уравнения. Корни C7).
1.0-3. Алгебраические уравнения C7). 1.6-4. Соотношения между корнями
и коэффициентами C8). 1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения
C3). 1.6-6. Действительные алгебраические уравнения н их корни C9).
1.7. Разложение многочленов на множители н деление многочленов. Элемен-
Элементарные дроби 41
1.7-1. Разложение кнегэчленов па множители D1). 1.7-2. Деление много-
многочленов. Остаток D1). 1.7-3. Общие делители и общие корнн двух много-
многочленов D1). 1.7-4. Разложение на элементарные дроби D2).
1.8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения н уравнения четвертой степени 43
1.8-1. Решение линейных уравнений D3). 1.8-2. Решение квадратных
уравнений D3). 1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано D3).
1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение D4). 1.8-5. Урав-
Уравнения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера D4). 1.8-6. Урав-
Уравнения четвертой степени: решение Феррари D4).
1.9. Системы уравнений 45
1.9-1. Системы уравнений D5). 1.9-2. Системы линейных уравнений: пра-
правило Крамера D5). 1.9-3. Линейная независимость D5). 1.9-4. Системы
1*
г
Введение и основные понятия
3.1-1. Вводные замечания G6). 3.1-2. Декартова система координат GС).
3.1-3. Правая система осей G6). 3.1-4. Правая декартова прямоугольная
система координат G6). 3.1-5. Радиус-вектор G7). 3.1-6. Цилиндрическая
и сферическая системы координат G7). 3.1-7. Основные формулы в декар-
декартовых прямоугольных координатах и в векторной форме G7) 3.1-8. На-
Направляющие косинусы G8). 3.1-9. Проекции G9). 3.1-10. Вектор площади
G9). 3.1-11. Вычисление объемов G9). 3.1-12. Преобразование декартовых
прямоугольных координат при параллельном переносе и поиороте осей
47
49
ОГЛАВЛЕНИЕ
линейных уравнений: общая теория D6). 1.9-5. Системы линейных ураз-
неннй: п однородных уравнений с и неизвестными A6).
1-10. Формулы, описывающие плоские фигуры и тела
1.10-1. Трапеция D7). 1.10-2. Правильные многоугольники D8). 1.10-3.
Круг D8). 1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы D8). 1.10-5.
Тела вращения D8). 1.10-6. Правильные многогранники D9).
1Л1. Тригонометрия на плоскости
1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники D9). 1.11-2.
Свойства плоских треугольников E0). 1.11-3. Формулы для решения
треугольников E0).
1-12. Сферическая тригонометрия
1.12-1. Введение. Сферические треугольники E1). 1.12-2. Свойства сфери-
сферических треугольников E2). 1.12-3. Прямоугольный сферически» треуголь-
треугольник E3). 1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников E3).
ГЛАВА 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Введение и основные понятия 55
2.1-1. Вводные замечания E6). 2.1-2. Декартова система координат ES).
2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат E7). 2.1-4. Основ-
Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах E7). 2-1-5. Пре-
Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей E8).
2.1-6. Преобразование декартовых прямоугольных координат прн повороте
осей E8). 2.1-7. Одновременный перенос н поворот координатных осей E8).
2.1-8. Полярные координаты E9). 2.1-9. Способы задания кривых F0).
2.2. Прямая линия 60
2.2-1. Уравнение прямой линии F0). 2.2-2. Другие способы задания пря-
прямой F1).
2.3. Взаимное расположение точек н прямых , 62
2.3-1. Точки и прямые F2). 2.3-2. Две или несколько прямых F2). 2.3-3.
Тангенциальные координаты F3).
2.4. Кривые второго порядка (конические сечения) 61
2.4-1. Общее уравнение второй степени F4). 2.4-2. Инварианты F4).
2.4-3. Классификация кривых второго порядка F4). 2.4-4. Условие подо-
подобия невырожденных кривых второго порядка F4). 2-4-5. Характеристиче-
Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение F1). 2.4-6.
Центры и диаметры кривых второго порядка F1). 2.4-7. Главные оси F0).
2.4-8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному (ка-
(каноническому) виду F6). 2.4-9. Геометрическое определение невырожден-
невырожденной кривой второго порядка F7). 2.4-10. Касательные и нормали к кривым
второго порядка. Полюсы и поляры F7). 2.4-11. Другие способы задания
кривых второго порядка F9).
2.5. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол 70
'2.5-1. Окружность: формулы и теоремы G0). 2.5-2. Эллипс и гипербола:
формулы и теоремы G0). 2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их каса-
касательных и нормалей G1). 2.5-4. Построение параболы, ее касательных
и нормалей G3).
2.6. Уравнения некоторых плоских кривых 73
-.0-1. Примеры алгебраических кривых G3). 2.6-2. Примеры трансцендент-
трансцендентных кривых G4).
Г Л А В А 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
73
ОГЛАВЛЕНИЕ
G9). 3.1-13. Аналитическое заданье кривых (81). 3.1 -14. Способы задания
поверхностей (81). 3.1-lj. Специальные типы поверхностен (82). 3.1-1».
Поверхности и кривые (¦:2).
3." Плоскость зз
3.2-1. Уравнение плоскости (83). 3.2-2. Параметрическое задание пло-
плоскости (8-1).
3.3. Прямая линия q.j
3.3-1. Уравнения прямой (84). 3.3-2. Параметрические уравнения прямой
3.4. Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых 83
3.4-1. Углы (85). 3.4-2. Расстояния (86). 3.4-3. Специальные случаи взаим-
взаимного расположения точек, прямых и плоскостей (87). 3.4-4. Тангенциаль-
Тангенциальное координаты плоскости и принцип двойственности (88). 3.4-5. Некото-
Некоторые дополнительные соотношения (88).
3.5. Поверхности второго порядка sg
3.5-1. Общее уравнение второй степени (89). 3.5-2. Инварианты (89).
3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка (89). 3.5-4. Характе-
Характеристическая квадратичлая форма и характеристическое уравнение (89).
3.5-5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго
порядка (91). 3.5-0. Главные плоскости и главные оси (91). А 5-7. Приве-
Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (канониче-
(каноническому) виду (92). 3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности
второго порядка. Полюсы и поляры (93). 3.5-9. Некоторые дополнительные
формулы и теоремы (86). 3.5-10. Параметрическое задание поверхностс!
второго порядка (97).
ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. Введение 98
4.2. Функции 95
4.2-1. Функции и переменные (98). 4.2-2. Функции со специальными свой-
свойствами (99).
4.3. Точечные множества, интервалы и области gj
4.3-1. Вводные замечания (99). 4.3-2. Свойства множеств A00). 4.3-3. Гра-
Границы A00). 4.3-4. Интервалы A01). 4.3-5. Определение окрестностей A01).
4.3-G. Открытые и замкнутые множества и области A01).
4.4. Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы 102
4.4-1. Пределы функций и последовательностей A02). 4.4-2. Операции над
пределами A03). 4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функ-
функциями A03). 4.4-4. Равномерная сходимость A04). 4.4-5. Пределы по совокуп-
совокупности переменных и повторные пределы A04). 4.4-6. Непрерывные функции
A04). 4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность A05).
4.4-8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации A06).
4.5. Дифференциальное исчисление J07
4.5-1. Производные и дифференцирование A07). 4.5-2. Частные производим.»
A07). 4.5-3. Дифференциалы A09). 4.5-4. Правила дифференцирования
A10). 4.5-5. Однородные функции A12). 4.5-6. Якобианы и функциональ-
функциональная зависимость (П2). 4.5-7. Неявные функции A12).
4.6. Интегралы и интегрирование цз
4.G-1. Определенные интегралы (интеграл Рима на) A13). 4.G-2. Несобственные
интегралы A15). 4.6-3. Среднее значение A17). 4.6-4. Неопределенные инте-
интегралы A17). 4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления A17).
4.0-6. Методы интегрирования A17). 4.6-7. Эллиптические интегралы A19).
4.6-8. Кратные интегралы (!!9). 4.6-9. Длина дуги спрямляемой криво i
A20). 4.6-10. Криволинейные интегралы A20). 4.6-11. Площади и объем:!
A21). 4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему A22). 4.6-13. Замет
переменных в интегралах по объему и по поверхности A23). 4.6-14. Мера
Лебега. Измеримые'функции A23). 4.6-15. Интеграл Лебега A21). 4.6-1 ..
Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности) A26). 4.G-17 Иптсгрп
Стнлтьеса A2П). .1.0-18. Свертки A23). 4.6-19. Неравенства Мннковсио. j
н Гельдура A23).
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.7. Теоремы о среднем значении. Раскрытие неопределенностей. Теоремы Вейер-
штрасса о приближении
4.7-1. Теоремы о среднем значении A29). 4.7-2. Раскрытие неопределенно-
неопределенностей A30). 4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении A31).
4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения и непрерывные дроби ....
4.8-1. Бесконечные ряды. Сходимость A31). 4.8-2. Ряды функций. Равномер-
Равномерная сходимость A32). 4.8-3. Операции над сходящимися рядами A32).
4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций A33). 4.8-5. Улучшение
сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов A34). 4.8-6.
Расходящиеся бесконечные ряды A36). 4.8-7. Бесконечные произведения
A37). 4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби A38).
4.9. Признаки сходимости и равномерной сходимости бесконечных рядов и
несобственных интегралов
4.9-1. Признаки сходимости бесконечных рядов A39). 4.9-2. Признаки
равномерной сходимости бесконечных рядов A40). 4.9-3. Признаки сходи-
сходимости несобственных интегралов A40). 4.9-4. Признаки равномерной схо-
днмостн несобственных интегралов A42).
4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом.
Степенные ряды н ряд Тейлора
4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд н представление их интегра-
интегралом A42). 4.10-2. Степенные ряды A43). 4.10-3. Теоремы Абеля и Таубера
A45). 4.10-4. Ряд Тейлора A45). 4. 10-5. Кратный ряд Тейлора A46).
4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье
4.11-1. Вводные замечания A46). 4.11-2. Ряды Фурье A46). 4.11-3. Интеграл
Фурье и преобразование Фурье A48). 4.11-4. Функции, разложимые в ряд
Фурье н представнмые интегралом Фурье. Гармонический анализ A49).
4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье
A56). 4.11-6. Интегралы Дирихле н Фейера A57). 4.11-7. Суммирование
средними арифметическими A60). 4.11-8. Кратные ряды и интегралы Фурье
A60).
Г Л А В А 5
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
129
131
139
142
146
5.1. Векторы в евклидовом пространстве
5.2. Векторная алгебра
5.2-1. Сложение векторов н умножение вектора на (действительный) скаляр
A62). 5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам A63). 5.2-3. Декар-
Декартовы прямоугольные координаты вектора A63). 5.2-4. Векторы и физиче-
физические размерности A63). 5.2-5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина)
вектора A64). 5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов
A64). 5.2-7. Векторное произведение двух векторов A64). 5.2-8. Смешанное
(векторио-скалярное) произведение A65). 5.2-9. Другие произведения,
содержащие более двух векторов A66), 5.2-10. Разложение вектора а по на-
направлению единичного вектора и н ему перпендикулярному A66). 5.2-11.
}ешеине уравнений A66).
5.3. Векторные функции скалярного аргумента
5.3-1. Векторные функции и нх пределы A66). 5.3-2. Дифференцирование
A66). 5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения
A67).
5.4. Скалярные и векторные поля
5.4-1. Вводные замечания A68). 5.4-2. Скалярные поля A68). 5.4-3. Вектор-
Векторные поля A68). 5.4-4. Векторный элемент лнннн и длина дуги A6S). 5.4-5.
Криволинейные (линейные) интегралы A69). 5-4-6. Поверхностные инте-
интегралы A69). 5.4-7. Объемные интегралы A70).
5.5. Дифференциальные операторы
5.5-1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения A70).
5.5-2. Оператор У A71). 5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и
производная по направлению A72). 5.5-4. Производные высших порядков
по направлению. Ряд Тейлора A73). 5.5-5. Оператор Лапласа A73). 5.5-6.
Операции второго порядка A73). 5.5-7. Операции иад простейшими функ-
функциями от г A74). 5.5-8. Функции от двух и более раднусов-векторов A74).
5.6. Интегральные теоремы
5.6-1. Теорема о дивергенции н связанные с ней теоремы A75). 5.6-2. Теорема
о роторе н связпнные с ней теоремы A76). 5.6-3. Поля с разрывами на по-
поверхностях A76).
162
162
166
163
170
175
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.7. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции 173
5.7-1. Безвихревое екториое поле A76). 5.7-2. Соленоидальпые (трубча-
(трубчатые) векторные поля A77). 5.7-3. Отыскание векторного поли по его ротору
и дивергенции A77).
Г Л А В А 6
СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.1. Вводные замечания 179
G.2. Системы криволинейных координат . 179
6.2-1. Криволинейные координаты A79). 6.2-2. Координатные поверхности
» координатные лиини A79). 6.2-3. Элементы длины дуги и объема A/У).
G.3. Криволинейные координаты вектора 130
6.3-1. Координаты пектора и локальный (местный) базис A80). 6.3-2. Фн-
зические координаты вектора A82). 6.3-3. Контравариантные и ковариант-
ные координаты сектора A82). 6.3-4. Запись векторных соотношений в кри-
криволинейных координатах A83).
С.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в ортогональ-
[.ых координатах t 183
6.4-1. Ортогональные координаты A83). 6.4-2. Векторные соотношения
A84). 6.4-3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и объем-
объемный интеграл A85).
С.5, Формулы для специальных систем ортогональных координат , 1S5
Г Л А В А 7
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Вводные замечания 197
Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 1Э7
7.2-1. Функции комплексного переменного A97). 7.2-2. г-плоскость н аьпло-
скость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки A97). 7.2-3. Кривые и
контуры B00). 7.2-4. Границы и области B00). 7.2-5. Комплексные контур-
контурные интегралы B00).
Аналитические (регулярные, голоморфные) функции 201
7.3-1. Производная функция B01). 7.3-2. Уравнения Коши — Римана B01).
7.3-3. Аналитические функции B02). 7.3-4. Свойства аналитических функ-
функций B02). 7.3-5. Теорема о максимуме модуля B03).
Многозначные функции 203
7.4-1. Ветви B03). 7.4-2. Точки разветвления н разрезы B03). 7.4-3. Рима-
нозы поверхности B04).
Интегральные теоремы и разложения в ряды 205
7.5-1. Интегральные теоремы B05). 7.5-2. Разложение в ряд Тейлора B0С).
7.5-3. Разложение в ряд Лорана B0и).
Пули и изолированные особые точки 207
7.6-1. Нули B07). 7.6-2. Особые точки B07). 7.6-3. Нули и особенности в
бесконечности B09). 7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара B09). 7.6-5.
Целые_ функции B09). 7.6-6. Разложение целой функции в произведение
B10) 7.0-7. Мероморфные функции B10). 7.6-8. Разложение мероморфных
функция на простейшие дроби B11). 7.6-9. Нули и полюсы мероморфных
функций B11).
Вычеты и контурные интегралы 211
7.7-1. Вычеты B11). 7.7-2. Теорема о вычетах B12). 7.7-3. Вычисление опре-
определенных интегралов B12). 7.7-4. Применение вычетов к суммированию
рядов B13).
Аналитическое продолжение 214
7.8-1. Аналитическое продолжение и моногеиные аналитические функции
B14). 7.8-2. Методы аналитического продолжения B14).
Конформное отображение 215
/•9-1. Конформное отображение B15). 7.9-2. Дробно-лниейпое отобра-
отображение (преобразование) B16). 7.9-3. Отображение w = J- (г + -М B17).
7.1
7.2.
7.4
7.6.
7.7
ОГЛАВЛЕНИЕ
7.3-4. Интеграл Шварца — Кристоффели B17). 7.9-5. Таблица отображений
B18). 7.9-6. Функции, отображающие специальные области на единичный
круг B27).
Г Л А В А 8
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
8.1. Вводные замечания !ИЗ
8.2. Преобразование Лапласа TJ.S
8.2-1. Определение B28). 8.2-2. Абсолютная сходимость B28). 8.2-3. Область
определения B29). 8.2-4. Достаточные условия существования преобразо-
преобразования Лапласа B29). 8.2-5. Обратное преобразование Лапласа B29). 8.2-6.
Теорема обращения B29). 8.2-7. Существование обратного преобразования
Лапласа B30). 8.2-8. Единственность преобразования Лапласа и его обра-
обращения B30).
8.3. Соответствие между операциями над оригиналами н изображениями . . . 230
8.3-1. Таблица соответствия операций B30). 8.3-2. Преобразования Лапласа
периодических функций и произведений оригиналов на синус или косинус
B30). 8.3-3. Преобразование произведения (теорема о свертке) B33). 8.3-4.
Предельные теоремы B33).
8.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных преобразований
Лапласа 234
8.4-1. Таблицы преобразования Лапласа B34). 8.4-2. Вычисление обратных
преобразований Лапласа B34). 8.4-3. Применение контурного интегрирова-
интегрирования B34). 8.4-4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных
алгебраических функций: разложение Хевисайда B34). 8.4-5. Обратное
преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций:
разложение на простейшие дроби B52). 8.4-6 Разложения в ряды B52).
8.4-7. Разложения по степеням / B53). 8.4-8. Разложения по многочленам
Лагерра B53). 8.4-9. Разложения в асимптотические ряды B54).
8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций 255
8.6. Некоторые другие функциональные преобразования 256
8.6-1. Вводные замечания B56). 8.6-2. Двустороннее преобразование Ла-
Лапласа B56). 8.6-3 Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса
B56). 8.6-4. Преобразования Ганкеля и Фурье — Бесселя B58).
8.7. Конечные интегральные преобразования, производящие функции н г-пре-
образование 260
8.7-1. Ряды как функциональные преобразования. Конечные преобразо-
преобразования Фурье н Ганкеля B60). 8.7-2. Производящие функции B60). 8.7-3.
г-преобразованне. Определение и формула обращения B63).
Г Л А В А 9
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
0.1. Ег.еденне 253
9.1-1. Вводные замечания B65). 9.1-2. Обыкновенные дифференциальные
уравнения B65). 9.1-3. Системы дифференциальных уравнений B66). 9.1-4.
Существование решений B66). 9.1-5. Общие указания B66).
9.2. Уравнения первого порядка _>63
9.2-1. Существование и единственность решений B66). 9.2-2. Геометри-
Геометрическое толкование. Особые интегралы B67). 9.2-3. Преобразование пере-
переменных B68). 9.2-4. Решение специальных типов уравнений первого по-
порядка B68). 9.2-5. Общие методы интегрирования B70).
Р.З Линейные дифференциальные уравнения 271
0.3-1. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения B71).
''.3-2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений B71).
¦'.3-3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грииа B72). 9.3-4.
Приведение двухточечных краевых задач к задачам Коши B75). 9.3-5.
Л.шейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Тейлоров-
Тейлоровские разложения решения н влияние особенностей B75). 9.3-6. Решение
однородных уравнений путем разложения в ряд в окрестности правильной
особой точки B76). 9.3-7. Методы интегральных преобразований B77).
9.3-8. Линейные уравнения второго порядча B78), 9.3-9. Гнпергеометри-
ческое дифференциальное урав ьение Гаусса и Р-уравнеНие Римана B79).
ОГЛАВЛЕНИЕ
9.3-10. Вырожденные гнпергеометрические функции B82). 9.3-11. Обобщен-
Обобщенные гипергеометрические ряды B83).
9.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
9.4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
B83). 9.4-2. Неоднородные уравнения B85). 9.4-3. Свертки и функции Грина
B86). 9.4-4. Устойчивость B87). 9.4-5. Операторный метод решения B88).
9.4-6. Периодические внешние нагрузки и решения B89). 9.4-7. Передаточ-
Передаточные функции и частотные характеристики B90). 9.4-8. Нормальные коор-
координаты и собственные колебания B91),
9.5. Нелинейные уравнения второго порядка
9.5-1. Вводные замечания B92). 9.5-2. Представление на фазовой плоскости.
Графический метод решения B92). 9.5-3. Особые точки и предельные циклы
B93). 9.5-4. Устойчивость решений по Ляпунову B94). 9.5-5. Приближенный
метод Крылова и Боголюбова B96). 9.5-6. Интеграл живых сил B97).
9.6. Дифференциальные уравнения Пфаффа
9.6-1. Дифференциальные уравнения Пфаффа B98). 9.6-2. Вполне интегри-
интегрируемый случай B98).
ГЛАВА 10
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
283
292
298
10.1.
10.2.
10.3.
Введение н обзор
10.1-1. Вводные замечания B99). 10.1-2. Дифференциальные уравнения
с частными производными B99). 10.1-3. Решение дифференциальных урав-
уравнений с частными производными: разделение переменных C00).
Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
10.2-1. Уравнения с двумя независимыми переменными. Геометрическая
интерпретация C01). 10.2-2. Задача с начальными условиями (задача Коши)
C02). 10.2-3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы; реше-
решения характеристических уравнений C03). 10.2-4. Уравнения с п независи-
независимыми переменными C04). 10.2-5. Преобразования соприкосновения C06).
10.2-6. Канонические уравнения и канонические преобразования C07).
10.2-7. Уравнение Гамильтона — Якоби. Решение канонических уравнений
C10).
дифференциальные
299
301
10.4.
Гиперболические, параболические и эллиптические
уравнения с частными производными. Характеристики .
10.3-1. Квазилинейные уравнения с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными. Характеристики C12). 10.3-2. Решение
гиперболических уравнений методом характеристик C13). 10.3-3. Преобра-
Преобразование гиперболических, параболических и эллиптических уравнении к
каноническому виду C14). 10.3-4. Типичные краевые задачи для уравнений
второго порядка C15). 10.3-5. Одномерное волновое уравнение C16). 10.3-0.
Метод Римана — Вольтерра для линейных гиперболических уравнений
C17). 10.3-7. Уравнения с тремя н более независимыми переменными C1W).
Линейные уравнения математической физики. Частные решения
10.4-1. Физические основы и обзор C19). 10.4-2. Линейные краевые задачи
C21). 10.4-3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай
C22). 10.4-4. Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольна
C2'!). 10.4-5. Частные решения двумерных задач C25). 10.4-6. Уравнение
Шредипгера C26). 10.4-7. Частные решения для уравнения теплопровод-
теплопроводности н диффузии C26). 10.4-8. Частные решения для волнового уравнения.
Синусоидальные волны C26). 10.4-9. Решение краевой задачи разложением
в ортогональные ряды. Примеры C28).
10.5. Метод интегральных преобразований
10.5-1. Общая теория C29). 10.5-2. Преобразование Лапласа по временной
переменной C30). 10.5-3. Решение краевых задач методом интегральных
преобразований. Примеры C31). 10.5-4. Формулы Дюамеля C32).
ГЛАВА 11
МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
11.1. Вводные замечания
П.2. Экстремумы функций одного действительного переменного
11-2-1. Локальные максимумы и минимумы C33). 11.2-2. Условия сущест-
существования внутренних максимумов н минимумов C33).
312
319
329
333
333
10
п.з.
11.4.
11.5.
11.6.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Экстремумы функций двух и большего числа действительных переменных
11.3-1. Локальные максимумы н минимумы C34). 11.3-2. Формула Тейлора
для приращения функции C34). 11.3-3. Условия существования внутренних
максимумов и минимумов C34). 11.3-4. Условные экстремумы. Метод
множителей Лагранжа C35). 11.3-5. Численные методы C36).
Линейное программирование, игры и смежные вопросы
11.4-1. Задача линейного программирования C36). 11.4-2. Симплекс-метод
C39). 11.4-3. Нелинейное программирование. Теорема Куна — Такера C42).
11.4-4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой C42).
Вариационное исчисление. Максимумы и минимумы определенных инте-
интегралов
11.5-1. Вариации C44). 11.5-2. Максимумы и минимумы определенных
интегралов C45). 11.5-3. Решение вариационных задач C46).
Экстремали как решения дифференциальных уравнений: классическая
теория
11.6-1. Необходимые условия максимумов н мминмумоз C46). 11.6-2. Услов-
Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа C48). 11.6-3. Изопернметри-
ческие задачи C49). 11.6-4. Решение вариационных задач в случае, когда
подынтегральная функция содержит производные высших порядков C50).
11.6-5. Вариационные задачи с неизвестными граничными значениями и
неизвестными пределами интегрирования C50). 11.6-6. Задачи Больца
и Манера C51). 11.6-7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и
односторонние экстремумы C52), 11.6-8. Канонические уравнения н урав-
уравнение Гамильтона — Якоби C53). 11.6-9. Вариационные задачи в случае
нескольких независимых переменных: максимумы и минимумы кратных
интегралов C54). 11.6-10. Достаточные условия для максимума и' мини-
минимума в простейшей задаче C55).
Решение вариационных задач прямыми методами ..............
11.7-1. Прямые методы C56). 11.7-2. Метод Релея — Рнтца C57). 11.7-3.
Приближение у (*) полигональными функциями C57).
Задачи управления и принцип максимума
11.8-1. Постановка задачи C57). 11.8-2. Принцип максимума Понтрягина
C60). 11.8-3. Примеры C62). 11.8-4. Матричные обозначения в задачах упра-
управления C64). 11.8-5. Ограничения-неравенстза для переменных состояния.
Угловые условия C65). 11.8-6. Метод динамического программирования C66).
Шаговые задачи управления и динамическое программирование
11.9-1. Постановка задачи C66). 11.9-2. Принцип оптимальности Беллмана
C67).
ГЛАВА 12
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ
(АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
12.1. Вводенпе
12.1-1. Математические модели C68). 12.1-2. Обзор C69). 12.1-3. «Равенство»
н отношения эквивалентности C69). 12.1-4. Преобразования, функции, опе-
операции C69). 12.1-5. Инвариантность C70). 12.1-6. Представление одной мо-
модели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы C70).
12.2. Алгебра моделей с одной определяющей операцией: группы .
12.2-1. Определение и основные свойства группы C71). 12.2-2. Подгруппы
C71). 12.2-3. Циклические группы. Порядок элемента группы C72). 12.2-4.
Произведения подмножеств. Смежные классы C72). 12.2-5. Сопряженные
элементы н подгруппы. Нормальные делители. Фактор-группы C72). 12.2-6.
Нормальный ряд. Композиционный ряд C72). 12.2-7. Центр. Нормализа-
Нормализаторы C73). 12.2-8. Группы преобразований нлн операторов C73). 12.2-9.
Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп C73). 12.2-10.
Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость C74).
12.3. Алгебра моделей с двумя определяющими операциями: кольца, поля и
области целостности
12.3-1. Определения и основные теоремы C74). 12.3-2. Подкольца и под-
поля. Идеалы C75). 12.3-3. Расширения C75).
12.4. Модели, включающие в себя более одного класса математических объек-
объектов: линейные векторные пространства н линейные алгебры
12.4-1. Линейные векторные пространства C75). 12.4-2. Линейные алгебры
C76).
I
ОГЛАВЛЕНИЕ
11
334
336
344
346
12.5.
11.7
11.8
11.9.
356
357
305
12.6.
12.7.
12.8.
13.1.
13.2.
363
371
13.5.
374
375
Модели, допускающие определение предельных процессов; топологические
пространства 377
12.5-1. Топологические пространства C77). 12.5-2. Метрические пространства
C78). 12.5-3. Топология, окрестности и сходимость в метрическом простран-
пространстве C78). 12.5-4. Метрические пространства со специальными свойствами.
Теория точечных множеств C79). 12.5-5. Примеры: пространства числовых
последовательностей н функций C80). 12.5-6. Теорема Банаха о сжатых ото-
отображениях и последовательные приближения C82).
Порядок 382
12.6-1. Частично упорядоченные множества C82). 12.6-2. Линейно упоря-
упорядоченные множества C82). 12.6-3. Упорядоченные поля C83).
Комбинации моделей; прямое произведение, топологическое произведение
и прямая сумма 383
12.7-1 Декартово произведение C83). 12.7-2. Прямое произведение групп
C83). 12.7-3. Прямое произведение действительных векторных пространств
C83). 12.7-4. Топологическое произведение C84). 12.7-5. Прямая сумма C84).
Булевы алгебры 384
12.8-1. Булевы алгебры C84). 12.8-2. Булевы функции. Приведение к кано-
каноническому виду C85). 12.8-3. Отношение включения C86). 12.8-4. Алгебра
классов C86). 12.8-5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Веииа C86).
12.8-6. Алгебры событий и символическая логика C87). 12.8-7. Представле-
Представление булевых функций истинностными таблицами. Карты Карно CS9).
12.8-8. Полная аддитивность. Алгебры меры C89).
ГЛАВА 13
МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
Вводные замечания
13.3.
13.4.
Алгебра матриц и матричное исчисление
13.2-1. Прямоугольные матрицы C90). 13.2-2. Основные операции C92).
13.2-3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы C93). 13.2-4.
Целочисленные степени квадратных матриц C93). 13.2-5. Матрицы как строи-
строительные блоки математических моделей C93). 13.2-6. Умножение на мат-
матрицы специального вида. Матрицы перестановки C94). 13.2-7. Ранг, след
и определитель матрицы C94). 13.2-8. Разбиение матриц C94). 13.2-9. Кле-
Клеточные матрицы. Прямые суммы C95). 13.2-10. Прямое (внешнее) произве-
дэние матриц C95). 13.2-11. Сходимость и дифференцирование C95). 13.2-12.
Функции матриц C95).
Матрицы со специальными свойствами симметрии
13.3-1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица C96). 13.3-2.
Матрицы со специальными свойствами симметрии C96). 13.3-3. Правила
комбинирования C96). 13.3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы
C97).
Эквивалентные матрицы, собственные значения, приведение к диагональ-
диагональному виду н смежные вопросы
13.4-1. Эквивалентные и подобные матрицы C98). 13.4-2. Собственные зна-
значения и спектры квадратных матриц C98). 13.4-3. Приведение квадратной
матрицы к треугольному виду. Алгебраическая кратность собственного
значения C99). 13.4-4. Приведение матриц к диагональному виду C99).
13.4-5. Собственные значения и характеристическое уравнение матрицы
D00). 13.4-6. Собственные значения клеточных матриц (прямых) сумм
D01). 13.4-7. Теорема Кэлн — Гамильтона и смежные вопросы D01).
Квадратичные и эрмитовы формы
13.5-1. Билинейные формы D01). 13.5-2. Квадратичные формы D01). 13.5-3.
Эрмитовы формы D02). 13.5-4. Преобразование квадратичных и эрмитовых
форм. Приведение к сумме квадратов D02). 13.5-5. Одновременное приве-
приведение двух кзадратичных или эрмитовых форм к сумме квадратов D04).
13.5-6. Признаки положительной определенности, неотрицательности
и т. д. D04).
390
390
396
398
401
13.6. Матричные обозначения
для
систем дифференциальных уравнений (дина-
(динамических систем). Возмущения и теория устойчивости Ляпунова
13.6-1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матричные
обозначения D05). 13.6-2. Линейные дифференциальные уравнения с посто-
постоянными коэффициентами D06). 13.6-3. Линейные системы с переменными
коэффициентами D07). 13.6-4. Методы возмущений и уравнения в вариациях
D08). 13.6-5. Устойчивость решений: определения D09). 13.6-6. Функции
Ляпунова и устойчивость D10). 13.6-7. Приложения и примеры D11).
405
i2
ОГЛАВЛЕНИЕ
I
ГЛАВА 14
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЬСКНХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ
14.1. Введение. Системы отсчета и преобразования координат 414
14.1-1. Вводные замечания D14). 14.1-2. Числовое описание математических
моделей: системы отсчета D14). 14.1-3. Преобразования координат D14).
14.1-4. Инвариантность D15). 14.1-5. Системы мер D15).
14.2. Линейные векторные пространства 415
14.2-1. Определяющие свойства D15). 14.2-2. Линейные многообразия и
подпространства в Ц D16). 14.2-3. Линейно независимые и линейно зависи-
зависимые векторы D16). 14.2-4. Размерность линейного многообразия или вектор-
векторного пространства. Базисы и системы координат (системы отсчета) (П6).
14.2-5. Нормированные векторные пространства D17). 14.2-6. Унитарные
векторные пространства D17). 14.2-7. Норма, метрика н сходимость в уни-
унитарных векторных пространствах. Гильбертовы пространства D18). 14.2-8.
Теорема о проекции D19).
14.3. Линейные преобразования (линейные операторы) 419
14.3-1. Линейные преобразования векторных пространств. Линейные опе-
операторы D19). 14.3-2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобра-
преобразования (оператора) D19), 14.3-3. Сложение и умножение иа скаляры.
Нулевое преобразование D20). 14.3-4. Произведение двух линейных пре-
преобразований (операторов). Тождественное преобразование D20). 14.3-5.
Невырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные пре-
преобразования (операторы) D20). 14.3-6. Целые степени операторов D20),
14.4. Линейные операторы в нормированном или гильбертовом пространстве.
Эрмитовы и унитарные операторы 421
14.4-1. Ограниченные линейные преобразования D21). 14.4-2. Ограничен-
Ограниченные линейные операторы в нормированном векторном пространстве D21).
14.4-3. Сопряженный оператор D21). 14.4-4. Эрмитовы операторы D2?).
14.4-5. Унитарные операторы D22). 14.4-6. Симметрические, кососиммет-
рические и ортогональные операторы в действительных унитарных век-
векторных пространствах D22). 14.4-7. Правила комбинирования D23). 14.4-8.
Теоремы о разложении. Нормальные операторы D23). 14.4-9. Сопряженные
векторные пространства. Более общее определение сопряженных операто-
операторов D24). 14.4-10, Бесконечно малые линейные преобразования D24).
14.5. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операто-
(операторов) 425
14.5-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «актив-
«активная» точка зрения D25). 14.5-2. Матричное представление векторов и линей-
линейных преобразований (операторов) D26). 14.5-3. Матричные обозначения для
систем линейных уравнений D26). 14.5-4. Днадическое представление лнней-
пых операторов D27)
14.6. Замена системы координат 427
14.6-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «пассив-
«пассивная» точка зрения D27). 14.6-2. Представление линейного оператора в раз-
различных базисах D28). 14.6-3. Последовательное применение операторов
A28).
14.7. Представление скалярного произведения. Ортонормнрованные базисы . . . 429
14.7-1. Представление скалярного произведения D29). 14.7-2. Замена си-
системы координат D30), 14.7-3. Ортогональные векторы и ортоиормирован-
иые системы векторов D30). 14.7-4, Ортонормированные базисы (полные
ортонормнрованные системы) D30). 14.7-5. Матрицы соответствующие
сопряженным операторам D31). 14.7-6. Взаимные базисы D32). 14.7-7. Срав-
Сравнение обозначений D33).
14.8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов . . . 433
14.8-1. Вводные замечания D33). 14.8-2. Инвариантные многообразия.
Разложимые линейные преобразования (линейные операторы) и матрицы
D33). 14.8-3. Собственные векторы, собственные значения и спектр D34).
14.8-4. Собственные векторы и собственные значения нормальных и эрми-
эрмитовых операторов D35). 14.8-5. Определение собственных значений и соб-
собственных Гекторов: конечномерный случай D36). 14.8-6. Приведение и
диагонализацня матриц. Преобразование к главным осям D37). 14.8-7.
«Обобщенная» задача о собственных значениях D39). 14.8-8. Задачи о соб-
собственных значениях как задачи о стационарных значениях D39). 14.8-9.
Границы для собственных значений линейных операторов D41). 14.8-10.
Неоднородные линейные векторные уравнения D42),
ОГЛАВЛЕНИЕ
14.$. Представления групп и смежные вопросы 443
14.9-1. Представления групп D43). 14.9-2. Приведение представлений D43).
14.9-3. Неприводимые представления группы D44). 14.9-4. Характер пред-
представления D45). 14.9-5. Соотношения ортогональности D45). 14.9-0. Прямые
произведения представлений D46). 14.9-7. Представления колец, полеп и
линейных алгебр D46).
14.10. Математическое описание вращений 446
14.10-1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве D46).
14.10-2. Угол поворота. Ось вращения D47). 14.10-3. Параметры Эйлера и
вектор Гиббса D48). 14.10-4. Представление векторов и вращении спиновым1.!
матрицами и кватернионами. Параметры Кэли — Клейна D48). 14.10-5.
Вращения вокруг осей координат D49). 14.10-6. Углы Эйлера D50). 14.10-7.
Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение и угловая скорость
D52). 14.10-8, Группа трехмерных вращений и ее представления D54).
ГЛАВА 15
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
15.1. Введение. Функциональный анализ 456
15.1-1. Вводные замечания D56). 15.1-2. Обозначения D56).
15.2. Функции как векторы. Разложения по ортогональным функциям 457
15.2-1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное про-
произведение и нормирование D57). 15.2-2. Метрика и сходимость в L2. Сходи-
Сходимость в среднем D58). 15.2-3. Ортогональные функции и ортонормированные
последовательности функций D59). 15,2-4. Полные ортонормированные
последовательности функций, Ортонормированные базисы D59). 15 2-5.
Ортогонализация н нормирование последовательности функций D60).
15.2-0. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям
D60). 15.2-7. Линейные операции над функциями D60).
15.3. Линейные интегральные преобразования и линейные интегральные урав-
уравнения 461
15.3-1. Линейные интегральные преобразования D61). 15.3-2. Линейные
интегральные уравнения. Обзор D62). 15.3-3. Однородное интегральное
уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные
значения D63), 15.3-4. Теоремы разложения D03). 15.3-5. Итерированные
ядра D64). 15.3-6, Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных
значениях как вариационная задача D65). 15.3-7. Неоднородное уравнение
Фредгольма второго рода D65), 15.3-8. Решение линейного интегрального
уравненнл AG) (*67). 15.3-9. Решение линейного интегрального уравнения
Фредгольма первого рода D68). 15.3-10. Интегральные уравнения Воль-
терра D69).
15.4. Линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для дифферен-
дифференциальных уравнений 470
15.4-1 Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения (J70).
15.4-2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия
для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции D70). 15J-3. Эрми-
Эрмитово сопряженные и сопряженные краезые задачи. Эрмитовы операторы
D71). 15.4-4. Георема Фредгольма об альтернативе D73). 15.4-5. Задачи о
собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений D73).
15.4-6. Собственные значения и собственные функции зрмптоьой задача
о собственных значениях. Полные ортонормировапные множества собст-
собственных функций D74). 15.4-7. Эрмитова задача о собственных значениях
как вариационная задача D75). 15.4-8. Одномерная задача Штурма —
Лнувилля о собственных значениях D76). 15.4-9. Задача Штурма — Лиу-
вмлпя дли уравнений с частными производными второго порядка D77).
15 4-10. Теоремы сравнения D77). 15.4-11. Решение дискретных задач
о собственных значениях методами возмущений D78). 15.4-12. Решение
краевых задач посредством разложений в ряды пэ собственным функциям
D79).
15.5. Функции Грнна. Связь краевых задач и задач о собственных значениях
с интегральными уравнениями 480
15.5-1. Функции Грина для краевой задачи с однородными краевыми усло-
условиями D80). 15.5-2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях
с интегральными уравнениями. Резольвента Грина D81). 15.5-3. Прило-
Приложение метода функций Грина к задаче с начальными условиями: обоб-
обобщенное уравнение диффузии DS2). 15.5-4. Метод функций Грниа для не-
неоднородных краевых условий D83).
14
ОГЛАВЛЕНИЕ
I
15.6. Теория потенциала 481
15.6-1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа н Пуассона
D84). 15.6-2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия
задачи D84). 15.6-3. Теорема Кельвина об ннверснн D85). 15.6-4. Свойства
гармонических функция D85). 15.6-5. Решения уравнении Лапласа и Пуас-
Пуассона как потенциалы D86). 15.6-6. Решение трехмерных краевых задач
посредством функций Грнна D88). 15.6-7. Двумерная теория потенциала.
Логарифмический потенциал D90). 15.6-8. Двумерная теория потенциала;
сопряженные гармонические функции D90). 15.6-9. Решение двумерных
краевых задач. Функции Грина н конформные отображения D92). 15.6-10.
Распространение теории на более общие дифференциальные уравнения.
Запаздывающие и опережающие потенциалы D93).
ГЛАВА 16
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ
АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
16.1. Введение 494
16.1-1. Вводные замечания D94). 16.1-2. Системы координат и допустимые
преобразования D94). 16.1-3. Компоненты объектов. Индексные обозначе-
обозначения D94). 16.1-4. Системы отсчета н индуцированные преобразования. Гео-
метрическне объекты D95).
16.2. Абсолютные (истинные) тензоры и относительные тензоры (псевдотензоры) 493
16.2-1. Определение абсолютных и относительных тензоров, основанное на
законе преобразования их компонент D96). 16.2-2. Йнфннитезнмальное
перемещение. Градиент скалярного поля D98).
16.3. Тензорная алгебра: определение основных операций ............ 499
16.3-1. Равенство тензоров D99). 16.3-2. Нуль-тензор D99). 16.3-3. Сложе-
Сложение тензоров D99). 16.3-4. Умножение тензора на абсолютный скаляр D99).
16.3-5. Свертывание смешанного тензора D99). 16.3-6. Произведение (внеш-
(внешнее) дзух тензоров E00). 16.3-7. Внутреннее произведение E00). 16.3-8. При-
Признак тензора E00).
16.4. Тензорная алгебра. Инвариантность тензорных уравнений 501
16.4-1. Инвариантность тензорных уравнений E01).
16.5. Симметричные н антисимметричные тензоры 502
16.5-1. Симметричные и антисимметричные объекты E02). 16.5-2. Символы
Кронекера E02). 16.5-3. е-объекты (символы Леви-Чивнта) E03). 16.5-4. Аль-
Альтернированное произведение двух векторов E03).
16.6. Локальная система базисных векторов (локальный базис) 504
16.6-1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального базиса
E04). 16.6-2. Преобразование локального базиса при преобразовании ко-
ордннат E04).
16.7. Тензоры в рнмановых пространствах. Ассоциированные тгпзоры 503
16.7-1. Рнманово пространство и фундаментальные тензоры E05). 16.7-2. Ас-
Ассоциированные тензоры. Поднятие и опускание индексов E06). 16.7-3. Экви-
Эквивалентность ассоциированных тензоров E06). 16.7-4. Операции над тензо-
тензорами в римановых пространствах E07).
16.8. Скалярное произведение векторов и связанные с ннм понятия 507
16.8-1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов в римановом
пространстве E07). 16.8-2. Скалярные произведения локальных базисных
векторов. Ортогональная система координат E07). 16.8-3. Физические
компоненты тензора E08). 16.8-4. Векторное произведение и смешанное про-
произведение E08).
16.9. Тензоры ранга 2 в римаиовом пространстве 50Э
16.9-1. Днадные произведения E09). 16.9-2. Умножение тензоров ранга 2
и векторов и связанная с ним система обозначений E10). 16.9-3. Собственные
векторы и собственные значения E10).
16.10. Абсолютное дифференциальное исчисление. Коварнантное дифференциро-
дифференцирование > 10
16.10-1. Абсолютные дифференциалы E10). 16.10-2. Абсолютный дифферен-
дифференциал относительного тензора E12). 16.10-3. Символы Крнстоффеля E12).
16.10-4. Ковариантное дифференцирование E13). 16.10-5. Правила коварн-
аитного дифференцирования E14). 16.10-6. Ковариантиые производные выс-
высших порядков E14). 16.10-7. Дифференциальные операторы и дифферен-
дифференциальные инварианты E15). 16.10-8. Абсолютные (внутренние) проиавод-
518
521
524
ОГЛАВЛЕНИЕ
ные и производные по направлению E15). 16.10-9. Тензоры, постоянные
вдоль кривой. Уравнения параллелизма E17). 16.10-10. Интегрирование
тензорных величин. Элемент объема E17). 16.10-11. Дифференциальные
инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы E17).
ГЛАВА 17
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОА1ЕТРИЯ
17.1. Кривые на евклидовой плоскости
17.1.1. Касательная к плоской кривой E18). 17.1-2. Нормаль к плоской
кривой E18). 17.1-3. Особые точки E19). 17.1-4. Кривизна плоской кривой
(»19). 17.1-5. Порядок касания плоских кривых E20). 17.1-6. Асимптоты
E20). 17.1-7. Огибающая семейства плоских кривых E20). 17.1-8. Изого-
Изогональные траектории E20).
17.2. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве
17.2-1. Вводные замечания E21). 17.2-2. Подвижной трехгранник E21).
17.2-3. Формулы Фроне — Серре. Кривизна и кручение пространственной
кривой E22). 17.2-4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; урав-
уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей E23).
17.2-5. Дополнительные замечания E23). 17.2-6. Порядок касания E24).
17.3. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
17.3-1. Вводные замечания E24). 17.3-2. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности E24). 17.3-3. Первая основная квадратичная форма поверх-
поверхности. Дифференциал длины дуги и элемент площади E25). 17.3-4. Геодези-
Геодезическая и нормальная кривизна криной на поверхности. Теорема Менье E26).
17.3-5. Вторая основная квадратичная форма; Главные кривизны, гауссова
кривизна и средняя кривизна E27). 17.3-6. Некоторые направления и кривые
па поверхности. Минимальные поверхности E28). 17.3-7. Поверхности
как римановы пространства. Трехиндексные символы Крнстоффеля и пг.ра-
метры Бельтрами E29). 17.3-8. Уравнения с частными производными, связы-
связывающие коэффициенты основных квадратичных форм. Theorema Egiegium
Гаусса E30). 17.3-9. Определение поверхности коэффициентами ее оснонных
квадратичных форм E30). 17.3-10. Отображения E30). 17.3-11. Огибаю-
Огибающие E31). 17.3-12. Геодезические линии поверхности E31). 17.3-13. Гео-
Геодезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности E32).
17.3-14. Теорема Гаусса — Бонне E33),
17.4. Пространства с кривизной
17.4-1. Вводные замечания E33). 17.4-2. Кривые, длины и направления
в римановом пространстве E33). 17.4-3. Геодезические линии в рнман.о-
еом пространстве E34). 17.4-4. Рнмановы пространства с неопределенной
метрикой. Изотропные направления и геодезические нулевой длины E35).
17.4-5. Тензор кривизны рнманова пространства E35). 17.4-6. Геометриче-
Геометрическое истолкование тензора кривизны. Плоские пространства и евклидовы
пространства E36). 17.4-7.Специальные координатные системы E37).
ГЛАВА 18
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
18.1. Введение 539
18.1-1. Вводные замечания E39).
18.2. Определение и представление вероятностных моделей 539
18.2-1. Алгебра событий, связанных с данным испытанием E39). 18.2-2. Опре-
Определение вероятности. Условные вероятности E40). 18.2-3. Независимость
случайных событий E40). 18.2-4. Сложные испытания. Независимые испы-
испытания и повторные независимые испытания E40). 18.2-5. Правила сочетаний
E41). 18.2-6. Теоремы Байеса E42). 18.2-7. Представление событий как
множеств в пространстве выборок E42). 18.2-8. Случайные величины E42).
18.2-9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и их
функций распределения E42).
18.3. Одномерные распределения вероятностей 543
18-3-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей E43). 18.3-2.
Непрерывные одномерные распределения вероятностей E43). 18.3-3. Мате-
Математическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики одномерного
распределения вероятностей E44). 18.3-4. Нормирование E46). 18.3-5. Не-
Неравенство Чебышева и связанные с ним формулы E46). 18.3-6. Единое опи-
описание распределений вероятностей с помощью интеграла Стилтьеса E46).
lo.i-7. Моменты одномерного распределения вероятностей E47). 18.3-8. Аа-
533
16
ОГЛАВЛЕНИЕ
I
рактсрнстнческне и производящие функции E48). 18.3-9. Семиинвариант!!
E49). 18.3-10. Вычисление моментов н семиинвариантов через % {q). М . (s)
и Yv (s). Соотношения между моментами и семиинвариантами E49).
18.4. Многомерные распределения вероятностей 550
18.4-1. Многомерные случайные величины E50). 18.4-2. Двумерные распре-
распределения вероятностей. Распределения координат случайной зеличины
E50). 18.4-3. Дискретные и непрерывные двумерные распределения веро-
вероятностей E50). 18.4-4. Математическое ожидание, моменты, ковариацня
и коэффициент корреляции E51). 18.4-5. Услозные распределения вероят-
вероятностей, связанные с двумя случайными величинами E52). 18.4-6. Регрес-
Регрессии E53). 18.4-7. n-мерные распределения вероятностей E53). 18.4-8. Ala-
тематические ожидания и моменты E55). 18.4-9. Регрессия. Коэффициенты
корреляции E56). 18.4-10. Характеристические функции E57). 18.4-11. Не-
Независимость случайных величин E57). 18.4-12. Энтропия распределения
вероятностей E58).
18.5. Функции от случайных величин. Замена переменных 559
18.6-1. Вводные замечания E59). 18.5-2. Функции (илн преобразования)
одномерной случайной величины E59). 18.5-3. Линейные преобразования
одномерной случайной величины E60). 18.5-4. Функции (или преобразова-
преобразования) многомерных случайных величин E61). 18.5-5. Линейные преобразова-
преобразования E62). 18.5-6. Математическое ожидание н дисперсия суммы случайных
величин E62). 18.5-7. Суммы независимых случайных величин E63). 18.5-8.
Распределение суммы случайного количества случайных величин E64).
18.6. Сходимость по вероятности н предельные теоремы 564
18.6-1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по
вероятности E64). 18.6-2. Пределы функций распределения, характеристи-
характеристических я производящих функций. Теоремы непрерывности E64). 18.6-3. Схо-
Сходимость в среднем E65). 18.6-4. Асимптотически нормальные распределения
вероятностей E65). 18.6-5. Предельные теоремы E65).
18.7. Специальные методы решения вероятностных задач 566
18.7-1. Вводные замечания E66). 18.7-2. Задачи с дискретным распределе-
распределением вероятностей: подсчет событий и комбинаторный анализ E67). 18.7-3.
Применение производящих функций. Теорема Пойа E69). 18.7-4. Задачи
с дискретным распределением вероятностей: успехи и неудачи в состазля-
ющих испытаниях E71).
18.8. Специальные распределения вероятностей 571
18.8-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей E71). 18.8-2.
Дискретные многомерные распределения вероятностей E73). 18.8-3. Не-
прерызные распределения вероятностей: нормальное распределение (Гаусса)
E75). 18.8-4. Нормальные случайные величины: распределение отклонений
от центра E76). 18.8-5. Различные непрерывные одномерные распределения
вероятностей E82). 18.8-6. Двумерные нормальные распределения E82).
18.8-7. Круговое нормальное распределение E83). 18.8-8. n-мерные нор-
нормальные распределения E83). 18.8-9. Теоремы сложения для специаль-
специальных распределений E83).
18.9. Теория случайных процессов 581
18.9-1. Случайные процессы E84). 18.9-2. Описание случайных процессов
E84). 18.9-3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функ-
функции E85). 18.9-4. Интегрирование н дифференцирование случайных функ-
функций E86). 18.9-5. Процессы, определяемые случайными параметрами E88).
18.9-6. Разложение по ортонормированной системе E88).
18.10. Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции и спект-
спектральные плотности 589
18.10-1. Стационарные случайные процессы E89). 18.10-2. Корреляционные
функции по множеству наблюдений E89). 18.10-3. Спектральная плотность
по множеству наблюдений E90). 18.10-4. Корреляционные функции и спектры
действительных процессов E90). 18.10-5. Спектральное разложение средней
«мощности» действительных процессов E90). 18.10-6. Другие виды спект-
спектральной плотности по миожестзу наблюдений E91). 18.10-7. Средние по
времени и эргоднческие процессы E91). 18.10-8. Корреляционные функ-
функции н спектральные плотности по времени E92). 18.10-9. Функции с перио-
периодическими компонентами E93). 18.10-10. Обобщенные преобразования Фурье
н спектральные функции E95).
18.11. Типы случайных процессов. Примеры ,"9i
18.11-1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями E96).
18.11-2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова E98).
18.11-3. Гауссовские случайные процессы E99). 18.11-4. Марковские про-
процессы и процесс Пуассона E99). 18.11-5. Некоторые случайные процессы^
ОГЛАВЛЕНИЕ
порождаемые процессом Пуассона @01). 18.11-6.
порождаемые периодической выборкой F02).
Случайные промессы,
!7
бСЗ
18.!2. Действия над случайными процессами
18 12-1. Корреляционны? функции и спектры сумм F03). 18.12-2. Соотно-
Соотношения между входным и выходным сигналами для линейных систем (С0<1).
18.12-3. Стационарный случаи F04). 18.12-4. Соотношения для корреляцион-
корреляционных функции и спектров по времени F05). 18.12-5. Нслипспиь'/г операции
F05). IS.12-6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами F06).
ГЛАВА 19
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
19.1. Введение в статистические методы 607
19.1-1. Статистики @07). 19.1-2. Классическая вероятностная модель:
статистики случайной выборки. Понятие о генеральной совокупности F07').
19.1-3. Связь nepoHTiiocTiioii модели с опытом: оценка и проверка F08).
19.2. Статистическое описание. Определение и вычисление статистик случайной
выборки 603
19.2-1. Относительные частоты F09). 19.2-2. Распределение выборки. Груп-
Группированные данные F09). 19.2-3. Выборочные средние F10). 19.2-4. Выбо-
Выборочные дисперсии и моменты @11). 19.2-5. Упрощенное вычисление выбо-
выборочных средних и дисперсий. Поправка на группировку F12). 19.2-6. Раз-
Размах выборки F13).
19.3. Типовые распределения вероятностей 613
19.3-1. Вводные замечания F13). 19.3-2. Класс распределений Кэптсйна
F13). 19.3-3. Ряды Грама — Шарлье и Эджворта F14). 19.3-4. Усеченные
нормальные распределения и распределение Парето F14). 19.3-5. Типы рас-
распределений Пирсона (R15).
19.4. Оценки параметров 615
19.4-1. Свойства оценок F15). 19.4-2. Некоторые свойства Статистик, при-
применяемых а качестве оценок F16). 19.4-3. Нахождение оценок. Метод мо-
моментов F17). 19.4-4. Метод наибольшего праздоподобия F17). 19.4-5. ДрУ'
гые методы нахождения оценок F18).
19.5. Выборочные распределения 618
19.5-1. Взодиые замечания F18). 19.5-2. Асимптотически нормальные зыбо-
рочные распределения F18). 19.5-3. Выборки из нормальной совокупности.
Распределения х2, t и иг F19). 19.5-4. Распределение размаха выборки (о 19).
19.5-5. Выборочный метод для конечной совокупности F20).
19.6. Проверка статистических гипотез 630
19.6-1. Статистические гипотезы F30). 19.6-2. Критерии с фиксированной
выборкой; определения F30), 19.6-3. Уровень значимости. Празило Ней-
Неймана — Пирсона отбора критериев для простых гипотез F30). 19.6-4. Кри-
Критерии значимости F32). 19.6-5. Доверительная область F32). 19.6-6. Кри-
Критерии сравнения нормальных совокупностей. Дисперсионный анализ F31).
19.6-7. Критерий согласия х2 F37). 19.6-8. Непараметрическое сравнение
двух совокупностей: критерий знаков F38). 19.6-9. Обобщения F38).
19.7. Некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для много-
многомерных распределений 033
19.7-1. Вводные замечания F38). 19.7-2. Статистики, получаемые на основе
многомерных выборок F38). 19.7-3. Оценки параметров F39). 19.7-4. Вы-
Выборочные распределения в случае нормальной совокупности F40). 19.7-5.
Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков. Критерий
независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопряжен-
сопряженности Признаков F42). 19.7-6. Порядковая корреляция по Спирмену. Не-
параметрпческий критерий независимости F42).
19.8. Статистики н измерения случайного процесса 643
19.8-1. Средине но конечному промежутку времени F43). 19.8-2. Усред-
Усредняющие фильтры F44). 19.8-3. Примеры F45). 19.8-4. Выборочные средние
19.9. Проверка и оценка в задачах со случайными параметрами . и 17
19.9-1. Постановка задачи F47). 19.9-2. Оценка и проверка с помощью фор-
формул Байеса F48). 19.9-3. Случай двух состояний, проверка гипотез F18).
1Ы-9-4. Оценки по истоду наименьших квадратов F50).
г
18
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г Л А В А 20
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
20.1.
20.2.
Введение 652
20.1-1. Вводные замечания F52). 20.1-2. Ошибки F52).
Численное решение уравиеинй 652
20.2-1. Вводные замечания F52). 20.2-2. Итерационные методы F53). 20.2-3.
Вычисление значений многочлена F55). 20.2-4. Численное решение алгебраи-
алгебраических уравнений. Итерационные методы F55). 20.2-5. Специальные методы
решения алгебраических уравнений F56). 20.2-6. Системы уравнений и
экстремальные задачи F59). 20.2-7. Градиентные методы F60). 20.2-8. Ме-
Метод Ньютона и теорема Канторовича F61).
20.3. Системы линейных уравнений и обращение матриц. Собственные значе-
значения и собственные векторы матриц 662
20.3-1. Методы исключения F62). 20.3-2. Итерационные методы F63). 20.3-3.
Обращение матриц F65). 20.3-4. Решение системы линейных уравнений н
обращение матриц при помощи разбиения на клетки F66). 20.3-5. Собствен-
Собственные значения н собственные векторы матриц F67).
20.4. Конечные разности и разностные уравнения 6G8
20.4-1. Конечные разности н центральные средние F68). 20.4-2. Оператор-
Операторные обозначения F69). 20.4-3. Разностные уравнения F70). 20.4-4. Линей-
Линейные обыкновенные разностные уравнения F71). 20.4-5. Линейные обыкно-
обыкновенные разностные уравнения с постоянными коэффициентами F72). 20.4-6.
Методы преобразований для линейных разностных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами F72). 20.4-7. Системы обыкновенных разностных
уравнений. Матричная запись F74). 20.4-8. Устойчивость F75).
20.5. Интерполяция функций 675
20.5-1. Вводные замечания F75). 20.5-2. Общие формулы параболической
интерполяции (значения аргумента могут быть н неравиоотстоящнми)
F75). 20.5-3. Интерполяционные формулы для равноотстоящих значений
аргумента. Ромбовидные диаграммы F77). 20.5-4. Обратная интерполяция
F77). 20.5-5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов F82). 20.5-6.
Интерполяция функций нескольких переменных F82). 20.5-7. Обратные
разности н интерполяция рациональными дробями F83).
20.6. Аппроксимация функций ортогональными многочленами, отрезками ряда
Фурье и другими методами 683
20.6-1. Вводные замечания F83). 20.6-2. Приближения функций много-
многочленами по методу наименьших квадратов на интервале F83). 20.6-3. При-
Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов на
дискретном множестве точек F84). 20.6-4. Равномерные приближения F86).
20.6-5. Экоиомизацня степенных рядов F86). 20.6-6. Численный гармониче-
гармонический анализ и тригонометрическая интерполяция F87). 20.6-7. Разные при-
приближения F93).
20.7. Численное дифференцирование н интегрирование 695
90.7-1. Численное дифференцирование F95). 20.7-2. Численное интегриро-
интегрирование для равноотстоящих узлов F96). 20.7-3. Квадратурные формулы
Гаусса и Чебышева F98). 20.7-4. Построение н сравнение квадратурных
формул G00). 20.7-5. Вычисление кратных интегралов G00).
20.8. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 701
20.8-1. Вводные замечания G01). 20.8-2. Одпошаговые методы решения
задачи Кошн. Методы Эйлера и Рунге — Кутта G01). 20.8-3. Многошаго-
Многошаговые методы решения задачи Коши G03). 20.8-4. Улучшенные многошаговые
методы G04). 20.8-5. Сравнение различных методов решения. Контроль ве-
величины шага н устойчивость G04). 20.8-6. Обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений
G06). 20.8-7. Специальные формулы для уравнений второго порядка G07).
20.8-8. Анализ частотных характеристик G08).
20.9. Численное интегрирование уравнений с частными производными, краевые
задачи; интегральные уравнения 709
20.9-1. Вводные замечания G09). 20.9-2. Двухточечная краевая задача для
обыкновенных дифференциальных уравнений G09). 20.9-3. Обобщенный
метод Ньютона (квазнлннеарнзацкя) G10). 20.9-4. Разностные методы чис-
численного решения уравнений с частными производными для случая двух
независимых переменных G10). 20.9-5. Двумерные разностные операторы
G11). 20.9-6. Представление краевых условий G11). 20.9-7. Задачи, содер-
содержащие более двух независимых переменных G14). 20.9-8. Пригодность раз-
разностных схем. Условия устойчивости G14). 20.9-9. Методы аппроксимн-
ОГЛАВЛЕНИЕ 19
ругощих функций для численного решения краевых задач G15). 20.9-10. Чис-
Численное решение интегральных уравнений G16).
20.10. Методы Моите-Карло 71F
20.10-1. Методы Моите-Карло G17). 20.10-2. Два метода уменьшения дис-
дисперсии оценки G18). 20.10-3. Использование предварительной информации.
Метод значимой выборки G19). 20.10-4. Некоторые методы генерирования
случайных чисел. Проверка случайности G19).
Г Л А В А 21
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
21.1. Введение 720
21.1-1. Вводные замечания G20).
21.2. Элементарные трансцендентные функции 720
21.2-1. Тригонометрические функции G20). 21.2-2. Соотношения между три-
тригонометрическими функциями G22). 21.2-3. Теоремы сложения и формулы
для кратных углов G23). 21.2-4. Обратные тригонометрические функции
G24). 21.2-5. Гиперболические функции G25). 21.2-6. Соотношения между
гиперболическими функциями G26). 21.2-7. Формулы сложения для гипер-
гиперболических функций G26). 21.2-8. Обратные гиперболические функции
G27). 21.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и
гиперболическими функциями G28). 21.2-10. Определение логарифма G28).
21.2-11. Соотношения между обратными тригонометрическими, обратными
гиперболическими и логарифмической функциями G29). 21.2-12. Разло-
Разложения в степенные ряды G29). 21.2-13. Разложения в бесконечные произ-
произведения G30). 21.2-14. Некоторые полезные неравенства G30).
21.3. Некоторые интегральные функции 730
21.3-1. Интегральные синус, косинус, логарифм н показательная функ-
функция G30). 21.3-2. Интегралы Френеля и интеграл вероятностей G38).
21.4. Гамма-функция н связанные с ней функции 739
21.4-1. Гамма-функция G39). 21.4-2. Асимптотическое разложение Стнрлинга
для Г (г) н п\ G43). 21.4-3. Логарифмическая производная гамма-фуикцни
G43). 21.4-4. Бета-функцня G43). 21.4-5. Неполные гамма- н бета-функции
G44).
21.5. Биномиальные коэффициенты н факторнальные многочлены. Многочлены
н числа Бернулли 744
21.5-1. Биномиальные коэффициенты н факторнальные многочлены G44).
21.5-2. Многочлены и числа Бернулли G46). 21.5-3. Формулы, связываю-
связывающие многочлены Берпулли н факторнальные многочлены G47). 21.5-4.
Приближенные формулы для (п) G47).
21.6. Эллиптические функции, эллиптические интегралы н связанные с ними
функции 748
21.6-1. Эллиптические функции; общие свойства G48). 21.6-2. р-функцня
Вейерштрасса G48). 21.6-3. J- и С-функцин Вейерштрасса G50). 21.6-4. Эл-
Эллиптические интегралы G51). 21.6-5. Приведение эллиптических интегралов
G51). 21.6-6. Нормальные эллиптические интегралы Лежаидра G53). 21.6-7.
Эллиптические функции Якобн G61). 21.6-8. Тэта-фуикцни Якобн G65).
21.6-9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейерш-
Вейерштрасса и тэта-функциями G67).
21.7. Ортогональные многочлены 767
21.7-1. Введение G67). 21.7-2. Действительные нули ортогональных много-
многочленов G68). 21.7-3. Функции Лежаидра G68). 21.7-4. Многочлены Чебы-
Чебышева первого и второго рода G68). 21.7-5. Обобщенные многочлены н при-
присоединенные функции Лагерра G74). 21.7-6. Функции Эрмнта G75). 21.7-7.
Некоторые интегральные формулы G76). 21.7-8. Многочлены Якобн н
Гегенбауэра G76).
21.8. Цилиндрические функции, присоединенные функции Лежаидра н сфери-
сферические гармоники 777
21.8-1. функции Бесселя н другие цилиндрические функции G77). 21.8-2.
Интегральные формулы G79). 21.8-3. Нули цилиндрических функций
G80). 21.8-4. Функции Бесселя целого порядка G81). 21.8-5. Решение диф-
дифференциальных уравнений прн помощи функций Бесселя н связанных
с ними функций G82). 21.8-0. Модифицированные функции Бесселя н Ган-
келя G82). 21.8-7. Функции bermz, beimz, hermz, heim2, kermz, keimz G83).
21.8-8. Сферические функции Бесселя G84). 21.8-9. Асимптотические раз-
г
20
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
ложепия цилиндрических функций и сферических функций Бесселя для
больших значений \г\ G85). 21.8-10. Присоединенные функции н много-
многочлены Лежандра G85). 21.8-11. Интегральные свойства присоединенных
функций Лежандра G87). 21.8-12. Сферические гармоники. Ортогональ-
Ортогональность G87). 21.8-13. Теоремы сложения G89).
21.9. Ступенчатые функции и символические импульсные функции 790
21.9-1. Ступенчатые функции G90). 21.9-2. Символическая дельта-функция
Дирака G92). 21.9-3. Производные ступенчатых и импульсных функций
G93). 21.9-4. Аппроксимация импульсных функций G94). 21.9-5. Пред-
Представления интегралом Фурье G95). 21.9-6. Асимметричные импульсные
функции G95). 21.9-7. Многомерные дельта-функции G95).
Литература 79G
Указатель важнейших обозначений 801
Предметный указатель Ь01
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
Г' л а в а 1
1.10-1. Правильные многоугольники ....
1.10-2. Тела вращения
1.10-3. Пять правильных многогранников .
1.11-1. Решение плоских треугольников . .
1.12-1. Решение сферических треугольников
Г л а в а 2
2.4-1. Классификация кривых второго порядка
2.4-2. Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка . . .
2.5-1. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения и основные
формулы
Г л а в а 3
3.5-1. Классификация поверхностей второго порядка ....
3.5-2. Стандартные (канонические) урашения и основные свойства невырож-
невырожденных поверхностей второго порядка .
4.5-1.
4.5-2.
4.6-1.
4.7-1.
4.8-1.
4.10-1.
4.11-1.
4.11-2.
4.11-3.
4.11-4.
4.11-5.
Глава 4
Производные часто встречающихся функций . .
Правила дифференцирования
Свойства нитегралои ......
Некоторые часто встречающиеся пределы . , .
Суммы некоторых числовых рядов
Действия со степениьши рядами
Коэффициенты Фурье и средпеквадратические
функции .
Свойства преобразования Фурье ........
Преобразования Фурье
Косннус-преобразоваиня Фурье
Сипус-преобразовання Фурье .
