/
Author: Лэм Г.
Tags: общее машиностроение технология машиностроения радиотехника электротехника эвм
Year: 1979
Text
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к переводу............................................ 5
Предисловие....................................................... 7
1. Введение......................................................11
1.1. Амплитудно-частотная характеристика .................... 13
1.2. Характеристики фазочастотная и группового времени........19
1.3. Методика проектирования..................................22
Литература................................................23
Задачи . . 24
2. Элементная база.......................................... 27
2.1. Математическое описание . ................ .... 28
2.2. Элементй схем............................................29
2.2.1. Основная элементная база...........................30
2.2.2. Дополнительная элементная база....................33
Литература................................................48
Задачи....................................................49
3. Свойства функций цепи................................ 59
3.1. Полиномы комплексной переменной..........................59
3.2. Функция цепи.............................................62
3.2.1. Преобразование Гильберта...........................63
3.2.2. Четная и нечетная части........................... 69
3.2.3. Фаза и модуль . ............................74
Литература . . . 77
Задачи....................................................77
4. Положительные вещественные функции и пассивность ... 80
4.1. Полином Гурвица..........................................83
4.2. Положительные вещественные функции.......................91
4.3. Пассивность.............................................*96
Литература................................................97
Задачи....................................................97
5. Свойства и реализации входных функций........................102
5.1. Свойства входных функций................................102
5.2. Реализация входных функций..............................107
5.2.1. Методы реализации Фостера.........................108
5.2.2. Методы реализации Кауэра.........................111
5.3. Выводы................................................. 121
Литература . . . 122
Задачи..................................................123
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 126
6.1. Свойства входных PC-функций полного сопротивления .... 127
6.2. Свойства входных PC-функций полной проводимости . ... 132
6.3. Пример методов реализации Фостера.................... 136
6.4. Методы реализации Кауэра ..............................137
6.4.1. Первая форма Кауэра..............................138
6.4.2. Вторая форма Кауэра..............................143
6.5. Выводы............................................... .148
Литература..............................................150
Задачи..................................................150
7. Пассивная реализация передаточных функций......................155
7.1. Лестничные схемы..........................................155
7.1.1. Лестничные КС-схемы..................................156
7.1.2. Лестничные LC-схемы..................................167
7.1.3. Другие возможности...................................172
7.2. Мостовые схемы............................................177
7.3. Методы Дарлингтона........................................179
7.3.1. Схема без потерь с односторонней нагрузкой...........182
7.3.2. Четырехполюсник без потерь с двусторонними нагрузками 190
7.4. Выводы....................................................200
Литература..................................................203
Задачи . . 203
8. Аппроксимация характеристики фильтра...........................208
8.1. Аппроксимация по Баттерворту..............................214
8.1.1. Основные свойства.................................. 216
8.1.2. Передаточная функция................................ 218
8.1.3. Схемная реализация...................................224
8.1.4. Примеры..............................................226
8.2. Аппроксимация по Чебышеву.................................229
8.2.1. Полиномы Чебышева....................................229
8.2.2. Фильтры Чебышева.....................................231
8.2.3. Передаточная функция.................................240
8.2.4. Схемная реализация...................................246
8.2.5. Примеры..............................................248
8.2.6. Эллиптические фильтры................................249
8.3. Аппроксимация по Бесселю..................................251
8.3.1. Передаточная функция ............252
8.3.2. Расчет и реализация..................................258
8.3.3. Переходные фильтры...................................260
8.4. Основные преобразования частот и схем.....................262
8.4.1. Преобразование НЧ I—> НЧ............262
8.4.2. Преобразование НЧ I—> ПФ............267
8.4.3. Преобразование НЧ i—> ЗФ.......... 273
8.4.4 Преобразование НЧ I—>ВЧ...............................275
8.4 5 Нормирование по сопротивлению.........................278
8.4.6 Примеры...............................................280
8.5. Всепропускаюшие фильтры...................................282
Литература..................................................284
Приложение..................................................284
Задачи . . 291
9. Чувствительность............................................. зоз
9.1. Чувствительности полюсов и нулей .....304
9.1.1. Методы расчета.......................................304
9.1.2. Выводы...............................................313
9.2. Чувствительности функций цепи...........315
9.2.1. Выводы...............................................317
9.3. Чувствительности фильтра второго порядка.319
Литература..................................................321
Задачи .....................................................321
10. Активные фильтры .................. 326
10.1. Прямая реализация........................................328
10.1.1. Прямая реализация через пассивные схемы..328
10.1.2. Прямая реализация с КС-четырехполюсниками. Метод Ку 335
1U.1.3. Прямая реализация с RC-двухполюсниками . . . ; . . 341
10.1.4. Прямая реализация методом переменных состояния . . ЗБ2
10,2. Каскадная реализация . ................................356
10.2.1. Биквадратное звено на одном усилителе.............358
10.2.2. Биквадратное звено на нескольких усилителях .... 373
10.2.3. Дополняющие схемы................................ 388
10.2.4. Выбор пары полюс — нуль...........................392
10.2.5. Чувствительность полюсов......................... 393,
10.3. Неидеальность операционного усилителя................•_ 395
10.3.1. Инвертирующий усилитель напряжения................396
10.3.2. Неиивертирующий усилитель напряжения..............400
10.3.3. Интегратор........................................401
10.3.4. Звено полосового фильтра Фрейда ......... 404
10:4. Активные схемы без конденсаторов.......................407
10.4.1. Полосовое биквадратное активное R-звено для высоких
частот и добротностей....................................408
10.4.2. Активное биквадратное R-звено....................410
Литература................................................417
Задачи....................................................419
11. Введение в цифровые фильтры............................429
11.1. Цифровые сигналы и системы . . . '......................429
11.2. z-Преобразование........................................438
11.2.1. Свойства z-преобразоваиия.........................442
11.2.2. Обратное z-преобразование.........................44Б
11.3. Преобразование Фурье....................................451
11.3.1. Теорема дискретизации.............................454
11.4. Дискретное преобразование Фурье.........................460
11.5. Основные функциональные узлы............................466
11.6. Устойчивость............................................470
11.7. Простой пример цифрового фильтра........................472
11.8. Анализ цифровых фильтров................................474
Литература ...............................................476
Задачи....................................................477
12. Расчет цифровых фильтров....................................482
12.1. Расчет цифровых БИХ-фильтров............................ 487
12.1.1. Методы численного интегрирования..................489
12.1.2. Метод инвариантности импульсной характеристики . . 4С5
12.1.3. Метод билинейного преобразования..................508
12.1.4. Частотные преобразования..........................517
12.1.5. Расчет цифровых всепропускающих фильтров..........526
12.2. Расчет цифровых КИХ-фильтров............................529
12.2.1. Метод частотной выборки.......................... БЗЗ
12.2.2. Метод взвешивания.................................535
12.2.3. Сравнение КИХ-фильтров с БИХ-фильтрами............537
Литература ...............................................538
Задачи....................................................539
13. Реализация цифровых фильтров...........................545
13.1. Реализация цифровых БИХ-фильтров........................545
13.1.1. Прямая реализация.................................546
13.1.2. Косвенная реализация............................. 570
13.2. Реализация цифрового КИХ-фильтра........................578
Литература................................................580
Задачи....................................................581
Предметный указатель , ,.........................................586
УДК 621,372.54
В книге американского специалиста проф. Г. Лэма рассматриваются
основы теории электрических цепей, принципы'и схемы реализации анало-
говых и цифровых фильтров. Излагается методика составления программ,
их расчета на ЭВМ. Книга является одним из лучших руководств пб 'вьн
бору типов и параметров непрерывных и дискретных фильтров.
Для специалистов, занимающихся проектированием фильтров, и сту-
дентов. изучающих электро- и радиотехнику.
л 30306 160 138—82 ч. 1 2302010000
041(01)—82
Редакция литературы по новой технике
© 1979 by Prentice-Hall, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1982
Гарри Лэм
АНАЛОГОВЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
Старший научный редактор Н. В. Серегина. Младший научный редактор Н. И. Сивилева
Художник В. М. Прокофьев. Художественный редактор Л. Е. Безрученков
Технический редактор Л. П. Бирюкова. Корректор К. Л. Водяницкан
И Б № 2447
Сдано в набор 30.03.81. Подписано к печати 02.04.82. Формат 60X90’/ifi. Бумага типограф-
ская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем бум.>л., 18,50. Усл. печ. л. 37.
Усл. кр.-отт 37. Уч.-изд. л. 33,25. Изд. № 20/0964. Тираж 8000^экз._3ак. ИЗО. Цена 3 р. 60 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Зна-
мени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжкой торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ
Успехи технологии микроминиатюризации радиоэлектронных
устройств обусловили смещение интересов разработчиков аппа-
ратуры от обычных пассивных фильтров к активным и, наконец,
к цифровым. Резкое возрастание интереса к цифровой фильтра-
ции обусловлено возрастанием роли цифровых методов обра-
ботки информации, которые, с одной стороны, обеспечивают
большую точность и помехоустойчивость аппаратуры, а с дру-
гой— позволяют реализовывать схемы цифровых фильтров на
основе микропроцессоров и интегральных схем средней и боль-
шой степени интеграции, что в конечном итоге позволяет дости-
гать существенного выигрыша в объемно-массовых характери-
стиках аппаратуры. При этом все разновидности фильтров соз-
даются на основе классической теории электрических цепей с
применением современных методов проектирования с помощью
вычислительных машин.
Предлагаемая вниманию читателей книга написана препо-
давателем такого известного своими промышленными внедре-
ниями учебного заведения, как Калифорнийский университет.
Именно в этом университете в последнее время разработаны
фильтры с коммутацией конденсаторов, занимающие промежу-
точное положение между активными и цифровыми фильтрами.
Такие фильтры могут изготовляться по технологии, аналогич-
ной технологии цифровых фильтров, что привлекает к ним по-
вышенное внимание.
Данная книга является, пожалуй, первой и довольно удачной
попыткой рассмотрения в одной монографии пассивных, актив-
ных и цифровых фильтров на основе общей теории электриче-
ских цепей. Отличительная особенность книги состоит в том, что
проблемы фильтрации не затеняются вопросами общей теории
электрических цепей. Вместе с тем информацию по теории це-
пей удобно использовать в качестве справочной. Четкая мето-
дологическая последовательность изложения, простота исполь-
зуемого математического аппарата, многочисленные рисунки
существенно облегчают усвоение материала. Среди большого
числа приведенных задач следует особенно отметить задания
па составление программ расчетов на ЭВМ, что отражает
возрастающую тенденцию к использованию ЭВМ для ана-
лиза и синтеза цепей. Обширная библиография, рекомендо-
ванная по каждой теме, имеет четкую практическую направ-
ленность.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся про-
ектированием фильтров, и студентов, изучающих электро- и ра-
диотехнику.
Перевод книги выполнили Микшис М. Н. (предисловие,
гл. 1—3, 11—13), Левин В. Л. (гл. 4—9) и Теплюк И. Н. (гл. 10).
Проф. И. А. Мизин
Посвящается моим родителям Квей-Чой Лэму
и Бик-Кэм Лэм и моей жене Алисе
ПРЕДИСЛОВИЕ
Понятие фильтра было введено в 1915 г. независимо друг
от друга Дж. Кэмпбеллом и К. Вагнером в связи с их иссле-
дованиями в области линий передачи и колебательных систем.
С тех пор теория и технология фильтров непрерывно развива-
лись и продолжают совершенствоваться по настоящий день.
Сегодня фильтры настолько глубоко проникли в электронную
технику, что трудно представить себе сколько-нибудь сложную
систему или прибор, в которых в той или иной форме не ис-
пользовались бы фильтры.
Эта книга написана на основе курса лекций по проектиро-
ванию фильтров, организованного и прочитанного автором для
студентов Калифорнийского университета в г. Беркли. Создание
такого курса преследовало две цели. Одна из них состояла в
том, чтобы ознакомить студентов с рядом основных понятий
фильтрации, а также с методами расчета фильтров со скромной
надеждой, что это подготовит их к самостоятельной работе по
проектированию некоторых простых (аналоговых и цифровых)
фильтров по окончании этого курса. Другой целью было обеспе-
чить студентам твердые фундаментальные знания для после-
дующего изучения более сложных курсов по аналоговым и циф-
ровым фильтрам. При этом предполагалось, что студенты при-
ступят к изучению этого курса после двухсеместрового курса
по общей теории цепей в объеме книги Basic Circuit Theory,
С. A. Desoer, Е. S. Kuh.
Практическая направленность — основной принцип построе-
ния этой книги; изложение материала ведется на достаточно
простом уровне, хотя и позволяет выявить существо разбирае-
мых вопросов. Для объяснения теории наряду с теоретически обо-
снованными соображениями используются также интуитивные, а
методы и процедуры расчета иллюстрируются многочисленными
примерами. Книга шаг за шагом подводит студентов от
элементарных тем к рассмотрению достаточно сложных во-
просов. В тех случаях, когда материал по уровню сложности
превосходит предполагаемые у студентов знания, автор дает
ссылки на соответствующую литературу. В результате книга
может быть одинаково полезной как учебное пособие по проек-
тированию фильтров для студентов не только младших, но и
старших курсов и как руководство для инженеров-разработчи-
ков, желающих изучить основы этой области электротехники.
Автор стремился к тому, чтобы материал книги мог быть легко
усвоен читателем, прослушавшим в течение одного — двух се-
местров курс теории электрических цепей.
Материал книги тщательно подобран с таким расчетом,
чтобы дать студентам и читателям максимальное количество по-
лезных сведений по многим существенным темам в этой обла-
сти. В гл. 1—4 автор излагает фундаментальные основы проек-
тирования аналоговых фильтров. Глава 2 посвящена элемент-
ной базе как пассивных, так и активных фильтров. Функции
цепи и их свойства описаны в гл. 3, где рассмотрено примене-
ние преобразования Гильберта, понятие минимально фазовых
функций и различные процедуры построения функций цепи.
Полиномы Гурвица и положительные вещественные функции,
которые образуют математический аппарат для расчета пассив-
ных цепей, приведены в гл. 4.
В гл. 5—7 автор рассматривает задачу реализации пассив-
ных схем. На основе положительных вещественных функций,
описанных в гл. 4, автор в гл. 5 и 6 исследует свойства входных
RC- и LC-функций. В гл. 7 эти функции применены для реали-
зации различных классов передаточных функций. В частности,
рассматриваются лестничные RC- и LC-схемы и схемы Дар-
лингтона для синтеза передаточных функций фильтров нижних
и верхних частот, а также полосовых фильтров; мостовые схе-
мы используются для реализации всепропускающих передаточ-
ных функций.
В гл. 8 исследуется задача нахождения соответствующих
передаточных функций. Подробно рассмотрены частотно-изби-
рательные фильтры Баттерворта и Чебышева и фильтры Бес-
селя для обеспечения групповой задержки сигналов. Для облег-
чения расчетов в качестве приложения приведены соответствую-
щие графики и таблицы. В гл. 9 вводится понятие «чувстви-
тельность».
Активным фильтрам посвящена гл. 10, в которой рассма-
триваются два основных метода их построения. Прямой метод
включает реализацию пассивных /?С-двухполюсников и четы-
рехполюсников, а косвенный связан главным образом с реали-
зацией активных фильтров второго порядка. Рассмотрены прие-
мы реализации на одном и нескольких усилителях и исследова-
ны преимущества и недостатки каждого метода. В гл. 10 также
рассмотрено влияние неидеальностей операционных усилителей
на рабочие характеристики схемы. Наконец, введен класс ак-
тивных схем, содержащих только операционные усилители и
резисторы (их называют активными /^-схемами). Показано, что
этот класс схем наиболее пригоден для использования на вы-
соких частотах.
Цифровые фильтры рассмотрены в гл. 11—13. В гл. 11
даются основные сведения по цифровым фильтрам, включая
рассмотрение z-преобразования, обратных ^-преобразований,
дискретного преобразования Фурье, частотных характеристик,
теорем дискретизации и функциональных узлов цифровых филь-
тров. Методы получения соответствующих цифровых передаточ-
ных функций описаны в гл. 12 (для чтения которой необходимо
хорошее усвоение материала гл. 8). Детально исследованы ме-
тоды инвариантности импульсной характеристики и билиней-
ного преобразования. В гл. 13 рассмотрена задача реализации
цифровых фильтров, причем указан также способ исключения
контуров без задержки.
В конце каждой главы приведен полный набор задач, допол-
няющих и расширяющих изложенный в тексте материал. Боль-
шинство задач были проработаны на семинарских занятиях, и
поэтому имеется уверенность, что они по уровню и степени
сложности доступны для студентов. Чтобы избежать предложе-
ния одних и тех же задач на протяжении ряда лет, каждое
упражнение содержит варианты, которые отличаются числен-
ными значениями параметров и другими несущественными де-
талями.
Автор хотел бы поблагодарить профессора Дж. Д. Мак-Фер*
сона (J. D. McPherson) из Висконсинского университета, г. Ми-
луоки, и К. А. Стромсмо (К- A. Stromsmoe) из Университета
Альберта, прочитавших окончательный вариант рукописи, а
также выразить признательность студентам, прослушавшим
курс в 1974—1976 гг.; их заинтересованное участие в семинар-
ских занятиях и полезные замечания дали автору неоценимую
информацию для пересмотра и улучшения первоначальных
вариантов книги. Автор с удовольствием выражает благодар-
ность также профессорам Л. О. Чуа (L. О. Chua), К. А. Дезоеру
(С. A. Desoer) и Е. С. Ку (Е. S. Kuh) из Калифорнийского уни-
верситета, г. Беркли, и сотрудникам фирмы «Белл лэборэтриз»,
Северный Андовер, шт. Массачусетс, Ф. Дж. Витту (F. J. Witt),
К- Ф. Керту (С. F. Kurth) и Р. П. Снайсеру (R. Р. Snicer) за
интерес к этой работе, полезную критику и моральную под-
держку. Я благодарен также Отделению электротехники и вы-
числительной техники Калифорнийского университета, г. Берк-
ли, за прекрасные условия, позволившие успешно завершить
работу над книгой.
Наконец, автор хотел бы выразить благодарность и призна-
тельность своей жене Алисе, подготовившей машинописные ко-
пии первых двух вариантов рукописи, которыми пользовались
студенты, и поддерживавшей мир и согласие в нашем доме.
Гарри И.-Ф. Л эм
Введение
«Фильтр» в обобщеннном смысле слова представляет собой
устройство (или систему), которое преобразует заданным об-
разом проходящий через него входной сигнал. По существу
фильтр преобразует входные сигналы в выходные таким обра-
зом, что определенные полезные особенности входного сигнала
сохраняются в выходном сигнале, а нежелательные свойства
подавляются.
Существует несколько типов фильтров; в этой книге рас-
смотрены лишь некоторые примеры. Масляный фильтр в авто-
мобилях удаляет посторонние частицы, взвешенные в проходя-
щем через фильтр масле; воздушный фильтр пропускает воз-
дух, но предотвращает попадание грязи и пыли в карбюратор,
Цветное стекло можно использовать в качестве оптического
фильтра для поглощения световых лучей определенных длин
волн, таким образом преобразуя свет, попадающий на свето-
чувствительную пленку в фото- или кинокамере.
Электрический фильтр проектируется для выделения и про-
пускания требуемого сигнала из смеси полезных и нежелатель-
ных сигналов. Телевизионные и радиофильтры — типичные при-
меры сложных электрических фильтров. Если говорить более
определенно, то при настройке телевизионной аппаратуры на
определенный канал, скажем канал 2, она пропускает те сиг-
налы (звуковые и изображение), которые передаются каналом
2, и блокирует все другие сигналы. В более узком смысле
фильтры — это основные электронные компоненты многих си-
стем связи, таких, как телефония, телевидение, радиовещание,
радио- и звуколокация. Электрические фильтры можно также
найти в цепях преобразования мощности и системах питания.
Фактически электрические фильтры так распространены в со-
временной технике, что невозможно представить любой элек-
тронный прибор средней сложности, в котором бы не использо-
вался фильтр в том или ином виде.
Электрические фильтры можно классифицировать несколь-
кими способами. Для обработки аналоговых или непрерывных
во времени сигналов применяются аналоговые фильтры, а циф-
ровые сигналы (сигналы дискретные во времени и квантован-
ные по амплитуде) обрабатываются цифровыми фильтрами’).
*) Цифровые фильтры рассматриваются в гл. 11. В дальнейшем будем
иметь дело только с аналоговыми фильтрами и непрерывными системами.
Аналоговые фильтры можно классифицировать как сосредото-
ченные или распределенные в зависимости от частотного диапа-
зона, для которого они проектируются1), и, наконец, как актив-
ные и пассивные в зависимости от типа используемых при реа-
лизации элементов.
В более абстрактных выражениях фильтр —это система, ко-
торая характеризуется набором пар функций типа вход-выход
или возбуждение-отклик (рис. 1.1), где
с»
у (/) = h (I — т) х (т) dx.
о
(1.1)
В выражении (1.1) предполагается, что рассматриваемый с од-
ним входом и одним выходом аналоговый фильтр является
Входной сигнал= jz(t)
Система: аналоговый
фильтр с импульсной
характеристикой
Выходной сигнал-у(t)
Рис. 1.1. Фильтр — система с набором заданных характеристик типа вход
выход.
физически реализуемым, линейным, сосредоточенным, и инва-
риантным во времени, a h(J)—импульсная характеристика
фильтра. Преобразование Лапласа уравнения (1.1) дает
У(®) = Я(5)Х(в), (1.2)
где У (s), H(s) и X(s) — соответственно преобразования Лапла-
са функций y(f), h(f) и x(t). Здесь фильтр характеризуется
функцией H(s) — передаточной функцией (или частотной ха-
рактеристикой при s = 7®) фильтра2). Поскольку или s или
/о — комплексные переменные, то функция H(s) или H(ja) яв-
ляется комплексной величиной, т. е. функция Н (/©) имеет ве-
щественную часть Re[/7(/®)] и мнимую часть Im[Н(/и)] и
Н (/«>) = Re [Н (/®)] + 7 Im [Н (7®)]. (1-3)
Используя экспоненциальную форму, можно записать
л(7®)=|Л(7®)|^т™,
(1.4)
') В этой книге рассматриваются исключительно сосредоточенные
фвльтры.
2) Для гармонического анализа в установившемся режиме предполагается
s = ja.
где |Я(/си)| и /Н (/<!>) обозначают соответственно модуль и фа-
зовый угол опережения функции Я (/со)1), а также
| Н (/©) I2 = {Re [Н (/со)]}2 + {Im [Н (>)]}2 = Н (/со) Н (- /со), (1.5)
(L6)
Re [Н (/со)] = | Н (/со) | cos /7/ (/со), (1.7)
Im [Н (/со)] = | Н (/со) | sin IH (ja). (1.8)
Следует отметить, что последнее равенство в уравнении (1.5)
имеет силу, поскольку все коэффициенты функции H(s) пола-
гаются вещественными числами.
1.1. Амплитудно-частотная характеристика
Как было указано выше, основное назначение электрического
фильтра — выделять и пропускать требуемый сигнал из смеси
полезного и нежелательных сигналов. В случае радиоприемника
поступающий на вход сигнал представляет собой сумму элек-
трического шума и сигналов от всех радиостанций, включая и
требуемую станцию. Настраивая радиоприемник на определен-
ную частоту, мы отфильтровываем «все» сигналы от мешающих
станций и пропускаем сигнал, переданный нужной станцией.
Из-за присущих физически реализуемым системам ограничений
мы никогда не сможем создать ни приемник, пропускающий
одну определенную частоту сор и подавляющий все другие ча-
стоты, ни передающую станцию, которая передает точно на
частоте сор. Следовательно, мы проектируем фильтр, который
пропускает сигналы в интервале частот (copi, (оРг), содержащем
и частоту сор, и подавляет все другие, где термины «пропуска-
ние» и «подавление» используются скорее в относительном
смысле, чем в абсолютном.
Из соотношения (1.2) следует, что
|У(/со)| = |Я(/со)||Х(/со)[, (1.9)
/У (/со) =/77 (/со) + /X (/со). (1.10)
Выражение (1.9) показывает, что значение выходного сигнала
представляет собой произведение величины входного сигнала
на частотную характеристику фильтра. Это означает, что если
амплитудно-частотная характеристика фильтра | Н (j<o) | равна
нулю (или приблизительно равна нулю) для определенного
’) Применительно к фильтрам эти функции удобнее называть соответ-
твенно амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками. Последнюю
асто называют просто фазовой характеристикой. — Прим. ред.
диапазона частот, скажем между cosi и cos2, то выходной сигнал
будет иметь нулевую величину (или приблизительно нулевую)
при частоте входного сигнала в полосе частот (cosi, cos2) • При
этом диапазон частот (ом, cos2) называется полосой задержива-
ния фильтра. Аналогично, если амплитудно-частотная характе-
ристика |Я(/со) | больше или равна определенному, близкому к
единице числу в диапазоне частот (copi, сор2), то этот интервал
частот (copi, сор2) называется полосой пропускания фильтра1).
Это название обусловлено тем, что если частота входного сиг-
нала лежит в диапазоне частот (copi, сор2), то выходной сигнал
является усиленным или в худшем случае слегка ослабленным
аналогом входного сигнала. Кроме того, определим переходную
полосу как диапазон частот между полосой пропускания и по-
лосой задерживания. Требования к амплитудно-частотной ха-
рактеристике фильтра могут включать параметры полосы про-
пускания, полосы задерживания, а также и переходной полосы.
Исходя из соотношения (1.9), можно определить следующие
основные типы частотно-избирательных фильтров:
1. Фильтр нижних частот — фильтр с полосой пропускания
от 0 до некоторой частоты сор и полосой задерживания от неко-
торой частоты a>s до бесконечности, где ®р < cos.
2. Фильтр верхних частот — фильтр с полосой пропускания
от некоторой частоты сор до бесконечности и полосой задержива-
ния от 0 до сОд, где cos < ир.
3. Полосовой фильтр — фильтр с полосой пропускания от не-
которой частоты ©pi до другой частоты сор2 и полосами задер-
живания ОТ О ДО COsl И ОТ C0s2 ДО ОО, ГДе COsI < ®pl < ®р2 < C0s2-
4. Заграждающий фильтр — фильтр с полосами пропускания
от 0 до ©pi и от Ир2 до оо и полосой задерживания от <dsi до cos2,
где ©pi <2 ©si <2 cos2 <Z. <0p2.
5. Всепропускающий фильтр — фильтр с единичной переда-
чей для всех частот (т. е. с полосой пропускания от 0 до оо).
Этот тип фильтра в основном используется для обеспечения фа-
зовой коррекции и фазового сдвига.
Характеристики этих пяти основных типов частотно-избира-
тельных фильтров иллюстрируются на рис. 1.2. Конечно, име-
ются фильтры, которые не принадлежат ни к одному из этих
пяти типов. В большинстве же случаев требования к ампли-
тудно-частотным характеристикам фильтров попадают в одну
из этих категорий либо представляют собой комбинацию из
этих пяти типов. Подходящим примером является фильтр с па-
раметрами амплитудно-частотной характеристики (рис. 1.3, а).
*) Здесь единица является нормированным относительно опорной вели-
чины значением.
]Н(/ь>)| \ Нижних частот |
Ы
____________1_________I -и,,.». . __________—-----—
"р Ч
'iWf/fcj)! \ верхних частоту
Ч Ч>
1М;6>)| [ Полосовой |
<z>, и„ а)п <х)?
s, pt Рг Лг
е]Й(/ю)] | Заграждающий |
|всепропускающйй\
О}
Рис. 1.2. Пять основных типов частотно-избирательных фильтров.
Этот фильтр можно рассматривать как комбинацию из фильтра
нижних частот и четырех полосовых фильтров (рис. 1.3,6).
Для иллюстрации некоторых применений этих типов филь-
тров рассмотрим следующие два примера:
1. При передаче низкочастотного сигнала Xo(f), типа рече-
вого сообщения, на дальнее расстояние необходимо до пере-
дачи промодулировать этим низкочастотным сигналом высоко-
Рис. 1.3. Пример разложения фильтров.
частотную несущую. Имеется несколько методов модуляции
сигнала. На рис. 1.4 приведена структурная схема двухполос-
ной амплитудной модуляции. В приемнике переданный сигнал
Xi (0 проходит через преобразователь частоты, где он умно-
жается на сигнал модулированной частоты. Для восстановления
исходного сигнала Хо(О выходной сигнал преобразователя ча-
стоты Х2 (/) пропускается через фильтр нижних частот с поло-
сой пропускания [0, сод] и полосой задерживания от (2о:щ — сод)
до бесконечности.
Приемник
Рис. 1.4. Структурная схема двухполосной амплитудной модуляции.
2. В дальней связи линейные несущие частоты многих сиг-
налов передаются одновременно. Это достигается при использо-
вании частотного разделения, т. е. каждый из низкочастотных
входных сигналов переносится на различные центральные ча-
стоты (рис. 1.5, а), где со,— центральная частота /-го низкоча-
стотного сигнала. На приемном конце переданный сигнал прохо-
дит через набор параллельных полосовых фильтров соответ-
ствующих приемников сообщений (рис. 1.5,6).
Конечно, имеются случаи, которым эти пять основных типов
фильтров не соответствуют. Подходящим характерным приме-
ром является следующий.
Рассмотрим трансатлантический подводный коаксиальный
кабель длиной ~3200 км. Используемый частотный диапазон от
20 до 164 кГц1). Эта полоса частот делится на 36 телефонных
’) Для сокращения затрат в линии дальней связи желательно организо-
вать максимальное число каналов. Однако потери сигнала увеличиваются с
повышением его частоты, тем самым ограничивая возможное их число. По-
этому, даже если частота сигнала ю может принимать значения от 0 до оо,
то для теле- и радиовещания выделяется ограниченная полоса частот (пред-
ставляемая для каждой станции федеральной комиссией связи). Вне опреде-
f енногр частотного предела передача затруднена.
Огибающая переданного сигнала
; Низкочастотный
сигнал 1
Низкоэасггяятый
сигнал п
б
Рис. 1.5 Структурная схема частотного разделения.
каналов, каждый с шириной полосы 4 кГц. Сигнал зату-
хает из-за электрических потерь в кабеле. Б самом высокоча-
стотном канале потери в кабеле длиной -~3200 км составляют
~3200 дБ1), а в самом низкочастотном на том же самом рас-
*) Величина потерь (в дБ) .А—20 log |Н(/<о) | =—10 log |Я(/о) |2. Ве-
личина усиления (в дб) ^-20 log|Н(ja) ] = 10 log \Н(/со) |2.
стоянии -1100 дБ. Другими словами, если предположить, что
уровень входного сигнала 1 В, то в конце 3200-км кабеля в
наивысшем канале уровень напряжения составит 10-160 В, а в
наинизшем канале 10~55 В. Очевидно, что необходимо усиле-
ние. Поэтому через 65-км участки кабеля располагаются линей-
ные усилители. Это означает, что каждый усилитель должен
обеспечивать усиление 22 дБ для наинизшего канала и 64 дБ
Рис. 1.6. Пример амплитудно-частотной характеристики фильтра, которая не
является линейной комбинацией пяти основных типов характеристик частотно-
избирательных фильтров.
для наивысшего и среднее значение для промежуточных кана-
лов. Каждый усилитель будет обладать формой частотной ха-
рактеристики, подобной приведенной на рис. 1.6.
1.2. Характеристики фазочастотная и группового времени
До сих пор рассматривалась только амплитудно-частотная
характеристика, теперь же исследуем другую составную часть
частотной характеристики фильтра, а именно ее фазочастотную
характеристику (фазовый угол) <р (со) или, что эквивалентно,
характеристику группового времени т(со), где1)
<р(со)А-/Д(/со), (1.Ц)
(1.12)
Для понимания физического смысла функций фазового угла или
группового времени фильтра изучим следующие два случая.
’) В основном под фазовым углом подразумевается фазовый угол запаз-
дывания <р(ю), а / Н(ja) называется фазовым углом опережения.
Сначала рассмотрим фильтр с характеристикой вида
ДЛЯ -СОс<СО<(Ос
= 0 для сос < со < — сос,
т. е. фильтр с нулевым фазовым углом и, следовательно, нуле-
вым групповым временем для всех частот со. Его импульсная
характеристика равна
оо “с
Л1(/) = (1/2л) j Я1(/‘со)е^Чсо = (1/2л) J =
-“с (1.14)
== (1/л/) (1/2/) [exp (/сос/) — exp (— /сос/)] =
= (1/л/) sin (»с/ = (сос/л) (sin
Теперь рассмотрим второй фильтр, который характеризуется
следующим соотношением:
Н2 О) = 1 ехр [— / (/гли/2юе)] для — сое < со < сос,
„ (1.1о)
= 0 для сос < со < — сос.
Этот фильтр отличается от предыдущего именно фазовым углом
в полосе пропускания, а его импульсная характеристика имеет
вид
h2 (О = (®с/п) sin [®с^ — (/гл/2)]/[сос/ — (kn/2)]. (1.16)
Из сравнения уравнений (1.14) и (1.16) следует, что последний
фильтр имеет временную задержку (fert)/(2coc) от предыдущего
Рис. 1.7. Пример, иллюстрирующий влияние группового времени.
(рис. 1.7). Следует отметить, что групповое время второго
|фильтра
т (со) = (d]d®) (kn<£>/2(ac) = (йл/2сос) = Td (1.17)
(равно времени запаздывания его импульсной характеристики.
Сравнение импульсных характеристик этих двух фильтров
(показывает, что существует прямое соотношение между группо-
вым временем фильтра (или, что эквивалентно, фазовым углом
запаздывания) и временем запаздывания его импульсной ха-
рактеристики. В действительности уравнение (1.17) верно для
всех случаев.
Далее, для большей определенности рассмотрим фильтр, ко-
торый описывается следующей передаточной функцией:
H(s) = Ke~st°. (1.18)
Следовательно, характеристика группового времени фильтра
равна
т (со) = — (d/da) (— со/о) = /0. (1.19)
Если подать на этот фильтр входное возбуждение
%(/) = «(/ —Го), (1.20)
где u(t) — функция единичного скачка, то выходной сигнал
y(t) будет определяться следующим образом:
y(t) = Ku[t-(t0 + T0)]. (1.21)
Это означает, что групповое время фильтра по существу равно
/вых — /вх, где /вх — время, при котором входной сигнал дости-
гает своего установившегося значения, а /Вых — время установ-
ления выходного режима.
При использовании фильтров в системах радиолокации осо-
бенно важно определить время прихода сигнала, поэтому
фильтры, включенные в обработку отраженных сигналов, долж-
ны обладать наиболее линейной фазочастотной характеристикой
или, что эквивалентно, групповым временем, по возможности
близким к постоянной величине. Отметим, что небольшие откло-
нения фазочастотной характеристики от линейной внесут разно-
образные искажения в импульсную характеристику и, следова-
тельно, приведут к ошибкам в оценке времени прихода сиг-
налов.
Другая область, в которой находят применение фильтры с
линейной фазой, — это обработка речи. Рассмотрим случай про-
хождения речевого сигнала через фильтр с фазовой характери-
стикой (рис. 1.8). В этом случае высокочастотные компоненты
речевого сигнала пройдут через фильтр раньше низкочастот-
ных и, следовательно, выходной сигнал будет сильно искажен-
ным подобием входного. Очевидно, что такая ситуация нежела-
тельна для многих применений обработки речевых сообщений.
Хорошо известно, что аналоговые фильтры на сосредоточен-
ных элементах не могут обеспечить совершенную линейную фа-
зовую характеристику на всей оси со1)- Следовательно, если
*) Можно спроектировать цифровые фильтры с конечной импульсной ха-
рактеристикой, обладающие линейной фазовой характеристикой для всех ча-
стот.
требуется фильтр с линейной фазовой характеристикой, то не-
обходимо определить рабочий диапазон частот, а затем рассчи-
Рис. 1.8. Пример, иллюстрирующий влияние фильтра с нелинейной фазочастот-
ной характеристикой.
тать фильтр, обладающий такой характеристикой в интересую-
щей нас полосе частот.
1.3. Методика проектирования
Описание фильтра полностью завершено, когда точно опре-
делены его характеристики амплитудно-частотная и фазочастот-
ная или группового времени. На практике для реализации
фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям по обра-
ботке сигнала, можно использовать методику расчета, подоб-
ную методике, приведенной на рис. 1.9.
Этап 1 (рис. 1.9) содержит технические характеристики тре-
буемого фильтра. В него включаются требования к амплитуд-
но-частотной характеристике в полосе пропускания и полосе
задерживания, ширине переходной полосы, характеристике фа-
зочастотной или группового времени, а также другие необходи-
мые параметры, такие, как входное и выходное сопротивления,
уровень сигнала, габариты, вес и стоимость. Этап 2 обусловли-
вает задачу нахождения подходящей передаточной функции, ко-
торая удовлетворяет предъявленным на этапе 1 требованиям.
Выбор будет зависеть от рабочего частотного диапазона, чув-
ствительности нулей и полюсов, уровней сопротивлений и т. д.
Этап 3 связан со схемными реализациями передаточной функ-
ции, полученной на этапе 2. Поскольку отсутствуют идеальные
электрические элементы, необходимо исследовать допуски филь-
тров, полученных на этапе 3, для определения их пригодности
на практике, как указано в этапе 4. Если среди полученных на
этапе 2 схем отсутствуют удовлетворительные, то необходимо
возвратиться к этапу 2 либо следует снизить требования к ра-
бочим характеристикам и таким образом пройти этап 4. Далее
Этап 1
3manZ
ЭтапЗ
Этап 4
Этап 6
Этап 7
Рис. 1.9. Методика проектирования.
необходимо применить методику оптимизации по стоимости и
рабочим характеристикам для нахождения из оставшихся после
этапа 4 «лучшей» схемы, как показано на этапе 6. После этого
можно конструировать и испытывать лабораторный образец в
качестве прототипа для дальнейших исследований.
В этой книге в основном рассматриваются задачи, введен-
ные на этапах 2—4.
ЛИТЕРАТУРА
1- Kuh Е. S., Pederson D. О., Principles of Circuit Synthesis, New York.
McGraw-Hill, 1959.
Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., Krie-
ger R. E., 1975.
3. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters,
Englewood Cliffs, N. J. Prentice-Hall, Inc., 1970.
4. Temes G. C., Mitra S. K., Modern Filter Theory and Design, New York, Wi-
ley-Interscience, 1973. [Имеется перевод: Современная теория фильтров и
их проектирование. Пер. с англ./Под ред. Г. Темеша, С. Митра. — М.: Мир,
1977.]
5. Stover W. A. Circuit Design for Audio, AM/FM and TV, New York, McGraw-
Hill, 1967.
ЗАДАЧИ
1.1. Для каждой из следующих функций H(s) найти соответствующие
Ре[Я(/со)], 1т[Я(/со)], |Я(/со) |, /Я (/со), ср(со) и т(со).
а) н(s) = s+ j; ») //(«)= g2 + 3s + з;
б)/7(5)=_2-Г; з) 27(s) = .-s, Д—;
в) Н 00 = ; и) Н (s) = ;
s2 + s+ l s2 4- д/ 2 s + I
г) Н (s) =-------; к) Н (s) =---------------;
s2 + s + 1 s2 + д/2 s + 1
Д) н (S) = 2 1 : Л) н (s) = 'за. € а.. •
s2 4- s 4-1 s2 4~ "V 2 s 4~ 1
е) н 00 = s2 4- 3s + 3 :
1.2. Нарисовать амплитудно-частотные характеристики следующих функций
77(s):
б>"<»-ТГГ; д>"М~,--Л-4-1-
») »w--?+4+t;
1.3. Нарисовать характеристики фазочастотную и группового времени сле-
дующих функций Я(в):
a) Я(в) = ——;
s + 1
с
б) "(*) = т+т;
в) Н (s) = -2 + 3s + 3-;
1.4. Доказать справедливость
г) Н (s) =-------------£=---------;
s2 + -\/2 s + 1
с2
А) Н («) = 2 , ,
' S2 + S + 1
следующих положений:
a) Re [Я (/со)] = Re [Я (-/со)];
б) Im [Я (/со)] = - Im [Я (- /со)];
р) |Я(/со)| = |Я(-/со)|;
г) /Я (/со) = — /Я (— /со);
д) ср (со) = — ср (—со);
е) т (со) = т (— со).
1.5. Для системы рис. 1.4) найти соответствующий сигнал Хз t , если ампли-
тудно-частотная характеристика фильтра нижних частот задана на:
а) рис. 3.1.5, а; б) рис. 3.1.5, б и в) рис. 3.1.5, в.
Рис. 3.1.5.
1.6. Для схемы (рис. 3.1.6) найти установившиеся значения сигналов и
ог(0> если
a) vs (0 — cos Ю31; б) vs(t) — cos 1061.
/? = 10кОм
С=0,01мкф
Рис. 3.1.6.
в) Исходя из результатов, полученных в пп. а) и б), определить тип
фильтра, заданный соотношениями Vi/K и Уг/К.
1.7. Для схемы (рис. 3.1.7) найти установившиеся значения сигналов Vi(f),
й(<) И V3 (0. еслИ
a) vs (/) = cos 100/; б) (/) = cos 10s/; в) vs (/) = cos 10s/.
г) Исходя из результатов, полученных в пп. а), б) и в), определить тип
фильтра, заданного соотношениями Vi/Vs, 14/14 и Va/Vs.
д) Найти передаточные функции Ht(s} (I4/V4), где t= 1, 2, 3.
Рис. 3.1.7.
е) Нарисовать амплитудно-частотные характеристики | Hi (/со) | для 1 =
= 1. 2, 3.
ж) Нарисовать фазочастотные характеристики <р<(<о) функции Hds) для
i = 1, 2, 3.
1.8. На рис. 3.1.8 показаны частотные характеристики фильтра F. Найти уста-
новившийся выходной сигнал #(/), если входной сигнал х(/) фильтра F.
• имеет вид х(/) = cos 60/ + 10 cos 600/ + cos 3000/.
2
Элементная база
Изображенный на рис. 2.1, а двухполюсник представляет
такую пару зажимов, что подводимый к одному зажиму мгно-
венный ток будет всегда равен мгновенному току, выходящему
Рис. 2.1.
а—двухполюсник; б—двухполюсник; в—четырехполюсник; г—элемент с тремя зажи-
мами; д— рассмотрение элемента с тремя зажимами как четырехполюсника.
i’bx(0 = «вых (0 для всех значений t. Эти основополагающие
обозначения двухполюсника и четырехполюсника приведены со-
ответственно на рис. 2.1,6 и в. Следует отметить, что устройство
с тремя зажимами можно рассматривать в виде четырехполюс-
ника (рис. 2.1, г и д), но не наоборот.
Математическое описание
В этой книге рассматриваются исключительно линейные,
сосредоточенные и инвариантные во времени элементы. Кроме
того, предположим, что все двухполюсные и четырехполюсные
устройства не содержат внутренних независимых источников, а
все начальные условия — нулевые. Следовательно, двухполюс-
ный элемент можно представить соотношением V — ZI, где Z
б
Рис. 2.2.
а—пример нерегулярного двухполюсника; б—пример нерегулярного четырехполюсника
называется полным сопротивлением двухполюсника, или соот-
ношением I = YV, где Y называется его полной проводимо-
стью1). Очевидно, что Y= 1/Z, a Z=\/Y. В случае четырех-
полюсника описание становится более сложным. Существует
шесть основных математических описаний регулярных четырех-
полюсников 2):
а) Представление через матрицу полных сопротивлений
Гу*1
L v2 J
Zu ZJ2 3 Г Л 1
Z21 z22 J L Л J
или V = ZI;
(2.1)
б) Представление через матрицу полных проводимостей
/1
У11 У12
У21 У22
или 1 = YV; (2.2)
*) Имеются некоторые двухполюсные элементы, которые нельзя предста-
вить соотношением V — ZI или I = YV. Например, такой элемент, как нул-
латор, который изображен на рис. 2.2, а, характеризуется соотношениями
V = 0 и 1 - 0.
2) Имеются вырожденные случаи, при которых четырехполюсник нельзя
представить в виде матрицы 2X2, связанной с переменными на зажимах Vj,
V2, /1 и /2. Примером может служить четырехполюсник, содержащий два нул-
латора (рис. 2.2,6). Этот четырехполюсник характеризуется четырьмя уравне-
ниями: Ki = 0, V2 == 0, h = 0 и h = 0.
в) И г) Представления через смешанную матрицу
д) и е) Представления через передаточную или цепную ма-
трицы
Очевидно, что Z^Y1, Y = Z-1, Н = Н“1, Н —Н-1, ОС1
и С = С“1.
Четырехполюсник называется взаимным, если Zi2 — z2i или
у12 = у21. Все двухполюсники являются взаимными элементами
по определению. Многополюсник, полученный на основе соеди-
нения взаимных элементов, также взаимный.
Для шестиполюсных устройств имеется большее разнообра-
зие в математических описаниях. Поскольку здесь главным об-
разом рассматриваются двухполюсные и четырехполюсные
устройства, за исключением операционных усилителей (кото-
рые, строго говоря, представляют собой шестиполюсные при-
боры), задача представления шестиполюсных элементов не
включается.
2.2. Элементы схем
В связи с тем что рассматриваются только линейные, сосре-
доточенные и инвариантные во времени элементы, созданные
на основе соединения этих элементов, фильтры называются
линейными, сосредоточенными и инвариантными во времени.
(Для удобства при описании элемента или схемы определения
«линейный», «сосредоточенный» и «инвариантный во времени»
опускаются.) Эти элементы, используемые для построения та-
кого типа фильтров, можно классифицировать двумя широкими
категориями: основная элементная база и дополнительная эле-
ментная база. Такая классификация основывается на том по-
ложении, что каждый элемент категории дополнительной эле-
ментной базы можно реализовать, соединяя элементы, принад-
лежащие к категории основной элементной базы. Очевидно, что
дополнительная элементная база не является основополагаю-
щей; однако она полезна как концептуальный инструмент.
2.2.1. Основная элементная база
К этой категории принадлежат:
1. Резисторы. Показанный на рис. 2.3, а резистор характери-
зуется соотношением V — R1 или I = GV, где G= 1/7?.
2. Конденсаторы. Показанный на рис. 2.3,6 конденсатор
описывается соотношением I — sCV или V = (l/sC)7.
Рис. 2.3. Основная элементная база.
а—резистор; б—конденсатор; в—катушка индуктивности; г—операционный усилитель.
3. Катушки индуктивности. Катушка индуктивности (рис. 2.3,в)
задается соотношением V = sLI или I = (1/sL) V.
4. Операционные усилители (ОУ). На рис. 2.3,г показан
операционный усилитель, который характеризуется: а) входным
полным сопротивлением ZBX = оо, б) выходным полным сопро-
тивлением ZEbix = 0, в) 1/вых = ^1(1/2—Vi) при А -> оо, где Vi,
V2 и Кых представляют собой соответственно напряжения меж-
ду узлом 1 и землей, узлом 2 и землей и узлом 3 и землей. Это
шестиполюсное устройство можно представить в следующем
виде:
где Л->оо. Обычно соединение ОУ с землей не изображается.
До того как перейти к дальнейшему рассмотрению, необхо-
димо подчеркнуть, что эта основная элементная база содержит
исключительно идеальные элементы; они являются изображе-
нием на бумаге с помощью карандаша, а не реальными физи-
ческими объектами. В общем случае электрические характери-
стики реального физического элемента можно смоделировать
с достаточной степенью точности на основе соединения этих
идеальных элементов. Например, реальную катушку индуктив-
ности в большинстве случаев можно точно смоделировать с по-
мощью последовательного соединения идеального резистора и
Рис. 2.4. Пример, иллюстрирующий применение принципа виртуального корот-
кого замыкания.
идеальной катушки индуктивности. В действительности рабочие
характеристики многих элементов не отличаются значительно
от их идеальных характеристик, особенно если они рассчитаны
для функционирования в определенных для них рабочих пре-
делах. Другой момент, который следует отметить, это то, что
физический ОУ имеет характеристики, близкие к ранее опреде-
ленным идеальным характеристикам при обеспечении должного
смещения, фазовой коррекции и точной балансировки при усло-
вии, что он работает в низкочастотном диапазоне и при уровне
его выходного напряжения ±Е В, где Е в основном составляет
несколько вольт, которые зависят от источников питания.
Для обеспечения некоторого сокращения в расчетах схем на
ОУ заметим, что Л = 12 — 0, т. е. означает отсутствие тока
через входные зажимы ОУ. Кроме того, применим принцип вир-
туального короткого замыкания, который устанавливает сле-
дующее.
Принцип виртуального короткого замыкания1). Если вход-
ные зажимы ОУ через узлы 1 и 2 не соединены непосредственно
*) Принцип виртуального короткого замыкания имеет силу при предполо-
жении, что ОУ работает в линейном режиме.
с зажимами независимого или управляемого источника напря-
жения, то Vi — Vs-
Для иллюстрации пользы этого принципа при вычислении
проанализируем схему на рис. 2.4 двумя способами: с помощью
принципа виртуального короткого замыкания и без него.
Найдем теперь соотношение между Иных и Увх без примене-
ния принципа виртуального короткого замыкания. Поскольку
/1 = Л = 0, узловое уравнение в узле 1 дает
1А = 1В. (2.8)
Контурное уравнение по узлам 3413 устанавливает следующее:
/?в/в+/?д/д+Гвых = 0. (2.9)
Из другого контурного уравнения по узлам 414 получаем
И + /?д7д = 0. (2.10)
Кроме того, из характеристик ОУ следует, что
Кых = Л(172-к>) при Д->оо. (2.11)
Для того чтобы найти соотношение между Квх = К2 и VBbIX, по-
стараемся исключить все другие переменные в уравнениях
(2.8) — (2.11). Уравнения (2.8) и (2.10) устанавливают, что
Za = Zb = -(Vi//?J. (2.12)
Подставляя соотношение (2.12) в уравнения (2.9) и (2.11), по-
лучаем следующее выражение:
Квых == -Лп- к, - А (V2 - Vj), (2.13)
*А
которое можно переписать в виде
Z R* "Ь \ А
+ = Ж или =
Подставляя выражение (2.14) в первую половину соотношения
(2.13), получаем
V
v вых
_ Л1 +(_________&______Л у
кА U + [(^ + MW 2'
Поскольку А -> оо,
ПВЬ1Х-[(/?л + /?в)/^]П2 или Квых/Квх = (/?Д-/?В)//?Д. (2.15)
При использовании принципа виртуального короткого замыка-
ния и проведении вычислений сначала видно, что эти вычисле-
ния упрощаются:
К1 = К2^-Дд/д = Квх или 7л = -(Квх/Яд). (2.16)
Контурное уравнение по узлам 3413 и узловое уравнение в
узле 1 дают
^B+^+VEbIX = 0, (2.17)
1А = 1В. (2.18)
Используя соотношения (2.16) и (2.18), приведем уравнение
(2.17) к виду
^вых = ~ (/?л + RB) 1А = [(7?л + RbIIRa] Ивя, (2-19)
который является результатом, полученным в выражении (2.15)
после многочисленных вычислений.
Операционные усилители более подробно рассматриваются
далее совместно с синтезом активных фильтров в гл. 10.
2.2.2. Дополнительная элементная база
Поскольку технология интегральных схем постоянно совер-
шенствуется, то в этой категории становится все больше и
больше элементов. Ограничим наше исследование следующими
восемью элементами.
1. Зависимые источники.
а) Источник напряжения, управляемый напряжением
(ИНУН) (рис. 2.5, и), характеризуется соотношением VB —
= kVA. Две реализации ИНУН приведены на рис. 2,5,6 и в.
б) Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН)
(рис. 2.6, а), характеризуется соотношением Д = £с1/7/,. Две реа-
лизации ИТУН приведены на рис. 2.6, б и в. На рис. 2.6, б по-
казан конденсатор, который обычно используется для увеличе-
ния скорости нарастания переходной характеристики. К тому
же резисторы выбраны таким образом, что — RzRA, и кро-
ме других эффектов это дает высокое внутреннее полное сопро-
тивление, и, следовательно, схема по функционированию будет
наиболее близко приближаться к истинному источнику тока.
Обычно для получения малых токов резисторы R\ и /?2 выби-
раются большими, тогда как резисторы R3 и Rt—малыми для
уменьшения падения напряжения на них.
в) Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ)
(рис. 2.7, о), характеризуется соотношением Ув = гс/д. Из-за
сложности измерения токов в ветвь, по которой протекает
[управляющий ток 1А, введено небольшое сопротивление для по-
лучения падения напряжения VA (рис. 2.7,6). Тогда задача
реализации ИНУТ сводится к задаче реализации ИНУН.
г) Источник тока, управляемый током (ИТУТ) (рис. 2.8, с),
характеризуется соотношением 1в — к1А. ИТУТ также реали-
зуется подобно ИНУТ в приближенном виде (рис. 2.8,6).
Рис. 2.5. Источник напряжения, управляемый напряжением.
а—условное обозначение ИНУН, Уд = йуд; б—инвертирующий ИНУН, Vg = —
s — неинвертирующий ИНУН, V^=[(Ra+^b)I^A] КА-
Следует отметить, что все четыре типа зависимых источни-
ков представляют собой невзаимные четырехполюсные элемен-
ты. Обычно левая половина, или управляющая часть зависимого
источника, подробно не показывается на графиках схем.
2. Гираторы. Изображенный на рис. 2.9, а гиратор пред-
ставляет собой четырехполюсное устройство и характеризуется
следующей матрицей полных проводимостей:
ГЛ1 Г о ё11 г 1
L /2 J L—ё2 о J L Vz J
Из соотношения (2.20) следует, что гиратор можно реализовать
на основе двух ИНУТ (рис. 2.9,6). Реализация гиратора на
основе ОУ при gi = gz приведена на рис. 2.9, в. В большинстве
случаев, представляющих практический интерес, имеем gi =ф
= gz — g, и изображение гиратора на рис. 2.9, а упрощается
(рис. 2.9,г).
(2.20)
Рис. 2.6. Источник тока, управляемый напряжением.
а—условное обозначение ИТУН, Zg=gcV^; б—ИТУН с заземленной нагрузкой,
=Я2Я4, = в—ИТУН с незаземленной нагрузкой, jB=[(Я2 + ^?3)/^1^3]VA.
Рис. 2.7. Источник напряжения, управляемый током,
k~rdP'A< &А мало,
б
Рис. 2.8. Источник тока, управляемый током.
gc=kihд> мало.
Для того чтобы показать, что на рис. 2.9, в изображен дей-
ствительно гиратор, применим принцип виртуального короткого
замыкания, который дает
lc=VJR. (2.21)
Записывая контурные уравнения по контурам 32G3, 31G3,
G543G, 6G346 и 6G56, получаем
VD = 2RIC = 2VU (2.22)
Vd^-RIb+V^-I^VJR, (2.23)
- V2-RID + Vd = 0^/d = (- V24-2V,)//?» (2.24)
VE—VD + 2IDR = 0=>VE + 2IDR = 2Vb (2.25)
VE-V2+Rip = 0. (2.26)
Подстановка соотношений (2.24) и (2.26) в уравнение (2.25)
дает
V2 - RIf - 2V2 + 4V, = 2V, => Ip = (2 V, - V2)/fl. (2.27)
Между узлами 1 и 5 имеем
/д = (И,- V2)/R. (2.28)
На основе соотношений (2.23), (2.27) и (2.28) уравнения пер-
вого закона Кирхгофа в узлах 1 и 5 дают
/1 = 1А + h = WJR) - W2/R) - (Vi/R) = - (Vz/R), (2.29)
/2 = - I a + lP = - (V,/7?) + (V2/R) + (2 V,//?) - (V2/R) = (V,//?).
(2.30)
Таким образом, соотношение
описывает гиратор при g — —\/R.
б
Рис. 2.9. Гираторы.
а—условное обозначение гиратора; б—гиратор, реализованный на двух ИТУН; в—гира-
тор, реализованный на ОУ прн | gi 1 = 1 gi I = 1/Я; &—условное обозначение гиратора
с активной проводимостью гирации g.
Рис. 2.10. Реализации катушек индуктивности комбинациями гиратор — кон-
денсатор.
а и б—искусственная заземленная катушка индуктивности; в и г —искусственная неза-
земленная катушка индуктивности.
Одним из наиболее важных применений гираторов в области
активных фильтров, как и в других областях, является реали-
зация катушек индуктивности. Изображенная на рис. 2.10, а
схема представляет собой схематическую реализацию катушки
индуктивности. Вычисления проводятся на основе
уравнения конденсатора: 12 = — sCV2, (2.32)
уравнений гиратора: ]1 = g\/2 и 12 = — gVy (2.33)
Комбинируя эти два уравнения, получаем соотношение
- gVt = /2 = - sCV2 = — sC (1/g) Ц => ZBX = (VJK) = s (C/g* 2),
(2.34)
которое эквивалентно катушке индуктивности с индуктивностью
C/g2 Г (рис. 2.10,6).
Поскольку гираторы являются заземленными1), то схемой
на рис. 2.10, а можно реализовывать исключительно заземлен-
ные катушки индуктивности (т. е. один из зажимов такой ис-
кусственной катушки индуктивности подсоединен к земле). Ти-
пичная реализация незаземленной катушки индуктивности (т. е.
оба зажима этой искусственной катушки индуктивности не
соединены непосредственно с землей) приведена на рис. 2.10, в.
Анализ осуществляется следующим образом:
первое уравнение гиратора' I\=gV и Ii = — gVi, (2.35)
где V= Vi = V2,
второе уравнение гиратора: I2 — gV2 и 12 =— gV, (2.36)
уравнение конденсатора: — Ц + (— I2)=sCV. (2.37)
Первая половина соотношения (2.35) и вторая половина
(2.36) в результате дают
Ц = - /2. (2.38)
Подставляя соотношения (2.35) и (2.36) в уравнение ,(2.-87),
получаем
gVi ~ gV2 = sCV = SC (1/g) Л => Vj - к2 = s (C/g2) (2.39)
Совместно уравнения (2.38) и (2.39) описывают незаземленную
катушку индуктивности с индуктивностью C/g2 Г (рис. 2.10,г).
Реализация незаземленной катушки индуктивности '(рис.
2.10, в) требует в целом применения четырех ОУ. Схемные^'реа-
лизации незаземленных катушек индуктивности с числом/ОУ,
меньшим четырех, приведены на рис. 2.11, а [3 ОУ] и рис. 2.11,6
и в [2 ОУ]2).
3. Конвертор отрицательного полного сопротивления (КОС).
Изображенный на рис. 2.12, а КОС представляет собой
*) Во всех существующих схемных реализациях четырехполюсных гирато-
ров «нижние» зажимы обеих пар зажимов заземляются; соответствующий
случай изображен на рис. 2.9, в.
2) См. [10, 11].
Рис. 2.11. Реализации незаземленных катушек индуктивности.
а—на трех ОУ; б и е —иа двух ОУ.
н
Рис. 2.11. (Продолжение.)
четырехполюсное устройство,
точной матрицей !)
которое характеризуется переда-
о
— k
2
(2.40)
где k — положительное число.
Простая реализация КОС на одном ОУ приведена на
рис. 2.12,6. Для того чтобы показать, что изображенная на
рис. 2.12,6 схема характеризуется соотношением (2.40), при-
меним принцип виртуального короткого замыкания и получим
П = И2. (2.41)
К тому же контурное уравнение по 31G23 дает
- Rah + Vi - V2 + RbIz = 0=>li= (Rb/Ra) 12. (2.42)
Очевидно, что соотношения (2.41) и (2.42) можно привести к
виду уравнения (2.40).
Использование названия конвертор отрицательного полного
сопротивления для обозначения приведенной на рис. 2.12, а
схемы объясняется тем, что если подсоединить полное сопро-
') Если быть более точными, то соотношение (2.40) описывает конвертор
отрицательного полного сопротивления по току, или -КОСТ Конвертор отри-
цательного полного сопротивления по напряжению, илп КОСН, характеризу-
ется следующим образом:
I If - й ° ][ У2 1
L/.J_L oiJl-/2J-
тивление Z2 к паре зажимов 2 (рис. 2.12,в), то входное полное
сопротивление Z\ станет равно
Z]=-(Z2M (2.43)
Таким образом, входное полное сопротивление представляет
собой отрицательное нагрузочное полное сопротивление, мас-
штабированное с помощью постоянного множителя \/k.
Рис. 2.12. Конвертор отрицательного полного сопротивления.
а—условное обозначение КОС; б—реализация КОС на одном операционном усилителе;
в—пример, иллюстрирующий типовое применение КОС.
4. Обобщенный конвертор полного сопротивления (ОКС)1).
Изображенный на рис. 2.13, а обобщенный конвертор полного
сопротивления представляет собой четырехполюсное устройство,
способное обеспечивать входное полное сопротивление со сто-
роны одной из двух его пар зажимов в виде произведения пол-
ного сопротивления, подключенного к его оставшейся паре за-
жимов, на некоторые внутренние полные сопротивления. Он
характеризуется цепной матрицей
*) В литературе он называется обобщенным конвертором полного сопро-
тивления и проводимости, поскольку он применяется как для полных прово-
димостей, так и для полных сопротивлений.
(2.44)
оке
6
tj и
Рис. 2.13. Обобщенный конвертор полного сопротивления.
—условное обозначение ОКС; б—схемная реализация ОКС при k = l н / (s)=(Zs?t)/(Z3Z5);
—заземленная катушка индуктивности Г.
где f(s) называется функцией преобразования полного сопро-
тивления, a k обычно нормировано к единице. Схемная реали-
зация ОКС при
k=\ и /(s) = Z2Z4/Z3Z5 (2.45)
приведена на рис. 2.13,6. В частном случае, если положить
Z2 — /?2, Zz = Rz, Z^ — Ri и Zz = 1 /sC$, то четырехполюсник
характеризуется следующим образом:
Следует отметить, что если теперь подсоединить к паре зажи-
мов 2 резистор Re (рис. 2.13,в), то получим функцию входного
полного сопротивления
Z™ Д (Vi/Л) = {R^R^M S. (2.47)
Это означает, что результирующий двухполюсник эквивалентен
заземленной катушке индуктивности в RzRiReCe/Rz Г.
5. Частотно-зависимое отрицательное сопротивление (ЧЗОС).
ЧЗОС представляет собой двухполюсное устройство с полным
сопротивлением, равным \/s2D, где D — положительное число и
имеет размерность фарада в квадрате, или Ф2. Для установив-
шихся синусоидальных режимов полное сопротивление ЧЗОС
становится равным
7(;Ю) = -(1/ю2Д), (2.48)
что эквивалентно резистору, отрицательное сопротивление кото-
рого зависит от рабочей частоты. В этом заключается причина
использования такого пространного названия.
На рис. 2.14, а приведено условное схемное обозначение
ЧЗОС. Схемную реализацию ЧЗОС можно получить, нагружая
пару зажимов 1 КОС [соотношение (2.45)] конденсатором
(рис. 2.14,6). Входное полное сопротивление результирующего
двухполюсника равно
ZBX = 1 /[s2 (RzRmR3)]. (2.49)
Известно, что катушки индуктивности крайне трудно изго-
товить в виде интегральных схем. В настоящее время заземлен-
ные катушки индуктивности можно проектировать на основе
пар гиратор — конденсатор и при этом избежать многих проб-
лем, но незаземленные катушки индуктивности при активной
реализации (т. е. на основе гираторов, ОУ и КОС) получаются
крайне нестабильными, чувствительными и непригодными для
практического применения. Один из способов исключения из
I
Рис. 2.14. Частотно-зависимое отрицательное сопротивление.
а—условное обозначение ЧЗОС; б—схемная реализация ЧЗОС.
схем катушек индуктивности представляет собой технический
прием переменного масштабирования полного сопротивления с
помощью масштабного множителя 1/s. Этот метод определяется
как следующий: задана передаточная функция в виде отноше-
ния напряжений или токов; затем проектируем схему на RLC-
элементах, удовлетворяющую требуемой передаточной функции.
Далее каждая катушка индуктивности в L Г заменяется на
резистор в L Ом [т. е. ее полное сопротивление в ветви масшта-
бируется от sL до (l/s)sL = L]; каждый резистор в R Ом
заменяется на конденсатор в \/R Ф [т. е. его полное сопротив-
ление в ветви масштабируется от R до (l/s)/?|; и каждый кон-
денсатор в С Ф заменяется на ЧЗОС с полным сопротивле-
нием l/(s2Cj [т. е. его полное сопротивление в ветви масш-
табируется от 1/sC до (1/s) (1/sC)]. После завершения этого
процесса получается новая схема без катушек индуктивности.
Кроме того, как исходная схема, так и схема, полученная на
основе переменного частотного масштабирования, обладают
одной и той же передаточной функцией по напряжению или
6. Сумматор. Сумматор представляет собой многовходовый
прибор, выходной сигнал которого состоит из алгебраически
взвешенной суммы его входных сигналов. Схема простого сум-
матора приведена на рис. 2.15; все обозначенные напряжения в
узлах являются заданными.
Рис, 2.15. Схема сумматора.
пт „
у-'' уч Rf
где С=Л('^) и
Z=1 i = l /=1 i = l
Для того чтобы показать, что на рис. 2.15 изображена схема
сумматора, запишем уравнения первого закона Кирхгофа в уз-
лах 1 и 2, а для контура 3G213 — уравнение второго закона
Кирхгофа следующим образом:
А V. - V
Е -V"'- (2-50)
A E.—V
<М1)
V.„-V + V = 0. (2.52)
При подстановке
g = £ (1/гл) и G = £ (1Д?Л) (2.53)
k=i t-i
можно записать соотношения (2.51) и (2.50) в виде
п г п
S (Ekfrk) = £ (V/rk) = gV => V = S (Ek/grk), (2.54)
k=l k~l k=l
m m m
£ (VM = I + z (V/Rk)+ GV => I = £ (VM-GV. (2.55)
fc=i fe=i fe=i
Подставляя соотношение (2.54) в уравнение (2.55), получаем
т п
I=lL(VkIRk)-TAGIgrk)Ek.
fe=i fe=i
Наконец, используя соотношения
сать уравнение (2.52) в виде
(2.57)
(2.56)
Рис. 2.16. Схема сумматора.
Если на рис. 2.15 £„ = 0 (т. е. если резистор гп подсоединен к
земле, что является обычным в этом случае), то
п-1
увых=£
fe=i
1 + PfG
rk8
т R
fe=l R
(2.58)
где G и g задаются, как и ранее, в уравнении (2.53). Конкретно
схема на рис. 2.16 дает
Увых = - (ВД1) Vi - (ВД) V2 + [(1 + GRf)/gri] £b где (2.59)
£ = (l/ri) + (l/r2) и G = (l/Rl) + (l/R2). (2.60)
7. Интегратор. Схемная реализация интегратора на ОУ при-
ведена на рис. 2.17, где
VBbIX = -(l/sC£)VEX.
(2.61)
Если RC — 1, то соотношение
инвертирующий интегратор.
VBbIx = —(l/s) Евх описывает
Рис. 2.17. Инвертирующий интегра-
тор.
Рис. 2.18. Инвертирующий дифферен-
циатор.
с
8. Дифференциатор. Схемная реализация дифференциатора
на ОУ приведена на рис. 2.18, где
^вых — sCRV вх.
(2.62)
Если RC = 1, то соотношение ЕВЫх = —sVBx описывает инвер-
тирующий дифференциатор.
ЛИТЕРАТУРА
1 Desoer С. A., Kuh Е. S., Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill,
1969.
2. Graeme J. G., Tobey G. E., Huelsman L. P., Operational Amplifiers. Design
and Application, New York, McGraw-Hill, 1971. [Имеется перевод: ГрэмД.,
Тоби Д., Хыолсман Л., Проектирование и применение операционных уси-
лителей.— М.: Мир, 1974.]
3. Smith J I., Modern Operational Circuit Design, New York, Wiley-Intersci-
ence, 1971.
4. Wait J. V., Huelsman L. P., Korn G. A., Introduction to Operational Ampli-
fier Theory and Application, New York, McGraw-Hill, 1975.
5 Roberge J K., Operational Amplifiers, Theory and Practice, New York, Wi-
ley, 1975.
6. Stout D. F., Kaufman M., Handbook of Operational Amplifier Circuit De-
sign, New York, McGraw-Hill, 1976.
7. Su K. L., Active Network Synthesis, New York, McGraw-Hill, 1965.
8. Mitra S. K-, Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, New York,
Wiley, 1968
9. Mitra S. K-, Active Inductorless Filters, New York, IEEE Press, 1971.
10. Deboo G. J., Application of a Gyrator Type Circuit to Realize Ungrounded
Inductors, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-14, 101-2 (May 1967).
11 The L. Q., Yanagisawa T., Some New Lossless Floating Inductance Cir-
cuits, Proc. IEEE, 65, 1071-2 (1977).
ЗАДАЧИ
2.1.
Эквивалентная схема полевого транзистора для малых сигналов приве-
дена на рис. 3.2.1, где res = Ю11 Ом gts = 10-3 мСм и ras = 300 кОм.
Выразить через матрицы полных проводимостей, полных сопротивлений
и смешанную матрицу эквивалентную схему полевого транзистора для
малых сигналов.
D G 4 1ц D
8 s
Рис. 3.2.1.
2.2.
Эквивалентная схема транзистора для малых сигналов показана на
рис. 3.2.2, где Сс = 200 пФ, Се = 20 пФ, ге = 25 Ом, гь = 120 Ом,
гс — 1,25 мОм и а = 0,98. Выразить через матрицы полных проводимо-
стей, полных сопротивлений и смешанную матрицу эквивалентную схему
транзистора.
/ Рис. 3.2.2.
2.3. а) Выразить через матрицы полных проводимостей и полных сопротив-
лений симметричную мостовую четырехполюсную цепь N (рис. 3.2.3).
б) Если к паре зажимов 2 цепи N подсоединено нагрузочное полное
сопротивление ZL, найти входную функцию полного сопротивления
ZfMc (s)
2.4. Рассмотреть изображенную иа рис. 3.24 схему, где четырехполюсная
цепь /Vi описана матрицей полных сопротивлений вида
V1 = zn[} + ZI2/2,
Ps = Z21 II + z22/2.
Найти входную функцию полного сопротивления Z(s).
2-5. Рассмотреть схему (рис. 3.2.5), где четырехполюсная цепь W2 обладает
следующей матрицей полных проводимостей:
Л = 1/пР I + J/isPs.
12 — У 21В1 + II22V 2.
Найти входную функцию полной проводимости E(s),
2.6. Четырехполюсная цепь 2V на рис. 3. 2.6, а задана передаточной матрицей
[ЛНсЯВ
Рис. 3.2.4.
2.7. Найти передаточную матрицу приведенной на рис. 3.2.7 схемы.
2.8. а) Найти передаточную матрицу схемы, показанной на рис. 3.2.8.
б) Найти передаточную функцию H(s) = V2/V1.
2.9. Найти передаточную функцию трех схем, изображенных на рис. 3.2.9
2.10. Найти передаточные функции трех схем, изображенных на рис. 3.2.10.
2.11. Выразить через смешанную матрицу (рис. 3.2.11) четырехполюсиую цепь.
Рис, 3,2,3,
2.12. а) Проверить, что на рис. 2.5, б показан инвертирующий ИНУН.
б) Проверить, что на рис. 2.5, в показан неинвертирующий ИНУН.
в) Схема рис. 3 2.12 представтлет собой неинвертирующий ИНУН, где
входное напряжение не обязательно подсоединено к земле. Найти уси-
ление по напряжению этой схемы.
Рис. 3.2.12.
2.13. а) Показать, что схема на рис. 2.6, б представляет собой ИТУН с зазем-
ленной нагрузкой.
б) Показать, что схема на рис. 2.6, в представляет собой ИТУН с неза-
земленной нагрузкой Zl.
2.14. Показать, что схемы на рис. 2.11 представляют собой незаземленные
катушки индуктивности.
2.15. а) Показать, что схема на рис. 2.13,6 характеризуется смешанной мат-
рицей, заданной соотношениями (2.44) и (2.45).
б) Показать, что двухполюсная схема на рис. 2.13, в эквивалентна за-
земленной катушке индуктивности.
2.16. Показать, что двухполюсная схема на рис. 3.2.16 эквивалентна катушке
индуктивности.
2.17. Показать, что двухполюсная схема на рис. 3.2.17 эквивалентна заземлен-
ной катушке индуктивности.
2.18. Показать, что двухполюсные схемы на а) рис. 2.14, б) рис. 3.2.18, а и
в) рис. 3.2.18, б представляют собой заземленные ЧЗОСы.
2.19. Показать, что схема на рис. 3.2.19 представляет собой ненвертнрующнй
интегратор.
Рис. 3.2.18,6
2.20. Рассмотреть схему на рис. 3.2.20.
а) Найти передаточную функцию H(s)— VBHX/VBx-
б) Если RiCt = RC, показать, что эта схема является иеиивертирующим
интегратором.
Рис. 3.2.20.
2.21. Найти передаточные функции УВых/УВх двух схем на рис. 3.2.21.
2.22. Найти передаточные функции ЕВЫх/Евх двух схем на рис. 3.2.22. Следует
отметить, что эти схемы реализуют фильтр Баттерворта нижних частот
второго порядка.
2.23. Рассмотреть две схемы на рис. 3.2.23, где схема б получается масштаби-
рованием полного сопротивления каждого элемента в схеме а с по-
мощью масштабного множителя 1/s.
а) Найти передаточные функции Н(s) = и H(s)= V,,B,JVeK.
б) Найти входные функция полного сопротивления Z(s) и Z(s),
б
Рис. 3.2.21.
Рис. 3.2.22.
2.24. Используя сумматоры, интеграторы и дифференциаторы, спроектировать
схемы, подобные схеме на рис. 3. 2.24, которые дают
а) Рвых — 2Vi + Vz — Рз! г) УВых = ~ Pi + SV2 + Pg;
1 9
б) Рвых=—Р1 — ЗУа — Рз! д) Рвык = Pi ~ Pi 3l/1-|-4sPi-|-5sy2.
в) Vвых = ~ Р1 — 2Уг + ®Рз1
О
3
Свойства функций цепи
Функция цепи представляет собой преобразование Лапласа
импульсной характеристики и задается в виде отношения двух
полиномов комплексной частоты s. До того как рассматривать
свойства функций цепи, проведем обзор некоторых свойств по-
линомов комплексной переменной s.
3.1. Полиномы комплексной переменной
Полином p(s) называется четным, если он представляет со-
бой сумму членов с четными степенями, и нечетным, если сте-
пени нечетные. Например, полиномы pi(s) и р2(«) четные, в то
время как полиномы p3(s) и p4(s) нечетные, когда
Pi (s) = as? 4- bs2 + с ps (s) = f s5 4- gs3 4- bs
p2 (s) = ds20 4- e p4 (s) — ks7 4- /s3
a a, b, c, d, e, f, g, h, k, I — постоянные числа. Следует отме-
тить, что если M(s) — четный, a N(s)—нечетный полиномы1),
то
M(s) = M(—s), (3.1)
N(s) = -N(-s). (3.2)
Рассмотрим полином p(s) общего вида, заданный следующим
соотношением:
р (s) = ас 4- ais 4- a2s2 4- G3S3 4- 4- a5s5 4- ....
Его всегда можно записать в виде суммы четного и нечетного
полиномов
Р ($) = (а0 4- Й2«2 4- O4S4 4~ • • •) 4-
4- (ais 4- a3s34- 05s5 4- • • •) А М (а)4- JV (s),. (3.3)
где М (s) Д а0 4- a2s2 4- o4s4 4- • - , a N (s) 4- o3s3 4- a^s5 4- • •
называются соответственно четной и нечетной частями поли-
нома p(s). Исходя из соотношений (3.1) и (3.2), получаем
p(-s) = M{-s) + N(-s) = M(s)-N(s). (3.4)
*) В этой главе, так же как и в гл. 4—8, M(s) и N(s) с индексом илн
без него обозначают соответственно четный и нечетный полином или рацио-
нальную функцию.
В этой книге коэффипиенты всех-рассматриваемых полино-
мов являются вещественными числами. При этом введенном
условии полиномы комплексной переменной з обладают сле-
дующими свойствами
1. Если p(s)— полином переменной, s, то
p(s) = p(s),
где а обозначает величину, комплексно-сопр яженную с а На-
пример, если p(s) = o2s2 + a(s + а0> то p(s)~a^ + a,s + =
= a2s2 + a\S + a0 = p (s).
2. Если M (s) — четный полином, то из соотношений (3.1)
и (3.5) получаем
M(ja) = М(/й) = М (— /со) = М (ja), (3.6)
где первое и последнее равенства в уравнении получаются
соответственно из соотношений (3.5) и (3.1). Из уравнения
(3.6) следует, что полином М (ja) веществен для всех значений
частоты со.
3. Если )V(s)—нечетный полином, то из соотношений (3.2)
и (3.5) получаем
Af (/«>) = N (ja) ~ N (— ja) = — N (ja). (3.7)
Таким образом, полином 7V(/'co) имеет чисто мнимое значение
и его можно выразить следующим образом:
N (ja) = jX (со), (3.8)
где А'(со)—вещественная функция вещественной переменной со.
4. Если Sk — корень полинома p(s), т. е.
р (sk) = М (sk) + N (sk) = О,
где М (s) и N (s)— соответственно четная и нечетная части
полинома р(з), то (—Sk) является корнем полинома р(—з) —
= М(з)— N(s). Очевидно, что так же справедливо и обратное
утверждение. Следовательно, имеем:
Лемма 3.1. Sk является корнем полинома [Л1(з) + /V(s)],
если и только если (—Sk)—корень полинома [М(з) —Л((з)],
где M(s) и N(s)— соответственно четный и нечетный по-
линомы.
5. Квадрат модула полинома p(s) = M(s) N(s), где M(s)
и N(s) — соответственно его четная и нечетная части, задается
следующим соотношением:
I Р (» (2 = Р (S) Р (- S) = {[М (з) + N (s)] [М (s) - N (з)]} |s=/fi> =
- (Al2 (s) - № (з)1 U/fi) = M2 (ja) - N2 (fa). (3.9)
Поскольку M(ja>)—вещественная, a N{ja>)—чисто мнимая ве-
личина, то М2(/со) и № (/со) имеют вещественные значения
и М2 (/со) 0, а №(/<о) 0 для всех частот со. Вследствие
этого
|р(/со)р^О для всех со. (3.10)
Кроме того, можно показать, что |р(/со)|2 является полиномом
переменной со2 или, что эквивалентно, | р (/со) |2 — четный поли-
lm [s]
Рис. 3.1. Квадрантная симметрия корней функции Д p(s)p(—s).
X счетверенные комплексные корни; О пары вещественных корней; ® сопряженные пары
корней на мнимой оси четных кратностей.
ном вещественной переменной со. Например, если р (s) = $2 4-
4- -у/2s 4- 1, то
М (s) — s2 4- 1 и N (s) — -\]2 s,
M2(s)-7V2(s) = s’+ 2s2 + 1 — 2s2 = s44~ 1,
lp(WI2 = [s44- 1] 1 4- <
6. Корни полинома f (s) A [p (s) p (— s)] = /l42(s) — N2 (s) встре-
чаются с квадрантной симметрией, которая означает сле-
дующее:
а) корни на вещественной оси s-плоскости встречаются па-
рами в точках оу и (—<?>);
б) корни на мнимой оси s-плоскости встречаются комплекс-
но-сопряженными парами четной кратности [т. е. если /со; —
корепь полинома /(s), то как /соь так и (—/coi) являются его
двойными, или счетверенными, или 2п-кратными ..., кор-
нями] и
в) комплексные корни встречаются в счетверенном виде
[т. е. если d + /оц— корень полинома p(s)p(—s), где oi =И= О
и ан =И= 0, то di — jcoi, —(di + /<В1) и —(ел —/к>1) также яв-
ляются его корнями].
Это свойство расположения корней полинома p(s)p(—s) ил-
люстрируется на рис. 3.1.
Свойства квадрантной симметрии в расположении полюсов
полинома p(s)p(—s) можно доказать, используя лемму 3.1.
Простой подходящий случай задается следующим соотноше-
нием: p(s)=r=(s2+l)(s2 +-у/2 «+1)(«+1)- В этом случае по-
лучаем, что p(s)p(—s) = (s2 + l)2(s4 + 1) (—s24-l). Таким об-
разом, корни полинома p(s)p(—s') равны
S] = 1, s2 = — 1, S3 = S4 = S5 = S6 = j,
S7 = (1/V2) + j (1/д/2~)> «8 = (1/7Ю - i (iWz),
s8=-(l/7F) + j(l/VF) и s10 = —(1/V2") —/(I/VSO-
3.2. Функция цепи
Пусть F(s)— функция цепи, которая может быть входной
функцией полного сопротивления или проводимости двухполюс-
ника или передаточной функцией между входным и выходным
зажимами четырехполюсника. Тогда F(s) представляет собой
рациональную функцию переменной s с вещественными коэф-
фициентами и может быть записана в виде отношения двух
полиномов следующим образом:
F (s) = A (s)/B (s) = £ aiS41 blSl =
Z=0 1 i=Q
= [M, (s) + (s)]/[M2 (s) + N2 (s)], (3.11)
где Л(в) и B(s) являются соответственно полиномами числи-
теля и знаменателя функции F(s); Mi(s) и M(s)—-соответ-
ственно четная и нечетная полинома Л(в); a M2(s) и N%(s)—
четная и нечетная части полинома B(s).
Умножая уравнение (3.11) на В(—s)/B(—s), получаем
р (s) = А В — Iм! (-S) + (s)] [М2 (s) — N3 (s)] _
u B(s)B(-s) M2(s)-N22(s)
_ (s) м2 (s) — Nt (s) N2 (s) . N! (s) M2 (s) — N2 (s) Mi (s) .
Ml(s)-N22(s) ’ 1 • '
Заметим, что первый член в выражении (3.12) является чет-
ной функцией
М (s) A [М, (s) М2 (s) - 7VI (s) N2 (s)]/[M| (s) - N* 22 (s)] =
= [Mj (- s) M2 (- s) - N, (- s) N2 (- s)]/[Mi (- s) - Nl (- s)] =
= M(—s), (3.13)
а второй член — нечетной функцией
N (s) A [7VX (S) M2 (s) - N2 (s) Mi (s)]/[>l (s) - N2 (s)] =
= [- M (- s) M2 (- s) + N2 (- s) (- s)]/[Mi (- s) - Nl (- s)]=
= — N(—s). (3.14)
Впредь M(s) и N(s) будут соответственно называться четной
и нечетной частями рациональной функции F(s), заданной
уравнением (3.11). При подстановке s =/со из уравнений
(3.13) и (3.14) следует, что М (/со) — вещественная, a N (/со) —
чисто мнимая величины. Поэтому
М (ja) = Re [F (/со)] и N (ja) = /Im [F (/со)]. (3.15)
Уравнение (3.15) устанавливает, что по заданной вещественной
(мнимой) части функции F(s) можно найти ее четную (нечет-
ную) часть и наоборот.
3.2.1. Преобразование Гильберта
Соотношение между вещественной и мнимой частями функ-
ции цепи (которая описывает физически реализуемую систему)
может быть выражено через преобразование Гильберта, как
показано в дальнейшем.
Предположим, что функция цепи F(s) является аналитиче-
ской в замкнутой правой половине *) (включая и мнимую
ось) s-плоскости2). Запишем следующее соотношение:
F(ja) = R(a) + jX(a), (3.16)
где R(a) и У (со) — соответственно вещественная и мнимая
части функции F(jco). Если
lim F (/со) =:R(oo) = конечной вещественной константе, (3.17)
С0->оо
*) В последующем символ ПП используется для обозначения правой, а
ЛП — для обозначения левой половины s-плоскости.
2) Поскольку F(s)—рациональная функция, то фраза «F(s)—является
аналитической в замкнутой правой половине s-плоскости» означает, что она ие
имеет полюсов в правой половине s-плоскости, т. е. F(s)=/= оо для всех зна-
чений s. Для применяемого здесь преобразования Гильберта достаточно по-
требовать, чтобы рациональная функция F (s) не содержала полюсов в правой
половине s-плоскости и все ее полюсы, расположенные на мнимой оси, были
простыми.
то 7? (to) и Л (to) связываются соотношениями вида1)
оо
X (со) = - (1/я) J [7? (g)/(to - g)] dt, (3.18)
—оо
оо
7? (со) = (1/л) $ [X (g)/(co-C)]dg + /?(oo). (3.19)
— оо
Следует отметить, что между соотношениями (3.18) и (3.19)
отсутствует симметрия. Это отсутствие симметрии следует из
того факта, что рассматриваются только функции цепи, преоб-
разования Лапласа которых являются вещественными времен-
ными функциями. Если рассмотреть комплексные временные
функции, то появится член Л(оо) в правой половине уравнения
(3.18) и два уравнения, а именно (3.18) и (3.19), будут сим-
метричны. С другой стороны, если импульсная характеристика
/'(/), которая представляет собой обратное преобразование Лап-
ласа функции F(s) не содержит импульсной функции в точке
t — 0, то /?(оо) — 0 и уравнение (3.19) упрощается и имеет сле-
дующий вид2);
оо
7? (®) = (1/л) J [X (?)/(« - g)] d£. (3.19')
— ОО
На основе преобразования Гильберта, если удовлетворяются
определенные условия (для физически реализуемых, устойчи-
вых схем эти требуемые условия выполняются), то
1. Если задана мнимая часть Х(ю), то можно получить ве-
щественную часть 7? (и) с помощью уравнения (3.19). На
основе 7? (to) и Л (и) можно сформировать функцию F(j(a). Из
свойства аналитической непрерывности [т. е. при замене и на
s/j] получаем функцию F(s).
2. Если задана вещественная часть 7? (со), то из уравнения
(3.18) получаем Х(ю), и на их основе можно снова сформиро-
вать функцию F(j©). При подстановке и = s/j получаем F(s').
Пример 3.1. Задана вещественная часть /?(со)в виде /?(со) == а/(а2 + со2).
Найти соответствующую функцию цепи F(s).
Решение. Мнимая часть Л'(со) из уравнения (3.18) определяется следую-
щим образом:
СЮ
Х(<о) = -(1/л) J [а/(а2 + £2)(со-^)]^ = -[©/(а2-}-©2)].
— ОО
•) Имеется много других эквивалентных выражений для преобразований
Гильберта. См. [4].
2) В последующем положим, что R(oo)= 0, и вместо ссылки на уравне-
ния (3.19) или (3,19') будем давать ссылку только на уравнение (3.19).
Следовательно,
F (/со) = К (и) + jX (со) = (а — i®)/(a2 -Ь о2) = (а — /со)/[а2 — (/со)2] = 1/(а +/со)
и; таким образом, F(s) = l/(s + а)-
Заметим, что в основном оценка интегралов в соотношениях
(3.18) и (3.19) затруднительна и часто требуется обращение
к таблицам интегралов или к области математики, которая на-
зывается комбинаторикой.
Если теперь более подробно рассмотреть соотношения (3.18)
и (3.19), то видно, что оба интеграла представляются в виде
интеграла свертки
со
f(bi)= jj g(g)/i(co —g)rfg Ag(co)*/?(co),
-—co
(3.20)
где /г(со) A ± 1/(лсо), a g(a>)— это либо /?(со) в соотношении
(3.18), либо Х(со) в соотношении (3.19). Некоторое сокращение
затрат при оценке соотношений (3.18) и (3.19) можно полу-
чить, если использовать полезные свойства интегралов свертки.
Вот некоторые из них:
1. Преобразование Лапласа функции f(co) задается в виде
произведения преобразований Лапласа g(co) и /г (со). Следует
отметить, что в соотношениях (3.18) и (3.19) преобразования
Лапласа в действительности будут производиться над функ-
циями переменной со, а не над обычными временными функ-
циями.
2. Уравнения (3.20) можно также записать в следующем
виде:
f (“) = $ g (® — :) h (g) dt, = g (co) * h (co). (3.21)
— co
3. f (co) = g (co) * h (co)
= [/г-я производная от £(со)]*[/г-й интеграл от h (со)] (3.22)
= [/г-й интеграл от g (со)] * [/г-я производная от h (со)].
(О Г ° 1
4. f (со') d®' = g (со') cZсо' I * h (<о) =
— оо со J
= g (со) * I h (со') Jco' I. (3.23)
L —со -
б- KrfW=[-asW],A<“>)=sW’[-S-',<“)]- ,3-24’
Было показано, что преобразование Гильберта можно ис-
пользовать для нахождения вещественной части функции цепи,
если задана ее мнимая часть, и наоборот. Следует отметить,
что преобразование Гильберта представляет собой просто на-
бор соотношений между вещественной и мнимой частями ком-
плексной функции, которая является аналитической в правой
половине s-плоскости. Если записать
р (jo) == е~а <“) = (ь>)+7ч>(«01, (3.25)
то в этом соотношении логарифмическую функцию а (со) А—
— In | F (j®) | называют затуханием или функцией потерь,
а ф (со) Д — /Г (/со) — фазой (или, более точно, фазовой за-
держкой) фильтра. Логарифмируя выражения (3.25), полу-
чаем
У (/®) = — In Г (/со) — — In е~1° = а (со) /ф (со). (3.26)
Заметим, что если функция y(s) является аналитической на
правой половине s-плоскости, то а (со) и ф(со), которые яв-
ляются вещественной и мнимой частями функции у (/со), бу-
дут связаны между собой уравнениями преобразования Гиль-
берта следующим образом:
оо
ф (со) = - (1/n) J [a fc)/(® - g)] dl, (3.27)
— ОО
оо
а (со) = (1/я) J [ф (g)/(co - g)] dt,. (3.28)
— оо
Пример 3.2. Фазовая характеристика требуемого фильтра задана в сле-
дующем виде:
Ф (со) = — (/гл/2) для <о sC — со,
= (ferc/2) (co/coj для — ®с sC со «С <ос (3.29)
= (kn/2) для а сос
и показана на рис. 3.2, а. Найти соответствующее затухание, или функцию по-
терь а (со) этого фильтра.
Решение. Поскольку T(co)Artcp(co)/rfco (рис. 3.2,6) имеет более простую
форму, чем ф(со), то, применяя свойство (3.24) к уравнению (3.28), получаем
ОО
Л»(со)/Ло = (1/л) J {[с/ф (£)/d£]/(co - £)} d£. (3.30)
— ОО
Следовательно,
“е
da (со) 1 с kn 1 k со — со
. = — \ -75--------------dt, = -r— In --------—S- . (3.31)
dco nJ 2co„ co — £ 2co„ co -p co„
-<>„ c c c
Интегрирование уравнения (3.31) дает
СО
wln
о
IX — (Ос
Х-Ь<ос
dx =
k
Т
(3.32)
Идеально постоянное групповое время (рис. 3.2, б) в ин-
тервале частот [—<вс, сое] представляет значительный интерес
Рис. 3.2.
а—фильтр с линейной фазой; б—фильтр с постоянным групповым временем.
при проектировании фильтров. Следовательно, соответствую-
щая ему функция затухания при условии минимальной фазы *)
имеет большое практическое значение. Однако трудно оценить
поведение функции в соотношении (3.22), за исключением край-
них областей, а именно:
1. При со С (Ос, применяя разложение уравнения (3.22)
в ряд Тейлора, находим, что* 2) а(со) ~(/г/2) [со/сос]2.
2. При со-э-оо, т. е. при со сос, аппроксимация дает
а (со) ~ (k/2) In [co/coj2 + (/г/2) (со/сос) [2сос/(со + сос)] ~
~ (k/2) In [co/coj2 + k — k In | co/coc | + k.
График функции a (co) изображен на рис. 3.3.
Для того чтобы применить преобразование Гильберта
к фазе и модулю функции цепи, было предъявлено требование
аналитичности функции у (со) в правой половине s-плоскости.
*) Понятие минимальности фазы вводится в этой главе позже.
2) Заметим, что In(1 -[->:) ~х при |л| <S 1.
Таким образом, требуется аналитичность не только функции
F(s) в правой половине s-плоскости, но также и обратной ей
функции l/F(s). Поскольку y(s) =—In F(s) = In l/F(s) и
если y(s)—аналитическая функция, то следует, что —y(s) =
= lnF(s). Следовательно, для применения соотношений (3.27)
и (3.28) необходимо иметь уверенность в аналитичности функ-
ций F{s) и 1/F(s) в правой половине s-плоскости, что в свою
Рис. 3.3. Функция затухания фильтра с постоянным групповым временем.
очередь означает отсутствие нуля или полюса функции F(s)
в правой половине s-плоскости1). Такая функция называется
минимально-фазовой.
Причина введения понятия минимальности фазы состоит
в том, что если имеются две функции цепи F(s) и F(s) с оди-
наковыми модулями, т. е.
1) |F(/o>) | = |F(/®) | для всех частот со, таких, что
2) F(s) имеет один или более нулей в правой половине
s-плоскости, а
3) F(s) не содержит нуля в правой половине s-плоскости,
то ф(ю)^ <р(со) для всех со О,
где ф(со) А —/F(/co), а ср (со) Д — /F (jco) — соответственно фазы
функций F(s) и F(s). Другими словами, функция цепи F(s),
не обладающая нулем в правой половине s-плоскости, будет
иметь меньший фазовый угол по сравнению с той функцией
цепи F(s), которая содержит один или более нулей в правой по-
ловине s-плоскости.
Наиболее простые фильтры описываются минимально-фазо-
выми функциями, даже если устойчивость системы не ограни-
чивает расположение нулей функции цепи. В противном случае
потребовались бы взаимные соединения, многократные пути
*) Точка z*{p4 называется нулем {полюсом} функции цепи F(s), если
f(zs) = 0 {F(pk) = оо}. Из этого определения следует, что нуль {полюс} мо-
жет быть или корнем полинома числителя {знаменателя} функции F(s), или
точкой на бесконечности [т. е. Zk = оо {рк = оо}] при степени полинома чис-
лителя меньшей {большей} степени полинома знаменателя.
передачи между входным и выходным сигналами фильтра или
их комбинациями. Всего этого желательно избежать на прак-
тике, поскольку это приводит к увеличению сложности и чув-
ствительности результирующей схемы фильтра.
В примерах 3.1 и 3.2 было показано, что оценка интегралов
в преобразованиях Гильберта в основном крайне затрудни-
тельна. Значение преобразования Гильберта состоит в том, что
оно используется скорее для объяснения, чем для расчета. На
основе преобразования Гильберта: если определены веществен-
ная или четная части {мнимая или нечетная части}, которые
удовлетворяют определенным требованиям обработки сигнала,
то соответствующий фильтр полностью описан. Аналогично,
если известны или фаза, или модуль минимально-фазовой функ-
ции фильтра, которые вычислены вдоль мнимой оси s-плоско-
сти, то такой фильтр полностью охарактеризован. Другими
словами, фильтр можно спроектировать для обеспечения тре-
бований либо к фазе, либо к модулю, а не к обоим сразу.
В этом смысле преобразование Гильберта устанавливает тео-
ретические ограничения рабочих характеристик фильтра.
3.2.2. Четная и нечетная части
Преобразование Гильберта дает средства для построения
всей функции F(s) по заданной ее вещественной либо мнимой
частям, которые определены вдоль мнимой оси s-плоскости,
если обеспечена аналитичность функции F(s) в правой поло-
вине s-плоскости. Если, кроме того, F(s) представляет собой
минимально-фазовую функцию, то из преобразования Гиль-
берта следует, что можно определить функцию F(s), если из-
вестны ее модуль, фаза или групповое время. Однако трудно-
сти, связанные с оценкой соответствующих интегралов Гиль-
берта, приводят к тому, что преобразование Гильберта
практически почти не используется. В этом разделе описы-
ваются альтернативные методы построения функции цепи по
заданным ее вещественной (четной) или мнимой (нечетной)
частям. Другой случай, касающийся модуля и фазы, рассмат-
ривается в следующем разделе.
Напомним, что функцию цепи F(s) можно записать следую-
щим образом:
т j п
F (s)=A (s)/B (s)= £ Gzs7 £ 6zsz=[2WI (s)+^ (s)]/[M2 (s)+N2 (s)]=
= M (s) + N (s), где (3.33)
M (s) = [2W, (s) M2 (s) - AG (s) N2 (s)]/[Ml (s) - Nl (s)] и (3.34)
(s) = [AT, (s) M2 (s) - N2 (s) Mt (s)]/[Ml (s) - Al (s)]. (3.35)
Положим, что четная часть M(s) функции цепи F(s) задана
в виде1)
M(s) = C(s)/D(s). (3.36)
Без потери общности можно допустить, что D(s) является чет-
ным полиномом с корнями квадратной симметрии2). Тогда
D (s) = Ml (s) - Nl (s) = [М2 (s) + N2 (s)] [M2 (s) - N2 (s)] =
= [M2 (s) + ЛГ2 (s)] [M2 (- s) + N2 (- s)] = В (s) В (- s). (3.37)
Следовательно, можно использовать мнимую ось s-плоскости
в качестве границы раздела, т. е. полюсы из левой или из пра-
вой половины приписываются полиному B{s), а оставшаяся
половина — полиному В(—s)3). Говоря математически, нет
приоритета, по которому половина корней должна приписы-
ваться полиному B(s). Однако как инженерам нам предпочти-
тельнее работать с устойчивыми функциями цепи (которые не
содержат полюсы в правой половине s-плоскости). Вследствие
этого полюсы полинома D(s) из левой половины s-плоскости
приписываются полиному B(s), а полюсы из правой половины
будут автоматически принадлежать полиному В{—s). Таким
образом, знаменатель D(s) заданной четной части M(s) был
использован для нахождения знаменателя требуемой функции
цепи F(s).
Если известен полином B(s)=> M2(s)-\-Nz(s), то для со-
здания функции F(s) допускается полином числителя
m
с набором неизвестных коэффициентов а,,
1=0
*) Если задана вещественная часть Д(со) функци F(s), то из соотноше-
ния (3.15) можно сформировать M(s) следующим образом: М (s) = R(s/j).
2) Если корни заданного полинома D(s) не обладают квадрантной сим-
метрией, то можно домножить полиномы С(з) и D(s) заданной четной части
М(з) на полином k(s) таким образом, что результирующий знаменатель
D (s) k (s) D (з) будет обладать корнями с квадрантной симметрией. В этом
случае рассмотрим заданную функцию в виде M(s) — [C(s)/fi(s)].A&(s)CX
Х(«)Л(в)В(з). Простой (но необязательно лучший) выбор полинома k(s)
осуществляется по условию k(s)^.D( — з).
3) Если мнимая ось s-плоскости выбрана в качестве линии раздела, то
что произойдет с корнями на мнимой оси?
Поскольку все корни на мнимой оси, скажем, в точке Sn полинома D(s)
должны встречаться с четной кратностью, например 21, можно приписать
I корней в точке 3s полиному B(s), а оставшиеся I корней — полиному В(—з).
Таким образом, корни полинома D(s) на мнимой оси делятся так, что поло-
вина переходит в В(з), а другая половина в В(—з). В дальнейшем множи-
тели левой половины будут включать половину корней на мнимой оси, так же
как и множители правой половины.
i = О, 1, 2, ..., m, а именно
m
F (s) = Z a^7[A42 (s) + N2 (s)]. (3.38)
i=0
Из сравнения числителя четной части в выражении (3.38)
и C(s) — числителя заданной функции 2W(s) получаем систему
уравнений с (т-}-1) неизвестными (включающими коэффи-
циенты а,)1). Решение этой системы будет давать значения
этих требуемых коэффициентов ар Следовательно, функция
F(s) полностью определена.
Пример 3.3. Построить функцию F(s) по заданной четной части Af(/<o)
вида
Л1 (/<о) == <о2/(<о6 Ч-1). (3.39)
Решение. Поскольку
Л4 (/со) = <о2/(со6 + 1) = — (/<о)2/[— (/w)6 + 1], получаем
М (з) = - s2/(- з6 4- 1) А С (s)/D (s). (3.40)
Следовательно,
В (з) В (- з) = М% (з) - (з) = - з6 + 1 =
= (- з 1) (s2 - з 1) (з 4-1) (s2 4- s 4-1). (3.41)
Корни полинома В(з) в левой половине s-плоскости дают следующие сомно-
жители: (s 4- 1) и (s24s+ 1). Таким образом,
В (s) = М2 (з) 4- N3 (з) = (s 4-1) (з2 4- s 4-1) =«3 * * 4- 2з2 4- 2s 4-1, (3.42а)
M2(s) = 2s24-1, (3.426)
(S) = s3 4- 2s. (3.42b)
Из соотношений (3.34) и (3.40) числитель четной части функции F(s) равен
Mi (з) Ма (з) - (V, (s) TV2 (s) = - з2 А С (з). (3.43)
Для Л12(з) и Nz(s), заданных уравнением (3.42), можно выбрать Afi(s) и
N\(s) в виде полиномов соответственно второй и первой степеней2). Следо-
) Заметим, что система уравнений, являющаяся результатом этой про-
цедуры, может содержать т + 1 уравнений или меньше в зависимости от
ситуации. В любом случае, однако, существует по крайней мере один набор
коэффициентов а,-, который удовлетворяет этой упомянутой выше системе
уравнений.
2) При заданных условиях (3.42) существует много способов выбора по-
линома 4(s), который будет удовлетворять уравнению (3.43). В этом случае
наиболее просто выбрать в качестве 4(s) полином второй степени. Однако
можно также предположить, что 4(s) представляет собой полином степени я,
где п — положительное четное целое число.
Основным правилом при выборе является следующее: общий полином
в левой части уравнения (3.43) должен иметь степень по крайней мере того
же порядка, что и степень полинома С(з).
вательно, можно положить, что
2
A (s) = У, atsl = а0 + ats + a2s2 — Af1 (s) + (s). (3.44)
i=o
Таким образом, Mt (s) = ao 4- azs2, a Ni(s)=als. Вследствие этого из урав-
нения (3.43) получаем (a2s2 4-ао) (2s21)— (ais) (s3 + 2s) =—s2, что в
свою очередь означает следующее:
(2аг — di) s4 + (2<г0 4- аг — 2<n) s2 4- а0 = — s2. (3.45)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обоих частях урав-
нения (3.45), получаем следующую систему уравнений:
«о = О
2<г0 4- «2 — 2<ii = — 1 (3.46)
2<г2 — «1=0.
Решение системы уравнений (3.46) равно
до = О, «1=2/3 и <г2=1/3. (3.47)
Таким образом, F (s) = [(2/3) s 4- (1/3) s2]/(s3 4- 2s2 4- 2s 4- 1).
Если теперь задана нечетная часть N(s) функции цепи
F(s), то при использовании соотношения (3.35) вместо (3.34)
можно построить устойчивую функцию F(s) способом, подоб-
ным предыдущему случаю, когда задана функция M(s). Те-
перь можно сформулировать следующую процедуру построения:
Процедура построения 3.1.
б. Пусть заданная функция будет нечетной {четной} частью
М(«){М(«)} функции F(s), т. е. N(s) = C(s) /D(s), где
предполагается, что полином D(s) обладает корнями с квад-
рантной симметрией.
1. Найти корни Ml (s) — Nl (s) путем перемножения самого
полинома D(s).
2. Множители, определяемые корнями полинома D(s) в ле-
вой половине s-плоскости, приписываются полиному В («) =
= М2(«) + М2(«). Перемножая вместе все эти сомножители,
п
получаем B(s)=^biSl. Следовательно, определены М2(«)
и M2(s), которые являются соответственно четной и нечетной
частями полинома B(s).
m
3. Положим, что А («) = У, OfS1, где сами коэффициенты а{
1=0
в этот момент — неизвестные величины. Сформировать Mi(s)
и М($), основываясь на этом введенном полиноме Л(«). Заме-
тим, что степень m определяется из сравнения полинома C(s),
т. е. заданного числителя функции M(s){M(s)} и числителя
в соотношении (3.35) {(3.34)}.
4. Сформировать полином [М (s) М2 (s) — N2 (s) .Mi (s) ] X
X {[Mi(s)M2(s) — /Vi (s)(V2(s)] }• Приравнять этот результирую-
щий полином к полиному C(s). Это приведет к системе из k
уравнений с (m-f-1) неизвестными, где Эти
неизвестные представляют собой коэффициенты полинома A (s).
5. Решить систему уравнений, полученных на этапе 4, для
at, i = О, 1, 2, .... т, и затем сформировать функцию F(s) =
= 4(S)/B(s).
Пример 3.4. Задана нечетная часть W(s) функции F(s) в виде
JV (/со) = - /со/( 1 + <о6). (3.48)
Найти требуемую функцию цепи F(s).
Решение. Из уравнения (3.48) получаем
N (s) = - s/( 1 - sB) А С (s)/D (s). (3.49)
Таким образом, M2 (s) — (s) = 1 — s6 = D (s) и (3.50)
AT, (s) M2 (s) - N2 (s) (s) = - s = C (s). (3.51)
Дальнейшие вычисления осуществим, следуя в соответствии с этапами, ука-
занными в процедуре построения 3.1:
1. 1 _ S6 = (- s ч- 1) (s2 - s + 1) (s + 1) (s2 + s + 1). (3.52a)
2. В (s) = (s + 1) (s2 + s + 1) = s3 + 2s2 + 2s + 1, (3.526)
M2 (s) = 2s2 + 1, TV2 (s) = s3 + 2s. (3.52b)
3. Для определения наименьшей степени полинома Д(«) рассмотрим
уравнение в числителе нечетной части
TVi (s) М2 (s) — N2 (s) М! (s) = — s. (3.53)
Поскольку M2(s) является полиномом второй степени, а полином N2(s) —
третьей, то наиболее простой выбор заключается в следующем: положить
степень полинома Ni(s) равной 1, а степень полинома Mi(s) равной нулю.
[Другой наиболее простой выбор — предположить, что 4(s) представляет со-
бой полином третьей степени.] Если выбрать наиболее простой путь и поло-
жить полином Л(в) равным
A (s) = cijS + «о, то (3.54а)
Mi (s) = а0, (3.546)
Wi (s) = «js. (3.54в)
4. Подстановка уравнений (3.52) и (3.54) в соотношение (3.53) дает
(a, s) (2s2 + 1) — (s3 + 2s) (<г0) = — s или (2«, — «0) s3 + (dj — 2«0) s = — s.
(3.55)
Приравнивая коэффициенты в обеих частях уравнения (3.55), получаем си-
стему из двух уравнений с двумя неизвестными следующего вида:
2«j — «о = О
а.1 — 2«о = — 1. (3.56)
5. Решая систему (3.56), получаем
«о = 2/3 и «1 = 1/3, (3.57)
Следовательно,
A (s) = (1/3) (s + 2) и
(3.58)
F(s) =
(1/3) (s +2)________________s + 2
s3 + 2s2 + 2s 4- 1 3s3 + 6s2 + 6s + 3 •
(3.59)
3.2.3. Фаза и модуль
Процедура построения, приведенная в предыдущем разделе,
дает метод получения функции F(s) по заданным ее четной
или нечетной части. В этом смысле она аналогична преобразо-
ванию Гильберта, где имеют дело с вещественной и мнимой
частями функции F(s). Поскольку преобразование Гильберта
устанавливает также, что если заданы или фазовый угол, или
функция потерь [доказав, конечно, что F(s)—минимально-фа-
зовая функция], то сама функция F(s) полностью определена,
и естественным является вопрос: задав фазу или модуль,
можно создать единственным образом минимально-фазовую
функцию цепи F(s), не обращаясь к интегралам Гильберта?
Ответы на обе части этого вопроса являются утвердительными.
Однако процедуры построения для этих двух задач совершенно
различны. Найдем их решения поодиночке.
Рассмотрим функцию цепи (3.33) — (3.35). С помощью соот-
ношения (3.15), получаем
О) (со) — — arete Im [f (/co)I — — a rcte N (jco) —
q>( ) arctg Re arctg jM —
_ „rpto. (/co) M2 (/co) — TV2 (/co) Mi (/co) Л ,, _
a g / [M, (/co) M2 (/co) - /V, (/co) N2 (/co)]
A — arctgI
== ё №e(s) |s=/e,’
где <Po(s) ANi(s)M2(s) — N2(s)Mt(s) и (3.61)
Фе (s) A Mi (s) M2 (s) - M, (s) N2 (s). (3.62)
Следует отметить, что ф0($) представляет собой нечетный по-
лином, a <pe(s) — четный полином. Если сложить вместе ф0($)
И фе($), ТО получим
Фо («) + фе (s) = Ml (s) М2 (s) + Mj (s) M2 (s) — Ml (s) M2 (s) —
- M2 (s) Mi (s) = [ATj (s) + Mi (s)J [M2 (s) - M2 (s)] = A (s) В (- s).
(3.63)
Уравнение (3.63) является основным при построении функции
F(s). Если предположить, что F(s) представляет собой мини-
мально-фазовую функцию, то все ее нули и полюсы будут
располагаться в левой половине s-плоскости. Таким образом.:
1. Все корни полинома Д(«) будут располагаться в левой
половине s-плоскости.
2. Все корни полинома В ($) будут располагаться в левой
половине s-плоскости. Из леммы 3.1 следует, что все корни
полинома В(—s) будут располагаться в правой половине
s-плоскости.
Следовательно, уравнение (3.63) описывает следующую про-
цедуру построения функции F(s) [при условии, что F(s) яв-
ляется минимально-фазовой функцией]:
Процедура построения 3.2
1. Пусть р (s) Д <р0 (s) + (ре (s). Заметим, что раз задана
ср (<£>), ТО МОЖНО получить функции фо(«) и <pe(s).
2. Разложить на множители p(s) или, что эквивалентно,
расположить корни полинома p(s).
3. Множители, определяемые корнями полинома p(s) в ле-
вой половине s-плоскости, приписываются полиному ^(s),
а множители, определяемые правой половиной s-плоскости
полинома p(s), приписываются полиному В(—s').
4. Найти полином B(s) с помощью простой замены s на
(—s) в выражении для В(—s), найденном на этапе 3.
5. Сформировать функцию F(s) = A(s)/B(s).
Эта процедура приведет к единственной минимально-фазо-
вой функции цепи F(s). Если не разделять множители, как ре-
комендовано в этапе 3, то некоторые корни полинома p(s)
в правой половине s-плоскости будут принадлежать полиному
X(s), и, следовательно, функция F(s) уже не будет мини-
мально-фазовой и процедура построения не будет приводить
к единственной функции F (s).
Пример 3.5. Построить функцию F(s) на основе следующей фазовой ха-
рактеристики:
<р (со) = — arctg [(— со5 -|- 5со3 — 2со)/(2со4 — со2 -|- 5)]. (3.64)
Решение. При подстановке со = s/j получаем
ср (со) = - arete ~ (/ю)5 ~ 6 ('ю)3 ~ 2/ю -
Ф( } g /[2(/со)4 + (усо)2 + 5] “
— s5 — 5s3 — 2S
= — arctg
i [2s4 4- s2 + 5] Ц arCtg jZ (f) |s=/(0
Таким образом, <po(s) = —s5— 5s3 — 2s, a cpe (s) = 2s4 + s2 + 5. Дальнейшие
вычисления проведем согласно методике, приведенной в процедуре построе-
ния 3.2.
1. р (s) = ф0 (s) 4- фе (s) = — s5 4- 2s4 — 5s3 4- s2 — 2s 4- 5.
2. p (s) = (- s + 1) (s2 + s + 1) (s2 - 2s 4- 5).
3. Положим, что s2 4- s -}- 1 используется в качестве полинома Л(5), а
(—s4-l)(s2 — 2s 4- 5)—в качестве полинома В(—s). Таким образом,
A (s) = s2 4* s 4- 1,
В (- s) = (- s 4-1) (s2 - 2s 4- 5).
4. Следовательно, 73 (s) — (s 4-1) (s2 4- 2s + б) — s® + 3s2 + 7s + 5.
5. f (S) == (s2 4- s 4- l)/(s® + 3s2 + 7s + 5). (3.65)
Перед тем как перейти к описанию процедуры построения
минимально-фазовой функции цепи F(s) по заданному ее мо-
дулю |F(/tt>)|, рассмотрим важное свойство функции |F(/(o)|.
Поскольку коэффициенты рациональной функции F(s) пред-
ставляют собой вещественные числа, получаем
IF (j®) j2 = F (/®) F№) == F (/cd) F (- /<о) == F (s) F (- s) U/(a. (3.66)
Если функция F(s) задана соотношением (3.33), то можно
записать
<3-67*
Это означает, что и полюсы, и нули функции [ F (j<o) I2 |т=п8// =
—F(s)F(—s) встречаются с квадрантной симметрией. Следова-
тельно, уравнение (3.67) дает ключ к построению минимально-
фазовой функции цепи F(s).
Задав функцию |77(/<о) |, можно получить следующую про-
цедуру построения функции F(s):
Процедура построения 3.3.
Сформировать функцию | F (» |2 |и=5// Д , (3.68)
где C(s) и D(s)— соответственно числитель и знаменатель
функции [ F (j®) I2 Из соотношения (3.67) очевидно, что
C(s) = 4(s)4(-s), (3.69)
D (s) = В (s) В (—s). (3.70)
2. Разложить на множители C(s). Приписать множители,
определяемые нулями левой половины s-плоскости, поли-
ному X(s).
3. Разложить на множители D(s). Приписать множителя,
определяемые полюсами левой половины s-плоскости, поли-
ному B(s).
4. Сформировать минимально-фазовую функцию цепи
F(s)'= A(s)/B(s),
где A (s) и В (s) получены соответственно на этапах 2 и 3.
Пример 3.6. Задана функция
1^(7<о)12 = (4 + <о2)/(1 + <ов). (3.71)
Найти минимально-фазовую функцию цепи F(s).
Решение. Следуя этапам, указанным в процедуре построения 3.3, полу-
чаем
1.
C(s)=4 —s2 и D(s) = l — se.
2. С (s)= (2 + s) (2 — s) => Л (s) = 2 + s.
3. D (s) = (s + 1) (s2 + s + 1) (1 - s) (s2 - s + 1),
В (s) = (S + 1) (s2 + s + 1).
4. F (S) = A (s)/B (s) = (s + 2)/(s + 1) (s2 + s + 1). (3.72)
Заметим, что, как устанавливает преобразование Гильберта,
если заданы нечетная или четная часть функции F(s), можно
найти функцию F(s) при условии, что она является аналити-
ческой в правой половине s-плоскости [все полюсы функции
F(s) находятся в замкнутой левой половине s-плоскости, а по-
люсы на мнимой оси являются простыми]. Если, однако, за-
даны или модуль, или фаза функции F(s), то можно построить
единственную функцию Е(«) только для минимально-фазовой
функции Е(«) [все нули и полюсы функции F(s) должны встре-
чаться в замкнутой левой половине «-плоскости, а полюсы
и нули на мнимой оси являются простыми].
ЛИТЕРАТУРА
1. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., Krie-
ger R. E„ 1975.
2. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters,
Englewood Cliffs. N. Y., Prentice-Hall, Inc., 1970.
3. Leon B. J., Wintz P. A. Basic Linear Networks for Electrical and Electronics
Engineers, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1970.
4. Papoulis A., The Fourier Integral and Its Applications, New York, McGraw-
Hill, 1962.
ЗАДАЧИ
3.1. Найти четные части, нечетные части и квадраты модулей следующих
полиномов:
а) Р («) = «2 4- 2s + 2;
б) р (s) = s3 4- 3s 4- 2;
в) р (s) = 4s4 4- 3s8 4- 2s2 4- s 4- 2;
г) P (s) = s® 4- 0,5s3 4- s;
д) P (s) = 6s6 4- s2 4- s.
3.2. Найти четные и нечетные части следующих рациональных функций:
a) f (s) = l/(s 4-1)- е) f (s) = (s 4- l)/(s2 4- 2s 4- 2);
6) f (s) = 2s/(s 4-1): «) I (s) = (s2 4-1 )/(s2 4- 2s 4- 2);
в) f (s) = s/(s2 4- 2s 4- 2): з) f (s) = (s2 4- s 4- l)/(s2 4- 2s 4- 2);
Г) f (S) = l/(s2 4- 2S 4- 2); И) f (s) = s/(s2 4-1);
Д) f (s) = s2/(s2 4- 2s 4- 2); к) f (s) = (s' 4- l)/(s3 4- 3s).
3.3. Известно, что корни полинома f(s) = s4 4- as2 4- b встречаются с квад-
рантной симметрией. Следовательно, полином f(s) можно представить
в следующем виде: f(s) = p(s)p(—s), где p(s) — полином второго по-
рядка. Показать, что полином p(s) равен p(s) = з2 4- a»s + Ьо, где
Ьо = д/fc” и «о= -у2Ьо — Д , а До и Ьо — вещественные числа.
3.4. Найти корни следующих полиномов;
a)f(s) = s4+l; е) f (з) = з6 — 1;
б) f (з) = s4 - 2з2 4-1; ж) f (з) = зе 4- з4 4- 7s2 - 9;
В) f(s) = s4 + 9s2 + 25; з) f (з) =з6 - Зз1 4- Зз2 - 1;
г) f (з) = з4 4- бз2 4- 9; и) f (s) — sB — Зз4 — Зз2 — 4;
д) f (S) = s4 — Юз2 4- 9; к) f (s) = se — 7s4 4- 21s2 - 36;
л) f (s) = sB — 2s4 4- s2 — 36;
Примечание: s = —1 является корнем в пп. е), ж) и з); s = —2 явля-
ется корнем в пп. и), к) и л). Корни встречаются с квадрантной сим-
метрией.
3.5. Для каждой вещественной части Д(со), приведенной далее, найти соот-
ветствующую ей рациональную функцию F(s), такую, что Д(<о) =
= Re [F (jo)].
a) R (со)
б) R (со)
в) R (со)
о4
1 4-со6’
4 — со2
со4 — Зсо2 4- 4’
4со2 4- 160 _
о2 4- 16 ’
. _ , 2со2 — 1
д) R (со) = :—=-;
1 4- со6
. п , . со4 — Зсо2
е) R (со) — ю6 + Зю4 + Зю2 _|_ J :
ч п/\______ — ю4 + Зю2 -j- 6
ж) R (со) — Ю6 + 2со4 4- со2 4- 36 •
3.6. Для каждой мнимой части Х(со), приведенной далее, найти соответ-
ствующую ей рациональную функцию F(s), такую, что Х(со) =Im[F(/o)].
а) X (со)
— о3 4- со
со4 — о2 4- 1 ’
б) X (со)
в) X (со)
— 2со3 4- о
со4 — со2 4- 1 ’
— со3
со4 — Зсо2 4- 4 ’
, v , . Зо3 — со
г) Х(со) — Ю5 + Зю4 + Зю2 + J ;
, v , , — Зсо3 — о
д) (о) — юе _|_ 2со4 4- со2 4- 36 ’
. v . . 2со — со3
3.7. Задана нечетная часть 7V(s) функции цепи К(з) в следующем виде;
JV(s) = (2s3 4- 22s)/(s4 4- s2 4- 25).
а) Найти функцию F(s) такую, что f (oo)= 1.
б) Найти функцию F(s) такую, что F(0)= 1.
Если невозможно найти такую функцию F(s), то обосновать причины.
. , . , Зсо8 — со
г) Ф (со) = -arctg ю4_3ю2~;
д) ф (со) = — arctg
3.8. Для каждой из следующих фазовых функций ф(со) найти соответствую-
щие им минимально-фазовые функции.
— со3
а) Ф (to) = - arctg -4 _ ю2 ;
. 2со3 — со
б) ф (со) = — arctg ;
. , . . 2со — со3
в) Ф (со) = — arctg —( +2ю2
3.9. Для каждого модуля, приведенного далее, найти соответствующую ему
минимально-фазовую функцию.
со4— бсо2 + 9 со4 + Юсо2 + 9
а) I И (/со) I — ю4 + 10е)2 + 9 ; г) I # (/<о) I — юб + 7ю4 _|_ 21 со2 _|_ 36 >’
1 -!- ff)^ 1 -1 гл®
б) I Н (/СО) I2 = с05_ю4+7ю2 + 9 ; Д) I # (/со) I2 = И6 + 2ю4 _|_ Ю2 + 36;
. <12 СО4 — 9со2 + 25 со4 + 2со2+1
в) I н (/со) I ю6+3ю4_3£02+4 . е) I н (/“) I со3-5со6+1 tco4-11со2+4’
3.10. Написать программу для ЭВМ, которая реализует: а) процедуру по-
строения 3.1; б) процедуру построения 3.2; в) процедуру построения 3.3.
Положительные вещественные
функции и пассивность
Пусть цепь т] — двухполюсник, не содержащий внутренних
независимых источников. Положим, что все начальные усло-
вия— нулевые, тогда т) можно характеризовать либо уравне-
нием I(s) = У(в) V(s), либо уравнением V(s) — Z(s)I (s), где
I(s) и V(s) — соответственно преобразования Лапласа для
втекающего тока и напряжения на двухполюснике. Их назы-
вают соответственно входными функциями полной проводимо-
сти и сопротивления. В основе большинства способов синтеза
цепей из элементов, имеющих только положительные значения
параметров (резисторы, катушки индуктивности и конденса-
торы1)), лежит концепция положительных вещественных функ-
ций. Бруне [1] доказал, что любая входная функция двухпо-
люсника, содержащего только пассивные элементы, положи-
тельна и вещественна. Напротив, любая положительная
вещественная функция может быть реализована как входная
функция цепи, содержащей только пассивные элементы, такие,
как положительные RLC-элементы, идеальные трансформаторы
и обмотки связи, обладающие симметричными и положительно-
определенными матрицами полных сопротивлений2).
Функция F(s) называется положительной вещественной
(ПВ), если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. F(s) вещественна при вещественном s.
2. Re[F(s)] 0 всегда, когда Re[s] 0.
Выполнение первого условия легко проверяется, так как оно
просто требует, чтобы все коэффициенты F(s) были веществен-
ными. Второе условие означает, что комплексная функция F(-)
преобразует правую половину и мнимую ось плоскости s в пра-
вую половину и мнимую ось плоскости F (рис. 4.1).
Получив эти основные сведения, рассмотрим теперь основы
синтеза пассивных схем.
Теорема 4.1. Пусть цепь т] — двухполюсник, содержащий
только пассивные элементы. Тогда его входные функции пол-
*) Далее, если ие оговорено обратное, повсеместно подразумевается, что
все сопротивления, индуктивности и емкости имеют положительные значения.
2) Пассивными резисторами, катушками индуктивности и конденсато-
рами (ДАС-элементы) называют такие, которые обладают соответственно по-
ложительными сопротивлениями, индуктивностями и емкостями. О симметрич-
ной матрице А размерностью п X п говорят, что она положительно опреде-
лена, если х'Ах > 0 для всех «-мерных векторов х ф 0.
ной проводимости и сопротивления — положительные веще-
ственные.
Доказательство. Чтобы упростить доказательство, предположим, что т]
содержит только пассивные резисторы, катушки индуктивности и конденса-
торы. При необходимости нетрудно распространить это упрощенное доказа-
Рис. 4.1. Свойства ПВ-фуикций.
тельство на общий случай. Кроме того, мы докажем теорему только для
функции полного сопротивления. Для случая полной проводимости ее при
желании можно будет доказать по принципу дуальности.
Рис. 4.2. Двухполюсник, содержащий Ь — 1 пассивных 7?£С-элементов.
Рассмотрим схему рис. 4.2, где двухполюсник т] содержит только пассив-
ные резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Теорема Теллегена
утверждает, что
ь
^Vklk = 0, (4.1)
fe=i
где Ik — величина, комплексно-сопряженная с Ik, и предпола-
гается, что т] содержит b — 1 элементов, от 2 до Ь. Очевидно,
14.1) можно записать как
ь
- vlil = Е v kik =Е vkh + Е vkik + Е vkik, (4.2)
fe=2 Hl 4S if
где У» У, и X обозначают соответственно суммы всех со-
противлений, емкостей и индуктивностей. Пусть ZBX(s)— вход-
ное сопротивление т], тогда
Vi = -ZBX(s)/i. • (4.3а)
При этом, если ветвь k содержит сопротивление Rk в омах,
Vk = RkIk. (4.36)
Если ветвь k содержит емкость С* (в фарадах), то
„ Vk — (l/sCk)Ik. (4.3в)
Наконец, если ветвь k содержит индуктивность Lk (в генри),
Vk — sLkIk. (4.3г)
Поскольку т] содержит только пассивные элементы, имеем
Rk > 0, Lk > 0 и Ck > 0. (4.4)
Подставив (4.3) в (4.2), получим
ZBX (s) IЛ I2 = £ Rk | /12 + £ ।Ik I2 + X sLk ।Ik |2 Zbx (s) =
я « _
Vn I4I2 ' 1 V 1 |/fe|2 I д V Гг. |/fe|2
- L । ц p + s L ck । h i2 + L Lk i л i2 •
Si "g <e
Положим s = a + /<в. Тогда из (4.5)
1 a2 + о2 Л Ck | Л |2 +1 Zj k 11, |2 '
g v
Следовательно, имеем
Re[zBX(s)i = ‘|77p-+ + и2 X 57p7F + aSLfeT7rp- (4,7)
Я g ie
Из (4.7) можем вывести, что если о 0, то Re [ZDX (s) ] 0, т. е.
Re [ZBX (s)] > 0 повсюду, где Re[s] > 0.
Из (4.6), если <о = 0, то ZBX(s) вещественно. Следовательно, мы можем
заключить также, что ZPX(s) вещественно, когда s веществен. Таким образом,
Zbx(s) положительно и вещественно.
Истинность теоремы, обратной 4.1, была доказана Бруне.
Здесь мы только сформулируем результат1).
*) Доказательство этой теоремы можно найти в [1, 2J.
Теорема 4.2. Пусть F (s) — положительная вещественная
функция. Тогда F(s) можно реализовать как входную функцию
полной проводимости или сопротивления для двухполюсника,
содержащего только пассивные элементы.
В свете обеих предшествующих теорем можно заключить:
Следствие 4.3. F(s) является ПВ-функцией тогда и только
тогда, когда таковой является 1/F(s).
4.1. Полином Гурвица
В общем случае проверить, что для ПВ-функции удовлетво-
ряется условие 2, очень трудно. Поэтому желательно найти
иные, но эквивалентные условия положительности и веществен-
ности функции. Один из способов для этого дает концепция
полиномов Гурвица (основного и модифицированного).
Говорят, что полином p(s) есть полином Гурвица, если все
его корни лежат в левой полуплоскости s (исключая мнимую
ось). Далее, полином называется модифицированным полино-
мом Гурвица, если ни один из его корней не лежит в правой
полуплоскости s, а все корни, лежащие на мнимой оси, про-
стые (с кратностью I)1).
Основываясь на определениях, введенных в предыдущем
абзаце, нам необходимо найти распределение всех корней по-
линома p(s), прежде чем мы сможем сказать, является ли
полином p(s) полиномом Гурвица или модифицированным по-
линомом Гурвица. Известно, что определение всех корней
полинома — задача непростая. Следовательно, непосредственно
пользоваться определениями полинома Гурвица или модифици-
рованного полинома Гурвица нежелательно. В этом разделе
мы опишем методы, пользуясь которыми можно определить,
является ли данный полином полиномом Гурвица или модифи-
цированным полиномом Гурвица, не находя его корней.
Пусть p(s) — рассматриваемый полином. Предположим
сперва, что мы не знаем, четна или нечетна степень p(s). Чтобы
убедиться, является ли такой полином полиномом Гурвица,
воспользуемся критерием Гурвица, согласно которому к членам
нечетных и четных степеней прилагается (с некоторыми незна-
чительными изменениями) алгоритм Евклида для нахождения
наибольшего общего множителя. Конкретно, прежде всего
разобъем p(s) на две группы членов — с четными и нечет-
ными степенями, соответственно M(s) и N(s); естественно,
р ($) = 7И ($)-|-Д/(s). Образуем из M(s) и N(s) контрольное
’) Ясно, что модифицированный полином Гурвица не обязательно яв-
ляется полиномом Гурвица, но полином Гурвица всегда является также мо-
дифицированным полиномом Гурвица.
