Введение в методы возмущений - Найфэ А.

1.6. Асимптотические разложения и последовательности
1.7. Сравнение сходящихся и асимптотических рядов
1.8. Простейшие действия над асимптотическими разложениями
Глава 5. Линейный осциллятор с затуханием
Глава 6. Колебательные системы с самовозбуждением
Глава 7. Системы с квадратичными и кубическими нелинейностями
7.7. Метод Крылова—Боголюбова—Митропольского
Глава 8. Колебательные системы со слабой нелинейностью общего вида
Глава 9. Уравнение Дюффинга. Случай вынужденных колебаний
12.3. Метод сращиваемых асимптотических разложений
12.5. Уравнения с переменными коэффициентами
12.6. Задачи с двумя пограничными слоями
Глава 13. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
13.3. Решение в окрестности регулярной особой точки
13.4. Сингулярность в бесконечно удаленной точке
13.5. Решение в окрестности иррегулярной особой точки
Глава 14. Дифференциальные уравнения с большим параметром
14.4. Уравнения с медленно меняющимися коэффициентами
14.5. Уравнения с точкой поворота
14.7. Задачи на собственные значения для уравнений с точкой поворота
15.2. Нелинейные колебания гироскопических систем с двумя степенями свободы
15.3. Гироскопические системы с параметрическим возбуждением
15.4. Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка
15.6. Простая задача на собственные значения
15.7. Вырожденная задача на собственные значения
15.8. Звуковые волны, в канале с волнистыми стенками
15.9. Колебания мембраны, близкой по форме к кругу
15.10. Краевая задача для дифференциального уравнения четвертого порядка
15.11. Краевая задача для уравнения четвертого порядка с граничными условиями общего вида
15.12. Задача на собственные значения для дифференциального уравнения четвертого порядка
15.13. Система дифференциальных уравнений первого порядка
15.14. Общая краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
15.15. Краевые задачи с внутренними граничными условиями
15.17. Дифференциальные уравнения с частными производными
Приложение А. Тригонометрические формулы
Приложение Б. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения
Литература, добавленная редактором перевода
Author: Найфэ А.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ математическая физика методы возмущений
Year: 1984
Similar
Введение в методы возмущений
Метод усреднения в прикладных задачах
Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры
Text
                    А. Найфэ
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ
ВОЗМУЩЕНИЙ

Introduction to
Perturbation Techniques
ALI HASAN NAYFEH
University Distinguished Professor
Virginia Polytechnic Institute and State University
Blacksburg, Virginia
and
Yarmouk University, Irbld, Jordan
A WILEY INTERSCIENCE PUBLICATION
JOHN WILEY & SONS
New York Chichester Brisbane Toronto 1981

А. Найфэ
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ
ВОЗМУЩЕНИЙ
Перевод с английского
И. Е. ЗИНО и Э. А. ТРОППА
под редакцией
Р. Г. БАРАН ЦЕВА
МОСКВА «МИР» 1984

ББК 22.161.6
Н20
УДК 517.94
Найфэ А.
Н20 Введение в методы возмущений: Пер. с англ. —М.:
Мир, 1984, 535 с, ил.
Книга американского математика А. Найфэ, известного советскому
читателю по книге «Методы возмущений» (М.: Мир, 1976), представляет собой учебник
по асимптотическому анализу, в котором систематически излагаются современные
асимптотические методы решения дифференциальных уравнений и, в частности,
методы сингулярных возмущений, реализуемые в тех случаях, когда прямые
разложения по малому параметру не являются равномерно пригодными во всей
области решения задачи.
Для математнков-прикладинков, инженеров, студентов и аспирантов
технических специальностей, а также для всех лиц. приступающих к изучению
асимптотического анализа.
ц 1702070000—318 со ББК 22.161.6
" 041(01)—84 6Ь~т' Ч' 1 517.2
Редакция литературы по математическим наукам
Copyright © 1981 by John Wiley & Sons, Inc.
All Right Reserved. Authorized translation
from English language edition published by
John Wiley & Sons, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1984