значения периодических
Глава 5
5.2-1 Свойства скалярного произведения
5.2-2. Свойства векторного произведения
5.3-1. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента
5.5-1. Правила действий с оператором V
5.5-2. Операции над скалярными функциями
5.5-3. Операции над векторными функциями
5.6-1. Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы
Г л а в а 6
6.3-1. Соотношения между базисными векторами и координатами векторов в раз-
различных локальных системах отсчета ,
6 4-1
65-1
6**5-2*
6*5-3.
6*5-4.
6*5-5.
6.5-6.
С.5-7.
6.5-8.
G.5-9.
6.5-10.
6.5-11.
6.5-12.
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ 21
Векторные соотношения в ортогональных координатах 184
Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах . . . 186
Общие эллипсоидальные координаты К, ц, V 189
Координаты G, т, ф вытянутого эллипсоида вращения 190
Координаты о, т. Ф сплюснутого эллипсоида вращения 191
Координаты о, т, г эллиптического цилиндра 191
Конические координаты и, v, w 192
Парсболондальные координаты К, ц, V 192
Параболические координаты о, т, ф 143
Координаты о, т, 2 параболического цилиндра 193
Бнцилипдричсские координаты о, т, г 194
Тороидальные координаты 0, т, ф 195
Биполярные координаты а, т, ф 195
Г л а в a 7
7.2-1. Действительная и мнимая части, нули и особенности для наиболее часто
встречающихся функций ! B) = и {х, у) -4- iv (х, у) комплексного перемен-
переменного 2 = X + (У 193
7.9-1. Свойства отображения да = -^-(z -\ ) 218
7.9-2. Примеры конформных отображений 219
7.9-3. Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг . . . 22G
Глава 8
8.3-1. Теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями . . . 23J
8.1-1. Таблица преобразований Лапласа 235
8.4-2. Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений F (s) =
= D, (s)/O (s) 242
8.6-1. Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные с преоб-
преобразованием Лапласа 257
8.6-2. Преобразования Ганкеля 254
8.7-1. Некоторые конечные интегральные преобразования 261
8.7-2. Соответствие операций при 2-преобразовании 264
Глава 9
9.3-1. Функции Грина для линейных краевых задач 274
9.3-2. Дополнительные формулы для гипергеометрическнх функций 281
9.3-3. Дополнительные формулы для вырожденных гипергеометрнческих функ-
функций 233
Глава 10
10.2-1. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с част-
частными производными первого порядка 301
10.4-1. Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической
физики 320
Глава 12
12.5-1. Некоторые пространства числовых последовательностей 380
12.5-2. Некоторые пространства функций х (t), у (t) 331
12.8-1. Истинностная таблица для булевой функции 389
Глава 13
13.2-1. Некоторые нормы матриц 391
Глава 14
И.7-1. Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных опе-
операторов 43:!
Глава 16
16.2-1. Определения тензорных величнн наиболее распространенного типа, основан-
основанные на законе преобразования их компонент 497
lb.10-1. Дифференциальные инварианты, определенные в римановых простран-
пространствах 516
Глава 18
18 ч 1' ""*еРОЯТ1(ости логически связанных событий . 541
°-1. Числовые характеристики одномерных распределений вероятностей .... 545
22
ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
18.7-1.
18.7-2.
18.7-3.
18.8-1.
18.8-2.
18.8-3.
18.8-4.
18.8-5.
18.8-6.
18.8-7.
18.8-8.
18.8-9.
18.8.10.
18.8-11.
Перестановки н разбиения
Сочетания и выборки
Размещения в ячейках или расположения
Вырожденное (причинное) распределение
Гипергеометрнческое распределение
Биномиальное распределение
Распределение Пуассона
Геометрическое распределение
Распределение Паскаля
Распределение Пойа
Плотность нормального распределения (стандартизованного)
Интеграл вероятностей
Функция ошибок
Непрерывные одномерные распределения вероятностей . .
Глава 19
19.5-1. ^'-распределение с т степенями свободы
19.5-2. «-распределение Стыодента с m степенями свободы
19.5-3. Распределение отношения дисперсий (^-распределение) н связанные с ним
распределения
19.5-4. ^-распределение
19.5-5. ^-распределение Стьюдента
19.5-6. /^-распределение (распределение v')
19.6-1. Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам |, о2 нормаль-
нормальной совокупности
19.6-2. Доверительные границы для нормальной совокупности
19.6-3. Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей
19.8-1. Усредняющие фильтры
Глава 20
20.2-1. Таблица алгоритма разделенных разностей
20.4-1. Краткая таблица г-преобразований н преобразований Лапласа от сту-
ступенчатых функций .....:.
20.5-1. Интерполяционные формулы с центральными разностями
20.5-2. Коэффициенты интерполяционных формул
20.6-1. Многочлены Чебышева и степени х
20.6-2. Приближения некоторых функций многочленами
20.6-3. Некоторые приближения цилиндрических функций
20.6-4. Приближения многочленами Чебышева
20.6-5. Схема гармонического анализа на 12 ордниат
20.6-6. Разные приближения
20.7-1. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса, замкнутый тнп
20.7-2. Абсциссы н веса для квадратурных формул
20.8-1. Некоторые методы Руиге— Куттадля обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений и систем таких уравнений
20.8-2. Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказание — коррек-
коррекция»
Глава 21
21.2-1. Специальные значения тригонометрических функций
21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргу-
аргументов
21.3-1. Интегральный сннус Si (x)
21.3-2. Si (x) н интегральный косинус Ci (*)
21.3-3. Интегральная показательная функция
21.4-1. Гамма-функция Г (х)
21.5-1. Определение и свойства биномиальных коэффициентов
21.6-1. Преобразование к нормальной форме Лежандра .
21.6-2. Преобразования эллиптических интегралов
21.6-3. Преобразования полных эллиптических интегралов
21.6-4. Полные эллиптические интегралы КиЕ
21.6-5. Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоби
2I.G-6. Специальные значения эллиптических функций Якоби
21.6-7. Изменение переменной на четверть и половину периода
21 6-8. Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоби
21.7-1. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита . . .
21.7-2. Первые ортогональные многочлены
567
568
568
571
571
572
574
574
574
575
577
678
579
580
621
622
E23
625
626
027
633
634
636
644
657
720
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Кипгу Г. Корна и Т. Корн «Справочник по математике (для научных работ-
работников и инженеров)» отличает весьма широкий охват материала. В ней освещаются
почти все вопросы как общего курса математики, так и большинства специальных
разделов, изучаемых во втузах с повышенной программой по математике (век-
(векторным и тензорный анализ, криволинейные координаты, уравнения математи-
математической Физики, функции комплексного переменного и операционное исчисление,
вариационное исчисление, линейная алгебра, теория вероятностей и математи-
математическая статистика и т. д.). Кроме того, в книгу включены главы, посвященные
современной алгебре, теории интегралов Лебега и Стнлтьеса, римановой геомет-
геометрии, интегральным уравнениям, специальным функциям, а также целому ряду
других вопросов, далеко выходящих за рамки математической подготовки инже-
нероз, но постепенно становящихся необходимым орудием для научных работни-
работников и инженеров-исследователей, работающих в самых разных областях. Много
внимания уделено связи рассматриваемых математических проблем с приклад-
прикладными дисциплинами (методы расчета и синтеза электрических цепей, линейные
н нелинейные колебания и др.).
В нозом издании книга подверглась весьма существенной переработке. За-
Заново написаны глазы 11 и 20 и значительная часть глав 13 и 18; и без того обшир-
обширный материал книги пополнился новыми разделами: дискретное преобразование
Лапласа (г-преобразование), конечные интегральные преобразования, матричные
методы решения систем дифференциальных уравнений, теория устойчивости
Ляпунова, математическое программирование, принцип максимума Поптрягина,
шаговые задачи управления н динамическое программирование — вот далеко не
полны"! перечень того, что добавлено авторами. Кроме того, из дополнений в книгу
включены справочные сведения по геометрии и сферической тригонометрии.
Конечно, можно иметь различные точки зрения на то, какой материал следует
включать в такого рода справочник; кроме того, в одной книге невозможно изло-
изложить все разделы с одинаковой степенью полноты. Однако, как нам кажется,
oraeTLi na вопросы, не нашедшие отражения в книге, следует искать уже либо
в монографиях, либо в специализированных справочных руководствах (типа
отдельных выпусков серии «Справочная математическая библиотека», выпуска-
выпускаемой Главной редакцией физико-математической литературы издательства
«Наука:>).
В книге принята следующая рубрикация: глава, параграф, пункт; названия
всех пунктов указаны в оглавлении. Сплошная нумерация формул (и таблиц)
ведется в пределах одного параграфа; соответственно этому, если в тексте нужно
сослаться на формулу этого же параграфа, то указывается только ее номер. При
перекрестных ссылках указывается полностью номер главы, параграфа и пункта.
В конце книги приводится подробный предметный указатель, а также указатель
важнейших обозначений; во всех случаях читатель отсылается к соответствующему
пункту.
В процессе перевода был обнаружен ряд дефектов и неточностей; кроме того,
в некоторых случаях изложение не соответствовало принятому в нашей отече-
c™LHH°ft литературе. Переводчики учитывали справочный характер книги, и для
Удобства читателя большинство исправлений, замен и дополнений вносилось прямо
в текст. Принадлежащие переводчикам дополнения и подстрочные примечания
I
24
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
отмечены звездочками. Пункты, подвергшиеся значительной переработке, также
отмечены звездочками.
Нам пришлось в значительной мере заменить цитируемую литературу;
во многих случаях ссылки делались на неизвестные нашему читателю учебные
руководства. Приведенный в конце книги список литературы (ссылки на него
помещены в квадратные скобки) меньше всего претендует хотя бы на относитель-
относительную полноту; в него лишь включены наиболее известные издания (при этом мы
сочли возможным не указывать обычные втузовские курсы математики).
Значительной переработке подверглись дополнения в книге, включающие
разного рода таблицы. Ради уменьшения объема книги некоторые широко рас-
распространенные таблицы были изъяты, а остальные помещены в соответствующие
разделы «Справочника». Перечень всех имеющихся в книге таблиц приведен после
оглавления иа стр. 20—22.
Мы признательны всем читателям, обратившим наше внимание на те или иные
недочеты книги, и будем рады дальнейшим откликам на новое издание.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
Новее издание «Справочника по математике» существенно расширено и допол-
дополнено оригинальным материалом. Включены новые разделы, посвященные г-преоб-
разованию, матричным методам решения систем дифференциальных уравнений,
теории устойчивости, представлению вращений, математи ческому программиро-
программированию, теории оптимального управления, случайным процессам и т. д. Глава
о численных методах почти целиком написана заново. Добавлены многие примеры
и таблицы.
Эту книгу можно рассматривать, во-первых, как достаточно полное собрание
математических определений, теорем и формул для научных работников, инже-
инженеров и студентов. Ею могут пользоваться читатели, стоящие на разных уровнях
математического развития. Отсутствие доказательств и сжатость табличного пред-
представления родственных формул сделали возможным объединение весьма большого
по объему справочного материала в одном томе.
Книга, однако, предназначена не только для наведения справок; в ней мы
пытались дать связное обозрение математических методов, применяемых в различ-
различных приложениях. Каждая глава озаглавлена так, чтобы читатель мог быстро
ориентироваться в данном разделе математики. Такое изложение делает текст
удобным для пользования благодаря отсутствию доказательств; многочисленные
ссылки открывают доступ к более детальному изучению материала книги.
Особое внимание уделяется выявлению взаимосвязи различных разделов
и их роли в научных и инженерных приложениях; это достигается при помощи
соответствующих вводных замечаний и перекрестных ссылок.
Авторы пытались удовлетворить запросы разных кругов читателей, разделив
материал книги на три группы:
1. Наиболее важные определения и формулы, специально выделенные для
наиболее быстрого их обозрения.
2. Основной текст, состоящий из сжатого и связного обзора основных резуль-
результате;!.
3. Более детальное обсуждение дополнительных вопросов, выделенное мел-
мелким шрифтом. При таком построении включение этого материала не нарушает
структуры основного изложения.
Главы с 1 по 5 дают обзор основного курса колледжа *) по алгебре, аналити-
аналитической геометрии и анализу; глава 4 содержит также изложение интегралов Лебега
и Стилтьеса п рядо" и интегралов Фурье, а глава 5 — векторный анализ.
Главы 6, 7 и 8 посвящены криволинейным координатам, функциям комплекс-
комплексного переменного и преобразованиям Лапласа. Добавлен новый материал по конеч-
конечным интегральным преобразованиям и г-преобразованию.
В главах 9 и 10 излагаются обыкновенные дифференциальные уравнения и урав-
уравнения с частными производными, включая методы интегральных преобразований,
метод характеристик и теорию потенциала; проблемы собственных значений
трактуются в главе 15.
Глава 11 существенно изменилась; в дополнении к обычной теории экстремума
и классического вариационного исчисления здесь добавлены разделы по линейному
,1/'Т0 "Римерно соото^чсгвусг общему курсу математики, изучаемому в наши--.
(Прим. ред.)
ту-
1
26
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ
и нелинейному программированию, теории игр, теории оптимального управления,
принципу максимума и динамическому программированию.
В главе 12 вводятся элементы современного абстрактного языка и описывается
конструкция математических моделей, таких, как группы, кольца, поля, векторные
пространства, булевы алгебры и метрические пространства. Изучение функцио-
функциональных пространств, продолженное в 14-й главе, позволяет расширить приме-
применение методов функционального анализа к краевым задачам и проблемам собствен-
собственных значений в главе 15.
Разделы, имеющие дело с более специальными темами, не претендуют на пол-
полноту; их цель заключается в том, чтобы познакомить читателя с сущностью
определений и побудить его к чтению современной специальной литературы.
В главе 13 рассмотрены матрицы; здесь добавлены новые пункты по матрич-
матричным методам решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравне-
уравнений и по теории устойчиоости Ляпунова. В главе 14 рассмотрены линейные
векторные пространства, линейные преобразования {линейные операторы), задачи
о собственных значениях и описывается применение матриц для представления
математических моделей. Дополнен материал по представлению вращений,
в связи с его важностью для физики.
Глава 15 содержит изложение разделов, связанных с проблемой собственных
значений, включая задачу Штурма — Лиувилля, краевые задачи для двумерных
и трехмерных областей и линейные интегральные уравнения.
Главы 16 и 17 соответственно касаются тензорного анализа и дифференциаль-
дифференциальной геометрии и включают описание плоских и пространственных линий, поверх-
поверхностей и кривизны пространства.
В связи с возрастающей ролью статистических методов глава 18 представляет
довольно детальное изложение теории вероятностей и включает заново написан-
написанное введение в теорию случайных процессов, корреляционных функций и спектров.
Глава 19 касается важнейших методов математической статистики и включает
подробные таблицы формул, описывающих специальные выборочные распреде-
распределения.
В новой главе 20 рассмотрены конечно-разностные методы и разностные урав-
уравнения и изложены основные методы численного анализа. Глава 21 представляет
по существу собрание формул, описывающих свойства высших трансцендент-
трансцендентных функций.
Авторы надеются и верят, что эта книга даст читателю удобный повод детально
познакомиться с математическими методами и таким образом расширить свой
кругозор и взглянуть на свои специальные знания с более общей точки зрения.
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ
И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
1.1. ВВЕДЕНИЕ. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1.1-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Эта глава посвящена алгебре1) действи-
действительных и комплексных чисел, т. е. изучению тех соотношений между дейст-
действительными и комплексными числами, в которые входит конечное число сло-
сложений и умножений. Уравнения, основанные на таких соотношениях, рассмат-
рассматриваются здесь даже и в том случае, если при фактическом их точном число-
числовом решении нельзя обойтись конечным числом сложений и/или умножений*).
Определения и соотношения, изложенные в этой главе, служат основным ору-
орудием во многих более общих математических моделях (см. также п. 12.1-1).
1.1-2. Действительные числа. Сложение и умножение действительных чи-
чисел обладают следующими свойствами.
Если а и Ъ — действительные числа (алгебраические, рацио-
рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются
а-\-Ь и ab (замкнутость),
a-\-b = b-\-a, ab = ba (коммутативность),
'' \ (ассоциативность),
a (bc) = (ab) c=abc
а ¦ 1 = а (единица),
a(b-\-c) = ab-\-ac (дистрибутивность),
из а-\-с — Ь-\-с следует а — Ъ,
из ca — cb, сф$, следует а = Ь (сокращение).
Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами
а + 0 = а,
а-0 = 0
A.1-2)
для каждого действительного числа а.
(Единственное) противоположное число —а и (единственное) обратное
число а~1 = \/а для действительного числа а определяются соответственно так:
а)—а—а = 0,
(а ф 0).
A.1-3)
Целить на нуль нельзя.
Помимо «алгебраических» свойств A), класс положительных целых, или натураль-
натуральных, чисел I, 2, ... обладает свойством упорядоченности (п. 12.6-2; п «больше, чем» т,
улп п>т, если п = т-\-х, где х—некоторое натуральное число) и полной упорядо-
упорядоченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьшей элемент).
Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов п
следующий за ним элемент п-\-\. содержит все натуральные числа (принцип пол-
в ° Й И н д у к Ц И И).
Свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеако: 1) 1 есть
натуральное число; 2) для каждого натурального числа N существует единственное сле-
следующее за ним натуральное число S(n); 3) S(n)^l; 4) из S(n) = S(m) следует /: = in
а) имеет место принцип полной индукции. (Прн его формулировке элемент, следующий
') См. также подстрочное примечание к п. 12.1-2.
) Термин «А и/или В» (по английски «and/or») означает, что имеет место или А,
и Ь, или Л и В вместе. Этот термин применяется в дальнейшем очень часто.
28
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-1-3.
за п, обозначается через S(/i).) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам A.1-1),
определяются «рекуррентными» соотношениями
п+ I = S(;i),
п + S(m) = S(n + «0.
п-\ = и,
п • S (т) = п • т + п.
Целыми числами называются числа вида п,—п и 0, где л — натуральное число,
а рациональными — числа вида p/q, где р и а — целые числа и a "~ О,
Действительные числа можно ввести, исходя из множества рациональных чисел,
с помощью предельного процесса (см., например, [4.2]). Действительные числа, не являю-
являющиеся рациональными, называются иррациональными.
Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгеб-
алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами (п. 1.6-3), а действительным'.!
трансцендентными числами — остальные действительные числа.
Класс всех рациональных чисел содержит кории всех линейных уравнений (п. 1.8-1)
с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые числа. Класс всех дейст-
действительных алгебраических чисел содержит действительные корни всех алгебраических
уравнений (п. 1.6-3) с алгебраическими коэффициентами и включает в себя все рацио-
рациональные числа.
1.1-3. Отношение равенства (см. также п. 12.1-3). Из а = Ь следует Ь — а
(симметрия отношения равенства), а-\-с = Ь-\-с и ас = Ьс (вообще f(a)=f(b),
если / (а) обозначает некоторую операцию, приводящую к единственному
результату). Из а = Ь и 6 = с следует а = с {транзитивность отношения равен-
равенства). Из abjbO следует ajbO и btO
1.1-5. Неравенства (см. также пп. 12.6-2 и 12.6-3). Действительное
число а может быть положительно (а > 0), отрицательно (а < 0) или равно
нулю (а = 0). Сумма и произведение положительных чисел положительны.
Действительное число а больше действительного числа b (а ;> b, b < а),
если а = Ь-\-х, где х—-некоторое действительное положительное число.
Из а>й следует а-\-с>-b-\-c, a;>bc, если с>0, и ас<Ьс, если с<0
(в частности, — а< — Ь), 1/а<1/Ь, если ab>0 и 1/а>1/Ь, если ab<0.
Из а Зг 6 и Ь^с следует а^с. Из a sc Л и ЬгсВ слецует a-j- b sc A -f В.
1.1-6. Абсолютные величины (см. также пп. 1.3-2 и 14.2-5). Абсолютная
величина | а I действительного числа а по определению есть число, равное а,
если а >; 0, и равное —а, если а<0. Отметим:
0; из | а | = 0 следует а = 0,
|а —Ь|г=
A.1-4)
A.1-5)
A.1-6)
Из |aj=s^ и ibjsSB следует | а + Ы«?Л + 5 и | ab \ sg AB.
1.2. СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ.
ОБОЗНАЧЕНИЯ СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ
1.2-1. Степени и корни. В случае, когда показатель степени п есть нату-
натуральное число, п-я степень произвольного действительного числа а (основания
степени) есть произведение п множителей, равных а. При ат^О по определе-
определению а°=1. Если а>0 и п — любое натуральное число, то арифметический
корень /г-й степени из а есть единственное положительное решение уравнения
1.2-3.
1 2. СТЕПЕНИ, КОРНИ. ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ
29
v" = a; он обозначается символом a''"=j'/a. При а = 0, 0 ^ ~ j^O =0.
Если же а<0, то корень /i-й степени из а определяется лишь при нечетом п.
Именно, а'''я^|/а есть в этом случае единственное действ и гельноо (на самом
деле отрицательное) решение уравнения хп = а. Пусть теперь a^s 0. Если
? = я/(п, где п и т—натуральные числа, то по определению
При любых натуральных пит
- ¦- \п т
тпг—
ял-= /а,
аЬ = «Га У
A.2-1)
Степени с иррациональными показателями могут быть введены с помощью
некоторого предельного процесса (см. также п. 21.2-12). Соотношения
аР-а1 = аР+Ч, (aPf = aP4 (a>0), A.2-2)
верные для рациональных показателен, остаются справедливыми и для любых
действительных р и q. Далее, для любых действительных р и q (a> 0 и b >> 0)
а" а4
пР
A.2-3)
"' Val '" Ь~Р
Замечание. \/ а (квадратный корень из числа о^О) обычно обозна-
обозначается символом Vа . О степенях комплексных чисел н корнях из них см. п. 1.3-3.
1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби.
V ь ± \ 'с
Ь — с
-~ " =-ГТ— У(Ь'—с) ф-ус), A.2-5)
r1i\- A.2-6)
1.2-3. Логарифмы. Логарифм x = logca числа а > 0 при основании с>0
(о jz ]) можно определить как решение уравнения
сх = а. A-2-7)
В табл. 7.2-1 и в п. 21.2-10 приведены некоторые более общие сведения
о логарифмах. logc а может быть трансцендентным числом (п. 1.1-2). Отметим:
c°Sc" =a, logcc=l, logccP = p, logc 1 =0,
loge (ab) = logc a + loge b {основное свойство логарифмов),
= iogca — logcb,
in-.— \ ]
logc aP = p logc a, iogc ( / a \ = _ logc a;
\ A-2-8)
)
—г (замена основания). A.2-9)
33 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1-2-4.
Особый интерес представляют десятичные логарифмы с основанием 10 и
натуральные (неперовы) логарифмы с основанием
е= lim
«-+ОО
= 2,718281828...
A.2-10)
е-траисцендентное число. Логарифм logea обозначается символом 1пя,
а log10 a — символом lga. Отметим:
1п а = |^- = 1п 10 -lga= B,30259...) lga,
=ТП? =18 е- In a =@,43429...) 1п а.
A.2-11)
1.2-4. Факториалы. Факториал л1 произвольного целого числа «3=0 опре-
определяется формулами:
п
01 = 1, л1= JJ * = 1.2-3...(я-1)л (л>0). A.2-12)
А = 1
В п. 21.4-2 приведены приближенные формулы для вычисления факториа-
факториалов п! при больших п.
1.2-5. Обозначения сумм и произведений. Для любых двух целых чисел (по-
(положительных, отри цательных или равных нулю) л и т ;s= п
S ak = an
m
П
"ft - «V
Г• -а
Vn + Г• -ат - 1 am
(m—n + 1 слагаемых), A.2-13)
множителей). A.2-14)
k = п
Отметим:
m m' m' m m mr mr m
2 2 «i*- 2 2 «». П П "«- П П <v о-2-15)
1 = п k = п' к = п' I = п i — я А = п' k = n' i — п
Бесконечные ряды см. в гл. 4.
1.2-6. Арифметическая прогрессия. Если а0—-первый член, а d — постоян-
иаи разность между следующим и предыдущим членами, называемая разностью
прогрессии, то
+ ld (/ = 0, 1, 2,...),
A.2-16)
1 2-7. Геометрическая прогрессия. Если в0-первый член, а г Ф 1-постоян-
1-постоянное отношение следующего члена к предыдущему, называемое знаменателем
прогрессии, то .
aj = aarl (] = 0, 1, 2,...;,
п п , rn~bl ^л — апг
/ = о / = °
I
1.3-1. '
1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
31
О бесконечной геометрической прогрессии см. п. 4.10-2.
1.2-8. Некоторые числовые суммы (см. также [4.6]).
\1 у
ZJ
П(П +
2
я я
(общую формулу для сумм ^
k =
я
V '
Zj ft (ft + О
см. в п. 4.8-5, d).
я + 1 я + 1
I
2) 2 L 1 («4-1) (n 4-2)J'
^J ft (ft 4- l) (k 4- 2)'
ft = l
Бесконечные ряды см. в 4.8.
1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.3-1. Вводные замечания (см. также п. 7.1-1). Комплексные числа (ино-
(иногда называемые мнимыми числами) не являются числами в элементарном
смысле слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Они составляют
новый класс математических объектов, определяемый описанными ниже свой-
свойствами (см, Также п. 12.1-1).
Каждому комплексному числу с можно поставить в соответствие единст-
единственную пару (а, ft) действительных чисел а и ft и обратно. Сумма и произведе-
произведение двух комплексных чисел cl**(al, Ъх) и с2~-(а2. Ьг) определяются соот-
соответственно следующим образом: Сх + с^ ¦*—(а%4-at< ^1 + ^2) и cic2 ~~* (агаг —
~КЬъа\Ьг-\-a2ft]). Действительные числа а содержатся в классе комплексных
чисел в качестве пар (а,0). Мнимая единица i, определяемая условием
'~@,1), удовлетворяет соотношению
*а = — 1.
A.3-1)
Каждое комплексное число с-"(aft,) может быть записано в виде суммы
c = a-{-ibдействительного числа a~»(a,0) и чисто мнимого числа t7>«-»@,ft).
Действительные числа a=Re си ft= Im с соответственно называются действи-
действительной частью и мнимой частью комплексного числа с. Два комплексных
'¦исла с = а 4- ib и с = а — ift, имеющие одинаковые действительные и противо-
противоположные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами.
в т ^ва комплексных числа сх = ах 4- th и с2 = а2 4- 1Й2 равны в том и только
ом случае, если соответственно равны их действительные и мнимые части,
• е. d = с2, лишь если аг = аг и Ьг = Ь8. Из с = а 4- »& = 0 следует а = Ъ = 0.
32
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.4-1.
1.4 РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
33
Сложение и умножение комплексных чисел удовлетворяют правилам пп.
1.1-2 и 1.2-1, причем
(* = 1,
(Ч«+3 _ ( ЦП _ ]
(„ = 0, 1, 2,..,;
с, ± сг = (
сх at -I-
niOa + &1"'г) -I- ' (azfti —
с, + с, = с
a = Rec = i
; = Im c = -
21 •
Класс всех комплексных чисел содержит кории всех алгебраических уравнений
с комплексными коэффициентами и включает в себя действительные числа
1.3-2. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами.
Тригонометрическая форма комплексного числа (см. также п. 7.2-2). Комплекс-
Комплексное число z = x-\-iy удобно изображать точкой (г) = (;с, у) или соответствующим
радиусом-вектором (пп. 2.1-2 и 3.1-5) на комплексной плоскости (рнс. 1.3-1).
Оси Ох и Оу (в прямоугольной лекартовой системе координат) называются
соответственно действительной и мнимой осью. Абсцисса и ордината каждой
точки (г) изображают соответственно действитель-
действительную часть х и мнимую часть у числа г. Соответст-
Соответствующие полярные координаты (п. 2.1-8)
г =! г ! = j/> + г/2
tg(p«=-f-
A.3-4)
)
Рис. 1.3-1. Изображение
комплексных чисел точками
или радиусами-векторами.
Оси Ох и Оу называются
соответственно действитель-
действительной н мнимой осью.
называются модулем
числа г. Отметим:
X = Г COS ф,
г =.\:-f-u/ = '
и аргументом комплексного
у = г sin ф,
(cost
A.3-5)
Модули комплексных чисел удовлетворяют соотно-
соотношениям A.1-4) —A.1-6). Если г—действительное число, то его модуль |г| ра-
равен его абсолютной величине (п. 1.1-6).
* Аргумент комплексного числа г определяется с точностью до слагаемого
2/гл, где k — любое целое число.
В качестве главного значения Arg г обычно выбирают значение, опреде-
определенное неравенствами —it < Argzsg л. Главное значение аргумента г обозна-
обозначают через arg г. При принятом условии arg г =— arg г. *
Для любых двух множеств (действительных или) комплексных чисел аи
«а ап и р\, р2 Р„
2
' а'|
X
(неРавсш:тво Коши — Буняковского) A.3-6)
(см. также пп. 14.2-6 и 14.2-6, а).
1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни.
Сумме комплексных чисел соответствует сумма соответствующих радаусои-
векторои (см. также п. п. 3.1-5 и 5.2-2). Если даны 2t = гх (cos ^ -\- !smq2)
и г2 = r2 (cos фг + / sin ф2), то
г1г2 = г1г2 [cos (ф, +ф2) + * sin (ф] +ф2)],
~ = ^ [cos (ф, — ф2) + i sin (ф] — ф2) j (г., Ф 0)
г" = г'1 (cos ф-f- i sin ф)" = rn (cos йф -f I sin Лф)
(й —целое число) (формула Муавра).
Случай, когда показатели степени комплексны, см. в п. 21.2-9.
Если я —натуральное число и с—комплексное число, то угс^
й-п степени из с) есть решение уравнения г" = с. При сфО существует
ра'чичных корней й-й степени из с. Они определяются формулами
л . . . ш
- +1 sm —
п,— п,
cos
где / ! с —арифметический корень из положительного числа I с i (п
Ф=агёс и k = 0, 1, 2, ..., й—1.
Отметим, что
В ча
(й=1, 2, ...; ft = (
-1,
A.3-7)
(корень
ровно п
¦ 1.2-1),
A.3-8)
A.3-9)
A.3-10)
1.4. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы. Если а, Ь и с — действитель-
действительные или Комплексные числа, то
(а + 6J = а2 ±
(а + feK = a3 ±
(а ± 6)* = а4 ± 4аа2
A.4-1)
где
2 Г. Корн и Т. Кори
(й = 1, 2,...),
(/ = °. 1. 2, ...<п=0, 1, 2, ...).
34 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.4-2.
(Бином Ньютона для целочисленных показателей я; см. также п. 21.2-12.)
Биномиальные коэффициенты С'п подробно рассматриваются в п. 21.5-1
J
Если п —любое натуральное число, то
an—bn = (a—b) (an~i-\-a
Если п—четное положительное число, то
ап — Ьп = (а + Ь) (ап — ап~Ч +... + abn~2 —fen-i).
Если п — нечетное положительное число, то
Отметим также:
1.4-2. Пропорции. Из a:b = c:d или a/b — c/d следует:
В частности,
а+Ь c±d
~1 d '
— Ь
с — d
A.4-2)
A-4-3)
A.4-4)
A.4-5)
A.4-6)
A.4-7)
A.4-8)
. ..*„", где каждое k- есть
k
1.4-3. Многочлены. Симметрические функции.
(a) Многочлен (целая рациональная функция) относительно х-i, х2,
есть сумма конечного числа членов вида ах-^х^...#„ , где "^™
неотрицательное целое число. Наибольшее значение суммы .V1 , ..а , ...
встречающееся в каком-либо из членов, называется степенью многочлена.
Многочлен называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же
степень (см. также п. 4.5-5).
(b) Многочлен относительно *х> *4, .... ^называется симметрическим, если для любо-
любого множества значений х х„, ..., х значение этого многочлена не изменяется при какой
угодно перестановке xv x^ хп (это определение распространяется и иа любые функ-
функции от *j, *2. ..., хпу Элементарными симметрическими функциями от xv х х
называются многочлены S , S., ..., <S , определяемые следующим образом:
П \ A.4-9)
где
fc — есть сумма всех
"Роиззеденнй, калсдое из которых содержит k
многочлен
с несовпадающими индексами. Каждый симметрический
дающими индексами. Каждый симмтр
может быть единственным образом записан как многочлен
о многочлена являются алге-
алгесомножителей х*
относительно xi, xt хп может быть единственным обра
относительно S , S2 S ; коэффициенты этого нового многочлена являются алге-
алгебраическими суммами целочисленных кратных заданных коэффициентов.
Кждый симметрический многочлен относительно Xi, Xg, ... , х
ическими суммами целочисленных кратных заданн
Каждый симметрический многочлен относительно
но конечного чис
может также
браическм у
Каждый симметрический многочлен относительно Xi, Xg, . ,
быть выражен как многочлен относительно конечного числа симметрических функций
1.5-3. 1.5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Симметрические функции (9) и A0) связаны формулами Ньютона
35
и), \
) A.4-11)
п) j
(см. также п. 1.6-4). Заметим, что в соотношения A1) в явном виде не входит п.
1.5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
1.5-1. Определение. Определитель (детерминант)
= det[a;ft] =
а22
П.5-1)
гвадратной таблицы (матрицы, п. 13.2-1) с пг (действительными или комплекс-
комплексными) числами (элементами) a-lk есть сумма п\ членов (— l)ralftla2fr2...anftn;
каждый из которых соответствует одному из п\ различных упорядоченных
множеств /jj, k2, ¦¦¦, kn, полученных г попарными перестановками (транс-
(транспозициями) элементов из множества 1, 2 п. Число п есть порядок опре-
определителя A).
Фактическое вычисление определителя по его элементам упрощается с помощью
пи. 1.5-2 и 1.5-5,а. Отметим, что
"ift
(неравенство Адамара).
A.5-2)
1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя
по строке или по столбцу. (Дополнительный) минор ?>,-? элемента alfc в опре-
определителе n-го порядка A) есть определитель (п—1)-го порядка, получа-
получающийся из определителя A), если из него вычеркнуть г-ю строку и /г-й стол-
столбец. Алгебраическое дополнение Л;& элемента ац( есть коэффициент при а^
в разложении определителя D, или
¦ Alk = (-\y+bDik=-^ A.5-3)
Определитель D можно следующим образом выразить через элементы произ-
произвольной его строки или столбца и их алгебраические дополнения:
?» = det [я:,;]= ^ацАц= 2 alkAjk
i = \ k=i
(/ = 1,2,..., п) (разложение по столбцу или по строке).
Отметим также, что
п п
S м« = s aJ"Aik=o иф1)-
i = \ fc = l
1.5-3. Примеры. Определители второго и третьего порядка:
аа «12
а21 а.,
а33
A.5-4)
A.5-5)
A.5-6)
= °Н (2333—«гз^зг) —«1
2*
)
2— «22»3l) И Т. Д. A.5-7)
36
гл
. ,. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.5-4.
1.5-4. Дополнительные мнноры. Разложение Лапласа. Определитель m-го порядка-М,
получающийся из определителя гс-го порядка fl(mSn), если из него вычеркнуть какие-
либо п— т строк и какие-либо п—т столбцов, называется минором ш-го порядка опре-
определителя D. Минор m-го порядка М и мииор (л — т)-го порядка Л' определителя I).
получающийся, если нз D вычеркнуть строки и столбцы сохранившиеся в Л1, называются
дополнительными мниорами: в частном случае m = n, Л1' = 1, Алгебраическое дополнение
М" мииора М в D по определению равно (—1) 1 г •¦••+¦ тт j 2-f...-t- тл^где
/ / . .. ,? — номера строк, а ^г,^2 ^т— номера столбцов, входящих в М, Пусть
заданы любые т строк (или столбцов) определителя D. Тогда D равен сумме произве-
произведений ММ" всевозможных миноров т-го порядка М, расположенных в этих строках (или
столбцах), на их алгебраические дополнения М" (разложение Лапласа по нескольким
строкам или столбцам).
Определитель гс-го порядка D имеет С™ главных миноров m-го порядка,
диагональные элементы которых являются и диагональными элементами D.
1.5-5. Различные теоремы.
(а) Величина D определителя A) не меняется при любой из следующих
операций:
1) замене строк столбцами и столбцов строками (перемене мес-
местами индексов i и k в равенстве A));
2) четном числе перемен пестами любых двух строк или лю(»лх
двух столбцов;
3) прибавлении к элементам любой строки (или столбца) соответ-
соответствующих элементов какой-либо другой строки (или соответственно
столбца), умноженных на одно и то же число а.
П р и м е р:
ап а,, ... а
ап а.п
а-Л а2г
а in
, A.5-8
\ап\ аП2 ¦•¦ апп \ \и1П « ••• »»П| |-,н 1
(b) Нечетное число перемен местами любых двух строк или любых двух
столбцов равносильно умножению определителя на — 1.
(c) Умножение всех элементов какой-либо строки или столбца на множи-
множитель а равносильно умножению определителя на а.
(d) Если элементы j-й строки (или столбца) определителя п-го порядка D
mm m
представлены в виде сумм ^ cyi, J] сп 2 Сгп' пго опРеделитель D ра-
т
вен сумме J] Dr определителей п-го порядка. Все элементы каждого из опре-
делителей Dr, кроме элементов \-й строки (столбца), совпадают с соответ-
соответствующими элементами определителя D, а в \-й строке определителя Dr стоят
элементы сп, сг2,.... сгп.
Пример.
а\п
Ifli
1.6-3.
16. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
(е) Определитель равен нулю, если
1) все элементы какой-либо его строки или столбца равны нулю,
2) соответствующие элементы каких-либо двух его строк ила
столбцов равны или же пропорциональны.
1.5-6. Умножение определителей (см. также п. 13.2-2). Произведение двух
определителей п-го порядка det [aiU] и det [b,-fe] равно
п
det
det [b/k] =
J>,7bJ==det
= det
2 аПЬЬ1
= det
ai'b
П°1Ь Г
/=«
A.5-10)
1.5-7. Изменение порядка определителей. Данный определитель можно следующим
образом записать в виде определителя более высокого порядка:
A.5-11)
где числа а. произвольны. Этот процесс можно повторять сколько угодно раз.
Порядок данного определителя ниогда i.iokho понизить с по.\ю:ць:о соотношения
11
21
п\
2 ' •
2 ••
апг ¦
¦ "иг
¦ "т
¦¦ апп
«и
1
а,а
0
2
2
ат
0
• ¦ ¦ "ш
• • • ам
¦¦¦ апп
0
«2
"«
I
Ьгт
A.5-12)
§ 1.6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
1.6-1. Вводные замечания. Решение алгебраических уравнений имеет особо важное
значение в связи с тем. что к этому виду относятся характеристические уравнения сис-
систем линейных дифференциальных уравнений (см. также пп. 9.4-1. 9.4-4 и 14.8-5). Общая
задача отделения корней (возникающая, например, при исследовании устойчивости) может
быть изучена методами п. 1.6-6 и/или п. 7.6-9. Приближенное решение уравнений рас-
рассматривается в пп. 20.2-1 —20.2-5.
1.6-2. Решение уравнения. Корни. Решить уравнение (см. также п. 1.1-4)
/(*) = 0 A.6-1)
с неизвестным х — значит найти значения х (корни уравнения A), нули функ-
функции / (х)), удовлетворяющие этому уравнению. Решение можно проверить
подстановкой.
1.6-3. Алгебраические уравнения. Уравнение A) вида
f A.6-2)
где коэффициенты а,—действительные или комплексные числа, называет-
алгебраическим уравнением степени п с неизвестным х; f (x) — многочлен
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ
i.e..;.
степени п относительно х (делая рациональная функция; см. также пп. 4.2-2, d
и 7.6-5). Коэффициент ап — свободный член многочлена B).
Значение х = хх есть корень кратности (порядка) m (кратный корень, если
пг>1) уравнения B) (нуль порядка т функции f (х); см. также п. 7.6-1) если
/ (x)=g(x) (х — хх)т, где g(x)~ многочлен и g (*i) ?= 0. Алгебраическое уравне-
уравнение апепсии п имеет равно п корней, если корень кратности т считать т
раз (основная теорема алгебры многочленов). Полное решение уравнения B)
указывает все корни вместе с их кратностями.
Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффи-
коэффициентами, называются алгебраическими числами (вообще говори, комплексными); если
коэффициенты — алгебраические числа, то корни все еще остаются алгебраическими (см.
также п. 1.1-2). Общие формулы, выражающие корни алгебраических уравнений чегеч
их коэффициенты и содержащие только конечное число сложении, вычитаний, умноже-
умножений, делений и извлечений корня, существуют только для уравнений следующих степе-
степеней: первой (линейные уравнения, п. 1.8-1), второй (квадратные уравнения, п. 1.8-2),
третьей (кубичные уравнения, пп. 1.8-3 и 1.8-4) и четвертой (уравнения четвертой сте-
степени, пп. 1.8-5 и 1.8-6).
1.6-4. Соотношения между корнями и коэффициентами. Симметрические функции ?й
и s^ (п. 1.4-3) корней xt, х2, .... хп алгебраического уравнения B) связаны с его коэффи-
коэффициентами а0, ai an следующим образом:
Равенства (..6-4) предс
также
(fe=l. 2 п),
тавляют собой другой вариант ФорМул *
A.6-3)
A.6-4)
(,.,„>.
(-0*
Sl
S3
sft
1
Sl
Sa
s/6
— 1
0
2
Sl
t
0
3
#
. ...
. ...
0 ...
• ...
0
0
0
Sl
ai
3a3
a0
аг
0
aa
ai
0
a0
.
0
... 0
... 0
... 0
= I, 2 п).
A.6-5)
kak ak-\
1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения. Дискриминант Д алгебраического
уравнения B) есть произведение cfin ~ 2 и квадратов всех разностей (*; — х^ (< > k)
корней лг,- уравнения (квадратные корни порядка т рассматриваются как т равных кор-
корней с разными индексами):
д = а2п - 2 П (*,• - xkf, = а\п - 2 [№ (*„ дг2 дг„) Р =
2« — 2
(
sn _ 1 sn sn + 1
= (_!)
¦ R {!, !'), 0.6-6)
W (Ai, хг, ....
1 х, х., •¦¦
rtl — 1
..n — 1
Х„ X" . . ГП — 1
п п ••• х
1.0-6.
).6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ: ОБЩИЕ ТЕОРЕЛ1Ы
39
(э:от определитель называется определителем Вандермонда). s^ — суммы fc-* степеней
кочней многочлена / (х) (sA = п) и R (/, /') — результант (п. 1.7-3) многочлена f (д-) и его
i роизводной (п. 4.5-1) !' (х). Дискриминант Д есть симметрическая функция корней xL,
х\, ..., хп, обращающаяся в нуль в том и только в том случае, если / {х) имеет по край-
rcii мере один кратный корень (необходимо являющийся общим корнем I m и р (л); см.
также п. 1.6-6, g).
1.6-6. Действительные алгебраические уравнения и их корни. Алгебраи-
Алгебраическое уравнение B) называется действительным, если все его коэффициенты
а. — действительные числа. Соответствующий действительный многочлен / (х)
при всех действительных значениях х принимает действительные значения.
Для отделения корней (действие, которое предшествует приближенному ре-
решению уравнений, п. 20.2-1) полезны нижеследующие теоремы. В теоремах
(I)) — ([) корень кратности т рассматривается как т корней.
(a) К омплексные корни. Комплексные корни действительного алге-
алгебраического уравнения появляются парами комплексных сопряженных чисел
(п. 1.3-1). Действительное алгебраическое уравнение нечетмой степени всегда
1:мег;,г хотя бы один действительный корень.
нВее корни уравнения B) по модулю не превосходят числа УУ == 1 —[— -—
где А — наибольшее из чисел | al J , J а21, ..., | ап [; это прааило справедливо
п для уравнений с комплексными коэффициентами.*
(b) Теорема Рауса — Гурвица. Число корней с положительной дей-
сишитсльчой частью действительного алгебраического уравнения B) равно числу
любой из последовательностей (в предположении, что T-t
перемен знака в
отличны от нуля)
ГТ1 '2 ' 3
О, i 1) —. -
еде
* я —
X
о,
«о
а2
а4
7-1
Т
т.
-* 1
0
«1
а3
"' т-7
тг, т2
— П-,
— >
г,,..
7Л —
1 2 —
тп-\
. тп_
а, о0
«3 а2
j
-2?
а3
аъ
а?
^П-Ъ
а0
а2
Ч
ап
0
a-i
аз
аъ
0
«о
а2
A.0-7)
A.6-8)
(элементы а;, отсутствующие в уравнении B), полагаем равными нулю).
Если среди Т{ есть равные нулю, то подсчет усложняется (см. [1.2]).
Критерий Рауса — Гурвица. Для того чтобы все корни действи-
действительного уравнения B) имели отрицательные действительные части, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
Г„>0, Г!>0, Тг>0,... Г„>0.
Из положительности всех 7^ следует положительность всех коэффициен-
коэффициентов а( уравнения B).
Альтернативная формулировка. Все корни действительного
Уразнеиия B) п-й степени имеют отрицательную действительную часть
в том и только в том случае, если это верно для уравнения (п—\)-й степени
"J*" -f- а[хп~- + а\хп~* + а'^х"-* +... =
4-
a4-
... = 0.
Эта теорема может применяться повторно и дает простую рекуррентную
схему, полезную, например, при исследовании устойчивости, Если один из
коэфф;щие„Тов а('{ равен нулю, то метод усложняется.
АО
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.6-0.
* Критерий Льенара — Шипара. Для действительного уравнения B)
с положительными коэффициентами все корни имеют отрицательную дейст-
сшпельную часть, если положительны или все Tt с четными индексами, или
вес Т{ с нечетными индексами.
(Более общая формулировка этого критерия приведена в [1.2].)*
(с) Отделение действительных корней: правило знаков
Декарта. Число положительных корней действительного алгебраического урав-
уравнения B) либо равно числу N перемен знака в последовательности а0, ах..., ап
коэффициентов, причем коэффициенты, равные нулю, не учитываются, либо
меньше числа N на четное число.
Если перемен знака нет, то уравнение B) положительных корней не имеет:
если есть одна перемена знака, то имеется в точности один положительный
корень. Применяя эту теорему к /(— х), получаем аналогичную теорему для
отрицательных корней.
(d) Отделение действительных корней: верхняя гра-
граница действительных корней (пи. 4.3-3). 1) Если первые k коэф-
коэффициентов ай, ab...,ak_i действительного алгебраического уравнения B) не-
неотрицательны (а^— первый отрицательный коэффициент), то все положитель-
положительные корни уравнения B) (если они есть) меньше, чем 1 -f- у q/a0, где q— наи-
наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов.
Применяя эту теорему к /( — *)¦ можно таким же образом получить ниж-
нижнюю границу отрицательных корней.
* 2) Если при х = с многочлен f (х) и его производные f (x), f"(x),...
..., /(«) (х) (п. 4.5-1) принимают положительные значения, то с является верхней
границей действительных корней уравнения B). *
(e) Отделение действительных корне и: теорема Ролля
(см. также п. 4.7-10). Производная (п. 4.5-1) /' (х) действительного многочлена
j (х) имеет нечетное число действительных корней между двумя соседними дей-
действительными корнями многочлена f (x).
Пусть а и Ь — два соседних действительных корня уравнения f' (л*) =0н пусть f(o) фО
и / (Ь) -?- 0. Уравнение I (х) = 0 между о в Ь либо вовсе не имеет действительных корней,
либо имеет один действительный корень в зависимости от того, будут ли числа / (а)
и f F) иметь одинаковые нлн противоположные знаки. Лишь один действительный
корень уравнения f (х) = 0 может оказаться больше наибольшего корня или меньше
Наименьшего корня уравнения I' (*) =0.
(f) Отделение действнтельныхкорней:теорема Бюдана —
Фурье. Пусть N (х) — число перемен знака в последовательности значений
{ (х), Р (х), f" (х) f1 (x) для любого действительного алгебраического урав-
уравнения B). Тогда число действительных корней уравнения B), заключенных между
двумя действительными числами а и ft >» а, не являющимися корнями уравнения
B), либо равно N (а) —Л/ (ft), либо меньше N (а) — N (Ь) на четное число. При
подсчете N(a) члены последовательности, равные нулю, вычеркиваются. Если
при подсчете N (ft) окажется, что /'" (ft) = 0 для /г-f-l ==: fej / —\,af lkl(b)^Q
и fa> (b) ф 0, тор1)(Ь)заменяются на (— 1)'~" sgn /"' (b).
Число действительных корней уравнения B), заключенных между а н Ь, нечетно
илн четно в зависимости от того, будут ли / (а) и f ф) иметь противоположные нлн
одинаковые знаки.
(g) Отделение действительных корней: метод Штурма.
Пусть для данного действительного алгебраического уравнения B) без кратных
корней (п. 1.6-2) N (х) есть число перемен знака в последовательности значе-
значений многочленов (члены, обращающиеся в нуль, не учитываются):
h (x) = f (x) = g0 (x) h (x)-h (x), h (*) = /' (*) = gi (x) h{x)-h(x),\
h(X)=Si(x)f3(x)-h(x),--; 1
еде при i > 1 каждый многочлен /; (x) есть взятый с коэффициентом —1 оста
ток (п. 1.7-2), получаемый при делении }i_i(x) на /j_x (х); многочлен jn(x)^i\.
1.7-3.
1.7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
есть постоянная. Тогда число действительных корней уравнения B), заключен-
заключенных между двумя действительными числами а и Ь~>а, не являющимися кор-
корнями уравнения B), равно N(a) — N(b).
Метод Штурма применим и в том случае, если для удобства вычислений какой-либо
нз многочленов f,-(jc) в описанном выше процессе заменить многочленом F; (х) = fi(X)/k (x).
где k (х) — положительная постоянная нлн многочлен относительно х, положительный
при а ^ х <: Ь, а оставшиеся многочлены получить, исходя нз Fi(x), а не нз /; (х).
Подобную же операцию можно вновь проделать над любым нз многочленов F^ (x) н т.д.
Если уравнение / (*)=0 имеет кратные корни, то f (X) н /'(*) имеют общий делитель
(п. 1.7-3). В этом случае многочлен fn(x) не является постоянной, и N(a) — N ф) есть
число корней между а и Ь, причем каждый кратный корень считается только один раз.
1.7. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
И ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДРОБИ
1.7-1. Разложение многочленов на множители (см. также п. 7.6-6). Если
многочлен F (х) может быть представлен в виде произведения многочленов/х (х),
f2(x),..., fs (x), то эти многочлены называются множителями (делителями) мно-
многочлена F (х). Если x=Xi — корень кратности т произвольного множителя /; (х),
то он является и корнем кратности М^т многочлена F (х). Каждый (дейст-
(действительный или комплексный) многочлен f (х) степени п относительно х может
быть единственным способом представлен в виде произведения постоянной
и п линейных множителей (х — ak), именно
п
Г(д:) = аол;" + а1Ал-1 + ... + а„_1д: + а„ = а„Г1(д:-д:А), A.7-1)
k = l
где X/,— корни многочлена f (х); корню х^ кратности т^ (п. 1.6-2) соответст-
соответствует mk множителей (х — х/,) (теорема о разложении многочлена
намножители). Каждая пара множителей [х —(fife + (<B*)] и [х — (аи — i«>k)\,
соответствующая паре комплексных сопряженных корней X/, = а/, + ia>k и
xk = aj. — t'coj. (см. также п. 1.6-6а), может быть объединена в действительный
квадратный множитель [(*— at.J + «fe2j.
1.7-2. Деление многочленов. Остаток. Частное F (x)lf (х) от деления много-
многочлена ^(д:) степени N иа многочлен f (х) степени n<N может быть представ-
представлено в виде
F (х) A,xN + AtxN~l +. ..+AN _
/ СО ~ а„хп + а,хп~' + . . . + ап ~
)+4т^' A-7)
где остаток гх (х) есть многочлен степени, меньшей, чем п. Коэффициенты Ьк
и остаток rt (х) определяются однозначно, например с помощью процесса
деления углом (алгоритма деления).
Остаток гх (х) отсутствует в том и только в том случае, когда много-
многочлен f(x) является делителем (п. 1.7-1) многочлена F (х).
Остаток, получаемый при делении любого многочлена f (x) на (х — с),
равен f (с) (теорема Безу).
1.7-3. Общие делители и общие корни двух многочленов. Если многочлен g (x)
является общин делителем (множителем) многочлеиов F (х) и f (X), то его корни являются
общими корнями этих многочленов. Отношение B), как и числовую дробь, можно сокра-
сократить на любой общий множитель числителя и знаменателя.
Многочлены
F (л:) = AaxN + AxN~x + ... + AN
И
/ w = аохп + (цхп~х +... + а
42 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.7-4.
имеют по крайней мере один общий корень (и, таким образом, общий делитель нену-
ненулевой степени) в том п только в том случае, если определитель порядка N-\-п
R (F, I) =
До Ai Аг . ... , . ... AN_ I An О
О Ао Ai А2 Лдг _ 1 /
О Ло Ai A2 .
а, аг
О а„ at аг
- °п-1 \ ° •
- • «„-I °я °
а, аг
О
О
¦-\ AN
О
О
1.7-3)
(результант многочленов F ix) и f {.':)) равен нулю. В противном случае F (л) и f (x)
ты
(р
взаимно просты.
ч Имеет место формула
N п
R(F,f) = {-])NnR (f. F)=A*aM П П (ef —Э;.),
i — 1 / = 1
где а. и C. — соответственно корни F (х) и f (х). *
Наибольший общий делитель (общий множитель наибольшей степени) многочленов
F {х) и / {х) определен однозначно с точностью до постоянного множителя и может быть
найден следующим образом. Делим f (x) на rt (x), где rt (x) определен формулой A.7-2)
получаем остаток г„ (х). Затем делим г, (х) на получившийся остаток г2 (х) и продолжаем
этот процесс до тех пор, пока некоторый остаток, скажем, г.. (х), не окажется равным
нулю. Тогда остаток г. - (х), умноженный на произвольный постоянный множитель, и
будет искомым наибольшим общим делителем. Если г, (х) — 0, то наибольшим общим
делителем будет сам многочлен f (x).
1.7-4. Разложение на элементарные дроби. Любое отношение g(x)/f(x)
многочлена g (х) степени т и многочлена / (х) степени п>т без общих кор-
корней (п. 1.7-3) может быть следующим образом представлено в виде суммы п
элементарных дробей, соответствующих корням х^ (кратности т^) много-
многочлена / (х):
mk ¦ г ,_ , Ь>.
{x)
ьк\
xk)
i-2j\vt=
Dki
°kmk
xk)
(x-xk)
A.7-4)
Коэффициенты bkj можно найти едпим из следующих методов или же комби-
комбинацией этих методов:
1. Если mh—\ (xk — простой корень), то bki = g (xk)lf (xi,)-
2. Умножая обе части равенства D) на / (х) и приравнивая ко-
коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного
равенства.
3. Умножая обе части равенства D) на f (х) и последовательно
дифференцируя полученное равенство. Пусть cpfe (x) = f (x)/(x — xk) k.
Тогда bkmk, bkmk_x, ... последовательно находятся из соотношений
(xk),
(xk),
+ Щ
1.8-3.
1.8. ЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТНЫЕ, КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Элементарные дроби, соответствующие произвольной паре комплексных
сопряженных корней а/г-]-гш/; и а;{ — ив/; кратности т^, обычно соединяются в
kmk
A.7-5)
Коэффициенты сщ и dkj могут быть определены непосредственно описанным
:;ыше методом 2. Если g (х) и f (х)—действительные многочлены (п. 1.6-6), то
все коэффициенты b^f, Cjy, dkj в окончательном разложении на элементарные
дроби действительны.
Каждая рациональная функция от х (п. 4.2-2, с) может быть представ-
представлена в виде суммы многочлена и конечного числа элементарных дробей (см.
•также п. 7.6-8). Разложение на элементарные дроби играет важную роль
в связи с интегрированием (п. 4.6-6, с) и интегральными преобразованиями
(п. 8.4-5).
1.8. ЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТНЫЕ, КУБИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
1.8-1. Решение линейных уравнений. Общее уравнение первой степени
(линейное уравнение)
ах = Ь или ах — b = О
имеет решение
Ь
у zrr
1.8-2. Решение квадратных уравнений. Квадратное уравнение
ах* + Ьх + с=0 (афО)
имеет корни
— b ± Vb* — 4ае
2а
A.8-1)
A.8-2)
A.8-3)
A.8-4)
где в случае, когда a, b и с—любые комплексные числа, }^Ьг — 4ас есть одно
из значений квадратного корня.
Если уравнение C) действительно, то его корни х1 и х2 либо действи-
действительные различные, либо действительные равные, либо комплексные сопря-
сопряженные в зависимости от того, будет ли (п. 1.6-5) D = b2 — 4ас соответственно
положителен, равен нулю пли отрицателен. Отметим, что
= —b/a и
1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано. Кубичное уравнение
xs + ax2 + bx + c=0
подстановкой х — у — — приводится к «неполному» виду
= 0, р = -~ + Ь, <7 =
Корин уг, у2, уз «неполного» кубичного уравнения F) равны
. А
2 —
A.8-5)
A.8-6)
A.8-7)
АА ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.8-4.
причем в качестве А и В берутся любые значения кубичных корней из соот-
соответствующих комплексных чисел, удовлетворяющие соотношению АВ = —р/3.
Если уравнение F) действительно, то (в тех случаях, когда это возможно)
следует брать действительные значения этих корней. Если кубичное уравнение
F) действительно, то оно имеет или один действительный корень и два
сопряженных комплексных корня, или три действительных корня, по крайней
мере два из которых равны, или три различных действительных корня в зави-
зависимости от того, будет ли Q соответственно положительно, равно нулю или
отрицательно. В последнем случае («неприводимый» случай) можно восполь-
воспользоваться методом п. 1.8-4,а. Отметим, что дискриминанты (п. 1.6-5) уравнений
(б) и F) равны —108 Q.
1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение. Пусть «неполное»
кубичное уравнение F) действительно.
(а) Если Q<0 («неприводимый» случай), то р<0 и
1Г
Р о
тсозт#
где
где
Ум
cos a = —
-2 1/ --i-cos -r-±
A.8-8)
(Ь) Если Q
У1 =
2У— (p/3)a
>0, Р>0, то
- 2/p73 ctg 2а, »„. = /Р/3 (ctg 2а ± / VTcosec 2а),
A.8-9а)
(с) Если Q > о, р < 0, то
(/, = — 2/— р/3 cosec 2а, уг,3 = /—р/3 (cosec 2а ± iYb ctg 2а), "j
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
1.8-5. Уравнения четвертой степени: решение Декарта — Эйлера. Уравне-
Уравнение четвертой степени
-1 ! „..з I »^2_L,.vj_,y = o A.8-10)
подстановкой х = у—^- приводится к «неполному» виду
У* + РУ2 + ЯУ + г = 0. A.8-11)
Корин уь у2, Уз, г/4 «неполного» уравнения четвертой степени A1) равны
одному из выражений
1.8-12)
в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие
~^Vz^ = — j, A.8-13)
причем гг, z2 и z3 — корни кубичного уравнения
1.8-в. Уравнения четвертой степени: решение Феррари. Если ^—произ-
^—произвольный корень кубичного уравнения
у» — Ьу*-\-(ас—Щу — cfid-^-ibd—са=0 A.845)
1.9-3.
1.9 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ
45
(резольвенты уравнения A0)), то четыре корня уравнения A0) находятся как
корни двух квадратных уравнений
-b+y1)x*+(jy1-c)x + "j- -d, A.8-16)
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. От-
ыетим, что дискриминанты (п.1.6-5) уравнений A0) и A5) совпадают.
1.9. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1.9-1. Системы уравнений. Решением некоторого множества (системы) урав-
уравнений
/,(*i, *г, ...) = 0 ((=1, 2,.,.) A.9-1)
с неизвестными хх, хг,... называется множество значений неизвестных xlt
х2, ..., удовлетворяющих одновременно каждом;/ из уравнений системы A).
Система A) решена полностью, если найдены все такие решения. Чисто можно
последовательно исключать неизвестные х,- из системы A), например разрешая
одно из уравнений относительно х/ и подставляя полученное выражение в ос-
оставшиеся уравнения. Число уравнений и неизвестных таким путем уменьша-
уменьшается до тех пор, пока не остается решить одно уравнение с одним неизвест-
неизвестным, После этого процесс повторяется в обратном порядке, для нахождения
второго неизвестного и т. д. Решения можно проверить подстановкой.
Чтобы исключить Xi, скажем, из двух уравнений t, (х,, хг) = 0 и \г (хх, х2) = 0, где
fi (хи х2) и fa (.«-,, хг) — многочлены относительно xt и хг (п. 1.4-3), рассматривают оба
эти функции как многочлены относительно Xi и составляют их результант /? (п.1.7-3).
Тогда х2 должно удовлетворять уравнению /? = 0.
1.9-2. Системы линейных уравнений: правило Крамера. Рассмотрим систему
л линейных уравнений с п неизвестными хг, хг, ..., хп:
• • • + а2пхп =
= bi ('=1. 2, ..,, п).
Если определитель системы B)
D = det
an a12.
а21 a22.
¦am
\ап1 ап2...апп\
не равен нулю, то система B) имеет единственное решение
= ~-k (k= I, 2 п) (правило Крамера),
A.9-2)
A.9-3)
A,9-4)
где
— определитель, получающийся из D при замене элементов а1/г, a2k, ¦¦¦
й-го столбца соответствующими свободными членами blt b2,.,.,bn, или
D,,
=1, 2, .... п),
A.9-5)
где Л,-ft —алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) элемента а^ в определителе
D (см. также пп. 13.2-3 и 14.5-3).
1.9-3. Линейная независимость (см. также пп. 9.3-2, 14.2-3 и 15.2-1, а).
(а) т уравнений fi(xltx2 xn)=Q (( = 1, 2, ..„ т) или т функций
fi (*i> х2 хп), определенных при всех значениях хи хг, ..., хп, линейно
46
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ
независимы, если
т \
из того, что У\ %ifi (xv х2, ..., х„)=0 при всех значениях I
/ = l j (l-9-b)
*i, x2 xn следует, что ^ = ^ = ... = ^„, = 0. j
В противном случае эти т уравнений или функций линейно зависимы, т. е.
по крайней мере одно из них может быть представлено в виде линейной ком-
комбинации остальных. Это всегда имеет место в тривиальном частном случае,
когда одно или более из уравнений fi(xi, х2, ...хп)=0 есть тождество.
п
п однородных линейных функций ^j aikxk (('=1> 2, ..., п) линейно незави-
симы в том и только в том случае, если det [a^jr^O (см. также п. 1.9-5).
п
Более общее утверждение: т однородных линейных функций ? а..;х, (/ = 1, 2, ..., т)
Л = 1
линейно независимы в том и только том случае если (тХпуматрцца \оцЛ имеет
ранг т (п. 13.2-7).
(Ь) т множеств, каждое из которых состоит из л чисел х\ \ х2\ ..., х„ ')
xf\ xf\ ..., xjj2); ...; х\т\ х^\ ..., xj,m* (например, решения системы уравне-
уравнений или наборы компонент т штук л-мерных векторов), линейно независимы,
если т
из ^ Vf =° (/=1.2 л) следует \ = ^ = ... = Хт=0. A.9-7)
i = i
Это выполняется в том и только том случае, если (тХп)-матрица
Ix'.'*] имеет ранг т (п. 13.2-7).
1.9-4. Системы линейных уразнекий: общая теория (см. также п. 14.8-10).
Система т линейных уравнений с п неизвестными хи <v2> ..., хп
п
Y,a!bxk = bi (( = 1, 2,..., т) A.9-8)
имеет решение в том и только в том случае, если матрицы
/ап ап ... aln \ /au a12 ... aln
о22 ... a2/l |
/'
¦• 0-mnj
A.9-9)
а
тп "m
(матрица системы и расширенная матрица системы) имеют один и тот же
ранг (п. 13.2-7). В противном случае уравнения несовместны.
Единственное решение, о котором говорилось в п. 1.9-2, существует,
если г = т=п. Если обе матрицы (9) имеют ранг г^т, то уравнения (8)
линейно независимы при г = т и линейно зависимы при г<.т (п. 1.9-3, а).
В случае г<.т некоторые т—г уравнений можно выразить в виде линейных
комбинаций остальных г уравнений (независимых), и им удовлетворяют реше-
решения этих г уравнений. Линейно независимые уравнения определяют неко-
некоторые rt^m неизвестных как линейные функции остальных л — г неизвестных,
остающихся произвольными.
1.9-5. Системы линейных уравнений: п однородных уравнений с п неиз-
неизвестными. В частности, система л однородных линейных уравнений с п неиз-
неизвестными п
2,..., п)
A.9-10)
2
4=1
1.10-1.
].!0. ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
47
имеет решение, отличное от тривиального (нулевого) решения x; = x2 = ...=
=а-„ = 0, в том и только в том случае, если D = det [a,7;]=0 (см. также
п. 1.9-3, а).
В smoM случае существует точно п—г линейно независимых решений х^\
vi1*,..., *(n'>; х[*К х{^,..; х{^;...; х^~г\ х^"» х^~г\ где г-pans мат-
матрицы системы (п. 1.9-4). Наиболее общим решением тогда является
'=1. 2,--., «),
A.9-И)
где cj —произвольные постоянные (см. также п. 14.8-10).
Й важном частном случае, когда г = п—\,
Ч = сАк1, х2 = сЛ,г2, ..., хп = сАы, A.9-12)
где Ак/—алгебраическое дополнение (п. 1.5-2) элемента akj в определителе D
(причем k выбрано так, что хотя бы одно из Akj (/=1, 2 л) отлично
от нуля) есть решение при любой произвольной постоянной с. Это значит,
что все отношения x-Jxi, определены однозначно; решения A2), получающиеся
при различных таких значениях k, тождественны (см. также п. 14.8-6).
1.10. ФОРМУЛЫ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПЛОСКИЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
1.10-1. Трапеция (стороны a, b, с, d; а и b параллельны; высота h есть
расстояние между а и Ь; площадь S):
S = ^(a + b)h, h=-^Vs(s-a + b)(s-c)(s-d), где s = a ~ " + с + d .
Трапеция является параллелограммом при а = Ь (тогда c = d) и ромбом
при a = b = c = d.
Таблица 1.10-1
Правильные многоугольники (длина стороны равна а)
Число
сторон
п
3
4
5
6
8
10
Правильный
многоугольник
Треугольник
Квадрат
Пятиугольник
Шестиугольник
Восьмиугольник
Десятиугольник
Радиус
описанной
окружности
р а
'v 2 sin (зт/к)
а
|A + /5)
Радиус
вписанной
окружности
а
tg (я/")
а
~2
«yW4
|A + /2)
-j У 5 + 2/5
илс-гцадь
1 ^
а2
I «2 ^
2а! A ; V-)
48
ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИИ 1.10-2.
1.10-2. Правильные многоугольники. В табл. 1,10-1 приведены выражения
для радиусов описанной и вписанной окружностей и для площади некото-
некоторых правильных многоугольников.
1.10-3. Круг (радиус г).
(a) Длина окружности 2пг, площадь пгг.
(b) Центральный угол, равный ср радианам, определяет дугу длиной гср,
сектор с площадью г2ф/2, хорду длиной 1r sin (ф/2), сегмент с площадью
г2(ф—sin ф)/2.