отношение Т (s), в котором у числителя степень больше, чем у
знаменателя. Пусть p(s) — полином степени d. Тогда
T(s) = N (s)/M(s), (4.8а)
если d нечетная, и
T(s) — M(s)/N(s), (4.86)
если d четная.
Далее, произведем разложение в непрерывную дробь отно-
шения T’(s), исключая каждый раз один полюс с помощью сла-
гаемого qs,
Т (s) = q\S 4---------------------
<72s4-----------------
где qis — i-e слагаемое, qt — соответствующий коэффициент.
Если имеется одно или несколько слагаемых с отрицатель-
ными коэффициентами, значит, p(s) не является ни полиномом
Гурвица, ни модифицированным полиномом Гурвица. С другой
стороны, если имеется d слагаемых (3, = d) и каждое из них
имеет положительный коэффициент, то p(s) есть полином Гур-
вица. Наконец, если число слагаемых А < d, но у всех слагае-
мых коэффициенты положительные, это означает, что у М (з)
и 7V(s) есть общий сомножитель k(s). Следовательно, можно
записать
Р (s) = k (з) [2И (s) + N (з)] = k (s) p (s), (4.10)
где M (s) = k (s) M (s), N (s) — k (s) N (s) и p(s) — M (s) + N (s).
Поскольку k(s) является общим сомножителем для двух
полиномов (нечетной и четной степени), он сам должен быть
либо полиномом нечетной степени, либо полиномом четной сте-
пени. Рассмотрим сперва случай, когда k(s)—полином четной
степени. Тогда можно записать
k (s) = k (— з). (4.11)
При этом подразумевается, что корни k(s) будут симмет-
ричны относительно начала координат: з/ есть корень k(s)
тогда и только тогда, когда —S/ есть корень k(s). Заметим, что
если в/ — не чисто мнимое число, k(s) будет содержать корень
в правой полуплоскости s (поскольку если в/ лежит в левой
полуплоскости, то —S/ — в правой, и обратно). Следовательно,
k(s) в крайнем случае есть модифицированный полином Гур-
вица. Это будет справедливо только в том случае, если все
корни k(s) (простые и чисто мнимые) лежат на мнимой оси
плоскости s. Следовательно, p(s) не может быть полиномом
Гурвица.
Предположим теперь, что k(s) — полином нечетной степени.
Поскольку такой полином может быть записан как произведе-
ние s на полином четной степени, k(s) есть в крайнем случае
модифицированный полином Гурвица. Следовательно, p(s)
опять не может быть полиномом Гурвица.
Поскольку все d слагаемых Т(s) имеют положительные ко-
эффициенты, полином fi(s) в (4.10) есть полином Гурвица. Та-
ким образом, если k(s) есть модифицированный полином Гур-
вица (т. е. если все корни k(s) простые и чисто мнимые), то
p(s) есть модифицированный полином Гурвица.
Ниже процедура определения, является ли k(s) модифици-
рованным полиномом Гурвица, описывается для случая, когда
заведомо известно, четна или нечетна степень p(s).
Предположим теперь, что p(s)—полином четной или нечет-
ной степени d. В этом случае p(s)—модифицированный поли-
ном Гурвица тогда и только тогда, когда p(s) имеет только
простые корни, лежащие на мнимой оси (включая начало ко-
ординат).
Чтобы определить, является ли p(s) модифицированным
полиномом Гурвица, образуем контрольное отношение T(s)
в виде
Т (s) = р (s)/(d/ds) p(s) = p (s)/p' (s) (4.12)
и осуществим разложение в непрерывную дробь, как в (4.9).
Тогда p(s)—модифицированный полином Гурвица тогда
и только тогда, когда в разложении имеется d слагаемых
и каждое из них имеет положительный коэффициент1).
Последующие примеры иллюстрируют эти процедуры про-
верки.
Пример 4.1. Определить, является ли полиномом Гурвица выражение
р (s) = si + 3s3 + 5s2 + 5s + 2. (4.13)
Решение, p (s) = si + 3s3 + 5s2 + 5s + 2 = (s4 + 5s2 + 2) + (3s3 + 5s) =
= M (s) + N (s).
*) В случае, когда p(s)—полином четной или нечетной степени и в раз-
ложении f(s) в непрерывную дробь имеется один или несколько отрицатель-
ных коэффициентов, p(s) имеет корень в правой полуплоскости s. В случае,
если все коэффициенты положительные, но число слагаемых в разложении
А < d, все корни p(s) лежат на мнимой оси, но имеются непростые (крат-
ные) корни. В обоих случаях p(s) не является модифицированным полиномом
Гурвица.
Поскольку d = 4 четное, контрольное отношение
Т (s) А М (s)/N (s) = (s4 + 5s2 + 2)/(3s3 + 5s). (4.14)
Очевидно, при s = oo, T(s) = оо (т. e. T (s) имеет полюс в бесконечно-
сти). Выделяя этот полюс как слагаемое, получим
T(s) = (l/3)s+1/Г1(5), (4.15)
где (1/3) s — первое слагаемое, 1/3—коэффициент, a l/7\(s) = T(s} —(l/3)s=
=[(10/3)s2 + 2]/(3s3 + 5s) —остаток. Следовательно,
Л (s) = (3s3 + 5s)/[(10/3) s2 + 2]. (4.16)
Заметим, что 7’i(°°)= оо. Таким образом, мы можем выделить из Ti(s)
полюс в виде 'слагаемого, как мы это делали для T(s). В результате Ti(s)
запишется как
Г1 (s) = (9/10) s + 1/Г2 (s), (4.17)
где (9/10)s— второе слагаемое, 9/10 — его коэффициент, a l/Tils}—второй
остаток. Подставляя (4.17) в (4.11), имеем
' Г (s) = J s + (9/10) s + [1/Г2 (s)] ’ Где (4J8)
1 т , ч 9 (16/5) s
Т2 (s) ~ Tl (S) 10 S ~ (10/3) s2 + 2 ИЛИ
(10/3) s2 + 2
Га(5)= ~(16/5)'s~~- (4Л9)
Очевидно, Т2(оо)= оо. Удалив из T2(s) полюс в бесконечности, получаем
Т2 (s) = (25/24) s + 1/Г3 (s), (4.20)
где (25/24) s — третье слагаемое, 25/24 — его коэффициент, а
T2(s) 24 s (16/5) s (8/5) s (4‘21)
— третий остаток. Подставляя (4.20) и (4.21) в (4.18), получаем разложение
Т (s) при s = оо в виде
T(s) = 4S +------------------5---j-----------, (4.22)
(9/10) s +---------------j---
<25/24) s + w
Поскольку всего имеется четыре слагаемых и их коэффициенты положи-
тельные (1/3, 9/10, 25/24 и 8/5), p(s) есть полином Гурвица.
Предыдущий пример обрисовывает поэтапную процедуру
разложения контрольного отношения Т (s) в непрерывную
дробь. Этот процесс позволяет показать, что фактически дает
такое разложение, но его выполнение — громоздкое дело. По
счастью, разложение рациональной функции в непрерывную
дробь можно выполнить и более простыми средствами — мето-
дом последовательных делений. В качестве примера покажем
разложение в непрерывную дробь T{s) из (4.12) при s — со:
Здесь величины, обведенные кружками, — слагаемые. Имея
эти слагаемые, можно сравнительно просто образовать (4.22).
Фактически мы можем определить, является ли наш полином
полиномом Гурвица, просто проверив коэффициенты этих ела*
гаемых.
Лример 4.2. Определить, является ли полином
р (s) = s4 + s3 + 6s2 + 2s + 8
(4.23)
полиномом Гурвица или модифицированным полиномом Гурвица.
Решение. Поскольку p(s) не содержит одни лишь члены четных или не-
четных степеней, запишем его в виде p(s) = (s46s2 + 8) + (s3 + 2s)^.A4(s) +
+ ./V(s) и образуем контрольное отношение
Т (s) = М (s)/N (s) = (s4 + 6s2 + 8)/(s3 + 2s).
(4.24)
Разложение T (s) в непрерывную дробь при s = оо дает
T(s) = s+[l/(l/4)sJ. (4.25)
Это показывает, что у М (s) A.s4 + 6s2 + 8 и N (s) A. s3 + 2s имеется об-
щий сомножитель. Найти наибольший общий сомножитель (НОС) можно три-
виальным путем—разложить M(s) и N(s) в непрерывную дробь методом
последовательных делений; НО — это делитель, который дает нулевой оста-
ток. В нашем случае процесс последовательного деления даст
в3 + 2j)s4 + + 8 _1
S»+2j3 4
4й + 8 )р +.2f
О
Следовательно, НОС четной и нечетной частей p(s) равен (4s2 + 8) Зна-
чит, мы можем переписать p(s) в виде р (s) = (4s2 + 8) [(s2 4- 4) 4- si Д fe X
X («) P (s).
Поскольку все коэффициенты в (4.25) положительные, полином
р (s) + s 4-4 есть полином Гурвица. Следовательно, если k (s) A.4s2 4- 8—
модифицированный полином Гурвица, то и p(s) — модифицированный поли-
ном Гурвица.
Чтобы проверить, является ли k(s) модифицированным полином Гурвица,
образуем контрольное отношение
Т (s) = k (s)/(d/ds) k (s) = (4s2 4- 8)/8s. (4.26)
Разложение ?(s) в непрерывную дробь при s = оо дает
?(s) = (l/2)s4-(l/s). (4.27)
Поскольку k(s)—полином второй степени и имеет два слагаемых, причем
у обоих коэффициенты положительные, k(s) есть модифицированный поли-
ном Гурвица. Следовательно, и p(s) в (4.23) есть модифицированный поли-
ном Гурвица.
Пример 4.3. Определить, является ли полином
р (S) == s3 + s5 4- 4s1 4- 2s3 4- 5s2 4- s 4- 2 (4.28)
полиномом Гурвица илн модифицированным полиномом Гурвица.
Решение. Перепишем р (s) в виде р (s) = (sc 4- 4s4 4- 5s2 4- 2) 4-
4- (ss 4- 2s3 4- s) ДМ (s) 4- N (s).
При этом контрольное отношение Т (s) будет
т (s) = (sc 4- 4s4 4- 5s2 4- 2)/(s5 4- 2s3 4- s) = s 4- [I/( 1/2) s], (4.29)
Отсюда следует, что HOC k (s) числителя M (s) A s6 4 4s4 4- 5s2 4- 2 и
знаменателя N(s) — s5 4- 2s3 4- а не является постоянной величиной: он равен
k (s) = 2s4 4- 4s2 4- 2. (4.30)
Чтобы проверить, является ли k(s) модифицированным полиномом Гур-
вица, образуем контрольное отношение ?(s) в виде
f (s) = k (s)/(d/ds) k (s) = (2s4 4- 4s2 4- 2)/(8s3 4- 8s) (4.31)
и разложим его в непрерывную дробь при s — оо
?(s) = (l/4)s4- 1/(1/4)а. (4.32)
Поскольку k(s) —полином четвертой степени и имеет в (4.32) всего два
слагаемых, корни k(s) многократные и лежат на мнимой оси. Действительно,
s — ±j суть двукратные корни k(s). Следовательно, p(s) в (4.28) не является
ни полиномом Гурвица, ни модифицированным полиномом Гурвица,
Пример 4.4. Определить, является ли выражение
р (s) = s® + 2s3 + 2s (4.33)
модифицированным полиномом Гурвица.
Решение. Поскольку p(s) содержит только члены нечетных степеней, кон-
трольное отношение равно
f (s) = (s5 + 2s? + 2s)/(5s4 + 6s2 4- 2). (4.34)
Частичное разложение T (s) в непрерывную дробь при s = то дает
5 ® + - 4s2 + 2
Поскольку третье слагаемое имеет отрицательный коэффициент, можно
прервать процесс разложения и заключить, что p(s) в (4.33) не является
модифицированным полиномом Гурвица. Действительно, p(s) имеет два кор-
ня в правой полуплоскости s.
Пример 4.5. Определить, является ли выражение
р (s) = s6 + 6s4 + 1 Is2 + 6
модифицированным полиномом Гурвица
Решение. В соответствии с (4.12) контрольное отношение равно
Т (s) = (s6 + 6s4 + 1 Is2 + 6)/(6ss + 24s3 + 22s).
Разложение 7(s) в непрерывную дробь при s — то дает
1 г—.
-тг5 + -г-
(4.36)
(4.37)
(4.38)
Поскольку имеется тесть слагаемых, все с положительными коэффициен-
тами, p(s) есть модифицированный полином Гурвица.
Критерий Гурвица является испытанным орудием для мно-
гих технических дисциплин, в особенности при исследовании
устойчивости линейных систем. Для него было выведено много
необходимых условий, которым должен удовлетворять полином,
чтобы имело смысл проверять, является ли он полиномом Гур-
вица. Два из этих необходимых условий следующие:
1. У полинома не должно быть пропущенных членов. (4.39а)
2. Все коэффициенты должны быть или положительными
или отрицательными. (4.396)
Например, полином pi(s) = s3 + s + 2 не является полино-
мом Гурвица, так как у него есть пропущенный член — член
второй степени. Полином р2 (s) = s3 + s2 — s + 1 не является
полиномом Гурвица, так как у него имеются как положитель-
ные, так и отрицательные коэффициенты.
Следует подчеркнуть, что условия (4.39) необходимые, но
недостаточные. Например, полином
р3 (s) = s4 + s3 + 6s2 + 26s + 20 (4.40)
удовлетворяет обоим условиям (4.39), но Pz(s) в (4.40) не яв-
ляется полиномом Гурвица, так как имеет пару комплексно-
сопряженных корней 1 ± /3 в правой полуплоскости s. Иными
словами, если полином p(s) не удовлетворяет хотя бы одному
из условий (4.39), то он не является полиномом Гурвица. Но
если он удовлетворяет обоим этим условиям, это еще не зна-
чит, что является полиномом Гурвица. В последнем случае
к полиному еще надо приложить критерий Гурвица. Для про-
стых случаев мы знаем еще некоторые достаточные условия,
а именно:
1. Полином первого или втопого порядка, не имеющий про-
пущенных членов и содержащий все коэффициенты только
одного знака, есть полином Гурвица. (4.41а)
2. Произведение полиномов Гурвица есть полином Гур-
вица. (4.416)
Оба эти условия, которые являются достаточными, можно
эффективно использовать. Например, если сложный полином
можно представить в виде произведения полиномов первого
и второго порядков, т. е.
Р (s) = Pi (s) р2 (s) ... pq (s), (4.42)
где каждый pi(s) (i — 1, 2, ..., q) есть полином первой или
второй степени, то проверка по критерию Гурвица сведется
к проверке коэффициентов у каждого из сомножителей pt(s).
Если все pi(s) — полиномы Гурвица, то и p(s) — полином Гур-
вица. С другой стороны, если хотя бы один из сомножителей,
допустим pk(s), не является полиномом Гурвица, то и p(s)
также не является полиномом Гурвица.
Пример 4.6. Определить, является ли выражение
р (s) = s5 + 6s4 + 16s3 + 27s2 + 22s + 12 (4.43)
полиномом Гурвица.
Решение. Ясно, что (4.43) удовлетворяет условиям (4.39). Можно сразу
же приложить к p(s) критерий Гурвица или же воспользоваться достаточны-
ми условиями (4.41), разложив (4.41) на множители:
р (S) = (s2 + s + 1) (s2 + 2s + 4) (s + 3). (4.44)
Из первого достаточного условия следует, что все три сомножителя в
(4.44) являются полиномами Гурвица, а из второго достаточного условия за-
ключаем, что p(s) есть полином Гурвица.
Отметим, что произведение одного полинома Гурвица и мо-
дифицированных полиномов Гурвица не обязательно является
модифицированным полиномом Гурвица. Рассмотрим для при-
мера произведение полинома Гурвица и двух модифицирован-
ных полиномов Гурвица
p(s) = (s2 + s+l)(s3 + s)(s2+l). (4.45)
Поскольку p(s) имеет сопряженные корни при s #= ±/, p(s)
не является модифицированным полиномом Гурвица. Однако
произведение полиномов Гурвица и одного модифицированного
полинома Гурвица всегда является модифицированным поли-
номом Гурвица.
В заключение сформулируем один результат, который при-
годится нам впоследствии.
Теорема 4.4. Пусть p(s) — М (s) + N(s) — полином Гурвица,
у которого M(s) и N(s)—части, содержащие соответственно
члены только четных и только нечетных степеней. Тогда ра-
циональные функции
F1(s)A2W(s)/7V(s) и F2(s)AN(s)/M(s) (4.46)
можно реализовать как входные функции полного сопротивле-
ния или полной проводимости для двухполюсников, содержа-
щих только индуктивности и емкости.
Обратно, сумма числителя и знаменателя у входной функ-
ции идеального (без потерь) двухполюсника есть полином
Гурвица.
4.2. Положительные вещественные функции
Напомним, что ПВ-функция F(s) удовлетворяет двум усло-
виям: она вещественна, когда веществен параметр s (это озна-
чает, что коэффициенты полиномов, стоящих в числителе
и знаменателе F(s), должны быть вещественны) и положи-
тельна, когда вещественная часть Re [s] 0. В общем случае
условие положительности проверить трудно. Ниже мы устано-
вим некоторые иные, но эквивалентные условия.
Теорема 4.5. F (s) АЛ (s)/В (s) есть ПВ-функция тогда и
только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:
1. F(s) вещественна, когда веществен s.
2. B(s) есть полином Гурвица или модифицированный по-
лином Гурвица.
3. Полюсы F(s), лежащие на мнимой оси, простые1)
и имеют вещественные и положительные вычеты.
4. Re[F(/w)]^0 для всех со. (4.47)
Заметим, что вычет функции F(s) при простом полюсе s*,
обозначаемый определяется следующим образом:
-[(s- sA)F(s)J |s=Sft = ~wAa(syB{s} |s=sfe. если sk конечен,
(4.48a)
gA — lim 4-f(s), если «ft — (4.486)
S->oo * S
здесь Л(«) и В (s')— соответственно полиномы, стоящие в чис-
лителе и знаменателе F(s). Из (4.48) видно, что вычет F(s)
при вещественном полюсе есть вещественная величина и что
вычеты F(s) при паре комплексно-сопряженных полюсов суть
комплексно-сопряженные величины.
Чтобы показать, как можно воспользоваться соотношениями
(4.48), рассмотрим рациональную функцию
р ( с) —---.4? 4-2------ ---------------4s + 2_______ / л дп\
г S3 + 7s2 + i7s + 15 (S + 3) (S + 2 + /) (s + 2 - /) •
В данном случае F(s) имеет три простых полюса: Si =—3,
«2 — —2 — / и $з — —2 4-/. Как показывает (4.48), вычет F(s)
при Si можно вычислить двумя способами:
11 — [($ — «1) F ($)] |S=S1 = (Si + 2 + yj (S1 + 2 — /) ==
= (- 12 + 2)/(— 1 4- /) (— 1 — /) = (- Ю/2) = - 5
или
4s + 2 | _ 4s + 2 I
ё1 — (d/ds) [s3 + 7s2 + 17s + 15] |S==S1 ~ 3s2 + 14s + 17 |s_Sl=_3 ~
==(- 12 4- 2)/(27 - 42 4- 17) = (- 10/2) = - 5.
Вычеты F(s) при полюсах s2 и s3 даются следующими вы-
ражениями:
t ___ 4s+ 2 I _ 3 + 2/ 5 — /
S2— (s + 3) (s + 2 —/’) |s=S2=-2_y 1+7 2 ’ (4‘506)
c. 4s + 2 I _ 5 + / / л \
ёз - (s + 3) (s + 2 + 7) LS3=_2+/ “ 2 • (4-50b)
*) В число полюсов F(s), лежащих на мнимой оси, входит полюс при
s = оо (если он имеется). Поскольку условие 2 теоремы 4.5 заведомо гаран-
тирует, что конечные полюсы, лежащие на мнимой оси, являются простыми,
необходимо заботиться только о полюсе на бесконечности (если он есть).
Если степень 4(s) хотя бы на единицу больше степени B(s), то F(s) в край-
нем случае имеет при s — оо простой полюс.
Условия 2—4 теоремы 4.5 образуют семейство критериев
положительности В($), т. е.
Re [F (s)] 0 повсюду, где Re[s]^0. (4.51)
В отличие от (4.51) условие 4 теоремы 4.5 требует проверки
Re[F(s)] только вдоль мнимой оси. Это, как правило, выпол-
няется «в лоб» или прямыми вычислениями. В более сложных
случаях для проверки, выполняется ли условие 4 теоремы 4.5,
можно использовать метод Штурма [8].
Учитывая следствие 4.3 (о том, что обратная величина
ПВ-функции также является ПВ-функцией) и условия, уста-
новленные теоремой 4.5, укажем некоторые необходимые усло-
вия того, что F(s) — A (s)/B(s) является ПВ-функцией:
1. Разность степеней полиномов Л(х) и B(s) не превышает
единицы. (4.52а)
(Причина в том, что полюсы ПВ-функции, лежащие на мни-
мой оси, должны быть простыми, а полюсы в начале координат
и бесконечности рассматриваются как полюсы, лежащие на
мнимой оси. Следовательно, полюсы в начале координат и бес-
конечности должны быть простыми.)
2. Разность между низшими степенями полиномов A (s)
и B(s) не превышает единицы. (4.526)
(Причина та же, что в условии 1.)
3. Все коэффициенты X(s) и B(s) неотрицательные1).
(4.52в)
(Это необходимо для гарантии, что A (s) и В (s) являются
по меньшей мере модифицированными полиномами Гурвица.)
4. На мнимой оси нет кратных полюсов или нулей. В пра-
вой полуплоскости s нет никаких полюсов или нулей.
Пример 4.7.
1. Fl(s) — (s4 + s3 s2 + s + l)/(2s + 7) не является ПВ-функцией, так
как разность между высшими степенями A(s) и B(s) превышает единицу.
2. r2(s) = s2/(2s + 7) не является ПВ-функцией, так как разность между
низшими степенями 4(s) и B(s) превышает единицу.
3. F3 (s) = (s2 + 4s — 3) I (s2 + 4s + 9) не является ПВ-функцией, так как
-4 (s) содержит отрицательный коэффициент.
4. Ft (s) = (s2 + 4s 4- 3) /(—s2-]-4s-|-9) не является ПВ-функцией, так
как B(s) содержит отрицательный коэффициент.
5. F3(s) = (s— 3)/(s + 4) не является ПВ-функцией, так как имеет нуль
в правой полуплоскости s.
6. Fe(s) — (s + 3)/(s — 4) не является ПВ-функцией, так как имеет полюс
в правой полуплоскости s.
*) Для A (s') и B(s) допускаются нулевые коэффициенты, так как 4(s)
и B(s) могут быть модифицированными полиномами Гурвица, a F(s) при
этом остается ПВ-функцией. См. Fio(s) в примере 4.8.
7. f7(s) = (s3 + s2 J- s + 2)/(s4 + 2s2 + 1) и Fs(«) = (« +3)/s2 не явля-
ются ПВ-функциями, так как имеют кратные полюсы на мнимой оси.
8. F0(s) = [s2(s -|- l)]/(s3 + 3s2 + 2s + 1) не является ПВ-функцией, так
как имеет нули на мнимой оси.
Условия (4.52) являются необходимыми, но недостаточ-
ными. Они служат для того, чтобы сразу отбросить функции,
которые заведомо не являются положительными веществен-
ными. Чтобы убедиться, что рациональная функция является
положительной вещественной, необходимо приложить к ней
теорему 4.5 или ее эквиваленты.
Пример 4.8. Определить, является ли рациональная функция
» FlD (s) = (s2 + s + 2)/(s2 + 2) (4.53)
положительной вещественной.
Решение. Легко показать, что Fw(s) соответствует всем необходимым
условиям (4.52). Это означает, что Fio(s), возможно, является ПВ-функцией.
Приложим теперь к ней теорему 4.5.
1. fio(s) вещественна, когда s веществен.
2. Знаменатель B(s) функции fio(s) является модифицированным поли-
номом Гурвица, имеющим полюсы на мнимой оси, при Si = /-v2 и s2 =
= — / a]7L . Оба полюса простые.
3. Пусть — вычет Fio(s) при полюсе sk. Тогда
% _ s2 + s + 2 =_1 и g s2 + s + 2 ____________1_ *
S+/V2’ S_S1=/V2- 2 2 s-/7f s=$2=—J Vs" 2’
т. e. и ^2 вещественные и положительные.
[9 — гл2 -4- /ел *1 9 — (й2
—о—= о—ГУ = 1 > 0 для всех со.
““ 10 | (О
Поскольку Fio(s) удовлетворяет всем четырем условиям теоремы 4.5, она
является ПВ-функцией.
Пример 4.9. Определить, является ли ПВ-функцией функция
F (s) = A (s)/B (s) = (s3 -J- 5s2 + 7s + 4)/(s3 + 2s2 + 6s + 5). (4.54)
Решение. Следуем тем же путем, что в примере 4.8.
0. F(s) удовлетворяет всем условиям (4.52), так что, возможно, она яв-
ляется ПВ-функцией.
1. Все коэффициенты F(s) вещественные; следовательно, F(s) веществен-
на, когда s веществен.
2. Знаменатель F(s), B(s) = s3 + 2s2 + 6s + 5 является полиномом Гур-
вица. В этом можно убедиться, приложив к B(s) критерий Гурвица. Следо-
вательно, все полюсы F(s) [корни B(s)] лежат в левой полуплоскости s.
3. Полюсы, лежащие на мнимой оси, отсутствуют.
4. Из гл. 3 известно, что Re[F(sj] = M(s)—четная часть F(s). Следо-
вательно, согласно (3.34),
Re [Г (/со)] = М (Ю = (4.55)
М$ (/со) - (/со)
где Afi(s) и M2(s)—четные части соответственно Л(д) и B(s), a JVL(s) и
N2(s)—нечетные части соответственно A (s) и S(s). Поскольку | В (/со) I2 =
(/со) — |7V(/"co') > О для всех о, заключаем что Re[F(/co)]^0 для всех со
тогда и только тогда, когда
Mi (/со) М2 (/'(£>) — Ni (/со) N2 (i®) 0 для всех со. (4.56)
В данном частном случае имеем
М। (s) = 5s2 + 4, Nt (s) = s3 + 7s, M2 (s) = 2s2 + 5 и N2 (s) = s3 + 6s.
Следовательно, (4,56) становится.
Mi (/co) M2 (/co) — Ni (/co) N2 (/co) = co® — 3co4 + 9coz + 20 =
= co2 (co2—|-) + [^-co2j + 2O>O для всех co.
Из (4.56) заключаем, что Ref/?(/co)l 0 для всех со.
Следовательно, все четыре условия теоремы 4.5 удовлетворяются. Это
означает, что F(s) является ПВ-функцией.
Как показывают примеры 4.8 и 4.9, проверка на положи-
тельность и вещественность сравнительно легко осуществляется
для простых рациональных функций, как K]0(s) из (4.53), но
занимает много времени для более сложных функций, таких,
как F(s) из (4.54). Если можно разложить сложную рацио-
нальную функцию в сумму более простых функций, то можно
с успехом воспользоваться следующим фактом:
Сумма ПВ-функций есть ПВ-функция. (4.57)
Приведем теперь еще несколько эквивалентных условий
проверки ПВ-функций.
Теорема 4.6. F (s) = A (s) /В (s) является ПВ-функцией тогда
и только тогда, когда
1. F(s) вещественна, когда s веществен.
2. р (s) АЛ (s) + В (s) есть полином Гурвица.
3. Re [Г (/о>) ] 0 для всех со.
Заметим, что во многих случаях проверить выполнение усло-
вий теоремы 4.6 проще, чем теоремы 4.5.
Теорема 4.7. F(s) есть ПВ-функция тогда и только тогда,
когда:
1. F(s) вещественна, когда s веществен.
2. | /Г (s) I , /s ] повсюду, где |/s[^n/2.
Теорема 4.8. Пусть F (s) = A (s)/B (s) и
G (S) A [F (S) - 1 ]/[F (S) + ! ] = [A (s) - В (s)]/[ A (s) + В (s)]. (4.58)
Тогда F(s) есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда:
1. F(s) вещественна, когда s веществен.
2. | G(s) | 1 повсюду, где Re[s] 0.
Теорема 4.9. Пусть G(s) определена выражением (4.58).
Тогда F(s) есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда:
1. F(s) вещественна, когда s веществен.
2. 71(s) + B(s) есть полином Гурвица.
3. | G (/со) | 1 для всех со.
4.3. Пассивность
В заключение главы кратко рассмотрим понятие пассивно-
сти и его связь с ПВ-функциями.
Говорят, что двухполюсник пассивен, если напряжение v(t)
и ток 1(f) на его зажимах связаны следующим соотношением:
t
v (т) i (т) dx + S (t0) 0 для всех t /0. (4.59)
to
Здесь S (t0) — энергия, накопленная в цепи к моменту времени
t0. Двухполюсник называется начально релаксированным В мо-
мент to, если в этот момент все начальные условия нулевые.
Следовательно, S (to) = 0. Тогда начально релаксированный
двухполюсник (в наших рассуждениях о пассивности будем
предполагать, что он именно такой) является пассивным, если
t
j v (х) i (х) dx^O для всех t t0. (4.60)
fo
Выражение (4.60) отражает просто тот факт, что энергия, по-
требляемая пассивным двухполюсником, больше или равна
нулю. Если двухполюсник не пассивный, его называют ак-
тивным.
В терминах анализа в частотной области выражение (4.60)
подразумевает, что входная функция двухполюсника — поло-
жительная вещественная1). Это значит, что двухполюсник пас-
сивен тогда и только тогда, когда его входные функции суть
положительные вещественные. Основными пассивными элемен-
тами являются RLC-элементы и идеальные трансформаторы.
Входная функция двухполюсника, содержащего только RLC-
элементы и идеальные трансформаторы, есть положительная
вещественная2). Отметим, что идеальные трансформаторы
и LC-элементы являются элементами без потерь. Это специаль-
ные случаи пассивных элементов. Заметим также, что хотя ги-
раторы— это элементы без потерь (если постоянные гирации
*) См., например, [9] или [10].
2) В данной книге идеальные трансформаторы при реализации схем не
используются,
равны), мы не включили их в список пассивных элементов,
потому что в данной книге гираторы синтезируются на основе
операционных усилителей, а они являются активными прибо-
рами. Итак, термин «пассивный фильтр» обозначает фильтр,
содержащий только /?£С-элементы и идеальные трансформа-
торы. Термин «пассивная реализация» означает, что в про-
цессе синтеза и проектирования фильтра используются только
пассивные элементы. В этом случае реализованы могут быть
только входные ПВ-функции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Brune О., Synthesis of a Finite Two-Terminal Network Whose Driving-
Point Impedance Is a Prescribed Function of Frequency, J. Math. Phys.,
10, 191—237 (1931)
2. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis,- Huntington, N. Y.,
R. E. Krieger, 1975.
3. Desoer C. A., Kun E. S., Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill.
1969.
4. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters,
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1970.
5. Chen C. T„ Introduction to Linear System Theory, New York, Holt, Rinehart
and Winston, 1970.
6. Zadeh L. A., Desoer C. A., Linear System Theory, New York, McGraw-Hill,
1963.
7. Anderson B. D. O., Vongpanitlerd S., Network Analysis and Synthesis,
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1973.
8. Lal M., Singh H., Panwar R. S., Sturm Test Algorithm for Digital Com-
puter, IEEE Trans. Circuit and Systems CAS-22, 62—63 (1975).
9. Kuh E. S., Rohrer R. A., Theory of Linear Active Networks, San Francisco,
CA, Holden-Day, 1967.
10. Newcomb R. W., Linear Multiport Synthesis, New York, McGraw-Hill, 1966.
ЗАДАЧИ
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Определить, являются ли полиномами Гурвица или модифицированными
полиномами Гурвица следующие выражения:
а) р (s) = s4 + 2s3 + s2 + 7s + 1;
б) P (s) = s4 + s3 4- 3s2 + s + 2;
в) p (s) = s4 + 2s3 + 5s2 + 2s + 6;
г) P (S) = 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 3;
д) p (s) = s4 + 2s3 + 2s2 + 4s + 2;
e) p (s) = s4 + 5s3 + 1 Is2 1 Is + 4;
ж) P (s) = ss + s4 4- 4s3 4- 2s2 4- 2s 4- 1;
з p (s) = 3s5 + 5s4 4- 5s3 4- 5s2 4- 5s 4- 3;
и) P (s) = s5 4- s4 4- 3s3 4- 3s2 4- 2s 4- 2;
к) p (s) = s5 4- s4 4- 2s3 4- 2s2 4- s + 1;
л) P (s) = s5 4- 3s3 4- s;
m) p (s) = s4 4- s2 4-1;
h) p (s) = s5 4- 5s3 4- 4s;
°) P (s) = s6 4- s2 + 1;
n) P (s) = se +"s4 + s2 + 1;
P) P (s) = s6 4- 2s4 4- s2 4- 3.
Найти условия, при которых полином n-й степени (n = 1, 2, 3, 4) явля-
ется полиномом Гурвица.
Найти диапазон значений а, в котором полином p(s) = s4 4- 2s3 4- as2 -f-
4- 2s 4- 1 является полином Гурвица.
Найти диапазон значений а, в котором полином p(s) = s3 4- 2sz 4- as 4- 1
является по меньшей мере модифицированным полиномом Гурвица.
4.5.
4.6.
ми.
Для полинома p(s) = s3 + as2 4- bs + 1 найти такие соотношения между
а и Ь, при которых: a) p(s) является полиномом Гурвица; б) p(s) яв-
ляется по меньшей мере модифицированным полиномом Гурвица.
Для а, изменяющегося в пределах между 1 и 2, найти диапазон зна-
чений Ь, в котором: в) p(s) является полиномом Гурвица; г) p(s) явля-
ется по меньшей мере модифицированным полиномом Гурвица.
Даны три рациональные функции:
(s+1)2 Р ,, з2 + s + 1 н
1 U (S2 + 1) (S2 + S + 1) ’ (s) (s2 + 1) (s 4- 1)
<;2 -I- 1
F 3 (S) = (s + l)2(s2 + s+ 1) •
Определить, какие из нижеследующих F(s) являются ПВ-функция-
Обосновать свои выводы.
a) F (s) = Fi (s) + F2 (s): д)
6) F (s) = Fi (s) + F2 (s) — F3 (s)-, e)
>
ж)
F(s)=Fi (s)F2(sy,
F (s) = FJs) F3 (s);
F (s)=^F2(s) F3 (s)',
F (s) = Ft (s) F2 (s) F3 (s).
3)
4.7. Определить, какие из нижеследующих F(s) являются ПВ-функциями.
Обосновать свои выводы.
а) Р (s) = s; з) F(s) = s3 + 6s2 + 2s 4- 1 (s 4- I)2
б) F (8) = 1 F (q\ s3 4- 2s2 4- 3s 4- 1
s ’ "J r V>) — s3 4-5s2 4- Ils 4- 10 ’
в) F(s) = s + 2 s+1 ’ к) F (s) = s3 4- 6s2 4- 2s 4- 1 . s3 4- 3s 4- 1
г) F М — s + 4 ; Л) F (s) = (s 4- 2)2 (s 4- 1) .
s2 + s + 15 s4 4- 6s2 4- 9 ’
д) F(s) = s2 + s + 4 s + 5 ’ м) F (s) - s4 4- s3 4- 2s2 4- 5 . 4s2 4- 2s 4- 1 ’
е) F(s) = s2 + 9 . 3s3 4- s
s3 + 4s ’ HJ С s4 4- s3 4- 2s2 4- s 4- 5 ’
ж) F(s) = s3 + 9s _ s2+4 ’ о) F(s) = 10s4 4- 8s2 4-1 4s5 4- 10s3 4- 4s "
4.8. Для каждой из нижеследующих F(s) определить диапазон значений а,
в котором F(s) является ПВ-функцией.
a) F (s) = s2 4~ as 4-1 s2 4- 3s 4- 2 ’ e) p (s) = (s2 4- 2) (s 4- 1) . as2 4- s 4- 2 ’
6) F (s) = s2 4- as 4- 1 s2 + 2 ’ Ж) F(s) = s2 4- 4s 4- 2a (s 4- I)2 (s 4-2) ‘
в) F (s) = s2 4~ tzs 4~ 1 s3 4- 2s ’ з) P (s) = s s2 4- 3s 4- a ’
r) F (s) = s4-2 и) F — s2 4- 2s 4- 1
s2 4- as 4- 1 ’ Г \Ъ) (s 4- 1) (s2 4- 3s 4- a) ’
Д) F (s) = s2 4- 3s 4- a К) F(s) = (s 4- 1) (s2 4- 1)
(s4-2)2 (s2 4- 2s 4- a) (s2 4- as 4- 1)
4.9. Дана нечетная часть N(s) функции цепи F(s):
N (s) = (2s3 + 22s)/(s4 + s2 + 25).
а) Найти такую F(s), чтобы она была ПВ и F(oo)= 1.
б) Найти такую F(s), чтобы она была ПВ и F(0) = 1.
4.10. Показать что двухполюсники на рис. 3.4.10 пассивные.
Рис. 3.4.10,6, г
Рис. 3.4.11, а, б
г I 1 • [£_ ,
+ /Ом 1 2Ф
V /Д <t> ц
— , г . Т
г
Рис. 3.4.11, в, г
4.11. Определить, являются ли двухполюсники на рис. 3.4.11 пассивными.
4.12. ' («) Найти функцию входного сопротивления двухполюсника N на
рис. 3.4.12, удовлетворяющую следующим требованиям.
(1) Если на вход подается единичный скачок напряжения, ток 1(1) в
= bi + bi ехр(—4Z).
+
v
Рис. 3.4.12.
(2) Если на вход N подается единичный скачок тока, напряжение
v (/) = + a-z exp (—t).
(3) Если на вход N подается напряжение постоянного тока 4 В, уста-
новившееся значение тока равно 3 А.
(б) Показать, что N может быть реализован на пассивных элементах.
4.13. Даны коэффициенты полинома p(s) = р0 + р<$ + p2s2 + ... + pnsn. На-
писать машинную программу для определения, является ли p(s) поли-
номом Гурвица, модифицированным полиномом Гурвица или полиномом
иного вида.
4.14. Даны коэффициенты двух полиномов:
Л (S) = Ло + fliS + a2s2 + ... + amsm и
В (s) = 6о + bts + b2s2 + ... bnsn.
Написать машинную программу для определения, является ли ра-
циональная функция F(s) — A(s)/B(s) ПВ-функцией.
5
Свойства и реализации входных
функций
Элемент схемы называют элементом без потерь, если он не
потребляет средней мощности. При установившемся состоянии,
соответствующем синусоидальному сигналу, средняя мощность,
выделяемая схемным элементом, равна
т
Рср = 4- J 1 dt=i V>nIm COS (ф„ — фг), (5.1)
О
где I (t) = Im cos (<в/ + <pf) и v (t)= Vm cos (и/ + <p0) — соответ-
ственно втекающий ток и напряжение на зажимах элемен-
та, а Т — 2л/со. Поскольку абсолютное значение разности
|фо — ф<| между фазовыми углами напряжения и тока у ка-
тушки индуктивности или конденсатора всегда равно 90°, ясно,
что катушки индуктивности и конденсаторы являются элемен-
тами без потерь. В разд. 5.1 рассматриваются свойства вход-
ных функций двухполюсников, содержащих только элементы
без потерь1). В своей совокупности эти свойства определяют
условия реализуемости входной функции на элементах без по-
терь. В разд. 5.2 рассматриваются некоторые методы синтеза,
позволяющие реализовать входные функции двухполюсников
без потерь. Показывается, что каждая входная функция двух-
полюсника без потерь может быть реализована с помощью
двухполюсника, содержащего только катушки индуктивности
и конденсаторы. Поэтому в дальнейшем мы будем называть
входную функцию двухполюсника без потерь входной функцией
LC-двухполюсника, а двухполюсник, содержащий только ка-
тушки индуктивности и конденсаторы, — LC-двухполюсником.
5.1. Свойства входных функций
Имеется шесть важнейших свойств, связанных с входной
функцией двухполюсника без потерь. В своей совокупности эти
шесть свойств определяют общую форму входных функций
двухполюсников без потерь.
*) Помимо катушек индуктивности и конденсаторов элементами без по-
терь являются идеальные трансформаторы, связанные катушки индуктивности
и гираторы.
Свойство /. Все полюсы и нули входной функции, помимо
сопротивления или полной проводимости двухполюсника без
потерь, лежат на мнимой оси плоскости s.
Доказательство. Предположим простоты ради, что двухпо-
люсник без потерь т] содержит только катушки индуктивности
и конденсаторы. Доказательство, учитывающее другие эле-
менты без потерь, было бы простым в принципе, но громоздким.
В гл. 4 было показано, что функция сопротивления ZEX(s)
двухполюсника т>, содержащего только катушки индуктивности
п конденсаторы, выражается как
11. р 1 11, I2
^вх {s) = s^Lk | Z112 + у 777F' 5’2)
к
Заметим, что (5.2) получено из (4.5) при условии, что т] не
содержит резисторов. Из (5.2) заключаем, что нули ZEX(s)
удовлетворяют соотношению
as + (l/s)p = 0 или as2 + (3 = 0, (5.3а)
<е к
Заметим, что аир зависят от lk и Л, которые являются
функциями s. Следовательно, аир зависят от з. Поскольку все
решения (5.3а) должны удовлетворять также уравнению
s2 = -(Р/а)< 0, (5.36)
можно заключить из (5.3), что нули ZEX(s) лежат на мнимой
оси плоскости з. По принципу дуальности можно показать
также, что входная функция полной проводимости УЕХ(з) двух-
полюсника т] определяется уравнением
yEx(s) = s£cfe-l^ + 7£-^-|^. (5.4)
V se
Следовательно, нули УЕХ(з) лежат только на мнимой оси пло-
скости s.
Поскольку
УЕХ (з) = 1/ZEX (з) и ZEX (з) = 1/УЕХ (з), (5.5)
заключаем, что все полюсы и нули входной функции полного
сопротивления или полной проводимости двухполюсника без
потерь лежат на мнимой оси плоскости s.
Свойство 2. Входная функция полного сопротивления или
полной проводимости двухполюсника без потерь является не-
четной рациональной функцией.
Доказательство. Хорошо известно, что в установившемся
состоянии, соответствующем синусоидальному сигналу, средняя
мощность, потребляемая двухполюсником без потерь т], равна
Re [Z (»] 11 (» р = Re [У (»] | V (ja) |2 = 0, (5.6)
где Z и Y — соответственно входные функции полного сопро-
тивления и полной проводимости г]. Выражение (5.6) означает,
что входные функции любого двухполюсника без потерь т] об-
ладают одним фундаментальным свойством:
Relate (/“)] = 0, (5.7)
где Flc(s) означает входную функцию полного сопротивления
или полной проводимости двухполюсника без потерь1). Со-
гласно (3.15) из гл. 3, выражение (5.7) подразумевает, что
четная часть Flc(s) тождественно равна нулю. Следовательно,
Flc(s) — нечетная рациональная функция от в.Таким образом,
FLC (s) = N (s)/M (s) или Flc (s) = M (s)/N (s), (5.8)
где N(s) — нечетный полином, a M(s) — четный полином.
Свойство 3. Предположим, что входная функция двухполюс-
ника без потерь соответствует (5.8). Пусть, далее, dx и d-м —
степени полиномов N(s) и M(s) соответственно. Тогда
(5.9)
Доказательство. Поскольку двухполюсник без потерь яв-
ляется пассивным, Flc(s) есть ПВ-функция. Необходимое
условие этого
(5-10)
Поскольку N(s) нечетный, a M(s) четный,
I (5.11)
есть нечетное число.
Очевидно, (5.10) и (5.11) совместно подразумевают (5.9).
Свойство 4. Все полюсы и нули Flc(s) простые.
Доказательство. Согласно свойству 1, все полюсы и нули
T’lc(s) лежат на мнимой оси плоскости s. Поскольку Flc(s)
есть ПВ-функция, все ее полюсы и нули, лежащие на мнимой
оси, простые. Что и требовалось доказать.
Свойства 1 и 2 означают, что числитель и знамена-
тель Flc(s) можно разложить на множители вида
*) В дальнейшем будем обозначать через FLC(s) входную функцию как
полного сопротивления, так и полной проводимости.
исключая, разумеется член s, присутствующий в числителе или
знаменателе. Следовательно, FLC(s) имеет одну из следующих
форм: (5.12а) L \ s (s2 + со2) (s2 + СО2) . .. (? + со29) , _ fes(s2 + СО2)(s2 +col) (+ +со2,) ,5 J2б) FlC^}- (s2+a2)(s2+ca2)_(s2 + ca2r) ’ <5-126)
где г — нечетное целое, a q — четное целое. Свойство 3 пока-
зывает, что
q — г+1 или r — q-\- 1, (5.13)
а свойство 4 требует, чтобы
повсюду, где i k = 1, 2, ... , г, q или q, г.
(5.14)
Здесь мы сперва выводим FLc(s) только в виде (5.12а). Flc{s)
в виде (5.126) можно вывести аналогичным образом.
Свойство 5. FLC(j(i>)/j есть монотонно возрастающая функ-
ция о, исключающая точки полюсов FLc(s).
Доказательство. Разделив (5.12а) на s и приняв р = s2, по
лучим
flc U) ^(р + ^)(р + со2) ... (Р + со2г)
S р (р + со0 (р + со2) ... (р + С02?) '
Разложение (5.15) на простые дроби дает
Flc (s)
s
i-четн P “b
FLc(s) = k^s + ^+ У
s .z-' s2 + co,
i-четн ь
(5.16)
Заметим, что член Лоо присутствует в (5.16) только в том слу-
чае, если в (5.12а) г — q + l. Чтобы понять природу постоян-
ных ki (i = О, 2, 4, ..., q и сю), запишем (5.16) в виде
/?w(s) = ^s + 4 +
+fc + +fe+ (5.17)
i-четн
где a,i означает комплексно-сопряженные а/1). Поскольку двух-
полюсники без потерь являются пассивными, Flc(s) есть
ПВ-функция. Следовательно, постоянные koo [вычет FLc(s) при
полюсе s —оо], ko [вычет Flc(s) при полюсе s = 0], а также
Oi и О[ [вычеты Flc(s) при полюсах —/со,- и /сщ] положительны
и вещественны2). Таким образом, at — ai положительна и ве-
щественна. Объединив (5.16) и (5.17), получаем соотношение
между ki и а,:
kjS __________ at (s — jtoj) + (s + /со,-)
s2 + а>| s2 + co2
,2tZtS а'ИЛИ —2аг.
(5.18).
Каждая oi — вещественная и положительная постоянная,
поэтому ki также положительная и вещественная постоянная.
Следовательно, имеем
ki — вещественная и положительная, (5.19)
где i = 0, 2, 4, ..., q и сю. Дифференцируя (5.16) по s, по-
лучаем
ds
f-четн
(s2+<
При s = /и (5.20) дает
4Flc (/со) % Д (®i +a2)
dj& - й°° + CO* + L (и2 и2)2 ’•
Ьчетн V 1 /
(5.20)
(5.21)
Исключая случай, когда — полюс FLC(s), каждый член
левой части (5.21) положителен при всех со. Поэтому заклю-
чаем, что
dFLC(j<i>)/jd^>0 (5.22)
для всех со, исключая полюсы Flc(s), что и требовалось до-
казать.
Некоторые типичные зависимости FLc(s) от со приведены на
рис. 5.1, где разрывы имеют место при полюсах Flc(s). Заме-
тим, что s = 0 является либо нулем, либо полюсом Flc(s)- то
же относится и к точке s = со. Учитывая рис. 5.1 и свойство 5
[монотонное нарастание Flc^)], ясно, что нули и полюсы
*) Напомним, что (4.48а) подразумевает, что вычеты при паре комплекс-
но-сопряженных полюсов комплексно-сопряжены друг с другом.
2) Строго говоря, постоянные fe«> и ko вещественные и неотрицательные.
Мы говорим, что k«, и ko вещественные и положительные, потому что по-
всюду, где члены kms н kols присутствуют в (5.17), &«, и ko являются веще-
ственными и положительными.
Рис. 5.1. Некоторые типичные зависимости (l//)FiC(jco) от со.
о нуль Flc (s); X полюс FLC (s).
Flc(s) должны лежать на мнимой оси плоскости s чередуясь.
Следовательно, имеем
О <В( <в2 иа ... . (5.23)
Это — еще одно важное свойство входной функции. Для удоб-
ства последующих ссылок выделим его как
Свойство 6. Точки s = О и s = оо являются критическими
частотами1) Ftc(s). Кроме того, полюсы и нули Flc(s) лежат
на мнимой оси плоскости s чередуясь.
5.2. Реализация входных функций
В этом разделе представлены четыре метода реализации
входных функций без потерь, а именно первая и вторая формы
Фостера и первая и вторая формы Кауэра.
‘) Критическая частота Flc(s) соответствует ее полюсу или нулю.
5.2.1. Методы реализации Фостера
Приступая к рассмотрению общей задачи реализации вход-
ных функций, перепишем (5.16) в виде
Ё-—Ч—• <5-24>
О <э | Л
г*четн ~ Г /, / 2\
kt
где все ki и иг- — положительные и вещественные. Если Flc(s) —
входная функция полного сопротивления, можем записать
f4c(s) = zz.c(s)==£oos+с^-+ X C/s + (l/f-is) ’ (5.25)
i-четн
где Lx = kx, Со = l/k0, Ct = l/kt и Lt = kt/^. (5.26
Схемная реализация (5.25) приведена на рис. 5.2 •). Урав-
нения (5.25), (5.26) или рис. 5.2 представляют так называемую
Рис. Б.2. Первая форма Фостера.
первую форму Фостера. По принципу дуальности, если Flc{s) —
входная фУнкЦия полной проводимости, можно переписать
*) На всех принципиальных схемах данной книги символ "Z ==”[“У =”]
означает: «Входная функция полного сопротивления [полной проводимости],
рассматриваемая со стороны входа двухполюсника, равна.»
(5.24) в виде
Flc (s) — ylc («) = + У £гв-|-(1/С{8) ’ (5-27)
где Сто = k^, Lo = l/fc0, Lt = l/ki и Ct = k^l (5.28)
Схемная реализация (5.27) показана на рис. 5.3. Уравнения
(5.27), (5.28) или рис. 5.3 представляют так называемую вто-
рую форму Фостера.
Рис. 5.3. Вторая форма Фостера.
Заметим, что в первой форме Фостера участвуют только
входные функции полного сопротивления, а во второй форме
Фостера — только входные функции полной проводимости. От-
носительно этих двух форм мы можем сделать следующее за-
ключение:
Теорема 5.1. Все входные функции можно реализовать двух-
полюсником, содержащим только катушки индуктивности
и конденсаторы.
Пример 5.1. Дана функция полного сопротивления
г,д)_ (з2-Ц)(а2 + 9)
( ’ s (з2 + 4) (а2 + 16) (б-2''
Найти схемные реализации (5.29) двумя методами Фостера.
Решение. Проверим сперва, отвечает ли Z(s) всем свойствам входной
функции1). Начнем с того, что Z(s)—нечетная рациональная функция, у ко-
торой степень зиамеиателя на единицу больше степени числителя Z(s) имеет
') Мы должны убедиться в том, что заданная входная функция отвечает
всем свойствам входных £С-функций раньше, чем начнем реализовать ее на
элементах без потерь. Одиако по очевидным причинам в последующих при-
мерах этого делать ие будем.
полюс при s = 0 и нуль при s = оо. Нули имеются при ±/1, ±/3 и оо, по-
люсы — при 0, ±/2 и ±/4, как показано на рис. 5.4. Очевидно, все полюсы
и нули простые и чередуются на миимой оси. Чтобы найти вычеты, положим
р = з2 и запишем
Im [s]
s- плоскость
4
О
н1--------►- Re [s]
e
Z(x) (з2+1)(з2 + 9)
s s4 (s2 + 4) (s2 + 16)
__ (p+l)(p + 9) p2 + Юр + 9
P (P + 4) (p + 16) p (p + 4) (p + 16)
=4+-44+a 2 (5-з°)
p p+4 p+16 —
где А, Ви С—вычеты 2(р) при полюсах pi =
= 0, р2 = —4 и рз = —16. Из (4.48) находим
А = 9/64, В = 5/16 и С = 35/64.
„ Z (з) 9/64 , 5/16 . 35/64
Поэтому —— = — ' -1-------
5/16
s ~ s2 т s2+4T s2+16
,, , 9/64 , (5/16) s , (35/64) s
или Z(s) = _ + _—+ _?—
(5.31)
Таким образом, все вычеты Z(s) вещественные
и положительные. Следовательно Z(s) отвечает
всем свойствам входной функции *) и ее мож-
но реализовать на элементах без потерь.
Для реализации Z(s) запишем (5.31) в
виде
64 т 16 .1
Vs Ts+jT
64
Рис. 5.4. Диаграмма полю-
сов и нулей Z(s) по (5.29).
О нули; X полюсы.
(5.32)
Т024 S
Первая форма Фостера для (5.29) или, что эквивалентно, (5.32), показана на
рис. 5.5, а.
Еще одну реализацию (5.29) можно получить в виде второй формы Фо-
стера. Поскольку V(s) = 1/Z(s), имеем
у/сч_ S (S2 + 4) (S2 + 16) У (s) , , 45/8 , 35/8
(s2+1)(s2 + 9) > s + s2+j T s2 + g-
‘) Свойство 5 [(l//)z(/co)—монотонно возрастающая функция, исключав
точки полюсов Z(s)] удовлетворяется, так как полюсы и нули Z(s) лежат,
чередуясь, на мнимой оси плоскости s, а точки s = 0 и з = со являются кри-
тическими частотами.
- - 45 ф
' 8
-L 35 ср
"'72
в_г
45 1
в. Г
55
Z = Z(s)no(5.29)
Рис. 5.5. Реализации Z(s) по
формой Фостера (б).
б
(5.29) первой формой Фостера (а) и второй
Следовательно
y(s) = sW± + ^±
s2 + 1 s2 4’ 9
! + ___1 .
8________________________________1_8_1
45 S + (45/8) s 35 S + (35/72) s
(5.33)
Реализация (5.29), (5.33) по второй форме Фостера показана на рис. 5.5,6.
Отметим, что схемы рис. 5.5, а и б имеют одинаковые входные функции пол-
ного сопротивления и полной проводимости.
5.2-2. Методы реализации Кауэра
Формы Фостера — не единственно возможные схемные реа-
лизации входных функций. Вообще говоря, если функция
полного сопротивления Z(s) и полной проводимости У(в) реа-
лизуема, существует большое, а иногда даже бесконечно боль-
шое число возможных схемных реализаций. В этом разделе мы
рассмотрим методы реализации входных функций, предложен-
ные Кауэром,
5.2.2.1. Первая форма Kay эра. Согласно свойству 3, у вход-
ной функции степени полиномов, стоящих в числителе и знаме-
нателе, различаются в точности на единицу. Отсюда точка
s = оо является либо полюсом, либо нулем Flc(s). Без потери
общности можем предположить, что s — со является полюсом
Flc(s) — Flc(°o)= оо, т. е. степень числителя Flc(s) на еди-
ницу больше степени знаменателя. Обозначим через p(s) поли-
ном, равный сумме числителя и знаменателя Flc(s). Согласно
теореме 4.4, p(s) есть полином Гурвица. Следовательно, Flc(s),
будучи контрольным отношением в критерии Гурвица, имеет
разложение в непрерывную дробь при s = со, так что
9 1
F LC ($) = k1S +-------!—i------- (5.34)
k2s + ~ь~T--------
где n — степень числителя Flc(s), а коэффициенты k\, fo, •••
..., kn — вещественные и положительные постоянные. Чтобы
исследовать эти постоянные, положим Flci (s) = Flc (s) и за-
пишем .
Flci (s) = f ‘ , где (5.35a)
rLC2(S)
= lim (l/s)FLCl(s) (5.356)
S -> oo
есть вычет FLci(s) при полюсе s = оо *). Из (5.34) находим, что
^lci(°°)= Hm kts. (5.36)
S -> оо
Следовательно, остаточный член (5.35а) удовлетворяет
уравнению
1/^lc2 (°°) = 0 или Г£С2(оо) = оо. (5.37)
Таким образом, можем осуществить на FLc2(s) процедуру выде-
ления полюса, так что
FLC2 ($) = k2s + [ 1/FLC2 ($)], (5.38а)
где снова k2 — lim (1/s) FLC2 (s) (5.386)
S -> oo
есть вычет Flcz(s) при полюсе s — оо. Если мы повторим про-
цедуры (5.35) и (5.38) столько раз, сколько требуется, то
*) См. (4.486),
постоянные kt будут вычетами Ftci(s) при полюсе $ = оо, при-
чем i = 1 > 2, ..., п.
Если Flc(s) имеет в бесконечности не полюс, как мы пред-
положили ранее, а нуль, положим FLci (s) = 1/Flc(s). Тогда
Flci(s) имеет полюс в бесконечности. Теперь процедуру (5.34)
z=r£C<y Y = fLCz(s)
Рис. 5.6. Реализация входной функции полного сопротивления первой формой
Кауэра.
или повторяющуюся процедуру (5.35) — (5.38) можно осуще-
ствить, как для предыдущего случая. При этом результирую-
щее разложение в непрерывную дробь будет
1
Flc (s) =
I
kis H---------------------r
+ ~ь -l—
fe3s +
(5.39)
где p— степень знаменателя Flc(s). В дальнейшем мы рас-
смотрим только (5.34); выражение (5.39) приводится лишь для
справки.
Если Flc(s) = Zlc(s) — функция полного сопротивления, то
(5.35) имеет схемную интерпретацию (рис. 5.6,а). Анало-
гично действие (5.38) показано на рис. 5.6,6, а следующий
этап — на рис. 5.6, в. С другой стороны, если FLc(s) = Ylc(s) —
функция полной проводимости, то схемными интерпретациями
(5.35) и (5.38) являются соответственно рис. 5.7, а и б,
а следующий этап показан на рис. 5.7, в. Заметим, что как на
рис. 5.6, так и на рис. 5.7 разложение FLc(s) при s = оо соот-
ветствует наращиванию схемной реализации цепочками после-
довательных индуктивностей и параллельных емкостей. Это так
называемая первая форма Кауэра.
6
Рис. 5.7. Реализация входной функции полной проводимости Flc(s) первой
формой Кауэра.
Пример 5.2. Реализовать первой формой Кауэра входную функцию пол-
ного сопротивления
Z Is) = (аг+1)(*г + 9) _ s4 + 10s2 + 9
k ' s (s2 + 4) (s2 + 16) — s5 + 20s3 + 64s ’ 1 '
Решение. Поскольку у Z(s) степень знаменателя выше, чем числителя,
Z(s) имеет при s = оо нуль. Поэтому осуществим разложение в непрерывную
дробь при s=oo для соответствующей функции полной проводимости K(s) *):
У , . 1 s5 + 20s3 + 64s
Г (S) ~ Z (s) — s4 + 10s2 + 9 —
= s + -j-------------L_------------- (5.41)
To’s + ~2O ’ 1 '
о s + о i »
Реализация заданной функции полного сопротивления Z(s) (5.40) экви-
валентна реализации функции полной проводимости Y(s) (5.41). Поскольку
*) По первой форме Кауэра требуется разлагать в непрерывную дробь
при s = оо ту входную функцию, у которой степень числителя выше степени
знаменателя,
Y(s) можно записать в виде суммы двух членов
У (s) = з + 1/Z2 (з), где (5.42)
(s) = -Jq- «+ -go — i ' <5ЛЗ)
-9-S + -9----—J—
70 35
9 s
реализуем V(s), подсоединив конденсатор 1 Ф параллельно двухполюснику,
имеющему входную функцию полного сопротивления Zz(s), заданную (5.43).
Обнаруживаем, что Zz(s) в свою очередь является суммой двух членов
Z2 (s) = (1/10) s + 1/Y3 (s), где (5.44)
Y3(s) = ^-s+ 9 1 1-. (5.45)
70 S+ 35
9 S
Следовательно, мы можем реализовать входную функцию полного сопротив-
ления Zz(s), подключив индуктивность 0,1 Г последовательно с двухполюсни-
ком, характеризующимся входной функцией полной проводимости Y3(s)
(5.45). Очевидно, этот процесс можно повторять, пока мы не завершим реали-
зацию У(з) (5.41).
Z = Z^s)
Y = Y3(s) Y=K(s)
Рис. 5.8. Реализация Z (s) no (5.40) первой формой Кауэра.
На рис. 5 8 приведена схемная реализация входной функции полного со-
противления Z(s) (5.40), осуществленная согласно процедуре, описанной в
предыдущем абзаце. Функции Z4(s) и У5(я) для рис. 5.8 следующие:
Zt (s) = (9/10) з + 1/(35/9) S и (5.46а)
У5 (з) = (35/9) 8. (5.466)
5.2.2.2. Вторая форма Кауэра. Разрабатывая первую форму
Кауэра, мы осуществляли разложение входной функции вокруг
полюса при s = оо. Теперь рассмотрим случай, когда входная
функция подвергается разложению вокруг полюса при s — 0.
Рассмотрим входную функцию Flc(s). Не теряя общно-
сти, положим, имея в виду (5.8), что знаменатель — полином
нечетной степени, а числитель — полином четной степени1)-Тогда
Flc(s) имеет полюс при s = 0. Если положить Flci(s) =
= Flc (s) и выделить полюс FLci (s) при s — 0, то получим
Flci («) = h/s + i/FLC2 (s), где (5.47a)
£i=sF£c1(s)|s_0 (5.476)
есть вычет Flci (s) при полюсе s = 0, а остаточный член
[Elc2(s)]_1 имеет нуль при s = 0. Значит, Flcz(s) имеет полюс
при s = 0. Следовательно, мы можем повторить предшествую-
щую процедуру выделения полюса для FLc2(s) при $ — 0. Этот
процесс дает
^£C2(s) = ^2/s+1/F£c3(s), где (5.48а)
k2 = sFLC2(s)\s = 0 (5.486)
и Flcs(s) снова имеет полюс при s = 0. Подстановка (5.48)
в (5.47) дает
Flci = + —------Ц------. (5.49)
Повторяя эту процедуру столько раз, сколько требуется,
в конечном итоге получим
Flc (s) = Flci (*) = т + ~~ Г "• <5-50)
о л-2 । 1
S
Если Fic(s)функция полного сопротивления, то (5.47)
и (5.48) иллюстрируется рис. 5.9, а и 5.9, б, а рис. 5.9, в пока-
зывает третий этап процедуры.
С другой стороны, если Flc(s) — функция полной проводи-
мости, схемные интерпретации (5.47) и (5.48) представляются
(эис. 5.10, а и б, а рис. 5.10, в иллюстрирует действие третьего
этапа.
--1) Отметим, что, если Flc(s) имеет нечетный полином в числителе и чет-
ный в знаменателе, мы можем иметь дело вместо самой Flc(s) с [Fic(s)]-1.
В этом случае положим FLCl(s) [F£C(s)]-1. Цель здесь в том, чтобы рабо-
тать со входной функцией (это может быть как функция полного сопротив-
ления, так и функция полной проводимости), имеющей в знаменателе полином
нечетной степени, т. е. полюс при з = 0.
Выражение (5.50) и рис. 5.9 или 5.10 составляют вторую
форму Кауэра; Отметим, что во второй форме Кауэра имеется
только два типа схемных элементов — последовательные емко-
сти и параллельные индуктивности. Поскольку на активных
Рис. 5.9. Реализация входной функции полного сопротивления Flc(s) второй
формой Кауэра.
элементах легче всего реализовать заземленные индуктивности,
а не индуктивности, находящиеся под некоторым потенциалом
относительно земли, вторая форма Кауэра наиболее предпочти-
Рис. 5.10. Реализация нходной функции полной проводимости FLC(s) второй
формой Кауэра.
тельна для реализации входных функций в тех случаях, когда
желательно, чтобы результирующий двухполюсник был зазем-
лен. Однако, как мы увидим в последующих главах, метод, при-
меняемый для реализации некоторой входной функции, зачас-
тую диктуется другими факторами. Среди них — требования
к нулям передачи соответствующей передаточной функ-
ции 1).
Как видим, (5.50) есть разложение Ftc(s) в непрерывную
дробь. Каждое ее слагаемое равно бесконечности в точке
s = 0; поэтому говорят, что это разложение осуществлено при
точке s — 0. Отметим также, что к (5.50) мы приходим через
ряд операций деления и инверсии. Поэтому (5.50) можно полу-
чить методом последовательных делений. Если полиномы чис-
лителя и знаменателя Гг.с($) расположены по убывающим сте-
пеням s, при каждом делении будет исключаться член наи-
меньшей степени. Например, разложение в непрерывную дробь
при s = 0 для
* F (s) = (9 + 10s2 + s4)/(64s + 20s3 + s5) (5.51 a)
можно осуществить следующим образом:
(5.516)
Заметим, что при каждой инверсии мы делим числитель
и знаменатель на s. При этих слагаемых (обведенных на диа-
грамме последовательных делений кружками) разложение
в непрерывную дробь при s = 0 получается такое:
„ , . 0,1406 . 1 /с г-о,
г (s) = -V- + ^904---------------------i-------------• (5-52)
s + 0,5821 1
s + 44,53 1
s + 0,2773
’) Подробнее см. в гл. 7.
Еще один метод разложения в непрерывную дрооь при
s==0 можно вывести, представив (5.50) в виде
FLc (s) = 4------------
k2p + ^+
(5.53)
где рДг1. Отметим, что (5.34) и (5.53) идентичны, если за-
менить s на р. Поэтому мы можем получить разложение в не-
прерывную дробь при s = 0, пользуясь следующей процедурой:
1. Предполагаем, что F(s) = М (s)/N(s), где M(s) — поли-
ном четной степени dM, a W(s) — полином нечетной степени dN-
Пусть d = max{dtf, г/м}-
2. Умножаем числитель и знаменатель F(s) на s~a и на-
ходим
<5-54>
3. Осуществляем разложение Р(р) в непрерывную дробь
при р = оо, как в (5.34).
4. Заменяем р на s~'. Результат — разложение F(s) в не-
прерывную дробь при s — 0.
Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим функцию
F(s) (5.51). Чтобы найти разложение F(s) при s?=0 в непре-
рывную дробь, выполняем следующие операции:
1. Поскольку dN = 5 и dM — 4, d == 5.
9 — з-5 [9 4-Юз2 4-И Эр5 + Юр3 + р
s-5 [64s + 20s3 + s5[ 64р4 + 20р2 + 1 ‘ V '
3. Разложение Р(р) при р = оо:
F (р) = 0,1406 р +----------------!---j------------. (5.56)
8,904 р 4-----------------------
0,5821 р 4----------j---
44,53 р 4- 0>2773 р
4. Заменив р н§ 1/s, получаем разложение F(s) в непре-
рывную дробь при s = 0, как (5.52).
Пример 5.3. Реализовать второй формой Кауэра функцию Z (s) =
= (64s 4- 20s3 + s5)/(9 + 10s2 + s4).
Решение. Чтобы воспользоваться второй формой Кауэра, рассмотрим вы-
ражение 4)
У! (s) = 1/Z (s) = (9 + 10s2 + s4)/(64s + 20s3 + s5). (5.57)
*) Напомним, что по второй форме Кауэра требуется рассматривать
Функцию, у которой знаменатель — нечетный полином, а числитель — четный
полином,
Разложение У1(з) в непрерывную дробь при s = О дает
v , . 0,1406 1
Г. («) = -7- + -да------------------------j--------------• (5.58)
s + 0,5821 1
з + 44,53 1
з + 0,2773
Схемная реализация (5.57) или, что эквивалентно, (5.58) второй формой
Кауэра показана на рис. 5.11, где
У5 (s) = 0,2773/s, Z4 (s) = (44,53/s) + [1/У5 (з)],
Уз (з) = (0,5821/3) + [1/Z4 (s)] и Z2 (s) = (8,904/s) + [ 1/У3 (s)J. (5.59)
В заключение этого раздела необходимо подчеркнуть, что
реализацию входной функции можно начинать с любой из рас-
смотренных выше четырех форм (две формы Фостера и две
Рис. 5.11. Реализация Z(s) примера 5.3 второй формой Кауэра.
формы Кауэра). Первоначальную процедуру реализации можно
прервать на любом этапе и продолжить реализацию, пользуясь
уже другой формой. При желании можно сколько угодно часто
заменять методы реализации. В этом случае конечный резуль-
тат, разумеется, не будет формой Фостера или Кауэра. Однако
результирующая схема все же будет реализовать заданную
входную функцию.
Пример 5.4. Реализовать входную функцию полной проводимости
У (з) = (з3 + 3s)/(s2 + 1), (5.60)
используя сначала вторую форму Кауэра, а затем первую форму Кауэра.
Решение. Чтобы использовать вторую форму Кауэра, рассмотрим входную
функцию с нечетным полиномом в знаменателе. Поэтому вместо заданной
У(з) возьмем функцию полного сопротивления
Z (з) = (з2 + l)/(s3 + Зз). (5.61)
Первый этап разложения Z(s) в непрерывную дробь при s = 0 дает
Схемная реализация (5.62) показана на рис. 5.12, а. Как требуют условия за-
дачи, перейдем к реализации
ZR(s) = (2/3) s/(s2 + 3) (5.63)
первой формой Кауэра. Поскольку последняя имеет дело с входной ДС-функ-
3<Р
—-------1(-
Y=Y(s)na Z=LK(s)no
15.60)
Рис. 5.12. Решение приме
ра 5.4.
цией, у которой степень числителя выше степени знаменателя, мы должны
работать с функцией полной проводимости
J>(s) = (s2 + 3)/(2/3) з. (5.64)
Разложение YP (з) в непрерывную дробь при з = °° дает
У^(з) = (3/2) s+l/(2/9)s. (5.65)
Реализация УЛ(з) (5.65) показана на рис. 5.12,6. Схемная реализация
(5.60) приведена на рис. 5.12, в.
5.3. Выводы
В этой главе мы описали основные свойства входных функ-
ций двухполюсников. Эти свойства обусловливают реализуе-
мость входных функций. Ниже кратко перечисляются эти
условия.
Условия реализуемости входных LC-функций
1. Все полюсы и нули FLc(s) простые и лежат на мнимой
оси плоскости s.
2. Полюсы и нули Flc(s) лежат на мнимой оси чередуясь.
3. Точки s = 0 и s — оо являются критическими частотами.
4. Flc(s) есть нечетная рациональная функция, у которой
степени полиномов в числителе и знаменателе различаются
в точности на единицу.
5. Все вычеты Flc(s) вещественные и положительные.
В этой главе мы представили также четыре метода реали-
зации входных функций. Первая форма Фостера приложима
только к функциям полного сопротивления, а вторая форма
Фостера — только к функциям полной проводимости. Обе
формы Кауэра равно приложимы как к функциям полного
сопротивления, так и к функциям полной проводимости. Первая
форма Кауэра относится к входной функции, у которой поли-
ном в числителе имеет более высокую степень, чем полином
в знаменателе, а вторая форма Кауэра — к входной функции,
у которой знаменатель — полином нечетной степени.
Формы Фостера относительно проще реализуются, но формы
Кауэра более полезны, особенно при реализации передаточных
функций, как рассказывается в гл. 7. Схемная структура пер-
вой формы Фостера состоит из последовательно соединенных
Рис. 5.13. Схемные структуры двух форм Фостера и двух форм Кауэра.
а—первая форма Фостера; б—вторая форма Фостера; в — первая форма Кауэра; г—вто-
рая форма Кауэра.
параллельных LC-цепочек, второй формы Фостера — из парал-
лельно соединенных последовательных LC-цепочек. Схемные
конфигурации обеих форм Кауэра представляют собой лест-
ничные схемы. Первая форма Кауэра состоит из последователь-
ных индуктивностей и параллельных емкостей, создающих нули
передачи1) при s = оо, а вторая форма Кауэра — из последо-
вательных емкостей и параллельных индуктивностей, создаю-
щих нули передачи при s = 0. Основные схемные конфигура-
ции форм Фостера и Кауэра приведены на рис. 5.13.
ЛИТЕРАТУРА
1. Desoer С. A., Kuh Е. S., Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill, 1969.
2. Foster R. M., A Reactance Theorem, Bell Syst. Tech. J., 3, 259—267 (1924).
3. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. V., R. E. Krie-
ger, 1975.
4. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters,
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1970.
5. Peikari B., Fundamentals of Network Analysis and Synthesis, Englewood
Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1974.
*) Концепция нуля передачи вводится в гл. 7. Здесь достаточно сказать,
что нули передачи схемы — это нули функции цепи, связанной с этой схемой.
6. Budak A., Passave and Active Network Analysis and Synthesis, Boston, MA.,
Houghton Mifflin, 1974.
7. Anderson B. D. O., Vongpanitlerd S., Network Analysis and Synthesis, Engle-
wood Cliffs, N. J., Prentice-Hali, Inc., 1973.
ЗАДАЧИ
5.1. Определить, какая из нижеследующих функций F(s) реализуема как
входная функция. Обосновать свои ответы.
а) Г(з) = s4 + 5з2 + 6 з4 + Зз2 + 2 ’ e) E(s) = s5 + 2s3 -f- s s4 + 3s2 + 2 ’
б) F(s) = s3 + 5s ж) F (s) = s5 + 3s3 + 2s
з4 + 3s2 + 2 ’ s4 + 5,5s2 + 6 ’
тй Р (с\ s3 + 1,5s з) F (s) = s4 + 3s2 + 2
В) Г \8) s4 + 3s2 + 2 ’ sB + 5,5s3 + 6s ’
р ( s3 + 1,5s и) F (s) = s4 + 3s2 + 2
Г) Г s4 + 2s2 + 1 ’ s5 + 5,5s3 + 6 ’
Д) F (з) =• , s3 + 1,5s к) F(s)=- s4 + 3s2 + 2
S2+ 1 ’ se + 2s4 + 6s2 + 3
5.2. Рассмотреть двухполюсник А на рис. 3.5.2:
а) Найти установившееся значение тока i(t), если v (t) = A cos al, и
показать, что средняя рассеиваемая мощность равна нулю.
V
Рис. 3.5.2.
б) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s) и показать,
что она отвечает свойствам входной функции.
5-3. Рассмотреть двухполюсник N на рис. 3.5.3:
а) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s).
б) Показать, что Z(s) отвечает всем свойствам входной функции.
в) Реализовать Z(s) первой формой Фостера.
г) Реализовать Z(s) второй формой Фостера.
д) Реализовать Z(s) первой формой Кауэра.
е) Реализовать Z(s) второй формой Кауэра.
Примечание: входная функция полного сопротивления для цепи N равна
Z(s) = (10s4 + 8s2+ l)/(4s5+ 10s3 + 4s).
5.4. Повторить задачу 5.3 для двухполюсника на рис. 3.5.4.
5.5.
Для следующих функций F(s)
F(s) реализуема как входная функция:
a) F(s)— s4 + 3s2 + 2.
б) s5 + as3+l,5s.
О) f (S) s4 4- 3s2 + 2 ’
B) f(s)- s3 + 4s
B) F (S) S4 + as2 + 2 ’
найти
диапазон значений а, в котором
2,5s4 + 2s2 + a
s6 + 2,5s3 + s ’
. „ , , 2,5s4 + as2 + 0,25
д) F(s)—?+2>+; •
г) F (s)
5.6.
Г) 7'0 s (s2 + 2) (з2 + 4)
г) (S2 + Jj (S2 + 3) >
д) Z(S)- (^2 + 2)(sz + 4)
Д) 1 ' s (s2 + 1) (s2 + 3) •
Реализовать нижеследующие i ';
обеими формами Фостера и обеими формами Кауэра. Если данная Z(s)
нереализуема, обосновать причину.
6>Z‘!>-754TP
входные функции полного сопротивления
5.7. Реализовать нижеследующие входные функции полной проводимоств
обеими формами Фостера и обеими формами Кауэра. Если данная K(s)
нереализуема, обосновать причину.
a) y(in_ s(s2 + 2) •
} Г (S) (s2 + 1) ’
v / \ s2 + 3
б) у(5) = 7(?+4Г;
B) y^- (s2+l)(s2 + 3). .
} ' s(s2 + 2)
ri улл- s С52 + 2) + 4) .
° (s2+W + 3) *
д) y(s) = Jf + 2)^ + 4)
Д) s (s2 + 1) (S2 + 3)
6.8. Реализовать входную функцию полного сопротивления Z (s) =
= (s2 + 1) (s2 + 4)/s(s2 + 3) (s2 + 5) следующими способами:
а) Начать с первой формы Кауэра (для двух элементов) и завершить
реализацию второй формой Кауэра.
б) Начать со второй формы Кауэра (для трех элементов) и завершить
реализацию первой формой Кауэра.
в) Начать с первой формы Кауэра (для одного элемента), затем пе-
рейти на вторую форму Кауэра (для одного элемента) и завершить
реализацию первой формой Фостера.
6.9. а) Реализовать входную функцию полной проводимости K(s) =
= (4s3 + 6s)/(s4 -J- 5s2 -J- 4) первой формой Кауэра.
б) Убедиться, что входная функция полной проводимости, полученная
в п. а), действительно соответствует K(s).
5.10. а) Реализовать входную функцию полного сопротивления Z(s) =
= (4s3 + 6s)/(s4 + 5s2 + 4) второй формой Кауэра.
б) Убедиться, что входная функция полного сопротивления, полученная
в п. а), действительно соответствует Z(s).
5.11. Даны коэффициенты полиномов Л (s) = Оо — ats + a2s2 + ... + amsm и
В (s) — bB + bis + 6?s2 -f-... + 6„s".
Написать машинную программу для определения, реализуема ли функ-
ция F(s)= A(s)/B(s) в качестве входной функции.
5.12. Для заданной входной функции полного сопротивления [полной прово-
димости] Z(s) [F(s)] написать машинную программу ее реализации:
а) первой формой Фостера, б) второй формой Фостера, в) первой фор-
мой Кауэра, г) второй формой Кауэра.
Свойства и реализации пассивных
входных /?С-функций
Для работы на низких частотах необходимы большие зна-
чения индуктивности, а это обычно требует введения дискрет-
ных катушек индуктивности, которые имеют большую массу,
обладают значительными потерями, велики по размеру и дорого
стоят. К тому же настоящие интегральные катушки индуктив-
ности все еще не удается получить. Что же касается «синтези-
рованных» индуктивностей, таких, как получаемые сочетанием
гиратора и емкости, то они до сих пор создают многие практи-
ческие затруднения. Преодолеть все эти затруднения позволяют
хорошо разработанные в настоящее время пассивные и актив-
ные 7?С-схемы ’).
В этой главе показывается, что у пассивного /?С-двухполюс-
ника полюсы и нули функции полного сопротивления или пол-
ной проводимости лежат на отрицательной вещественной полу-
оси плоскости s* 2). Это означает, что полюсы передаточной
функции пассивного четырехполюсника должны лежать на от-
рицательной вещественной полуоси плоскости s. К счастью,
с включением таких активных приборов, как операционные
усилители и ИНУН, можно получить в плоскости s комплекс-
ные полюсы. Следовательно, теоретически активные 7?С-цепи
способны выполнять все те же функции фильтрации, что
и ЛС-цепи. Однако достижимые допуски схемных элементов
и чувствительность их параметров к различным внешним влия-
ниям зачастую ставят пределы, а то и вовсе исключают прак-
тическую реализуемость 7?С-фильтров на высоких частотах.
Это в особенности справедливо для активных элементов.
С другой стороны, на низких частотах, где вариации парамет-
ров отдельных элементов не столь важны, активные 7?С-схемы
фильтров полностью доминируют. Как мы увидим далее, реа-
лизация входных функций с помощью резисторов и конденсато-
ров играет важнейшую роль при проектировании активных
/?С-схем.
*) Пассивные /?С-схемы содержат только резисторы и конденсаторы.
Активные ЯС-схемы содержат как резисторы и конденсаторы, так и активные
приборы.
2) В данной книге предполагается, что отрицательная вещественная полу-
ось плоскости s включает начало координат s = 0 и точку s = оо.
В этой главе мы исследуем основные свойства и методы
реализации входных функций с помощью одних только резис-
торов и конденсаторов. Этот класс входных функций назы-
вается входными 7?С-функциями.
6.1. Свойства входных RC-функций полного сопротивления
Свойства и методы реализации входных /?С-функций легче
всего установить путем параллельного сравнения с таковыми
же для входных АС-функций. Это не самый строгий способ
изложения, но он тем не менее приводит к точным результатам
и позволяет глубже понять свойства двухэлементных функций
полного сопротивления и полной проводимости.
В гл. 5 было показано, что любую функцию полного сопро-
тивления АС-двухполюсника без потерь можно описать урав-
нением (5.25), которое для удобства приведем еще раз:
п
Zlc («) = + £ l^s + <6- О
г—1
Это означает, что любому, АС-двухполюснику соответствует
эквивалентная схема на рис. 5.2.
Сопоставим заданному /?С-двухполюснику АС-двухполюс-
ник т)ьс, полученный путем замены каждого сопротивления
Rk (Ом) на индуктивность Rk (Г). Как следует из предыду-
щего абзаца, двухполюснику т]ьс соответствует эквивалентная
схема цьс на рис. 5.2. Если теперь мы получим двухполюсник
т)₽с путем замены каждой индуктивности Lk (Г) на сопротив-
ление Lk (Ом), то, очевидно, т)яс будет-эквивалентен црс так
же, как гцс эквивалентен Щс-
Для t)lc входная функция полного сопротивления опреде-
ляется (6.1), а цис получается путем замены каждой ветви
с полным сопротивлением sLk в г) lc на сопротивление Rk = А*.
Поэтому для fjsc функция полного сопротивления будет иметь
вид
п
ZRC (s) = Яоо + -^7 + £ Czs+ (!//?() ’ (6‘2)
Положив
Ol = l/RtCh k^l/Ct, k~ = Rm и A0=l/C0, (6.3)
получим вместо (6.2)
k x—1 k
(6.4)
•a Z—.J о v -
M 1
где о, и kt (t = 1, 2, п), а также ko и koo положительны
и вещественны. Поскольку r]RC и fjRc — эквивалентные двухпо-
люсники, для t]RC функция полного сопротивления также, оче-
видно, задается (6.4). Отсюда мы заключаем, что функцию
полного сопротивления для любого 7?С-двухполюсника можно
записать в виде (6.4).
Перейдем теперь от этих предварительных соображений
к рассмотрению некоторых общих свойств импедансных функ-
ций полного сопротивления для двухполюсников.
Свойство ZRC1. Все полюсы и нули функции полного со-
противления 7?С-двухполюсника лежат на отрицательной веще-
ственной полуоси плоскости s.
Доказательство. Из (4.5) входная функция полного сопро-
тивления двухполюсника удовлетворяет следующему урав-
нению:
*.»(*) = £ я.+ <6-5>
я «
Далее, (6.5) показывает, что нули ZBx(s) должны удовлетво-
рять уравнениям вида
as + р — 0, где (6.6)
31 «
Хотя и а, и р являются функциями s, можно все же заключить,
основываясь на (6.6), что нули функции полного сопротивления
7?С-двухполюсника лежат на отрицательной вещественной по-
луоси плоскости s. В силу дуальности можно заключить, что
и нули функции полной проводимости 7?С-двухполюсника
должны лежать на отрицательной вещественной полуоси. Сле-
довательно, и нули, и полюсы входной функции 7?С-двухполюс-
ника лежат на отрицательной вещественной полуоси плоско-
сти s.
Основываясь на общей форме (6.4) функции полного со-
противления ZRC(s) 7?С-двухполюсника, делаем еще следую-
щие заключения:
Свойство ZRC2. Вычеты ZRc(s) вещественны и положи-
тельны.
Доказательство. Из (6.4) вычетами ZRC(s) являются по-
стоянные kt (I = 0, 1, 2, ..., п и оо). Эти вычеты вещественны
и положительны, как показывает (6.3)’).
*) Постоянные ko и km вещественны и положительны повсюду, где они
появляются в (6.4), Строго говоря, ko и km — вещественные и неотрицатель-
ные постоянные.
Свойство ZRC3. Zrc(s) не может иметь полюс при s = оо.
Кроме того *),
ZRC(°°) < ZRC(0). (6.7)
Доказательство. Из (6.4) ZRC(oo) — km, а это — конечное не-
отрицательное число. Следовательно, s = оо не может быть
полюсом Zrc(s). Кроме того, из (6.4)
y-i j
Z»c«»-*. + ^ + E^- <6-8)
Если ^¥=0, то ZRc(s) имеет полюс при s = 0 и Z/?c(0)=oo.
Если ka — 0, то точка s = 0 не является полюсом ZRc(s).
п k п k
ZRC (0) = + £ у- = ZRC (оо) + £ / > ZRC (оо). (6.9)
i=l 1 i=l ‘
Тем самым свойство ZRC3 доказывается.
Свойство ZRC4. ZRc(s) есть функция, монотонно падающая
вдоль вещественной оси плоскости s, исключая точки полю-
сов ZRC(s).
Доказательство. Дифференцируя (6.4) по s, получаем
(s) Ж--Ч k.
(6Л0)
При s = a (6.10) переходит в
dZ Dr, (o’) kn <—k,
(6Л1>
Поскольку, как указывает свойство ZRC2, ki положительны
и вещественны,
dZRC {о)/do < 0 (6.12)
для всех о, исключая a = —сщ которые являются полюсами
ZRc(s).
Некоторые типичные зависимости ZRC(o) от о показаны на
рис. 6.1. Как следствие свойства ZRC4 имеем еще два свойства:
Свойство ZRC5. Все полюсы и нули ZRC(s) простые и ле-
жат на отрицательной вещественной полуоси плоскости s чере-
дуясь. Критической точкой, наиболее близкой к началу коор-
') Отметим, что ZKC(—oo)=ZRC(oo).
zrc (о)
ZRC (о)
Рис. 6.1. Типичные зависимости ZRC(cr) от а.
айв: s=co не является нулем Z^£ ($); б и г: s=oo является нулем Zrq (s); а и б-. s= О
не является полюсом Zrq (s); в и г: s=0 является полюсом Zrq (s).
О нуль; X полюс.
динат, должен быть полюс (это может иметь место прямо в на-
чале координат), а критической точкой, наиболее близкой
к s = оо, является нуль (это также может иметь место прямо
при s=oo). Включая точку s = оо, число полюсов ZRC(s)
равно числу нулей (рис. 6.1).
Свойство ZRC6. Если s = оо не является нулем ZRC(s), то
ZRc(s) можно записать как
7 /„А *оо (s + бг) (S 4-64) ... (s + б>) ,к
Zkc(s)~ (s + a1)(S4-&3)...(s + 6r+I)-- ГД6 (6ЛЗ>
О < <71 < б2 < б3 ... < бу, (6.14)
a r — четное число. С другой стороны, если s = оо является
нулем Zrc(s), последняя выражается как
ZRc(s)= (s + 61)(s + &3)...(s + &r+7)-- (b-15)
где r — четное число, и
0<6-1<&2< ... < &r+1. (6.16)
Отметим, что (6.13) просто указывает, что конечных полю-
сов столько же, сколько конечных нулей1)- Следовательно, сте-
пени полиномов, стоящих в числителе и знаменателе, одина-
ковы. В (6.15) степень знаменателя на единицу больше степени
числителя, из чего следует, что конечных полюсов больше, чем
конечных ’нулей. Если ZRC (s) задана в виде отношения двух
полиномов ZRC(s) = где X(s) .и В (s) -- соответ-
ственно полиномы степеней 4а и dB, то свойство ZRC6 подра-
зумевает
dB—l^dA^dB. (6.17)
Свойства ZRC5 и ZRCG играют весьма важную роль при проек-
тировании активных фильтров, рассматриваемом в гл. 10.
Свойство ZRC7. Re [ZRC (/со)] монотонно падает с возраста-
нием | со |.
Доказательство. Из (6.4) вещественная часть ZfiC(/’<») равна
Ек ,С5.
(6.18)
При возрастании |со| второй член правой части (6.18) умень-
шается, а первый остается постоянным. Следовательно, наше
заключение правильное.
Свойство ZRC7 означает, что Re[Zrc(/со)] достигает мини-
мального значения при со — оо. Из (6.4) ZRC(/oo) = ZRC(oo)—
величина вещественная. Следовательно, имеем
Zrc (°°) = Re [ZRC (00)] < Re [ZRC (/co)] для всех co. (6.19)
Выражение (6.19) весьма полезно при синтезе входных функ-
ций RC-двухполюсников, в особенности при первой форме
Кауэра. Оно показывает, что ZRc(oo)— это наибольшая поло-
жительная постоянная, какую можно извлечь из ZRc(s), при-
чем остаточная функция полного сопротивления ZrRc (s)A ZRCX
X(s)~ZRC (00) все еще будет ПВ-функцией, обладающей всеми
1) Точку st называют конечным полюсом (нулем) рациональной функ*
ции F(s), если s* является полюсом (нулем) F(s) и |s*| Ф оо.
свойствами входной /?С-функции полного сопротивления1).
Этот факт используется при реализации входных /?С-функций
первой формой Кауэра.
Схемная реализация (6.2), полученная путем разложения
(6.4) на простые дроби, приведена на рис. 6.2. Она называется
Рис. 6.2. Схемная структура первой формы Фостера.
первой формой Фостера. Отметим, что схема на рис. 6.2 такая
же, как на рис. 5.2, только все индуктивности заменены сопро-
тивлениями соответствующих номиналов.
6.2. Свойства входных RC-функций полной проводимости
Основываясь не на (5.25), а на (5.27), можно показать, что
входная функция полной проводимости /?С-двухполюсника
имеет следующую обобщенную форму:
YRC («) — Соо« + Ro + £ + (l/CiS) (6-20)
Если положить
k0=l/R0, ki = l/Rit и (6.21)
то (6.20) можно переписать в виде
Yrc («) = k^s + k0 + £ kts/(s + dt), (6.22)
i=l
где ki и di (i — 1, 2, ..., ri), а также k0 и k<x> — положительные
и вещественные.
Подробнее см. в [1, 2].
После рассмотрения выражений (6.20) — (6.22) для входной
/^С-функции полной проводимости Укс(«) можно утверждать
следующее *):
Свойство YRC1. Все полюсы и нули Удс(«) лежат на отри-
цательной вещественной полуоси плоскости s.
Свойство YRC2. Вычеты УдС(«) при конечных отрицатель-
ных вещественных полюсах вещественны и отрицательны. Вы-
чет Yrc (s) при полюсе s — оо положителен и веществен 2).
Доказательство. Из (6.22) вычет У«с(х) при s — оо равен
^=Пт(1Д)УЛс(«) = ^. (6.23)
ОО
Согласно (6.21), положителен и веществен.
Вычет y«c(s) при конечном отрицательном вещественном
полюсе s = —о/ равен
g/ = (s+a/)y^c(s)U-a/. (6.24)
Подставляя (6.22) в (6.24), получаем
ё/ = kfi U_o/ = — fyffy. (6.25)
Из (6.21) и (6.25) следует, что отрицателен и веществен.
Свойство YRC3. Yrc(s) не может иметь полюс при s = оо.
Кроме того,
Уде (0) < Уде (°°) = I УRC (- оо) I. (6.26)
Заметим, что Удс(«) может иметь полюс при s =» оо и (или)
нуль при s — 0.
Свойство YRC4. YRc(s) есть функция, монотонно нарастаю-
щая вдоль вещественной оси плоскости s, исключая точки по-
люсов Yrc(s).
Доказательство. Дифференцируя (6.22), получаем
dYRC (a)/d<y = 4- £ £zaz/(a + (6.27)
Из (6.21) и (6.27)
dYRC(o)/du>0 (6.28)
для всех о, исключая полюсы YRC(s).
‘) В случаях, когда свойство функции Frc(s) можно доказать по прин-
ципу дуальности, параллельно с таким же свойством функции Zric(s), ограни-
чиваемся формулированием этого свойства.
) Во всех случаях, когда в (6.22) появляется это вещественная
и положительная постоянная.
Рис. 6.3. Типичные зависимости Ккс(сг) от о.
айв: s=0 не является нулем У^с^У» & и г: является нулем У#с(8); о и б; s=co
является полюсом Yrc(s)‘, вив: s=oo не является полюсом
О нули; X полюсы.
Некоторые типичные зависимости Укс(о) от а приведены
на рис. 6.3.
Свойство YRC5. Все полюсы и нули Vrc(s) простые и лежат
на отрицательной вещественной полуоси плоскости s чередуясь.
Критической точкой, ближайшей к началу координат, должен
быть нуль (он может находиться и в начале координат), а бли-
жайшей к бесконечности — полюс (может быть полюс и при
s = oo). Число полюсов Yrc(s), включая s = со, равно числу
нулей Укс(«) (рис. 6.3).
Свойство YRC6. Если s = со не является полюсом YRC(s),
то y«c(s) можно записать в виде
v - fe°o О* + (s + 63) .. (s + дг) (ROQX
r«c(s)— (s + a2)(s + a4).„ (s + o,+1) ’
где г — нечетное число, а
О < 6д < б2 < ... < 6г+ь (6.30)
В этом случае полиномы, стоящие в числителе и знаменателе,
имеют одинаковую степень. С другой стороны, если s = оо
есть полюс Ykc(s), последнюю можно записать как,
у (Q\— & (s + Hi) (s + п3) ... (s + 6>) /R оП
Yrc (S) ~ (s + d2) (s+ &«)... (s + ^-0 ’
где r — нечетное число, a
0 < 62 < ... < бу. (6.32)
Выражение (6.31) означает, что степень полинома, стоящего
в числителе, больше степени полинома, стоящего в знаменателе.
Свойство YPC7. Re [УЛс (/со)//о)] уменьшается с ростом |со|.
Доказательство. Из (6.22)
Yrc (s)/s = + (k0/s) + t Ms + оу)]. (6.33)
Z=1
Заметим, что Удс(«)/« имеет форму входной /?С-функции пол-
ного сопротивления (6.4). Следовательно, согласно свойству
ZRC7 входной функции полного сопротивления RC-двухполюс-
ника заключаем, что Re [Удс (/со)//со] уменьшается с ростом |со|.
Свойство YRC8. Re[У^с(/со)] есть монотонно нарастающая
функция | со |. Кроме того,
Rflc(°)<Re[yfiC(/co)] для всех со. (6.34)
Доказательство. Из (6.22) получаем
п k ’ п
Re [Удс (/<о)] = k0 + £ Re I 1 = k0 + £ kt^/(o2+^. (6.35)
z=i L 1J 1=1
Очевидно, Re[yKc(0)] = ko — минимальное значение
Re[yj?c(/со)], так как второй член правой части (6.35) положи-
телен для всех со =И= 0.
Из (6.35) видно, что Re[Улс(/со)] — монотонно нарастающая
функция |со|. График зависимости Re [Удс (/со)] от со приведен
на рис. 6.4, где
п
А = Re [Удс (оо)] = k0 + Е kt > ko = Yrc (0). (6.36)
/=>1
Видно, что Удс(0) — наибольшая постоянная, которую можно
выделить из У/?с(э) таким образом, чтобы остаток У^с(э)Л;
= ^rc(s) — был бы еще ПВ-функцией, обладающей
всеми свойствами входной /?С-функции полной проводимости.
Этот факт является основой для реализации входных /?С-функ-
ций второй формой Кауэра.
Рис. 6.4. Типичная зависимость Re[yRC(/co)] от со.
Рис. 6.Б. Схемная структура второй формы Фостера.
Схемная реализация (6.22) или, что эквивалентно, (6.20),
(6.21), приведенная на рис. 6.5, называется второй формой
Фостера.
6.3. Пример методов реализации Фостера
Пример 6.1. Реализовать двумя формами Фостера
ZRC (s) = (s + 1) (s + 3)/s (s + 2) (s + 4). (6.37)
Решение. Можно показать, что функция полного сопротивления (6.37) со-
ответствует всем свойствам входной RC-функции полного сопротивления. Сле-
довательно, для нее возможна реализация пассивной RC-схемой.
Разложение функции (6.37) на простые дроби дает
ZRC (s) - А/s + B/(s + 2) 4- C/(s + 4), (6.38)
где А, В и С — вычеты ZRC(s) при полюсах st = 0, s2 = —2 и Sa = —4
соответственно. Отсюда
•Л = ls=o = 3/8’
B = (s + 2) ZRC (s) |s__2= 1/4,
С=(д+4)2ДС (S)|s„4 = 3/8,
и (6.38) переписывается в виде
^с^=^ + 7Т2- + 7ТТ- (6-39>
Записав (6.39) в форме (6.2), получаем
ZRC (S) = (8/3) s + 4s+ 8 + (8/3) s + (32/3) ' (6'40)
Схемная реализация (6.37) или, что эквивалентно, (6.40) приведена на
рис. 6.6, а.
Рис. 6.6. Схемы реализации входной 7?С-функции полного сопротивления
(6.37).
а—первой формой Фостера; б—второй формой Фостера.
Для реализации (6.37) второй формой Фостера рассмотрим
УЛС = l/ZRC = s (s + 2) (S + 4)/(s + 1) (s + 3). (6.41)
Произведя разложение Yrc(s)/s на простые дроби, получим
Yrc(s) (s-J-2) (s + 4) s2 + 6s + 8 f 2s+ 5
s “ (s + 1) (s + 3)' “ s2 + 4s + 3 “ 1 + (s + 1) (s + 3)
-1+7TT + 7T3’ r“ <M2>
2s+ 5 I 3 2s+ 5 I 1
D (S+1) (s+l)(s + 3)L-i 2 (s+ )(s+l)(s+3)L-3=: 2-
Следовательно, (6.42) переписывается в виде
(6.«)
Т+зГ 2 + Т
Схемная реализация (6.37) второй формой Фостера приведена на рис. 6.6,6.
6.4. Методы реализации Кауэра
Как и в случае LC-двухполюсников, две формы Фостера —
не единственные методы реализации входных /?С-функций пол-
ного сопротивления или полной проводимости. В этом разделе
мы рассмотрим еще два метода—две формы Кауэра. Первая
форма Кауэра основывается на следующих двух фактах:
la. s = оо может быть полюсом Укс(я).
16. Zrc(°°)=^ Re[ZRC(/«>)] для всех co.
Как следует из п. 16, остаточная функция полного сопротивле-
ния ZrRC (s) Д Zrc (s) — Zrc (оо) остается входной ПВ-функцией.
Кроме того, Z«c(°°) = 0. Следовательно, Уде (s) имеет полюс
при s — оо. Аналогичным образом, вторая форма Кауэра опре-
деляется следующими двумя фактами:
2а. s — 0 может быть полюсом ZRc(s).
26. Уде(0) Re [Уде(/’«>)] для всех со.
Следовательно, остаточная функция полной проводимости
Yrc (s)^ УдС (s) — Удс(0) остается ПВ-функцией, обладающей
всеми свойствами входной функции полной проводимости
/?С-двухполюсника. Далее, Удс(0) = 0. Поэтому Zrc(s) имеет
полюс при s = 0.
6.4-1. Первая форма Кауэра
При первой форме Кауэра исследуется ZRc(s) или Yrc(s)
в точке s=oo. Имеется две возможности: либо Удс(°°) ко-
нечна, либо s = оо является полюсом YRc(s). Предположим
сперва, что s — оо является полюсом Удс(х). Тогда полюс
можно выделить посредством подключения шунтирующего кон-
денсатора. С математической точки зрения это эквивалентно
тому, что Удс(в) записывается в виде
Yrc (s) = Cos 4- Уi (s), где (6.44а)
С0==4удс(5)им (6.446)
есть вычет Удс(«) при полюсе s = оо, а остаточная функция
У J (s) = У RC (s) ... Cos (6.44в)
при конечной величине УДоо) также является входной
/?С-функцией полной проводимости. Поскольку Yrc(s) записана
в (6.44) в виде суммы двух членов, можно реализовать Удс(«)
посредством подключения конденсатора в параллель с .RC-двух-
полюсником, характеризующимся входной функцией полной
проводимости УД«) (рис. 6.7, а). Ясно, что УДв) проще, чем
Удс(х). Для реализации УДх) рассмотрим другую возмож-
ность: s = оо не является полюсом Yrc(s). В этом случае при-
бегнем к инверсии Yrc(s) и получим ZRc(s). Опираясь на усло-
вие 16 или свойство ZRC1 для ZRc(s), можем выделить ZRc(°°)
из ZfiC(s), что соответствует последовательному резистору; при
этом остаточная функция все еще остается входной /?С-функ-
цией полного сопротивления. В математической форме это соот-
ветствует тому, чтобы записать ZRc(s) как
Zrc (s) = Ro + Zx (s), где (6.45a)
Ro = Zrc(oo), (6.456)
а остаточная функция 2\(s) является входной 7?С-функцией
полного сопротивления. Поскольку ZRc(s) в (6.45) записана в
Рис. 6.7. Основная процедура реализации первой формой Кауэра.
а) 8~<х> является полюсом s=co не является полюсом
виде суммы двух членов, можно реализовать ZRc(s) посредст-
вом включения резистора последовательно с /?С-двухполюсни-
Рис. 6.8. Схемная структура первой формы Кауэра.
о) s=oo ие является полюсом (s); б) s=co является полюсом
ком, характеризующимся входной функцией полного сопротив-
ления Zi(s). Это иллюстрируется рис. 6.7,6. Из (6.45) получаем
Z1(oo) = 0. (6.46)
Следовательно, s — оо есть полюс Pi (s). Для реализации Pi (s)
вернемся к предыдущему случаю, когда s = оо есть полюс
входной /?С-функции полной проводимости. Эту процедуру
можно повторять, и мы придем к первой форме Кауэра
(рис. 6.8).
Чтобы увидеть, какое влияние оказывает удаление из
ZRc(s), проведенное в (6.45), рассмотрим типичное семейство
зависимостей 2Дс(о) от о при ZRc (со) #= 0 (рис. 6.9). Вычесть
Рис. 6.9. Типичная зависимость ZKc(o) от ст.
X полюс, О нуль Zrq (s); 0 полюс, □ нуль остаточной входной функции полного сопро-
тивления ZrRC (s) &ZRC (s)—ZRC (оо).
из Zrc(s) постоянную 7?o = Zkc(co) — это равносильно переносу
оси абсцисс на высоту /?0, как показано штриховой горизонталь-
ной прямой на рис. 6.9. Как видно из рисунка, расположение
полюсов при этом остается прежним, полюсы и нули по-прежне-
му чередуются друг с другом, но расположение нулей изменилось
и, что самое важное, появился новый нуль при s = со. Это озна-
чает, что остаточная входная функция полного сопротивления
имеет нуль при s = со; связанная с ней входная функция пол-
ной проводимости имеет полюс при s = со.
Пример 6.2. Реализовать первой формой Кауэра следующую входную
функцию полного сопротивления 7?С-двухполюсника:
Z (з) — (а2 + 4s + 3)/(s3 4- 6s2 4- 8s) = (s 4- 1) (s 4- 3)/s (s 4- 2) (s 4- 4). (6.47)
Решение. Поскольку заданная функция полного сопротивления, имеет нуль
при s = оо, соответствующая ей функция полной проводимости
У (s) = (s3 + 6s2 4- 8s)/(s2 + 4s + 3) (6.48)
имеет полюс при s = оо. Вычет при этом полюсе равен
g0A (l/s)r(s)|s=oo = l.
Выделив этот полюс из (6.48), запишем
У (a) = gos-|-y1(S) = s + y1(s), (6.49)
где У1(я)—остаточная функция, определяемая выражением У1(з) =
— Y(s)—s = (2s2-J-5s)/(s2-J-4s-J-3). Схемная интерпретация этого этапа
синтеза представлена на рис. 6.10, а. Поскольку У1(оо)—конечная величина,
инвертируем У,(£) и получаем
Zi (s) — (s2 4- 4s 4- 3)/(2s2 4- 5s). (6.5о)
Y=Yfc) no (6A8)
Z=Zl(s') no (n.50~)
a
г
Рис. 6.10. Реализация входной /?С-функции полного сопротивления (6.47) пер-
вой формой Кауэра.
Теперь, продолжая, выделим Zi(oo) = 1/2 из 2i(s)
(s) = Zt (s) - Zt (oo) « Zt (s) - (1/2) . (6.51)
Этот этап иллюстрируется рис. 6.10,6. Очевидно, Z2(oo) = 0. Рассмотрим
<6-52)
О “Г О
y2(s) имеет полюс при s = оо. Чтобы выделить этот полюс, необходимо пай'
ти вычет b(s) При полюсе s = оо:
Ь = (!/«) У2 (S) ls=oo = 4/3.
(6.53)
Поэтому запишем
У2 (S) = (4/3) s + Уг (s), где (6.54)
1% (в) = У2 (s) - (4/3) s == 2s/(3s + 6).
(6.55)
Этот этап показан на рис. 6.10, в. Поскольку У3(оо)—конечная величина, рас-
смотрим
Z3 (s) = (3s + 6)/2s. (6.56)
Выделяя из -Zs(s) последовательный резистор Z3(oo)=3/2 Ом, записываем
Z3 (s) = (3/2) + г4 (s), (6.57)
где остаточная функция
Z4 (8) = Z3 (s) - (3/2) = (3/s) = l/(l/3) s
(6.58)
представляет конденсатор 1/3 Ф. Вся процедура реализации показана на
рис. 6.10, г.
Заметим, что с помощью (6.58), (6.56), (6.52) и (6.50)
можно записать У(s) из (6.48) в виде
|y(s)=s+yi(s) = s+ 1 ==5+ 1---=
i() |+Z2(s)
pSH- 1~J-—1 t--------------------~ = s + T
2 2 |8 + y3(s)
1
1
£ _______1
3 S+ Zs(s)
Видно, что (6.59) имеет форму разложения в непрерывную
1дробь. Следовательно, (6.59) можно получить путем последова-
тельных делений и инверсии в точке s = со. Для этого необхо-
димо при каждом делении исключать члены высшей степени.
Для примера слагаемые разложения У(«) по (6.48) в непрерыв-
ную дробь при s = оо путем процесса последовательных деле-
При этом получаем такое же разложение, как в (6.59).
6.4-2. Вторая форма Кауэра
Если теперь мы исследуем УЛС(«) или ZRc(s) в точке s ~ О,
а не в точке s — оо, то можем получить вторую форму Кауэра.
В данном случае рассмотрим входную функцию полного сопро-
тивления Zrc(s). Если s = 0 является полюсом ZRC(s), выделим
полюс с помощью последовательного конденсатора. Это экви-
валентно выражению
ZRC(s) = (kols) + Zj(s), где (6.60а)
k0 — sZRC (s) |s=o (6.606)
есть вычет ZRc(s) при полюсе s = 0, a Zi(s)— остаточная функ-
ция полного сопротивления. Как и в случае первой формы
Кауэра, Zi(s) отвечает всем свойствам входной /?С-функции
полного сопротивления. Кроме того, Zj(O)— конечная величина:
$ = 0 не является полюсом Zi(s). Поскольку ZRC(s) в (6.60)
выражается в виде суммы двух членов, можно реализовать
IZrc(s), включив конденсатор последовательно с /?С-двухполюс-
|Ником, характеризующимся входной функцией полного сопро-
тивления Zi(s) (рис. 6.11, а). Следовательно, задача реализа-
ции ZRc(s) сводится к реализации более простой функции пол-
ного сопротивления Zi(s). Чтобы реализовать Zi(s), рассмотрим
|случай, когда s = 0 не является полюсом ZRC(s). В этом слу-
чае сначала получим Укс(«) путем инверсии ZRC(s). Согласно
условию 26 свойства YRC8 входной 7?С-функции полной прово-
димости, можно выделить Укс(О) с помощью параллельного ре-
зистора, причем остаточная ПВ-функция все еще будет пред-
ставлять входную /?С-функцию полной проводимости. Это озна-
чает, что можно написать
Удс(«) = §о + У1(в), (6.61а)
£о = УдС(О), (6.616)
a Pi (s) —остаточная входная 7?С-функция полной проводимо-
сти. Из (6.61) видно, что Yrc(s) можно реализовать, включив
Рис. 6.11. Основная процедура реализации второй формой Кауэра.
а) $=0 является полюсом Zrq{s); б) 5=0 не является полюсом Z#c(s).
параллельно Pi(s) резистор. Этот этап иллюстрируется
рис. 6.11,6. Заметим, что (6.61) подразумевает
Л(0) = 0. (6.62)
Следовательно, s = 0 является полюсом соответствующей вход-
ной /?С-функции полного сопротивления 2i(s). Это означает,
Рис. 6.12. Схемная структура второй формы Кауэра.
a) 5=0 не является полюсом Zrq ($); б) s=0 является полюсом Zrc(s).
что можно повторять процесс выделения последовательных кон-
денсаторов и параллельных резисторов до тех пор, пока не бу-
дет завершена реализация схемы (рис. 6.12).
Пример 6.3. Реализовать второй формой Кауэра входную /?С-фуикци;о
полного сопротивления
Z (s) = (3 + 4s + s2)/(8s + 6s2 -J- s3), (6.63)
Решение. Поскольку Z(s) имеет полюс в точке s = О, выделим этот по-
люс, найдя прежде всего его вычет £о = sZ (s) |s=0 = 3/8, а затем записав
Z(s) в виде
Z (s) = (3/8s) + Zt (s), где
Zt (s) = Z(s)- —
(7/4) + (5/8) s
8 + 6s + s2
(6.64)
(6.65)
— остаточная функция. Заметим, что Z](s) — ПВ-функция, отвечающая всем
свойствам входной /jC-функции импеданса. Этап (6.64) показан на рис. 6.13, а.
Z=ZCs) поСб.63)
6
Рис. 6.13. Реализация входной 7?С-функции полного сопротивления (6.63) вто-
рой формой Кауэра.
Поскольку Zf(0)—конечная величина, рассмотрим
Yl ( } (7/4) + (5/8) s ’ (6‘66)
Выделив из Ki(s) постоянную Уг(О) с помощью параллельного резистора,
получим остаточную функцию Уг(8) в виде
у, (,) _ у, w _ у, (0) - у. м . (6.67)
Этот этап иллюстрируется рис. 6.13,6. Повторив предыдущую процедуру, вы-
разим Z2(s) = [(7/4) + (5/8)s]/[(22/7)s + s2] как P
2-1. (s) = (49/88s) + Z3 (s), (6.68)
где 49/88 —вычет Z2(s) при полюсе s =0, a
(M9)
Это дает
<S) = ~2/3/4^~ = Гз (0) + = -^ + У4 (s), (6.70)
v , . . . 968 44s
где У4 (s) = У3 (s)-— = — или
Z 1 0
24(S)=W)T- (6-71)
Схемная реализация (6.63) второй формой Кауэра, как она изложена
выше, показана на рис. 6.13, в.
Заметим, что путем подстановки (6.71) в (6.70), затем в
(6.68), затем в (6.67) и, наконец, в (6.64) получаем
ЭД =4 + 32-------------Н---------- <6-72>
7 + 49 1
88s + 968 1
21 + 3
44s
Мы можем также получить (6.72) с помощью метода после-
довательных «делений, расположив оба полинома (делимое и
делитель) по убывающим степеням s:
Отметим, что (6.72) является разложением в непрерывную
дробь для (6.63) в точке s = 0.
Как и в случае LC-двухполюсников, при реализации вход-
ных /?С-функций не требуется использовать на всех этапах этой
процедуры какой-то один метод. Мы можем переходить от од-
ной формы реализации к другой на любом этапе и как угодно
часто. Иными словами, мы можем реализовать входную RC-
функцию полного сопротивления или полной проводимости, со-
четая формы Фостера и Кауэра.
Пример 6.4. Реализовать входную 7?С-функцию полного сопротивления
Z (s) = (s + 1) (s + 3) (s + 5)/s (s + 2) (s 4- 4) (s + 6) (6.73)
следующими способами:
1. Первой формой Кауэра с выделением двух конденсаторов.
2. Второй формой Кауэра с выделением одного конденсатора.
3. С реализацией остаточной функции второй формой Фостера.
Решение. Для получения первой формы Кауэра нам необходимо исследо-
вать функцию полной проводимости
У (s) = s(s + 2)(s + 4)(s + 6)/(s + 1)(s + 3)(s + 5) (6.74)
в точке s = оо. Поскольку У(оо)=оо, осуществим частичное
У/s) в непрерывную дробь при s = оо:
r,x s4 + 12s3 + 44s2 + 48s 1
Y («) — s3 + 9s2 + 23s + 15 S + JL 4. 1
3 l^ + y^s)
разложение
, (6.75)
y|(s) = 3s2 + (21/2)s
2s2 + 12s + 15 ‘ k ’
Рис. )6.14. Схема реализации входной 7?С-функции полного сопротивления
Этот этап реализован иа рис. 6.14, а. Далее используем для частичной реа-
лизации Уi(s) вторую форму Кауэра. Для этого надо исследовать
7, /м = 1_____15 + 12s + 2s2
Zl ( ’ У, (s) (21/2) s + 3s2 (6J7)
в точке s — 0 Поскольку s = 0 является полюсом осуществим частич-
ное разложение Zt (s) в непрерывную дробь при s = О
7 10 1 1
Z,(S)==7T+УЙЗУ <6-78)
v , . 3s + (21/2)
ГДе K2(S)= 2s+~(54/7) • (6J9)
Этот этап иллюстрируется рис. 6.14,6. Как требуют условия задачи, необхо-
димо реализовать У'Дв) второй формой Фостера. Чтобы выполнить это, осу-
ществим разложение на простые дроби
Уг(5) _ 3s+ (21/2)
s s [2s + (54/7)] (b'8U}
и
получим
У2(«) 147/108 , 5/36 v . . 147 , 1 ..
----------s + s + (27/7) ИЛИ Гг(8) ~ 108 + 36 972 ‘ (6‘81)
5 + 35s
Схемная реализация (6.73) согласно требованиям задачи — через (6.75),
(6.78) и (6.81)—представлена на рис. 6.14, в.
6.5. Выводы
В этой главе мы рассмотрели основные свойства входных
/?С-функций. Эти свойства сведены в табл. 6.1. Обобщенные
формы входных ЯС-функций полного сопротивления и полной
проводимости различны — как и показывают (6.4) и (6.20); по-
этому различны и основные свойства этих функций. Заметим,
Рис. 6.15. Основные схемные структуры форм Фостера и Кауэра. а — первая
форма Фостера; б — вторая форма Фостера; в — первая форма Кауэра;
г — вторая форма Кауэра.
что в табл. 6.1 пп. 2, 3 и 6 для ZRC(s) [Укс(«)1 совместно опре-
деляют условия реализуемости входной /?С-функции полного
сопротивления (полной проводимости). Другие существенные
условия реализуемости можно задать пп. 1 и 6 или п. 5 табл. 6.1.
Мы рассмотрели также четыре метода реализации входных
ЯС-функций. Первая форма Фостера реализует входную функ-
цию полного сопротивления, а вторая форма Фостера — вход-
ную функцию полной проводимости. Вместе с тем обе формы
Кауэра можно использовать для реализации как функции пол-
ного сопротивления, так и функции полной проводимости.
Кратко можно сказать, что формы Фостера требуют разло-
жения на простые дроби, а формы Кауэра — разложения в не-
прерывную дробь. Для первой формы Кауэра используется раз-
ложение в точке s = оо. Если У/гс(оо)=о°, то при первой
Свойства входных /?С-функций
Таблица 6.1
№ п/п | Z/jc (s) Yrc (з)
1 W^OO1 C0S+Xc.s + ^_ Yrc C«,s+ p + X 1 ° Rt + cts V—1 k,S k s -f- . “ 0 bs+a.
2 Все полюсы и нули простые, от- рицательные, вещественные Все полюсы и нули простые, от- рицательные, вещественные
3 Полюсы и нули чередуются. Кри- тической частоте, ближайшей к на- чалу координат, соответствует по- люс, а ближайшей к бесконечно- сти — нуль Полюсы и нули чередуются. Кри- тической частоте, ближайшей к на- чалу координат, соответствует нуль, а ближайшей к бесконечности — по- люс
4 Если ZRC (s) = A (s)/B (s), то степень A (s) степени В (s). Мень- ше, если s = oo является нулем, и равна, если s = оо не является нулем Если Yrc (s) =А (s)/B (s), то сте- пень A (s) степени В (s). Больше, если s — оо является полюсом, и равна, если s = oo не является по- люсом
5 7 /<л (3 + Оз) (S + О4) • • • ($ + <Ti) ($ + а3)... o < СГ3 <C O'4 ... Y z<,\ (s ~Ь Qi) (s + Оз) • • • RC (s + а2) (S + а4) ... 0 С 01 < О2 < Оз < о4...
6 Все вычеты положительные и ве- щественные Вычеты при полюсе в бесконеч- ности — положительные и веществен- ные Вычеты при конечных полюсах — отрицательные и вещественные
7 Zrc№ ие м°жет иметь полюс при s = оо. Если ZRC (00) =уь о, то "^RC (0) — наибольшая постоянная, которую можно выделить, чтобы остаток [ZRC (s) - ZRC (00)] оста- вался входной 7?С-функцией полного сопротивления У RC (s) не может иметь полюс при s = 0. Если УRC (0) ф 0, то YRC (0) — наибольшая постоянная, которую можно выделить, чтобы остаток (s)—УRC (0)] оставался входной 7?С-фупкцией полной про- водимости
8 ZRC — монотонно падающая функция, исключая точки полюсов УдС (а) — монотонно нарастаю- щая функция, исключая точки по- люсов
форме Кауэра работают с Krc(s), а если Krc(°°) то — с
ZRC(s)= 1/Krc(s). Вторая форма Кауэра требует полного раз*
ложения в непрерывную дробь в точке s = 0. Если Zrc(0) = оо,
работают с ZRC(s), а если ZRC(0)=#co— с YRC (s) = l/ZRC(s).
Схемные структуры форм Фостера и Кауэра приведены на
рис. 6.15. Отметим, что в первой форме Кауэра используются
последовательные резисторы и параллельные конденсаторы, со-
здающие нули передачи при s — оо, а во второй форме Кауэ-
ра — последовательные конденсаторы и параллельные резисто-
ры, создающие нули передачи при s = 0.
В заключение этой главы мы хотели бы подчеркнуть, что
методы реализации входных /?С-функций идентичны применяе-
мым для реализации входных £С-функций. Единственная раз-
ница та, что в первом случае используются резисторы, а во вто-
ром — катушки индуктивности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R E. Krie-
ger, 1975.
2. Humbhreys D. S, The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters,
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1970.
3. Peikari B., Fundamentals of Network Analysis and Synthesis, Englewood
Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc.. 1974.
4. Budak A., Passive and Active Network Analysis and Synthesis, Boston MA.,
Houghton Mifflin, 1974.
ЗАДАЧИ
6.1. Определить, какие из нижеследующих функций реализуемы как вход-
ные RC-функции полного сопротивления Z(s):
а) б) Z(s) = s2 -р 7s + 12 . s2 + 3s + 2 ’ s2 + 5s e) Z (s) = ж) Z (s) = s2 + 7s + 12 s3 + 3s4 + 3s + 1 ’ s2 + 4s + 3,75
s2 + 3s + 2 ’ S3 + 6s2 + 1 Is + 6 ’
в) 7 — s + 5 s3 + 8s2 + 17s + 10
s2 + 3s + 2 ’ s3 + 11,5s2 + 39s + 36 ’
г) 7 (с) — 8+1,5 И) Z(s)== s2 + 3s + 2
s2 + 2s + 1 ’ s3 + 6s2 + 8,75s + 3 ’
«Y 7 /«Л s2 + 3s + 2 к) Z(s) = s3 6s2 + 8,75s + 3
А/ V>J 8 + 1,5 ’ s2 + 3s + 2
6.2. Определить, какие из нижеследующих функций реализуемы как входные
RC-функции полной проводимости У (з):
У(<!\ — s+ 1,5 V sa 4- 8s2 4- 17s 4-10
р\ у ( „х __ s2 4- 2s + 1 ’ s2 + 7s 4- 12 &) I s3 4-11,5s2 4- 39s 4- 36 ’ s2 4- 3s 4- 2
s3 4- 3s2 4- 3s 4- 1 ’ И) I s3 4- 6s2 4- 8,75s 4- 3 *
Ж) У (S) = s3 4- 6s2 4- lb 4- 6 . s2 4- 4s 4- 3,75 ’ К) K(s) = s3 4- 6s2 4- 8,75s 4- 3 s2 4- 3s 4- 2
6.3. Рассмотреть двухполюсник N на рис. 3.6.3:
а) Показать, что входная функция полного сопротивления двухполюс-
ника М отвечает всем свойствам 7?С-функции полного сопротивления.
б) Показать, что входная функция полной проводимости двухполюсни-
ка М отвечает всем свойствам входной ЯС-функции полной проводимо-
сти.
Рис. 3.6.3.
Рис. 3.6.4.
6.4. Рассмотреть двухполюсник N на рис. 3.6.4:
а) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s).
б) Показать, что Z(s) отвечает всем свойствам входной 7?С-функции
полного сопротивления.
в) Показать, что входная функция полной проводимости У(«) отвечает
всем свойствам входной /?С-фуикции полной проводимости.
г) Реализовать У(я) или Z(s) двумя формами Фостера.
Д) Реализовать У(з) или Z(s) двумя формами Кауэра. .
Р-5. Повторить задачу 6.4 для двухполюсника на рис. 3.6.5,
6.6. Для каждой из нижеследующих Z(s) найти диапазон значений а, в ко-
тором Z(s) реализуема как входная 7?С-функция полного сопротив-
ления:
s + а r) Z (s) = s2 + 5s + 6 .
а) л Vs J s2 + 3s + 2 ’ s2 + as + 2 ’
б) z(s) = s2 + 4s + а s2 + 3s+2 ’ Д) Z (s) = s2 + 5s + 6 , s2 + 3s + a ’
в) Z (s) = s2 + as 3 . s2 + 3s + 2 ’ e) Z (s) = s2 + 3s + о s3 + 5s2 + 6s ‘
6.7. Для каждой из нижеследующих K(s) найти диапазон значений а, в ко-
тором У (s) реализуема как входная PC-функция полной проводимости:
a) Y (s) = _ s2 + 5s + o s2 + 7s + 10 ’ r) Y (s) = s2+ 10s + 16 _ s2 + 12s 4- a *
6) Y (s) = s2 + as + 4 s3 4- 7,5s2 4- as 4- 5
s2 + 7s + 10 ’ Д; / is; s2 4- 5s + 4 ’
в) У (s)= s2 + 10s + 16 . s2 + as + 20 ’ e) Y (s) = s2 4- as2 4- 13,5s 4- 5 s2 4- 5s 4- 4
6.8. Реализовать нижеследующие входные PC-функции полной проводимости
двумя формами Фостера и двумя формами Кауэра:
(s+ l)(s + 3) .
s + 2
г) У (s)
б) У (s) =
s (s -р 2)
(s+ l)(s + 3) ’
Д) Y ($)
s (s + 4) (s + 6)
(s + 1) (s + 5) ’
(S + 1) (S + 5) (s + 10)
(s + 2) (s + 6) (s + 12)’
В) У (s) =
($4-1) (s+ 5)
(s+4)(s + 6)’
6.9. Для каждой из входных /?С-функций задачи 6.8 найти Z (s) = У (s)/s.
Показать, что Z(s) отвечает всем свойствам входной PC-функции пол-
ного сопротивления. Далее, реализовать Z(s) как входную РС-функцию
полного сопротивления двумя формами Фостера и двумя формами
Кауэра.
6.10. Реализовать входную функцию полного сопротивления Z(s) =
= (s + 2) (s + 4)/(s -|- 1) (s -f- 3) (s + 5) следующими способами:
а) Начать с первой формы Кауэра (для двух конденсаторов) и завер-
шить реализацию второй формой Кауэра.
б) Начать со второй формы Кауэра (для двух конденсаторов) и завер-
шить реализацию первой формой Кауэра.
в) Начать с первой формы Кауэра (для одного конденсатора), далее
перейти ко второй форме Кауэра (для одного конденсатора) и завер-
шить реализацию второй формой Фостера.
6.11. а) Реализовать входную PC-функцию полного сопротивления Z(s) =
== (s + 2)/(s + 1) (s -|- 5) первой формой Кауэра.
б) Убедиться, что двухполюсник, полученный в п. а), имеет входную
функцию полного сопротивления Z(s).
в) Реализовать Z(s) второй формой Кауэра.
г) Убедиться, что двухполюсник, полученный в п. в), имеет входную
функцию полного сопротивления Z(s).
6.12. Для каждой из нижеследующих входных функций полного сопротивле-
ния найти АДС-схемную реализацию:
(s2 + 4)(s2 + 6) s + 3
s (s2 + 5) (s + 1) (s + 5) ’
M 71Л — s + 2 . s +2)
6JZ(J (s + 1) (s+4) (s2 + 1) (s2 + 4)’
. _ , . _ s(s2 + 4) (s + 2) (s + 5).
в) Z (s) — (s2 + 3) (s2 + 6) -t- s (S + 4j >
(s + 2) (s + 4) (s2 + 3) (s2 + 6) .
r)zW — s (s + 3) r s (s2 + 4) ’
4 7, , s (s2 + 3) (s2 + 6) (s + 3)(s + 6)
Д) Z (s) — (s2 + (s2 + 5) -t- (S + 1) (S + 5) •
6.13. Для каждой из нижеследующих входных функций полной проводимости
найти 7?£С-схемную реализацию:
(s2+l)(s2 + 5) , (s+l)(s + 5).
a) i — s (s2 + 3) (s + 3) ’ s (s2 +.5) , (s+ l)(s + 4).
0) i (SJ — (s2 + 4) (s2 + 6) 1 s + 2 s (s2 + 4) , s (s + 4)
В) I {S) (s2 + 3) (s3 + 6) 1 (s+2)(s+5)’ s (s + 3) (s2 + 3) (s2 + 6).
Г) I is) iri Y — (s + 2)(s + 4) 1 s(s2 + 4) ’ (s+l)(s + 3) (s2+l)(s2+3) .
1 Vs) e) У (s) = (s+2)(s + 4) 1 s (s2 + 2) (s2 + 4)’ 3s4 + 9s3 + 24s2 + 28s (s + 1) (s + 2) (s2 + 4) •
6.14. Определить условия, при которых произведение двух входных 7?С-функ-
ций полного сопротивления (полной проводимости) есть входная
7?С-функция полного сопротивления (полной проводимости).
6.15. Имеет место теорема, которая гласит: Пусть Л (s)—произвольный поли-
ном степени ид, а В (s) — другой произвольный полином степени пе,
имеющий только раздельные отрицательные вещественные корни. Тогда
F(s) = A(s)/B(s) можно записать в виде
F В (s) — ^>с ZRC (s)> если ПА пВ
= IflC (s) — YRC (s)> если пА < пВ + *>
где Z^ и Z^. входные /?С-функции полного сопротивления, а Уде
и Уде — входные /?С-функции полной проводимости.
Например, функцию полного сопротивления Z(s) = (4s + l)/(s2 + 5s -|- 4)
можно выразить в виде Z(s) =5/(s + 4)— [l/(s + 1)].
Следовательно, ztjt s = „ и Z(& s — —J-r-.
«G s + 4 s + 1
Аналогичным образом функцию полной проводимости У (si =
= s(4s + l)/(s2 + 5s + 4) можно выразить в виде У (s) /s = 5/(s 4) —
—[!/(«+0] или K(s) = 5s/(s + 4)—[s/(s + 1)].
Следовательно, У® и У® =—
а) Рассмотреть схему на рис. 3.6.15, а, где четырехполюсник КОС харак-
теризуется (2.40), при k = 1. Найти ZBX(s).
б
Рис. 3.6.15.
б) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s), для схемы на
рис. 3.6.15, б.
в) Реализовать входную функцию полного сопротивления Z(s) =
= (s4 + 4s3 + 7s2-f-22s + 24)/s(s ± 1) (s + 2) (s + 3) (s + 4) в форме
рис. 3.6.15,6.
г) Найти входную функцию полной проводимости K(s) для схемы на
рис. 3.6.15, в.
