Г. СЕГЁ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
МНОГОЧЛЕНЫ
Перевод с английского
В. С. ВИДЕНСКОГО
С предисловием и дополнениями
Я. Л. ГЕРОНИМУСА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1962

American Mathematical Society
Colloquium Publications volume XXIII
ORTHOGONAL
POLYNOMIALS
by
GABOR SZEGO
professor of mathematics
Stanford University
Revised edition
Published by the
American Mathematical Society
531 West 116th Street, New York Cit
1959
Техн. редактор Л. Ю. Плакше
Габор Сегё
Ортогональные многочлены
Редактор Л. А. Соловьева
Корректор 3. В. Автонеева
Сдано в набор 23/IX 1961 г. Подписано к печати 14/Ш 1962 г. Бумага 70xl08i/16.
Физ. печ. л. 31,25. Условн. печ. л. 42,81. Уч.-изд. л. 41,73. Тираж 6500 экз.
Цена книги 2 р. 24 к. Зак. 1276.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 5 Мосгорсовнархоза. Москва, Трехпрудный пер., 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу 9
Из предисловия автора к первому изданию И
Из предисловия автора к пересмотренному изданию 14
Глава I. Предварительные сведения 15
1.1. Обозначения 15
1.11. Неравенства 16
1.12. Алгебраические и тригонометрические многочлены 17
1.2. Представление неотрицательных тригонометрических многочле-
многочленов 18
1.21. Теорема Люкача относительно неотрицательных многочленов . . 18
1.22. Теоремы С. Н. Бернштейна 19
1.3. Приближение многочленами 20
1.4. Ортогональность; весовая функция; векторы в функциональном
пространстве 22
1.5. Замкнутость; интегральные приближения 24
1.6. Линейные функционалы 26
1.7. Гамма-функция 28
1.71. Функции Бесселя > . . 29
1.8. Дифференциальные уравнения 31
1.81. Функция Эйри 32
1.82. Теоремы типа теорем Штурма 33
1.9. Одно элементарное конформное отображение 34
1.91. Принцип аргумента; теорема Руше; последовательности анали-
аналитических функций 35
Глава П. Определение ортогональных многочленов. Основные примеры 36
2.1. Ортогональность 36
2.2. Ортогональные многочлены 38
2.3. Дальнейшие .замечания 41
2.4. Классические ортогональные многочлены 42
2.5. Формула Кристоффеля 42
2.6. Класс многочленов, рассмотренный С. Н. Бернштейном и Г. Сего 44
2.7. Многочлены Стилтьеса—Вигерта , 46
2.8. Распределения стилтьесовского типа; аналог многочленов Лежандра 46
2.81. Многочлены Пуассона—Шарлье 47
2.82. Многочлены Кравчука 48
2.9. Дальнейшие специальные случаи 50
Глава III. Общие свойства ортогональных многочленов 51
3.1. Экстремальные свойства; замкнутость 51
3.11. Обобщения 54
3.2. Рекуррентная формула; формула Кристоффеля—Дарбу 55

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
3.3. Элементарные свойства нулей 57
3.4. Механическая квадратура Гаусса—Якоби 60
3.41. Теорема Чебышева—Маркова—Стилтьеса о взаимном разделении 62
3.411. Первое доказательство теоремы о взаимном разделении ... 63
3.412. Второе доказательство теоремы о взаимном разделении .... 64
3.413. Третье доказательство теоремы о взаимном разделении .... 65
3.42. Другая теорема о взаимном разделении 65
3.5. Непрерывные дроби 66
Глава IV. Многочлены Якоби 70
4.1. Определение; обозначение; частные случаи 70
4.2. Дифференциальное уравнение 73
4.21. Гипергеометрические функции 74
4.22. Обобщение 75
4.23. Второе р1ешение 77
4.24. Преобразование дифференциального уравнения 79
4.3. Формула Родрига. Ортонормальная последовательность 79
4.4. Производящая функция 80
4.5. Рекуррентная формула 82
4.6. Интегральные представления в общем случае 84
4.61. Приложения; функции второго рода 85
4.62. Дальнейшие свойства функций второго рода 88
4.7. Ультрасферические многочлены 91
4.8. Интегральные представления многочленов Лежандра 97
4.81. Функции Лежандра второго рода 100
4.82. Обобщения 101
4.9. Тригонометрические представления 102
4.10. Дальнейшие свойства многочленов Якоби 107
Глава V. Многочлены Лагерра и Эрмита 109
5.1. Элементарные свойства многочленов Лагерра 109
5.2. Обобщение 111
5.3. Вырожденный гипергеометрический ряд. Соотношение между
многочленами Якоби и Лагерра. Второе решение 112
5.4. Интегральные представления 112
5.5. Многочлены Эрмита 114
5.6. Связь между многочленами Эрмита и Лагерра 115
5.7. Замкнутость 116
Глава VI. Нули ортогональных многочленов 120
6.1. Плотность нулей 120
6.11. Расстояние между последовательными нулями 121
6.12. Изменение нулей в зависимости от параметра 124
6.2. Распределение нулей классических многочленов 126
6.21. Неравенства для нулей классических многочленов 129
6.22. Доказательство монотонного изменения нулей классических мно-
многочленов, данное Стилтьесом 132
6.3. Метод Штурма; многочлены Якоби 133
6.31. Метод Штурма; многочлены Лагерра и Эрмита 136
■6.32. Метод Штурма; наибольшие нули многочленов Лагерра и Эрмита 140
6.4. Теорема Полна и Сегё о тригонометрических многочленах с моно-
монотонными коэффициентами 143

ОГЛАВЛЕНИЕ <'>
6.5. Обобщение многочленов Лежандра, данное Фейером 144
6.6. Резюме; дополнительные замечания об ультрасферических много-
многочленах 147
6.7. Электростатическая интерпретация нулей классических много-
многочленов 148
6.71. Дискриминанты классических многочленов 151
6.72. Распределение нулей обобщенных многочленов Якоби 153
6.73. Распределение нулей обобщенных многочленов Лагерра .... 157
6.8. Многочлены, которые удовлетворяют линейному однородному
дифференциальному уравнению второго порядка. Теорема Гейне—
Стилтьеса _ • • 158
6.81. Предварительные замечания 159
6.82. Задача на максимум 160
6.83. Единственность 161
6.9. Нули функций Лежандра второго рода; обобщение 162
6.10. Дальнейшие результаты 164
Глава VII. Неравенства 166
7.1. Грубые границы для ортогональных многочленов ....... 166
7.2. Монотонные весовые функции • 170
7.21. Применения 171
7.3. Многочлены Лежандра 171
7.31. Теорема Сонина. Функции Бесселя 173
7.32. Многочлены Якоби 175
7.33. Ультрасферические многочлены 178
7.34. Оценки интегралов, содержащих многочлены Якобя 180
7.4. Обобщение многочленов Лежандра, данное Фейером 181
7.5. Резюме 183
7.6. Многочлены Лагерра и Эрмита 184
7.7. Теорема Люкача 186
7.71. Обобщения; применения 189
7.72. Задача Чебышева 194
7.8. Дальнейшие результаты 197
Глава VIII. Асимптотические свойства классических многочленов .... 199
8.1. Формулы типа формул Мел ера—Гейне 200
8.21. Асимптотические формулы для многочленов Лежандра и Якоби 202
8.22. Асимптотические формулы для многочленов Лагерра и Эрмита 206
8.23. Замечания по поводу предыдущих результатов 209
8.3. «Элементарное» доказательство формул Лапласа—Гейне и Лапласа 211
8.4. Формула Дарбу, доказанная методом Дарбу 214
8.5. Доказательство формулы Стилтьеса 217
8.61. Метод Лиувилля — Стеклова; формула Лапласа ....... . 218
8.62. Метод Лиувилля—Стеклова; формула Хильба 220
8.63. Метод Лиувилля — Стеклова; распространение формулы Хильба
на многочлены Якоби 222
8.64. Метод Лиувилля — Стеклова; асимптотическая формула (типа
формулы Хильба) для многочленов Лагерра 224
8.65. Метод Лиувилля — Стеклова; многочлены Эрмита 226
8.66. Применение к многочленам Лагерра 228
8.71. Метод перевала; многочлены Лежандра и связанные с ними
функции 229
8.72. Метод перевала; формула Перрона для многочленов Лагерра . . 234

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
8.73. Метод перевала; многочлены Лагерра при 1 <; #-< D—rj)rc . . . 235
8.74. Метод перевала; многочлены Лагерра при D + Ц)п О •< An . . . 239
8.75. Метод перевала; многочлены Лагерра при х=Ап-^О(п3) .... 241
8.8. Дифференцирование некоторых асимптотических формул .... 244
8.9. Применения; асимптотические свойства нулей многочленов Якоби
и Лежандра 246
8.91. Применения; асимптотические свойства максимумов многочленов
Лагерра и Эрмита 248
8.92. Дальнейшие результаты 251
Глава IX. Разложение в ряды по классическим многочленам 252
9.1. Результаты 253
9.11. Замечания 256
9.2. Разложение аналитической функции в ряды по многочленам Якоби,
Лагерра и-Эрмита 260
9.3. Доказательство теоремы 9.1.2 261
9.4. Доказательство теоремы 9.1.3; предварительные формулы . . . 265
9.41. Продолжение; «константы Лебега» порядка к 266
9.42. Доказательство теоремы 9.1.4 270
9.5. Доказательства теорем 9.1.5 и 9.1.6 274
9.6. Доказательство теоремы 9.1.7 280
Глава X. Представление положительных функций 283
10.1. Теоремы Фату 283
10.2. Обобщение представления Фейера 284
10.3. Дальнейшее изучение представления положительных функций 286
10.4. «Локальные» свойства представления положительных функций . 289
Глава XI. Многочлены, ортогональные на единичной окружности .... 295
11.1. Определение. Предварительные сведения 295
11.2. Пример 297
11.3. Задача о максимуме 298
11.4. Алгебраические свойства 300
11.5. Связь с многочленами, ортогональными на отрезке вещественной
оси 301
Глава XII. Асимптотические свойства общих ортогональных многочленов 304
12.1. Результаты 304
12.2. Замечания 306
12.3. Доказательство теоремы 12.1.1; применения 308
12.4. Доказательство теоремы 12.1.3 311
12.5. Асимптотические формулы для многочленов на конечном отрезке;
доказательство теорем 12.1.2 и 12.1.4 312
12.6. Асимптотическая задача при «локальных» условиях; доказа-
доказательство теорем 12.1.5 и 12.1.6 313
12.7. Применения 317
Глава XIII. Разложение в ряды по общим ортогональным многочленам 321
13.1. Результаты и замечания 321
13.2. Задача о максимуме на единичной окружности 323
13.3. Доказательство теоремы 13.1.1 324

ОГЛАВЛЕНИЕ /
13.4. Частный случай теоремы 13.1.2 325
13.5. Вспомогательные предложения для доказательства теоремы 13.1.2 328
13.6. Доказательство теоремы 13.1.2 329
13.7. Доказательство теоремы 13.1.3 330
13.8. Доказательство теоремы 13.1.4 332
Г л [а в а XIV. Интерполирование 335
14.1. Определения. Задачи 335
14.2. Фундаментальные многочлены интерполирования по способу
Лагранжа 338
14.3. Сходимость в среднем многочленов Лагранжа 339
14.4. Многочлены Лагранжа для узлов Якоби 341
14.5. Предварительное исследование ^-многочленов в классических
случаях 341
14.6. ^-многочлены и интерполяционные многочлены Эрмита для узлов
Якоби 345
14.7. ^-многочлены для узлов Лагерра . . . 349
14.8. Многочлены Лагранжа для некоторых общих классов узлов интер-
интерполирования . . 351
14.9. Дальнейшие результаты по теории интерполирования 352
Глава XV. Механические квадратуры 352
15.1. Определения 354
15.2. Общая теорема о сходимости механических квадратур. Теорема
Стеклова — Фейера 355
15.3. Коэффициенты Котеса — Кристоффеля в случае и(х) = а(х) (квад-
(квадратура Гаусса — Якоби) для классических абсцисс 357
15.4. Квадратура интерполяционного типа в случае и(х) = х для абсцисс
Якоби 359
15.5. Другой метод для случая ультрасферических многочленов . . . 364
Глава XVI. Многочлены, ортогональные на произвольной кривой .... 369
16.1. Предварительные сведения; определения 369
16.2. Формальные свойства 371
16.3. Асимптотическое поведение Кп(х0,х) внутри кривой С 373
16.4. Асимптотическое поведение рп(х) вне кривой С 375
16.5. Асимптотическое поведение рп(х) на кривой С 378
Задачи и упражнения 380
Добавление. Особый случай ортогональных многочленов 394
1. Определения и формальные свойства • 394
2. Обобщение 395
3. Интегральные представления 395
4. Бесконечный промежуток 396
5. Асимптотические свойства 396
6. Ассоциированные ортогональные многочлены 397
Цитированная литература 401
Дополнения (Я. Л. Геронимус) 414
Глава I. Предварительные сведения 414
Глава II. Определение ортогональных многочленов. Основные примеры 416
Глава III. Общие свойства ортогональных многочленов 420
Глава IV. Многочлены Якоби 431

5 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Многочлены Лагерра и Эрмита 436
Глава VI. Нули ортогональных многочленов 443
Глава VII. Неравенства 452
Глава VIII. Асимптотические свойства классических многочленов .... 455
Глава IX. Разложение в ряды по классическим многочленам 456
Глава X. Представление положительных функций 459
Глава XI. Многочлены, ортогональные на единичной окружности .... 462
Глава XII. Асимптотические свойства общих ортогональных многочленов 466
Глава XIII. Разложение в ряды по общим ортогональным многочленам 474
Глава XIV. Интерполирование 479
Глава XV. Механические квадратуры 482
Глава XVI. Многочлены, ортогональные на произвольной кривой .... 487
Литература к дополнениям 491
Алфавитный указатель 495

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Широкие круги советских ученых впервые услышали имя выдаю-
выдающегося венгерского математика Габора Сегё в 1925 г., когда вышла в свет
замечательная книга Г. Полна и Г. Сегё «Задачи и теоремы из анализа»;
она была переведена на русский язык в 1937 г. и переиздана в 1956 г.
Однако ученые, работающие в области теории функций и общей теории
ортогональных многочленов, знали труды Г. Сегё в этой области еще с мо-
момента, когда они начали появляться в 1917 г.
Теория ортогональных многочленов неизменно привлекала и при-
привлекает к себе внимание математиков и физиков всего мира — достаточно
указать, что в библиографии по теории ортогональных многочленов
Я. Шохата, Э. Хилле и Дж. Уолша [1], вышедшей в 1940 г., приведено
около двух тысяч работ в этой области. Такой интерес к этим вопросам
объясняется тем, что система ортогональных многочленов является про-
простейшей — после тригонометрической системы — системой ортогональных
функций и поэтому является весьма ценным аппаратом для приближенного
представления функций более сложной природы. Во многих случаях раз-
разложение функции в ряд ортогональных многочленов возможно при мень-
меньших ограничениях, наложенных на неё, чем в случае разложения в ряд
Маклорена. Например, если функция регулярна на отрезке [—1, +1],
то для сходимости ее ряда Маклорена на всем отрезке она должна
быть регулярна в круге | z | < 1; в то же время ее разложения в ряд по много-
многочленам Лежандра или Чебышева сходятся на всем отрезке, если только
функция регулярна внутри любого малого эллипса с фокусами в точках ± 1.
Основы общей теории ортогональных многочленов были заложены
П. Л. Чебышевым. Теория так называемых «классических ортогональных
многочленов» (Якоби, Лагерра и Эрмита) была детально разработана
еще до Г. Сегё; однако именно Г. Сегё значительно способствовал даль-
дальнейшему развитию общей теории й: создал принципиально новый метод
исследования.
Известно, что для исследования сходимости бесконечных процессов,
связанных с теорией ортогональных многочленов, необходимо иметь харак-
характеристику поведения этих многочленов при безграничном возрастании
их номера, т. е. надо знать так называемые асимптотические формулы
для них. Эти формулы были известны до Г. Сегё для классических орто-
ортогональных многочленов, но эти многочлены обладают рядом специальных
свойств, позволяющих найти указанные формулы: они являются поли-
полиномиальными решениями некоторых дифференциальных уравнений типа
Штурма—Лиувилля. Задача нахождения асимптотических формул в общем
случае ортогональных многочленов казалась неприступной, так как об
этих многочленах неизвестно ничего, кроме веса, относительно которого
они ортогональны; именно эта задача — весьма трудная и общая — была
решена Г. Сегё в ряде работ, ставших в настоящее время классиче-
классическими.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Г. Сегё начал с исследования так называемых форм Теплица *);
с ними он связал многочлены, ортогональные на единичной окружности.
Пользуясь весьма тонкими соображениями теоретико-функционального
характера, он нашел для этих многочленов асимптотические формулы
сначала во внешней области, а затем на самой окружности. При помощи
весьма простого соотношения он перешел от этих многочленов к много-
многочленам, ортогональным на отрезке [ — 1, +1], и нашел для этих последних
многочленов асимптотические формулы как вне отрезка, так и на нем.
Наконец, он рассмотрел многочлены, ортогональные на замкнутой ана-
аналитической кривой, и решил для них аналогичные задачи.
В 1930 г. С. Н. Бернштейн независимо от Г. Сегё нашел асимптоти-
асимптотические формулы для многочленов, ортогональных на отрезке [ — 1, +1];
он применил в отличие от Г. Сегё методы наилучшего приближения функ-
функций **); для точек, лежащих на отрезке [ — 1, +1], он получил результат
при меньших ограничениях, чем у Г. Сегё.
Классические труды Г. Сегё и С. Н. Бернштейна послужили мощным
стимулом для дальнейших исследований в общей теории ортогональных
многочленов. Все многочисленные исследования, появившиеся как в СССР,
так и за рубежом за последние 30 лет, в той или иной мере опираются на
работы Г. Сегё и С. Н. Бернштейна.
Книга Г. Сегё, перевод которой предлагается вниманию совет-
советских читателей, посвящена не только исследованиям, проведенным ее
автором,— в книге в систематической и ясной форме изложена вся общая
теория ортогональных многочленов со всеми ее основными приложениями.
Книге Г. Сегё, первое издание которой вышло в свет в 1939 г., предшест-
предшествовала лишь монография Я. Шохата [6] A934 г.) по общей теории орто-
ортогональных многочленов, однако в ней большинство результатов приведено
без доказательств.
Переводом на русский язык книги «Ортогональные многочлены»,
написанной одним из крупнейших специалистов в этой области, Изда-
Издательство физико-математической литературы оказывает большую услугу.
широким кругам советских научных работников.
Я. Л. Геронимус
*) В 1958 г. Г. Сегё вернулся к этим вопросам и написал совместно с
У. Гренандером книгу «Тёплицевы формы и их приложения», ИЛ, 1961.
**) Г. Сегё в § 12.5 получил результаты С. Н. Бернштейна.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Последние годы наблюдался значительный прогресс в области орто-
ортогональных многочленов — предмете, который находится в тесной связи
со многими важными областями анализа. Ортогональные многочлены
связаны с тригонометрическими, гипергеометрическими, бесселевыми
и эллиптическими функциями, с непрерывными дробями и важными
проблемами интерполирования и механических квадратур, а также иногда
встречаются в теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Кроме того, мы черпаем в теории ортогональных многочленов сравнитель-
сравнительно общие и поучительные иллюстрации некоторых положений теории орто-
ортогональных систем. Недавно было показано, что некоторые классы орто-
ортогональных многочленов имеют значение для квантовой механики и мате-
математической статистики.
Теория ортогональных многочленов возникла в процессе исследова-
исследования некоторых типов непрерывных дробей, называемых дробями Стил-
тьеса. Частные случаи этих дробей были изучены Гауссом, Якоби, Кристоф-
фелем, Меллером и другими, в то время как более общие вопросы теории
этих дробей были изучены П. Л. Чебышевым, Гейне, Стилтьесом
и А. А. Марковым.
Несмотря на тесные связи между непрерывными дробями и проблемой
моментов, а также несмотря на недавние важные успехи в этом последнем
вопросе, от непрерывных дробей как исходного пункта теории ортогональ-
ортогональных многочленов постепенно отказались.
В цснову было положено само свойство ортогональности, и как раз
эта точка зрения принята в изложении предмета в настоящей моногра-
монографии. Выбрав именно это основное свойство, мы исследуем некоторые спе-
специальные ортогональные многочлены, которые были весьма детально
изучены независимо от общей теории и в сущности до ее возникновения.
По этому поводу мы добавим к именам, упомянутым выше, имена Лапласа,
Лежандра, Фурье, Абеля, Лагерра и Эрмита.
Что касается книг по ортогональным многочленам, то мы можем
отметить единственное данное до сих пор систематическое изложение
в монографии Ш о х а т а [6] 1). Однако ограниченность места принудила
автора этого труда быть кратким и, следовательно, лишила его возмож-
возможности детально рассмотреть многие проблемы, исследование которых
особенно продвинулось в последние годы. Таким образом, казалось жела-
желательным предпринять новое подробное изложение главных идей в этой
области, уделяя, в частности, место недавним исследованиям распреде-
распределения нулей, асимптотических представлений, разложения в ряды по
ортогональным многочленам и исследованиям некоторых вопросов интер-
интерполирования и механических квадратур.
В этой монографии мы рассматриваем частично общую теорию орто-
ортогональных многочленов, а частично специальные классы этих многочленов.
х) См. библиографию.

12 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Как и следовало ожидать, мы располагаем более полными сведениями
относительно этих специальных классов; в качестве примера мы можем
привести классические многочлены, удовлетворяющие линейным диф-
дифференциальным уравнениям второго порядка. Если, кроме того, принять
во внимание первостепенную важность этих специальных классов для
приложений, то не покажется удивительным тот факт, что предлагаемая
книга в основном посвящена их изучению. Однако общая теория в том
виде, как она излагается в главах XII и XIII, несомненно является наибо-
наиболее важным достижением последних лет.
В настоящей книге мы не стремились возможно полнее охватить весь
материал, относящийся к излагаемому кругу вопросов. Напротив, цель
скорее состояла не столько в том, чтобы сделать книгу исчерпывающей,
сколько в том, чтобы побудить мысль читателя к творческой работе. Мы
стремились выделить главные и характерные методы и указать их связь
с некоторыми общими идеями современного анализа. Как правило,
предпочтение отдавалось тем вопросам, в которые мы могли сделать какой-
нибудь новый, хотя бы и скромный, вклад, или же тем вопросам, которые
мы могли представить в новой форме. Таким образом, книга содержит
известное число результатов, не публиковавшихся ранее; некоторая часть
из них была получена несколько лет тому назад. Например, мы включили
исследование чезаровского суммирования ряда по многочленам Якоби
в точке на конце отрезка ортогональности (метод, примененный здесь,
представляет интерес даже для классического случая ряда по многочле-
многочленам Лежандра). Далее, мы даем новый и более простой подход к асимпто-
асимптотическим формулам С. Н. Бернштейна для ортогональных кногочленов.
Упомянем также некоторые менее значительные подробности: упрощения
и добавления в асимптотическом исследовании многочленов Якоби
и Лагерра, а также в рассмотрении рядов по этим многочленам; исследо-
исследование случаев, в которых дифференциальное уравнение Якоби имеет
только полиномиальные решения; оценка числа нулей общих многочленов
Якоби в промежутках (—оо, —1], [—1, +1], [ + 1> + °°); новое доказа-
доказательство теоремы Гейне — Стилтьеса о линейных дифференциальных
уравнениях второго порядка с коэффициентами и решениями в виде много-
многочленов, и т. п.
Вообще, мы предпочитали рассматривать те проблемы, которые могут
быть формулированы и изучены достаточно просто и которые могут быть
представлены в более или менее полной форме. Поэтому, в частности,
в книге не нашлось места для исключительно интересных вопросов об
арифметических и алгебраических свойствах ортогональных многочленов;
например, мы не останавливаемся на недавних важных исследованиях
И. Шура о неприводимости и свойствах многочленов Лагерра и Эрмита,
связанных с этим. Кроме того, мы придавали большое значение замене
неполных или частично перекрывающихся теорем, рассеянных в литерату-
литературе, полными результатами, которые излагались бы при необходимых огра-
ограничениях или же ограничениях, свойственных данному вопросу. Мы
старались также использовать настолько, насколько это казалось вообще
возможным, определенные методы, как, например, метод Штурма в диф-
дифференциальных уравнениях (см. §§ 6.3, 6.31, 6.32, 6.83).
Полное изложение теории многочленов Лежандра было неосуще-
неосуществимо и, вероятно, нежелательно в рамках общей теории. Кроме того, уже
имеется полное изложение теории сферических и других гармонических
функций1). Мы выделили и рассмотрели только те свойства многочленов
Лежандра, которые были исходным пунктом для обобщений на ультра-
г) Например, Г о б с о н [1].

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ 13
сферические многочлены, многочлены Якоби или на более общие много-
многочлены. Другим вопросом, который не мог быть включен в книгу, является
проблема моментов Стилтьеса, которая опущена, несмотря на ее большой
интерес; включение этого вопроса потребовало бы введения большого
числа сложных результатов и методов. Не рассматриваются также орто-
ортогональные многочлены более чем одной переменной1).
В основе книги лежит курс, читанный в Вашингтонском университете
в 1935—1936 учебном году. От читателя требуется знание общих идей
и методов теории функций вещественного и комплексного переменного.
Иногда рассматриваются интегралы Лебега — Стилтьеса и Лебега.
Однако в большей части книги эти интегралы не фигурируют и, за исклю-
исключением очень небольшого числа мест, их специальные свойства не исполь-
используются.
Задачи в конце книги, как правило, не новые, но они не совпадают
с теми, которые имеются в сборнике задач ПолиаиСегё [1]. По
своему характеру они более или менее дополняют основной текст и слу-
служат в качестве иллюстраций и упражнений; иногда они значительно
отличаются друг от друга как по содержанию, так и по методу их
решения.
Список литературы неполный; в него включены лишь оригинальные
статьи, некоторое количество учебников первостепенной важности и моно-
монографии, на которые имеются ссылки в книге.
Вашингтонский университет, 1938. Г. Сегё
См. библиографию в работе Джексона [8].

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
К ПЕРЕСМОТРЕННОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание этой книги, опубликованное в 1939 г., почти полно-
полностью разошлось к 1948 г. Тогда был выпущен дополнительный тираж, но
по разным причинам без каких-либо изменений в тексте. В течение два-
двадцати лет, прошедших с тех пор, как была завершена подготовка перво-
первоначального издания, в этой области имеются значительные достижения.
Достаточно беглого просмотра соответствующего отдела «Mathematical
Reviews» для того, чтобы убедиться, что эта тема по-прежнему вызывает
живой интерес. Систематическое изложение теории ортогональных много-
многочленов было включено в различные современные книги, вышедшие за это
время. Мы отметим лишь «Higher Transcendental Functions», изданный
редколлегией Bateman Manuscript Project Staff *) (см., в частности, том 2,
главу X, изданную профессором А. Эрдейи) и книгу,-Т р и к о м и «Vorle-
sungen tiber Orthogonalreihen» (главы IV—VI).
Недавно совет Американского математического общества предложил
автору подготовить пересмотренное издание этой книги, добавив неболь-
небольшое количество материала, чтобы привести ее в соответствие с современ-
современным уровнем. Естественно, что ограниченность времени и места не позво-
позволяли включить все новые результаты (или же те старые, которые были про-
пропущены в первом издании). Добавлены только несколько исключительно
интересных новых вопросов, а также некоторые детали, которые заслужи-
заслуживают внимания благодаря изяществу метода пли оригинальности идеи.
Упомянем здесь, в частности, важные многочлены Поллачека; они рас-
рассматриваются в добавлении. Кроме того, новый материал включен в виде
задач и упражнений. Новые статьи в библиографию также включены
с весьма большим выбором. Наконец, были исправлены опечатки и внесе-
внесены другие незначительные улучшения и добавления.
Станфордский университет, 1958. Г. Сегё
*) В тексте мы для краткости цитируем эту книгу Бэйтман [1]. (Прим.
перев.)

ГЛАВА I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1. Обозначения
Числа в квадратных скобках представляют собой ссылки на библио-
библиографию в конце книги. Нумерация параграфов проведена по десятич-
десятичной системе Пеано. Так, ссылки § 9.5 и (9.5.2) означают соответственно
параграф 9.5 главы IX и формулу (9.5.2) той же главы. Аналогично
нумеруются теоремы.
Мы применяем символ: 6nm = 0 или 1 в зависимости от того, будет ли
п Ф т или п = т.
Замкнутый вещественный отрезок а<х<6(аи& конечны) будем обо-
обозначать через [а, Ь]. Если же а, или 6, или же они оба бесконечны, то в этом
случае на соответствующем конце знак равенства исключается и ставится
круглая скобка.
Мы употребляем часто для вещественного х символ
sign^- -1, 0, +1, A.1.1)
соответственно для х отрицательного, равного нулю или положитель-
положительного; более общим образом, для любого комплексного х мы пишем
sign х = \x~l x. A.1.2)
Символ х означает значение, сопряженное^с х, Шх—вещественную
часть и ^з х — мнимую часть комплексного числа х.
Если две последовательности комплексных чисел {zn}n{wn} обладают
тем свойством, что wn ф 0 и zn/wn—> 1 при п-—ч оо, то мы пишем zrl^wn.
Если {zn} и {wn} комплексны, wn Ф 0 и последовательность \za]l\wn\
имеет конечные положительные пределы неопределенности, то мы
пишем zn -^ wn.
Мы употребляем обозначения
4=O(an), zn=o(an), A.1.3)
где ап > 0, первое из которых означает, что последовательность zjan
при п~> оо ограничена, а второе, чтогп/а^ стремится к нулю. Аналогичные
обозначения применяются, когда п стремится к пределу, отличному
от бесконечности.
Функция / (х) называется возрастающей (строго возрастающей), если
/(#i)</(#2) ПРИ xi < хъ\ функция f (х) называется неубывающей, если
f(xi)<:f(x2) при хх < х2. Аналогичная терминология употребляется
для убывающих функций.
Пусть р > 1 и пусть а (х) — неубывающая на [a, b] функция, отличная
от постоянной. Класс функци /(#), измеримых относительно а (х) и для

16
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[Гл. I
и
которых существует интеграл Лебега —Стилтьеса \ | / (х) |р da (x) (см.§ 1.4),
а
называется La (a, b). В случае, когда а(х) = х, мы применяем обозначе-
обозначение Lv (a, b); в случае, когда р=1 и а (х) — произвольная функция, мы
пишемLa (a, b). Если/ (х) и g (ж) принадлежат классу Lg (a, 6), то этому же
классу принадлежит их сумма f{x) + g (x) (см. Качмаж и Штейн-
г а у з [1], п. 1.2.8).
1.11. Неравенства
A) Неравенство Коши — Буняковского *). Пусть {av}, {bv}, v = 1, ..., /г,—
две последовательности комплексных чисел. Тогда
v=l
A.11.1)
v=l
v=l
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда существуют два
числа Л, |я, не равные оба нулю, такие, что Xav + \xbv = 0, v —1, ..., п.
B) Неравенство Буняковского-- Шварца*). Пусть функции / (я) и g(x)
принадлежат классу L^ (a, fr). Тогда/(а:) g (#) принадлежит к классу La (a, 6) и
b b b
a a a
C) Неравенство между средним арифметическим и средним геометри-
геометрическим. Если / (х) > 0, то
b b
I da (x)
A.11.3)
> ехр
$ tfa (*)
ь
J ^а (ж)
в предположении, что все интегралы существуют и что \ da(x) > О
а
(см. Хард и, Литтльвуд иПолиа [1], § 6.18).
D) Преобразование Абеля и неравенство Абеля. Из тождества
где
0, I, ..., л,
A.11.4)
A.11.5)
мы получаем в предположении, что /0 > /х > ... > /п > 0 и | Gv | <С ^»
v = 0, 1, . . ., п, неравенство
go + figi+ ■■■+fngn \<foG. A.11.6)
*) В английском оригинале неравенства A.11.1) и A.11.2) называются соответ-
соответственно неравенствами Коши и Шварца. (Прим. перев.)

1.12] МНОГОЧЛЕНЫ 17
E) Вторая теорема о среднем в интегральном исчислении. Пусть
/ (х) > 0 — невозрастающая функция, a g (x) — непрерывная функция
на отрезке а<#< Ъ, где а и Ъ конечны. Тогда
? *
\dx = f(a + Q)\g(x)dx, a<l<b. A.11.7)
1.12. Алгебраические и тригонометрические многочлены
Мы будем рассматривать алгебраические многочлены от х вида
О(я) = со + с1я+... +cmxm - A.12.1)
с произвольными комплексными коэффициентами с0, с11 ..., ст. Число т
называется степенью, а если ст Ф О, то точной степенью многочлена q (x).
Во всем дальнейшем произвольный многочлен степени т будем обозначать
через ят. Если Q0(x), Q1(x), ..., Qn (x) — такие произвольные многочлены,
что Qnl (x) имеет точную степень то, то всякий яп может быть представлен
в виде линейной комбинации этих многочленов и притом единственным
образом.
Тригонометрический многочлен от 0 порядка т имеет вид
g@) = ao + a1cos0 + fe1sin0+ . . . +amcosra0 + &msinm0, A.12.2)
где коэффициенты — произвольные комплексные числа. Число т назы-
называется порядком многочлена g @); то называется его точным порядком, если
i ат I + I Ьт | > 0. Если все Ъ^ или все ад равны нулю, то g @) называется
соответственно косинус-многочленом или синус-многочленом.
Функции cos 7710 и sin (то + 1H/sin 0 являются многочленами от cos 0 — х
точной степени т и называются соответственно многочленами Чебышева
первого и второго рода. Эти многочлены играют фундаментальную роль
в последующих рассмотрениях. Полагая
l = ^7m (cos 6) = f/m(x), A-12.3)
мш видим, что произвольный косинус-многочлен порядка то является
алгебраическим многочленом той же степени от cos0 = :r и обратно.
Синус-многочлен порядка то, разделенный на sin0, будет косинус-много-
косинус-многочленом порядка то—1. Таким образом, синус-многочлен может быть пред-
1
ставлен в виде произведения sin 0 = A — х2)^ на многочлен от cos 0 = х.
Многочлены A.12.3) являются частными случаями так называемых
Многочленов Якоби (см. главу IV). Они содержат либо только четные,
либо только нечетные степени хв зависимости от того, четно или нечетно т.
Выражения cos ( т + у j 0/cos -тт- и sin ( т + -^ j0/sin -^ являются коси-
косинус-многочленами от 6 порядка т\ они также связаны с многочленами
Якоби (см. D.1.8)).
Мы определяем многочлен, взаимный к A.12.1), соотношением
Q*(x)^xm^(x^)^cm + cm^x + crr^+...+'coxmt A.12.4)
Если xv х2, ..., #т — нули многочлена q(#), to нулями q*(x) будут
х*, Х2, ..., х%х, где х^~х]^ — точка, получаемая из х^ путем инверсии
относительно единичной окружности |#| = 1 в комплексной я-плоскости.
Нули при этом засчитываются столько раз, какова их кратность, 0*= оо,
оо* = 0; если оо является нулем кратности ft, то это означает, что коэффи-
коэффициенты при к высших степенях мношчлена Q* (я) равны нулю.
2 г. Сегё

18 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл.1
1.2. Представление неотрицательных тригонометрических
многочленов
Теорема 1.2.1. Пусть gF) -тригонометрический многочлен
с вещественными коэффициентами, неотрицательный при всех веществен-
вещественных значениях 0. Тогда существует многочлен q (z) той же степени, что
порядок g F), такой, что g F) = | q (z) \2, где z— eiB. Обратно, если z = eie,
то выражение ] q (z) |2 всегда представляет собой неотрицательный триго-
тригонометрический многочлен от О того же порядка, что и степень много-
многочлена q(z).
См. Фейер [5]. Вторая часть утверждения очевидна. Первая часть
легко выводится из A.12.2), если учесть, что zk -f z~h = 2 cos kb, zk — z~k =■
= 2i sin /сб. Действительно, мы получим g @) = z~m G (z), где G (z) есть я2т,
причем G* (z)~ G(z). Далее* те нули G(z), которые отличны от 0 и от сю
и модули которых не равны единице, могут быть объединены в пары z^,, zjj,
О < | Zpl < 1, где zfi имеет то же значение, что в § 1.2. Кроме того, каж-
каждый вещественный нуль 0О многочлена g @) имеет четную кратность,
a ei9<> является нулем той же кратности многочлена G(z). Таким образом,
G (z) = cz*k ft (z - 2ц) (z - z*) I] (z - £vJ, I
jli-1 v=i / (i-^. i;
)
Так как g@)= |g @) I = | G(z) |, z=e^ и \z-zll\ = \z[i\\z —z^\, z = el\ то
теорема доказана.
Указанное представление, однако, не единственно. В самом деле,
если а — произвольный нуль q (z), то многочлен q (z) (I — az)/(z — а)
реализует другое представление. Таким образом, предполагая, что g @) ф О,
мы можем постепенно удалить все нули из круга | z \ < 1 и получим
следующую теорему:
Теорема 1.2.2. Пусть g@) удовлетворяет условиям теоремы 1.2.1
и g@)^O. Тогда существует такое представление g @) = | h{ei%) |2,
г<9е /г (z) — многочлен той же степени, что и порядок g @), причем h(z) ф О
в ярг/ге I z| < 1 w /г@) > 0. Этот многочлен определен однозначно. Если g F)
есть косину с-многочлен, то коэффициенты h(z) вещественны.
Обобщение этого нормализованного представления (его распростране-
распространение на некоторые классы неотрицательных функций g @)) имеет важное знс?-
чение при исследовании асимптотического поведения ортогональных много-
многочленов (см. главы X—XIII).
1.21. Теорема Люкача относительно неотрицательных
многочленов
A) Теорема 1.21.1 (теорема Люкача). Пусть§(х) — неотрицатель-
неотрицательный на отрезке [—1,1] многочлен степени т. Тогда q (x) может быть пред-
представлен в виде
{х\^\ А(х) + Aх)ВЦх), если т четно, A 21 1)
Q } \ (l + x)C2(x) + (l x)D2(x)i есла т нечетно. ^ ' ' '
Здесь А (х),В (х), С (x),D (x) — такие вещественные многочлены, что степень
выражений, стоящих в правой части A.21.1), не превосходит т.
Доказательство может быть основано на теореме 1.2.2. Мы имеем
е (cos 0) = | h (е*в) |2 - | e~imV2 h (е*) j2,

1.22] ТЕОРЕМЫ С. Н. БЕРНШТЕЙНА 19
где h (z) есть jtm с вещественными коэффициентами. Но выражения
,Mwn,rt sin (m+1N V 2У V Т2У М 94 9\
Sill О 0 .0 v '
COS -^- Sill —
все суть jtm относительно cos0 (см. § 1.12), следовательно,
i (cos0),+ i sin0 2?(cos0), если rn четно,
"j/^cos y С (cos 0)+ i у 2sin y^(cos ^)> если m нечетно,
где степени A(x), B(x), C(x), D (x) суть соответственно т/2, т/2— 1,
()
B) Следующая теорема имеет более предстой характер:
Теорема. 1.21.2. Всякий многочлен от х, неотрицательный при
всех вещественных х, может быть представлен в виде Л2(х) -}- В2(х). Вся-
Всякий многочлен, неотрицательный при ж>0, может быть представлен
в виде*) А2 (х) + В2 (х) + х[С2 (х) + D2 (х)]. Здесь А(х),В (х), C(x),D (x) - ве-
вещественные многочлены, степень каждого из слагаемых не превосходит
степени данного многочлена.
Эти представления могут также быть записаны соответственно в виде
! Р (х) |2 и | Р (х) 2 + х | Q (х) |2, где Р (х) и Q (х) — многочлены с комплекс-
комплексными коэффициентами; относительно их степеней справедливо предыдущее
замечание.
В связи с этим параграфом см. Полна и Сегё [1], часть II,
отдел VI, задачи 44, 45, 47.
1.22. Теоремы С. Н. Бернштейна
Теорема 1.22.1. Если£ @) — тригонометрический многочлен поряд-
порядка т, удовлетворяющий при любом вещественном 0 неравенству \ g @) \ < 1,
\' ()|
то \g @)|
Эта теорема принадлежит С. Н. Бернштейну **) (см. М. Рисе [1]).
В последнем неравенстве число т не может быть заменено меньшим, в чем
легко убедиться, полагая g @) = cosmQ.
Заслуживает внимания следующий частный случай этой теоремы:
Теорема 1:22.2. Пусть q (z) будет niYl и удовлетворяет неравен-
неравенству | q (z) | < 1 при комплексных z в круге \ z \ < 1, тогда \ q' (z) | < m,
|z|<l.
Относительно этой теоремы см. также С а с [1], стр. 516—517. Наконец,
отметим такое следствие из теоремы 1.22.1:
Теорема 1.22.3. Пусть q (x) будет я^г, который удовлетворяет
неравенству \ q (х) \ < 1 на отрезке — 1 < #< +1. Тогда
_1
' (^)|<A-^2) 2т.
Это вытекает из теоремы 1.22.1, примененной к g @) ~q (cos 6).
*) Можно доказать, что в этом случае многочлен представим в виде Е%(х)-{-
2{x)f где Е(х) и F(x)—вещественные многочлены. См. В. С. Виденский
«Мзв. АН СССР», серия матем., 15 A951), 401 — 420. (Прим. перев.)
**) Собрание сочинений, том I, стр. 26. (Прим. перев.)

20 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. I
1.3. Приближение многочленами
A) Теорема 1.3.1 (теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная
на конечном замкнутом отрезке, может быть приближена с заданной
(точностью многочленом. Непрерывная функция вещественной переменной
с периодом 2л; может быть сколь угодно хорошо приближена тригонометри-
тригонометрическим многочленом.
Относительно этой теоремы мы отсылаем читателя к книге Джек-
Джексона [4] *). Если 2дт — периодическая функция, о которой идет речь
во второй части теоремы,—четна (соответственно нечетна), то в качестве
приближающих тригонометрических многочленов могут быть выбраны
косинус-многочлены (соответственно синус-многочлены).
Теорема 1.3.2. Пусть со (б) — модуль непрерывности данной
функции f(x), непрерывной на конечном отрезке [а, Ь], т. еч
а>F) = тах|/(ж') — f(x")\ при |ж'—ж"|<д. A.3.1)
Тогда для каждого т мы можем указать такой многочлен Q (х) степени т,
что на данном отрезке длины I будем иметь
A.3.2)
В случае периодической функции /(б) с периодом 2л можно найти такой
тригонометрический многочлен g (б) порядка т, для которого справедливо
неравенство
1/(е)-«г(е)|<Да>(£). A.3.3)
Здесь Л и В — абсолютные константы.
В связи с этим см. Джексон [4], стр, 7, 15.
Теорема 1.3.3. Пусть f(x) имеет непрерывную производную поряд-
порядка fi, |х>1, на конечном отрезке [а, Ъ], пусть @^F) означает модуль
непрерывности /М (х). Тогда существует многочлен степени т-\- \х такой,
что
1/(х)-еи1<с(^уч(^-),
к у и; A.3.4)
где С — константа, зависящая только от \х.
Аналогичные неравенства могут быть получены для производных
Г(х), ...,/<»*>(*).
Относительно первого из неравенств A.3.4) см. Джексон [41,
стр. 18, теорема VIII. Для доказательства второго неравенства мы уста-
установим сперва следующую лемму:
Лемма. Пусть f (б) — периодическая функция с периодом 2л,
удовлетворяющая условию Липшица
I / (вх) — / @2) | < ^ | вх — в2 U A.3.5)
где К — положительная постоянная. Тогда для каждого т существует
такой тригонометрический многочлен g @) порядка т, что
^, \g'{b)\<D"'k, A.3.6)
где D' и D" — абсолютные константы.
*) См. также монографии В. Л. Гончарова «Теория интерполирования
и приближения функций» Н. И. Ахиезера [3J, И. П. Натансона ^Кон-
^Конструктивная теория функций» и А. Ф, Тимана «Теория приближения функции
действительного переменного». ^Прим. перев.)

1.3]
ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ
21
0тн©сительно первого из неравенств A.3.6) см. Джексон [4],
стр. 2—6. Если мы используем его обозначения и рассуждения, то нам
остается показать, что выражение | А, Гт{Ь)\ ограничено. Имеем
A.3.7)
и
я
\ и \Fm(u)\du = 4 \ и
smmu
msmu
d sin mu
du m sin и
du =
= 0A) \ и
О
smmu
d smmu
du mu
я
du
+ 0A) ^ гг
smmu
mu
A.3.8)
так как u/sinu— аналитическая функция на замкнутом отрезке [0, я/2].
Полагая ти = х, можем написать
О {т.-1) \ х
sin х
d sin x
dx x
0(m~2) \
Теперь мы используем, что hm = 0(m) (см. цитированное место).
Аналог этой леммы для многочленов может быть выведен обычным
образом. При этом в правой части первого из неравенств A.3.6) появляется
множитель b — a — l. Удобно преобразовать отрезок а < х < Ь в
1 1
— у< г/<у (вместо отрезка — 1 < г/< 1, см. Джексон [4], стр. 14),
[1 ~i f 1 
— 1> 2 ' У' М *
Для того чтобы доказать теорему 1.3.3, мы применяем теорему VIII
Джексона [4], стр. 18, к /' (х). (Относительно этого рассуждения см.
цитированное место, стр. 16.) Мы имеем
где q (х) есть надлежаще выбранный nwjrJLl_i. Применяя лемму К функции
X
f(x)-\ q(t)dt,
которая удовлетворяет условию Липшица с константой
к = К ( — ) сом ( — ,
мы получим такой ят, обозначим его через сг(#), что
х
f(x)-\q(t)dt-a(x)
— со,.

22 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. 1
Остается положить
я теорема доказана.
Постоянные К, К', К" в трех последних неравенствах зависят
только от jli.
B) Теорема 1.3.4 (теорема Рунге —Уолша). Пусть f(x) —
аналитическая функция, регулярная внутри жордановой кривой С
и непрерывная в замкнутой области, ограниченной С. Тогда f (х) может
быть приближена с произвольной точностью многочленами.
См. У о л ш ([1], стр. 36). Эта теорема была доказана Рунге в предпо-
предположении, что f{x) аналитична на контуре С; -общий случай принадлежит
Уолшу.
Нам понадобится одно дополнение к предыдущей теореме, принадле-
принадлежащее Уолшу ([1], стр. 75—76). Пусть С—снова жорданова кривая
в комплексной ^-плоскости. Пусть х = ф (z) — функция, отображающая
внешность С на внешность единичного круга (| z \ > 1), причем точка х = со
переходит в точку z = со. Тогда окружность \ z\ = R, R > 1, соответствует
некоторой кривой Cr, именуемой линией уровня.
Теорема 1.3.5. Пусть f(x) — аналитическая функция внутри
и на границе С и пусть Cr— наибольшая линия уровня, внутри которой
f(x) регулярна. Тогда произвольному г, 0<г<й, соответствует такая
константа М > 0, что для всякого т существует многочлен Qm (х) степени т.
для которого выполняется неравенство
\f(x)-Qm(x)[<Mr-m, x£C. A.3.9)
Это справедливо и в том случае, когда С —жорданова дуга, например
отрезок — 1<#< +1. В последнем случае Cr— эллипс с фокусами ± 1,
a R — сумма его полуосей (см. § 1.9).
1.4. Ортогональность; весовая функция; векторы в функциональном
пространстве
A) Пусть а (х) будет неубывающей функцией на [а, 6], которая отлич-
отлична от константы. Если а— — со (или Ь — -\- со), то мы предполагаем, что
предел а( — со) = lim а(х) (или соответственно а ( 4- со) = lima (x))
будет конечен. Скалярное произведение двух вещественных функций / (х)
и g (х) при х, изменяющемся на отрезке [a, b], определяется с помощью
интеграла Лебега — Стилтьеса
ь
(f,g)=[f{x)g(x)da(x), A.4.1)
а
где предполагается, что / (х) g (x) £ La (a, b). Это имеет место, в частности,
если обе функции /(ж), g (x) непрерывны или обе функции имеют ограни-
ограниченную вариацию, а отрезок [а, Ъ] конечен. Для фиксированной функ-
функции а (х) ортогональность относительно распределения da (x) опреде-
определяется соотношением
(f,g) = O. A.4.2)
Мы будем употреблять выражение «f(x) ортогональна к g(x)».
Если мы допустим, что f(x) и g (x) — комплексные функции, то
определение скалярного произведения A.4.1) должно быть изменено

1.4] ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ; ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ 23
следующим образом:
ь
[ (x)J^r)da(x). A.4.3)
Учитывая это изменение в определении (/, g), мы сохраняем определение
ортогональности посредством A.4.2).
(Относительно определения интеграла Лебега — Стилтьеса см., напри-
например, Г и л ь д е б р а н д т [1] *), стр. 185—194. Это определение, давае-
даваемое обычно для монотонной функции а(х), легко распространяется на
случай, когда а (х) - функция с ограниченной вариацией.
Статья Г и л ь д е б р а н д т а*) ([1], стр, 177—178) содержит также
необходимые сведения относительно интеграла Римана — Стилтьеса.
В дальнейшем мы иногда будем пользоваться следующей формулой
интегрирования по частям:
x) = f(b)a(b)-f(a)a(a), A.4.4)
где а и Ь конечны, а (х) — функция с ограниченной вариацией, a f(x)
непрерывна. Интегралы понимаются в смысле Римана— Стилтьеса.
Термин «распределение», употребленный выше, возник из классичес-
классической интерпретации da (x) как непрерывного или дискретного распределе-
распределения масс на отрезке [а, 6]; отрезку [xv x2]d[a, b] приписывается масса,
равная а(х2)— а(х1).)
B) Если функция а(х) абсолютно непрерывна, то скалярное произве-
произведение A.4.1) может быть записано в виде
ь
(f,g)=\f(x)g(x)w(.r)dx, A.4.5)
а
где интеграл предполагается существующим в смысле Лебега. Здесь w (x)
неотрицательная функция, измеримая в смысле Лебега и такая, что
и
\ w (.r) dx
Мы будем называть w (x) весовой функцией на данном отрезке. В литературе
употребляется иногда термин «нормирующая функция»1). В случае рас-
распределения w (x) dx общая масса, соответствующая отрезку [xv x2], будет,
очевидно,
\ w(x)dx.
В дальнейшем мы будем называть распределение da (x) распределением
стилтъесовского типа.
Мы применяем то же понятие распределения и весовой функции на
кривой или на дуге в комплексной плоскости, например на единич-
единичной окружности. При этом мы заменяем переменную х вещественным
*) См. также Э. Камке «Интеграл Лебега—Стилтьеса». (Прим. перев.)
1) Употребляются также термины: функция обложения, характеристическая
ния CR. А. Стеклов4). вег, (С. Н. БегтггттрйттУ
} »-> 1.X.VJ JL J^V^V/^A/XXV^X \JI1- JL *AJ.\#J.IC X \j J^ 1YJ. JtX JO. Ш . \^J у JQ. JA JU, XI i
функция (В. А. Стеклов), вес (С. Н. Бернштейн).

24 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. I
параметром, с помощью которого задается рассматриваемая кривая
или дуга (см. главы XI и XVI).
C) Пусть da (х) или w (x) dx, a<x<6, будет некоторое фиксирован-
фиксированное распределение, и рассмотрим «векторное» пространство, определенное
последовательностью вещественных функций / (х), принадлежащих/^ (а, Ь).
Скалярное произведение двух векторов (функций) / (х) и g (x) определено
по формуле A.4.1), а длина (величина, норма) вектора f(x)~равенством
i = с/, /M-
Векторы (функции), для которых '| /1| = 0, называются нулевыми векторами
(нулевыми функциями); векторы (функции), для которых ||/|| = 1, назы-
называются нормированными. Если / (х) не является нулевой функцией, то
%f (x) будет нормированной функцией при надлежаще выбранной постоян-
постоянной А,, которая с точностью до знака определяется единственным образом.
Если функции а (#) и w (х) удовлетворяют условиям, указанным в A)
и B), то в обоих случаях существуют функции положительной длины.
Во втором случае / (х) будет нулевой функцией тогда и только тогда, когда
произведение /2 (х) w (х) или, что то же самое, / (х) w (x) равно нулю почти
всюду на отрезке [а, Ь]. Если f (х) и w (х) интегрируемы в смысле Ри-
мана, то f(x) является нулевой функцией при условии, что f(x)w(x)
равно нулю в каждой точке непрерывности.
Отметим неравенство Буняковского — Шварца (см. A.11.2)):
Ш; . A.4.6)
равенство в A.4.6) имеет место тогда и только тогда, когда Xf{x)-\- \ig (x)
является нулевой функцией, где % и и.— постоянные, не равные нулю
одновременно.
Конечная последовательность функций /0(#), f\{x), • • •>/i (я) назы-
называется линейно независимой, если равенство
имеет место только при
А,о = Хг = . . . = Хг = 0.
Очевидно, что в такую последовательность не может входить нулевая
функция. Счетная последовательность функций A= оо) называется линей-
линейно независимой, если предыдущее условие выполняется для любой ее
конечной подпоследовательности.
Распространение этих понятий на комплексное векторное простран-
пространство не представляет трудности. При этом скалярное произведение опре-
определяется формулой A.4.3).
Относительно аксиоматического обоснования этих понятий см.
Стон [1], глава I.
1.5. Замкнутость; интегральные приближения
A) Определение. Пусть р > 1 и пусть а (х) — неубывающая но
[а, Ь] функция, отличная от константы х). Пусть функции
/oW, /iD /2 (я), •-., /«(*)> ... (l.b.t)
принадлежат классу 1%(а, Ь). Система A.5.1) называется замкнутой
в La (a, b), если для всякой функции f (x)£La(a, Ъ) и любого е> 0
См. замечание в начале § 1.4, A).

1.5] ЗАМКНУТОСТЬ; ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ 25
существует функция вида
и ул) — со/о {j,f
такая, что
5
а
+ q/i (a
-Л(я)|*
Относительно этого определения
;)+. •
da(x)
см.
. + сп/п(ж),
< 8.
К а ч м а ж
и
A
A
Ште
.5.2)
.5.3)
й н-
г а у з [1], п. 2.4.1.
B) Т е о р е м а 1.5.1. Пусть р и а (х) имеют то же значение, что
в предыдущем определении, и пусть функция f (x)£La(a, b), причем аи b
конечны. Тогда для любого е > 0 можно указать такую непрерывную функ-
функцию F(x), что
ъ
[ \f(x)-F(x)\pda(x)<z. A.5.4)
Для функций, интегрируемых в смысле Римана при а (х) = х, утвер-
утверждение следует благодаря хорошо известным рассуждениям из определе-
определения интеграла. В общем случае удобно применить метод Юнга приближе-
приближения интегралов Лебега — Стилтьеса (см. Гильдебрандт [11.
стр. 190).
Применяя теорему Вейерштрасса, получаем следующее предложение:
Теорема 1.5.2. Пусть р, a, b,a(x),f(x) удовлетворяют условиям
теоремы 1.5.1. Для любого е>0 существует такой многочлен q(x), что
ъ
b. A.5.5)
Это означает замкнутость системы
{хп}, /г = 0, 1, 2, ..., A.5.6)
в классе L«(a, 6). В дальнейшем мы будем, в частности, рассматривать
случаи р = 1 и р = 2.
Аналогичное утверждение справедливо относительно приближения
в среднем функции f (х) тригонометрическими многочленами, которое
эквивалентно замкнутости системы
1, cos.r, sinx, cos2^, sin2:r, ..., cosnx, sii*nx, ... A.5.7)
в классе La ( — я, -f- я).
C) Часто теорема 1.5.2 применяется в более точной форме:
Теорема 1.5.3. Пусть р, a, b, <z(x), f(x) удовлетворяют условиям
теоремы 1.5.1 и пусть f (x) — вещественная функция. Тогда можно ука-
указать многочлен q(x), который удовлетворяет неравенству A.5.5) и такой,
что его величина заключена между верхней и нижней границами функ-
функции f(x).
Отметим также следующее свойство интегралов Римана—Стилтьеса,
которое играет роль в главе X:
Теорема 1.5.4. Пусть вещественная функция f(x) ограничена на
отрезке [а, Ь], где а и b конечны, а (х) — неубывающая функция, и пусть
существует интеграл Римана— Стилтьеса
ъ
\ f (x)da (x).

26 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. I
II рп любом е > 0 существуют такие многочлены q(x) и Р (х), что
\-г A.5.8)
A.5.9)
См. (при а(х) = х) Г. Полна и Г. Сегё [1], часть I, отдел II,
задача 137.
Аналогичные утверждения справедливы для приближений тригономе-
тригонометрическими многочленами. Если / (х) — четная функция — я<а:<я, то
в качестве приближающего тригонометрического многочлена может быть
выбран косинус-многочлен.
1.6. Линейные функционалы
A) Пусть Ц (/) — функционал, ставящий в соответствие каждой
непрерывной на конечном отрезке [а, Ь] функции f(x) число U (/). Этот
функционал называется аддитивным, если
A.6.1)
где сг, ^ — постоянные, a fi(x), /2 (х) — произвольные непрерывные на
отрезке [а, Ь] функции. Функционал называется непрерывным, если
U (/п) —> U (/), когда fn (х) — > / (я) равномерно на [а, Ь]. Аддитивный и непре-
непрерывный функционал называется линейным.
Функционал Ц (/) называется ограниченным, если существует такая
постоянная М, что | U (/) | < М max | /1. Нижняя грань констант
М называется нормой U (/). Класс аддитивных и ограниченных функ-
функционалов совпадает с классом линейных функционалов.
В соответствии с теоремой Ф. Р и с с а [1] всякий линейный функцио-
функционал может быть записан в виде
ь
\\{1)=\f{x)da{x), (t.6.2)
а
где а(х) - функция ограниченной вариации, определенная на [а, Ь] и не
зависящая от f(x). Очевидно, что A.6.2) всегда представляет некоторый
линейный функционал. В A.6.2) функция а(х) всегда может быть так
нормирована, что либо а (х — 0) <а (#)<а (х -f 0), либо а (х+ 0) <а (х) <
"а(х 0) при а < х < Ъ. Тогда норма 11 (/) будет равна интегралу
ь
\\da(x)\,
а
выражающему полную вариацию <х(х).
B) Пусть К (х) — данная непрерывная функция на отрезке [а, Ъ].
Тогда
ь
J f{x)K{x)dx A.6.3)
а
определяет линейный функционал. Интеграл Дирихле
sin

16] ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 27
где п — целое неотрицательное число, а х0 — произвольная фиксирован-
фиксированная точка, является частным случаем A.6.3). Он представляет собой п-ю
частную сумму разложения в ряд Фурье функции f (х) в точке х= х0.
Другой важный пример — интеграл Фейера:
который представляет п-ю чезаровскую среднюю ряда Фурье функ-
функции f(x).
Дальнейший пример линейного функционала мы получим с помощью
интерполяционного многочлена Лагранжа
где 10(х), 1г(х), ..., 1п (х) ■— фундаментальные многочлены, соответствую
щие узлам интерполяции х0, хг, .. . , хп (см. главу XIV). При фиксирован-
фиксированном значении х — J* выражение L (/; £) является линейным функциона-
функционалом от f(x). Наконец, общая формула механических квадратур
Q (/) = V (*о) + К1Ы + •••+*„/ (*») A-6.7)
также представляет пример линейного функционала; здесь А,о, к1У ...
. . . , Хп — так называемые коэффициенты Котеса (см. главу XV).
C) Рассмотрим последовательность линейных функционалов
b
Un(f)=\)f(z)dan(x), « = 0,1,2,..., A.6.8)
а
и функционал
ъ
VL(f)=\f(x)da(x), A.6.9)
а
где ап (х) нормированы, как в A.6.2). Тогда справедлива следующая
теорема:
Теорема 1.6. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы
\imUn(f) = U(f),
п->оо
где f(x) — произвольная непрерывная функция, состоит в том, чтобы одно-
одновременно выполнялись два следующих соотношения:
(rpfL\ — IT /'У»^\ lr — Г) '\ 9
■« * / *Л \*As 1% 1Ь V/, 1, Cj . ....
<А, л = 0, 1, 2, ...
A.6.10)
Кроме того, если второе из условий A.6.10) не выполнено, то существу-
существует такая непрерывная функция f(x), для которой последовательность
{Un(/)} не ограничена.
Эта важная теорема принадлежит Хелли [1], стр. 268 — 271;
см. также Банах [1], стр. 123. Первое из условий A.6.10) означает спра
ведливость предельного соотношения для произвольного многочлена.
Второе условие A.6.10) означает, что полная вариация фуйкций ап (х)
равномерно ограничена.
D) Пусть Ъ— а= 2 я и пусть / (х), ап (х) и а (х) будут периодическими
функциями с периодом 2я. Тогда первое из условий A.6.10) должно быть

28 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. I
заменено следующим:
lim lln (cos кх) = U (cos кх),
П->ОО
lim Un (sin кх) — U (sin kx),
, 1, 2, ...
A.6.11)
Одним из наиболее важных приложений предыдущих рассмотрений
является теория «сингулярных интегралов» Лебега
где [Кп (х)} —данная последовательность непрерывных функций. В этом
случае основной интерес представляет нахождение необходимых и доста-
достаточных условий для того, чтобы ]ХЛ (/) —> / (х0), где х0 — фиксированная точ-
точка отрезка [а, 6]. a / (х) — произвольная непрерывная функция. В соот-
соответствии с теоремой Хелли это должно иметь место, если / (х) — произволь-
произвольный многочлен (или тригонометрический многочлен в периодическом
случае) и так называемые константы Лебега (которые являются нор-
нормами Цп (/)) ограничены в своей совокупности:
ь
V \Kn(x)\dx < Л.- A.Н.13)
а
(См. Лебег [1], [2], в частности пп. 45, 46, стр. 86 — 88; см. также
Хаар [1]).
Для интеграла Дирихле условие A.6.13) не выполнено; следовательно,
существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в дан-
данной точке (см. Дю Буа Реймонд [1]; Лебег [2], глава IV,
стр. 84—89). Это условие, однако, выполнено для интеграла Фейера
A.6.5), что обеспечивает суммируемость ряда Фурье произвольной
непрерывной функции методом Чезаро (см. Фей ер [2], в частности
стр. 60). Это же имеет место для чезаровских средних второго порядка
рядов по многочленам Лежандра (см. Ф ейер [4]).
Относительно применения теоремы Хелли к теории интерполирования
и к механическим квадратурам см. главы XIV и XV.
1.7. Гамма-функция
Интеграл Эйлера второго рода
о
ltz^dt A.7.1)
определяет гамма-функцию Г (z) при 9i z > 0. С помощью аналитического
продолжения мы получаем мероморфную функцию, которая не имеет нулей,
с простыми полюсами в точках z = 0, — 1, —2, . . . Справедливы следующие
функциональные уравнения:
A.7.2)
Другая важная формула:
п-1
где п — натуральные числа. В дальнейшем нам понадобятся в основном
случаи п = 2 и п = 3.

1.71] ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 29
Интеграл Эйлера первого рода
В(р, q)=\^x^{\-xy-4x, p>0, 9>0, A.7.4)
о
может быть выражен через гамма-функцию следующим образом:
Интеграл A.7.4) существует также при комплексных ряд с положитель-
положительными вещественными частями; формула A.7.5) остается для них справед-
справедливой. С помощью A.7.5) В(р, q) может быть аналитически продолжена на
случай произвольных комплексных р и q (см. Уиттекер и В а т-
с о н [1], глава 12).
1.71. Функции Бесселя
A) Функция Бесселя первого рода порядка а определяется равенством
"av*/- ^j v, r(v i a
Очевидно, что z~aJa (z) — четная целая функция. Здесь а —произ-
—произвольное вещественное число. Если а — целое отрицательное число, то
{r(v + a-f-1)} нужно заменить на 0, когда v-f-a + l<0. Тогда мы
получаем соотношение /a (z) =( — \)а J-a(z). Если же а —не целое число,
то Ja(z) и J_a(z) линейно независимы. Отметим частный случай
Функция A.71.1) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Бесселя
а22-2J/ = 0, y=--Ja{z). A.71.3)
Для неотрицательных целых а мы вводим функции Бесселя вто-
второго рода:
v=0
я ZJ v! (v + a)!
v=0
I4I
Здесь у — константа Эйлера. Если a = 0, то первая сумма пропадает, выра-
выражение в фигурных скобках во второй сумме заменяется единицей при
v = 0, а = 0 и выражением — -f — +...-] при v = 0, а > 0. Эта функ-
функция является вторым решением уравнения A.71.3), линейно незави-
независимым с A.71.1) (см. Уиттекер и Ватсон [1], глава 17).
Непосредственно из A.71.1) вытекают формулы
/a(z), -jL{z-«/a(z)}= -2T-«/a+1B), A.71.5)

30 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ- СВЕДЕНИЯ [Гл. I
которые проверяются сопоставлением коэффициентов правой и левой части.
При а > —п- справедливо интегральное представление
It\ (I-*2)" *eiildt. A.71.6)
Для проверки нужно el2i разложить в степенной ряд, а затем почленно
проинтегрировать, учитывая равенство A.7.5).
B) Следующая важная асимптотическая формула используется в раз-
различных приложениях:
1 * Л
Cos( z--^-JL ) + O(z 2), z->-hoo. A.71.7)
Эта формула является лишь частным случаем (р= 1) следующего асимпто-
асимптотического разложения (см. Уиттекер и Ва.тсон [1], § 17.5):
р-1
>] bvz~^-^ + O{z-2p-1)^ , A.71.8)
где р —произвольное натуральное число, ао= 1; av, bv — некоторые посто-
постоянные, зависящие лишь от v; z—> +оо.
Это же разложение справедливо при комплексных z, для которых
arg z | < я — б, б > 0, если мы примем, что z^ = cxp f-^-lnzj при| g (In z) | <
<я— б. Отметим важное следствие из этой формулы, справедливое при
;_|L__s? S>0:
{14- О (| 2 Г1)}
A.71.9)
Асимптотическая формула, аналогичная A.71.7), справедлива и для
функций Бесселя второго рода Ya (z)\ она отличается лишь тем, что коси-
косинус заменен на синус (см. Уиттекер и Ватсон [1], § 17.6).
C) Полезно также отметить порядок величин /a (z) и Уа (z) при z—> + 0
и z—.>+оо. Из предыдущих формул мы видим, что при z —> + 0 справед-
справедливы соотношения
■Лх B) -^ za, а— вещественное, а Ф — 1, — 2, — 3 . . .,
^a(z)~2~a, а= 1,2,3, ...,
A.71.10)
тогда как при z ~> оо имеем
/аB) = О(Л), yeB) = O(z). A.71.11)

1.8] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31
1.8. Дифференциальные уравнения
Мы часто будем в дальнейшем применять некоторые элементарные
преобразования однородных линейных дифференциальных уравнений
второго порядка.
A) Пусть К(х), М(х), N (х) — функции, определенные в промежутке
а < х < Ь, в котором К (х) и М (х) имеют непрерывные производные, причем
К (х) Ф О, а функция N (х) непрерывна. Если в уравнении
K{x)tf + M{x)y' + N'(x)y = O A.8.1)
мы сделаем подстановку у ~s(x) и (х), где и (х) — новая неизвестная
функция, то s(x) определяется из условия, чтобы и (х) удовлетворяла
уравнению вида
и" + Х(х)и = 0. A.8.2)
Прямое вычисление дает
{^^}, A.8.3)
где интегрирование осуществляется от произвольной точки х0 до точки х.
Тогда
N (\ Q /\
B) Если мы введем в A.8.1) новую независимую переменную 6
с помощью подстановки х = о(о), то получим
К (х) о' F) 4§- + {М (х) [о' (б)]2 - К (х) а" F)} -g- +
/^O. A.8.5)
Если мы применим к A.8.5) процесс, рассмотренный в A), то можно изба-
избавиться от первой производной. Положим у = s*u, тогда, учитывая A.8.3),
получим
s* = e*v{-\M°';-Ka"db} = (e')K, A8.6)
где s имеет тот же смысл, что в A.8.3). Отсюда у — (в'J su, а и удовле-
удовлетворяет уравнению
+ К* ()
где
d /Мо'*Ко"\ 'Мо'*Ко"\* N ,2
(), A.8.7)
Мо'*—Ко"\* N
) +
В качестве приложения приведем преобразования дифференциаль-
дифференциального уравнения Бесселя A.71.3), кфО,
,,. ( \-«\ 1
к^ + ^-г— в = 0, и(х) = хЧа(кх), A.8.9)
dx2
A.8.10)
Другой элементарной формулой, важной для нас в дальнейшем,
является представление решения у = у (х) неоднородного уравнения
К(х)у» + М (х)у' + N(х)у = f (х) A.8.11)

32
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
[Гл. I
через фундаментальную систему [у1(х), у2(х)} соответствующего однород-
однородного уравнения A.8.1). Мы имеем
f(t)
,л о m
где ^ — фиксированная точка, а с1? с2 ~ постоянные. Далее,
A-8.J3)
Если мы полагаем ЛГ = 0, то выражение, стоящее слева, равно постоянной.
Применяя это последнее замечание к A.8.9), мы получаем важные формулы
ti t \ т / \ т> / \ т / \ 2 sin an
Ja{x) J-a{x) — J~a(x)Ja(x) = при a не целом,
A.8.14)
Относительно оценки констант в правой части см. В а т с о н [3], стр. 43,
B), стр. 76, A).
1.81. Функция Эйри
Интересное преобразование дифференциального уравнения Бесселя
A.71.3) может быть получено при специальном предположении а— ± —
Если мы применим A.8.7) и A.8.8), то нетрудно показать, что обе целые
функции
1 3
х 3
3 '
A.81.1)
удовлетворяют уравнению
A.81.2)
При отрицательных х имеем к(х)>0, Z(#)<0. Применяя A.71.9) 2), мы
получаем при х < 0, х—>— оо соотношение
_ Ё 1 I Ё
/. (пг\ -^ //т\ "^ 9~1 3 tirr2\'y] 4 a f9 /I -r i lc\\^\ (\ Я.Л Q\
/t ^xj _--—i yjb) -_- ^ о ял [ ж i exp [Z у x |/oj ). (i.ol.o)
Таким образом, с точностью до постоянного множителя функция
А(х)^к(х) + 1(х) A.81.4)
является единственным частным решением уравнения A.81.2), ограничен-
1) При отрицательных х имеем
Л (*) = -
\2 л 6
in
1 in
2(|х|/3JЬ

1.82] ТЕОРЕМЫ ТИПА ТЕОРЕМ ШТУРМА 33
ным при х—> —оо. Действительно,
_1 1 __1 -
Л(х)^2'13 kn*\x\ *ехр{-2(|я|/3J}, х~>-оэ A.81.5)
(см. В а тс он [3], стр. 188—190, 202). Функция А (х) называется
функцией Эйри; она может быть рассматриваема как стандартное реше-
решение уравнения A.81.2) и играет важную роль в многочисленных вопро-
вопросах математической физики. Функция 1(х)/к(х) является возрастающей
(рис. 1), поэтому произвольное вещественное решение уравнения A.81.2)
имеет не более чем один отрицательный
нуль и бесконечно много положительных
нулей. В частности, А (х) не имеет отри-
отрицательного нуля и имеет бесконечно много
положительных нулей. Так как А (х) > 0
при #<0, то из A.81.2) следует, что
А" (х) > 0 при х<0; следовательно,
А (х)~>0 при х~>— оо.
1.82. Теоремы типа теорем Штурма
Следующие «теоремы сравнения» типа
теорем Штурма могут быть доказаны обыч- Рис. 1.
ным образом (см. С е г ё [20], стр. 3 — 4):
Теорема 1.82.1. Пусть f(x) и F (х) — непрерывные функции в про-
промежутке х0 < х < Zo, причем f(x)*cF (x). Пусть не равные нулю тожде-
тождественно функции у (х) и Y (х) суть соответственно решения дифферен-
дифференциальных уравнений
Y = 0. A.82.1)
Если х и х", х < х", являются последовательными нулями функции у(х),
то функция Y (х) по крайней мере один раз меняет знак в промежутке
х' <#<#", если только /(х)фР(х) на отрезке [х\ х"].
Утверждение остается справедливым и при х = х0 (у (х0 + 0) = 0),
если имеет место дополнительное условие
lim {у' {x)Y (x)-y(x)Yr (x)} = 0 A.82.2)
+0
(аналогично при x"~XQ).
Из теоремы 1.82.1 мы легко получаем (см. цитированную работу,
стр. 4) следующее предложение:
Теорема 1.82.2. Пусть ф (х) — непрерывная убывающая функция
в промежутке х0 < х < Хо, а у — не равное нулю тождественно решение
уравнения
1/" + ф(х)г/ = 0. A.82.3)
Если х' < х" < х'" — три последовательных нуля функции у(х), то х" —
— х' < х'" — х", т. е. последовательность нулей функции у (х) выпукла.
Последнее неравенство справедливо при следующем более общем условии:
ф(ж) >ф(ж") > ф@ при х<х"<г<х'". A.82.4)
Кроме того, это же неравенство имеет место при х' — х0 (у (#0 + 0) = 0)
при дополнительном условии
lim (x-xo)y'(x) = O. A.82.5)
3 Г. Сегё

34 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ [Гл. I
Для того чтобы доказать, что х" — х = h < х'" — х\ мы сравниваем
уравнение A.82.3) с уравнением
Г"+ф(ж —А)У = 0,
которое имеет решение У (х) = у (х — К) на отрезке х" < х < я'".
Сделаем ,еще следующее весьма элементарное замечание родствен-
родственного характера:
Теорема 1.82.3. Пусть f (x) — непрерывная отрицательная функ-
функция в промежутке х0 < х < Хо. Тогда произвольное решение у уравнения
У" + / (х) У = 0, удовлетворяющее условию у—>0 при х—> Хо, не момсет
обращаться в нуль при хо<С% <. Хо.
Допустим противное. Тогда между двумя последовательными нулями
sign у" — sign у постоянен, скажем, положителен; следовательно, функ-
функция у (х) положительна и выпукла, что приводит к противоречию.
Приведем следующий замечательный результат типа теорем Штурма
(см. В а т с о н [3], стр. 518, Макай [2]):
Теорема 1.82.4. Пусть f(x), F(x), у(х), Y (х), х0, Хо, х , х"
имеют тот же смысл и удовлетворяют тем же условиям, что в теореме
1.82.1. Обозначим через Е- ближайший справа к точке х нуль функции У (х),
х'<1<х".
Допустим, что у (х) > 0, У (х) > 0 g промежутке х < х < \ и что
lim P§r>l, A.82.6)
тогда у (х) > Y (х) при х < х < \.
Мы заключаем, как обычно, что функция у' (х) У (х) — у (х) У (х)
является возрастающей на [х', !•]; она равна нулю при х — х (У (xf) = 0)
и, следовательно, положительна в промежутке х < х < \, Отсюда выте-
вытекает, что отношение y(x)/Y(x) является возрастающей функцией, и зна-
значит, благодаря 1.82.6, утверждение доказано.
Предложение сохраняет силу и при х —х0, если выполнено усло-
условие A.82.2).
Теперь мы докажем важное следствие из предыдущей теоремы
(см. Макай [2]):
Теорема 1.82.5. Пусть <р(х), х , х", х'" имеют тот же смысл,
что в теореме 1.82.2, так что х" — х < хт — х". Пусть у (х) описывает
отрицательную «волну» на [х', х"\ и положительную на [х"', х'"\. Тогда
первая «волна» целиком содержится во второй.
Смысл последнего утверждения состоит в следующем:
0 <—у{2х" — х) < у(х), х" < х < 2х" — х'.
Полагая У (х) =— у Bх" — х), проводим доказательство, как обычно,
учитывая соотношения
1. V (х) т. у' (х) .
lim jTTir ч = lim f /о \ —ч = 1-
1.9. Одно элементарное конформное отображение
Пусть комплексные переменные х и z связаны между собой соот-
соотношениями
^ lf. A.9.1)
Внешность единичного круга, \z\ > 1, равно как и его внутренность,

1.91] ПРИНЦИП АРГУМЕНТА; ТЕОРЕМА РУШЕ 35
| z\ < 1, отображается на всю ^-плоскость с разрезом вдоль отрезка [ — 1, 1],
причем точки z = оо и z = 0 соответственно переходят в ;г=оо.Еслимы
возьмем ту ветвь х-{-(х2— 1) , которая бесконечна при х= оо, то получим
| z\ > 1; если мы возьмем другую ветвь, которая обращается в нуль при.
х = оо, то получим | z | < 1.
Единичная окружность z = ei0 переходит в отрезок —1<:г<Ч-1\,
описываемый дважды, так как £ = cos0.
Окружности \z\~r или l^l^r1, 0<Сгф1, соответствуют эллипсу
с фокусами в точках — 1 и +1 и полуосями
YV+Vj ' ~2 r~"V
После подстановки z = efc или е~^ мы получаем выражение
z=ch£. A.9.2)
Оно отображает полуполосу
SR С > 0, -л<$£<л A.9.3)
на ту же самую ^-плоскость с разрезом вдоль [—1, +1]; при этом,
однако, точка :г=оо будет логарифмической точкой разветвления.
1.91. Принцип аргумента; теорема Руше;
последовательности аналитических функций
Теорема 1.91.1 (принцип аргумента). Пусть f (х) — аналитиче-
аналитическая функция в замкнутой области, ограниченной жордановой кривой С\
и пусть f (х) ф О на С. Тогда изменение £>' {In/ (x)} — arg/(:r) при обходе
точкой х кривой С в положительном направлении равно 2тт, гдет— число
нулей функции / (х) внутри С, причем это число подсчитывается с учетом
кратности нулей.
Теорема 1.91.2 (теорема Руше). Пусть f (х) и g (x) — аналитиче-
аналитические функции в замкнутой области, ограниченной жордановой кривой С,
и пусть | g (х) [ < | / (х) | на С. Тогда /(я) + g (x) и / (х) не имеют нулей на С
и имеют одинаковое число нулей внутри С.
Теорема 1.91.3 (теорема Гурвица). Пусть {fn (x)} — последова-
последовательность аналитических функций, регулярных в области G, причем эта
последовательность сходится равномерно во всяком замкнутом подмноже-
подмножестве области G. Допустим, что аналитическая функция lim fn (x) —f (x) не
равна нулю тождественно. Если точка х— а, лежащая внутри G, являет-
является нулем / (х) краткости к, то существуют такая окрестность \ х — а \ < 6
точки х = а и такое число N, что при п> N каждая функция fn (x) будет
иметь точно к нулей в круге \х — а\ < б.
Последняя теорема непосредственно вытекает из теоремы 1.91.2.
Относительно предыдущих теорем см. Полна и Сегё [1], часть I,,
отдел III, стр. 149—154.
Пусть в теореме 1.91.3 область G симметрична относительно вещест-
вещественной оси, а функции fn(x) вещественны при вещественных х. Если точ-
точка х — а является простым вещественным нулем функции/ (х), то при п > N-
каждая функция fn(x) имеет в точности один вещественный нуль*
в ' х— а ! < б, так как если /г (хь) — 0, то также fih (хс) = 0.
3*:

ГЛАВА II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ.
ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ
2.1. Ортогональность
A) В дальнейшем а (я) означает некоторую определенную неубываю-
неубывающую функцию, отличную от константы, на отрезке a^x^cb (см. замечание
в начале § 1.4, A)).
Определение. Ортонормалъная последовательность функций
Фо (х)> Ф1 (х)> • • •» Ф* (х)* I конечно или бесконечно, определяется соотноше-
соотношениями
n, т =
B.1.1)
Функции уп (х) предполагаются вещественными и принадлежащими клас-
классу L2a(a, Ъ).
Ортонормальные функции линейно независимы. Если а (х) имеет лишь
конечное число N точек роста (т. е. таких, в окрестности которых a (x)
отлична от константы), то число I конечно иЛ < N.
Теорема 2.1.1. Пусть вещественные функции
/о(х)> /i(x)> /2(х), • • •» А (х) (I конечно или бесконечно) B.1.2)
принадлежат классу L% (а, Ъ) и линейно независимы. Тогда существует
ортонормалъная последовательность
Фо(^)« Vi(x)> 92(^)i---»9iH» B.1.3)
такая, что при п = 0, 1, 2, . . ., I справедливы равенства
Фп (х) - Wo № + Kih (х) + - • • +^nJn (х)? Кп > 0. B.1.4)
Последовательность B.1.3) определяется однозначно.
Процесс получения B.1.3) из B.1.2) называется ортогонализацией
(см. Стон [1], стр. 12-13).
B) Для ортонормальных функций B.1.4) справедливо следующее явное
выражение:
4n(x)-=(Dn-iDnyzDn(x), n = 0, 1,2,..., B.1.5)
где при п > 1
(/с /о) (/с А) • • • (Л» /»)
(А. /о) (Л. А) • • • (А. /»)
(/»-!• /о) (/»-!» А) • • • (/n-L /п)
./о Iх) /1 vx; • • • In \х)
B.1.6)

2.1]
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
37
и при /г> О
B.1.7)
Мы полагаем, кроме того, Z>_x = 1, Do (х) =/0 (х). Определитель B.1.7)
соответствует положительно определенной квадратичной форме
yi/iW+ • • .+unfn{x)fda{x), B.1.8)
поэтому Dn > 0 при всех п.
Далее, имеет место следующее интегральное представление г
ъ ь
>»c*)=-^-SS -■• S
X
/l(*d) ■■■fn(Xo)
A Ю ... /„ (.%)
i (r \ i (r \ i (r \
i (r \ i (т \
/l V^l/ • • • /n-1 Vxl/
x
х) . .. rfa (ж„_1), л > 1, B.1.9)
X
ь ь
/i (^o) • • • fn (xo)
/1 (xi) " - fn {xi)
fl(Xn) •'• fn
da (я0) da (a^)... rfa (а:я) B.1.10)
(см. Ковалевский [1], стр. 326; Полна и Сегё [1], часть I,
отдел II, задача 68).
C) Определение. Пусть {срп (х)} — данная ортонормальная
система, конечная или бесконечная. Произвольной вещественной функции
/ (х) соответствует формальное разложение в ряд Фурье
f («) ~ /оФо И + /iC
/„<Р„ И + • • •
B.1.11)
Коэффициенты /п, называемые коэффициентами (Турье функции f{x),
соответствующими данной системе, определяются по формулам
ь
f(x)Vn(x)da(x), и = 0, 1,2, ... B.1.12)
Каждая частная сумма ряда B.1.11) обладает следующим важным
минимальным свойством:
Теорема 2.1.2. Пусть фп (х), / (х), fn имеют тот же смысл, что
и в предыдущем определении. Пусть />0 будет фиксированным целым
числом и а0, а1э ..., aL—произвольные вещественные постоянные. Если
положим
) B.1.13)

38 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. II
и коэффициенты av будут переменными, то интеграл
ь
достигает минимума тогда и только тогда, когда. ах — /v, v — 0, 1, 2, ...,/.
Искомый минимум равен
ь i % i
{f(x)}*da(x)-2 К =11/II2- 1 /v. Г-Л ЛЬ)
v=0 v=0
следовательно,
£ + /?+• <-+/?<l|/||2' B-1.16)
и (неравенство Бесселя)
ъ
^ r\ B.1.17)
Если левая часть неравенства B.1.17) представляет собой бесконечный ряд,
то он сходится. Исследование вопроса о возможности знака равенства
приводит к понятию замкнутости (§ 1.5).
Классическим примером разложений в ряды Фурье по ортонормаль-
ным системам являются обычные ряды Фурье по тригонометрическим
функциям 1, cos nx, sin пх, п = 1, 2, . . .; — я < х < + jt.
D) Другая важная характеристика ортонормальной последователь-
последовательности B.1.4) может быть основана на изложенном выше минимальном свой-
свойстве частных сумм. В самом деле, при переменных вещественных
Яо, Я1? . .., Хп_г выражение
будет минимальным тогда и только тогда, когда
Vo И + Kh (х)+...+К .,/„.! (х) + /п (х) == К\уп (х> B.1.19)
Распространение изложенного на случай пространства ком-
комплексных функций не представляет труда. Скалярное произведение двух
функций f (х) и g (x) определяется в этом случае по формуле A.4.3).
2.2. Ортогональные многочлены
A) Определение. Пусть а (х) — данная неубывающая функция
с бесконечным числом точек роста в конечном или бесконечном интервале
[а, Ь] и пусть существуют все «моменты»
ь
сп= \ хпс1а(х), и=0, 1, 2, ... B.2.1)
а
Если мы ортогонализуем последовательность неотрицательных степеней х:
1, х, х*,...,хп, ..., B.2.2)
в смысле, указанном в § 2.1 (линейная независимость будет доказана ниже),
то получим последовательность многочленов
р0 (х), Pl (ж), р2 (х), . . ., рп (х), . . ., B.2.3)
определенных единственным образом следующими условиями:
(а) рп (х) —многочлен точной степени п с положительным коэффициен-
коэффициентом при хп\

2.2]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
39
B.2.4)
(b) система {рп{х)} ортонормалъна, т. е.
ъ
г п \ ) JrYn \ ) ^" \ / — Tim' ' ~~" -^' ' • • •
а
Существование моментов B.2.1) эквивалентно факту, что все функ-
функции хп принадлежат классу La (а, Ъ).
Аналогичное определение имеет место и в случае распределения вида
w(x)dx. Тогда мы предполагаем, что w (x) — неотрицательная функция,
измеримая в смысле Лебега и такая, что
ъ
\ w(x)dx> 0.
Кроме того, как и ранее, должны существовать моменты.
Мы называем рп (х) ортогональными многочленами1), соответствую-
соответствующими данному распределению da(x) или w(x)dx; в последнем случае мы
говорим также об ортогональных многочленах, соответствующих данной
весовой функции w(x). Следующие главы посвящены исследованию этих
многочленов. Очевидно, что если распределение будет вида w (x)dx, то
система
1
{[w(x)]*pn{x)}, n = 0, 1, 2, ..., B.2.5)
ортонормальна в обычном смысле.
Линейная независимость функций B.2.2) может быть легко установле-
установлена. В самом деле, если q (x) — произвольный вещественный многочлен,
то соотношение
ь
возможно лишь тогда, когда q (х) = 0 во всех точках роста функции а (х).
Taft как таких точек по предположению бесконечно много, то многочлен
q (&)■'должен быть равен нулю тождественно»
Если а(х) имеет лишь конечное число точек роста, скажем N, то
функции 1, х, х2, . . ., xN-{ будут еще линейно независимыми. Путем
ортогонализации мы получаем конечную систему {рп(х)}, тг = О, 1, ...
. .., N — 1, удовлетворяющую тем же условиям, что и в предыдущем опре-
определении (см. §§ 2.8 и 2.82).
B) Учитывая общую формулу B.1.5), при тг> 1 будем иметь
' ' Сп+1
. . с
■2п-1
XX2
. . Xй
где при /г>0
Dn — [Cv-f-jujv, jn=O, 1, 2,. . ., n > 0.
B.2.6)
B.2.7)
В дополнение к B.2.6). имеем р0 (х) =DQ * =с0 2. Определитель B.2.7)
г) Иногда их называют многочленами Чебышева. Мы сохраним этот термин
для важного специального случая A.12.3).

40
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Гл .II
соответствует положительно определенной квадратичной форме
п п Ъ
2 2 Cv+n"v^ = ^ К + U1X + и2Х* + • • • + ипхП? da (х)> B.2.8)
v=0 jLt=O a
которая называется формой Ганкеля или рекуррентного типа (см.
Сегё [1]).
Определитель в формуле BJ2.6) может быть преобразован следующим
образом: из последнего столбца вычитаем предпоследний, умноженный
на х, затем, повторяя этот же процесс для каждого из предыдущих столб-
столбцов, при /г>1 получаем
Сп_чХ — С„
спх
слх —
с2 •
с3 .
сп+1
• • • С2п-2Х
°2п-1
. B.2.9)
Далее, в соответствии с B.1.9) и B.1.10) мы имеем следующие инте-
интегральные представления:
Рп \Х) ~ ^Г"
~ Ь Ь
2
X [] (xv —xllJda(xo)da(x1) ... da(xn_1),
V, JLl=O, 1, . . ., П-1
V < JLI
B.2.10)
b b b
П( rp /y \2 /-//-» ( <y \ rj' pt (>~p \ rl a ( t \
I tXy-y " »л/ц у LLKa \ ^n ) t**v* I «*/1 ) • • • C*V* \ П ) '
V, JLl=O, 1, . . ., П
■ S+i v<^ B.2.11)
Относительно формул B.2.10) и B.2.11) см., например, Гейне [3],
том 1, стр. 288. Формулы B.2.6), B.2.9), B.2.10) неудобны для вывода
свойств рассматриваемых многочленов. Для этой цели обычно будет пред-
предпочтительнее использовать непосредственно свойство ортогональности или
другие представления, которые будут получены, исходя из ортогональности.
C) Разложение в ряд Фурье произвольной функции / (х) по многочле-
многочленам \рп (х)} имеет вид
j (х\ - * f -л (x\-\-f d (х\ А- 4- / d (х) ' B^12^
где
ь
), n = 0,.l, 2, ...
B.2.13)
Частные суммы этого ряда обладают минимальным свойством, формули-
формулированным в теореме 2.1.2. Отметим в качестве важного частного случая
следующую прямую характеристику ортогональных многочленов (см.
§ 2.1, D)). Рассмотрим множество всех многочленов q (х) степени п
с коэффициентом единица при хп. Интеграл
ь
^Q2(x)da(x) B.2.14)
будет минимальным тогда и только тогда, когда Q(^)=const/?n (x). Постоян.

2.3] ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 41
ный множитель определяется нормирующим условием: старший коэф-
коэффициент у q(x) равен единице. Если кп означает старший коэффициент
многочлена рп(х), то минимум интеграла, очевидно, равен кп2. Из B.2.8)
мы находим для этого минимума значение DJDnl, следовательно,
' B-2Л5>
что также непосредственно следует из B.2.6).
2.3. Дальнейшие замечания
A) Ограничение (а) в определении, данном в § 2.2,A), относительно
старшего коэффициента и ограничение *(Ъ) относительно интеграла от
квадрата многочлена являются лишь одним из возможных путей нормиро-
нормирования рассматриваемых многочленов. Иногда принимаются нормирую-
нормирующие условия иного рода, как, например, фиксируется значение рп(х)
в точке х=а или x~bl), задается старший коэффициент рп(х) и т. п. Так
как рп(х) имеет точную степень п, то всякий кп можно представить как
линейную комбинацию ро{х), рх{х), ..., рп(х) (см. § 1.12). Следовательно,
pn(x), n > 1, ортогонален к каждому Jtrt-1. В частности,
ъ
pn(x)xvda(x) = 0, v = 0, 1, 2, ..., л-1. B.3.1)
Эти условия определяют рп (х) с точностью до постоянного множителя.
Это более широкое определение ортогональности в дальнейшем часто при-
применяется. Заметим также, что если q(x) есть яп и
x) = c, B.3.2)
to коэффициент при хп в q(x) равен скп.
B) Пусть отрезок [а, Ь] будет симметричен относительно начала коор-
координат, т. е. а=—fe, и пусть рассматривается распределение вида w(x)dx
с четной весовой функцией, т. е. такой, что w(—x)=w(x). Тогда многочлен
рп(х) будет четным или нечетным в зависимости от четности или нечет-
нечетности его степени п:
рЛ-*) = (-1)прЛ*)- B-3.3)
Он может содержать лишь те степени х, которые сравнимы с тг(тос12).
Действительно, при v = 0, 1, ..., п—1 мы имеем
pn(x)xvw(x)dx = 0.
Следовательно, многочлен рп ( — х) обладает тем же ортогональным свой-
свойством, что и рп(х) (в широком смысле). Следовательно, сравнивая коэф-
коэффициенты при хп, получаем
Рп ( - х) = const pn (х)^(-1)п рп {х).
Известно, что рп(а) ф 0, рп(Ь) ф 0 (см. § 3.3).

42 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. II
Линейная подстановка x—ftx'+l, кфО, переводит отрезок [а, Ъ] в отре-
отрезок [а', Ъг] (или \Ъ', а']), а весовую функцию w(x) в функцию w(kx'' + /).
Тогда многочлены
{signk)n\k\*pn(kx' + l) B.3.4)
образуют ортонормальную систему на W, Ьг] (или на [Ъ\ а'}) с весовой
функцией w(kx -\-l).
2.4. Классические ортогональные многочлены
1. Пусть а=-1, Ь=+1, w (х) = A—х)«A+х)$, а>—1, Р>-1.
Тогда с точностью до постоянного множителя ортогональный многочлен
рп(х) есть многочлен Якоби Р(£>$)(х) (см. § 4.1).
2. Пусть а=0, 6= + оо, и; (х)=е~хха. В этом случае рп (х) с точ-
точностью до постоянного множителя есть многочлен Лагерра Lffl (x)
(см. § 5.1).
3. Пусть а=— оо, b=-{-oo,w (x)=e~x2. В этом случае рп (х) с точностью
до постоянного множителя есть многочлен Эрмита Нп (х) (см. § 5.5).
Отметим следующие специальные частные случаи, соответствующие
предположению 1 (с точностью до постоянного множителя):
При а = р — ультрасферические многочлены.
При а — р = —ту —многочлены Чебышева первого рода, Тп (х) = cos nb,
x-cos0 (см. A.12.3)).
При cc = P = y ~~~ многочлены Чебышева второго рода, Un(x) =
= sin(/i+lN/sin6 (см. 1.12.3)).
При а= — р = -^—многочлены С/2д ( cos-^- ) •= sin ( n +— ) 0/pin -^ ,
где ж—cos 0 (см. § 1.12).
При а = P = 0 — многочлены Лежандра Рп(х).
Детальное изучение этих многочленов будет проведено в следующих
главах.
2.5. Формула Кристоффеля
A) Теорема 2.5. Пусть {рп(х)} — ортонормальная на отрезке
fa, b] система многочленов, соответствующих распределению da (x).
Пусть, далее,
q(x)^c(x-~x1)(x-x2) . .. (ж — z'j), сф 0, B.5.1)
есть яг неотрицательный на этом отрезке. Тогда ортогональные много-
многочлены {qn(x)}, соответствующие распределению Q(x)da(x), могут быть
выражены через рп (х) следующим образом:
Q(x)qn(x) =
Рп(Х) Рп+ЛХ) •••
Pn(Xl) Pn+l(xl) • • •
Pn(Xl) Pn+l(Xl) •••
B.5.2)
В случае если нуль xh имеет кратность т> 1, то соответствующие
строки в определителе B.5.2) мы заменяем производными порядка 0, 1>
2, . . ., т— 1 от многочленов рп (х), рп+1 (х), . . ., рп+1 (х) в точке х— xiV

2.5]
ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ
Это важное предложение принадлежит Кристоффелю [1]
(фактически лишь в случае а (х) — х), Вообще говоря, многочлены qn(x)
не будут нормированными.
Доказательство почти очевидно. Правая часть B.5.2) есть пп+1, кото-
который делится на q(x), следовательно, представим в виде q (x) qn (x), где
qn (x) есть яп. Кроме того, он является линейной комбинацией многочле-
нов Рп (х)> Pn+i (x)i • • • » Pn+i (x)i так чт0 если q (x) — произвольный яп1, то
\ Q{x)qn{x)q{x)da{x)= ^ qn{x) q (x) q (x) da (х)= 0. B.5.3)
а а
Наконец, правая часть B.5.2) не равна нулю тождественно. Для того
чтобы в этом убедиться, достаточно установить, что коэффициент при
pn+i(x), который представляет собой определитель [/)n+v (^V+OLv, \i —
= 0, 1, 2, . . ., I— 1, отличен от нуля. Допустим, что он равен нулю; тогда
существуют постоянные Яо, А,1? . . ., A,U1, не все равные нулю, такие,
что выражение
обращается в нуль при х*^хх, х2, ..., xt. Следовательно, B.5.4) имеет вид
q(x)G(x), где G(x) есть пп_1. Так как многочлен B.5.4) ортогонален
к любому яг1_1, то мы имеем
ъ
\Q(x)G(x).G(x)da(x) = O,
откуда G (x) = 0, что противоречит допущению.
B) Соотношение B.5.2) дает нам возможность, например, предста-
представить ультрасферические многочлены с а=|3 —целому числу через много-
тт . 1 Q . 1
члены Лежандра, а са + у^р + ^=ЦеломУ числу — через многочлены
Чебышева (см. § 4.21, C)). Другие примеры могут быть даны в связи
с многочленами, рассматриваемыми в § 2.6.
Используя какие-либо специальные свойства распределения da(x)
или многочлена q (х), иногда можно упростить формулу B.5.2). Например,
если da (x)=w(x) dx, w (x) и q(x) — четные функции и а — —Ь, то вместо
B.5.2) мы будем иметь представление (Z четно)
Рп(Х) Рп+2(Х) Рп+ЛХ) •••Рп,ЛХ)
Pn(Xl) Pn+2(Xl) Pn+AXl) ' ' • Pn + l (Xl
где
хг, ± х2, . . .,
2/ V 2/ V 2/ V 2'
xi} — множество всех нулей q(x).
2
В частности, ортогональный многочлен qn(x), соответствующий весо-
весовой функции 1—х2 на отрезке [—1, 1], может быть записан в виде
Рп(х) Рп+2(х)
(см. D.7.27), * =4).

44
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Гл. II
2.6. Класс многочленов, рассмотренный
С. Н. Бернштейном и Г. Сегё
Пусть q (х) — многочлен точной степени /, положительный на отрезке
f — 1, 1]. Тогда могут быть указаны явные выражения ортонормальных
многочленов рл(х), соответствующих следующим весовым функциям:
(I-*2)
B.6.1)
при предположении, что в первом случае / < 2/г, во втором /<2(/г+1),
и в третьем /<2/г+1. Многочлены, соответствующие первому случаю,
играют важную роль в доказательстве теоремы Сегё о равносходимости
([9]; см. теорему 13.1.2). Все три случая были в дальнейшем исследованы
С. Н. Бернштейном [3] в связи с его асимптотической формулой ([2]; см.
теорему 12.1.4).
Теорема 2.6. Пусть q (x) —многочлен точной степени /, положи-
положительный на отрезке [ — 1, 1 ]. Пусть q (cos б) = | h (eie) |2 — нормализован-
нормализованное представление тригонометрического многочлена q(cos0) в смысле,
указанном в теореме 1.2.2. Если мы запишем h(eiQ) в виде h (eih) = с (б) +
-f- is (б), где с @) и s F) вещественны, то будем иметь следующие формулы:
= ^У {с (Ь) cos nb
sin пЪ}, B.6.2)
\ /<2дг;
J
-( 2
sine
y-^Y^}, B.6.3)
sm e j v }
"9 1
n 2
sin ( n + —)
)^
cos
O±i>l
sin —
1
sin
B.6.4)
Эти формулы должны быть соответственно видоизменены при
1=2п, /=2(тг+1) и /=2/i+l, а именно: правая часть B.6.2) должна быть

2.6] КЛАСС МНОГОЧЛЕНОВ С. Н. БЕРНШТЕЙНА И Г. СЕГЁ 45
_! _1
умножена на A + ^/Л0) 2, правые части B.6.3) и B.6.4)—на (l — ht/h0) 2,
где /г0 =- /г @), a ht — коэффициент при zL в многочлене h{z).
Заметим прежде всего, что правые части B.6.2), B.6.3), B.6.4) явля-
являются косинус-многочленами со старшими членами
2 \2 . /2 V; sin( \ sin(^ +
В первом из этих выражений если 1=2п > 0, то множитель h0 нужно
заменить через ho-\-hL; во втором и третьем, когда I — 2 (п-f-l) и Z=2n+1
соответственно, множитель /г0 нужно заменить через ho~hL. Дадим дока-
доказательство формулы B.6.2). Сначала заметим, что имеют место равенства
1}'1о?ж = О, v = 0, 1, . .., п— 1,
—1
или, что то же самое, равенства
л
/?/1(cos0)cosv0{q(cos0)}c/0 = O, v = 0, 1, 2, .. ., п— 1.
Далее
1
и;
имеем
о
— ( 2 Щ
1
)
1 <
4
—л
-v)9_j_ei(?i-v)9
1
так как функция (zn+v-}-zn~v) {zh(z)} x регулярна в замкнутом круге
|z|<l. Кроме того,
+ 1 1 я
J
j
I I
1 / 2 V / 2 \ 2 Г 1 Г
Доказательство равенств B.6.3) и B.6.4) аналогично. В этом
случае вместо cosv0 мы соответственно используем sin (v + 1) 0/sin0
и sin f v +-9- )/sin @/2). Видоизменения, которые необходимы при 1 = 2п,
1= 2 (п -f 1) и 1 = 2n + 1 соответственно в B.6.2), B.6.3), B.6.4), совершенно
очевидны. Наконец, отметим, что B.6.2) вытекает из B.6.4), B.6.4) из
B.6.3), B.6.2) из B.6.3) заменой q (х) соответственно на A — x)q(x),
(H-s)q(x) и A-x*)q(x).

46 ОПРЕДЕЛЕНИЕ" ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. II
2.7. Многочлены Стилтьеса — Вигерта
В и г е р т ([2], стр. 7), а также С т и л т ь е с ([И], стр. 507—508)
нашли весьма изящное явное представление ортонормальных многочле-
многочленов ptl\x), соответствующих весовой функции
w(x)=n 2kexy(—k2ln2x) = n~2kx-k2lnx, 0 < х < + оо, к > 0. B.7.1)
Употребляя обозначение (см. Гаусс [1], стр. 16)
{:]=•-
^ l ;
Г" 1 - Ги 1 -1
LoJ — L» J~*
где
g = exp{-BfcVb B.7.3)
мы имеем
[;] B.7.4)
v=0
При п~0 произведение в скобках заменяется единицей.
Доказательство может быть основано на тождестве Гаусса
B.7.5)
См. Сегё [12], где рассмотрены другие аналогичные многочлены (связан-
(связанные с теорией тэта-функции).
2.8. Распределения стилтьесовского типа;
аналог многочленов Лежандра
П. Л. Ч е б ы ш е в [4] исследовал замечательную конечную после-
последовательность ортогональных многочленов, соответствующих распределе-
распределению стилтьесовского типа da, (x), где а (х) — ступенчатая функция с единич-
единичными скачками в точках х=0, 1, 2, ..., N—1 (N — фиксированное нату-
натуральное число). Это распределение того типа, который был упомянут
в конце §2.2, A). Соответствующие многочлены с точностью до постоянного
множителя даются формулами
*) « = 0, 1, 2, ...,/V-l. B.8.1)
Действительно, у П. Л. Чебышева показано ([4], стр. 363, 367;
см. также А. А. М а р к о в [1], стр. 21—22), что
+ ОО
\ tn(x)tm(x)da(x)= 2 U*)*m(*)=0 прип^т B.8.2)
-оо х=0, 1, 2, . . .,N-1
И ЧТО
tl(x)da(x)-= ^ u(*0 =
зс=О ,1,2,--., iV— 1
— !2)(iV2~22) ... (iV2 —
B.8.3)
w, m-=0, 1, .., iV-1.

2.81] МНОГОЧЛЕНЫ ПУАССОНА—ШАРЛЬЕ 47
Эти формулы справедливы при всех неотрицательных целых п и т, но
они тривиальны, когда /2>iV или ra>iV, так как 1п*(х) = 0 в точках х~0,
1, 2, ..., ЛГ—1 При 72>iV.
В B.8.1) мы применили символы
Дп/(я)-
( j) .- + (-1)п/И-
Используя теорему о среднем
Д7(я) = /(п)(а;+в/г)» О<0<1 B.8.5)
(см., например, Полна и Сегё [1], часть II, отдел V, задача 98),
получаем при фиксированном п следующую замечательную формулу:
lim N~ntn(Nx) = PnBx-\), B.8.6)
iV->oo
где Рп (х) — многочлен Лежандра степени п (см. § 4.1, C)). Представле-
Представление B.8.1) является конечноразностным аналогом формулы D.3.1),
а—§ — 0. Доказательство равенств B.8.2) и B.8.3) аналогично доказа-
доказательствам в 4.3.
Чебышев рассмотрел также ([1], [2]) более общий случай, в котором
точки 0,1, 2,3, ..., N—1 заменены произвольной последовательностью wsN
различных точек. В связи с этим он получил одну интерполяционную
формулу, которая имеет известное значение в математической статистике
(см. Ш. Жордан [1]).
2.81. Многочлены Пуассона — Шарлье
Эти многочлены приобрели важное значение в некоторых недавних
исследованиях, связанных с теорией вероятностей и статистикой (см.
Дёч [2] и литературу, цитированную в работе Шмидта [1]; см.
также Мейкснер [1], [2]). Они соответствуют распределению da (x),
где а (х) — ступенчатая функция со скачками
j(x)^e'\ix(x\f1 в точках ж = б, 1, 2,...; а > 0. B.81.1)
Очевидно, что полная вариация функции а(х) равна
оо
а(+ схэ)-а(-со)= 2 /(ж) = 1.
Соответствующими ортонормальными многочленами являются
v=0
П _i_
= а2(/г!) 2(-i)n{f(x)y1^f(x-n). B.81.2)
Простое доказательство ортонормальности многочленов B.81.2) может
быть дано методом производящих функций (см. § 4.4; см. Дёч [2],
стр. 260, и Мейкснер [1], [2]). При достаточно малом \w\ определим

48 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Г .II
функцию G(x, w) следующим образом:
со п 1
G(x, а») = 2 а~~2 {n\)~lpn{x)wn =
CO 11 ОО ОО
АЛ Aj п\ \v J vvy А^ АЛ п\
n=0 v=0 v=0 n=v
rw = e'w(l+a-1w)x. B.81.3)
v=0
Тогда имеем
2 f(x)G(x, u)G(x, v) =
x=Q, 1,2, ...
2 e-V^!)^1
x=0, 1,2, ...
= g-a-^-^d+a^u) (l+a^) _ gT? B.81.4)
так что
n 1 ml
л=0, 1,2, ... -л m n, m» • •
w, m = 0, 1, 2, ...
Многочлены B.81.2) связаны с многочленами Лагерра (§ 5.1) соотношением
х)~а z (п\у ьп (п). (z.ol.o)
Относительно разлол^ения в ряды по многочленам Пуассона—Шарлье
см. Е. Шмидт [1].
2.82. Многочлены Кравчука
Некоторые вопросы теории вероятностей приводят также к следующе-
следующему распределению da(x), где а(х) — ступенчатая функция со скачком
в точке х, равным
f~x, x = 0, 1, 2, ...,N, B.82.1)
где N — натуральное число, р > 0, д>0р#
См. М. Ф. Кравчук [1]. Полная вариация функции а (х) равна
единице. Соответствующая последовательность ортогональных много-
многочленов конечна, как и в § 2.8.
A) Метод производящих функций приводит к следующей формуле:
«)Г {pq)~l £(-irv с »-v) с
0
/2 = 0, 1, 2, ...,7V.
Действительно, положим
1 ^
п=0
ЛГ п
= 2 2 ( - 1ГV ( NnZXv ) ( I ) rW- B-82.3)
n=0 v=0

2.82] МНОГОЧЛЕНЫ КРАВЧУКА 49
В случае, когда х целое, 0<х<Лг, второе суммирование можно распро-
распространить на все значения v, тг=О, 1, 2, ...; v < /г, так как общий член обра-
обращается в нуль, если N — х < п — v или если х < v. (Из N — х> п — v,
вытекает, что 7V>72.) Таким образом, имеем
оо
л: (ж, м>)= >]
v=0
оо
~ S ( )^voyv(l—/эду) * = A + дт^)* A— /ж;) ~x, B.82.4)
откуда получаем
2 j(x)K(x, u)K(x, v) =
x=Q, 1,2, . . ., ЛГ
B.82.5)
Следовательн'о, в самом деле,
х=0, I, 2 TV
Вл, m, n, m = 0, 1,2, . .., TV. B.82.6)
Если /2>7V, то, очевидно, pn (x) = 0 при x=0, 1, 2, ..., JV.
B) Два других класса многочленов могут быть выведены из много-
многочленов B.82.2) с помощью двух различных предельных переходов.
(а) Пусть z — вещественное число, а х означает наибольшее целое
число, не превосходящее числа pN + z BpqNJ, где р, q, z фиксированы,
a N—>оо. Тогда при фиксированном п имеем
1
lim рп (х) = BпАг!) Нп (z), B.82.7)
iY^oo
где Нп (z) — многочлен Эрмита степени п (см. § 5.5). Это непосредственно
следует из B.82.3) и B.82.4), так как при целом х, 0 < х < N,
N I n I
I
)
= lim ехр|(~г
4 Г. Сегё

50 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. II
(см. Титчмарш [1], § 2.8; см. также E.5.7)). Поучительно заметить,
что тот же предельный переход, примененный к данному распределению
da(x), приводит к распределению e~~z dz, соответствующему многочленам
Эрмита; более точно:
\_ 1
j(x)^BnpqN) 2 e~z* или / (х) dx^ л~^~ e~z2 dz. B.82.8)
(b) Пусть pN=a, где а — фиксированное положительное число,
N —> оо, р —> 0, q —> 1. Тогда при фиксированном п и фиксированном целом
х > 0 мы находим, что lim рп (х) при N —> оо существует и совпадает с много-
многочленами Пуассона — Шарлье B.81.2). Действительно (см. B.81.3)),
lim A + qw)x {1 - pw)N~x =
N -> оо
а
= lim (I + qwf (I - pw)'x A - рш)^~ = (I +w)x e~aw. B.82.9)
p ~> о
2.9. Дальнейшие специальные случаи
Относительно других распределений da(x) стилтьесовского типа см.
А. А. Марков [1], стр. 7—18; Стилтьес [И], стр. 546—555;
Г о т т л и б [1].
Марков рассмотрел случай, когда а (х) — ступенчатая функция со
скачками / (х) = qx в точках qx, х^О, 1, 2, ...,7V—1, при q > 0, q Ф 1.
Это распределение весьма сходно с распределением, указанным в § 2.8.
Справедливы формулы, аналогичныеB.8.1) и B.8.6).
Стилтьес и Готтлиб исследовали случай, когда а (х) — ступенчатая
функция со скачками qx в точках х, х=0, 1, 2, ..., 0 < q < 1. 117
Замечательное распределение определяется весовой функцией
_j_
w(x) = {x(a~-x)($-x)}~Y, 0<я<а, а < р. B.9.1)
Гейне ([3], том I, стр. 294—296) вывел линейное дифференциальное
уравнение второго порядка для соответствующих ортогональных много-
многочленов, которое связано с эллиптическими функциями Якоби. Н. И. А х и е-
з е р [1] исследовал ортогональные многочлены, соответствующие весо-
весовой функции
i_
{A — я2)(а — х){Ъ-х)}~* \с — х\, — 1<х<а, 6<ж<+-1,
0, а<Х<Ъ, B-9-2)
где —1<а<&< + 1, а с зависит только от а и Ь. Эти многочлены также
связаны с эллиптическими функциями.
В отдельных случаях условие положительности весовой функции
может быть в некоторой мере расширено (см. С е г ё [19]).
Относительно многочленов П о л л а ч е к а [1]— [4] см. добавление.

ГЛАВА III
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
В этой главе мы исследуем общие свойства ортогональных многочле-
многочленов, которые им присущи при распределениях, удовлетворяющих лишь
некоторым условиям интегрируемости. Обычно мы будем рассматривать
распределение стилтьесовского типа da (x), но иногда нас будет интересо-
интересовать распределение специального вида w (x) dx. Однако мы всегда будем
предполагать,что а(х) и w(x) подчинены условиям, формулированным
в § 2.2, A).
3.1. Экстремальные свойства; замкнутость
A) Пусть / (х) — данная функция из класса L\ (а, Ъ) и пусть хп б L« (а, Ъ)
при п = 0, 1, 2, ... Тогда, очевидно, существуют в смысле Лебега — Стил-
тьеса интегралы
ъ ъ
, л = 0, 1, 2, ... C.1.1)
Обозначая далее через {рп (х)} ортонормальную последовательность много-
многочленов, соответствующих распределению da(x) на отрезке [а, Ь], мы фор-
формулируем следующую теорему:
Теорема 3.1.1. Взвешенное квадратическое уклонение
ъ
\f(x)-Q(x)\2da(x), C.1.2)
где q(x) пробегает всю совокупность яп, будет наименьшим тогда и только
тогда, когда q (x) является п-й частной суммой ряда Фурье:
C.1.3)
C.1.4)
См. теорему 2.1.2 и § 2.2, C). Искомый минимум равен
Ь п
a v=0
Отсюда вытекает неравенство Бесселя
). C.1.5)

52 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. III
B) Заменяя п через п—1 и полагая / (х) = хп, мы получаем следующую
характеристику многочленов рп(х):
Теорема 3.1.2. Интеграл
ъ
$ \Q(x)\*da(x), C.1.6)
а
где q(x) пробегает всю совокупность пп со старшим членом хп, будет мини-
минимальным тогда и только тогда, когда q (x) = const. pn(x).
См. § 2.2, C). Если кп — старший коэффициент в рп(х), то минимум
интеграла C.1.6) достигается для Q (х) = кп1рп(х).
C) Теорема 3.1.3. Пусть х0 — произвольное комплексное число,
Qt(x) — произвольный лп с комплексными коэффициентами, нормирован-
нормированный условием
ъ
\\Q(x)\*da(x)=l. C.1.7)
а
Максимум | q (х0) |2 достигается для многочленов
Я(х) = г{Кп(хо,хо)}~Кп(хо,х), |е|=1, C.1.8)
где
&п (*<р Х) = Ро (Хо)Ро (Х) + Pi (Xo) Pi (X) + ••- +PniXo)Pn(X) =
-PoMPo(x) + Pi(xo)Pi(x)+ '•' +Рп(хо)Рп(х)' C.1.9)
Искомый максимум равен Кп(х0, х0).
Если мы напишем
+ ••• +КРп(х),
то условие C.1.7) примет вид
По неравенству Коши — Буняковского будем иметь
Равенство в C.1.10) достигается для Xv = Xpv (x0), где X определяется из
условия
1*г i iPvK)i2=i.
v=0
Итак, теорема доказана.
Многочлен /£д (ж0, х)=Кп (х, х0) =Кп (х, х0) может быть применен в каче-
качестве ядра для представления п-й частной суммы sn(x) ряда Фурье C.1.3)
в интегральной форме. Действительно, мы имеем *)
п b b
= 2 Pv (x) [ f(t) Pv(t)da(t)= \ f(t)Kn(t, x)da (t). C.1.11)
v=0 a a
*) См. сноску на стр. 56. (Прим. перев.)

3.1] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА; ЗАМКНУТОСТЬ 53
В качестве следствия из C.1.11) мы получаем:
ъ
(t) = Q(x), C.1.12)
где Q (х) — произвольный яп. Легко показать, что это является характери-
характеристическим свойством Kn(t, x) как многочлена п-и степени от t. В качестве
дальнейшего следствия отметим такую теорему:
Теорема 3.1.4. Пусть а и х0 конечны, причем #0<а. Тогда
многочлены {Кп(х0, х)} ортогональны относительно распределения
(x-xo)da(x).
Это непосредственно следует из C.1.12), если положить х=х0,
Q(t) — (t — xo)r(t), гдег(г)—произвольный яп_1# Аналогичный результат
справедлив, когда Ъ конечно.
D) В соответствии с предыдущими результатами выражение C.1.4)
убывает при возрастании п, и следовательно, оно стремится к неотрица-
неотрицательному пределу при п—>оо. Тогда и только тогда, когда этот предел
равен нулю, имеет место равенство Парсеваля
ъ
=\\f(x)\*da(x). C.1.13)
Справедливость C.1.13), очевидно, эквивалентна тому факту, что
интеграл C.1.2) может быть сделан сколь угодно малым при надлежащем
выборе q(x). А это как раз и есть замкнутость в La (а, Ъ) последователь-
последовательности {рп(х)} или последовательности {хп} (см. определение в § 1.5, A)).
В соответствии с теоремой 1.5.2 имеем следующее утверждение:
Теорема 3.1.5. Последовательность ортогональных многочленов
{рп{х)}, и = 0, 1, 2, ..., соответствующая распределению da(x) на конечном
отрезке [а, Ь], замкнута в La (a, b).
Более того, она замкнута е La (а, Ь), /?> 1.
Для функции f(x)£ La (а, Ъ) справедливо равенство Парсеваля C.1.13).
Функция f (х)£La (а, 6), для которой fib = 0, п = 0, 1, 2, ..., непременно
является нулевой функцией.
Конечность рассматриваемого интервала является существенным огра-
ограничением. Некоторые случаи бесконечных интервалов будут рассмотрены
в дальнейшем (см. § 5.7).
Предположение, что все fn=0 в последней части теоремы 3.1.5,
эквивалентно факту, что
(x)xnda(x) = 0, n = 0, 1, 2, ... C.1.14)
Исследование этого условия тесно связано с единственностью проблемы
моментов Стилтьеса. Приведем пример, показывающий, что теорема 3.1.5
в общем случае не верна для бесконечного интервала:
da(x) = ехр( — х^ cosixn)dx, f (х) = sin (x» sin[xn), 0 < jx <-«-. C.1.15)
Здесь выполняются условия C.1.14) (см. Полна и Сегё [1], часть I,
отдел III, задача 153), причем f(x) не является нулевой функцией.

54 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. III
В этом же случае, если q(x) — произвольный многочлен, имеем
оо со
А = $ f (х) da (х) = ^ / (*) (/ (^) - 0 (^} da (x) <
6
б
откуда следует, что интегралы
) и
б о
не могут быть сделаны сколь угодно малыми.
3.11. Обобщения
Когда взвешенное квадратическое отклонение C.1.2) заменяется откло-
отклонением иного типа, то возникают многочисленные аналогичные проблемы.
Наиболее интересными случаями являются
ъ
\\f(x)-Q(x)\*da(x), C.11.1)
а
где р — фиксированное положительное число, и предельный случай1)
при р—^со (называемый также чебышевским отклонением):
max {\f(x) — Q(x)\w(x)}. C.11.2)
а < х < Ь
В последнем случае предполагается, что f(x) и w(x) — непрерывные функ-
функции. Подобным же образом интеграл C.1.6) можно было бы заменить
выражением
ь
^ \Q(x)\Pda(x), C.11.3)
а
или соответственно
max {\q(x)\w (x)}. C.11.4)
Многочлены данной степени, которые минимизируют выражения
C.11.1) и C.11.2), представляют собой обобщение п-й частной суммы
разложения f(x) в ряд по ортогональным многочленам, соответствующим
da(x) или w(x) dx. Многочлены данной степени со старшим коэффициентом
единица, которые минимизируют C.11.3) и C.11.4), представляют собой
обобщение самих ортогональных многочленов.
х) Заменяя da (x) черев w^ (x) dx, мы будем иметь (а и Ъ конечны, / (х) и w (x)
непрерывны):
ь 1
lim \[ \f(x)-Q(x)\VwP(x)dxlp = max {\ f (x) — q(x)\w (x)}.

3.2] РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА; ФОРМУЛА КРИСТОФФЕЛЯ—ДАРБУ 55
Число исследований, которые могут быть классифицированы с этой
общей точки зрения, весьма значительно; поэтому здесь могут быть ука-
указаны лишь наиболее важные аспекты этих исследований.
A) При р=2 многочлены, минимизирующие C.11.1), являются част-
частными суммами разложения f(x) в ряд по ортогональным многочленам (тео-
(теорема 3.1.1). В случае, когда а=—1, Ь=+1, ш(ж) = A — х2) 2, мы
получаем разложение f(x) =/ (cos 6) в ряд по косинусам; в случае, когда
а— — 1, Ь= + 1, w(x) = l, мыполучаем ряд Лежандра (см. главы IX и XIII).
B) Существование и единственность минимизирующих многочленов
были исследованы в общем случае C.11.1) (см. Джексон [1]—[3];
Ш о х а т [1], стр. 509 — 513, Г4], стр. 160 — 161). Оба автора рассматри-
рассматривали только распределения вида w(x)dx. Относительно общего распреде-
распределения см. Тамаркин [1], стр. 118.
C) Пусть а и Ъ конечны, da(x) = dx и р = 1. Относительно проблем
C.11.1) и C.11.3) см. С. Н. Бернштейн [2], в частности, стр. 14—16,
где даны ссылки на предыдущую литературу (см. также Я. Л. Герони-
м у с [5]). Н. И. А х и е з е р [2] исследовал проблему нахождения
минимума выражения
q s
\\Я(х)\с1х+^\я(х)\<1х, C.11.5)
р г
где [pt q] и [г, s]~ данные конечные непересекающиеся отрезки, a q (x)
пробегает все множество па со старшим членом хп. Минимизирующие
многочлены могут быть выражены через эллиптические функции.
D) В случае, когда а и b конечны, f (х) непрерывна, a w (х) = 1, про-
проблема минимума, соответствующая C.11.2), приводит к наилучшему при-
приближению непрерывных функций многочленами. Связь между наилучшим
приближением (при п—> оо) и свойствами непрерывности f(x) была исследо-
исследована весьма подробно (см. Джексон [4]*)).
E) Если а и Ь конечны, f(x) непрерывна, da(x) = dx1 то прир—^оо мини-
минимизирующие многочлены в C.11.1) (при фиксированном п) стремятся
к многочлену, минимизирующему выражение C.11.2). (В обоих случаях
существование и единственность имеют место). См. Полна [2]; также
Шохат [1], стр. 513—514, [4], стр. 171. Оба автора рассматривали
только случай распределения w(x)dx. Относительно общего распределе-
распределения см. Тамаркин [1], стр. 125.
F) Если а— —1, Ъ= +1, ш(#)=1, то решением проблемы C.11.4)
будет q(x) — 21-пТп(х) (см. обозначение в A.12.3)). Это — классический
результат Чебышева, он является исходным пунктом многих чрезвычайно
интересных исследований (см. С. Н. Б е р н ш т е й н [1]).
3.2. Рекуррентная формула; формула Кристоффеля — Дарбу
A) Теорема 3.2.1. Справедливо следующее соотношение между
любыми тремя последовательными ортогональными многочленами'.
Pn(x)^(Anx + BJpn_1(x)^-Cnpn_2(xI /г=2,3,4,... C.2.1)
Здесь Ап, Вп, Сп — постоянные, причем Ап > 0 и Сп > 0. Если старший
коэффициент многочлена рп (х) обозначим через кп1 то будем иметь
кп-1
*) См. также книги, указанные в сноске на стр. 20. (Прим. перев.)

56 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. III
Для доказательства определим прежде всего число Ап по условию,
чтобы многочлен рп(х) — Апхрп_1 (х) был яп_г. Это* многочлен может быть
записан в виде линейной комбинации \р0 (х) + Х1р1 (х) + ... + ^n-iPn-i (x)-
В силу ортогональности ясно, что ^v = 0 при v < n — 2, откуда вытекает
C.2.1). Первое из равенств C.2.2) является следствием C.2.1), второе
вытекает из равенства
ь ь
Рп (х) Рп-2 (х) da (х) = 0 = Ап J хрп_г (х) рп_2 (х) da (х) - Сп>
так как интеграл правой части равен
Ъ
Формула C.2.1) будет справедлива и притг=1, если мы положим
р_г (х) = 0, причем С1? очевидно, моя^ет быть любым. Тогда будет верна
и первая из формул C.2.2) при п = 1.
Относительно теоремы, обратной к теореме 3.2.1, см. Ф а в а р [1].
B) Т е о р е м ы 3.2.2. Имеет место соотношение
Ро (х)Ро (У)+ Pi (x) Pi (У) + ••• + Рп (х) Рп(у) =
__ h Pn + l (Д) Рп (У) — Рп (Д) Pn + l fa) /g 9 3)
В частном случае da (х) = dx см. Кристоффель [1], а также
Дарбу [1]*). Это важное тождество легко может быть выведено из
рекуррентной формулы. Действительно,
Pn+i (х) Рп (У) - Рп ix) Pn+i (У) =
= {(Лп+1Х + Вп + 1) Рп (X) - Cn+1pn_! (X)} Рп (у) -
- Рп. (х) {(Ап+1У -г Вп+1) рп (у) - Сп+1рп_г (у)} -
= An+i (х - У) Рп (х) Рп (У) + Сп+1 {рп (х) рп_х (у) - рп_г (х) ра (у)}.
Учитывая C.2.2), отсюда получаем тождество
К Рп+Лх) Рп{у) — Рп{*) Pn+l(y) _
kn+i Х — У
— п Мп (<н\ 1 кп~г Рп(х) Pn-.l(y)—Pn-l(x) Рп(У)
PWPKy)+-j£ -^—
которое справедливо и для ?г = 0, причем ясно, что к_г может быть взято
произвольным. Заменяя п через 0, 1, 2, ...,^г и складывая, получаем C.2.3).
Отметим частный случай, когда х = у:
Рп (х)"" р'п ^ Рп+1 (х)}# C-2-4)
*) Н. И. Ахиезер в статье «Общая теория полиномов П. Л. Чебышева» (Научное
наследие П. Л. Чебышева, вып. I, M., 1945) отмечает, что формулы C.2.3) (а также
C.1.11)) были указаны П. Л. Ч е б ы ш е в ы м [1] для случая кусочно-постоянной
a (x). (Прим. перев.)

3.3] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ 57
C) Левая часть C.2.3) тождественно равна ядру Кп(х, у) = Кч(у, х),
введенному в C.1.9). Применяя C.1.12), мы можем вывести C.2.3) иным
путем, установив, что правая часть C.2.3) (заменяем у на t) удовлетворяет
соотношению C.1.12). В самом деле, мы имеем
ъ
^п + 1 J
Pn+i (ар Рп @— Рп (Др Pn+i (*) /^ ^а /^ =
Ъ
= -Ф- \ iPn.i (*) Р„ @ - Рп (*) Pntl (t)} e(^(*} cla(t)
КП+1 J Х' L
Ъ
\ Pn(t) p^{x)~p^^ da(t) +
а
Ъ
^
Первый и третий интегралы обращаются в нуль (также и прид—0). Вто-
Второе слагаемое равно q(x)> так как
-7 — /CnC -f-...
Другое доказательство тождества C.2.3) можно получить, комбини-
комбинируя теорему 3.1.4 с теоремой 2.5.
3.3. Элементарные свойства нулей
Теорема 3.3.1. Нули ортогональных многочленов рп(х), соответ-
соответствующих распределению da (х) на отрезке [а, Ь], являются вещественны-
вещественными и простыми и расположены внутри промежутка (а, Ь).
В специальных случаях, в частности в классических случаях (см. § 2.4),
мы получим в дальнейшем более точные сведения относительно распреде-
распределения нулей (см. главу VI). В качестве следствия из теоремы 3.3.1 имеем
а(а)<^а(х1 — 0), а(#п + 0)<а F), где хх и ха — соответственно наименьший
и наибольший нули многочлена рп(х).
A) Обычное доказательство предыдущей теоремы основано на свой-
свойстве ортогональности. Из равенства
вытекает, что внутри промежутка (а, Ъ) лежит по крайней мере один нуль
рп (х), в котором рп (х) меняет знак. (Функция а (х) имеет бесконечное число
точек роста.) Если хг, х2, ..., хх — абсциссы всех таких нулей, то произве-
произведение рп{х)(х — х^) (х—х2)...(х — х1) имеет постоянный знак (т. е. неотрица-
неотрицательно или неположительно на всем отрезке [а, Ъ]). С другой стороны,
если I < п, то
ъ
\ Рп(х)(х ~~xi) (х — х2).,.{х — хг)с1а(х) — 0. C.3.1)
а
Так как подынтегральное выражение не является нулевой функцией, то
/ > п; следовательно, I = п.
B) Предыдущее рассуждение может быть несколько видоизменено
следующим образом. Пусть х0 — произвольный нуль многочлена рп(х).

58 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. Ill
Поскольку коэффициенты рп (х) вещественны, то рп(х)/(х — x0) есть пп_г.
С другой стороны, имеем
ъ ъ 2
[ pn(x)^M-da(x) = [ (х-х0) ^^- da(x)=0, C.3.2)
J х—х0 J х хо
а а
следовательно,
ь 2 ь
da(x). C.3.3)
Иными словами, точка х0 является центром тяжести распределения масс
на отрезке [а, Ъ]. Поскольку интеграл в левой части C.3.3) положителен,
то число' х0 вещественно. Из C.3.2) мы видим, что а < х0 < Ь.
Если бы точка х0 была кратным нулем, то мы имели бы
ь ъ
* (*) jB^f da(*) = \ {j=j;Yda {x) = °' C-3>4)
что приводит к противоречию.
C) Утверждение относительно расположения нулей в промежутке
(а, Ь) (без указания, что они простые) вытекает также из минимального
свойства, формулированного в теореме 3.1.2. Действительно, если нуль х0
лежит вне отрезка [а, Ь], то расстояние | х — х01 может быть уменьшено одно-
одновременно для всех х из [a, b] путем смещения точки х0. Стало быть,
соответствующий интеграл C.1.6) не может быть минимальным.
Относительно распространения этого рассуждения на многочлены,
обладающие аналогичными или более общими минимальными свойствами
в вещественной или комплексной области см. Ф е й е р [7], С е г ё [5].
Из свойства ортогональности ядра Кп (х0, х) (теорема 3.1.4) мы также
можем вывести некоторые заключения относительно расположения нулей
по х, если х0 рассматривать как параметр (см. С е г ё [5], стр. 241—244).
D) Вещественность и простота нулей (без более подробного утвержде-
утверждения об их расположении на отрезке [a, b]) могут быть установлены из
рекуррентной формулы с помощью теоремы Штурма (см. Перрон [4],
том 2, стр. 7—9). В самом деле,многочлены
Ро(х), Pi(x), РЛх)* — ->рЛх) C.3.5)
образуют последовательность Штурма на отрезке [а, Ь], так как: а) если
pv (хо) = 0, v> 1,то из C.2.1) вытекает, что /?v_i(x0)/?v+i (х0) < 0; Ъ) р0 (х) —
постоянная Ф 0, а рп (х) — многочлен точной степени щ с) в точке х0,
в которой рп (х0) = 0, мы имеем р'п (х0)рп_г (х0) > 0. Последний факт следу-
следует из C.2.4), если заменить п через п— 1, а х — через х0 (см. ниже). Далее,
число изменений знака в C.3.5) равно п, если х < 0, и \х\ достаточно
велик; оно равно нулю, если х > 0, и достаточно велико (см. § 6.2, A)
и сноску к нему).
E) Из C.2.4) мы получаем при вещественных х важное неравенство:
Pn+i (х) Рп(Х) - Рп (х) Рп+1 (Х) > °- C.3.6)
В качестве первого следствия из него отметим, что многочлены рп(х)
ярп+1 (х) не могут иметь общих нулей. Более того, мы получаем следующую
теорему о взаимном разделении нулей:
Теорема 3.3.2. Пусть хг < #2< ... <хп — нули многочлена рп(х),
хо = а, хп+1~Ь. Тогда каждый промежуток (xv, :rv+1), v = 0, 1, 2, ..., п
содержит один и только один нуль многочлена рп+1{х),

3.3.] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ 59
Действительно, если £, и т], £, < т], — два последовательных нуля
многочлена рп{х), то /?п(|) Рп('п) < 0. С другой стороны, C.3.6) дает
-~Pn(l)Pn+i(l)>°, -PnD)Pn+i(rl)>0, следовательно, рп+1(%) Pn+i(Tl)<0.
Это означает, что в промежутке |<#<т] лежит нечетное число нулей
многочлена ра+1 (х), значит, по крайней мере один. Пусть ^ — xtl — наи-
наибольший из нулей рп(х); тогда РпA) > 0 и C.3.6) дает рп+1 (£) < 0. Так
как рп+1 (Ь) > 0, то рп+1 (х) имеет по крайней мере один нуль справа от
точки | = ха и аналогично хотя бы один нуль слева от наименьшего нуля хх
многочлена рп (х). Следовательно, мы можем иметь лишь по одному нулю
в промежутках между xv и #v+i> v = 0, I, 2, ..., п. Меняя ролями рп(х)
и ргь+1(хI можем показать, что между двумя последовательными нулями
многочлена pn+i(x) лежи,т по крайней мере один нуль рп (х). Это показы-
показывает снова, что между двумя нулями многочлена рп(х) не может лежать
более одного нуля многочлена рп+1(х).
F) Т е о р е м а 3.3.3. Между двумя нулями многочлена рп (х) лежит
по крайней мере один нуль многочлена рт (х), т > п.
См. Стилтьес [11], стр. 414—418. Относительно доказательства,
приведенного ниже, см. Попович и у [1].
Пусть £,!, |2, ..., £т — нули многочлена рт (х), записанные в возраста-
возрастающем порядке. В соответствии с теоремой 3.4.1 мы имеем
2 х»Рп (Ы о(Ы = ^ РпИ о(*)d<* («) = о. C-3.7)
111=1 а
где {Хц} — числа Кристоффеля, соответствующие последовательности
{1ц} (см. §3.4), &q(x) — произвольный пп_г. Далее, рассуждение, подоб-
подобное приведенному выше в A), показывает, что последовательность {рп(^),
Pni^v), ••• ? РпA>т)} имеет не менее чем п перемен знака, следовательно,
в точности п. При этом sign рп (|х) = (— l)n, pa (|m)>0. Стало быть, имеет-
имеется п различных интервалов
v=l, 2, ...,л,
содержащих точно по одному нулю многочлена рп(х).
Другими следствиями неравенства C.3.6) являются два следующих
предложения:
Теорема 3.3.4. Пусть с — произвольная вещественная постоян-
постоянная. Тогда многочлен
Рп+Л*)-сРп(х) C-3.8)
имеет п-\-1 различных нулей. Если с>0 (с<0), то эти нули лежат внутри
промежутка (а, 6), за исключением большего (соответственно меньшего),
который лежит на отрезке [а, Ь] только при условии с^.рп+1(Ь) / рп(Ъ)
(соответственно с> рп+1 (а)/рп (а)).
Действительно, функция/) г+1 (х)/рп (х) возрастает от — оо до + оо в про-
промежутке sv<s<Sv+i, v = 0, I, ... , п, где хо= — оо, хп+1= +оо.
Теорема 3.3.5. Справедливо следующее разложение на элементар-
элементарные дроби:
п
Рп (х) _ ^П ^v / -> О / Q Q Q\
РМ*) "^ ~z=T' v> ' ( * *9)
где (|v} — нули многочлена рп+1(х).
В самом деле, мы имеем
Pn(lv) Pk + l(lv) Pn(lv) — P'a(lv)Pn + l (lv) ^n /Q Q
7 7?—^— == 7 ', 7Z—7T~; J^ ^« ( O.O.

60 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. III
3.4. Механическая квадратруа Гаусса—Якоби
A) Т е о р е м а 3.4.1. Если х1<х2<...<хп — нули многочлена рп(х)г
то существуют такие вещественные числа Х1^ Х2, ..., Хп, что
ь
q (х) da (х) - k±Q (хг) + X2q (x2) + ... + ХпЯ (хп), C.4.1)
гдед(х) — произвольный n2n_v Распределение da(x) и натуральное число п
определяют однозначно числа Xv.
Последовательность нулей [xv = xvn], так же как и последовательность
чисел {A,v = куп}, разумеется, зависит от п. Числа Kv называют коэффициен-
коэффициентами Кристоффеля (см. Гаусс [2], Якоби [1], Крист офф ель [1]г
П.Л. Чебышев [1], М е л е р [1], Гейне [3], том 2, стр. 1—31).
Достаточно доказать C.4.1) для частных случаев q (х) = xh, к=0, 1,
2, ..., 2п— 1. Эти случаи приводят к 2п условиям, которые однозначна
определяют, как мы докажем, коэффициенты Kv и точки xv, (Если различ
ные точки xv заданы произвольно, то можно определить ^v так, чтобы
C.4.1) выполнялось для всех л^.)
Для того чтобы доказать C.4.1), мы строим интерполяционный много-
многочлен Лагранжа L(x) степени п— 1, который совпадает с Q (х) в точках xv:
п п
г (~.\ 'V п (г \ Рп (х' N1n/'r^//r^ /q / о\
JU \Х) — ^/j Q \XV) ——. г-: г- — ^i Q \Ху) Су y<L)? ^O.^t.Zj^
v=l V V v=l
где lv (x) — фундаментальные многочлены, соответствующие узлам интер-
интерполирования xv x2, ..., хп (см. § 14.1). Многочлен q(x)—L(x) делится
на рп{х)у так что q (х) — L(х) = рп (х) г (х), где г (х) есть лп_г.
Таким образом,
\ q (х) da (х) = ^ L (х) da (х) + \ рп (х) г (х) da (x) =
Ъ п Ь
= \ L (x) da (x) = ^ Q~(xv) { lv (x) da (x).
l
а
Ъ
v=l
Это доказывает C.4.1), где
ъ ъ
$*L C.4.3)
Обратно, пусть C.4.1) имеет место для любого я2п_1, который обо-
обозначим через q (х). Выберем q (х) = 1(х)г(х), где 1(х) = (х— хг) (х—х2)...(х— хп),
а /-(^—произвольный я/1_1. Из C.4.1) находим
ъ
[ l(x)r(x)da(x) = 0,
следовательно, I (x) = const pn (х).
Интерпретация левой части C.4.1) как механической квадратуры оче-
очевидна. Для любой функции f(x), определенной на [а, й], мы можем

3.4] МЕХАНИЧЕСКАЯ КВАДРАТУРА ГАУССА-ЯКОБИ 61
написать (см. § 15.1)
. C.4.4)
Тогда теорема 3.4.1 может быть формулирована так:
ь
■если только/(ж) есть л2п-1- Далее, из C.4.3) коэффициенты Кристоффеля A,v
представляют собой значения Qn (/) для / (х) == lv (x). Мы можем также иссле-
исследовать для данной функции / (х) сходимость {Qn(f)} притг—> со (см. теоре-
теорему 15.2.3 и задачу 9). Относительно формулы механической квадратуры,
«справедливой для любого Jt2n_h, см. Ш о х а т [7], стр. 465.
B) Т е о р е м а 3.4.2. Коэффициенты Кристоффеля kv положитель-
положительны и удовлетворяют равенству
= aF)-o(a). C.4.5)
Справедливы следующие соотношения:
ъ
Xv== [ Г г , Р:\{Х) , Tda(x), C.4.6)
Xv = J|±i (x~I;(x) = "ifr <x) ' (x) ' C'4-7^
Здесь сохранены предыдущие обозначения.
Относительно C.4.8) см. Ш о х а т [3], стр. 456. Частный случай
-а = —1,6= + 1, da (x) ~ dx исключительно важен. Тогда абсциссы xv явля-
являются нулями ^г-го многочлена Лежандра, а сумма коэффициентов Кристоф-
Кристоффеля равна 2, т. е. длине промежутка интегрирования. Этот случай перво-
первоначально был рассмотрен Гауссом и Якоби. Другой важный частный слу-
случай а= — 1, Ь =+ 1, da (х) = A — х2) 2dx рассмотрен Мелером [1].
Положительность чисел Xv устанавливается каждым из представле-
представлений C.4.6), C.4.7), C.4.8). В случае C.4.7) нужно учесть неравенство
{3.3.6). В соответствии с C.4.5) сумма Xv равна общей массе распределения
da(x), сосредоточенной на данном отрезке.
Изучение формулы C.4.7) может быть продолжено в случае классиче-
€ких ортогональных многочленов (см. § 15.3, A)).
Для доказательства теоремы 3.4.2 полагаем q(x) = 11(x) в C.4.1), что
дает C.4.6). Далее, полагая y = xv в C.2.3), умножая на da (x) и интегри-
интегрируя, мы получаем в соответствии с C.4.3)
ь
iz=~TL~ \ РП I Р7' XV da(X)= --ТГ~~ Pn+i(Zv)Pn(Xv)K.
пП + 1 J x xv КП + 1
а
Это доказывает C.4.7). Комбинируя C.4.7) с C.2.4) при x—xv, мы полу-
получаем C.4.8).