(c) Площадь между окружностью радиуса п и заключенной внутри нее
ческой) окружностью (\) X
(с) Площадь между окружностью рду п
(не обязательно концентрической) окружностью радиуса г2 равна п(г
( льно концентрической) ру рду 2 р (г*) X
Х(»Ч-г2).
1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы.
(a) Объем призмы или цилиндра с основанием St и высотой h равен hSt.
(b) Объем пирамиды или конуса с основанием S1 и высотой h равен ftSr3.
(c) Объем усеченной пирамиды или конуса с основаниями Slt S2 н высо-
высотой h равен h (S1 + l/S^S2' + S2)/3.
(d) Боковая поверхность прямого кругового конуса с радиусом основа-
основания г и высотой h равна лг^г2 +/z2.
1.10-5. Тела вращения (см. табл. 1.10-2).
Тела вращения
Таблица 1.10-2
I
2
3
4
5
Тело
Сфера радиуса г
Сплюснутый эллипсоид
вращения (сфероид) (Ось
2а>26. e = l/l-^;
вращение вокруг малой
осн.)
Вытянутый эллипсоид
вращения (Ось 2a>2fc,
8=1/ I——; вращение
" а2
вокруг большой осн.)
Тор, образованный вра-
вращением круга радиуса г
ROKpyr оси, отстоящей
на расстоянии R от
центра
Сферический сегмент
радиуса г, заключенный
между параллельными
плоскостями; h — рас-
расстояние между плоско-
плоскостями; г,, гг — радиусы
оснований
Площадь поверхности
4яг«
2ла> + я^1п|±^
2nb' + 2я — arcsin 8
Е
2nrh + n (r-j + r|)
Объем
5 na'b
О
I nab'
2n'-Rr'
* h (Зг{ + Щ + ft.)
1.11-1.
1.11 ТРИГОНОМЕТРИЯ НЛ ПЛОСКОСТИ
1.10-6. Правильные многогранники. В таблице 1.10-3 приведены основные
элементы всех правильных многогранников.
Т а б л п ц а 1.10-3
Пять правильных многогранников
(Длина рра равна а; соответствующие числа F граней, Е вершин и К ребер
српг.аны формулой Эйлера Е + F — К = 2 *))
Пршнль-
1С.1Й МНО-
МНОГО Гр<1М-
h:ik
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Число и тип
iраной
4 равносто-
равносторонних тре-
} голышка
6 квадратов
8 рапносто-
рошшч тре-
треугольников
12 праьпль-
11 ЫХ ПЯТИ -
угольников
20 равносто-
равносторонних тре-
треугольников
Радиус
описанной
сферы
I"
±(\-[Yb)Y3
*) Формула Эйлера справедлива для
Радиус
гписанио.ч
сфери
а
~2
4 У У 5
-4- C+/5)
Площадь
поверхности
cflYi
2а? Yi
Sa2X
X 1/5E + 2/5)
5а2 V
Объем
а3
Аа»(з+У1б)
любого выпуклого многогранника.
1.11. ТРИГОНОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
I.II-I. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники. Тригонометрия
на плоскости описывает соотношения между сторонами и углами плоских
треугольников в терминах тригонометрических функций (п. 21.2-1— 21.2-4);
заметим, что все плоские фигуры, ограниченные пря-
прямыми линиями, можно рассматривать как комбина-
комбинации треугольников. Так как каждый плоский треуголь-
треугольник можно разложить на прямоугольные треугольники,
то наиболее важными тригонометрическими соотношения-
соотношениями являются соотношения между сторонами и углами
прямоугольных треугольников.
Прямоугольные треугольники. В каждом прямо-
угольном треугольнике (рнс. 1.11-1) с катетами а, Ь и
гипотенузой с:
(«¦11-1)
А-\-В = 90°, аг-\-№ = сг (теорема Пифагора),
sin A = cos В = —, sin В = cos А = —,
tgA=ctgB = ~, tgB = c\gA = ±-.
50
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.11-2.
1.11-2. Свойства плоских треугольников. В каждом плоском треугольнике
(рис. 1.11-2) сумма углов равна 180°. Сумма любых двух сторон больше тре-
третьей стороны, против большей из двух сторон лежит
больший угол.
Треугольник на плоскости единственным образом
определяется (с точностью до преобразования симметрии):
1) тремя сторонами,
2) двумя сторонами и углом, заключенным между
ними,
3) стороной н двумя прилежащими к ней углами.
В каждом плоском треугольнике три биссектрисы его углоп
пересекаются в центре М вписанной окружности. Три перпен-
перпендикуляра к его сторонам, проходящих через середины этих сто-
сторон, пересекаются в центре F описанной окружности, Три ме-
медианы пересекаются в центре тяжести в треугольника. Три
высоты треугольника пересекаются в точке Н, лежащей на
одной прямой с точками Fa G, причем Нв : GF = 2. Середины сторон, основания высот
и середины отрезков, соединяющих Н с каждой нз вершин треугольника, лежат на
одной окружности (окружность девяти точек, окружность Фейербаха). Центр зтой
окружности есть середина отрезка HF.
1.11-3. Формулы для решения треугольников. В нижеследующих соотно-
соотношениях Л, В, С являются углами, лежащими соответственно против сторон
а, Ъ, с треугольника. Площадь треугольника обозначена через S; i? иг явля-
являются соответственно радиусами описанной и вписанной окружностей, ар =
Рис. 1.11-2. Косо-
Косоугольный треуголь-
треугольник.
Таблица 1. 11-1
Решение плоских треугольников
(Все остальные случаи получаются циклической перестановкой.)
Случай
1
2
3
4
Даны
Три стороны а, Ъ, с
Две стороны и угол
между ннмн Ь, с, А
Одна сторона и два
угла о, В, С
Две стороны и угол
против одной из них
Ь, с, В
Использованные формулы
(А + В + С = 181)°)
А, В, С из B) или E)
—^— из F) или G), затем
В и С; или В, С из C) и D):
t B b sin A
а из C) илн D)
Ь, с из C);
А = 180» — В —С
из C):
Ъ sin A
а== sin В '
sinC CS'"B
b
А — 180° — В —С
Условия существования
решения
Сумма двух сторон должна
быть больше третьей
Задача имеет одно реше-
решение, если b S с; два реше-
решения, если b < с, с sin В <; 6;
одно решение, если b <Cct
с sin В =* b'j при b <^ с,
с sin В > b решения нет
1.12-1.
1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
Б1
Для того, чтобы получить все формулы, необходимые для решения тре-
треугольников, нужно произвести одновременную циклическую перестановку Д,
В, С и а, Ь, с. Табл. 1.11-1 позволяет вычислить все стороны и углы тре-
треугольника по определяющим его сторонам и углам.
= ф _]_сJ_ Abc COS2 A_(
косинусов), A.11-2)
~ШГв
(теорема синусов),
c = acos B~\-b cos А (теорема о проекциях)
sin тг — 4-
be
be
ь-с
ф+с) sin4 =
A.11-3)
A.11-4)
A.11-5)
A.11-6)
A.11-7)
= -ab sin C = i-6c sin A=^ac sin B =
— Ур (р — а) (р — Ь) (р — с) =
— 2R* sin A sin В sin C= 7-5- = /
Длина высоты ha—^ (S =
A.11-8)
A.11-9)
A.11-10)
Длина биссектрисы ®a=y^-cV'bc{a + b+c) (b + c — a).
Длина медианы та= ~ у2b2 -\-2c2 — a2. '
1. 12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
кпа-ruitt," Введение> Сферические треугольники. На поверхности шара
большогое^ Р,агсстояние межДУ ДВУМЯ *°чками измеряется вдоль окружности
иодьшого круга, т. е окружности, плоскость которой проходит через центр
Яотся ^еЗИЧеСК°Й> П> 17-?Л2)- ВеРШииы сферического треугольника
исфе?н4 ™»КаМИ пеРесечеН11я тРех лучей, выходящих из центра шара,
Сферической поверхности. Сторонами а, Ь, о сферического треугольника
52
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.12-2.
Рнс. 1.12-1. Сферический треу-
треугольник.
называют те углы между лучами, которые меньше 180° *). Каждой стороне
треугольника соответствует дуга большого круга на поверхности шара
(рис. 1.12-1). Углы А, В, С сферического
треугольника, противолежащие сторонам а,
Ь, с соответственно, представляют собой, по
определению, меньшие, чем 180°, углы между
дугами больших кругов, соответствующими
сторонам треугольника, или углы между
плоскостями, определяемыми данными лу-
лучами.
Сферическая тригонометрия занимается изу-
изучением соотношений между сторонами и углами
сферических треугольников (например, на поверх-
поверхности Земли н на небесной сфере,). Однако фн-
зикн н инженеры во многих задачах предпочи-
предпочитают использовать преобразования вращения
(п. 14. 10-1), а не сферическую тригонометрию.
1.12-2. Свойства сферических треу-
треугольников. Каждая сторона и угол сфери-
сферического треугольника по определению мень-
меньше 180°.
Геометрия на поверхности шара являет-
является неевклидовой (см. также п. 17.3-13);
в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°,
сумма углов заключена между !80° и 540°. В каждом сферическом треуголь-
треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон
больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс
третий угол.
Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью
до преобразования симметрии):
1) тремя сторонами,
2) тремя углами,
3) двумя сторонами и заключенным между ними углом,
4) стороной и двумя прилежащими к ней углами.
Замечание. Для каждого сферического треугольника можно определить большие
круги, играющие роль перпендикуляров, проведенных через середины сторон, биссектрис,
медиан и высот. Плоскости трех больших кругов каждого типа пересекаются по прямой.
В полной аналогии с описанной окружностью плоского треугольника существует
описанный прямой круговой конус, содержащий трн прямые линии, определяющие тре-
треугольник; ось stoio конуса есть прямая, по которой пересекаются плоскости перпенди-
перпендикуляров, проведенных через середины сторон. Существует также вписанный прямой кру-
круговой конус, касающийся трех плоскостей, соответствующих сферическому треугольнику;
ось этого конуса есть прямая, по которой пересекаются плоскости биссектрис. «Радиус»
описанной окружности н «радиус» вписанной окружности представляют собой углы, рав-
равные соответственно половинам углов прн вершинах первого и второго конусов.
Если R — радиус шара, то площадь Sr сферического треугольника выражается фор-
формулой
SR = R4, A.12-1)
где е— сферический эксцесс (избыток):
е — А + В-\-С — л, A.12-2)
измеряемый в радианах. Величина d = 2я — (а + Ь + с) называется сферическим дефектом.
Полярный треугольник, соответствующий даниому сферическому треугольнику, оп-
определяется тремя лучами, перпендикулярными к плоскостям, связанным со сторонами
данного треугольника. Если одни сферический треугольник полярен относительно дру-
другого то и второй будет полярен относительно первого. Стороны одного нз полярных от-
относительно друг друга треугольников дополняют углы другого до 180°. Таким образом,
каждая теорема или формула относящаяся к сторонам и углам треугольника, может
быть преобразована в теорему или формулу об углах и сторонах полярного треугольника.
•) Если один из этих углов равен 180°, то сферический треугольник вырождается
в полуокружность большого круга.
1.12-4.
1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.12-3. Прямоугольный сферический треугольник. В прямоугольном сфе-
сферическом треугольнике по меньшей мере один угол, например С, равен 90°;
противоположная сторона с называется гипотенузой. Соотношения между сто-
сторонами и углами прямоугольного сферического треугольника могут быть из-
извлечены из следующих двух мнемонических пра-
правил Непера:
В диаграмме на рис. 1.12-2 синус любого из
указанных в ней углов равен
1) произведению тангенсов двух углов, прилежа-
прилежащих к нему на диаграмме,
2) произведению косинусов двух углов, противо-
противолежащих ему на диаграмме.
Пример. Найти стороны и углы прямоугольного
сферического треугольника, зная гипотенузу с и сторону а.
Эта задача имеет решение только при условии
sin fl<s:nt; тогда
cosfc =
_ tg a . sin a
cosB=--—. s\nA — .
tg с s:n с
Замечание. Если а меньше, равно нлн больше Рис. 1.12-2. Правила Непера.
90°, то и А соответственно меньше, равно илн больше
90°, н наоборот.
Если даны а и Л, то эадача имеет решение только
в том случае, когда предыдущее условие выполнено и, кроме того, sin a ^ sin А; если
а Ф А, то решений два.
Если даиы А и В, задача имеет решение только прн выполнении условий 90° < А 4-
+ В<270° и— 90° < Л — В<90° (см. п. 1.12-2).
Сферический треугольник со стороной, равной 90°, называется квадрантным тре-
треугольником н может рассматриваться как полярный треугольник прямоугольного сфери-
сферического треугольника.
Ко всем задачам, включающим решение сферических треугольников (пря-
(прямоугольных или косоугольных), настоятельно рекомендуется делать эскиз,
ясно показывающий, будут ли различные углы и стороны меньше, равны
илн больше 90е.
1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (см. также
рис. 1.12-1) | В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами,
противолежащими соответственно сторонам а, Ь, с сферического треугольника.
«Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через
г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной
циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица 1.12-1 позволяет вы-
вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим
образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале
п. 1.12-2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить
посторонние результаты при решении треугольников.
sin A
sin b
~-~ШГв~'
ШГс
синусов),
A.12-3)
cos a = cos b cose + sin b sin с cos А {теорема косинусов для сторон), A.12-4)
cos A = — cos В cos С -f- sin B sin С cos а {теорема косинусов для углов), A.12-5)
tgJLtilcosJli^ctg^coS^,
2 SUl 2 '
{аналогии Непера) A.12-6)
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ I.I2-4.
Таблица 1. 12-1
Решение сферических треугольников
(см. формулы п. 1.12-4 и рис. I.12-I)
Условия существования
Л. В, С из (8) н цикличе-
цикличеСумма двух сторон должн
быть больше третьей
Три угла
А, В, С
Две стороны и за-
заключенный между
ними угол
Ь, с, А
Два угла и заклю-
заключенная между ними
сторона
В, С, а
а, Ь, с из (8) и циклической
перестановки
В + С В — С
3 ¦ и —j— из F),
затем В и С; а нз G), (8)
или D)
Ь Л-с Ь — с ,,,,
-Jf- и ——• из F),
затем Ь и с; А из G), (8)
или E)
180° < А + В + С < 540°;
Сумма двух углов должна
быть меньше 180° плюс тре-
третий угол
Две стороны и про-
противолежащий одной
из инх угол
Ь, с, В
С из C); Л и а из F)
Два угла н проти-
противолежащая одному из
них сторона
в, с, ь
с из C); Л и а из @)
Задача имеет одно или де;
решения, если
sin с sin В =? sin b.
Сохраняются те из Еелн
чии С, для которых А — В
и а— Ъ имеют одинаковый
знак;
А + В — 180°
и а + Ь — 180°
такке должны быть одпоп
Задача имеет одно или дв,
решения, если
sin Ь sin С == sin В.
Сохраняются те из вели-
величин с, для которых А—В
и а — b имеют одинаковый
знак;
А + В — 1оч
и а + Ъ - 180"
также должны быть одного
знака
1.12-1.
1.12. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
sin j sin -
= sin -| cos
cos j sin ?¦=? = sin ~ sin ^-y^-, I
A b—c a . B+C I
cos ~2~ cos —— = cos -j- sm —\—, j
2 ' i (аналогии Деламбра
I —С ! и Гаусса)
2 2
а + 6 + с
COS
л
?
л
~2
а
2
а
=У
]/
— J,
-1/
sin(s — &)sin (s — с)
sinbsinc '
sins sin (s—a)
sin 6 sin с '
— cos S cos (S — Л)
sinBsinC '
cos (S —B)cos(S —C) .
sin В sin С
(формулы половинных
углов)
Ct2
'j/'cos (S — A) cos (S — B) cos E —C)
— Iх - cos S
A _sin(s-o)
LL° ~ tg p '
sin s
<i cos (S — A) .
^- = —^-^
:$=Vb
tg 8 ~ a tg s ~b t"
tg^:tg^-
tg -j- tg
(уравнение Люилье).
55
A.12-7)
A.12-8)
A.12-9)
'1.12-10)
A.12-11)
Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для
вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометри-
тригонометрические функции
vers А = I —cos Л, covers А = I —sin Л, hav/l=— (I — cos Л). A.12-12)
Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сфе-
сферических треугольников можно использовать следующие формулы:
hav Л
' hav a == hav (b - с) + sin b sin с hav Л. A.12-13)
Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой.
ГЛАВА 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
2.1-1. Вводные замечания (см. также п. 12.1-1). Геометрия занимается изуче-
изучением объектов, которые могут быть в том или ином смысле отождествлены
с точками, и представляет собой математическую модель, воспроизводящую
отношения между этими объектами. В основе каждой геометрической системы
лежат определенные аксиомы. Они могут быть выбраны таким образом, чтобы
соответствующая модель отражала свойства реального физического простран-
пространства. Однако задачей геометрии является также логическое построение самых
разнообразных аксиоматических систем, в том числе и таких, которые
ие всегда отвечают наглядным представлениям. В аналитической геометрии
точка определяется системой чисел (ее координат), и, следовательно, геомет-
геометрические факты записываются в виде соотношений между координатами.
Главы 2 (аналитическая геометрия иа плоскости) и 3 (аналитическая гео-
геометрия в пространстве) следуют тому способу изложения, который принят
в большинстве элементарных курсов: основные понятия геометрии предпола-
предполагаются известными и просто переводятся на язык алгебры, становящейся
вследствие этого средством исследования геометрических форм.
В гл. 17 кратко изложен и использоваи более глубокий метод, состоя-
состоящий в построении различных геометрических систем на основании заданных
аксиом. В пп. 17.1-1 — 17.1-6 содержатся краткие
сведения из дифференциальной геометрии плоских
кривых, включая определения касательной, нор-
нормали н кривизны.
2.1-2. Декартова система координат. Декартова
система координат связывает с каждой точкой Р
плоскости, на которой выбраны две направлен-
направленные прямые (оси координат) Ох и Оу, пересекаю-
пересекающиеся в начале координат О (рис. 2.1-!), пару
действительных чисел, абсциссу х и ординату
у; при этом пишут Р(х, у). Прямая, проходящая
через точку Р параллельно оси Оу, пересекает
ось Ох в точке Р'. Аналогично прямая, проходя-
проходящая через точку Р параллельно Ох, пересекает
Оу в точке Р". Величина направленного отрезка
ОР' = х (положительная, если направление ОР' совпадает с направлением
оси Ох, и отрицательная в противном случае) и определенная аналогичным
способом величина ОР" = у называются декартовыми координатами точки Р.
В общей (косоугольной) декартовой системе координат угол со между
осями Ох и Оу может принимать значения 0 < <в< я(правая система) или
—-я<о)<0 (левая система). Если для измерения отрезков ОР' и ОР" исполь-
используются различные единицы длины, то система координат называется общей
декартовой или аффинной.
Оси координат делят плоскость на четыре квадранта (рнс. 2.1-1)- Абсцисса х поло-
положительна для точек (х, у), расположенных в квадрантах / и IV, отрицательна в квадран-
квадрантах // и III, равна нулю для точек оси О у; ордината у положительна дляточек
N
Рис. 2.1-1. Правая декарто-
декартова косоугольная система ко-
координат. Отрезки OEi и
ОЯг — единицы масштаба на
осях.
2.1-4.
2.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Ы
б квадрантах / и II, отрицательна для точек в квадрантах /// и IV, равна нулю для
точек оси Ох. Началом координат служит точка @, 0).
Замечание. Аналитическая геометрия на евклидовой плоскости постулирует
рзаимно однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами
(«координатная» аксиома, аксиома непрерывности, см. также
п. 4.3-1).
2.1-3. Правая декартова прямоугольная система
координат. В правой декартовой прямоугольной систе-
системе координат направления осей выбираются так, что
поворот оси Ох на я/2 в положительном направле-
направлении, т. е. в направлении, противоположном враще-
вращению часовой стрелки, совмещает полуось положитель-
положительных х с полуосью положительных у. При этом условии
координаты х, у равны соответственно расстояниям
от координатных осей Ох и Оу до данной точки Р,
определенным по величине н знаку (рис. 2.1-2).
В этой главе, если не оговорено противное,
всегда применяется правая декартова прямоугольная система координат.
2.1-4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах.
1. Расстояние d между точками Р1 (хъ у{) и Р2 {х2, Уг)
d = V(x» — XiV+ (!/* —у,)*. B.1-1)
w
Рис. 2.1-2. Системы ко-
полярная.
VDlf + (y^y ^
2. Угол 7 между двумя направленными отрезками Р±Рг н P3Pt
cos 7 = -т=
(Хг — *l) (X, — Х3) + (У, — yt) {У, — У,)
V (X, - Хг)' + (У, - yj* V(Xt - Х„)> + (yt
- Уз)г
B.1-2)
Направляющими косинусами направленного отрезка PiPz называются косинусы
углов а и а = а образованных отрезком с положительными направлениями
координатных осей:
cos а„ = ¦
cos а .
B.1-3)
3. Координаты х, у точки Р, делящей направленный отрезок Р^Рг между
сами Pi (xv yi) и Р2 (х2, Уг) в отношении PtP : РР2 = т : л = Х : !, опреде-
точками
ляются формулами
х = -
У~
т -\-п \ +К
Координаты середины отрезка РхР%:
— со<Х< +
1 + V'
B.1-4)
- , BЛ-5)
¦Х- При 0<Х<со точка Р лежит внутри отрезка PiP2, а при —1 <Х<0
и — оо< А, < — 1 — вне его. При Х = 0 точка Р совпадает с точкой Pv а при
\ — ± со точка Р стремится к точке Р2.
Формулы D) сохраняют смысл при Х = — 1, если прямая дополнена несоб-
несобственной или «бесконечно удаленной» точкой, которая делит любой отрезок
этой прямой в отношении, равном —1.-^
4. Площадь S треугольника с вершинами Р1 (х1, у{), Р2 (хг, у2), Рз(х3, г/3)
определяется формулой
у\
Уз
,= ' [х, {yt -у3)-[-х2(у3 -2/iH x3 (у!- уг)]. B.1-6)
|
53
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1-
В частности, если х3 — у3 = 0, то
х2
B.1-7)
Значение S положительно, если направление обхода Р^гРз совпадает с поло-
положительным (против часовой стрелки) направлением вращения.
2.1-5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе
осей. Пусть х, (/ — координаты произвольной точки Р относительно декартовой
системы координат; пусть X, у— координаты
этой же точки Р относительно другой декарто-
декартовой системы координат, оси которой соответ-
соответственно параллельны осям первой системы и
направлены так же, как они, и начало кото-
которой имеет относительно системы Оху коорди-
координаты х0, г/о- Если на осях этих систем выбра-
выбраны одинаковые единицы масштаба, то коорди-
»¦ наты х, у связаны с х, у следующими форму-
х лани преобразования (рис. 2.1-3):
с = л: — Xq, у — i
* или _ > B.1-8)
Piic. 2.I-3. Параллельный пере-
перенос осей координат. Уравнения (8) допускают еще одно истолкование.
Если рассматривать х и у как координаты относитель-
относительно первоначальной системы координат (т. е. системы Оху), то точка (х, у) может быть
получена из точки (х, у) при помощи переноса на — х0 в направлении оси Ох и на — у„
в направлении оси Оу. Применение этого
преобразования к каждой точке некоторой пло- -. У,
ской кривой можно рассматривать как преоб- У \^.д—
разовапие переноса кривой.
2.1-6. Преобразование декартовых пря-
прямоугольных координат при повороте осей.
Пусть х, (/ — координаты некоторой точ-
точки Р относительно декартовой прямо-
прямоугольной системы координат. Пусть х,
у — координаты этой же точки относитель-
относительно новой прямоугольной системы коор-
координат с тем же началом, расположенной
относительно системы Оху таким обра-
образом, что угол хОх между осью Ох и
осью Ох равен 6; угол отсчитывается в
положительном направлении (рис. 2.1-4).
При одинаковых единицах масштаба на осях координаты х, у связаны с ко-
координатами х, у следующими формулами преобразования:
Рис. 2.1-4. Поворот осей координат.
ИЛИ
х=х cos6 + (/ sin 6, у = — * sin в + г/cos в,
6—у sin 6, у = х sin 6 + у cos 6.
B.1-9)
Если рассматривать х, у и х, у как координаты двух различны* iuhciv ишиешильни
одной и той же системы 'координат, то формулы (9) определят преобразование поворота
иа угол — 6 вокруг начала координат, переводящее точку (х, у) в точку (х у).
2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатиых осей. Если начало
координат системы Оху из п. 2,1-6 не совпадает с началом системы Оху и
2.1-Е
2.1. БПВДЕННЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
имеет относительно последней координаты х0, уй, то уразпепия преобразова-
преобразования принимают вид
или
.V = (х — х0) cos 0 + (у — у0) sin 6,
у = — (.Г — .V0) Si'! 6 + (у—уо) COS 6,
х = ,y0 -f x cos б — у sin 6,
V = i'o ~\- x sin 6 — у cos 0.
B.1-10)
Формулы A0) позволяют найти зависимость между координатами точки
р. любых двух правых декартовых прямоугольных системах координат с оди-
одинаковыми единицами масштаба на осях.
Формулы AС) определяют также преоЗразоваиия переноса и вращения, переводящие
точку (х, у) в точку (х ,{/), где обе течки рассматриваются в одной и той же систеке
координат.
Замечание. Преобразования (8), (9) и A0) не изменяют расстояния A) меж,1:у
двумя точками или величину угла, определяемую формулой B). Соотношения, состав-
составляющие содержание евклидовой геометрии, не изменяются при преобразовании переноса
и посорота, т. е. инвариантны относительно эти:: преобразований (см. также пп. 12.1-5,
И.1-4, 14.4-5).
2.1-8. Полярные координаты. Полярная система координат иа плоскости
задается точкой О (полюс) и направленной прямой Ох (полярная ось). С каж-
каждой точкой Р плоскости, на которой задана полярная система координат,
можно связать определенную пару чисел р, ц> (полярные координаты). Поляр-
Полярный радиус р есть длина отрезка ОР, а полярный угол ср — радианная мера
угла хОР, отсчитанная в направлении, противоположном вращению часовой
стрелки (см. рис. 2.1-2). Угол (р определен с точностью до слагаемого 2/гя,
где к — любое целое число. Точка (р, ср) по определению совпадает с точкой
(— р, (р + я); это условие связывает определенную точку плоскости с каж-
каждой парой чисел (р, tp) не только при положительных, но и при отрицатель-
отрицательных значениях р. Для полюса О величина ср ие определена.
Замечание. В отличие от декартовой системы, полярная система координат
не устанавливает взаимно однозначного соответствия между парами чисел (р, ср) н точ-
точками плоскости. Однако в большинстве приложений возникающая в результате этого
неопределенность может быть устранена.
Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом О и
осью Ох прямоугольной системы координат (см. рис. 2.1-2), то при условии,
что для измерения г, х и у использованы равные единицы масштаба, декар-
декартовы и полярные координаты связаны следующими формулами преобразования:
= pcostp,
у = р sin ф,
B.1-11)
Имеют место следующие формулы (р, ф — полярные координаты):
I. Расстояние d между точками (Pi, q>i) и (р2, <р2):
d =
cos (фг —
2. Площадь треугольника с вершинами Pt (р,, ф,), Р2 (pi, фг), Р3 (Рз, фа):
s = 2 ^lpz Ein №2 ~ ф1) + Р2рз sin № ~ *Р2> + p3pl sin (<Р' ~ "Po'J-
В частности, если рз = 0, то
s = j Cplp2 sin (ф2 ~ ф|I-
О знаке S см. п. 2.1 -4.4.
О других криволинейных системах координат см. в гл. 6.
B.1-13)
B.1-14)
СО ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.t-9.
2.1-9. Способы задания кривых (см. также пп. 3.1-13 и 17.1-1).
(a) Уравнение кривой. Уравнение вида
ф(х, у) = 0 или y = f(x) B.1-15)
удовлетворяется координатами точек, принадлежащих определенному точеч-
точечному множеству. В большинстве случаев, представляющих интерес, это точеч-
точечное множество образует кривую (см. также п. 3.1-13). Обратно, заданную
кривую можно определить уравнением A5), которое должно удовлетворяться
координатами всех точек кривой и только этих точек. Возможен случай,
когда кривая имеет более одной ветви.
Кривые, определяемые уравнениями
ф (х, у) = 0 и X ф (х, у) = О,
где X—отличная от нуля постоянная, совпадают.
(b) Параметрическое задание кривых,
может быть задана также двумя уравнениями
x = x(t), y = y(t),
где t—-переменный параметр.
(c) Пересечение двух кривых. Значения координат х и у, кото-
которые одновременно удовлетворяют уравнениям двух кривых
<Pi (*> У)~®> Фг (х* J/)=0, B.1-17)
определяют точку пересечения этих кривых. В частности, если уравнение
ср. (х, 0) = 0 имеет действительные корни, то они служат абсциссами точек
пересечения кривой ф (х, у) = 0 с осью Ох.
Если ф (х у) — полином степени п (п. 1.4-3), то кривая <р (х, у) = 0 пересекает ось
Ох (как и любую прямую линию, п. 2.2-1) в п точках (кривая п-го порядка); однако
некоторые из этих точек пересечения могут совпадать или быть мнимыми.
Для любого действительного X уравнение
Плоская кривая
B.1-16)
х, у) + К ф2 (х, </) = О
B.I-I8)
определяет кривую, проходящую через точки пересечения (действительные или мнимые)
двух кривых A7).
(ш Уравнение
Ф1 (*, </).ф2 (х, у)=0 B.1-19)
удовлетворяется координатами точек, принадлежащих любой из кривых A7), и не удов-
летворяетси координатами других точек.
2.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
2.2-1. Уравнение прямой линии. Каждое уравнение, линейное относительно
декартовых координат х и у, т. е. уравнение вида
Ах + Ву + С=0, B.2-1)
где А и В не равны нулю одновременно, определяет прямую линию (рис. 2.2-1).
Обратно, каждая прямая линия может быть определена линейным уравне-
уравнением A). При С = 0 прямая проходит через начало координат.
Особенно важное значение имеют следующие виды уравнения прямой.
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пря-
Прямая, образующая угол ф с положительным направлением оси Ох (рис. 2.2-1)
и пересекающая ось Оу в точке (О, Ь):
y = kx-\-b, fe = tg ф.
Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой.
2.2-2.
2.2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
61
2. Уравнение прямой в отрезках. Прямая линия, пересекающая
ось Ох в точке (а, 0) и ось Оу в точке @, 6) (см. рис. 2.2-1):
3. Нормальное уравнение прямой. Пусть р~длина перпен-
перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а 6 — угол (изме-
(измеренный в положительном направлении) между положительным направлением
оси Ох и направлением перпендикуляра,
опущенного из начала координат на прямую
(см. рис. 2.2-1).
Тогда уравнение прямой имеет вид
xcos8 + (/ sin 6—р = 0.
4. Уравнение пучка прямых
с центром в точке (хъ у{):
У (. __^ (х — х ) *>ис' 2-2"'- Уравнение прямой.
5. Уравнение прямой, проходящей через две дан-
данные (несовпадающие) точки Р1 {хъ у{) и Р2 (х2, г/2):
у — yt
Уг —г/1
или
у
2/1
Уг
1
= 0.
Если прямая задана общим уравнением A), то отрезки а и Ь, отсекаемые ею
на осях, угловой коэффициент fe, расстояние прямой от начала координат р,
cos 6 и sin 6 выражаются через коэффициенты А, В и С следующим образом:
а = — % 6 = —§> fe = tg ф = — Аё, ф = 6 — |, B.2-2)
с .Л . в
зш6 = + 1/лТх-Ж- B-2-3)
В2'
cos 6 = -
В,'
Во избежание неопределенности знак перед радикалом выбирается так
чтобы соблюдалось условие р > 0. '
В этом случае cos в н sin в являются направляющими косинусами положительной
нормали прямой — перпендикуляра опущенного из начала координат на прямую
(см. п. 17.1-2). Если С = 0, то выбор положительного направления на нормали пронз-
2.2-2. Другие способы задания прямой. Параметрические уравнения прямой
могут быть записаны в виде
B 2-4>
ПРИ ЭТОМ
axt-\-Xf,, y = avt+y0 (t — переменный параметр);
г/
аг1х0 — аху„
аху0 — ауха
а
¦х
B.2-5)
Р=-
sin 6 = — ¦
cos 6 = ¦
B.2-6)
Если знак корня выбран так, что р > 0, то начало координат будет лежать
справа от направления, в котором точка (х, и) перемещается по прямой при
возрастании t. r r
62 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Уравнение прямой в полярных координатах:
р(Л соэф + В sin ф)+С = 0
или
pcos (qi—6
2.2-ti
B.2-7)
B.2-8)
где А, В, С, р и 9 имеют тот же смысл, что и в п. 2.2-1; р, ф —полярные
координаты.
2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ
2.3-1. Точки и прямые. Расстояние 6 от точки Ра (ха, у0) до прямой
Ах-\-Ву-\-С = 0, определенное по величине и знаку, может быть найдено по
формуле
g Ах„ + Ву„ + С B 3 П
Ya* + вг '
где знак перед радикалом противоположен знаку С. Иногда fi называют
отклонением точки от прямой; отклонение положительно, если начало коор-
координат и точка Ро (хп, у0) лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно,
если по одну сторону.
Три точки {хъ ух), (*2, Уг) и (хя, у3) лежат на одной прямой в том и
только в том случае, если (см. также п. 2.2-1)
Хх 2/i
х2 у2
х3 Уз
= 0.
и
2 3-2. Две или несколько прямых.
(а) Дее прямые ^^^ илй y =
или
А2х-\-В2у + С2 =
B.3-2)
B.3-За)
B.3-36)
_kzbl — k,bj
пересекаются в точке
i
(b) Угол Vi2 между двумя пересекающимися прямыми (За) и C6) определя-
определяется формулой
^12=^7ТО7=та <2-3-5>
* Под углом Vi2 ПРИ этом понимается угол, на который нужно повернуть
прямую (За) вокруг точки пересечения прямых против часовой стрелки до
первого совмещения с прямой C6). Поменяв местами kx и k2, получим тан-
тангенс смежного угла уг1 = л—у12. *
(c) Прямые (За) и C6) параллельны, если
B.3-6)
i = 0 или k2 =
и перпендикулярны, если
2=0 или ft,—?• B-3>
(d) Уравнения прямых, проходящих через точку (хь Ух) под углом у
За):
/ — 2/i = -
2.3-3.
2.3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ
В частности, нормаль к прямой (За), проходящая через точку (xlt уг),
определяется уравнением
у —ух = ^ (х — Ху) или у — Ух = — -^(х — Хх).
(е) Уравнение любом прямой, параллельной (За):
А1Х + ВхУ + С = 0.
Расстояние б между параллельными прямыми (За) и A0):
B.3-9)
B.3-10)
B.3-11)
Если в A1) знак перед радикалом противоположен знаку Сг, то б будет
положительным, когда начало координат н прямая A0) лежат по разные сто-
стороны от прямой (За).
(f) Уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых
(За) и C6), имеет вид
(Л1г + В1(/ + С1) + Х(Л2г + В2у + С2) = 0, B.3-12)
где % — постоянная (см. также п. 2.1-9, с). Обратно, каждое уравнение вида
A2) определяет прямую, проходящую через точку пересечения данных пря-
прямых. Если (За) и C6) параллельны, то A2) определяет прямую, которая
в свою очередь им параллельна. Совокупность прямых, определяемых урав-
уравнением A2) при различных значениях параметра X, называется пучком пря-
прямых, а точка их пересечения — центром пучка. Если базисные прямые (За)
и C6) пучка заданы нормальными уравнениями (п. 2.2-1), то (—А) равно
отношению расстояний от любой точки прямой A2) до базисных прямых; при
Х=1 и А,=—1 полученная прямая служит биссектрисой угла между базис-
базисными прямыми пучка.
(g) Для того чтобы три прямые
А1х + В1у + С1 = 0, А2х-\-В2у + С2 = 0, А3х + В3у+С3 = 0 B.3-13)
пересекались в одной точке или были параллельны, необходимо и достаточно,
чтобы
\Ах Вх Сх
12 В2 С2 =0, B.3-14)
ч. е. чтобы левые части уравнений A3) были линейно зависимы (п. 1.9-3, а).
2.3-3. Тангенциальные координаты. Уравнение
0 B.3-15)
определяет прямую линию (?, ti). Числа | и Т1 называются ее тангенциальными (линей-
(линейными, плюккеровыми) координатами. Если точечные координаты к, у фиксированы, а |,
tl рассматриваются как переменные, то A5) становится уравнением точки (х, у), т. е.
точки пересечения всех прямых A5). Симметрия уравнения A5) относительно точечных и
тангенциальных координат влечет за собой соответствие (двойственность) между теоре-
теоремами, относящимися к взаимному расположению точек и прямых (пп. 2.3-1 и 2.3-2).
Уравнение F (\, ti)=0 определяет семейство прямых, которое, вообще говоря, имеет
огибающую, зависящую от вида функции F A, т)) (п, 17,1-7),
2.4-1.
64 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ)
2.4-1. Общее уравнение второй степени. Кривые второго порядка (конические
сечения) определяются уравнениями второй степени относительно декартовых
прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно х,
у имеет шгд
или
где
аих-> + 1а1гх
(аих + a1!ty
.. . м=о
;+«22.'У +
aik = aki (i, ft=l, 2, 3).
2.4-2. Инварианты. Для любого уравнения A) три величины
1 «11 «12 Я13
0,
Я12
Я21
А =
ац «22
B.4-1)
B.4-2)
являются инвариантами относительно переноса и поворота осей B.1-8),
B.1-9) и B.1-10), Эти инварианты определяют свойства кривой второго по-
порядка, не зависящие от ее положения на плоскости.
Инвариант А, а также иногда Д =8Л, называют дискриминантом уравнения A).
2.4-3. Классификация кривых второго порядка. Табл. 2.4-1 содержит клас-
классификацию кривых второго порядка, основанную на их инвариантах B.4-2);
в этой таблице
B.4-3)
«22 а23
а32 аЗЗ
Яц
Я13
«33
А' является инвариантом относительно поворота осей (семиинвариантом).
2.4-4. Условие подобия невырожденных кривых второго порядка. Две невырожден-
невырожденные кривые второго порядка {АфО), заданные уравнениями вида A), подобны, если
D = О для каждого из уравнений (т, е. если обе кривые — параболы) или если D фО
для каждого из уравнений и отношения пц-.а^'.а^, для этих уравнений совпадают.
2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение.
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи
характеристической квадратичной формы
а1гху + а2гуг, B.4-4)
болой в зависимости от того, буд
тельно определенной, неопределенной или полуопределенной квадра
устанавливается по корням А,ь Я,2 ее характеристического уравнения
устанавлива
= 0 или
B.4-5)
^орни ^i, ^2 являются собственными значениями действительной симметрической мат-
матицы [вц] (пп. 13,4-5, 13.5-2) и, как следствие этого, всегда действительны.
-х- Чяллртим что инварианты / и D кривой второго порядка следующим образом г-ы-
^< Заметим, что инварианты / и D крив р р
ражшотся через корни характеристического уравнения E):
+ * D M
Отсюда следует что если один из корней \t,
т. е. / = 0, то О<0 (см. табл. 2.4-1) *
равен нулю, то D = 0, а если X, = —
/ 0, т <
2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка.
(а) Диаметром кривой второго порядка называется прямая, являющаяся
геометрическим местом середин параллельных хорд. Говорят, что диаметр
сопряжен хордам (а также направлению хорд), которые он делит пополам.
2.4-6. 2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ)
65
Таблиц 2.4-1
Классификация кривых второго порядка
Центральные кри-
кривые второго порядка
D фО
Нецентральные кри-
кривые второго порядка
(без центра или с не-
неопределенным цент-
центром)
D = 0
D >0
D <0
D =0
Невырожденные кривые
Афй
?>»
Действительный
эллипс (окруж-
(окружность, если
/г = 4D или
а„ = а„, Qi, = 0)
Мнимый эллипс
(ни одной дейст-
действительной точки)
Гипербола
Парабола
Вырожденные (распадаю-
(распадающиеся) кривые
А = 0
Действительная точка пе-
пересечения двух мнимых пря-
прямых (эллипс, выродившийся
в точку)
Пара действительных пе-
пересекающихся прямых (вы-
(выродившаяся гипербола)
Л'>0
Л'<0
А' = 0
Пара мнимых па-
параллельных прямых
(нн одно!! действи-
действительной точки)
Пара действитель-
действительных параллельных
прямых
Одна действитель-
действительная прямая (пара
совпавших прямых)
Диаметр, сопряженный хордам, образующим угол б с положительным направ-
направлением оси Ох, определяется уравнением
(anx + any->ral3) cos 6 +(<%* + Яггг/ + Ягз) sin 6 = 0. B.4-6)
(b) При ОфО все диаметры кривой второго порядка пересекаются
в одной точке — центре кривой (другое определение см. в п. 2.4-10). При
D = 0 все диаметры параллельны или совпадают. В случае йфО кривая вто-
второго порядка называется центральной.
Координаты центра (дг„, у„) определяются уравнениями
ац*о + ai22/o + 3 = 0, ?21х0-{-аггу0-{-агз =0, B.4-7)
откуда следует, что
D
a,i а,.
D
агз
(ОфО).
B,4-8)
Если кривая центральная, то перенос B.1-8) начала координат в ее центр (8) приводит
уравнение кривой к виду
а„х' +2а1гху + а„у' + ^ = 0, B.4-9)
где х, у — координаты относительно новой системы.
(с) Кажцый из двух сопряженных диаметров центральной кривой второго
порядка делит пополам хорды, параллельные другому диаметру (см. также
п. 2.5-2, е).
3 Г. Корн и Т. Корн
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.4-7.
2.4-7. Главные оси. Диаметр, перпендикулярный к сопряженным ему хор-
хордам, называется главкой осью кривой второго порядка и является осью сим-
симметрии кривой. Каждая центральная кривая второго порядка (D Ф 0) либо
имеет две взаимно перпендикулярные, главные оси, либо каждый диаметр
является главной осью; в последнем случае кривая является окружностью.
При D = 0 кривая имеет одну главную ось (см. табл. 2.4-1). Точки пересече-
пересечения кривой второго порядка с ее главными осями называются вершинами
втой кривой.
Главные оси имеют направление собственных векторов матрицы [ч^] (', k==l, 2)
(см. п. 14.8-6). Иначе говоря, направляющие косинусы cos 9, sin 0 нормалей к главным
осям (п. 2.2-1) удовлетворяют уравнениям
(а„ — \) cos 9 -f a12sin 6 = 0, a3, cos 6 + (a22 — ?„) sin 9 = 0, B.4-10)
где \ — отличный от нуля корень уравнения E). Направления главных осей и сопря-
сопряженных им хорд называются главными ьаправлениями кривой второго порядка. Угол
между положительным направлением осн Ох и каждым из двух главных напр> е.-.сппц
кривой определяется формулой
только окружность имеет неопределенные главные направления.
2.4-8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному
(каноническому) виду. Если ввести новую систему координат, совершив пово-
поворот осей на угол, удовлетворяющий уравнению A1), и подходящий перенос
начала (п. 2.1-7), то уравнение A) любой невырожденной кривой второго
порядка может быть приведено к следующему стандартному (или канониче-
каноническому) виду (параметры а2, б2 и р, встречающиеся в канонических уравне-
уравнениях, весьма просто выражаются через корни Xi ^ Х2 характеристического
уравнения E) и инварианты A, D, I):
х±+У-=\ (эллипс),
а2 ' Ь*
I А_ _А_ Ь2
?!__^- = 1 (гипербола),
%, D ф,
(парабола),
Уравнения вырожденных (распадающихс
Способом приводятся к виду
B.412а)
B.4-126)
B.4-12с)
:я) кривых второго порядка аначеппшым
*! ^- = 0 (пересекающиеся прямые).
B.4-13)
XL
а2
1 (параллельные прямые),
__ о (обиа действительная прямая). )
Замечание. Поворот координатных осей B.1-9) на угол, удовлетворяющий
уравнению A1), приводит к диагональному виду матрицу [я^] характеристической
квадратичной формы D) (см. также п. 14.8-6). Изменение 6 иа угол, кратный л/2, соот-
соответствует некоторой перестановке переменных х, у, —х и —у. Канонические уравнения
A2, о), A2, Ь), A2, с) соответствуют такому выбору 6, при котором фокусы (п. 2.4-9)-кри-
2.4-9)-кривых второго порядка лежат на оси Ох.
2.4-10.
2.4. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ)
67
2.4-9. Геометрическое определение невырожденной кривой второго по-
порядка. Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго по-
порядка A2) может быть при помощи подходящего преобразования начала
(п. 2.1-5) приведено к виду
2/2 = 2р*— A
B.4-14)
В этом случае кривая проходит через начало координат новой системы; ось
Ох является осью симметрии кривой. Уравнение A4) выражает тор
факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим ме-
местом точек, отношение расстояний которых еЭ=0 (эксцентриситет) от
данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кри-
Кривая есть эллипс при е<1 и, в частности, окружность при е = 0, гипер-
гипербола при е>1 а парабола при е = 1.
Уравнение директрисы кривой A4):
? (I + 8) '
координаты срокуса:
B.4-15)
B.4-16)
av,-;lX-!-а12 (yl
или
Дпре;:триса перпендикулярна к оси симметрии, проходящей через фокус и
вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой
рпвио р/е. Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипер-
гипербола), то прямая
*=T^i = a B.4-17)
является осью симметрии кривой и, следовательно, кривая имеет два фокуса
и две директрисы.
Фокальным параметром невырожденной кривой второго порядка назы-
называется полозина длины ее хорды, проходящей через фокус и перпендикуляр-
перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда); фэкальный параметр равен р.
Замечание. Все тччы кривых второго порядка, сырочед-.нпых и невырожден-
невырожденных, .-ioeum быть полусны как плоские сечения прямого tcpyeowo конуса при различных
no.wvr -т.пх секущей плоскости относительно конуса. Если критя распадается на пару
параллельных прямых, то стздует считать, что конус вырождается в цилиндр.
2.5-1Э. Касательные и нормали к кризым вторэго порядка. Полюсы и по-
поляры. Уразнение касательной (п. 17.1-1) к кривой второго порядка A) в ее
точке (ху, уу) имеет вид
акууу + а13
х+(а21х1+аг2у1
1 -\-х) +а23 (ух+у) +а33 = 0
a33) = 0.
B.4-18)
Уразнение нормали (п. 17.1-2) к кривой второго порядка A) в точке
(xi> Уд имеет вид
*-*'= »-»1 .B.4-19)
-f-
агз
Уравнение A8) опогдгллет прямую, называемую полярой точки (г,, ?/t)
относительно кривой второго порядка A), независимо от того, лежит ли
точка (хи ;д) на кривой или нет; точка (xlt г/,) назызается полюсом пря-
прямой A8). Поляра точки кривой есть касательная к кривой в этой точке.
о
с
о
е-
8
?
|
s
«С
Гипербола с центром
в начале коордннат; дейст-
действительная ось на оси 2а,
мннмая ось 26
Эллипс с центром в начале
координат; большая ось
2а на осн Ох, малая
ось 26
з .
о с
>• 1
а &
О Q
¦& I
о ё
§ !
О *¦—
XD С
ИЗ
О.
е^_
; т
* II
^ %
* <j
Окружность раднуса R
с центром в начале
координат
Кривая
"ч
1
%
н
%
\
3
-о
-
II
%
о;
II
+
ч
Уравненне кривой
1
1
1
а,
1
а.
1
а.
1
а>
1
ч
1
ч
1
ч
1
1
ч
ч
1
ч
о
+
+
F
+1
S
ч
+
ч
1
т
'а,
+
о;
1
1
сз
ч
см
1
ч"
1
S;
II
Уравнення каса-
касательных к крнвой,
проходящих через
точку (*!, yi)
-О
1
+i
н
II
%
•О
+
m
С
+ 1
II
Si
+
II
1
а;
+1
II
й.
Уравнения каса-
касательных к крнвой.
имеющих данный
угловой коэффи-
коэффициент k
а>
н
%
CS
Si
-
*
Ч
+
н
II
а>
5г
II
а>
+
Ч
н
Уравнение поля-
поляры точкн (*,, yCi
нлн уравненне ка-
касательной к кривой
в точк^ (ж,, уг)
ч
е
5-
и
о;
и
5?
Si
<
S3
1
и
5
ч
<J
Коордннаты хи у,
полюса прямой
Ах+Ву+С = 0 с
относительно кри-
кривой
сз
1
i
Г
^.
н
ч
1
ч
н
ii
ч
1
°-
ч
1
¦<
ч*
1
Уравнение норма-
лн к кривой в точке
(*1. У\)
li
ъ
-о
1
и»
ъ
II
ъ
«4
•о
+
II
-\
S;
Уравнение, кото-
которому удовлетво-
удовлетворяют «линейные ко-
координаты» ?, ii лю-
любой касательной
к кривой
2-4-11. UA КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ)
69
Замечание (теоремы о полюсах и п о л я о а х>
еу:о 1е,по%То "nSS-""e^ZT' нТ"и''rTZo^Xp^ B°"«' « "«"•» «¦ « —
Д, « Л m ? ^L_ «-Q , " " Q гармонически разделяют
*' " ' pR*~'~~W2 (новое определение поляры)
^которую точку, то ее полюс лежит на
поляре этой точки
p^To^Zc,iztM
~1Г~''Н0 Уд'1ЛеННОй П"ЯЯ°й " оряЛТ„^еТи^етГа^
что по/шГл1бКоГТо Z°moT ZufcZeZZ ZZLZ^i °б*?д™^° ™* «ойспюм.
Лариса ест, поляра фо.угЧ, (ЛТо7 оГрТдГлТнТе" ф"о Гу с ГГ„ „Т^
J* >—4 следует, в частности что-
^,*« «ро^Г^тХЛ^и^08"" д5" -«'"«— « кршой. то по,яра этой
хорд(а1 Касат'м"»' « «Р«»°й « ,0НЧ« диамтра паралмлыш сопряж,нннм ему
¦:rprs%^:K^ZCZ7u1,e:^ZrHblX к Кр"°0й " ка^ах л:о6ой ее хорды, про^О^й
2.4-11. Другие способы
порядка
I
X-
х\
х\
х\
х\
Х1
ху
*1.'Л
ЧУг
хзУз
ха4
ЧЧъ
Уг
У'\
у\
У\
У\
У\
X
xi
х2
х3
Xi
Ч
У
У\
Уг
Уз
Vi
Уъ
1
1
1
1
= 0.
B.4-20)
УраВПенИе этой КРМОЙ в поляр!
—±——
1 + 8 COS ф '
B.4-21)
70 ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.5-1.
2.5. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ, ЭЛЛИПСОВ, ГИПЕРБОЛ И ПАРАБОЛ
2.5-1. Окружность: формулы и теоремы (см. также табл. 2.4-2).
(а) Общее уравнение окружности в декартовых прямоугольных коорди-
координатах:
2.53.
2.5. СВОЙСТВА ЭЛЛИПСОВ. ГИПЕРБОЛ И ПАРМ5ОЛ
илн
где
B.5-1)
2л:0 = —Л,
Точка (*„, у0) — центр окружности, R — ее радиус. Окружность A) касается
сен Ох, если 4С=Л2, н оси Оу, если 4С = б2.
Уравнение окружности с центром в начале координат:
*2 + i/2 = /?2 B.5-2)
fb) Ураснение окружности, проходящей через тр
+ Уг х у 1
и точки (х,, уО. (, Уг). (*з. i-з):
=0. <2-5)
у,
(с)
Длина L каждой из касательных, проведенных из точки (хи У\) к окружности A):
B.5-4)
(d) Две окружности
L = V{xi - х0J + (г/1 - г/оJ -К^
= о,
с2 = о
B.5-5)
концентрическими в том
словие
>jb.<i>i<uiw, ,„,...,_ , только в том случае, когда At = Аг и В, = Вг.
Необходимое и достаточное условие ортогональности окружностей имеет вид
Л1Л1 + В,В2 = 2(С, + С2).
(е) Все окружности, г.роходящне через действительные или мнимые точки пересе-
пересечения дЕух окружностей E), определяются уравнением
Х2 + У2 + AlX + B.y-i- Ct + X(x2 + y* + Агх+В,у + Сг) = 0, B.E-G)
где X — параметр. Кривая F) существует и в том случае, когда окружности E) ие нмеюг
действительных точек пересечения.
(f) При Я = — 1 уравнение F) превращается в уравнение прямой
(Л, - At) х + (В, - В,) у + (С, - Сг) = 0, B.5-7)
которая называется радикальной осью двух окружностей E). Радикальная ось является
геометрическим местом точек, из которых могут быть проведены касательные равной
длины к двум данным окружиостям. Если две окружности пересекаются (касаются), ю
радикальная ось является их общей хордой (касательной к окружностям в общей точке).
Радикальной осью двух концентрических окружностей служит бесконечно удаленная
прямая. Три радикальные оси, связанные с тремя попарно взятьши окружностями, пересе-
пересекаются в одной точке (радикальный центр). Этот факт используется при построении ради-
радикальной оси двух непересекающихся окружностей. Если центры трех окружностей лежат
на одной прямой, то их радикальным центром служит бесконечно удаленная точка.
(g) Уравнение окружности радиуса R с центром (р0, Фо) в полярных координатах:
2 — 2рр0 cos (ф —
2.5-2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы
а также п. 2.5-3, табл. 2.4-2 и 2.5-1).
(а) Длины большой и малой осей эллипса B.4-12, а) т
отсекаемых эллипсом на его осях симметрии (рис. 2.5-1, а),
ветственно 1а н 1Ь. Сумма фокальных радиусов гх и г2 (табл.
тоянная (и равна 2а) для каждой точки эллипса.
B.5-8)
(см. рис 2.5-1,
е. отрезков,
равны соот-
2.5-1,6) пос-
(Ь) Гипербола имеет две асимптоты (п. 17.1-6), пересекающиеся в ез
центре. Для гиперболы B.4-12 6) уравнения асимптот:
~Ь-х. B.5-9)
I/ = — X и у = — X.
" a J a
Угол ср между асимптотами гиперболы определяется из уравнения tg (<р,'2) =
= Ь\а\ если а = Ь, то <р = л/2 [разносторонняя гипербола).
(с) Длина действительной оси гиперболы, т. е. расстояние между се вер-
шипамп (рис. 2.5-1, Ь), равна 2а. Мнимой осью называется главная ~~-
Ясиыппоны
ось,
§
1
1
if
и
р
Z
р
(
_^ *
р
\Т X
\
а)
с)
Рис. 2.5-1 й) эллипс, Ь) гипербола, с) параболт, каждая из кривых задана кано-
каноническим уравнением относительно изображенной на рисунке системы координат. Пока-
Показаны фокусы, оси и фокальный параметр.
перп:Д'-;кулярная к действительной оси. Касательная к гиперболе в ег вер-
шпнг пересекает асимптоты в точках, расстояние между которыми равно 1Ь
(рис. 2.5-1, Ь). Разность между фокальными радиусами г1 и г2 гиперболы
(таил. 2.5-1,6) постоянна: она равна 2а для правой ветви и—2а для левой.
(d) Если dx н йг —длины любых двух сопря.-кениых диаметроз (п. 2.4-6, с) эллипса
или гш'.ерйолы, то
rf,rf2 sin (arctg k% — arctg ki) — 4ab. B.5-10)
где /.'!, ko. — угловые коэффициенты дпаметроз.
(c) Для пересечения гиперболы B.4-12 6) со своим диаметром у = kx необходимо
п дотагочно выполнение условия k2 < Ь2/а2. Асимптоту можно рассматривать как
хоу:у. встречающую гиперболу в бесконечно учаленной точке и совпадающую с сопря-
сопряженным cii диаметром (а также как поляру бесконечно удаленной точки криво"!).
{{) Отрезки секущей заключенные между гиперболой и ег асимптотами, равны между
содой. Точка касания делит отрезок касательной, заключенный между асимптотами,
попогам. Произведение расстояний от точки гиперболы до асимптот постоянно.
(d) Площадь треугольника с вершинами а центре эллипса и а концах любой пары
его сопряженных диаметров постоянна. Площадь треугольника, заключенного между
асимптотами гиперболы и любой ее касательной, постоянна.
'^.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их касательных и нормален,
(а) Построение эллипса по его осям 2а и 2Ь.
1. Пусть О —точка пересечения двух взаимно перпендикулярных прямых. На одной
чз них строим отрезок Р'ОР — 2а, а на другой — отрезок Q'OQ = 2b. Тем самым уже пос-
построены 4 вершины эллипса: Р, Р', Q, Q', Проводим через точку О произвольную наклон-
наклонную, откладываем на ней отрезки OR ~ Ь и OS — а, затем проводим через точку R пря-
прямую, параллельную Р'Р. а через TO'iKy S — прямую, параллельную Q'Q. В пересечении
получим точку искомого эллипса.
2. Из точки Q как из центра раствором циркуля, равным ОР — а, делаем на отрэ-
зке Р'ОР засечки F' и F (фокусы эллипса). На отрезке Р'Р выбираем произвольну >
точку 7 Окружности радиусов Р'Г и РГ с центрами соответственно F' и/•'пересекутс!
в двух точках искомого эллипса.
72
ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.5-3.
Таблица 2.5-1
Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения
и основные формулы
(см. также пп. 2.4-9, 2.5-2 и рис. 2.5-1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-
Стандартное (кано-
(каноническое) уравнение
Эксцентриситет
Фокусы
Уравнения ;прек-
трис
Фокальный пара-
параметр (см. п. 2.1-9)
Фокальные радиусы
(расстояния от фоку-
фокусов до произвольной
точки (х, у) кривой)
Уравнение диамет-
диаметра, сопряженного
хордам с угловым
коэффициентом к
Площадь сегмента
между дугой, выпук-
выпуклой влево, и хордой,
проходящей через
ТОЧКИ (X,, (/!) И (Хи
Уравнение в поляр-
полярных координатах (ср.
с уравнением B.4-21))
Эллипс
у2 г/2
— 4- — = 1
а' + Ьг
(рис. 2.5-1, а)
(ае, 0),
(— ае, 0)
а а
х— —, х =
е е
Ь'
rt = а-\- гх,
гг — а — гх
Ь*
у пай +
+ a' arcsin -^Л
v 1 — е2 с os2 ф
Гипербола
х2 Уг ,
а2 Ь*
(рис. 2.5-1, Ь)
г =
(ае, 0),
(— ае, 0)
_а _ "
x~i~' x Т
г1~а-\-гх,
г, = — а -т гх
— Чт + Й
, — ь*
р 1-е2 cos2 ф
Парабола
У* = 2рх
(рис. 2.5-1, с)
е = 1
Р
Х-~~2
Р
4
2р cos ф
Р 1 — cos2 <р
Построение гиперболы. Пусть Р'ОР — действительная ось гиперболы, F и
F' — ее фокусы. На действительной оси выбираем произвольную точку Т так,
чтобы соблюдалось условие ОГ>ОР. Окружности радиусов Р'Т и РТ с центрами
1г и F' пересекутся в точках гиперболы (см табл. 2.5-1, соотношения между
ОР= OF', о и Ь).
(Ь) Для построения касательных и нормалей к эллипсам и гиперболам оказываются
полезными следующие свойства этих кривых:
1. Касательные к эллипсу B.4-12 а) в произвольной его точке (Xt, i/j) пересекают
ось Ох в той же точке, что и касательные к окружности к2 + у2 = о8 в точках
2.6-1.
2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
73
2. Касательная и нормаль к эллипсу в лю'ой его точке делят пополам vrnu .
SrU^-SS'rX^'"" («Фокальное с^оПстГ Гл"И„^ а"Ж
3K
тельные, лежат па окружности, построенной на большой осТ( а действительной п,^
^Ъи*ТсПк\уТн0г^^
гиперболы соответствующие вершинам, лежащим па ™ыю?о?Г также лежат на
2.5-4. Построение параболы, ее касательных и нормалей
со,
в ее вершине. Перпендикуляр, восставленный в любой точк
прямой
в„ ™чке' ежащей, на касательной к параболе в ее вершине
ее "ЖвГ касатель„ых и нормалей к параболе оказ
1. Расстояние между любой точкой
араболе оказываются полезными
Р параболы и фокисом павно
ность к
па оси
m еорема заключает в ctoe фокальное свойство параболы
из Р на псТЛЬ„Л,^Ра6°Ле в ЛЮ$°й ее n-04KS Р " перпендикуляр, опущенный
постоянно и рав7оТЮ последн>™ • "«"««<«. Расстояние между кХп!орыми
рав7оТ
СК?иСа параболы есть геометрическое место точек пересечения
ендикулярных касательных
б^ использовав соприкасиощуюся окруж-
^той соприкасающейся о ??
радиусраве,! р\
веРшине-
рщу руж
^той соприкасающейся окружности л??,.т
2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ*)
2.6-1. Примеры алгебраических кривых (см. рис.2.6-1):
(a) Парабола Нейля (полукубическая парабола)- у = ах'1'1
(b) Локон Аньези: х?-у — 4а2 Bа — у).
(c) Конхоида Никомеда: (х2 + у*) (х — аJ = хЧ2
(d) Циссоида Диоклеса:
у2 (а — г) = д:з или р = а
1
COS ф
— coscp
(е) Лемниската Бернулли:
(г2 + у2) - й2 (г2 - у2) = 0 или р2 - a2 cos 2Ф = 0.
чек A)„а°ВпЛЫ Кассини: (^2 + У2 + а2J-4а%2 = с4 (геометрическое место то-
точек, Д™ которых произведение расстояний до точек ( - а, 0) и (а 0) равной
fe Строфоида: ^з + ^ (в, + 2) = 2 ( 2 + 2) > I W Р^но ).
(h) «Крест» (Cruciform): ;
cos ф)
^V = а2 (ж2 + У2) или р = _?2_
v J ' v sin 2ф"
(i) Кардиоида:
(a2 + У2 - axY = a3 (r2 + j/S) или p = a (j
•) Наиболее подробным справочником по плоским кривым служит книга [2.3].
74
гл
. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.0-2,
(j) Трисектриса:
оо).
a <b
Улитка Паскаля
Рис. 2.6-1. Некоторые алгебраические кривые.
(к) Астроида:
д.2/3 _|_ ^/з _ а2/з или х _ а СО5з t, y = a sin31.
A) Декартов лист:
х* + у» = 3аху или * = ~р y = ~T(-co^t^
(m) Улитка Паскаля:
(х2 + У2 — я*J — &2 (*2 + У2) или р = 6 + а c°s ф,
(на рисунке обозначены декартовы координаты точек пересечения кривой с осями).
2.6-2. Примеры трансцендентных кривых (см. рис. 2.6-2).
(a) Цепная линия: у = — (е*/а -f e~x!a) = a ch A
(b) Спираль Архимеда: р = аф.
(c) Параболическая спираль: р2 = 2рф.
(d) Логарифмическая спираль: р = аеьч>.
2.6-2.
2 6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
(е) Циклоида (кривая, списанная точкой, отстоящей на расстоянии а^ от
центра круга радиуса о, катящегося без скольжения по оси абсцисс):
х = at — ах sin t, y = a — a1 cos t.
B.6-1)
Замечание. При al<C о циклоида называется укороченной, при С] > а —¦
удлиненной. Если ах = а, то получается обычная циклоида (именно она изо-
изображена на рис. 2.6-2).
\ гни
t радшн
Циклшш
I х
Цепная мания
Спираль Архимеда Ласрасрмкесхая с/траль
Рис. 2.6-2. Некоторые трансцендентные кривые.
(f) Эпициклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии а1
от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по окружности
х2-{-у2 = Ь2 и находящегося вне этой окруж:юси):
х = (а 4- b) sin -?-1 — a, sin -2—.— t, I
* Ль.} B-6-2)
(см. замечание к (е)).
(g) Гипоциклоида (кривая, описанная точкой, отстоящей на расстоянии ах
от центра круга радиуса а, катящегося баз скольжения по окружности
Л'2 + У3=62 и остающегося внутри нее):
ь—а
х = F — a) sin -у t — fli sin
-t,
= (Ь— С.) COS-
Ь — а
t
(см. замечание к (е)).
(h) Трактриса:
x = a (cos < +
B.6-3)
B.6-4)
ГЛАВА 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
3.1-1. Вводные замечания (см. также п. 2.1-1). Глава 3 посвящена анали-
аналитической геометрии трехмерного евклидова пространства. Точки задаются
радиусами-векторами или системами дей-
действительных чисел (своими координа-
координатами).
3.1-2. Декартова система координат
(см. также п. 2.1-2). Декартова си-
система координат позволяет связать с
каждой точкой Р пространства, в кото-
котором выбраны три не лежащие в одной
У плоскости направленные прямые Ох,
Оу, Oz (оси координат), пересекающиеся
в начале О, три вполне определенных
действительных числа (декартовы коор-
координаты) х, у, z; при этом пишут Р (x,y,z).
Рис. 3.1-1. Правая декартова косо-
косоугольная система координат. Отрезки
ОЕи ОЕ, и ОЕ3 — единицы масштаба
на осях.
Пусть задана (в общем случае косо-
косоугольная) система осей Ох, Оу, Oz (рис. 3.1-1);
тогда плоскость, проходящая через точку Р
и параллельная плоскости Oyz, пересекает
ось Ох в точке Р'. Аналогично плоскости,
проходящие через Р и параллельные соответ-
соответственно Охг и Оху, пересекают ось Оу в точке Р" и ось Ог Е Р"'. Длине каждого из
направленных отрезков ОР', ОР" и ОР'" приписывается знак плюс, если направленна
отрезка совпадает с направлением соответствую-
соответствующей оси, и знак минус в противном случае. Числа
х=0Р'\ у=0Р", z—OP'" называются декартовыми
координатами точки Р (х, у, z) относительно дан-
данной системы координат, образованной осями Ох,
Оу. Oz и выбранными на осях единицами масш-
масштаба.
3.1-3. Правая система осей. Оси Ох,
Оу, Ог могут образовывать правую или ле-
левую систему. Для правой системы (см.
рис. 3.1-1) поворот от оси Ох к оси Оу на
угол, меньший я, совершается в направле-
направлении против часовой стрелки, если смотреть
на плоскость Оху из какой-либо точки по-
положительной полуоси Ог (положительная
сторона плоскости Оху).
3.1-4. Правая декартова прямоугольная
система координат. В прямоугольной системе
координат оси взаимно перпендикулярны
(рис. 3.1-2). Координаты х, у, г точки Р
равны направленным расстояниям от нача-
начала координат О до плоскостей, проведенных
координатным плоскостям Оуг, Огх, Оху.
(x,y,z}-(r)
Рис. 3.1-2. Системы координат: пра-
правая декартова прямоугольная, ци-
цилиндрическая и сферическая.
через точку Р параллельно
3.1-7.
3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
77
В настоящем справочнике, если не оговорено противное, всегда приме-
применяется правая декартова прямоугольная система координат, причем для изме-
измерения х, у, г применяется одна и та же единица масштаба.
3.1-5. Радиус-вектор. Каждая точка Р (х, у, г) = Р (г) может быть задана
своим радиусом-вектором
r = *i + yj + zk = {*, у, г}; C.1-1)
этот вектор г = ОР определяет преобразование переноса, переводящее точку
и.ч начала координат О в точку Р. Базисные векторы \, ), к суть единичные
векторы, направление которых совпадает соответственно с направлением осей
Ох, Оу и Ог /аннон декартовой прямоугольной системы координат (см. также
5.1 и п. 5.5 2).