д) Реализовать входную функцию полной проводимости У(s) =
= (s4 + 4s3 + 7s2 -|- 22s -J- 24)/(s 4- 1) (s + 2) (s -|- 3) (s + 4) в форме
рис. 3.6.15, в.
В.16. Определим RC-схемы как схемы, содержащие положительные и отрица-
тельные сопротивления и положительные емкости. Основываясь на (6.2)
и (6.20), найти свойства:
а) Входных функций полного сопротивления ±Л’С-двухполюс ников.
б) Входных функций полной проводимости ±RC-двухполюсников.
6.17. Даны коэффициенты полиномов
A (s) = а0 + a,s + a2s2 + ... + amsm,
В (s) = 60 + b1S + 62s2 + ... + bnsn.
Написать машинную программу для определения того, реализуема ли
функция F(s) = A(s)/B(s):
а) как входная RC-функция полного споротивленпя,
б) как входная RC-функция полной проводимости.
6.18. Написать машинную программу реализации заданной входной РС-функ-
ции полного сопротивления Z(s) [полной проводимости У (s) ]: а) первой
формой Фостера, б) второй формой Фостера, в) первой формой Кауэра,
г) второй формой Кауэра.
Пассивная реализация переда-
точных функций
За многие годы инженеры придумали немало методов реа-
лизации различных передаточных функций на одних только
пассивных элементах. Мы рассмотрим некоторые из этих мето-
дов, в частности методы, при которых задача реализации пере-
даточной функции сводится к задаче реализации входной функ-
ции. Эти методы просты, до сих пор остаются весьма полезными
и приложимы к весьма широкому классу практических задач.
В этой главе рассматриваются три основные схемные струк-
туры. Это лестничные схемы, мостовые схемы и схемы Дарлинг-
тона. В разд. 7.1 обсуждаются основные свойства и методы
реализации RC- и лестничных ЛС-схем. Показывается, что лест-
ничные 7?С{£С}-схемы могут реализовать лишь такие переда-
точные функции, у которых полюсы простые и все полюсы и
нули лежат на отрицательной вещественной (мнимой) оси пло-
скости s1). Мостовые схемы исследуются в разд. 7.2 в связи
со всепропускающими передаточными функциями. Наконец, в
разд. 7.3 рассматриваются схемы Дарлингтона. Процедуры реа-
лизации для них сложнее, чем для схем обоих предшествующих
типов, но зато схемы Дарлингтона позволяют реализовать более
широкий класс передаточных функций.
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, следует
подчеркнуть одно обстоятельство, относящееся ко всем методам
пассивного синтеза (синтеза с использованием только пассив-
ных элементов): передаточную функцию можно реализовать
только с точностью до постоянного множителя. Например, если
нужна передаточная функция H(s), то ее схемная реализация
фактически будет обладать передаточной функцией /?(«) =
= аН ($), где а — ненулевая постоянная2).
7.1. Лестничные схемы
В этом разделе рассматриваются лестничные RC- и £С-схе-
мы. Типичная структура такой схемы показана на рис. 7.1.
Для исследования лестничных схем важна концепция нулей
передачи. Нулем передачи называется комплексная частота s,
’) Напомним, что отрицательная вещественная (мнимая) ось плоскости s
включает начало координат s = 0 и точку s — оо.
2) В данной книге всегда, исключая специально оговоренные случаи, под-
разумевается, что передаточная функция взята по напряжению.
при которой H(sk)=0 [/7(s) — передаточная функция цепи].
Для лестничных схем характерны два вида нулей передачи: это
те комплексные частоты, при которых:
1. Функция полного сопротивления последовательной ветви
равна бесконечности и
2. Функция полного сопротивления параллельной ветви рав-
на нулю.
Чх *
Рис. 7.1, Структура лестничной схемы.
В первом случае последовательная ветвь полностью разомк-
нута и, значит, сигнал через нее не проходит на выход. Во вто-
ром случае параллельная ветвь замкнута накоротко. При этом
весь ток сигнала идет через эту короткозамкнутую цепь, а на
выход ничего не попадает. В обоих случаях на выходе схемы
тока сигнала нет. Следовательно, если входной сигнал содер-
жит хотя бы одну из частот, соответствующих нулям передачи,
в выходном сигнале (при установившемся состоянии схемы)
эта частота будет отсутствовать1).
7.1.1. Лестничные RC-схемы
Лестничную схему называют схемой RC-типа, если она со-
держит только резисторы и конденсаторы. Поскольку полюсы и
нули входной RC-функции полного сопротивления лежат на
отрицательной вещественной оси плоскости s, нули передачи
лестничной RC-схемы (будучи полюсами RC-функций полного
сопротивления последовательных ветвей и нулями RC-функций
полного сопротивления параллельных ветвей) могут лежать
только на отрицательной вещественной оси плоскости $. Далее,
если каждая ветвь лестничной RC-схемы содержит только один
элемент (резистор или конденсатор), то нуль передачи может
иметь место только в двух точках: s = 0 и s — оо. Это так, ибо
каждый последовательный конденсатор может порождать нуль
передачи при s = 0, а каждый параллельный конденсатор —
при s = оо. Напомним, что первая форма Кауэра состоит из
параллельных конденсаторов и последовательных резисторов.
*) Дальнейшие подробности относительно нулей передачи см. в [1].
Значит, первая форма Кауэра, реализующая входные /?С-функ-
ции, порождает нули передачи при s = оо. С другой стороны,
вторая форма Кауэра содержит параллельные резисторы и по-
следовательные конденсаторы, так что у нее нули передачи по-
рождаются при s = 0.
Лестничные 7?С-схемы обладают еще одним важным свойст-
вом: полюсы передаточной функции у них тоже могут лежать
только на отрицательной вещественной оси плоскости s. Чтобы
Л 0 (?) z четырех—'^ 'ПОЛЮСНйК
+
Рис. 7.2. 7?С-четырехполюсник.
убедиться в этом, рассмотрим /?С-четырехполюсник (рис. 7.2).
Пусть этот четырехполюсник характеризуется матрицей полных
сопротивлений
РЧ-Г" (7Л>
L 1'2 J L 221 222 J L /2 J
Тогда передаточная функция по напряжению H(s) равна
Положим
<7-2»
211 ,S|^7W и (7'3а>
г»ы—,7'36’
где «и (s), dn(s), «21 (s) и c?2i (-s) — полиномы от s. Тогда (7.2)
переходит в
Я(«) =
«21 («) rfll ($)
^21 («) «11 («) ’
(7.4)
Условие пассивности четырехполюсника заключается в том,
что z2i(s) не может иметь полюс, который не имелся бы у Zn(s)
И z22(s). Коль скоро ./?С-четырехполюсник на рис. 7.2 пассивен,
du (s) содержит все сомножители, имеющиеся у d2i (s). Если
иметь это в виду, оказывается, что (7.4) подразумевает, что
полюсы H(s) фактически являются нулями zii(s). Поскольку
2ц ($) — это входная функция, полного сопротивления по отно-
шению к зажимам ЛС-четырехполюсника, обозначенным ф,
нули гц($) простые, вещественные и отрицательные. Следова-
тельно, полюсы Н ($) также простые, вещественные и отрица-
тельные. В результате имеем следующую теорему:
Теорема 7.1. Нули передачи и полюсы передаточных функ-
ций лестничных 7?С-схем вещественные и отрицательные, при-
чем полюсы простые. Кроме того, если каждая ветвь лестнич-
ной /?С-схемы содержит конденсатор или резистор, нули пере-
дачи могут иметься только в точках s = О и s — оо. В этом
случае передаточная функция выражается как
, ksm k<sm
Н = sn + bn-lSn~'+ ...+b0 = ТЦ) ’ <7*5>
где 0 т п, a B(s)—полином м-й степени с простыми отри-
цательными вещественными корнями1).
Заметим, что при $->0, если т 0, (7.5) дает
lim И (s) ~ lim (&/ft0) sm. (7.6а)
s->0 s->0
Это значит, что H(s) приближается к нулю со скоростью sm,
когда s->0. С другой стороны, когда $->оо, если п=£ т, (7.5)
дает
lim Н (s) ~ lim(^sm/s") = lim (Zj/s<n-m>). (7.66)
S->oo S—>oo S->oo
Это показывает, что при s-*oo H(s) приближается к нулю со
скоростью Следовательно, передаточная функция (7.5)
имеет т нулей передачи при s — О и (п — tn) нулей передачи
при s — оо.
В этом разделе мы рассмотрим методы реализации трех
классов передаточных /?С-функций, соответствующих трем воз-
можным для (7.5) случаям:
Случай 1. т — 0: все нули передачи лежат при s = оо.
Случай 2. т = п: все нули передачи лежат при s = 0.
Случай 3. 0 < т<т: т нулей передачи лежат при s = 0,
(п — т) нулей передачи — при s = oo.
Все эти методы основываются на допущении, что параметры
матрицы сопротивлений гц(«) и z2i(s) четырехполюсника ре-
зультирующей лестничной 7?С-схемы имеют одинаковые знаме-
*) Подразумевается, что в число отрицательных вещественных корней
может входить также корень, располагающийся в точке начала координат.
Иными словами, В (s) может иметь простой корень в точке s = 0.
натели. То есть1)
dn (s) = d2l (s). (7.7)
Подставляя (7.7) в (7.4), получаем
Н ($) = «21 (s)/«n (s). (7.8)
Заметим, что из (7.8) следует, что знаменатель H(s) яв-
ляется числителем входной 7?С-функции полного сопротивления
zn(s). Сравнивая (7.5) и (7.8), получаем
«и («) = В (s) и (7.9а)
n2l(s) = ksm. (7.96)
Таким образом, для реализации передаточной функции (7.5)
необходимо реализовать соответствующим образом выбранную
а
Рис. 7.3. Схемные конфигурации, в которых могут существовать частные по-
люсы.
Примеры, когда могут существовать частные полюсы, приведены на
рис. 7.3. На рис. 7.3, а, если между Z-[Zc\ и /Vi отсутствует сокращение по-
люса, полюсы Za[Zb] будут проявляться как полюсы Zn(s) [z22(s)], но не
как полюсы z2I(s). Таким же образом полюсы Kc-(s)[KD(s)] будут проявляться
как полюсы f/n(s) [f/22(s)], но не как полюсы f/i2(s), если только между
^с[Ур] и Nz на рис. 7.3,6 отсутствует сокращение полюса.
') Все методы реализации, рассматриваемые в этой главе, приводят к
схемам, удовлетворяющим условию (7.7) Заметим, что (7.7) означает, что
/?С-четырехполюсник не имеет частных полюсов. (Подробнее относительно
частных полюсов см в [3].)
входную ЯС-функцию полного сопротивления Zn(s), удовлетво-
ряющую (7.9а) при соответствующем методе получения задан-
ных нулей передачи, как показано в (7.5) и (7.96).
Входная функция Zn(s) выбирается таким образом, чтобы
она удовлетворяла (7.9) и свойствам /?С-функций полного со-
противления, выведенным в гл. 61). Это достигается просто пу-
тем выбора zn(s), удовлетворяющей следующим свойствам:
RC1. Числитель zn(s) задается B(s)— нули zn(s) явля-
ются полюсами H(s).
RC2. Полюсы Z{ 1 (s) простые, вещественные, отрицательные
и чередуются с заданными корнями B(s) таким образом, что
критическая частота Zn(s), ближайшая к началу координат, яв-
ляется полюсом, а критическая частота, ближайшая к s = со,
является нулем.
RC3. Степень знаменателя полинома 2ц (s) устанавливается
равной п2).
Если предположить, что выбрана надлежащая входная
/?С-функция полного сопротивления гц(х), то следующим эта-
пом будет реализация этой zn(s) с помощью надлежащей про-
цедуры, обеспечивающей выполнение заданных требований к
нулям передачи.
Случай 1. В этом случае все нули передачи передаточной
7?С-функции лежат при s — оо. Передаточная функция задается
(7.5) при т — 0; здесь мы ее запишем в виде
Н = sn + bn-is"-1 + ... + 6о 10)
где B(s) имеет простые отрицательные вещественные корни.
Напомним, что реализация входных 7?С-функций полного сопро-
тивления первой формой Кауэра дает нули передачи при
s = oo. Следовательно, реализация передаточной функции
(7.10) достигается посредством реализации выбранной Zii(s)
первой формой Кауэра, а эта реализация включает разложение
zn(s) в непрерывную дробь при s = оо.
*) Чтобы zn(s) удовлетворяла всем свойствам входной функции полного
сопротивления, B(s) может не иметь корень при s = 0. В разд. 7.1.3 будет
введен дуальный метод преодоления этой трудности.
2) Напомним, что одно из свойств входной 7?С-функции полного сопро-
тивления требует, чтобы степень полинома, стоящего в ее знаменателе, была
равна или больше степени полинома, стоящего в числителе. Чтобы выбрать
степень знаменателя zlt(s) равной (и+1), а не п, нам нужно иметь в ре-
зультирующей схеме не и, а (и + 1) динамических элементов. Поскольку это
дополнительное усложнение не сулит явной выгоды, у нас нет причин услож-
нять проблему. Поэтому мы просто задаем степень знаменателя £ц(з) рав-
ной и. К тому же в случае, когда все нули передачи лежат при з = оо, вы-
полнение условия RC3 гарантирует, что первый элемент в реализации zn(s)
по первой форме Кауэра всегда будет последовательным резистором и, сле-
довательно, никогда не потребуется избыточный шунтирующий конденсатор.
Пример 7.1. Синтезировать передаточную функцию
Я (s) = Увых/Гвх = fe/(s + 2) (s + 4) = fe/(s2 + 6s + 8). (7.11)
Решение. Из (7.2) известно, что
И (s) = z21 (s)/zn (s) = A/(s + 2) (s + 4). (7.12)
На основе (7.12) можно выбрать разные zn(s). Ограничения лишь те, чтобы
нули zn(s) были при s = —2 и s =—4 и чтобы zu(s) удовлетворяла всем
свойствам входной функции полного сопротивления с полиномом второго по-
рядка в знаменателе. Проше всего принять
Zn (s) = (s + 2) (s + 4)/(s + 1) (s + 3). (7.13)
Ясно, что zn(s) по (7.13) удовлетворяет всем требованиям, оговоренным
условиями RCl, RC2 и RC3. Из (7.12) и (7.13) выводим
z2i(s) = fe/(s+l)(s + 3). (7.14)
Для реализации передаточной функции (7.11) необходимо реализовать вход-
ную функцию полного сопротивления (7.13), имея при этом уверенность, что
Рис. 7 4. Схема реализации H(s) по (7 12).
нули передачи результирующей лестничной RC-схемы все лежат при s — со,
как требует (7 11). Это можно выполнить в один этап, используя для реали-
зации zn(s) по (7.13) первую форму Кауэра. Замечая, что разложение Zn(s)
в непрерывную дробь при s = о° дается выражением
Zu (S) =
s2 + 6s + 8
s2 + 4s + 3
1
2 S
(7.1Б)
получаем схемную реализацию Zn(s) через (7.16), показанную на рис. 7.4,
где в процессе реализации выходное напряжение берется с последнего элемен-
та1). Все нули передачи схемы рис. 7.4 лежат при s = со, где сопротивления
’) Если передаточная функция реализуется любым из методов построе-
ния лестничных схе^д, выходное напряжение в процессе реализации всегда
.берется с последнего элемента. Это применимо как к разд. 7.1.1, так и к
разд. 7.1.2.
когда
k
одновременно. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что
Vbx === 1, Vbux равно
k k
Гвых = (з + 2) (S + 4) = з2 + 6з + 8 = Н (S)-
(7.16)
Когда Квх = 1')> можно видоизменить схему на рис. 7.4, как показано иа
рис. 7.5. Уравнения узловых напряжений следующие:
1 .3
7s + T
__з_
4
_ 3
4
1+з+4
(7.17)
ВЫХ
1
1
18 , 24 ~ s2 + 6з + 8 (s + 2) (з + 4) '
(7.18)
Т
£
4
Случай 2. Второй случай реализации передаточной функции
по напряжению лестничной /?С-схемой — это тот, когда все нули
*) Заметим, что в контексте сказанного выше = 1 есть выражение,
действующее в частотной области (преобразованное по Лапласу). Во времен-
ной области оно эквивалентно условию, что vBX(t)—единичная импульсная
функция.
передаточной функции лежат при s — 0. В этом случае переда-
точные функции имеют форму
Н (S) == д ——-----------------------д , (7.19)
Квх 8 4* bn—iS + ... + bo — В (s)
где корни B(s) простые, отрицательные и вещественные. По-
скольку реализация по второй форме Кауэра приводит к схе-
мам, состоящим из параллельных резистивных ветвей и после-
довательных емкостных ветвей, порождающих нули передачи
только в точке s = 0, используем для реализации выбранной
Zii(s) и одновременно передаточной функции (7.19) вторую
форму Кауэра.
Пример 7.2. Реализовать функцию
И (S) = Рвых/Vbx = fes2/(s + 2) (s + 4). (7.20)
Решение. Как и в случае примера (7.1), простой формой Zh(s), удовле-
творяющей условиям RCl, RC2 и RC3, является
Zu (s) = (8 + 2) (s + 4)/(s + 1) (s + 3). (7.21
Следовательно, можем написать
221 (s) = ks2/(s + 1) (s + 3). (7.22)
Чтобы одновременно реализовать Zn(s) по (7.21) и zsi(s) по (7.22), приво-
дящие к заданной передаточной функции (7.20), где все нули передачи лежат
zJt(s) псг17.23)
Рис. 7.6. Схема реализации 77(s) по (7.20).
в точке s = 0, используем для реализации zn (s) вторую форму Кауэра. Этот
процесс включает разложение zlt(s) в непрерывную дробь при s = 0:
, . 8 + 6s + s2 1
211 3 + 4s + s2 " 3 1
8 "г 32 1
7s ‘ 49 1 (7.23)
88 + 968 1
21s + 3
44
Схемная реализация передаточной функции (7,20) приведена на рис. 7.6, ко-
торый представляет также реализацию Zn(s) по (7.21) второй формой
Кауэра.
Рис. 7.7. Эквивалентная схема рис. 7.6, когда Vi = 1.
Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.6 реализует передаточную функцию
(7.20), положим Квх = 1 и вычислим Квых. Вывод будет справедлив, если
Vвых — Н (s) = fes2/(s2 + 6s + 8).
При Квх — 1 схему на рис. 7.6 можно изобразить в виде рис. 7.7. Соответ-
ствующая система узловых напряжений имеет вид
г 7s 21s 49 21s ->
32 + 968 + 88 968
21s 21s 3
968 968 + "44 .
Согласно правилу Крамера, получаем
21s 7s
968 32
Квых— , 931g 49 Л / 21s 3 \ / 21s V —
V 3972 + 88 ) к 968 + 44 ) к 968 )
147 2
968-32 17 787s2 s2
17787 2 4851 147 ~ 17 787s2+106 722s+142 296— s2+6s+8'
3 748096 ® + 170 368 3872
Следовательно, передаточная функция схемы иа рис. 7,6 Н (s) = s2/(s2 +
+ 6s + 8) = s2/(s + 2) (s + 4).
Случай 3. Последний случай, который мы рассмотрим в
этом разделе, это когда нули передачи имеются как при s = 0,
так и при s = оо. В этом случае выбранная входная /?С-функ-
ция полного сопротивления zn(s) подвергается частичному раз-
ложению в непрерывную дробь при s = 0 и частичному разло-
жению при s = оо, с тем чтобы получить заданные нули пере-
дачи. Мы можем начать с разложения любой формы. Первое
разложение прекращается, когда получены требуемые нули пе-
редачи. Далее остаточная функция разлагается в другую форму
Кауэра. Чтобы посмотреть, как это делается, рассмотрим при-
мер 7.3.
Пример 7.3. Реализовать передаточную функцию по напряжению
Н (s) Д Квых/Квх = fes/(s + 2) (s + 4) (7.24)
Решение. Передаточная функция (7.24) имеет нуль передачи при s = °о
и еще один нуль передачи при s = 0. Чтобы начать процедуру реализации,
выберем 2ц(з) в виде
Zu (s) = (s + 2) (s + 4)/(s + 1) (s + 3) (7.25)
и, следовательно,
Z2i (s) = fes/(s + 1) (s + 3). (7.26)
Здесь мы замечаем, что Zn(s) по (7.25)— та же функция, что в примерах 7.1
и 7.2, a Sai (я) — другая функция. Следовательно, (7.24) нельзя реализовать
ии одной из форм Кауэра. Как и предполагалось, будем использовать комби-
нацию этих двух форм. Прежде всего разложим ггц(з) по (7.25) при s = оо,
Рис. 7.8. Схема реализации H(s) по (7.24).
а—промежуточный этап; б—окончательная схема.
чтобы выделить нуль передачи при s = оо. Поскольку при s = оо имеется
только один нуль передачи, мы прекратим разложение в непрерывную дробь
при з = оо, как только выделим шунтирующий конденсатор. В ходе этой
процедуры запишем zn(s) в виде
Zll (S)
s2 + 6s + 8
s2 + 4s + 3
1 (3/2) s + 3
2 2s + 5
4-s +(s)
(7.27)
Этот процесс иллюстрируется рис. 7.8, а. Остаточная функция полной прово-
димости
. . д (3/2) s + 3 3 + (3/2) s
УК (S) = 2s + 5 ~' 5 + 2s (7‘28)
раскладывается во вторую форму Кауэра
3 1
у R “ У+ ~50 Г- <7,29)
зГ + ~з~
20
Следовательно, схема, реализующая одновременно 2ц(з) по (7.25) и z21(s) по
(7.26), так что получается H(s) по (7.24) с помощью выражений (7.27)—
(7.29), соответствует рис. 7.8,6.
Если мы не прекращаем разложение Zn(s) по (7.25) первой формой
Кауэра, как только выделим требуемое число конденсаторов, а прекращаем
его сразу же перед выделением следующего шунтирующего конденсатора,
тогда 2ц (s) записывается в виде
Zu (s)
s2 + 6s + 8 , , 1
~ s2 + 4s + 3 + 1 , 1
~2S+ 4 , ~ Г~
Q Q
где остаточная функция полной проводимости
VR (s)^(3/2)s + 3
(7.30)
(7.31)
раскладывается при s = 0:
Схемная реализация этой процедуры представлена на рис. 7,9.
Простой анализ схемы на рис. 7.9 показывает, что передаточная функция
этой схемы выражается как1) VBUx/VBX = l/(s2 + 6s + 8), что не соответ-
Рис. 7.9. Схема, не представляющая реализацию (7.24).
ствует требуемой передаточной функции (7.24). Следовательно, абсолютно
необходимо останавливать первый процесс реализации, как только выделено
требуемое число конденсаторов.
Еще одна реализация передаточной функции (7.24) достигается путем
разложения гц (s) по (7.25) сперва при s = 0. Разложение прекращается,
как только выделен последовательный конденсатор — порождается нуль пере-
дачи при s = 0. Тогда разложение остаточной функции осуществляется при
s = оо. Чтобы выполнить эту процедуру, разложим zn(s):
1
1
. 22
+.s+~
7s r 5 ,7
8-s+4
, s2 + fa + 8_________________________
11 1 ' = s2 + 4s 4- 3 3
8 +
32
(7.33)
*) См. пример 7.1.
а остаточную функцию полного сопротивления zR запишем в виде
s Ц- (22/7) 8
5 . 7 — 5
8S + T
гЛ(«)
175 , 1 ’
96 48
245
(7.34)
Схема, одновременно реализующая (7.25) и (7.26)., так что обеспечивается
H(s) по (7.24) через (7.33) и (7.34), приведена на рис. 7.10.
Рис. 7.10. Схема реализации (7.24).
Простой анализ показывает, что передаточная функция схемы на рис. 7.10
есть H(s) = (12/35)s/(s2 + 6s 4 8). Следовательно, схема на рис. 7.10 действи-
тельно представляет реализацию соотношения (7.24).
Из примеров 7.1—7.3 видно, что даже если выбрать одну
и ту же zn(s), различные методы реализации входной функции
дадут разные z2i(s) и, следовательно, разные H(s). Заметим
|также, что, если даны два параметра, z2i(s) и Zn(s) матрицы
сопротивлений ДС-четырехполюсника, процедуры, описанные в
|этом разделе, можно использовать для реализации заданного
четырехполюсника.
7.1.2. Лестничные АС-схемы
Следуя тому же порядку изложения материала, который
'был принят в предшествующем разделе для случая лестничных
ДС-схем, сформулируем следующую теорему для лестничных
АС-схем:
Теорема 7.2. Все нули передачи и полюсы передаточных
функций лестничных АС-схем лежат па мнимой оси плоскости
s, причем полюсы простые. Далее, если каждая ветвь лестнич-
ной АС-схемы содержит только один элемент (катушку индук-
тивности или конденсатор), расположение нулей передачи
ограничено точками s = 0 и s = оо. В этом случае передаточная
функция имеет вид
8 + bn— is + ... -pho В (s)
(7.35)
где B(s) — полином п-й степени с простыми корнями, лежащими
на мнимой оси *), а 0 т п. Однако в этом случае тип —
четные целые числа, что подразумевает, что передаточная функ-
ция Н (s) по (7.35) есть четная рациональная функция [т. е. и
числитель и знаменатель H(s) — четные полиномы* 2)].
Рис. 7.11. ДС-четырехполюсник.
Чтобы убедиться, что H(s) — четная рациональная функция,
рассмотрим £С-четырехполюсник (рис. 7.11). Предположим,
что этот четырехполюсник представлен матрицей сопротивлений
Vl 1 Г Zll Z12 1 Г Л I
V-2. J L ?21 ^22 J L 4 J
(7.36)
где zi2(s) = z2i(s)3). Тогда можно показать, что все «-параме-
тры, а именно «ц, «12 = z2i и г22 являются нечетными рацио-
нальными функциями4). Поскольку передаточная функция
Я(5)=^вых.| = -^- (7.37)
Гвх |/2=>о ги
представляет собой отношение двух нечетных рациональных
функций, H(s) есть четная рациональная функция.
*) Напомним, что мнимая ось включает точки s = 0 и з = со.
2) На самом деле основное требование именно то, что H(s) является
четной рациональной функцией. Этим подразумевается, что т и п — четные
целые числа или что оба они нечетные целые. Поскольку B(s) имеет только
чисто мнимые корни, B(s) является полиномом четной или нечетной степени,
Тогда, если т нечетное, B(s)—нечетный полином, и исключение множителя s
Из числителя ksm и знаменателя B(s) функции Н (s) сведет Н(з) к H(s) —
= ksm~l/BR(c), где BR(s)^.B(s)/s— четный полином, а (т—1)—четное
целое. Поэтому в данном разделе мы будем рассматривать только случай,
Когда т — четное целое, a B(s} —четный полином.
3) Это справедливо, поскольку ДС-четырехполюсник, подобно 7?(?-четырех-
полюснику предыдущего раздела, является взаимным.
4) Подробнее см. в разд. 7.3.
Как и в случае лестничных RC-схем, реализация передаточ-
ной ЛС-функции (7.35) достигается путем реализации удобным
образом выбранной входной £С-функции полного сопротивле-
ния £ц (s) с помощью соответствующей формы Кауэра или
комбинаций двух форм Кауэра. При этом выбранная функция
полного сопротивления
Zu(s) —В (s)/D(s) (7.38)
должна удовлетворять следующим двум условиям:
LC1. Корни D(s) простые, чисто мнимые и чередуются с
корнями B(s) таким образом, что гц(«) удовлетворяет всем
свойствам входной LC-функции полного сопротивления, приве-
денным в гл. 5.
LC2. D(s) — нечетный полином степени по = п—1. Этим
гарантируется, что соответствующие формы Кауэра или их со-
четания будут пригодны для реализации функции полного со-
противления zn(s)* 1).
В этом пункте мы разделим (7.35) на три случая.
Случай 1. т = 0. Здесь все нули передачи лежат при
s = оо. Для реализации zn(s) используется первая форма
Кауэра. Причина в том, что структура первой формы Кауэра
подразумевает последовательные индуктивности и параллель-
ные емкости, а оба эти элемента приводят к нулям передачи
при s = оо. Следовательно, первая форма Кауэра сама по себе
одновременно реализует zn(s) и связанную с ней z2i(s), давая
передаточную функцию (7.35) с т = 0.
Случай 2. т — п. Здесь все нули передачи лежат при s = 0;
следовательно, необходимо использовать вторую форму Кауэра.
Вторая форма Кауэра содержит ветви с последовательными
емкостями и параллельными индуктивностями, что дает нули
передачи при s — 0. Следовательно, вторая форма Кауэра бу-
дет реализовать Zn(s) и связанную с ней Z2i(s), давая пере-
даточную функцию (7.35) с т = п.
1) Это справедливо по следующим двум причинам:
1. Первой формой Кауэра реализуется входная LC-функция, у которой
полином, стоящий в числителе, имеет более высокую степень, чем полином,
стоящий в знаменателе. Поскольку D (s) имеет степень nD < п, в реализации
первой формой Кауэра будет участвовать ztl(s), а не l/zn(s).
2. Второй формой Кауэра реализуется входная LC-функция, у которой
знаменатель — нечетный полином. Поскольку £>(s) —нечетный полином, в реа-
лизации второй формой Кауэра будет участвовать входная функция полного
сопротивления Zu(s).
Однако главная причина для того, чтобы задать степень D(s) равной
вовсе не в том, чтобы гарантировать реализацию с помощью Zn(s),
а простая экономия. Если мы положим пс = и + 1, то для реализации Zn(s)
потребуется (n + 1) элементов. В случае же nD — п — 1 для реализации
zii(s) потребуется только п элементов.
Случай 3. О<т<п. В этом случае нули передачи будут
иметься как при s = 0, так и при s = оо. Для реализации необ-
ходимо использовать комбинацию обеих форм Кауэра. Можем
сперва использовать первую [вторую] форму Кауэра для выде-
ления (п— т) [т] элементов из Zn(s), а остаточную входную
LC-функцию реализовать второй [первой] формой Кауэра.
Пример 7.4. Реализовать
я (s)=(7-39)
Решение. Выберем
_ (s2 + D (s2 + 9) s4 + Ю*2 + 9 17 лт
211 (S) =-Г(?'+4)-=.s3 + 4s .* (7Л0)
Из (7.37) имеем
*2i (S) = k/s (s2 + 4). (7.41)
Поскольку все нули передачи лежат при s = оо, используем для реализации
первую форму Кауэра. С математической точки зрения это означает, что не-
Рис. 7.12. Схема реализации H(s) по (7.39).
(7.42)
обходимо провести разложение Zn(s) в непрерывную дробь в точке s = оо;
, . 1
*и (s) == s + у--------1-----
б'® +"12 , 1
vs+ —
18 S
Схема, обеспечивающая реализацию одновременно zu(s) по (7.40) и z2i(s)
по (7.41) и дающая H(s) по (7.39) через (7.42), приведена на рис. 7.12.
Анализ схемы на рис. 7.12 показывает, что передаточная функция по на-
пряжению равна
77 (s) = Квых/Квх = 9/(s2 -р 1) (s2 + 3).
Следовательно, рис. 7.12 действительно представляет схемную реализацию пе-
редаточной функции (7.39).
.Пример 7.5. Реализовать передаточную функцию по напряжению
ft (s) = Vbbix/Vbx = fes4/(s2 + 1) (s2 -f- 9).
Решение. Выберем
(S) = (s2 + 1) (s2 + 9)/s (s2 + 4).
(7.44)
Эта Zn(s) удовлетворяет всем свойствам входных LC-функций полного сопро-
тивления. Из (7.37)
Zai (s) = fes4/s (s2 + 4). (7.45)
Поскольку все нули передачи лежат при з = 0, используем для реализации
Zn(s) вторую форму Кауэра. Это означает разложение zn(s) в непрерыв-
ную дробь при s = 0:
, ч s4 + Юз2 + 99. 1
211 — з3 + 4s — 4s + 16 1
31s + 961 1
60s + 15
31s
(7.46)
Схемная реализация передаточной функции Н (s) по (7.43), полученная путем
реализации входной £С-функции полного сопротивления zn(s) по (7.46) вто-
рой формой Кауэра, показана на рис. 7.13.
Рис. 7.13. Схема реализации H(s) по (7.43).
Пример 7.6. Реализовать
Н (s) = Квых/Квх = fes2/(s2 + 1) (s2 + 9).
Решение. Простую форму для zn(s) дает
«и (s) = (s2 + 1) (s2 + 9)/s (s2 + 4)
(7.47)
(7.48)
(7.49)
В данном случае имеем
«21 (s) = fes/(s2 + 4).
Передаточная функция (7.47) имеет два нуля передачи при s = 0 и еще два
нуля передачи при s = оо. Чтобы одновременно реализовать эти нули пере-
дачи и zn(s), можем использовать первую форму Кауэра для выделения из
«11 (s) двух элементов, дающих два нуля передачи при s = оо, а далее реа-
лизовать остаточную функцию второй формой Кауэра, которая даст еще два
нуля передачи при s = 0. Для этого произведем следующее разложение:
„ , . s4 + 10s2 + 9 , 1
Z,1(S}=—3 + 4s------S+ 1 , (5/2)s
6 S + 6s2 + 9
-j---------------, (7.50)
TS + VR (S)
где остаточная функция полной проводимости «/«(а) раскладывается во вто
рую форму Кауэра:
2 (s>______!______6а2 + 9 _9 + 6а2 18 1 _
VR(s) (5/2) s ~ (5/2) s — 5s ‘ (5/12s) ‘ '
Схемная реализация этой процедуры показана на рис. 7.14, а.
С другой стороны, мы можем сперва реализовать £ц(а) второй формой
Кауэра для выделения из Ztt(s) двух элементов, дающих два нуля передачи
при а = 0, а затем реализовать остаточную функцию первой формой Кауэра.
Это требует следующего разложения zu(a):
. . 9 + 10s2 + s4 9
*lt(s) = —4i+^~
4s
1 Л 9
16 (15/31) а = 4s
31s + s2 + (31/4)
где остаточная функция
гд(а)
1
г/д(з)
а2 + (31/4)
(15/31)а
1
16 , / X ’
3iT + ^(s)
(7.52)
(7.53)
подвергается разложению при s = <ю:
, X 31
^(s)=-i5s4
1
(60/961)s‘
(7.54)
Схемная реализация (7.47) через (7.52) и (7.54) показана на рис. 7.14,6.
7.1.3. Другие возможности
В предшествующих двух разделах мы рассматривали реали-
зацию передаточных функций лестничных RC- и LC-схем по-
средством представления четырехполюсника матрицей сопро-
тивлений. В этом разделе мы исследуем проблему реализации
передаточных функций через представление четырехполюсника
матрицей полных проводимостей.
Предположим, что RC [LC] -четырехполюсник
представлен матрицей проводимостей
Г Л I__Г Уп у 121Г Vi 1
L Л J L f/21 f/22 J L v2 J
(рис. 7.15)
(7.55)
где yi2 = У21- Тогда передаточная функция по напряжению со-
ответствует второму уравнению (7.55) при /2 = 0*):
Ж*)=-р-| (7’56)
г 1 l/2=o 4/22 Is/
Мы видим, что выражение (7.56) аналогично выражению (7.2),
если заменить в последнем Zu и г21 соответственно на уж и —уц.
у&в)
Рис. 7.15. ЯС [ДС]-четырехполюсник.
У22 ($)— входная функция полной проводимости при Vi = 0.
Следовательно, реализацию заданной передаточной функции,
удовлетворяющей требованиям по структуре лестничной
/?С{ЛС}-схемы, содержащимся в теореме 7.1 {теореме 7.2},
можно обеспечить путем надлежащей реализации соответствую-
щим образом выбранной входной RC{LC}-функции полной про-
водимости yzz^s).
Пусть заданная передаточная функция имеет форму
Н (s) —ksm/B(s), (7.57)
где B(s) — полином n-й степени с простыми и отрицательными
корнями, лежащими на вещественной {мнимой} оси. Тогда
yM = B(s)/D(s), (7.58)
где D(s) выбирается таким образом, чтобы y^ts) удовлетво-
ряла всем требованиям к входной RC{LC}-функции полной про-
водимости, представленным в гл. 6 {гл. 5}. Для простоты и
*) Используя соотношения между матрицей сопротивлений и матрицей
проводимостей взаимного четырехполюсника, можно показать, что
~Щ21/«/22)= (221/гц); см. [1].
экономии выберем степень nD полинома D(s) равно
nD — п — 1!). (7.59)
Подставляя (7.57) и (7.58) в (7.56), получаем
y2l(s) = -[ksm/D(s)]. (7.60)
Чтобы реализовать H(s) по (7.57), необходимо одновременно
реализовать У22($) по (7.58) и y2l(s) по (7.60), с тем чтобы
удовлетворить требованиям к нулям передачи H(s). Это озна-
чает следующее:
1. Если т = 0 (случай, когда все нули передачи лежат при
s==oo), используем для реализации У22(з) первую форму
Кауэра.
2. Если т = п (случай, когда все нули передачи лежат при
s = 0), используем для реализации y22(s) вторую форму
Кауэра.
3. Если 0 < т < п, реализуем т нулей передачи при s = 0
второй формой Кауэра и (п — т) нулей передачи при s = оо
первой формой Кауэра.
Пример 7.7. Реализовать передаточную функцию по напряжению
ff(s) = W + 2)(s + 4). (7.61)
Решение. Выберем Угг(е) как
t/22(s) = (s + 2)(s + 4)/(s + 3). (7.62)
Ясно, что 1/22(5) удовлетворяет всем свойствам входной ЛС-функции полной
проводимости и
y2|(s) = W + 3). (7.63)
Поскольку все нули передачи передаточной функции лежат при s — оо, ис-
пользуем для реализации 1/22(5) первую форму Кауэра. Это требует разложе-
ния f/22(«) в непрерывную дробь при s = оо;
, . s2 + 6s + 8 1 .
1/22 (а) =---------= а + -j--------j----. (7.64)
Т “I i
На рис. 7.16 показана реализация угг(в) по (7.64) первой формой Кауэра.
Когда выходной сигнал напряжения берется с зажимов (2), а входной по-
дается на зажимы (D, схема 7.16 обеспечивает также реализацию переда-
точной функции (7.61). Действительно, простой анализ схемы на рис. 7.16
показывает, что передаточная функция по напряжению равна H(s) =
= Квых/Квх = 8/(s + 2) (s + 4).
*) Заметим, что (7.59) и RC3 разд. 7.1.1 различны, поскольку входные
ДС-функции полного сопротивления и полной проводимости обладают раз-
личными свойствами. В противоположность этому (7.59) и LC2 идентичны,
поскольку входные LC-функции полного сопротивления и полной проводимо-
сти обладают идентичными свойствами.
Пример 7.8. Реализовать
Н (s) = ks/(s + 2) (s + 4). (7.65)
Решение. Положим
У22 (s) = (s + 2) (s + 4)/(s + 3). (7.66)
Из (7.60) y-zi(s)— ks/(s + 3). Поскольку имеется нуль передачи при s = со
и еще один нуль передачи при s = 0, используем для реализации y?z(s) ком-
бинацию обеих форм Кауэра. Сперва используем первую форму Кауэра для
Рис. 7.16. Схема реализации H(s) по (7.61).
Рис. 7.17. Схема реализации (7.65).
реализации нуля передачи при s = со. Это требует частичного разложения
S/z2 (s) в непрерывную дробь при s = со;
У22 (S) = S + (3s + 8)/(s + 3) A s + yR (s). (7.67)
Отметим, что как только мы выделим необходимое число конденсаторов для
обеспечения требуемых нулей передачи, этот процесс необходимо остановить.
Остаточную функцию полной проводимости Ук(в) следует реализовать второй
формой Кауэра. Поскольку
2Л(0) = 1/г/Л(0)#=оо, (7.68)
производим разложение Уг<($) в непрерывную дробь при s = 0:
, . 8 + 3s 8 , 1 „ _
(S) ~ 3 + s “ 3 + 9 1 ' <7,69)
0 + 1/3
Схемная реализация «/22(a) по (7.66) через (7.67) и (7.69) представлена на
рис. 7.17.
При обычном способе подачи входного и выходного напряжений схема
на рис. 7.17 обеспечивает реализацию H(s) по (7.65). Действительно, переда-
точная функция по напряжению для схемы иа рис. 7.17 равна H(s) =
= Vbm/Vbx = (l/3)a/(s + 2) (s 4- 4).
Пример 7.9. Реализовать
Н (s) = Лз2/(з2 + 2) (s2 + 4).. (7.70)
Решение. Положим
У22 (S) = (а2 + 2) (s2 + 4)/s (s2 + 3). (7.71)
Тогда
l/2i (a) = -[ks/(s* + 3)]. (7.72/
w
Поскольку имеется два нуля передачи при s = 0 и два — при а = оо, нужно
использовать комбинацию обеих форм Кауэра. Сперва используем для реали-
Рис. 7.18. Схема реализации H(s) по (7.70).
зации двух нулей передачи при s = 00 первую форму Кауэра. Это требует
частичного разложения «/22(a) в непрерывную дробь при а = оо;
У22 (а) = s + -j--------i— А а + -j------?---1—. (7.73)
s~s+ 3s2 + 8 3's + 7Tw
(1/3) a
Чтобы получить остальные два нуля передачи при а = 0, реализуем ук (а)
второй формой Кауэра:
yR («) = (8 + 3s2)/(l/3) s = (24/s) + l/(l/9s). (7.74)
Схемная реализация /7(s) no (7.70), основанная на реализации «/22(a) комби-
нацией обеих форм Кауэра, как задано (7.73) и (7.74), показана на рис. 7.18.
Пример 7.10. Реализовать
Н (з) = ks'Hs2 + 2) (з2 + 4). (7.75)
Решение". Положим
У22 («) = (а2 + 2) (з2 + 4)/з (з2 + 3). (7.76)
Тогда
1/21 (а) = kss/(s2 + 3). (7.77)
мой
8 + 6s2 + s4 8
У22 (s) — 3s + <,3 3s
Поскольку все нули передачи лежат.при s = О, реализуем «/22(e) второй фор-
Е --------L_-------. (7.78)
ТоГ+ юо 1
3s + 1
10s
Схемная реализация H(s) по (7.75), основывающаяся на (7.78), показана на
рис. 7.19.
Рис. 7.19. Схема реализации 77(s) по (7.75).
7.2. Мостовые схемы
Мостовая схема имеет структуру, показанную на рис. 7.20, а.
Если не имеется ограничений на число элементов, содержа-
щихся в ветвях г,, где i = 1, 2, 3 и 4, то мостовую структуру
можно использовать для реализации почти всех передаточных
Рис. 7.20. Общая мостовая схема
(а); симметричная мостовая схема (б).
функций. В этом разделе мы рассмотрим специальный класс
мостовых схем (рис. 7.20,6), где
za = zI = z4 и zb = z2 = z3. (7.79)
Схемная структура рис. 7.20,6 известна как симметричная мо-
стовая схема.
Простой анализ симметричной мостовой схемы приводит к
следующему представлению четырехполюсника через сопротрв-
ление:
V Zb z°-
И2— 2
а 1 b г
“2 /2.
(7.80)
(7.81)
и
Если для синтеза передаточной функции по напряжению ис-
пользуется симметричная мостовая схема, то
17 I с» v
. (7.82)
' Vi 1Ь=О гь + га ' '
Соотношение (7.82) дает путь к реализации всепропускающих
передаточных функций.
Всепропускающая цепь характеризуется передаточной функ-
цией, имеющей форму
Н (s) —р (—s)/p(s), (7.83)
где p(s)— полином Гурвица. Записав
р (s) = т (s) + п (s),
(7.84)
где m(s) и n(s)—соответственно четная и нечетная части p(s),
получим вместо (7.83)
Н (<л= m(s)~n (з) _ 1^ <S)M 0s)] — 1
' ' m(s) + п (a) [m (s)pz (a)] + 1
_ 1 — [n {s)!m (a)]
1 + [«(a)]
(7.85a)
(7.856)
Поскольку p(s) есть полином Гурвица, можно заключить в
соответствии с теоремой 4.4, что как m(s)/n(s), так и n(s)/tn(s)
можно реализовать в виде входной LC-функции полного сопро-
тивления. Сравнивая (7.85а) [(7.846)] с (7.82), можем заклю-
чить, что всегда можно реализовать всепропускающую переда-
точную функцию по напряжению симметричной мостовой схе-
мой рис. 7.206, где гь = m(s)/n(s) [za — n(s)/m(s)] — функция
полного сопротивления двухполюсника, a za[zb]— просто сопро-
тивление 1 Ом. Следовательно, проблема всепропускающей пе-
редаточной функции сведена теперь к проблеме реализации
входной АС-функции полного сопротивления.
Пример 7.11. Реализовать
И («) = Гвых/Гвх = (а2 - а + 1)/(а2 + s + 1). (7.86)
Решение. H(s) по (7.86) можно записать в виде
77(a)
[(а2 + 1)/а] - 1
Ца2+1)/а] + 1’
(7.87)
Сравнение членов выражений (7.82) и (7.87) приводит к
zb = (s2+ l)/s = s + (l/s) и
za= 1.
(7.88а)
(7.886)
Схемная реализация передаточной функции (7.86) сводится теперь к реали-
зации входной LC функции полного сопротивления zb(s) по (7.88а). Конеч-
ный результат показан на рис. 7.21, а.
Рис. 7.21. Две схемы реализации всепропускающей функции (7.86).
Еще одну реализацию (7.86) можно получить, записав H(s) в виде
1 ~ + Oi (7 RCA
Н ( } 1 + [S/(S2 + 1)1 • (7,89)
Сравнивая (7.89) с (7.82), получим
С 1
z„ = г-т- = —, , и z. = 1. (7.90)
о s2 +1 s + (1/s) о '
Схемная реализация (7.90) приведена на рис. 7.21,6.
7.3. Методы Дарлингтона
Дарлингтон решил общую задачу реализации передаточной
функции с помощью четырехполюсника без потерь, у которого
оконечными нагрузками являются активные сопротивления [4, 5]'.
Все схемы такого рода (рис. 7.22) называются схемами Дар-
лингтона.
В этом разделе мы не будем обсуждать метод синтеза, пред-
ложенный Дарлингтоном как таковой, а рассмотрим некоторые
упрощенные процедуры синтеза по Дарлингтону для ограничен-
ного, но весьма распространенного класса передаточных функ-
ций. Прежде чем перейти к рассмотрению специальных случаев
методов синтеза по Дарлингтону, рассмотрим некоторые важ-
ные свойства z-параметров и ^-параметров четырехполюсников
без потерь, а также результирующих передаточных функций по
напряжению.
Пусть четырехполюсник без потерь на рис. 7.22 имеет ма-
трицу сопротивлений
(7.91а)
или матрицу проводимостей
(7.916)
где Z12 — Z21 И 1/12 = Ун- Поскольку Z11 И Z12 {уи и yzz} являются
входными функциями полного сопротивления {полной проводи-
я?
а
б
Vwx
Рис. 7.22. Схемные структуры Дарлингтона.
я—четырехполюсник без потерь с резистором нагрузки; б—четырехполюсник без потерь
с резистором источника сигнала; в—четырехполюсник без потерь с резисторами источника
сигнала и нагрузки.
мости} LC-двухполюсников, это нечетные рациональные функ-
ции с простыми и чередующимися полюсами и нулями, лежа-
щими на мнимой оси плоскости s. Четырехполюсник без потерь
является пассивным. Следовательно, матрица вычетов четырех-
полюсника при полюсе pj есть
£{1 £12 I
£21 £22 J
(7.92)
Эта матрица полуопределенная, вещественная и положитель-
ная, и в ней Цк — вычет zik {yik} при полюсе р/ (*, k= 1, 2),
а полюс четырехполюсника есть полюс любого из четырех z-па-
раметров {//-параметров}. Если р,-— полюс Zi2 {г/12}, но не 2ц
или Z22 {//и или ух>}, то или Це, является нулем, a g/ по
(7.92) не является положительной полуопределейной матрицей.
Следовательно, заключаем, что все полюсы zi2 {*/12} являются
полюсами Zu и z22 {//и и */22} ‘). Это означает, что частичное
разложение Zi2 {*/12} в непрерывную дробь будет иметь такую
же форму, как Zu или z22 {уи или у^}:
(7.93)
Поэтому Zj2 {1/12}, так же как zn или Z22 {*/п или 1/22}, является
нечетной рациональной функцией, т. е.
zI2 («) = т (s)/n (s) или n(s)/m(s) (7.94а)
{*/12 (s) = т (s)/n (s) или n(s)/m(s)}, (7.946)
где m(s) и n(s)—соответственно четный и нечетный полиномы.
Далее рассмотрим передаточные функции схем на рис. 7.22.
Для рис. 7.22, а матрица сопротивлений четырехполюсника без
потерь и выражение
У2 = -Явых/2 (7.95)
дают
<7-96>
Для рис. 7.22,6 при /2 = 0 матрица сопротивлений четырехпо- люсника без потерь и выражение
V вх ^вх Л + Vi (7.97)
приводят к
W(s)AVBbIX/VBX = = Z12/(^BX + Zu). (7.98)
Наконец, для рис. 7.22, в имеем
Н (s~\ A J7ВЫХ — */12 1 (7.99)
“ VBX 1 Г „2 n „ У*2 1 + 1 УМ j 1
Хых ’ У22 *вх
"n 1 &22 J АВЫХ
*) Заметим, что не все полюсы ztl или z22 {t/ц или угг} являются полю-
сами {t/is}.
Предположим, что для заданной передаточной функции H(s)
мы можем найти соответствующий полином P(s), такой, чтобы
// (s) — л _ А _ CQ)___ (7 100)
П В (s) В (s)/P (s) — k + D (s) ’ U-
где k — постоянная, a C(s) и £>(s) — нечетные рациональные
функции. Если используется схема на рис. 7.22, а, то можем
легко идентифицировать //12 и у22, сравнив (7.96) и (7.100).
В этом случае задача сводится к одновременной реализации у\2
и у22- Методы одновременной реализации ущ и у22 обсуждались
в разд. 7.1.3. Если используется схема на рис. 7.22,6, то можно
идентифицировать z!2 и £ц, сравнив (7.98) и (7.100). Задача
реализации' (7.100) в этом случае снова сводится к одновремен-
ной реализации гц(в) и Zi2(s), рассмотренной в разд. 7.1.2.
Этот процесс идентификации прекрасно выполняется для схем
на рис. 7.22,а и б. Однако для схемы на рис. 7.22, в ситуация
совершенно другая, как это видно из сравнения (7.99) и (7.100).
Поэтому мы отдельно рассмотрим случай одной оконечной на-
грузки (рис. 7.22, о и б) и случай двух оконечных нагрузок
(рис. 7.22,в).
7.3.1. Схема без потерь с односторонней нагрузкой
Положим для удобства, что /?вых на рис. 7.22, а и Rвх на
рис. 7.22, б равны 1 Ом. Если нужно другое значение /?ВЬ1Х и /?вх,
можно произвести денормирование по сопротивлению (рассма-
триваемое в гл. 8) в результирующей схеме1). При таком удоб-
ном упрощении (7.96) и (7.98) аналогичны, причем Zi2 и 2ц
соответствуют —yi2 и у22 Сперва детально рассмотрим случай
рис. 7.22, а и (7.96), а затем в общих чертах обрисуем про-
цедуру синтеза для случая рис. 7.22, б и (7.98).
При /?вых = 1 Ом (7.96) переходит в такую форму;
Н (s) = Евых/Евх = - у12/(1 + У22). (7.101)
Поскольку //12 и у22 — нечетные рациональные функции, имею-
щие одинаковый знаменатель, можем написать
yi2(s) = ni2(s)/d22(s) и y22{.s)^n22{s)ld^{s), (7.102)
где ni2(s) и «22(s) — нечетные полиномы, если d22(s) — четный
полином, и, обратно, n\2(s) и n22(s) — четные полиномы, если
d22(s)—нечетный полином. Подставив (7.102) в (7.101), по-
лучим
__________ <7Л03>
*) Отметим, что передаточные функции по напряжению у схемы с денор-
мированными сопротивлениями и у исходной схемы одинаковы.
Из этого выражения видно, что А($)— числитель ук и, следова-
тельно, он либо нечетный, либо четный полином. Кроме того,
В (s) представляет сумму полиномов, стоящих в числителе и
знаменателе входной LC-функции полной проводимости yats).
Согласно теореме 4.4, B(s) — полином Гурвица. Это означает,
что схемы на рис. 7.22, а и б могут реализовать только переда-
точную функцию, у которой полином, стоящий в числителе, не-
четный или четный, а в знаменателе стоит полином Гурвица,
так что
Н (<л — л _ Mi <s)
W “ В (s) М2 (s) + N2 (s)
Н — N' (s>
П W ~ В (s) М2 (s) + N2 (s)
ИЛИ
(7.104)
(7.105)
где Mi(s) и M2(s)—четные полиномы, (Vi(s) и N2(s)— нечет-
ные полиномы, a B(s) = Al2(s)+ N2(s)— полином Гурвица.
Рассмотрим сначала случай (7.104). Запишем H{s) как
4^! (s)/N2 (s) /7 1 OR)
Я(5)-[м2(Л(«)]+Т- (7Л06)
Сравнение (7.106) и (7.101) дает
y12(s) = -[Al1(s)/iV2(s)] и (7.107)
^(s) = [M2(s)/N2(s)]. (7.108)
Аналогично, если H(s) дается (7.105), H(s) можно записать
как
Я (s) =* и- • (7.109)
' ’ 1 + [W2 (s)/M2 (s)I ' ’
Сравнивая (7.109) и (7.101), получаем
4/12 (S) = - [А1 (s)/M2 ($)] и (7.110)
fe(s) = A2(s)/M2(s). (7.111)
Следовательно, проблема реализации передаточной функции по
напряжению сводится к одновременной реализации г/22(х) и
(/i2(s) *) • Если X(s) равна
A (s) = ksm, (7.112)
’) Согласно (7.56), задача одновременной реализации |/12(з) и 1/22(8)
эквивалентна задаче реализации передаточной функции по напряжению F(s)
одного четырехполюсника без потерь, у которого
Г(я) = —^‘2 — у1 для случая (7.104) и
У 22 (s) М2 (s)
В (в) —---- ~ (-)- для случая (7.105).
1/22 (S) N2 (S)
Отметим, что требования к нулям передачи F(s) и H(s) идентичные. Физи-
ческий смысл этого в том, что схемные реализации H(s) и F(s) различаются
Только одним резистором.
то задача одновременной реализации yiz(s) и y2z(s) решается,
как описано в разд. 7.1.2 и 7.1.3.
Пример 7.12. Реализовать
Н (а) Д Рпых/Рвх = 1/(а2 + s + I) (7.113)
четырехполюсником без потерь с оконечной нагрузкой в виде активного ре-
зистора 1 Ом.
Решение. Поскольку числитель H(s) по (7.113)—четный полином, H(s)
имеет форму (7.104). Согласно (7.106) H(s) запишем как
н (s) = s + (s2+l) = 1 + [(аЧ-1)/а] • (7Л14)
Приравнивая соответствующие члены (7.101) и (7.114), получим
4/12 = — (1/а) и у а = (а2 + 1)/а. (7.115)
Все нули передачи H(s) лежат при s = оо; поэтому используем для реализа-
ции 1/22 первую форму Кауэра. Это подразумевает разложение //22(a) в не-
прерывную дробь при s = оо:
У 22 (а) = (а2 + 1)/а = а + (1/а). (7.116)
Схемная реализация (7.113) через {/22(a) по (7.116) показана на рис. 7.23.
Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.23 дает передаточную функцию по на-
Рис. 7.23. Схема реализации Я(а) по (7.113).
пряжению (7.113), используем уравнение делителя напряжения, с тем чтобы
получить
_ 1/(а+1)
^вых ~ [1/(а + 1)] + а Ивх-
Следовательно, H(s)— 1/(а2-|-а + 1), что и дает требуемую функцию (7.113).
Заметим, что, когда все нули передачи лежат при а = оо, для реализации
{/22(a) следует использовать первую форму Кауэра.
Пример 7.13. Реализовать
Н (а) А Квых/Квх = s2/(«2 + За + 1) (7.117)
четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде актив-
ного резистора 1 Ом.
Решение. Как и в примере 7.12, задача сводится к одновременной реали-
Л12 («) = — (s2/3s) = — (s/З) и у22 (s) = (1 + s2)/3s. (7.118)
Все нули передачи (7.117) лежат при s = 0; поэтому используем для реали-
зации t/22 по (7.118) вторую форму Кауэра. Схемная реализация (7.117)
Рис. 7.24. Схема реализации Н (s) по (7.117).
представлена на рис. 7.24, где У22 (s) разложена при s = 0:
y22(s) = (l/3S) + [l/(3/S)]. (7.119)
Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.24 реализует требуемую передаточ-
ную функцию, возьмем уравнение делителя напряжения:
1
1 3 Vbx 3s2 + 3 (3s + 1) Vbx'*
1 "Г о
следовательно, Н (s) = sz/(s + 3s + 1).
Пример 7.14. Реализовать
W (s) = Квых/Квх = s/(s3 -|- s2 + 3s + 1) (7.120)
четырехполюсником без потерь, имеющим нагрузку в виде активного резистора
1 Ом.
Решение. В данном случае числитель Н (s)— нечетный полином. Согласно
(7.109)— (7.111), H(s) можно записать как
s
Н (S) ~ (s2+l) + (s3 + 3s) = 7 Xp3s • (7Л21)
’ + v+r
Приравнивая соответствующие члены (7.101) и (7.121), получаем
yi2 = s/(s2+l) и K22 = (s3 + 3s)/(s2+ 1). (7.122)
Теперь задача сводится к одновременной реализации yi2 и у22- Поскольку
Имеется один нуль передачи при s = 0 и два нуля передачи при s = 00, сле-
дует использовать комбинацию обеих форм Кауэра.
Вообще говоря, предпочтительно, прежде чем приступать к реализации
нескольких нулей передачи, реализовать одиночный нуль передачи. Поэтому
реализуем сперва нуль передачи при s = 0. Для этого необходимо осуще-
ствить частичное разложение угг (s) в непрерывную дробь при s = 0, пока не
будет выделен конденсатор:
!/22 (s) = (s3 + 3s)/(s2 + 1) == l/(l/3s) + zR (s), (7.123)
где остаточная функция полного сопротивления zK(s) подлежит реализации
первой формой Кауэра, с тем чтобы получить нули передачи прн
(«) А
(2/3) s2
s3 + 3s
(2/3) s
s2 + 3
1
3 , 1
2 ®+ 2
9 ®
(7.124)
Схемная реализация передаточной функции (7.120) посредством реализации
y2z(s), как указывается (7.123) и (7.124), приведена на рис. 7.25.
Рис. 7.25. Схема реализации (7.120).
Чтобы убедиться, что
цию (7.120), положим VEX
напряжений. Он дает
схема на рис. 7.25 реализует передаточную функч
1 и осуществим анализ схемы методом узловых
Следовательно,
27 -27
V вых == з-----з -------------------------2_____________
(•2s+if)(i+3s)-9s2 4s2+4s+4+4
3s
==W? + 3s+ 1 <7-125)
= ’’ передаточная функция fi(s) данной схемы соответ-
ствует (7.125) Из сравнения (7.125) с (7.120) видно, что Я (з) — постоянный
(Т 120)TCJIb " $ П° (7,120): ПОЭТОМУ схема на Рис- 7-25 реализует H(s) по
Теперь кратко рассмотрим случай на рис. 7.22,6 и (7.98),
который для удобства воспроизведен здесь, при /?Вх — 1 Ом:
77(s)== Vbhx/Vbx = 2!i2(s)/[1 -f-Zn(s)]. (7.126)
Пусть передаточная функция задана выражением
- «,(?'+k to (7Л27>
"<*>=W~ <7Л28>
где Mi(s) и M2(s)—четные полиномы, N\(s) и N2(s)—нечет-
ные полиномы, a B(s) = M2(s) + N2(s)—полином Гурвица.
Если заданная передаточная функция по напряжению имеет
форму (7.127), то задача реализации (7.127) сводится к за-
даче одновременной реализации
zn(s) = M2(s)/N2(s) и z12 (s) = Mi (s)/N2 (s). (7.129)
Аналогично реализация H(s) по (7.128) сводится к одновре-
менной реализации
zn (s) = N2 (s)/M2 (s) и zJ2 (s) == /Vj (s)/M2 (s). (7.130)
Процедуры реализации такие же, как рассмотренные в
разд. 7.1.2.
Пример 7.15. Реализовать
Н («) = Гвых/ГЕХ = l/(s2 + s + 1) (7.131)
схемой, имеющей структуру схемы на рис. 7.22, б.
Рис. 7.26. Схема реализации H(s) по (7.131).
Решение. Поскольку числитель — четный полином, здесь приложимы
(7.127) и (7.129). Следовательно, можем записать H(s) как
Я{5) = s+(s2+l)
5
(7.132)
Приравнивая члены (7.126) и (7.132), получаем
zn(s) = (s2+l)/s и z21(s) = (l/s). (7.133)
Поскольку все нули передачи лежат при s — оо, используем для реализации
Zn(s) первую форму Кауэра. Это означает, что zn(s) подвергается разложе-
нию при s = оо:
Zu (з) = з + (1/s). (7.134)
Следовательно, схемная реализация передаточной функции H(s) по (7.131)
соответствует рис. 7.26.
.Пример 7.16. Реализовать
Я (з) = Квых/Увх = s2/(s3 + s2 + Зз + 1) (7.135)
четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде рези-
Рис. 7.27. Схема реализации Я(з) по (7.135).
Решение. Поскольку числитель H(s)—четный полином, запишем H(s)
в виде
з2
Н (S) = (з3 + 3s) + (s2 + 4) = 1 • (7,136)
+ s3 + Зз
Приравнивая члены (7.126) и (7.136), получаем
zii(s) = (s2+l)/(s3 + 3s).
(7.137)
Видим, что имеется два нуля передачи при з = 0 и одни нуль передачи при
s = оо. Вообще говоря, предпочтительно сначала реализовать один нуль пере-
дачи. Поэтому используем первую форму Кауэра для извлечения элемента из
£ц(з), чтобы получить одиночный нуль передачи при з = оо в виде
«г+1
£п («) = fi3 + 3s
1
®+ 2д(з)
(7.138)
где остаточная функция полного сопротивления
(S) = (s2 + l)/2s
раскладывается второй формой Кауэра в виде
е2 -L I 1 1
~в—-в+тг,- <71391
Результирующая схемная реализация H(s) по (7.135) показана на рис. 7.27.
Пример 7.17. Реализовать схемой вида рис. 7.22, б функцию
Н (s) = VBhaJVвх = s3/(s3 + s2 4- 3s + 1). (7.140)
Решение. Поскольку H(s) имеет форму (7.128), здесь приложима (7.130).
Поэтому запишем Н (s) в виде
s3
еЗ „2 I I
н (s) = (s2 + 1) + (s3 + 3s) = s3 + 3s • (7л41)
+ s2 + 1
Приравнивая члены (7.126) и (7.141), получаем
21 ! (s) = (s3 + 3s)/(S2 + 1).
Поскольку все нули передачи лежат при з = 0, используем для реализации
Zu (s) вторую форму Кауэра. Разлагая Zu (s) при s = 0, получаем
Zu (з) = -1-----—j------- (7.142)
*3s + Г
2? + Т
3s
Результирующая схемная реализация (7.140) показана на рис. 7.28.
Рис. 7.28. Схема реализации H(s) по (7.140).
7.3-2. Четырехполюсник без потерь
с двусторонними нагрузками
В этом разделе рассматривается случай на рис. 7.22, в, кото-
рый для удобства воспроизведен на рис. 7.29. Поскольку (7.99)
и (7.100) не позволяют пр етым образом идентифицировать
z-параметры или «/-параметры четырехполюсника без потерь,
мы примем совершенно иной подход.
Четырехполюсник
Zex(s)
Рис. 7.29. Схемная структура Дарлингтона.
Чтобы свести задачу реализации передаточной функции к
реализации входной функции полного сопротивления ZBX(s)
рис. 7.29, нужно ввести два коэффициента — коэффициент пе-
редачи и коэффициент отражения. Коэффициент передачи опре-
деляется как отношение выходной мощности РВых, выделяемой
в Ri, к максимальной мощности Ра, поступающей от источника
сигнала с внутренним сопротивлением Rs- Очевидно,
Л)ЫХ (/©) = I VOblx (/со) |2/RZ и (7.143)
PM = \VBM]Ws. (7.144)
Следовательно, коэффициент передачи определяется выраже-
нием
(1гъ\ |2 . ^вых (/®) 4Rs | Рвых (/®) I2 47?S|W/;,^|2
|Т(/И)1 = Ра = "ДГ Двх (/«) |2 " = -RTI Я (^) I ’
(7.145)
где H(s) — передаточная функция по напряжению
Я(5) = УВЫХ(5)/УВХ(«). (7.146)
Поскольку мощность, подводимая на Ri от источника, должна
быть меньше или равна максимальной мощности, поступающей
от источника, имеем
| т (/со) |2 < 1. (7.147)
Коэффициент отражения определяется просто как дополнение
коэффициента передачи:
|р(/®)|2 + |т(/со)|2= 1. (7.148)
В случае синусоидального (в установившемся состоянии) сиг-
нала мощность Рвх, подаваемая на пару зажимов Q) четырех-
полюсника без потерь, равна мощности РВЬ1Х, подаваемой на на-
грузку, причем
Рвх = Re [ZBX (/со)] IЦ (fa) |2. (7.149)
Приравнивая (7.143) и (7.149), получаем
Re [ZBX (/со)] | /, (fa) |2 = | Ивых (fa)\*/Rt или
Ri Re [ZBX (/co)] = | lZBblx (fa) |2/1 Д (fa) p. (7.150)
Из рис. 7.29 имеем
Ивх/Л — Rs + ZBX(s).
Объединяя (7.150) и (7.151), получаем
xr zb.А 12 I вых (/’о) I2 I Гвых(/го) I2 I /Д/СО) I
Я(/Сй)1 =1 ивх(лЬ) ] =1 ~h(farI
= fyRe[ZBX (/со)]
I Rs + Zbx (/’w) I2
(7.151)
(7.152)
Подставляя (7.152) в (7.145), а результирующее выражение —
в (7.148), получаем
[fa) р (-fa) = 1 - т (fa) т k - fa) = 1 - | И (fa) |2 = (7.153)
4Rs Ri Re [ZBx (/го)] z— . r <\
Ri I Rs + ZBX (/co) |2 ’ (/.10^
Записав ZBXfa) в виде
ZBX (fa) = R fa) + fa fa). (7.155)
получим p(/co)p( fa) 1 |^s + 7?((0)+/X((e)|2 _ , 4RSR (ro) _ [/?s + /?(co)]2+[X(co)J2 _ [RS - R (го)]2 + [X (co)]2 _ |ZBX (/co) - Rs I2 (7.156)
[7?s + R (co)]2 + [X (co)]2 ~ ’ |ZBX (/co ) + Rs I2 • Выражение (7.156) подразумевает, что л/сЛ -i- ZBX(.s) — Rs (7.157) (7.158)
± zBX(-s) + Rs И И ZBx(s) = Rs4 *-p(,^ . BX \ / 1 + P (s)
Благодаря введению коэффициента передачи по (7.145) и
коэффициента отражения по (7.153) мы свели задачу реализации
передаточной функции по напряжению H(s) (7.146) к реа-
лизации входной функции полного сопротивления Zbx(s) по
(7.158), принимая во внимание расположение нулей передачи
H(s). Заметим здесь, что ZBX(s) содержит только один резистор
Ri, а остальными элементами являются конденсаторы и катуш-
ки индуктивности, как показано на рис. 7.29.
На основе изложенного можем теперь рассмотреть поэтап-
ную процедуру реализации передаточных функций в форме1)
H(s) = ksm/B(s) (7.159)
в виде схемы Дарлингтона на рис. 7.29, где B(s) — полином Гур-
вица или модифицированный полином Гурвица n-й степени,
а 0 т п. Для упрощения алгебраических преобразований
положим Rs = 1 Ом.
Этап 1. Находим p(s). Из (7.153) имеем
р (s) р (- s) = 1 - (4/7?z) Н (s) Н (- s). (7.160)
Определение p(s) — самый важный этап этой процедуры реали-
зации. Начнем с того, что (7.160) может не иметь решения.
Допустим
Г (s) Д р ($) р (—$) и (7.161)
G(s) Л 1 -(4/Ri)H(s)H(-s) (7.162)
представляют соответственно левую и правую стороны (7.160).
Ясно, что от полюсов и нулей F(s) требуется, чтобы они обла-
дали квадрантной симметрией. На основе (7.162) можно за-
ключить, что полюсы G(s) будут также обладать такой симме-
трией, но это не обязательно относится к нулям. Это имеет ме-
сто, поскольку числитель G(s) является только четным полино-
мом, а не обязательно полиномом с зеркальной структурой —
такой, при которой его можно записать в виде p(s)p(—s). Если
нули G(s) не обладают квадрантной симметрией, мы не сумеем
найти p(s) из (7.160) и описываемая нами процедура не при-
ведет к схемной реализации для H(s).
Предположим теперь, что нули G(s) обладают квадрантной
симметрией2). В этом случае имеется больше чем один p(s),
удовлетворяющий (7.160). Выберем в качестве решения (7.160)
*) Причина, по которой мы ограничиваем числитель Я (а) видом ksm, та,
что у нас отсутствуют достаточные математические средства для рассмотре-
ния общего случая, когда А (а) есть полином /n-й степени с О т п.
В гл. 8 мы увидим, что многие важные семейства фильтров имеют переда-
точные функции вида (7.159).
2) Нули С(а) будут удовлетворять требованиям квадрантной симметрий,
если они не лежат на мнимой оси в плоскости а, за исключением, возможно,
начала координат. Также, если В(а)—полином Гурвица, (7.160) будет иметь
минимальное фазовое решение р(а).
минимально-фазовую функцию p(s)1). В ином случае нам по-
надобились бы для реализации результирующей входной функ-
ции полного сопротивления ZBX(s) отрицательные индуктивно-
сти и (или) емкости.
Этап 2. Находим ZBX(s). После того как p(s) определен,
(7.158) дает
(«) = ! р или ZBX (s) = j + р . (7.163)
Из (7.163) имеем две возможности выбора ZBX(s). Поскольку
одна из них противоположна другой, можем ожидать, что одна
ZBX(s) даст в качестве оконечного нагрузочного резистора Ri,
а другая—l/Ri. Если для Ri имеется желательное значение
(например, в общей схеме Ri равно входному сопротивлению
следующего каскада), требуемый результат получится только
при одном варианте выбора ZBX(s). Если Ri = 1 Ом (или если
значение Ri несущественно), тогда одинаково справедлив любой
способ выбора ZBX(s). Чтобы определить значение оконечного
резистора Ri при данном варианте выбора ZBX(s), имеем
Ri = ZBX(0), (7.164)
когда в (7.159) m = 0, и
Ri = ZBX(oo), (7.165)
когда в (7.159) щ — п,
где Ri равно либо Ri, либо \/Ri. Это имеет место по той при-
чине, что, когда в (7.159) m = 0, передаточная функция обес-
печивает пропускание только нижних частот и все нули пере-
дачи лежат при s = оо. Поэтому используем первую форму
Кауэра. Это означает, что ZBX(s) будет содержать последова-
тельные катушки индуктивности и параллельные конденсаторы,
а оконечной нагрузкой будет Ri. При s == 0 последовательные
индуктивности дают короткое замыкание, а параллельные кон-
денсаторы— холостой ход; следовательно, ZBX(0) содержит
только величину оконечного сопротивления. Это иллюстри-
руется рис. 7.30, а. Аналогично, когда m — п, передаточная
функция обеспечивает пропускание только верхних частот и все
нули передачи лежат при s = 0. Поэтому используется вторая
форма Кауэра. Она дает последовательные конденсаторы и па-
раллельные катушки индуктивности, а оконечной нагрузкой по-
прежнему является Ri. При s = оо последовательные емкости
дают короткое замыкание, а параллельные индуктивности —
*) Если нули G(s) удовлетворяют требованиям квадрантной симметрии,
то имеется одна и только одна минимально-фазовая функция, удовлетворяю-
щая (7.160). Напомним, что полюсы и нули минимально-фазовой функции не
лежат в правой полуплоскости $.
холостой ход. Следовательно, ZBX(ooj = ^2 (рис. 7.30,6). Нако-
нец, для случая 0 < т < т в (7.159) передаточная функция
обеспечивает пропускание сигнала в полосе частот. Имеется
предельный метод для определения Rt по заданному ZBX(s). Од-
нако процесс его осуществления сложен и требует большого
количества вычислений. В данном случае фактически выгодней
производить реализацию для любой из двух возможных ZBX(s)
Рис. 7.30. Определение значения сопротивления нагрузки, а) т = 0 в (7.159);
б) т = п. в (7.159).
и находить значение Rt. Если Ri = Ri, результирующая схема
оптимальна; в обратном случае оптимальную схему даст второй
вариант выбора ZBX(s) из (7.163).
Этап 3. Реализация ZBX(s). Чтобы реализовать H(s) по
(7.159), мы должны надлежащим способом реализовать ZBX(s),
дабы удовлетворить требованиям к нулям передачи. Мы рас-
смотрим три возможных случая (7.159), как это делалось в
разд. 7.1.
Случай 1. Если т — 0, используем первую форму Кауэра.
Случай 2. Если т = п, используем вторую форму Кауэра.
Случай 3. Если 0 < т < п, мы можем сперва использовать
первую форму Кауэра для выделения (м — т) динамических
элементов (конденсаторов и катушек индуктивности), а оста-
точную функцию реализовать второй формой Кауэра, или же
сначала использовать вторую форму Кауэра для выделения т
динамических элементов, а остаточную функцию реализовать
первой формой Кауэра.
Здесь следует отметить, что, если мы используем для необ-
ходимого разложения ZBX(s) в непрерывную дробь процедуру
деления и инверсии, при каждом шаге деления будем находить
два члена — самой высокой и самой низкой степени. Это одно-
временное исключение двух членов будет продолжаться вплоть
до выделения последнего динамического элемента.
Пример 7.18. Реализовать
Я(8) = */(^+1)(5+1) (7.166)
схемной структурой Дарлингтона по рис. 7.29 при Rs = 1 Ом и Ri = 2 Ом.
Решение. Поскольку передаточная функция (7.166) типа фильтра нижних
частот (все нули передачи лежат при s = oo), результирующая схема Дар-
Рис. 7.31. Схема для определения значения k в (7.166).
лингтона будет иметь форму, как на рис. 7.31, а. При s = 0 схема на
рис. 7.31, а сводится к схеме на рис. 7.31,6. Следовательно, имеем
Н (0) = RiKRs + Ri). (7.167)
Сравнивая (7.167) с (7.166) при s — 0, получаем
k^Ri/(Rs + Ri)= 2/3. (7.168)
Первый этап процедуры реализации — определение р(а). Из (7.160) имеем
(4/ед н w н (_,) _, _ | X
X 2/3 = — а6 — а1 + а2 + (1/9) _
л (а2+1)(-а+1) (а2 + 1) (а2 + 1) (а + 1) (—s + 1) “
_ (а + 0,83) (- а + 0,83) (а2 + 1,59) (а2 + 0,10)
(а2 + 1) (а2 + 1) (а + 1) (—а + 1)
Поскольку нули правой части выражения (7.169) не обладают квадрантной
симметрией, мы не можем получить p(s) из (7.169); поэтому процедура, опи-
санная в данном разделе, не может привести к схемной реализации Я (а) по
Пример 7.19. Реализовать
Я (s) = fe/(s2 + 3s + 3)
(7.170)
четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде актив-
ного сопротивления Rs = 1 Ом и a) Ri — 1 Ом, б) Ri = 2 Ом.
Решение. Как в примере 7.18, при а = О имеем
H(0) = kl3 = Rl/(Ri + Rs). (7.171)
Для случая а), когда Ri — 1 Ом, (7.171) дает
k = 3/2. (7.172)
Из (7.160) имеем
, А 3/2 3/2 , 9
pisjpi. s) 4 s2 + 3а + 3 s2 — 3s + 3 1 (s2+3s + 3)(s2—3s+3)
=___________s4 —3s2___________ s (s + V3~) (— s) (— s + Уз )
(s2 + 3s + 3) (s2 — 3s + 3) (s2 + 3s + 3) (s2 - 3s + 3) . ' 1 '
На основе (7.173) p(s) может быть любым из следующих:
Pi(«)= а(а + Уз) а2 + 3s + 3 ’ Ps (a) = а(а + Уз) a2 — 3a + 3 ’
Ре (а) = а(—а+ Уз) s2 + 3s + 3 ’ p4(a) = a (— a + Уз ) a2 — 3s+ 3 ’ (7.174)
Ре(s) = — s(— s+ Уз) s2 + 3s + 3 ' Ре (a) == — s (— s + Уз) s2 — 3s + 3 ’
Р? (а) = — s(s+ Уз) s2 + 3s + 3 Ps (a) = — a (a + Уз~) a2— 3a+ 3 •
Заметим, что из восьми возможных решений (7.173), приведенных в (7.174),
только pi (а) является минимально-фазовым решением. Пусть решение (7.173)
будет
р (a) = a (s + Уз )/(s2 + 3s + 3). (7.175)
Тогда две возможные входные функции полного сопротивления, задаваемые
(7.163), суть
Zbx 1 (5)
Zbx 2 (а)
1 + p (s) 2s2 + (з + Уз ) s + 3
l-p(s) (3 —Уз)в + з
1 — p (s) _ (3 — Уз) s + 3
1 + p (a) 2s2 + (3 + Уз") s + 3 ‘
и (7.176a)
(7.1766)
Поскольку Ri — 1 Ом, как ZBxi(s), так и ZB*z(s) дадут схемные реализации
Н (а) с надлежащим оконечным нагрузочным сопротивлением. Возьмем сна-
чала i(s). Все нули передачи H(s) лежат при а = оо; поэтому реализуем
Zbx 1(a) первой формой Кауэра. Это подразумевает разложение ZEitl(s) в
непрерывную дробь при s = оо;
1,577s
1,268s+ 3) 2s2 + 4,732s+ 3
2s2 + 4,732s 0,423s
3) 1,268s+ 3
1,268s 1
3) 3
3
0
или i (s) = 1,577s 4—--------
0,423s 4- -j-
(7.177)
Схемная реализация H(s) no (7.170), основывающаяся на реализации ZBXi(s)
по (7.177) первой фермой Кауэра, приведена на рис. 7.32, а.
б
Рис. 7.32. Две схемы реализации по Дарлингтону функции H(s) по (7.170)
Далее рассмотрим ZBX2(s). Поскольку ZBx2(s) обратна ZBX1(s), получаем
при Д5 = 1 Ом и Д, = 1 Ом.
Zbx2 (а) —----------------j------
1,577s 4-------'---р
0,423s 4- -р
(7.178)
Схемная реализация H(s) по (7.170) через Zex2(s) по (7.178) показана на
рис. 7.32,6.
Если желательное напряжение нагрузки Ri = 2 Ом, то (7.171) приводит
к значению
k = 3Rt/(Rs + Я<) = 2. (7.179)
В этом случае (7.160) переходит в
. . , . _ . _ ± 2____________2________________s4 - За2 + 1
P(s)pi а) 2 s2 + 3s + 3 s2-3s + 3 ~ (s2 + 3s + 3) (s2 — 3s + 3)
- к2 + 75 s + 1) (s2 - 75 s + 1) ,
(s2 + 3s + 3) (s2 — 3s + 3) ’ U
Минимально-фазовое решение (7 180) задается соотношением
р (s) = (s2 + Vs's + 1)/(s2 + 3s + 3).
Из (7.163) получаем
Zbxi (5)
(7.181)
(7.182a)
(7.1826)
l + p(s) 2s2 + (3+V5)s + 4
1 — p (s) (3 — д/б ) s + 2
l-p(s) _ (3-V5)s + 2
1 + P (s) 2s2 + (3 + 75) s + 4’
ZBX2 (s)
Поскольку Ri = 2 Ом, только одна нз двух входных функций полного сопро-
тивления (7.182) будет правильной. Поскольку же все нули передачи H(s)
+ = 7 Ом —*- 2,6/6 Г ’ 0,191 Ф Ом
+
Чих
Zgx(s)no(7. 7Я4)
Рис. 7.33. Схема реализации H(s) по (7.170)
лежат при s = оо, мы знаем, что надлежащая входная функция полного со-
противления Zbx(s) при s = 0 равна Ri. При s = 0 находим
%вх 1 (0) — 2 и ZBX 2 (0) — 1/2.
Следовательно, правильно выбрать
ZBX (s) = ZBX i (s) = 2,618s +-----1---г.
(3-75)s + 2 1,191s+у
(7.183)
(7.184)
Схемная реализация H(s) по (7.170) схемой Дарлингтона при Rs — 1 Ом
и Ri = 2 Ом через (7.184) показана на рис. 7.33. Анализ схемы на рис. 7.33
дает H(s) == VBbIX/VBX = 2/(s2 + 3s + 3).
Пример 7.20. Реализовать
Н (s) = ks2/(s2 + 3s + 3) (7.185)
схемой Дарлингтона при Rs = 1 Ом и Ri = 2 Ом.
Решение. Чтобы упростить вычисления, определим сначала значение k в
(7.185). Поскольку передаточная функция типа фильтра верхних частот (все
нули передачи лежат при k =0), результирующая схема Дарлингтона будет
Рис. 7.34. Схема для определения значения k в (7.185).
иметь форму, показанную на рис. 7.34, а. При s = оо схема на рис. 7.31, а
сводится к схеме рис.
7.34, б. Следовательно, при а = оо
Из (7.160) имеем
4
р(а)р(-а) = 1
Н (оо) = k
(2/3) а2
Rl 2
Rs + Ri ' 3 *
(2/3) а2
(7.186)
2 (a2 + За + 3) (а2 — За + 3)
(1/9) а4-За2+ 9 _ [(1/3) а2 + Уб а + 3] [(1/3) а2 - Уб~ а + з]
(а2 + За + 3) (а2 - За + 3) (а2 + За + 3) (а2 - За + 3)
Следовательно,
р(а) =
(7.187)
Две возможные функции ZBX(a) даются выражением (7.163)!
7 (4/3) а2 + (3 + д/б )а + 6
l-p(s) (2/3) а2 + (3 — УГ)а
-z ,^_!-Р(«) (2/3)а2 + (3-Уб) a
^BX2\S)----------= --------------.
1 + Р («) (4/3) а2 + (з + Уб ) а + 6
Поскольку все нули передачи лежат при а = 0, имеем
^вх (°°) — Ri-
(7.188а)
(7.1886)
. (7.189)
Из (7.188) имеем
2вх 1 (°°) =2 и ZBX2 (°°) — 1/2.
(7.190)
Следовательно, чтобы сопротивление нагрузки равнялось 2 Ом, выбираем
Zbx (5) — Zbx 1 (5)-
Чтобы получить нули передачи при s = 0, реализуем ZBX(s) второй
Кауэра:
v 6 + (3 + V5)s + (4/3) s2 7,845 , 1
ЕХ^ (3-д/5')з + (2/3)а2 ” s + 0,573 Г
s 2
(7.191)
формой
(7.192)
Схемная реализация H(s) по (7.185) через ZBX(s) по (7.192) показана на
Рис. 7.35. Схема Дарлингтона, реализующая H(s) по (7.185).
7.4. Выводы
В этой главе мы рассмотрели различные методы реализации
передаточных функций, удовлетворяющих некоторым крите-
риям. В данном разделе мы сведем воедино главные из полу-
ченных результатов.
I. Реализация лестничных RS-схем
Критерии реализуемости-. Н(s) = ksm/B(s), где B(s)— поли-
ном n-й степени с простыми отрицательными вещественными
корнями.
Методы реализации-, выбираем zn(s), удовлетворяющую
условиям RC\, RC2 и RC3, сформулированным в разд. 7.1.1.
Если m — 0, используем для реализации 2ц (s) первую форму
Кауэра. Если m = п, используем для реализации zn(s) вторую
форму Кауэра. Если 0 < m < п, имеем следующие возможно-
сти выбора: 1) использовать первую форму Кауэра для выде-
ления (п — т) конденсаторов [реализацию первой формой
Кауэра необходимо остановить, как только будет выделен
(п — т) -конденсатор], а остаточную функцию реализовать вто-
рой формой Кауэра; 2) использовать вторую форму Кауэра для
выделения т конденсаторов (реализацию второй формой Кауэ-
ра необходимо прекратить, как только будет выделен m-й кон-
денсатор), а остаточную функцию реализовать первой формой
Кауэра. Можем работать также с t/22(s) вместо 2ц (s).
Принцип реализации: нули передачи H(s) реализуются ме-
тодами, используемыми при реализации 2ц (s), а полюсы
H(s)—путем реализации RC входной функции полного сопро-
тивления zu(s).
II. Реализация лестничных LC-схем
Критерии реализуемости: H(s)= ksm/B(s), где B(s)— по
лином n-й степени с простыми корнями на мнимой оси. Кроме
того, H(s) должна быть четной рациональной функцией.
Методы реализации: выбираем 2ц (s), удовлетворяющую усло-
виям LCl, LC2, сформулированным в разд. 7.1.2. Если m = 0, ис-
пользуем для реализации 2ц(в) первую форму Кауэра. Если
пг=п, для реализации Zn(s) используется вторая форма Кауэра.
Если 0 < т < п, имеем следующие возможности выбора: а) из-
влечение п— т элементов из 2ц (s) производится первой формой
Кауэра, а остаточная функция реализуется второй формой Кауэ-
ра; б) для извлечения т элементов из 2ц(х) используется вто-
рая форма Кауэра, а остаточная функция реализуется первой
формой Кауэра. Можем также работать с t/22(s) вместо 2ц(«).
Принцип реализации: нули передачи H(s) реализуются с по-
мощью методов, используемых при реализации 2ц (s), а полюса
H(s) — путем реализации соответствующей Zu(s).
III. Реализация всепропускающих функций мостовыми схемами
Критерии реализуемости: передаточная функция задана в
виде H(s) = р(—s)/p(s), где p(s)—полином Гурвица.
Метод реализации: схемная структура показана на
рис. 7.20, б; za представляет последовательные ветви, а гь — па-
раллельные ветви. Принимаем p(s)= n(s), где m(s) и
n(s) — соответственно четная и нечетная части p(s).
1. Записываем H(s) как
и ( \ _ ш — п (m/п) — 1
' ' т + п (т/п) + 1 '
Реализуем z& — т/п в виде LC-двухполюсника при га =
2. Записываем H(s) в виде
Н = т — п _____ 1 — (п/т)
у1 т + п ~ 1 + (w./m) '
Реализуем za = nlm в виде LС-двухполюсника при гъ =
1 Ом,
IV. Ч етырехполюсник без потерь с односторонней нагрузкой
Критерии реализации: передаточная функция //(s) должна
иметь форму либо H(s) — A4i/(A42 + N2), либо H(s) =
= М/(Л12 + AM, где Mi и Ni обозначают соответственно чет-
ный и нечетный полиномы; i — 1, 2. Кроме того, M2-{-N2— по-
лином Гурвица, а М\ или N\ имеет форму ksm. Если предполо-
жить, что М2-{- N2— полином п-й степени, то О m п.
Методы, реализации: две возможные схемы приведены на
рис. 7.22, а и б. Выражения, описывающие эти схемы, следую-
щие:
H(s) =----— на рис. 7.22, а,
Н (s) = T'+z на Рис’ ?-22,
Если H(s) = М\/(М2 + N2), то записываем H(s) как H(s) =
= Mi/N2/[l-\-(M2/N2)]. Пусть у22 {zn} == M2/N2 и {zl2} —
— M\/N2. Тогда H (s) реализуется путем одновременной реали-
зации уг2 и —уц {2ц и Zi2}, как описывается в разд. 7.1.3
{разд. 7.1.2}. Если Н (s) = N\/(M2 + N2), записываем И(s) как
Н (s) — N\/M2/ [ 1 -f- (Ni/Mi) ]. Пусть у22 {zt\} = N2/M2 и —ун
{zl2} = N\/M2. Тогда H(s) реализуется путем одновременной
реализации —уХ2 и у22 {z!2 и z22}.
Принцип реализации: числитель H(s) реализуется метода-
ми, используемыми для реализации y22(s) {zu(s)}. Знаменатель
H(s) реализуется путем реализации полученной y22(s) {zn(s)}.
V. Четырехполюсник без потерь с двусторонними нагрузками *)
Критерии реализации: Н(s) = ksm/B (s), где B(s)—полином
Гурвица или модифицированный полином Гурвица n-й степени.
Методы реализации: основная схемная конфигурация приве-
дена на рис. 7.29. Используются следующие процедуры:
Этап 1. Находим минимально-фазовое решение p(s) из
р (s) р (— s) = 1 — (4/?s/7?z) Н («) И (~ «)•
Этап 2. Образуем ZBX(s) = [1 ± p(s) ]/[1 Т p(s)] и выби-
раем ZBX(s) с требуемым сопротивлением оконечной нагрузки.
Этап 3. Реализуем ZBX (s). Если m — 0, используем первую
форму Кауэра. Если m = п, используем вторую форму Кауэра.
Если 0 < m < п, используем комбинацию обеих форм Кауэра.
*) Анализ чувствительности схем IV и V можно найти в работе [8].
Принцип реализации: нули передачи H(s) реализуются ме-
тодами, используемыми при реализации ZBX(s), а полюсы
H(s) — путем реализации полученной ZBX(s).
ЛИТЕРАТУРА
1. Desoer С. A., Kuh Е. S., Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill,
1969.
2. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R. E. Krie-
ger, 1975.
3. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters,
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1970.
4 Darlington S., Synthesis of Reactance 4-Poles, /. Math. Phys., 18, 257—353
(1939).
5. Hazony D., Two Extensions of the Darlington Synthesis Procedure, IEEE
Trans. Circuit Theory, CT-8, 284—88, 1961.
6. Heinlein W. E., Holmes W. H., Active Filters for Integrated Circuits, Funda-
mentals and Design Methods, London, Prentice-Hall, 1974. [Имеется пере-
вод: Хейнлейн В., Холмс В., Активные фильтры для интегральных схем.—
М.: Связь, 1980.]
7. Balabanian N., Network Synthesis, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall,
Inc., 1958. [Имеется перевод: Балабапян H., Синтез электрических цепей.—
М.: Госэнергоиздат, 1961.]
8. Weyten L., Lower Bounds on the Summed Absolute and Squared Voltage
Transfer Sensitivities in RLC Networks, IEEE Trans. Circuits and Systems,
CAS-25, 70—73 (1978).
ЗАДАЧИ
7.1. а) Для схемы, показанной на рис. 3.7.1, найти передаточную функцию
между напряжениями VВЫХ И Vвх«
б) Найти нули передачи схемы через передаточную функцию, получен-
ную в п. а) п путем анализа.
Рис. 3.7.1.
7.2. Рассмотреть схему N при входном напряжении vBX(t) и выходном на-
пряжении 1>вых(0-
1. Если t>ox(0 = A cos 2t или если vBX(f) = Bcos4t, то установившееся
значение выходного напряжения цвых(0 = 0 для всех А и В.
2. Импульсная характеристика схемы имеет форму
п8ых(0 = ai ехр(—f)cos(t + ф^-Ь а2 ехр(—21) cos (5/ + <р2).
Найти передаточную функцию схемы.
7.3. Синтезировать каждую из приведенных ниже передаточных функции
двумя лестничными ЛС-схемами [через (s) и 2/22 (s)]:
ь ь
а) Н (s) = е) Н (s) = (s + (s _|_ 2) (s + 3) :
б> ж> й(5)=(ЖЙ7Жз);
k I?
в) н (s) = (s+ 1) (s + 4) ; 3) Н (s) = (S 4- 1) (S + 2) (s 4- 3) :
fee feoS
г) Н (s) = (s4- l)(s4-4) : и) Н (s) = (s+l)(s4-2) (s 4-3):
Z>q2 Ъ с
Д) Я(3)= (s4- 1) (5 + 4) ’ к) H{S}== (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 4)
7.4. а) Реализовать передаточную функцию H(s) = 3,5/ (s2 4- 8s + 7) лест-
ничной 7?С-схемой.
б) Доказать полученный результат.
7.5. а) Реализовать передаточную функцию Ht(s) = 5/(s2 + 7s 4- 10) лест-
ничной .RC-схемой N, показаной на рис. 3. 7.5, а.
б
Рис. 3.7.5.
б) Если две идентичные схемы N соединены каскадно (рис. 3.7.5,б),
найти общую передаточную функцию H(s).
в) 7/(s) = /7i(s)ZZ1(s)? Приведите свои соображения.
7.6. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций двумя
лестничными LC-схемами [через Zn(s) и 2/22(8)]:
•> «*>-*&• *•> «<*-
fe i?
б) Н (s) = S2 + 2 ; е) Н (s) = (s2 + 2) (S2 4- 5) (s2 + 6)’
в) н (s) = (s2 + 1) (s2 + 4) : ж) н (s) = (s2 + 2) (s2 + 5)(s2 + 6) 1
fe ty g
г) Н (S) = (s2+ l)(s2 + 4) : S) Н (s) = (S2 + 2) (S2 + 5) (s2 + 6) •
7.7. Показать, что представление четырехполюсника на рис. 7.20 матрицей
полных проводимостей соответствует (7.80) и (7.81).
а)
б)
в)
Н (s) = ---------;
s2 + V2 s + 1
s2 + 3s + 3 ’
— s3 + 2sz — 2s + 1 .
s3 + 2s2 + 2s + 1 ’
г)
д)
е)
7.8. Пусть p(s) = po + Pis + pas2 + ... + pnsn — полином Гурвица. Показать,
что амплитудно-частотная характеристика функции H(s)=p[—s)lp(s)
не зависит от частоты со.
7.9. Реализовать каждую из приводимых ниже всепропускающих передаточ-
ных функций двумя способами (через гп и гь):
Н (s) = ~ s3 + 6s2 ~ 15s + 15
S s3 4- 6sz + 15s + 15
„, (sz-0,77s+l)(s2-l,85s+l).
(s2+0,77s+l) (s2+l,85s+l)’
s4— 10s3+43s2—105s+105
(S) ~ s4+10s3+43s2+105s+105’
7.10. Показать, что фазовая функция всепропускающей передаточной функции
H(s) — р(—s)lp(s) равна удвоенной фазовой функции p(s) плюс по-
стоянная.
7.11. Рассмотреть передаточную функцию
-s3 + sz-s+(3/8).
s3 + sz + S + (3/8)
а) Нарисовать для H(s) диаграмму полюсов и нулей H(s), т. е.
местить полюсы и нули H(s) на плоскости s. [Указание: (s + 0,5)
сомножитель многочлена s3 -|- s2 + s -|- (3/8)].
б) Найти | // (/со) | для всех со.
в) Нарисовать общий вид зависимости <р (о) = — /Н (/со) для всех
г) Реализовать H(s) двумя различными мостовыми схемами.
^вх
LC-четырех-
полюсник
V
вых
раз-
есть
со.
Рис. 3.7.12.
с
7.12. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций четы-
односторонией оконечной нагрузкой
рехполюсником без потерь
(рис. 3.7.12):
ks2
a) s2 + 3s + 3- 3) tf(s) =
c,"w И) tf(s) =
s2+t + 4 = K) (s) =
Г) H(-S) s34-6sz+ 15s + 15 ’ Л) tf(s) =
Д) ^(s) s3 4-6s2 4-15s 4-15 ’ Й) (s) =
e) /710 н) H (s) =
c) "W s3 + 2sz4-2s4- 1 ’
о) H (s) =
(s2+0,77s+l) (s2+l,85s+l)’
ks3
(s+0,77s+l) (s2+1.85s-H) ’
k
s4 + 10s3 + 43s2-H05s+105'
k
(s + I)3 :
ks
(S 4- I)3 :
ks3
(s+1)4 :
ksi
(s + I)4 •
7.13. Реализовать каждую из передаточных функций задачи 7.12 четырехпо-
люсником без потерь, нагруженным только со стороны источника сигнала
(рис. 3.7.13).
Рис. 3.7.13.
7.14. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций че-
тырехполюсником без потерь с двусторонней нагрузкой Rs = Ri = 1 Ом
(рис. 3.7.14):
k
а)
б)
Я (s)=____________,
sz + 3s + 3
k
ZZ(s)
e) tf(s) =
ks2
/2 s + 1
k
в)
Я(8)
s2 + V2 s + 1 ’
ks
ж) Н (s) —-------------------------,
s3 + 2sz + 2s + 1
k
s2 -ь 3s + 3 •
ks
s2 + V2 S 4- 1 ’
h
*> "<s>°? + 3s+l;
г)
Я(я)
3) ^(s) s3_|_6s2+
ks3
и) H(s)-------------------------,
s3 -|- 2s2 + 2s + 1
ks3
к) H (s) = , , „ „ , —j—.
s3 + 6s2 + 15s + 15
/?<
LC-четырех-
палюсник
Рис. 3.7.14.
7.15. Реализовать передаточную функцию H(s) = k/(s2 + 3s + 1) четырехпо-
люсником без потерь, имеющим Rs = 1 Ом и Ri, равное: а) 1 Ом;
б) 2 Ом; в) 4 Ом; г) 0,5 Ом и д) 0,25 Ом.
7.16. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций четы-
двусторонними нагрузками Rs = 1 Ом
рехполюсником без потерь,
и Ri = 2 Ом:
k
С
k
H (s) (s2+6,77s4-1) (S2+1,85s+1)
В) Н s3 + 6s2 + 15s + 15 ’
7.17. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций четы-
рехполюсником без потерь, с двусторонними нагрузками = 1 Ом и
Ri = 0,25 Ом;
а) Н (s) = —-------; г) Н (s) =-----------------------------------;
s2 4- V2 s 4- 1 s3 4- 4sz + 6s 4- 3
£» b
в) //(s)='^+2s24-2s4- 1 ’
7.18. Написать машинную программу:
а) для определения, реализуема ли передаточная функция H(s) лест-
ничной RC- или LC-схемой;
б) для реализации H(s), если ответ в п. а) положительный.
7.19. Написать машинную программу для реализации всепропускающей пере-
даточной функции H(s)= p(—s)/p(s).
7.20. Написать машинную программу:
' а) для определения, реализуема ли передаточная функция H(s) четырех-
полюсником без потерь с двусторонней нагрузкой Rs и Ri, где Rs при-
обретает значение 0 или 1 Ом, а 0 Ri зС оо;
б) для реализации H(s) схемной конфигурацией Дарлингтона, если от-
вет в п. а) положительный.
8
Аппроксимация характеристики
фильтра
В гл. 7 мы изложили методы реализации заданных переда-
точных функций. В этой главе мы рассмотрим различные осо-
бенности передаточных функций и перейдем к получению пере-
даточных функций для некоторых известных семейств фильтров.
Проектируя фильтр, инженер сталкивается с необходимо-
стью согласовать требования к обработке сигнала с тем, что
можно реализовать имеющимися схемными средствами. Неред-
ко случается так, что введение в характеристики фильтра про-
стейших ограничений, направленных на удовлетворение постав-
ленных требований к обработке сигнала, приводит к тому, что
такой фильтр оказывается физически нереализуемым. В каче-
стве примера рассмотрим радио- или телевизионный приемник.
Передающая станция располагает полосой частот, называемой
каналом, в пределах которой она должна передавать свой сиг-
нал. В идеальном случае приемник должен принимать и подвер-
гать обработке любой сигнал, попадающий в канал, который
выделен данной станции, и полностью исключать из обработки
сигналы других частот. Следовательно, простейшим образом
сформулированные требования к квадрату модуля коэффициен-
та передачи приемника имеют такой вид1):
|Я(/®)|2 = Л ДЛЯ®1<®<©2,
| Н (fa) |2 = О для всех остальных частот,
где ®i ® ®2 — канал, в пределах которого должен прини-
маться сигнал. Однако ни одна линейная схема на сосредото-
ченных элементах не способна точно воспроизвести такую
передаточную функцию2). Это объясняется двумя причинами:
во-первых, любой линейный фильтр с сосредоточенными и неиз-
менными во времени параметрами, который содержит R, L, С и
активные элементы, описывается функцией передачи, являю-
щейся рациональной функцией частоты, и, во-вторых, значение
рациональной функции не может иметь постоянную величину в
пределах какой-либо полосы частот, если оно не характери-
*) Поскольку функция [//(/и))2 является четной, нам достаточно рассмо-
треть только область значений <о 0.
2) Обратите внимание на то,что фильтр, определяемый выражением (8.1),
является некаузальным и потому физически нереализуемым.
зуется постоянной величиной повсюду. Поскольку ни одна пере-
даточная функция физически реализуемой схемы не может
точно удовлетворить требования (8.1), остается лишь одна воз-
можность— искать для (8.1) аппроксимацию в виде физически
реализуемой передаточной функции.
К счастью, в практических применениях к фильтрам не
предъявляются столь строгие требования, как (8.1). Всегда воз-
можны отклонения от идеальных характеристик, хотя иногда
эти отклонения должны быть достаточно малыми. Так, напри-
мер, в случае упомянутого выше радио-и телевизионного прием-
ника прием можно считать удовлетворительным, если модуль
коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания откло-
няется от заданной величины А не более чем на ±5% и состав-
ляет менее 1% от А, или величину, уровень которой на 40 дБ
ниже для всех частот, которые удалены от краев полосы пропу-
скания <01 и ®2 более чем на 1/10 ширины полосы пропускания.
Таким образом,
0,95А 'С | Н I2 1,05 Д для ©i 'С ® ®2,
[ Я (/®) I2 < 0,01 А для ® — (|>2~-с’-' А <ол
И ДЛЯ О > (tig + Юг ^0~
0 ^[//(/’«) I2 1,05Д для сол < со <
и для <о2 < <о < <вв.
(8.2а)
(8.26)
(8.2в)
Обратите внимание на то, что выражение (8.2а) представляет
собой характеристику коэффициента передачи фильтра в полосе
пропускания, выражение (8.26) определяет коэффициент пере-
дачи в полосе задерживания, а выражение (8.2в) характеризует
ширину переходной полосы. Если прибегнуть к графическому
изображению, то значения |Я(/<в)|2 должны находиться в пре-
делах заштрихованной области, изображенной на рис. 8.1.
Осуществление реальной схемы, характеристики которой со-
ответствуют характеристикам фильтра, заданного выражениями
(8.2), как правило, выполняется с помощью следующей двух-
этапной процедуры:
Этап 1. Стадия проектирования-, найти устойчивую и физи-
чески реализуемую передаточную функцию, частот-
ные характеристики которой соответствуют задан-
ным характеристикам фильтра.
Этап 2. Стадия реализации: реализовать практической схе-
мой передаточную функцию, найденную на этапе 1.
В этой главе мы будем заняты решением проблем, связан-
ных со стадией проектирования. Различные стороны стадии
реализации обсуждаются в этой главе, а также в гл. 7 (методы
пассивной реализации), гл. 10 (методы активной реализации) и
гл. 12 и 13 (методы цифровой реализации).
В случае характеристик, описываемых выражением (8.2),
первый этап также включает решение задачи аппроксимации —
нахождения устойчивой и физически реализуемой передаточной
функции, которая будет аппроксимировать идеальные характе-
ристики, определяемые выражением (8.1) с учетом допусков,
определяемых выражением (8.2). Существует множество тео-
Рис. 8.1. Типичная характеристика фильтра.
рем, таких, например, как теорема аппроксимации Вейерштрас-
са, а также конструктивных алгоритмов, которые позволяют
аппроксимировать заданную функцию с помощью других. Эти
результаты могут быть использованы для решения наших задач
по проектированию фильтров. Однако это требует ряда матема-
тических методов, которыми не просто овладеть. Для решения
весьма распространенной инженерной задачи, связанной с ра-
счетом фильтра, коэффициент передачи которого должен иметь
заданные характеристики в различных частотных диапазонах,
имеются хорошо зарекомендовавшие себя методы проектирова-
ния, которые довольно легко использовать. Эти методы опи-
раются на ряд стандартных функциональных построений, кото-
рые позволяют реализовать основные функции фильтров. Все,
что требуется в случае их применения, — это надлежащий вы-
бор или определение для конкретно решаемой задачи соответ-
ствующих коэффициентов. Мы кратко обсудим ряд таких стан-
дартных типов фильтров.
Проектирование большинства этих стандартных типов филь-
тров начинается с их аппроксимации в виде фильтра нижних
частот с нормированной идеализированной характеристикой.
Нормированный идеальный фильтр нижних частот имеет еди-
ничный коэффициент передачи в полосе частот от 0 до 1 рад/с
и нулевой коэффициент передачи на всех частотах, больших
1 рад/с. Фазовый сдвиг для такого фильтра <р(®)А—
представляет собой линейную функцию, которая имеет единич-
ный тангенс угла наклона в полосе пропускания. Для частот,
превышающих 1 рад/с, фазовый сдвиг не имеет значения, по-
скольку на таких частотах фильтр все равно не пропускает
сигнала. Таким образом, нормированный идеальный фильтр
нижних частот определяется следующим образом:
= е~‘а для
Я(/со) = 0 для |и|> 1. 1 '
Модуль коэффициента передачи и фазовый сдвиг, определяе-
мые выражениями (8.3), изображены на рис. 8.2. Как только
получен фильтр нижних ча-
стот с нормированной идеа-
лизированной характери-
стикой, сразу же можно при-
менить подходящие частот-
ные преобразования с помо-
щью. которых этот базовый
фильтр нижних частот мо-
жет быть превращен в
фильтр верхних частот, по-
лосовой, заграждающий и
другие более сложные ча-
стотно-избирательные филь-
тры с несколькими полоса-
ми пропускания и задержи-
вания, а также иные филь-
тры нижних частот1).
Поскольку фильтрация
сигналов представляет со-
бой важную техническую
проблему, ей было уделено
серьезное внимание и най-
1 рад/с
нормированиых идеальных фильтров
иижних частот.
а — амплитудно-частотная; б—фазочастотная.
дено, что ряд аппроксима-
ций характеристик фильтра,
определяемого выражениями (8.3), отличаются особо удовле-
творительными качествами. Характеристики этих аппроксими-
рующих выражений были табулированы. Ниже перечислены
некоторые из распространенных типов фильтров2):
*) Не существует частотных преобразований (в форме рациональных
функций), способных преобразовать передаточную функцию фильтра нижних
частот в функцию всепропускающего фильтра.
2) Приводимые ниже характеристики относятся только к фильтрам ниж-
них частот.
1. Фильтр Баттерворта с монотонно убывающей амплитудной
частотной характеристикой при со 2=: 0.
2. Фильтр Чебышева с равноволновой в полосе пропускания
и монотонно убывающей в полосе задерживания амплитудно-
частотной характеристикой.
3. Инверсный фильтр Чебышева с монотонно убывающей в
полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания
амплитудно-частотной характеристикой.
4. Эллиптический фильтр (также известен как фильтр Кауэ-
ра, или двойной фильтр Чебышева1)) с равноволновой как в
полосе пропускания, так и в полосе задерживания амплитудно-
частотной характеристикой.
5. Фильтр Бесселя (также известный как фильтр с макси-
мально плоской характеристикой группового времени замедле-
ния), который построен на основе аппроксимации рядом Тей-
лора вблизи s = 0 линейной фазочастотной характеристики.
В этой главе мы рассмотрим некоторые особенности филь-
тров Баттерворта, Чебышева и Бесселя.
Вспомним, что на основе преобразования Гильберта в
разд. 3.2.1 утверждается, что минимально-фазовая цепь полно-
стью определяется либо функцией модуля, либо функцией фазы.
Это означает, что передаточная функция не может одновремен-
но аппроксимировать и амплитудно-частотную и фазочастотную
характеристики нормированного идеализированного фильтра
нижних частот. Фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсный
Чебышева и эллиптический аппроксимируют амплитудно-ча-
стотную, а фильтр Бесселя — фазочастотную характеристики
нормированного идеализированного фильтра нижних частот.
Прежде чем мы приступим к обсуждению различных по
амплитудно-частотной характеристике типов фильтров, рассмо-
трим некоторые основные свойства соответствующей функции
модуля передаточной функции. Квадрат модуля функции пере-
дачи H(s) определяется следующим выражением2):
|Я(/<о)р = Я(/<о)Я(^). (8.4)
Поскольку коэффициенты функции H(s) являются веществен-
ными,
Н~№) = Н (ja) = H (-ja). (8.5)
Следовательно, |Я(/со)|2 может быть вычислена, исходя из
|tf(/®)P = //(s)tf(-s)L,/a. (8.6)
]) А также как фильтр Золотарева — Кауэра. — Прим. ред.
!) Чтобы избежать извлечения квадратных корней, мы обычно оперируем
квадратом модуля функции.
Передаточная функция H(s) может быть всегда представлена
в виде произведения сомножителей первой степени, содержа-
щих полюсы и нули функции
Я (S) = ... _ (8.7)
(S — Pt) (s — р2) ...
Следовательно, функция H(s)H(—s) может быть записана
в виде произведения таких групп сомножителей, как
(s — Zj) (— s — = z2 — s2. (8.8)
Когда s = /©, правая часть выражения (8.8) приобретает вид
(zf+®2)-
ции H(s)
Таким образом, квадрат модуля передаточной функ-
всегда может быть записан в следующей форме:
, K2(o2 + z2)(W2 + 22)...
I Н (fa) I2 = Д , 2V V •
(® + Pl) (°> + P2) •
являются вещественными, то из
(8.9)
полюсы II
Если все
выражения (8.9) следует, что функция |7/(/<о) |2 положительна
и вещественна и, кроме того, является функцией от ы2. Давайте
теперь обратимся к случаю, когда некоторые или даже все по-
люсы и нули функции H(s) являются комплексными. Поскольку
комплексные полюсы и нули любой передаточной функции
должны встречаться в виде сопряженных пар1), давайте пред-
положим z2 == zj. Тогда сомножители, которые содержат Zi и z2,
можно сгруппировать совместно таким образом:
(to2 + z2) (to2 + z2) = со4 + со2 (z2 + z|) + z2z2. (8.10)
Если мы запишем
z1 = a1 + /fei, (8.11а)
где й1 и Ь\ являются вещественными числами, тогда
Z2 = tZ1 —/&1, (8.116)
z2-a2-\-2jalbi — b2, (8.11в)
z2 = a2 —2jalbl —b2. (8.11г)
Подставляя выражения (8.11) в (8.10), получим
(®2 + z2) (to2 + z2) = со4 + 2 (а2 - ь2) со2 + (а2 + fe2)2 =
= (и2 — Ь2)2 + а2 (2а2 + 2b2 + а2) 0 для всех а. (8.12)
*) Это случай, когда все коэффициенты передаточной функции являются
вещественными. Поскольку коэффициент передаточной функции представляет
собой суммы и произведения значений параметров схемных элементов, а зна-
чения параметров схемных элементов всегда вещественны, коэффициенты
передаточной функции любого пассивного и активного фильтров также всегда
вещественны. Следовательно, их комплексные полюсы и нули всегда появ-
ляются в виде сопряженных пар.
Следовательно, (со2 + z2) (со2 + z2) при z9 — zxявляется зависи-
мым от со2 полиномом с вещественными коэффициентами, при-
чем значение этого полинома больше нуля для всех веществен-
ных со1). Объединяя совместно все сомножители, получаем:
Теорема 8.1. Полиномы числителя и знаменателя квадрата
модуля функции передачи представляют собой полиномы от со2
с вещественными коэффициентами, причем значения этих поли-
номов больше нуля для всех вещественных значений со.
Требования, выражаемые теоремой 8.1, должны удовлетво-
ряться любой передаточной функцией. В процессе аппроксима-
ции амплитудно-частотной характеристики нормированного
идеализированного фильтра нижних частот мы должны обеспе-
чить, чтобы результирующая функция отвечала требованиям,
выражаемым теоремой 8.1. В противном случае аппроксими-
рующая передаточная функция окажется бесполезной, по-
скольку она будет физически нереализуемой.
8.1. Аппроксимация по Баттерворту
Одной из часто используемых аппроксимаций нормирован-
ного идеализированного фильтра нижних частот является ряд
функций Баттерворта. Функция Баттерворта n-го порядка
определяется в следующем виде:
В„(ш)=1/(1 +<о2,г), /1=1,2,.... (8.13)
Для любого значения п функция Баттерворта Вп(а>) характе-
ризуется определенными ранее и сформулированными в тео-
реме 8.1 свойствами квадрата модуля функции передачи:
и числитель и знаменатель этой функции являются полиномами
от со2 с вещественными коэффициентами, причем Вп((о)>О для
всех со. Следовательно, функция Баттерворта может представ-
лять амплитудно-частотную характеристику физически реали-
зуемой передаточной функции. Нормированный фильтр нижних
частот Баттерворта n-го порядка характеризуется следующим
выражением:
| И (/со) |2 = Вп (со) =1/(1 + со2«). (8.14)
График выражения (8.14) приведен на рис. 8.3. Обратите вни-
мание на то, что при и—>-оо амплитудно-частотная характерис-
тика Баттерворта приближается к идеализированной, которая
была приведена на рис. 8.2, а. По мере возрастания порядка п
’) Здесь мы по существу хотим сказать, что значение полинома больше
нуля для всех со, за исключением, возможно, конечного числа точек, в кото-
рых значение полинома равно нулю. Именно так это понимается далее.
Рис. 8.3. Амплитудно-частотные характеристики фильтров Баттерворта.
Рис. 8.4. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики фильтров
Баттерворта.
а~затухание в полосе пропускания; б—затухание в полосе задерживания.
фильтра Баттерворта коэффициент передачи в полосе пропус-
кания все в большей степени приближается к единице, переход-
ная область все в большей степени сужается, а в полосе задер-
живания функция передачи все ближе и ближе подходит
к нулю. Таким образом, п является параметром, выбор кото-
рого позволяет удовлетворить заданный набор требований
к фильтру в полосе пропускания и полосе задерживания. На
рис. 8.4 приведен еще один график выражения (8.14), на кото-
Рис. 8.5. Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта.
ром по вертикальной шкале откладываются децибелы. При по-
строении этого графика использовалось соотношение
|Я(/со)| дБ А — lOlog | Я (/со) [2. (8.15)
Фазочастотная характеристика
ср (со) А — /Я (/со) (8.16)
нормированного фильтра нижних частот Баттерворта л-го по-
рядка показана на рис. 8.5. Обратите внимание на то, что при
очень малых значениях со фазовая характеристика изменяется
почти линейно, особенно при малых значениях п.
8.1.1. Основные свойства
Анализ выражения (8.14) и рис. 8.3 показывает, что норми-
рованный фильтр нижних частот Баттерворта обладает сле-
дующими основными свойствами:
Свойство 1 фильтра Баттерворта. При любом п справедливы
такие соотношения:
|Я(/0)|2=1, | Я (/’1) |2 = 0,5 и | Я(/оо) |2== 0. (8.17)
Отсюда вытекает, что усиление на постоянном токе (величина
коэффициента передачи при <о = 0) составляет 1, а частота
среза по уровню 3 дБ равна 1 рад/с1).
Свойство 2 фильтра Баттерворта. Функции модуля передачи
фильтров Баттерворта монотонно убывают при со 0. Следо-
вательно, |Я(/<о) | имеет максимальное значение при со — 0.
Свойство 3 фильтра Баттерворта. Первые (2п—I) произ-
водные амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних
частот Баттерворта и-го порядка равны нулю при со = 0. По
этой причине фильтры Баттерворта также называются фильт-
рами с максимально плоскими (гладкими) амплитудно-частот-
ными характеристиками.
Рис. 8.6. Крутизна амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттер-
ворта n-го порядка на высоких частотах.
Свойство 4 фильтра Баттерворта. Крутизна амплитудно-час-
тотной характеристики фильтра Баттерворта n-го порядка на
высоких частотах составляет 20и дБ/декада (рис. 8.6).
Очевидность свойства 1 следует из выражения (8.14). Чтобы
показать справедливость свойства 2, продифференцируем выра-
жение (8.14) и получим
' (8Л8>
’) Частота среза <вс представляет собой частоту, на которой квадрат мо-
дуля функции передачи равен 0,5. Из этого следует, что Ыс можно вычислить
из следующего выражения: |7/(/о>с) 12= 0,5. Если перейти к децибелам, то w;
является точкой, для которой величина ослабления: —10 log|H(/wc) I2 =
= —101og(0,5)« 3 дБ.
Обратим внимание на то, что
| Н (fa) р = 21 Н (fa) |^_ । н (fa) |. (8.19)
Подставляя выражения (8.14) и (8.18) в выражение (8.19),
имеем
___________1________2п<о2""' ясо2""1
О Г 1 Т‘/2 (1+оЛ2 ~ [l+a2T2‘ { ’
. L1 + ш2<г J
Поскольку эта производная отрицательная для всех со > О,
|Я(/со) | является убывающей функцией от со при со 0. Спра-
ведливость свойства 3 может быть показана путем разложения
|Я(/со) |2 относительно со — 0 в биномиальный ряд или ряд
Тейлора *)
| Я (/со) |2 = 1 — со2" + со4" — .... (8.21)
Из выражения (8.21) получаем
= 0
1и=0
(8.22)
для k= 1, 2, ...» 2п—1. И наконец, для доказательства спра-
ведливости свойства 4 мы можем воспользоваться, исходя из
условия со 1, аппроксимацией
<8-23>
Если перейти к децибелам, то выражение (8.23) приобретает
такой вид:
— 10 log | Н (/со) |2~ — 10 log (1/со2") = 10 log co2" = 2On log со дБ.
(8.24)
8.1.2. Передаточная функция
Метод получения минимально-фазовой функции для задан-
ной функции модуля был изложен в гл. 3. Ради удобства при-
ведем здесь эту процедуру еще раз.
*) Разложение f(x) в ряд Тейлора относительно х = 0 имеет вид: f(x) =
— f (0) + f'(O)x + 0,5f"(0)x2... . Если f(x) = 1/(1 + х), то разложение при-
обретает вид: 1/(1+х)= 1 — х + х2 — х3 + ... . Разлагая (8.14) в ряд Тей-
лора вводим подстановку х = со2".
Этап 0. По заданной функции модуля фильтра Баттерворта
и-го порядка построим
h (s) А н (s) H(—s) = \H (/«) |2 |B==S// =
1 1
1 + “2" 1+(-l)n S2'1 ‘
(8.25)
Этап 1. Представить /z(s) в виде произведения полиномов
1-го и 2-го порядков. Из (8.25) следует, что h(s) не
имеет конечных нулей, а полюсы h(s) обладают
квадратной симметрией. Таким образом, числитель.
H(s) равен 1.
Этап 2. Воспользуйтесь для построения Н(s) теми сомно-
жителями, которые соответствуют полюсам, лежа-
щим в левой s-полуплоскости. Произведение этих
сомножителей образует знаменатель H(s).
Пример 8.1. Найдите передаточную функцию для нормированного фильт-
ра нижних частот Баттерворта 3-го порядка.
Решение. Следуем этапам процедуры построения, изложенным ранее для
п = 3.
Этап 0. Построить
Н (д) Н (- д) = | Н (ja) |2 |B=S// = 1/(1 - д').
Этап 1. Представить Н (д) Н (— д) в виде произведения
Н (д) Н (— д) = 1 (1 - д6) = 1/(д + 1) (д2 + д + 1) (— д + 1) (д2 - д + 1). (8.26)
В процессе представления в виде произведения окажется полезным восполь-
зоваться особенностями расположения полюсов Н(д)Н(—д).
Этап 2. Воспользуйтесь для построения сомножителями (д -|- 1) и
(д2 + д + 1), соответствующими полюсами левой д-полуплоскости,
Н (д) = 1/(д + 1) (д2 + s + 1).
Перемножьте эти сомножители между собой, чтобы получить выражение
Н (s) = 1/(д3 + 2д2 + 2д + 1), (8.27)
которое является передаточной функцией для нормированного фильтра ниж-
них частот Баттерворта 3-го порядка.
В основе этого процесса лежит представление —s)
в виде произведения. Обратите внимание на то, что полюсы
—s) являются решениями уравнения
(-l)”s2"+1=0. (8.28)
Рассмотрим сначала случай, когда значение п четно. Тогда
уравнение (8.28) сводится к виду
sitl + 1 = О,
= — I =е/(2*-1)я (8.29)
Im [si
a) n четно, ии одного полюса на вещественной оси, в данном случае п=4; 0=45°-
б) п нечетно, полюс расположен в s= —1, в данном случае гг=5, 0=36°.
где k — целое число. Следовательно, полюсами Sk функции
H(s)H(—s) являются
§k = cos [(2k — l)/2n] л + / sin [(2k — 1 )/2n] л =
= cos 0fe + j sin f)k, k = 1, 2, ..., 2n, (8.30)
где 0 = (2k — 1)n/2n и k = l, 2, ..., 2n. (8.31)
Положения этих полюсов показаны на рис. 8.7 для случаев
п — 4 и п = 5 соответственно. Обратите внимание на то, что
полюсы Sk' занимают те же позиции, что и sk, где
k'£.2mn-\-k, (8.32)
а т— целое число. Поскольку отсчет угла 0* начинается с ве-
щественной оси и ведется против часовой стрелки, маркировка
Рис. 8.8. Иллюстрация направлений последовательного изменения би и
полюсов начинается с первого квадранта или с правой s-полу-
плоскости (рис. 8.8). Однако нас прежде всего интересуют
полюсы, расположенные в левой s-полуплоскости. С целью вы-
явления одних только полюсов, лежащих в левой s-полуплоско-
сти, введем обозначение
SfeAsA+(n/2) и (8.33а)
eftA0fe+W2)-n/2. (8.336)
Если теперь подставим в (8.33) k=\, 2, ..., то найдем, что
измерение угла 0ft начинается с положительного направления
мнимой оси s-плоскости и ведется, как показано на рис. 8.8,
против часовой стрелки. Ввиду этого последовательное изме-
нение 0й вначале выявляет п полюсов, расположенных в левой
s-полуплоскости. При выражении через 0* полюсы H(s)H(—s)
из левой «-полуплоскости определяются следующим выраже-
нием:
S* Д Sk+(nl2) — COS 6fe+(n/2) + / sin 6fe+(n/2) =
=cos [6ft + (л/2)] + / sin [0* + (л/2)]=— sin 0fe+/ cos 0ft, где (8.34)
e* = (2fc —l)n/2n, (8.35)
a k= 1, 2, ..., n. Обратите внимание на то, что полюсы s^n,
расположенные в правой s-полуплоскости, определяются вы-
ражением
П = sin + i cos (8.36)
где Од определяется выражением (8.35), a k = 1, 2, ..., п. Ана-
логично можно показать, что полюсы H(s)H(—s), расположен-
ные в левой s-полуплоскости, также определяются выраже-
ниями (8.34) и (8.35), где п — нечетное число в выражении
(8.28). Следовательно,
sk — Gk~\~ (8.376)
crfe == — sin Од, (8.37в)
(ok = cos 0ft, (8.37r)
A = 1,2.......n. (8.37д)
Обратите внимание на то, что
| sk I2 == + “д ==sin2 ед + CPS2 efe = 1 • (8.38)
Следовательно, полюсы 7Z(s) расположены на окружности еди-
ничного круга1). Если sk — вещественный полюс, то
Од = л/2 и sk = — 1. (8.39)
С учетом (8.37д) выражение (8.39) может иметь место лишь
тогда, когда п — нечетное число. С другой стороны, если sk—
комплексный полюс, то sk (величина, комплексно-сопряженная
с Sk) также является комплексным полюсом, и произведение
(s — sk) и (s — Sk) будет равно
(s — Sk) (s — Sk) = (s — Gk — i®k) (s — Gk + /®д) =
= s2 — 2crfes + = s2 +(2 sin 6ft)s + 1- (8.40)
*) Единичным кругом называется круг с радиусом, равным единице, и
центром, расположенным в начале координат.
С учетом (8.39) и (8.40) можно записать выражение (8.37а)
в виде
п/2
= П з* + (21ГпЧ)з + 1 ГДе п чеТН0’ И <8-41а>
fe=i '
(п-1)/2
Я(я)=-(ГПУ II '^ + (2~sin\)s+l ’ где «нечетно, (8.416)
а Ой задается выражением (8.37д). Так, например, передаточ-
ная функция нормированного фильтра нижних частот Баттер-
ворта 2-го порядка определяется следующим выражением:
Н (s) = —-------!---------=-------, (8.42а)
s2 + [2 sin (л/4)] s + 1 s2 + V2s + 1
а передаточная функция 3-го порядка выражением
Н = (s+ 1) s2 + [2 sin (л/6)] s + 1 = (s+ 1) (s2 + s+ 1) ’ (8-426)
С помощью выражения (8.38), согласно которому модули
полюсов Баттерворта равняются единице, и выражения (8.37д),
согласно которому фазовые углы полюсов распределены на
плоскости с постоянным шагом, можно определить графически
положения полюсов нормированного фильтра нижних частот
Баттерворта n-го порядка следующим образом:
1. Построить на s-плоскости единичный круг.
Пусть 6Ал/п. Отсчитывая углы против часовой стрелки
от положительного направления мнимой оси, провести ра-
диальные линии под углами 6/2; 30/2; 50/2, ...
..., [(2п—1)/2]0.
Точки пересечения этих радиальных линий с окружностью
единичного круга дают положения полюсов H(s). См., на-
пример, рис. 8.7, где это выполнено для случаев п — 4
и п = 5. Если п — нечетное число,, то точка s = —1 яв-
ляется полюсом H(s).
Когда шкала частоты фильтра нижних частот выбирается
с таким расчетом, что его частота среза составляет со рад/с,
а не 1 рад/с, полюсы перемещаются вдоль радиальных линий
До соответствующих точек на окружности радиусом а>с. Таким
образом, нормирование частоты, которое будет обсуждаться
позже, не изменяет характера диаграммы расположения полю-
сов и нулей, если не считать изменения ее масштаба.
8.1.3. Схемная реализация
Как видно из выражения (8.41), передаточная функция
фильтра нижних частот Баттерворта и-го порядка характери-
зуется двумя важными свойствами:
1. Полином знаменателя представляет собой полином Гур-
вица.
2. Все нули передачи располагаются в точках s = 00. Сле-
довательно, для реализации фильтров Баттерворта могут ис-
пользоваться схемы Дар-
лингтона, приведенные в
разд. 7,3. В настоящем раз-
деле мы остановимся на бо-
лее эффективной схеме — че-
тырехполюснике без потерь,
нагруженном со стороны
обоих входов на резисторы
Rs — 1 Ом и Ri, как обсуж-
далось в разд. 7.3.2. По-
скольку все нули передачи
располагаются в точках s=
= 00, сопряженное ZBX(s)
для этого четырехполюсни-
ка без потерь реализуется
первой формой Кау-
эра — последовательными
катушками индуктивности и
параллельными конденсато-
рами. Таким образом, на
рис. 8.9 показаны схемы
фильтров Баттерворта в
виде пассивных делителей напряжения. Рис. 8.9, а относится
к случаю Ri Rs = 1 Ом, рис. 8.9,6 — к случаю Ri Rs —
= 1 Ом, а рис. 8.9,е — к случаю Ri = Rs = 1 Ом1).
При выборе минимально-фазовых коэффициентов отражения
и соответствующем выборе сопряженного ZBX(s) значения схем-
ных элементов Ci, £2, С3, £4, ..., {£1, С2, £3, 64, • • •,} опреде-
ных элементов Ci, £2, Сз> £4, - • •, {£1, С2, £3, 64,
ляются следующим набором рекуррентных формул
С„-Д„ (8.43а)
где (8.436)
*) Для простоты мы предположили, ЧТО Rs = 1 Ом. Чтобы получить Rs
любой заданной величины, можно воспользоваться механизмом нормирования
по сопротивлению,
h = [(Ri — V)/(Ri + l)]1/n для рис. 8.9, a, (8.44a)
Л = [(1 — +/?г)]1/п для рис. 8.9, б, (8.446)
= 2 sin (лг/2/г) и (8.44в)
Рг = 2 cos (л,/2га) при (8.44г)
Ci==cti/[7?/(l — Л.)] для рис. 8.9, а, (8.45а)
'Ll = alRi/(l—Л) для рис. 8.9, б, (8.456)
( 1, 2, ..., (п— 1)/2, когда п нечетно, е
т = \ . „ /п (8.45в)
( 1, 2, ..., п/2 когда п четно.