62
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Гл. Ill
C) Как пример применения C.4.1) мы получаем при произвольных
вещественных uOi wx, . . . , ип_1 равенства
. . . +un_1xn-1)*da(x) =
C.4.9)
v=l
b
G(w)= \ ж (и0
Таким образом, характеристическими значениями пучка форм
п
G (и) - IF (и) = 2 bv (ац, - Е) (и0 + Hla;v + . . . + в,,.^)» C.4.10)
l
2
V=l
являются как раз %=xv х2, . . ., хп. В обозначениях B.2.1) левая часть
квадратичной формы C.4.10) может быть записана в виде
п— 1 п— 1
2 2 (Cv
v=0 ц=0
C.4.П)
Определителем этой формы будет пп относительно |, который обращает-
обращается в нуль в точках % = х1, х2, » Л , хп. Следовательно, он равен произведе-
произведению рп(^) на постоянную. Итак, мы приходим к новому доказательству
равенства B.2.9).
См. также задачу 10.
3.41. Теорема Чебышева — Маркова — Стилтьеса
о взаимном разделении
В 1874 г. Чебышев высказал замечательное утверждение относи-
относительно коэффициентов Кристоффеля (см. [6], [8]), доказательства кото-
которого были даны независимо друг от друга А. А. Марковым и Стилтьесом.
Пусть тг>2. В силу положительности kv и равенства C.4.5) существуют
такие числа г) уг < у2 < . . . < уп_г, а < г/1? уп_1 < Ъ, что
Xv = a(yv) — a(yv-i)> v=l', 2, . ..,я, у^--=а, уп=.Ь. C.41.1)
Теорема 3.41.1. Нули хг, х2, ..., xn, записанные в возрастающем
порядке, взаимно разделяются с числами yv y2, ..., уп_ц т. е.
т ^ о/ ^ Г . л /Q /4 О\
более точно:
a (#v + 0) — a (a) < a (?/v) — a (a) — X1Jr ^2+ • • • + ^v <
<а(^-1-0)-а(а), v=l, 2, ...,/г-1. C.41.3)
х) Для того чтобы определить числа 2/v, может понадобиться изменить а(уу
в некоторых точках разрыва, что, разумеется, не влияет на C.4.1). Следует также
заметить, что, вообще говоря, числа yv определяются не однозначно.

3.411]
ПЕРВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ВЗАИМНОМ РАЗДЕЛЕНИИ
63
В силу C.41.1) квадратурная формула C.4.1) может быть записана
в виде
C.41.4)
v=l
Так как yv-\ < xv < yv, то правая часть C.41.4) имеет вид интеграль-
интегральной суммы Римана — Стилтьеса.
В качестве дальнейшего следствия из C.41.3) отметим, что a (xv -\~ 0) <
<a(xV4-i—0). Это означает, что справедливо следующее предложение:
Теорема 3.41.2. В открытом промежутке (#v, #v+i) между дву-
двумя последовательными нулями многочлена рп (х) функция а (х) не может
быть постоянной.
Иными словами, в открытом промежутке, в котором а(х) постоянна,
многочлен рп(х) имеет не более одного нуля.
3.411. Йервое доказательство теоремы о взаимном разделении х)
Пусть v — целое число, такое, что 1 < v < п — 1. Выберем в C.4.1) q (x)
так, чтобы это был я2л_2, подчиненный 2п—1 следующим условиям:
Г 1 при к — 1, 2, . . ., v,
б(%) = | 0 при & = v+l, v + 2, ..., п,
q/ (xk)= 0 при /с= 1, 2, . . ., v — 1, v+ I, . . ., п.
C.411.1)
Этими условиями многочлен определяется однозначно.
По теореме Ролля р/ (х) имеет по крайней мере по одному нулю в каж-
каждом из открытых промежутков
4
), (х29х3), . . .,
C.411.2)
Эти нули вместе с xk, 1<Л<^г, кфу, составляют (п—2)-\-(п—1)=2тг—3
нуля многочлена q' (х). Так как р/ (х) есть я2п-з? то это все нули р/ (х),
причем все они простые. Следовательно, q (х) — монотонная функция
между двумя последовательными нулями q ' (х); в частности, многочлен q (x)
монотонен между нулем, лежащим в промежутке (a;v_i, xv), и точкой
a:v+i» стало быть, и подавно на отрезке [xv, xv+1]. Кроме того, q(x) убывает
на отрезке [xv, ^v+i], так как q(xv) = 1, q(xv+i) = 0.
Таким образом, ясно, что график q(x) имеет указанный на рис. 2
вид. Мы имеем
при a
при x
C.411.3)
См. А. А. Марков [1], [2], [3]; Сти лтьес [1].

64 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. III
Для этого многочлена из C.4.1) получаем
Х1 + Х2 + . . . + К = ^ Q(x)da(x)> ^ Q{x)da{x)> ^ da(x),
что доказывает часть неравенств C.41.3).
Для того чтобы доказать остальную часть, рассмотрим распределе-
распределение d [—а(—х)] на отрезке [—Ь, —а]). Соответствующая последователь-
последовательность ортонормальных многочленов будет {(—1)арп(—х)} с нулями
— хп < — хп_г <...<--#!. Вместо чисел уг, у2, . . ., уп_1 мы имеем теперь
— Уп-v ~~Уп-21 - • •' —yv Тогда в соответствии с предыдущим результатом
получим — a(xn_v+1- 0) < —a(?/n_v), т. е. a (yv) < a(xv+i — 0).
3.412. Второе доказательство теоремы о взаимном разделении1)
Пусть V (х) — неубывающая ступенчатая функция, определенная сле-
следующими условиями:
f 0, а <£ < xv
Х1Ч хг<х<х2,
К+Х2, х2<х<х3, C.412.1)
Тогда C.4.1) может быть записано в виде
b Ь
Q(x)d{a(x) — V(x)}= ^ Q(x)d{a(x)-a(a)-V(x)} = 0. C.412.2)
Интегрирование по частям (см. A.4.4)) дает
{а_(х) - а[(а) - V (х)} q' (x)dx = 0, C.412.3)
так как V (а) = 0 и (см. C.4.5)) a F) - a (a)—F (Ь) = 0.
Функция F (ж) постоянна в открытых промежутках (a, xj, (x±, х2),
..., (хп_г, хл), (хп, 6), следовательно, функция а(х)—a (a) — V(x) = $()
не убывает в этих промежутках. Мы имеем р (х) > 0 (при этом р (#) =fe 0)
в первом промежутке и Р (х) < 0 (при этом р (х) ф 0) в последнем про-
промежутке. В остальных промежутках (#v, ^v+i) функция р (ж) либо имеет
постоянный знак (постоянно неотрицательна или неположительна), либо
существует такая точка у, xv < у < xv+i , что р (у—0) < 0 и PG/+O) > 0.
Итак, весь отрезок [a, b] может быть подразделен не более чем на 2п про-
промежутков, в которых р (х) последовательно неотрицательна или неположи-
неположительна, не будучи равна нулю тождественно. Концами этих промежутков
являются некоторые из нулей xv и некоторые из точек г/, определенных
выше. Далее из C.412.3) мы заключаем с помощью рассуждения, анало-
аналогичного проведенному в §3.3, A), что число этих промежутков не менее
чем 2п, следовательно, ровно 2п, Менее точно, Р (х) имеет 2п перемен
знака на отрезке [а. Ь], которые осуществляются в нулях xv, равно как
и в упомянутых точках г/, число которых п—1. В точках у мы имеем пере-
См. Стилтьес [12], в частности стр. 588—592.

3.42] ДРУГАЯ ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОМ РАЗДЕЛЕНИИ 65
ход от отрицательных значений к положительным, стало быть, в точках
xv — переход от положительных значений к отрицательным.
Следовательно,
0) > 0 > р (av + 0), v = 1, 2, ..., п, C.412.4)
что эквивалентно утверждению теоремы 3.41.1 (первое неравенство при
v=l тривиально; это же справедливо для второго неравенства при \ = п).
Мы можем также доказать предыдущее утверждение, слегка изменив
проведенные рассуждения. Пусть yv означает точку из промежутка (#v,
#v+i)» в которой происходит такое же изменение знака, как и в точке г/,
тогда имеем
Р (ху + 0)< р (yv) = 0 < р (xy+i - 0) C.412.5)
(см. предыдущую сноску).
3.413. Третье доказательство теоремы о взаимном разделении1)
Определим функции cpft (х, t) следующим образом:
(х — t)k при #<£,
л ^ , C.413.1)
0 при ж > *, v '
где А; — неотрицательное целое число, х и t — произвольные и веществен-
вещественные. Пусть 2)
Fk @ = ^ ^ <*• ^rfa (ж) ~ 2 ^* ^' ')• C.413.2)
a v=l
Тогда в силу C.4.1)
Fk{a) = Fk{b) = 0, к = 0, 1, 2, .... 2«-1. C.413.3)
Заметим, что при Л> 1 функция /^ (^) непрерывна; кроме того, легко
видеть, что F0(t) = fi(t), где р (^)~ функция, определенная в § 3.412.
Далее имеем
-kFk_x(t), a<t<b, &>1. C.413.4)
(При А= 1, t = xv это дает /^ (a;v -^ 0) = — jP0 (a;v ± 0).) Если мы примем
во внимание C.413.3) и C.413.4), то по теореме Ролля заключим, что
функция Fk (t) имеет (включая t = а и t = fe) не менее чем 2/г + 1 — А: A <
< А<2л— 1) нулей; это справедливо и при Ы0 в том смысле, что Fo (t)
имеет не менее 2тг— 1 перемен знака. Начиная с этого места, проводим
рассуждение, подобное тому, которое применяется во втором доказа-
доказательстве.
3.42. Другая теорема о взаимном разделении
Если х1п < х2п < . .. < хпп означают нули многочлена рп (#), то, как
мы знаем (теорема 3.3.2), последовательность {xvn} перемежается с после-
последовательностью {#v, n+l}» Т- е*
^v-i,n<^v,n+i <^vn, v = l, 2, ..., и+1, хо,п^а, xn+i>n=b. C.42.1)
Пусть теперь {ЯУп} означает последовательность коэффициентов Кри-
стоффеля, соответствующих многочлену рп(х), а числа {*/v,n}— числа yV}
г) Это доказательство принадлежит Полна и Успенскому (письменное сооб-
сообщение).
£$ik2) В случае, когда /с = 0, t = a, интеграл в правой части заменяется нулем.
5 Г. Сегё

66 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ. [Гл. III
определенные в C.41.1). Стилтьес [12] показал, что в дополнение к
теореме 3.41.1 имеет место также следующая теорема о разделении:
Теорема 3.42. Справедливы следующие неравенства:
2/v-i,n < 2/v,n+i < ?/vn, C.42.2)
т. е. имеют место неравенства:
v = l,2 я. C.42.3)
При v = l неравенства, содержащие yOt n и ЯОп, должны быть исключены.
Аналогия между C.42.1) и C.42.2) очевидна.
Для доказательства мы используем ту же функцию V (х), что
и в § 3.412, обозначая ее теперь через Vn (х) и вводя аналогичную
функцию Vn+I(xO соответствующую последовательности {^V)n+i}. Тогда
по C.412.3) имеем
ъ
{y»(*)-F»+i(s)}Q>)<*«(s) = 0, C.42.4)
где q (х) — произвольный я2г1-1. Следовательно, Vn (х) — Fn+1 (x) имеет
не менее чем 2п—1 перемен знака. Эти изменения знака могут иметь место
только в точках xVi п и #v, n+i. В первом случае Fn+1 (x) постоянна в окре-
окрестности этой точки, и так как Vn (x) возрастает, то перемена знака состоит
непременно в переходе от отрицательного значения к положительному.
Противоположное заключение справедливо относительно точки #v, n+i.
Общее число точек {#v,n} и {#V)n+i} равно 2л+1. Но Vn(x) и Fn+i (x)
тождественны в промежутках а<ж< х', х" < я<6, где х1 — наименьший
из всех нулей xViU и #v,n+i» a ^' — наибольший из них. Таким образом,
в точках х и х" невозможно изменение знака. Следовательно, изменение
знаков происходит во всех остальных нулях и носит указанный выше
характер. В качестве первого следствия отсюда мы снова получаем C.42.1),
иными словами, теорему 3.3.2, а в качестве второго следствия—неравенства:
C.42.5)
Это и есть неравенства C.42.3).
3.5. Непрерывные дроби
Исторически ортогональные многочлены {рп (х)} впервые рассматри-
рассматривались в теории непрерывных дробей. Эта связь очень важна и является
одной из возможных отправных точек при исследовании ортогональных
многочленов (см. П. Л. Ч е б ы ш е в [1] — [8]; Г е й н е [3], том 1,
стр. 260 — 297; Стилтьес [11]).
A) Для записи бесконечной непрерывной дроби мы употребляем
обозначение
Как обычно, подходящая дробь Rn/Sn, n= 0, 1,2, . .., определяется как
конечная дробь, которая получается из C.5.1), если остановиться на члене Ьп
'см., например, Перрон [3]). Мы имеем

3.5]
НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ 67
и рекуррентные формулы
Rn = bnRn^ + anRn_2, Sn = bnSn_1 + anSn_2, C.5.3)
n — z, o, ft . . .,
которые справедливы и при n=i7 если положить i?_1==l, iS.x^O. Мы
легко получаем также соотношение (см. Перрон [3], стр. 16):
D С Т? С / i \^~1 п п п
■"■пУп-1 — -"n-l^n ~ \ — А / а1а2 • • • ип
ИЛИ
Rn Дп-1 ^(-^Ма- дп^ ^=1, 2, 3 ... C.5.4>
B) Пусть (рп (х)} — ортонормальная последовательность многочленов^
соответствующих распределению da (x) на отрезке [а, 6]. Рекуррентная
формула {3.2.1) побуждает нас ввести в рассмотрение следующую непре-
непрерывную .дробь:
II С2\ С3\ Сп\
-..., C.5.5)
\А1х + В1 \А2х + В2 \А3х+В3 '" \Апх +
где Ап% Вп, Сп имеют тот же смысл, что и в C.2.1). Имеем
; a1=l, ап = - Ся, ^г>2. C.5.6)
Докажем следующее предложение:
Теорема 3.5.1. Подходящие дроби RJSn для C.5.5) определяются
по формулам
n = 0, 1, 2,
C.5.7)
гйе сп имеют тот же смысл, что е B.2.1).
Таким образом, ортогональные многочлены являются знаменателями
подходящих дробей непрерывной дроби C.5.5).
Вторая часть теоремы вытекает непосредственно из сравнения C.2.1)
с C.5.3) при ?г>2, кроме того, ясно, что утверждение справедливо при
тг = О и п=1. Относительно первой части замечаем, что она справедли-
справедлива при п=0 и п = 1. (Так как рг (х) = кхх-\- const., то соответствующий
интеграл будет равен кхс^. Затем применяем B.2.15) и B.2.7).) Наконец,,
при п > 2 мы имеем
з _ 1
с\ (сос2 - ф- 2 (дл _ ^дп1 _ aaRn_2) -
b
{pn_1{x) — pn^ (t)} Cn{pn_2 (x) — pn_2(
+
а
что и доказывает наше утверждение.
da{t) =An
5*

68 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. III
Итак, числители подходящих дробей выражаются через рп(х). Оче-
Очевидно, Ra является многочленом степени п—\ по х.
C) Разлагая рациональную функцию Rn (x)/Sn(x) в ряд по убывающим
степеням х, при п > 1 имеем
jgL x-* +... C.5.8)
В силу C.5.4) это разложение должно совпадать с разложением
Rn^i(x)/Sn_1(x) вплоть до члена, содержащего х~^2п-2\ Следовательно,
существует такой ряд
~* + . . ., C.5.9)
что при тг>1 имеет место равенство
оо
*M lx-2n+ 2^-v-i. C.5.10)
= d0x
v=2n
Это вообще справедливо для подходящих дробей непрерывной дроби
вида C.5.5).
Теорема 3.5.2. Имеют место равенства
rfv==Co-2(CoC2_cfJCv; v = 0, 1, 2, ... C.5.11)
В самом деле, если dv определены этими равенствами, то, применяя
C.5.7), находим
Rn (х) - Sn (x) (dox-i + dlX-t +...+ di^x-*») =
= с" i (coc2 - c\ f { \ ЩЕт^ da @ -
Выражение, стоящее в скобках, может быть переписано в виде
Ъ
Рп {x)Z
Ztn {t) х~~2П*2п da(t)-
7
— t
b
- Х~2П \ Ра (О (^2П + х2П~Н + • • • + ^2П + ^2П) da @-
a
Так как первый интеграл правой части есть ял_х, то разложение первого
слагаемого начинается с члена, содержащего яГ™. При интегрировании
члены с множителями 1, t, t2, . . ., tn~x во втором интеграле обращаются
в нуль, следовательно, разложение второго слагаемого начинается
с х~2пхп~1 = х'71'1; деля на Sa(x), мы получаем разложение вида C.5.10).
Это требование единственным образом определяет числа d0, dx, . . ., d2n_1,
следовательно, всю последовательность {dv}.

3.5] НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ 69
D) Теорема 3.5.3. Подходящие дроби непрерывной дроби C.5.5)
разлагаются следующим образом на элементарные дроби:
v=l
Xv=A,vn и Xv = xvn имеют тот оке смысл, что в § 3.4.
Действительно, по теореме 3.5.1 мы имеем
з i_
(р2 Ь pn(t)
c0P'n(*v,n) п
Теперь остается применить C.4.3).
Из C.5.12) мы видим, что нули Вп(х) вещественны и перемежаются
с нулями Sn (х).
E) Наконец, рассмотрим частный случай, когда [а, 6] —конечный
отрезок. Тогда разложение C.5.9) представляет функцию
C.5.13)
если только \х\ достаточно велик. В различных частных случаях функ-
функция F (х), представимая в виде C.5.13), может быть непосредственно раз-
разложена в непрерывную дробь вида C.5.5), знаменатели подходящих дро-
дробей которой являются ортогональными многочленами, соответствующими
распределению da(t). Такой подход к изучению этих многочленов суще-
существенно отличается от примененного в главе II.
Теорема 3.5.4. Пусть [а, Ь] — конечный отрезок. Тогда
f^ C-5.14)
где х — произвольная точка комплексной плоскости, разрезанной вдоль
отрезка [а, Ь]. Сходимость равномерна во всякой замкнутой области,
не имеющей общих точек с [а, Ь].
Эта теорема принадлежит А. А. Маркову ([5], отдел 1, гла-
глава VII, § 21).
Если х вещественно, причем х>Ь, то мы можем, комбинируя
теорему 3.5.3 с задачей 9, получить
F{x)-^±=co2(c0c2-c\f{x-lT2n-lk-\ a<l<b. C.5.15)
Это выражение стремится к нулю при п—> оо (задача 52), если только х
достаточно велико. С другой стороны, левая часть C.5.15) равномерно
ограничена вне произвольной замкнутой кривой, содержащей внутри себя
отрезок [а, Ь], так как A,v,n > 0, и имеет место C.4.5). Теперь утверждение
следует из теоремы Витали (см. Титчмарш [1], стр. 194).
Относительно других свойств подходящих дробей см. Ш е р м а н [1]
и библиографию, приведенную там. По вопросу о связи непрерывной
дроби C.5.5) и ортогональных многочленов с проблемой моментов см.
Гамбургер [1], [2], М. Рисе [2] и цитированную в этих статьях
литературу.

ГЛАВА IV
МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
В этой главе мы изучим основные свойства многочленов Якоби. Эти
многочлены включают в себя, как частный случай, ультрасферические
многочлены, в том числе многочлены Лежандра. Свойства нулей, асимпто-
асимптотические выражения, проблемы разложения в ряды и свойства, связанные
с интерполированием и механическими квадратурами, не рассматриваются
в настоящей главе—они будут изложены в дальнейшем.
Теоремы сложения для многочленов Лежандра и ультрасферических
многочленов также опущены, так как они касаются связи этих много-
многочленов со сферическими и гармоническими функциями различных измере-
измерений. Основными соображениями для того, чтобы опустить эти вопросы,
были ограниченность места и наличие исчерпывающих трудов. Читатель,
которого это интересует, может обратиться к книгам Е. Т. Уит-
текера и Г. Н. Ватсона ([1], часть II, § 15.7 и примеры к этой
главе) и Гобсона [1].
4.1. Определение; обозначение; частные случаи
A) Многочлены Якоби Р^а>Р) (х) были определены в § 2.4.1; они орто-
ортогональны на отрезке [—1, 1] с весовой функцией w (х) = A — х)а A + xf.
Интегрируемость функции w (х) обеспечивается ограничением а>—1,
Р > — 1; многочлены Р(п'^(х) нормированы условием1)
+а). D.1.1)
Ортогональные многочлены с весовой функцией (Ъ— х)а(х— а)Р на конеч-
конечном отрезке [а, Ь] могут быть представлены в виде
const. Pia'P)B|^--l) D.1.2)
(см. последнее замечание в § 2.3). Часто рассматривается случай а= О,
6 = 1 (см. Якоби [3]; Ж о р д а н [1],томЗ, стр. 231—234; Курант
иГильберт [1], глава II, § 9, п. 3).
Стилтьес [6], стр. 75, пишет аир, которые соответствуют
в наших обозначениях числам ф + 1)/2 и (а + 1)/2. Это же обозначение при-
применяет Ф е й е р ([13], стр. 42). Функция Жордана Zn(u) в наших обо-
обозначениях запишется в виде
В соответствии с § 3.3 нули многочлена Р^' & (х) лежат в промежутке
я< -{-1, следовательно, Р^' ^ A) Ф 0.

4.1]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ; ОБОЗНАЧЕНИЕ; ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
71
Функция Gn(p, q, и), фигурирующая у Куранта и Гильберта, совпадает
с Zn(u), если положить р = а, ?==Y-
Важное тождество
W>(x) = (-l)nP$'a)(-x) D.1.3)
легко выводится из замечания, сделанного в конце § 2.3. Комбинируя
D.1.3) с D.1.1), получаем
(+ Р) D.1.4)
B) Приа= р мы получаем ультрасферические многочлены. Эти много-
многочлены будут четными или нечетными в зависимости от четности или нечет-
нечетности п (§ 2.3, B)).
Теорема 4.1. Справедливы следующие формулы:
(а, - {)
2
_ГBу+а+2)Г(у
(a, i)
} D.1.5
а+2)Г(у + 1) (|. а
+l)rBy + 2)X v
Благодаря этим важным соотношениям многочлены Якоби с а или р,
равным ^ 1/2, могут быть выражены через ультрасферические многочлены.
Для того чтобы установить первое соотношение, достаточно доказать, что
где q(x) — произвольный jT2V-i. Это тривиально, если многочлен q (x) нечет-
нечетный. Пусть q {х) — четный многочлен, равный 7* (я2), где г(х) есть nv_i.
Тогда мы имеем
\р1 2j
-i
= 2
{2x-l)r(x){l-x)*x
= 2
-1
Аналогичное рассуждение может быть проведено для доказательства вто-
второго соотношения. Постоянные множители определяются из условий
D.1.1) и D.1.3).

72
МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
[Гл. IV
Случай а= — 1, Ь= +1, w(x) = \x\2k, к> —-j также может быть
сведен к многочленам Якоби. Соответствующие ортогональные многочлены
будут (см. Сегё [2], стр. 349)
const.
— 1), если 72 =
const. xPyk+2-)Bx2-l), если n =
D.1.6)
где постоянные множители отличны от нуля; они зависят от v и от к.
Доказательство аналогично предыдущему.
C) Простейшими ультрасферическими многочленами являются х):
2-4...2/г
1.3.,.
2-4..,2л
D.1.7)
где я = cos 8, а Тп (х) и Un (x) — многочлены Чебышева первого и второго
рода (см. A.12.3)). Это следует из равенств
\ Tn(x)Tm(x)(l-x2) 2dx= { cos720cos m0d0 = 0,
-l 6
(n Ф m),
+1 1 n
sin (n + 1) 0 sin (m + 1) 0 db == 0
и условия D.1.1).
В связи с этим могут быть отмечены два важных «смешанных» случая2)
1 -L)
2 ' 2
2-4...2az
sin-
cos
2.4...2AZ
cos
' Ж = COS0.
D.1.8)
Доказательство D.1.8) подобно доказательству D.1.7) ( равенства D.1.8)
могут быть получены также с помощью D.1.7), если в D.1.5) положить
1 1 \
а = -Т и а= — -к- ) . Формулы D.1.7) и D.1.8) следуют также из § 2.6,
если положить там q(x) = 1.
Другой важный ультрасферический случай— это а = Р = 0, которому
соответствуют многочлены Лежандра Рп' 0) (х) = Рп (х). Менее элементар-
3 2
ные случаи: a = j5= —~г и а = §= —о~; для этих случаев Кошмидер[1]
указал представление через эллиптические функции.
2) В первом равенстве при тг = О коэффициент перед Тп (х) равен единице.
2) При л = 0 постоянный множитель в правой части равен единице.

4.2] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 73
4.2. Дифференциальное уравнение
Теорема 4.2.1. Многочлен Якобы у = Р(п'р) (х) удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению:
A —^)j^ + № —а—(а+Р + 2)ж]у/ + /г(л + оЬ + Р+1)У = О, D.2.1)
которое может быть записано также в виде
±{(l~-xF+i(l+xf+4/} + n(n + a + $+l)(l--xr(l + z)fiy = 0. D.2.2)
Для доказательства мы отмечаем, что так как у есть лп, то выражение
может быть записано в виде A — х)а A + я)р z, где z есть яп. Для того чтобы
установить, что z — const, у, докажем соотношение ортогональности
V в
)ш№- ж)а+1 D + ж)р+1 У') Q (ж)dx = °>
-1
где q (ж) — произвольный jtn-1. Интегрирование по частям приводит левую
часть последнего равенства к виду
^ а;)Р+1 yfQ'(x)dx,
-1
так как а+1 и Р+1 положительны. Вторичное интегрирование по частям
дает
-1
Выражение, на которое умножается у под знаком интеграла, представляет
собой произведение A — х)а A + хр г (х), где г (х) есть jtfl-1, следовательно,
интеграл обращается в нуль и наше утверждение доказано. Постоянный
множитель —п (п + а + Р + 1) может быть найден путем сравнения старших
коэффициентов.
Уравнение D.2.1) может быть также записано в иной форме:
( >
B) Если в D.2.1) заменить п (п + а + (}+ 1) через у, то возникает вопрос,
для каких значений у это уравнение имеет решением многочлен, не рав-
равный нулю тождественно.
Теорема 4.2.2. Пусть а > — 1, р > — 1. Дифференциальное
уравнение
D.2.4)
где у— параметру имеет решением многочлен, не равный нулю тождест-
тождественно, тогдаитолъко тогда, когдау имеет вид п (п -\- а + Р + 1), п = 0,1,2,...
Это решение таково: const. Р%'^\х); никакое другое линейно независимое
с Р^а'Р) (х) решение D.2.4) не может быть многочленом.
Действительно, подставим
•v=0

74 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
в D.2.4). Мы найдем
со
J V(v-l)av(s-l)v-i-
v=2
vav(x- l)v-i + Y 2 av(^-l)v = 0,
V=l V=0
откуда вытекает рекуррентная формула
[Y-v(v + a+P + l)]av-2(v+l)(v + a+l)flv+i=0, v = 0,l,2,... D.2.5)
Предполагая, что г/ —многочлен, допустим, что аа —последний, отлич-
отличный от нуля, коэффициент. Тогда мы видим из D.2.5), что при v = n коэф-
коэффициент при ап должен обращаться в нуль, т. е. у = тг(тг + а +C +1).
Обратно, если это условие выполнено, то an+i= аа+2 = ... = 0, так как
коэффициент при av+i никогда не равен нулю.
Пусть теперь у=п(п-{-а-{-$-{-1) и пусть z—второе решение уравне-
уравнения D.2.1) или D.2.2). Если мы предположим, что х—> ± 1 в соотношении
A -£)a+i (I + xf+i (y'z — yz') = const., D.2.6)
то мы заметим, что у и z могут оба быть многочленами лишь в том случае,
когда постоянная в правой части D.2.6) равна нулю, т. е. когда у и z
линейно зависимы. Это же рассуждение показывает, что функция z даже
не может быть регулярной в точках х= — 1, ж = -f 1, если только у и z
линейно независимы.
4.21. Гипергеометрические функции
A) Подстановка я = 1 —2#' в D.2.1) дает уравнение
£^ ^ = 0, D.21.1)
которое является гипергеометрическим уравнением Гаусса. В соответствии
со второй частью теоремы 4.2.2 при тг>1 мы получаем важное пред-
представление:
v=0
X(a + v+l)...(a + n)(^yi). D.21.2)
Здесь, как и в дальнейшем, F (а, Ь; с; х) представляет собой обычное обозна-
обозначение гипергеометрического ряда
2i 1.2...V c(c + i)...(c + v-l) x •
V=l
Коэффициент
следует заменить на (a+1) (a + 2)...(a + n) при г = 0ина (n
Bf|p) при v = az.

4.22]. ОБОБЩЕНИЕ 15
который сходится при | х | < 1 и удовлетворяет уравнению
g g 0 D.21.4)
(см. Уиттекер и Ватсон [1], часть II, § 14.2). Заметим, что
D.21.3) не имеет смысла, если с—неположительное целое число. Однако
легко видеть, что если т— целое положительное число, то
Km (с + т — 1) F'(a, Ъ\ с; х) =
c-»_(m-l)
- / __ 1 Ym-iHfl+l)..^ + m-l)&F + l)---(fr4-m--l)
— ^ i} га! (m — 1)! А
XxmF(a + m, b + m; m+1; x), D.21.5)
а функция xmF(a + m, b + m; m+1", х) удовлетворяет уравнению D.21.4),
в котором положено с= —(т—1).
B) В формуле D.21.2) гипергеометрический ряд обрывается на члене,
содержащем хп. Постоянный множитель в D.21.2) определяется условием
D.1.1), Применяя D.21.2), отметим, что коэффициент 4а'Р) при старшем
члене хп в Р(^у |3) (х) дается равенством
#' Р) = lim х-^р^ 3) (х) = 2'п ( 2* + а+Р ) . D.21.6)
C) Другим следствием D.21.2) является полезная формула
^4 , D.21.7)
которая непосредственно проверяется, если обе части D.21.7) представить
по формуле D.21.2).
Как применение D.21.7) отметим, что последовательные производные
Тп(х),Т'п(х), Т'п' (х), ... многочлена Чебышева Тп (х) равны с точностью до
постоянных множителей многочленам ^n_i^2 2Ч^), Рп-2 (х)>
(г, -)
^Рп_з г' (х), ••• Первый из них с точностью до постоянного множителя
равен ип_г (х) (см. D.1.7)). Заметим также, что производные Р'п (х), Р'п{х), ...
многочлена Лежандра Рп (х) соответственно равны с точностью до постоян-
постоянных множителей многочленам PnlP(x), P{n-V(x),...
4.22. Обобщение
A) Правая часть D.21.2) позволяет обобщить определение многочле-
многочленов Р{п' Р) (х) на случай произвольных комплексных значений параметров a
и р. Это выражение является многочленом по х, по а и по р. Мы будем
в дальнейшем обозначать этот многочлен опять через Р!£"^}(х). Многие
свойства многочленов Р^'Р) (х) могут быть распространены на этот общий
случай. Многочлены Р(п'Р) (х) удовлетворяют дифференциальному урав-
уравнению D.2.1), и справедливы формулы D.1.1), D.1.3), D.1.4). Однако
некоторые другие результаты (например, теорема о распределении нулей,
см. § 6.72) должны быть существенно изменены. Применяя D.1.3), легко
представить Р^а'Р) (х) как Jtn от х+ 1.

76 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
B) Путем сравнения соответствующих коэффициентов в разложении
по степеням х-~1, мы получаем тождество
г±|), а'_-2„-а-|!-1. D.22.1)
Кроме того, справедливы следующие тождества:
^>(x)) Z-целое, ККп, D.22.2)
и
~, «(я), D.22.3)
» I I Ал ТТЛ TTi~\C% Л <f^* К* <^ У!
В связи с D.22.2) см. D.21.5).
C) Пусть тг> 1. Понижение степени многочлена Р%" ^ (х) может иметь
место только в том случае, когда тг + сх+Р+/с = О при некотором целом к,
1 < /с< тг. В этом случае точка х= оо является нулем порядка п — к+1,
причем это точный порядок, если только не имеет места равенство а = — /,
где / — целое, A<Z<!w. Если же
/г+а + р + А = О, а = — Z, 1< /с < Z < и, D.22.4)
то многочлен Рп (х) равен нулю тождественно.
Если положим Аг + а + Р+ к= е, а+^ = 'П» то можно показать, что
справедливо равенство Р^' Р) (х) = гг (х) + ^ (ж) с точностью до членов
высшего порядка малости при е—>0, г)—>0. Здесь г{х) и s(x) суть яп,
не зависящие от е и т). Из D.22.2) и D.22.3) следует, что с точностью до
постоянного множителя, отличного от нуля, мы имеем
или
г/г\ /4 г\ —ар(—а> 3)//г\ е/'уЛ р(а'Р) _ . /т^ (А 99 ^\
\ *^ / "" "' I J- ' *^ / -^ 71,—4—(X \ *^ /9 ^ \ *^^ / м""" -^^ 97, (X D 1 \ %^ ) 1 V ^*в ^"-^ • ^ /
где а, р, я— целые, а> —я, р> — ^г, а+Р< — тг — 1, тг>1. Оба много-
многочлена ?'(#) и ^ (х) — решения уравнения D.2.1); они линейно независимы,
так как г A) = 0, s A) Ф 0. Они имеют соответственно точные степени п
и /с— 1= —/г —а —р—1. В этом случае общее решение уравнения D.2.1)
будет многочленом.
D) Пусть опять тг>1. Мы видели, что Р(п'^ A) =£ 0, если только
а Ф — Z, l<Z<ra. Если а = — Z, то точка а; = 1 является нулем порядка Z,
причем это точный порядок, если только не выполняется равенство
тг + а+Р+ &=0, 1<A:<Z, которое соответствует исключительному слу-
случаю D.22.4). В силу D.1.3) Р£*'Э)(— 1) =£ 0, если только р Ф — Z,
1<Z<tz. В случае же р= — Z точка х— — 1 является нулем порядка Z,
причем это точный порядок, если только не выполняется равенство
п + а+$+ к=0, 1<A:<Z, которое опять по существу соответствует слу-
случаю D.22.4).
E) Пусть тг> 0. Из C) может быть выведен второй случай, когда общее
решение уравнения D.2.1) является многочленом. Еслд мы заменим п

4.23] ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ 77
через — п — а— р — 1, то дифференциальное уравнение D.2.1) останется
неизменным, что приводит к двум линейно независимым решениям в виде
многочленов:
г, (х) = A - х)-аР^±$1! (х), s, (х) = Р%>Р) (х), D.22.6)
где ос, р, я —целые числа, а < — тг, р < — тг, тг>0.
4.23. Второе решение
A) В соответствии с теорией гипергеометрических функций* второе
решение уравнения D.2.1) дается формулой
) D.23.1)
за исключением того случая, когда а является целым числомх)
(см. Уиттекер и Ватсон [1], часть II, § 14.4, в частности,
см. функции, обозначенные через ух и у2). Функции D.21.2) и D.23.1)
линейно независимы.
Пусть теперь а— целое число. Если а= — /, 0</<^тг, то функция
D.23.1) с точностью до постоянного множителя равна Р^"^(хс)
(см. D.22.2)). То же остается справедливым при а—>сс0, где а0 равно
целому положительному числу, если только раньше, чем перейти к пре-
делуа —>сс0, мы умножим D.23.1) наос — а0 (см. D.21.5)).
Наконец, при целых значениях а, а < - тг, многочлен Р%'®(х)
и функция D.23.1) линейно независимы, так как
а D.23.1) обращается в нуль в точке х=1. Функция D.23.1) будет много-
многочленом тогда и только тогда, когда тг+р+1 является неположительным
целым числом, т.е. когда р~целое число, меньшее чем — п. Это случай,
рассмотренный в § 4.22, E).
B) Известны многочисленные другие представления решений уравне-
уравнения D.2.1), получающиеся с помощью классических преобразований
гипергеометрических функций. Единственными особыми точками этого
дифференциального уравнения являются х= +1? —1? °°« Меняя места-
местами а и р, заменяя х на — х, мы получаем разложение в окрестности
точки х = — 1.
Разложения в окрестности точки х= оо особо важны. Из книги Уит-
текера и Ватсона ([1], часть II, § 14.4 2)) известно, что реше-
решениями будут
-n, -n-a; -2n-a-fr ^^Л , D.23.2)
). D.23.3)
г) Это легко может быть доказано введением в D.21.1) подстановки у = х{ az.
Аналогичный метод может быть применен в случаях D.23.2), D.23.3).
2) В частности, см. функции, обозначенные через у21 и у22 (в соответствующих
формулах там имеется опечатка: показатель при —х должен быть —А в y2i
и —В в у22).

78 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
Первая функция с точностью до постоянного множителя равна
Р{п'^(х) (см. D.22.1)). Вторая функция получается из первой подста-
подстановкой вместо п числа —п — а — р— 1.
С точностью до постоянных множителей выражения D.23.2) и D.23.3)
вытекают из D.21.2) и D.21.3), если заменить а на — 2п — а — Р — 1,
A — х)/2 на 2/A — х), а затем умножить на A — х)п. Следовательно,
выражения D.23.2) и D.23.3) линейно независимы, за исключением
того случая, когда — 2п — а— |3— 1 является целым числом, не меньшим
чем — п.
Теорема 4.23.1. Пусть а, Р произвольны, п — неотрицательное
целое число. Общее решение уравнения D.2.1) может быть представлено
в следующих видах:
если аФ—п, — п-\-\, — п-\-2, ...,
. п 14- хN
если $Ф-п, —л+1, -/г+2,..., } D.23.4)
-а-э-i х
если <х-\- Р =^= — п — 1, — и — 2, . . .,
a<9e Л w В — произвольные постоянные.
C) Предыдущие результаты позволяют нам установить следующее
предложение:
Теорема 4.23.2. £Ъш а и р- произвольные, an— неотрица-
неотрицательное целое число, то D.22.5) и D.22.6) представляют собой единствен-
единственные случаи, когда общее решение D.2.1) является многочленом. Они могут
быть охарактеризованы одной из двух следующих совоку-пностей условий:
D.23.5)
(a) а, р — целые отрицательные, а> —п, р> — п,
а+р<;— п— 1, ?г> 1,
(b) а, Р — целые отрицательные, а< — п, р< — п, ?г>0.
Из D.2.6) мы видим, что в рассматриваемых случаях а и Р должны
быть целыми отрицательными.
Пусть а < — п, р> — п; тогда решение D.23.1) не является многочле-
многочленом. Случай а> — п, р < — п исключается применением D.1.3). Наконец,
если а> — п, р>— п, а+Р>— п, то решение D.23.3) не будет много-
многочленом.
D) Пусть а — целое число. В особых случаях, исключенных в тео-
теореме 4.23.1, можно показать, что второе решение содержит логарифми-
логарифмический член при разложении в окрестности точки х= ~\- 1 (аналогично для
я=-1, ж=оо) (см. D.61.6)).
Возможно также распространение предыдущих исследований на про-
произвольные значения п. Однако в дальнейшем мы ограничимся целыми
неотрицательными значениями п.
Рассмотрение второго решения, надлежащим образом нормирован-
нормированного, будет продолжено в § 4.61, где будут указаны также некоторые дру-
другие представления.

4.24]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
79
4.24. Преобразование дифференциального уравнения
Применяя результаты § 1.8 к уравнению D.2.1), мы получаем сле-
следующие важные представления дифференциального уравнения для много-
многочленов Якоби:
d*u
fl 1-a2
{X(l)
а+1
1 —a
3+1
"Ж
R2
4 sin* ^-
в = 0,
D.24.1)
D.24.2)
1 1
В особенности следует отметить случаи а= ± -«■, Р = ±-9- •
4.3. Формула Родрига. Ортонормальная последовательность
A) При произвольно заданных аир мы имеем
Допустим сначала, что аир больше чем — 1. Простое применение правила
Лейбница показывает, что правая часть D.3.1) имеет вид A—х)а A-\-х)$ q (x):
где g (х)—некоторый лп. Для того чтобы показать, что q (x) = const. P(n'®(x),
достаточно установить, что
- х)п+а A +
г (х) dx = О,
где г (я) — произвольный Jtn_i. Но интегрирование по частям п раз при-
приводит к интегралу
/ <
") (x) dx,
^
который равен нулю, поскольку г(п) (х) == 0. Постоянный множитель затем
может быть определен из D.1.1), если положить х= 1 (см. D.3.2)).
Так как Р^1^ (х) является многочленом относительно а и PJ(cm.
D.21.2)) и так как это же справедливо для правой части D.3.1), разде-
разделенной на A — х)а A + х)р, то тем самым доказано, что D.3.1) имеет место
при произвольных аир.
Вычисляя тг-ю производную в D.3.1) по правилу Лейбница, мы
получаем следующее важное равенство:
i.3>
v=0
Л п ) \ 2
—1) ... (п—
2 )
(a + i)(a+2) ... (a + v)
JKx
D.3.2)

80 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
B) Рассуждение, примененное в A), легко приводит к следующей
формуле:
—1
2а+Р+1 ГD + 1)Г(+Р + 1) _ . (а, 0) , , о ох
(Здесь мы предполагаем, что а>— 1, Р> — 1; при тг^О произведение
Bтг + а + Р + 1)Г (п+а+$+1) нужно заменить через Г(а+р + 2).)
Действительно, в силу D.3.1) и D.21.6) мы имеем
+1
(\ /y»\ t\ \ . Tv^ T^ * IT*! T* //t*
\
\
-1
Теперь применяем D.21.6) и A.7.5).
Употребляя обозначение D.3.3), мы можем следующим образом напи-
написать ортонормальную последовательность, соответствующую весовой
функции A — х)а A + х)^ на отрезке [ — 1, + 1 ]:
2 а> р)
(а> р) „ _Oi о - о /ч
4.4. Производящая функция
A) Формула D.3.2) может быть написана в виде
где предполагается, что хф ± 1. Интегрирование производится в поло-
положительном направлении вдоль замкнутой кривой, содержащей внутри
себя начало координат, и такой, что точки — 2 (х ± 1) х не лежат ни внутри
этой кривой, ни на ней самой. (Мы определяем ветви подынтегральной
функции условием, чтобы каждый из множителей был равен единице
при 2=^0.) Отсюда при достаточно малых значениях \w\ мы имеем
1+^L z ) 1J^
z. D.4.2)

4.4] ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 81
Знаменатель можно представить в такой форме:
-±(a*-l)wz*-z(xw-l)-w = -j-(l-x*)w(z-zo)(z-Zo), D.4.3)
где
г.^И^;"-^, R = R(w) = {l-2zW + w*)i D.4.4)
Для Zo = Zo (w) имеем аналогичное выражение, в котором R заме-
заменено на — Л. Здесь z0 и i? — регулярные аналитические функции от w
при | w | достаточно малых; мы полагаем R @) = 1. В точке о; = 0 функция z0
имеет нуль, а функция Zo имеет полюс. При достаточно малых \w\, z0
лежит внутри, a Zo —вне кривой интегрирования в D.4.2); поэтому по
теореме Коши имеем
п=0
Теперь мы легко получаем
следовательно,
X {1 + w + A - 2xw + w*f}-*. D.4.5)
Это — производящая функция для многочленов Якоби (Я к о б и [3],
стр. 193—194), которая может быть установлена непосредственно для
#=±1. Выражения { }~а и { }~~^ должны быть взяты положитель-
положительными при w = 0.
B) Предыдущие рассуждения могут быть несколько видоизменены,
если мы запишем D.3.1) в следующем виде:
где о: ^ ± 1, а интегрирование осуществляется в положительном напра-
направлении вдоль замкнутого контура, заключающего в себе точку t = x, но
не содержащего точек £ = ± 1. Предполагается, кроме того, что функции
-1Y A+*Y
и A+*Y
и vm^^
принимают значение единица в точке t=*x. Затем положим
i
Здесь должна быть взята та ветвь A — 2ocw + w2J, которая равна +1
при w = 0. Далее, если w описывает малую замкнутую кривую вокруг
начала координат, то t описывает указанную выше кривую. Кроме того,
6 Г. Сегё

82 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
мы имеем
2)Y, D.4.8)
1
-^ =A— 2:ш + ^2) w~1dw1
следовательно,
2) 2w'1dw, D.4.9)
что и представляет собой требуемый результат.
C) Третий метод вывода производящей функции основан на следую-
следующем замечании. Если функцию F {x, w), представляющую собой правую
часть D.4.5), мы разложим по степеням w, то заметим, что коэффициент
при wn является многочленом степени п. Для того чтобы установить, что
этот многочлен совпадает с Р^'^(д:), мы покажем, что интеграл
+i
^ (l-x)a(l + x)*F(x, u)F(x, v)dx, D.4.10)
рассматриваемый как функция от и и v, является функцией от произве-
произведения uv, что эквивалентно свойству ортогональности. При х~1 равен-
равенство D.4.5) может быть проверено непосредственно, причем этот процесс
осуществляет надлежащее нормирование многочленов.
В случае многочленов Лежандра, когда а^р = 0, интеграл может
быть вычислен явно (см. Лежандр [1], стр. 250). В общем случае
Ч е б ы ш е в [5] преобразовал этот интеграл к виду
1
2«+Э+1 J ^(l-tfil-uvty^il-uvt2)-1^, D.4.11)
о
из которого вытекает наше утверждение.
Относительно четвертого метода, основанного на рядах Лагранжа,
см. Полна и Сегё [1], часть I, отдел III, задача 219.
4.5. Рекуррентная формула
A) В случае многочленов Якоби общая формула C.2.1) принимает вид
D.5.1)
Здесь сначала с помощью D.21.6) может быть найден коэффициент при
xP{n-V {х)\ затем, полагая х= +1 и х= — 1, можем найти коэффициенты при
= Bn+a+P — 1) {Bn fa f P) Brc+a+p - 2) x+a2 - Р2}Р^Г (ж)-
n = 2, 3, 4,...,

4.5] РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА 83>
Р^п-? (#) и Р^п—2 (х).В действительности формула является лишь спе-
специальным случаем соотношений между смежными Р-функциями Римана
(см. Уиттекер и Ват с он [1], часть II, § 14.7).
B) Применяя обозначение D.3.3), мы получим следующее выраже-
выражение для ядра (см. C.2.3)):
у)=2 {*?• «г1 Ив> Р) (*) На> Р) (у)=
Г (д+2) Г (га+а+Р+2) P<ftf > (х)Р (па' Р> Ы~Р(па' Р) (х) P^f (у)
4^Z>
Г (л+a-hl) Г (я+Р + 1) ^—У
В частности, при у = 1 имеем
v=0
2дг
p(a+if Э) / v 2
W-2Ha+P+2 1-х
Последнее выражение в D.5.3) является следствием теоремы 3.1.4, так
как A- xf (l + xf(l — x) = (l — xf+i (l + xf. Отметим также, что
( ' '
Вторая формула получается из первой, если поменять местами а и р и при-
применить D.1.3). Наконец, применяя D.21.7) и последние формулы, мы
получаем
«>Р) (х) + CP%.V (х), D.5.5)
где
Здесь PjJ+P (а1) (или Р^-Г (а:)) может быть выражен по формуле D.5.1)
через жР^Р)(я), Рпа>Р)(^)» ^n-f (ж) (или соответственно Р^РЧ^.Это
б*

84 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
приводит к равенствам
B/г +а
_2(в+ 1)(п +
Наконец, отметим в качестве следствия из последней части формулы
D.5.3) тождество
>Н *П /Г<а' Р> Ж о-«-Р-' Г (»+« + P+2) Г
A1)А A)Z
A,1)-А„ A)-Z Г (а+1) Г(а + 2) Г (в + 1) Г (и
4.6. Интегральные представления в общем случае
Представление D.3.1) и его интегральная форма D.4.6) тесно связаны
с классическим методом интегрирования гипергеометрического уравнения
и других уравнений подобного типа. Начнем опять с формулы D.4.Ь):
(i-xf A+а:)э
2я
-xrn-ldt, D.6.1)
где хФ±1. Интегрирование ведется в положительном направле-
направлении вдоль замкнутой кривой, окружающей точку t = x, но не содержащей
точек t= ± 1. Применяя соображение Эйлера [1] для интегрирова-
интегрирования уравнения D.2.1) и D.2.3), введем функцию
где контур интегрирования выбран соответствующим образом. Здесь
хФ ± 1, а путь интегрирования не должен содержать точек +1, — 1 и х.
Однако мы допускаем точки + 1 и — 1 в качестве концов пути интегриро-
интегрирования, если только интегралы D.6.2) и D.6.3) сходятся.
Подставляя D.6.2) в D.2.3), мы получаем
t--xrn-2}dt. D.6.3)
Таким образом, мы видим, что D.6.2) удовлетворяет уравнению D.2.3),
если выполняется одно из двух следующих условий:
(а) Путь интегрирования является замкнутым контуром, при обходе
которого функция A - *)n+a+1 A + ^)n+^+1 (t — x)-n~2 или, что то же самое,
функция A — £)а A + £)Р возвращается к своему исходному значению.

4.61] ПРИЛОЖЕНИЯ; ФУНКЦИИ ВТОРОГО РОДА 85
(Ь) Интегрирование ведется вдоль дуги, конечной или бесконечной,
и такой, что первое из упомянутых выше выражений обращается
в нуль на ее концах.
Специализация контуров в соответствии с указанными условиями
дает многочисленные интегральные представления многочленов Якоби,
так же как и других решений уравнения D.2.1) (см. §§ 4.61 и 4.82). Для
выбранного контура интегрирования, на котором выполняется условие
(а) или (Ь), мы должны сначала показать, что у не равен нулю тожде-
тождественно; затем у может быть отождествлен с многочленом Рп (#)»
умноженным на постоянную, или с каким-либо другим частным решением
уравнения D.2.1); наконец, должен быть определен постоянный множи-
множитель. Справедливость полученного интегрального представления может
нарушаться лишь при некоторых исключительных значениях а или р.
Дальнейшие интегральные представления получены из D.6.2) путем
замены п на — п — а —р — 1, что не меняет уравнения D.2.3). Итак,
, D.6.4)
где контур выбран из условия (а) или (Ь). Вместо первого выражения
в (а) мы имеем теперь
Формула Родрига D.3.1) является частным случаем D.6.2) в кото-
котором за путь интегрирования взята замкнутая кривая, содержащая внутри
точку t = x, но не охватывающая точек ± 1- Условие (а) при этом будет
выполнено.
4.61. Приложения; функции второго рода
A) Теорема 4.61.1. Пусть х—произвольная точка комплекс-
комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [ — 1, 1]. Пусть а> — 1,р> — 1,
п > 0. Исключая случай п = 0, а -Ь р + 1 = 0, решение у == ($*'^ (х) диф-
дифференциального уравнения D.2.1), которое линейно независимо от Р%*® (хO
может быть получено в виде
ffiP)(s) = 2-n-1(a-l)-n(a!+l)-^ (l-0w+a(l + *)n+p (дДп+1 .D.61.1)
В исключительном случае: п — 0, а+р+1 = 0 мы имеем Qo1'Р)(ж) = const.;
тогда решение, отличное от постоянной, дается формулой
Функции Q(n'^{x) называются функциями Якоби второго рода.
Мы употребляем тот же термин в случае п=0,аН-р+1 = 0 для функции
Q{a)(x). В частном случае а=р = 0 мы пишем Q^' Q)(x)= Qn(x) (функ-
(функции Лежандра второго рода) (см. Якоби [3], стр. 195—197).
Обе функции D.61.1) и D.61.2) многозначны (за исключением слу-
случая, когда аир — целые числа). Оба интеграла являются однозначными
и регулярными функциями в комплексной плоскости, разрезанной вдоль
отрезка [—1 , + 1]. Очевидно, Q^- Э) (х)<~~ ^-n-a-p-i при х_> ^ что пока_
зывает, что Qfi'&Hx) линейно не зависит от Р£*М{х) (за исключением

86 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
случая п=0, сх+р+1=О; см. ниже). Соответствующее свойство имеет
место для Q^a)(x). Как легко видеть, справедливо тождество
_ai. D.61.3)
Функция (?£*' Э) (х) удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению D.2.1); это вытекает из D.6.2), так как отрезок [ — 1, +1], который
выбран в качестве пути интегрирования, удовлетворяет условию (Ь) § 4.6.
Дифференцируя D.2.1) по р и подставляя |3=—a—1, мы получим решение
Q{a)(x), так как Qtf> & (х) = const, при р = —ее—1.
B) Теорема 4.61.2. Имеет место следующее представление:
!$ yP"°'^/°<ft= D.61.4)
_ 2n+a+3 Г v
~Z ГBп+а + р+2) &X) ^Х + г) Х
^ A) D.61.5)
Кроме того, имеем
D'ei-6)
Применяя формулу Родрига, мы можем выражение D.61.1) проинте-
проинтегрировать по частям п раз, что и доказывает D.61.4). Из D.61.1) мы легко
получаем
+1
v=0 -1
v=0
Это в соединении с D.21.3) дает D.61.5).
Возвращаясь к исключительному случаю, отметим сначала, что при
тг=О, a-f-p-M¥=0 D.61.5) принимает вид
. D.61.7)
При a+P+l=O это выражение становится равным постоянной, так как
(A.7.2), вторая формула)
2siiutav ' v x ' V 1 —rcy 2 si
Теперь из D.61.7), учитывая D.61.3), мы получаем D.61.6).

4.61] ПРИЛОЖЕНИЯ; ФУНКЦИИ ВТОРОГО РОДА 87
C) Случай п=0 может быть исследован иным путем на основании
тождества D.2.6). При z=l оно дает
A -Х)а+' (l+xf+{y' = const., D.61.8)
что приводит к интегральному представлению для г/.
Теорема 4.61.3. Пусть а >— 1, |3 > — 1. Тогда справедливы сле-
следующие интегральные представления:
при а+р + 1>0, D.61.9)
а + р + 1< 0, D.61.10)
= 0. D.61.11)
В первом случае подынтегральная функция — £-«-0-2 ПрИ ^__> qq ^ сле_
довательно, интеграл сходится. Постоянный множитель можно получить
путем сравнения главных членов в D.61.7) и D.61.9).
Во втором случае главным членом подынтегральной функции будет
(а—р) t~a-&-3, следовательно, интеграл сходится. В третьем случае глав-
главный член подынтегральной функции равен 2(cx-j-l)(£+l)~2, так что интеграл
опять сходится.
D) Другое весьма общее интегральное представление для второго
решения уравнения D.2.1) можно получить, выбирая путь интегрирова-
интегрирования в D.6.2) таким образом, как в интеграле Жордана — Похгаммера
для гамма-функций (см. рис. в книге Уиттекера и Ватсона [1],
часть II, § 12.43). Этот путь интегрирования может быть определен схемой
(-1-), ( + 1 + ), (-1 + ), (+1-). D.61.12)
Условие (а) при этом выполнено, хф^ 1. Главным членом будет х-п-а-э-1?
если интеграл
по рассматриваемому контуру не равен нулю, а этот интеграл обращается
в нуль только в том случае, когда выполняется одно из следующих усло-
условий (см. цитированную книгу, § 12.43):
В частных случаях, когда a+(J или а—р — целое число, контур может
быть упрощен.

88 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
4.62. Дальнейшие свойства функций второго рода
Здесь мы будем опять предполагать, что а>—1 и р> — 1.
A) Особыми точками Q^^ 0) (х) могут быть +1» —1» °°- Для того
чтобы исследовать эту функцию вблизи точки х=-\-1 (а также для даль-
дальнейших целей), перепишем D.61.4) в виде
^
AQ(i + ty
M(x). D.62.1)
Последний интеграл есть jta_x по ж (произведение константы на числитель
Ra{x) п-й подходящей дроби для непрерывной дроби, определенной
в§ 3.5; см. первую часть C.5.7)). Следовательно, когда х —> +1» поведе-
поведение Q{n'^Hx) B известном смысле определяется поведением Q^'^(x).
Исследование (%а> & (х) в окрестности точки х=-\-1 не представляет
труда. Разлагая множитель (t-\-l)~p~ подынтегральной функции в D.61.9)
в степенной ряд по t—1, мы получаем приа+р + 1>0, а — не целое число,
равенство
где М (и) — степенной ряд по и, сходящийся при | и|<1, причем М @)
Аналогичное представление справедливо при a-j-|3 + l<0 (см. D.61.10)).
(В исключительном случае, когда а+Р+1=0, это соотношение не имеет
места для Q^^{x); однако оно справедливо для Q{a) (x) (см. D.61.11))).
Пусть теперь а — целое число; используем снова D.61.9). В силу тождеств
, 4 I)"» -
интегрирование дает логарифмический член. Имеем
f
( при a=0, 1, 2, ..., р>-1.
Здесь М1 (и) и М2 (^) — степенные ряды, сходящиеся при | и | < 1, причем
М1 @) =^ 0, М2 @) =^ 0 (см. ниже). Представление, аналогичное первому из
D.62.2), справедливо для Q{a) (x).
Мы имеем, например,
<?(о°' 0) (*) = Q. (х) = f ^р = \ Ш |±| . D.62.3)

4.62] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ВТОРОГО РОДА 89'
(Утверждение, что М2 @) Ф 0, требует дальнейшего выяснения при
а=0. Полагая х > 1 и затем интегрируя по частям, мы имеем
следовательно,
Л/2 @) = lim (ДО- Э) (*) +4 In (х- 1I
B) Теперь докажем следующую теорему:
Теорема 4.62.1. Пусть х — вещественное число, х> 1, и выбе-
выберем (х— 1)а и (х-\-1)^ так, чтобы они были вещественными и положитель-
положительными. Тогда при х—> 1+0 имеем
(х— 1)~а, а > 0,
ln(z-l), а = 0, D.62.4)
1, а<0.
Более точно:
?а-1 Г(а)Г(гс + р + 1) ( ,, -а . п
Поведение Q^f ^ (х) вблизи точки х=—1 аналогично.
Случай а > 0 вытекает из D.61.1):
+1
J
В случае сх=О мы используем D.62.1), D.62.2) и равенство Р<£* Р) A) = L
В случае сх<0 первое слагаемое в D.62.1) обращается в нуль при х->1 + 0.
Таким образом, утверждение эквивалентно соотношению ДО' Р> (х) ~ 1.
Оно непосредственно вытекает из D.61.9) при сх+р + 1 > 0. Если же
р1 < 0, то мы применим D.61.10) и покажем, что
5 [(* - I) (t + l)-p-J - t-a-*-z]dt + ^TY < 0. D.62.6)
Написав
мы видим, что D.62.6) как функция от а и р возрастает вместе с сх, если
а+Р постоянно. Но когда р стремится к —1, мы находим для левой части
D.62.2), что
~= 0.

90 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
В качестве примера приведем случай (D.62.1), D.62.3)):
№°4x) = Qn(x)=R(x)+±Pn(x)ln?±±, D.62.7)
где R (х) есть пп_г. Логарифмический множитель выбран так, что он стре-
стремится к нулю при х—>оо.
C) Теорема 4.62.2. Пусть а — неотрицательное целое число.
Рассмотрим функцию Qft* Р> (х) (вещественную и положительную при х > 1)
в комплексной плоскости, разрезанной вдоль полупрямой (—оо, + 1].
Справедливо равенство
<?#■•Р) (х + Щ - <><?• р) (х - Ю) = (- 1)«-1даР^ Э> (ж), - 1 < х < 1. D.62.8)
Это вытекает из D.62.1) и D.62.2).
С другой стороны, функция
Q(a-Э) (о?) = у {£<а. Э) (ж + Ю) + (#*•»> (ж - Ю)} D.62.9)
является аналитической в промежутке — 1 < я < + 1 и удовлетворяет
дифференциальному уравнению D.2.1). При х—>1—0 она ведет себя ана-
аналогично функции Qn"®(x)> В частности, мы находим, что для функции
Q{n'0) (x)=Qn(x) имеют место равенства
Qn(x) = R(x) + ±Pn(x)ln±±±, D.62.10)
Qn(-*) = (- i)n+1Qn(^), - К х < +1 D.62.11)
lim Qn(x)=+oD. D.62.12)
Здесь IV(x) имеет тот же смысл, что и в D.62.7).
Вообще, если а и р оба целые, то функция Q&* Р> (х) регулярна
и однозначна во всей плоскости, разрезанной вдоль отрезка [—1, +1].
D) Функции второго рода удовлетворяют той же рекуррентной фор-
формуле, что и Р^'^(х) (см. D.5.1)), а именно:
jfn-2 (#;» Я — Z, O, 4, ...
D.62.13)
Это вытекает из D.62.1), если учесть C.5.3) и теорему 3.5.1. Имеется,
однако, существенное отличие при п = 1. Тогда в соответствии с D.62.1)
мы имеем
.^^Р)(ж) = у[(а + р + 2)ж + а-Р]^а|Э)(ж)-
-2а+*-1 (а + р + 2) Г(г+^р|Р2}1} (х- 1Га(х + 1)"э. D.62.14)
Следовательно, обе системы функций (см. D.3.3)):
_!
D.62.15)
удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле типа C.2.1) прк
п > 1, если мы положим
P-i(*) = 0, 9-1 («) = (ж — l)"e (ж + 1)~э. 0.62.16;

4.7J УЛЬТРАСФЕРИЧБСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ 91
Итак, процесс, подобный примененному в §3.2, B), при гс>1 дает
К Pn+i (х) Чп (У) — Рп (х) Яп+г (У) _
^n+1 x У
= Рп (х) Яп (У) + -х11 Рп {Х) Чп~х {y)xZРп'г {Х) Яп {У) у D.62.17)
где кп означает коэффициент при хп в нормированном многочлене рп(х).
Эта формула будет справедлива и при п — 0, если мы ее видоизменим сле-
следующим образом:
^рЛ*)чЛу)-рАх)чЛу) ^ро{х)qo{y) + C0DSt. я-Лу) я D.62.18)
Суммируя, получаем важный результат:
у 2v+a+P+l Г(у + 1)Г(уЧ-а+Р + 1) pia.^^Qia^)^^
— 1 (у—i)~a(y+i)~p i
Р I
2~а—Р Г (и-|-2) Г (/i-(-a-f-P-(-2) ^n+i (ж) Qn ' (^/) ^п ' (х) Qn+i (^/)
D.62.19)
Множитель -^- в правой части может быть найден подстановкой тг = О,
умножением на ya+P-И, переходом к пределу при у—> со с последующим
применением D.61.5).
Мы вернемся к этой формуле в § 9.2, где она будет использована
в классическом вопросе о разложении функций в ряды по многочленам
Якоби или по функциям Якоби второго рода.
4.7. Ультрасферические многочлены
A) При a = Р многочлены Якоби Р(па' ^ (х) называются ультрасфериче-
ультрасферическими многочленами1). Обычно применяются следующее обозначение и
нормирование:
ГBа + 1)
Здесь мы сначала предполагаем, что a > — 1, т. е. Л>—у. Важными
частными случаями являются (см. A.12.3))
(I)
Рп2 (z) = Pn(z), PP(x) = Un{x). D.7.2)
Если сс= — -S-, т. е. ?t = 0, то многочлен Р^ (х) тождественно равен нулю
при гс>1. Этот случай будет рассмотрен ниже (см. D.7.8)).
а) Иногда их называют многочленами Гегенбауэра. См. его статьи [1] — [7];
см. также Гейне [3], том 1, стр. 297—301, 449 — 464.

92
МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
[Гл. IV
Отметим некоторые формулы и теоремы, которые могут быть полу-
получены непосредственно из общей теории многочленов Якоби, если поло-
1 1
D.7.3)
D.7.4)
D.7.5)
№(-*) = (- 1)пР(п] (х),
A - ж2) у" - BЯ, + 1) ху' + п (п + 2Х) у = 0, г/ = I*» (х),
D.7.6)
Последняя формула определяет Р^ (х) при всех значениях к. В случае
необходимости при некоторых значениях Я, скажем к = к0, формула
может быть истолкована как предел1) при к—> А,о. При к——т, т—0, 1,
2, ..., мы имеем, очевидно (см. первую формулу D.7.6)), Р^ (х) == 0, если
п > 2т?£. В этом случае существует предел
о Bm)! (л —2m—1)!
= 2^—-~^ '-
-rn, п-2т; —
1 1 —а:
Полученные многочлены с точностью до постоянного множителя снова
будут многочленами Якоби Р^9 а) (х),а= —т — -^-. Например (см. A.12.3)):
lim k~lP^* (х) = — Т (х) п !> 1 D 7 8)
В случае а= — Z, (гс+1)/2</<гс, многочлены Р^' а) (х) тождественна
равны нулю (см. § 4.22, C)). Однако соответствующее предельное выра-
выражение для Р^ (х) имеет смысл и отлично от нуля.
B) Отметим дальнейшие формулы, содержащие
lim х-пР^(х) = 2п
D.7.9)
(,), D.7.10)
, D.7.11)
х) Это относится также ко всем формулам, которые получаются как след-
следствие D.7.6).

4.7]
УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
1 ,
93
-1
D.7.13)
D.7.14)
D.7.15)
ГBЛ)
«=о
2
= 2'
)(х) = 2(п + X— l)xP{n-i (х)-(п + 2Х-2)Р%
л = 2, 3, 4, .. .,
D.7.16)
D.7.17)
D.7.18)
v=0
C) Вторым решением уравнения D.7.5), которое линейно независимо
М(х)% будет (см. D.23.1), D.23.3), D.61.1), D.61.4), D.61.5)):
F{ -
1 — i
у = A —:
п
~2
D.7.19)
D.7.20)
i/^i1—:
^
= Const. ( 1 — ;
-1
2) Применяем A.7.3) при гс = 2. В предельном случае, когда X -> 0, гс>1, мы
умЕюжаем D.7.15) на Аг2, а затем устремляем X к нулю (см. D.7.8)).
2) При Х = — п——, —п—^, ... это будут многочлены, линейно независимые
от Р^> (яг) (см. § 4.23, A)).
3) См. § 4.23, B).

94 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл.
4 4-*
I
, ( D.7.22)
В соответствии с теоремой 4.23.2 общее решение уравнения D.7.5) будет
многочленом тогда и только тогда, когда X—т> является целым числом
D) Для определения ультрасферических многочленов часто приме-
применяется производящая функция, существенно отличная от D.7.16) (см^
задачу 16) и притом более простая, а именно:
+ Р{Р (x)w + P$] (x)w2 + ... +P(n\x)wn+... ^(l-
D.7.23)
Для доказательства рассмотрим рекуррентную формулу D.7.17), из кото-
рой следует равенство
оо
2 nP%)(x)wn-l = 2x 2
Tl=l 71=1
_ f (n
n=l
где мы приняли P^\ (r) = 0. Если мы обозначим левую часть D.7.23)
через h(w), то последнее уравнение может быть записано в виде
/г' (ш) - 2хт^-ь {wKk (w)}' -ю2^ {w24 (w)}' =
= 2х {Xh (w) + whf (w)} — {2Xwk (w) + w2h' (w)} y
откуда
h'(w) _ 2%(x — w)
h(w) 1 — 2xw-\-w2
Так как h @) = P^ (x) == 1, то D.7.23) получается интегрированием.
Дифференцируя D.7.23) по параметру Л, получаем выражение
-(l-2xw + w2rxln A —2аш + ш°), D.7.24)
которое при Я= — га, га = 0, 1, 2,..., будет производящей функцией для
многочленов D.7.7), если только члены этого ряда рассматривать, начи-
начиная с п > 2га. Эти многочлены, как отмечено в A), являются с точностью-
до постоянного множителя многочленами Якоби Р(£'а)(х) приа= —га—^ .
Многочлены степени гс<2га, определяемые этой новой производящей
функцией D.7.24), существенно отличны от многочленов Р„ (д:), кото-
которые получаются как соответствующие члены ряда D.7.23). Мы имеем,
!) Формула D.61.5) была рассмотрена только при ограгтичении а>—1, р>—1^
Мы, однако непосредственно видим, что, за исключением указанных значений X,
функция D 7 22) является решением, которое ~~ х~~п~~ х при х -* оо, следовательно»
оно не может быть многочленом.

4.7] УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
например (см. D.1.7)):
95
n=l
2 2
n=l
"Я" 1-3.. .Bл—d
- A — 2жш + w2) In A - 2xw + w2) =
n=3
2.4...Bra-6) nl~2'
1.3...Bл—3) n
3 3\
Л. = |
D.7.25)
= -!. D.7.26)
E) Из D.5.5), D.5.6), D.5.7), D.7.14) мы получаем соотношения:
2X-l) P%li (x) =
= (n + 2k) xP^ (x) - (n + 1) />$! (x) =
= 2ЯA-ж2)^+11)(ж), n>0, ^
Мы мон<ем отсюда получить следующие тождества
= 0. D.7.27).
D.7.28)
Складывая эти формулы и учитывая D.7.14), находим
L (х) - P(n±i (х)} = 2 (я + Я) рМ (х) =
, ^(х) = 0. D.7.29)
F) Наконец, укажем несколько специальных формул, содержащих
гипергеометрические функции. Комбинируя D.1.5) и D.21.2), мы получаем
D.7.30)
= (-l)v2A,(v+X)*Jp( -v, v
Первое из этих тождеств мы можем получить непосредственно, если напи-
напишем

"96 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
Постоянные множители могут быть вычислены подстановкой х=1 и срав-
сравнением старших коэффициентов (или же вычислением P^i @) и P2v+i @)
по формуле D.7.23)).
Можно последнюю часть D.7.30) записать также следующим образом:
т
Это последнее выражение — явная запись ультрасферических многочле-
многочленов (см. задачу 15).
Формулы D.1.5) могут быть доказаны из более общих соображений.
Например, в первом случае мы можем исходить из соответствующих диф-
дифференциальных уравнений
A — х2) у"- 2 (а + 1) ху' + 2v Bv + 2а + 1) У = 0,
и доказать соотношение y(x) — zBx2—1) между их общими решениями.
Это рассуждение устанавливает одновременно соотношение, аналогич-
аналогичное D.1.5), между решениями уравнений D.7.32), которые не являются
многочленами. Для того чтобы получить более определенный результат,
заменим величины п, а, р, х в выражении D.23.3) сначала соответственно
1 1
через v, —к-, а, 1 — 2х2, а затем через v, + -к- , а, 1 — 2х2; мы получим тогда
{во втором случае после умножения на х)
D.7.33)
в качестве второго решения уравнения D.7.5), которое линейно неза-
независимо от i^Oc), если Я^ — l(n+l)/2]—k, Л=0, 1, 2,...
Исходя из первой формулы D.7.21), мы находим с точностью до пос-
постоянного множителя
+1 1
4*
v=0
ж 2j ^ 2v
v=0
D.7.34)
Относительно дальнейших свойств ультрасферических многочленов
читатель может обратиться к книге Уиттекера иВатсона[1],
часть II, §§ 15.5, 15.8, и к литературе, указанной там; см. также В а н-
г е р и н [1], стр. 730—731. Функция, обозначенная через С%(х) у этих
авторов, совпадает с Р^ (я) в наших обозначениях. Присоединенная функ-
функция Лежандра Р™(х), га — целое (см. Г о б с о н [1], п. 54), может быть
записана в виде (см. D.21.7))
Р™(х) = const. (l-x^Tpt™* j) (Xy D.7.35)

4.8]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА
97
4.8. Интегральные представления многочленов Лежандра
В важном случае а=$=0, т. е. для многочленов Лежандра, метод
§ 4.6 ведет к различным интегральным представлениям. В соответствии
с D.6.1) имеем
D.8.1)
~~2т ) V 2 t-x ) t-x '
где точка х лежит внутри контура интегрирования; в данном случае рас-
расположение точек t=jzl относительно этого контура не существенно.
A) Интеграл Дирихле — Мелера. (См. Дирихле [1], Мел ер [5].)
Пусть х лежит внутри промежутка (—1,1), так что х= cos 0, 0 < 0 < я.
В качестве пути интегрирования выберем окружность
= | в1'* - 11 - 2 sin ~ , t = 1 + 2 sin.4
D.8.2)
тогда
1 ^—
2 г —cos 6 "
D.8.3)
Пусть теперь г[) изменяется от — я до + я, тогда 1 -|- sin -^е1^ описывает
малую окружность (см. рис. 3). Выражение, стоящее в правой части
D.8.3), по абсолютной величине равно единице, а аргумент его равен
удвоенному аргументу чис-
числителя. Поэтому, если мы
положим
t2~i i(P
—
2 *-
8
то величина ф изменяется
от — 6 до +0, а затем от
+ 0 до —0. Решая D.8.4)
относительно t, получаем
гф
£ = ei(P-f e2 Bcoscp —
-2cos6)i D-8-5)
Здесь положительное зна-
1 Рис. 3.
чение ( J соответствует
случаю |г|I < (я + 0)/2, т. е. «внешней» дуге, в то время как отрицатель-
отрицательное значение соответствует случаю | г[) | > (я + 0)/2, т.е. «внутренней»
дуге. Кроме того, из D.8.4), следует, что
t dt = e!(P dt + (t — cos 6) iei(P с?ф;
отсюда
гф
dt
t — cos I
B cos ф — 2 cos 6)"
7 Г. Cere

98 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
Окончательно имеем
Pre(cos6)= ^ j . , Г2-
~~е B cos ф —2 cos бJ "I 9 —B cos ф —2 cos бJ
или
в cos
/>n (cos 6) = ~- ^ * У t с?ф, D.8.6)
-° B cos ф —2 cos бJ
где квадратный корень из 2 cos ф —2 cos G берется с положительным зна-
знаком. Это первая формула Дирихле — Мелера. Подставляя я—0 вместо О
и учитывая D.1.3), получаем вторую формулу
Рп (cos 6) = -^ \ ^ ±-1—_ d<f. D.8.7)
9 B cos 6 —2 созфJ
B) Первый интеграл Лапласа. (См. Уиттекер и Ватсон [1 ],
часть II, § 15.23.) Пусть х — точка, отличная от ± 1; выберем в качестве
контура интегрирования окружность
I / /г I ,,,2 4 2 //, Q Q\
\1 — ОС I — X — 1 . D.0.0)
Полагая £=;г+(;г2—IJ e{v с произвольным, но определенным выбором
(х2—IJ), мы находим
= Х-]-(х2—1J со8ф, = i с/ф. D.8.9)
Следовательно,
1 я 1
с -(- (х2 — IJ cos ф}п о?ф. D.8.10)
Это выражение называется первым интегралом Лапласа. Оно справед-
справедливо при любых значениях х.
C) Второй интеграл Лапласа. (См. Уиттекер и Ватсон
[1], часть II, § 15.23; Я к о б и [2], стр. 153.) Этот интеграл имеет вид
+я
1 V f, , / 2_/|^
'"^ф. D.8.11)
о
Он может быть выведен из первого интеграла Лапласа следующим обра-
образом. Пусть 0<г<1; положим
1"'2' Х ~Ч-'*' D.8.12)
x + (a;2-lJcos(p = (l-/-2)| l+rz\2, z = e^,

4.8] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА 99
тогда
Далее, подставляя
Z —
1 — rw
мы получаем *)
-1 \
12 1 = 1
1 —г2 dz
1 -
1—7
л'^ 2я J
A — rwJ
dw
D.8.13)
D.8.14)
D.8.15)
Подставляя затем w=—ei(P', мы получаем D.8.11). Осуществляя анали-
аналитическое продолжение, можно непосредственно распространить эту фор-
формулу на любые комплексные значения х.
D) Как частный случай D.4.9) отметим следующее представление:
~
2dw.
D.8.16)
Интегрирование ведется в положительном направлении по кон-
контуру, содержащему точку w=0, но не содержащему точек e±iB. При
подходящем выборе контура из D.8.16) мож-
можно снова получить формулы D.8.6) и D.8.10)
(см. Полна и Сегё [1], часть I, отдел
III, задача 157).
E) Интегральное представление Стил-
тьеса (Стилтьес [8]). Допустим, что
0 < 6 < jt. Это важное представление может
быть получено из D.8.16), если интегриро-
интегрирование осуществить по контуру, изображен-
изображенному на рис. 4. (Вывод этого выражения из
формулы D.8.1), по-видимому, слишком сло-
сложен.) Так как подынтегральная функция есть
О (w~n~2) при w~>оо, то слагаемое, соответ-
соответствующее окружности большого радиуса, Рис 4
стремится к нулю, когда радиус стремится к
бесконечности. То же имеет место для слагаемых по маленьким окружно-
окружностям с центрами в точках e±ie, поскольку на них подынтегральная функция
есть О (\w — e±i*\ 2)* Следовательно,
\
—
- 2wcos 6 -f
где интеграл берется дважды вдоль прямой w=r]eB, t возрастает от 0
до 1, а затем убывает от 1 до 0. Мы имеем
J) Относительно этого рассуждения см. Сегё [21].

100 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Тж. IV
где знаки + и — соответствуют первому и второму случаю {(l—t) 2 =
~A —£e~2i0) 2= 1 ПрИ г—0]. Таким образом,
V ГA-0 2(l-te24) 2dt\ U8A7)
b} J
F) Дальнейшие интегральные представления получаются заменой п
в D.8.1) на —п—1 (см. D.6.4)) с учетом условий (а), (Ь), формулирован-
формулированных в § 4.6 (здесь нужно рассматривать выражение A — t*)~n (t—x)n~l).
Мы имеем
<48Л8>
Интегралы этого вида могут представлять как многочлены Лежандра,
так и функции Лежандра второго рода, а также их линейные комбина-
комбинации в зависимости от выбора пути интегрирования.
Применяя тот же контур, что и в пункте A), мы снова получим инте-
интеграл Дирихле — Мелера D.8.6), так как выражение в правой части не
меняется при замене п на —п—1. Эта же подстановка преобразует пер-
первый интеграл Лапласа D.8.10) во второй интеграл Лапласа D.8.11)
и обратно. Выбирая контур в D.8.18), как в пункте B), мы получаем вто-
второй интеграл. Выражение в правой части D.8.11) не может представ-
представлять решение, отличное от Рп{х), так как оно конечно и равно +1
в точке х=-\-\.
4.81. Функции Лежандра второго рода
A) Пусть точка х лежит в комплексной плоскости, разрезанной
вдоль отрезка [—1, +1], и пусть
Мы деформируем путь интегрирования в D.61.1) в дугу окружности,
проходящую через точки —1, z, +1 (см. Уиттекери Ватсон [1],
часть II, § 15.31, пример 1). Эта деформация допустима, так как sign$;r=
= —sign$z. Тогда
1 t2—! dt
D.81.1)
Новая переменная t вещественна и изменяется от — оо до +оо; далее,
(х2—1J^х при х—>оо. Это дает следующее интегральное представление
Q\i 'Q) (x)=Qn(x), которое весьма сходно со вторым интегралом Лапласа:
Ых, D.81.2)

4.82]
ОБОБЩЕНИЯ
101
B) Пусть #—вещественное число, х>1. Положим x—cht,, t, > 0.
Сделаем в D.81.2) следующую подстановку:
dx
Bch8 —2ch£J
D.81.3)
тогда получим
D.81.4)
Bch6 —
В этой формуле (В а т с о н [2], стр. 154) мы сначала предполагаем, что
С > 0. Посредством аналитического продолжения она может быть рас-
пространена на полуполосу A.9.3). Путь интегрирования представляет
собой горизонтальную прямую 910 > 9i£,
5 6 > S £ • Эта формула соответствует формуле
Дирихле — Мел ера.
4.82. Обобщения
A) Обобщение интеграла Дирихле — Ме-
лера. (См. Фейер [12].) Путь 0<е<я,
0<А,<1, С помощью производящей функции
D.7.23) получаем
/w> (cos 6) = -2~р \ W71'1 A - 2о> cos 0 + w2)~xdw.
D.82.1)
Здесь мы выбираем в качестве контура интегрирования единичную
окружность | w | = 1, из которой удалены точки w = e±iQ (рис. 5); в окрест-
окрестности этих точек подынтегральная функция есть O(\w — £±ie|~~*). При
w = ^i(P, 0 < ф < 8, мы имеем
A — 2w cos 6 + ay2)"* = е-"Шр (м; — 2 cos 0 + w)~K = е~^ф B cos ф — 2 cos 0)"я ,
а при w = е{ч>, 0 < ф < л, имеем
A — 2w cos б + оу2Гя = в-^(ф-я) B cos б — 2 cos ф)~\
следовательно,
е
РЫ (cos 8) - 294 |-2~- \ в-^+^Фв-^ф B cos ф - 2cos д)~к ie^ dq>+
Рис. 5.
Отсюда
£> (cos 6) = п'1 ^ F (ф) | 2 cos ф - 2 cos 0 |"я
/•D.) =
при 0<ф < 0,
cos [(п + X) ф - Хп] при 0 < ф < я.
D.82.2)

102 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
Выражение, получающееся из D.82.2) при Я = у, есть полусумма выра-
выражений D.8.6) и D.8.7).
B) Обобщение интеграла Стилтъеса. (См. Стилтьес; Эрмит-
Стилтьес II], том 2, стр. 122, п. 284.) Если мы выберем в D.82.1)
тот же контур, что в § 4.8, E), то рассуждение, подобное проведенному
там, приводит к представлению
1
J ' D.82.3)
I F) = (п + 2Х) 6 4 (у - А,) л, 0 < 6 < я, 0 < I < 1. I
Формулы § 4.8, A) и B) могут быть обобщены на многочлены Яко-
би Ptf> & (х) при целых значениях а. Однако окончательные выражения
будут гораздо сложнее.
Отметим, наконец, следующее обобщение формулы D.81.2), полу-
получающееся из D.61.1) способом, подобным примененному в§ 4.81, A)
(те же обозначения, что и там):
-foo \
}> D.82.4)
функции, входящие в D.82.4), надлежащим образом определены.
4.9. Тригонометрические представления
A) Конечное представление многочленов Лежандра в виде косинус-
многочленов. Из производящей функции D.7.23) при ^ = -9- мы получаем
m=0 m=0 ~"
где
g =1 g =b3"'Bm-^1) m=l 2 3 D 9 2)
m 2 • 4 ... 2 w ' '
следовательно,
n n
?n=0 m=0
= 2 ^m^fl-m COS (П - 2/и) в = 2^ogn COS ^6 + 2^^ COS (/I - 2) в f . . .
2g(n-i)g(n+i)cose при п нечетном,
2 2 2 D-9-3)
^ при 72 четном. v '

4.9] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 103
Итак, Рп (cos Э) — тригонометрический косинус-многочлен с неотри-
неотрицательными коэффициентами.
Соотношение D.9.3) может быть записано с помощью многочленов
Чебышева
Рп И = 2g0gnTn (х) + 2glgn_±Tn_2 (x)+...
2g(n-p g(n+ РТЛХ) ПРИ п нечетном,
2 2 2 D-9.4)
g£ при п четном.
B) Разложение многочленов Лежандра в бесконечный ряд по синусам.
(См. Гейне [3], том 1, стр. 19, 89.) Мы имеем
...+ /v sin (n + 2v + 1) 8 + . ..}, D.9.5)
/q— 1» /v == /vn — ^v
При п=0множитель B-4 ... 2/г)/C-5 ... B/г+1))"следует заменить единицей.
Преобразование Абеля (§ 1.11, D)) показывает, что этот ряд сходится при
0 < 9 < я и притом равномерно на отрезке е<9< я— е, 0<е<-^-
Сходимость может быть также установлена с помощью основ
теории рядов Фурье. Действительно, D.9.5) является формальным разло-
разложением функции Рп (cos 9) при 0 < 9 < я и функции — Рп (cos 9) при
— я<9<0 (см. ниже). Этот ряд является обобщением классического
ряда (га=0)
л sin 8 sin 38 sin58 , .. п ^ч
X = -!- + —3- + -5-+-" D9-6)
Первое доказательство (см. Гейне [3], цитированное место; см.
также Ф е й е р [20], стр. 24—26). Применяя обозначение A.12.3),
имеем
я +1
$i>n(cos6)sin(m + lNd6= \Pn(t)Um(t)dt. D.9.7)
о -1
Этот интеграл обращается в нуль при т < /г, а также при /гг>тг, когда
m—/г — нечетное число. Полагая /n=/2+2v и учитывая D.9.3), находим
г —2Л:
Г 2j i • D.9.8)

104 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
Рассматривая v как непрерывную переменную, мы легко проверяем
с помощью вычетов тождество
п
I о 2• 4 . .. 2/г , , / г\ (л\
что и доказывает утверждение.
Второе доказательство. (См. Ф е й е р [19], стр. 202—203.) Разло-
Разложение в ряд последнего множителя в подынтегральной функции в D.8.17)
дает
т=0
где gm имеет то же значение, что в D.9.2). Последний интеграл может
быть вычислен посредством A.7.5), и утверждение этим будем доказано.
Третье доказательство. Применим полную индукцию по п. Учитывая
рекуррентную формулу для Рп (х) ( D.7.17), А, —— ), достаточно пока-
ч ^ у
зать, что
ПЪ 1 /vn = /v,n-l + /v-f-l,n-l -/v+l,n-2, D.9.11)
Л, А Л О и 19 4 • i . - Г)
V — U, 1, 4, •••? Ait — 1, ^, О, ..., /v+l , — 1 — ^*
При п = 0 имеем D.9.6). Тождество D.9.11) может быть проверено непо-
непосредственным вычислением.
Примечание. Формула D.9.5) тесно связана с некоторыми
рядами для функций второго рода. Из D.61.4) при а = |3 = 0 имеем
^'0)(*) = en(*) = 4- \ ^%-dt. D.9.12)
2
Если мы подставим x — ~(w-\-w1) (см. § 1.9), то функция
Qn\~2 (w + w г)\ будет регулярной при |ш|<1, хюф-^l. Применяя
D.7.23) при Я=1, мы получаем для |ш|< 1 соотношение
(t)ur}dt,
+ 1 +1
-1 -1 m=0
следовательно, в силу D.9.7), D.9.8) и D.9.9) имеем
, \w\<i. D.9.13)
Пусть \w\ < 1, ^—>е10, 0 < 0 < jt. Тогда у(г^ + г^ х) —> cos0— i0
и имеем
оо
го/ о.-
0<б<л. D.9.14)

4.9] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 105
(Мы использовали при этом выводе сходимость последнего ряда и тео-
теорему Абеля о непрерывности; см. Титчмарш [1], § 1.22.) Заменяя г
через — i, мы получаем
(?n(cos8 + i0) = 2 3 ^* {2n + l) 2j Ue~^+2^)\ 0 < 0 < л. D.9.15)
Отсюда снова можно получить D.9.5) благодаря D.62.8) при а=|3 = 0.
Применяя D.62.9) при а = |3 = 0, мы находим (см. Гейне [3], том 1Г
стр. 130):
% lH, 0<6<jt. D.9.16)
Другой вариант этих рассуждений (см. Го б с о н [1], п. 36) состоит
во введении x = -7T(w + W1) и y = wn+1z в D.2.1). Тогда z как функция
otw2 удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному уравнению,
из которого снова вытекает D.9.13), а следовательно, также и D.9.5).
Мы заключаем из D.9.9), что последовательность {/v} вполне монотонна
(см. § 6.5, D)).
C) Другое тригонометрическое представление многочленов Лежандра
(см. Стилтьес [7], [8].) Исходя опять из формулы D.8.17), напишем
2=eU
=e
Следовательно, при 2sin0>l будем иметь
Рп(созе) = |з{е^+1)ве ^ ^Bgine) ^ gv^—- 5
v=0 ^
ИЛИ
2.4-2.
^/c D917>
-з.5...Bn+i) ^ ^Л ' D-J-u>
v=° B sinB) 2
где
13 / 1\
-2 •••( V~T )
A = l h = h = g рг, v = l, 2, 3, ... D.9.18)
4-++)
Ряд D.9.17) сходится при -^- < 0 < — . Важность этого ряда будет выявле-
выявлена более полно при исследовании асимптотического поведения P^(cos9)
при больших значениях п (§ 8.5). Относительно связи этого представления
с представлением Гейне D.9.5) см. Стилтьес [8], стр. 244.
D) Ультрасферические многочлены. Из D.7.23) мы получаем, приме-
применяя тот же способ, что в A), формулу
$> (cos 0) = 2аоад cos гс0 + 2а1а„_1 cos (п — 2) 0
Г 2a(n_1)/2a(n+1)/2cos0 при п нечетном,
• • • ~\~ Jo (т'.У. !«./!
( ап/2 при п четном,

МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
где ал — коэффициенты ряда
A - и)~к = а0 + аги + а2и2 + . . . + ociLun + . . ., D.9.20)
следовательно,
<**=(" ' п j, и = 0, J, 2, ... D.9.21)
Здесь случаи А, = 0, —1, —2, ... должны быть исключены. В частности,
если К > 0, то коэффициенты ап положительны, и Р^ (cos0) есть тригоно-
тригонометрический косинус-полином с неотрицательными коэффициентами.
Аналогичным образом может быть обобщен ряд D.9.5). При ^>0,
Я Ф 1, 2, ..., 0 < 6 < я, мы имеем (см. С е г ё [19], стр. 508—509)
2 — 2 Я, °° ^
(sin 6JX-W (cos 0) = ^jr r^lt+l 2 ДХ) sin (* + 2v + !) 9' I
Zj
* k) _. i. /a) — /(я,) — ~ ;
_ A — k) B — K) ... (v — k) (уг-f-l) (уг-f 2).. .(гг-f-v) _ /i о о '
"" 1-2 ... v (n^rk+i){n-\-k+2)...(n + kJrv) » v — A» ^» ^ ■ • • J
D.9.22)
Обобщение третьего доказательства, данного в B), особенно просто.
При га — О имеем
-- °°
(sin ОJ^ = 2л; 2 Г Г Я + ~2j 2 "
v=0
в чем можно убедиться различными путями (см. Уиттекер и Ват-
с о н [1], часть II, глава 40, задача 40; указанную там формулу нужно
умножить на cos о:, а затем подставить а:=—— q, s — 2Х — 2).
Другим обобщением D.9.5) является следующая формула:
2 ^ r'ci+lS+i)cos ^n+2v+2l) e -
о<^<1? о < е < л;.
Этот ряд легко выводится из представления D.82.3) посредством рассу-
рассуждений, примененных во втором доказательстве, данном в B).
Обобщением ряда D.9.17) (см. С е г ё [17], стр. 57—60) является
X
X
cos {(rc+v+A) о — (v + k)-^\ D.9.25)
B sin 8)V+A
0<Х<1, -Q-<b<-Q-. J
Этот ряд выводится из представления D.82.3) посредством тех же рас-
рассуждений, которые применялись в C).

4.10] ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ 107
4.10. Дальнейшие свойства многочленов Якоби
A) Формула Родрига. Следующее выражение является обобщением
формулы Родрига D.3.1):
~ 2mn{n-i) ... (п-
Здесь п> т. Доказательство подобно данному в § 4.3, A).
B) Интегральное представление улътрасферических многочленов.
(а) Комбинируя D.1.5) и D.3.2), мы находим
-v, _v + 4;a+l; 1-аг
v, -V—i; a+1; 1-
Таким образом, учитывая D.7.1) и D.7.3), имеем
D.10.2)
sin2^-1 ф я?ф. D.10.3)
* ' о
Мы использовали A.7.3) при п = 2 и A.7.5). Это обобщение D.8.10)
справедливо при X > 0 (см. Гегенбауэр [1], Зейдель—Сас[1]).
(Ь) Другим замечательным интегральным представлением, справедли-
справедливым при неотрицательных целых значениях X— — » является следующее:
Г(* + 2^) х
я 1_ _1
X J_ \ [х-{-(х2—1Jсозф} 2 cos ( Х—-К- jcpdq). D.10.4)
л: б
Для простоты мы полагаем здесь, что я > 1, (х2— IJ > 0.
Для доказательства мы используем равенство D.4.6), где в качестве
контура интегрирования выбрана окружность D.8.8). Так как
I 1
■/ и \ - .. У [ 'V* ы Л \ л % CD Г /у> I А /у» м 1 \ Л/лс ГП (.
то f a = Л— у
+ I 1
= J_ С {.г + (Х2 _ IJ cos фГ+а {2 (д;2 --1J
—Я
что легко дает D.10.4).

108 МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ [Гл. IV
C) Производящие функции, (а) Приведем следующее небольшое видо-
видоизменение рассуждений § 4.4, C), с помощью которых устанавливается
справедливость формулы D.4.5) для производящей функции F(x,w).
Пусть — 1 < w < 1; напишем D.4.7) в виде
x = t + ±w(l-t2), D.10.5)
так что х и t описывают отрезок [—1, 1] одновременно. Используя формулу
D.4.7) и две первые из формул D.4.8), мы находим
так что для любого целого неотрицательного п имеем
-1 -1
т. е. многочлен степени п относительно w. Это доказывает, что коэффи-
коэффициенты ряда F (х, w) с точностью до постоянных множителей должны
быть многочленами Якоби. Эти множители могут быть определены, если
положить x—i.
(b) Для ультрасферических многочленов известна следующая про-
производящая функция:
n=0
~ ZJ
п_
= 2 2T(^X^~^exw[(l-x2Jw}2 J^^{l-x*fw]. D.10.6)
Эта формула отличается от D.7.16) и D.7.23). Полагая в D.10.6) Х--=^- +
La
для многочленов Лежандра получаем
оо 1
V ^n^lwn = exwjo[(l— x2fw]. D.10.7)
n=0
Для доказательства D.10.6) мы применяем D.10.3); для левой части
D.10.6) мы получаем
\ ехр [ш {^ -f- (х2 — IJ cos ф}] • sin2^ ф с?ф =
о
2_ exw х iv — \ cos2rn ф sin2^ ф б/ф;
^-J Bm)! J Y T Y?
последнее выражение легко отождествить с правой частью D.10.6).
Относительно дальнейших формальных свойств многочленов Лежан-
Лежандра и ультрасферических многочленов см. Б э й т м а н [1], том 1, глава 3
и том 2, глава 10; см. также задачи 61—66, 69—71, 84.

ГЛАВА V
МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА
Многие из свойств тех многочленов, которые мы будем рассматривать
в этой главе, весьма сходны со свойствами многочленов Якоби и более
или менее им аналогичны. Вследствие этого мы будем кратки и опустим
детали, за исключением тех случаев, когда разница в утверждениях или
в доказательствах столь значительна, что подробное изложение необхо-
необходимо. Здесь, как и в случае многочленов Якоби, мы не остановимся на спе-
специальных проблемах (нули, экстремумы и т. п.), которым будут посвя-
посвящены дальнейшие главы.
5.1. Элементарные свойства многочленов Лагерра
A) Мы определим многочлены Лагерра {L^x} при а > — 1 следую-
следующими условиями ортогональности и нормированное™:
nfn, n, #и = 0,1, 2, ... E.1.1)
Кроме того, мы предположим, что коэффициент при хп в многочлене L^° (x)
степени п имеет знак (—1)п. (Это допущение отличается от условия (а)
в определении, данном в § 2.2.) Мы полагаем также Z4O) (x) ~Ln (x).
Здесь уместно сделать следующие литературные ссылки: Лагранж
Ш; Абель [1], стр. 284; П. Л. Чебышев [3], § 3; Лагерр
|1], стр. 78—81 (стр. 434—437), который, впрочем, рассматривал только
случай а = 0. У Лагерра принято обозначение fn (х) = п\ Ln ( — х). В книге
Куранта и Гильберта ([1], глава II, § 9) также рассмотрен
лишь случай а=0; функции, которые там обозначены через Ln (x), в наших
-обозначениях совпадают с п\ Ln(x). Относительно общего случая L(na) (x)
см. Сонин [1], п. 40.
Мы имеем следующие дифференциальные уравнения:
= 0, м = .
' = p. 2/)
E.1.2)
Пусть опять а> —1. Тогда рассуждение, аналогичное проведенному
в § 4.2, B), показывает, что необходимым и достаточным условием для

110 МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА [Гл. V
того, чтобы уравнение
ху" + (сс+ 1 - х) у' + Ху = 0 E.1.3)
имело решением многочлен, является равенство Х=п. Единственным реше-
решением в виде многочлена является Z4a) (x). Это утверждение следует
из соотношения
и[(х) щ(х) — и1(х) и* (х) = const., E.1.4)
которое справедливо для двух любых решений третьего уравнения E.1.2).
Фактически это рассуждение дает даже несколько больше: при а > — 1
многочлен Ln {х) является единственным решением уравнения E.1.3),.
которое является аналитическим в окрестности точки х — 0.
Аналогом формулы Родрига является равенство
е-*а<и) (х) = ± ^ (е-*х" +«). E.1.5)
Для определения постоянного множителя мы применяем формулу Лейб-
Лейбница, которая приводит к E.1.6), и находим старший коэффициент в пра-
пой части. Далее, имеем явное выражение
L%)(x)= У (п + аУ—?1 , E.1.6)
v=0
откуда
E.1.7)
;«Х) ( — 1)" /г | оч
п = —п\— ' @.1.о>
где ffl — коэффициент при хп в Ln(x). Производящей функцией будет
[Т (х) + Ma) (x)w+...-]- LLa) (x) wn + .. . =
Справедлива рекуррентная формула
«Lia) (ж) = (- Ж+ 2п + «- 1) Ua-i CO - (и f a- 1) /4°-2 W |
л = 2, 3, 4, ..., E.1.10)
Для ядра -Kn (^i ^/) находим следующее выражение:
Г (а+ 1) К^ (х, у) = 2 {(V J-")}^ И ^ (У) =
0
v=0

5.2] ОБОБЩЕНИЕ 1'] t
Частый случай у = 0 особенно важен:
п
(см. теорему 2.5). Наконец, из E.1.6) или E.1.9) мы легко получаем
^/j i-/v \Х) z= JUn \JL ), @.1. Jo^
^ П / f5 1 14)
B) Теорема 5.1. Пусть Ja имеет тот же смысл, что с § 1.71.
Тогда справедливы следующие соотношения:
= Г (а + 1) A - шГ1 ехГ {-(х+у) ^} (- xywf Ьа \А^] \ E.1.15)
и
EЛ-16>
См. С о н и н [1], п. 40, Вигерт [1], Хилле [2], Хард и [1],
Когбетлянц [12], В а т с о н [4]. Первая формула является обоб-
обобщением E.1.9) (у=0). Вторая формула получается из первой заменой w
на — y~lw и переходом к пределу при у —> со.
Прямые вычисления легко приводят к формуле E.1.16), если
учесть E.1.6). Формула E.1.15) вытекает из E.1.16), если мы введем
для L(rla) (у) его интегральное представление E.4.1) и затем почленно
проинтегрируем.
Наконец, нужно воспользоваться одной интегральной формулой,
в которую входят бесселевы функции (см. В а т с о н [3], стр. 395, A)).
5.2. Обобщение
Посредством E.1.6) определение многочленов Лагерра может быть
распространено на произвольные комплексные значения а. При этом
степень многочлена не может понизиться (см. E.1.8)). При п> 1 мы имеем
L(aa) @) = 0 тогда и только тогда, когда а = — к, к — целое, 1 < к < п.
В этом случае точка х=0 является нулем &-го порядка и из E.1.6)
имеем
п-к
( П N(-*)V-f rxft("-*)! у (ft) /гч /соа
Формула E.1.16) справедлива при любом вещественном а. Из псе
снова вытекает E.2.1).

112 МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА [Гл. V
5.3. Вырожденный гипергеометрический ряд. Соотношение между
многочленами Якоби и Лагерра. Второе решение
A) В обозначениях Похгаммера — Барнеса вырожденный гипер-
гипергеометрический ряд определяется так:
y(Y + 1) ♦•• (Y + vlO! @.6.
v=l
Он получается из обычного гипергеометрического ряда (см. D.21.3)) сле-
следующим предельным переходом:
Y; P^). E.3.2)
Мы имеем
Aa) (reta)^(-«; a+!; x) E.з.з)
и, применяя D.21.2), получаем следующее важное соотношение между
многочленами Лагерра и многочленами Якоби:
Lia)(a;) = lim^ia'P)(l-2p-^). E.3.4)
|3->оо
При этом стремление равномерно во всякой замкнутой части комплексной
^-плоскости. Относительно дальнейших свойств вырожденных гипер-
гипергеометрических функций см. Уиттекер и В а i с о н [1], глава XVI.
Интересно сравнить уравнение (В) в книге Уиттекера иВатсона
(часть II, § 16.1) с нашим третьим уравнением в E.1.2).
B) Из D.23.1) с помощью предельного перехода, подобного приме-
примененному в E.3.4), мы получаем второе решение первого из уравнений
E.1.2):
z'Vi (— п — а; 1—а; х). E.3.5)
При нецелых значениях ос функции E.3.3) и E.3.5), очевидно, линейно
независимы. То же верно и в случае, когда а есть отрицательное целое
<—п, так как в этом случае E.3.5) является бесконечным рядом. Однако
если а целое > — п, то оба решения тождественны. (Если — п^а^О,
то применяем E.2.1). В случае a = g, g> 1, необходимо умножить E.3.5)
на a — g, а затем перейти к пределу при a—>g.)
Представление E.3.3) дает возможность распространить определение
(x) на произвольные значения п.
5.4. Интегральные представления
Теорема 5.4. Справедливо следующее представление многочленов
Лагерра через функции Бесселя:
°° a 1_
\х)~^ e-fr*Ja{2(tx)Z}dt, п = 0, 1, 2, . .., a > - 1. E.4.1)
Относительно этой формулы читатель может обратиться к Л е Р у а
[1], стр. 379—384; Э р д е й и [1]. Это же представление будет иметь
место и при а<—1, если только тг+ос> — 1. Из этого вновь выте-
вытекает E.2.1). Могут быть даны различные доказательства этой формулы.

5.4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЗ
Частный случай п=0, т. е.
2}dt, E.4.2)
может быть получен разложением Ja(z) в ряд A.71.1), а затем почленным
интегрированием (эта формула принадлежит Сонину; см. В а т с о н [3],
стр. 394, D)). Общая формула вытекает из вычисления обеих частей E.4.1)
с помощью производящей функции; при этом применяются E.1.9) и E.4.2).
Может быть дано иное доказательство, основанное на более общей точке
зрения. Попытаемся удовлетворить второе из уравнений E.1.2) интегра-
интегралом вида
4-- -
е~Ч 2Jl[{2(txy}dt E.4.3)
с надлежаще выбранным путем интегрирования. Подставляя это выраже-
выражение в левую часть рассматриваемого уравнения, мы получаем
; {2 (txJ} + (te"iJ ( х + ± ) Л {2 (txJ} +
I
\2}]dt. E.4.4)
В силу A.71.3) выражение в квадратных скобках может быть записано
в виде
-+1 —Л/а {2(teJ], E.4.5)
следовательно, интеграл E.4.4) будет равен
а 1
ж[е-Чп+2+ Ja{2(txJ}]dt. E.4.6)
Таким образом, E.4.3) будет решением E.1.2), если
(a) путь интегрирования — замкнутая кривая, причем такая, что при
а . 1
ее обходе выражение е~Н ~~2 /а {2 (txJ}
принимает свое исходное значение, или
если
(b) путь интегрирования представ-
представляет собой дугу, а выражение, упомя-
упомянутое в (а), обращается^ нуль на концах
дуги.
Для интервала 0< £<+оо условие
(Ь) выполнено, если только тг+сб+1>0.
Допуская сперва, что а>—1, мы заме-
_а Рис. 6.
чаем, что функция х 2z будет аналити-
аналитической в окрестности точки х=0, так что (см. замечание относительно E.1.3))
а
z—const. e~xx2L^ (%). Постоянный множитель может быть найден сравне-
а
нием «младших коэффициентов», т. е. коэффициентов при х2. Затем огра-
ограничение а> — 1 может быть снято с помощью аналитического продолжения.
Другое замечательное представление мы получим, выбирая контур
интегрирования, как показано на рис. 6. Условие (Ь) для него опять
8 Г. Сегё

114 МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА [Гл. Y
выполнено и такое же рассуждение, как и приведенное выше, показывает,
что z = const. е~хх*Ь^ (х). Для того чтобы подынтегральная функция была
определена, нужно соответствующим образом выбрать ta. Выберем arg t=0
на прямолинейной части контура, где 3*<0 (в ее предельном положе-
положении). Тогда «младший член» при ос> — 1 яаФ 0, 1, 2;... будет
а а
2 2
х h х
Г(а
о
= 2 sin
l sin
Г(а
и, следовательно, учитывая E.1.7), будем иметь
E.4.7)
Эта формула может быть распространена на произвольные нецелые зна-
значения а.
Дальнейшие интегральные представления можно получить из E.1.5)
и E.1.9) аналогично тому, как это делалось для многочленов Якоби
(см. D.4.6) и D.4.9)). При хфО мы имеем, например,
(Н, E.4.8)
где контур интегрирования охватывает точку t = х, но не содержит точ-
точки г = 0.
5.5. Многочлены Эрмита
A) Многочлены Эрмита определяются условиями
\ п, т = 0, 1, 2, ... E.5.1)
Коэффициент при хп в гс-м многочлене Н^ (х) выбирается положительным.
Библиография по этому вопросу имеется в работе Хилле [1].
Наши обозначения соответствуют принятым у Хилле. См. также Курант
иГильберт [1], глава II, § 9, где применяются те же обозначения.
В книге Полна и Сегё ([1] часть II, отдел VI, задача 100) через
На (х) обозначается многочлен, который в наших обозначениях равен
(^1)пB1п\у1НпB 2х).
B) Вывод следующих свойств многочленов Эрмита не представляет
трудности:
0, у = Нп(х), )
_х? [ E.5.2)
0, z = e 2Hn(x), J
(-1Г^е-*\ E.5.3)
ш
Нп(х) _ у (-l)v Bx)"-2v E.5.4)
п\ £i v! (re—2v)! '
v=o

5.6] СВЯЗЬ МЕЖДУ МНОГОЧЛЕНАМИ ЭРМИТА И ЛАГЕРРА 115
f , E.5.5)
E.5.6)
E.5.7)
Hn(x) = 2xHn_1(x)-2(n-l)HnJt{x), n=2,3,4, ... j
Я0(х) = 1, Д1(аг)=2», { E-5"8)
П
v
Bvv!)-Wv (ж) #v (г/) = B"*1!»!
v=0
Отметим следующие частные свойства:
Ип(х) = 2лНп.1(х), Hn{x)=*2xHn_1(x)-Hi-l(x). E.5.10)
Из E.5.7) мы получаем
(^) E.5.11)
v=0
и по формуле Коши имеем
E.5.12)
где контур интегрирования охватывает начало координат.
5.6. Связь между многочленами Эрмита и Лагерра
A) Многочлены Эрмита могут быть полностью сведены к многочленам
Лагерра с параметрами а= ± -к-, так как имеют место соотношения
п2т\х) — \ ~~ i) * т['Ьт \Х/' п2т+1\*)—' \ ~ l) z т- ХЬт \Х)>
E.6.1)
Эти формулы в известном смысле аналогичны формулам D.1.5). Их доказа-
доказательства подобны доказательствам, приведенным там. Отметим четвертое
уравнение из E.1.2) (cl = ±y j и второе уравнение из E.5.2).
Комбинируя E.6.1) с E.3.4), мы получаем представление многочле-
многочленов Эрмита как пределов от многочленов Якоби и вследствие D.1.5) —
как пределов от ультрасферических многочленов. Это можно вывести из
D.7.23) и E.5.7). Действительно, мы имеем
exp Bxw — ol»2)= lim С 1 — 2 "г^ + Т" ; > E.6.2)
и, следовательно,
E.6.3)
Из E 6.1) мы легко получаем явное выражение E.5.4). если учесть
E.1 6). Из теоремы 5 1 для многочленов Нп(зс\ могут быть выведены анало-
аналогичные соотношения (см. В а т с о н [5J). Производящая функция E.5.7)
8*

116 МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА [Гл. V
следует из E.1.16), в то время как производящая функция, получающаяся
из E.1.9) при а= ± у, будет совсем иной природы (см. задачу 24).
Применяя A.71.2) и E.4.1), мы получаем следующие интегральные
представления:
\ e-t2tncosBxt)dt,
6
п—четное, E.6.4)
п—нечетное.
B) Обратно, многочлены Лагерра могут в известной мере быть сведены
к многочленам Эрмита. Мы имеем (см. Успенский [1], стр. 604, A4)):
Л Т^А «>' E.6.5)
Это легко может быть доказано с помощью формул E.1.6), E.5.4) и A.7.5).
C) Мы заключим эти формальные рассмотрения следующим замеча-
замечанием относительно Тождеств D.21.7), E.1.14) и E.5.10) для многочленов
Якоби, Лагерра и Эрмита. Если ортогональные многочлены {pib(z)}>
соответствующие распределению da(x), обладают тем свойством, что
{Рп (х)} является с точностью до постоянных множителей последователь-
последовательностью того же типа (т. е. соответствует некоторому распределению d$(x)),
то последовательность {ра (х)} является (с точностью до тривиальных линей-
линейных преобразований) одной их трех упомянутых классических систем мно-
многочленов (см. Хан [3]; К р о л л [1]). Аналогичное утверждение будет
справедливо, если1 мы заменим {р^(х)} на {р№ (х)} (см. К ролл [2];
Хан [4]).
Иная проблема аналогичного характера была рассмотрена Б о х-
не р о м [1]. Он определил все последовательности многочленов {р ь(хУп
где рг (х) — многочлен точной степени п, удовлетворяющие дифференци-
дифференциальному уравнению вида
fo(x)y* + fi(x)y' + [f2(x) + b]y = O, у = рл(х), К = Кп. E.6.6)
Бохнер получил, кроме классических многочленов, еще некоторые мно-
многочлены, связанные с / i (ж), п-— целые, а также многочлены тривиаль-
ного типа ахп-\-Ьхт, где а и fc — постоянные.
5.7. Замкнутость
Здесь мы докажем для многочленов Лагерра и Эрмита теорему, ана-
аналогичную теореме 3.1.5. Основная трудность этих случаев состоит в том,
что интервал ортогональности бесконечен. В обычных обозначениях
(§ 1.1) мы имеем следующее предложение:
Теорема 5.7.1. Система
х а
е"ЧЧп, а> —1, Л=О, 1, 2, .... E.7.1)

5.7] ЗАМКНУТОСТЬ 117
замкнута в L2@, +oo); система
Дс", п = 0, 1, 2, ..., E.7.2)
замкнута в L2{ — 00, +00).
Это утверждение эквивалентно утверждению, что соответственно замк-
2
х а
нуты системы {е ^x^L^ (х)} и {<? 2ЯП(^)}. Ясно, что теорема 5.7.1 будет
X
справедлива и в том случае, если заменить соответственно е * на е~ху
а е 2на е-*2. Идея доказательства, приводимого ниже, принадлежит Дж.
фон Нейману (см. Курант и Гильберт [1], глава II, § 9).
A) Начнём с замечания, что при а > — 1 система
(lni-)V> n = 0,1,2,..., E.7.3)
замкнута в L2@,l). Это является следствием теоремы 3.1.5, р=2, так как
функция ( In — j интегрируема на отрезке [0,1].
х а
Пусть е ^x^f (х) принадлежит к L2 @, +оо). Тогда функция
In — J/( In — ) принадлежит к L2 @, 1) и может быть приближена по-
средством функций вида Г In — J2q(i/), где q (у) — многочлен. Следо-
Следовательно,каждому s > 0 соответствует такой многочлен qQ/), что
е~хха {/ (х) - q (e~x)}2dx < 8. E.7.4)
\
Таким образом, остается доказать, что при всяком целом неотрицательном
т каждому б > 0 соответствует такой многочлен р (х), чти
е~хха{е-тх- p(x)}*dx < б. E.7.5)
о
B) Для этой цели мы применим E.1.9), полагая
о> = —пг> т = -л E.7.6)
т-\-1 ' 1 — w v '
и выбирая
р (х) = A - wy+i 2 L{n (x)wn- E-7-7)
71=0
Тогда
^ е~тх — p(x)}2dx = (l — |
6 0 n=iV+l
E.7.8)
что в силу E.1.1) равно
(Аг+аJП. E.7.9)

118 МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА [Гл. V
Почленное интегрирование здесь законно, так как ряд
оо оо
2 \ е~хха \ £#} (х) 11 цр (х) Idx -™п+п' <
п, п'=ЛГ+1 О
1 оо
< 2 { \ е~*ха №) (х)]2dxY\\ e~Xx<x W
n,n'=iV+i 0 J l0
сходится. Выражение E.7.9) становится сколь угодно малым при N доста-
достаточно большом, что и доказывает утверждение.
C) Пусть е 2 / (х) принадлежит к L2 (— оо, -f оо). Тогда обе функции
E7Л0)
принадлежат к L2@, +oo). Следовательно, благодаря предыдущему
результату (полагая сначала а = — ~, а затем а= +-*) каждому г > О
соответствуют такие многочлены Qi(y) и е2 (у), для которых выполняются
неравенства
E.7.И)
пли
E-7-12)
6
следовательно,
+00
)}2^<28. E.7.13)
Относительно другого доказательства, основанного на теории интег-
интегральных уравнений, см. Вейль [1], в частности, стр. 58—61, 64; см.
также Гамбургер [1], стр. 200—205.
D) Рассуждение, проведенное в B), приводит к следующему резуль-
результату:
Теорема 5.7.2. Система
е-хх°+п, а > - 1, п = 0, 1, 2, .. . E.7.14)
замкнута в Z. (О, + оо); система
е-*2хп, /1 = 0, 1, 2, ... E.7.15)
замкнута в L(— оо, -|-оо).

5.7] ЗАМКНУТОСТЬ 119
Мы снова применяем теорему 3.1.5, но при р=1. Посредством E.1.1)
благодаря неравенству Буняковского — Шварца находим, что
\ e-xx*\L%)(x)\dz = O(n2). E.7.16)
о
Для дальнейших целей (см. § 9.5, A)) мы отметим следующую теорему:
Теорема 5.7.3. Функции
fn(x) = <f(z)xn, п = 0, 1, 2, ..., E.7.17)
где
ха, 0< х< 1,
' ^ 4 E.7.18)
е хх$, #> 1,
а> —1, Р — произвольное вещественное число, образуют замкнутую
систему в L@, + оо).
Мы применяем теорему 3.1.5 с распределением dotB/) = — ф In— dy7
У L У -1
О < г/ < 1, при р = 1. Затем мы применяем оценку
сю 1 оо
J Ф (я) | Z4«> (ж) | dx = О A) j е"хж« | L^) (ж) | dx + ^ е'хх^ \ L^ (х) | Лс.
О 0 1
а
Первый из интегралов в правой части есть величина О(п2); для второго
интеграла неравенства Буняковского — Шварца дает оценку
оо 1 оо 1 а
| { е'хх^~а dx\ 2 | [ е-хх*[L<«)(а:)]2&)Т = О (nJ).
По поводу других формальных свойств многочленов Лагерра и Эрмита см.
Б э й т м а н [1], том 2, глава 10, стр. 188—196. См. также задачи
67, 68, 72-80.

ГЛАВА VI
НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
В § 3.3 было доказано, что все нули ортогональных многочленов веще-
стЁенны, различны и лежат внутри промежутка ортогональности. Мы
проведем здесь дальнейшее и более детальное исследование распределения
этих нулей. Начнем с некоторых теорем, справедливых при весьма общих
условиях, наложенных на весовую функцию, затем перейдем к нулям
классических многочленов и укажем различные методы, применяемые при
их исследовании. Особо важным инструментом в дальнейших рассмотре-
рассмотрениях является теорема Штурма (§ 1.82), которая во многих случаях при-
приводит к довольно точным результатам относительно нулей многочленов,
удовлетворяющих некоторым линейным дифференциальным уравнениям
второго порядка.
Настоящий обзор, посвященный свойствам нулей, не носит исчерпы-
исчерпывающего характера. По поводу литературы о нулях многочленов Лагерра
и Эрмита мы отсылаем к работе Хана [2].
Методы этой главы совершенно элементарны. В частности, как пра-
правило, не используются асимптотические свойства ортогональных много-
многочленов специального или общего типа (главы VIII и XII), с помощью
которых можно также получить важные сведения относительно нулей.
6.1. Плотность нулей
A) Теорема 6.1.1. Пусть da(x) — распределение, заданное на
конечном отрезке [а, Ь], и пусть {р ь(х)} — соответствующая ортонор-
малъная последовательность многочленов.
Пусть W, Ъ'] — такая часть отрезка [а, Ъ], что
Ъ'
da(x) > 0. .
Тогда, если п достаточно велико, то всякий многочлен ря (х) имеет на от-
отрезке [а', Ъ'] хоть один нуль.
Для доказательства мы применим формулу механической квадратуры
Гаусса — Якоби (§ 3.4). Пусть q(x) — произвольный ят, который не
превосходит нуля на отрезке [а, Ь], за возможным исключением отрезка
[а', &']. Допуская, что многочлен рп(х) не имеет пулей xv в \а , Ь'],
и полагая 2п—1>т, получим
Ъ п
j )<0. F.1.1)

6.11] РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ НУЛЯМИ 121'
Отсюда на основании теоремы Вейерштрасса (теорема 1.3.1) следует, что«
ь
^f(x)da(x)<0 F.1.2)
а
для всякой непрерывной на отрезке [а, Ь] функции, которая на всем отрезке*
за возможным исключением отрезка [а', Ь'], не превосходит нуля. Если мы
определим функцию f(x) следующим образом:
{О при а<<, К<,
(х-а')(Ъ'~х) при а'КхкЪ', FЛ<3>
то придем к противоречию.
B) Т е о р е м а 6.1.2. Теорема 6.1.1 остается справедливой и для бес-
бесконечного интервала [а, 6], если только больший по модулю нуль многочлена
рп(х) есть величина о(п).
Это замечание принадлежит Хану ([1], стр. 215—217I). Если мы
положим
max | xv — а' [ \b' — xv \ = Мп, v = 1, 2, . .., п,
то из нашего предположения вытекает, что Мп = о(п2). Выберем теперь мно-
многочлен
где Tk (x) — многочлен Чебышева A.12.3). Если мы затем предположим, что»
отрезок [а\ Ъ'\ не содержит нулей, то будем иметь
следовательно, q(xv)<1. Из этого вытекает, что
b' q п п Ь
\ q (х)da(х)< \ q(х)da(х) = ^ ^Q (xv)< ^ К=\ da(x).
a' a v=l v=l a
Но многочлен T'k (х) монотонно возрастает при х > 1, так что 7\ (
T'(l) = k2l при g > 0; поэтому на отрезке [a', br] мы имеем
а'
где С — положительная постоянная, не зависящая от п. Отсюда следует,,
что пгМ'п =0A), что противоречит допущению теоремы.
Относительно распределения нулей при больших значениях п см.
теорему 12.7.2.
6.11. Расстояние между последовательными нулями
Здесь и в дальнейших пунктах мы рассматриваем распределения
вида w (x) dx.
A) Теорема 6.11.1. Пусть w{x) — весовая функция на конечном от-
отрезке [а, Ь], ограниченная снизу положительным числом', w (х) > [X > 0.
х) Он утверждает (не дав удовлетворительного доказательства), что если а илт
Ъ конечно, то нижеследующее доказательство проходит при о (/г2).

122
НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Гл. VI
Пусть хх > я2> ... > хп— записанные в убывающем порядке нули1)
соответствующего ортонормального многочлена рп(х). Записывая xve
виде
<будем иметь
O<0v<tt, v=l, 2, . .., п, F.11.1)
-1^, v = of if 2, ..., /г, ео = о, е„+1 = я. (б.и.2)
константа К зависит только от \х, а, Ь (см. Кравчук [2]).
Эрдёш и Туран (письменное сообщение) предполагают существование
интеграла
ъ
dx
вместо условия w (х) > ji> 0. Их доказательство (см. Эрдёш и Туран
[2]) основано на изучении распределения узлов интерполирования, для
которых соответствующие фундаментальные многочлены (глава XIV)
удовлетворяют некоторым условиям. Следующее доказательство для част-
частного случая w(x) > \х > 0 проведено Ленжиелем, который исключил из
.доказательства Эрдёша и Турана ссылки на теорию интерполирования.
B) Пусть V —целое число, 0<v<w, а у =y Fv + 6v-h)- Определим
многочлен
равенством
q (х) = q |у (а + Ъ) + у (Ь - a) cos e
2q (x) =
где N и т — некоторые целые положительные числа.
Каждое слагаемое правой части представляет собой один и тот же
тригонометрический многочлен порядка m(N—1), взятый соответственно
при значениях аргумента уЧ-б и у —д. Таким образом, их сумма будет
косинус-многочленом порядка m(N—1). Если m(N—1)<2/г—1, то может
быть применена теорема 3.4.1.
Мы имеем
ev+i
я
откуда при всех значениях А, 1
п, вытекают неравенства
F.11.5)
следовательно,
п. F.11.6)
Разумеется, каждое xv зависит от v и nf xv=xv

-6.11] РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ НУЛЯМИ 123
То же самое неравенство, но со знаком < вместо знака <, справедливо для
| sin(Y — 6J/2I, так как | у — 6t I > @v+i — 6v)/2. Таким образом,
, Ы,2 и. F.11.7)
Используя C.4.1) и C.4.5), получаем
_2гп ь
^ v+14 v) ^w(x)dx. F.11.8)
a a
С другой стороны, значение q(x) при 6=Y не меньше, чем -=-, следова-
тельно, если мы положим £0 = -^-(a+ Ъ) -{-— (Ь — a) cos у, то, опираясь
иа один из результатов главы VII (теорема 7.7), получим
Ъ Ь
1
(x) w (x) dx > \х \ q (x) dx > \xCn'2Q (x0) > — fxC/г, F.11.9)
а а
<где С — положительная постоянная, зависящая только от а и Ъ. Срав-
Сравнивая F.11.8) и F.11.9), мы получаем
fi ft —2П1
v+1 )
41ЛИ
sin 9^Ziv< ^ |_2. w2J2b| ^ ш (я)^ F
a
Подставляя N =Г т-^- , m= [In/г], мы видим, что условие mO/V—1)<
<2гг—1 удовлетворено для больших значений п и F.11.2) немедленно
вытекает.
То же неравенство F.11.2) можно установить бе.ч существенных изме-
изменений в доказательстве при условии w(х)> [хA—x)a(l-\-x)$, ji>0, где
аир больше, чем —1. В этом случае, нужно использовать последнее
замечание в § 7.71, D). Постоянная К в F.11.2) при этом зависит
от [х, а, 6, ос и р.
C) Отметим следующий простой результат:
Теорема 6.11.2. Пусть w(x) —весовая функция на отрезке
{ —1, +1J? такая, что
A<(l-x*fw(x)<B, -l<s< +1, F.11.11)
где Л гг 5—положительные постоянные. Если :zv = cos0v, @ < 0v < я,
v = l, 2. ..., /г)—записанные в убывающем порядке нули ортонормаль-
ного многочлена рп(х), соответствующего весовой функции w(x), то
ev+i-6v<~^' v = 0, I, 2, ..., п, 0О = О, 0п+1 = я. F.11.12)
Это замечание также принадлежит Эрдёшу и Турану (письменное сообще-
сообщение). Доказательство может быть основано на теореме 3.41.1. Обозначим
через Jlv коэффициент Кристоффеля, соответствующий точке xv. Тогда
ev+i
— 0V)< \ w (cos 0) sin 0 db = \
J J
1, 2, ...,n, Хо = Яп+1 = 0. F.11.13)

124 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VH
С другой стороны, выражение
есть лл_1 относительно х = cos 0. Кроме того, q (xv) = q (cos 0v) > 1,,
следовательно (см. A.6.5)), выполняются неравенства
п +1 я
Xv < 2 ^fe6 (хь) = \ 6 (ж)w (x) dx < В \
ft=l —1 О
F.11.14)
Справедливость требуемого неравенства вытекает из сопоставления
F.11.13) и F.11.14).
Эрдёш и Туран [2] доказали также, что при условиях 0<Л<
< w (х) < _3, — 1 < ж < 1 и 0 < е < -^- (в обозначениях теоремы 6.11.2)
имеют место неравенства
^-<bv+i-Ov<^-, F.11.15)
если только е<0г<я—е. Здесь Кг, К2 зависят от А, В, е.
6.12. Изменение нулей в зависимости от параметра
А. А. Марков [4] доказал важное предложение относительна
зависимости нулей многочлена рп(х) от параметра т, который входит
в весовую функцию w(x) = w(x, т).
A) Теорема 6.12.1. Пусть w(x, r) —такая весовая функция
на отрезке [а, Ь], зависящая от параметра т, что w(x, т) положительна
и непрерывна при а < х<Ь, тг < т < т2. Допустим, кроме того, существо-
существование и непрерывность частной производной wx (х, т) при а < х < Ь,
тх < т < т2, а также сходимость интегралов
ь
x*wx(x, x)dx, v = 0, 1, 2, ..., 2n-l, F.12.1)
w притом равномерную на каждом замкнутом отрезке т'<:т<;т", лежа-
лежащем внутри открытого промежутка (т1? т2). Обозначим нули многочлена,
Рп (х) = Ра (х> т) чеРез хг(т)> х2(т)> ... > х ь (т), тогда v-u «г/^гь a:v (r)
(тг/ж фиксированном значении v) является возрастающей функцией от т,
ес/ш только отношение wx/w является возрастающей функцией от ху
а < х < Ь.
Интегралы B.2.1), определяющие моменты cv (rfa (x) = ш (л:, т)с/л:)у
сходятся равномерно при т'<т<т", и соотношения B.2.1) могут быть
продифференцированы по т (v — 0, 1, 2, . .., 2/г— 1). Пусть а < а' < 6' < Ь.
При а'<,#<&', т/<т<т" функция а; (л:, т) имеет положительный мини-
минимум, стало быть, определители Dn г (см. B.2.11)) при т/<т<т/г равно-
равномерно ограничены снизу положительным числом. В соответствии с B.2.6)

*6.12] ИЗМЕНЕНИЕ НУЛЕЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА 125
коэффициенты многочлена рп(х), а следовательно, и нули xv (т) (которые
©се различны), имеют непрерывную производную в промежутке тх < т < т2.
Пусть q (х) будет фиксированным п21_г. Применим теорему 3.4.1,
положив da(x)=w(x)dx. Коэффициенты Кристоффеля Xv=Xv(x), очевидно,
являются непрерывно дифференцируемыми функциями от т (см. C.4.3)).
Дифференцируя по т равенство C.4.1), получаем
Ъ п п
7п\ (*г тЛ с\ (т\ г/т ^Ч^ ^ /тЛ г/ (v \ т' (т\ —L ^^ \ ' lt\ с\ Iт \ 19\ \ 9 9\
Ш<р 1«*^, \> I \J yJUj LLJU — f | ivy y\/j^J y^V/ *^V \ **/ ~l / | *^V \ ™) У V^V /• ^U. 1 ^w.£j^
V=l V=l
Подставляя сюда
n //y\ i^n l^) л//''r^ f -n' (*г \\% (f\ 4 9 4\
QyXj= ? Q \**"V/ — i/'n\**"vjj » ^D.lZi.Oj
ммеем
ь
F.12.4)
поскольку Q/(^ju) = O при \хфч. Левая часть равенства может быть
.записана в виде
ь
так как второе слагаемое в силу ортогональности равно нулю. В соответ-
соответствии с допущением теоремы разность
тот же знак, что x—xv.
Таким образом, утверждение теоремы доказано1).
B) Отметим такое следствие:
Теорема 6.12.2. Пусть w (х) и W(x) — dee весовые функции
ма [а, Ь\, положительные и непрерывные в промежутке а < х < &. Пусть
W (x),w(x) -— возрастающая функция. Если {xv} и {Xv} означают записанные
•в убывающем порядке нули соответствующих ортогональных многочленов
степени п, то справедливы неравенства
xv<XVy v=l, 2, ..., п. F.12.7)
Полагая w (х, т) = A — x)w (x) + xW (x), 0<т<1, мы видим, что
выражение
^т (*s т) _ РУ(а?)-^а;(а?) _ _2__ т
ш(ж, т) ~ A — x)w(x) + xW(x) ~Г " ' W (х) F.12.8)
1 — Т —f-T —г~
^ w(x)
представляет собой возрастающую функцию относительно х при 0 < т < 1.
Мы имеем также w(x, 0) — w(x), w(x, l) = W(x).
Различные приложения этих результатов будут даны в § 6.21.
2) Настоящее доказательство не существенно отличается от первоначального
доказательства, данного А. А. Марковым, впрочем, здесь приведены несколько более
ясные рассуждения.

126 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. УЖ
6.2. Распределение нулей классических многочленов
Исследование этого вопроса, данное в § 3.3 для общего случая
ортогональных многочленов, было основано на свойстве ортогональности.
В частных случаях классических многочленов (§ 2.4) существуют раз-
различные другие подходы, которые интересны с точки зрения применяемых,
методов. Будем предполагать, что для многочленов Якоби а> — 1,
р > — 1, а для многочленов Лагерра, что а > — 1; кроме того, полагаем,
что п > 2.
A) Прежде всего, если мы имеем дело с классическими многочленами,
то рассуждениям, указанным в § 3.3, D), можно придать более точную»
форму. Действительно, для рассматриваемых многочленов число перемен
знака в последовательности C.3.5) в точках х = а и х = Ъ может быть
легко сосчитано *). Для многочленов Якоби мы применяем D.1.1) и D.1.4),
а для многочленов Лагерра— формулы E.1.7) и E.1.8). Эти же соображе-
соображения позволяют, кроме утверждения о вещественности и простоте нулей,,
получить сведения об их распределении.
В случае многочленов Якоби значение
в нулях Рпа'Р) (я), может быть определено из D.5.7) (вместо общего метода,
данного в § 3.3, D)). В случае многочленов Лагерра можно воспользо-
воспользоваться соотношением E.1.14). Положение в особенности просто для много-
членов Эрмита; нужно лишь применить первое из равенств E.5.10).
B) По теореме Ролля из формул Родрига D.3.1), E.1.5) и E.5.3) снова
вытекает рассматриваемое утверждение. При этом надо принять во вни-
внимание, что производные порядка 0, 1, 2, ..., гг — 1 от функций*
A — х)п+а A -f x)n^, е~ххп, е-*2 соответственно обращаются в нуль.
в точка х х = ± 1. х =- 0, -foo, x-= ± со.
C) Это утверждение вытекает также из дифференциальных уравне-
уравнений D.2.1), E.1.2) и E.5.2). С этой целью мы показываем сначала, что нули*
многочленов Якоби отличны от —1 и +1, а также друг от друга. Диф-
Дифференцируя D.2.1) к раз, мы имеем
A- x2)y(k+V + [$- а-(а-\- $ + 2к + 2) x]
Если бы у обращался в нуль в точке х= -f 1 или х= — 1, то из D.2.1)
следовало бы, что у' — 0. тогда из только что полученного уравнения (к - 1)
вытекало бы, что у" = 0 и т. д., так что имели бы у = 0. (Коэффициент
при г/(/г+1) отличен от нуля при х— ±; 1.) Следовательно, ни один нуль
РЯ1'Р) (о:) не лежит в точках ± 1. Кроме того, все нули простые, так
как если бы в некоторой точке у ^ у' = 0 (хФ ± 1), то из D.2.1) следо-
следовало бы, что A — х2) у" =. 0, т. е. z/"=0. Применяя уравнение для у', мы
нашли бы, что у'"=^0 и т. д., так что снова имели бы у ~ 0.
Аналогично доказывается, что нули многочлена L(na) (x) являются про-
простыми и не лежат в точке ж-0 и что нули многочлена Нп (х) являются»
простыми.
Мы применим далее следующую теорему, принадлежащую Лагерру
(см. Полна и Се гё [1J, часть II, отдел V, задача 118):
А) Профессор Полна любезно обратил мое впимапие на тот факт, что то же
самое может быть сделано в общем случае ортогональных многочленов, если вос-
воспользоваться определителем B 2 6).

6.2] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 127
Пусть f (х) есть я, и пусть х0 — один из его простых нулей. Тогда-
окружность, проходящая через точки
2 1■ \\ I \хо) /о о \\
либо содержит нули в обеих областях, ею ограниченных, либо же все нули
лежат на самой окружности. Это же утверждение будет справедливым,
когда окружность заменяется прямой1).
Действительно, пусть f(x) = (x— xc)g(x) и пусть хг, х2, . .., #n_i — нули,
многочлена g (х). Тогда g (х0) = /' (я0), gf (х0) = у/" (х0), следовательно,
имеет место равенство
1,1, 1 = е* (х0) = 1 Г Ы /622)
«о —«1 «о —«2 «о —жп-1 #(*о) 2 /'(*о) '
Отсюда и из F.2.1) получаем
-ЧС—+—
Дробно-линейное преобразование X = (х0 — х)'1 переводит точки хг, Хо, . . .
.. ., хп_г и точку х'о в некоторые точки Х±, Х2, . . •, Xn-i и ^о- Тогда
имеем
-11(Х1 + Х2+ ... +Zn.1) = Х; F.2.4)
и следовательно, прямая, проходящая через точку Х'о, разделяет точки
Х1Ч Х2, ..., Хп1, если только они не лежат все на этой прямой. Возвра-
Возвращаясь к исходной ^-плоскости, получаем теорему.
Для многочленов Якоби у = Р$" Р) (х) мы имеем из D.2.1)
f = а ~
следовательно,
Пусть л:0 будет нуль функции г/ с наибольшей мнимой частью. Если бы
имелся невещественный корень, то мы имели бы $х0 > 0 и
и, следовательно, ^5^>Г:л:0. Таким образом, точка х'о лежит в полу-
полуплоскости З^^З^о* и можно через точки х0 и х'о провести окру-
окружность, которая не содержит нулей. (Все нули не могут лежать на
этой окружности, так как в этом случае они должны были бы совпадать*
с xQ, что невозможно.) Отсюда вытекает, что все нули вещественны.
Пусть теперь х0 — наибольший из нулей, х0 Ф± I. Если бы х0 > 1, то из-
F.2.6) следовало бы, что х'о > х0. Рассматривая произвольную окружность,
проходящую через точки х0 и х0, мы снова приходим к противоречию.
В случае многочленов Лагерра
х'о = хо- 2{П~1\ ■ F.2.8).
1) Если f" (xo)=O, то мы имеем х'0 = со, и вместо окружности нужно рассматри-
рассматривать прямую, проходящую через точку х0.

128 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
Из 3 хо > 0 мы получаем, как и раньше, что 5 х'о > ^х0. Из допущения
х0 < О следует а£ < V)-
В случае многочленов Эрмита
и 3 жо > 3 *o* если 3 #о > 0.
D) Теорема Лагерра дает также некоторые границы для нулей. Пусть
хг — наибольший, а хп— наименьший из нулей многочлена Pf£>M(x).
Тогда имеем
и (см. F.2.6))
2("""^ <х19 F.2.10)
юледовательно,
+ 1 Р + 1 ^2(п-1) ра + 2гс2
а при Р >а
хг>^ш F.2.12)
В случае ультрасферических многочленов хп=—хг, стало быть:
а + 1 а + 1 и-1 4
Т=^Г l + *i > *i ' х
(При /г=2 знак неравенства нужно заменить знаком равенства.) Эта оцен-
оценка точнее предыдущей. Обе границы имеют вид 1—(а+1)//г+0(/г2).
Подобным образом может быть получена верхняя граница для ха.
Аналогичные рассуждения приводят для большего из нулей много-
многочленов LW (х) и На (х) соответственно к неравенствам
F.2.14)
При /г=2 во втором неравенстве следует поставить знак равенства. Это
весьма грубые оценки (см. теорему 6.32).
E) Другое доказательство вещественности и простоты нулей (дающее
также a < xv < b) может легко быть получено из дифференциального урав-
уравнения, если использовать соображения § 6.7. Следует при этом напомнить,
что рассматриваемые многочлены суть единственные решения в виде мно-
многочленов соответствующих дифференциальных уравнений (см. §§ 4.2,
<2), 5.1, A)).
F) Обратимся теперь к данному Лагерром [3] весьма элементарному
методу, который приводит к некоторым верхним границам для нулей клас-
классических многочленов.
Так как g" (х0) =-^ f" (х0), то из F.2.2) следует
d ( е'(*о) Л
dx0 V g(x0) J
i rtf (т ^\•2 a lт \ Pff (т \ Ч -f /" ( T W% £ff (т ^ /"' /r \
\g ^Q/f ~5\xo)b \XO) °\J K^OJS —4J \Xq) J \Xq)
г) Из F.2.8) мы находим также, что наименьший нуль <<х+1.

6.21] НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НУЛЕЙ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 129
откуда в соответствии с неравенством Коши — Буняковского получаем
п-1 п-1
V -^ 4\3{П*оПя-4/'(*о)Г(*о) »ffMl2 >0
-^ ^ 12{ГЫ}2 М/'(*о)}2
или
3(п-2){/"(х0)Р_4(/г-1)/'(х0)Г(х0)>0. F.2.16)
Это необходимое условие для любого нуля многочлена с вещественными
и различными нулями.
В случае многочленов Лежандра имеют место равенства
следовательно,
3(n-2L;xl~
отсюда вытекает оценка
F-2.17)
При п—>со точная константа в правой части равна -^- = 2,891592...
(вместо 5/2), где j\ — наименьший положительный нуль функции J0(x)
(см. F.3.15)).
В случае многочленов Эрмита из E.5.2) имеем
Г (х0) = 2x0f (х0), ГЫ = 2Bx1 -n + i)f (х0),
3(n-2)^-2(ii- 1)Bя;-л + 1)>0;
отсюда получаем
1
2 i _i
]^о К2 (^~11) = Baz+1J- у B/1+1) 2+... F.2.18)
Эта граница точнее той, которая получается применением метода Штурма
(см. § 6.31, D)), хотя и она не является наилучшей, так как в соответствии
с F.32.5) истинный порядок второго слагаемого в правой части
будет п 6.
6.21. Неравенства для нулей классических многочленов
Теорема А. А. Маркова (§ 6.12) дает несколько замечательных нера-
неравенств для нулей классических многочленов.
A) Рассматривая нули многочленов Якоби, перенумеруем опять эти
нули :zv=cos8v в убывающем порядке:
+ 1>хг>х2> ... >хп>-1, О<91<02< ... <да<л. F.21J)
Теорема 6.21.1. Пусть {xv=xv (a, P)} — перенумерованные
в убывающем порядке нули многочлена Якоби Р<«» Р> (х). Тогда справедливы
неравенства
д-ё<0,~>0, v=l,2, ...,n. F.21.2)
9 Г. Сегё

130 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
В случае ультрасферических многочленов, когда а=|3, мы имеем
^<0, v=l,2, ..., [-J]. F.21.3)
Применяя теорему 6.12.1 к w(x, т) = A — х)а A + #)р, где а = т,
ар — фиксированное или |3=т, а а — фиксированное, мы получаем
неравенства F.21.2) (см. А. А. М а р к о в [4]; Стилтьес [6], стр. 76).
wx
Действительно, в первом случае отношение —=1пA—х) является
убывающей функцией от х. Доказательство аналогично и во втором
случае.
Неравенство F.21.3) для случая ультрасферических многочленов
принадлежит Стилтьесу ([6], стр. 77). Для отрицательных нулей
справедливо противоположное неравенство. Это неравенство непосредст-
непосредственно не вытекает из теоремы 6.12.1, так как для w (х, т) = A—х2)х отноше-
ние —= In A—х2) не является монотонной функцией. Однако F.21.3)
немедленно следует из F.21.2), если учесть D.1.5).
[Доказательство Стилтьеса неравенств F.21.2) и F.21.3) совершенно
иное, чем у Маркова, оно основано на дифференциальном уравнении
(см. ниже § 6.22). Марков доказывал неравенство F.21.3) на основе своей
общей теоремы, но его доказательство было некорректным*). В его обо-
обозначениях ([4], стр. 49) функция
равна у In —. $■ в случае ультрасферических многочленов. Эта функ-
функция стремится к + °° при у—> + 0 и к—оо при у—> — 0. Следовательно,
хотя f (у) < 0, все же ничего нельзя сказать относительно знака отноше-
отношения {f(y) — f(xi)}/(y — xi). Стало быть, условие Маркова —}*' > О
не удовлетворяется в случае ультрасферических многочленов при
у — е=0.
В общем случае f(y)>0 при у > е и / (у) < 0 при у < е. Этот факт
может быть совместим со свойством убывания только в том случае, когда
знаменатель f(y) обращается в нуль при у—>е. Однако функция /(у)
в любом случае разрывна при у=е, и следовательно, в общем случае
остается в силе критическое замечание, сделанное в упомянутом выше
частном случае.]
По-видимому, Стилтьес знал общую теорему § 6.12 (см. [6], стр. 79,
пункт 5, и замечание на стр. 88).
B) Теорема 6.21.2. Пусть параметры а и $ многочлена Якоби
Р^п' Р) {х) подчинены неравенствам
| 44- F.21.4)
Тогда нули многочлена Р{п'Р) (х) удовлетворяют неравенствам (обозначе-
*) По этому вопросу см. примечание Н. И. Ахиезера в книге А. А. Маркова
Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее
к л няющихся от нуля» (стр. 378 — 382). (Прим. перев.)