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Асимптотические методы, эффективность которых в самых
разных областях прикладной математики всеми признана,
начинают проникать в массовую учебную литературу. Предлагаемая
книга — один из первых учебников, предназначенных для
студентов и аспирантов не только университетов, но и технических вузов
разных профилей.
Суть асимптотических методов заключается в том, что при их
применении достигается синтез простоты и точности за счет
локализации: в окрестности некоторого предельного состояния
находится упрощенное решение задачи, которое тем точнее, чем меньше
эта окрестность.
Аналитические методы обычно делятся на эвристические и
точные. Совмещая в себе простоту эвристических представлений с
точностью аналитических оценок, асимптотические методы не
ограничиваются ролью «золотой середины». В математике они занимают
особое место. Главное отличие от классической математики
состоит в том, что уровень точности конкурирует с размерами области
действия; в заданной области точность асимптотического
разложения всегда ограничена. Такая плата за эффективность оказывается
вполне приемлемой не только на практике, но и в теории, если
этот «принцип неопределенности» допустить хотя бы в ту область
математики, которая занимается асимптотическими методами.
Жизненность и перспективность асимптотических методов
подтверждается также тем фактом, что активное взаимодействие
численных методов с аналитическими происходит как раз через
асимптотику.
Учебник Али Хасана Найфэ появился на основе многолетнего
опыта преподавания и обладает рядом достоинств: простой уровень
изложения, богатый набор упражнений^ сравнительный метод
демонстрации различных алгоритмов. Однако, естественно, автору
пришлось пойти и на некоторые жертвы. Так, в книге совсем не
обсуждается вопрос о строгой оценке остатков асимптотических
разложений. Но этот аспект не вполне освоен еще и в научной
литературе.
Проникновение асимптотических методов в массовую учебную
литературу — важный этап закономерного процесса освоения
этого самостоятельного раздела математической методологии.

6
Предисловие редактора перевода
Научная литература наполнилась книгами по асимптотике в
течение двух-трех десятилетий. Если учесть, что темпы их освоения
в современном мире заметно возрастают, то можно ожидать, что
лет через десять асимптотические методы проникнут и в школьные
программы.
Библиография автора дополнена в основном книгами,
изданными на русском языке, тематическими сборниками и несколькими
статьями методологического характера. Замеченные опечатки
исправлены при переводе без специальных оговорок.
Предисловие, гл. 1—6, 12, 13 и приложения перевел И. Е. Зино,
гл. 7—11, 14, 15 —Э. А. Тропп.
Р. Л Баранцев

ПРЕДИСЛОВИЕ
Многие задачи, с которыми сталкиваются сегодня физики,
инженеры и специалисты по прикладной математике, не поддаются
точному решению. Среди причин, затрудняющих точное решение,
можно указать, например, нелинейные уравнения движения,
переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на
известных или неизвестных границах сложной формы. Для решения
подобных задач мы вынуждены пользоваться различного рода
приближениями, комбинируя аналитические и численные методы.
Среди аналитических методов весьма мощными являются методы
возмущений (асимптотических разложений) по большим или
малым значениям параметра или координаты. Настоящая книга
посвящена описанию этих методов.
Большинство используемых методов возмущений с учетом их
сходства и различия, а также преимуществ и ограничений было
еистематически рассмЬтрено в моей предыдущей книге 1. Хотя для
их описания поначалу использовались примеры с простыми
обыкновенными уравнениями, допускавшими точное решение, и лишь
потом, по мере усложнения, исследовались уравнения в частных
производных, тем не менее изложение носило довольно сжатый
характер и было рассчитано в основном на специалистов. Цель
настоящей книги заключается в том, чтобы изложить этот материал
наиболее простым образом, что позволило бы освоить его хорошо
успевающим студентам и аспирантам самых различных научных и
технических специальностей. Основываясь на восьмилетнем опыте
преподавания методов возмущений для аспирантов
Политехнического института и Университета штата Виргиния, я отобрал лишь
несколько определенных методов и существенно упростил их
описание. Кроме того, я попытался ответить здесь на вопросы,
которые чаще всего задавали мне мои слушатели. Все
предлагаемые методы иллюстрируются с помощью простых примеров —
главным образом посредством алгебраических или обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Материал, изложенный в гл. 3 и 15, а также в приложениях А
и В, в предыдущей нашей книге отсутствует. В гл. 3
рассматриваются асимптотические разложения интегралов. Глава 15 посвя-
А. X. Найфэ. Методы возмущений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1976.