Чтобы начать рекурсивный процесс в соответствии с форму-
лой (8.43) для т=\, 2, ..., рассчитываем С\ для рис. 8.9, а
{£i для рис. 8.9,6} по формуле (8.45). При т= 1 выражение
(8.43а) дает t2 {б2}, а выражение (8.436)—в свою очередь С %
{£3}. Повторяя вычисления по (8.43а) и (8.436) при т = 2,
получаем £4 и С$ {С4 и £5}. Эту процедуру можно повторять
до тех пор, пока не будут получены параметры всех необходи-
мых схемных элементов.
В случае когда Ri — Rs, применима любая из схем, приве-
денных на рис. 8.9, а и б. В этом случае результирующая схема
будет обладать некоторыми симметричными свойствами, кото-
рые позволят записать параметры схемной структуры фильтра
нижних частот Баттерворта, двигаясь слева направо, как пока-
зано на рис. 8.9, в, где параметры схемных элементов опреде-
ляются следующими формулами:
Ст = 2 sin [(2m—1)л/2га[, т нечетно, и (8.46а)
Lm == 2 sin [(2m — 1) л/2п], т четно, (8.466)
где т=1, 2, ..., п. Обратите внимание на то, что формулы
(8.46) могут быть получены из выражений (8.43) путем подста-
новки (8.45) при Ri = 1 Ом. Для удобства приведена табл. 8.1,
в которой даны значения параметров схемных элементов для
схемы рис. 8.9,в при Rt = 1 Ом и при га = 1, 2, .... 9.
Таблица 8.1
Значения элементов для схемы рис. 8.9, в
п С, L1 С3 Lt Cs L6 с7 Is С,
1 2,0000
2 1,4142 1,4142
3 1,0000 2,0000 1,0000
4 0,7654 1,8478 1,8478 0,7654
5 0,6180 1,6180 2,0000 1,6180 0,6180
6 0,5176 1,4142 1,9319 1,9319 1,4142 0,5176
7 0,4450 1,2470 1,8019 2.0000 1,8019 1,2470 0,4450
8 0,3902 1,1111 1,6629 1,9616 1,9616 1,6629 1,1111 0,3902
9 0,3473 1,0000 1,5321 1,8794 2,0000 1,8794 1,5321 1,0000 0,3473
8.1.4. Примеры
Пример 8.2. Необходимо построить нормированный фильтр нижних ча-
стот, который должен отвечать следующим условиям:
1) в полосе пропускания
I Н (/0,5) |2 > 0,9; (8.47а)
2) в полосе задерживания
I Н (/2) |2 < 0,01. (8.476)
Спроектировать простейший фильтр Баттерворта при Rs — Ri — \ Ом.
Решение. Во-первых, определим порядок фильтра Баттерворта, который
необходимо выбрать, чтобы удовлетворить условиям (8.47). Вспомним, что
модуль функции передачи нормированного фильтра Баттерворта n-го порядка
определяется «выражением
I Я (/а) |2 = 1/(1 + а2”). (8.48)
Следовательно, условие (8.47а) подразумевает, что
1/[1 + (0,5)2"] > 0,9 или п>2. (8.49а)
Аналогично условие (8.476) подразумевает, что
1/(1 + 22”) <0,01 или «>4. (8.496)
Чтобы удовлетворить условиям (8.47), необходим фильтр Баттерворта чет-
вертого порядка. Используя выражение (8.34), можно определить, что по-
+— 1 Ом 1,8478 Г 0,7654 Г Г
:0,7654V : :7,8478Ф,„ Г / ОмУ
Рис. 8.10. Схема реализации фильтра, заданного в примере 8.2.
люсы в левой s-полуплоскости нормированного фильтра Баттерворта четвер-
того порядка имеют следующие координаты:
Si = — sin (л/8) 4- / cos (л/8) = — 0,3827 + /0,9239, (8.50а)
з2 = — sin (Зл/8) + / cos (Зл/8) = — 0,9239 + /0,3827, (8.506)
з3 — — sin (5л/8) + j cos (5л/8) — — 0,9; 39 — /0,3827, (8.50в)
s4 = — sin (7л/8) + / cos (7л/8) = — 0,3827 — /0,9239. (8.50г)
Следовательно, передаточная функция заданного фильтра определяется таким
выражением:
Н (з) = 1/(3 — Si) (з — з2) (з — з3) (з — S4) =
= 1/[(з — з() (з — з4)1 [(з — з2) (з — Зз)] =
= 1/(з2 + 0,7654s + 1) (s2 + 1,8478s + 1) =
= l/(s4 + 2,6131s3 + 3,4142s2 + 2,6131s + 1). (8.51)
*) Можно либо вычислить значение п, которое будет удовлетворять усло-
виям (8.47), либо воспользоваться графиком на рис. 8.3.
С помощью табл. 8.1 и рис. 8.9, в находим схемную реализацию требуемою
фильтра, которая удовлетворяет условиям обработки сигнала (8.47). Эта
схемная реализация показана на рис. 8.10.
Пример 8.3. Предположим, что необходимо построить нормированный
фильтр с максимально плоской характеристикой и ослаблением в полосе про-
пускания менее 0,5 дБ при 0 со 0,5 рад/с, а в полосе задерживания ме-
нее 20 дБ вплоть до частоты со 4 рад/с. Найдите требуемую схему фильтра,
если a) Ri = 2Rs, б) Ri = 0,5 Rs.
Решение. Во-первых, определим порядок п фильтра Баттерворта, который
необходимо выбрать, чтобы удовлетворить поставленным условиям. Характе-
ристики в полосе пропускания и полосе задерживания подразумевают, что
- 10 log {!/[ 1 + (0,5)2”]} < 0,5 и (8.52а)
- 10 log [ 1/( 1 + 42п)] > 20. (8.526)
После некоторых алгебраических преобразований выражений (8.52) или в ре-
зультате обращения к графику на рнс. 8.4 найдем, что при п 2 удовлетво-
ряются условия (8.52). Следовательно, требуется фильтр Баттерворта второго
порядка. Это означает, что требуемая передаточная функция определяется
следующим выражением:
Н (з) = 1/(з2 + ^2 s + 1). (8.53)
Для случая а), при котором Ri — 2RS, мы воспользуемся схемой со струк-
турой, приведенной на рис. 8.9, а, где Rs = 1 Ом и Ri = 2 Ом. Значения
параметров схемных элементов и Е2 определяются выражениями (8.43)—
(8.45), которые в данном случае приобретают вид
Л = (|^1)1/2 = 0,58, (8.54)
2 sin (л/4)
2(1 -0,58)
1,67 Ф.
(8,55а)
сца-з __ 4 sin (л/4) sin (Зл/4)
1 — Ж + Л2 “ 1 — 0,58 [2 cos (л/2)] + (0,58)2
следовательно,
L2 = 1,5/Ci = 0,90 Г. (8.556)
Схема требуемого фильтра изображена на рис. 8.11, а.
Когда Ri — 0,5Rs, воспользуемся схемой, структура которой изображена
на рис. 8.9, б, где Rs = 1 Ом и Ri = 0,5 Ом. В этом случае значения парамет-
ров элементов £i и Сг могут быть получены из следующих выражений:
Л = (0,5/1,5)1/2 = 0,58, (8.56)
Л =«1Лг/(1 - Л) = 1,67 Г, (8.57а)
С2 = 1,5/Л = 0,90 Ф. (8.576)
Результирующая схема изображена на рис. 8.11,6*).
Обе схемы на рис. 8.11 представляют собой физическую реализацию пере-
даточной функции (8.53) и, следовательно, удовлетворяют условиям, задан-
ным выражениями (8.52).
*) Обратите внимание на то, что схемы на рис. 8.11, а и б являются
диальнымш ~
10м 0,90V
4:/,67Ф 2О»П^л
+ -
~9 <YV'' । +
£67 Г
;;QgQ? 0,50м [1 Кам
6
Рис. 8.11. Схема реализации фильтра, заданного в примере 8.3.
Рис. 8.12. Амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышева,
с) п—5; б) а=»б.
8.2. Аппроксимация по Чебышеву
Фильтр, подобный фильтру Баттерворта, в котором все сте-
пени свободы используются для получения амплитудно-частот-
ной характеристики с плоским участком в начале координат,
может оказаться не лучшим решением. Во многих случаях
важнее иметь аппроксимацию, которая обладает равномерно
хорошим качеством на протяжении всей полосы пропускания.
Фильтр, имеющий подобные равномерные аппроксимирующие
свойства, — это фильтр Чебышева. Коэффициент передачи
фильтра Чебышева в полосе пропускания колеблется между
двумя значениями (рис. 8.12). Число волн этих колебаний, ко-
торые укладываются в полосе пропускания, зависит от по-
рядка га фильтра. Амплитуда колебаний этого коэффициента
передачи является свободным параметром.
8.2.1. Полиномы Чебышева
В нескольких последующих разделах будет показано, что
характеристики фильтров Чебышева определяются полиномами
Чебышева. В этом разделе мы рассмотрим некоторые основные
свойства полиномов Чебышева.
Полином Чебышева га-го порядка определяется выражением
(со) Д cos (га cos"1 со). (8.58)
Чтобы доказать, что Т„(®) является полиномом, зависимым
от со, введем промежуточную переменную
х A cos-1 со. (8.59)
Тогда
Тп (®) — cos rax. (8.60)
При использовании наряду с (8.59) и (8.60) некоторых триго-
нометрических тождеств, получим следующие выраженйя-
То (со) = cos 0 = 1, (8.61а)
Т\ («>) = cos х = cos (cos-1 со) = со, (8.616)
T2(co) = cos 2x = 2cos2x — 1 = 2co2 — 1, (8.61в)
(°) = cos Зх = — 3 cos х + 4 cos3 x = — Зсо + 4co3, (8.61г)
Т’4(со)= 1 — 8 cos2x-|- 8cos4x = 1 — 8co2 + 8co4. (8.61д)
Воспользовавшись рекуррентным тригонометрическим соотно-
шением
cos [(га + 1)х] = 2 cos rax cos х — cos [(га — 1) х], (8.62)
можно получить рекуррентную формулу полинома Чебышева
Тп+1 (со) = 2соГ„ (со) - (со), «==1,2,... (8.63)
Исходя из того что 7о(а>) = 1 и 71 (со) = со, можно, многократно
используя выражения (8.63), найти полиномы Чебышева более
высоких порядков.
Учитывая выражения (8.58) — (8.63), можно показать, что
полином Чебышева и-го порядка обладает следующими свой-
ствами:
1. Для всех значений п справедливо
0<| Тп(а) 1 при 0 со 11 (8.64)
и | Тп (со) | > 1 при |со|>1. (8.65)
2. Тп{ао) монотонно возрастает при й>1 и при всех п.
3. Тп(а) является нечетным (четным) полиномом, зависи-
мым от со, если п является нечетным (четным) числом.
4.
I Тп (0) | = 0, когда п нечетно, (8.66а)
и | Тп (0) | = 1, когда п четно. (8.666)
Для |со|^ 1 значение функции arccosco является веществен-
ным углом. Следовательно, Т„(а>) представляет собой косинус
Рис. 8.13. Полиномы Чебышева.
вещественного угла. Это означает, что значение Тп(а>) перио-
дически изменяется в пределах от —1 до +1 при |со|^1.
Для | со | > 1 функция arccos со представляет собой мнимую ве-
личину и cos (и arccos со) является гиперболическим косинусом
вещественного угла. Поскольку гиперболический косинус изме-
няется в пределах от 1 до оо, то 1 < 17\(со) | < оо для | со | > 1.
Следовательно, свойство 1 действительно имеет место.
Используя то обстоятельство, что и ch(-) и arcch(-) яв-
ляются монотонно возрастающими функциями своих аргумен-
тов, можно показать, что свойство 2 действительно имеет место.
Свойства 3 и 4 истинны, если учесть выражения (8.63). Выра-
жения (8.61) позволяют показать наличие этих свойств у кон-
кретных примеров. В качестве отдельных иллюстраций на
рис. 8.13 приведены графики функции Тп(о>) от со для п^1,
2, 3 и 4.
8.2-2. Фильтры Чебышева
В отличие от функций Баттерворта полиномы Чебышева не
обладают всеми свойствами функции модуля, которые пере-
числены в теореме 8.1. Однако их можно использовать для
конструирования передаточных функций, которые аппроксими-
руют амплитудно-частотные характеристики нормированных
идеализированных фильтров нижних частот. Функция передачи
для фильтра нижних частот должна стремиться к нулю при
(0->оо. Таким образом, полиномы Чебышева должны быть
одной из компонент полиномов знаменателя функции передачи
фильтра. Подходящей функцией квадрата модуля функции пе-
редачи фильтра будет
|Я(Ш =
1
1 + е.2Т2п (©)
(8.67)
где е представляет собой свободный параметр, который уста-
навливает величину неравномерности передачи (рис. 8.12).
При использовании квадрата функции еТп((о) и числитель
и знаменатель |/7(/а>)|2 являются полиномами, зависимыми от
со2, и имеют положительные значения. Следовательно, функция
(8.67) удовлетворяет всем требованиям к функции модуля, ко-
торые содержатся в теореме 8.1. Это означает, что из выраже-
ния (8.67) может быть извлечена приемлемая функция пере-
дачи. Так что далее мы будем называть фильтр, который имеет
функцию квадрата модуля, соответствующую (8.67), нормиро-
ванным фильтром нижних частот Чебышева (или, короче,
фильтром Чебышева) n-го порядка. Исходя из выражения
(8.67) и свойств полиномов Чебышева можно утверждать, что
нормированный фильтр нижних частот Чебышева n-го порядка
обладает следующими основными свойствами:
Свойство 1 Чебышева. Для |<в|^1 значения функции
|Д(/со) |2 колеблются между двумя пределами 1/(1 + е2) и 1.
В общей сложности на интервале 0 со 1 имеется п кри-
тических точек, в которых функция |77(/<о)[2 достигает
максимального значения, равного 1, или минимального значения,
равного 1/(1 + е2). Это является причиной того, что фильтры Че-
бышева также называются равноволновыми фильтрами. В ка-
честве примеров на рис. 8.14 приведены графики функции
|7/(/ш)|2, определяемой выражением (8.67) на участке
1. Обратите внимание на то, что ширина равноволно-
вой полосы пропускания в нормированном случае составляет
1 рад/с. Если 1/(1 + е2) > 0,5, что соответствует обычному слу-
чаю, то частота среза по уровню 3 дБ со- для нормированного
фильтра нижних частот Чебышева будет больше 1 рад/с.
Порядок гг от 1 до 15
Рис. 8.15. Характеристики затухания фильтров Чебышева.
а—неравномерность передачи в полосе пропускания 0,1 дБ; б—неравномерность передачи
в полосе пропускания 0,2 дБ; в—неравномерность передачи в полосе пропускания 0,3 дБ;
г—неравномерность передачи в полосе пропускания 0,5 дБ; д- - неравномерность передачи
в полосе пропускания 1 дБ; е — неравномерность передачи в полосе пропускания 1,5 дБ;
яс —неравномерность передачи в полосе пропускания 2 дБ; з—неравномерность передачи
в полосе пропускания 2.5 дБ; и —неравномерность передачи в полосе пропускания 3 дБ.
Свойство 2 Чебышева. При со 1 функция |А7(/со) |2 моно-
тонно убывает и стремится к нулю. Крутизна спада на высоких
частотах составляет 20п дБ/декада.
Рис. 8.156.
Свойство 3 Чебышева. Функция квадрата модуля фильтра
Чебышева n-го порядка удовлетворяет следующим уравнениям:
|Я(/1)|2-1/(1+в2), (8.68)
|Я(/0)|2='1, если п нечетно, (8.69а)
и | Н (jO) р = 1/(1 + 82), если» четно. (8.696)
Если заданы характеристики полосы пропускания и полосы
задерживания, то можно определить колебательный параметр 8
i’nc. 8.15в.
И порядок п фильтра Чебышева. Обычно вместо величины в
задается выраженная в дБ максимальная величина относи-
тельно затухания ЛмаКс в полосе пропускания, где
Лмакс дБ д - 10 log [1/( 1 + 82)] = 10 log (1 + 82). (8.70)
Следовательно, колебательный параметр е определяется как
е = Vю^макс/10) _ 1. (8.71)
Порядок а от / до 15
рад/с
г
Р'ис. 8.15г.
Выбор порядка п фильтра Чебышева определяется на основе
других критериев, таких, как крутизна спада на высоких час-
тотах в децибелах, желательная частота среза, стоимость (до-
пустимое число элементов) и другие факторы.
На рис. 8.15 приведены графики функций затухания фильт-
ров Чебышева для различных величин неравномерности пере-
дачи в полосе пропускания; эти графики можно использовать
при проектировании фильтров.
Порядок п от Igo 15
д
Рис. 8.15д.
Пример 8.4. Предположим, что нам необходимо спроектировать норми-
рованный равноволновый фильтр нижних частот, отвечающий следующим
требованиям:
1) Максимальное относительное затухание в полосе пропускания (нерав-
номерность передачи) составляет 1 дБ.
2) Частота среза <вс 1,2 рад/с.
3) Затухание в полосе задерживания равно по крайней мере 40 дБ при
<о 4 рад/с.
Найдите требуемую функцию модуля.
Порядок п am I до 15
е
Рис. 8.15е.
Решение. Используя выражение (8.71), имеем
в = V1O0,1 — 1 = 0,5088. (8.72)
Чтобы определить порядок фильтра Чебышева, который необходим для удо
влетворения заданных условий, можно воспользоваться либо выражением
(8.67) и е, задаваемым выражением (8.72), либо можно использовать графики,
приведенные на рис. 8.15, д. Выбирая последний вариант, находим, что усло-
вие 2 подразумевает, что п 2, тогда как условие 3 требует, чтобы п 3.
Следовательно, фильтр Чебышева третьего порядка с в, определяемым выра-
жением (8.72), будет удовлетворять всем заданным требованиям.
Порядок п от Igo 15
Ж
Рис. 8.15ж.
Исходя из (8.61), имеем
Г3 (ш) = — Зш + 4ш3. (8.73)
Подставляя выражения (8.72) и (8.73) в формулу (8.67), получим требуемую
функцию квадрата модуля передачи
1 + е1 2Гд (w) 1 + 0,2589 (- Зш + 4ш3)2
= 4,14ш6 - 6,21 о4 + 2,33ш2 + 1 • (874)
Порядок п от 1 до 15
со, рад/с
3
Рис. 8,15з.
8.2.3. Передаточная функция
Как и в случае фильтра Баттерворта передаточная функция
фильтра Чебышева имеет одни только полюсы — числитель ее
представляет собой постоянную величину и, следовательно, не
содержит нулей при конечных значениях частоты. Полюсы
фильтра Чебышева располагаются на эллипсе, а не на окруж-
ности, как это имеет место в случае фильтра Баттерворта.
Порядок ti от1до15
Большая ось этого эллипса проходит по мнимой оси s-плоско-
сти, тогда как малая ось — вдоль вещественной оси. Совер-
шенно очевидно, что чем уже эллипс, тем ближе располагаются
полюсы к мнимой оси и, следовательно, тем более сильное
влияние будет оказывать каждый полюс, т. е. тем заметнее
будут колебания частотной характеристики. Таким образом,
заданная величина неравномерности передачи окажет силь-
ное влияние на расположение полюсов результирующей
передаточной функции, причем чем больше неравномерность,
тем уже будет выглядеть эллипс.
Чтобы выявить расположение полюсов передаточной функ-
ции фильтра Чебышева n-го порядка, придется вначале выпол-
нить некоторую аналитическую работу. Подставляя выражение
(8.58) в формулу (8.67), получим следующее выражение функ-
ции модуля нормированного фильтра нижних частот Чебышева
n-го порядка
| Н (/со) I2 =-±-----=--------—------------- . (8.75)
1 + е2Т2 (со) 1 + е2 cos2 (я arccos со)
Определим следующим образом комплексную переменную:
| = а + /р A arccos (s/j), (8.76)
где s = o + /co. Обращая соотношение (8.76), имеем
(1//) [о + /®] = cos [а + /₽] или
s = о + /со — j cos а ch р + sin а sh р. (8.77)
Приравнивая друг другу вещественные и мнимые составляю-
щие правой и левой частей выражения (8.77), получим
со = cos a ch р, (8.78а)
o=sinashp. (8.786)
Подставляя выражение (8.76) в (8.75), найдем
h (s) A Н (s) Н (- s) = | Н (fa) ]2 U// =
14-е2 cos2 [п arccos (s/j)] 1 4- е2 cos2 (ng) ' (®*79)
Следовательно, полюсы h (s) являются корнями уравнения
1 + е2 cos2 ng = 0 или
(1 + /е cos ng) (1 — /е cos riQ = 0. (8.80)
Корни уравнения (8.80) совпадают с корнями
1 ± /е cos ng = 0. (8.81)
Решение уравнения (8.81) эквивалентно решению
cos ng = cos [па + /пр] =~ cos па ch пр — j sin па sh пр = ± (7/е).
(8.82)
Приравнивание друг другу вещественных и мнимых составляю-
щих правой и левой частей уравнения (8.82) дает
cosnachnP = 0, (8.83а)
sin na sh пр = ± (1/е), (8.836)
что приводит к следующим решениям:
ak = ± [(2k — 1)/2п] л, (8.84а)
• Р* — ± (1/n) Arsh (1/е), (8.846)
где k — положительное целое число. Следовательно, с учетом
выражения (8.78) полюсы передаточной функции Чебышева
n-го порядка определяются таким выражением: sk —ck-\-jtok,
где1)
ck = — sh[(l/n) Arsh(I/e)] sin * n’ (8.85a)
= ch [(1/n) Arsh (I/e)J cos л (8.856)
и k*=\, 2, .... n. Используя тригонометрическое тождество
sin2 x -j- cos2 x — 1, из выражений (8.85) получаем
_________।________: , (8.86)
sh2 [(1/n) Arsh (1/e)] 1 sh2 [(1/n) Arsh (1/e)]
Анализ выражения (8.86) позволяет заключить, что все полюсы
sfc = о/г + /сщ располагаются на эллипсе s-плоскости, у кото-
рого
малая ось = аДsh[(l/n)Arsh(1/e)], (8.87а)
большая ось==&ДсЬ[(1/и) Arsh(l/e)]. (8.876)
Таким образом, если известны значения е и п, то можно опре-
делить полюсы нормированного фильтра нижних частот Чебы-
шева. На рис. 8.16 изображен такой эллипс, у которого вер-
тикальная и горизонтальная полуоси обозначены как b и а со-
ответственно, причем b и а можно также выразить и в следую-
щем виде:
6=т{['\/тг+1+4] +EV1+v + 4] }• (8.88а)
°“Т{ [ V?+> + 4]'”-[Л/Г+? + 4] '"}• (8-88«)
Координаты полюсов на эллипсе можно геометрически связать
с двумя баттервортовскими окружностями с радиусами а и Ь.
Вертикальные координаты полюсов фильтра Чебышева «-го по-
рядка равны вертикальным координатам соответствующих
полюсов фильтра Баттерворта n-го порядка, расположенных на
окружности большего круга (радиусом Ь), тогда как горизон-
’) Это полюсы функции h(s)= расположенные в левой «-по-
луплоскости.
Рис. 8.16. Графическое построение чебышевских полюсов.
X чебышевские полюсы; □ баттервортовские полюсы на большей окружности; А баттер-
вортовские полюсы на меньшей окружности.
тальные координаты чебышевских полюсов совпадают с соот-
ветствующими координатами баттервортовских полюсов, рас-
положенных на окружности меньшего круга (радиусом а). На
рис. 8.16 показаны все необходимые линии построения, позво-
ляющего найти координаты фильтра Чебышева. Если учесть
связь между координатами баттервортовских и чебышевских
полюсов, то фильтр Чебышева и-го порядка будет иметь отри-
цательный вещественный полюс при s — —а, если п нечетное
целое число.
Чтобы найти передаточную функцию И (s) нормированного
фильтра нижних частот Чебышева по заданной функции квад-
рата модуля, определяемой (8.67), снова воспользуемся тремя
следующими этапами:
Этап 0. Образуем —s) = 1/[1 + е2Т2п (s//)].
Этап 1. Находим полюсы —s). Это можно выполнить
либо графически, строя фигуру, аналогичную построенной на
рис. 8.16, для набора заданных значений п и е, или аналити-
чески по выражению (8.85).
Этап 2. Для построения Н (s) используются сомножители,
связанные с полюсами, которые расположены в левой s-полу-
плоскости. Таким образом, передаточная функция определяется
выражением
Н (s) = П ’ (8.89)
Полюсы в левой s-полу-
плоскости
где sk при k= 1, 2, ..., п определяется выражением (8.85).
Пример 8.5. Найти передаточную’функцию для фильтра Чебышева треть- его порядка с неравномерностью передачи в полосе пропускания 1 дБ. Решение. Поскольку ЛмаКс = 1 дБ, выражение (8.71) дает
е = 0,5088. (8.90)
Из математических таблиц мы находим
Arsh (1/е) = Arsh 1,9652 = 1,4280.
Поскольку п = 3,
(1/и) Arsh (1/в) = 1,4280/3 = 0,4760. (8.91)
Снова из математических таблиц находим
sh [(1/л) Arsh (1/е)] =0,4942, (8.92a)
ch [(1/n) Arsh (1/е)] = 1,1154. (8.926)
Используя выражение (8.85), имеем
<ji = — 0,4942 sin*(n/6) = — 0,2471, (8.93a)
«1 = 1,1154 cos (л/6) = 0,9660, (8.936)
cr2 — — 0,4942 sin (л/2) = — 0,4942, (8.94a)
со2 = 1,1154 cos (л/2) = 0, (8.946)
о3 = — 0,4942 sin (5л/6) = — 0,2471, (8.95a)
со3 = 1,1154 cos (5л/6) = — 0,9660. (8.956)
Это означает, что полюсы имеют такие координаты:
Si = -f- /ей] = — 0,2471 /0,9660, (8.96a)
«2 = <Т2 + /со2 = — 0,4942, (8.966)
ss = <Т3 + /®з = — 0,2471 — /0,9660. (8.96b)
Следовательно, требуемая передаточная функция определяется
И (s) = - — - = (S - si) (s - s2) (s - s8) (s + 0,4942) [(s + 0,2471)2 + (0,9660)2j
(8.97)
S3 + 0,9883s2 4- 1,2384s + 0,4913 ’
8.2.4. Схемная реализация
Согласно выражению (8.89), фильтр нижних частот Чебы-
шева n-го порядка характеризуется передаточной функцией
с одними полюсами, имеющей в знаменателе полином Гурвица.
Это означает, что для реализации фильтра Чебышева можно
использовать (упрощенную) процедуру синтеза Дарлингтона,
которая приведена в разд. 7.3. В частности, поскольку все нули
передачи расположены при s = оо, для реализации четырехпо-
люсника без потерь используется первая форма Кауэра. Типич-
ная конфигурация схемы, реализующей передаточную функцию
Рис. 8.17. Схемная конфигурация фильтров иижних частот Чебышева.
по напряжению фильтра Чебышева, изображена на рис. 8.17.
Вводя следующие обозначения:
a = + I)2, когда п нечетно, (8.98а)
и а = [4/?z/(7?z + Ifni +е2]=С1, когда п четно, (8.986)
где Ri — произвольная величина, за исключением случая, когда
п четно и Ri должно удовлетворять ограничению в виде нера-
венства (8.986), и принимая
щ — 2 sin (га/2и), (8.99а)
Pz = 2 cos (га/2/г), (8.996)
v=[4-+V5+TT (8-99в)
«=[VI?+VI^+ *Г- <8-99г)
х = у —(1/у) и (8.99д)
^/ = 6 —(1/6), (8.99е)
значения параметров схемных элементов рис. 8.17 можно найти
из следующих рекуррентных соотношений:
= (8.Ю0а)
<8-100б>
причем
Ci = 2а,/(х — у),
где функция bt (х, у) определяется как
bi (х, у) Ах2 — foxy + у2 + tfci и
/г = 1,2, — 1)/2, когда п нечетно,
= 1,2, ..., (и/2), когда п четно.
(8.100в)
(8.100г)
(8.100д)
По заданным параметрам пне фильтра Чебышева мы мо-
жем рассчитать все зависимые переменные в уравнениях (8.99).
С помощью выражения (8.100в) можно определить Сь При
известном значении С\ и т=\ можно использовать (8.100а),
чтобы найти Lt, а затем воспользоваться выражением (8.1006),
чтобы найти С8. Затем нужно взять т = 2 и повторить весь
процесс с использованием формул (8.100а) и (8.1006). Этот
процесс можно повторять каждый раз при увеличении на оче-
редную единицу. Ради удобства в табл. 8.2 и 8.3 приведены
Таблица 8.2
Значения схемных элементов в фильтрах Чебышева
при Аыакс — 0,1 дБ
i п Hi Ci Lt Сз Lt Cs Li Ci La C9
1,0 0,3052
2 0,5 1,5715 0,2880
3 1,0 1,0316 1,1474 1,0316
4 0,5 2,3545 0,7973 2,6600 0,3626
5 1,0 1,1468 1,3712 1,9750 1,3712 1,1468
6 0,5 2,5561 0,8962 3,3962 0,8761 2,8071 0,3785
7 1,0 1,1812 1,4228 2,0967 1,5734 2,0967 1,4228 1,1812
8 0,5 2,6324 0,9285 3,5762 0,9619 3,5095 0,8950 2,8547 0,3843
9 1,0.1,1957 1,4426 2,1346 1,6167 2,2054 1,6167 2,1346 1,4426 1,1957
Таблица 8.3
Значения схемных элементов в фильтрах Чебышева
ПРИ 4макс = 1 Дв
п Hi Ci Li Сз Lt с, Lt c7 Ze c,
1 1,00 1,0177
2 0,25 3,7779 0,3001
3 1,00 2,0236 0,9941 2,0236
4 0,25 4,5699 0,5428 5,3680 0,3406
5 1,00 2,1349 1,0911 3,0009 1,0911 2,1349
6 0,25 4,7366 0,5716 6,0240 0,5764 5,5353 0,3486
7 1,00 2,1666 1,1115 3,0936 1,1735 3,0936 1,1115 2,1666
8 0,25 4,7966 0,5803 6,1592 0,6005 6,1501 0,5836 5,5869 0,3515
9 1,00 2,1797 1,1192 3,1214 1,1897 3,1746 1,1897 3,1214 1,1192 2,1797
значения параметров схемных элементов для рис. 8.17. Табл.8.2
соответствует случаю, когда ЛмаКс = 0,1 дБ, а табл. 8.3 — слу-
чаю, КОГДа Лмакс = 1 дБ.
8-2.5. Примеры
Пример 8.6. Спроектировать и найти схемную реализацию фильтра Чебы-
шева, удовлетворяющего условиям примера 8.4.
Решение. Из примера 8.4 известно, что заданным условиям удовлетворяет
фильтр Чебышева третьего порядка с неравномерностью передачи в полосе
пропускания 1 .дБ. Из табл. 8.3 следует, что соответствующая схемная кон-
фигурация дана на рис. 8.18. Действительно, анализ схемы на рис. 8.18 пока-
VBX
1 Ом W 0,99 Г' - ОмГ^
2,02 Ф = : 2,02 Ф - — ч а——.. —. _ -
Чзых
Рис. 8.18. Схема реализации заданного в примере 8.6 фильтра.
зывает, что схема имеет передаточную функцию /7(s) = 0,245/(s3 ф-0,99s2
ф-1,24s ф-0,49), которая представляет собой сомножитель с постоянным чис-
лителем передаточной функции, полученной в примере 8.4.
Пример 8.7. Предположим, что необходимо спроектировать равноволно-
вый фильтр нижних частот со следующими характеристиками:
1) Неравномерность передачи в полосе пропускания составляет 0,1 дБ,
а ширина полосы пропускания равна 1 рад/с.
2) Для о 6 рад/с коэффициент передачи по крайней мере на 20 дБ
ниже.
Найти схему фильтра.
1,57Ф
0,5 Ом
<?26>Г
Рис. 8.19. Схема реализации заданного в примере 8.7 фильтра.
Решение. Сначала найдем порядок фильтра Чебышева, который будет
удовлетворять заданным требованиям. Рассматривая расчетные графики па
рис. 8.15,а, найдем, что все заданные требования будут удовлетворять филь-
тру Чебышева второго порядка. Обращаясь к рис. 8.17 и табл. 8.2, найдем,
что требуемая схема будет иметь конфигурацию, которая изображена на
рис. 8.19.
8.2.6. Эллиптические фильтры
Фильтры Баттерворта и Чебышева имеют передаточные
функции, которые по форме представляют собой постоянную,
деленную на полином. Это означает, что все пули передачи рас-
полагаются в s = оо. В некоторых случаях это не будет
идеальным решением. Встречаются обстоятельства, когда жела-
тельно иметь конечные нули передачи. В 1931 г. Кауэр показал,
что можно получить гораздо лучшую аппроксимацию идеали-
зированных амплитудно-частотных характеристик фильтров
нижних частот, если использовать фильтр с конечными нулями
передачи. Он нашел, что при надлежащем выборе нулей и по-
люсов можно спроектировать фильтр с равноволновым зату-
ханием как в полосе пропускания, так и в полосе задержива-
ния. Поскольку координаты нулей в таких фильтрах опреде-
ляются эллиптическими функциями классической теории поля,
эти фильтры часто называют эллиптическими. Другое их
название — фильтры Кауэра, поскольку впервые их описание
появилось в работе Кауэра.
Исходный момент проектирования эллиптических фильтров
аналогичен процессу, с которого начинается расчет фильтров
Чебышева. Функция передачи эллиптического фильтра
ляется следующим выражением:
[77(/co)f = l/EH-e2/?®(co)],
где рациональная функция /?п(со) имеет вид1)
n , ч « И - СО2) («2 - СО2) . . . («1 - СО2)
(1-со2со2)(1-со2а>2)...(1-со2со) ’
когда п нечетно, a k — (n— 1)/2, и
(cof - со2) (со2 - со2) .., (со| - со2)
опреде-
лю!)
(8.102а)
*п (ю) (! _ (! _ ф _ •
когда п четно и k = п!2, где
0 < со; < 1 для i — 1,2, ..., k.
Сопряженные пары критических частот общим числом
S=±/CO; и s=±/(l/coz) для /==1,2, ...,k
имеют два следующих свойства:
|Я(/Ч)12=1 и
(8.1026)
(8.102в)
2k
(8.103)
2=о.
(8.104а)
(8.1046)
*) Обратите внимание на то, что полюсы и н}'ли функции Rn(s)
симметричными относительно частоты среза сос = 1 рад/с.
являются
t
Рис. 8.20. Амплитудно-частотные характеристики эллиптических фильтров.
с—аппроксимация идеализированных характеристик; б—пример эллиптического фильтра
пятого порядка.
Учитывая выражения (8.102в) и (8.1046), легко показать, что
нули передачи нормированного эллиптического фильтра распо-
лагаются на частотах, больших 1 рад/с, т. е. в полосе задер-
живания.
Расчетными параметрами эллиптических фильтров являются
критические частоты со/, где i = 1, 2, ..., k, и е. Эти параметры
выбираются с таким расчетом, чтобы удовлетворялись требо-
вания к функции передачи
Д1 И (/со) ]2<; 1 для |со|<соС1 (8.105а)
и | Н (/со) |2 А2 для | со |>сос2, (8.1056)
(рис. 8.20, а), где coci — граничная частота полосы пропускания,
а сос2 — граничная частота полосы задерживания и
сос, < 1 < сос2, (8.106а)
сос1сос2=1. (8.1066)
Сравнивая выражения (8.101) с выражением (8.105а), получим
А1==1/(1 + е2Д2), (8.107)
где А является максимальным значением |/?„(со)[ для |со|^
сощ. Из выражения (8.102) имеем
/?„(!/<»)= !//?„(«>). (8.108)
Это означает, что минимальное значение [2?„(со)| для [со|^
«g; Юс2 равно 1/А. Следовательно, выражение (8.1056) требует,
чтобы
А2 = 1/[1 + (е2/А2)].
(8.109)
Получение расчетных параметров со;, 1=1, 2, ..., k, и е, ко-
торые удовлетворяют заданным условиям (8.107) и (8.109),
является довольно сложной процедурой, и здесь мы ее не при-
водим1). Пример эллиптического фильтра пятого порядка, ко-
торый удовлетворяет условиям (8.105) при А = 0,9, Л2 = 0,1,
Ис1 = 0,940 рад/с и соС2 — 1,064 рад/с, приведен на рис. 8.20,6.
8.3. Аппроксимация по Бесселю
Фильтры Баттерворта, Чебышева и эллиптический аппрок-
симируют функцию передачи идеализированного фильтра ниж-
них частот. В ряде других ситуаций, с которыми приходится
сталкиваться инженерам, более важно аппроксимировать фа-
зочастотную характеристику, которая определена на рис. 8.2,6.
Проще всего требования к линейности фазовой характеристики
или постоянству группового времени замедления идеализиро-
ванного фильтра можно связать с полиномами передаточной
функции, записав передаточную функцию в полярной форме,
т. е.
Я (/со) = 7? (со) + ]Х (со) = | 77 (/со) | ехр [j/Н (со)~| ==
= ехр [— а (со) — /<р (со)], где (8.110)
— а (со) Д In | Я (/со) | и (8.111)
Ф (со) = — arctg [X (со)//? (со)] = - /Я (/со). (8.112)
Обратите внимание на то, что с арктангенсом функции ф(со)
в выражении (8.112) работать не легко. К счастью, функция
*) Подробнее эта процедура рассмотрена в работах [1, 2, 9, 10], пере-
численных Ь литературе к настоящей главе.
группового времени т(со), которая выражается в такой форме:
т (со) = dq> — — (d/d<n) arctg X (^)/R («) =
1 I d(0 ' ' dv> I
~ 1 _L x2 <a) L R2 (°>) -I —
Я2 (co)
_ x (°>) К' (°>) — R(<o)X' (co) .. .
“ I //(/CO) I2 ’ <8-113)
представляет собой рациональную функцию и легче поддается
преобразованиям и манипуляциям; штрих в качестве верхнего
индекса обозначает производную по со. Если потребуется по-
строить фильтр с линейной фазовой характеристикой, то нужно
получить фильтр, функция группового времени которого будет
иметь постоянную величину.
Вспомним, что 7? (со) является четной функцией, а А’(со)—
нечетной функцией и что производная четной функции сама
является нечетной функцией, и наоборот. Кроме того, известно,
что произведение как двух четных, так и двух нечетных функ-
ций является четным. Таким образом, функция т(со) является
четной. Далее, функция группового времени т(со) представляет
собой отношение двух полиномов, зависимых от со2. Следова-
тельно, задача нахождения функции т(со), которая аппроксими-
рует постоянную, лишь немногим отличается от задачи нахож-
дения функции | Н(/со) |2, которая представляет собой аппрок-
симацию постоянной в пределах полосы пропускания. Прежде
чем перейти к рассмотрению технических особенностей фильт-
ров по обработке фазы сигналов, необходимо указать, что не
все фазовые фильтры рассчитываются так, чтобы они обладали
линейной фазовой характеристикой. Например, большинство
фазоопережающих, фазозапаздывающих и нелинейных фазо-
корректирующих схем не имеют линейной фазовой характе-
ристики.
8.3.1. Передаточная функция
Прямой подход к проектированию аппроксимирующего по-
линома для фильтра нижних частот с максимально плоской
характеристикой группового времени состоит в следующем.
Предположим, что общий вид передаточной функции такого
фильтра — это функция только с одними полюсами
// / с), = ,_ а° =------—-----------, где
Со -f- a^s -f- Сг®2 + ... + an—iSn ^sn М2 (s) -|- (s)
(8.114)
M2 (s) = «0 + «2s2 + ••• И (8.115a)
JV2(s) = a1s + a2s3+ ... (8.1156)
являются четными и нечетными частями знаменателя H(s).
Следовательно, Н (s) можно записать в таком виде:
„ , ч _____ар_________ ар [М2 (s) — /У2 (s)J _
W М2 (S) + N^s) Ml (s) - Nl (s)
= -----1--7 (sj = M (s) 4- w (s),
Ml (s) - Nl (s) Ml (s) - Nl (s) V ’
M(s)A —°°Мг (s)--- и
Ml{s}-Nl^
N(s)A
Ml (s) - Nl (s)
где (8.116)
(8.117а)
(8.1176)
являются соответственно четной и нечетной частями
H(s). Таким образом,
R («) A Re [Н (/со)] = а°^(/со)-----
V U Ml(]a>) - Nl (/со)
X (co) A Im [H (/co)] = - =
. 1 (/co) - n22 (/co)]
_ . a0/V2 (/co)
7 /И| (/co) - Nl (/co)
и
| H (/CO) |2 — ---------=-----
Л/| (/co) — Af| (/co)
функции
(8.118а)
(8.1186)
(8.118в)
Путем подстановки выражений (8.118) в выражение (8.113)
результирующее выражение может быть упрощено и преобра-
зовано к следующему виду:
/И2 (s) n'2 (s) — N2 (s) M2 (s)
Ml (s) - Nl (s)
т
(8.119)
где штрих в качестве верхнего индекса обозначает производную
по s. Используя выражение (8.115), перепишем выражение
(8.119) в следующем виде:
т /jS X___ aoai + (3g0g3 — а^} в2 + (бар^з — 3aia« + «2Д3) s4 + ...
k / Z йо + (2йоа2 ~ й1) ®2 + (2й0й4 ~ 2й1йз + а|) s4 + ...
(8.120)
Рассмотрим теперь конкретный случай: в выражении (8.114)’
п = 3, тогда выражение (8.120) принимает вид
s_\_____________аоа! + (Зар — aia2) s2 + аг£4________
1 ) а1 + (2й0й2 — й1) ®2 + (— 2й1 + ®4 — ®6
(8.121)
Предположим, что желательно рассчитать фильтр с единич-
ным групповым временем замедления —т(0)=1. В этом слу-
чае в соответствии с выражением (8.111) требуется, чтобы
а0 = ai, так как
т (0) = afijal = ajao. (8-122)
Следовательно, оптимальная тейлоровская аппроксимация по-
стоянного единичного группового времени замедления дости-
гается путем приравнивания к нулю возможно большего числа
производных функции ошибки
е (s/j) А т (s/j) — т (0) = т (s/j) — 1 =
(За, - За^ + a?) s2 + (а2 + 2а, - я|) s4 + s6
а, + (2a,a2 — a2) s2 + (— 2а, + а2) s4 — s6
чтобы последняя исчезала при s = 0. Следуя другим путем,
можно достичь того же, вынуждая функцию ошибки иметь воз-
можно большее число нулей при s = 0. Это эквивалентно тому,
что приравнять нулю все коэффициенты в полиноме числителя,
за исключением коэффициента при члене со старшей степенью
e(s/j), Последний подход позволяет получить систему урав-
нений
3 — Зй2 + щ = 0, (8.124а)
а2~(-2а1 — а'^ = 0. (8.1246)
Обратите внимание на то, что система (8.124) является
системой нелинейных уравнений с двумя неизвестными й] и й2.
Решение системы (8.124) дает а2 = 6 и йо = Oi = 15. Таким
образом, требуемая передаточная функция имеет вид
Н = а0 + ats + a2s2 + s3 = 15+ 15s + 6s2 + s8 ' 1
Этот метод является оптимальным. Однако, когда порядок
фильтра высок, очень трудно получить совокупный набор ре-
шений для системы нелинейных уравнений, подобных (8.124),
которая неизбежным образом появляется в случае использова-
ния этого метода.
Приведенный выше метод решения не отличается строй-
ностью, однако он иллюстрирует коренную процедуру, лежа-
щую в его основе. На практике очень часто не бывает коротких
и простых методов, способных заменить весьма громоздкие
и требующие значительных затрат времени процедуры.
К счастью, в данном случае был открыт весьма простой путь.
Установив соответствие между знаменателем передаточной
функции, имеющей только одни полюсы, и особым классом по-
линомов Бесселя, удалось получить фильтр группового времени
с максимально плоской характеристикой. Фильтр такого типа
называется фильтром Бесселя. Если говорить точнее, то фильтр
нижних частот Бесселя n-го порядка характеризуется переда-
точной функцией
Н (s)~ k/Bn(s), (8.126)
где finis') представляет собой полином Бесселя п-й степени
и k Д Вп (0). Зная полином Бесселя при п — 1 и п “ 2 как
Bi(s) = s+1 и (8.127а)
B2(s) = s2 + 3s + 3, (8.1276)
полином Бесселя n-го порядка можно найти с помощью сле-
дующей рекуррентной формулы:
Вп (s) = (2п - 1) B«_i («) + s2Bn_2 (s). (8.128)
Так, например,
В3 (s) = (6 - 1) В2 (s) + ^Bi (s) = 5 (s2 + 3s + 3) + s2 (s + 1) =
= s3 + 6s2 + 15s + 15. (8.129)
Подставляя выражение (8.129) в выражение (8.126), получим
передаточную функцию (8.125). На рис. 8.21 приведены фазо-
вые характеристики и характеристики группового времени для
фильтров нижних частот Бесселя л-го порядка, от п = 1 до
п = 10. Следует отметить, что в пределах между п = 0
и п = 1 рад/с все фильтры Бесселя порядка п 2 очень хо-
рошо аппроксимируют линейную фазовую характеристику
рис. 8.2,6.
Обратите внимание на то, что фильтр Бесселя с передаточ-
ной функцией (8.126) даст только единичное групповое время
замедления
т(0) = 1. (8.130)
Если желательно иметь
т(О) = то^=1, (8.131)
необходимо выполнить преобразование1)
s I—> tos или (8.132а)
cot—»т0®, (8.1326)
где <□—>» означает знак замены s на то8 пли со на то®. По су-
ществу преобразование (8.132) сводится к изменению горизон-
*) Символ «I—>» будет в последующих разделах использоваться доволь-
но часто, особенно в разд. 8.4 и в гл. 12.
еоо
Рис. 8.21. Фазочастотные характеристики фильтров Бесселя (я); характери-
стики группового времени фильтров Бесселя (б).
тального масштаба фазовых характеристик фильтра Бесселя
в 1/то раз при сохранении вертикального масштаба неизмен-
ным. Следовательно, тангенс угла наклона, равный 1, или
Д<р(®)/Д®=1, (8.133)
становится равным тангенсу угла наклона
По этой причине мы обозначаем горизонтальную ось рис. 8.21
символом то<о рад помимо ее обозначения ® рад/с. Таким об-
разом, передаточная функция фильтра нижних частот с линей-
ной фазовой характеристикой и групповым временем замедле-
ния То имеет следующий вид:
Н (s) = k/Bn (tos),
fe = Bn(0).
(8.135)
(8.136)
Такая форма H(s) гарантирует, что результирующий фильтр
будет иметь функцию передачи НЧ-типа. Степень знаменателя,
входящего в выражение (8.135), зависит от требований, предъ-
являемых к фильтру, и прочих соображений. Чем больше
величина п, тем лучше результирующий фильтр будет аппрок-
симировать групповое время величиной то единиц в пределах
широкой полосы частот; это иллюстрирует рис. 8.21,6.
Пример 8.8. Найти передаточную функцию фильтра нижних частот вто-
рого порядка с максимально плоской характеристикой группового времени и
т(0) = 3.
Решение. Мы решим эту задачу двумя путями. Первый метод опирается
на процедуру приравнивания нулю коэффициентов при степенях s, тогда как
второй использует полиномы Бесселя и процедуру изменения масштаба шкалы
частот в соответствии с (8.132).
Предположим, что передаточная функция H(s) имеет такую форму:
. H(s) = k/(s2 + bis + b0). (8.137)
Согласно выражению (8.119), функция групповой задержки определяется сле-
дующим выражением:
' а \_ (s2 + &о) bt — bts (2s)
,i)~ ^ + ьоу-ь^
Введем определение
e(s) At (у) -t (0) = т (у) — 3 =
- 3s4 + (3b] -by- 6&0) s2 + b0 (by - 360)
Следовательно, необходимо положить
ЗЬ2 — by —• 660 = 0 и
by — 3bo — 0.
Решая систему уравнений (8.140), получим
6, = 1 и &0=1/3.
(8.138)
(8.139)
(8.140а)
(8.1406)
(8.141)
Подставляя выражение (8.141) в выражение (8.137), получим требуемую пере-
даточную функцию Н (s) в следующем виде:
ь 1
Н (s) = s2 + s + (1/3) 3s2+3s+l * (8Л42)
Другой путь решения этой задачи основывается на использовании выражения
(8.135) и приводит к получению такой же передаточной функции
н (s) = k _________________________== k = 1
S B2(3s) (3s)2 + 3 (3s) + 3 9s2 + 9s 4-3 3s2 4-3s 4-1
8.3.2. Расчет и реализация
Единственным расчетным параметром фильтров Бесселя
является порядок п. Выбор п производится с таким расчетом,
чтобы удовлетворить заданные требования как к фазовым ха-
рактеристикам, так и к характеристикам затухания.
Пример 8Л). Найти фильтр Бесселя низшего порядка, удовлетворяющий
следующим требованиям:
1) т(0)= 1 с.
2) т(<о) имеет менее чем 1%-иую ошибку при <о 2 рад/с.
3) I Н 12 0,5 при <о 2 рад/с.
Рис. 8.22. Характеристики затухания фильтров Бесселя.'
Решение. Из рис. 8.21,6 найдем, что фильтр с я = 5 удовлетворяет усло-
виям 1 и 2. Чтобы учесть условие 3, построим на рис. 8.22 график характе-
ристик затухания фильтров Бесселя. С помощью графиков на рис. 8,22 опре-
деляем, что условие 3 может быть удовлетворено при я>8. Таким образом,
заданным требованиям может удовлетворить фильтр Бесселя восьмого по-
рядка.
Пример 8.10. Найти фильтр Бесселя низшего порядка, удовлетворяющий
следующим требованиям:
1) т(0)= 2 с.
2) т(о) имеет менее чем 1%-ную ошибку при « < 2 рад/с.
3) | Н (до) |2 0,2 при <о^2 рад/с.
Решение. На основе условия 1 видно, что условия 2 и 3 являются экви-
валентными условиям:
а) т(<о) имеет менее чем 1%-ную ошибку при Toto С 4 рад.
б) |Н(ко) |2 0,2 при т0о> > 4 рад.
Из рис. 8.21,6 следует, что условие а) удовлетворяется, когда я Хэ 7, а
условие б) требует, чтобы п 5 (рис. 8.22). Следовательно, необходим фильтр
Бесселя седьмого порядка.
Фильтры Бесселя в том аспекте, в каком они рассматри-
ваются в настоящем разделе, представляют собой фильтры
нижних частот с нулями передачи при s = оо. Следовательно,
для реализации результирующей передаточной функции можно
воспользоваться упрощенной процедурой синтеза Дарлингтона
с первой формой Кауэра в том виде, как это рассматривалось
Рис. 8.23. Основная схема фильтров нижних частот Бесселя.
в разд. 7.3. Основная конфигурация схемы для этого случая
дается на рис. 8.23. Для случая единичного группового вре-
мени замедления при со — 0, когда передаточная функция опре-
деляется выражением (8.126), значения параметров схемных
элементов приводятся в табл. 8.4.
' Таблица 8.4
Значения схемных элементов в фильтрах Бесселя
Й Ct . Lr Сз 1*4 С5 Сб с7 18 С,
1 2,0000
2 1,5774 0,4226
2 1,2550 0,5528 0,1922
4 1,0598 0,5116 0,3181 0,1104
5 0,9303 0,4577 0,3312 0,2090 0,0718
б 0,8377 0,4116 0,3158 0,2364 0,1480 0,0305
7 0,7677 0,3744 0,2944 0,2378 0,1778 0,1104 0,0375
8 0,7125 0,3446 0,2735 0,2297 0,1867 0,1387 0,0855 0,0289 -
9 0,6678 0,3203 0,2547 0,2184 0,1859 0,1506 0,1111 0,0682 0,023Ь'
Пример 8.11. Предположим, что необходимо спроектировать фильтр Бес-
селя второго порядка с единичным групповым временем замедления при
8 = 0. Спроектировать схему и проверить полученный результат.
Решение. В соответствии с выражениями (8.126) и (8.127) передаточная
функция фильтра Бесселя второго порядка определяется следующей функ-
цией:
Н (s) = k/(s2 + 3s + 3). (8.143)
Воспользовавшись рис. 8.23 и табл. 8.4, найдем, что схемная реализация
функции (8.143) приведена на рис. 8.24, а.
Чтобы показать, что схема на рис. 8.24, а является реализацией выраже-
ния (8.143), примем VBX = I и преобразуем результирующую схему к виду,
в котором она показана на рис. 8.24, б. Анализ методом узловых напряжений
где L = 0,4226 и С = 1, 5774.
(8.144а)
(8.1446)
10м 0,4226 Г J +
-.-1,5774 V
» -----------------------------------------------1 "
а
Рис. 8.24. Схема реализации фильтра Бесселя второго порядка (д) и ее экви-
валентная схема (б).
Подставляя выражение (8.1446) в выражение (8.144а), получим Увых =
= l,5/(s2 4- 3s + 3), следовательно, передаточная функция будет иметь вид
^(s) = l,5/(s2 + 3s + 3), (8.145)
и, таким образом, схема иа рис. 8.24, б реализует фильтр Бесселя второго
порядка.
Фильтры Бесселя аппроксимируют максимально плоскую
характеристику постоянного группового времени замедления.
В этом отношении они аналогичны фильтрам Баттерворта, ко-
торые аппроксимируют постоянную максимально плоскую ам-
плитудно-частотную характеристику. Можно также аппрокси-
мировать равиоволновую характеристику группового времени
замедления (аналогично фильтру Чебышева, аппроксимирую-
щему равноволновую амплитудно-частотную характеристику).
Однако здесь мы не будем обсуждать фазовые фильтры этого
типа.
8.3.3. Переходные фильтры
Хотя фильтр Бесселя дает фазовый сдвиг, который отли-
чается значительно большей линейностью, чем у фильтров Бат-
.терворта и Чебышева, амплитудно-частотная характеристика
передачи у фильтра Бесселя не имеет достаточно крутого
среза1). Имеется один класс фильтров, которые обеспечивают
промежуточное решение, имеющее лучшие амплитудно-частот-
ные характеристики среза, чем фильтры Бесселя, и лучшие
фазочастотные характеристики, чем фильтры Баттерворта.
Этот компромисс достигается путем размещения полюсов
фильтра между полюсами фильтров Баттерворта и Бесселя.
В качестве примера рассмотрим фильтр Баттерворта вто-
рого порядка с полюсами в —(1/V2 )±/(l/V2 )> как это
определяется в выражении (8.42а). Фильтр Бесселя второго
порядка имеет полюсы в — (3/2) ± j ( V3/2 ) (см. пример 8.11).
Фильтр Баттерворта нормируется таким образом, чтобы ра-
диус-вектор его полюса равнялся бы 1. Прежде чем получить
компромиссный фильтр, нормируем фильтр Бесселя таким об-
разом, чтобы радиус-вектор его полюса был, так же как
и у фильтра Баттерворта, равен 1. Это требует нормирования
частоты путем деления ее на д/З. (Подробнее нормирование
частоты мы рассмотрим позже.) Полученная в результате пе-
редаточная функция нормированного фильтра Бесселя второго
порядка будет определяться следующим выражением:
1 ______________________1_______________
+^+1"G+4+4)G+4-4)'
(8.146)
Переходный фильтр будет иметь полюсы между
— -^=-±/-^=-полюсами фильтра Баттерворта
л/з^ • 1
и---g— ± /у полюсами фильтра Бесселя
(8.42а)
(8.146).
Фильтр, полюсы которого расположены посередине между
баттервортовскими и бесселевскими полюсами, имеет переда-
точную функцию
Нг (s) ---------=____-___________J_________ ___________
f Уз + V2 1 + V2 V 4. Уз + V2 1 +У2 \
V1 4 4 Д+ 4 7 4--)
= l/(s2 + 1,5731s + 0,9830). (8.147)
Переходные фильтры с передаточной функцией, подобной
(8.147), часто оказываются лучшими фильтрами для тональных
*) Сравнивая характеристики на рис. 8.3 и 8.22, мы видим, что фильтры
Баттерворта, имеющие тот же самый порядок п, что и фильтры Бесселя, от-
личаются значительно более крутым срезом характеристики. Также известно
и то, что фильтры Чебышева, имеющие тот же порядок п, что и фильтры
Баттерворта, отличаются более крутым срезом.
посылок (в системах связи), поскольку хорошая фазовая харак-
теристика ограничивает искажения низким уровнем. С другой
стороны, выделение тональных посылок требует достаточно хо-
рошей амплитудно-частотной характеристики.
8.4. Основные преобразования частот и схем
Несмотря на то что большая часть наших обсуждений до
настоящего момента концентрировалась на нормированных
НЧ-структурах, это вовсе не означает, что именно они относятся
к наиболее распространенному типу фильтров. В действитель-
ности причины ограниченности наших обсуждений связаны со
следующими" обстоятельствами: 1) нормированные фильтры
нижних частот относятся к фильтрам, которые легче реализо-
вать, чем какие-либо другие фильтры; 2) большинство требо-
ваний, предъявляемых к полосовым, заграждающим фильтрам
и к фильтрам верхних частот, а также к другим фильтрам ниж-
них частот, легче всего реализовать путем соответствующего
преобразования нормированной НЧ-структуры. На рис. 8.25
показаны две процедуры проектирования фильтров, которые по
своим характеристикам отличаются от нормированного НЧ-про-
тотипа.
8.4.1. Преобразование НЧ—” НЧ
Этот процесс иногда называют масштабированием по час-
тоте или денормированием по частоте. Все передаточные функ-
ции, которые мы обсуждали до настоящего момента, относи-
лись к фильтрам нижних частот с частотой среза, равной
1 рад/с. Материал, излагаемый в настоящей главе, окажется
совершенно бесполезным, если не будет найден простой путь
для преобразования частоты среза НЧ-прототипа, которая
равна 1, в другие значения. К счастью, это довольно легко
выполнить. Предположим, что нам необходимо получить час-
тоту среза ®с рад/с. Все, что для этого необходимо сделать,
это заменить каждый символ в передаточной функции НЧ-про-
тотипа на ®/®с. Результирующая передаточная функция НЧ
будет иметь частоту среза ®с. Так, например, фильтр нижних
частот Баттерворта n-го порядка с единичной шириной полосы
(частота среза равна 1) будет иметь передаточную функцию,
квадрат модуля которой выражается в следующем виде1):
| 77w(/co) |2= 1/(1 + со2"). (8.148)
*) N обозначает нормированный НЧ-прототип.
Ввод: требования к фильтрам нижних частот, полосовому, загра-
ждающему и верхних частот
I
Рис. 8.25. Две процедуры проектирования фильтров.
Фильтр нижних частот Баттерворта п-гв порядка с шириной
полосы ©с будет иметь аналогичную функцию в такой форме:
l + w^- <8Л49>
Для того чтобы показать, что выражение (8.149) определяет
фильтр с частотой среза ®с, мы просто определим частоту ®3дб,
на которой уровень передачи снижается на 3 дБ. В этой точке
должно удовлетворяться следующее уравнение:
“ 10 10g |1^(!чпорн)1|2 = 3’ (8‘150)
где G»onopiI = 0 Для фильтров нижних частот
= оо для фильтров верхних частот (8.151)
= 0 или оо для заграждающих фильтров
= центральной частоте для полосовых
фильтров
После ряда алгебраических преобразований найдем, что
“здб = ®с- (8.152)
Следовательно, частота среза в точке 3 дБ равна ®с. При час-
тотном преобразовании
st-> (s/ac) или (8.153а)
G>t->((o/coc) (8.1536)
конденсатор емкостью С Ф, используемый в схеме с единичной
шириной полосы и имеющий сопротивление 1/s С, преобра-
зуется в ветвь схемы, имеющей полосу ®с и сопротивление
, . , (8.154а)
(з/ос) С S (С/ыс)
Чему соответствует конденсатор с емкостью С/®с Ф. Катушка
индуктивности в схеме с единичной шириной полосы имеет со-
противление sL, а ее аналог в схеме с полосой ®с имеет сопро-
тивление
(s/coc)£ = s(L/®c) (8.1546)
й, следовательно, представляет собой катушку индуктивности
с индуктивностью L Г. В случае преобразования частоты, опре-
деляемого выражением (8.153), сопротивления резисторов и ре-
зистивных элементов остаются без изменений1).
’) Класс резистивных элементов включает гираторы, все четыре типа
управляемых источников и операционные усилители. Параметры этих элемен-
тов остаются без изменений при всех видах частотных преобразований.
Как и в случае преобразования (8.132), преобразование
(8.153) представляет собой лишь изменение частотного мас-
штаба; если х является точкой на оси частоты на нормирован-
ной частотной шкале, то является точкой на оси частоты
после частотного преобразования или же изменения масштаба
в соответствии с (8.153).
Пример 8.12. Предположим, что нужно получить равноволновый фильтр,
имеющий следующие характеристики:
а) Ширина полосы составляет 1 крад/с.
б) Неравномерность передачи в полосе пропускания равна 0,1 дБ.
в) Минимальное затухание в полосе задерживания равно 40 дБ для
со > 6 крад/с.
1) Найти требуемую передаточную функцию.
2) Найти схемную реализацию требуемого фильтра.
Решение. В соответствии с уравнениями рис. 8.25, сначала произведем
преобразование наших требований применительно к НЧ-прототипу:
а') Ширина полосы составляет 1 рад/с. (Это означает, что впоследствии
потребуется выполнить преобразование частоты со I—> со/1 к или s I—> s/1 к.)
б') Неравномерность передачи в полосе пропускания равна 0,1 дБ.
в') Минимальное затухание в полосе задерживания составляет 40 дБ для
со 6 рад/с.
Обратившись к рис. 8.15,а, найдем,что условиям а'), б') и в') удовлетворяет
значение п 3. Чтобы найти нормированную передаточную функцию, вос-
пользуемся выражениями (8.71) и (8.85) и рассчитаем параметр е и коорди-
наты трех полюсов:
е = V Ю0101 — 1 = 0,1526,
S1 = — 0,4847 + j 1,2062,
s2 = — 0,9694,
s3 = — 0,4847 — / 1,2062.
Следовательно,
ь , .____________________ 1,6381
N {S) ~ s3 + 1,9388s2 + 2,6295s + 1,6381 ' (8.155)
В соответствии с выражениями (8.153) требуемая передаточная функция
определяется следующим выражением:
Я (si = Я ( s А = _____________________1,6381 • 109__________________
' ' N \ 10s ) s3 + (1,9388 • 103s2) + (2,6295 • 10es) + (1,6381 • 10s) '
(8.156)
На рис. 8.26, а изображена схема, реализующая нормированную конфигура-
цию в соответствии с (8.155), которая получена с помощью данных из
рис. 8.17 и справочной табл. 8.2. В результате использования преобразований
схемных элементов в соответствии с (8.154) получим схему (рис. 8.26,6),
которая реализует требуемую передаточную функцию. Обратите внимание на
то, что передаточная функция по напряжению схемы, которая приведена на
рис. 8.26,6, удовлетворяет заданным условиям а), б) ив).
Пример 8.13. Предположим, что необходимо спроектировать фильтр с
максимально плоской характеристикой группового времени, который должен
Удовлетворять следующим требованиям:
а) т(0) = 100 мкс = 10~‘ с.
б) т(о) характеризуется менее чем 3%-ной ошибкой для |о| < 20 крад/с.
1) Найти требуемую передаточную функцию.
2) Найти схемную реализацию требуемого фильтра.
Решение. При использовании переменных вида •tow условие б) приобре-
тает вид:
б') т(о) характеризуется менее чем 3%-ной ошибкой для |то®|<2 рад.
&
Юм
7,7474 Г
1,0316 V
Чмх
9
а
+ Юм 1^. * ? 19031бмФ - ,1,031бмФ, „ Г Юм\, I
б
Рис. 8.26. Схемы реализации нормированной передаточной функции (8.155) (о)
и требуемой передаточной функции (8.156) (б).
Обратившись к рис. 8.21, б, найдем, что условие б') удовлетворяет значению
п — 4. Если воспользоваться выражением (8.128), то передаточная функция
нормированного фильтра Бесселя будет иметь вид
105
= si + ios3 + 45s2 + 105s + 105 ‘ (8‘157)
Чтобы получить требуемую пера даточную функцию, мы можем применить
либо выражение (8.135) с то = 10-4, либо выражение (8.153) с ас = 10**).
+ Юм 0,31 г 0,11Г 1 +
Чах 3 : /,06<Р ’ щзгФ юм\ J Чвых
Si Me Г
Юбмк’Р
Рис. 8.27. Схемы реализации нормированной передаточной функции
и требуемой передаточной функции (8.158) (б).
(8.157) (а)
В результате требуемая передаточная функция определится выражением:
н , _ И (_1Л____________________________to5 • ю16__________________
W N V ю4 ) s4+ 105s3 + (45- 108s2) + (105- 1012s) + (105-1016) '
___________ (8.158)
’) Обратите внимание на то, что, перейдя от условия б) к условию б'),
мы по существу выполнили преобразование частоты wi—>10 ксо.
На рис. 8.27, а изображена схема, реализующая нормированную конфигу-
рацию в соответствии с (8.157), которая получена с помощью данных, взятых
из рис. 8.23 и справочной табл. 8.4. Произведя преобразования параметров
схемных элементов в соответствии с (8.154), получим требуемую схемную
реализацию фильтра, которая изображена на рис. 8.27, б.
8.4.2. Преобразование НЧ * ПФ
Частотное преобразование, которое превращает НЧ-прото-
тип (с одной полосы пропускания, имеющей среднюю частоту
и = 0) в полосовой фильтр (с двумя полосами пропускания со
средними частотами ©о и —©о, каждая из которых характери-
зуется шириной полосы В), безусловно не является линейным,
как это имело место в случае преобразования НЧь->НЧ. Рас-
смотрим явное преобразование
з* 2 + «20
Bs
(8.159)
где ©о является требуемой средней частотой, а В — ширина по-
лосы частот в полосовом фильтре1).
Преобразование частоты в соответствии с (8.159) имеет сле-
дующие важные характеристики:
1. Точка со = О отображается на средние частоты ®0 и —©о-
В общем случае точка х отображается на две точки ®х и —(0х,
за исключением случая, когда х = сю. Точка, лежащая в беско-
нечности, отображается на начало координат.
2. Положительная (отрицательная) мнимая ось отображает-
ся на интервал (ю0, сю) и (—сю, ©0) [(0, соо) и (—©о, 0)].
3. Пусть ±©л и ±©-л будут отображениями точек х и —х
в случае преобразования (8.159), тогда
©0 = ©/£>_*. (8.160)
Вследствие выполнения условия (8.160) результирующие харак-
теристики затухания (и фазовая) в полосе пропускания не бу-
дут иметь арифметическую симметрию относительно ©о, а де-
монстрируют геометрическую симметрию2). Если положим в
выражении (8.160) х=1, то ®i и ®-i будут соответствовать
’) Ширина полосы частот полосового фильтра определяется как разность
между двумя частотами среза по уровню 3 дБ (положительными) в виде
•S jA-loic) — юС2|, где сос1 и (Вез являются решениями относительно сле-
дующего уравнения:
2) Подробнее относительно расчета полосовых фильтров с арифметиче-
ской симметрией см. работу [14] в литературе к настоящей главе.
краям полосы пропускания результирующего полосового филь-
тра. Следовательно, имеем такие соотношения:
В = &1 — со_! и (8.161а)
®о = ®1ю-1- (8.1616)
Основные свойства преобразования (8.159) иллюстрируются
рис. 8.28.
Рис. 8.28. Основные свойства преобразования частоты фильтр нижних ча-
стот — полосовой.
В случае преобразования НЧь->ПФ (8.159) мы можем по-
лучить передаточную функцию полосового фильтра Н (s) из
передаточной функции НЧ-прототипа HN(s) путем замены каж-
дой буквы s в Н N (s) на (s2 + afy/Bs. Чтобы получить требуе-
мую схему полосового фильтра, мы можем реализовать резуль-
тирующую передаточную функцию H(s), либо прибегая к
различным методам реализации, либо просто используя преоб-
разование цепи. Последний подход связан с осуществлением за-
мены каждого элемента в схеме НЧ-прототипа соответствую-
щим набором элементов требуемой полоснопропускающей схе-
мы. Чтобы определить, чем заменяется катушка индуктивности
величиной L Г НЧ-прототипа, укажем на то, что функция сопро-
тивления sL с помощью выражения (8.159) отображается в
функцию сопротивления
(2 । 2 \
s + ®о |
Bs )
„ L 1
L = — s + .
В (B/(i>20L) s
(8.162)
Это выражение по существу утверждает, что катушка индуктив-
ности величиной L ГНЧ-прототипа преобразуется в последова-
нижних „ _ ~
частот ** Полосовой
Рис. 8.29. Преобразование элементов фильтр нижних частот — полосовой.
тельное соединение из катушки индуктивности и конденсатора,
причем последние имеют величины
(Ь/В)Г и (В/©2£)Ф (8.163)
соответственно. Аналогично емкостная проводимость sC НЧ-
прототипа преобразуется в функцию проводимости вида
p2+«»2V с - 1
I------ I С =-S + ~Г-•
\ Bs / В (BIqqCJs
(8.164)
Следовательно, конденсатор емкостью С Ф НЧ-прототипа за-
меняется параллельным соединением из конденсатора и ка-
тушки индуктивности со следующими величинами:
(С/В)Ф и (ВКС)Г (8.165)
соответственно. Цепи на рис. 8.29 служат иллюстрацией преоб-
разования элементов схемы фильтра нижних частот в схему
полосового фильтра. В случае применения преобразования
(8.159) значения резисторов и резистивных элементов остаются
б.ез изменения.
Пример 8.14. Предположим, что мы должны спроектировать полосовой
фильтр, который отвечает следующим требованиям:
а) Средняя частота полосы пропускания равна оо — 100 крад/с.
б) Ширина полосы пропускания по уровню 3 дБ равна 20 крад/с.
в) Максимальное затухание, которое допускается в полосе пропускания
в пределах от оо — 100 крад/с до — 102,5 крад/с, составляет 0,05 дБ.
г) Минимальное затухание в полосе задерживания должно составлять
10 дБ для о 5s ®2 = 120 крад/с.
д) Для о > оо требуется монотонно убывающая функция передачи.
Рис. 8.30. Графическое изображение технических требований примера 8.14
к полосовому фильтру (а); к нормированному НЧ-прототипу (б).
1. Найти передаточную функцию для требуемого фильтра.
2. Найти схемную реализацию требуемого фильтра.
Решение. Во-первых, найдем требуемую передаточную функцию. Условие
д) требует выбора фильтра Баттерворта. Порядок фильтра будет опреде-
ляться условиями а)—г) (рис. 8.30, а). В общем случае значительно проще
определить порядок п фильтра Баттерворта в области, заданной для НЧ-про-
тотипа. Но, чтобы воспользоваться этой возможностью, мы должны преобра-
зовать условия а) — г) к виду, отвечающему НЧ-прототипу. Информация,
содержащаяся в условиях а) и б), определяет преобразование частоты при
переходе от НЧ-прототипа к требуемому полосовому фильтру. Эти условия
не нужны для определения порядка п. Условия в) и г) после преобразования
принимают вид:
в') Максимальное затухание, допускаемое в полосе пропускания в преде-
лах от са = 0 до о = 0,25 рад/с, составляет 0,05 дБ.
г') Минимальное затухание, требуемое в полосе задерживания, равно
10 дБ для частот о 2 рад/с.
Условия в') и г') иллюстрируются графиками на рис. 8.30, б. Это условие
подразумевает, что значение п должно быть выбрано с таким расчетом, чтобы
удовлетворялись неравенства
- 10 1°S | -t + (0 25)гк 0,05 И (8166а)
~101Og|'l+22» |>10- (8.1666)
После выполнения некоторых простейших арифметических операций мы най-
дем, что п > 2 будет удовлетворяете оба условия (8.166). Следовательно, тре-
+ !Ом V2T 1
%*
а
1 Ом У&мкф 70УмкГ
УОрмкФу. ЫгмкГ 10м
6
Рис. 8.31. Схемы реализации нормированной передаточной функции (8.167) (а)
и требуемой передаточной функции (8.168) (б).
буемая передаточная функция нормированного фильтра нижних частот опре-
деляется таким выражением:
HN (s) = l/(s2 + + 1).
(8.167)
При «о = 100 крад/с и ширине полосы по уровню 3 дБ, равной 20 крад/с,
передаточная функция требуемого полосового фильтра будет определяться
следующим выражением:
Н (<Л— W p2+10I0\ 1
/Д 2-104® ) ( s2 +10I0\2 /_/s2+1010\ =
I 2 • 104s J + "v2 V 2 • 104s J +
__________________4- 10s * * 8s2_______________
(s2 + IO10) + д/2 (s2 + 1010) (2 104s) + (4 • 108s2) “
s4 + (2 V2 • 104s3) + (2,04 • 1010s2) + (2 V2 • 10,4s) + 1020 ’
Чтобы реализовать требуемый фильтр в соответствии с (8.168), вначале
реализуем НЧ-прототип (рис. 8.31. а). Чтобы получите схему, приведенную
на рис. 8.31,6, в схеме рис. 8.31, а выполнено преобразование элементов. Об-
ратите внимание на то, что фильтр нижних частот второго порядку
превращается в случае преобразования H4i—>ПФ в полосовой фильтр чет-
вертого порядка.
Амплитудно-частотные характеристики НЧ-прототипа с пе-
редаточной функцией (8.167) и полосового фильтра с требуе-
мой передаточной функцией (8.168) показаны на рис. 8.32.
Обратите внимание на то, что крутизна характеристики поло-
сового фильтра на частотах О со 100 крад/с несколько
Рис. 8.32. Характеристики нормированного фильтра нижних частот Баттервор-
та второго порядка (а) и соответствующего полосового фильтра Баттерворта
четвертого порядка (б).
больше, чем на частотах со 100 крад/с. Это положение ти-
пично для полосовых фильтров, рассчитанных с помощью
(8.159). [Нужно вспомнить, что преобразование (8.159) дает
характеристики фильтров, которые имеют геометрическую, а не
арифметическую симметрию.] Следовательно, если заданные
условия требуют арифметической симметрии относительно сред-
ней частоты со0, тогда следует убедиться, что обеспечиваются
Заданные требования для частот со coq.
8.4.3. Преобразование НЧ—► ЗФ
Как и в случае полосовых фильтров, часто оказывается удоб-
ным начать с НЧ-прототипа и воспользоваться преобразованием
частоты и(или) элементов с целью получения окончательной
модели заграждающего фильтра. В этих случаях частотное
преобразование является просто обратным (или инверсным)
Рис. 8.33. Основные свойства частотного преобразования НЧ I—> ЗФ.
преобразованию H4i—>ПФ. Это означает, что частотное преоб-
разование для перехода от нормированного фильтра нижних
частот к заграждающему фильтру определяется выражением:
Bs
s>—>—5----а- или (8.169а)
S + (Bq
—&—
- Юр + “о
(8.1696)
где ®о является средней частотой полосы задерживания и В
представляет собой ширину полосы задерживания. Основные
свойства такого преобразования отражены на рис. 8.33,
Что же касается схемных элементов, то здесь совершенно
ясно, что НЧ-емкость величиной С Ф преобразуется в последо-
вательное соединение из катушки индуктивности и емкости, зна-
чения которых составляют
(1/ВС)Г и (ВС/®2)Ф, (8.170)
как показано на рис. 8.34, а. Аналогично НЧ-катушка индуктив-
ности величиной L Г заменяется параллельным соединением из
катушки индуктивности и емкости с величинами
(В£/®2)Г и (1/ВЬ)Ф, (8.171)
как отражено на рис. 8.34, б. И снова резисторы и резистивные
элементы остаются без изменения.
Рис. 8.34. Преобразование элементов НЧ I—> ЗФ.
Пример 8.15. Предположим, что нам нужно спроектировать заграждаю-
щий фильтр Баттерворта, который должен отвечать следующим требованиям:
а) Средняя частота равна 1 крад/с.
б) Ширина полосы задерживания по уровню 3 дБ составляет 100 рад/с.
в) Минимальное затухание, требуемое для полосы задерживания, состав-
ляет 40 дБ для 1 крад/с < со с 1010 рад/с.
г) .Максимальное затухание, допускаемое в высокочастотной полосе про-
пускания, составляет 0,1 дБ для со 5= 1,2 крад/с.
1. Найти требуемую передаточную функцию.
2. Найти схему требуемого фильтра.
Решение. При coo = 103 и В = Ю2 заданные требования к заграждаю-
щему фильтру преобразуются в соответствующие требования к НЧ-прототипу
следующим образом:
в') Минимальное затухание составляет 40 дБ для частотного диапазона
В (1 к) В (1010) . 100(1010)
-----—о < и <--------------1—Н------к- или со > —-
- (1к) +<х>о - (Ю10)2 + cog (1010)2 — (1000)2
г') Максимальное затухание составляет 0,1 дБ для диапазона
В (1,2 к) = 100 (1200) = 0 27
(1,2 к)2 —cog (1200)2 — (1000)2
5,02.
(8.172)
(8.173)
Обращаясь к рис. 8.4, найдем, что из условия в') вытекает, что 3, а
условие г') требует, чтобы п 2. Следовательно, в качестве прототипа может
Рис. 8.35. Схемы реализации примера 8.15 нормированного фильтра нижних
частот Баттервота третьего порядка (а) и заграждающего фильтра шестого
порядка (б).
служить фильтр нижних частот Баттерворта третьего порядка. Нормирован-
ная передаточная функция в соответствии с (8.426) имеет следующий вид:
j/fJV(s)==l/(S3 + 2S2 + 2s+l). (8.174)
При использовании преобразования частоты (8.169) требуемая передаточная
функция приобретает такой вид:
1
= ( 1005 У 4- 2 < 100s V 4- 2 ( 1005 4.1 “
k s2 + 106 ) + 2 к s2 + 106 J + 2 V s2 + Ю6 ) + 1
s6 + (3 • 106s4) + (3 • 10l2s2) 4- 1018
= s6 + 200s5 + (3,02 • 106s4) 4- (4,01 • 108s3) +
4- (3,02 - 10I2s2) + (2 • 10Hs) 4- 1018. (8.175)
Схемную реализацию выражения (8.174) можно получить, обратившись к
табл. 8.1 и рис. 8.9,6 (рис. 8.35, а). Полученная таким путем схема показана
на рис. 8.35,6.
8.4.4. Преобразование НЧ —* ВЧ
Поскольку характеристики фильтров нижних частот явля-
ются по существу обратными характеристикам фильтров верх-
них частот, частотное преобразование нормированной НЧ-пере-
даточной функции в передаточную функцию фильтра верхних
частот с частотой среза юс определяется выражением
<вс
s и-> -у или
(8.176а)
(8.1766)
Предположим, что необходимо спроектировать фильтр верхних
частот второго порядка с максимально плоской характеристи-
кой и частотой среза <ос, как показано на рис. 8.36. Мы начи-
Рис. 8.36. Амплитудно-частотная характеристика фильтра верхних частот.
наем процесс проектирования с нормированного прототипа
фильтра нижних частот Баттерворта:
HN (s) = l/(s2 + V2T + 1). (8.177)
Воспользовавшись преобразованием (8.176), получим требуе-
мую передаточную функцию
1 с2
«ВчМ- + + , “? + 72-v + »f (8J78)
Если перейти к схемным элементам, то здесь емкость НЧ-про-
тотипа величиной С Ф преобразуется в катушку индуктивности
величиной 1/С(ос Г фильтра верхних частот. Аналогично индук-
тивность НЧ-прототипа величиной L Г преобразуется в емкость
величиной 1/Л(0с Ф. И снова резисторы и все резистивные эле-
менты остаются без изменения.
8.4.4.1. Фильтры инверсные Чебышева. В этом подразделе
мы воспользуемся частотным преобразованием H4i—>ВЧ для
преобразования фильтра Чебышева в фильтр инверсный Чебы-
шева.
Пусть функция |/7w(/<o)|2 характеризует фильтр нижних
частот Чебышева n-го порядка с частотой среза 1 рад/с. Харак-
теристика такого фильтра пятого порядка показана на
рис. 8.37, а. Используя преобразование (8.176), получим функ-
цию передачи фильтра верхних частот Чебышева n-го порядка
с полосой пропускания от
1 рад/с до бесконечности,
которая имеет вид
.1 / 1 \ |2
|Явч «“) ГI«» ШI =
=|н»('4)|г- <8Л79>
На рис. 8.37,6 показана
функция | Нвч(|®) |2 от не-
зависимой переменной со для
случая п = 5. Если мы те-
перь вычтем полученную
функцию модуля фильтра
верхних частот, определяе-
мую выражением (8.179), из
1, результирующая функция
будет иметь вид
|Я(/со)|2=1-|Явч(/со)р=
=1-1^04) Г- <8-18°)
График на рис. 8.37, в ил-
люстрирует поведение функ-
ции |//(/со) |2 для случая
п — 5. Обратите внимание
на то, что результирующая
функция характеризует
фильтр нижних частот с мо-
нотонно убывающим коэф-
фициентом передачи в поло-
се пропускания и равновол-
новым затуханием в полосе
l/M/Wj2
Рис. 8.37. Получение инверсного
фильтра нижних частот Чебышева
пятого порядка из фильтра ниж-
них частот Чебышева пятого по-
рядка.
задерживания, причем колебания затухания начинаются с ча-
стоты 1 рад/с и распространяются вплоть до бесконечности.
Фильтр этого типа называется инверсным Чебышева. Переда-
точная функция для него может быть получена из (8.180), где
HN(s) является передаточной функцией нормированного филь-
тра нижних частот Чебышева.
8.4.5. Нормирование по сопротивлению
До настоящего момента во всех преобразованиях частоты
значения сопротивлений резисторов оставались без изменений.
Как показано на рис. 8.9, 8.17 и 8.23, в схемах НЧ-прототипа
используются подключаемые к источнику сигнала резисторы
величиной 1 Ом. Совершенно ясно, что на практике 1-омные ре-
зисторы не являются идеальными элементами для работы. Сле-
довательно, мы нуждаемся в некотором механизме для измене-
ния значений параметров схемных элементов, который не будет
в то же время изменять передаточную функцию спроектирован-
ной схемы.
Нормирование (денормирование) по сопротивлению ни в
коей степени не окажет влияния на передаточную функцию1).
Существенной целью этого нормирования является увеличение
или уменьшение уровней сопротивлений всех элементов в схеме
в определенное число раз для согласования их с другими ча-
стями схемы или же придание схемным элементам таких вели-
чин, при которых реализация схемы станет значительно легче.
Так, например, в случае схем, приведенных на рис. 8.9, 8.17 и
8.23, может оказаться, что легче будет работать с резисто-
рами, имеющими сопротивление А Ом. Тогда мы сможем уве-
личить сопротивления всех схемных элементов в А раз. На-
пример:
1. Резистор с сопротивлением R Ом теперь увеличивается до
AR Ом.
2. Катушка индуктивности с индуктивностью L Г, значение
сопротивления которой составляет sL, теперь увеличивает его
до sAL, чему уже соответствует катушка индуктивности вели-
чиной AL Г.
3. Конденсатор емкостью С Ф, который имеет сопротивление
1/sC, теперь повышает свое сопротивление до величины A/sC—
— l/[s(C/A)], чему соответствует конденсатор с емкостью
С/А Ф.
4. ЧЗОС величиной D Ф2, которое имеет сопротивление ве-
личиной l/s2D, теперь увеличивает его до величины A/s2D =
= l/[s2(D/A)], чему соответствует ЧЗОС величиной D/А Ф2.
*) Это справедливо лишь для передаточных функций по напряжению и
току. Необходимо помнить, что в этой книге мы рассматриваем только пере-
даточные функции по напряжению.
5. ИНУН и ИТУТ и идеализированные операционные уси-
гели остаются без изменения1).
Таблица 8.5
Преобразования частоты и элементов
'jIpGOSpasoeaHHQ Частоты НОм ЛГ =
S М Г ' - э- Чз“
1 * "с "с
В табл. 8.5 приведена сводка всех преобразований частоты и
элементов, которые обсуждались в разд. 8.4.
Рис. 8.38. Решение примера 8.16.
Пример 8.16. Найти схему фильтра с Rs = 1 кОм, которая будет удовле-
творять всем условиям примера 8.15.
*) Обратите внимание иа то, что ИНУН и идеальный операционный уси-
литель остаются без изменений при всех типах преобразований частоты и
нормировании по сопротивлению. Мы будем часто использовать это обстоя-
тельство в гл. 10.
Решение. Схема (рис. 8.35,6) удовлетворяет всем условиям примера 8.15
ПрИ Ps = 1 Ом. Следовательно, нам лишь остается изменить уровень сопро-
тивления каждого элемента схемы на рис. 8.35, б в 1000 раз. Результирующая
схема приведена на рис. 8.38.
8.4.6. Примеры
Пример 8.17. Предположим, что нам необходим фильтр нижних частот,
удовлетворяющий следующим требованиям:
а) Частота среза по уровню 3 дБ равна 20 крад/с.
6) Коэффициент передачи в полосе пропускания отклоняется от своего
максимального значения для со < 10 крад/с не более чем на 0,1 дБ.
в) Затухание в полосе задерживания больше чем 40 дБ для
о > 50 крад/с.
г) Необходима монотонно убывающая функция передачи.
Найти приемлемую схемную реализацию с сопротивлением резистора Rs
в цепи источника сигнала 10 кОм.
Решение. Условие г) требует использования фильтра Баттерворта. Если
перейти к НЧ-прототипу, частота среза автоматически принимает значение,
равное 1, а условия б) и в) приобретают вид:
б') Коэффициент передачи в полосе пропускания отклоняется от своего
максимального значения не более чем на 0,1 дБ для всех со < 0,5 рад/с.
в7) Затухание в полосе задерживания превышает 40 дБ для всех
со <= 2,5 рад/с.
Применительно НЧ-прототипу эти условия принимают следующий вид:
— 101og[#(/w)|1 2 *<0,l для св <0,5, (8.181)
— 10 log | Н (/ы) |2 > 40 для со >2,5. (8.182)
Благодаря свойству монотонного убывания характеристик фильтров Баттер-
ворта условие (8.181) требует, чтобы
~ 1рЕ | 1 + (0,5)2” | °’01‘
Это означает, что условие б') будет удовлетворять п > 3. В отношении же
условия в7) условие (8.182) требует, чтобы
1 К -п
10 10g | 1 + (2,5)2Я
Это означает, что условие в7) будет удовлетворять п > 6. Таким образом,
нам необходим фильтр Баттерворта шестого порядка. В справочной табл. 8.1
мы найдем схему, изображенную на рис. 8.39, а. Квадрат модуля функции
передачи схемы рис. 8.39, б определяется следующим выражением:
|Я (/<о)|2 = 1/(1+со12) (8.183)
с частотой среза, равной 1 рад/с. Воспользовавшись преобразованием элемен-
тов для повышения частоты среза до 20 крад/с, мы получим схему
(рис. 8.39,6), которая характеризуется выражением
1 Н (i0>) 12 =--7 ~Ю-... 412 ’ (8-184>
1 + I 2 X Ю4 )
И наконец, деиормирование по сопротивлению всех схемных элементов схе-
мы 8.39,6, в результате которого резистор Rs увеличивается в 104 раза, по;
1 1 < + Rs = 1ОМ vex 7,4/42 Г 7,9379 Г ; 1,9319Ф J 0,5176 Г
+ /?д И 1Ом V.. ’ ОЛ 70,71мкГ Ц 25,88 мкФ 2 96^60мкГ ; 96,60мкФ ? , , ... 25,88мкГ + I
+ Rs = fOkOM Чи г^авнч1 j й — 1 6,7071 Г ? 9,660нФ ; 1 0,9660 Г С 7,О71нФ 0,2588 Г 5 10 нОм 1 -r 1 vun<
Рис. 8.39. Решение при» 1 iepa 8.17.
зволяет повысить сопротивление этой величины до требуемого значения
10 кОм. Результирующая схема показана на рис. 8.39, в. Как можно показать,
функция передачи схемы рис. 8.39, е определяется выражением (8.184). Со-
вершенно ясно, что схема рис. 8.39, в является желаемым результатом.
Пример 8.18. Предположим, что иам необходим фильтр нижних частот,
удовлетворяющий условиям а), б) и в) примера 8.17. Найти реализацию
Чебышева с сопротивлением резистора в цепи источника Rs, равным 1 кОм.
Решение. Применительно к нормированному фильтру нижних частот Че-
бышева условие б) просто означает, что неравномерность передачи в полосе
пропускания составляет 0,1 дБ. Следовательно, АМкс = 0,1 дБ, и в соответ-
ствии с (8.71) е = 0,1526. Поскольку коэффициент передачи фильтра Чебы-
шева монотонно убывает в полосе задерживания, условие в) требует выбора
такого целого числа п, которое будет удовлетворять неравенству
1 +(0,1526)27’2 (2,5)
где Тп(со) представляет собой полином Чебышева n-го порядка. Вычисление
значения выражения (8.185) в общем случае является трудоемкой операцией.
К счастью, в литературе опубликованы таблицы и графики, подобные графи-
кам на рис. 8.15. Так, для случая неравномерности затухания 0,1 дБ рис. 8.15. а
дает и == 5, что позволяет удовлетворять условию (8.185). Следовательно, за-
данные технические характеристики требуют использования фильтра Чебыше-
+ ^7ом 1,3712 Г 1,3712 Г
' z,/4aa<p ? 1.975ОФ ; !7,?4б8<Р /Смердах
а
+ П^Том 68,56мкГ 68,56 мк Г
157,34 мкФ '88,75 мкФ ; fk4/x 7 Ом Н _
6
+ Rs-1k0m 68,56 мГ 58,5бмГ ’ Л
VgX 57,34н'Р- ; ; 38,75 и Ф
—
6
Рис. 8.40. Решение примера 8.18
ва пятого порядка. Обратившись к табл. 8,2, получим НЧ-прототип, схема
которого изображена на рис. 8.40, о. Чтобы перейти к частоте среза, равной
20 крад/с, выполним преобразование элементов схемы 8 40, а, в результате
чего схема превращается в схему 8.40, б. И наконец, в схеме рис. 8.40, б про-
изводится денормирование по сопротивлению, что позволяет получить конеч-
ный результат — схему рис. 8.40, в. Схема 8.40, в удовлетворяет всем требова-
ниям к фильтрации. Обратите внимание на то, что фильтр Чебышева пятого
порядка может выполнять те же функции, что и фильтр Баттерворта ше-
стого порядка, о чем свидетельствуют примеры 8.17 и 8.18.
8.5. Всепропускающие фильтры
Как было показано на рис. 8.2, одной из особенностей иде-
альной частотной характеристики является наличие линейно-
изменяющейся фазы и постоянство группового времени замед-
ления в пределах полосы пропускания. Когда мы проектируем
фильтр по амплитудно-частотной характеристике, то мы вводим
искажения функции группового времени у краев полосы. Чтобы
устранить эти искажения, необходимы фазовые корректоры
Наиболее распространенными фазовыми корректорами явля-
ются всепропускающие (фазовые) фильтры.
Передаточная функция всепропускающего фильтра опреде-
лявтся следующим выражением!
Н (s) —р(—s)/p(s), (8.186)
где p(s) является полиномом Гурвица. Если учесть выражение
(8.186), то передаточная функция всепропускающего фильтра
обладает следующими свойствами:
1. Для всех со имеем
|Я(/со)|2=1. (8.187)
Выражение (8.186) называется поэтому всепропускающей пе-
редаточной функцией.
2. Если Sk является полюсом H(s), то —Sk является нулем
H(s). Поскольку все полюсы H(s) лежат в левой s-полуплоско-
сти, все нули H(s) находятся в правой s-полуплоскости. Следо-
вательно, передаточная функция всепропускающего фильтра не
является минимально-фазовой функцией.
3. Фазовый угол ср (®) Д— IH(iai) передаточной функции
всепропускающего фильтра определяется следующим выра-
жением:
ср (со) = 2/р (до). (8.188)
4. За исключением точек разрыва, функция ср (со) является
монотонно возрастающей функцией со.
Рассмотрим передаточную функцию всепропускающего филь-
тра первого порядка
/д (s) = (_ s + a)f(s + а), (8.189)
где а — вещественно положительное число. Фазовая функция и
функция группового времени определяются соответственно сле-
дующими выражениями:
ср (со) — 2 ctg (co/cz) и (8.190а)
<8-190б>
Обратите внимание на то, -что из выражения (8.190) вытекает
ср (0) = 0 и (8.191а)
<р(оо) = зт. (8.1916)
Поскольку т(со) представляет собой производную от ср (со), мы
можем записать
<р (со) = т (со') (8.192)
о
Таким образом, площадь под кривой т(со), характеризуемой вы-
ражением (8.1906) для 0 < а < оо, определяется как
ср(оо) — ср(0) = л. (8.193)
Аналогично площадь под кривой т(ю) для 0 < ю < оо равна
пл, где п является степенью p(s) в выражении (8.186). Если
некоторая функция группового времени т(ю) определена от 0
до заданной частоты ощ рад/с, то можно рассчитать область
4>D
r(fi>)d<o и определить приблизительно минимальную степень
о
п, которая требуется для получения необходимой передаточной
функции всепропускающего фильтра. Пассивная реализация
передаточной функции по направлению всепропускающего
фильтра, полученная в виде схемы с лестничной конфигурацией,
описывается в разд. 7.2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Guillemin Е. A., Synthesis of Passive Networks, New York, Wiley, 1957.
2. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R. E. Krie-
ger. 1975.
3. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters,
Englewood Cliffs, N. Y., Prentice-Hall, Inc., 1970.
4. Christian E., Eisenmann E., Filter Design, New York, Wiley, 1967.
5. Sverev A. I., Handbook of Filter Design, New York, Wiley, 1967.
6. Oppenheim A. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Englewood
Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc. 1975.
7. Rabiner L. R., Gold B., Theory and Application of Digital Signal Processing,
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1975.
8. Kawakami K, Nomographs for Butterworth and Chebyshev Filters, IEEE
Trans. Circuit Theory, CT-10, 288—289 (1963).
9. Johnson D.E., Introduction to Filter Theory, Englewood Cliffs, N. J., Pren-
tice-Hall., Inc., 1976.
10. Daniels R. W., Approximation Methods for Electronic Filter Design, New
York, McGraw-Hill, 1974.
11. Krall H. L., Frink 0., A New Class of Orthogonal Polynomials, The Bessel
Polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 65, 100—115 (1949).
12. Thomson W. E., Delay Network Having Maximally Flat Frequency Characte-
ristics, Proc. I EE, 96, 487—490 (pt. 3. 1946).
13. Storch L., Synthesis of Constant-Time Delay Ladder Network Using Bessel
Polymomials, Proc. IPE, 42, 1666—1675 (1954).
i4. Szetirmay G., The Design of Arithmetically Symmetrical Band Pass Filter,
IEEE Trans. Circuit Theory, CT-10, 367—375 (1963).
ПРИЛОЖЕНИЕ
В этом приложении приведены таблицы параметров филь-
тров Баттерворта и Чебышева1). Каждая таблица состоит из
*) Некоторые таблицы в этом приложении любезно предоставлены
Л. Уэйнбергом (L. Weinberg), Network Analysis and Synthesis, R. E. Krieger
Publishing Co., 1975.
Таблица П8.1
Нормированные фильтры нижних частот Баттерворта
Q Координаты полюем
Порядок п. р1.„
1 -1,00000000
2
3
4
5
б
7
S
9
-0,70710678 ±>0,70710678
—0,50000000 ±/0,86602540
—0,38268343 ±/0,92.387953
-0,30901699 ±/0,95105652
—0,25881905 ±/0,96592583
—0,22252093 ±>0,97492791
-0,19509032 ±>0,98078528
-0,17364818 ±/0,98480775
-1,00000000
-0,92387953 ±/0,38268343
-0,80901699 ±/0,58778525
-0,70710678 ±/0,70710678
-0,62348980 ±/0,78183148
—0,55557023 ±/0,83146961
-0,50000000 ± J0,86602540
-1,00000000
—0,96592583 ±/0,25881905
—0,90096887 ±/0,43388374
-0,83146961 ±/0,55557023
—0,76604444 ±/0,64278761
-1,00000000
-0,98078528 ±/0,19509032
—0,93969262 ±/0,34202014 —1,00000000
dПолиномы знаменателя В(з) = sn ± bn-is"-1 + Ля-as"-2 3 4 * 6 7 8 9 ± ..; ± Ьо
Порядок л to bi Ьл Ьз
1 1,00000000
2 1,00000000 1,41421356
3 1,00000000 2,00000000 2,00000000
4 1,00000000 2,61312593 3,41421356 2,61312593
5 1,00000000 3,23606798 5,23606798 5,23606798 3,23606798
6 1,00000000 3,86370331 7,46410162 9,14162017 7,46410162 3,86370331
7 1,00000000 4,49395921 10,09783468 14,59179389 14,59179389 10,09783468 4,49395921
8 1,00000000 5,12583090 13,13707118 21,84615097 25,68835593 21,84615097 13,13707118
9 1,00000000 5,75877048 16,58 W1874 31,16343748 41/>8638573 41,98638573 31,16343748
5,12583090
16,58171874 5,75877048
& Сомножители полинома знамена- Б(3) « &($) jB2(s) JfeCO Л(Х) Btfs)
Порядок п В(з) теля
1 (s + D
2 (s’± 1,41421356s ± 1)
3 (s2 + 5 + 1) (s±l)
4 (s2 ± 0,76536686s ±1) (s’ ± 1,84775907s ± 1)
- 5 (s2 ± 0,61803399s ± 1) (s2 ± 1,61803399s ±1) (s ± 1)
6 (s2 ± 0,51763809s ± 1) (s’ ± 1,41421356s ± .1) (s2 + 1,93185165s + 1)
7 (s2 ± 0,44504187s ±*1) (s2 ± 1,24697960s ± 1) (s2 ± 1,80193774s ±1) (s ± 1)
8 (s’ ± 0,39018064s ± 1) (s2 + 1,11114047s + 1) (s2 ± 1,66293922s1 ± 1) (s2 ± 1,96157056s + 1)
9 (s2 ± 0,34729636s ±1) (s’ ± s ± 1) (s’ ± 1,53208889s ± 1) (s’ ± 1,87938524s ±1) (s ± 1)
Таблица П8.2
Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 0,1 дБ
Z7 Koopguffamt? полюсов
Порядок’ tl- P3, n-Z Р4,л-Э Ps
X 2 .3 4 5 6 7 & 9 —6,55220322 '—1,18617812 ± j 1,38.094842 —0,48470285 ±>1,20615528 —0,26415637 ± j 1,12260981 —0,16653368 ± j 1,0803720£ —0,11469337 ± j 1,05651891, —0,08384097 ±/1,04183333 —0,06398012 ±>1,03218136: -0,05043805 ±>1,02550963 -0,96940571 —0,63772988 ±>0,46500021 —0,43599085 ±>0,66770662 —0,31334811 ±>0,77342552. —0,23491716 ±>0,83548546 —0,18219998 ±>0,87504111 -0,14523059 ±>0,90181804 —0,53891432 —0,42804148 ±>0,28309339 -033946514 ±>0,46365945 -0,27268154 ±>0,58468377 -0,22250617 ±>0,66935388 -0,37677788 -0,32164981 ±>0,20531364 -0,27294423 ±>0,35615576 -0,290461’18
8Полиномы знаменателя B(s) = s" + tn-is”-1 + tn-as”-2 + ... + to
Порядок bo bi Ьз Ьз bt bs 6a bj Ьз
1 6,55220322
2 3,31403708 2,37235625 1,93881142
3. 1,63805080 2,62949486 1,80377250
4 0,82850927 2,02550052 2,62679762 1,74396339
5- 0,40951270 3,43555791 2,39695895 2,77070415
в 0,20712732 0,90176006 2,04784060 2,77905025 2,96575608 1,71216592
7 0,10237818 0,56178554 1,48293374 2,70514436 3,16924598 3,18350446 1,69322441
8 0,05178183 0,32643144 1,06662645 2,15924064 3,41845152 3,56476973 3,41291899 1,68102289
9 0,02559454 0,19176027 0,69421123 1,73411961 253387298 4,19161066 3^6384487 3*64896144 1*67269928
= Bi(s)».(s)K,(s)Bi(s)Bs(s)
Порядок n B(s) теля
t (о +6,55220322)
2 (s’ + 2,37235625s + 3,31403708).
3 (s2 + 0,96940571s + 1,68974743) (s + 0,96940571)
4 (s2 + O,52831273s + 1,33003138) (s’ + 1,27545977s + 0,62292460)
5 (s2 + O,333O6737s + 1,19493715) (s’ + 0,87198169s + 0,63592015) (s + 0,53891432)
6 (s’ + 0,22938674s + 1,12938678) (s’+ 0,62669622s + 0,69637408) (s’+ 0,85608296s + 0,26336138)
7 (s’+ 0,16768193s + 1,09244600) (s’+ O,46983433s + 0,75322204) (s’± 0,67893028s + 0,33021667) (s + 0,37677788)
8 (s’+ 0,12796025s + 1,06949182) (s2 + 0,36439996s + 0,79889377) (s’+ O,545363O8s + 0,41621034) (s’+ 0,64329961s + 0,(4561129)
9 (s’ + 0,1008761 Is + 1,05421401) (s’ + 0,29046118s + 0,83436770) (s’+ 0,44501235s + 0,49754361) (s’+ 0,54588846s + 0,20134548) (s +0,29046118)
Таблица Н8.3
Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 0,2 дБ
а Координаты полюсов
Порядок п Pl,n jP2,n-l />з,п-а JM, n-3 PS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4,60636099 -0,96354254 ±J1J95I6285 -0,40731707 ±jl,11701458 -0,22481072 ± j 1,07150422' -0,14258371 ±>1,04741496 -0,09852431 ± 71,03354455 -0,07216630 ±71,02491707 -0,05514327 ±71,01921190 -0,04351082 ±71,01525261 -0,81463413 -0,54274109 ± 70,44383158 -0,37328900 ± 70,64733805 -0,26917343 ± j0,75660742 -0,20220548 ± 70,82191968 -0,15703476 ± 70,86404612 -0,12528442 ± 70,89279816 —0,46141058 —0,36769774 ±/'0,27693743 —0,29219539 ±J0,456131OI —0,23501912 ±/0,57733716 -0,19194687 ±/0,66265908 —0,32431242 —0,27722396 ±/0)20273385 —0/3545769 ±/0/5259353 -0/5056884
I) Полиномы знаменателя B{s) = sn + bn-is"-1 + + ... + &>
Порядок n bi bi bs is Ьв
1 4,60636099
2 2,35682846 1^92708508
3 1,15159025 2,07725754 1,62926827
4 0,58920712 1,52213870 2,17827157 1,53510363
5 0,28789756 1,08234729 1,86493313 2,36475740 1,49315599
6 0,14730178 0,66110783 1,60289922 2,20817385 2,58161304 1,47079097
7 0,07197439 0,41573867 1,11759023 2,17449134 2,55386738 2,81207554 1А57446П
8 0,03682544 0,23654244 0,81273392 1,65937609 2,80404721 2,90162138 3,04957189 1,44884222
9 0,01799360 0,14052449 0,51438217 1,35164765 ^28779160 3/9411391 3/25091261 3/29107898 1,44296846
б Сомножители полинома знамена- B(s) = Bi(s) &(s) Bsfs) £)(s) Bs(s)
Порядок n B(s) теля
1 (s + 4,60636099)
2 (s1 2 * 4 5 6 7 8 9 + 1,92708508s ± 2,35682846)
.3 (s2 + 0,81463413s + 1,41362877) (s + 0,81463413)
4 (s2 + 0,44962144s + 1,19866114) (s2 + 1,08548218s + 0,49155436)
5 (s2 ± 0,28516742s + 1,11740822) (s2 + O,74657799s + 0,55839122) (s +0,46141058)
6 (s2 + 0,19704863s + 1,07792137) (s2 + 0,53834686s + 0,64490867) (s2 + O,73539548s + 0,21189597)
7 (s2 + 0,14433260s + 1,05566298) (s2 + 0,40441097s + 0,71643901) (s2 + 0,58439078s + 0,29343364) (s + 0,32431242)
8 (s2 + 0,11028655s + 1,04183367) (s2 + 0,31406951s + 0,77123562) (s2 + 0,47003824s + 0,38855219) (s2 + 0,55444791s + 0,11795414)
9 (s2 + 0,08702165s + 1,03263106) (s2 + 0,25056884s + 0,81278475) (s2 + 0,38389374s + 0,47596066) (s2 + 0,47091539s + 0,17976252) (s + 0,25056884)
Таблица П8А
Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 0,3 дБ
ZZ Координаты полюсов
Порядок 7t
2
3
5
6
8
—3,73928318
—0,84715549 ± j 1,10348195
—0,36463866 ± j 1,07186009
—0,20259811 ±>1,04536452
—0,12889998 ±>1,03048045
—0,08922267 ± > 1,02170971
—0,06542149 ±>1,01618962
—0,05002353 ± j 1,01251401
—0,03948957 ± > 1,00995189
-0,72927732
—0,48911510 ±>0,43300416
—0,33746452 ±>0,63687195
-0,24376086 ±>0,74794342
—0,18330693 ±>0,81492080
—0,14245497 ±>0,85836793
-0,11370569 ±>0,88813679
—0,41712909
—0,33298353 ±>0,27376629
—0,26488619 ±>0,45224693
—0,21319892 ±>0,57354311
—0,17420723 ±>0,65919928
—0,29400149
-0,25148528 ±/0,20140156
-0^21369680 ±>0^35075261 -0^22741138
idПолиномы знаменателя Порядок n Ьй B(s) = s« 4 fci - 6n-lS""1 ± bn ba -M”"’ ± ... ± fco
ba b< bs Ьй In bs
1 3,73928318 2 1,93534485 3 0,93482080 4 0,48383621 . 5 0,23370520 6 0,12095905 7 0,05842630 1,69431098 1,81369083 1,28205748 0,91976859 0,54930774 0,34948247 1,45855465 1,95693432 1,60098707 1,39260036 0,94285544 „ 1,38342641 2,16105841 1,91754434 1,91929792 1,34985808 2,38702424 2,23477563 1,33193411 2,62282530 1,32123072
8 0,03023976 0,19528137 0,69512887 1,41506833 2^0498130 2,55297778 2,86372563 1,31432540
9 0,01460657 0,11745564 Сомножители полинома знамена-Bfj) Порядок да -B(s) ”*** 0,42993878 1,17175288 = Bi(s) Ba(s) B&) ft(s) 1^96663611 3,15)57757 2^7202098 3,10753913 la30960997
2
3
5
8
9
(s + 3,73928318)
О’ ± 1,69431098s ± 1,93534485)
(s’ ± 0,72927732s ± 1,28184542)
(s’ ± 0,40519622s ± 1,13383296)
(s’ ± 0,25779995s ± 1,07850517)
(s2 ± O,17844533s ± 1,05185142)
(s2 ± 0,13084297s ± 1,03692131)
(s’ ± 0,10004706s ± 1,02768697)
(*’ ± 0,07897914s ± 1,02156225)
(s ±0,72927732)
(s’ ± 0,98723020s ± 0,426726(8^
(s’ ± 0,67492904s ± 0,51948818)
(s’ ± 0,48752172s ± 0,61883871)
(s’ ± 0,36661387s ± 0,69769735)
(s’ ± 0,28490993s ± 0,75708892)
(s’ ± 0,22741138s ± 0,80171594)
(s ±0,41712909)
(s’ ± 0,66596706s ± 0,18582601)
(s’ ± O,52977239s ± 0,27469198) (s ± 0,29400149)
(s’ ± O,42639785s ± 0,37440548) (s’ ± 0,50297056s ± 0,10380743)
(s’ ± 0,34841445s ± 0,46489185) (s’ ± 0/42739360s ± 0,16869372) (s ± 0,22741138)
CL Координаты /плюсов
Порядок iz pi, n Pi,n-1 Рз, n-2 P4,n-3 ps
Таблица 178.5
Лррмипованные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пооиускания 0,5 дБ
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 5Полиномы. Порядок 72 —2,86277516 —0,71281226 ±/1,00404249 —0,31322824 ±/ 1,02192749 - 0,62645649 —0,17535307 ±>1,01625289 -0,42333976 ±/0,42094573 —0,11196292 ±/1,01155737 -0,29312273 ±/0,62517684 -0,36231962 —0,07765008 ±/1,00846085 - 0,21214395 ±/0,73324458 - 0,28979403 ±/0,27021627 —0,05700319 ±/1,00640854 -0,15971939 ±/0,80707698 -0,23680120 ±/0,44789394- —0,25617001 -0,04362008 ±/1,00500207 - 0,12421947 ±/0,85199961 -0,18590757 ±/0,56928794 - 0,21929293 ±/0,19990734 -0,03445272 ±/1,00400397 - 0,09920264 ±/0,88290628 - 0,15198727 ±/0,65531705 —0,18643998 +/0,34868692 знаменателя ВЦ) = s" + fcn-is"-1 + 6„ ss» 2 3 4 5 6 7 8 9 + ... + bo bo bi Ьг Ьг bi bo bo bi bs -0,19840529'
1 2,86277516 2 1,51620^63 1,24562451 3 0,71569379 1,53489546 4 0,37905066 1,02545528 5 0,17892345 0,75251811 6 0,09476266 0,43236692 7 0,04473086 0,28207223 8 0,02369067 0,15254444 ? 0,01118272 0,09411978 б Сомножители полинома зламе- ,B(s) = Порядок п B(s) наглело • 1,25291297 1,71686621 1,19738566 1,30957474 1,93736749 1,17249093 1,17186133 1,58976350 2,17184462 0,75565110 '1,64790293 1,86940791 0,57356040 1,14858937 2,18401538 0,34081930 0,98361988 1,61138805 Bi(s) Bo(s) B3(s) B4(s) Bs(s) 1,15917611 2,41265096 2,14921726 2,78149904 1,15121758 2,65674981 2,42932969 1,14608011 2,90273369 1,14257051
1 (s + 2,86277516)
2 (s’ + 1 42562451s ± 1,51620263)
3 (s’ + 0,62645649s + 1,14244773) (s + 0,62645649)
4 (s’+ 0,35070614г ± 1,06351864) (s’ ± 0,84667952s + 0,35641186)
5 (s’ + 0,22392584s + 1,03578401) (s’ ± 0,58624547s + 0,47676701) (s ± 0,36231962)
6 (s’+ 0,15530015s + 1,02302281) (s’ + 0,42428790s +0,59001011) (s’ + 0,57958805s + 0,15699741)
7 (s’+ 0,11400638s + 1,01610751) (s’+ 0,31943878s + 0,67688354) (s’+ 0,46160241s + 0,25387817) (s +0,25617001)
8 (s’ + 0,08724015s + !,C1193187) (s’ + 0,24843894s + 0,74133382) (s’ + 0,37181515s + 0,35865039) (s’ + 0,43858587s + 0,08805234)
9 (s’ + 0,06890543s + 1,00921097) (s’+ 0,19840529s + 0,78936466) (s’+ 0,30397454s + 0,45254057) (s’± 0,37287997s + 0,15634244) (s + 0,19840529)
----- ----- -------- -------- таблица ц Jb
Нормированные фильтр» ииж'них частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 1 дБ
4л координаты полюсов P2, и-L. РЗ.П-Й P<-.V-~2 PS
Порядок n Р1»Л
1 2 3 4 5 6 7 S 9 1,96522673 —0,54886716 ±/0,89312857 -0,24702530 ±/0,96599867 —0j13953600 ±±0,9833791'6 —0,08945836 ± j 0,99010711 -0,06218102 ±/0,99341120 —0,04570898 ±/0,99528396 —0,03500823 ± / 0,99645128- —0,02766745 ±/0,99722967 -0,49417060 -©,33686969 ±/ 0,40732699 -0,23420503 ±/0,61191985 —0,1^988172 ±/0,72722747 -0,12807372 ± 70,79815576 --0,09969501 ±70,84475061 -0,07966524 ± 70,87694906 —0,28949334 —0,23206274 ±/0,26618373 -D,18507189 ±/0,44294303 -0,149234.13 ± j0,56444431 -0,12205422 ±/0,65089544 —0,20541430 —0,17599827 ±/0,19820648 —0^49/2167 ±/0^4633423 -0,15933047
£Полинами знаменателя Sis') = s" ± bn-is*-1 + b„-zsn-- + ... + bo
Лорязок/ i bo bi .£2 Ьз «?4 & be b7 Ьг
1 1,96522673 .. . -
2 1,10251033 1,09773433
3 0,49130668 1,23840917 0,98834121
4 0,27562758 0,74261937 1,45392476 0,95281138
5 0,12282667 0,58053415 0,97439607 1,68881598 0,93682013
6 0,06890690 0^0708064 0,93934553 1,20214039 1,93082492 0,92825096
7 0,03070667 0,21367139 0,54861981 1,35754480 1,42879431 2,17607847 0,92312347
8 0,01722672 0,10734473 0,44782572 0,84682432 1,83690238 1,65515567 2,42302642 0,91981i31
9 0,00767667 0,07060479 0,24418637 0,78631094 2.37811Ш 1,88147976 2,67094683 0,91754763
£ Семнон'агпели полинома зна - = Bi(s) Bz(s) ВзО) Д/s) jBs(s)
1 Порядок n Bis) ненатеяя
1 (s + 1,96522673)
2 is" + 1,09773433s + 1,10251033) ~
3 (s1 2 3 4 5 6 7 8 9 + 0,49417060s ± 0,99420459) (s + 0,49417060)
4 (s2 + 0,27907199s + 0,98650488). (s’ + 0,67373939s + 0,27939809)
5 (s2 + 0,17891672s + 0,98831489) (s2 + 0,46841007s + 0,42929790) (s +0,28949334)’
6 (s2 + 0,12436205s + 0,99073230) (s2 + 0,33976343s + 0,55771960) (s2 + 0,46412548s + 0,12470685)
7 (s2 + 0,09141796s + 0,99267947) (s2 + 0,25614744s + 0,65345550) (s2 + O,37O14377s + O.Z3O45013) (s + 0,20541430)
8 (s2 + 0,07001647s + 0,99414074) is" + 0,19939003s + 0,72354268) (s2 + 0,29840826s + 0,34085925) (s2 ± 0,35199655s + 0,07026120)
9 (s2 + 0,05533489s ± 0,99523251) (s2 + 0,15933047s + 0,77538620) (s2 + 0,24410845s + 0,43856211) (s* + 0 29944334s + 0,14236398) (s + 0,15933047)
Таблица 11ST Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 1,5 дБ
47 Координаты аетосов • V4 Порядок п р1,к ,P3»n-2 J74,n-3
1 —J,55692704 2 -0,46108873 ±/0,84415805 3 -0,21005618 ±/'0,93934594 —0,42011237 4 -0,11913070 ±/0,96761105 '-0,28760695 ±/0,40079762 S -0,07652815 ±/0,97978702 —0,20035330 ±/0,60554168 -0,24765030 6 -0,05325112 ±/0,98615853 -0,14548476 ±/0,72191815 —0,19873588 ±/0,26424038 7 — 0,03917029 ±/0,98991746 -0,10975272 ±/0,79385217 -0,15859728 ±/0,44055472 -0,17602970 8 -0,03001306 ±/0,99232369 -0,08546998 ±/0,84125141 —0,12791486 ±/0,56210622 -0,15088586 ±/0,19738545 9 -0,02372663 ±/0,99395816 -0,06831811 ±/0,87407213 —0,10466942 ±/0,64876011 —0,12839605 ±/0,34519804 fjПолПномы знаменателя E(s) = sn ± 6n-is”J + 6n-ts"-! +. •• + ba Порядок 72 bo bi bz bz fci 6s 6e 6? 6s -0,13663622
1 1,55692704 2 0,92520563 0,92217745 3 0,38923176 1,10298881 0.84022474 4 0,23130141 0,60470214 1,33087103 0.81347530 5 0,09730794 0,50419031 0,80441337 1,57113155 0,80141319 6 0,05782535 0,24758513 0,83401695 1,00055677 1,81596761 7 0,02432698 0,18365019 0,44733249 1,22429494 1,19561450 8 0,01445634 0,08613897 0,39173725 0,69590812 1,67617801 9 0,00608175 0,06034495 0,19776813 0,69725472 0,99316/59 ^Сомножители политою знамена- B(s) = &(s) &(s) &(s) B/s)*&(s) Порядок n Eks) теля 0,79494354 2.06289611 1,39030856 2,19012821 0,79107030 2,31091937 1,58489077 0,78856753 2/5957170 0;78685666
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (s ± 1,55692704) (s2 ± 0,92217745s ± 0,92520563) (s2 ± 0,42011237s ± 0,92649440) (s + 0,42011237) (s2 ± 0,23826140s + 0,95046327) (s2 + 0,57521390s ± 0,24335649) (s’ + O,153O563Os + 0,96583917) (s2 + 0,40070660s + 0,40682217) (s + 0,24765030) (s2 + 0,10650224s ± 0,97534434) (s2 + 0,29096953s ± 0,54233163) (s2 ± 0,39747177s ± 0,10931893) (s2 ± 0,07834059s ± 0,98147089) (s2 + 0,21950545s ± 0,64224692) (s2 +0,31719456s ± 0,21924156) (s2 ± 0,06002613s ± 0,98560709) (s2 ± 0,17093995s ± 0,71500904) (s2 ± 0,25582972s ± 0,33232561) (s2 + 0,04745326s ± 0,98851577) (s“ + 0,13663622s ± 0,76866946) (s2 + 0,20933884s ± 0,43184537) (s ±0,17602970) (s2 ± 0,30177173s ± 0,06172756) (s2 ± 0,25679210s ± 0,13564724) (s ± 0,13663622)
Таблица П8.8
Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 2 дБ
G Координаты полюсов Порядок /г pi. п рч, п-1 РЗ.Я-1 Pi, n-3 J’S
1 2 3 4 5 6 7 8 9 б Полиномы Порядок гг — 1,30756027 -0,40190822 ±/0,81334508 —0,18445539 ±/0,92307712 -0,36891079 —0,10488725 ±/0,95795296 -0,25322023 ±/0,39679711 —0,06746098 ±/0,97345572 -0,17661514 ±/0,60162872 -0,21830832 —0,04697322 ±/0,98170517 -0,12833321 ±/0,71865806 -0,17530643 ±/0,26304711 —0,03456636 ±/0,98662052 -0,09685278 ±/0,79120823 -0,13995632 ±/0,43908744 -0,15533980 —0,02649238 ±/0,98978701 -0,07544391 ±/0,83910091 -0,11290980 ±/0,56066930 -0,13318619 ±/0,19688088 - 0,02094714 //0,99194711 -0,06031490 ±/0,87230365 -0,09240778 ±/0,64744750 -0,11335493 ±/0,34449962 -0,12062980 знаменателя B(s) = s“ + Ьл-is”-1 ± bn-ts"2 + ... + Ья bt> bi bs bs bi bs ba bi bi
1 1,30756027 2 0,82306043 0,80381643 3 0,32689007 1,02219034 0,73782158 4 0,20576511 0,51679810 1,25648193 0,71621496 5 0,08172252 0,45934912 0,69347696 1,49954327 0,70646057 6 0,05144128 0,21027056 0,77146177 0,86701492 1,74585875 7 0,02043063 0,16612635 0,38263808 1,14459657 1,03954580 8 0,01286032 0,07293732 0,35870428 0,59822139 1,57958072 9 0,00510766 V,05437558 0,16844729 0,64446774 0,85686481 6 Сомножители полинома зна- = Bi(s) Ba(s) Zfe(s) 7+(s) Be(s) Лгорядояа B(s) менателя 0,70122571 1,99366532 0,69809071 1,21171208 2,24225293 2,07674793 1,38374646 0,69606455 2,49128967 0,69467931
1 2 3 4 5 6 7 8 9 (s ± 1,30756027) (s2 + O,8O381643s + 0,82306043) (s2 + O,36891O79s ± 0,88609517) (s + 0,36891079) (s2 + 0,20977450s + 0,92867521) (s2 + 0,50644045s + 0,22156843) (s2 + 0,13492196s + 0,95216702) (s2 + O,35323O28s + 0,39315003) (s +0,21830832) (s2 + 0,09394643s + 0,96595153) (s2 + 0,25666642s + 0,53293883) (s2 + 0,35061285s ± 0,09992612) (s2 + 0,06913271s + 0,97461489) (s2 + 0,19370556s + 0,63539092) (s2 + 0,27991264s + 0,21238555) (s2 ± O,O5298476s + 0,98038017) (s2 + O,15O88783s + 0,70978212) (s2 + 0,22581959s + 0,32709869) (s2 + 0,04189429s + 0,98439786) (s2 + 0,12062980s + 0,76455155) (s2 + 0,18481557s + 0,42772746) (s +0,15533980) (s2 + 0,26637237s ± 0,05650064) (s2 + 0,22670986s + 0,13152933) (s + 0,12062980)
— — — — — — — — — — — — — — — Таблица П8.9
Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 2,5 дБ
О Координаты полюсов
Порядок п ру.п ps,n-i pstn-t n-s ръ
1 -1,13352794
2 —0,35762543 ±/0,79239886
3 -0,16497445 ±/0,91194830 -0,32994890
♦ — 0,09398023 ±/0,95133155 —0,22688835 ±/0,39405443
5 —0,06049691 ±/0,96911059 -0,15838298 ±/0,59894329 -0,19577212
6 -0,04214350 ±/0,97864714 -0,11513817 ±/0,71641943 -0,15728167 ± 7-0,26222771
7 -0,03102091 ±/0^98435581 -0,08691865 ±/0,78939207 —0,12560108 ±/0,43807955 -0,13940668
8 —0,02377936 ± /0,98804414 -0,06771789 ±/0,83762338 —0,10134698 ±/0,55968205 -0,11954692 ±/0,19653420
5 -0,01880433 ±/0,99056519 -0,05414490 ±/0,87108841 —0,08295480 ±/0,64654551 —0,10175912 ±/0,34401968 -0,10828979
бПол&Яомы знаменателя B(s) = s" + An-is"-1 ± Z’k-is’'-1 + ..; + Ao
1 Порядок 72 bo 61 fa Ьз bi Ъь ba b? bs
1 1,13352794
2 0,75579190 0,71525087
3 0,28338199 0^96773256 0,65989780
4 0,18894798 0,45355237 1,20591329 0,64173716
5 0,07084550 0/42943786 0,61232280 1,45068134 1 0,63353190
6 0,04723699 0,18372756 0,72942899 0,76830555 1,69790019 0,62912669
7 0,01771137 0,15448499 0,33601918 1,09079637 i 0,92336716 1,94624358 0,62648795
8 0,01180925 0,06359602 0,33663041 0,52716439 1,51416640 1,07808152 2,19517646 0,62478230
9 0,00442784 0,05041856 0,14748366 0,60904415 । 0,75700988 1,99979301 1,23266106 2,44444850 0,62361607
р Сомножители ролш/ома знамена- В<Р) = ВКр} Вг(р) ВРр) B<(s) Bs(s)
Порядок п B(s) л7кда
1 (s + 1,13352794)
2 (г2 3 4 5 6 7 8 9 + 0,71525087s + 0,75579190)
3 (s2 + 0,32994890s + 0,85886628) (s + 0,32994890)
4 (s2 + 0,18796046s + 0,91386400) (s2 ± 0,45377670s + 0,20675722,
5 (s2 + 0,12099383s + 0,94283522) (s' + O,31676595s ± 0,38381823) (s + 0,19577212)
6 (s2 + O,O8428699s + 0,95952630) (s2 + 0,23027635s + 0,52651360) (s2 ± 0,31456334s + 0,09350090)
7 (s2 + 0,06204181s + 0,96991866) (s2 + 0,17383729s + 0,63069469) (s2 + 0,25120216s + 0,20768932) (s + 0,13940668)
8 Xs2 + 0,04755872s + 0,97679669) (s2 + 0,13543578s + 0,70619864) (s2 + 0,20269397s + 0,32351521) (s2 + 0,23909383s + 0,05291716)
9 (s2 + 0,03760865s+ 0,98157299) (s2 ± 0,10828979s ± 0,76172668) (s2 + 0,16590959s + 0,42490259) (s2 + 0,20351824s + 0,12870446) (s ± 0,10828979)
Таблица П8.10
Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 3 дБ
/7 Координате/ полюсов РЗ.П-1 Рз.я-з P4, П-3 P5
Порядок n Pl.n
1 2 3 4 5 6 7 -1,00237729 —0,32244983 ±/0,77715757 -0,14931010 ±/0,90381443 -0,08517040 ±/0,94648443 - -0,05485987 ± / 0,96592748 -0,03822951 ± / 0,97640602 -0,02814564 ±/0,98269568 -0,29862021 -0,20561953 ±/0,39204669 —0,14362501 ±/0,59697601 -0,10444497 ±/0,71477881 -0,07886234 ±/0,78806075 -0,17753027 -0,14267448 ±/0,26162720 -0,11395938 ±/0,43734072 -0,12648537
в -0,02157816 ±/0,98676635 -0,06144939 ±/0,83654012 -0,09196552 ±/0,55895824 -0,10848072 ±/0,19628003
9 -0,01706520 ±/0,98955191 —0,04913728 ± /0,87019734 -0,07528269 ±/0,64588414 -0,09234789 ±/0,34366777 -0,09827457
<5Полиномы знаменателя в(з} = sn ± 6n-isn“l + Ьп~ип~й + ... + bo
Порядок a bo bi bz Ьз bi bi bo b-j bs
1 1,00237729
2 0,70794778 0,64489965
3 0,25059432 0,92834806 0,59724042
4 0,17698695 0,40476795 1,16911757 0,58157986
5 0,06264858 0,40796631 0,54893711 1,41502514 0,57450003
6 0,04424674 0,16342991 0,69909774 0,69060980 1,66284806 0,57069793
7 0,01566215 0,14615300 0,30001666 1,05184481 0,83144115 1,91155070 0,56842010
8 0,01106168 0,05648135 0,32076457 0,47189898 1,46669900 0,97194732 2,16071478 0,56694758
9 0,00391554 0,04759081 0,13138977 0,58350569 0,67893051 1,94386024 1,11232209 2,41014443 0,56594069
в ^Сомножители полинома зна- B(s) -- Bi(s) Bz(s} Вз(з) Bt(s} Bs(s)
Порядок a B{s) ма/ате/уя
1 (s ± 1,00237729)
2 (s1 2 + 0,64489965s ± 0,70794778)
3 (s2 ± 0,29862021s -J- 0,83917403) (s ± 0,29862021)
4 (s2 ± 0,17034080s ± 0,90308678) (s2 ± 0,41123906s + 0,19598000)
5 (s2 + 0,10971974s -J- 0,93602549) (s2 + 0,28725001 s ± 0,37700850) (s ± 0,17753027)
6 (s2 ± 0,07645903s -J- 0,95483021) (s2 ± 0,20888994s + 0,52181750) (s2 + O,28534897s + 0,08880480)
7 (s2 ± 0,05629129s + 0,96648298) (s2 + 0,15772468s + 0,62725902) (sa ± 0,22791876s + 0,20425365) (s + 0,12648537)
8 (s2 ± 0,0431563 Is ± 0,97417345) (s2 ± 0,12289879s + 0,70357540) <s2 + O,183931O3s + 0,32089197) (s2 + 0,21696145s + 0,05029392)
9 (s2 + 0,03413040s ± 0,97950420) (s3 4 5 6 7 8 9 ± 0,09827457s + 0,75965789) (s2 ± O,15O56538s + 0,42283380) (s2 + 0,18469578s ± 0,12663567) (s ± 0,09827457)
трех частей. В части (а) приводятся координаты полюсов нор-
мированного фильтра нижних частот п-го порядка1)- В части
(б) приводится полный знаменатель полинома соответствующей
передаточной функции, а в части (в) тот же полином знамена-
теля приведен в виде разложения на множители.