6.21] НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ НУЛЕЙ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 131
ния прежние):
2X J, v=l, 2, ...,л, F.21.5)
причем равенства соответственно достигаются только в случаях а = — у
Для многочленов Лежандра, т. е. для случая а=Р=0, этот результат
принадлежит Б р у н с у [1]. Общий случай рассмотрен А. А. Марковым
и Стилтьесом. Для доказательства мы замечаем, что в соответствии с
F.21.2) максимум и минимум xv~ cos 0V достигаются в указанных частных
случаях. Остается применить D.1.8).
C) Теорема 6.21.3. В случае ультрасферических многочленов при
| F.21.6)
справедливы неравенства
4 [£] F.21.7)
причем знак равенства соответственно достигается только в случаях
1 1
а=р= — у и а=р=+у.
Первое доказательство этих неравенств, которые более точны, чем
соответствующие неравенства Брунса F.21.5), было дано Стилтье-
Стилтьесом [6]. Доказательство А. А. Маркова было некорректным (см. выше).
Относительно доказательства Стилтьеса см. § 6.22; см. также § 6.3, B)
и C). Соответствующие неравенства для отрицательных нулей получаются
из соотношения симметрии: xv + #n+i_v = 0.
Наше доказательство будет основано на теореме 6.21.1. В соответствии
с F.21.3) максимум и минимум xv, v< I -|- , достигаются соответственно
приа=Р==—^ и приа=Р=+-^- . Нулями же многочленов D.1.7)
Z Z
являются
(-4)^ и C0SV4l' v=l, 2, ...,л. F.21.8)
D) В случае многочленов Лагерра мы имеем w (х, т) = е~х#а, где а = т,
а отношение = In x является возрастающей функцией. Поэтому нули
многочленов Лагерра являются возрастающими функциями параметра а,
а>—1. Следовательно, в соответствии с E.6.1) справедлива следующая
Теорема 6.21.4. Если
-у<<*<+у , F.21.9)
то нули xv многочлена Ln (#)> записанные в возрастающем порядке, удов-
удовлетворяют неравенствам
F.21.10)
где £v u Цу означают соответственно v-e положительные нули многочленов
Эрмита Н2п(х) и H2n+i(x)-

132 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
6.22. Доказательство монотонного изменения нулей
классических многочленов, данное Стилтьесом
Стилтьес ([6], стр. 73—77) указал следующее доказательство
теоремы 6.21.1. Подставляя x — xv в D.2.1), мы имеем
1 у» 1 а + 1 . 1
2 у' ~г 2 ^-l" 2
Дифференцирование этого равенства по а дает
1 /3*у дхг ^
dxv
+ 2 (*v-l)*
или
^ = Т^=Т' v=l, 2, ...,«, F.22.3)
JLl=l
где
1
а +
1 F 22 4^
> v^fx. F.22.5)
Матрица (avil) является положительно определенной, так как
V=l |Х=1
v, jn=l,2, • • • , n
Затем Стилтьес применяет теорему, утверждающую, что если A = {aVVL)~
положительно определенная матрица, у которой aV[Xi < 0 при v Ф \i,
то обратная матрица (А)'1 состоит только из положительных элементов.
(Мы можем допустить, что avv = l, v= 1, 2, ...,/г, следовательно,
К — Е—L, где Е — единичная форма, а коэффициенты формы L неотри-
неотрицательны. Тогда L.no абсолютному значению меньше, чем единица,
если 2?=1, и форма, обратная форме К, может быть записана в виде
(Kyl = E+L + L2+L*+ ... F.22.7)
Все формы, входящие в правую часть, имеют неотрицательные коэффи-
коэффициенты, a E~\-L — положительные коэффициенты1).)
1) Это рассуждение отличается от сравнительно более простого доказательства,
приведенного у Стилтьеса. Однако настоящее рассуждение позволяет доказывать
аналогичные теоремы в более сложных случаях.

6.3] МЕТОД ШТУРМА; МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ 133
На основании этой теоремы утверждение вытекает немедленно из
F.22.3). Доказательство второго из неравенств F.21.2) аналогично. Слу-
Случай ультрасферических многочленов F.21.3) может быть выведен либо из
D.1.5), либо непосредственно (см. Стилтьес [6]). Этот же метод при-
применим к многочленам Лагерра (теорема 6.21.4), В этом случае мы имеем
F-22"8)
причем правая часть уравнений, соответствующих F.22.3), будет рав-
равна BxvyK
6.3. Метод Штурма; многочлены Якоби
Метод Штурма (см. § 1.82) весьма просто приводит к некоторым нера-
неравенствам для нулей многочленов Якоби (см. С е г ё [20]; Бью л [1]).
На этом пути мы не только вновь получим некоторые результаты § 6.21,
но будем иметь возможность улучшить их в значительной мере. В этом
пункте мы будем предполагать, что
исключая вообще случай а2 = Р2 =—; мы нумеруем нули #v~cos0v мно-
многочлена Р%" ^\х) в убывающем порядке:
+ 1>хг>х2>...>хп> -1, О<е1<62<...<0гг<я. F.3.2)
A) Теорема 6.3.1. При указанных предположениях имеют место
неравенства
^ , v=l, 2,...,л + 1. F.3.3)
I
При а2 = Р2 = -г- знак неравенства нужно заменить знаком равенства.
Мы полагаем здесь
I 0, если а> ^-, f я, если р > тг- ,
ео = <: 1 en+1 = <; \ F.3.4)
[ —01, если а= 2~ , I 2я — вп, если |3 = ^~ .
1 1 1
Отметим, что при а = $= ^-,а=^^-^-,а=— р=-|- — ? а =
= — р = — мы имеем соответственно
"+"
.^-L.
F.3.5)

134 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл.У1
Неравенство F.3.3) следует непосредственно из теоремы 1.82.1, если
сравнить уравнение D.24.2) с уравнением
^ = 0 F.3.6,
и рассмотреть его решение v = sin{[rc + (а+Р + 1)/2](б — 0v-i)}. При а> — -
условие, соответствующее A.82.2), удовлетворено в точке жо = 0о = О
(и соответственно при р > «г- в точке Хо = 0п+1 = я).
B) Теорема 6.3.2. При указанных предположениях имеют место
неравенства
v4-(a+P—1)
- it < 6V < _ , (a\ i u я, v = 1, 2,..., n, F.3.7)
тогда как для улътрасферического случая а — Р = Я ^~ справедливы не-
неравенства
a 1 1 —А,
6v
> Ц1"^-^-^ v = l,2,... , Г-=-1. F.3.8)
Оценка F.3.7) получается, если учесть соотношение D.1.3), сложе-
сложением неравенств F.3.3) (см. Бьюл [1], стр. 311—312). В случае
а = —^множитель v в правой части F.3.7) может быть заменен на v ^~,
а если р = y » то множитель v + a 2 в левои части F.3.7) может быть
заменен на v + ^Ф^ . В случаях F.3.5) справедливы те же неравенства, но
местами знак неравенства нужно заменить знаком равенства. Эти нера-
неравенства точнее, чем F.21.5), еслиа+рхЗ. В случае многочленов Лежандра
(а= р = 0) они совпадают с F.21.5), т. е. с неравенствами Б р у н с а [1].
Неравенство F.3.8) выполняется только для тех нулей, для которых
0 < 0v < -к- ; оно обращается в равенство при а = р = — или a = Р — -^- .
Неравенство F.3.8) более точно, чем нижняя оценка в F.21.7).
Для доказательства F.3.8) заметим, что в соответствии с F.3.3) по-
последовательность
_о 1_
e; = 0v-^ —т-п, v = 0, 1,2,..., Г^±1], F.3.9)
4 L 2 J
будет убывающей. При п нечетном 0' { = 0. При п четном достаточно пока-
зать, что Ь'п > 0. Это вытекает из F.3.3), поскольку 0П + 0П = я.
2 2 2+1
Аналогичное рассуждение может быть применено для того, чтобы уточ-
уточнить левую часть в F.3.7) для тех нулей, которые лежат в фиксированной
части 0 <; 0V <; с отрезка [0, я]. Относительно иных доказательств неравен-
неравенства F.3.8) см. E) и § 6.6, B).
C) В связи со сказанным докажем следующую теорему:

6.3] МЕТОД ШТУРМА; МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ 135
1 1
Теорема 6.3.3. Пусть тг>2. При условии 9~<а==Р<+~2~
послед овател ъност ъ
i F.3.10)
нулей полинома Pf£>a) (cos0) является выпуклой, т. е. последовательность
6V — 6v-i является возрастающей.
Это следует из теоремы 1.82.2, примененной к диф-
дифференциальному уравнению D.7.11), 0<А,<1. Действительно,
коэффициент при и в D.7.11) монотонно убывает. В слу-
случаях а = $ = ±;-к- разность 0V —0v-i постоянна; здесь опять 60 = 0 при
1 1
а> y и 0О= — 0Х при а= «j-. Если п четно, то последний член
последовательности F.3.10) лежит на отрезке -^-, я , и можно при-
применить A.82.4). При а> ;г~ условие A.82.5) выполнено.
Из теоремы 6.3.3 легко вывести аналогичное свойство выпуклости
для последовательности {xv} (см. X и л л е [4]).
С помощью теоремы 6.3.3 верхняя оценка в F.21.7), т. е.
-f], F.3.И)
может быть получена иным путем, чем в §6.21, C) (см. Сегё [20],
стр. 5—6, 8). Пусть — < а < +—*-. Последовательность
0; = 0--^ТТя' v = 0, 1,2, ... , [-|-]+1, F.3.12)
выпукла; следовательно, она достигает своего максимума либо при v~0,
либо при v = -^- + 1. Но если п нечетно, то 0JJ = Ъ" = 0, если же п
[
четно, то нужно принять во внимание, что 0'^ + 0п =0.
2 2+1
D) Наконец, применяя метод Штурма, мы получаем некоторые нера-
неравенства, в которые входят нули функций Бесселя. В известном смысле
это неравенства более точные, чем предыдущие, хотя и не столь простые.
Теорема 6.3.4. Пусть а = |3 = X ^- , 0 < К < 1. Обозначим через
/i < /2 < /з <••• положительные нули функции Бесселя Ja (x). Имеют
место неравенства
0V < -4fr > v = 1, 2, 3, ... , w. F.3.13)
При Я=0 и Я=1 знак неравенства в F.3.13) следует заменить знаком
равенства. Неравенства F.3.13) вытекают из сравнения D.7.11) с уравне-
уравнением (см. A.8.9))
j.
= 0, v = bba[(n + k)b], а = Я,—i- F-3.14)
Оценка F.3.13) является наилучшей в том смысле, что при фиксированном v
и произвольном п множитель /v не может быть заменен меньшим числом,
так как (см. теорему 8.1.2)
Km nbv = Hm nQvn = /v. F.3.15)
n<-»-oo n~>co

136 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. VI
Между прочим, при 0 < 6V <~о~ Для 9v может быть получена аналогичная
нижняя граница, а именно:
dv>/v[(n + X)* + kX(l-X)] 2, F.3.16)
где к — положительная постоянная (см. Сегё [20], стр. 9). Таким обра-
образом, F.3.15) следует из F.3.13) и F.3.16).
E) Наконец, еще одно замечательное свойство нулей 6v=6vn много-
многочлена Р^ (cos б) может быть доказано применением теоремы Штурма.
Подставляя 6 = Н/(тг н- X) в D.7.11), мы получаем уравнение
£ + (l + ХA-Ц , WO. F.3.17)
1 [ )
Если 0< Я< 1, то (п-\-ХJ sin2 —f-r- возрастает вместе с п, если £ фиксировано
в промежутке 0<^<(^тЬЯ)я. Тогда (n-{-X)dvn возрастает вместе с п при
фиксированном v 1). Из этих рассмотрений снова получается оценка F.3.13),
если только считать известным соотношение F.3.15). Действительно,
(п + X) bVn < lim (w + Ц 8vn = /v.
n~>-oo
В качестве другого приложения можно получить новое доказатель-
доказательство неравенства F.3.8), так как
(п + Х) 0vn> Bv- 1 + Х) 0v, 2v-i = Bv- I + Я) ^- F.3.18)
при w>2v — 1 (см. задачу 32).
6.31. Метод Штурма; многочлены Лагерра и Эрмита
Пусть а > — 1.
A) Т е о р е м а 6.31.1. Пусть xv = xvn (a)} v = 1, 2,..., п, будут нулями
многочлена L^ (x), занумерованными в возрастающем порядке. Тогда спра-
справедливы неравенства
(Ал2
4« v-l,2,...,n, F.31.1)
г9е /v имеют тот же смысл, что в теореме 6.3.4.
Утверждение следует непосредственно из сравнения третьего уравне-
уравнения в E.1.2) с уравнением
U' + [ П+~^~+1-^-)и=0, F.31.2)
решением которого является
11 1
U = x2Ja hx2 Cn +-^- Y} F.31.3)
(см. A.8.10)). Условие A.82.2), х' = 0, в этом случае выполняется.
х) По теореме 3.3.2 о разделении нулей 0vn убывает с возрастанием п при фик-
фиксированном V.

6.31] МЕТОД ШТУРМА; МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА 137
Легко может быть получена также верхняя граница аналогичного
характера для xv. Пусть со — положительная постоянная такая, что
co<4ra+2(a+l). Сравним то же уравнение E.1.2) с уравнением
при 0<.г<; со. Тогда получим, что
С-У
v ^ . a-f 1 to ' - \ /
если правая часть F.31.5) не превосходит со. (При фиксированном v и
достаточно большом п это всегда имеет место.) Постоянная ( ~~ у явля-
является наилучшей в неравенствах F.31.1) и F.31.5) в смысле, разъясненном в
§ 6.3, D). При фиксированном v для нуля xv =■ xvn справедливо соотношение
lira nxvn = ( ~- j . F.31.6)
Тот же результат может быть получен сравнением A.8.9) с четвертым
уравнением E.1.2). Условие A.82.2) при х' = 0 опять будет выполнено.
B) Оба упомянутых уравнения E.1.2) дают верхние границы для
нулей, если мы применим теорему 1.82.3 и примем во внимание, что соот-
соответствующее решение обращается в нуль в точке х= + оо. Граница, полу-
получающаяся из четвертого уравнения EЛ .2), несколько лучше, а именно, она
дается следующей теоремой:
Теорема 6.31.2. Наибольший из нулей многочлена L^ (x) удовле-
удовлетворяет неравенству
^4гс. F.31.7)
C) Подставляя х = \ п + а"^~ | | в третье уравнение E.1.2), мы полу-
получаем
1 . 1 —а2 1 Г а+1 V
п /а ол Q^
Так как коэффициент при и возрастает вместе с п, то из этого следует, что
при фиксированном v* выражение
{ Ц^} F.31.9)
убывает при возрастании п. Пределом его при п—> оо является (у )
(в соответствии с F.31.6)). Интересным следствием из этого свойства убы-
убывания является неравенство
{ ^±l}^vv, n = v,v+l, ... F.31.10)

138 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
Применяя F.31.7) и учитывая F.31.1), получаем следующий результат:
Теорема 6.31.3. Пусть а> — 1; для нулей xvn многочлена Z4a) (х),
занумерованных в возрастающем порядке, справедливы следующие оценки:
±
v=l, 2, ..., л, л = 1, 2, ... F.31.11)
В частности, для наименьшего нуля х1п мы имеем
«где /v имеют тот же смысл, что в теореме 6.3.4.
Если v велико, то f~ j ^^-£— (см. A.71.7)), в то время как коэф-
коэффициент в правой части F.31.11) ^4v2. При v = l мы не применяем F.31.7),
так как хп может быть записан явно. Действительно, #п = а + 1> откуда
ж следует F.31.12).
Нейман ([2], стр. 26) при а = 0 получил иным способом неравен-
неравенство; подобное F.31.11). В этом случае он нашел, что
г —С l ~r } \i — 1 9 *? ™ — 1 9 Ч ffi 41 14^
•А/уп У_у yii :— ? V 1 , £л^ . ... ft. it 1. Zi. О. ..., ^U.O 1. 1OI
где -т- < Cvn < 4. Благодаря известной оценке /v > Г v —т-]я (см. (8.1.4)
и задачу 32) мы можем из F.31.11) получить неравенства
(Верхняя граница 4 не может быть снижена; см. (8.9.15), а также задачу 33.)
Хан ([1], стр. 228—238) обобщил и распространил метод Неймана
для произвольных вещественных значений а.
Часть приведенных выше результатов точнее, чем отмечавшиеся ранее
в литературе (см. Хан [2], стр. 228—230).
D) Соответствующие рассуждения для многочленов Эрмита весьма
просты. Второе из уравнений E.5.2) дает для нулей верхнюю границу
{ 2. Это не такой точный результат, как F.2.18). Кроме того, при гс
мы доказываем выпуклость последовательности нулей
ХоП<х1п<Ъп< ••• F.31.15)
многочлена Эрмита Нч (х), где хоп = 0 при нечетных п и хОп= — х1п, если п
четно. Во всех случаях х1п, х2гь, ... означает последовательность положи-
положительных нулей, занумерованных в порядке возрастания (см. Хан [1],
стр. 244).

«6.31]
МЕТОД ШТУРМА; МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА
139
Сравнивая то же самое уравнение с уравнением Z" +Bтг+1)Z = О,
мы находим *)
1
v —
xvn>
-^—j-я, v=l, 2, ..., [-J
F.31.16)
Это следует из F.31.1) приа= ± -~ . J Пусть, далее, © — фиксированное
положительное число такое, что со < Bп-\-1J. Тогда
1
F.31.17)
Bл+1 —со2J
если только правая часть не превосходит со. При фиксированном v кон-
f v—к- J и vя являются наилучшими.
станты
Если мы сделаем подстановку х — {2п~\-1) 2£, то второе из диф-
дифференциальных уравнений E.5.2) преобразуется в уравнение
If
F.31.18)
Коэффициент при z возрастает вместе с щ поэтому (при фиксирован-
j.
ном v) Bn-\- lJxvn убывает при возрастании п. Следовательно, мы имеем
i i
(см. C)) соответственно неравенства Bп + IJ xvn< Dv + IJ xV) 2V или
Dv + 3J xV) 2v+i- Таким образом, справедливы следующие неравенства:
Г
4v + l
1 »
,2
Bп+1)
I '
2
F.31.19)
]) Здесь и в последующих формулах верхняя строка соответствует случаю п
четного, а нижняя строка—случаю п нечетного.

140
НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Гл. VI
Для наименьшего положительного нуля х1п мы получаем ( х12 = 2 2 ,
1,
Kf»
тс
Т
5 \i
2 V
< { I 21 V
"o" 2
п>2.
F.31.20)
Здесь верхние границы точнее, чем та, которая получается из F.31.19)
при v == 1. Из F.31.20) мы можем вывести границу для минимального рас-
расстояния между последовательными нулями. Из указанного выше свойства
выпуклости легко вытекает, что dn= х1п— жОп, т. е. dn = 2xln прип четном
и dn-=xln при п нечетном. Следовательно,
1
F.31.21)
•, n>2.
Во всех случаях имеем
F.31.22)
Bn + lf
Из большого числа работ по рассматриваемому вопросу мы отмечаем
следующие: Л а г е р р [2], стр. 105; Кораус [1]; Виман [1];
А. Б р а у э р [1]; X и л л е [4]; Уинстон [1]. Хилле получает
те же нижние границы, что в F.31.20), и (надлежащим образом выбрав,
число со в F.31.17)) следующие верхние границы:
я 11
\2п-\
-Y
2 + 2
J }
F.31.23)
При п > 6 эти границы точнее, чем F.31.20). Результаты других авто-
авторов менее точны, чем указанные выше х).
6.32. Метод Штурма; наибольшие нули многочленов Лагерра и Эрмита
A) Пусть а> — 1; перенумеруем нули xv~xvn многочленов
х) и Нп(х) в убывающем порядке
Jj-^ ^> 1Л/2 ^> djg ^> . . . IU.«J^_i.±f
х) Исключением являются нижние границы в F.31.20) для частных случаев
п = 2 и п = 3, в которых выражения Вимана являются точными. При я = 3 верхняя
граница, данная Виманом, совпадает с F.31.20).

€.32] МЕТОД ШТУРМА; НАИБОЛЬШИЕ НУЛИ МНОГОЧЛЕНОВ 141
Нашей задачей будет установить оценки и асимптотические соотношения
для х1г, а также для xvn при фиксированном v и п~■> по.
Теорема 6.32. Пусть гг < i2 < iB < ... — вещественные нули функ-
функции Эйри А(х) (§ 1.81, i±>0). Если \a\>-j, a>— 1, то справед-
справедливы следующие неравенства для нулей {xv} многочлена Ln {%)'•
А А _ I _А
для нулей {xv} многочлена Нп (х) имеют место неравенства
А _ А _А
xv<Bn + lf— 6~*Bn+l) *iv. F.32.3)
Кроме того, при фиксированном v соответственно для нулей многочленов
(х) и Нп (х) справедливы равенства
— 6 ^D?г + 2а + 2) **(iv + en)? F.32.4)
I _А _ А
;rv = B?г + IJ — 6 3Bтг+1) 6(iv + en), F.32.5)
-где lim ед = 0.
Этому замечательному результату посвящена обширная литература
(см. Ц о р н и к е [1]; Хан [1], стр. 227; см. также К о р а у с [1];
Б о т т е x\i а [1]; Ван Вин [1]; Спенсер [1]). Мы применим для
доказательства F.32.3) метод Штурма. Аналогичное рассуждение можно
использовать для установления F.32.2) (см. четвертое из уравнений E.1.2)).
Формулы F.32.5) и F.32.4) следуют из некоторого асимптотического выра-
выражения для многочленов Эрмита, принадлежащего Планшерелю и Ротаху,
и соответствующего асимптотического выражения для многочленов Лагерра;
F.32.4) выполняется при любом вещественном а. Мы рассмотрим эти
формулы в главе VIII (§ 8.9, C)). Они показывают, что постоянные iv
в F.32.2) и F.32.3) являются наилучшими при фиксированном v и произ-
произвольном п.
Отметим, что выражения
А _А _А \
{Dгс + 2а + 2J_6 зD,г + 2а + 2) Ч}2
А _А _А ( F.32.6)
Bл+1J-6 3Bгс+1) <ЧХ j
являются соответственно верхними границами для нулей многочленов
L(n} (х) и Нп (х), причем |а|>— , а> — 1. Здесь постоянная
6" Ч1= 1,85575... F.32.7)
не может быть заменена меньшим числом. Это более точные оценки, чем
была указана выше.
Равенства F.32.4) и F.32.5) могут быть соответственно записаны
в следующей форме:
_ _i F.32.8)
-6 4vBn) 6 + o(/i 6), n~>oo.

142 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
Первое из них может быть представлено также в виде
_ i А 1
i3). F.32.9)
B) Полагая hn = Bп + IJ и подставляя х =■ hn — | во второе из уравне-
уравнений E.5.2), мы получаем уравнение
Затем мы сравниваем это уравнение с уравнением
Щ-+ 2hn\Z = 0, F.32.11)
которое имеет решением Z = A {(б/г^K^}, где А (#) —функция Эйри, опре-
определенная в § 1.81. Мы можем теперь применить теорему 1.82.1 на всей
прямой (—оо,' + °°); условие A.82.2) удовлетворено при !■ =—оо (см.
последнее замечание в § 1.81). Таким образом, мы имеем неравенства
F/гп) 3iv < hn — xv, что и доказывает F.32.3).
C) Наметим здесь схему прямого доказательства F.32.5), основанного
на методе Штурма. Пусть вещественная переменная | будет подчинена
условию |£|<2йЛеп, где 0<еп<1; выбором еп распорядимся далее.
Мы имеем
SAr.E A — е„) при £>0,
>L 1)л , [ 1^П F.32.12)
!Ang(l + eJ при |<0. v r
Сравним F.32.10) с уравнением
-7Г2~~Г ^^пЬ (-"■ i en) & == ^» (O.OZ.IO)
где знак « + » соответствует случаю | < 0, а знак « — » случаю | > 0. Исполь-
Используя обозначение A.81.1), мы рассмотрим при —2/г/ге^<|<0 решение
1 1 1 1
I {F/гпK A + епK 1} - /с{F/гпK A + ej3 1} кГх\ ' F.32.14)
где
Хп = F/гпK A + епK 2Кгп. F.32.15)
Это решение обращается в нуль при \= —2кпгп. С другой стороны>
при 0<|<2/гпег1 мы рассмотрим решение
При |= 0 в силу A.81.1) оно имеет то же значение и ту же производную*
что и F.32.14). В соответствии с теоремой Штурма Hn(hrb — |) осциллирует*
на отрезке — 2/гпеп< |< +2/г„еп быстрее, чем функция £ = £(^). кото-
которая определяется посредством F.32.14) и F.32.16).
Единственным отрицательным нулем функции £ (|) является | =
= —2hnEfr. Вычислим теперь положительный нуль функции F.32.16),.
т. е. такое значение |, при котором выполняется равенство
1 1 1
7 / V \
F.32.17)
Если еп достаточно мало, а Хп достаточно велико, то правая часть близка

6.4] ТЕОРЕМА ПОЛНА И СЕГЁ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ
к — 1, а рассматриваемый v-й нуль при фиксированном v близок
к FAJ 3 A — eJ 3 iv. Если Хп велико и положительно, то из A.81.3)
и A.81.5) мы получаем
F.32.18)
Пусть теперь v0 — фиксированное положительное целое число, а е —
произвольное положительное число. Выберем
_4 ill
en=hn Зсо, Xn = 2.6^(l + ej3co>2.63co, F.32.19)
i_
где со — фиксированное положительное число, столь большое, что 2-6 со >
> Ц,+ 1, а левая часть F.32.18) меньше, чем е. При достаточно малом е
и п—> оо первые v0 нулей выражения F.32.17) будут иметь вид
FAJ 3A-е,г) 3(*v + 6), v=l,2, ...,v0, F.32.20)
где | б | произвольно мал одновременно с е. (Во всяком случае, предпола-
предполагается, что | б | < 1.) Мы видим, что при достаточно большом п выражение
F.32.20) будет меньше, чем 2/гпеп. Поэтому, если мы применим теорему
Штурма на отрезке — 2/гдеп<|< +2/г^ел, то будем иметь
hn-xv<Fhn) 6(l-en) *Ч^ + 6). F.32.21)
Последнее соотношение в соединении с F.32.3) дает требуемое утвержде-
утверждение F.32.5).
6.4. Теорема Полна и Сегё о тригонометрических
многочленах с монотонными коэффициентами
Теорема 6.4. Пусть а0 > ах > ... > ат > 0. Тогда функции
f (£) = а0 cos mt + аг cos (m — 1) t + . . . + ат_г cos t-\-am,
l-~-2jt+'- F.4.1)
3^ ,
имеют только вещественные и простые нули, причем точно по одному нулю
соответственно в каждом из промежутков:
1 ,1 1 .1
я и n<t< rt, F.4.2)
n<t< я и n<t<
где соответственно [г = 1, 2, ..., 2т и [г=1, 2, ...,
Первая часть утверждения принадлежит Полна [3], стр. 359;
в своем доказательстве он использовал принцип аргумента (теорема 1.91.1).
Следующее доказательство устанавливает не только результат Полна, но
и неравенства F.4.2) (см. Сегё [20], стр. 9—11). Оно основано на фунда-
фундаментальной теореме Фейера (Ф е й е р [1]; см. Полна и Сегё [1],
часть II, отдел VI, задача 17), которая состоит в том, что синус-полиномы
an@ = sin|- + sin^+...+sin(n + 4-)^ F.4.3)
п=-0, 1, 2, ..., 0< t <2л,
неотрицательны.

144 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. YI
Если f (i) и g (t) означают соответственно функции, сопряженные
с f(t) и g(t), то имеем
= 2 ^ sin (ii + y)'. F.4.4)
Это выражение при 0 < £ < 2я положительно, в чем можно убедиться с по-
помощью преобразования Абеля A.11.4). Следовательно, выполняются нера-
неравенства
/ (*) sin ( т + ~*)t -T{t) cos Ст + -fЛг > О, )
V l J V l J F.4.5)
los(iw+l)^>0, 0<^<2я. j
Отсюда следует, что
sign/1 ^—4nj = sign^|^l|nJ = (-ir+1. F.4.6)
Это показывает, что в промежутках F.4.2) лежит по крайней мере по одному
нулю. С другой стороны, функции F.4.1) не могут иметь более чем 2т
и соответственно 2т-\-1 нулей в [0, 2я].
6.5. Обобщение многочленов Лежандра, данное Фейером
A) Исходя из представления D.9.3) многочленов Лежандра, Ф е й е р
[9] ввел «многочлены Лежандра Fn (x), соответствующие данной после-
последовательности а0, а1? а2, ...» следующим образом:
Fn (cos 6) = 2аоад cos nb + 2^^^ cos (n — 2) 0 + . ..
2an_ian_|-i cos 0 при п нечетном,
2~ ~ F.5.1)
ап при п четном.
2
Классические многочлены Лежандра Рп (х) получаются при
«o = go = l, «n = g» = i4ftT?£i1' «=1,2,3,..., F.5.2)
а ультрасферические многочлены Р^ (х) (§ 4.9, D)) при
« = 1,2,3,... F.5.3)
Многие свойства, которыми обладают многочлены в этих частных случаях,
могут быть распространены на общие многочлены Fn(x), если подчинить
последовательность {ссп} надлежащим ограничениям относительно моно-
монотонности и асимптотического поведения.
B) Теорема 6.5.1. Нули Fn (x) являются вещественными и про-
простыми и лежат в промежутке — 1 < х <1, если только ац > 0 и последова-
последовательность
J5L, ^, ..., ^и_, ... F.5.4)

6.5J ОБОБЩЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА, ДАННОЕ ФЕЙЕРОМ 145
монотонно возрастает. Точнее, каждый промежуток
V—2 V+-2
я' v = 1? 2' • ' *' п' F.5.5)
содержит ровно один нуль многочлена Fn(cosQ).
См. С е г ё [20], стр. 15—17. При указанных условиях коэффициенты
в F.5.1) образуют убывающую последовательность, и утверждение выте-
вытекает непосредственно из теоремы 6.4, если мы положим п=2т или п=^
= 2т+1 (в зависимости от четности или нечетности п) и 20 = £. Рассматри-
Рассматриваемые условия выполнены для многочленов Лежандра и для ультра-
ультрасферических многочленов Р^ (х) при 0 < А, < 1.
Неравенства F.5.5) не столь точны, как неравенства Брунса F.21.5),
но зато они справедливы для сравнительно широкого класса многочленов.
C) Теорема' 6.5.2. Пусть последовательность {ссп}, ап > 0, будет
абсолютно монотонной, т. е. все конечные разности х)
) a + ( ) а +( !)fc > О,
2
ft, л = 0, 1, 2, . .. F.5.6)
Тогда нули xv = cos 0V, 0 < 0V < я, многочлена Fn (x) не только вещественны
и лежат в промежутке (—1, +1), но они также удовлетворяют нера-
неравенствам F.21.7) Стилтъеса
[] F.5.7)
Здесь знаки равенства имеют место тогда и только тогда, когда Fn(x)
является соответственно многочленом Чебышева первого или второго рода.
См. Ф е й е р [17], стр. 311—312. В соответствии с важной теоремой
Хаусдорфа [1] класс абсолютно монотонных последовательностей
[a J, аг > 0, тождествен классу последовательностей, которые могут быть
представлены в виде
1
an=^tnda(t), п = 0, 1, 2, . .., F.5.8)
6
где а(£) — неубывающая функция, отличная от постоянной и такая, что
2а (t)=a (£+0)+а (£—0) приО < t < 1. Для последовательностей этого рода
выполнены условия теоремы 6.5.1 (на основании неравенства Буняков-
ского—Шварца). Ультрасферические многочлены Р^] (х), 0 < А, < 1, полу-
получаются (см. A.7.2)) при
1
^ , л = 0,'1, 2, ... F.5.9)
Многочлены Чебышева первого рода являются предельным случаем F.5.9),
так как
1
ao=l, ]imrian=^n^ = -» л =1,2,3,..., F.5.10)
следовательно,
2 --- 5, п =1, 2, 3, ... F.5.11)
п
х) Это определение конечных разностей отличается от данного в B.8.4).
10 Г. Сегё

14E НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
Многочлены Чебышева второго рода получаются при ап = гп, 0 < г < 1 г
т. е. a(t) имеет только одну точку роста в интервале 0<£<1.
Идея Фейера состоит в следующем:
1 1 п
Fn(cosd)= \ ^{21 tkun-h cos (п-2к)д} da (t) da (и). F.5.12)
6 0 ' k=0
Элементарное преобразование подынтегральной функции дает:
+ + sine
так что
F.5.14)
где Ап @) и Вл @) — положительные функции] в промежутке 0 < 0 <'я,
если только а(£) имеет по меньшей мере две точки роста. Отсюда следует,
что
sign Fn {cos (v - у ) f} = - sign^ jcos v^| - ( - l)v+1,
v=l, 2, ..., [J] , F.5.15)
что и доказывает утверждение.
Последняя часть этого рассуждения аналогична рассуждению, при-
примененному при доказательстве теоремы 6.4.
D) Ф е и е р ([20], стр. 40—45) рассмотрел также другое замечатель-
замечательное обобщение многочленов Лежандра, исходя из представления D.9.5).
Пусть рт 10 и пусть
Gn (cos 0 ) = р0 sin (n + 1) 0 + рх sin (п + 3) 0 + . . .
... + Pm sin fa + 2/w + 1H+ .. . F.5.16)
Этот ряд сходится при 0 < 0 < я (см. § 4.9, B)). Многочлены Лежандра явля-
являются частным случаем, так же как и более общие функции (sin bJk~iP^'\cos 6),
А, > 0, кф1, 2, 3, ... (см. D.9.22)). В этих случаях последователь-
последовательность Pm=/^ (используя обозначение D.9.22)) абсолютно монотонна.
Действительно, мы имеем
Z^ ^
+ 31 т+1 t
Последовательность ут абсолютно монотонна, и в соответствии с из-
известной формулой мы имеем
V/(^)A л? i (Р\ ^ \9Л
i j^'LA Ym-\-V' yyJ.O.iOl
Отсюда утверждение вытекает по индукции х).
Фейер доказал (цитированное место), что (?n(cos9) имеет по крайней
мере один нуль в каждом промежутке
1
]) При к — — это следует непосредственно из D.9.9),

6.6] РЕЗЮМЕ; ЗАМЕЧАНИЯ ОБ УЛЬТРАСФЕРИЧ. МНОГОЧЛЕНАХ 147
в предположении, что
|Зт>0, Дрт>0, А2рт>0, Д3рт>0, т = 0, I, 2, ... F.5.20)
Его доказательство основано на положительности некоторых специальных
тригонометрических полиномов. Мы докажем следующую теорему:
Теорема 6.5.3. Функция Gn (cos 6) имеет по крайней мере один
нуль в каждом из промежутков F.5.19), если только последовательность
(j$m) является абсолютно монотонной.
Это условие более ограничительно, чем условие Фейера, но зато
доказательство становится весьма простым. Используя F.5.8), где вводим
соответственно $п и |3 (t) вместо ап и a(t), мы получаем
1 оо
Gn (cos 6) = [ | 2 tm sin (n + 2m + !) б} # (*) =
0 m=0
о о
Начиная с этого места, доказательство ведется так же, как доказатель-
доказательство теоремы 6.5.2.
6.6. Резюме; дополнительные замечания
об ультрасферических многочленах
A) Мы получили следующие неравенства для нулей ^v = cos6v,
О < 6v < я, (расположенных в убывающем порядке) ультрасферических
л
многочленов Р£* а) (х), а == к — — при 0 < к < 1:
(a) Неравенства F.5.5), выведенные из представления Р^" а) (cos б)
в виде косинус-многочлена:
1 , 1
-ТГрг я < 6v < n+l я? v=l, 2, ..., и. F.6.1)
(b) Неравенства типа Брунса:
1
v
^-я<6у< —^-j-я, v=l,2, ...,п, F.6.2)
т, v=l, 2, ..., и. F.6.3)
Неравенства F.6.2) следуют из неравенств F.21.2), которые были доказа-
доказаны А. А. Марковым и Стилтьесом двумя различными путями (см. F.21.5));
F.6.3) являются частным случаем более общих неравенств F.3.7), дока-
доказанных методом Штурма. Неравенства F.6.2) являются более точными,
1 1
чем F.6.1) и F.6.3) при к < -к-; при к > у справедливо противоположное
утверждение.
(с) Неравенства типа Стилтьеса:
__J_
_2-Л<ву<-7ГхТя, v=l, 2, ..., [!'] . F.6.4)
10*

148 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. М
Они вытекают из F.21.3) и были доказаны Стилтьесом. Они также могут
быть легко выведены из неравенств F.21.2), которые принадлежат
А. А. Маркову и Стилтьесу. Фейер получает их из D.9.19) или D.9.22)
(см. теоремы 6.5.2 и 6.5.3). Сегё установил верхнюю границу методом
Штурма (см. § 6.3, C)). Верхняя граница здесь точнее, чем в предыдущих
неравенствах; нижняя граница лучше, чем в F.6.2), и при к < -^
лучше, чем в F.6.3).
(d) Нижняя граница, указанная Сегё:
6V>
>- n+l -я, v=l, 2, ..., [■£] . F.6.5)
Она получается методом Штурма двумя различными путями (см. 6.3,
B) и E)). Относительно третьего метода см. ниже в B). Эта нижняя гра-
граница точнее, чем каждая из предыдущих.
B) (е) Комбинируя интегральное представление D.82.3) с рассужде-
рассуждениями, проведенными при доказательстве теорем 6.4, 6.5.2, 6.5.3, Фей-
Фейер ([19], стр. 208) получил неравенства:
^^^^n, v=lf2f .... [|]. F.6.6)
Нижняя граница та же, что и в F.6.5). Верхняя граница при Х<у
меньше, а при к > -=- больше, чем верхняя граница в F.6.4).
Для доказательства мы подставляем границу F.6.5) в D.82.3),
0 < 0 < -у-» и находим, что
sign Р{п] (cos 6) - ( - l)v sign S {eK ^~^ A - te2i*)~k}. F.6.7)
Оказывается, что последний знак является постоянным при изменении
t в промежутке 0 < t < 1. Действительно, аргумент выражения, стоящего
в скобках, лежит между 0 и — к(^—б]. Следовательно, F.6.7)
равно (-l)v+1.
После подстановки верхней границы F.6.6) в D.82.3) мы получаем
sign P{^ (cos 6) - ( - l)v sign S A - te^)~^} = ( - l)v, F.6.8)
что и доказывает утверждение.
Итак, резюмируем: нижняя граница F.6.5) является лучшей среди
указанных здесь нижних границ; что же касается верхней границы, то
либо F.6.4), либо F.6.6) будет соответственно более точной в зависимости
1 1
от того, будет ли к > -тг или же к < -^-. Мы не рассматривали здесь тех нера-
венств, которые содержат нули функций Бесселя.
6.7. Электростатическая интерпретация нулей
классических многочленов
Стилтьес ([4], [5], [6], стр. 75— 76; см. также Шур [1]) сде-
сделал из дифференциальных уравнений классических многочленов весьма
интересные выводы, которые тесно связаны с дискриминантами этих мно-
многочленов (см. § 6.71) и могут быть трактованы как задачи электростати-
электростатического равновесия.

6.7]
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
149
A) Задача. Пусть р и q — два данных положительных числа.
Пусть п единичных масс (п > 2) распределены в переменных точках
хх, х2, . . ., хп промежутка ( —1, ■+ 1)» л фиксированные массы р и q рас-
расположены соответственно в точках +1 и — 1. При каком распреде-
распределении точек х1У х2,
хп выражение
k=\
F.7.1)
/г/ V i h/ Ji «^v «^li
v, д=1, 2, ..., n
v< м,
достигает максимума?
Очевидно, In T1 может быть истолкован как энергия системы электро-
электростатических масс, только что определенных. Они создают отталкивающие
силы по закону логарифмического потенциала. Распределение точек при
максимуме соответствует электростатическому равновесию. Максимум
существует, так как Т непрерывная функция от х1ь х2, ..., #ппри
-1<£V< +1, v = 1, 2, . .., п. Очевидно, что в максимальном положении
точки xv отличны от ± 1 и друг от друга. Кроме того, это распределение
точек xv однозначно определено. Для того чтобы это показать, допустим
(см. Поповичиу [2], стр. 74), что
... >хп> -1,
суть две различные системы этого рода; положим
v=l, 2,
Тогда имеем
;, k-^i+k-*;j
±
±
>
1
2
arv-:r
i пг Ху
1
2
п.
F.7.2)
F.7.3)
F.7.4)
следовательно, Г (у) > {Г (ж)} {7"(^')} , причем равенство имеет место
тогда и только тогда, когда xv = x'v. Этим единственность доказана.
Теорема 6.7.1. Пусть р > 0, q > 0 и пусть {xv}, —1<^V<1, будет
системой значений, при которых выражение F.7.1) достигает максимума.
Тогда {xv} суть нули многочлена Якоби Р^' (х), где а = 2р — 1, р = 2д — 1.
Из этого факта снова вытекает единственность максимального распре-
распределения точек xv. Для того чтобы имел место максимум, должны выпол-
дТ г,
няться условия ——=0 или
дх,
xv
= 0.
Если мы положим / (х) = (х — хг) (х — хг
F.7.5)
(х — хп), то F.7.5) примет вид
, 1 ' Y
-=0
F.7.6)
или
A-4) Г (sv
(xv) = 0.
Последнее равенство показывает, что многочлен

150 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VJ
степени п обращается в нуль в нулях многочлена/(#); следовательно, это
выражение равно const. f(x). Сравнивая коэффициенты при хп, мы найдем,
что постоянный множитель равен — п(п+а + $ + 1). Полученное таким
образом дифференциальное уравнение совпадает с D.2.1), и по теореме 4.2.2
многочлен / (х) равен const. Р^"^ (х).
См. также задачу 37.
B) Нули многочленов Лагерра и Эрмита допускают аналогичную
интерпретацию.
Теорема 6.7.2. Рассмотрим положительную массу р в фикси-
фиксированной точке х = 0 и единичные массы в переменных точках хх, х2, ..., хп
на полупрямой [0, оо) с центром тяжести, подчиненным условию
<К F7?)
где К — данное положительное число. Максимум выражения
п
U (.'*!, хг, , .., хп) =\\xvh Ц | xv - хц [ F.7.8)
k=l v, jli=1, 2, ..., n
v< м,
достигается тогда и только тогда, когда {xv} есть последовательность
нулей многочлена Лагерра L^ (сх), где а = р—1, с = К1 (п-\-а).
Теорема 6.7.3, Рассмотрим единичные массы в каждой из пере-
переменных точек хх, х2, ..., хп, лежащих на вещественной оси ( — оо, + оо),
причем момент инерции подчинен условию
xl + xl+...+х*, L 7g
п ' v '
где L — данное положительное число. Максимум выражения
V(:vl7x2i ..., хп)= П |^v-^| F.7.10)
V, JLI—1 , 2, ..., п
V<JLl
достигается тогда и только тогда, когда {xv} есть последовательность
_! I
нулей многочлена Эрмита Нп(сх), где с' = BL) 2(п — 1J.
Существование и единственность распределения точек максимума
в обоих случаях очевидны. Соответствующие xv отличны друг от друга:
в первом случае они положительны. Ясно далее, что для максимального
распределения xv в F.7.7) и F.7.9) соответственно достигается знак равен-
равенства. Отсюда, если q означает надлежаще выбранный постоянный множи-
множитель, то в первом случае будем иметь
_L_4._J_+...+_L- + JL = iL
— Xl Xy X2 Xy— ХП Xv n
F.7.1J)
а во втором случае
L_ + _J_+...+_L_ = _2e
X —Хг X X2 xy Xn П
F.7.12)
В обоих случаях мы полагаем f(x) = (x — хг). . . (х — хп). Если мы заме-
заменим х через са:, где с — надлежащим образом подобранная постоянная,

6.71] ДИСКРИМИНАНТЫ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 151
то эти условия приводят соответственно к первому из уравнений E.1.2)
и к первому из уравнений E.5.2).
Следовательно, в первом случае
а во втором случае
1
/ (х) = const. Hn (с'ж), с = ( -j=- j .
Постоянные сие' могут быть определены из условий F.7.7) -и F.7.9),
в которых при этом имеет место знак равенства. Заметим, что в соответ-
соответствии с E.1.6) сумма нулей Lffl(x) равна п(п-[-а)\ в соответствии с E.5.4)
сумма квадратов нулей Нп (х) равна ^LxLZLJ- я
См. также задачу 38.
6.71. Дискриминанты классических многочленов
Экстремальные проблемы, рассмотренные в предыдущем пункте,
тесно связаны с вычислением дискриминантов классических многочленов
(см. Гильберт [1], Стилтьес [4], [5]). Следующий метод
принадлежит Шуру [2] (см. П о п о в и ч и у [2]).
A) Пусть \Qtl(x)}- последовательность многочленов, удовлетворяю-
удовлетворяющих следующей рекуррентной формуле:
,л / ог\ 1 г» ( 1г\ п т I /i /А 7'1 I \
У О V / ~~~ 1 «;1 V / — (tj1^ "т "\' (U./l.Jj
Мы предполагаем, что а ,сп Ф 0. Обозначим через {xvn} последовательность
нулей Qn(x) и покажем, что
Дп= [\ Qn_l(Xvn)=^( -1) 2 [| ran-2v-,-lcv-lj? дг = 1, 2, 3, ... F.71.2)
v=l v=^l
Допустим, что ?г>2. Коэффициент при х71 в Qn_i(x) равен а±а2 . . . ап1,
поэтому имеем
п
= Ka! .'.".' ^'-"g"^1- »-0Qn(*2, »-l). • .е„(^™-1, n-l). F.71.3)
Применяя рекуррентную формулу, мы получаем
n-l
Д,1 = «1а2 ... «n_/^~n(-cn)n-1 {] Qn_2(^v, п_0 =
v=l
= (-1ГЧ«2 •■■ a^-V-iA,^, F.71.4)
что и доказывает утверждение.

152 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
B) Т е о р е м а 6.71. Дискриминанты многочленов Р^' (#), £п
Нп (х) соответственно равны
%> V - 2~п{п~{) [] vv~2n+2 (v + a)v-* (v + P)v-i (W + v + a + P)n~\ F.71.5)
v=l
(«)= f] vv-2ra+2(v + a)v-1, F.71.6)
=l
3n (n-1) n
{] vv. F.71.7)
v=l
Мы начинаем с известного выражения (см., например, П е р р о н [4],
том I, стр. 259, A2), A3); стр. 260, A6))
2 [j (xvv-XVLn)* =
v, р,= 1, 2, ..., п
<
= ( - \Г^~ {/(«. В)}»"* f] P<f. P)'(xw), F.71.8)
v=l
где /^а' Р^ имеет тот же смысл, что в D.21.6), a {xvn} — последовательность
нулей Рп(а> & (х). Определители D^ и Дп допускают аналогичные пред-
представления. В соответствии с первой формулой D.5.7) в точках, где Pfg> Щх) =
= 0, мы имеем
__ Х2\ А- Р(а, 3) (х\ _ 2 р
' dx n w"" 2^+a + P 1
\ __ Х2\ А- Р(а, 3) (х\ _ ра, в)
' dx n w"" 2^+a + P 1
следовательно,
V=l
n(n+l) П Я^Р^
-1) 2 (С'Р)Г Г2( + )( + РI ^ П
Последний множитель может быть вычислен с помощью F.71.2),
и, учитывая D.21.6), D.1.1), D.1.4) и D.1.5), мы получаем F.71.5).
Выражение F.71.6) может быть вычислено таким же путем, если при-
применить E.1.14), E.1.8), E.1.7) и E.1.10); или даже более просто из F.71.5)
предельным переходом, указанным в E.3.4). Действительно, если {ххп=
= xvn (P)} означает нули Р^* Э) (#), записанные в убывающем порядке, то при
фиксированном v и п мы получаем
p;(xvn) = 2gvn, F.71.11)
3 -¥ со
где {£vn} — нули многочлена LW (х), записанные в возрастающем порядке.
Следовательно,
v, м-=1, 2>
V < \Х
^5, .,
V< |Ll
==r/(a)}2n-2 lim fly^^f/ja, P))-2n+2jD(a, 3)? F.71.12)
3 V ^ У
что и доказывает утверждение.

6.72] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ 153
Дискриминант Dn также может быть получен либо непосредственно
из F.71.5) с помощью E.6.3), либо из F.71.6) с помощью E.6.1). Первый
метод проще. Используя E.5.6), E.5.10), E.5.8) и F.71.2), мы нахо-
находим F.71.7).
6.72. Распределение нулей обобщенных многочленов Якоби
A) Пусть а и Р — произвольные вещественные числа, а Н> 1, и пусть
Р^> Р) (х) означает обобщенный многочлен Якоби, определенный в § 4.22.
Для него также выполняется F.71.5).
Из D.1.1) и D.21.2) следует, что точка х=+1 будет нулем /^ Р} (х)
тогда и только тогда, когда
а= -1, -2, . . ., - п. F.72.1)
(Кратность этого нуля равна |а|; см. D.22.2).) Аналогично, точка х= — 1
будет нулем Р$* & (х) тогда и только тогда, когда
Р= -1, -2, . .., -п. F.72.2)
Наконец, из D.21.6) вытекает, что точка £=оо будет нулем Р$> & (х)
тогда и только тогда, когда
и + а + р=-1, -2, ..., -п. F.72.3)
Если такие значения ос и Р исключены из рассмотрения, то нули jP^' &(x)
отличны от f 1 и оо; кроме того, F.71.5) показывает, что они различны
между собой. (Это следует также из D.2.1); см. § 6.2, C).)Пусть Nv 7V2, N3
означает соответственно число нулей в промежутках —1 < я < +1» —оо<
<#<--1, +1<£< + сю- Мы определим теперь эти числа как функции
от а и р.
Гильберт [1] определил число N1JrN2JrN3 вещественных нулей.
Замечание Стилтьеса ([5], стр. 444) показывает, что он получил
значения Nj_, N2, N3 на три года раньше, чем появилась статья Гильберта.
Результат Клейна ([1], стр. 562—567) относительно числа нулей
общей гипергеометрической функции легко приводит к этим числам (см.
также Шибата [1], Фудживара [1], Сен и Рангача-
р и а р [1]). Применяя символ Клейна
Е(и) =
0 при w<0,
[и] при и > 0, если и— нецелое, F.72.4)
и— 1 при и= 1, 2, 3,
мы можем формулировать следующую теорему:
Теорема 6.72. Пусть а, $ —произвольные вещественные числа
и пусть
}, ^F.72.5)
Z=Z(a, p)=i?{|(-|2« + a+p+ 1|-|аЦ-|р| +1)}
)}
}. J
Если мы исключим из рассмотрения случаи F.72.1), F.72.2) и F.72.3),
то число нулей Р<£> & (х) в промежутках —1 <ж< +1, —оо<ж<—1,

154 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
+ 1 <х < оо соответственно равно
[Гл. VI
A2 = /V2(<z, p) =
.V,-JV,(o, В-
2 '4г
(
*■+.■+») (■+')
<
•2[|-]+1 при
F.72.8)
Заметим, что 2 | , ^~ , 2 J -^- I + 1 принимают соответственно зна-
значения X и X +1 при четном X, а при нечетном X" — значения X +1 и X, следо-
следовательно, iVj равно либо X, либо Х+1. Мы видим также, что условия
Р
Е(-п-р)=О
Е(п+1+ос)
E(n+f+oc+fi)
Е(п+1)=п
О
Е(п+1ф)
Е(-/?-а)=О
Рис. 7.
в F.72.6) эквивалентны соответственно неравенствам Ру*> Р) A) Р^а' Р)(—1) >
>0 или же < 0. Например, если signP(na' $Ц1)Р\?> Р)(—1) = (— 1)А
или (—1)х+1, то соответственно имеем N1(a, P)=X или Х+1. Аналогич-
Аналогичные замечания справедливы для N2 и N3.
Достаточно вычислить только Nx. В силу D.22.1) мы получим Аг2,
заменяя а через —2п—а—Р—1 в F.72.6), а N3 получим из Л^2, меняя мес-
местами аир. Доказательство, которое будет приведено, основано на непре-
непрерывности нулей как функций от а и р.
B) Для удобства обозначим функцию, стоящую в правой части
F.72.6), через М(а, Р), так что мы должны доказать, что A/\(a, P) = M(a, P).
Если точка (a, P) перемещается, то функция N1(a, P) моя^ет измениться
только в том случае, когда (a, P) пересекает одну из прямых линий F.72.1)
или F.72.2). Докажем сначала, что тем же свойством обладает функ-
функция Л/(a, P).
Нетрудный подсчет дает значения Z(a, P) в семи областях, ограни-
ограниченных прямыми линиями а=0, Р = 0 и 2тг+а+Р + 1=0 (рис. 7). Един-

6.72] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ 15Г>
ственными точками разрыва функции Е(и) являются точки и=1, 2, 3, ...;
отсюда следует, что, кроме как на прямых линиях F.72.1) и F.72.2),
функция М(а, Р) может иметь скачки только в треугольнике, где Х(а, Р) =
=£(w+l+oc+P) при условий, чтотг+1+а+Р совпадает с одним из целых /с,
I < /с<га. Пусть а=а0 и Р = Р0 — отрицательные нецелые числа, п+1+ао-{
4-(Jo =/,-, и выберем целые р и q так, чтобы выполнялись неравенства
-/><ао<-/>+1, -?<Р0<-9 + 1,
1</?<гс, l<g<n. F.72.9)
Тогда мы непременно имеем к=п~\-2—р—q. Исследуем Af(a, P) при и+1 +
+а+Р &+е, 0<е<1, где |а—ао| и |Р—Ро| достаточно малы. Очевидно,
кроме того, Х(а, Р)=2£(тг+1+а+Р)=^(/£ ± е)> что соответственно равно
к или к—1. Иными словами, к=Х или к=Х + 1. Тогда (см. замечание
к теореме 6.72) М(а, Р) — к в обоих случаях, т. е. М(а, Р) не изменяется.
C) Покажем теперь, что когда точка (a, P) пересекает одну из прямых
F.72.1) или F.72.2), то скачки функций A^fa, P) и M(a, P) одинаковые.
Это и будет доказывать утверждение F.72.6), так как приа > О, Р > 0 мы име-
имеем N±(a, $) = п и Х(а, $)=М(а, $) = п.
В силу симметрии относительно аир достаточно рассмотреть случай
а = —к ±6, е > 0, 1 < к < п, Р — нецелое, и изучить распределение нулей
вблизи точки х= + 1•
Из D.21.2) мы получаем при а= —
2**1 (*-*)!р(а Э) (х) _
+ c,+1(e)(^-l)fe^+ ... +cn(e)(^-ir. F.72.10)
Здесь коэффициенты являются вещественными рациональными функциями
от е, регулярными при е=0 и
со(О) = с1(О)= ... =Cft.1@) = 0. F.72.11)
Кроме того,
n * Г1
0
F.72.12)
Посредством простых соображений из теории аналитических функций
(см. ниже), мы получим следующий результат. Если б — произвольно
малое положительное число ( й < sin у , к > 1 ) ; то для достаточно малого
е>0 функция Р^а' Р) (ж), а= — &+е, имеет точно /с различных нулей в окре-
окрестности точки х=+1. Более точно, если r\v т]2, . . ., r\h означают числа,
удовлетворяющие уравнению
* F.72.13)
то эти корни лежат в круге
|<fi, v=l, 2, .... А-. F.72.14)

156 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. V]
Заменяя е на — е (т. е. а— —к -—е), получаем тот же результат
в круге
a = l + (eK@)|L£v + 2),- |*|<а, F.72.15)
где £1? £2, . . ., £ft — корни уравнения
-signC;(O)+£* = O. F.72.16)
Корень, соответствующий вещественному r\v или £v, очевидно, вещест-
вещественный.
Для того чтобы доказать предыдущее утверждение,, мы подставляем
1
х = 1+(в\с'о @) \fy в F.72.10) и получаем
_4_ с - (p)(f I r'(()) \) k ук—1-4-р\г'@Мик-\-
• • • т Lk-i \b) \b I co \u; I/ i/ i b I 6o \u/1 У i
fe+l n
Если разделить это выражение на е|с^@)|, то «главными членами» будут
sign Co+z/fe. Теперь мы можем применить теорему 1.91.2 (теорема Руше).
и требуемое утверждение отсюда вытекает непосредственно.
Мы интересуемся в особенности числом вещественных нулей #<+!
в окрестности точки #=+1. Из предыдущего результата мы видим, что
в зависимости от того, будет ли (—1)^ с'о @) положительным или отрицатель-
отрицательным, это число возрастает или убывает на одну единицу, если мы заменяем
е на —е. Учитывая F.72.12), мы видим, что это эквивалентно соответственно
условию
(  / ^^ или ^>^-
D) С другой стороны, мы изучим скачок функции М (а, Р), когда точка
(а, Р) пересекает прямую а— —к при нецелом р. Допустим сперва, что Р>(К
следовательно, X (а, Р) — Е (тг-f-l-f-a). При а— — к ^ е, е>0 мы соответ-
соответственно имеем
Х(а, Р) = Я(и-М-/с±е)= 7 F.72.18)
sign(- 1Г(^
что в обоих случаях может быть записано в виде (—l)z(«' P). Отсюда следует,
что (см. замечание к теореме 6.72) M(a, P) изменяется от п~\-1 — к до п—ку
т. е. уменьшается на единицу. В этом случае имеем
Пусть теперь р — отрицательное нецелое число. Тогда тг-р(
будет нецелым числом вблизи точки а= —/с, следовательно, X(a, P) остает-
остается постоянным в ее окрестности. Более точно:
при тг + 1А;+Р>0,
, 7 £ ' F.72.20)
при az+ 1 — А 4- Р < 0. v ;

6.73] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ОБОБЩЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА 157
В первом случае при ос— —/c^f- e, е > О, мы имеем
sign(-l)v n \JK п ;- | (_1)ПA)й(
что соответственно равно (—1)А(«, P)+i и (_4)^(а»Р). Откуда сле-
следует, что (см. замечание к теореме 6.72) функция М (ос, Р) изменяется от
Х(а, Р) + 1 до Х(ос, Р), т. е. уменьшается на единицу. В этом случае опять
Теперь рассмотрим второй случай в F.72.20). Тогда
= -sign(re+P) или sign(B+P) F.72.22)
соответственно при ос— —/с+ 8, е > 0. Например, если
то М (а, Р) изменяет свое значение от 0 до 1, т. е. снова на единицу. Имеет
место противоположное обстоятельство, если
Это доказывает теорему 6.72.
6.73. Распределение нулей обобщенных многочленов Лагерра
Формула для дискриминанта многочлена Лагерра F.71.6) справед-
справедлива для Lty(x) при произвольном вещественном а и тг>1. В соответ-
соответствии с E.1.7) точка х = 0 будет нулем И*> (х) тогда и только тогда, когда
а= - 1, -2, ..., -п. F.73.1)
(Кратность этого нуля равна |ос|; см. E.2.1). Если эти значения ос исклю-
исключить из рассмотрения, то нули L^ (x) конечны и отличны от нуля; кроме
того, из F.71.6) (или из дифференциального уравнения E.1.2)) мы заклю-
заключаем, что эти нули различны между собой. Пусть п1 (ос) и п2 (ос) соответст-
соответственно означают число положительных и отрицательных нулей. Применяя
теорему 1.91.3 (теорема Гурвица) и E.3.4), мы видим, что если Р велико,
то Р(?,$)(х) имеет по крайней мере п1 (ос) нулей в промежутке ( — 1, +1),
п2(а) — в промежутке ( + 1, +оо) и по крайней мере п—п1(а)—п2(а)
комплексных нулей. Следовательно, используя обозначения предыдущего
параграфа, мы видим, что при Р достаточно большом n1(a) = N1(a, $)
и п2 (a) = N3 (ос, Р), т. е.
пг(а)=. lim ^x(a, Р), п2 (ос) - lim N3 (ос, р). F.73.2)
Ясно, что если а> —1, то п1(а) = п, п2(а) = 0.
Допустим теперь, что ос< —1, ос ф —2, —3, . . ., — п. Из F.72.5) мы
получаем
т v/ ft\ г/ 1 ] л\ И + М+1 ПРИ «>-w,
lim А (ос, р) = К (п + a + 1) = f
З-Н-оо (I 0 при а < — п,

158 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. \1
так как аргумент функции Е в формуле Х(а, f5) не является целым поло-
положительным числом; кроме того,
liin Z(a, p) = #( — и) = 0.
Далее,
1 при a < — я.
Таким образом, в первом случае Nx (а, $) = п-\-[а] +1, а во втором случае
/Vj (a, P) = 0. Следовательно,
w+[a]4-l при а>— п,
0 при а < — п.
Кроме того,
я2(а) = 0 или 1 F.73.4)
в зависимости от того, будет ли
«)= n F.73.3)
17 ( 0 при а < п v '
o или
Теорема 6.73. Пусть а — произвольное вещественное число,
— 1, —2, ...,—п. Число положительных нулейLffl(x)равно п,еслиа> — 1;
оно равно п~\-[а]~\-1, если —w<a<—1; оно равно нулю, если а<—п. Число
отрицательных нулей равно либо нулю, либо единице.
Этот результат также может быть получен прямым методом, аналогич-
аналогичным указанному в §6.72. Действительно, числа пг (а) и п2 (а) могут изме-
изменяться только в том случае, когда а проходит одно из целых чисел —1,
—2, ..., —п. Если а, убывая, проходит через нечетное число этих чисел, то
мы теряем один положительный нуль и приобретаем один отрицательный.
Если же проходимое число четно, то мы теряем один положительный
и один отрицательный нуль. Приа<— п вещественных нулей нет, если п
четно, если же п нечетно, то есть один вещественный нуль (отрицатель-
(отрицательный) (см. Л о тон [1], Хан [1]).
6.8. Многочлены, которые удовлетворяют линейному однородному
дифференциальному уравнению второго порядка.
Теорема Гейне — Стилтьеса
Гейне ([3], том 1, стр.472—479) исследовал следующую задачу:
Задача. Пусть А(х) и В{х) — данные многочлены соответ-
соответственно степени р-\-1 и р. Определить многочлен С{х) степени р—1,
такой, чтобы дифференциальное уравнение
имело своим решением многочлен данной степени п.
Гейне утверждает, что в общем случае имеется ровно
F.8.1)
(^) F.8.2)
различных С (х) этого рода.
Гипергеометрические уравнения D.2.1) и D.21.1) являются уравне-
уравнениями этого типа, в которых р — 1. Функции Ламэ удовлетворяют урав-

6.813 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 15U
нению этого типа при р > 2. Этот случай и был исходным пунктом иссле^
доваыий Гейне по этому вопросу. Стилтьес [3] исследовал лишь
частный случай F.8.1), который, однако, имеет первостепенное значение.
Он получил следующий результат:
Теорема 6.8. Пусть А(х) и В(х) — данные многочлены точной
степени р+1 и соответственно р и пусть старшие коэффициенты мно-
многочленов А(х) и В (х) имеют один и тот же знак. Если нули А(х) и В(х)
вещественны, различны и взаимно разделены, то имеется ровно а много-
многочленов С(х) степени р—1, таких, что дифференциальное уравнение F.8.1)
имеет своим решением многочлен данной степени п. Здесь а имеет смысл,
указанный в F.8.2).
Доказательство Стилтьеса частично опирается на утверждение Гейне,
что а является верхней границей числа многочленов С (х), обладающих
требуемым свойством. Он получает, однако, не только утверждение о суще-
существовании о различных решений, но также следующую их характеристику:
п нулей этих решений распределены всевозможными способами в р про-
промежутках между jp + l нулями многочлена А(х). (Ясно, что числр таких
распределений равно а.) Решение получается посредством рассмотрения
задачи на максимум, аналогичной той, которая трактовалась в § 6.7.
Приводимое ниже доказательство теоремы Стилтьеса использует упо-
упомянутую идею задачи на максимум, но процесс исключения, который при-
применял Гейне (что дает верхнюю границу а), здесь заменен некоторыми эле-
элементарными соображениями, связанными с теоремой Штурма (см. § 1.82).
Таким образом, наше доказательство не зависит от работы Гейне.
6.81. Предварительные замечания
Предположим, как это делает Стилтьес, что
А (х) =-- (х - а0) (х - ах) . .. (ж-ар), а0 < ах < . . . < ар, F.81.1)
и
Это допущение эквивалентно тому, что нули А(х) перемежаются с нулями
В (х) и что старшие коэффициенты А (х) я В (х) имеют один и тот же знак.
Пусть С (х) — данный многочлен. Тогда F.8.1) не может иметь в каче-
качестве решений два линейно независимых между собой многочлена у и z.
В самом деле, в противном случае при х Ф О мы имели бы
y'z— yzr = const, exp j — \ A /J? dx \ = const. Д \x — av f °v . j
Последнее произведение стремится к со при х—>av, что приводит к «проти-
«противоречию, если не имеет места тождественное равенство у'z—yz ~=z 0.
Пусть у — многочлен, являющийся решением уравнения F.8.1), при-
причем уфО. Мы покажем, что у Ф 0 в точке x=av. Если бы, наоборот, это
имело место, то подстановка x=av в F.8.1) давала бы у' = 0. Дифференци-
Дифференцируя F.8.1) к раз, мы получим дифференциальное уравнение порядка к-\-2
относительно г/, которое имеет вид
А (х) у№+2) + [кА' (х) + 2В (х)} 2/И-1) + . . . = 0;
остальные коэффициенты являются также многочленами. Из F.81.2)
вытекает, что B(av) = QvA' (av), так что кА' (av)+2B (av) Ф 0. Следовательно,

160 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VI
еслшу=у' =у" = ...—у(к)=О, то y(ft+1)=0. Тем же путем мы можем показать,
что все нули многочлена у различны.
Докажем теперь, что все нули многочлена у лежат на отрезке [а0, ар].
Полагая y=f (х) = const, (х—х^) (х—х2) ... (х—хп) в соответствии с F.8.1),
мы будем иметь
A (xk) f" (xk) + 25 (xk) f (xk) = 0; F.81.4)
используя F.2.2) и F.81.2), можем записать это в виде
•'• +!Г^х~+Л х -а =а F.81.5)
v=0 V
Допустим, что некоторые из нулей / (х) лежат вне отрезка [а0, ар]. Пусть
хк —один из нулей, обладающих тем свойством, что отрезок [а0, ар] и все
остальные нули лежат в замкнутой цолуплоскости, по отношению к кото-
которой хк является граничной точкой, причем сам отрезок лежит в открытой
полуплоскости. Комплексные векторы
Tfr xmJ xk av
при всех v и т, т Ф /с, лежат внутри угла, не превосходящего я, то же спра-
справедливо и для обратных к ним векторов. Векторы хк—av направлены
внутрь этого угла. Но мы замечаем, что это находится в противоречии
с F.81.5) (по поводу этого рассуждения см. Полна [1]).
Пусть nvn2, ...,np означают соответственно число нулей многочлена г/,
лежащих на отрезках [а0, ах], [av a2], ..., [ар_1? ар]. Тогда мы будем гово-
говорить, что у типа {nv п2, ..., пр). Здесь n1Jt-n2Jr...~{-np=n, а а равно числу
всевозможных типов. Нашей целью является доказать, что существует
ровно одно полиномиальное решение каждого типа, соответствующее а
различным определениям многочлена С (х) степени р—1.
6.82. Задача на максимум
Следуя Стилтьесу [3], покажем сначала, что существует реше-
решение каждого типа в виде многочлена.
Пусть xv x21 ..., ха — переменные точки, каждая из которых отлична
от av, расположенные на [а0, ар] так, что на каждом отрезке [av_i, av]
лежит некоторое определенное число nv этих точек, п1~\-...~\-пр=п. Застав-
Заставляя хк изменяться в фиксированном промежутке, мы рассматриваем мак-
максимум произведения
W= U |%-av|°v П К-%1- F.82.1)
k=i, 2, .... п К, м,=1, 2,
v=0, 1, . . . , V
Ясно, ч"то этот максимум существует и положителен. В положении, которое
соответствует максимуму, точки xk отличны от точек av и друг от друга
и принадлежат заданному типу. Кроме того, мы имеем -г— = 0; отсюда
снова вытекает F.81.5). Если / (х) — многочлен с нулями xk, то последнее
равенство означает, что выражение A {x)f" (х)~{-2В (х) f (x) обращается
в нуль при x=xhl т. е. делится на / (х). Если мы обозначим это частное через
—С (х), то получим F.8.1). Ясно, что ln(W x), не считая постоянного
множителя QnQv In | а^ — av \~х, \х Ф v, равен энергии системы масс qv,
сосредоточенных в aVi и единичных масс, сосредоточенных в хк (см.
§ 6.7, A)).

6.83] ЕДИНСТВЕННОСТЬ 161
Рассуждение, примененное в § 6.7, A), показывает, что система {хк},
соответствующая максимуму, однозначно определена. Это не то же самое,
что единственность решения данного типа, так как F.81.5) не эквивалентно
свойству максимума. Однако легко показать (см. F.22.6)), что F.81.5)
эквивалентно относительному максимуму функции W.
6.83. Единственность
Пусть С(х), у и D (x), z — два различных решения, принадлежащих
одному и тому же типу, С (х) фИ (х). Допустим, что оба многочлена у и z
имеют положительный старший коэффициент. Комбинируя F.8.1) с соот-
соответствующим уравнением для z, мы находим соотношение
(y'z-yz') + C W-T? (*>yz- 0. F.83.1)
Полагая
H=f\ |
v=0
при хфпу, мы получаем
£{Н (y'z- yz')} = D{%°{X) yzH. F.83.2)
гг v D(x) — C (x) „ v
Допустим, что функция A/\ является неотрицательной в фикси-
Л \Х)
рованном промежутке av-i <# < av. Тогда между двумя последователь-
последовательными нулями а и Р (а < Р) многочлена г/, лежащими в этом промежутке,
многочлен z должен менять свой знак по крайней мере один раз. В против-
противном случае произведение yz имело бы постоянный знак, положительный
или отрицательный; следовательно, функция H(y'z—yz') должна моно-
монотонно возрастать или убывать в промежутке a<#<|3. Однако при х=а-\-г,
е>0, последнее выражение имеет тот же знак, что y'z или yz, а при#=Р—е,
е > 0, тот же знак, что y'z или —yz. Следовательно, если yz > 0,
то рассматриваемое выражение переходит от положительного значения
к отрицательному, а если yz < 0, то от отрицательного значения к поло-
положительному, что противоречит упомянутому выше монотонному харак-
характеру изменения функции Н(у'z—yz').
т-. г- y D(x)—C(x)
йсли мы по-прежнему будем предполагать, что функция — л,\
Л {X)
неотрицательна, то функция z должна также менять свой знак в (av_i, у)
и в (б, av), где у — наименьший, а б — наибольший нуль функции у
в (av_i,av;). В противном случае каждая из функций у и z будет иметь
постоянный знак в этих промежутках; более того, у и z будут иметь один
и тот же знак в данном промежутке, поскольку они одного и того же типа.
Тогда H(y'z—yz') будет возрастающей функцией. Она обращается в нуль
при х—» av_i+0, а также при х —> av—0; следовательно, функция y'z—yz'
должна быть положительной в промежутке (av_i,Y) и отрицательной в
F, av). Но при х=у, очевидно, sign (y'z—yz') = sign y'z, который равен
signy'y в точке х=у—е, е > 0, т. е. отрицателен. Мы пришли к противо-
противоречию. Аналогичное рассуждение можно провести в точке х=д.
Наконец, при том же предположении относительно функции
D(x) — C(x) *
' 7 мы замечаем, что многочлен z должен обращаться в нуль
/ W ч
в (av-i> a>v) даже в том случае, если у не имеет нулей в этом промежутке.
Если бы это было не так, то в силу F.83.2) функция Hk(y'z—yz') была бы
И Г. Сегё

162 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. I
монотонной, но последнее не имеет места, ибо Н обращается в нуль в точ-
точках x=av-{, x—av.
Итак, эти рассуждения показывают, что в промежутке (av-i, av) функ-
функция z имеет по крайней мере одним нулем больше, чем функция у, что
п D(x) — C(x) *
невозможно. Следовательно, отношение , ч должно быть отри-
Л (х)
цательным в некоторой точке промежутка av_i < х < av. Меняя местами
С (ж), у и D (х), z, мы видим, что та же самая функция должна быть поло-
положительной в некоторой точке промежутка av_i<x<av; отсюда выте-
вытекает, что разность D (х)—С (х) должна иметь не менее, чем одну перемену
знака в (а^_ь а^). Так как это справедливо при v=l,2, ...,p, то
D (х)—С (х) имеет не менее чем р перемен знака в (а0, ар), что невозможно,
поскольку D (х)—С (х) — многочлен степени р—1.
6.9. Нули функций Лежандра второго рода; обобщение
A) В связи со вторым обобщением многочленов Лежандра, которое
дал Фейер ($ 6.5, D)), мы рассмотрим функцию
#n(cos е) = Ро cos (/2+1N + Pi cos(rc + 3) е-Ь... +Piricos(n + 2/w+ 1N+ ... F.9.1)
Здесь Р т\ 0, так что ряд сходится при 0 < 6 < я. Это — ряд, сопряженный
с рядом G t(cos6), который определен формулой F.5.16). Функция Q^cosB)
из D.9.16) является частным случаем функций Нп (cos9); последовательность
Рт определяется равенствами D.9.5) и абсолютно монотонна. Докажем сле-
следующую теорему:
Теорема 6.9.1. Пусть р п > 0 и {р,п} — абсолютно монотонная после-
последовательность. Функция Н (cosQ), определенная рядом F.9.1), имеет не
менее чем по одному нулю в каждом из промежутков
п, v = 0, 1, 2, .... п. F.9.2)
+
Более точно, Hn(cos(j) имеет нечетное число нулей в каждом из этих
промежутков. Для доказательства мы опять применим представление
Хаусдорфа и из F.9.1) получим
J { | } J TlLli:Ttr , F.9.3)
О m=0 6
где Р(£) — функция того же типа, что а (г) в F.5.8). Подставляя
-^-т-Jt И 0= 7-Я,
мы соответственно находим
(-l)v(cos|—fcosf),
(-l)v+1(sinl-Msin|).

€.9] НУЛИ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА; ОБОБЩЕНИЕ 163
Оба выражения в скобках положительны, что и доказывает утверждение
теоремы. (При v=0 или v=n мы должны учесть, что
lim Hn (cos в) = ( - l)n+1 Hm Hn (cos 6) > О
9~>4-O (М-я-0
оо
(равен + со, если ряд ]р |Зт расходится).)
771=0
B) Теорема 6.9.2. Функция Qn(cos0) (см. § 4.62,C)) имеет ровно
п+1 нулей в промежутке 0 < 6 < я, которые лежат в промежутках
F.9.2).
В этом частном случае теоремы 6.9.1 в каждом из промежутков F.9.2)
не может лежать более чем один нуль; в противном случае полином
Pn(cos9) имел бы по теореме Штурма более чем п нулей.
Неравенства F.9.2) для нулей Q;l(cos6) принадлежат Стилтьесу
([81, стр. 252), его доказательство отличается от данного выше. Ф е й е р
([20], стр. 51—52) получил менее точные неравенства способом, анало-
аналогичным приведенному здесь; однако его предположения относительно
IPW} были менее ограничительными.
C) Теорема 6.9.3. ФункцияЛе жандра второго рода Qn{x) (§4.61,A))
не имеет нулей в комплексной плоскости, с разрезом вдоль отрезка [—1, + 1 ],
за исключением точки х — + °°» которая является нулем кратности
и+1.
Эта теорема принадлежит Эрмиту [3] и С т и л т ь е с у [9] (см.
также Э р м и т—С т и л т ь е с [1], том 2, стр. 80—104, № 267—274).
Следующее рассуждение представляет собой небольшое видоизменение
второго доказательства Стилтьеса.
Мы исходим из D.62.10). Функция Qn(x) имеет тг+1 нулей внутри
промежутка (—1, +1), которые перемежаются с нулями Р ь (х) (см. теоре-
теорему 6.9.2). Пусть -]- 1 = х0 > хх > ... > ха > ж1+1= — 1 означают нули
многочлена A — х2) Рп(х), записанные в убывающем порядке. Тогда
signQJzv) = (-l)\ v = 0, I, 2, ..., n+L F.9.5)
Кроме того, Qn (x) — решение D.2.1), а=C = 0, следовательно,
р ,. является возрастающей функцией на отрезке—1 <х< +1
(см. D.2.6)); она обращается в бесконечность в каждой точке xv.
+1
Рис. 8.
Кривая на рис. 8 окружает точки х= ± 1 и обходит нули многочлена
Рп{х) по полуокружностям. Мы покажем, что изменение arg ^ у' \ вдоль
I "п \х) )
этой кривой равно 2яB/г+1). Тогда по теореме 1.91.1 (принцип аргу-
аргумента) функция ^iLpL имеет ровно 2га+1 нулей вне этой кривой. Но
Гп (X)
поскольку она имеет нуль кратности 2п + 1 в точке х = оо, то наше утверж-
утверждение будет установлено.
Пусть е — достаточно малое положительное число. Так как х обхо-
обходит точку +1 в отрицательном направлении (по часовой стрелке) от
1 + 8 к 1 — е, то изменение рассматриваемого аргумента приближенно
равно (см. D.62.7)) изменению аргумента In т—величине, которая
X 1
И*

164 НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ £Гл. VI
стремится к нулю вместе с е. Если х пробегает отрезок 0Txv-e
до Zv+i — e (v = 0,l, 2, ... ,п) вдоль «нижнего края» разреза
[ — 1, + 1 ], то мы имеем
При этом у изменяется вдоль прямой линии $у = ^- в направлении
убывающих абсцисс. Изменение аргумента у равно + я.
В окрестности точек xv (v = 1, 2, ..., п) функция „,\ отличается толь-
ко ограниченным слагаемым от
0.W , *£><0. F.9.7)
Следовательно, полуокружность в нижней полуплоскости с центром в точ-
точке xv перейдет в кривую, приближающуюся к большой полуокружности
в нижней полуплоскости; при этом аргумент у возрастет на + л.
Наконец, если мы обходим точку х = — 1 в отрицательном направлении
от —1-|-8 к — 1 — е, то изменение аргумента у опять стремится к ну-
нулю вместе с е.
Итак, когда х перемещается вдоль нижнего края кривой от +1 + 8
к — 1 — е, общее изменение аргумента у равно (п + 1) л + п% = Bп + 1) я.
То же самое имеет место, когда х изменяется вдоль верхнего края кривой
от — 1 — е к +1 + 8. Этим теорема доказана.
6.10. Дальнейшие результаты
A)~Пусть {0vn} — нули многочлена Pn(cos0) на отрезке [0, я], зануме-
занумерованные в порядке возрастания. Ту ран [1] доказал, что последователь-
последовательность xvn — #v,n-b гДе ^vn^cosQvn» является возрастающей при изме-
изменении v от 1 до -тг (п — 1) . Сегё доказал (в переписке с Тураном
в 1946 г.) тот же факт для разностей 0Vf n_i — 9vn.
B) По поводу вопросов, рассмотренных в §§ 6.8—6.83, см. также
Макай [3].
C) Рассуждение, указанное в § 6.9, C), приводит к более общему
результату относительно числа нулей функции Qn(x)—аРп(х) в комплекс-
комплексной плоскости с разрезом вдоль отрезка!—1,1], где а — данное комплекс-
комплексное число (см. цитированные работы Эрмита и Стилтьеса). Это число
|
равно 2тг+1, если ——<$а<^-,и равно п, если ^а> +-|- или
За<~§.
В самом деле, в случае —-^ < За < +-^ нет надобности вносить
какие-либо существенные изменения в предыдущие рассуждения. Пусть
теперь $а > -|-. Если х описывает отрезок от xv—- 8 до xv + e вдоль ниж-
нижнего края разреза [— 1, 1], то аргумент функции у — а изменится на — я.
Обход по полуокружностям вокруг xv, а также обход по верхнему краю
разреза не вносят изменений. Значит, общее возрастание аргумента
функций у — а будет

6.10 J ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 165
Пусть $а = +~9~# ^а 0ТРезке [#v — e, "£v+ 8] есть единственная точка
£, в которой Qn (%>)/Pn (£) = SRa. Мы должны применить некоторое распро-
распространение контура в нижнюю полуплоскость и учесть, что при б > О
с/ d Qn (ж-i
1 v^ ^w
мнимая часть выражения, стоящего справа, равна
2 0<2'
где 6' > 0. Рассуждения аналогичны, когда $а= —о" •

ГЛАВА VII
НЕРАВЕНСТВА
Для общих ортогональных многочленов не известны какие-либо
неравенства, кроме тривиальных. Однако неравенства, включающие в себя
константу, величина которой не определена, легко могут быть выведены
при некоторых условиях относительно весовой функции ш(х). Более точные
оценки могут быть получены, ecjin.w(x) монотонна; при этом дополнительном
ограничении устанавливается большое число специальных неравенств.
Другой, весьма обширный класс неравенств может быть получен для
классических ортогональных многочленов. В настоящей главе мы укажем
и сравним различные методы, применяемые для вывода этих неравенств.
За исключением интегральных представлений и рядов, основным инстру-
инструментом исследования являются дифференциальные уравнения. Мы должны
заметить, что по существу это метод получения неравенств для решений
некоторых дифференциальных уравнений (см. теорему 7.31.1). В последние
годы этот метод с небольшими видоизменениями применялся несколько раз
в отдельных специальных задачах (не только для многочленов) в первую
очередь Ватсоном и С. Н. Бернштейном; эта идея, впрочедг, восходит
к Н. Я. Сонину1).
В конце этой главы мы применяем упомянутые выше неравенства при
рассмотрении некоторых экстремальных задач, содержащих многочлены
данной степени.
При выборе материала, излагаемого в этой главе, мы должны были
учесть нужды последующих глав, в особенности IX, XIV и XV. Истори-
Исторически большая часть неравенств для классических многочленов возникла
при исследовании соответствующих разложений в ряды.
Мы отложим до главы VIII асимптотическое вычисление некоторых
максимумов (которые могут быть выражены и в терминах неравенств),
так как это требует более трудных вычислений. Однако мы сочли необхо-
необходимым в настоящей главе воспользоваться некоторыми асимптотическими
результатами главы VIII.
7.1. Грубые границы для ортогональных многочленов
В этом параграфе мы существенно используем представление поло-
положительных функций, рассмотренное в § 10.2. Однако это не будет играть
роли в остальной части главы VII.
A) Пусть w (х)— такая весовая функция на отрезке [—1, +1], что
существует в смысле Лебега интеграл
\ A-я2) 2lnw(x)dx. G-1.1)
-1
2) См. Н. Я. Сонин [2], § 16. Автор обязан этой ссылкой Шохату.

7.1]
ГРУБЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
167
(Из этого допущения следует, что w (х) не может обращаться в нуль на це-
целом отрезке.) Пусть D (/; z)=D(z)—функция, ассоциированная с функцией
/ (в) = ш (cos0) [ sinЭ [ в смысле, определенном в § 10.2, B).
Конформное отображение х~ —
переводит единичный круг
+1.
\z\ < 1 (или \z\ > 1) в х-плоскость с разрезом вдоль отрезка —1
При z = eib мы имеем х= cos9 (см. § 1.9).
Теорема 7.1.1. Пусть {рг(х)} — ортонормалъная последователь-
последовательй ф () 1 +1
ность многочленов, соответствующих весовой функции w(x), —i
для которой существует интеграл G.1.1); тогда
\лгЩ2)рп(хJп\<A-\г\2)~г, |z|<l,
где x=-tt(z-\-z~1) — произвольная точка плоскости с разрезом.
Действительно (см. A0.2.9)),
+ 1
= ^ Р2п (ж) w (x) dx =
-1
pi (cos 0) w (cos 0) | sin 0 | db =
-1-я
= Hm 4- \
Г-+1-0 Z J
+1,
G.1.2)
G.1.3)
Но если функция / (z) = 2 cmzm регулярна в круге |z|< 1, то по
m=0
неравенству Коши — Буняковского мы имеем
-f- \ |/(ге*»)|8«Й), G.1.4)
что и доказывает утверждение.
Граница в G.1.2) становится бесконечной, если х лежит на отрезке
[—1, +1]; для всех других значений х она дает первую оценку величины
р L (x) при достаточно общих условиях. Это сравнительно точный резуль-
результат; мы покажем в дальнейшем (см. теорему 12.1.2), что при фиксирован-
номхи п—^со левая часть G.1.2) стремится к 2 2. Весьма замечательно, что
при выводе G.1.2) свойство ортогональности не было использовано; мы
опирались лишь на нормированность ра{х).
B) Теорема 7.1.2. Пусть w (х)—функция, ограниченная снизу поло-
положительным числом, т.е. w (х) > \х > 0. Если х не принадлежит от-
отрезку [—1, +1], то
G.1.5)
еде (х2—IJ выбрано из условия | х-\-(х2— IJ | > 1. Постоянная А зависит
от х и \х, но не зависит от п; А равномерно ограничена вне замкнутой кри-
кривой, содержащей внутри себя отрезок [—1, +1].
В этом случае | D (z) \ >
G.1.2), получаем неравенство
Я|1A-**) I, , ,
2 (см. A0.2.10)), откуда, учитывая
G.1.6)

168 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
C) При том же предположении, что w (х) > |л>0, мы можем также лег-
легко найти границы для ра (х) на самом отрезке ортогональности — 1 < х< +1.
Действительно, если|г|<1, то в силу неравенства G.1.6) мы имеем
( Щ- J2 A — |z|2J | рп (х) zn | < A — ] z |2) 2# Пусть точка х принадлежит
отрезку [—1,+1], o: = y(z + 2~1), где |z| = l. Тогда pn(x)zn есть я2г
относительно переменной z, и при — 1 <£< +1, | z| = 1, г < 1 мы
имеем
lei—4-
1 1
где £ = -75" (£+ S). Полагая г2=1 при тг>2, —1<д;<1, получаем
неравенство
При —1 <.r<-f-l мы можем показатель степени при п, равный единице,
в G.1.7) заменить показателем -^ (см. G.71.28)),
D) Этот же элементарный метод дает представление о величине много-
многочлена Якоби при больших п. В этом случае w (x) = (l—x)a A+ж)Р, а > —1,
Р>—1, и (см. A0.2.13)) будем иметь
D(z) = 2 2 A-2) ^2(l + z) 2. G.1.8)
Из G.1.2) вытекает неравенство
Предположим теперь, что—1<;#<;1; мы получаем, подобно тому, как
в C), неравенство
| /7U (^) | < СгП A — г2) ~ 2 тах | 1 — ^ |~а~ 2 f ! + ^ |"р -2^ G.1.10)
!С1=г
где С зависит толькг от а и р, а г лежит в промежутке 0 < г <*1. Положим
опять г2 = 1 . Рассматривая правую часть G.1.10) при |£| = г»
, и при |£| = г, Jft(C)<0, мы получаем
\\^Л\, _1<,<+1, G.1.11)
где С зависит только от а и |3. «Истинный» показатель степени при п дол-
должен быть max (а + у» Р + 4 ' °") ^СМ* G-32-2))'

7.1] ГРУБЫЕ ГРАНИЦЫ ДЛЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 169*
Для дальнейшего формулируем G.1.9) в терминах многочленов Яко-
би Р{п'^](х) (см. D.3.4)). Если х не принадлежит отрезку [ — 1, +1], та
причем это имеет место равномерно во внешности любой замкнутой кривой,,
содержащей внутри себя отрезок [—1, + 1]. Неравенство G.1.12) следует,
очевидно, непосредственно из асимптотической формулы (8.21.9).
E) Следующая теорема весьма полезна при получении оценок для
ортонормальных многочленов.
Теорема 7.1.3. Пусть w(x) uw(x) — две весовые функции на отрезке
Г—1, +11 и пусть ~^1=к(х). Предположим, что к(х)>к>0 и что^
w(x)
эта функция удовлетворяет условию Липшица
| к {хг) - к (х2) \<Х\х1-х21. G.1.13)
Если {рп (х)} и {ра (х)} — ортонормальныемногочлены, соответствующие
весовым функциям w (х) и w(x), то
\ РЛ^\<^\РпН\ + ^ {\PA^)\ + \Pa-lH\}- G-1.14)
Эта теорема принадлежит Кораусу [3]. Доказательство вытекает
из тождества (см. C.2.3))
+ 1 п
Рп (X) =5 Pn(t){2 Pv (*) Pv (*)} S (t) dt =
-1 v=-0
+ 1 n-1
}
v=0
l\ x) Я_х (t)
-Pn-i(»)Pn(<)}S(Oizf^
где /cn имеет то же значение, что в B.2.15), а кп — соответствующее значе-
значение для ра (х). По неравенству Буняковского—Шварца имеем
+1 +1 I+i I
-1 -1
+1 +1
-1
+1 +1
-1
откуда и вытекает G.1.14).

170 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
Отметим" два1 важных частных случая, которые непосредственно
вытекают из G.1.14), если применить оценки для многочленов Лежандра
я Чебышева (по поводу первого случая см. G.21.1) и G.3.8)).
а) Если w (х) положительна и удовлетворяет условию Липшица
j w (xj — w (x2) \<\\xl — x2\i то мы имеем
рЛх)\<
An\
A' A-х*) I
G.1.15)
где положительные постоянные А и А' не зависят от х и п.
1
Ь) Если w (х) = A — х2) к (х), где к (х) — положительная функция,
удовлетворяющая условию Липшица | к(х1) — к(х2) \ < % \ хх — х21, то мы
имеем
\рл(х)\<А, _1<х< + 1, G.1.16)
где А не зависит от х и п.
По поводу других элементарных рассуждений аналогичного харак-
характера см. Ш о х а т [4], стр. 165— 166, иДжексон [6], стр. 893—898;
<ш. также § 7.71, F).
7.2. Монотонные весовые функции
Теорема 7.2. Пусть w (x) — весовая функция, не убивающая на
отрезке [а, Ъ], где Ъ —конечное число. Если {рп(х)\— последовательность
соответствующих ортогональных многочленов, то функция {w (х)\2 | рп (х) |
достигает своего максимума в [а, Ъ] в точке х-=Ъ.
См. С е г ё [3]. Соответствующее утверждение справедливо также для
отрезка [х0, Ь], являющегося частью [а, Ь], если только функция w(x)
монотонна в [х0, Ь].
Доказательство основано на тождестве
ъ ь
- (Ь) pi (b)-w (x) р\ (х) = 2^w(t)Pn (t) Рп (t) dt+\p*n (t) dw (*),
w\
которое вытекает из A.4.4). Достаточно показать, что это выражение
неотрицательно на а<х< Ъ. Обозначая через хх < х2 < . . . < х и нули
многочлена рг{х), записанные в возрастающем порядке, мы имеем
Рп {t)Pn{t)> 0 при t > ха жра (t) рп (t) < 0 при t < xv Следовательно, утвер-
утверждение тривиально для отрезка xfc<x<^, а для а<х<хх вытекает из
тождества
ь ь.
w (/) рп @ Рп @ dt = U w (t) Рп (t) р'п @ dt -
X
Ра @ Рп (t)dt=-\w @ Рп (t) p'n (t) dt.
Здесь мы использовали монотонность w (х) только на отрезке
Пусть теперь xv<x<^v+b v=l,2, ...,л —1;и>2. Если мы введем
новую весовую функцию
W(x) = w(x){(x-x1)(x-xJ ... (я-О}2,

7.3] МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 171
то соответствующим ортогональным многочленом степени п — v будет
с точностью до положительного постоянного множителя
с нулями #v+i, xv+2i • • ., хл. Действительно, если q (x) —произвольный
.^n_v-l, TO
b b
F (ж) gn_v (x) q (x) dx = \ г^ (ж) /?,г(ж) (ж — жх) (ж — х2) ... (ж — a:v) q (x) dx — 0.
а
Но W7 (я) монотонно возрастает на отрезке #v<a;<&, следовательно,
в силу предыдущих рассуждений при xv^.xKxv+\ мы имеем
W (b) ql^v (b) - W (x) ql_v (x) =w(b)p*(l)-w (x) pi (x) > 0.
В дополнение мы заключаем, что равенство w (b) р\ (Ъ) = w (I) pi (I)
имеет место тогда и только тогда, когда £"< х1У a w{t) обращается в нуль
в [а, £] (ясно, что это условие не имеет смысла, если а = 1) и кусочно-по-
кусочно-постоянна в [£, Ь]. Кроме того, р ,(t) должна обращаться в нуль в точках
роста w (t). (Весовая функция w (х) не может обращаться в нуль при #> xv)
7.21. Применения
Полагая а= — 1, b— + I nw(x) = l, мы получаем важное неравен-
неравенство:
|Рп(ж)|<1, -1<ж<+1, G.21.1)
для многочленов Лежандра Рп (х), Р (I) = 1. Если п > 0, то знак равен-
равенства достигается только в точках х= ± 1.
Другой интересный случай: а = — 1, 6 = + 1» ^ (а:) = | х |2\ А: > 0.
В силу D.1.6) мы имеем \x\k\p[ ' 2^ Bх2~ 1) | <^ ' ^ 2^ A) = 1, сле-
следовательно,
а, 1
Знак равенства имеет место только при х= —1. На отрезке
при больших п это неравенство менее точно, чем первое из неравенств
G.32.6).
В случае а = 0, b= +°°> w (x) = е~х мы получаем для многочленов
Лагерра оценку
е~2|£п(я)|<1, х>о, G.21.3)
причем равенство достигается только в точке х — 0, если п > 0. В связи
с этим случаем см. С е г ё [2] и [3].
7.3. Многочлены Лежандра
Другое доказательство G.21.1) и различные иные важные неравенства
можно получить, используя дифференциальное уравнение для многочленов
Лежандра.
A) Теорема 7.3.1. Пусть п>2. Последовательные относительные
максимумы | Рп (х) \ при убывании х от единицы до нуля образуют убываю-
убывающую последовательность. Точнее говоря, если jjlx, [x2, ..., [л,п, означают
ы

172 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VIT.
максимумы, соответствующие убывающим значениям х, то
1>|л1>Щ>> ... >Игп] • G-3.1)
Отсюда снова вытекает G.21.1). Если п четно, то
1-3... (л —1)
24... п
2
Для доказательства положим
п (п + 1) / (х) = п (п + 1) РЪ (х) + A - я2) />;2 (х). G.3.2)
Тогда мы имеем / (х) = Р\ (х) в точках, где Р'п (х) = 0, а также при
х= ± 1. Следовательно»
шах Р£(я)< max /(ж). G.3.3)
1+1 1^^+1
Далее, учитывая D.2.1), имеем
п (п + 1) /' (х) = 2Р; (х) {л (л + 1) Рп (ж) - хР'п (х) + A - ж2) р; (х)} =
2(х), G.3.4)
следовательно, функция/^) является убывающей при #<0 и возрас-
возрастающей при я > 0. Это доказывает наше утверждение.
B) Теорема 7.3.2. Пусть тг>2. Последовательные относителъ-
ные максимумы функции (sin0J | Pn (cos0) | при 0 возрастающих от 0 до
~ образуют возрастающую последовательность.
Li
Из D.24.2) при а = Р = 0 мы имеем
G.3.5)
Полагая
, G.3.6)
мы получаем
/' @) = 2и' @) [и @) + Ч> @) ^ @) +4 Ч>' № м' @)} = *' @) ^ @)- G-3.7)
Так как я|) @) — возрастающая функция на отрезке 0, -^- , то /' @) > О,
и стало быть, / @) — возрастающая функция. Но / @) = и2 @) при и' @) = 0;
это и доказывает теорему.
C) Важным применением теоремы 7.3.2 является результат:
Теорема 7.3.3. Имеет место неравенство
A -i
rc 2, O<0<jt, G.3.8)
/ 2 \2
причем константа ( — ) «£ может быть заменена меньшей.
Первое доказательство неравенства вида G.3.8) с константой А вместо
( — ) было дано Стилтьесом ([8], стр. 241). Другие доказатель-
доказательства были указаны Гронуоллом ([1], стр. 221) иФейером ([9],
стр. 289—291). Приводимое ниже доказательство принадлежит

7.31] ТЕОРЕМА СОНИНА. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 173
d. H. Бернштейну ([2], стр. 65); это было первое доказательство,
.которое привело к точной константе ( — ) .
Пусть п — четное. По теореме G.3.2) имеем
(sineI |Pn(cose)|<|Pn@)|, 0<6<jt, G.3.9)
где знак равенства достигается при 0 = —. Пусть теперь п — нечетное
•число. Тогда при 0<6<я мы будем иметь
1 II
<sin еJ | Рп (cos б) | < max {/ (е)}2 = {/ (-J)}2 =
где /@) определяется равенством G.3.6). Используя обозначения D.9.2),
мы можем написать1)
С 2 \2 —-
— ) п 2 , п — четное,
G.3.11)
«(Во втором случае мы можем применить D.7.31).) Но так как
i I
— j (^г + 1) , п — нечетное.
то отсюда вытекает G.3.8).
i_
1о, что константа f — J является наилучшей, легко видеть, рас-
рассматривая |Рп@)|при четных п. Кроме того, мы имеем (см. G.32.9),
РО)
-I- 1
2 "т
max (sin 0)~ I p (cos 6) I ^:/—^ 2 л"т, л'-» со. G.3.12)
0<&<я - \ Л У
7.31. Теорема Сонина. Функции Бесселя
Рассуждения, примененные в предыдущем параграфе, могут быть раз-
различными путями обобщены. В частности, справедлива следующая важная
теорема:
Теорема 7.31.1. Пусть у~у (х) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
у = О, G.31.1)
г) Последовательность {т2 gm}—возрастающая, поэтому
у Я

174 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VLD
где ф (х) — положительная функция, имеющая непрерывную производную*
постоянного знака в промежутке х0 < х < Хо. Тогда последовательные от-
относительные максимумы функции \у\ при х, возрастающем от х0 до Хо,
образуют возрастающую или убывающую последовательность в соответ-
соответствии с тем, убывает или возрастает функция ф (хI).
Действительно, если мы положим
/ (х) = у2 (х) + {ф (*)ГУ2 (х) = у2 (х) + ф (х) у'2 (х), G.31.2)
то будем иметь / (х)=у2 (х), если у' (х) = 0, и
/' (х) = 2у' (х) [у (х) + г|> И xf (х) + \ я|/ (x) у' (x)j = г|)' (х) у'2 (х). G.31.3)
Следовательно, s\gnf (х) = —signy'(х); из этого следует справедливость
утверждения теоремы.
В качестве иллюстрации мы применим этот результат к уравнению*
A.8.9) при &=1, #> 0. Мы имеем
и, следовательно, ф (#) —убывающая функция при а2 < ~г и возрастаю-
возрастающая при а2 > — . В последнем случае х надо выбрать столь большим, чтобы
Ф (х) > 0. Мы заключаем из этого, что относительные максимумы функции
х2 | Ja (х) | образуют возрастающую последовательность при а2 < — и убы-
убывающую последовательность при а2 > ~г . В первом случае х > 0, а во
втором случае х > Г а2 —т- J
В соответствии с A.71.7) имеется бесконечная последовательность
таких максимумов, причем они стремятся к ( — j . Мы можем формули-
формулировать следующую теорему:
Теорема 7.31.2. Если через Ja(x) обозначена бесселева функция
порядка а, то справедливо соотношение
Г -
/ 2 Л 2 1 1
x~*\Ja{x)\} = { I 2 2 G.31.5)
I . / 2 лТ 1
I конечен, > ( — ) при а > -^- .
При а= ± ~т можно применить формулу A.71.2). При а<—«- мы
имеем д:2 /а (а:) —» оо при д:—>0 (см. A.71.1)). В этом случае справедливо
2) Профессор Полна любезно указал мне следующее обобщение этой теоремы.
Пусть у (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
еде к(х)*>0, ф (х) ^> 0 w обе функции к (х) и ф (ж) имеют непрерывные производные.
Тогда относительные максимумы функции \у\ образуют возрастающую или убы-
убывающую последовательность в соответствии с тем, убывает или возрастает функ-
функция к (х) ф (х).

7.32] МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ 175*
утверждение второй части теоремы, если только рассматриваемая верхняя
грань берется на произвольной полупрямой [х0, +оо) при х0 > 0.
См. С е г ё [17], стр. 40—44, а также аналогичные теоремы в книге^
В а т с о н а [3], стр. 488—489. См. также § 7.8.
7.32. Многочлены Якоби
A) Рассуждения, проведенные в § 7.3, легко могут быть распростра-
распространены на ультрасферические многочлены. Это будет сделано в § 7.33.
Однако сначала мы остановимся на общих многочленах Якоби Р<£>&Цх).
Основная трудность в применении предыдущего метода к многочленам
Р^' Р) (х) состоит в том, что нет такой специальной точки х=1~ внутри
промежутка (— 1, +1), в которой бы многочлен Р^ Р> (х) и его производные
легко вычислялись, как это имеет место в случае ультрасферических мно-
многочленов, в частности многочленов Лежандра, в точке х— 0. Ввиду этого
нам приходится здесь опираться на некоторые сравнительно простые ре-
результаты главы VIII1). А именно, следующие:
(а) Формула типа Мелера—Гейне (см. (8.1.1)):
lim n-i«n«. P>(cos ± ) = (| Va/a (z),
которая справедлива равномерно в круге | z|<i?, где R фиксировано.
(Ь) Формула Дарбу (см. (8.21.10)):
JL А
><*' р) (cos 6) = п 2 к F) cos (№ + у) + О(п 2),
= n + a Y= —(а + ~ УТ 8<6<Я —е, п—>оо.
~2 УТ'
Здесь е—фиксированное положительное число; оценка остаточного члена
имеет место равномерно. Как в (а), так и в (Ь) параметры аир суть про-
произвольные вещественные числа.
Относительно результатов этого пункта и следующих см. К о г б е т-
л я н ц ([19], стр. 125), С. Н. Бернштейн [2], С е г ё [17].
B) Теорема 7.32.1. Пусть а>— 1, р>—1,
Справедливы следующие соотношения:
max
ntq~)~ п^ если q = тах(а> Р)> " у
. 1
P^P)(^)|~^T, если g = max(a, P)y
G.32.2)
г(9б x' — одна us двух ближайших к точке х0 точек, в которых достигается
относительный максимум.
*) После того как рукопись уже была закончена, автор получил статью Ко-
рауса [Ъ], в которой некоторые из результатов § 7.32 выведены с помощью диф-
дифференциального уравнения для многочленов Якоби, но без применения асимптоти-
асимптотических формул (8.1.1) и (8.21.10).

176 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
Знак — относится к предельному переходу при п —■> оо. Во втором слу-
случае —1<#0<+1, и можно применить (8.21.10). Приводимое ниже рассуж-
рассуждение дает более точный результат, состоящий в том, что max | Pfg* Э) (х) |
на отрезке 0< #< 1 равен п \ 2 / ; аналогичный результат имеет место
при —1 <#<0.
Для доказательства обобщим рассуждение § 7.3, A) следующим об-
образом. ПуСТЬ 72 >1 И ПуСТЬ
[] G.32.3)
Учитывая D.2.1), получаем
п(/г + а+р+1)/'И = 2{сс-р + (а + Р+1)а;}{^Па>Э)И}2. G-32.4)
так что функция /' (х) может изменить свой знак только в точке х=х0.
Итак, условие —1<#0<+1 эквивалентно условию ( а+у)( Р + -т ) > 0-
Пусть теперь а>—^ и Р> — -к-- Тогда последовательность, образо-
образованная относительными максимумами функции | Р^> Р> (х) | на отрез-
отрезке —1<£<#0 и значением этой функции при х= — 1, является убываю-
убывающей, в то время как максимумы на отрезке х0 < х < +1 и значение в точ-
точке х~-\-1 образуют возрастающую последовательность. Следовательно,
j Р{п' ^ (х) I достигает своего абсолютного максимума на отрезке [—1, +1]
в одном из концов отрезка.
1 1
В случае, когда а > — уи- 1<Р< — -^ , линейная функция а—13 +
неотрицательна, и последовательность относительных макси-
максимумов, которую мы рассматриваем, является возрастающей на отрезке
[—1, +1], за исключением случая а=|3=—^-, когда все члены последо-
последовательности равны; заключения будут иметь противоположный смысл,
11 11
еслиР> —^ ' —-1 <^< —~2' Наконец, пусть —1<а<—у , —1<|3< —у,
тогда опять —1<а?0<+1; последовательность максимумов будет возра-
возрастающей на отрезке [—1, х0] и убывающей на отрезке [х0, 1]. Стало быть,
абсолютный максимум функции |^а'Р)(^I иа отрезке [—1, +1] дости-
достигается в экстремальной точке, ближайшей к х0 слева или справа.
См. задачу 39.
C) Т е о р е м а 7.32.2. Пусть аир — произвольные вещественные
числа, ас— фиксированная положительная постоянная. Тогда при п—>оо
fa~ т0 („- т)т если en-i<е <|, G>з2.5)
(9(гса), если 0<б<сп~1.
См. работу С. Н. Бернштейна ([2], стр. 56—65), в которой ис-
используется теорема Сонина, но где доказательство, быть может, несколь-
несколько более сложно, чем наше. С е г ё ([17], стр. 77) исходил из асимптотиче-
асимптотической формулы (8.21.17), которая несомненно является более сложным ап-
аппаратом, чем формулы (8.1.1) и (8.21.10), применяемые ниже.
Границы в G.32.5) точны относительно порядка п. Как было упомя-
упомянуто, они вытекают также из более сложной асимптотической формулы
(8.21.17) типа формул Гильба. Учитывая D.1.3), мы можем получить ана-
аналогичные оценки для отрезка -к- < 0 < л.

7.32] МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ 177
Отметим полезные соотношения, которые следуют из G.32.5):
G.32.6)
Относительно второй оценки в G.32.6) и относительно G.32.7) см. § 7.32, B).
Заметим, что 0 2п 2 ~па при 6^— /г; следовательно, достаточно
доказать G.32.5) при частном значении с. Применим теорему 7.31.1 к урав-
уравнению D.24.2), полагая
а^ ^^ I
/* ft n
G.32.8)
2
J
Пусть сначала 6=6 (a, P)— достаточно малое фиксированное положитель-
положительное число. Тогда функция ф @) будет положительной и убывающей в
О<0<6, если а2 < -г. Она будет положительной и возрастающей
на отрезке ктГ1 < 0 < S, если а2 > -г ; здесь fc—фиксированное число, такое,
а2—- ) » а тг — достаточно большое. Следовательно, в обоих
случаях функция ф @) положительна и монотонна на отрезке /ь72~1<0<б,
где к=к(а, Р), S = S(a, P), а тг достаточно велико. То же справедливо
при ol2=-t , Р2 Ф — . Таким образом, последовательность относительных
максимумов функции | ип @) | на отрезке krf1 < 0 < S является возрастаю-
возрастающей, если а2 < -т-, и убывающей, если а2 > -т-. В соответствии с (8.1.1)
и (8.21.10) мы находим в обоих случаях, что иа F)=0 (п 2). ]Мы имеем
s ft \ а^ 2~ /" 6 \ 2~ а-] —-Ч
( siny ) f cos~2 ) —^ 2 )• ^THM доказана первая часть G.32.5)
при с=к. Вторая часть непосредственно вытекает из (8.1.1).
В случае а2=$2=-т-, исключенном выше, функция ф@)равна постоян-
постоянной. Многочлены i\a» & (cos0) известны в явном виде (см. D.1.7) и D.1.8)).
D) Теорема 7.32.3. Пусть иа @) имеет тот же смысл, что в
G.32.8), а Мп = max | ип @) | при 0 < 0 < ■£
lim
я
G.32.9)
^ -4- ^ 1
конечен, > я ^ , ес/ш а > у
Здесъ Р предполагается большим чем —1.
12 Г. Сегё

НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
См.С.Н.Бернштейн [2], стр. 56—65, С е г ё [17], стр. 79—80;
см. теорему 7.31.2. Предыдущие рассуждения нуждаются лишь в неболь-
шом видоизменении. Нужно рассмотреть максимум функции п2 I ип (б) | при
jt 1 1 1
^ < 6 <; у , если — у <Jа < + у , и ПРИ 6 = n~Xzi 0 <; 2 <; с, если а > -^ .
В первом случае (в соответствии с (8.21.10)) этот максимум ^ л 2 при
п—>оо; во втором случае он будет
1 <хД
jjS \а ^ \- j/e {z) Л =
0<z<c
(в соответствии с (8.1.1)). При достаточно больших с это выражение не
зависит от с и больше чем я * (теорема 7.31.2).
E) Наконец, в качестве приложения тождества D.21.7) отметим сле-
следующее обобщение теоремы 7.32.2:
Теорема 7.32.4. Пусть а и р — произвольные вещественные числа,
а с — фиксированная положительная постоянная, п~^оэ. Тогда
k_\_ k_i_
6 2О(п 2) при с/2<б<~, /7.32 10)
O(n2h+a) при
Из этого следует, что равномерно по х, — !<;#<;+ 1, выполняется соот-
соотношение
G.32.11)
7.33. Ультрасферические многочлены
В случае ультрасферических многочленов предыдущие рассуждения
могут быть упрощены.
A) С помощью тех же рассуждений, что в § 7.32, B), мы находим, что
функция
п(п + 21) f(x) = n(n+ 21) {/><*> (я)}« + A - х
является монотонно возрастающей на отрезке 0 <^ х^ 1, если Х> 0, и моно-
монотонно убывающей, если К < 0; здесь предполагается, что X— нецелое число.
В первом случае считаем, что п > 0, а во втором, — что п > — 2Я. Мы полу-
получаем следующую теорему:
Теорема 7.33.1. Справедливы соотношения
I/ п + 21— 1 \ Л . А
( ^ ) , если К > 0,
V " У G.33.1)
1^@1, если А,<0, Я-
г^ д:' — одна из двух ближайших к точке х — 0 точек, где достигается от-
относительный максимум, когда п—нечетное число; х' = 0 при п четном.
В первом случае мы применяем D.7.3) (см. также теорему 7.4.1).
Во втором случае, если п четно, то мы имеем
шах
G.33.2)

7.33]
УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
179
в случае же, когда п нечетно, то
max | Р®> (х) | < {/ (О)}* ={п(п
@I =
1
п—1\
п— 1
G.33.3)
При rc->oo обе границы в G.33.2) и G.33.3) будут ^2{~х\ Г (А,) Г л31;
первая из границ достигается при #=0, вторая точна в асимптоти-
асимптотическом смысле.
B) Исходя из уравнения D.7.11), мы получаем, рассуждая подобна
тому, как в § 7.3, B), C), следующий результат:
Теорема 7.33.2. Пусть 0 < X < 1. При 0<; б <С л справедливы
неравенства
(sin
ЭпМ (COS 6) |<
2
{A,A-A,H
(^ + ^J} 2 (^ + 1)
/г четном,
при п нечетном.
G.33.4)
(sin 6)^1^ (cos б) I
G.33.5)
константа 21 ^ {Г (А,)} Ч^ может быть заменена меньшей; ап имеет
тот же смысл, что в D.9.21).
В G.33.4) знак равенства имеет место только при четных п
я
V \ причем а,<{Г(А,)} V \
в точке в = ~2- Далее> сса^{
так как последовательность {п{-^ап} — возрастающая; кроме того1),
_1
{1A-Х)+(п+ХJ} 2(п+1I <п%~\ откуда и следует G.33.5).
Менее точные (но более общие) неравенства могут быть получены из
общего результата G.32.5) при а = $~Х—к-. Мы имеем
Р(cosв)-
G.33.6)
где А,— произвольное вещественное, X Ф 0, —1—2,..., с > 0.
C) Отметим один интересный частный случай соотношений G.33.6),
о (?)
а именно Я = ^ (см. Сегё [16j). Мы имеем Р;(ж) = Р^х) (см. D.7.14)),
следовательно,
Эп (COS 6) =
О (л*),
G.33.7>
Ввиду выпуклости кверху функции In x мы имеем
(м + ^— 1),

180 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
Первая оценка может применяться на всем промежутке 0<б<^-2"
(см. G.32.6)). В соответствии с G.33.1) справедливо неравенство
, G.33.8)
причем знак равенства достигается при тг = 0,1, а при п > 1 только в точ-
точках х— ± 1.
Исходя из тождества D.7.27), мы находим
A - **) К {х) = ^g^ {iVx (x) - Рп+1 {х)}. G.33.9)
Мы заключаем из первой оценки G.33.7) (которая имеет место теперь во
всем интервале 0<б^у; см. предыдущее замечание), что справед-
справедливо следующее предложение:
Теорема 7.33.3. Если Рп (х) означает многочлен Лежандра, то
при 0 < 0 < я имеем
А _!
5(), G.33.10)
причем множитель в 0{п 2) не зависит от ft.
Этот результат без множителя (sineJ принадлежит Стилтьесу
(см. Э р м и т—С т и л т ь е с [1], том 2, стр. 174— 177; Ф е й е р [9],
стр. 295 — 298). Настоящая форма теоремы является частным случаем более
общих результатов С. Н. Бернштейна, Сегё и Когбетлянца; см.
Сегё [16].
7.34. Оценки интегралов, содержащих многочлены Якоби
Теорема 7.34. Пусть а, |3, \i — вещественные числа, каждое из
которых больше^ чем — 1. Тогда при п—> оо {относительно второй части
утверждения см. ниже) имеем
G.34.1)
См. Сегё [17], стр. 84—86, где доказано существование пределов
соответствующих отношений и вычислены эти пределы. Доказательство
второй части G.34.1) требует более сложного аппарата (а именно (8.21.18));
здесь мы докажем только, что
= <9Aп>г) и что ггп—>оо. G.34.2)
Этого будет достаточно для дальнейшего (см. § 9.41, E)).
Применим G.32.5), тогда будем иметь
л
1 2
(х) \dx = O(l) \ б2^1 | Рпа' Э) (cos 6) | dd =
п
п
:-2ц-29 2|
1
~21пя, 2|
1
х < а
i = а
i > а
3
3
2 '
3
2 '

7.4] ОБОБЩЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА, ДАННОЕ ФЕЙЕРОМ
181
2)}. G.34.3)
Если 2[i— a + y= 0, то последнее слагаемое надо заменить через О (In n),
С другой стороны,
>Н
о
л
Т
, 2(i<a —у,
G.34.4)
где Л — некоторая положительная постоянная, выбранная надлежащим
образом. В соответствии с (8.1.1) первая из этих границ будет
О
а вторая граница в соответствии с (8.21.10) будет
Л
п
Т
3 1
В случае когда 2fx = a— -j, a>—^ , мы имеем
^ i?1 ^ (cos e) | de,
о о
где со — фиксированное положительное число, а постоянная Аг не зави-
зависит от п и со. Из этого неравенства, учитывая (8.1.1), находим, что
limn2 ^ A-х)ц|^а>Э)(х)|^>2аЛг ^ z 2\Ja(z)\dz.
п->оо 0 0
Второй интеграл неограниченно возрастает вместе с со, что и доказывает
вторую часть G.34.2).
7.4. Обобщение многочленов Лежандра, данное Фей ером
A) Теорема ТАЛ. Пусть {ап} — положительная последователь-
последовательность. Тогда «многочлены Лежандра» Рп(х), определенные по {ап} форму-
формулой F.5.1), удовлетворяют неравенствам
. G.4.1)
Знак равенства достигается только при п = 0 и при п > 0 в точках
х = —-1 или х — + 1.

182 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
Это дает новое доказательство G.21.1) и первой части G.33.1).
B) Неравенства G.3.8) и G.33.5) стилтьесовского типа могут быть
подобным образом распространены на F ь(х), впрочем, с несколько боль-
большими константами. Мы докажем следующее предложение:
Теорема 7.4.2. Пусть
ап > 0, Дап = ал - ап+1 > 0, А2ап = ая - 2а„+1 + ал+1 > О,
/i=0, 1, 2, ..., G.4.2)
и
f(z) = ao + a1z+a2z2 + . .. +anzn+ . . . G.4.3)
Тогда «многочлены Лежандра» Fn(xI соответствующие последователь-
последовательности {ал}, удовлетворяют неравенствам
/(e2ie)|, О<0<я, и»0,1, 2, ... G.4.4)
См. Ф е й е р [9],.стр. 291 — 295; С е г ё [1], стр. 179. Сегё получил
большую границу при более ограничительных условиях. Неравенство
G.4.4) и приводимое доказательство являются новыми.
При допущении G.4.2) функция f(z) регулярна при | z\ < 1 и непре-
непрерывна при | z | ^ 1, | z — 11 > б, где б — произвольно малое положительное
число. Действительно, мы видим, что существует предел lim at = a0
пюо
Если a = 0, то мы применим известное неравенство Абеля A.11.6); если
же a > 0, то напишем ап = (ап— а) + а.
В силу F.5.1) мы можем написать
пв\ «га
^/ 2/ft, z = e™, G.4.5)
где штрих означает, что при п четном последнее слагаемое, соответствую-
соответствующее А==-^ , должно быть взято с множителем 1/2. Таким образом, имеем
l/^cose) |< 2 2'
k=Q
Благодаря A.11.6), мы получаем
G.4.6)
[1],
тах
] = e™. G.4.7)
Полагая
6п (г) = anzn + an+lZ-i + antiz™ +..., G.4.8)
мы имеем по теореме Фейера-Сегё [1] неравенства
Но поскольку
[1] ( Qv^)~Y{Qn(z) + Qn^ (z)}, n-четное,
Y'aftzft = i 2 ^ G-4.10)
^ ()()
I
Qv(z)-Qn+i(z), /г-нечетное,

7.5] РЕЗЮМЕ 183
то модуль буммы в обоих случаях не превосходит 2|/(z) |, откуда я выте-
вытекает G.4.4).
Наметим кратко ход доказательства неравенств G.4.9). Достаточно
показать, что \f(z) \ > | qx (z) |, или что \f(z) \> \f(z) — a0 |, или что
^ при |z|<l. Далее, существует предел Итал = а>0. Так
как мы можем заменить f(z) на f{z) — a(l — z)'1, то можно без ограни-
ограничения общности уже сначала предположить, что а = 0. При | z\ < 1 можем
написать
/ (z) = ^ А2^п {п + 1 + nz + (п - 1) 22 + ... + zn] =
со со
=42
п=0
п=0
Но длд вещественного 0 имеют место следующие равенства:
Ш |^ + ие« + (п - 1) e2i9 + . . . +e
1 Л
-о- + cos e + cos 28 + . .. -\- cos v6 ) =
sin
v==0 2 sin у У sin
См. Ф е й е р [1]; а также Полна и Сегё [1], часть II, стр. 90, 291,
задача 17. Ф е й е р ([9], стр. 295 — 298) распространил также неравенство
Стилтьеса для Рп_х (х)—Рп+1 (х) (теорема 7.33.3) на многочлены Fn(x)*).
7.5. Резюме
В последних параграфах мы дали различные выводы важного неравен-
неравенства G.21.1):
(a) из свойства ортогональности, применяя теорему 7.2;
(b) из дифференциального уравнения (§ 7.3, A));
(c) из тригонометрического представления D.9.3).
Кроме того, оно следует также
(d) из интегрального представления Лапласа D.8.10); действительно,
если — 1 <. х <; +1, то
_L _L
] х -f- (х2 — 1) 2 cos ф | = | х -\- i A — х2) 2 cos ф | =
= {х2 + A - х2) cos2ф}"< {х2 + A -х2)}* = 1.
*) Недавно В. С. Виденский («Докл. АН СССР», 124 A959), 973 — 975) доказал,
что (l — x*)\F'n{x)\ = O(n). {Прим. перев.)

184 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
7.6. Многочлены Лагерра и Эрмита
A) Теорема 7.6.1. Пусть а — произвольное вещественное число.
Последовательность, образованная относительными максимумами функ-
функции \L(a\x)\ и значением этой функции в точке х—0, является убывающей
1 1
при х < а + -у и возрастающей при х > a -\--^-. Последовательность отно-
относительных максимумов функции \Нп(х)\ является убывающей при
и возрастающей при х>0.
В самом деле, функция
G.6.1)
убывает при х < а + -о" и возрастает при о: > а + -^ .Функция
G.6.2)
убывает при х < 0 и возрастает при х > 0. Оба утверждения вытекают
из дифференцирования этих функций подобно тому, как в § 7.3, A); мы
применяем соответственно первое из дифференциальных уравнений E.1.2)
и E.5.2).
B) Теорема 7.6.2. Пусть а — произвольное вещественное число.
Последовательные относительные максимумы функций
х а+1 х а 1
е 2х z \LKn (х)\ не 2х2 4 | Un} (x) \ G.6.3)
образуют возрастающие последовательности при х>х0. В первом случае
0 при а2 < 1,
G.6.4)
2IH-CH-1
при
Во втором случае
0 при а2 < -j- ,
G.6.5)
о^ 1
я/ж а- > — .
В первом случае п выбираем столь большим, чтобы 2п + а+ 1 > 0.
Для доказательства применяем теорему Сонина 7.31.1 к функциям
и и v, соответственно фигурирующим в третьем и четвертом уравнениях
E.1.2). Если уг означает больший из нулей коэффициента при и в E.1.2),
то уп является верхней границей нулей функции и (см. теоремы 1.82.3
и 6.31.2I). Дифференциальное уравнение показывает также, что х=уп
является последней точкой перегиба функции и; следовательно, уп яв-
является также верхней границей точек, где достигаются относительные
экстремумы функции и. Аналогично, если у'п означает больший из нулей
функции 4w+2a+2—х+f— — а2) х~г, то (у'п) 2 является верхней гра-
х) Если этот коэффициент постоянно отрицателен при х>х0, то \и\ не имеет
ни нулей, ни максимумов; аналогично для функции v. Эти случаи могут быть
исключены.

7.6] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА 185'
ницей точек, где достигаются относительные экстремумы функции v.
(Граница в теореме 6.31.2 есть у'п.) Если х0 выбрано, как в G.6.4) или
в G.6.5), то мы соответственно имеем
4*2 4 ^ ' а:2 2а:!
при ж0 < х < у„,
G.6.6>
* + >0, 1<0
при х0 < х < Yn.
Этим наше утверждение доказано.
Теорема 7.6.3. Последовательность относительных максимумов-
функции
е-^\Нп(х)\ G.6.7>
является возрастающей при я>0.
Для доказательства может быть использовано второе из уравнений
E.5.2).
C) Границы, аналогичные G.32.5), могут быть легко получены с по-
помощью асимптотических формул (8.1.8) и (8.22.1), которые соответствуют
(8.1.1) и (8.21.10). Удобно применять с этой целью четвертое из уравнений
E.1.2). Функция 4w+2a+2—#+( 7—а2) я1 положительна и убывает
в промежутке 0<я<;б, если а2^ —; она положительна и возрастает
на отрезке кп'1 ^х^Ь, если &2>-т-, 4/с>Га2—- — j, a n достаточна
велико. Здесь 6 = 6 (а) — достаточно малое положительное число. Таким
образом, как в § 7.32, C), мы получаем следующий результат:
Теорема 7.6.4. Пусть а — произвольное вещественное число,
с и со — фиксированные положительные постоянные. При п —> оэ справед-
справедливы соотношения
х 2 4 о („2 4) при сп-1<ж<а>, G.6.8)
О(па) при 0<х<от~1.
Эти границы точны относительно порядка п; они вытекают также из
более сложной формулы (8.22.4) типа формул Гильба.
При а> — у. обе оценки справедливы в обоих интервалах; следова-
следовательно,
a1 AJ
X
_
2 4
С другой стороны, имеем
G.6.10)

186 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
Вообще, при а произвольном и вещественном
) 0<я<со. G.6.11)
Наконец, мы получаем следующий аналог теоремы 7.32.3:
Теорема 7.6.5. Пусть
х а 1
Мп — max e ^xl ~k [ Z4a) (%)
Имеют место равенства
11
< а < +
_а 1 я 2 при — у < a < -f- у ,
lim?7 2 W. = 4 G.6.12)
конечен, > я ^ гс/ж a > у
Доказательство весьма сходно с приведенным в § 7.32, D); ясно, что
•G.6.12) вытекает также из более глубокой формулы (8.22.4), соединенной
•с G.31.5).
7.7. Теорема Люкача
A) Задача, о которой будет идти речь в этом параграфе (см. Л ю к а ч
[1]), касается более точной формы теоремы о среднем значении
ь
G.7.1)
A—mm / (x), B=maxf(x) в предположении, что f(x) является многочле-
многочленом фиксированной степени п.
Теорема 7.7. Если f (х) — произвольный кп с максимумом А и
минимумом В на отрезке \а, Ь], то
^^a^(x)dx<B-^, G.7.2)
а
-где
(лг+1J, если п — 2тч
/7 7 Я^
(т+1)(лг + 2), если п = 2т+1. К }
Число хя не может быть заменено меньшим.
Этот результат является аналогом теоремы Фейера, рассматривающей
подобный вопрос для тригонометрических многочленов данного порядка п
на отрезке длины 2я. В этом случае тп=/г+1. Доказательство теоремы
^Фейера может быть основано на теореме 1.2.1; однако известны и различ-
различные другие методы (см. Полна иСегё [1], часть II, отдел VI, зада-
задача 50).
Достаточно доказать первое из неравенств G.7.2); второе будет выте-
вытекать из первого, если заменить f(x) на —f(x). Кроме того, не уменьшая общ-
общности, можно считать А=0. Легко видеть, что ха является наибольшим зна-
значением f(x), когда х изменяется на отрезке [a, 6J, a f(x) пробегает класс
неотрицательных на отрезке [а, Ъ\ многочленов степени п, которые удов-
удовлетворяют условию
ъ
f(x)dx=zl. G.7.4)

7.7]
ТЕОРЕМА ЛЮКАЧА
187
Пусть теперь max f(b)~Mn относительно той же последовательности неот-
неотрицательных многочленов степени п. Докажем, что хп=Мъ. Ясно, что тл>
>М^. С другой стороны, если х0 — произвольная точка отрезка [a, fej,
то с помощью линейного преобразования мы убеждаемся в справедливо-
справедливости неравенств
G.7.5)
Умножая первое из них на х0—а, а второе на Ъ—х0 и складывая, находим
G.7.6)
B) Первый способ вычисления Мъ (См. Полна и Сегё[1], часть II,
отдел VI, задача 108.) Полагая а~ — 1, fe=+l, применим теорему
1.21.1 и представим многочлены в A.21.1) как линейные комбинации над-
надлежаще выбранных многочленов. При произвольных вещественных uv,
vv (подчиненных только условию нормировки G.7.8)) мы можем написать
т—1
°' 0) (х)}2 + A -я2) { S OvPV' J) (*) }2 при п = 2т,
/(*) =
v=0
v=0
-х) \ 2 щР[1' 0) (x)Y
v=0
1 + *) ( !• ^0> ° (^)}2 при п = 2т+ 1.
G.7.7)
В силу ортогональности многочленов Якоби, используя обозначения
D.3.3), мы имеем
2 = \ f(x)dx =
-i
Но, с другой стороны,
/A) =
v=0
m
v=0i
W-1
V=0
7П
при az =
G.7.8)
B ц
v=0
2{2
v=0
2 Av0> !)о$ при в = 2»и + 1.
v=0
при n =
G.7.9)
следовательно,
V=0
7П
при п = 2m,
при n =
G.7.10)
Максимум достигается в первом случае при uv = const. {$'0)} l Pv°'0) A)^
^=0, а во втором случае — при mv = 0, vv = const. {/4°'^J -Pv0'1^!)»
v = 0, 1, 2,..., т. Соответствующие многочлены являются, очевидно,
многочленами К{а^ (х) (см. D.5.3)) для случаев а=Р=0 и #=0,
Р=1, т. е. равны соответственно произведению постоянной на P^Q) (х)

188 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
или на Рт'^(х). Следовательно, мы имеем / (х) = const. {Pm'0)(x)}*
или f(x)=const. A+х){Р^'1} (х)}2. Мы получаем теперь G.7.3) из G.7,10)
прямым вычислением или, еще проще, по индукции, переходя от т к т-\-1.
C) Второй способ вычисления Мп. (См. Л ю к а ч [I]1)). Этот способ
основан на некоторой формуле механической квадратуры, связанной с рас-
рассуждениями, подобными проведенным в § 3.4.
Пусть п=2т, #0—1; обозначим нули многочлена A—х)Рт'0)(х) череа
х0, #!,..., хт. Если f(x) есть ка и L(x) — интерполяционный многочлен Ла-
гранжа степени т, совпадающий с f(x) в точках х0, xv ..., хт, то
где q(x) есть некоторый ят_1. Следовательно,
+1 +1 -И
^ f(x)dx-^ L(x)dx=^ A-х) Р& 0) (x)q(x) dx = 0. G.7.11)
-i -t -i
Таким образом, как в C.4.1), имеем
-Н т
-И /(*)<** = 2 W(*v), G.7.12)
-1 v=0
где коэффициенты Xv не зависят от f(x). Полагая
G.7.13)
при v = О,
мы замечаем, так же как в § 3.4, B), что числа Xv положительны. Далеег
учитывая, что /(#)>() и удовлетворяет G.7.4), мы получаем из G.7.12)
неравенство
1>А,0/A), т. е. /AХК1; G.7.14)
это — точная верхняя граница для / A), которая достигается тогда и только
тогда, когда /(xv) = 0, v = 1, 2, .. ., т\ т. е. для /(х) = const. {Рш'0) (х)}2.
Для того чтобы найти А,о, подставим f(x) = уРт'0) (х) в G.7.12) (см*
C.4.3)), где у — постоянная; тогда, принимая во внимание D.5.3) при
а = р = 0, имеем
+i +i
-1 -1 -1
Следовательно, Xq1 = уРт'0) A) = (т+ IJ.
Пусть теперь п = 2т+ 1, яо = 1, хт+1= — 1; обозначим нули много-
многочлена A — х2) Р™'4) (х) через х0, xv ..., хт+1. Те же рассуждения, что и выше,
приводят нас к формуле
+ 1 тп+1
| ^ / (х) dx = 2 Kf Ы, К > 0, G.7.15)
г) Этот второй способ Люкач применил в своей работе [1], но он владел также
и первым способом (см. [1], стр. 296).

7.71]
ОБОБЩЕНИЯ; ПРИМЕНЕНИЯ
189
где / (х) — произвольный пп. Интересующий нас максимум опять будет
к'1; этот максимум достигается тогда и только тогда, когда f(xv)=^O,
<v=l, 2, ..., га + 1, т.е. для f(x) = const. A + х) {Р™'1} (х)}2. Для того
чтобы найти А,о, возьмем f(x) = у A -{-х) Р^'{) (х) и, учитывая D.5.3)
при а = 0, Р = 1, будем иметь
1
-1
откуда получаем
7.71. Обобщения; применения
A) Пусть da (x) — произвольное распределение на конечном или бес-
бесконечном промежутке, {рп (х)} — соответствующая ему последовательность
ортонормальных многочленов, х0 — произвольная, но фиксированная точка.
Если q (х) — произвольный ят, подчиненный условию
G.71.1)
G.71.2)
то мы имеем
|бЮ1 S IjK)|
лричем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда
Q (Х) = COnst. 2 Pv (Жо) pv (Ж).
V=0
Это было доказано в § 3 1, C).
В отдельных частных случаях можно вычислить максимум (или неко-
некоторую верхнюю границу) правой части G.71.2), когда х0 изменяется в неко-
некотором заданном промежутке. Полученная оценка имеет место равно-
равномерно в этом интервале для последовательности многочленов q (x) сте-
степени т, удовлетворяющих G.71.1). В дальнейшем изложении мы рассмот-
рассмотрим различные распределения вида da(x) = w(x) dx\ q(x) означает произ-
произвольный ят, удовлетворяющий условию G.71.1).
B) Положим а — — 1, b = + 1, w (х) = 1.
Теорема 7.71.1. Пусть q(x) — произвольный ят, подчиненный усло-
условию
+i
\ \Q(z)\*dx =
G.71.3)
Тогда при — 1 < х0 < 4-1 справедливы неравенства
2 2(т+1),
G.71.4)
km\
где А — абсолютная константа.

190 НЕРАВЕНСТВА ГГл. VII
Первая граница является точной, она достигается в точках х0 — ± 1
для надлежаще выбранного яч. Оба неравенства вытекают из G,71.2),,
если мы применим G.21.1) и G.3.8).
Положим а=—1, 6=ч-1, w(x) = (l-x)a(l + xf.
Теорема 7.71.2. Пусть а > — 1, |3 > — 1, q (х) — произвольный ят>,
подчиненный условию
+1
^ (l-x)a(l + xf\Q(x)\2dx=l. G.71.5)
-1
e(cose)
| О^Н1) если
Здесь с —произвольное, но фиксированное положительное число, а постоян-
постоянная под знаком О зависит только ота, р, с. Аналогичные оценки имеют место
на отрезке \ ~ , я 1 .
Для доказательства мы замечаем, что в этом случае рп (х) ~
(см. D.3.3)); в соответствии с G.32.5) мы имеем
т
S v {/><?■е) (cos б)}2 = 2 vO (v2«) + 2 vd-^-Ю (V1) =
v=l v8<c v6^c
если cm'1 < 6 < •?-. Для той же суммы мы получаем границу
У ( (
v=l
если 0<G<cw~1.
Подобным же образом, применяя G.32.2), можно получить некоторые-
точные границы.
Пусть а = 0, 6= +оо, w(x) — e~x. Учитывая G.21.3), мы получим
е 2\Q(xQ)\<(m + l)\ xo>O, ^e-x\Q(x)\*dx=l. G.71.7>
Эта граница достигается в точке х0 = 0, когда q (x) — надлежащим обра-
образом выбранный многочлен степени т.
Случай a = 0, b~ oo, w (x) = e~xxa, a> —1, молчет быть рассмотрен
подобно случаю многочленов Якоби, исследованному раньше (см. G.6.8)).
C) Пусть теперь [a, b] — конечный отрезок, а /(^ — произволь-
произвольный ztn, неотрицательный на [а, Ъ\ и удовлетворяющий условию
ъ
f(x)w(x)dx = l. G.71.8)
Мы хотим определить максимум | / (х0) \ при фиксированном х0 — веществен-
вещественном или комплексном.