3.1-6. Цилиндрическая и сферическая системы координат. На рис. 3.1-2 показаны
также цклкндрические координаты р, Ф, 2 и сферические координаты г, 9, ф (полярный
радиус, широта и долгота), связанные с декартовыми прямоугольными координатами
следующими формулами преобразования:
p =Y хг -f- у2, # = pcos(f,
k x 2 = 2;
г — Ух- +y2 -j- 22, x=r sin 0 cosq>, I
2 I
cos С = —— _, j/ = r sin6 sinq), (
C.1-2)
C.1-3)
X/
2= Г COS в,
Дальнейшие сведения об этих, а также о других криволинейных координатах гм
в гл. 6
3.1-7. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах и
в векторной форме. Имеют место следующие формулы (операции над векто-
векторами см. в гл. 5)-
1. Расстояние d между точками
Р1(хъ
) == Я2 (га):
2-r1|. C.1-4)
2. Угол -у между прямыми РгРг и Р3Р±, направление которых опреде-
определяется векторами РгРг и Р\Р\:
lx г — xt) (х, — х,) + (у2 — Уй (г/4 — у г) + (гг — г,) {г, — г3)
cos „
Y(X2 — Xt)
B, — 2i)! Y(Xt — Х3)г + (у, —ys)
4 — Г,)
3. Координаты x, у, z и радиус-вектор г точки Р, делящей направлен-
направленный отрезок Я]Ра в отношении PJ> :Р1Р2 — т: п=\:\, определяются фор-
формулами:
тх2 +nxl _*t-f Луг
* ~ т + п "~ 1 + Я '
_ тг/г + "г/t .'У1 + ^Уг
J т+п \+Х '
z _ иг, + H2t __
C.1-6)
I -j- A.
I
78
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1-о.
См. замечание к аналогичным формулам для геометрии на плоскости
в п. 2.1-4, 3.
Координаты и радиус-вектор середины отрезка PtP2:
th + У г
2 r==- -
Г ¦¦—: ~
2
i +
C.1-7)
3.1-8. Направляющие косинусы.
(а) Направляющими косинусами cos <xx, cos ау, cosjZg направленного от-
отрезка P\Pt называются косинусы углов между РгР2 и положительными
направлениями осей Ох, Оу, Ог соответственно:
cos ax =
cos ац =
У(х2 - Xl)' + (у, - у,J + (г2 -
У2 — У1
/(*2 — *,)» + (г/г - Ух)г + B2 - z
cos2 olx + cos2 ау + cos2 az = 1.
C.1-8)
C.1-9)
Направляющие косинусы направленного отрезка P2Pf суть — cos <z_v,
— cos at.y, — cos az.
(b) Направление прямой может быть также определено любыми тремя
числами ах, ау, а2, пропорциональными направляющим косинусам cos ax,
cos а„, cos аг; в этом случае
cos ax = -
cos ay =
cos a, = -
C.1-10)
Знак перед корнем должен быть одинаковым во всех трех равенствах; его
выбор определяет положительное направление на прямой. Роль этих "нсел
могут играть координаты любого вектора а (п. 5,2-2), совпадающего по направ-
направлению с Pj>i или P2PV (Пример. ax = x2 — xv a,y = y2 — yv az = z2~zv)
Направляющие косинусы являются координатами единичного вектора, совпа-
совпадающего по направлению с PiP2 (п. 5.2-5).
(с) Угол у между двумя направленными отрезками, направляющие коси-
косинусы которых равны соответственно cos ax, cos ay, cos <xz и cos ах, cos a'yt
cos a'z или направления которых определяются тройками чисел ах, ау, az и
а'х, а'у, a'z, находится по формуле
cos у = cos ax cos a'x + cos ay cos а'у+соз аг cos a'z —
C.1-11)
8.1-12.
3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
79
на оси Ох, Оу и Ог равны
<dcosa,i
C.1-12)
3,1-9. Проекции. Проекции направленного отрезка
соответственно
где cos ax, cos a , cos «г — направляющие косинусы (8), d — длина отрезка D).
Проекция PiP2 на прямую с направляющими косинусами cosa^, cosa^, co?a^
(п. 3.2-1, b) равна cfcosY, где cos у определяется формулой A1). Проекции РЛР2 па пло-
плоскости Оуг, Oxz и Оху равны соответственно
dt=dsinav,
d —d s\na
у
do = d sin a
C.1-13)
Проекция PiPz на плоскость, нормаль которой имеет направляющие косинусы cosa^-,
cos Цу, cos az (n. 3.2-1, Ь), равна dsiny, где cosy определен формулой A1).
3.1-10. Вектор площади. Площадь плоской фигуры в трехмерном пространстве
может быть задана вектором А, модуль которого равен площади А фигуры, а направле-
направление совпадает с направлением положительной нормали (п. 17.3-2) к плоскости фигуры
А = AN,
C,1-Н)
где N — единичный вектор положительной нормали. Каждая из декартовых прямоуголь-
прямоугольных координат вектора А равна площади проекции фигуры на координатную плоскость,
перпендикулярную к соответствующей оси. Площадь параллелограмма, построенного на
векторах а и Ь, может быть задана вектором А = ахЬ (см. также п. 5.2-7).
Площадь А треугольника с вершинами Рь Ptl P3 определяется формулой
Vi
Уг
Уз
2i
22
23
1
27
1
1
J
2
Xi
хг
Хз
+
2i
Xl
22 Хг
23 Хз
Vl 2,
Уз
22
—
1
1
I
2
+
1
~~2
— [Г1
*» Ух I
Хг Уг 1
Хз Уз 1
C.1-15)
C.1-J6)
где р — расстояние от начала координат до плоскости треугольника (п. 3.2-16). Площадь
А положительна, если вращение правого винта в направлении PiPzPg сообщает винту
поступательное движение в направлении положительной нормали к плоскости треуголь-
треугольника (п. 3.2-1, Ь).
3.1-11. Вычисление объемов (см. также п. 5.2-8).
(а) Объем V тетраэдра с вершинами Рг, ра, Р3, Pt
Уг
Уз
У*
:Гз-Г!)(Г4-Г,)].
C.1-17)
Знак V зависит от того, в каком порядке рассматриваются вершины тетраэдра.
(Ь) Объем V параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с,
V = [abc]. C.1-18)
Иногда объем считают только положительным; тогда V = |[abc][.
3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при парал-
параллельном переносе и повороте осей.
(а) Перенос осей. Пусть х, у, г —координаты произвольной точки Р
относительно декартовой прямоугольной системы координат; пусть х, д, z —
координаты той же точки Р относительно другой декартовой системы коор-
координат, оси которой направлены так же, как оси первой системы, и начало
которой имеет относительно системы Охуг координаты х0, Уо, г0. Если
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1-12.
единицы масштаба на осях этих систем совпадают, то координаты х, у, z свя-
связаны с х, у, z следующими формулами преобразования:
Х = Х— Xq, X " ' " Ч
2 = г — г0, г = 2 + г0. J
(Ь) Поворот осей. Пусть х, у, г и х, у, z — координаты одной и той
же точки Р относительно двух различных правых декартовых прямоугольных
систем координат с обшим началом О; пусть вторая из них расположена
относительно системы Охуг таким образом, что
ось Ох имеет направляющие косинусы tn, t2l, t3l,
ось Од имеет направляющие косинусы tlit t2i, t3i,
ось OS имеет направляющие косинусы tX3, ti3, t33.
Тогда относительно системы Охуг
ось Ох имеет направляющие косинусы tn, tlt, ti3,
ось Оу имеет направляющие косинусы t21, <22, t23,
ось Ог имеет направляющие косинусы t31, t3i, t33-
Если для измерения х, у, г, х, у, z применяются одинаковые единицы
масштаба, то формулы преобразования, связывающие координаты х, у, г с ко-
координатами х, у, z, имеют вид
t, x=-tux + txiy + ty3z, \
, или y = tilX + ti^ + ti3z, > C.1-20)
)
Замечание. Преобразоваиия B0) называют ортогональными (пп. 13.3-2 и 14.4-5);
каждое t^ равно своему алгебраическому дополнению в определителе
det l'i.'J =' <'• ft = 1- 2' 3> C.1-21)
(п. 1.5-2); при этой
3 3
/= 2 У/*1
C.1-22)
j—• >
(с) Одновременный перенос и поворот осей. Если начало
системы координат Охуг не совпадает с началом системы Охуг и имеет отно-
относительно последней координаты хй, у0, г0, то формулы преобразования при-
нимают вид:
или
У = *21Х + t22y + ti3z + i/o.
C.1-23)
г = 3l 3
где направляющие косинусы t^ удовлетворяют соотношениям B1) и B2).
Уравнения B3) связывают координаты относительно любых двух правых де-
декартовых прямоугольных систем с одинаковыми единицами масштаба на осях.
Более общие преобразования координат рассмотрены в гл. 6.
(d) Другое истолковавие формул преобразования.
Уравнения преобразования B3) (частными случаями которых служат A9) и
B0)) могут быть истолкованы еще как соотношения, определяющие новую
точку Р с координатами х, у, z относительно той же самой системы коорди-
координат Охуг. Преобразование, в котором точка Р соответствует точке Р с коор-
координатами х, у, г, состоит в последовательном выполнении параллельного
переноса и поворота пространства (см. также пп. 14.1-3 и 15,5-1).
3.I-I4.
3.!. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
81
Замечание. Расстояния между точками, углы между направленными отрезками
к, следовательно, все соотношения между векторами, составляющие содержание евкли-
евклидовой геометрии, сохраняются при повороте и параллельном переносе B3), т. е. они
инвариантны относительно этих преобразований (пп. 12.1-5 и 12.1-4),
3.1-13. Аналитическое задание кривых (см. также пп. с 17.2-1 по 17.2-6).
Непрерывной кривой трехмерного пространства называется множество точек
Р (х, у, z)sP(r), координаты которых удовлетворяют системе параметриче-
параметрических уравнений
x = x(t), 1
y = y(t), или r = r(t), \ C.1-24)
z = z(t) (— oo^^sS^sS^sSoo), l
где x(t), у (t), z (t) — непрерывные функции действительного параметра t
в замкнутом интервале [tlt i2] (параметрическое задание кривой). С другой
стороны, кривая может быть определена равносильной системой уравнений
(х, у, г) = 0, щ (х, у, г)=0.
C.1-25)
Кривая может иметь более чем одну ветвь.
Кривая B4) называется простой кривой (простой дугой, простым отрезком кривой)
или, точнее, простой кривой в смысле Жордана, если функции х (t)t у (/), z (/) одно-
однозначны, пепрерызиы и и замкнутом интервале [tu <2] нет таких двух различных значе-
значений Ti и та, для которых справедливы все три равенства:
а;(т1) = а-(т2), !/(т,) = г/(т2), 2(т,) = 2(т2). C.1-2G)
Заметим, что термин простая дуга часто употребляется для обозначения геометрического
места точек, координаты которых х, у, z в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат удовлетворяют уравнениям у = I (-V), z — g (х), а ^ х ^ Ь, где функции f (x),
g (x) однозначны н имеют непрерывные производные в интервале [а, 6]. Простая жорда-
иова кривая состоит нз олной ветви и не имеет кратных точек, т. е. точек самопересечении.
Чростой замкнутой кривой называется непрерывная кривая, единственными кратными
точками которой являются ее начальная и конечная точки; это значит, что единственным
решением уравнений B6) в интервале [<,, <2] служит т, = <i, т2 = B. Кривая B4) назы-
называется регулярной дугой, если при некотором параметрическом задании этой кривой
функции х (/), у (t), z (/) имеют п каждой точке кривой непрерывные производные пер-
первого порядка (п. 4.5-1) по параметру t, по меньшей мере одна из которых отлична от
нуля; точка кривой B4) с координатами х (^0), у {tn), z (ta) называется ее регулярной
(обыкновенной) точкой, если лля значений t, достаточно близких к t0, кривая представ-
представляет ссбой регулярную дугу. Регулярная кривая есть простая кривая пли простая замк-
замкнутая кривая, составленная из конечного числа регулярных дуг.
Все эти определения переносятся на кривые в двумерных пространствах (пп, 2.1-9 и
7.2-1), а также на кривые у пространствах, размерность которых больше трех (п. 17.4-2).
), ры ротр, р
3.1-14. Способы задания поверхностей (см. также пп. 17.3-1—17.3-13).
жество точек Р (х у z) = P(r), координаты которых удовлетворяют
3.114.
Множество точек Р (х, у,
системе уравнений
v), y = y(u, v), г = г(и, v)
C.1-27)
при подходящих значениях действительных параметров и, v, называется
непрерывной поверхностью, если правые части уравнений B7) являются непре-
непрерывными функциями параметров. Поверхность может быть определена также
Уравнением
Ф(*, у, г) = 0 или z=f(x, у). C.1-28)
Поверхность может иметь более чем одну полость.
Поверхности, определяемые уравнениями
Ф(х, у, г)=0 и Хц>(х, у, г) = 0, C.1-29)
созпадают, если только постоянная X отлична от нуля.
Простой поверхностью называется непрерывная поверхность, состоящая из одной
полости н не имеющая самопересечений (кратных точек). При этом подразумевается, чтл
простые поверхности являются двусторонними (односторонние поверхности, такие, как
лист Мёбиуса, исключаются).
82
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1-15.
Точка поверхности B7) называется регулярной точкой, если при некотором пара-
параметрическом задании поверхности функции B7) имеют в достаточной близости к рассмат-
рассматриваемой точке непрерывные частные производные первого порядка и по меньшей мере
одни из определителей.
i я* л./ I i du dz
Ти ' I д" д" I ,3.1-30)
дх
ди
дх
dv
ди
ду
dv
*
ди
dJL
dv
So
•
дг
1п
дг
ди
дх
ди
дх
dv
отличен от пуля. Простой кусок поверхности, ограниченный регулярной замкнутой кри-
кривой, называется регулярным, если все его внутренние точки регулярные. Регулярной
поверхностью называется двусторонняя простая (замкнутая нли незамкнутая) поверхность,
составленная из конечного числа регулярных кусков с общими регулярными дугами
и точками.
3.1-15. Специальные типы поверхностей. Линейчатой поверхностью называется
поверхность, образованная движением прямой линии (ее образующей). Цилиндр есть
поверхность, образованная движением прямой, остающейся параллельной некоторой
данной прямой и пересекающей данную линию {направляющую). В частности, уравнения
вида I (х, у) = О, I (х, г) = О, I (j/, г) = 0 определяют цилиндры, образующие которых
параллельны соответственно осям Oz, Oy, Ох. Конус есть поверхность, образованная
движением прямой, проходящей через данную точку (вершину конуса) и пересекающей
дгнную линию (его направляющую). Поверхностью вращения называется поверхность,
образованная вращением плоской кривой вокруг неподвижной оси, лежащей в плоскости
кривой. Так, уравнение z — f \Yxz -\- у2) определяет поверхность, описанную вращением
кривой | ~0 вокруг оси Oz.
3.1-16. Поверхности и кривые.
(а) Линия пересечения двух поверхностей
0 (
г/.
0
C.1-31)
представляет собой кривую, точки которой (х, у, г) удовлетворяют каждому
из уравнений C1) (см. также п. 3.1-13). Линия пересечения может иметь
более одной ветви. Уравнения C1) могут также определять лишь одну или
несколько изолированных точек, принадлежащих обеим поверхностям, или
не определять ни одной точки.
Кривые
Г ф @, у, z) = О, Г ф {X, 0, z) = О, Г ф {х, у, 0) =
I х = 0;\ 0 = 0; \ 2 =
представляют собой линии пересечения (если они существуют) поверхности ф (дг, у, г)=0
с плоскостями Oyz, Oxz н Оху соответственно.
(Ь) Для любого действительного значения К уравнение
<Pi(*. У, z)+Xyi(X, у, z)=0
C.1-32)
соответствует поверхности, проходящей через линию пересечения поверхно-
поверхностей C1), если последняя существует.
(c) Уравнение
<Pi(*. г/. г)-<р2(х, у, г)=0
соответствует поверхности, образованной точками обеих поверхностей C1) и не
содержащей никаких других точек.
(d) Уравнение проекции кривой C1) на плоскость Oyz (или Oxz, Оху) может быть
получено исключением из уравнений C1) переменной х (соответственно у, z).
(e) Координаты лг, у, z точек пересечения кривой C1) с поверхностью B8) должны
удовлетворять всем трем уравнениям C1), B3). Для любых действительных Xlf Хг уравнения
ф (дг, у, z) + Xt ф, (дг, у, г) = 0, ф {х, у, z) -f ?ч Фг (*, У, z) = 0 C.1-33)
определяют кривую, проходящую через все этн точки пересечения.
(f) Кривая однопараметрического семейства
ф1 (ДГ, У, 2, }.) = 0, ф2 (ЛГ, У, Z, Х)=0
C.1-34)
описывает поверхность, ур.'ввёние^яорой может быть получено путем исключения „ара-
метра X из C4).
В.2-1. 3.2. ПЛОСКОСТЬ 8?
3.2. ПЛОСКОСТЬ
3.2-1. Уравнение плоскости.
(а) Уравнение, линейное относительно декартовых прямоугольных коор-
координат, т. е. уравнение вида
= 0 или A-r + D =
C.2-1)
где А, В я С не равны нулю одновременно, определяет плоскость; обратно,
каждую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно
декартовых прямоугольных координат.
Коэффициенты А, В, С равны проекциям вектора А = {Л, В, С}, перпендикуляр-
перпендикулярного к плоскости, на оси Ox, Oy, Oz соответственно (п. 3.1-8, Ь); вектор А имеет напра-
направление положительной или отрицательной нормали к плоскости (см. ниже) и называется
нормальным сектором плоскости. При D = 0 плоскость проходит через начало координат.
(Ь) Особенно важное значение имеют следующие виды уравнений пло-
плоскости:
1. Уравнение плоскости в отрезках. Плоскость, пересекаю-
пересекающая ось Ох в точке (а, 0, 0), ось Оу в точке @, Ь, 0) и ось Oz в точке
@, 0, с), имеет уравнение
2. Нормальное уравнение плоскости. Пусть р > 0 — длина
перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость; пусть cos ax,
соз ayt cos a.z — направляющие косинусы (п. 3.1-8) этого направленного пер-
перпендикуляра, началом которого служит начало координат, а концом точка
плоскости (положительная нормаль к плоскости). Тогда уравнение плоскости
имеет вид
х cos ax -f- у cos <ху-\-г cos az — р = 0.
3. Уравнение плоскости, проходящей через данную
точку. Если плоскость проходит через точку Рх (д;х, ylt г{]~Рх (гт), а напра-
направление нормали к плоскости задано проекциями А, В, С вектора нормали А
на осп декартовой прямоугольной системы координат, то уравнение плоскости
имеет вид
г-г1) = 0 или А-(г-г1)=0.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три дан-
данные точки Pl (xlt уь Zj) = Р A4), Р2 (х2, уг, г2) = Р (г2), Р3 (ха, у3, г3) s=
ssP(r3), не лежащие на одной прямой (п. 3.4-3, а) имеет вид
г/i
г/а
Уз
X
Ч
Ч
х3
Ч
Ч
ч
У
г/i
г/г
г/з
1
1
1
X
г
Ч
22
ч
+
1
1
1
1
ч
ч
ч
= 0,
ч
ч
ч
1
1
1
нли
г/ +
[(г
ч
ч
ч
-14)
г/i
г/г
г/з
(г-
1
1
1
-г
2
2)(Г-
—
ч
ч
ч
ГзI
г/i
г/г
Уз
= 0,
ч
ч
ч
= 0.
84
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.2-2.
(с) Если плоскость задана уравнением общего
выше величины а, Ь, с, р, cos ax, cos а„. ™« а,, выра
следующим образом: D D
cos a
cos аг =
>, ™ ценные
C.2-2)
C.2-3)
где знак перед корнем выбирается так, чтобы соблюдалось условие р > 0.
Если D = 0, то выбор положительного направления на нормали к плоскости
произволен.
3.2-2. Параметрическое задание плоскости. Любая плоскость может быть зацана
[уюшими параметрическими уравнениями (п. 3.1-14):
i..u Л- b,,v. z = г, -\- uzu -\- i
следующими параметрич
¦bxv, y = i
rt 4-
tib.
"}
C.2-4)
3.3. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
3.3-1. Уравнения прямой.
(а) Два независимых линейных уравнения
«Pi(*. г/. г) = /
«р2(х, у, г) = .
= 0, Л
= 0 /
C.3-1)
или
(Ах х \%ф0; см. также пп. 1,9-3, а, 5.2-2 и 5.2-7) определяют прямую как
пересечение двух плоскостей (п. 3.1-16, а). Обратно, каждая прямая может
быть определена уравнениями вида A). При Dj = D.. = 0 (и только в этом
случае) прямая проходит через начало координат.
(Ь) Особенно важное значение имеют следующие виды уравнений прямой:
1. Уравнения прямой, проходящей через две точки
^i (*i. Уъ *i) и Pi («2- J/2. га):
2. Уравнения прямой, проходящей через данную точку
в данном направлении (канонические уравнения прямой).
Если прямая проходит через точку Р1(х1, yv z^seP^J и параллельна
вектору а=2{ол, ау, аг} (направляющий вектор прямой; см. также п. 3.3-2),
то ее уравнения могут быть приведены к виду
или г — rl =
(с) Вектор a = Aj х А2 является направляющим вектором прямой (п. 3.1-8, Ь),
заданной как линия пересечения двух плоскостей (уравнения A)); его проек-
проекции на оси декартовой прямоугольной системы координат равны соответ-
соответственно
a BCB2Cv a,, = Ci4a —CHi, аг = Л1В2 — А^. C.3-2)
3.4-1.
3 4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ
85
Направляющие косинусы прямой и, следовательно, углы ах, ау, аг между
прямой и осями Ох, Оу и Oz определяются по формулам
cos ax = ~ (jSjC2-j52Cj), cos ay = ~
2-^2j5iJ]1/2. C.3-3)
Тот или иной выбор знака перед корнем определяет положительное напра-
направление на прямой.
Уравнения B) и C) являются условиями того, что прямая с направляю-
направляющими косинусами cos ax, cos ay, cos az или с направляющим вектором А пер-
перпендикулярна к двум векторам Aj и А2, заданным своими проекциями Alf
Въ Cj и Л2, В2, С2 на оси декартовой прямоугольной системы координат.
(d) Уравнения плоскостей, проектирующих прямую (I) на плоскости Оху, Охг и Оуг
соответственно (т. е. плоскостей, проходящих через прямую и перпендикулярных к соот-
соответствующим координатным плоскостям), таковы:
(СДг - С2А,) х + (dB2 — CSB,) ij + (C,D2 - C2Dt) = 0,
(В,Д8 - В2Л0 х + (,BtC2 - B,d) у + (B,D2 - B2D,) = 0, \ C.3-4)
J
Любые два из уравнений D) определяют прямую (I).
3.3-2. Параметрические уравнения прямой. Декартовы прямоугольные коор-
координаты (х, у, г) произвольной точки прямой удовлетворяют параметрическим
уравнениям (п. 3.1-13):
x = x1-\-axt, y = yi + ayt, z = zj + azt, или r = rj + <a, C.3-5)
где а — направляющий вектор, Р\(хг, г/j, Zj) = Рг (rs) — некоторая фиксиро-
фиксированная точка прямой.
3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК,
ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ
3.4-1. Углы.
(а) Угол Yi между двумя прямыми с направляющими косинусами "cos ax,
cos а„, cos аг и cos ax cos ay, cos аг определяется по формулам (см. также
п. 3.1-8, с):
cos Yi = cos ax cos ax + cos raycos a^-j-cos агсо8ссг, C.4-1)
sin2 Yi = (cos a,y cos az — cos az cos ayJ + (cos аг cos ax — cos ax cos агJ +
+ (cos ax cos ay —cos ay cos a^J- C.4-2)
Если прямые заданы параметрическими уравнениями (п. 3.3-2) r=rl + <a и г = г,-(-
', то
а . а' . I а X а' [ ,
Прямые параллельны, если cos Yi = I, и взаимно перпендикулярны, если cos Yi =0.
(b) Угол y2 между двумя плоскостями Ax-\-By-\-Cz-\-D = Q и А'х-\-В'у-\-
+ C'z-f-D' = 0, или A-r-]-D = 0 и A'-r-f-D' = O (угол между их нормалями),
определяется по формуле
АА' + ВВ' + СС А • А' ,д ^ ^.
В' + С YA" + В" + С'2 ~ I А | | А' | '
Если плоскости заданы параметрическими уравнениями (п. 3.2-2) г = rt -\- иа -|- ub и
г == г, 4- на' -j- t»b' то
(а х Ь) ¦ (а- х Ь-) C>5)
_
а к Ь | | а' X Ь' |
86
ГЛ
. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.4-2.
(с) Угол Ys между прямой
х — хх
х у
и плоскостью Ax^-By-\-Cz-\-D = 0 (угол между прямой и ее проекцией на
плоскость) определяется по формуле
А а г + Ва..+ Са,
C-4-6)
+ „« + „»
В частности, прямая параллельна плоскости, если sin у, = 0 (лежит на плоскости,
если, кроме того, Axl -f- Byl -f- Czi -f- D = 0); прямая перпендикулярна к плоскости, если
sin у3 = 1. Угол между прямой и нормалью к плоскости равен я/2 — у3.
(d) 1. Условия параллельности двух прямых
или
t или r =
имеют вид
а'=ха> или аха'=0.
Если, кроме того, прямые имеют общую точку, то они совпадают.
2. Прямая x — xi=-J—y^=.z — zi ^ или r = r1-irta, и плоскость
-ЬСг + О=0 или A-r + D = 0 взаинио перпендикулярны, если прямая парал-
параллельна нормали к плоскости (и сама служит иорыалью), т. е. если
-^ = -^ = ~, или а = ХА, или а х А = 0.
3. Две плоскости
), или
)'=0, нли A'-r + D'=0
параллельны, если параллельны их нормали, т. е. если
Х' = Т'=^> или А==^А'- или АхА' = 0.
Если плоскости, кроме того, имеют общую точку, то они совпадают.^
3.4-2. Расстояния.
(а) Расстояние 6 от точки Ро (х0, г/„, г0) = Po (r0) до плоскости Ах -\-
-\-By-\-Cz-\-D = 0 или A-r-f-?)=O (определенное по величине и знаку):
Ax, + By, + Cz, + D _ Ato + D _
С2
it ! A |
знак перед корнем противоположен знаку D. Иногда б называют отклоне-
отклонением точки от плоскости. Отклонение положительно, если начало координат
и точка Ро (х0, у0, га) лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно,
если по одну сторону;
Если плоскость задана параметрическим уравнением (п.3.2-2) г =ri -)- «а -|- vb, то
. ахЬ
0 - С - го) Т
3.4-3.
3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ
87
(Ь) Расстояние d от точки Ро (х0, у0, z0) se Ро (г0) до прямой —^-±- =
у —i!i z — ;
или г =
' ах (г0 — Г|
Г
.«1 — Уо г, — 20
"х "у
i—x0 IJi — IJ
V~<4 + a'y + az
(с) Кратчайшее расстояние dl между прямыми
C.4-9)
у— у]
V ах + ау + 4 V «х- + <у +
sin Yl
¦, или г = г1 -'г ts.,
~x'i iJi—'Л zi~z
ау az
¦'х а'у az
C.4-10)
пли (/,=111^ li—II, где sin yx определяется равенством B). Если
j ИХ 3 |
прямь-.е параллельны (sinvI = 0), то dl определяется равенством (9).
3 а м с <i а и и е. Если с определителе, стоящем в правой части равенства A0), заме-
заметить а-к :/(, г, переменными х, у, z и приравнять его к нулю, то полученное уравнение
определит плоскость, проходящую через вторую прямую параллельно первой. Если пря-
прямые пересекаются, то плоскость проходит через обе эти прямые.
(d) Расстояние rf2 между параллельными плоскостями Ax-{-By-\-Cz-\-D~
= 0, A'x^-B'y + C'z-]-D' = 0:
'^^^± C.4-11)
I A|
z
\ A' + Б' + С
(с) Расстояние d3 от плоскости до параллельной ей прямой определяется
по формуле G).
3.4-3. Специальные случан взаимного расположения тояек, прямых к плоскостей,
(а) Т о ч к и. I. Три rn.o-.h-u Р( (д:,, ;/ь г,), Р, (хг, цг, г2) и Р3 (х3, Уз, z3) лежат на
Оной npn.iioi, ест (необходимое и достаточное условие)
X, — Xj
Хг — Xi
f/, —
Уг — 44
пли (см. также равенство C.1-15))
Уу z, I I
Уг zz 1 | =
— , ИЛИ Г. — Г! = ?v (Г2 — Г,),
Уз 2з 1
I
I
1
=
Xl Ух
х2 Уг
Хз Уз
1
1
1
= 0,
(Га —ri)X(r2
C.4-12)
C.4-13)
C.4-14)
2. Чсггыре точка лежат в оЭной плоскости, если (необходимое и достаточное усло-
Xl Г/1
хг Уг
*а Уг
xt yt
= 0, или [(г2 — rt) (гз — п) (г4 —ri)] = 0.
C.4-15)
() Плоскости. 1. Если три плоскости Ах + В и + Cz + D = 0, А'х+ В'у+ C'z +
~r D = 0, А"х + В"у -f- C"z + D" = 0 проходят ".срез одну и ту же прямую, то
ABC
Д = А' В' С | = 0. C,4-16)
" В" С"
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.4-4.
. 1
с ¦+•
У
А
А'
А"
А"
Rit -L
о!/ -(-
+ С"
S
В'
В"
В'"
Су 4-
'Z+1
С
С
С"
С"
D = (
У" = (
D
D'
D"
О'"
', Л'л- ¦+-
) приходя
= 0.
B'j/ + C'z + ?"
/п через одну и
= 0,
ту
Л
же
C.4-17)
2. Если «
ку, то
т. е. левые части их уравнений линейно зависимы (п. 1.9-3, а).
(с) Прямые. Две прямые лежат в одной плоскости (т. е. пересекаются или па-
параллельны), если (необходимое н достаточное условие) четыре определяющие их плос-
плоскости удовлетворяют условию A7). Если прямые заданы параметрическими уравнениями
+ ^ г = г' -f- ta!, то условие A7) принимает вид
C.4-17а)
етворяют условию A7). Если прямые заданы
г = г' -f- ta!, то условие A7) принимает вид
[(г1-г;)аа']=0.
3.4-4. Тангенциальные координаты плоскости и принцип двойственности. Уравнение
+ 1=0 C.4-18)
определяет плоскость (|, Т|, ?). Числа |, т|, ? называются ее тангенциальными (линей-
(линейными, плюккеровыми) координатами. Если точечные координаты х, у, г фиксированы,
а 1. "П. ? рассматриваются как переменные, то A8) становится уравнением точки (х, у, г),
т. е. точки пересечения всех плоскостей A8).
С равнения A8) относительно ринат при
В0Д1Г.
теоремой о взаимном положении точек, прямых и щ^^и..,» ^..,..-.
которая получится, если в формулировке первой теоремы поменять местами термины
тючках и «плоскость-».
3.4-5. Некоторые дополнительные соотношения.
(а) Если фк (х, у, г) = 0 и ц>2(х, у, г) = 0 — уравнения двух плоскостей,
то уравнение
q>i(x, у, г) + Хф.2(х, у, г) = 0 C.4-19)
определяет плоскость, проходящую через линию пересечения данных плоскос-
плоскостей (или параллельную им обеим, если они параллельны). Уравнение A9)
называется уравнением пучка плоскостей. Если обе плоскости заданы нормаль-
нормальными уравнениями (п. 3.2-1,2), то (—к) рар.но отношению расстояний от лю-
любой точки плоскости A9) до заданных (базисных) плоскостей; при Х=1 и
Х=— 1 полученные плоскости являются биссекторными плоскостями дву-
двугранных углов между данными плоскостями.
Если плоскости ф! = 0 н ф2 = 0 параллельны, то все плоскости A9) также
им параллельны.
(Ь) Уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости Ах-\-By-\~Cz +
+ ?) = 0 и проходящей через точку Р0(х0, у0, г0):
(c) Направляющий вектор и направляющие косинусы линии пересечения
двух плоскостей определяются по формулам C.3-2) и C.3-3).
(d) Точка пересечения трех плоскостей Ax-\-By-\-Cz-\-D=Q, А'х-\-В'у-\-
-f-C'z + ?>' = 0 и A"x-\-B"y-\-C"z-\-D" = 0 имеет следующие координаты:
D В
D' В'
D" В"
А В
А' В'
А" В"
С
С
С"
D
D'
D"
Д =
A D С
A' D' С
A" D" С
ABC
А' В' С
А" В" С"
C.4-21)
3.5-4.
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
89
3.5-1. Общее уравнение второй степени. Поверхности второго порядка
(квадрики) определяются уравнениями второй степени относительно декарто-
декартовых прямоугольных координат. Общее уравнение второй степени относительно
переменных х, у, z имеет вид
а цх2 + а22у* + "ззг2 + 2а12ху + 2alaxz + 2агзуг -j- 2аих + 2аиу + 2аиг + аи = 0
или
(апх + а12у + апг + аи) х + (а21х + а.22у + а53г + a2i) у +
-\-(cslx-lra32y-\-a33z-Jra3i)z-!railx-\-ai2y-]rai3z-Jrau = 0, C.5-1)
где aik = aki; I, fc=l, 2, 3, 4.
Уравнение A) можно записать в векторной форме
(Аг) • г + 2а • г + аы = 0, C.5-2)
где А — аффинор с координатами Аи~а.,, а—вектор с координатами а-= j-j (cm.
также п. 16.9-2).
3.5-2. Инварианты. Для любого уравнения A) четыре величины
+ Оз3.
«11 «12 «18
а21 а22 а23
J «32 О.ЗД
] =
, А =
121
°33
)
«и 2 а13 аы
°21 а22 а23 a2i
°31 °32 °33 °34
Пц ^42 «43 ^41
> C.5-3)
являются инвариантами относительно параллельного переноса и поворота
осей C.1-19), C.1-20), C.1-23). Эти инварианты определяют свойства поверх-
поверхности, не зависящие от ее положения в пространстве. Детерминант А назы-
называется дискриминантом уравнения (I).
3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка. Табл. 3.5-1 содержит
классификацию поверхностей второго порядка, основанную на их инвариан-
инвариантах, определенных в п. 3.5-2. В этой таблице
А' = Л
Ац; обозначает алгебраическое дополнение элемента а;/е в определителе
/4 = det|a;ft|, см. п. 1.5-2,
ап аи
а,, а,.
«22 а24
«42 «44
C.5-4)
А' и А" являются инвариантами относительно поворота осей (семиинва-
(семиинвариантами).
3.5-4. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение.
При помощи характеристической квадратичной формы
C.5-5)
соответствующей уравнению A), могут быть изу
рого по В
ы важные свойства поверхностей вто-
втой или неопределенной квадратичной формой,
ее характеристического уравнения (п. 13.4-5, а)
дой, отрицательно определе
устанавливается по корням ки Кг,
— 11.* -t- Л. — i> = 0.
C.5-0)
90
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.5-4.
Корин >,,, Х2, ?,3 являются собственными значениями действительной симметрической
матрицы [а^] (п. 13.4-2) и, как следствие этого, всегда действительны. Имеем:
1 = К + Х2 + U J = КК + ХДз + UK. О = ЯДг>-з-
Таблица 3.5-1 а)
Классификация поверхностей второго порядка
Центральные
поверхности
D ф 0
Нецентраль-
Нецентральные поверх-
поверхности
D =0
D/, 7
оба больше
нуля
D/, J
не оба боль-
больше нуля
Невырожденные поверхности
Л >0
Мнимый
ЭЛЛИПСОИД
Однополостный
гиперболоид
Гиперболический
параболоид
Л <0
Эллипсоид
Двуполостным
гиперболоид
Эллиптический
параболоид
Вырожденные
поверхности
Л = 0
Точка (действитель-
(действительная сершина мни-
мнимого конуса)
Действительный
конус
Цилиндры (см. табл.
3.5-1 (б). Л' ф 0)
Пары плоскостей
(см. табл 3.5-1 (б),
А' = 0)
л = о, о = о, j>q
А = 0, D = 0, J <0
Л = 0, D = 0, J = 0
Ранг квадратной мат-
матрицы [0;^] 4-го по-
порядка (п. 13.2-7)
Цилиндры
А'фН
Эллиптический ци-
цилиндр (МНЦМЫЙ
эллиптический ци-
цилиндр, если А'1 > 0;
действительный, если
Л'/<0)
Гиперболический ци-
цилиндр
Параболически^ ци-
цилиндр
3
Т
а б л н ц а 3.5-1 AЛ
Пары плоскостей
Л' =0
Пара мнимых плоско-
плоскостей, пересекающих-
пересекающихся по действительиой
ПрЯМОЛ
Пара действительных
пересекающихса пло-
плоскостей
Пара параллельных
плоскостей (минмых,
если Л" > 0; дейст-
действительных, если
А" <0)
2
Пара действи-
действительных совпа-
совпадающих плоско-
плоскостей •)
1
*) Пара совпавших плоскостей характеризуется любым из следующих двух
признаков: (а) ранг \а-и\ равен 1, (б) А ~ 0 ~ J ~ Л' = А" = 0, / ф 0.
3.5-С.
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
01
пе..Д,5;5' Йж:стральные плоскости, диаметры и центры поверхностей оторого
(а) Для любой поверхности второго порядка (вырожденно"; или невы-
невырожденной) геометрическим местом середин параллельных хорд служит плос-
плоскость, которая называется диаметральной плоскостью поверхности сопр^жен-
0?^'1 (ИЛ" папРавлению этих Х°РД)- Диаметральная плоскость
A), сопряженная хордам с направляющими косинусами ccs a
cos a
р рд
y, cos аг, определяется уравнением
+ au) cos а
) cos ау-\-
У + ззЬ(/34) cos а, = 0. C.5-7)
(Ь) Прямая, по которой пересекаются две диаметральные плс-кос^и га-
зьшастся диаметром, сопряженным семейству плоаюстей, параллельных со'лоя-
леиным хордам этих диаметральных плоскостей. С другой стороны дигмёто
является геометрическим местом центров кривых второго порядка ' по ко-о-
рым пересекают поверхность параллельные между собой плоскости семейства
Сравнения диаметра, сопряженного семейству плоскостей с заданной наплав-
наплавляющими косинусами нормалей cos ax, cos ay\ cos az: "Д^-ь—и напрс.в
¦ C.5-8)
cos о...
i_os а
ку
cos а.
„ niSLi? ^ BCe днаметРы поверхности второго порядка пересекаются
в одном точке, центре поверхности (другое определение см. в п. 3 5-8) При
I0?,параллельны или лежат в олкон плоскости. В первом
bQ, поверхность называется центральной.
za центра определяются системой уравнений
ЯцЛ'о + Oiii'o + а13г0 + аы = О,
Я2|А-о + О22;;0 -f a23z0 4- О24 = О,
1^0 4" О024'0 4- °332o 4" 4 = О,
д
cijwae, т. е. при
Координаты -v0, (,'
откуда
д-„ =- 1
C.5-9)
«22
«32
023
1
а3з
«34
ацхг 4- az2i/2 4- а3322 + 2aitxy 4- 2alzxz 4
где х, у, г — координаты относительно новой системы.
^ = о,
C.5-10)
C 5-11)
центРалы10Й поверхности второго порядка называются
аМИ ^ КаЯ4ДЫЙ "ИХ СП ПЛ0СК0СТИ ™*
детров
3.5-6. Главные плоскости и главные оси
дам(^3м"я^раЛЬМЯ.ПЛ0СК0СП' перпендикулярная к сопряжзикым ей хор-
сё пло"™^ гГЛаВН°И пло";с:тью поверхности второго порядка и является
меньшей »п С11МметРи"- ^^я поверхность второго порядка имеет по
ад ГпГимГп ГЛаВТ° пло=к°"ь и п° «еньшей 'мере две" плоскости сим-
ToIko' пигмГп Р- паРаб0ЛИческ"и Цилиндр имеет одну главную плоскость.)
Щ°м) котовТнеТГ ПЛ0СКОС™ си™етрии (перпендикулярные к образую'
поверхно°т?°Ртопп ЯВЛЯЮТСЯ главными плоскостями. Каждая невырожден пи я
куляптр ггяяп Р П0Рядкат, н:"ест по меньшей мере две взаимно перпенди-
по мРеньшеГI n пло<=кости. Каждая центральная поверхность (п. 3.5-5) имеет
поверхностью S, ТРИ чГлаВНые плоскос™ (Ровно три, если она не является
пендикуляр,?ые Р ;ИЯ)' °РеДЙ К°ТОрЫХ Всегда еУЩе=твуют три взаимно пер-
ЙЧ ^ЯЮ1ЦИЙСЯ ЛИНИеЙ пеРесечения ДВУ^ главных плоскостей,
а осью поверхности и является ее осью симметрии. Если
92
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.5-7.
поверхность имеет две главные оси, то она имеет и третью, перпендикулярную
к ним обеим. Каждая невырожденная поверхность имеет по меньшей мере
одну главную ось. Центральная поверхность имеет по меньшей мере три
(ровно три, если она не является поверхностью вращения) взаимно перпенди-
перпендикулярные главные оси, представляюшие собой нормальные к ее главным пло-
плоскостям диаметры (сопряженные как этим плоскостям, так и между собой,
см. п. 3.5-4, а); среди главных осей центральной поверхности всегда имеются
три взаимно перпендикулярные.
Нормали к главным плоскостям нмеют направления собственных векторов мат-
матрицы [О(д.], (, ft=l, 2, 3 (см. п. Н.8-С), Направляющие косинусы этих нормалей
cos а^, cos а„, cos az определяются системой уравнений
(аи — X) cos ax-]- at2 cos ау + а13 cos аг = 0, \
asi cos ax + (a2! — X) cos a + a2, cos аг
- 0,
C,5-12)
Он cos ах+ азг cos ау + (а33 — X) cos az = 0, j
где X — отличный от нуля (заведомо действительный) корень характеристического урав-
уравнения F). -^Если все корни Хи кг, Ха уравнения F) отличны от нуля, то система A2)
определяет для каждого нз этих корней направляющие косинусы главной оси. В том
случае, когда X = 0 является простым корнем характеристического уравнения F), ему
соответствуют направляющие косинусы единственной главной осн. Если же X = 0 —
кратный корень, то поверхность является параболическим цилиндром нли парой парал-
параллельных плоскостей. В этом случае система C.5-12) содержит только одно независимое
уравнение. Если дополнить ее уравнением
а41 cos ах -f- а42 cos ау + о43 cos аг = О,
то новая система определит направление образующих цилиндра.¦&
3.5-7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному
(каноническому) виду. Если ввести новую систему координат, осуществив
1) поворот координатных осей (п. 3.1-12, Ь), в результате кото-
которого нормаль к каждой из взаимно перпендикулярных плоскостей
Рнс. 3.5-1. Невырожденные поверхности второго порядка: а) эллипсоид. Ь) одиополост-
иый гиперболоид, с) двуполостный гиперболоид, d) эллиптический параболоид, е) гипер-
гиперболический параболоид.
симметрии поверхности станет параллельной одной из новых осей
(преобразование к главным осям, см. п. 14.8-6);
3.6-8.
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
93
2) подходящий перенос начала (п. 3.1-12, а),
то уравнение A) любой невырожденной поверхности второго порядка можот
быть преобразовано к одному из видов, перечисленных в табл. 3.5-2. Ьти
поверхности изображены на рис. 3.5-1. Каждое из полученных уравнений
называется стандартным (или каноническим) уравнением соответствующей
поверхности. В табл. 3.5-2 приведены также основные свойства поверхно-
поверхностей и соотношения, позволяющие определить параметры а2, б2, с2, р и q по
инвариантам A, D, J и / уравнения (I).
Уравнения вырожденных поверхностей (см. табл. 3.5-1) аналогичным образом при-
приводится к следующему стандартному виду:
а'- г Ьг с2
= 0 (действительный конус; круговой, если аг = Ь2),
/"г === * (эллиптический цилиндру круговой, еелн аг = Ь2),
X2 1/г
~--—J-= 1 {гиперболический цилиндр).
| C.5-
.5-13)
-а — ,j=0 (пара пересекающихся плоскостей),
у2 =2рх (параболический цилиндр),
х2
- = 1 (пара параллельных плоскостей),
х2 = 0 (одна действительная плоскость).
Направления новых осей Ox, Oy, Oz определяются уравненнямн A2) с точностью до
поворота иа угол, кратный л/2, вокруг любой нз новых осей; этому преобразованию
соответствует перестановка переменных х, —х, у, —у, z, —z в канонических уравне-
уравнениях табл. 3.5-2.
3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка.
Полюсы и поляры.
(а) Определение касательных плоскостей и нормалей поверхности, а также
условия их существования приведены в п. 17.3-2. Уравнение касательной
плоскости к поверхности A) в точке Рг (хъ ylt z{j имеет вид
C.5-14)
уъ z-,) (см. также
¦si)
(b) Уравнения нормали к поверхности A) в точке
п. 3.3-16, Ь):
У — i'i
¦ aMVi
C.5-15)
(с) Уравнение A4) определяет плоскость, которая называется полярной
плоскостью точки (хъ Ух, zx) относительно поверхности второго порядка (I) не-
независимо оттого, лежит ли точка (л:,, у1ч г{) на поверхности или нет; точка
( Уи zL) называется полюсом плоскости A4). Полярная плоскость точки,
Таблица 3.5-2
Стандартные (канонические) уравнения и основные свойства невырожденных поверхностей второго порядка
(см. также табл. 3.5-1; уравнения касательных и полярных плоскостей см. в п. 3,5-8)
Поверхность (см. также
рис. 3.5-1)
Действительный эллип-
эллипсоид (эллипсоид вращения
'сфероид), если два главных
диаметра равны и либо (а)
меньше, чем третий (вытя-
(вытянутый сфероид), либо (Ь)
больше, чем третий (сплюс-
(сплюснутый сфероид); сфера, если
» = Ьг = Сг)
Стандартное
(каноническое)
уравнение
а" + ft2 h С
(рис. 3.5-1, а)
Одиополостный гипербо-
гиперболоид (гиперболоид вращения,
если а' — Ь1}
(рис. 3.5-1, ft)
Сечение
плоскостью
Действительный
или мнимый эллипс;
точка (касательная
плоскость)
Гипербола, параСо-
ла нлн эллипс в ?а-
висимости от того,
параллельна секушая
плоскость двум_,
одной или ии одной
прямолинейной обра-
образующей асимптотиче-
асимптотического конуса; пара
пересекающихся пря-
прямых (касательная
плоскость)
Замечания
Вершины в точках (± а
О, 0), @, ± Ь, 0), @, 0, ± с):
длины главных лиаметров
равны соответственно 2а
2ft, 2c
Линейчатая поверхность
двумя семействами пря-
прямолинейных образующих
Ь )'
¦1Тт
Геометрическое место пря-
прямых, пересекающих три
данные прямые. Асимптот
ческий конус (внутри по
верхности):
Параметры а, Ь, с,
выраженные через
инварианты A, D
и Xi, Я3, Я3
1 А
я,;
D
>я,
= Я1
а2 =
Ь2 =
с* =
Я* 5
Я,
= —
1
= "я
= я
К > о;
я„
1 А
1 D '
Лг *-*
1 Л
"Я! О*
л
» О'
3>0>Я
>
>
л
я
о
-1
я
О
я
-I
"S.
га
"О
О
о
р)
Поверхность (см. также
рис. 3.5-1)
ДвуполостньЕЙ гипербо-
гиперболоид (гиперболоид вра-
вращения, если ft2 = с2)
Эллиптический парабо-
параболоид (параболоид враще-
вращения, если р = q)
Гиперболический пара-
параболоид
Стандартное
(каноническое)
уравнение
X2 Ij' Z2
а2 Ь2 с2
(рис. 3.5-1, с)
v2 ,,2
= iZ
р q
(рис. 3-5-1, d)
(р > 0, q > 0)
Xs 1J2
- — V~ = 2г
р q
(р > 0, q > 0)
(рис. 3.5-1, е)
Сечение
плоскостью
Гипербола, парабо-
парабола или эллипс в зави-
зависимости от того, па-
параллельна секущая
плоскость двум, одной
или ин одной прямо-
прямолинейной образующей
асимптотического ко-
иуса; пара пересекаю-
пересекающихся прямых (каса-
(касательная плоскость)
Парабола (диамет-
(диаметральная плоскость);
действительный или
мнимый эллипс; точ-
точка (касательная пло-
плоскость)
Парабола (диамет-
(диаметральная плоскость);
гипербола; пара пе-
пересекающихся пря-
прямых (касательная
плоскость)
Т а
Замечания
Вершины в точках ( 1- а.
0, С); расстояние между вер-
вершинами равно 2а. Асимпто-
Асимптотический конус (вне поверх-
поверхности);
Xs U2 Z2
* ?. — о
a2 ft2 с2
Вершина в начале коорди-
координат
Седловая точка в начало
координат. Липенчг.тая по-
поверхность с двумя семейст-
семействами прямолинейных обра-
образующих
Vp Vq
х ii 2г
Vp Vq ~ *¦'
И
х !' __„
Vp Vq ^'
х _1_ •" 2г
Vp ' Vq "Iх
С л ii ц а 3.0-2 (продолжение)
Параметры а, Ь, с, р, q,
выраженные через
инварианты Л, D
и Я], Я2, Я,,
1 А 1,2 ' Л
Л, D • ~ Я., Г)'
с2- ' А
~X2D'
Я, > 0 > Яг > Я3,
LJ -^^ л* Ло At*
1 -if A
Лг ' •/
"=kV—r
Я1 > Я2 > Я, = 0, J = Я,Я2
1 l/ л
p = J " К ~ "Г>
1 т/ л
?,, > Я2 = 0 > Я3, У = ЛДд
а
о
ю
га
О
о
ю
-1
о
¦а
О
о
"О
96
ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.5-9.
принадлежащей поверхности второго порядка, если касательная плоскость по-
поверхности в этой точке.
(d) Полярная плоскость Р любой точки В данной плоскости а проходит
через полюс А этой плоскости а.
(е) Центр поверхности второго порядка есть полюс бесконечно удаленной плоскости.
Диаметральная плоскость есть полярная плоскость бесконечно удаленной точки, через
которую проходят хорды, сопряженные этой диаметральной плоскости.
(!) Полярные плоскости всех точек данной прямой пересекаются по одной прямой; эта
последняя прямая содержит полюсы всех плоскостей, проходящих через данную прямую.
Две полученные прямые называют парой полярно сопряженных прямых.
(g) Диаметр поверхности второго порядка есть прямая, полярно сопряженная беско-
бесконечно удаленной прямой пространства.
(h) Полярная плоскость допускает геометрическое определение, аналогичное опреде-
определению поляры (см. п. 2.4-10).
3.5-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы.
(а) Уравнение сферы радиуса г с центром в точке Pi {xt, уи Zi) = Pi (rt):
[x - x,)« + (у - r/O2 + (z - zi)« =r2 или | r - r, I = r.
(b) Общий вид уравнения сферы:
А (*а + У1 + z") + 2В* +2Су + 2Dz + Е = 0, А ф 0.
C.5-16)
C.5-17)
(с) Пусть Р, и Р,- точки пересечения сферы с прямой (секущей), проходящей терез
данную точку Ро [х„, у0, z0). Тогда произведение величин направленных отрезков P0Pi
и Р0Рг постоянно для всех секущих, проходящих через Ро, причем
4 + уо+ 4-
C.5-18)
Теорема остается справедливой и в том случае, когда Pt и Р2 совпадают (если рассмат-
рассматривать вместо секущей ее предельное положение —¦ касательную к сфере в точке Pi ^ Рг.
проходящую через точку Ро).
(d) Для половиь трех сопряженных диаметров эллипсоида (п. 3.5-5):
1. Сумма квадратов равна а2 + ft2 + с2.
2. Объем построенного на ннх параллелепипеда равен abc.
(e) Диаметральная плоскость поверхности второго порядка
У
C.5-19)
(эллипсоид, однополостный гиперболоид или двуполостный гнперболоид, см. также табл.
3.5-2), сопряженная диаметру с направляющими косинусами cos ax, cos a , cos аг, оц.
ределяются уравнением
у cos a
У
— 1?2
C.5-20)
Направляющие косинусы трех сопряженных диаметров cos a^, cos а , cos аг; cos |
cos p cos р ; cos у , cos у , cos у удовлетворяют соотношениям
cos a cos p cos а cos p cos аг cos рг
cos ax cos yx
cos p cos
cos Рг cos V.
- с2
= 0,
= 0,
= 0.
C.5-21)
Знаки в уравнениях B0) и B1) должны совпадать со знаком соответствующих членов
в уравнениях A9).
#(f) Уравнение диаметра поверхности C.5-19), сопряженного плоскости с направля-
направляющими косинусами нормали cos a^, cos а , cos аг, имеет вид
х У _ г
i; а2 cos а
± Ь2 cos а ± с2 cos аг
3.5-10.
3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.5-10. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (см. также пп
* = a sin и cos v, у = ь sin « sin v, г = с cos « (эллипсоид),
xycbucosv. y = bcbusmv, г = с sh и (однополостный гиперболоид)
x-±achu, y^bshusinv, z = c sh и cos v (двуполостный гиперболоид),
(знаки + и — соответствуют двум полостям),
X = Yp U COS V,
х — Yp и ch v,
97
.3.I-H):
C.5-22)
,C.5-23)
C.5-24)
У-
Yq и sin v, г = у и2 (эллиптический параболоид), C.5-25)
1
у = Yq и sh v, z = ~u* (гиперболический параболоид),
х = аи cos v, y = bu sin v, z^cu (действительный конус).
Возмож„ы также многие другие параметрические задания этих поверхностей.
C.5-26)
C.5-27)
4 Г, Кори и Т, Корн
ГЛАВА 4
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.1. ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена главным образом числовым функциям действительных
переменных. Введение пределов функций (пп. 4.4-1—4.4-7) позволяет определить
новые математические операции (предельные процессы), такие, как сложение
и умножение бесконечного числа членов, дифференцирование и интегрирование.
Определения и теоремы, изложенные в этой главе, применимы как к дейст-
действительным, так и к комплексным функциям и переменным, если специально не
оговорено, что речь идет лишь о действительных величинах. Аналитические
функции комплексного переменного рассматриваются в гл. 7.
4.2. ФУНКЦИИ
4.2-1. Функции и переменные (см. также п. 12.1-4).
(а) Если дано правило соответствия, относящее каждому данному дей-
действительному или комплексному числу х нз множества Sx действительное или
комплексное число
</=/(*), ¦ D.2-1)
то у называется (числовой) функцией
f()
аргументах. Равенство A) указывает значение (или значения) y = Y=f (X) пе-
переменной у, соответствующее каждому допустимому значению х = Х перемен-
переменной х; при этом х называется независимым переменным, а у — зависимым пере-
переменным.
Термин «переменное х», в сущности, отсылает к множеству значений X, а равенство A)
символизирует множество соответствий, связывающих значения X переменного х и зна-
значения У = f (X) переменного у. В согласии с обозначениями, применяемыми в большин-
большинстве учебников, символом х мы будем обозначать и переменное х и значение этого перемен-
переменного, если только это не сможет привести к путанице.
Если х и у рассматривать как декартовы координаты на плоскости (п. 2.1-2),
то действительная функция y = f(x) действительного переменного х часто
изображается кривой (графиком функции у от х, см. также п. 2.1-9).
(Ь) Подобным же образом функция
y=f(xbx2 xn) D.?-2)
п переменных хъ х2, ..., хп относит упорядоченному множеству значений (не-
(независимых) переменных хъ х2, ..., х„ значения (зависимого) переменного у.
Функция может быть определена таблицей своих значений или правилом вычисления
такой таблицы с помощью известных операций (конструктивные определения). Функция
может также быть определена аеявио (п. 4.5-7) или с помощью определяющих свойств,
описываемых функциональными, дифференциальными или интегральными уравнениями,
экстремальными свойствами (п. 11.4-2), поведением при некоторых значениях аргумента
и т. д. Каждое неконструктивное определение нуждается в доказательстве существования,
устанавливающем, что функция, обладающая указанными свойствами, существует.
4.3-1.
4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА. ИНТЕРВАЛЫ II ОБЛАСТИ
(с) В большинстве приложений переменные х, у ила а-,.
99
у обозна-
обозначают физические объекты или величины, так что соответствующие соотношения A)
или B) описывают физические закономерности. (Пример, у — хгх2, если .*,, хг и у
соответственно обозначают напряжение, силу тока и мощность в простом электрическом
контуре.)
(d) Множество Sx значений х (или множество значений хи дс2, ..., хп).
для которых определены соотношения A) или B), есть область определения
функции / (лг) или f (xt, х2, ..., хп). Соответствующее множество StJ значений у
есть множество значений функции.
(е) Последовательность действительных или комплексных чисел s0, slt
s2, ... представляет функцию sn = s(n), определенную на множестве неотри-
неотрицательных целых чисел п.
4.2-2. Функции со специальными свойствами (см. также пп. 1.4-3, 7.3-3,
7.6-5 и 7.6-7).
(a) Функция однозначна, если каждому значению аргумента соответ-
соответствует единственное значение функции *). Функция многозначна, если хотя бы
одному значению аргумента соответствует два или более значений функции.
В дальнейшем всюду в этой главе рассматриваются только однозначные фун-
функции, и это всякий раз специально не оговаривается. Функция у (х) имеет
обратную функцию х (у), если из у = у (х) следует х = х(у).
(b) Функция / (х) действительного илн комплексного переменного х четна,
если /(—x)=f(x), нечетна, если /(—х)= — f(x); является периодической
с периодом Т, если f(t+T)~f(t).
Каждая функция / (лг), область определения S которой вместе с каждым входящим
в него числом х содержит и число — х, может быть представлена в виде суммы четной
функции A/2) [I (х) + I (— х)] и нечетной функции A/2) [f (х) — /(—*)]• Периодическая
функция f с периодом Т называется аитипериодической, если f (t -\- Т/2) =— f (t). Каждая
периодическая функция / (I) с периодом Т может быть представлена в виде суммы
антипериодической функции A/2) Q (I) — j (I -\- Г/2)] и функции A/2) [} (I) + f (I + Т/2)],
периодической с периодом Т/2.
(c) у = / (х) есть алгебраическая функция от х, если хну удовлетворяют
соотношению вида F (х,у) = 0, где F (х,у)— многочлен относительно х и у
(п. 1.4-3). В частности, у = / (х) есть рациональная (рациональная алгебраическая)
функция от х, если / (лг) есть многочлен (целая рациональная функция) или
частное двух многочленов (дробная рациональная функция), у есть линейная
функция от х, если у = ах-\-Ь.
4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА, ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ
4.3-1. Вводные замечания. При рассмотрении свойств функции / (х) дей-
действительного переменного х часто требуется указать множество значений х, для
которых значение / (х) определено н удовлетворяет данным условиям. Заметим,
что подобным образом могут быть описаны и функции, и множества. Обычно
о значениях 2) действительного переменного х (или объектов, которым соот-
соответствуют значения х) говорят как о точках (х) прямой, а о множествах таких
действительных чисел — как о линейных точечных множествах.
Свойства функции f (xlt хъ ..., хп) действительных переменных xv x2, ...,хп
подобным же образом связывают с множеством «точек» (xv x2, ..., хп) в п-мер-
ном «пространстве», включающем все рассматриваемые точки (х,, х„ ..., х„)
(п. 14.1-2).
Использование геометрического языка Подсказывается аксиомой непрерывности Кан-
Кантора— Дедскинда, постулирующей существование взаимно однозначного соответствия
') Многие авторы категорически настаивают на том, что по определению каждая
Функция должна быть однозначна, так что, например, две ветви +Y х и—Ух для ±У X
всегда следует рассматривать как две функции.
г) См. также п. 4.2-1.
4*
100 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.3-2.
между действительными числами и точками прямой. Эта «координатная аксиома» (п. 2.1-2)
совместима как со свойствами действительных чисел, так и с постулатами, определяющи-
определяющими евклидову и другие геометрии.
В пп. 4.3-2 — 4.3-6 рассматриваются главным образом те свойства точечных множеств,
которые непосредственно применяются в теории функций действительных перемен-
переменных. В пп. 7.2-2—7.2-4 рассматриваются области на комплексной числовой плоскости.
Вообще говоря, о любом множестве (классе) объектов (в частности, объектов,
соответствующих значениям действительного переменного или переменных) можно гово-
говорить как о точечном множестве. Свойства таких множеств рассматриваются ниже, в
пп. 12.5-1 — 12.5-4.
4.3-2. Свойства множеств.
(а) Алгебра множеств (классов). Объект (точка) Р, содержащийся
в множестве (классе) S, есть элемент множества S (P e S). Множество Sj явля-
является подмножеством другого множества S2 (Sx содержится в S2l Sj cr S2), если
каждый элемент множества Sj является элементом и множества S2. Множества
Sj и S2 равны (Si = S2), если они содержат один и те же элементы, т. е. если
Sj cr S2 и S2 cr Si. Пустое множество ф по определению есть подмножество
каждого множества S. Собственное подмножество (собственная часть) множества
S есть непустое подмножество S, не равное S. Объединение (логическая сумма)
Si U S2 (или Si + S2) есть множество всех элементов, содержащихся либо в
Si, либо в S2, либо и в Si, и в S2. Пересечение (общая часть, логическое произведе-
произведение) Sj П S2 (или Si S2) множеств Sx и S2 есть множество всех элементов, содер-
содержащихся ив Si, и в S2- Дополнение множества S до множества /, содержа-
содержащего S, есть множество всех элементов из У, не содержащихся в S. Подмно-
жества любого множества (класса) 1 с операциями логического сложения и умно-
жения составляют булеву алгебру (п. 12.8-1).
(Ь) Кардинальные числа и счетность. Два множества Sx и S2
имеют одну и ту же мощность (кардинальное число), если существует взаимно
однозначное соответствие между этими множествами. S есть бесконечное мно-
множество, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собствен-
собственных подмножеств; в противном случае S — конечное множество.
Бесконечное множество S счетно, если можно установить взаимно одно-
однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел. Каждое
кардинальное число конечного множества тождественно с числом его элементов.
Каждое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Объединение
счетного множества счетных множеств есть счетное множество.
Кардинальные числа, соответствующие бесконечным множествам, называются
бесконечными кардинальными числами. Кардинальное число каждого счетного множества
совпадает с кардинальным числом множества натуральных чисел и обозначается симво-
символом ^0. Множество всех действительных чисел (нлн множество точек прямой, п. 4.3-1)
несчетно; соответствующее кардинальное число обозначается символом ^.
4.3-3. Границы.
(а) Действительное число М есть верхняя граница или нижняя граница
множества Sy действительных чисел у, если для всех у s Sy соответственно
у^М или у^М. Множество действительных или комплексных чисел ограни-
ограничено (имеет абсолютную границу), если множество абсолютных величин (модулей)
этих чисел имеет верхнюю границу; в противном случае множество ие ограничено.
Каждое (непустое) множество Sy действительных чисел у, имеющее верхнюю
границу, имеет точную верхнюю границу (наименьшую верхнюю границу) sup Sv,
а каждое (непустое) множество Sy действительных чисел, имеющее нижнюю
границу, имеет точную нижнюю границу (наибольшую нижнюю границу) inf Sy.
Если множество Sy конечно, то его точная верхняя граница sup Sy необходимо
равна наибольшему числу^ принадлежащему Sy: max Sv (максимуму Sv),
а точная нижняя граница inf S^ равна минимуму min Sy.
Пример. Множество всех действительных чисел, меньших 1, имеет точную верхнюю
границу 1, но не имеет максимума.
(Ь) Действительная или же комплексная функция (/=/(*) нли же у=
= / (xi,x2,... 1 хп) ограничена на множестве S «точек» (х) или (хг, xz,..., х„), если
4.3-6.
4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА. ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ
101
ограничено соответствующее множество Sy значений функции у. Точно так же
действительная функция г/=/(х) или у — / (xlt х2,..., хп) имеет верхнюю
границу, нижнюю границу, точную верхнюю границу, точную нижнюю границу,
(абсолютный) максимум и/или (абсолютный) минимум на множестве S «точек»
() ( )
у
п), если это верно для соответствующего множества Sy
(х) или (Xi, х2 х
значений функции у.
(с) Действительная или комплексная функция / (х, у) нли / (х х2, ... ,*л; у) равио-
керио ограничена на множестве S «точек» (х) нли (ж * ... , ж ), если абсолютная вели-
величина (модуль) функции / как функция от у имеет верхнюю границу, не зависящую от х
пли от Xj, *2, ... , хп на S. Равномерные верхние границы и равномерные нижние границы
определяются аналогично.
4.3-4. Интервалы (см. также пп. 4.3-3 и 4.3-5). Пусть х—действительное
переменное. Множество всех значений х (точек), удовлетворяющих условиям:
1) а<х < 6, есть ограниченный открытый интервал (а,Ь),
2) а<х, есть неограниченный открытый интервал (а, +оо),
3) х<,а, есть неограниченный открытый интервал (—оо, а),
4) asgxsgb, есть ограниченный замкнутый интервал [а, Ь].
Замкнутый интервал называют также отрезком, или сегментом, или
замкнутым промежутком. Множества точек (х), удовлетворяющих условиям
a <: х <Ь, а<х=ё6, а^х, х^_а, можно называть полуоткрытыми интерва-
интервалами. Каждый интервал /ь содержащийся в другом интервале /2, есть частич-
частичный интервал интервала /2.
4.3-5. Определение окрестностей.
(a) Пусть а — любое действительное число. (Открытая) 6-окрестиость
точки (а) в пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал
вида (а — б, а + 6), содержащий точку х = а, иными словами, множество
всех точек (х), удовлетворяющих условию \х —а \ <. 6, где 6 —некоторое поло-
положительное число. Окрестность точки z = a есть любое множество, содержащее
некоторую 6-окрестность этой точки.
(b) Множество (М, -f-oo) всех точек (х), для некоторого действительного
числа М удовлетворяющих условию х > М, есть (открытая) окрестность «точки»
плюс бесконечность (+ оо) в пространстве действительных чисел; множество
(—оо, /V) всех точек (х), для некоторого действительного числа N удовлет-
удовлетворяющих условию х < N, есть (открытая) окрестность «точки» минус бесконеч-
бесконечность (— оо) в пространстве действительных чисел.
(c) В пространстве, «точки» которого суть (описываются как) упорядочен-
упорядоченные множества (xlt хъ ..., хп) действительных чисел, (открытую) о-окрест-
ность точки (а1? а2, ..., ап), где а1, а2, ..., ап конечны, можно определить как
множество всех точек (xlt x2t -.., хп), удовлетворяющих условиям \хх — аг \ < б,
I х2 — а2 | < 6, ..., | хп — ап | < 6, где 6 — некоторое положительное число. Окрест-
Окрестность точки (fli, a2, ..., ап) есть любое множество, содержащее некоторую
6-окрестность этой точки.