ЗАДАЧИ
8.1. Определите, какая из приведенных ниже функций Г(о) может быть
квадратом модуля передаточной функции.
1 F (со) = СО4 + СО + 1
е)
а) г (со) — со4 + со2+1 ’ со4 + 2Осо2 + 10 ’
1 ж) СО4 — СО + 1
б) F («) — со4-со2+1 ’ г - - со4 + 2Осо2 + 10 ’
1 +«4 з) F (<о) = 100 — со4
в) Л (СО) — со4-Зсо2+ 2 ’ со4 + 2Осо2 + 10 ’
г) F (со) = со4 + Зсо2 + 2 . 1 + <о4 и) F (со) = 1 — со6 , со6 + 2со4 + 20га2 + 10 ’
1 +со4 К) F ко) — со2 + со6
Д) ? (СО) со4 + 2Осо2 + 5со + 1 ’ со6 + 2со4 + 2Осо2 + 10
8.2. а) Найдите передаточную функцию нормированного фильтра нижних ча-
стот Баттерворта n-го порядка, где п — 1, 2, 3, ..., 9.
б) Составьте схему расположения полюсов и нулей нормированного
фильтра нижних частот Баттерворта n-го порядка, где п = 1, 2, 3, ..., 9.
8.3. а) Найдите фильтр Баттерворта минимального порядка, удовлетворяю-
щий следующим требованиям:
1) Частота среза по уровню 3 дБ составляет 1 рад/с.
2) Требования к полосе пропускания имеют вид | Н (/со) | 0,99 для
0 sg <в sS 0,25 рад/с.
3) Требования к полосе задерживания имеют вид |//(/со)| ^0,001 для
со 2 рад/с.
б) Найдите передаточную функцию требуемого фильтра.
в) Реализуйте фильтр п. б) с Rs = 1 Ом и Ri = 1 Ом.
г) Реализуйте фильтр п. б) с Rs = 1 Ом и Rt = 3 Ом.
д) Реализуйте фильтр и. б) с & = I Ом и й = 0,5 Ом.
8.4. Решите задачу 8.3, заменив условия 2 и 3 на условия 2а и За соответ-
ственно
2а) IН (/со) 12 0,99 для 0 со 0,25 рад/с.
За) I2 гС 0,01 для со 2 рад/с.
8.5. Решите задачу 8.3, заменив условия 2) и 3) на условия 2а и 36 соот-
ветственно
26) |Я(/со) I 0,9 для 0 sg со 0,5 рад/с.
36) IН(/со) I 0,1 для со 1,5 рад/с.
8.6. Предположим, что требуется нормированный фильтр нижних частот с
максимально плоской характеристикой, чтобы удовлетворить следующим
условиям:
*) Вспомните, что нормированный фильтр нижних частот Баттерворта
имеет частоту среза по уровню 3 дБ, равную 1 рад/с, тогда как нормирован-
ный фильтр нижних частот Чебышева имеет ширину полосы колебаний коэф-
фициента передачи в полосе пропускания, равную 1 рад/с.
1) Затухание в полосе пропускания составляет менее чем 0,1 дБ для
0,05 <в s? 0,85 рад/с.
2) Затухание в полосе задерживания равно по крайней мере 50 дБ для
со > 1,2 рад/с.
Найдите требуемый фильтр минимального порядка.
8.7. а) Найдите нормированный фильтр нижних частот Баттерворта мини-
мального порядка, который будет удовлетворять следующим требова-
ниям:
1) Затухание в полосе пропускания составляет менее 0,01 дБ для
0 ш 0,3 рад/с и менее чем 0,1 дБ для 0,3 со 0,6 рад/с.
2) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере 40 дБ
для со 2 рад/с и 60 дБ для со 3 рад/с.
б) Найдите схемную реализацию требуемого фильтра.
8.8. Повторите решение задачи 8.7 со следующими условиями:
1а) Затухание в полосе пропускания составляет менее 0,1 дБ для
0 со «С 0,75 рад/с.
2а) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере 50 дБ
для со > 2 рад/с.
8.9. а) Найдите передаточную функцию для фильтра нижних частот Чебы-
шева n-го порядка с шириной равноволновой полосы пропускания 1 рад/с
и в = 0,5, где п = 1, 2, ..., 9.
б) Составьте схему расположения полюсов и нулей для передаточной
функции, полученной в п. а).
8.10. а) Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Чебышева
n-го порядка с шириной равноволновой полосы передачи 1 рад/с п
Л макс = 0,1 дБ, где п=1,2,..., 9.
б) Составьте схему расположения для полюсов й нулей для передаточ-
ной функции, полученной в п. а).
8.11. Повторите решение задачи 8.10 при Лмакс = 1 дБ.
8.12. Предположим, что нам необходимо найти и реализовать фильтр нижних
частот Чебышева, отвечающий следующим требованиям:
1) Ширина равноволновой полосы пропускания составляет 1 рад/с.
2) Неравномерность передачи в полосе пропускания Лмакс = 0,1 дБ.
3) Затухание в полосе задерживания равно по крайней мере 40 дБ для
(о 2 рад/с.
а) Найдите минимальный порядок требуемого фильтра.
б) Найдите передаточную функцию для требуемого фильтра.
в) Найдите схемную реализацию требуемого фильтра.
8.13. Повторите решение задачи 8.12, заменяя поочередно условие 2 одним
из следующих: Дмачс равно: а) 0,2 дБ; б) 0,3; в) 0,5; г) 1; д) 1,5;
е) 2; ж) 2,5 и з) 3 дБ.
8.14. а) Найдите равноволновый фильтр минимального порядка, который удо-
влетворяет следующим требованиям:
1) Требования к полосе пропускания имеют вид
|Я (/со) |2 0,955 для 0 со 1 рад/с.
2) Требования к полосе задерживания
|Я(/со) |2 0,001 для со 3 рад/с.
б) Найдите реализацию требуемого фильтра.
8.16. Повторите решение задачи 8.14, заменив условие 1 следующим требо»
ванием:
[ Н (/со) |2 0,7079 для 0 со 1 рад/с.
8.16. а) Найдите нормированный фильтр нижних частот Чебышева минималь-
ного порядка, удовлетворяющий следующим требованиям:
8.17.
8.18.
8.19.
1) Диаке = 0,2 дБ. „ „
2) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере ьи до
для со > 2,5 рад/с.
б) Реализуйте требуемый фильтр.
Повторите решение задачи 8.16, поочередно заменяя условие 1 одним
из следующих условий: а) АмаКс = 0,5 дБ; б) 1,5 и в) 2,5 дБ.
Найдите нормированный фильтр нижних частот Чебышева минималь-
ного порядка, который удовлетворяет следующим требоваииям:
1) Диаке = 0,1 дБ. u _
2) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере 60 дЬ
для со > 1,4 рад/с.
3) Частота среза по уровню 3 дБ равна сос 1,25 рад/с.
Предположим, что необходимо спроектировать фильтр Чебышева, кото-
рый удовлетворяет следующим требованиям:
1) Максимальная неравномерность передачи в полосе пропускания
Диаке — 0,3 дБ.
2) Ширина равноволновой полосы пропускания составляет 1 рад/с.
3) Частота среза по уровню 3 дБ сос 1,2 рад/с.
4) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере 40 дБ
для со > 2 рад/с.
а) Найдите требуемый фильтр минимального порядка.
б) Найдите функцию передачи требуемого фильтра.
в) Реализуйте требуемый фильтр.
8.20. Повторите решение задачи 8.19, заменяя требование 1 поочередно од-
ним из следующих требовании: Амакс равно: а) 0,5 дБ; б) 1 и в) 2 дБ.
8.21. Предположим, что нам необходимо спроектировать фильтр нижних ча-
стот, удовлетворяющий следующим требованиям:
1) Затухание в полосе пропускания менее чем 0,1 дБ для 0 со
==: 0,25 рад/с и менее чем 1 дБ для 0,25 со 0,75 рад/с.
2) Затухание в полосе задерживания равно по крайней мере 40 дБ для
со gs 2 рад/с.
а) Найдите нормированный фильтр иижних частот Баттерворта мини-
мального порядка, удовлетворяющий поставленным требованиям.
б) Найдите нормированный фильтр нижних частот Чебышева минималь-
ного порядка, удовлетворяющий поставленным требованиям.
8.22. Пусть Pi и р2 являются полюсами фильтра группового времени, имею-
щего максимально плоскую характеристику с одними полюсами, где
Pi —а + /р и Р2 = —а — /р.
а) Найдите функцию группового времени т(со) или т(з//), выраженную
через а и р.
б) Определите, какие ограничения необходимо наложить на а и Р, что-
бы т(со) была максимально плоской при со = 0.
в) С учетом ограничений, найденных в п. б), определите а и р такие,
чтобы т(0) = 1.
г) Найдите передаточную функцию для фильтра второго порядка с еди-
ничным групповым временем замедления и максимально плоской харак-
теристикой, т. е. т(0)= 1 Указание', воспользуйтесь результатом, полу-
ченным в п. в).
д) Найдите передаточную функцию фильтра Бесселя второго порядка,
е) Прокомментируйте результаты, полученные в пп. г) ид).
ж) С учетом ограничений, найденных в п. б), определите аир, выра-
зив их через постоянную to А. т(0).
з) Найдите передаточную функцию фильтра второго порядка с единич-
ным групповым временем замедления То и максимально плоской харак-
теристикой Указание: воспользуйтесь результатом п. ж).
и) Сравнив результаты, полученные в пп. д) н з), разработайте проце-
дуру получения передаточной функции фильтра с единичным групповым
временем замедления т0 и максимально плоской характеристикой,
который построен па основе полинома Бесселя.
8.23. Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Бесселя п-го
порядка с единичным групповым временем замедления при со = О, где
п = 1, 2, .... 9.
8.24. Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Бесселя чет-
вертого порядка с т(0) равным: а) 2 с, б) 10-3 сив) 10-6 с.
8.25. а) Найдите фильтр Бесселя минимального порядка, удовлетворяющий
следующим условиям:
1) т(0)= 1 с.
2) т(со) характеризуется менее чем 2%-иой ошибкой для со 2 рад/с.
3) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере 20 дБ
для со 4 рад/с.
б) Найдите передаточную функцию требуемого фильтра.
в) Найдите схемную реализацию требуемого фильтра.
8.26. а) Найдите фильтр Бесселя минимального порядка, удовлетворяющий
следующим требованиям:
1) т(0)= 2 с.
2) т(со) характеризуется менее чем 1%-ной ошибкой для сос 2,5 рад/с.
3) Частота среза по уровню 3 дБ сос 1,5 рад/с.
4) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере 34 дБ
для со 3 рад/с.
б) Найдите передаточную функцию требуемого фильтра.
8.27. а) Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Бесселя
второго порядка с г(0) = 10 мс.
б) Реализуйте фильтр, полученный в п. а) с помощью четырехполюсника
без потерь, нагруженного с обеих сторон на резисторы Rs — Ri = 1 Ом.
8.28. а) Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Бесселя
третьего порядка с т(0) = 5 мс.
б) Реализуйте фильтр, полученный в п. а) с помощью четырехполюсника
без потерь, нагруженного с обеих сторон на резисторы Rs = 1 Ом и
Rt = 1,5 Ом.
8.29. а) Найдите передаточную функцию /Л(х) фильтра нижних частот Бат-
терворта второго порядка.
б) Найдите передаточную функцию Hz(s) фильтра Чебышева второго
порядка с шириной равноволновой полосы пропускания 1 рад/с и
Дмакс = 0,1 дБ. -
в) Найдите передаточную функцию Hs(s) фильтра нижних частот Бес-
селя второго порядка с единичным групповым временем замедления,
г) Найдите передаточную функцию Hi(s) переходного фильтра нижних
частот второго порядка с расположением полюсов между полюсами
Hz(s) и Hs(s).
д) Найдите передаточную функцию Hs(s) переходного фильтра нижних
частот второго порядка с расположением полюсов между полюсами
Hi(s) и Яз(8).
е) Рассмотрите схемы, изображенные на рис. 3.8.29, а. Найдите переда-
точную функцию Н (s) = Увьж/Рвх, выразив ее через L и С.
ж) Найдите значения L и С, необходимые для реализации Hz(s),
Hzfs), Ht(s) и Hs(s).
з) Повторите решение е) и ж) для схемы, изображенной на рис. 3.8.29, б.
и) То же для схемы, изображенной на рис. 3.8.29, в.
8.30. а) Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Баттерворта
второго порядка, у которого частота среза по уровню 3 дБ сос =
— 106 рад/с.
б) Реализуйте передаточную функцию для а) при Rs — Ri = 1 Ом.
в) Реализуйте передаточную функцию для а) при Rs = Ri = 10 кОм.
г) Реализуйте передаточную функцию для a) Rs =.2Rz =10 кОм.
Рис. 3.8.29.
д) Реализуйте передаточную функцию для а) при А7 = О, I/?; = 5 кОм.
8.31. Повторите решение задачи 8.30 для случая фильтра нижних частот Бат-
терворта n-го порядка, где п = 3, 4, ..., 9.
8.32. а) Найдите передаточную функцию для фильтра нижних частот Чебы-
шева второго порядка с шириной равноволновой полосы пропускания
cor — 105 рад/с и А макс — 0,1 дБ.
б) Реализуйте передаточную функцию, полученную в п. а), используя
для этой цели подходяшее значение Rs и Ri — 10 кОм.
8.33. а) Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Чебышева
третьего порядка с шириной равноволновой полосы пропускания
СОг = 10е рад/с И Лмакс = 1 дБ.
б) Реализуйте передаточную функцию, полученную в п. а), используя
для этой цели подходящее значение и Ri = 50 Ом.
8.34. Предположим, что нам необходим фильтр нижних частот, удовлетворяю-
щий следующим требованиям:
1) Затухание в полосе пропускания менее чем 0,1 дБ для со sg 5 крад/с
и менее чем 0,5 для со гС 20 крад/с.
2) Затухание в полосе задерживания равно по крайней мере 50 дБ для
со 100 крад/с.
3) Частота среза по уровню 3 дБ сос = 30 крад/с.
а) Найдите фильтр Баттерворта минимального порядка, который будет
удовлетворять поставленным требованиям.
б) Найдите передаточную функцию требуемого фильтра Баттерворта.
в) Реализуйте требуемый фильтр Баттерворта с Rs — Pi = 75 Ом.
г) Найдите фильтр Чебышева минимального порядка, который будет
удовлетворять поставленным требованиям.
д) Найдите передаточную функцию требуемого фильтра Чебышева.
е) Реализуйте требуемый фильтр Чебышева Ps = 50 Ом.
8.35. а) Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Бесселя с
т(0)= 1 с и линейной фазовой характеристикой с менее чем 5 %-ной
ошибкой при со sg 3 рад/с.
б) Найдите групповое время замедления т(0), если над передаточной
функций, полученной в и. а), выполняется преобразование
s
10fe '
в) Найдите схемную реализацию фильтра нижних частот Бесселя с
т(0), определенной в п. б), и линейной фазовой характеристикой менее
чем 5%-ной ошибкой для о 30 крад/с и Rs == Ri = 50 Ом.
8.36. а) Найдите передаточную функцию фильтра нижних частот Бесселя ми-
нимального порядка, который будет удовлетворять следующим требо-
ваниям:
1) т(0) = 1 мкс.
2) т(ш) имеет менее чем 1%-иую ошибку для (о 10е рад/с.
б) Реализуйте требуемый фильтр.
8.37. Предположим, что нам необходим фильтр с максимально плоской харак-
теристикой” группового времени замедления, удовлетворяющий следую-
щим требованиям:
1) т(0) = 20 мск.
2) т(со) имеет менее чем 5%-ную ошибку для со 105 рад/с.
3) Частота среза по уровню 3 дБ <вс 2-106 рад/с.
а) Найдите требуемый фильтр минимального порядка.
б) Найдите передаточную функцию для требуемого фильтра.
в) Реализуйте требуемый фильтр с Rs = Ri = 50 Ом.
8.38. а) Найдите передаточную функцию полосового фильтра со средней ча-
стотой <во = 105 рад/с и шириной полосы В = 101 рад/с, который полу-
чен в результате преобразования НЧ i—> ПФ из нормированного фильт-
ра нижних частот Баттерворта второго порядка.
б) Изобразите примерный ход характеристики фильтра, полученного в
п. а).
в) Реализуйте фильтр, полученный в и. а), с помощью Rs = Ri —
— 10 кОм.
8.39. Повторите решение задачи 8.38 применительно к фильтру нижних ча-
стот Баттерворта третьего порядка.
8.40. а) Найдите передаточную функцию полосового фильтра со средней ча-
стотой <оо == Ю5 рад/с, шириной равноволновой полосы пропускания
104 рад/с и Л макс — 0, 1 дБ. который получен в результате преобразова-
ния НЧ ।—> ПФ нормированного фильтра нижних частот Чебышева вто-
рого порядка.
б) Изобразите примерный ход характеристики фильтра, полученного в
п. а).
в) Реализуйте фильтр, полученный в п. а), с помощью Rs и Ri = 1 кОм.
8.41. Повторите решение задачи 8.40 применительно к нормированному фильт-
ру нижних частот Чебышева третьего порядка с Лмакс = 1 дБ.
8.42. Необходимо реализовать полосовой фильтр Чебышева со следующими
характеристиками:
1) Равноволновая полоса определяется следующим неравенством
41,4 рад/с (о sg 241,4 рад/с.
2) Лмакс == 1 ДБ
3) Потери составляют по крайней мере 20 дБ для и 500 рад/с и
(о < 20 рад/с.
а) Найдите среднюю частоту (Оо и ширину полосы В.
б) Найдите характеристики нормированного фильтра нижних частот
соответствующих характеристикам заданного выше полосового фильтра
в) Найдите наименьший порядок п, позволяющий удовлетворить требо-
ваниям к характеристикам п. б).
г) Найдите схемную реализацию требуемого нормированного фильтра
нижних частот, используя Rs = 1 Ом и Ri = 1 Ом или 0,25 Ом.
д) Найдите схемную реализацию требуемого полосового фильтра, ис-
пользуя == 1 Ом и Ri = 1 Ом или 0,25 Ом.
е) Преобразуйте сопротивление схемы, полученной в п. д), к уровню,
при котором Rs — 600 Ом.
8.43. Предположим, что нам необходимо спроектировать полосовой фильтр,
имеющий следующие характеристики:
1) Средняя частота полосы пропускания равна <во = 1 Мрад/с.
2) Ширина полосы по уровню 3 дБ В — 100 крад/с.
3) Затухание в полосе пропускания составляет менее чем 0,1 дБ для
0,95 Мрад/с <о < 1,05 Мрад/с.
4) Затухание в полосе задерживания менее чем 40 дБ для <о
1,25 Мрад/с.
а) Найдите полосовой фильтр Баттерворта, удовлетворяющий всем
вышеперечисленным требованиям.
б) Найдите передаточную функцию требуемого фильтра Баттерворта,
в) Реализуйте требуемый фильтр Баттерворта, используя Rs = Ri =
= 5 кОм.
г) Найдите полосовой фильтр Чебышева минимального порядка, отве-
чающий всем вышеперечисленным требованиям.
д) Найдите фильтр Чебышева минимального порядка, удовлетворяющий
требованиям 1, 3 и 4.
8.44. По характеристике группе- ^нч^нч'
вого времени, заданной на j ।
рис. 3.8.44, изобразите при-
мерно соответствующую ха-
рактеристику после выполне-
ния преобразования НЧ>—>ПФ го
«ПФ + ®о
।—>---=------ .
где «Нч — анч + /юнч и
«ПФ = аПФ + /<впф являются Рис. 3.8.44.
комплексными частотами,
связанными соответственно с фильтром нижних частот и результирую-
щим полосовым фильтром <Во = Ю крад/с.
а) В — 0,05соо.
б) В = 0,5<Оо-
Указание-.
„ . . rf<₽r№ffln® rf<₽H4fflH4
*ПФ (®пф)~ -
(2 2\ / 114
ЮПФ — ®о)/йюПФ •
“ШПФ
8.45. а) Найдите передаточную функцию заграждающего фильтра со средней
частотой Оо = 10 крад/с и полосой В = 4 крад/с, полученного в резуль-
тате преобразования НЧ i—> ЗФ из нормированного фильтра нижиих
частот Баттерворта второго порядка.
б) Найдите схемную реализацию требуемого фильтра.
в) Докажите, что схема, полученная в п. б), действительно реализует
передаточную функцию, полученную в п. а).
г) Изобразите примерный ход характеристики требуемого фильтра.
8.46. Предположим, что нам необходим заграждающий или гребенчатый
фильтр со следующими характеристиками:
1) Средняя частота полосы задерживания составляет 120л рад/с, а по-
лоса задерживания по уровню 3 дБ равна 20л рад/с.
2) Минимальное затухание в полосе 118л рад/с со sg 122л рад/с рав
но 40 дБ.
3) Ухудшение передачи в полосе пропускания составляет не более 0,1 дБ
для со >= 150л рад/с и со «С 40л рад/с.
а) Найдите фильтр Баттерворта минимального порядка, отвечающий
этим требованиям.
б) Найдите передаточную функцию требуемого фильтра.
в) Изобразите примерный ход характеристики требуемого фильтра.
г) Реализуйте требуемый фильтр, используя Rs ~ Ri — 75 Ом.
8.47. а) Найдите передаточную функцию заграждающего фильтра, которая
удовлетворяет следующим требованиям:
1) Полоса пропускания простирается от 0 до 3400 Гц и от 4500 Гц до
бесконечности при относительной неравномерности передачи 0,1 дБ.
2) Полоса задерживания простирается от 3700 Гц до 4000 Гц при мини-
мальном затухании 30 дБ.
б) Реализуйте требуемый фильтр Чебышева.
8.48. а) Найдите передаточную функцию фильтра верхних частот Бесселя
третьего порядка с групповым временем замедления, равным 10 мкс.
б) Изобразите примерный ход характеристики группового времени тре-
буемого фильтра.
в) Реализуйте требуемый фильтр, используя Rs = Ri = 10 кОм.
8.49. Предположим, что нам необходим фильтр верхних частот, удовлетво-
ряющий следующим требованиям:
1) Затухание в полосе задерживания составляет по крайней мере 40 дБ
для | со | ЮОл крад/с.
2) Затухание в полосе пропускания равно не более 1 дБ для
со 120л крад/с.
а) Найдите фильтр Баттерворта минимального порядка, удовлетворяю-
щий поставленным требованиям.
б) Найдите схемную реализацию требуемого фильтра Баттерворта, кото-
рый получен в п. а), используя Rs — Ri = 50 Ом.
в) Найдите фильтр Чебышева минимального порядка, который удовле-
творяет поставленным требованиям.
г) Реализуйте требуемый фильтр Чебышева, который получен в п. в),
используя Rs = Ri — 50 Ом.
8.50. Напишите машинную программу: а) для получения передаточной
функции; б) для определения координат полюсов и в) для получения
схемной реализации фильтра нижних частот Баттерворта п го порядка с
заданными значениями Rs и Ri и частотой среза по уровню 3 дБ
сое рад/с.
8.51. Напишите машинную программу: а) для получения передаточной
функции; б) для определения координат полюсов и в) для получения
схемной реализации фильтра нижних частот Чебышева n-го порядка с
шириной равноволновой полосы сог рад/с и максимальной неравиомер
ностью передачи ДМЕКс дБ при использовании пары заданных и согласо-
ванных между собой резисторов Rs и Rt.
8.52. Напишите машинную программу для получения передаточной функ-
ции и определения полюсов фильтра нижних чнетот Бесселя n-го по-
рядка с групповым временем замедления То при со = 0.
8.53. Напишите машинную программу для осуществления:
а) преобразования НЧ i—> НЧ; б) преобразования НЧ I—> ПФ; в) пре-
образования НЧ ।—> ЗФ; г) преобразования НЧ i—> ВЧ и д) нормиро-
вания (денормирования) по сопротивлению в соответствии с разд. 8.4
путем получения передаточной функции составления схемных реализаций
на основе их аналогов в виде нормированных фильтров нижних частот
9
Чувствительность
Во всех процедурах синтеза, которые обсуждались до на-
стоящего момента, рассматривались только идеализированные
элементы. Однако реальные элементы никогда не имеют иде-
альных свойств. Так, например, каждый реальный «линейный»
резистор имеет вольт-амперную характеристику, которая ни-
когда не будет в точности линейной. Всегда необходимо счи-
таться с необходимостью введения допусков. Кроме того, ха-
рактеристики реальных элементов зависят.и от воздействую-
щих на них факторов окружающей среды, к числу которых
относятся комнатная температура, интенсивность света и т. и.
Следовательно, важно исследовать эффект воздействия неиде-
альных элементов, используемых при физической реализации
спроектированного оборудования, на заданные выходные вели-
чины, такие, как передаточные функции, средние частоты, ши-
рина частотных полос, расположение полюсов и нулей и т. п.
Чувствительность является мерой влияния на выходные ве-
личины ’) изменения схемных параметров, например сопротив-
лений резисторов, индуктивностей катушек индуктивности, ем-
костей конденсаторов, коэффициентов усиления [3 транзисторов,
конечных коэффициентов усиления операционных усилителей
без обратной связи и неидеальности характеристик гираторов.
Некоторые схемные конфигурации отличаются исключительной
чувствительностью, и их выходные реакции могут испытывать
значительные искажения при малых изменениях схемных пара-
метров. Другие же схемные структуры (например, лестничные
схемы) отличаются исключительной нечувствительностью, так
что существенные искажения их выходных величин будут
наблюдаться лишь при больших отклонениях параметров схем-
ных элементов от нормы или же в случае работы этих элемен-
тов в условиях, значительно превосходящих их возможности.
В принципе имеются два типа изменений схемных пара-
метров. Первый из них, который рассматривается наиболее ча-
сто, связан с бесконечно малым изменением, когда изменение
самого параметра в процентном выражении оказывается малым.
Второй тип изменения классифицируется как большое изменение
’) К числу выходных величин относятся расположение полюсов и нулей,
фазовые и амплитудные характеристики, передаточные функции, ширина ча-
стотных полос и средние частоты, частоты среза, частоты полюсов и доброт-
ности пары полюсов.
параметра. В этом случае значение параметра изменяется
весьма значительно по сравнению с его номинальным значением.
Второй случай представляет значительные трудности для ана-
лиза, и в этой главе мы будем рассматривать только бесконечно
малые (или дифференциальные) изменения параметров.
9.1. Чувствительности полюсов и нулей
Рассмотрим полином p(s), который является либо числите-
лем, либо знаменателем передаточной функции, а также функ-
ций амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик, ве-
щественной или мнимой частью передаточной функции и т. п.
Пусть Sj будет корнем полинома p(s), имеющим кратность п.
Тогда полином p(s) можно записать в следующей форме:
p(s) = (s — Sj)nPi(s), (9.1)
где pits)— произведение остальных сомножителей разложения
этого полинома на множители. Дифференциальное изменение
параметров схемных элементов приведет к превращению поли-
нома p(s) в новый полином p(s)1)
Р (s) А р (s) + 6р (s), (9.2)
где 6p(s) представляет собой изменение p(s), происходящее в
результате изменения схемных параметров. Следовательно, ко-
рень Sj, который нас интересует, изменит свое положение на
новое Sj. Обозначим смещение корня s, через
SsjAsy — Sj. (9.3)
9.1.1. Методы расчета
Чтобы найти 6s/, сначала вычислим Sj путем решения урав-
нения
p(s) = 0, (9.4)
а затем применим (9.3). Однако решение уравнения (9.4) яв-
ляется весьма трудной задачей. В этом разделе мы изложим
другой приближенный метод вычисления 6s,-.
Согласно (9.1) в окрестности s — s,- функция l/p(s) будет
приближенно равна2)
1/р (s) L„/(s — Sj)n, (9.5)
(s s I
где Ln = ----=постоянной (9.6)
P (s) ls=Sy
*) Символ б используется на протяжении всей главы для обозначения
«небольшого изменения».
®) Правая часть уравнения (9.5) является наиболее существенным чле-
ном разложения функции l/p(s) в ряд Лорана.
называется постоянной Лорана полинома p(s) при s = sy1).
Если все изменения схемных параметров действительно малы,
то и 6p(s), изменение p(s), будет также мало. Следовательно,
разумно предполагать, что изменение в корнях будет также
мало: Sj окажется в ближайшей окрестности точки S/, для кото-
рой справедливо соотношение (9.5). Предположив, что дело
обстоит именно так, можем оценить (9.5) при s = sy в виде
1/р (sy) = - Sj)n = Lre/(6sy)re. (9.7)
Вспомним, что выражение (9.7) можно переписать в следую-
щем виде:
6S/As/-S/ = [Lrep(s/)]1/re. (9.8)
Поскольку Sj является корнем p(s), то, воспользовавшись вы-
ражением (9.2), имеем
p(s/)==p(s/)+ бр(«/) = О или p(s/)== —6p(sy). (9.9)
Разложение функции 6p(sy) в ряд Тейлора в точке Sy дает
6p(s/) = 6p(sy) + -^^-| &?/+ ... ~6p(sy), (9.10)
если 6sy действительно мало. Уравнение (9.10) означает по су-
ществу, что мы пренебрегаем теми изменениями интересующей
нас величины, которые имеют второй порядок малости. Под-
ставляя выражения (9.9) и (9.10) в выражение (9.8), получим
6sy л s3- - Sy - [- Ln 6р (Si)]lln. (9.11)
Благодаря малому изменению параметра из выражения (9.11)
вытекает, что каждый корень полинома p(s), имеющий крат-
ность п, превращается в п простых корней, которые располо-
жены на равных линейных и угловых расстояниях друг от
друга и размещены на окружности круга радиусом |6sy| с цен-
тром в точке с координатами исходного корня sy. Если п = 1,
то ^выражение (9.11) непосредственно дает направление и ли-
нейную величину изменений корней.
.Пример 9.1. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 9.1. Каковы будут
все возможные координаты полюсов, если значения параметров С и L имеют
10%-ные допуски.
Решение. Передаточная функция определяется следующим выражением:
Евых/Ивх = 1/[а2ЛС + s (L + С) + 2]. (9.12)
Координаты полюсов схемы являются решениями уравнения
р (s)As2£C + s (L + С) + 2 = 0. (9.13)
*) Отметим, что а,- является простым корнем p(s), постоянная Li, как это
определено выражением (9.6), является также остатком от рациональной
функции l/p(s) при подстановке в нее значения полюса s = Sy,
Когда L = 1 Г, а С — 1 Ф, расположение полюсов определяется следующим
образом:
Si = — 1 + /1 и $2 = — 1 — /1. (9.14)
Поскольку и L, и С характеризуются не более чем 10%-ными допусками, ре-
зультирующий полином при изменениях параметров на 6L и 6С будет опре-
деляться следующим выражением:
р (S) = s2 (L + 6L) (С + 6С) + s (L + &L + С + 6С) + 2. (9.15)
Вычитая (9.13) из (9.15), получим
бр(з) = s2(L6C + C6L + 6L 6С) + s(6L + 6С) ~ (6С + 6L)s2 + (6L + 6C)s =
= (6С + 6L) з (s + 1). (9.16)
Обратите внимание на то, что в (9.16) пренебрегли вариационными членами
+ 'юм~ L=1T |
Vex :С=/<Р
-
Рис. 9.1. Схема для примера 9.1.
второго порядка. Вычисление бр(з) в точке с координатами исходного полюса
приводит к следующим соотношениям:
бр (Sl) = (6С + б£) S1 (S1 + 1) = - (6С + 6L) (1 + у), (9.17а)
бр (s2) = (6С + 6L) s2 (s2 + 1) = - (6С + 6L) (1 - /). (9.176)
Чтобы найти возможные координаты полюсов, необходимо иметь постоянные
Лорана для полинома р(з) в точках s4 и з2. При п = 1 выражение (9.6) дает
Ls.A-y^-| =7^| =4-- (9Л8а)
Р IS=S1 Ь *2 lSs=S1 И
=т=зг1 = (9Л8б)
Р |S=S2 & Si ]s=52 /z
Подставляя (9.17) и (9.18) в (9.11), получим
6si = - Lsfip (Si) = (6С + &L) = (дС + 6L), (9.19a)
6s2 = ~ Ls£p (s2) = - (6C + 6L) = -L±± (6C + 6L). (9.196)
Следовательно, координаты после их изменения определяются
выражениями:
si = Si + бв! = Si + £—~~ (6С + б£)],
р2 — s2 + 6s2 — S2 + i (дС + б£)
следующими
(9.20а)
(9.206)
где координаты исходных полюсов определяются выражением (9.14). Чтобы
найти примерные границы всех возможных координат полюсов, определяемых
выражением (9.20), рассмотрим четыре случая:
Рис. 9.2. Расположение полюсов для схемы рис. 9.1.
а. б£ = 0,1 и 6С = 0,1. В этом случае выражения (9.20) дают
Sj — Sj +0,1 /0,1 — 0,9 + /0,9 и (9.21а)
«2 = % + 0,1 + /0,1 = - 0,9 - /0,9. (9.216)
б. 67. = 0,1 и 6С = —0,1. Для этого случая с помощью (9.17) найдем, что
бр (sj) = бр (s2) = 0.,Следовательно,
s® = Sj = - 1 +/1 и 4 = s2 = _ 1 -/1. (9.22)
в. t>L = — 0,1 и 6С = О,1. Результат, отвечающий этому случаю, также
дается выражением (9.22).
г. 67 =—0,1 и 6С — — 0,1. В этом случае имеем
sf = Sj — 0,1+/0,1 = — 1,1+ /1,1 и (9.23а)
s^ = s2 — 0,1 - /0,1 = - 1,1 - /1,1. (9.236)
Построенный на основе выражения (9.20) график рис. 9.2 дает приблизитель-
ное расположение всех возможных координат полюсов схемы на рис. 9.1 в
соответствии с (9.21)—(9.23).
Пример 0.2. Для схемы, изображенной на рис. 9.3, где k — 2, найти сме-
щение полюсов, если величина емкости Ci изменяется на 2% до величины
1,02 Ф.
—if—
С = 1<Р
Рис. 9.3. Схемы для примеров 9.2 и 9.3.
Решение. Передаточная функция схемы (рис. 9.3) определяется следую-
щим выражением:
н (S) = 'XT = CtCzRJbs2 + (С,Я, + C2R2 + R^ - kCiRi) s + 1' (9’24)
Если все схемные параметры, за исключением Ci, сохраняют номинальные
значения, выражение (9.24) упрощается до H(s) — 1/[2C!S2 + (3 — Ci)s+0 5].
Полином знаменателя р(з) имеет вид
р (s) A 2C,s2 + (3 — СО s + 0,5. (9.25)
При номинальном значении Ci = 1 Ф имеем
р (s) = 2s2 + 2s + 0,5 (9.26)
и координаты полюсов
S1 = s2 = -0,5. (9.27)
Это означает, что s = —0,5 является полюсом с кратностью 2. Когда Ci стано-
вится равной 1,02 Ф, полином знаменателя приобретает вид
р (S) = 2,04s2 + 1,98s + 0,5. (9.28)
Вычитая (9.26) из (9.28), получим
6р (S) = р (S) — р (s) = 0,04s2 — 0,02s. (9.29)
Воспользовавшись (9.6), найдем постоянную Лорана
I =0.5- (9-30)
p(s) |s=—0,5
Подставляя выражение (9.29) в (930), найдем приблизительное расположение
новых полюсов ')
^1,2 = ®1,2 + ^sl,2 = sl,2 + [ — i-2 др (®1 г)]1^ =
= - 0,5 + I — 0,5 (0,02)]'^ = — 0,5 ± /0,1. (9.31)
*) Ради удобства выражение (9.31) по существу содержит в себе урав-
нения: первый индекс относится к верхнему знаку, а второй — к нижнему.
Например, в данном случае из выражения (9.31) вытекает, что =»
= —0,5+ /0,1 и §2 -—0,5 —/0,1. Это обозначение используется на протя-
жении всей главы.
Фактическое расположение полюсов для рассматриваемой схемы после
дифференциального изменения Ci можно найти путем решения уравнения
(9.28). Решив это уравнение, получим
— 1,98 ± л/(1,98)2 — 4 (2,04) (0,5) „ лп .п
si,2 =---’---- 2 (204)------= - 0,49 ± /0,10. (9.32)
Из сравнения (9.31) с (9.32) обнаруживается превосходное совпадение при-
близительных и точных значений новых координат.
Как демонстрируется примерами 9.1 и 9.2, видим, что корни
полинома будут изменяться при изменении схемных параме-
тров. Пусть k — параметр схемы, испытывающей небольшое из-
менение параметров, a p(s, k)—полином, связанный с данной
схемой, для которой можно записать полином р в виде неявной
функции от k с тем, чтобы показать, что k представляет собой
изменяющийся параметр. В таком случае корневая чувстви-
тельность корня Sj полинома p(s, k) относительно параметра k
определяется следующим образом:
~/г0-1г-| или (9.33а)
*= — i>k/k k^k dk
6s/ = &| ]dk = SsJ^-, (9.336)
' L dk |fe=fe0 J & k0
где ko — номинальное значение параметра. Например, в случае
примера 9.2
•$с, = 6С,/С, ~ ~ "^2 ~ (9.34а)
за=с> %="w - - Is- <9-316»
Когда p(s, k) является полиномом знаменателя (или числителя)
передаточной функции H(s), выражения (9.33) определяют
полюсы (или нули) чувствительности Sj функции H(s).
Отметим, что выражение (9.33 6) открывает и другой метод
вычисления смещений корней. В принципе дифференциальный
метод, на который опирается вывод выражения (9.33 6), пред-
ставляет собой более простой путь, чем тот, который использо-
вался в примерах 9.1 и 9.2. Проблема здесь, как это указывается
выражением (9.35), заключается в отыскании функциональной
зависимости между корнем S/ и параметром k. В случае большой
схемы это оказывается действительно трудной задачей.
Кроме того, если для анализа чувствительности исполь-
зуется цифровой компьютер, то определенные трудности вычис-
лительного порядка представляет и то, что выражение (9.33 б)
включает члены в виде производных. Й наконец, если корень S/
отличается множественной кратностью, операции дифференци-
рования, которые нужно выполнять при вычислении выражений
типа (9.336), вызывают определенные математические труд-
ности.
Поскольку расположение корней s, полинома p(s, k) зави-
сит от величины k, учтем эту зависимость, записывая S/ как
функцию k
Sj = Sj (k). (9.35)
Пусть ko является номинальным значением k. Тогда координа-
той номинального корня будет
S/o A Sj (k0). (9.36)
Если же k теперь изменяется до величины ko + 6Л, то положе-
ние нового корня сместится к
S/ = Sy(/s0 + ^). (9.37)
Разложение выражения (9.37) в ряд Тейлора дает
Sj = Sj (/г0) + |ft=feo ] 66 + ... • (9-38)
Следовательно, положение полюса изменилось на величину
б«/ = Sj — Sj (k0) = [^- k_k J 66 + ... . (9.39)
Из сравнения выражений (9.33) и (9.39) видно, что функция
чувствительности, определенная в (9.33), учитывает вариацион-
ный эффект только первого порядка и может быть получена
с помощью разложения в ряд Тейлора, которое содержит лишь
член первого порядка.
Пример 9.3. Вычислить чувствительности полюсов относительно параметра
усиления ИНУН в схеме рис. 9.3, где номинальное значение k — 4.
Решение. Передаточная функция схемы рис. 9.3 определяется следующим
выражением:
Н (s) = Л/[4а2 + (8 - 2k) s + 1 ]. (9.40)
Таким образом, координаты полюсов как функции k имеют вн •
- (8 - 2k) ± 7(8 - 2fe)2 - 16
si, 2— g .
В соответствии с (9.33) чувствительности полюсов определяются как
,4 ^1,2 ._ 4 Го 1 2 <8 — 2fe) ( — 2) 11
k dk fe=.4 8 L 2 7(8 — 2fe)2 — 16 J |fe=4
(9.42)
Обратите внимание на то, что исходные координаты полюсов определяются
с помощью выражений (9.41) при k — 4.
si,2=±/°>5- (9.43)
Воспользовавшись (9.336), получим смещение полюсов
6s. 2 = §51-2-^_____—
1,2 Ао ~ 4 ’
(9.44)
Это означает, что если k возрастает на какую-либо величину, скажем на 1%,
и достигает значения 4,04, то новые полюсы будут уже находиться в правой
«-полуплоскости, и, таким образом, схема потеряет устойчивость.
^1,2 = S1,2+6si,2= ± /0,5+-^ = 0,01 ±/0,5.
В общем случае любая схема содержит много неидеальных
элементов, каждый из которых характеризуется определенным
значением допуска. Пусть k A (k\kz, km) представляет
собой вектор схемных параметров, которые подвергаются не-
большим изменениям, a p(s, к) — полином, связанный с этой
схемой. Пусть
8/ = S/ (к) = Sf (klt k2, ... , km) (9.45)
представляет функциональную зависимость между координа-
тами корней и параметрами вектора к. Пусть ко будет вектором
номинальных параметров и
S/р А 8/ (кр) (9.46)
будет номинальным или исходным корнем. Предположим, что
вектор параметров изменяется от к0 до ко + 6к; тогда новые
координаты корня определяются в виде
Sj A Sj (ко + 6к). (9.47)
Если величина |бк| мала1), то новая координата корня будет
приближенно выражаться разложением в ряд Тейлора (9.47)
с одними лишь членами первого порядка
[5s< т г I 1
-gk? ъ k J + L 6Л7 L=k J 6^2 +
\-dkm
1б£ет. (9.48)
Ko J
*) Модуль вектора x ='[Xi, X2, .xm] обозначается через |x| и выра-
[т оТ/1
Х^ I
Следовательно, смещение положения корня будет определяться
как
&Sj AJj — Sj (k0) = [fe
ds j
dsj dsj б/г2
- + k2
1 dkt ki
dkt
, =^-7-
|k=ko k' ki
dk2 k2
&k2
m
Л s, &km
’ ’ S'‘m
ki
(9.49)
где представляет собой чувствительность корня относи-
тельно параметра k, как это определяется выражением (9.33).
Обратите внимание на то, что (9.49) вычисляется при использо-
вании номинальных значений параметров.
Пример 9.4. Найдите смещение полюсов, обусловленное малыми измене-
ниями параметров, для схемы, изображенной на рис. 9.4.
е^бол,-'
\ &2
rBX
Сг-1Ч> ; : Vgi/)(
'2‘
Рис. 9.4. Схемы для примеров 9.4 и 9.5.
Решение. Передаточная функция по напряжению для схемы (рис. 9.4)
определяется в такой форме:
Я (s) = СгС2в2 + (CjG2 + C2Gi2 + C2G2) s + GXG2 ’ (9,50)
Пусть p(s, k) определяет знаменатель полинома //(s), где k = [Ci, C2, Gi,
G2]—вектор параметров. Тогда
p (s, k) = ClC2s2 + (CiO2 + C2Gi + C2G2) s + GiG2. (9.51)
Таким образом, координаты полюсов определяются следующим выражением:
S1, 2 =
— (CiG2 -р C2Gi 4- C2G2) ± *\/(С1С2 + C2Gj -р C2G2)2 — 4C1C2GiG2 . „
2ClC2 ’
При номинальных величинах координатами полюсов будут
Sj = — 2 4-1 = — 1 и s2 = — 2 — 1 = — 3. (9.53)
С помощью выражения (9.33) получим следующие значения для чувствитель-
ностей:
Sg\ = -4 и Sg2 = -1 (9.54а)
и ssd2=-|. 0.546)
После завершения всех этих предварительных вычислений можно с по-
мощью (9.49) получить смещения координат полюсов в следующем виде:
6s 1 — 1 2 6С( , 1 6С2 3 6G, 1 6G2 (9.55a)
Ci к 2 с2 4 G, 4 g2
3 6Ci 3 6С2 3 6Gi, 9 6G2 IQ
Ог>2 2 Cl Г 2 с2 4 Gt 4 g2
Следует обратить внимание на то, что значения всех емкостей и проводимо-
стей изменяются на один и тот же процент. Таким образом,
6С1___6С2 6Gt бОа
Ct С2 О2 ’ (9-5 ’
а из (9.65) вытекает, что
6s,=6s2 = 0. (9.57)
9.1.2. Выводы
Рассмотрим активную RLC-схему, которая, возможно, со-
держит все четыре типа управляемых источников. Пусть s, бу-
дет корнем (нулем или полюсом) полинома (полином числи-
теля или знаменателя передаточной функции), который связан
с данной схемой. Тогда s, представляет собой функцию всех
схемных параметров и определяется как
Sj = sj (Ri, Lt, Cit ц{, at, rt, gt), (9.58)
где Ri, Li, Ci определяют индивидуальные R, L, С-элементы и где
p,i, a.i, rt и gt определяют соответственно коэффициенты каждого
индивидуального ИНУН, ИТУТ, ИТУН и ИНУТ, а именно
источника напряжения, управляемого напряжением (ИНУН),
источника тока, управляемого током (ИТУТ), источника тока,
управляемого напряжением (ИТУН), и источника напряжения,
управляемого током (ИНУТ).
Если повысить уровень полного сопротивления каждого
схемного элемента в одинаковое число раз а, то передаточная
функция останется без изменения. Следовательно, положение
корня Sj не изменится. Это означает, что
Si(aRi, aL{, CJa, цг, at, art, gila)=Sj(Ri, L{, Ct, цг, az, гг, gz). (9.59)
Дифференцируя выражение (9.59) по а, получим
(I^+E^-E^+E^
\ Я j? v ’ инут ‘
V Si dSi
2-i a2 dg.
ИНУН ‘
= 0, (9.60)
(aR., aL., CJa, p£. a,., arv gja)
РДе знак У, означает суммирование по всем элементам типа е,
Устанавливая а — 1 и используя обозначения из (9.33), при-
водим выражение (9.60) к следующему виду:
я 1 <е 1 'ё 1
+ Е Sri- £ s®{] г . (9.61)
ИНУТ 1 ИТУН 8l |(Яр if. М7. Ир Г{, gt)
В частном случае активной /?С-схемы с ИНУН ’) выражение
(9.61) можно упростить, и оно приобретает следующий вид:
(9.62)
S 31 1 V 1
если вычисляется при номинальных значениях всех схемных па-
раметров.
В качестве примера использования (9.61) рассмотрим схему
(рис. 9.4), которая содержит только два конденсатора и два
эезистора. Как видно из уравнений (9.61) и (9.62),
+ Ssi ~ SsJ — SsJ = 0, (9.63)
Al А2 Cl С?
где j=l, 2. Обратите внимание на то, что
-'S, dsf ds.- 1 ds{ dG,
dRi/Ri = R{ ~dR? = 7Г7 IkT ~dR~ ’ Где (9-64)
G^l/Ri и dGJdRi = -l/$ = -G?. (9.65)
Подставляя (9.65) в (9.64), получим
= = (9.66)
Следовательно, из выражения (9.61) для схемы рис. 9.4 мы
должны иметь
%' + + %', = ° (9.67)
при /= 1, 2. Обращаясь к выражению (9.54), видим, что вы-
ражение (9.67) действительно справедливо.
Из общего выражения (9.58) можно получить и другую чув-
ствительность корня, относящуюся к случаю преобразования
частоты. Полином p(s) при его разложении на множители дол-
жен содержать и множитель (s — s,). Если каждая величина s
в p(s) преобразуется путем умножения на постоянный коэффи-
циент а в as2 *), тогда этот множитель приобретает вид (as—Sj).
’) Операционный усилитель можно рассматривать как ИНУН.
2) Это эквивалентно частотному масштабированию или преобразованию
НЧ ь-> НЧ, которое обсуждалось в разд. 8.4.1.
Таким образом корень s, превратится в корень ss/a. Используя
преобразование элементов в качестве способа преобразования
частоты, как указывается в первой строке табл. 8.5, получаем
следующее тождество:
s, (R{, аЦ, аСь р,-, <xz, гь gj = (Д/а) sf (R{, Lt, Ct, pz, ait rt, gt). (9.68)
Дифференцируя (9.68) по а, получаем
(2>^+Zc‘<)
k <e 1 % /
(*i> aLr аСг (tz, a,-. rt, gz)
a2 l(^f Li’ ci- »< “r ri- 8{У
(9.69)
Если положить a — 1 в выражении (9.69) и использовать опре-
деление чувствительности, данное в (9.33), то (9.69) преобра-
зуется к следующему виду:
+ = (9.70)
<е 1 к 1
где значение выражения (9.70) вычисляется при номинальных
значениях схемных параметров. Для активной /?С-схемы выра-
жение (9.70) сводится к
Е§с' = -3/. (9.71)
ё 1
Объединяя (9.62) и (9.71), получаем
= = (9.72)
я 1 ё 1
В качестве примера вычисления (9.70) обратимся к результа-
там, полученным в примере 9.4. Из (9.53) и (9.54) имеем
= у + у = 1 = — Sj,
+$а=4+з=- S2.
9.2. Чувствительности функций цепи
Поскольку функции цепи представляют собой отношения по-
линомов, результаты, полученные в разд. 9.1, могут быть приме-
нены и к числителю и к знаменателю функции цепи. Сделав это
замечание, мы больше не будем тратить времени на обсужде-
ние таких тривиальных операций, как распространение резуль-
гатов разд. 9.1 на случай функций цепи.
В этом разделе обозначим через F(s) функцию, которая
представляет для нас интерес; причем F(s) может быть функ-
цией входного полного сопротивления или проводимости двух-
полюсника или же передаточной функцией по напряжению.
Пусть k представляет собой схемный параметр, подвергаемый
небольшим изменениям. Функция чувствительности Sk функции
цепи F(s, k) к дифференциальным изменениям параметра k
определяется в следующем виде:
of д [df (s, k)/F (s, fe)] dF (s, k) k
k = dk/k dk F (s, k)
(9.73)
Предположим, что все изменения малы. Тогда из выражения
(9.73) Sk равно процентному изменению F(s, k), деленному
на процентное изменение k. Например, если F(s, k) равно 0,5,
то 1%-ное изменение параметра k вызовет 0,5%-ное изменение
значения F(s, k). Следовательно, с точки зрения разработчика
схемы очень важно, чтобы величина Sk была бы возможно
меньшей. В идеальном случае значение Sk должно было бы
равняться нулю для любого схемного параметра k. Опираясь
на выражение (9.73), можно доказать для функций чувстви-
тельности следующие тождества:
S? = 1, п scxx =п, Syx+C . У Qy ' у + с
QCy с,у ^х’ &У аУ огол> Со 3 = nSyx, (9.74)
qV ?У ОЦх — — eV» аУ Од; со я со II
где с и п — постоянные.
Поскольку функции цепи являются рациональными функ-
циями, F(s, k) можно записать в следующем виде:
m m
°П(«-zi) .. £«/
?<». = -------• 0-75)
ПС8-*’;) ЕМ'
/=1 /=0
где zi, pi, at и bj являются функциями параметра k, каким, на-
пример, является Ci в примере 9.2. Логарифмируя выражение
(9.75), получаем
In F (s, k) = In G + У, In (s — Zi) — У In (s — pd. (9.76)
i=l /-1
Дифференцируя левую и правую стороны выражения (9.76) по
k и затем умножая обе части на k, получим
m п
SFk=S^ - £ (9.77)
О A; fa • О U J
* /-1 1
Из уравнения (9.77) следует, что вклад чувствительности нулей
и полюсов в общую чувствительность функции цепи наиболее
значителен в окрестностях этих полюсов и нулей.
9.2.1. Выводы
Рассмотрим активную RLC-схему, содержащую, возможно,
все четыре управляемых источника. Пусть F(s) является пред-
ставляющей интерес функцией цепи. Тогда F(s) будет функ-
цией каждого схемного элемента и ее, следовательно, можно
записать в таком виде:
F(Rh Lt, Ch р,г, at, rt, gt, s), (9.78)
где символы Rt, Lt, Ct, щ, a,, ri и gt имеют такие же значения,
что и в подразд. 9.1.2. Если мы теперь повысим уровень полных
сопротивлений в а раз, выражение (9.78) примет следующий
вид:
F(aRi, aLt, CJa, ц{, aif art, gja, s) =
= f (a) F (Ri, Lt, Ct, p,z, a,-, rt, gt, s), (9.79)
где
f (a) = а, если F (s) — функция входного сопротивления
двухполюсника
— 1/а, если F (s) — функция входной проводимости
(9.80)
двухполюсника '
= 1, если F (s) — передаточная функция по напря-
жению.
Дифференцируя (9.79) по а, получим
/v-i dF dF C. dF
(E^ ^7
\ й 1
dF
ИТУТ
dL. E a2 dC.
1
V 81 dF
L a2 dg.
итун 1
-^P(Ri, Li, Ch щ, щ, rt,
(aHt, aL{, Ci/a, ц.. az,
ari- g./a, s)
gi, S). (
(9.81)
Если взять a — 1, разделить обе части выражения (9.81) на F
и использовать соотношение (9.73), то получим
IX+2X-2X+ I Ч- I s'=*£ (9.82)
Й И ИНУТ ИТУН а=1>
где
df(a) I < пл.
да | = 1, если F — функция входного сопротив-
ления двухполюсника
= —1, если F — функция входной проводимо- (^.83)
сти двухполюсника
= 0, если F — передаточная функция по на-
пряжению.
Для актийного /?С-фильтра с ИНУН и операционными уси-
лителями выражение (9.82) сводится к
IX-£4=-^ • (<|'м>
й % а=1
Если к тому же F(s) представляет собой передаточную функ-
цию по напряжению, то имеем
(9.85)
st 1 v 1
Из уравнения (9.85) следует, что если все сопротивления и
емкости изменяются по величине на один и тот же процент от их
абсолютного значения, но эти изменения происходят с противо-
положными знаками, то величина F остается без изменения. По
этой причине многие активные /?С-фильтры конструируются из
резистивных и емкостных материалов, которые характеризуются
одними и теми же температурными коэффициентами, но имею-
щими противоположные знаки. Благодаря этому обеспечивается
такое положение, что колебания температуры не приведут к из-
менениям работы фильтра.
Теперь рассмотрим эффект частотного преобразования с по-
мощью умножения параметров схемных элементов на коэффи-
циент а. В соответствии с подразд. 8.4.1 при этом изменяются
параметры катушек индуктивности и конденсаторов. Следова-
тельно,
F^t, aLlt aCi, a,-, ri; g{, s) =
= F(Ri, L{, C{, Hi, at, rt, g{, as). (9.86)
Дифференцируя (9.86) по а, получаем
Lt 1 v 1J ki- aCi- ai- ri- *)
dF I
= 5 ~dS l(«i. Li, Ci- rt. Si. as) ' (9-87)
Если взять а = 1 и разделить обе части уравнения (9.87^ на F,
то получаем
2Х+2Х
£ 4S
_ d [In F] Л „л
— <?[lns] =‘>s'
(9.88)
9.3. Чувствительности фильтра второго порядка
Чтобы завершить эту главу, рассмотрим кратко случай
фильтра второго порядка, где полином знаменателя передаточ-
ной функции определяется следующим выражением:
В (s) = s2 + bLs + b0 A s2 + s + где (9.89)
“о A V^o (9.90)
называется частотой полюса, а
Q^'\!htbl (9.91)
называется добротностью пары полюсов звена фильтра второго
порядка. В случае полосового фильтра ®о является средней ча-
стотой, где функция передачи достигает максимума, a Q обрат-
но пропорциональна ширине полосы фильтра. В звеньях филь-
тра второго порядка и особенно в активных фильтрах Q — чув-
ствительность и <оо — чувствительность, определенные как
<2 Л 6Q/Q д [In Q] х dQ
х = dxjx д [In х] Q дх
д бСОр/СОр д [In СОр]
х = дх]х д [In х]
(9.92)
(9.93)
х дсор
сор дх
соответственно, где х представляет собой схемный параметр,
который подвергается небольшим изменениям. Эти чувствитель-
ности являются предметом большего внимания, чем даже сама
передаточная функция. Это объясняется тем, что соо и Q сово-
купно описывают почти все важнейшие качественные свойства
фильтра второго порядка. Обратите внимание на то, что значе-
ния выражения (9.92) и (9.93) вычисляются при номинальных
значениях параметров.
Пример 9.5. Для схемы рис. 9.4 найдите чувствительности сор и Q к из-
менению Ci, Сг, Ri и R1.
Решение. Передаточная функция схемы на рис. 9.4 определяется следую-
щим выражением:
1
C1C2R1R2
S2 + r_J_ . _L_ . _L_
Lc2/?2 CtRi CiR2
CiCiRiRz
(9.94)
Идентифицируя и выделяя соответствующие члены в выражениях (9.89)
и (9.94), найдем
<Во = -y/l/CiCzRiRz = V3 и (9.95)
__________l/^CjCjRiRg_______'\/C1C2RiR2___________-у/З .
У 1 , 11 ~ С^ + С^ + С^ 4* (9-9Ь}
c2r2 CiZ?! ~Г~С^
Воспользовавшись выражением (9.93), получим
sc! = Scl = s“; = S$ = - (1/2), (9.97)
s9 = ^C2R,R2------------------R, ---1=0 (998a)
1 Q L2-V^i (CiRi + C2R2 + C2Ri) (CiRi -p C2R2 + C2Ri)2 J
Sg2 = O, (9.986)
<jQ __ Ri Г________-\/CyC2R2____________
Q L 2 Ri (CiRi + C2R2 + C2Ri)
(Cj + C2) VCiC27?i/?2 1__,, ,o. (n nO ,
'(ад + с^ + ед.р] “ (I/2)> (9-98b)
=1/8. (9.98г)
Обратите внимание на то, что из (9.98а) и (9.986) вытекает, что добротность
цары полюсов в схеме на рис. 9.4 не зависит от емкостей конденсаторов
Oj и С2.
Из (9.89) следует, что координаты полюсов звена фильтра
второго порядка определяются следующим выражением:
=- % ± V1 - (w)“ (9-99)
Если Q > 0,5, то полюсы будут комплексно-сопряженными, а
из выражения (9.99) следует, что при больших Q полюсы будут
приближаться к мнимой оси. Это наблюдение имеет важные
следствия практического порядка. В пассивных схемах увеличе-
ние значений Q требует применения элементов лучшего каче-
ства— катушки индуктивности и конденсаторы должны быть-
лучшего качества. В случае же активных схем увеличение зна-
чений Q требует применения большего числа активных элемен-
тов в схемной реализации с тем, чтобы результирующая схема
не оказалась слишком чувствительной.
Вспомним, что звенья второго порядка фильтра Баттерворта
П-TQ порядка описываются [см. (8.41] следующим выражением:
B(s) = s2 + (2sin0ft)s + 1, где (9.100а)
6^(2^- 1)я/2п, (9,1006)
Идентифицируя и выделяя соответствующие члены в (9.100) и
(9.89), получим
<%=!, (9.101а)
Qk = 1/2 sin 0ъ (9.1016)
где Qk является добротностью пары полюсов k-ro звена второго
порядка. Для большей конкретности рассмотрим первое звено
второго порядка, где
2 sin 61 2 sin (л/2«) • (9-1 °2)
Чтобы получить характеристику фильтра с крутой переходной
областью, величина п выбирается большой. Следовательно, в
соответствии с выражением (9.102) величина Q велика. Таким
образом, для реализации первого звена второго порядка филь-
тра Баттерворта высокого порядка требуются высококачест-
венные элементы. Те же соображения применимы также и к
фильтрам Чебышева и Бесселя.
Более подробно чувствительности <оо и Q будут обсуждаться
в гл. 10.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kuh Е. S., Rohrer R. A., Theory of Linear Active Networks, San Francisco,
Holden-Day, 1967.
2. Mitra S. K-, Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, New York,
John Wiley, 1968.
3. Tomovic R., Vukobratovic M., General Sensitivity Theory, New York, Ameri-
can Elsevier, 1972.
4. Gorski-Popiel J., Classical Sensitivity — A Collection of Formulas, IEEE
Trans. Circuit Theory, CT-10, 300—302 (1963).
5. Blostein M. L., Some Bounds on Sensitivity in RLC Networks, Proc. 1st Al-
lerton Conf. Circuit and System Theory, 1963, 488—501.
6. Moschytz G. S., Linear Integrated Networks, Fundamental, New York, Van
Nostrand Reinhold, 1974.
7. Director S. W., Rohrer R. A., The Generalized Adjoint Network and Network
Sensitivities, 1ЁЕЕ Trans. Circuit Theory, CT-16, 318—323 (1969).
8. Parker S. R., Sensitivity, Old Questions, Some New Answers, IEEE Trans.
Circuit Theory, CT-18, 27—35 (1971).
9. Branin F. A., Jr., Network Sensitivity and Noise Analysis Simplified, IEEE
Trans. Circuit Theory, CT-20, 285—288 (1973).
ЗАДАЧИ
9.1. Рассмотрите схему на рис. 3.9.1. Определите смещение координат полю-
сов, обусловленное 10%-ным изменением:
а) Индуктивности катушки индуктивности L.
б) Емкости конденсатора С.
в) Сопротивления резистора Rs-
г) Сопротивление резистора Ri.
д) Найдите область возможных смешений координат полюсов, если допу-
скается, что параметры всех элементов начинают изменяться одновремен-
но, но в пределах ±10%-
е) Проверьте справедливость соотношений (9.61) и (9.70) для каждого
из двух полюсов схемы
ж) Найдите передаточную функцию H(s)= 1/Вых/Пвх схемы.
з) Проверьте справедливость соотношений (9.83) и (9.88) для H(s).
^бьпс
Rs = IOM,Rt= Юм, С =v/2<p и L =у/2Г
Рис. 3.9.1.
и) Найдите для данной схемы добротность и частоту.
к) Найдите чувствительности добротности и частоты полюсов к измене-
нию L и С.
9.2. Проверьте решение задачи 9.1 для схем на рис. 3.9.2.
9.3. Рассмотрите схему на рис. 3.9.3.
а) Найдите передаточную функцию H(s) и полюсы и р2 схемы.
б) Найдите область возможных смещений координат полюсов, если до-
пускается, что значения параметров Ci, С2, Ri и R2 могут одновременно
изменяться в пределах ±5%, a k — в пределах ±1%.
в) Проверьте справедливость соотношения (9.72) для полюсов Pi и р2.
г) Проверьте справедливость соотношений (9.85) и (9.88) для функции
H(s).
д) Найдите для данной схемы частоту полюса «Во и добротность Q.
е) Найдите чувствительности и г, и Q к изменению k, Ri, R2, Ct и C2.
ж) Найдите область возможных изменений и» и Q, если допускается из-
менение k в пределах ±1%.
з) Найдите область возможных изменений «Во и Q, если Ci и С2 могут
изменяться так. что SCj/Ci = 6С2/С2 находятся в пределах ±10%, или
leCi/CJ = |6С2/С2| < 10%.
и) Найдите область возможных изменений йо и <2, если Ri и R2 изме-
няются так, что SRi/Ri — 6Т?2//?2 находятся в пределах ±10%.
9.4. Повторить решение задачи 9.3 для схем на рис. 3.9.4.
9.5. Рассмотрим схему удлинителя рис. 3.9.5.
а) Найти передаточную функцию Н = VBh:x/l/ez.
б) Вычислить чувствительность Н к изменению резисторов Ri, R2, Rs
и Rl-
в) Каков должен быть предельный допуск на сопротивление каждого
резистора, если желательно, чтобы в наихудшем случае изменение Н не
выходило бы за ±5%-ные пределы, причем предполагается, что все ре-
зисторы будут иметь идентичные допуски? То есть необходимо найти
ИГ Г" ~ ~ l&Ri/Pr| при условии, что
г) Найти отклонение значения И от номинала в наихудшем случае, если
сопротивление каждого резистора имеет 5%-ный допуск.
д) Повторите решение п. г) при условии, что каждый резистор имеет
1%-ный допуск.
9.6. Предположим, что схема характеризуется следующей передаточной функ-
цией:
Н (s)
RiCi "1" RiCiR2C2
Убих
Рис. 3.9.2, а, б.
= />£,= Юм
C=^/2V
Л=д/2Г.
Рис. 3.9.2, в, г, д.
С, = С2 - 1мкФ, Rj - Нг = 1кОм, к=2
Рис. 3.9.3.
6
Ct = сг =!мк<Р, = fl? = lкОм, k=2
Рис. 3.9.4.
fi? = jo kOm,Rz -9kQm}R3 = 5 кОм, -600 Ом
Рис. 3.9.5.
а) Найдите процентные отклонения от номинальных значений для и0 и Q
в наихудшем случае, если сопротивления резисторов могут изменяться
в пределах ±2% от номинала, а емкости конденсаторов — в пределах
±10% от номинала.
6) Повторите решение п. а) при условии, что сопротивления резисторов
могут изменяться в пределах ±0,5% от номинала, а емкости конденса-
торов— в пределах ±1% от номинала.
в) Каковы могут быть максимальные допуски на сопротивления резисто-
ров и емкости конденсаторов, если необходимо ограничить отклонение
как Ио, так и Q от их номинальных значений ±5%, причем предпола-
гается, что все резисторы имеют одинаковый допуск и все конденсаторы
также имеют одинаковый допуск.
г) Повторите решение п. в), если желательно, чтобы отклонение от
номинала лежало бы в пределах ±1%, а отклонение Q от номинала на-
ходилось бы в пределах ±0,5%.
9.7. Докажите следующие тождества для чувствительностей:
a) S^=l; Э syx+k = Y+k S*’
б) = «; ж) S“/₽ = S“ - s£;
в) S^S'^, a) sf = nS£
д) Sxv—S^.;
где n и k — постоянные, а у, а и p являются функциями x.
9.8. Рассмотрите схему на рис. 3.9.8, а, где а Ат?2/7?( = 2, а операционный
усилитель представлен в виде ИНУН с конечным усилением А, как это
отражено на рис. 3. 9.8, б.
.а) Найти передаточную функцию Н — VbmJVbx.
б) Найдите чувствительность как функцию А. Изобразите график
зависимости S& от А при изменении 1 А 105.
в) Повторите пи. а) и б) для случая а = 10.
г) Повторите пи. а) и б) для случая а = 100.
,д) Повторите пп. а) и б) для случая а — 1000.
Активные фильтры
В настоящее время активные 7?С-фильтры широко исполь-
зуются, особенно в таких областях, как телефония, системы пе-
редачи данных, телевидение, радио и системы высококачествен-
ного воспроизведения звука. Они прежде всего применяются на
низких частотах, где катушки индуктивности неприемлемы из-за
громоздкости и низкого качества. На существующих активных
элементах частотный диапазон использования активных филь-
тров может простираться от постоянного тока до ~100 кГц.
Впервые активные фильтры появились еще тогда, когда в
качестве активных элементов использовались вакуумные лампы.
Помимо многих недостатков ламп прежде всего потребляемая
мощность и стоимость делали этот класс фильтров совершенно
не конкурентоспособным по сравнению с пассивными АС-филь-
трами. Появление транзисторов исключило проблему большой
потребляемой мощности, однако выигрыш достигался все еще
дорогой ценой и активные элементы использовались с оглядкой.
Когда транзисторы подешевели, операционные усилители — мо-
дульные приборы, состоящие из транзисторов и резисторов,—
стали доминирующими активными приборами. В начале 60-х
годов операционные усилители были еще очень дорогими, и
проектировщики активных схем в своих разработках вынуж-
дены были ограничивать число активных элементов. В настоящее
время операционные усилители стоят очень дешево, а цены все
еще падают. В результате имеется тенденция более свободного
использования активных приборов в проектировании схем. Таким
образом, существует направление использовать более одного
активного элемента в разработке активного фильтра с целью
получения лучших функциональных характеристик, таких, как
чувствительность, устойчивость и точность настройки.
Как и в случае проектирования пассивного фильтра, разра-
ботка активного фильтра начинается с аппроксимации требова-
ний по обработке сигнала вещественной рациональной переда-
точной функцией
и i„ч 4(s) amsm + + ... + nn n
H (s)=ж; • (10J)
При m n выражение (10.1) можно представить в виде произ-
ведения следующим образом:
Н (s) = Hl(s)H2{s) ... Нк(в),
(10.2)
где К п и для каждого значения / = 1, 2, К функция
является либо передаточной функцией звена второго
порядка
Hj(s) = (aj2s2 + a^s + n/0)/(s2 + bjXs + 6/0). (10.3a)
либо передаточной функцией звена первого порядка
Ht (s) =» (azls + a/0)/(s + &/0)- (Ю.Зб)
Звено фильтра второго порядка H/(s) [выражение (10.3а)]
обычно характеризуется двумя параметрами:
Q/£= л/b/о/bjt и ®о/> (Ю.4)
где о>о — частота полюса, a Q — добротность полюса /-го звена
фильтра второго порядка.
Существует два основных способа проектирования активного
фильтра: способ прямой реализации, который реализует полную
передаточную функцию (10.1) в целом, и каскадный способ, ко-
торый реализует полную передаточную функцию (10.1) путем
реализации ряда фильтровых функций второго и первого по-
рядков [(10.3а) и (10.36)]. В данной главе рассматриваются
некоторые методы реализации, в которых используются оба эти
способа.
Однако прежде необходимо отметить, что рассматриваемые
в этой главе фильтры являются активными 7?С-фильтрами. Они
представляют собой безындуктивные схемы, содержащие рези-
сторы, конденсаторы, операционные усилители и их производ-
ные устройства, такие, как источники напряжения, управляемые
напряжением (ИНУН), гираторы, обобщенные конверторы пол-
ного сопротивления (ОКС), интеграторы и сумматоры, рассмо-
тренные в гл. 2.
Для всех активных RC-схем с ИНУН и (или) операционными
усилителями нормирование по полному сопротивлению схемы
с масштабным коэффициентом а подразумевает:
1) замещение каждого резистора R Ом резистором aR Ом,
2) замещение каждого конденсатора СФ конденсатором
С/аФ.
Нормирование по частоте с масштабным коэффициентом р под-
разумевает замещение каждого конденсатора С Ф на конден-
сатор С/р Ф. Отметим, что все ИНУН и операционные усили-
тели остаются неизменными при обоих указанных видах норми-
рования. Как было рассмотрено в гл. 8, передаточные функции
нормированной по полному сопротивлению схемы и исходной
схемы идентичны, в то время как передаточную функцию нор-
мированной по частоте схемы можно получить из исходной
схемы заменой каждого s на s/p.
10.1. Прямая реализация
В способе прямой реализации передаточная функция (10.1)'
синтезируется вся в одном этапе. Существует несколько мето-
дов синтеза, в которых используется этот способ. Мы рассмо-
трим четыре из них, наиболее характерных.
10.1.1. Прямая реализация через пассивные схемы
В гл. 7 и 8 были представлены методы реализации переда-
точных функций на пассивных /?С£-элементах. Все схемные
реализации (включая схемы Дарлингтона) имеют лестничную
структуру, за исключением рассмотренной в разд. 7.2 мостовой
структуры. Известно, что лестничные схемы обладают низкими
чувствительностями, т. е. если погрешности элементов несущест-
венны, то искажения на выходе малы. В этом подразделе мы
представляем два основных метода реализации активных филь-
тров, в которых сохраняется свойство низкой чувствительности
лестничных схем: метод имитации индуктивности и метод нор-
мирования по переменному полному сопротивлению. Эти методы
почти полностью основаны на пассивных реализациях и тре-
буют, чтобы рассматриваемая передаточная функция вначале
была реализована пассивной схемой, как изложено в гл. 7 и 8.
10 .1.1.1. Методы имитации индуктивности. В этом методе
для исключения катушек индуктивности каждая катушка в
пассивной схемной реализации просто замещается синтетиче-
ской катушкой типа сочетания гиратор — емкость (рис. 10.1, а)
или схемы обобщенного конвертора полного сопротивления с
резистивной нагрузкой рис. 10.1, б1). В результате получается
схема активного фильтра лестничной структуры, сохраняющая
низкие структурные чувствительности пассивной лестничной
схемы.
Способ имитации индуктивности на практике приемлем толь-
ко для схем, в которых все индуктивности заземлены, поскольку
существующая технология может обеспечить относительно хо-
рошие заземленные синтетические индуктивности, а имитация
незаземленной индуктивности все еще остается проблемой. До
настоящего времени не имеется практического способа реализа-
ции незаземленной индуктивности с хорошими устойчивостью и
чувствительностью, особенно для высоких добротностей.
Пример 10.1. Реализовать активной лестничной схемой фильтр верхних
частот Баттерворта пятого порядка с частотой среза 1 крад/с с нагрузочными
резисторами Rs = 1 кОм и R> = 4 кОм.
*) Для незаземленных индуктивностей см. рис. 2.11.
Рис. 10.1. Две синтетические заземленные индуктивности.
Решение. Схемная реализация нормированного фильтра нижних частот
Баттерворта пятого порядка при Rs = 1 Ом и Ri — 4 Ом, основанная на
схеме, показанной на рис. 8.9, я, и рекурсивных выражениях (8.43)—(8.45),
представлена на рис. 10.2, а. Преобразование элементов от фильтров нижних
частот к фильтру верхних частот (согласно табл. 8.5, при со£ = 1 крад/с)
приводит к схеме на рис. 10 2, б. Схема на рис. 10.2, в получается из схемы
рис. 10.2, б при выполнении денормирования по сопротивлению с масштабным
множителем 1000. Таким образом полученная схема на рис. 10.2, в является
пассивным фильтром, удовлетворяющим заданным требованиям. Отметим, что
величины индуктивностей в схеме на рис. 10.2, в большие, что вполне обычно
при работе на низких частотах Для исключения этих больших катушек ин-
дуктивностей можно использовать схемы иа рис. 10.1. При g = 10~3 МСм
заданный активный фильтр на гираторах показан на рис. 10 2, г. Другой
вариант требуемого активного фильтра на ОКС представлен на рнс. 10.2, д,
где все ОКС одинаковы при Ri = Rs = Ri = 1 кОм, С5 = 1 мкФ, а вели-
чины нагрузочных резисторов Re указаны подробно.
10м 0,94 Г 1,77 Г
+
ч. ~0,ЗЗФ - = ;,45Ф 1,59 Ф 4 0M^j
а
10м 1,06 мФ 0,56мФ - 11 -1
+ 9 к < Н 1
ч. ) 3,03 мГ \0,69мГ уЗ.бЗмГ
б
1к0м 1,дбмкФ 0,56мкФ 1L
+ - к < В '
Чх taojr 5Q65T ^0,63 г
—
ЧвбЙ?
^вб/Х1
6
1,06мкФ 0,56 мкФ
8
1кОм 1,06 мкФ 0,56 мкФ
д
Рис. 10.2. Поэтапная процедура реализации активного фильтра верхних часто
Баттерворта пятого порядка.
10 .1.1.2. Метод нормирования по переменному сопротивле-
нию. Этот метод основан на преобразовании пассивного RLC-
фильтра в схему активного фильтра, состоящего из резисторов,
конденсаторов и частотно-зависимых отрицательных сопротив-
лений (ЧЗОС). Суть преобразования состоит в делении на s
полного сопротивления каждого .элемента в пассивной RLC-
схемной реализации функции (10.1). Этапы этого метода вклю-
чают пассивную реализацию функции (10.1) и указанную за-
Рис. 10.3. Частотно-зависимое отрицательное сопротивление при D =
= RzRtCiCsIRs.
мену схемных элементов в пассивной реализации согласно
следующим правилам:
1) индуктивность £Г заменяется резистором L Ом;
2) резистор R Ом заменяется конденсатором 1/7? Ф;
3) конденсатор С заменяется частотно-зависимым отрица-
тельным сопротивлением в С фарад в квадрате, или СФ2.
Схемная реализация частотно-зависимого отрицательного со-
противления на основе ОКС показана на рис. 10.3’).
Поскольку передаточная функция по напряжению является
безразмерной, на ней не сказывается нормирование по сопро-
тивлению. Таким образом, результирующая активная схема с
ЧЗОС и исходная пассивная схема имеют одинаковые переда-
точные функции.
Отметим, что реализованный по схеме рис. 10.3 ЧЗОС яв-
ляется заземленным элементом. Поэтому рассматриваемый ме-
тод подходит только для тех пассивных схем, у которых все
конденсаторы заземлены.
Пример 10.2. Реализовать активной лестничной схемой фильтр нижних
частот Баттерворта пятого порядка с частотой среза 1 крад/с.
*) Подробнее см. подразд. 2.2.2.
Решение. Денормализация по частоте (0с —- 1 крад/с преобразует соот-
ветствующий нормированный прототип рис. 10.2, а в пассивную фильтровую
схему рис. 10.4, а. Поскольку индуктивности не заземлены, то практически
здесь - невозможно применить способ имитации индуктивности. Альтернатив-
ным является метод нормирования по переменному сопротивлению. Резуль-
тирующая лестничная схема активного фильтра показана на рис. 10.4, б. Для
/Ф О^мОм !,77м0м
б
Рис. 10.4. Поэтапная процедура реализации активного фильтра ннжннх частот
Баттерворта пятого порядка.
1мкФ 9^0 Ом 1770 Ом
-—к—
vex _s 2
0,33-10 Ф
получения более удобных величин элементов используется нормирование по
сопротивлению. На рис. 10.4, в показан результат этого нормирования, когда
для схемы рис. 10.4, б применен масштабный коэффициент 106. Отметим, что
для всех схем, показанных на рис. 10.4, передаточные функции одинаковы.
Для многих случаев оказывается нежелательным указанное
на рис. 10.4,в включение конденсаторов на зажимах. Для
исключения этого недостатка рассмотрим схему на рис. 10.5,6,
где зажимы четырехполюсника ОКС нагружены полным сопро-
тивлением Zl. Функция полного входного сопротивления опре-
деляется выражением
ZaX = (Z2Z4/Z3Z6)ZI.
(10.5)
a
Рис. 10.5. Униие^сальная цепь нормирования по сопротивлению.
а—четырехполюсник ОКС с нагрузочным сопротивлением Z^; б—схемл иля нормирования
цепи по сопротивлению kls; в — условное обозначение цепи нормирования по сопротивле-
нию fe/s; г—основная функция пели нормирования по сопротивлению kls.
Предположим, что элементы этого ОКС равны
^2 = /?2> Z3 =/?з, -^4“ ^IsCi И Z5 =/?5, (10.6)
как показано на рис. 10.5,6. Тогда выражение (10.5) примет
вид
ZBX = (/s/s)ZL, (10.7а)
где
/г = 7?2//?зС4/?5. (10.76)
Из (10.7) видно, что емкость можно реализовать подсоедине-
нием резистора к зажимам четырехполюсника ОКС. В резуль-
1мк<Р 990 Ом 1770 Ом
Рис. 10.6. Схема реализации активного фильтра нижних частот Баттерворта
пятого порядка с резистивной нагрузкой.
тате схема рис. 10.4, в преобразуется в схему рис. 10.6 *) с рези-
стивными нагрузками ОКС, где
Я2/ШзС4Я5==1/(4- 10~6)-
Четырехполюсник ОКС, схема которого показана на
рис. 10.5,6, является прибором нормирования по переменному
сопротивлению. Он преобразует резистор в конденсатор путем
нормирования по сопротивлению резистора нормирующим коэф-
фициентом k/s. Условное обозначение этой нормирующей по со-
противлению четырехполюсной цепи показано на рис. 10.5, в, а
ее соотношения между входными и выходными сигналами ил-
люстрируются на рис. 10.5,г.
Другая полезная цепь нормирования по сопротивлению по-
казана на рис. 10.7, а, где нормирующий коэффициент равен ks.
Если нагрузить четырехполюсник рис. 10.7, а сопротивлением
ZL, (рис. 10.7, в), то его входное сопротивление будет равно
ZBK = skZL, (10.8а)
где
(10.86)
Условно данная цепь обозначена на рис. 10.7,6* 2).
*) Технически выходное напряжение схемы рис. 10.6 приложено к вход-
ной паре зажимов ОКС, а обозначено оно через Квых на нагрузке Rl потому,
что напряжения на входе и выходе ОКС одинаковы.
2) Показанные на рис. 10.5 и 10.7 четырехполюсники представляют собой
соответственно С-R и £-/?-мутаторы; если для каждого нз них нагрузить
выходные зажимы резистором, то на входных зажимах на рис. 10.5 и 10.7
получаются соответственно конденсатор и индуктивность.
б
^ex”skzL
Рис. 10.7. Цепь нормирования по сопротивлению.
а—схемная реализация цепи нормирования по сопротивлению с нормирующим коэффи-
циентом ks’, б—условное обозначение цепи нормирования по сопротивлению ks-, в — соот-
ношения Для цепи нормирования по сопротивлению ks.
Благодаря описанным процедурам замещения как в способе
имитации индуктивности, так и в способе нормирования по пе-
ременному сопротивлению конфигурации схем результирующего
активного фильтра и исходного пассивного фильтра одинаковы.
Это означает, что если исходить из пассивной лестничной схемы,
то и получается лестничная же активная схема, в результате
чего сохраняются структурные свойства низкой чувствительно-
сти пассивного варианта расчета.
10.1.2. Прямая реализация с 2?С-четырехполюсниками.
Метод Ку
Большинство методов прямой реализации исходят из общей
схемной структуры, обладающей универсальной передаточной
функцией, структуры, которая может соответствовать почти лю-
бой заданной передаточной функции. Характеристики на зажи-
мах или в ветвях этой схемной конфигурации затем опреде-
ляются заданной передаточной функцией. Таким образом, за-
дача реализации передаточной функции сводится к реализации
входной функции /?С-двухполюсника и /?С-многополюсников.
Поскольку до сих пор не рассматривался какой-нибудь способ
реализации RC ц-полюсников с п 6, ограничимся далее
только случаями двух- и четырехполюсников1 2).
Рис. 10.8. Метод Ку прямой реализации функции (10.1).
Рассмотрим показанную на рис. 10.8 схемную конфигура-
цию, где а > 0, а /?С-четырехполюсник представлен матрицей
Г Л 1 Г Уи У21 1 Г Vbx.
L /2 J L У21 У22 J L Vвых
(10.9)
Передаточная функция по напряжению схемы, изображенной на
рис. 10.8, определяется выражением
Евы*. =_______________=________-У?1___ (10 10)
Увх (И — И 1^2) + У 22 {У22 + П) — «У2 ' ’
Для синтеза передаточной функции по напряжению H(s) вида
(10.1) разделим и числитель /l(s) и знаменатель B(s) ее на вы-
бранный таким образом полином D(s), чтобы он имел простые
(не равные нулю) отрицательные вещественные корни, не сов-
падающие ни с одним вещественным корнем полинома
H(s) = A (s)/B (s) = [Л (s)/D (s)]/[B (s)/D (s)J. (10.11)
Заметим, что в знаменателе правой части этого выражения не
содержится взаимно сокращающих членов. Допустим, что поли-
ном имеет вид3)
A(s) = ksm, (10.12)
1) Для интересующихся случаями шестиполюсников можно рекомендовать
обратиться к работам [13, 14].
2) Заметим, что полином B(s) может иметь вещественные и(или) ком-
плексные корни.
®) Это допущение вызвано тем, что в гл. 7 все методы реализации
/?С-четырехполюсников одновременно по у-п и У22 были рассмотрены при
условии, что числитель A (s) передаточной функции имеет вид (10.12) .
где 0<m^n, a n — степень полинома B(s). Приравнивая co-
ответствующие члены выражений (10.10) и (10.11) с учетом
(10.12), получим
(10.13а)
(10.136)
— y2i = ksm/D (s),
!/22 + (K1-ar2) = B(s)/D(s).
Для того чтобы реализовать одновременно проводимости z/2i и
z/га пассивного /?С-четырехполюсника рис. 10.8, необходимо обес-
печить, чтобы каждый полюс z/2i («) являлся бы также и полю-
сом r/22(s). Именно поэтому полином D(s) выбирается таким
образом, чтобы ни один его корень не совпадал с веществен-
ными корнями полинома B(s), т. е. чтобы избежать сокращения
в рациональной функции
FB(s)&B(s)/D(s). (10.14)
Положим
D (s) = (s + «О (s + s2) (« + s^, (10.15)
где 1) Sj, s2, ..., Si вещественны и 0 < Si < s2< .. • < Si;
2) Si не является корнем B(s) для i = 1, 2, ..., /; 3) целое
число I удовлетворяет неравенству 1~^-п—1. Для простоты
всегда будем выбирать
Z = n—1. (10.К)
Разложение на простые дроби выражения
в (s) __________B(s)________
sD (s) s (s + s,)(s + s2) ... (s-Ц)
дает
. Jo, _А_. , h
sD (s) st» । s । s _|_ “ s л • • • s
(10.17)
(10.18)
Далее получим
В (s) g.s L,s E.s
p^ = M + ^ + Tqb;+^+... + ?^- (Ю.19)
Значения g, в выражении (10.18) являются вычетами рацио-
нальной функции В (s)/[$£)($)] в полюсах s =—s,, гае I —
— 0, 1, 2, ..., I при s0 —0*). Эти вычеты будут вещественными,
поскольку вещественны полюсы и коэффициенты рациональной
функции B(s)/[sD(s) ]. Однако в общем случае не все значения
gi положительны. Определим r/22(s) Для ВС-четырехполюсника
рис. 10.8 следующим образом:
, k.s k„s k.s , С (s)
У22 (s) = k^s + k0 + Д —-. (10.20)
S i Sj S^-S2 [J
*) Согласно (10.16), как так и go не равны нулю,
где все kt, i — 0, 1, 2, /, и оо — произвольные положитель-
ные вещественные числа. Очевидно затем, что знаменатель
функции y22(s) определяется полиномом D(s), а сама функция
является /?С-полной входной проводимостью. Подставляя
(10.19) и (10.20) в (10.136), получим
а^2 Yj — 1/22 В (S)/D ($) — (k^ — g^,) S + (k0 — g0) +
где
— gz z = 0, 1, 2, ..., I и oo. (10.22)
Из выражения (10.21) члены с положительными значениями рг
предназначены для aY2, а с отрицательными— для Yi1). Это
определит Yi и Y2 как пассивные /?С-входные функции полной
проводимости. Таким образом, все элементы схемы на рис. 10.8
определены. Следовательно, сама реализация передаточной
функции (10.1) при условии (10.12) теперь сводится к двум
стадиям:
1. Одновременной реализации у22 и у2\ /?С-четырехполюс-
ника, где у2\ (s) и y22\s) определяются выражениями (10.13а)
и (10.20) соответственно. Для (10.13а) при т = 0 необходимо
использовать первую форму Кауэра, при m = п — вторую фор-
му Кауэра, а при 0 < m < п — их комбинацию. Рассмотренные
здесь процедуры реализации соответствуют методикам, изло-
женным в подразд. 7.1.1 и 7.1.3.
2. Реализации двух /?С-входных функций полной проводи-
мости. Вероятно, в этих случаях более удобной будет любая из
двух форм Фостера. Разумеется, можно использовать и формы
Кауэра. >
Для получения наиболее простой схемы обычно берут
ki==Zi при g, > 0. (10.23)
Следовательно, соответствующие значения (3, будут равны нулю.
При допущении условия (10.23) имеем
₽г>0, i = 0, 1, 2.......I и оо. (10.24)
В результате Yi = 0 и все ненулевые значения (3,- предназна-
чены для аУ2(«).
Пример 10.3. Реализовать методом Ку функцию
н (S) = Квых/Квх = 0,5/(s2 + s + 1) A A (s)/B (s). (10.25)
*) Ясно, что члены с нулевыми значениями р< молено не учитывать.
Решение. На основании (10.16) выбираемый полином D(s) должен иметь
первую степень.
Возьмем
D (s) = s + 0,5. (10.26)
Затем
- i/21 (s) = A (s)/D (s) = 0,5/(s + 0,5) и (10.27a)
угг + Ki - aK2 = В (s)/D (s) = (s* 2 * + s + l)/(s + 0,5) =
= s + 2 + [—l,5s/(s + 0,5)]. (10.276)
Положим1’
У22 (s) = s + 2 + 0,5s/(s 4- 0,5). (10.28)
Тогда
Простое решение (10.29) дает2’
У1=0, (10.30а)
<х=1, (10.306)
У2 = 2s/(s + 0,5) = 1 /[0,5 4- (1 /4s) ]. (10.ЗОв)
На этом этапе задача реализации функции (10.25) сводится к задаче
реализации функции входной полной проводимости Уг(«) по (Ю.ЗОв) и одно-
временной реализации (/zi(s) по (10.27а) и 1/22(5) по (10.28). На рис. 10.9, а
показана реализация y2(s). Поскольку все нули передачи функции
F(s) Д—У21 (s) /г/22 (s) расположены в бесконечности, определяемая согласно
(10.28) проводимость r/22 (s) реализуется первой формой Кауэра. Это требует
разложения функции (/ss(s) в цепную дробь при s = 00:
У22 (s)== s 4- 2 4- 0,5s/(s -В 0,5) = (s2 4- 3s 4- l)/(s 4- 0,5) =
= s+ 0,4 4-{l/[25s 4-(1/0,1)]} ’ (10’31)
На рис. 10.9,6 показана одновременная реализация f/2i(s) по (10.27а) и 1/22(5)
по (10.28). Схемная реализация функции (10.25) представлена на рис. 10.9, в.
Пример 10.4. Реализовать методом Ку функцию
н (S) = Квых/Квх = s/(s2 4- S 4-1) A A (s)/B (в). (10.32)
Решение. Выберем D (s) = s 4- 0,5.
Тогда
— У 2i = s/(s 4- 0,5) и (10.33а)
. v v В (s) s2 4-s 4-1 , _ 1,5s
^2 + У.-аУ2=-^- = - s + 05 =s4-2--j-p^g-. (10.336)
*) Заметим, что другой выбор y22(s) приведет к отличной схемной реали-
зации функции (40.25).
2) Отметим, что имеется множество решений для (10.29). Например,
l’i = 1, а = 1 и y2(s) = 1 4- 2s/(s 4- 0,5).
Уг(а)по(ю.зое,)
У22,
0.1 Ом 0,4 Ом-
6
Рис. 10.9. Схемная реализация функции (10.25).
Как и в примере 10.3, простое разложение (10.336) дает
Уп. (s) = s + 2 4- [0,5s/(s + 0,5)], (10.34а)
Г! = 0, (10.346)
а=1, (10.34в)
¥г = 1/10.5 + (l/4s)J. (10.34г)
В этом случае нули передачи находятся как при s = 0, так и при s = оо.
Следовательно, для реализации yaafs) по (10.34а) используются комбинации
форм Кауэра. В случае первоначального применения первой формы Кауэра
получаем
г/22 («) = (s2 + + l)/(s + 0,5) = s + yp (10.35a)
где остающаяся функция полной проводимости
Ув (s) = (1 + 2,5s)/(0,5 + s) (10.356)
реализуется второй формой Кауэра
/р (s) = 2 + 1/Ц1/8) + (1/0,5) |. (10.35b)
Схемная реализация функции (10.32) на основе разложений (10.35) и схемы
на рис. 10.9, а показана на рис. 10.10.
Из примеров 10.3 и 10.4 видно, что даже при фиксации реа-
лизуемой схемной конфигурации согласно рис. 10.8 существует
2 Ом 1Ф
У22 (s) по (10.35)
Рис. 10.10. Схемная реализация функции (10.32).
в действительности бесконечное множество реализаций переда-
точной функции (10.1), ограниченной условием (10.12).
10.1.3. Прямая реализация с /?С-двухполюсниками
В этом разделе рассматриваются методы прямой реализации
функции (10.1) с помощью активных элементов и /?С-двухпо-
люсников. Все они основаны на свойстве разложения теоремы
10.1, которая называется RC—/?С-разложением.
Теорема 10.1. Предположим, что рациональная функция
F(s) — C(s)/D(s) имеет отрицательные вещественные полюсы.
Обозначим через пс и nD степени полиномов соответственно
C(s) и D(s). Далее функцию F(s) можно выразить как
1. F ($) = С (s)/D (s) = Z$, (s) — Z(^“> (s) при nc ^nD; (10.36)
2. F (s) = C (s)/D (s) = У$, (s) - Y™ (s) при nc^nD + 1, (10.37)
где Z^ И Z^cITrC и ЯВЛЯЮТСЯ входными функциями
RC полного сопротивления (проводимости), реализуемыми пас-
сивными /?С-элементами.
Разложение теоремы 10.1 обеспечивается разложением на
простые дроби функции F(s). Члены ее разложения с положи-
тельными коэффициентами присваиваются для Z^ (s) или У^ (s),
а остальные — для Z^’ или У^,.
Пример 10.5. Найти RC — 1?С-разложение для функции
Z (s) = (s2 - 2)/(s + 1) (s + 2) (s + 3). (10.38)
Решение. Разложение на простые дроби функции Z(s) имеет вид
г (S) = IL/(s + 1)1 + lh/(s + 2)1 + [|2/(s 4- 3)1, (10.39)
где значение
s2 — 2 I
= (rf/rfs)[(s+ 1) (s + 2) (s 4- 3)] |s_ei (10-40)
является вычетом функции в полюсе s{. При s, = — 1, s2 = —2 и s3 = — 3
Z (s) ~ I(-l/2)/(s + 1)] + [—2/(s + 2)] + [(7/2)/(s + 3)]. (10.41)
Отсюда
Z^(s) = (7/2)/(s+3), (10.42a)
Z(j$ (s) = [(l/2)/(s + 1)] + [2/(s + 2)]. (10.426)
Пример 10.6. Для функции
У (я) = (S2 _ 2)/(s + 1) (s + 2) (s + 3) (10.43)
на "ни RC — ЙС-разложение.
Решение. Разложение на простые дроби функции У (s) дает
У (s)/s = (s* - 2)/s (s + 1) (s + 2) (s + 3) =
= l(-l/3)/s] + I(l/2)/(s + 1)] 4- [ l/(.s + 2)J + [(—7/6)/(s + 3)J,
У (s) = 1(1/2) s/(s 4-1)] 4- (s/(s 4- 2)1 4- [(-1/3)1 + [- (7/6) s]/(s 4- 3). (10.44)
Следовательно, имеем
(s) = [(1/2) s/(s 4-1)1 4- [s/(s 4- 2)] и (10.45a)
У® (s) = (1/3) 4- [(7/6) s/(s 4- 3)]. (10.456)
Рассматриваемые в данном случае процедуры реализации
являются почти одинаковыми. Каждая из них исходит из схем-
ной конфигурации, содержащей /?С-двухполюсники, ИНУН
и (или) операционные усилители. Передаточная функция самой
схемы зависит явно от входных функций полной проводимости
/?С-двухполюсников. Кроме того, как числитель, так и знаме-
натель передаточной функции схемы можно выразить через
разность двух (групп) /?С-функций полной проводимости.
Для реализации заданной передаточной функции H(s) вида
(10.1) запишем
Н (s) = A (s)/B (s) = [Л (s)/D (s)]/[B (s)/D (s)], (10.46)
где D(s) — произвольно выбранный полином степени tin, обла-
дающий только простыми отрицательными вещественными кор-
нями, а также
nD^max(m, п)—1. (10.47)
Напомним, что тип являются степенями полиномов соответ-
ственно числителя X(s) и знаменателя B(s) функции (10.1).
В данном случае значения корней полиномов £>(s) ограничены
(только тем, что они должны быть простыми, отрицательными и
вещественными. В общем случае эти корни D(s) выбираются
совпадающими с вещественными корнями полиномов A (s)
1и(или) B(s), для того чтобы иметь возможность упростить
конечную схемную реализацию. На основании теоремы RC—RC-
разложения функцию (10.46) можно выразить следующим об-
разом:
_ A (s)/D (s) _ У/'с ~
~ В ~ y^(s)-yW(s) •
(10.48)
Необходимые входные функции полной проводимости /?С-двух-
полюсников определяются путем сравнения соответствующих
Рис. 10.11. Схема реализации по методу Янагисава.
членов передаточной функции схемы и требуемой передаточной
функции вида (10.48). Остается только реализовать эти RC-
двухполюсники.
10.1.3.1. Метод Янагисава. Рассмотрим схему, представлен-
ную на рис. 10.11. Здесь для узла А имеем уравнение
Y a (VBX ^вых) Yb ( AjjVвх Vвых) — Yс У вых
+ 5^2 [(1 + Увых — КВых] = 0, (10.49)
которое после некоторых простых преобразований дает переда-
точную функцию схемы в виде
^ВЫх/^вх = (Уо - ,,)/(/« + Yb + Yc - k2Yd). (10.50)
Приравнивая соответствующие члены выражений (10.50) и
(10.48), получаем следующие значения полных проводимостей
ветвей схемы на рис. 10.11
Ka(s) = r&(s), (10.51а)
Уь (s) = 0/&1) У® (s), (10.516)
Yc (s) = Y®c (s), (10.51b)
(s) = (1/£2) [У& (s) + (W Y$c (s) + Y$ (s)L (10.51г)
Заметим, что имеется также другое решение;
ro(s) = y^(s), (10.51аЭ
= (10.516')
= (10.51b')
Yd (s) = (1/Mга + ( W y«c (s) + Y& (s)]. (Ю.51г')
В дальнейшем при ссылках на (10.51) будут подразумеваться
оба варианта.
Таким образом, реализацией входных /?С-функций полных
проводимостей Уо, Уь, Ус и Уа согласно (10.51) осуществляется
реализация схемой рис. 10.11 общей передаточной функции
(10.1).
Пример 10.7. Реализовать методом Янагисава передаточную функцию по
напряжению
Н (sj = (s + l)/[(s + 2) (s2 + s + 1)] A A (s)/B (s). (10.52)
Решение. Согласно условию (10.47) полином D(s) имеет вторую степень.
Выберем
£>(s) = (s+1) ($4-2) (10.53)
Затем получаем
A (s)/sD (s) = 1/s (s + 2) = [(l/2)/s] + [(- l/2)/(s + 2)],
В (s)/sD (s)=(s2 + s + l)/s (s + 1)= I + [1/s (s + 1)]=1 + (1/s) + [(-l)/(s+l)],
A (s)/D (s) = (1/2) - [(1/2) s/(s + 2)] (10.54a)
и
В (s)/D (s) = s + 1 - [s/(s + 1)]. (10.546)
После подстановки (10.54) в (10.52) имеем
A (s)/D (s) _ (1/2) - [(1/2) s/ (s + 2)[
" (s) ~ В (s)ID (s) — s + 1 - [s/(s + 1)] • (1°-55)
Таким образом,
Y"c (s) = 1/2, (s) = (1/2) s/(s + 2),
(s) = s 4- 1, rgc («) = s/(s + 1).
В соответствии с выражениями (10.51) входные функции полной проводимо-
сти RC-двухполюсников для схемы на рис. 10.11 равны
Ya («) = 1/2, Yb (s) = (1/2) s/(s 4- 2),
Bc(s) = s 4-1, Fa (s) = (1/2) 4* 1(1/2) s/(s 4-2)] 4-s/(s 4-1), (Ю.56)
где установлено ki = ki — 1. Реализация каждой из этих функций прово-
димости показана на рис. 10.12, а —а. Объединением их в схеме рис. 10.12, д
обеспечивается реализация заданной передаточной функции (10.52),
Рис. 10.12. Реализация функции (10.52) по методу Янагисава.
10.1.3.2. Метод Матея — Сайферта. Рассмотрим представлен-
ную на рис. 10.13 схемную конфигурацию Матея — Сайферта,
где k\ 0 и k2 0. Ее передаточная функция определяется вы-
ражением
Н (s) Л V„bIX/VBX = (Ya - krYb)l(k2Yd - Уй) =
==^1П-УЯ)/(УС-W
(10.57)
Рис. 10.13. Схема реализации по методу Матея — Сайферта.
Из аналогии выражений (10.50) и (10.57) можно заключить,
что процедура реализации по Матею — Сайферту весьма близка
рассмотренному выше методу Янагисава.
Пример 10.8. Реализовать методом Матея — Сайферта передаточную
функцию по напряжению
Н (s) = (s + l)/s (s + 2) (s + 3) A A (s)/B (s). (10.58)
Решение. Выберем полином
D(s) = (s4-1) (s + 2). (10.59)
Далее имеем
A (s)/D (s) = (1/2) - [(1/2) s/(s + 2)], (10.60a)
B(s)/D (s) = s+ [2s/(s+ 1)] (Ю.бОб)
„ ,e. _ A (s)/D (s) _ (1/2) - [(1/2) s/(s + 2)] (10.60b)
M B(s)/D(s) s + [2s/(s + 1)] ’
Приравнивая соответствующие члены выражений (10.57) и (Ю.бОв), полу-
чим *)
^6= 1/2, Ya = (1/2) s/(s 4- 2),
Ус = s + [2s/(s + 1)], й8Уд = 0. (10.61)
Схема реализации функции (10.58) по Матею — Сайферту на основе выраже-
ний (10.61) при fei = 1, /?2 = 0 и Уа = 0 представлена на рис. 10.14.
10.1.3.3. Метод Лаверинга. Другой метод синтеза, аналогич-
ный процедуре Янагисава, основан на использовании показан-
') В данном случае используется самая правая часть выражения (10.57),
что в результирующей схеме дает экономию в один активный элемент.
/ф
Рис. 10.14. Реализация функции (10.58) по методу Матея — Сайферта.
Рис. 10.15. Схема реализации по методу Лаверинга.
ной на рис. 10.15 схемной конфигурации Лаверинга, переда-
точная функция которой определяется выражением ’)
H(s) = VBbIX/VBX = (Yb - Ya)/(Ye - Yd) = (Yo - Y6)/(Yd - Yo). (10.62)
Из уравнений (10.62) и (10.57) видно, что передаточная функ-
ция в методе Лаверинга имеет тот же вид, что и в случае ме-
тода Матея — Сайферта. Следовательно, идентичны и их про-
цедуры реализации, за исключением некоторых простых отли-
чий в условных обозначениях. Метод Лаверинга рассмотрим
ниже на примере.
*) Отметим, что в передаточной функции схемы (10.62) отсутствует про-
водимость У». Это означает, что последняя может иметь любое ненулевое
конечное значение.
Пример 10.9. Реализовать передаточную функцию (10.58) методом Ла-
веринга.
Решение. Выбрав тот же самый, что и в примере 10.8, полином D(s),
получим выражения (10.60). Сравнение выражений (Ю.бОв) и (10.62) дает
Yb =1/2. Ya= (1/2) s/(s + 2),
yc = s4-[2s/(s+1)] и Уй = 0. (10.63)
Подстановкой реализаций входных функций проводимостей РС-двухполюсни-
ков (10.63) в схему на рис. 10.15 получаем реализованную по методу Лаве-
Рис. 10.16. Реализация функции (10 58) по методу Лаверинга.
ринга окончательную схему, представленную иа рис. 10.16 для случая, когда
выбрано Уо = 1.
Рис. 10.17. Схема реализации по методу Митры.
10.1.3.4. Метод Митры. Рассмотрим схемную конфигурацию
рис. 10.17, где напряжения в узлах указаны относительно земли.
Для узлов А и В узловые напряжения определяются выраже-
Yb (V, - VBX) + YdVl + Yf (Vj - VBblx) = 0, (10.64)
Ya (V! - VBX) + Y'Vt + Ye (V, - Увых) = 0. (10.65)
Из (10.64) получим
И, = (YbVBX + У,УпЬ[Х)/(Уь + Yd + Kf). (10.66)
После подстановки (10.66) в (10.65) получим
[Ya (Yb + Yd + Yf) - Yb (Ya + Yc + Уе)] VBX =
= [У/ (Ya + Ус + ye) - ye {Yb + Yd + yf)] Увых. (10.67)
Таким образом, передаточная функция схемы рис. 10.17 равна
К
Я(з)Л
вх
ro(rb+rd + yf)-yfc(y0 + re+re)
(10.68)
Обычно для этого метода проводимости различных ветвей вы-
бираются по условию
Ya + Yc + Ye = Yb+Yd+Yf. (10.69)
В этом случае выражение (10.68) можно упростить следующим
образом:
Н (з) А Увых/Увх = (Уо - УЙ)/(У, - Уе) = (Уь - Уй)/(Уе - У,). (10.70)
Отметим, что выражение (10.70) имеет тот же вид, что и
(10.50), (10.57) и (10.62). Следовательно, при небольших изме-
нениях по условию (10.69) рассмотренные выше методы реали-
зации приемлемы и здесь.
Для ясности выделим следующие этапы метода AiHTpbi:
0. Задана функция H(s) вида (10.1).
1. Выбрать произвольный полином D(s) степени nD, где
nD = max(m, п)—1, а корни полинома простые отрицательные
вещественные.
2. Разложить рациональные функции числителя и знамена-
теля следующим образом:
Н = Z(S) = Z(s)/D(s) _
7 В (s) В (s)/D (s) - У^ ’
(10.71)
3. Приравнять соответствующие коэффициенты выражений
(10.70) и (10.71) по варианту
лцбо Ya = Y<", Yb = Y^, yf = y<3) и Уе = У<«, (10.72а)
либо Уй = У<*>, Ув = У^, Y=Y^ и yf=y<4>. (10.726)
4. Найти Yc и Yd. По варианту (10.72а) из (10.69) получим
уе - =(л - - (Ya - yb)=га - та - га - та=
= [В (s)/D (s)] - [A (s)/D (s)J = [В (s) - A (s)VD (s). (10.73a)
Аналогично вариант (10.726) дает
Yc - Yd = [A (s) - В (s)]/D (s). (10.736)
He имеет значения, какой из вариантов (10.72) используется,
теорему RC—/?С-разложения можно применить к правым ча-
стям выражений (10.73) для получения
Yc - Yd = ± [А (а) - В (s)]/D (s) = Y™ - У<°>. (10.74)
В результате можно приравнять
Yc = YM(s) и Yd^Yfc(s). (10.75)
Таким образом комплектуется схема на рис. 10.17.
5. Реализовать /?С-элементами проводимости Ya, Уь, Ус, Yd,
Ye и Yj после этапов 3 и 4 по методике, изложенной в гл. 6.
6. Наконец, подставить реализованные на этапе 5 соответ-
ствующие /?С-двухполюсники в схему рис. 10.17. Полученная в
результате схема является реализацией заданной передаточной
функцией вида (10.1).
Пример 10.10. Реализовать передаточную функцию (10.58) методом
Митры.
Решение. Будем следовать процедуре, рассмотренной в предыдущем раз-
деле.
1. Выбираем D(s) — (s 4- 1) (s + 2).
2. Получаем Н (s) = {(1/2) - [(1/2) s/(s + 2)]}/{s + [2s/(s + 1)]}.
3. По варианту (10.72а) имеем
Уя =1/2, УЬ = (1/2) з/(з 4-2), yf = s4-[2s/(s4-1)] и Уе = 0. (10.76)
4. Найти Ус и Yd.
У B(s)-A(s) s(s4-2)(s4-3)-(s4-l) _
с d D(s) (s4-l)(s4-2)
_ sa 4~ 5s8 4- 5s — 1 д C (s)
~ (s 4-1) (s 4- 2) = D (s) ‘
Заметим, что
C (s)/sD (s) = 1 4- [(2s8 -P 3s — l)/s (s 4- 1) (s 4- 2)] =
= 1 + ^V2_ + _2_ + _^.
s ts4-1^s4-2
С ле до в ате льно,
Ус - Kj = s 4- [2s/(s 4- DI + [(1/2) s/(s 4- 2)] - (1/2)
Ус = s 4- [2s/(s 4- 1)] 4- [(1/2) s/(s 4- 2)], (10.77a)
Yd = 1/2. (10.776)
Рис. 10.18. Реализация функции (10.58) по методу Митры.
5. и 6. Результирующая схема реализации функции (10.58) показана на
рис. 10.18.
10.1.3.5. Выводы. Все рассмотренные в разд. 10.1.3 четыре
метода основаны на одном и том же разложении RC—RC по
теореме 10.1. Единственным ограничением для всех методов
является требование, чтобы реализуемая передаточная функция
была вещественной рациональной функцией от переменной s.
Однако с практической точки зрения здесь имеется существен-
ный недостаток, состоящий в большой чувствительности полюса
к изменению параметров активных элементов (ИНУН и опера-
ционных усилителей). Это происходит из-за того, что реализа-
ция комплексных полюсов общей передаточной функции (10.1)
осуществляется в результате вычитания двух рациональных
функций согласно выражениям (10.50), (10.57), (10.62) и
(10.70). Кроме того, эти четыре метода не подходят для высоко-
добротных схем или узкополосных фильтров.
Другой недостаток, основной для всех активных фильтров,
состоит в том, что небольшое изменение параметра активного
элемента (например, коэффициентов ИНУН) может подвести
устойчивую схему к границе самовозбуждения. Это особенно
характерно для случая, когда RC—/?С-разложение отношения
знаменателя S(s)/£)(«) дает члены как с положительными, так
и с отрицательными коэффициентами. Поэтому следует, где
только возможно, выбирать полином D(s) таким образом, что-
бы разложение на простые дроби выражения В (s) / [s£> (s) ] да-
вало только положительные вычеты.
10.1.4. Прямая реализация методом переменных состояния
Рассмотрим представленную на рис. 10.19 схему, для кото-
рой все напряжения в узлах указаны относительно земли, а ве-
личина п принимается нечетной и целой. В случае четного и
целого значения п резистор Rn подсоединяется к узлу В, а не
к А. Данная схема описывается следующими уравнениями:
Vk — (—l)sCRVk+}^=(~l)n~k(sCR)n~kVn для k =1,2..........п-1,
(10.78)
Уа = - Ra [(V2/R2) + (У4/Я4) + ... + (!/„_,//?„_,)]. (10.79)
^+£ + т + [£ + -Й-+---+тЙ“0- <10-80>
Подставляя (10.78) и (10.79) в (10.80) и приняв Cj—RC, полу-
чим
(sCR)n Vn + Vn + Vn +
(sCR)n~3 (sCR?1-* . Vn _ VBX
+ R3 Vn+ Rt Vn+ • • • + Rn RT
или
VBX (sCR)n + Gl(sCR)n-l + Gs(SCR)n-2+ ... + Gn ' V ’
где
Gi = \/Ri для i — 0, 1, 2, ..., n.
Отметим, что в выражении передаточной функции схемы
(10.81) отсутствует резистор Ra. Это означает, что он может
иметь любое ненулевое конечное положительное значение. Из
выражения (10.81) видно, что, если в качестве выходного ис-
пользовать напряжение Vn, схема на рис. 10.19 представляет
собой фильтр нижних частот и может использоваться для реа-
лизации фильтров нижних частот Баттерворта, Чебышева и
Бесселя. Передаточную функцию между напряжениями Vk (для
k — 1, 2, ..., ri) и Йвх можно получить объединением выраже-
ний (10.78) и (10.81). В результате получим
Н ____________________________.
k {S)== Vbx (sCR)n + Gi (sC/?)n-1 + G2 (sCR)n~2 +-..+Gn
(10.82)
Заметим, что последнее выражение выведено при условии, что
п — нечетное целое. Для четного п резистор Rn соединяется с
Рис. 10.19. Прямая реализация методом переменных состояний.
узлом В, а не с узлом А на схеме рис. 10.19, и результирующая
передаточная функция равна
Vk ____________(—l)”~fe Go (sCl?)re~fe______,
Vbx (sCR')n + Gl(sCR)n-1 + G2(sC^n-2+... + Gn ' ' 7
где k^- 1, 2, n. Обе передаточные функции отличаются
только знаком.
Полиномы знаменателей обоих выражений (10.82) и (10.83)
одинаковы при k — 1, 2, ..., п, поэтому для реализации задан-
ной передаточной функции (10.1) необходимо только в схему
рис. 10.19 добавить суммирующее устройство типа, показанного
на рис. 2.15.
Отметим, что по методу переменных состояния в схемной
реализации требуется по меньшей мере («+!) операционных
усилителей1) помимо большого числа резисторов, что дорого-
вато. В то же время данная схема обеспечивает удобный меха-
низм настройки для подгонки величин резисторов R\, R2, .... Rn
согласно коэффициентам заданной передаточной функции.
Пример 10.11. Предположим, что необходимо получить равноволновый
фильтр, удовлетворяющий следующим требованиям:
1. Ширина полосы пропускания 1 крад/с.
2. Максимальная неравномерность передачи в полосе пропускания 0,1 дБ.
3. Минимальное затухание в полосе задерживания 40 дБ для
со 6 крад/с.
Найти активную реализацию методом переменных состояния.
Решение. Из примера 8.12 берем требуемую передаточную функцию
„ , . _______________________1,6381____________________
{S) (js/103 *)3 + 1,9388 (s/103)2 + 2,6296 (s/103) + 1,6381 ‘
Поскольку здесь n = 3, то данному случаю подходит выражение (10.81). Из
сравнения (10.81) и (10.84) получаем следующие расчетные значения2):
Ci = RC = 10“3>
Go = 1,6381 или /?о = 0,6105 Ом,
G1= 1,9388 или /?! = 0,5158 Ом, (10.85а)
G2 = 2,6296 или /?2 = 0,3803 Ом,
G3 = 1,6381 или /?з = 0,6105 Ом.
Для грубого сокращения диапазона величин сопротивлений выберем
Ra = 0,5 Ом, R =0,5 Ом, С = 0,002 Ф и Ci = 0,001 Ф. (10.856)
') В большинстве случаев необходимо иметь (л + 2) операционных уси-
лителей для построения л интеграторов, одного инвертора и одного сумма-
тора. Последний не требуется, если отсутствует конечное ненулевое значение
нуля передаточной функции (все нули передачи расположены либо при
з=оо, либо при з = 0). Инвертор не нужен, если четная часть полинома
знаменателя B(s) заданной передаточной функции ( 10.1) равна нулю.
2) Можно выбрать С] = RC = 1 и затем выполнить нормирование по
частоте s-> (s/103), заменяя С Ф и Ct Ф на 0,001С Ф и 0,001С4 Ф соответ-
ственно.
Рис. 10.20. Схемы реализации по методу переменных состояний для приме-
ра 10.11.
Результирующая схема приведена на рис. 10.20, а. Схема рис. 10.20, б полу-
чена из схемы рис. 10.20, а масштабным умножением на множитель 10 000.
Заметим, что передаточные функции для обеих этих схем одинаковы ц опре-
деляются выражением (10.84),
10.2. Каскадная реализация
При каскадном способе реализации заданная передаточная
функция (10.1) реализуется каскадным соединением последова-
тельности звеньев фильтров первого и второго порядков. Схема
рис. 10.21 иллюстрирует, как каскадный способ реализации об-
щей передаточной функции (10.1) сводится к реализации ряда
звеньев фильтров второго порядка и, возможно, звена первого
порядка.
Каскадная реализация очень удобна в случае подстройки
после расчета, поскольку каждое звено изолировано от других.
Рис. 10.21. Схема каскадной реализации.
Кроме того, имеется возможность проектировать звенья второго
порядка с внешним управлением характеристик. Это позволяет
реализовывать ряд передаточных функций небольшим набором
основных функциональных узлов низкого порядка. Далее, при
каскадной реализации обычно достигается меньшая чувстви-
тельность схем по сравнению с достижимой в прямой реали-
зации.
Каскадный способ значительно упрощает задачу реализации
общей передаточной функции, поскольку существует только
конечное число различающихся видов передаточных функций
второго порядка.
Последние в общем случае имеют вид1)
Н (з) = (a2s? + + «0)/(s2 + М + b0). (10.86а)
*) Передаточная функция П0.86) называется биквадратной передаточной
функцией, поскольку и числитель и знаменатель являются квадратными по-
линомами, Существует только семь разновидностей биквадратных передаточ-
ных функций:
До U\S fz2s2 OjS -j- Ло
s2 + bis + Ьс ’ s2 + bts + b0 * s2 + b[S + b0 ’ s2 + b^ + bo ’
a2s2 + До o2s2 + Qis Qzs2 + a js + ag ППЯЙЩ
S2 + bKs -j- ' s2 + b,s -f- bq s2-J-ft,s +Z>o " 1
Для специальных случаев имеем: 1) фильтры нижних частот
при аг = = 0; 2) полосовые фильтры при а2 — а0 — 0;
3) фильтры верхних частот при а\ = а0 = 0; 4) заграждающие
фильтры нижних частот при а\ = 0 и а2^а0/Ь0\ 5) заграж-
дающие фильтры верхних частот при а} = 0 и а2 а0/Ь0-,
6) всепропускающие фильтры при — (a}/a2) = bi и а0/п2 = Ьо.
Почти во всех звеньях фильтров второго порядка используются
конечные ИНУН (которые можно реализовать операционными
усилителями) или сами операционные усилители. Эти усилители
применяются для создания необходимых комплексных полюсов
(напомним, что 7?С-фильтры без активных приборов могут
иметь только отрицательные вещественные полюсы) и обеспече-
ния малых значений выходных сопротивлений. В случае схем
с многими усилителями операционные усилители используются
также для получения в каждом звене фильтров большого вход-
ного сопротивления.
В каскадном методе каждое звено должно иметь высокое
входное сопротивление (величина входного сопротивления со
стороны входной пары зажимов фильтрового звена велика)
и(или) низкое выходное сопротивление (величина входного со-
противления со стороны выходной пары зажимов фильтрового
звена мала)1). Для обеспечения требований по соответствую-
щему каскадному соединению выходное напряжение каждого
звена фильтров обычно снимается с выхода ИНУН или опера-
ционного усилителя. На практике это обеспечивает весьма низ-
кое выходное сопротивление и уменьшает в большинстве слу-
чаев влияние нагрузки при каскадном подсоединении следую-
щих звеньев.
Существует три основных способа реализации функции
(10.86). Первый из них — непосредственный, когда априори
устанавливается общая схемная конфигурация и ее отдель-
ные элементы определяются заданной передаточной функцией.
Во втором способе учитывается то обстоятельство, что сущест-
вует только семь разновидностей биквадратной передаточной
функции (10.86). Величины элементов вычисляются далее по
коэффициентам заданной передаточной функции. Третий способ
основан на применении канонической схемы (тоже с определен-
ной конфигурацией и фиксированными типами всех элементов,
но без величин последних). Различные биквадратные переда-
точные функции реализуются выбором разных наборов величин
элементов. В данном разделе рассматриваются второй и тре-
тий способы.
’) В идеальном случае для каскадного построения необходимо, чтобы
каждое фильтровое звено имело бесконечно большое входное сопротивление
И (или) нулевое выходное сопротивление.
Прежде чем приступить к рассмотрению различных методов
синтеза для реализации передаточных функций по напряжению
(10.86), отметим, что частота полюса соо и добротность пары
полюсов Q определяются формулами
<oo = V^o и Q — ^^o/bi- (10.87)
10.2.1. Биквадратное звено на одном усилителе1)
В настоящем разделе представляются два метода реализа-
ции биквадратных передаточных функций пассивными RC-эле-
ментами и одним активным прибором. Первый из них представ-
лен семейством схем, каждая из которых соответствует конкрет-
ной биквадратной передаточной функции. Второй метод основан
на использовании универсальной схемы, которую можно при-
менять для реализации широкого класса биквадратных переда-
точных функций.
10.2.1.1. Биквадратное звено на одном усилителе. — Метод
опыта. В 1955 г. Саллен и Ки опубликовали таблицу активных
7?С-схем [20] (с ИНУН в качестве активного элемента в каж-
дой схеме) для реализации передаточных функций по напря-
жению типа (10.86), за исключением заграждающего фильтра с
передаточной функцией вида
Н (s) = (a2s2 + a0)/(s2 + bx s + b0). (10.88)
В 1966 г. Кервин и Хьюлсман предложили схему реализации
данной функции на основе иного ИНУН [21]. Здесь их резуль-
таты представлены в табличной форме табл. 10.1.
Собранные в табл. 10.1 схемы не являются окончательными
для практического применения. Их необходимо подвергнуть
операции денормирования по частоте и сопротивлению. По-
скольку коэффициент усиления или преобразования ИНУН яв-
ляется безразмерной величиной, на него не влияет операция
денормирования. Таким образом, нормирование по частоте ска-
зывается только на емкостях, а нормирование по сопротивле-
нию— на величинах и резисторов и емкостей.
Пример 10.12. Реализовать с помощью данных табл. 10.1 функцию
Н (s) = (2 • 103)/[s2 + (2 • 103) s + 108]. (10.89)
Решение. Нормированный вариант функции (10.89) имеет вид
HN (s) = 2/(s2 + 0,2s + 1), (10.90)
где применен масштабный коэффициент по частоте, равный 10 000. По ва-
рианту А1 табл. 10.1 получаем расчетные выражения
=s 1. -|- C2Rz 4- C2P1— PCiPi ==0,2, fe = 2, (10.91)
*) Схемная реализация биквадратной передаточной функции (10.86)
иногда называется биквадом.
Таблица 10.1
Реализация активных фильтров на одном ИНУН
Вариант Передаточная функция /ШЬ'вь]#в1 Схема реализации Расчетные уравнения
Al G s2 4- bs 4-1 (нижних частот) + О, vl„ с 1 дг Сг7 + CiCa/?]/?2 == 1 + C2R2 + Rl^2 — kCiRt = b G = k
А2
а
Gs
s2 + bs+l
(полосовая)
A3
Gs2
s! 4- bs + 1
(верхних частот)
CiC2fhR2 (1 + k) = 1
CiRi 4“ G2R2 + Ca/?i = b
G == — kR2C2
CiC2RjR2 ,
1 +k
CiRi 4~ Gg^a+Ca^i
I +k
R%C2
G\C2RiR2 =* 1
CiRi 4" C2R2 4- C2Ri —
— kC2R2 : b
G = k
Продолжение
Вариант Передаточная функция Н и л VEb,x/VBy Схема реализации Расчетные уравнения
А4 а Ь G (s + а) s2 + bs + 1 ^2 ^2 +-£^4Ь- Ъ V, С,-. ; <±> veUx RiCv + RYC2 - 1/a RiCi 4“ R2C2 4~ — — г== b G = k (RiCi + RiC2)
1 +i Пг> T . il 1 <Г2 /?г : Vl <t> vSUx JtVf\ /?1Ci/?2^2 — 1 R2C2 = 1/g /?iC( 4- R2C2 4" + RlC2(l-k) = b G = kR2Cz
А5 а b Gs (s + a) s2 + bs 4- 1 1 s? + f < -K +T ГЬ >?= T ~^+>— 1 + R\C\R2C2 1 R2C2 4“ R1R2 === 1/g R1C1 4- R2G2 + RiC2 — — kRiCi=s;3 b G — k
1 g? + ^2 ^2 \v> <t> RICIR2C2 === 1 RiCi = a R1C1 4" R2C2 4- RiC% — kR2^2 ” b G = k
,,2C
П родоллсение
Вариант | Передаточная функция Н<®)^вых/Гвх Схема реализации Расчетные уравнения
A7 a G (ss + a) s2 + bs + 1 Этапы: 1. Выбрать C|=a 2. Установить С3 =• С4=» = а/2 3. Вычислить р = a уа 4. Установить /?з=1/₽ и /?[ = Rz = 2Rs 5. Выбрать С2^= (a (а — 1)1/4, С2 мо-
AJ «2 -It c/ +
+ ЧН V, w, ~c2
c3 r R3\ c4
/?/,[
- 1 -
6. Вычислить 4 д/а Ri ~ a(l — a) + 4С2 7. Вычислить fe=2+^__^+ a 2 Vo +—АГА-fccJ a ya L /?4 J r ak 4C2 ~F a
k 1 к /= 3
b (заграждающая) + % “It" C3 C3 c/ тШ «2 f -c, + |>
s2 + bs+i
RiCiRzCz1
RiCi + /?|Cj= a
RiCi + R%Ci + RiCz —
— kR£2 ==* b
G = k
Рис. 10.22. Схема реализации функции (10.90) (а); схемы реализации фуик»
ции (10.89) (б) и (е). •
которые при подстановке k = 2 можно переписать следующим образом:
CiC2PiP2=l, —CiPi = 0,2. (10.92)
Поскольку здесь два уравнения, а неизвестных четыре, то имеются две сте-
пени свободы. Выберем
С! = С2=1 Ф. (10.93а)
Тогда решение (10.92) дает
Ri = 5 Ом и Р2 = 0,2 Ом. (10.936)
Схемная реализация функции Hn(s) (10.90) по данным (10.93) представлена
на рис. 10.22, а. Для реализации заданной функции H(s) (10.89) необходимо
для схемы рис. 10.22, а выполнить денормирование по частоте с помощью
коэффициента 10 000. Результат этого представлен на рис. 10.22, б, а на
рис. 10.22, в показан вариант при нормировании схемы рис. 10.22, б по сопро-
тивлению с коэффициентом 5000. В последнем случае ИНУН реализован на
операционном усилителе.
Теперь проведем некоторый анализ данных табл. 10.1. Отме-
тим, что выходами каждой схемы табл. 10.1 является ИНУН —
выход операционного усилителя1). Поскольку операционный
усилитель в идеальном случае имеет нулевое выходное сопро-
тивление (практически весьма Низкое выходное сопротивление
при работе в нормальном линейном режиме), каждую из этих
схем можно каскадно соединять с другой (включая и те, что
будут рассмотрены далее) без применения развязывающих уси-
лителей.
Применение каждого из представленных в таблице вариан-
тов не вызывает затруднений. За исключением варианта А7,
процесс схемной реализации состоит в вычислении ряда величин
сопротивлений и емкостей согласно расчетным уравнениям.
Процедуру же проектирования по варианту А7 рассмотрим
ниже на примере.
Пример 10.13. Реализовать с помощью табл. 10.1 передаточную функцию
Н (s) = G (s2 + 108)/(s2 + 2 • 103s + • 10 ). (10.94)
Решение. Прежде чем обращаться к табл. 10.1, нормируем функцию H(s)
по частоте коэффициентом 20 000, что приведет к нормированной передаточ-
ной функции
(s) = G (s2 + 0,25)/(sz + 0,1s + 1).' (10.95)
Отметим, что она получена из функции (10.94) замещением каждой пере-
менной s на 20 000^_Реализация функции (10.95) проводится по этапам:
этап 0) а = 0,25, Vй =0,5 и 6 = 0,1; этап 1)_пыберем С» = 2 Ф. Тогда
а = 2; этап 2) Сз = С4 = 1 Ф; этап 3) р = а-\/а = 1; этап 4) R3 — 1 Ом,
Ri = Rz = 2 Ом; этап 5) поскольку а — 1 = —0,75 0, можно выбрать
Сг = 0; этап 6) при Сг = 0 получим 1?4 = 4 V«/b (1 - а) =4/3; этап 7)
коэффициент передачи ИНУН равен /г = 2 — (б/2 Vй ) + (^la-y/aRi ) = 3,4;
этап 8) G — k — 3,4.
Таким образом, имеем следующие величины элементов для реализации
функции (10.95):
Ci = 2 Ф, С2 = 0, С3 = С4=1 Ф, R1=R2 = 2 0m,
Rz = 1 Ом, R4 — 4/3 Ом и k = 3,4. (10.96а)
Для реализации функции (10.94) необходимо провести денормализацию по
частоте емкостей в (10.96а) на коэффициент 20 000:
Ci = 100 мкФ, С2 = 0, С8=С4 = 50мкФ. (10.966)
1) Напомним, что. согласно гл. 2, ИНУН с положительным или отрица-
тельным коэффициентом передачи можно реализовать (рис. 2.5) соединением
линейных резисторов и операционного усилителя.
Схема реализации функции (1094) согласно (10.96) представлена на
рис. 10.23, где все резисторы и емкости денормированы по сопротивлению
коэффициентом 10 000.
Рис. 10.23. Схема реализации функции (10.94).
Можно показать, что процедура расчета по варианту А7 реализует по
любой из двух соответствующих схемных конфигураций передаточную функ-
цию
Н (s) = G (s2 + a)/(s2 +61S-|- 60), (10.97а)
где
G = а/(4С2 + а), (10.976)
а = ₽7а2, (10.97в)
‘-жсптН(1-4)+-&+с4 <1о-№>
Ьо= 4аС, + «г [₽f + 'R7]’ <Ю.Э7д)
При а — 2, Р = 1 и величинах (10.96а) согласно (10.97) получим
G=l, о=1/4 = 0,25, 6, = [4/(0+ 4)] [2(1 - 1,7) + 1,5] = 0,1
60 = (1 + 3)/4 = 1.