7.71]
ОБОБЩЕНИЯ; ПРИМЕНЕНИЯ
По теореме 1.21.1 мы можем написать
/(*) =
т— 1
) { S vvqv(x)}2
v=0
при д = 2т,
G.71.9)-
т
(х — а) {У uvrv (x)}2 + (b — x) { 2
v=0 v=0
при ra =
1,
где {pv (x)}, {qv(x)}, {rv (x)}, \sv (x)} — последовательности ортонормаль-
ных многочленов, соответствующие весовым функциям
w(x), (x — a) (b — x)w(x), (x-a)w(x), (b-x)w(x), а<я<6. G.71.10)
Третья и четвертая последовательности являются частными случаями
(х() = а и хо = Ь) «ядерных» многочленов (теорема 3.1.4); вторая последо-
последовательность может быть найдена с помощью теоремы 2.5. В обоих случаях,
п = 2т и п = 2т-\-1, мы имеем для вещественных uv и vv равенство
т
4+2 uv=l, £>m=0 пРи п=2т, G.71.11)
v=0 v=0
следовательно, в силу неравенства Коши — Буняковского
m— 1
max
v=0
тах
|жо-а
J |
v=0
при n = 2m,
m
-жо| J \sv(x0)\*
при п = 2m+ 1.
G.71.12)
В случае а^хо<С Ь можно отбросить знаки абсолютных значений. Правая
часть G.71.12) представляет собой искомый максимум.
D) Пусть а = -1, ft= +l,w (x) = (l-x)a(l + xf, а и Р>-1. Тогда
четырьмя последовательностями многочленов, о которых шла речь в C),
с точностью до постоянных множителей будут
)(*)}- G.71.13)
В частном случае хо = 1 для максимума /A) мы получаем (см. D.5.3)):
т
v=0
т
2 2 ^
v=0
при п =
при п =
G.71.14)
Таким образом, справедлива следующая теорема:
Теорема 7.71.3. Пусть f (х) — произвольный яп, неотрицательный
на [ —1, -f-1] и удовлетворяющий условию
G.71.15)
-1

192
НЕРАВЕНСТВА
[Гл. VII
Тогда
2-a-
Z
Г (
"К"?2' G.7U6)
при гс = 2m + 1.
Это точные границы; при т—>оэв обоих случаях эти границы ~ иг2а+2.
См. Полна и Сегё [1], часть II, отдел VI, задача 110. Меняя
.местами аир, мы получим соответствующие границы для /(—1). Вообще,
при тех же условиях, что в теореме 7.71.3 (см. теорему 7.71.2), мы находим,
что
/ (cos 6) =
G.71.17)
e-2a-10(wjf если cm-l<Q<^.7
<9(m2a+2), ес/ш 0<6<cm'1.
Аналогичные оценки для / (cos б) мы получаем на отрезке ^ < б < я. Кроме
того, оценка вида О(тс), где с=тах Ba+2, 2P+2, 1), имеет место равно-
равномерно на отрезке 0 < б < я. Постоянные под знаком О зависят только
от a, J3 и с.
E) С помощью теоремы 1.21.2 мы можем рассмотреть следующую
задачу. Пусть f (х) — произвольный яЛ, неотрицательный на полуоси
О, и такой, что
=1, а >-
G.71.18)
Найти максимум /@).
Мы пишем (см. E.1.1))
v=Q
m-l
при п —>2т,
2
G.71.19)
v=0
v=0
при п = 2т-\-1,
где комплексные числа щ, vv удовлетворяют условию
т т
S W2+S KP = i.
v=0 v=0
G.71.20)

7.71] ОБОБЩЕНИЯ; ПРИМЕНЕНИЯ 193
(Во второй сумме vm = 0 при п = 2т.) Далее в обоих случаях мы имеем
(см. E.1.7)):
v=0
v=0
т
(t) (^ ); G.71.21)
v=0
это и есть искомый максимум.
Если a = 0, то получаем
\e-*f{x)dx = \, G.71.22)
6
предполагая, что f (х) есть яп, неотрицательный при #>0. Легко можно
доказать более общее неравенство:
*"л/(*)<[у]"+1> G.71.23)
где многочлен f(x) подчинен тем же условиям, что в G.71.22). Действи-
Действительно, пусть #0 — произвольное положительное число. Применяя G.71.22)
к многочлену
оо
6
который удовлетворяет требуемому условию, мы получаем неравенство
5 ( )y [|] +1.
О
Отсюда мы получаем
*f (хо) < ( [ Т ] + 1) е-ж» [ e-xf (х + х0) dx =
О
оо
= ([!] + 0 \e-xf(x)dx<[±] 4-1.
Х0
См. задачу 42.
F) Из предыдущих результатов могут быть выведены некоторые оценки
для ортонормальных многочленов {рп{х)}, если мы предположим, что
весовая функция w (x) удовлетворяет одному из неравенств следующего
типа:
w(x)>\i>0, a<x<6, G.71.24)
w(x)>\x(x-a)a(b-xf$ a<x<b, a>-l, P>-1, G.71.25)
w(x)>px<*, x>0, a>-l. G.71.26)
В первом и во втором случаях а и Ъ конечны.
В частности, при условии G.71.24) мы получаем
ъ ь
^ pi (x) dx < уГ1 ^ pi (x) w (x) dx = рг1. G.71.27)
а а
13 Г. Сегё

194
НЕРАВЕНСТВА
[Гл. VII
Следовательно, в соответствии с теоремой 7.71.1 справедливы неравенства
Am,
i t я<£0<&, G.71.28)
где А я А' — положительные постоянные, зависящие только от a, b и pi.
Аналогичные рассуждения применимы в случаях G.71.25) и G.71.26).
Если мы предположим, что функцияоу (х) удовлетворяет условию Лип-
1
шица, то границы т и т2 в G.71.28) можно соответственно заменить на
\_
т2 и 1 (см. G.1.15)).
G) Наконец, применяя теорему 7.32.4, мы получаем следующее обоб-
обобщение неравенств G.71.28). Пусть w(x)>\i>0, а=—1, b= +1,
к — неотрицательное целое число. Тогда
(sin б)
— ft 7Г у
G.71.29)
Постоянные, входящие в О, зависят только от \х и к.
Для доказательства применяем рассуждения, подобные тем, которые
мы использовали, доказывая теорему 7.71.2.
7.72. Задача Чебышева
A) Задача. Пусть хю(х)—весовая функция на отрезке [а, 6],
a W (х) — данная вещественная функция, определенная на том dice от-
отрезке и такая, что существуют интегралы
ъ
\ W(x)xhdx, fc = O, 1,2, ..., п. G.72.1)
а
Пусть f (x) — произвольный, не равный нулю тождественно многочлен
фиксированной степени п, неотрицательный на отрезке а<х-<6. Опре-
Определить максимум и минимум отношения
ъ ъ
{f(x)W (x) dx\\f(x)w (x) dx. G.72.2)
а а
См. Чебышев [7]. Пусть а и Ъ конечны. Применяя опять представ-
представление G.71.9), мы легко находим, что искомые величины суть максимум и
минимум следующих квадратичных форм относительно {mv} и {vv}:
Ъ т-1
\ \ 2 VvQv (хч (х — a)(b — %)W (x) dx при п = 2т,
a v=0
Ь m
> G.72.3)
a v=0
b m
H2
a v=0
x)\2(b~x)w
ПРИ ^ = 2m +

7.72] ЗАДАЧА ЧЕБЫШЕВА 195
при условии, что
т т
2 4+ S vi = i.
v—0 v=0
(В первом случае vm = 0.) Здесь {pv (x)}, {qv (х)}, (rv (x)}, {sv (x)} имеют тот
же смысл, что в G.71.9).
Пусть теперь а конечно, 6=-(-оо. Тогда нам нужно рассмотреть
максимум и минимум формы
Гп-j
L2J
Гп-1-1
L 2 J
^ | } W (х) dx + J { 2 "Wv (х)}2 (ж - a) W (х) tfz G.72.4)
a v=0 а v=0
при условии
Здесь {pv (x)} и {^v (x)} — ортонормальные последовательности, соответ-
соответствующие весовым функциям ш (о;) и (х— a)w (x) при #>а.
В случае а = — оо, Ъ = -\- со мы должны рассмотреть форму
Н оо L2J Ы
}V(x)u, 2wv = l, G.72.5)
\ { }
— оо v=0 V=0
где {pv (x)} — ортонормальная последовательность, соответствующая w (x)
и (— оо, + оо).
Таким образом, во всех этих случаях рассматриваемая задача сво-
сводится к определению наибольшего и наименьшего характеристического
значения некоторой квадратичной формы. Изучая сумму двух квадра-
квадратичных форм соответственно относительно {uv} и {vv}, мы находим наи-
наибольшее характеристическое значение каждой из форм в отдельности,
и большее из этих значений будет искомым максимумом. Аналогичное
замечание справедливо и для минимума. Однако, фактическое примене-
применение этого метода трудно, — часто бывает предпочтительнее использовать
некоторые формулы механических квадратур (см. ниже).
Аналогичные рассуждения применимы в случае, когда интегралы
в G.72.2) заменяются интегралами Стилтьеса.
B) Пусть а = — 1, Ъ = + 1, W (х) = xw (x). Достаточно определить мак-
максимум и минимум отношения
-1
q2 (x) xw (x) dx: [ q2 (x) w (x) dx, G.72.6)
где q(x) есть произвольный jtmc вещественными коэффициентами, не рав-
равный нулю тождественно. Затем мы должны заменить w(x) соответственно
через A — x*)w(x); A ± x)w(x); см. ниже. Пусть х0, хг, ..., хт—нулимного-
члена рт+1(х), соответствующего весовой функции w (х); в соответствии
с C.4.1) мы находим для отношения G.72.6) представление
2 q() 2 Q(), G.72.7)
v=0 v=0
где ^v —числа Кристоффеля. Следовательно, искомые максимум и мини-
минимум совпадают соответственно с наибольшим и наименьшим нулем много-
многочлена рт+1 (х) (см. § 3* 4, C)). Если р означает наибольший из нулей
13*

196
НЕРАВЕНСТВА
[Гл. VII
многочлена р(х), то из G.72.3) видно, что максимум отношения G.72.2)
в этом случае будет равен
G.72.8)
m+1, qm) при п = 2т,
max(Pm+1, sm+1) при п = 2т+1.
Аналогичный результат имеем для минимума.
C) На этом общие рассуждения П. Л. Чебышева заканчиваются
(см. [7], § 9). Мы, однако, можем доказать, что выражения G.72.8) соот-
соответственно равны рт+1 и гт+1, следовательно, справедлива такая теорема:
Теорема 7.72.1. Пусть w (x) будет весовой функцией на отрезке
[ — 1, +1]- Пусть f (х) — произвольный яп, неотрицательный на [ — 1, +1]
и не равный нулю тождественно. Тогда максимум отношения
G.72.9)
/ (х) xw (x) dx: ^ / (х) w (x) dx
-1
равен большему из нулей многочлена pm+i(x), если п = 2т, и большему из
нулей многочлена рт+2 ( — l)pw+i (х) — рт+1 ( — 1)рт+2 (х), если п = 2т+1.
Здесь {ра (х)} является последовательностью ортонормалъных многочле-
многочленов, соответствующих весовой функции w (х) на отрезке [ —1, + 1].
В соответствии с теоремой 2.5 мы имеем
Рт(х) Pm + l(X) Pm+Ax)
x)rm(x) = const.
Pm(x)
A — x)sm(x)= const.
Pm+1
G.72.10)
Пусть £0 > |х > . . . > Sm — нули многочлена /?m+1 (я), записанные в убы-
убывающем порядке. Мы покажем, что первый определитель в правой
части G.72.10) не равен нулю, если £0 < х < 1. В самом деле, в соответ-
соответствии с C.2.1) справедливо равенство
Рт(Х) Pm+l(X) Pm + 2(X)
— ^m+2
Рт+1
h (x) 1 x
A(-l) 1 -1
h A) 1 1
где h (x) = pm (x)/pm+1 (x). Далее, применяя C.3.9), мы видим, что последний
определитель положителен при |0<х<1, так как
1
2A-»»)

7.8] ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 197
С другой стороны, h (х) убывает от + °° Д° ~ °° между £х и |0 и от
+ оо до h(i) между £0 и 1 (см. доказательство теоремы3.3.4). Кроме того,
/г(— 1) < 0, /гA)>0. Стало быть, наибольший из нулей гт(х), или
h(x)— h(— 1), более, чем наибольший из нулей sm (хO или /г(о;) — /г A),
D) П. Л. Чебышев подробно исследовал случай
а=-1, Ь=+1, ш(з)=1, W(a) = s G.72.11)
(см. П. Л. Чебышев [7], § И, а также С е г ё [13], стр. 627—629).
С точностью до постоянных множителей мы имеем
Рт+1 (X) = Рщ+1 (ж), ^m (x)=P(mi] (x) = COnst. P^+i (x),
^(^/ЗДф^ [ G.72.12)
5m+1 (X) - /^+°1 (Ж) = COnst. {Pm+1 (Ж) - Pm+2 (X)} A - Ж).
Это дает следующую теорему:
Теорема 7.72.2. Пусть f(x) — He равный нулю тождественно
произвольный лп, неотрицательный на отрезке — 1 < х < 1. Тогда макси-
максимум отношения
+ i +1
^ < /(ж)da: G.72.13)
равен большему из нулей многочлена Рт+1 (х), если п = 2т; если же п—Ът + 1,
то максимум равен большему из нулей многочлена Рт+1 (х) -\-Рт+г{х).
Расстояние от максимального значения до единицы есть величина
порядка п'2 при п—>оо. Минимум, очевидно, равен соответствующему
отрицательному значению.
По поводу других уточнений теоремы о среднем значении мы отсы-
отсылаем читателя к работе Чакалова [1]. См. задачу 43. Относительно
других экстремальных задач и связанных с ними неравенств
см. Я. Л. Г е р о н и м у с [2], [3], [4] и Ш о х а т [2].
7.8. Дальнейшие результаты
A) С помощью теоремы 1.82.5 мы выводим следующее усиление тео-
теоремы Сонина 7.31.1. Пусть у = у(х) удовлетворяет дифференциальному
уравнению G.31.1) и пусть у (х) имеет бесконечную последовательность
нулей {х.п}, занумерованных в возрастающем порядке: хг < х2 < х3 < . . .;
Ф (х) — положительная, непрерывная, убывающая функция. Пусть р будет
фиксированным положительным числом. Тогда последовательность инте-
интегралов
] \y(x)\pdx
xv
будет возрастающей.
Аналогичный результат справедлив, если ф (х) — возрастающая
функция.
При р—> 0 формулированный факт приводится к теореме 1.82.2. Беря
корень р-ж степени от интеграла и устремляя р к бесконечности, получим

198 НЕРАВЕНСТВА [Гл. VII
теорему Сонина. Таким образом, приведенное здесь предложение являет-
является обобщением обеих упомянутых теорем (см. Макай [2]).
В работе Макай [2] указаны интересные частные случаи этой
полезной теоремы.
B) Пусть [хГ} п — последовательные относительные максимумы | Рп (х)\,
когда х изменяется от +1 до — 1. По теореме 7.3.1 мы имеем
1 >y>i,n > \i2,n > • • . > И-л.п, где А== [y]
Можно доказать (см. С е г ё [23]), что при фиксированном г
Нт, п>Нт,п+1, п>г + 1. G.8.1)

глава viii
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ
Исследование асимптотических свойств ортогональных многочленов
{рп(х}} при п—>оо приводит к двум основным проблемам: асимптотиче-
асимптотическое поведение рассматриваемых многочленов вне промежутка ортогональ-
ортогональности, в особенности в комплексной плоскости, и асимптотическое пове-
поведение на самом промежутке ортогональности. В общем случае вторая про-
проблема является более глубокой и более трудной, чем первая. Мы начинаем
изложение с исследования многочленов Лежандра, получая для них
различные важные асимптотические формулы. Наша цель состоит не толь-
только в том, чтобы дать обзор результатов, но также и в том, чтобы указать
разлдчные применяемые здесь методы. Мы приводим также результаты
для случая ультрасферических многочленов и обобщенных многочленов
Якоби. Исследование асимптотики многочленов Лагерра и Эрмита вообще
требует новых рассмотрений, хотя по существу в этих случаях могут быть
применены те же методы, что и раньше.
Простейший частный случай
— случай многочленов Чебышева первого рода — является хорошим при-
примером, характеризующим наши дальнейшие результаты. Если х лежит
вне отрезка [—1, +1], то, беря \z\ > 1, мы видим, что
На отрезке [—1, + 1] мы полагаем z = eib, Тп (х) = cos nb. Здесь график
многочлена колеблется между +1 и — 1.
Эти результаты требуют лишь небольших изменений для многочленов
Лежандра и даже для многочленов Якоби, если только х Ф± 1. Возника-
Возникают, однако, новые трудности в окрестности концов отрезка ± 1, которые
в известном смысле являются исключительными точками. Это в основном
объясняется тем, что коэффициент при <2б в выражении
A - х)а A + xf dx = - A - cos 0)a A + cos eK sin 6 de,
вообще говоря, обращается в нуль или в бесконечность в точках 0 — 0
и 8 = я. Если это имеет место, то функции вида cos /г0 непригодны для
приближенного представления рассматриваемых многочленов в окрестно-
окрестности точек х = ± 1. С этой целью мы используем некоторые функции Бес-
Бесселя.
Обычно задачи и результаты для многочленов Лагерра и Эрмита ана-
аналогичны. Но весьма интересно, что в соответствующих асимптотических
1
выражениях появляется величина rfi вместо п. В общем случае многочле-

200 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. Y11I
нов Лагерра функции Бесселя нужны вблизи точки х = 0, в то время
как для многочленов Эрмита точка х = 0 не играет какой-либо исключи-
исключительной роли. В обоих случаях возникают новые трудности в связи с тем,
что промежуток интегрирования бесконечен. Для разложения в ряды
весьма важно иметь асимптотические формулы, которые справедливы в
промежутках, длина которых стремится к бесконечности при п-^оо.
8.1. Формулы типа формул Мелера—Гейне
Эта важная формула носит элементарный характер, и мы здесь крат-
кратко остановимся на ней прежде, чем приступим к общим рассмотрениям
§§ 8.21 — 8.23.
A) Т е о р е м а 8.1.1. Пусть а и |3 — произвольные вещественные
числа. Тогда
lim n-«P^ p> ( cos - = lira n~« Pf> p> ( 1 - £_ = ( * ) Ve (z), (8.1.1)
П~>ОО Ч ' _ П-ЮО N. -^ \ " /
где Ja(z) имеет тот же смысл, что в A.71.1). Эта формула справед-
справедлива равномерно в каждой ограниченной области комплексной z-пло-
скости.
Для многочленов Лежандра, т. е. когда а = |3 = 0, формула (8.1.1)
принадлежит Мел еру ([3], стр. 140) и Г е й н е ([3], том 1, стр. 184).
Относительно дальнейшей литературы мы отсылаем читателя к книге
В а т с о н а ([3], стр. 155). В случае а = Р = 0 весьма простое доказа-
доказательство вытекает из первого интеграла Лапласа (см. D.8.10)) и A.71.6)).
Приа= ± y ФУНКЧИЯ в правой части (8.1.1) с точностью до постоянно-
постоянного множителя равна соответственно zsinz и cos z (см. A.71.2)). Фор-
Формула (8.1.1) тривиальна для элементарных случаев D.1.7) и D.1.8)
Доказательство может быть основано на формуле D.21.2). Действи-
Действительно, если #=cos— и v фиксировано, то при п—>со для (v-fl)-ro
слагаемого в D.21.2) справедливо следующее асимптотическое выра-
выражение:
_
!(rc — v) ! Г(м + а + Р + 1) r(v + a + l). 2тг
Здесь мы исключаем случай, когда a — целое отрицательное число. Пере-
Переход к пределу под знаком суммы законен, так как существует легко опре-
определяемая мажоранта для всей суммы. В самом деле, если п достаточно
велико, то справедливо неравенство
равномерно по v, когда 0<v<rc. Рассуждение нужно лишь слегка
видоизменить, если а — целое отрицательное число.
Формула (8.1.1) дает полную характеристику функции Р%*Р) (cos б)
при б = О^п'1). В качестве важного следствия отметим такое предложение:

8.1] ФОРМУЛЫ ТИПА ФОРМУЛ МЕЛЕРА—ГЕЙНЕ 201
Теорема 8.1.2. Пусть х1п > х2п > ...— нули многочлена Рп (%)
на отрезке [ — 1, + 1], записанные в убывающем порядке (а, |3— веществен-
вещественные, но не обязательно большие, чем — 1). Если положим #vn=cos 6vni
О < 6vn < л, то при фиксированном v гшееж
lim nevrt = /v, (8.1.3)
где /v есть v-u положительный нуль функции Ja(z).
B) Соотношение (8.1.1) дает нам возможность вывести некоторые свой-
свойства функций Бесселя, исходя из соответствующих свойств многочленов
Якоби или Лежандра. Мы употребляем символ (а)—>(Ь), который означа-
означает, что, сделав подстановку x=cos—, мы получим предельным пере-
переходом при п—>оо из формулы (а) другую формулу (Ь). Мы имеем следую-
следующие соотношения:
D.1.7) и D.1.8) --»A.71.2),
D.2.1) _»A.71.3),
D.22.2)-»/ l(z)==(-l)^(z), /-целое,
D.24.2)-> A.8.9),
каждое из представлений D.8.6), D.8.10), D.9.3) —> A.71.6) в частном
случае а = 0 и D.9.19) —> A.71.6) в общем случае.
См. также задачу 44.
Из теоремы 1.91.3 (теорема Гурвица) при а>— 1 вытекает вещест-
вещественность нулей функции z~aJa (z). Из F.6.5) и F.6.3) (или F.6.2)) для поло-
положительных нулей /v функции /а (z) мы получаем неравенства С X = а + у j •'
v = l,2, 3, ..., _i-<a<+l (8.1.4)
Нижняя граница может быть заменена через (v-f а) я, если г>-
(см. F.6.6)). Кроме того (см. В а т с о н [3], стр. 49, A); см. G.31.5)),
мы имеем
0|<1, z>0, а>-1. (8.1.5)
, z>0, -1<а<^. (8.1.6)
Ряд D.9.17), (8.21.5) и оценка остаточного члена (8.21.6) дают важную
формулу (см. Стилтьес [8], стр. 242):
1 _ л
cos
^J 2-4...2V o2v7v °PW!
v=0 Z ) (8.1.7)
2-4...2p J
Таким образом, погрешность ер (z) численно меньше, чем первый отбро-
отброшенный член (в котором cos заменен единицей). При р = 1 мы получаем
частный случай а = 0 формулы A.71.7) (с численной постоянной в оценке
остаточного члена).
C) Т е о р е м а 8.1.3. Пусть а — произвольное вещественное число.
Тогда для произвольного комплексного z справедливо соотношение
lim n~*LW (-J- )= z~ haBz% (8.1.8)
причем равномерно при ограниченных z.

202 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. \'Ш
Эта формула аналогична формуле (8.1.1) и дает аналогичные резуль-
результаты. Доказательство ее может быть проведено тем же путем. В частных
случаях а = ± у- мы опять получаем тригонометрические функции.
Из этого случая можно вывести аналогичную формулу для многочленов
Эрмита. См. задачу 45.
Правые части в формулах (8.1.1) и (8.1.8) являются первыми членами
соответствующих асимптотических разложений. Относительно многочле-
многочленов Лагерра в случае а = 0 см. М ё к л и н [1], стр. 28.
8.21. Асимптотические формулы для многочленов
Лежандра и Якоби
С точки зрения асимптотических задач многочлены Лежандра Рп (х)
представляют собой простейший нетривиальный случай. Мы начнем с пере-
перечисления нескольких классических результатов относительно поведения
Рп{х) при п—>оо. Доказательства, основанные на различных методах,
будут даны в последующих параграфах. В дальнейшем е означает такое
фиксированное число, что 0 < е < ~~ , следовательно, отрезок [е, я — е]
лежит целиком внутри отрезка [0, я]; р — фиксированное целое положи-
положительное число.
A) Теорема 8.21.1 (формула Лапласа — Гейне; Гейне [3],
том 1, стр. 174). Пусть х — произвольное вещественное или комплексное
число, которое не принадлежит отрезку [—1, +1]. Тогда при п —>оо
Рп(х)^Bлп) 2(х*-1) k{x+{x2~\f} \ (8.21.1)
_1 1 -п4--
Здесъ (х2 — 1) 4, (х2 — IJ и {х + (х2 — IJ} 2 вещественны и положительны,
когда х— вещественное число, большее чем единица. Вне произвольной зам-
замкнутой кривой, которая заключает в себе отрезок [—1, +11, эта фор-
формула имеет место равномерно в том смысле, что отношение стремится
равномерно к единице.
Теорема 8.21.2. (Формула Лапласа; Гейне [3], том 1, стр. 175.)
+O(n 2), 0<б<я.
(8.21.2)
Оценка для остаточного члена равномерна на отрезке г < б < я — е.
Теорема 8.21.3 (обобщение формулы Лапласа — Гейне). Пусть
х — точка комплексной плоскости, разрезанной вдоль отрезка [— 1, + 1];
пусть # = y(z + z), |z|>l. Тогда
р-1 1
р (г\ _ g zn у я l-3...Bv —I) 2v (l __ 2v 2 ,
+ O(/2~P~2|z|n). (8.21.3)
Здесь gv имеют тот же смысл, что в D.9.2), т. е.
. 1-3 ... Bv —1I , о о
£о=1, gv= 2-4...2v > v=l, 2, 3, ...
Формула (8.21.3) справедлива равномерно в указанном в теореме 8.21.1
смысле.

8.21] ФОРМУЛЫ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 203
Теорема 8.21.4 (обобщение формулы Лапласа, данное Дарбу
[1], стр. 39).
Рп (cos 9) =
-Sn^j 5^Bтг —1)Bтг—3) ... Bтг — 2
V=° B sin 6) " Z
_ 1
+ 6>(?г Р 2)? о<0<я. (8.21.4)
Здесь gv имеют тот же смысл, что в теореме 8.21.3. Оценка для остаточ-
остаточного члена равномерна на отрезке е<0 < л — е.
Теорема 8.21.5 (обобщение формулы Лапласа, данное Стилтье-
сом [7], [8]).
р-1
Bie) 2
Bsine)
Ч-Др(б), 0<е<я. (8.21.5)
Здесь /zv имеют тот же смысл, что в D.9.18), т. е.
1 ( _—
2-4 ... 2v __ _ _
Справедливо неравенство
-1 2
B sin 6)
T
2
1, 2sine). (8.21.6)
Множитель М удовлетворяет неравенствам 1 < М < 2. Следовательно,
остаточный член численно меньше, чем удвоенный первый отброшенный
член (в котором cosv заменен единицей).
Теорема 8.21.6 (формула X и л ь б а [1]).
^) (8.21.7)
равномерно при 0<6< я— е. Более точно, для остаточного члена
справедливы следующие оценки:
ЬЮ(п 2), если —<0<я—б, I
) (8.21.8)
02ОA), если °<0<^> J
где с — фиксированная положительная постоянная.
B) Часть этих результатов может быть распространена на много-
многочлены Якоби. Распространение формулы (8.21.1) принадлежит Д а р б у [1].
Теорема 8.21.7. Пусть а и $ — произвольные вещественные числа\
Тогда
Р(а, Р) ф ~ (ж _ I)""/2 (Ж + 1)-Э/2 ЦЖ + !I/2 +
(
(8.21.9)

204 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Г;-. VIII
где х — точка, не принадлежащая отрезку [— 1,1]. Эта формула имеет
место равномерно в смысле, указанном в теореме 8.21.1. Определение
многозначной функции, встречающейся в (8.21.9), очевидно.
Распространение формулы (8.21.2) также принадлежит Дарбу [1];
это — важная формула, на которую мы ссылались в § 7.32.
Теорема 8.21.8. Пусть а и |3 — произвольные вещественные
числа. Тогда
i _1
. P) (cos 0) = n~z к @) cos (/Ve + y)+O(n 2),
n. J
(8.21.10)
Оценка остаточного члена равномерна на отрезке [б, Jt — е].
Обобщение теорем 8.21.3 и 8.21.4 на многочлены Якоби осуществляется
легко. Однако закон для коэффициентов в этом случае сложнее.
Теорема 8.21.9. Пусть а и$ — произвольные вещественные числа.
Существует последовательность аналитических функций (pv (z) = (pv (а> P; 2),
которые вещественны при вещественных z и регулярны при | z | > 1 и при
| z| = 1, ъФ ±2 1, таких, что
р-1 _i_ _ _1
z-np(«. Р) (ж) = 2(Pv(z)^~V~2 + O(/2~P~2), s = -j(z-f z), |z|>l, (8.21.11)
равномерно при \ z\ > i?, /? > 1.
Кроме того,
P<f>P)(cos0) = 29?{eirie 2 9v(e e)/2~v}-f О(дг~Р~2)? 0 < 0 < я, (8.21.12)
равномерно на отрезке 8<!0<я — 8.
Эти обобщения приобретают в случае ультрасферических многочленов
следующую более точную форму:
Теорема 8.21.10. Пусть х = у (z+ z), |z|>l, a A, > 0 м./ш
Я< 0, Я#—1, —2, —3, ... Тогда
р-1
A-Я) B Я) ... (У—А,) 7-2v М _ 7-2\-\'-Я I
v=0
+ O(w^-p-i |z|n). (8.21.13)
Кроме того,
^)(созв) =
zj ^„^ д—1; ^„_^д — ^; ... ^-j- л—vj B sin
v=0 v
-Ь О (т^-р-1), 0 < 0 < Jt. (8.21.14)
Здесъау имеют тот же смысл, что и в D.9.21). Относительно равномерно-
равномерности справедливо то же замечание, что в предыдущей теореме.
Частный случай, когда X принимает целые значения, рассмотрен
в § 8.4, E).

8.21] ФОРМУЛЫ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ 205
Имеет место следующее распространение теоремы 8.21.5 на ультра-
ультрасферические многочлены:
Теорема 8.21.11. Пусть 0 < % < 1. Справедливо соотношение
М (COS 0) =
' Sin Л»Я Т1 /Л \ ' / I ТЧ / I " i Л I Л \ 1 Г"
г(Х) £ v!r<»+v+x+i)
+ ДРF), О<0<я, (8.21.15)
где
-**« (9) <—sin Ля V. Л\— — t Ti / i i ^ i /t/ »—тггг • (о.21.Id)
р л; Г (л) р! Г (л + Р+^ + 1) B sin 0)р+^
Здесь М имеет тот же смысл, что в теореме 8.21.5.
C) Наконец, мы упомянем следующую теорему типа теорем Хильба
(см. Сегё [17], стр. 77; Pay [2], стр. 691—692):
Теорема 8.21.12. Пусть а > — 1, а р — произвольное веще-
ственное число. Тогда
Ь2О(п 2), если сп'1 <; 0 <; я — е, /g 2i 17)
Ьа+2О (па), если 0 < 0 < сп'1,
где N имеет тот же смысл, что и в (8.21.10); сиг — фиксированные поло-
положительные числа.
I _.?
Очевидно, остаточный член всюду есть 02О(/г 2). Если мы приме-
( ) р
ним D.1.3), то получим аналогичную формулу в промежутках е <; 0 <; я
— сп'1 и я — с?г~1<^0< я, допуская, что Р> — 1. Благодаря формуле
A.71.7), это приводит к следующему важному результату:
Теорема 8.21.13. Пусть а > — 17 Р > — 1. В тех же обозна-
обозначениях, что в (8.21.10), имеем
Р£> Р) (cos 0) - п Ч @) {cos GV0 + у)+{п sin 0) О A)}, сп'1 < 0 < я - сп~\
(8.21.18)
где с — фиксированное положительное число.
Эта формула (см. Сегё [17], стр. 77) более точна, чем (8.21.10); при
а = р = Я— у, 0 < А, < 1, она вытекает из теоремы 8.21.11, р = 1.
Ограничение а> — 1, Р > — 1 не существенно (см. Сегё, [17], а
также Обрешков [2]).
D) Аналогичные формулы имеют место для функций Якоби второго
рода Q^"^ (x) и, в частности, для функций Лежандра второго рода Qn(x),
когда х лежит в плоскости с разрезом, а также для Qn(cos0), если
0 < 0 < я. Здесь мы отметим только формулу, аналогичную формуле
Лапласа (8.21.2).
Теорема 8.21.14. При 0 < 0 < я
1 1 3
Qn(cosB) = n2Bnsin6f~2cos jf n + \ )б + -J-} +О(п~>). (8.21.19)
Эта формула имеет место равномерно на отрезке [е, я — е].

206 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. V П
8,22. Асимптотические формулы для многочленов Лагерра и Эрмита
Аналогичные формулы, хотя и несколько более сложные, имеют место
для многочленов Лагерра и Эрмита. Мы предполагаем в дальнейшем, что
п—>оо; мы обозначаем через 8 и со фиксированные положительные числа,
б < со, а через р — целое положительное число.
A) Теорема 8.22.1 (формула Ф е й е р а [3]). Пусть а — про-
произвольное вещественное число; тогда
Ь^(х) = л~~2еЧ~'2~^п2 4СОд|2AгжJ_^„.^_|+о(п2)>ж>ов (8.22.1)
Оценка остаточного члена равномерна на отрезке [е, со].
Теорема 8.22.2 (обобщение формулы Фейера, данное Перро-
Перроном [2], стр. 78, D9)). Пусть а — произвольное вещественное число. При
х > 0 справедливо соотношение
LW (х) =
1 х а __ ! а_1_ {_ р-1 v р
= П~\2Х~~~2 4^2~4COS J 2 (лжJ _ ^1 _ _J_ J | ^j ^ (^ ^ 2 +0 (^ 2)
v=0
(8.22.2)
г^е Л v (х) и Bv (x) — некоторые функции от х, не зависящие от п, регуляр-
регулярные при х > 0. Оценка остаточного члена равномерна на отрезке [г, со].
Отметим, что А0(х) = 1, В0(х) = 0.
Теорема 8.22.3 (формула Перрона в комплексной области;
цитированная статья). Пусть а — произвольное вещественное число. Тогда
)=:_1я"в2(_х) 2 4П2 4 ехр [2 ( _ пхJ] | ^ Cv (ж) П 2 + О (п
v=0
(8.22.3)
где Cv (х) опять не зависит от п\ эта функция регулярна в комплексной
плоскости с разрезом вдоль положительной части вещественной оси. Фор-
Формула (8.22.3) имеет место при х, лежащем в упомянутой плоскости с раз-
а 1 1
резом; функции ( — ж) ^ 4 и (__ ^J выбраны так, что они вещественны и по-
положительны при х < 0, Оценка остаточного члена равномерна во всякой
замкнутой области, не пересекающейся с полуосью а:>0.
Здесь Со (х) = 1.
Теорема 8.22.4 (асимптотическая формула типа формулы Хиль-
ба). При а > — 1
(х) = А^Г(?г + "+1) /а {2 (ЛЭД + О
где оценка равномерна в промежутке О<£<со. Более точно, имеют
место следующие оценки:
если
(8.22.5)
если

8.22] ФОРМУЛЫ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА 207
В случае, когда а = 0, последняя оценка должна быть заменена оцен-
оценкой х21п(х~1п'1); в (8.22.5) с — фиксированное положительное число.
5 а_3
Ясно, что остаточный член в (8.22.5) равен xk0 (п2 4) при 0< х<со.
Как следствие из (8.22.4), мы получаем следующий аналог формулы
(8.21.18), который является более точным результатом, чем (8.22.1).
Теорема 8.22.5. Пусть а > — 1 и с?г<х< со; тогда
(8.22.6)
где с и со — фиксированные положительные постоянные.
А А ^А
Заметим, что N2i—n2 = O(n 2), где TV имеет тот же смысл, что
в (8.22.4).
Л
B) Подставляя а = ± у в (8.22.4), мы находим, используя E.6.1)
и A.71.2), формулу типа формулы Хильба для многочленов Эрмита. Она
содержится в следующей, более общей теореме.
Теорема 8.22.6 (асимптотическое разложение для многочленов
Эрмита). Для вещественных х справедливо соотношение
v=0
(x)N~v + O(n-v), N = 2n+1, (8.22.7)
где
Г/и i л -р /м j o\ _A
G2-4-1) 1 (M-4-Z) Л7 9
^n = —У ! V или ! — ™ Л
(f+
в зависимости от того, четно или нечетно п; uv(x) и vv(x) — многочлены,
зависящие от v; они содержат соответственно только четные или нечет-
нечетные степени х. Оценка погрешности равномерна на любом конечном отрез-
отрезке вещественной оси независимо от того, содержит ли он начало координат
или нет.
Для произвольного п мы имеем
так что
v ^ Z. 2?
sin N2x-^+ O(n-i). (8.22.8)
Теорема 8.22.7 (асимптотическое разложение для многочленов
Эрмита в комплексной области). Соотношение (8.22.7) справедливо в
комплексной х-плоскости, если мы заменим остаточный член на
exp {JV2 | .j х \) О {п~р)- Это имеет место равномерно при | х \ < R, где R —
произвольное фиксированное положительное число.

208 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
C) Наконец мы остановимся на другом типе асимптотических формул,
вывод которых требует более сложных рассмотрений.
Теорема 8.22.8 (формула для многочленов Лагерра типа формулы
Планшереля — Ротаха). Пусть а — произвольное вещественное число,
г, и со — фиксированные положительные числа. Справедливы следующие
соотношения:
(а) при х = D?г + 2а + 2)cos2q), е<ф<-^-— гп 2
х i а 1 а 1
,(а)(а;)=(-1)п(Я8Щф) 2Х 2 4/22 4 X
X {sin[('/2 + ^±-1 }(sin2xp — 2xp)+^ \ + (пх) 20A)\ ; (8.22.9)
(Ь) при х = D/2 + 2а + 2) сЬ2ф7 8<ф<со
хехр [(«•+ ^)BФ~8Ь2Ф)] [1 + 0 (л)]; (8.22.10)
(с) лг/?^г ж = 4д+2а_|_2—2(-^-J ^, ^—ограниченное комплексное
число,
2 333 *
— функция Эйри, определенная в § 1.81.
#о всех э/тшя формулах оценка остаточного члена равномерна.
Соответствующие формулы для многочленов Эрмита (П л а н ш е-
рель — Ротах [1]) даются следующим предложением:
Теорема 8.22.9. Пусть е и со—фиксированные положительные числа.
Справедливы следующие соотношения:
(a) При X = B/2 + 1JС0Эф, 8<ф<Я—8
_^! *_lI i -i _i
е 2 Яп (х) = 22 4 (/2!J (jt/2) 4 (sin ф) 2 X
X {sin [Гу + 4")(з1п2ф — 2Ф) +х] +°G2)} ; (8.22.12)
(b) /2/ш ж = Bд + IJ ch ф, 8<ф<ш
_х2 n_3 j. _^ __1
е 2 нп(х) = 22 4(/г!J(я/2) 4 (вЬф) 2Х
X ехр [ Г ~ + ^ Bф - sh 2ф) j [1 + О (/г)]; (8.22.13)
(c) /2/ж # = B/2+ IJ— 2 23 ^дг ^, t — ограниченное комплексное
число у
Х2 1 __3 П 1_ i _J_ _2
е~2Нп(х) = 3%"22 4 {п\Jп i2{A (t) + О (n~^)}t (8.22.14)
Во всех этих формулах оценка остаточного члена равномерна.
Отметим, что формула (8.22.12) имеет место равномерно в окрестности
точки х = 0.

8.23] ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ ПРЕДЫДУЩИХ РЕЗУЛЬТАТОВ 209
8.23. Замечания по поводу предыдущих результатов
A) Среди всех формул, перечисленных в § 8.21, формула (8.21.1)
имеет простейший характер. Она может быть доказана различными спосо-
способами. Ее развитием является асимптотический ряд (8.21.3). Соответствую-
Соответствующие формулы имеют место для многочленов Якоби (§ 8.21, B)). Следующее
простое следствие формулы (8.21.9) важно для различных целей:
I 1
| Рп ' Р) (х) \п^ | х + (х2 - IJ |, п -» сю, (8.23.1)
где £ лежит в плоскости с разрезом. Правая часть в (8.23.1) больше еди-
единицы и представляет собой полусумму осей эллипса с фокусами -^ 1, про-
проходящего через точку х. Интересно сравнить (8.23.1) со следующей фор-
формулой для функций Якоби второго рода:
| ф Р> (у) |» ~ | у - (г/2 _ 1J у (8-23.2)
где у лежит в плоскости с разрезом. Правая часть в (8.23.2) меньше еди-
единицы (см. (8.71.19)).
Мы дадим также несколько доказательств классической формулы
Лапласа (8.21.2). Она аналогичным образом может быть обобщена в раз-
различных направлениях.
Формула Дарбу (8.21.4) является наиболее важной иллюстрацией
принадлежащего ему метода [1]. Этот метод дает асимптотические фор-
формулы для коэффициентов степенного ряда, особенности которого на окруж-
окружности сходимости имеют в известном смысле простой характер. Этот же
метод позволяет установить формулу (8.21.3), а также соответствующее
ее распространение на многочлены Якоби (см. § 8.4).
Значение формулы Стилтьеса состоит в том, что она безоговорочно
справедлива во всем промежутке 0 < 0 < я (несмотря на то, что граница
для остаточного члена (8.21.6) стремится к бесконечности, когда 6—>0
или 6—> я). Вследствие этого она может быть использована в раз-
различных случаях не только внутри промежутка @, я), но и в окрестности
его концов, где формулы Лапласа и Дарбу в общем случае неприменимы.
Прир = 0 она имеет место в том смысле, что Рп (cos 0) = Ro @). Таким обра-
образом, (8.21.6) дает неравенство G.3.8), но с большим множителем справа
I I
— j вместо i — j j . Из формулы Стилтьеса легко можно
найти произвольное число членов в (8.21.4). Однако, по-видимому,
трудно этим путем найти общий закон образования коэффициентов
в (8.21.4).
Важность формулы Хильба также состоит в ее безоговорочной спра-
справедливости в окрестности точки 0=0, причем с дополнительным преиму-
преимуществом, что остаточный член стремится к нулю в этой окрестности. Она
непосредственно дает формулу Мелера — Гейне (8.1.1) и позволяет полу-
получить формулу Лапласа (8.21.2) благодаря A.71.7). Оценка (8.21.8) является
небольшим улучшением результата Хильба. Наше доказательство (§ 8.62)
в основном то же, что у Хильба. Сегё [15] указал асимптотическое
разложение по функциям Бесселя возрастающего порядка и обобщил
результат Хильба. Аналогичные формулы справедливы для функций
Лежандра второго рода. Сегё получил также ([15], стр. 450) аналог
формулы (8.21.1), который дает результат, имеющий место в плоскости
14 Г. Сег<

210 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
с разрезом, произвольно близко от ее границы. Эта формула содержит
функции Бесселя с мнимыми аргументами.
Иная формула того же типа, что (8.21.7), была дана Ватсоном [2],
причем указывается численная оценка остатка. В эту формулу входят
функции J0(z) и Y0(z).
Теорема 8.21.12 является распространением формулы Хильба на
многочлены Якоби. Ее доказательство, данное в § 8.63, ведется таким же
образом, как и доказательство в § 8.62.
Доказательства теорем 8.21.1 — 8.21.14 основаны на следующих
методах:
(a) ряды или интегральные представления;
(b) метод Дарбу;
(c) метод Лиувилля — Стеклова (метод интегро-дифференциальных
уравнений);
(d) метод перевала.
Краткий обзор этих методов будет дан в соответствующих местах.
B) Вывод формулы (8.22.1), данный Фейером, основан на производя-
производящей функции E.1.9), которая в этом случае имеет существенную особен-
особенность в точке w = 1 на окружности сходимости \w\ ==• 1. Это рассуждение
носит характер, подобный методу Дарбу. Более сложный тип особенности
в этом случае требует более тщательного исследования; оно осущест-
осуществляется Фейером с помощью элементарного способа, подобного второй
теореме о среднем в интегральном исчислении,
В первом доказательстве справедливости формулы (8.22.3) (в частном
случае р = 1) Перрон [1] использует комплексное интегрирование.
Он получает полные разложения (8.22.2) и (8.22.3), используя некоторые
общие асимптотические результаты относительно вырожденных гипергео-
гипергеометрических функций.
Дальнейшие выводы формулы Фейера (частично дающие более точные
оценки для остаточного члена и справедливые на некоторых отрезках,
концы которых стремятся к + 0 или к + оо) были даны Ротахом [1],
Сегё [10], Когбетлянцем [14J. Они применяли либо метод пере-
перевала, либо аналогичные рассуждения. Формула Фейера содержится
в (8.22.4); последний результат следует из некоторой общей асимптотиче-
асимптотической теоремы типа теоремы Хильба, принадлежащей Райту ([1], стр. 261,
однако, только при фиксированном х). Мы приводим доказательство фор-
формулы (8.22.4), используя метод Лиувилля — Стеклова (§ 8.64).
Частные случаи а = ± -ту- соответствуют многочленам Эрмита
(см. (8.22.7)); эти случаи были исследованы еще до Фейера Адамо-
Адамовым [1]. Адамов получил остаточный член с некоторыми численными
оценками.
Мы выводим (8.22.7), применяя метод Лиувилля—Стеклова. Формула
Успенского E.6.5) приводит непосредственно к соответствующему асим-
асимптотическому разложению для многочленов Лагерра, содержащему функ-
функции Бесселя. Мы указываем это в § 8.66. По поводу этого выражения
см. Райт [1]; его первый член есть (8.22.4). Из этого асимптотического
разложения легко вытекают формулы Перрона (8.22.2) и (8.22.3).
Другое доказательство этих формул может быть дано методом перева-
перевала (§ 8.72).
Первый член упомянутого асимптотического разложения для много-
многочленов Эрмита дает формула (8.22.8). Формула Адамова менее точна.
(С другой стороны, она содержит численные постоянные.) Сравнение фор-
формулы (8.22.8) с формулой Успенского ([1], стр. 597, F)) показывает,
что более удобно полагать JV = 2rc+l, чем N~2n.

8.3] ФОРМУЛЫ ЛАПЛАСА-ГЕЙНЕ И ЛАПЛАСА 211
Весьма детальное асимптотическое исследование многочленов Эрмита
принадлежит В а т с о н у ([1], вторая статья).
Отметим следующее простое следствие теорем 8.22.3 и 8.22.7.
Пусть х лежит в комплексной плоскости, разрезанной вдоль неотри-
неотрицательной вещественной оси. Тогда
_А i
п Чп\Ь(^(х)\^2Ш[(--ху1 и—>оо. (8.23.3)
i_
Функция ( — хУ выбрана так, что она вещественна и положительна при
х<0. Если я —мнимое число, то
Vn) Чп\ );(:'\Hn(x)\l-+\8x\, n-+co. (8.23.4)
Теоремы 8.22.8 и 8.22.9 тесно связаны с важным результатом План-
шереля — Ротаха [1]. Эти авторы рассматривали исключительно
многочлены Эрмита и применяли метод перевала; они получили полное
асимптотическое разложение во всех трех случаях теоремы 8.22.9. Их рас-
рассуждения были применены к многочленам LRW Мёклиным [1]. Мы
выведем (§§ 8.73—8.75) только главные члены этого разложения, но для
общих многочленов Лагерра L^ (x), применяя метод перевала. Наши рас-
рассуждения основаны на производящей функции E.1.16) и на асимптотиче-
асимптотическом разложении функции Бесселя в комплексной области.
Формулы (8.22.9) — (8.22.11) характеризуют многочлены Лагерра
соответственно в области, где график многочлена колеблется, вне ее
и в окрестности наибольшего из нулей. То же самое относится к форму-
формулам (8.22.12)—(8.22.14).
Ван Вин ([1], [2]) вывел асимптотический ряд, соответствующий
формуле (8.22.12), и указал численные оценки. Ш в и д [1] применил метод
Лиувилля — Стеклова (в более точной форме, принадлежащей Л а н-
геру [1]) к асимптотическому исследованию многочленов Эрмита.
8.3. «Элементарное» доказательство формул Лапласа—Гейне и Лапласа
A) Начнем с представления D.9.4) и докажем сначала формулу (8.21.1).
Пусть £ = -7t-(jz+z), |z|>l; тогда имеем
п п
р (г\ _ V о ^ 7п-2гп __ а п >П gn-m 7-2т /О О л ч
^а\х)— ZA bn&n-mz —5nz ' 2л ~~g^ * ' V°-°«-U
m=Q ?7i-=0
Мы покажем сейчас, что
п
( ^ - 1") gmz-*-" = 0, (8.3.2)
причем равномерно при |г|>Д, R > 1. Действительно, выражение
в скобках стремится к нулю, когда т фиксированно, а п—>оо. С дру-
юй стороны, легко найти мажоранту; мы имеем, например,
( gn-m Л
ч gn У
gn
14*

212 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
Далее, числа (п -f- I) gn ограничены в совокупности снизу и сверху поло-
положительными постоянными и, кроме того,
(п — т-\-\J(т-\-1J
B) Мы можем доказать (8.3.2) иным путем, используя весьма элемен-
элементарные свойства последовательности {gn}. Пусть б > 0 — произвольное
число, а М — такое целое положительное число, что
оо
m=M+l
Числа ьп~т 1 положительны и возрастают вместе с т\ следовательно,
gn
при п > М мы имеем
т=0 т~О
Последнее вырал^ение стремится к нулю при /г—>оо, так как
— >1. С другой стороны, выполняется неравенство
gn-l
n n
m=M+l
J
Но отношение ——— возрастает, поэтому
ёт-1
1 или >1
в соответствии с тем, будет ли т^(п + 1)/2 или же т^{п + 1)/2.
Следовательно, gn_,ngm достигает своего максимума, когда т изменяется
от нуля до п, при т = 0 и т = п, то есть gn_m gm^.gni так что
m=M-\-i m
Это доказывает (8.3.2).
Таким образом, выражение
п
стремится к нулю при п—> оо, равномерно при | z| > i?, i? > 1, Последняя
сумма стремится к A — z~2) 2; отсюда (8.21.1) легко выводится.

8.3J
ФОРМУЛЫ ЛАПЛАСА-ГЕЙНЕ И ЛАПЛАСА
213
C) Для доказательства (8.21.2) мы используем D.9.3). При 0 < 0 < л
мы имеем
т=0
, (8.3.4)
где 2' имеет то же значение, что в G.4.5). Последовательность {gm} моно-
монотонно стремится к нулю и при 0 < 6 < я справедливо равенство
^ Л *(?-!) -4
V гг р^гтЬ (\ л2г9\ ^ р z (9 cin A^
Этот ряд сходится равномерно при е <; 0 <; я — 8.
Обозначая через б произвольное положительное число, определим
целое положительное М так, чтобы выполнялось неравенство
М"
2 gme2im» <6, ЛГ>М'>М. (8.3.5)
тп=М'
Так как числа gn~m—1 положительны и возрастают вместе с т, если
п > 2М, то в соответствии с неравенством Абеля мы имеем
м
V* / ёп-т
2гт0
-1 ) max
^f gn-N
ч. ьп
где if — фиксированная постоянная. С другой стороны,
» ' ( gn-m л Л 0 р2гп
J V ft ) ome
* \ gn У
(8.3.6)
т=М+1
гтВ
max
р2гтВ
"-id
(8.3.'-)
Так как отношение -^- ограниченно, то мы видим, что первая сумма 2'
gin
в правой части (8.3.4) стремится к нулю. Из этого следует, что
Bsine)
(8.3.8)

214 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
где 6п—>0 равномерно при 8 ^ 9 <; я — е. Это и есть формула Лапласа
с остаточным членом о (п ).
D) Хотя эти «элементарные» рассуждения и не приводят к остаточному
3
члену О (п 2), входящему в формулу (8.21.2), они весьма важны, так как
используют только очень простые свойства последовательности {gn} .
В то же время они дают некоторые асимптотические формулы для введен-
введенных в § 6.5 многочленов Фейера Fn (х), справедливые соответственно в
плоскости с разрезом и внутри промежутка—1 < х < + 1, если мы* толь-
только допустим, что последовательность {ап} удовлетворяет некоторым усло-
условиям. Справедливо следующее утверждение:
Теорема 8.3. Пусть {ат} — такая положительная последова-
последовательность, что ат—> 0, -^— | 1. Тогда имеет место следующая асимпто-
асимптотическая формула:
оо
Fn (х) ^ <хп2» 2 amz-am, л-» оо, (8.3.9)
1 / 1 \
где х лежит в плоскости с разрезом, x = —^-l z-\ J , \z\ > 1. Если,
кроме того, отношение —т- остается ограниченным, то имеем
{оо ч
е1ПВ 2 «/и61™9 +0К), ГС-^ОО, (8.3.10)
m=0 J
где 0 < б < я. Обе формулы имеют место равномерно в том же смысле,
как (8.21.1) и соответственно (8.21.2).
Асимптотическое равенство (8.3.9) является новым обобщением фор-
формулы Лапласа — Гейне; относительно обобщения (8.3.10) см. Сегё [11],
стр. 186—187.
Заметим, что ряд в (8.3.9) является сходящимся, а ряд в (8.3.10)
является равномерно сходящимся на отрезке е ^ б ^ я — 8. По поводу
последнего факта обратим внимание, что так как —^— <С 1, то ат убыва-
ат-1
ет. В качестве приложения теоремы 8.3 мы получаем аналоги формул
(8.21.1) и (8.21.2) (с менее точной оценкой остаточного члена во втором
случае) для ультрасферических многочленов Pffl (х) при X > 0.
8.4. Формула Дарбу, доказанная методом Дарбу
A) Мы докажем формулу (8.21.4), а также другие формулы посредст-
посредством важного метода, указанного Дарбу [1], и начнем с иллюстрации
этого метода. Полагая 0 < б < я, рассмотрим производящую функцию
для многочленов Лежандра (см. D.7.23))
h (w) = A— we-{*)~* A — weW)~z (8.4.1)
в окрестности точки eiB, мы можем написать
е2гВ *
S J 1 — -jr. -A — We-\
|^ е —1
2 (\ __ *2ib\ 2 .
1
■|tjj ) A — we-W) 2. (8.4.2)
v=o ~~~

8.4] ФОРМУЛА ДАРБУ, ДОКАЗАННАЯ МЕТОДОМ ДАРБУ 215
Аналогичное представление справедливо в окрестности точки e~i0. Обозна-
Обозначая L-e частные суммы этих разложений (т. е. останавливаясь на члене
V— L) соответственно через sl* (w) и sl}(^), рассмотрим разность
Я (w) = h (w) - 4!} И - ^2) И- (8.4.3)
Мы сразу видим, чтоL-я производная H{L) (w) имеет непрерывные граничные
значения в круге | w | < 1. Таким образом, если мы разложим Н (w) в сте-
степенной ряд в окрестности точки w = О, то коэффициенты функции Н^Ь) (w)
стремятся к нулю. Это простое замечание показывает, что коэффициенты
d г функции Н (w) удовлетворяют условию
limnLdn = 0. (8.4.4)
п->оо
Каждое из слагаемых конечных сумм s^ (w) и s^ (w) имеет только
одну особенность на единичной окружности, v-e слагаемое из $W (w)
присоединяет к коэффициенту при wn в h[w) (а следовательно, к Рп (cos Э)
выражение вида
1
v-e слагаемое из s^ (w) дает сопряженное к (8.4.5) выражение. Оба
1
выражения имеют порядок О (п %). При фиксированном значении р
коэффициент при wn в Н(w) будет более высокого порядка, чем п % ,
если L достаточно велико.
Применяя то же самое рассуждение, можно получить следующую
общую теорему:
Теорема 8.4. Пусть h(w) —регулярная функция в круге \w\ < 1
и пусть она имеет конечное число особенностей
е1ф1, е1ф2, ..., e^i, е'^фе1^, а^р, (8.4.6)
на единичной окружности \ w | = 1. Пусть
оо
А(ш)= 2 ^{i-we-'S11 \ Л = 1,2, ..., I, (8.4.7)
е окрестности егц>к, где Ък > 0. Тогда выражение
оо I
?>(в + у*)-е**)» (8.4.8)
асимптотическое разложение коэффициента при wn в h(w) в следую-
следующем смысле: если Q — произвольное положительное число и если во внешней
сумме в (8.4.8) взять достаточно большое число членов, то мы получим
выражение, которое приближает рассматриваемый коэффициент с по-
погрешностью О(п~%).
Простое рассуждение показывает, что в этой сумме достаточно оста-
остановиться на члене с номером v — p — 1, где р — такое целое положитель-
положительное число, что
р > max Ы1 {Q-Ш (ah) - 1}. (8.4.9)
Можно допустить также, что h{w) имеет логарифмические особенности.

216 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
B) В случае Pn(cos 0) это асимптотическое разложение принимает вид
)\ (8A10)
1
Общий член есть О (п 2); таким образом, если мы остановимся на члене
_1
с номером v = р — 1, то погрешность будет О (п 2). Это находится в соот-
соответствии с формулой (8.21.4). Ясно также, что оценка остаточного члена
справедлива равномерно на отрезке е<!0<;я—8.
Этот же метод может быть применен для доказательства асимптотиче-
асимптотического разложения (8.21.3), которое соответствует формуле Лапласа —
Гейне (8.21.1). (Действительно, это более простой случай, чем предыду-
предыдущий.) Пусть | я | > 1, тогда
отсюда (8.21.3) легко следует.
C) Бесконечный ряд, соответствующий формуле Дарбу (8.21.4),
сходится в обычном смысле и представляет Pn(cos0), если 2sin6>l,
т. е. при ^<б<~тг- Действительно, представление (8.4.2) имеет место
равномерно в окрестности w — 0, если
| A — ше-*в) (e2ie _ l)-i | < 1. (8.4.12)
D) Метод Дарбу может быть применен также к общим многочленам
Якоби, в частности к ультрасферическим многочленам, и приводит к тео-
теоремам 8.21.9 и 8.21.10. Другой метод вывода асимптотического разложе-
разложения, указанного в теореме 8.21.9, будет дан в § 8.71, D) и E).
E) Наконец, отметим, что разложение (8.21.4) заканчивается на чле-
члене с номером v = Я — 1, если К—целое положительное число. В этом
случае мы получим точное представление
(cos e) =
( + )( + ) ( + ) BsinO)
/i = 0, 1,2, .... Я = 1,2, 3, ...-, an=(n+i~1). (8A13)
В самом деле, в этом случае разность (8.4.3) (при L = X — 1) будет
рациональной функцией, которая не имеет особенностей ни при каком w
(включая w= оо) и которая обращается в нуль при w~> оо. Следователь-
Следовательно, она должна быть равна нулю тождественно.
Аналогичное представление для Р^> (х) при | z \ > 1 и X целом
положительном несколько более сложно; оно легко может быть выведено
из (8.4.13).

8.5] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ СТИЛТЬЕСА 217
8.5. Доказательство формулы Стилтьеса
A) Формула Стилтьеса D.9.17) была выведена в § 4.9, C) из интеграль-
интегрального представления D.8.17). Этот вывод давал для остаточного члена Rv(b)
(8.21.5) следующее выражение:
Rv (в) =-1-3 |ei (n+i)8 e{ (?-г) B sin в)~* \tn(l- tf*Qp (t) dtj , (8.5.1)
6
где (gv имеет тот же смысл, что в теореме 8.21.3)
1 р-1 i(Hj)
Qp (t) = A - z) 2-2 gV\ z = A - 0 '-^^j • (8.5.2)
Следуя Стилтьесу, пишем
f JeS^p. (8.5.3)
0 v=0 0
Последняя формула очевидна при допущении, что \z\ < 1; затем она может
быть продолжена на всю полосу 0<9t(z)<y без ограничений. Затем t
полагая A — t) sin2 <p = /•, находим
Минимум этого выражения равен cos2 б или B sin б) в зависимости ог
того, будет ли 2sin20<l или же 2sin20>l. Следовательно,
I бр (t) \<gP(i-t)v Bsine)-W, (8.5.4)
где М имеет тот же смысл, что в (8.21.6). Таким образом, мы получаем
| Др (в) |<-£-B sine) 2yn(l~t) z(l-tygvBsind)-pMdt =
о
/ 1 \
м
(8.5.5)
B sin
что эквивалентно (8.21.6).
Аналогичная формула теоремы 8.21.11 для ультрасферических много-
многочленов /W(cose), 0 < Я < 1, следует из D.82.3) (см. С е г ё, [17],
стр. 57—60). Формула (8.21.15) представляет собой разложение D.9.25),
дополненное оценкой погрешности, если мы остановимся на члене с номе-
номером v = p—1. Эта погрешность опять вдвое меньше, чем первый член^
которым мы пренебрегаем, если в нем cos заменить на единицу. Доказа-
Доказательство такое же, как и выше; для чисел av, определенных в D.9.21),
мы применяем представление (см. F.5.9))
£HLA?C Itgcpl^sin^cprfq) (8.5.6)
То же самое замечание, что в § 8.4, C), применимо к бесконечному
ряду, соответствующему формуле Стилтьеса и ее обобщению (см. D.9.17)„
D.9.25)).

218 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
8.61. Метод Лиувилля — Стеклова; формула Лапласа
Мы выведем теперь формулу Лапласа из дифференциального уравне-
уравнения G.3.5). Основная идея состоит в преобразовании этого уравнения
в интегральное уравнение типа Вольтерра, что дает возможность последо-
последовательного улучшения рассматриваемой асимптотической формулы. Это
очень старая идея, она появилась в трудах Лиувилля о дифференциальных
уравнениях типа Штурма — Лиувилля. В. А. С т е к л о в [1] применил
этот метод к асимптотическому исследованию некоторых классических
многочленов.
Недавно Лангер [1], [2], [3] использовал этот метод системати-
систематически и существенно усилил его эффективность. В основном он рассматри-
рассматривал особые случаи, подобные D.24.2) или одному из уравнений E.1.2) соот-
соответственно в окрестности точки 6 = 0 или х = 0, и получил общие асим-
асимптотические формулы типа формулы Хильба. Он дал также применение
этого метода в комплексной области.
A) Мы пишем дифференциальное уравнение G.3.5) в виде
9)^ (cos6)_
4 sin2 0 v '
Рассматривая это соотношение как неоднородное уравнение относительно
\_
(sin бJ Рп (cos б), мы можем применить A.8.12); соответствующее
однородное уравнение имеет фундаментальной системой решений
следовательно,
■(Sin 6) n (COS \jj —■ ^-^ \j\jlj i iv i ty i \j j <^2 »^■»■■«■* i '
sin {+^)(о}
l(smt)*Pn(cost)dt, (8.61.2)
где бо» £ц С2 —некоторые постоянные. Если мы положим б0 = -к-, 0 < Э < я,
то последний интеграл и его производная обращаются в нуль
при 6 = -^- . Это замечание позволяет нам определить сх и с2. Мы находим,
что (sin в)* Рп (cos е) = К cos { (и +1) е - -} -
— \ ^-ОТТ (вШJРп (сов t)dt, (8.61.3)

8.61] МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ-СТЕКЛОВА; ФОРМУЛА ЛАПЛАСА 219
где
gn при п четном,
2
ПРИ w нечетном. (8.61.4)
Это и есть упомянутое выше уравнение Вольтерра. Если 0 лежит на отрез-
отрезке [8, я — е], а Мп означает максимум абсолютного значения левой
части (8.61.3), то мы имеем неравенство
Следовательно, если п достаточно велико, то
И
1 3
{()--£}+0(л~2), (8.61.6)
откуда легко получается формула Лапласа.
B) Последовательное применение (8.61.3) приводит к разложению
типа Дарбу, а именно к формул-е
р-1 1 1
V ~P~Z), е<б<я-е, (8.61.7)
где Av(d) и BV(Q) — некоторые аналитические в промежутке 0 < 6 < я
функции, не зависящие от п и р. Однако явное определение этих функций,
т. е. отождествление формулы (8.61.7) с формулами Дарбу или Стилтьеса,
по-видимому, весьма трудно.
Для доказательства мы применяем математическую индукцию. Допу-
Допуская справедливость формулы (8.61.7), из (8.61.3) получаем
v=0
р-1 !
v=0
Но

220 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
и интегрирование по частям дает
р-1
4
р-1
где Яд (б) и fyx F) — некоторые функции того же типа, что Av (б) и Z?vF)-
Интегралы, содержащие Bv(t), могут быть преобразованы таким же обра-
образом. Это приводит, если применить ряд Стирлинга (см. Полна и Се-
г ё [1], часть I, отдел I, задача 155) к представлению вида
1 р
(sinв)*рп(cose) = cos(w + y)е2 ^(е) n
Р 1
+ sin (n + y) б 2 5;1)F)^v + O
v=0
Сравнивая это выражение с (8.61.7), находим, что
а™ (е) = Л(е), в? (е) = 5V(e), v = о, 1, 2,..., Р-1.
Гем самым наше утверждение доказано.
Мы имеем
4>) os^ n~2
(8.61.8)
Этот же метод может быть применен для асимптотической оценки функции
Qn (cos 6) (см. задачу 18), а также для ультрасферических многочленов.
В первом случае мы получаем теорему 8.21.14. Применение метода к обоб-
обобщенным многочленам Якоби более трудно, так как не известно их явное
значение в точке б = -~- (или в какой-нибудь другой фиксированной точ-
ке из промежутка 0 < б < я) *).
8.62. Метод Лиувилля — Стеклова; формула Хильба
A) Выведем опять некоторое интегральное уравнение для .Pn(cos6)v
отличное от (8.61.3) и содержащее функции Бесселя. Записав G.3.5) в виде^
^ {(sin бI Рп (cos 6)} + {— + (п + у)'} (sin еЯ Рп (cos б) =
in6Mjp«(cose)' (8-62Л>
мы применим A.8.12). Соответствующим однородным уравнением будет
A.8.9) (а = 0, к = п -\- — ) с решениями
i)) (8-62-2>
См., впрочем, Кора у с [3].

«.62] МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ—СТЕКЛОВА; ФОРМУЛА ХИЛЬБА 221
Следовательно, при некоторых постоянных 60> £ц <?2 мы будем иметь
j.
П-\~— Qo
х
В соответствии с A.8.14) имеет место равенство
Но функция г — (sin t)~2 является аналитической функцией в точке t = 0;
следовательно, мы можем положить бо = О и тогда получим тождество
Если это равенство разделить на б2, а затем 0 устремить к нулю, то
последний член будет стремиться к нулю, а левая часть к единице. Поэтому
<см. A.71.10) и A.71.1)) с2 = 0, сх = 1, и при 0 < 6 < я находим
i_
sin e v n
P
1
sint \2
J Pn (cos t)dt. (8.62.5)
Это и есть требуемое интегральное уравнение.
B) Допустим сначала, что 0 < и0< 1. Тогда в соответствии с A.71.1)
и A.71.4) будем иметь

222 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. VIH
= O(l)lny = O(l). (8.62.6>
Таким образом, интеграл в правой части (8.62.5) (в силу G.21.1)) равен
8 9 1
C) Пусть теперь ?г0>1, 0<я—е. Разобьем интеграл в правой
части (8.62.5) на два: первый — по промежутку 0 < £<— и второй —
по отрезку —< £<0. Тогда первый из них, благодаря A.71.10) и A.71.11)
есть величина порядка
1 1
-Ар _1П _I
О {(п0) 2} \ 11Уо (я£) \dt-\-0 {(rift) 2} \ ^ | /0 (n£)| dt — О {{п%) 2] п~2 =
6 о
= 0@ 2п 2) = (П0) О (б2 я 2) = О@2п 2)„
а второй благодаря G.3.8) есть величина порядка
О (И) 2}^
8.63. Метод Лиувилля—Стеклова; распространение формулы
Хильба на многочлены Якоби
Применяя интегрирование по комплексной переменной, Сегё [171
распространил формулу Хильба и соответствующее асимптотическое разло-
разложение, упомянутое в § 8.23, A), на ультрасферические многочлены и даже-
на обобщенные многочлены Якоби. Следуя Pay [2], мы выведем глав-
главный член этого общего разложения посредством метода Лиувилля —
Стеклова и получим формулу (8.21.17). Оценки остаточного члена лучше,,
чему Сегё [171, стр. 77, D7), и чем у Р а у [2], стр. 691—692, B9), C0)..
A) Пусть а> —1. Напишем D.24.2) в виде
[ (8.63.1)»
Применяя снова A.8.12), мы получаем благодаря A.8.9) соотношение
N ) Ji(Nt) J-a(Nt)-jLa(Nt)Ja(Nt)

8.63J РАСПРОСТРАНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ХИЛЬБА 223,
X
1
i-'
4 sin. 1
х
. (8.63.2)
Здесь и в дальнейшем /__а (z) следует заменять через Ya (z), если а —целое-
число. Мы опять используем тождество A.8.14), в силу которого
Ja (Nt) У_а (Nt) - /la (Nt) Ja (Nt) = 2sJ^ajt . (8.63.3>
(Если а — целое число, то sin ал надо заменить на — 1.) Следовательно%
е
= CxJa (Nb) + C2J_a (Nb) + J {Ja (Щ J-a (Nt) -
60
-J-a(NQ) Ja(Nt)} i* f (t) (^sm^ j (cosy) Pia'P)(cos0^, (8,63.4)
где / (t) регулярна в 0<£< я и не зависит от п.
Последний интеграл сходится при 0О = О; при фиксированном rt:
и 0 —> + 0 этот интеграл равен
О A) \ (bat~a + 0"а^а) t2 t 4t =
о
е е
■= О @а) { tdt ±0 (b~a) { t2a+{ dt = О @а+2).
о о
Это справедливо как для целых, так и для нецелых значений а (см. A.71.10)),
за исключением а = 0. В этом случае мы имеем
Деля (8.63.4) на 0а и устремляя 0 к + 0> мы находим (см. A.71.1)) соот-
соотношение вида
--а- -
(Последний член должен быть изменен при а = 0.) Отсюда следует^
что при а > 0
_ 1
с 0 2~
, = 0, Cl = 2 *N-«T(n + a+i)(n\y\
Тот же результат справедлив и при — 1 < а < 0, если мы примем во вни-
внимание, что «главный член» выражения b~aJ-a (Nb) есть 0~2а. Таким».

224 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
образом, при 0 < 0 < я имеем
а {щ +
1
= 2~ 2 /V-a Г(я-|-а +
Ja(Nt)}t2 f(t)(sin-|Л 2(^cos-|^ 2P(n'^(cost)dt. (8.63.5)
B) Пусть теперь rc—>oo. Мы находим оценки для последнего инте-
интеграла, рассуждая как в § 8.62. Пусть сперва О<тг0<1. Тогда при
а Ф 0 рассматриваемый интеграл равен (см. вторую оценку в G.32.5))
е 1 1
0A)
В случае, когда a = 0,. мы рассуждаем так же, как в § 8.62, B), и получаем
ту же оценку, а именно О @2). Если же мы положим аГ1<0<я— е,
то интеграл, взятый по 0 < Z<ra~1, будет (см. вторую оценку в G.32.5))
1
(Здесь /_a нужно заменить на Уо, если a = 0.) При t>— мы используем
первую из оценок G.32.5) и получаем
8.64. Метод Лиувилля—Стеклова; асимптотическая формула
(типа формулы Хильба) для многочленов Лагерра
Если применить четвертое из уравнений E.1.2), то этот метод легко
приводит к (8.22.4). Подобным же образом может быть применено третье
уравнение, но при этом вычисления будут несколько более сложными. Отно-
Относительно асимптотического разложения, связанного с формулой (8.22.4)
( по крайней мере при a > —п- ) см. § 8.66.
A) Пусть а> —1. Записывая рассматриваемое уравнение в виде
±—а*\ *2 1
^j a+ ^ (864Л)
мы можем применить A.8.12) и A.8.9). Тогда
Х2 1 1111
е~* х 2/#> (Х2) = CiX2ja BN*x) -^ c2x2 J_a B№ х)
4 f
27V2
2 2

8.64] ФОРМУЛА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГЕРРА 225
щех0, сг, с2 — некоторые постоянные. Применяем снова (8.63.3) и получаем
_^? - I
е~ 2 ЛС4а) (х2) = cxJa BN2 х) + c2J_a BN2 х) +
х0
1 1
1 _ ii
) /а B/V2 0} в 2
Если а — целое число, то /_а (z) нужно заменить на Уа (z), a sin а я на — 1.
Пусть хо = 0. При фиксированном п и х —> + 0 последний интеграл
будет
(Еслиа = 0, то эта оценка должна быть умножена на In A/х).) Таким обра-
сс
зом, как и в § 8.63, с2 = 0 и L1^ @) = ^N* {Г (а + I)}'1, откуда имеем
_ ^
Cl = 7Vr(n + a+l)(n!)-i. (8.64.2)
Следовательно,
е~ т ж«14в) (ж2) = N~ 2 Г
Ж) /a B7V2 t)} е 2 *он-3£<*> (^j dtm (8.64.3)
B) При дг —> оо остаточный член может быть оценен так же, как
в предыдущем случае. Однако мы избегаем здесь применения оценки типа
G.32.5). (В § 7.6, C) мы вывели такие оценки в качестве следствия из
(8.1.8) и формулы Фейера (8.22.1); но это весьма близко к формуле (8.22.4),
которую мы хотим теперь установить.) В приводимом ниже доказательстве
мы используем только элементарную формулу (8.1.8) типа формулы Меле-
ра — Гейне, в частности, лишь вторую оценку G.6.8).
Пусть сначала 0 < х< п ^# Тогда U& (t2) — O (па) при 0< t< х.
Отсюда следует, что интеграл в (8.64.3) равен
^ a a a a
О A) \ (n^xan~ Ч~а H- n~ 2x~an4a) ta+dnadt = О (яа+4па); (8.64.4)
о
_1
при а = 0 эта оценка должна быть умножена на In (#~ % 2).
_ 1 1
Пусть теперь п 2<£<оо2, где со — фиксированное положительное
число. Пусть Мп — максимум функции е 2 ха\ L^ (%2) \ на этом отрезке.
Тогда интеграл по отрезку 0<£<тг 2 при афО равен
0A) \ (П 4Х 2П Ч~а+П kX *пЧ°) £a+3na dt = О (х
о
(8645)
о
15 Г. Сегё

226 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ '[Гл.
Этот же результат справедлив и в том случае, когда а = 0. Остальная
часть интеграла по отрезку п 2 < t < x будет равна
и 4.х % Ч 4*Mndt = O(l)n Ч*Мп^Мп-о{1). (8.64.6)
о
Учитывая (8.64.3) и применяя такое же рассуждение, как в § 8.61, мы
находим, что
Мп = О(п 2)О(па)О(п kx 2) = <9(х 2п2 4). (8.64.7)
(Это, разумеется, совпадает с первой оценкой G.6.8).) Следовательног
_ А I
если п 2<#<со2, то в силу (8.64.5), (8.64.6) и (8.64.7) мы получаем
для остаточного члена следующую оценку:
1 £ _ £ _! _i^_i
О(Х~2П2 *)+ 0AO1 2Х*О(Х 2^2 4) =
_j_a_^ A^_£ 5 a 3
= 0(ж 2^2 4)+ <9(х2гс2 4) = 0(х2п2~4).
8.65. Метод Л иу вил л я —Стек лова; многочлены Эрмита
A) Интегральное уравнение (8.64.3) принимает особенно простой вид
в случае, когда а = ± -т » т- е- Для многочленов Эрмита. Применяя E.6.1)
и A.71.2) и полагая соответственно п = 2яг при a = ^ , тг = 2т + 1
. 1
при a = + -77 , мы получаем
\ sin {N2(x-t)}t2e 2Hn(t)dt7
(8.65.1)
где
_ i_
Я,п=1Яп@)| или \Hk@)\N 2 (8.65.2)
в зависимости от того, будет ли п четным или нечетным, и N = 2п + 1.
Но более удобно вывести это непосредственно из второго урав-
уравнения E.5.2).
Мы докажем (8.22.7) методом математической индукции. Утверждение
справедливо при р = 0, когда обе суммы 2v=o заменяются нулем.
-Х1
Действительно, если Мп означает максимум е 2 | Нп (х) | на фиксированном
отрезке вещественной оси, то из (8.65.1) находим
Мп<К+0(п~*)Мп, (8.65.3)
откуда следует, что Мп = КпО A).

8.65]
МЕТОД ЛИУВИЛЛЯ—СТЕКЛОВА; МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА
227
B) Допуская теперь, что (8.22.7) справедливо при некотором произ-
произвольном /?, мы получаем из (8.65.1) равенство
p-i
X
_™М + ?чД 2 \ sin (Л72 (.х--£)}-{ cos
о
1 „ 1
v=0
(8.65.4)
Второе слагаемое правой части содержит выражения следующего типа:
1
sin {N2(x-t)} cos
6
J
i
sin {7V^ (x -
dt,
(8.65.5)
+ \ KN~V~{ \tl cos In2 (х- 2t) + *
6
где к четно, а I нечетно (А>2, />3). Интегрирование но частям дает
х 1 ..11
I х
f'cos
^.} dt,
(8.65.6)
последняя формула справедлива также при I = 1, и мы имеем
1 . Г 0, лг четно
6
V 2со8^7У2^-^\ п нечетно. (8.65.7)
Эти вычисления приводят к формуле вида
ос2
1п(х) = К{
cos
v=0
15*

228 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIIT
Повторное применение тех же рассуждений дает нам
е~ ~*Нп (х) = Кл {cos ^№х ~ ^) 2 Ч2) (х) ^~v +
v=0
Мы легко замечаем, что и^(х), и^(х), v[{) (x), z/v2) (x) — многочле-
многочлены того же типа, что ^v (x), vv(x) и, кроме того, что uv(x) =
= m(v4) (#) = ^(v2)(;z), uv(#) = Uv4) (ж) = г42)(#)> v<p — 1; отсюда выте-
вытекает (8.22.7).
Доказательство теоремы 8.22.7 может быть проведено таким же путем.
8.66. Применение к многочленам Лагерра
A) Асимптотическое разложение (8.22.7) вместе с формулой E.6.5)
Успенского легко дает для многочленов Лагерра L^\x), по крайней мере
при а> к- , асимптотическое разложение типа формулы Хильба.
Мы наметим лишь ход доказательства.
Подставляя (8.22.7) в E.6.5), мы получим асимптотическое разложе-
разложение, главным членом которого с точностью до тривиального постоянного
множителя, зависящего от п, будет выражение
-И 1 Xf2 ill
+ Dп + 1) 2 sin [(An + \Jx4] vv (хЧ)} dt. (8.66.1)
Здесь щ (х) — четные, a vv (x) — нечетные многочлены, не зависящие от п.
Формула (8.66.1) является линейной комбинацией выражений вида
С A - t*f~ Ч 2 (xHf cos [(An + lJx4] dt, |
~1 ,. / (8.66.2)
i~H I £l2 I II
I
^ 2e2 (x4)l*m[(An + lL4]dt,
где /си/ — неотрицательные целые числа, к — четные, а I — нечетные.
т к
Если мы разложим функцию еМ в степенной ряд в окрестности точки
т = ж, то для первого интеграла мы получим слагаемые вида
С A _
11
cos (D^ -у lJX2t} dt,
Где ^ — целые неотрицательные числа. Эти интегралы могут быть выраже-
выражены через функции Бесселя (см. A.71.6)). Этот же метод дает для второго
интеграла (8.66.2) члены вида
С A _
Ч sin [(An + \Jx4} dt,

8.71] МЕТОД ПЕРЕВАЛА; МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕШАНДРА 229
где опять д — целые неотрицательные числа. Эти интегралы также можно
выразить через функции Бесселя (комбинируя вторую формулу A.71.5)
с A.71.6)).
Если мы остановимся в разложении первого из выражений (8.66.2)
на некотором члене, то остаток можно представить в виде
(8.66.3)
-i
где /(т) = стхт + ст+1хт+1 + ... —целая функция с нулем порядка т
в точке т = 0; здесь т— произвольное целое число. Для второго инте-
интеграла (8.66.2) остаточный член имеет аналогичный вид. Полагая
g(t)^(l~t^~"f[x(l-t^
мы видим, что функции g(t), g'(t), g"(t), ..., g('m~i)(t) обращаются
в нуль в точках £=±1; они все суть хт0A), где 0A) равномерно
ограничено на отрезке —1<£<+1 и на фиксированном конечном
отрезке а^.х^.Ь независимо от того, содержит ли он начало координат
или нет. Интегрируя по частям, мы находим для (8.66.3) равномерную
по х при а<^<6 оценку вида О(пгк), где К- произвольно большое
число, если т достаточно велико.
Аналогичный результат справедлив для второго остатка.
B) Первый член этого разложения дает (8.22.4). Мы легко получаем
также распространение (8.22.4) на комплексную область.
Допустим теперь, что 0<8<;г<со. Затем, применяя A.71.8), мы
получим асимптотическое разложение Перрона (8.22.2) (см. Усп-е н-
ский [1], стр. 608—-610). Нетрудно вывести этим же путем комплекс-
комплексную формулу Перрона (8.22.3).
Во всех этих рассмотрениях мы предполагали, что а > —ту . Распро-
Распространение формулы Перрона на любые вещественные а мояшо осуществить
с помощью второй формулы E.1.13). По поводу второго доказательства
формулы Перрона (методом перевала) см. § 8.72.
8.71. Метод перевала; многочлены Лежандра и связанные
с ними функции
A) Этот метод может быть применен для асимптотического вычисления
интегралов- вида
J {F (t) }n g (t) dt = J e»/«> g{t)dt, (8.71.1)
взятых вдоль некоторой дуги или замкнутой кривой, где F (t) = е№ и g (t) -
данные аналитические функции, регулярные в некоторой части комплекс-
комплексной ^-плоскости, а п—> оо. По теореме Коши контур интегрирования
может быть деформирован. Во многих случаях удобно выбрать в качестве
пути интегрирования линию, проходящую через точку t0, в которой
f(to) = O (точка перевала); кроме того, направление контура в точке t0
(критическое направление) должно быть выбрано так (предполагаем, что
Г (t0) Ф 0), чтобы выражение
±nr(to)(t-to)* (8.71.2)
было вещественным и отрицательным, если t лежит в достаточно малой
окрестности точки t0. Тогда

230 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
Отсюда следует, что при надлежащих предположениях относительно
поведения функции / (t) на остальной части пути интегрирования окрест-
окрестность точки перевала
t-tQ = O(n~*), 0<6<-i (8.71.3)
дает при га—^оо главную часть интеграла, которая равна
а > 0, гс-^оо. (8.71.4)
(Дополнительные трудности возникают, если /" (t0) = 0; относительно
:)того случая см. § 8.75.)
Термин «метод перевала» возник из следующих соображений. Пусть
/ — u+iv. Тогда, рассматривая и, v, ?ft{f(t)} как декартовы координаты
в обычном евклидовом пространстве, мы получаем поверхность с точкой
перевала (седловой точкой) t=t07 а кривая, проходящая в критическом
направлении, является на этой поверхности линией наиболее крутого
спуска в этой точке.
Ясно, что есть большая свобода в выборе контура; мы стеснены лишь
в выборе его направления в точке перевала. Однако точное вычисление
точки перевала t0 как корня уравнения /' (t0) = 0, ив особенности соответ-
соответствующего критического направления, может в некоторых случаях пред-
представить задачу значительной сложности. Поэтому следующее замечание
может сильно упростить дело. Вместо самого критического направления
можно взять для пути интегрирования некоторое иное направление через
точку перевала, лишь бы оно образовывало с критическим направлением
угол, меньший чем ~ . Тогда постоянная в (8.71.4) будет комплексным
числом с положительной вещественной частью. Геометрически это озна-
означает, что, проходя через точку перевала на поверхности, нельзя подняться
на более высокий уровень в окрестности этой точки, чем в самой точке.
Для наших целей мы предпочтем контур, удовлетворяющий послед-
последнему условию, вдоль которого 91 {/ @} изменяется монотонно. Тогда иссле-
исследование подынтегральной функции вне окрестности (8.71.3) становится
сравнительно простым.
Относительно истории вопроса, дальнейших деталей и важных прило-
приложений этого метода мы отсылаем читателя к книге В а т с о н а [3],
стр. 235 — 236.
B) В качестве первой иллюстрации метода рассмотрим функции
Лежандра второго рода, т. е. частный случай D.61.1) приа = |3 = 0. Пусть
х = cos e — Ю, 0 < 0 < я. Тогда
15Aё^Т^- (8.71.5)
Первоначальный путь интегрирования, —1<£< +1, может быть дефор-
деформирован в верхнюю полуокружность единичного радиуса, описываемую
в отрицательном направлении. Условие, определяющее точку перевала,
будет
1 *»-2*cos8 + l _0 *-Ⱬ. (8 716)
2 (*-cos0J - ' 0ТКУДа 1~е > (o.u.v)
и мы видим, что новый путь интегрирования проходит через точку пере
вала t = eiB. При t = ei8 мы имеем
dt* V 2 *-cos0/j-~isin

в.71] МЕТОД ПЕРЕВАЛА; МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 231
следовательно, в окрестности этой точки
l!L i^9)! . (8.71.8)
2 / — cos 6 ^ 2isin6 '
В критическом направлении выражение е ' 2' (t — e1^J должно быть
вещественным и отрицательным, иными словами, должно быть
arg(f-e«)=-|4-^- или 1—■=-. (8.71.9)
Далее, угол между этой прямой и касательной к единичной окружности
в точке eie равен
argre42 + x):eK9f2)} = ^_l (8.71.Ю)
«I-
2
Я £
-^ п-, если e<8<rt— e. Итак, мы можем использовать
4 2
в качестве пути интегрирования*) верхнюю полуокружность
Подставляя t — e1®, 0<ф<я, мы находим, что функция
1
sill ф ( f ^пя гп — гп.ч fi *\2 . ^ %
~2 t — cos в
[(cos ф — cos 0J + sin2 ф]2
= f/coscp-cosey + 1| 2 (8>71Л1)
является возрастающей функцией ф при 0<ф<8 и убывающей при
О < ф < я. Затем рассмотрим интеграл по дуге
__ 1
"^ +n6, (8.71.12)
где б —подходящим образом выбранное положительное число. На этой
дуге мы имеем
1
е*Ф _ еге = ei9 [ехр (ш~ 2Q) — 1] = е^ | irT \
и в силу (8.71.8) получаем
при б < -у . Здесь cv с2, . . . — некоторые функции б, не зависящие от п,
причем ст = О(Ат) равномерно по б при е<б<я— е и по т; A~A(s).
Далее,
\ 2t sin 6 Q J 6 '
где
v=2
х) Критическое направление дается биссектрисой острого угла между касатель-
касательной в точке е^ и горизонтальным направлением.

232 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. YIII
Пусть б < -д-; если М— произвольно большое целое положительное
число; то функции W и ew могут быть представлены в виде конечных сумм
плюс остаточный член порядка О {п~м). Это приводит к соотношению
2 \ \п
X
2tsine
'■}
з
'*+...}. (8.71.13)
Ряд в скобках является асимптотическим разложением. Если взять только
т его членов, то остаток будет меньше произвольно большой степени п1,
если т достаточно велико; uv (q, б) —многочлен относительно q и анали-
аналитическая функция относительно 0 при 8<б<я—е. Кроме того, имеем
C) Умножим (8.71.13) на выражение
2 COS0 —«
где {^ — последовательность, аналогичная последовательности {ст}; это
не меняет основного характера равенства (8.71.13). Мы получаем, что
интеграл по дуге (8.71.12) дает
2 sin 0
ехр X — -т^А—г о21
^ \ 2i sin0 v J
X
i
X {1 + ^@, 0)n~2 + t;2(e? Q)n-l + v3(Q, b)n"^+ ...}dQ, (8.71.14)
где {vv (q, 0)} — последовательность многочленов, аналогичных последова-
последовательности [uv (q; 0)}. Последний ряд является асимптотическим разложе-
разложением того же типа, что (8.71.13).
В концевых точках рассматриваемой дуги модули подынтегральной
функции в (8.71.14) суть О (б?-^2), т. е.
О (е-™26), с>0;
это же имеет место для интеграла по остальной части дуги ввиду монотон-
монотонного характера изменения функции (8.71.11). Таким образом,
х {1 + ^(е, е)п~* + v2(е, 0)И-1+.
Члены, соответствующие нечетным степеням п 2, обращаются в нуль
после интегрирования. Дополняя интервал интегрирования, получаем

8.71] МЕТОД ПЕРЕВАЛА; МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА 233-
соотношение
2 sin 8
1
n 2{W} л2+°(" 2)=
причем оценка остаточного члена равномерна на отрезке е<8<я— 8.
Этот метод приводит к полному асимптотическому разложению
Qn (cos б — iO) вида (8.61.7) при 8 < б < я — е; однако, по-видимомуг
трудно, применяя его, найти общий вид коэффициентов.
Из (8.71.15) мы получаем соответствующее асимптотическое разло-
разложение для (?n(cos6 + i0) простой заменой i на — г. Отсюда и из D.62.8)
мы легко получаем формулу Лапласа. Формула (8.61.7) может быть выве-
выведена таким же путем. Одновременно мы получаем подобное же асимптоти-
асимптотическое разложение для Qn' 0) (cos б) = Qn (cos б) с главным членом (8.21.19).
D) Ясно, что можно провести аналогичные рассмотрения для много-
многочленов Якоби Pna'P)(cos б), где а и р — произвольные вещественные числа,
п—> оо , а 9 снова лежит на отрезке —е<б<я— е. В соответствии
с D.4.6) мы имеем
Y
2 t—cos 0 / VI — cos0 у V l + cos0 J cos0-
(8.71.16)
где контур такой же, как в B)х). Дополнительный множитель
2 г 1 —^
)•( *±*Y (8.71,17)
у V1 -(- cos 0 J v 7
я i \1 — cos 0 у V1 + cos 0 )
не создает новых трудностей и при t — eie дает
2/. 6 \ — ct Z' 0"\~*3 f • Г 01 (^ — ЗХ) , р0~11 /о П1 in\
— I siiiy j f cos у ) exp-J i —^-x— i T" Г • (o./l.lo)
Отсюда мы находим (8.21.10) и разложение вида (8.21.12).
E) Этот же метод может быть легко применен к функциям Qn (х), Рп (х)
или в общем случае к ($'Р) (х) и Р{п' Р) (х), когда х — произвольное веществен-
вещественное или комплексное число, не лежащее на отрезке [ —1, + 1]. Этоупри-
водит к (8.21.9), а также к разложению (8.21.11). В случае Q^n'^(%) мы
исходим из D.61.1). Следует заменить полуокружность, использованную
1
выше, дугой окружности, проходящей через точки ± 1 и z= х— (х2— 1р,
| z\ < 1 (улежит в плоскости с разрезом), которая была введена в §4.81, A).
В результате получим тот же интеграл, что в D.82.4). Применяя метод
перевала, мы получаем формулу вида
1 1
(х - 1)« (х + If Q{n> Р) (х) ^ п~ 2 {х - (х2- lJ}n+i ф (Х^ (8.71.19)
где \х—(х2—1J|<1, а ф (х) не зависит от п, регулярна и отлична
от нуля в плоскости с разрезом.
Мы должны исключить точки t = ±: 1 с помощью маленьких полуокружностей.

234 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIIT
8.72. Метод перевала; формула Перрона для многочленов Лагерра
В качестве дальнейшего применения этого метода мы опять выведем
асимптотические разложения (8.22.2) и (8.22.3). Приводимое доказатель-
доказательство основано на интегральном представлении E.4.1), которое справедливо
при произвольном вещественном а, если п достаточно велико.
A) Пусть х произвольно, но отлично от нуля. Будем исходить
из асимптотического разложения A.71.8) функции Бесселя /а (z), z — ком-
комплексное. Часть интеграла E.4.1), взятая по отрезку интегрирования
0<£<1, есть (п\)~1О A). Таким образом, мы можем ограничиться зна-
значениями £>1 и применить A.71.8). Подстановка этого разложения
в E.4.1) приводит к интегралам вида
оо ' 4
П
оо 4- — — — -
~ ^е~ЧП ~2(tx) 2 ~4cos{2(^J-^-J}^, m -четно,
о
1
sin {2(txf -5J-J| dt, т-нечетно,
■ (8.72.1)
m = 0, 1, 2, ...
{Здесь область интегрирования снова дополнена до всей полуоси 0 < t < оо.)
Остаточный член будет иметь вид
оо , а 1 1
1С п+--,</ - -
~~ \ p—tf pYn /9/z I № ( T\z I 1 rlf (R 70 0\
0
где q — фиксированное положительное число, которое может быть взято
1
произвольно большим; выбор ветви ( — хJ тот же, что в теореме 8.22.3.
Если ж—фиксированное положительное число, то это есть величина порядка
а
О (л2 Q). Если я —комплексное число, то исследование остаточного члена
становится более трудным. Рассуждения, которые будут приведены
в B), дают оценку и в этом случае.
B) Для удобства исследуем сначала интеграл
оо 1 оо 11
~ { е-Техр (t2l) dt = пП+^ П [ (e{-4)nzxy(n2t2l)dt (8.72.3)
'б '6
•(£ ф 0 — произвольное комплексное число), к которому могут быть сведены
интегралы (8.72.1) и (8.72.2); здесь п—>+оо, но п— не обязательно
целое. В последнем интеграле точкой перевала является «по существу»
t=l, а положительная вещественная ось — критическим направлением1).
Если мы положим, как в (8.71.12),
__ I
то при 0 < б < -g- получим
(ei-t t)n = exp {n(l-t)+n In [1 + (t - 1)]} =
2 (-if-1 n VQ) } =
= e 2 {i + u1(Q)n 2 + и2(д)п~1+ . . .}, (8.72.5)
x) Этот случай не является прямым применением метода, указанного в § 8.71, A),
так как подынтегральная функция имеет вид [F (t)]n [G (t)y n .

.73] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА ПРИ 1<х<D —rt) n 235
где uv (q) — многочлены относительно Q, не зависящие от п. Это асимпто-
асимптотическое разложение по своему характеру подобно разложению (8.71.13).
Кроме того,
11 11 1
- ехр {л* £+■§- +л* £ 2 М* V}, (8.72.6)
где cv — некоторые числовые постоянные. Это дает произведение
1
ехр (п? £_|- q£/2) на выражение, подобное тому, которое стоит в скобках
в (8.72.5). В этом случае коэффициенты, соответствующие uv(q), будут
многочленами относительно q и £. Мы видим также, что интеграл, взятый
по области, дополнительной к отрезку (8.72.4), равен О {ехр (—стг26)},
•с > 0. Следовательно, так же, как в (8.71.14), будем иметь
-rfi
1 +°°
где vv (q, I) — многочлены относительно Q и ^. Далее, если # —неотри-
—неотрицательное целое число, то мы вообще имеем
4-оо ^2 ^оо q2
5 f f) ^ $
и последний интеграл есть nq относительно |. (При д = 0 мы получаем
i I2
BяJе8.) Благодаря формуле Стирлинга из (8.72.3) вытекает разложение
вида
где vv (|) — многочлены.
Применяя этот результат к (8.72.1) (заменяя а на тг+ ~ —^-* -т- ), мы
получаем требуемое разложение. Частный случай \ > 0 дает требуемую
оценку остаточного члена (8.72.2).
8.73. Метод перевала; многочлены Лагерра при 1<^ас^D — ц)п
В этом и двух следующих параграфах мы выведем формулы (8.22.9),
(8.22.10) и (8.22.11) методом перевала. Заметим, что в первом случае
_ i_
условие х = (An + 2а -|- 2) cos2 ср, е <; <р < ^- — en 2 означает, что х удовле-
творяет неравенству х0 <; а:<; D — ц) п, где е, х0 и ^ — фиксированные

236
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
положительные числа, е < 4^ , г) < 4, п достаточно велико. Параметр
а — произвольное вещественное число.
A) Мы исходим из формулы E.1.16) (см. замечание в конце § 5.2),
wz
в которой мы заменяем х на £2, a w — на — —; таким образом, можем напи-
написать
u>2
2
Следовательно,
* ™-2п-а->
(8.73.1)
. (8.73.2)
Интегрирование осуществляется вдоль контура, охватывающего начало
координат. Мы выберем его в виде окружности с центром в начале коор-
координат и радиусом, величину которого определим ниже. Функция (8.73.1)
1
вещественна при вещественных w. Так как |^а:2, то
I _ 1
-| -гп 2. (8.73.3)
Следовательно, £ ограничено снизу положительной постоянной. В соот-
соответствии с A.71.9) при
мерно соотношение
оо на отрезке
A + О {Ix | w \
мы имеем равно-
равно(8.7H.4)
Отсюда и из (8.73.2), полагая ^=/псоБф, w=lnz, имеем
у
4 ) Г(п+о+1)
(8.73.5)
где
G=[z 2 exp { - j
i
-f /^ z cos <p —^ l\ in z I dz,
(8.73.6)
Здесь интегрирование производится по верхней полуокружности |z| = l,
alnz равен 0 при z~ 1. В последнем интеграле мы выбираем тот из двух
знаков плюс или минус, при котором интеграл принимает большее значе-
значение. Полагая теперь
f (z)= —т- z2 -f z cos ф —■£ In z,
(8.73.7)

в.73] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА ПРИ 1 г$ я < D—it) n 237
найдем точку перевала для первого интеграла из уравнения
/' (z) = — у+ соэф — Bzy1^ О, т. е. z = e±i(p. -
Так как /" (ei(P) = sin фе г^ 2', то в окрестности ei(P мы имеем
{+<>> (8.73.8)
Следовательно, критическое направление можно определить таким же
способом, какой был применен в § 8.71, B).
B) На окружности z — e{v
Ш {/ (е^)} = — -£ cos 2г|э + cos г|з cos ф (8,73.9)
— возрастающая функция при 0<г|?<ф и убывающая при ф<г|з<я.
Следовательно, достаточно рассмотреть интеграл по дуге
гр = Ф + г-1^, -^<q<+7*6, (8.73.10)
где б — фиксированное положительное число, 6 <-тг . Мы имеем
(8.73.11)
Отсюда и из (8.73.8) получаем
Л^ (8.73.12)
где cv— функции от ф, не зависящие от п и Q, и ст = О(Лт) равномерно
на отрезке е<ф<я —е и равномерно относительно т; А=А (е). (Отме-
(Отметим, что это условие относительно ф является более общим, чем усло-
условие в (8.22.9).) Отсюда мы получаем в том же смысле, как в (8.71.14),
следующее асимптотическое разложение:
__ щ
= е 2
X ^ ехр | - -1 sin ф/ 1Ф~ ") е2} A + lu1 (c[q + <q3) +
(8.73.13)
где c'v с[, Cg, Cg, Cg", ...-—постоянные. Главный член дает
__ гф_ _1 1 . / Ф я_\
G = е 2 ехр {/2/ (е*ф)} ei(P г/—1 BяJ (sin ф)~ 2 е~г IT " И{1
/-г)}, (8.73.14)

238 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ. VIII
так как интегралы с нечетными степенями q обращаются в нуль. Оценка
остаточного члена имеет место равномерно при е<ф<;я—е.
Подынтегральная функция в Н получается заменой ф на я—ф,
так что
i + O (J-2)}. (8.73. J5)
Беря абсолютные значения подынтегральных функций в G и Н, при
е < ф < у — гп ^ мы получаем
К = О Ц'Чп1) In1 exp i -i Й cos2 ф + 4- /,2Л . (8.73.16>
Легко видеть, что с точностью до членов высшего порядка Н=—G.
Следовательно,
^1)}, (8.73.17
так как 1~г = O(g~1). Вводя это выражение в (8.73.5), мы получаем
— 1 2— I
X exp ^-_-/£cos*cp
\ll\ {sin [ Y llsin Ф cos Ф -
Далее,
4* Г (n + (z+ 1) = я2 22п+2 ля+а+^ е-" A +0G2"!)};
и так как п = О (^Z), то мы имеем
X
xjsin [1/28тф
2 „ 2 ~ 4
X
(8.73.18)
Это тождественно с (8.22.9).
Заметим, что при применении этого результата к многочленам Эрмита
возможны некоторые упрощения. При «=-{-—■ остаточные члены

8.74] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА ПРИ D + ri)n<x<An 239
в A.71.9) ив (8.73.4) тождественно равны нулю, благодаря чему К в
(8.73.5) может быть вычеркнуто, а £ может быть взято произвольно близ-
близко к нулю. Таким образом, если учесть E.6.1), то отсюда легко выте-
вытекает (8.22.12).
8.74. Метод перевала; многочлены Лагерра при D+ к\)п<Сх<САп
Мы опять исходим из формулы (8.73.2) и интегрируем по надлежаще
выбранной окружности с центром в начале координат. Применяя обозна-
обозначения, аналогичные обозначениям предыдущего параграфа, положим
w = lnz. (8.74.1)
Мы можем написать
(Ju0K^0}(8-74-2>
где
Как в 6^, так и в Н[ мы интегрируем вдоль двух дуг
. я Зя . .5я
<argz<
окружности 1 ^ | = в—^, а в G'2 и Н'2 (которые имеют соответственно те же
подынтегральные функции, что G[ и Н[) мы интегрируем по дуге
~ < arg z< -^ ; в К' мы берем дугу 0 < arg z < я предыдущего параграфа.
Мы можем опять применить (8.73.4) (см. A.71.9)). В этом случае мы рас-
рассмотрим функцию
^ -±-lnz. (8.74.4)
Условие /' (z) = 0 дает z = е±(Р, и мы имеем f (e~v) = {е2^ — 1)/2 = е^ sh ср.
Следовательно, окружность \z\ = e~{$> проходит через точку перевала
с меньшим модулем и имеет критическое направление в этой точке. Для
второго интеграла точками перевала будут — е±(Р, откуда следует, что
здесь опять может быть использована окружность \z\^e~^, Ясно; что
при z = е-ч+W
$i [f (z)} = — -j e~2(P cos 2\|) + е-Ф ch ф cos ^ + -| (8.74.5)
— убывающая функция \|э, когда г|? возрастает от нуля до я.

240 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
Полагая г|? = l^Q, — n6<Q<+tt6, 0 < б < -^ , мы получаем
(8.74.6)
отсюда вытекает, что
f(z) = f(e-*)-±sh<pe-*ln2Q2{l -h^^Q + Ca^QJ+...}. (8.74.7)
Здесь коэффициенты q, с2, ... (а также <?{, с[, с!2, с, с'2", . . ., которые вво-
вводятся ниже) аналогичны соответствующим коэффициентам § 8.73. Отсюда,
в том же смысле, что и ранее, мы имеем асимптотическое разложение
X { 1 + С1 «Q + С№) + In" (C'2Q* + <Q4 + C; V) + ' ' ' } dQ =
Ф 1 1 ф
)}. (8.74.8)
Главные части G[ и Н[ вычисляются соответственно на дугах
я . . . я Зя ^. ^. 5я
-T<argz< +-, T<argz<T .
Если мы заменим z на ei7t zb H[, то сразу видим, что эти главные части
тождественны. Следовательно, мы имеем G[ = Hf1 с точностью до членов
высшего порядка малости, чем остаточный член в (8.74.8); кроме того,
G'2 и Н'2 также имеют более высокий порядок малости, чем тот же самый
остаточный член. Поскольку 5 In1 = O(ln2), то мы имеем
откуда вытекает соотношение
(8.74.10)
или
. (8.74.11)
Возвращаясь к переменной х, мы получаем (8.22.10). Отсюда непосред-
непосредственно вытекает результат (8.22.13).

8.75]
МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА ПРИ х =
241
8.75. Метод перевала; многочлены Лагерра при ж — 4ti+ O(n6)
A) Пусть сначала t вещественно и ограниченно. Положим, подобно
тому, как ранее,
где
, v=l,2,
(8.75.1)
(8.75.2)
/2(Z)= -TZ2-Z-T
(8.75.3)
Интегралы (8.75.2) берутся по верхней половине надлежаще выбранной
кривой, симметричной относительно вещественной оси, на которой
\z\ и l^l ограничены.
Условие f[ (z) = — ~ + 1 -- (Iz)'1 — 0, определяющее точку пере-
перевала, дает z=l, и мы замечаем, что /* A) = 0, а /^" A) = — 1. Следова-
Следовательно, это точка перевала другого харак-
характера, чем предыдущие.
Будем интегрировать сначала вдоль
отрезка
z=l + 6"/n V 3 , 0<е</г*, (8.75.4)
где б— фиксированное положительное число,
1
б < -£-, затем вдоль отрезка, симметрич-
симметричного к этому относительно мнимой оси, и, наконец, вдоль дуги окруж-
окружности с центром в точке z = 0, которая соединяет концы упомянутых от-
отрезков (рис. 9). При некоторых определенных постоянных с4, съ, . . ., мы
имеем
Рис. 9.
4-&V + M^eLc5(;n>L... (8.75.5)
Кроме того, если обозначим через г радиус дуги рассматриваемой окруж-
окружности, то выражение
${/i(>'^)H -~r2cos2i|) + rcos\|)-J_lnr (8.75.6)
16 г. Сегё

242 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
будет убывающей функцией при 0<я|)<я, так как rcosi|)<l. Теперь
мы получаем следующее разложение:
]_ 2 1 _2 2яг
X \ exp(-Q3-Qe 3 ^){l + (c;Q + c;V)Zn3 +
6
4
+ (c'2q2 + cIq5 + c'2"q8) l~s + . ..} dq. (8.75.7)
Это — асимптотическое разложение в обычном смысле. В конечной точке
д = п6 мы имеем для подынтегральной функции оценку О[ехр ( — сп66)],
с > О, которая в то же время является оценкой интеграла по остальной
части дуги. (Небольшое изменение окружности в окрестности точки
я= —- 1 несущественно.) Таким образом,
1 2i 12 2iiii во 2iti 2
C = exp4-y-/n—6 lnt \ • 6 ln e < \ exp (~q3—Qe 0^Q + ^(^n )[•
о
(8.75.8)
Таким же образом мы убеждаемся, что главная часть Н" соответствует
маленькому отрезку
J. _2 яг
2= — 1 + 63/и V3 , (8.75.9)
О -^ Q ^ пР.
Мы находим, что
(8.75.10)
Поэтому
1_ _ 2 m оо ni _ 2
X 6 /п е 3 < \ ехр ("*— Q3 + Qe 3 ^) c?q + O (Zn ) > , (8.75.11)
о
_ 2 __1 2
K» = O{l~2)ln 3exp{-J^-6 3/3/} . (8.75.12)
Теперь легко видеть, что Н" = — G" с точностью до бесконечно
малых высшего порядка. Итак, мы имеем
( i у ^(£2) -
V 4 у Г(га+а-}-1)
3,11 1 7 12
= я 22 263| 2/„ 6ехр{|-/2_6
2яг °° 2яг _ 2
Хр|е3 ^ ехр(-е3-ее3 ^)dej +O(/n 3) J-. (8.75.13)
6

8.75] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА ПРИ зс=4п4-О(пг/8) 243
Мнимая часть в фигурных скобках есть функция Эйри A (t) (см. задачу 2)в
Подставляя приближенные значения величин
4пГ(га + сс+1), ln 6
и
__I _ _ A _ *
? 2 = 1п 2{1+О(/п3)}
и замечая, что
_\_ 2 _ 2
I^=l/2_6 *ilt + o(ln 3), (8.75.14)
2 ь "" 2
мы получаем
1 1 А 2
— a —-Z ъ _ i
/г" з {A (t) + О GП %
что совпадает с (8.22.9), но с менее точным остаточным членом О(п 3).
B) Непосредственное вычисление последующего члена в (8.75.5) дает
Кроме того, из (8.75.4) следует, что
z 2 = l--~63e 3 Zn 3Q + O(/n V). (8.75.16)
Следовательно, выражение в фигурных скобках в (8.75.8) может быть
переписано в виде
\ ехр (— Q3 — ре 3 t) dQ 1+( —гб е 3 Q~b~^~6e 3 Q4)/n -\-0 Un )
о
Соответствующее уточнение (8.75.13) может быть получено подстанов-
подстановкой в фигурные скобки следующего выражения:
2яг ^° 2я1
> 3
1 2
2яг
5
6
1 4
4б3^'@ +1j
2 2
Здесь мы применили дифференциальное уравнение A.81.2). Теперь мы
можем (8.75.14) записать в более точной форме:
||2 = у/п-6 За + ~6 3/nV,
16*

244 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
следовательно,
£2 1 2
e
_ 4 _ 2
Отсюда легко получается (8.22.9) с остаточным членом О Aп 3) = О (п 3).
C) Для случая произвольного комплексного t нужно слегка видо-
видоизменить рассуждения п.A).
Соответствующая асимптотическая формула для многочленов Эрмита
следует непосредственно из E.6.1).
8.8. Дифференцирование некоторых асимптотических формул
Дифференцирование асимптотической формулы по входящему в нее
параметру в общем случае операция незаконная. Однако для некоторых
формул, рассмотренных выше, допустимость такого дифференцирования
легко устанавливается. Мы должны, конечно, соответствующим образом
изменить остаточный член. Рассмотрим с этой точки зрения формулы
(8.21.18) и (8.22.6), содержащие многочлены Якоби и Лагерра; мы вос-
воспользуемся при этом важными тождествами D.31.7) и E.1.14).
A) Рассмотрим сначала формулу (8.21.18), которая содержит в себе
формулу Дарбу (8.21.10). Мы докажем, что
(8.8.1)
где применяются те же обозначения, что в (8.21.10). Отметим, что к' (б) =
= А (в) (sine)0A).
Для доказательства перепишем левую часть (8.8.1) в виде
j sin б (п + а + р + 1) РЙ1 • p+1 > (cos б) ==
— _ 1- sin б (п + а + р + 1) (п — 1) 2/с (б) X
X (sin4cos Ayi|cos(A'e + Y--|-) + («sin
откуда и вытекает утверждение. Ясно, что остаточный член в (8.8.1) может
-а-- -- --
быть заменен через б гО (п 2) при сп'1 <; б •< я — е и через О (п )
при е<б-< я—е. Из (8.8.1) мы выводим следующие важные формулы:
Р<?' Р> (cos 60-*<£•• р) (cos 62) _ | cos (/уб14-7)-со8(/У62 + У) ,
g_-1- _ ft II (бХ) g^J^ h
_ - i
cos 6X — cos 02
-9)-'-*O(n
a> — 1, P> — 1, c/T1<61 < 82 < я—ся.
(8.8.2)

8.8] v ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ФОРМУЛ 245
Аналогичные формулы справедливы, если в правой части к{Ьх) заменить
на к(Ь2).
Для доказательства мы применяем теорему о среднем значении
к функции
i
ф (в) = pfr P) (cos 0) - п 2/с @) cos (/V0 + у).
Мы имеем
в1<т1<еа>
<r2<02.
i —cos02 sint2 ' \ 9i
1 3 1
- a - -,
Но ф' (тх) = n2k (тх) (nsintj) *0 A)? что равно q4 2(9 (n 2),еслит1<—,
1
и равно (л — 02) 2О(п 2), если тх> —. Кроме того,
- 3 - в - -
Последняя дробь равна к' (t)^0t 2<9 A) -f- (л — 02) 2 0A), 0Х <т <62.
Подобные же рассуждения приводят ко второй формуле (8.8.2).
Если 0Х и 02 лежат на отрезке 8 < 0 < л — е, то остаточные члены
_ I
в (8.8.2) имеют порядок О (п 2).
B) Теперь рассмотрим формулу (8.22.6), которая содержит в себе
формулу Фейера (8.22.1). Мы напишем (8.22.6) в виде
:4а) (х) .-= /с (ж) гс2 . 4 {cos [2 (ляJ + у] + (пх) 2 О A)},
1 х а 1 ^ 1 Л л (8>8>3)
где с и о) — фиксированные положительные числа. С помощью E.1.14)
мы получим
a 1 l 1
, (8.8.4)
если заметим, что
и что (п—1J — п2 = О(п 2). Теорема о среднем значении в предположе-
предположении, что #! и х2 принадлежат отрезку с/г~1<х< о), дает нам равенство
I I
2
_a_3 ^i a3 al
+ x~*~ Ю{п*~1) + х~'г-ЪО{гР~~1), a>-l. (8.8.5)
Доказательство подобно тому, которое было проведено в случае много-
многочленов Якоби.

246 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
8.9. Применения; асимптотические свойства нулей многочленов
Якоби и Лежандра
A) Мы хотим отметить сначала некоторые следствия из формул
(8.21.18) и (8.8.1), которые будут важны при исследовании интерполиро-
интерполирования с узлами Якоби (глава XIV). Полагая с=1 в (8.21.8) и используя
те же обозначения, что и выше, мы получаем следующий результат:
Теорема 8.9.1. Пусть а > — 1, Р > — 1 и пусть О < 6i < 02 < • • •
. • • < 6^ < л суть нули Р<£" Э> (cos б). Тогда
6v = I[vrt + O(l)], (8.9.1)
где О A) равномерно ограниченно для всех значений v = l, 2, ... ,п; /г=1, 2, ...
Кроме того,
з
| Р^> P)'(cos ev) I - v~a~W2? о < 6V<-J , (8.9.2)
в том смысле, что отношение этих выражений заключено между двумя
положительными постоянными, зависящими только от а и р.
Пусть q — фиксированное число, 0 < q < -|- . Подставим в (8.21.18)
-YiP, v > °. v-целое, O<0<-J. (8.9.3)
_1
Первый член правой части, т. е. ±( — l)v n 2k @) sin q, является главным
3 _3^ __\_
членом, если только остаточный член б Ю(п 2) меньше,чемп 2/с@) sinQ.
Это имеет место, когда п и v достаточно велики, v>M=M(a, £5, q).
То же верно и для формулы (8.8.1). Если М выбрано надлежащим образом,
то имеем также б > 0. Кроме того, пусть ( v~"o) я~~ Y + Q^A^-^ . так
что 0<-о- . Для значений (8.9.3) соответственно будем иметь
sign^a'P)(cose) = (-l)v и (-l)^1. (8.9.4)
Следовательно, Р(^" ^ (cos 0) имеет по крайней мере один нуль в пределах,
даваемых значениями (8.9.3), и так как в силу (8.8.1) рассматриваемый
многочлен будет монотонным в этом промежутке, то он имеет только один
нуль в нем. Мы видим также, что на том же отрезке
- - - —
-^Р{п' Р) (cos 0) ~ пЧ @) ~ пЧ а *, (8.9.5)
а на дополнительных к 0, -^ отрезках
к 0, -^
n Ч(д)^п Ч а 2. (8.9.6)
Утверждения (8.9.5) и (8.9.6) имеют тот смысл, что отношения рассматри-
рассматриваемых выражений заключены между двумя положительными постоян-
постоянными равномерно по 0, когда 0 лежит на указанных отрезках; здесь п
достаточно велико, v>M(a, p, q) и (v — -^ j я—y+Q<N-^- .
Следовательно, Р„ >P)(cos0) не имеет нулей на дополнительных
отрезках.

8.9] ПРИМЕНЕНИЯ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ 247
На отрезке 0<6<Лг~Ч( М — у ) я — Y~Qr лежит конечное число
нулей, которые имеют вид /г(Д+еп), где fk означают положительные
нули/а(^), а еп—>0 (см. (8.1.1) и (8.1.3)). Это доказывает (8.9.1) при 0<
<6v<-?-. Если примем во внимание формулу D.1.3), то получим
утверждение (8.9.1) полностью.
В дополнение мы находим, используя (8.9.5), что
1 _ _1 I _ __£
|Ka'P)'(cosev)|~07Veva 2 = rc26va 2, (8.9.7)
если только выполняются указанные условия. Распространение на весь
отрезок опять осуществляется с помощью (8.8.1). Комбинируя этот резуль-
результат с (8.9.1), мы получаем (8.9.2).
Для нулей 6v> лежащих на данном отрезке [а, Ь] внутри [0, я], т. е.
при 0 < а < b < я, соотношение (8.9.1) может быть записано в более точной
форме:
j^^ } (8.9.8)
где К — фиксированное целое число (зависящее только от a, P, а, Ь),
а гп—>0. В этом случае (8.9.2) принимает более простой вид:
\^ni (8-9-9)
B) Аналогичные утверждения для многочленов Лагерра следуют
из (8.22.6), (8.1.8) и (8.8.4). Мы применяем здесь те же обозначения, что
и раньше.
Теорема 8.9.2. Пусть a>-U пусть хг < х2 <. . . < хп — нули
L^ (х). Тогда для нулей xv, лежащих в 0 < #<; со, справедливо равенство
i _i
2x1 = п 2{гя+ОA)}. (8.9.10)
Кроме того,
L(naY (xv) | ~ aTHJ"^~ v~a~^a+i4 (8.9.11)
Пусть q — фиксированное положительное число. Подставляя
в (8.22,6)
2(пх)* = ( v-~Jn-y ±q, v>0, v-целое, 0 < x < со, (8.9.12)
мы получим значения противоположных знаков, если только v>M=
= M(a, e), а п достаточно велико. Затем из (8.8.4) мы видим, что много-
многочлен L(na) (х) изменяется монотонно между соответствующими значениями х,
откуда следует, что L(na) (x) имеет ровно один нуль в соответствующем про-
промежутке. Учитывая (8.1.8), мы находим (8.9.10) подобно тому, как это
делалось в A). Из (8.8.4) и (8.1.8) при 0<#v<; со снова имеем
\L{na)'(xv)\~x~4(xv) J4
Для нулей #v, лежащих на фиксированном положительном отрезке
s^xv^ (Оу е > 0, мы получаем
о i
)> >г2Ч (8.9.13)

248 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
C) Пусть а — произвольное вещественное число. Предыдущие
результаты (в особенности формула (8.22.11)) позволяют нам исследовать
наибольший нуль многочлена Z4a) (#). Пусть г'1<г2<г3<... — нули функ-
функции Эйри A (t); тогда единственными нулями многочлена L^ (х) в про-
промежутке
i_
(^K*, (8.9.14)
t вещественное и ограниченное, являются нули, соответствующие t=iv.
(Вблизи точки t=iv мы имеем ровно один нуль, если п достаточно велико;
это следует из равномерной справедливости формулы (8.22.11) при огра-
ограниченных комплексных значениях tin. теоремы Гурвица A.91.3).) С другой
стороны, верхняя граница нулей F.31.7) принадлежит этому промежутку.
Следовательно, если мы расположим нули многочлена Z4a) (x) в убываю-
убывающем порядке, х1 > х2 > . . . > хп, то будем иметь
1
xv = xvn = 4n-f 2a + 2 — 2 f -^ j O'v+8n)> 1*т ^n^^i v фиксированно.
V ^ / 71 ~+ CO
(8.9.15)
Это тождественно с F.32.9). Аналогичный результат справедлив для мно-
многочленов Эрмита, а именно F.32.5). Он следует непосредственно из
(8.22.14). Эта формула была доказана в § 6.32 методом Штурма.
8.91. Применения; асимптотические свойства максимумов
многочленов Лагерра и Эрмита
Другим применением является исследование величины многочленов
Лагерра при положительных #, а многочленов Эрмита — при веще-
вещественных х.
A) Теорема 8.91.1. Пусть а — произвольное вещественное число,
а > 0, 0 < к\ < 4. При п—>оэ справедливы следующие соотношения:
х а+1
max e 2x 2 | Ln (x) |
а
2, если а <Гж<С D — ri) n,
__х аЛ
о "о~т~7Г
max e 2x2 4 | L™ (х) |
, если
а 1
2 4, если а^х^, D— ц) п,
а 1
(8.91.2)
2 12, если i> a.
Максимумы берутся по отрезкам, указанным в правой части.
Эти асимптотические формулы играют важную роль при исследоватш
рядов по многочленам Лагерра (глава IXI).
г) Когбетлянц ([22], стр. 144; [23], стр. 39, 51—53) ошибочно утверждал
х а 1а 1
справедливость оценки Lffl (x) = O (e2x2 kn2 4 ), х > а. Ошибка была допущена
в [22], стр. 154, где применена некоторая оценка, справедливая лишь для Нп(х) при
| х | < сп 2 к произвольному Нт(х), т^п. К сожалению, основные результаты
статьи [23] (а частично и результаты работы [24]) были основаны на этом ошибоч-
ошибочном утверждении.

8.91] ПРИМЕНЕНИЯ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАКСИМУМОВ 249
При п—» оо возможна и более точная характеристика этих максимумов.
Мы можем заменить ~ на =, вводя в правые части соответственно сле-
следующие постоянные множители:
(8.91.3)
Это легко вытекает из доказательства, которое следует ниже. Заметим*
что эти множители не зависят от а и а. Первый максимум функции A (t)
положителен и фактически является наибольшим значением \А (t)\ при
всех вещественных t (см. теорему 7.31.1 и A.81.2)).
B) Пусть t=j\ — первая максимальная точка функции A (г), 0<
< ]\ < ix. Выберем два таких значения t\ t", что 0 < t' < t" < j\, и обо-
обозначим значения х, соответствующие им по формуле (8.9.14), через х ,
х". Следовательно, х' > х" > хы при достаточно больших п. Тогда A(t') <
<A{t") и по (8.22.11) имеем
(- l)ne"z4a) (xf) < (- l)n e~~^L^] (x"). (8.91.4)
Из этого вытекает, что обе точки х и х" не могут лежать слева от послед-
х
ней экстремальной точки функции е ^L^ (x), и значит, эта экстремальная
точка лежит в промежутке (8.9.14).
Те же рассмотрения применимы к е ^xxL{n] (х), где X — произволь-
произвольное, но фиксированное вещественное число. В самом деле, xk=(in)'k {1-\-
_2
+ О(п 3)}. Таким образом, формула, аналогичная (8.22.11), справед-
X
лива для е %^z4a) (x) с дополнительным множителем (inI в правой части.
C) На отрезке а< #< D—х\)п может быть применена формула (8.22.9).
В силу соотношений
a+l lalal I i^1 a {
а 1 1 a 1 a 1 lal
Ж^+^ (Sin ф)~2а;-2--4п2-4 = (Sin ф)~2и2-4(
a a ]
рассматриваемые максимумы соответственно будут ~ /г2 и /г^ ^.
Для того чтобы вычислить максимумы при #>а, используем тео-
теорему 7.6.2. Последовательности относительных максимумов функций
х a+l х а1
e~V~2~|Li°°(£)| и r^+4|z4f>(£)| (8.91.5)
являются возрастающими при х>х0, где д:0 — некоторое неотрицатель-
неотрицательное чр1сло, зависящее от а, а /г достаточно велико. Следовательно, если
учесть рассуждения п. A), абсолютный максимум функций (8.91.5) при
х>а достигается на отрезке (8.91.4). Из (8.22.11) следует, что эти мак-
сб+1 _i_ a 1 _1_
симумы соответственно будут —/г 2 п 3 pi /г2 kn 3. На отрезке [а, хо\
нужно применить формулу Фейера (8.22.1). Этим доказательство пол-
полностью завершается.

250 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. VIII
D) Можно легко доказать следующую более общую теорему:
Теорема 8.91.2. Пусть а и к — произвольные вещественные
числа, а > 0, 0 < ц < 4. При п—>со справедливо соотношение
maxe 2^ | Ifi* (x) | ~ nQ, (8.91.6)
где
max ( л—2", -^—xj' ес</ш я<^<П4—Л; п->
\ ... . (8.91.7)
max '
Г %—q-, "|"~х)'
В первом случае, иными словами на отрезке а<#<D — ц)п, мы
снова применяем (8.22.9). Мы имеем
^ (sin ф) 2£ 2 4n2 4 ~ n 2 (cos ф) 2 (sin ф) 2.
Это выражение достигает своего максимума на отрезке е<ф<
< у — гп 2 в точках ф= 8 или ф = -5. — е/г 2 в зависимости от того,
будет лиА,>-^- + -г или же A,<-^--j-—. Максимум соответственно будет
i — -i 2A,- i - -
^ п 2 или n 2 (n 2) 2 = n2 ^ . Это доказывает первую часть утвер-
утверждения. Мы видим также, что максимум достигается вблизи х= D — т]) /г,
-если Я > -^ + -г , и вблизи х — а, если А, < ~ + ~ . На отрезке D—ц) /г<
lL 4 ^i 4
< ж .< in + О (тг^) мы имеем
max е 2я^| Z4a) (ж) |~ ?г 2 max e 2ж 2 |Lna)(^)|.
Благодаря (8.91.1) это завершает доказательство второй части утвержде-
утверждения. Максимум достигается вблизи точки х = Ы, если X—о" > ~о—Т »
и вблизи точки ж=а, если ^~~ у <-т~~Т *
E) Применяя E.6.1), или непосредственно из (8.22.12) и (8.22.14)
мы получаем соответствующий результат для многочленов Эрмита.
Теорема 8.91.3. Пусть X — произвольное вещественное число,
а > 0, 0 < т] < 2. Тогда
max е"аЛ | Яп (ж) | ~ Bnn!J ns, (8.91.8)
где
тахСт~Т» "тУ есда я<|я| <[B-T|)n]2,
V2 4 4У (8.91.9)
max f -у — то » — ТУ» еслгг | х | >> а; а: вещественно.
Мы имеем, в частности (теорема 7.6.3),
ШаА о \ 11 ^ \*^/ == \" fl • j А О JI/ II llldA /I I t-). ^О. а 1. X Wy
Здесь х и it принимают все вещественные значения (см. X и л л е [1],
«тр. 436, C0)).

8.92] ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 251
8.92. Дальнейшие результаты
A) Г а т т е с к и ([1], [2]) исследовал различные асимптотические
формулы, содержащие классические многочлены и их нули, и заменил
обычно неопределенные постоянные, входящие в них под знаком О, чис-
численными значениями. В качестве иллюстрации приведем здесь следующее
замечательное уточнение теоремы 8.21.6.
Мы имеем
рп (cos е) = (e/sin еI /0 {( п + у ) е} + о,
где
|а|<0,09б2, если 0<8<-^г,
Следующая формула имеет еще более точный характер:
где
| а' | < 0,03е4, если 0 < е < |- ,
5 _3
\о'\<0,2Ьъ2п 2, если ~ < е < f .
Эти формулы могут быть использованы для оценки «первого» нуля с ука-
указанием численной постоянной в остаточном члене (см. также Три-
коми [4]).
B) Дальнейшие сведения относительно асимптотического поведения
многочленов Якоби и Лагерра и их нулей можно найти в следующих тру-
трудах: Б э й т м а н [1], том 2, глава 10, стр. 196—202; Т р и к о м и [5],
стр. 219—224; Торн [1] и Эрдейи иСуонсон [1]. См. также
литературу, цитированную в этих трудах.
(Qlit Недавно Эрдейи [1] получил две новые асимптотические формулы
для многочленов Лагерра L^ (х), справедливые при х < a (in + 2а+ 2)
и при #> Ъ D?г + 2а + 2), где а и Ъ — фиксированные числа, 0<6<а<1.
Эти формулы содержат соответственно функции Бесселя и функции Эйри,
они справедливы на вышеуказанных полупрямых, которые имеют общие
точки и покрывают всю вещественную ось. Это весьма полный результат.

ГЛАВА IX
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ
Формальное разложение функций в ряды по общим ортогональным
многочленам было определено в § 3.1 (см. C.1.3)); здесь мы сосредоточим
наше внимание на разложении в ряды по классическим многочленам.
В связи с этим мы остановимся на следующих проблемах:
Разложение аналитической функции в ряды по многочленам Якоби,
Лагерра и Эрмита; исследование области сходимости.
Разложение «произвольной» функции в ряды по многочленам Якоби,
Лагерра и Эрмита; исследование равносходимости и теоремы о суммируе-
суммируемости.
Основной интерес для нас представит вторая проблема; мы будем
предполагать, что «произвольная» функция является функцией, подчи-
подчиненной лишь некоторым условиям интегрируемости или непрерывности
и условиям, содержащим существование некоторых интегралов.
Два ряда
со со
П=0 71=0
со
называются равносходящимися, если сходится ряд 2 (^г — vn) илит
тг=О
более обще, ряд
со
2 (иъ-Аип), ЛфО.
тг=О
Мы будем стараться найти простые тригонометрические ряды (ряды
Фурье), которые были бы равносходящимися с данным типом рядов по
многочленам. Это приведет нас к необходимости свести исследование
разложения по многочленам к исследованию тригонометрических рядов
при очень общих условиях.
Среди различных методов суммирования нас будут прежде всего
со
интересовать методы суммирования Чезаро. Ряд 2 и,ъ называется
п=0
(С, А)-суммируемым, &>~-1, к сумме s, если
s(h)
где
71=0 71=0
n=0

9.1]
РЕЗУЛЬТАТЫ
253
Очевидно, случай к = О соответствует сходимости в обычном смысле. Если
кг>к, то легко показать, что (С, /с)-суммируемость влечет за собой
(С,/с')-суммируемость к той же сумме. Необходимым условием (С, /^-сум-
/^-суммируемости, /с>0, является ua = O(nh). Суммируемость некоторого по-
порядка к в смысле Чезаро влечет за собой суммируемость в смысле Абеля,
т. е. существование предела
lim 2
г_> 1 — 0 п=0
и притом к той же сумме.
9.1. Результаты
A) Напишем формальное разложение функции / (х) в ряд по много-
многочленам Якоби (см. D.3.3))
71=0
+
/*<?• Р)ап = ^ A - х)а A + xf f (х) Р<£>® (х) dx.
^
(9.1.1)
Аналогично напишется разложение / (х) в ряд по многочленам Лагерра
(см. E.1.1))
(9.1.2)
и в ряд по многочленам Эрмита (см. E.5.1))
со
/(ж)~У аЯ (х)
I оо
л22пп\ап = \ e-*2f(x)Hn(x)dx.
(9.1.3)
Во всех этих случаях предполагается, что / (#) — измеримая функция
и что все встречающиеся здесь интегралы существуют.
В дальнейшем мы будем считать в случае многочленов Якоби, что
<х > — 1, Р > — 1, и в случае многочленов Лагерра, что а > — 1.
B) При этих допущениях могут быть установлены следующие
результаты:
Теорема 9.1.1 (разложение аналитической функции в ряд по
многочленам Якоби). Пусть f (x) — аналитическая функция на отрез-
отрезке [—1, +1]. Рассмотрим разложение f{x) б ряд по многочленам Якоби]
этот ряд сходится внутри наибольшего эллипса с фокусами в точках
±1, в котором f (x) регулярна. Вне этого эллипса ряд расходится. Если
применить обозначение (9.1.1), то полусумма R осей эллипса сходимости
определяется формулой
1
= lim\a
(9.1.4)

254 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
Теорема 9.1.2 (теорема о равносходимости для ряда по много-
многочленам Якоби внутри промежутка ( — 1, +1)). Пусть f (х) — измеримая
в смысле Лебега функция на отрезке [ — 1, +1] и пусть существуют инте^
гралы
[
1
Ё
A-хJ "A+xf i\f(x)\dx.
J
Если sn (х) означает п-ю частную сумму ряда по многочленам Якоби функ-
функции f (х), а &п (cos 6) означает п-ю частную сумму ряда Фурье (по косину-
косинусам) функции
A-coseJ 4A+cos0J/(cose), (9.1.6)
тогда в промежутке — 1 < х < + 1
lim{sn(x)- (I -х)~%~~ь A +х)~*~1 sn(x)} = 0 (9.1.7)
равномерно на отрезке — 1 + в<ж<1— е, е-фиксированное положи-
положительное число, е < 1.
Теорема 9.1.3 (теорема о суммируемости ряда по многочленам
Якоби в концевых точках х= ±1). Пусть f (x) — непрерывная функция на
отрезке [— 1, +1]. Ряд по многочленам Якоби функции /(х) (С, к)-сум-
мируем в точке ж=+1, если /с>а + -о-. Это, вообще говоря, неверно при
Li
^а + у. Аналогичное утверждение справедливо в точке х= —1, при
этом а заменяется на р.
Теорема 9.1.4 (обобщенная теорема о суммируемости ряда по
многочленам Якоби). Пусть f (x) — измеримая в смысле Лебега функция
на отрезке [ — 1, +1 ], непрерывная в точке х = + 1. Тогда, если существует
интеграл
+1
\ ( \ /vAa (А _]_ г\& I / (т\ I rf-r fQ 1 Я\
__i
mo ряд по многочленам Якоби (С, к)-суммируем, А;>а+-тг , в точке x=+lr
если только в случае
Р>_1) a + 4</c<a + P+1 (9.1.9)
предположить, что выполняется следующее дополнительное «антиполяр-
«антиполярное» условие: существует интеграл
~l\f(x)\dx. (9.1.10)
(При /с>а+р + 1 в антиполярном условии нет необходимости.) При
А;<!а+ -у-или при /с>а+у , но без антиполярноги условия^ утверждение
неверно.

9.1] РЕЗУЛЬТАТЫ 255
Теорема 9.1.5 (теорема о равносходимости для ряда по много-
многочленам Лагерра при #>0). Пусть {(х) — измеримая в смысле Лебега
функция на полуоси [О, + оо) и пусть существуют интегралы
(ж) | cte, ^2 b\f(x)\dx. (9.1.11)
6 о
Если выполнено условие
12 |/(я)|^ = о(/Г2), гс->оо, (9.1.12)
и если sn (x) означает п-ю частную сумму ряда f (x) по многочленам Лагерра^
то при х > О
П i[2f(")
о
х —6
где б — фиксированное положительное число, S < а:2. Соотношение
(9.1.13) выполняется равномерно на положительном отрезке е<;г< сог
б<62.
Га же теорема о равносходимости (9.1.13) справедлива, если суще-
существуют интегралы (9.1.11), а условие (9.1.12) заменено следующими:
\е 2х2 k\f(x)\dx сходится,
V е-^а~2 |/(х) |2 dx = о (и 2), п—>оо.
(9.1.14)
Теорема 9.1.6 (теорема о равносходимости для ряда по много-
многочленам Эрмита при любых вещественных х). Пусть f(x) — измеримая
в смысле Лебега функция на оси (—оо, +оо) и пусть при любом а У 0 суще-
существует интеграл
-fa
J \f(x)\dx. (9.1.15)
Если выполнено условие
=о(п-1), п-»оо, (9.1.16)
sn (x) означает п-ю частную сумму ряда f{x) no многочленам Эрмита,
то при произвольном вещественном х
lim kW ^
зс—б
гйе 6 — фиксированное положительное число. Кроме того, (9.1.17) выпол-
выполняется равномерно на любом конечном отрезке.

256 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
Та же теорема о равносходимости (9.1.17) справедлива, если суще-
существует интеграл (9.1.15), а условие (9.1.16) заменено следующими:
е 2 х'1 {| / (х) | + |/ ( — х) \] dx сходится,
} (9-1.18)
|
Теорема 9.1.7 (теорема о суммируемости ряда по многочленам
Лагерра в точке £=0). Пусть f(x) — измеримая в смысле Лебега функция
на полуоси [0, +сю)> непрерывная в точке #—0. Если существует интеграл
х и 1
е
f(x)\dx, (9.1.19)
то ряд по многочленам Лагерра функции f{x) (С, к)-суммируем к сумме
1 1
/@), если только к > а+-у. Это утверждение неверно при А:<а+-о"«
9.11, Замечания
A) Теорема 9.1.1 хорошо известна в случае многочленов Чебышева
и Лежандра1). Формула для определения эллипса сходимости (9.1,4)
аналогична известной формуле Коши —Адамара.
B) Важность теоремы 9.1.2 состоит в том, что она позволяет при-
применять к задачам сходимости и суммируемости рядов по многочленам
Якоби результаты, полученные для аналогичных задач в классической
теории обыкновенных рядов Фурье. Эта теорема была доказана в частном
случае а=ф = 0 (ряды по многочленам Лежандра) X а а р о м [2] и Ю н-
гом [1] с условиями относительно /(#), несколько отличными от тех,
которые получаются из нашей общей теоремы при а=Р = 0. Юнг рассмат-
рассматривал также ряды по многочленам Лежандра, которые не являются рядами
Фурье в обычном смысле по этим многочленам. Доказательство теоремы
9.1.2, данное в § 9.3, принадлежит Сегё "([17], стр. 88—92).
Обрешков [2] рассмотрел ту же проблему, применяя в качестве
основного инструмента исследования формулу Дарбу в уточненной форме
(8.21.18).
Теоремы о суммируемости во внутренних точках были ранее устано-
установлены (в случае ультрасферических многочленов) Адамовым [2],
л также (в случае ультрасферических многочленов и в общем случае
многочленов Якоби) Когбетлянцем [1], [2], [3], [7], [18], [19].
Относительно свойств этих разложений, аналогичных свойствам римано-
вой теории тригонометрических рядов (в частности, теорема единствен-
единственности), см. Когбетлянц [6], [20] и Зигмунд [1].
При рассмотрении рядов по многочленам Якоби мы должны требо-
требовать существования первого из интегралов (9.1.5). Применяя очевидное
обозначение, мы легко получаем, что
а-1
1-жJ b\f(x)\dx (9.11.1)
2) Случай многочленов Лежандра обычно приписывают Ф. Нейману (см. Уит-
текер и Ватсон [1], часть II, § 15.41).

9.11] ЗАМЕЧАНИЯ 257
1 1
в зависимости от того, будет ли а> —-^ или же — 1 <а< — -=-. Тот факт,
что условие существования второго интеграла не может быть улучшено при
а> к-, вытекает из рассмотрения специальной функции f(x)=A—хI1
при \х= — -^—т" (см- § 9.3, D)). Существование обоих интегралов (9.1.5)
вытекает из существования интеграла
J
Вместо функции (9.1.6) может быть рассмотрена функция
A - cos 0)°+2 A + Cos 0K+2/ (cos 0) (9.11.3)
(см. С е г ё [17]). Совершенно очевидно изменение, которое при этом
должно быть внесено в (9.1.7). Обе функции (9.1.6) и (9.11.3) интегрируемы
на отрезке —jt<0i<jt. Разность (9.1.7) может быть записана в виде
+1
С f(t)[(i — t)a(i + tfK£> p)(z, t) —
-A-х) 2 4A+л;) 2 4A-^J 4A + ^J 4^1 2' 2Ч^, t)]dt\ (9.11.4)
здесь использовано обозначение D.5.2). Возможно также сравнение
5п(^)=5п(а, р; #) с ^(-у, S; х), где y и б произвольны.
C) По поводу теорем 9.1.3 и 9.1.4 имеется обширная литература.
Гронуолл ([1], [2]) исследовал частный случайа=Р=О (ряд по много-
многочленам Лежандра). Его доказательства значительно были упрощены
Л ю к а ч е м [2], Хильбом [1] иФейером [8]. Случай ультра-
ультрасферических многочленов был рассмотрен весьма подробно К о г б е т-
л я нц е м ([2], [4], [19], [21], стр. 70—73; см. также Обрешков [1]).
Метод, применяемый в §§ 9.4—9.42, является новым и сравнительно
простым. Он основан на специальном соотношении между многочленом*
Якоби P(u+k+i, Э) (х) и ядром к-х чезаровских средних ряда по много-
многочленам Якоби с параметрами а и р. (В случае многочленов Лагерра соот-
соответствующее соотношение тривиально (см. § 9.6).) Случай ряда по много-
многочленам Лежандра (если мы рассматриваем этот ряд в точке х= + 1 на
конце отрезка) эквивалентен ряду Лапласа; отсюда термин «антиполяр-
«антиполярное» условие. В точке х=—1 на другом конце отрезка справедлива ана-
аналогичная теорема; в этом случае индекс суммируемости к должен быть
больше, чем Р+у > а «антиполярное» условие должно выполняться вблизи
точки х—-\-1.
Теорема 9.1.3 обеспечивает сходимость ряда по многочленам Якоби
в точке х= + 1 в конце отрезка, если f{x) непрерывна на отрезке!—1, +1]
и —1<а<—у (см. также Pay [1]).
В случае рядов по многочленам Лежандра ядра Чезаро второго поряд-
порядка неотрицательны (Ф е й е р [4]). Этот факт, разумеется, имеет важные
следствия. По поводу аналогичных теорем для разложений по ультра-
ультрасферическим многочленам см. Когбетлянц [19].
В частном случае рядов по многочленам Лежандра Когбет-
Когбетлянц [16] указал важные уточнения теорем 9.1.3 и 9.1.4. Между прочим,
он исследовал С-суммирование надлежащего порядка в точках х=± 1
17 Г. Сегё

258 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
в конце отрезка в случае, когда / (х) стремится к бесконечности с изве-
известной скоростью в «антиполюсе».
По поводу некоторых старых (весьма сложных) результатов о схо-
сходимости рядов по ультрасферическим многочленам в концевых точках
х= ± 1 см. Адамов [2].
D) Проблема равносходимости для рядов по многочленам Лагерра
и Эрмита была исследована (для первого из них только в специальном
случае а=0) Р о т а х о м [1] и (в общем случае) независимо от него
С е г ё [10]. Для частного случая многочленов Лагерра при а=0 усло-
условия Сегё более ограничительны, чем условия Ротаха, это же относится
к случаю многочленов Эрмита. Условия, формулированные в § 9.1, однако,
имеют еще несколько более общий характер, чем условия Ротаха1).
Тот факт, что требование существования второго интеграла (9.1.11)
не может быть ослаблено, можно обнаружить рассмотрением ряда по
многочленам Лагерра для функции f(x)=x^, \i= — у — -- (§9.5, F)).
Ни одна из двух последовательностей достаточных условий, выска-
высказанных в теореме 9.1.5, не содержит другой. В самом деле, функция
х а 1
/ (х)=е*х ^ з удовлетворяет условиям (9.1.14), но не удовлетворяет усло-
условию (9.1.12). С другой стороны, если мы положим
__* « ( 1 при m2<£< m2+l, m = l, 2, . ..,
е 2x2f(x) = { A (9.11.5)
7 ( 0 в остальных промежутках,
то (9.1.12) удовлетворяется, но не удовлетворяется вторая часть условий
(9.1.14).
Ясно, что условие (9.1.12) включает в себя сходимость интеграла, стоя-
стоящего в левой части. Из условия (9.1.12) следует первая часть (9.1.14).
Действительно, если мы положим
u(x)=\e 4* lz\f(t)\dt, (9.11.6)
J
X
то из A.4.4) найдем, что интеграл
СО J £ СО 2
[ х* du (х) =--«? и (а) - и A)—£- [ x~*u(x)dx (9.11.7)
J 'J J
1 1
_1
ограничен при со—>сю, так как и(х) — о(х 2).
Достаточным условием для того, чтобы выполнялось (9.1.13), является
х а 1
f(x) = O(e*x~2 7Г ), 6>0, х->оо, (9.11.8)
тогда условия (9.1.14) удовлетворены. С другой стороны, для функции
х) Второе условие Ротаха Ъ'2 на стр. 8 делает первую часть условия Ъ[ излиш-
излишней. Первая последовательность его условий эквивалентна (9.1.11) и (9.1.14) (при
1 = 0), в то время как вторая последовательность его условий более ограничительна,
1ем (9.1.11) и (9.1.12). В теореме на стр. 6 второе условие Ь2 должно быть исправ-
оо 22 3
тено следующим образом: «\ е 4 \f(±z)\z2dz существует». (Автор обязан этим
замечанием письменному сообщению Планшереля.) Это, разумеется, содержит 6А.
1ервая последовательность условий более ограничительна, чем (9.1.18), а вторая
юследовательность — более ограничительна, чем (9.1.16). (Обозначения Ротаха от-
отличаются от наших; мы должны положить z = 2 x.)

9.11] ЗАМЕЧАНИЯ 259
f(x)=e2x 2 4 выполняются условия (9.1.11), но не выполняются усло-
условия (9.1.12) и (9.1.14), и (как будет показано в § 9.5, G)) ряд по много-
многочленам Лагерра расходится при х > 0.
Достаточным условием для того, чтобы выполнялось (9.1.17), является
Х1
f(x)=:O(e2 |я|-*), 6>0, £->оо. (9.11.9)
Тогда условие (9.1.18) удовлетворено. Аналогичным контрпримером здесь
будет / (х) = хе2 .
Из теорем 9.1.5 и 9.1.6 следуют обычные теоремы о сходимости и сумми-
суммируемости рядов по многочленам Лагерра и Эрмита. В самом деле, инте-
интегралы, встречающиеся в (9.1.13) и (9.1.17), являются по существу част-
_i
ными суммами порядка [п2] ряда Фурье (см. A.6.4)).
Еще в 1907 г. Адамов [2] получил теорему о сходимости ряда
по многочленам Эрмита. По этому вопросу имеется обширная дальней-
дальнейшая литература; Е. Р. Н е й м а н [1], Гальбрен [1], Вигерт [1],
Хилле [1], [2], [3], Крамер [1], Успенский [1], К о р а у с
[1], [2], С т о н [1], Мюнц, [1] и К о в а л л и к [1] дали непосред-
непосредственное исследование разложения «произвольных» функций в ряды
по многочленам Лагерра и Эрмита. (По поводу разложения аналитической
функции в ряд по многочленам Эрмита см. В а т с о н [1] (первая статья).
Эти авторы получили результаты о сходимости и суммируемости, но не
рассматривали теорем о равносходимости, за исключением Корауса
(цитированные статьи). Условия в точке х = оо, которые накладывали
все эти авторы, более ограничительны, чем соответствующие условия
наших теорем. Например, в случае разложения в ряд по многочленам
Лагерра Кораус требовал сходимости интеграла
л; а 1
'2 2~4
f(x)\dx\ (9.11.10)
для разложения по многочленам Эрмита Коваллик и Успенский требовали
соответственно сходимости интегралов
со оо
-*2|/(± x)fdx, \e-*2x\f(±x)\*dx. (9.11.11)
1 1
Наконец, отметим более ранние исследования рядов по многочленам
Лагерра и Эрмита посредством теории интегральных уравнений (М и л-
л е р-Л е б е д е в а [1], В е й л ь [1]).
По поводу работ Когбетлянца [22], [23], [24] см. сноску
в § 8.91. Относительно теоремы 9.1.7 см. С е г ё [10] иКогбетлянц
[10]. Условие (9.1.19) выполнено, если
х ^
f(x) = O{e2x  ), 6>0, ж->-4-со. (9,11.12)
X
С другой стороны, ряд не будет (С, /с)-суммируем для функции f{x) = e2xk~a,
к>а+^- (см. § 9.6, C)).
Явление Гиббса в случае разложений по многочленам Эрмита было
изучено Ж а к о б о м [2].
17*

260 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
9.2. Разложение аналитической функции в ряды по многочленам
Якоби, Лагерра и Эрмита
A) Теорема 9.2.1. Пусть а> — 1, p> — lu пусть Р<£> Э> (х),
(?па'Р)(ж)> ^па' ® имеют тот же смысл, что в главе IV (см. § 4,61 и
D.3.3)). Тогда
оо
2 {Ча'р)та'Р)(*)^а'р)ы =4(У~1ГУ-У*+1Г . (9.2.1)
п=0
гдг а: лежит внутри, а у — вне произвольного эллипса с фокусами в точ-
точках ±1. Этпот ряд сходится равномерно, если х и у принадлежат замкну-
замкнутым множествам, одно из которых соответственно лежит внутри,
а другое — вне рассматриваемого эллипса.
Функции (у— 1)а(у+ l)p(?(ns Р) (у) однозначны и регулярны в ком-
комплексной ^/-плоскости с разрезом вдоль отрезка [—1, +1].
Эта важная формула хорошо известна в частном случае а = Р = 0
(см. Гейне [3], стр. 78). Общая формула получается из тождества
D.62.19), в котором п устремляется к бесконечности. Положим х =
= -L(z + z"i), y = 4-(C + rx), l<|z|<|C|. Используя (8.23.1), и
(8.23.2), мы находим остаточный член в D.62.19):
2-сх-р г (п+2) г (ц+а+Р+2) р$Р (*) Qia> P) M-ffiP) (*) <?&f} (у) =
Г(+р + 1) х—у
(9.2.2)
при тг—> оо и произвольно малом б>0. Он стремится к нулю при п—> оо
и достаточно малом е.
B) Пусть теперь f(x) регулярна, когда х лежит внутри эллипса \z\ =
= i?> 1. Умножая (9.2.1) на
и интегрируя по эллипсу | £ | = Д — е, 0< е< -у , мы получаем разложе-
разложение f(x) в ряд по многочленам Якоби, который равномерно сходится при
|^|<Д — 2е. Простое почленное интегрирование вдоль отрезка [—1, +1]
позволяет отождествить полученное разложение с разложением (9.1.1),
а для коэффициентов ап мы получаем представление
я = 0, 1, 2, ... , (9.2.3)
где интегрирование ведется по эллипсу | £ | = Д — е в положительное
направлении.
C) Формула (8.23.1) позволяет исследовать формальный ряд
«<А<а> 3) И + «Л(в> Э) (*) + ... + аХ"' Р) И + • ■ • , (9.2/4)
который может и не быть рядом Фурье в обычном смысле. Пусть R имеет тот
же смысл, что и в (9.1.4); допустим, что Д>1. Тогда ряд (9.2.4) имеет
областью сходимости эллипс, фигурирующий в теореме 9.1.1.
Внутри этого эллипса рассматриваемый ряд представляет аналитическую
функцию.
D) Ряды по функциям Якоби второго рода, которые аналогичны рядам
Лорана, могут также быть легко рассмотрены.