Замечание. Определения окрестностей, подобные тем, которые были даны
выше, нельзя считать самоочевидными; они подчиняются постулатам, определяющим
«топологические» свойства рассматриваемого пространства (см. также п. 12.5-1). В част-
частности, для неограниченных значений переменных (как выше в (Ь) ) окрестности можно
определить различными способами (так, +ш и —оо можно рассматривать как одну и
ту же точку или же как две разные точки; см. также п. 7.2-5). В прикладной матема-
математике выбор таких определений будет зависеть от характера тех объектов, которые
«представлены» точками (л:) или (х , х2 хп). Определение окрестностей тесно свя-
связано с определением открытых множеств (п. 4.3-6), областей (п. 4.3-6) и пределов функ-
функций иа рассматриваемом пространстве (п. 4.4-1; см. также п. 12.5-3).
4.3-6. ^Открытые и замкнутые множества и области. Все нижеследующие
определения зависят от того, каким образом определены окрестности в про-
пространстве С, содержащем рассматриваемые множества и области (от топологии
этого пространства, см. также пп. 12.5-1 — 12.5-4).
(а) Точка Р есть предельная точка (точка конденсации, точка накопле-
накопления) множества S с: С, если каждая окрестность точки Р содержит точки
102
ГЛ
. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.4-!.
множества S, отличные от Р. Точка Р есть внутренняя точка множества S,
если Р имеет окрестность, целиком содержащуюся в S. Точка Р^С, не яв-
являющаяся внутренней точкой ни множества S, ни его дополнения до С, есть
граничная точка множества S. Точка Р множества S есть его изолированная
точка, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества S.
Точечное множество S есть:
открытое множество, если оно состоит только из внутренних точек;
замкнутое множество, если оно содержит все свои предельные точки;
конечное множество замкнуто;
дискретное (изолированное) множество, если оно содержит только изоли-
изолированные точки; дискретное множество на евклидовой плоскости или в евкли-
евклидовом пространстве конечно или счетно; конечное множество дискретно;
связное множество, если его нельзя представить в виде объединения
двух непересекающихся множеств, каждое из которых не содержит предель-
предельных точек другого. (См. также п. 12.5-4.)
(Ь) Множество иа евклидовой плоскости или в евклидовом пространстве ограничено,
если ограничено множество декартовых координат всех его точек. Область (открытая)
есть открытое связное множество. Объединение открытой области и ее граничных точек
(границы области) есть замкнутая область.
Область D иа евклидовой плоскости называется односвязной, если любая простая
вамкиутая кривая (п. 3.1-13), целиком принадлежащая D, может быть стянута в точку
с помощью непрерывной деформации, ие выходя из области D. Область ие односвязная
называется многосвязной.
Область V в евклидовом трехмерном пространстве называется:
поверхностно-одиосвязной, если любую простую замкнутую кривую, лежащую в V,
можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, ие выходя из V;
пространственно-односвязной, если любую простую замкнутую поверхность типа
сферы, лежащую в V, можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, ие
выходя из V.
Например, шар одиосвязеи с точки зрения обоих определений, шаровое кольцо —
только с точки зрения первого определения, а тор («баранка») — только с точки зрения
второго.
4.4. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
4.4-1. Пределы функций и последовательностей (см. также пп. 4.8-1 и
12.5-3; см. примеры в табл. 4.7-1).
(а) Функция f (х) имеет (необходимо единственный) предел lim f(x) = L при
х—а
х, стремящемся к конечному значению х — а (предел в точке a; /(*) —L при
х—а), если для каждого положительного числа е существует такое положи-
положительное число 6, что при 0<|а; —а|<6 функция f (х) определена н
Функция f (х) действительного переменного х имеет (необходимо единст-
единственный) предел lim f(x) = L при х, стремящемся к плюс бесконечности
Х-* + СО
(когда х неограниченно возрастает; f(x)—*L при х~» + оо), если для каждого
положительного числа е существует такое действительное число N, что при
x>N функция f(x) определена и \f(x) — L|<e.
Если функция f (х) имеет предел L, то говорят, что она стремится к L.
(b) Последовательность чисел (п. 4.2-1) So, Si, s2, ... (=s(n) ) имеет (необ-
(необходимо единственный) предел lim sn = S (сходится к S), если для каждого
п —»со
положительного числа е существует такой номер N, что при п > N выпол-
выполняется неравенство \ sn — S | < е. Критерий сходимости последовательности
см. в п. 4.9-1, где рассматриваются признаки сходимости бесконечных рядов.
(c) Действительная функция f (x) неограниченно возрастает (стремится к плюс бес-
бесконечности):
1. При х, стремящемся к конечному значению х °= a (f {x) — -}- со при х — а; некото-
некоторые авторы пишут lim f (x) = -j- со), если для каждого действительного числа М суще-
х-*а
4.4-3.
4.4- ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
103
ствует такое положительное число б, что при 0 < | х— а | < 6 функция f (x) определена
и f (л) > М.
2. При х, стремящемся к плюс бесконечности Q (х) — -4- со при х — -f со; некоторые
авторы пишут lim ?(лг)= + оо), если для каждого действительного числа М сущест-
х — -{- со
вует такое действительное число N, что при лг> N функция f (x) определена и f(x)>M.
Аналогичное определение дается в случае последовательности. Действительное пере-
переменное х или f (х) стремится к минус бесконечности (х -* — со или f (х) -* — со), если
соответственно —х -* + со или — f (x) -»- + оо. В (Ь) и (с) устанавливается математический
смысл символов -f со и —со в системе действительных чисел (см. также пп. 4 3-5 и
7.2-2).
Если f (л) -» -f- со или f (х) -+ — со при х — а (при х -» + со; при х ->¦ — со), то гово-
говорят, что функция f (х) является бесконечно большой при х ->- а (соответственно при
Л' -у + ох при х ->- — со). Если f (х) -* 0 при х -*- а (при х -*¦ -f со; при х -*¦ — со), то функ-
функция 1 1,х) называется бесконечно малой при х -» а (соответственно при х -» -)- со; при
л -» — со).
4.4-2. Операции над пределами (см. также пп. 4.4-6,с и 4.8-4). Если пре-
пределы в правой части нижеследующих равенств существуют, то существуют
пределы и в левой части равенств н
lim [f(x) + g(x)]= lim /(*)+ lim g(x), \
x -*¦ < x -> a x -*¦ a \
lim |a/(*)] = « lim/(*), I
lim U(x)g(x)}= Hm f(x) lim g(x),
x -*¦ a x -*¦ a x -* и
lim
lim ! (x)
x -*¦ a
lira g (л)
x -+ a
[lim
[х-a
D-4-1)
где a может бить как конечным, так и бесконечным; эти правила применимы
и к пределам последовательностей (п. 4.4-1), а также к пределам функции
нескольких переменных (п. 4.4-5).
4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функциями (см. такал
п. 4.8-6). Если даны две действительные или комплексные функции f (x), g(x)
действительного илн комплексного переменного х, то пишут
1. / (х) = О [g (x) \ (f (х) есть O[g(x)\); f (x) есть функция не низшего по-
порядка малости чем g (x) при х-* а, если существует окрестность точки а,
в которой при хфа отношение f(x)lg(x) ограничено.
2. f (x) = 0* [g (x)\; f(x) и g (x) имеют один ,ч тот же порядок (функция
/(.v) асимптотически пропорциональна g(x)) при х—*а, если предел
ii:n [/(A-)/g(*)l существует и отличен от нуля.
х — а
3. j (x) ~g(x)\ j (x) и g(x) эквивалентны (функция f (х) асимптотически
равна g (х)) при х—*а, если lim \f(x)lg (*)] = 1; отсюда следует, что от.чоше-
х -*¦ а
ниг разности f(x) — g(x) к g(x) (нли к f (х)) стремится к нулю при х-* а.
4. f(x) = o[g(x)] (/ (х) есть o\g(x)]); f (x) есть функция более высокого
порядка малости чем g (х) при х — а, если lim [/ (x)/g (х)]=0. Это иногда
х — а
читают и так: «функция f (х) пренебрежимо мала по сравнению с g (*)» при
х — а.
В каждом из этих определений а может быть как конечным, так и бес-
бесконечным. Бесконечно малыми порядка 1, 2, ... при х-* 0 называются функ-
функции того же порядка, что и соответственно функции х, х2, ... прн х—-0. Бес-
Бесконечно большими порядка 1, 2, ... при х—> + оо называются функпни того
же порядка, что и соответственно функции х, х2, ... при х—»+со.
Асимптотические соотношения часто позволяют оценивать или приближать функцшо
I (*) с помощью g (*) в некоторой окрестности точки х = а.
Пишут
f (х) = ф (х) + О [g (*)], если f (х) - ф (л-> = О [g (*)],
t (x) = ф (*) + о [g (*)], если [(х) — ф (х) = о [g (x)].
104
гл
. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.4-4.
4.4-4. Равномерная сходимость.
(&) Функция / {х\, х2) сходится равномерно на множестве S значений х2:
1. К функции lim f (л;,, x2) = L(x2), если для каждого положительного
Xi -* a
числа е существует такое положительное число 6, что при 0 < | х^ — а | < б
н при всех хг е S функция f (хг, х2) определена и выполняется неравенство
|/(*i> хг) — L (х2) I < е (б не зависит от х2).
2. К функции lim / (хх, x2) = L(x2), если для каждого положитель-
ного числа е существует такое действительное число N, что при х^> N и
при всех tjES функция / (хъ х2) определена и выполняется неравенство
\f(Xi, xs) — L(x2)\<e..
(b) Последовательность функций s0 (х), sx (x), s2(x), ... равномерно схо-
сходится на множестве S значений х к функции
lim sn(x) = s(x),
П -r<X>
если для каждого положительного числа 8 существует такой номер N, что
при п > N и прн всех х е S выполняется неравенство 1 sn (л:) —s (ж) | <. е, (см.
также пп. 4.6-2 н 4.8-2).
4.4-5. Пределы по совокупности переменных и повторные пределы.
(а) Если термин «окрестность» понимать в смысле, указанном в п. 4.3-5,с, то функ-
функция f (*i, х%) имеет (необходимо единственный) предел lim f (Xi, х^) = L, если для
х2 — а2
каждого положительного числа в существует такая окрестность D точки (ai, az), что
для Есех точек (*ь х2) е D, исключая, быть может, точку (ai, а2), функция f (xu xz)
определена и | f (*,, хг) — L | < е. При этом а, и/или а2 могут быть как конечными, так
и бесконечными.
Двойная последовательность s00> s,0, ... имеет предел lim smn = s (сходится к s),
т -* оо
п -» оо
если для каждого положительного числа е существуют такие два номера М и Л/, что
прн m > М и я > N выполняется неравенство I s — s I < е. Пределы функций более
чем двух переменных определяются аналогично.
(Ь) Если существует такое положительное число б, что
lim f (xi, хг) = ! (аь xz) при 0 < | хг — аг | < fi, "j
lim
f (*ь а,) при 0 < | Art - a, |< в
и по крайней мере в одном из этих предельных процессов сходимость на указанном мно-
множестве равномерна, то все три предела
lim ( (*„ *,). Пт Г lim f (xt, x,U
х.-.а, *! ~ a, U, - a, I
дг2-» "a
lim Г lim f (xu x2)~\
;2 -, a2 L*i -» «l 1
CJ4eOTWon и равны друг другу. Аналогичные теоремы справедливы и в случае, когда
а, и/или а2 бесконечны.
f / ^ т Р рсли для
вен f(a), т. е. если для
положительного числа е существует такое
i6 ся неравенство
f / ^ т Р рсли для каждого положительного уу
вен f(a), т. е. если для ка^"'° |A._ai<6 выполняется неравенство
положительное число бг что при \х и | <¦-.
/(|
4.4-7.
4.4. ПРЕДЕЛЫ, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
105
Точно так же функция /(хг, х2, ..., хп), определенная в некоторой окрест-
окрестности точки (alt a2, ..., а„), непрерывна в точке (а1? а2, ..., а„), если
lim f(xit x2, ..., xn)=f(alt a2,
ап).
Функция f (xi, x2 хп) непрерывна в точке mlt а2 ап) по xt, если функ-
функция f(i-b а2 an) непрерывна в точке *, = а,. Функция, непрерывная в точке
lult a2 ап\ по каждой из переменных xt, x2 хп в отдельности, может не быть
непрерывной в точке /а,, а2 ап).
(b) Функция непрерывна на множестве точек (например, в интервале или
в области), если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Действительная функция f (x), непрерывная на ограниченном замкнутом
интервале [a, b], ограничена на [а, Ь] и хотя бы по одному разу принимает
каждое значение, заключенное между ее точной верхней и точной нижней гра-
границами на [а, Ь] (п. 4.3-3), включая и эти границы. Аналогичная теорема
верна и для действительной функции двух и большего числа переменных, не-
непрерывной в ограниченной замкнутой области.
Функция f (x) равномерно непрерывна на множестве S, если для каждого положи-
положительного числа ? существует такое положительное числе б, что для всех х <^ S и X €Е S
при | х — X | < б выполняется неравенство J f (х) — f (X) | < г. Функция непрерывная на
ограниченном замкнутом интервале [а, 6], равномерно непрерывна на [а, 6].
(c) Если две функции fug непрерывны в данной точке х или (xlt x2, ... , хп\, то
непрерывны в этой точке и функции f ~\- ё, f — g и fg; если функция g не обращается
в этой точке в нуль, то в этой точке непрерывна и функция f/g. Если дано, что
lim yi(x) = Al (i=l, 2, ...) и что функция F (г/ь у2 уп} непрерывна в точке
(А1ш Л2 Ап), то
lim F[yt (х), уг (х) уп Щ-
Ап)
D.4-3)
(см. также п. 4.4-2). В частности, если каждая из функций у. (х) непрерывна при х = а,
то это верно и для F [(/t (*), уг (х) уп (л:)].
Предел s (х) равномерно сходящейся на множестве S значений х последовательности
функций So (*), S] (л:) непрерывных на S, есть функция, непрерывная на S.
4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность.
(а) Функция / (а;) действительного переменного х имеет (необходимо един-
единственный) предел
lim f(x)= lim f(x)=f(a + 0) = L+
x->a +
в точке а справа, если для каждого положительного числа е существует такое
положительное число б, что при 0 ¦< х — а <с б функция f (х) определена и
выполняется неравенство | / (х) — L+ | < е. Функция / (х) имеет в точке а пре-
предел слева
lim /(*)= lim f(x) = f(a — 0) = L_,
x -*¦ a — 0 x -*¦ a —
если для каждого положительного числа 8 существует такое положительное
число б, что при 0<а — х <. б функция / (х) определена и выполняется не-
неравенство 1 / (х) — L_ | ¦< е. Если существует предел lim f (x), то пределы
lim / (х) и
fO
lim / (x) существуют и
-»a — О
lim /(*)=
fO
lira f(x)= lim / (x).
-»a —0 x -» a
105
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-8.
4.5-2.
Обратно,
если lira f{x) = lira j(x), то предел Mm f (х) суще-
х-+а — 0 х-*а + 0 х^а
ствует.
(b) Функция f (х) непрерывна в точке а справа или слева, если соответст-
соответственно / (а + 0) = / (а) или / (а —0) = /(а). Точка разрыва первого рода действи-
действительной функции / (х) есть точка а, в которой функция / (я) разрывна (т. е.
не непрерывна) и существуют пределы /(а + 0) и f (а — 0); наибольшая раз-
разность межцу двумя из чисел / (а), / (а+0) и f (а — О) есть скачок функции / (я)
в такой точке разрыва*). Точки разрыва первого рода функции f (х) образуют
конечное или счетное множество (п. 4,3-6,а).
(c) Функция f (х) кусочно-непрерывна на интервале /, если она непре-
непрерывна в / всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого
рода.
Функция ! (xt, х2 хп\ кусочио-иепрерывна в области V п-мернэго простран-
" ства, если она непрерывна в V г.сюду, за исключением, быть может, некоторого множе-
множества регулярных гиперповерхностей (регулярных кривых при я = 2, регулярных поверх-
поверхностей при п — 3, пп. 3.1-13 и 3.1-14), разбивающих V на конечное число подобластей,
в каждой из которых функция f (х1ш х2 хп) имеет единственный односторонний пре-
предел при приближении к любой граничной точке подобласти изнутри этой подобласти.
4.4-8. Монотонные функции и функции ограниченной вариация.
(а) Действительная функция / (я) действительного переменного х строго
монотонна на интервале /, если она на нем определена и если для любых
двух точек хг и хг интервала / либо из хх < хг всегда следует f (хх) < / (х2)
(возрастающая функция), либо же из хг<.х2 всегда следует f(x1)>f(xi)
(убывающая функция). Функция / (х) нестрого монотонна на /, если она опре-
определена на / и если для любых двух точек дгх и х% интервала / либо из
*, <*2 всегда следует / (х{) s? f (х2) (неубывающая функция), либо же из
х,<х2 всегда следует / (*,) :> / (х%) (иевозрастающая функция). Аналогичные
определения даются для монотонных последовательностей (п. 4.2-1).
(Ь) Действительная функция / (*) действительного переменного х есть
функция ограниченной вариации на интервале [а, Ь], если существует такое
положительное число М, что для всех разбиений а=А'о < xl <Cx2 <....<xn = b
интервала [а, Ь] выполняется неравенство
1 = 1
Функция f (x) есть функция ограниченной вариации на [а, Ь] в том и только
в том случае, если она может быть представлена в виде / (*) = /j (х) — /а (х),
где /i (а;) и /а (л;) ограничены и не убывают на [а, Ь].
Если f (х) и g(x)~функции ограниченной вариации на [а, Ь\, то и
f(x)Jt-g(x) и f (x) g (х) — функции ограниченной вариации на [а, Ь]. Функция
f (x) есть функция ограниченной вариации на каждом конечном интервале
[а, Ь], на котором она ограничена и имеет конечное число относительных
максимумов и минимумов (п. 11.2-1) и точек разрыва первого рода (условия
Дирихле),
Функция ограниченной вариации на [а, Ь] ограничена на [а, Ь] и имеет
лько точки разрыва первого рода (п. 4.4-7).
й ораниченной вари-
варитенсивпость (п. 18.10-9).
*) Часто скачок функции ! (х) в точке а определяют как разность f (а-\-_0)—f (Ят-0),
Для монотонной функции это определение и данное в тексте совпадают.
4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
107
4.5-1. Производные и дифференцирование.
(а) Пусть y = f(x) — действительная функция действительного перемен-
переменного х, определенная в некоторой окрестности точки х. Первая производная
(производная первого порядка) функции / (я) по л: в точке х есть предел
Нш К' + М-К*)^ Um %.=%=<_Пх) = Пх)^у.. D.5-1)
В каждой точке х, в которой предел A) существует, производная -y~=f (х)
есть мера скорости изменения у относительно х. Производная /' (я) есть
угловой коэффициент касательной (п. 17.1-1) к графику функции у = f (x) (см.
п. 4.2-1, а) в точке х.
Соответствующие односторонние пределы (п. 4-4-7,а) называются лецой производной
Л (ж) и правой производной f (x) функции f (дт) в точке х.
(Ь) Вторая, третья, ..., п-я производные (производные второго, третьего, ...
..., п-го порядка) функции у = / (я) по х в точке х определяются соответст-
соответственно формулами
d
dx~l W —57>='
dx
D.5-2)
если соответствующие пределы существуют.
(с) Операция отыскания производной f {x) данной функции f (x) назы-
называется дифференцированием функции / (а;) по х. Функция f (x) дифференцируема
при тех значениях х или на том множестве значений х, при которых суще-
существует производная f (x). Функция / (х) непрерывно дифференцируема, если
производная f (х) существует и непрерывна. Функция / (а;) называется ку-
кусочно-гладкой на промежутке /, если функция / (я) непрерывна на /, а ее
производная f (х) кусочно-непрерывна (п.4.4-7, с) на /. Дифференцируемая
функция непрерывна.
Производные большого числа часто встречающихся функций приведены
в табл. 4.5-1. Производные от комбинации этих функций могут быть найдены
с помощью правил дифференцирования из п. 4.5-4.
4.5-2. Частные производные.
(а) Пусть y=f(xi, хг, ..., хп) — действительная функция переменных хх,
*2> •••, хп, определенная в некоторой окрестности точки (xit xit ..., хп).
Частная производная (первого порядка) функции / (xv х%, ..., хп) по х\ в точке
(хи х2, ..., хп) есть предел
lim
4- Axt,
хп) — !
хп)
Производная ^ = {^
{)и г ^ = fXi(xu хг хп) в каждой точке
(хъ х2, ..., х„), в которой существует предел C), есть мера скорости изме-
изменения у относительно хх при фиксированных значениях остальных независи-
независимых переменных. Частные производные j^, ^~, ..., j~- определяются ана-
аналогично. Каждая частная производная ~- может быть найдена посредством
дифференцирования функции f (xt, x2, ..., хп) по xk, если остальные п—\
независимых переменных рассматривать как постоянные параметры.
к.,
1°8 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5-2.
Таблица 4.5-1
Производные часто встречающихся функций
(см. также в гл. 21 производные некоторых специальных функций)
(а)
t (X)
ка
cx
ax
In*
4,*
sin x
COS X
fix)
ax"'1
ex
ax In a
I
X
1
X in a
cos *
— sin x
f <n W
a (a — 1) (a —2) ... (a — r + l) ка~г
cx
ax (In a)r
(- 1Г1 (r - 1)! -L
/ nr-l (. n. '
( ') (r '' r .
дг In a
sin (* + r -y J
cos ^ 4. r — j
(b)
tgJC
ctg д:
sec л
cosec дт
sh X
ch дг
thx
cthx
f (x)
1
COS! JC
I
sin2 x
sin л:
cos2 x
cos к
sin2 x
ch *
sh *
1
ch* *
1
sh2*
1 (x)
arcsin x
arccos x
arctg x
arcctg x
arsh x
arch x
arth x
arcth x
X*
f'(*>
1
1
Y\ — x1
1
l + x*
1
l + ««
1
Vat» -f 1
1
1
1 —X*
1
1 —X'
(b) Частные производные более высокого порядка функции y=f(xi, ,..,xn)
определяются формулами
dxk
xk dxiд*ь 'xixk
д'У — f" — d д2У
dx.dx/dxk ~'YA~ dxk dx^
~'xixk~**k dxl-
4.5-3.
4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
если соответствующие пределы
109
dxi dxk дхи dxi
D.5-4)
: 1}
« некоторой окрестности точки
{Хъ Хг Хп) и прерывна в точке (хъ х„ ..., *„) и 2) прО«3во(?нал
существует в точке (хъ х2 х„).
4.5-3. Диффепекциалы.
0xkdxi
самого переменного х). Функция «/ = /W имеет в точк
тая, если ее приращение в этой Vie U^V^
-/ (ж) = A dx+o (dx)
?
. Так что
() / + o(dx).
Подобным же образом пусть функция и—fir r \
х»...,хп определена в некоторой окрестное™ точки' <*'' 1п) переме™ых хк
где
фу^
функции
Л, Л2 Лп не зависят от dXl, dXi
m дИФ*еРен«иалом Полным дифференциалом)
п) назьшается главная линейная часть приращения
Ad + A
шш
где производные берутся в рассматриваемой точке
TC'ria Йчке' ЛИ
ш
суще-
D.5-5)
„)_/(»,, *„...,*„)=
ПО ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.5-4.
Функция J/= /(«!, хг,..., хп) дифференцируема на множестве точек
(хъ х2, ..., #п), если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Функция y — f («1, ж2,..., хп) непрерывно дифференцируема на некотором мно-
множестве, если на этом множестве все частные производные ^-, -5-^-,..., ~Л~
ОХ\ ОХ% ОХ и
существуют и непрерывны. Функция y = f(xlr хъ..., хп) называется кусочно-
гладкой в области V, если она непрерывна в V, а ее частные производные
~-t -а^-,..-. д~~ кусочно-непрерывиы в V (п. 4.4-7, с).
(Ь) Дифференциал каждого независимого переменного рассматривается
как постоянная, так что йгх = d (<fo;)= d3x= d (d2x) = ... = 0. Дифференциал
зависимого переменного есть функция от независимого переменного или пере-
переменных. Второй, третий, ... дифференциалы нужное число раз дифференцируе-
дифференцируемой функции находятся последовательным дифференцированием первого
дифференциала, например, если х, х1 и хг — независимые переменные, то
«Р/ (*) = d (df) = d (-? dx) = ?*
*lf *2) = d (dl) =5^+2^
Щ
Отметим также
И [«! (а;), и2 (х) ип (х)} = d (df) = ?L d*a =
D.5-6)
D.5-7)
D.5-8)
fe=i
У duk
I du,- duA
, yJL^.
71
2. D.5-9)
(с) Все функции от dxv dx2, ..., dxn того же порядка, что и dx^ dxn ... дхгп
при dxx~» 0, cte2—* О, ..., <?»„—•¦ О, суть бесконечно малые порядка rt -j- r2 -f-
+ ••• + тп (п- 4.4-3). В частности, r-й дифференциал dr/функции / (хъ х2, ...хп),
если он существует н не равен нулю в данной точке, есть бесконечно малая
порядка г.
4.5-4. Правила дифференцирования. В табл. 4.5-2 перечислены наиболее
важные правила дифференцирования. Формулы из табл. 4.5-2, а и b приме-
применимы и при вычислении частных производных, если в каждом случае вместо
dx
писать д—. Так, если
ТО
д
dxk>
i = Ui (Хи Хг, ..., Хп)
!, и2, ...,мт)=
г = 1, 2 т),
= 1, 2, ... , re). D.5-10)
(=1
Умножая каждую формулу из табл. 4.5-2, а и b иа dx или иа dx2, получаем ана-
аналогичные правила для вычисления полных дифференциалов (см. также п.4.5-3); так,
d(u + v) = du -\- dv, d (но) = v du -(- ud v.
D.5-11)
Правила дифференцирования интегралов указаны в табл. 4.6-1, а дифференцирова
ния бесконечных рядов — в п. 4.8-4, с.
4.5-4.
4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ш
Таблица 4.5-2
Правила дифференцирования
(п. 4.5-4; в каждом случае существованне соответствующнх производных
предполагается)
(а) Основные правила *):
d
dx~ f ?"'
df
df Ыи„
u
d . r , df du d* , r ^ d'f (du \» df d*u
dT f [" W1 = Чп dx~- ГхГ^иМ=Ш*-\И) +dT' dx*-
(b) Сумма, произведение и частное. Логарифмическое дифференцирование:
du . dv
,dv
--о:,
_ Ul (-t) Ug (*) •••
Замечание. Чтобы продифференцировать функцию вида у — о, (х) i>2 (x)
может оказаться полезным найти сначала ее логарифмическую производную.
dx d/ dx
(c) Обратная функция. Если функция у=у(х) имеет обратную функцию
х = х (у)**) и ^- = у'х ф 0, то
dx_ ¦ _ 1 - Vx_
4U-*y-Jx> ХУ= (у'ху
(d) Неявная функция (см. также п. 4.5-7). Если функция задана неявно долж-
должным образом дифференцируемым соотношением F (х,у) = 0, где гу ф 0, то
dy___ fjc_ d*y_ 1
dx
dx*
L (F* F1' — IF' F F- + F" F-*\
¦•» V xx у xy x y^ yy x).
(e) Функция, заданная с помощью параметра t. Если даны х — х (t), у — у <f) и
dx'
x(t)
dx*
'х <f) у @ - х (О У i
[i (*)]«
•) В первой формуле (а) при m > 1 следует предполагать дифференцируемость
функции f(u,,u2, Z , um) в соответствующей точке, для чего достаточно непрерыв-
непрерывности в этой точке всех ее первых частных производных: см. п. 4.5-3. „.„.,_„.
••) Если функция у (х) на интервале а 4 * =ё Ь строго монотонна и_непрерывна,
то
так
ет
т*_ .„. 7мТеТВв^ю"„Ро„1зРвоВдГуИю:ато'н1мТет место Vвторая нз этих формул.
П2 Гл 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5-5.
4.5-5. Однородные функции. Функция f\(Xi, x2 хп) есть однородная функция степени
г относительно аргументов xt, хг хп, если f (axir cu2«..., ахп) = arf (xi.x xn) (см.
такжеп. 1.4-3, a). EraHf (Х1,дг2 хп) — непрерывно дифференцируемая однородная функ-
функция степени г, то
= r f <*ь*1 *п)
D.5-12)
(теорема Эйлера об однородных функциях).
4.5-6. Якобианы и функциональная зависимость (см. также пп. 4.6-12,
6.2-3, b и 16.1-2). Если функции
У1 = Уг{хъ ж*. •••. ж») (i= 1, 2,..., п) D.5-13)
непрерывно дифференцируемы в некоторой области re-мерного пространства
и если якобиан илн функциональный определитель
отличен в ней от нуля, то уравнения преобразования A3) (см. такжеп. 14.1-3)
в достаточно малой окрестности каждой точки области определяют взаимно
однозначное соответствие этой окрестности н множества точек (уъ у2, ..., уп),
образованных значениями функций A3), принимаемыми в этой окрестности.
Если дифференциалы
п
='2i^~dxb (»=1, 2 п)
D.5-15)
fc=i
линейно зависимы в данной области (п. 1.9-3), то якобиан A4) в этой обла-
области тождественно равен нулю. Если в V нет точки, в которой все элементы
якобиана A4) одновременно обращаются в нуль, то якобиан A4) тождественно
равен нулю в области V в том и только в том случае, когда у каждой точки
этой области существует такая окрестность, в которой функции щ связаны
некоторым непрерывно дифференцируемым соотношением Ф (ylt уг уп) = О,
где производные -<~ не все одновременно равны нулю. В этом случае говорят,
что функции A3) функционально зависимы в этой окрестности (см. также
п. 4.5-7, с).
4.5-7. Неявные функции.
(а) Если функция у = у(х) задана неявно должным образом дифферен-
дифференцируемым соотношением F (х, у)=0, то
d*y
+
ЦГи Ф 0). D.5-16)
dy _ F
dx ~~ Fy dx' Fy ¦ ™ -
(b) Если m функций 2/1 = 2/1(ж1,*!!, ..., xn), j/, = y2 (xv x2 xn), .... j/m =
==J/m (xi> X2 xn) 0T n независимых переменных xlt x%,..., xn заданы неявно
m соотношениями
Fi(ylty2 Ут< хих2,...,хп) = 0 (i=l,2,...,m), D.5-17)
где Fi — непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой области, то
1. Дифференциалы dyj и dxt связаны т линейными уравнениями dFi=0.
2. Для каждого значения й = 1, 2,..., п все т производных gJ ¦
могут быть получены по правилу Крамера (п. 1.9-2) из т линейных уравнений
dFi
¦^1 dFi ay/ at i
2^~W7 dxk dxk
==0 (( = ll21,..1m),
D.5-18)
4.6-1.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
113
если только
Fm)
. Уг
Ут)
^ det -д— -ф 0
[ду/ J ^
D.5-19)
для рассматриваемых значений xlt х2, ..., хп. Дифференцируя уравнения A8),
получаем соотношения, дающие производные более высокого порядка функ-
функций yj.
непрерывно дифференцируемых соотношения F (х, у, г) = 0
В частности, два
и G {х, у, z) = 0 дают
dx : dy : dz =
Fy Fz
Fz Fx
О'г G'x
F* FV
G* °y
D.5-20)
-54 Если, например, первый из определителей справа отличен от нуля, то данные
соотношения определяют у и z как функции от х (см. (с)) и уравнения B0) позволяют
найти производные -У- и -—г-. X
(с) Теорема существования иеявиыхфУнкций(см.такжеп. 4.2-1, Ь). Пусть дана
точка Р = (*i, x2 хп; уи у2 Ут), в которой выполняются соотношения A7) и A9).
Если все Fi и dF(/dy/ непрерывны в некоторой окрестности D точки Р, то т соотно-
соотношений A7) в некоторой окрестности точки (Xt. x2, ... ,хп) определяют у у как непрерывные
функции от xi, хг, ... , хп. Если, кроме того, в D непрерывны и все производные dF^jdx^
то в указанной окрестности точки (Xi, xz, ... , хп) существуют и непрерывны производ-
производные dyi/dXh. Если якобиан A9) в D тождественно равен нулю, то левые части соотно-
соотношений A7) в некоторой окрестности точки Р функционально зависимы (п. 4.5-6), так
что у.- не определены однозначно.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4.6-1. * Определенные интегралы (интеграл Римана).
(а) Пусть действительная функция / (я) определена и ограничена на огра-
ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобьем этот интервал на п частичных
интервалов точками
Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке |,- (*,-_! ^
п
^b^Xi) и составим сумму (интегральная сумма) J]f ih) (xi —xi-i)-
г=1
Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю
длины наибольшего частичного интервала разбиения: max (xi — Xi_i) —>¦ 0, то
функция f (x) называется интегрируемой в смысле Римана на интервале [а, Ь\.
Предел этой суммы
/= Hm h(li)(xi-xi_1) = lf(x)dx, D.6-1)
max (X( — *,-_i)-»0 1=1 а
называется определенным интегралом от / (я) по интервалу [а, Ь] в смысле
Римана (интеграл Римана). Это определение означает, что для любого поло-
положительного числа е существует такое число б > 0, что при любом разбиении
интервала [а, Ь] на частичные интервалы, длины которых меньше б:
max (xt — xi_i) < б,
и при любом выборе промежуточных точек |; выполняется неравенство
J f(li) (Х1-Хил)-1
Функция / (а;) называется подынтегральной функцией, а а н Ь — пределами
интегрирования. В табл. 4.6-1 перечислены важнейшие свойства определен-
определенных интегралов.
П4 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-1.
Таблица 4.6-1
Свойства интегралов
(a) Элементарные свойства. Если интегралы существуют, то
b a 6 с 6
J f (x) dx = - J f (x) dx •), \f (x)dx= ^f (x)dx+ \f (x) dx,
a b а а с
b 6 6 6 6
J [u (x) + v (x)] dx— J и (x) dx + J v (x) dx, J а и (x) dx = a J и (*) dx.
a a a a a
(b) Интегрирование no частим. Если функции и(х) и v (x) непрерывно дифферен-
дифференцируемы на интервале а^х ^6, то
Ь ь Ь
J и (х) v' (х) dx — и (х) v (х) | — J ti (х) и' (х) dx
а а а
или
(с) У; Замена переменного (нитегрнроваине подстановкой). Если функция х — х (и)
непрерывно дифференцируема на интервале а^и^р, а функция f (x) непрерывна
на интервале т sg х ^ М, где т — точная нижняя, а М — точная верхняя граница
функции х (ы) на интервале а ^ и ^ р, то
х(\
х(а) а
F) У Дифференцирование по параметру. Если функция f (x, X) и ее частная производ-
производная д- f (х, X) непрерывны на множестве а <: х < 6, Хо < X < Xt, а функции и (X) и
v (X) дифференцируемы на интервале Хо ^ X ^ Xi и удовлетворяют на нем условиям
а < и (X) < 6, а < о (X) ^ 6, то при Хо < Л < Хх
Ь Ъ
и(Х)
и(Х)
(правило Лейбница).
Первая формула остается в силе и для несобственных интегралов^ если предполо-
Ь Ь д
жить, что интеграл J f (x, X) dx сходится, а интеграл | дТ f (*. *•) dx Равномерно схо-
а а
дится на интервале Х* < Я < Xt. (При этом функция f (x, X) и ее производная
-— f {х, X) предполагаются непрерывными лишь на множестве а^,х<Ь, Хц^Х^Х^
X
или на множестве а<.х ^ Ь, Хо ^ Л ^ л.1.)
-*) Это равенство следует рассматривать как определение интеграла J f (x) dx
а
прн b ^ а. Из него также вытекает, что J f (x) dx = 0,
а
4.0-2.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 115
Таблица 4.6-1 (продолжение)
Второй случай часто можно свести к первому подходящей заменой переменных.
Отметим также, что
а а
(е) Неравенства (см. также п. 4.6-19). Если интегралы существуют, то (при
а<Ь)
из f (х) =5 g (х) на [а, 6] следует
Ь Ь
I f (x) dx < J g (x) dx.
a a
Если I f (x) I < M на ограниченном интервале [а, 6], то из существования инте-
Ь Ь
грала J f (x) dx вытекает и сущестсование интеграла J | f (x) j dx и
а а
J f (x) dx
Если функция у = f (х) па интервале [а, 6] неотрицательна, то интеграл J f (x) dx
а
выражает площадь, ограниченную кривой (/= f (х), осью абсцисс и двумя прямыми х — а
и х~ Ь. Если f (x) ^ 0, то интеграл выражает эту площадь, взятую со знаком минус.
(Ь) Функция f (л:), ограниченная на ограниченном замкнутом интервале [а, 6], интег-
интегрируема на нем в смысле Римана в том и только в том случае, если она непрерывна
почти всюду на [а, 6] (п. 4.6-14, Ь). Это, в частности, верно: 1) если функция f (x) непре-
непрерывна на [а, Ъ\, 2) если функция f (х) ограничена на [а, Ь~\ и имеет на [а, о] конечное
или счетное множество точек разрыва; 3) гели функция f (x) монотонна на [а, 6];
4) если f (х) есть функция ограниченной вариации на [а, Ъ~\ (см. также п. 4.4-8). Если
функция f (х) интегрируема на [а, 6], то она интегрируема и на каждом интервале,
содерлеащемся в [а, 6],
4.6-2. Несобственные интегралы
(а) Если функция / (х) ограничена и интегрируема на каждом ограни-
ограниченном интервале, содержащемся в (о, Ь), то понятие определенного интег-
Ь
рала \t(x)dx (п. 4.6-1) можно расширить так, что оно станет применимым
а
и когда
1. Функция f (х) ие ограничена в любой окрестности одного из пределов
интегрирования а или Ь (см. также п. 4.6-2, Ь).
2. Интервал (а, Ь) не ограничен.
Так, если функция / (х) ограничена и интегрируема на каждом конечном
интервале [а, X], где а<.Х <6, то по определению полагают
Ъ х
\ f (x) dx = lira \ f (x) dx D.6-2o)
и, в частности, при Ь = -f- oo
\ ](x)dx— lira f f(x)dx
D.6-26)
Точно так же
b 6 6 Ь
[f(x)dx= lira \f(x)dx, \f(x)dx= lim V/ (x) dx. D.6-2c)
i X-+a+Ox -co X-+-<x>Jc
116 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-2.
Каждый несобственный интеграл, определенный таким образом, сущест-
существует нли сходится, если существует предел в правой части равенства. Несоб-
Несобственный интеграл от функции / (я) сходится абсолютно, если сходится соот-
соответствующий несобственный интеграл от |/(л:)|. Из абсолютной сходимости
следует сходимость (см. также пп. 4.6-15, е н 4.9-3). Несобственный интеграл,
который сходится, но не абсолютно, называется условно сходящимся.
(Ь) -* Правила интегрирования из табл. 4.6-1 применимы к должным обра-
образом сходящимся несобственным интегралам. Если функция / (х) определена
в ограниченном нли неограниченном интервале (а, Ь) или [о, Ь], за исклю-
исключением, быть может, конечного числа точек а ==? сх < с2 < ... < сп s? Ь, не огра-
ограничена в любой окрестности и,- каждой точки дг = с; (i = 1, 2,..., п), а вне
объединения окрестностей ut, иг,...,ип ограничена, то несобственный ннтег-
рал ^ / (х) dx можно определить как сумму несобственных интегралов вида B).
а
Например, если
существуют, то
a н с2 = 6 н пределы в правой части равенства
\f(x)dx = lim { f(x)dx + lim [ f (x) dx,
D.6-3)
D.6-4)
где d — произвольная точка интервала (о, 6).
Если а = — со н 6 = 4- со, то
оо d Х2
\f(x)dx— lira \f(x)dx+ lira \f(x)dx.
Jm X^-со ? Хг-+со J
Если f (x) не ограничена в окрестности точки с, лежащей внутри интер-
интервала (а, Ь), то
Ь Xi Ь
\f(x)dx= lira \f(x)dx+ lira \f(x)dx (a<c<b). D.6-5)
a X,-.c—Oa Х,~е-)-О.Х,
В случае, если интегралы D) и E) не существуют, могут все же существовать соот-
соответствующие главные значения интеграла по Коши
X р —б Ь ~\
Пт | f (дг) dx и lim I J f (дг) dx ¦+ J f (дг) dx ; D.6-6)
если какой-либо из интегралов D) и E) существует, ои необходимо равен своему глав-
главному значению.
Ь
(с) Несобственный интеграл \ f (x, у) dx равномерно сходится на множе-
а
стве S значений у, если соответствующий определенный интеграл сходится
ь
к своему пределу (пп. 4.6-2, а и Ь) равномерно на S (п. 4.4-4). Если ^ f (x, y)dx
а
при каждом у из интервала у0 <. у <. у\ есть интеграл вида Bа) и если функ-
функция f (дг, у) непрерывна на множестве а^х<Ь, уо<-У<У1> а интеграл
Ь Ь
\ f (х, у) dx равномерно сходится в интервале у0 < у < yv то ^ / (х, у) dx есть
а а
непрерывная функция от у в этом интервале (теорема о непрерыв-
непрерывности). Аналогичные теоремы верны н для интегралов вида B6) и Bс).
(d) Признаки сходимости и равномерной сходимости перечислены
в пп.4.9-3 и 4.9-4.
4.О-в.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
117
4.6-3. Среднее значение. Среднее значение функции / (х) на интервалах
[a, b], [0,-f-oo) н (— со, 4-со) по определению соответственно равно
Ъ X X
-L^lfMdx, х 11%-И/<*)<** н Л'+со^ $/<*>**¦ D-0-7)
а О —X
если этн величины существуют.
4.6-4. Неопределенные интегралы. Функция f (х) имеет в интервале [а, Ь]
неопределенный интеграл \jf(x)dx, если существует такая функция F (х), что
F' (x)=f{x) на [а, Ь\. В этом случае функция F (х) однозначно определена
в \а, Ь] с точностью до произвольной аддитивной постоянной С (постоянной
интегрирования); любая такая функция F (х) называется первообразной (при-
(примитивной) функции f (x) на [а, Ь]. Полагают
\f(x)dx = F(x) + C (a^xscb). D.6-8)
Заметим, что разность F (х) — F (a)~F(x) * при а^х^Ь определена одноз-
однозначно.
Отметим также, что
J [а и U) + Р v (*)] dx = a J и (х) dx + p J v (дг) dx, D.6-9)
J и (дг) v' (дг) dx = u (х) v (дг) — J и' (дг) v (дг) dx, D.6-10)
если эти неопределенные интегралы существуют (см. также табл. 4.5-2 и 4.6-1).
4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления. Если f (х)—функция,
ограниченная и интегрируемая на интервале \а, Ь], и если существует перво-
первообразная F (х) функции f (x) на [а, Ь\, то
= F (x) — F (a)
D.6-11)
В частности, это верно, если функция f (x) непрерывна на [а, Ь]. При этом
= f (х)
D.6-12)
Более общее утверждение: если функция f (дг) ограничена и интегрируема На [а, Ь],
х
то интеграл JV A) <?| является функцией ограниченной вариации на [а, 6], и для почти
а
всех х из [а, 6] (п.4.6-14, Ь) имеет место равенство A2).
Замечание. Основная теорема интегрального исчисления Дает возможность вычис-
вычислять определенные интегралы, обращая процесс дифференцирования.
4.6-6. Методы интегрирования.
(а) Интегрирование есть операция отыскания (определенного нли неопре-
неопределенного) интеграла от данной подынтегральной функции f (x). Определенные
интегралы можно вычислять непосредственно как пределы интегральных сумм
(численное интегрирование, пп.20.6-2 и 20.6-3) нли путем вычисления выче-
вычетов (п.7.7-3). Чаще пытаются найтн неопределенный интеграл н затем поль-
пользуются формулой A1). Чтобы найтн неопределенный интеграл, данную подын-
подынтегральную функцию f (x) нужно с помощью «правил интегрирования», пере-
перечисленных в табл. 4.6-1, а, Ь, с, представить в виде суммы известных произ-
производных.
В дальнейшем перечисляются методы интегрирования, применимые к неко-
некоторым специальным типам подынтегральных функций. Существуют разной
118 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-6.
степени полноты таблицы определенных и неопределенных интегралов (см., на-
например, [4.6]).
(Ь) Интегрирование многочленов:
D.6-13)
(с) Интегрирование рациональных функций. Методы, опи-
описанные в пп. 1.7-2 и 1.7-4, сводят интегрирование каждой рациональной функ-
функции к интегрированию суммы многочлена (п.4.6-6, Ь) и некоторого числа эле-
элементарных дробей. A.7-5) и/или A.7-6). Элементарные дроби последовательно
интегрируются с помощью следующих формул:
С d х —
){х _*,)» —
р dx
J [(*-aJ + «>2]"~ <
f d*
J[(*-aJ + «>2]'"TJ-~
+ C
D.6-14)
[{х-
2ma>2
dx
t * dx
J [(* - aJ + i
, eimt I
+ <o2j
a (* - a) - a2 | Bm - I) a
'Их-аРН-»1]1"
??
*- a)"
^ Функции интегрирование которых с помощью
замены переменных сводится к интегрированию рацио-
" Э ЛЬ Еми п%ште?ралшая функция f (x) есть рациональная функция от sin x
и cos*, то полагают u = ig-^-, так что
Sin X =
2u
1 — u*
2du
<4-65)
2. ?стш подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от sh x
, то полагают «
th-|-, так что
' \ — u2'
D.6-16)
Замечание. Если f (*) — рациональная функция от sin2*, cos« *, sin* cos* и tg *
(или от соответствующих гиперболических функций), то вычисления упростятся, если
сделать замену и = tg * (или и = th *).
3. Если подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от х
и либо от У1 — х2, либо от Ух% — 1, либо от ]/а:2+1, то задача сведется к
случаю 1 или 2, если соответственно сделать подстановку x=cosi>, илн A; = cho,
или х = sh v.
4. Если подынтегральная функция f {x) есть рациональная функция от х
и либо от Ухг +1, либо от Yxi—'• то можно положить соответственно
u=x + Vx2 ± 1> тогда
и, D.6-17)
4.6-8.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
119
5. Если подынтегральная функция f (х) есть рациональная функция от х
и от У av'z-\-bx-\-c, то задача сведется к случаю 3 (или 4), если сделать под-
подстановку
n= 2g* + " x==vY\*ac-b4-b^
У\ tac — Ь* [' 2а
6. Если подынтегральная функция f (x) есть рациональная функция от х
и от и= у "* _Т ., причем ad — bc^O, то в качестве новой переменной берут и.
7. Если подынтегральная функция j (x) есть рациональная функция от х,
У ах-\-Ь и У cx-j-d, где а^О, то в качестве новой переменной берут и =
= У~а~х~+Ъ~.
В различных специальных случаях применяют многочисленные другие
подстановки.
(е) Интегралы от функций вида
хпеях, хп In х, хп sin x,
sin" л: cosm х
a;" cos а;
ечх sin"
(пф— 1);
eax cos" x
вычисляют с помощью интегрирования по частям, (табл. 4.6-1, Ь), применяя
его, если нужно, несколько раз.
(t) Многие интегралы нельзя выразить в виде конечных сумм, содержащих только
алгебраические, показательные п тригонометрические функции и функции, им обратные.
В этом случае подынтегральную функцию можно разложить в бесконечный ряд (пп. 4.10-4,
4.11-4, 15-2-С) нли же прибегнуть к численному интегрированию. В гл. 21 можно найти
* Ь
примеры «новых» функций от*, определяемых как интегралы вида \ f (|) d% илн \ f (*, Т\)Aц.
а а
4.6-7. Эллиптические интегралы. Если / (л:) —рациональная функция от х
ь
и от У аах"' -j- ахх3 + агхг + а3х + а%, то \f(x)dx называется эллиптическим ин-
а
тегралом; можно исключить тривиальный случай, когда уравнение
«„а:1 + «I*3 + ОгХг + а3х + а4 = 0
имеет кратные корни. Каждый эллиптический интеграл можно выразить через
элементарные функции и нормальные эллиптические интегралы (п. 21.6-5);
значения последних приведены в таблицах.
4.6-8. Кратные интегралы (см. также пп. 4.6-11, 4.6-12 и 4.6-13).
(а) Пусть функция f (х, у) кусочно-непрерывна (п. 4.4-7) в ограниченной
замкнутой области D, определяемой как условиями as^xs^b, {)y{
так и условиями a===«/s?p, Yi (у) ^х^Уг(У), где g1(x), gt(x), уг(у),
кусочно-непрерывные функции в указанных интервалах. Тогда
Г; ъ (и) В Г7г {и) 1 ь
\dy \ f(x,y)dx=U j f{x,y)dx\dy = ]
г (*)
J f{x,y)dy=*
¦s
= \\f(x,y)dxdy.
D.6-19)
Аналогичные теоремы справедливы для тройных, четырехкратных и т. д.
интегралов.
Пример. Если D — область, ограниченная окружностью хг + у2 — I, и функция
I (*. У) = с постоянна, то
f {х, У) dx dy
I
4 ^ dx
cdy
120
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-9.
(Ь) Если функция f (х, у) непрерывна на множестве а^дг< + со,
+ СО
рал \ f (х, у) dx разномерно сходится на интервале а й у =S P, то
, \ f (х, у) dx = ) dx)f <*• ^> dV-
X а а
p, и интег-
D.6-20)
Аналогичные теоремы верны для несобственных интегралов других типов.
4.6-9, * Длина дуги спрямляемой кривой (см. также пп. 6.2-3, 6.4-3 и 17.2-1).
Пусть С — дуга непрерывной кривой, лежащая в конечной части плоскости
или пространства. Длиной s (С) этой дуги называется предел длины ломаной,
вписанной в эту дугу, при условии, что длина наибольшего звена этой ломаной
стремится к нулю. Если указанный предел существует, то дуга называется
спрямляемой.
Для регулярной кривой на евклидовой плоскости или в евклидовом про-
пространстве, описываемой в прямоугольных декартовых координатах уравнениями
или x = x(t), y = y(t) на плоскости 1 . fi „..
ц x = x(t), y = y\t), г = 2@ в пространстве [ С*.о-л)
(п. 3.1-13), длина бесконечно малой дуги, соответствующей промежутку [t,t-\-dt],
есть элемент дуги
иа плоскости,
D.6-22)
в пространстве.
Знак корня выбирается обычно так, чтобы производная s' (t) была ;>¦ 0. Длина
дуги s (С) кривой, соответствующей конечному интервалу [t0, t], равна
/
s = s(C) = $ds = $3f«tt = s(Q. D.6-23)
С U
Длина дуги s (С) есть геометрический объект, не зависящий от системы коор-
координат и от выбранного для описания кривой параметра t. В пп. 6.2-3 и 6.4-3
приведены формулы, выражающие ds (а значит, и s' (t)) в криволинейных
координатах.
Длина дуги s (С) существует, если функции B1) являются на [t0, t] функциями огра-
ограниченной вариации: в этом случае элемент ds определен почти всюду (п. 4.6-14, Ь) на С.
Каждая регулярная кривая спрямляема.
4.6-10. Криволинейные интегралы (см. также пп. 5.4-5, 6.2-3 и 6.4-3, где
введены векторные обозначения и используются криволинейные координаты).
Для данной спрямляемой дуги С, описываемой при aszt^b уравнениями B1),
криволинейный интеграл | / (х, у, z) ds от ограниченной функции f (х, у, г) по
определению равен
т
? f (х, у, г) ds= lira ? f [x (т;), у (т;), г (т,)] As,-,
*> ma* As . -»- 0 t i
где
i = l, 2, ..., m), ' D.6-24o)
4.6-11.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
121
если предел существует (см. также п. 4.6-1). Криволинейный интеграл B4а)
можно вычислить (или непосредственно определить) как интеграл по t
$/(*. У.
D.6-24Й)
где элемент дуги ds находится из B2). Опуская в B4) члены, относящиеся
к г, получаем криволинейный интеграл для кривой, расположенной на
плоскости Оху. Несобственные криволинейные интегралы определяются по спо-
способу п. 4.6-2.
4.6-11. Площади и объемы (см. также пп. 5.4-6, 5.4-7, 6.2-3, 6.4-3 и
17.3-3, где введены векторные обозначения и используются криволинейные
координаты).
(a) Пусть S — ограниченная замкнутая область на евклидовой плоскости.
Если точная верхняя граница множества площадей всех многоугольников,
содержащихся в S, и точная нижняя граница множества площадей всех
многоугольников, содержащих S, равны, то область S называется квадрируемой
(измеримой по Жордану), а общее значение этих границ называется площадью
А области S. В частности, область S ограниченная простой замкнутой регуляр-
регулярной кривой, квадрируема. Объем U ограниченной замкнутой области V в трех-
трехмерном евклидовом пространстве определяется аналогично.
Площадь А ограниченной регулярной поверхности S (п. 3.1-14) опреде-
определяется следующим образом. Разобьем S на конечное число частей; в каждой
части выберем по произвольной точке и ортогонально спроектируем эту часть
на касательную плоскость к поверхности в выбранной точке (п. 17.3-2).
Площадь поверхности А есть предел (если он существует) суммы площадей
полученных таким образом проекций, когда диаметр наибольшей из рассмат-
рассматриваемых частей стремится к нулю.
* Диаметром множества Е в метрическом пространстве С (п. .12.5-2),
в частности, в евклидовом пространстве, называется точная верхняя граница
расстояний между любыми двумя точками множества Е. *
(b) Площади и, объемы можно вычислять (или даже непосредственно
определять) как двойные или тройные интегралы в соответствующих коорди-
координатах:
А = ^ dA = j[J dx dy в евклидовой плоскости, D.6-25)
S s
U=\ dv = \\\dx dydz в евклидовом пространстве. D.6-26)
V V
Площади и объемы ке зависят от выбора системы координат. В криволинейных коор-
координатах х1, хг, х3 (п. 6.2-1) ')
U = \dV = [[[ /// у- 2' dx' dx' dx» D.6-27)
(см. также пп. 4.6-13, 6.2-3 и 6.4-3).
В криволинейных координатах и, v на плоскости или поверхности (п. 3.1-14)
\dA = \\Ya (и v) du dv,
S S
D.6-28)
Где a (u, v) — функция, определяемая в п. 17.3-3, с.
(с) Простые частные случаи. Площадь плоской области, ограниченной
прямыми х — а и х — Ь, где а < Ь, и двумя кривыми у — gt (*) Hj/ = g2(*), причем
b
(x) < g2 (дт) при а < х < Ъ, равна J [g2 (х) — gt (*)] dx {A > 0). Площадь плоской
') Здесь 1, 2, 3 — не показатели степени, а индексы.
122
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-12.
области, ограниченной простой замкнутой крквой С, описываемой уравнениями х =
= х (f), у = у (/) или уравнением г = г (<р) (п. 2.1-8), где функции удовлетворяют долж-
должным условиям, равна
Л =-1
^ - У ?) <« -и Л
D.6-29)
где символ ф указывает, что интегрирование производится по замкнутой кривой: А > О,
если обход кривой С совершается против часовой стрелки.
Площадь поверхности А, образованной вращением кривой j = f М ^ 0 (а ^ х ?^ Ь)
вокруг оси Ох, н объем U, ограниченный этой поверхностью, равны
b / t-j—г-т- b
А == 2л J f (х) у 1 + №Л dx, U = л J [f (*)]» dx. D.6-30)
а а
4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему (см. также пп. 5.4-6,
5.4-7, 6.2-3 и 6.4-3, гре введены векторные обозначения и рассматриваются
криволинейные координаты). Интегралы по поверхности и интегралы по объему
можно определить как пределы сумм по способу пп. 4.6-1 и 4.6-10. Их можно
также ввести непосредственно как двойные и тройные интегралы о помощью
элементов площади и объема, определенных в п. 4.6-11.
Интеграл по поверхности от кусочно-непрерывной функции f (и, v) по
удовлетворяющей должным условиям поверхности S с криволинейными коор-
координатами и, v равен
v)dudv.
D.6-3!)
Сюда в качестве частных случаев входят и интегралы по плоским областям
(где, в частности, возможен и случай и = х, v = y, У~а(и, v) = 1).
Интеграл по объему от кусочно-непрерывной функции
f(x, у, z)=f[x(x\ х2, х»), у(х\ х2, х3), z(x\ х2, х3)]
по ограниченной области V равен
$/(*, у, г) dV = $$$/(*, у, z)dxdydz =
~\\\f[x(x\ х2,- х3), у(х\ х2, х3), г(х\ х2, х3)} ^ ^ г]3) ds
D.6-32)
Несобственные интегралы по поверхности или по объему (неограниченные
*vhkuhh или области) определяются по способу п. 4.6-2.
ФУ Формулы, связывающие интегралы по поверхности и интегралы по объему,
осматриваются в пп. 5.6-1 и 5.6-2. Отметим частные случаи этих формул,
Связывающие криволинейные интегралы и интегралы по плоской области
(С-гранХ области S; обход С совершается против часовой стрелки):
}Р(х, y)dx + Q(x, y)dy
(формула Грина), \ D 6.3з)
где
(двумерная 2-я формула Грина),
4.G-14.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
123
4.6-13. Замена переменных в интегралах по объему и по поверхности.
Если с помощью непрерывно дифференцируемого преобразования координат
х1=х1(Х1,
2 = х2(х\
*, х2, Xs),
ввести новые координаты х1, х2, X3 (см. также п. 6.2-1), то интеграл по
объему C2) можно переписать в новых координатах:
\f(x, у, z) dV = i[ЭД <р (х1, х2, х3) dx4x2dx3 =
v 'v
= \\\ ш (л;1 (л1, х2, JE"), Х2 (Х1, х2. У?), х3 (х\ xs, X3)) -%'-х'-^1 dx4x2dxK
V 5 (х1, х*. х')
D.6-34)
Интегралы по поверхности преобразуются аналогично (см. также
п. 17.3-3).
4.6-14. Мера Лебега. Измеримые функции.
(а) Мера точечного множества. Внешняя мера Лебега те (S)
произвольного ограниченного точечного множества S на прямой есть точная
нижняя граница (п. 4.3-3) суммы длин конечного или счетного множества
интервалов, покрывающих S. Внутренняя мера Лебега /и,- [S] множества S
есть разность между длиной b — а любого ограниченного интервала [а, Ь],
содержащего S, и внешней мерой дополнения множества S до [а, Ъ\ (п. 4.3-2, а).
S есть измеримое множество с мерой Лебега m[S], если melS] — mi[S] = m[S]
(конструктивное определение меры Лебега). Неограниченное множество S
на прямой измеримо, если для всех Х>0 измеримо пересечение (— X, X)f\S.
При этих предположениях по определению полагают
m[S]= lim m[(—
X-*-foo
мера т [S] может быть как конечной, так и бесконечной.
Рассматривают н более общее определение: мера М [S], определенная на подходящем
классе (вполне аддитивной булевой алгебре, п. 12.8-4) точечных множеств S, есть функ-
функция множества со свойствами
М
0, М [ф]=0.
D.6-35)
и Для каждого конечного илн счетного множества попарно непересекающихся точечных
множеств Si, S2, ...
М [S,US2U...] = Af [S,] + Af [S,]-f ... D.6-36)
Мера Лебега т [S] точечного множества на прямой обладает дополнительным свойством
тЦа, b)] = b — a
D.6-37)
для каждого ограниченного интервала (а, Ь); таким образом, мера Лебега является
обобщением длины интервала {аксиоматическое определение меры Лебега', см. также
пп. 12.1-1, 12.8-4 н 18.2-2).
Мера Лебега точечных множеств в пространствах двух, трех, ... измерений опреде-
определяется (либо конструктивно, либо аксиоматически) с помощью аналогичных обобщений
площади н объема.
(Ь) Каждое ограниченное открытое множество (п. 4.3-6, а) измеримо.
Можно высказать более общие утверждения. Борелевское множество на прямой
есть множество, полученное посредством конечной или счетной последователь-
последовательности объединений, пересечений и/или взятия дополнений интервалов и полу-
получающихся в результате комбинаций. Класс борелевских множеств есть вполне
аддитивная булева алгебра измеримых множеств. Каждое измеримое множество
есть объединение некоторого борелевского множества и множества лебеговой
124
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-15.
меры нуль. Каждое конечное или счетное множество измеримо и имеет лебегову
меру нуль. Аналогичные теоремы справедливы и в многомерном случае.
Если какое-либ<? свойство выполняется для каждой точки данного интер-
интервала, области или множества, исключая, быть может, лишь множество лебе-
лебеговой меры нуль, то говорят, что это свойство выполняется на данном
интервале, области или множестве почти всюду (или почти во всех точках
этого интервала и т. д.).
(с) Измеримые функции. Функция / (х), определенная на интервале
[а, Ь]1), измерима на [а, Ь], если для каждого действительного числа с мно-
множество точек х интервала [а, Ь], в которых /(*)==? с, измеримо.
В этом определении условие f (x) ^С с можно заменить любым из условий f (х)<с,
Пх)>с, Цх)>с.
Функция, непрерывная на [а, Ь], измерима на [а, Ь]. Если на [а, Ь] измеримы функ-
функции U (x), ft{x) то на [а, Ь] измеримы и функции fi(x) + f,(x), afi(x), lt(x)li(x),
а также и lim f (x), если этот предел на [а, Ь] существует (и даже если этот пре-
предел существует на [а, Ь] лишь почти всюду).
Аналогичные определения н теоремы справедливы и для измеримых функций
f (х , х„ х ), определенных иа пространстве точек {xv x2 хпу допускающем опре-
определение меры Лебега.
4.6-15. Интеграл Лебега (см. также пп. 4.6-1 и 4.6-2).
(а) Интеграл Лебега от ограниченной функции. Пусть
действительная функция y = f(x) измерима и ограничена на ограниченном
интервале [а, Ь] и Л и В — соответственно ее нижняя и верхняя точные гра-
границы. Разобьем интервал [А, В], содержащий множество значений функции
/ (л;) на [а, Ь], на п частей:
А = Уо<У1 <yt<... <уп = В, D.6-38)
и обозначим через S,- множество точек х интервала [а, Ь], в которых f/,-_x <
</ (х) s?!ft. Составим две суммы (интегральные суммы Лебега):
п п
2 W-im[Sj] и 2
Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому же пределу, не зави-
зависящему от выбора значений yt, если только наибольшая из разностей г/,- — yi_±
стремится к нулю. Число
/=
lira
D.6-39)
есть определенный интеграл от функции f (х) по интервалу [а, Ь] в смысле
Лебега (интеграл Лебега).
Это определение означает, что, каково бы ни было положительное число е,
можно указать такое число 6>0, что при любом разбиении интервала [А, В]
на части такие, что max (#; — yut) < б, будут справедливы неравенства
/-2
<8 и
- 2 Vi m [Si]
а значит, и неравенство
I
4.6-15.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
125
где у1_л sg г)
п
2 nimfSi
i I интеграл Лебега можно определить и как предел суммы
(Ь) Интеграл Лебега от неограниченной функции. Если
функция f (x) измерима и не ограничена на ограниченном интервале \а, Ь]
то интеграл Лебега определяется как
ь Ъ ъ
к= ,Пп> $/л(*)л+ lim ]fB(x)dx,
~~ ^ а В—* — со а
где
О, если / (х) s? О,
f(x), если 0<cf(x)s^A,
A, если f (x) > А;
О, если f(*MsO,
[х) = \ f(x), если 0>f(*MsB,
B, если f (x) < В.
|
D.6-40)
Если интеграл \f(x)dx существует, то функция f (x) интегрируема по Лебегу
а
(суммируема) на интервале [а, Ь].
(с) Интеграл Лебега по неограниченным интервалам.
х
Если для всех X > а существует интеграл j f (x) dx, то интеграл Лебега
+ 00
+
\ f*(x)dx определяется условием
+fCO
\ f(x)dx= lim
X^ +
где
X,
lim \f2(x)dx,
—+ oo J
/»(*)=
О, если f
f(x), «ели f(x)>0,
О, если /(л;)ЭгО,
, если /(л;)<0.
D.6-41)
») Функция / (д:) может быть определена на [а, Ь] не всюду, а лишь почти всюду.
f "Г00
Интеграл ^ / (х) dx определяется аналогично, а интеграл ( Их) dx —равен-
— °° —со
ством D) на стр. 116.
(d) Интеграл Лебега по точечному множеству. Кратные
интегралы Лебега. Интеграл Лебега f f (x) dx по произвольному измеримому
S
вшожеству точек S определяется без изменения так же как и в пп. 4.6-15 а н Ь Коат-
ныя интеграл Леоега по области или измеримому множеству точек (х,, х., .... х \ опре-
определяется аналогично. ' и)
(e) Существование и свойства интеграла Лебега. Срав-
Сравнение интеграла Лебега и интеграла Римана. Каждая
126
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.6-16.
ограниченная измеримая функция на любом ограниченном измеримом множестве
суммируема. Функция, суммируемая на измеримом множестве S, суммируема
и на каждом измеримом его подмножестве.
Из определений пп. 4.6-15 а, Ь, с и d следует, что интеграл Лебега
\ f (х) dx существует в том и только в том случае, если существует интеграл
s
Лебега ? I f (x) \ dx. Если любой собственный или несобственный, простой или
s
кратный интеграл Римана существует в смысле абсолютной сходимости
(п. 4.6-2, аI), то соответствующий интеграл Лебега существует и равен
интегралу Римана.
Теоремы из табл. 4.6-1 и пп. 4.6-5 и 4.7-1, с, d справедливы и для инте-
интеграла Лебега.
Для каждого конечного или счетного множества попарно непересекающихся измс-
римых множеств Si, S2, ...
J f (x) dx = J f (x) dx + J I (x) dx + ....
U S< S2
D.6-42)
если интегралы существуют. Интеграл Лебега по любому множеству {лебеговой) меры
нуль равен нулю.
Замечание. Лебеговское интегрирование применимо к более общему классу
функций, чем римановское интегрирование, и упрощает формулировки многих теорем.
Многие теоремы, высказанные в терминах интеграла Лебега, непосредственно применимы
к абсолютно сходящимся несобственным интегралам Римаиа (см. также пп. 4.6-16 н 4.8-4, Ь).
4.6-16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности; см. также п. 12.5-1).
(a) Если последовательность функций So (x), si (х), s2 (х), ..., каждая из которых
ограничена и интегрируема в смысле Римана на ограниченном интервала [а, 6], равно-
Ь
мерно сходится на [а, Ь] к функции s (х), то предел lim [sn (x) dx существует и равен
п —соа
Ь
интегралу J s (x) dx.
а
(b) Следующая более общая теорема формулируется специально для интеграла Лебе-
Лебега: пусть So \x), st (x), s2 {x), ... и неотрицательная функция сравнения А (х) суммируемы
на измеримом множестве S, и пусть | sn (х) | ^Л (х) при всех п и при почти всех ж $ S
(п. 4.6-14, Ь). Тогда из того, что lim sn (x) = s (x) для почти всех х g S, следует, что
п -»со
предел lim J s^ (x) dx существует и равен J s (x) dx {теорема сходимости Лебега; ал.
п-+со s s
также п. 4.8-4, Ь).
4.6-17. Интеграл Стилтьеса.