Таким образом, величины элементов по (10.96а) обеспечивают реализацию
передаточной функции HN(s) (10.95). Следовательно, схемой на рис. 10.23
фактически реализуется заданная передаточная функция (10.94)
За исключением вариантов А6 и А7, каждая схема содержит
пять переменных: /?1, fa, С,, С2 и k. Однако имеется только три
или четыре уравнения, куда они входят. Это приводит к многим
реализациям, удовлетворяющим заданной передаточной функ-
ции по напряжению, что иллюстрируется примером 10.14.
Пример 10.14. Реализовать с помощью табл. 10.1 передаточную функцию
// (з) = 2 (s2 + 2s + l)/(s2 + s + 1). ,(10.98)
Решение. Можно применить схему варианта А8, где а — 2, Ь — 1 и
G = 2. В данном случае имеются следующие четыре расчетных уравнения:
/?iCi/?2C2=l, (10.99а)
/?2С2 + /?1С2 = о = 2> (10.996)
RiCi + RiC2 + RtC2 - kRiCi = b = 1, (10.99b)
G = fe = 2. (10.99г)
Поскольку здесь пять переменных, а уравнений только четыре, то имеется
одна степень свободы. Эту степень свободы можно использовать для уста-
новки величины одной из пяти переменных, либо для введения дополнитель-
ных уравнений. Предположим, что выбран второй путь и добавляется урав-
нение
RiCi = 1 (10.99д)
для получения полной системы расчетных уравнений. Необходимо отметить,
что система уравнений с пятью переменными (10.99) является нелинейной,
Рис. 10.24. Схема реализации функции (10.98).
а как таковая может иметь одно и только одно решение, не иметь решения
или иметь много решений. В данном случае имеем последнее. Например,
/?1 = /?2=1 Ом, С1 = С2=1 Ф, k = 2 и (10.100)
/?1 = #г = 0,5 Ом, С1 = С2 = 2Ф, k = 2 (10.101)
являются решениями системы уравнений (10.99). Действительно, для любой
положительной величины а данные
fli = /?2 = a, С, = С2 = 1/ct и k = 2 (10.102)
являются решением системы *) Схема реализации функции (10.98) представ-
лена на рис. 10.24, где а — любое конечное положительное вещественное
число.
Все помещенные в табл. 10.1 схемы имеют общий недоста-
ток. В случае высокодобротных или узкополоснбйх схем либо
коэффициент передачи k ИНУН очень велик (пропорционален
квадрату добротности), либо еще чувствительность добротности
*) Отметим, что параметр а фактически является коэффициентом норми-
рования по сопротивлению.
относительно параметра kSk велика (по меньшей мере про-
порциональна добротности). Оба эти случая нежелательны. Не-
приемлемость последнего очевидна. Для первого случая, когда
велико k, резко уменьшается практический частотный диапазон
работы схемы1). Например, при Q = 16 усиление ИНУН долж-
но быть порядка 250. В этом случае рабочий диапазон частот,
где ИНУН по схеме на рис. 2.5 нормально функционирует, на-
ходится в пределах коэффициента усиления операционного уси-
лителя без обратной связи 5000 и выше. Согласно приведенным
Рис. 10.25. Амплитудно-частотная характеристика типового операционного
усилителя.
А — коэффициент усиления операционного усилителя без обратной связи;
= 2nfa рад/с.
на рис. 10.25 данным типового операционного усилителя эта
ширина рабочей полосы частот составляет примерно 200 Гц2).
Для иллюстрации установленного выше общего недостатка
рассмотрим вариант А1 и п. а) варианта А2:
В варианте А1 передаточная функция схемы равна
Н = з2С[С2/?1Д2 + s (C^i + C2R2 + RiC2 - kCxRi) + 1 • <1 °-103)
’) Если ИНУН с коэффициентом передачи k реализован на операционном
усилителе, то приемлемый рабочий частотный диапазон ИНУН определяется
шириной полосы частот, где коэффициент усиления операционного усилителя
без обратной связи примерно в 20 раз больше k. Более подробно аспекты
рабочей полосы частот рассматриваются в разд. 10.3.
2) Для широкополосных операционных усилителей рабочий диапазон ча-
стот данного ИНУН можно увеличить в 10 или более раз.
Предположим, что передаточная функция заданного фильтра
нижних частот имеет вид
Н (s) Л Увых/Увх = G/[s2 + (1/100) s + 1]. (10.104)
Для этого случая b = 0,01 и Q = 100, а расчет ведется по урав-
нениям
(10.105а)
(10.1056)
C1C2R1R2--- 1,
Ъ = CXRX + C2R2 + RA - kCxRx = 1/Q = 1/100.
Примем
Сх— Со А. С, Rx— R? .A R.
Тогда из (10.105) получим
CR = 1 и
k = 3 — (1/Q) = 299/100 — 3.
Здесь получился весьма умеренный коэффициент
ИНУН. Однако из (10.103) имеем
'\/CxCzRxR2
(10.106)
(10.107а)
(10.1076)
передачи
Q CXRX + C2R2 4* Я(С2 — kCxRx 3 — k
и в результате
S? ==• Jfe/(3 — k) = kQ ~ 300.
(10.108а)
(10.1086)
Таким образом, при изменении параметра k на 1% добротность
изменится на 300%- Очевидно, что такая схема не подходит для
реализации больших добротностей.
Для п. а) варианта А2 передаточная функция равна
^вых _______________— SC2/?2fe______________ ( 1 А | AQ\
VBX sV&R^i (1 + k) + S (CXR, + C2R2 + адо + 1 •
Предположим, что заданный полосовой фильтр характеризуется
функцией
Я (s) = Gs/[ s2 +(1/100) s + 1]. (10.110)
Здесь опять имеем Q = 100 и & = 0,01, а расчетные уравнения
имеют вид
б-с1й,+од2 + ед,= 1/5=о,о1. 11 '
Выбрав СДС1 = С2 и RARi—/?2> найдем
3CR = 1/Q (10.112а)
и й = [1/(CR)2] — 1 = 9Q2 — 1—90 000. (10.1126)
Последний результат показывает, что практически рабочий диа-
пазон частот, где данная схема может удовлетворительно
работать, составляет всего ~10Гц, что немного для полосового
фильтра. В этом случае очень мала чувствительность доброт-
ности Q к изменениям параметра k. Можно показать, что
= (-1/2) [й/(1-&)] — -1/2. (10.113)
10.2.1.2. Биквадратное звено на одном усилителе.— Метод
канонической схемы. В данном подразделе рассматривается
Рнс. 10.26. Схема Френда.
представленная Френдом универсальная схема, начертание ко-
торой и все типы элементов определены. Эта схема своими ве-
личинами элементов реализует различные виды биквадратных
передаточных функций.
Рассмотрим показанную на рис. 10.26 эту схему. При Gx =
- l/Rx и
Ga£Gc + Gd, (10.114а)
GjAG.-j-Gs, (10.1146)
63Дб6 + 67. (10.114в)
передаточная функция схемы равна
Н (s) = (a2s2 + a(s 4- a0)/(s2 4- &is 4- b0), (10.115)
где a2 = GcjGa, (10.116a)
<h = (l/C1C2Ga) [CA (G, 4- G2 4- G3) + C2Gc (G2 4- G3) -
- C,G4 (G„ 4- Gb) - (C, + C2) G6 (G„ 4- Gb)J, (10.1166)
a0 = (l/C1C2Ga) [G,Gc (G2 + G3) - G(G6 (Ga 4- Gb)], (10.1 16b)
£1 = (1/C1C2Go)[(C1 + C2)(GaG2-GbG3)-ClGlGb], (10.116r)
= (1/CAGJ [Gt (GoG2 - GbG3)J. (10.116д)
Проведем на основе выражений (10.114) —(10.116) некото-
рый анализ схемы на рис. 10.26. Во-первых, данной схемой
нельзя реализовать биквадратную передаточную функцию филь-
тра нижних частот, для которой необходимо, чтобы 02 = «1 = 0.
Из (10.116а) видно, что условие п2 = 0 требует, чтобы Gc = 0.
При Gc — 0 и Hi = 0 уравнение (10.1166) требует либо G4 =
= G6 = 0, либо Ga + Gb = 0. В этом случае согласно (10.116в)
должно быть «о = 0. Это подтверждает невозможность реали-
зации биквадратной передаточной функции фильтра нижних ча-
стот схемой рис. 10.26. Оказывается, это единственный вид би-
квадратной передаточной функции, который нельзя реализовать
данной схемой.
Другой вывод можно сделать из анализа уравнений
(10.114а) и (10.116а). Совместное требование этих уравнений
определяет условие реализации схемой рис. 10.26 только тех
биквадратных передаточных функций, для которых
0<а2<1. (10.117)
Однако такое условие не является существенным ограничением,
поскольку обычно передаточная функция реализуется только с
точностью до постоянного сомножителя. Если заданная переда-
точная функция HD(s) имеет п2>1, то можно реализовать
функцию ptfD(s), где постоянная р выбрана таким образом,
чтобы выполнялось условие рп2 < 1. Далее существуют спосо-
бы увеличить сомножитель р. Соответствующий случай рассмо-
трен ниже в примере 10.16.
Для заданной биквадратной передаточной функции вида
(10.115) выражения (10.114) и (10.116) образуют систему ра-
счетных уравнений. Сама задача реализации теперь сводится к
отысканию ряда величин элементов, удовлетворяющих уравне-
ниям (10.114) и (10.116). Поскольку здесь имеется восемь урав-
нений и 13 неизвестных, можно найти величины восьми элемен-
тов через остальные пять. После некоторых алгебраических
преобразований получим:
G3 — CiC%Ga (с?о — cz26o)/G] Ga + Gb) (cz2 — a),
G2 = (C1C26o/GI) + (G6G3/Gfl),
Ga = — G4.
Ge — C1G3,
(10.118a)
(10.1186)
(10.118b)
(10.118r)
(10 118д)
(10.118^)
G7 = G3-G6, (10.118ж)
Ge = fi2Ga> (10.1183)
Gd = Ga —Gc, (10.118И)
где входными величинами являются коэффициенты заданной
передаточной функции («2, «ь «о, &о) и параметры пяти
элементов (Сь С2, Ga, Gb, а). Во многих случаях следует осто-
рожно подходить к выбору параметров элементов. Например,
параметр
« aAG6/(G64-G7) (10.119а)
выбирается, чтобы обеспечить G3 > 0. При этом параметр а на-
ходится в пределах
0<а<1. (10.1196)
В большинстве практических случаев устанавливается а = 0,
если (а0 — а2йо) 0 и a=I для (а0 — a2bG) < 0. Напомним,
что, согласно (10.117), с?2 < 1.
Для того чтобы G5 0, необходимо обеспечить G4 G\.
Если параметр с?2 весьма близок к единице, то по (10.1186)
очень часто получается, что G4 > G\, особенно при ci\ < 0. Один
из способов решения этой проблемы состоит в реализации пе-
редаточной функции
рд (s) = («2S2 4- d]S + a0)/(s2 + &1S 4- 60), (10.120а)
где й2 = pa2, oi = ₽Oi, й0== ₽«о и₽<1. (10.1206)
Наконец, последнее замечание относительно схемы на
рис. 10.26. В случае полосового фильтра, когда а2 = Оо = 0,
уравнение (10.1186) требует, чтобы oi < 0, а уравнение
(10.118в) дает G3 = 0. В результате G6 = G7 = 0.
Пример 10.15. Реализовать передаточную функцию
Н (а) = - s/(s2 + 2s + 3) (10.121)
схемой рис. 10.26.
Решение. При аг == 0, at — —1, йо == 0, bt = 2 и 6о = 3 выражение
(10.118) сводится к
а-^[-2+л/1+'2(,+^)Я’
Gi-C2Ga/(Ga + Gb)< С3 = 0’ ^“ЗС^б,
G5 — Gl~Gi, G6=G7 = 0, Gc = o, Gd=Ga. (10.122)
Эти выражения показывают, что все резисторы будут пассивными при усло-
вии Ga Gb, Выберем
С! = Сг=1Ф, G(?=G6=1MCm. (10.123а)
Далее согласно (10.122) получим
Gt = 1,65 = 1/0,61; G4 = 0,5 = l/2; Gs = Ge = G7 = 0;
G2= 1,82 = 1/0,55; GB = 1,15 = 1/0,87; Gc = 0' (10.1236)
Gd=l,
где все проводимости в мегасименсах. Схема реализации передаточной функ-
ции полосового фильтра (10.121) согласно данным (10.123) представлена на
рис. 10.27.
Рис. 10.27.
(10.121).
Схема реализации передаточной функции полосового фильтра
Пример 10.16. Реализовать схемой Френда всепропускаюгцую передаточ-
ную функцию
Н (s) = (s2 - s + l)/(s2 + s + 1). (10.124)
Решение. Практически схема на рис. 10.26 не подходит для случаев,
когда о2 = 1. Как далее будет показано, при о2 = 1 выражение (10.1186)
дает, что G« > Gi Вместо реализации функции H(s) по (10.124) будем иметь
дело с функцией
Яр (з) Д pH (з) = (Ps2 - ps + P)/(s2 + s + 1). (10.125)
При Ог = Оо = p, af = — р и bi = bo = 1 выражения (10.118)
Оз = 6в = О7=0,
G2 — G\CZIG^
Gs = Gt~ Gt,
сводятся к
(10.126а)
(10.1266)
(10.126b)
(10.126г)
(10.126д)
Gc = PGfl,
Gd ==(!-₽) Ga.
(10.126e)
(10.126 '
/ф
If-
Рис. 10.28. Схема реализации всепропускающих передаточных функций
(10.125) (а), (10.124) (б) при ₽ = 0,5.
Заметим, что при а2 = р = 1 выражение (10.1266) требует, чтобы G4 > Gt.
Следовательно, необходимо уменьшать величину постоянного множителя 0 до
тех пор, пока формула (10.1266) не дает G4 < Gj. Можно показать, что при
Gt, <g Ga наибольшая допустимая величина для р определяется выражением
₽макс=1/[1 + (1/<22)]. (10.127а)
где Q — добротность полюсов заданной передаточной функции, и в данном
случае _____
Q = (1/2) VGJGa. (10.1276)
Поскольку для функции (10.124) <2 = 1, имеем рмакс =0,5. Выбираем ₽ = 0,5
и тем самым фактически реализуем функцию
П (*)Д 0,5// (s) = (0,5s2 - 0,5s + 0,5)/(s2 + s + 1). (10.128)
При Р = 0,5
Gfc=10-6, оа=*\, С^С2^\ Ф. (10.129а)
По формулам (10.126) вычисляем
Gi = 2 = 1/0,5; 6’4 =2 =1/0,5; Gs = G6 = G7 = 0;
G2=l/2; G5 = 0 Ge = 0,5 = 1/2; Gd = 0,5 = 1/2, (10.1296)
где все проводимости в мегаснменсах. На рис. 1028, а представлена схема,
реализующая всепропускаюшую передаточную функцию (10.128) согласно
данным (10.129). Здесь резистор Rt отсутствует. Если требуется реализовать
точное значение усиления согласно (10.124), то можно усилить выходное на-
пряжение Увых, пропустив его через усилительный ИНУН нли используя встро-
енный в схему усилитель (рис. 10 28,6).
10.2.2. Биквадратное звено на нескольких усилителях
В данном разделе представлены два биквадратных звена на
нескольких операционных усилителях, разработка схем кото-
рых выполнена различными методами. Однако они имеют почти
одинаковую универсальность. Используя в качестве выходных
различные узлы схем, можно реализовать различные биквадрат-
ные передаточные функции одним устройством.
10.2.2.1. Биквадратное звено на нескольких усилителях.—
Метод переменных состояния. Рассмотрим представленную на
рис. 10.29,а схему, где все узловые напряжения указаны отно-
сительно земли. Эта схема в своей основе представляет соеди-
нение трех вторичных элементов — одного сумматора и двух
интеграторов. Если рассматривать слева направо, первый опе-
рационный усилитель используется в суммирующей схеме, опи-
сываемой выражением
т/ __ Rs + /?з) Увх + Rt (R + Rs) V2 — R (Rt -|- Rs) Уз zin i
K1--------------------(/?, + Rs)----------------• 130)
Второй и третий операционные усилители применяются в ка-
честве интеграторов, где
V2 = - VJsC^, V3 = - V2/sC2Rg. Используя эти три выражения, получаем (10.131) (10.132) fl n 1
Уз Rs (R + R3) 1
Увх Rs(Rt + Rs) С1сЛ/?д82 + К. М + Ъ) c _R_ 1 (Rt + Rs)Rs Л 1 R3 \ 1 v. 1 uoaj
У2 . _ Rs(R + R3) — sCqRq fin
Увх R3 (Ri + Rs) Clc2RsR9Ss _ . Rt (R + Rs) n p „ i R ’ (Rt + Rs) Rs + Rs Ци. 1 OtJUj
У| $2 (R + Rs) S^CiCzR&Rg /1(1 1
Увх ЯзЦЛ + Кг) CiCsR.RgS2 + Rt(R + Rs) rc.,R ' (Rt + Rs) Rs 1 Rs Ци, lOOBJ
Рис. 10.29. Основное биквадратное звено иа нескольких усилителях (а). Пол-
ное биквадратное звено на нескольких усилителях (б).
Таким образом, при использовании выхода первого операцион-
ного усилителя имеем фильтр верхних частот, при использовании
выхода второго операционного усилителя — полосовой фильтр и,
наконец, при использовании выхода третьего усилителя —
фильтр нижних частот. Для реализации общей передаточной
функции типа
H(s) — k (s2 + ais + a0)/(s2 + + b0)
(10.134)
необходимо включить дополнительную суммирующую схему на
рис. 10.29, б. На выходе этого дополнительного сумматора пред-
ставлена взвешенная сумма напряжений У2 и У3, определяе-
мая выражением
Увых
Увх
|~ Re (Re + R7) ~] Vl
L №+Rs) r7 J vdx
__( RzRs (R 4- Rs) (Rb + R7) ~] v/
— L RbR7 (R, + Rt) (Ri + Rs) J A
, Г R4 (Re + Rz) ~] Уз _
"* L (/?4 + Rs) r7 J vbx
Re v2
R7 Pbx
(10.135)
(10.136a)
(10.1366)
(10.136b)
(10.136г)
(10.136д)
возможных
Г С ₽ Р с2 1 RsRaCl , Rf
ClC2RsRss +TRe+R7}—^ S+-^
C C R R ч2 4- ^HR + Rs) PCs 4-
C&RbRbS +-^-r^RaC2s + -R-
Из сравнения выражений (10.134) и (10.135) получается сле-
дующая система расчетных уравнений:
/?в (Ri + R5)/CiRsR5 (Я6 + Ry) = <4,
Ri (R + Rs)/CtRsR3 (Rr + R2) = Ьъ
R/CiR3C2RgR3 — b0 и
k = R2R5 (R + R3) (R6 + R7)/R3R7 (Ri + R2) (R4 + R5).
Поскольку здесь имеется только пять ограничений на 12 пере-
менных, существует семь степеней свободы. В практических си-
туациях эти степени свободы используются для выбора допол-
нительных расчетных уравнений согласно таким заданным
свойствам, как минимальные чувствительности, минимальный
диапазон величин резисторов и емкостей, минимальная сумма
всех используемых в схеме резисторов и емкостей, продуманный
выбор величин емкостей для обеспечения приемлемых требова-
ний на конденсаторы, согласование по входным и выходным
сопротивлениям и температурным дрейфам. В общем случае
даже после введения многих дополнительных ограничений (ме-
нее семи) все еще существует большое количество
схемных реализаций.
Пример 10.17. Реализовать передаточную функцию
Н (s) Увых/Увх = k (s2 + 2s + 3)/(s2 + 3s + 5)
биквадратной схемой рис. 10.29 прн произвольном параметре k.
Решение. Необходимые расчетные уравнения имеют вид
Rb (Ri + Rs)/CiRbRb (Rb + R?) “2,
R4/C1R3C2/?g/?E = 3,
Ri (R ~b Rsl/CiRsRs (Ri + R2) — 3,
R/CiRbC2R2Rb = 5,
(10.137)
(10.138a)
(10.1386)
(10.138b)
(10.138г)
Имеются четыре уравнения и 12 неизвестных, что дает множество решений.
Одно из них дает
С, = С2=1 Ф, /?! = /?2 = 7?з = Т?5 = Re = R7 = R8 = Rg = 1 Ом, (10.139)
Ri — 3 Ом и R = 5 Ом
При указанных величинах элементов схемы по формуле (10.136д) вычисляем
k = 3/2. (10.140)
Схемная реализация согласно данным (10.139) представлена на рис. 10.30.
Рис. 10.30. Схема реализации функции (10.137).
Пример 10.18. Реализовать одной схемой одновременно следующие две
передаточные функции:
(s) = 6/(s2 + 3s + 5), (10.141а)
Н2 (s) = - 3s/(s2 + 3s + 5). (10.1416)
Решение. На основе выражений (10.133а) и (10.1336) получаем следую-
щие расчетные уравнения:
Rs (R + R3)/Ra (Я1 + Rs) (CiCsRsRs) = 6, (10.142а)
Ri (R + R3)l(Rt + Rs) R3CiRs = 3, (10.1426)
R/RsCiCiRsRg = 5, (10.142в)
C2/?9 = 0,5. (10.142г)
В результате деления (10.142а) на (10.1426) имеем R2/R1C2R3 — 6/3 или
Rs/R । = 2Сг/?0 = 1.
Следовательно, Rt — R%. (10.143)
Подставляя (10.143) в (10.1426) и (10.142г) в (10.142в) получим
(/? + R3)/R3C1R8 = 6, A7R3C1R8 = 5C2Rb = 2,5. (10.144a) (10.1446)
Совместное решение этих уравнений дает
1/6^8 = 6-2,5 = 3,5 и
R/Rs = 2,5С^В = 2,5/3,5 — 0,71.
Возьмем Cj. = Cs = 1 Ф.
Тогда из (10.142г) и (10.142в) получим
Rs = 0,5 Ом и Rs = 0,29 Ом.
Далее, если выбрать
Rs = Rs = 1 Ом,
то формулы (10.143) и (10.144г) дают
Ri — 1 Ом и R = 0,71 Ом.
(10.144b)
(10.144г)
(10.145а)
(10.1456)
(10.145b)
(10.145г)
Отметим, что полученные в (10.145) величины элементов удовлетворяют урав-
нениям (10.142). На рис. 10.31 представлена схема с соответствующими вели-
Рис. 10 31 Схема реализации одновременно двух передаточных функций
(10.141).
чинами элементов. Здесь функция Rt(s) реализуется при использовании на-
пряжения V3 в качестве выходного, а функция Hz(s) —при использовании Vs.
Для биквадратной схемы на рис. 10.29 на нескольких усили-
телях частоту полюса соо и добротность пары полюсов Q можно
вычислить согласно (10.133) следующим образом:
«о = л/WW/ClCM), (10.146)
Q = VWW/CAW [С1Я3Я8(Я1 + RJIRt (R + /?з)1 =
= VWWs [(/?i + W1 + Яз)]- (Ю.147)
Отсюда имеем
= Sg2 = - 1/2, S£= = 1/2 и S? = 0, (10.148)
где х — любая переменная, кроме /?, 7?3, /?8, Rb,1 и С2. Далее
найдем, что
5&=1/2, Si = -l/2, Si = 1/2,
Si = - 1/2, Si = RM + R2) < 1,
Si = - Si, Si = (1/2) [(/? - R3)/(R + Яз)] < 1/2 и Sg = - Si.
(10.149)
В общем случае биквадратные схемы на нескольких усилите-
лях менее чувствительны, чем биквадратные звенья на одном
Рис. 10.32. Основное универ-
сальное биквадратное звено на
нескольких усилителях с двумя
внешними резисторами для ре-
гулировки <Во и Q.
усилителе. Кроме того, здесь мож-
но легко осуществлять регулировку
и настройку1). Например, для би-
квадратной схемы на рис. 10.29, где
все элементы, кроме Rs и R, фикси-
рованы, можно использовать R для
перестройки схемы на новую рабо-
чую частоту <±>о- Далее, при фикса-
ции нового значения R резистором
Rs можно получить другое желае-
мое значение добротности Q. Это
весьма удобно при массовом произ-
водстве, поскольку можно размес-
тить все элементы схемы, за исклю-
чением R и Rs, в одном корпусе или
на одном кристалле. При внешнем
подсоединении к такому корпусу
разных величин R и R2 (рис. 10.32)
можно реализовать звено фильт-
ра второго порядка с разными
частотами полюса <±>о и доброт-
ностью Q [25, 26]. Основной недо-
статок биквадратных схем на не-
скольких усилителях состоит в том,
что они включают много элементов, как пассивных, так и ак-
тивных.
10.2.2.2. Биквадратное звено на нескольких усилителях. Схе-
ма Toy. Другое универсальное биквадратное звено, предложен-
*) Из-за существующих допусков величин элементов сама схема не всегда
реализует точно заданные значения <в0 н Q. Поэтому для получения необхо-
димых значений нужна подстройка элементов схемы.
В некоторых случаях требуется также дополнительная настройка фильтра
на отличные от первоначально заданных со0 н Q.
Рис. 10.33. Биквадратное звено Toy на нескольких усилителях,
а—основная схема, б—полная схема.
ное Toy, представлено на рис. 10.33, а. Если считать слева на-
право, схема звена состоит из интегратора «с утечкой», инте-
гратора и инвертирующего ИНУН. Для анализа схемы
рис, 10.33, а используем принцип виртуального короткого за-
мыкания и запишем уравнения контурных токов для входных
узлов каждого операционного усилителя
+ sC,] Vt + (И3//?3) = О,
Уг~— У i/sC2R2,
v3=-(WV2.
Последовательной подстановкой получаем
V3 = W5msC2R2).
При подстановке (10.153) в (10.150) имеем
‘ ~ (4- + sC> + 7?ТС /? ) К>-
После некоторых алгебраических преобразований
следующие передаточные функции:
V, _ 1 s
Vbx R.C, а / 1 х / 1 х /?„ '
k RiCt J R2R2CiC2 ) Rg
/ 1 X , У 1 у?Г’ (10Л55б)
"* к /?1С1 ) + I R2RsCtC2 ) Rg
Уз ( 1 ______________!_____________
Увк Rs \ R2R^C\C2 ) . . / 1 \ . /___1_____X Rg
"Г к RtCt ) к R2RsCtC2 ) Rs
. (10.155b)
Далее рассмотрим различные фильтровые звенья второго по-
рядка, которые можно реализовать основной схемой на
рис. 10.33, а.
1. Звено нижних частот. В случае заданной передаточной
функции фильтра нижних частот
Янч (s) = М«2 + blS + b0) (10.156)
в качестве выходного напряжения можно использовать либо 1/2,
либо Уз- В данном случае для определенности выберем выход-
ное напряжение Уг- Из сравнения (10.156) и (10.1556) получаем
расчетные уравнения
i/«,c,-6„ (1/адлс2)(ад!!) = (>0.
l/WA-o., (,0|57>
решение которых дает формулы
Ri — l/biCi, R2 — kJ^b(p2, R3 —1/ki'у/ЬоСу pg jgg)
Ri = '^b(Jk\CiQCi и R5 —Re,
где Cj, C2t R5 и ki являются положительными числами.
(10.150)
(10.151)
(10.152)
(10.153)
(10.154)
получаются
2. Полосовое звено. Если заданная передаточная функция
имеет вид
Нпф (s) = — a xsl(s2 + bvs + b0), (10.159)
то можно в качестве выходного напряжения выбрать Vi. Из
сравнения (10.159) и (10.155а) получаем следующие расчетные
уравнения:
(1 lR2RfiiC2) (Re/R5) = b0. (10.160)
В результате их решения получим формулы
7?1=1/&1С|, R2 = kJbfPzi Rs — l/^i V^oCi> (10 161)
Ri = 1/ajC*! и R5= R&,
где Ci, C2, Rs и ki являются положительными числами.
Поскольку дискретные сосредоточенные конденсаторы не мо-
гут иметь любую величину емкости, необходимо выбирать их,
что и сделано в формулах (10.158) и (10.161). Отметим, что
самый правый операционный усилитель в схеме рис. 10.33, а
используется для реализации ИНУН. Для формул (10.158) и
(10.161) выбрано R5 = R6, и тем самым данный ИНУН вы-
полняет функцию инвертора. В общем случае номинал резисто-
ров Rs = Rs выбирается в пределах I 4- 20 кОм. Это означает,
что в формулах (10.158) и (10.161) единственным свободным
параметром является ki. Весьма часто выбор параметра ki про-
изводится с целью минимизации диапазона величин резисторов
R\ 4- Rs схемы рис. 10 33, а.
Пример 10.19. Реализовать схемой рис. 10.33, а передаточную функцию
Н (s) = 109/(s2 + 104s + 10s). (10.162)
Решение. После подстановки в полученные в результате решения уравне-
ний (10.157) формулы (10.158) данных bi = 104, Ьо — 108, а0 — 109 и С] =
= Сг = 0,1 мкФ имеем
/?, = 1/(1О4 • 10-7) = 1 кОм, R2 = Jfe,/(104 • Ю-7) = ki кОм,
/?з = l/(*i • Ю4 • 10~7) = 1/fej кОм, R, = 104/(*| • 109 • 10~7) =
= 100/fel Ом, /?5 = Яб=1 кОм. (10.163)
Даже не обращаясь к каким-либо методам оптимизации, хорошие результаты
по уменьшению диапазона величин резисторов получаются прн ki — 1. В ре-
зультате имеем
Ri = R2 = Rs = /?б — Re = 1 кОм, Rt = 100 Ом. (10.164)
Схема реализации функции (10.162) согласно данным (10.164) представлена
на рис. 10.34.
Как видно из выражений (10.155), схема на рис. 10.33, а мо-
жет реализовать фильтры только полосовые и нижних частот.
Однако включением дополнительной суммирующей схемы на
рис. 10.33,6, можно получить фильтры верхних частот и всепро-
пускающие, а также заграждающие. Передаточная функция,
Рис. 10.34. Схема реализации передаточной функции фильтра нижних частот
(10.162).
связывающая напряжение КВых и напряжение VBx схемы
рис. 10.33,6, равна
-2 , 1 Г. ^9] , 1___Г. R8R91R8
rr/.ч л Rio R.c, L* т?4/?7 J R2RzC.c2 L* r<rb J r6
н (S) a —f I ^ -7 , ---------•
+ I Ri^ ) + I W& J Rs
(10.165)
На основе этого выражения можно использовать схему на
рис. 10.33,6 для реализации остающихся видов биквадратных
передаточных функций.
3. Звено верхних частот. Если задана передаточная функ-
ция фильтра верхних частот
Н (s) = - a2s2/(s2 4- bl§ 4- М, (10.166)
то из сравнения выражений (10.165) и (10.166) получаются сле-
дующие расчетные уравнения:
RI0IR9 — 0-21 RiRcJ R$Rj — 1» R3R9IR4R& — 1 >
l/Rfii — bi и (IJRaRsPiCi) (RJRg) — bq.
(10.167)
Решение их дает формулы
Pi ~ 1Жь Rz — ki •у/b$ С2, R3— \/k\ 'y/bqCi,
R4—l/k^biCi, R7 — k2Ri0, Rs — (^2/^1)(&1/V^o)Rio,
Rg = Rio/g2 и R& = Re, (10.168)
где Ci, C2, ki, k2, R5 и Rю — положительные числа. Как рассмо-
трено выше, элементы Ci, С2 и Rs фактически не выбираются
свободно, а для установки различных расчетных ситуаций ис-
пользуются полностью свободные параметры k}, k2 и Rio-
4. Всепропускакицее звено. Если заданная передаточная
функция определяется выражением
Н (s) = - k [(s2 - blS + 60)/(s2 + biS 4- b0)], (10.169)
то соответствующие расчетные уравнения имеют следующий вид:
Rw/Rg — k, l/R1Cl = bi, RiRg/RiRy = 2,
(\IR2R3C£2HRM==ba и R^/R.R^Q. (1UJ7U)
В результате их решения получаются формулы
Ri = \/biCi, R2 = kJ-\/b0C2, Rs — l/^i 'JbgCi,
R^= \/k22biC[, R7 = k2Rm/k, Rs=oo.
7?9 = (l/fe)R10 и R5 = R6, (10.171)
где Ci, C2, Rs, kt, k2 и Z?io — положительные числа, Ci, C2 и R5 —
частично фиксированные значения, a ki, k2 и Rio— свободные
параметры для выбора по различным критериям проектиро-
вания.
5. Заграждающее звено. Предположим, что заданная переда-
точная функция заграждающего фильтра имеет вид
Я (s) = — (a2s2 4- aQ)/(sP 4- 4- bQ). (10.172)
Из сравнения выражений (10.165) и (10.172) получаем следую-
щую систему расчетных уравнений:
Rio/Rg = а2, R1R9/R4R7 — 1,
(Rio/Rg) (1/^2^?з^1^г)[1 — (RsRglRiRe^ (Re/Re) — Щ,
i/RiCi = bi и (1/₽2адс2)(ад5)=й0. (Ю.173)
Решение их дает формулы
R^l/b^, R2 = kJ^bQC2, Rs=\/ki^boCi, (10.174)
Ri ~ l/^2^2^iCi, R7 == k2Rio, R8 = [k2a2bi/kj (a2bg c/q)] 'JbgRio,
Rg — Rio/a2 и Rs = Re,
где Ci, С2, /?5, ki, k2 и /?ю — положительные числа. Заметим, что
при а26о < ао получается отрицательное значение для R8. Таким
образом, с практической точки зрения схемой рис. 10.33,6
можно реализовать заграждающий фильтр, если только коэффи-
циенты его передаточной функции удовлетворяют условию
а2Ь0^аа. (10.175)
Напомним, что, согласно выражениям (10.1556) и (10.155в), не-
положительного сомножителя отличаются еще и знаком. По-
этому, если в схеме рис. 10.33,6 используется дополнительный
сумматор для получения взвешенной суммы напряжений УВх,
V], а также У2 вместо У3, то постоянный член в числителе по-
линома функции (10.165) будет представляться суммой двух
членов, а не разностью, как было до этого. Теперь не ожидается
проблем и в случае, когда а26о < п0. Для пояснения этого рас-
смотрим схему рис. 10.35, где переключатель переводится из
положения 1 в положение 2 при а2Ь0 > а0 и из положения 1 в
положение 3 при а2Ь0 < ап. В первом случае расчетные урав-
нения и формулы определяются согласно (10.173) и (10.174),
Во втором случае передаточная функция схемы примет вид
S2 . _L_ h _ + ___Г 2k
Рю + R1C1 L Р4Р7 J RzR^Ci IPs R<R, I /1 п 17fi>
“ S21 Г 1 Ъ I Г 1 V6 '
I RtCt ) I RzRsC^ ) Rs
Сравнение выражений (10.172) и (10.176) дает систему расчет-
ных уравнений
Rio/Rs^^^it R1R2/R4R7== 1»
(Rio/^s) (VR2R3C1C2) [(RelR5) “Ь (RsRJ RiRs)]= Go>
l/Rfi^bi и (1/Р2Р3С1С3)(Р6Р5) = 60. (10.177)
В результате ее решения получаются формулы
Ri=l/biC\, R2 = kJ'у/ЬцСъ, /?з = 1/Aj 'J'b$Ci,
. Ri = 1/&2а2^1^Ь R1 ==
/?8== (W^i) [g2^i/(go — Ог^оЯ V^o ^10» Ra ~ Riofch и Rs — Rs>
(10.178)
где Ci, С2, Rs, k\, k2 и /?ю — положительные числа. Отметим, что,
за исключением формулы для Rs, выражения (10.178) и (10.174)
совпадают.
Пример 10.20. Реализовать передаточную функцию
<?2 1 Q ПС 1П8
Я^°^-+(2И03)з + (4.1б8)-- ^179>
Решение. Поскольку
а16о = 4- 108> йо = 3,96- 108, (10.180)
то переключатель на схеме рис. 10.35 устанавливается в положение 2 и ис-
пользуются формулы (10.174). Выберем Ct = С2 = 0,01 мкФ, Rl0 = 10 кОм
и kt = ki = 1. Тогда по формулам (10.174) получим
С] =0,01 мкФ, С2 = 0,01 мкФ, 2?! =50 кОм, Рг = 5 кОм,
7?з = 5кОм, 7?4 = 50кОм, /?5=ЮкОм, 7?6 = 10кОм, (10.181)
Р7=10 кОм, Ri = 1 кОм, Pg = 10 кОм и Рю =10 кОм.
Схемная реализация функции (10.179) на основе данных (10.181) представ-
лена на рис. 10.36.
5 кОм
5Ок0м
Рис. 10.36. Схема реализации передаточной функции заграждающего фильтра
(10.179).
Из выражений (10.155) и (10.176) видно, что их полином
знаменателя B(s) в случае схем рис. 10.33 и рис. 10.35 равен
В (S)=S2 + (1/BiC,) s+(1/я2/?зед (ад5)=
= s2 + (“o/Q)s + co2o, (10.182)
где _______________
«o^VUMsCAWfls) И (10.183)
Q = B1C1<n0 = 7?! (10.184)
Следовательно,
S/^S^Sc, = Sc’, = Sce = -1/2, S£=l/2 и (10.185)
$& = $& = $& = $& =-1/2, S& = S&=l/2, $Я = 1. (10.186)
Заметим, что с целью последующей подстройки можно исполь-
зовать резистор 7?з Для изменения величины <а0, а после выпол-
нения этой операции резистором Bi можно установить заданную
величину добротности Q. Таким образом, имеется возможность
полную схему на рис. 10.35 заключить в один корпус с внешним
расположением переключения и резисторов и /?з (рис. 10.37).
Такое устройство при изменении Ri и R3 согласно заданным ве-
личинам ©о и Q можно использовать для реализации широкого
диапазона фильтровых схем.
Рис. 10.37. Универсальное биквадратное звено на нескольких усилителях с
двумя внешними резисторами для регулировки <во и Q.
10.2.2.3 . Выводы. В предыдущих двух подразделах были пред-
ставлены два биквадратных звена на одном усилителе (Б31) и
два биквадратных звена на нескольких усилителях (БЗН).
В данном подразделе проводится сравнительный анализ мето-
дов реализации.
Приведенные в табл. 10.1 схемы Б31 требуют минимального
числа элементов. Для некоторых из этих схем можно вырабо-
тать процедуры регулировки для подстройки величин соо и Q.
В общем случае эти схемы предназначены для биквадратных
функций с добротностью Q 5.
Схемы БЗ1 Френда используют больше элементов, чем схемы
табл. 10.1. В то же время схемы Френда имеют одну топологию
для всех биквадратных функций (за исключением фильтра ниж-
них частот). Поэтому они подходят для интеграции на одном
кристалле. В общем случае схемы Френда менее чувствительны,
чем схемы табл. 10.1, и могут использоваться для проектирова-
ния фильтров с добротностями Q 15. Недостатком схемы Б31,
за исключением случая полосового фильтра, является невозмож-
ность перестройки звена по соо и Q.
Рассмотренные в подразд. 10.2 2.2 две схемы БЗН имеют
почти одинаковые характеристики. Здесь легко осуществляется
настройка и регулировка величин ио п Q. При небольшом коли-
честве внешних резисторов основная часть схемы может исполь-
зоваться для широкого класса фильтровых устройств. Таким
образом, схемы БЗН можно изготавливать в больших количест-
вах, тем самым уменьшая их стоимость. Это в значительной
степени компенсирует требуемое здесь большое число пассив-
ных и активных элементов.
По сравнению со схемами Б31 схемы БЗН менее чувстви-
тельны и могут использоваться для работы в более высокоча-
стотных диапазонах. Это обусловлено тем, что требования к
уровню усиления операционных усилителей меньше, что расши-
ряет частотные диапазоны БЗН. Кроме того, схемы БЗН можно
использовать для реализации биквадратных передаточных функ-
ций с добротностями Q 50.
В случае еще больших величин добротностей необходимо
учитывать неидеальности операционных усилителей, а также
обеспечивать -взаимодействие между биквадратными фильтро-
выми звеньями для уменьшения чувствительностей [27—30].
10.2.3. Дополняющие схемы
Обычно легче и (или) экономичнее создавать фильтры ниж-
них частот, верхних частот и полосовые, чем заграждающие и
всепропускающие. Например, таблица Саллена и Ки не содер-
жит простой реализации заграждающего или всепропускающего
фильтра. В биквадратных схемах на нескольких усилителях для
реализации заграждающих или всепропускающих фильтров тре-
буются дополнительные усилители. В данном разделе рассма-
тривается метод получения заграждающего или всепропускаю-
щего фильтра из полосового фильтра на основе дополняющей
передаточной функции.
Давно известно, что в пассивном трехполюснике без внутрен-
них соединений с землей передаточная функция по напряжению
от одного входа к выходу должна быть дополняющей переда-
точной функции от другого входа к выходу. Например, для
схемы рис. 10.38, а имеем
(s) — 1 — Я1 (s), где (10.187а)
H^s) = -^| „ (10.1876)
v 1 l[Z2=0 и
Я2(я) = 2д™| . (10.187b)
v2 1и1=0
Хилберман распространил эту концепцию дополнения на актив-
ные цепи с идеальными операционными усилителями. Специаль-
ный случай его вывода представлен в следующей теореме.
Теорема 10.2 [31]. Пусть цепь N является трехполюсником
с двумя входными зажимами Vi и и выходным зажимом
Увых, где все напряжения измеряются относительно земли. Пред-
положим, что цепь N можно разделить на две соединяющиеся
подцепи: одна без непосредственного соединения с общей зем-
Незаземленная
пассивная
цепь
©
+
vBbK
Рис. 10.38 Трехполюсная незаземленная схема (с); разложение трехполюсной
активной схемы (б); схемы с дополняющими передаточными функциями (в
и г).
лей и другая с дифференциальным на входе и заземлением на
выходе операционными усилителями (рис. 10.38,6). Для этой
схемы справедливы выражения (10.187). Заметим, что
V^ = Hx(s)Vx + H2(s)V2. (10.188)
Теперь рассмотрим применение теоремы 10.2 для реализации
заграждающих и всепропускающих фильтров. Берем трехполюс-
ник N (рис. 10.38,6). Предположим, что при V? = 0 [узел 2 со-
единяется с землей (рис. 10.38,в)] передаточная функция пред-
ставляет полосовой фильтр
+ b • <10-189>
Если a — blt то схема с подсоединением узла 1 с землей, со-
гласно рис. 10.38, г, дает передаточную функцию
=Я2(5)=1-/Л(я) =
= (s2 + Ws2 + 61s + 6o). (10.190)
Таким образом, результирующая схема рис. 10.36, г представ-
ляет собой заграждающий фильтр’). С другой стороны, при
а — 261 схема рис. 10.38, а представляет собой всепропускающий
фильтр с передаточной функцией
Н (s) = 1 - //, (s) = (s2 - blS + b0)/(s2 + blS + 60). (10.191)
Отметим, что теорему 10.2 можно использовать для получения
других передаточных функций. Например, передаточную функ-
цию
H(S) = (S2 + blS)/(s2 + blS + b0)
можно получить как дополняющую передаточную функцию
фильтра нижних частот Ннч (s) = Ьо/(s2 + b^s + 60).
Пример 10.21. Рассмотрим представленный на рис. 10.39, а трсхполюс-
ник /V. При соединении узла 2 с землей получается полосовой фильтр с пере-
даточной функцией
tf(s)A-^
VI
s
/ O4O5
I I CjGs_________
L=o s2 °i „ । G2O3O5 ’
+ + CfjCtCz
где (10.192)
а) Построить заграждающий фильтр
^3®(s) = (s2+,)/(s2 + s+1)- (10.193а)
б) Построить всепропускающий фильтр
ЯВФ <s) = (s2 - « + l)/(s2 + s + 1). (10.1936)
’) Для получения заграждающего фильтра общего вида необходимо,
чтобы функция Ht(s) была равна (o^s + ao)/(s2 + bis bD), где ои = 61, а
(Ьо — Оо) — квадрат заданной частоты подавления. В этом случае результи-
рующая передаточная функция имеет вид H(s) = [s2 -Ь(6о — ao)]/(s2 +
+ bis -|- bo).
Рнс. 10.39. Полосовая цепь с заземлением узла 2 (с); заграждающий фильтр
с передаточной функцией (10.193а) при (3=1 и всепропускающий фильтр
с передаточной функцией (10.1936) при (3 = 0,5 (б).
Решение. Вначале рассмотрим режекторный фильтр. В этом случае не-
обходимый полосовой фильтр задается передаточной функцией
Н (s) = s/(s2 + s + 1).
Отсюда получаем расчетные уравнения
G4G5/CiGe = a,
Gi/Ct = 1,
GaGaGs/GeCiCg = 1,
(10.194)
(10.195а)
(10.1956)
(10.195в)
где а=1. Решение (10.195) при а в качестве параметра дает
С,=С2=1Ф, fl, = Т?2 =/?3 = #5 = = 1 Ом, Т?4=1/аОм. (10.196)
Схемная реализация функции (10.193а) на основе теоремы 10.2 и конфигура-
ции рис. 10.38, г представлена на рис. 10.39,6, где (3=1.
Для всепропускающего фильтра (10.1936) передаточная функция соот-
ветствующего полосового фильтра должна иметь вид
Zf(s) = 2s/(sz + s+1). (10.197)
Необходимые расчетные уравнения и нх решения даны выражениями (10.195)
н (10.196) прн а = 2. Схемная реализация заданной передаточной функции
(10.1936) по методу дополняющих передаточных функций представлена на
рис. 10.39, б, где Р = 0,6.
10.2.4. Выбор пары полюс — нуль
Для минимизации чувствительности цепи к изменениям па-
раметров на практике обычно прибегают к разложению актив-
ного ^С-фильтра ft-го порядка на каскадное соединение филь-
тровых звеньев второго порядка. Здесь естественно возникает
вопрос, по какому критерию следует выбирать пары полюс —
нуль функции (10.2).
Рассмотрим'передаточную функцию с п полюсами и т ну-
лями
tn . п
Н (s) = G Ц (s - (s - Pi). (10.198)
f=i ' /=i
Логарифмирование этого выражения дает
In Н (s) = In G + У, In (s — z{) — У In (з — р}).
£=1 /=1
В результате имеем
д!пЯ(з) cMnG . V <51n(s —гг) Adlnfs-py)
сНпх “elnx’T'Zu d In х Zj dlnx ’
i“l /“1
где x — любой параметр цепи, подверженный небольшим изме-
нениям. Поскольку1)
(3*)’ (1°-200а)
О
д In yjd In х = (ду/у)1(дх/х) == (ду/дх) (х/у) = (10.2006)
’)^См. выражение (9.49) для определения функции корневой чувствитель-
ности S и (9.73) для функции чувствительности 3.
Уравнение (10.199) можно переписать следующим образом:
« Л-Р/ ™
= + ----(Ю.201)
/=1 1 £-1 '
Отсюда видно, что одним из очевидных путей минимизации об-
щей чувствительности функции является такой выбор пар по-
люс— нуль для отдельных функций второго порядка, чтобы
нуль и полюс были разнесены возможно дальше. При таком вы-
боре обеспечивается минимальный вклад в общую функцию
чувствительности цепи (1) от нулевых членов Fz при значениях
з в районе полюса и (2) от полюсных членов Fp при значениях
з в районе нуля. Как это обычно бывает, простое решение не
всегда эффективно. Уменьшая вклад Fz в (10.201) как один из
возможных путей уменьшения общей чувствительности функции
Sx(s) вблизи полюса, можем получить не лучший путь для дру-
гих величин з. Другой способ минимизации Sz <s) состоит в ча-
стичной или даже полной взаимной компенсации членов пары
полюс — нуль в выражении (10.201) (т. е. потребовать, чтобы
разность Fp — Fz была равна нулю). Этого можно достигнуть
соответствующим разложением полинома каждой функции вто-
рого порядка, при котором их собственная разность fp— fz [со-
ответствующие члены в (10.201)] стремилась к нулю. Такой
подход в сущности требует группировать пары полюсов воз-
можно ближе к парам нулей. Соответствующие точные методы
разработаны [32—35], но здесь не рассматриваются.
10.2.5. Чувствительность полюсов
В случае пассивного фильтра схема остается устойчивой при
всех возможных изменениях величин элементов. К сожалению,
в общем случае это не относится к активным фильтрам. Может
оказаться, что проект на бумаге предусматривает устойчивую
работу, а аппаратурная реализация схемы по этому проекту при-
водит к неустойчивости. Это явление обусловлено в основном
проблемой чувствительности полюсов передаточной функции.
Небольшое отклонение параметра от номинальной величины мо-
жет вызвать перемещение одного или более полюсов в правую
половину s-плоскости и, таким образом, привести к неустойчи-
вой работе схемы. В данном подразделе используются некото-
рые полученные в гл. 9 результаты для уменьшения чувствитель-
ности полюсов.
Если активный фильтр состоит из п резисторов, tic конден-
саторов и пк активных элементов, скажем ИНУН или опера-
ционных усилителей, то изменение расположения полюса Pj
из-за вариаций этих резисторов, конденсаторов и активных эле-
ментов определяется выражением
Л — V n I У др> &Ci С I V' dpj 6К1
°PI ~~ L, dRi Ri dCi Ci Ci + A i>Ki Ki
/=1 i=l i=l
(10.202)
где параметр представляет усилие г-го активного элемента
в схеме фильтра Из (9.72) имеем
nR ПС
= = (10.203)
«=1 1 t=\ 1
Если допустить, что изменения пассивных элементов одинаковы
^Ri/Rt^^Ri/RjA&R/R, i, /=1,2, ...,nR, (10.204а)
&Ci/Ci = dCj/Cj А &С/С, i, j = 1,2, ..., nc, (10.2046)
и что эффект изменения всех активных элементов можно сосре-
доточить в эквивалентном изменении одного активного прибора
пк.
Z WfiKifKi = Sijw/K, (10.204b)
где /( — параметр этого эквивалентного активного прибора, то
выражение (10.202) упростится следующим образом:
А КР/ 6Д Г 6R . 6С1
Sr pj L 4" £ J •
(10.205)
Для гарантии минимизации чувствительностей полюсов в боль-
шинстве случаев оправдано выполнить условие
(dR/R) + (6C/Q = 0 (10.206)
путем использования резисторов и конденсаторов с одинаковы-
ми, но противоположными по знаку температурными коэффи-
циентами, а также минимизировать отношение (8К)/К. При
тщательном выборе операционных усилителей можно на прак-
тике добиться, чтобы
&RJK ^0.
(10.207)
10.3. Неидеальность операционного усилителя
Идеальный операционный усилитель обладает бесконечно
большим входным и нулевым выходным сопротивлениями, а так-
же бесконечно большим коэффициентом усиления напряжения.
Все эти характеристики невозможно получить в реальных слу-
чаях. К счастью, хотя рассмотренные выше активные фильтры
сильно идеализированы, полученные результаты весьма близки
к реальным в большинстве практических случаев. Однако когда
операционный усилитель используется в высокопрецизионных
схемах и (или) для работы на высоких частотах, становится не-
обходимым учитывать неидеальности операционных усилителей.
В этом разделе кратко рассматриваются параметры неидеаль-
ности реальных операционных усилителей и их влияние на ха-
рактеристики активных фильтров.
Принципиальные свойства неидеальности операционных уси-
лителей следующие: 1) конечность усиления напряжения; 2) ча-
стотная зависимость усиления напряжения; 3) конечность ши-
рины полосы; 4) конечность входного сопротивления; 5) нену-
левое значение выходного сопротивления; 6) нелинейность коэф-
фициента передачи и 7) шумы операционных усилителей. Ниже
рассмотрим влияние каждого из этих факторов на характери-
стики фильтра.
Что касается факторов 6 и 7, то создаваемые операционными
усилителями шумы ограничивают минимальный рабочий сигнал
активного фильтра. Для исключения проблем, связанных с не-
линейными свойствами операционных усилителей, уровень сиг-
нала активного фильтра устанавливается достаточно малым,
чтобы уверенно обеспечивалась работа всех операционных уси-
лителей в линейном режиме. Фактически совместно факторы
6 и 7 определяют диапазон сигналов, в пределах которого удов-
летворительно функционирует активный фильтр.
Если принять, что величина сигналов активного фильтра
установлена таким образом, что можно не учитывать факторы
о и 7, то операционный усилитель можно представить показан-
ной на рис. 10.40,в схемой, для которой типичны следующие
значения паразитных параметров: rBX а; 1 МОм и гвых ~ 100 Ом.
Вообще говоря, при правильном выборе уровня полных сопро-
тивлений активного фильтра конечность входного сопротивле-
ния и ненулевое выходное сопротивление не оказывают сущест-
венного влияния на передаточную функцию фильтра. Таким
образом, почти во всех практических случаях можно не учиты-
вать факторы 4 и 5. Следовательно, реальный операционный
усилитель может быть представлен схемой рис. 10.40, а.
В оставшейся части данного раздела рассматривается в ос-
новном влияние конечности усиления напряжения, частотной
Рис. 10.40. Условное обозначение операционного усилителя (а); эквивалентная
схема идеального операционного усилителя (б); эквивалентная схема реаль-
ного операционного усилителя (в); упрощенная эквивалентная схема реаль-
ного операционного усилителя (г).
зависимости усиления напряжения и конечной ширины полосы
операционного усилителя на характеристики некоторых типо-
вых схем, построенных на этих усилителях.
10.3.1. Инвертирующий усилитель напряжения
Рассмотрим показанную на рис. 10.41, а схему инвертирую-
щего усилителя напряжения. В случае идеального операцион-
ного усилителя передаточная функция здесь имеет вид’)
Hl{s) = -RbIRa. (10.208)
Заменим операционный усилитель упрощенной эквивалентной
схемой (рис. 10.41,6). Уравнения этой схемы следующие:
(Vbx + Vx)IRa = ~ (V1 + V^IRb, (10.209a)
Увых = ^(«)^. (10.2096)
*) В этом подразделе Hi(s) и Hn(s) представляют соответственно пере-
даточные функции с идеальными и неидеальными операционными усилителя-
ми. Неидеальный операционный усилитель представляется схемой рис. 10.40, г.
После подстановки (10.2096) в (10.209а) и перегруппировки
членов получим
V вых______________Ъ___________________Р____
' + Tw’(10-210a)
где РА АЖ (10.2106)
есть коэффициент усиления (по абсолютной величине) идеали-
зированной схемы. Теперь рассмотрим влияние конечности уси-
Рнс. 10.41. Инвертирующий усили-
тель напряжения.
а—принципиальная схема; б—эквива*
леитная схема.
(На схеме а знаки «+» и «—» надо поме-
нять местами.— Прим, ред.)
а
ления напряжения, конечности ширины полосы и частотной за-
висимости усиления операционного усилителя на схему с инвер-
тирующим усилением напряжения.
а) Влияние конечности усиления. Допустим, что A (s) = До—
весьма большая, но конечная положительная постоянная. Тогда
выражение (10.210) можно переписать следующим образом:
------1+т-=-₽[‘-£Ч- + -!т;--]-
Гвх 1 _1 Р Т 1 L Ло /1 о J
1 + ~~А-
(10.211)
Если задано точное значение коэффициента усиления напряже-
ния G с инвертированием, то из выражения (10.211) определим
необходимое отношение р резисторов
Rb/Ra = ₽= ~ G(A0 + 1)/ (До + G). (10.212)
Отметим, что здесь G — отрицательное число и в идеализиро-
ванной схеме G = —р. В общем случае До весьма велико по
сравнению с р + 1, поэтому бесконечный ряд в (10.211) можно
аппроксимировать первым членом
Я„(5) = -рГ1-Ш1. (10.213)
Это означает, что абсолютная погрешность усиления в (истин-
ное усиление равно идеализированному усилению) и относитель-
ная погрешность усиления ej равны соответственно
е = Р(3+1)А) и (10.214а)
ef Де/р = (р+1)М0. (10.2146)
Заметим, что номинально величина Ао в общем случае весьма
велика. Поэтому указанные погрешности усиления относительно
идеального операционного усилителя довольно малы в случае
усилителей с низкими и средними коэффициентами усиления.
Однако когда абсолютная величина |G| очень большая, что
требуется для некоторых высокодобротных фильтров, то ИНУН
следует рассчитывать по формуле (10.212), где Ао— минималь-
ное усиление операционного усилителя без обратной связи в
рабочей полосе частот. Из формулы (10.2146) видно, что при
более жестких требованиях на точность коэффициента усиления
G необходимо увеличить параметр Ао- При этом, естественно,
уменьшается рабочая полоса частот (где удовлетворительно
функционирует ИНУН).
б) Влияние факторов 14-3 неидеальности операционного
усилителя. Для того чтобы рабочую полосу частот расширить,
необходимо учитывать частотную зависимость коэффициента
передачи операционного усилителя без обратной связи, допу-
ская, что A(s) — частотно-зависимая функция. Для операцион-
ного усилителя с характеристикой (рис. 10.25) функция A(s)
определяется выражением
A(s) = A0<oa/(s + ®«), (10.215а)
где типовыми для монолитного операционного усилителя яв-
ляются параметры
Ао = 5ОООО, % = 20 (2л) = 40зт рад/с, (10.2156)
а Лоюй называется произведением усиления на полосу пропу-
скания операционного усилителя. В этом случае выражение
(10.210) можно переписать следующим образом:
где
РА (s)
1 + Р + A (s)
PAscoa
(1+р)?П7
РАо©а
(1 + Р) (s + ®а) + Ао<Вя
1
= — a₽®a/[s + (1 + а) £0а],
а А Ао/(1 4-Р).
(10.216a)
(10.2166)
Отсюда получаем амплитудно-частотную характеристику
|Я„(Н1=-Т=^С 2 2 (10-217)
V “ + (1 + а)2 а2а д/(1 + а)2 + (и/иа)2
Предположим, что ер—максимально допустимое (в %) зна-
чение погрешности амплитудно-частотной характеристики опера-
ционного усилителя относительно идеального случая. Тогда ча-
стота о в рабочей полосе, где коэффициент усиления напряже-
ния снижается на ер, определяется уравнением
оф/ д/(1 + а)2 + (®/со0)2 > [ 1 -- (ер/100)] ₽ или
а2/[( 1 + а)2 + (®/®0)2] > [1 - (ер/100)]2. (10.218)
При малом значении ер (например, менее 5) правую часть вы-
ражения (10.218) можно аппроксимировать следующим образом:
[1 - (ер/100)]2 1 - (ер/50). (10.219)
Наибольшую частоту кц, где усиление напряжения удовлетво-
ряет заданной погрешности ер, можно вычислить по (10.218) и
(10.219)
«2 ер 1 ер
(1 + а)2 + 50 ИЛИ А2 + рЦ 50 '
\&aJ \ a J ' (10.220)
Заметим, что значение а задается формулой (10.2166). Если
заданное усиление напряжения р невелико (например, р/Д0
0,05), то
(1+а)/а—1, (10.221)
а выражение (10.220) можно упростить
1/11 + (®i/<x®a)2l > 1 - (еР/50). (10.222)
После преобразования последнего выражения получим
1 + (W < 1/[1 - <8р/50)] 1 + (ер/50). (10.223)
Решая относительно си, имеем
®i скдд д/вр/50 или ©j ~ Лосйи д/0,02ер/(р + 1). (10.224)
Пример 10.22. Рассмотрим представленную на рис. 10.41 схему инверти-
рующего усилителя напряжения, где операционный усилитель имеет характе-
ристику вида рис. 10.25. Определить рабочий диапазон частот для заданного
усиления 50 ± 1 %.
Решение. Из рис. 10.25 имеем До = 50 000 н ®а = 40л рад/с. При до-
пуске в 1% формула (10.224) дает, что рабочий диапазон частот в данном
случае простирается от 0 до
®} ~ (50 000/51) (40л) VW ~ 17 423 или fi Д ®j/2ji = 2773 Гц.
10.3.2. Неинвертирующий усилитель напряжения
Рассмотрим представленную на рис. 10.42, а схему неинверти-
рующего усилителя напряжения. Передаточная функция этой
схемы с идеальным операционным усилителем равна
Ht (s) = Квых/Квх = (/?! + д у. (10.225)
При замещении этого операционного усилителя его упрощенной
Рис. 10.42. Неиивертирующий усилитель напряжения.
а—принципиальная схема; б—эквивалентная схема.
эквивалентной схемой (рис. 10.42,0) передаточная функция при-
мет вид
«»(«) =------------------------Хт—• (10.226)
S' + 7W-lS' + S’l 1+лк
Рассмотрим случай операционного усилителя с бесконечной
шириной полосы, т. е. A(s)=Aq. Тогда выражение (10.226) за-
пишется следующим образом:
Нп (s) = у [ 1 - (V/Яо) + • • • 1 ~ У [ 1 - (Y/Ло)], (10.227)
если допустить, что заданное значение усиления у мало по
сравнению с До- Таким образом, погрешность (в %) для такого
идеального операционного усилителя примерно равна
ер=1ООу/До %. (10.228)
Как и в случае инвертирующего усилителя, для получения высо-
коточного неинвертирующего усилителя необходима возможно
большая величина До.
Для использования на более высоких частотах операцион-
ный усилитель характеризуется более точно функцией (10.215).
Тогда выражение (10.226) примет вид
н у L— _________
гЛ) 1 Y(s + coa) ys + (До + у) 0>а ~
До<оа
= Л0/{(«/®а) + [1 + (ЛЛ>)]} и (10.229а)
I Нп (/со) | -- Д/У(®/®0)2 + [1+(Л0/у)Ь (10.2296)
Для того чтобы оставаться по коэффициенту передачи в преде-
лах допуска ер %, наивысшая рабочая частота coi должна удов-
летворять условию
^/{(“i/^)2 + [1 + (ЛоЛ)]2} > [1 - (s₽/1 ОО)]2 у2 или
67[(®!/соа)2 + (1 + а)2] > [1 - (ер/100)]2, где (10.230а)
аАД/у. (10.2306)
Отметим, что выражение (10.230а) имеет тот же вид, что и
(10.218). Поэтому приближенно частота coj определяется фор-
мулой _______ _______________
®i ~ V(ep/50) Лосоа V0,02ep/y, (10.231)
и все выводы по инвертирующему усилителю подходят полно-
стью и для данного случая неинвертирующего усилителя на-
пряжения.
10.3.3. Интегратор
Рассмотрим представленную на рис. 10.43, а схему интегра-
тора, для которой передаточная функция в случае идеального
операционного усилителя имеет вид
Для со 0 имеем
Ht (s) = - 1/sRC.
|/М/®)|=1/со/?с,
<Pi (®) А — /Н( (я) = — 90°.
(10.232а)
(10.2326)
(10.232b)
Замещая этот операционный усилитель его упрощенной экви-
валентной схемой, получим схему рис. 10.43, б. Для упрощения
анализа примем, что A (s) = а0 1. При со > 0 имеем
Нп(s) = = - ... -пЛ, гн/ • (10.233а)
’ Vbx UMo) + + (1/ао)1 v '
I W (/co) I == —1........................~
П V(lMo)2+(co/?C)2[l + (lMo)]2
_____Л-т.;.- -----====!======₽• и (10.2336)
V(l/«o)2 + (uRC)* aRC V(l/co/?C«o)2 + 1
фп (®) A -- !Hn (/®) = arctg (aQ^C). (10.233b)
Теперь рассмотрим влияние конечности коэффициента усиления
операционного усилителя без обратной связи на полезную ши-
рину полосы интегратора.
Рис. 10.43. Инвертирующий интегратор.
а—прмнпипнальная схема; б—эквивалентная схема.
Чтобы коэффициент передачи интегратора оставался в пре-
делах заданной погрешности ер %, характерное значение часто-
ты должно удовлетворять условию
I Нп (» | > [1 - (ер/100)] | Ht |. (10.234)
Подстановка (10.2326) и (10.2336) в (10.234) дает
1 1 — f i е₽ А 1
--------.. .-4Z7 ^11-------I ----- ИЛИ
aRC V1 + (1/<в/?Са0)2 \ ЮО ) &RC
1/11 + (1/®/?С«0)]2 > [1 - (ер/100)]2. (10.235)
После преобразования этого выражения получим
1 + (l/®/?Cczo)2 < 1/[ 1 - (ер/1 ОО)]2 ~ 1 + (ер/50) или
1/<а/?С<20 Vер/50 = V0,02ер .
(10.236)
Таким образом, минимальное значение частоты ю2, где интегра-
тор достигает погрешности ер, определяется формулой
о2 = (1//?Са0) V50/ep. (10.237)
Это означает, что полезная ширина полосы частот для интегра-
тора на операционном усилителе с конечным усилением и бес-
конечной шириной полосы начинается от f2 А®2/2л Гц и прости-
рается до бесконечности. При а0 — оо интегратор может рабо-
тать на всех частотах. С другой стороны, конечность ширины
полосы реального операционного усилителя определяет верхний
частотный предел получения удовлетворительной амплитудно-
частотной характеристики интегратора. Заметим, что, согласно
условию (10.236), для получения высокоточного интегратора не-
обходимо увеличивать значение <2q.
Другим объектом анализа интегратора является его фазоча-
стотная характеристика (фазовый угол). Если максимально до-
пустимая погрешность здесь составляет еф градусов, то рабочая
частота со должна удовлетворять условию
|<м®) — <Рг(®)1=О<р ИЛИ |arctg(aoa>RC) — 90° |<еф. (10.238)
Минимальное значение частоты со3, на которой интегратор до-
стигает заданной погрешности еФ по фазовому углу, можно вы-
числить на основе (10.238). Например, при еФ = 1° имеем
а0®3/?С > tg 89° = 57,29 или ®3 = 57 29/a-fiC. (10.239)
Пример 10.23. Для представленной на рис. 10.43 схемы интегратора, где
RC = 10“3 и операционный усилитель имеет характеристику согласно
рис. 10.25, найти частотный диапазон при погрешностях амплитудно-частотной
характеристики не более 1% и фазочастотной характеристики менее 2°.
Решение. Согласно (10.237) и (10.238) данный интегратор выходит на
заданные уровни погрешностей при выполнении следующих условий:
со > V®-/RCa0 = (7,07 • 103)/ао и (10.240а)
со > tg 88о//?Си0 = (28,64 • 103)/ао, (10.2406)
для которых а0 — минимальное значение усиления операционного усилителя
без обратной связи в пределах используемой ширины полосы интегратора.
Очевидно, что из двух условий (10.240) необходимо взять только одно —
(10.2406). Напомним, что коэффициент передачи без обратной связи исполь-
зуемого операционного усилителя определяется выражением
A (s) = Ао/[1 + (s/co0)l и (10.241а)
| A (/со) | = До/71 + (о/оа)г , гае (10.241 б)
Ао = 5ОООО и со0 = 20 (2л) = 40л рад/с. (10.241в)
Предположим, что используемая ширина полосы частот интегратора находит-
ся между <о,п и сои рад/с. Тогда на основе условия (10.2406) получаем
сот = (28,64 • Ю3)/а0, (10.242а)
а из (10.2416) имеем
«и = 4/V1 + (шм/«й)2 =* ло“а/б>м «ли соЛ.( = Л0сой/а0 = (2л • 10с)/«0-
(10.2426)
Отметим, что последнее выражение получено исходя из того, что |А(/со)|
является убывающей функцией от со, а отношение сом к соа в общем случае
очень велико по сравнению с 1. Поскольку имеются два уравнения, а неиз-
вестных три (а0, сога и сом), существует одна степень свободы. Из (10.242)
видно, что с увеличением ао уменьшаются как сот, так и сом. Например, если
выбрать ао = 103, то со^ = 28,64 и сом = 2000 л рад/с. С другой стороны, при
«о = 104 имеем сот — 2.864 и со« = 200л рад/с. Для большинства схем, пред-
назначенных для работы в звуковом диапазоне частот, в этом случае
ао = 250, вероятно, является хорошим выбором, что дает полезную ширину
полосы частот от
fm А ит/2л = (28,64 • 103)/(250) (2л) = 18,23 Гц до fM Д ам/2п =
= (2л • 106)/ (250) (2л) = 4000 Гц.
10.3.4. Звено полосового фильтра Френда
Рассмотрим представленный на рис. 10.44, а полосовой
фильтр, который является частным случаем биквадратного звена
Френда. Предположим, что заданная передаточная функция
имеет знаменатель
Z)(s) = s2 + &lS + 60 = s2 + (®0/Q)s + ®2, где (10.243а)
®o = V^o и Q = ®o/^i = V^oAi (10.2436)
являются соответственно частотой и добротностью пары полю-
сов данной схемы. Проектирование схемы осуществляется со-
гласно уравнениям (10.114) — (10.118) по условиям
С1 = С2 = С, G^G^^Gb, Gb = G2 (10.244)
при использовании терминологии подразд. 10.2.1.2. Согласно
(10.244) и при идеальном операционном усилителе знамена-
тель передаточной функции схемы (10.243) определяется сле-
дующим образом:
= (l/C2Gc) [2CGaG2 - CGtGbl = Gb/C, (10.245a)
b0 = (l/C^GJ [GAGJ = GaGbl&, (10.2456)
= и (10.245b)
<*0 = ^GaGblC = QGbIC. (10.245г)
Теперь заменим операционный усилитель его упрощенной
эквивалентной схемой (рис. 10.44,6). Знаменатель передаточ-
ной функции в этом случае примет вид
D (s) — s2 + й+ $0 = sz + (®o/Q)5 + ®о* гДе (10.246а)
, _ C&G2 + [1М (s)] [CQ2 (Q2 + 1) (Q2 + 2)]
01 C2Q2Gb + [1/Л (S)] [С^ь (Q2 + 1)] И UU.24D0J
, _ Q4Gj + ИМ (s)1[Q2G36 (Q2 + 1)]
О0— C2Q2Gb[l/A (s)[ [CZG6 (Q2 + 1)1 ' 1 1
Принимая, что исходная добротность достаточно велика
(Q2>>2), а рабочая частота достаточно мала (чтобы | А (/со |
C£>jl)> получаем приближенные аналоги выражений (10.246)
CQzGb {1 + [Q2/A (s)]J Gb _
01— c2Q2Gb {1 + [l/Д (s)]} C {1 + [Q/Л (s)]}
= -^-{1 + [Q2M(s)]}, (10.247a)
- Q4G3b {1 + [IM (S)]l _„2Г2/Г2_ 9
— C2Q2Gb П + [IM (s)B ~® Gb'C ~®°’ (10-2476)
где для упрощения использовались выражения (10.245). После
подстановки (10.247) в (10.246а) получим
£> (s) = s + (®0/Q) {1 + [Q2/A (s)]} s + 4 (10.248)
Сг
Рис. 10.44. Биквадратное полосовое звено Френда.
а—принципиальная схема; б—эквивалентная схема.
Допустим, что коэффициент передачи операционного
без обратной связи определяется выражением
A(s) = A0®c/(s + ®a).
Тогда полином (10.248) примет вид
р + +(W4.
+ ^[1+(Q!M„)]s + “2=
_ f > I C°°Q f c2 1 №o[1 + (Q2/^o)]S , Ю0
\ Ло<Од J1 Q [1 + (OoQ/^o^n)] 1 -f- (G>oQ/AoG>a)
усилителя
(10.249)
)®Q)] +
) (10.250)
Следовательно, с учетом конечности усиления и конечности ши-
рины полосы операционного усилителя реальные частота полюса
йо, и добротность <3 определяются формулами
©о = ®о/ V1 + (®oQMo®a) и (10.251а)
Q __ _______©о_______(0/<В ) ' _ Q (©oQA4o©a)
Vl + (OoQMoOa) W °’ 1 + (Q2Mo) 4 1 + (Q2Mc)
(10.2516)
Из (10.251a) видно, что с увеличением заданного значения
®oQ = b0/bi реальная частота полюса уменьшается и будет со-
ставлять 0,707 от заданной величины при условии
®oQ = А0©с.
(10.252)
С помощью производных выражения для Q по Ао и юа можно
показать, что реальная добротность <3 уменьшается с уменьше-
нием величины Ао, и тем сильнее, чем ниже частота среза опе-
рационного усилителя аа-
Если произведение g>0Q мало по сравнению с произведением
усиления на полосу пропускания используемого операционного
усилителя и если Q2 •< Ао, то выражения (10.251) можно упро-
стить:
©о — ®о [1 — (1/2) (®0Q/A0o>a)] и (10.253а)
Q ~ Q [ 1 + (1/2) М/А0^а)] [ 1 - (Q2/Ао)]
- Q [1 + (1/2) (®oQ/Ao®c) - (Q2/A0)]. (10.2536)
Отсюда определим погрешность (в %) по ©о и Q относительно
идеального операционного усилителя следующим образом:
%%=[(^о-с>о)/с>о](1ОО%) = -(5ОвоЖс>а)% и (10.254а)
eQ% =[(Q-Q)/Q](1OO%)=(1OOQ/Ao)[(1/2)(©0/©а)-Q]%. (10.2546)
Эти выражения, как и ожидалось, показывают уменьшение аб-
солютных погрешностей ©о и Q с увеличением Ао.
Пример 10.24. Рассмотрим представленную на рис. 10.44 схему, где ха-
рактеристика операционного усилителя определена согласно рис. 10.25. Пред-
положим, что задана средняя частота 3500 Гц и добротность Q — 10. Найти
погрешность (в %) по «п и Q относительно идеального операционного уси-
лителя.
Решение. Поскольку Ло = 50 000 и ыа = 40л рад/с, то величина cooQ =
= 3500(2л) 10 = 70 000л мала по сравнению с произведением усиления на
полосу пропускания заданного операционного усилителя ЛоОа = 2л-10е.
Кроме того, Q2 = 100 Л о, что позволяет воспользоваться формулами
(10.254). В результате получим
еи % = - 50 (70 000л)/(2 • 106) = - 1,75%,
е о/о = [ЮО (10)/50 000] {(7000л/2 (40л)] - 10} ~ 1,75%.
Для исправления вызванных неидеальностью операционного
усилителя отклонений ©о и Q от заданных значений можно пред-
варительно соответствующим образом изменить последние. На-
пример, если заданными величинами являются а>оа и Qa, то,
согласно расчетным уравнениям схемы Френда, значения ча-
стоты ©о и добротности Q определяются в случае идеального
операционного усилителя выражениями
(10.255а)
©О = ®(м/[ 1 ~ (1/2) (®0dQd/^0®a)] ®0d [ 1 + (1/2) KdQdMo® Л и
1 + (1/2) (&0(fidlAoaa) (Qd/^o)
[1 - (1/2) (<»ЛЖ) + (W)J- (10.2556)
В результате окончательная схема с реальным операционным
усилителем обеспечивает заданные величины ©о<* и Qd при усло-
вии, что
и Q2<4. (10.256)
10.4. Активные схемы без конденсаторов
В предыдущем разделе показано, что при работе активного
фильтра на высоких частотах необходимо учитывать неидеаль-
ности операционных усилителей. Большинство операционных
усилителей с внутренней коррекцией имеют типичную характе-
ристику усиления без обратной связи A(s), которая представ-
лена на рис. 10.25, где
A (s) = A0©c/(s + %) = М1 + («, Ч)]. (10.257)
Это выражение показывает, что в операционном усилителе при
передаче сигнала используется эффект 7?С-цепи с одним конден-
сатором. Такое обстоятельство позволяет сделать вывод, что
можно проектировать биквадратную схему на резисторах и дру-
гих операционных усилителях (без применения конденсаторов).
Этот класс фильтров называется активными /^-фильтрами.
В данном разделе представлены две активные /?-схемы. Пер-
вая из них — полосовой фильтр, обладающий весьма простой
структурой и пригодный для работы на высоких частотах при
большой добротности. Вторая схема обладает универсально-
стью, подобной той, что имеет биквадратная схема Toy на не-
скольких усилителях.
10.4.1. Полосовое биквадратное активное /?-звено
для высоких частот и добротностей
Рассмотрим представленную на рис. 10.45 схему, которая
характеризуется следующими расчетными уравнениями:
Vbx = Vi + 4(s)V2, (10.258)
Увых = V2 + [РИг («) VM + Я2)], (10.259)
^ВЫХ = Л1(5)П. (Ю.260)
Выражая Vi и V? через Увых, получим
Vi = VBbIXMi(s), (10.261а)
V2 = Рвых/{ 1 + [ЯЛ (s)/(/?i + (10.2616)
где
После подстановки (10.261) в (10.258) имеем
VBX = [РвыхМ! (8)1 + {Л2 (s) VBbIX/[ 1 + Я1Л2 (8)/(Р, + Я2))]} =
= Ш/А (s)] + [А2 (s)/(1 -ь уЛ2 (s))D Рвых =
1 + уЛ(5) + Л (s)A(s) v 2
A (s) [I + уД2 (s)i 1"ых’ (Ю.2Ь2а)
V = 7?i/(7?i + /?2). (10.2626)
В результате передаточная функция схемы на рис. 10.45 равна
(10.263)
Предположим, что коэффициенты передачи Л1(в) и Л2(в)
двух операционных усилителей одинаковы и определяются вы-
ражениями
Л. (8) = Л2 (8) = Л (S) =-^- А , (10.264а)
* г * 1
где В = Ло® (10.2646)
является произведением усиления на полосу пропускания опера-
ционных усилителей. После этого выражение (10.263) запи-
шется следующим образом:
tf(s) =
В (s + cog + у В)
В2 + уВ (s + <ос) + (s + <вй)2
В [s + (<оа + уВ)]
-5---—---------------Т-Х---------------• (10.265)
s2 + (у В + 2<оа) s + (Ю2 + yBwa + В2)
Поскольку величина 2юа очень мала по сравнению с уВ =
= уЛо<£>й для широкого диапазона значений у (например, у
^200/Ло « 0,004), то выражение (10.265) приближенно можно
представить в виде
В (s + уВ)
s2 + yBs + В2
H(s)^
(s/B) + у
(s/B)2 + у (s/B) + 1 *
(10.266)
Заметим, что это выражение получается из (10.263) при усло-
вии
A (s) = B/s = А! (s) = А2 (s). (10.267)
Таким образом, выражение (10.266) является хорошим прибли-
жением уравнения (10.265) для частот со соа.
Рис. 10.45. Полосовое активное 7?-звено для высоких частот и добротностей.
На основании уравнения (10.266) получаются следующие
формулы для вычисления частоты и добротности полюса дан-
ной биквадратной схемы:
<оо = В = Досоа,
Q=1/y = (Bi + B2)/^i.
(10.268а)
(10.2686)
Для определяемых согласно рис. 10.25 операционных усилите-
лей средняя частота равна f0 Д«0/2л:= 1 МГц.
Таким образом, представленная на рис. 10.45 схема действи-
тельно пригодна только для высоких частот. Отметим, что
имеется возможность изменять произведение усиления на по-
лосу пропускания операционных усилителей В с помощью раз-
личных схем коррекции.
Из анализа выражения (10.2686) видно, что схемой рис. 10.45
можно реализовывать фильтры с добротностями только 1.
При Q 1 параметр у<1 и выражение (10.266) можно еще
упростить
Н (s) ~ Bs/(s2 + yBs + В2). (10.269)
Это означает, что схема рис. 10.45 представляет собой полосо-
вой фильтр, предназначенный для высоких добротностей и вы-
соких частот.
10.4.2. Активное биквадратное /?-звено
В этом подразделе представлена активная биквадратная
/?-схема. В ней обеспечиваются одновременно выходы фильтров
полосового и нижних частот. С помощью дополнительного сум-
мирующего усилителя здесь можно получить все виды биква-
дратных передаточных функций1).
Рис. 10.46. Активная биквадратная /?-схема.
Рассмотрим представленную на рис. 10.46 схему, для кото-
рой Ri и Rs определяются согласно
^4 = (1
Rs == ₽/? при
0<₽< 1.
(10.270а)
(10.2706)
(10.270в)
Считается, что оба операционных усилителя одинаковы и ха-
рактеризуются передаточной функцией
A (s) = A 0®c/(s + ф0) = B/(s + <ос). (10.271)
*) Если коэффипиент усиления при замкнутой обратной связи суммирую-
щей схемы мал, то можно без заметных погрешностей считать идеальным
используемый здесь операционный усилитель.
При указанных на схеме рис. 10.46 узловых напряжениях отно-
сительно земли расчетные уравнения имеют следующий вид:
I(VBX - УХШ + [(Увых - VJ//?2] + [(Vo - ОЯз] = 0, (Ю.272а)
(Vвых. ~ Vу)/R7 — VyIR„
Vc = -[Ao®a/(s + ®a)] Vx,
Увых = W* + ®a)l (₽Va - Vy).
После многочисленных преобразований получим
Ис/Увх = («1« 4- «o)/(s2 + b{s + b0) и
VBbIX/VBX = «o/(s2 + ^ + &o),
____________ Ло<Оо
ai ~ 1 + (RdRz) + (RdRz) '
Д0с0о Г. । Д0 1
а° — 1 + (Я1/Я2) + (RdRz) L1 1 1 + (R?/Rz) J ’
bi = 2®a + ®CAO[ j + (7?з/7?2) + (RdRi} + j + (R?/Re} ]
(10.2726)
(10,.272b)
(10.272r)
(10.273a)
(10.2736)
(10.274a)
(10.2746)
(10.274b)
к,|[(ло + 1 +jr + -^-)(/>O + l + ^-)+-^-P4o(t + '&)- Л°]
U + (Rz/Rz) + (Rz/Ri)] [1 + (Rr/Re)]
(10.274r)
Лп<в2р
°0 = 1 + (RdRz) + (RdRz) ' (1 °-274д)
В общем случае Ао очень велико по сравнению с отношениями
резисторов и значением &а, в результате чего приближенно
можно записать
в
ai ~ 1 + (Rt/Rz) + (RdRz) ’
в2
°0 ~ [1 + (RdRz) + (RdRz)] П + (RiIRe)] ’
о Г___________!_____________, 1
L 1 + (RdRz) + (RzIRd) "* 1 + (Rj/Rz)
h (Rz/Rz) рв2 и
° 1 + (Rz/Rz) + (Rz/Rd)
______________рв2_______
I + (RdRz) + (RdRz) '
(10.275a)
(10.2756)
(10.275b)
(10.275г)
(10.275д)
Из этих выражений находим формулы для частоты и доброт-
ности пары полюсов схемы
“° = Vfco = д/ j + (/?„//?,) и (10.276а)
Q (10276б)
Q--------------------;га . .1L----------• (10-276б)
+ Rs + R1 + Re
На основании (10.276) можно вычислить функции чувствитель-
ности ©о и Q. В результате имеем
|Х““|<0,5 и |Х?|<1, (10.277)
где х относится к До, ®а, В и любому резистору. Это указывает
на то, что активная R-схема рис. 10.46 имеет хорошую чувстви-
тельность к пассивным и активным элементам.
Отметим, что данная схема обеспечивает характеристику
фильтра нижних частот согласно (10.2736) при использовании
в качестве выходного напряжения Кых. С другой стороны, при
подключении нагрузки на напряжение Va схема функционирует
как полосовой фильтр, если
а0<£Ь0. (10.278)
Подстановкой (10.275) в (10.278) определяется следующее усло-
вие получения полосового фильтра:
(Я1/Я2)₽[1 +(Я7/Я6)]>1. (Ю.279)
Звено нижних частот. Теперь рассмотрим процедуры реали-
зации биквадратных передаточных функций схемой рис. 10.46.
Вначале случай фильтра нижних частот. Предположим, что
необходимый фильтр нижних частот задан функцией (10.2736).
Тогда из (10.275) можно вывести расчетные уравнения в виде
1 + (Я1/Яг) + (#1/Яз) = ₽В2/«о при условии, что
1 + (R3/R2) + (/?з//?1) = (/?з//?1) (№о). (10.280)
1 Й| /?1 Ио
1 + (Rj/Re) ~ В Ri рв* или что
1 + (/?7//?б) = 1/{(&1/В) - [(/?1/^з) («о/₽е2)]}. (10.281)
После подстановки (10.280) и (10.281) в (10.275г) получаем
. R3PB2 1 _ R3pB2 /?,а0
Яг 1 + (Rs/R2) + (Rs/Ri) Rs R3PB2
= -^-а0 или /?i/R2 = b0/a0, (10.282)
Совместно условия (10.282), (10.280) и (10.281) дают
Ri/R3 = (₽В2/а0) - (RJR,) - 1 = (рВ2/а0) - (b0/a0) - 1 и (10.283)
Ri/Re = (!/[(&i/S) - (R1/R3) (а0/₽В2)]} - 1. (Ю.284)
Для обеспечения положительных по знаку отношений резисто-
ров в выражениях (10.282) — (10.284) необходимо выполнить
следующие условия:
рВ2 — Ьо — а0 > 0 и (10.285а)
1 > А.„ > 0. (10.2856)
При 0 < р <. 1 условия (10.285) формируют критерии реализуе-
мости схемой рис. 10.46 передаточной функции фильтра нижних
частот. Отметим, что условие (10.285а) и правая часть (10.2856)
выполняются, если значение р установлено согласно
(РВ2 — Ьо — «о)/₽В2 = Ь^уВ или (10.286а)
Р = (^о + а0)/[В2 — (byB/y)}, где (10.2866)
у > \. (10.286b)
Сама процедура проектирования для данного случая состоит в
следующем:
1. Заданы необходимая биквадратная передаточная функция
фильтра нижних частот (а0, Ь\, Ьо) и параметры операционных
усилителей (ша, Ло или В = а>аЛ0) •
2. Проверить выполнение условий реализуемости (10.285)
при 0 < Р < 1. В случае выполнения найти по формуле (10.286)
соответствующую величину р.
3. Выбрать R, R3 и Ro* 1).
4. Найти Ri и Ro согласно (10.270), Rr по (10.283), R2 по
(10.282) и R7 по (10.284).
Пример 10.25. Найти активную В-реализацию передаточной функции
Н (s) = (2 • 1012)/(s2 + l05s + 1012). (10.287)
Решение. При условии, что операционные усилители характеризуются
согласно рис. 10.25, заданы следующие параметры: ао = 2-1О12, bi = 105,
bo — 1012 и В = 2л-106. В соответствии с этими данными условие (10.285а)
требует, чтобы
Р > (Во + а0)/В2 = 3/4 л2. (10.288)
Поскольку (bt/B) — (1/20л) < 1, условие (10.2856) выполняется, если
РВ2 — Ьо - а0 = Р61В/У, (10.289a)
где у>1 или (10.2896)
Р = (3 • 10|2)/(4л2 • 1012) - [(2л • 10")/^]. (10.290)
*) Выбор величин R, R3 и Во производится с целью минимизировать:
1) диапазон величин резисторов, 2) влияние конечного входного и ненулевого
выходного сопротивлений операционных усилителей в схеме.
Очевидно, что эта полученная величина 0 должна также удовлетворять усло-
вию (10.288). Правильный выбор величины у производится на основе (10.284),
(10.283) и (10.286а), когда
________‘_______1 =________!_________1 =
Яв ~ (61/В) - (/?1/^?в) (<W(3B2) (&1/В) - [<0В2 - ьо - ао)/0В21
=wra-|=(Wi4)-b <10-291)
Для того чтобы условие получения приближенного выражения (10.275г) не
приводило к существенным погрешностям, необходимо выбрать большое от-
НОО Ом
Рис. 10.47. Активная 7?-схема реализации передаточной функции (10.286).
ношение Ri к Re. Это означает, что следует выбирать параметр у весьма
близко (или больше) 1. Возьмем у = 1,1. Тогда формула (10.290) дает
0=0,077. (10.292)
Отметим, что при этом выполняется условие (10.288) . Согласно (10.282)—
(10.284) получим (Я1//?2) = (1/2) = 0,5, (Rt/Re) = 2л20 — 1,5 = 0,022 и (/?7//?6) = 690,15. Можно показать, что при таких отношениях резисторов и (10.293а) (10.2936) (10.293b) параметре 0
(10.292) условие реализуемости (10.285) выполняется. Возьмем R = 10 кОм.
Тогда из (10.270) получим Rt — 9230 Ом, Re = 770 Ом. Далее примем R3 = 25 кОм и (?в = 250 Ом. Тогда на основе (10.293) имеем R7 — 172,54 кОм, Ri — 550 Ом, Rz = 1100 Ом. Схема реализации функции (10.286) согласно данным (10.294) (10.294а) (10.2946) (10.294в) (10.294г) (10.294д) (10.294с :• (10.294ж) представлена
аа рис. 10.17.
Полосовое звено. Если заданная передаточная функция пред-
ставляет собой полосовой фильтр
Н (s) = a^Ks1 + bxs + &о)> (10.295)
то в соответствии с (10.275) и (10.279) можно для нее вывести
следующие расчетные соотношения:
1 + (RM + (RM = (W или 1 + (RM + (RM = (RM (B/at), 1 + (RM = (aJB)] ’ (RM==(b0/Ba$)- Далее получим (RiM — (Ьа/Ва$), (RM = (B/aJ - (b0/Ba$) - 1, (R7/Rs) (b'/B't-WRJlaJB) L (10.296а) (10.2966) (10.296b) (10.296г) (10.297а) (10.2976) (10.297b)
Для обеспечения положительности этих отношений необходимо выполнение условий В рв > 0’ 1 > (1/В) {&! - [В - (&о/₽В) - О1]} > 0. резисторов (10.298а) (10.2986)
Здесь также отметим, что первое из них и правая часть второго
удовлетворяется при
В — (b0/fiB)— ^ — (Ь^у) или (10.299а)
₽ = Ьо1{в [В - (bjy) - й1]}, где (10.2996)
у > 1. (10.299b)
В данном случае на основании (10.297в), (10.2976) и (10.299а)
получаем
(В7/В6) = (Ь1/В) _ (Я1/В) (B/ai) _ (bo/BaiP) _ 1 =
= {l/[(&i/B) ~ (bi/By)}} - 1 = {(В/М !/[!-(Му)} } - 1. (10.299г)
Необходимая величина параметра у определяется совместно
уравнением (10.2996) для обеспечения величины |3 между 0 и
1 и условием существования полосового фильтра (10.279).
Таким образом, процедура проектирования полосового филь-
тра по схеме рис. 10.46 состоит в следующем:
1. Заданы желаемая передаточная функция (oi, b\, Ьо) и
параметры операционных усилителей (соа, До или В = соаЛо).
2. Проверить условие реализуемости (10.298) при 0 < р < 1.
Найти, если возможно, соответствующую величину р.
3. Выбрать Ri, R3 и /?6-
4. Вычислить и Rs по (10.270), Ri по (10.2976), Rz по
(10.297а) и R7 по (10.297в).
Пример 10.26. Найти активную /^-реализацию передаточной функции
Н (s) = 106s/(s2 4- 105з 4- 1012). (10.300)
Решение. Согласно (10.299), величина р, удовлетворяющая условию реа-
лизуемости (10.298), равна .
= 2л [2л — 0,1 — (б,1/у)] ’ ГДе (1а301а)
у > 1 (10.3016)
и где принято
В = 2л -Ю6. (10.302)
Для того чтобы схема представляла полосовой фильтр, условие (10.279)
требует, чтобы отношение Рл/Re было велико. Это означает, что, согласно
(10.299г), параметр у следует выбирать близким к 1. Возьмем у = 1,1, тогда
₽ = 1/2л [2л — 0,1 — (0,1/1,1)] = 0,026, (10.303)
что удовлетворяет условию (10.2986). По формулам (10.297) получаем
(Я|/Яг) = 10,2/[2л 106 (105) 0,026] = 61,2 (Ri/R3) = [(2л • 106)/105] - 61,2 - 1 = 0,632, (/??//?в) = [(2л • 10в)/105] (1 4- Ю) - 1 = 690,5. (10.304а) (10.3046) (10.304b)
Выберем R = 10 кОм. Из выражения (10.270) имеем
Ri = 9739 Ом, (10.305а)
/?5 = 261 Ом. (10.3056)
Возьмем /?з = 20 кОм и (10.305в)
Re = 200 Ом. (10.305г)
Тогда по (10.304) получим
Ri = 12,64 кОм, (10.305д)
/?2 = 207 Ом, (Ю.ЗОбе)
Rj = 138 кОм. (10.305ж)
Схема реализации передаточной функции (10.300) по данным (10.305) пред-
ставлена на рис. 10.48. По формуле (10.2756) вычислим игнорируемый член
передаточной функции
ао = В2/{ (В/аО [1 4- (/?7//?6)]} = (2л • 106) (105)/691,5 = 9,1 • 108. (10.306)
В результате усиление на постоянном токе (a0/t>0) == 9,1 10~а пренебрежимо
мало по сравнению с усилением на средней частоте (Ог/М) — 1 полосового
Рис. 10.48 Активный полосовой R-фильтр.
фильтра. Таким образом, схема рис. 10.48 представляет удовлетворительную
реализацию передаточной функции (10.300).
ЛИТЕРАТУРА
1. Mitra S. К., Active Inductorless Filters, New \ork. 1LEE Press, I J? I
2. Mitra S. K., Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, New York,
John Wiley, 1968.
3. Su K. L., Active Network Synthesis, New York, McGraw-Hill, 1965.
4. Huelsman L. P., Theory and Design of Active RC Circuits, New York,
McGraw-Hill, 1968. [Имеется перевод: Хыолсман Л., Теория и расчет ак-
тивных RC-цепей.— М.: Связь, 1973.]
5. Hilburn J. L., Johnson D. Е., Manual of Active Filter Design, New York,
McGraw-Hill, 1973.
6. Heinlein W. E., Holmes W. H, Active Filters for Integrated Circuits, Lon-
don. Prentice-Hall, 1974. [Имеется перевод: Хейнлейн В., Холмс В., Актив-
ные фильтры для интегральных схем. — М.: Связь, 1980.]
7. Moschytz G. S., Linear Integrated Networks, Fundamental, New York, Van
Nostrand Reinhold, 1974.
8. Moschytz G. S., Linear Integrated Network, Design, New York, Van Nos-
trand Reinhold, 1975
9. Johnson D. E., Introduction to Filter Theory, Englewood Cliffs, N. J., Pren-
tice-Hall, Inc., 1976.
10. Bruton L. T., Network Transfer Functions Using the Concept of Frequency
Dependent Negative Resistance, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-16, 406—
408 (1969).
11. Bruton L. T., Treleaven D., Active Filter Design Using Generalized Impe-
dance Converter, EDN, Feb. 5, 1973, 68—75.
12. Kuh E. S.. Transfer Function Synthesis of Active RC Networks, 1960 IRE
International Record 8 (pt. 2). 134—138
13 Hazony D., Joseph R. D., Transfer Matrix Synthesis with Active RC Net
works, SIAM J Appl Math., 14, 739—761 (1966).
14. Mitra S. К., Transfer Function Synthesis Using a Single Operational Am-
plifier, Electronic Letters, 3, 333—334 (1967).
15. Yanagisawa R., RC Active Networks Using Current Inversion Type Nega-
tive Impedance Converters, IRE Trans., Circuit Theory, CT-4, 140—144
(1957).
16. Mathews M. V., Seifert W. W., Transfer Function Synthesis with Computer
Amplifiers and Passive Networks, Proc. Western Joint Computer Conference,
March 1955, 7—12.
17. Lovering W. F., Analog Computer Simulation of Transfer Functions, Proc.
IEEE, 53, 306 (1965).
18. Mitra S. K-, Active RC Filters Employing a Snigle Operational Amplifier
as the Active Element, Proc. Hawaii International Conference on System
Science, 1968, 433—436.
19. Brown G. C.„. Sensitivity in Active RC Filters, Electronic Letters, 3, 298—
299 (1967).
20. Sallen R. P., Key E. L., A Practical Method of Designing RC Active Fil-
ters, IRE Trans. Circuit Theory, CT-2, 74—85 (1955).
21. Kerwin W. J., Huelsman L. P., The Design of High Performance Active RC
Band Pass Filters, 1966, IEEE International Convention Record 14 (pt. 10),
74—80.
22 Friend J. J., Harris C. A., Hilbermann D , STAR, An Active Biquadra-
tic Filter Section, IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-22, 115—121
(1975).
23. Kerwin W. J., Huelsman L. P., Newcomb R. W., State-Variable Synthesis
for Insensitive Integrated Circuit Transfer Functions, IEEE J. Solid State
Circuits, SC-2, 87—92 (1967).
24. Tow J., A Step-by-Step Active-Filter Design, IEEE Spectrum, 6, 64—68
(1969).
25. Thomas L. C., The Biquad, Part I — Some Practical Design Considerations,
IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 350—357 (1971).
26. Thomas L. C., The Biquad, Part II — A Multipurpose Active Filtering Sy-
stem, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 358—361 (1971).
27. Girling F. E. J., Good E. F., The Leapfrog or Active Ladder Synthesis,
Wireless World, July 1970, pp. 285—287.
28. Adams R. L., On Reduced Sensitivity Active Filters, 14th Midwest Symp.
on Circuit Theory, University of Denver, Colorado, May 1971, 14.3-1 to 3-8.
29. Szentirmai G., Synthesis of Multiple-Feedback Active Filters, Bell Syst.
Tech. J., 52, 527—555 (1973).
30. Laker K. R., Ghausi M. S., Synthesis of a Low Sensitivity Multiloop Feed-
back Active RC Filter, IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-21, 252—259
(1974).
31. Hilberman D., Input and Ground as Complements in Active Filter, IEEE
Trans. Circuit Theory, CT-20, 540—547 (1973).
32. Moschytz G. S., Second Order Pole-Zero Pair Section for nth Order Mini-
mum Sensitivity Networks, IEEE Trans Circuit Theory, CT-17, 527—534
(1970).
33. Lee S. C., Sensitivity Minimization in Active RC Integrated Circuit Design,
Proc. 4th Annual Allerton Conference on Circuit and System Theory (1966),
269 281.
34 Lueder E_, A Decomposition of a Transfer Function Minimizing Distortion
and Inband Losses, Bell-System Tech., J., 49, 455—469 (1970).
35. Halfin S., An Optimization Method for Cascaded Filters, Bell System Tech.
J., 49, 185—190 (1970).
36 Graeme J. G., Tobey G. E., Huelsman L. P., Operational Amplifier Design
and Application, New York, McGgaw-Hill, 1971. [Имеется перевод:
Грэм Дж., Тоби Дж., Хьюлсман Л., Проектирование и применение опера-
ционных усилителей. — М : Мир, 1973.]
37. Graeme J D, Applications of Operational Amplifiers, Third Generation
Techniques, New York, McGraw-Hill, 1973.
38 Roberge J. K., Operational Amplifier, Theory and Practice, New York, Wiley,
1975.
39. Stout D. F., Kaufman M„ Handbook of Operational Amplifier Circuit De-
sign, New York, McGraw-Hill., 1976.
40. Moschytz G. S., The Operational Amplifier in Linear Active Networks, IEEE
Spectrum, 7, 42—50 (1970)
41 Soundararajan K., Ramakrishna K-, Charachtenstics of Nonideal Operational
Amplifiers, IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-21, 69—75 (1974).
42. Budak A., Petrela D. M., Frequency Limitations of Active Filters Using
Operational Amplifiers, IEEE Trans. Circuit Theory. CT-19, 322—328 (1972).
43. Gray P. R., Meyer R. G., Recent Advances in Monolithic Operational Ampli-
fier Design, IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-21, 317—327 (1974).
44 Fleischer P. E., Sensitivity Minimization in a Single Amplifier Biquad Cir-
cuit, IEEE Trans Circuit and Systems, CAS-23, 45—55 (1976)
45. Srinivasagopalan P., Martens G. O., A Comparison of a Class of Active
Filters with Respect to Operational Amplifier Gain-Bandwidth Product,
IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-21, 377—381 (1974).
46 Geffe P. R., Exact Synthesis with Real Amplifiers, IEEE Trans. Circuit and
Systems, CAS-21, 369- 376 (1974).
47. Rao K. R., Srinivasan S., Low-Sensitivity Active Filters Using the Opera-
tional Amplifier Pole, IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-21, 260—262
(1974).
48. Schaumann R, Low Sensitivity High Frequency Tunable Active Filter Wit-
hout External Capacitors, IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-22, 39—44
(1975).
49. Mitra A. K-, Aatre V. K., Low Sensitivity High Frequency Active R Filters,
IEEE Trans. Circuit and Systems, CAS-23, 670—676.
ЗАДАЧИ
10.1. Реализовать активной лестничной схемой фильтр нижних частот Бат-
терворта n-го порядка с частотой среза fc = 8 кГц при нагрузках
Ri — 600 Ом для случаев п — 2, 3, 4, 5 и 6.
10.2. Реализовать активной лестничной схемой фильтр нижних частот Чебы-
шева и-го порядка с неравномерностью передачи 0,1 дБ, шириной по-
лосы 3,4 кГц и при нагрузках Ri = 600 Ом для случаев п = 2, 3, 4,
5 и 6.
10.3. Реализовать активной лестничной схемой фильтр верхних частот п-го
порядка с частотой среза fc = 10 кГц по уровню 3 дБ при нагрузках
Rt — 600 Ом для случаев п = 2, 3, 4, 5 и 6.
10.4. Реализовать активной лестничной схемой фильтр верхних частот Че-
бышева n-го порядка с неравномерностью передачи 1 дБ для частот
выше fc = 10 кГц при нагрузках Ri = 600 Ом.
10.5. Заменить каждую из приведенных на рис. 3.10.5 пассивных лестничных
схем активной лестничной схемой с той же самой передаточной функ-
цией. Активные схемы могут содержать только резисторы, конденсато-
ры, преобразующие сопротивление четырехполюсники ks и k/s, гира-
торы и ЧЗОС.
10.6. Реализовать по схеме Ку следующие фильтры-
а) Фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка с усилением
10 на постоянном токе и частотой среза = 10 крад/с по уровню
3 дБ.
б) Фильтр нижних частот Баттерворта третьего порядка с неравномер-
ностью 0,1 дБ, шириной полосы <пг — 10 крад/с и усилением на по-
стоянном токе 5.
Vfi
^11
a
5
Рис. 3.10.5, а, б, в, г.
в) Полосовой фильтр Баттерворта четвертого порядка со средней ча-
стотой соо = 8 крад/с, шириной полосы В = 2 крад/с и усилением на
средней частоте 1.
г) Фильтр верхних частот Баттерворта четвертого порядка с усилением
1 на высоких частотах и частотой среза сое = 10 крад/с по уровню
3 дБ.
10.7. Реализовать схемой Ку следующие передаточные функции:
а) Н (s) = (s2+1)1(s+-1F: В) Н (S)== (s+lp1
1 s2
б) (s+ l)(.? + 2)(s + 3) ’ Г) (s Ч- 1)я ’
S s’
lAe io ООО’ H ~ s2 + 3s + 3
10.8. Реализовать методом Янагисава следующие передаточные функции:
а) (S + 1)3 ’
б) Н (s) = (5 4- 1) (52 + 1) ’
где 5=W
В) и (s) = (s + 2) (S2 4- 3) ’
. (S+')2
г) н (s) — (s + 2) (S2 + 3)
S2+ 1
Д) Н («) = (54.i)(^4.35 4-3)>
где S' = W:
е) Я(5) = з2+ 1 s2 4- + 1
ж) Н (s) — s3+ 1 s(s+ I)3 ’
з) Z7(s) = Z7(s) = s3 (s + 1) (s2 + 3s 4-1) S2 — 35 + 3
и) S2 4- 35 + 3 ’
где 5 = s 10 000 ’
к) /7(з) = — s? 4- 2s2 — 2s 4- 4 ss 4- 2s2 4- 2s 4- 4 ‘
10.9. Реализовать методом Матея — Сайферта передаточные функции зада-
чи 10.8.
10.10. Реализовать методом Лавсриига передаточные функции задачи 10.8.
10.11. Реализовать методом Митра передаточные функции задачи 10.8.
10.12. а) Реализовать передаточную функцию H(s) = (s 4- l)2/(s2 4- 1) (s 4- 3)
методом Матея — Сайферта согласно рис. 10.13. при D(s) —
— (s + 1) (s + 3), ki = 0 и ki = 1.
б) Найти чувствительности полюсов и 5^, где полюсы цепи
Pi = /, Рг = —j и р3 = —3.
в) Определить условия, при которых полюсы pt и рг могут оказаться
в правой половине s-плоскости, в результате чего схема окажется
неустойчивой.
10.13. Реализовать методом переменных состояния следующие передаточные
функции:
a) H (s) = 1 (s 4- I)3 * e) H(s) = s24- 1 (s 4- 2) (s2 4- 3s 4- 3) ’
6) Z7(s) = в) H(s) = где 5 = (s4- l)(s24-1) ’ 2s2 (^ + 2)(^+i) ’ s 104 • ж) H (s) = з) H (s) = и) H(s) = 52 — 35 4- 3 s 5 52 4-35 4-3’ ГДе 5 5000’ _ s3 — 6s2 + 15s — 15 s3 4- 6s2 4- 15s 4- 15 ’ 1
Г) Я(5) = 3s4 (s24- где 5 0,77s + 1)(32+ 1,85s + 1)’ s
(s+ 1) (s 4- 2) (s2 4- 3s 4- 3) ’ 104 ’
д} Н (S) = (s2+ l)(s2 + 3s + 3): к) н (s) “° (s 4- I)2 (s + 2)2 •'
10.14. Реализовать с помощью табл. 10.1 следующие передаточные функции
второго порядка:
a) H (C\ 6 2s2
n Is J S2 4- 3s 4- з ’ n vs j s2 4- 100s 4- 108 ’
6) н 2 К) и (s) = s 4* 2
n is; s2 4- V2s 4- 1 ’ s2 4- 3s 4- 4 ’
s nA H (<\ — s (s 4- 2)
где s = ° 104 ’ s2 4- 5s 4- 2 *
10в м) H (s) — g24-1
в) П (S) — s2 4- 100s 4- Ю8 * s2 4- 0,1s 4-1 *
Г) H (c\ —. 6s где s = s 104 ’
n \s) s2 4- 3s 4- 3 ’
2s н) H ($} s2 4- (120л)2
Д) ri (s) — s2 4- V 2s 4- 1 ’ s2 4- 10ns 4- (120л)2 ’
s2 4- (120л)2
где £=? 104 ’ °) 11 \Ъ) s2 4- 10ns 4- (240л)2 '
108s n\ W /«\ s2 4- 5
e) H (a\ s2 4- 5s 4- 2 ’
s2 4- 100s 4- Ю8 ’
3s2 s24-2
Ж) H (<\ — p) 17 Is) s2 4" 5s 4~ 5 ’
п S2 4- 3s 4- 3 ’ c) 7/(s) =
s2 4- 3s 4- 1
где s = s = 10s : s2 4- 5s 4- 1 ’
a) И — s2 т) H (s) — s2 4- 5s 4- » s2 4- 3s 4- 1 ’
s2 4- 4- 1 '
10.15. Реализовать с помощью каскадного соединения звеньев табл. 10.1 сле-
дующие передаточные функции:
а) Н («) (s2 + 0 77s + j) (S2 + 1>8Ss + !) !
9
б) н (я)=-----------г------т=—г;
(ss + 3s + 3) (s2 + V2s + 1)
. „, . 2s2 . s
в) H(s) =------------------7=----г-; где s—----;
(s2 + 3s + 3) (s2 + V2s + 1) 104
rl ///<! =________s(s24- 1)_________,
' n (> (s2 + 0,77s + 1) (s2 4- 1,85s + 1) ’
Д) H (s) =--------a2 <s'+ ') ---- .
(s2 + 3s + 3) (s2 4- V2s 4- О
1 5
e) H(s)~——--------------------------где 3 = —;
(s24-0,77s4-l)(s24- 1.85s+1)(s24-V2s4-О Ю4
s2
Ж) H (S) “ (s2 4-3s 4-3) (s2 4- V2S4-1)2 ’
?) W(s)== (s2 + s+l)3‘
10.16. Рассмотреть передаточную функцию f/(s)= 10®/(s2 + 10“s + 10®).
а) Реализовать H(s) с помощью табл. 10.1 при а = 4.
б) Найти чувствительности ио и Q к изменению коэффициента пере-
дачи ИНУН.
в) Повторить пп. а) и б) при а — 3.
г) Повторить пп. а) и б) при а = 2.
д) Повторить пп. а) и б) при а = 1.
10.17. Повторить задачу 10.16 для передаточной функции
Н (s) = 10"s/(s2 + Ю°8 + 108),
10.18. Повторить задачу 10.16 для передаточной функции
Н (s) = s2/(s2 + 10as -f- 108).
10.19. Реализовать схемой Френда рис. 10.26 следующие передаточные функ-
ции:
а) н (s) = s2 + 100s +106; г) н (s) = s2 + 100s + 10в;
s2 - 100s + 106 . . 100s (s2 + 106)
б) Н (s) S2 _|_ 100s _|_ 106 > Д) Н (S) (S2 + 100s + 106)2 ;
в) Н (s) = S2 + 100s + 106 ; е) Н (s) = (S2 + l00s + 10в)2 •
10.20. а) Реализовать схемой Френда передаточную функцию
s2 + ®f s2+104
" e s2 + 100s + 106 — s2 + 100s + 106 ’
б) Найти чувствительности <o( ш0 и Q к изменению конденсаторов
и Сг.
10.21. Реализовать биквадратным звеном на нескольких усилителях рис. 10.29
следующие передаточные функции
а) Н (s) = 6 s2 -|- 3s + s ’ e) tf(s) = s2 s2 + V2> + 1 ’
б) W(s) = 1 s2 + д/Й + 1 ’ где s = s 104 ’
где s ж) H (s) = • s2 + з s2 + 3s -f- 3 *
в) н (S) = S (s + 2)2 • 3) H(s) = 32-p 1 + V2s -f- 1 ’
г) Н (з) = 6s S2 -f- 3s + 3 ’ где S = = “125F:
где s = s и) /Z(s) = s+ 1
105 • s2 + 3s -f- 1 ’
s2 Z/(s) = s2 + V2s + 1
Д) П \р) - (s + 2)2 ’ к) s2 + 3s + 3 ‘
10.22. Реализовать одним биквадратным звеном (использовать схему на
рис. 10.29) одновременно следующие две передаточные функции:
2 45
= —-------------- и #s(s) =---------—------ где s = s/105.
s2 + V2s + 1 s2 + ^2§ + 1
10.23. Реализовать одним биквадратным звеном (использовать схему на
рнс. 10.29) одновременно следующие три передаточные функции:
и . . 6 2s „ , . 3s2
1 s2 +3s+3 ’ /Z2(S)— s2 + 3s + 3 И —s2 + 3s + 3 •
10.24. Реализовать одним полным биквадратным звеном (использовать схему
на рис. 10.29) одновременно следующие четыре передаточные функции:
106 2s2
Н1 (S) = s2 + 100s + Ю6 ’ (S) = s2 + 100s + 106 :
и 200s „ ,_ч s2 + Ю6
"2(s) s2 + 100s + 106 И Mi'S' s2+100s+106‘
10.25. а) Реализовать передаточную функцию H(s)— 108/(s2-f- 100s + 10s)
биквадратным звеном (использовать схему на рис. 10.29).
б) Найти чувствительности соо и Q к изменению всех резисторов и кон-
денсаторов.
в) Найти чувствительности полюсов к изменению всех резисторов и
конденсаторов.
г) Проверить выражение (9.72) для данного случая.
10.26. а) Использовать биквадратную схему на рис. 10.29 для реализации
полосового фильтра второго порядка с усилением 10 в середине по-
лосы, средней частотой coo = 107V крад/с и добротностью Q = 5/V, где.
jV — целое число. Замечание: передаточная функция такого фильтра
задана выражением Н (s) = [G (coo/Q) s]/[s2 + (mo/Q) s + “o]> гДе G —
усиление на средней частоте, a wo/Q = 2 крад/с — ширина полосы.
б) По кабелю передаются сигналы 10 каналов с частотным разделе-
нием согласно рис. 3.10.26, а. Для обработки этого кабельного сигнала
на понятные сообщения используется показанная на рис. 3.10.26,6
группа полосовых фильтров (ПФ). Предположим, что фильтры п. а)
предназначены для реализации таких ПФ. Найти передаточную функ-
цию каждого канального полосового фильтра с усилением 10 на сред-
ней частоте, шириной полосы 2 крад/с и средней частотой 10/V крад/с
(для канала N).
в) Найтн с помощью схемы рис. 10.29 реализации ПФ п. б) таким
образом, чтобы схема г-го ПФ отличалась только одним элементом от
схемы k-ro ПФ, где i =/= k = 1, 2, ..., 10.
10.27. Предположим, что требуется группа заграждающих фильтров (ЗФ)
для подавления основной частоты и ее гармоник. Необходимая пере-
даточная функция имеет вид Н (s) = (s2 + Wq)/[s + (®/Q) s = cog]-
где wo = 120№t рад/с, полоса подавления coo/Q = Юл рад/с и N = 1,
2, 3, 4 и 5. Найти с помощью схемы рис. 10.29 реализации этих пяти
фильтров таким образом, чтобы схема j-го фильтра отличалась от k-ro
максимум тремя элементами, где i ф k = 1, 2, 3, 4 и 5.
10.28. Реализовать звеном Toy на нескольких усилителях передаточные функ-
ции задачи 10.21.
Частотный
Канатный приемник 2
Канатный приемнике
Канальный приемник 10
Канальный приемник 1
10.29. Реализовать звеном Toy на нескольких усилителях одновременно еле-
дующие две передаточные функции:
W _ 108 о , X 200s
> s2 + 100s + 10s и Hi (s) “ s2 + 100s + 108 '
10.30. Повторить задачу 10.29 для следующих двух передаточных функций:
„ ,„ч_ Ю9 .. „ s2 — 200s + 108
1' ' s2 + 200s + 108 И "2 s2 + 200s + 108 ’
10.31. Повторить задачу 10.29 для следующих двух передаточных функций:
,, _ s2 + 108 „ , х 200s
1 ( J s2 + 100s + 108 И Нг (s) s2 + 100s + 108 '
10.32. Реализовать звеном Toy на нескольких операционных усилителях одно-
временно следующие три передаточные функции:
1010
Hl (S) = s2 + 400s + 1010 ’
1000s 9 s2
112 s2 + 400s + Ю10- И Нъ = s2 + 400s + 10'° •
10.33. Рассмотреть представленный на рис. 10.39, а шестиполюсник. Используя
метод дополняющей передаточной функции:
а) Построить всепропускающий фильтр 7/л (s) = (s2 — 3s-|-3)/(s2
+ 3s + 3).
б) Построить заграждающий фильтр 7/B(s) = (s2 + 3)/(s2 + 3s + 3).
10.34. Найтн передаточную функцию по напряжению Рвых/Рвх для показанной
на рис. 3.10.34 схемы, где ПФ определяется функцией
_£>_ _ и ,_________________(tOo/Q) S
VBX ПФ s2 + (w0/Q)S + ^-
10.35. Рассмотреть представленную на рис. 10.41 схему инвертирующего уси-
лителя напряжения, операционный усилитель которой характеризуется
рис. 10.25.
а) Найти рабочий диапазон частот для погрешности усиления в ±1%
от |G|, где — G = I, 5, 10, 50, 100, 200, 500 и 1000.
б) Результаты п. а) представить графически при | G | в качестве не-
зависимой переменной.
в) Повторить пп. а) и б) для погрешности ±5%.
10.36. Рассмотреть представленную на рис. 10.42, а схему неиивертирующего
усилителя напряжения, операционный усилитель которой характернзу-
' ется рис. 10.25.
а) Найти рабочий диапазон частот для погрешности усиления в 1% от
номинальной величины G, где G = 1, 5, 10, 50, 100, 200, 500 и 1000
б) Результаты п. а) представить графически при G в качестве незави-
симой переменной.
в) Повторить пп. а) и б) для допустимой погрешности 5%.
10.37. Рассмотреть представленную на рис. 10.43 схему интегратора, где
RC = 10~4, а операционный усилитель характеризуется схемой
рис. 10.25.
а) Найти рабочий диапазон частот при погрешности по амплитуде не
более ±1% и по фазе не более ±Г.
б) Повторить п. а) при RC = 10-2, 10-3, 10~5, 10~6 и 10~7.
в) Результаты п. б) представить графически.
10.38. Повторить задачу 10.37 для погрешностей по амплитуде менее ±5%
и по фазе менее ±3°.
10.39. При операционном усилителе с характеристикой рис. 10,25 реализовать
функцию H(s) = 2s/(s2 + 0,1s 4- 1) схемой а варианта А2 табл. 10.1,
чтобы обеспечить наибольший рабочий диапазон частот. Указания:
оптимизировать рабочий диапазон частот по коэффициенту передачи k
10.40. а) Найти передаточную функцию показанной на рис. 3.10.40 схемы ин-
тегратора, когда операционный усилитель представлен эквивалентной
схемой рис. 10.40, г при /1(ь-) = До.
б) Рассмотреть биквадратную схему на рис. 10.29, а, два операционных
усилителя в интеграторах которой характеризуются условиями п. а),
а третий считается идеальным. Найти передаточные функции Hi (s) =
И l/VВХ> Н2 (S) = VJVвх И Нз (s) — VS/V вх-
в) На основе результатов п. б) определить влияние конечности усиле-
ния операционного усилителя на частоту ш0 и добротность полюсов
схемы.
г) При Ао — 500 реализовать функцию Н (s) = 2/(ss -j- + 0. где
s = s/2tf.
д) Найти чувствительности соо и Q к изменению Ао реализованной
в п. г) схемы.
е) Повторить пп. г) и д) для следующей передаточной функции:
Я(з) = 2/(s2-fV2 10~2s + 1), где s = s/2K.
10.41. Предположим, что операционный усилитель представлен эквивалентной
схемой рис. 3.10.41, а, где Ао и т — постоянные.
а) Найти передаточную функцию показанной на рис. 3.10.41,6 схемы
интегратора.
б) Найти передаточную функцию показанной на рис. 3.10.41, в схемы
сумматора.
в) Найти передаточные функции Ht(s) = Vt/VRli, H2(s) = V2/VBX u
Ws(s) = Vs/Vbx биквадратной схемы рис. 10.29, а, для которой опера-
ционные усилители представлены эквивалентной схемой на
рис. 3.10.41,а.
г) На основе результатов п в) найти 7fi(s), H2(s) и Hs(s) при т->0.
д) Повторить п. г) для случая, когда Лс-*оо и т->0.
©---------I--------------- @
©—\ >— ® <=> © — *
Рис. 3.10.41,0.
о
Рис. 3.10.41,6, в.
10.42. Предположим, что коэффициент передачи операционного усилителя без
обратной связи определяется выражением A (s) = Am/Is + con), где
Ло = 50 000, а со0 = 40л рад/с.
а) Найти активную биквадратную /?-схему, реализующую функцию
Н(a) == Bs/(s2 + r\’Bs + В2), где В = Лосоа и у = 0,01.
б) Найти чувствительность добротности к изменению величины Лс.
в) Найти чувствительности полюсов к изменению параметра В.
г) Повторить п. б) и в) при у = 0,1.
д) Повторить пп. б) и в) при у = 0,001.
10.43. Предположим, что коэффициент передачи операционного усилителя без
обратной связи определяется выражением А (а) = Лосоя/ (а + <оя), где
Ло = 50 000 и <оя = 40л рад/с. Найти активную биквадратную /?-реали-
зацию для каждой из следующих передаточных функций:
а) И (в) = 2-10’° s2 + 108s + 1О‘° ’ г) Н (s) — 103s a2 + 103а + 10’° ’
3-10'2 2 • 10ss
б) И (а) = a2 + 105s + 1012 ’ д) If (s) = а2 + 10ss + 1012 ’
10й 105s
в? п \s) — s2 + 10Бз + 10й ’ е) п (s) — s2+ 105s+ 10й •
10.44. Предположим, что коэффициент передачи операционного усилителя без
обратной связи определяется выражением A (s) = Aofi)a/(s + соа), где
Ло = 50 000 и со0 = 40л рад/с.
а) Реализовать передаточную функцию Н (s) = 10,0/(s2 + Ю6а 4-
+ 1010) активной биквадратной /^-схемой.
б) Найти чувствительности Оо и Q к изменению величин Ао и <оя.
в) Найти чувствительности полюсов к изменению величин Ао и соп.
10.45. Повторить задачу 10.44 для функции H(s) = 106s/(s* + 105s + Ю14).
11
Введение в цифровые фильтры
Цифровой фильтр представляет собой устройство обработки
сигнала, преобразующее одну последовательность чисел (назы-
ваемую входной) в другую (называемую выходной). Многие
теоретические принципы цифровой фильтрации были известны
еще со времен Лапласа. Однако существующий уровень техники
не позволял реализовать эти знания, и только появление ЦВМ
привело к широкому распространению цифровых фильтров.
Сейсмологи успешно применили принципы цифровой фильтрации
для решения многих интересных проблем. Использование циф-
ровой фильтрации для обработки фотоснимков, полученных от
удаленных источников, межпланетной связи и рентгеновских
пленок, позволило значительно улучшить их качество. Она
нашла также применение в обработке речи, картографии, ра-
дио- и звуколокации и медицинской аппаратуре.
Цифровой фильтр реализуется либо как программа на ЦВМ,
либо аппаратурным способом в виде схемы, содержащей ре-
гистры, умножители и сумматоры. В течение ряда лет програм-
мное исполнение было единственным способом осуществления
цифровой фильтрации и в настоящее время еще является преоб-
ладающим. Сложные цифровые фильтры неизменно реализуют
на универсальных или специализированных ЦВМ; Однако бы-
строе развитие технологии больших интегральных схем открыло
возможность их аппаратурного исполнения. В настоящее время
промышленность выпускает достаточно дешевые сумматоры,
регистры сдвига и умножители. В перспективе ожидается появ-
ление универсальных кристаллов (чипов) цифровой обработки
сигналов и микропроцессоров для «перемалывания» чисел.
История развития микроэлектронной промышленности свиде-
тельствует о том, что можно ожидать значительного снижения
стоимости и улучшения качества этих компонентов. Следова-
тельно, можно комбинировать аппаратурную и программную
реализации для получения дешевых и тем не менее эффектив-
ных цифровых фильтров.
11.1. Цифровые сигналы и системы
Как было показано в гл. 1, фильтр представляет собой
устройство обработки сигнала, которое усиливает одни сигналы
п подавляет другие. Сигнал может быть непрерывной функцией
независимой переменной (которой обычно называют время), на-
пример, конфигурации напряжения и тока в аналоговых филь-
трах. Эти сигналы называются непрерывными сигналами. С дру-
гой стороны, сигнал можно определить только для конечного
или самое большее для сосчитываемого бесконечного числа
временных интервалов. Этот тип сигнала называется дискретным
сигналом. Некоторыми примерами дискретных сигналов явля-
ются: годовой основной национальнй продукт, месячный рост
безработицы, диаграмма населенности небольшой деревни, ме-
сячное производство автомобилей, которые показаны соответ-
ственно на рис. 11.1, я —г. Основные источники дискретных
сигналов получаются путем дискретизации непрерывных сигна-
лов. Подходящий пример показан на рис. 11.2.
Цифровые сигналы — это дискретные сигналы с квантован-
ными значениями. Типичным цифровым сигналом является вы-
ходной сигнал АЦП, который дискретизирует непрерывный сиг-
нал и формирует последовательность бинарных чисел с конеч-
ной разрядностью. Сущность АЦП показана на рис. 11.3, а. Если
скорость дискретизатора составляет один отсчет в 1 мкс, а
между входным и выходным сигналами существует соотношение,
как показано на, рис. 11.3,6, то для заданного непрерывного сиг-
а
Рис. 11.1. Некоторые примеры дискретных сигналов.
Рис. 11.2. Дискретизации непрерывного сигнала.
а—непрерывный сигнал; б—соответствующая дискретизированная последовательность.
нала х(0 на рис. 11.3,в соответствующие дискретный сигнал
Xi(nT’) и выходной цифровой сигнал х(пТ) приведены на
рис. 11.3, г, д. На рис. 11.1, в, г показаны некоторые другие ти-
пичные цифровые сигналы, где уровни квантования определены
соответственно количеством человек и автомобилей. Строго го-
воря, цифровые вычислительные машины обрабатывают только
цифровые сигналы.
В любой системе, работающей с цифровыми сигналами, ко-
нечное число уровней квантования приводит к появлению оши-
бок. Следовательно, при проектировании цифрового фильтра
необходимо определить число разрядов или уровней квантова-
ния, необходимых для представления сигнала. Выбирая доста-
точно большое число разрядов, можно увеличить точность пред-
ставления сигнала, но это приводит к удорожанию фильтра.
Очевидно, что должен быть компромисс между точностью и
стоимостью.
В этой книге не рассматриваются эффекты квантования в
цифровых фильтрах. По существу это означает представление
чисел с бесконечной точностью. Таким образом, цифровой сигнал
рассматривается как дискретный. Другими словами, вместо по-
нятий «цифровой» и «дискретный» используется только понятие
«цифровой».
Цифровые сигналы вне зависимости от способа их получения
представляются в виде последовательности чисел. Для описа-
ния цифровых сигналов используются следующие обозначе-
ния *):
х(п) или {х (п)} и (11.1а)
х(пТ) или {х(пТ)}. (11.16)
*) Строго говоря, {х(и)} обозначает собственно последовательность, а
х(п)—ее значение в п-й точке. Однако для удобства и х(п), и {*(«)} обозна-
чают последовательность х.
В этой книге рассматриваются только одномерные последовательности,
т. е. величины в последовательности зависят только от одной независимой
переменной.
Рис. 11.3. Принцип работы АЦП.
а—схема; б—соотношение между входные н выходным сигналами квантователя;
Ь» г в б—пример. Обозначения: Jc (О—непрерывный сигнал на входе АЦП; Xi (нГ)—дис-
кретный сигнал на выходе дискретизатора: х (пТ)—цифровой сигнал на выходе АЦП.
Заметим, что обозначение (11.16) применяется для сигналов с
равномерными временными интервалами между отсчетами,
тогда как обозначение (11.1а) предполагает и неравномерное
их размещение’).
Некоторые важные последовательности:
1) последовательность единичный импульс б(п), определяе-
мая следующим образом:
6 (и) — 0 при п =/= О
= 1 при /г = 0.
’) Здесь рассматриваются только сигналы с равномерными временными
интервалами Описание систем с неравномерным расположением отсчетов
приведено в [23].
(П.2)
Заметим, что последовательность вида
{х(п)} = {..., х(— 1), х(0), х(1), ...}
можно выразить через последовательность единичный импульс
следующим образом:
оо
х(п) = £ x(k)b(n — k); (11.3)
fe=« - co
2) последовательность единичный скачок и(п) (единичная
ступенчатая), определяемая выражением
и (п) — 1 при п О
= 0 при п < 0.
(П.4)
Из определений (11.2) и (11.4) можно показать, что после-
довательности единичный импульс и единичная ступенчатая свя-
заны соотношением
«(«)= Е б(£), (11.5а)
б (п) — и(п)— и(п—1); (11.56)
3) экспоненциальная последовательность
х (п) = ап при п 0
= 0 при п < 0,
(11.6а)
где а — действительная или комплексная величина. Заметим, что
экспоненциальную последовательность можно представить в
виде
х (п) — апи (п); (1165)
4) синусоидальная последовательность с периодом Р
Xiln) —Aicos(2m/P), (11.7а)
х2 (п) = А2 sin (2m/P). (11.76)
Если Р — положительное рациональное число, скажем Р —
— а/p, где а и р— относительно простые положительные числа,
то последовательность (11.7) повторяется через каждые а от-
счетов. Следовательно,
xk (п) = xk(n + ma), (11.8)
где k — 1, 2, a m — целое число. С другой стороны, если Р —
иррациональное положительное число, то последовательность
(11.7) не повторяется. Таким образом, цифровая синусоидаль-
ная последовательность не обязательно периодическая функция.