9.3] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.1.2 261
Теорема 9.2.2. Пусть а> — 1, р> — 1 и пусть F (у) регулярна
в точке */=оо, причем F(co) = 0. Тогда
(у-1)~а(У+1ГР^(у) = ^^
(9.2.5)
Этот ряд сходится во внешности наименьшего зллипса с фокусами в точ-
точках д: 1, вне которого F (у) регулярна. Внутри указанного эллипса ряд
расходится. Сумма полуосей этого эллипса определяется формулой
„Г- (9.2.6)
n->>oo
Очевидно, q> 1. В случае§=1 формулировка нуждается в некотором
изменении. Коэффициенты ряда (9.2.5) могут быть представлены следую-
следующим образом:
yJU I \JLdj ? II — \J 7 1? jLj^ ... 7 у*у .£-1. I J
где интегрирование ведетсд в положительном направлении по
ЭЛЛИПСУ \z\ = Q+ 8, X = -^(Z + Z *), 8> 0.
Можно также рассматривать формальные ряды по функциям Якоби
второго рода.
E) Граница области сходимости ряда по многочленам Лагерра
х) + а1Д«> (х) + ... + anL^ (х) + ... (9.2.8)
характеризуется условием 9? {( — хJ} — const. Следовательно, эта грани-
граница является параболой с фокусом в начале координат. Ряд сходится вну-
внутри этой параболы и расходится вне ее. Имеет место формула, аналогичная
формуле Коши — Адамара. Доказательство основано на соотношении
(8.23.3).
Для ряда по многочленам Эрмита
а0Н0 (х) + агНг (х) + ... + апНп (х) +-... (9.2.9)
соответствующим условием будет |3#| = const, которое^ определяет
полосу с вещественной осью в качестве оси симметрии (см. (8.23.4)).
Ряд сходится внутри и расходится вне этой полосы, и в этом случае спра-
справедлива формула, аналогичная формуле Коши — Адамара.
Относительно разложения в ряд по многочленам Эрмита данной ана-
аналитической функции, регулярной в полосе 15#|<#> а > 0, см. В а т-
с о н [1] (первая статья).
9.3. Доказательство теоремы 9.1.2
A) Заменим сначала f\(x) многочленом q (x). Тогда sn(x)=^Q(x) при п,
превосходящем степень многочлена q(x). Далее,
_а_1 _Ё_1
A-х) 2 4A + х) 2 ^sn(x)~^Q{x) при /г-» оо
на основании элементарных признаков сходимости рядов Фурье (см.,

262 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
например, Зигмунд [2], § 2.6). Интеграл
(l-t)a(l+t)*\f(t)-Q(t)\dt,
J
а -----
(9.3.1)
может быть сделан сколь угодно малым, если надлежащим образом
выбрать q(x) (cm. теорему 1.5.2). Поэтому достаточно доказать, что раз-
разность (9.11.4) допускает оценку
-1-1
0A)
(9.3.2)
-1
причем О A) и о A) равномерны по х на отрезке —1+е<ж<1—ей 0A)
не зависит от / (х).
B) В дальнейших рассуждениях мы используем формулу Дарбу
(8.21.10) для Рп ) (cos 6), а также вторую формулу (8.8.2) для отношения
разностей. В последнем случае мы будем предполагать, что 6г и 62 лежат
на отрезке, находящемся целиком внутри отрезка [0, я].
В соответствии с D.5.2) мы имеем
, t) = Хп
(х)
где
(9.3.4)
Полагая x=cos9, t=cosy и используя обозначения (8.21.10) при —
<+1 1<*<+1, мы находим
c°s [GV+i) Ф+У] I^S [(Л"+1) 6+Yl
Aff'Р) (x,t) = 2-"-р-'ft (е) fe (Ф) {cos GV6 + у)
fcos [/у(ф+е)+Ф+2у]+соз [JV (ф —6)+ф]
^ COS ф —COS 6
COS ф —COS 0
,
) 1
J
sin
Sln
ф—t
(9.3.5)
Допустим теперь, что — 1 + е<я<,1 — е. Тогда
(sin-|Ja'M (cos|Jp+1 /(совф)Л<-'Ю (х, *) АР,

9.3]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.1.2
263
где cosr)=l — ~ . Затем заменим К^^] (х, t) через (9.3.5). По лемме Рима-
на C и г м у н д [2], § 2.211) при п—> оо лш получим в результате
П-Ц
Ф-t
o(l). (9.3.6)
Оценка 0A) не зависит от f(x). Если мы заменима и р через -—у : a f{t)
через A — tJ 4A + £J 4/@' то повторное применение леммы Римана
дает следующий результат:
5
=45
- cosф) ^ + cos "И
Ф-е
' 2
sin-
-0A)
-1+1
COS6J
4 \ /(С08ф)-
. CD— 6
4-0A)
(9.3.7)
Следовательно, часть (9.11.4), соответствующая отрезку
имеет вид (9.3.2).
C) Рассмотрим теперь выражения
<
t — x
X
i
2'
i
2'
(9.3.9)
и соответствующие интегралы, взятые по отрезку —
2 "

264 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. 17
Интеграл (9.3.8) равен
О(п)О(п 2~)
= О G2) <9 (л 2) \ I ^n+f} (cos ф) I ф2а+1 I / (cos
0
-I -1+1
+ O(n)O (n 2)O(n 2) \ (
-l
Из G.32.6) и G.32.7) следует, что приа>—— первый член правой части
будет равен
О 1 С ~а-Ъ 2a+l cos dw^Q I \ 1_ff-| ! Г2
О -1
1
а при ос< —к- будет равен
Благодаря D.1.7) выражение (9.3.9) равно
О(п)О(п~*)О(п~Щ { *~* F~*
= 0A) ^ A — ^"' A + Ф~*
Аналогично рассматриваются интегралы, соответствующие отрезку
-1<*<-1+|.
D) Наконец, рассмотрим ряд по многочленам Якоби для функции1)
f(x) = (l-xf (9.3.10)
и покажем, что при надлежащем выборе значений \i первый интеграл
в (9.1.5) существует, а второй не существует. Кроме того, ряд по многочле-
многочленам Якоби будет расходящимся в промежутке — 1<ж<+1.
Здесь a > — у .
С этой целью отметим, что в соответствии с D.3.1) и D.3.3) при п —> оо
справедливо соотношение
+
Р)}~1 \ A - tf+a A + tf />?'р) (t) dt =
Л
(—l)^|Jt (p. — 1) ...Qj —С
ПРИ ^
(9.3.11)
В частном случае a = p см. Когбетлянц [19], стр. 184, F2).

9.4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.1.3 265
Если мы предположим, что |х+а>—1, \1фО, 1, 2, ..., и допустим, что
О < б < я, то общий член ряда по многочленам Якоби будет порядка
_2ju-a— -
а 2 cos(iV*6+Y)- Требуемыми значениями \х являются те, которые
лежат в интервале
_l_a<|i<—J--1. (9.3.12)
9.4. Доказательство теоремы 9.1.3; предварительные формулы
A) Выведем сперва следующее важное тождество:
(a+ft+1,0)/ v
^;t+t+|+t) 'Р) И, (9.4.1)
v=0
где /гпа'Р) и Cnfe) имеют тот же смысл, что и выше (см. D.3.3) и введение
к главе IX). Это есть обобщение формулы D.5.3) (последнее тождество),
к которой (9.4.1) сводится при к = 0.
Для доказательства вычислим интеграл
В соответствии с D.3.1) последнее выражение равно
—v \ ^>п (Х) —v ((^ —
_1
1 УA х)уа
2vv! J
что в силу D.21.7) и D.3.1) в свою очередь равно
(п-\-а-\-&4-к-\-2)(п-{-а-\-$-\-к4-3) . . . (п4-а-\-$-\-к-\-у+1) X
2vv! 2Vv 7
X \ A — ^)V+
-l
X
X
-1
Х
+1
X {
-1
отсюда мы получим требуемое утверждение, если учтем A.7.5).

266 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
B) Подставляя явные выражения для Р£*'Р)A) и /4?'|3)(см. D.1.1)
и D.3.3)), мы получим
V
X C*lv Bv + a + p + 1) Щ1+Ш1Р<«, З) И. (9.4.3)
Так как это тождество относительно ос, р, к, то мы можем заменить а через
а+k+l, а к через —к—2. Это приведет нас к формуле обращения
n(a,
Wr(w + a I p + l)
v=0
V(;^;)W. (9.4.4)
Следовательно,
- Г(а-И) ^ vv>
v=0
(9.4.5)
где
1 х'Т(т-[ v + а + Р + Л + З) " v }
Выражение Si, (x) представляет собой числитель 7г-го ядра Чезаро
порядка к.
9.41. Продолжение; «константы Лебега» порядка к
A) Для доказательства теоремы 9.1.3 в силу теоремы 1.6 (теорема
Хелли) достаточно доказать, что последовательность «констант Лебега»
A + xf \Sn} (x) \dx (9.41.1)
ограничена в том и только в том случае, когда /с>сс+-у. Так как для
а + -у (см- G.34.1) первый и третий случаи) мы имеем
5
= О A) J A - х)а | ^a+ft+1 ■ Р) (.х) | ^ + О A) ^ A - *)Р| Р$> a+ft+1> (х) | dx =
6
1
= 0(nk-<*-l) + 0(n~2) = 0(nh-"--i), (9.41.2)

9.41] ПРОДОЛЖЕНИЕ; «КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА» ПОРЯДКА k 267
то, учитывая (9.4.5), получаем
п
L™ = О (п~к) ^ | Gv (n, к) | v2*+i i (9.41.3)
где при v=0 множитель v2/i+1 следует заменить единицей.
B) Пусть сперва к будет целым неотрицательным числом. Тогда
в (9.4.6) мы должны рассмотреть только члены с номерами v <. т <
так что Gv (п, к) может быть записано в виде G (n— v — 1), где *)
v+fe+l
X ^ )Bm + a + B +1) r,/ , , , ТГТ, оч ■ (9.41.4)
Это — многочлен к-й степени относительно и, содержащий v и к в каче-
качестве параметров. Формула Ньютона (см. А. А. М а р к о в [5], часть 1,
глава 1, § 5; мы применяем те же обозначения, что в B.8.4)) дает
(^) (9.41.5)
Q=0
и из (9.41.4) следует, что
V+Q+1
) (TO_v)!(Q+l_TO + v)! ^ ;
0 m=v
о у (
(m —v —1)!(q + 1—m+v)!
1 x/ ^J v > (m — v)\ (Q+l — m + v)!
m=v
1
(&— q)!(Q+1)' j
0
+ Bv + a + p + 1) ^2v+a+^ A - t)k+Q+2} dt =
= О (v-k-Q-2) + О (v) О (v-k-Q-3) = о (v-ft-Q-2)? v > i (9.41.6)
Последняя интегральная формула показывает также, что AftG@)=0 при
v> 1; в частности, G(u) = 0 при /с=0, v> 1. Оба утверждения справед-
справедливы также при v=0, в чем можно убедиться посредством аналитиче-
х) Если v -(— /с —(-1 > ге, то в G(u) появляются некоторые дополнительные сла-
слагаемые, которых нет в (9.4.6). Однако, когда мы подставляем и = п—v — 1 эти
слагаемые обращаются в нуль, за исключением случая v = n, m = n-\-k +-1.
В последнем случае дополнительный член к G(u) = G( — 1) есть О (т) (m-fv)~fe~2 =
= 0 (/г"^). Умножение этого выражения на v2fe+1 = «2fe+1, как это требуется в фор-
формуле (9.41.3), дает окончательную добавку O(n~k)O (nh) = O A).

268 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ, [Гл. IX
ского продолжения относительно сс+р. Тем самым в случае к=0 Прео-
Преодолевается затруднение, упомянутое в последней сноске. При к > О имеем
k— 1
Gv(n,k) = S fa-v)Q0(v-*-«-2), (9.41.7)
0=0
причем в случае v = n (на основании той же сноски) к этому выражению
нужно добавить слагаемое O(n~h~1). В этом случае множитель (п—v)°,
а в случае v = 0 множитель v-k-Q-2 следует заменить единицей. При
1
/с>а + у это дает требуемый результат:
# () 2 + ()S S ()
0=0 v=l Q=0
fe-1
+ 0(ft-fe) f 2 n-fe^-2n2ft+1+w-ft^1n2fe+1}=0(l). (9.41.8)
o=o
C) Теперь рассмотрим случай k">a + -^» когда &— нецелое число.
Тогда в соответствии с предыдущим результатом
/#'><4, w = 0, 1,2, ..., (9.41.9)
где /с'= [А] + 1, Л — надлежащая постоянная, не зависящая от п.
Пусть а > к'. Если мы положим ип (х) - {М*> Р)} Р^ Р) A) Р£*'Р) (:г),
то формула (9.4.5) дает
2 ^(^"«(l-,.)-*'-1 2
n==0 n==0
Далее имеем
оо
У! S^(x)rU:
/ ' 71 V /
n=0
() 2
n=0
откуда вытекает, что
0
И
n n
r(°) ^ /r(G)\~l V r(G-h'-l)r(k')T(k') A (Г{а)^г sr\ r{o-k'-i)r{k')
L»n <> lun ) ZJ un-m °m ^>m ^- Л ^On ; Zj On_m Om .
m=0 m=0
Следовательно,
Uc)<^, or>/c', w = 0,l, 2, ... (9.41.10)
Это справедливо, в частности, при а=к+1, к+2, ...
D) Докажем теперь следующее тождество:
0=0
Ряд в правой части сходится абсолютно при тг>1. (При q=0 дробь под

9.41] ПРОДОЛЖЕНИЕ; «КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА» ПОРЯДКА к 269
знаком суммы нужно заменить единицей.) Для доказательства применим
следующее преобразование левой части:
(n-v)\T(k + l) У I1"''
x 2 ( - 1 ( ) ^
Q=0 0
Вычисление последнего интеграла завершает доказательство. Почленное
интегрирование законно, так как все члены ряда, за исключением конеч-
конечного числа, имеют один и тот же знак. Следовательно, из (9.4.1) мы полу-
получаем представление
+1 Г(,г+р + 1)ГBц+а+Р + 2*+3)
х
г(п+а+рч_л+2)ГB|1+а+р+л+з)
Q=0
(9.41.12)
откуда следует, что
S^ (x) =
1
Q
0=1
(9.41.13)
Если учесть (9.41.2), то это дает
£(*) = О (п~к) О (па+{) О (nh~a-{) + O(n~k) An = О A) + О (n-k) An, (9.41.14)
где
со
\ к (к— 1) . . . (к — Q-j-1) I
\ у^
Q J
X ^A — x)a(l+xf\ S<£+^(x) \dx. (9.41.15)
-l
В соответствии с (9.41.10) имеем
0=1
0=1
9=1

270 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
так как (п+к+1)/Bп+а+$+к+1+2) убывает при возрастании п, если
/>сс + Р—к~\-2. Этим заканчивается доказательство первой части утвер-
утверждения теоремы 9.1.3.
E) Наконец, пусть k=a-\~-j . Применяя предыдущие обозначения, мы
имеем из (9.41.13)
1 ^ x У^~ГН~Гх;х ^и-рц-^^т-бл-ро; ^ *
+ 1
\ \ / \ I ^) \ n ' \ / I \ n
-1
Первый член в правой части ~ ncc+in~kn % In тг = In n (в соответствии со вто-
второй частью G.34.1I)); второй член будет ограничен, как следует из
результатов п. D). Итак,
LW>Alnn, А > 0, Л = а + у , (9.41.17)
и следовательно, разложение непрерывной функции в ряд по многочле-
многочленам Якоби, вообще говоря, не является (С, /с)-суммируемым при
1
9.42. Доказательство теоремы 9.1.4
A) Пусть f(x) непрерывна в точке х=1 и пусть /A) = 0; предположим,
что к > а + — . Сначала рассмотрим интеграл
(x)\{\-x)a(\^xf\P^~k^^)(x) \dx (9.42.1)
Л
при п—>оо. Обозначая через 8 произвольное положительное число,
8 < -у? разобьем промежуток интегрирования 0<6<я, £=cosO, на
следующие части:
0 < 6 < 8, 8 < 0 < Я — 8, Я - 8 <ъ 6 <, Я. (9.42.2)
Соответствующие интегралы I, II, III могут быть оценены следующим
образом (см. (9.41.2), G.32.6) и G.32.7)):
= щах | / (cos 6) | \ A - xf (I +xf \ Pfr+ь+и 3) (х) \dx =
^ COS 8
= max | / (cose) | О (nk-*-V),
x) Если мы воспользуемся лишь G.34.2), то получим, что L^ ^—>оопри п —> оо,
этого достаточно для нашей цели.

9.42]
III-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.1.4
1 1
271
Я—8
Я
I / (cos в) | (л- 0Jр+1 (я - в) 2 О (п
= О(П 2)==0(^-а-1),
1 1
в зависимости от того, будет ли — 1 < Р < — у , —^ <р <. А; — а — 1 или
же Р > к—а—1. В последнем случае мы используем антиполярное
условие теоремы 9.1.4. Так как е произвольно мало, то интеграл (9.42.1)
во всех случаях есть о(пк-а~х).
B) Введем затем в рассмотрение константы
\f(x)\(l-xf(l+xf\S%)(x)\dx, л = 0,1,2, ...,(9.42.3)
j
где Sffl имеет тот же смысл, что и в (9.4.5). Мы получим следующую фор-
формулу, аналогичную (9.41.3):
2
Q==0
При v = 0 последний множитель о (v2/l+1) должен быть заменен единицей.
Итак, если к — любое целое положительное число, то мы имеем, как
в (9.41.8),
/?-1 п-1 fe-1
(^г-/i) 2 2 (и-v)e v"*-e-2 0(v2fe+i)-i-
V=l Q=0
/г —1
+ О (п"л) { I1 w-fc-o-2 о (/22?l l) + nh~4 (n2h+1) | = о A). (9.42.4)
Q=0
To же справедливо и в случае & = 0, для которого G(ii)^0 (см. замеча-
замечание в сноске к § 9.41, B)).
C) Для нецелых к мы опять применяем (9.41.13). Пусть е — произ-
произвольное положительное число и пусть п0 выбрано так, что
М(пп < е при п>щ, (9.42.5)
где к' = [к] -\-1. Тогда при гг> щ и о > А' мы находим подобно тому, как
это делалось в § 9.41,C), что
т=0
Мы разбиваем последнюю сумму на две части:
Щ— 1 п
2 и 2 .
т=0 т=щ

272 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
Ко второй из них мы применим (9.42.5) и получим
п0— 1 п
LVln <^ \Ьп ) Jj Ьп—т Ьт Шт -гЪ\Ьп ) /j Ьп-.т Um .
971=0 771=710
Второе слагаемое правой части меньше, чем е. Следовательно,
ЖГ < е + А (С^)'1 C{:~k'-l\ (9.42.6)
где А — положительная постоянная, зависящая от е, но не зависящая
от о. Это имеет место, в частности, когда а = к + 1, к + 2, . ... Мы должны
заменить С%~к'~~^ на Сп~щ+\\ если a<&r + l, что может случиться
при а= к-\-1, но не может иметь места при сг> к + 2. Наконец, мы полу-
получаем, как в (9.41.14), неравенство
М{п] < О (rfk) О
{?+Q) (ftHJfe'-1)}. (9.42.7)
(При Q=l мы дол^кны заменить C%+Q~h -1) на ClftJ^Ij^-1).) Первое
слагаемое в правой части есть о A). Второе слагаемое может быть разбито
на две части. Первая из этих частей в соответствии с § 9.41, D) будет
еОA). Для оценки второй части мы используем следующее неравенство:
где i? > 0 зависит только от fe. Таким образом, мы получаем для второй
части такую оценку (см. (9.41.16)):
k+Q уч-i
J
0 = 1
Разбивая эту сумму на две части
Р
2 и
где Р — произвольное целое положительное число, получаем оценку
/+i ! 0A) У
0=1
Первый член стремится к нулю при п—> оо. Второй член произвольно мал,
если Р достаточно велико. Следовательно, М^= о A) при п~> оо.
Относительно случая к — ос + у СР- § 9.41, E).
D) 3 а м е ч а н и е. Непрерывность в точке х= +1 может быть заме-
заменена более общим условием
I / (cos 0) - / A) | db = о (б), 6 -» + 0. (9.42.8)
б

9.42] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.1.4 273
Для доказательства нужно лишь слегка изменить оценку интеграла I
. (9.42.2)). Если /A) = 0, то, применяя G.32.5), мы имеем
п 1 е 1
I = O(na+k+1){ е2^11/(cose)\dQ + O (га~2) С ba~h-11/(cos6) |dQ.
i i
n
В обоих интегралах мы интегрируем по частям (см. Ф е й е р [8], стр. 280).
Пусть
8
\f(C08t)\dt = F(b).
Тогда имеем
1
п
1 -Ъ-~ 4- i -1
+ О(п 2)|еа 2^(е) + тг 2F{^~)\ + O(n 2)
1
1
= о (nk~a~4) -[- о (гг^~а~4) -j- О (^г 2) + о (/г^~а~1) -f-
-1) max {eJP(e)} = o(nft-«-1) + O(wft-a-1) max {b^F @)}.
E) Наконец, покажем, что утверждение теоремы 9.1.4, вообще говоря,
не имеет места, если не выполнено «антиполярное условие». Рассмотрим
функцию (см. § 9.3, D))
f(x) = (l+xf. (9.42.9)
Ее разложение в точке х—1 будет
п=0
() ^ (i-x)^(l + xfP^a)(x)dx. (9.42.10)
n=0 -1
В соответствии с (9.3.11) с точностью до постоянного множителя, отличного
от нуля, главная часть общего члена ряда (9.42.10) равна
(_1)»ла-з-2ц-1 или ( —1)пс{1а~р~2'1~1). (9.42.11)
Но ряд (9.42.10) не может быть (С, &)-суммируемым, если &<а— |$ — 2[х —
— 1 = Я. В самом деле,
оо
A-r)-* S (-l)nC{lX)rw = (l-r)-ft-1(l + r)"x-1. (9.42.12)
Если применить метод Дарбу (§ 8.4), то он дает для коэффициента при гп
18 Г. Сегё

274 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
в разложении этой функции в степенной ряд главную часть
АС^ + В(- 1)п С%\ (9.42.13)
где А и В — фиксированные постоянные, отличные от нуля.
Пусть теперь выполнено условие (9.1.9). Если мы положим
-Р-1<^<1(а-р-Л-1), (9.42.14)
то ряд по многочленам Якоби существует, интеграл (9.1.10) расходится
(так как -тг(а— р — к— 1) < — у — у*) и РЯД (9.42.10) не является
(С, /с)-суммируемым.
9.5. Доказательства теорем 9.1.5 и 9.1.6
A) Мы исходим из представления п-й частной суммы ряда по много-
многочленам Лагерра, соответствующего функции /(#), в виде
со
sn (х) = J e-'t«/ (t) К™ (х, t) dt, (9.5.1)
6
где ядро К^ (х, t) имеет тот же смысл, что и в E.1.11). Напишем
указанную там формулу в более удобном виде:
я М L% (х) L^Ht)-Lf^(x)l£lx (t)
— t
V
(X)
Ln+i (X) ^—
(9.5.2)
Это вытекает из E.1.11), если вместо L(na) (x) мы подставим L^i(x)~~
— iJfi+i^x) и аналогично поступим с L\?] (t) (см. E.1.13)).
Допустим прежде всего, что интеграл (9.1.1f) существует и что усло-
условие (9.1.12) выполнено. Тогда существует первый из интегралов (9.1.14)
(см. замечаниев §9.11, D)). Пусть/(#) будет многочленом q (x), тогда спра-
справедливо утверждение (9.1.13). Следовательно, в соответствии со свойством
замкнутости, указанным в теореме 5.7.3, достаточно установить, что раз-
разность в (9.1.13) допускает оценку вида
л °° -L 2_1
0A) \ta\f(t)\dt+O(i) \e 2t2 41/(*) \dt + o(i), п~.> со, (9.5.3)
0 1
где а— штГ а, у-- j, а оценки 0A) и о A) имеют место равномерно
по х при 8 < х < со. Кроме того, оба множителя О A) не зависят от f(x).
B) Рассмотрим теперь часть интеграла (9.5.1), определяющего sn(x),
8 1
взятую по отрезку 0 < £<; -у . При а>-у в соответствии с первой

л 5.] ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ 9.1.5 и 9.1.6 275
формулой (9.5.2) и с G.6.9) эта часть будет равна
2 4
6
о о о
(9.5.4)
Если —-х- < а < -у » то мы используем G.6.9) и G.6.10), а если а< ^»
то используем G.6.10). В первом случае остается справедливым результат
8
(9.5.4), в то время как во втором случае мы получаем 0A) V ta\f(t)\dt^
C) Рассмотрим далее часть интеграла (9.5.1), взятую по отрезку
у < t < 2@, и применим (8.8.3) и (8.8.5) ко второй формуле (9.5.2). Здесь
переменные лежат на фиксированном положительном отрезке; поэтому
остаточные члены в (8.8.3) и (8.8.5) зависят только от п. Мы находим (в тех
же обозначениях, что в (8.8.3^)
(9.5.5)
Теорема о среднем значении позволяет нам заменить ?г/ = и+1 через п.
Пусть, например,
i
тогда
[ф(^;, ^) — ф (уг, t)] — \q>(nf, x) — q>(n, x)] __ ^2ф
(n' — n)(t—x) ~ dm dt
в надлежаще выбранной точке т, t, где т лежит между п и и', а £ — между
я и £. Это легко приводит к формуле
1 1
n Vх» v ~~ i Г" 1 l ^ ^ ' YJ i I
i i
• ro/ \9" , l cos [2 (ntJ-\-y] — cos [2(w#J-|-y] , /i/4\1
— Sin [2 (/2xJ + y] l v } ^ r{ 1—L-^—i—ULL ^_ 0 A) L =
i i

276 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
Отсюда по лемме Римана при е < 1 < со будем иметь
2со
««
0A) 5 в 2*2 4|/(*)j<tt+o(l). (9.5.7)
D) На отрезке 2со < ^ < Здг (п достаточно велико) в соответствии с пер-
первым утверждением (8.91.2) мы имеем
__t_ a 1 a i
P 2/2
Следовательно, из первой формулы (9.5.2) вытекает, что
Зп а 1 3w
e-lt«f (t) K^ (x, t)dt = O (nt-«) п* - * \ б-^-* |/(t) ] L^l1»
a-1 1
3n
2ct>
a~1 __ I З.л _ L 2
г 2 Jj
2@
+ О (n1-^) n" " 4 тг2 ~ 4 С e~ 2/2 " * J / (*) J d^t (9.5.9)
2»
что равняется
0A) ^e 2^2 4|/(^|^. (9.5.10)
l
В интервале 3n<t< + co по теореме 8.91.2
мы имеем
~-0{rfi 4je (9.5.11)

9.5] ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ 9.1.5 и 9.1.6 277
Следовательно, из EЛ.11), учитывая (9.1.12), получим
оо
= О (n{~a) n2 4 V e~tt°'~*| f(t) | {| Ln (t) I +1 £n+i @ |}^ =
3n
= О(^г1-а)^г2 ьп2 4U 2/2 12|/(OI^=°A)- (9.5.12)
3n
E) Если условие (9.1.12) заменить требованиями (9.1.14), то на отрезке
2со< £<3/г можно применить исследование, приведенное в D). В интер-
интервале 3/г<£<оо применим неравенство Буняковского — Шварца:
Зп
3 а °° 1 оо 1_
|^ y \^№ f. (9.5.13)
Зп Зп
Но последний интеграл есть О($а) (см. E.1.1)), и этим утверждение
доказано.
F) Пусть
f{x) = x* (9.5.14)
(см. Блюменталь[11, стр. 32—33). Мы покажем, что при надлежа-
надлежащим образом выбранных значениях [х существует первый из интегралов
(9.1.11), но второй из них не существует. Кроме того, ряд по многочленам
Лагерра расходится для х> 0. При этом мы предполагаем, что а > —^ .
Коэффициент ап соответствующего ряда Лагерра определяется фор-
формулой
$ ]x*-£!!r{e-*z»+*)dx (9.5.15)
о о
(см. E.1.5)). Интегрируя по частям, получаем
_Г(|Н-а+1) T(n-\i)
а
Здесь мы предполагаем, что \i + a> — 1, \i Ф 0, 1, 2, ... Тогда ап^п-^-а~1у
и в силу формулы Фейера (8.22.1)] главный член ряда по многочленам
Лагерра ведет себя, как
(9.5.17)
при #>0. Следовательно, этот ряд будет расходящимся (см. задачу 47)
тогда и только тогда, когда (А + у + -4" < у • Если а > — -^ и
-о-1<|К-|-{, (9.5.18)
то первый из интегралов (9.1.11) существует, а второй из них не сущест-
существует, и, кроме того, ряд расходится при #> 0.

278 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
G) Рассмотрим также функцию
х
f(x) = e*xv (9.5.19)
и покажем, что при подходящем выборе значения \х (в частности, при
(X 1Л
fi= ~Т + Т ) интегралы (9.1.11) существуют, но не выполнены условия
(9.1.12) и (9.1.14), и ряд по многочленам Лагерра при #>0 расходится.
Здесь мы предполагаем, что а >—1, а+ fx > — 1.
Интеграл
^^ {x)dx (9.5.20)
о
может быть вычислен с помощью производящей функции (см. E.1.9))
оо
2 Г(а+1
«=о
г
1 A -rf (l + r)~a~^-\ (9.5.21)
Таким образом, метод Дарбу (§ 8.4) дает для ап главный член
An-a-v-i -\~В( — 1)пп^, /г—>оо, (9.5.22)
где А и В — фиксированные постоянные, А\ф О, В Ф 0; мы имеем А=0
при \х = 0, 1, 2, ...
Это показывает, если учесть формулу Фейера (8.22.1), что при #>0
выражение aaLn (х) не стремится к нулю, когда \i = — -у + -г .
(8) Рассмотрим, наконец, ряд по многочленам Эрмита
/ (х) ~ aoffo (х) + cl1H1 (х) + . . . + an^n (x) + • • • (9.5.23)
Полагая у = х2, мы легко находим (см. E.6.1)), что ряды
оо
V Н (Х\
т=0
И
со
VI Н (х)
представляют собой разложения функций
И
2/
в ряды по многочленам Лагерра соответственно с параметром a = ^-

$.5.] ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ 9.1.5 и 9.1.6 279
и а— +~о~ • Применяя теорему 9.1.5 к этим функциям соответственно при
<х= 7г иа = т, мы получим условия (9.1.11), (9.1.12) и(9.1.14) в еле-
дующем виде:
1 _1 I 4
^У 2 | / (± У2) I dy = 2 ^ | / (± х) | dx существует;
о о
оо у 4 1 1
ИЛИ
00 _у 1^ оо _л^
\ е 2у'г | / (± у2) | dy = 2 \ е 2 д;1 / (^ ^) | rf^ существует;
1 1
оо 5 1 3
ИЛИ
п
Это доказывает (9.1.17) в предположении, что х принадлежит интер-
интервалу, не содержащему начала координат.
Для того чтобы завершить доказательство в случае, когда х лежит на
отрезке вида [—е, +е], мы должны только показать, что
1
п 1 <jT
е-*2 ^ Bvv!kV1 Hv (x) Hv (t) - -L sin[BwM*--*)] = 0 A) (9.5.24)
v=0
равномерно, когда обе переменные х и t принадлежат отрезку [—е, +е].
Первый член этой разности в силу E.5.9) будет
i_
Bп+1п \n\4-* \нп+1 (Х) Нп @"~fп {х) -Нп(х) Hn+1 (*}-f "+1 {х) \ . (9.5.25)
Затем, применяя обозначения теоремы (8.22.6), мы получаем
» (х) = cos ( ^)
?-i е 2Нп(х)-е 2Яп@ _ coB(jy«--rj-co8(jyt---rj
п Ж — t X — t * ^ ''
Вторая формула выводится с помощью рассуждений, подобных тем, кото-
которые применялись в § 8.8 (см. первую из формул E.5.10)). Ее левая часть
может быть также записана в виде
a,-ie~2" Hn(x)--Hn(t) +0^y

280 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
I 1
Заменяя N2 через (N+ сJ, где с.—фиксированная постоянная, мы
находим, что допускаемая при этом в правой части погрешность есть 0A).
Эти асимптотические формулы дают для (9.5.25), если применить
формулу Стирлинга, следующее выражение:
N2t—~x- ) — cos ( iV2* —T" )
+0A)} =
9.6. Доказательство теоремы 9.1.7
A) Чезаровские средние ряда по многочленам Лагерра в точке х=0
могут быть представлены в исключительно простой форме. Действительно,
из E.1.7) мы имеем
оо с»
J S ~4«f{t)LM{t)dt. (9.6.1)
n=0 n=0 0
Отсюда, применяя E.1.9), находим, что чезаровские средние порядка к
будут
оо
[t)dt. (9.6.2)
о
/1
Допустим, что &>а+-тр , и подразделим полупрямую [0, + оо) на части
[0, е], [е, со] и [со, + оо). Мы получим тогда для (9.6.2) оценку
8
О К*) max | / (О I jj *а | £«*+*+4> (*) | dt +
-4«\f(t)\L(?
(9.6.3)
Из G.6.8) вытекаег, что первый из этих интегралов равен
^ 2 4/2 2 4 dt = O(nk). (9.6.4)
о I
п
a+fe+1 1
Второй интеграл равен О (п 2

9.6] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 9.1.7 281'
Затем применим теорему 8.91.2, в которой заменим а на а+ft+l и поло-
положим К = к + -о- ; мы видим, что X — = к > a ' о т- ; отсюда no-
noes о Z 4
лучаем, что третий интеграл равен
4 3
2t*\f(t)\t *nkdt = O(nk)\e 4 3\f(t)\dt. (9.6.5>
CO
Таким образом, выражение (9.6.2) может быть представлено в виде
O(l)m&x\f(t)\+O(l)\e Ha *\f(t)\dt + o(l). (9.6.6).
Здесь постоянные, входящие в 0A), не зависят от 8 и со. В предположении,,
что /@) = 0, утверждение доказано.
B) Пусть Л = а + ~; применим теорему 1.6 (теорему Хелли) к ли-
линейным операторам
(9.6.7)
Достаточно доказать, что второе из условий A.6.10) не выполнено. В самом*
деле, если это условие не выполнено, то существует такая непрерывная
функция f(x), 0<#<l, для которой не имеет места соотношение
Продолжая эту функцию при #> 1 условием f(x) = 0, мы получим требуе-
требуемый контрпример. (Применяя замечание, сделанное в связи с теоремой 1.6,
можно построить такую непрерывную функцию f(x), для которой выраже-
выражение (9.6.2) будет неограниченным при п—>оо.)
Пусть теперь Q — положительная постоянная, не зависящая от пг
тогда
[ e-tt*\Ljf<+k+i)(t)\dt> An]l \ *a| £<«+*+*> m left, (9.6.8)
где A — положительная постоянная, не зависящая от Q и п. Последнее*
выражение в соответствии с (8.1.8) будет
I ? _5 i
t BZ2) | dz = ^ Z 4 | /a+ft+1 Bz2) | rfz-
0 0
Этот интеграл произвольно велик вместе с Q.
C) Интеграл (9.1.19) существует, если
/ (х) = О (^/"а"з~б), б > 0, я-> + oos (9.6.9>
С другой стороны, нетрудно доказать, что ряд по многочленам Лагерра
п=0

282 РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. IX
х
соответствующий функции / (х) = е2хк~а, (С, /с)-несуммируем в точке х = 0.
Здесь предполагается, что выполнено условие /с>а + -у. Действитель-
Действительно, из (9.5.21) при [х= /с — а мы получаем
Ц1-г)-»-Н\+гГ>гК (9.6.10)
(lrJ апЬЮ@)г = 2Ц1г)Н\+гГК
п=0
Метод Дарбу дает для коэффициента при гп в разложении этой функции
число
C(-l)V + o(wfe)> С>0, ^~>оо. (9.6.11)
Это доказывает утверждение.
Заметим также, что ряд по многочленам Лагерра (С, А)-суммируем
с произвольным к > а + -у- в точке х = 0, если / (я) непрерывна при
£ _1
f{x) = 0{e4 6), ж^>оо. (9.6.12)
£ I
Но для специальной функции / (х) — е2х2 ряд по многочленам Лагерра
{С, &)-не€уммируем в точке х = 0 ни при каком /с > а 4--х- .

ГЛАВА X
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
В настоящей главе мы рассмотрим одно обобщение теоремы Фейера
о представлении неотрицательных тригонометрических многочленов (см.
§ 1.2) на некоторый общий класс неотрицательных функций. В частности,
при исследовании этого представления нас будет интересовать, подчинена
ли данная функция каким-либо условиям непрерывности. Распростране-
Распространения теоремы Фейера в этом направлении важны для исследования асим-
асимптотического поведения общих ортогональных многочленов, соответствую-
соответствующих распределению на конечном вещественном отрезке или на единичной
окружности (глава XI). Нам кажется более удобным отделить эти вопросы
от самого предмета изучения.
Относительно результатов этой главы см. Сегё [6], [7], [8], [9],
а также Г р е н а н д е р и Сегё [1], пп. 1.12—*.15.
10.1. Теоремы Фату
Теорема 10.1.1. Пусть /(б) — функция, интегрируемая в смысле
Лебега, и пусть
— соответствующий интеграл Пуассона. Тогда почти всюду на отрезке
-я<6<± я
lim /(г, в)=/(в). A0.1.2)
г-И-0
См. Зигмунд [2], § 3,442.
Теорема 10.1.2. Пусть
F(z) = co+-clZ + c2z*+...+cnzn+... A0.1.3)
— регулярная функция в круге \ z | < 1 и пусть интеграл
\F(rei»)\*de (ЮЛА)
ограничен при г<1. (Это условие эквивалентно сходимости ряда
Ы2+ К12+|с2;2+...+ кг+...) (ю.1.5)
Тогда почти всюду на отрезке — я <; 0 < + я
11тР(ге*) = Р(е**). A0.1.6)
г-*1-0
Кроме того/F(eiB) измерима и \F(eil)\2 интегрируема в смысле Лебега.
Ряд Фурье функции F (е10) получается из A0.1.3) подстановкой z — e^.
—я

284 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКПИЙ [Гл. X
Эта теорема принадлежит Фату [1]. Мы говорим, что F (z) при-
принадлежит классу Н2. Всякая функция F(z), регулярная и ограниченная
в круге |zj<l, принадлежит этому классу. Относительно более общих
классов Нб см. Ф. Р и с с [2] и В. И. С м и р н о в [2] *). В частности,,
если F (z) принадлежит классу Нг, то граничные зачения F (eib) существу-
существуют почти всюду, ^(е10)! интегрируема в смысле Лебега, и применима
теорема Коши на окружности | z|= 1 (см. цитированные статьи Ф.Рисса*
стр. 94, с) и В. И. Смирнова, стр. 337—338).
10.2. Обобщение представления Фейера
В связи с этим параграфом см. С е г ё [7].
A) Пусть g (е) — неотрицательный тригонометрический многочлен,,
не обращающийся в нуль тождественно. В соответствии с теоремой 1.2.2
существует многочлен h(z) той же степени, который определяется одно-
однозначно следующими условиями:
(a) g(e)= \h{z)\\ где z = e^
(b) h (z) не обращается в нуль в круге | z | < 1;
A0.2.1)
(с) h @) вещественно и положительно.
Мы имеем, очевидно,
In g F) = 231 {In h (z)}, z = eOi. A0.2.2)
Функция lnh(z) регулярна в круге |z|<l, за исключением тех точек
z = eiB, которые соответствуют нулям g(e): в этих точках обе функции Ing F)
и lnh(z) логарифмически бесконечны; In k@) — вещественное число. Функ-
Функция 291 {In/г (z)} — регулярная гармоническая функция в круге ]z|<lr
ее граничные значения даются абсолютно интегрируемой функцией In g (б)-
Применяя теорему Гаусса о среднем значении, мы получаем
следовательно,
^ In g F) dd = 25R {In h @)} = 2 In h @), A0.2.3)
] j A0.2.4)
Последнее выражение называется средним геометрическим функции g(b)*
B) Выражение A0.2.2) позволяет нам распространить рассматривае-
рассматриваемое представление на произвольные неотрицательные функции /(б) (вме-
(вместо gF)), определенные на отрезке [—я, я], интегрируемые в смысле Лебе-
Лебега, и такие, что (У(/)>0. Последнее условие эквивалентно существованию
интеграла
in/(e)c/e+ ^ in/(e)de. (Ю.2.5)
/(9)>1
Существование второго интеграла в правой части вытекает из интегрируе-
интегрируемости /(б). Таким образом, условие (£)(/)>0 эквивалентно существованию
*) См. также монографию И. И. Привалова «Граничные свойства аналитических
функций», М.—Л., 1950. (Прим. перев.)

4 0.2] ОБОБЩЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФЕЙЕРА 285
первого из интегралов в правой части. Это представляет собой ограниче-
ограничение «близости» /@) к нулю. Следствием этого условия является то, что
функция / @) может обращаться в нуль лишь на множестве меры нуль.
Мы введем теперь гармоническую функцию и (reiB) посредством инте-
/[
трала Пуассона от функции-у In/(б):
« ^1в) = "и? S ln f W 1-2гсов7б-0+г» *' 0< г < 1. A0.2.6)
В случае непрерывной функции /(б)>0 известно (см., например, 3 и г-
м у н д [2], § 3.41), что
lim и (ге{*) =-£- In/ @) A0.2.7)
г-*1 — 0
равномерно по 0. В общем случае, рассмотренном выше, соотношение
«A0.2.7) имеет место почти всюду, причем без равномерной сходимости
(см. теорему 10.1.2). Если теперь мы дополним функцию и до аналитиче-
аналитической функции м 4- iv = к (z) с условием, что к @) вещественно, то к (z) будет
•однозначно определена. Полагая D(z)~eh{z\ мы получим аналог (обоб-
(обобщение) функции h(z), рассмотренной выше. Эта функция D(z)=D(f;z)
имеет следующие свойства (см. С е г ё [7], стр. 237):
(a') D (z) принадлежит классу Н2 (§ 10.1); почти всюду на отрезке
— я < 0 < + л существует предел
lim D (re**) = D (е*) и / @) = | D И) |2; A0.2.8)
г->1—0
(Ь') Д(^0в круге Н<1;
(с') Z) @) вещественно и положительно.
Мы имеем снова D2 @) = $ (/); это очевидно из A0.2.6). Кроме того, мы
покажем, что для произвольной непрерывной функции F (Q) периода 2я
имеет место равенство
lim [ F(b)\D(re^)\*de= \ F(d)f(d)db. A0.2.9)
-я —я
Если Z> (z) = do+ dLz+ d2z2+ ..., то в силу неравенства Буняковского—
Шварца имеем
—я
+я +я
< J (| D (е*) | - | D (re*) \)Чд ^(\D (е*) Ц | D (re*) | fdb
-я -я
+л +я
< 2 ^ | Z) (е{в) _ Z) (ге«) |2 rfe ^ (ID (в«) |2 +1 Z) (ге«)
-Я —*Я
-f-Я оо
—я п=1

286 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. X
при г—> 1 — 0. Здесь мы применили свойство (а') (см. также В. И. См и р-
нов [2], стр. 338).
Следует заметить, что функция D (z) определена неоднозначно*
условиями (а'), (Ь') и (с'). Мы можем, например, умножить ее
на ехр { — A 4- z)/(l — z)}. Об этом см. С е г ё [7], стр. 241.
C) Из A0.2.6) мы можем получить следующее явное выражение-
для D (z) через / (е):
^
f (t) ±±^ dt} , |z|<l. A0.2.10)
Если / F) — четная функция, то разложение D (z) в степенной ряд в окре-
окрестности 2=0 имеет вещественные коэффициенты. Пусть /, (б) и /2 (Ь) —
произвольные функции, удовлетворяющие тем же условиям, что и / (G),
и пусть q — произвольное комплексное число, Q Ф 0. Тогда
D (U; z) D (/2; z) = D (fja; z), {D (/; Z)}o = D (f>; z). A0.2.11)
В качестве примера приведем случай /@) = g@), рассмотренный
в A). Мы имеем
D{g; z) = h(z), Z?(g-i; z) = {h(z)}'K A0.2.12)
Во второй формуле мы предполагаем, что тригонометрический много*
член g @) положителен.
Другим примером является
/ @) = 2Y+6 A _ COS 0)Y A + COS 0N, D (/, Z) = A - Z)V A + ZN,
Y> -у, б> -у- A0.2.13)
10.3. Дальнейшее изучение представления положительных функций
Вывод асимптотической формулы для многочленов, ортогональных
на единичной окружности, требует знания некоторых дополнительных
свойств определенного выше представления. В частности, нам нужно будет
выяснить поведение функции D (z) на единичной окружности |z|=l.
В связи с этим будет необходимо подчинить функцию / (и) некоторым огра-
ограничениям.
A) Сначала опять рассмотрим случай неотрицательного тригономет-
тригонометрического многочлена g(b), неравного нулю тождественно; пусть g @) =
= \h(z)\2, z^=e", будет нормализованное представление, определенное-
в теореме 1.2.2. Тогда по A0.2.10) при 0<г < 1 мы будем иметь
I) (g: z) = h (z) = h (гегЬ) = exp < — \ In g (t) . /n .. at >. A0 6.1}
—n
Отсюда следует, что
sign h (re") = I h (re") I1 h (re") = exp { -/- ^ In g (t) -—2rsinF-O j =
(io-3-2>

10.3] ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИЗУЧЕНИЕ 287
Таким образом, для всех значений 6, за исключением нулей #(б), будем?
иметь
_ _L
sign h (е{*) = | h (в1») Г1 h (e*«) = [g (б)] * h (e«) =
+Я
= exP { ^ ^ln e @ c% ^r dt] =
b^} A0.3.3>
Первый интеграл взят в смысле главного значения Коши, второй —
абсолютно сходящийся.
B) Рассматриваемые представления легко могут быть распространены
на положительные непрерывные функции /(о), удовлетворяющие некото-
некоторым достаточным условиям существования интегралов, соответствующих
тем, которые фигурируют в A0.3.3). Так как/(о) непрерывна, то, определяя
D (z) как в § 10 2, мы имеем равномерно для всех значений 6
lim \D(re^)\2^f(b). A0.3.4).
r-И-О
Если интеграл
\ |lD/(O-ln/(e)||ctgb^|d* A0.3.5)
—п
существует, то существует интеграл
^£ft A0.3.6>
—я
в смысле главного значения Коши. Докажем затем существование гранич-
граничного значения для
signD (*<•) = exp {± +\ In / @ 4_
— Я
. A0.3.7).
—я
Действительно, если е — фиксированное положительное число, то мы
имеем
lim
г-И-0 , ,
С другой стороны, 1—-2а-cos (9— t) + r2>2r{l — cos (9— £)}; таким
образом,
2г sin @ — 0
'I 8-
и последний интеграл произвольно мал вместе с е.

288 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. X
Следовательно, при указанных условиях предел
lim D (ге{*) = D (е*в) A0.3.8)
rv-И-О
существует, и справедливо представление, аналогичное A0.3.3), для
iD (iB):
+я
+я
^ ^} A0.3.9)
Итак, в этом случае мы имеем /F) = | D (ei8) |2.
Условие A0.3.5) выполнено, если функция /@) подчинена условию
Дини — Липшица
I / F + б) - / F) | < L | In б |-i-\ A0.3.10)
где L и К — фиксированные положительные постоянные. В настоящем пара-
параграфе это последнее условие будем предполагать выполненным. Тогда
предел A0.3.8) существует равномерно по 0, и функция D (eiB) непрерывна.
Предыдущие рассуждения могут быть существенно упрощены, если
применить теорию сопряженных функций (см. Зигмунд [2], §§ 3.321
и 3.45).
C) Пусть т — целое положительное число. Тогда существует такой
положительный тригонометрический многочлен g @) порядка ттг, что
I / F) - {g @)ГХ |< Р (In ™)-\ A0.3.11)
где Р — постоянная зависящая от максимума и минимума функции /@),
л также от L и X. Этот результат получается, если применить теорему 1.3.2
к функции {/(О)), которая удовлетворяет условию Дини —Липшица
I {/ F + б)} - (/ (в)Г11 < {min / @)Г2 L (In б)-*-\
Если D (z) и h(z) означают те же функции, что в § 10.2, соответствую-
соответствующие /@) и g@), то можно показать, что
| D (z) - {h (z)}1 < Q (In т)-ь A0.3.12)
равномерно в круге | z \ < 1. Постоянная Q зависит от максимума и минимума
У @), а также от L и К.
Достаточно это доказать при |z| = l. Аналогичное неравенство для
разности \D (z) \ и | h(z) \~l тривиально даже с (\пт)~1-^. Таким образом,
нам нужно получить лишь оценку выражения
sign h (e*9) {sign D (е*«) - sign [h (e^)]} =
^u!} A0.3.13)
или, что сводится к тому же, оценку выражения
{In / (t) - In [g (t)]-*} ctgtzi dt. A0.3.14)
Для этого применим теорему 1.22.1. Мы имеем
lgF+6)-g@)|<6m{maxg@)}, A0.3.15)

10.43 «ЛОКАЛЬНЫЕ» СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 289
следовательно,
^fM|i A0.3.16)
Пусть Е = Е (б, т, А,) — множество значений t, определяемых условием
|б—*|</ra~1(lnw)-\
а Е' — множество, дополнительное к Е на отрезке [ — я, я]. Переписывая
A0.3.14) в виде
^ {in / (t) - in / (е) - in [g (О] + in fe (е)Г1} ctg
E
1} ctg !Ь1л A0.3.17)
и применяя A0.3.10) и A0.3.16), мы получаем для первого интеграла
0A)
{ | In \Ъ- t\\-i~%\b -t\~l dt + О {т) \\b-t\
Е Е
Ctg
1=1
2
dt =
= О [(In m)-b] +O(m)O [nf1 (In m)~^] = О [(In /и)-*.].
С другой стороны, A0.3.11) дает для второго интеграла следующую оценку:
0[(\пт)-*-*][ ctg5=
Этим утверждение доказано.
10.4. «Локальные» свойства представления положительных функций
В этом параграфе мы доказываем несколько теорем о представлении
положительных функций, которые имеют важные применения в главах
XII и XIII.
A) Справедлива следующая теорема:
Теорема 10.4.1. Пусть f (б) — интегрируемая е смысле Римана
функция, имеющая вид
-z1)a4z-^«...(z-zI)a«J> z=e*e, A0.4.1)
где 0 < А < ф (б) < В, zv = e^v — различные точки^ на единичной окружно-
окружности, av > 0, v=l, 2, ..., Z. Пусть f (ft) дифференцируема е фиксирован-
фиксированной точке б = об, а= eia Ф zv, v= I, 2, ..., Z, ц пусть е окрестности точки
б = а отношение
/(e)-/(a)-/'(q)F-a) И О А 'Л
D (/; z) означает аналитическую функцию, соответствующую f (б)
смысле § 10.2, ттго существуют следующие пределы:
) (/; re*«) = Z) (/; e*«) = D (/; a)
lim D' (/; reia) = £>' (/; e*«) = /)' (/; a). I (Ю.4.3)
r-*i-o ;
Это утверждение сохраняет силу и при более общих условиях (см.
Зигмунд [2],§ 3.44 и пример 13). Следующее элементарное рассуждение
19 Г. Сегё

290 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. X
основано на формуле A0.2.10). Если мы интегрируем вдоль фиксирован-
фиксированной дуги, не содержащей точки а, то соответствующие пределы очевидно
существуют. Если t близко к а, то мы можем написать
lnf(t) = c + d (е~и - е~™) + О A) (t - aJ, A0.4.4)
где с и d— некоторые постоянные. Но если | z| < 1, то
\ {c + d(e~»^e-™)}+±^dt==c-de-™. A0.4.5)
—л
Таким образом, остается показать, что если е > 0 достаточно мало, то
функция
$ОA)(*-аJ4±5^ (Ю.4.6)
— 8
так же, как и ее производная по z, произвольно мала, когда г—>1—0,
z = reia. Это справедливо для производной, так как
V (tYdt V (<-q)« I Р (i-q)»
Рассуждения еще проще для самой функции, так как в этом случае в по-
последнем знаменателе стоит | sin {(a— t)/2\ | вместо sin2 {(а—1)/2].
B) Теперь мы докажем следующую теорему:
Теорема 10.4.2. Пусть /@) — интегрируемая в смысле Римана
функция, такая, что 0 < А </@),<5 при —я <0< + я. Допустим,
кроме того, что /(б) дифференцируема в фиксированной точке 9=аи что
выражение A0.4.2) ограниченно в окрестности точки 6 = а.
Если е — произвольное положительное число, то существуют такие
положительные тригонометрические многочлены g1(b) и g2(b), что
/i (в) < / F) < /2 @), Д( а) = /2 (а), A0.4.8)
где U @) = {gl @)}, /2 @) = {g2 @);- и
V 6-а с/б<£> (Ю.4.9)
J sin2 —т—-
—я ^
Если т и М представляют собой соответственно нижнюю и верхнюю
границы отношения A0.4.2) при — я < 0 < я, то функция fx @) больше, чем
некоторое положительное число, которое зависит только от т, А, /(а)
и /' (а); аналогично функция/2 @) меньше, чем некоторое положительное чис-
число, зависящее только от М, /(а) и /'(а).
Заметим, что из A0.4.8) вытекает, что
Л (а) =/(<*)=/а (<*), /»=,/» = /; (а), . A0.4.10)
следовательно, интеграл A0.4.9) существует; кроме того, из A0.4.9) сле-
следует, что
+я
sin2-2~
е' произвольно мало вместе с е.

10.4] «ЛОКАЛЬНЫЕ» СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 291
Для доказательства мы применим теорему 1.5.4 к двум интегрируе-
интегрируемым в смысле Римана функциям
р (б) =
—
= {f(a)}-\ d=-f'(a){f(a))-\
sin2
A0.4.12)
Поэтому если дано б > 0, то существуют такие тригонометрические
многочлены Р (б) и (?@), что
A0.4.13)
—я
Здесь тахР@) и тах^@) меньше, чем некоторые константы, завися-
зависящие соответственно только от т, А, /(а), /'(а) иотМи /' (а). Полагая
^^, /1F) = {g1F)r1, A0.4.14)
мы найдем, что {/F)}<^i(e), т. е. /х@)</@), /i(a) = /(a), и что
+я +я
[ /F)~^(а6)^0=С / @) А @) gl F)~е^(дГ1 dd< Д26. A0.4.15)
sm<
. 2
Здесь функция /х @) больше, чем положительная константа, зависящая от т,
А, /(а), /'(а).
С другой стороны, рассматривая непрерывную функцию
' (a)sinF —a) + QF)sin2^-^| * — с—cZ>inF — a)
_ {R F)Г1 — c—d sin F — a) ^ R-i — c—d sin F — a)
. 26-a ^ * . 26-a '
sin2-^— sin2—^~
имеем / @) < R @) < R, где i? — константа, зависящая от М, / (а) и /' (a).
Далее, в соответствии с теоремой 1.3.1 можно определить такой тригоно-
тригонометрический многочлен S(ft), что
sin2—2~
Если мы положим
g2 F) = с + B sin F - a) + S F) sin2 Ь^ , U F) = {^2 (б)}, A0.4.18)
то получим
Я'1 < ёЛь) < {Rib)}'1 < g2F) + Ssin2b^ . A0.4.19)
19*

292
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
[Гл. X
Кроме того, g2 @) <{/(б)} *. Учитывая последнее неравенство в A0.4.19)
и A0.4ЛЗ), мы получаем
sin2
8 —
sin2
J — а
1 - { §2 @) + Ssin*
6}
sin2
0 —а
^}
A0.4.20)
sin2
Последний интеграл произвольно мал вместе с б (так как g2 @) > R'1).
Складывая A0.4.15) с A0.4.20) и выбирая б достаточно малым, мы
получаем требуемое утверждение.
C) Т е о р е м а 10.4.3. Для аналитических функций D (fx; z), D (/; z),
D (/2; z), соответствующих в смысле § 10.2 функциям fx @), /@), /2 (б) тео-
теоремы 10.4.2, справедливы следующие неравенства:
\D(f\a)-D(U;a)\<e', \D' (/; а) - U (/v; a)\ < е', A0.4.21)
где a = eia, v — 1, 2, а г' произвольно мало вместе с 8.
Символы D (/; a), D' (/; а) имеют те же значения, что и в A0.4.3).
В соответствии с A0.2,10) при |z|<l,v = l!J, мы имеем
+я
In D (/; z) — \nD (/v; z) = — ^ {In / (^) — In /v
+я" " ЯС ' A0.4.22)
и при z = reia = ra, r —> 1 — 0, имеем
+Я
ln/)(/;a)-lnJD(/v; «)=^^ {In
—я
/)' (/; a) D' (/v; a) i
- ln/v
l^-dt,
D(f;a) п D(fv,a)
dt.
A0.4.23)
Оба интеграла абсолютно сходятся и произвольно малы вместе с 8
(см. A0.4.11)); D (/; а) — определенное число, отличное от нуля.
D) Теорема 10.4.4. Пусть f @) — функция, удовлетворяющая
условиям теоремы 10.4.1. Если &—данное произвольное положительное
число, то существуют такие положительные тригонометрические много-
многочлены gx @) и g2 @), что полагая

10.4] «ЛОКАЛЬНЫЕ» СВОЙСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 293
будем иметь
0</1(в)</(е)</,(в), /i(o)=/a(a), A0.4.25)
Г
Здесь о— наименьшее целое четное число, большее чем max ((Х17 сг2, . . ., сг,);
max /2 @) ограничен сверху, a min {gx @)} ограничен снизу, причем обе
границы не зависят от е.
Для функций D (Д; z), D (/; z) и D (/2; z), соответствующих функциям
/х F), /@) и /2@), справедливо утверждение, аналогичное теореме 10.4.3.
Замечание. Мы можем в качестве сг выбрать любое четное число,
большее чем тах^, сг2, . . ., сгг); в частности, можно выбрать число, крат-
кратное четырем. Это существенно для некоторых дальнейших целей
(см. § 13.5, B)).
Пусть функция /@) совпадает с /@) всюду, за исключением некоторых
отрезков вокруг точек 0V, v = 1, . . ., Z, в которых / F) = 1. Эти отрезки вы-
выбираются столь малыми, чтобы они взаимно не пересекались, не содержали
точки а, и чтобы в каждом из них / @) < 1. Кроме того, пусть
e<|B A0427)
sin2
Тогда / @) < / @) при всех о и /(б) = /@) в некоторой окрестности точ-
точки а, которая может быть выбрана независимо от 8, если только 8 доста-
достаточно мало. Функция / @) = / (е; 0) удовлетворяет условиям теоремы 10.4.2
и зависит от 8, хотя и имеет верхнюю границу, не зависящую от 8. Это же
относится к верхней границе М отношения, соответствующего A0.4.2).
Определим теперь тригонометрический многочлен таким образом,
чтобы для /2 @) = {g2 (б)} выполнялись соотношения
/ (в) < / (б) < U F), / («) = / И = U («)
Jn/2 F)-In/F)
1 —a
2
A0.4.28)
Отметим, что тах/2(б) меньше, чем некоторая постоянная, которая не
зависит от е. (Мы используем здесь независимость величины М от 8.)
С другой стороны, пусть функция / @) совпадает с / @) всюду, за исклю-
исключением непересекающихся отрезков вокруг 0V, v = 1, 2, . . ., Z, не содержа-
содержащих а, и таких, что на них имеет место неравенство
Uz-zJiz-zJ ... (z- zdf <\ (z-zj01 (z-zf* ... (z-z/'|, (Ю.4.29)
где z = e1'. На этих отрезках мы определим / (б) так:
/ F) = ф F) | (z - Zl) (z-z2) ... (z - zL) Г, z = e*. A0.4.30)
Предположим еще, что

294 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ [Гл. X
Следовательно,/@)</@) и/@) =/@) вблизи точки 0=а. Кроме того,
функция
/FIB-%) (z-zj ... {z-z{)\~a, z = <>*•, A0.4.32)
удовлетворяет условиям теоремы 10.4.2 и зависит от е, хотя и имеет поло-
положительную нижнюю границу, не зависящую от е; то же самое справедливо
для нижней границы т (не обязательно положительной) отношения,
соответствующей A0.4.2).
Мы определим положительный тригонометрический многочлен gt @)
так, чтобы выполнялись неравенства
tei (б)Г1 </F) | (z - zj (z-*,)... (z-z,)!-0, z-e«, A0.4.33)
причем в точке 0 = а имеет место равенство, и
\ — е^г^ ^е < т . A0.4.34)
-я sin2~2~
Тогда, используя обозначения A0.4.24), получаем
+Я1П/ @)
sin
Г
Сложение неравенств A0.4.27), A0.4.28), A0.4.31) и A0.4.35) приводит
к A0.4.26). Заметим, что min [gt @)} больше, чем положительная кон-
константа, не зависящая от 8.
Утверждение относительно D (Д; z), D (/; z) и D (/2; z) устанавливается
так же, как в теореме 10.4.3.
E) Теорема 10.4.5. Пусть f (б) — четная функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям теоремы 10.4.1; допустим, что ф @) = ф (— 0) и что все неве-
невещественные «нули» zv функции f @) входят вместе с их сопряженными с той
же «кратностью». Далее, пусть 0 < а < я. Тогда функции f1 (б) и /2 @)
теоремы 10.4.4 могут быть выбраны четными, и вместо A0.4.26) имеем
С J°.M°)-fr7iF) d (Ю.4.36)
J (cos б —cos aJ ^ v '
Аналогичное добавление может быть сделано к теореме 10.4.2. Пре-
Предыдущие доказательства требуют только незначительных видоизменений.
Вместо первого отношения в A0.4.12) рассматриваем выражение
{/ F)}-i —с — d (cos 6 — cos a) \
(cos 6 —cos аJ ' 1 A0.4.37)
(Г2 I
{()Г\
Другие отношения, которые встречаются при доказательстве теоремы
10.4.2, должны быть видоизменены аналогичным образом. При этом нуж-
нужно учесть дополнения относительно четных функций к теоремам 1.3.1
и 1.5.4. Функции/@) и /@), фигурирующие при доказательстве теоремы
10.4.4, могут быть выбраны четными. Неравенство A0.4.36) эквивалентно
неравенству A0.4.26), так как функция
. 26-а
sin2—тг—
-—s—^—^г A0.4.38)
(cos 0 —cos aJ v '
при 0 < 0 < я ограничена сверху и снизу положительными постоянными.

ГЛАВА XI
МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ЕДИНИЧНОЙ
ОКРУЖНОСТИ
Если весовая функция задана на некоторой кривой, то мы можем
распространить определение ортогональных многочленов на веществен-
вещественном интервале на более общую комплексную область. Соответствующие
многочлены, таким образом, будут ортогональны с этой весовой функцией
на*- рассматриваемой кривой в комплексной плоскости (глава XVI).
Среди различных частных случаев наибольший интерес представляет
•случай окружности, и в этой главе мы рассмотрим многочлены, ортого-
ортогональные на единичной окружности с заданной весовой функцией. Мы уви-
увидим, что эти многочлены обладают свойствами, которые в известном смысле
проще, чем свойства, установленные для многочленов, ортогональных
в вещественном промежутке. Более того, существует связь между случа-
случаем окружности' и случаем конечного вещественного отрезка, что
позволяет применить некоторые результаты, полученные в этой главе,
к многочленам, ортогональным на вещественном отрезке.
Относительно §§ 11.1—11.4 см. С е г ё [4]; см. также Г р е н а н-
дер и Сегё [1], глава 2.
11.1. Определение. Предварительные сведения.
A) Пусть / @) — неотрицательная функция с периодом 2я, интегрируе-
интегрируемая в смысле Лебега на [ — я, + я], и такая, что
^0. A1.1.1)
—я
Введем коэффициенты Фурье
+я
cn = ^[f(V)e~inBd^ л = 0, ±1, ±2, ... (И.1.2)
—я
Очевидно, что с п — сп, так что матрица «типа матрицы Теплица»
7n = (cv_|i) v, |i = 0, 1, 2, ..., /г, (Ц.1.3)
будет эрмитовой. Соответствующая эрмитова форма
п п +я
Я« = 2 2с*-Л^ = ^ ^/(e)|M0 + M1z+... + Mnzn|2c?6, A1.1.4)
v=0 м-=0 —л
где z~ei8, будет положительно определенной и будет иметь положитель-
положительный детерминант
0n=[cv_M] v, ,i = 0, 1, 2, ..., п. A1.1.5)

296 ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ [Гл. XI
B) Определение. Если мы ортогонализуем систему 1)
• — с , п — А » ^» • • • »
то получим систему многочленов
<Po(z), Ti(z
A1.1.6)
A1.1.7)
обладающую следующими свойствами:
(a) фп (z) — многочлен точной степени п с вещественным и положи-
положительным коэффициентом при zn;
(b) система {<pn(z)} ортогональна, т. е*
+я
-~ $/(8)Ф»(*)Ф^<Й = а»т, * = **•, л, m = 0, 1, 2, ... A1.1.8)
—я
Более того, система {фп(^)} однозначно определена условиями (а)
и (Ь). Если /@) —четная функция, т. е. /(б) = /( —Q), то коэффициенты
Фп (z) вещественньГ.
C) Мы имеем (см. § 2.2, B))
с0 с_г . .. с_п+1
ьп-2
Z* ...
т,— с
CnZ—t
un-2
^ A1.1.9)
А2 = 1, /,, . . . ,
Коэффициентом при zn в фп (z) будет
/cn = (Z)n_1Z)~1J. A1.1.10)
Легко выводятся аналоги представлений B.2.10) и B.2.11).
D) Мы переходим теперь к рассмотрениям, соответствующим тем, кото-
которые были проведены в A), B) и D) § 3.1.
Теорема 11.1.1. Пусть F (eie) — данная измеримая функция,
для которой существует интеграл
A1.1.11)
Взвешенное квадратическое уклонение
+я
> — РгВ
A1.1.12)
г) См. последнее замечание в § 2.1, D).

И.2] пример 297
где q (z) пробегает множество всех многочленов яп, будет наименьшим,
когда q (z) является п-й частной суммой ряда Фурье
F (z) ~ Fo% (z) + F^ (z) + • • • + FnWn (z) + • • •»
Fn = -^\fWF(*)vJ$<to> *=*"> * = o, 1, 2....J A1ЛЛЗ)
—я
В качестве непосредственного следствия отсюда вытекает неравенство
Бесселя
/Г 2 1 |/Г|2| I \F 2-4- ^ —
о i I ■* 11 1 • • • \ |х п ' • • • "^ 2я
Формула Парсеваля (т. е. A1.1.14) со знаком равенства) будет справедлива
при выполнении одной из двух следующих систем условий:
(i) F (z) регулярна и ограничена в круге | z \ < 1;.
(ii)f @) ограничена, a F (z) принадлежит классу Н2 (см. § 10.1).
По поводу более общих условий см. Смирнов [2], стр. 363.
В качестве следствия из теоремы 1.11.1 имеем:
Теорема 11.1.2. Многочлен k^q>n(z) минимизирует интеграл
/0, ъ = ё\ A1.1.15)
когда znjra1zn~1+ . . . + ап пробегает множество всех многочленов пп
с коэффициентом единица при zn. Минимум равен /с.
11.2. Пример
Важным частным случаем, в котором система {фп (z)} может быть най-
найдена в явном виде, за исключением конечного чисда первых многочленов,
является случай
где g (б) — положительный тригонометрический многочлен порядка т.
Теорема 11.2. Пусть f @) — функция, определенная равенством
A1.2.1), и пусть g @) = | h (z) |2, z — eie, — нормализованное представление
gF), определенное в теореме 1.2.2. Используя обозначение A.12.4), имеем
^n(z) = zn-mh^(z) = znh(z-1), n = m, го + 1, ... A1.2.2)
Очевидно, что условие (а) определения § 11.1, B) выполнено. Для
того чтобы доказать ортогональность, рассмотрим произвольный много-
многочлен q (z) степени < п — 1. Если z = ei9, то по теореме Коши имеем
—я
I ж |=1
Кроме того,
+я

298 ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ [Гл. XI
Простейший случай соответствует функции / @) == 1. Тогда
ФпB) = Л п = 0, 1, 2, ... A1.2.3)
Относительно других случаев, когда возможно явное вычисление
q)n(z), см. Сегё [4], стр. 187 — 188, и [12], стр. 245-247; см. также
A1.5.3) и A1.5.4).
11.3. Задача о максимуме
Ввиду сходства рассматриваемой задачи с той, которая была иссле-
исследована в § 3.1, C), мы можем опустить детали.
A) Т е о р е м а 11.3.1. Пусть q (z) — произвольный яп, подчинен-
подчиненный условию
+я
JL $/(O)|Q(*)|ade = l, z=e«. A1.3.1)
—я
Для произвольной точки а максимум | q (а) |2 достигается при
Q(z) = e{sn(a, a)}-2sn(a, z), |e| = l, A1.3.2)
-где
*»(«, *)= 2 9v(a)<Pv(z). A1.3.3)
v=0
Максимум равен sn(a, a).
Многочлены $л (a, z) могут быть использованы для представления
частных сумм ряда A1.1.13) в виде интегралов (см. C.1.11)).
B) Теорема 11.3.2. При афО многочлены A1.3.2) удовлетворяют
тождеству
sn(a, z)=&z)nsn(z-\ a"*). A1.3.4)
Кроме того,
*п @, 2) = 23 <Pv @) Tv (z) = knznq>n (z-i) = kn ф* (z), A1.3.5)
v=0
б kn имеет тот же смысл, что в A1.1.10); наконец,
v=0
Последняя формула справедлива и при п—0, еслиВ^1 = 1. Полагая
z) = г (z) или q (z) = r* (z), мы имеем
:Т~ *\ / (в) I г (г) I2 с?в = 1, z = e*e, A1.3.7)
—я —я
и при а =^= О
| е (а) |2 == | апг (а) |2 = | а |2Л | г (а'1) |2. A1.3.3)
Зто дает sn(a, а) = \а\2Пsn(a~1, а), т. е. A1.3.4) при z = a, a также
l5n l«i a)i sn\a'> z) — * II* п \а -■ а /J sn\a 1 г'| 9 (L1.O.V)

11.3]
ЗАДАЧА О МАКСИМУМЕ
299
где е — надлежащая постоянная, |в|=1. (Символ* относится к перемен-
переменной z.) Комбинируя это с предыдущим результатом, мы получаем A1.3.4).
Тождество A1.3.5) получается в пределе при а—» 0, откуда при z = 0 сле-
следует A1.3.6).
C) Теорема 11.3.3. Пусть /(б) интегрируема в смысле Лебега 1).
Тогда существуют следующие пределы:
lim*n(a, a)=
2|
V=0
lim«B(a, z)= 2 cpv(a)cpv(z), |a|
П-+СО V=0
n = fc>0, limz->n(z),
n-vO
lim<pn(z) = 0,
A1.3.10)
A1.3.11)
A1.3.12)
A1.3.13)
-Мы рассмотрим сначала частный случай/@) > \i > 0, предполагая, что
|а|<1. Пусть q (z) — многочлен A1.3.2). Тогда по неравенству Коши—
Буняковского (см. G.1.4)) будем иметь
-f-я
следовательно, то же самое неравенство справедливо притг—^оо. Итак,
в этом случае доказаны A1.3.10) и A1.3.11). Приа = 0 A1.3.6) и A1.3.5)
показывают, что существуют пределы A1.3.12); A1.3.13) вытекает из сходи-
сходимости A1.3.10).
Для того чтобы доказать утверждение в общем случае, заметим прежде
всего, что максимум в задаче теоремы 11.3.1 достигается для многочлена
q (z), который не обращается в нуль при | z | < 1; мы опять считаем | а | < 1.
В самом деле, если z0 является нулем q (z), | zo| < 1, то мы имели бы
+я
Положим теперь a~relw, 0<r.< 1, z=ei8, в соответствии с A.11.3)
+я
X
[
Последний интеграл представляет собой интеграл Пуассона от гармони-
гармонической функции 2R In q (z), которая регулярна в круге | z\ < 1. Последний
См, § 10.2, B).

300 ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ [Гл. XI
экспоненциальный множитель, стало быть, равен
ехр{28Ппо(а)}=|в(а)|»;
это доказывает ограниченность max| q (a) \2=sn (a,a).
Дальнейшие формулы выводятся таким же обрааом. Далее (см. § 12.3,
F)) мы вычислим пределы A1.3.10) — A1.3.12).
11.4. Алгебраические свойства
A) Пусть а — фиксированная точка, \а\ < 1. Предыдущее исследова-
исследование показывает, что нули многочлена sn (a, z) лежат в области | z\ > 1.
Ясно, что это же относится и к случаю J а\ < 1. Из A1.3.5) мы заключаем,
что нули фп (z) лежат в круге | z\ < 1.
Мы докажем теперь более точное утверждение:
Теорема НАЛ. При \а\ < 1 нули sn (a, z) лежат в области | z|>l,
при | а]*> 1 — в круге | z | < 1, при | а \ = 1 — на окружности \ z \ — 1. Нули
фп (z) лежат в круге \ ~z\ < 1.
Пусть z0 — произвольный нуль sn(a, z). Если мы положим
и рассмотрим все линейные функции q(z), для которых
M0)'lQ(*)Ne=l, z = ^f A1.4.2)
то ясно, что max| q (а) |2 достигается при q(z) = const, (z—z0). Следовательно,
достаточно рассмотреть случай и=1. Из A1.1.9) получаем многочлен
-сх) A1.4.3)
с нулем в точке
2=^£=^-°. A1.4.4)
Это доказывает утверждение относительно sn(a, z), так как |сх| < с0 (см.
A1.1.2)). Утверждение относительно нулей фп (z) следует из A1.3.5).
B) Теорема 11.4.2. Справедливы тождество
sn (a, z) = 2) ^F) Фv (z) = Ф"+' W Ф"+' (;}--Ф"+'(й) Ф"+'B) A1.4.5)
v=0
гг «рекуррентные формулы»
KZ(Vn (z) = kn+l<¥n+l (Z) - Фп+1 @) Фп+l B), A1.4.6)
MVi W = An+i«pn B) +Фп+1 @) Ф* (z). A1.4.7)
Первое тождество соответствует в известном смысле формуле Кристоф-
феля — Дарбу C.2.3). Доказательство может быть проведено так же.
как в § 3.2, C). Как и в случае вещественного промежутка, мы можем
характеризовать sn (a, z) посредством уравнения
+я

11.5] СВЯЗЬ С МНОГОЧЛЕНАМИ, ОРТОГОНАЛЬНЫМИ НА ОТРЕЗКЕ
которое имеет место, когда q(z) — произвольный пп. Однако
301
4-Т/ (9) g^X-i
j
1 — az
С
1 — az
Последний интеграл обращается в нуль, так как если положим q (z) — q(o) =
= (z — a) r (z), то будем иметь
A1.4.10)
—я
Следовательно,
Фп+1 (а)
=
1 — az
A1.4.11)
где с не зависит от z. Меняя местами а и z и беря слева и справа сопряжен-
сопряженные комплексные величины, мы замечаем, что с не зависит также и от а.
Полагая' z=a=0, получаем
!<Pv@)|2,
A1.4.12)
v=0
так что с=1 в силу A1.3.6). Сравнение коэффициентов при ап в A1.4.5)
приводит к A1.4.6). Беря взаимные многочлены (см. § 1.12) в обеих
частях A1.4.6) и исключая фЙ+i (^), находим A1.4.7).
11.5. Связь с многочленами, ортогональными на отрезке
вещественной оси
A) Т е о р е м а 11.5. Пусть w (x)—весовая функция на отрезке
[—1, +1] и пусть
/ (в) = a; (cos в) |sin в |. A1.5.1)
Пусть далее {рп (х)} и {qn (x)} — последовательности ортонормальных мно-
многочленов, ассоциированные соответственно с весовыми функциями w (x)
и A—х2) w (х) на отрезке —1<я<+1, а {ф^ (z)} — ортонормалъная после-
последовательность, ассоциированная с f (б) на окружности z=eiQ. Тогда, полагая
х= -тг (z + z), при тг>1 будем иметь
1
Рп (х) =
2, (z)
___
= /2/ЯJ Ь | Ф2П+2_@) 2 ^"Пф2п+1 (Я) — *Пф2т? + 1 С^) .
^ 1 ^2п+2 / 2—2-1
A1.5.2)

302 ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ [Гл. XI
См. С е г ё [6], стр. 204—206. Второе равенство следует из первого,
а четвертое из третьего, благодаря A1.4.7). Функция /F) четна, так что
коэффициенты многочленов фп (z) вещественны.
Постоянные множители в этих равенствах отличны от нуля (см.
A1.3.6)). Эти формулы, за исключением второй, имеют смысл и при
л=0.
B) Правая часть первого равенства представляет собой яп относи-
относительно х\ свойство ортогональности может быть выражено равенством
+я
\ Рп (cos 9) cos V9'w (cos 9) I sin 6 I db = 0,
—jt
ИЛИ При Z = £i9,
z->2n (z) + z\2n (г'*)} {z- + z-v} / @) db = 0, v = 0, 1, 2, . . ., n - 1.
—я
Последнее имеет место в силу равенств
4-я
—Я
я 42n(z) = 42n(z)- Кроме того,
я
+я
)/@)rfe} = 2я + 2я3!g
Доказательство третьей формулы аналогично, за исключением того*
что теперь ортогональность более удобно выразить в форме
qn(cosb) 8[П[1^1] Q sin2e-^(cose) | sin Q | dQ = 0, v = 0, 1, 2, , /г — 1.
Из первой и третьей формул A1*5.2), если учесть A1.2.2), может быть,
получено новое доказательство формул B.6.2) и B.6.3).
Если в двух последних равенствах A1.5.2) мы заменим п на п— 1, то
сможем выразить 2"пф2п (z) и 2"п+1ф2п_1 (z) как линейные комбинации
рп(х) и (l-z2)gn_i(^), где х = ±- (z + Г1) (см. Сегё [18], стр. 9-11).
Эти соотношения позволяют нам выразить многочлены фп (z), связанные
с весовой функцией
/ F) = |A — z)Y A + zN |2 = 2Y+6 A - cos 6)Y A + co^ 6N, z=e<e, A1.5.3),

11.5] СВЯЗЬ С МНОГОЧЛЕНАМИ, ОРТОГОНАЛЬНЫМИ НА ОТРЕЗКЕ 30S
через многочлены Якоби. Мы находим
/ 1 с U
= CP(V~ 2 ' б " Ь || B + z-l
A1.5.4)
где А, /?, С, D — надлежащие вещественные постоянные.

ГЛАВА XII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
МНОГОЧЛЕНОВ
В следующих параграфах будут рассмотрены асимптотические свой-
свойства многочленов, ортогональных на единичной окружности, или на конеч-
конечном вещественном отрезке, когда степень п этих многочленов стремится
к бесконечности. В обоих случаях весовая функция будет подчинена лишь
некоторым услрвиям непрерывности и ограниченности.
В связи с многочленами, ортогональными на единичной окружности,
возникают две важные задачи. Это, во-первых, задача (а) об асимптотиче-
асимптотическом поведении вне единичной окружности и, во-вторых, задача (Ь) о пове-
поведении на самой единичной окружности. Для весовой функции, равной
тождественно единице, ассоциированной с ней ортогональной системой
является {zn}. Этот пример в некотором смысле типичен.
Для многочленов, ортогональных на конечном отрезке, возникают
соответствующие задачи:
(а7) задача об асимптотическом поведении в комплексной плоскости
с разрезом вдоль данного отрезка;
(Ь') задача о поведении на самом отрезке (см. главу VIII). Следу-
Следующий пример является характерным:
Задачи (а) и (а7) проще, и относительно них будут получены сравни-
сравнительно общие результаты. Только недавно задачи (Ь) и (Ь7), которые гораз-
гораздо труднее, были иссл дованы С. Н. Бернштейном и Г. Сегё. Отметим, что
условия, налагаемые на весовую функцию в случае (Ь), более ограничи-
ограничительны, чем в случае (а). Это же замечание справедливо относительно (а7)
и (Ь7).
При исследовании формулированных задач будут использованы
результаты главы X. Мы рассматриваем сначала вопросы (а) и (а7). Отно-
Относительно (Ь') мы можем указать, что главный результат С. Н. Бернштейна
получен здесь новым и более кратким путем, а именно мы следуем здесь
старому методу Сегё, применяя его к случаю (Ь7).
12.1. Результаты
A) Обозначим через G класс функций / (б) > 0, определенных и изме-
измеримых на [— Jt, + я], для которых существуют интегралы
+я +я
^ /(e)de, [ |in/(e)|<*e, A2.1.1)
-я

12.1] РЕЗУЛЬТАТЫ 305
причем первый из них положителен. Такой функции / (б) мы поставили
в соответствие в § 10.2 однозначно определенную аналитическую функ-
функцию D (f; z)=D(z), регулярную и отличную от нуля в круге |z|<l,
D @) > 0. Условия, наложенные на класс G, обеспечивают существова-
существование среднего геометрического (#(/) — D2@) функции /(б).
Теорема 12.1.1 (асимптотическая формула для многочленов, орто-
ортогональных на единичной окружности, рассматриваемых при z вне еди-
единичной окружности). Пусть /(б), принадлежащая классу G, будет весо-
весовой функцией на единичной окружности z = eiB. Если {срп (z)) — ассоцииро-
ассоциированная с ней ортонормалъная последовательность многочленов, то вне
единичной окружности
4>n(z)^Zn{D(z-i)}-\ \z\>l. A2.1.2)
Это соотношение выполняется равномерно при |z|>Z?>l.
Теорема 12.1.2 (асимптотическая формула для многочленов, орто-
ортогональных на отрезке [ — 1, +1], рассматриваемых при х вне этого отрезка).
Пусть w (х) — такая весовая функция на отрезке — 1 <^ х <; + 1, что
w (cos б) | sin б | = / (б) принадлежит классу G. Если D (/; z) = D (z) означает
аналитическую функцию, соответствующую /(б) в упомянутом смысле,
то для ортонормалъных многочленов {рп(х)}, ассоциированных с w (x), спра-
справедлива асимптотическая формула
')Г'. A2.1.3)
Здесь х лежит в комплексной плоскости с разрезом вдоль вещественного
отрезка [ — 1, +1]? и x^-^-(zJr z~1I г^е 121> 1- Формула A2.1.3) спра-
справедлива равномерно при \ z | > R > 1.
B) Для того чтобы получить более глубокие асимптотические фор-
формулы, справедливые соответственно на окружности |z| = l и на отрезке
— 1 < х < + 1, мы должны ввести некоторые дальнейшие ограничения
на / (б) и w (х).
Теорема 12.1.3 (асимптотическая формула для многочленов,
ортогональных на единичной окружности, рассматриваемых при z, лежа-
лежащем на единичной окружности). Пусть f (б) — положительная весовая
функция на единичной окружности, удовлетворяющая условию Дини—
Липшица:
|/F + 6)-/F)|<L|ln6|-i-*, A2.1.4)
где L и К— фиксированные положительные числа. Тогда при I z\ ~ 1
Фп (z) = zn {D (z-i)P + en (z) = zn {D (z)} + sn (z), A2.1.5)
где lim en (z) = 0 равномерно при \ z \ = 1. Более точно:
n~>oo
|еп(*)|<СAпи)-*; A2.1.6)
положительная постоянная С зависит от L, X, минимума и максимума
функции /(б).
Теорема 12.1.4 (асимптотическая формула для многочленов,
ортогональных на отрезке [ — 1, +1], рассматриваемых при х, лежащем
на этом отрезке). Пусть w (х) — такая весовая функция на отрезке — 1 ^
< х < + 1, х = cos б, что w (cos б)| sin б | = / (б) удовлетворяет условиям тео-
теоремы 12.1.3. Полагая
signD(e^) - | D (еЩ'1 D (е*«) - е^<о>, A2.1.7)
20 Г. Сегё

306 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. XII
мы имеем равномерно на отрезке —1<;ж-<+1, или при
я = cos б, соотношение
A - х2L (w (х)J рп (х) = B/jtJ cos {п§ -! у (9)} + О {(In п)~ь}. A2.1.8)
Постоянный множитель, входящий в О, зависит только от L, Я, минимума
и максимума функции /(б).
C) Наконец, мы докажем две теоремы, аналогичные теоремам 12.1.3
и 12.1.4 при условиях, носящих «локальный» характер.
Теорема 12.1.5 (асимптотическая формула для многочленов,
ортогональных на единичной окружности, при | z\ = 1 и весовой функции,
подчиненной «локальному» условию). Пусть f (б) удовлетворяет условиям
теоремы 10.4.1. Тогда при z~a = eia имеет место A2.1.5) в менее полной
форме:
Чп{а)^ап{Ща)Ух + гп, гп -> 0. A2.1.9)
Отсюда мы получаем следующую теорему «локального» характераг
соответствующую теореме 12.1.4.
Теорема 12.1.6 (асимптотическая формула для многочленов, орто-
ортогональных на отрезке [ — 1, •+-1], при х, лежащем на этом отрезке, и весо-
весовой функции, подчиненной «локальному» условию). Пусть w (x) интегри-
интегрируема в смысле Римана и пусть она имеет вид
w (х) = t (х)\ х х х±\х х l^2 \х д; 1^ М2 1 10^
где 0 < А ^ t (х) < В, — 1 < хх < х2 < ... < хх < 1, tv > 0, v = 1, 2, .. ., Iг).
Пусть, далее, w (х) дифференцируема в определенной точке х = ^, — 1 <
< £ < +1? причем ^ Ф xv, v = 1, 2, ... , I, и пусть отношение
ограничено при х, близких к £. Тогда A2.1.8) справедливо' в менее полной
форме:
A - 1У (w (WPn (I) = B/я)гcos {na-\- у (а)} + е„, A2.1.12)
| = cos а, 0 < а < я, lim гп — 0,
п-уоо
где у (а) имеет тот же смысл, что в A2.1.7).
12.2. Замечания
A) Теоремы 12.1.2, 12.1.4 и 12.1.6 легко вытекают соответственно
из теорем 12.1.1, 12.1.3 и 12.1.5. Заметим, что D(z) = D{z) в A2.1.3),
т. е. в этом случае D (z)~ «вещественная» функция.
В теоремах 12.1.3 — 12.1.6 функция D (z) имеет граничные значения
в рассматриваемой точке (в теоремах 12.1.3 и 12.1.4 даже непрерывные
граничные значения на всей единичной окружности | z\ = 1). Это следует
из рассмотрений главы X.
Важная функция у (б)» введенная равенством A2.1.7), полностью
определена с точностью до слагаемого, кратного 2я. Если мы
1) При #!= — 1 достаточно допустить, что Ti]> —ту , аналогично при х\ = -\-1

12.2] ЗАМЕЧАНИЯ 307
положим (см. A0.3.9))
Y (в) = -5Г $ lJn / @ - In / (в)] ctg ~ dt, A2.2.1)
то у (б) будет непрерывной функцией. В теоремах 12.1.4 и 12.1.6 у (б) легко
может быть выражена через весовую функцию w (х). Пусть
/ @) = w (cos 6)| sin 0 | = W (cos 0). A2.2.2)
Из A0.3.9) мы получаем (см. С. Н. Бернштейн [2], стр. 11)
{in PF (cos t)~lnW (cos 0)} ctg^^- dt =
4jc
—я
= -^- ^ {In W (cos t) - In W (cos 0)} jctg -^ + ctg l±i|,
{InИ7(cos*) — In W(cos 0)] —— jrdt —
—»■
В этом случае
Y(-8)= -YF). A2.2.4)
Для функций {/2 @) cpn (z)}, z = eiB, n = 0, 1, 2, ... , которые образуют орто-
нормальную систему в обычном смысле (см. определение в § 11.1, B)), мы
получаем из A2.1.5) простое асимптотическое выражение
B) Теорема 12.1.1 является прямым следствием теоремы 12.1.3,
«ели только предположить, что выполнено условие A2.1.4). Действительно,
функция
регулярна при | z \ > 1 и непрерывна при | z \ > 1. В этом специальном слу-
случае соотношение A2.1.2) может быть написано в более точной форме:
п)-Х) A2.2.5)
равномерно при | z \ > 1.
C) Относительно теорем 12.1.1 и 12.1.2 см. Сегё [6]. При более огра-
ограничительных условиях, чем в теореме 12.1.2, Фабер [4] доказал, что
1
lim|pn(a0|*=|z|, |z|>l, A2.2.6)
n->oo
Это менее сильное утверждение бывает достаточным для различных при-
приложений, например для целей § 12.7, B) и C). Теорема 12.1.3 является
новой, а теорема 12.1.4 принадлежит С. Н. Бернштейну [2].
Доказательства теорем 12.1.3 и 12.1.4, данные соответственно в §§ 12.4
и 12.5, B), существенно основаны на идее С. Н. Бернштейна, примененной
в его собственном доказательстве, а также на другой идее, подобной той,
20*

308 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. XII
которая была использована в связи с методом Лиувилля—Стеклова
(§ 8.61). Как уже упоминалось, такой порядок изложения кажется более
простым, чем первоначальный путь С. Н. Бернштейна. Теорема 12.1.5
и являющаяся ее следствием теорема 12.1.6 принадлежат Сегё [8]. Усло-
Условия, вводимые в настоящей монографии, несколько более общи, чем в цити-
цитированной выше статье.
Вместо A2.1.4) С. Н. Вернштейн ([2], стр. 11, A8)) предпола-
предполагает, что
\W(x + 6)-W(x)[ <L|ln6|~1~\ -
Эти условия, впрочем, эквивалентны, так как отношение
111 | COS бх—COS 89 I
ограничено сверху и снизу положительными постоянными, когда 6i
и б2 — произвольные точки отрезка [0, я], такие, что | бх — б2| < 1/2 х).
12.3. Доказательство теоремы 12.1.1; применения
A) Раньше, чем перейти к этому доказательству, рассмотрим част-
частный случай /(б) = {^(б)}, где g (б) — положительный тригонометрический
многочлен порядка т. Пусть h (z) имеет тот же смысл, что и в § 10.2, A).
В соответствии со второй формулой в A0.2.12) мы имеем D (/; z) = {h (z)}.
С другой стороны, в силу A1.2.2)
<рл (z) = zn~h (z'1) = zn [D (г-1)}, п > m. A2.3.1)
Поэтому в нашем случае предельное соотношение A2.1.2) может быть
заменено одним из равенств A2.3.1), если только п>т.
B) Пусть теперь / (б) опять будет произвольной функцией, удовлет-
удовлетворяющей условиям теоремы 12.1.1. Пусть q (z) = zn + axzn~x + ... +an —
произвольный пп со старшим коэффициентом единица. В соответствии
с теоремой 11.1.2 минимум |лп(/) интеграла
^\ |ade, z = e*«, A2.3.2)
равен кп2 и достигается для многочлена q (z) = кпг(рп (z).
Лемма. Пусть /(б) удовлетворяет условиям теоремы 12.1.1 и пусть
\хп (/) имеет указанное выше значение. Тогда
lim |*„(/)=@(/), A2.3.3)
п-»-оо
где & (/) — среднее геометрическое f (бJ).
Если q(z)~один из рассматриваемых многочленов, то zq (z) есть
лп+1 со старшим членом zn+1 и | zq (z)|2 = | q (z)\2 при z =eiB. Следовательно,
f^n+i (/) < M'n (/)• (^T0 вытекает также из A1.3.6).) Стало быть, предел
lim \in (/) = \i (/) существует и |л (/) > 0. Нужно показать, что \х (/) = ($ (/).
г) Если| 0х — 02 | = б, 6<; л/2, то максимумом и минимумом разности |"cos вх — cos 02|
соответственно будут 2 sin у и2 sin2 — .
2) См. § 10.2.

12.3J ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 12.1.1; ПРИМЕНЕНИЯ 309
C) Используя неравенство между арифметическим и геометрическим
средними, при z = eib имеем
+я +я
+я
$ }©(/)|Q*@)|2-®(/) A2.3.4)
в соответствии с теоремой Иенсена (см., например, Т и т ч м а р ш [1],
§ 3.61). Следовательно, |in (/)>©(/) и [i (/)>©(/).
С другой стороны, пусть Т (б) — неотрицательный тригонометри-
тригонометрический многочлен порядка /с, не равный нулю тождественно, и пусть Т (б) =
= \Р (eifl)|2 — соответствующее нормализованное представление в смысле
теоремы 1.2.2. Тогда @ (Т) = Р2 @). Старший коэффициент многочлена
{Р (О)}'1 Р* (z) равен единице, так что
+я
4
^ z=e«. A2.3.5)
— я
По теореме Вейерштрасса неравенство
© (/х 1* (л < t® (Л)-14г \ / (°)г ^do A2-3-6>
—я
справедливо для произвольной положительной непрерывной и периоди-
периодической с периодом 2я функции Г (б). В частном случае, когда функция
/ (б^ положительна и непрерывна, наша лемма следует из A2.3.6), если при-
принять г(е)={/(е)}-1.
D) Переходя к общему случаю, допустим сначала, что /(б)>(х>0,
и выберем произвольное положительное число е. По теореме 1.5.3 най-
найдется такой тригонометрический многочлен ф(б), что ф(б)>И' и
A2.3.7)-
-я
Мы имеем
1пф(в)-1п/(б)<ц-1|ф(в)-/(в)|, A2.3.8)
отсюда 03 (ф) < ® (/) е»*~Ч Положим в A2.3.6) Г (б) = {ф (б)}. Тогда
-^ ^ / (е) т (е) rfe -11 < fi2^ \ I / (б) - ф (е) I ^е < [гч A2.3.9)
-я -я
откуда вытекает, что
® (/)< Р (/) < ® (/) ^е A + fi"^); A2.3.10)
и так как г произвольно, то [х (/)=®(/).
В общем случае мы используем очевидное неравенство jx(/) <{x(/+8)~
= ®(/+е), 8>0, откуда опять следует fi(/)=®(/)- Этим доказательство
леммы завершается.

310
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Гл. XII
E) Для доказательства теоремы 12.1.1 рассмотрим функцию
D (z) Ф* (z) - 1 = [D @) Ля- 1] + dnlz + dn2z*+ ..., A2.3.11)
которая регулярна в круге |я|<1. При г<1 имеем
(ге«) Ф* (ге«) - 1 |2 <ft = -^г ^ | Я (ге*в) |21 Ф* (re«) |2 de +
5
-л
Ясно, что третье слагаемое равно — 2M{D @) Фп@)}=
A0.2.9) при г—>1—0, мы получаем
. A2.3.12)
— 2Z)@)/cn. Применяя
lim
2 rfe =
+Я
5
+я
— 2D @) Лл = 2 — 2Z> @) Ля =
или в иной форме
. A2.3.13)
В силу неравенства Копти — Буняковского
I»*
q
1—
], A2.3.14)
но при п —> оо последнее выражение стремится к нулю равномерно по z
npn|z| <г<1. То же самое справедливо и для|/>(О)Лсп—1|2. Теперь теорема
12.1.1 непосредственно следует из A2.3.11).
F) В качестве приложения вычислим пределы, встречающиеся в тео-
теореме 11.3.3. Второй предел в A1.3.12) дается формулой A2.1.2); частный
случай, когда £=со, дает
1
НтЛл = lim lim {z'nqin (z)} = {D @)}'1 = {® (/)}" 2. (] 2.3.15)
Та же формула A2.1.2) при \z\ < 1 приводит к соотношению
(z^) = {D (z)} "i,
A2.3.16)
lim ф*+1 (z) = lim zn+\n+1 (
n->-oo n->oo
и аналогичная формула справедлива для ф*_|_1 (а), |а|<1. Так как, кроме
того, Ф,г+1(а)—>0 и фп+1B)->0 (см. A1.3.13)), то из A1.4.5) следует,
что
YZsn(a, z)=
A2-3.17)
v=0

12.4] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 12.1.3 311
Например,
v=0
и, в частности (см. A1.3.6)),
оо
2 1я>.
Из последнего равенства снова вытекает A2.3.15).
12.4. Доказательство теоремы 12.1.3
A) Пусть g (б) — положительный тригонометрический многочлен
порядка т, определенный так же, как в § 10.3, C), и пусть D (g; z) = h(z),
тогда (см. A0.2.12)) D (g'1; z) = {h(z)}. Пусть {tyn(z)} — ортонормальная
последовательность многочленов, ассоциированная с весовой функцией
{^(б)}» на единичной окружности. По теореме 11.2 мы имеем
^n(z)=znh(z-1), n>m. A2.4.1)
Следуя идее С. Н. Бернштейна ([2], стр. 34, G5)), мы вы-
выразим многочлен <fm(z), ассоциированный с весом /(б), через многочлены
tyv(z), ассоциированные с весом {^(б)}.*
m -\-st m— 1
<Р,„ (z) = 2 <Мч, (z) = ат%п (z)+-^\ iS ШЪт (£) { 2
v=0 -л v=0
-\-п m—1
= ат^т (z) + JL J [{g @} - / @1 фт (£) { 2 Ы!
-я v=0
+я m— 1
}, l = e«. A2.4.2)
Последний член обращается в нуль ввиду ортогональности <pm(z).
Пусть /ст и &^г=/г@) являются соответственно старшими коэффициен-
коэффициентами многочленов cpm(z) и ^т(г); тогда aw=A;m/A^l=A;m[A(O)]. Кроме того,
в силу § 12.3, B) мы имеем
я
+я
= ^1^У2^\ \D(z)h(z)\*db, z=e",
—я
и благодаря A0.3.12) это равно
{к (О)] {1 + О [(In т)-ь]} = ZJ @) + О [(In те)-*],
так что
К = {^> (О)} + О [(In /и)-*], am - 1 + О [(In ти)-*]. A2.4.3)^
B) Мы укажем здесь верхнюю границу для
max | <pm (z) | = Д/ = ДГ (in). A2.4.4)
||l

312 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. XII
Применяя A0.3.11), из A2.4.2) находим, что
тах [ \j\ MQfv (z) dt, £=е«. A2.4.5)
z|=1Vv0
Соотношение A1.4.5) позволяет написать сумму, стоящую под знаком
интеграла, следующим образом:
m-l
2 ^v (£) ^v (z) = l(z>~~ _ (£)—EL . A2.4.6)
v=0 ^
Покажем теперь, что
h(Oh(z)-h*(Qh*(z) o <V?A1\
равномерно относительно z при |jz| = 1. Действительно, числитель есть
Jtm относительно z, который обращается в нудь при £=£. Теорема С. Н. Берн-
штейна 1.22.2 (см. М. Рис [1], в частности, стр. 357) дает для подынте-
подынтегральной функции оценку О(т). Поэтому интеграл по дуге |£ — zl^m'1
есть 0A), а интеграл по дополнительной дуге |£ —z| > m'1 равен
0A)
Возвращаясь к A2.4.5), получаем
М < О A) ■+ О [(In m)-^] i/,
так что окончательно М=ОA). Отсюда, учитывая A2.4.3), A2.4.1), A0.3.11)
и A2.4.7), из равенства A2.4.2) получаем
Фт B) = A + О [(In m)-b]} zmh(z'1) + О [(In тгг)-1^] О A) О (In m). A2.4.8)
Теперь доказательство теоремы 12.1.3 заканчивается благодаря A0.3.12).
Все константы, входящие под знаки О, зависят только от L, X и от мини-
минимума и максимума функции /F).
12.5. Асимптотические формулы для многочленов на конечном отрезке;
доказательство теорем 12.1.2 и 12.1.4
Теоремы 12.1.2 и 12.1.4 следуют соответственно из теорем 12.1.1 и 12.1.3
почти непосредственно, если применить A1.5.2). Достаточно использо-
использовать первую формулу.
A) Если х и z имеют те же значения, что в теореме 12.1.2, то
lim 2пФап (z) = {D (z)}, lim cp2n (z) = 0, ]
lim ф2п @) = 0, Hmft2n = A>0. ^ ••/
n->oo n~>co )
Здесь мы принимаем во внимание A2.1.2), A1.3.13) и A1.3.12). Если мы
теперь рассмотрим A1.5.2), то этим и будет закончено доказательство
теоремы 12.1.2.
B) Перейдем к доказательству теоремы 12.1.4. Пусть п — произ-
произвольное натуральное число, т=п—1, и пусть gF) и h(z) имеют тот же

12.6] АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПРИ «ЛОКАЛЬНЫХ» УСЛОВИЯХ 313-
смысл, что и в § 10.3, C). Из A2.1.5) и A2.1.6) получаем
+я +я
<р» <°) = ~к \ ч>» & db = -ш S *nt ^ Ф* ~ h <*И db +
—я -я
+я
+ i ] znh(z)dQ + O[(\nn)-^], z = e". A2.5.2)
-я
Первый интеграл справа равен О[Aпп)~К], а второй обращается в нуль, так
как h (z) есть яп_х. Итак,
Фп@) = О[Aп1г)-^]. A2.5.3)
Последовательность {к2п} ограничена снизу положительным числом
(А£> | фо(О) |2> {max/(б)} х в соответствии с A1.3.6)), так что
/>п (ж) = Bл) {1 + 0 [(In |г)-^]} 2{R {zn [D (г)] + 6) [(In n)-b]} =
l
= B/jtJ | Z> (е*в) Г1 cos [пЪ + у @)} + О [(In га)-*], ж = cos 6, z = е^, A2.5.4)
что тождественно с A2.1.8). Утверждение относительно констант, входя-
входящих под знаки О, вытекает непосредственно.
Тот же результат может быть получен из второй формулы A1.5.2).
12.6. Асимптотическая задача при «локальных» условиях;
доказательство теорем 12.1.5 и 12.1.6
В этом параграфе будут существенно использованы приближенияf
указанные в теоремах 10.4.4 и 10.4.5.
A) Сначала рассмотрим следующую задачу:
Задача. Пусть Я, \i и а — произвольные комплексные числа и пусть
f (б) — произвольная весовая функция на единичной окружности. Опреде-
Определить максимум выражения
|2, A2.6.1)
где q {£) пробегает множество всех jin, удовлетворяющих условию
Ll, 2 = е{в. A2.6.2)
Относительно частного случая Х=0, fx = l см. § 11.3.
Напишем
где {фп(з)} — ортонормальыая последовательность, ассоциированная с /(б)»
Тогда
2 |«v|2=l;
сохраняя обозначения, принятые в A1.3.3), и применяя неравенство
Коши — Буняковского, получим
*q @) + [iQ (а) |2 = | S uv (A,<pv @) + Wv (a)} |2 < S | ^v @) + ^v (а) |2 =
= №„@, 0)+23t{XMsn@, a)} + \ii\*sn(a, a). A2.6.3

314 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ [МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. XII
Выражение, стоящее в правой части, и есть искомый максимум.
B) Для ясности будем теперь писать sn (/; a, z) вместо sn (а, z), примем
аналогичное обозначение для ортонормальных многочленов
ассоциированных с функцией/F), а также их старших коэффициентов
kn=kn(f). Решение предыдущей задачи о максимуме непосредственно
приводит к следующим неравенствам для функций ^(б), /(б), /2(б), фигу-
фигурирующих в теореме 10.4.4:
n(f1; 0, а)} + \р\Чп(и; а, а)>
(/; 0, 0) + 2{R{^n(/; 0, а)} + |МЧ(/; а, а)>
(/2; 0, 0) + 23*{^п(/2; 0, a)} + \iL\*sn(f2; а, а). A2.6.4)
В частности, для произвольного а имеем
*n(/i'rfl, a)>sn{f\ ai a)>sn(f2\ a, a)- A2.6.5)
Кроме того, мы находим, что
К(/; 0, a)-sn(f2- 0, а)|2<
<{5П(/; 0, 0)-5п(/2; 0, 0)}{5п(/; а, а)-^(/2; а, а)} <
<{^(/i, 0, 0)-*я(/2; 0, 0)}{.n(/i; а, a)-sn(f2- а, а)}. A2.6.6)
Тогда в силу A1.3.5) и A1.3.6) можем написать
К(/)Ф*(/; a)-M/,)q£(/2; «)|2<
<№(/1)-^(/2)}К(/1; а, а)-*п(/2; а, а)}.
Здесь ф* означает многочлен, взаимный к срп. Если |а| = 1, то то же самое
неравенство будет справедливо и для <рп, т. е.
1*„(/)ф„(/; «)-а„(/.)ф„(/2; «I2<
<{^(/i)-Ai(/2)}{*n(A; «, a)-sn(ft; а, а)}. A2.6.7)
Далее, если и достаточно велико, то
Ф„(/2; а) = а"{£>(/2; а)}^ A2.6.8)
(см. теорему 11.2). Но в силу A2.3.15)
{^\ } A2.6.9)
аналогичные соотношения справедливы для /г и /2.
По теореме 10.4.4 имеем
^ ^ [1п/2(8)-1п
<{©(/)Г1 (Д-1).

12.6] АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПРИ «ЛОКАЛЬНЫХ» УСЛОВИЯХ
315
Таким образом,
lim
е2л-1) lim {sn(/b a, a)-sn(fi\ я, a)}
или (см. теорему 10.4.4)
Пт|Фп(/; a)-an[D(f; а)Г|2 <
п->оо
< г" + (в2Й_!) ПЫ {*„ (/1; а, а) - sn (/2; а, а)}, A2.6.10)
п->оо
где е" произвольно мало вместе с е. Этим доказательство утверждения
сведено к исследованию разности
sn(fv a> a)-sn(U а, а).
C) Для краткости письма положим D (f'1; z) = h(z). Мы находим из
A1.4.5) и из теоремы 11.2, что
h(a)h{z) — (az)n+1h(a)h(
1 —az
A2.6.11)
только п больше, чем порядок многочлена {/2 (б)} 1==^2 (б)- Следова-
Следовательно, применяя правило Лопиталя, получим (a=eia):
*п (/^ а> а) = (п + 1) I h (а) I2 - 23ft {аЩа) Ь! (а)} =
. A2.6.11')
D) Исследование функции sn(f1; a, a) несколько более сложно. Из
A0.4.24) вытекает, что
Л (Л; *) = D(g-11; z)[(l-^z)(l-zaz) ... (l-zl2)}^. A2.6.12)
Пусть q(z) пробегает множество яп, удовлетворяющих условию
+я
5
которое может быть записано в виде
A2.6.13)
1, z = eie. A2.6.14)
Поэтому, полагая Г = в1/2, из теоремы 11.3.1 имеем
SrH-r (g; 6z, a) > max | A — zxa) A — z2a) ... A - \а) \° \ q (a) |2 =
= |(l-z1a)(l-zaa) ... (l-^a)|%(/i; a, a). A2.6.15)
Учитывая предыдущий результат, получаем
X
gl(a) {n+ V + 1+29» [a g((g g ]} , A2.6.16)

316 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. XII
если только п-\-Г больше, чем порядок многочлена gx@). Из A2.6.12) выте-
вытекает, что
D' (gr1; a)^D' (/1; Д) g V -^v ]
v=i a 2v« v A2.6.17)
ZJtLa Жй1;*) J ** L D(fi,a) J 2 • J
Таким образом, при достаточно большом тг справедливо следующее важное-
неравенство:
*Л/ъ а, а) < {Д (а)}-* [п + 1 + 291 [ а ^^ ^ ] } . A2.6.18)
Так как
то мы имеем
lim {sn(f1; a, a)-5vl</2; a. a)} ^
П -> CO
а
. a) a D ^
a)
Но это выражение произвольно мало вместе с е. Этим доказательство тео-
теоремы 12.1.5 заканчивается.
E) По предположениям теоремы 12.1.6 функция
/ @) = w (cos 0) | sin 0 | A2.6.20)
удовлетворяет условиям теоремы 12.1.5 или теоремы 10.4.1. В самом деле,
полагая
£v=cos8v, O<0v<ji, ei9v=£v,
мы имеем
(z2^l)n (z-£v)Tv(*-£vL 2 = е'в; A2.6.21)
отсюда
Ф @) - 2~Ti-T2-' • '~xi-{i (cos 0). A2.6.22)
Мы замечаем также, что функция /@) дифференцируема в точке 0=а
и что отношение A0.4.2) ограничено в окрестности точки 0=сс.
Как и в § 12.5, мы применяем теорему 11.5, в частности, первую из
формул A1.5.2), и находим, что k2n=k2rh(f) стремится к положительному
пределу и что lim 92^@)^0. Таким образом,
Рп (I) - Рп (cos a) = B/лJ {1 + еп} 9г \ап {D (/; a)]], lim en = 0.
п -> оо
Вводя функцию v(a)? исследованную в § 12.2, A), мы получаем
1
Ш {ап [D (/; а)]} = \ D (/; а) | 9t {aVv («)} - {/ (а)}~^ cos [па + у(а)}.
Теорема 12.1.6 доказана.
Недавно Ф р а й д [3] продолжил асимптотическое разложение
A2.1.9).

12.7 J ПРИМЕНЕНИЯ 317
12.7. Применения
A) С помощью теоремы 12.1.2 мы легко можем вывести некоторые
асимптотические формулы для старших коэффициентов ортонормальных
многочленов {рп (х)}.
Теорема 12.7.1. Пусть w(x) — весовая функция на отрезке
—1<х<+1, удовлетворяющая условиям теоремы 12.1.2, и пусть
Pn(z) = KoZn+KiZn-1JrK2xn-*+..., #г = 0, 1, 2 ..., A2.7.1)
— ассоциированная с ней ортонормалъная система. Тогда при п —> со
1 +1
{^ \ lnw(x) dx {) A2.7.2)
dx J. A2.7.3)
и
3 +1 +1
-1 A — x*f -1 A —ж3J
Относительно этих формул см. Ш о х а т [2], стр. 577. Если правая
часть A2.7.3) равна нулю, то мычитаем A2.7.3) так: Нт2~п/сп1=0притг—>оо.
Нетрудно вывести соответствующие формулы для последующих коэф-
коэффициентов knv при фиксированном v (см. задачи 54, 55, 56). Из A2.7.2)
мы легко находим асимптотическую формулу для Dn/Dn_1, где Dn—детер-
Dn—детерминант Ганкеля, определенный формулой B.2.7) (см. B.2.15)). Первое
асимптотическое исследование этих детерминантов предпринял С е г ё [1 ],
стр. 517. В главе II мы обозначали коэффициент кп0 через кп (см. B.2.15)).
Доказательство следует непосредственно из A2.1.3). Если
то мы имеем
Используем теперь A0.2.10) и теорему о равномерно сходящихся рядах
аналитических функций (см. Титчмарш [1], § 2.8). Заметим, что
в силу теоремы Гаусса о среднем значении
n | sin е | с/б} = ехр | — -^- ^ In
Сопоставляя теорему 12.7.1 с формулами C.2.2), мы получаем для
коэффициентов Ап и Сп рекуррентной формулы C.2.1) соотношения
lim Ап = 2, lim Cn = \, A2.7.4)
п -> оо п -> оо
если только выполнены условия теоремы 12.7.1. Если мы сравним

318
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Гл. XII
коэффициенты при х71'1 в правой и левой частях C.2.1), то получим
<12-7-5>
n-i. о
Тогда при тех же предположениях
lim Вп =
П -»■ оо
A2.7.6)
Формулы A2.7.4) и A2.7.6) заслуживают внимания с точки зрения клас-
классической теоремы Пуанкаре о рекуррентных формулах (см. Б л го-
мента ль [1], стр. 16).
B) Для дальнейших применений нам понадобится лишь менее общая
асимптотическая формула A2.2.6).
Теорема 12.7.2 (распределение нулей). Пусть весовая функция
w(x) удовлетворяет условиям теоремы 12.1.2 и пусть
xini х2п-> •••> хпп A2.7.7)
—нули ортогонального многочлена рп(х). Положимxvn=cosftvni О <0Vn<jt.
Если 7^@) — произвольная интегрируемая в смысле Римана функция, то
lim
Употребляя терминологию Вейля, мы будем говорить, что значения
{0vn} равномерно распределены на отрезке [0, я] (см. Полиаи С е г ё [1],
часть I, отдел II, глава 4, § 2). Этот результат при несколько более огра-
ограничительных условиях был установлен Сегё [1], стр. 531. Весьма
замечательно, что асимптотический характер распределения не зависит
от весовой функции. Как следствие из A2.7.8), мы получаем следующий
результат: пусть [а, Ъ] есть часть отрезка [ — 1, +1] и пусть a=cos а,
b=cos C, я > а> C > 0. Если N—N (п, а, Ъ) означает число нулей многочлена
рп(х), лежащих на отрезке [а, Ь], то
^iAA) = p_a. A2Л.9>
п
Таким образом, плотность распределения нулей xvn становится большей
к концам отрезка.
Для доказательства теоремы 12.7.2 напишем A2.2.6) в следующей
форме (см. A2.7.2)):
lim /Г1 {In | рп (х) | — In [ кпОхп |} = lim n'1
= 1п
п п
оо
Z
2х
п
In
я
S
п
1
In
X
=
COS 0
X
Здесь | z | > 1. Последняя формула следует из теоремы Гаусса о среднем зна-
значении, так как
1
Таким образом,
С+
-r-i
(£-*)(£-«)
lim n-^
V=l
, A2.7.11)

12.7] ПРИМЕНЕНИЯ 3191
следовательно (см. Титчмарш [1], § 2.8),
П П
lim и У, (соБд^^л'Л (cos6)fed6, Л = 0,1,2, ... A2.7.12)
Этим теорема доказана (см. Полна и Сегё [1], цитированное место).
C) В качестве дальнейших применений получаем следующие теоремы:
Теорема 12.7.3 (разложение аналитической функции в ряд по
ортогональным многочленам). Пусть весовая функция w(x) удовлетворяет
условиям теоремы 12.1.2, а рп(х) — ассоциированная с w (x) ортонормоль-
ортонормольная система многочленов. Пусть f (х) — аналитическая функция, регуляр-
регулярная на отрезке [ — 1, +1], и пусть
\ f A2.7.13)
— ее разложение в ряд Фурье. Если R — сумма полуосей наибольшего
эллипса с фокусами в точках ±1, в котором f(x) регулярна, то ряд Фурье
A2.7ЛЗ) сходится (к сумме f (x)) внутри и расходится вне этого эллипса.
Сходимость равномерна на каждом замкнутом множестве, лежащем
внутри эллипса. Кроме того,
__i
lim \fn\ n = R. A2.7.14)
Теорема 12.7.4. Пусть весовая функция w(x) удовлетворяет усло-
условиям теоремы 12.1.2 и пусть
/oPo(*) + /ift(*)+•-•+/»/>»(*)+■•• A2.7.15)
— бесконечный ряд по ортонормальным многочленам рп(х), ассоциирован-
ассоциированным с w(x). Если
_i
/nf» = i?f A2.7.16)
то ряд A2.7.15) сходится внутри эллипса с фокусами в точках j-1, сумма
полуосей которого равна R; вне этого эллипса ряд расходится. Ряд схо-
сходится к аналитической функции, которая регулярна внутри этого эллип-
эллипса и имеет по крайней мере одну особую точку на самом эллипсе. Разложе-
Разложение этой функции в ряд по многочленам рп (z) тождественно совпадает
с A2.7.15).
Таким образом, эллипс регулярности совпадает с эллипсом сходи-
сходимости; A2.7.14) и A2.7.15) аналогичны формуле Коши—Адамара (см.
(9.1.4)). Относительно этих теорем см. Сегё [1], стр. 538; [6], стр. 193.
Теорема 12.7.4 должна быть очевидным образом видоизменена, если
R < 1 или если R=co.
В качестве следствия из A2.2.6) получаем, что область сходимости
ряда типа A2.7.15) есть всегда | z [ = const. Для доказательства теоремы
12.7.3 применим теорему 1.3.5. Мы можем найти такой яп_1? скажем q(x),
что
\f(x)-Q(x)\<M(R-1+e)n, A2.7.17)

-320 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ [Гл. XII
где 8 > 0 произвольно мало, а М~М (е) не зависит от п. Так как
+ i +i
in = \ / И Рп И w Иd* = \ (/ П - о (^)) ^ И ^ (ж) dx,
-1 -I
то
+1 +1
^ pl{x)w(x)dx\ w(x)dx;
i -l
отсюда lim \fn\n^R'1. Этим доказано утверждение теоремы 12.7.3 отно-
п -> оо
сительно сходимости. Далее, последнее соотношение должно быть равен-
равенством, так как в противном случае ряд сходился бы равномерно в большем
эллипсе, чем эллипс регулярности, и функция была бы в нем регулярна.
Это же соображение устанавливает расходимость вне эллипса регулярности.
Теорема 12.7.4 также доказывается без труда. Весьма замечательно,
что область сходимости рядов A2.7.13) и A2.7.15) не зависит от весовой
-функции w(x) (ср. с теоремой 9.1.1).

ГЛАВА XIII
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО ОБЩИМ
ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ
Мы докажем здесь четыре теоремы о равносходимости, понимаемой
в том смысле, как это указано во введении к главе IX. Две из них, а именно
теоремы 13.1.2 и 13.1.4, посвящены разложению функции, заданной на
конечном отрезке, в ряд по многочленам, ортогональным на этом отрезке.
Две другие теоремы, 13.1.1 и 13.1.3, касаются разложения граничных зна-
значений аналитической функции, регулярной внутри единичного круга
\z\ < 1, в ряд по многочленам, ортогональным на единичной окружности.
Во всех случаях рассматриваемые ряды сравниваются с тригонометри-
тригонометрическими и степенными рядами, а весовые функции подчинены усло-
условиям, подобным тем, которые встречались в асимптотических теоремах
главы XII. Относительно функций, которые разлагаются в ряды, делаются
весьма общие предположения, что .они удовлетворяют лишь^ некоторым
условиям интегрируемости.
Основная идея метода доказательства теорем 13.1.1 и 13.1.2 принад-
принадлежит Сегё (см. [9], где рассмотрен только случай отрезка). Наше тепе-
теперешнее изложение этих теорем слегка отличается от изложения, приве-
приведенного в работе Сегё [9], и носит более общий характер. Две другие
теоремы являются новыми. Примечательно, что асимптотические резуль-
результаты предыдущей главы непосредственно не используются, однако методы
весьма тесно связаны.
После того как рукопись была закончена, автор познакомился с тремя
важными работами К о р а у с а [3], [4], [5].
В работе [3] Кораус исследует ту же задачу, которая рассматривается
в теореме 13.1.2. Его условия носят локальный характер, но менее огра-
ограничительны, чем требования теоремы 13.1.2. Метод Корауса совершенно
отличается от метода, примененного Сегё в [9] и в настоящей моно-
монографии.
В работах [4] и [5] Кораус доказывает две другие теоремы о равно-
равносходимости, обобщающие теорему 9.1.5 о рядах по многочленам Лагерра.
13.1. Результаты и замечания
A) Теорема 13.1.1 (о равносходимости на единичной окруж-
окружности |z| = l, когда весовая функция подчинена «локальным» условиям).
Пусть / (б) — весовая функция на единичной окружности, удовлетворяющая
условиям теоремы 12.1.5 (=10.4.1). Пусть F (z) — аналитическая функция,
регулярная в круге \z\ < 1 и принадлежащая классу Н2 (см. § 10.1).
Пусть {ф„ (z)} — ортонормальная последовательность, ассоциирован-
ассоциированная с весовой функцией /(б). Если sn(z) означает п-ю частную сумму
ряда по (фп(^)}, соответствующего граничным значениям F(z),\z\ = l,
21 г. Сегё

322 ряды по общим ортогональным многочленам [гл. xiii
а 8п(£) — п-ю частную сумму обычного степенного ряда функции F(z), то
lim{*n(a)-en(a)} = 0, A3.1.1)
где a—ei<x имеет то же значение, что и в теореме 12.1.5.
Теорема 13.1.2 (о равносходимости на конечном вещественном
отрезке, когда весовая функция подчинена «локальным» условиям).
Пусть w (х) —весовая функция на отрезке [ — 1, +1 ], подчиненная условиям
теоремы 12.1.6. Пусть Ф (х)— такая произвольная, измеримая в смысле
Лебега вещественная функция, что существуют интегралы
V V -i-
\ G>2(x)w(x)dx, \ |Ф(я)|A-:г2) z dx. A3.1.2)
Если sn (x) и sn (х) соответственно означают п-ю частную сумму раз-
разложения функции Ф (х) в ряд по ортонормалъным многочленам {рп(х)},
ассоциированным с w(x), и п-ю частную сумму разложения той же функ-
функции в ряд по многочленам Чебышева {cos/гб}, cos6=#> то
lim{*nF)-en(&)} = 0, A3.1.3)
П->ОО
где —1 < £ < +1, £ имеет тот же смысл, что и в теореме 12.1.6.
Замечательно, что в обоих случаях широкие классы разложений
обладают одними и теми же свойствами сходимости. Разложение в ряд
по cos/гб, фигурирующее в теореме 13.1.2, есть, разумеется, обычный ряд
Фурье по косинусам для функции Ф (cose). Легко также может быть осу-
осуществлено сравнение sn (£) с другими специальными разложениями, при-
причем нужно будет сделать предположения относительно существования
некоторых других интегралов. Применяя эти теоремы, можно легко рас-
распространить результаты о сходимости и суммируемости классических
рядов Фурье на рассматриваемые общие разложения. Теорема 13.1.2
легко может быть распространена на произвольный конечный от-
отрезок.
Эти теоремы имеют место при тех же условиях «локального» характера,
при которых доказаны теоремы 12.1.5 и 12.1.6.
B) Следующие теоремы содержат условия типа условий, введенных
С. Н. Бернштейном, которые встречались в теоремах 12.1.3 и 12.1.4.
Теорема 13.1.3 (о равносходимости на единичной окружности
при условиях типа условий С. Н. Бернштейна). Пусть /(б)—весовая
функция на единичной окружности z=eiB, которая удовлетворяет условиям
теоремы 12.1.3 при X > 1. Пусть F (z) — аналитическая функция, регуляр-
регулярная и ограниченная в круге \z\ < 1. Пользуясь теми же обозначениями,
что и в теореме 13.1.1, мы имеем
lim{*n(z)-en(Z)} = 0, |2|<1, A3.1.4)
п->оо
равномерно во всем замкнутом единичном круге |z|<;l.
Функция F (z) имеет интегрируемые граничные значения F (eie) (почти
для всех б).
Теорема 13.1.4 (о равносходимости на конечном вещественном
отрезке при условиях типа условий С. Н. Бернштейна). Пусть w(x) —
весовая функция на отрезке —1 <я < +1, #=cos6, которая удовлетворяет
условиям теоремы 12.1 А при К > 1. Пусть Ф (х) — произвольная ограничен-
ограниченная функция, измеримая по Лебегу. Пользуясь теми же обозначениями,

13.2]
ЗАДАЧА О МАКСИМУМЕ НА ЕДИНИЧНОЙ ОКРУЖНОСТИ
323
что и в теореме 13.1.2, мы имеем
lim{sn(x)-sn(x)} = 0, -1<ж< + 1, A3.1.5)
П->оо
равномерно на отрезке [—1+8, +1 — е], 0 < е < — •
При доказательстве теорем 13.1.3 и 13.1.4 существенно используются
соответственно теоремы 12.1.3 и 12.1.4.
13.2. Задача о максимуме на единичной окружности
A) Пусть /к(б) и F (z) — функции, имеющие тот же смысл, что и в
теореме 13.1.1. Если положим G(б) —Bл;)/(б)F(в1'6), то интеграл
+я
^ |G(8)|d8 A3.2.1)
—я
сходится. В дальнейшем мы можем менять / (б), но G (б) будем предполагать
фиксированной функцией, для которой существует интеграл A3.2.1).
Задача. Пусть К и \х — произвольные комплексные числа и пусть
| а | = 1. Найти максимум выражения
G(d)Q(z)dd
z— ev
A3.2.2)
когда q (z) пробегает множество всех лп, которые удовлетворяют усло-
условию
A3.2.3)
Относительно частного случая, когда А,=1, |ы=0, см. § 11.3. См. также
§ 12.6, A). Напишем опять
Q (z) = uo% (z) + Mi<Pi (z) + • • • + мпФп (z)>
n
где {фпB;)} имеет обычный смысл. Тогда 2 |^v|2r=l и
+я
A3.2.4)
(T(d)Q(z)de
2
v=0
—я
25П (а, а)
v=0
Здесь, как и в теореме 13.1.1, sn(a) означает тг-ю частную сумму разложе-
разложения функции 2nG (б) {/ (б)} в ряд по многочленам {фп (z)} и
п -|-Я
A3.2.5)
A3.2.6)
Правая часть A3.2.5) и есть искомый максимум.
B) Для ясности, как и в § 12.6, B), будем обозначать введенные выше
выражения через sn{f\ a, z), sn(f] а), срп(/; а), Hn(f), чтобы указать на их

324
РЯДЫ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ
[Гл. XIII
связь с весовой функцией / (б). Напомним, что sn (/; а) является п-я частной
суммой разложения функции 2я(?(б) {/(б)} в ряд по многочленам фп(/; z),
ассоциированным с функцией /(б). Добавим, что во всем дальнейшем даже
в случае, когда функция / (б) заменяется некоторой другой весовой функ-
функцией, через 6? (б) будем обозначать функцию, введенную выше. Вновь при-
применяя теорему 10.4.4, мы получаем
I Я, |2 sn (/l5 а, а) + 2SR {Xpsn (/х; а)} + | ^Нп (/х) >
> | X |2 sn (/; а, а) + 2<R {X\isn (/; а)} + | ц \>Нп (/) >
>|А,|Я*П(/,; a, a) + 2fR{Xlisn(f2; a)} + |ц]2Яп (/2). A3.2.7)
В частности, имеем
*п (/Га) - sn (/.; «) I2
ъ «> a)>sn(f' «. a)>sn(U a' a)> A3.2.8)
Hn(h)>Hn(f)>Hn(fa), A3.2.9)
{#„ (/) - Яп (/,)} {*„ (/; а, а) - *п (/,; а, а)} <
<Я„ (/){«„ (А; а, а)-*п(/,; а, а)}. A3.2.10)
13.3. Доказательство теоремы 13.1.1
Неравенство Бесселя позволяет нам заключить, что
+я +я
A3.3.1)
Отсюда и из A2.6.19) получаем
уя(/; а)-*я(/2; a)|2<
+я
i; а, а)-*„
1з-з-2)
Правая часть произвольно мала вместе с 8, введенным в теореме 10.4.4.
! ~" * B) Изучим теперь поведение частной суммы sn (/2; а) при п—> оо. Как
ив"§ 12.6, C), мы будем употреблять более краткое обозначение Z) (/"*; z) —
= h(z). Мы находим, что при достаточно большом п (см. A2.6.11)) имеет
место равенство
+я
•Ah\a)={ GF).
2; г, a) d6 -
(a) h (z)
ц
—я,
1 —
A3.3.3)
Сравнивая это последнее выражение с выражением
+я

13.4] ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ 13.1.2 325
мы получаем
4-я
1 ( л/ ч/(в)Л(а)Л(а) —1 ,
--^Л Flz) /() (а)_И—-(dz)n+1de} z = e™. A3.3.5)
—я
Второй интеграл стремится к нулю при п —> оо, [так как отношение
f (о) ti (а) tt Iz) — 1 -л //•оог'ч
J-^—-—^ , z = e*, A3.3.6)
1 — az
имеет предел в точке 0 = а. Первый интеграл может быть записан следую-
следующим образом:
1 — az J x ' 1 — az *'-■*'
-я —я
=Л F(z)Hd)-f!if>h(a)~h(z)de, г=Ф\ A3.3.7)
J 1 — az
— я
поскольку (см. замечание в конце § 10.1)
I? I гЛ "* \(t) I It yZ) т (-, /Л О О О\
-Г yZf CLZ = U. A0.О.О)
|zT=l
В силу неравенства Буняковского — Шварца имеем
2
+я
+я -1-я
+ 1
< {4/ (a)}-i max /2 (б) С | F (z) \Ыь[ 1п/аF)Т1пп/(9) ^8, z = e«.
—я —я Ь111 —2—
Комбинируя этот результат с A3.3.2), мы находим, что
lim \sn(f\ a)-sn
будет сколь угодно мал вместе с 8, фигурирующим в теореме 10.4.4. Этим
теорема доказана.
13.4. Частный случай теоремы 13.1.2
A) В этом параграфе мы рассмотрим тот частный случай, когда
1
w(x) = A-x*)~*{q(x)}-\ A3.4.1)
где q (х) есть jit, который положителен на отрезке! — 1, -f-1 ]. Соответствую-
Соответствующие ортогональные многочлены (при 2п > /) вычислены в § 2.6. Проверим

326 РЯДЫ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. XIII
справедливость теоремы 13.1.2 в этом частном случае. Для этого достаточно
предположить, что существует интеграл
+ 1 __!
J \ф(х)\A-х2) 2dx; A3.4.2)
это более общее условие, чем допущения, сделанные в теореме 13.1.2.
Как и в формулировке теоремы, положим £ = cosa, —1<|< + 1,
О < a < я.
На основании формулы Кристоффеля — Дарбу C.2.3) имеем
Sn(l) = In_[ ф (х) Pn+1 {X) Pn {l)~Pn {X) Pn+1 (l) W (X) dx;
ИЛИ
-j*.
(cos 6) Рп^(COS 6) Pn(C°S alZPn (C°S 6) Pn+1 (C°S a) {Q (cos б)}'1 db. A3.4.3)
cos 0 — cos a
Пусть 2/г >/. Применим формулу B.6.2) и положим B/я) einQh(eiB) =
М) ) Т
рп+1 Ms е) = ш {в*в [вя (е) + шп (в)]} = ип (е) cos е - vn (в) sin е,
так что
рп+г (cos 8) рп (cos a) —рп (cos 8) pn+1 (cos a) =
cos 8 — cos a
_ {un F) cos 8 — vn (8) sin 8} un (a) — un (8) {un (a) cos a — vn (a) sin a}
~ cos 8 — cos a
/ \ / \ / \ / \ sin 8 — sin a .
= Mn F) »„ («) - ^ F) »„ («) cos9-cos« +
M°)-«»F)Mq)sinOj A3A5)
cos в — cos a v '
В^силу леммы Римана это приводит нас к соотношению
= sin « \ Ф (cos 6)
6
\
6
A3.4.6)
Но
(cos 6)} {м„ F) vn (a) - on F) ип (a)} =
= - {q (cos 8)}3 {un (8) + ivn F)} {мп (a) - ivn (a)} =
2
= (p (cos (

13.4] ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ 13.1.2 327
Повторное применение леммы Римана показывает, что h (eia) [h (е*0)}
может быть заменено единицей, а выражение
sin a (cos 6 — cos а) = sin а 12 sin ?-i? sin ^
— через I 2 sin-^— > . Таким образом, правая часть A3.4.6) примет вид
+ Sin fn+i-) 0>-а)
= ^\ Ф(СО88)—-Ь ±+ dd+0A).
sin -г
Наконец, &п/й:п+1 = -£-при достаточно больших п (см. B.6.5)), и наше
утверждение доказано.
B) Вычислим в этом же частном случае #п(|, |), где Кп — многочлен,
определенный формулой C.1.9). Из C.2.4) мы имеем
*»(&, Б) = ]г2-{Рм-1F)/'„F)-^F)Аи-1(Б)}- A3-4-8)
пП+1
С другой стороны, из A3.4.4) при достаточно больших п следуют равен-
равенства
sin apn (cos а) = — ип (а),
п-м (cos а) = — ип (а) cos а + vn (а) sin а +
+ ип (а) sin а + vn (а) cos а,
A3.4.9)
и Ап/Ап+1 = у. Таким образом,
2 sin a Kn (cos а, cos^a) = { — ип (a) cosa + v'n (a) sin a +
+ ип (a) sin a + vn (a) cos а} ип (а) + ггп (а) {ип (a) cos a — vn (a) sin a} =
- sin о$ (К (а) - ivn (а)] [^ (а) + iv'n (a)]} +
откуда
2 sin a
2 Sina t" 2 ^ \|ип(а)+шп(а) |« e J '
Замечая, что
cv f "n(g)+tfA(«) l_cv| fn(«)— ^n(«) 1 =
^ k(e)+i»,,(a)J ^ t«n(«0-iWn(a)J
получаем важную формулу
^ = cosa, a = eia, 0<а<я, A3.4.10)
которая имеет место при достаточно больших п.