(а) Интеграл Римана — Стилтьеса. Интеграл Римана—Стилтьеса
от функции / (*) с интегрирующей функцией g (x) по ограниченному интервалу
[а, Ь] по определению есть
Ь
\f(x)dg(x)= lim
max (xt — xi _
(
» 0 t =
D.6-43)
где
= ,
. <xm =
') Отметим, что функция
не суммируема на интервале @. I), несмотря на то, что несобственный интеграл Рнмана
f I (х) dx = lim \ f (x) dx = sin I
существует.
4.6-17.
4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
127
и xi_x s? li s? xi (об определении предела см. п. 4.6-1). Если g(x) —функция
ограниченной вариации (п. 4.4-8, b), a f (х) — непрерывная функция на [а, Ь],
то предел D3) существует.
Несобственные интегралы Римана — Стилтьеса определяются, как и в п.
4.6-2.
(Ь) Интеграл Лебег а —С т и л т ь е с а. Каждая функция g (x), неубывающая и
непрерывная справа (п. 4.4-7, Ь) на ограниченном интервале [а, Ь], с помощью соотно-
соотношений C5), C6) и
М [а < х
= 8 (Р) - S (а)
(а < а < р < Ъ),
D.6.44)
где в квадратных скобках указано множество значений х, определяет меру (меру Лебега—
Стилтьеса) М [S] каждого борелевского множества (п. 4.6-14, Ь) на интервале [а, Ь].
Отметим, что
М [a s? х < PI = g (P) — S (a — 0), M [a < x < p] = g (p - 0) — g (a),
M [as? *<p] = g (P-0) — g(a-0), M [> = a] = g (a) - g (a - 0) (a < a < p < b).
D.6-45)
Отправляясь от меры Лебега—Стилтьеса ограниченных интервалов по способу п. 4.6-14, а,
вводят меру М [S] Лебега—Стнлтьеса произвольного измеримого множества как общее
значение внутренней и внешней меры.
Если задана функция {/= f (ж), ограниченная и измеримая на интервале [a, b], то
интеграл Лебега—Стилтьеса по [a, b] от функции I (х) с интегрирующей функцией g (ж)
по определению есть
)f(x)dg(x)
lim 21
max (Vi-yi- 0-0,-^
D.6-46)
для произвольного разбиения C8) интервала, содержащего множество значений функции
I (x); Sj н здесь есть множество значений х, в которых j/,- _ j < f (ж) ^С щ (об определе-
определении предела см. п. 4.6-15, а).
Интеграл Лебега—Стилтьеса от ограниченной или неограниченной функции f (x) по
любому измеримому множеству можно теперь определить по способу пп. 4.6-15, Ь, с и d,
предполагая, что функция g (x) ограничена на каждом рассматриваемом ограниченном
множестве. В многомерном случае функция g (x) заменяется функцией, неубывающей по
каждому аргументу. Можно, далее, применяя равенство D8) к сумме двух монотонных
b
функций (п. 4.4-8, Ь), определить интеграл Лебега—Стилтьеса J I (x) dg (ж) с любой интег-
а
рирующей функцией g (ж) ограниченной вариации. Если интеграл Римана — Стилтьеса
существует в смысле абсолютной сходимости, то соответствующий интеграл Лебега—
Стилтьеса ему равен.
(с) Свойства интеграла Стилтьеса (см. также табл. 4.6-1).
Если (а, Ь) — ограниченный нли неограниченный интервал, для которого
существуют рассматриваемые интегралы, то
а Ь
Ь Ь
а а
Ь
¦чь
= fg\"a-]gdf.
D.6-47)
, D.6-48)
D.6-49)
D.6-50)
') См. сноску на стр. 114.
128 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4,6-18.
Если g (х) — неубывающая функция на (а, Ь), то
ь ь
D.6-51)
D.6-52)
а а
Если g (х) — неубывающая функция и f(x)^F(x) на (а, Ь), то
ь ь
\fdS^\Fdg (а ==?&).
а а
Интегралы Стилтьеса часто имеют «наглядный» смысл (криволинейные
интегралы, интегралы по поверхности, по объему; интегралы по распределе-
распределению массы, заряда и вероятности, п. 18.3-6). Заметим, что интеграл Стилть-
Стилтьеса в качестве частных случаев включает в себя обычные интегралы и суммы:
Ь Ь
\ f (*) dg (*)=$/ (x) g' (x) dx, D.6-53)
a a
если функция g (x) непрерывно дифференцируема на (a, b) и
4.6-18. Свертки. Свертка Стилтьеса двух функций f (*) и g (х) по интервалу (a, Ь)
есть по определению функция
Ь Ь
У (t) = J f(t - х) dg (х) H J g V - х) df (х) D.6-55)
а а
для всех значений t, для которых эти два интеграла существуют и равны. Классическая
свертка f (х) и g (x) no (a, Ь) подобным же образом определяется как
ь ь
Ф it) = J f (t - x) g (x) dx = J g (t — x) I (x) dx.
a a
D.6-Б6)
В литературе и E5) и E6) часто просто называют сверткой функций f (х) и g (х) no (a, b)
b
и любую из этих функций E5) и E6) обозначают символом f ¦% g или f ¦% g; точный смысл
а
обычно очевиден из контекста (см. также пп. 4.11-5, 8.3-1, 8.3-3 н 18.5-7).
Если имеют место равенства E5) и E6), то
g # f = f # S, f # (в # А) = (f * в) # А = f ¦* g # A,
g # f f # S, f # (в # ) (f ) D.6-57)
При a =— со и/или b=-j-oo, если интегралы существуют, то равенства E7) спра-
справедливы.
Свертка двух конечных или бесконечных последовательностей а @), а A), а B), ... и
Ь @), b A), b B), ... есть последовательность
а X b = 2 a (t — k) b (k)
k
0, I, 2, ..,).
D.6-58)
4.6-19. Неравенства Минковского и Гельдера.
(а) Если (a, b) — ограниченный или неограниченный интервал, для которого интег-
интегралы в правой части существуют, то
P
La"'
1/Р
I + fa I" <*g
A <P< + °°) (неравенство Минковского),
1/P П> l'/P
С4.6-59)
ft гь 1i/pp , „ "|(p-
IJfJ.<««l*s Jlfll"« JIM"*"-"''*
о La J La J
a La
A < p < + °°) (неравенство Гельдера)
D.6-60)
4.7-1.
4.7. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
129
Эти неравенства справедливы, в частности, для обычных интегралов Римана и Лебега и,
более общо, для многомерных интегралов. При р = —~—- = 2 неравенство F0) превра-
превращается в неравенст'Ю Коши — Шварца A5.2-3) *).
(Ь) Из неравенств E9) и F0) вытекают соответствующие неравенства для сумм и для
сходящихся бесконечных рядов. Если суммы справа существуют, то
Д I °*
A й р < + со) (неравенство Минковского),
D.6-61)
D.6-62)
со) [неравенство Гельдера).
P
При p = —^—- = 2 неравенство F2) превращается в неравенство Коши—Буняковского
(см. также п. 1. 3-2).
4,7. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ. РАСКРЫТИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА О ПРИБЛИЖЕНИИ
4.7-1. Теоремы о среднем знамени:: (см. также п. 4.10-4), Нижеследую-
Нижеследующие теоремы полезны для оценки значений и пределов действительных функ-
функций, производных и интегралов.
(а) Если функция f (х) непрерывна на [а, Ь\ и дифференцируема на (а, Ь),
то в интервале (а, Ь) существует такое число X, что
Hb)-f(a)=f'(X)(b-a) D.7-I)
(теорема Лагранжа; теорема о конечном приращении). Число X часто запи-
записывают в виде X = a+9 (b — a) @ <6 < 1). При f (a) —f(b) эта теорема на-
называется теоремой Ролля (см. также (п. 1.6-6, е).
Если функция t (х Хр .... к\ непрерывна при а^х^Ь^ и дифференцируема при
a^<zx^<: b-(i = 1, 2, .... п), то существует набор таких чисел Х^, Х^, . . ., Хп. что
bn)-1 (av °3
«„)
S к
(b) Если 1) функции и (х) и v (x) непрерывна на [a, b], 2) v (b) ?t v (а) и З) производ-
производные и' (х) и и' (х) существуют в интервале (а, Ь) и одновременно не обращаются в нуль,
гпп в интервале !а, Ь) существует такое число А', что
и (Ь) — » (а)
и1 (X)
v' (X)
D.7-3)
v (Ь) — и (а)
(теорема Коши).
(с) Если функция f (х) непрерывна на [а, Ь\, то в интервале (а, Ь) сущест-
существует такое число X, что
Ь
D.7-4)
\f(x)dx=t(X)(b-a).
(d) Если функции f(x) и g(х) непрерывны на \а, Ь] и g(x)^0 на [а, Ь]
(или g (х) ^ 0 на [а, Ь\), то в интервале (а, Ь) существцет такое число X,
что .
b ь
\ f(x)g(x)dx = f (X) \ g (x) dx. D.7-5)
*) В отечественной литературе это неравенство называют неравенством Кошн — Бу-
5 Г. Кори и Т. Корн
130
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.7-2.
Если функции I (х) и g (х) непрерывны на [а, Ь] и функция g (ж) в этом интервале
не возрастает (или не убывает), то в интервале (а, Ь) существует такое число X, что
Ь X Ь
§ f U) g (x) dx = g (a) j f (x) dx + g F) \ f(x) dx. D.7-6)
a a X
Если, кроме того, g (x) > 0 на (а, b), то в интервале (а, Ь) существует такое число X, что
X
g (а) \ ! (х) dx, если g (x) не возрастает,
а
Ь И.7-7)
(х) g (х) dx --
а
g ф) \ ! (ж) dx, если g (х) не убывает.
4.7-2. Раскрытие неопределенностей (примеры см. в табл. 4.7-1).
(а) Пусть функция / (*) вида ^fj, и (х) v (х), [и (x)]v '¦*> а (х) — v (x)
0 оо
в точке х = а не определена и принимает вид -т-, —, 0 -оо, 0°, со0, Iе0 или оо—оо.
т, —,
Это значит, что /(*) = —-., где Ига и(х) = 0 н lira да(л:) = 0 в первом
v \*> х-* а х -> а
случае; / (*) = ^—\, где Ига а (х) = оо и lim v (x) = оо — во втором;
v l ' х -¦ а х->а
f(x) = u(x) v(x), где lira и(л:) = О и Ига г»(л;) = оо—в третьем, и т.д. Термин
х—>а х—>а
«раскрытие неопределенностей» означает, что отыскивается предел lira f (x). Если
JC-» а
этот предел существует, то часто по определению полагают f (a)= lim / (х).
х—> а
Таблица 4.7-1
Некоторые часто встречающиеся пределы (п. 4.7-2)
Urn
п-»оо
Л + iY1 = в я» 2,71828. lira (I + х)Ч* = е,
V "/ х-*0
с*-1
iim
х->0 х
— In с, с > О,
iim Xх = 1,
,, sin jc
lim ¦¦
x-*0 *
Iim
tg x
. shx ,. th x
lim = iim = I,
lim
X-.0
sin ax
Urn
= lim
x-+Q x *->0 * x-*0
(— ся< а< 4- со),
nx— lim xae~* = 0 (a>0).
(b) Случаи 0/0 н оо/оо. Пусть lim м (л;) = lim »(л;) = 0. ?сли сущест-
х—> а х — а
вует окрестность точки х = а, в которой при хфа: 1) да (л;) ^/ЬО и 2) произ-
производные и' (х) и да' (*) существуют и v' (х)фй, то
lira JLEU = ига "^
D.7-8)
если предел в правой части равенства существует (правило Лопиталя).
Пусть limu(*)= lim»(*)=oa. Если существует окрестность точки
х-*а дг-»а
*• = а, в которой при хфа производные и' (х) и V' (х) существуют и V' (х) jtO,
4.8-1.
4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
131
то равенство (8) справедливо, если предел в правой части этого равенства си-
щесгпвует (эта теорема такж,е называется правилом Лопиталя).
Если само отношение ^- представляет собой неопределенность, то ука-
й '{
занный метод может быть в свою очередь применен и к и'.{--, так что
этот процесс, если необходимо, можат быть продолжен и дальше.
(с) С л уча и 0 ¦ оо, 0°, оо°, Г и оо-оо. Выражения и (х) v (x), [и ,
и u{x)—v(x) с помощью какого-либо из соотношений
D.7-9)
> , . __ о (л-) ц (л;)
U (X) ' о (*)
= In
<»-Н|
D.7-10)
часто можно привести к виду ?g-, и тогда к ним становятся применимыми
методы п. 4.7-2, Ь.
йоргп4Л0?).
(е) Методы пп. 4.7-2 а, Ь, с и d применимы и для отыскания одно-
односторонних пределов lim f (х) и lira / (*) (п. 4.4-7). Пользуясь тем, что
,. . , х-^а — 0 x-^a-j-o
lim f(x)= lim f(\/y), находят lira fix).
*- + га У^ + 0 x^ + a>
4-7- Теоремы Вейерштрасса о приближении (см. также пп. 4.10-4, 4.11-7
1) Пусть f (x)~действительная функция, непрерывная на ограниченном зам-
кнутом интервале [а, Ь]. Тогда для каждого заданного положительного числа а
(максимум погрешности приближения) существует такой действительный
многочлен Р(х)= ^ akxk, что \f(x)-P(x) <8 при всех х е [в, Ь\
4 = 0
2) ^ Пусть функция f (х) удовлетворяет дополнительному условию f (b) —
— Па) и (в = 2я/F —а). Тогда найдется такой действительный тригонометри-
тригонометрический многочлен Т (х) = J] (aft cos fe(o>: + Pft sin fax), что \f(x)~T(x):<s
4 = 0
при всех х е [а, &].
ных ATeo?eMuHbRpJp,°PeMbl СПРаве«лн,вы н Для функций двух и большего числа перемен-
переменных Функций .„,„?ШтраСса ° пРнблнжении позволяют различные свойства иепрерыв-
ких многочленов " соответстаУюЩих свойств многочленов нли тригонометричес-
4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ, БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ
4'8'1' Б,есконечиые РЯДЫ. Сходимость (см. также п. 4.4-1). Бесконечный
"о + а1 + аз+ ¦¦¦ действительных или комплексных чисел (членов) ап а,
•-. сходится, если последовательность s0, Sl, st, ... его частичных сумм
6»
132 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.8-2.
4.8-4.
4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
п
sn— 2 ak имеет предел s, т. е. в том и только в том случае, если после-
*=о
довательность остатков /?n+1 = s— sn сходится к нулю. В этом случае s =
= lim sn называется суммой ряда, и разрешается писать
Л-*°° оо П
...= 'У ak=\im J) ak= Urn sn = s. D.8-1)
fc0
Ряд aa-\-ax-\-аг-\-... (необходимо сходящийся) называется абсолютно схо-
сходящимся, если сходится ряд | а0 \-\-\ а1 \-\~\ аг | + ... Если ряд не сходится, то
он называется расходящимся (он расходится; см. также п. 4.8-6). В пп. 4.9-1
и 4.9-2 приводятся некоторые признаки, позволяющие исследовать сходимость
заданного бесконечного ряда
4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость (см. также п. 4.4-4). Ряд
функций о0 (х) + ах (х) -(-а2 (¦*) + • • • сходится к функции (сумме) s (x) при каж-
каждом значении х, при котором
п
lim 2 ak(x)=s(x).
га-» °°4=0
Ряд равномерно сходится к s (x) на множестве S значений х, если на мно-
множестве S к функции s (х) равномерно сходится последовательность его частич-
п
пых сумм sn(x) = У] ak (¦*)¦ В п. 4.9-2 приведены некоторые признаки рав-
*=0
номерной сходимости.
4.8-3. Операции над сходящимися рядами.
СО оо
(а) Сложение и умножение на число. Если 2 ak и 2 ^* —
4 = 0 4=0
сходящиеся ряды с действительными или комплексными членами и а—действи-
а—действительное или комплексное число, то
2 a*
4=0
2 ^= 2
4=0 * 0
D.8-2)
2
4=0
40 40
В каждом из этих случаев из сходимости или абсолютной сходимости рядов
в левой части вытекает сходимость или соответственно абсолютна г сходимость
ряда в правой части.
(Ь) Перестановка членов. Коммутативно сходящийся ряд есть
ряд, который сходится и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке
его членов; это имеет место в том и только в том случае, если ряд абсо-
абсолютно сходится. Каждый ряд, получающийся из такого ряда, если из него
выбросить какие угодно члены, также абсолютно сходится.
Сходящийся, но не абсолютно сходящийся ряд называется условно сходящимся.
Члены каждого условно сходящегося ряда с действительными членами можно переставить
так, что: 1) последовательность его частичных сумм станет сходиться к донному пре-
пределу, 2) последовательность его частичных сумм станет неограниченно возрастать, 3) пос-
последовательность его частичных сумм станет неограниченно убывать и 4) последователь-
последовательность его частичных сумм станет колебаться между двумя любыми данными числами
(теорема Римана).
(с) Д в о й н ы е р я д ы. Двойной ряд 2 2 аш сходится к s (имеет сумму
s), если
lira
m—oo,
n -» оо
n
0
(п. 4.4-5). Отметим, что
оо оо
оо / оо \ оо / оо
S S «.-* =2 2 «« = 2 2
/ = 04 = 0 ( = 0\4=0 / 4 = 0 \г = 0
132
D.8-3)
если все три ряда сходятся (теорема Прингсгейма о суммировании по
столбцам и по строкам). В частности, если рассматриваемый двойной ряд
оо со оо оо
2j 2 a'* сходится абсолютно, т. е. если сходится ряд ^ 2 la'*l' то ЭТоТ
,- = 0 * = 0 1 = 0 4 = 0
ряд имеет одну и ту же сумму при любом порядке суммирования.
(d) Произведение двух бесконечных рядов. Если
ак
ы 2 bk — абсолютно сходящиеся ряды с действительными или комплексными
*=о
00 ОО
членами, то двойной ряд ^ 2 а'1 ^k есть абсолютно сходящийся ряд с сум-
i=o ft = о
\ / СО \
мой ( 2 ak I ^ ЬА. Более общо:
/ /
2 а*
4=0
2 ЬА= 2 2 a*6ra-ft (правило Коши),
4 = 0 / п = 04=0
D.8-4)
1.
если эти три ряда сходятся,
4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций.
(a) Сложение и умножение на ограниченную функцию.
со оо
Если ряды ^ ak (х) и 2 bk (х) сходятся равномерно (п. 4.8-2) на множестве
4=0 4=0
S значений х, то равномерно на множестве S сходятся и ряды
со со
2 [ak (х) + bk (х)\ и 2 9W ak W.
ft=0 4=0
гЗе ф (х) — произвольная ограниченная на S функция.
(b) Пределы, непрерывность и интегрирование (см. также
со
п. 4.4-5). Пусть ряд У} aft (¦*) равномерно сходится на ограниченном откры-
4 = 0
том интервале (а, Ь), х=ха и х = хх—две любые точки этого интервала. Тогдз
lim
lira
lim
ak
= 2 Iim a
4 = 0^ — ^0
оо
= 2 Iim
4 = 0*-" x° +
oo
= 2 Iim
0 *-|'д:
134 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-5.
если при ft = 0, 1, 2, ... существуют соответствующие пределы
lim a/, (х), lim ak (x),
хх\0
lim ak (x).
-~х0 — 0
со
2. Сумма ряда 2 ak(x) непрерывна в точке х = х0, если в $той течке
*=0
непрерывен каждый член ряда ak (x).
со
3. Ряд 2 ak (х) равномерно сходится на замкнутом интервале [х0, х{\ и
t = n
СО Xi
d*= 2 ^ak(x)dx,
ft = 0 x0
ееш каждый член а^ (х) непрерывен на [х0, jcj]. Из сделанных предположений
вытекает сходимость ряда в правой части каждого из этих равенств.
Нижеследующая теорема формулируется специально для интеграла Лебега. Сна
может применяться и к должным образом сходящимся несобственным интегрвлам Римана
со
(см. также п. 4.6-15). Если ряд Tj a^ (x) функций, суммируемых на {ограниченном
4=0
или неограниченном) измеримом множестве {в частности, на интервале) S, сходится на S
почти всюду, то
D.8-5)
[со "I со
У.а„(х) \чх= J] L
ft=0 J * = 0 S
если существует такое действительное число А {или функция А {х), суммируемая не S,
п
п. 4.6-16), что tj Oj (х) < А для всех п и почти для всех х € S. Звметим, что равио-
4=0
мерная сходикость не предполагается.
оо
(с)-Х- Дифференцирование. Пусть ряд ^ ak (x) сходится по край-
*=о
ней мере в одной точке с е (а, Ь). Тогда, если производные а'а (х), а\ {х),
со
а[ (х),... существуют на (а, Ь) и ряд Vj a'k (x) равномерно сходится в инпир-
ft = 0
со
со
вале (а, Ь), то ряд ^ ak (x) сходится в (а, о) и
со
i 2
4 = 0
{а<х<ь)-
D.8-6)
4.8-5. Улучшение сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов
|см. также пп. 7.7-4 и 20.4-3).
(а) Преобразование Эйлера. Если ряд в левой части равенства
* = 0
D.8-7)
сходится и разности Л о0 определяются, как в п. 20.4-1, в, mo smo равенство спраеед-
шео. Ряд в правой части равенства часто сходится быстрее, чем ряд слева.
4.S-5.
4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
135
(Ь) Преобразование Куммера. Если для сходящихся рядов
4 = 0
существует предел у= lim (я /Ь ) ^?0, то
«->со
s- 2**
0
2
4 = 0
= 0
D.8-8)
Если сумма S известна, то преобразование Куммера может оказаться полезным при
числовых выкладках.
В таблице 4.8-1 приведены суммы некоторых числовых рядов (наиболее подробные
таблицы такого рода см. в [4.6]).
Таблица 4.8-1
Суммы некоторых числовых рядов
ft!
4 = 1
со
Bft)!
2 B4-
ft=l
B4-Di
=sh1'
у (-о*-
Zj Bа - I
Zj 42 ~ б *
4=1
со
Zj ft«~90'
ft = i
4 = 1
ft = i
Bft- I)» 8'
1 n«
43 "~ 94V
V (— 1)й+ ' Я'
Zj ft2 —12'
ft=l
CO
v 1 = ™-
Zj 4s ~~ 9450'
4=1
(- 1)
4 = 1
4=0
4-1
00
in о
(- о* 1 я»
4=1
со
2ft — 1 4 '
ft=l
Bft - 1)» 321
V __!___ 1 у ' _'
Zj 4D+1) ~ ' Zj Bft - к Bft + i) r
4=1 4=1
CO CO
Zj 4D+n D + 2) 4' Zj
4=2
1
4=1
4 D + 1) ... D -fm> m/к'
3
'
(m == 1, 2. ...),
__ , |а|<1 (бесконечно убывающая геомгтричесаая прогрессия)
(с) Формула суммирования Пуассона. Если ряд V f BяА + I)
ft = —со
равномерно сходится на интервале 0 ^ t < 2я к функции, разлагающейся в ряд Фирм
(см. п. 4.11-4), то
со оо -\- со
2 П2ЯА)=^ 2 \ fme-""to, D.0-Э)
ife = — СО А = — ОО —СО
интеграл в правой часта равенства существует.
136 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-6.
(d) Формула суммирования Эйлера — Маклорена. Если производ-
производная /B/п + 2) (д.) существует и непрерывна при 0^*:? п, то
fBm+2) <en)
(m,n = 1,2, ...; 0<0<I),
D.8-10)
еде В,—числа Бернулли, определяемые в п. 21.5-2.
Формула A0) часто позволяет дать замкнутое выражение для приближенного пред-
л
ставления конечной суммы VJ f (&) или представить ее в виде сходящегося или полу-
4 = 0
сходящегося (п. 4.8-6, а) ряда. Эта формула применяется также Для численного интегри-
интегрирования (п. 20.7-2, с).
Отметим следующие формулы для сумм специального вида (частные случаи этих
формул приведены в п. 1.2-8 и табл. 4.8-1):
k = I
k2N
2 BJV) I
¦B2N.
BАГI
СО
V ' '¦
¦_ПАГ+1B2АГ_1)Я2АГ
2 BЛГ) I
B2N-
D.8-II)
D.8-12)
D.8-13)
В формулах (И) — A3) N = 1, 2, . . .
(e) Лемма Абеля. Следующая лемма иногда оказывается полезной для оценки
П дтльность а O аположительных действитель-
ывается поле д
положительных действитель-
п
(e) Лемма Абел. дущ
частичных сумм. Пусть последовательность а0, Oi. а
ных чисел удовлетворяет условиям а0 & а, & а2
<S ttoS', где S и S' — соответственно наименьшая и наибольшая величина из последователь-
ад S... Тогда a0S:
ности сумм
ak пРи г •= 0, 1, 2, . . . , л.
Отсюда следует, что
если для любого л справедливы неравенства М
то a0M s Tj a^afe^a0M' также для любого п.
fc=0
4.8-6. Расходящиеся бесконечные ряды (см. [4.2], т. II, гл. XII, § 6).
(а) По л у с х о д и м о с т ь. Расходящийся ряд Oo-J-ai-f-a^-}-... может быть
полезен для приближения величины s, если абсолютная погрешность \s—sn\ =
-2
, прежде чем вновь начинает возрастать, убывает до некоторо-
I
го достаточно малого минимума, достигаемого при определенном значении
номера п (полусходящийся ряд).
4.S-7.
4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
137
Если при этом последовательные частичные суммы ^ afc поочередно то
* = о
больше, то меньше Ееличины s, то ряд называется обвертывающим. Соседние
члены такого ряда обязательно имеют разные знаки (знакочередующийся ряд).
оэ
(Ь) Асимптотические ряды. Расходящийся ряд ^ ak (x) есть
*=о
асимптотический ряд, описывающий поведение функции f(х) при х-*х0
оо
(/(л;)--^- ^ ak(x) ПРИ х~*хо)> если существует такой номер N, что при лю-
бом фиксированном п> N
lim
Расходящийся ряд
D.8-14)
ak(x) есть асимптотический рядг описывающий
поведение функции / (х) при *->+оо
а*(л:) ЦРИ х~* +°°)> если СУ"
ft о
ществует такой номер Л', что при любом фиксированном л>Л'
lim xn\f(x) —
X -> + СО
L S = 0 J
D.8-15)
Асимптотический ряд дает полусходящиеся приближения функции / (х), при-
причем при х -* х0 или х -*¦ + оо номер п0 -»¦ оо (см. также пп. 4.4-3 и 8.4-9).
(е) Суммирование средними арифметическими. Сходящийся
пли расходящийся ряд а0 + а, + аа + . . • Суммируем средними арифметическими (сум-
(суммируем по методу Чезаро средними первого порядка, суммируем Ct, суммируем (С, I))
к С,-сумме Si, если последовательность ст0, <Ti, a средних арифметических
п—I / k \
on_j=— N^ s^ I где Sj = \^ a,\ сходится к St. Каждый сходящийся ряд сумми-
П 4=0 \ /=0 /
1>!/ем средними арифметическими и St = s. Ряде положительными членами суммируем
средними арифметическими в том и только в том случае, если он сходится (см. также
п. 4.11-7).
4.8-7. Бесконечные произведения,
(а) Бесконечное произведение
действительных или комплексных множителей l-f-aft=7fc0 сходится к числу
оо
Д (значению бесконечного произведения), если
k=0
Это имеет место в том и только в том случае, если ряд ^ 'п0 +aft) сходится
k=0
138
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.8-8.
и
к одному из значений In р (см. п. 21.2-10). Если l'ra TT (l + afc) = 0,
то говорят, что бесконечное произведение расходится к нулю.
оо
(Ь) Бесконечное произведение II A +ад) (необходимо сходящееся) сходится абса-
ft=0
оо
лютно, если сходится произведение I I (I -f-1 a^ | ); для этого необходимо и достаточно,
4=0
оо
чтобы абсолютно сходился ряд N^ а.. Бесконечное произведение сходится коммута-
*=0
тивно (т. е. его значение не зависит от порядка множителей) в том и только « том
случае, если оно сходится абсолютно (см. также п. 4.8.-3, Ь).
со
(с) Бесконечное произведение | I [1-fa^ (*)] равномерно сходится на множестве S
4 = 0
значений х, для которых при всех k выполняется условие 1 + я^ (х) фО, если последова-
л
тельиость функций ТТ [[-{-а^ (х)] равномерно сходится на S к функции, не припима-
ющей на S значения, равного нулю. Это, в частности, имеет место, если на S равпо-
со
мерно сходится ряд
I •
4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби. Последовательность вида
, , о. • ¦ а' '
D.8.-1С)
называется последовательностью, определяющей данную непрерывную дробь; я-й зна-
знаменатель равен bn_]-fan/bn.
¦Х- Сокращенно непрерывная дробь обычно записывается так:
аг
а,
Дробь -г— называют п-м звеном непрерывной дроби. Непрерывная дробь называется
конечной, если она имеет конечное число звеньев, и бесконечной, если она имеет их
бесконечное число. X
Разложение некоторых функций в непрерывную дробь сходится быстрее, чем соот-
соответствующее разложение в степенной ряд, и оказывается полезным в некоторых прило-
приложениях (расчет электрических сетей: см. также п. 20.5-7).
^Примеры. Приведем разложения некоторых функций в непрерывную дробь
(следует иметь в виду, что такое разложение не единственно):
XXX XX
х — \ л х х
5 — ... — 2 + 2я + 1 —•¦•
XXX XX
1 —
1пA+ж)= 4~_ц Т.
2 - 3 + ... + 2 -2я + 1 +...
2х 2х пх пх
х>
1 — 3 — 5 — ... — 2п + !—...
(х ф nil -f Ал),
arctg x =
Т+
27Г+Т
4.9-1. 4.9. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ 139
4.9. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
4.9-1. Признаки сходимости бесконечных рядов (п. 4.8-1).
(a) Необходимое и достаточное условие сходимости.
Последовательность действительных или комплексных чисел s0, s,, y2,... (на-
(например, последовательность частичных сумм некоторого ряда, п. 4.8-1) схо-
сходится в том и только в том случае, если для каждого положительного числа г
существует такой номер N, что из т > N и n>N следует \ sn — sm \ < в
(критерий Коши сходимости последовательностей или рядов).
(b) Признаки сходимости рядов с положительными
членами (эти признаки полезны и как признаки абсолютной сходимости
рядов с произвольными действительными или комплексными членами, пп. 4.8-1
и 4.8-3). Ряд а0-f-Й!+ о2 +... с положительными членами сходится, если
существует такой номер N, что при n>N выполняется хотя бы одно из
следующих условий:
и'или
"п+1 "' я+1
М,
, где Мо
... — схо-
дящийся ряд сравнения с положительными членами (признак сравнения).
2. По крайней мере одна из величин
п, / а„ , i \
1+2,
1 к D.9-1)
имеет точную верхнюю границу А < 1.
Четвертый из этих четырех признаков сильнее третьего (признака Раабе),
который в свою очередь сильнее двух первых (признака Даламбера и «ради-
«радикального* признака Коши).
3. an^f (п), где f (х) — положительная невозраеттощая функция,
для которой сходится (несобственный) интеграл \ f (x) dx (интс-
гральный признак сходимости Коши; см. также п. 4.9-3, Ь).
* Ряд а0 + ai -f a*. + ... расходится, если существует такой номер /V, что
при п > N выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. an^dn и/или -j^-^-j^, где d0 + dx + d.2 +... — расходщийся
п п
ряд сравнения с положительными членами (признаки сравнения
для расходимости).
2. По крайней мере одна из величин условия 1 имеет точную
нижнюю границу А^\.
3. an^f (n), где f (х)—положительная невозрас тающая функция,
+ »
для которой интеграл \ f (x) dx расходится.
Замечание. В качестве ряда сравнения часто бывает полезен ряд \ -,
ft=l k%
иоторып при действительном X сходится, если X > I, и расходится, если X ^ 1.
(с) Ряд а0-f-ax-f-аг + ... с действительными членами сходится:
1. Если соседние его члены имеют разный знак (знакочередующийся
ряд), его общий член ап не возрастает по абсолютной величине и
lim an = 0 (признак Лейбница).
гл. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.9-2.
2. Если последовательность s0, slt s2, ... его частичных сумм огра-
ограничена и монотонна; эта последовательность монотонна, лишь если
члены ряда имеют один и тот же знак. См. в этом случае признаки
из (Ь).
(d) Пусть а0, ах, а2, ...—невозрастающая последовательность положитель-
положительных чисел. Ряд аоао + аха1 + ага2 + • • • сходится:
1. Если сходится ряд ао-\-а1-\-аг-\-... (признак Абеля; см. также
ц. 4.8-5, е).
л
2. Если lim а„ = 0 и сумма У] % как функция от п ограничена
ч->оо 4==0
(признак Дирихле).
4.9-2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (п. 4.8-2).
(a) Необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости. Последовательность s0 (x), st (x), s2 (х), ... действительных
или комплексных функций (например, последовательность частичных сумм
некоторого ряда функций, п. 4.8-2), определенных на множестве S значений х,
равномерно сходится на множестве S в том и только в том случае, если
для каждого положительного числа е существует такой номер N, не зависящий
от х, что из /и > N и п > N для всех xeS следует \ sn (х) — sm (х) | < 8
(критерий Коши равномерной сходимости последовательностей или рядов).
(b) Ряд а0 (х) + а1 (х) + аг (х) +... действительных или комплексных функ-
функций равномерно и абсолютно сходится на каждом множестве S значений х,
на котором функции ап (х) определены, и при всех п выполняется неравенство
\ ап (х) I =йМя> где M0-\-Ml-\-Mi-\ — сходящийся ряд сравнения с положитель-
положительными членами, мажорирующий ряд (признак Вейерштрасса). Сходимость ряда
сравнения может быть исследована с помощью признаков п. 4.9-1, Ь.
(c) Пусть а0, аъ <х2, ...—невозрастающая последовательность положитель-
положительных чисел. Ряд аоао (х)-\-аг а1(х)-\-а2 а2 (л:) +... равномерно сходится на мно-
множестве S значений х:
1. Если ряд а0 (х) +• ах (х) + аг (х) +... равномерно сходится на S
(признак Абеля, см. также п. 4.9-1, d).
2. Если lim an = 0 и существует такое число А, что
П—у СО
Я
S\ а^ (х) ;g А при всех п и при всех х е S (признак Дирихле).
X Признаки Абеля и Дирихле часто полезно применять и в более общей
форме, рассматривая вместо последовательности а0, аг, ... последовательность
функций. См., например, [4.2], т. II, стр. 451. X
4.9-3. Признаки сходимости несобственных интегралов (см. также п. 4.6-2).
В пп. 4.9-3 и 4.9-4 приводятся признаки сходимости несобственных интегра-
+ оэ Ь X
лов вида ^ f (x) dx и ^f(x)dx= lim § f (x) dx. Несобственные инте-
а а X -*Ь — 0 а
гралы других типов сводятся к интегралам этого вида (п. 4.6-2),
Предполагается, что действительная функция / (х) ограничена и интегри-
интегрируема на каждом ограниченном интервале [а, X], не содержащем верхний пре-
предел интеграла.
(а) Необходимое и достаточное условие сходимости
(критерий Коши). Несобственный интеграл j f (x) dx сходится в том и
а
только в том случае, если для каждого положительного числа е существует
такое число М > а, что из Х2 > Хх > М следует \ f (x) dx
4.9-3.
4.9. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ
141
Аналогично интеграл J / (*) dx сходится в том и только в том случае, если
а
для каждого положительного числа г существует такое число б @ <б <Cb — а),
х
что из Ь — 6<Х1<Х2<6 следует
\
f (x) dx
<e.
(b) Признаки сходимости несобственных интегралов
от неотрицательных функций (эти признаки полезны и как приз-
признаки абсолютной сходимости несобственных интегралов от произвольных дей-
действительных или комплексных функций; заметим, что из абсолютной сходимости
следует сходимость)^ Если функция f(x)^O в интервале интегрирования, то
+ оо Ъ X
несобственный интеграл \ f (x) dx или [f(x)dx= lim \f(x)dx сходится
а а Х-Ь-Оа
X
в том и только в том случае, если интеграл ^ f(x)dx как функция от X
а
ограничен в интервале интегрирования. В частности, если интервал интегри-
интегрирования содержит такое число М, что при х>М (соответственно при М <
< х < Ь) выполняется неравенство f(x)^g(x), где g (x) — функция сравнения,
+ оэ / Ь
для которой сходится интеграл ] g (х) dx I нли соответственно ^ g (x)dx ,
М \ Ml
то первоначальный интеграл сходится (признак сравнения).
+ со Ь
Аналогично, если g (х) > 0 и интеграл J g (x) dx или J g (x) dx расходится, то
М М
вз I (х) > g (x) следует, что расходится и соответствующий интеграл от f (х).
+ со
с dx
Замечание. Интеграл V —г-, где а>0, сходится при ?ь>1 и расходится
J лА
а
b
при \ ^ I, а интеграл f г- сходится при 1<1 и расходится при \ > I. Если
•> (Ь — х)к
а
Ь
t (х) = О (\lxty (\ > 1) при *-¦ -}- со, то интеграл J f (x) dx сходится абсолютно. Если
а
Ь
I (х) — О []/ ф — х)^] (К < 1) при х-+Ь — 0, то интеграл J f (x) dx сходится абсолютно
(см. также п. 4.4-3).
+ оэ Ь
(c) Если несобственный интеграл ^ f (x) dx или J f (x) dx сходится абсо-
а а
лютно, а а(х) — функция, ограниченная на интервале интегрирования и инте-
интегрируемая на каждом конечном интервале [а, X], не содержащем верхнего пре-
+ 00
дела интеграла, то несобственный интеграл \ <x(x)f (x) dx или соответст-
еенно ^a(x)f (x) dx сходится (абсолютно).
и
(d) Пусть функция а (х) ограничена и монотонна на интервале а ==?*<-(- со.
+ 00
Несобственный интеграл \ <x(x)f (x) dx сходится;
142 Гл. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.9-4.
1. Если интеграл ^ f (х) dx сходится (аналог признака Абеля,
Л
и. 4.9-1, d) или
Л
2. Если интеграл ^ f (x) dx как функция от X ограничен на
а
' интервале а г? X <+оо и lim <х(х) = 0 (аналог признака Дирихле,
п. 4.9-1, d).
(е) В п. 8.2-4 см. ряд приложений.
4.9-4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов
(см. также п. 4.6-2, с).
(a) Необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости. Критерий сходимости Коши из п. 4.9-3, а превращается
оо
в критерий равномерной сходимости несобственного интеграла J f (х, у) dx
'а
Ь
или ? f (x,y) dx на множестве S значений у, если дополнительно указать, что
а
число М или б, находимое по этому критерию при каждом yeS для любого
положительного числа е, не зависит от у (см. также п. 4.9-2, а).
-f оо Ь
(b) Несобственный интеграл \ f (х, у) dx или \ f (x, у) dx равномерно и
а а
абсолютно сходится на каждом множестве S значений у таком, что при
любом i/eS и любом х из интервала интегрирования выполняется неравен-
неравенство \f(x, y)\^g(x), где g(x)—функция сравнения, интеграл от которой
+ оо Ь
f g(x)dx (нлн соответственно \g(x)dx) сходится (аналог признака Вейер-
а а
штрасса, п. 4.9-2, Ь).
+ со
(с) Несобственный интеграл J а (*, у) f (x, у) dx равномерно сходится
а
на множестве S значений у, если при любом i/eS функция а (х, у) не воз-
растает на интервале a sg х < + оо и равномерно стремится на S к нулю
х
при х—> +оо и если при лгЗга и jeS абсолютная величина \ f (x, у) dx огра~
а
ничена константой А, не зависящей ни от х, ни от у (аналог признака
Дирихле, п. 4.9-2, с).
4.10. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД
И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИХ ИНТЕГРАЛОМ. СТЕПЕННЫЕ
РЯДЫ И РЯД ТЕЙЛОРА
4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их инте-
интегралом. Функцию f (x) часто разлагают в соответствующий бесконечный ряд
оо
2 а* Ф* М ввиду того, что
1. Последовательность частичных сумм (или средних арифмети-
арифметических, пп. 4.8-6, с и 4.11-7) этого ряда может давать полезные
для вычислений приближения функции f (x).
4.10. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И РЯД ТЕЙЛОРА
143
2. Операции над функцией f (x) может оказаться возможный
описать в терминах более простых операций над функциями <рА (х)
или над коэффициентами а^ (методы преобразований см. также
пп. 4.11-5, b и 8.6-5). Функция щ(х) и коэффициенты ak могут
иметь какой-либо наглядный (физический) смысл (п. 4.11-4, Ь).
Подобные же преимущества может давать представление функций в виде (обычно
Ь
несобственного) чнтеграла J a (Я) ф (х. Л) dx (см. также пп. 4.11-4, с, 4.11-5, с и гл.8).
а
Возможность реализации одного или обоих преимуществ, перечисленных выше,
чпето нуждается в сходимости или же равномерной сходимости ряда или интеграла
(отсюда — важность признаков сходимости из пп. 4.9-1—4.9-4), но это относится ие
ко Есем случаям (пп. 4.8-6, 4.11-5 и 4.11-7).
4.10-2. Степенные ряды.
(а) Степенной ряд относительно (действительного или комплексного) пере-
переменного х есть ряд вида
ак(х — о)* или
.~ ^ akxk при о = 0, D.10-1)
где коэффициенты а0, ах, о?, ... — действительные или комплексные числа.
Для любого степенного ряда A) существует такое действительное число
r(-@=grc=g-f-cc), что этот ряд сходится абсолютно при |д;|<;гс и расходится
при \ х | > гс. Число гс называется радиусом сходимости данного степенного
ряда. Каково бы ни было число q, удовлетворяющее условию 0 <Lq < гс, степен-
степенной ряд (I) равномерно сходится при |дс|^^ (на интервале, если х — действи-
действительное переменное, и в круге, если х—комплексное переменное).
Из сходимости степенного ряда A) при х=х„ вытекает его сходимость и при \х\<.
<'jto!, а из его расходимости при х = х„ вытекает его расходимость и при |*j>i;to|.
(b) Сходящиеся степенные ряды можно складывать в соответствии с равен-
равенством D.8-2) и перемножать в соответствии с правилом Коши D.8-4). При
| х i < гс сумма степенного ряда A) есть непрерывная и сколько угодно раз диф-
дифференцируемая функция х. Степенной ряд A) можно почленно дифференциро-
дифференцировать при \х\ <С гс и интегрировать на любом замкнутом интервале, содержа-
содержащемся в интервале (—гс, гс). Получающиеся в результате почленного диффе-
дифференцирования или почленного интегрирования от 0 Оо х ряды имеют тот one
радиус сходимости гс.
Некоторые правила действий со степенными рядами приведены
в табл. 4.10-1.
(c) Если существует такое положительное число г, что при всех х, удоз-
со оо
мтвортщих условию \ х | < г, два степенных ряда ^ akxtt u 2 ^*Л:* имсют
одну и ту же сумму f (х), то ao =
tea ноет и).
*=о
a1 = b1, a2 = b2, ... (теорема сдинст-
Пример. Бесконечная геометрическая прогрессия
г-х
(\х\< I),
D.10-2)
(см. также пп. 1.2-7 и 1.7-2) сходится абсолютно при | х \ < 1 и расходится при | х | > 1.
Для любого q, удовлетворяющего условию 0 < q < 1, прогрессия равномерно сходится
при | х | =? q.
144 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.10-2.
4.10-4.
4.10. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И РЯД ТЕЙЛОРА
145
s
СИ
в
Е
ев
п
о.
в
S
С2
X
¦g
0)
с
сте
о
о
ск
X
4- + i
, - +
+ + 4-
«в w
1 'J. 1<
+ + +
+ + +
1 1 н
С
<?
<Г
я
я
Й
О.
0J
О
+
+
о'
1
?
1
а
1
©9
в
1
ел
а
i
1
its
+
?
1
1
~**
=3
1
+
©9
а
•з
¦о-ч
"а
i
«
а
1
1
<м
а
а
'¦?>
1
Т
СМ
I
1
1" »Г
||
«Г
II
1
1
1
а
а
о
+
-1
1
от
о
а~
-1
¦f
1
а
-1
т-
-\~
1
п^
сГ
в"
-1*
|
а™
--«
—
|оо
1
-
h
а*
—
h
«
ro iS
+
а
1
а
"И
1
CO 00
+
©9
а
го j*r
ъ
J I™
1
©i
а
а4
СО
**•
i
в"*
СО
|00
—
1
о»
1
'»-
11
©9
+
i
с
_^
1
1
с^
©9
4!f
а
+
i
с
ы -
с
_^.
а
i
-
»
II
4-
_Р
а
а
<о
С^
1
—•
1
1
"Г
©9
а
й
4-
i
^^
i
с
'а"*
|._
_|~
а"
СО
1
1
1
|
С
1 '
-IS
4-
+
-С)
а*
-L~
а"
+
•о
+
-сГ
-f
•с
ей
а
4_
+
+
+
0
и
II
г
+
-о
4-
п^
С
т
г?
-о
4-
^
-о
1
1
+
S-
1
а
^
1
а
V)
II
-1"
+
ъ
а*1
+
i
-f-
т
а
+
"а
+
4^
Ъ
с
+
а
а
1
а.
и
fa
f
{
+
+
i
-I
1
*f
С?
+
-
СО
1
—
h
1
в
в
с
4-
1
—
II
4.10-3. -X Теоремы Абеля и Таубера.
оэ
(а Пусть г > 0. ?сли ряй ^ aft'' сходится и имеет сумму s; mo ряЗ
4 = 0
00
б замкнутом интервале [0f r] сходится равномерно и
Ига ?
-'-О ft = 0
(теорема Абеля).
(Ь) Пусть г > 0. ?сли ряб
сходится в интервале [0, л), причем
а^л;* = s и lim ka^rk — 0, mo ряб
lim
равна s [теорема Таубера).
сходится и его сумма
ft = 0
4.10-4. Ряд Тейлора (см. также п. 7.5-2).
(а) Пусть f (х) — действительная функция, имеющая в интервале a sg x < 6
я-/о производную fin> (x)- Тогда
f (x)=f(a) + f (a) (x-a) +^f" (а) (х-а)* + ...+
где I /?„
sup
Ь),
1 (формула Тейлора). Rn (x) называется
остаточным членом формулы Тейлора.
Более точно, существует такое число Х = а-\-Ь (х—а), что a<iX<Lx
(или 0< 6 < I) и
* \ \ ,
Rn(x) = ^dlldl...\f""(l)dl = y""(X)(x-a)" (аёх<6) D.Ю-4)
а а а
п раз
(Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа). X и 6 зависят от а,
х и п (см. также п. 4.7-!). Формулы C) и D) остаются справедливыми и
(ели функция f (х) имеет п-ю производную в интервале — Ъ <х^а, причем
здесь b < х < X < а.
(Ь) Пусть функция f (x) имеет в интервале (а —г, а-\-г) все производные
и пусть для нее в этом интервале lira Rn(x)=0. Тогда
П-fCO
f(x)=
x — a\<r
D.10-5)
21
*=о
Ряд Тейлора E)
ч ряд равномерно сходится к f (х) на любом промежутке х — а | sg q, где q<r
{разложение функции f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки а). Здесь по
определению положено 01 = I и f'u> (a) — f (а).
Если в E) вместо а написать х, а вместо х—а напнеать \х, то соотношение E)
со
можно переписать в виде I (х + Ах) = ^ '-/'*'U) Ддс* (пп. 4.5-3 и 11.2-1). При а = 0
— / @) х иазыпается рядом Маклорена.
(с) Каждое разложение функции ) (х) в ряд по степеням (*—а), сходящийся при
а — г<х <а + г, необходимо тождественно с E) (п. 4.10-2. с). Если I (х) — рациональ-
рациональная функция, то ее разложение по степеням х или по степеням \/х часто получают, не-
неограниченно продолжая процесс деления (п. 1.7-2, см. также равенство B)). Примеры
разгпжеиня в степенной ряд см. в п. 21.2-12.
146
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.10-5.
Разложения в степенной ряд допускают почленное дифференцирование и интегриро-
интегрирование (см. 4.10-2, Ь) и, таким образом, оказываются полезными для интегрирования функ-
функции f (x) и для решения дифференциальных уравнений (п. 9.2-5). Заметим, однако, что
п
п-п частичная сумма
-rflftl (а) (л—а)* ряда Тейлора не обязательно будет наилуч-
ft = 0
шим приближением функции f (х), являющимся многочленом п-й степени (см. также
п. 20.5-1).
Функция f (я), которая может быть разложена в степенной ряд, сходящийся в неко-
некоторой окрестности точки а, называется аналитической в этой окрестности (ем. также
п. 7.3-3).
4.10-5. Кратный ряд Тейлора.
(а) Пусть f (хи х х ) — действительная функция, имеющая все непрерывные
частные производные порядка ^тв некоторой окрестности D точки я. Тогда
1 V V d*f
' 21 2-1 -Zj дх-дх,
. .¦ a2 l
((*!• *2 *n) '
~ "«) (xf~ aj) + — + Ят (*l- *2< '•• ' •*«)
(формула Тейлора). D.10-6)
Остаточный член R (*,, л; х ) удовлетворяет соотношению, аналогичному
равенству D).
Формулу F) можно записать при помощи дифференциалов
t
dxv
dxr
f
, а,,)
D.10-7)
где все дифференциалы вычисляются в точке (а , а2 ап), a
1, ( = 1,2 п). D.Г-8)
т т! (
г Х2 хп)
(Ь) Если функция I (xi, х , х ) имеет в D все непрерывные частные производные
и lim R (х,, xt х ) = 0 в D, то равенство F) приводит к разложению функции
m-»oo m '
I txt, хг х \ в кратный степенной ряд {кратный ряд Тейлора). Если функция
f л* х , ... , г \ может быть разложена в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрест-
окрестности точки (а., а„, ... , а \, то она называется аналитической в этой окрестности.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
4.11-1. Вводные замечания. Ряды Фурье и интегралы Фурье используются
для представления и/или приближения функций (п. 4.10-1) во многих важных
приложениях. Разложение в ряд Фурье есть частный случай разложения в ряд
по ортогональным функциям (см. пп. 15.2-3—15.2-6).
4.11-2. Ряды Фурье.
(а) Если задан интервал разложения — я < < < я, то ряд Фурье, порож-
порожденный действительной функцией / (t), для которой существует интеграл
я
( | / (т) | d% l), есть бесконечный тригонометрический ряд
oo
kt)!
D.11-ia)
ft = —oo
') Во многих приложениях достаточно рассматривать интегралы в этом параграфе
как интегралы Римана (п. 4.6-1), но использование интеграла Лебега (п. 4.6-15) делает
теорию значительно шире применимой. См. в пп. 15.2-3 — 15.2-6 ряд теорем, формули-
формулируемых специально для интеграла Лебега.
4.11-2. 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
коэффициенты которого определяются по формулам Эйлера— Фурье
Я я
1 с 11*
ак = ^ \ / (т) cos kx dx, bk = — \ f (t) sin kx di
147
=0, 1,2, ...). D.11-16)
Здесь o.u и bk~действительные, a ck~вообще говоря, комплексные числа
(п. 4.11-2, d).
(b) Если задан интервал разложения ~Т/2<КТ/2, то ряд Фурье,
порожденный действительной функцией /(<), для которой существует инте-
интеграл \ | f (т) 1 dx, есть бесконечный тригонометрический ряд
-Т/2
где
Г/2
-Tft
1
(т) cos А(оот
—Т/2
/ (т) sin tcooT dx,
T/2
-Г/2
D.11-2а)
D.11-26)
В частном случае, когда Т = 2я, равенства B) превращаются в равенства A). Если
в качестве интервала разложения выбрать интервал (а, а + Т) то интегралы в B6) сле-
следует брать ие между — Т/2 и Г/2, а между а и а+ Т.
Т/2
(с) * Если суща пгвует интеграл \ [/(T)]2dT, то средняя квадратиче-
-Г/2
спая погрешность
Т/2
-Т/2
aft cos k -Г-
J
sin k -у J — произвольный три тонометр и-
где Pn(t) = ~a()-\- 2ц
k=\
ческий многочлен, при каждом, п принимает наименьшее значение, когда в ка-
качестве коэффициентов ak, p"ft многочлена Рп (t) берутся соответствующие коэф-
коэффициенты Фурье B6) ak и bk функции f (t), т. е. когда тригонометрический
многочлен Рп (t) есть частичная сумма
=» j аа +
Ряда Фурье функции f (t) (см. также п. 15.2-6).
sin k -f)
148 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.11-3.
Если тригонометрический ряд Bа) сходится к f (t) в интервале (— Т/2, Т/2) равно-
равномерно, то его коэффициенты необходимо являются коэффициентами Фурье BЬ) функ-
функции I (t) (теорема Эйлера).
(d) X Если абсолютная величина | f (t) | интегрируема на интервале разложения, то
коэффициенты Фурье а,, и Ь. функции f (t) при к —> со стремятся к нулю (теорема
Римана — Лебега). Если функция f (t) на всем замкнутом интервале разложения имеет
непрерывные производные до (т — \)-го порядка включительно, причем каждая из этих
производных с концах этого интервала имеет одно и то же значение, и если т-я произ-
производная кусочно-непрерывна, то коэффициенты Фурье а. и Ь. функции f (t) при к —* оо
убывают не медленнее, чем k~tn, т. е.
где С — постоянная.
(е) Действительные коэффициенты aft и fcft и комплексные коэффициенты ck свя-
связаны формулами
»к) )
(ft = 0, 1, 2, ...).
D.11-3)
ak = ck + c~k' Ьк = ' (ск - с-к)
ск = т(ак-">ь)'с-к = Т
где Ьо — 0. Ряд Фурье B) четной или же нечетной функции f (f) (п. 4.2-2, b) сводится
соответственно к ряду Фурье по косинусам и к ряду Фурье по синусам.
4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (примеры см.
в табл. 4.11-3—4.11-5).
(а) Интеграл Фурье, порожденный действительной функцией / (<), абсо-
лютная величина | f (t) |'которой интегрируема на интервале
(интервал разложения) 1), по определению есть
+ 0О +00 +00
-1 \ dco ^ ^(T)cosco«-T)dT= 5 c(v)e2™'*v =
О —со —со
+ 00
+ 00
D-11-4а)
где
c(v) =
+_оо
+ оо
+ оо
Q (со) = \ f (т.),
sc(^(co = 2nv).
D.11-46)
Функция c(v) называется преобразованием Фурье c(v) = ^[^@1 функции f(().
Заметим, что преобразованием Фурье функции f (t) называют не только с (V),
но и С (со) или же Q (со).
>) См. сноску к п. 4.11-2.
4.11-4.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
149
(Ь) Косинус- и синус-интегралы Фурье, порожденные действительной
функцией / @> абсолютная величина \f(t)\ которой интегрируема на интер-
интервале разложения 0</< + оо, определяются соответственно как
+ 00
2 J сс (со) cos 2jiv/ dv = ]/"-! ^ Сс (со) cos co< dco,
о
+оо
) sin 2nv/ dv = "j/"-L J Cs (со) sin at dco,
о
+ оо
где
+ 00
cc (v) = 2 \ f (t) cos 2iivt dx,
+ 00
0
+ 00
cs (v) = 2 \ f(x) sin 2nvr dx,
+ 00
Cs (со) = ]/X $ f (т) sin сот dx = ^=- cs (v) (со = 2iw).
0
D.11-56)
Действительные функции cc (v) ^
и cs (v) ^^"s [/ @1 называются
c с
соответственно косинус-преобразованием Фурье и синус-преобразованием Фурье
функции I (t). Часто косинус- и синус-преобразованием Фурье называют вместо
этого Сс (со) и С, (оз).
4.11-4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые иитегралом Фурье.
Гармонический анализ (примеры см. в табл. 4.11-1).
(a) Ряд Фурье ими интеграл Фурье, порожденный действительной функ-
функцией f(t), абсолютная величина которой интегрируема на соответствующем
интервале разложения I,
1) сходится к ~ "Г на каждом открытом интервале,
где функция f(t) и ее производная f (t) кусочно-непрерывны (п. 4.4-7, с);
при этом на каждом замкнутом интервале, в котором функция не-
непрерывна, ряд Фурье равномерно сходится к f (t);
2) сходится равномерно к f (t) на каждом таком интервале (а, 6) с
с(а — б, 6-f-6)cr/, где б > 0, что на (а —б, 6 + 6) функция f (t)
непрерывна и имеет ограниченную вариацию (п. 4.4-8, Ь);
3) сходится к ~ "Г на кажд°м открытом интервале,
содержащемся в I, на котором функция f (t) имеет ограниченную
вариацию (признак Жордана).
Напомним, что функция f (t), ограниченная и имеющая конечное число отно-
относительных максимумов, относительных минимумов и точек разрыва первого
рода на некотором конечном интервале (условия Дирихле, п. 4.4-8, Ь), является
на этом интервале функцией ограниченной вариации.
(b) Гармонический анализ периодических функций.
Пусть f (t) —действительная периодическая функция с периодом Т (п. 4.2-2, Ь),
•50 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-4,
Г/2
для которой существует интеграл ^ | Дг) | dx. Гогда
— Т/2
/ (о=4 «и + 2 («лc
*=1
I
sin w) =
Г/2
ak = Y \ f (T) cos km"x dT
-Г/2
,= 2f, * = 0, 1.2,...).
Г/2
Дт) sin/гсоот dx,
— Г/2
Г/2
Г/2
D,11-6)
;
на каждом открытом промежутке, на котором f (t) и /' (/) кусочно-непрерывны,
если в каждой точке разрыва / (/) по определению положить
f ,Л f« - 0) + fit + 0)
/ (') = 2
(см. также п. 4.4-8, Ь). Таким образом, функция / (t) представлена в виде
суммы
1) постоянного члена (ао/2)=со (среднего значения функции f (i),
см. такжг нп. 4.6-3 и 18.10-9) и
2) некоторого множества синусоидальных членов (синусоидальных
компонент) с частотами vo=l/T(основной частоты), 2\О=2/Т {2-п гар-
гармонической частоты), 3vo=3/r C-й гармонической частоты), ...
k-я гармоническая компонента 2 j сь \ cos [k -y- + argcftj имеет частоту к\\ =
= k/T, круговую частоту А(о0 = 2ji*v0 = 2л*/Т, амплитуду 2 | ck \ =у<*% + Ь\ и
«фазу» argcft = — arctg Fft/aft).
Нечетные гармонические члены в разложении F) описывают аитипериодическую
часть функции f (t) (п. 4.2-2).
Отметим, что
Т/2
-Г/2
ft=l
Z ы2. <4Л1-7)
если интеграл в левой части равенства существует (теорема Парсеваля, см. также
п. 15.2-4). В табл. 4.11-1 приведены коэффициенты Фурье и средние значения квадрата G.)
некоторых периодических функции. По поводу численного гармонического анализа ем.
п. 20.6-6.
4,11-4,
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ II ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
151
Таблица 4.11-1
Коэффициенты Фурье и среднеквадратические значения
периодических функций
Периодическая функция,
/ (О = f If + Т)
Пэлусину
соидаль-
ный им-
импульс *)
) При Г„ = -'_ = i
А л A + ¦?- cosra/+ -| cos2ra(- -', cos
-5- cos 2ю< j^- cos 4d)< + -^g- c
выпрямленная» синусоида-
'52 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-4.
Таблица 4.11 -I [продолжение)
Периодическая функция,
МО = М< + Т)
Срезанная
синусоида
Треуголь-
Треугольная форма
сигнала
Коэффициенты Фурье
[<« + 1) -?*-] -
п пл'
- 1 2, ...
Среднее
значение,
Средне-
квадрати-
ческое
значение,
Ф)
-IJS
А'
3
(с) Функции, представим ые интегралом Фурье.
Пусть f(t) — действительная функция, для которой существует интеграл
+ СО
\ \f(x)\di. Тогда
+ ОО
+00
f(<)=
+ co
C(V)= $ f(T).
— оо
Q(oj)=
V 2я
+ 00
2nv)
D.11-8)
на каждом открытом интервале, на котором f (t) н f (t) кусочно-непрерывны,
если в каждой точке разрыва / (<) по определению положить
4.11-4.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
153'
Функция f(t), имеющая преобразование Фурье с (v), называется обратным
преобразованием Фурье .Т 1 [с (v)] функции с (v); при данных предположениях,
если функция f (/) непрерывна, равенство (8) определяет >~1[c(v)j однозначно.
Равенство (8) можно переписать в различных формах, например:
+ со + оо + со
If С 1 f 2 с
I @ = -^ } rf«> J Mx) cos ю (/ — х) dx = |/ — ^ |С (ю) | cos [at + arg С (ю)] rfra =
— оо — оо о
+ оо
= 2 \ [Л (V) cos 2nv/ + В (v) sin 2nv<] dv (и = 2nv). D.11-9)
О
Действительные функции А (V) и В (v) в (9) соответственно являются косинус-пре-
косинус-преобразованием четной части (п. 4.2-2) функции f (t) и синус-преобразованием нечетной
части функции f (t):
+ оо \
, _ с (у) + с (- у) 5г |f (О + П-01 С f, .
— оо
— В (v) =
: (V) - с (- 1
2^
+ ОО
sin
(v > 0) D.11-10)
<; (V) = с (— v) = Л (v) — IB (v).
^(v) = 0 если функция МО нечетна, а В (v) = 0, если функция f @ четна (см также
П, 4.11-3, D).
Представление интегралом Фурье описывает функцию / (<) как сумму бесконечно
малых синусоидальных компонент с частотой v или круговой частотой га = 2nv (v ^ 0);
функции 2 | с (v) | и argc(v) соответственно определяют амплитуду и фазу этих сину-
синусоидальных компонент.
Отметим, что с (— v) = с (v), С (— со) = С (ю) и что
+ со + оо + оо
J [Mx)]2 dx = J |c(v)|«dvS J | С (ю) |! da, D.11-11)
— со — oo — oo
если интеграл ч левой части равенства существует (теорема Парсеваля' см также
табл. 4.11-2).
(d) Функции более общего типа могут быть представлены в виде суммы функции (8)
и некоторого множества периодических функций F), так что у них существуют как
«дискретный спектр», так и «непрерывный спектр» (см. также п. 18.10-9). Рассмотрение
рядов Фурье и интегралов Фурье может быть формально унифицировано с помощью
введения обобщенного преобразования Фурье (п. 18.10-10).
(e) Теорема Пэли — Винера. Пусть ф (ю) — действительная неотрицательная функ-
оо
ция, определенная при — со< ю <со, и J ф* (ю) da существует. Для того чтобы суще-
— со
ствовала действительная или комплекснозначная функция I (() равная нулю при t ^ О
и такая, что ее преобразование Фурье С (а) удовлетворяет условию
I С (со) I = -i=
/2л
= Ф (ю).
необходимо и достаточно, чтобы интеграл \ п ^ ' da был сходящимся
j 1 + ОJ
п ~~ °°
примечание. Теорему Пэли — Вннера для преобразования Фурье в комплексной
154
Таблица 4.11-2»
Свойства преобразования Фурье
(см. также п. 4.11-3 и табл. 8.3-1)
Пусть
3 M (/)] за J fit) e- 2nivi dt=c (v) = /2я С Bnv),
— со
+ 00 +03
civ)'
Via J
с «а) в
»0»'
+ 00
Ус[М0]=2 J f«)cos
U
+ 00
.Fs У <0I = 2 J ПО sin Invt dt = «s (v)
0
и предположим, что рассматриваемые преобразования Фурье существуют.
(а> 3 [a ft it) + df, @] = а 3 Mi @1 + Р ^ [fi @] (линейность),
(а > 0) (теорема масштаба, теорема подобия),
3 у (t + т)] = e2rovTe (v) (теореда о сдвиге).
(b) Если функция f @ непрерывна, то из У М it, я)] -*¦ 3" If @] ПРИ а ->• а
следует f (t, a.)—¦ I (t) (теорема непрерывности). Аналогичные теоремы справедливы
и для косинус- и синус-преобразований Фурье.
(c) 3 Mi @1 УII, (О] = У U» @ * f, it)]. \
М.@1 J
где
. (О U (О] =
ti (О * f. (О
@]
(msope"a
° ceepm'ce>>
+ О0 +О0
J It (Т) f| (< - Т) </Т = J f, « - Т) ft (T) rft
_оо —оо
+ 00 +03
fi (v) * с, (V) = J с, (X) с, (v -%)d% = J с, (V - к) с, (I) <U
_ оо —оо
(п. 4.6-18).
,54nOe2Il'v°4=<MV-Vo), |
%: U it) cos 2я\'0Г] = — [с (v - v0) + с (V + vo>], J. {теорема о модуляции),
$r [f @ sin 2яу0П = — [с (v — v0) — f (v + vo)l J
(d) ^[(Г' ' '-- -
= Bnivf F [1 it)] (r = 0, 1, 2, ...)
(теорема о дифференцировании),
если предположить, что производная fir> (t) существует при всех i и что все произ-
производные меньшего порядка при | ( | -<- + оо стремятся к нулю.
+ со + со
(е) Если интегралы J | ft (t) \' dt и J |f, @ 1г dt существуют, то
— со — оо
+ 00_
J & [fi @1 & ih @1 dv = J ft it) h it) dt (теорема Парсеваля).
4.11-4.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
155
Таблица -4.11-3
1 it) =
s!n at
t
e'at,
0,
0,
-Pt
е-*'!
00
1 ? С (m) c'
У2я J
— CO
MO
<a>0)
P < ' < 4,
t<p, t>q
Ia^>°-(c>0,
t<0
(Rep >0),
cos at1, (a > 0)
sin at2
1 ^ i-s
К I1
cli at
ch stf
sh at
sh jtf
!
@< Res< 1),
U
t\
ft
(— л < a < я)
Преобразования
dm
С
0,
« c*
Bn)Vi
<? —P
Bл) '/г'
<2л)
Bp)"
Ba)"
Ba)"
Ba)"
(f
t CO j
[@!
u
/1
Фурье
OD
(«)--L- ( f<t)e-latdt
/2Л J
— CO
С (и)
] <D |< Л,
|<а |>a
/ <a-(o> _e'P ia-ш)
о — a
ю = a
/• (a — ю + ic)
->/,„>— o>V4p_
2/2
)'/г Г A — s) sin (i- sn1) | о Is,
-V.
+ (D!)V« + fl]7i
(а! + ю2)'/г
v'/t cos (a/1) ch (ю/2)
j cli 0) + cos a
y/, sin а
/ ch о + cos а
•56 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-5.
Таблица ^.П-3 (продолжение)
НО-
/2Я
chat
sh я<
(— Ж а < л)
С(ю)
sh о)
l\v.
2я/ I (ch <л + cos a)
shat
ch Я<
(— Ж а < Я)
О,
11 I
sin [Ь (а2 + t*I'
(а' + t*)l/*
2 у,, sin (a/2) ch (ю/21
я ) i (ch а + cos a)
(it/2)Vi ./„ (am)
°. | о» | > 6,
(n/2)V« ./„ (aYb* — <o2). Id) К 6
cos (ft /a2 - <')_ | < ! < a,
(a2 — t*I!*
0, ! <l > a
ch(ft \
(а2-
Рп «>,
0.
'а2
0,
-(
>)V.
1<1
\t
2)
<
1 >
1,
1
I < I > a
(Я/2)'/2 ./о (/(О2 + ft2)
«a)
4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье
(см. также пп. 4.10.1 и 8.3-1).