Подобно непрерывным функциям с цифровыми сигналами и
последовательностями можно производить арифметические опе-
рации. Предположим, что хД{х(п)} и у А {#(«)}— Две после-
довательности, а а — скалярная величина.. Тогда можно опре-
делить:
1) сумму и разность двух последовательностей
х ± у А {х (п) ± у (п)}; (11.9а)
2) умножение последовательности на скалярную величину
ах А {ах («)}; (11.96)
3) умножение и деление двух последовательностей
хг/ А {х (п) у (п)}; (11.9в)
(х/у) А {х (п)/у (n)}. (11.9г)
Во «временной» области цифровая система описывается на-
бором разностных уравнений1). Это означает, что при заданной
Рис.11.4. Цифровая система.
а—частный случай; б—общий случай.
входной последовательности и начальных условиях системы
разностные уравнения единственным образом определяют вы-
ходную последовательность2). В качестве примера рассмотрим
систему, описываемую соотношением вида
у(п) — ау(п—1)=х(п), (11.10а)
г/(0)=1, (11.106)
где х(п) и у(п)—соответственно входная и выходная последо-
вательности, как показано на рис. 11.4. Если в качестве входной
’) Заметим, что непрерывные системы, например активные или пассивные
A'Z.C-цспи, во временной области характеризуются набором дифференциаль-
ных уравнений.
2) В этой книге рассматриваются только линейные разностные уравнения
с постоянными параметрами.
последовательности используется единичный скачок
х(п)= 1 для п О
= 0 для п < О,
(Н.П)
то выходная последовательность вычисляется из (11.10) для
п — 1, 2, ... следующим образом:
«/(1) = ш/(0) + х(1) = й+ 1
#(2)==йН1) + х(2) = а(«+1)+1=а2 + а + 1
• v
y(k)-=ay(k— l) + x(£) = afe+ + «ft-2+ ...4-1
(11.12)
Если |й|< 1, то (11.12) можно переписать в виде
/ fe \ /о» \ / °° \
#(&)==( Е «4== (Е«г) — ( Е ач =
\М / Xf-o / Х/-Й+1 /
z оо X / со х z оо х
= lEaH-a^1 Еа'1 = (1 -aft+1)( Е аЧ =
\i-o 7 \/-о / \»=о 7
= (1 -ак+')/(1 -а). (11.13)
Цифровая система S с одним входом и одним выходом по
существу является алгоритмом преобразования одной последо-
вательности чисел в другую, который показан на рис. 11.4,6,
где входная последовательность обозначена х(п), а выходная —
у(п). Пусть yi(n) и у2(п)— соответственно отклики нулевого
состояния *) на входные последовательности %i(n) и х2(п). Тогда
система S называется линейной, если выходная последователь-
ность нулевого состояния у(п) при входном воздействии вида
х{п) (п) 4-azx^(n} (11.14а)
описывается соотношением
у(п)Аад1(/г)4-«2^2(«)- (11.146)
Система S с постоянными параметрами характеризуется тем,
что выходной сигнал нулевого состояния у{п) при входной по-
следовательности
х(п) АхЦп — п0) (11.15а)
определяется следующим соотношением:
У (га) A Hi (« — «о)- (11.156)
*) Отклик пулевого состояния — это выходной сигнал системы при всех
нулевых начальных условиях.
Пусть Л п)— отклик нулевого состояния на единичный им-
пульс 6(я), тогда в системе с постоянными параметрами после-
довательность 1г(п— k) является откликом на 6(п — k). Из
(11.3) и линейности системы при входной последовательности
х(п), заданной выражением вида
х(д) = Е х(£)б(п-£), (11.16)
Л= —ОО
выходная последовательность нулевого состояния задается вы-
ражением
£/(«) = Е x(k)h(n — k). (11.17а)
ft=-00
Это означает, что линейная цифровая система S с постоянными
параметрами характеризуется импульсной ' характеристикой
h(n), т. е. выходной последовательностью при единичном им-
пульсе на входе и нулевых начальных условиях. Замена пере-
менной в уравнении (11.17а) приводит к следующему выра-
жению:
#(«) = У, х (п — k)h(k). (11.176)
Л=—оо
Оба уравнения (11.17) обозначают свертку двух последователь-
ностей х(п) и h(ri), которая обозначается как
у («) — х (n) * h (га). (11.17в)
Наконец, линейная система S с постоянными параметрами
называется устойчивой, если импульсная характеристика h(ri)
удовлетворяет условию
оо
Е |й(га)|<оо, (11.18)
П—~ со
и физически реализуемой, еслй
/г(га) = О для п < 0. (11.19)
Заметим, что при нарушении условия (11.18) можно найти
ограниченную входную последовательность х(га), где
Е |х(га)|Е 2 = /С < оо, (11.20а)
ОО
которая дает неограниченную выходную последовательность
у(п), такую, что
ОО
Е 1^(«)|2->оо. (11.206)
П= —оо
Пример 11.1 Система S описывается следующими уравнениями *):
у (и)— ay (п — 1) = г (и), (11.21а)
г/(-1) = 0 (11.216)
Найти импульсную характеристику h(n) системы S и определить условия
устойчивости и физической реализуемости.
Решение. Поскольку начальные условия системы S нулевые, как задано
в уравнении (11.216), то для
x(n) = 6(n) (11.22)
выходная последовательность у(п) представляет собой импульсную харак-
теристику h(n). Из (11.21) получаем
у (0) = ау (-1) + 6 (0) =0 + 1 = 1,
У (О = аУ (0) + б (1) = а + 0 = а,
у (2) = ay (1) + 6 (2) ==н2 + 0 = а2.
С помощью метода математической индукции определяем, что
у(п) — ап для п^О. (11.23а)
Для рассмотрения случая п < —1 запишем (11.21) и (11.22) в виде у(п—1) =
= а~1[у(п)—б'(п)] при у(—1)=0. Получаем
у (-2) = а~‘ [у (-1) - б (-1)] = а~‘ (0 - 0) = 0,
у (-3) = а~ * [у (-2) - б (-2)] = 0.
Ясно, что
у(п) = 0 для п < 0. (11.236)
Следовательно, импульсная характеристика h(n) системы S с уравнением
(11.21) определяется следующим выражением:
h (п) = апи (п). (11.24)
Из (11.24) следует, что система S физически реализуема при всех а, а устой-
чива при |а| < 1.
11.2. Z-Преобразование
Наиболее подходящим методом решения линейных разност-
ных уравнений является z-преобразование. Оно позволяет за-
менить решение этих уравнений решением алгебраических
уравнений. Применение z-преобразования к разностным урав-
нениям аналогично применению преобразования Лапласа к диф-
ференциальным уравнениям.
г-Преобразование X(z) последовательности х(п) опреде-
ляется следующим образом2):
Х(г)А £ х(п)2~п, (11.25)
— оо
*) Нулевые начальные условия системы S задаются выражением (11.216),
где начальный момент времени предполагается при п — 0. Заметим, что в
случае непрерывных систем начальные условия задаются в точке t — 0 —.
2) «-Преобразование последовательности х(п) обозначается как /(«); для
временной последовательности используется строчная буква, а для соответ-
ствующего «-преобразования — прописная.
где z— комплексная переменная. Следовательно, X(z) является
комплексной функцией.
(11.26)
Пример 11,2. Найти z-преобразование последовательности
х (п) = (cos иср + sin яф) и (я)
Решение. Из соотношения (11.25) получаем
оо ОО
Л(г) = у1 х (я) z~”== У' (совяф + sin яф) г~п =
п=о
(11.27)
(11.28а)
(11.286)
= £ efn*z~n] + У [1±1е-/«Фг-п].
п=0 п=0
Если
I Z—1 | < 1 ИЛИ I Z I > 1, то
|e±/<rz-1 |< 1
и выражение (11.27) можно упростить:
у , . _ 1 — /____J______! 1 + / ______!_______
2 1 — е'®г-1 "Г 2 1— e~l<s>z~'
_ 1 — (cos ф) z-1 + (sin ф) z~‘ 1 + (sin ф — cos ф) z~l
1 — (е/ф + z-1 + z-2 1—2 (cos ф) z-1 + z-2
Ясно, что функция X(z) . определяется для тех значений z
или гг1,’ для которых степенная последовательность в соотно-
шении (11.25) сходится. Например, функция X(z) в уравнении
(11.27) определяется только при выполнении условия (11.28а).
Записывая г в экспоненциальной форме
z = re^, (11.30)
из (11.25) получаем
*(z) = Е x(n)r-"e~/e". (11.31)
Следовательно, функция X(z) определяется для тех значений z
с радиусом г в z-плоскости, для которых
оо
J | х (n) r~n I < ОО. (11.32)
п=— оо
Все значения z, для которых выполняется условие (11.32), на-
зываются областью сходимости последовательности х(п). В при-
мере 11.2 область сходимости расположена в z-плоскостц для
Г> I,
Пример 11.3. Найти область сходимости последовательности импульсов
h (я) — а, 0 п < N — 1
(11.33)
== О, п < 0, п N — 1,
где а — действительное число.
СО
Решение. Н(г)~ у h(n)z~n = У, az~n. Следовательно,
П=-оо п-0
/V-1
Я(ге'е) = у ae~ne~iQn. (11.34)
Поскольку выражение (11.34) представляет собой конечную сумму (число
слагаемых ограничено), функция И (г) определена для всех г < оо. Поэтому
областью сходимости является вся г-плоскость.
Пример 11.4. Найти область сходимости экспоненциальной последователь-
ности
/г(я) = а" для 0<я<оо
„ „ (11.35)
= 0 для п < 0.
Решение. Поскольку
ОО СО ©О
2/(ге,е) = V h (п) г~пе~^п ~ £ апг~пе~^п= £ (аг~1)п е~‘а,\ (11.36)
П~~ оо п=0 гг—0
областью сходимости являются значения z с радиусом г, для которых
со
EI а р
|7 j <°°- (Н.37)
72 = 0
Ясно, что условие (11.37) выполняется, если и только если
lyjd. (П-38)
Следовательно, область сходимости последовательности h(n), заданной выра-
жением (11.35), представляет собой часть z-плоскости вне круга радиусом
|с|, как показано на рис. 11.5, а.
Рис. 11.5. Область сходимости экспоненциальной последовательности,
а—в z-плоскости; б—в z~l-плоскости.
Область сходимости физически реализуемой последователь-
ности х(п), для которой х(и) = 0 при п < О, расположена вне
определенного круга радиусом 7? в z-плоскости'). Подходящий
случай рассмотрен в примере 11.4. Значение R зависит от рас-
положения полюсов функции X(z)* 2). Для последовательности,
рассмотренной в примере 11.4, z-преобразование H(z) последо-
вательности h(n) определяется следующим образом:
оо
Я (г) = £ a»z-" = r-k-г- (11.39)
ц«0
Следовательно, полюс Н (z) расположен в точке г — а, которая
является границей области сходимости последовательности.
Физически реализуемые последовательности составляют ос-
нову всех используемых в процессе обработки сигналов боль-
шинства физических цифровых систем, в том числе и цифровых
фильтров. Для удобства z-преобразования некоторых часто ис-
пользуемых физически реализуемых последовательностей сов-
местно с их областями сходимости приведены в табл. 11.1. Пред-
положим, что в основном работа осуществляется в той части
z-плоскости, где определены z-преобразования всех применяе-
мых последовательностей и, следовательно, можно не рассма-
тривать проблемы, связанные с определением области сходи-
мости.
Из табл. 11.1 следует, что z-преобразование последователь-
ности представляет собой рациональную функцию либо z, либо
z~'. Таким образом, если известны полюсы и нули z-преобразо-
вания X(z) последовательности х(п), то можно легко создать
X(z) с точностью вплоть до постоянного множителя. Например,
если pi, р2, ..., рк — полюсы, a Zi, z2, ..., zm— нули X(z), то
можно записать X(z) в виде сомножителей следующим образом:
М IN
X(z) = aII(l — ггг_,)/11 (1 — pkz~1) или (11.40a)
1=1 / fe = l
M IN
Z (z) = azfW-^ П (z — zz) /П (г-pj, (11.406)
i-i /
где a — постоянная величина. Для цифровых фильтров пред-
почтительнее использовать выражение (11.40а), поскольку
’) Область сходимости можно также определить и в г-’-плоскости. Для
физически реализуемой последовательности область сходимости расположена
внутри определенного круга с радиусом 1< в а_*-плоскости. Например, об-
ласть сходимости экспоненциальной последовательности из примера 11.4 в
г-1-илоскости лежит внутри круга с радиусом |а|~‘, как показано на
рис. 11.5, б.
2) Полюс {нуль} z-преобразования функции Л(г) расположен в точке z(
в z-плоскости, где X(zi) = oo{X(z,)= 0}f
Таблица 11.1
Пары z-лреобразований некоторых физически реализуемых
последовательностей
Физически реализуемая последовательность х <п) ^-Преобразования физически реализуемых последовательностей Радиус сходимости
{х (п) = 0 для п < 0} оо Х(г) = £ x(n)z-n = — оо оо = £ х(п) г-п п=0 | z |>/? или [г -' К
х (п) — 6 (п) х (п) = 6 (п — ш) X (п) = и (п) х (п) = апи (п) х (п) = пи (п) х (n) = [ап sin ntoT] и (п) 5Т "К? м м 5\Г т т Т ТТ М м N I £ 1 1 М I N | М э 1 S’ а О о -1 » * 2 " II = 8 = 1 - - 1 । - L L II “» II II II II II II — — — о о ° °
х (n) = [a11 cos пв>Т] и (п) a2z~2 — 2az~‘ cos e>T -J- 1 г (г — a cos шТ) z2 — 2az cos шТ -J- a2 1 — az~' cos P = |a|
a2z~2 — 2az~' cos шГ -J- 1
регистр сдвига или элемент линии задержки с отводами реали-
зуют оператор г~*. Производя перемножение в выражении
(11.40а), получаем
М I/ N X
Х(г)=Еогг-1/ 1 + £ bkz~k). (11.41)
Для общего проектирования цифрового фильтра главным обра-
зом применяется уравнение (11.41).
11.2.1. Свойства Z-преобразования
В этом подразделе исследуются различные свойства г-пре-
образования.
Свойство однозначности. Если функции Xi(z) и Х2(г) яв-
ляются z-преобразованиями «соответственно последовательно-
стей %i(n) и х2(п), то X\(z) = X2(z), если и только если Xi(ri) —
— x2(ri) для —оо < п <Z оо. Это означает, что каждой последо-
вательности х(п) соответствует одно и только одно «-преобра-
зование X(z).
Свойство линейности, z-Преобразование — линейная опера-
ция. Если функции Xi(z) и X2(z) являются соответственно г-пре-
образованиями последовательностей Xi(n) и x2(ri), то для
х (п) Д a^Xi (ri) + а2х2 (ri), (11.42а)
где а\ и а2— произвольные постоянные, «-преобразование опре-
деляется следующим образом:
X(z) = alXl(^) + a2X2(z). (11.426)
Пример 11.5. Определить z-преобразование X(z) последовательности
х (п) — [cos nq> + a sin «<р] и (п), (11.43)
где а-—произвольная постоянная, с помощью табл. 11.1.
Решение. Из табл. 11.1 z-преобразования Х4(г) и Хг(г) последователь-
ностей xi(n) = [cos ntp)n(n) и хг(«) = [sin ntp]u(ri) определяются следующими
выражениями:
„ , . 1 — z—1 cos <р
Х1(г) = 5------—т-.--. -, , и (11.44а)
' ' г~2 — 2г-1 (cos (р) + 1 '
v i х z-‘ sin Ф /ц
X2 (z) —- ~ ~~п т: ~rz г ; . (11.446)
v ’ z-z — 2z~‘(cos <р) + 1 ' '
Из свойства линейности получаем
„ , , v , . , V / \ 1 + (a sin (р — cos (р) Z-' ,,,
X (z) = X] (г) + аХ2 (z) =--$ : . (11.45)
г-2 — 2г~* (cos <р) + 1 ' '
Заметим, что выражения (11.45) и (11.29) идентичны при а = 1.
Свойство задержки (сдвига). Если последовательность Xi (п)
имеет «-преобразование Xi(z), то для последовательности
х(п)Дх1(« — tri) (11.46а)
«-преобразование Х(г) представляется в виде
X(г) — z~mXi (z) + X] (— tn) + Xi (— m + I) z~l + ...
... 4-x1(-l)z-"’+l. (11.466)
Для физически реализуемой последовательности Xi(ri) выраже-
ние (11.466) записывается следующим образом:
X(z) = z~mX](z). (11.46в)
Пример 11.6. Пусть цифровая система S задается соотношением
у (п) Ьху (п — 1) + Ь2у(п — 2) = аох (п) + aix (п — 1). (11.47)
Полагая последовательности х(п) и у{п) физически реализуемыми, найти
соответствие между их z-преобразованиямн X (z) н F(z).
Решение. Из свойства задержки получаем z-преобразовапие выражения
(11.47) У (z) + biz~lY (z) + &2г~2У (z) =а0Х (z) + a^-'X (г) или (1 + ^z-’-j-
-Ь Ьгг~2) У (z) — (ао + aiz-1) X (z). Следовательно,
У (z)/X (z) = (ao + а,г-‘)/(1 + blZ-1 + &2z-2). (11.48)
Свойство свертки. Если Xj(z) и X2(z) являются соответ-
ственно ^-преобразованиями последовательностей Xj(n) и х2(п),
то для последовательности
оо
X (rt) — Xi (rt) * Х2 (п) — X xl (k) Х2 —
оо
оо
= Е Х1(п — k)x2(k) (11.49а)
— оо
z-преобразование Х(г) определяется как
X(z) = X1(z)X2(z). (11.496)
Пример 11.7. На вход линейной цифровой системы с постоянными пара-
метрами и импульсной характеристикой Л(н) поступает последовательность
х(п), a A(z) и Щг)—соответственно г-преобразования х(п) и h(ri). Опре-
делить z-преобразование У (г) выходной последовательности у(п) при нулевых
начальных условиях.
Решение. Из выражения (11.17) выходная последовательность у(п) пред-
ставляется в виде у(п) = x(ri)*h(n).
Следовательно, из свойства свертки получаем
У (г) = Н (г) X (г). (11.50)
2-Преобразование Н (z) импульсной характеристики линей-
ной системы с постоянными параметрами называется передаточ-
ной функцией этой системы. Из выражения (11.50) передаточ-
ная функция системы представляет собой отношение 2-преоб-
разований выходного отклика и соответствующего входного
сигнала при нулевых начальных условиях. Например, переда-
точная функция системы 5 в примере 11.6 определяется из соот-
ношения (11.48) выражением
W(2) = y(2)/X(2) = (a0 + n,2-I)/(l +612-' + 622-2). (11.51)
Это означает, что по заданному набору разностных уравнений,
описывающих систему S, можно определить ее передаточную
функцию. Соответственно по известной передаточной функции
системы S
Я (г) = У да (2) =
М /z N
Y^atz-1 ( 1 + £ bkz~k
i-0 / \
(11.52)
можно найти разностное уравнение, характеризующее систему
S следующим образом:
(W \ / М \
1 + S bkz~k ) Y (2) — ( £ aiZ~l I X (2)
fe=l / \i-0 /
N M
У («) + E \bky (n — k) ] = S [a.-x (n — /)] или
Ы i-0
y(n) + bxy (n— 1)4- ... -\-bNy(n — N) =
— aox(n) 4- axx{n — 1) 4- ••• 4- aMx(n — Л4). (11.53)
Таким образом, система S описывается либо разностным урав-
нением, либо передаточной функцией. Заметим; что передаточ-
ная функция единственным образом определяет импульсную ха-
рактеристику системы. Для нахождения однозначной выходной
последовательности системы необходимо знать входную после-
довательность и внутренние начальные условия.
11.2.2. Обратное Z-преобразование
2-Преобразование представляет собой метод исследования
линейных цифровых систем с постоянными параметрами. С точ-
ки зрения анализа желательнее иметь сами выходные последо-
вательности, а не их г-преобразования. Процесс нахождения
последовательности по соответствующей функции переменной z
называется обратным z-преобразованием. Формально обратное
2-преобразование х(п) функции Х(г) определяется соотноше-
нием
X(^)=x:-^j>x(z)zn-1(iz, (11.54)
с
где интеграл в выражении (11.54) представляет собой контур-
ный интеграл по замкнутому пути С. Для простоты путем инте-
грирования может быть окружность С в области сходимости
функции Х(г) в 2-плоскости.
Прямая оценка выражения (11.54) практически крайне за-
труднительна. В основном не используется соотношение (11.54)
для непосредственного нахождения обратного г-преобразования
функции Х(г). В этом подразделе приведены четыре метода на-
хождения выражения (11.54).
Метод вычетов. Если Х(г) является рациональной функцией
переменной г, то выражение (11.54) можно оценить с помощью
теоремы о вычетах, которая устанавливает, что
= S вычетов Fn(z)
с 1 с
во всех полюсах внутри окружности С, (11.55а)
где
Fn(z) = X(z)zn~1, а «=...,- 1,0,1,.... (11.556)
Пример 11.8. Определить с помощью метода вычетов обратное z-преобра-
зование
I 7
X (z) = -j----j- = ——. (11.56)
1 — az~' z — a ' '
Решение. Предположим, что
Fn (г) Д X (z) z»"1 = . (11.57)
Тогда уравнение (11.55) показывает, что последовательность х(п) образуется
суммой вычетов f,(z) во всех полюсах внутри некоторой окружности С. Для
a б
Рис. 11.6. Расположение полюсов функции Fn(z) в выражении (11.57).
с—для п>0; б—для п<0. Обозначения: X— расположения полосов.
простоты выберем окружность С с радиусом большим |<г| в z-плоскости.
При п > 0 замкнутый путь С охватывает только один полюс в точке г — а,
как показано на рис. 11.6, а. Следовательно, из уравнения (11.55а) получаем
х (п) = вычету Fn (г) при z = а
= (z — a) Fn (z) |г=о = гп |2=о = ап для п>0. (11.58)
Для п < 0 функцию Fn (г) можно переписать в виде
Г„(г) = 1/г|,г|(г-д). (11.59)
Это означает, что имеется простой полюс в точке г — а и полюс в точке
z = 0 с кратностью |п|, как показано на рис. 11.6,6. Следовательно,
x(n) = go + £0, (U.60)
где I, и £0— соответственно вычеты Fn (г) в точках z = a и z = 0 *).
*) Вычет комплексной функции G(z) в полюсе в точке z = ро и крат-
ностью п определяется следующим образом:
Ц/(« - 1)1] (dn-‘/dz" -1) [(z - р0)" G (г)]
При n = — 1 получаем )
£„=<*“ a) Fn (z) \z^a = (1/z) |г_о = а~', (11.61а)
Со = zFn (z) |г=0 = [l/(z - а)) 1г_0= - а—1. (11.616)
Следовательно,
^(-l) = 2a + 2o = fl_,-a-1 = 0- (11.62)
При п = — 2 получаем F (z) = 1/z2 (z — а), (11.63а)
ta=(z- fl) Fn (z) l2=a = (*/z2) = a-Z и (11.636)
^0 = d7[zFn{z),Lo“ dz[Z z2(z —a) ]Lo“
1 - Й N И ° II 1 57 1 - к; Л» II о II 1 El 1 ьз (П.бЗв)
Следовательно, x (—2) = a~z — a~2 = 0. (11.63г)
Это приводит к тому, что для каждого п < 0 получаем
£с = -£о. (11.64а)
Поэтому х (п) = 0 для а < 0. (11.646)
Из соотношений (11.58) и (11.64) обратное z-преобразование функции X(z),
заданной выражением (11.56), имеет вид
х (п) = апи (п). (11.65)
Этот результат легко можно проверить с помощью табл. 11.1.
Метод непрерывного деления. Предположим, что функция
Х(г) определяется соотношением
_ а0 + а1г-1 + а2г-2+ ... +aMz~M
b0 + biZ-l+b2z-2+ ... +bNz~N ' * ,
где М N. Тогда делением числителя функции X (z) на ее зна-
менатель получаем2)
Х(2) = х0 + ххг~1 4- х22-2+ .... (11.67)
Из сравнения выражений (11.67) и (11.25) имеем
х (п) — хп для п 0
— 0 для п < 0.
(11.68)
’) См. уравнение (4.48).
2) На каждом этапе процесса непрерывного деления исключается член
z~l с наименьшей степенью.
Пример 11.9. Определить с помощью метода непрерывного деления об
ратное г-преобразование
X (г) = 1/(1 — аг~'). (11.69)
Решение. Деление числителя функции Х(г) на ее знаменатель дает
1 + az'1 -j- a2z~2 + ...
1 — az-1)l
1 — az~l
az~l
az~l — a2z~2
a2z~2 — a2z~2
a2z~2
Следовательно, функцию A' (z) можно записать в виде X (г) = 1 ф- аг~1 ф-
ф- а2г~2 ф- ... или х(п) = апи(п).
Этот метод в основном не обеспечивает нахождения последо-
вательности х(п) при больших значениях п, поскольку достиже-
ние n-го этапа требует длительного процесса деления и, следо-
вательно, используется для нахождения только нескольких
первых членов последовательности.
Метод разложения в степенной ряд. Пусть функция Х(г)
является г-преобразованием последовательности х(п). Опреде-
лим функцию Xi(2-1) следующим образом:
со
(2->) ДХ (г) = У, x(n)z-n.
- оо
(11.70)
Разложение функции Xi(z~l) в ряд Тейлора в окрестности точки
г-1 — 0 дает
*) — “о + а12 1 + «2^ 2+ где (11.71а)
Сравнивая выражения (11.70) и (11.71), получаем
х (п) = ап
= 0
ДЛЯ
для
п^О,
п < 0.
(11.72)
Пример 11.10. Найти с помощью метода разложения в степенной ряд
обратное z-преобразование
X (г) = 1/(1 — аг~').
(11.73)
Решение Из соотношений (11.70) и (11.71)
X, (г-1) = l/О “ аг 1) = Xj (0) + Х?’ (0) z"1 + (1/2') X(2) (0) + ...
... + (1/fel) X^ (0) z-ft + ..., (11-74)
где X, (0) = 1, (11.75a)
xf’<0)A * (_-n| a 1 П (11
iU JL-‘=o (i-^ _1\2 1 i ) 1г~-0
(°) = (dz-1)2 Х> 1)1 - 2“2 = 2a2, (11.75b)
•z-‘=0 (1 — az-1)3
k\ak ~=klak. (11.75г) z“‘=0
(l-az-1)^1
Подставив уравнения (11.75) в формулу (11.74), получим
X(z) = l+az 1 + a2z 24 - ... + aftz ••• или x (n) = anu (и). (11.76)
Метод разложения на простые дроби. Если функция X(z)
записана в виде сомножителей согласно выражению (11.40), то
ее разложение на простые дроби имеет вид
Х(2)~ Чтг+ ... +-, —, (11.77)
1 — ft2 1 — Paz 1—Pnz
где предполагается, что N >• М, а полюсы различны (т. е.
.Pi^Pi при i#=j). Заметим, что & является вычетом функции
X(z) в полюсе, расположенном в точке z — pt. Следовательно,
^^(1-Р/г-’)Х(2) |г=р; для Z = l, 2, ...» N. (11.78)
Поскольку г-преобразование — линейная операция, то и обрат-
ное г-преобразование также линейная операция. Это означает,
что последовательность х(п) можно получить суммированием
обратных г-преобразований каждого члена выражения (11.77).
Таким образом,
* (п) - + ... + и (и) = (Е £гр?) и (н). (11.79)
Формула (11.79) дает исчерпывающую информацию о после-
довательности х(п) при условии, что все полюсы вещественные.
Однако если некоторые или все полюсы комплексные, то из
[соотношения (11.79) не очевидно, что результирующая последо-
вательность является последовательностью с вещественными
[числами.
Предположим, что все коэффициенты функции X (г) — веще-
ственные числа. В этом случае известно, что если полюс pt
комплексный (включая и чисто мнимый случай), то имеется по-
люс pk такой, что
Pk = Pi, (11.80а)
где а обозначает величину комплексно-сопряженную а. Кроме
того, вычеты, соответствующие полюсам pi и р^ также являются
комплексно-сопряженными величинами. Таким образом, имеем
= L (11.806)
Следовательно, сумма z-го и k-vo членов в выражении (11.77)
определяется как1)
2 Re = 2 | 11 Pt Г cos (/Сг + n / pt-), где (11.81a)
ti =ICz I exp (//Q, a (11.816)
Pi = [ Pt |exp(J/pf). (11.81b)
Пример 11.11. Пусть
X(z) = l/(1 — az-‘)(l — bz-1). (11.82)
а) Найти обратное z-преобразование функции X (z) методом разложения
на простые дроби.
б) Определить последовательность х(п), если а = 0,5 + /0,5, а Ь = а.
Решение. Разложение функции (11.82) иа простые дроби дает
* (г) = fci/(l - аг-1)] + K2/(l ~ te-1)], (11.83а)
где полюсы расположены в точках
Pi = a и р2 = Ъ, (11.836)
а соответствующие вычеты определяются как
Ci == (1 — az-1) X (z) |г=а = [1/(1 — &z-1)] |г=а = а/(а — 6) и (11.83в)
?2 = (1 - г*-1) X (г) |г=.ь = [1/(1 - az-1)] [г_ь = - ЬЦа - b), (11.83г)
Следовательно,
X (п) = (£ian + £2г>") и (п) = (- ап — Ь Ьге') и (п) =
(„П-Ц _ дП+1 \
Если
a = 0,5 + /0,5 = V(0,5)z + (0,5)2 ехр (/45°) = 0 707 ехр то (11.85а)
Pi = а = °>707 ехР (/45°)> . 85б,
^=а/(а- а) = 0,5 -/0,5 = 0,707 ехр (-/45°), 1 '
*) Если a = а + jb, а а — величина комплексно-сопряженная а, то a =
= а — jb и а + а = (а + /6) + (а — jb) = 2а = 2 Re [а].
а из уравнений (11.81) получаем
х (П) = (^ап + £26га) и (п) = 2 [ 11 a |" cos (/gi + п /а) и (п) =
= 2 (0,707) (0,707)” cos (— 45° + 45п°) и (п) = (0,707)cos [(п - 1) 45°] и (п).
(11.85в)
Заметим, что можно также получить уравнение (11.85в) непосредственно из
выражения (11.84).
Пример 11.12. Пусть цифровая система S характеризуется следующим
соотношением:
у (п) — Зу (п — 1) + 2у (п — 2) = 2x (п — 1) — 2х (п — 2). (11.86)
Определить отклик нулевого состояния у(п) для входной последовательности
х(п) = 56(и). (11.87)
Решение. Выполняя z-преобразование выражения (11.86), получаем
Y (z) (1 - 3z-‘ + 2z-2) = (2г-1 - 2z~2) X (г) или У (г) = [(2г-1 - 2г-2)/( 1 -
- 3z-‘ + 2z-2)] X (г) = (Юг-1 - 10г-2)/( 1 - 3z~l + 2z~2) = -5 +
+ [(—5z-‘ + 5)/(l-3z-1 + 2z-2)]==-5 + [—5/(1-2z-')]. Из табл. 11.1
следует, что
у(п) = — 56 (ге) — [5 (2)"] и (n). (11.88)
Заметим, что система, описываемая соотношением (11.86), неустойчива.
11.3. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье Х^(е^) последовательности х(п)
определяется следующим образом1):
XF(e/e)A X х(п)е-/”6. (11.89)
Сравнивая уравнения (11.25) и (11.89), можно заключить, что
преобразование Фурье представляет собой 2-преобразование по-
следовательности, которое определяется вдоль единичной окруж-
ности в 2-плоскости, как показано на рис. 11.7. Таким образом,
XF (е/е) = X (г) |г=е/е А X (е&). (11.90)
В последующем Х(е1в) используется для обозначения преобра-
зования Фурье последовательности х(п), где X(z) — г-преобра-
зование от х(п).
Заметим, что для любого целого числа k имеем
е/е = е/(е+2ли (11.91)
Следовательно,
Х’(е/в) = Х[еЛе+2л*)]. (11.92)
*) 0 — вещественная величина.
Это означает, что преобразование Фурье последовательности яв-
ляется периодической функцией переменной 0.
Рис. 11.7. Преобразованием Фурье являются z-преобразования, вычисленные
вдоль единичной окружности.
Пример 11.13. Определить преобразование Фурье последовательности Л (и),
заданной выражением
h(n) = a для 0<п<Л'-1
ill .У<5 )
= 0 для п < 0, п > N — 1.
Решение. Из уравнения (11.89) преобразование Фурье последовательности
h(n) имеет вид
ОО ZV —1
/7(е/е)= £ h (п) е~^п = ае~1вп = а l1 -/е—- = (Н.94а)
Г“ —оо И=0
а ехр (~ i пг) [ехр 0 Пг) ~ехр (~ > T)]/2j
ехр (“11) [ехр (' 4) “ехр (“' т)У2/
— а ехр I — j
О (ТУ — 1) 1 sin (7V6/2)
2 J sin (6/2)
(11.946)
Поскольку числитель и знаменатель правой части уравнения (11.94а) являют-
ся периодическими функциями, так как
1 _ _-/(e+2nfe)w _ , _ -/ew _ -jeN
1 _ е-7(е+2лй) _ j _ е-/ее-/2л* _ j _ e-/e,
и (11.95a)
(11.956)
где k—целое число, то можно заключить, что функция /7(е/е) в выражении
(11.94) является периодической функцией переменной 0.
Рассмотрим линейную цифровую систему с постоянными па-
раметрами, которая характеризуется импульсной характеристи-
кой h(n). Задав входную последовательность х(п), с помощью
свертки по уравнению (11,17) можно определить выходную по-
следовательность у(п) при нулевых начальных условиях. Пред-
положим, что последовательность х(п) определяется как
х(п) — е10п, —оо < п < со, (11.96)
тогда выходная последовательность имеет вид
оо оо
^(п)= £ h(k)x(n — k) = Z h{k)e^~^ =
/get»—ОО k=~OO
ОО
= е/Вп £ h (k) е~'в1г = Н (е10) е^п = Н (е^) х (п), (11.97)
fera —ОО
где 0 — входная экспоненциальная частота1). Множитель
//(е/е) (не зависящий от п) в уравнении (11.97) преобразует
входную экспоненциальную последовательность х(п) (11.96) в
выходную последовательность у(п). Поскольку входная после-
довательность х(п), заданная выражением (11.96), функцио-
нально эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой
О, множитель Н (е/е) называют частотной характеристикой си-
стемы. Другими словами, частотная характеристика Н (е/е) пред-
ставляет собой передаточную функцию H(z) системы 5, вычис-
ленную вдоль единичной окружности в z-плоскости при под-
становке z = e/e для ОгС0<2л2). [Заметим, что H(z) яв-
ляется z-преобразованием, а Н (е/е) — преобразованием Фурье
импульсной характеристики h(n) системы.] Из соотношения
(11.97) следует, что при синусоидальной входной последова-
тельности выходная последовательность получается простым
умножением входного воздействия на частотную характери-
стику системы.
Пример 11.14. Система S описывается выражением вида
у(п) — ау (п— 1) = х(п). (11.98)
Определить выходную последовательность у(п} при следующем входном воз-
действии:
х (n) = cos On. (11.99)
') Если х (/) — е1'"* — непрерывная экспоненциальная синусоидальная
функция, то соответствующая дискретизированная последовательность х(п)
задается соотношением вида х (л) А х (пТ) = е*апТ = е'вп, где 0 А ыТ — циф-
ровая частота дискретизированной последовательности х(п), а Т—интервал
дискретизации.
2) Аналогичные операции производятся и в случае непрерывной системы,
где частотная характеристика fi(jto) представляет собой передаточную функ-
цию системы, а переменная s вычисляется вдоль мнимой оси в s-пло-
скости и при подстановке s = /со, —оо < со < оо. Здесь /?(з)~ преобразова-
ние Лапласа импульсной характеристики H(t) системы.
Решение. Производя z-преобразование уравнения (11.98), получаем
(1 — az-1) У (z)=Jf(z). (11.100)
Следовательно, система имеет передаточную функцию, определяемую как *)
Н (z) Д Y (z)/X (z) = 1/(1 - az-1). (11.101)
Перепишем входную последовательность х(п) следующим образом:
х (n) = cosn0 = (1/2) eine + (1/2) e~inS Д Xi (и) + x2 (n), где (11.102)
Xi (n) Д (1/2) e1Sn и (11.103а)
*г(п) Д (1/2)а~/е". (11.1036)
Из уравнения (11.97) определим отклики t/i(a) и г/г(п) соответственно на
воздействия xt (.п) и х2(п):
у, («) = (1/2) Н (е/е) е1вп = (1/2) [е/п0/(1 - ае~/е)] и (11.104а)
у2 (п) = (1/2) н (е-/е) e~/e"= (1/2) [е-/пе/(1 - ае'6)]. (11.1046)
Поэтому из свойства линейности определяем выходную последовательность
1 ( einB е~1пв \
У («) = Ух (п) + у2 (и) = - I ----г/ё" + --------/Г ) =
2 \ 1 — ае 10 1 — ae'D /
jT е'пв (1 — ае/е) + е~/яе (1 — ае~/е) 1 _
= 2 L (1 - ае~'е) (1 - ас'6) J “
= _1_ Г е'»6 + е~'п6 - а [е/ ("+1) 6 + е-/(»+1>е] Л =
= 2 L 1 — а [е/6 + е~/6] + a2 * * J
cos «0 — a cos [(а + 1) 0]
=-----i-2acos(0)+"a2""- (,L105)
11.8.1. Теорема дискретизации
Основные проблемы цифровой фильтрации связаны с дискре-
тизацией непрерывного сигнала для получения его цифрового
аналога, а также с вопросами его восстановления из цифрового
сигнала. В этом подразделе эти задачи рассматриваются с по-
мощью преобразований Фурье непрерывного и цифрового сиг-
налов 2).
Для непрерывного сигнала х(/), который имеет представле-
ние Фурье вида
оо
£(/) = ( 1/2 л) J X (jo) е'®*do, (11.106а)
— оо
*) Заметим что в примере 11.1 импульсная характеристика Л(п) системы
имееТ вид Л (и) = апи(п), согласно выражению (11.24). Из табл. 11.1 пере-
даточная функция системы (которая является z-преобразованием импульсной
характеристики) определяется уравнением (11.101).
2) За исключением аналоговой частоты со, символ «Л» используется в
случае непрерывной переменной. Йапример, x(t)—непрерывная функция, а
Й(в) — передаточная функция аналоговой системы.
соотношение
X (/со) = J х (0 di (11.1066)
— оо
называется преобразованием Фурье сигнала x(t). Если после-
довательность х(п) определяется как
х(п) = х(пТ), (11.107 а)
где Т — интервал дискретизации, то
fsAl/Г (11.1076)
называется частотой дискретизации. Преобразование Фурье по-
следовательности х(п) описывается соотношением (11.89) сле-
дующим образом:
Х(е'е) = £ х(п)е~/п6. (11.108а)
П=—оо
Поскольку Х(е^е) является периодической функцией переменной
0 с периодом 2л, то уравнение (11.108а) представляет собой раз-
ложение в ряд Фурье Х(е;е), где х(п)— коэффициенты Фурье.
Представление последовательности х(п) через функцию Х(е/6)
имеет вид
х(и) = (1/2л) J X(eiG}e&ndQ. (11.1086)
—л
Поскольку последовательность х(п) получается при дискрети-
зации непрерывного сигнала х(/) согласно соотношению
(11.107), можно найти связь между (/со)— преобразованием
Фурье сигнала £ (/) и X (eie) — преобразованием Фурье после-
довательности х(п). Подставляя в соотношение (11.107а) урав-
нение (11.106а) и при условии, что t — nT, получаем
х(п) = Х(п7’) = (1/2л) J X (/со) е>апТ da =
—оо
оо [(2/г + 1)л]/Г
= (1/2п) eimT а®
k=—<x> [(2fe-l)n]/r
При замене переменной интегрирования
со' А со — (2л/г/Г)
и учитывая, что
gjaiiT — gi 1ш'+(2л/е/Г)1 пТ — gja'nTg]2nkn — gia'nT
(11.109)
(11.110)
(11.11
можно переписать выражение (11.109) следующим образом:
оо л/Г
х(п) = (1/2л) £ $ *(/[“' + ^k'IT)}} е^'пГ da' =
k=~ оо -П/Г
Л/Г оо
= (1/2л) J £ X{j[a + (2nklT)}}e<™Tda, (11.112)
—ZtlT оо
где искусственная переменная со' заменена на другую перемен-
ную интегрирования со. Следующая замена переменной
6 = ©Г (11.113)
позволяет записать уравнение (11.112) в виде
х(п) = (1/2л) J (1/Г) £ X{i[(e/T) + (2nklT)}}e^de. (11.114)
—ST k=—co
Из сравнения уравнений (11.1086) и (11.114) следует, что
оо
X (е1в) = (1/Т) £ X {/ [(0/Г) + (2nk/T)}} или (11.115а)
k— — ОО
Х(е^) = (1/7) £ X{/ [© + (^k/T)}}. (11.1156)
k=* —оо
Заметим, что X[/(со + р)] представляет собой аналог X(/со),
но сдвинутый по частоте. Например, на рис. 11.8, а, б показаны
соответственно X(ja) и X [/ (со + р) ] при условии, что р —поло-
жительное вещественное число. Следовательно, соотношение
(11.115) устанавливает, что частотная характеристика дискрети-
зированной последовательности х(п) представляет собой взве-
шенную сумму бесконечного числа частотно-сдвинутых анало-
гов частотной характеристики соответствующего непрерывного
сигнала х(1). В случае частотно-ограниченного непрерывного
сигнала е полосой соо, т. е.
ОД = 0 для |©|>(©о/2), (11.116)
как показано на рис. 11.9, а, уравнения (11.115) дают различные
возможные функции Х(еТ), приведенные на рис. 11.9,6—г для
случаев, когда интервал дискретизации Т больше, меньше либо
равен 2гт/и0. При1)
7<(2л/©0) (11.117)
*) Соотношение между интервалом дискретизации Т и шириной полосы
сигнала соо в выражении (11.117) называется условием Найквиста. Скорость
дискретизации, или частота fs, такая, что fs Д l/Т = соо/2л, называется ско-
ростью Найквиста,
Х(М
X(j(u> + р)]
Рис. 11.8. Иллюстрации соотношения между функциями Я(/<о) (а) и
Я[/(со + р)] (б).
Рис. 11.9. Частотные характеристики непрерывного сигнала и соответствую*
щих ему дискретизированных последовательностей.
б) <в0Г>2я; в) а>0Т<2Жйо; г) <1>0Г=2л.
выражение (11.115) приводится к виду
Х(е#е) = (1/7’)^[/(е/П] Для |0|=©Г<л. (11.118)
Таким образом, частотные характеристики непрерывного сиг-
нала и его дискретизированной последовательности идентичны
по форме и отличаются только масштабным множителем для
101 л. Этот факт также изображен на рис. 11.9.
Поскольку из уравнения (11.118) следует, что частотные
характеристики непрерывного сигнала и соответствующей дис-
кретизированной последовательности идентичны вплоть до мас-
штабного множителя, то разумно предположить, что, задавая
последовательность х(п) и интервал дискретизации Т, можно
восстановить непрерывный частотно-ограниченный сигнал x(f),
такой, что (з)оТ < 2л, где ©о — полоса, занимаемая восстановлен-
ным сигналом x(t). Другими словами, при выполнении условий
(11.116) и (11.117) возможно восстановление непрерывного
сигнала x(t) из его дискретизированной последовательности
х(п)1). Для иллюстрации этого подставим (11.116) в уравне-
ние (11.106а)
Я(0 = (1/2л) [ X e‘blt Ja==(I/2n) J X (jto) d®. (11.119)
—o° -ao/2
Замена переменной ОДсоТ’ позволяет записать соотношение
(11.119) в виде
(<йоТ)/2
Л(0 = (1/2л) J X[/(O/7’)]exp[/(O//7’)](d0/7’). (11.120)
-(шотуг
Подстановка (11.118) в уравнение (11.120) дает
(аоТ)/2
Л(0 = (1/2л) J X(e/e)exp[/(0//7’)]rf0. (11.121)
-(аоТ)/2
Из рис. 11.9 следует, что если интервал дискретизации удов-
летворяет условию Найквиста (11.117), то
Х(е/е) = 0 для (©0^/2) < | 6 | < л.
(11.122)
*) Заметим, что при невыполнении условия Найквиста восстановление
непрерывного сигнала из последовательности х(п) не дает исходный сигнал
x(t), а сигнал с полосой, удовлетворяющей условию Найквиста при выбранном
дйтервале дискретизации Т.
Исходя из условия (11.122) можно переписать уравнение
(11.121) в виде
31
х(0 = (1/2л) J X (eie)exp[j (et/T)]dt. (11.123)
—ST
Подставляя в соотношение (11.123) уравнение (11.108а), по-
лучаем
Я оо
£(/) = ( 1 /2л) х (п) е~!6п ехр (jSi/Т) d& =
—ST оо
оо ST
= (1/2зт) х(п) ехр[—/0 (п — t/T)] dB =
п— — ОО —я
= (1/2л) £ х (п) -У#) ”] 2 ^111" TZ^.gl =
П=— ОО
= У х(п) ~2/.\п [я(у%т£--. (11.124)
Z-/ 47 — j (п — t/T) 2л ' 7
П== — оо
V sin ГЛ- („г-о]
£(t)= ) х(п)—<
Уравнения (11.124) представляют собой интерполяционную
формулу для восстановления непрерывного сигнала x(i) из за-
Рис. 11.10. Интерполирующий фильтр для формирования непрерывного сиг-
нала из дискретизированной последовательности.
данной дискретизированной последовательности х(п). В частот-
ной области уравнения (11.124) по существу устанавливают, что
частотные характеристики непрерывного сигнала можно полу-
чить, пропуская дискретизированную последовательность через
идеальный фильтр нижних частот с частотой среза ис = л/Т,
как показано на рис. 11.10. Например, если пропустить дискре-
тизированную последовательность с характеристиками, приве-
денными на рис. 11.9, в, г, через идеальный фильтр, показан-
ный на рис. 11.10, то непрерывный выходной сигнал x(t) за-
дается характеристикой на рис. 11.9, а. Заметим, что уравнения
(11.124) получены при условии, что непрерывный сигнал яв-
ляется частотно-ограниченным, согласно условию (11.116),
а скорость дискретизации удовлетворяет критерию Найквиста
(11.117).
Если критерий Найквиста (11.117) не выполняется (скорость
дискретизации недостаточно высока), то отсутствует линейное
соотношение между частотными характеристиками X (/со) и
Х(е/е) соответственно непрерывного сигнала x(f) и дискретизи-
рованной последовательности х(п),как показано на рис. 11.9, а, 6.
В этом случае часть высокочастотной информации в ^(/со) сдви-
гается в область более низких частот X(eie), что иллюстрируется
на рис. 11.9,6 штриховыми линиями. Этот сдвиг информации
называется наложением или эффектом отражения. В этом слу-
чае нельзя восстановить непрерывный сигнал x(t) из соответ-
ствующей дискретизированной последовательности х(п).
11.4. Дискретное преобразование Фурье
В двух предыдущих разделах были рассмотрены два пред-
ставления последовательностей, а именно z-преобразование
и преобразование Фурье. В тех случаях, когда последователь-
ность х(п) периодична либо имеет конечную длительность,
можно получить еще одно представление, которое носит назва-
ние дискретное преобразование Фурье (ДПФ). В гл. 12 пока-
зано, что ДПФ является одним из методов расчета цифровых
фильтров с конечной импульсной характеристикой.
Итак, рассмотрим периодическую последовательность хр(п)
с периодом N1). Тогда
хр (п) = хр (n + mN), (11.125)
где m — любое целое число. В общем случае последователь-
ность хр(п) не допускает ее представления в виде z'-преобразо-
вания, поскольку отсутствует конечное значение z, при котором
оо
Хр(г)= £ Хр(п)г-« (11.126)
—ОО
будет сходиться. В результате этого последовательность хр(п)
не будет обладать также и представлением в виде преобразо-
вания Фурье. Однако, поскольку последовательность хр(п) пе-
*) Все периодические последовательности отмечены индексом р.
риодична, она имеет представление в виде дискретного ряда
Фурье *)
хр(п) = £ Xp(k)el^nlN>kn, (11.127)
/г= — оо
где XP(k) — коэффициенты ряда Фурье. Заметим, что для лю-
бого целого числа т имеем
(11.128)
g/ (2nlN)(k+mh) п — gj |(2л/М) kn+2nmii] — gi (2n/N) kn gj 2mnn — gj (2n/M) kn
Это означает, что запись вида (11.127) содержит избыточную
информацию. Из выражения (11.128) следует, что имеется
только W различных комплексных экспоненциальных частот
в уравнении (11.127), а именно
(2я/?7)/г для А> = 0, 1, 2, .... N- 1. (11.129)
Следовательно, равенство (11.127) можно переписать в виде
М-1
X (п) = (1/N) 2 Хр (k) el к“, (11.130)
fe=0
где l/N — нормирующий множитель.
Умножая уравнение (11.130) на ехр[—j2nmn/N] и сумми-
руя по п за один период, получаем
М-1 М-1 М-1
у xp(n)e-l^n,N>mn — (1/N) Е Е Xp(k)ei{2n'N)n[k~rn'> =
n=0 n=0 k—0
/V-l /V-l TV —1
= (1/A^) E Xp(k) E e/(2n/M)„(A-m)= 2 x„(k)6(k-m), (11.131a)
k=0 n=0 k=o
где использовано следующее соотношение:
м-i
V е/(2л/М)п(й-т) = Д/ При k—tn
«=о (11.1316)
= 0 при Л =И= т.
Из равенства (11.131а) коэффициенты ряда Фурье в выраже-
нии (11.130) определяются как
М-1
Х„ W = Е хв (и) е-1 <2я/")кп. (11.132)
__________ п=0
) Напомним, что в случае непрерывных сигналов, периодический сигнал
.£₽(/) с периодом Т имеет следующее представление в виде ряда Фурье:
Лр(/) = Е где о = 2зт/7. Если t = п, а Т = N, то получа-
k=— оо
ется представление в виде ряда Фурье (11.127) периодической последова-
тельности.
Необходимо отметить, что уравнения (11.132) и (11.130) ана-
логичны по форме. Следовательно, можно сделать вывод, что
последовательность Xp(k) периодична с периодом N. Представ-
ление Xp(k) в виде дискретного ряда Фурье задается выраже-
нием (11.132), где Xp(ri) — коэффициенты ряда Фурье. Равен-
ство (11.132) называется дискретным преобразованием Фурье
(ДПФ) последовательности хр(и), а равенство (11.130) — об-
ратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ) последо-
вательности ^р(й)1).
Пример 11.15. Имеется периодическая последовательность хр(п) вида
Хр(п.) = сЛ для —1 и хр (п + mN) = хр (п), (11.133)
где m— целое число. Определить ДПФ последовательности хр(п).
Решение. Из уравнения (11.132) следует, что
N-1
v-i . I _„Np-H2nkfN)N
X„(k) = У a«e-/(2«feW)n = J_J_e-------- ..
1-я"
1 _ ae~i (W) •
(11.134)
Обратим внимание, что Хр (k) действительно периодична с периодом N,
поскольку
,, , .п l~aN
Хр (k + mN) j _ д £хр [— ]2ft (fc mN)/N]
__________________1-я"____________• = 1-я" = ~
1 — а ехр (— ]2nk/N) ехр (—j2nm) 1 — а ехр (—j2nk/N) р
Заметим, что в обоих уравнениях (11.130) и (11.132) ДПФ
и ОДПФ периодической последовательности можно определить
только за один период. Рассмотрим последовательность ограни-
ченной длительности2) х(п), заданную следующим выраже-
нием:
х (п) == хр (п) для
== 0 для
0<n<W—1
п < 0, п> N — 1.
(11.135)
Таким образом, здесь х(п) представляет собой один период по-
следовательности Хр(п). В этом случае существует X(z) — z-пре-
образование последовательности х(п) и
оо N— 1
Х(г) = У, x(n)z~n = хр(п)2~п. (11.136)
П= —оо П = 0
*) Символ «~» обозначает переменные ДПФ.
2) Последовательность х(п) имеет ограниченную длительность, если
х(п)—0 при п sC Л\ и п 5г Nz, где М и N%— целые числа, такие, что
—оо < N1 < Nz < оо.
Сравнение выражений (11.136) и (11.132) показывает, что соот-
ношение между z-преобразованием х(п)—первого периода по-
следовательности хр(п) — и ее ДПФ имеет вид
Xp(k)=^X(Z) l2=expMI = ^(^w). (П.137)
С другой стороны, ДПФ последовательности хр(п) представляет
TV-точечную дискретную последовательность, полученную из
преобразования Фурье функции X(efe) при постоянном интер-
вале переменной 9 для 0 < 6 < 2л, поскольку соотношение
(11.137) можно переписать как
Xp(k) = X(e^)\e^klN, 6 = 0, 1, 2, .... TV— 1. (11.138)
Пример 11.16. Имеется ограниченная последовательность вида
х(п) = ап для 1
, _ (11 • 1 оУ J
= 0 для п < 0, п> N — 1.
Определить ДПФ периодической последовательности хв(га), такой, что
хр («) = аП Для 0 п N — 1 и
хр(п+ mN) — хр(п), где т— целое число (11.140)
Решение. z-Преобразование и преобразование Фурье последовательности
х(п) имеют вид
W-1
X(z)= £ anz-n = (l - aNz~N)/(l - az"1), (11.141а)
n=0
Х(е>в) = (1 - aNe~lNe)/(l - ae~ie) (11.1416)
Из уравнения (11.138) ДПФ последовательности хр(п) определяется сле-
дующим образом:
X — . 1 - a17 ехр (-j'2nfe)
лр(Н) Х{е )le^2nk/N 1 _ а ехр (— jink/N)
\—aN
= "i------ / -о . где fe = 0, 1, 2, .... JV-1. (11.142)
1 — a exp (— ftnkjN) ’ ’ ’ ’ ’
Пример 11.17. Найти ДПФ периодической последовательности хр(п), где
ХР («) = (1/2)п для 0 п 'С 3 и хр(п + 4т) — хр (п) для всех целых т.
(11.143)
Решение. Определим ограниченную последовательность х(п) следующим
образом:
х(п) = (1/2)п для 0<п<3 (11144)
= 0 для и < 0, п > 3.
Используя результаты примера 11.16 для a = 1/2 и N — 4, получаем
X (е/е) = [1 - (1/2)4 е"/4е]/[1 - (1/2) е"/е] и (11.145)
X^k) = [1 - (1/2)“]/[ 1 ~ (М2) ехр (- jnfe/2)]. (11.146)
При k = 0, 1, 2 и 3 выражение (11.146) дает
Хр (0) = 15/16 15 1 - (1/2) (1) 16 (2) 15'8’ (11.147а)
X (1) 15/16 15/16 (15/16) [1 - (//2)]
М 1 1-(1/2)(-/) 1 + (//2) 5/4
= 0/4) [1 — (J/2)] = (3/8) (2 -j), (11.1476)
X 121 15/16 _15(2Ч_ (11.147b)
1 - (1/2) (-1) 16 1 3 )
V — 15/16 15/16 3 12-Ь А (11.147г)
лр \а) 1 - (1/2) (/) 1 - (//2) 8 1
Хр (4) = Хр (8)= ... =Хр(4т) = Хр(0) = 15/8, (11.147Д)
*р(б) = Хр(9) = ... = Хр (4т + 1) = Хр (1) = (3/8) (2 - /), (11.147е)
Хр(6) = 1р(10)= ... =Хр(4т-]-2) = Хр(2)=5/8, (11.147ж)
Хр(7) = Хр(11)= ... = Хр (4т 3) = Хр (3) = (3/8) (2 + /), (11.147а)
где т — целое число.
Из уравнений (11.137) и (11.138) определим ДПФ X(k)
ограниченной последовательности х(п) длительности N, где
х(п) = 0 для п< 0 и для n^N, (11.148)
следующим образом:
W-1
X (&) = У х (n) e~l2nkn,N для 0 <6 </V — 1
п=о (11.149)
= 0 для k < 0, k> N — 1.
Соответственно ОДПФ Х(&), заданное выражением (11.149),
имеет вид
W-1
х (п) = -~г У X (k) ei2nknlN для 0 < n < /V — 1
N (11.1Б0)
= 0 для п < 0, п > N — 1.
Заметим, что выражения (11.149) и (11.150) представляют со-
бой усеченные аналоги соответственно соотношений (11.137)
и (11.138). Следовательно, можно показать, что ДПФ ограни-
ченной последовательности однозначно, и, таким образом,
ОДПФ является ограниченной последовательностью. Кроме
того, операции, определяемые уравнениями (11 149) и (11.150),
являются взаимообратными. Учитывая условия (11.137) и
(11.138), из соотношения (11.149) получаем
X (А) = X (z) |г=ехр 1;- (2лй/дг)]
= ^(е/0)1е=™ Для 0<6</V-1 (11.151)
= 0 для k < 0, k> N — 1.
Пример 11.18. Найти X(k)—ДПФ следующей последовательности при
а = 1/2 и N = 4:
х(п) = ап для O<n</V-1 (Н152)
= 0 для п < 0, п > W — 1.
Решение. Из выражений (11.141) и (11.151) получаем
\-aN
' 1 — а ехр (— ]2nk/N) (11.153)
= 0 для k < 0, k > N — 1.
При а =1/2 и /7 = 4 уравнение (11.153) дает
X(l) = 15/8, X (2) = (3/8) (2-у), Х(3)=5/8, X (4) = (3/8) (2 + /) и
X(k)=O для k<0 и для fe^4. (11.154)
Соотношение (11.151) можно использовать для определения
ДПФ по заданному z-преобразованию ограниченной последо-
вательности1)- При расчете фильтров в большинстве случаев
ДПФ ff(k) конечной импульсной характеристики /г(п) с дли-
тельностью N отсчетов в некотором смысле задается как исход-
ное требование, и основная задача состоит в нахождении пере-
даточной функции H(z), такой, что R(k) удовлетворяет усло-
вию (11.151), т. е. R (k) представляет собой последовательность,
полученную из частотной характеристики Н(е/е) требуемого
фильтра. С этой целью подставим соотношение (11.150) в z-пре-
образование последовательности /г(п)
N-l JV-1 N-1
Я (z) = Е Е Е W)e/(23lW,*nz~n =
n = 0 n=0 fe=0
N-l
H(k) у
N Li
n-=0
W-l й
ej(2nklN)nz-n — У H
L-i N
fe=0
l—z~N
-1 (. 2л/г \
1-z ‘exp^/—j
(11.155)
Таким образом, задавая /7(6), т. е. набор из /V точек требуемой
частотной характеристики, которые равномерно расположены
*) Эффективная процедура вычисления ДПФ и ОДПФ называется быст-
рым преобразованием Фурье (БПФ), подробное изложение которого приве-
дено в [22].
на единичной окружности в z-плоскости, из уравнения 1.1 о)
можно определить необходимую передаточную функцию цифро-
вого фильтра. Эта процедура называется методом частотной
выборки. Соотношение между частотной характеристикой и
ДПФ ограниченной последовательности определяется при оцен-
ке Н (z) на единичной окружности в z-плоскости следующим
образом:
H-i
H (e/0) = £
fe=0
a
ДГ
1 — exp (— j67V)
1 — exp
_ 2nk
Q~ —
N-1
fe=o
ехр
— ехр
N-l Г 6 1
у H (k) eXpH 1)J
QN
sin 2
л=о
[. nk
!~n-.
sm
^r- (11-156)
N J
6 rtfe
Взаимосвязь между z-преобразованием H(z), частотной ха-
рактеристикой H(eie) и ДПФ R(k) импульсной характеристики
h(n) с конечной длительностью устанавливают соотношения
(11.151), (11.155) и (11.156). В дальнейшем будет показано,
что соотношения (11.155) и (11.156) играют ключевую роль
в разработке метода частотной выборки для расчета и реали-
зации цифровых фильтров с конечной импульсной характерис-
тикой в разд. 12.2 и 13.2.
11.5. Основные функциональные узлы
Ранее было установлено, что цифровой фильтр реализуется
либо программным способом на универсальной или специали-
зированной вычислительной машине, либо аппаратурным спосо-
бом. При любом методе реализации основные принципы испол-
нения цифрового фильтра включают в себя следующие два
этапа: 1) преобразование соотношения между входным и вы-
ходным сигналами цифрового фильтра в алгоритм; 2) исполне-
ние или реализацию алгоритма в виде комбинации основных
операций или в виде цифровой аппаратуры.
Для иллюстрации этих положений рассмотрим цифровой
фильтр, имеющий передаточную функцию вида
H{z) АУ (z)/X (z) == (1 +az-!)/(l + bz~l), (11,157)
где X(z) и Y(z)— соответственно z-преобразования входной
и выходной последовательностей. Для реализации этой переда-
точной функции преобразуем ее в разностное уравнение
у (и) + by (п — 1) — х (и) + ах (п — 1) или
у (ri) = x(ri) + ах(п — Y) — by(n — 1). (11.158)
Из уравнения (11.158) следует, что присутствующий на выходе
сигнал у (п) представляет собой алгебраически взвешенную
сумму входного сигнала и предыдущих значений входного и вы-
ходного сигналов. Реализация передаточной функции (11.157)
эквивалентна выполнению алгоритма (11.158), который требует:
а) единичных задержек, или регистров сдвига, для хранения
Рис. 11.11. Основные функциональные узлы цифровых фильтров.
а—задержки; б—сумматоры; в—перемножители.
предыдущих значений входного и выходного сигналов; б) пере-
множителей, или операций умножения, для обеспечения необ-
ходимого масштабирования или получения взвешивающих мно-
жителей дискретных величин; в) сумматоров, или операций сло-
жения (которые включают также и вычитание), для сложения
различных величин в правой части уравнения (11.158), которые
образуют соответствующие значения выходного сигнала.
И программная, и аппаратурная реализации выражения
(11.157) требуют наличия трех вышеупомянутых составных
частей, а именно задержек, или регистров сдвига, сумматоров,
или операций сложения, и перемножителей, или операций умно-
жения, схематические изображения которых приведены соответ-
ственно на рис. 11.11,а — в. На рис. 11.11 также показаны
соотношения между входными и выходными сигналами этих
трех основных цифровых элементов. В дальнейшем для про-
стоты будем называть их задержками, сумматорами и пере-
множителями.
Следует отметить, что на рис. 11.11 на каждой входной
и выходной линии, подходящей к цифровому элементу, стрел-
кой показано направление прохождения сигналов. Для удобства
предположим, что сумматор присутствует в любой точке соеди-
нения линий и обеспечивает сложение всех подходящих к этой
точке сигналов, как показано на рис. 11.12, а, где выходной
Рис. 11.12. Упрощенные схемы сумматоров (а, б) и перемножителей (в, г).
сигнал у(п) является суммой всех входных сигналов, сходя-
щихся в точке пересечения — узел ф, и имеет вид
У(n) = xt(и) + х2(и) + ... 4-Xf(n). (11.159)
Фактически рис. 11.12, а отражает подробную цифровую схему,
приведенную на рис. 11.12,6. Кроме того, перемножитель имеет
упрощенное обозначение, как показано на рис. 11.12, в, где вы-
ходной сигнал определяется как
у (п) = ах (п). (11.160)
Это обозначение эквивалентно цифровой схеме на рис. 11.12, г.
Отсутствие над стрелкой постоянной умножения просто озна-
чает, что постоянный множитель а равен 1.
Пример 11.19. Найти передаточную функцию цифровой схемы, изобра-
женной на рис. 11.13, а.
Решение. Заметим, что схема, приведенная на рис. 11.13, а, описывает
цифровую схему па рис. 11.13, б. Как показано на рис. 11.13, а, разностное
уравнение и его z-преобразование имеют вид
у (п) + by (и — 1) = ах (п) и (11.161а)
(1 + bz~l) У (г)« аХ (г). (11.1616)
[ХМ]
х(п)
laX(z)-bz 'Y(zjJ
ах(п)-by(n-j')
а
[YMl
у(п)
yln'j
-iy(n-t)
[-tM'YM]
-Ьу(п)
[ЬУЫ]
Рис. 11.13. Цифровая схема.
а—упрощенные обозначения; б—с подробным обозначением элементов.
Следовательно, передаточная функция цифровой схемы на рис. 11.13 опреде-
ляется следующим образом:
Н (г) = У (z)/X (г) = а/(1 + bz~l). (11 162)
В отличие от аналоговых фильтров, где основные пассивные
элементы R, L и С должны иметь положительные вещественные
Рис. 11.14. Нереализуемая структура цифровых фильтров.
значения, здесь постоянные множители вообще не ограничены.
Однако некоторые простые структуры цифровых фильтров мо-
гут обладать неустойчивостью и (или) невозможностью выпол-
нения вычислений. Рассмотрим схему, приведенную на рис. 11.14,
где %i(n), х2(и), x3(n) и х4 (и) — соответственно выходные сиг-
налы сумматоров в узлах 1, 2, 3 и 4. Из рис. 11.14 следует, что
1) для вычисления хДи) необходимо знать х4(п); 2) для вы-
числения х4(и) необходимо знать %з(и); 3) для вычисления
Хз(п) необходимо знать х2(и); 4) для вычисления х2(и) необ-
ходимо знать Xi (и). Эта кольцевая процедура приводит к невоз-
можности выполнения вычислений значений хДп), х2(п), xs(n)
и Xi(n). Отметим, что это происходит вследствие того, что кон-
тур не содержит элементов задержки1). Следовательно, окон-
чательную реализацию цифровых передаточных функций необ-
ходимо проверить на отсутствие контуров без задержки2).
11.6. Устойчивость
Во временной области цифровой фильтр устойчив, если его
импульсная характеристика удовлетворяет условию (11.18). Те-
перь определим условия устойчивости цифровых фильтров
в z-области.
Для этого рассмотрим общую передаточную функцию, за-
данную выражением (11.40), которое для удобства приведено
еще раз:
М IN
Я(г) = аЦ(1 -z.-z-1)/!! (1 -pkz~'). (11.163)
z=i I fe=i
Любой фильтр с передаточными функциями вида (11.163) при
N 1 называется цифровым фильтром с бесконечной импульс-
ной характеристикой (БИХ), поскольку не существует конеч-
ного целого числа L, такого, что
/г(и) = 0 для п > L, (11.164)
где h (п) — импульсная характеристика фильтра. Для цифровых
БИХ-фильтров положим, что
M^N. (11.165)
Это предположение верно почти для всех практических случаев.
Разложение уравнения (11.163) на простые дроби дает
H(z) = ^+ S1 гт + -~ ~т + ... + , -Т-
1 — руг l—p2z 1 — pNz
где
go = а при N — М
= 0 при N > М и
& = (1 — PtZ~l)H(z)\g=Pt при i = 1, 2, ..., N.
(11.166а)
(11.1666)
(11.166b)
*) Контур в цифровых фильтрах всегда направленный.
2) Метод преобразования цифрового фильтра с контурами без задержки
в схему с контурами с задержкой приведен в гл. 13.
Следовательно, импульсная характеристика, соответствующая
выражению (11.163), определяется следующим соотношением:
М«)=[М + ад+ +ё^]м(«) + ё06(«). (11-167)
Ясно, что необходимые и достаточные условия того, что им-
пульсная характеристика, заданная выражением (11.167), удов-
летворяет критерию устойчивости
Е |й(п)|<оо, (11.168)
ГС=-оо
имеют вид | Pi | < 1 для I = 1, 2, ..., N. (11.169)
Это означает, что все полюсы цифрового фильтра расположены
внутри единичного круга в z-плоскости.
Рис. 11.15. Устойчивая цифровая схема к примеру 11.20.
Пример 11.20. Показать, что схема, приведенная на рис. 11.15, устойчива.
Решение. Разностное уравнение, описывающее эту схему, равно
у (и) — а^х (и) + у (п — 1) — 0,5// (и — 2). (11.170)
Передаточную функцию схемы можно получить, применив z-преобразование
к соотношению (11.170):
(1 - z-1 + 0,5z~2) Y (z) = а0Х (z) или
Н (z) A Y (z)/X (z) = ао/( 1 - z-’ + 0,5z~2) = a0z2/(z2 - z + 0,5). (11.171)
Следовательно, полюсы фильтра расположены в точках
= 1_ ± У1 - 4 (0,5) = 1±_М- = 0,5 + /0,5. (11.172)
гм 2 2
Таким образом, функцию H(z) можно переписать в виде
Н = [1 - (0,5 + ;0,5) z-1] [1 - (0,5 - /0,5) z~l] ’ U 1.173)
Поскольку I Pi I = I Р2 I = 0,71, (11.174)
схема иа рис. 11.15 устойчива.
Если передаточная функция цифрового фильтра представ-
лена в виде
Н (z) = «0 + «iZ-1 + (11.175)
что эквивалентно случаю N = 0 в выражении (11.163), то циф-
ровой фильтр называют фильтром с конечной импульсной ха'
рактеристикой (КИХ). Это обозначение используют вследствие
того, что импульсная характеристика, соответствующая урав-
нению (11.175), удовлетворяет следующему условию:
h(n) = 0 для п>М и для п < 0. (11.176)
Таким образом, соответствующая импульсная характеристика
имеет конечную протяженность. В этом случае отсутствуют по-
люсы, и поэтому этот тип фильтра всегда устойчив.
11.7. Простой пример цифрового фильтра
Рассмотрим /?С-цепь на рис. 11.16, где начальное напряже-
ние на емкости равно нулю. При бВх (0 = 0 для t < 0 выходной
сигнал бВых(0 задается в виде
t
йвых (0 = $ (l/7?Qe-(‘«c>(‘-^BX (T)dT = Й(П * йВх(0, где (11.177а)
о
Л (f) = (IIRC) e-w^ t (11.1776)
— импульсная характеристика /?С-цепи, приведенной на
рис. 11.16. Для понимания основных идей цифровой фильтрации
yx(t)
Рис. 11.1'6. РС-схема.
рассмотрим задачу проектирования цифрового фильтра, кото-
рый обеспечивает такую же функцию обработки сигнала, как
и простой /?С-фильтр нижних частот первого порядка, показан-
ный на рис. 11.16. Поскольку входной сигнал /?С-фильтра
представляет собой непрерывную функцию времени, то первым
этапом является установка АЦП со стороны входа для преоб-
разования входного напряжения йвх(0 во входную последова-
тельность Овх(н). Кроме того, на выходной стороне цифрового
фильтра размещается ЦАП, который преобразует выходную по-
следовательность Овых(н) в непрерывный выходной сигнал
йвйх(0> как показано на рис. 11.17. Здесь узел самого цифро-
вого фильтра является задачей проектирования.
№ АЦП Цифровой филыпр ЦАП
Рис. 11.17. Общее построение цифровых фильтров.
*
Поскольку /?С-цепь на рис. 11.16 описывается дифферен-
циальным уравнением первого порядка
тых/^) + (1/^)йвых(0 = (1№бвх(П и (11.178а)
*вых(0-) = 0, (11.1786)
положим, что и цифровой фильтр на рис. 11.17 характеризуется
разностным уравнением первого порядка
Овых(») = аг'вых(«—1) + ^вХ(«) и цвых(—1) = 0. (11.179)
Применяя к выражению (11.179) «-преобразование, получаем
(1 — аг-1) Квых («) = bVBK («) или
Н (г) А Квых («)/Квх («) = 6/(1 - аг-1).
(11.180)
Следовательно, импульсная характеристика задается в виде
h (п) = Ьапи («).
(11.181)
Из соотношения (11.17) выходная последовательность Увых(я)
цифрового фильтра определяется как
»вых («) = h (п) * цвх (n) = X h(n — k) увх (Л) = £ qan~kvBX (k).
fe=-00 М ,. . .
Приближенное интегрирование выражения (11.177) на основе
замены интеграла конечной суммой прямоугольников с основа-
ниями в Т с дает
йвых (пТ) = £ (T/RC) е~(п~® Йвх (kT). (11.183)
Из сравнения уравнений (11.182) и (11.183) получаем, что если
1) интервал дискретизации АЦП и ЦАП составляет Т с; 2) по-
стоянные а и b в уравнении (11.179), описывающем выбранный
цифровой фильтр, имеют значения
b = TIRC, (11.184а)
й = е-(г/но; (11.1846)
то выходная последовательность оВых(и) цифрового фильтра
представляет собой последовательность, полученную дискрети-
зацией выходного сигнала 6BbIX(0 ^С-фильтра нижних частот,
показанного на рис. 11.16. Цифровой фильтр, обеспечивающий
реализацию разностного уравнения (11.179) с параметрами
nL
а=ехР[^
Блок цифрового фильтра
из рис. П.7
Рис. 11.18. Цифровой фильтр, имитирующий /?С-цепь, доведенную на
рис. 11.16.
(11.184), показан на рис. 11.18. Подставив рис. 11.18 вместо
блока, обозначающего цифровой фильтр на рис. 11.17, получим
схему, имитирующую /?С-цепь на рис. 11.16. Очевидно, что при-
менение к уравнению (11.177) метода численного интегрирова-
ния даст другой цифровой фильтр, показанный на рис. 11.18.
11.8. Анализ цифровых фильтров
В этом разделе приведен простой метод анализа схем циф-
ровых фильтров. Этот метод аналогичен анализу аналоговых
схем по методу узловых напряжений. В действительности он
обладает многими отличительными особенностями, а именно:
простотой формулировки, легкостью машинного исполнения, эф-
фективностью вычисления благодаря применимости разрежен-
ных матриц.
Рассмотрим цифровую схему S с одним входом и одним вы-
ходом, содержащую N + 2 узлов и b ветвей. Пусть узел 0 яв-
ляется входным узлом (или источником), узел N + 1 — выход-
ным (или стоком), а ха(п)— переменной, относящейся к выходу
сумматора в узле а при а = 1, 2, ..., N. Пусть также хвх(п) —
входная, а хВЫх(п)—выходная последовательность и, наконец,
Xi(z) — z-преобразование последовательности x»(n) для i = 1,
2....N, вх и вых.
В каждом узле а запишем узловое уравнение, описывающее
взаимодействие сигналов ветвей, подходящих к узлу а, где
а= 1, 2, N. В результате получим систему из N алгебраи-
ческих комплексных уравнений
A (z) X (z) = В (z) Хвх (z),
(11.185)
где A(z)— N X (V-матрица, содержащая характеристики ветвей,
B(z) — N XI-вектор, XBX(z)— входной сигнал, a X(z)— N%1-
вектор, состоящий из N узловых переменных:
Х1(з)"
X2(z)
XN(z)_
Решая уравнение (11.185) относительно X(z), получаем
X(z) = A-1 (z)B(z)Xbx(z).
(11.186)
Выходное уравнение можно получить, добавив уравнение в узле
(V+ 1
Хвых (2) = с (z) X (z) + D (z) Хвх (z), (11.187)
где C(z)— 1 X (V-вектор-строка и D(z)— скалярная величина.
Подстановка уравнения (11.186) в выражение (11.187) дает
^вых(г) = (СА“1В + Б)Хвх(2) A H(z)ZEX(z), где (11.188а)
Н (z) = С (z) A-1 (z) В (z) + D (z). (11.1886)
— передаточная функция схемы. Следует отметить, что переда-
точную функцию H(z) [или частотную характеристику Н(е>'ё)]
схемы можно получить, находя XBbix(z) [или ХВЬ1Х(е'0)] при
входном воздействии X3x(z) — 1 [или XBX(e/0) = 1 для всех 0].
Пример 11.21. Найти частотную характеристику и передаточную функцию
схемы, приведенной на рис. 11.19.
Решение. Поскольку задачей является нахождение частотной характери-
стики и передаточной функции схемы, то необходимо положить все началь-
ные условия схемы равными нулю. Если функция ХДг) является г-преобра-
Рис. 11.19. Схема цифрового фильтра.
зованием узловой последовательности в узле k при k = 1, 2, 3 и 4, то узло-
вые уравнения имеют вид
X! (z) = Хвх (z) + ptXs (z) X2(z) = p4Xi (z) X3 (z) = z-'X2 (z) Xf (z) = p2Xz (z) + psX3 (z)
ИЛИ
' 1 0 —pt 0 “ “ X, (z) ~ “ 1 ’
— pi 1 00 X2 (z) 0
v , x л Хвх (z). (11.189)
0 —2-1 10 Xs И 0
0 — p2 — ps 1 _ _ X4 (z) _ _ 0 _
Выходное уравнение определяется как
•Хвых (z) = X4(z). (11.190)
Решая уравнение (11.189) для Xt(z) и подставляя результат в последнее
соотношение, получаем
ХВЫх (z) = [Pi (рг + p3z-‘)/(l — PiPiZ-1)] Хю (z). (11.191)
Следовательно, передаточная функция и частотная характеристика схемы на
рис. 11.19, определяются следующими соотношениями:
Н (z) = XBblx (z)/XBX (z) — pips (1 +-^- z-1)/(l — P1P4Z-1) и (11.192а)
Н (е/0) =PiP2[l +ехр (—j6)]/[l — ехр (— /6)]. (11.1926)
ЛИТЕРАТУРА
1. Rabiner L. R., Rader С. М., Digital Signal Processing, New York. IEEE
Press, 1972.
2. Steiglitz K., An Introduction to Discrete Systems, New York, Wiley, 1974.
3. Bogner R. E., Constantinides A. G., Introduction to Digital Filtering, New
York, Wiley, 1975. [Имеется перевод: Введение в цифровую фильтрацию.
Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера. А. Константннидиса. — М_: Мир, 1976.]
4. Digital Signal Processing Committee of IEEE Acoustics, Speech and Signal
Processing Society, ed., Digital Signal Processing II, New York, IEEE
Press, 1975.
5. Oppenheim A. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Englewood
Cliffs, N. J., Prentice-Hall, inc., 1975. (Имеется перевод: Оппенгейм А. В.,
Шафер Р. В., Цифровая обработка сигналов. — М_: Связь, 1979.]
6. Rabiner L. R., Gold В., Theory and Application of Digital Signal Processing,
Englewood Cliffs, N, J., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Рабн-
нер” Л., Гоулд Б., Теория и применение цифровой обработки сигналов,—
М.: Мир, 1978.]
7. Peled A., Liu В., Digital Signal Processing, New York, Wiley, 1976.
8 Leon B. J., Bass S. C., Designer’s Guide to Digital Filter Parts 1—6, EDN,
' Jan, 1974, 30—36; Feb., 1974, 65—72; Mar., 1974, 51—59; Apr., 1974, 57—62;
May, 1974, 61—68, and June, 1974, 69—75.
9 Kuo F. F., Kaiser J. F., System Analysis by Digital Computer, New York,
’ Wiley, 1966.
10. Gibbs A. J., An Introduction to Digital Filters, Australian Telecommunica-
tions Research, 3, 3—14 (1969).
11 Rosenfeld A., Picture Processing by Computer, New York, Academic Press,
1969.
12. Flanagan J. L., Rabiner L. R., Speech Synthesis, New York, Dowden, Hu-
chington and Ross, 1973.
13. Cadzow J. A.. Discrete Tame Systems, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall,
Inc., 1973.
14. Peled A., Liu B., A New Hardware Realization of Digital Filters, IEEE
Trans. Acoustics. Speech, Signal Processing, ASSP-22, 456—462 (1974).
15. Liu B., Effect of Finite World Length on Accuracy of Digital Filters —
A Review, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 670—677 (1971).
16. Fettweis A., On the Connection Between Multiplier Word Length Limitation
and Roundoff Noise in Digital Filters, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-19,
486—491 (1972).
17. Yakowitz S., Parker S. R., Computation of Bounds for Digital Filter Quanti-
zation Errors, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-20, 391—396 (1973).
18. Crochiere R. E., A New Statistical Approach to the Coefficient Word Length
Problem for Digital Filters, IEEE Tians. Circuit and Systems, CAS-22,
190—196 (1975).
19. Mitra S. K., Sherwood R. J., Estimation of Pole-Zero Displacements of
Digital Filter due to Coefficient Quantization, IEEE Trans. Circuit and Sy-
stems, CAS-21, 116—124 (1974).
20. Corsini P., Frosini G., Structures for Evaluating the Discrete Fourier Trans-
form on Staggered Blocks, IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Proces-
sing, ASSP-24, 128—131 (1976).
21. Bongiovanni G., Corsini P., Frosini G., Procedure for Computing the Dis-
crete Fourier Transform on Staggered Blocks, IEEE Trans. Acoustics, Sig-
nal Processing, ASSP-24, 132—137 (1976).
22. Brigham E. O., The Fast Fourier Transform, Englewood Cliffs, N. J., Pren-
tice-Hall, Inc., 1974.
23. Jury E. L, Theory and Application of the Z-Transform Method, New York,
Wiley, 1964.
ЗАДАЧИ
11.1. Определить отклики на единичный импульс и единичный скачок сле-
дующих систем:
а) У (п) — 0,5# (п — 1) = х (п); в) у (n) + 2у (п — 1) = х (п);
б) У («) + 0,5# (п — 1) = х (п\, г) у (п) — 2# (п — 1) — х (п);
д) У (.п) — 0,5# (п — 1) — 0,5# (п — 2) = х (п);
е) У («) + 0,5# (п — 1) — у (п — 2) = х (п) + х (п — 1).
11.2. Предположим, что система 5 описывается разностным уравнением
У (п) + у (п — I) + — у (п — 2) = 2х (п) — х (п — 1), где у(п)— выход-
ной, а х (п) — входной сигнал.
а) Найти передаточную функцию системы 5.
б) Оценить устойчивость системы S.
в) Определить, является ли система 5 физически реализуемой. Для
у(—1)= у(—2) = 0 найти последовательность у(п), если
г) х(п)= б(п) — последовательность единичный импульс.
д) х(п) = и(п)—последовательность единичный скачок
е) х (п) = 2м (п) + 56 (п).
11.3. Найти обратное z-преобразование следующих функций X (г);
1 1 + 2z~1
Х = 1 —0,75z-‘ + 0,125z-2 ’ Х (z) = 1 + 0,5z-> + 0,5г~2 ’
... Yt~x 2z-1 . xvtx 2 + z-'+z-2
б) X (z) J _ 0>25z_2 . r) X (z) J + z-1 + Q 5z_2 ;
1 Z"~ i
д) x = (1 + Z-1) (1 + o,4z-' - 0.1Z-2):
. у M — -________1 — 3z-1 + 2z~z______
’ '' (1 + 0,5г-1) (1+0,1г-1+ z-2)’
ж) X (z) (1 + 0>gz_, + 0 5z_2) (1 _ 0 752,_i + 0>125z-2) :
s)
и)
X Ы (l-z-'Xl+OJSz-'+z-2)
V ’ (1 + O.lz-1 + z-2) (1 + z-1 + 0,5z-2) ’
y („X = 1-z-1 1 + 0,75г-1 + z-2
K 1 1 + 0,1г-1 + z-2 1 + г-1 + 0,5z-2 '
к) X (z) j + 0 5z_, + 0>5z_2 + j _ 0>75z_i + 0>125z-2 '
11.4. Цифровой фильтр описывается следующим уравнением: у (м)+~^- у (n—1)—
—5" У (я — 2) = х (и), где у (и) — выходной, а х (и) — входной сигнал.
О
а) Найти передаточную функцию цифрового фильтра.
б) Определить последовательность у(п) для х(п) = ехр(—п)и(п) и
У(— 1) =У(—2)= 0.
в) Определить последовательность у(п) для х(п) = пи(п) и у(—1) =
= y(-2)=0.
г) Повторить пп. б) и в) для у(—1)= 1 и у(—2)= 0.
11.5. Вычислить свертку следующих двух последовательностей:
(п) = п + 1
= 0
для
для
0^м^ 1
п < 0, п > 1,
Х2 (п) = п2 для 0 С м < 2
= 0 для п < 0, п > 2,
а) используя формулу свертки;
б) используя прямое и обратное z-преобразования.
11.6. Цифровой фильтр задается уравнением вида y(n)-\-biy(n—1)+
4- b2y(n — 2) =х(п).
а) Найти передаточную функцию W(z)= У(г)/Х(г) фильтра.
б) Определить импульсную характеристику фильтра h(n) при — 0,5
и Z?2 = 0,4.
в) Определить переходную характеристику фильтра s(n) при bt = 0,3
и Ь2 = 0,4.
г) Определить последовательность у(п) при bi = 0,2 и Ь2 = 0,5, если
у(— 1) = У(—2) = 0 и х(п) = п для —I sg n sg 1, и х(п)=0 ДЛЯ
п < —1, п > 1.
11.7. Цифровой фильтр описывается следующим уравнением:
у (п) — у (п — 1) 4- -i- у (п — 2) = х (п — 1) + х (п).
а) Найти импульсную характеристику h (и) для импульсной последо-
вательности х(п) = п при —1 sg д ag 1 и х(п) = 0 при п < —1, п > 1.
б) Определить последовательность у(п) с помощью свертки.
в) Найти последовательность у(п) на основе прямого и обратного
z-преобразований.
Рис. 3.11.8.
11.8.
На рис. 3.11.8 приведена аналоговая цепь.
а) Найти импульсную характеристику H(t).
б) Определить последовательность h (ft) /г (пТ) для интервала дис-
кретизации Т = 0,1 с. Найти z-преобразование h(n).
в) Найти частотную характеристику последовательности h(n).
г) Нарисовать амплитудно-частотную характеристику h(n).
Юм
Л
уех л/гч1 -
Рис. 3.11.»
11.8. Исследовать аналоговую цепь, показанную на рис. 3.11.9.
а) Найти импульсную характеристику
б) Определить h (п) /г (пТ) для Т — 0,1 с. Найти z-преобразова-
ние h(n).
в) Найти частотную характеристику h(n).
г) Найти разностное уравнение, соответствующее результатам, получен-
ным в п. б).
д) Определить установившийся отклик бвыв(0 цепи, показанной на
рис. 3.11.9, для входного сигнала бвх(0 = cos Л
е) Определить соответствующий установившийся выходной сигнал
оВых(и) для входного сигнала овх (п) (пТ) дискретизированной
системы, полученной в п. г).
11.10. Цифровой фильтр характеризуется следующей передаточной функций:
Ц(г)== У(х)/Х(г)== 1/(1— 0,5z-i + 0,5z-*).
а) Найти частотную характеристику фильтра.
выходное
значение
У(п)
для
входного
выходное
выходное
выходное
выходное
значение
значение
значение
значение
У(п)
У(п)
у(п)
У(п)
для
для
для
для
входного
входного
входного
входного
б) Определить установившееся
сигнала х(п) = exp(jn).
в) Определить установившееся
сигнала х(п) = ехр(—jn).
г) Определить установившееся
сигнала х(п) = cos п.
д) Определить установившееся
сигнала х(п)= cosnn/2.
е) Определить установившееся
сигнала x(n)= cosO.lo.
ж) Нарисовать амплитудно-частотную характеристику фильтра.
з) Прокомментировать результаты, полученные в пп. г), д) и е), на
основе графика из п. ж).
11.11. Определить х, (я) (пТ) и х2 (п) Л2 (пТ), если Д (t) — cos at, а
%2 (0 = cos [со 4- (2зт/Т)] t для ш-1 и Т = 1.
а) Задавая соответствующие значения a, xi(n) и хг(п), построить таб-
лицу (из 3 колонок) н проанализировать полученные результаты.
б) Обосновать, что x(t) = Xi(t) или £(<)= x2(t), если х(п) = х2(п), а
x(t) —аналоговый сигнал, полученный из последовательности х(п) с по-
мощью теоремы дискретизации.
в) Повторить пп. а) и б) для о = 0,1.
г) Как изменятся результаты, полученные в пп. а) и б) при и = 10?
Обосновать.
Рис. 3.11.12.
11.12. Найти наибольший, но еще допустимый интервал дискретизации Т сиг-
нала x(f), для которого графики модуля преобразования Фурье при-
ведены на а) рис. 3.11.12,0; б) рис. 3.11.12,6.
11.13. Сигнал характеризуется преобразованием Лапласа видаА' (s) = 10s/(s2+
+ д/2 • Ю4« + 103). Найти максимальный интервал дискретизации Т,
такой, что эффект наложения меньше, чем; а) 10%, б) 5%, в) 1%,
г) 0,5% и д) 0,1%.
11.14. Проанализировать последовательность л(0).= *(2) = 0,5, х(1)=1,
х(п) = 0 для >1 < 0 и ч > 2.
а) Найти z-преобразование последовательности.
б) Найти преобразование Фурье последовательности.
в) Найти ДПФ последовательности.
г) Для этого случая проверить соотношения (11.151), (11.155) я
(11.156).
11.15. Проанализировать последовательность л(0) = х(5) — 2, х(1) = х(4) = 1„
х(2) — х(3) = 2, х(п) = 0 для п < 0 и для п > 5.
а) Найти z-преобразование X(z) последовательности.
б) Найти ДПФ X(k) последовательности.
Определим периодическую последовательность как
хр (н) — х (/г) для 0 < п < 5,
хр (6т + п) = х (п) для всех целых т.
в) Найти ДПФ •£,-,(£) периодической последовательности \ь(ч).
11.16. Проанализировать последовательность
h (п) — п 4-1 для n=0, 1, 2, 3
= 0 для п < 0, п > 3.
Л Ы) ОСТИ.
Рис. 3.11.17,
в) Найти z-преобразование Hz(z) последовательности h(n), основы»
ваясь на результатах, полученных в п. б).
г) Сравнить функции Hi (г) и Hz(z} и прокомментировать.
11.17. Найти передаточную функцию и частотную характеристику каждой из
цепей, показанных на рис. 3.11.17.
Расчет цифровых фильтров
Подобно аналоговым фильтрам расчет цифровых фильтров
включает в себя процесс нахождения подходящей передаточной
функции, которая должным образом удовлетворяет предъявлен-
ным требованиям. Характеристики цифровых фильтров часто
задаются в частотной области. Частотная характеристика Н(е>в)
цифрового фильтра, определяемая выражением (11.92), яв-
ляется непрерывной функцией переменной 6 с периодом 2л
Н (е'е) = Н [е* <е+'п2л>], (12.1)
где т — целое число. Период обычно выбирается в пределах
от —л до л. Это означает, что если Л(е'е) определена для 6
от —л до л, то она определена и для всех 0. Записывая Н (е'в)
в экспоненциальной форме, получаем
Н (е/е) = | Н (а/0) | (б), (12.2а)
где | Н(е<в) | называется амплитудно-частотной характеристи-
кой, а <р(0) — фазовым углом (запаздывания) фильтра, где
<P(6)A-/We)- (12.26)
Поскольку амплитудно-частотные характеристики представляют
собой четные функции
| Н(Фв) 1 = 1Н(е-1в)\, (12.3а)
а фазовые — нечетные
Ф(е) = -ф(-е), (12.зб)
то достаточно определить частотную характеристику Н(е’в)
цифрового фильтра для 6 в пределах от 6 = 0 до 6 = л вдоль
верхней половины единичной окружности в z-плоскости
(рис. 12.1). Для иллюстрации этой периодичности на рис. 12.2
приведены амплитудно-частотные характеристики идеальных
частотно-избирательных фильтров нижних и верхних частот, по-
лосовых, заграждающих и всепропускающих!), а на рис. 12.3 —
фазовые характеристики фильтров с линейной фазой.
*) Строго говоря, всепропускающий цифровой фильтр является скорее
фазовым фильтром, чем частотно-избирательным.
При расчете фильтров удобнее использовать квадрат ампли-
тудной функции и групповое время, чем амплитудно-частотную
Рис. 12.1. Частотная характеристика цифрового фильтра определяется вдоль
верхней половины единичной окружности.
и фазовую характеристики. Квадрат амплитудной функции за-
дается следующим соотношением *):
| я (е/е) р = H(Z)H (г-1) |2=е/е. (12.4)
Из уравнения (12.4) следует, что если
zk {Р*} = rk ехр [/6fe] (12.5а)
— нуль {полюс} функции Н (z) И (г-1), то
^-1{/’Г1}=(1ЛОехР[- /М <12-56)
также является ее нулем {полюсом}. Поскольку комплексные
нули {полюсы} должны встречаться сопряженными парами, то
можно утверждать, что
Ч {Pfe} = rk ехр [— jGfe] и (12.5в)
(12-5r)
— нули {полюсы} функции H(z)H(z~l). Из соотношений (12.5)
можно сделать следующие заключения:
1. Если Zk = а представляет собой вещественный нуль {по-
люс} функции H(z)H(z~1), то г^1==ц-1 также ее веществен*
ный нуль {полюс}. В частном случае при а = ±1 нуль {полюс}
обладает четной кратностью.
*) Считаем, что функция И (г) содержит только вещественные коэффи-
циенты.
Фильтр
\Н(е'в)\
Награждаю-
щий
\Н(е'в)\
$,paj
Рис. 12.2. Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров нижних
частот, полосовых, верхних частот, заграждающих и всепропускающих.
Рис. 12.3. Фазовые характеристики фильтров с линейной фазой.
2. Если zft — exp [/0ft] является нулем {полюсом} функции
Н (z)B(z-1), то Z“1 = exp[—/0fe] также ее нуль {полюс}. Кроме
того, zk и z;~1 представляют собой нули {полюсы} функции
Н (z) Н (z-1) четной кратности.
3. Если zfe — rk exp [/6fe] при rk 1 и =И= 0 или л — нуль
{полюс} функции Н (z) то r*exp[—/6J, (l/rk) exp [/6J и
(\/rk) exp [— j6fe] также ее нули {полюсы}.
Обозначения-. X встречаются четверками
© » сопряженными парами с четными
кратностями
[Ji « парами
(@) « с четными кратностями
Рис. 12.4. Свойства полюсов и нулей функции
Эти свойства полюсов и нулей квадрата амплитудной функции
//(z)Z7(z-1) иллюстрируются на рис. 12.4.
Групповое время т(0) характеризует задержку отклика
фильтра и определяется следующим образом:
(12.6)
Наиболее желательная характеристика группового времени
представляет собой приблизительно постоянную величину для
частот в полосе пропускания фильтра.
В задачу проектирования фильтров входит нахождение час-
тотной характеристики или передаточной функции, параметры
которых удовлетворяют предъявленным к фильтру техническим
требованиям. Следовательно, в своей основе расчет фильтра
представляет собой процесс нахождения математической ап-
проксимации. Для математической аппроксимации используется
набор базовых функций, которые позволяют систематизировать
методику расчета. Решением задачи аппроксимации является
одна или несколько функций, принадлежащих этому семейству
базовых функций. В случае аналоговых фильтров, рассмотрен-
ных в гл. 8, семейства функций для фильтров Баттерворта, Че-
бышева, инверсных Чебышева, эллиптических и Бесселя яв-
ляются рациональными функциями комплексной частоты s. Эти
семейства выбраны вследствие того, что пассивные и активные
схемы, на которых строится аналоговый фильтр, могут реали-
зовывать передаточную функцию только в виде рациональной
функции. Для цифровых фильтров реализуемые функции пред-
ставляют собой и полиномы, и рациональные функции перемен-
ной z-1. Цифровой фильтр, который описывается передаточной
функцией в виде полинома
Н (г) = его + + • • + aMz~M, (12.7)
называется цифровым фильтром с конечной импульсной харак-
теристикой (КИХ-фильтр). С другой стороны, цифровой фильтр,
который задается передаточной функцией в виде рациональной
функции *)
м н
H(z)=^ bkz~k A A (z-')/B (г’1), (12.8)
i=0 k=0
где В (г-1) — отличная от постоянной величина, называется циф-
ровым фильтром с бесконечной импульсной характеристикой
(БИХ-фильтр)2). Для КИХ-фильтров отсутствуют проблемы,
связанные с их устойчивостью и физической реализуемостью,
поскольку все КИХ-фильтры устойчивы и физически реали-
*) В последующем для простоты положим, что для цифрового БИХ-филь-
тра отсутствует нетривиальный общий множитель числителя и знаменателя
передаточной функции. Другими словами, наибольший общий делитель Л (.г-1)
и В(г~1) в выражении (12.8) является постоянной величиной.
2) Основная причина введения этих обозначений состоит в том, что им-
пульсная характеристика, заданная выражением (12.7), является конечной
последовательностью, /г(п)=0 для п > М и п < 0, где М — конечное целое
число; импульсная характеристика функции (12.8)—бесконечная последова-
тельность.
зуемы. Цифровые БИХ-фильтры устойчивы, если все полюсы
функции Ц(г), заданной выражением (12.8), расположены
внутри единичного круга в г-плоскости и физически реализуемы,
если Ьь — первый ненулевой коэффициент знаменателя (т. е.
b0 = *= ... = Ьь-1 = О), а в числителе тогда коэффициенты
равны ао — «1 = • = аь-г — 0. Вследствие того что рассмат-
риваются исключительно физически реализуемые фильтры,
обычно полагают 60=1. Следовательно, общая передаточная
функция цифрового БИХ-фильтра задается в виде
М г N \
Я (г) = Е «гг~7 1 + £ bkz~k) - (12.9)
i«=0 \ /
В этой главе рассматриваются методы расчета цифровых БИХ-
и КИХ-фильтров.
12.1. Расчет цифровых БИХ-фильтров
Для цифровых БИХ-фильтров передаточные функции за-
даются соотношениями вида (12.9). Заметим, что при замене
переменной z на s выражение (12.9) представляет собой пере-
даточную функцию аналогового фильтра. Сходство передаточ-
ных функций цифровых и аналоговых фильтров приводит
к тому, что одним из наиболее целесообразных подходов к про-
ектированию цифровых БИХ-фильтров является нахождение
в некотором смысле цифровых вариантов методов расчета ана-
логовых фильтров. Реализация этого подхода требует разра-
ботки простых алгоритмов, которые обеспечивают переход от
расчета аналоговых фильтров к расчету цифровых1). Это озна-
чает, что расчет цифровых БИХ-фильтров состоит из следующих
двух этапов.
Этап 1. Получение подходящей передаточной функции 7?(s),
которая удовлетворяет требованиям обработки сиг-
нала 2).
Этап 2. Создание процедуры перехода, которая преобразует
функцию 7?(s) в соответствующую передаточную
функцию И (г), для получения метода расчета циф-
рового БИХ-фильтра, удовлетворяющего заданным
техническим требованиям.
Этот двухшаговый алгоритм расчета цифровых БИХ-фильтров
показан на рис. 12.5. Такая методика наиболее целесообразна
*) См. гл. 8, где приведены некоторые способы расчета аналоговых
фильтров.
2) В этой главе символ «А» используется для обозначения переменной
аналоговых фильтров и непрерывных систем.
при проектировании фильтров с типовыми характеристиками,
таких, как фильтры нижних и верхних частот, полосовые и за-
граждающие, для которых имеется хорошо разработанный ап-
парат аналоговой фильтрации. Методам расчета аналоговых
фильтров была посвящена гл. 8. Для завершения алгоритма
расчета, приведенного на рис. 12.5, в этом разделе рассматри-
ваются различные методы реализации этапа 2.
Задано: технические характеристики фильтра — > Расчет аналогового фильтра —> Расчет цифрового фильтра
Процедуры
перехода
Рис. 12.5. Двухэтапная процедура расчета цифровых БИХ-фильтров.
Поскольку рассчитанные на этапе 1 аналоговые фильтры
удовлетворяют требованиям обработки сигнала, необходимо
иметь уверенность, что полученные цифровые фильтры также
обладают всеми требуемыми свойствами, включая частотные
характеристики, т. е. поведением амплитуды и фазы аналоговых
фильтров. Вследствие этого желательно, чтобы процедура пере-
хода на этапе 2 удовлетворяла следующим двум условиям г):
Условие 1. Мнимая ось s-плоскости (s = /со для —сю <
< со < оо) отображается в единичную окружность в г-плоско-
сти (г = е/е для —л < 6 л) (рис. 12.6, а). Формально это
условие записывается в виде* 2)
{s = /со | — оо < со < оо}->{г = е/‘е | — л < б^л}. (12.10а
Это свойство необходимо для сохранения частотных характе-
ристик аналоговых фильтров.
Условие 2. Левая половина s-плоскости (Re [s] < 0) отобра-
жается в часть г-плоскости внутри единичного круга (|z|< 1)
(рис. 12.6,6). Формально это условие представляется следую-
щим образом:
{s | Re [s] < 0} ->{z || z | < 1}.
(12.106)
*) Заметим, что желательно, чтобы каждая процедура перехода на эта-
пе 2 удовлетворяла этим двум условиям. Абсолютно необходимым требова-
нием является выполнение условия 2, в то время как выполнение условия 1
не всегда необходимо для реализации подходящей процедуры перехода.
Очень часто такая процедура может удовлетворять условию 1 только на ча-
сти единичного круга в z-плоскости.
2) Символ «->» означает фразу «отображается в».
Рис. 12.6. Два необходимых требования процедур перехода, показанных на
рис. 12.5.
Это условие необходимо для сохранения свойств устойчивости
аналоговых фильтров. Другими словами, процедура перехода
переводит устойчивые аналоговые фильтры в устойчивые циф-
ровые фильтры.
12.1.1. Методы численного интегрирования
Одним из способов проектирования цифровых фильтров на
основе известного расчета аналоговых фильтров является метод
численного интегрирования, в котором производная аппрокси-
мируется некоторыми конечными разностями. В результате
этого дифференциальное уравнение (описывающее аналоговый
фильтр) заменяется на разностное уравнение (описывающее
цифровой фильтр). Эта операция приводит к замене комплекс-
ной переменной s в передаточной функции аналогового фильтра
на комплексную переменную z в передаточной функции цифро-
вого фильтра
S = f(2). (12.11)
Ясно, что различные методы численного интегрирования дадут
различные функции перехода согласно соотношению (12.11)
и, следовательно, различные результирующие цифровые фильт-
ры. В этом разделе рассматривается наиболее простой случай —
аппроксимация Эйлера.
Метод Эйлера аппроксимирует производную по времени не-
прерывной функции d$(t)/dt конечной разностью вида
df) (t)
dt
. т Д (») — Д (к — 1)
\t=nT
(12.12а)
т
где Т — интервал дискретизации, а
y(k)^y(t)\takT (12.126)
для всех целых значений k. В операторной форме уравнения
(12.12) дают
$ = -Ц^АГ(г). (12.13)
В свою очередь уравнение (12.13) устанавливает, что
z=l/(l-s7’). (12.14)
Пример 12.1. Задана передаточная функция фильтра Бесселя нижних
частот
Н (s) = K/(S2 + 3s + 3). (12.15)
Найти соответствующий цифровой фильтр с помощью метода аппроксимации
Эйлера.
Решение. Из уравнения (12.13) соответствующий цифровой фильтр обла-
дает передаточной функцией вида
К
_________________кт2_________________
(1 - 2z-1 + z-2) + ЗГ (1 - Z-1) + ЗГ2 =
= _______________л~г2
" z-2 - (2 + 37) г-1 + (1 + ЗТ + ЗТ2) '
(12.16)
Заметим, что выражение (12.16) можно получить, производя основную аппро-
ксимацию Эйлера производных следующим образом.
Если P(s) и X(s) —соответственно входной и выходной сигналы фильтра
Бесселя, то из уравнения (12.15) получаем
(s2 + 3s + 3)P(s)=KX(s).
(12.17а)
Следовательно, дифференциальное уравнение, характеризующее аналоговый
фильтр Бесселя, задается соотношением.
+ 3(/) = Ю- (12-17б)
Lil
При
у (п)Д±р (/) \t=nT и (12.18а)
z(ra)A*(0lf=n7 (12.186)
аппроксимация Эйлера производных дает dp | у (п) — у (п — 1) (12.18в) и (12.18г) -1)7
dt | dy I it^nT Г У (n— 1) — у (n — 2)
dt |i=(, d2p i-1)7 Г dp 1 dy 1 dt lt=nT dt |f=(n-
dt j If=n7 Г У (я) — у (я — 1) у(п— 1) — у(п — 2)
Г Г
Г
г/ (га) — 2г/ (га — 1) + г/ (т — 2)
Подставляя уравнение (12.18) в формулу (12.176), получаем
(1/Г2) [у (я) — 2у (п — 1) + у (я—2)] + (3/7) [у (п)—у (га—1)] + Sy (п)^Кх (га)
ИЛИ
(1 + ST + ЗГ2) у (га) - (2 + ST) у (га - 1) + у (га - 2) = КТ2х (га). (12.19)
Передаточную функцию результирующего цифрового фильтра получаем с по-
мощью z-преобразования выражения (12.19)
[(1 + ST + ЗГ2) - (2 + ЗГ) г-1 + г-г\ У (z) = КТ2Х (z)
или
н ,у. A Y (z)____________________КТ2________________
(Z) z-2 - (2 + ЗГ) z~l + (1 + ЗГ + ЗГ2) •
На постоянном токе, т. е. при 6 = 0 имеем
2-1 = е-/е=1, (12.21а)
а уравнение (12.20) дает
Н (е~1в) = K/S. (12.216)
Таким образом, характеризуемый уравнением (12.20) цифровой фильтр обла-
дает таким же усилением на постоянном токе, как и исходный аналоговый
фильтр, заданный выражением (12.15).
Отметим, что описывающее цифровой фильтр соотношение
(12.20) представляет собой только аппроксимацию аналогового
фильтра (12.15). Для оценки качества этой аппроксимации рас-
смотрим оба условия (12.10) для процедуры перехода Эйлера,
Согласно условию (12.14), мнимая ось s-плоскости отобра-
жается в
1 1-.1О-<оП + | + 4(/с»П
г— 1-/соГ 1 —/соГ —
___L . 1 < i + /д»т>
— 2 2 к 1 - j&T )
~ _ 1 == 1 ( 1 +i<s>T > < 1 + iaT А _
z 2 2 k 1 - ja'T J k 1 + jal ) ~~
ИЛИ
1 г 1 — (co Г)2 + 2jaT 1
2l l + loT)2 J“
1 \Z[1-(co7')2]2 + [2co7’]2
2 1 + (co?)2
Г. . 2соГ 1
exp [/arctg 1_(юГ)2] =
1 Г, , 2&T 1
= уехр[/arctg
Из уравнения (12.22) следует, что
* I 1 I 1
I z — у — у Для всех ®,
(12.22)
(12.23а)
а фазовый угол у(©) для [z— (1/2)] определяется как
у (©) A arctg у_!”юГ)2 • <12.236)
Как показано на рис. 12.7, функция у(©) изменяется от —л
до л для © от —-оо до оо. Это приводит к тому, что изображение
Рис. 12.7. Фазовые характеристики у (со), заданные уравнением (12.236).
мнимой оси s-плоскости представляет собой окружность с ра-
диусом 1/2 в z-плоскости и с центром, расположенным в точке
z = 1/2 (рис. 12.8). При
Re [sj ~ Re [о 4~/со] — а < О (12.24)
Рис. 12.8. Результаты процедуры перехода Эйлера из s-плоскости в z-плоскость.
процедура перехода (12.14) дает z — 1/(1—oT’ + ycoT’), и, сле-
довательно,
|z|== _______-1........ <-----!----<1. (12.25)
V(1 -а7’)2 + (<о7)2 |1- сгГ | ’
Это означает, что левая половина s-плоскости переходит внутрь
единичного круга z-плоскости1). Таким образом, условие 2
(12.106) удовлетворяется.
Как следует из рис. 12.8, условие 2 (12.106) удовлетворяется,
в то время как условие 1 (12.10а) полностью не обеспечивается.
Однако при малых |01, таких, что 101 АО (рис. 12.8), про-
цедура перехода (12.13) достаточно близко соответствует усло-
вию 1. Следовательно, метод перехода Эйлера (12.13) обеспе-
чивает удовлетворительные результаты для работы в области
низких частот и фильтров нижних частот. Другими словами, ре-
зультирующий цифровой фильтр нижних частот, полученный
с помощью процедуры Эйлера, будет обладать частотной харак-
теристикой в полосе пропускания, аналогичной характеристике
исходного аналогового фильтра, при условии, что интервал дис-
кретизации Т достаточно мал.
Если вместо простой аппроксимации Эйлера (12.12) произ-
водная по времени аппроксимируется взвешенной суммой ко-
нечных разностей более высокого порядка, таких, что2)
Lr = т X <12'26>
6=0
где L — положительное целое число, то процедура перехода
имеет вид
L
s^l/T^ akz~k. (12.27)
6=0
В этом случае можно показать, что процедура перехода в выра-
жении (12.27) удовлетворяет условию 2 (12.106) и не удовле-
творяет условию 1 (12.10а). Фактически область или диапазон
значений 0, где выполняется условие 1, уменьшается при уве-
личении порядка аппроксимации L3). Это означает, что любая
аппроксимация производных по времени с более высоким по-
рядком, чем в процедуре Эйлера, не представляет практического
интереса, поскольку в основном не обеспечивает получение хо-
роших результатов, за исключением крайне низких цифровых
частот.
*) Можно показать, что левая половина «-плоскости отображается в
единичную окружность Г с радиусом 1/2 и с центром, расположенным в точке
z=l/2 (рис. 12.8).
2) При L = 1, ао = di = 1 и <Хк = 0 для k > 1 получаем аппроксима-
цию Эйлера
3) См. [12].
12.1.2. Метод инвариантности импульсной характеристики
Процедура перехода от аналоговых фильтров к цифровым
фильтрам называется методом инвариантности импульсной ха-
рактеристики. Эта процедура устанавливает, что импульсная
характеристика h (п) результирующего цифрового фильтра
Задано: набор технических характеристик фильтра Этап 1
Найти передаточную функцию Н (s) аналогового фильтра, удо- влетворяющую заданным характеристикам Этап 2
1
Найти fi (t) — импульсную характеристику аналогового фильтра, полученного на этапе 2 fi (t) = S'-1 [Н (s)] Этап 3
Определить импульсную характеристику h (п) цифрового фильтра в виде h{n)Ah(t)\t=nT Этап 4
1
Найти передаточную функцию Н (г) цифрового фильтра с по- мощью г-преобразования импульсной характеристики, получен- ной на этапе 4, следующим образом: W(z) = J h(n)z~n = f h(n)z~n оо П=0 для физически реализуемых фильтров Этап 5
1
Результат: цифровой фильтр, полученный на этапе 5, удовлетво- ряющий требованиям этапа 1 Этап 6
Рис. 12.9. Процедура расчета по методу инвариантности импульсной харак-
теристики.
представляет собой выборки импульсной характеристики fi(t)
соответствующего аналогового фильтра и определяется следую-
щим образом:
й(п) A^(0|i=„r, (12.28)
где Т — интервал дискретизации. Процедура проектирования по
этому методу показана на рис. 12.9.
Для иллюстрации метода инвариантности импульсной харак-
теристики разложим передаточную функцию Я (s) исходного
аналогового фильтра на простые дроби
М IN N
Я (S) = Е diS4 X hts‘ = £ h/(s - Pt), (12.29)
i—О / i=0 t=l
где полагаем, что N > M 0, bN ф 0, bo ф 0, а все полюсы
различны. Кроме того, для каждого i = 1, 2, ..., N, pi пред-
ставляет собой i-й полюс аналогового фильтра, a gz — вычет
функции /?(s) в полюсе pi. Импульсную характеристику fi(t)
аналогового фильтра можно получить, осуществив обратное
преобразование Лапласа уравнения (12.29), которое дает
(12.30)
1-1
где u(t) представляет собой единичную ступенчатую последова-
тельность. Подставив выражение (12.30) в формулу (12.28), по-
лучаем импульсную характеристику h(n) соответствующего циф-
рового фильтра
N
h («) A fi (0 k=„r = £ ?гЛ(п), (12.31)
i— 1
где и(п) — единичная ступенчатая последовательность. Переда-
точная функция Я (г) результирующего цифрового фильтра
определяется путем нахождения г-преобразования импульсной
характеристики, заданной выражением (12.31), следующим об-
разом:
ОО CO N
И(г)=У Мп)г-” = ^
п*=0 1—1
N оо Af
= У li У (e^V)”= У--------------------(12.32)
Сравнивая выражения (12.29) и (12.32), получаем соотношение
перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам для
метода инвариантности импульсной характеристики, которое
имеет вид
.-.Лркч -гда (|2-33а>
Pi АехрЕД-Г] (12.336)
— полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу анало-
гового фильтра pi.
Пример 12.2. Исходный аналоговый фильтр обладает следующей пере-
даточной функцией:
/7 (s) = 2s/(s + 1) (s + 2). (12.34)
Найти H(z)— передаточную функцию соответствующего пифрового фильтра
с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.
Решение. Запишем функцию Н(s) (12.34) в' виде простых дробей
__о 4
н (s) = TZr + -~i-9-> где <12-35а)
/ц = — 1 и f>s = — 2. (12.356)
Из уравнений (12.33) следует, что H(z) имеет вид
__9 4
Н (*) = Т-----i---г—+ Т-------------Г f ori > (12.36а)
' 1—z—* 1 ехр [—7] 1—г-1ехр[—27]
где Т — интервал дискретизации. Упрощая выражение (12.36а), получаем
— 2 (1 — г—1е-22") + 4 (1 — г-1е-г) _
(1-2-1е-Г)(1_г--1е-2Г) “
2 4- (2е~2Г_4e~T)z~1
-------z V -ил--. =зг^Г (12.366)
1 — (е т + е 2Г)г * 4-е 3Tz 2 *
Пример 12.3. Нормированный фильтр Чебышева нижних частот второго
порядка с неравномерностью в полосе пропускания 3 дБ имеет передаточную
функцию вида
Н (S) = 0,5011887/(s2 + 0,6448996s + 0,7079478). (12.37)
Найти H(z)— передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра
с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.
Решение. Записывая функцию в виде сомножителей, получаем
о , ч 0,5011887
Н — (s + 0,3224498 + /0,7771576) (s + 0,3224498 — /0,7771576) “
- /0,3224498 /0,3224498
s + 0,3224498 + /0,7771576 s + 0,3224498 — /0,7771576 ’ 4 ’
Применение уравнений (12.33) к полученному соотношению дает
Н (г) =________________~/°'3224498_______________+
1 ’ 1 — z-1 ехр [(— 0,3224498 — /0,7771576) 7]
/0,3224498
+ 1 — г-1 ехр [(—0,3224498 + /0,7771576) 7] ~
[— 2е~°’3224498Г0,3224498 sin (0,77715767)] z~‘
~ 1—2г-1е~°’3224498Г cos (0,77715767) 4-e~0,6448996rz~2'
Для 7=1 с из уравнения (12.39) следует, что
____________________________________- 0,32758992-»_________
1 (г> = j _ 1,0328240г-1 + 0,5247152г-2 ’ 1 ‘ '
а для 7 = 0,1 с
„ , ч .... -0,0484797г-1__________
"«.I w j _ 1,9306935г-1 + 0,9375455г-2 ’ '
\HT(eje) | дб &-201д\Нт(е'в)\
Рис. 12.10. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Чебышева второго
порядка с неравномерностью 3 дБ.
----аналоговый фильтр; ---- цифровой фильтр, 7 = 0,1 с;--цифровой фильтр
7=1 с.
Амплитудно-частотные характеристики функций, заданных выражениями
(12.40) и (12.41), приведены на рис. 12.10
Напомним, что |Н(е,е)|—периодическая функция переменной 0 с пе-
риодом 2л, а | Н(/<о) | — непериодическая. Основное различие в свойствах
аналоговых и цифровых фильтров состоит в том, что амплитудно-частотные
характеристики результирующего цифрового фильтра будут отклоняться от
характеристик исходного аналогового фильтра в тех участках, где характери-
стическая кривая достигает точек 0 = л или ы = л/Т, Т — интервал дискре-
тизации. Если интервал дискретизации достаточно мал, то отклонение начнет-
ся в точке, близкой к 0 = л. В противном случае отклонение начнется зна-
чительно раньше. Подходящий случай показан на рис. 12.10. Следует отме-
тить, что частоты среза цифровых фильтров расположены в точках
0С1> 2 = ± асТ — ± Т рад, (12.42а)
где использована информация о частоте среза аналогового фильтра
<ос = 1 рад/с. Эти частоты среза повторяются согласно следующему соотно-
шению;
0С1 2 = ± /г2я рад, где k — любое целое число, (12.426)
Поскольку импульсная характеристика h(n) цифрового
фильтра, полученного на основе метода инвариантности им-
пульсной характеристики, является фактически дискретизиро-
ванным аналогом импульсной характеристики аналогового
фильтра частотная характеристика цифрового фильтра
представляет собой наложенный вариант частотной характерис-
тики аналогового фильтра, как установлено в соотношении
(11.115), и для удобства приводится здесь еще раз:
(12.43а)
(12.436)
Если скорость дискретизации достаточно высока, то эффект на-
ложения минимален. На рис. 12.10 для Т = 0,1 с показано, что
эффект наложения, который проявляется в виде отклонения
частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров,
при 0 < 0 < я трудно различим. Однако при недостаточно вы-
сокой скорости дискретизации, например для случая Т = 1 с
(рис. 12.10), начинает оказывать влияние эффект наложения,
так как видно, что | Hi (е>в) | заметно отличается от |/7(/со) |.
Подставляя s = /со в уравнения (12.43), получаем1)
k= — ОО
оо
H(z)\z=eST = -T X +
оо
(12.44)
Следует отметить, что уравнения (12.44) устанавливают соот-
ношение между передаточными функциями цифрового и соот-
ветствующего аналогового фильтра для случая инвариантности
их импульсных характеристик.
Для исследования характеристик при методе инвариантности
импульсной характеристики на соответствие двум необходимым
*) При очень высокой скорости дискретизации (1/7 очень велико) резуль-
тирующий цифровой фильтр будет обладать значительным усилением. Это
приводит к многим нежелательным результатам, например переполнению.
Из-за этого передаточная функция (12.33) результирующего цифрового филь-
тра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характери-
стики, умножается на нормирующий множитель Т, который понижает уровень
усиления цифрового фильтра до величины усиления аналогового фильтра.
условиям процедуры перехода (12.10) рассмотрим соотно-
шение*)
2 = е®г (12.45а)
и, следовательно, 6 = <о7'. (12.456)
Из рис. 12.11 следует, что горизонтальная полоса с шириной
2я/Г в s-плоскости отображается во всю z-плоскость, т. е.
левая и правая половины этой полосы отображаются соот-
ветственно в части z-плоскости внутри и вне единичной
окружности, а мнимая ось — в единичную окружность. Из
рис. 12.11 можно установить, что источник эффекта наложе-
ния вызывается тем, что переход (12.45) не однозначен* 2).
Например, точки s = 0, s = j(2n/T) и s = j(4n/T) отобра-
жаются в одну точку z—1. Фактически соотношения (12.45)
устанавливают, что аналоговая передаточная функция в каж-
дой полосе шириной 2п/Т накладывается на всю z-плоскость
для формирования цифровой передаточной функции. Таким об-
разом, метод инвариантности импульсной характеристики не
является простым линейным или подобным отображением из
s-плоскости в z-плоскость3). Из-за эффекта наложения метод
инвариантности импульсной характеристики применим только
для фильтров с существенно ограниченной аналоговой частот-
ной характеристикой, которая удовлетворяет условию
| Н (ja>) |~0 для |©|>©в, (12.46)
т. е. в случаях фильтров нижних частот и полосовых.
Как было показано, процедура перехода на основе метода
инвариантности импульсной характеристики задается уравне-
ниями (12.33), которые устанавливают, что расположение по-
люсов pt аналогового фильтра отображается в следующее раз-
мещение:
Pi^lT, г~1, 2, ...» N. (12.47)
Таким образом, соотношения (12.45) устанавливают связь меж-
ду размещениями полюсов аналогового и цифрового фильтров.
Однако абсолютно неверно утверждение, что соотношения
*) Как установлено в уравнениях (12.44), условия (12.45) не являются
соотношением перехода между частотными переменными s .и г при методе
инвариантности импульсной характеристики. Этот факт будет изложен позд-
нее. Однако соотношение (12.45) выявляет существенные свойства процедуры
перехода на основе инвариантности импульсной характеристики наиболее про-
стым способом.
2) Функция f(x) называется однозначной, если f (Xi) ф f (хг) при Xi х%.
®) Линейное отображение имеет следующий вид: у = Ах, а подобное
отображение характеризуется соотношением у — Ах -р Ь.
Рис. 12.11. Свойства процедуры перехода на основе инвариантности импульс-
ной характеристики.
Ke[z]
Рис. 12.12. Диаграммы полюсов и нулей фильтра Лернера второго порядка,
а —вариант аналогового фильтра; б —вариант цифрового фильтра, полученного на основе
метода инвариантности импульсной характеристики.
(12.45) определяют связь между расположениями нулей циф-
рового и аналогового фильтров при инвариантности импульс-
ных характеристик. Подходящим примером является следую-
щий.
Пример 12.4. Задана передаточная функция аналогового фильтра 9
И (s) = (s + a)/[(s + а)2 + 62], (12.48)
где а =0= О и 6 =0= 0. Найти расположение нулей и полюсов цифрового филь-
тра, полученного на основе инвариантности импульсной характеристики.
Решение. Разложение функции Н (s) (12.48) на простые дроби дает
Н («) = —, 1/2, ' г + • (12.49)
s + a + /6 s + a — jb v ’
Передаточная функция соответствующего цифрового фильтра задается со-
гласно (12.33) в виде
н м___________№ , 1/2
1 ' j_e-(a+jb}T z-\ 4“ j _ e-(a-jb}T z-l
1 — (е~аТ cos ЬТ) z-1
-2aTz-2 •
(12.50)
1 — (2е аГ cos ЬТ) z
Из уравнения (12.50) местоположение конечного нуля цифрового фильтра
определяется как
Zi = e~ar cos ЬТ=^ег,т — е~аТ, (12.51)
где zi = —а — расположение нуля аналогового фильтра. Однако полюсы
цифрового фильтра расположены следующим образом:
Pi = e~(a+ib}T = efilT, (12.52а)
p2 = e~{a~ib}T = е^т, (12.526)
где = — (a + jb) и р2 = —(а— jb)— расположение полюсов аналогового
фильтра. Диаграмма размещения полюсов и нулей аналогового и соответ-
ствующего ему цифрового фильтров приведена на рис. 12.12.
Как было установлено, уравнения (12.33) применимы как
к вещественным, так и к комплексным полюсам pi. Однако для
комплексного полюса pi более удобно рассматривать вместе
пару полюсов pt и pi, где черта над переменной используется
для обозначения комплексно-сопряженной величины. Применяя
соответственно уравнения (12.33), получим пары преобразова-
ний для следующих двух случаев второго порядка:
1. Если передаточная функция аналогового фильтра задана
в виде
Н (s) = (s + o\)/[(s + о,)2 + и2], (12.53а)
где полюсы расположены в точках
Р1.2 = —±/®1, (12.536)
то передаточная функция соответствующего цифрового фильтра
имеет вид
тг / . 1 — z~le~OiT cos <в17’
Н (z) ==-------i—Т7------Д - (12.54)
1-2z_1e~a,rcoscol7’ + z 2е 2<71Г ’
*) Фильтр, характеризуемый соотношением (12.48), называется фильтром.
Лернера. Было показано, что фильтры Лериера Обладают фазовой характе-
ристикой с высокой степенью линейности и Приемлемой избирательностью.
Более детально они описаны в работе [16].
2. Если функция Н (s) задана в виде
я (S)=ю i/[(« + °i)2 + ®гь
то из процедуры перехода (12.33) следует, что
гт г \________2~*е~а1Г sin со17'__
1 — 2z-1e-a‘r cos ojT + z-2e~2a‘r
(12.55)
(12.56)
Пример 12.5. Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот третьего
порядка характеризуется следующей передаточной функцией:
(з + [з + (1 + / coj [з + (4 - i <ОС]
Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра Баттер-
ворта третьего порядка с помощью метода инвариантности импульсной харак-
теристики.
Решение. Функцию Н (з) можно записать в виде
Из уравнений (12.33), (12.53)—(12.56) требуемый цифровой фильтр имеет сле-
дующую передаточную функцию:
Пример 12.6. Предположим, что цифровой фильтр нижних частот должен
удовлетворять следующим условиям:
а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет 0,2л рад.
б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе про-
пускания не более 0,1 дБ для 0 < 0 < 0,1л рад.
в) Затухание в полосе задерживания больше 30 дБ для 0,5л < 0 <
< л рад.
г) Амплитудно-частотная характеристика имеет монотонно спадающий
вид для 0 < 0 < л.
д) Интервал дискретизации Т = Юл мкс.
Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.
Решение. На первом этапе необходимо перевести эти цифровые критерии
в аналоговые. Это можно осуществить, учитывая, что, если Т удовлетворяет
критерию Найквиста, уравнения (12.43) приближенно приводятся к виду
я(е/е)=у-Я (12.60а)
и, следовательно,
0 = 0/7’. (12.606)
Согласно соотношению (12.606), искомый аналоговый фильтр должен удовле-
творять следующим требованиям:
а') Частота среза по уровню 3 дБ составляет
<ос = 0,2л/(10л • 10-6) = 20 крад/с. (12.61а)
б') Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе
пропускания лежит в пределах 0,1 дБ для
О < со < 0,1л/(10л-10~6)= 10 крад/с. (12.616)
в') Затухание в полосе задерживания более 30 дБ дли
и > 0,5л/(10л • 10“6) = 50 крад/с. (12.61 в)
г7) Монотонно спадающий вид амплитудно-частотной характеристики
требуется для со 0.
Из критерия г') следует, что необходим фильтр Баттерворта. Следова-
тельно, квадрат амплитудно-частотной характеристики должен иметь вид
1 Н (/®) |2 = 1 /[ 1 + (®/<вс)2«]. (12.62)
Этот фильтр Баттерворта должен удовлетворять следующим двум условиям:
— 101og|/?(/104)|2<0,l и (12.63а)
- 10 log | Н (/5 -104) |2 > 30. (12.636)
Условие (12.63а) устанавливает, .что
10g , , ( 10* \2« 1 + 1 2 X Ю4 ) а условие (12.636) требует, чтобы 10 10g 1 . /5-10* у** 1 + k2-104 ) с 0,01 или n>3, (12.64а) >30 или (12.646)
Следовательно, минимальный порядок фильтра Баттерворта, который удовле-
творяет предъявленным требованиям, равен п = 4. Для п — 4 расположение
полюсов аналогового фильтра Баттерворта с единичной шириной полосы или
частотой среза со = 1 рад/с можно определить из уравнений (8.34) и (8.35)
как
s, 4 = —0,38268 ± /0,92388,
s2 S = —0,92388 ± /0,38268.
(12.65)
Это означает, что передаточная функция нормированного фильтра Баттервор-
та четвертого порядка задается в виде
& , , 1 1
(s - sO (s - s4) (s - s2) (s - ss) (s2+0,76537s+l)(s2+l,84776s+l)’
p 0,92388s+ 0,70711 0,92388s + 1,70711
s2 + 0,76537s + 1 + s2+ 1,84776s + ! ’ (1Л66)
Следовательно, передаточная функция требуемого аналогового фильтра, кото-
рый удовлетворяет критериям а') •—г'), определяется следующим соотноше-
нием:
0,92388cocs + 0,70711а2с 0,92388cocs + 1,7071 Ira^
s2 + 0,76537cocs + a2c s2 + 1,84776cocs + &2C
или
-p (1,84776- 101) s + (2,82844- 10s) (1,84776 • 104) s + (6,82844 - 108)
(S) s2+(1,53074- 104)s+(4-10s) + s2 + 3,69552s + (4-108)
(12.67)
где полюсы расположены в точках
2 = C'V1.4 = — 0,76537 • 104 ± /1,84776 • 104,
Рз. 4 = з = “ !>84776 • Ю4 ± /0,76537 • 104. (12’68)
Приводя соотношение (12.68) к виду уравнений (12.63) и (12.55), получаем
ft _ (1,84776 • 104) [s + (0,76537 - 104)] (0,76537 -104) (1,84776 • 104) ,
s2 + (1,53074 • 104) s + (4 • 108) s2 + (1,53074 • 104) s+(4 • 108) +
(1,84776 • 104) [s + (1,84776 • 104)] (4,46087 - 104) (0,76537 • 104)
* s2 + 3,69552s + (4 • 108) + s2 + 3,69552s + (4 • 108) ' (12’69)
Из уравнений (12.53)— (12.56) передаточная функция требуемого цифрового
фильтра, которая удовлетворяет всем требованиям а)—д), имеет вид
Н (z) = 104 X
( -l,84776+z~1e~°-076537jl [(1,84776 cos 0,184776л)-(0,76537 sin 0,184776л)]
( 1 — гг^-0-076637" cos 0,184776л + г-2е-0,15307^
l,84776+z~1e~0,184776jI [(-1,84776 cos 0,076537л)+(4,46087 sin 0,076537л)] ]
1 — 2z-1e~°’18477eiT cos 0,076537л + 2-2е-°-Зб9552л
= 104 [- 1,84776 + 0,88482г-1] 104 [ 1,84776 - 0,409815г-1]
I — 1,314958г-1 + 0,61823г-2 + 1 — 1,087049г-1 + 0,313179z-2 ‘ ( 2,70)
Следует отметить, что частота среза аналогового фильтра нижних частот
составляет 20 крад/с. Это означает, что аналоговый фильтр эффективно огра-
ничивает около частот <Во/2Д 80 крад/с (рис. 12.13, а). Поскольку скорость
- а
Рис. 12.13. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Баттерворта ниж-
них частот четвертого порядка.