328
РЯДЫ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ
[Гл. XIII
13.5. Вспомогательные предложения для доказательства
теоремы 13.1.2
A) Пусть w(x) и Ф (х) — функции, имеющие те же значения, что
и в теореме 13.1.2. Положим G(x) ~хю(х)Ф (х), тогда интеграл
\
G(x)\dx
A3.5.1)
-1
будет сходящимся. В последующих рассмотрениях мы будем менять весо-
весовую функцию w(x), но функцию G(x) будем считать фиксированной
и такой, что интеграл A3.5.1) существует.
B) В дальнейшем мы будем применять теорему 10.4.5, полагая / (б) =
= oy(cos в) | sin 81 - Эта функция удовлетворяет условиям упомянутой тео-
теоремы (см. § 12.6, E)). Мы определим функции w1(x) и w2(x) из равенств
= l, 2.
A3.5.2)
/v (б) = ^v (cos б) | sin 0
Очевидно, при £ = cosa, 0 < a < я справедливы соотношения
0 < wx (x) < w (x) < w2 (x), wx (£) = w (I) = w2 (£). A3.5.3)
Кроме того, w2(x) имеет вид A3.4.1), a w1(x) = k(x)u(x) = r2(x)u(x), где
и(х) имеет вид A3.4.1), а г (х)—многочлен степени— el (см. замечание
к теореме 10.4.4).
C) Задача. Пусть К и \х — произвольные комплексные числа,
и пусть —1 <£<+!. Определить максимум выражения
+Г
^
A3.5.4)
когда q (x) пробегает множество всех яп, удовлетворяющих условию
^\Q(x)\*w(z)dx=l. A3.5.5)
1
-1
Эта задача соответствует задаче, рассмотренной в § 13.2. Напишем
опять
)+ ... +ипрп(х), A3.5.6)
где {рп(х)} — ортонормальная последовательность многочленов, ассо-
п
циированная с х) . Тогда 2 l^v |2 = 1 и в силу неравенства Коши—Буня-
ковского будем иметь
v=0
v=0
\i [ G(x)Q(x)dx
,pv(l)+\i { G(x) pv(x)dx
+1
[ G(x)pv(x)dx}
1
A3.5.7)

13.6] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 13.1.2 329
Здесь мы пользовались следующими обозначениями: Кп(%) = Кп(Щ Б)—
это ядро Кп(%, I), и
+1 +1
\ \G(x)Kn(l,x)dx, A3.5.8)
v=0 -1 -i
n +1
. A3.5.9)
Отметим, что sn(|)— это п-я частная сумма разложения функции Ф(х) =
= w{(x)}~1G(x) в ряд по многочленам рп(х), ассоциированным с w(x).
Правая часть A3.5.7) и есть искомый максимум. Из этого следует, что
| X |2 Кп (ау, I) + 29* [1ц*п («у, |)] + | |i |2 Яп К) >
> | Л |2 Кп (w; I) + 2IR [liisn (w; |)] + | Ц Г Яп (ш) >
>|Х|2ЛГп(ш2; £) + 2«[Х|**п(шя; £)] + |ц|«Яп(а>,). A3.5.10)
В частности,
Kn(Wl; l)>Kn{w; l)>Kn(w2; I), A3.5.11)
Hn(Wl)>Hn(w)>Hn(w2). A3.5.12)
Кроме того, учитывая неравенство Бесселя, имеем
| *n (w; I) - sn К; I) |» < {#„ (ш) - Яп К)} {Яп (а,; 6) - ^„ (а»8; I)} <
<Hn(w){Kn(Wl;l)-Kn(w2;l)}<
^aWffiH&{fnK;y-4K;^}. A3.5.13)
Мы покажем далее, что последняя разность произвольно мала вместе с е
равномерно относительно п.
13.6. Доказательство теоремы 13.1.2
Основными инструментами для этого доказательства являются спе-
специальная теорема о равносходимости § 13.4, A) и представление ядра
в виде A3.4.10). Последнее непосредственно дает соотношение
nf(a)Kn(w2; t) = n+ {+ Ш [а%&$] +Bsin a)'^
A3.6.1)
так как {g2(a)r1==:/2 (a)=/ (a)- G другой стороны, мы выводим для Кп( )t
оценку, аналогичную оценке A2.6.18). Используя обозначения, введен-
ные в § 13.5, B), и полагая -^ aZ=/', мы получаем, как в § 12.6, D),
Кп+1Ч2(щ1)>гЩ)Кп(ю1; l)^k(l)Kn(wi; Б). A3.6.2)
Так как и(х) = и (cosd)^{gi (б)}1 sine I, то из A3.4.10) следует, что
я{gl(a)}-^^lV2 («;« = « +1 + 4—31 [a^f^]+
|Щ«+4 + +

330
РЯДЫ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ
[Гл. XIII
где, как и ранее, £=cosa, a=eia. Теперь мы можем применить A2.6.17),
Кроме того, A2.6.12) позволяет написать
D (А; а) ^
D {g?\ a) .
6 4)
так как {^ (a)} /c(|) = /x (a)=/(a), то из A3.6.2) вытекает неравенство
Сравнивая это с A3.6.1), будем иметь
f
A3.6.5)
+ Bsin a)3 Г a2n+1
73' (/i; a)
D (h; a)
D' (h; a)
D(f2-a)
(/i; a)
(/2; a)
. A3.6.6)
D (Д; a) D (/2; a)
Левая часть этого неравенства неотрицательна, а правая произвольно
мала вместе с 8.
Обращаясь к A3.5.13), отметим, что sn(w2', £) является п-ж частной
суммой разложения функции {w2(x)}~1G(x)=^{w2(x)}~1w(x)O (х) в ряд по
многочленам, ассоциированным с весовой функцией w2(x). Так как
{w2(x)]~1w(x)-^l и так как второй из интегралов A3.1.2) существует, то
может быть применен результат § 13.4, A). Таким образом, sn(w2;1i,) =
= sn(w2; cos a) может быть заменена п-ж частной суммой ряда Фурье с
ошибкой о A) при п—> оо. Поскольку {w2 (x)}~1w(x) = l в точке я=£, то рас-
рассматриваемая частная сумма может быть заменена частной суммой ряда
Фурье функции Ф (х), которая и есть sn(£). Этим завершается доказатель-
доказательство теоремы 13.1.2.
Замечание. Легко показать, что разность
Hn(w)-Hn(wt),
A3.6.7)
встречающаяся в C.5.13), также произвольно мала вместе с 8. Если бы мы
воспользовались этим фактом, то было бы достаточно получить лишь оценку
сверху левой части A3.6.6). Для того чтобы осуществить это указание,
требуется небольшое видоизменение предыдущих рассуждений.
13.7. Доказательство теоремы 13Л.З
A) Достаточно доказать справедливость утверждения при [z| = l.
Исследуемые суммы могут быть записаны в виде
+Я +Jt _
^ ^ F(Z)sn(t, z)f{x)dx и JL \ F&) *-№ cfa, £ = ***, A3.7.1)
-л -л ^Z
где sn(£,z) имеет обычный смысл. Введем в рассмотрение разность ядер
А» F, z) = sn (£, z)f (x) - ^ (М^1 A3.7.2)
1 QZ

13.7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 13.1.3 331
и покажем, что
lim [ F (£) А, (£, z) dx = О, £ = в**, A3.7.3)
п->-оо
равномерно на единичной окружности | z | =1.
B) По предположению функция /F) удовлетворяет условию Дини—
Липшица A0.3.10). Из этого непосредственно вытекает, что ^аналогичному
условию удовлетворяет (с показателем — К вместо — 1 — X) функция
D (/; z)—D{z), т. е., что
| D (eW+б)) _ d (ei8) |< £' | in 61-\ A3.7.4)
где U — положительная постоянная. Пусть т — произвольное целое
число. Применяя A0.3.12), получим
D (е{*) < 2Q (In т)-* + \ {h (е^Щу1 - {h (еЩ'11.
Последнее слагаемое в силу теоремы 1.22.2 равно 60 (т); таким образом,
мы имеем оценку О [(In т)~%] + ЬО (т). Выбирая т^д'11 In б |-^, находим
(In т)-*1— | In б [-^ и 8т — | In б |-\ что и доказывает наше утверждение. Это
дает также для функции у (Q) = ${ln D (eiB)}, определенной равенством
A2.1.7), соотношение
I У @ + б) - Y F) |< L" | In б |~\ A3.7.5)
где L" — положительная постоянная. Эти результаты справедливы при
произвольном X > 0.
Те же рассуждения приводят к более общему неравенству
\D(z1)-D(z1)\<L'\ln\zl-za\\-\ A3.7.6)
где zx, z2 — произвольные точки единичного круга |z|<l.
C) Пусть \z\ = |£| = 1, z Ф £,. Из A1.4.5) и теоремы 12.1.3 следует ра-
равенство
1 — lz
n)^]. A3.7.7)
Далее, по теореме Кошй имеем
1 С j? /f:\ D (£) \D (z)} — 1 79- г\ /л о 7 ft\
-г—г- \ г (Ц) Е UL = U, Aо. / .о)
так как подынтегральная функция является функцией от £, принадлежа-
принадлежащей классу Н± (см. замечание в конце § 10.1). Здесь мы воспользовались
условием Х>1. По лемме Римана
lim [ (lz)n+1F(Q Д(С>{ДФ) 1-1 dx = 0, Z> = eix A3.7.9)
(относительно равномерности см. ниже). Пусть е — произвольное поло-
положительное число. Если мы обозначим через E=E(z, n, е) множество таких
точек £ на единичной окружности | £ | = 1, для которых | £ — z | > era, а через

332 РЯДЫ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ [Гл. XIII
Е'— дополнительное множество, то получим соотношения
S
dx + 0 A) + 0
с — с
С другой стороны, в этом случае числитель в A1.4.5) ограничен, и учи-
учитывая теорему 1.22.2 (см. § 12.4, B)), будем иметь sn(£, z) =0 (га), а отсюда
также и Дп(£, z) = О (п). Это выполняется равномерно при \z\ = | £, \ = 1.
Следовательно,
^ 7? (С) Аи ft, z) rfa; = О (п) еп^ = гО A), С = ete,
Е'
где 0A) не зависит ни от е ни от п. Этим A3.7.3) доказано.
D) Утверждение о равномерной сходимости A3.7.9) нуждается в неко-
некоторых объяснениях. В соответствии с A3.7.4) (см. замечание в конце B))
функция
от переменной £ принадлежит классу Д"х. Если Qn (Z) означает n-е чезаров-
ское среднее частных сумм разложения функции F (Z) в степенной ряд,
то будем иметь
где ^i — множество точек на | £ | = 1, для которых | £ — z \ > е, а ^^— допол-
дополнительное множество. Интеграл по Ех при п—>оо равен
0A)$К(£)-9„(£)Н* = 0A)^ |F(С)-Qn(E)|^ = оA).
Si —Я
Интеграл по Е[ (так как разность /"(£)—qw (£) равномерно ограничена) равен
и, следовательно, произвольно мал вместе с е.
13.8. Доказательство теоремы 13.1.4
A) Покажем, что
lim \ ФШД;а,х)A-а'^ = 0 A3.8.1)
n~>oo J
равномерно на отрезке —1+е<#<1—е; здесь Д^(£,#) означает разность

13.8] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 13.1.4 333
ядер, которая в силу формулы Кристоффеля может быть записана в виде
k Pn+1
А' (I х) = A — 12)*W (I) kn
1
2л"
sin Bл -{-1) -^±JL Sin Bл +1)
sin
Через кп обозначен старший коэффициент многочлена рп(х).
B) Отметим прежде всего, что из A1.5.2) при тг>1 имеем
*„ = Bя)^ {l + Ъ»Щ-\ 2™ {/с2п + ф2й @)} =
1 1
/Г) \ о" j л , ф2П У^) I 9^ QW7 /Л О О О\
= (Zrt) ^ «j 1 + 1 г ^ ^2п') (lo.o.o)
из A3.8.3) следует, если учесть формулы A2.4.3) и A2.5.3) (см. также тео-
теорему 12.7.1), что
кп - Bя) 2 {1 + О [(In n)-^]} 2лг {[D (О)]'1 + О [(In л)-*]} =
= Bя)~2{Д@)}-12п{1 + О[Aпп)-^]}, -^L- = -L + O[(inn)-^J. A3.8.4)
Из A2.1.8) мы заключаем, используя обозначение A2.2.2), что
А^ (£, х) — А^ (cos ф, cos 0) =
_i
= я (ж - I)'1 {W7 (x)} *{W (|)}2 {cos [(и +1) е + Y F)] cos [тир + у (<р)] -
— cos [/ге + Y F)] cos [(п +1) ф + y (ф)]} —
= Л„ (ф, 6) - Bn (Ф, 6) + | х - | |"i О [(In и)-»-]. A3.8.5)
Первое слагаемое может быть написано в форме
К (Ф, 8) = Bл) J2 sin-l±i sin-^-j {W (cos 6)} {W (cosФ)}5 х
X {cos [mp + (n + 1) 6 + Y (ф) + Y (9)] + cos [wp - (n + 1) 8 + y (ф) - Y (8)] -
- cos [(л + 1) ф + «6 + Y (<P) + Y Ш - cos \(n + 1) Ф - «6 + y (<p) - Y (в)]} =
cos 8)Г5 {W (cos ф)J x
sin
sin
sin -

334
РЯДЫ ПО ОБЩИМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ
[Гл. XIII
C) Интегралы
4- - *
{W(cosb)\ * {W (cos ф)}^ cos [у (ф) ± у F)] — 1
sin -
+я
5
A3.8.7)
sin
существуют (см. A2.2.4), A2.1.4) и A3.7.5)), и по лемме Римана
+я
lim \ Ф (cos Ф) {Ап (Ф, 0) - £п (<р, 0)} d<p = 0 A3.8.8)
71—УОО v
—Я
равномерно относительно '6. Пусть т] — произвольное положительное
число, Е = Е @, тг, г]) — множество точек, для которых | cos ф — cos 6 | > г]гс~\
а £" — дополнительное множество. Мы имеем
Н-я
\ Ф (cos ф) А'п (cos ф, cos 0) о?ф =
с
= ^ Ф (cos ф) {Ап (ф, 0) - Яп (ф, 0)} с?ф + О [(In и)-*] ^ | cos ф - cos01 dtp +
4-
Е
\ Ф (cos ф) А'п (cos ф, cos 0) dy =
= - J Ф (COS ф) {^n (ф, 0) - fin (ф, 0)} Лр + О A)
Е>
. A3.8.9)
Далее,
2 sin
Ф + 6
2 sin
'
_6||-Х) A3.8.10)
так что первое слагаемое в правой части A3.8.9) равно
О (п)
+ 0A) \^ |ф-0|-1|1п|Ф-0||-
E'
П—> OO,
= т)О A) + (In n)
О A),
где О A) в слагаемом г\О A) не зависит от т). Третье слагаемое равно
О[Aп п)~х] О (In n). Наконец, для оценки последнего слагаемого мы при-
применим теорему 1.22.3. Так как многочлен рп+1 (х) рп (£) — рп (х) рп+1 (£) рав-
равномерно ограничен при —1 <#< +1, —1 <£< +1, то Afn(i,x) = 0 (п) рав-
равномерно относительно х и £, когда эти точки изменяются на отрезке
[—1+е, +1—е]. Таким образом, мы получаем для рассматриваемого сла-
слагаемого оценку 'цп'Ю^п) =г\О A), где О A) опять не зависит от т). Этим
заканчивается доказательство теоремы 13.1.4.

ГЛАВА XIV
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
В этой главе мы рассмотрим некоторые задачи теории интерполиро-
интерполирования, связанные с теорией ортогональных многочленов. В частности, нас
будет интересовать интерполирование с узлами, которые являются нулями
ортогональных многочленов рп (х), ассоциированных с распределением
типа da(x) илжы) (x)dx. Мы будем изучать обыкновенные многочлены Лаг-
ранжа и «^-многочлены» («step polynomials»), введенные Фейером. Эта
тема тесным образом связана с материалом следующей главы, посвя-
посвященной механическим квадратурам.
В связи с содержанием этой и следующей глав см. монографию
Фельдгейма [4].
14.1. Определения. Задачи
A) Пусть [а, Ъ] — конечный или бесконечный промежуток и пусть
Хпп<Ь, A4.1.1)
п различных точек этого промежутка. Пусть 1{х)— не равный нулю то-
тождественно многочлен степени п, который обращается в нуль в точках
х = xvn, v = 1, 2, ..., п; он определен этими условиями с точностью до отлич-
отличного от нуля постоянного множителя. В случае, когда это не будет вызы-
вызывать никаких сомнений, мы будем писать xv вместо xvn. Многочлены
A4.1.2)
называются фундаментальными многочленами интерполирования по спо-
способу Лагранжа, соответствующими последовательности Sn. Они обладают
следующим свойством:
/гЫ = 6^, v, |i = l,2, ...,n. A4.1.3)
Пусть fv /2, ..., /^—произвольные числа. Выражение
A4.1.4)
V=l
представляет собой однозначно определенный яп-1, который принимает
значения /v в точках x — xv. Этот многочлен называется п-м многочленом
Лагранжа, соответствующим абсциссам Sn; точки Sn часто называют узлами
интерполирования *). Легко видеть, что
h (х) + /2 (х) + ... + 1п (х) = 1. A4.1.5)
*) Последним термином в оригинале автор не пользуется; мы ввели его для
краткости речи, учитывая его общепринятость в математической литературе.
(Прим. перев.)

336
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
[Гл. XIV
B) Пусть {Sn} (п = 1, 2, ...)—матрица узлов интерполирования.
Если f(x) — данная на отрезке [а, Ь] функция, мы можем рассмотреть
последовательность многочленовЛагранжа Ln(x), п=1,2,..., определен-
определенных равенством A4.1.4), где /v = f(xvn). Различные свойства сходимости
и расходимости этой последовательности были изучены при тех или иных
предположениях о характере непрерывности функции f(x). В дальней-
дальнейшем мы будем интересоваться исключительно тем случаем, в котором узлы
интерполирования Sn являются нулями ортогональных многочленов,
ассоциированных с заданным распределением. При этом могут быть рас-
рассмотрены различные типы сходимости, например:
(а) обыкновенная сходимость: lim Ln (x) —f(x);
n-voo
b
(b) сходимость в среднем: lim \ \Ln(x) — f (x) |2 dx = 0;
n->oo J
a
(c) обобщенная сходимость в среднем, получающаяся из случая (Ь)
заменой показателя 2 на р, где р > 0;
ъ
(d) квадратурная сходимость: lim \ {Ln (x) —f{x)}dx = 0.
Последний случай особенно важен с точки зрения теории, излагаемой
в главе XV. Разумеется, в интегральные условия может быть введена неко-
некоторая весовая функция.
C) Пусть а и Ъ конечны. Если допустить лишь непрерывность f(x),
то поведение многочленов Лагранжа при заданной матрице интерполи-
интерполирования может быть весьма нерегулярным. Ф а б е р [2] (см. также
Фей ер [11], стр. 450—453; Марцинкевич [1]) доказал, что
для данной матрицы узлов интерполирования {Sn} существует такая
непрерывная функция f(x), что соответствующая ей последовательность
многочленов [Ln(x)} не является равномерно сходящейся. С. Н. Берн-
штейн [4] доказал даже, что существует такая функция f(x), для кото-
которой последовательность [Ln (x)} не ограниченна в заданной точке х0. В соот-
соответствии с теоремой Хелли (§ 1.6) это эквивалентно неограниченности
последовательности «констант Лебега»
2
v=l
A4.1.6)
В частном случае, когда
= l, 2, ..., и,
а——1, Ъ — + 1» т. е. когда xVn являются нулями многочлена Чебышева
Тп (х), известно еще больше. Грюнвальд [1] и Марцинке-
Марцинкевич [2] доказали существование такой непрерывной функции f(x),
для которой последовательность многочленов Лагранжа, соответствую-
соответствующая этим xVn, расходится всюду и даже не ограниченна всюду.
D) Для того чтобы получить сходящиеся последовательности интер-
интерполяционных многочленов, необходимо ввести дополнительные ограни-
ограничения либо (а) на функцию f(x), в частности на модуль ее непрерывности
(см. теорему 1.3.2), либо (Ь) на интерполяционные многочлены, например,
на их производные или что-либо подобное.
Введем в рассмотрение многочлены
*
(х) = (х- xv)
(х),
ж — agv)| Z» (ж) = pv (ж) 1%(х), \
j

14.1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАДАЧИ 337
которые будем называть фундаментальными многочленами первого и вто-
второго рода интерполирования по способу Эрмита (соответствующего узлам
Sn). Эти я2п_1 полностью определены следующими условиями:
hv fa) = 6VD, К {Ху) = 0, \ 1
Мжи) = °» ^v(%) = 6VM, v, (i = l, 2, .. ., л. J
Если заданы значения /v, /v, то многочлен Bгг — 1)-й степени
Wn (х) = S fvhv (x) + 2 /;^v (Ж) A4.1.9)
V=l J V=l
однозначно определен равенствами
Wn(xv)=fv, Wn{xv) = fv, v = l,2,...,n. A4.1.10)
E) Пусть {5n}(w=l, 2, ...) —матрица узлов интерполирования.
Если данная функция /(х) имеет на отрезке [а, Ъ] производную, то мы
можем положить /v = f(xvn)i /v = ffovn) и рассмотреть последовательность
[И^п(ж)}, w = l, 2, ..., интерполяционных многочленов Эрмита, определен-
определенных по A4.1.9). Если же известно лишь, что функция f (х) непрерывна,
то/v могут быть выбраны произвольно; можно положить, например, /v=0.
Если мы выберем все /v=0, то соответствующие многочлены Wn(x) будем
называть S-многочленами, соответствующими {Sn}. В более общем случае,
когда |/v|<4, где А —постоянная, которая не зависит ни от v, ни от п,
мы будем их называть обобщенными S-многочленами.
Обыкновенные и обобщенные S-многочлены Wn(x) при п —■> оо обла-
обладают более регулярным поведением, чем многочлены Лагранжа Ln(x).
Они совпадают с данной функцией / (х) в тех же точках, что и соответствую-
соответствующие многочлены Лагранжа, но они удовлетворяют дополнительным ограни-
ограничениям относительно их первых производных. Их степень 2п—1 вместо
п—1. Мы докажем, что для некоторых матриц узлов интерполирования
{Sn} 5-многочлены (даже обобщенные iS-многочлены), соответствующие
произвольной непрерывной функции f(x), равномерно сходятся к ней.
5-многочлены и их обобщения были введены и исследованы Фей-
ером [10], [И], [13], [16]. Тригонометрический аналог для /v=0
в простейшем случае равноотстоящих узлов был рассмотрен Джек-
Джексоном ([4], стр. 145, теорема VI). Для фундаментальных многочленов
A4.1.7) справедливы следующие важные соотношения:
A4 1 И)
2 xvhv (х) +^^(х) = х. [
V=i V=l J
Из первого тождества может быть сделано, в частности, важное заклю-
заключение относительно ^-многочленов, т. е. для случая, когда /^ = 0. Пусть
{Sn} такова, что
Мж)>0, a<cx<b, v = l, 2, ..., п. A4.1.12)
Из A4.1.9) вытекает, что
min/v<TFn(x)<max/v, а<л;<6, тг = 1, 2, ... A4.1.13)
Заметим, далее, что A4,1,12) эквивалентно тому, что линейные функции
= l--^ey-(*-*v) A4.1.14)
22 Г. Сегё

338 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ [Гл. XIV
не должны обращаться в нуль в открытом промежутке а < х < Ъ, или^
что сводится к тому же, что «сопряженные точки»
*v + £l7V v = 1' 2>--->" A4.1.15)
i {x)
должны лежать вне этого промежутка (см. Фей ер [13], [16]).
14.2. Фундаментальные многочлены интерполирования
по способу Лагранжа
A) Теорема 14.2.1 х). Пусть da(x) — произвольное распределе-
распределение на отрезке [а, Ъ], {рп(х)}— ассоциированные ортонормальные много-
многочлены, 1х{х), 12(х), ..., 1п{х) —фундаментальные многочлены A4.1.2) ин-
интерполирования по способу Лагранжа, узлы которого совпадают с нулями
рп(х). Тогда
ъ
J lv(x)lli(x)da(x)^KbVVLf v, |x = l, 2, ..., п, A4.2.1)
а
где Xv — коэффициенты Кристоффеля, определенные с помощью C.4.1).
Это непосредственно вытекает из C.4.1), так как lv (x) 1^ (х) обращается
в нуль в нулях рп (х), если v Ф \х. При v = |i точка xv является единственным
исключением, причем II (xv) = 1.
Из A4.1.8) вытекают соотношения
ъ ъ ъ
\ hv (х) da (х) = Xv, \ h'v (х) da (х) = \ xh'v (x) da (x) = О
а
° ъс ъс } A4.2.2)
\ f)v (х) da (х) = 0, V ^ (я) da (х) = rkv, \ xfy'v (x) da (х) = ^v£v. I
а а а I
V=l, .. ., П )
B) В качестве важного следствия мы получаем такой результат:
Теорема 14.2.2. Пусть Кп(х0, х) имеет тот же смысл, что
и в C.1.9). Тогда справедливо следующее тождество:
Кп-г (*о, *) =П|] РЖ) Pv (х) = S К%Ы U (х). A4.2.3)
v=0 v=l
Действительно, пусть q (х) — произвольный яп_г Многочлен Кп_1(х0, х)
однозначно определен условием C.1.12). Но A4.1.4) и A4.2.1) дают
Ъ п п
^ {2 VM^j'v (ж)} {2 Q (%) /д (х)}da (x) =
a v=l jn=l
п п
= 2 Q (xv) lv (x0) = 2 Q M lv (x0) = Q (%o),
v=l v=l
что и доказывает утверждение. Полагая в A4.2.3) xo—x=xv, мы получаем
новое доказательство равенства C.4.8).
C) Если учесть A4.2.1), то из A4.1.4) вытекает, что
ъ п
v=l
х)Эрдёш и Туран [1].

14.3] СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГРАНЖА 339
Кроме того, пусть f (х) — произвольная комплекснозначная функция,
b
для которой существуют интегралы \ / (х) xvda (х), v = 0, 1, ..., п — 1.
а
Тогда A4.2.3) дает тождество
п Ъ
^^ \\^\ A4.2.5)
п—1 Ь
v=0 a v=l
Это приводит нас благодаря неравенству Бесселя (см. C.1.5)) к неравенству
b Ъ
j V|5 f(x)lv(x)da(x)\2<^ \f(x)'fda(x), A4.2.6)
v=l a a
если только последний интеграл существует.
14.3. Сходимость в среднем многочленов Лагранжа
A) Теорема 14.3.1 *). Пусть da (x) — произвольное распределе-
распределение на конечном отрезке [а, Ъ] и пусть {рп (х)} — ассоциированные ортонор-
мальные многочлены. Пусть для комплекснозначной функции f(x) существу-
существуют интегралы Римана—Стилтъеса
ъ ъ
\f(x)xnda(x), ^\f(x)\2da(x), rc = 0, 1, 2, ... A4.3.1)
а а
Если Ln (x) — многочлен Лагранжа степени п — 1, который совпадает
с f (x) в нулях рп(х), то
ъ
A4.3.2)
lim i\f(x)-Ln(x)\*da(z) = O.
?г->оо J
Сходимость в среднем в обычном смысле вытекает из A4.3.2) для
любой функции f(x), интегрируемой в смысле Римана, в случае, когда
da (x) = w (x) dx, w (x) > ц > 0.
Для доказательства мы используем A4.2.4), A4.2.6) и дальнейшую
теорему 15.2.3 о квадратурной сходимости. Мы имеем
Ъ Ъ п
V=l
v=l
v=l
1 n
v= 1 a
п
v=l
{ Ъ
V=l
1)Эрдёш и Туран [1], Шохат [8].
ж)}". A4.3.3)
22*

340 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ [Гл. XIV
Отсюда, учитывая теорему 15.2.3, получаем
ь ъ
ПЖЧ \f(x)-Ln(x)\*da(x)<4 \ \f(x)\2da(x). A4.3.4)
а а
Затем, пусть е — произвольное положительное число, а q (х) — много-
многочлен, для которого (см. теорему 1.5.2)
ъ
\f(x)-Q(x)\2da(x)<s. A4.3.5)
a
Если Ln(f; x) означает многочлен Лагранжа степени п—1, соответствую-
соответствующий f(x), то мы имеем
f(x)-Ln(f; x) = f(x)-Q(x)-Ln(f-Q; x), A4.3.6)
предполагая, что п больше, чем степень многочлена q(x). Этим утвержде-
утверждение доказано.
1
B) В случае da(x) = A — х2) ^dx,a=—l, b=+l (т. е. для узлов Чебы-
Чебышева первого рода) Эрдёш и Фельдгейм х) показали, что можно даже ут-
утверждать справедливость следующей теоремы:
Теорема 14.3.2. Пусть р — произвольное положительное число
и пусть f\x) — непрерывная функция. Тогда для многочленов Лагранжа,
соответствующих узлам Чебышева первого рода, имеем
lim^ \f(x)-Ln(x)\*(\-x*)"~dx = 0. A4.3.7)
Достаточно установить это для целых четных значений р. В доказа-
доказательстве, основанном на индукции по целым четным р, существенно исполь-
используется свойство чебышевских узлов, формулированное в задаче 57 (см.
ниже). Фельдгейм ([2], стр. 330) отмечает, что A4.3.2), вообще
говоря, не будет верно, если da (х) = A — х2)* dx, а= — 1, Ъ = + 1 (т. е.
для узлов Чебышева второго рода) и если показатель 2 заменить показа-
показателем jp=4. Для тех же узлов не имеет места соотношение
\f(x)-Ln(x)\*dx = 0. A4.3.8)
В обоих случаях верхний предел рассматриваемых интегралов может быть
равен + °° Для надлежаще выбранной непрерывной функции.
C) Из теоремы 14.3.1 сходимость в среднем в смысле A4.3.8) непосред-
непосредственно следует для узлов интерполирования Якоби, т. е. для нулей много-
многочленов Якоби Р(п'^ (х), в предположении, что шах (а, Р)<0 (см. Эр-
Эрдёш и Т у р а н [1]); здесь f(x) — произвольная непрерывная (или даже
интегрируемая в смысле Римана) функция.
Холло [1] доказал сходимость в среднем для узлов Якоби при
1 1
max (а, Р) < -^ , предполагая непрерывность/(я). Граница-^ является точ-
ной, если учесть результат Фельдгейма, упомянутый в B). Холло
исследовал также справедливость соотношения
lim \ | / (х) - Ln (x) \dx = 0, A4.3.9)
n-voo *j
х) Эрдёш и Фельдгейм [1]; см. также Фельдгейм [2] и [3], стр. 33-36.

*4.4J МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГРАНЖА ДЛЯ УЗЛОВ ЯКОБИ 341
з
где f(x) непрерывна, и показал, что A4.3.9) имеет место при max (а, Р)<-о- •
3
Это опять точная граница в том смысле, что при max (a, P)>v и надлежаще
выбранной непрерывной функции f(x) равенство A4.3.9) нарушается.
(Это вытекает из второй части теоремы 15.4.)
14.4. Многочлены Лагранжа для узлов Якоби
Для дальнейшего исследования играет очень важную роль теорема
8.9.1, но будут использованы также оценки многочлена Р!£' ^ (cosб),
полученные в § 7.32.
A) Допустим, чтоа> —1, р>—1, и пусть хг>х2> ... >хп— нули мно-
многочлена Якоби jP£*'P) (я), записанные в убывающем порядке. Здесь
£v = cosev> 0 < 6V < л. Мы можем высказать следующую теорему:
Теорема 14.4. Пусть f (x) — непрерывная функция на отрезке
[—1, +1] с модулем непрерывности со (бI). Тогда многочлены Лагранжа
с узлами интерполирования, которые совпадают с нулями многочлена Якоби
У®(х), сходятся равномерно к f(x) на всяком отрезке [—1+8, +1—е],
у , если только со F) — о(\ In 6 \~г). То же самое справедливо на
отрезке [ — 1+8, 1], если выполняются условия а< —-^ и со F) = о (| In б |~х)
1 1 2^
или же jli—y<oc<fi + ^- ' и функция f(х) имеет непрерывную производную
Zt Zt
порядка \i с модулем непрерывности со^ (Ь) — о F *), \i — 0, 1, 2, ...
В случае, когда а< — у , многочлены Лагранжа сходятся в точке х— +1
для произвольной непрерывной функции f(x).
На отрезке [ — 1, +1] существует непрерывная функция, для которой
многочлены Лагранжа расходятся (неограниченны) в заданной точке х0,
—1<£0<+1; то же самое имеет место для точки #0=+1, если только
1
Аналогичные утверждения имеют место на отрезке [ — 1,1—е] и в
точке х=—1, если мы заменим а на (i. Сходимость равномерна на всем
1 1
отрезке [ —1, +1], если max (а, E) < —у и со (б) = о (|In61) или же \х — -к- <
<тах(а, E) <(я+—- и f (х) имеет непрерывную производную порядка \i
с модулем непрерывности 0)^F) = о F ' 2),(я = 0,1,2, ...Опять при
(я==0 знак равенства должен быть исключен, т. е. исключается случай
max (а, Р) = - ~ .
См. Ф е й е р [13], стр. 22, 24, 27; Ш о х а т [5], стр. 146. При-
Приведенные здесь результаты более точны, чем полученные в этих статьях.
B) Начнем с исследования «констант Лебега»
2
v=l
J) См. теорему 1.3.2.
2) При |lx = 0 знак равенства исключается, т. е. исключается случай а=—тг.

342 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ [Гл. XIV
где — 1 <я0 <+1. Пусть б—фиксированное положительное число, 6 < 1—| хй |.
Тогда P<?'V(xJ=O(n~*) и
I xv—хо|>6 |xv—хо|>6
= О(п~2") £ |p(«.P>'(^v)ri. A4.4.2)
В соответствии с (8.9.2) имеем
2 |Р(п|Э)'ЫГ1 = ОA) |]va+%-a-2+O(l) S v3+2n^-2 = o(n2). A4.4.3)
v—l v=l v=l
Следовательно,
S |/vWI = O(l). A4.4.4)
xv—:vo!>6
С другой стороны, если \х^— #0|<S, то при фиксированном v мы имеем
(см. (8.8.2))
1 р(а,Э) / \_р(а, Э)/ ч
O " G f* (o) Q(l A4.4.5)
так что, полагая a:0 = cos60, О<бо<зт, получаем
S IM*o)H a S
= O(n)O(«") ^ lev-во Г1+ 0A), A4.4.6)
i<|9e|^S'
где б'—фиксированное положительное число. В соответствии с (8.9.1)
последнее выражение равно О (In n). Эта же оценка справедлива для A4.4.1),
причем равномерно, если выполняется условие — l + e<:ro<;+l— 8.
Мы можем также показать, что
In и, A4.4.7)
когда п —> оо, пробегая некоторую подходящим образом выбранную после-
последовательность целых чисел. Достаточно выбрать п таким образом, чтобы
| cos (iVe+Y) I > cos 8> гДе N к у имеют тот же смысл, что и в формуле Дар-
бу (глава VIII), a e = -2-minF0, я — б0). Это, очевидно, возможно, так как
из неравенств
где т—целое, следуют неравенства
Теперь формула Дарбу, если учесть предыдущие рассуждения и равен-
равенство (8.9.1), дает требуемый результат.
C) В качестве следствия из результата B) мы можем заключить
на основании теоремы 1.6 (теоремы Хилле), что существует такая непрерыв-
непрерывная функция/ (х), для которой многочлены Лагранжа не ограниченны во
внутренней точке х0. С другой стороны, пусть / (х) имеет модуль непрерыв-

14.4] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГРАНЖА ДЛЯ УЗЛОВ ЯКОБИ 343
ности со (б) = о (| In б I), a Ln (/; х) — соответствующий ей многочлен
Лагранжа степени п—1. Приблизим функцию f (х) многочленом q (x) сте-
степени п—1 так, чтобы
f (х) - q(x) = о [(In ну*], _1<я<+1, A4.4.8)
(теорема 1.3.2). Тогда (см. A4.3.6) имеем
\Ln(f;x)~f(x)\ = \Ln(f-Q;x)-{f(x)-Q(x)}\ =
= о {(In ny1} О (Inn) = оA). A4.4.9)
D) Допустим, что 1—6<яо<1. Полагая (x = n-fl—v, ц — О(п), из
теоремы 7.32.2 и формулы (8.9.2) имеем
2 \1*Ы\ = оA)\р(«'*)(х0)\ s \р1п-п'Ы\-^
|xv~x0|>6 |xv—хо|>6
1
( |) A4.4.10)
Перейдем теперь к определению верхней границы выражения
V I / (х ) I -
P"a'P)(C°Seo)
.Ю'
fcos
(cos
= О A) | Р<?'р) (cosе0) | 2 V|6jj-8*| , A4.4.11)
так как @* — 02)/(cos0o — cos б) ограничено. В дальнейшем мы используем
обе оценки A4.4.11). Учитывая D.21.7), мы получаем
)r (cos
cos 0О—cos0v
ffl p+1) (cos X) | va+2n~a-i, A4.4.12)
где x лежит между 60 и 0V.
Пусть 0o = w~1|, и рассмотрим случай |=ОA). Пусть, кроме того,
v = 0(l). Тогда выражение A4.4.12) будет О A)тг°Н-Ч ^гг-^1 =0A). Сдру-
гой стороны, если v больше, чем достаточно большое фиксированное поло-
положительное число, то второе выражение в правой части A4.4.11) равно
(см. вторую оценку в G.32.5))
O(l)^2va+%~a-20-2 = O(lJva 2 = 6>(rca+2); 0(Inn), 0A), A4.4.13)
11 1
в зависимости от того, будет ли а>—у, а——^ или а<— у .
Пусть теперь | будет «велико» и пусть £—vn = O(l), так что число
таких значений v ограниченно. Тогда из A4.4.2) мы получаем (см. первую
оценку в G.32.5))
Я 1 Я Я 1 Я
O(l)r~a~%~2"va+2"n-a-1 --= 0A)(у1п)~а~Ч~Ца+Ч-*-1 = О A). A4.4.14)
Наконец, допустим, что £ и |—vn «велики». Тогда второе выражение
в правой части A4.4.11) будет (см. первую оценку в G.32.5))
0 а^) 2 iS»lvW| = Si + S2 + 2„ A4.4.15)

344 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ [Гл. XIV
где суммирование соответственно распространено на интервалы vjt<£/2,
|/2<v:ft<3£/2, vjt>3|/2. Здесь мы должны принять во внимание, что отно-
отношение
имеет положительную нижнюю границу. Во второй сумме |£—vn;| больше,
чем фиксированное положительное число. Мы находим, что
°^ a+
), A4.4.16)
в зависимости от того, будет ли а>-т, а——к- или а<— -к- .
Резюмируя, мы получаем для констант Лебега A4.4.1) оценки О (п %)
или 0Aпп) равномерно на отрезке —1+е<:го<1 в зависимости от того,
будет ли а> —-н- или же а< —к-. Мы получим подобный результат для
Li Li
отрезка —1 -<£0 <! 1—е, если заменим а на р. Мы получим на всем отрезке
Y+ 1
— 1<а:0<1 оценки О (п 2) и соответственно О (Inn) при у>— у
и Y<—9"j где Y=max(a, P).
Применим теперь рассуждение, аналогичное приведенному в C)
Допустим сначала, что —1-(-е<а:0<1 и что функция f (х) удовлетворяет
условиям теоремы 14.4. В соответствии с теоремой 1.3.3 существует такой
многочлен (п—1)-й степени q(x), что
f{x)-Q(x)= \n-»o(n 2) = о(д 2}> A4.4.17)
I о [(Inn)], -1<ж< +1,
1 1
в зависимости от того, будет лиа>—к- или же а< —к-. Это доказывает
утверждение относительно отрезка [ — 1 + е, 1]. Доказательство, очевидно,
будет таким же для [—1, 1—е] и [—1, +1]-
E) Остается исследовать константы Лебега для#0= +1, т. е. выражения
S IMl)l~"aS A-^ГЧ^3)'ЫГ. A4.4.18)
v=l v=l
Сумма по положительным узлам xv равна
з i
~П*^ (v/n)va+^_a_2 = V va-2;
это выражение будет О (п ^), О (In ri), О A) в соответствии с тем, будет ли
. 1 1 1 п
а> —к- , сх= —у или а<—^ • ^«умма по отрицательным узлам xv равна
П« 2 | Р(п' Р)' Ы П-П*^ VP+2"re-P-2 _ rea+I.
Остается сделать еще один шаг, а именно применить теорему Хелли, чтобы
закончить доказательство теоремы 14.4.

14.6] S-МНОГОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА 345
14.5. Предварительное исследование /S-многочленов
в классических случаях
Мы вычислим линейную функцию vv(x), фигурирующую в A4Л.7),
соответственно для узлов Якоби, Лагерра и Эрмита. Допустим, что а> — 1,
Р—1 в первом случае и что а>—1 во втором случае.
A) Из D.2.1) в случае узлов Якоби мы получаем
так как / (xv) = 0. Отсюда
yv (х) = j—^ . A4.5.2)
В частности,
a)(l+*v)-p(l-xv)
1 Ху
A4.5.3)
Нули £v всюду плотны на отрезке [—1, +1] (теорема 6.1.1) при больших п.
Таким образом, vv(—1) неотрицательно для всех v и п тогда и только
тогда, когда |5<0. Аналогично yv(-)-l)>0 тогда и только тогда, когда
а<0. Так как vv (x) — линейная функция, то мы получаем следующий
результат:
Теорема 14.5. Фундаментальные многочлены hv (x) первого рода,
соответствующие узлам Якоби, неотрицательны при всех v и п тогда
и только тогда, когда
-1<а<0, -1<р<0. A4.5.4)
B) В случае узлов Лагерра (см. E.1.2), первое уравнение)
vv(x)=z-^—^ — , t'v@) = ^v —a. A4.5.5)
xv
Здесь vv(x) меняют свои знаки при всех а и v, если п выбрано подходя-
подходящим образом.
В случае узлов Эрмита (см. E.5.2), первое уравнение)
Vv (х) = 1 - 2xvx + 2x1. A4.5.6)
14.6. ^-многочлены и интерполяционные многочлены Эрмита
для узлов Якоби
Предположим опять, что a > — 1, E >—1, и применим те же обозначе-
обозначения, что и в § 14,4.
Теорема 14.6. Пусть f (х) непрерывна на [ — 1, + 1]. Обобщенные
S-многочлены A4.1.9) (/v = / (xv), \fv\ < А) сходятся равномерно к f (x) на
всяком отрезке [ — 1 + е, 1-е]. Это же справедливо на отрезке
[—1 + 8, 1], если а < 0. S-многочлены, вообще говоря, расходятся в точке
х— +1, если f (х) лишь непрерывна, а а>0.
Интерполяционные многочлены Эрмита A4.1.9) (/v = / (xv), fv = f (xv))
сходятся равномерно к f (х) на отрезке [ — 1 -\- е, 1], если а < — и / (х) имеет

346 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ [Гл. XIV
непрерывную вторую производную, или если fi/2 < а<((я + 1)/2 uf (х) имеет
непрерывную производную порядка [X +1 с модулем непрерывности
cV+1F) = oF^), pi = 1, 2, ...
Аналогичные утверждения справедливы на отрезке [ —1, 1-е]
и в точке х— — 1, если заменить а на E, а также на всем отрезке [ — 1, + 1],
если заменить а на max (а, Р) (см. Ш о х а т [5], стр. 138—139;
Сегё [14]).
A) Начнем с изучения сходимости для — 1<#о<+1. Здесь опять
совершенно необходима теорема 8.9.1.
Если x = xv, то числитель vv(x) в A4.5.2) будет
= 1-4>0. A4.6.1)
Поэтому vv (х0) положительно, если | xv — х0 | достаточно мало, т. е. если
\xv—-a:0|-<6. Это же, очевидно, справедливо для hv(x0). Кроме того,
vv(x0) имеет для этих .v положительную нижнюю границу, которая не
зависит от б. Поэтому, учитывая первое из тождеств A4.1.11), мы
получаем
2 |М*о)| = 2 Av(so) = l- 2 М*о), A4.6.2)
и из A4.1.7) следует, что
2 a S ^i^L = °AN 2 ^Ы- A4.6.3)
°
Здесь множитель О A) не зависит от 6.
Найдем теперь оценки для соответствующих сумм, когда | xv — xo\> б.
Из A4.5.2) и (8.9.2) следует
■= О A) {P%- P) (x0)}2 2 A - хЪУ1 {P(n'3)'
n
= О (n'1) 2 ( ~У2 v2a+3n-2a-4 +
l
n
+ O(rcJ ^y2v2P+3/2-2P-4 = O(/2-i)> A4.6.4)
v=l
Кроме того, отметим, что
2 |м*о)| = 0A) S ^ы =
- о A) {^а'Р) (^0)}2 2 {Рп'Р)' Ы} =
l*v-*ol>6
-О^) 2 v^+^-^ + O^1) 2 v2P+ w-2P-4 = O(n). A4.6.5)
v=l v=l
Это дает сходимость обобщенных «^-многочленов для непрерывной функ-
функции, если — 1 < х0 < + 1. Действительно, в силу A4.1.9) и A4.1.11) мы

14.6] S-МНОГОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА 347
имеем
Wn (х0) - f (хо)\ < 2 | / (xv) - f (xo)\ | К (хо)\ + 4 211^ (хо)\ <
v=i v=l
< max |/Ы-/Ы| 2 М*о)+0A) S !Ы*о)| +
+ 2тах|/(я)| 2 |Av(x0)| + O(l) 2 |M*o)| =
l*v-*0l>6 l*v-*ol>6
= шах |/(жу)-/(ж0)|ОA)Н-дОA) + О(в-1) + О(п-1). A4.6.6)
l'^6
Фигурирующие в последнем выражении множители 0A) не зависят от б.
B) Допустим теперь, что а < 0 и что 1 — б < х0 < 1. Вторая формула
в A4.5.3) показывает, что vv (х0) и hv (х0) снова положительны, причем vv (x0)
ограничена снизу положительным числом, если \xv — хо\ <б, где б доста-
достаточно М1ло. (Мы имеем vv (xo)^>vv ( + 1), если а— р + (а + (i + 2)xv > 0.)
Формулы, аналогичные A4.6.2) и A4.6.3), получаются непосредственно.
В A4.6.4) и A4.6.5) необходимо внести небольшие видоизменения, связанные
с тем, что в этом случае
Р£-Р)
(х0) = О (п«), а = max ( а, -1
(Формулы, соответствующие A4.6.4) и A4.6.5), имеют место при произволь-
произвольном а > — 1; это замечание используется в C).) Так как а < 0, то заклю-
заключения, сделанные в A), остаются в силе; этим устанавливается сходи-
сходимость обобщенных ^-многочленов, когда а<0и/(я) непрерывна. (Разу-
(Разумеется, то же самое справедливо для интерполяционных многочленов
Эрмита, если /' (х) ограничена.)
C) Временно отложим исследование ^-многочленов в точке х= +1,
когда f(x) непрерывна иа> 0, и перейдем к исследованию интерполяцион-
интерполяционных многочленов Эрмита при 1 — б<яо<1са произвольным, но большим,
чем— 1. Сначала мы заметим, что числитель в A4.5.2) обращается в нуль
при x—xv— +1, так что при |a:v—а:0|<б мы будем иметь
\Vv(zo)\<(l-xir1*(b), A4.6.7)
где 8 (б) —> 0, когда б —> 0. Тогда
2 1М*оI = е(б) 2 A-х*)-Ч*(хо) =
t р(а, 3) (х ) } 2
= е(д) 2 A-^ГМ »O-*VJ {рп'Ю'ЫГ*. A4.6.8)
Применяя обозначения и рассуждения § 14.4, D), мы получаем для стоя-
стоящей выше суммы следующие оценки:
(a) О(п*), если £=0A), v = 0(l);
(b) 0A) S v2a-1(v/n)-2 = O(n2a)? O(/22lnn)? О(?г2), в зависимости
от того, будет ли а> 1, а = 1 или а < 1, если | = ОA) и v «велико»;
(c) О A) (\[п)~2 — О (п2), если | «велико» и £ — vn; =
«велики». Суммирование в последних трех суммах ведется по тем же

348 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
значениям v, что и в A4.4.16). Мы имеем
[Гл. XIY
A4.6.9)
в зависимости от того, будет ли а > 1, а = 1 или же а < 1. Этим случаям
соответствуют оценки 168
2 |Мяо)Не(бH(п2«), 8(б) О(гс2 Inn), 8 (б)О(гс2). A4.6.10)
Для того чтобы получить аналогичные оценки для fyv(#o)> мы вычер-
вычеркиваем в A4.6.8) множитель A —xl)'1 — (v/тг). Таким образом, мы легко
получаем, что
2 |^Ы| = бО(п2«), eo(inn), ao(i), A4.6.И)
в зависимости от того, будет ли а > 0, а = 0 или же а < 0.
Соответствующие границы при \xv — #0|>б равны (9 (п2а) (см. заме-
замечание, сделанное в B)). Таким образом, A4.1.9) и первая из фор-
формул A4.1.11) дают следующий результат:
Wn(x0)-f(x0)\< max
l
@(п**) }
| 8 (б) @(пЧпп) к
) J
+ max | /' (xv)\ б I 0 (In n)) + max | / (x)\ 0 (n2
\xv-xQ\^6 j
а, ~у) • A4-6.12)
В первом слагаемом мы должны различать случаи а>1,а = 1,а<1,
а во втором а > 0, а = 0> а < 0. Выражения под знаком О не зависят от
/ (х) и б.
Мы применяем теперь обычное рассуждение. Пусть Wn (/; х) — интер-
интерполяционный многочлен Эрмита, соответствующий функции /(ж), ад (х) —
произвольный л2п_!. Тогда
ш (г* ПГ ) / ( 'у ) —* 1/1/ ( т л • 'У' | I Т ( 'у \ Oi'T'll A4 П 1 11
При условиях, указанных в теореме 14.6, мы можем определить многочлен
Q (х) (см. теорему 1.3.3) так, чтобы
f(x) — Q(x) = o(n~2), f'{x)— Qf (x) = o(n'1), если а < ~ ,
/ (X) - Q (X) = О (Л
- Q' (Ж) = О (п
1 1
если Т(я<а < -5г((х + 1), |х==1, 2, 3,
A4.6.14)
Это доказывает утверждение относительно интерполяционных многочле-
многочленов Эрмита.

14.7] S-МНОГОЧЛЕНЫ ДЛЯ УЗЛОВ ЛАГЕРРА 349
D) Наконец, исследуем выражение (см. A4.5.3))
l + P)(l-*v)-a(l+*v;
/5A). A4.6.15)
v=l v=l
Часть этой суммы, соответствующая х > 1 — 6, при а Ф 0 будет
_2а—4
A4.6.16)
что равно О (п2а) или О A) в зависимости от того, будет ли a > 0 или же
а < 0. Это показывает, что ^-многочлены (а также обобщенные £-много-
члены) для непрерывной функции, вообще говоря, расходятся в точке
х— +1 при a > 0. (Сходимость при a < 0 была доказана в B).) В слу-
случае а = 0 возможна и расходимость, достаточно рассмотреть функцию
/ (х) = 1 — х. Действительно, соответствующий ^-многочлен равен
-ч5г-
v=l v=l V
v=l
ясно, что последовательность этих многочленов не может сходиться
к /A) =0. Еще проще доказательство расходимости ^-многочленов, соот-
соответствующих функции / (х) = A + (J) A — х) — а A + х) при a > 0, так как
/A) = — 2а<0.
14.7. ^-многочлены для узлов Лагерра
Предположим, что а> —1. Пусть хг < х2 < ... < хп — нули мно-
многочлена Lffi (х). Докажем следующую теорему:
Теорема 14.7 *). Пусть f (x) — непрерывная функция на полу-
полуоси х> 0 и пусть f (х) —О (хт) при х —> -+- оо, где т — произвольное, но фи-
фиксированное положительное число. Обобщенные S-многочлены A4.1.9)
(fv — f(xv), |/v|<-4) сходятся к f (x) на всяком положительном отрезке
е<£< со. Это же верно на отрезке 0<£< со, если а < 0. S-многочлены,
вообще говоря, расходятся в точке х=0, если f (х) непрерывна и а>0.
Для доказательства мы проведем рассуждения, подобные тем, которые
были проведены в случае узлов Якоби (§ 14.6). В частности, мы исполь-
используем теорему 8.9.2. Некоторые изменения в рассуждениях необходимы,
так как теперь последовательность нулей неограниченна. В качестве
нового важного инструмента исследования мы применим механические
квадратуры (см. A5.3.5)).
A) Пусть 0<8<а:0<(о. Если vv (x) имеет тот же смысл, что и в
A4.5.5), то значения vv (x0) и hv (x0) положительны, причем vv (x0) ограни-
ограничено снизу и сверху положительными числами, если | xv — х0 \ достаточно
мало. Итак, при достаточно малом 6 имеем (О A) не зависит от 6)
У \h /VM— V h /т u.1 V h /r^ (\ai\\
v(^0)| = 6O(l) 2 hv(x0). A4.7.2)
См. Шохат [5], стр. 139; Сегё [14], стр. 597.

350 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ [Гл. XI
Если xv мало, то vv (x0) = 0 (х^1); если xv велико, то vv(x0) = O(xv).
Поэтому (см. G.6.8))
V I h (т М — П(\\ V т~
/I l^vV^o/l—^v1/ ^j xv
I _1
2) У ^гГ1 {L^' (^v))~2-+ О (п* 2)
Xv {^n \*^V/J • у Irk. i, О J
V=l
Но, комбинируя A5.3.5) с C.4.5), мы находим
п
2-ifr(ay, v,2__r(iz + l)r(a+l) (л , 7 ,ч
^v i^n \Xv)i ——r(w_j_a_|_i)— » A4./.4)
v=l
что дает для A4.7.3) оценку
_ I _I
0(па 2H(п-*)=0(п 2).
Из A5.3.5) и C.4.1) мы получаем более общее тождество, справедли-
справедливое для целых положительных /тг, не превосходящих 2п — 1,
2m-l fr(ay , v-2 __Г (п+\) Г (m + a + 1) ,., - ^
Те же рассуждения, что и выше, приводят при фиксированном т к оценке
2 a^|Av(a;o)|=0(n~2). A4.7.6)
Мы имеем также
_ i_
2 |^v(«o)| = 0(n 2). A4.7.7)
Равенства A4.7.1), A4.7.2), A4.7.6) и A4.7.7) доказывают равномерную
сходимость 5-многочленов на отрезке 8<a:0<@ (CM- A4.6.6)).
B) Допустим теперь, что a < 0, 0<а:0<6. Если 6 достаточно мало
и | xv — х01 < 6, то vv (х0) и hv (x0) положительны, причем vv (x0) > с > 0.
Тогда опять имеют место A4.7.1) и A4.7.2). В A4.7.3) нужно заменить лишь
оценку (Lna) (#о)}2- В соответствии с G.6.11) это величина порядка 0(тг2а),
где а = шах С -^ а — -т-, а]. Поэтому
S |Av(«o)| = 0(^a-a)f A4.7.8)
!*v-*0!>6
и та же оценка справедлива для сумм A4.7.6) и A4.7.7). Так как показа-
показатель 2a — a = max f—^-,ctj<0, то эти суммы стремятся к нулю.
Отсюда следует равномерная сходимость на отрезке О<а:<со.

14.8] МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГРАНЖА 351
C) Случай #0 = 0, а>0 легко может быть рассмотрен, если положить
/(х) = х~а. В самом деле,
v=i
n
о — a
Так как это выражение положительно, то оно не может стремиться
к /@)=—- а, когда а положительно. Когда ос = 0, последнее выраже-
выражение в A4.7.9) равно единице (см. A4.7.9), т = 1), а /@)=0.
14.8. Многочлены Лагранжа для некоторых общих классов узлов
интерполирования
A) Пусть х1п > х2п > . . . > хпп — нули тг-го ортогонального много-
многочлена рп(х), ассоциированного с весовой функцией w (x) на отрезке
— 1 <#< +1. Рассмотрим два класса А и В весовых функций, характе-
характеризуемых следующими условиями:
A. Существует такое положительное число |i, что
w(x)>\i, —1<ж<+1. A4.8.1)
B. Существует такое положительное число \х, что
Приняв эти обозначения, докажем следующее предложение:
Теорема 14.8. Пусть f (x) — функция, определенная на отрезке
— 1<#< -f 1. Пусть {Ln(f; x)} — соответствующая этой функции после-
последовательность многочленов Лагранжа с узлами интерполирования #vn,
которые являются нулями ортогонального многочлена рп{х), ассоциирован-
ассоциированного с весом w(x) на [ — 1, + 1 ]. Тогда, если / (х) имеет непрерывную произ-
производную на [ — 1, + 1 ], a w (х) принадлежит классу А, то UmLn (/; #) = / (x)
п-ь-эо
равномерно на отрезке [ — 1, +1]. Тот же вывод остается в силе, если
w(x) принадлежит классу В, а со (б) = о (б2). Кроме того, lim£n(/; x) =
= /(#) равномерно на отрезке [ — 1 + 8, 1-е], где 0<е<1, если w(x)
1
принадлежит классу А и со (б) = о (б2).
См. Шохат [7], Грюнвальд и Туран [1]. Здесь, как
и раньше, со (б)—модуль непрерывности функции f(x) на [ — 1, +1].
B) Мы покажем, что для фундаментальных многочленов интерполи-
интерполирования по Лагранжу справедливы оценки
О(п), —1<^< +1,
О(п2), -1<ж<+1, A4.8.3)
v=l
где w (х) принадлежит классу А в первом и третьем случаях и классу В
во втором случае. Утверждение теоремы вытекает из A4.8.3) в силу теорем
1.3.2 и 1.3.3.

352 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ [Гл. XIV
Пусть х зафиксировано, ev = sign lv (х), В случае А мы можем написать
Q (*) = 2 «v'v (t) =П3 cvPv (t), A4.8.4)
v=l v=0
где Pv(t) есть v-й многочлен Лежандра. Тогда
Q(X)
п
= 2 I1
v=l
lv(x)\
n-1
£2 -^r}2 {2*(v+4
|0v + I 0
- ~2 v=0
+1 I n-1 I
1 +1 I n-1 I
--1 v=0
В соответствии с A4.2.4) мы имеем
п п +1
g ^ve* = 2 A,v= ^ w(t)dt. A4.8.6)
= 1 v=l -1
Теперь утверждение A4.8.3) легко вытекает из G.21.1) и G.3.8).
Единственное существенное отличие в доказательстве для случая В
состоит в том, что мы полагаем
п п—1
Q(t)= 2 ev/v(*)- 2 dyTy{t), A4.8.7)
v— 1 v=0
где Ту (t) —многочлен Чебышева первого рода.
14.9. Дальнейшие результаты по теории интерполирования
Мы укажем вкратце несколько новых результатов по теории интер-
интерполирования.
A) Будем употреблять обозначения, принятые в § 14.8. Пусть весо-
весовая функция w (х) непрерывна и имеет положительный минимум на отрезке
[ — 1, 1 ] и пусть 8 > 0.
Тогда
max | Zv (х) | —> 1 при п—^ оо,
где максимум берется на отрезке [ — 1 + 8, 1-е], а предельное соотноше-
соотношение справедливо для последовательности v = v(ft), для которой соответ-
соответствующие нули xv = xvn лежат на [ — 1+8, 1-е]. (Эрдёш и Л е н-
ж и е л ь [1].)
B) Результат Грюнвальда [1] иМарцинкевича [2],
упомянутый в § 14.1, C), был углублен в работах Эрдёшаи Грюн-
Грюнвальда [1] и Эрдёша [2]. В качестве узлов интерполирования
рассматриваются нули многочлена Чебышева Тп(х).
Эрдёш и Грюнвальд [1] доказали существование такой
непрерывной функции / (х) =/(cos0), ряд Фурье которой равномерно схо-
сходится, но в то же время соответствующая последовательность многочленов
Лагранжа Ln(x) расходится всюду, и даже, более того, —всюду неогра-
неограниченна.

14.9 ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ПО ТЕОРИИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ 353
Э р д ё ш [2] показал, что если х0 = cos — , где р я q нечетны, то суще-
существует такая непрерывная функция / (х), для которой Ln(x0)—>oo. Еще
раньше Эрдёш и Туран [1] доказали, что это обстоятельство
не может иметь места в других точках х0; см. также Эрдёш [2],
стр. 313.
C) Важный результат был получен Эрдёшом для «нормальных»
последовательностей узлов, введенных в рассмотрение и исследованных
Фейером. Эти последовательности характеризуются тем, что «сопряженные
точки» A4.1.15) лежат вне отрезка интерполирования [а, Ь].
Фейер показал, что для нормальных последовательностей разность
#v — xv-i стремится к нулю при п—>оо. Эрдёш и Туран [2] усилили
этот результат, а Эрдёш [1] доказал, что
где узлы xv — xvn предполагаются лежащими на фиксированном отрезке
[-1+е, 1-е].
Э р д ё ш [1] решил следующую замечательную экстремальную задачу.
Рассмотрим все нормальные последовательности {xvn} при фиксирован-
фиксированных v и п. (Мы следуем обозначениям A4.1.1).) Каковы минимум и макси-
максимум xvn? Они даются точками zv и — zn_v, где zv = zvn— нули много-
многочлена Pn(z)+Pn_1(z).
D)Грюнвальд [1] и Вебстер [1] изучили некоторые типы
«суммирования» для многочленов Лагранжа, аналогичные методу Рого-
зинского для частных сумм ряда Фурье. Применяемые узлы являются
нулями многочленов Чебышева соответственно первого или второго рода.
Грюнвальд [3] дал обзор свойств расходимости многочленов
Лагранжа. В этой статье рассмотрен также вопрос о сходимости интерпо-
интерполяционных многочленов Лагранжа и Эрмита в предположении, что абсцис-
абсциссы образуют «нормальную» последовательность.
E) Наконец, Балаж и Туран [1], [2] и Шураньи и
Туран [1] исследовали различные свойства некоторых интерполяци-
интерполяционных многочленов, узлы которых совпадают с нулями ультрасферических
многочленов. Новой особенностью этих исследований является изучение
интерполяционных многочленов, для которых заданы fix) и fix).
23 Г. Сегё

Г Л А В А XV
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
Напомним, что в § 3.4 мы уже рассматривали механическую квад-
квадратуру Гаусса — Якоби. В настоящей главе мы обратимся к другим зада-
задачам из теории механических квадратур, которые также связаны с орто-
ортогональными многочленами.
15.1. Определения
A) Пусть [а, Ъ] — конечный или бесконечный промежуток и пусть
Sn\ xln<x2n< ... <хпп, а<я1п, хпп^Ь A5.1.1)
представляют собой п различных точек этого промежутка. Пусть далее
Лп : Л1п, Х2п, ..., кпп A5.1.2)
— некоторая последовательность вещественных чисел. Если / (х) — про-
произвольная функция, заданная на [а, Ь], то мы полагаем
?»(/)= S W(*v»). A5.1.3)
v=l
Мы называем числа xvn абсциссами, a A,vn — коэффициентами Котеса меха-
механической квадратурыQn(f). При заданных матрицах {Sn} и {Ап} (тг=1, 2, ...)
нас будут интересовать вопросы сходимости последовательности
^i(/), &(/), .... Qn(f), ..-, A5.1.4)
связанной с данной функцией f{x).
Как и в главе XIV, в тех случаях, когда это не может вызвать недора-
недоразумений, мы будем писать xv и Xv вместо xvn и Xvn-
B) Важным частным случаем является следующий. Пусть {Sn} —
произвольная матрица различных точек на [а, Ь] и пусть и (х)—данная
неубывающая функция. Определим коэффициенты Котеса требованием,
чтобы равенство
ь
/(*)*«(*) A5.1.5)
было справедливо для произвольного яп х. Ясно, что из этого условия
вытекают формулы
ь
lv=\ lv(x)du(x), v = l, 2, . .., п, A5.1.6)
где lv (x) — фундаментальные многочлены A4.1.2) интерполирования по
способу Лагранжа с матрицей узлов {Sn}. В этом случае Qn(f) называется
квадратурой интерполяционного типа.

15.2] ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ КВАДРАТУР 355
Ясно, что квадратура Гаусса—Якоби есть частный случай квадратуры
интерполяционного типа, когда {Sn} — матрица нулей ортогональных
многочленов, соответствующих распределению du (x). Мы имеем другой
интересный случай интерполяционного типа, когда и(х)=х, a {Sn} —
произвольная матрица. Тогда A5.1.5) является обыкновенным интегра-
интегралом от / (х) по отрезку [а, &], который при этом предполагается конечным.
15.2. Общая теорема о сходимости механических квадратур.
Теорема Стеклова — Фейера
A) Теорема 15.2.1 х). Пусть [а, Ъ] — конечный отрезок и пусть
матрицы {Sn} (на [а,- Ъ]) и {Лп} произвольны; пусть Qn(f) определены
посредством A5.1.3). Обозначим через и(х) неубывающую функцию и допус-
допустим, что имеет место «квадратурная сходимость»
ъ
Шп <?„(/)="• \f{x)du{x) A5.2.1)
Tl->OO J
а
для любого многочлена f(x). Тогда необходимое и достаточное условие
для того, чтобы A5.2.1) было справедливо для произвольной непрерывной
функции /(#), состоит в ограниченности последовательности «констант
Лебега»
\Кг\+\Кг\+---+\КпЪ п-^оэ. A5.2.2)
Эта теорема является непосредственным следствием теоремы 1.6
(теоремы Хелли). Нужно отметить, что условие A5.2.1) выполняется,
в частности, для любого многочлена f(x), если рассматриваемые квадра-
квадратуры будут интерполяционного типа (см. § 15.1, B)).
B) В качестве приложения докажем следующую важную теорему
Стеклова и Фейера:
Теорема 15.2.2 2). Пусть [а, Ь] — конечный отрезок и пусть
коэффициенты Котеса {Лп} неотрицательны. Предположим, что квад-
квадратурная сходимость A5.2.1) имеет место для произвольного многочлена
f(x). Тогда квадратурная сходимость имеет место для всякой функции,
для которой существует интеграл Римана—Стилтъеса в правой части
A5.2.1).
В этом случае выражение A5.2.2) будет ограниченным, так как суммы
f \Kn\= Г Kn = Qn(V A5.2.3)
имеют предел при п—> оо. Следовательно, A5.2.1) справедливо для непре-
непрерывных функций f(x). Распространение на функции, интегрируемые
в смысле Римана, осуществляется с помощью теоремы 1.5.4.
Теорема 15.2.2 остается в силе, если строки матрицы {Лп} неотрица-
неотрицательны, начиная лишь с некоторого значения п.
C) Мы получим замечательный частный случай теоремы 15.2.1,
если рассмотрим произвольную квадратуру интерполяционного типа
(определенную монотонной неубывающей функцией и(х)), а в качестве
матрицы {Sn} выберем нули ортогональных многочленов {рп (х)}, ассоци-
ассоциированных с данным распределением da (x). Здесь а (х), вообще говоря,
*) См. Полна. [4], стр. 267, теорема 1.
2) См. В. А. С тек лов [2], стр. 176—179; Фейер [15], стр. 291, Полна [4],
стр. 282, d); Шохат [7], стр. 474 — 476.
23*

356 МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ [Гл. XV
отлична от и{х). Тогда собтношение A5.2.1) будет справедливо для про-
произвольного многочлена f(x).
Квадратура Гаусса—Якоби получается отсюда как частный случай,
когда а (х) = и (х). Тогда коэффициенты Котеса тождественны с коэффици-
коэффициентами Кристоффеля, введенными в § 3.4; они все положительны. Приме-
Применяя теорему 15.2.2, мы получаем следующий результат:
Теорема 15.2.3. Пусть da (x) — произвольное распределение на
конечном отрезке [а, Ъ] и пусть Qn (f) — соответствующая механическая
квадратура Гаусса—Якоби (т. е. xvn являются нулями ортогональных
многочленов рп(х), ассоциированных с распределением da(x), a Xvn — коэф-
коэффициенты Кристоффеля). Тогда «квадратурная сходимость»
ъ
UmQn(f)=[f(x)da(x) A5.2.4)
а
имеет место для произвольной функции f(x), для которой существует
интеграл Римана—Стилтъеса, стоящий в правой части.
D) Другой замечательный частный случай соответствует выбору и(х)=х
с произвольным а(х). При этом мы можем формулировать следующую
теорему:
Теорема 15.2.4 х). Пусть xv — нули ортогонального многочлена
рп (х), ассоциированного с распределением da (x) на конечном или бесконеч-
бесконечном промежутке [а, Ь]. Если Qn(f) означает механическую квадратуру
интерполяционного типа, для которой в условиях § 15.1, B) положено
и (х)=х, то соответствующие коэффициенты Котеса могут быть пред-
представлены в следующем виде:
% kn+l Кп ^ v 1 9 п Н^ 9 Ъ\
Av = V Ъ' (х ) т) Т7~\'
кп рп {xv) pn+i \xv)
где
} \
v—0 v=0 а
A5.2.6)
Обозначения кп и Кп(х0, t) употребляются здесь в смысле, указанном
в B.2.15)гг в C.1.9); xv и A,v пишутся соответственно вместо xvn и Xvn.
Для доказательства напишем A5.1.6) в виде
A5.2.7)
Сравнение этой формулы с равенством C.2.3) доказывает наше утверждение.
В соответствии с C.3.6) мы имеем
sign Xv = sign Kn(xv). A5.2.8)
В частности, если/fn (#) > О на [а, &], то коэффициенты Котеса неотрица-
неотрицательны, и может быть применена теорема Стеклова—Фейера.
Следующее условие является характеристическим для многочлена
Кп(х):
ъ ь
Kn(x)Q(x)da(x)=<\)Q(x)dx, A5.2.9)
а
См. Сегё [17], стр. 94.

15.3] КВАДРАТУРА ГАУССА-ЯКОБИ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ АБСЦИСС 357
где q (х) — произвольный яп. В случае, когда da (x) = w (x) dx, мы видим, что
Кп (х) представляет собой п-ю частную сумму разложения функции [w (x)]'1
в ряд по многочленам рп(х).
E) В следующих параграфах мы рассмотрим ранее упомянутые слу-
случаи, а именно:
(a) и(х) = ос(.х) (см. C));
(b) и(х)=х (см. D)),
где {Sn} — матрица нулей ортонормальных многочленов, ассоциирован-
ассоциированных с распределением doc (#), с дополнительным предположением, что это
классические многочлены.
15.3. Коэффициенты Котеса — Кристоффеля в случае и (х) = а (х)
(квадратура Гаусса—Якоби) для классических абсцисс
A) Мы применим представление C.4.7) коэффициентов Кристоффеля
Xv и расположим нули xv в убывающем порядке для случая многочленов
Якоби и Эрмита и в возрастающем порядке для случая многочленов
Лагерра. Относительно следующих результатов см. Уинстон [1].
Представление A5.3.5) уже было использовано нами в § 14.7.
Если применить D.3.4) и D.21.6), то вторая из формул D.5.7) дает
для абсцисс Якоби формулу
- _ 2а+Р+1 Г (гг+а+1) Г (я + Р + 1) (, 2 rl [p(ci_ pv , у-2
v=l, 2, ..., л, а>-1, р>-1, A5.3.1)
и, в частности, для улыпрасферических абсцисс (см. D.7.1) и A.7.3))
К = 22~2
v=l, 2, .... п, А,>—|-, ХфО. A5.3.2)
При А,=0 (случай Мелера) w (x) = (l—x2) z мы находим, что
?ц = ^, v=l, 2, ..., п, A5.3.3)
т. е. Х1=Х2— . . . =Кп. При Я=1, т. е. в случае w (х) = A—х2) 2 , мы получаем
^ = ^I(l-x|)=^Isin^, v=l, 2, ..., п. A5.3.4)
Для абсцисс Лагерра из E.1.10) и E.1.14) мы имеем
^v = Г г" (t+t)i} rtiW (xv)}'2, v=l, 2, .... n, a>-1,A5.3.5)
а для абсцисс Эрмита из второго тождества E.5.10) выводим равенство
1
Xv = n^2n+1n\{Hn(xv)Y2, v=l, 2, ..., и. A5.3.6)
B) В случае абсцисс Якоби рассуждение § 7.32, B) показывает, что при
1 1
а> — уи р > —у та часть последовательности К1Ч ... Дп, которая соответ-
соответствует нулям xv > #0 (см. G.32.1)), является возрастающей, а та, которая
соответствует нулям xv < х0, является убывающей. Противоположное
11 11
утверждение имеет место, когда a < —т , р < —- . Если a >——, р < — —

358 МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ [Гл. XV
\ 1
или же а < —— , Р > — -г , то вся рассматриваемая последователь-
последовательность в первом случае будет возрастающей, а во втором — убывающей.
В случае ультрасферических многочленов это рассуждение приводит
к неравенствам
К < ^2 < • • • < 4(n+i)/2] при "к > О A5.3.7)
и неравенствам
кг > Х2 > . . . > Ь[(П+1)/2] при X < 0. A5.3.8)
Соотношение симметрии (задача 11) приводит к аналогичным утверждени-
утверждениям для остальных A,v. Значения A5.3.3) соответствуют случаю А,=0. Для
многочленов Лежандра выполняется A5.3.7).
В случаях абсцисс Лагерра и Эрмита мы применяем рассужде-
рассуждение § 7.6, A). В случае абсцисс Лагерра последовательность А,1? А,2, ...Д,г
1 1
является возрастающей для xv <.а-\--тг и убывающей для xv>a-\- у.
В случае абсцисс Эрмита мы имеем (х1 > #2 > ...)
^1<^2< -.. <%п+1)/2]. A5.3.9)
C) В случае абсцисс Якоби, если мы положим xv = cos 0V и допус-
допустим, что 6V принадлежит фиксированному отрезку, лежащему внутри
[0, л], то асимптотическая формула Дарбу (см. (8.21.10) и (8.8.1)) дает
соотношение
^J A5.3.10)
Здесь при а=р=—- символ ^ может быть заменен знаком равенства
в соответствии с A5.3.3). То же самое будет верно ив случае а=р = +-^-
(см. A5.3.4)), если мы заменим п на /z-f-1. С другой стороны, при фикси-
фиксированном v и п—>оо, используя соотношение (8.1.1), мы получаем
-2a-2, A5.3.11)
где/v есть v-й положительный нуль функции /a(z). ( Здесь символ ^
может быть заменен знаком равенства, когда ос=р = —^ . ) Следовательно,
учитывая свойство монотонности, доказанное в B), мы имеем равно-
равномерно по v оценку
fkv=,O{nl) или О(п-2<*-2), 0<6v<jt-8, A5.3.12)
в зависимости от того, будет ли a > —^ или жеа< —-^ . Здесь е — фик-
Z Z
сированное положительное число.
Применяя рассуждения и обозначения § 7.32, C), мы легко замечаем,
что при возрастающих v, v>v0, последовательность
f) ^ A5.3.13)
l / 0 N
(cosf)
будет возрастающей или убывающей в зависимости от того, будет ли
1 1
а2 > -г или а2 <-г- , и 0 < 0V < б, где б — достаточно малое положительное
число. (Когда п достаточно велико, ф FV) > 0, v>v0.) Таким образом,
A5.3.13) имеет равномерно порядок п, если 0<6v<6. В силу A5.3.10)

15.4] СЛУЧАЙ и{х)~х ДЛЯ АБСЦИСС ЯКОБИ 359
и A5.3.11) при 0 < 6V < л;—е это дает (см. (8.9.1))
a-29 0 < 6V < Я - 8; A5.3.14)
иными словами, отношение этих выражений ограничено сверху и снизу
положительными постоянными при произвольных v и п, когда O<0V<л;—8.
Выражение в правой части A5.3.14) достигает своего наибольшего значе-
значения при v~n или v—1 в соответствии с тем, будет ли а >——или
<*<; —ту. Это опять дает A5.3.12). Аналогичные результаты могут быть
получены при условии, что 0V лежат на отрезке 8<6v<jt.
D) В случае абсцисс Лагерра, когда 8<^v<co, мы получаем
{см. (8.22.1) и (8.8.4))
К = Кп = ne~Xvxv 2п 2, п—>оо, A5.3.15)
где 8 и со — фиксированные положительные числа. С другой стороны, если
у фиксировано и п—>оо, то из (8.1.8) мы находим
1 \ '~*~' ( -,' /О\2а Г Т I -,' \l-2x-,— а— 1 (\ ^ Q \ ОЛ
Av = A/Vn, r= \Jv/ ^) I** Ot, \ JV)} И ? ^lO.O.lDj
где /v имеют те же значения, что и выше.
Применяя рассуждение, подобное тому, которое было проведено в слу-
случае абсцисс Якоби, к четвертому из уравнений E.1.2) и учитывая рас-
рассуждения § 7.6, B), мы заключаем, что последовательности
A5.3.17)
■2а+2 — ху " '~9 ^
монотонны при возрастающем v, если а2<-т-и 0<^v<;co.B случае, когда
2 . 1
az > —, эти последовательности состоят из двух монотонных частей
(v>v0). В соответствии с A5.3.15) и A5.3.16) мы устанавливаем, что
вторая из последовательностей A5.3.17) будет равномерно порядка п 2 , т. е.
A5.3.18)
В силу (8.9.10) мы можем написать
J^^v20^1/!-*-1, 0<xv<co. A5.3.19)
Условие xv = O(l) эквивалентно условию v = O(n2).
15.4. Квадратура интерполяционного типа в случае и (х) = х
для абсцисс Якоби
A) В этом параграфе мы докажем следующую теорему:
Теорема 15.4. Допустим, что а>—1, р> — 1, и определим механи-
механическую квадратуру Qn(f) следующими условиями:
(a) />(а,Э)(^)=0, v=l, 2, ..., п, 1
п I
(b) <?п(яь) = 2 М
v=i -1

360 МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ [Гл. XV
3
Предположим, что max (ос, Р) ■< у . Тогда для произвольной непрерывной на
отрезке [ —1, +1] функции f (х) справедливо соотношение
+1
Нт0я(/)= \ /(s)ds. A5.4.2)
Если числа а и Р таковы, что max (а, Р) > -х- , то существует такая непре-
рывная функция f(x), для которой A5.4.2) не имеет места.
Обратим внимание на разницу между этой теоремой и теоремой 15.2.3
За исключением частного случая max (а, Р)^-^- »а Ф Р> эта теорема была
доказана С е г ё ([17], стр. 102—108). Приведенное здесь доказательство
проще; оно основано на оценках G.32.5) многочлена Р<&> Р) (х) и на теореме
8.9.1 относительно его нулей. Мы используем здесь обозначения, приня-
принятые в § 14.4.
3 3
B) Допустим сначала, что ос<у, р<-—. Мы должны доказать огра-
ограниченность суммы A5.2.2), где Xv=Xvn определены с помощью A5.4.1). Мы
рассмотрим Xv только в случае 0<#v < 1, или 0 < 6v< я/2. Для оценки
остальных значений мы можем применить D.1.3). В силу (8.9.2) имеем
Qdd. A5.4.3)
—J-
cos0 — cos0A,
о v
Разобьем последний интеграл на пять частей I, II, III, IV, V, соответству-
соответствующих следующим промежуткам интегрирования:
6v 36v
I A5.4.4)
и заметим, что отношение (б2—0^)/(с°8б —cos0v) ограниченно на всех
этих отрезках.
Так как ьг=О (гГ1), то
Bi/2
о "
Далее, применяя (8.21.18), получаем
ev/2 __ JL ev/2 _a_ J 1
11= \ COse_eoSe cosGV0 + Y)sin0rfe + ^(l) V —^-^—d0. A5.4.6)
0i/2 V 6i/2 V~
Первая из подынтегральных функций может быть записана в следующем
виде:
гс"9^ fl2 9@v, 0)cosGV0 + y), A5.4.7)
где функция ф FV, 8) и ее частная производная по б остаются ограниченными
на рассматриваемом отрезке (равномерно по v). Стало быть, интегриро-
интегрирование по частям дает
fl-a+1 -1 ev/2 з е^''2 f -«+ |
e. A5.4.8)

15.4] СЛУЧАЙ и(х)=х ДЛЯ АБСЦИСС ЯКОБИ 361
Здесь символ [/ (б)]а означает f(b)—f(a). Простое вычисление дает для
первого слагаемого в A5.4.8) (см. (8.9.1)) оценку
о о Я 1 Ч
О (гГ \а~ 2) + О (гГ\а+ \2) - О (v~a~ V*) + О (v~2na), A5.4.9)
а для второго слагаемого оценку
0. A5.4.10)
8i/2
Мы легко усматриваем, что A5.4.10) может быть комбинировано со вторым
интегралом из П. Полагая в этом интеграле 0 — 0v:r, мы получаем
3 3 2 -а-±
S T^ A5.4.11)
8i/B6v)
hi ижнии предел интегрирования -~ ~ — , так что последний интеграл
будет величиной порядка O(v 2), O(lnv) или 0A) в зависимости
11 1
от того, будет ли a > — , a = — или же a < —. Следовательно,
i_ 3
II=:6>(v-V*), O(v-2n2\nv) или O(v a 2O A5.4.12)
11 1
в зависимости от того, будет ли а>—, а = — или а< —.
At iL Zj
В силу (8.8.2) имеем
3V2 .
(- _I cosGV64-y) — cos(A^6v + y) -a-- -i
111= 5 „ 2M6v) c^cos; V + Y)Sin6^ + O(l)9v 2П 2fl2.
5
9/9
A5.4.13)
Здесь n 2k(bv) — O(n 20v 2)==O(v 2/гаO и та же оценка справедлива
для второго слагаемого. Кроме того,
V
II •
•v/2 Sm"
sin I
36v/2 0_6v
■sin( N~—7r^ + Nby,4-y )db + O(l) =
'v
>bv/A 0 —6V
Г sin A^ —T—
' A5.4.14)
/2
так как |sin0 —sin@ 4-0v)/2| < | @ —0V)/2| и выражение ev[sin@ + 6v)/2]~1
ограниченно. Слагаемое с cosGV0v + y) обращается в нуль, так как подын-
подынтегральное выражение является нечетной функцией относительно 0 — 0V-

362
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
[Гл. XV
Знаменатель в последнем интеграле может быть заменен через F — 0v)/2.
Из этого вытекает, что интеграл A5.4.14) ограничен и, следовательно,
HI = 6>(v~a~%*). A5.4.15)
Далее, как и в II, получаем
Зя/4 ^ -a+i Зя/4 —ее— ^ — |
IV = \ п~*^~-^у(^, b)cos(N0 + y)dQ + O(i) J 6 Q2_,;2 db,
Зву/2 V 38v/2 V
A5.4.16)
первый из этих интегралов равен
£ Г е-а44-|Зя/4 3 Зя/4
30v/2
3
30v/2
3 Зя/4 -a-g
n~ 2) [ —2 ~
36v/2 V
A5.4.17)
Полагая 6 = 6V^, мы имеем
3Зя/4 -a-i _ з 3 3«/<4»v> -a-i
П z
38v/2
откуда
IV-O(v 2A2a). A5.4.19)
Наконец, вторая теорема о среднем дает (ср. D.21.7), а также
7.32, B))
6'
= — (cos 6v — cos [Sjt/4]) \ P{n' P) (cos 6) sin 0 dd =
Зя/4
я. A5.4.20)
о
Здесь мы использовали допущение, что р< —. Отсюда
3 _a—i --
%a-2(v22a + V a 2A2a+A2 2)
Во всех случаях мы получаем
0<xv<l
2). A5.4.21)
A5.4.22)

15.4]
СЛУЧАЙ и(х)=х ДЛЯ АБСЦИСС ЯКОБИ
363
что доказывает ограниченность A5.2.2) и первую часть утверждения
теоремы.
C) Предположим теперь, что а>|3, а> —• Допустим, что 6V лежит
на фиксированном отрезке [а, Ь], 0 < а < Ъ < я; тогда v^<n, и число
нулей 6V, удовлетворяющих этому условию, тоже —п. Пусть е и со —
фиксированные положительные числа, причем е < min (a, jt — Ъ). Разобьем
рассматриваемый интеграл на части I, II, III, IV, V, соответствующие
следующим промежуткам интегрирования:
°<0<Г' ^<0<Qv — 8> 0v — e<0 <6v+ e, )
Тогда
~
A5.4.23)
^ Р{*Л) (cos 6) sin Odd +0A) jj |i>,(?'P)(cose)|62de. A5.4.24)
6 0
Первый из этих интегралов мы можем • вычислить, учитывая D.21.7),
и мы получим (см. G.32.5))
+ О
(П«-3). A5.4.25)
Постоянная, входящая в O(na~2), не зависит от со, Таким же образом мы
находим, что
со
7Х
Y = (-1)n\^ir
о
-2
), A5.4.26)
где постоянная, входящая в О(пР~2), не зависит от со. (При р = 0 первое
слагаемое равно нулю.)
Кроме того,
i, \ ."
(n 2)
8v*f e
, 3
-СО "^20(^-2)+Щ ^20(^-2) +О (П 2). A5.4.27)
Здесь остается в силе предыдущее замечание относительно постоянных
под знаком О.
Наконец, в силу (8.8.2) имеем
-4i / n vr 8cos(ive + Y)-cos(ivev+Y) . , , п/ -\,
UI = n 2ft Fv) \ cos6_cos6v sinede+ 0(n 2) =
sin TV
sin -
). A5.4.28)

364 МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ [Гл. XV
Последний интеграл равен О (Inn) (см. Зигмунд [2], § 8.3); отсюда
\_
П1 = О(п~*1пп). A5.4.29)
3_
2
о
Допустим теперь, что а>р, а>^-; тогда предыдущие результаты
дают
A5.4.30)
где 0A) не зависит от со. Отсюда благодаря A5.4.3) получаем
_ з
2 |Xv|~rca~2. A5.4.31)
О
В более сложном случае a = р > - - мы находим
I + 11 + III + IV + V^
тЦ 1—1—1г + 1Т^-г/)G1)ПГ + ^""^ *° (!I + о (тга~2), A5.4.32)
(a) 1 — cos 0V ' r(a)l-i-cos6v ' v '] v n \ r
где О A) опять не зависит от со. Это приводит к тому же результату A5.4.31).
15.5. Другой метод для случая ультрасферических многочленов
В случае ультрасферических многочленов а = р сходимость A5.4.2)
вытекает из следующей теоремы:
Теорема 15.5. Пусть — 1 < a = Р < — . Тогда коэффициенты
Котеса Xv, определенные формулой A5.4.1), все положительны при доста-
достаточно большом п. В случаях —1<а=р<0 и — < а = р < 1 утверждение
справедливо для всех значений п.
В силу теоремы Стеклова — Фейера (теоремы 15.2.2; см. последнее»
замечание в § 15.2, B)) это действительно приводит к новому доказатель-
доказательству теоремы сходимости § 15.4 и притом даже для функций, интегрируе-
интегрируемых в смысле Римана. Весьма вероятно, что Xv > 0 при всех п, когда;
В связи с настоящим параграфом см. Сегё [17], стр. 95 — 99,,
109—110, где доказана положительность Xv для —— <а = р<0 и для
некоторых других частных случаев.
A) Мы доказываем, что Xv > 0, устанавливая положительность функ-
функции Кп (х) = К{п](х) (см. § 15.2) при — 1 < х < + 1; здесь da(х) ==
к-- 1
= A — х2) 2 dx,, где X = a-\--j (см. A5.2.8)). Мы будем предполагать
в этом параграфе, что п четно, так как при п нечетном последний
интеграл в A5.2.6) равен нулю.
В соответствии с D.7.15), D.7.14) и D.7.3) мы имеем (см. A.7.3)):
= 0, 2, 4, ...,7i. A5.5.1)

15.5] СЛУЧАЙ УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 365
Пусть X < 2. Благодаря теореме 9.1.2 из замечания, сделанного в связи
с формулой A5.2.9), при —1<#< + 1 вытекает соотношение
lim К^ (х) - A - х2J ~\ A5.5.2)
П->оо
причем равномерно на отрезке — 1 + е<#<1 —е.
B) Допустим сначала, что 0 < X < — . Тогда
4Я) > 0, ^т} < 07 т = 2, 4, 6 .. . A5.5.3)
Кроме того, тригонометрический косинус-многочлен PW(cos0) имеет
неотрицательные коэффициенты (см. D.9.19)). Следовательно, /£W(cos0)
достигает своего минимума при 0 = 0, причем этот минимум убывает с воз-
возрастанием п. Далее имеем
,2-2* Г Bk) x
•т=0, 2, 4, ...
x 2
??г=0, 2, 4, . . .
O2-2A, ГBА, —1)
~"9" m=0, 2, 4, ...
( } (
1 1
и доказывает утверждение для 0 < X < у. Если ^=у, то dj£> = 0,
= 2, 4, 6, ..., и AW(a;) = l. В предельном случае, когда X—>0, мы
находим, что
lim *»> (cos 9) «J.-^. 2(^-5^) сов «в, - = 2,4, ...,„.
A5.5.5)
Таким образом, этот случай может быть рассмотрен, как и предыду-
предыдущий (см. С е г ё [17], стр. 96).
C) Предположим затем, что —j < X < 0. В этом случае d$ > 0.
В силу D.9.19) коэффициенты тригонометрического многочлена
неотрицательны, за исключением старшего коэффициента при cosm0,
который отрицателен, т > 0. Таким образом, коэффициент при произ-
произвольном cos тд (т > 0 и четно) в /£W (cos 0) представим в виде суммы
— и0 + иг + 1г2 -f ... -f w^, где и0, uv . . ., их неотрицательны, I — (п — т)/2.
Если т фиксировано, а п—>оо, I—> оо, то это выражение стремится
к коэффициенту при cos mb в разложении функции A — я2J = | sin 011-2^.
Но он отрицателен (см., например, Полна иСегё [2], стр. 31 — 32),
так что это верно и для частной суммы —ио + и1 + и2+...-{-и1. Следо-
Следовательно, /£W (cos 0) опять того же типа, что и в предыдущем случае,
и достигает своего минимума в точке 0 = 0. Слагаемые d^Pfy A) отри-
отрицательны при всех т, за исключением т = 0. Тем самым утверждение
доказано.

366 МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ [Гл. Х\^
D) В случае 1 < X <; -~г мы исходим из тождества
{l-x2)Kik)(x)==K{nk-1)(x) + akPAkl]A)(x), n четно, A5.5.6)
где о^ —некоторая надлежащим образом выбранная постоянная. Мы
легко устанавливаем (полагая х = 1 или сравнивая старшие коэффициенты,,
см. D.7.9)), что ах < 0. Для дальнейших целей напишем а^ в явном виде:
Для того чтобы доказать A5.5.6), возьмем произвольный многочлен
п-й степени q (х) и, учитывая A5.2.9), напишем
, з
) 2
$ (A - х2) 2 [^-1}(г) + аяР^Ч^)]- 1) Q И^ = 0. A5.5.8)
-1
где сг^ определяется из условия, чтобы правая часть A5.5.6) обращалась
в нуль при х=1.
В соответствии с результатом п. B) коэффициенты при cosm0, т > 0г
в правой части A5.5.6) опять неположительны, и минимум достигается
при 0 = 0, т. е. х = 1; отсюда вытекает, что A — х2) Kffl (х) > 0г
-1 <х<+1.
Это рассуждение требует лишь небольшого видоизменения при X = 1
(см. С е г ё [17], стр. 96-97).
E) Теперь докажем, что Kffl (х) > 0 при — 1 < х < + 1 для достаточно
больших п, когда -^ < X < 1 или ^-<А,<2.
Мы можем предполагать, что п четно и что 0 < х < 1. Пусть сначала
А,<1. Из G.33.6) при 6>с/г1 мы имеем
Р{^ (cos e) = Ь~К О (пК-1). A5.5.9)
Из A5.5.2) при четном п имеем
S IM^Hse)!. A5.5.10)
m=n-{-2, n-j-4, ...
Последняя сумма (см. A5.5.1)) равна
О(])^]т-[д-КтК-1 =д~КО(п^-1), A5.5.11)
так как гГ1 > т'1 и X < 1; это дает
при достаточно большом ии§> сп'1, где с — надлежащим образом выбран-
выбранная положительная постоянная.
Это рассуждение остается в силе и при Х = 1, если внести следующее
изменение. Мы имеем (см. D.7.2))
/vn ^иьи; — я ^ m_L1 sin0 — Sin0 jtZ-'m+l sin6
Здесь т четно; в первой сумме m<n, а во второй сумме т > п. Приме-
Применяя A.11.6), находим, что
К{п{) (cos 6) - (sin 0) + б О (п'1) > 0 A5.5.12)
при е > сп'1, с > 0.

15.5] СЛУЧАЙ УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ 367
В случае -\j < X < 2 мы используем A5.5.6) и A5.5.7); принимая во
внимание предыдущий результат, мы получаем
A5.5.13)
что опять доказывает положительность К^ (cos ft) при б > с'п'1, где с' —
надлежащим образом выбранная положительная постоянная. При Х — 2
мы применяем A5.5.12). Так каксг2 = — 2/п + О (п~1), то при б > с/п1 имеет
место неравенство
sin26 K{f; (cos 0) > ( 1 — -|Л (sin 0) ^ +
+ ОО (л) + О (гГ1) (sin б) > 0. A5.5.14)
Наконец, допустим, что б > 0, ft=O (n~l), n четно. В соответствии
с D.7.1) мы имеем ( Х = а-\-— ) :
где т = 0, 2, 4, ..., д. При а>0 благодаря (8.1.1) мы получаем
т = 2, 4, ...,/2. A5.5.15)
Если и—>оо, то первое слагаемое в правой части будет
^21-а{Г(а)]-1И2аж-2а/а(ж)
равномерно по х, 0<х<ж0, где
^2а-' {(te)~a/a (to)} Л. A5.5.16)
о
Второе слагаемое равно о(п2а), а > 0.
Очевидно, limx~2a/a(x) существует и положителен. Докажем, что це-
лая функция /а (х) > 0 при х > 0, если только 0 < а <-^- .
Имеет место представление (см. В а т с о н [3], стр. 170, C))
-- оо
2
A5.5.17)
11 1
при —- < a < + -ту . Предполагая, что 0 < a < — , мы можем проин-
тегрировать по частям. Мы получим, таким образом, следующее представ-
представление:
1

368 МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ [Гл. XV
справедливое при 0 < а < -у. Это приводит наше утверждение к иссле-
исследованию частного случая
rl sin * — cos 0 dt = ^ f sin * eft — sin ж. A5.5.19)
0
Эта функция возрастает при 0 < ж < tx и убывает при ^ < х < £2> гДе ^i
и ^2 — наименьшие положительные корни sin t—tcos £ = 0, £х < 2л < ^2.
Таким образом, нам нужно доказать лишь, что /з (х) > 0 при я> 2я. Но
2
при х > 2л; мы имеем
r1sinf^ = -^-— \ Г1 sin tdt. A5.5.20)
6 X
В соответствии со второй теоремой о среднем значении абсолютная вели-
величина последнего интеграла меньше, чем 2л: <2 Bя)~1. Следовательно,
левая часть A5.5.20) больше, чем -^-— 2 Bл;) > 1.

ГЛАВА XVI
МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ
В главе XI были введены некоторые системы многочленов, играющих
на единичной окружности такую же роль, какую играют исследованные
раньше ортогональные многочлены на вещественном промежутке. Мы да-
дадим здесь краткий обзор дальнейших обобщений, в которых используются
спрямляемые жордановы кривые вместо единичной окружности или
вещественного отрезка.
16.1. Предварительные сведения; определения
A) Пусть Т — односвязная область комплексной я-плоскости, содер-
содержащая внутри себя точку х = оо; пусть граница С области Т представляет
собой континуум, состоящий из конечного числа спрямляемых жордано-
вых дуг. При интегрировании вдоль С части границы С описываются
в произвольном фиксированном порядке; вдоль дуг, имеющих характер
разреза, интегрирование производится дважды. Рассматриваемые инте-
интегралы имеют вид
" f(x) \dx\. A6.1.1)
5
Функция / (х) определена на С и интегрируема в смысле Лебега, а \dx\-
элемент дуги на С. Будем обозначать общую длину границы С через Lr
считая разрезы дважды.
Исключительно важным является случай спрямляемой жордановой
кривой. Другой замечательный случай — это случай жордановой дуги.
Случай конечного отрезка относится к этому типу.
B) Пусть
x^cf(z) = cz+co+c1z i + c2z-2+..., c>0, A6.1.2)
— аналитическая функция, регулярная и однолистная при \z\ > 1, кото-
которая конформно отображает |я|>1 на область Т, сохраняя неподвижной
бесконечно удаленную точку и направление в ней. В соответствии с тео-
теоремой Осгуда и Каратеодори (Каратеодори [1], стр. 86) функция
ф (z) непрерывна в области | z | > 1 и осуществляет взаимно однозначное и
непрерывное соответствие между единичной окружностью | z | = 1 и грани-
границей С области Т (описываемой в порядке, указанном выше). Функция
ф (z) определена однозначно; число с называется трансфинитным диа-
диаметром (константой Робена, емкостью) кривой С (см. § 16.2, E)).
Пусть С— жорданова кривая и пусть х0 — заданная точка внутри С.
В этом случае мы можем рассматривать также функцию
1z + d2z2+ . . ., d±> 0, A6.1.3)
которая регулярна и однолистна в круге |^|<1 и которая осуществля
конформное отображение круга |z|<l на внутреннсть U кривой С; он
24 Г. Сегё

370 МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ [Гл. XVI
переводит начало 2 — 0 в точку* # = ;г0 и сохраняет направление в начале;
ij? (z) также однозначно определена и непрерывна в замкнутом
круге | z | < 1.
Для отрезка — 1<х<+1 мы имеем ш (z) = -^-(z + z) (см. § 1.9), но
г|э (z) в этом случае смысла не имеет. Для окружности |#| = 1, хо^О, мы
имеем ф (z) — ij? (z) = z.
Функции, обратные к функциям A6.1.2) и A6.1.3), обозначим соответ-
соответственно z = O(x), z = xP(x).
Особенно простым случаем является тот, когда граница С области Т
(или U) состоит из конечного числа аналитических дуг. Тогда ф (z) ана-
литична на | z \ = 1, за исключением конечного числа точек, соответствую-
соответствующих угловым точкам С. Длина части дуги С, соответствующая z = eie,
0!< 0 < 02, может быть записана в виде
'(в*в)|й6 A6.1.4)
(аналогично для отображения A6.1.3)).
C) Пусть С — жорданова кривая, a w (x) — положительная непрерыв-
непрерывная весовая функция, определенная на С. Затем рассуждения § 10.2 могут
быть применены к функциям йу[ф(<?~10)] и w[ty(eib)], которые Положитель-
Положительны и непрерывны на единичной окружности z = eie; — л < 0 < + я. Под-
Подставляя в соответствующие аналитические функции De(z) иОг (z) функции
я = {ф (я)}'1 и z — ^(х), мы получаем некоторые аналитические функции
Ае (х) и Аг(х), которые обладают следующими свойствами:
(a) Ае (х) регулярна в Г, включая х == оо, Аг(х) регулярна в TJ\
(b) Ае(^)¥=0, А,(^)¥=0;
(c) Ае (оо) и Д. (ж0) вещественны и положительны.
Кроме того, мы имеем
lim |Ae(xe)|a=lim \Ьг(хг)\* = и>{х), A6.1.5)
где хе —> х означает стремление извне к точке х границы С, a xi —-> х указы-
указывает на стремление изнутри к точке х границы С. В обоих случаях сходи-
сходимость равномерна относительно х.
Эти рассуждения могут быть обобщены, если заменить требование
непрерывности w(x) более общими условиями, а также кривую С более
общим точечным множеством. Если С является дугой (в частности, если
С—конечный отрезок), то функция Аг(х) не имеет смысла.
D) Мы определяем скалярное произведение двух функций / (х) и g (x)
на С интегралом
(/, g)=i\ f(x)W)\dx\. A6.1.6)
С
Следовательно, мы можем ортогонализовать систему
1, х, х\ ...,хп, ..., A6.1.7)
причем этот процесс приведет нас к системе многочленов, однозначно опре-
определяемых следующими условиями:
(a) ра (х) — многочлен степени п с вещественным и положительным
коэффициентом при хп\
(b) система {рп(х)} ортонормальна, т. е.
J Р (^)АЛ^)^(^) 1^1 = enm, n,m = 0, 1, 2,... A6.1.8)

16.2]
ФОРМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
371
Если С — конечный вещественный отрезок или единичная окруж-
окружность, то мы получаем многочлены, которые были рассмотрены нами
раньше. В следующих параграфах мы остановимся на некоторых основных
свойствах многочленов рп(х), которые могут быть классифицированы сле-
следующим образом: формальные свойства (минимум-максимум свойства,
нули), асимптотическое поведениерп (х) при п—> со, когдах лежит внутри С,
асимптотическое поведениерп (х) прип—>оо, когда х лежит вне С, асимпто-
асимптотическое поведение рп (х) при п—> со, когда х лежит на С.
Мы даем лишь краткие указания относительно доказательств, в осо-
особенности в тех случаях, когда они не существенно отличаются от рас-
рассуждений, примененных в предыдущих частных случаях.
По поводу определений и основных свойств ортогональных многочле-
многочленов см. С е г ё [5] и У о л ш [1], глава VI. Большинство этих свойств
имеет аналоги для многочленов, ортогональных по области С/, лежащей
внутри С; они соответствуют следующему определению скалярного про-
произведения:
A6.1.9)
где А — площадь, a da- элемент площади области U. Эти многочлены
были исследованы Карлеманом ([1], стр. 20 — 30). Здесь также
может быть введена весовая функция.
16.2. Формальные свойства
A) Пусть Dn > 0 — детерминант положительно определенной квадра-
квадратичной формы (см. B.2.8) и A1.1.4))
... +unxn\*w(x)\dx\ =
2
v, [х=0, 1, 2,. . ., п
к — — ^
A6.2.1)
A6.2.2)
(см. B.2.1) и A1.1.2)). Ортогональные многочлены рп(х) могут быть пред-
представлены следующим образом (см. B.2.6), B.2.10) и A1.1.9)):
X
V,
=0,
П
1, 2,..
1
) 2
!
. п—
Ко
^01
...к.
пО
п1
... \ {x-xo)(x-Xl)...
с с
(x0) w (хг) ...w (хп_г) | dx01
... | dxn_1 \.
A6.2.3)
24*

372 МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ [Гл. XVI
Мы имеем (см. B.2.7), B.2.11) и A1.1.5))
Ai = [^V|i]v, ц=0, 1,2 п =
С v, ii=0, 1, 2,. . ,,п
V<JLl
• . • w (xn) \dxo\\dXl\...\ dxn |. A6.2.4)
BI) Пусть f(x) — непрерывная функция, определенная на С. Тогда
частные суммы sn (x) ряда Фурье
[f(*)KW\d*U " = °> 1, 2,...,
с
минимизируют интеграл
$ A6.2.6)
с
где q (ж) пробегает множество всех яп. Минимум равен
l2-|/i|2-----|/J2. A6.2.7)
Это дает также неравенство Бесселя
l/o|2+|/il2+|/2|2+-.- <j;[\f(xyw(x)\dx\. A6.2.8)
с
Пусть С — спрямляемая жорданова кривая и пусть / (х) — аналити-
аналитическая функция, регулярная внутри С и непрерывная на С. Тогда в A6.2.8)
нужно поставить знак равенства; иными словами, справедливо равенство
Парсеваля. Это вытекает из теоремы 1.3.4.
В. И. С м и р н о в [1] исследовал справедливость этой формулы для
более общего класса функций /(#), для которых
/Н> (г)}/),(*) WW A6.2.9)
принадлежит классу Н2 в круге |z|<l (см. § 10.1); здесь мы исполь-
используем обозначения, введенные раньше. Равенство Парсеваля имеет место
для этого класса тогда и только тогда, когда отображающая функция
if> (z) удовлетворяет условию
4 $ %;~% 1. A6.2.10)
См. В. И. С м и р н о в [1], стр. 164 — 168. Как показали М. В. К е л-
дыш и М. А. Л а в р е н т ь е в [1], существуют спрямляемые кривые,
для которых требование A6.2.10) не удовлетворяется.
C) Пусть q (х) — произвольный тсп со старшим коэффициентом еди-
единица. Тогда
min -i- J | q (x) \2w{x) | dx \ A6.2.11)
\_
достигается в том и только в том случае, когда q (х) = (Dn/Dn_^pn (x)
и минимум этот равен DjDn_1.
г) В связи с рассуждениями пп. B), C), D) см. §§ 3.1, 11.1, 11.3.

16.3] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ Кп(х0, х) 373
D) Пусть ^ — произвольная, но фиксированная точка комплексной
плоскости и пусть Q (х) — произвольный зтп, удовлетворяющий условию
q(xo) = 1. Тогда минимум интеграла A6.2.11) достигается для q(x) =
=-{Кп(хОзхо)У1Кп(хО1хI где
Кп(х0, х) = ро(хо)ро(х)+ .. . +Рп(осо)рп(х). A6.2.12)
Минимум равен {Кп (х0, ^о)}. (Этот же результат может быть выражен
как некоторое максимальное свойство; см. § 3.1, C) и § 11.3.) Характе-
Характеристическим свойством «ядра» Кп(х0, х) является равенство
='^), A6.2.13)
где q (х) — произвольный пп (см. C.1.12)).
Используя Кп (х0, х), мы можем представить п-ю частную сумму sn (x)
разложения A6.2.5) в следующем виде:
x)w{l)\dl\. A6.2.14)
E) Экстремальная задача, рассмотренная в C), может быть обоб-
обобщена, как и в случае отрезка (§ 3.11). В частности, задача о чебышевском
уклонении, соответствующая A6.2.11), состоит в определении минимума
max | q (х) | при х £ С, где q (х) — произвольный я;п со старшим коэффициен-
коэффициентом единица. Многочлены, решающие эту задачу, были исследованы
Ф а б е р ом [3]. Если ^ — рассматриваемый минимум, то (Ф а б е р [3])
п->оо
где с—трансфинитный диаметр, определенный в § 16.1, B). Мы увидим,
что аналогичная формула справедлива для минимума в задаче C)
(см. A6.4.3)).
Фекете [1] распространил определение трансфинитного диаметра
для произвольного замкнутого множества в комплексной плоскости, дока-
доказав, что для соответствующего минимума \хп (который имеет смысл, если
мы заменим кривую С произвольным замкнутым множеством) предел
A6.2.15) существует.
Обобщенный трансфинитный диаметр является замечательной функ-
функцией множества, которая может быть явно вычислена в различных слу-
случаях (см., например Сегё [5], стр. 254).
Относительно распространения результата, приведенного в § 3.11, E),
на произвольную кривую см. Ж ю л и а [1].
F) Нули рп (х) лежат в наименьшей выпуклой области, содержащей
кривую С. См. Сегё [5], стр. 236 — 241; Ф е й е р [7]. Доказательство
может быть основано на рассуждении, подобном тому, которое применя-
применялось в § 3.3, B) (см. также § 16.4, A), (а)).
Относительно распределения нулей «ядра» Кп (х0, х) см. Сегё [5],
стр. 241 — 244; см. также теорему 11.4.1 и задачи 5 и 49.
16.3. Асимптотическое поведение Кп(ж0> х) внутри кривой С
A) В этом параграфе мы предполагаем, что С является аналитической
жордановой кривой и что весовая функция w (x), определенная на кривой С,
положительна и непрерывна на ней. Пусть х0 — произвольная точка, лежа-
лежащая внутри С; обозначим через z = W (х) = W (хо,х) функцию, обратную

374 МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ [Гл. XVI
к отображающей функции x = ty(z), которая определена формулой A6.1.3).
В этом случае ty(z) регулярна и однолистна в некотором круге |z|<;jP,
где Р > 1. Пусть Aj (х) имеет тот же смысл, что в § 16.1, {3). Мы
докажем следующую теорему:
Теорема 16.3. Пусть {рп (х)} — последовательность ортогональных
многочленов, определенных условиями A6.1.8). Тогда ряд
+... +рп(х0)рп(х)+... A6.3.1)
сходится, если х0 и х — произвольные точки внутри С. Сходимость равно-
равномерна по х0 и х, если обе точки хоих принадлежат замкнутому множеству,
лежащему целиком в С. Кроме того, мы имеем
К (х0, х) = ±'А (т0) А. (*)}"! {Ч" (*0) ЧГ (х)}\ A6.3.2)
Случай w(x) = l см. Сегё [5], стр. 244 — 251. Допущения этой
теоремы относительно w(x) ж С могут быть обобщены (см. В. И. Смир-
Смирнов [2], стр. 353 — 356). Для жордановой дуги (в частности, для
отрезка) эти рассуждения смысла не имеют. Для частного случая, когда
С —единичная окружность, см. A2.3.17).
В качестве следствия из сходимости ряда A6.3.1) вытекает, что
limpn(x) = 0, A6.3.3)
71->ОО
если # —точка, лежащая внутри С (равномерно, когда х принадлежит
замкнутому множеству, целиком лежащему внутри С).
B) Пусть q (х) — произвольный пп и пусть х0 — точка, лежащая
внутри С. Тогда по теореме Коши
Следовательно,
где ш(ж)>|ш, а б —наименьшее расстояние от точки х0 до точек х б С.
Принимая во внимание утверждение § 16.2, D), мы имеем
^ A6.3.6)
Отсюда вытекает, что ряд К (х0> х0), а следовательно, благодаря неравен-
неравенству Коши — Буняковского и ряд A6.3.1) сходятся.
C) Теперь мы покажем, что
С этой целью рассмотрим функцию
I i
—£■ Y {Ai ИГ1 Г?' И}2 =/^B), A6.3.8)
которая регулярна внутри С, т. е. при |z|<l; x = tlp(z), z = W(x).
(Последний множитель регулярен даже в замкнутом круге | z \ < 1.) Пусть
г фиксированно, 0<г<1, и г — произвольное положительное число.

16.4]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ Рп (х) ВНЕ КРИВОЙ С
375
В соответствии с теоремой 1.3.4 мы можем найти такой многочлен Q(x),
что
\F(rz)-Q(x)\<B, x£C. A6.3.9)
Полагая q (х) = {Q (х0)}'^ (х), мы из § 16.2, D) получаем для достаточно
больших п неравенство
±^^\\*w(x)\dx\-, A6.3.10)
отсюда, устремляя е к нулю, получаем
^\F(rz)\'w(x)\dx\. A6.3.11)
С
Если теперь г—>1—0, то мы будем иметь
{К (х0, so)}-i < ИШ1 \\V'(x)\\dx\ =
С
Г
A6.3.12)
что эквивалентно A6.3.7).
D) Наконец, мы рассмотрим
- ± {A4 (»„)}-!
- lim Я^г{Аг(х0
= j; \ | Kn (XO, X) \'W (X) \ dx \ -
С
|z|=r
Первый член равен Кп(х0, х0); для второго члена мы получаем
A6.3.13)
n(x0,x0)Ai(x0){W(x0)} 2 =
= -2Kn{x0,x0); A6.3.14)
таким образом,
Следовательно, lim /n = 0 в силу A6.3.7). Из этого вытекает при | z \ < 1,
т. е. при х, лежащем внутри С, что (см. G.1.4))
lim Кп (ж0, х) А4 (ж) {¥' (ж)}" 2 = ^_ (д. (Хоу-.
что эквивалентно A6.3.2).
16.4. Асимптотическое поведение рп(ж) вне кривой С
'(Х0)}\ A6.3.16)
A) Сохраним относительно кривой С и весовой функции w(x) те же
предположения, которые были приняты в § 16.3. Обозначим через z — Ф (х)
функцию, обратную к отображающей функции x—q>(z), которая опреде-
определена формулой A6.1.2). В этом случае ф (z) регулярна и однолистна

376 МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ [Гл. XYI
в замкнутой области, внешней по отношению к некоторой окружности
|z[=r, где г < 1. Пусть Ае(х) имеет тот же смысл, что в § 16.1,C). Мы
можем высказать следующее утверждение:
Теорема 16.4. Пусть {рп (х)} — последовательность ортогональных
многочленов, определенных условиями A6.1.8). Если точка х лежит вне кри-
кривой С, то
- I
)}-1{Ф'(х)}*Фп(х). A6.4.1)
Отношение этих выражений при п —> оэ стремится равномерно к единице
в каждой конечной или бесконечной замкнутой области, лежащей вне С.
Случай^ (х) = 1 см. Сегё [5], стр. 260 — 263.
Заслуживают внимания такие следствия из A6.4.1):
(a) Нуллрп(х) притг—> оо равномерно стремятся к замкнутой области,
ограниченной контуром С (применить теорему 1.91.3 (теорему Гурвица)).
(b) Если х лежит вне кривой С, то
g рп(х)Г = Ф(х). A6.4.2)
Справедливость этой формулы может быть легко распространена на слу-
случай произвольной спрямляемой кривой С (см. A2.2.6)).
(c) Областью сходимости ряда A6.2.5) для аналитической функции,
регулярной в замкнутой области, ограниченной кривой С, является внут-
внутренняя область, ограниченная линией уровня Cr конформного отображе-
отображения х = q>(z) (см. § 1.3, B)). Определение R по коэффициентам fn анало-
аналогично соответствующему определению в случае степенного разложения
(см. теоремы 1.3.5 и 12.7.3).
(d) Пусть кп — коэффициент при хп в ph (x). Тогда
[AJoo)}^-^ A6.4.3)
где с— трансфинитный диаметр кривой С (см. § 16.1, B); § 16.2, E) ). Этот
результат может быть легко выражен в терминах детерминантов Dn, вве-
введенных в A6.2.4).
B) Доказательство соотношения A6.4.1) основано на рассуждении,
подобном приведенному в § 16.3; здесь используется минимальное свойство,
указанное в § 16.2, C). Мы докажем сначала, что
TknV2^;2 < ^ Д2(со). A6.4.4)
С этой целью рассмотрим многочлены fn(x), аналогичные многочленам
Фабера (см. Ф а б е р [1]), определяемые как полиномиальная часть
разложения функции
- I
в ряд Лорана в окрестности точки #=оо. Функция gn(x) регулярна при
|z|>r, a fa{x), очевидно, пп. Пусть Ст — кривая, соответствующая окруж-
окружности \z\-r. Применяя теорему Коши к кольцеобразной области, огра-
ограниченной кривой Ст и большой окружностью, мы получаем при х £ С
Cr

16.4]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ рп(х) ВНЕ КРИВОЙ С
377
где интегрирование ведется в отрицательном направлении. Отсюда
вытекает, что
\gn(x)-fn(x)\<Mrn, x£C, A6.4.7)
где М — постоянная, зависящая только от С и г. Функции gn (х) равномер-
равномерно ограничены, когда х £ С.
Пусть теперь ух, у2, ..., ут —произвольные постоянные, п>т. Мно-
Многочлен
Q (*) =
fn (х) +
Y2/n_2 (x)+...+ yjn_m (x)} A6.4.8)
степени п имеет старший коэффициент, равный единице. В соответствии
с § 16.2, C) и неравенством A6.4.7) имеем
С
У1 с2И+1 -г
У
Таким образом,
• • • + Yn^n-m («) I3 ^ (*
или
;^^ \ \y(z)\*w(x)\dz\,
•(/•"). A6.4.9)
dz; A6.4.10)
A6.4.11)
где y B) — произвольная аналитическая функция, регулярная при |z|>l,
причем у(°°) = 1- Полагая
и устремляя R к 1 +0? мы получаем неравенство A6.4.4).
C) Теперь рассмотрим
/;= lim 4-
""
Второй член равен
х)Г-§- + 1. A6.4.13)
j;^y Гп = -2(-^JДе (оо) с"^/сп.
Следовательно,
/; = 2 - 2 ^у Ае (оо) сп+2 Лп. A6.4.14)
В силу A6.4.4) это влечет за собой lim/n = 0, что и доказывает A6.4.1).

378 МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ [Гл. XYI
16.5. Асимптотическое поведение рп(ж) на кривой С
Наконец мы имеем следующий результат.
Теорема 16.5. Асимптотическая формула A6.4.1) справедлива
равномерно вне и на кривой С, если функция Де (#) регулярна в замкнутой
внешности С; более точно:
I I
р» {x)z=(h У <А-{х)у1 №' {х)]*фп
где О < h < 1; постоянная h зависит от С и от w (x).
Эта же формула справедлива в достаточно малой окрестности С вну-
внутри С.
A) Для доказательства мы используем многочлены Fn(x), аналогич-
аналогичные многочленам Фабера, связанные с функциями
1 ji
(Jkl{A* W1 {Ф'{Х)]" фП{х) = G"№ A6.5.2)
(которые являются «главной частью» правой части A6.5.1)) в том же смыс-
смысле, как многочлены fn(x), определенные в § 16.4, B), связаны с функциями
A6.4.5). Если 0 < г < 1 и г достаточно близко к единице, то функция Gn(x)
регулярна при | z \ > г. Мы опять имеем
|Gn(s)-/Us)|<ifrn, *£С, A6.5.3)
где М зависит только от С, г ида(ж). Функции Gn (x) равномерно ограни-
ограничены на С.
Положим (см. § 16.4, B))
) 2АаИ^пМ. A6.5.4)
Это 7in со старшим коэффициентом, равным единице. Отсюда вытекает
неравенство
y
С
= (±у1 Aj (оэ) с2П+14г \ I Gn(*) Гw(x)\dx\ + c«nO(г") =
= $■ Д! (оэ) c2n+i + с2ПО (г11). A6.5.5)
(Теперь рассуждения проще, благодаря регулярности Ае(ж) на кривой С.)
С другой стороны,
I г 1=1
I2 2я
Gn(x)
ап+1Л», A6.5.6)
так что
следовательно,
/,;^^-А2е(оэ) с2П+1 + с2^(гп). A6.5.8)

16.5] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ рп(х) НА КРИВОЙ С 379
B) Пусть теперь
Рп (х) = 1OFO (х) + Vi (*) + V. (*) + ••• + V» («), A6.5.9)
где кв, Kv Х2, ..., ^„ — соответствующие постоянные, hv — X(v, n); мы имеем
(^)(с*>)спХ, A6.5.10)
так что кп вещественно и
n). A6.5.11)
Из определения Fn(x) мы заключаем, что
^ J Ае (Ж) {Ф' (я)} 5 {/>„ (з) - %nFn (х)} =
е (ж) {Ф' (х)} * {X0F0 (х)
(х) + Х2Ф2 (х) + . ..
2z2 + . .. + Viz"'1 + Y^ + У>~2 + • • •, A6.5.12)
Yv> Yv — некоторые постоянные. Следовательно,
= х ^ I Рп И - V» (*) 12^ (ж) | Ас' Г= т 5
с с
- -^ \ Рп (») ^п («)««»(») I <** I + \ \ \?п И I2 w(x)\dx\. A6.5.13)
С С
Во втором члене многочлен Fn (x) может быть заменен на А,/^; в третьем
члене мы используем A6.5.11) и A6.5.3) и получаем
T^rn), A6.5.14)
С
т. е.
l^o|2 + |Ai|2+...+|Vil2=°(^)- A6.5.15)
Но Fn(x) =0 A) равномерно при х£С. Отсюда благодаря- неравенству
Буняковского — Шварца вытекает, что
АсЛ (х) + Wi (*)+•••+ K-iK-i (x) = О (nb*)- A6.5.16)
из A6.5.9), A6.5.11) и A6.5.3) следует, что
Рп (*) = КК («) + О (пЦ = Fn (х) + О (пЦ = Gn (х) + О (ПЩ. A6.5.17)
Этим утверждение доказано. Распространение формулы A6.5.1) внутрь
С осуществляется непосредственно, так как неравенство A6.5.3) справед-
справедливо, когда х лежит внутри С и достаточно близко к С.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Обозначим через гг <£2 <... положительные нули функции Эйри А (х)
(§ 1.81). Тогда £v~v3 при v->oo. (Применить A.81.4), A.81.1) и A.71.7).)
2. Пусть А (х) — функция Эйри (§ 1.81). Для вещественных значений х
справедливо равенство
оо
3 |>яг/з С ехр (- q3 - Qe2^3x) dQ\ = А (х).
1 о J
(Разложить обе части в ряд по степеням х; см. A.81.4), A.81.1) и A.7.3).)
3. Пусть рп (х) — многочлен Пуассона — Шарлье B.81.2); тогда много-
многочлен
удовлетворяет при х = 0, 1, 2, ... соотношению
4. Если мы примем обозначения B.2.1) и B.2.7), то «ядро» Кп(х0,х)
(см. C.1.9)) может быть представлено в виде
с0 сг
Кп(х07 x)=-D?
Cn*l X0
С2п
1 X
... xn 0
(Применить C.1.12), полагая q(x)=xv, v = 0, 1, ..., п.)
5. Расположение нулей «ядра» Кп(х0, х) (см. C.1.9)). Пусть а и Ъ
конечны и пусть х0 — произвольное мнимое число. Всякий нуль | много-
многочлена Кп(х0, х) лежит в области, ограниченной отрезком [а, Ь] и дугой
окружности, проходящей через точки а и Ь, продолжение которой проходит
через точку х0. (См. Сегё [5], стр. 244. В силу C.1.12) имеем
п (х0, х)
При конформном отображении (х — £)/(# — х0) — хг образом отрезка
а<ж<6 будет дуга окружности; отрезок, ограниченный этой дугой
и ее хордой, содержит точку х' = 0.)

ЗАДАЧИ
C.2.1)
Ар + 1
1
С\
0
0
при л
<
И
1
+
1
0
УПРАЖНЕНИЯ
1, 2, ...
0
1
R С2
0
представление:
... 0
... 0
В, ... 0
... С\ Ая>
0
0
0
t + Bn
381
7. Доказать вещественность нулейрп (х), применяя B.2.9) или задачу 6.
8. Пусть хх, х2, . . ., хп — различные точки отрезка [а, Ъ] и пусть f (х)
имеет производную порядка 2п на [а, Ъ\. Если Н (х) есть Я2п_17 удовлетво-
удовлетворяющий условиям
Н (xv) = / (xv), H' (xv) =-- f fa), v = 1, 2, . . ., п,
то на [а, Ъ\ существует такая точка £ = !•(#), чт0
(См. А. А. Марков [5], часть I, глава I, § 3. Пусть # —фиксированная
точка, х Ф xv. К функции переменной z
применить теорему Ролля.)
9. Пусть / (х) имеет непрерывную производную порядка Ъп на [а, Ь].
Используя теорему 3.4.1, получим формулу
) da (х) =
Здесь | — некоторая точка отрезка [а, Ь], a /cn — старший коэффициент
ортонормального многочлена р.ъ(х), ассоциированного с распределением
da(x) (см. B.2.15)). (См. А. А. Марков [5], часть I, глава VII, § 19.
Применить предыдущую задачу.)
10. Пусть xv x2, ..., хп — нули ортогонального многочлена рп(х),
ассоциированного с данным распределением da(x) на отрезке [а, Ь],
и пусть Я,х, Я2, ..., ^ — коэффициенты Кристоффеля C.4.3). Определим
скалярное произведение двух функций /(#), g(x) соотношением
g)=
v=i
Функции 1, ^, ^2, ..., х71'1 линейно независимы; ортогонализуя эту
систему, мы получим многочлены ро(х), Р1{хI ..., рп_1(#), которые
совпадают с ортогональными многочленами, ассоциированными с рас-
распределением da(x).
11. Если da (x) =w(x)dx, w( — x)=w(x) и а + Ъ = 0, то коэффициенты
Кристоффеля C.4.3) удовлетворяют равенству
v = l, 2,
п.

382 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
12. Для многочленов Якоби Р^ 2'2)(х) коэффициенты Кристоффеля
равны
*'v = 2^piA"+ ж^), v = l, 2, . .., п
(см. D.1.8) и A5.3.1)).
13. В частном случае Р\ 2' 2* (х) числа yv — cosq)v, 0 < cpv < я,
фигурирующие в теореме о взаимном разделении § 3.41, определяются
равенством
cpv — (п — v) л/п, v = 1, 2, . . ., п — 1.
Проверить справедливость теоремы о взаимном разделении для много-
многочленов
14. Обозначим через xv x2, ..., хп нули многочлена Р<&>&(х).
Тогда
(см. D.21.2)).
\Ь. Новое доказательство формулы D.7.31). Комбинируя правую
часть D.1.5) (многочлены по степеням 1 — 2х2) с первой формулой D.22.1),
мы находим
(^J^i^ (l-n)/2, -п-Х+1; ж)-
16. Производящие функции D.7.16) и D.7.23) для ультрасфериче-
ультрасферических многочленов тождественны тогда и только тогда, когда X = 1/2,
иными словами, в случае многочленов Лежандра.
17. Функциональное уравнение
где X — параметр, имеет решение в виде многочлена /(#)=^0 тогда
и только тогда, когда X = ( — i)n(n-\-1), a f (x) = const. {Pn(x) +Pn+i {x)}>
п= — 1, 0, 1, ...; Р_1(х) =0. (Положить
N
f(x)= 2 cv{Pv(x) + Pv+i(x)},
v=-l
где £_!, с0, ..., cN — постоянные, и применить тождество
A - х) {Р'п(х) + P'n+i (х)} = (п + 1) {Рп (х) - Рп+1 (х)},
которое вытекает из D.7.27).)
18. Показать, что
«-четное,
«-нечетное.
Здесь Q'o @) = 1, Qi@) = — 1. (Применить рекуррентные формулы D.62.13),
D.62.14), D.62.3).)

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 383
19. Преобразование Лапласа
оо
f(s)=\e-*tF(t)dt
функции Лагерра F (t) — taL^ (t) равно
r(w + a+l) n-a-i (s _ 1^
(См. С о н и н [1]. Применить метод производящих функций.)
20. Если мы положим
+ a+l))-* = f(n, а; х),
то при а > C > — 1 будем иметь
(См. Когбетлянц [22], стр. 156. Рассмотреть производящую функ-
функцию для обеих частей и применить E.1.16); полученную формулу для
функций Бесселя можно проверить с помощью A.71.1) и A.7.5).)
х а
21. Если мы положим е 2#2£(а) (х) — f (x), то будем иметь
оо i
L (*) = ^ \ J* [№?] /»{У) dy.
0
(См. Харди [1], стр. 139. Применить E.1.9) и A.71.1).)
22. Пусть #>0, г/>0, тах(л:, у) > 0; тогда
(х, у)
(См. Е. Р. Нейман [1], В а т с о н [6]. Применить теорему 9.1.5
и воспользоваться формулой
См. E.1.2).)
23. Из E.1.15) вывести формулу Мелера
Y Нп (х) Нп (у) ( w у
n=0
(См. В а т с о н [5], Э р д е й и [2]).
24. Из E.1.9) и E.6.1) вывести следующую производящую функцию
для многочленов Эрмита:
71=0
где иг = [л/2]. (См. Дёч [1], стр. 590, G)).
25. Пусть /с > — 1/2 и пусть Н&) (х) — ортогональные многочлены,
соответствующие весу е~х2\х\2к на (~ оо, + оо). Справедливы следующие

384 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
дифференциальные уравнения:
xy»+2(k-x2)y'+Bnx-Ex-i)y = 0, e = { 2^ Пп
О, п четно
нечетно, у = H^
z» + j2rc + 2fc + 1- х
(Обобщения уравнений E.5.2).)
26. При фиксированных значениях |3, п и х имеем
{Применить D.21.2).)
27. Пусть {xv} — нули многочлена Р!&>Ы(х), записанные в убываю-
убывающем порядке; а > — 1, C > — 1. Тогда при v = 1, 2, . .., п справедливы
равенства
Jim xv = —1, lim xv= +1,
В первом случае фиксированы C и п, а во втором соответственно а и и.
{Применить задачу 26 и формулу D.1.3).)
28. Пусть {#v} — нули многочлена Р^(х), X > 0. При фиксирован-
фиксированном п мы имеем
lim xv — 0.
(Из D.7.6) следует, что lim {2Х)~пР^ (х) = ^-; см. также E.6.3).)
29. Допустим а>—1,р> — 1; если {^v} — нули многочлена Р^
записанные в убывающем порядке, a {#v} — нули многочлена ^
записанные в возрастающем порядке, то при фиксированных а, п и v мы
имеем
lim p(l—sv) = 2zv.
(Применить E.3.4).)
30. При фиксированных п и х имеем
lim a"nL^ (ax) = —
(Применить E.1.6).)
31. Пусть у0 = 0 < Д < /г < • • • — положительные нули функции
1 1
Бесселя Ja(x). Тогда при — ~ < а < + у" (/v) — выпуклая последова-
последовательность, т. е. /v+i — /v возрастает. Кроме того, последовательность
v'Vv возрастает. (Применить теорему 1.82.2 к A.8.9).)
32. При допущениях и обозначениях задачи 31 справедливо нера-
неравенство
(Положить h = 2v —1 в F.3.13).)
33. Для множителя Cvn, фигурирующего в F.31.13), справедливы
оценки
(/i/4J < Cvn < 4,

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 385
где j1 — наименьший положительный нуль функции J0(x). Эти границы
улучшены быть не могут. (Использовать монотонное возрастание последова-
последовательности v/^; см. задачу 31.)
34. Допустим, что а > — 1, и обозначим через хг < х2 < . .. <хп
нули многочлена L^ (х). Если а2 < 1/4. то последовательность
1 I
^v ~'xv-i (v ~ ^, 3, . . ., я) возрастающая; если а2 > 1/4, то это верно при
#v-i > (а2— 1/4I/2. (Применить теорему 1.82.2 к четвертому из уравне-
уравнений уз E.1.2).)
35. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, доказать, что
min (х* —
11 1 _ ?.
max (^ - х\ 1) = х2 - х\ { ^ 2~ 3 з" з (^ _ ^
х\_ {
где ix и ^—наименьшие положительные нули функции Эйри А (х).
(Применить (8.1.8), (8.22.1) и (8.9.15).)
36. Пусть хг > #2 > ... > #[(n+i)/2] — неотрицательные нули много-
многочлена Эрмита Нп(х). Положим
1 1
Zv = Xvn = К — FAn) 3 ^vn, An = B/2 + 1J.
Тогда при фиксированном v и возрастающем п числа tvn убывают. Кроме
того, показать, что при l<v<(/z lJ
где Р <Qvn<Q, P и Q — абсолютные положительные константы. (Пола-
_ i_
гая }з F.32.10) | = Fйп) 3£, мы имеем
Монотонность tvn вытекает из теоремы 1.82.1. Кроме того (см. F.32.3)),
1 i
Затем применить задачу 1.)
37. Рассмотрим п единичных масс, п>2, сосредоточенных в п пере-
переменных точках хъ х2, . . ., хп на отрезке [ — 1, + 1 ]. При каком располо-
расположении этих точек выражение
II \х - а
v, [i=i, 2, . . ., п
достигает максимума? (См. Стилтьес [4], стр. 441; максимальное рас-
распределение этих точек такое же, как в теореме 6.7.1, если заменить п
на п — 2 и принять р = g = 1. Мы имеем A — ж2)^1!^^) ^
-const. {Рп(ж)- Рп-2 {ос)} = const. A--я2)/>;_! (я); см. D.7.27).)
38. Рассмотрим п единичных масс, п>2, сосредоточенных вд точках
xv х2, . . ., хп на полуоси [0, оо) таким образом, что
25 г. Сегё

386
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
где К — фиксированное положительное число. При каком распределении
этих точек выражение
v, ii=l9 2, . . ., п
достигает максимума? (См. задачу 37 и теорему 6.7.2. Мы имеем
xL(nli (x) = const. [Ln (x) — Ln_1 (x)} = const. xL'n (x); см. E.1.14).)
39. Допустим а > — 1, р > — 1. В обозначениях G.32.2) при п—> оо
мы имеем
max
(См
G.;
40. J
ТТЛ
р
32.
Из
(а Э)
п
2)).
G-
(X)
33.
1
10) ]
[Г(?4
1
Я 272
вывести
-1
если
1 -а *
. L Л 9 /■
соотношение
1
Р +
—
1
У '
1 о
если
i
—
а+Р + 1
а+З-Ь 1
I Л
\ У
1
2 '
(Применить тождество
(см. задачу 17 и G.33.9).)
41. При 0 < 6 < jt справедлива оценка
1 1
(sme)f|<?n(cos6)|<[rt/Bn)]2.
1
Константа (jt/2)^ не моя^ет быть заменена меньшей. (См. Г о б с о н [1],
1
где получена оценка (тг/п)*; сравнить с теоремой 7.3.3 и задачей 18.)
42. Пусть f (х) —произвольный jtn, неотрицательный при всех вещест-
вещественных х, и пусть
Тогда
J /А\ — 1ТЗ'5 . . . B/W, + 1) # , -19 Г^П
max / @) = я z —гг—?—-—о = л ^ , ^ = ~г > п ~~^ °° •
у v ' 2 • 4 ... 2т ' L 4 J '
(Применить теорему 1.21.1, G.71.2), E.5.9) и E.5.5).)
43. Теорема о среднем значении для многочленов. Пусть / (х) есть я2п.
Тогда
где £ — некоторая точка отрезка
Здесь через ^х обозначен наибольший нуль многочлена Лежандра Рп(х).
(См. Чакалов [1]. Применить C.4.1).)

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
387
44. Вывести формулу Липшица
а>0,
О,
из производящей функции для многочленов Лежандра, т. е. из D.7.23)
при К = 1/2. (Положить w = e-alN, x = cos(b/N), a n Ъ фиксированы,
N
оо
разбить ряд 2
0
на Две части
и т > co/V
w=0
(со — фиксированное положительное число) и применить (8.1.1) и G.3.8).)
45. Вывести E.4.2) из E.1.9), полагая х = a/N, w= e~blN\ ажЬ фикси-
фиксированы, Ь > О, N —>+ оо. (См. задачу 44. Применить (8.1.8) и G.6.8).)
46. Новое доказательство асимптотической формулы (8.22.4) типа
формулы Хильба для многочленов Лагерра. Из производящей функции
E.1.9) мы получаем
(сс)
2ni I
(ОН )
2л/
где Ф (z, z)—регулярная функция в круге \z\ < 2л. Если мы разложим
Ф (х, z) в ряд по степеням z, то полученные при этом интегралы могут быть
выражены через функции Бесселя (см. В а т с о н [3], стр. 176, A)). (Это
рассуждение дает не только доказательство формулы (8.22.4) для произ-
произвольного вещественного а, но дает также асимптотическое разложение,
аналогичное разложению Хильба, членами которого являются функции
Бесселя; см. Райт [1]. Приведенные соображения аналогичны рассуж-
рассуждениям С е г ё [15] для многочленов Лежандра.)
4?. Пусть а — вещественное число, отличное от нуля. Ряд
71=1
сходится при К > 1/2 и расходится при X ^ 1/2 (при X > 0 сходимость
оо
ряда эквивалентна сходимости интеграла \ x-<keia'^'xdx).
48. Многочлены sn(a, z) (см. A1.3.3)) в обозначениях § 11.1 могут быть
представлены следующим образом:
... с
1
... С
-п+2 °-п
cn cn-1 . . . cx c0 a"
1 z ... z^-1 zn 0
(см. задачу 4).
49. Второе доказательство теоремы 11.4.1 о нулях sn(a, z). При-
Применить рассуждения задачи 5. (Если z0 — рассматриваемый нуль
и (z — zo)/(z — а) = z', то образ окружности | z | = 1 содержит точку zf = 0.)
25*

388 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
оо
50. Теорема 11.3.3 о сходимости ряда 2 I Фп (z) |2> IZ!<1> не
места, если весовая функция /(б) такова, что функция In/(б) неинтегри-
руема в смысле Лебега. (Положить /(б) =0 при — е < 0 < -f е, / (б) ^ 1
1
при 8<0<2гс —е и применить A6.4.2). В этом случае | уп @) I"- -/?,
Д>1.)
51. Пусть /(б) — такая весовая функция на единичной окружности
— л<;о<; + ni Для которой существует интеграл
+я
—я
Допустим, что р > 0, и обозначим через [in = [in (/; р) минимум интеграла
где q (z) = zn+ . . . есть jtn со старшим коэффициентом, равным единице.
Тогда
+я
Ото обобщает A2.3.3); см. рассуждения, использованные в § 12.3, B).)
52. Пусть knQ — старший коэффициент ортонормального многочлена
рп(х), ассоциированного с распределением da{x) на конечном отрезке
[а, Ь]. Тогда
ь _ I
\
(См. теорему 12.7.1; Шохат [2], стр. 575, B4). Использовать экстре-
экстремальное свойство, выраженное теоремой 3.1.2, выбрав
53. Сохраним обозначения, принятые в задаче 52. Пусть
\а', Ь'] — такой отрезок, лежащий внутри отрезка [а, Ь], что а{х)
постоянна на [af, &']. Тогда существуют две такие положительные
постоянные А и В, В > 4/F —а), что /сп0 > АВп, (См. Шохат [2],
стр. 577. Применить экстремальное свойство, выраженное теоремой 3.1.2
и выбрать в качестве q(x) «чебышевский» в смысле § 16.2, E) многочлен,
соответствующий двум непересекающимся отрезкам.)
54. Применяя обозначения § 12.7 при допущениях теоремы 12.7.1,
мы имеем
V
1 , ~o~
Bя) 5l=^_2n-vn2do-1, v четно,
5 2""V" 2 d° 2di' V нечетно-
Здесь v фиксировано, п—> оо. Если йх = 0, то вторая формула понимается
в том смысле, что
1-У
Km 2" V2~ftnv = 0.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 389
(Частный случай см. Ш о х а т [2], стр. 577. Применить теорему 12.1.2,.
учитывая, что если положить
то Ynv^^^v!) (— n)v, v фиксировано, гс—>оэ.)
55. В случае многочленов Якоби
при фиксированном v и п—>оэ мы имеем
' л -
У-1
2 , v четно,
у-1
2n-v+o+p Jr\ v нечетно.
' n.V :
Во втором случае предполагается, что а Ф р. (См. Я. Л. Г е р о н и м у с
[1], стр. 380. Применить результат задачи 54; в нашем случае мы имеем
-(а+Э+Р -(а+3+1)
do--=2 2 , d1==(p-aJ 2 .)
56. При обозначениях и допущениях задачи 54 мы имеем
где с — константа. (См. Ш о х а т [2], стр. 577. Применить те же рассу-
рассуждения, что и в задаче 54.)
57. Пусть lv (x) (v=l, 2, ..., ^ — фундаментальные многочлены интер-
интерполирования по способу Лагранжа с узлами в нулях Тп (х). Тогда при чет-
четном к справедливо равенство
\
-1
Здесь vx, v2, ..., vk — различные целые числа отрезка [1, п]. (См. Ф е л ь д-
гейм [1], {Тп (x)}k~x, х — cos9, является косинус-многочленом, не содер-
содержащим слагаемых с cos v9 при v < п.)
58. В случае ультрасферических многочленов а=C, —1 <ос=C <0 мы
имеем при —1<;#<; +1 (обозначения такие же, как и в задаче 57)
11(х)+ Р2(х)+ . . . + Ц(х)<\а\-\
(При а — —1/2 см. Ф е й е р [13], стр. 5. Применить задачу 59 и первое
из тождеств A4.1.11).)
59. В случае ультрасферических многочленов а=Р >—1 мы имеем
(см. A4.5.2))
60. В случае многочленов Лежандра мы имеем
(См. Фейер [13], стр. 23. Применить F.6.5).)

390 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
61. Доказать следующие тождества:
Р'2п(х) = Bп + 1) хРп-1 Bх2-1),
xP^(x) = nPn(x) + Bn-Z)Pn_2(x) + Bn-7)Pn_t(x)+...>
62. Доказать, что
г — х при п = 1,
\ 2* / 1
\ \Pn-i{t)dt ПРИ ^>2.
63. Доказать формулу
+ 1
И
С р
\ ^n
Ji
"~2^ Bv)l
64. Доказать тождество
V-
(Применить задачу 63 и A.71.1).)
65. Доказать, что
_ 1
К Ч } 1 Щ
п+2
при -
О при х > 1 или #< — 1.
(Использовать задачу 64, применяя формулу обращения Фурье.)
66. Доказать тождество
v o
и, в частности, тождество
п
1ху + у2) Рп {A + 1ху + у2)" f (ж + г/)}.
(Применить D.7.23).)
67. Доказать тождество
(Применить E.1.9).)
68. Доказать тождество
(Применить E.5.7).)

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 391
69. Пусть х — параметр, —1<#<1. Доказать, что все нули много-
многочлена относительно z
вещественны. (Применить задачу 66.)
70. Доказать неравенство Турана
Рп (х) - Рп_г (х) Рп+1 (х) > 0, - 1< х < + 1
(см. Т у р а н [1]; см. также С е г ё [22]). Если ах и а2 означают первую
и вторую элементарные симметрические функции от п вещественных чисел,
то мы имеем
„у
2 )
{Применить задачу 69.)
71. Вывести из задачи 66 производящую функцию D.10.6) и, в частности,
D.10.7). (Положить у = — , гс—>со; применить (8.1.1).)
Z
72. Вывести из задачи 67 производящую функцию E.1.16). (Положить
у = 4"» га—>оо; применить (8.1.8).)
73. Доказать следующую формулу, аналогичную формуле Родрига:
tn+1
(Использовать формулу Тейлора и производящую функцию E.1.9).
В частном случае а=0 эта формула принадлежит Полна, 1941.)
74. Пусть даныдве последовательности {ип} и {vn}, n=0, 1, 2, ... Каж-
дое из двух следующих соотношений влечет за собой другое:
г )( — 1) vv, v} = y\
v=0 v=0
75. Применяя задачу 74 и формулу E.1.6), доказать, что
V=0
76. Пусть даны две последовательности {i£n} и {vn}, n=0, 1, 2, ...
Каждое из двух следующих соотношений влечет за собой другое:
Г-1 Г-1
Г-1
v v 2
v=0 v=0
77. Доказать тождество
И
^ (
re! Zj v! (л —2v)! •
v=0
(Применить задачу 76 и формулу E.5.4).)

392 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
78. Доказать следующие тождества:
= 0, у = е-**Нп(х),
1 оо
. 12;
v=0
79. Доказать, что
(Применить E.5.4). См.Туран, Matematikai Lapok, 5 A954), 134—137.)
80. Доказать, что
81. Пусть {рт (ж)}— ортонормальные многочлены, ассоциированные
с распределением da(x) на полуоси 0<#< + оо. Если мы обозначим
через \ъ |2, . . ., |ft некоторые нули многочлена рт (х), то будем иметь
оо
f(t)=[ e-xl{{l1-x)...{lk-x)yipll{x)da(x)>0, t > 0.
О
(См. Карлин и Ма к-Г р е г о р [1], стр. 507—509. Так как /@)—0,
то мы имеем
Затем применить индукцию.)
82. Сохраним обозначения и допущения задачи 81 и положим, кроме
того, рт @) > 0 при всех т. Доказать, что
оо
[e-xtPm(x)pn(x)da(x)>0, t > 0.
(См. Карлин и Ма к-Г р е г о р [1], цитированное место. Пусть
т > п. Представить рп (х) по интерполяционной формуле Лагранжа
с узлами gjii!,... ,1ja ,1? выбранными, как в § 3.3, F); применить за-
задачу 81.)
83. Пусть {рп (х)} — многочлены Пуассона —Шарлье (§2.81,
sign рп @) ==( — 1)п). Пусть далее X > 0, /тг> тг, / (х) — функция, опреде-
определенная равенством B.81.1), тогда
5C=0
v=0

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
393
84. Пусть
будем иметь.
у,
. Если мы применим обозначение D.9.21), то
х) Р{Х) (х) dx =
-1
если только 1-\-т+п=28 четно и существует треугольник со сторонами
/, /тг, п. Во всяком другом случае интеграл в левой части равен нулю (см.
D.7.15); см. X сю [1]).

ДОБАВЛЕНИЕ
ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
В недавних работах Поллачек [1] — [4] ввел некоторые замеча-
замечательные обобщения многочленов Лежандра и других классических много-
многочленов. В сжатом виде его результаты будут приведены в этом добавле-
добавлении. Поведение многочленов Поллачека во многих отношениях имеет осо-
особый характер. Кратко эти вопросы излагаются в монографии Б э й т м а н
[1], том 2, стр. 218—221. См. также Сегё [24].
1. Определения и формальные свойства
Пусть а и Ъ — вещественные параметры, причем а>|&|. Положим
и определим многочлены Рп (х; а, Ъ) = кпхп -\- ... с помощью производящей
функции
оо
/ (ж, w) = / (cos 6, w) = 2 = рп («; а, Ъ) wn =
п=0
= A - ш«Г* +ЩЬ) A - we-«f  ~im), A.2)
или в другом виде:
1 °°
/(.г, w) = A - 2xw+ w2f 5ехр {(ах + Ь) 2 ^ ит-х (х)} , (l-3)
где ?7„ь_1 (ж) имеет тот же смысл, что и в A.12.3). Многочлены Рп(х\ а, Ъ)
совпадают с многочленами Лежандра в предельном случае, когда а=Ь = О.
Легко проверяются следующие тождества:
Рп(х; а, Ь) = (-1)пРп(-х; а, -Ъ), A.4)
Pn(l;a,b) = Ln(-a-b), Рп{ - 1; а, Ъ) = (- l)»Ln (-a + Ь), A.5)
где Ln (x) = Ь^(х) — многочлены Лагерра (глава V). Старший коэффициент
кп многочлена Рп{х\ а, Ъ) может быть получен, если в формуле A.3) заме-
заменить w на —, а затем х устремить к бесконечности. Мы находим
ос

ДОБАВЛЕНИЕ. ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 395
Справедлива следующая рекуррентная формула (см. Бэйтман [1],
цитированное место):
nPn (x\ a, b) = [Bn — 1 + 2a) x + 26] РпЛ (ж; a, Ь) —
-(п-1)Ря_2(ж; a, Ь), /1 = 2,3,4, ... A.7)
Здесь jP0 = 1, Pi = Ba+ 1) ж+ 26.
Имеет место важное соотношение ортогональности (см. Сегё [24]):
V / 1 Л-1
\ Рп(х] а, Ь)Рт(х\ а, Ь)ш(ж; a, b)dx^[^n f-^- (a + 1) J 5nm, A.8)
-i
7? 7W — 0 1 2
где весовая функция определена равенством
w (cos 6; a, 6) = еB8~я)Л(в) jcn (jt/г (б))]. A-9)
Отметим, что
w(cos0;a, Ь) = 2ехр ((а-1-Ь)(Ч — £ )} приб—> + 0. A.10)
При G —> л: — 0 поведение функции w аналогично.
Справедливо следующее представление через гипергеометрические
функции (см. Бэйтман [1], цитированное место):
Pn(cos6; я, b) =
2. Обобщение
Пусть ^ — вещественное число, А, > — у. Определим многочлены
^) (ж; а, 6) посредством производящей функции
ОО
^ (х; а, Ъ) wn = A - 2жв) + да2)"^ ехр |(аж+ Ь) ^ ^" ^m-i («)} • B-1)
l
m=l
При а = 6=0 мы получаем ультрасферические многочлены Р^ (х).
л
Случай, рассмотренный в § 1, соответствует значению Х = ~. Многочле-
Многочлены Р^ (х; а, Ъ) ортогональны на отрезке — 1<а:<1,х = cos0 с весом
2Я19Л1 B.2)
Относительно рекуррентной формулы и представления через гипергео-
метрические функции см. Бэйтман [1], цитированное место.
3. Интегральные представления
Справедливы следующие обобщения интеграла Лапласа D.8.11) и ин-
интегралов Мелера D.8.6) и D.8.7) (см. Новиков [1]):
Pn(cos0; a, b) =
= я"
(Oh ah F)) jj exphih F) Inctg ~j (cose+-t cos tsine) dt. C.1)

396 ДОБАВЛЕНИЕ. ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
|-J cos
71+ 1) *-А F) In
2 )
X
Pn(cos6; а, 6) =
X Bcos£-2cos0) 2dt. C.2)
я
— \ sin
о
-±Л * - /г @) In
sin
X B cos 0- cos t) 2dt. C.3)
В этих формулах 0 < 0 < я.
4. Бесконечный промежуток
Поллачек [3] ввел также другой замечательный класс многочле-
многочленов Р^ (х; а) с помощью следующей производящей функции:
; a) wn =
D.1)
где 0 < а < я, X > 0. Эти многочлены ортогональны на — оо < х < оа
с весовой функцией
я B sin аJ* в-<«-2«>* | Г (Я, + ia)
D.2)
Многочлены Лагерра являются предельным случаем. Действительно, за-
заменяя х на — я устремляя а к нулю, мы получаем
xx|^- In
так что (см. E.1.9))
- 2х), Р = 2К - 1.
D.3)
Ясно также, что многочлены § 2 связаны с многочленами Р<£) (х\ а)
следующим образом:
{} %)К г/, Ъ). D.4)
5. Асимптотические свойства
(а) С помощью производящей функции A.1) нетрудно получить асим-
асимптотическое выражение для Рп(х; а, Ъ) при п—> оо. Мы можем для этого
применить метод Дарбу (§ 8.4).
Пусть сначала х лежит вне замкнутого отрезка [ —1» 1]. Полагая
х = -^
, мы находим
1A_е24еГ1+^>е-адп-5-:^1+ОA^ . E.1)
Нетрудно получить из этого асимптотическое разложение.