(a) Теорема единственности Должным образом интегрируемая
функция / (t) однозначно определяет свои коэффициенты Фурье B6) или свое
преобразование Фурье. Обратно, полный набор коэффициентов Фурье или
преобразование Фурье однозначно определяет соответствующую функцию f(t)
почти всюду (п. 4.6-11, Ь) в интервале разложения; в частности, функция f (t)
однозначно определена в каждой точке непрерывности в интервале разложения.
Эта теорема единственности сохраняет силу даже в том случае, если ряд
Фурье или интеграл Фурье не сходятся (см. также п. 4.11-7).
Заметим, что ие каждый тригонометрический ряд (даже ие каждый сходящийся три-
тригонометрический ряд) является рядом Фурье и ие каждая функция с (v) является преоб-
преобразованием Фурье (см. также п. 4.11-2, с).
(b) Операции над рядами Фурье. Пусть f(t) — функция с коэф-
коэффициентами Фурье oft, 6ft, Cft и ф (t) — функция с коэффициентами Фурье щ
4.11-6.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
157
Pft> Vfc для одного и того же интервала разложения, и пусть X и ц — дей-
действительные числа. Тогда функция X f (t) + \i <p (t) имеет коэффициенты
Фурье Адй + цосд, Wt-y-ixpft, ^Cft-f-^Yft (почленное сложение и умножение
на число).
Почленное интегрирование ряда Фурье B) по интервалу (t0, t), содержаще-
содержащемуся в интервале разложения, дает ряд, сходящийся к \ f (x) dx. Если f (t) —
U
периодическая функция с периодом Т, то эта теорема справедлива для любых
значений t0 и t.
Заметим, что эти теоремы ие требуют сходимости данных рядов Фурье. По поводу
дифференцирования бесконечных рядов см. п. 4.8-4.
(с) Свойства преобразования Фурье. Наиболее важные свой-
свойства преобразования Фурье перечислены в табл. 4.11-2 (см. также п. 8.3-1).
Примеры преобразований Фурье приведены в табл. 4.11-3—4.11-5. Значительно
более подробная таблица преобразований приведена в [8.2] и [8.7].
Отметим также, что
U @ cos 2jw./] = ~ [cz (V + v0) + cz (v - v0)],
If (О sin 2m,t] = ~ [es (v + v0) — cs(v- vo)j,
^s [f @ cos 2jtvoq = ~ [cs (v + v0) + cs (v - vo)j,
: (О sin 2itVot] = - [сс (v - v0) - сс (v + v0)],
r—\
Ul2n(t)} = {-l)rBnVfr^cU(t)}~2 Ц (-1)'
/ = 0
(_ I)'"
(+ 0),
(- 1)'
+ 0),
при г == 0, 1, 2, ... , предполагая, что производные в левых частях равенств сущест-
существуют при 0< t < 4- <х> и что все производные меньшего порядка при t -» -f оз стремятся
к пулю.
4.11-6. Интегралы Дирихле и Фейера (см. также п. 4.11-7). Частичные суммы
So @ = - a», s,, @ = ~ a0 -
cos * Т"
si" * т)
(п= 1, 2, ...) D.11-12)
л—1
н соответствующие средние арифметические a (t) -. - N s^ (О (п. 4.8-6, с) ряда Фурье
158
ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-6.
Таблица 4.11-4
Косинус-преобразования Фурье
от
f @ = у -| $ Сс (ю) cos ю< rfm
0
МО
1, 0<< <а,
0, О а
1
Г4" @ < Re s < 1)
cos <, 0<<<а,
0, <>а
Г'
<г-<2
cos (-1 <-)
•¦" (i <¦)
(l-^)v, 0<<<1,
0, О 1
(Re v>— 1)
|
00
Сс (ю) = |/ — ) 1 (/) cos (o< rf<
0
Сс(ш)
/ 2 y/i sin 0)я
U / <a
(-1I/'ГA-5)81п(-|-5Я)ш^
/ 1 у/, fsin a A — ю) . sin a A + <оП
Unj L l-ш 1 + @ J
/ 2 y/, 1
\n J l + a>'
1 „-сог/4
2
/ ОJ Я \
, / я <o! \
51п^Т--у]
2vr (v + 1) ю - v - Vajv + 1/f ((o)
Примечания.
1) Если Сс (ю) — косииус-преобразование Фурье для f (/), то f (ю) — косинус-
преобразоваиие для С (/).
2) Если f<<) —четная функция в интервале (—со, га), то косинус-преобразова-
""е №#yc^6p1Ьов1„^ Фурье д! , «/«). где а > 0, есть а Сс (аш).
4.11-6.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 169
Таблица 4.11-5
Синус-преобразования Фурье
00
/(<)=!/ — J cs (ю) sin <ot da
0
MO
0, t~> a
t~s @<Res<2)
,-t
tn-le-at {a > 0)
te-t'/2
Fin<
i
0, 0 < t < a,
!/« — a»)Vst <>a
/ A _ /i)Vf 0<.'<l,
0. /> 1
(Rev>- 1)
00
Cs (ю) = у — J f @ sin m/ Л
0
/ 2 \'/i 1 — cos am
V л ) m
/ 2 у/, ш
\ л / 1 + m2
/ 1 N s-i
\, 2 s"Jm
(-J-I'* (" — !)l (a2 4- m2)- "Z2 x
X sin (n arctg a/a)
ae~ «!/2
Bя)~'/2 In
1 4- О
1 — m
(~2~") • 'oco*
•'v + '/i (co)
Примечания.
1) Если Cs (m) — сннус-преобразование Фурье для f (t), то f (<л) — сииус-пре-
обравование для Cs (<).
2) Если 1 (t) есть нечетная функция в интервале (—оо со), то синус-преобра-
синус-преобразование Фурье для f @ @ < t < со) есть (С (ю).
3) Синус-преобразование Фурье для f (t/a), где а > 0, есть a Cs (am).
160 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.11-7.
B) можно записать в виде
Г/2
_Jr/= sinf
sinf
-dx
^-; л = 0, i, 2, ..Л, D.11-13)
5
-Г/2
slnT
dx
(см. также интегральную формулу Дирихле, п. 21.9-4, b).
4.11-7. Суммирование средними арифметическими.
(а) Частичные суммы ряда Фурье функции f (t) могут не представлять собой
полезных приближений функции f (t). Это, в частности, может случиться, если
ряд расходится или если эти частичные суммы «отходят» от функции / (i) вбли-
вблизи ее точки разрыва (неравномерная сходимость вблизи точки разрыва, явле-
явление Гиббса). В этом случае можно прибегнуть к суммированию средними ариф-
арифметическими (п. 4.8-6, с).
Каждый ряд Фурье B) суммируем средними арифметическими к функции
f(t) при всех t в интервале ( — Г/2, Г/2), для которых функция f (t), непрерывна;
в точках разрыва первого рода средние арифметические сходятся к
2 {теорема Фейера), Средние арифметические сходятся к / (t)
почти всюду в интервале разложения; они сходятся к f (t) равномерно на
каждом таком интервале (а, 6) с: (а—б, Ь-\-б) с ( — Г/2, Г/2), где б>0, что
функция f (t) на (а—б, 6 + 6) непрерывна.
(в) Точно так же, если существует интеграл
f (t) непрерывна всюду, то средние арифметические
\f(x)\d% и функция
-5
\ Т
разномерно сходятся при Х-*--\-со к функции f (t) на каждом ограниченном
интервале. Если функция f (t) равномерно непрерывна на всем интервале
(—оо, +оо), то и равномерная сходимость распространяется на интервал
(—со, +оо).
4.11-8 Кратные ряды и интегралы Фурье.
(а) Если задана n-мерная область разложения, определяемая неравенствами
aj<tj<.a]-\-Tj, i=l, 2, ... п, то кратный ряд Фурье, порожденный функ-
функцией f (ti, tit ..., tn), для которой существует интеграл
4.11-8.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
161
по определению есть
СО ОО ОО
1 1-1
kn=—co
an+Tn
T")x
— 2ni У kf y У
D.11-16)
(b) Кратный интеграл Фурье, порожденный функцией / (/lf t2,..., tn),
для которой существует интеграл
4-со -\-со +СО
|/(Ti,t2 Tn)\dr1dTi...dTn,
—оо —оо —оо
по определению есть
i 4-oo 4-co 4-00
1 с f с .
-оо—оо —оо
Г Л
1 +О0 +О0 -(-ОО
, Т, Т„)Х
X ехр — 1 j] со/т/ dx^Tj... <*тл.
k4.ii-
D.11-17)
Как и в равенстве D), можно ввести у/ = со//Bя). Для областей интегрирова-
интегрирования, определяемых неравенствами 0 < fy< + оо или — оо < tj<0, no аналогии
с п. 4.11-3 получают кратные синус-и косинус-интегралы Фурье.
(с) Если задана область разложения —oo<^i< + oo, а2 < 4 < а2~1~ Т$,
то для функции f (tlt t2) можно получить «смешанное» разложение Фурье:
4
+оо
2
4= ^ 2
F ^Я -оо &=-
/
D.11-18)
Аналогично можно скомбинировать интегралы Фурье и ряды Фурье (а также
синус- и косинус-интегралы Фурье) и в случае более чем двух измерений.
(d) Показательные функции в A6), A7) и A8) с помощью равенств B1.2-28)
могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов. Все теоремы
пп. 4.11-2 — 4.11-7 могут быть обобщены на случай кратных рядов и интег-
интегралов Фурье.
(т,,
6 Г. Кора и Т. К.'
.орн
ГЛАВ А 5
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.1. ВЕКТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В каждом классе векторов (например, перемещений, скоростей, сил, нап-
ряженностей магнитного поля) можно определить операции, известные как
сложение векторов и умножение их на (действительные) скаляры (п. 5.2-1),
а также как скалярное умножение векторов (п. 5.2-6). Классы векторов,
встречающиеся в геометрии и физике, чаще всего связаны с двух- или трех-
трехмерным евклидовым пространством.
1. Векторы любого класса допускают однозначное представление
в виде перемещений (т. е. направленных отрезков) в геометрическом
пространстве. Это представление сохраняет соответствие между сум-
суммами векторов, произведениями их на скаляры и скалярными произ-
произведениями векторов (см. также пп. 12.1-6 и 14.2-1 — 14.2-7).
2. В большинстве приложений векторы появляются как функции
точки в геометрическом пространстве (вектор-функции точки, п. 5.4-1).
Такие векторы, как скорости и силы, обычно впервые определяются на
геометрическом языке как «величины, обладающие длиной и направлением»,
илн, несколько точнее, как величины, которые могут быть представлены
в виде направленных отрезков, складывающихся по «правилу параллело-
параллелограмма». Такой геометрический подход, общий для большинства элементар-
элементарных курсов, использован в пп. 5.2-1 и 5.2-8 при введении основных опера-
операций над векторами. Рассмотрение векторов с более общей точки зрения дано
в п. 12.4-1 и в гл. 14.
Векторный анализ изучает векторные (и скалярные) функции. Любой век-
вектор может быть задан набором числовых функций (координат вектора) в со-
соответствующем базисе (пп.5.2-2, 5.2-3, 5.4-1 и 6.3-1).
Замечание. Описание физического состояния векторными величинами следует
рассматривать ие только как способ сокращенной записи системы координатных уравне-
уравнений одним уравнением, но и как пример математической модели, элементы которой не
ограничиваются числами. Заметим также, что класс объектов, допускающих взаимно
однозначное соответствие с классом направленных отрезков, может и ие являться
векторвым пространством, если у него иет описанных выше алгебраических свойств.
5.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
5.2-1. Сложение векторов и умножение вектора на (действительный) ска-
скаляр. Векторная сумма a -f- b двух векторов а и Ь одного класса есть вектор,
соответствующий геометрической сумме соответственных направленных отрез-
отрезков (правило параллелограмма). Произведение вектора а па действительное
число (скаляр) а есть вектор, соответствующий направленному отрезку»
в j а | раз более длинному, чем отрезок, соответствующий вектору а, и нап-
направленному в случае отрицательного а в сторону, противоположную вектору а.
Нулевой вектор О каждого класса векторов соответствует перемещению нуле-
нулевой длины, и a -f- 0 = а.
5.2-4.
6.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
163
Определенные таким образом сложение векторов и умножение их на ска-
скаляры удовлетворяют соотношениям:
a-f-b = b + a; а -f (Ь + с) = (а + Ь) + с — а + Ь + с; }
а(Ра) = (оф)а; (а + Р) а = оса + Pa; a (a + Ь) = аа -f ab; \ E.2-1)
1а = а; ( — 1) • а = — а; Оа = 0; а — а = 0; а + 0 = a. j
Обобщение векторной алгебры см. пп. 14.2-1 — 14.2-4.
5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам, т векторов ах, а2 ат
линейно независимы, если из
следует
— • • • — ^т = 0'
В противном случае эти векторы линейно зависимы (см. также пп. 1.9-3
и 14.2-3). Любой вектор а трехмерного ее/опорного пространства может быть
разложен по трем линейно независимым векторам ех, е2, е3, т. е. представлен
в виде их линейной комбинации
а =
-f a2e2 + а3е3.
E.2-2)
Коэффициенты alt а2, а3 называются координатами вектора а по отношению
к базису, определенному базисными векторами ех, е2, е3 (см. также п. 14.2-4).
Если базисная система задана, то векторы а, Ь,... представляются упоря-
упорядоченными тройками (av а2, а3), (plP р2, р3), ... их координат; при этом
a -f- b и аа представляются соответственно тройками (ах + plf а2 + р2, а3 + р3)
и (аах, аа2, аа3). Соотношения между векторами могут быть выражены через
соответствующие системы соотношений между их координатами.
Векторы, принадлежащие двумерному векторному пространству (например,
плоские перемещения), представляются подобным образом упорядоченными
парами координат.
Для разложения векторов, определенных в данной точке пространства (п. 5.4-1),
обычно выбирают базис, связанный с используемой координатной системой. В гл 6
специально рассматривается разложение векторов по векторам локального базиса, нап-
направленным по координатным линиям криволинейной системы координат в каждой точке
н перпендикулярно к ннм; величины и направления векторов локального базиса, вообще
говоря, различны в различных точках. Формулы преобразования координат вектора,
заданных в различных базисах, даны в табл. 6.3-1 и в п. 14.6-1.
5.2-3. Декартовы прямоугольные координаты вектора. Если в пространства
задана правая прямоугольная система декартовых координат (п. 3.1-4), то
единичные векторы (п. 5.2-5) i, j, k осей Ох, Оу и Oz соответственно обра-
образуют удобную систему базисных векторов. Координаты ах, ay, az вектора
а = ах\ + ау\ + azk E.2-3)
называются декартовыми прямоугольными координатами вектора а.
Заметим, что эти координаты
ах = а • I, пу = а • j, аг = а>к
(п, 5.2-6) являются проекциями вектора а; координаты и- I, и -j, и • к любого единичного
вектора и являются его направляющими косинусами (п. 3.1-8). ¦ '
5.2-4. Векторы и физические размерности. Векторы можно умножать не только на
безразмерные скаляры (например, постоянный вектор скорости умножают на интервал
времени, чтобы получить вектор перемещения). Если физическая величина есть вектор B)
или C), то ее физическую размерность целесообразно приписать координатам вектора,
а не базисным векторам. При этом последние рассматриваются как безразмерные вели-
величины и могут быть использованы в качестве общей базисной системы для различных
классов векторов, имеющих различные физические размерности (например^ перемещения,
скорости, силы и т. п.; см, также п, 16 1-4). ¦ ¦ • •
164
ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.2-5.
5.2-5. Модуль (норма, абсолютная величина, длина) вектора. Модуль
j а | вектора а в евклидовом пространстве есть скаляр, пропорциональ-
пропорциональный длине перемещения, соответствующего вектору а (п. 5.1-1; абстрактное
определение см. пп. 14.2-5 и 14.2-7). Модуль вектора удовлетворяет соотно-
соотношениям A.1-4). Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным
вектором или ортом. (Попарно перпендикулярные) базисные векторы i, j, k
(п. 5.2-3) являются единичными, так что
i ax\ | = | «* |
= Val + аУ
E.2-4)
5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов. Скалярное
произведение а ¦ Ь [другое обозначение (а, Ь)] двух векторов а п Ь есть
скаляр
а-Ь = | а | | Ь | cosv. E.2-5)
где у — угол между векторами а и Ь (абстрактное определение см. пп. 14.2-6
и 14.2-7).
Если а и Ь —физические величины, то физическая размерность скалярного
произведения а-Ь должна быть указана (см. также п. 5.2-4). В табл. 5.2-1
Таблица 5.2-1
Свойства скалярного произведения
(а) Основные соотношения:
ab = ba; а(Ь + с) = а-Ь + а-с; (аа)-Ь = а (а-Ь);
: 0; I а-Ь 1 < I a I • I b i;
cos у = -
а-Ь
(Ь) Выражение в прямоугольных декартовых координатах (п. 5.2-3):
|.i = j.j=kk= !; lj = jk = ki = 0;
а-Ь = («g + ayi + агк).(Ьх1 + byi + bjt) = aj,x + ayby + abj
a =a-l,
•i.
приведены основные соотношения для скалярного произведения. Два ненуле-
ненулевых вектора а и Ь взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда
а-Ь = 0.
5.2-7. Векторное произведение двух векторов. Векторное произведение
aXb (другое обозначение [а, Ь]) двух векторов а н Ь есть вектор, модуль
которого равен
| а X Ь | = | а | | b| sin v; E.2-6)
его направление перпендикулярно к обоим векторам а и Ь и совпадает с нап-
направлением поступательного движения правого винта при его повороте от а к Ь
иа угол, меньший я. Два вектора линейно зависимы (п. 5.2-2) тогда и толькв
тогда, когда их векторное произведение равно нулю. В табл. 5-2-2 приведены
основные соотношения для векторного произведения. Более общее определе-
определение векторного произведения см. п. 16.8-4; в пп, 3.1-10 и 17.3-3 даны пред-
представления площади области как вектора.
Б.2-8.
5.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Свойства векторного произведения
IG3
Таблица 5.2-2
(а) Основные соотношения:
*)
(с)
a X Ь =
axb = — Ьха; а к |Ь + с) = j x
выражение в
а =
Выражение в
1 X 1 = j
1 j k
ах ау аг
а ьи ь,
х у г
а К а = 0; а
любом базисе е
= die, -f а2е2 +
а х Ь =
прямоугольных
X j = k X k =
% аг
ь ь
1
У г
-с»
. (а х Ь)
1, е2, с3
а3е3; b
е2 х
е3 х
е, X
b+ a
= Ь .
:
= В.е
е8 а,
е, а2
ег а3
X
(a
i -
(
(
c;
X
H
3.
52
5a
(ua)
b) =
i2e, 4
X b =a (a
0.
декартовых координатах:
о, 1 х i
аг
+
b
г
bz~azl
= к
ах
b
j
X
'»)' +
i
-t
(
X
_
k = l
ax a
b b
X
x~c
k X 1 = J;
у
у
k =
X b);
A-"A>k-
5.2-8. Смешанное (векторно-скалярное) произведение.
a • (b X с) == fabc] = [bca] = [cab] = — [bacj = — [cba] = — [acb], E.2-7)
[abc]2= f(a X b) (b X c) (c X a)J = a2b2c2 — a2 (b • cJ — b2 (c • aJ — c2 (a • bJ +
a -a a- b а -с
b> a b-b b- с
c-a c-b c-c
(определитель Грама, см. E,2-8)
п. 14.2-6),
[abc] [def] =
a- d a- e a- f
b-d b-e b-f
c-d ce c-f
E.2-9)
В любом базисе e^ e2, e3 (n. 5.2-2, см. также пп. 5.2-3 и 6.3-4)
[abc] =
«i Pi Vi
а2 Рз Ъ
«з Рз Ъ
e3].
E.2-10)
В правой системе декартовых прямоугольных координат
labcj =
ау Ьу
аг Ъг сг
(> 0, если векторы а, Ь, о
образуют правую тройку).
E.2-11)
166 ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.2-9. Другие произведения, содержащие более двух лекторов.
, (а • Ь) (а • с)
{деойное векторное произведение),
а.с Ь -с
а • б Ь ¦ d
а х (Ь X с) = Ь (а • с) — с (а • Ь)
(део
(а X Ь) • (с X б) = (а • с) (b . d) — (а • d) (b • с)
(а х bJ = a2b»— (a ¦ Ъ)*,
(а х Ь) х (с X Ь) = [acd] b — [bed] a = [abd] с — [abc] d.
5.2-10. Разложение вектора а по направлению единичного сектора и и ему
а = и (а . и) + их(ахи).
Б.2-11. Решение уравнений ([abc] :/i 0).
(Ь)
(с)
х • а = р, \
х-с = г, j
(bxc) + Ч (сха) 4 г (axb) 4
[abc]
ах 4 by 4- cz + d = 0,
Ldbc]. [adc]. _ Ubd].
[abc]: y~ [abc]1 [abc]'
(bxc) x 4 (сха) у 4 (axb) г 4 d = 0,
d . a d ¦ b d • с
Б.2-9.
(Б. Г-12)
E.2-13)
E.2-14)
E.2-15)
перпен-
E.2-16)
E.2-17)
E.2-18)
E.2-19)
(Е.2-20)
* [abc]: " [abc]; 2 [abc]'
5.3. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
5.3-1. Векторные функции и их пределы. Векторная функция v=v(^) ска-
скалярного аргумента t ставит в соответствие каждому значению аргумента t из
области определения (см. также п. 4.2-1) одно (однозначная функция) или
несколько (многозначная функция) «значений» вектора v. В прямоугольных
декартовых координатах
v = v @ = 0,@ i + M'H+MOk- E.3-1)
Вектор-функция v (t) ограничена, если ограничен ее модуль \v(t)\. Оиа
имеет предел v,= lim v (t), если для каждого положительного числа е суще-
ствует такое число б, что из 0 < 11 — tx | < б следует | v (t) — vt \ < е (см. также
пп, 4.4-1 и 12.5-3). Если lim v(t) существует, то
i-^t.
5.3-3.
limv@ = i Hm 0,@ + 1 li
tt tt <-
vz(t).
E.3-2)
Предел суммы векторов, скалярного и векторного произведений находится по
формулам, аналогичным формулам п. 4.4-2.
Вектор-функция v (t) непрерывна при t = tt, если lim v(t) = v(t{) (см. также
пп. 4.4-6 и 12.5-3).
5.3-2. Дифференцирование. Векторная функция v (t) дифференцируема при
данном значении t, если существует конечная производная (см. также п. 4.5-1):
*^-Л VW^~V(<)- E-3-3)
Если производная «Pv/di2 от dvjdt существует, она называется второй
производной от v@, н т. д. Табл. 5.3-1 содержит основные правила диффе-
дифференцирования.
5.3. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
167
Таблица 5.3-1
Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента
(а) Основные правила:
-%j- [v (ft ± w (ft] =
-й-™*<'я-4
-— [v (ft X w (ft] =
Jj- [V (ft W (ft U (ft] =
dv
~'dT-
v (ft -
^v- x
dt
Г dv
-Ы
dw
- dt ;
w 4- v x
- wul 4- [
(b) В прямоугольных дгкартозых
(с) Если базисные
т аг it) e2 (ft 4- «з (ft с3
dv (t) 1 da.i
dl \ dt
dv (ft
dt
dvx (ft
dt
зекторы е, (ft
@, то
e, + ¦
da'- л 4-
Tf[av
d
'' dt
dv/
~dT :
dv/ ]
v~dTa\
координ
IIdvy
1 dt
e2 (ft, e.
da, \
~dT4j
(ft] = c
- [v (ft
d
HTV
+ fvw
атах
(ft
— 1 +
w(ft]
U (')] =
du ]
"dT\-
dvz (ft
dt
ft — функции
dt,
-di' +
a = const);
dv ,
= 4fw+v
dv df
df dt '
- k.
от t и v (ft = a
de2 des
l'-dT+a'~dt
1
i
1
dv/ ,
dt ''
i (ft et (ft 4-
Аналогичные правила применимы к вычислению частныхироизводных dv/dtt,
dv/dt2, ... векторной функции v = v(ti, t2, ...) от двух или более скалярных
аргументов tlt tit ...
Замечание. Если v° (ft — орт вектора v (ty.
v @ = I v (ft | v» (/),
dl
iv
ifflXV* И -ГГ =
dt
dt
I
1 V» +
v]~dt -
d\v\
~~ dt
+ @ X V,
E.3-4)
где вектор ю направлен (по празялу правого винта) вдоль оси, вокруг которой повора-
поворачивается вектор v (t)t и имеет длину, равную угловой скорости поворота вектора v(t) по
отношению к t. (Пример: вектор угловой скорости в физике; см. также п. 17,2-3).
В формуле D) первое слагаемое характеризует изменение длины вектора v (ft. а второе
слагаемое — изменение его направления. Если | v (ft | = const, то векторы v (() и dv/dt
п :рпендику лярны.
5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения. Неопреде-
Неопределенный интеграл V (/) = J v (ft dt от векторной функции v (ft определяется как решение
векторного дифференциального уравнения (см. также п. 9.1-1);
5rV(/, =v@.
E.3-5)
где
которое мoжFIo заменить системой дифференциальных уравнений для координат вектора
V(ft. Другие обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие производные от
векторной функции скалярного аргумента, трактуются подобным же образом.
Определенный интеграл
J v (ft dt = lim
S
h
и h-i ^ xl < W' * = max I 'i — h-l'
(см. i-акже n, 4,6-1), может быть выражен через координаты
6 6 6 6
J v @ dt = 1 J vx @ dt + j J vy (ft dt + k J vz @ dt.
E,3-6)
E,3-7)
168
ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.4. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
5.4-1.
5.4-1. Вводные замечания. Конец этой главы посвящен скалярным и век-
векторным функциям точки в евклидовом пространстве. Если не оговорено про-
противное, скалярные и векторные функции предполагаются однозначными, не-
непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз. Соотношения
между скалярными и векторными функциями устанавливаются:
1) в инвариантной форме (независимо от системы координат) и
2) в координатной форме по отношению к правой прямоугольной декарто-
декартовой системе координат (п. 5.2-3), так что1)
F(r)==F(*. у, z)=Fx(x, у, z)i+M*. У' Z)i+Fz(x, у, г) к. E.4-1)
Соотношения в пп. 5.4-2—5.7-3 не зависят от выбора системы координат
в пространстве. Запись векторных соотношений в локальных базисах систем
криволинейных координат рассматривается в гл. 6.
5.4-2. Скалярные поля. Скалярное поле есть скалярная функция точки
) = Ф(х, у, г) вместе с областью ее определения. Поверхности
Ф(г) = Ф(дг, у, г) = const E.4-2)
Б.4-в.
Ф(г) Ф(дг, у, г)
(п. 3.1-14) называются поверхностями уровня поля; онн позволяют предста-
представить поле геометрически.
5.4-3. Векторные поля. Векторное поле есть векторная функция точки
F(r)=F(x, у, г) вместе с областью ее определения. Векторные линии (линии
тока) в каждой точке (г) имеют направление вектора поля F (г) и опреде-
определяются дифференциальными уравнениями
drxF(r)==0 или Т-^~1ф^~т;?-1Г. E.4-3)
Векторное поле F (г) может быть представлено геометрически своими
векторными линиями, относительная плотность которых в каждой точке (г)
пропорциональна модулю | F (г) |.
5.4-4. Векторный элемент линии и длина дуги (см. также п. 4.6-9).
(а) Векторный элемент линии (дифференциал радиуса-вектора) dr вдоль
кривой С, описываемой уравнениями
или \ y — y(t),
определяется в каждой точке (г) = [*(<), (/@. ZWI
¦ '¦- . . du , . <<z
E.4-4)
dt (t)
dt.
i+d»j+d2k-^i+g-J+s-K;«—зг— E-4'5>
Вектор dr направлен по касательной к кривой С в каждой регулярной точке
(см. также п. 17.2-2).
(Ь) Длина дуги s спрямляемой кривой D) (п. 4.6-9) выражается формулой
t
s= J ds,
где
в каждой регулярной точке
') Всюду в гл. 5 и 6 индексы в обозначениях
ференцирование по х, у, г, ...
E.4-6)
= [x (t), У (t), г @1 кривой С.
/ Fg, ... не указывают на §иф-
5 4 СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
169
5.4-5. Криволинейные (линейные) интегралы (см. также п. 4.6-10). Для
спрямляемой дуги С, заданной уравнением D), скалярные интегралы
\ Ф (г) ds = \ Ф (х, у, z)ds=\<S> \х (/), у @, г(/)] ? dt,
ее с
$/¦(!¦)-dr= \Fx(x, у, z)dx+Fy(x, у, z)dy + Fz(x, у, z) dz=?
С С
EA-7)
можно определить непосредственно как пределы сумм тем же способом, что
и в п. 4.6-10; однако более удобно подставить функции х (t), у (t), z (/);
dx/dt, dy/dt, dz/dt из формул D) в формулу G) и интегрировать по I.
Подобным же образом определяются и векторные криволинейные интегралы:
J Ф (г) dt = I J Ф (х, у, г) dx + j J Ф (х. у, г) dy + к J Ф (х, у, г) dz =
Г. С С С
Ф (г) ^ dt = J [ф <*, у, z) ~ I + Ф (х. у. г) ^ j + Ф <*, |/. г) ~ к\ dt, E.4-8)
г
С
F (r)Xrfr
' F (г) Х~ dt =
1
У dt
hz dt
ди dv
Значение скалярного или векторного криволинейного интеграла зависит
от пути интегрирования С, если только не выполнены специальные условия
п. 5.7-1.
Применение криволинейных координат см. пп. 6.2-3 и 6.4-3.
Замечание. Часто оказывается полезным в качестве нового параметра в выра-
выражения G), (8), (9) ввести длину дуги s с помощью формулы F).
5.4-6. Поверхностные интегралы (см. также пп. 4.6-12 и 17.3-3,с).
(а) В каждой регулярной точке двусторонней поверхности, заданной
уравнением r = r(u, v) (n 3.1-14), можно определить векторный элемент по-
поверхности (вектор площадки)
u dv ~дп ~fo ) \ auav-
— — ——
\ dv du dv
В случае замкнутой поверхности координаты и, v на поверхности обычно
упорядочивают так, чтобы направление вектора dS (направление положитель-
положительной нормали к поверхности, п. 17.3-2) было внешним по отношению к телу,
ограниченному данной поверхностью.
Элемент площади поверхности в точке (и, v) определяется так:
В частности, при ц = л:, v = y, z = z(x, у)
dudv.
E.4-11)
170
ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.4-7
(Ь) В дальнейшем предполагается, что площадь f dS (п. 4.6-11) рассма-
триваемой поверхности S существует; в этом случае формула A0) определяет
элемент dS почти всюду на S (п. 4 6-14,Ь). Скалярные поверхностные ин-
интегралы
J Ф (г) dS и j F (г) • dS E.4-13)
и векторные поверхностные интегралы
$dS и
$<
E.4-14)
от функций Ф (г) и F (г), заданных на поверхности, могут быть определены
непосредственно как пределы сумм так же, как в пп. 4.6-1, 4.6-10 и 5.3-3.
Однако удобнее применить формулу A0), чтобы выразить каждый поверх-
поверхностный интеграл через двойной интеграл по координатам и, v (см. также
п. 6.4-3,Ь). Иногда в формулах A3) и A4) вместо одного знака интеграла
пишут два, например [\ Ф (г) dS. Скалярный поверхностный интеграл
^ F (г) • dS называется потоком вектора F (г) через поверхность S. Заметим,
что
\'F(*, у, z)-dS=\[Fx[x(y, г), у, z]dydz +
s 's
И ) \dd + $F
x, у, г(х, y)]dxdy. E.4-15)
В первом интеграле независимые переменные и = г/, v = z, во втором интег-
интеграле и = г, v = x и т. д. (см. также формулу A2)).
Формально к такому же результату приводит запись d$ = dy dz\ -{-
-f- dz dx j + dx dy k, но она требует специальных оговорок относительно смысла
dx, dy, dz.
5.4-7. Объемные интегралы (см. также п. 4.6-12). Если дана область V
в трехмерном евклидовом пространстве, то скалярный объемный интеграл
V
х, У, z)dxdydz
E.4-16)
x, у, z)\+Fe(x, у, z)k]dxdydz E.4-17)
и векторный объемный интеграл
\F(r)dV = ^[Fx(x, у, z)i + F
V v
могут быть определены как пределы сумм тем же способом, что и в п. 4.6-1;
они могут быть также выражены непосредственно через тройные интегралы
по х, у, г. О применении криволинейных координат см. пп. 6.2-3,Ь и 6.4-3,с.
5.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
5.5-1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения. Гради-
Градиент скалярной функции точки Ф(г) = Ф(х, у, г) есть векторная функция
точки, определяемая формулой
J Ф (ri)rfS
grad Ф (г) = \/Ф = lim ^i—
В.5-2.
Б.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
171
где К, —сблгсть, содержащей точку (г), Sx — замкнутая поверхность, ограни-
чивЕ!С:цая область Kj, 6 —наибольшее расстояние от точки (г) до точек-по-
точек-поверхности Si-
Дивергенция векторной функции точки F (г) есть скалярная функция
течки, определяемая формулой
divF(r) = V- F= lim ^
J dv
v,
E.5-2)
Ротор векторной функции точки F (г) есть векторная функция точки,
определяемая формулой
J rfSxF (г,)
rotF(r) = VXF= lim-^—: . E.5-3)
6-*o dV к '
Замечание. В каждой точке, где существует вектор grad Ф (г) ф 0. его модуль
E.5-4)
/дФ\2
равен наибольшей производной по направлению rfO/rfs в этой точке, а его направление
совпадЕст с направлезшем. в котором эта наибольшая производная достигается (п. 5.5-3,с).
Векторные линии поля grad Ф определяются уравнениями
или dx:dy:dz-
дФ дФ дф
' дх ' ду ' дг'
E.5-5)
Линии градиента, определяемые этими уравнениями, перпендикулярны к поверх-
поверхностям уровня E.4-2).
5.5-2. Оператор V. В прямоугольных декартовых координатах линейный
оператор V (набла) определяется формулой
V = 31'
Его применение к скалярным и векторным функциям точки формально соот-
соответствует некоммутативной операции умножения на вектор с декартовыми
координатами д/дх, д/ду, д/дг:
УФ(х, у, Z)^
==f5i+f5j+f k,
*, у, г)~то\.?(х, у, г) =
~д~)> + \-д~--дТ}
В таблице 5.5-1 приведены правила действий с оператором V.
E.5-6)
\ E.5-7)
172
ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Правила действий с оператором V
5.5-3.
Таблица 5.Е-1
у (аФ) = а УФ;
у . (aF) =а У • F:
у X (aF) = а У X F.
(a) Линейность (a = const)
У (Ф + 40 = УФ + V4T;
У . (F + G) = У • F + V • G;
V X (F + G) = У X F + У X G;
(b) Действия с произведениями
у (ФЧГ) = чг УФ + Ф W;
у (F . G) = (F • У) G + (G • У) F + F X (У X G) + G X (У X F);
V • №F) = Ф V • F + (УФ) ¦ F;
V-(FXG) = G-VXF — F-VXG;
(О • V) ®F = F (О • УФ) + Ф (G • У) F;
у X (ФР) = ФУ X F + УФ X F:
У X (FxG) = (G • У) F - (F • У) G + F (У • G) — G (V • F);
(G • У) F
. -L гу х (F X G) + У (F • G) - F (У • G) + G (У • F) -
-G X
Заметим, что векторные соотношения, содержащие УФ, У-F и yxF, ие зависят от
>ра системы координат- Выражение операций УФ, У-F и yxF в различных системах
выбора системы координат. Выра
координат см. в гл. 6 и п. 16.10-7.
5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и производная по на-
направлению.
(а) Полный дифференциал <2Ф скалярной функции точки Ф (г), соответ-
тощий перемещению точки dr = d# i-\-dy j+dz k, есть
(а) Пол дфф
ствующий перемещению
E.5-8)
(см. также п. 4.5-3,а).
(Ь) Полная производная dCbjdt функции Ф (г) вдоль кривой r = r(t) есть
скорость изменения функции Ф (г) по отношению к параметру t, когда г
изменяется как функция от t (см. также табл. 4.5-2,а):
d<b d®dx , аФйу^аФ^г^^^ф^ E.5-9)
где гзт
^
ф=ф(г-
~St
L
dt
дФ
(с) Производная по направлению d$>/ds от скалярной функции точки Ф (г)
есть скорость изменения функции по отношению к величине перемещения s точ-
точки (г) вдоль выбранного направления. Если направление задано единичным век-
вектором u = cos ax i + cos a,y j + cos агк с направляющими косинусами cos ax,
cos a,y, cos аг (п. 3.1-8, а), то производная по этому направлению равна
?-7? cos«,+ f cos^+fcosa^u-V^;
dO/ds есть полная производная от функции Ф (г) по длине дуги s кривой,
касающейся вектора u = dr/ds.
R.B-O.
5.5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
173
(d) Полный дифференциал, полная производная и производная по направ-
направлению or векторной функции точки F (г) опредгляются аналогично:
d? = (dr • V) F = (dr ¦ V) Fx\ + (dr • V) Fy j + (dr ¦ V)F, k =
\ E.5-12)
dFy
x _ y _
dt
rfF
dFx dFy dFz
dr
5.5-4. Производные высших порядков по направлению. Ряд Тейлора. Производные
порядка п от функций Ф и F по направлению единичного вектора и определяются фор-
формулами
d"- d"-
j^ Ф (r) = (u -У)Лф(г) и pF(r) = (o.V)»F(r). E.5-I3)
Если рассматриваемые ниже ряды сходятся, то (см. также п. 4.10-5)
Ф (г + Дг) = Ф (г) + (Дг • У) Ф (г) -t— (Дг • У)» Ф (г) + . . . =
± ф(Г)+ 1- (Д/-)« ~ Ф (г) +
E.5-14о)
F (r + Дг) = F (r) + (Дг • У) F (r) + ^ (Дг • V)« F (r) + . . . =
= е(Дг-У) F(r) = F (r) +Ar ~ F (r) + jy- (Дг)> ¦— F (r) + . . ., E.5-146)
где все производные no направлению берутся в точке (г) в направлении Дг, а Дг = | Дг |.
5.5-5. Оператор Лапласа. Оператор Лапласа (лапласиан) V2 = V-V (обозна-
(обозначаемый иногда через Д) выражается в декартовых прямоугольных координа-
координатах формулой
(другие выражения см. гл. 6 и п. 16.10-7). Этот оператор может быть при-
применен к скалярным и векторным функциям точки с помощью некоммутатив-
некоммутативного скалярного «умножения»:
V2F =
i + \/"Fy
k.
E 5-16)
V2T (линейность),
V2T.
Заметим, что
E.5-17)
E.5-18)
5.5-6. Операции второго порядка. Отметим следующие правила повтор-
повторного применения оператора V:
divgrad Ф = У- (\/Ф) = \/2Ф,
grad div F = V (V • F) = V2F + Vx(VxF),
rotrotF = VX(VxF) = V(V-F) — V2F, i E 5-19)
rot grad © = Vx(V©) = 0, '
ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.5-7.
174
5.5-7. Операции иад простейшими функциями от г, В табл. 5.5-2 и 5.5-3
приведены результаты применения дифференциальных операций к некото-
некоторым простейшим скалярным и векторным функциям от радиуса-вектора г.
Таблица 5.5-2
Операции над скалярными функциями
(/¦ = | г | , а = const, п = 0, ± 1, ± 2, ...)
Операции над векторными функциями
5.6-1.
Дополнительные формулы могут быть получены с помощью табл. 5.5-1.
еще формулы {F (г) • V} r = F (г),
V~ = — VX^jr при a = const. E.5-21)
сов-векторов г = <*. |. z) ^6м=
у(|'б^т? применены два различных оператора
В частности, имеем v ф (г _ 0) = _ Vq ф (r _ Q),
V F(r-6) = - VQF(r-6).
В.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
5.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
175
5.6-1. Теорема о дивергенции *) и связанные с ней теоремы.
(а) В табл. 5.6-1 собраны важнейшие теоремы, связывающие объемные
интегралы по области V и поверхностные интегралы по границе S этой об-
области. Область V предполагается ограниченной и пространственно-односвяз-
ной (п. 4.3-6), поверхность S — замкнутой и регулярной (п. 3.1-14), функции —
однозначными и непрерывными в V и на S, причем все частные производные.
Таблица 5.6-1
Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы
I. Теорема о дивергенции
2. Теорема о роторе
3. Теорема о градиенте
4. Теоремы Грина
5. Частные случаи
J V • F (r) dV = J rfS • F (r)
V S
J V X F (r) dV = J rfS x F (r)
V S
J УФ (r) dV = J dS Ф (r)
V S
J УФ • W dV + J ЧГ Г2Ф dV •= I dS ¦ [У \'<1>) =
V V S
J dn
S
J W V!<I> — Ф V2XP) dV = J rfS • (W УФ - Ф V40 =
V S
С t дФ дЧг \
J \ an dn )
о
f у*Ф dV = J dS . ЧФ = ? -~ dS (теорема Гаусса),
V S S
I j УФ l! dV + J Ф У2Ф rfV = J rfS . (Ф VO) =
V V S
f . 0Ф .„
s
встречающиеся в объемных или поверхностных интегралах, предполагаются не-
непрерывными соответственно в V или на S. Все теоремы остаются справедливыми
и для неограниченной области, если подынтегральные функции в поверхностных
интегралах имеют порядок О(\/г3) при г—*со (п. 4.4-3). Формулы для поверх-
поверхностных и объемных интегралов в системах криволинейных координат см. гл. 6
и п. 17.3-3; приложения см. пп. 15.6-5 и 15.6-10.
Словесная формулировка теоремы о дивергенции (теоремы Гаусса-Остро-
градского) такова. Поток вектора через замкнутую поверхность (п. 5.4-6) ра-
равен интегралу от дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью.
(Ь) Замечание о нормальной производной. Нормальная
производная от скалярной функции Ф (г) в регулярной точке поверхности S
*) Зта теорема в отечественной литературе называется теоремой Гаусса— Остро-
ераоского.
176
ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.6-2.
есть производная по направлению положительной нормали, т. е. dS (если
поверхность замкнута, то обычно берут внешнюю нормаль, п. 17.3-2).
Нормальная производная обозначается обычно через дФ/дп, так что
d?<t
5.6-2. Теорема о роторе и связанные с ней теоремы. Если векторная функ-
функция F (г) однозначна и имеет непрерывные частные производные всюду в ко-
конечной поверхностно-односвязной области V и если лежащая в области V
поверхность S одпосвязна, регулярна и ограничена регулярной замкнутой
кривой С, то
$ dS ¦ [V\F (r)] =& dr ¦ F (г) (теорема Стокса), E.6-1)
т. е. криволинейный интеграл от F (г) по замкнутому контуру С равен по-
потоку ротора VxF через поверхность, натянутую на контур С. Ориентация
вектора площадки dS должна быть согласована с ориентацией контура С по
(Точнее, такая ориентация производится у края
по непрерывности.)
> E.6-2)
При тех же условиях, что и выше.
и лля любой однозначной скалярной функции Ф (г) с непрерывными частными производ-
производными в области V
J rfSVX() & rfr Ф (г) E.6-3)
= & rfr Ф (г)
S С
Формулы (I), B), C) остаются справедливыми и для неограниченной области V, ее,
„одынтегральиая функция в криволинейном интеграле справа имеет порядок О (I/л2) п
г -» да (п. 4.4-3).
лн
ри
пред|
(г) или F+ (г).
E.6-4)
так и на другой (отрицательной) стороне поверхности
Ф_ (г) или F_ (г)
В каждой точке (г) поверхности S( определим функции
п° (г) [Ф+ (г) — Ф._ (г)] {поверхностный градиент),
п° (г) • [F+ (г) — F_ (r)] (поверхностная дивергенция),
п° (r)xLF+ (г) — F_ (r)l (поверхностный ротор),
где п° — орт положительной нормали к поверхности Si в точке (г) (п. 17.3-2). тогда ин-
интегральные теоремы табл. 5.6-1 останутся в силе и для таких функций, если в точках
поверхности Si запенить в объемных интегралах градиент, дивергенцию и ротор на их
поверхностные аналоги.
5.7. ОТЫСКАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ПО ЕГО РОТОРУ
И ДИВЕРГЕНЦИИ
5.7-1. Безвихревое векторное поле. Векторное поле F (г) называется без-
безвихревым в области V, если в каждой точке этой области
т. е.
1л
дг
ду
i
дх
l
дг
ду
jl
дх
5.7-3.
5.7. ОТЫСКАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
177
Поле F (г) является безвихревым тогда и только тогда, когда —F (г) есть
градиент УФ (г) некоторой скалярной функции точки Ф (г) в каждой точке
области V (см. также формулу E.5-19)); в этом случае выражение
= Fx(x, у, z)dx+Fy(x, у,
= — dx ¦ УФ (г) = — </Ф
x, у, z)dz~
E.7-2)
есть полный дифференциал (п. 4.5-3, а). Функцию Ф (г) часто называют ска-
скалярным потенциалом безвихревого векторного поля.
Если область V псверхностно-односвязна (п. 4.3-6. Ь), то Ф (г) — однознач-
однозначная функция, определяемая по F (г) с точностью до аддитивной постоянной,
и криволинейный интеграл от F (г) по кривой С, лежащей в области V, не
зависит от пути интегрирования:
E.7-3)
В этом случае указывают только нижний и верхний пределы интегрирования.
Криволинейный интеграл § F (р) • dp по любому замкнутому пути С (цир-
(циркуляция вектора F (г) вдоль С) в области V равен нулю. Если область V
многосвязна, то функция ф (г) может быть многозначной.
В частности, условие
dFx dFy
ду дх —
необходимо и достаточно Для того, чтобы криволинейный интеграл
E.7-4)
J F (х, у) dx + F (х, у) dy
с х у
не зависел от пути интегрирования, т. е. чтобы подынтегральное выражение было пол-
полным дифференциалом ').
5.7-2. Соленоидальные (трубчатые) векторные поля. Векторное поле F (г)
называется соленоидальиым в области V, если в каждой точке этой области
dF dF dF
V.F(r) = 0, т.е. _4*+-ж- = 0.
E.7-5)
Векторное поле является соленоидальным тогда и только тогда, когда
F (г) есть ротор V х А (г) некоторой векторной функции точки А (г) (см. также
формулы E.5-19)), которая называется векторным потенциалом векторного
поля F (г).
5.7-3. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции.
(а) Пусть V — конечная открытая область пространства, ограниченная
регулярной поверхностью S (п. 3.1-14), положительная нормаль которой
однозначно определена и непрерывна в каждой точке поверхности.
Если дивергенция и ротор поля F (г) определены в каждой точке (г) обла-
области V, то всюду в V функция F (г) может быть представлена в виде суммы
безвихревого поля Fx (г) и соленоидального поля F2 (г):
где
VxF,(r)=0; V-F2(r)
r). \
r)=0 J
E.7-6)
(теорема разложения Гельмгольца).
') См. сноску к п. 5.4-1.
178
ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
5.7-3.
дифферен-
условиях.
Функция F (г) определяется однозначно при дополнительном условии зада-
задания нормальной составляющей F (г) • -^ функции F (г) в каждой точке поверх-
поверхности S (теорема единственности).
Эффективное отыскание функции F (г) по этим данным св0«ится„к Р^Д"™
циальных уравнений с частными производными при некоторых краевых
Важный частный случай, в котором
у . F v г) = О, V X F (г) = О,
и, аиачит, всюду в V F (г) =_ уФ (г), У2Ф (г) = О,
рассматривается в теории потенциала (пп. 15.6-1—15.6-Ю).
(Ь) Если в каждой точке (г) пространства заданы функции
V-F(r) = 4nQ(r); V х F (г) = 4я 1 (г),
то формулы F) определяют F, (г) и F2 (г) а следовательно и F
значно с точностью до такого слагаемого Fo (r), для которого V2
Имеют место следующие формулы:
Fi(r) = —УФ(г),
F2(r) = V X А (г),
E.7-8)
E.7-7)
(г) одно-
одноF0(r) = 0.
где интегралы справа (скалярный и векторный потенциалы) предполагаются
существующими (см. также п. 15.6-5); интегрирование производится по всем
точкам (р) пространства.
ГЛАВА б
СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В главе б дается описание скалярных и векторных функций точки
(см. также пп. 5.4-1—5.7-3) в криволинейных координатах (п. 6.2-1). Век-
Векторы будут разложены по направлениям координатных линий или перпенди-
перпендикулярно к ним (пп. 6.3-1—6.3-3). Применение криволинейных координат
упрощает многие задачи; например, можно выбрать такую систему координат,
чтобы на координатной поверхности рассматриваемая функция была постоян-
постоянной (пп. 6.4-3 и 10.4-1, с).
Основное внимание в гл. б уделяется ортогональным системам координат
(пп. 6.4-1—6.5-1), как наиболее важным для физических приложений. Пред-
Представление векторных соотношений в неортогоиальных координатах рассмот-
рассмотрено более подробно в тензорном анализе (гл. 16).
6.2. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.2-1. Криволинейные координаты. Система криволинейных координат,
заданная в области V трехмерного евклидового пространства, ставит в соот-
соответствие каждой точке (х, у, г) упорядоченную тройку действительных чисел
я-1, х", х31). Криволинейные координаты х1, х2, х3 точки (х, у, г) = (х1, Xs, xs)
связаны с ее прямоугольными декартовыми координатами х, у, z формулами
l = xl(x, у, г), х2 = х?(х, у, г), х3 =
у, г),
F.2-1)
причем якобиан - **'' * ' х'] Ф0 (допустимые преобразования, см. также пп.
о(х, у, г)
где функции A) всюду в V однозначны и непрерывно дифференцируемы,
причем якобиа;
4.5-6 и 16.1-2).
Система координат xt, х2, х3 будет декартовой (п. 3.1-2; но, вообще говоря, не
прямоугольной) в том н только в том случае, когда все уравнения (I) линейны.
6.2-2. Координатные поверхности и координатные линии. Условие х1 =
= х1' (х, у, z) = const определяет координатную поверхность. Координатные по-
поверхности, соответствующие различным значениям одной и той же координаты
х\ не пересекаются в V. Две координатные поверхности, соответствующие
различным координатам xl, xl, пересекаются по координатной линии, соответ-
соответствующей третьей координате х1'. Каждая точка (х, у, г)^(хх, х", х3) из V
может быть представлена как точка пересечения трех координатных поверх-
поверхностей или трех координатных линий.
6.2-3. Элементы длины дуги и объема (рис. 6.2-1; см. также пп. 6.4-3
и 17.3-3).
(а) Элемент длины дуги ds между двумя «соседними» точками (х, у, г) =
\(х1, Xs, х3) и (x + dx, y + dy, z + dz)=i(xl + dx1, x" + dx2, x3-{~dx3) задается
') Значки 1, 2, 3 в обозначениях я1, х*, х* ие являются показателями степени;
см. также пп. 16.1-2 и 16.1-3.
180 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
квадратичной дифференциальной формой
в.3-1.
<б-2-2)
где
*»(***>-[!??
ду ду , ^2 _Й2 1 =gki(Xl,X2, X3)
д* -W. х!. х3)
^ дх1 дхк ' дх- Ox-J(xt>
(?, Й=1, 2, 3).
Функции gjf, (ж1, х2, л?)— компоненты метрического тензора (п. 16.7-1)
^ Координ. линия х3
Координ. линия х'
Рис 6.2-1. Элементы координатных лиинй, поверхностей и объема в системе криволи-
криволинейных координат.
Шесть координатных поверхностей, соответствующих точкам (х1, х2, х3)
, xz-{-dx2, xs-\-dx3) (рис. 6.2-1), ограничивают элемент объема
• "• г)- Wvl rfj-2 rf*3. F.2-3)
(Ь)
1
(параллелепипеда)
где
(см. также пп. 5.4-7, 6.4-3, с, 16.10-10). Система координат называется пра-
правой в области V, если касательные векторы к координатным линиям х1, х3,
х3, ориентированные в сторону возрастания соответствующих координат (что
определяет положительные направления координатных линий), образуют пра-
правую тройку (как и орты i, j, k правой декартовой системы координат). Для
правой системы координат якобиан д (х, у, г)/д (х1, х'2, x3) = Yg > 0.
Описание векторных элементов линий и поверхностей в криволинейных коорди-
координатах см. пп. 6.4-3, 17.3-3 и 17.4-2.
6.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
6.3-1. Координаты вектора и локальный (местный) базис. В гл. 5 вектор-
векторные функции точки были разложены по базису i, j, k системы декартовых
координат; модуль и направление каждого вектора этого базиса одни и те же
в каждой точке. Если векторная функция F (г) описывается в криволиней-
криволинейных координатах х1, х2, х3, то удобнее применять локальный базис из век-
векторов, касательных к координатным линиям в каждой точке (л*, хг, х3) или
перпендикулярных к ним. Такие базисные векторы сами являются векторными
функциями точки. В каждой системе криволинейных координат можно ука-
указать три способа выбора локального базиса (пп. 6.3-2 и 6.3-3).
.3-1.
6.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
18!
Таблица 6.3-1
Соотношения между базисными векторами и координатами
векторов в различных локальных системах отсчета
(а) Соотношения между 1,
криволинейных координат а1,
•< =
е< =
3
'-2
i=i
3
-2
i=i
3
-2
i=i
1
Vz
дх'
дх
д?
дх
дх1
ду
?1
дг
j, k и
к', х3:
- ео
И
дх
[+1у
векторами локальных базисов 1^, e^, e' системы
дх , ду дг
' дх1 дх' дх!
~1+^Гк (' = 1. 2. 3),
3 3
' Ш дх ' Ami дх1
1=1 1=1
3 3
_ V 1* е - У д" •'.
' Li ду i Li дх'
i=i i=i
' Li дг ' Li дх'
г=1 i=i
(Ь) Соотношения между F F F физическими координатами Р., контрава-
х у г I
риантными координатами Ff и ковариантными координатами /• в системе криаоли-
нейных координат х1, х2, х":
*t =Vi~a
1 дх'
3
'--2
i=\
3
3
-2
1 = 1
* +
дх
дх'
ду
дх'
дг
дх'
/=•' =
ду F
дх' У
?i
Via
,?.*'. F +dxl-F +dx'-F-
дх х+ ду У+ дг z'
+ -Цгрг («= 1,2,3),
дх'
Л ^_ удАР.,
Ll дх' ?j дх 1
i=l 1=1
? дх' ^ дУ
1=1 1=1
J\ дх' JL дг '
i=I 1=1
182
ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
Таблица 6,3-1
6.3-2.
I
(с) Соотношения между векторами локальных базисов и координатами векторов
в двух системах криволинейных координат (базисные векторы и координаты векторов
для системы xit х2, х3 отмечены чертой сверху, см. также п. 16.2-1):
3 3
1
1 _ ¦
'* ~ , г-—
<=1
Ad Ox"
1, 2, 3),
.,2. 3),
3 3
Zd L дх'
/=lft = l
дх"
«, ft = 1, 2, 3).
6.3-2. Физические координаты вектора. В качестве векторов локально-
локального базиса в каждой точке (х1, xi, х3) = (г) выберем единичные векторы
i, (х1, х2, х3), ц (хх, х2, х3), \а {хх, х2, х3), касательные к координатным лини-
линиям хх, х2, х3 (см. также п. 16.8-3).
Каждая векторная функция
F (г) = F (хх, х2, х3) может быть
однозначно представлена в виде
F.3-1)
в каждой точке (r) = (.vx, х2, х3).
Физические координаты
Координ. линия х 2
Координ. линия I1
= ?,(**, X2, X3),
= F%(x\ x\ х3),
= Fa(x\ х\ х3)
F.3-2;
Рис. 6.3-1. Разложение вектора F по единич-
единичным векторам ii, i2, i3; физические координа-
координаты F,, F2, Fz вектора.
вектора F и локальные базисные
векторы i, (хх, х2, х3), \2 (хх, х2, х3), ia (хх, х2, х3) могут быть выражены не-
непосредственно через координаты Fx, Fy, Fz того же вектора и орты i, j, k
прямоугольной декартовой системы координат (см. табл. 6.3-1).
Заметим, что функции —г= —. —^- — —~ являются направляю-
направляющими косинусами орта i,- (т. е. i-й координатной линии) по отношению
к осям Ох, Оу, Ог (см. также рис. 6.3-1).
6.3-3. Контравариантные и ковариаитиые координаты вектора. В качестве локаль-
локального базиса можно также выбрать либо тройку векторов
е, (*', х>, х')
et U», x\ х*)
еа (л:1, х1, х') = VIZ, Is,
направленных по координатным линиям, либо тройку векторов
eV I* Сл V С*
• VI7, 1,; \
F.3-3)
F.3-4)
6.4-1.
6.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
183
направленных перпендикулярно к координатным поверхностям Каждый сектпп F <г\
может быть представлен в одной из следующих форм: каждый вектор t (r)
F (г) = F [х'. х\ х') = F'e, + F42 + F'e, = F,e- + F2e' + Fse' F.3-5)
в каждой.точке (г) = (*>. х\ х°). Как модули, так и направления базисных векто-
векторов е; н е меняются от точки к точке, за исключением того случая, когда *' х'
х' — декартовы координаты (п. 16.6-1 а). '
f. _ t-.
H^K' **¦ ^^F-e< « ковариантиые коор-
коор_= I, 2, 3) в системе координат х', х\ х> и соот-
f (_ , , 3) в системе координат х, х\ х> и соот-
Блствующие базисные векторы е. и е' могут быть выражены непосредственно через
tх< ''у Fz " °РТЫ '¦ '¦ k прямоугольной декартовой системы координат (габл 6 3-1)
Огметпм еще формулы (см. также пп. 16.6-1 и 16.8-4):
е» X е1
е1 х ег
= [е'е'с'Г1 = [1,1,1,]
е,. • ек = g ; I е; I = l/gT, е. -с* = { ' При ' = *'
I 0 при I ф ft.
В частном случае прямоугольных декартовых координат х1 = х, х2 = у, х> = г имеем:
e1 = e' = i, = i; e2 = e2 = i2 = j; e3 = е» = i, = k. F.3-9»
F.3-6)
F.3-7)
F.3-8)
5
6.3-4. Запись векторных соотношений в криволинейных координатах
Каждое векторное соотношение, записанное в гл. 5 в прямоугольных декап"
1°оВщыоКЖ"база.Х1рМОЖет бЫТЬ ЗЗПИСаНО В кРиволи»ей„ых /оордина ахДсп?;-
л.ощыо табл. 6.3-1. Если рассматриваемое соотношение содержит гшонзволны»
или интегралы, то следует учитывать, что базисные векторы ГсистеТе криво-
криволинейных координат сами являются функциями точки ^стел.е криво
Многие практически важные задачи допускают применение системы oomi
т"б4 ГРЛи\Г ^ 6-4)- В ЭТ°М СЛуЧйе Ф°РМУЛЫ пп 6 4 1-6°4РГи
таол. Ь.4-1— 6.5-11 дают сравнительно простое выражение для векктных
соотношении непосредственно в физических координатах. В тех случаях Р"о'
д. такие специальные методы непригодны, целесообразнее применять не физ
ске координаты векторов, а контравариантные и ковариантные координаты
мулировка соотношений векторного анализа а контравариантных и ^
ения для дифференциальных операторов типа \Ф,
6.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ. ВЕКТОРНЫЕ
СООТНОШЕНИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
хх v24"'j3 Ортогональные координаты. Система криволинейных координат
х, х2, х3 (п. 6.2-1) называется ортогональной, если функции glk(xi ^ Д
Удовлетворяют соотношениям т UtbK* , х , \ )
8и,(х1, х2, х3) = 0 при 1фк F.4-1)
ногоЖбОазиТс°аТ {*W Л Х\ KooP«"Ka™bie линии, а значит, и векторы локаль-
оазиса ilf i2, h< будут при этом перпендикулярными друг к другу
184
ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
6.4-2.
С.4-3.
6.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
185
в каждой точке; каждая координатная линия перпендикулярна ко всем коорди-
координатным порерхиостям, соответствующим постоянным значениям рассматривае-
рассматриваемой координаты.
6.4-2. Векторные соотношения.
(а) В табл. 6/4-1 приведены наиболее важные векторные соотношения в
ортогональных координатах. Функции ga=gii{xl, хг, х3)=!е,-|2 для каждой
системы ортогональных координат получают из формулы F.2-2). В этих фор-
формулах знаки плюс и минус относятся к правой и левой системам координат.
Таблица 6.4-1
Векторные соотношения в ортогональных координатах
(Знаки плюс и минус относятся к правой и левой системам ортогональных коор-
координат.)
(а) Скалярное и векторное произведения
п. 16.10-7.
изображенному на рис. 6.2-1.
(Ь) Для любой системы ортогональных координат:
U X i2=± i3; i2 X "з=± ii.
X i2 = i3 X i3 = (
i
F-4-2)
F.4-3)
F.4-4)
F.4-5)
6.4-3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и объемный инте-
интеграл (см. также рис. 6.2-1).
(а) Для спрямляемой кривой С векторный элемент линии dr имеет физи-
физические координаты dSj^ — Vgu dx1, ds2 = /g22 dx2, dss = V^g33 dx3, т. е.
dr = j- dt = dx i+dy
±yTuFl (' = 1-2'3>;
gngizgn=±y g'y
д , 1 . д
3
I, x I, A o,
i, x i, A 6,
I, X lj A G,
A o, ft.
A 6, ft,
(Ь) Дифференциальные операторы >) (g = gug22ga3)
A YJTt A /822 A Ye»
А
1 Г a /Vg
ф S7T №' 'ей
= KgTi dx1 I, + Vlh* dx* i2
dx» i3. F,4-6)
Подходящее выражение F) для dr должно быть подставлено в криволинейный
интеграл, определенный в п. 5.4-5. Для ортогональных координат х1, х2, х3
i {^ + F/^+F/^dt. F.4-7)
с с с
Заметим что для любой системы криво линейных координат
dx = e, dx1 + e2 dx2 + e3 dx'
(см. также п. 17.2-1; для ортогональных координат Xх, хг, х'
J F . dr = \ Ft dx> + Fз dx' + F, dx' = J g,,/71 dx> + g22F' dx' + g,,F* dx"
С С С
(b) Описание площади поверхности S и векторного элемента поверхности
rfS в координатах на поверхности дано в пп. 5.4-6 и 17.3-1, В частности,
если система ортогональных координат выбрана так, что поверхность S есть
часть координатной поверхности xk = const, то координаты х' и х-'образуют
на этой поверхности систему ортогональных поверхностных координат, и
dS= VJiigij dx' dxi ift = dst ds, iA = ™ dx1 dxl tk
{1ф\фкф1; k = \, 2, 3). F.4-8)
Относительная простота получающихся отсюда выражений для поверхностных
интегралов E.4-13) и E.4-14) часто служит основным поводом для введения
системы криволинейных координат (см. также п. 10.4-1, с). Знак квадратного
корня в формуле (8) определяется выбором положительного направления
нормали (п. 17.3-2): знак + соответствует правой системе координат.
(c) Элемент объема dV, появляющийся в выражениях E.4-16) и E4-17)
для объемного интеграла, дается формулой F.2-3) или
dx% dx3 = ±
dx1 dx* dx
t ds2 dsa.
F.4-9)
Если система координат правая в формуле (9) берется знак плюс.
6.5. ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
КООРДИНАТ
В табл. 6.5-1 —6.5-12 даны формулы для некоторых специальных систем
ортогональных координат. В частности, для каждой такой системы табулиро-
табулированы функции gu (х1, х2, х3) = | е; |2.
Таблица 6.5-1
Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах
(гм также оис 2 1-2 и 3.1-2). Формулы для цилиндрических координат применимы также к полярным координатам
к у ' на плоскости Оху (п. 2.1-8)
Координатные поверхности
Преобразование координат
(*. У, z — прямоугольные
декартовы координаты)
Сферические координаты
г, ft, ф (г а 0, 0 == ft г= л)
xs + у' + z2 = г2 (еферы)
х' -|- у' г2 tg' Ф = 0 (конусы круглые)
и = xtgф (полуплоскости, проходящие через
ось Oz)
+ у*+ г*
{Г.:
г sin f} cos ф
г sin f} sin ф
cos т}
Цилиндрические координаты
р, ф, 2 (р & 0)
j/2 = p2 (цилиндры, круглые прямые)
tg ф (полг/плос/состы, проходящие
через ось Oz)
(плоскости, параллельные пло-
плоскости Оху)
р = Yx* + у'
tgcp =-^-^!пф = ^-
X = р COS ф
1/ = р 51пф
Z = 2
Преобразование дифферен-
дифференциалов координат
Квадрат элемента длины
-f- dy*
dx = sin й cos ф dr -(- r cos * cos ф d* — r sin # sin ф d<f
dy = sin * sin ф dr ¦+- л cos О sin ф d# + r sin # cos ф dq>
dz = cos ft dr — r sin * df>
dx = cos ф dp — p sin ф dtp
dy — sin ф dp + p cos ф dф
dz — dz
Сферические координат
г, *. ф (Г5 0
ds* = dp2
' -MZ*
Таблица 6.S-1 (яроРп
Трехиидекеные символы
Кристоффеля (п. 16.10-3:
символы, ие приведенные
в таблице. тождественно
равны нулю)
Пвеабразование физических
координат вектора
Градиент в физических ко-
координатах
дх
ду
дг
[##; г] = -
[/•в; «] = г:
г] — — г sin2 О;
ф] = г sin2 О; [#
[Фф: t>] s^
= — г2 sin t> cos fl-
>; ф] = г" sin # cos t>
г- ^= — sin t> cos t>
Цилиндрические координаты
Р, ф, г (р 2= 0)
, ф,
[фф; р]= —р; [рф; ф]=р
= Fx sin t) cos ф + Fv 5in t> sin ф + F cos t>
>= ^ cos T> cos ф + Fv cos «• sin ф — Fz sin t>
/^ = f r sin t) cos ф + Fe cos t> cos ф — F sin q>
fv = ^r sin t) sin ф + F# cos t> sin ф + F cos ф
F = F cos t> — Fr. sin #
ЙФ .
дф
r sin t>
= ^ cos ф + Fy sin ф
= - Fx sin ф + Fy cos <
Fx =
cos
sin
sj" <P
cos ф
dp P p dip f dz г
О
S
Q
43
03
О
S
ra
3
о
о
¦о
Ja
S
3»
-i
ft
M
a
S
н
о
H
s
о
13
H
о
о
3
Таблица 6.5-1 (продолжение) —
Дивергенция в физических
координатах
dF dFu dF
у дх ^ ду ^ дг
Ротор в физических коорди-
координатах
I J k
д д _д^
дх ду дг
Fx РУ Fz
V X F
Лапласиан скалярной функ-
функции »)
дх' + дуг
дг*
Сферические координаты
г, й, ф(г нгО, 0з= «S я)
dFct
sin
1
г si n #
if > <
i a / 6ф\
^" дг V Tr";
_а_ / . йф\
г2 bin2
Цилиндрические координаты
р, ф, 2 (р г 0)
' Ю
ар
-
аФ
дг
\ р
dz
дг
ар
i Лапласиан векторной функции находят по формуле VSF = V (V-F^ — VX
i а / дФ\ 1 д'Ф
~р~ ар \р ap"J + "р? афг
или по формуле F.4-5) и по табл. 16.10-1.