а—аналоговый фильтр, заданный уравнением (12.69); б —цифровой фильтр, заданный
уравнением (12.70).
дискретизации 200 крад/с превышает скорость Найквиста1), не ожидается
проявления эффекта наложения 2). Следовательно, имеем
Н (е/е) ~ у- Н (/ у-) и (12.71а)
0 = со7 (12.716)
для —-л < 0 < л. Из уравнений (12.71) следует, что амплитудно-частотная
характеристика цифрового фильтра подобна характеристике соответствующе-
го аналогового фильтра (рис. 12.13,6).
Следует отметить, что усиление цифрового фильтра на 6 = 0 точно равно
1/7, в то время как усиление аналогового фильтра на <в = 0 составляет 1.
Для исключения влияния этого высокого усиления на конечном этапе расчета
полагается, что передаточная функция цифрового фильтра определяется сле-
’) Скорость Найквиста означает, что интервал дискретизации 7w=2n/<Bo,
или 1/TN = юо/2л.
2) В этом случае ошибка из-за эффекта наложения ~ 0,02% иа постоян-
ном токе.
дующим образом:
Нр (z) A TH (г) =
(л/10) (— 1,84776 + 0,88482г-1) (л/10) (1,84776 - 0,409815г-1)
~ 1 - 1,314958г-1 + 0,61823г-2 + 1 - 1,087049г-1 + 0,313179г-2 ’ (12'72'
Заметим, что усиление функции Не(г) на постоянном токе нормировано
к единице.
12.1.3. Метод билинейного преобразование
Как было показано, эффект наложения в методе инвариант-
ности импульсной характеристики вызывается тем, что отсут-
ствует однозначная функция перехода из s-плоскости в
2-плоскость. Для исключения этого нежелательного эффекта на-
ложения необходимо определить однозначное непрерывное ото-
бражение из s-плоскости в г-плоскость. Одним из таких
преобразований является билинейное преобразование, которое
определяется следующим образом 1):
s = f (г) А (2/7) [(1 - 2">)/(1 + г"1)]. (12.73)
С помощью некоторых алгебраических преобразований можно
найти обратное соотношение
г 1 + (Sr/2) ~ 2 + S7" или (12.74а)
2 = (2 + s7)/(2 — sT). (12.746)
Теперь исследуем свойства процедуры перехода на основе
билинейного преобразования на соответствие двум условиям
(12.10). Сначала рассмотрим мнимую ось s-плоскости. При
s = /о уравнение (12.74) дает
2 + ]ЫТ (2 + jaT)2 4 — (<о7)2 + 4/<о7’
2 ~ 2 - jaT ~ 4 + (<вГ)2 “ 4 + (ЮГ)2
_ У[4 — (оГ)2]2 + (4соГ)2 ( . Г 4<о7 1 j =
~ 4 + (соГ)2 еХр I 1 aFCtg L 4 — («)7)2 J J
= ехр | / arctg [ } А е/е(ю)> где (12.75а)
0(®) = arctg[T^7p-]. (12.756)
Из соотношения (12.75а) следует, что мнимая ось s-плоско-
сти отображается в единичную окружность (где |г|= 1)
в 2-плоскости. В частности, точка 0 + /со в s-плоскости отобра-
жается в соответствующую точку ехр [/6 (со)] в г-плоскости. Как
*) В работе [13] показано, что билинейное преобразование (12.73) обес-
печивает однозначный переход между аналоговыми и цифровыми системами.
и в случае, описываемом уравнением (12.236) и показанном на
рис. 12.7, фазовый угол 0 (со) изменяется от —л до л при изме-
нении со от —со до оо. Следовательно, можно утверждать, что
мнимая ось s-плоскости отображается в единичную окружность
в z-плоскости (рис. 12.14). Другими словами, при билинейном
5-плоскбсг1--------------'"V.... ..... >- z-плоекость
Билинейное преобразование
Рис. 12.14. Свойства процедуры перехода на основе билинейного преобразо-
вания.
z-преобразовании (12.73) условие I (12.10а) удовлетворяется.
Для проверки условия 2 (12.106) допустим, что
s = ff+/®, где (12.76а)
о<0. (12.766)
Тогда уравнение (12.74) дает
_ 2 + sr | 2 + о7 + /юГ , „ . (2 + сГ)2+(<йГ)2
2 — sT ls=a+/(B 2 - аТ - jtoT 11 (2 — оТ)2 + (й?)2 '
(12.77)
Если о < 0, то знаменатель уравнения (12.77) всегда больше
его числителя. Можно сделать вывод, что
|z|<l (12.78)
всякий раз, когда Re[s] = cr<0. Следовательно, условие 2
(12.106) также удовлетворяется (рис. 12.14). Кроме того, можно
показать, что билинейное преобразование (12.73) — однозначная
функция. Это означает, что каждой точке в z-плоскости соответ-
ствует точно одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого
свойства однозначности следует, что отсутствует эффект нало-
жения спектров при билинейной процедуре отображения.
Методика расчета цифровых фильтров на основе метода
билинейного преобразования включает в себя нахождение под-
ходящей передаточной функции Н (s) аналогового фильтра
и применение к ней билинейного преобразования (12.73) или
(12.74) для получения передаточной функции Н (z) требуемого
цифрового фильтра
Щг) = Н (s) U(2/r) (12.79)
где Т — интервал дискретизации. При этом преобразовании бу-
дут сохраняться и частотные характеристики, и свойства устой-
чивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что час-
тотные характеристики аналогового и цифрового фильтров
идентичны, одинакова только их «форма». Например, если ам-
плитудно-частотная характеристика аналогового фильтра моно-
тонно спадает для 0 < со < оо, то соответствующий цифровой
фильтр, полученный с помощью соотношения (12.79), будет об-
ладать монотонно спадающей амплитудно-частотной характе-
ристикой от 0 до л; или если амплитудно-частотная характе-
ристика аналогового фильтра имеет k подъемов и спадов для
О < со < оо, то и амплитудно-частотная характеристика соот-
ветствующего цифрового фильтра будет обладать k подъемами
и спадами.
Пример 12.7. Аналоговый фильтр характеризуется передаточной функцией
вида
И (s) = - р). (12.80)
Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра иа осно-
ве метода билинейного преобразования.
Решение. Из уравнения (12.79) передаточная функция Н (z) требуемого
цифрового фильтра определяется следующим образом:
H(z) = H (s) ls=(2/r) (1_2_1)/(1+г_1) =
________К_________ KT(l+z-')
= 2/1—z-‘\ „ 2(1 —z-1)— flT(l + z~l) =
Т V 1 + Z-1 ) р
А7(1 Ч-z-1)
(2 - рТ) - (2 4- рТ) г-1
-Si-
(12.81)
На рис. 12.15 показаны амплитудно-частотные характерис-
тики аналогового фильтра, заданного соотношением (12.80) при
К = 1 и р =—1, и соответствующего цифрового фильтра
(12.81) при Т = 1 с. Покажем, что кривые на рис. 12.15 обла-
дают одинаковой «формой». Если представить, что кривая
| Н | как функция переменной 0 вычерчена в неравномер-
ном 0 масштабе (если масштаб для 0 сжат при 0 < 0 < 0,5л
и растянут при 0,5л <0< л), то кривая на рис. 12.15,6 будет
выглядеть более схожей с кривой на рис. 12.15, а. Это происхо-
дит вследствие того, что соотношение между цифровой частот-
|H(jcj)J
Рис. 12.15. Амплитудно-частотные характеристики аналогового фильтра и со-
ответствующего ему цифрового фильтра, полученного по методу билинейного
преобразования.
ной переменной 0 и аналоговой частотной переменной со нели-
нейно, как следует из уравнения (12.756). Для полного иссле-
дования этого нелинейного соотношения между 0 и со необхо-
димо найти выражение для со через 0. Теоретически можно
инвертировать уравнение (12.756) для получения такого выра-
жения. С другой стороны, можно положить z ~ ехр [/0] и найти
изображение такой z-точки в s-плоскости. Используя последний
путь, из соотношения (12.73) получаем
- — ( * е \ 2 ехр (/6/2) — ехр (— /6/2)
~~ Т \ 1 + е“/е ) ~ Т ехр (7'6/2) + ехр (- /6/2)
Г j (6/^) 1 ______ j ( 2 6 \ | Л QO\
г[ cos (6/2) j Цт S2j' (12.82)
° 1 ° 1 <оТ
е 0 0 0,6л 2,75276
0,1л 0,31677 0,7л 3,92522
0,2л 0,64984 0,8л 6,15537
0,3л 1,01905 0,9л 12,62750
0,4л 1,45309 0,95л 25,41241
0,5л 2 ЗТ СО
б
Рис. 12.16. Соотношение между частотами 6 и со.
а—график; б—таблица соответствия.
Сравнение вещественной и мнимой частей обеих половин урав-
нения (12.82) дает
<г = 0 и (12.83а)
® = (2/Т) tg (0/2). (12.836)
Заметим, что соотношения (12.756) и (12.836) между цифровой
частотной переменной 0 и аналоговой частотной переменной со
взаимообратны. Эти соотношения начерчены на рис. 12.16.
Из рис. 12.16 следует, что для растягивания и сжатия кри-
вой вдоль оси аТ можно использовать интервал дискретиза-
ции Т. Однако при заданном интервале дискретизации Т кри-
вая 6 как функция со будет фиксированной. Если имеются час-
тотные характеристики [амплитудно-частотная характеристика
| Н (/со) | и (или) фазовая характеристика го(со)Д — /Н (/to)] ана-
логового фильтра, то соотношение (12.836) можно использо-
х = IH(jw) x = |H(ei’)f«W) = -/Htfij?’
Рис. 12.17. Процедура построения частотных характеристик цифровою фильт-
ра при билинейном преобразовании.
вать для получения частотной характеристики соответствую-
щего цифрового фильтра следующим образом:
| Н (а'0) | = | И (/со) | ^(2/Г) tg(e/2) и (12.840
Ф (6) Л - / Wf) == ф (со) tg (0/2). (12.846)
Уравнение (12.84) устанавливает, что, задав частотные ха-
рактеристики аналогового фильтра, можно графически по-
строить частотные характеристики цифрового фильтра на основе
счетверенной диаграммы, показанной на рис. 12.17, где стрел-
ками показано направление линий построения. Характерно, что
при построении точка (oj, xi) на аналоговой характеристике
отображается в двух направлениях, где Xi может быть или ам-
плитудой |/?(/‘®1) |, или фазовым углом ф(®1)А— /И (/Oi)
в точке Ю1. Сначала значение абсциссы ©i отражается вниз на
кривую 6 — о для получения соответствующего значения 61, ко-
торое В свою очередь отражается от линии в 46° для получения
уже абсциссы 01 на чертеже цифровой характеристики. Затем
значение ординаты xi отражается горизонтально для получения
ординаты xi на чертеже цифровой характеристики, где в зави-
симости от типа функции Xi полученная величина Xi может быть
или значением амплитуды 17/(е761) |, или фазы <p(6i) А — /// (efaQ.
Задав ряд точек (a»i,xi), (со2, хг), .., (соя, xN), можно соеди-
нить полученные точки (0Ь %i), (62,^2), •••, (6л, х«) вместе
и таким образом построить графики цифровых частотных ха-
рактеристик. Следует отметить, что этот метод обеспечивает
цифровые частотные характеристики для 0 < 6 < зг. Исходя из
свойств симметрии (амплитудно-частотные характеристики —
четные, а фазовые — нечетные) и периодичности цифровых час-
тотных характеристик, можно построить частотные характерис-
тики и для всех значений частоты 6.
Пример 12.8. Построить график амплитудно-частотной характеристики
цифрового фильтра на основе билинейного преобразования, если задан гра-
фик амплитудно-частотной характеристики соответствующего аналогового
фильтра (рис. 12.18, а) ’).
Решение. Используя методику построения на рис. 12.17 и предполагая,
что Т = 1 с, можно получить’ график амплитудно-частотной характеристики
lWe)l в зависимости от частоты 0 (рис. 12.18,а).
*) На рис. 12.18, а представлена кусочно-линейная аппроксимация филь-
тра Чебышева нижних частот третьего порядка.
Из примера 12.7 следует, что при билинейном преобразова-
нии местоположение полюса цифрового фильтра
pA(2 + pW-PT) (12.85)
определяется из расположения полюса аналогового фильтра р.
Кроме того, исходя из уравнения (12.81) в примере 12.7, можно
установить, что если передаточная функция /?(«) аналогового
фильтра задается в виде простых дробей
N
H(s) = £ Ms-fa), (12.86)
k=i
то соответствующий цифровой фильтр, полученный на основе
билинейного преобразования, будет обладать передаточной
функцией вида
"<*>=£ <l2-S7>
fe=i 1 2-ptT Z
Пример 12.9. Исходный аналоговый фильтр обладает передаточной функ-
цией, заданной следующим соотношением:
Н (S) = 2s/(s + 1) (s + 2). (12.88)
Найти передаточную функцию W(z) соответствующего цифрового фильтра на
основе метода билинейного преобразования.
Решение. Записывая функцию fits), заданную выражением (12.88), в виде
простых дробей, получаем
__о 4
^^) = 7+т + т+2’ где <12‘89а)
pi = —1 и р2 = —2. (12.896)
Из уравнения (12.87) требуемая цифровая передаточная функция H(z) опре-
деляется следующим образом:
Н ^(1 + г~1} |^T27(1+g~1)
+ 1- 2-22.z-i
2+7 2 + 27
27
~ (2+7) (1 + 7)
(1 - z-2)
1 -т
1 + т z
(12.90)
Следует отметить, что в примере 12.9 число конечных нулей
аналогового фильтра отличается от числа нулей соответствую-
щего цифрового фильтра. Это в общем случается при билиней'
ном преобразовании,
Пример 12.10. Предположим, что цифровой фильтр должен удовлетворять
следующим условиям:
а) Частота среза 0С по уровню 3 дБ составляет 0,5л рад.
б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе про-
пускания не более 0,1 дБ для 0 < 0 < 0,295л.
в) Затухание в полосе задерживания не менее 30 дБ для 0,75л < 0 < л.
г) Требуется монотонно спадающая амплитудно-частотная характери-
стика.
д) Интервал дискретизации Т = 100 мкс.
Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.
Решение. На первом этапе необходимо перевести эти цифровые критерии
в аналоговый эквивалент. Предъявленным требованиям удовлетворяет фильтр
Баттерворта с параметрами:
az) Частота среза
<ос = (2/7') tg (0с/2) = (2/7) tg (0,5л/2) = 20 крад/с.
б') Неравномерность амплитудно-частотной характеристики находится в
пределах 0,1 дБ для
0 < ш < (2/7) tg (0,295л/2) ~ 10 крад/с.
в') Затухание в полосе задерживания не менее 30 дБ для
<в > (2/7) tg (0,75л/2) ~ 50 крад/с.
Как и в случае примера 12.6, передаточная функция требуемого аналого-
вого фильтра задается уравнением (12.67) следующим образом:
(1,84776 • 104) s + (2,82844 • 108) (1,84776 • 104) s + (6,82844.10s)
л(5)— (s2 + 1,53074 • 104) s + (4 • 10Б) + s2 + 3,69552s + (4 • 108)
(12.91а)
(12.916)
где полюсы расположены в точках
pi, 2 = — 0,76537 • 104 ± /1,84776 • 10*.
/)3,4 = — 1,84776 • 104 ± /0,76537 • 104.
Для перевода функции /?(«), заданной выражением (12.91), к виду уравне-
ния (12.86) продолжим разложение функции f}(s) на простые дроби, что дает
(0,92388 • 104) + j (2,23044 • 104)
”(S’~ s+ [(0,76537 • 104) - j (1,84776 • 104)] +
, (0,92388 • 104) — j (2,23044 • 104) (0,92388 • 104)+ /(0,38268 • 104)
+ s + [(0,76537 • 104)+/ (1,84776 • 104)] + s + [(1,84776 • 104)-j (0,76537 • 104)] +
, (0,92388 -IO4) -/(0,38268 -IO4)
S + [(1,84776 • 104) + j (0,76537 • 104)] ’ 1 '
Из уравнения (12.87) передаточная функция требуемого цифрового фильтра,
который удовлетворяет условиям а) —д), задается в виде
(-0,14161+ /0,71194) (1 + г-1) (—0,14161 —/0,71194) (1 + г-1)
1 —/0,66818г-1 + 1 +/0,66818г-1 +
, (0,21194 +/0,14161) (1 +г-1) (0,21194 -/0,14161) (1 + г-1)
, + 1 —/0,19891г-1 + 1 +/0,19891г-1 ’ ГД
(12.93а)
₽1, 2 = + /0,66818, рз, 4 = ± /0,19891. (12.936)
Комбинируя комплексно-сопряженные пары в уравнении (12.93а), получаем
„ . . _ (1 + г) (0,28322 + 0,95140z~J) _ (1 + г) (0,42388 + 0,05634g-1)
= I + 0,44646z-2 1 0,03957г-2
(12.94)
Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру
перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид
частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что
широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной об-
ластью отображаются в широкополосные цифровые фильтры
без эффекта наложения. В этом заключается основное преиму-
щество этого метода по сравнению с методом инвариантности
импульсной характеристики. Недостатком билинейного преоб-
разования является то, что нелинейность соотношения между
цифровой частотой 6 и аналоговой частотой со приводит к иска-
жению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме
того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная ха-
рактеристика.
12.1.4. Частотные преобразования
В предыдущих подразделах были рассмотрены три метода
расчета цифровых фильтров. Во всех этих методах на первом
этапе находится подходящий аналоговый фильтр, который удов-
летворяет исходным требованиям. Как установлено в гл. 8, рас-
чет аналогового фильтра начинается с нахождения соответ-
ствующего аналогового фильтра-прототипа нижних частот.
В дальнейшем используется подходящее частотное преобразо-
вание для перевода этого прототипа нижних частот в требуе-
мый аналоговый фильтр. Наконец, на основе процедуры ото-
бражения этот аналоговый фильтр преобразуется в желаемый
цифровой БИХ-фильтр, который удовлетворяет предъявленным
требованиям. Полностью эта процедура расчета показана на
рис. 12.19, а.
Из предыдущих подразделов известно, что процедуры пере-
хода на основе метода инвариантности импульсной характе-
ристики и метода Эйлера по существу не обеспечивают хороших
методов расчета цифровых фильтров, если полоса аналогового
фильтра не ограничена низкими частотами. Метод билинейного
преобразования (из-за нелинейного соотношения между цифро-
вой частотой 6 и аналоговой частотой со) дает лучшие резуль-
таты только для тех частотных характеристик аналогового
фильтра, которые представляют собой ступенчатообразную
функцию. Это означает, что процедура расчета (рис. 12.19, а)
не обеспечивает хороших методов расчета фильтров верхних
частот, заграждающих и некоторых типов полосовых фильтров.
Расчет нормированного аналогового фильтра нижних частот (с часто- той юс = 1 рад/с), удо- влетворяющего задан- ным техническим требова- ниям. (См. разд. 8.1—8.3) Этап 1
1
Осуществить подходящее аналоговое частотное пре- образование для перевода полученного на этапе 1 прототипа нижних частот в соответствующий ана- логовый фильтр. (См. разд. 8.4 и табл. 8.5) Этап 2
Применить одну из про- цедур перехода, рас- смотренных в подразд. 12.1.1—12.1.3, для пере- вода рассчитанного на этапе 2 аналогового фильтра в окончатель- ное изделие: цифровой фильтр, удовлетворяю- щий предъявленным тре- бованиям Этап 3
(a)
Расчет нормированного аналогового фильтра нижних частот (с часто- той ас = 1 рад/с), удо- влетворяющего заданным техническим требова- ниям. (См. разд. 8.1—8.3)
1
Применить одну из про- цедур перехода, рас- смотренных в подразд. 12.1.1 — 12.1.3, для пере- вода полученного на этапе 1 аналогового про- тотипа в цифровой фильтр нижних частот
1
Совершить соответствую- щее цифровое частотное преобразование, перево- дящее полученный на этапе 4 цифровой фильтр в окончательное изделие: цифровой фильтр с соот- ветствующими характе- ристиками в полосе про- пускания и полосе задер- живания и удовлетво- ряющий предъявленным техническим требованиям
Этап 1
Этап 4
Этап 5
(б)
Рис. 12.19. Общие процедуры расчета цифровых фильтров.
Для исключения этих недостатков используется другой подход
к расчету цифровых БИХ-фильтров на основе методов расчета
аналоговых фильтров. Такой способ изображен на рис. 12.19,6.
В этом случае процедура перехода всегда имеет дело с норми-
рованным прототипом нижних частот. Следовательно, рассмот-
ренные в предыдущих подразделах три процедуры перехода
смогут обеспечить хорошие результаты. В основном этот подход
состоит в нахождении подходящего нормированного аналого-
вого фильтра нижних частот. Аналоговый прототип отобра-
жается в цифровой фильтр-прототип нижних частот. Наконец,
используется цифровое частотное преобразование для перехода
от цифрового прототипа нижних частот к окончательному ва-
рианту, т. е. цифровому фильтру с подходящими характеристи-
ками в полосе пропускания и полосе задерживания и удовлетво-
ряющему предъявленным требованиям. В этом подразделе рас-
сматриваются различные частотные преобразования, которые
завершают методику расчета (рис. 12.19,6).
Для всех рассматриваемых в этом подразделе цифровых
частотных преобразований частота среза цифрового фильтра-
прототипа нижних частот предполагается расположенной в точ-
ке 0Р. Например, рассмотрим передаточную функцию нормиро-
ванного аналогового фильтра Баттерворта нижних частот вто-
рого порядка
Н (s) = l/(s2 + V2" s + О. (12.95а)
где полюсы расположены в точках
^.2 = -(l/V2)±/(l/V2). (12.956)
Из уравнения (12.56) следует, что метод инвариантности им-
пульсной характеристики отображает описываемый уравнением
(12.95) аналоговый фильтр в цифровой фильтр с передаточной
функцией вида
(г) =---------. z; ' ,---7=_Т’ (12.96)
1 — 2z_1 ехр (— ) cos (г/д/^) + 2“2 ехр (- V2 Т) ’
где Т — интервал дискретизации. Поскольку частота среза ос
нормированного фильтра Баттерворта нижних частот располо-
жена в точке
= 1 рад/с,
(12.97)
аналоговый прототип нижних частот занимает ограниченную
рабочую полосу частот до о>о/2 = 6 рад/с, т. е.
|Я(М)|~0 для |©|>(©о/2) = 6, (12.98)
(рис. 12.20, а). Любой интервал дискретизации Т, удовлетво-
ряющий критерию Найквиста
®0Т 2л,
(12.99)
не вызовет значительных наложений. Для простоты положим
Т = 0,5 с. Очевидно, что интервал дискретизации Т = 0,5 с
удовлетворяет условию (12.99). Следовательно, уравнение
(12.96) приводится к виду
Нр (г) = 0,344г-7(1 - 1,318г-1 + 0,493г-2). (12.100)
Следует отметить, что цифровой фильтр [уравнение (12.100)]
обладает следующим усилением на «постоянном токе»1):
| Нр (е/°) | = 0,344/(1 — 1,318 + 0,493) =
= 1,966^(1/Т)|Я(/0)| = (1/Г) = 2. (12.101)
Для того чтобы избавиться от нежелательного усиления, вы-
званного интервалом дискретизации, уравнение цифрового
фильтра (12.100) умножается на значение интервала дискрети-
зации. Следовательно, передаточная функция цифрового фильт-
ра-прототипа нижних частот определяется следующим обра-
зом 2):
Нр(z) = 0,175z~1/(l - 1,318s-1 + 0,493z-2). (12.102)
*) Небольшое несоответствие вызывается частично арифметическими
ошибками округления при вычислении коэффициентов в уравнении (12.100)
и частично небольшим, но неизбежным наложением.
2) В действительности же передаточная функция (12.102) получается пу-
тем деления передаточной функции (12.100) на усиление на «постоянном
токе» (12.101) для компенсации уже полученных при вычислении ошибок
округления и небольших искажений из-за наложения.
tH(eje)tno(IZ.gs)
Л > со,рад/а-
10
\Н(е,31\по(КМ'г1
0,2тг
0,4’тг 0,6тг 0,8тг
й
WtejB)\no (12.107)
0,2я b,4ir
6
0,6тт
0,81г
e,faS
Рис. 12.20. Иллюстрации цифровых частотных преобразований.
а—аналоговый фильтр-прототип ннжних частот; б—цифровой фильтр-прототип
с 6о=0,16л рад: е—цифровой фильтр ннжннх частот с 0с=О,25л рад; г—цифровой поло-
совой фильтр с 0fl=0,5л, 0и=О,6л. £>2=0,4 л рад; д—заграждающий цифровой фильтр
с 6о=О,5л> е„=0,6 и 0^=0,4л рад; е—цифровой фильтр верхних частот с 0с=О,4л рад.
Поскольку интервал Т меньше интервала дискретизации Най-
квиста, в этом случае наложения почти не существенны. Следо-
вательно, из выражения (12.60) следует, что между цифровой
частотой 0 и аналоговой частотой (о устанавливается соотноше-
ние вида
6 = <в7’. (12.103).
Это означает, что частота среза 0Р цифрового фнльтра-прото-
типа [уравнение (12.102)] равна
6^ = £йсТ = О, 5 = 0,1 бзг. (12.104)
В этом подразделе для иллюстрации воздействия различных
частотных преобразований используем цифровой фильтр-прото-
тип нижних частот, заданный уравнением (12.102). В качестве
дополнения на рис. 12.20,6 показана амплитудно-частотная ха-
рактеристика цифрового фильтра-прототипа нижних частот.
12.1.4.1. Преобразование фильтра нижних частот в фильтр
нижних частот. Предположим, что необходимо получить циф-
ровой фильтр нижних частот с частотой среза Ос из прототипа
нижних частот с частотой среза 0р. Тогда необходимое преоб-
разование частоты имеет вид
z
(12.105а)
(12.1056)
z~l — а
где
sin [(0Р - 0с)/2]
a=sin [(0р + ес)/2] •
Пример 12.11. Требуется рассчитать фильтр Баттерворта нижних частот
второго порядка с частотой среза 0,25л рад, т. е. найти передаточную функ-
цию требуемого цифрового фильтра, заданного уравнением (12.102).
Решение. Из соотношения (12.105) определим параметр а, который равен
а = sin [(0,16л — 0,25n)/2]/sin [(0,16л + 0,25л)/2] = — 0,235, (12.106)
а требуемый цифровой фильтр имеет передаточную функцию вида
1 1 *-‘+0,235 X z-4-0,235 V
1 ” 1>318 I 1+0,235г-' ) + °’493 l‘l + 0,235г-' J
0,175 (г~> + 0,235) (1 + 0,235г-')
(1 + 0,225г-')2 — 1,318 (г-1 + 0,235) (1 + 0,235г-') + 0,493(г-' + 0,235)2 —
- 0,041 + 0,185г-1 + 0,041г-2
0,718 - 0,691г-1 + 0,239г-2 ‘ ‘
На основе формулы (12.102) усиление цифрового фильтра на «постоян-
ном токе», заданного уравнением (12.107), равно1)
| Н (е/°) | = (0,041 + 0,185 + 0,041)/(0,718 - 0,691 + 0,239) =
= 0,267/0,266 = 1,003 ~ 1. (12.108)
Амплитудно-частотная характеристика функции (12.107) изображена на
рис. 12.20, в.
12.1.4.2. Преобразование фильтра нижних частот в полосо-
вой фильтр. Предположим, что необходимо преобразовать циф-
') Следует отметить, что усиление на «постоянном токе» должно быть
точно равно 1. Небольшое отличие связано с ошибками округления при вы-
числении.
ровой фильтр-прототип нижних частот с частотой среза 0Р в по-
лосовой фильтр с центральной частотой 0о и верхней и нижней
частотами полосы пропускания соответственно 0„ и 0/, где час-
тоты 0о, 0и и 0/ связаны следующим соотношением1):
cos 0О = cos [(0„ + ©z)/2]/cos [(0„ — 0J/2]. (12.109)
Необходимое цифровое частотное преобразование имеет вид
где (12.110а)
а = cos 0О,
₽ = ctg [(0и — 0z)/2] tg (0р/2);
(12.1106)
(12.110b)
Пример 12.12. Предположим, что необходимо преобразовать фильтр ниж-
них частот, заданный уравнением (12.102), в полосовой фильтр с центральной
частотой 0о = 0,5л, 0И = 0,6л и 0г — 0,4л 2). Найти передаточную функцию
требуемого цифрового фильтра.
Решение. Предварительно вычислим необходимые для частотного преоб-
разования параметры
а = соз0,5л = 0, (12.111а)
Р = (ctg 0,1л) (tg 0,08л) = 0,786, (12.1116)
(₽-1)/(₽ + 1) = -0,120, (12.111b)
2а₽/(₽ + 1) = 0. (12.111г)
Подставляя параметры (12.111) и (12.110) в уравнение (12.102), получаем
передаточную функцию требуемого цифрового фильтра 3)
+^(-Ш^г)+^(^ттГ
— 0,175 (г-2 — 0,12) (— 0,12г-2 + 1)
“ (- 0,12г-2 + I)2 + 1,318 (г-2 — 0,12) (-0,12г-2 + 1) + 0,493(г~2 - 0,12)2 “
= 0,021г-*-0,178г~г +0,021
0,349г-4 + 0,979г-2 + 0,849 ’ 1 ’
Усиление результирующего цифрового фильтра в середине полосы пропуска-
ния можно определить подстановкой г = ехр [/0,5л] = j в уравнение (12.112),
*) Это означает, что два нз трех параметров 0о, 0И и 0( независимы,
а третий является их функцией.
2) Очевидно, что здесь условие (12.109) удовлетворяется.
8) В общем случае передаточная функция H(z) полосового фильтра не
является четной рациональной функцией, как устанавливает уравнение
(12.112).
т. е.
Н (е/0-5п) = 0,220/0,219 = 1,004 ~ 1.
Амплитудно-частотная характеристика требуемого полосового фильтра, соот-
ветствующая функции (12.112), показана на рис. 12.20,0.
12.1.4.3. Преобразование фильтра нижних частот в заграж-
дающий фильтр. Предположим, что необходимо преобразовать
цифровой фильтр-прототип нижних частот с частотой среза 0Р
в заграждающий фильтр с параметрами: 0о — средняя частота,
а 0Ы и 0z — соответственно частоты верхнего и нижнего краев
полосы заграждения, где частоты 0о, 0И и 0Z связаны следующим
соотношением:
cos 0О = cos [(0„ - 0z)/2]/cos [(0„ + 0г)/2]. (12.113)
Требуемое цифровое частотное преобразование определяется
с помощью формулы вида
где (12.114а)
(12.1146)
(12.114в)
а cos 0О,
₽Atg[(Ou- 0z)/2]tg(0p/2).
Пример 12.13. Предположим, что необходимо преобразовать цифровой
фильтр-прототип нижних частот, заданный уравнением (12.102), в заграж-
дающий фильтр с частотами Оо = 0,5л рад 0И = 0,5л рад и 0( = 0,4л рад *>.
Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.
Решение. Из уравнения (12.114) получаем, что
а — cos 0,5л = 0, (12.115а)
Р = (fg 0,1л) (tg 0,08л) = 0,083, (12.1156)
2а/(1 + Р)=0, (12.115b)
(1 - Р)/(1 + Р) = 0,847. (12.115г)
Подставляя параметры (12.114) и (12.115) в уравнение (12.102), получаем
требуемую передаточную функцию:
IT г—2 + 0,847
Н <2) НР 0>847г-г + 1
„17С г-2+ 0,847
0,175 0,847г-2 + 1
/ г-2+ 0,847
V о,847г-2 + 1
1 - 1,318 (
г-2+ 0,847
0,847г-2 + 1
____________________0,175 (г~2 + 0,847) (0,847г~2 + 1)________________________
(0,847г-2 + I)2 — 1,318 (г-2 + 0,847) (0,847г-2 + 1) + 0,493 (г-2 + 0.847)2
_ 0.148г^ + 0,300г-2+ 0,148 . 16-
— 0,094г-4 + 0,266г-2 + 0,237 1 ’ ’
*) Следует отметить, что здесь условие (12.113) удовлетворяется.
Заметим, что усиление на «постоянном токе» этого заграждающего фильтра
равно
Н (е/0) = 0,596/0,597 = 0,998 ~ 1. (12.117)
Небольшая погрешность вызывается ошибкой вычислений. Амплитудно-ча-
стотная характеристика заграждающего фильтра приведена на рис. 12.20, д.
12.1.4.4. Преобразование фильтра нижних частот в фильтр
верхних частот. Необходимое частное преобразование цифро-
вого фильтра нижних частот с частотой среза 0Р в цифровой
фильтр верхних частот с частотой среза 0С определяется сле-
дующим образом:
z-1-» —, где (12.118а)
cos [(0р — 0с)/2]
= cos [(0р + 0с)/2] •
(12.1186)
Пример 12.14. Предположим, что необходимо преобразовать цифровой
фильтр-прототип нижних частот, заданный уравнением (12.102), в цифровой
фильтр верхних частот с частотой среза 0С — 0,4л рад. Найти требуемую
передаточную функцию.
Решение. Из уравнения (12.1186) получаем, что
а = — (cos 0,12n)/(cos 0,28л) = — 0,687. (12.119)
Подставляя соотношения (12.118) и (12.119) в уравнение (12.102), мож-
но определить, что требуемая передаточная функция имеет вид
г-1—0,687 у Г]
1 -0,687г-1) J
-^(^Гг)
— 0,175 (г-1 - 0,687) (1 - 0,687г-1)
(1 — 0,687г-1)2 + 1,318 (г-1 — 0,687) (1 — 0,687г-1) + 0,493 (г-1 — 0,6Й7)2
0,120г-2-0,258г-1+0,120
0,059г-2 - 0,111г-1 + 0,327 ‘ u 7
Следует отметить, что усиление на «постоянном токе» и усиление на высокой
частоте результирующего цифрового фильтра соответственно равно
Н (е/0) = -(0,018/0,275) = ~ 0,065 и (12.121а)
Н (е1п) = 0,498/0,497 = 1,002 ~ 1. (12.1216)
В идеальном случае значение Я(е/0) должно быть равно нулю, а
Я(е/Л) — единице. Отметим, что неидеальный результат в выражении
(12.120) главным образом определяется ошибками вычисления, которые за-
даются уравнением (12.102), а не наложением. Вследствие этого метод ин-
вариантности импульсной характеристики был применен к фильтру нижних
частот с ограниченной рабочей полосой частот, а не к фильтру верхних
частот. Результирующий фильтр верхних частот получен на основе цифрового
частотного преобразования. Амплитудно-частотная характеристика фильтра
верхних частот приведена на рис. 12.20, е.
Для завершения этого подраздела необходимо показать, что
общую процедуру расчета цифровых фильтров (рис. 12.19,6)
можно использовать для расчета фильтров верхних частот, по-
лосовых и заграждающих, а также фильтров нижних частот,
ввиду отсутствия эффекта наложения в окончательной реали-
зации. Однако для этой методики требуется более точное пред-
ставление коэффициентов и большее число значащих цифр при
вычислении, что приводит к повышению стоимости по сравне-
нию с соответствующими аналогами в процедуре расчета
(рис. 12.19,о). Этот экономический недостаток часто затеняет
технические преимущества этого метода над процедурой на
рис. 12.19,0.
12.1.5. Расчет цифровых всепропускающих фильтров
Во всех рассмотренных в разд. 12.1 процедурах расчета до
сих пор опускалось описание цифровых всепропускающих фильт-
ров. Это сделано частично вследствие того, что всепропускаю-
щий фильтр работает совершенно по-иному и частично из-за
того, что крайне трудно получить его фазовые характеристики.
В этом подразделе будут рассмотрены некоторые основные ха-
рактеристики всепропускающих фильтров.
Цифровой всепропускающий фильтр представляет собой циф-
ровой БИХ-фильтр с постоянной амплитудно-частотной харак-
теристикой для всех значений цифровой частоты. Необходимым
условием представления передаточной функции H(z) всепро-
пускающего фильтра является то, что для каждого полюса
pk = rk ехр (j0fe) имеется соответствующий нуль zft=(l/rft)X
Xexp(/0ft). Если частота 0 s не равна нулю или л, то полюс pk
и нуль zk будут встречаться комплексно-сопряженными парами.
Типичное звено первого порядка цифрового всепропускаю-
щего фильтра обладает передаточной функцией вида
Hi(z) = (z~l— а)/(1 — аг~г), (12.122)
где а — вещественное число. Всепропускающий фильтр, задан-
ный соотношением (12.122), обладает полюсом в точке z—a
и нулем в точке z = 1/а (рис. 12.21, а). Для обеспечения устой-
чивости необходимо, чтобы
(12.123)
Im [zj
Рис. 12.21. Примеры полюсов и нулей всепропускающий цифровых фильтров.
а—случай первого порядка; б—случай второго порядка. О нули; X полюсы.
Для того чтобы показать, что уравнение (12.122) на самом
деле описывает всепропускающий фильтр, вычислим его ампли-
тудно-частотную характеристику
е~1в-а 2
1 — ае~^
I Н^} Р =
cos 6 — а — / sin О
1 — a cos 0 + aj sin О
|2
(cos 6 — а)2 + sin2 0 ___ cos2 6 — 2а cos 0 + а2 + sin2 0
(1 — a cos 0)2 + (а sin 0)2 1 — 2а cos 0 + а2 cos2 0 + а2 sin2 0
1 — 2а cos 0 + а2
1 — 2а cos 0 + а2
(12.124)
которая устанавливает, что фильтр, заданный уравнением
(12.122), является всепропускающим фильтром.
Типичное звено второго порядка всепропускающего фильтра
имеет передаточную функцию, которая определяется следую-
щим образом1):
l-p/r^cose^ + Q/rDz"2
2 1 ~2rk cos + rkz~2
__ D - (Vffe) 2~‘ exp PM] D - TO z~l exp (- /efe)]
[1 - rkz~' exp (/6fe)][l - rkz~l exp ( - j0/e)]
где полюсы расположены в точках
Pi,2==^exp(±jeA),
(12.125а)
(12.1256)
а нули в точках
(рис. 12.21, б),
буется, чтобы
«1,2 = (1/гЛ) ехр(± А)
Для обеспечения устойчивости
(12.125b)
фильтра тре-
Если положить
характеристику
вид:
|/W==
|гЛ|<1. (12.126)
z — eiG, то можно найти амплитудно-частотную
функции (12.125), которая имеет следующий
ехр (/0) - (l/rfe) ехр (/0fe) 2 ехр (/в) — (l/rfe) ехр (- /0Д 2
ёхр (/0) — ek ехр (/0J
ехр (/0) - rk ехр (- /0Д
(12.127)
Рассмотрим первый член в выражении, определяющем функ-
цию | Н2 (е/е) I2:
ехр (/6) — (l/rfe) ехр (j0fe) 2_
ехр (/0) — rk ехр (/0Л) —
| [cos 0 - (l/rfe) cos 0J + i [sin 0 - (l/rfe) sin efe] |2
“ | (cos 0 — cos 0fc) + /(sin 0 — rfe sin 0J |2
[cos 0 — (l/rfe) cos 0fe]2 + [sin 0 — (l/rfe) sin 0ZJ2 _
(cos Q — rk cos 0fe)2 + (sin 0 — sin 0ft)2
= l+(l/r2fe)-(2/rft)Cos(0-0fe) = r _ 2.
1 + /fe-2rfecos(e-efe) k
Подобным образом можно показать, что
ехр (/0) - (1/rfe) ехр (- /0J 2
(12.128а)
ехр (/0) — rk ехр (— /6Й)
—2
k *
(12.1286)
’) Здесь полагаем, что частота 0л /л для любого целого значения Л
Подставляя соотношение (12.128) в формулу (12.127), получаем
1772(е/е)|2 = /-£4 —постоянной для всех 0. (12.129)
Это означает, что цифровой фильтр, заданный уравнением
(12.125), в Действительности является цифровым всепропускаю-
щим фильтром.
Одно важное свойство, присущее всепропускающему фильтру,
заключается в том, что цифровой фильтр, полученный каскад-
ным соединением всепропускающих фильтровых звеньев, также
является всепропускающий фильтром. Говоря математически
это означает, что если H2(z), ..., HN(z)—передаточные
функции, представляющие всепропускающие фильтры, то и пе-
редаточная функция
H(z)^Hx(z)H2(z) ... HN(z) (12.130)
также представляет всепропускающий фильтр.
Пример 12.15. Показать, что цифровой фильтр, заданный следующим со-
отношением:
Я(г) =
1 cos 0fr + z 2
1 — 2rkz~l cosO + r’kz~2
(12.131)
представляет собой всепропускающий фильтр.
Решение. Заметим, что
Н (г) = (г) 4 (12.132)
где функции /Л (г) и Яг (г) задаются соответственно соотношениями (12.122)
и (12.125) Из уравнений (12.124) и (12.129) следует, что амплитудно-ча-
стотная характеристика
I Н (el°) |2 = | Я1 (е/6) j21 Я2 12г* равна
| Н (е/е) |2 = (1) 4) (r|) = 1 для всех А. (12.133)
Следовательно, уравнение (12.131) описывает цифровой всепропускающий
фильтр.
12.2. Расчет цифровых КИХ-фильтров
Передаточная функция цифрового КИХ-фильтра представ-
ляется в виде
N- 1
H(z) = S h(ti)z~n, (12.134)
п^О
где импульсная характеристика имеет длительность М или об-
ладает протяженностью в N отсчетов. Если импульсная харак-
теристика цифрового КИХ-фильтра удовлетворяет следующему
условию;
h(n)=~h(N-l-n) (12.135)
для п — О, 1, ..., (N/2)— 1, когда N четное, и для п — 0, 1, ...
.... (N—1)/2, когда N нечетное, то можно показать, что циф-
ровой фильтр будет обладать линейной фазовой характеристи-
кой. Действительно, если N нечетное, то из уравнений (12.134)
и (12.135) следует, что
N — 1
Я(е/е) = £ h(n)e~i^ =
п=0
/V—3)/2
= У \h(n)e-i<* + h(N — 1 -n)e-/w-i-«)e] +
п=о“
W-3)/2
к=0
= e-i [(W-D/216 (-^=1) +
(N-3}/2 -j
_|_ У* /г(п)[е-/{пЧ(^-1)/2]}е^е/{кЧ^-1)/2пе]1 —
п=0 '
( (АГ—3)/2 Ч
= е-/КЛ-1)/2]е|Л(2У^)+ £ 2ft(n)cos[(n--^-)e]L
I к=0 J
(12.136а)
Аналогично для четного N частотная характеристика имеет вид
((М2)-1 Ч
Д(е/е) = е-И<ЛГ-1)/21е] £ 2A(n)cos[(n-^=-!-) б]>. (12.1366)
В обоих случаях фаза <р(0) цифрового КИХ-фильтра равна
<p(e)=-/W3==-^-e (12.137)
и линейна для частот —л < 0 л. Групповое время
t(0)Arfq)(0)/rf0 = (/V-1)/2 (12.138)
постоянно для частот —л < 0 л.
В большинстве случаев именно потребность в линейной фазе
или постоянном групповом времени вызывает необходимость
применения цифровых КИХ-фильтров. Из-за ограничения, на-
лагаемого условием (12.135), расположение нулей цифрового
Im [z]
Рис. 12.22. Свойства симметрии в расположении нулей цифровых КИХ-фильт-
ров с линейной фазой.
а—вещественные нули; б—нули на единичной окружности; в—комплексные нули.
КИХ-фильтра с линейной фазой должно удовлетворять опреде-
ленным требованиям симметрии. Для того чтобы показать это,
запишем уравнение (13.134) следующим образом:
N-\ N-1
H(z) = X h(n)z~n = z~(N~x'> Е (12.139)
п=0 п=0
Определим новую независимую переменную
mAN— п— I.
(12.140)
Исходя из условия (12.135), можно переписать уравнение
(12.139) через новую искусственную переменную т в виде
W-1
Я (z) = z-(JV-1) Е h(N — m—\)zm =
tn-O
N-1
— S h (m) (2“I)"m «= z-W-^H (z’1). (12.141)
m—0
Это означает, что нули функции Я(г) являются и нулями функ-
ции Я(з-1), за исключением, может быть, «фантомных» нулей.
Из этого замечания следует, что нули цифрового КИХ-фильтра
с линейной фазой обладают следующими свойствами симметрии.
а) Если Zi — a — вещественный нуль функции Н (г), то и
z~ ’=а-1 также нуль функции Н (г).
б) Если zt = ехр (/0f) — нуль функции Н (z), где 0г =/= 0 и
0г=/=л, то и zr1 = zf=exp(—/0г) также нуль функции Н (г).
в) Если zt = rt ехр (j0{) — нуль функции Я (г), где rt Ф 1,
0f=/=O и 0г=/=л, то zf = rzexp(—J0J, zf“1 = (l/ri)exp(—/0j
и z~l — (1/гг)ехр (/0г) также нули функции Н (z).
Эти свойства симметрии в расположении нулей иллюстрирует
рис. 12.22. Передаточную функцию цифрового КИХ-фильтра
с линейной фазой можно записать в виде произведения элемен-
тарных сомножителей следующим образом:
к
H(z) = T[Ht(z), (12.142)
1=1
где каждый сомножитель Ht(z) может принимать одну из трех
форм:
На Ю = (1 — az~l) [1 - (-i-) z"1] = 1 — (a + -J-) z"1 + z"2,
(12.143a)
HB (z) = (1 - e/6/z-1) (1 - e"/e*z-1) = 1 - (2 cos 0f) z~l + z~2,
(12.1436)
Hc (z) =[1 - пЛ-’ЗП - rte~^z-1-] X
х[1 -(1/п)Л"*][1 -(l/n)e-/%-1] =
Г »2 i । "1 j- j q
= 1 — 21 —-----I (cos 0,) z-1 + r? 4—o' 4- 4 cos 0, I z~2 —
L rt Jk L rj j
(cos 0Z) Z 3 4- z 4.
(12.143b)
12.2.1. Метод частотной выборки
В разд. 11.4 было установлено, что заданный уравнением
(12.134) цифровой КИХ-фильтр имеет эквивалентное ДПФ-пре-
образование вида
М-1
H(k)= h (п) ехр [- (j2mk/N)l (12.144)
п=0
где ft(k) — в действительности дискретизированная N-точечная
частотная характеристика цифрового фильтра с равномерно
расположенными отсчетами. Вследствие этого импульсная ха-
рактеристика Л(п) и передаточная функция H(z) цифрового
КИХ-фильтра определяется через ДПФ (12.144) таким образом:
n-i ~
h(n) — (l/N) X Н (k)ехр [j2miklN] и
/г=«0
Я-1
Н (z) = 4- У Н (fe) п----------!т~ г-6 -ь,лп •
' N L-i 7 1 — z_1 ехр Г/2лА/ЛГ]
/г=0
(12.145)
(12.146)
Уравнение (12.146) является основным при расчете цифрового
КИХ-фильтра.
Предположим, что частотная характеристика Ha(eie) задана
для частот —л 6 л. Это означает, что она определена и для
всех частот 6. Процедура расчета должна давать значения
Н (fe), т. е. дискретизированную М-точечную требуемую частот-
ную характеристику с равномерным расположением отсчетов
Я(й)АЯЛ^)1е=2яад
(12.147)
где fe = О, 1, 2, ..., N—1. Используя непосредственно данные
соотношения (12.147), можно получить подходящую КИХ-пере-
даточную функцию из уравнения (12.146). Эта методика обе-
спечивает совпадение полученной и требуемой частотных ха-
рактеристик в точках дискретизации
Q = 2nk/N для fe = 0, 1, 2, .... 1. (12.148)
Пример 12.16. Необходимо рассчитать цифровой фильтр нижних частот с
амплитудно-частотной характеристикой (рис. 12.23). Найти подходящую пере-
даточную функцию иа основе 16-точечного метода частотной выборки.
Решение. В этом случае последовательность ДПФ имеет вид
Я(0) = Я(1) = Д(15) = 1
Я(/г) = 0 для /г = 2, 3, 4, .... 14. (12.149)
Рис. 12.23. Пример метода частотной выборки.
Используя уравнение (12.146), получаем требуемую передаточную функ-
цию:
Я(г) =
(1 -z-16)#(fe)
1 — z~1 ехр (/л/г/8)
_ 1 — z~16 Г____________1___________
16 L 1 — z_1 ехр (/лО/4)
"I" 1—z~1 ехр (/л/8) 1 — z_I ехр (/л15/8) J
t-^r_______— +___________________1________+
16 L 1 — z_1 1 — z~l cos (л/8) — jz~l sin (n/8) ~
"I" 1 — z~1 cos (л/8) + /г-1 sin (л/8)J
= 1 -z-16 г 1 I 2(1—Z-1 cos (л/8) 1
= 16 [1— z~l "T" 1 — 2g-1 cos(л/8) +z~2j
(12.150)
Можно показать, что частотная характеристика (12.150) бу-
дет удовлетворять требованиям (12.149) на цифровых частотах
взятия выборки
8 = kn/8 для k = 0, 1, 2, .... 15. (12.151)
Однако результирующая частотная характеристика (12.150)
в промежутках между частотами дискретизации ведет себя не-
удовлетворительно. Это поведение связано с явлением Гиббса,
которое описывает отклонения функции скачка, представленной
усеченным рядом Фурье.
12.2.2. Метод взвешивания
Поскольку частотная характеристика Н (е1в) любого цифро-
вого фильтра представляет собой периодическую функцию час-
тоты 0, она имеет разложение в ряд Фурье
Н (е/е) = Е, h (п) е 1вп, где
п=—оо
й(п) = (1/2л) J H(e/e)Ad0.
-л
(12.152а)
(12.1526)
Очевидно, что коэффициенты ряда Фурье А(п) фактически пред-
ставляют собой импульсную характеристику цифрового фильтра.
Одним из возможных способов получения цифровых КИХ-
фпльтров, аппроксимирующих функцию Н{е<в), является усече-
ние бесконечного ряда (12.152а) до конечного числа членов.
Однако из хорошо известного явления Гиббса следует, что усе-
чение бесконечного ряда (12.152а) вызывает выбросы и колеба-
ния в требуемой частотной характеристике до и после любой
точки разрыва. Кроме того, величина этих выбросов и колеба-
ний не уменьшается с увеличением длины последовательности
при условии сохранения ее конечности. Это по существу озна-
чает, что прямое усечение уравнения (12.152а) для получения
аппроксимации цифрового КИХ-фильтра не обеспечивает хоро-
ших результатов.
Метод взвешивания используется для получения конечных
весовых последовательностей w(n), называемых окнами, кото-
рые модифицируют коэффициенты Фурье в уравнении (12.152а)
для получения требуемой импульсной характеристики /гв(п) ко-
нечной длительности, где
hD(n) = h(n)w(n), (12.153а)
a w(n) — последовательность конечной длительности, т. е.
w(n) — Q для п> N и п < 0. (12.1536)
Из соотношения (12.153) следует, что результирующая импульс-
ная характеристика йо(п) также имеет протяженность N от-
счетов. Таким образом,
hD(n) = Q для n>N и п<0. (12.154)
Сформулируем теперь процедуру расчета по методу взве-
шивания.
1. Задана требуемая частотная характеристика Н(е1в), ко-
торая должна быть получена в результате расчета по методу
частотной выборки.
2. Найти соответствующую импульсную характеристику /г(п)
либо на основе уравнения (12.152), либо путем нахождения об-
ратного z-преобразования функции H(z), где функция Н (г)
получена из функции Н(е>в) при замене е'в на z.
3. Использовать подходящую функцию окна w(n) для мо-
дификации последовательности /г(п) и получения импульсной
характеристики hD(n) цифрового КИХ-фильтра на основе соот-
ношения (12.153).
Рис. 12.24. Амплитудно-частотные характеристики фильтра нижних частот.
а—до взвешивания и б—после взвешивания с помощью функции окна (12.155).
Поскольку умножение двух последовательностей во времен-
ной области эквивалентно свертке двух частотных характери-
стик в частотной области, метод взвешивания обеспечивает сгла-
живание выбросов первоначальной частотной характеристики,
т. е. подавление ее отклонений и пульсаций. Например, рассмот-
рим частотную характеристику цифрового КИХ-фильтра
(рис. 12.24, а1)). Применение простой функции окна
w (п) = 1 + cos (2m/JV) для 0 п N — 1
= 0 для п < 0, п > N — 1 (12.155)
к этой характеристике позволяет получить частотную характе-
ристику (рис. 12.24,6). Очевидно, что первоначальная характе-
ристика (рис. 12.24, а) сглажена таким образом, что пульсации
боковых лепестков значительно уменьшены. Недостатком яв-
ляется расширение переходной полосы.
Для завершения этого подраздела приведем некоторые ха-
рактерные функции окна:
4) На рис. 12 24, а показана частотная характеристика цифрового КИХ-
фильтра, рассчитанного с помощью метода частотной выборки для реализа-
ции фильтра нижних частот.
Прямоугольное окно-.
w (п) = 1
= 0
Для
Для
0<n<W-1
п < 0, п> N — 1.
(12.156)
Окно Бартлетта или треугольное окно:
w (п) — 2n/(N — 1) для 0 п (/V — 1)/2
= 2-дГ=Т Для —(12.157)
= 0 для п < 0, п > N — 1,
где N — четное число.
Окно Ханна:
~cos (“Л^-)] Для ОСлСЛГ-1 (12158)
= 0 для п < О, n>N — 1.
Окно Хэмминга:
w (п) = 0,54 — 0,46 cos fдля 0 п N — 1
(12.159)
= 0 для п <0, п> N — 1.
Окно Блэкмана:
w (п) = 0,42 - 0,5 cos (дст) + °’08 cos ( лГ=т)
для 0 < п < N - 1 (12.160)
= 0 для n<0, п> N — 1.
Окно Кайзера:
— О для п < 0, п> N — 1,
для 0 п К — 1
(12.161)
где 7о(-) — модифицированная функция Бесселя нулевого по-
рядка первого рода, а ыа — параметр формы окна.
12.2.3. Сравнение КИХ-фильтров с БИХ-фильтрами
Как и в случае аналоговых фильтров, цифровые БИХ-филь-
тры не могут обеспечить совершенные линейные фазовые харак-
теристики. В противоположность им цифровые КИХ-фильтры
могут быть рассчитаны для обеспечения линейных фазовых
характеристик. Кроме того, цифровые КИХ-фильтры всегда
устойчивы. Это положительные качества цифровых КИХ-филь-
тров. К отрицательным чертам относится то, что исполнение
цифрового КИХ-фильтра требует большего числа вычислений
и большего числа цифровых элементов; следовательно, цифро-
вые КИХ-фильтры дороже цифровых БИХ-фильтров1). Напри-
мер, цифровой КИХ-фильтр
H(z) = 1 + z~l + z~2 + ... +z~L или (12.162а)
у (и) = х(п) + х(п — 1) -ц х(п — 2) + ... 4-x(n — L) (12.1626)
можно реализовать суммированием (L + 1) чисел. Применяя
цифровой БИХ-фильтр, получаем
tf(z) = (l-Z-(L+1))/(1-Z-1) или (12.163а)
у(п) = у{п — 1) + x(tt) — х(п — L — 1). (12.1636)
Таким образом, можно реализовать ту же самую функцию филь-
трации суммированием трех чисел, т. е. имеется значительная
экономия при вычислениях и в аппаратурной реализации.
Количество вычислений и объем аппаратуры, необходимой
для обеспечения процесса фильтрации, обычно является важным
практическим фактором. В основном цифровые БИХ-фильтры
требуют меньшего числа вычислений и (или) объема аппаратуры
для обеспечения определенной функции фильтрации, чем соот-
ветствующие цифровые КИХ-фильтры. Однако во многих ситуа-
циях требуются цифровые КИХ-фильтры для выполнения тех
задач, которые невозможно решить на основе цифровых БИХ-
фильтров, а именно получение фильтров с линейной фазой и
многоскоростных фильтров, где входной и соответствующий вы-
ходной сигналы дискретизированы на разных скоростях.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rabiner L. R„ Rader С. М., Digital Signal Processing, New York, IEEE
Press, 1972.
2. Oppenheim A. V., Schafer R. W„ Digital Signal Processing, Englewood
Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В.,
Шафер Р. В., Цифровая обработка сигналов. — М.: Связь, 1979.]
3. Rabiner L. R., Gold В., Theory and Application of Digital Signal Processing,
Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc. 1975. [Имеется перевод: Pa-
бинер Л., Гоулд Б., Теория и применение цифровой обработки сигналов.—
М.: Мир, 1978.]
4. Daniels R. W., Approximation Methods for Electronic Filter Design with
Applications to Passive, Active and Digital Networks, New York, McGraw-
Hill, 1974.
') Более подробное сравнение цифровых КИХ- и БИХ-фильтров приведе-
но в работе [19].
5. Rhodes J. D., Theory of Electrical Filters, New York, Wiley, 1976.
6. Blinchikoff H. J., Zverev A. I., Filtering in the Time and Frequency Do-
mains, New York, Wiley Interscience, 1976.
7. Bogner R. E., Constantinides A. G., Introduction to Digital Filtering, New
York, Wiley, 1975. [Имеется перевод: Введение в цифровую фильтрацию.
Пер. с англ./Под ред. Р. Богнера, А. Константинидиса. — М.: Мир, 1976.]
8 Leon В. L., Bass S. С., Designer’s Guide to Digital Filter Parts 1—6, EDN
30—36, Jan., 1974; pp. 65—72; Feb., 1974; pp. 51—59, Mar., 1974; pp. 57—
62, Apr., 1974; pp. 61—68, May, 1974; and pp. 69—75, June, 1974.
9 Kuo F F., Kaiser J. F., System Analysis by Digital Computer, New York,
' Wiley, 1966.
10. Gibbs A. J., An Introduction to Digital Filters, Australian Telecommunica-
tions Research 3 (1969), 3—14.
11 Brigham E. O., The Fast Fourier Transform, Englewood Cliffs, N. J., Pren-
tice-Hall, Inc., 1974.
12. Gear C. W., Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential
Equations. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1971.
13. Steiglitz K., The Equivalence of Digital and Analog Signal Processing,
Information and Control, 8, 455—467 (1965).
14. Gibbs A. J., The Design of Digital Filters, Australian Telecommunication
Research, 4, 29—34 (1970).
15. Rader С. M., Gold B., Digital Filter Design Techniques in the Frequency
Domain, Proc. IEEE, 55, 149—171 (1967).
16. Lerner R. M., Band Pass Filters with Linear Phase, Proc. IEEE, 52, 249—
268 (1964).
17. Constantinides A. G., Spectral Transformations for Digital Filters, Proc.
IEE, 117, 1585—1590 (1970).
18. Rabiner L. R., Techniques for Designing Finite-Duration Impulse-Response
Digital Filters, IEEE Trans. Communication Technology, COM-19, 188—195
(1971).
19. Rabiner L. R., Kaiser J. F., Herrmann O., Dolan M. T., Some Comparisons
Between FIR and HR Digital Filters, Bell System Tech. J., 53, 305—331
(1974).
20. McClellan J. H., Parks T. W., A Unified Approach to the Design of Opti-
mum FIR Linear Phase Digital Filters, IEEE Trans, Circuit Theory, CT-20,
697—701 (1973).
21. Kaiser J. F., Nonrecursive Digital Filter Design Using /о-sinh Window
Function, Proc. 1974 IEEE International Symposium on Circuit and Sys-
tems, pp. 20—23.
ЗАДАЧИ
12.1. а) Найти квадрат амплитудно-частотной характеристики для функции
И (г) = (1 + г-») / (1 + 0,5г- • + 0,5г-2).
б) Построить диаграмму расположения полюсов и нулей функции/7(г).
в) Построить диаграмму расположения полюсов и нулей квадрата ам-
плитудно-частотной характеристики для функции H(z).
12.2. Повторить задачу 12.1 для следующей передаточной функции 77(e) =
= (1 + 2-2)/(1 + 0,5г-1) (1 + 0,22-1 + 0,2г-2).
12.3. Передаточная функция аналогового фильтра имеет вид Н (s) = l/(s2 +
+ V2s + 0-
Для интервала дискретизации Т = 0,1 с найти соответствующую пере-
даточную функцию на основе:
а) метода аппроксимации Эйлера;
б) метода инвариантности импульсной характеристики;
в) метода билинейного преобразования.
для каждого из случаев а , б) и в)
г) найти расположение полюсов и нулей полученной
функции;
д) начертить амплитудно-частотные характеристики.
12.4. Повторить задачу 12.3 для аналоговой передаточной
//(s) =3/(3* +3s+ 3).
передаточной
функции вида
12.5. Задана следующая аналоговая передаточная функция: H(s) =
= 108/(s* + io»s + Ю8).
Для интервала дискретизации Т = 10-s с найти соответствующую циф-
ровую передаточную функцию с помощью:
а) метода инвариантности импульсной характеристики и
б) метода билинейного преобразования.
в) Нарисовать амплитудно-частотные характеристики полученных в
пп. а) и б) передаточных функций.
12.6. Фильтр Баттерворта нижних частот должен удовлетворять следующим
требованиям:
1) Частота среза по уровню 3 дБ расположена в точке 6с = 0,1л рад.
2) Затухание в полосе пропускания не более 0,2 дБ для 0^6^
0,05л рад.
3) Затухание в полосе задерживания не менее 40 дБ для 0,5л рад
6 л рад.
4) Интервал дискретизации Т составляет Юл мкс. Используя методику
(рис. 12.19,с), найти требуемую передаточную функцию:
а) на основе метода инвариантности импульсной характеристики и
б) билинейного преобразования.
в) Нарисовать амплитудно-частотные характеристики для пп. а) и б).
12.7. Повторить задачу 12.6, используя процедуру цифрового частотного
преобразования, показанную на рис. 12.19,6.
12.8. Равноволновый цифровой фильтр нижних частот должен удовлетво-
рять следующим требованиям:
1) Неравномерность в полосе пропускания составляет 0,5 дБ для
О 6С 0,2л рад.
2) Затухание в полосе задерживания не менее 19 дБ для 0,366л рад
СО С л рад.
3) Частота дискретизации 1 кГц.
Найти требуемую передаточную функцию на основе:
а) метода инвариантности импульсной характеристики и рис. 12.19, а и
б) метода билинейного преобразования и рис. 12.19,6.
12.9. Необходимо реализовать фильтр Баттерворта нижних частот третьего
порядка с частотой среза по уровню 3 дБ, равной <ос = 100 крад/с,
цифровым способом.
а) Использовать метод инвариантности импульсной характеристики для
нахождения передаточной функции требуемого цифрового фильтра с
частотой среза по уровню 3 дБ, расположенной в точке 6с = 0,2л рад.
б) Предположим, что частотные характеристики нормированного филь-
тра Баттерворта третьего порядка приведены на рис. 3.12.9. Нарисо-
вать частотные характеристики цифрового фильтра, полученного в п.
а) для 0 6 4п рад.
12.10. Нормированный фильтр Баттерворта нижних частот второго порядка
имеет следующую передаточную функцию: Н (s) = l/(s2 + -\/2s + 1).
а) Найти передаточную функцию соответствующего цифрового филь-
тра нижних частот на основе метода билинейного преобразования при
интервале дискретизации Т = 0,1 с.
б) Найти цифровую частоту среза фильтра, полученного в п. а).
в) Нарисовать амплитудно-частотную характеристику полученного
фильтра.
Рис. 3.12.9.
12.11. Равноволновый цифровой фильтр нижних частот должен удовлетворять
следующим требованиям:
1) Неравномерность в полосе пропускания составляет 0,1 дБ при ши-
рине полосы В = 0,1л рад.
2) Затухание в полосе задерживания не менее 20 дБ для 0,6п рад
=g:0 л рад.
3) Интервал дискретизации Т = Юл мкс.
Найти требуемую цифровую передаточную функцию с помощью метода
инвариантности импульсной характеристики и процедур, приведенных
на рис. 12.19, а и б.
12.12. Повторить задачу 12.11, используя метод билинейного преобразования.
12.13. Необходим полосовой фильтр Баттерворта четвертого порядка с цен-
тральной частотой 0о = 0,4л рад и частотой нижней границы полосы
пропускания, равной 0,3л рад. При интервале дискретизации Т = 0,1 с
найти требуемую передаточную функцию на основе метода инвариант-
ности импульсной характеристики и процедур, приведенных на
рис. 12.19, а и б.
Нарисовать амплитудно-частотные характеристики фильтра в), полу-
ченного в п. а), и г) полученного в п. б).
12.14. Повторить задачу 12.13, используя метод билинейного преобразования.
12.15. Нормированный фильтр Баттерворта нижних частот второго порядка
имеет следующую аналоговую передаточную функцию: Н (s) = l/(s2 +
+ V2s +1).
а) Используя процедуру метода инвариантности импульсной характе-
ристики и цифровое частотное преобразование, найти передаточную
функцию соответствующего цифрового полосового фильтра для:
1) центральной частоты полосы пропускания, соответствующей анало-
говой частоте = 120л рад/с, равной 0о «= 0,5л рад, и
2) частоты нижней границы полосы пропускания — 0; = 0,4л рад.
б) Нарисовать амплитудно-частотную характеристику фильтра, полу-
ченного в и. а) для 0 0 4л рад.
в) Нарисовать амплитудно-частотную характеристику результирующего
аналогового фильтра (рис. 3.12.15), предполагая, что отсутствует нало-
Рис. 3.12.15.
жение, а‘к цифровому фильтру, полученному в п. а), подсоединены
идеальные аналого-цифровой и цифро-аналоговый преобразователи
согласно рис. 3.12.15. Подробно указать все важные частотные точки.
12.16. Необходим заграждающий фильтр Баттерворта четвертого порядка с
центральной частотой 0О = 0,4л рад и частотой нижней границы полосы
подавления, равной 0/ = 0,35л рад. При интервале дискретизации Т =
= 1 мкс найти требуемую цифровую передаточную функцию, используя
процедуры:
а) аналогового частотного преобразования и метода билинейного пре-
образования;
б) метода билинейного преобразования и цифрового частотного пре-
образования и
в) метода инвариантности импульсной характеристики и цифрового ча-
стотного преобразования.
12.17. Нормированный фильтр Баттерворта нижних частот второго порядка
обладает следующей передаточной функцией:// (s) = l/(s2 + V2s + 1).
а) Используя процедуру метода инвариантности импульсной характе-
ристики и цифровое частотное преобразование, найти передаточную
функцию соответствующего цифрового фильтра верхних частот с ча-
стотой среза по уровню 3 дБ, соответствующей аналоговой частоте
среза Ис = 192л рад/с, равной 0С = 0,8л рад.
б) Нарисовать амплитудно-частотные характеристики для 0^0^
4л рад, считая, что эффект наложения отсутствует.
12.18. Фильтр Бесселя второго порядка обладает следующей передаточной
функцией: R(s) = l/(s2 + 3s + 3).
а) Используя метод инвариантности импульсной характеристики и про-
цедуру цифрового частотного преобразования, найти передаточную
функцию соответствующего цифрового фильтра Бесселя верхних частот
с частотой среза по уровню 3 дБ, соответствующей аналоговой частоте
среза (йс = 192л рад/с, равной 0с = 0,8л рад.
б) Нарисовать групповое время замедления для —4л рад 0
4л рад, считая, что эффект наложения отсутствует.
12.19. Цифровой фильтр Чебышева верхних частот должен удовлетворять
следующим требованиям:
1) Неравномерность в полосе пропускания составляет 0,1 дБ для
0,4л рад < 0 л рад.
Рис. 3.12.21,а, б.
Рис. 3.12.21,в, г.
2) Затухание в полосе задерживания не менее 40 дБ для 0 «С 0
0,1л рад.
Найти требуемую цифровую передаточную функцию:
а) используя процедуру (рис. 12.19,6) и метод инвариантности им-
пульсной характеристики;
б) используя процедуру (рис. 12.19, а) и метод билинейного преобра-
зования и
в) используя процедуру (рис. 12.19, б) и метод билинейного преобра-
зования.
12.20. Найти групповое время следующих цифровых КИХ-фильтров;
a) h (я) = 1 для 0 п 4
= 0 для п < 0, п > 4.
б) Л (0)-4= Л (4) =2
Л(1) = Л(3) = 1
h (2) = 0,5
Л (п) = 0 для п < 0 и для п > 4.
в) h (я) = 2 для 0 п 5
4= 0 для я < 0, п > б.
г) Л (0) =/г (5) = 2
Л(1) =Л(4) = 1
Л (2) == ft (3) = 0,5
h (п) = 0 для п < 0 и для и > 3.
д) h (n) = 1 для 0 п 6
= 0 для п < 0, п > 6.
12.21. Необходимо рассчитать цифровые фильтры, амплитудно-частотные ха-
рактеристики которых показаны на рис. 3.12.21. Для каждой ампли-
тудно-частотной характеристики найти соответствующую передаточную
функцию на основе восьмиточечного метода частотной выборки.
12.22. ДЛя каждой амплитудно-частотной характеристики (рис. 3.12.21) найти
подходящую цифровую передаточную функцию на основе 16-точечного
метода частотной выборки.
12.23. Написать программу для ЭВМ, которая реализует:
а) процедуру перехода на основе инвариантности импульсной харак-
теристики и
б) процедуру перехода на основе билинейного преобразования.
12.24. Написать Программу для ЭВМ, которая реализует цифровые Частотные
преобразования фильтра нижних частот в а) фильтр нижних частот,
б) полосовой фильтр, в) заграждающий фильтр, г) фильтр верхних
частот.
12.26. Написать программу для ЭВМ, которая реализует две процедуры
(рис. 12.19):
а) для метода инвариантности импульсной характеристики и
б) для метода билинейного преобразования.
Реализация цифровых фильтров
После того как получена передаточная функция, удовлетво-
ряющая требованиям обработки сигнала, возникает проблема
исполнения или реализации этой заданной передаточной функ-
ции. Настоящая глава и посвящена задаче реализации цифро-
вых передаточных функций.
В разд. 11.5 рассмотрены стандартные элементы, на которых
реализуются цифровые фильтры, а именно элементы задержки,
сумматоры и перемножители. По существу так же легко обра-
батывать отрицательные числа, как и положительные, следова-
тельно, коэффициенты в передаточной функции не ограничены
только положительными величинами. Из рассмотренных в гл. 12
примеров следует, что некоторые коэффициенты цифровых пере-
даточных функций действительно имеют отрицательные зна-
чения.
Поскольку передаточные функции цифровых фильтров с бес-
конечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров) и циф-
ровых фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-
фильтров) различны, ради четкости изложения методы их
реализации будут рассмотрены независимо, хотя основные
принципы построения одинаковы.
13.1. Реализация цифровых БИХ-фильтров
Передаточная функция цифрового БИХ-фильтра определяет-
ся следующим образом:
М /х Н X
Н (z)= X, /( 1 + S btz~11A A (z)/B (г). (13.1)
Существуют два метода реализации уравнения (13.1): прямой
и косвенный. При прямом методе передаточная функция H(z),
заданная уравнением (13.1), реализуется целиком, а при косвен-
ном методе раскладывается на ряд звеньев первого и второго
порядков. Тогда реализация уравнения (13.1) завершается реа-
лизацией всех соответствующих звеньев первого и второго поряд-
ков и соединением их между собой определенным образом. Что
же касается ошибок квантования, то было показано, что косвен-
ный метод дает лучшие результаты по сравнению с прямым
методом.
13.1.1. Прямая реализация
Существует несколько способов реализации цифровых пере-
даточных функций прямым методом. Хорошо известными прин-
ципами реализации являются: прямые формы, лестничные и
мостовые структуры, методы исключения перемножителей и мо-
дульные формы волновых цифровых фильтров. Прямые формы
представляют собой приемы реализации, которые различными
способами формируют разностные уравнения фильтров, когда
постоянные умножения являются коэффициентами передаточных
функций. Для передаточных функций низких порядков прямые
формы очень конкурентоспособны по эксплуатационным харак-
теристикам и стоимости1). Лестничным и мостовым формам
'[6—8] свойственна низкая чувствительность структуры. Для вы-
числения постоянных умножения используется ряд арифметиче-
ских операций. Это вызывает некоторое ухудшение характери-
стик результирующих цифровых фильтров. Метод исключения
перемножителей [9] обладает определенным преимуществом,
поскольку результирующие цифровые фильтры будут всегда со-
держать минимальное число перемножителей2), этим свойством
обладают также и некоторые другие способы реализации. Мо-
дульные формы реализации волновых цифровых фильтров [10,
И] часто используют путь преобразования пассивной RLC-cxe-
мы непосредственно в схему цифрового фильтра на основе
дискретных представлений аналоговых элементов схемы. Про-
стое исследование показывает, что волновые и регулярные циф-
ровые фильтры требуют приблизительно одинакового объема
цифровых аппаратурных средств для обеспечения тех же самых
требований фильтрации.
Цифровую передаточную функцию можно реализовать мно-
гими способами, включая и методы, приведенные в предыдущем
разделе. Была предпринята попытка [12—14] классифицировать
структуры и методы, которые обеспечивают лучшие цифровые
схемы с точки зрения стоимости (аппаратурные требования и
разрядность представления слов) и рабочих характеристик
(окончательные чувствительности и результирующие частотные
*) При косвенном методе общая передаточная функция раскладывается
на фильтровые звенья первого и второго порядков. Наиболее популярным
приемом реализации каждого отдельного звена являются прямые формы.
2) Стоимость перемножителя гораздо выше стоимости сумматора или
элемента задержки. Следовательно, экономически выгоднее реализовывать
цифровую передаточную функцию с минимальным числом перемножителей.
характеристики). Поскольку еще не найден наиболее общий и
лучший способ, то выбор метода зависит от решаемой задачи.
В этом подразделе упор сделан на рассмотрение прямых и
лестничных форм реализации цифровых фильтров. Реализация
на основе прямых форм наиболее популярна, поскольку она хо-
рошо подходит для исполнения передаточных функций низких
порядков, в то время как лестничные формы обладают наиболее
привлекательным свойством, а именно низкой чувствительностью
структуры. Оба способа приводят к структурам цифровых филь-
тров с минимальным числом перемножителей.
13.1.1.1. Прямые формы. Напомним, что передаточная функ-
ция, заданная соотношением (13.1), определяет разностное урав-
нение, которое связывает входную х(п) и выходную у(п) после-
довательности следующим образом1):
М N
У («) = Е atx(п — Z) + Е (— у (п — i). (13.2)
i—0 i=l
Следовательно, можно получить реализацию передаточной функ-
ции (13.1) путем вычисления уравнения (13.2). На рис. 13.1,а
приведено исполнение уравнения (13.2)2) в виде цифровой схемы.
Эта конфигурация называется реализацией передаточной функ-
ции (13.1) на основе прямой формы I. Из рис. 13.1, а следует,
что на каждый сумматор поступают два сигнала. Упрощенная
структурная схема прямой формы I показана на рис. 13.1,6, где
на некоторые сумматоры поступает более двух сигналов.
Если функция IF(z) определяется следующим соотношением;
TT(z)/X(z)A 1/B(z), (13.3а)
то, используя уравнение (13.1), можно получить
Y (z)/W (z) = [У (z)/X (z)] [X (z)/W (z)] =
= [A(z)/B(z)]B(z) = A(z). (13.36)
Из соотношений (13.3) следует, что можно получить передаточ-
ную функцию (13.1) путем реализации двух более простых пе-
редаточных функций, заданных соотношениями (13.3а) и (13.36).
Такое исполнение приведено на рис. 13.2, а. Более простое изо-
бражение показано на рис. 13.2,6. Рис. 13.2 иллюстрирует реали-
зацию уравнения (13.1) на основе прямой формы II. Следует от-
метить, что реализация на основе прямой формы II требует
*) См. уравнение (11.53).
2) Для рис. 13.1—13.3 делается предположение, что в уравнении (13.1)
JV < М. Из контекста очевидно, что это предположение не является необхо-
димым условием.
Рис. 13.1. Реализация на основе прямой формы 1.
Рис. 13.2. Реализация на основе прямой формы II.
только N элементов задержки. Это наименьшее число элементов
задержки, необходимое для реализации цифрового фильтра
/V-порядка, так как это порядок, определяемый уравнением
(13.1)1). Обе прямые формы требуют (/V + М + 1) перемножи-
телей, т. е. минимального числа перемножителей, необходимых
для реализации функции (13.1).
Из теории сигнальных графов следует, что и транспонирован-
ная цифровая схема, и исходная цифровая схема обладают
идентичными передаточными функциями. Характерно, что транс-
понированная цифровая схема получается путем замены направ-
ления прохождения сигнала в каждой ветви на обратное и путем
перемены местами входного и выходного зажимов. Например,
транспонированные схемы прямых форм I и II (рнс. 13.1,6 и
рис. 13.2,6) показаны соответственно на рис. 13.3, а и 6. Можно
*) Порядок цифрового БИХ-фильтра, заданного уравнением (13.1), равен
глах(Л1, Л'}.
Рис. 13.3. Транспонированные прямые формы.
а—транспонированная прямая форма I; б—транспонированная прямая форма II.
показать, что передаточные функции структур, показанных на
рис. 13.3, а и б, задаются уравнением (13.1).
Пример 13.1. Реализовать следующую передаточную функцию:
1 + 0,2z-1--0,2z-2
1-0,2z-‘ + 0,3z-2 + z-3 '
(13.4)
Решение. Устанавливая тождество соответствующих членов в уравнениях
(13.4) и (13.1), получаем
Л4 = 2, 1У==3, а0=1, ai=0,2,
а2 = — 0,2,
bo = 1, 61 = — 0,2, 62 = 0,3 и 63 = 1.
(13.5)
На рис. 13.4, а — г даны соответственно прямые формы I и II и транспони-
рованные прямые формы I и II реализаций функции (13.4).
д(п} хСп)
Рис. 13.4. Прямая и транспонированная прямая формы реализации функции
(13.4).
у(п)
в
13.1.1.2. Лестничные формы. Предположим, что передаточная
функция требуемого цифрового БИХ-фильтра имеет вид
ад + ^z ' + ... +aMz м
+ ... +bNz~N ’
I7V-MK1.
(13.6а)
(13.66)
Тогда функция Н (г) должна допускать различные эквивалент-
ные представления в форме разложений в непрерывную дробь.
Позже в этом разделе будет показано, что реализации этих
разложений в непрерывную дробь функции Н (г) дают лестнич-
ные конфигурации цепей. Теперь рассмотрим некоторые харак-
терные ситуации.
Случай 1. Предположим, что функция Н (г) [уравнение
(13.6)] допускает разложение в непрерывную дробь при z-1 =
— оо или z = 0 *):
(г) = До +----------------1;---------------
в1г-‘ +-----------——-------------
Ai 4---------------—
или
Н2 (z) = Boz”1 +-----------------Ц-------------------. (13.8)
Ло 4--------------------i------------
^ + 77+-------------------------
bjvz 1 + 7“
Исследуя совместно уравнения (13.7) и (13.8), можно заклю-
чить, что реализации непрерывных дробей (13.7) и (13.8) можно
легко осуществить, если имеется возможность реализовать два
функциональных узла, которые характеризуются следующими
передаточными функциями:
77B1(z)=l/H + 7’(z)] и (13.9)
HB2{z)=\l[Bz^ + T{z)}, (13.10)
где T(z) произвольно. Вследствие этого непрерывные дроби
(13.7) и (13.8) могут быть повторно записаны в том же виде,
что и уравнения (13.9) и (13.10). На рис. 13.5, а и б приведен
набор цифровых схем, реализующих соответственно функции
Hbi(z) и заданные уравнениями (13.9) и (13.10) соот-
ветственно.
*) Одним и достаточно простым условием этого является то, что функция
F(s) A.//(l/s) обладает только простыми, вещественными и чередующимися
полюсами и нулями. Этот тип функции F(s) реализуется как входная функ-
ция полного сопротивления или полной проводимости двухполюсника, кото-
рый содержит пассивные емкости, а также как пассивные, так и активные
резисторы.
Используя рис. 13.5, на котором приведены основные функ-
циональные узлы цифровых схем, можно теперь перейти к реа-
лизациям уравнений (13.7) и (13.8). Для определенности сна-
Рис. 13.5, Два основных функциональных узла для лестничных реализаций.
чала рассмотрим случай, заданный уравнением (13.7). Записы-
вая функцию Н\ (г) в виде
1/7до(г) А Я1(2) = Ло + 7в1(г), где (13.11а)
(г) =-----------!-----------
-----------
+4- (13.П6)
N
можно реализовать функцию Hi (г) путем суммирования двух
передаточных функций Ло и ГаДг), как показано на рис. 13.6, а.
Для того чтобы реализовать функцию (г), запишем ее
в виде
+ где
__L_ = л, 4------7---!--------
TlAi (г) B2z~x +
(13.12а)
(13.126)
С помощью рис. 13.5,6 можно выполнить уравнение (13.12) в
виде цепи, показанной на рис. 13.6,6. Следует отметить, что
передаточная функция T\i(z) [уравнение (13.126)] имеет ту же
форму, что и функция Т’до(г) [уравнение (13.11а)], только
сложнее. Следовательно, можно использовать повторно проце-
дуры (13.11) и (13.12) до тех пор, пока не реализуется функция
Н\ (z). Реализация функции Hi (z) на основе этих чередующихся
процедур (13.11) и (13.12) показана на рис. 13.6, в.
Рис. 13.6. Лестничная схема реализации функции заданной уравне-
нием (13.7).
о и б—этапы; в—окончательная схема.
Рис. 13.7. Лестничная схема реализации функции Hz(z), заданной уравне-
нием (13.8).
а и б—этапы; в—окончательная схема.
Подобным образом реализуется передаточная функция
Hs(z), заданная соотношением (13.8), т. е. многократным ис-
пользованием рис. 13.5, а. Соответствующие этапы и окончатель-
ная схемная реализация показаны на рис. 13.7, где
Т2ао (г) = 1/[Л0 + Твх (г)] и (13.13а)
Ты (г) =-----------5---i-------. (13.136)
В‘г-1+-А+--------------
Следует отметить, что на рис. 13.7, в имеются контуры без эле-
ментов задержки. В разд. 11.5 было установлено, что контуры
без элементов задержки недопустимы в схемах цифровых филь-
тров. В подразд. 13.1.1.3 показан метод исключения контуров
без задержки и без изменения имеющихся передаточных функ-
ций. Заметим, что если \/Ац — 0 (разложение в непрерывную
дробь завершается при то этот процесс будет давать
эффективные схемные реализации.
Пример 13.2. Реализовать с помощью лестничной схемы следующую пе-
редаточную функцию:
Н (g)- -1+г-» + (3/16)г-2
Решение. На основе процесса последовательного деления
находим, что разложение функцив Н (г) (13.14) в непрерывную дробь имеет
вид
6
V 280 у 14
3
Реализация передаточной функции (13.14) в виде цифровой лестничной схемы
на основе уравнения (13.15) и рис. 13.6 приведена на рис. 13.8.
Пример 13.3. Реализовать с помощью лестничной схемы следующую пере-
даточную функцию:
Н = 1 — (1/4) z~^- (1/8) z~2 • (13Л6)
Решение. Разложение функции Я (г) [уравнение (13.16)] в непрерывную
дробь дает
Н (г) =-----,--------------j------------. (13.17)
72 + 9z~*
Рис. 13.8. Лестничная схема реализации уравнения (13.14).
Реализация уравнения (13.16) на основе соотношения (13.17) и рис. 13.7 по-
казана на рис. 13.9.
Случай 2. Предположим, что заданная соотношением (13.6)
функция Н (z) допускает разложение в непрерывную дробь при
z-1 = 0 или г — оо 1):
Я3 (z) = Ао Н------------------------------- (13.18)
в12 +------------‘ ----------
Л, +----------5--------
1
*) Здесь предполагается, что в соотношении (13.6) «о 0 и Ьо О,
или
Я4(г) =
(13.19)
1
1
Bnz + ~a~
N
Для того чтобы выполнить уравнения (13.18) или (13.19), необ-
ходимы функциональные узлы, которые реализуют следующие
две функции:
HB3(z)=l/[Bz + T(z)] и (13.20)
ЯВ4(2) = 1ЛЛ + Г(2)]. (13.21)
На рис. 13.10 приведен набор реализаций функций НВз(г)' и
Рнс. 13.9. Лестничная схема реализации уравнения (13.16).
1
в
T(z)
HB3,Z| - Bz + T(z)
a
Рис. 13.10. Два основных функциональных узла для лестничных реализаций.
Для реализации передаточной функции (13.18) запишем
функцию Нз(г) в виде
Я3(е) = Л0 + 7’11(г) = Л0+ 1/[jBj2 + 71(z)]> где (13.22)
7Bi(z) = l/[fiiz + T/n(z)] и (13.23а)
?li(z) =-------------Ц------------. (13.236)
А +---------------г-----
В2гЧ---------------
1
АН
X(z) Ao Y(z)
Рис. 13.11. Лестничная схема реализации функции Hz(z), заданной уравне-
нием (13.18).
а, б и в—этапы; г —окончательная схема.
С помощью рис. 13.10,а получаем, что уравнения (13.22) и
(13.23) реализуются в виде, показанном на рис. 13.11, с? и б.
Отметим, что функцию — 7д1(г) на рис. 13.11,6 можно записать
следующим образом:
- T3Al = 1/[- А, - T^z)], где (13.24а)
Гаг (г) =-------------Ц--------------. (13.246)
В2гЧ---------------i--------
Аг+-------------------
Рис. 13.12. Лестничная схема реализации функции Н4(г), заданной уравнением
(13.19).
а и б —этапы, в—окончательная схема.
На рис. 13.11, в иллюстрируется этап реализации функции
(13.24) с помощью схемы рис. 13.10,6. Отметим, что функция
Твг(г) подобна функции TBi(z), только сложнее. Чередуя про-
цессы (13.23) и (13.24), можно реализовать функцию Н3(г), как
показано на рис. 13.11, г.
Аналогичным образом, используя поочередно рис. 13.10, а
и б, получаем схемную реализацию функции /74(г), заданную
уравнением (13.19), которая иллюстрируется рис. 13.12, где
(г) =-----------------—i--------------.
А, + ~в^+
(13.25а)
(13.256)
1
Аы
(13.26)
Пример 13.4. Реализовать на основе лестничной схемы на рис. 13.11 сле-
дующую передаточную функцию:
z~1
Н = 1 - (1/4) z-‘ - (l/8)z-2 •
Решение. Умножая числитель и знаменатель функции H(z) [уравнение
(13.26)] на z2 получаем H(z) = z/[(z2 — l/4)z — (1/8)]. Разложение функции
Рис. 13.13. Лестничная схема реализации уравнения (13.26).
Н (z) в непрерывную дробь при z = оо (или, что эквивалентно, z~l = 0)
дает
#(z) =---------
z +-----
-44-
(13.27)
Схема лестничной реализации уравнения (13.26) на основе соотношения
(13.27) показана на рис. 13.13.
Пример 13.5. Реализовать на основе лестничной структуры, показанной
на рис. 13.12, передаточную функцию
н ,-у._______1 4-z-1 4-z-2
v ’ 1 - (1/4) z-‘ - (1/8) z-2 ’
Решение. Если переписать функцию W(z), заданную уравнением (13.28),
следующим образом: Н(z) = (z2 4- z l)/[z2—(l/4)z— (1/8)], то разложение
функции H(z) в непрерывную дробь при z = °° дает
1
1
1
1
(13.28)
tf(z) =
(13.29)
25
2
J__________
1
1
8
Рис. 13.14. Лестничная схема реализации уравнения (13.28).
Реализация уравнения (13.28) на основе соотношения (13.29) приведена на
рнс. 13.14.
Из примеров 13.2—13.5 следует, что значительным недостат-
ком лестничных реализаций является то, что постоянные умно-
жения в окончательных реализациях цифровых схем получа-
ются после ряда вычислений. Поэтому результирующие струк-
туры могут не реализовывать точно исходную передаточную
функцию. Кроме того, отсутствует какой-либо контроль над са-
мой величиной (модулем) постоянных умножения. Например,
число 455/4 значительно больше остальных постоянных умно-
жения в схеме, приведенной на рис. 13.14. Это приводит к су-
щественным трудностям при конструировании аппаратурных
средств.
Как и в случае пассивных аналоговых лестничных схем, циф-
ровую передаточную функцию можно реализовать комбиниро-
ванием процедур цифровой лестничной реализации различных
видов. Очень часто этот процесс будет давать более приемле-
мые постоянные умножения. Подходящий случай приведен в
примере 13.6.
Пример 13.6. Реализовать передаточную функцию H(z), заданную выра-
жением (13.28) из примера 13.Б, раскладывая функцию H(z) сначала При
г-1 = 0, а затем при z~l => оо.
Рис. 13.15. Лестничная реализация уравнения (13.28).
Решение. Разложение функции H(z) при z~* = 0 до тех пор, пока не
будет извлечен первый элемент задержки,
сывается в виде
w i х l + z-' + z-2
" W “ 1 - (1/4) z-‘ - (1/8) z-2 “
z2 + z 4-1
“ z2 — (1/4) z — (1/8)
означает, что функция n(z) запи-
------------—j------------, (13.30)
1 + - (4/5) г + ffR (z)
^r + 8z-'
где оставшаяся дробь
—Юг —9 — 10— 9z-‘
раскладывается при z“‘ —°° следующим образом:
(Z) =----g-----------j--------. (13.31)
4
Схемная реализация уравнения (13.28), основанная на разложении функции
/7(г), которое определяется соотношениями (13.30) и (13.31), приведена на
рис. 13.15’).
Перед тем как завершить подраздел о реализациях на основе
лестничных форм, обратим внимание на то, что транспонирова-
ние цифровой лестничной схемы представляет собой саму исход-
ную лестничную схему. Другими словами, они являются схе-
мами, транспонированными сами себе.
13.1.13. Исключение контуров без задержки. В разд. 11.5
было показано, что невозможно проведение вычислений в циф-
ровых схемах с контурами без задержки. Из предыдущего под-
раздела следует, что некоторые способы лестничной реализации
приводят к цифровым схемам с контурами без задержки. Вслед-
ствие этого такие схемы нельзя реализовывать без модификации.
В этом подразделе вводится процедура исключения контуров
без задержки в цифровых схемах без изменения имеющихся
общих передаточных функций.
Рассмотрим сначала часть схемы, показанную на рис. 13.6, а,
где контур без задержки состоит из двух ветвей, связанных с
узлами 1 и 2. Описывающие эту часть схемы разностные урав-
нения имеют вид
A'i (п) == q2a2 (ti) + у у (п), (13.32а) ру (п) — Ху (п), (13.32в)
х2 (п) = ауХу (п) + у2 (п), (13.326) р2 (п) — х2 (п), (13.32г)
где yi(n) и yz(n) представляют собой соответственно совокуп-
ности всех сигналов, подходящих к узлам 1 и 2, a pi(n) и р2(«)—
соответственно совокупности сигналов, выходящих из узлов 1
и 2. Решая первые два уравнения в (13.32), получаем
1 а2
<13-33а)
W = T-U + Т- а,а2 (13-336)
Если отсутствует сигнал, подходящий к узлам 1 и 2, то
Уу(п) = yz(n) = 0. В этом случае, если ауа2^1, то уравнение
(13.32) устанавливает, что Ху(п) —х2(п)~ pi(n) — р2(п)= 0.
Таким образом, можно полностью исключить часть схемы на
рис. 13.16, а без изменения общей передаточной функции. Если
при Уу(п) = yz(ri) = 0 имеем, что ауа2 = 1, то существует много
решений уравнений (13.33). Из-за отсутствия лучшего критерия
’) Реализация уравнения (13.28) здесь осуществлена при использовании
комбинации рис. 13.12 и рис. 13.7. Заметим, что рис. 13.15 содержит контуры
без задержки. Способы преобразования схемы с контурами без задержки в
схему с контурами с задержкой описаны в следующем подразделе.
Рис. 13.16. Исключение двухузлового контура без задержки.
а—исходная схема; б—упрощенная схема, когда г/i (п)=д2 (п)=0 и Oia2==l; в—эквива-
лентная схема, в которой исключен контур без задержки.
можно для простоты положить Х1(п) = Хг(п), тогда схема на
рис. 13.16, а преобразуется к виду, показанному на рис. 13.16,6.
Предположим теперь, что у\(п) и у2(«) одновременно не
равны нулю. Это означает, что имеется по крайней мере хотя
бы один ненулевой сигнал, подходящий к узлу 1 или 2. Если
aia2= 1, то исходная схема непригодна, т. е. нет способа улуч-
шить ее без изменения исходной передаточной функции. Если же
ai«2 >/= 1, то уравнения (13.33) обеспечивают пригодные резуль-
таты при
Pi = ~Г^а, М + Г^-а.а, (13.34а)
р2 (n) = 1-V,a,- У1 («) + —-g.fl"№(»)• (13.346)
Таким образом, можно полностью исключить узлы 1 и 2. Следует
отметить, что контур без задержки на рис. 13.16?а исключается,
а результирующая схема даежся на рис. 13.16, в. Также заметим,
что общая передаточная функция остается неизменной, посколь-
ку уравнение (13.34) получается непосредственно из (13.32).
Для контуров без задержки, которые содержат более двух
узлов, наиболее простая стратегия состоит в переводе контура
без задержки с k узлами в контур с (&—1) узлами. Повторе-
ние процедуры сокращения числа узлов необходимое число раз
приводит к контуру без задержки, содержащему только два
узла. Следовательно, показанную на рис. 13.16 процедуру можно
применить для полного исключения контура без задержки.
Оставшаяся часть этого подраздела посвящена процедуре ис-
ключения узла из контура без задержки, содержащего более
двух узлов.
Рассмотрим часть схемы, показанную на рис. 13.17, а, где
узлы 1, 2, 3 и 4 образуют контур без задержки. За исключением
сигналов внутри контура, сигналы yi и pi представляют соответ-
ственно совокупность сигналов, подходящих и выходящих из
узла i, где i= 1, 2, 3 и 4. Описывающие эту схему уравнения
определяются следующими соотношениями:
*1 (n) = а4х4 (n) + Pi (п) (13.35)
Xi(n) = al_iXl_l(n)-\~ у:(п) для i — 2, 3, 4, (13.36а)
Pk («) = xk («) Для k=l, 2, 3, 4. (13.366)
Подставляя соотношение (13.35) в (13.36), получаем
х2 (n) = ata4x4 (n) + avyv (n) + у2 (п), (13.37а)
х3 (п) = а2х2 (п) + у3 (п), (13.376)
х4 (п) == а3х3 (п) + у4 (п), (13.37в)
Pi (п) = а4х4 (n) + yi (п), (13.37г)
Pk (R) — xk («) Для k = 2, 3, 4. (13.37д)
Цифровая схема, реализующая уравнение (13.37), показана на
рис. 13.17,6. Отметим, что контур без задержки на рис. 13.17,6
содержит три узла, в то время как в контуре без задержки на
рис. 13.17, а имеется 4 узла.
Продолжая эту процедуру, на следующем этапе запишем
уравнение (13.37) в виде
х3 (п) = аха2а4х4 (ri) + аха2ух (ri) + (п) + у3 (ri), (13.38а)
х4(п)=^-а3х3(п)-\-у4(п), (13.386)
Pi («) — аЛ (п) + У i (ri), (13.38в)
pz (ri) = аха4х4 (ri) + ахух (ri) + у2 (ri), (13.38г)
р3(п) = х3(п), (13.38д)
р4 (ri) — х4 (п). (13.38е)
На рис. 13.17,в приведена структурная схема, составленная по
уравнению (13.38). Заметим, что теперь контур без задержки
Рис. 13.17. Процедура исключения узла в контуре без задержки.
а—исходная схема с четырехузловым контуром без задержки; б —эквивалентная схема
с трехузловым контуром без задержки; в — эквивалентная схема с двухузловым контуром
без задержки.
Рис. 13.17. (Продолжение.)
содержит только два узла. Таким образом, можно использовать
прием, показанный на рис. 13.16, для окончательного исключе-
ния контура без задержки. Следует отметить, что процесс исклю-
чения нуля из контура без задержки не включает решения си-
стемы уравнений. Он просто требует подстановок уравнений.
Пример 13.7. Найти эквивалентную схему, которая не содержит конту-
ров без задержки, для структуры, показанной на рис. 13.18, а.
Решение. Описывающие схему уравнения имеют вид
х, (л) = (1/4) х3 (л) + (1/2) х (л), (13.39)
х2 (л) = (1/2) х, (л), (13.40а)
х3 (л) = (1/2) Xi (п) 4- х (п - 1), (13.406)
у (л) = (1/2) Xi (п) + (1/2) х3 (л - 1). (13.40в)
Подставляя уравнение (13.39) в (13.40), получаем
х2 (л) = (1/8) х3 (л) + (1/4) х (л), (13.41а)
х3 (л) = (1/2) хг (л) + х (л — 1), (13.416)
у (л) = (1/2) х2 (л) 4- (1/2) х3 (л - 1). (13.42)
Таким образом, схему на рнс. 13.18, л можно заменить эквивалентной схемой,
показанной на рис. 13.18,6. Решая уравнение (13.41) относительно Хз(л) и
хз(л), получаем,
х2 (л) = (4/15) х (л) 4- (2/15) х (п - 1), (13.43а)
х8 (п) = (2/15) х (л) 4- (16/15) х (л - 1). (13.436)
Рис. 13.18. Этапы исключения трехузлового контура без задержки в при-
мере 13.7.
Результирующая эквивалентная схема, описываемая соотношениями (13.42)
и (13.43), не содержит контура без задержки и приведена на рис. 13.18, в.
13.1.2. Косвенная реализация
Для минимизации ошибок из-за эффекта квантования или
влияния конечной длины слова цифровые фильтры часто реали-
зуются в виде соединения звеньев первого и второго порядков.
В этом подразделе сначала рассмотрим некоторые методы реа-
лизации цифровых фильтров первого и второго порядков, а за-
тем два способа косвенной реализации.
Цифровой фильтр первого порядка характеризуется переда-
точной функцией следующего вида:
Hl(z)^(a0 + alz-l)l(l+blz-1). (13.44)
Имеется много различных схем, которые реализуют уравнение
(13.44). На рис. 13.19 показаны реализации уравнения (13.44)
по методу прямой формы I, прямой формы И, транспонирован-
ной прямой формы I, транспонированной прямой формы II и
двух лестничных форм. Следует отметить, что для каждой схемы
первого порядка на рис. 13.19 требуется три перемножителя,
т. е. минимальное число перемножителей, необходимое для реа-
лизации уравнения (13.44).
Общий цифровой фильтр второго порядка характеризуется
следующей передаточной функцией:
Н2 (z) = (а0 + «jZ-1 + a2«-2)/(l + biZ~l + b2z~2). (13.45)
Как и в случае первого порядка, существует много реализаций
уравнения (13.45), включая и прямые формы I и II, транспони-
рованные формы I и II и лестничные формы. На рис. 13.20 при-
ведены цифровые схемные реализации уравнения (13.45) на
основе прямых форм и транспонированных прямых форм.
Обладая основными функциональными узлами в виде звеньев
цифровых фильтров первого и второго порядков, теперь перей-
дем к рассмотрению двух способов косвенных реализаций циф-
ровых БИХ-фильтров, заданных уравнением (13.1). В последую-
щем предположим, что в уравнении (13.1)
M^N. (13.46)
Если условие (13.46) не выполняется [т. е. если M>N в урав-
нении (13.1)], то передаточная функция уже не является пра-
вильной рациональной функцией и можно записать функцию
Z/(z) [уравнение (13.1)] в виде
Н (z) = ЯКих (z) + ЯБих (z), где (13.47а)
7/ких (z) = c0 + CiZ-1 + ... + cM_uZ~{M~W и (13.476)
N — l // N ч
Явих= ZrffZ-'/ 1 + Z^-z-Ч. (13.47b)
i=o / \ i=i /
В этом случае реализацию этой передаточной функции можно
получить, реализуя цифровой КИХ-фильтр [уравнение (13.476)]
и цифровой БИХ-фильтр [уравнение (13.47в)] и затем соединяя
эти два цифровых фильтра вместе параллельным способом, как
показано на рис. 13.21. Реализация цифровых КИХ-фильтров
рассматривается в разд. 13.2. Следовательно, здесь достаточно
исследовать проблему реализации цифровых БИХ-фильтров, ха-
рактеризуемых передаточной функцией (13.1) при М N.
13.1.2.1. Каскадные реализации. Задав цифровую передаточ-
ную функцию Н(г) [уравнение (13.1)] при можно пе-
реписать ее в виде
Я(г)>=Я1(г)Я2(г) ... HK(z),
(13.48)
где Hi(z)—цифровой фильтр первого или второго порядка, а
i — 1, 2, К. Исходя из соотношения (13.48), можно реали-
Рис. 13.19. Шесть звеньев цифровых фильтров первого порядка.
а—прямая форма 1; б—прямая форма Н; в—транспонированная прямая форма I;
е—транспонированная прямая форма II; д и е—лестничная форма.
a.
X(z) b, Y(z)
H(z) = £
bi
1_____________
b. z 1 . 1
aob, - a, aob, - a,
bi
Рис. 13.19. (Продолжение.)
зовать функцию H(z), реализовав сначала каждую отдельную
функцию а затем соединив их вместе каскадно, как по-
казано на рис. 13.22.
Пример 13.8. Реализовать следующую передаточную функцию:
(13.49)
а—прямая форма I; б—прямая форма П; в—транспонированная прямая форма I;
& —транспонированная прямая форма II.
Рис. 13.21. Структурная схема неправильных цифровых передаточных функ-
ций.
Рис. 13.22. Структурная схема каскадной реализации цифровых фильтров.
Решение. Можно разложить общую передаточную функцию на
жителя
Н (z) = Н! (г) Н2 (г) Нг (z), где
1 I - у -I— 1
= 1 —(1/4) z_I —(1/8) z-2 ’ На = 7— (1/3) г-1
три сомно-
(13.50а)
(13.506)
. 34 ' 1 + (1/2) г-1 + (1/2) z-2 *
Реализовав отдельно функции /Л(г), H2(z) и H3(z) и затем соединив их
вместе каскадно, получим реализацию функции H(z), которая приведена на
Рис. 13.23. Каскадная реализация функции (13.49).
рис. 13.23, где функция Hi(z) реализована в примере 13.6 (рис. 13.15), функ-
ция H2(z) реализуется в виде лестничной формы (случай 1), а функция
Ws(z)—в виде прямой формы II. Заметим, что контур без задержки на
рис. 13.15 [функция /Л (г)] можно исключить на основе введенного в под-
разд. 13.1.1.3 способа.
Рис. 13.24. Структурная схема параллельной реализации цифровых фильтров
13.1.2.2. Параллельная реализация. Задав цифровую переда-
точную функцию H(z) [уравнение (13.1)] при М <Z N, можно
разложить ее на простые дроби следующим образом:
A A, v+ Bi-Ciz-1
^=Hi(z)-\-... + HNl(z) + HNl+l(z) + ... +HM
(13.51)
где di — величина комплексно-сопряженная c di, все а, Д-, Bi и
Ci — вещественные числа, Ht(z), ..., 77w,(z)— передаточные
функции цифровых фильтров первого порядка, а 7Лу,+1(г), ...
., Ядг,(г)—- передаточные функции цифровых фильтров второго
порядка. Из уравнения (13.51) можно сделать вывод, что циф-
ровую передаточную функцию n-порядка можно выполнить, реа-
лизуя цифровые передаточные функции первого и второго по-
рядков Нi(z), ..., и затем соединяя их параллельно, как
показано на рис. 13.24.
Пример 13.9. Реализовать параллельным методом передаточную функцию
н ..________________3+ (5/3) г-'+ (2/3) г-2
• W [1 - (1/3) z~‘] [1 + (1/2) z-‘ + (1/2) г-2] • '
2
YU)
___________HjU)____J
HU) Ио (13.62)
Рис. 13.25. Параллельная реализация функции (13.52).
Решение. Разложение заданной выражением (13.52) функции Я(г) на
простые дроби дает
»- .-(.даг-1 + <*> + "• <* (1“sa)
где
1 -р z'—
Hi (z) = 1 + (1/2) z~l + (1/2) г-2 •
(13.536)
(13.53в)
Реализацию функции H(z) [уравнение (13.52)] можно получить, реализовав
отдельно функции Hi(z) и Hz(z) и затем соединив их вместе параллельно,
как показано на рис. 13.25, где функция Hi(z) реализуется на основе транс-
понированной прямой формы I, а функция Hz(z)—прямой формы II.
13.2. Реализация цифрового КИХ-фильтра
Передаточная функция цифрового КИХ-фильтра определя-
ется следующим образом:
W-1
Н (z) = h(n)z~n. (13.54)
п=0
Рис. 13.26. Реализации цифровых КИХ-фильтров.
а—прямой метод; б—каскадный метод.
приведена на рис. 13.26, а. Записывая уравнение (13.54) в виде
произведения полиномов первого и второго порядков
Н (z)~Hl(z)H2(z) ... HK(z), где (13.55а)
Нi (z) = ai + ргг-1 + ViZ~2, (13.556)
можно реализовать цифровой КИХ-фильтр в каскадной форме,
которая приведена на рис. 13.26, б.
В частном случае, когда цифровой КИХ-фильтр должен быть
фильтром с линейной фазой1),
h(n) = h(N— 1 — п). (13.56)
См. уравнения (12.135)—(12.137),
б
Рис. 13.27. Реализация цифровых КИХ-фильтров с линейной фазой,
с) N—четное число; 6) N—нечетное число.
Число перемножителей на рис. 13.26, а можно сократить вдвое,
как показано на рис. 13.27, а для четного числа N и на
рис. 13.27,6 для нечетного числа N. Наконец, если цифровой
КИХ-фильтр получается с помощью метода частотной выборки,
то его передаточная функция имеет видJ)
//(2)=[i-z-4x\_XpZ..w- (13-57)
/г=0
*) См. уравнение (12.146).
Рис. 13.28. Реализация цифровых КИХ-фильтров по методу частотной вы-
борки.
Реализация уравнения (13.57) на комплексных перемножителях
приведена на рис. 13.28.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rabiner L. R., Rader С. М., Digital Signal Processing, New York, IEEE
Press, 1972.
2. Digital Signal Processing Committee of IEEE Acoustics, Speech and Signal
Processing Society, ed., Digital Signal Processing II. New York, IEEE
Press, 1975,
3. Oppenheim A. V.. Schafer R W., Digital Signal Processing, Englewood
Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Оппенгейм А. В.,
Шафер Р. В., Цифровая обработка сигналов. — М.: Связь, 1979.]
4. Rabiner L. R., Gold В., Theory and Application of Digital Signal Processing,
Englewood Cliffs, N J., Prentice-Hall, Inc., 1975. [Имеется перевод: Pa-
бинер Л. P., Гоулд Б., Теория и применение цифровой обработки сигна-
лов.— М.: Мир, 1978]
5. Jackson L. В., Ап Analysis of Roundoff Noise in Digital Filter, Sc. D. The-
sis, Stevens Institute of Technology, 1967.
6. Mitra S. K. Sherwood R. J., Canonic Realizations of Digital Filters Using
Continued Fraction Expansion, IEEE Trans. Audio Electroacoustics, AU-20
185—194 (1972).
7. Mitra S. K-, Sagar A. D., Additional Canonic Realization of Digital Filteis
Using the Continued Fraction Expansion, IEEE Trans. Circuit and Systems,
CAS-21, 135—136 (1974).
8. Gray A. H, Jr., Markel J. D., Digital Lattice and Ladder Filter Synthesis,
IEEE Trans. Audio Electroacoustics, AU-21, 491—500 (1973).
9. Szczupak J., Mitra S. K-, Digital Filter Realization Using Successive Mul-
tiple-Extraction Approach, IEEE Trans. Acoustics, Speech and Signal Pro-
cessing, ASSP-23, 235—239 (1975).
10 Fettweis A., Digital Structures Related to Classical Filter Networks, Arch.
Elec. Ubertragung, 25, 79—89 (1971).
11. Sedlmeyer A., Fettweis A., A Digital Filters with True Ladder Configura-
tion, Intern. I. Circuit Theory Appl., 1, 5—10 (1971).
12. Parker S R., Hess S., Canonic Realization of Second Order Digital Filtei
due to Finite Precision Arithmetics, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-19,
410—413 (1972).
13. Hwang S. Y., Realization of Canonical Digital Networks, IEEE Trans.
Acoustics, Speech, Signal Processing, ASSP-22, 27—38 (1974).
14. Shiva S. G., A Unified Approach to the Selection of Structures for Digital
Filters, IEEE Intern. Conf. Acoustics, Speech and Signal Processing,
May 9—11, 1977, 601—604.
15. Szczupak J., Mitra S. K-, Detection, Location, an Removal of Delay-Free
Loops in Digital Filter Configurations, IEEE Trans, Acoustics, Speech, and
Signal Processing, ASSP-23, 558—562 (1975).
ЗАДАЧИ
13.1. а) Реализовать прямыми формами I и II следующее разностное урав-
нение: у (п) = (3/4) у (п — 1) + (1/8) у (п — 2) = х (п) + (1/3) х (п — 1).
б) Найти транспонирования схем, полученных в п. а).
в) Показать, что полученные в п. б) схемы описываются именно урав-
нением, приведенным в п. а).
13.2. Повторить задачу 13.1 для разностного уравнения вида у (п) — (1/2) X
X У (.п — 1) + (1/4) у (п — 2) — (1/8) у (п — 3) = х (п).
13.3. Реализовать каждую из следующих передаточных функций на основе
прямых форм I и II, а также транспонированных прямых форм I и II;
а) 1 +0,5г-' +0,5z-2 ’
1 -р z-2
б) //(£)= (1 + 0 52-1) (1 +0,2z-l+0,2z-2) 5
в) ^(2) = О+г-ЧО+г-8)_______
BJ П + 0.5г_ 1) (1 _ 0^2-! + 0,5г-2) •
г) Н (z) (I _ 0>5я;_(1 + 0>’2г-1 _ 0 2Z-2) ;
_> и ,.л (1-Z-1)2
W (Z> 1 + 0,lz-1 - 0,2z~2 + 0,3z~3 4- 0,4г-4 ’
el H(z\ - 0,1г~1 + z~3 + 0,9z~5
’ к ’ 1 - 0,2z—2 + 0,4z~4 + 0,6z~e ’
13.4. Реализовать каждую передаточную функцию в задаче 13.3 с помощью
четырех лестничных форм (если возможно).
13.5. Реализовать каждое из следующих разностных уравнений на основе
прямых форм I и II, а также транспонированных прямых форм I и II:
а) у (я) + (1/2) у (я — 1) — (1/4) у (я — 2) = х (я);
б) У (я) + (1/2) у (п - 1) - (1/2) у (п - 2) + (1/4) у (п - 3) =
= х (я) + (1/3) х (п — 1);
в) У (я) + (1/2) у (п - 1) - (1/4) у (п - 2) + (1/8) у (п - 3) -
, — (1/16) у (я — 4) = X (я) — (1/4) X (я — 1) + (1/4) X (я — 3);
г) У (я) + (1/2) у (я — 1) = х (я) + (1/2) х (я — 1) + х (я — 4):
Д) У (я) — У (п — 1) = х (я) — (1/2) х (я — 1) +
+ (1/4) х (п - 2) - (1/8) х (я - 3);
е) У («) = (1/4) (х (я) + х (я — 1) + х (я — 2) + х (я — 3)].
13.6. Реализовать каждое разностное уравнение в задаче 13.5 с помощью
четырех лестничных форм (если возможно).
13.7. Предположим, что некоторые процедуры реализации приводят к циф-
ровым схемам с контурами без задержки, как показано на рис. 3.13.7.
Для каждой цепи, приведенной на рис. 3.13.7, найти эквивалентную
схему (обладающую той же самой общей передаточной функцией), не
содержащую контуров без задержки.
1 4- z~l 1 — z~2
13.8. Если Ht (z) = j + + 0,5г_2 , Я2(г) = i _ + 0,5z~2 И
„ l-2z->+2z-2
3 ' 1 + 0,5г-1 + 0,25z~2 ’
реализовать следующие передаточные функции в каскадной форме:-
а) Н (z) = Я] (z) Я2 (г);
б) Н (z) = Т/i (z) Н3 (z);
в) Н (z) = Нг (z) Н3 (z);
г) Н (z) = Hi (z) Нг (z) Н3 (z);
д) 77(z) = /71(z) + /72(z);
е) Н (z) = Hi(z) + H3(z);
ж) Н (z) = Нг (z) + Н3 (z);
з) H(z) = H,(z) + H2(z) + H3(z).
13.9. Реализовать передаточные функции в задаче 13.8 в параллельной
форме.
13.10. Исследовать схему, приведенную на рис. 3.13.10.
а) Найти общую передаточную функцию Я (г).
б) При HB(z)=kB и Ha(z) — z-’/(1 +0,95г~2) найти общую пере-
даточную функцию Я (г).
в) Исходя из результатов, полученных в п. б), найти диапазон зна-
чений кв устойчивой работы схемы.
г) Повторить п. б) и в) для Ял(г) = (1 4- «“*)/( 1 + z~2).
X(z)
Нл(г)
Y(z)
—О
HB(z)
нь,шхй>
Рис. 3.13.10.
13.11. Реализовать следующие цифровые КИХ-фильтры:
a) h (n) = 1 для 0 < п < 4
= 0 для п < 0, п > 4
б) А(0) = А(4)=2
А(1) = А(3) = 1
h (2) = 0,5,
h (n) = 0 для п < 0 и для п > 4
в) h (п) = 2 для 0 < п < 5
= 0 для п < 0, п > 5
г) А(0) = А(5) = 2
А(1) = А(4)=1
h (2) = h (3) = 0,5
h (n) = 0 для п < 0 и для п. > В
д) h (п) = 1 для п = О, 1, 2
h (п) = 1,5 для п = 3, 4, 5
h (п) = 2 для п — 6, 7, 8
h (n) = 1 для п = 9
А (п) = О для п < 0 и для п > 10
е) A (n) = п + 1 для п = О, 1, 2, 3
= 0 для п < 0, п > 3
ж) A (n) = 1 для 0 п 9
= 0 для п < 0, п > 9
з) А(п)=п2 для п = 0, 1, 2, 3
= п + 6 для 4 п 9
0 для п < 4, п > 9,
13.12. Реализовать передаточные функции, полученные на основе метода ча-
стотной выборки в задаче 12.21.
13.13. Реализовать передаточную функцию, полученную на основе метода
частотной выборки в примере 12.16.
13.14. Реализовать передаточные функции, полученные на основе метода
частотной выборки в задаче 12.22.
13.15. Написать программу для ЭВМ, выполняющую четыре метода реализа-
ции на основе лестничных форм.
13.16. Пусть S является цифровым фильтром, который характеризуется сле-
дующей передаточной функцией:
У (г) Пр-Ра,?-1+а2г~2+ ••• +oAfg~Af
* = X(z) = 1 +&1г~1 +Ь2г“2+ ... + bNz~N '
а) Показать, что S
вого порядка:
можно описать набором разностных уравнений пер-
~ (w+ 1) " =г ~~ЬХ ~
л:2 (П + 1) 1
Хз (И + 1) = 0
_ xN (п + 1) _ =г 0
(«) =
Ь2 -*з \-1 bt
0 0 ... 0 0
1 0 ... 0 0
• • • • • •
• • ••• •
0 ... 1 0
С2 сз “ Х^п) Хз(п) Хз(п)
_ XN -
где х(п) и у(п)—соответственно обратные z-преобразования функций
X(z) и У(г) и a = at — btaB для i ~ 1,2, .... N.
б) Найти реализацию функции И (г) с помощью разностных уравне-
ний из п. а).
Замечание: это называется реализацией переменных состояния функции
Я(г).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитудно-частотная характеристи-
ка 13—19, 76, 77, 432
Баттерворта фильтры 214—218
Бесселя фильтры 258
логарифмическая 216
свойства 212—-214
Чебышева фильтры 231—241
эллиптические фильтры 249—251
АЦП (аналого-цифровое преобразо-
вание) 430—433
Баттерворта фильтры 212, 214—228
амплитудно-частотные характери-
стики 2J5 „
передаточные функции 21о—zzb
полюсы 221—223
свойства 216—218
схемная реализация 224—225
фазочастотные характеристики 216
Бесселя фильтры 212, 251—260
группового времени характеристики
256
затухания характеристики 258
схемная реализация 259
фазочастотные характеристики 256
Биквадратное звено на нескольких
усилителях схема Toy 378—386
Биквадратные передаточные функции
356
Билинейное преобразование 508—517
БИХ-фильтры 470
Верхних частот фильтры (аналого-
вые) 14, 275
звенья второго порядка 357—361
Toy схема 382, 383
Верхних частот фильтры (цифровые)
484
Взвешивания метод 535—537
Виртуального короткого замыкания
принцип 31—33
Волновые цифровые фильтры 546
Всепропускающие фильтры (аналого-
вые) 14, 282—284
звенья второго порядка 357
мостовая реализация 178
на основе дополняющей функции
388—392
Toy схема 383
Всепропускающие фильтры (цифро-
вые) 484, 526—529
расположение полюсов и нулей 527
Входные функции
активные 96
без потерь 102—107, 109
LC 91, 109
пассивные 96
Входные ЕС-функции 102—121
Кауэра реализации 111—121
свойства 102—107
Фостера реализации 108—111
Входные /?С-функции 126—150
Кауэра реализации 137—148
полного сопротивления 127—132
полной проводимости 132—139
свойства 127—132
Фостера реализации 131, 136
Выбор пар полюс — нуль 393, 418
Вычет 92
Гильберта преобразование 63—69
Гираторы 34—39
Группового времени характеристика
19, 252, 301
Бесселя фильтры 256
всепропускающие фильтры 283
Гурвица критерий 83—85
Гурвица полином 83—96
модифицированный 83—96
Дарлингтона методы 179—200
двусторонние нагрузки 190—200
односторонняя нагрузка 182—190
чувствительности 203
Двухполюсник
математическое описание 28
определение 27
Дискретное преобразование Фурье
(ДПФ)
ограниченной последовательности
464
периодической последовательности
460, 463
Дифференциатор 48
Добротность полюса 319, 327
388—392
Дополняющие передаточные функции
Зависимые источники 33, 34
Заграждающие фильтры (аналоговые)
14, 273—275, 357—364
звенья второго порядка 357—361
иа основе дополняющих функций
388—392
Toy схема 383—386
Заграждающие фильтры (цифровые)
484
Задержки единичные 467
Запаздывание 20
Затухание 66. См. также Амплитуд-
но-частотная характеристика
Импульсная характеристика
аналоговые системы 12
цифровые системы 437
Инвариантности импульсной характе-
ристики
метод 495—508
Инвариантные во времени системы
аналговые 12
цифровые 436
Инверсные фильтры Чебышева 212,
276—278
Интегратор 47, 54, 401—403
Интервал дискретизации 455
Источник напряжения, управляемый
напряжением (ИНУН) 33, 53
Источник напряжения, управляемый
током (ИНУТ) 33, 35
Источник тока, управляемый напря-
жением (ИТУН) 33—35
Источник тока, управляемый током
(ИТУТ) 33, 36
Каскадная реализация 356, 572—575,
578
Катушки индуктивности, искусствен-
ные (активные) 38—41, 44, 54,
328
Кауэра реализации
входные АС-функции 111—122
входные АС-функции 137—148
Квадратная симметрия 61, 78
КИХ-фильтры 472
КИХ-фильтры с линейной фазой 529—
532
расположение нулей 531
реализация 578—580
Классификация фильтров 11
Конвертор полного сопротивления
обобщенный 42
отрицательный 39—42, 331—335
Контуры без задержки 469
метод исключения 565—570
Коэффициенты передачи 190
Ку метод 335—341
Лаверинга метод 346—348
Лернера фильтры 503
Лестничные схемы
Баттерворта фильтры 224, 225
Бесселя фильтры 250
Дарлингтона методы 179—200
передаточные АС-фуикции 167—177
передатчные АС-функции 155—167,
172—177
Чебышева фильтры 246—248
Лестничные формы 551—565
Линейные функции 500
Лорана постоянная 305
Масштабирование по частоте 262—
267, 279, 314, 318
Матея — Сайферта метод 345, 346
Матрица вычетов 180
Митры метод 348—351
Миогоскоростные фильтры 538
Модуль, см. Амплитудно-частотная
характеристика
Мостовые цепи (схемы) 49, 177—179
Мощность средняя 102
Найквиста скорость 456
Наложение 457, 460, 499
Неравномерность передачи в полю-
се пропускания 231
Нижних частот фильтры (аналого-
вые) 14, 262—267
активная А-схема 412—417
звенья второго порядка 357—361
нормированные идеальные 211
Toy схема 378—380
Нижних частот фильтры (цифровые)
484
Нормирование по переменному сопро-
тивлению 45, 56, 331
Нормирование по сопротивлению
278—280, 313, 317, 327
Нормированные нижних частот фильт-
ры
Баттерворта 215—217
идеальные характеристики 211
Чебышева 231, 284
Нули 130
входные АС-функции 102—104
входные АС-функции 127—136
передаточные АС-функции 167
передаточные АС-функции 158
передачи 122, 150, 156—158
Обобщенный конвертор полного со-
противления 42—44, 331—335
Обратное дискретное преобразование
Фурье
ограниченной последовательности
464
периодической последовательности
460—463
Обратное z-преобразование 445—451
Однозначная функция 500
Окно
Бартлетта 537
Блэкмана 537
Кайзера 537#
прямоугольное 537
треугольное 537
Ханна 537
Хэмминга 537
Операционные усилители
амплитудно-частотные характери-
стики 36,6
внутренняя коррекция 407
встроенные 373
идеальные харатеристики 30
неидеальиости 395
однополюсное представление АЧХ
407
Отображение подобное 500
Отражения коэффициент 190—193
Параллельная реализация 576
Переменных состояния метод
активные фильтры 352—355
звенья второго порядка 373—378
цифровые фильтры 585
Перемножители 467
метод исключения 546
Переходные фильтры 260—262, 294
Полиномы 59—62
Баттерворта 214, 285
Бесселя 254
Гурвица 83
нечетные 59, 60
Чебышева 285—290
четные 59, 60
Положительные вещественные функ-
ции 80—83, 91—96
Полоса
задерживания 14, 210
переходная 14, 210
пропускания 14, 209
Полосовые фильтры (аналоговые) 14
активные Р-звенья 408—410, 415—
417
арифметическая симметрия 267, 284
геометрическая симметрия 267—272
звенья второго порядка 357—361
Toy схема 381
Френда звено 404—407
Полосовые фильтры (цифровые) 484
Полюсы 130
Баттерворта фильтры 220—223
входные АС-функции 102—104
входные /?С-функции 127—136
передаточные АС-функции 167
передаточные РС-функции 158
переходные фильтры 260—262
Чебышева фильтры 243—244, 285—
290
чувствительности 309, 393
Последовательность
единичного импульса 433, 442
единичного скачка (ступенчатая)
434, 442
синусоидальная 434, 442
экспоненциальная 434, 442
«-преобразование 438—442
свойства 442—445
Преобразование элементов 279
НЧ->ВЧ 276
НЧ -> ЗФ 274
НЧ -> НЧ 264
НЧ -* ПФ 267—269
Произведение усиления на полосу
пропускания 398, 408
Равноволновые фильтры, см. Чебыше-
ва фильтры
Разложение RC — RC 341
Разложение в непрерывную дробь
относительно бесконечности 84, 112,
142
относительно начала координат
118—120, 146
Рациональные функции
вещественная часть 12, 69—74
мнимая часть 12, 69—74
нечетные 63, 79—74
четные 63, 69—74
Регистры сдвига 457
Саллена — Ки схема 358—361
Свертка 437
Стандартное z-преобразование, см. Ин-
вариантности импульсной харак-
теристики, метод
Сумматоры (схемы)
аналоговые 46—48
цифровые 467
Тейлора разложение 310—312, 448—
450
Теорема дискретизации 454—460
Транспонированные схемы 550
Усилитель напряжения, см. ИНУН
Устойчивость, цифровые системы 437,
470—472
Фаза (фазочастотная характеристика)
3, 19—22, 66, 74, 252, 482
Баттерворта фильтры 216
Бесселя фильтры 256
всепропускающие фильтры 283
фильтры с линейной фазой 483
Физически реализуемые системы
аналоговые 12
цифровые 437
Фильтры с максимально плоской ха-
рактеристикой
амплитудно-частотной, см. Баттер-
ворта фильтры
группового времени, см. Бесселя
фильтры
Фостера реализации 108—111
входные АС-функции 108—111
входные /?С-функции 131, 136
Френда схема 368—373, 404—407
Функции цепи 62—77
процедуры построения 72, 75
чувствительности 315—317
Функция потерь 66, см. Амплитудно-
частотная характеристика
Ф^рье-преобразование 451—454
быстрое 465
ЦАП (цифро-аналоговое преобразо-
вание) 430, 433, 473
Центральная частота
заграждающих фильтров 273
полосовых фильтров 267
Цепь нормирования
по ks сопротивлению 334—335
по k/s сопротивлению 332—333
Цифровая последовательность 430—
433
Цифровой сигнал 430—433
Цифровые фильтры
анализ 474—476
бесконечная импульсная характери-
стика 470
конечная импульсная характеристи-
ка 472
Частота
дискретизации 455
полюса 319, 327
среза 264
Частотная характеристика 453, 483
Частотно-зависимые отрицательные
сопротивления 44, 54
Частотно-избирательные фильтры
аналоговые 14
цифровые 483
Частотной выборки метод 465, 533,
579
Частотно-ограниченный сигнал 456
Частотные преобразования (аналого-
вые) 279
НЧ^ВЧ 275
НЧ ЗФ 272—275
НЧ НЧ 262—267
НЧ -* ПФ 267—272
Частотные преобразования (цифро-
вые) 517—526
НЧ ВЧ 525, 526
НЧ-*ЗФ 524, 525
НЧ->-НЧ 522
НЧ->ПФ 522—524
Чебышева фильтры 212, 229—248
затухания характеристики 233—241
неравномерность передачи в полосе
пропускания 235
передаточные функции 244
расположение полюсов 243
свойства 231—236
схемные реализации 246—248
Четырехполюсник взаимный 29
Чувствительность 316
добротности полюса 319
корня 309, 311
тождества 316
частоты полюса 319
Ширина полосы частот
заграждающих фильтров 273
полосовых фильтров 267
Ширина полосы частот, полезная
инвертирующего ИНУН 398
интегратора 402
иеинвертирующего ИНУН 400
Ширина равноволновой полосы 232
Штурма метод 93
Эйлера аппроксимация 490
Эквивалентная схема транзистора для
малых сигналов
биполярного 49
полевого 49
Эллиптические фильтры 212, 249—
251
Янагисавы метод 343, 344