ДОБАВЛЕНИЕ. ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 397
Пусть теперь — 1 < х < + 1; беря действительную часть от правой
части выражения E.1), мы получим асимптотическую формулу для
— Рп(х; а, Ъ). Наконец, благодаря A.5) мы находим из (8.22.3), что
Рп A; а, ^{я^е(а W (а + Ь)" ~k n~^exp{2(a+ bf пЩ. E.2)
(Ь) Новиков [1] исследовал асимптотическое поведение
__ \_
Рп (cos (tn 2); а, Ъ) при фиксированном t > 0. Его основные результаты
состоят в следующем:
' E.3)
i i
a^t^a + b-t^, 0<t<(a+b)\
1 i l
Pn (cos (trT *); a, b) = л" 2 (^2 - a - 6)" * exp ( - i (a + b)^ x
E.4)
Из E.3) и E.4) могут быть выведены интересные следствия относитель-
относительно «экстремальных» нулей многочленов Рп(х; а, Ъ). Обозначим, как и
в главе VI, нули этих многочленов через cos6v, где 0<61<92<...<6п<я;
0v = 6vn. Тогда при фиксированном значении v имеем
E.5)
6. Ассоциированные ортогональные многочлены
(а) Рассмотрим систему {фп (z)} многочленов, ортогональных на единич-
единичной окружности | z | — 1, ассоциированных с весовой функцией
/(8) = ay(cose)|sui6|; F.1)
где w(x) имеет тот же смысл, что в A.9). Эти многочлены также имеют
во многих отношениях особое поведение.
Связь с многочленами Поллачека может быть выражена формулами
A1.5.2):
(в.2)

398 ДОБАВЛЕНИЕ. ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Рп (х) = А (х) nW) z-".( 1 + О (|) ) ,
гр1ерп(х)= ^n+~(a + l)Y Рп(х;а, Ъ) (см. A.8)), а система {qn(x)} орто-
нормальна с весовой функцией A — х2) w (х); кроме того, к2п означает
(положительный) старший коэффициент многочлена ф2п(^)- Переменные
х и z связаны равенством х~ -к- (z+ z'1).
(b) Пусть | z | < 1. Исследуем асимптотическое поведение многочленов
<pn (z) при п —> оо. Пусть z ф О, z—- eie, 36 > 0. Перепишем E.1) в виде
F.3)
Многочлены [qn(x)} могут быть выражены через многочлены {рп(х)} по фор-
формуле Кристоффеля B.5.2). Учитывая A.5), получаем
Vito а' Ъ) рп(х'> а, Ъ) Рп+1(х; а, Ъ)
7n-i (x) — const.
Ln — Ln(—a—b), L'n = Ьп( — а-\- b).
Обозначая последний определитель через Ал(ж), посредством нетрудного-
вычисления находим
-1 _ I
1 1
Используя A.5), (8.22.3) и A.6), мы получаем
x
, F.4)
i i
(с) Так как 1-я2-
чаем, что
— B — 2) 0n..i (Я)
- A - z2J Bz), то из F.3) и F.4) мы заклю-
заклю4У)- F-5>
Г 1 I1
Обозначая через &n= i ^-f y(a +1) / ^п коэффициент при #п в много-
многочлене рп(х), а через /п-1 — коэффициент при ж71 в многочлене gn_x(a:)v
мы находим из F.5), устремляя z к нулю, что
Первая из формул F.2) дает
2 к'п

ДОБАВЛЕНИЕ. ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 39(J
так что
Bя)
*(i>
@) = Я2__Ш
1 1
BяJ
В частности,
i)). F.7>
F.8)
(d) Мы получаем из F.2) при |z|<l благодаря F.3), F.5), F.8)
формулы
Ф2„ (z) = ( f У А (х) л*Л«) { 1 + ^- +
1
г) -(а -
0
где для краткости мы положили
а B) = ■
1—£2
-т(«-1
1—22
Аргумент Г-функции может быть записан в виде
F.11)
F.12)

400 ДОБАВЛЕНИЕ. ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
вещественная часть этого выражения > у при |z| < 1. Отсюда следует,
что функция 1/Г нигде не обращается в нуль при \z\ < 1. Единственной
предельной точкой множества нулей многочленов {cpm (z)} в круге | z | < 1
будет точка
11 1
(а-\-ЪJ—(а- ЪJ ___ {а2 — Ь2J--а
появляющаяся только при /тг = 2/г — 1.
Действительная часть y(z), показателя при /г, больше чем -— .
Следовательно, ряд У]|фт(£)|2 расходится при всех z в круге |z|<l.
В частности,
Ф*„@)
F.13)
Если принять во внимание A1.3.6), то это опять дает главный член
выражения F.6).
(е) Резюмируя, мы можем отметить некоторые свойства многочленов
Поллачека, которые указывают на весьма отличный характер их поведения
в сравнении с классическими многочленами.
Весовые функции до(х) или /F) в теоремах 12.1.1 или 12.1.2 соответ-
соответственно таковы, что In до (cos 6) и In/ F) интегрируемы. Весовая функция
w(x) для многочленов Поллачека имеет в точках ж=±1 на конце отрезка
нуль столь высокого порядка, что In до (cos 0) неинтегрируем (см. A.10)).
Нормированные многочлены Якоби имеют в точках х = + 1 соответ-
соответственно порядок п 2 и п ^ '2 . Ортонормальные многочлены Поллачека
1 1 1
в точках х= ± 1 имеют порядок п£ ехр {2 (а -\- ЬJп?} (см. 5.2)).
Минимум Теплица \in(f) (см. § 12.3), соответствующий весовой функ-
функции /F), в предположениях теоремы 12.1.1, стремится к положительному
пределу. В случае многочленов, рассмотренных в § 6, этот предел равен
нулю; весовая функция определяет «детерминированный» процесс. В этом
случае мы имеем \in(f) = к^^^п~а. Пусть /@) = О в некотором промежутке,
скажем, — г < 0 < -)- е, 0 < г < я, и / @) — 1 на остальной части отрезка.
Тогда мы снова имеем \in(f)—> 0, и даже более точно: \хп (/) ~ гп, г < 1
(см. A6.4.3) и задачу 50).
Ортонормальные многочлены, определенные в теореме 12.1.2, асимп-
1
тотически имеют порядок (xJr(x2—lJO1, если х не принадлежит отрезку
[ — 1, 1]. Многочлены Поллачека при тех же условиях имеют порядок
\_
пК (х + (х2 — 1)^O\ где К есть функция от х. Аналогичное расхождение
имеется и в том случае, когда х лежит на отрезке [ —1, 1].
Для «наибольшего» нуля cos0v, 0 < 0v<^, 0v = 0v(^), V фиксировано,
n—>oo, многочленов Якоби мы имели 0v(/2)^/2~1/v, где /v—соответствую-
/v—соответствующий нуль функции Бесселя Ja(x) (см. F.3.15)). Аналогичные нули много-
1 1
членов Поллачека удовлетворяют соотношению 0v(n) = n 2(a-\-bJ (см.
E.5)); порядок величин различный, а константа не зависит от v.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА1)
Абель (Abel N. Н.)
*1. Oeuvres Completes, 2, 1881.
Адамов А. А.
1. Об асимптотическом выражении полиномов Un(x) = eax /2 -— е~ах2/2. Изв.СПб.
политехи, ин-та, 5 A906), 127—143.
2. О разложениях произвольной функции одной вещественной переменной
в ряды, расположенные по функциям определенного рода. СПб., 1907.
Ахиезер Н. И.
1. Tiber eine Eigenschaft der «elliptischen» Polynome. Сообщ. Харьк. матем.
о-ва, D), 9 A934), 3—8.
2. Verallgemeinerung einer Korkine-Zolotareffschen Minimum-Aufgabe. Там же,
D), 13 A936), 3—14.
3. Лекции по теории аппроксимации, Гостехиздат, 1947.
Банах (BanachS.)
*1. Theorie des operations lineaires. Warszawa-Lwow, 1932. Украинский перевод:
Курс функцюнального анал1зу, Кшв, 1948.
Балаж и TypaH(Balazs J. and Turan P.)
1. Notes on interpolation. II. (Explicit formulae). Acta Math. Acad. Scient. Hun-
garicae, 8 A957), 201—215.
2. Notes on interpolation. III. (Convergence). Там же, 9 A958), 195—214.
Бернштейн С. Н.
*1. Lecons sur les proprietes extremales et la meilleure approximation des fonctions
analytiques d'une variable reelle. Paris, 1926.
2. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке A930—31). Собрание
сочинений, 2, стр. 7—106; изд. АН СССР, 1 A952), 2 A954).
3. Об одном классе ортогональных многочленов A930). Дополнение A932).
Сочинения, 1, стр. 452—465, 466—467.
4. Об ограничении значений многочлена Рп(х) степени п на всем отрезке по его
значениям в л+1 точках отрезка A931). Сочинения, 2, стр. 107—126.
Блюменталь (Blumenthal О.)
1. Uber die Entwicklung einer willkurlichen Funktion nach den Nennern des
0
Kettenbruches fur J [ф(£)/B~l)]d%. Inauguraldissertation. Gottingen, 1898.
—oo
Боттема (Bottema О,)
1. Die Nullstellen der Hermiteschen Polynome. Koninklijke Acad. van Weten-
schappen te Amsterdam, Proceedings, 33 A930), 495—503.
2. Die Nullstellen gewisser durch Rekursionsformeln definiexten Polynome.
Там же, 34 A931), 681—691.
Бохнер (BochnerS.)
1. Uber Sturm-Liouvillesche Polynomsysteme. Math. Zeitschr., 29 A929), 730—736.
Брауэр (Brauer A.)
1. Uber die Nullstellen der Hermiteschen Polynome. Math. Ann., 107 A932),
87-89.
Брунс (В runs H.)
1. Zur Theorie der Kugelfunctionen. Journ. fur Math., 90 A881), 322—328.
Быол (В u e 1 1 С. Е.)
1. The zeros of Jacobi and related polynomials. Duke Math. Journ., 2 A936)
304-316.
2) Звездочками отмечены те работы, которые не относятся к теории ортогональ-
ортогональных многочленов.
26 г. сегё

402 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
6 э й т м а н (Bateman Manuscript Project, director A. Erdelyi)
1. Higher transcendental functions, 1, 2, 3. New York — Toronto — London,
1953, 1955.
Ван Вин (Van Veen S. С.)
1. Asymptotische Entwicklung und Nullstellenabschatzung der Hermiteschen
Funktionen. Koninklijke Acad. van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings, 34 A931),
257-267.
Вангерин (W angcrin A.)
1. Theorie der Kugelfunktionen und der verwandten Funktionen, insbesondere der
Lameschen und Besselschen (Theorie spezieller, durch lineare Differentialgleichungen
definierter Funktionen). Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften, том II.
1, 2, стр. 695—759.
В а т с о н (Watson G. N.)
1. The harmonic functions associated with the parabolic cylinder. Proc. Lond.
Math. Soc, B), 8 A910), 393—421; B), 17 A918), 116—148.
2. Approximate formulae for Legendre functions. Messenger of Math., 47 A918),
151—160.
3. A treatise on the theory of Bessel Functions. Cambridge, 1922. Русский перевод:
Теория бесселевых функций, ч. I, II. ИЛ, 1949.
4. Notes on generating functions of polynomials: A) Laguerre polynomials. Journ.
Lond. Math. Soc, 8 A933), 189—192.
5. Notes of generating functions of polynomials: B) Hermite polynomials. Там же,
8 A933), 194—199.
6. Tiber eine Reihe aus verallgemeinerten Lagerre'schen Polynomen. Sitzungsbe-
richte der math.-natur. Klasse der Acad. Wien, Ha, 147 A938), 151—159.
Вебстер (Webster M. S.)
1. A convergence theorem for certain Lagrange interpolation polynomials. Bull.
Amer. Math. Soc, 49 A943), 114—119.
В ей л ь (We у 1 Н.)
1. Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berticksichtigung des Fourier-
schen Integraltheorems. Inauguraldissertation, Gottingen, 1908. Math. Ann., 66 A909),
273—324.
В и г е р т ( Wigert S.)
1. Contributions a la theorie des polynomes d'Abel-Laguerre. Arkiv for Mat.,
Astr. och Fysik, 15 A921), № 25, 22 стр.
2. Sur les polynomes orthogonaux et l'approximation des fonctions continues.
Там же, 17 A923), № 18, 15 стр.
В и м а н (W i m a n A.)
1. liber eine asymptotische Eigenschaft der Ableitungen der ganzen Funktionen von
den Geschlechtern 1 und 2 mit einer endlichen Anzahl von Nullstellen. Math. Ann., 104
A931), 169—181.
Витали и Сансоне (Vitali G. and S a n s о n e G.)
1. Moderna teoria delle funzioni di variabile reale. II. Sviluppi in Serie di fun-
zioni ortogonali. Bologna, 1952.
Гальбрен (Galbrun H.)
1. Sur un developpement d'une fonction a variable reelle en series de polynomes.
Bull. Soc. Math, de France, 41 A913), 24—47.
Гамбургер (Hamburger H.)
1. Beitrage zur Konvergenztheorie der Stieltjesschen Kettenbruche. Math. Zeitschr.,
4 A919), 186—222.
2. Uber eine Erweiterung des Stieltjesschen Momentenproblems. Math., Ann.,
81, A920), 235—319; 82 A920), 120—164, 168—187.
Гаттески (Gatteschi L.)
1. Approssimazione asintotica degli zeri dei polinomi ultrasferici. Rendiconti
di Matematica e delle sue Applicazioni, E), 8 A949), 399—411.
2. Limitazione degli errori nelle formule asintotiche per le funzioni speciali.
Rendiconti del Seminario Matematico dell'Universita e del Politecnico di Torino, 16
A956—1957), 83—94.
Гаусс (Gauss G. F.)
*1. Summatio quarumdam serierum singularium. Werke, 2, стр. 9—45.
2. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi. Werke,
3, стр. 163—196.
Гегенбауэр (Gegenbauer L.)
1. Uber bestimmte Integrate. Sitzungsberichte der math.-natur. Klasse der Akad.
der Wissenschaften in Wien., Abteilung Ha, 70 A874), 433—443.
2. Uber die Funktionen Cvn(x). Там же, 75 A877), 891—905.
3. Tiber die Funktionen* Cvn(x). Там же, 97 A888), 259—270.
4. Zur Theorie der gypergeometrischen Reihe. Там же, 100 A891), 225—244.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 403
5. Das Additionstheorem der Funktionen C% (x). Там же, 102A893), 942—950.
6. Zur Theorie der Funktionen C^(x). Denkschriften der Akad. der Wissenschaften
in Wien, math.-natur. Klasse, 48 A884), 293—316.
7. Einige Satze iiber die Funktionen Cvn{x). Там же, 57 A890), 425—480.
Г e hJh e (H e i n e E.)
1. Mittheilung iiber Kettenbruche. Journ. fur Math., 67 A867), 315—326.
2. Die Fourier-Besselsche Funktion. Там же, 69 A869), 128—141.
3. Handbuch der Kugelfunktionen, 1, 2. Berlin, 1878, 1881.
Геронимус Я. Л.
1. Sur le polynome multiplement monotone qui s'ecarte le moins de zero, dont
un coefficient est donne. Изв. АН СССР A929), 377—389.
2. Sur l'ecart minimal quadratique de zero d'un polynome. Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo, 54 A930), 298—313.
3. On some problems of Tchebycheff. Amer. Journ. of Math., 53 A931), 597—604.
4. On a problem of M. J. Shohat. Там же, 54 A932), 85—91.
5. On some extremal properties of polynomials. Annals of Math., B), 37 A936),
483-517.
Гильберт ( H i 1 b e r t D.)
1. tlber die Discriminante der im Endlichen abbrechenden hypergeometrischen
Reihe. Journ. fur Math., 103 A888), 337—345.
Гильдебрандт (Hildebrandt Т. Н.)
*1. On integrals related to and extensions of the Lebesgue integrals. Bull. Amer.
Math. Soc, 24 A918), 113—144, 177—202.
Гобсон (Hobson E. W.)
1. The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics. Cambridge, 1931. Русский
перевод: Теория сферических и эллипсоидальных функций. ИЛ, 1952.
Готтлиб (Gottlieb М. J.)
1. Concerning some polynomials orthogonal on a finite or enumerable set of points.
Amer. Journ. of Math., 60 A938), 453—458.
Гренандер и Сегё (Grenander U. and S z e g 6 G.)
1. Toeplitz forms and their applications. Berkeley — Los Angeles, 1958. Русский
перевод: Тё'плицевы формы и их приложения. ИЛ, 1961.
Гронуолл (Gronwall Т. Н.)
1. Uber die Laplacesche Reihe. Math. Ann., 74 A913), 213—270.
2. Uber die Summierbarkeit der Reihen von Laplace und Legendre. Там же, 75
A914), 321—375.
Г р ю н в а л ь д (G r u n w a I d G.)
1. Uber Divergenzerscheinungen der Lagrangeschen Interpolationspolynome steti-
ger Funktionen. Annals of Math., B), 37 A936), 908—918.
2. On a convergence theorem for the Lagrange interpolation polynomials. Bull.
Amer. Math. Soc, 47 A941), 271—275.
3. On the theory of interpolation. Acta Math., 75 A943), 219—245.
Грюпвальд и Тура и (GrunwaldG. and T u r a n P.)
1. Uber Interpolation. Annali della Scuola Normale Superiore de Pisa, B), 7 A938),
137 — 146.
Дарбу (DarbouxG.)
1. Memoire sur Г approximation des fonctions de tres grands nombres. Journ.
de Math., C), 4 A878), 5—56, 377—416.
Д ё ч (D о e t s с h G.)
1. Integraleigenschaften der Hermiteschen Polynome. Math. Zeitschr., 32 A930),
587—599.
2. Die in der Statistik seltener Ereignisse auftretenden Charlierschen Polynome
und eine damit zusammenhangende Differentialdifferenzengleichung. Math., Ann., 109
A933), 257—266.
3. Handbuch der Laplace-Transformationen. 2. Anwendungen der Laplace-Trans-
formationen, 1 Abteilung. Basel — Stuttgart, 1955.
Джексон (Jackson D.)
1. On functions of closest approximation. Trans. Amer. Math. Soc, 22 A921),
117-128.
2. Note on a class of polynomials of approximation. Там же, 22 A921), 320—326.
3. A generalized problem in weighted approximation. Там же, 26 A924), 133—154.
4. The theory of approximation. Amer. Math. Soc. Colloquium Publications,
11, 1930.
5. Series of orthogonal polynomials. Annals of Math., B), 34 A933), 527—545.
6. Certain problems of closest approximation. Bull. Amer. Math. Soc, 39 A933),
889—906.
7. The summation of series of orthogonal polynomials. Там же, 40 A934), 743—752.
26*

404 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
8. Formal properties of orthogonal polynomials in two variables. Duke Math.
Journ., 2 A936), 423—434.
Дирихле (D i г i с h 1 e t G. L.)
1. Sur les series dont le terme general depend de deux angles, et qui servant a expri-
mer des fonctions arbitraires entre des limites donnees. Journ. fiir. Math., 17 A837),
35-56.
Дю Буа Реймонд (Du Boi s-R e у m о n d P.)
*1. Untersuchungen tiber die Convergenz und Di\4 rgenz der Fourierschen Dar-
stellungsformeln. Abhandlungen der Akad. Munchen, 12 A876), 1—103.
Ж а к о б (J а с о b M. M.)
1. Sullo sviluppo di una funzione di ripartizione in serie di polinomi di Hermite.
Giornale dell'Istituto Italiano degli Attuari, 2 A931), 100—106, 356—368.
2. Sur le phenomene de Gibbs dans les developpements de series de polynomes
d'Hermite. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc, Paris, 204 A937), 1540—1543.
Жордан К. (Jordan Camille)
*1. Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique, 3, 2d edition. Paris, 1896.
Жордан Ш. (Jordan Charles)
1. Sur une serie de polynomes dont chaque somme partielle represente la meilleure
approximation d'un degre donne suivant la methode des moindres carres, Proc. Lond.
Math. Soc, B), 20 A920), 297-325.
Ж ю л и a (J ul i a G.)
1. Sur les polynomes- de Tchebichef. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc. Paris,
182 A926), 1201 — 1202.
Зейдель и С а с (Seidel W. and S z a s z O.)
1. On positive harmonic functions and ultraspherical polynomials. Journ. Lond.
Math. Soc, 26 A951), 36-41.
Зигмунд (Zygmund A.)
1. Sur la theorje riemannienne de certains systemes orthogonaux, II. Prace Mat-
hematyczno-Fizyczne, 39 A932), 73—117.
2. Trigonometrical Series. Warszawa — Lwow, 1935. Second edition, New York,
1952. Русский перевод: Тригонометрические ряды. Гостехиздат, 1939.
Каратеодори (Caratheodory С.)
*1. Conformal representation. Cambridge, 1932. Русский перевод: Конформное
отображение, М.—Л., 1934.
Карлеман(Саг1етап Т.)
1. Uber die Approximation analytischer Funktionen durch lineare Agregate von
vorgegebenen Potenzen. Arkiv for Mat. Astr. och Fysik, 17 A923), № 9, 30 стр.
Карлин и Мак-Грегор (Karlin S. and McGregor J. L.)
1. The differential equations of birth-and-death processes, and the Stieltjes moment
problem. Trans. Amer. Math. Soc, 85 A957), 489—546.
Качмаж и Штейн гауз (Kaczmarz St. and Steinhaus H.)
*1. Theorie der Orthogonalreihen. Warszawa — Lwow, 1935. Русский перевод:
Теория ортогональных рядов. Физматгиз, 1958.
Келдыш М. В. и Лаврентьев М. А.
1. Sur la representation conforme des domaines limites par des courbes rectifiables.
Ann. Sc. de l'Ecole Normal Sup., C), 54 A937), 1—38.
Клейн (Klein F.)
1. Uber die Nullstellen der hypergeometrischen Reihe. Math. Ann., 37 A890),
573—590. Gesammelte Abhandlungen, 2, стр. 550—567.
Ковалевский (Kowalewski G.)
*1. Einftihrung in die Determinantentheorie. Leipzig, 1909.
Коваллик (Kowallik U.)
1. Entwicklung einer willkiirlichen Funktion nach Hermiteschen Orthogonalfim-
ktionen. Math. Zeitschr., 31 A930), 498—518.
Когбетлянц (Kogbetliantz E.)
1. Sur les series de fonctions ultraspheriques. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc,
Paris, 163 A916), 601—603.
2. Sur la sommation des series ultraspheriques. Там же, 164 A917), 510—513,
626—628, 778—780; 169 A919), 54—57.
3. Sur les developpements de Jacobi. Там же, 168 A919), 992—994.
4. Sur les series ultraspheriques. Там же, 169 A919), 322—324.
5. Nouvelles observations sur les series ultraspheriques. Там же, 169 A919),
423—426.
6. Sur Tunicite des developpements ultraspheriques. Там же, 169 A919), 769 —
770, 950—953.
7. Sur les developpements de Jacobi. Там же, 172 A921), 1333—1334; 192 A931),
915—918.
8. Sur la sommabilite (C, 6) de developpements suivant les polynomes d'Hermite.
Там же, 192 A931), 662—663.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 405
9. Nouvelles observations sur le systeme orthogonal de polynomes d'Hermite.
Там же, 192 A931), 1696—1698.
10. Sur les series d'Hermite et de Laguerre. Там же, 193 A931), 386—389.
11. Sur la convergence des series d'Hermite. Там же, 194 A932), 161—163.
12. Sur les developpements de Laguerre. Там же, 194 A932), 1422—1424.
13. Sur la serie de Laguerre. Там же, 196 A933), 523—525.
14. Expression approchee du polynome de Laguerre L((^(x). Там же, 196 A933),
1079-1080.
15. Sur, la determination du saut D(X0) de f(x). Там же, 196 A933), 464—466.
16. Tiber die (C, 6) Summierbarkeit der Laplaceschen Reihe fur ^ < 6 < 1.
Math. Zeitschr., 14 A922), 99—109.
17. Analogie entre les series trigonometriques et les series spheriques au point de
vue de leur sommabilite par les moyennes arithmetiques. These. Paris, 1923,
65 стр.
18. Sur la sommabilite de la serie ultraspherique a l'mterieur de l'intervalle
(—-1, +1) par la methode des moyennes arithmetiques. Bull. Soc. Math, de France, 51
A923), 244—295.
19. Recherches sur la sommabilite des series ultraspheriques par la methode des
moyennes arithmetiques. Journ. de Math., (9), 3 A924), 107—187.
20. Recherches sur l'unicite des series ultraspheriques. Там же, (9), 5 A926),
125—196.
21. Sommation des series et integrates divergentes par les moyennes arithmetiques
et typiques. Memorial des Sc. Math., 51. Paris, 1931.
22. Recherches sur la sommabilite des series d'Hermite. Annales Sc. de l'Ecole
Norm. Sup., C), 49 A932), 137—221.
23. Sur les moyennes arithmetiques de series-noyaux des developpements en series
d'Hermite et de Laguerre et sur celles de ces series-noyaux derivees terme a terme. Journ.
of Math, and Phys., Massachusetts Institute of Technology, 14 A935), 37—99.
24. Contribution a 1'etude du saut d'une fonction donnee par son developpement en
series d'Hermite ou de Laguerre. Trans. Amer. Math. Soc, 38 A935), 10—47.
К о р а у с (К о г о u s J.)
1. О rezvoji funkci jedne realne promenne v radu Hermiteovych polynomu. Roz-
pravy Ceske Akademie, B), 37 A928), № 11, 34 стр.
2. О fadach Laguerrovych polynomu (рез. франц.). Там же, № 40, 23 стр.
3. О rozvoji funkci jedne realne promenne v radu jistych ortogonalnich polynomu
(рез. англ.). Там же, 48 A938), 12 стр.
4. liber Reihenentwicklungen nach verallgcmeinerten Laguerreschen Polynomen
mit drei Parametern. Vestnik Kralovske Ceske Spolecnosti Nauk, Tfida Matemat.-Pri-
rodoved., 1937, 26 стр.
5. tiber Entwicklungen der Funktionen einer reelen Veranderlichen in Reihen
einer gewissen Klasse orthogonaler Polynome im unendlichen Intervalle. Там же, 1937,
19 стр.
Кошм и дер (Koschmieder L.)
1. Uber besondere Jakobische Polynome. Math. Zeitschr., 8, A920), 123—137.
Кравчук М. Ф.
1. Sur une generalisation des polynomes d'Hermite. Comptes Rendus de l'Acad.
des Sc, Paris, 189 A929), 620—622.
2. Sur la distribution des racines des polynomes orthogonaux. Там же, 196
A933), 739—741.
Крамер (Cramer H.)
1. On some classes of series used in mathematical statistics. Comptes Rendus du
Sixieme Congres des Mathematiciens Scandinaves, Stockholm, 1926, стр. 399—425.
Кристоффель (Christoffel E. В.)
1. liber die Gaussische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben. Journ.
fur Math., 55 A858), 61—82.
К р о л л (К г а 1 1 H. L.)
1. On derivatives of orthogonal polynomials. Bull. Amer. Math. Soc, 42 A936),
423-428.
2. On higher derivatives of orthogonal polynomials. Там же, 42 A936), 867—870.
Кронекер (Kronecker L.)
*1. Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei algebraischen Gleichun-
gen. Monatsberichte der Preussischen Akad. der Wissenschaften zu Berlin, 1881,
стр. 535—600.
Курант и Гильберт (Courant R. and H i 1 b e r t D.)
1. Methoden der mathematischen Physik, vol. 1. Berlin, 1931. Русский перевод:
Методы математической физики, том. 1. Гостехиздат, 1951.

406 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Лагерр (La guerre E. N.)
оо
1. Sur l'integralej aT1 exdx. Bull. Soc. Math, de France, 7 A879), 72—81.
Oeuvres, 1, стр. 428—437.
2. Sur Г approximation des fonctions circulaires au moyen des functions algebriques.
Gomptes Rendus de I'Acad. des Sc, Paris, 90 A880), 304—307. Oeuvres, 1, стр. 104—107.
3. Sur les equations algebriques dont le premier membre satisfait a une equation
lineaire du second ordre. Там же, 90 A880), 809—812. Oeuvres, 1, стр. 126—132.
Лагранж (LagrangeJ. L.)
1. Oeuvres, 1, стр. 534—539, 1867.
Лангер (L anger R.E.)
*1. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second
order, with special reference to the Stokes phenomenon. Bull. Amer. Math. Soc, 40 A934),
545—582.
*2. The asymptotic solutions of certain linear ordinary differential equations of
the second order. Trans. Amer. Math. Soc, 36 A934), 90—106.
*3. On the asymptotic solutions of ordinary differential equations, with reference
to the Stokes phenomenon about a singular point. Там же, 37 A935), 397—416.
Лебег (Lebesgue H.)
*1. Sur la divergence et la convergence non-uniforme des series de Fourier. Comp^es
Rendus de I'Acad. des Sc Paris, 14ГA905), 875—877.
*2. Lecons sur les series trigonometriques. Paris, 1906.
Лежандр (Legendre A. M.)
1. Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendantes. 2. Paris, 1817.
Л е Р у a (L e Roy Ё.)
1. Sur les series divergentes et les fonctions definies par un developpement de Tay-
Taylor. Ann. Faculte des Sc de Toulouse, B), 2 A900), 317—430.
Лотон (Lawton W.)
1. On the zeros of certain polynomials related to Jacobi and Laguerre polynomials.
Bull. Amer. Math. Soc, 38 A932), 442—448.r,
Л ю к а ч (L u k а с s F.)
1. Verscharfung des ersten Mittelwertsatzes der Integralrechnung fur rationale Poly-
nome. Math. Zeitschr., 2 A918), 295—305.
2. Uber die Laplacesche Reihe. Там же, 14 A922), 250—262.
Магнус и Обергеттингер (Magnus W. and OberhettingerF.)
1. Formeln und Lehrsatze fur die speziellen Funktionen der mathematischen Phy-
sik. Berlin, 1948.
Макай (Makai E.)
1. Uber die Nullstellen von Funktionen, die Losungen Sturm-Liouville'scher
Differentialgleichungen sind. Commentarii Math. Helvetici, 16 A944), 153—199.
2. On a monotonic property of certain Sturm-Liouville functions. Acta Math.
Acad. Scien. Hungaricae, 3 A952), 165—172.
3. On systems of polynomials orthogonal in two intervals. Publicationes Mathe-
maticae, 2 A952), 222—228.
Марков A. A.
1. О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей, СПб.,
1884, 131 стр.
2. Доказательство некоторых неравенств П. Л. Чебышева A884). Избранные
труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее уклоняющихся
от нуля. Гостехиздат, 1948, стр. 15—24.
3. Выдержка из одного письма Эрмиту A885). Избранные труды, стр. 25—31.
4. О корнях некоторых уравнений. II. A886). Избранные труды, стр. 44—50.
5. Исчисление конечных разностей. Одесса, 1910.
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.)
*1. Quelques remarques sur 1'interpolation. Acta Litterarum ac Scientiarum Regiae
Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, 8 A937), 127—130.
2. Sur la divergence des polynomes d'interpolation. Там же, 8 A937), 131—135.
Мейкснер (Meixner J.)
1. Orthogonale Polynomsysteme mit einer besonderen Gestalt der erzeugenden
Funktion. Journ. of the London Mathematical Society, 9 A934), 6—13.
2. Erzeugende Funktionen der Charlierschen Polynome. Math. Zeitschr., 44 A938),
531—535.
Мёклин (Moecklin E.)
1. Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome. Commentarii
Math. Helvetici, 7 A934), 24—46.
M e л e p (M e h 1 e r F. G.)
1. Bemerkungen zur Theorie der mechanischen Quadraturen. Journ. fur Math.,
63 A864), 152-157.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 407
2. Uber die Entwicklung einer Funktion von beliebig vielen Variablen nach Lap-
laceschen Funktionen hoherer Ordnung. Там же, 66 A866), 161—176.
3. Uber die Vertheilung der statischen Elektricitat in einem von zwei Kugelkalot-
ten begrenzten Korper. Там же, 68 A868), 134—150.
4. Uber die Darstellung einer willktirlichen Funktion zweier Variablen durch
Cylinderfunktionen. Math. Ann., 5 A872), 135—140.
5. Notiz uber die Dirichlet'schen Integralausdriicke fur die Kugelfunktion Pn(cos 0)
und uber eine analoge Integralform fur die Gylinderfunktion J(x). Там же, 5 A872),
141-144.
M и л л е р-Л ебедева (М у 1 1 е r-L e b e d e f f V.)
1. Die Theorie der Integralgleichungen in Anwendung auf einige Reihenentwicklun-
gen. Math. Ann., 64 A907), 388—416.
Мюнц (Muntz C.)
1. Uber die Potenzsummation einer Entwicklung nach Hermiteschen Polynomen.
Math. Zeitschr., 31 A929), 350—355-.
Нейман (Neumann E. R.)
1. Die Entwicklung willktirlicher Funktionen nach den Hermiteschen und Laguer-
reschen Orthogonalfunktionen auf Grund der Theorie der Integralgleichungen. Inaugural-
dissertation. Breslau, 1912.
2. Beitrage zur Kenntnis der Laguerreschen Polynome. Jahresber. der DMV, 30
A921), 15—35.
Новиков (Novikoff A.)
1. On a special system of orthogonal polynomials. Dissertation Stanford Univer-
University, 1954.
Обрешков (Obrechkoff N.)
1. Sur la sommation de la serie ultraspherique par la methode des moyen-
nes arithmetiques. Rendiconti del Circolo Math, di Palermo, 59 A936), 266—
287.
2. Formules asymptotiques pour les polynomes de Jacobi et sur les series suivant
les merries polynomes. Annuaire de l'Universite de Sofia, Faculte Physico-Mathematique,
1 A936), 39—133.
Перрон(Perron O.)
1. liber das infinitare Verhalten der Koeffizienten einer gewissen Potenzreilu.
Archiv der Math, und Phys., C), 22 A914), 329—340.
2. liber das Verhalten einer ausgearteten hypergeometrischen Reihe bei unbegrenz-
tem Wachstum eines Parameters. Journal fur Math., 151 A921), 63—78.
3. Die Lehre von den Kettenbruchen. 2d edition. Leipzig, 1929.
*4. Algebra. Vols. I, II, 2d edition. Berlin, 1932, 1933.
Планшерель и Ротах (PlancherelM. and R о t а с h W.)
1. Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d'Hermite Hn(x) =
= (—i;nex2/2^^x2/2.Commentarii Math. Helvetici, 1 A929), 227—254.
Полна (Р о 1 у a G.)
1. Sur un theoreme de Stiltjes. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc, Paris, 155
A912), 767—769.
2. Sur un algorithme ton jours convergent pour obtenir les polynomes de meilleure
approximation de Tchebychef pour une fonction continue quelconque. Там же, 157 A913),
840-843. .
*3. Uber die Nullstellen gewisser ganzer Funktionen. Math. Zeitshr., 2 A918),
352-383,.
4. Uber die Konvergenz von Quadraturverfahren. Там же, 37 A933), 264—286.
По л лачек (Pollaczek F.)
1. Sur une generalisation des polynomes de Legendre. Comptes Rendus de l'Acad.
des Sc, Paris, 228 A949), 1363—1365.
2. Systemes de polynomes biorthogonaux qui generalisent les polynomes ultra-
spheriques. Там же, 228 A949), 1998—2000.
3. Sur une famille de polynomes orthogonaux qui contient les polynomes d'Hermite
et de Laguerre comme cas limites. Там же, 230 A950), 1563—1565.
4. Sur une generalisation des polynomes de Jacobi. Memorial des ScMath., 131
A956).
Поповичиу (Popoviciu T.)
1. Sur la Distribution des zeros de certains polynomes minimisants. Bull, de
TAcademie Roumaine, 16 A934), 214—217.
2. Sur certains problemes de maximum de Stieltjes. Bull. Math. Soc. Roumaine
de Sc, 38 A936), 73—96.
Райт (Wright E. M.)
1. The coefficients of a certain power series. Journ. Lond. Math. Soc, 7 A932),
256-262.

408 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Pay (Rail H.)
1. Uber die Lebesgueschen Konstanten der Reihenentwicl<]aiigen nach .Tacobiscbci)
Polynomen. Journ. fur Math., 161 A929), 237—254.
2. Uber eine asymptotische Darstellung der Jacobischen Polynome durch Besselscho
Funktionen. Math. Zeitshr., 40 A936), 683—692.
Рисе M. (R i e s z M.)
1. Eine trigonometrische Interpolationsformel und cinige Ungleichungen fiir
Polynome. Jahresber. der DMV, 23 A915), 354-368.
2. Sur le probleme des moments. Arkiv for Mat. Astr. och Fysik, 16 A921), № 12,
23 стр.; 16 A922), № 19, 21 стр.; 17 A923), № 16, 52 стр.
P и с с Ф. (R i e s z F.) .
*1. Sur certains systemes singuliers d'equations integrates. Annales Sc. de l'Ecole
Norm. Super., C), 28 A911), 33—62.
*2. Uber die Randwerte einer analytischen Funktion. Math. Zeitschr., 18 A923),
87—95.
Ротах (R о t а с h W.)
1. Reihenentwicklungen einer willkurlichen Funktion nach Hermiteschen und
Laguerreschen Polynomen. Inaugural dissertation, Eidgenossische Technische Hochschule
Zurich, 1925.
Cac (Szasz O.)
*1. Korlatos hatvanysorokrol. Matematikai es Termeszettudomanyi Ertesito,
43 A926), 504-520.
Gere (Szego G,)
1. A Hankel-fele formakrol. Matematikai es Termeszettudomanyi Ertesito, 36
A918), 497—538.
2. Ein Beitrag zur Theorie der Polynome von Laguerre und Jacobi. Math. Zeitschr.,
1 A918), 341—356.
3. Uber Orthogonalsysteme von Polynomen. Там же, 4 A919), 139—151.
4. Beitrage zur Theorie der Toeplitzschen Formen. П. Там же, 9 A921),
167—190.
5. Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebeno
gehoren. Там же, 9 A921), 218—270.
6. Uber die Entwicklung einer analytischen Funktion nach den Polynomen ernes
Orthogonalsystems. Math. Ann., 82 A921), 188—212.
7. Uber die Randwerte analytischer Funktionen. Там же, 84 A921), 232—244.
8. Uber den asymptotischen Ausdruck von Polynomen, die durch eine Orthogona
litats-eigenschaft definiert sind. Там же, 86 A922), 114—139.
9. Uber die Entwicklung einer willkurlichen Funktion nach den Polynomen eines
Orthogonalsystems. Math. Zeitschr., 12 A921), 61—94.
10. Beitrage zur Theorie der Laguerreschen Polynome. I. Entwicklungssatze. Там
же, 25 A926), 87—115.
11. Bemerkungen zu einer Arbeit von Herrn Fejer uber die Legendreschen Poly
nome. Там же, 25 A926), 172—187.
12. Ein Beitrag zur Theorie der Thetafunktionen. Sitzungsber. der Preuss. Akad.
der Wissenschaften, phys.-math. Klasse, 1926, 242—252.
13. Koeffizientenabschatzungen bei ebenen und raumlichen harmonischen Entwi-
cklungen. Math. Ann., 96 A927), 601—632.
14. Uber gewisse Interpolationspolynome, die zu den Jacobischen und Laguer
reschen Abszissen gehoren. Math. Zeitschr. 35 A932), 579—602.
15. Uber einige asymptotische Entwicklungen der Legendreschen Funktionen.
Proc. London Math. Soc, B), 36 A932), 427—450.
16. Uber eine von Herrn S. Bernstein herruhrende Abschatzung der Legendreschen
Polynome. Math. Ann., 108 A933), 360—369.
17. Asymptotische Entwicklungen der Jacobischen Polynome. Schriften der Konigs-
berger Gelehrten Gesellschaft, naturwiss. Klasse, 10 A933), 35—112.
18. Bemerkungen zu einem Satz von E. Schmidt uber algebraische Gleichungen.
Sitzungsber. der Preuss. Akad. der Wissenschaften, phys.-math. Klasse, 1934, 3—15.
19. Uber gewisse orthogonale Polynome, die zu einer oszillierenden Belegungsfunk-
tion gehoren. Math. Ann. 110 A934), 501—513.
20. Inequalities for the zeros of Legendre polynomials and related functions. Trans.
Amer. Math. Soc, 39 A936), 1—17.
21. An integral equation for the square of a Laguerre polynomial. Journ. London
Math. Soc, 12 A937), 162—163.
22. On an inequality of P. Turan concerning Legendre polynomials. Bull. Amer.
Math. Soc, 54 A948), 401—405.
23. On the relative extrema of Legendre polynomials. Bollettino della Unione
Matematica Italiana, C), 5 A950), 120—121.
24. On certain special sets of orthogonal polynomials. Proc. Amer. Math. Soc,
1 A950), 731-737.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 409
Сен и Р а н г а ч а р и а р (Sen D. N. and Rangaehariar V.)
1. Generalized Jacobi polynomials. Bull. Amer. Math. Soc, 42 A936), 901—908
Смирнов В. И.
1. Sur la theorie des polynomes orthogonaux a une variable complexe. Журнал
Ленингр. физ.-матем. о-ва, 2 A928), 155—179.
2, Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problemes qui s'y rattachent
Изв. АН СССР, 1932, 337-372.
Смит (Smith E. R.)
1. Zeros of the Hermitian polynomials. Amer. Math. Monthly, 43 A936), 354—358.
С о н и н Н. Я.
1. Исследования о цилиндрических функциях и о разложении непрерывных
функций в ряды A880). Исследования о цилиндрических функциях и специальных
полиномах. Гостехиздат, 1954, стр. 17—115.
2. О точности определения предельных величин интегралов A892). Там же,
стр. 170—196.
Спенсер (Spencer V. E.)
1. Asymptotic expressions for the zeros of generalized Laguerre polynomials and
Weber functions. Duke Math. Journ., 3 A937), 667—675.
Стеклов В. А.
1. Sur les expressions asymptotiques de certaines fonctions, definies par les equa-
equations differentielles lineaires du second order et leurs applications au probleme du deve-
loppement d'une fonction arbitraire en series procedant suivant les-dites fonctions.
Сообщ. Харьк. матем. о-ва, B), 10 A907), 97—200. Remarque complementaire, 201.
Русский перевод: Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяе-
определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка, и их применении
к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям. Харь-
Харьков, 1956.
2. О приближенном вычислении определенных интегралов при помощи формул
механических^квадратур, I, II. Изв. имп. АН, F), 10 A916), 169—186, 829—850.
Стилтьес (Stieltjes T. J.)
1. Quelques recherches sur la theorie des quadratures dites mechaniques.
Annales Sc. de l'Ecole Norm. Super., C), 1 A884), 409—426. Oeuvres Completes, 1,
377__394.
2. Note a Г occasion de la reclamation de M. Markoff. Там же, (З), 2 A885), 183—184.
Oeuvres Completes, 1, 430—431.
3. Sur certains polynomes qui verifient une equation differentielle lineaire du
second ordre et sur la theorie des fonctions de Lame. Acta Math., 6 A885), 321—326.
Oeuvres Completes, 1, 434—439.
4. Sur quelques theoremes d'algebre. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc, Paris,
100 A885), 439—440. Oeuvres Completes 1, 440—441.
5. Sur les polynomes de Jacobi. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc, Paris, 100
A885), 620—622. Oeuvres Completes, 1, 442—444.
6. Sur les racines de Г equation Xn=0. Acta Math., 9 A886), 385—400. Oeuvres
Completes, 2, 73—88.
7. Sur la valeur asymptotique des polynomes de Legendre. Comptes Rendus de
l'Acad. des Sc, Paris, 110 A890), 1026—1027. Oeuvres Completes, 2, 234—235.
8. Sur les polynomes de Legendre. Annales Faculte des Sc. de Toulouse, 4 A890),
17. Oeuvres Completes, 2, 236—252.
9. Sur les racines de la fonction spherique de seconde espece. Annales Faculte
des Sc, de Toulouse, 4 A890), 10. Oeuvres Completes, 2, 253—262.
10. Recherches sur les fractions continues. Comptes Rendus de l'acad, des Sc,
Paris, 118 A894), 1401 — 1403. Oeuvres Completes, 2, 398—401.
11. Recherches sur les fractions continues. Annales Faculte des Sc, de Toulouse
8 A894), 122; 9, 1895, 47. Oeuvres Completes, 2, 402—566. Русский перевод: Стилтьес
Т. И., Исследования о непрерывных дробях. Харьков, 1936.
12. Sur certaines inegalites dues a M. P. Tchebychef. Article redige d'apres un
manuscript inedit. Oeuvres Completes, 2, 586—593.
Стон (Stone M. H.)
1. Developments in Hermite polynomials. Annals of Math., B), 29 A928), 1—13.
Тамаркин (Tamarkin J. D.)
1. On the theory of polynomials of approximation. Lecture delivered at Brown
University, 1935—1936.
Титчмарш (Titchmarsh E. C.)
1*. The theory of functions. Oxford, 1932. Русский перевод: Теория функций.
Гостехиздат, 1951.
Торн (Т h о г n e R. С.)
1. The asymptotic expansion of Legendre functions of large degree and order.
Technical Report, Office of Naval Research. California Institute of Technology,
1956.

410 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Трикоми (Tricomi F.)
1. Trasformazione di Laplace e polynomi di Laguerre. I. Inversione della trasfor-
mazione. Rendiconti della R. Academia dei Lincei, F), 21 A935), 232—239.
2. Sul comportamento asintotico dell'n-essimo polinomio di Laguerre nell'intorno
dell'ascissa 4n. Comrnentarii Math. Helvetici, 22 A949), 150—167.
3. Sul comportamento asintotico dei polinomidi Laguerre. Annali di Mat., i4),
28 A949), 263-289.
4. Sugli zeri dei polinomi sferici ed ultrasferici. Там же, D), 31 A950), 93—97.
5. Vorlesungen tiber Orthogonalreihen. Berlin—Gottingen—Heidelberg, 1955.
T у р а н (Т u r an P.)
1. On the zeros of the polynomials of Legendre. Casopis pro Pestovani Matematiky
a Fisiky, 75 A950), 113—122.
У и н с т о н (W insfon С.)
1. On mechanical quadratures formulae involving the classical orthogonal poly-
polynomials. Annals of Math., B), 35 A934), 658—677.
Уиттекер и Ватсон (W hittaker E. Т. and Watson G. N.)
1. A course of modern analysis. Cambridge, 1935. Русский перевод: Современный
анализ. ГТТИ, 1933—1934.
У о л ш (Walsh J. L.)
1. Interpolation and approximation by rational functions in the complex domain.
Amer. Math. Soc. Colloq. Public, 20, 1935. Русский перевод. Интерполяция и аппро-
аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. ИЛ, 1961.
Успенский (Uspensky J. V.)
1. On the development of arbitrary functions in series of Hermite's and Laguerre's
polynomials. Annals of Math., B), 28, A927), 593—619.
Ф а б e p (F a b e r G.)
1. Uber polynomische Entwicklungen. Math. Ann., 57 A903), 389—408.
*2. Uber die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen. Jahresber. der
DMV, 23 A914), 192-210.
3. Tschebyscheffsche Polynome. Journal fur. Math., 150 A919), 79—106.
4. Uber nach Polynomen fortschreitende Reihen. Sitzungsber. der Bayrischeti
Akad. der Wissenschaften, 1922, стр. 157—178.
Ф а в a p (F a v а г d J.)
1. Sur les polynomes de Tchebicheff. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc, Paris,
200 A935), 2052—2053.
Фату (Fatou P.)
*1. Series trigonometriques et series de Taylor. Acta Math., 30 A906), 335—400.
Ф е й e p (Fe j er L.)
*1. Sur les fonctions bornees et integrables. Comptes Rendus de l'Acad. des Sc,
Paris, 131 A900), 984—987.
*2. Untersuchungen uber Fouriersche Reihen. Math. Ann., 58 A904), 51—69.
3. Asymptotikus ertekek meghatorozasarol. Matematikai es Termeszettudomanyi
Ertesito, 27 A909), 1—33.
4. Uber die Laplacesche Reihe. Math. Ann., 67 A909), 76—109.
*5, Uber trigonometrische Polynome. Journ. fur Math., 146 A915), 53—82.
6. Uber Interpolation. Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Got-
Gottingen, A916), 66—91.
7. Uber die Lage der Nullstellen von Polynomen die aus Minimumforderungen
gewisser Art entspringen. Math. Ann., 85 A922), 41—48.
8. Uber die Summabilitat der Laplaceschen Reihe durch arithmetische Mittel.
Math. Zeitschr., 24 A925), 267—284.
9. Abschatzungen fur die Legendreschen und verwandte Polynome. Math. Zeitschr.,
24 A925), 285—298.
10. Uber Weierstrass'sche Approximation, besonders durch Hermitesche Inter-
Interpolation. Math. Ann., 102 A930), 707—725.
11. Die Abschatzung eines Polynoms in einem Intervalle, wenn Schranken fur
seine Werte und ersten Ableitungswerte in einzelnen Punkten des Intervalles gegeben sind,
und ihre Anwendung auf die Konvergenzfrage Hermitescher Interpolationsreihen. Math.
Zeitschr., 32 A930), 426—457.
12. Ultraspharikus polynomok osszegerol. Matematikai es Fizikai Lapok, 38 A931),
161-164.
13. Lagrangesche Interpolation und die Zugehorigen konjugierten Punkte. Math.
Ann., 106 A932), 1—55.
14. Bestimmung derjenigen Abszissen eines Intervalles, fur welche die Quadrat-
summe der Grundfunktionen der Lagrangeschen Interpolation im Intervalle ein mog-
lichst Kleines Maximum besitzt. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, B),
1 A932), 3—16.
15. Mechanische Quadraturen mit positiven Cotesschen Zahlen. Math. Zeitschr.,
37 A933), 287—309.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 411
16. On the characterization of some remarkable systems of points of interpolation
by means of conjugate points. Amer. Math. Monthly, 41 A934), 1 — 14.
17. Potenzreihen mit mehrfach monotoner Koeffizientenfolge und ihre Legendre
Polynome. Proc. Cambridge Philosophical Soc, 31 A935), 307—316.
18. A hatvanysorrol es a vele kapcsolatos Legendre-fele tobbtaguakrol. Matemati-
kai es Termeszettudomanyi Ertesito, 53 A935), 1—17.
19. Bestimmung von Grenzen fur die Nullstellen des Legendreschen Polynoms aus
der Stieltjesschen Integraldarstellung desselben. Monatshefte fiir Math, und Physik,
43 A936), 193—209.
20. Trigonometrische Reihen und Potenzreihen mit mehrfach monotoner Koeffi-
Koeffizientenfolge. Trans. Amer. Math. Soc, 39 A936), 18—59.
Ф е й е р и Gere (F e j ё r L. and S z e g б G.)
*1. Uber die monotone Konvergenz von Potenzreihen mit mehrfach monotoner
Koeffizientenfolge. Prace Matematyczno-Fizyczne, 44 A935), 15—25.
Фекете (Fekete M.)
*1. Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit
ganzzahligen Koeffizienten. Math. Zeitschr., 17 A923), 228—249.
Фельдгейм (Feldheim E.)
1. Sur l'orthogonalite des fonctions fondamentales de Г interpolation de Lagrange.
C. R. Acad. Sc, Paris, 203 A936), 650—652.
2. О характере сходимости при интерполировании методом Лагранжа. Докл.
АН СССР, 14 A937), 329—333.
3. Sur l'orthogonalite des fonctions fondamentales, et sur la forte convergence en
moyenne des polynomes d'interpolation de Lagrange dans le cas des abscisses de Tchebychef.
Bull. Soc. Math, de France, 65 A937), 1—40.
4. Theorie de la convergence des procedes d'interpolation et de quadrature meca-
nique. Memorial des Sc. Math., 95, Paris, 1939.
Ф'райд (Freud G.)
1. Az Hermite-Fejer-fele interpolacios eljaras konvergenciajarol. Magyar Tudo-
manuos Akademia. III. Osztalyanak kozlemenyei, 5 A955), 29—47.
2. Ortogonalis polinomokrol. Dissertation. Budapest, 1956.
3. Uber die Asymptotik orthogonaler Polynome. Academie Serbe des Sc, 11
A957), 19—32.
Фридрихе (Friedrichs K.)
1. On certain inequalities and characteristic value problems for analytic functions
and for functions of two variables. Trans. Amer. Math. Soc, 41 A937), 321—364.
Фудживара (Fujiwara M.)
1. On the zeros of Jacobi polynomials. Jap. Journ. of Math., 2 A925), 1—2.
Xaap (Haar A.)
*1. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. I. Math. Ann., 69
A910), 331—371.
2. Reihen en twicklungen nach Legendreschen Polynomen. Там же. 78 A917),
121 — 136.
Хан ( H a h n W.)
1. Die Nullstellen der Laguerreschen und Herniteschen Polynome. Inauguraldis-
sertation, Berlin. Schriften des Mathematischen Seminars und des Instituts fur angewandte
Mathematik der Universitat Berlin, 1 A933), 213—244.
2. Bericht uber Nullstellen der Laguerreschen und der Hermiteschen Polynome.
Jahresber. der DMV, 44 A934), 215—236. Nachtrag, там же, 45 A935), 211.
3. Uber die Jacobischen Polynome und zwei verwandte Polynomklassen. Math.
Zeitschr., 39 A935), 634—638.
4. Uber hohere Ableitung von Orthogonalpolynomen. Там же, 43 A937), 101.
X a p д и (Hardy G. H.)
1. Summation of a series of polynomials of Laguerre. Journ. Lond. Math. Soc,
7, A932), 138—139, 192.
Харди, Литтлъвуд и Полна (Hapdy G. H., Littlewood J. E.
and P 6 1 у a G.)
*1. Inequalities. Cambridge, 1934. Русский перевод: Неравенства, ИЛ, 1948.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
*1. Momentprobleme fur ein endliches Intervall. Math. Zeischr., 16 A923), 220—248.
Хелли (Helly E.)
*1. liber lineare Funktionaloperationen. Sitzungsber. der math.-natur. Klasse
der Akad. in Wien, Abteilung Ha, 121 A912), 265—297.
X и л л e (H i 1 1 e E.)
1. A class of reciprocal functions. Annals of Math., B), 27 A926), 427—464.
2. On Laguerre's series. I, II, III. Proc of the Nat. Acad. of Sc, 12 A926), 261—
265, 265—269, 348—352.
3. Bemerkung zu einer Arbeit des Herrn Muntz. Math. Zeitschr., 32 A930),
422—425.

412 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
4. Ober die Nullstellen der Hermiteschen Polynome. Jahresber. der DMV, 44
A933), 162—165.
X и л ь б (Н i I b E.)
1. Uber die Laplacesche Reihe. Math. Zeitschr., 5 A919), 17—25; 8 A920), 79—90.
X о л л 6 (Hollo A).
1. A mechahikus quadraturarol. Thesis. Budapest, 1939, 23 стр.
Хсю (Hsu H).
1. Certain integrals and infinite series involving ultraspherical polynomials and
Bessel functions. Duke Math. Journ, 4 A938), 374—383.
Цернике (Zernike F.)
1. Eine asymptotische Entwicklung fur grosste Nullstelle der Hermiteschen Poly-
Polynome. Koninklijke Akad. van Wetenschappen te Amsterdam. Proceedings, 34 A931).
673—680.
Чакалов (Tchakaloff L.)
1. Sur la structure des ensembles lineaires definis par une cartaine propriete mini-
male. Acta Math., 63 A934), 77—97.
Чебышев П. Л.
1. О непрерывных дробях A855). Полное собрание сочинений, 2, стр. 103 — 126;
изд. АН СССР, 2 A947), 3 A948).
2. Об интерполировании по способу наименьших квадратов A859). Сочинения,
2, стр. 314—334.
3. О разложении функций одной переменной A859). Сочинения, 2, стр. 335—341.
4. Об интерполировании A864). Сочинения, 2, стр. 357—374.
5. О функциях, подобных функциям Лежандра A870). Сочинения, 3, стр. 5 —12.
6. О предельных величинах интегралов A874). Сочинения, 3, стр. 63—65.
7. Об отношении двух интегралов, распространенных на одни и те же вели-
величины переменной A883). Сочинения, 3, стр. 132—156.
8. О представлении предельных величин интегралов посредством интегральных
вычетов A886). Сочинения, 3~, стр. 172—190.
Швид (Schwidt N.)
1. The asymptotic forms of the Hermite and Weber functions. Trans. Amer. Math.
Soc, 37 A935), 339—362.
Шерман (Scherman J.)
1. On the numerators of the convergents of the Stieltjes continued fractions. Trans.
Amer. Math. Soc, 35 A933), 64—87.
Ш и б а т a (S h i b a t a K.)
1. On the distribution of the roots of a polynomial satisfying a certain differential
equation of the second order. Jap. Journ, of Math., 1 A924), 147—153.
Шмидт (Schmidt E.)
1. Uber die Charlier-Jordansche Entwicklung einer willkiirlichen Funktion nach
der Poissonschen Funktion und ihren Ableitungen. Zeitschr. fur angew. Math, und Mech.,
13A933), 139—142.
Шохат (Schohat J.)
1. On the polynomial of the best approximation to a given continuous function.
Bull. Amer. Math. Soc, 31 A925), 509—514.
2. On a general formula in the theory of Tchebycheff polynomials and its applica-
applications. Trans. Amer. Math. Soc, 29 A927), 569—583.
3. On a certain formula of mechanical quadratures with non-equidistant ordinates.
Там же, 31 A929), 448—463.
4. On the polynomial and trigonometric approximation of measurable bounded
functions on a finite interval. Math. Ann., 102 A929), 157—175.
5. On Interpolation. Annals of Math., B), 34 A933), 130—146.
6. Theorie generale des polynomes orthogonaux de Tchebichef. Memorial des Sc
Math. 61, Paris, 1934.
7. On mechanical quardatures, in particular, with positive coefficients, Trans.
Amer. Math. Soc, 42 A937), 461—496.
8. On the convergence properties of Lagrange interpolation based on the
zeros of orthogonal Tchebycheff polynomials. Annals of Math., B), 38 A937),
758—769.
Шохат, Хилле иУолш (Shohat J. A., H i 1 1 e E. and Walsh J. L.)
1. A bibliography on orthogonal polynomials. Washington, 1940.
Шур (Schur J.)
1. Uber die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit
ganzzahligen Koeffizienten. Math. Zeitschr., 1 A918), 377—402.
2. Aifektlose Gleichungen in der Theorie der Laguerreschen und Hermiteschen
Polynome. Jorn. fur Math., 165 A931), 52—58.
Шураньи и Туран (Suranyi J. and Turan P.)
1. Notes on interpolation. I. (On some interpolatorical properties of the ultrasphe-
ultraspherical polynomials). Acta Math. Acad. Sc. Hungaricae, 6 A955), 67—79.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 413
Эйлер (Е u I e r L.)
*1. Institutiones calculi integralis. Vol. 2, sect. I, chap. X, problem 130. Opera
Omnia, Ser. 1, vol. 12, стр. 224.
Эрдёш (Erdos P.)
1. On the distribution of normal point groups. Proc. Nat. Acad. Sc, 26 A940),
294-297.
2. On divergence properties of the Lagrange interpolation parabolas. Annals of
Math., 42 A941), 309-315.
Эрдёш и Грюнвальд (Erdos P. and Griinwald G.)
1. Uber einen Faber'schen Satz. Annals of Math., 39 A938), 257—261.
Эрдёш и Ленжиель (Erdos P. and L e n g у e 1 B. A.)
1. On fundamental functions of Lagrangean interpolation. Bull. Amer. Math. Soc,
44 A938), 828—834.
Эрдёш и Туран (Erdos P. and Turan-P.)
1. On interpolation. I. Quadrature - and mean-convergence in the Lagrange inter-
interpolation. Annals of Math., B), 38 A937), 142—155.
2. On interpolation. II. On the distribution of the fundamental points of Lagrange
and Hermite interpolation. Там же, 39 A938), 703—724.
3. On interpolation. IIT. Interpolatory theory of polynomials. Там же, 41 A940),
510—553.
Эрдёш и Фельдгейм (ErdosP. and Feldheim E.)
1. Sur le mode de convergence pour 1'interpolation de Lagrange. Comptes Rendus.
Acad. Sc, Paris, 203 A936), 913—915.
Врдейи (Erdelyi A.)
1. Uber eine Integraldarstellung der Mk, m-Funktionen und ihre asymptotische
Darstellung fur grosse Werte von Rek. Math., Ann., 113 A936), 357—362.
2. Uber eine arzeugende Funktion von Produkten Hermitescher Poiynome. Math.
Zoitschr., 44 A938), 201—211.
3. Asymptotic forms for Laguerre polynomials. Golden Jubillee Gomemoration
Volume of the Jndian Mathematical Soc, 1959.
Эрдейи и Суонсон (Erdelyi A. and S w a n s о n G. A.)
1. Asymptotic forms of Whittaker's confluent hypergeometric functions. Memoirs
Amer. Math. Soc, 25, 1957.
3 р м и т (Hermite C.)
1. Sur les polynomes de Legendre. Rendiconti del Gircolo Matematico di Palermo,
4 A890), 146—152. Oeuvres, 4, стр. 314—320.
2. Sur les polynomes de Legendre. Journ. fur. Math., 107 A891), 80—83. Oeuvres,
4, стр. 321—326.
3. Sur les racines de la fonction spherique de seconde espece. Ann. Fac. Sc. de/Tou-
louse, 4 A890), 10 стр. Oeuvres, 4, стр. 327—336.
Э р м и т и С т и л т ь е с (Hermite С. et S t i e 1 t j e s T. J).
1. Gorrespondance d'Hermite ct de Stieltjes, 1, 2. Paris, 1905.
Юнг (Young W. H.)
1. On the connexion between Legendre series and Fourier series. Proc. Lond. Math.
Soc, B), 18 A919), 141-162.
Я к о б и (J а с о b i С. G. L.)
1. Uber Gauss'neue Methode, die Werthe der Integrale rnaherungsweise zu finden.
Journ. fur Math., 1 A826), 301—308. Gesammelte Werke, 6, стр. 3—11.
2. Uber die Entwicklung des Ausdrucks (aa—2aaf [cos со cos ф+sin со sin ф х
XcosF—6')]-f aa') 2. Там же, 26 A843), 81—87. Gesammelte Werke 6 стр 148—155
3. Untersuchungen uber die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe!
Там же, 56 A859), 149—165. Gesammelte Werke, 6, стр. 184—202

ДОПОЛНЕНИЯ
(Я. Л. Теронимуе)
По сравнению с первым изданием книги Г. Сегё A939 г.) ее второе
издание является не переработанным, не дополненным, а лишь пересмотрен-
пересмотренным, как это указывает автор; поэтому нам казалось полезным сделать
к нему некоторые дополнения. Эти дополнения посвящены, с одной сторо-
стороны, работам (в облдсти теории ортогональных многочленов), опубликован-
опубликованным после 1939 г.— главным образом, хотя и не исключительно, совет-
советским работам. С другой стороны, в дополнениях рассмотрены некоторые
другие вопросы, тесно связанные с теорией ортогональных многочленов
и содержащие многие положения этой теории как частные случаи гораздо
более общих теорем; в частности, многие положения теории ортогональных
многочленов вытекают из общих свойств непрерывных дробей, из общих
результатов теории моментов Гамбургера, из общих свойств многочленов,
определяемых производящей функцией специального вида, или имеющих
некоторую специальную форму и т. п.
Сделанные нами дополнения не могут, конечно, претендовать на ис-
исчерпывающую полноту. Кроме того, вполне естественно, что они носят
на себе отпечаток индивидуальных интересов их автора — например,
сделано гораздо больше дополнений к теории многочленов, ортогональных
относительно произвольного распределения da (x) типа Стилтьеса, чем
к частному случаю классических ортогональных многочленов.
Для удобства читателя мы расположили дополнения по главам.
Для экономии места все ссылки на работы советских авторов, вышед-
вышедшие в свет в период 1917—1957 гг., мы обозначили звездочками, и полное
название и библиографические данные для этих работ следует искать
в сборнике «Математика в СССР за сорок лет 1917—1957», том II; напри-
например, наша ссылка «С. Н. Бернштейн [96 *]» означает работу указан-
указанного автора «О многочленах, ортогональных в конечном интервале», при-
приведенную под № 96 на стр. 73 указанного сборника.
Все формулы в дополнениях мы нумеруем двумя числами, первое из
которых, написанное римскими цифрами, соответствует номеру дополне-
дополнений к соответствующей главе; так, например, обозначение (III.4) соответ-
соответствует формуле № 4 дополнений к главе III. Обозначения без римских
цифр относятся к основному тексту книги.
ГЛАВА I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.4, 1.6. Г. Сегё вводит только линейные функционалы U (/), которые
каждой функции /(х) ставят в соответствие число; для того чтобы охва-
охватить дальнейшие рассуждения более общими формулировками, рассмот-
рассмотрим л и нейные операторы U(f), которые каждой функции f(x) ставят в соот-

ДОПОЛНЕНИЯ 415
ветствие некоторую другую функцию ср (х); примеры (при xQ переменном,
а не фиксированном): 1) интерполяционный многочлен Лагранжа A.6.6);
2) частная сумма sn(x) C.1.11) разложения функции f(x) в ряд ортонор-
мальных многочленов {/^(ж)}^, а также интеграл Дирихле A.6.4), интеграл
Фейера A.6.5) и т. п.
Так же, как в § 1.6, введем норму || U \\ оператора U (/) в метрике прост-
пространства С функций, непрерывных на [а, Ъ\\ тогда
max | U (/) |< || U || max | / (х) |, а < х < Ъ. A.1)
Пусть многочлен Qn (x) осуществляет на отрезке [а, Ъ] наилучшее
приближение Еп (/) функции / (х):
max | / (ж) — Qn (х) | > max \f(x) - Qn (х) | = £n (/), а < ж < Ь; A.2)
пусть оператор £/п (/) оставляет неизменным любой многочлен Qn (x) степени
не выше п, т. е. пусть Un (Qn) = Qn (x), тогда
A.3)
следовательно, для сходимости lim Un(f)=f(x) на отрезке [а, Ь] достаточно
П-+ оо
условие
lim {En(f)\\Un\\} = 0. A.4)
п ~> со
В двух указанных выше частных случаях нормы |,С/П|| оператора
таковы:
71
(жO Ln (ж) = 2 I К (х) I «<^<Ь,
V1
2) I^^HmaxL.H, К @
т. е. являются константами Лебега, a Ln (x) — функциями Лебега для
интерполяционного процесса Лагранжа и, соответственно, процесса Фурье.
С. М. Лозинский, В. Ф. Николаев и Ф. И. Харшиладзе доказали
весьма общую теорему1): если Vп (/) — линейный оператор, переводящий
любую функцию f(x)£Ce многочлен степени <^пи оставляющий неизменным
всякий такой многочлен, то \\Unl\>—у= — поэтому не существует после-
8 у л
дователъности операторов указанного типа [Un (/)}^°, для которых мы
имели бы
lira Un(f) = f(x) A.6)
П -> оо
равномерно на [а, Ь] для любой функции f(x)£C.
Таким образом, нормы операторов указанного типа растут не медлен-
медленнее, чем О (In n) — если они имеют именно этот порядок, то сходимость
A.5) будет иметь место для каждой непрерывной функции f(x), удовлетво-
ряющей на [а, Ь] условию Дини со (бIп-^-—>0, ибо отсюда вытекает
lim {En(l)\\Un\\}= I™ {» D") ln4 = °' (L7>
г->. ОО П -> ОО I. N. '1 ' )
1) См., например, И. П. Натансон [36*], доб. 3; из этой теоремы вытекает,
например, известная теорема Бернштейна — Фабера.

416
ДОПОЛНЕНИЯ
Г. Сегё в 14.4, C) применил эти рассуждения к частному случаю схо-
сходимости интерполяционного процесса Лагранжа — однако, как было ска-
сказано, эти же результаты мы имеем и для сходимости разложения в ряд
ортонормальных многочленов.
ГЛАВА II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ.
ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ
2.2. Ввиду того что многие соотношения в теории ортогональных мно-
многочленов выводятся чисто формальным методом, они справедливы при го-
гораздо более общих предположениях, чем это сделано в данной книге.
Будем исходить из последовательности несингулярных билинейных
форм
= 2
i, k=0
(H.I)
или, что то же самое, из последовательности {cih}™- (m=0,1, ...) комплекс-
комплексных чисел, называемых моментами и подчиненных условиям
Ai = kJ"ft=o#O (и = 0, 1, ..., т; т = 0, 1, ...); (II.2)
с помощью
определим в пространстве многочленов линейный функционал
равенств
S {zczh} = cih, (i,k = 0, 1, . .., т; m = 0, 1, ..
многочлены [Pn(z) — zn
О,
(П.З)
},
удовлетворяющие условиям
1фк, (i, к = 0, 1, .... от; т = 0, 1,
.)■
A14)
будем называть ортогональными относительно последовательности {cik}.
Нетрудно видеть, что они выражаются следующей формулой:
(л=0,
(II.5)
Из этой формулы ясно, что многочлены \pn{z) — П/~\ ортонормальны
{ У К) о
относительно последовательности {cik}, т. е.
1
coo
C01
C0, n-1
1
cn
cl, n-1 • * *
Z ...
Cn0
era
zn
(i, Л =
/и = 0,
(И.6)
Мы рассмотрели весьма общее определение ортогональности; покажем,
что в нем содержатся все случаи, рассмотренные в данной книге.
1) Пусть z = z; так как это равенство характеризует вещественную ось,
то в этом случае будем говорить об ортогональности на вещественной оси
(см. гл. II — IX, XIV—XV); мы имеем
= c
lt itk_x
= С,Л
, 0
— Схл

ДОПОЛНЕНИЯ 417
если введем обозначение
ci+fe = co,i+fc = ci+fc,o (*\А = 0, 1, ..., /и; т = 0, 1, ...); (П.7)
т _
следовательно, в этом случае форма (II. 1) такова: Нт = 2 ci+kxixk-
i, k=0
2) Пусть теперь z = — ; так как это равенство характеризует единич-
ную окружность, то в этом случае будем говорить об ортогональности
на единичной окру лености (см. гл. XI—XIII); при этом будем иметь
cik = ©
если введем обозначение
ci-k = ci-k,o = Co,k-i (i\ А = 0, 1, . .., m; го = 0, 1, ...)• (IL8)
В этом случае форма A1.1) такова: Нт= 2 ci-kxixk-
г, fc=0
3) Общий случай соответствует ортогональности на любой кривой,
или ортогональности по области (см. гл. XVI). В первом случае, если кри-
кривая алгебраическая с уравнением / (х,у)=0, то, произведя замену х= Т" ,
_ п
У~~~2Г ' мы пРивеДем ег0 к ВИДУ 2 arjzVzJ = 0; умножая на 2lzfe и при-
r, j=0
меняя наш функционал, мы получим соотношения между моментами1)
п
2 arjCr+i,k+j = ° (i, ft = o, 1, ...);
г, ;=0
во втором случае z и z — независимые переменные и моменты не связаны
никакими соотношениями.
В рассмотренном нами общем случае ортогональности мы смогли
только указать формулу (II.5); наложим теперь на наш функционал <3,
а следовательно, и на нашу последовательность {ci4} так называемое усло-
условие неотрицательности: если многочлен G(z) имеет вещественное неотри-
неотрицательное значение, то величина (B{G(z)} также должна быть вещественной
и неотрицательной; нетрудно видеть, что это условие эквивалентно такому:
Так как при этом условии мы имеем cih = cki (i, k=0, 1, . . .), то билиней-
билинейная форма (II. 1) будет в общем случае эрмитовой формой] в случае ортого-
т
нальностина вещественной оси она будет формойХанкеляНт= 2 ci+kxixk,
причем все моменты {сг}™ вещественны; в случае ортогональности на еди-
т
ничной окружности она будет формой Теплица Нт— 2 ci-kxixi"> причем
г, ^=0
При неотрицательном функционале мы можем в самом общем случае
указать некоторые свойства ортогональных многочленов:
1) многочлен Pn(z) минимизирует функционал @{|zn+... |2}, т- е-
fcn = ©{|PB(z)la}<@{|3nH-...|8}; (II.9)
2) если ввести обозначение
Pv(z)Pv
кп(z,х) = 2) Pv(z)hPv{x) =2iPv(*)к¥), QnH=T^>' (ПЛ0)
v=0 V v=0
!) См. М. Г. Крейн [11*].
21 V. Cere

418 ДОПОЛНЕНИЯ
то многочлен J1, Х{ минимизирует функционал
кп \х, х)
<3{| 1 - (ж-2) (an_1zn~1+ . .. H-alZ+Oo) |2], A1.11)
т. е. имеет место неравенство
3) так как q l+1 (z) <Qrt B), то в каждой точке 2 существует предель-
предельная функция q (z) = lim Qn (z) > 0.
n -> 00
Займемся сперва детальным рассмотрением ортогональности на ве-
вещественной оси.
Нетрудно видеть, что формула B.2.6), выражающая ортогональный
многочлен непосредственно через моменты {ск}1п~х, справедлива и в общем
случае ортогональности относительно этой последовательности, ибо яв-
является частным случаем формулы (II.5) прис^^с^ (г, к=0, 1, . . .), одна-
однако в этом общем случае старший коэффициент кп B.2.15) может уже не быть
вещественным и положительным.
В том частном случае, когда все моменты {cjo° вещественны, возникает
вопрос о возможности представления B.2.1). Так называемая проблема
моментов (Гамбургера) ставит следующие вопросы и дает ответы на них:
1) найти условия, которым должны удовлетворять заданные моменты
{сп)Т для возможности этого представления', 2) найти условия определен-
определенности решения, при которых любые два решения эквивалентны, т. е.
характеризуют одно и то же распределение масс; 3) построить решение
по заданным моментам.
Ответ на вопрос 1) весьма прост: для возможности представления
B.2.1), в котором а (х)— неубывающая функция ограниченной вариации
с бесчисленным множеством точек роста, необходимы и достаточны усло-
условия г)
Dn>0 (л = 0, 1, 2, ...). (IL13)
2.7, 2.8, 2.81.' Рассмотрим систему многочленов {Рп(х)}, имеющих сле-
следующую форму:
п v
Рп(х)= 2 On-v&vG>v(z), <*>v(z)= П (# —я*) (v=l, 2, . . .,w; тг=1, 2, . . .),
0 kl
П
A1.14)
где {ah}^, {bk}™ Ф 0, {x J^° — произвольные комплексные числа; под этот тип
подходят многие системы многочленов, рассмотренные различными авто-
авторами, (Ангелеско, Аппелем, Бейтменом, Вигертом, Готтлибом, Жорданом,
Лагерром, Мейкснером, Пуассоном, Стилтьесом, Фельдгеймом, Шарлье,
Эрмитом и др.)-
Нетрудно вывести условия, достаточные для ортогональности этих
многочленов относительно некоторой числовой последовательности, а так-
также найти эту последовательность.
2.9. Кроме результатов А. А. Маркова, Н. И. Ахиезера, В. Ф. Бржечка
и автора, относящихся к тому случаю, когда вес обращается в нуль на мно-
множестве положительной меры 2), отметим еще работу Г. И. Баркова
1) Ответы на вопросы 2), 3) будут даны в дополнениях к гл. III.
2) См. Я. Л. Геронимус [97*], §§ 10—11; Н. И. Ахиезер [1].

ДОПОЛНЕНИЯ 419
[1], рассмотревшего многочлены, ортогональные относительно таких
весов:
\х+а\(х*-1УA-хГ, ztF^i-l, -1] + % 1], р, q>-\, Л
0, zlFlt I
(
о, x{F2. \
A1.15)
Ортогональные многочлены, соответствующие весу хюг (х), являются обоб-
обобщением ультрасферических многочленов и многочленов, рассмотренных
В. Ф. Бржечка; если же в формуле для w2 (x) положить а = |=0, то получим
многочлены, рассмотренные впервые Н. Я. Сониным, а затем А. А. Марко-
Марковым х); они являются обобщением многочленов Эрмита 2).
Отметим также работу Тартлера [1], у которого
a(x) = ^(t- ttl) da0 (t), или a(x)=^(t~ ax) (t - a2) da0 (t), A1.16)
a a
где ax, a2 лежат внутри отрезка [a, b], a ao(x), x£ [a, b] — неубывающая
функция ограниченной вариации.
Отметим еще класс многочленов {Р^ (#)}, определяемых соотноше-
соотношением 3)
= Xnpflt {х) („ = 1,2, ...); (П.17)
эти многочлены могут быть представлены в явной форме
п [±\
Т] % ^jv (n = 0, 1, 2, ...) A1.18)
v=0
и характеризуются производящей функцией
2 () (+Гф@. ф@= S с/. A1.19)
n=0 fe=0
Они подходят под тип (П. 14) и являются обобщением многочленов Пуас-
Пуассона— Шарлье, соответствующих случаю <$(t)=e~at.
С другой стороны, рассматривая многочлены, определяемые
Мейкснером [1] при помощи производящей функции
21 пУ 1> и@) = 0, и'@) = 1, A1.20)
п=0
мы видим, что многочлены Обрешкова соответствуют частному случаю
Многочлены Мейкснера являются обобщением многочленов Эрмита, Ла-
герра и Пуассона — Шарлье; если t (и) — функций, обратная функции
!) См. Я. Л. Геронимус [97*], § 9.
2) См. также Г. И. Барков [2].
3) Обрешков [1].
27*

420 дополнения
u(t), то основное свойство многочленов Мейкснера таково:
t(D)Pn(x)=nPn_±(x) (л = 1, 2, ...), A1.21)
где /)=—— оператор дифференцирования. При u(t) = t получим так назы-
называемые многочлены Аппеля *), обладающие рядом интересных свойств;
единственная система многочленов Аппеля, обладающая свойством орто-
ортогональности, это система многочленов Эрмита.
В случае многочленов Обрешкова оператор t (D) таков:
^) = ^=4, (И.22)
т. е. сводится к нахождению разделенной конечной разности.
Более общий оператор
<п-23>
рассмотрен Ханом [1]; он показал, что следующие условия опреде-
определяют один и тот же класс многочленов: 1) система многочленов [Lpn(x)}
является ортогональной одновременно с системой {рп(х)}; 2) у—рп(х)
является решением уравнения
(апх2 + а12х + а13) L2y + (а21х + а22) Ly + а3у = 0. A1.24)
ГЛАВА III
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
1.5, 3.1. Обозначим через La пространство функций f(x) (в общем слу-
случае комплекснозначных) с нормой
I
\\f\\ = {\\f(*)\vd*(x))P<co, р>1. (Ш.1)
— оо
Как было сказано, система многочленов {рп(х)}™, или, что то же самое, си-
система степеней {£п}£°, называется замкнутой в L&, если для каждой функции
/ (х) 6 L^ и для каждого е > 0 можно найти такой многочлен qn (x), чтобы
иметь ||/ — Qn || <е; мы видим, что при/?=2 на основании C.1.4), C.1.5) зам-
замкнутость эквивалентна справедливости равенства Парсеваля C.1.13).
Отметим важную теорему Рисса—Фишера: если задана произволь-
ная последовательность комплексных чисел (Д}£°, причем S l/i |2 < °°» то
г=0
существует единственная функция / (х) б L&, для которой эти числа являют-
являются коэффициентами Фурье
оо
/*= \ 1{x)Ph{x)da{x) (k = 0, I, 2, ...) (Ш.2)
— СО
и для которой выполняется условие замкнутости C.1.13).
Будем называть систему многочленов {рп (х)}™ полной относительно
пространства Zr£, если ее нельзя пополнить, т. е. если единственной
1) См. Аппель [1], Шохат [1], Я. Л. Геронимус [38*].

ДОПОЛНЕНИЯ 421
функцией ф (х) £ LJ, ортогональной ко всем многочленам {рп (х)}
(x)pn{x)da(x) = Q. (л = 0, 1, 2, ...), (Ш.З)
является функция, эквивалентная нулю, т. е. равная нулю на множе-
множестве точек роста функции а(х).
Нетрудно показать, что при р—2 понятия полноты и замкнутости
эквивалентны. Действительно, пусть система {рп(х)}™ замкнута в L\\ если
бы она не была полной, то существовала бы функция ф (х) £ ££» удовлетво-
удовлетворяющая (Ш.З), все коэффициенты Фурье которой, таким образом, равня-
равнялись бы нулю, поэтому разность C.1.4) не стремилась бы к нулю при
п—> со, что противоречило бы условию замкнутости.
Наоборот, пусть система {рп{х)}^ полна в L%.\ если бы она не была
замкнутой, то нашлась бы функция (p(x)£La, для которой мы имели бы
оо со
2 Ы2< \ Ых)?й*{х); (Ш.4)
k=0 -co
но по теореме Рисса — Фишера существовала бы функция if> (x) £ !/£ с теми
же коэффициентами Фурье {ф^}^°, для которой выполнялось бы условие
замкнутости, т. е. эта функция не была бы эквивалентна ф (х) и мы
имели бы
С другой стороны, мы имеем
{<f(z)-yp(z)}pn(x)da(x) = O (n = 0, 1,2, ...),
откуда на основании полноты вытекала бы эквивалентность функций
ф(ж) и \р(х).
Вопрос о замкнутости ортогональной системы \рп(х)}™ в пространстве
1?а подробно рассмотрен в нашей книге [97 *], (§§ 3, 23), где приведены
основные результаты П. Л. Чебышева, В. А. Стеклова и М. Рисса; сформу-
сформулируем лишь окончательный результат, дополняющий теорему 3.1.5:
для замкнутости системы многочленов \рп(х)^ в пространстве L?a в случае
бесконечного интервала ортогональности необходимо и достаточно, чтобы
соответствующая проблема моментов была определенной, или же если она
неопределенна, то чтобы функция а(х) была так называемым экстремаль-
экстремальным решением 3).
3.11. Остановимся на случаер = 1, da(x) = dx и будем искать многочлен
Qn (х) — xUJr • • • > наименее уклоняющийся от нуля в метрике пространства
1
L, т. е. минимизирующий интеграл \ \Qn(z)\dx.
-1
1
Можно показать справедливость неравенства \ | Qn (x) | dx > -^rj-,
причем знак равенства имеет место лишь для многочлена Чебышева
х) Мы еще вернемся к этому вопросу в конце дополнений к этой главе и в
дополнениях к главе IV.

422 дополнения
второго рода
~/\ 1 тт / \ 1 sin(/i-f-l)(p /ттт ~ч
Q»(*) = 2^Un(x) = ^ \Уу , ^ - cosФ. (Ш.6)
Рассмотренная задача привлекала к себе внимание многих матема-
математиков — она была рассмотрена П. Л. Ч е б ы ш е в ы м [1], затем А. Н.
Коркиным и Е. И. Золотаревым [1], затем М. Ф у д ж и в а-
ра [1] и. наконец, С. Н. Бернштейном [26*I1); она является
частным случаем более общей задачи, рассмотренной Стилтьесом, а за-
затем А. А. Марковым [1] и С. Н. Бернштейном [96*]; ее реше-
решение дается следующей теоремой: если заданы вес w (х) > 0 и функция / (х),
п-я производная которой не изменяет знака на [—1, +1], то минимум
1
интеграла \ w (x)\f (x) — Qn_x (x) | dx достигается для многочлена Qn_i (x),
.1
значения которого совпадают со значениями данной функции / (х) в кор-
1
нях многочлена, минимизирующего интеграл \ w(x) | xnjr. . . | dx; таким
образом, задача наилучшего приближения в метрике пространства Lx сво-
сводится к интерполяционной задаче, если найден многочлен хп + ...,
наименее уклоняющийся от нуля в этой метрике.
С. Н. Бернштейну [96*] принадлежат следующие основные
теоремы, связывающие между собой отклонения многочлена Qn (х) = xnjr. • .
от нуля при различных значениях р в C.11.1): 1) многочлен Чебышева
Тп (х) минимизирует интеграл
где f(x) — произвольная неубывающая выпуклая функция; 2) если w(x) =
^ , где функция t (х) непрерывна на [—1, +1] и. удовлетворяет
=
У 1—х2
неравенствам
О < пг < t (х) < М, — 1 < х < 1,
то ортогональные многочлены {Рп (#)}{J°, минимизирующие интеграл
1
при / — 2, минимизируют его асимптотически (т. е. при п—> оо) при любом
I > 2, а также минимизируют взвешенное произведение
при этом
х) В последнее время эта задача была обобщена в различных направлениях
Н. И. Ахиезером [37*], Н. И. Ахиезером и М. Г. Крейном [45*], [34*],
а также Я. Л. Геронимусом [56*], [62*], [65*].

ДОПОЛНЕНИЯ
423
при t (х) = 1 все эти соотношения являются не асимптотическими, а точными
и справедливы при любом />1.
3.2. Обе теоремы C.2.1 и 3.2.2) носят чисто формальный характер
и справедливы при ортогональности относительно числовой последова-
последовательности; если заданные комплексные моменты {сп}™ удовлетворяют един-
единственному условию {Dn}™ Ф О, то ортогональные многочлены < Рп (х) =
— ь I связаны трехчленной рекуррентной формулой
*П I О
Pn(x) = (x-an)Pn_1(x)-^nPn_t(x) (n = l, 2, ...), Р-! = 0, Ро = 1,(Ш.7)
эквивалентной формуле C.2.1); ее коэффициенты выражаются через момен-
моменты формулами
°2п-1
"п-2
' ai — ~Г~ »
Dl-2
_x = \ (л = 2,3, ...)•
(III.8)
Наоборот, если даны две последовательности комплексных чисел
{an}i°> {P*}?^, т0 многочлены {Рп(х)}™, построенные по формуле (III. 7),
ортогональны относительно некоторой последовательности {сп}™, причем
эти числа последовательно, одно за другим, могут быть найдены из фор-
формул (III.8), если задать с0ф0.
Если все числа {осп}^°, {$JT > О вещественны, то многочлены {Рп (#)}g°,
построенные по формуле (III.7), ортогональны в обычном смысле слова
О, пфт,
hn > 0, п~ т.
(Ш.9)
Сегё приписывает этот последний результат Фавару; иногда его при-
приписывают Шохату, но значительно раньше он уже фигурировал в рас-
рассуждениях Гамбургера.
3.5. Рассмотрим снова многочлены {Рп (х) = хп-\-. . . }£°, ортогональные
относительно числовой последовательности {сп}™, и связывающую их
рекуррентную формулу (II 1.7); .рассмотрим непрерывную дробь
z—a2
Р»
\z—а„
(III.10)
и пусть {Кп (z)}j°—ее подходящие дроби; если рассмотреть уравнение
в конечных разностях
yfl-B-an)yfl.1 + Pnyll.2 = O, (III. 11)
то на основании свойств непрерывных дробей ему удовлетворяют и числи-
числители, и знаменатели подходящих дробей; таким образом, имеем
iz /г,\ -"n-1 \z) /„ л о \ /ТТТ \ 9\
Kn\Z)- р /7ч (П=1, Z, ...), A11.12)

424 дополнения
где числитель называется многочленом второго рода; двумя частными ли-
линейно независимыми между собой решениями уравнения в конечных раз-
разностях (II 1.11) являются, таким образом,
(л = 1, 2, ...), У°~ ' V'17q1 ^ (Ш.13)
Нетрудно убедиться в том, что многочлены второго рода могут быть най-
найдены по формуле
Д„-1 (*)=*«
для доказательства достаточно подставить в правую часть
Рп(z) = (z- ап) Рп_х (z) - рп Рп_, (z),
Рп (х) = (х - z) Рп_х (х) + (z- ап) Рп_г (х) - р„Рп_2 (х)
и показать, что многочлен в левой части равенства удовлетворяет (III.11),
причем i?_1=0, Ro=^1.
Из рекуррентных соотношений вытекает простая формула
Как обобщение многочленов второго рода рассмотрим многочлены
{Pnfe)(^)}o°' определяемые трехчленной рекуррентной формулой
Р^ (х) = {х- an.h) i>£> i {x) _ pntfci>W 2 (ж) (п = 1, 2, ...),
Р_1 = 0, Р1 = 1. (III.16)
Очевидно, мы имеем
х) = Рп(х), 1
(—0.1....), A11.17)
\x—afe+i l«—ай+а "• Is —aft+n
(л = 1, 2, ..., A = 0f 1, ...)• (III.18)
Каждая система многочленов {Р^ (#)}£° ортогональна относительно своей
последовательности {c^jj0, ибо построена по рекуррентной формуле
(III.16), причем {C l+k}%> Ф О1). Эти многочлены были рассмотрены
Стилтьесом ([1], § 2), а затем Перроном ([1], § 5).
Мы широко использовали их в работе [120* ]2).
Рассмотрим теперь вопрос об определении ортогональной системы
{Рк(х)}^ по некоторым данным. Прежде всего ясно, что задание моментов
lck}on~{ определяет ненормированную систему {Pk (#)}£, но для нахождения
нормированной системы {рк (х)}% надо знать еще с2п. Точно так же задание
чисел {at}™ и {Cj™=£0 определяет по формуле (III.7) систему [Рк (х)}™г
а для нахождения системы {Rk (x)}™-1 надо еще знать $1 = О
Пусть теперь заданы два произвольных многочлена
х) В нашей работе [70*] показано, что многочлены {Rn (а?)}°° ортогональны отно-
относительно последовательности {c^}J°, которую находим из соотношений сос^ -f-
41) A^(v = 0, 1, ...)•
2) Недавно Дикинсон [1] рассмотрел эти же многочлены, не зная, по-ви-
по-видимому, указанных работ.

дополнения 425
не имеющие общих нулей; по формуле
Pn-i(aO= 11 Рп I Р2 1 (III 20)
Рп{х) \х — ап \х — an_i "". \х—ах к
можно найти все числа {ал}у и {Р&}£¥=0 — если бы мы имели P^=0, 2 < к < га,
то правая часть равенства была бы дробью, знаменателем которой был бы
многочлен степени п— fe+1, что противоречит условию; точно так же,
если заданы произвольные многочлены
РП(Х) = *П+..., /?„_!(*) = Р^"^..., Рх^О, (III.21)
не имеющие общих нулей, то числа {оск}^ и {$к}™ф0 находим из равенства
-Rn-i (х) _, Pi 1 Р2 1 Рп 1 (III 22)
Рп(х) \х—аг \х — а2 '" \х—ап ' \ • Г
Если заданы нули многочлена Рп(х), которые предположим простыми^
и соответствующие коэффициенты Кристоффеля {^fe}J\ то, сопоставляя
формулу
с (III.22), найдем все числа {с^}п и {Рч)
Во всех случаях мы будем иметь при этих данных всю систему {Ph (#)}£►
Можно показать, что для того, чтобы система многочленов {Pk (x)}£
была системой Чебышева
Р%{Х)= (*-*+У&=Ъ*^+(*-*-У&=Ф=ьГ (га = 1J,...), (Ш.24)
достаточно каждое из условий: 1) для к=1 и к=2 справедливы представ-
п
ления ck — ~- 2 х\п\ 2) при т — 2, 3, ..., га одинаковы три старших
г=1
о
коэффициента многочленов Rm.1(x) и -£^- Р'ш (х); 3) среднее арифметическое
и среднеквадратическое значения нулей многочленов {Рк (х)}? не зави-
зависят от п.
Если заданы вещественные моменты {ck}%n, удовлетворяющие условиям
{Dk}£ > 0, то через осп(х) назовем любое решение так называемой укорочен-
укороченной проблемы моментов -1)
со
Если введем функцию Й B) = \ ayi ^ , ^^^0, то можно показать^
j ^—ж
— оо
что при фиксированном z точка wn = §!n (z) не выходит за пределы кругаг
радиус которого 2)
1 1
»(*) =
ft=O
х) Среди решений ап (х) укороченной проблемы моментов содержится, очевидно*
решение а (х) проблемы моментов B.2.1), соответствующее п = оо.
2) См., например, Н. И. Ахиезер [2].

426 ДОПОЛНЕНИЯ
и центр yn(z) определяются заданными моментами; соответствующая окруж-
окружность Сп (z) касается изнутри окружности Сп_1 (z). Так как всегда сущест-
п— 1
вует lim{^i | pk (z) |2}"> 0, то возможны, очевидно, два случая: после
n->oo fe—О
предельного перехода (при га—> оо) получим окружность CQO(z), или
точку; этот результат не зависит от выбора точки z.
В случае точки проблема моментов определенна] при этом непрерыв-
непрерывная дробь K(z) сходится для всех комплексных z к пределу
£М, %гфО. A11.26)
^ ' \z—<*! | z — a2 | z — an
— OO
В случае окружности проблема моментов неопределенна] каждой точке
внутри С со (z) соответствует бесчисленное множество решений, а каждой
точке на Coo (z) соответствует одно определенное решение аф(#), называемое
экстремальным, представляющее собой ступенчатую функцию с бесконеч-
бесконечно большим числом точек роста.
Пусть заданные числа {осп}™, {$п}¥ > 0 таковы, что проблема моментов
определенна (для этого достаточно, например, условие Карлемана
оо
2) -j-= =oo)'» если мы сможем найти значение К (z) непрерывной дроби,
п=1 У Рп
то мы должны будем найти функцию а (х) из уравнения
-, Sz^O. A11.27)
— ОО
Это можно сделать по формуле обращения Стилтьеса — Перрона
x+iy
M С K(z)dz\. A11.28)
Экстремальное решение a<p(x) находится по той же формуле из уравнения1)
*A-«-*ф)-2 § Pk(-i)rk(i)
J ^.; (IH.29)
ft=0
причем г)
{(^ы } (Ш.30)
вместо Соо @ можно было бы рассмотреть любую окружность C^z), 3
В качестве первого примера рассмотрим рекуррентное соотношение
/v_i(x) + /v+1 (ж) = —/v(a:) между функциями Бесселя; из него вытекает
■формальное разложение в непрерывную дробь
..; A11.31)
См. Н. И. Ахиезер [50* .
1
2v
1 *
1
4v (v + 1)
1 з
4(v + l)(v+2)
1

дополнения 427
полагая v > 0, мы видим по условию Карлемана, что соответствующая
проблема моментов определенна, и мы имеем
da{x) $Z#0; A11.32)
'-.("Г
Z—X
— оо
так как левая часть является мероморфной функцией с полюсами первого
порядка в точках J хк — {y_i) \ , где {z(£~i)}™00 — нули функции
z{~vIv-i (z), а вычеты в этих полюсах равны {[^v~1)]}^oo *), то а (х) — сту-
ступенчатая функция, и мы имеем
— оо
?т {Х) Рп (Х) da (Х) = У\ xlPm (Xk) Рп (Xk) I = 0' тФ П' (И1.33)
fe=-oo l >0> т = П'
Мы пришли к так называемым многочленам Ломмеля 2).
Рассмотрим теперь тот случай, когда мы легко сможем найти значе-
значение дроби К (z) и фактически решить проблему моментов,—именно рассмот-
рассмотрим случай периодичности
0^=0, ^п = ~ (rc-s-И, s+2, ...), *>1. (III.34)
Пусть Gs (x) = ^s-f-. . ., Gs_J(x) = rs+. . .—два произвольных много-
многочлена, все нули которых вещественны, различны, перемежаются и лежат
внутри отрезка [—1, +U; полагая Vs.x{x)=G8_x(x)^ Ps{x)=Gs{x),mvl сможем
построить," как было сказано выше, всю систему многочленов {Ph(x)}l~~2\
так как значение периодической непрерывной дроби легко найти, то мы
сможем решить задачу до конца3): на отрезке [ — 1, +1] имеем непре-
непрерывное распределение масс с плотностью
1 VI-*2 , _ .1; (Ш.35)
кроме того, в тех нулях {xv} знаменателя, для которых \Gs(xv)\<
< — | Gs^ (xv) |, мы имеем концентрированные массы
mv = а (xv + 0) - a (xv - 0) = 21im {w (x)\x-xv\); (III.36)
многочлены {Рп (x)}sK>_i можно представить в явной форме
(III.37)
х) Это вытекает из формулы /v_1 (х) = —/v_1 (х) — Iv(x).
2) См. Швартц [1].
3) См. Я. Л. Г ер они му с [120*].

428 дополнения
Сопоставим наши результаты с результатом С. Н. Бернштейна и
Сегё (§ 2.6). Наш вес подходит под тип 2 формулы B.6.1); в нашем
случае
q (х) = Gzs (х) - xGs (x) Ga_x (x) +1 Gs2_! (x) =
±^f^\?, A11.38)
причем в плоскости х с разрезом вдоль отрезка [—1, +1] выбрано то
значение радикала, при котором | z\ = \х~\-\гх2—1 | < 1; при этом /=25—1.
Если выполнить в многочленах Gs_1(x), Gs(x) замену
то легко видеть, что
является многочленом степени 25—1, причем q (cosб) = \hx (eiB) |2, однако
в нашем случае мы не можем утверждать, что все нули многочлена h^z)
лежат в области | z | > 1, ибо мы его построили по заданным произвольным
многочленам Gsl(x) и Gs(x). Наша формула (III.37) справедлива и при
п = s—1, /г=5, ибо мы решали уравнение в конечных разностях уп — хуп_г +
+ х Уп-2 = 0 пРи начальных условиях ys_± = Gs-1 (х) = Ps_x (ж), z/s = Gs (ж) =
= *.(*)•
С. Н. Бернштейн и Сегё исходили из заданной абсолютно непрерыв-
непрерывной функции
а(х)={
d (III.39)
Q (x)
этим они определили всю ортогональную систему, причем если в нашем
случае мы имеем
S-1V / z 2 ' S\ /
то для их многочленов Р3_г (х), Ps (x), h (z) эти равенства могут и не выпол-
выполняться.
В том частном случае, когда для всех нулей {#v} нашего многочлена q(#)
выполнены условия [ Gs (xv) | > -у [ Gs^ (xv) |, наш многочлен hx (z) будег
иметь все нули в области |я|>1, концентрированных масс не будет,,
и наши результаты совпадут с результатами § 2.6.
Пусть, например, 5 = 2, Gx (х) = х, G2(x) = х2— а2, — 1 < а < 1;
мы имеем
= f
о X+Vx2 — 1 Л/ о о X— Ух2 — 1
а2 =^-^ ^ Jf .г2—а2 ^
_ 4а4 —
находим многочлен

дополнения 429
j/2
он имеет при |а| > —^ нули в области \z\ < 1; следовательно, по общей
теории в точках хх = — х2 = - имеем концентрированные массы
у 4а2—1
т1 ~т2 = 1 — -о-г* Если же представить q (#) в таком виде:
= « (cos 8) = | А <*•) |\ h (z) =
то многочлен А B) не равен нулю при \z\ < 1.
Мы рассмотрели простейший случай периодичности; совершенно ана-
аналогично можно решить задачу и в общем случае периодичности
<^ = av, Pn=/v>0 (v = l, 2, ..., ft), п — s~ v (mod ft), n>s+l, s>0;
при ft = 2 мы получим обобщение ортогональных многочленов, рассмотрен-
рассмотренных В. Ф. Бржечка [23*].
Возвращаясь к общей теории, рассмотрим многочлены второго рода
{Rn (#)}o° и найдем то распределение da^ (x), относительно которого они
ортогональны х); на основании (III.18), (III.26) и (III.27) мы имеем
^ Sz#o, A11.40)
v ' \z — a2
откуда легко находим
причем, как нетрудно видеть, К^)фО при^^^О. По формуле обраще-
обращения (II 1.28) найдем
aA)(z-|-0)+-(zA)(z — 0) * , v со f ! X(W lKI)/ w 1
—!—~у = const + lim m < —г \ Кг ' (z) dz У =
= const + lim 9$ l-^-i- \ z i . (III.41)
Например, в случае многочленов Лежандра da(x) = dz, и мы имеем
1
vi \ С dx , jz-j-1 . . /ттт /оч
*Г I <7 I \ —— I П гт Т J 711 fill /i /\
•ii. 1^»у \ 111 ^j— , /> vt/ —— t(/. IXXI.TC^jI
J Z ОС Z 1
-1
где в плоскости z с разрезом вдоль отрезка [ —1, +1] мы выбрали
значение логарифма, равное — in при z = 0; для у = 0 и — 1 < ж < 1 имеем
1 1 + я"
1 2+1 т 1 + я • 1 1-—Д
таким образом, многочлены второго рода, соответствующие многочленам
Лежандра, ортогональны на отрезке [■—1, +1] с весом
• <IIL43>
См. Шерман [1], Шохат и Шерман [1].

430
ДОПОЛНЕНИЯ
Отметим еще следующее обстоятельство: как видно из формулы (III.-16),
при к — \ многочлены второго рода \ ~^-R (x) \ °° не зависят от вели-
I р2 Jo
чин аг и C2; например, если мы имеем
™, $гфО, A11,44)
то нетрудно найти функцию а(х); многочленами второго рода независима
от величин аг и Р2 будут многочлены Чебышева второго рода {Un(x)}o>;
в частности, это имеет место для многочленов Якоби при | ее | == | Р J = -^- .
В заключение главы рассмотрим один метод изучения систем орто-
ортогональных многочленов, оказавшийся весьма плодотворным х).
Из формул C.2.1) для ортонормальных многочленов мы получим
на основании C.2.2) формулу
хРп (Х) = К-lPn-l (Х) + апРп (Х) + КРп+1 (х),
К в^ (Л=О, 1, 2, ...), A11.45}
а - —
Ап+1
которая позволяет построить систему многочленов {рп(х)}. .Образуем
гильбертово пространство многочленов, определяя скалярное произ-
п т
ведение двух многочленов Q(x)=^< qbPi{x), G(x)= ^ gkPk(x) формулой
0 fe0
(<?, G) =
V
= min(», m).
(III.46)
Нетрудно видеть, что построенные многочлены {рп (х)} ортонормалъныг
т. е. удовлетворяют соотношениям
(А», Рп) = 6тп (т, п = 0, 1, ...); A11.47)
они ортогональны относительно числовой последовательности {cft}o\ опре-
определяемой формулой
(х\ l) = ch, (Л = 0, 1, ...); со = 1.
AП.48)
Будем считать все числа {яп}°°,
вещественными; тогда
будут вещественными и будем иметь
> 0.
и моменты
Для изучения свойств решения соответствующей проблемы моментов
*da{z) = ch (A = 0, 1, 2, ...), со = 1, (Ш.49>
и изучения свойств ортогональной системы {рп{х)}^ вводим бесконечную
якобиеву матрицу
A11.50)
&о
0
0
ai
Ьг
0
0
«2
^2
0
0
0 ...
0 ...
0 ...
h ..
См. М. Г. Крейн [48*], ст. VI, Н. И. Ахиезер [50*].

2
п=--0
ДОПОЛНЕНИЯ 43f
Через /2 обозначим векторное пространство, где каждый вектор z
характеризуется числовой последовательностью {2Л}°°, для которой
оо °
2 К|2<со.
0
Матрице \\А || сопоставим два линейных оператора А и А*, определяе-
определяемых следующим образом: оператор А* определен на многообразии QA*
тех векторов х = {хп} £ /2, для которых имеем
у = А*х б /2, у - {2/n}, yn = &n_A-i + аА + Ьпжп+1; A11.51)
оператор Л определен той же формулой у = Лх на многообразии £}А тех
векторов x£QA*, для которых (А*х, z) = (x, A*z) для любого век-
вектора z£QA*; таким образом, оператор А симметрический, оператор Л*
сопряжен с А и оба оператора замкнуты.
Оператор А будет самосопряженным тогда и только тогда, когда
Qa = Йа*-
Справедлива следующая основная теорема: проблема моментов (III.49}
будет определенной тогда и только тогда, когда оператор А самосопря-
самосопряженный; если он не самосопряженный, то существует континуум различ-
различных самосопряженных распшртний Лф, каждое из которых порождает
экстремальное решение аф (х).
ГЛАВА IV
МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ
4.61, 4.81, 4.82. В указанных параграфах 2). Сегё вводит так назы-
называемые функции второго рода только для случаев многочленов Якоби;
ввиду того значения, которое они имеют в ряде вопросов, мы дадим общее
определение этих функций и укажем некоторые их свойства.
Функции второго рода, соответствующие данной системе ортогональ-
ортогональных многочленов, определяются формулой
ИЛИ
откуда прежде всего ясно, что К (z) == Qo (z). Из определения вытекают сле-
следующие основные свойства этих функций:
1) имеет место соотношение
Q0(z)Pn(z)=Rn_1(z) + Qn(z) (Л=1, 2, ...);
2) функции второго рода являются решением уравнения в конечных
разностях
3) справедливы формулы, аналогичные формуле Кристоффеля — Дарбу:
Pn+i B) qn (z) - Рп (z) qn+1 (z) = -^ ,
n
Pli (y) 4h () - ^=y~+ "^7
__ kn
ko(z-y)
А также в §§ 6.9, 8.21, 8.23, 8.7.

432 дополнения
4) имеет место разложение в непрерывную дробь
Qft-iW l*-aft+1 \z-ak+2 •••'
подходящими дробями которой для гг= 1,2,... являются по (III.18)
1 п(м f '» очевидно, эти непрерывные дроби при любом к = 1, 2, ...
сходятся одновременно с (II 1.26).
5) При фиксированном невещественном z величины {qn (z)}^° являются
коэффициентами Фурье функции £ La, поэтому имеем
Z —~ X
т. е. этот бесконечный ряд сходится для всех невещественных значений z
ж таким образом lim qn (z) — 0, 3 z Ф 0.
n->oo
оо
6) Для исследования сходимости ряда 2 #ь (#) ^^ (г) в метрике про-
fe=0
ютранства h\ к функции х) найдем
6n=min|TL5—вп(а;)|Г. (IV. 7)
Очевидно, мы имеем по C.1.4)
^если ввести обозначение a;=go(z), воспользоваться (IV.1) и тем, что
(' da (x) _
) \z-x\z-~
— ОО
то мы получим
wr™-\w\zy, i
z — z ; n
так как z фиксировано, то полученное условие имеет геометрический смысл:
точка w не должна выходить за пределы некоторой окружности, завися-
зависящей от z, {pft(z)}J, {rh_i(z)}*\ так как все эти многочлены зависят только
ют моментов {ck}ln, то мы можем положить
оо оо
i) Сходимость в обычном смысле слова будет рассмотрена в дополнениях
к главе XIII.

ДОПОЛНЕНИЯ 433
мы пришли к той же окружности Сп (z), о которой шла речь в примечаниях
к предыдущей главе. Отсюда вывод:
7) существование предела
п
-З Л (*)&(*) '=0 (IV.9)
эквивалентно тому, что точка w лежит на окружностиCo^(z)\ это возможно
либо в случае определенности проблемы моментов, либо тогда, когда
а (х) является экстремальным решением в случае неопределенности про-
проблемы моментов.
Доказав, что множество функций \ \ (при любом невещественном
2 {.* — * )
значении z) плотно в La, M. Рисе показывает, что выполнение условия
замкнутости для одной лишь функции , где z0 — фиксированное
мнимое число, эквивалентно выполнению этого условия для любой функ-
дии f(x)£La, т. е. замкнутости системы многочленов {рп(х)}^ в про-
пространстве La.
Рассмотрим явное выражение функций второго рода для некоторых
систем ортогональных многочленов; в случае (II 1.34) мы найдем Qo (z) == К (z)
и сможем найти при [ah}co = 0, {Р^}с° = -т-
общее решение уравнения в конечных разностях (IV.3) в случае (III.34)
таково:
<^^)%<^^)п (iv.il)
но из формулы (IV.1) видно, что UmQn(z) = 0; следовательно,
причем в плоскости z с разрезом вдоль отрезка [ —1, +1] выбрано
то значение радикала, при котором \z-}-}/rz2—1 | > 1; окончательно
находим
<?„ (z) = <?2 (z) (г~~/2г2~1) (п = 2,. 3, ...). (IV.13)
При ах = 0, $2 = -г имеем
т/72 л
2 )
что соответствует многочленам Чебышева второго рода; при-а1 = 0,
E2 = — имеем
1 1
что соответствует многочленам Чебышева. При а1=— -^-, Рг^у
находим
28 г. Сегё

434 дополнения
что соответствует многочленам Якоби при а — — р — — . Наконец, для
ai = 4"> Рг = 4" имеем
что соответствует многочленам Якоби при а = — {} = —— .
Последние два случая подходят под такой тип многочленов Якоби:
Нетрудно найти, что в этом случае имеем
Произведя предельный переход со—»0, получим случай многочлена
Лежандра.
Возвращаясь к общему случаю, рассмотрим главное значение функции
Qn{z) на множестве точек роста функции а(х):
Qn(*) = ^{Qn(z+tt) + Qn(x-~iO)} (n = 0, 1, ...). (IV.20)
Очевидно, оно также является решением уравнения в конечных разностях
(IV.3). В том частном случае, когда Qo (x) — const почти всюду на множе-
множестве точек роста функции а(х), все функции {Qn(x)}™ являются много-
многочленами соответствующих степеней, построенными по той же рекуррент-
рекуррентной формуле, что и многочлены {Рп (ж)}£°, следовательно, эта новая система
многочленов также ортогональна. Этот вопрос, а также исследования
Н. И. Ахиезера [51*] о связанных с ним формулах обращения син-
сингулярных интегралов рассмотрены в нашей книге [97*] (§ 30).
4.9. В этом параграфе, а также в §§ 6.5, 7.4 Сегё рассматривает
принадлежащее Фейеру и ему обобщение ультрасферических многочле-
оо
нов: пусть функция / (z) = 2 anzU регулярна в области |z|<l, тогда
71=-)
многочлены Фейера — Сегё определяются при помощи производящей
функции
(/(^в)^ f, Г"р (cose), r<i; (IV.21)
71=0
я 1
при / (z) = A — z)~ получим ультрасферические многочлены, при % = ——
многочлены Лежандра.
Возникает вопрос, каким условиям должна удовлетворять функция
f (z) (или ее коэффициенты {ctn}^°) для того, чтобы многочлены Фейера —
Сегё могли быть ортогональными? Ответ был получен одновременно
И. Л. Ланцевицким[2*] и Фельдгеймом [1]: необходимо,
чтобы числа { Ъ = а<п [ определялись по формуле
I an-lJ 1
(«=2,3, ...),)
} (IV.22)
fe ~ 2 vA
где величины bv b2, b3, или, что то же самое, величины Ь1? Ь2, % произ-
произвольны; при выполнении этих условий для ортогональности достаточны

ДОПОЛНЕНИЯ
435
следующие ограничения:
(IV.23)
при0 < | < 1 ортогональность невозможна ни при каких значениях bv b2.
Рассмотрим еще одно свойство многочленов Лежандра, которому за
последнее время посвящено много работ.
Введем в рассмотрение величины
(« = 2,3, ...)•
Как указано в задаче 70, Ту ран доказал, что для многочленов Лежан-
дра имеем Дп (х) > 0 на отрезке [—1, +11; Н а н ь ю н д и а [1 ] уста-
установил равенство
(\ r2\ n /т\ -«/« I Щ (<г\ C\V 9A\
откуда вытекает новое неравенство Dn{x) >0. Сансоне [1] нашел
неравенство
1
(IV.25)
Сегё дал четыре доказательства справедливости неравенства Дп(#)>0
и обобщил его на случай ультрасферических многочленов. Сас [1]
получил неравенство
2n+i * ^~^i, (IV.26)
путем предельного перехода; он получил аналогичное неравенство для
бесселевых функций
Э в е й д а [1] показал, что (в случае многочленов Лежандра):
1) Ап{х) < 0, х > 1, х < - 1; 2) Km ,_\ =у ; 3) -т- &п{х) = 0 только
п—>оо ^ °^
при а: = 0; в этой точке &п{х) достигает максимума; 4) неравенство
Дп(#) > 0 справедливо и для производных любого порядка Р^ (х), 1 <г<
< п — 1, гс > 1.
Д а н е з е [1] получил в некоторых случаях явные выражения
для величин Д^(#), Dn(x), которые он назвал «турановыми».
Сковгор [1] показал, что неравенство Дп (х) > 0 является не чем
иным, как неравенством Лагерра
F(n)(x) F(n+1){x)\
in-{){x) F(n)(x) |
(IV.27)
о
примененным к производящей функции F (z) = 2 д| • Оно было уста-
новлено Лагерром для того случая, когда F (z) — целая функция
F(z) - Ce~^2+^zr IT ( 1 - — ) е"^,

436 ДОПОЛНЕНИЯ
где а=0, C, С, г — вещественные числа и 2j zm < °°; 0H показывает,
m
что неравенство Лагерра остается справедливым и при а > О, откуда
следует его справедливость для различных систем многочленов; он
исследовал также справедливость неравенства Dn (х) > 0 для производ-
производных любого порядка от ультрасферических многочленов.
Мерли [1] показал справедливость неравенства Рп(х) >
> кРп+1 (х) Рп„г (х) при всех вещественных значениях х для ультра-
ультрасферических многочленов, нормированных условием {Рп A)}£° = 1, если
О
ГЛАВА V
МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА И ЭРМИТА
В нашей книге [97*] (§ 9) мы указали, что общий случай многочле-
многочленов Лагерра при любом а > — 1 рассмотрел впервые Ю. В. Сохоцкий до
Н. Я. Сонина; многочлены Эрмита были рассмотрены Лапласом, а затем
П. Л. Чебышевым за пять лет до Эрмита; там же (§§ 9, 22, 23) мы рас-
рассмотрели исследования П. Л. Чебышева, К. А. Поссе, Ю. В. Сохоцкого,
Н. Я. Сонина, А. А. Маркова, посвященные этим многочленам, а также
исследования указанных авторов и В. А. Стеклова, посвященные зам-
замкнутости этих ортогональных систем.
Для нахождения некоторых свойств этих многочленов рассмотрим
сперва свойства многочленов Меикснера A1.20), частным случаем которых
Являются многочлены Лагерра и Эрмита.
Если ввести функции {Qn (z)}™ как коэффициенты формального раз-
оо
ложения ———~2 Pn(x)Qn(z)' т0 мы имеем следующие выражения
71=0
для многочленов Меикснера и соответствующих им функций второго
рода через некоторые простые операторы:
tn(—D)
=
(V.1)
где многочлены {Рп (х)}™ определяются при помощи производящей функции
2^^@ = f; <=}£?„(*), (V.2)
п=0
аналогичной (III.20).
Многочлены Лагерра i L^ (x) = -^-Pn(х)\ соответствуют частному
случаю
1 ? | (V.3)

ДОПОЛНЕНИЯ
437
поэтому по (V.1) и (V.2) получим для них и для соответствующих функ-
функций второго рода следующие выражения:
(V.4)
Пользуясь E.4.5), нетрудно вывести свойство функций второго рода
d гл(^, \ __ / , л ч /i(a-l) / ч
аналогичное E.1.14); отсюда находим
(V.5)
<» = 0, I,.-)- (V.6)
Если в A1.20) положить u(h)=h, то, как было сказано, получим мно-
многочлены Аппеля, для которых имеем
(л = 1,2, ...);
(V.7)
если положить /(Jfi)=^e~h%, то имеем Нп(х)=РпBх), откуда находим выра-
выражения для многочленов Эрмита и соответствующих функций второго
рода
Qn (z) = Ц^ DnQ0 (z) =
i
_ 2
е dx
7
(V.8)
В нашей работе [38*] мы рассмотрели многочлены {Q^ (x, у, а)}о >
определяемые при помощи производящей функции
оо оо
ehx A + h)v a (Л) = 2 ^VQn (ж, у, a), a (Л) = 2
n=0
Многочлены Лагерра подходят под этот тип, поэтому они обладают
рядом свойств этих многочленов; например, мы имеем для них
(-i)v4°°w
v!
v=o
1
Г(а+1+0) / '
(V. 10)
n
/ л \n \
Если /О)= 2 ahxk> т0 /(^)= 2 ahpk(^ кроме того,
fe=O fe=O
s=0

438 дополнения
Под этот же тип подходят и многочлены Эрмита; если положить
Нп( -|- ) = Qn (#), то будем иметь хп = Qn (Q) аналогично тому, как мы
имеем для многочленов Лагерра.
Указанное свойство многочленов Лагерра и Эрмита Эндль [1]
назвал инволюционным; он построил систему ортогональных многочленов
{^Vn(^)}o\ обладающую инволюционным свойством при любом ft=l, 2, ...;
многочлены Лагерра и Эрмита соответствуют случаям к=1 и к=2г).
Тоскано [1] изучил свойства многочленов, определяемых
формулой
Lte-vwa-) -(-
g/(а) = Ла{ДГ'/(«)); J
на основании (V.10) они переходят при v=l в многочлены Лагерра. Он
же [2] и Палама [1] рассмотрели многочлены второго рода, соот-
соответствующие многочленам ультрасферическим, Лагерра и Эрмита.
Ангелеско [1] и независимо от него С а с т р и [1 ] рас-
рассмотрели многочлены
Pn(x) = ^-D«{e-*An(x)} (n = 0, 1,2, ...), (V.12)
где {Ап (х)}!) — многочлены Аппеля (для которых DAn (x) = пАп^ (х));
производящая функция для многочленов {Рп (х)} такова:
hx
многочлены Лагерра {L^ (x)} соответствуют случаю ф(/&) = 1, т. е.
Ап (х)=хп.
И. М. Денисюк [13*], [18*] рассмотрел многочлены, опреде-
определяемые при помощи производящей функции
п=0
Они аналогичны многочленам Лагерра и являются частными случаями
многочленов Мейкснера при
В общем случае многочленов, ортогональных на отрезке [0, со),
У и д д е р [1] рассмотрел функцию второго рода
6 0 0
как преобразование Лапласа функции ф (и) = \ e~uxda(x)\ если же
х) Ренвилл [1] рассмотрел ряд формальных соотношений между многочле-
многочленами Лежандра, Лагерра и Эрмита.

дополнения 439
функция а (х) абсолютно непрерывна da (х) = w (x) dx, то
ф (и) = \ e~uxw (x) dx, - Qo ( - z) = J e'z\ (и) du, (V.16)
о о
т. е. в этом случае функция — Qo (—z) является результатом двух после-
последовательных преобразований Лапласа функции w(x); в частном случае
многочленов {Zi0) (#)} имеем w=e~x, и функция второго рода является пре-
преобразованием Лапласа функции —-ц—- .
Благодаря этой связи с преобразованием Лапласа, многочлены Лагер-
Лагерра находят широкое применение в операционном исчислении, ибо их
«изображение» таково:
следовательно, изображением функции /(ж) = 2 ап^п (#) будет функ-
п=0
оо оо
ция ф(р) — 2 ап ( 1 J ; например, если / (х) = 2 —г ^п0)Хг)' то
q)(p)z=e v p/; но эта последняя функция служит изображением функ-
функции ек10 B У%х), откуда вытекает E.1.16) для ос = 0. В случае а Ф О
изображением многочлена Лагерра L^ (х) будет функция ( ) A—/?)п+а,
где следует отбросить все члены, содержащие р, р2, . . .; в таком услов-
условном смысле изображением многочлена Эрмита служит функция ( — i e~p2.
Данезе [1] нашел тураново выражение для многочленов Лагерра
п—1
I
откуда вытекает неравенство Dn(x)>0; Сегё показал, что ДП (х) поло-
положительно при всех х Ф 0; Эвейда [1] нашел, что lim —ng =-^- ,
х-^-оо
и показал, что Ап (^) имеет единственный экстремум и притом мини-
минимум при х=0. Мунхерджи и Наньюндиа [1] показали, что
Дп(:г)> 0 для многочленов Лагерра и Эрмита, а Кошмидер [1]-
для многочленов Эрмита и соответствующих многочленов второго рода.
5.7. Если положить Рп (х) = ( - l)n n\ LW (х) = а:п + . . ., то получим
по E.1.10)
точно так же, если положить Рп (х) == 2~пНп (х) = жп+ . . ., то по E.5.8)
имеем
JPn(a;) = »7>n.1(«)—^=1РП_,(Ж), pn = ^-; (V.20)
оо
в обоих случаях 2 /-—= °°? откуда по условию Карлемана вытекает
п=1
определенность проблемы моментов и, следовательно, теорема 5.7.2.

440 дополнения
Для многочленов Сонина—Маркова, ортогональных на всей веще-
вещественной оси с весом w (х)— \х\2с е~х2у с>—-7Г, имеем1)
^ Р«+1-* (А = 1, 2, ...), (V.2I)
откуда снова вытекает определенность соответствующей проблемы момен-
моментов и, следовательно, замкнутость рассматриваемой ортогональной си-
системы.
К этим же выводам можно прийти при помощи теоремы, найденной
Хьюиттом [1], в которой условие накладывается непосредственно
на вес: если da (x) = w (x) dx, то для определенности проблемы момен-
моментов и, следовательно, для замкнутости ортогональной системы в про-
пространстве La(— оо, со) достаточно, чтобы w (х) Ф 0 почти всюду и чтобы
при х—> со мы имели бы w (х) —О (е-а^), где а — некоторое положи-
положительное число. Для доказательства он рассмотрел произвольную функ-
функцию f(x)£L2( — oD, оо)и преобразование Фурье
оо
F(z) = \ еггх Yw(x)f (x)dx,
функции ]Ае;(ж)/(ж); так как ПРИ ж—>со имеем | eizx]/"о;(ж) | <
<el^l0(e 2 M то функция ^(z) регулярна в полосе —J- < v < -?~ ,
причем
оо
^(Г1) (г) = in \ eizxxnу w(z)]Jx)dx (n = 0, 1,...).
— ОО
Если мы предположим, что
оо
\ xnVw(z)T(x)dx = 0 (w = 0f I, . . .)»
•-•оо
то будем иметь {Р^п) @)}о° = 0, откуда Z7 (z) = 0 в указанной полосе. Сле-
Следовательно, преобразование Фурье функции ]/ш(ж)/(ж) б Ь1 ( — оо, оо)
тождественно равно нулю на всей вещественной оси, откуда по теореме
единственности Y~w(x)f(х) — 0 почти всюду, и поэтому f(x)—§ при
w (х) фО, т. е. почти всюду. Таким образом, функция /(ж), ортогональ-
ортогональная ко всем функциям (|/йу(ж)жп}о\ эквивалентна нулю, т. е. эта
система функций [\rw(x)xfl\^ полна, а следовательно, и замкнута
в L2( —оо, оо). Мы имеем
и, кроме того, условия / (х) б Ь^ и |/~до (ж) / (ж) б L2 эквивалентны, поэтому
система {жп}о° замкнута в пространстве Ьа( — оо, оо).
Нетрудно видеть, что достаточное условие Хьюитта близко к необхо-
необходимому: если w (ж) = е-°$, Р = тг^-ц > s = 1, 2, . . ., то ортогональная
См., например, Я. Л. Геронимус [97*], § 9.

ДОПОЛНЕНИЯ 441
система незамкнута1), хотя показатель |5 можно взять сколь угодно близ-
близким к единице.
Рассмотрим теперь некоторые общие свойства классических ортого-
ортогональных многочленов 2) и выясним, в какой мере они характеризуют именно
эти многочлены.
Бохнер3) рассмотрел линейное дифференциальное однородное урав-
уравнение типа Штурма — Лиувилля
А>(х) у" + Рг{х)у' + р2 (х)у+Хпу = О (V.22)
и нашел условия, при которых его частным решением будет многочлен;
он показал, что для этого оно должно иметь такую форму:
q^bx + г. (V.23)
Ортогональные многочлены будут его частным решением в том случае,
когда уравнение р (х) = ах2 + Р# -f- у — О имеет два вещественных различ-
различных корня а < Ъ (не исключены бесконечные значения) и когда выпол-
выполняются условия
q(x)>0, а<£<6. (V.24)
Отсюда легко получаются классические ортогональные многочлены:
Якоби — при а Ф О, Лаггерра — при а = О, {5 Ф 0, Эрмита — при а = {} = О,
Y ф О, а также некоторые другие системы многочленов—например, при
Р = у = 0, а = 1 многочлены
Б р е н к е [1 ] поставил аналогичную задачу — он рассмотрел
уравнение
Ро (х) у" + рг (х) у' + Кпр2 (х)у = 0 (V.25)
в предположении, что Хп является многочленом относительно п\ он снова
пришел к уравнению (V.23) при условии Хп = п — п (п — 1) а 4).
Хан [2] рассмотрел дифференциальное уравнение четвертого
порядка
2 Pi
0
где {рг (х)}1 — многочлены степени <С i относительно х, которые могут зави-
зависеть и от п, и вывел условия, при которых оно имеет частным решением
ортогональные многочлены; он нашел четыре типа таких ортогональных
многочленов, зависящих от к A <^к^3) параметров, — они являются
обобщением классических ортогональных многочленов и многочленов Лом-
меля; для этих четырех типов он нашел производящую функцию и коэф-
коэффициенты рекуррентной формулы.
Рассмотрим теперь формулу Родрига
Pn(x) = ^)D^{Q(x)Pn(x)} (n = l,2, ...) (V.26)
х) См. В. А. Стек лов [1].
2) См., например, Я. Л. Геранимус [97*], § 9.
3) См. ссылку в конце § 5.6.
4) См. также Сен и Рангачариар [1].

442 дополнения
для классических ортогональных многочленов и выясним, в какой мере
она их характеризует.
М. С. Ш у н [5* ] показал следующее: если ортогональные многочлены
{Рп (х)}7 допускают представление (V.26), причем все функции {q (x) рп (х)}1о
имеют нули в двух фиксированных точках а < Ъ вещественной оси
и q (#)>() для а-^х^Ь, то {Рп (х)}^° — классические ортогональные
многочлены.
Аце л [1] получил более общий результат: пусть функции {ип (х)\
удовлетворяют дифференциальному уравнению Qn (х) ип (х) = Ln (x) ип (х),
где Ln{x), Qn (x) — многочлены не выше первой и соответственно второй
степени, и пусть все функции {ип(х)}Т имеют по крайней мере два общих
вещественных корня а < Ъ\ пусть существует такая функция q(x), что
ип (х)
для каждого п = 1, 2, ... выражение -?у-^ = Рп(х) является многочле-
Q кх)
ном степени щ тогда {Рп (х)}!£ — классические ортогональные многочлены
Якоби, Лагерра или Эрмита в зависимости от того, будет ли Qn (x) много-
многочленом второй, первой или нулевой степени; таким образом, Ацел
не требует, чтобы функции ип(х) имели форму un = Qpn, а также того,
чтобы многочлены {Рп(х)}<о> были ортогональны.
Г. К. Энгелис [3*], [1] рассмотрел многочлены, определяемые
формулой (V.26) при таких предположениях:
s-f 1 s
4Ш
k0 k0
(V.27)
где ак, fih — комплексные числа; он показал, что {Рп(х)} является един-
единственным многочленным решением некоторого линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения порядка 5+1.
Отметим, что из формулы (V.26) вытекает такая производящая функ-
функция для многочленов {Рп(х)}:
i %$$%, (V.28)
п=0
где у — тот корень уравнения y = x+tQ(y), который стремится к х при
t—.>0; этот результат принадлежит Дарбу и Абрамеско1).
Рассмотрим теперь такое свойство ортогональных классических
многочленов: одновременно с ними ортогональны и их производные.
Сегё в 5.6, C) ссылается на работы Хана и Кролла, однако
Н. Я. Сонин [1] еще в 1887 г. доказал, что только классические
ортогональные многочлены обладают этим свойством; эту же теорему
доказал Хан; Кролл доказал, что если производные {Р^ (х)}™ орто-
ортогональны на конечном промежутке, то {Рп (я)} — многочлены Якоби;
Вебстер [1] обобщил метод Кролла на случай бесконечного
промежутка и пришел к многочленам Лагерра и Эрмита. Все указан-
указанные авторы заранее полагали da (х) = w (x) dx.
В нашей работе [71*] рассмотрен наиболее общий случай и доказана
следующая теорема: если многочлены {Рп (#)}о° ортогональны относительно
некоторой числовой последовательности {сп}о°, то для одновременной орто-
ортогональности их производных 1 — Рп (х) I относительно некоторой после-
См., например, Шохат [2J, стр. 36.

дополнения 443
довательности {с^}^ необходимо и достаточно, чтобы последовательность
(cn}o° была построена по рекуррентной формуле
[a(n + 3)-d]cn+2 + [b(n + 2)-e]cn+1 + c(n+l)cn = 0 (л= -1,0,1, ...),
(V.29)
где с0, а, &, с, <2, e — произвольные числа, подчиненные условиям
A-(п + 2)аф0 (и = 0, 1, ...), |а| + |Ь| + |с|^О; (V.30)
при этом
с'п = «сп+2 + 6сп+1 + ссп (/г = 0, 1,...); < V.31)
решая уравнение в конечных разностях (V.29) по методу Лапласа, при-
придем к классическим ортогональным многочленам.
Рассмотренная нами задача об одновременной ортогональности
системы многочленов и их производных является частным случаем более
общей задачи, поставленной Н. Н. Лузиным [1]: выяснить, суще-
существуют ли, кроме тригонометрической системы, ортогональные системы
функций, производные которых также образуют ортогональную систему?
Н. Г. Чеботарев [88*] поставил и решил (при некоторых огра-
ограничениях) более общую задачу, в которой обе системы функций могут быть
ортогональны относительно различных весов.
Исчерпывающее изложение этих вопросов можно найти в обзорных
статьях Б. М. Гагаева [27*], [43*], [44*], [46*], где приведены ре-
результаты работ Н. Г. Чеботарева, Б. В. Гнеденко, Льюиса, Планшереля,
самого Б. М. Гагаева и его учеников С. Н. Андрианова и Е. А. Синева.
ГЛАВА VI
НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
6.L Будем называть спектром i?a функции a (х) множество точек х,
для которых \ da (у) > 0 при любом 8 > 0; точечным спектром назовем
X— 8
множество точек х, для которых
а(ж + 0)-а(ж —0)>0.
Пользуясь результатами §§ 3.3, 3.41, можно утверждать, что каждая
точка спектра Еа является предельной точкой нулей ортогональных мно-
многочленов {рп(х)}.
Из перемежаемости нулей ортогональных многочленов вытекают
неравенства
. . . < Х1п < Xlt Пвт1 < . . . < Х12 < Хи < Х22 < • • • < #П-1, п-1 < Хпп < • • • >
откуда следует существование пределов
lim xln = a> — оо, limxnn = &<+ оо; (VI.1)
П-Х» П->ОО
при этом a = inf£'a, fo = supi?a, т. е. спектр Еа не выходит за пределы
отрезка [а, &], который называется поэтому истинным отрезком ортого-
ортогональности, ибо вне его имеем a (x) ~ const.
Отсюда ясно, что изучение спектра Еа функции a (x) позволяет сделать
некоторые заключения о распределении нулей ортогональных много-
многочленов.

444 дополнения
Так как ортогональные многочлены {Рп (х)}^ удовлетворяют уравне-
уравнению в конечных разностях (II 1.11), то задача заключается в том, чтобы
по двум числовым последовательностям {an}i°, {Pn}i° > 0 сделать заключе-
заключение о характере спектра Еа.
Отметим, например, следующие простые неравенства:
a<xln<an<xnn<b, $n<(tz±y (и = 1,2, .. .)х) (VI.2)
и простые соотношения
п п п
Т S аг = ^ Т 2 а| + 4 2 Pi
г=1 г=1 г=2
где мы положили
Ш о х а т у [1] принадлежит следующий результат: спектр Еа конечен
тогда и только тогда, когда обе последовательности {an}i°, {$n}? ограни-
ограничены; если истинный отрезок полубесконечен, то обе последовательности
не ограничены; если только одна из них ограничена, то — а=-Ъ~ -\- оо.
В нашей работе [120*] рассмотрен случай предельной периодичности
последовательностей {an}i°, (PyJ?3: в случае существования пределов
lim §n — lv > 0, /i~v(modfc), (VI.5)
n->oo
рассматриваем непрерывную дробь
h \ h \ h \
(VI.6)
\z — a1 \z — a2 \z — ah
С ПОДХОДЯЩИМИ Дробями \ ®%-yZ' I ; пуСТЬ
^ = К, га]+[2в, z4]+...+[z2r.1> z2r], r<A, (VI.7)
где {zji7" —точки разветвления функции ~J/^[rtfe B) — q^_2 (г)]2 — 4/х/2 ... Zft;
тогда Еа = Е1-\-Е2, где 2?х всюду плотно на F, а ^ — ограниченное изоли-
изолированное счетное множество. При &=1, Q.i^O получаем результат О. Блю-
менталя, в этом случае множеством F является отрезок [ax —21/7^
1 КЯ
Исследование предельных точек спектра ^проведено М. Г. К р е й-
ном ([48*], стр. VI); рассматривая якобиеву матрицу \\A\\ (III.50),
он показал прежде всего, что условие sup | ап | + 2 sup | Ъп | < R достаточно
для того, чтобы [a, b]CZ[— R, R]. Исследуя свойства соответствующего
оператора А, он получил следующий результат: для того чтобы един-
единственными предельными точками спектра Еа были заданные точки
av a2, . . ., ap, необходимо и достаточно, чтобы элементы якобиевой
матрицы были ограничены в своей совокупности и чтобы для элемен-
элементов gik матрицы ||G||, определяемой формулой
\\G\\ = g(\\4), g(x) = (x-a1)(x-a2) ... (x-av) (VI.8)
существовали пределы lim gik = 0; в частности, при условиях lim an = а,
г, ft->>oo n-voo
См. Я. Шохат [1].

дополнения 445
lim bn = О единственной предельной точкой будет точка а, как это следует
и из теоремы Блюменталя.
Пользуясь этим же оператором, П. Б. Найман [1] уточнила
результат Блюменталя: пусть существуют пределы lima^ = a, lim Ъп =
n-voo n->oo
= Ь > О и пусть
Обозначим через Е0С1Еату часть спектра Еа, которая лежит левее
точки а — 2Ь; если существует число N > О такое, что для п > ТУ имеем
(VI.10)
2 (/г
то £ конечно; если же для некоторого б > 0 существует такое Аг, что при
всех тг > N имеем
то Ео бесконечно; если для некоторого s > 0 и для больших значений и,
имеем 6п = ~ + О ( -^>), то Ео конечно, если lim п2(ог < — , и бесконечно,
если Umn2(x)n > -т- .
п->оо
Для более детального изучения расположения нулей необходимо
ввести некоторые функции распределения.
Т. А. С а р ы м с а к о в [2*], [15*], [36*] рассматривает дифферен-
дифференциальное уравнение и"-\-щ(х, v)=0, где v —некоторый параметр; через
[а, Ъ] он обозначает отрезок (который может зависеть от v), на котором
расположены все нули некоторого решения этого уравнения, число кото-
которых nv, а через АГПу (а, {}) обозначено число нулей этого решения на отрезке
[ос, р](Ц[а, Ы; если функция ф (х, v) > 0 и непрерывна на [а, Ь],
a lim nv = оо и если ввести обозначение
V_>VQ
, Nn (x, х + Ах)
<о(х)= lim-^ lim —^ , (VI.11)
то имеем
если этот предел существует.
Так как классические ортогональные многочлены удовлетворяют
линейному дифференциальному уравнению второго порядка, которое можно
привести к рассматриваемой форме, то отсюда можно сделать вывод о рас-
распределении их нулей; в частности, дифференциальное уравнение D.24.1)
a+l P+1
имеет решением и = A — х) 2 A + х) 2 Р(£" Р) (х), где Р{£" Р) (х) — многочлен
Якоби, а роль ф (х, п) играет выражение в фигурных скобках, откуда со (#) =
1 1
= f Т. А. Сарымсаков рассмотрел также произвольную после-
Я у I — Х2
довательность многочленов {апРп (z) = anzn + . . . }f и ввел функцию множе-
множества г|эп (е) = п^е) , где Nn (е) — число нулей многочлена Рп (z) на множе-

446 дополнения
стве е; следуя Д е л а н ж у [1], он говорит, что последовательность
многочленов {Рп (z)}f имеет регулярное распределение нулей, если суще-
существует предел Итя|)п (е) =я|) (е); в этом случае при ап Ф 0 имеем, обозначая
через М замыкание множества всех нулей всех многочленов {Pn(z)}:
пг
lim i/
если этот интеграл существует (бесконечно малое множество е содержит
точку £). Если М ограничено и z^M и если, кроме того,
lim |7тах{|аоИ,а1|'г---|ап-1|} < со, (VI.14)
' \аП\
то
lim
[ С 1
exp \ \ In \z — £ I ая|) (e) К .
м
Деланж рассмотрел последовательность многочленов
и обозначил через vn (ж) число нулей a;in, удовлетворяющих неравенству
х1п^х; пусть ф (п) > 0 и пусть комплексное число сп подобрано так, что
_g I сп п к*) 1 СТремится к пределу в достаточно малой области справа от.точки
а; тогда существует предел v (x) — lim n всюду, где функция v(x) непре-
n~voo П
рывна; он применяет эти рассуждения к многочленам, связанным трех-
трехчленной рекуррентной формулой C.2.1), т. е. к ортогональным многочле-
многочленам, в частности к многочленам Лагерра.
Венцль [1] для любых многочленов {Рп(х)}^°, корни которых
простые и лежат на отрезке [ — 1, +1], вводит некоторую функцию Qn(x),
которую называет относительной плотностью нулей:
/ ч f ~ЙГЙ х ) ' *vn<S<3v+lfn (V=l, 2,...,Я-1),
Qn (Ж) = J ^ ^v+l,n —^vn) (VI.17)
[ 0 , x<xln, или x>xnn.
Пусть на отрезке/ =[ —1 4 £, 1 — e], 0<е<1, все функции {Qn(x)}^° равно-
равномерно ограничены; пусть #£/, причем
тогда имеем
— 1
(x<il/ (n-=l,2, ...). (VI.19)
Таким образом, в рассмотренных работах предполагается сущест-
существование некоторых пределов, но не указываются те условия, при которых
это имеет место.