+
+
+
+
1
?
1
1
ч
1
=с
ч
т
'к'
II
Ч
Т
ч
Т
а
II
HIP
•S
т
§
*—•
ч
*?
т
04
е
«
1!
ч
Т
*—*
ч
-Pi
1
J_
¦?
1
оч
II
л-
Е
1
1
f
1
+
I I
а.
S
О" „_
я —
Е — ~
+
Е I
Ja
S
+ 5
< 3
1 V
V
¦р
V
V
V
lie
+
о
I
га
2
03
g
S
X
га
з
7
О
о
чз
о
3
га
С
>
с*
Е
га
о
S
о
га
S
О
-о
ч
О
О
с*
S
О
о
43
fa
S
>
193
ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
Таблица 6.5-3
Координаты а, т, ср вытянутого эллипсоида вращения
(ось Oz — ось вращения; см. также рис. 6.5-11
0C+ г)
Рис. 6,5-1. Ортогональная система софокусных эллипсов и гипербол с фокусами F, F'.
Эти кривые определяют систему эллиптических координат на плоскости и порождают
координатные поверхности в следующих системах координат:
1) вытянутого эллипсоида вращения (если эти кривые вращаются вокруг оси Р'ОР;
табл. 6.5-3);
2) сплюснутого эллипсоида вращения (если эти кривые вращаются вокруг оси Q'OQ;
табл. 6.5-4);
3) эллиптического цилиндра (если эти кривые смещаются перпендикулярно к пло-
плоскости рисунка; табл. 6.5-5).
(а) Координатные поверхности
— I)
I yi
—-—g .. -f- j
-f-
-4- у2
^—-—
-f-
¦¦ 1 (вытянутые эллипсоиды вращения),
¦- 1 (двуполостные гиперболоиды вращения).
а2 (т2 — 1) """ аНг
у ^= х tg ф (полуплоскости, проходящие через ось Oz).
Все эллипсоиды и гиперболоиды имеют общие фокусы @, 0, а) и @, 0, —а);
гумма и разность фокальных радиусов в любой точке (х, у, z) равны соответственно
2<го и lax.
(b) Преобразование к координатам вытянутого эллипсоида вращения
хг — а' (а2 — 1) A — т2) cos2 ф, у2 = а2 (а2 — 1) (I — т2) sin2 <р, г = аах.
(c) Специальная система и, v, ф вводится формулами
о = ch и, х ..--.» л -о„ч.
при этом
= COS V, ф = ф (и^:«Я СО, и:^и^;л, и^;ц)\
х = a sh и sin v cos <р, у — a sh и sin v sin ф, г — a ch ы cos у,
„а2 — т2 „ 0а2—т2
(е) Лапласиан скалярной функции
Ф» а' (а2 - f) {^ Г ~ " 1FJ
5?
~ т '
Ж] + (а2 - 1) A - т2)
6.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
191
Таблица 6.5-1
Координаты а, т, ф сплюснутого эллипсоида вращения
(ось Oz — ось вращения; см. также рис. 6.5-1)
(a) Координатные поверхности (а 2; 0; — 1 =S X =5 I)
X2 Л. у2 22
г ¦_,;,-)—г—j = l (сплюснутые эллипсоиды сращения)
X2 4- I/2 22
' ^—^ = ] (однополостные гиперболоиды вращения),
# = ^ctgф (полуплоскости, проходящие через ось 02).
(b) Преобразование к координатам сплюснутого эллипсоида вращения
хг = а2 (I + о2) A — т2) cos2 ф, у2 — а1 A + ог) (I — т2) sin2 ф; г = аот.
(c) Специальная система и, v, ф вводится формулами
о = sh и, X — cos в, ф = ф @=5ы<оо, 0 4 » 5 я, О
при ьтом
х = a ch м sin и cos ф, j/ = ochu sin v sin ф, г = a sh « cos v.
?- gxx = fl2 T^xT- «фф
Svv = aa (sh2 u + cos2 u),
= a2 ch2 и sin2 v.
(e) Лапласиан скалярной функции
1 (д Г йФП , дГ, . ЭФ"|
Ф= а' (о2 + т2) Ы [" +02) Эа J + 5?LA ~ Ti) Tt"J
Таблица 6.5-5
Координаты а, т, 2 эллиптического цилиндра
(применяются также как (софокугные) эллиптические координаты
на плоскости Оху; см, также рис, 6.5-1)
(а) Координатные поверхности @ 5 1; —1 ^ т ^ I)
аг (д2_ |)
= 1 (эллиптические цилиндры),
-^-j -\— *_ = 1 (гиперболические цилиндры),
z = z (плоскости, параллельные плоскости Оху).
{Ъ) Преобразование к координатам эллиптического цилиндра
х = аах, у2 — а2 (о* — 1) A — т2), 2 = 2.
(с) Специальная система и, v, z вводится формулами
а = ch и, х = cos v (О :S и < со; 05!>5 я);'
при этом
х = a ch и cos v, у = a sh и sin у, 2 = 2.
л. _ .о2 — х' _ .а2 — х2
-- a2 (sh2 и + sin2 v), йгг=1-
(е) Лапласиан скалярной функции
а2 (а2 — ¦
А
: а2 (sh2 « + sin2 v) \ди* + Эи2*
192
ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
Таблица 6.5-6
Конические координаты и, v, w
(а) Координатные поверхности (с2 > v' > Ьг > ws)
х* + Уг + г'1 = «2 (сферы),
Хг иг 22
—- -+- {, _ ., И—2 _ г — 0 (конусы, ось которых совпадает с осью Ог),
JK2 V2 2*
1 . ,. -t : = 0 (конусы, ось которых совпадает с осью Ох).
(Ь) Преобразование к коническим координатам
UVW
' — be '
t _ и*__ (о2 — ft») (if' — ft2)
у ~ Т>* ft2 — с*
— Ьг
ц» (и' — ш
'
_
— ft2) (»' — с2)' ww (ш2 —
Таблица 6.5-7
Параболоидальные координаты К, ц, v
(а) Координатные поверхности
хг и2
4 + Г"^—n = 2z + k (эллиптические параболоиды),
¦г у*
—- 4 -—г: = 2г 4- Ц (гиперболические параболоиды).
ц- Лт|1-8
'. = 2г 4- v (эллиптические параболоиды)-
у — А^\ — В
(Ь) Преобразование к параболоидальиым координатам
(А-к) (А -ц) (Л-у) . (В - X) (В - ц) (В - V)
х2= Й^Д ¦ У ~ А-В
г = ~{А + В — i
1 (Ц - »,) (V ~ М
gUl = Т (Л - к) (В - >,)'
1-ц) (В -М.)'
1 {к - V) (М. - V)
4 (Л — v) (В — V)'
6.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
193
Таблица 6.5-8
Параболические координаты а, т, (р
(ось Oz — ось вращения; см. также рис. 6.5-2)
(а)
х!4-г/г
аг
**2 _L. /y2
а2
Координатные поверхности
= 2г 4- аг, 1
/ Усофокусные параболоиды
= ~2z + f J
вращения; фокусы в начале координат),
У =
(Ь,
динатам
х = ах
(с)
(«•)
у2ф а
= х tg ф (полуплоскости, проходящие
через ось Ог).
Преобразование к параболическим коор-
cos ф, у = ах sin ф, г = — (т2 — о2).
S =5 = СГ2 -1- Т2 й ^^ СГ2Т2.
Лапласиан скалярной функции
1 Г 1 В { дФ\
* + %' [а да[а~да) +
1 а / дФ\ 1 1 1 \ д«Ф
+ Т ат iT ат У+ Ua + ~^1 а<р«
Рис. 6.5-2. Ортогональная си-
система софокусных парабол с
фокусом F. Эти кривые опреде-
определяют систему параболических
координат на плоскости и по-
порождают координатные поверх-
поверхности в следующих системах
координат:
1) параболических (если эти
кривые вращаются вокруг осн
P'FP; табл. 6.5-8);
2) параболического цилинд-
цилиндра (если эти кривые смещаются
перпендикулярно к плоскости
рисунка; табл. 6.5-9).
Таблица 6.5-9
Координаты a, T, z параболического цилиндра
(применяются также как параболические координаты на плоскости Оху,
см. также рис. 6.5-2)
(а) Координатные поверхности
~г2"
(софокусные прямые параболические цилиндры).
2 = 2 (плоскости, параллельные плоскости Оху).
(Ь)
(с)
Преобразование к координатам
х =
? — ? — Of2 -f- Тг
Лапласиан скалярной
У2Ф
функции
1
а2 4- т2
параболического
J- (т« - а2), г
/а2Ф 52ф\ г
Vaa* + ат2 У+ <
цилиндра
= 2.
!ф
7 Г. Корн и Т. Корн
194
ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
Таблица 6.5-10
Бицилиндрические координаты а, т, г
(применяются также как биполярные координаты на плоскости Оху;
(а) Координатные поперхиости
л'2 + (У — о. ctg аJ = а2 (ctg2 а + ') (пряные круглые цилиндры),
(х — a cth тJ -\- у2 = a2 (cth2 т — 1) (прямые круглые цилиндры),
z = z (плоскости, параллельные плоскости Оху).
Для каждой точки (х, у) плоскости Оху о есть угол, образованный лучами
идущими из полюсов А (—а, 0) и В (а, 0) в точку (х, у); е1 — отношение полярных I
радиусов точки (х, у). ' i
(Ь) Преобразования '
ash Т a = ilni!_±-^=J
" ch т— cos a' 2 xs
У — ;
a sin a
1 (х+ аJ + У*
2 = 2.
*с) saa ~~ stt (ch т — cos aJ'
(d) V2<D = -V (cht-cosa)
да'2
д?Ф\ д'Ф
- :,..-г + ~h~,i-
Рне. 6.5-3. Семейство окружностей с др.умя полюсами А, В и семейство окружностей,-
ортогональных к ним. Эти кривые определяют биполярную систему координат иа пло-
плоскости и порождают координатные поверхности в следующих системах координат:
1) бицнлиндрических (если эти кривые смещаются перпендикулярно к плоскости i
рисунка; табл. 6.5-10);
2) тороидальных (если эти кривые вращаются вокруг оси Q'OQ; табл. 6.5-11);
3) биполярных (если эти кривые вращаются вокруг оси Р'ОР\ табл. 6.5-12),
(aj Координатные поверхности
хг + аг -I- B-я ctg- aJ
ch
ch
a sh
т —
а sh
т —
а sin
т
COS
т
cos
a
a
a
сй~т — cos "a'
(ch с — t-oi. at'' Юф
fd) Лапласиан скалярной ^.уккшп*
/ sh x дф\
a'1 sh т, [do Vcn i — cos a da )
6.5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ
195
Таблица 6.5-11
Тороидальные координаты а, т,. ф
(ось Oz — ось вращения; см. также рнс. 6.5-3)
sin! а
{сферы).
3 — а cth t)s + 22 = —-^ (торы).
у = х tij ф 'полуплоскости, проходящие через ось Ог).
(Ь) Преобразования
г/2 -t- (г + кгJ
g Ф — -—.
0 в т < оэ, 0 ^ ср < 2л.
lI) i — cos a;2'
sh т
I
x — cos и or j ' s'l r (ch r — со? a
аб л и ц а 6.5-12
Биполярные координаты о, т, ф
'ось Ог — ось (фа:--енш1, см. т;|кя<е Ри"- f>-:;-'(
(л) Ко>:рдинатные поверхности I
= ,-i~-^ [сферы), j
-|_ y' — a ctg aJ + 2* ~ ^~^a inmerjXHOCm:!- полученные при вра-;ении дуг ,
окру:¦¦ постен (у — a ct-j aJ + гг = . 2 вокруг оси Ог; так как | ctr a | < -—j , ;
то окружности пересекают ось Ог), i
у = х tg ф (полуплоскости, прохо;я!х.ие через ось Ог).
(fa) Преобразования
г2 4- и2 + B + яJ
ch т — соь a'
a sin <т sin ф
y = ch т — cos a'
a sh т
1-;/'+ B-a,»'
'2 + '/z — '«I2 +
z =
ch т — cos a'
,c) g =? =- ?! g = sn2q
¦tt к<та (ch т — cos аJ' ФФ (ch t- cos aJ'
(d) Лапласиан скалярной функции
,p_ (c'.i т— cos aK Г d / sin a dO\ д I sin о ^Ф^, ! 5гФ"[
a^slna [ дт \c1it — cos a йт ) 3a\chT— соз а да /"'"sin a(ch т—cosa) дфг]
196 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
Примечание. Семейство координатных поверхностей
х1 — х1 {х, </, z) = const, *2 = хг (*, у, z) = const, х* — х3 (лс, у, z) — const
является в то же время семейством координатных поверхностей и для всех систем коор-
координат
•К В таблицах 6.5-2 — 6.5-12 не приведены выражения для дифференциаль-
дифференциальных операторов VCD, V-F и VxF в соответствующих системах координат.
Их легко получить, пользуясь общими формулами табл. 6.4-1 (Ь), так как
для всех систем координат даиы выражения для функций gi{.
Полные таблицы выражений для дифференциальных операторов приведены
в [5.2]. Следует отметить, что применяются различные обозначения для
координат; поэтому необходима осторожность при пользовании разными
источниками.
Формулы п. 6.4-3 позволяют получать выражения для векторных элемен-
элементов линии dt и поверхности dS и элемента объема dV.
Различные дополнительные формулы (например, символы Кристоффеля)
могут быть получены с помощью соотношений, приведенных в пп. 16.10-1 —
— 16.10-8.*
ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Теория аналитических функций комплексного переменного доставляет
инженерам и исследователям много полезных математических моделей. Многие
математические теоремы упрощаются, если рассматривать действительные пере-
переменные как частный случай комплексных переменных. Комплексные перемен-
переменные употребляют для описания двумерных векторов в физике; аналитические
функции комплексного переменного описывают двумерные скалярные и вектор-
векторные поля (п. 15.6-8 и п. 15.6-9). Наконец, аналитические функции комплекс-
комплексного переменного реализуют конформные отображения одной плоскости на
другую (пп. 7.9-1 — 7.9-5).
7.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОБЛАСТИ
В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
7.2-1. Функции комплексного переменного (см. также п. 1.3-2 и п. 4.2-1 и
табл. 7.2-1; отсылаем к гл. 21 для дополнительных примеров). Комплексная
функция
y)+iv(x, y) = \
— \ z\
G.2-1)
каждому значению независимой комплексной переменной z из некоторой
области определения ставит в соответствие одно или несколько значений зави-
зависимо:"! комплексной переменной w.
Однозначные, многозначные и ограниченные функции комплексного перемен-
переменного определены в пп. 4.2-2, а и 4.3-2, Ь. Пределы комплексных функций и
последовательностей и непрерывность комплексных функций, а также сходимость,
абсолютная сходимость и равномерная сходимость комплексных рядов и несобст-
несобственных интегралов были определены в гл. 4; теоремы гл. 4 применимы к комп-
комплексным функциям и переменным, если они не сформулированы специально
для действительных количеств.
В частности, каждый комплексный степенной ряд
— а)к имеет
действительный радиус сходимости гс @ s? rc sg со) такой, что ряд сходится рав-
равномерной абсолютно при \г — а\<.гси расходится при \ z — a \ > гс (п. 4.10-2, а).
7.2-2. г-плоскость и и>-плоскость. Окрестности. Бесконечно удаленные
точки (см. также п. 4.3-5). Значения независимой переменной
z = x+iy
ставятся в соответствие единственной точке (х, у) комплексной плоскости г.
Значения w = u-\-w таким же образом ставятся в соответствие точкам (и, v)
плоскости w.
Окрестность (открытая) точки г —а, лежащей в конечной части плоскости,
определяется как совокупность точек г таких, что |г—а | < б, где б > 0.
198
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.2-2.
s
S
2
ев
а
-о
ч
к
iHHOCTJ
особе
s
[ровани
Из оле
о
fcf
поря,
[
?
к
ч
>.
X
ч"
О-
3
К
&
8
11
N
X
SX
с
1
Полюс
|
II
S
о*
II
а
ч
N
8
11
N
К
О.
с
и
Полюс
II
?
о"
||
N
й
"а
1
"к
N
О
[;
II
N
X
о.
Е
II
Полюс
—
II
8"
II
N
а
а
+
°ч
ч
'а
+
ч
г
1
о
11
Б.
к
с?
II
S
Полюс
II
?
8"
II
N
с* 4-
j
¦af,
1 +
^ ь.
+
о
II
и
N
а.
с
II
Полюс
II
S
8"
II
N
|
1
н
- ^
!
+
'а
1
-о
3
+
"В
\
дей-
лькы)
¦ *>?,
— —
s g
вино
вниз
р р
развет
= 0
раздет
Точка
при г --
Точка
я
я
ч
и
О)
о.
сз
п
о
о
II
N
сч
+
'к
X
О)
1
+1
+
4-
н
^_
^
CN
+i
N
К
а
с
точка
:обая
о
т вей но
Сущее
2 = СО
i
1
i
I
i
а
с
ч.
i
1
а
so:
X
" 1
1
1
1
•
7.^-2.
7.2. ОБЛАСТИ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
193
S +1
к"""
-- +1
Jo'
5:
3 О-
Is
н
3
я
Is
¦9
а
COS X ?
^
К
Я
!/}
N
С
Н
С
1
X!
О
о
N
COS
ч
so.
ч
<л
N
с
ч
S
ч
^з
"Ъ
N
X!
й-
Cj
f
rj
СО:
ч
С-)
П
"от
С^1
_(-;
-4-
<л
О
N
bfl
sin 2
3
-|-
Ч
¦5
ч
(Л
3ft
=^
У)
о
о
f
с»
N
(••¦
,v г 1
с5 ' j
j_ __•
N +|
fcn
я о"
II
S
^^
+
ъ
С
.—.
N
с
200
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.2-3.
Бесконечно удаленная точка B = со) определяется как точка г, соответст-
соответствующая началу координат (г = 0) при преобразовании г=1/г. Окрестностью
точки г = со является внешность любого круга.
7.2-3. Кривые и контуры (см. также п. 2.1-9 и п. 3.1-13). Непрерывная
кривая в г-плоскости есть последовательность точек г = х-\-1у таких, что
(
или x = x(t), y =
со sC tj s? t sg t2 sS: со),
G.2-2)
где x (t) и у (t) — непрерывные функции действительного параметра t. Непре-
Непрерывная кривая (или ее часть) есть простая кривая (жорданова дуга), если
она состоит из единой ветви и не содержит кратных точек; это значит, что
функции x(t) и y(t) однозначны и в замкнутом интервале [tx, tz] нет таких
двух различных значений тх и т2, для которых справедливы оба равенства
ж(х1) = дс(т2) и y(T1) = y{ti).
Простая замкнутая кривая (замкнутая жордаиова кривая) есть непрерыв-
непрерывная кривая, состоящая из единой ветви без кратных точек, кроме совпадаю-
совпадающих начальной и конечной точек.
Простая кривая или простая замкнутая кривая называется (простым)
контуром, если она спрямляема (п. 4.6-9I). Элемент расстояния между соот-
соответствующими точками г и z + <fe контура B) есть
о 2 a
= оо соответст-
; -L— {стереографическая проекция); при этом точки z = 0 и
амкиутой кривой С разделяют
В д,
шуюся замкнутую область будем обозначать D
7.2-5*. Комплексные контурные интегралы (см. также п. 4.6-1 и 4.6-10).
По определению
\f(z)dz = lim
С max|z,-_Z;_,
2
0 ,¦ =
2
где точки г0, гг,..., гп расположены одна за другой вдоль контура С; а = г0 —
.) Некоторые авторы применяют термин контур только к регулярным кривым
(п. 3.I-I3).
определ
ную пгимую,
7.3-2.
7.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
201
начальная точка контура, Ь = г„ — конечная. Каждая из точек ?; лежит на
участке кривой [Zi_x, г,-] и может совпадать с одним из его концов.
Из определения интеграла (За) следует, что
\f (z)dz=[u(x, y)dx — v(x, y)dy + i{v(x, y)dx + u(x, у) dy, G.2-36)
с -с с
где действительные криволинейные интегралы берутся по тому же контуру,
что и комплексный интеграл. Свойства интегралов табл. 4.6-1 переносятся
на рассматриваемые интегралы; в частности, изменение направления интег-
интегрирования на коьтуре С изменяет знак интеграла.
Если вдоль контура С функции и (х, у) и v (x, у) непрерывны (т. е. кепре-
ривны функции u[x(t), у (t)] и v[x(t), у (t)], где х (t), //(^ — параметрические
уравнения контура (см. G.2-3)), то интеграл (За) существует.
Если при этом длина контура С равна L и на контуре
то
I / (г) dz
G.2-4)
Если контур С содержит точку г = со или если /(г) не ограничена на С,
то интеграл C) может быть определен как несобственный интеграл в смысле
п. 4.6-2.
7.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ (РЕГУЛЯРНЫЕ, ГОЛОМОРФНЫЕ) ФУНКЦИИ
7.3-1. Производная функция (см. также п. 4.5-1). Функция w=f(z) назы-
называется дифференцируемой в точке г = а, если предел
G.3-1)
Тогда
(производная /(г) по г) существует при г = а и не зависит от способа стрем-
стремления Дг к нулю. Функция может быть дифференцируема в точке (например,
| г 2 при z = 0), на кривой и во всей области.
7.3-2. Уравнения Коши — Римана. Для того чтобы функция f (z) = u {x, у) +
+ ( v (х, у), определенная в некоторой области, была дифференцируемой в точ-
точке г этой области, необходимо и достаточно, чтобы функции и (х, у) и v (x, у)
были дифференцируемы *) в той же точке и чтобы, кроме того, выполнялись
условия
ди dv ди dv . ,, п .
Ш = ~ду~, Iy"°~'di {уравнения Коши —Римана).
dwди
. dv dv
диди
. ди dv , dv
dw ди . dv dv ди ди . ди dv , dv
dz дх ~дх ду Ъу дх dy dy dxt
dz дх
дх ду Ъу дх
dy dy
dxt
G.3-2)
G.3-3)
% При переходе к полярной системе координат x — rcostp, y=r sin ф, где
г = ]г| и ro = argz, уравнения Коши — Римана принимают следующий вид
(г^О):
ди I dv dv I ди
дг г дя>-
дг '
дф>
Производная f (z) равна
*) Т. е. имели полные дифференциалы; для этого достаточно, чтобы частные произ-
производные их, Uy^ ux, v'y были непрерывны в рассматриваемой точке (см. п. 4.5-3).
202
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.3-3.
7.3-3. Аналитические функции.
(а) Однозначная функция f (z) называется аналитической (регулярной,
голоморфной) в точке г —а, если она дифференцируема в некоторой окрест-
окрестности точки а.
f (z) — аналитическая в точке а тогда и только тогда, когда она предста-
вима степенным рядом f(z) = ^ a*, (z — a)k, сходящимся в некоторой окрест-
k = o
ности точки z — a (равносильное определение).
Функция называется аналитической в открытой области D, если она ана-
аналитическая в каждой точке этой области.
Отсылаем к пп. 7.4-1—7.4-3 для расширения этого определения приме-
применительно к многозначным функциям.
(Ь) /(г) называется аналитической в бесконечности, если функция F (г) =
= Дх/г) — аналитическая в точке 2 = 0.
Функция f (г) аполитична в бесконечности тогда и только тогда, когда
со
она может быть представлена рядом /(г)= ^] b^z'1* по отрицательным апе-
пеням г, сходящимся для достаточно больших значений \ г | (см. также п. 7.5-3).
Термины дифференцируемая, аналитическая, регулярная и голоморфная применя-
применялись в одном и том же смысле разными авторами.
7.3-4. Свойства аналитических функций. Пусть /(г)— аналитическая в от-
открытой области D. Тогда во всей области D:
1) уравнения Коша — Римана B) удовлетворяются (верно и об-
обратное утверждение);
2) и(х, у) и v(x, у) — сопряженные гармонические функции
(п. 15.6-8);
3) все производные функции f (г) существуют и являются анали-
аналитическими функциями (см. также п. 7.5-1);
Z
4) в односвязной области D интеграл К f (?) dt не зависит от конту-
а
ра интегрирования, если только этот контур имеет конечную длину и
целиком лежит в области D; производная интеграла есть /(г) (см.
также п. 7.5-1);
5) значения / (г) на линии или в подобласти, целиком лсхаш,их в
области D, определяют } (г) единственным образом всюду в D.
Все обычные правила дифференцирования и интегрирования (пп. 4.5-4 и
4.6-1) применимы к аналитическим функциям комплексного переменного.
Если функция K) = f(z) аполитична в точке г = а и f (а) Ф 0, то f (г)
имеет аналитическую обратную функцию г (и>) (п. 4.2-2, а), определенную
в окрестности точки w = f(a).
Если W—F(w) и w = f(z) — o6e аналитические, то W есть аналитичес-
аналитическая функция от г.
Если последовательность (или ряд, п. 4.8-1) функций fk (г), аналитичес-
аналитических в открытой области D, сходится равномерно к пределу /(г) всюду в D,
то f (г)—аналитическая функция и последовательность (или ряд) производных
f'k (г) сходится равномерно к f (г) всюду в D (теорема Вейерштрасса).
X Если функции fj (г) — аналитические в области D и непрерывны в Ё>, то равно-
равномерная сходимость последовательности (или ряда) f^ (г) во всей замкнутой области D
будет следовать из равномерной сходимости на границе этой области. При этом можно
гарантировать сходимость последовательности производных только в открытой области
7.4-2.
7.4. МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
203
В условии теоремы Вейерштрасеа последовательность (или ряд) контурных
интегралов \fk{z)dz, где контур С —конечной длины и лежит в D, сходится
С
равномерно к \ f (г) dz.
с
7.3-5. Теорема о максимуме модуля. Абсолютное значение |/(г)| функ-
функции /(г), аналитической в открытой ограниченной области D, не может дости-
достигать максимума ни в одной точке области D, если только } (г) не константа.
Если, кроме того, функция /(г) непрерывна в замкнутой области D и !/(z)is?/W
пл границе, то \f(z)\-<M всюду внутри D при условии, что / (г) ф.: const.
¦х- Если функция / (г) при приведенных условиях не обращается в пуль
в области D, ю н минимум / (г) не может достигаться внутри области. -*
7.4. МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
7.4-!. Встси. Обобщением теории аналитических функций является рас-
рассмотрение ветвей /, (г), [2 (г), ... многозначной функции /(г), которые опреде-
определяются как однозначные непрерывные функции в области их определения.
Каждая ветвь принимает некоторое множество значений функции /(г) (см.
тлкже п. 7.8-1).
7.4.-2. Точки разкетвления в разрезы.
(а) Пусть многозначная функция /(г) определена всюду в окрестности D
точки z = a, исключая, быть может, саму точку а. Тогда точка а шоывгетсл
течкой разветвления (точкой ветвления) функции /(г), если /(г) переходит
от одной своей взтви к другой, когда переменная точка г описывает б окрест-
окрестности D замкнутую кривую вокруг точки а. Если после m-краткого обхода
этой кривой в одном и том же направлении мы снова впервые вернемся к
первоначальной ветви, то число т—1 называется порядком точки разветвле-
разветвления. Если /(г) определена в точке разветвления, то значение f {а) есть общее
для всех ветвей, полученных при указанном обходе. (При м е р ы. Фупк-
г.ия У г имеет точку разветвления порядка 2 при 2 = 0; все три ветви равны
пулю в точке разветвления. Функция 1/j/z также имеет точку разветвления
порядка 2 при 2 = 0; все три ветви в этой точке не определены (см. п. 7.6-2, Ь).)
¦* Если г = а — точка разветвления порядка т—1, то функция ф (?) =
—/(?т + я) однозначна в окрестности точки ? = 0; если эту окрестность раз-
разбить на т секторов лучами arg? = 2n/e/m (k — G, I, ..., in—1), то значения
('упкции Ф (?) в каждом из таких секторов совпадают с соответствующими
ьначепияии одной из ветвей /(г).
Если, описывая кривую вокруг точки z = a сколько угодно раз в одном
и том же направлении, мы каждый раз будем получать новые ветви, то
точка а называется точкой разветвления бесконечного порядка или логарифми-
логарифмической точкой разветвления. (Пример: w — lnz при 2 = 0.) *¦
Точка 2 = со есть точка разветвления функции /B), если начало коорди-
координат есть точка разветвления для функции /A/г) (см. также п. 7.6-3).
Пусть для функции f (z) обратная функция Ф (и>) существует и оОнсзначна всюд:/
в окрестности точки w — f {а), Тогда z — а ф оо является точкой разветвления порядка т
<-'ля / (г), если Ф' (w) имеет нуль порядка т (п. 7.6-1) или полюс порядка т -f- 2 (и. 7.6-2)
ni.и w — I (а). (Пример: w = Yz и и = i/Yz, a — 0.)
Подобным образом, если Ф (w) существует и однозначна всюду в окрестности точ-
точки -а: = / (оо), то точка z = оо является точкой разветвления порядка ni функции f (г),
если ф' (w) имеет нуль порядка т -г 2 или полюс поряока т при w = f (со). (Приме р:
= Yz и да = llY'z.)
* Если точка а является точкой разветвления функции /'(г), то в ее
окрестности функция /(г) может иметь несколько различных групп ветвей,
а гакже вечви, аналитические или не аналитические в точке а и для которых
204
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.4-3.
эта точка не является точкой разветвления. Каждая группа ветвей или отдель-
отдельная ветвь определяются выбором начального значения функции f (г) (элемента
функции f (г), см. п. 7.8-1). При обходе точки о ветви выбранной группы
переходят друг в друга; вес ветви этой группы имеют одно и то же значение
в точке а, или они в ней не определены.
Если в окрестности точки разветвления г = а функция } (г) имеет несколько
разных групп ветвей, то говорят, что функция f (г) имеет над точкой а разные
точки разветвления. На римановой поверхности функции f (г) (см. п. 7.4-3)
им соответствуют разные точки. Для каждой точки о функция f (г) может
иметь не более счетного множества различных групп ветвей.
Пример. Функция w — У 1 + Vz имеет четыре ветви. В окрестности точки 2 = 0
эти ветпи распадаются на дв'^ группы, по две ветви в каждой. Ветви первой группы
бются значением w 1 ветви второй группы значением w |г0 = — '¦ Д-"я
7.6-1.
эти ветпи распадаются на дв^ р
объединяются значением w | = 1
пы, по две ветви в каждой. Ветви первой гру
а ветви второй группы значением w |г_0 = — '¦ Д-"я
ряд
объединяются значением w | = 1, а ветви второй груп |г
каждой группы точка 2 = 0 является точкой разветвления первого порядка.
В окрестности точки 2 = 1 ветви распадаются на три группы. Две ветви, образующие
первую группу, объединяются условием Vz L ^ =— 1 (тогда w = 0); для этой группы
точка z— 1 служит точкой разветвления первого порядка. Вторая и третья группы, полу-
получающиеся при условии Vz |г_1=1, состоят каждая из одной аналитической в точке 2 = 1
ветви, соответственно принимающей значения w г_^ = "/2 и w |г^1 = — V2.
Более сложные примеры см. в [7.7]. ¦&
(Ь) Отдельные однозначные ветви функции f (г) определены в областях,
ограниченных разрезами, которые являются простыми кривыми, выбранными
так, что ни одна замкнутая кривая, окружающая точку разветвления, не лежит
в области определения какой-либо однозначной ветви. Выбор ветвей и разре-
разрезов для заданной функции } (г) не единствен, однако точки разветвления и
число ветвей определяются единственным образом,
Примеры. Для функций w = y/~z и ш = In г разрезом может служить любая
простая кривая, соединяющая точки разветвления 2 = 0 и 2 = оэ, например, положитель-
положительная или отрицательная части действительной оси.
Для функций w = V\ — 2Z и w = Arcsin z разрезом может служить любая простая
кривая, соединяющая точки разветвления — 1 н I, например, отрезок действительной
оси (проходящий через точку 2 = 0 или через точку 2 = оо).
Для функций го = "/I + г2 и да = Arctg г разрезом может служить, например, отре-
отрезок мнимой оси, соединяющий точки разветвления — I и L
Все ветви моногенной аналитической функции могут быть последовательно получены
аналитическим продолжением ее элемента (п. 7.8-1).
7.4-3. Римановы поверхности. Часто бывает полезно представить много-
многозначную функцию как однозначную, определенную на римановой поверхности.
Такая поверхность состоит из некоторого числа г-плоскостей, или «листов»,
соответствующих ветвям функции f (г) и соединенных вдоль соответствующим
образом выбранных разрезов. О способах построения римановых поверхностей
см. 17.2], [7.4]. Заметим, что конструкция римановых поверхностей для
произвольных функций может быть весьма сложной и требовать большой
изобретательности при построении.
Если функция w = f(z) и ей обратная обе многозначны, то z-плоскость
и ю-плоскость можно заменить соответствующими римановыми поверхностями;
при этом функция w = f (г) будет определять взаимно однозначное соответст-
соответствие между точками обеих римановых поверхностей, исключая точки разветв-
разветвления.
Замечание. Рнманова поверхность для моногенной аналитической функции
(полученной аналитическим продолжением, п. 7.8-1) будет связной; таким образом, мно-
многозначная функция f(z)=+l, несмотря на аналитичность каждой ветви, не является
моногенной аналитической функцией.
¦Х- Более сложный пример представляет многозначная функция га = In ег, распадаю-.
щаяся на бесконечное множество различных однозначных ветвей w = z-\-2kni {k = Q, 1,
2, . . .). Эта функция не имеет точек разветвления. X
7.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
205
Всюду в этой книге, исключая специальные утверждения, применимые
к многозначным функциям, речь идет только об однозначных аналитических
функциях или об однозначных ветвях аналитических функций (см. п. 7.8-1).
7.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
7.5-1. Интегральные теоремы. Пусть / (г)—функция, аналитическая в не-
некоторой области, С —замкнутый контур, принадлежащий этой области вместе
со своей внутренностью D, и г — любая точка из D. Тогда
\ f (t,) dt = O (интегральная теорема Коши),
с
(интегральная формула Коши),
G.5-1)
[ G-5-2)
Рис. 7.5-1 иллюстрирует применение интегральной теоремы Коши к много-
многосвязной области (см. также п. 7.7-1).
Равенства B) выражают функцию
f (г) и ее производные через граничные
значения f (г). В частности,
= 2га.
G.5-3)
Интегральная теорема Коши обоб-
обобщается на тот случай, когда на кон-
контуре С функция f (г) перестает быть
аналитической, оставаясь непрерывной:
если функция f (г) аналитична в одно-
связной области D и непрерывна в замк-
замкнутой области О, то интеграл (I), взя-
взятый по ее границе С, равен нулю.
X Интеграл вида ~ [ гФ_^ d?, где
с '
С — замкнутый или незамкнутый
?)ф
Рис. 7.5-1. Теорема Кошн для ыного-
связной области (пп. 7.2-4 и 7.5-1). Об-
Область D ограничена внешним контуром
С и внутренними контурами С,, С2, ...
..., Cfc-, направления обхода контуров
указаны на рисунке:
J
С
кон-
контур и ф Й)—функция, непрерывная на контуре С, называется интегралом
типа Коши. Интеграл типа Коши представляет функцию F (г), аналитическую
в каждой области, не содержащей точек контура С. При этом F"l) (г) =
i (t-2l"+1
2m-
О свойствах и приложениях интегралов типа Коши см.
[7.1], гл. 3, § 3. *
Если функция f (г) непрерывна в односвязной области D и равенство A)
имеет место для любого замкнутого контура С, лежащего в D, то f (г) — анали-
аналитическая в этой области (теорема Морера).
206
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.5-2.
7.5-2. Разложение в ряд Тейлора (см. также п. 4.10-4).
(а) Если f (г) аполитична внутри окруоюности К радиуса г с центром в
точке г=а(афсо), то существует единственный ряд по степеням (г — а), рав-
равномерно сходящийся к f (г) при \ г — а \ ^ г' < г:
— d)". G.5-4)
f
= f)
где
и /С — окружность |г — а| = г'.
Наибольший круг Кс (\ г — а ! «S гс), все внутренние точки которого
лежат внутри области, в которой f (г) апалитична, является кругом сходимости
степенного ряда D); гс есть радиус сходимости (п. 4.10-2, а). Наиболее важ-
важные разложения функции в степенные ряды приведены в п. 21.2-12.
(fa) Если М (г') — верхняя граница | f (г) | на К', то
| = 11 /<«> (а)
| ==? ^^ (неравенства Коми).
G.5-5)
(с) Если в ряде Тейлора D) отбросить псо члены, сточщие за ап_х (г — а)п 1,
то остаточный член Rn (г) равен
f (?)
! Дл (г)
G.5-6)
пК> 2гп X'&-af(l-z)'
(Если положить \z — a\=kr', где
7.5-3. Разложение в ряд Лорана.
(а) Если f (г) аналитична в кольце мехсду двумя концентрическими окруж-
окружностями Кг и К% с центрами, в точке z = a(a=tca) и радиусами /-, и г*<.г\,
то существует единственное разложение в ряд по положительным и отрица-
отрицательным степеням (г — а)
—«Г* (г, < 1 г —а |
G.5-7)
k=o
где
К\ —окружность \ г —а \ =r[ < rt и К'% — окружность \ г —а \ =г'г > г2.
Первая сумма в равенстве G) равномерно сходится для | г — а|й?г[ и ана-
литична внутри Кг, вторая сумма (главная часть разложения для f (г)) равно-
равномерно сходится для |г — а\^г'2 и аналитична во внешности окружности Кг-
Замечание. Случай а — со приводится к предыдущему при помощи преобразо-
преобразования z= \/z, переводящего г = со в начало координат.
¦* Ряд G.5-7) можно записать в виде
где Г —любая окружность, расположенная между Кг и К%-
7.6-2.
7.6. НУЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
207
(Ь) Если в первой сумме равенства G) ограничиться членами по
ап_х (г — а)п~1 включительно, то остаточный член Rn(z) будет равен
дл(г)==
i z — а | \п г'г М (r't)
G.5-Е
г' — | г — а |
Если во второй сумме равенства G) последним слагаемым взять
bn-i (г — аТ'(П~1), то остаточный член R%(z) будет равен
? (г)!
2Я1 (г -
I г — а\
? - z
G.5-9)
— а\ — г' '
М [г[) и Л1 (г^) — верхние границы для | / (г) | на К[ н К'2 соответственно.
7.6. НУЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
7.6-1. Нули (см. также п. 1.6-2). Точки г, для которых /(г) = 0, назы-
называются нулями функции } (г) (корнями уравнения f (г) = 0). Функция /(г),
аналитическая в точке г = а, имеет нуль порядка т, где т — целоз положи-
положительное число, если в точке г = а первые т коэффициентов о0, аъ аг, ... ,ат_х
разложения функции f (г) в ряд Тейлора G.5-4) равны нулю. Прн зто:.; / (г) =
— (г — о)"'ф (г), где ц> (г) аналпткчна в точке а и <р (а) ^Ь 0.
Нули функции / (г), аналитической в области D, все изолированы друг от друга
(т. е. каждый нуль имеет окрестность, внутри которой f (z) -p 0, исключая сам нуль), или
/ B) тождестьеино равна нулю в области D.
¦^ Иначе говоря, нули функции / (г), не равной тождественно нулю, не могут иметь
предельной точки в области D. В то же время они могут иметь предельную точку на
границе области D. Например, пусть D — круг [ г \ < I и / (г) = sin . Нули г= I — —
нм1'ют предельную точку г= 1. •&
Если fi(z) и /г (г) — аналитические в едносвязной ограниченной области D
и на ее контуре С и если I /г (г) | < ( /t (г) | ф 0 на С, то функции /х (г) и
/i (г)+/г (г) имеют одинаковое число нулей в области D (теорема Руте).
Каждый многочлен степени п имеет п нулей с учетом их кратности
(основная теорема алгебры, см. также п. 1.6-3).
7.6-2 -К-. Особые точки.
(а) Особые точки однозначных аналитических ф у и к-
Ц и й. Особой точкой или особенностью функции / (г) называется точка,
ь которой /(г) не аналнтнчна. Точка г = а называется изолированной особен-
особенностью f (г), если существует действительное число б >> 0 такое, что [(г) аиа-
."¦птпчна при 0 ¦< | г — а\<.&, но не в самой точке г = а. Изолированные осо-
?"-ньссти для г = а^со могут быть такими:
1. Устранимая особенность, если функция /(г) ограничена в
некоторой окрестности г = о, исключая, возможно, саму точку а,
т. е. когда все коэффициенты fej. разложения в ряд Лорана G.5-7)
функции / (г) в точке а равны нулю.
Пример. Ki = ^-i имеет устранимую особенность при г = 0.
В дальнейшем устранимые особые точки обычно не считаются
особыми.
2. Полюс порядка т(т = \, 2,...), если в разложении Лорана
G.5-7) функции /(г) аю степеням (г —а)
°т ^ Of Ь/n+i= ^т+2 =... = О
208
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.6-2.
(главная часть разложения содержит лишь конечное число членов).
В этом случае limf(z)=oo при любом стремлении г к а. При этом
2—СО
функция F(z) = l/f(z) будет аналитична в некоторой окрестности
точки а (если положить F(a) — 0) и иметь в этой точке нуль
порядка т. Функцию f (г) н окрестности точки а —полюса порядка
f (г)^где ib (г) аналитична и
р
т—можно представить в виде f (г)=—^-—
(г — а)т
, где ib (г) аналитична и
Примеры. w=( _^ имеет полюс 3-го порядка при г = 2;
o) = tg г имеет полюсы 1-го порядка в точках г— "- + fenc (k = 0, ± 1,...).
3. Существенно особая точка, если в разложении Лорана G.5-7)
функции f (г) имеется бесконечное число членов, содержащих отри-
отрицательные степени (г — а); при этом не существует ни конечного,
ни бесконечного предела функции /(г) при г, стремящемся к а.
Примеры. Функции sin A/г) и е 1/г имеют существенно особую
точку при г = 0,
¦* (Ь) Особые точки многозначного характера. Особые
точки многозначного характера являются точками разветвления многознач-
многозначной функции f (г). Определение точки разветвления конечного порядка и
логарифмической точки разветвления дано в п. 7.4-2.
Пусть точка разветвления г = а имеет конечный порядок, равный т—1,
т. е. объединяет группу из ш^2 ветвей функции /(г). Если все эти ветви
имеют конечный или бесконечный предел при г —> а, то точка а называется
алгебраической точкой разветвления, В этом случае однозначная функция
(см. п. 7.4-2)
F(Q f(lm + a) G.6-1)
имеет при ? = 0 правильную точку или полюс.
Если ветви функции f (г) не имеют предела при z—>а, то точка а назы-
называется трансцендентной точкой разветвления *). В этом случае однозначная
функция F (Z.) имеет при ? = 0 существенно особую точку.
Разложение функции F (?) в окрестности точки ? = 0 в ряд Лорана порож-
порождает представление многозначной функции f (г) в окрестности точки развет-
разветвления конечного порядка
П — — СО
Если а — алгебраическая точка разветвления, то лишь конечное число
коэффициентов е„ с отрицательными индексами отлично от нуля; в противном
случае а — трансцендентная точка разветвления.
Примеры, Функция S/~z — 1 имеет алгебраическую точку разветвления порядка 2
при 2 = 1; эта точка есть нуль для всех трех ветвей.
Для функции l/|/~z— 1 точка z = 1 также является алгебраической точкой разветв-
разветвления порядка 2; предел любой ветвн при z —* 1 равен оо. Соответствующая однозначная
функция Ф (?) = 1/| имеет в точке ? = 0 полюс.
Функция sin (l/5/~z ) имеет трансцендентную точку разветвления порядка 2 при z=0.
Соответствующая функция Ф (?) = sin A/J) имеет при ? = 0 существенно особую точку
Если в окрестности точки а функция f (г) имеет несколько разных групп
ветвей, т. е. если над точкой а лежат разные точки разветвления (см. п. 7.4-2),
то поведение каждой такой группы ветвей нужно рассматривать независимо
*) Логарифмические точки разветвления относят к числу трансцендентных-
7.6-5.
7.6 НУЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
209
друг от друга; для каждой такой группы строится своя однозначная функ-
функция F Q. *
7.6-3. Нули и особенности в бесконечности. Функция /(г) аналитична
в бесконечности, если f A/г) — аналитическая в начале координат (п, 7.3-3, Ь).
Точка г = со есть нуль или особенность одного из типов, указанных в п. 7.6-2,
если f A/г) имеет соответственный характер в начале координат. Поведение f (г)
в бесконечности может быть исследовано с помощью разложения f A/г) в ряд
Лорана в окрестности г = 0.
7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара. Пусть f (г) — однозначная функ-
функция, имеющая изолированную существенно особую точку при г = а. Тогда
1) для любого комплексного числа А (включая А =со) существует
последовательность точек zfc-> а такая, что lira f (г^) = А (теорема
k—*oo
Вейерштрасса *));
2) для любого комплексного числа Л ^ со, за исключением, быть
может, одного значения А — Ао, каждая окрестность точки а. содержит
бесконечное множество точек г таких, что } (г) = А (теорема Пикара)*
¦^Примеры. Функция е'/2 имеет существенно особую точку г = 0. Уравне-
Уравнение el/z—A имеет в каждой окрестности этой точки бесконечное число корней для лю-
любого Л ф сх>, кроме А =0. Для функции sin A/г), также имеющей существенно особую
точку г == 0, исключительных значений для А нет. -Х-
7.6-5. Целые функции.
(а) Целой функцией / (г) называется однозначная аналитическая функция,
не имеющая особых точек в конечной части плоскости. Она представляется
всюду сходящимся степенным рядом / (г) = о0-|-а1г + ...-J-апг™ + ...
Таким образом, целая функция может иметь единственную особую точку при
г = оэ. Если эта особенность есть полюс порядка т, то f (г) — многочлен (целая
рациональная функция) степени т. Если г = со — существенно особая точка,
то /(г) называется целой трансцендентной функцией. Если, наконец, z = oo~
правильная точка (т. е. f (г) — аналитическая для всех значений г), то f (г)
есть константа (теорема Лиувилля).
Целая трансцендентная функция принимает любое значение и), исключая,
возможно, одно значение, в бесчисленном множестве точек г.
¦Х-(Ь) Характеристики роста целых функций. Пусть /(г) —¦
целая функция и М (r)= max \f(z)\. В силу теоремы о максимуме модуля
г | =г
(п. 7.3-5) М (г) — возрастающая функция от г к lim Af (r) = co, если только
г -»оо
/(г) —не константа. Если М (г) —О (№), то f (г) — многочлен степени не выше
[ц] (целая часть ;г).
Пусть f (г) — целая трансцендентная функция. Если существует число {5>0
такое, что М (г) < ег для всех достаточно больших г, то f (г) называется
функцией конечного порядка. Число p = inf {5 5:0 называется порядком целой
функции.
Примеры, г , sin г, cos г — функции порядка 1, ег —функция порядка 2, е
не имеет конечного порядка (целая функция бесконечного порядка!.
Если функция f (г) имеет порядок р и существует число К>0 такое, что
М- (г) < е , то f (г) называется функцией конечного типа. Число а = i
называется типом целой функции.
*) Зта теорема была ранее доказана русским математиком Ю. Сохоцким и италь-
итальянским математиком С. Казоратти
Отметим, что теорема справедлива для неизолированной особой точки, являющейся
предельной для полюсов.
210
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.С-6.
7.7-1.
7.7. ВЫЧЕТЫ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
211
Если 0 > 0, то f(z)'—функция нормального типа, если 0=0, то мини-
минимального типа. Для функции бесконечного (максимального) типа пола-
полагают 0 = СО.
Если пределы справа существуют, то
р = lim in in м (г) а— \[т in м (г)
г-юэ In г ' г->со гр
Целая функция / (г) называется функцией акспокенцкальиого типа, если она
первого порядка и конечного типа (р=1, 0<оо), а также если р<1.
(с) Преобразование Фурье и целые функции (см. п. 4.11-3).
Пусть функция / (t) обращается в нуль при \t
Фурье
с.
Q(s)= \ f{t)e-istdt
Тогда ее преобразование
(р=1
есть целая аналитическая функция от s экспоненциального типа
asje, или р < 1).
Теорема Винера — Пэли. Пусть ty (s) — целая функция экспоксн-
00
циального типажа и такая, что
j2 dx < со (интеграл берется
00
по действительной оси). Тогда существует функция f(t), равная нулю при
\t\^a, преобразование Фурье которой равно \]з (s). ¦*
7.6-6. Разложение целой функции в произведение. Для каждой последова-
последовательности точек г0, гх, г2, ..., не имеющих предельной точки (п. 4.3-6,а) в конеч-
конечной части плоскости (т. е. имеющих г = со своей единственной предельной
точкой), существует целая функция f(z), которая своими единственными нулями
имеет нули порядка т/е, в точках г = гк. Пусть г0 —О, гк Ф 0 (fe>0); если
го = 0 не является нулем, то то = 0. Функция f (г) может быть представлена
в виде
k=\
G.G-2)
где g(г) — некоторая целая функция, а целые числа rk выбираются так,
чтобы бесконечное произведение равномерно сходилось в любой ограниченной
области {теорема Вейерштрасса; примеры см. в п. 21.2-13).
Если последовательность zlt г2,
тгкова, что ряд
i
сходится для
п = 1
торого целого положительного числа р, то вес числа г^, можно положить равными р —
Если последовательность {z^j произвольная, то можно взять т-д, = [In k] (целая часть
Ш А). ¦#
7.6-7. Мероиорфные функции. Однозначная функция /(г) называется меро-
морфной в области D, если ее единственными особенностями в D являются
полюсы. Число этих полюсов в каждой конечной замкнутой части D обяза-
обязательно конечно. Полюсы могут иметь предельную точку на границе области D.
В частности, D может совпадать со всей конечной комплексной пло-
плоскостью (исключая г = со); тогда в любой конечной части плоскости имеется
только конечное число полюсов, и единственной предельной точкой для полю-
полюсов межет быть бесконечно удаленная точка.
если Р = 0, то формула D) дает число нулей
Каждую функцию, мероморфную в конечной плоскости, можно представить в виде
отношения двух целых функций, не имеющих общих нулей, и, следовательно, в сиде от-
отношения двух произведений вида G.6-2).
Функция, мероморфная в конечной плоскости и имеющая в бесконечности правиль-
правильную точку или полюс, есть рациональная алгебраическая функция, представиыая в виде
отношения двух многочленов (см. также п. 4,2-2, с).
7.G-8, Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (см. также п. 1.7-1).
Пасть I B) — функция, мероморфная в конечной плоскости и имеющая полюсы с задан-
mk
ними глазными частями (п. 7.5-3) У] Ъ^ B — гд,) ' в точках z — 2д,, число которых
1= 1
конечно или бесконечно и которые не имеют предельных точек в конечной части пло-
плоскости. Тогда можно найти такие многочлены pt (г), р2 (г), ... и целую функцию g (г),
G.6-3)
Ряд pac-Ho:ispHo сходится в калсдой ограниченной области, в которой f (z) aHa.ii'n:uiua
(теоргма Митглаг-Леффлгра).
7.6-9. Нули и полюсы мероморфных функций. Пусть /(г) — мероморфиая
функция в некоторой области G а С — замкнутый контур, принадлежащий
вмгепи со своей внутренностью области G и не проходящий ни через нули,
пи через полюсы функции /(г). Пусть N — число нулей и Р — число полюсов
} (г), лежащих внутри G, причем нуль или полюс порядка т считается т раз.
Тогда
А^-Я = Л(
AcArg f I
: 2л
f (г)
2я
G.6-4)
G.6-5)
где Дс Arg/(z) обозначает изменение аргумента f (г) при обходе точкой г
конгг.'ра С в положительном направлении (принцип аргумента).
Формула E) означает что w = I B) отображагт движущуюся точку г, опнгыяагатую
одни ^я?, контур С, па движущуюся точку w, окружающую в ^-плоскости начало коор-
;нпат столько раз, сколько нулей имеет функция f (г) внутри контура С в г-плоскости.
Фэр'лулы D) и E) играют важную роль для определения положения iiулей и полюсса
j B) п ложат в основе геометрических критериев устойчивости (см. L7.1J).
7.7. ВЫЧЕТЫ И КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
7.7-1. Вычеты. Пусть в точке г = а функция / (х) или аналитична или
имеет изолированную особенность. Тогда вычетом Res f (a) *) функции / (г)
в точке а называется коэффициент при (г — а) в разложении Лорана G.5-7),
или
Res / (а) = 2^ 5 / (С) dC. G.7-10)
с
где С — контур, окружающий точку а и не содержащей внутри себя особен-
особенностей /(г), отличных от а.
') Вычеты обозначаются также Res [/ (г); а] или Res f (г).
г = а
212 ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.7-2.
Вычет Res f (со) функции f (z) при z = co определяется как
Res/(°°)=-2Hr $ /(E)dE. G.7-16)
Q
где интегрирование производится в отрицательном направлении по контуру
С (в этом случае внешность контура С остается слева), заключающему
внутри себя все особые точки f (г), лежащие в конечной части плоскости.
Это значит, что z = co является для функции f (г) или правильной, или
изолированной особой точкой.
Res /(со) равен взятому со знаком минус коэффициенту при г в раз-
разложении Лораиа в окрестности бесконечно удаленной точки. Отметим, что
7.7-4.
7.7. ВЫЧЕТЫ М КОНТУРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
213
-г }(г)\,
G.7-2)
Res f (оз) = lim |
Z->co
если этот предел существует.
Если } (г) или аналитична, или имеет устранимую особенность при
г — афсо, то Res/(a) = O (см. также формулу G.5-1)). Если г=аф со есть
полюс порядка т, то
' S^! G73)
! - 1I 2->а ,
В частности, пусть г = а Ф со — простой полюс и }(z)==p(z)/
р(г) и ц (г) —аналитические функции в точке а и р(а)фО. 1 огда
Я' (а)фО и
G.7-4)
¦Х-Если бесконечность —правильная точка для функции f (z), то вычет
Res f (со) мсжет и не равнягся нулю. Например, если /(z) = l/z, то г = оо
есть нуль, а Res f (co) = — 1.*
7.7-2. Теорема о вычетах (см. также п. 7.5-1). Пусть однозначная функ-
функция f (г) аналитична в области D, за исключением изолированных особых
точек, а замкнутый контур С принадлежит вместе со своей внутренностью
области D, содержит внутри себя конечное число гь га г„ особых точек
и не проходит ни через одну из них. Тогда
п
йтТ \f &)<%>= 2 Res f (г*> (те°Рема ° вычетах).
С й=1
G.7-5)
С особой осторожностью нужно следить, чтобы контур С не пересекая раз-
разрезы для f (г) (см. также п. 7.4-2).
7.7-3. Вычисление определенных интегралов.
(а) Часто можно вычислять действительный определенный интеграл
ь
\f(x)dx, рассматривая его как часть комплексного контурного интеграла
а
\ } (z) dz при условии, что контур С включает интервал (а, Ь) действитель-
действительной оси. Теорема о вычетах E) может помогать в таких вычислениях й
может, в частности, сводить неизвестные интегралы к уже известным.
(Ь) Для вычисления некоторых интегралов вида [ f(x)dx следует при-
— оо
менить формулу E) к контуру С, состоящему из интервала (-R, R) дейст-
действительной оси и дуги CR окружности | z\—R в верхней полуплоскости. Сле-
Следующие леммы часто позволяют отбросить интегралы по дуге Ср при R—^co:
1. lim f/(z)dz = O, если f (z) аналитична при \z]>R0 и
zf (z) стремится к нулю при | z | —> оо, когда у 5? 0; последнее, в
частности, выполняется, если |/(г)|<-—~-,—¦ где а>0, при всех
Z , "га
достаточно больших \г\.
2. Лемма Жордана. Если F (г) аналитична в верхней полуплос-
полуплоскости, исключая, возможно, конечное число полюсов, и стремится к
нулю при \ z | —> со, когда 1/3:0, то для любого действительного
положительного числа т
lim \ Fg)eilnid^ = Q.
Метод контурного интегрирования может даяать главное значение интеграла по
оо
Коши (см. п. 4.6-2) для J f (x) clx, когда сам интеграл в обычном смысле не существует.
— со
Лемма Жордана бывает особенно полезна для вычисления несобственных интегра-
оо
лов вида J F (х) elmx dx и, согласно формуле Эйлера, интегралов вида
— оо
оо оо
J F (x) cos mx dx и J F (x) sin mx dx
— oo —oo
эти интегралы встречаются при преобразовании Фурье п. 4.11-3 и в формуле обранте-
ния для преобразования Лапласа, п. 8.2-6).
(c) Если s — какая-либо полуокружность круга \г — а | = е, где точка z = а — прос-
простой полюс функции f B), то
lim [f <E) dt, = ni Res Ma).
6-0s
Это используется, во-первых, при вычислении интегралов по контурам, когда прихо-
(" е'г
дится «огибать» простой полюс (например, при вычислении \ — dz по контуру, состоя-
состоящему из отрезка (— R, R) действительной оси и полуокружностей [ z | = R и | 2 | = г
при R -» со и г ->¦ 0) и, во-вторых, для вычисления главного значения по Кошн некото-
некоторых несобственных интегралов.
(d) Теорему о вычетах можно применять к интегралам вида
2я
J R (cos ф, sin ф) dtp,
0
где R — рациональная функция от cos ф и sin ф, если совершить подстановку
= -2 B + —),
-= — dz,
\_
' 2i
G.7-П)
7,7-4. Применение вычетов к суммированию рядов. Пусть контур С окружает точки
т, 2 = m -J- 1, г = т + 2, ... , z = п, где т — целое число, и пусть / (г) аналитична
I
214
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.8-1.
внутри С, за исключением, быть может, конечного числа полюсов а^, а^ одг, из
которых ни один ие совпадает с точками z = т, z = т -j- I, z — in + 2 г — п. Тогда
п N
k=m С ;"=1
где Res g (о,) — вычет функции g B) = л f B) ctgnz в точке z = a.-t
п N
G-7)
= гй? ^ "f (S) cosec
С
Res gl
G7"R)
где g, (z) — nf B) cosec пг. Иногда бывает возможно выбрать коитур С так, что интеграл
в правой части формулы G) или (8) исчезает,
7.8. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
7.8-1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические функции
(см. также пп. 7.4-1—7.4-3).
(a) Пусть однозначная функция fl (г) определена и аналитична всюду
в области Di, функция ^2(г), определенная н аналитическая в области D±,
есть аналитическое продолжение /i (г), если существует пересечение областей Dx
и D2, содержащее открытую область Dc, в которой функции f1 (г) и f2 (г)
совпадают.
Аналитическое продолжение /2 (г) определяется единственным образом по
вкакнипм /j (г) в Dc (см. также п. 7.3-3). Сверх того, аналитические продол-
продолжения fr (г) удовлетворяют каждому функциональному уравнению и, в частно-
частности, каждому дифференциальному уравнению, которому удовлетворяет /\ (г)
(принцип консерватизма функциональных уравнений). Можно также воспользо-
воспользоваться функцией /, (г) для расширения области определения fx (г) и обратно:
рассматривать Д (г) и /2 (г) как элементы единой аналитической функции \ (г),
определенной всюду в Dx и D,.
fx (г) и/или /5 (г) могут допускать дальнейшее аналитическое продолже-
продолжение, ведущее к другим элементам функции / (г).
(b) Многозначные функции. Заметим, что /х (г) и /г (г) ие обя-
обязательно совпадают во всем пересечении областей их определения. /2 (г) мо-
может иметь аналитическое продолжение /3 (г), определенное в D,, но не совпа-
совпадающее с /, (г). Аналитическое продолжение может производить элементы,
принадлежащие к различным ветвям многозначной аналитической функции /(г);
два значения f (г0), полученные при аналитическом продолжении ft (г) вдоль двух
различных путей С и Сц совпадают, если С и Ci не окружают точку развет-
разветвления /(г).
(c) Возможные аналитические продолжения данного элемента образуют
моногенную аналитическую функцию f (г), определенную, исключая изолиро-
изолированные особенности, во всей плоскости или в связной области с естествен-
естественными границами. В то время как Еыбор последовательности элементов, опре-
определяющих / (г), не является фиксированным, принцип консергстчзма
функциональных уравнений применим ко всем элементам и каждый такой один
длемент единственным образом определяет все ветви, изолированные особенности
и естественную границу /(г).
7.8-2. ^Методы аналитического продолжения.
(а) Стандартный метод аналитического продолжения отправляется от
функции /(г), определенной степенным рядом G.5-4), сходящийся в круге
\г — а\<г. Для каждой точки г = 6 этого круга значения /F), /'F),...
известны и определяют разложение в ряд Тейлора в окрестности г = Ь. Но-
Новый степенной ряд сходится внутри круга \г — b ] < г', который может иметь
7.9-1.
7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
213
часть, расположенную вне первого круга. Тогда мы получаем аналитическое
продолжение функции f (г) в чисть круга с центром в точке Ь, лежащую вне
круга с центром в точке а. Этот процесс может быть продолжен вплоть до
естественных границ функции; каждый степенной ряд есть элемент / (г).
Замечание. Функция, определенная степенным рядом с конечным радиусом
сходимости, имеет по крайней мере одну особую точку на границе круга сход;п,;остп
(b) Пусть даны две одпосвязные области Dl и D2 без общих точек такн°,
что их границы имеют один общий кусок у. Если функции /г (г) и f± (г)
аналнтнчны соответственно в областях Dt и D,, непрерывны в D1Jry и D2+y
(т. с. вплоть до линии у) и совпадают во всех точках кривой у, то функции
/i (г) " /г (г) являются аналитическими продолжениями друг друга.
(c) Принцип симметрии. Пусть /(г) определена и аналитика
в области D, граница которой содержит отрезок у оси Ох, непрерывна в D--л;
и принимает на у действительные значения. Тогда функция /* (г), определен-
определенная в области D*, симметричной с областью D относительно действительной
осп, соотношением
является аналитическим продолжением /(г) в области D*. Белее общо, пусть
f (г) определена и аналитична в области D, граница которой содержит дуг.у
окружности или прямолинейный отрезок. Sz, на котором f (г; непрерывна и
принимает значения, лежащие на некоторой дуге окружности или прямолиней-
прямолинейном отрезке Sw в плоскости w. Тогда функция f (г) может быть аналитически
продолжена в область D *, симметричную с областью D относительно S-,
причем ее значения в точках, симметричных относительно Sz, будут симмет-
симметричны относительно Su,.
7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
7.9-1. Конформное отображение.
(а) Функция ю = / (г) отображает точки г-плоскости (или рнмановой по-
поверхности, п. 7.4-3) в соответствующие точки ю-плоскости (или римановоп
поверхности). В каждой точке г такой, что /(г) аналитична и /' (г) d- О,
011юг>га::гение w = f(z) конформно, т. е. угол между двумя кривыми, проходя-
проходящим.! через точку г, переходит в равный по величине и по направлению
отсчета угол между соответствующими кривыми в плоскости w.
бесконечно малый треугольник около такой точки г отображается в подобны!) бгеко-
П2Ч:::) мллмп треугольник к>-плоскости; каждая сторона треугольника «растягивайся»
в отиошенаы I {' (г) | : 1 и поворачивается на угол arg f (г). Коэффициент искажения
(': жпльпое отношение малых площадей) при отображении ш = f (г) — и (л*, у) -\- i v (x, у)
ранен
С (х, у)
би
дх
dv
дх
ди
ду
dv
ду
G.9-И
в каждой точке г, где отображение конформно. Конформное отображение преобразует
л:пшп х =-- const, у = const в семейство ортогональных траекторий пси-плоскости. Обратно,
линии и {х, у) = const, v (х, //) = const соответствуют ортогональным траекториям в
г-плоскости (см. также табл. 7.2-J).
Область г-плоскости, отображающаяся на всю ш-плоскость функцией f (z), называется
фундаментальной областью функции f (г). Точки, где f B) = 0 называются критическимч
точками отображения w = { B) '). Отображение, которое сохраняет величину, но не
направление отсчета угла между двумя кривыми, называется изогональным или К";:-
Форм'лым отображением второго рода (пример изогонального, но не конформного omcfip /-
о.сения: w = г)«
') Некоторые авторы называют особые точки, где 1/f' (z) = 0, также критически»:;!
точками f (г).
216
ГЛ. 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
7.9-2.
(Ь) Отображение ш=/(г) конформно в бесконечно удаленной точке, если
функция
/(/)
отображает начало г = 0 конформно в ш-плоскость.
Две кривые пересекаются под углом у в точке г = оо, если преобразова-
преобразование г=1/г переводит их в две кривые, пересекающиеся под углом у в точке
г = 0. Аналогично w = f(z) отображает точку г = а конформно в точку ш = со,
если ю=1//(г) отображает г = а конформно в точку ю = 0 (см. также п. 7.2-3).
7.9.2. Дробно-линейное отображение (преобразование).
(а) Дробно-линейное отображение
¦ cz + d
(Ьс-аё)фО
G.9-2)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками г-плоскости
и точками ai-плоскости. Оно имеет две инвариантные точки
G.9-3)
(которые могут и совпадать), отображающиеся сами в себя. Отображение
конформно всюду, исключая точку z = —d/c, которой соответствует ш = оз.
Прямым и окружностям z-плоскости соответствуют прямые или окружно-
окружности ш-плоскости и обратно; в этой связи можно прямые рассматривать как
окружности с бесконечным радиусом, проходящие через бесконечно удаленную
точку. Для каждого дробно-линейного отображения, отображающего четыре
z z z соответственно в w w2 w3 w
точку. Для каждого дрон р
точки zt, z2, z3, z соответственно в wl, w2, w3, w,
г, — z . z, — гг
z3 — г ' г., — z,
G.9-4)
(инвариантное двойное отношение или ангармоническое отношение1)). Равен-
Равенство D) определяет единственное дробно-линейное отображение, переводящее
три данные точки zI; z2, z3 соответственно в три данные точки wv w2, w3.
Существует дробно-линейное отображение, которое преобразует заданную
окружность или прямую в z-плоскости в заданную окружность или прямую
в w-плоскости (см. также табл. 7.9-2 и п. 7.9-3).
Частные случаи. Отображение
В,
фигур.
Отображение
представлиет геометрически инверсию точки z относительно единичной окружности
с центром в начале координат с последующим симметричным отображением относительно
действительной оси. Отображение F) преобразует:
1) прямые, проходящие через и'ачало координат, в прямые, также прохо-
проходящие через начало координат;
2) окружности, проходящие через качало координат, в прямые, не прохо-
проходящие через начало координат, и наоборот (прямые, не проходящие через
начало координат, в окружности, проходящие через начало);
3) окружности, которые не проходят через начало координат, в окруж-
окружности, также не проходящие через начало координат.
') Двойное отношение D) действительно, если точки zt,
точки wi, ш2, wa, w) лежат на окружности или прямой.
7.9-4.
7.9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
217
(b) Дробно-линейные отображения B) образуют группу; обратные преоб-
преобразования и произведения дробно-линейных отображений также являются
дробно-линейными (п. 12.2-7). Каждое дробно-линейное отображение B)
может быть представлено как результат (произведение) трех последовательных
простейших дробно-линейных отображений:
z' = z-f-— (параллельный пе