дополнения
447
Для одного частного, но весьма важного случая, такая задача была
полностью разрешена Эрдёшем и Тураном [1 ]; они дока-
доказали следующее: если {Рп (я) ^ — произвольные многочлены, все нули
которых лежат на отрезке [—1, +1 ], и если на этом отрезке имеем |Рп(ж)| <
^^Щ? где А (п) ~ монотонно возрастающая функция, то, полагая
{#in=cos 0^}^, мы имеем для любого отрезка [а, р](Ц[0, я]
У^ШТЩ; (VI.20)
в частности, если многочлены {Рп (х)}^° минимизируют интеграл
1
| хп + • • • \vw (x) dx, причем р > 0, w (х) > т > 0, х £ [ — 1, +1], то
—1
и таким образом имеем
2 1--~-
(VI.22)
где С не зависит от щ если же известно только то, что w(x)>0 почти всюду
на [ —1, + И, то
Такое распределение авторы, следуя Вейлю, называют равномерным: если
все точки отрезка [—1, +1] рассматривать как проекции точек полуок-
полуокружности ж2+г/2==1> У> 0, тона ней будем иметь равномерное распределе-
распределение, при котором число точек на любой дуге пропорционально ее длине.
Для многочленов, все нули которых вещественны, введем ступенча-
ступенчатую функцию распределения г|эп (х), имеющую положительный скачок
-— в каждом корне xin многочлена Рп (х) кратности к) функции, введенные
ранее упомянутыми авторами, выражаются, очевидно, следующим образом:
)-4)n(a-O)f vn (x) = 1 - уп (х - ОЦ
Но первой теореме Хелли из каждой бесконечной подпоследовательности
этих функций распределения можно выделить подпоследовательность
{^nv (^)Ь сходящуюся на всюду плотном множестве к некоторой предельной
функции limi|)n (x) —^(х) (по теореме Полна сходимость равномерна, если
V->oo v
функция 1|)(я) непрерывна).
Функция со(^), рассмотренная Т. А. Сарымсаковым, имеет следующее
значение:
(о (х) = lim
Лл:->0
lim
= lim -i- lim {фя (х + Ах + 0) - г|з„ (х- 0)} =
Д0 ах

448
ДОПОЛНЕНИЯ
т. е. является плотностью распределения нулей, но лишь в том частном
случае, когда предельная функция я|)(#) абсолютно непрерывна.
Если некоторая функция f(x) непрерывна на конечном отрезке [а, Ь],
то по второй теореме Хелли существует предел
(VI.26)
(VI.27)
lim \ f (х) d^nv (x)=\f (x) dty (x).
V-»oo J J
a a
В частности, имеем
= ±^ ln
z-xln\ =
причем всегда существует подпоследовательность, для которой существует
lim
b]. (VI.28)
Нетрудно сопоставить эти формулы с указанной формулой Венцля; однако
при его условиях невозможно выполнить предельный переход, ибо рас-
расстояние точки х от двух соседних корней не будет оставаться ограничен-
ограниченным, и, кроме того, нельзя поручиться за равномерную ограниченность
ФУНКЦИЙ Qn(z).
Особый интерес представляет тот случай, когда вся последовательность
(\|}n(x)}J° сходится к единственной предельной функции распределения
ну лещ в случае многочленов, ортогональных на конечном отрезке, для
этого необходимо и достаточно существование конечных пределов
lim{-i-Sp/*}=Yfc (A = l,2, ...),
где Sp /^ — след /с-й степени якобиевой матрицы
(VI.29)
al
0
0
1
«2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
... 0
.. . 0
• • • <v
... 6
0
0
11
= 1,2,...).
(VI.30)
Рассмотрим теперь так называемую функцию Робена [л (£) множества F,
т. е. функцию, характеризующую такое распределение положительной
единичной массы на ограниченном замкнутом множестве F точек плос-
плоскости, при котором логарифмический потенциал распределения d\x (£) со-
сохраняет на F постоянное значение
\ In- г—-d\x (£) = у = const, (VI. 31)
F
где у — так называемая константа Робена, а d = e~v — емкость множества
F или трансфинитный диаметр множества G, дополнительного к F 2).
Множество F будем считать регулярным, т. е. будем предполагать
дополнительное множество G связным и обладающим функцией Грина
х) Сегё вводит эти понятия лишь в главе XVI для того частного случая,
когда множество F состоит из спрямляемых жордановых дуг; однако эти понятия
весьма полезны и при рассмотрении распределения нулей.

дополнения 449
g(z, со) с полюсом на бесконечности; если ввести сопряженную с g(z, оо)
гармоническую функцию h(z, оо) и построить комплексную функцию Грина
G(z, оо) — g(z, оо) -\-ih(z, оо), то функция Робена такова: \i(Q = C —
/&(£, оо), а функция
ТС
w = ф (z) = exp {G (z, оо)} = exp {g (z, оо) + ih (z, oo)}
отображает область С? на область |оу|>1. Например, для множества
F-[-l, -a] + [a, 1], 0<а<1, (VI.32)
имеем
т Vz2 — l + Vz* — а2 , 2
при а=0 множеством /* является весь отрезок [—1, +1], и мы имеем
= 1—s~arccos
(,) ( ^) Y , 1
i r (VI.34)
(л (х) = 1 arccos ж, — 1 < а; < 1. I
Рассмотрим следующий вопрос: если многочлены {Рп(х)}°% ортого-
ортогональны на ограниченном замкнутом множестве F вещественной оси, то при
каких условиях существует предельная функция распределения нулей
ty(x), совпадающая с функцией Робена \х(х) этого множества?
Рассмотрим сперва условия, достаточные для существования
X1
lim y | Pn (z) | = d\ ф (z) |, z$F\ (VI.35)
не будем пока связывать их с существованием предельной функции рас-
распределения нулей.
Воспользуемся теоремой Уолша: пусть множество точек
^22' п
Рп(х)=Ц(х-Хгп) (VI.36)
Х2п1 . . . Хпп г=1
не имеет предельных точек вне множества F и пусть
max|Pn(x)| =Mn (w = l, 2, ...); (VI.37)
тогда существование предела
lim \/"Wn = d (VI.38)
необходимо и достаточно для того, чтобы предельное соотношение (VI.35)
имело место равномерно на любом множестве внутри G.
Пусть множеством F является сумма конечного числа отрезков ек
вещественной оси длиною > h каждый; тогда для выполнения (VI.38)
29 г. Сегё

450 дополнения
для многочленов, ортогональных относительно распределения da(x), доста-
достаточно каждое из условий:
1) а! (х) > 0 почти всюду на F х);
2) функция х = Х(у), обратная монотонной функции у = а (х), не имеет
сингулярной компоненты (т. е. состоит только из функции скачков и абсо-
абсолютно непрерывной компоненты);
3) lim {j/d In а (б, а)} = 0, где аF, а) —так называемый модуль
6->0
роста2) функции а(х), т. е.
аF, a) = inf \ da{x), х.х + Ь^е,^. (VI.39)
X
Если F= [ — 1,-f- 1], то достаточно любое из условий:
4) К
71-ЮО ^
5) Hi
_" " ' (VI.40)
6) Hm Укп = 2, Рп (х) = кпхп + • • • = /спР„ (х);
7) lim/m;=l,
71-уоо
Покажем, что каждое из условий 1)—3) достаточно также и для существо-
существования функции распределения нулей, совпадающей с функцией Робена;
действительно, мы имеем (VI.27), откуда на основании теорем Хелли нахо-
находим при выполнении любого из условий 1), 2), 3)
= exp|^
но для распределения Робена мы имеем вне множества F
ехр П In | z - х | d\i (x)\ = e~y+e(z,^) = rf | ф (z) |.
F
Отсюда вытекает равенство функций
\ In | z — х | Л|) (х) = \ In | z — х | d\i (x),
F
F F
а следовательно, и равенство всех моментов
i xkdty(x)= \xkd\i(x) (ft = 0, 1, ...).
F F
Благодаря определенности проблемы моментов для конечного отрезка
отсюда вытекает эквивалентность обеих функций я|) (х) и \i(x).
В частности, если F=[—1, +1], то любое из условий 1)—7)достаточно
для существования
Um/\~PJzJ\= 1*+У>я-1| 7 |z+|/?=I|>l + e, e>0.
х) В том случае, когда F=[ — 1, +1], а функция a (x) абсолютно непрерывна
на F, условие 1) найдено Эрдёшем и. Тураном.
2) См. Шохат [3], ч. III.

ДОПОЛНЕНИЯ 451
6.11. Пользуясь тем же многочленом F.11.3), можно придать теореме
6.11.1 локальный характер и получить неравенство F.11.2) при более
общих условиях.
Введем функцию а (б) = —а (cos б), 0<е<.я; рассмотрим отрезки
е=[а, 6]CZ[ —1, +1], e'=[arccos 6,arccosa] и обозначим через a F, а)
модуль роста функции а(б) на отрезке е'; в таком случае справедливо
неравенство
8v+i - ev < СЪп, ev, 6V+1 € е\ (VI.42)
где б = бп является корнем уравнения
В частности, если —1<а<й<1 и если на [а, Ъ]
w(х) = wx(х)w2(х), О < т <wx(х)<М, w2(x)>C\x-x0 \a, (VI.44)
а> — 1, а<хо<Ь,
то будем иметь а (б, а) = О (б1+а) и легко найдем 6п = О ( —— J ; таким
образом, оценка F.11.2) справедлива не только при условии w(x)^>m> О,
х£[а, Ь], но и в случае особенности, имеющей, так сказать, «алгебраи-
«алгебраический характер».
Ф р а й д 11] уточнил оценку F.11.15): он рассмотрел многочлены,
ортогональные на отрезке [—1, +1], причем da (x)=w (x) dx и вес w (x)
удовлетворяет неравенствам:
1, 0<т<М; (VI.45)
тогда справедливо неравенство
<66< (А = 1, 2, ...,»-!). (VI.46)
Sill ;
2и + 1
Аналогичные оценки (с другими константами) имеем в таких случаях:
41 • (VI.47)
Укажем еще следующее уточнение оценки F.11.14) для коэффициента
Кристоффеля A,v: если рассмотрим ряд Фурье—Стилтьеса четной функ-
функции а(е):
оо Я
*r(e)~4-a°+2 flftcosfce, afc=|-jjcosAe da (в) (Л = 0, 1, ...), (VI.48)
то имеем оценку *)
^<^<LI(ev), (Vi.49)
где a^ (б) — сумма Фейера указанного ряда; отсюда, в частности, имеем:
если на внутреннем отрезке [a, b] функция а(х) абсолютно непрерывна
и а'(х) <М, то аналогичными свойствами будет обладать и функция a'(б),
отсюда на основании известных свойств сумм Фейера будет вытекать оцен-
оценка F.11.14) для #v, лежащего внутри [а, 6].
1) См. Н. И. Ахиезер [42*], Я. Л. Гсронимус [1], гл. IV.
29*

452 дополнения
Если же функция а(х) только непрерывна на [а, Ь], то на основании
C.41.1) имеем оценку
^<Ссо(вл> а), (VI.50)
где соF, а) — модуль непрерывности функции а(х) на отрезке [а, Ь],
а бг находится из уравнения (VI.43).
6о2. Шпехт [1] доказал следующую теорему: если / (z) —
п
= 2- bkpk (z) — многочлен степени не выше п с любыми комплексными
коэффициентами разложения по ортонормальным многочленам {pk(z)}*f
то все его нули лежат в полосе
если же у>0 и если ввести обозначение
= max
(VI. 52)
1 4-8*
to полоса такова: |3 z| < ——— ; эти результаты автор применяет к случаю
многочлена Лежандра, Чебышева, Эрмита и обобщенных многочленов
Лагерра.
ГЛАВА VII
НЕРАВЕНСТВА
7.1. Для многочленов, ортогональных с весом
w (х) = A - х)а A + ж)Р g (ж), а, р>-1, g(^)>w>0, —1 < ^ < 1, (VII.1)
т. е. обобщенных многочленов Якоби, справедлива оценка
\рп(х)\<СУ7Г, х£[а,Ъ], -1<а<Ь<1(п = 1, 2, ...). (VII.2)
В работе [10*] В. А. Стеклов показал ее справедливость для веса
более общего вида
т
w(x) = (l-x)<*(l + x)Vq(x) П (я-^Jа>, (VII.3)
где а^. > 0 - целые числа; оценка справедлива внутри каждого отрезка
В работе [12*] В. А. Стеклов поставил вопрос о равномерной
ограниченности всей ортогональной системы
\рп(х)\<М (п = 1,2, ...) (VII.4)
на всем отрезке ортогональности или на его части: он писал: «К сожа-
сожалению, мы не имеем способа выразить совокупность общих достаточных
условий, которым должен удовлетворять вес w(x) для того, чтобы нера-
неравенство (VII.4) имело место для всех многочленов, соответствующих
функции w(x), удовлетворяющей указанным условиям. Я думаю, что это
неравенство является общим свойством всех ортогональных многочленов,
вес которых не обращается в нуль внутри данного интервала; однако
в данный момент мне не удалось ни найти строгого доказательства этого
утверждения, ни обнаружить пример, в котором это неравенство не выпол-
выполнялось бы в каждой точке внутри этого интервала».

дополнения 453
В наших работах [100*], [1] указаны некоторые условия, достаточные
для выполнения (VII.4); если ввести функцию
/ (q) =-= ш (cose) | sine |, 0<б<я? (VII.5)
и предположить, что /(б) >т > 0, 0£ [0, я], то для выполнения (VI 1.4)
на —1<ж<1 достаточно любое из условий:
1) /F) <М и/F) 6 Lip A,1);
2) /@) имеет ограниченную вариацию на отрезке [0, я];
3) /(e)<MH/(eNLipD> , 2);
4) / (б) непрерывна и удовлетворяет условию Д ини — Липшица A2.1.4I).
Наоборот, если известно, что существует бесконечная последователь-
последовательность {nv}, для которой
\Рп (*)l<^ (v = l,2, ...), -
V
то отсюда вытекает неравенство
6l
где 6i, 02f [0, я] —любые две точки непрерывности функции /(б).
В таблице II нашей книги [1] указано несколько неравенств, при-
принадлежащих различным авторам; они дают оценку порядка роста ортого-
ортогональных многочленов на всем отрезке [ — 1, +1] в зависимости от тех или
иных условий, наложенных на функцию /@); например, из неравенства
/F)>т>0 вытекает неравенство рл(х) = о(\/п); у Сегё G.1.7) при
условии w (х) > \i > 0 указано неравенство | рп (х) | < Сп, а для внутренних
точек отрезка — неравенство | рп (х) f < С \/ п .
Одна из наиболее общих оценок такова: если выполняется неравен-
неравенство G.1.1), то на всем отрезке [—1, +1] справедлива оценка
2^}( a = exp| —^ jj ln/(e)de} ,
i (VH.8)
у = /In (с0а2), co = i
J
показано, что можно построить ортогональные многочлены, порядок роста
которых сколь угодно близок к указанному.
Отметим еще оценку, позволяющую оценить порядок роста на от-
отрезке [ — 1, +1] по поведению старшего коэффициента кп\ если выпол-
выполняется G.1.1) и если имеем 2~7}кп — у —О (— J , где у — некоторая поло-
положительная константа, то для —1<а;<1 имеем
\D(re
х) Случай 4) вытекает из теории С. Н. Бернштейна [96*]; Сегё G.1.16)
при условии / F) > т > 0 и при более ограничительном условии / F) £ Lip 1 утвер-
утверждает справедливость (VII.4) лишь внутри отрезка [ — 1, -{-!].

454
ДОПОЛНЕНИЯ
Например, для многочленов Якоби имеем
1 „ 1
т=2 2 A-z)
-1. +i]>
4-Р + 1)
(VII.10)
применяя формулу Стирлинга, находим
поэтому при а,
>
имеем для —1<;с<1 оценку
tpn(x)\~O(n 2), со = max (a, P). (VII.1J)
В таблице III нашей книги [1] указаны некоторые локальные оценки:
например, оценка (VII.2) В. А. Стеклова справедлива внутри отрезка
[а, Ь] при единственном условии w(x)^-m>Q на [а, Ы; если же, кроме
того, выполняется условие G.1.1), то рл(х) = о(\/п) внутри [а, Ь]. Если
же существует интеграл
я
\ [/ (б)] ^б,
а на отрезке [а, 61 СИ [ — 1, + 1 ]
функция w(x) имеет ограниченную вариацию, то внутри la, b] выпол-
выполняется (VI 1.2).
Отметим, что многие оценки таблиц II, III справедливы в самом
общем случае ортогональности B.2.4), в этом случае через w(x) обозна-
обозначена существующая почти всюду производная а'(х); в указанных локаль-
локальных оценках предполагается абсолютная непрерывность функции а(х)
лишь на внутреннем отрезке [а, Ь] (из оценок III, IV, V таблицы III
видно, что оценка роста многочлена на внутреннем отрезке зависит при
условии G.1.7) только от поведения функции w(x) на этом отрезке).
Укажем еще локальную оценку Фрайда 2): пусть функция а(х)
абсолютно непрерывна на всем отрезке [—1, +1] и пусть функция
суммируема на [0, я]; если для 0О£ [0, п] имеем /(б0) > 0 и если в окрест-
окрестности этой точки имеем /(б) -/(б0) = О (| б — б01)» то вся ортонормальная
система ограничена в точке х0 = cos б0-
7.3. Теорему 7.3.1 можно обобщить следующим образом: для любой
производной Р$(х) многочлена Лежандра абсолютные величины экстре-
экстремальных значений возрастают вместе с \х\.
Отметим также следующие оценки Л. Фейера:
\
<C17l 2, -
dPn
dx
(VII.12)
Можно указать такой локальный аналог теоремы Корауса 7.1.3:
пусть имеем две системы многочленов, ортогональных на отрезке [—1, +1]
относительно распределений da^ (x) и da^(x), причем пусть
da<2>(х) == k(x)daM(x), 0 < т < к(х) <М, - 1 <х< 1; (VII.13)
См. ссылку в конце § 12.6.

дополнения 455
для х£ [a, b] С[—1, +1] пусть имеем /с(#)£1лр1; тогда из условий
{\р^Цх) |}о°<С1, х£[а, Ь], вытекают неравенства {\р% (х) |]о°<С2 внутри
[а, 6]; это же заключение справедливо, если на [а, Ь] имеем
, у<а<1. (VII.14)
7.72. Рассмотрим общую задачу Чебышева о нахождении пределов
отношения
1 1
i|p= \y(x)u(x)dx\ [y{x)v{x)dx, (VII.15)
-i -i
где у (х) — многочлен степени не выше п, причем у (х) и функция v (x)
неотрицательны на отрезке [—1, +1]; пользуясь методом Чебышева, можно
показать, что у(х) должен иметь такую форму:
у(х) = A-х)аA + xfz2m(x), а, р = 0или 1, а+$ + 2т-=щ (VII.16)
после чего находим
1 1
У(х)= \bo(z)z2m(x)dx: \d(z)z2m(z)dz, e(s)>0, ж6[-1, +1]. (VII.17)
-Ji -1
Можно решить задачу до конца без применения непрерывных дробей
и найти искомые пределы \it < а]; < \i2.
В частном случае, когда 6 (ж) = A— x)h, %{x) = (\—x)h+1 (Л>0 — целое
число), имеем (при т—> оо и фиксированном К) \л1^^ —^» гДе и является наи-
наименьшим положительным нулем функции Бесселя1):
r=0
Если же Q(x) = (l—x)h, 0o(o;) = (l—x)h+2, то имеем
наименьший положительный корень целой функции
ГЛАВА VIII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КЛАССИЧЕСКИХ
МНОГОЧЛЕНОВ
В нашей книге [97*] (§§ 24—25) рассмотрены работы А. А. Адамова,
В. А. Стеклова, К. А. Поссе и С. Н. Бернштейна, посвященные асимпто-
асимптотическим свойствам классических ортогональных многочленов.
8.21. Отметим, что С. Н. Бернштейн [41*] показал, что при
п —> оо асимптотическое значение уклонения от нуля произведения
A - хр A + Ф I хп + . . . |, - 1 < х < 1, (VIII.1)
не превосходит 2~(n+0i+02+1), причем экстремальным многочленом будет
!) См. С. Н. Бернштейн [27*].

456 ДОПОЛНЕНИЯ
1 1
многочлен Якоби, для которого a=2Qt—-^ , P = 2q2 — -^ и выполняются
1 1
неравенства — -^ < а, Р < у •
В примечаниях к главе XII мы рассмотрим общий случай многочленов,
ортогональных на отрезке [—1, +1] относительно некоторого веса; из
этого общего случая мы получим для частного случая многочленов Якоби
формулы (8.21.19), (8.23.1), (8.23.2), (8.9.1).
8.22. Сансоне [2] нашел явные выражения для многочленов
и0, v0 в (8.22.7), аМерли [2] — для uv vx] в обоих случаях найдены
оценки для остаточных членов.
ГЛАВА IX
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО КЛАССИЧЕСКИМ МНОГОЧЛЕНАМ
9.1. В примечаниях к главе XII мы рассмотрим общий вопрос о раз-
разложении функции в ряд многочленов, ортогональных на отрезке [—1, +1]
(или на любом конечном отрезке) относительно некоторого веса; оттуда,
как частный случай, получим теоремы 9.1.1, 9.2.2.
Рассмотрим несколько результатов, относящихся к рядам по много-
многочленам Якоби. Б. М. Я х н и н [1], [2], [3] вывел следующие теоремы
для случая | а | = | Р | = -у :
1) если f(x)£C[—1, +1], то для функций Лебега
l£'*\x) = sup
справедливы оценки
т=п-а-$, P%'V(x) = 2mxm+... (IX.2)
Пользуясь оценкой А. Ф. Тимана для L\ 2 ' 2 (х), он получил внутри
отрезка [—1, +1] оценки
На концах отрезка эти величины имеют порядок О(п).
2) Если f (х) б Lip у, 0<у< 1, —1 <а;<;1, то частные суммы s^'p)(/, x)
разложения / (х) по многочленам Якоби связаны при п—> оэ асимптоти-
асимптотическими равенствами
3) Если /(r)(o;NLipY, 0<у<;1, —1<^а;<;1, то остаточные члены
P) (/; х) указанных разложений связаны при п~~> оо асимптотическими
равенствами
Отметим еще результаты Г. И. Натансона [2*], [1], применив-
применившего к разложениям в ряд по классическим ортогональным многочленам

дополнения 457
метод суммирования Бернштейна — Рогозинского: если
Bn(f\ x) = ±{sn(f\ xJ + Snif; х2)}, (IX.6)
где точки xv x2 специальным образом выбраны, то во всех точках Лебега
функции/ (х) 6 L^ лежащих строго внутри интервала ортогональности, имеем
hmBn(f; x)=f(x); если же функция /(я) непрерывна, то сходимость равно-
П->оо
мерна на каждом отрезке, лежащем строго внутри интервала ортогональ-
ортогональности; мы имеем следующие частные случаи:
1) многочлены Якоби
xlf2 = x cos ап ± У 1-х2sinаю ап = 2д+Др + 1 ; (IX.7}
теорема остается в силе, если точки xv x2 сдвинуть на величину порядка
ОI —|— »; указанный метод суммирования эквивалентен методу множите-
множителей с матрицей
an} (Л = 0, 1, ...,л; п = О, 1, . . .);
это последнее утверждение останется в силе, если сдвиг порядка
О(п ^+ J)f е>0.
2) Многочлены Лагерра: xly2~x± yl/ ~Jrjp~ '» функция/(о;) изме-
измерима на [0, оо), и существуют интегралы
2a-5
\xP\f(x)\dz, \x * \f(x)\dx, \e 4 4 \f(x)\dx,
о о i
oo
lim \\fn \ e-xxa~2 [f (x)]2 dx) = 0.
(IX.9)
3) Многочлены Эрмита: a;li2 = ^±—j=; функция / (ж) измерима на
2 ]/ 2/i
(—оо, +оо), и существуют интегралы
X '
(IX.10)
Метод суммирования в случаях 2), 3) эквивалентен методу множителей
с матрицей
{cosyj/^-} (&=0, 1, ...,п; /1=1,2, ...)• (IX.11)
Поллард [1] рассмотрел ультрасферические многочлены при
Х>0 и доказал, что разложение функции/(х)бLg в ряд этих многочленов
сходится к/ (ж) в метрике Z& если 2 — ^-r-j <р < 2+ — ; при >и > 0 это верна
при всех р > 1.

458 дополнения
В случаях многочленов Якоби (а, Р > 0) ряд сходится в метрике Lp,
если ~ < р < 4; если же
то ряд сходится к / (х) в метрике L^ и расходится для значений р вне ука-
указанного отрезка.
Дж. Нейман и Рудин [1] дополнили указанный результат:
разложение функции f(x)£Lv по многочленам Лежандра расходится
в метрике Lp для р = -^- и р = 4.
о
9.2. В дополнение к E) отметим следующие результаты:
Хилле [1] обозначил через Са область абсолютной сходимости
оо
ряда ^ anPn(z), где {Рп (z)}™—некоторая система многочленов, не Обяза-
Обязано
тельно ортогональных; он доказал некоторые общие теоремы, аналогич-
аналогичные теореме Абеля в теории степенных рядов—например, если все нули
{Рп (z)\ вещественны и zo£Ca, то и z£Ca, если ffiz = ffiz0, \{$z\-^ \$zQ\; если,
кроме того, все корни неотрицательны и zogCa, то и z£Ca, если | z | <; | zo\,
tRz > Шо.
Он показал, в частности, что в случае многочленов Лежандра область Са
ограничена эллипсом |z — l|+|z+l[=- const, в случае многочленов Лагер-
ра — параболой | ^ ]/ z | = const, в случае многочленов Эрмита — двумя
параллельными прямыми |£yz| = const.
Фольк [1] рассмотрел дифференциальное уравнение с пара-
параметром
положив
и проведя в плоскости z разрезы по линиям, соединяющим нули po(z)i
он рассмотрел обратную функцию z = O (t) с вещественным периодом фх;
тогда прямые г|) = р>0 перейдут в некоторые замкнутые кривые С пло-
плоскости z (например, при po(z) — z получим t=2 "|/"z, разрезом будет вещест-
вещественная полоя^ительная полуось, и прямые ^t = const преобразуются в пара-
параболы | 5 Y~z | = const).
Если y = yn(z) является решением (IX. 13), регулярным внутри С,
и если положить
z)=:_J_exp ( [EiJ&dz) ; t = y+i^= [ -М= (IX.14)
где z0, z2 —корни /?оB)» т0 РЯД
оо
T^T-li QnWvAz) (IX.16)
n=0
равномерно сходится, если и лежит на кривой Cv охватывающей кривую
С. Если функция / (z) регулярна внутри С, то ее разложение по функциям
{yn{z)} можно неограниченно дифференцировать внутри С

дополнения 459
В том частном случае, когда функции {уп (z)} совпадают с классиче-
классическими ортогональными многочленами, [Qn (и)} являются соответствующими
функциями второго рода.
Из рассмотренной о'бщей теории можно найти граничные кривые С
для случая классических ортогональных многочленов. В случае много-
многочленов Лагерра {Lffl(z)} ряд (IX.16) сходится внутри параболы ISV2 1 =
= | S У и |; если функция / (z) регулярна внутри параболы | g ]/z | = р и если
lim
/(*)
= 0 и интеграл \ ISzLdz, взятый по дуге этой параболы, равно-
равномерно сходится, то разложение функции f (z) по многочленам Лагерра
сходится внутри указанной параболы.
В случае многочленов Эрмита ряд (IX.16) сходится внутри полосы
I Sz| < I $и\> если функция / (z) регулярна внутри полосы | ^z \ < Р
и lim
= 0 и абсолютно сходятся четыре интеграла
(IX.17)
то разложение функции по многочленам Эрмита сходится внутри указан-
указанной полосы. Рассмотрим еще такой частный случай:
- z2y" - zy' + (n2 -z2)y^ 0; (IX. 18)
в этом случае {уп — In(z)}^ — функции Бесселя, кривыми С являются окруж-
окружности | z| = const, а функции второго рода {Qn (u)—On (и)}™ являются много-
многочленами степени п -\-1 относительно —; они называются многочленами
Бесселя.
ГЛАВА X
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
10.1. Если вместо интеграла Пуассона—Лебега A0.1.1) рассмотреть
интеграл Пуассона — Стилтьеса
(как это придется делать в дальнейшем), причем o(t) — ограниченная не-
неубывающая функция, то по функции и(г, б) мы можем найти функцию o(t)
по известной формуле обращения
См(г> 6)Ж (Х.2)
Во всякой точке t0, в которой существует обобщенная симметричная про-
производная первого порядка
a(i)(t0)-nm 2h , (А.о
мы имеем lim u(r, tQ) = o.{)(t0); в частности, если существует производная
г->1-0
о'(^0), то мы имеем lim u(r, t0) = o'(tQ).
? —> 1 — о

460 ДОПОЛНЕНИЯ
10.2. Речь идет о построении функции D(z)£H2 по граничным значе-
значениям ее модуля почти всюду в [0, 2я]:
lim \D{reu)\* = \D(eU)\* = f(t). (X.4)
Гг+1 — 0
В. И. Смирнов [17*] нашел следующее параметрическое представ-
представление функций ф(г)бЯ6 (8 > 0)х):
фB) = ф1B)ф2B)ф3B), \z\ < 1; (Х.5)
здесь
я
ln/(«ME->}, |z|<l, (X.6)
— Я
причем /(£)— заданная неотрицательная функция, для которой [f(t)]6r
In f(t) б Lx\ (f2(z) ~~ произведение Бляшке:
(X.7)
n=l
где m>0 — целое число, {|ап|}?°<1, [] A —|ап|)<оо; наконец,
(X.8)
где (х(^) — невозрастающая функция с производной, равной нулю почти
всюду в [0, 2я]; при этом почти всюду в [0, 2я] имеем
Сегё, а затем В. И. Смирнов показали, что из всех функций ф(^N-Йгбг
определяемых по граничным значениям их модуля, функция q>i(z) имеет
наибольший модуль в области |z|<l, т, е.
|Ф1B)|>"|ФB)|, |*|<1. (Х.9)
Функция D(z) A0.2.10) является именно такой функцией, имеющей
в области \z\ < 1 наибольший модуль по сравнению со всеми остальными
функциями ф (z) 6 Я2, определяемыми условием |ф (elt) | = l/"/@ почти всюду
в [0, 2я].
10.3. В дальнейшем, при выводе асимптотических формул для орто-
ортогональных многочленов, важно выяснить условия существования гранич-
граничных значений
D(e{to)=, lim D(reuo). (X.10)
r-vl-0
Очевидно, функции lu\D (relt)\ и argfi (re7t) являются гармоническими
сопряженными функциями, причем первая из них имеет почти всюду
граничные значения
поэтому существование в этих точках граничного значения D(elt) экви-
эквивалентно существованию граничного значения сопряженной функции
dLTgD(reil).
См. также И. И. Привалов [71*], гл. П.

ДОПОЛНЕНИЯ
461
Применяя метод суммирования Абеля—Пуассона к тригонометри-
тригонометрическому ряду, сопряженному с рядом Фурье функции —\nf(t), получим,
что это граничное значение существует почти всюду в [0, 2я] и выра-
выражается сингулярным интегралом
Я
Следовательно, в тех точках, где существует граничное значение In Z)(el9)
и существует этот сингулярный интеграл, существует и граничное значе-
значение D (eie).
В работе Ф р а й д а [8], а также в нашей работе [115*] и в книге \1]г
гл. IV, рассмотрены различные случаи, в которых по тем или иным свой-
свойствам известной функции /(б) делаются заключения об аналогичных свой-
свойствах функции D(eiB); вопрос сводится к изучению свойств функции, сопря-
сопряженной с данной.
Пусть, например, функция/(б) непрерывна и положительна на отрезке
{ос, C]CZ[O, 2я] и пусть ее модуль непрерывности со(б) = со(б, /) на этом
а
•отрезке таков, что существует интеграл \ (д(х)х~1 dx; тогда оба указанных
6
тригонометрических ряда равномерно сходятся внутри отрезка [a, J3],
т. е. существует граничное значение D(ei0); в частности, рассмотренный
интеграл существует, если выполнено условие Дини—Липшица A0.3.10).
Можно оценить модуль непрерывности функции, сопряженной с дан-
данной: если вещественная 2я-периодическая функция u(b)^Ll непрерывна
на некотором отрезке [а, C], причем существует интеграл
/ 1
а. О) ( Я 111 — ,
о
то модуль непрерывности сопряженной функции v F) удовлетворяет нера-
неравенству
со (б, V)< \ -А +dx. (X.14)
,1 X
О
Функция (p(z) = (p(reiB) = u(r, Q)+iv(r, Э), г <1, также непрерывна на [а, |5]
с тем же модулем непрерывности; следовательно, если функция /(б) поло-
положительная и непрерывна на [а, C ] с модулем непрерывности, удовлетворяю-
удовлетворяющим условию (XI. 13), то функция D(eib) имеет модуль непрерывности,
удовлетворяющий условию (XI.14); в частности, если и F) б Lip а, а<1,
то и у(б)£1лр а; если и(%) удовлетворяет условию Дини—Липшица с пока-
показателем а > 1, то v(b) удовлетворяет тому же условию с показателем а—1;
если почти всюду в [0, 2я] имеем /F)>т>0и если /F) £ Lip (а, 2), то и
D (е«) б Lip (а, 2).
Рассмотрим еще один вопрос, связанный с представлением функции
и важный для дальнейшего (например, для условия В. И. Смирнова
{16.2.10)).
Пусть функция фB)^Ябне равна нулю в \z\ < 1; в таком случае ее про-
произведение Бляшке cp2(z)™l, и мы имеем
= L \

462 ДОПОЛНЕНИЯ
Функция In cp (z) регулярна в | z | < 1, причем для ее вещественной части
имеем
(Х.16)
относительно сопряженной функции argcp(rei6) мы можем утверждать
лишь то, что она принадлежит классу Ls, s<l; поэтому в общем случае
будем иметь lncp (z) £HS, s < 1. Вещественная часть этой функции выражает-
выражается . формулой (Х.16), т. е. эта гармоническая функция не может быть
выражена через свои граничные значения In/ (t) посредством одного первого
интеграла, являющегося интегралом Пуассона — Лебега, а выражается
суммой двух интегралов, т. е. интегралом Пуассона — Стилтъеса.
Наложим на функцию f(t) дополнительное ограничение—потребуем,
например, чтобы \nf(t)^Lp, p > 1; тогда сопряженная функция будет при-
принадлежать классу Ьг, функция lncp(z) будет принадлежать классу Н1 и не
будет второго интеграла в выражении для In |(p(rei6) |.
ГЛАВА XI
МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ЕДИНИЧНОЙ
ОКРУЖНОСТИ
Рассмотрим последовательность комплексных чисел (сп}£°, удовлет-
удовлетворяющую условиям Dn=\cL_k\™ Ф 0 (п=0, 1, 2, . . .); как было показано
в примечаниях к главе II, многочлены, построенные по формуле A1.1.9),
ортогональны относительно этой последовательности
легко видеть, что для них будут справедливы формула Кристоффеля—
Дарбу A1.4.5) и рекуррентные соотношения A1.4.6), A1.4.7).
Если наряду с нормированными многочленами {^n(z)}^ рассмотрим
многочлены \фп (z) =Щ^ = zn + . . . }°° , то вместо A1.4.6) и A1.4.7) по-
лучим соотношения
Фп+1 (z) = гФп (z) - апФ* (z), Ф*+1 (z) = Ф* (z) - апгФп (z),
|) (п = 0, 1,...),
где параметры [ап}4? выражаются через моменты следующими формулами:
-|^|?(П = 0, 1,...),
причем условия {Dn}™ ф 0 эквивалентны условиям {|а„|}~ Ф 1; задание-
моментов fck}J, удовлетворяющих условиям {Dk}% ф 0, эквивалентно зада-
заданию параметров {а^}". удовлетворяющих условиям {| ак |}™-' Ф 1.
Из (XI.1) вытекают трехчленные рекуррентные формулы
«„Ф«+2 (z) = (anz + antl)Фп+1 (г) - an+1z (I - | ап |2) Фп (z), }
Ф*(г) } (XI.4)

ДОПОЛНЕНИЯ 463
Наоборот, если многочлены {Фп(^)}о° удовлетворяют (XI.1) или (XI.3),
причем {|ап|}и° ф 1, то они ортогональны на единичной окружности отно-
сительно числовой последовательности {сп)о, причем эти моменты можно
последовательно один за другим найти в зависимости от чисел {ajo по
формулам (VI.2). Определим еще многочлены второго рода формулами
(XI.5)
аналогичными (II 1.14); нетрудно видеть, что они удовлетворяют той же
трехчленной рекуррентной формуле, или соотношениям (XI. 1) с заменой
параметров {ап}о° параметрами {— ап}(Г; поэтому они также ортогональны
относительно некоторой последовательности {Сп}о\ которую нетрудно найти.
Ортогональные многочлены и соответствующие многочлены второго
рода связаны соотношением
аналогичным (III.15); отсюда, в частности, имеем
1 Ф* (е*) I | q>* (е*)\* К ' '
Если рассмотрим непрерывную дробь
axz(\ — |go|2) | __ aoa2z(l — \аг
то на основании (XI.4) ее подходящие дроби таковы:
Если функционал C неотрицателен, то, как было сказано в примечаниях
к главе II, имеем
c_h = ~ck, Dk> 0 (к = 0,1, ...), (XI.9)
что эквивалентно условиям {| ah |}o° < 1; эти условия эквивалентны возмож-
возможности такого представления:
я
±\ e-^da{b) = cn (n = 0, 1,...), (XI. 10)
-Я
где а (о) — ограниченная неубывающая функция, однозначно определяю-
определяющаяся заданными моментами; если {| ап Do < 1, | ап \ = 1, то сг (б) имеет
только лг-f-l точек роста {6V}?+1, причем {ea8v}^+1—нули многочлена q>n+i(z).
Если {|ал|}о° < 1, то непрерывная дробь (XI.7) сходится в области
J<1, равномерно внутри этой области, к функции
2я
1 №
которая при | z | < 1 регулярна и имеет положительную вещественную часть;
на основании формулы (Х.2) можем найти по ней функцию о (t):
>i—0 •'

464 Д0ПОЛНЕНИЯ
Аналогично тому, как были определены функции второго рода формулой
{IV. 1) для многочленов, ортогональных на вещественной оси, введем
функции второго рода в случае ортогональности на единичной окружности
очевидно, имеем K(z)^qo(z) и справедливо соотношение
аналогичное (IV.2).
Рассмотрим многочлены
П-1 (я)+Ф*П-1
)
^ A.-1,2,...).
(XI.15)
1 s i \
где я = —( z-\—j; можно показать, что в случае вещественных парамет-
параметров (ajo° эти многочлены связаны трехчленной рекуррентпон формулой
<Ш.7), где
ап = •—^-^ ^^—-—^^2 'jL^— (az = 2, 3, .. .), ct1 = аОу
а __ I1 — П-5М1 — а2/г-4М1^*а2п-з>' /„ _ о / \ ft У1""" "■
Р/г — ^ (П — о,% . . . ), р2— _
(XI.16)
Так как {$п}Т Ф 0, то многочлены {Рп(х)}™ ортогональны на отрезке
г—1, +1] относительно некоторой числовой последовательности, а
l^n-i (x)/i° ~~" соответствующие многочлены второго рода. Наоборот, пара-
параметры {акIп~2 можно выразить через числа {afe}?, {РЛь Таким образом,
формулы A1.5.2) Сегё справедливы и в общем случае ортогональности
относительно числовой последовательности.
В том частном случае, когда функционал S неотрицателен и много-
многочлены [Фп (z)}§° ортогональны относительно распределения do (в), многочле-
многочлены {Рп(х)}<о> ортогональны относительно распределения da(x), причем
a(z)=a(cos6)== -сг@), - 1 <я< 1, 0<8<я; (XI.17)
если же функция a F) абсолютно непрерывна, da (б) =/ @)^6, то имеем
, 0<е<я. (XI.18)
Рассмотрим весьма интересный частный случай: пусть [а^ — а,
\а | Ф 1. Если афО, то по (XI.3) имеем уравнение в конечных разностях:
частными решениями которого являются Ф*(^) и ^^(z).
Назовем областью В плоскость z с разрезом вдоль дуги [eia, ег(<2п~аЦ
окружности | z | = 1, где мы положим
|a|2; (XI.20)

ДОПОЛНЕНИЯ
465
введем также функции
l, 2 (Z) ~
(XI.21)
причем функции wx (z), w2 (z) отображают область В на внешность и соот-
соответственно на внутренность окружности | w | = q = ]/"l — | a |2; в таком слу-
случае решение уравнения (XI.19) таково:
Уп'
I, ...). (XI.22)
По (XI.7) находим
К / ч =
По формуле (XI. 12) находим, что при a < 0 < 2я — а функция а @) абсолют-
абсолютно непрерывна:
6 —а
\А(ег*)\
(XI. 24)
кроме того, распределение da @) имеет концентрированные массы в тех
точках {0V}, для которых 4(e10v) = O и в то же время
(XI.25)
В частности, если m=0, то имеем
у si
-fa . 6 —a
sin —тг—sin —тг—
(XI.26)
sin
причем в точке 0 = Р, —a<p<a сконцентрирована масса
О,
, | 2a + 1 | >
|2a+l|<l.
(XI.27)
Если же т Ф 0, но [а%}т=а=0, то функция a@) абсолютно непрерывна,
причем /@) —| фт (eie)| 2, т. е. мы приходим к результатам § 11.2; интересно
отметить, что в этом случае многочлены {Рп (ж)}о°, построенные по формуле
(XI.15), будут многочленами Бернштейна — Сегё, рассмотренными
в § 2.6.
В том более общем случае, когда существует liman=a, | а | < 1, множе-
П->оо
ство точек роста Еа функции а@) таково: Eaz=E-L+E2, где Ег всюду плотно
на отрезке е=[а, 2я—а], а Е2— изолированное счетное множество, рас-
расположенное на дополнении отрезка е до [0, 2я].
30 Г. Сегё

466 ДОПОЛНЕНИЯ
ГЛАВА XII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ОБЩИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
МНОГОЧЛЕНОВ
12.1. Асимптотическая формула A2.1.2) справедлива при условиях
более общих, чем условия теоремы 12.1.1. Именно эквивалентны следую-
следующие утверждения:
1) существует интеграл
1па'(б)о?е>-оо; (XII.1)
2) система многочленов (ф^ {е ))о°, а следовательно, и система степе-
степеней {eiri8,o° незамкнута в пространстве L%\
3) условие замкнутости не имеет места ни для одной функции /(б) б £<?,
которая не эквивалентна граничным значениям F (eib) некоторой функции
F(z), регулярной в области |z|<l;
4) существует конечный предел limxn = x;
п->оо
оо
5) ряд У1 |ф/г(^)|2 сходится хоть в одной точке области |z|<l;
6) существует подпоследовательность {(p£v(z)}, ограниченная хоть
в одной точке области |zj<l;.
оо
7) сходится числовой ряд У I ап |2.
п=0
Таким образом, не предполагая абсолютной непрерывности функции
а(б), мы видим, что условие (XII.1) не только достаточно, но и необходимо
для справедливости асимптотической формулы A2.1.2).
Эквивалентность утверждений 1) и 2) показана А. Н. Колмого-
Колмогоровым [89* ], [91* ] и М. Г. Крейном [84* ]; эквивалентность усло-
условия 1) незамкнутости системы степеней {е™6}^ в пространстве LrG, г>1,
показана Н. И. Ахиезером [52*]. Оценка погрешности асимптоти-
асимптотической формулы A2.1.2) такова:
ф*B) = ЯB) , О(вя), Я B)=^, И<1, (ХИ.2)
где величина 6п имеет следующее значение:
1 f ~~^
Qn
(XII.3)
Можно показать, что невозрастающая последовательность {Ьп}Т может
стремиться к нулю сколь угодно медленно; задавая произвольно такую
последовательность, мы сможем по ней найти модули всех параметров
{| ап |)i°; отметим также оценку
(хи.4)
*) Через Ye (®) обозначена характеристическая функция множества, на котором
существует о' F) >0. То обстоятельство, что для функции я0 F) имеет место условие
замкнутости, было доказано в случае абсолютно непрерывной функции а @)
В. И. Смирновым [17*].

ДОПОЛНЕНИЯ 467
В таблице I нашей книги [1] (для случая абсолютно непрерывной функции
а(д)) приведено несколько оценок для Ьп через интегральные модули непре-
непрерывности функции /F); например, если 0<m</F), 0<6<2я,
то бп<С |/ а>Л — ; / ); оценка Ф рай да [3] такова:
-. F я„п \ 1
йп<1/ Р1 )
775) de'
Укажем некоторые дальнейшие асимптотические свойства:
8) последовательность многочленов (ФХ(е18)]о° сходится в метрике
пространства LJ к некоторой предельной функции /0 F) € £а> причем всё
коэффициенты Фурье -Чебышева функции е~и/0(б) равны нулю;
9) условие 1) эквивалентно такому условию:
lim \
Я(е'в)
следовательно, при выполнении условия 1) существует подпоследователь-
подпоследовательность многочленов {(p£v(ei0)j, сходящаяся к n(eib) почти всюду на [0, 2я];
я
10) если \ ——ткг < оо , то
—я
я
lim [ |Фп(^в) — jc (eie) I rfe = 0; (XII.7)
n-^oo
—я
11) если функция <х(&) абсолютно непрерывна, то условие 1) экви-
эквивалентно такому:
12) условие а' (б) > 0 почти всюду в [0, 2я] достаточно для существо-
существования предела
13) условие liman==0 эквивалентно существованию предела
lim %*$ = *, |z|>l. (XII.10)
n->oo
Перейдем к предельным соотношениям на окружности | z \ = 1 при условии
(XII.1). Так как hm<pn(z) — я (z) при | 2 | < 1, то вопрос о существовании
П->-ОО
lim фп (е10) = я (ei8) приводит к тауберовой проблеме: найти условия, при
П-»оо
которых из существования первого предела
я (е*) = lim [lim q>£ (гв*«)], lim [lim cp* (ret*)] (XII. 11)
r~>l— 0 n->oo n->oo r-*-l —0
вытекало бы существование второго и их равенство. Одно из этих условий,
выраженное через параметры, таково: ап==о(—:—J. Укажем условие
30*

468 ДОПОЛНЕНИЯ
Фрайда [8]: если на отрезке [0, 2я] функция а F) абсолютно непре-
непрерывна, причем функция /F) имеет ограниченную вариацию и 0</тг<
</ @) <./!/, то Нтф*(е^) = я (ei6) в каждой точке 0, в которой существует
П~>ОО
A0.3.6), т. е. почти всюду в [0, 2я].
Условие ограниченности вариации функции / @) эквивалентно усло-
условию / @) £ Lip A, 1), откуда вытекает, что / (б) € Lip f—,2) и со2 (б, /) <
]1); если это условие заменить немного более ограничительным
условием со2(б, /) = о(б), то на всей окружности |z| = l справедливо ра-
равенство
>~я(в«) = вл(8), |вя(б)|<С1|л(в«)-я(
2
(XII.12)
откуда вытекает справедливость асимптотической формулы на | z | = 1
с оценкой соответствующей погрешности. В частности, если
\х *щ(х; f)dx<oo, (XII.13)
то
1
3
х 2(д2(х, f)dx.
о
Отметим еще локальное условие Фрайда2): для справедливости
асимптотической формулы в точке ei6° достаточно, чтобы на отрезке [0, 2я]
имело место неравенство 0 < т < / (в) < М и чтобы / (б) — / (б0) = О (| 6 — б0|)
в окрестности точки 0О.
В дополнение к этому условию и к условию теоремы 12.1.3 рассмотрим
условия, которым должна удовлетворять функция /(б) на всем отрезке
[О, 2я] и на внутреннем отрезке [a, P]d[0, 2я] (который может быть сколь
угодно малым, но фиксированным) для того, чтобы предельное соотноше-
соотношение Птфп(е16) = я (eiB) имело место во всех точках внутри [а, Р].
п-»оо
В таблице V нашей книги [1] приведено несколько таких достаточных
условий; например, достаточно, чтобы выполнялось (XII.1) и на отрезке
[а, Р] функция о (Ь) была абсолютно непрерывна, а функция f(b)>m>0
была непрерывна с модулем непрерывности
со(б, /)
если же на отрезке [0, 2я] имеем
0<я1</(в)<Л/, /FNLip^, 2),
1
*) Если бы мы имели условие / @) £ Lip (а, 2), а > — , то по теореме Харди
и Литтльвуда функция / @) была бы эквивалентна непрерывной функции класса
Lip Г а—-х- \ , тогда мы имели бы тривиальный случай теоремы 12.1.3.
2) См. ссылку в конце § 12.6.

ДОПОЛНЕНИЯ 469
то в условии (XII. 14) можно отбросить множитель j/"fi; в этом случае
можно указать оценку погрешности1).
Рассмотрим еще некоторые предельные соотношения для sn(z, z)\
при условии (XII.1) имеем
hm -^— i I v ; — 1 =0; (Xll.lo)
если же, кроме того, на [a, P]d[0, 2я] функция а (б) абсолютно непре-
непрерывна, а функция f(b)>m>0 непрерывна, то внутри [а, Р] имеем
равномерно
При выводе всех предельных соотношений, о которых шла речь
выше, предполагалось, что имеет место (XII.1). Н. И. Ахиезер [3]
вывел асимптотическую формулу для одного случая, когда это не имеет
места. Он рассмотрел такой вес:
если функция t F) = ^ у cos2 у — cos2 у непрерывна и положительна
sin у
при в£/, то, обозначая через В плоскость z с разрезом по дуге
L = [eia, е*Bя-а)], он строит функцию g(z), регулярную и отличную от нуля
в В, определяемую по граничным значениям своего модуля формулой
| g (gie) p __ ? Qg/# Справедлива асимптотическая формула
равномерно внутри Б, причем выбрана ветвь радикала, положительная
при z = 1. Если же функция £ F) удовлетворяет для 06 / условию A2.1.4),
то равномерно на всей дуге I справедлива асимптотическая формула
2i sin
f
I/
-sin £e-tt-i/i +sin-2-
V^
—
2
2i sin y
е
cos у
причем cos?i=- , 0<?1<я, a g+ и g_ -граничные значения функ-
cosy
ции g @) на дуге L при подходе к ней извне и изнутри окружности | z \ — 1.
См. также Фрей [1], А. Л. Кузьмина [3*].

470 дополнения
При более общих предположениях относительно распределения da @)
можно получить более грубые результаты: именно, если о' F) > 0 почти
всюду на Z, а точечная часть спектра EG не имеет предельных точек вне /,
то существует предел
lim ГВД = «+l+/(»+l)'-4v»» f zgд. (ХП>20)
n-*oo ^
Если же последовательность параметров {#п}о° сходится, liman = a,
0 < | а | < 1, то непрерывная часть спектра всюду плотна на /, а точечная
часть не имеет предельных точек вне /, причем существует предел
i: Фя*1(*)__
CD (?\ ~~
где а выражается через \а\ формулой (IX.20).
Переходя к ортогональности на отрезке [ —1, +1], отметим прежде
всего эквивалентность следующих трех условий:
оо
1) сходимость произведения JJ 4рй;
2) справедливость асимптотической формулы A2.1.3) хоть в одной
точке вне отрезка [— 1, +1] и хоть для одной бесконечной подпоследова-
подпоследовательности {rcv};
3) существование интеграла в смысле Лебега
Из асимптотической формулы A2.1.8) С. Н. Бернштейн ([96*],
глава II) сделал вывод относительно асимптотического распределения
нулей {Xkk = C0SQkn}'i ортогональных многочленов; он показал, что
(хп-22)
!
где T);i, щ равномерно на всем отрезке [ — 1, +1] стремятся к нулю вместе
с — . Первая из этих формул является обобщением и уточнением формулы
(8.9.1) для многочленов Якоби.
Наоборот, если задать сдвиг порядка — нулей многочлена рп (х)
относительно нулей многочлена Чебышева, охарактеризовав этот сдвиг
непрерывной функцией — y(cos0), то этим определится функция / (cos б),
ибо функция In /(cos 6) характеризуется тригонометрическим рядом,
сопряженным с тригонометрическим рядом функции 2y(cos6).
Асимптотическая формула A2.1.8) справедлива лишь в том случае,
когда функция w(x) \ 1-х2 положительна на всем отрезке [ —1, +1]»
что накладывает существенные ограничения на поведение веса в концах
отрезка. С. Н. Бернштейн ([96*], глава IV) рассмотрел более
общий случай, когда вес w(x) таков:
w(x) = to(x)(l-x \l+xf, a, р>-1, 0<Ьх<г0(х)<Ь,
; (XII.23)

ДОПОЛНЕНИЯ
471
ту роль, которую раньше играли многочлены Чебышева при его выводе
асимптотической формулы A2.1.8), теперь будут играть многочлены Якоби.
Если а = Р = 0, то, полагая za = Рп (х) |/ 1 — я2, где Рп (х) — нормиро-
нормироЛ С Н Бй [51*]
ванный многочлен Лежандра, С. Н.
асимптотическую формулу
i 1
(l-x*f[w(x)fpn(x)
л ^2
( п ( рр
Бернштейн [51*] получил
zn cos y — \1>п%п sin y,
(XII.24)
справедливую на всем отрезке [ —1, +l]i если функция t0 (x) на отрезке
[ —1, +1] непрерывна с модулем непрерывности A2.1.4).
Если же ос2 + Р2 > 0, то приходится ввести дополнительное ограниче-
ограничение: предположить, что функция t0 (х) имеет на отрезке [ — 1, +1J непре-
непрерывную производную с модулем непрерывности A2.1.4) при Я = 1.
При этих предположениях С. Н. Бернштейн получил при —^--
р < -^ асимптотическую формулу
A~х*)Цы>(х)]*рп(х)
x = cos 8,
2_
(XII.25)
—яг) Q2 (I —2q2) »
справедливую на всем отрезке; здесь Л^*» Р> (х) — многочлен Якоби
со старшим членом хп; если же — 1 < ос, Р<—- , то на всем отрезке
[ —1, +1] имеем
^ Р) (COS0)
(XII.26)
где jR^a> Э) (х) — нормированный многочлен Якоби. Отметим еще, что при
условиях теоремы 12.1.4 тураново выражение Дп (х) стремится на основа-
основании A2.1.8) к пределу
«W = ^T>°- -1<х<1, (XII.27)
причем для многочленов Бернштейна — Сегё (§ 2.6) это равенство спра-
справедливо при любых значениях п.
12.2C), 12.7C). Предельное соотношение A2.2.6) справедливо при
условиях гораздо более общих, чем условие теоремы 12.1.2; некоторые
из этих условий приведены в дополнениях к главе VI; в этих условиях,
достаточных для существования предела A2.2.6), требовалось, чтобы мера
множества Е тех точек, где существует а'(ж)>0, равнялась бы мере множе-
множества Еа точек роста функции ос (я). П. П. К о р о в к и н [1], [2] получил
принципиально новые результаты: пусть многочлены [Рп (х)}™ наименее
уклоняются от нуля в метрике пространства L^, г > 0, и пусть Н CZE — мно-
множество точек Лебега множества Е; тогда для справедливости предель-
предельного соотношения A2.2.6) достаточно равенство трансфинитных диамет-
диаметров множеств Н и Еа; этот результат справедлив и в том случае, когда

472 дополнения
множество Еа расположено не на вещественной оси, а на любой спрямляе-
спрямляемой кривой, а также на некоторой области (в этом случае вместо функции
точки а (х) надо ввести функцию области, характеризующую распределе-
распределение на ней неотрицательной массы).
В частности, П. П. Коровкин показал, что A2.2.6) справедливо и для
некоторых классов сингулярных функций а (я), для которых, таким обра-
образом, мера множества Еа равна нулю.
Рассмотрим некоторые частные, наиболее интересные случаи. Пусть
сперва многочлены {рп{х)}™ ортонормальны на отрезке [—1, +1], причем
либо а' (х) >0 почти всюду на [—1, +1], либо трансфинитный диаметр
множества точек Лебега функции а'(х) равен 1/2; в таком случае сущест-
существует предел A2.2.6) и справедливы теоремы 12.7.3 и 12.7.4.
Если применить эти теоремы к формальному разложению
то оно сходится, если х лежит внутри эллипса регулярности с фокусами
±1, проходящего через точку z; отсюда вытекает предельное соотноше-
соотношение для функций второго рода
Ш VYJJZ)\ = \z--V#=i\, |z+|/?^~I|>l + e, е>0; (XII.29)
п -> оо
теорема 9.2.1 и формула (8.23.2) являются частным случаем.
Отметим теорему, аналогичную теореме Абеля в теории степенных
оо
рядов: если при наших условиях ортогональный ряд J1 anpn(z) сходится в
п=0
некоторой точке z0 вне [ —1, +1], то он сходится внутри эллипса регулярно-
регулярности, проходящего через эту точку, причем внутри эллипса сходимость
абсолютна и равномерна. Отсюда вытекает следующая теорема, являющая-
являющаяся обобщением теоремы 9.2.2: при наших условиях, если функция F (z)
регулярна в окрестности точки 2=оо, причем F (со) = 0, то ряд
оо
F{z)=J.bnqn{z) (XII.30)
п=0
сходится вне наименьшего эллипса регулярности, вне которого функция
регулярна, и расходится внутри его. Для получения коэффициентов {&д}^°
достаточно умножить обе части (XI 1.40) на F(z) и проинтегрировать по Сг
взяв за контур С наименьший эллипс регулярности функции F(z), причем
точка z должна лежать вне его; мы придем к формулам, являющимся обоб-
обобщением формул (9.2.3).
12.7. Сегё показывает, что из теоремы 12.1.2 вытекает существова-
существование пределов для коэффициентов рекуррентной формулы; в обозначениях
(II 1.7) мы имеем
однако условия теоремы 12.1.2 только достаточны, но не необходимы для
существования этих пределов, ибо, как было сказано, эти условия экви-
эквивалентны существованию предела A2.1.3); с другой стороны, существова-
существование пределов (XII.31) достаточно для существования пределов
lira ^±lM = 3+1/^.31, ^[-i, +1], (XII.32)
71 -> ОО ^П \Х)
что, таким образом, может иметь место и без существования A2.1.3)^

дополнения 473>
Рассмотрим подробнее случай (XII.31); можно показать, что при
этих условиях спектр Еа состоит из двух частей Еа=^Е1-\-Е2, причем Ех
всюду плотно на [—1,+1], а Е2— изолированное счетное множество
вне отрезка [—1,+1].
Кроме предельного соотношения (XI 1.32), мы имеем при условшг
(XI 1.31) предельные соотношения для многочленов и функций второго*
рода
(XII.33)
при более ограничительном условии (XII.21) имеем асимптотическую-
формулу для функций второго рода:
lim {pn(x)qn(x)}= _
(XII.34>
_. ; в, 8>0,
которую можно вывести из первой формулы (IV.4).
Отметим, что и теорема 12.7.2 справедлива при гораздо более общих
условиях, чем условие теоремы 12.1.2; при тех условиях, которые доста-
достаточны для существования (VI.35), существует, как было сказано, пре-
предельная функция распределения нулей многочленов {рп (rc)}J°, совпадаю-
совпадающая с функцией Робена, поэтому по (VI.34) имеем
1 — V F (г I —
л=1 - '"^^ k=\
-1 -1
(ХИ.35>
)
Точно так же выводится A2.7.8), ибо предельной функции (VI.34) соответ-
соответствует равномерное распределение на полуокружности
Я2+2/2=1, 2/>0.
Рассмотрим теперь более общий случай: пусть многочлены {^п(#)}£°
ортогональны на множестве Е=[—1,—ос] + [ос, +1]» причем пусть а'(х)>
> 0 почти всюду на Е, или пусть трансфинитный диаметр множества
точек Лебега функции а' (х) равен d= * ~а ; по общей теории сущест-
вует предел
причем плоскость х разрезана вдоль множества Е и выбраны те знаки
радикалов, при которых числитель больше d.
оо
В этом случае область сходимости ортогонального ряда 2 akPk (ХУ
ограничена кривой
^ \ = С> 1/Т^о2; (XII.37)

474 дополнения
если V^l—ос2 < С < 1 + а, то кривая состоит из двух замкнутых ветвей,
охватывающих отрезки [ —1, —ос] и [ос, +1] и не имеющих общих точек; при
•С = 1+а имеем двойную точку при х = 0; при С >1+ос кривая состоит из
одной ветви; в рассматриваемом случае существует предельная функция
распределения нулей (VI.33) 2).
ГЛАВА XITI
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ПО ОБЩИМ
ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ
Если многочлены {(pn(z)}£° ортонормальны на окружности z = ei6,
*О<0<2я, относительно распределения da@), то ортогональные ряды
со
2- £пФп (z) обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам
п=0
хорошо известных рядов — степенных и тригонометрических.
Именно, справедлива теорема, аналогичная теореме Лузина в теории
тригонометрических рядов; если а'(б)> 0 почти всюду в [0, 2я], то справед-
справедливы теоремы, аналогичные теоремам Абеля, Коши—Адамара. Если сущест-
существует (XII.1), то для 0 6 Е справедлива теорема, аналогичная теореме Тау-
бера, если только
м*= шах 1ф"BI' ^1<2
|z|^l
оо 2
вместо этого достаточно условие 2 ^ | g"n|2^/f<oo—это условие при Мп =
п=1
=-С переходит в условие Фейера тауберовой теоремы для степенных
рядов. Если а @2) — а @Х) > т @2 — 0Х), 0Х, 02 б [0, 2я], то для справедливости
тауберовой теоремы достаточно условие gn = o(n ^); если же функция a @)
абсолютно непрерывна на [0, 2я ], а / (еи) б Lip (a, 2), где -^ < а < 1, то до-
достаточно условие gn = о ( — J .
При выполнении (XII.1) условие замкнутости для функции ф@)б£о
выполняется тогда и только тогда, когда она эквивалентна граничным зна-
значениям F (в79) некоторой функции F (z), регулярной в области \z\ < 1, при-
причем F (z) D (z) бЯ22). Если задана произвольная последовательность ком-
оо
плексных чисел {gn}^, удовлетворяющая условию 2 1#п|2 < °°» то все
функции ф (б) б L%, для которых эти числа являются коэффициентами
Фурье, определяются формулой
Ф (в) = Фо @) + е-';Ч @) ii (в'в); (XIIL2)
здесь [х (z) — произвольная функция класса Я2, фо@) —та единственная
функция с заданными коэффициентами, для которой по теореме Рисса —
Фишера имеет мвсто условие замкнутости, причем она эквивалентна
г) Эти кривые, сходные с овалами Кассини, детально исследованы в работе
Б. Ф. Бржечка [23*].
2) См. В. И. Смирнов [15*], М. Г. Крейн [84*], Г. Ц. Тумаркин [6*].

дополнения 475
Граничным значениям функции
*Ч*)= f *»Ф»(*). |a|<L F(z)D(z)£H2.
0
Таким образом, функция е~1ея0 (б) \л (е е) — это та наиболее общая функция
класса L%, для которой все коэффициенты Фурье равны нулю.
Отметим еще равенство
lim min || Ф @) - Qn (е*) |.J HI H И) II2. (ХШ.З)
Отсюда вытекает следующий результат: если функция ф@)£££ эквива-
эквивалентна граничным значениям функции F(z), мероморфной при |z|<ly
непрерывной при |z|<l, за исключением полюсов, то
lim min || Ф F) - в„ (eie) ||5 = || Н (е«) ||2, (ХШ.4)
где H(z)— главная часть функции F (z)D (z); отсюда при F(z)~z~m получим
Г
l/ 1
f
/ _ . г л
lim min || e~im^
Tl-00 Q- * k=i
(XIII.5)
где
In a' @) ~ 2_ (ak cos к® ~Ь ^& й^п ^в), ехр < y, ^ (ak
этот результат получен А. Н. Колмогоровым [89*], [91*] в тео-
теории стационарных случайных последовательностей. При F (z) — ,
z— ot
< 1, получим
lim min
Переходя к вопросу о разложении функции в ряд по многочленам {фпB)}^°,
отметим прежде всего локальную оценку для констант Лебега процесса
Фурье
я
•]ЙГ \ I sn (ei8o> eie) I dG F) < C#n ln n-> a + 8 < e0 < p — e, 8 > 0; (XIII.7)
—я
предполагается, что на отрезке [a, P]CZ [0, 2я] функция a @) абсолютно
непрерывна, /@)<Л/ и | фп (ei0) | <; (in.
Если \х,п = С, то константы Лебега будут порядка О (Inn); как было
сказано в примечаниях к главе I, —это наиболее медленный рост этих
констант.
Если функция F(eiB)£La ограничена на отрезке [а, |5], то для част-
частных сумм ее разложения Фурье имеем локальную оценку
| sn (F; е ••>) |< С>Л In л, а + е' < 0О < р - е', е' > 0. (ХШ.8)
В таблице VI нашей книги [1] приведено несколько условий, доста-
достаточных для сходимости на всей окружности | z | = 1 разложения Фурье
функции F(z), регулярной в области \z\ < 1 и непрерывной в замкнутой
области 12 J ^ 1; в. таблице VII приведены условия, достаточные для

476 ДОПОЛНЕНИЯ
сходимости такого разложения внутри дуги [eia, e*P], если функция F (z)
непрерывна внутри сектора
О < |*|<1, cc
У- Сегё рассмотрены два случая равносходимости: в одной точке
(теорема 13.1.1) и на всей окружности (теорема 13.1.3) — в дополнение
к ним мы рассматриваем условия равномерной равносходимости на дуге
при условии (XII.1), наложенном на ортонормальную систему; в таблице
VIII приведены условия, достаточные для равносходимости внутри дуги
[eia, е{&] разложения Фурье и Маклорена функции F (z), удовлетворяющем
условиям F(z)£H2i F (z)D (z)£H2, ограниченной на этой дуге.
Пользуясь связью A1.5.2) между многочленами, ортонормальнымж
на окружности и на отрезке, можно перенести на второй случай все
результаты, полученные для первого; в таблице IX нашей книги при-
приведены условия сходимости на отрезке [a, b]cil — 1, +1] разложения
Фурье функции / (х) £ Lt; нетрудно получить и условия равносходимости
на этом отрезке разложения Фурье и разложения по многочленам
Чебышева. Для разложений по многочленам, ортогональным на отрезке,,
рассмотрим вопрос о принципе локализации, т. е. вопрос об условиях,,
которым должна удовлетворять ортогональная система для того, чтобы
для двух функций f1 (x), /2 (х) некоторого класса, совпадающих на отрезке
[а, Ь], иметь
lim {sn (А; х) - sn (ft, x)} = О (XIII.9)
n-xx>
внутри этого отрезка; очевидно, для этого надо найти условия, при кото-
которых из равенства / (х) = 0, а <; х ^ Ь, вытекало бы lim sa (/, х) = 0 внутри
п
[а, Ь]; в таком случае сходимость разложения Фурье функции f(x}
на отрезке [а, Ъ) зависела бы исключительно от поведения функции
на этом отрезке, сколь малым он бы ни был.
Джексон ([1], глава XI) указал такое достаточное условие:
{\Р Лх) I )(Г<Л^ для х£Е=[а, Ь]; кроме того, /(£)££« на [ — 1,4-11
и f(x)£La на СЕ. Фрайд [4] указал такое достаточное условие:
на отрезке [ — 1, 4-1] имеем {|рп (х) | }f <^К (х) и, кроме того, К{х)г
K()f()Lk
В таблице IX нашей книги, как было сказано, приведены достаточные
условия сходимости разложения Фурье данной функции; при этом на
функцию f (х) и на ортогональную систему, т. е. на функцию а(х),
наложены некоторые ограничения на всем отрезке [.— 1, + 1 ] и на отрезке
[а, Ь]; если мы положим /(я)=^0, а-^x^b, то последняя графа этой
таблицы отпадает, ибо функция f (х) = 0 удовлетворяет на отрезке [а, Ь]
всем условиям; мы получим, таким образом, несколько условий, каждое
из которых достаточно для принципа локализации; например, достаточног
чтобы
1
dx<оо, /(*)€/£, (ХШ.10)
\
J w (х) у 1 — х2
и на отрезке [а, Ъ] функция w(x) имела ограниченную вариацию или была
непрерывна с модулем непрерывности A2.1.4).
Рассмотрим результаты С. Н. Бернштейна ([96*], глава IV)г
относящиеся к сходимости разложений Фурье, умноженных на дополни-
дополнительный множитель; пусть
w(x) = -!M=, t(z) = (l-xJQl(l+zfQ40{x), (XIII.ll)

дополнения 477
причем на отрезке [ — 1, +11 имеем 0 < £х<; t0 (x) <£2 и существует
непрерывная производная t'0(x) с модулем непрерывности A2.1.4) при
Х = 1; тогда при qx, Q2>0 разложение функции /(#), умноженное
на A — х) 1A + х) 2, равномерно сходится на всем отрезке [ — 1, +11,
^сли только функция /х (х) = f (x) A — #) * A 4- #) 2 удовлетворяет на нем
условию Дини и fi(± l) = 0; тем более достаточно, чтобы сама функция
j (х) удовлетворяла условию Дини; если же условие Дини для /х (х)
заменить условием Lip ос, ос> —, то сходимость будет не только равно-
мерной, но и абсолютной. Без указанного множителя разложение может
и не сходиться на всем отрезке — даже при более ограничительных усло-
условиях, наложенных на функцию / (х)\ например, если положить qx =
— q2 = -_ , t0 (x) = 1 и рассмотреть функцию
оо
s/ \ s^ cos (гс4 arccos x) T . 1 /vttt/io\
/ (x) = Zi —^2 " 6 Lip a, a = -g- , (XIII.12)
n==i
то ее разложение расходится на концах отрезка.
Если —— < qx, q2 ^ 0, то само разложение функции / (х) будет равно-
равномерно сходящимся на всем отрезке [ — 1, +1], если функция fx{x)~
=^f(x)(l—x) 1A+х) 2 удовлетворяет условию Дини и /1(±1)=0-
Отметим некоторые результаты, относящиеся к сходимости разло-
разложения Фурье почти всюду на [ — 1, +1]. И. П. Н а т а н с о н [4*] пока-
показал следующее: если на отрезке [ — 1, +1] функция f(x) б Lip a, a > у ,
то ее разложение Фурье сходится к / (х) почти всюду на [ — 1, +1], если
da(x)=w (x) dx и вес w(x) почти всюду строго положителен. А. Н. К о л-
моторов [50* ] получил более общий результат: сходимость почти
всюду имеет место при любом а > 0, а также если функция / (х) удовле-
удовлетворяет условию Дини—Липшица A2.1.4). И. П. Натансон [6*]
м
показал также, что при условии w (х) ^ - , — 1 <;#<; 1, разложе-
у 1-х2
мне функции ограниченной вариации сходится почти всюду на [ — 1, 4-1].
А л е к с и ч [1] показал, что разложение Фурье функции
/ (х) б L^ сходится почти всюду на [a, b]cil — 1, +1], если она непре-
непрерывна на [а, Ь], причем . £LV а функция а (х) абсолютно непрерывна
на [ — 1, +1] и почти всюду 0<w(x) —О I— ); кроме того, орто-
\У 1 — х2/
нормальная система предполагается равномерно ограниченной на [а, 6].
С. Н. Андрианов [3*] рассмотрел некоторые вопросы, связан-
ос
ные с ортогональными рядами У а,грк (х).
По аналогии с тригонометрическими рядами он назвал {/-множеством,
или множеством единственности ортонормалъной системы \рп (х) о°, мно-
множество точек отрезка [ — 1, 4-1], обладающее следующим свойством: если
ортогональный ряд сходится к нулю на [ — 1, +1] вне £/, то все его коэф-
коэффициенты {#n}(T равны нулю; f/'-множеством называется множество точек
отрезка [ —1, +1], обладающее следующим свойством: каждый ортого-
ортогональный ряд, сходящийся на [ — 1, +1] вне V к некоторой конечной
интегрируемой функции, является ее рядом Фурье.

478 дополнения
Для тригонометрической системы — следовательно, для многочле-
многочленов Чебышева {Тп (х)}о° — каждое измеримое [/-множество имеет меру
нуль.
С. Н. Андрианов приводит примеры ортонормальных систем, для
которых [/-множество имеет положительную меру; пусть, например, на
некотором отрезке [а, Ь] а [ — 1, -+-1] вся ортонормальная система ограни-
ограничена {\р и (х) | }о°-<М и пусть [а, Ь] = Ег + Е2, Е^Е^^®, где множество
Ех меры нуль всюду плотно в [а, Ъ]\ пусть существует точка х0 на
оо
[ — 1, +1] вне [#» Ь], в которой V —-—: < оо; тогда множество Е2 поло-
*—) Рп{хо)
жительной меры является [/-множеством; указанное условие, в частности,,
имеет место, если | рп (х0) | — О {п (In тгI+£}, 8 > 0 —например, для много-
многочленов Якоби при хо= ± 1, если ос, Р>-^--Ьб', е' > 0, ибо в этом случае
имеем
Таким образом, для решения задач о нахождении [/-множества нужны
оценки для модулей ортонормальных многочленов не сверху, а снизу>
или точные порядки их роста.
С. Н. Андрианов сравнил между собой [/-множества различных:
систем ортонормальных многочленов, опираясь на рассмотрение равносхо-
равносходимости соответствующих ортогональных рядов; например, он сравнил
между собой две системы ортонормальных многочленов {р^ (х)}™ и
{Рп2) {х) о°, соответствующие распределениям doc( 1) (х) и docB) (x) = h (x) doc( i) (x) „
где h (х) — многочлен, неотрицательный на [ — 1, 4-1]; если первая!
система равномерно ограничена на [ —1, -hi], то каждое измеримое
f/'-множество первой системы является [/'-множеством второй; наоборот,,
каждое измеримое [/'-множество второй системы, содержащее нули h (x)\
лежащие на [ — 1, +1], является [/'-множеством первой системы.
Отметим результат Ф р а й д а [3], относящийся к исследованиям
возможности почленного дифференцирования разложения Фурье данной
функции: если w (х) >m > 0 на fa, fr]CZ[--l, + 1 ] и со F; fk)) — модуль
непрерывности производной fW (х) на [а, &], удовлетворяющий условию.
оо
2 ~у^(д\~п *' ^(ft) ) ^ °°' т0 Указанное разложение, продифференцирф-
п=1
ванное почленно к раз, сходится к fh) (x) абсолютно и равномерно внутри?
[а, &]; если же, кроме того, w(x) [/I—a:2<M, —1 <#< 1, то преды-
оо
дущее утверждение справедливо при условии V ——- со2 ( — ; g(ft4 , где
J^J у п Vй у
g (о) =/(cos 6), а со2F; g<ft)) — интегральный модуль непрерывности функ-
функции g{k) (о) в метрике пространства L2. Он получил также следующие
результаты, аналогичные условиям С. Н. Бернштейна, С. Б. Стечкина*
Жордана, Харди и Литтльвуда в теории тригонометрических рядов1):,
если g (б) = / (cos б) и если выполняется условие
£() x0) = O(n), (XIII.14),
П=1
См. Фрайд [4], J5].

дополнения 479;
то разложение Фурье функции f(x) абсолютно сходится в точке х0; если
всем отрезке [ —1, +1] выполняются неравенства
a/^XC^l-^, \рп(х)\ < С2A-я2ГР(л = 1, 2, ...), а, р>0, (
и если функция f(x) имеет ограниченную вариацию на отрезке [a, b]cz
d [ — 1, + И и непрерывна в точке с, где а < с < Ъ, то ее разложение
сходится в то1.ке с; если же при условиях (XIII.15) имеем
1
-1 \xil ti.
(XIII.16}
то отсюда вытекает сходимость в точке х0.
Укажем также, что Фрайд, Тандори, Алексич и Г. И. Натансон
получили ряд результатов, относящихся к суммируемости разложений
Фурье. В частности, Г. И. Н а т а н с о н [1] показал сходимость процес-
процесса суммирования Бернштейна — Рогозинского во всех точках Лебега
функции / (х) g La, если функция а (х) абсолютно непрерывна на [—1,+1 ],
а вес удовлетворяет условиям теоремы 12.1.4 приХ=1; при этом в фор-
формулах (IX.6), (IX.7) надо положить ап = -^-.
ГЛАВА XIV
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Ряд результатов по теории интерполирования рассмотрен в книге*
«Математика вСССР за сорок лет 1917—1957» (т. 1,стр. 319—323), а также-
в книгах В. Л. Гончарова ([37*], глава I, глава IV, § 55), Я. С. Б е-
зиковича ([6*], глава III), И. П. Натансона ([36*], ч. III,.
главы I — IV) и Я. Л. Геронимуса ([97*], § 29]).
14.1. Как было сказано в дополнениях к главе I, решающую роль
при исследовании сходимости бесконечных процессов, в частности интер-
интерполяционного процесса Лагранжа, играет оценка констант Лебега этого
процесса; если на отрезке [aj b] CZ[ —1, +1] функция а(х) абсолютно не-
непрерывна, причем 0 < т < а'(х) < Л/, то имеем такую оценку:
[а, Ь]
в частности, если Мп — С, то имеем наиболее медленный порядок О (In n}
роста констант Лебега; для случая интерполяционного процесса Лагран-
Лагранжа это было показано С. Н. Бернштейном в работе [64 * ]. Локальная
оценка (XIV.1) для случая абсолютно непрерывной функции а(х) и для
Мп = С указана Фрайд ом [6].
Если Ма = С, то для [а, Ь] ~[—1, +1] процесс равномерно сходится
внутри [а, Ь], если/(я) б L£, а на отрезке [а, Ь] функция/(я) удовлетворяет
условию Дини1); если же не ставить условия Мп—С, а потребовать лишь
х) Ф р а й д [6] доказал равномерную сходимость интерполяционного про-
процесса Лагранжа внутри [а, Ъ] в предположении, что функция а(х) абсолютно
непрерывна на всем отрезке [ — 1, -f 1J, удовлетворяет на [а, Ъ\ условиям
О < т -< w (х) <С М, ортонормальная система {| рп (х) |}^° равномерно ограничена на [а, Ь],
а функция / (х) непрерывна на всем отрезке [ — 1, -{-1], а на внутреннем отрезке-
[а, Ъ] удовлетворяет условию Дини.

480 дополнения
выполнения условия (XII.21), то для сходимости достаточно, чтобы функ-
функция f(x) была дифференцируема на [а, &], причем чтобы ее производная
удовлетворяла на [а, Ь] условию Дини. Из формулы C.4.8) и квадратурной
формулы Гаусса—Якоби C.4.4) вытекают следующие соотношения:
п
ljihnPi(xhn)Pj(xhn) = bij (i9 / = 0, 1, ..., л-1),
( 0, кфт j (XIV.2)
i=o
> , /С Т I
^kn J
III о x а т [З] называет их «вторым свойством ортогональности» систе-
системы {pk(x)}%. Это название будет понятнее, если мы введем ступенчатую
«функцию распределения ап(х), имеющую в каждой точке {хкп} скачок {А,ш}—
в данном случае положительный; очевидно, эта функция совпадает с функ-
функцией V (х) C.412.1). Пользуясь ею, мы можем записать формулу Гаусса—
Якоби следующим образом:
2n-i(x)d(*n(x)> (XIV.3)
откуда вытекает такая форма записи соотношений (XIV.2):
Pi(x)Pj(x)dan(x) = bi} (i, / = 0,1, .... n-1). (XIV.4)
Так как по C.23), C.47) имеем
рп (х) _ Рп (a?) Pn-i (ХуП) — Рп (^уП) Pn-i
V'^~ Pk(xvn)(x— xvn) ~~
кп Кпл(хуп, х)
то интерполяционный многочлен Лагранжа с узлами в нулях ортогональ-
ортогонального многочлена рп (х) может быть записан в такой форме:
П оо
£ '(х)= У lv (x) f (xvn) ~ { f(t)K (t, x)da (t)\ (XIV.6)
V=l — oo
«сравнивая с C.1.11), видим, что его можно рассматривать как частную
сумму (/г —1)-го порядка разложения функции f (х) по многочленам
[Р t (ж)}?~ {> ортонормальным относительно распределения da,L(x); в такой
форме интерполяционный многочлен Лагранжа записан еще П. Л. Ч еб ы-
ш е в ы м [2].
Если ввести коэффициенты разложения
оо п—1 Л
U = \ f {x) Pi И da (x), vi (х) = 2 Aft (x)' I
Г "I ) (XIV.7)
-оо г=0

ДОПОЛНЕНИЯ 481
то Шохат [3] показал, что в случае конечного отрезка ортогональ-
ортогональности для каждой функции f(x) £ L\ имеем
n-l
lim 2 (fi,n — fiJ^®, Нт/{)П = Д; (XIV.8)
n~>oo i= 0 n-+oo
поэтому если i безгранично возрастает вместе с п, то отсюда вытекает пре-
предельное соотношение lim Д п = Нт/,=0. В частности, если da (х) = — ,
п_юо ' i->co - у 1 — X2 .
то мы имеем особенно простой результат
п п
Ln (cos 8) = Ар- +2 /ft, n cos A, /ft, n = — 2 / (cos ef) cos ^6r>
(XIV. 9)
е^_Bг-1)я (r=lf 2, ...,/,; A=0, 1, ...,/»-1), I
т. е. значение коэффициентов Д) п в разложении интерполяционного много-
многочлена Лагранжа Ьп(х) по ортогональным многочленам {Th (x)}™-{ можно
рассматривать как приближенные значения коэффициентов разложения
той же функции в тригонометрический ряд Фурье
1
/(cos6)-2 fk™ske,
nh=° > (XIV.10)
вычисленные при помощи формулы прямоугольников.
14.3. Пользуясь этими соображениями, мы можем сделать следую-
следующий вывод из теоремы 14.3.1: если функция / (х) непрерывна на отрезке
Г — 1, +1], то
= ~[ f (cos 0) cos kQdb (&=1, 2, . . .),
| г (г\ о (т\ I <^ С F (i\ \/К f(r rV
I Lju \JC) *7i,-l V / I ^> ^ П-1 \t ) V n~lX > /»
следовательно, если шF, /) = о(|/б), то внутри каждого отрезка, на ко-
котором 0v< тп <;а'(я), будем иметь равномерную равносходимость двух
бесконечных процессов Лагранжа и Фурье.
14.9. Отметим еще некоторые результаты.
В. И. Крылов [22* ] рассмотрел случай многочленов Чебышева и до-
доказал сходимость интерполяционного процесса Лагранжа в каждой точке
непрерывности функции f(x), имеющей ограниченную вариацию на [a, b] d
CI [ — 1, +1L а также его равномерную сходимость в случае абсолютно
непрерывной функции.
Г. И.Натансон [1] рассмотрел случай многочленов Якоби и при-
применил к интерполяционному процессу Лагранжа метод суммирования
Бернштейна — Рогозинского: если функция / (х) непрерывна на отрезке
[ — 1, +1] и если положим
К (/; х) = \ {Ln (xt) + Ln (x2)}, (XIV.12)
где точки х1% 2 такие же, как в (IX.7), то будем иметь
{ 1 "\ 1
(XIV. 13)
1U 31 Г. Сегё

482 дополнения
Скажем еще несколько слов об условиях сходимости интерполяцион-
интерполяционного процесса Лагранжа для функции f(x), регулярной в некоторой обла-
области, содержащей внутри себя отрезок [ — 1, +1]; известно, что для этого
надо рассмотреть вопрос о существовании предела (VI.35)*), который мы
исследовали в дополнениях к главе VI.
Отсюда легко вытекает условие сходимости в простейших случаях:
1) если а'(#)>0 на отрезке [— 1, + 1], то интерполяционный процесс Лаг-
Лагранжа сходится внутри наибольшего эллипса регулярности функции
f(x) с фокусами в точках ± 1; 2) если а' (х) > 0 на множестве
F — [ — I, —a]-{-[a, 1], то процесс сходится внутри кривой С (XII.37)
при том наибольшем значении величины С, при котором функция регу-
регулярна внутри кривой С.
Таким образом, и в этом вопросе важную роль играет существование
предела (VI.35).
ГЛАВА XV
МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ
Ряд результатов по теории механических квадратур рассмотрен
в книгах: «Математика в СССР за тридцать лет 1917—1947» (стр. 767—
772), «Математика в СССР за сорок лет 1917—1957» (т. I, стр. 830—833),
В. Л. Гончаров ([37*], §§ 20, 39, 55), Я. С. Безикович ([6*],
глава VI), И. П. Н а т а н с о н ([36*], ч. III.), Я. Л. Геронимус ([97*],
§§ 17, 18, 27, 28).
Общий квадратурный процесс A5.3) был рассмотрен Г. Полна 2);
он рассмотрел следующие три условия:
ь
hmQn(xh)^\xkp(x)dx; (I)
n->oo *J
a
S \Kn\<L (л = 1, 2, ...); (H)
v=0
существует предел lim У] 1 ^vn| = A (/), где сумма распространена на те
n-voo /
значения индекса v, при которых узлы xvn лежат на отрезке /, причем
limA(/J = 0f AZD/aZb.-ZD^ID..., Пт Mes (/J = 0. (Ill)
Для сходимости на отрезке [а, Ь] квадратурного процесса для всех много-
многочленов необходимо и достаточно условие (I) (ср. теорему 1.6); для его схо-
сходимости для всех непрерывных функций необходимы и достаточны усло-
условия (I), (II) (ср. теорему 1. 6); для его сходимости для любой функции f(x),
собственно интегрируемой по Риману, необходимы и достаточны условия
A), (II), (III). Нетрудно видеть, что условие (II) означает, что
п Ь
2 | A,v»| =\ \dal(x)\<L,
v=i
т. е. все функции распределения {ап (х)}™ имеют равномерно ограниченные
вариации на отрезке [а, Ь]; мо>щю указать и значение условия (III).
х) См., например, В. Л. Гончаров [37*], § 59.
2) См. ссылку в теореме 15.2.1. В рассматриваемом общем случае числа {XV)J
могут быть и отрицательными

дополнения 483
Рассмотрим обобщение квадратурной формулы, принадлежащее
Турану [1]; он рассмотрел формулу
1 fc-l п
(x)f (х) dx = 2 2 fW (*v) ЧЧ (XV- 2)
(где ^а) не зависит от выбора функции / (я)), причем она должна быть точ-
точной для всех многочленов степени < (fe+1) п—1 (где к — целое нечетное
число); если w(x)~l, то узлы {#v)i должны быть нулями многочлена
пп к+1(х) —хп-]-..., наименее уклоняющегося от нуля в метрике прост-
пространства Lfe+1; предельная функция распределения нулей этих многочленов
существует и совпадает с функцией Робена; в частности, при к — \
получим квадратурную формулу Гаусса — Якоби с узлами в нулях много-
многочлена Л ежандра; при /с = 3 мы должны иметь
п
{v = 0, 1, ...,л—1), (u(x)=\[(x-xv). (XV.3)
v=l
Если же узлы {xv}™ заданы и являются абсциссами Чебышева, то квадра-
квадратурная формула (XV.2) при w (x) = точна для всех многочленов
степени <(fe+l)w —1.
Рассмотрим теперь обычную квадратурную формулу
b n
\ f (x) du (х) = 2 Xvnf (г/vn) (XV.4)
a v=l
с неотрицательными коэффициентами Котеса {2iVn}? и с п вещественными
различными узлами {yyn]nv лежащими на отрезке [а, Ь]; частные случаи:
формула Котеса —при равноотстоящих узлах \ухп = а-\ F — a) \ ;
ь
формула Чебышева —при равных коэффициентах Котеса Xvn = — \ du(x).
n
a
Обозначим через Мп степень точности формулы (XV.4), т. е. ту наиболь-
наибольшую степень многочленов, для которых она точна. При и (х) == х, а = 0, 6=1
С. Н. Бернштейн [97* ] показал, что Мп < 4 Y~n— 1 для формулы
Котеса и Мп<к\/ п для формулы Чебышева; таким образом, формула
Котеса с п узлами не может быть точной для всех многочленов степени
>4]/п—1 ни при каких неотрицательных коэффициентах Котеса {A,Vn}?;
если она должна быть точна для всех многочленов степени п, то
имеем следующий результат: Успенский [1] (для и (х) ~ х) и
Р. О.Кузьмин [13* ] (для du (х) ~р (х) dx, где функция р (х) на
отрезке [0, 1] конечна, интегрируема по Риману и дифференцируема на
концах отрезка) показали, что для больших значений п имеем
(v = 2, 3, ...,n-l), ) (XV.5)
т. е. коэффициенты Котеса не могут быть все неотрицательными.
31*

484 дополнения
Л. Фейер *) показал, что при и (х) = х, а =—1, Ъ=\ все коэффи-
коэффициенты Котеса неотрицательны, если за узлы взять нули таких многочленов
J)n(*)-*V.(*). ^»И-^D рп(х), тп{х), ип(Х), (xv.6)
где Рп (х) — многочлен Лежандра.
Так как в формуле Чебышева заданы числа {^vn}^, то она не может
быть точной для всех многочленов степени > 4 ]/~/г ни при каких веществен-
вещественных узлах; если же она должна быть точной при п узлах для всех много-
многочленов степени < п, то уже при п > 9 некоторые из узлов обязательно будут
комплексными; эти исследования С. Н. Бернштейна были дополнены
Р. О. Кузьминым [25*], [26*], [32*], нашедшим закон распреде-
распределения узлов в комплексной плоскости.
При доказательстве своей теоремы С. Н. Бернштейн использовал
оценки для наименьшего нуля многочлена Лежандра и его производной.
Рассмотрим квадратурную формулу (XV.4) с и (х) = а (х); если а' (х) > 0 почти
всюду на отрезке е=[—1, —1+е], где е > 0 сколь угодно мало, и если
_i
Hm {a{x)(l + x)~ 2} = 0, (XV.7)
то lim (Mn^ln)=0; следовательно, если, например, Х1п = о(— ) , как
в формуле Чебышева, то Мп = о (п), т. е. формула (XV.4) не может быть
точной для всех многочленов степени не выше п.
15.2. Теорема 15.2.3 выведена лишь для случая конечного промежутка.
Для того случая, когда интервал ортогональности Е бесконечен, а функ-
функция /(х) непрерывна на нем 2), Ш о х а т [3], [4] показал, что следую-
следующие утверждения эквивалентны: а) процесс механических квадратур
Гаусса— Якоби сходится для любой функции/(я), непрерывной на Е;
б) проблема моментов
= ch (fc = 0, I, 2, ...), (XV.80
где интеграл понимается в смысле Римана — Стилтьеса, определенна;
в) для любой функции указанного типа справедливо равенство Парсеваля.
Он показал также [3] связь между сходимостью «в среднем» интерпо-
интерполяционного процесса Лагранжа A4.3.2) и сходимостью механических
квадратур Гаусса — Якоби: г) для всякой функции / (х) £ L£ обе последова-
последовательности
Qn(П ^ Ш*) - L» (*М2 da(*) (xv-9)
Е
одновременно ограничены, или не ограничены; д) если проблема моментов
(XV.8) определенна или если а (х) является таким ее решением, при кото-
котором для рассматриваемой функции/ (х) справедливо равенство Парсеваля,
то обе эти последовательности одновременно сходятся к пределам
, lim
n->oo
e) в этом последнем случае справедливо предельное соотношение (XIV.8).
х) См. сноску2) на стр. 355.
2) Это значит, что она непрерывна на любом конечном отрезке [a, b]d E
и стремится к определенному пределу при х —> оо.

дополнения 485
15.3. Формула A5.3.3) показывает, что в случае многочленов Чебышева
все коэффициенты Кристоффеля {^Jin}™ равны между собой; в этом случае
квадратурная формула Гаусса—Якоби является в то же время квадра-
квадратурной формулой Чебышева; как показали К. А. П о с с е [1 ] и затем
Н. Я. Сонин [1], это единственный случай такого совпадения. В связи
с этим возникает более общий вопрос, в какой степени ортогональная
система \Рк {x))nQ характеризуется заданием ее коэффициентов Кри-
Кристоффеля *)
{Kk} (v = l, 2, ...,й; A = l, 2, ...,/*).
Ответ на этот вопрос таков: зададим произвольно две положительные
убывающие числовые последовательности
(XVJ1)
если числа Xlk, Kkk принять за коэффициенты Кристоффеля, соответст-
соответствующие наименьшему и наибольшему нулям ортогонального многочлена
Pk (х)(к = 2, 3, ...,n), то этим определится вся ортогональная система
{Pk {x)}™ вплоть до линейного преобразования.
Рассмотрим теперь асимптотические формулы для коэффициентов Кри-
Кристоффеля.
Поскольку обе функции распределения tyn (x) и ап (х) имеют по-
положительные скачки j — i и {Kvn} в одних и тех же точках [xvn], то мы
имеем
Kn^^nKn^^VV*:^^, e>0, (XV.12)
где малое число е подобрано таким образом, чтобы на отрезке е — [xvn — e,
£Vn+e] был только один узел хХ1г. Введем обозначение xvn — x0 и не будем из-
изменять хоие при изменении п\ так как всегда существует предельная функ-
функция распределения а (х) =lim an (х), то при существовании предельной
П~>оо
функции распределения нулей ty(x) = limtyn(x) мы будем иметь
ц = Q (XV. 13)
1п' п V
если х0 ± е — точки непрерывности обеих функций a (x), я|? (х); стремление
к нулю равномерно на отрезке [—1, +1], если обе эти функции непрерыв-
непрерывны на нем. Если же эти функции дифференцируемы на е и г|/ (х) ФО, х£е,
то по теореме Коши имеем
пКп = ^^+Цп, х0-г<1<х0+г; (XV.14)
если к тому же обе функции аг(х), я|/(#) непрерывны на е, то
!) См., например, М. Ф. Кравчук [72*], М. Ф. Кравчук и С. С. М о в-
шиц [86*].
32 г. Сегё

48E дополнения
окончательно асимптотическая формула для коэффициентов Кристоффеля
такова:
В частности, если на отрезке ортогональности [—1, -{-1] функция а(х) аб-
абсолютно непрерывна и ос' (х) > 0 почти всюду на [—1, +1], то мы имеем
по (VI.34)
пКп ^ tcw (xvn) ]/1 - xln\ (XV. 16)
отсюда, например, вытекает формула A5.3.10) без применения асимпто-
асимптотической формулы Дарбу для многочленов Якоби. Если же функция а(х)
абсолютно непрерывна на множестве
Е=[-\, -а]+ [а, 1]
и а' (х) > 0 почти всюду на Е, то по (VI.33) имеем
Асимптотическую формулу для коэффициентов Кристоффеля можно выве-
вывести из других соображений: если ввести обозначение
(XV. 18)
то по C.4.8) 'kvn — Qnixvn)', таким образом, надо найти асимптотическое зна-
значение величины
п-1
которая обратна среднеарифметическому значению суммы квадратов
ортонормальных многочленов {рк (х)}™"х; в случае отрезка [—1,+1] мы
получим
lim ngn (x) = nw (x) Y 1-х2. (XV.20)
В предположении, что функция ос (х) абсолютно непрерывна на всем отрез-
отрезке [—1, +1], эта формула была выведена несколькими авторами: Сегё
вывел ее для всех точек, в которых функция w (x) дважды дифферен-
дифференцируема; Н. И. Ахиезер [42*] показал, что если функция
w(x)Y^—я2 непрерывна на [—1, +1], то
lim nQn (x) < 7iw (х) У 1 — х2 ;
если же, кроме того,
w (х) у 1-х2 >т>0
на всем отрезке, то справедливо (XV.20); Эрдёш и Туран показали
справедливость (XV.20) при этих же условиях; обобщая метод этих авто-
авторов так же, как мы сделали в нашей книге [1] (§ 5.6), можно показать
справедливость (XV.20) на любом внутреннем отрезке, если функ-
функция а (х) абсолютно непрерывна на нем.

дополнения 487
ГЛАВА XVI
МНОГОЧЛЕНЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ НА ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ
Ряд работ, посвященных многочленам, ортогональным на произволь-
произвольной кривой, рассмотрен в сборнике «Математика в СССР за 30 лет»
(стр. 383—385) и в нашей книге [97*] (§§ 35—38).
В работе П. К. С у е т и н а [7* ] рассмотрен тот случай, когда сущест-
существуют производная веса w^v) (х) £ Lip а и производная отображающей функ-
функции ср <p+v) (z) £ Нг\ в таком случае справедлива асимптотическая формула
]пA + вп) (xvi.i)
с оценкой остаточного члена: гп = О ( —7l~ J для х вне С к еп — О f * , ^ j
для х на С.
При этих же условиях всякая функция /(#), регулярная внутри С,
у которой примитивная р-то порядка представима интегралом Коши через
свой угловые граничные значения, разлагается в ряд по ортогональным
многочленам, равномерно сходящийся внутри С.
Е. К. С и н е в [2] рассмотрел тот случай, когда С — замкнутая спрям-
спрямляемая кривая Жордана; необходимое и достаточное условие того, чтобы
все ортогональные многочлены {рп (х)}™ имели общий нуль х0 внутри
С, таково: w (x) = С | W(x) | почти всюду на С; если, кроме того, все много-
многочлены {рп(х))Т должны иметь еще один общий нуль хг внутри С, то необ-
необходимо и достаточно, чтобы контур был окружностью.
Для того чтобы ортогональные многочлены имели такой вид:
2 (XVI.2)
s—n—k
где к не зависит от п, необходимо и достаточно, чтобы контур был окружно-
стью с центром в начале координат, a &y(cos0)= ^—» гДе Rk(x)-~
произвольный многочлен степени к, не равный нулю внутри С.
Е. А. С и н е в [1] показал также, что в случае аналитического кон-
контура оба ряда
оо оо
2 апРа(х), ?tanzn, x = v(z), (XVI.3)
0 0
в соответствующих точках границ их областей сходимости одновремен-
одновременно сходятся, или расходятся, их суммы в окрестностях этих точек одно-
одновременно являются аналитическими функциями, или имеют особенности
и т. п.
Ввиду того, что для вывода асимптотических формул для ортогональ-
ортогональных многочленов сперва приходится выводить эти формулы для обобщен-
обобщенных многочленов Фабера (§§ 16.4, 16.5), представляет интерес изучение
свойств многочленов Фабера в связи с ортогональными многочленами;
этому вопросу посвящена наша работа [59*], а в последнее время работы
П. К.Суетина [2*], [1 ]; им найдены некоторые условия, при которых
для рядов по многочленам Фабера справедливы теоремы Абеля и Таубера.
Пусть С — замкнутая спрямляемая кривая Жордана; рассмотрим
пространство ££ комплекснозначных функций / (ж), определенных на С,
32*

488 дополнения
с нормой
V\\po={\\f(x)\Pdo(s)Y <ю, р>0, (XVI.4)
с
где a (s) — неубывающая функция ограниченной вариации, as — дуговая
координата точки на С; если многочлен Рп(х) = яп+... наименее уклоняется
от нуля в метрике этого пространства, то при условии
\no'{s)\<b'(x)dx\ > -ею (XVI.5)
в нашей работе [92* ] выведена для этих многочленов асимптотическая
формула во внешней области; показано также, что это условие необхо-
необходимо и достаточно для незамкнутости системы многочленов {Рп(х)}™ (а сле-
следовательно, и системы степеней {хп}^) в пространстве L%; Г. Ц. Т у м а р-
к и н [6* ] показал, что это же условие справедливо не только при р > 1,
как предполагалось в нашей работе, но и при любом положительном р.
В нашей книге [97*] (§ 38) приведены результаты работ, в которых
исследуется система многочленов, ортогональных одновременно на не-
нескольких контурах; М. А. Лисовский [2*] рассмотрел эту задачу
для системы многочленов [Ph(x)}™, ортогональной, начиная с некоторого
номера п.
Укажем также, что в нашей работе [69*] показано, что все пять ти-
типов многочленов, найденных Сегё при решении вышеуказанной задачи
об ортогональности на нескольких контурах, являются обобщенными мно-
многочленами Фабера, т. е. должны удовлетворять соотношению
хФп(х) = Фп^(х)+ f с'\Фп.к(х)-ап (п = 0, 1, ...), Фо=1, (XVI.6)
/1=0
оо
где функция a(z) = ^ ^Vk-i > (a-i = ^) регулярна и не равна нулю при
h=— 1
\z\ > 1; мы нашли также условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы эти обобщенные многочлены Фабера были ортогональны на некото-
некотором аналитическом контуре С с весом, положительным и непрерывным
на С, и нашли необходимую форму этого веса
(XVI. 7)
Рассмотрим еще один вид ортогональности на контуре: пусть
где F (z) — аналитическая функция, имеющая особенности внутри конту-
контура С. В этом случае наш функционал © таков:
nF(z)dz (я = 0, 1, ...), (XVI.9)
и многочлены {Pn(z)}^ выражаются формулой B.2.6).
Если заданная функция F (z) имеет существенно особую точку z=a4
а контур С охватывает эту точку, то, очевидно, моменты {сп}^ являются
коэффициентами лорановского разложения функции F (z) в окрестности
точки а.

дополнения 489
Если многочлены {Pn(z)}™ ортогональны на конечном отрезке [а, Ъ\
вещественной оси, то нетрудно показать, что роль функции F (z) играет
функция
ъ
^§, zs[a,b], (XVI.10)
а контуром С может быть любая замкнутая кривая, охватывающая отре-
отрезок [а, Ь]1).
Кролл и Фольк рассмотрели тот случай, когда
1
F(z) = zV (т= -1, 0, 1, 2, . ..), (XVI.И)
а контур С охватывает точку z=0; они нашли дифференциальное уравне-
уравнение и уравнение в конечных разностях, частным решением которых явля-
являются многочлены [Рп (z)}™, а также нашли их явное выражение и формулу,
аналогичную формуле Родрига; при т=0 получим многочлены Бесселя,
совпадающие с многочленами {Р^ (z)} (при к=1), рассмотренными Бох-
нером.
Тот же случай (XVI. 11) рассмотрел Обрешков [2], [3]; он
нашел асимптотическую формулу
Рп (z) «ь z»e~^, \z\>6>0, (XVI.12)
для многочленов {Рп (z)} и аналогичную формулу для соответствующих
функций второго рода; он показал, что всякая функция, регулярная
в круге | z | < г, может быть разложена в ряд по этим многочленам, равно-
равномерно сходящийся при | z | < г' < г.
Сегё только упоминает о многочленах, ортогональных по площади
S с весом п(х), т. е. удовлетворяющих условиям
°^ l^, (XVI.13)
где х — точка области S, ограниченной контуром С, a dS — элемент пло-
площади; исследованию асимптотических свойств систем этих многочленов
и их замкнутости посвящено большое количество работ (П. П. Коровкин,
А. И. Маркушевич, М. В, Келдыш, А. Л. Шагинян, М. М. Држбашян
и др. 2) ).
В том случае, когда С — аналитический контур, Е. А. Синев [2]
нашел асимптотическую формулу для этих многочленов внутри области
при иных условиях, чем П. П. Коровкин; он определяет вес формулой
n(x) = \\i(x)\2, х £ S, где функция (х (х), регулярная в области S, имеющая
в ней конечное число нулей и непрерывная в замкнутой области, опреде-
определяется из условия на контуре | \х (х) j2=| v (x) |2, причем функция v (x) регу-
регулярна и не равна нулю в кольце между С и Cr@ <Q<r<l) hv (oo) > 0.
Он нашел также условие
v (х) = const. v±(x) VYW), 11|>(я) I > 1» (XVI.14)
!) См. Я. Л. Геронимус [35*].
2) См. «Математика в СССР за 30 лет», стр. 385 — 387, «Математика в СССР
а а 40 лет», стр. 395—396, 441 — 442, а также нашу книгу [97*] § 39.

490 дополнения
необходимое для того, чтобы многочлены {рп (х)}J° были одновременно
ортогональны по области с указанным весом | \i (x) |2 и по ее контуру с весом
Iv^z)!2. Если контуром является окружность, то такая одновременная
ортогональность возможна только для системы степеней {хп}™.
Е. А. С и н е в [1], [2] исследовал также одновременную ортогональ-
ортогональность по контуру и по площади области, а также ортогональность на не-
нескольких областях, ограниченных кривыми Сг, и доказал, что существует
только четыре типа многочленов, обладающих этим свойством х).
П. К. С у е т и н [2] рассмотрел случай, когда С — спрямляемая кри-
кривая Жордана и п (х) = \ \i (х) |2, х £ S, где функция \i (х) регулярна в области
S, не равна нулю и непрерывна в замкнутой области; пусть существует
|j>) (x) £ Lip а и пусть функция *Р (х) р-\-2 раз непрерывно дифференцируе-
дифференцируема для х£ S; при этих условиях для любого замкнутого множества F CZS
справедлива оценка
$1 X*F (" = i,2,...); (xvi.15)
если же функция \i (x) регулярна в замкнутой области 5, а С — правильная
аналитическая кривая, то имеет место оценка
\pn{x)\<C1(F)qn, 0<q<l, x£F (n=l,2,\..)- (XVI.16)
г) Эти вопросы до Е. А. Синева были рассмотрены Ы. Арпьярьяном [1], [2], [3].

ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЯМ
А л е к с и ч Г. (А 1 е х i t s G.)
1. Uber die Konvergenz der Orthogonalpolynomenentwicklungen. Acta Matb.
Acad. sci. hung., 6 A955), 1—4.
Ангеле с ко A. (AngelescoA.)
1. Sur certains polynomes generalisant les polynomes de Laguerre. C. R. Acad.
sci Roum., 2 A938), 199-201.
Аппель П. (Appell P.)
1. Sur une classe de polynomes. Ann. Sci. de l'Ecole Norm. Sup., 9A880), 118—144.
Арпьярьян Н. (Arpiarian N.)
1. Polynomes trigonometriques orthogonaux relatifs a une ellipse de foyers
(-1,4-1). G. R., 219 A944), 668-669.
2. Sur la suite de fonctions orthogonales par rapport a un ensemble de courbes
ou de domains differents. Там же, 226 A948), Hi—112.
3. Orthogonalite sur un domain et sur son contour. Там же, 226 A948), 865—866.
Ахиезер Н. И.
1. Об ортогональных многочленах на нескольких интервалах. ДАН СССР,
484 A960), 9-12.
2. Классическая проблема моментов. Физматгиз, 1961.
3. О полиномах, ортогональных на дуге окружности. ДАН СССР, 130 A960),
247—250.
А цел Я. (Aczel J.)
1. Eine Bemerkung uber die Charakterisierung der «klassischen» ortogonalen Poly-
nome. Acta math. Acad. sci. hung., 4 A953), 315—321.
Барков Г. И.
1. О некоторых системах многочленов, ортогональных на двух симметричных
интервалах. Изв. высш. учебн. зав., «Математика», № 4 A960), 3—16.
2. О свойствах некоторых систем ортогональных многочленов. Уч. зап. Челяб.
гос. пед. ин-та, 5 A960), 304-312.
БренкеВ. (BrenkeW.)
1. On polynomial solutions of a class of linear differential equations of the second
order. Bull. Amer. Math. Soc, 36 A930), 77—84.
Вебстер M. (W e b s t.e r M.)
1. Orthogonal polynomials with orthogonal derivatives. Bull. Amer. Math. Soc,
44 A938), 880—888.
Венцл ь Ф. (Wenzl F.)
1. Nullstellendichte reeller Polynome und Tschebyscheffsche Approximation.
Math. Zeitschr., 59 A953), 17—39.
Геронимус Я. Л.
1. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. М., 1958.
Данезе A. (Danese A.)
1. Explicit evaluations of Turan expressions. Ann. mat. pura ed appl., 38 A955),
339 -348.
2. Some inequalities involving Hermite polynomials. Amer. Math. Monthly, 64
A957), 344—346.
Деланж Г. (Delange H.)
1. Sur les suites de polynomes ou de fonctions entieres a zeros reels. Ann. sci. Ecole
Norm. Sup. C), 62 A945), 115—183.
Джексон Д. (Jackson D.)
1. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М., 1948.
Д и к и н с о н Д. (DicKinson D.)
1. On certain polynomials associated vvilh orthogonal polynomials. Boll. Unione
mat. ital., 13 A958)/ 116-124.

492 ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЯМ
Коркин А. Н. и Золотарев Е. И.
1. Sue un certain minimum. Nouv. Ann. de Math., 1873.
К о р о в к и н П. П.
1. Асимптотическое представление полиномов, минимизирующих интеграл.
Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Физ-
матгиз, М., 1961, стр. 273—276.
2. Емкость множества и полиномы, минимизирующие интеграл. Зап. Калинингр»
пед. ин-та, вып. 5 A958), 34—52.
Кошмидер Л. (Koschmieder L.)
1. Das Vorzeichen gewisser aus Hermiteschen Polynomen zweiter Art gebildeten
Determinanten. Anz. Oster. Akad. Wiss., Math.-Nat. KL, A951), 165—167.
Лузин Н. Н.
1. Интеграл и тригонометрический ряд. Собрание сочинений, т. I A953), 98—212.
Марков А. А.
1. О предельных величинах интегралов в связи с интерполированием. Избр.
труды. Гостехиздат, 1948, 146—230.
Мейкснер Дж. (Meixner J.)
1. Orthogonale Polynomsysteme mit einer besonderen Gestalt der erzeugenden
Funktion. Journ. of the London Math. Soc, 9 A934), 6—12.
Мерли Л. (Merli L.)
1. Sorpa alcune disugualianze riguardamenti i polinomi ultrasferici di JacobL
Atti IV Congr. Unione Mat. Ital., 2 A953), 151 — 155.
2. Una formula di approssimazione asintotica per i polinomi de Tchebyschef—Her-
mite e valutazione numerica del resto. Atti dei Lincei. Rend. cl. sci. fis., mat. e natur.,
16 A954), 611—614.
H а й м а н П. Б.
1. Q множестве изолированных точек роста спектральной функции предельно-
постоянной якобиевой матрицы. Изв. вузов, «Математика» A959), 129—135.
Н а н ь ю н д и а Т. (N a n j u n d i a h Т. S.)
1. A note on an inequality of P. Turan for Legendre polynomials. Half-yearly
J. Mysore Univ., Sect. B, N. S. 11 A950), 57—61.
Натансон Г. И.
1. О некоторых новых применениях метода суммирования Бернштейна—Рого-
зинского. Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та, 166 A958), 185—211.
Нейман Д ж. и Р у д и н У. (N e u m a n J. and R и d in W.)
1. Mean convergence of orthogonal series. Proc. Amer. Math. Soc, 3 A952)r
219 222.
Обрешков Н. (Obrechkoff N.)
1. Sur quelques classes de polynomes et de fonctions rationnels. Ann. Univ. Sofiar
Fac. Phys.-math., 33 A937), 39—161.
2. Sur le developpement des fonctions analytiquessuivant les polynomes othogonaux.
Докл. Бълг. АН, 7 A954), 5—8.
3. Върху някои ортогонални полиноми в комплексна облает. Изв. Мат. ин-та
Бълг. АН, 2 A956), 45—68.
П а л а м а Д ж. (Р а 1 a m a G.)
1. Polinomi piu generali di altri classici e dei loro associati e relationi tra essL
Riv. mat. Univ. Parma, 4 A953), 363—386.
Перрон О. (Perron О.)
1. Die Lehre von den Kett.enbruchen. 2d. ed. Leipzig 1929.
Поллард X. (Pollard H.)
1. The mean convergence of orthogonal series of polynomials. Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 32 A946), 5—10.
2. The mean convergence of orthogonal series. I — Trans. Amer. Math. Soc, 62
A947), 387—403. II — Ibidem, 63 A948), 355—367. Ill — Duke Math. J., 16 A949),
189—191.
П о с с е К. А.
1. Sur les quadratures. Nouv. Ann. de Math., 14 A875), 49—62.
Ренвилл E. (R ainville E.)
1. Symbolic relations among classical polynomials. Amer. Mathem. Monlhly, 53
A946), 299—304.
Сансоне Длс. (Sansone G.)
1. Su una disugualianza di P. Turan relativa ai polinomi di Legendre Boll. Union.
Mat. Ital. 3, A949), 221—223.
С а с O. (S z a s z O.)
1. On an inequality of P. Turan concerning Legendre polynomials Bull. Amer.
Math. Soc, 54 A948), 401—405.
С а с т р и Б. (S a s t г у В.)
1. A generalisation of certain properties of Laguerre polynomials. Proc Edin. Math.
Soc, 7 A945)» 83.

ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЯМ 493
Ссп Д. и Рангачариар В. (Sen D. and RangachariarB.)
1. Generalized Jacobi polynomials. Bull. Amer. Math. Soc, 42 A936), 901—908.
Синев Е. A.
1. Некоторые свойства ортогональных многочленов. Автореферат диссертации*
A953).
2. О некоторых свойствах ортогональных многочленов. Изв. вузов, «Матема-
«Математика», 4 E), A958), 222—235.
С о н и н Н. Я.
1. О приближенном вычислении определенных интегралов и входящих при этом
вычислении целых функций. Варш. универ. изв. A887), 1 — 76.
Стек лов В. А.
1. Application de la theorie de fermeture a la solution des certains questions qui
se rattachent au probleme des moments. Зап. Акад. наук, 33, № 8 A915), 1—59.
Стилтьес Т.
1. Исследования о непрерывных дробях. Харьков 1936.
С у е т и н П. К.
1. Некоторые асимптотические свойства многочленов. ДАН СССР, 129 A959)г
30-33.
2. О многочленах, ортогональных на площади. Там же, 126 A959), 943—945.
Тартлер A. (Tartler A).
1. On a certain class of orthogonal polynomials. Amer. Journ. of Math., 57 A935)r
627—644.
Тоскано Л. (Toscano L.)
1. Una generalizzazione dei polinomi di Laguerre. Giorn. mat. Battaglini, 84
A956), 123—128.
2. Polinomi associati ai polinomi classici. Riv. mat. Univ. Parma, 4 A953), 387—402.
T у р а н П. (Turan P.)
1. On the theory of mechanical quadrature. Acta sci. math., 12, part A A950)r
30-37.
Уиддер Д. (Widder D.)
1. On application of Laguerre polynomials. Duke Math. Journ., 1 A935), 126—135.
Успенский Я. (Uspensky J.)
1. Sur les valeurs asymptotiques des coefficients de Cotes. Bull. Amer. Math. Soc.r
31 A925), 145—156.
Фельдгейм Э. (Feldheim E.)
1. Об обобщенных полиномах Лежандра. Изв. АН СССР, 5 A941), 241—254.
Ф о л ь к О. (V о 1 к О.)
1. Uber die Entwicklung von Funktionen einer komplexen Veranderlichen nacb
Funktionen die einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnimg mit einem Para-
Parameter gemigen. Math. Ann., 86 A922), 296—316.
Ф р а й д Г. (Freud G.)
1. Uber einen Satz von P. Erdos und P. Turan. Acta Math. Acad. sci. hung., 4
A953), 255—266.
2. Uber orthogonale Polynome. Там же, 5 A954), 291—298.
3. Uber das gliedweise Differenzieren einer orthogonalea Polynomreihe. Там жег
6 A955), 221—226.
4. Uber die Konvergenz von orthogonalen Polynomreihen. Там же, З A952),
89—98.
5. Uber die absolute Konvergenz von orthogonalen Polynomreihen. Там же, 4
A953), 127 — 135.
6. Uber die Lebesgueschen Funktionen der Lagrangeschen Interpolation. Там же,
4 A953), 137—142.
7. Uber orthogonalen Polynome. Там же, 5 A954), 291—297.
8. Eine Bemerkung zur asymptotischen Darstellung von Orthogonalpolynomen.
Math. Scand., 5 A957), 285—290.
Фрей Т. ( F г е у Т.).
1. Об асимптотическом поведении ортогональных последовательностей поли-
полиномов. Матем. сб., 49 A959), 133—180.
Фудживара М. (F u j i w а г а М.)
1. Uber die Polynome von der kleinsten totalen Schwankung. Tohoku Math. Journ.t
3, A913), 133.
Хан В. ( H a h n W.)
1. Uber Orthogonalpolynome die q-Differenzgleichungen genugen. Math. Nadir.,
2 A949), 4—34.
2. Uber Orthogonalpolynome mit drei Parametern. Deutsche Math., 5 A940),
273-278.
Хилле Э. (Hille E.)
1. On the absolute convergence of polynomial series. Amer. Math. Monthly, \b
A938), 220—226.

494 ЛИТЕРАТУРА К ДОПОЛНЕНИЯМ
Хьюитт Э. (Hewitt E.)
1. Remark on orthogonal sets in L2(a, b). Amer. Math. Monthly, 61 A954), 249—
250.
Ч е б ы m e в П. Л.
1. Об интерполировании в случае большого числа данных, доставляемых наблю-
наблюдениями. Сочинения 2, 245—314.
2. О непрерывных дробях. Там же, 103—126.
III в а р т ц X. (SchwartzH. M.)
1. A class of continued fractions. Duke Math. Journ., 6 A940), 48—65.
Шерман Я. (Sherman J.)
1. On the numerators of the convergent of the Stieltjes continued fractions. Trans.
Amer. Math. Soc, 35 A933), 64—87.
Ill о x а т Я. (S h о h a t J.)
1. The relation of the classical orthogonal polynomials to the polynomials of Appell.
Amer. Journ. of Math., 58 A936), 453—464.
2. Theorie generale des polynomes orthogonaux de Tchebychef. Memorial des
Sciences Mathematiques, 66, 1934.
3. Application of orthogonal Tchebycheff polynomials to Lagrangean interpola-
interpolation and to the general theory of polynomials. Ann. di Mat., 18 A939), 201—238.
4. Sur la convergence des quadratures mecaniques dans un intervalle infini. Appli-
Applications au probleme des moments, au calcul des probabilites. C.R., 186 A928), 344—346.
Шохат Я. и Шерман Я. (SchohatJ. and Sherman J.)
X I 5i I
1. On the numerators of the continued fraction —— — ... Proc. Nat.
Acad. Sci. (ISA, 18, A932), 283—287.
Ш n e x т B. (S p e с h t W.)
1. Die Lage der Nullstellen eines Polynoms. Math. Nachr., 15 A956), 353—374;
16 A957), 257—263.
Эвейда М. (Eweida M.)
1. On Turan's determinant for Legendre and Laguerre polynomials. Rev. mat.
hisp. amer., 15 A955), 79—87.
2. On an inequality concerning the derivatives of the Legendre polynomials.
Там же, 15 A955), 161—164.
Э н г е л и с Г. К»
1. О полиномах, заданных формулой Родрига. Уч. Зап. Латв. ун-та, т. XX,
A958), 137—143.
3 ндл ь К. (Е и d 1 К.)
1. Sur les systemes de polynomes orthogonaux en involution. C.R., 241 A955),
682—684.
Зрдёш П. и Туран П. (Erdos, P. and T u г а п Р.)
1. On the uniformly-dense distribution of certain sequences of points. Ann. of
Math., 41 A940), 162—173.
Я x н и н Б. М.
1. О функциях Лебега разложений в ряды по полиномам Якоби для случаев
1 111 1
<х = Р=-—;а ——тг , P = -q-; а —~, р =—^ . Успехи матем. наук, 13 A958),
207—211.
2. О частных суммах разложения в ряд Фурье по полиномам Якоби функций,
принадлежащих классу Lip а. Изв. вузов, «Математика», № 3 A960), 261—267.
3. Об остаточных членах разложения в ряд Фурье по полиномам Якоби функ-
функций, r-я производная которых удовлетворяет условию Липшица.Укр. матем. журнал,
12 A960), 196—204.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 109
Абрамеско 442
абсолютно монотонная последователь-
последовательность 145, 162
Адамов 210, 256, 258, 259, 455
аддитивный функционал 26
Алексин 477, 479
Ангелеско 418, 438
Андрианов 443, 477, 478
антиполярное условие 254, 257, 273
Аппелъ 418, 420
Арпъяръян 489
асимптотические формулы для классиче-
классических многочленов 199—251
— — — многочленов Лагерра 141, 185,
199, 201, 202, 206-208, 211, 224-226,
228, 229, 236—238, 244, 248, 250, 387
Лежандра 199, 201, 202—
204, 209, 220—222
— — — — ортогональных на кривой
375—379
окружности 305—320
Эрмита 141, 199, 202, 206—
208, 226—228, 244, 250
Якоби 175—177, 199—205,
209, 210, 222—224, 233
— — — общих ортогональных много-
многочленов 304—320
— — — ультрасферических многочленов
204, 205, 214, 216, 217, 220
— — — функций Бесселя 30
— — — — Лешандра второго ряда 205,
220, 230—233
— — — — Якоби второго рода 209, 233
ядра Кп(х0, х) 373-375
— — Фейера для многочленов Лагерра
206, 210, 245, 249, 277, 278
Ахиезер 20, 50, 55, 56, 418, 422, 425, 426,
430, 434, 451, 466, 469, 486
Ацел 442
Балаж и Ту ран 353
Банах 27
Барков 418, 419
Безикович 482
Бейтман 108, 119, 251, 394, 395, 418
Бернштейн 19, 23, 44, 55, 166, 173, 175,
176, 178, 180, 304, 307, 308, 311, 322,
336, 422, 428, 453, 455, 470, 471, 476,
478, 479, 483, 484
Блюменталъ 277, 318, 444
Боттема 141
Бохнер 116, 441
Бра уз р 1 40
Бренке 441
Бржечка 418, 419, 429, 474
Брунс 131, 134, 145, 147
Бъюл 133
Ван Вин 141, 211
Вангерин 96
Ватсон 33, 34, 111 ИЗ, 115, 166, 175,
200, 201, 210, 211, 230, 259, 261, 367,
383, 387
Вебстер 353, 442
Вейлъ 118, 259, 318, 447
вектор 22
векторное пространство 22, 431
Венцлъ 446, 448
вес 23
весовая функция 23
Вигерт 46, 111, 259, 418
Виденский 19, 183
Виман 140
вырожденный гипергеометрический ряд
102
Гагаев 443
Галъбрен 259
Гамбургер 69, 118, 418, 423
гамма-функция 28, 29, 87
Гаттески 251
Гаусс 46, 60, 61, 74
Гегенбауэр 91, 107
Гейне 40, 50, 60, 66, 91, 103, 105, 158,
159, 200, 202, 260
Геронимус 55, 197, 420, 422, 427, 440,
441, 451, 482, 488
Гильберт 151, 153
гильбертово пространство 430
Гильдебрант 23, 25
гипергеометрические функции 74, 95
главное значение в смысле Коши 287
Гнеденко 443
Гобсон 70, 96, 105, 386
Гончаров 20, 479, 482
Готтлиб 50, 418
граничные значения функции 284, 475
Гренандер и Сегё 283, 295
Гронуолл 173, 257
Грюнвалъд 336, 352, 353
Грюнвалъд и Ту ран 351
Данезе 435, 439
Дарбу 56, 203, 204, 442
Делан ж 446
Денисюк 438
Цен 47, 48, 383

496
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Джексон 20, 21, 55, 337, 476
Джрбашян 489
Дикинсон 424
Дирихле 97
дискриминанты классических многочле-
многочленов 151 — 153
дифференциальное уравнение 31, 32, 50,
159, 166, 174
— — для многочленов Лагерра 109, 126,
184
Лешандра 171, 172, 218
Эрмита 114, 126, 184, 384
Якоби 73—75, 126, 150
— — — ультрасферических многочле-
многочленов 92
— — — функций Бесселя 29
Дю Буа Реймонд 28
Емкость множества 369, 448
Жаков 260
Жордан К. 70, 418
Жордан Ш. 47
жорданова дуга 22, 369
— кривая 22, 35, 369, 370, 487
Жюлиа 373
Замкнутость 24
— системы многочленов 116—119, 420,
421, 433, 440
Зейделъ и С ас 107
Зигмунд 256, 262, 263, 283, 285, 288, 289,
364
Золотарев 422
Изображение многочлена Лагерра 439
Эрмита 439
интеграл Дирихле 26, 28, 415
— Дирихле — Мелера 97
— Жордана — Похгаммера 87
— Лапласа, второй 98
, первый 98, 183
— Лебега 23
— Лебега — Стилтьеса 22, 23
— Пуассона 283, 299
— Пуассона — Лебега 459
— Пуассона — Стилтьеса 459
— Римана 23
— Римана — Стилтьеса 23
— Фейера 27
— Эйлера, второго рода 28
— —, первого рода 29
интегральное представление многочленов
Лешандра 97, 99
ультрасферических многочленов 107
— — функций Лешандра второго рода
100
интегральное уравнение 226, 259
интерполирование 27, 28, 60, 88, 335—
353, 354, 389, 392, 416, 479
интерполяционный многочлен Лаграшка
335, 353, 415, 480, 481
Эрмита 337, 345, 353
— ^-многочлен 337
истинный отрезок, ортогональности 443
Камке 23
Еаратеодори 369
Карле май 371
Карлин и Мак-Грегор 392
Качмаж и Штейнгауз 3, 16, 25
квадратическая форма 37, 39, 40, 132„
194, 195, 317, 371
квадратическое уклонение 51, 54, 296-
квадратурная формула Гаусса — Якоби
60-62, 120, 354, 480, 483, 484,.
'485
Котеса 483
— — Чебышева 483, 484
Келдыш 489
Келдыш и Лаврентьев 372
Клейн 153
классические ортогональные многочлены
42, 166, 441, 445
Когбетлянц 111, 175, 180, 210, 248, 256,.
257, 259, 264, 383
Ковалевский 37
Коваллик 259
Колмогоров 466, 475, 477
конечные разности 46, 47, 145
константа Робена 369, 448
— Эйлера 29
константы Лебега 28, 266, 336, 341, 344Г
355, 415, 475, 479
конформное отобрашение 35, 167, 369 г
370, 376
Кораус 140, 141, 169, 175, 220, 259, 351Г
454
Коровкин 471, 489
Коркин 422
Кошмидер 72, 439
коэффициенты Фурье 37, 295, 474
— Кристоффеля 59, 60—65, 123, 125„
195, 356—360, 381, 382, 425, 485
Кравчук 48, 122, 485
Крамер 259
Крейн 422, 430, 444, 466, 475
Кристоффелъ 42, 56, 60
Кролл 116, 442, 489
Крылов 481
Кузьмин 469, 483
Курант и Гильберт 70, 71, 109, 114, 117
Лагерр 109, 126, 140, 418
Лагранж 109
Лангер 211, 218
Ланцевицкий 434
Лаплас 436
Лебег 28
Лежандр 82
лемма Римана 263, 276, 327
Ленжиелъ 122
Ле Руа 112
линейный оператор 414, 431
— функционал 26—28, 414
линия уровня 22
Липшиц 387
Лисовский 488
Литтльвуд 478
Лозинский 415
локальное условие 468
локальные оценки 454
Ломмель 427, 441
Лоток 158
Лузин 443
Льюис 443
Люкач 18, 186, 188, 257

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
497
Макай 34, 164, 198
Марков 46, 50, 62, 69, 124, 125, 129, 130,
148, 267, 381, 418, 419, 422, 436
Маркушевич 489
Марцинкевич 336, 352
матрица Теплица 295, 400
Мейкснер 47, 48, 418, 419, 420, 436, 438
Мелер 60, 61, 97, 200, 383, 395
Мерли 456
Метод Дарбу 210, 214—216, 273, 278,
396
— Лиувилля — Стеклова 210, 218—228,
308
— перевала 229—244
— суммирования Абеля — Пуассона 460
— Штурма 33, 34, 120, 129, 133—143,
148
— — Бернштейна — Рогозинского 353,
456, 479, 431
Чезаро 27, 28, 252, 254, 256, 257,
259, 265-274, 280, 332
механические квадратуры 27, 28, 60—62,
70, 120, 195, 335, 354—368, 381, 382,
482, 483
Мёклин 202, 211
Миллер — Лебедева 259
-многочлены Аппеля 420, 437, 438
— Бернштейна — Сегё 44, 45, 465, 471
— Бесселя 459
— второго рода 424
— Кравчука 48—50
— Лагерра 42, 48, 109—115, 119, 120,
171, 184—186, 192, 193, 251, 383, 386,
390—392, 396, 419, 436—442, 446, 457,
458
— Лежандра 42, 43, 47, 61, 75, 82, 97—
100, 108, 144, 170—173, 175, 180, 188,
197, 351, 382, 385-387, 394, 429, 434,
435, 438, 454, 458, 471
—, ортогональные на единичной окруж-
окружности 295—303, 387
—, кривой 369—379
—, — относительно последовательности
416
—, — по площади 489
— Поллачека 50, 394—400
— Пуассона — Шарлье 47, 48, 380, 392,
419
— Сонина — Маркова 440
— Стилтьеса — Вигерта 46
— Фабера 376, 378, 487
— Чебышева 17, 42, 43, 72, 75, 121, 145,
170, 352, 390, 422, 425, 430, 433, 470,
471, 478
— Эрмита 42, 49, 50, 114—119, 120, 184,
391, 392, 419, 436, 437, 438, 439, 441,
442, 457, 458
— Якоби 17, 42, 70-109, 112, 114, 115,
169, 175-178, 180, 181, 187, 251, 257,
303, 386, 389, 400, 430, 431, 434, 441,
442, 445, 457, 470, 471, 486
Мовшиц 485
Мунхерджи 439
Мюнц 259
Найман 445
Наныондиа 435, 439
Натансон Г. И. 456, 479, 481
Натансон Я. Я. 20, 477, 479, 482
Нейман Дж. 117, 458
Нейман Е. Р. 138, 259, 383
Нейман Ф. 256
неотрицательный функционал 417
непрерывная дробь 66—69, 423, 444, 463
непрерывный функционал 26
неравенства 16, 166
неравенство Абеля 16, 182, 213
— Бесселя 38, 51, 297, 324, 329, 339, 372
— Буняковского — Шварца 16, 24, 119,
145, 169, 277, 285, 325, 379
— Коши — Буняковского 12, 52, 129,
167, 191, 299, 310, 313, 328, 374
— Лагерра 435, 436
— между средним арифметическим и сред-
средним геометрическим 16, 308, 309
Николаев 415
Новиков 395, 397
норма оператора 415
— функционала 26
нули аналитических функций 35
— многочленов Лагерра 126—129, 131,
136—143, 150—152, 157, 158, 246—248,
385, 386
Лежандра 129, 131, 134, 246—248
— —, ортогональных " на единичной
окружности, 300, 387
, кривой 373
Эрмита 126—129, 131, .136—143,
150—152, 248
Якоби 125-130, 149, 151, 153—
157, 201, 246—248, 382, 384
—ортогональных многочленов 57—60,
196, 197
— ультрасферических многочленов 130,
131, 147, 148, 384
— функций Бесселя 135, 148, 201, 384
— — Лежандра второго рода 162 —164
Обобщение Дарбу формулы Лапласа 203,
214, 219
— интеграла Дирихле — Мелера 101
— — Пуассона — Шарлье 419
— — Стилтьеса 102
— Стилтьеса формулы Лапласа 203, 209,
217—219
— Фейера' многочленов Лежандра 144 —
147, 162, 181-183, 214, 434
— формулы Родрига для многочленов
Якоби 107
обобщенная сходимость в среднем 336
обобщенные многочлены Фабера 488
Якоби 452
— ^-многочлены 337
Обрешков 205, 256, 257, 419, 420, 489
овал Кассини 474
операционное исчисление 439
иртонормальная последовательность 36,
38
ортогональность, ортогонализация 22—24,
36
— на вещественной оси 416
— — единичной окружности 417, 463,
464
— — кривой 417
— относительно числовой последователь-
последовательности 416, 423
— по площади 417
относительная плотность нулей 446

4 98
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Палама 438
парабола сходимости 261
Пеано 15
периодическая непрерывная дробь 427
Перрон 58, 67, 2, 206, 210, 424
Планшерелъ 258, 443
Планшерелъ и Ротах 208, 211, 241
плотность распределения нулей 448
Полиа 55, 65, 126, 143, 160, 174, 355, 391,
482
Полиа и Сегё 19, 26, 35, 37, 47, 53, 82,
99, 114, 126, 143, 183, 186, 187, 192,
220, 318
Поллард 457
Поллачек 50, 394
полнота системы многочленов 420, 421
полоса сходимости 261
Поссе 436, 455, 485
Поповичиу 59, 149, 151
Похгаммера — Барнеса обозначение 112
представление многочленов Лежандра в
виде косинус-многочленов 102
— неотрицательных тригонометрических
многочленов 18
— — многочленов 18
— ортогональных многочленов 39, 40
— положительных функций 283—294
— ультрасферических многочленов в виде
косинус-многочленов 105
преобразование Абеля 16, 103, 144
— Лапласа 333, 438, 439
— Фурье 440
приближение многочленами 20—22
ринцип аргумента 35, 163
— локализации 476
присоединенная функция Лежандра 96
проблема моментов 416, 418, 440
произведение Бляшке 461
производящая функция 48—50, 80, 94,
95, 108, 110, 111, 115, 210, 214, 215,
383, 387, 394, 419, 434—438, 441, 442
пространство L^ 420
Пуассон 418
Равенство Парсеваля 53, 297, 372, 484
равномерное распределение 447
равносходимость 44, 252, 254, 255, 258,
321
— процессов Лагранжа и Фурье 481
разложение многочленов Лежандра в ряд
по синусам 103
Райт 210, 387
распределение 22, 23
— нулей 318
— стилтьесовского типа 23
Pay 205, 222
регулярное множество 448
— распределение нулей 446
рекуррентная формула 55—57, 82—84,
90, 93, 110, 115, 300, 382, 422, 424,
434, 443, 446, 462, 464
Ренвилл 438
Рисе М. 19, 69, 312, 421
Рисе Ф. 26, 284
Ротах 210, 258
Руте 22
ряд Лапласа 257
— Лорана 261
ряды по классическим многочленам 252—
282
— — общим ортогональным многочле-
многочленам 321—334
— Фурье 27, 28, 37, 38, 51, 52, 252, 254,
259, 260, 283, 297, 319, 322, 330, 352,
372, 476, 477, 478
— Фурье — Стилтьеса 451
Самосопряженный оператор 431
Сансоне 435, 456
Сарымсаков 445, 447
С ас 19
Састри 438
Сегё 33, 40, 44, 46, 50, 58, 72, 99, 106, 133,
135, 136, 143, 145, 148, 164, 170, 171,
175—182, 197, 198, 205, 210, 214, 222,
256, 257, 259, 283—286, 295, 298, 307,
308, 317, 319, 321, 346, 349, 360, 364,
365, 371, 373, 374, 380, 387, 391, 394,
416, 423, 428, 434, 435, 439, 442, 453, 460
седловая точка 230
Сен и Рангачарнар 153, 441
сингулярный интеграл 28
Синев 443, 487,-489
скалярное произведение 22—24, 38, 370,
371, 381
Скоегор 435
смежные Р-функции Римана 83
Смирнов 284, 286, 297, 372, 374, 460, 461,
466, 474
Сонин 109, 111, ИЗ, 166, 173, 176, 184,
197, 383, 419, 436, 442, 464, 472, 476,
485, 486, 488
сопряженная точка (интерполирования)
338, 352
— функция 288
Сохоцкий 436
спектр функции 443, 444
Спенсер 141
среднее геометрическое 284, 305, 388
Стеклов 23, 218, 355, 421, 436, 441, 452Г
454, 455
Стечкин 478
Стилтъес 46, 50, 59, 62, 64, 66, 77, 99,
102, 105, 130, 133, 145, 147, 148, 151,
153, 158—160, 163, 172, 180, 201, 203,
385, 418, 422, 424
Стон 24, 36, 259
Суетин 486, 487, 489
сумма Фейера 451
суммируемость в смысле Абеля 253
— ряда Фурье 479
сходимость в среднем 336
— интерполяционного процесса 336
_ _ _ в среднем 339—341
— квадратурного процесса 336, 355—364,
482
Тамаркин 55
Тандори 479
Тартлер 419
тауберова проблема 467
теорема Абеля 105, 458, 472, 474, 487
— Бернштейна 19, 288, 312
— Вейерштрасса 20, 25, 121
— Витали 69
— Гаусса о среднем значении 284, 3171
318

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
499
теорема Гейне и Стилтьеса 158—160
— Гурвица 35, 157, 201, 248, 376
— Иенсена 309
— Коши 81, 115, 229, 284, 297, 3317 374,
376
— Лузина 474
— Люкача 18
— Осгуда и Каратеодори 369
— о среднем значении 386
— Полна 447
— Пуанкаре 318
— Рисса — Фишера 420, 474
— Ролля 63, 65, 126, 381
— Рунге — Уолша 22
— Руше 35, 156
— сложения 70
— Стеклова — Фейера 355, 364
— Таубера 474, 487
— Уолша 449
— Хелли 336, 344, 355, 447, 448, 450
— Фату 283
теория вероятностей 48
— случайных стационарных процессов
475
Тиман 20, 456
Титчмарш 50, 69, 105, 309, 317, 318
Торн 251
Тоскано 438
точечный спектр 443
точка Лебега 456, 471—473, 479
трансфинитный диаметр 369, 373, 448,
471-473
тригонометрическое представление много-
многочленов Лежандра 105
Трикоми 251
Тумаркин 474, 488
Туран 164, 391, 392, 435, 447, 483,
486
Уидер 438,
Уинстон 140, 357
Уиттекер и Ватсон 29, 30, 70, 74, 77,
83, 87, 96, 98, 100, 106, 112, 256
укороченная проблема моментов 425
ультрасферические многочлены 42, 70—
72, 91—96, 107, 115, 145, 147, 148,
175, 178-180, 382, 390, 396, 434, 457
Уолш 22, 371
уравнение в конечных разностях 423,
428, 433, 444, 464
— Вольтерра 218, 219
— типа Штурма — Лиувилля 218, 441
условие Дини 415, 477, 479, 480
— Дини-- Липшица 288, 305, 331, 453, 461,
477
— Карлемана определенности проблемы
моментов 425, 426, 439
— Липшица 20, 169, 170, 194
Фабер 307, 336, 373, 376
Фавар 56, 423
Фату 283, 284
Фейер 18, 28, 58, 70, 101, 103, 104, 143—
147, 163, 173, 180—183, 186, 206, 210,
257, 273, 283, 336, 341, 352, 355, 389,
434, 454, 484
Фейер и Сегё 183
Фекете 373
Фелъдгейм 340, 389, 418, 434
Фолък 458, 489
форма Теплица 417
— Ханкеля 417.
формула Дарбу для многочленов Якоби
175, 203, 204, 233, 244, 256, 262, 342,
358, 486
— Коши — Адамара 256, 261, 319, 474
— Кристоффеля 42, 398
— Кристоффеля — Дарбу 55, 326, 333,462
— Лапласа — Гейне 202, 211, 216
— Лапласа Для многочленов Лежанд-
Лежандра 202, 205, 209, 211, 218, 233
— обращения сингулярных интегралов
434
— — Стилтьеса — Перрона 426
Фурье 390
— Перрона 206, 210, 229, 234
— Стирлинга 235, 280, 454
— типа Мелера — Гейна 175
Фрайд 316, 451, 454, 461, 468, 476, 478,
479
Фудживара 153, 422
фундаментальные многочлены интерполи-
интерполирования по Лагранжу 335
_ Эрмиту 337
функция Бесселя 28, 31, 111—114, 135,
136, 148, 173, 174, 199—201, 209—211,
220—222, 234, 251, 281, 358, 359, 367,
383, 387, 390, 400, 426, 435, 455, 459
— второго рода 84—91, 101, 104, 105,
261, 382, 386, 431, 436
— Грина 448, 449
— Ламэ 158
— Лебега 415
— ограниченной вариации 26
— распределения 23
— распределения нулей 473
— Робена 448—450, 473, 483
— Эйри 32, 33, 141, 208, 242, 380, 385
Хаар 28, 256
Хан 116, 120, 121, 138, 141, 158, 420, 441,
442
характеристическая функция 23
характеристические значения 62, 195
Харди 111, 383, 478
Харшиладзе 415
Хаусдорф 145, 162
Хелли 27
Хилле 111, '114, 135, 140, 250, 259, 458
Хилъб 203, 257
Холло 340
Хсю 393
Хьюитт 440
Цернике 141
Чакалов 197, 386
Чеботарев 443
Чебышев 46, 56, 60, 62, 66, 82, 109, 194,
196, 197, 421, 422, 436, 480
чебышевское уклонение 54, 373
Шагинян 489
Шарлъе 418
Швид 211
Шерман 69, 429
Шибата 153
Шмидт 47, 48

500
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шохат 55, 61, 166, 170, 197, 317,
339, 341, 346, 349, 351, 355, 388, 389,
420, 423, 429,i 442, 444, 480, 481,
484
Шпехт 452
Шум 442
Шур 148, 151
Шураньи и Тураи 353
ЭвеДда 435, 439
Эйлер 84
экстремальное решение проблемы момен-
моментов 421
— — укороченной проблемы моментов
426
электростатическая интерпретация ну-
нулей 139, 385
.эллипс 22, 35, 260
— сходимости 253, 256, 261, 319, 320, 472
эллиптические функции 72
Энгелис 442
Эндлъ 438
Эрдейи 112, 251, 383
Эрдейи и Суонсон 251
Эрдёш 353, 447, 486
Эрдёш и Грюнвальд 352
Эрдёш и Ленжиелъ 352
Эрдёш и Туран 122—124, 338—340, 352
Эрдёш и Фелъдгейм 340
Эрмипг 163, 418, 436
Эрмит и Стилтъес 102, 163, 164, 180
Юнг 25, 256
«Явление Гиббса 260
Якоби 60, 70, 81, 98
якобиева матрица 430, 444
Яхнин 456