8
Предисловие
щена построению сопряженных линейных однородных уравнений
(алгебраических, дифференциальных — обыкновенных и в
частных производных, а также интегральных) и нахождению условий
разрешимости соответствующих неоднородных задач. В
приложении А представлены некоторые тригонометрические тождества,
в приложении В описываются свойства обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений, а также символический метод
решения однородных и неоднородных уравнений с постоянными
коэффициентами.
От читателя требуется лишь знакомство с основами анализа и
знание элементарных свойств обыкновенных дифференциальных
уравнений.
В каждой главе содержится большое число упражнений. За
дальнейшими задачами отсылаю читателя к моей предыдущей
книге, а также к монографии «Нелинейные колебания», написанной
мною совместно с Д. Муком г. Ввиду учебного характера этой
книги в библиографию включен перечень лишь самых необходимых
работ, без каких бы то ни было ссылок на них в основном тексте.
Я глубоко благодарен К. Р. Асфару и Д. Т. Муку за чтение
всей рукописи, а также Л. Уотсону, М. Уильямсу, К. Пратеру,
С. А. Рагабу, И. Уикмену, А. Йену, Й. Лю, Г. Риду, Дж. Деде-
реру, Й. Ма и У. С. Сарику за чтение отдельных ее частей.
Большинство рисунков были выполнены Т. X. Найфэ, К. Р. Асфаром,
И. Уикменом, Т. Дуньяком и Т. Макколи — всем им я хочу
выразить свою признательность. Наконец, мне хотелось бы
поблагодарить Патти Белчер, Джанет Брайант и Шарон Ларкинс
за перепечатку рукописи.
Ал и Хасан Найфэ
Блэксберг, штат Виргиния.
Апрель 1980 г.
1 А. Н. Nayfeh, D. Т. Mook. Nonlinear Oscillations, — N. Y.r Wiley, 1979.

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Анализ размерностей
В большинстве задач гидромеханики, динамики твердого тела
и других разделов физики крайне редко оказывается возможным
получить точные решения — причиной этого служат обычно
различного рода нелинейности, неоднородности или сложные
граничные условия. Поэтому инженеры, физики и специалисты по
прикладной математике вынуждены обращаться к приближенным
решениям, которые могут строиться либо численными методами,
либо аналитическими, либо путем комбинации численных и
аналитических подходов. В этой книге мы будем рассматривать лишь
чисто аналитические процедуры, которые в сочетании с методами
численного анализа, например такими, как метод конечных
разностей или метод конечных элементов, позволяют создать весьма
мощный и гибкий аппарат решения современных физических
задач.
Ключом к решению той или иной задачи является, как известно,
построение ее математической модели. В процессе создания такой
модели мы стараемся принять во внимание одни особенности
задачи, полностью пренебрегаем другими и лишь в определенной
степени учитываем третьи. Для осуществления этих важных шагов
нам прежде всего нужно определить порядок величин различных
элементов системы (т. е. насколько они велики или малы),
сравнивая их друг с другом и с заранее выбранными характерными
элементами. Этот процесс называется приведением переменных
к безразмерному виду. Прежде чем пытаться проделать какие-либо
аппроксимации, всегда нужно ввести безразмерные переменные.
Например, если некоторый элемент системы имеет длину один
сантиметр, является ли этот элемент большим или малым? Ответить
на такой вопрос можно лишь обратившись к исходной постановке
задачи. Ясно, что если мы, к примеру, исследуем движение
спутника на околоземной орбите, то один сантиметр будет
пренебрежимо малым расстоянием. С другой стороны, если в какой-либо
предложенной нам задаче нужно учитывать расстояния между
молекулами, то при этом один сантиметр оказывается'уже
гигантской длиной. Точно так же масса в один грамм представляет собой
ничтожно малую величину по сравнению с массой спутника,*но
в то же время оказывается невообразимо огромной по отношению
к массе электрона. Итак, представление уравнений в безразмерной

10
Гл. 1. Введение
форме выявляет наличие важных безразмерных параметров,
которые определяют поведение исследуемой системы. Даже если мы не
собираемся обращаться к тем или иным аппроксимациям, тем не
менее, прежде чем приступить к анализу конкретной задачи или
к обработке экспериментальных данных, рекомендуется
обязательно выполнить эту весьма существенную и важную операцию.
Разберем теперь насколько примеров, иллюстрирующих процесс
приведения к безразмерному виду различных физических задач.
Пример 1. Рассмотрим движение частицы массы т,
закрепленной на линейной пружине с коэффициентом жесткости k и
испытывающей сопротивление среды, коэффициент вязкости которой
равен \х (рис. 1.1). Используя второй закон Ньютона, имеем
т-
d2u
dt*
du
+ Ц -ft- + ku = 0,
(1.1)
где и — смещение частицы и t — время. Предположим далее, что
частица начинает движение без начальной скорости из состояния
покоя, описываемого координатой и0\ начальные условия при этом
запишутся как
«|/-=«о. TrL, = 0. (1.2)
Итак, в данном случае зависимой переменной является смещение и,
а независимой — время t. Их необходимо привести к
безразмерному виду, используя характерный размер и характерный масштаб
времени системы. Смещение и можно сделать безразмерным,
принимая в качестве характерной длины начальное смещение щ
в качестве же характерного масштаба времени выберем величину
обратную собственной частоте системы со0 = У k/m. Таким
образом, положив
и* = u/uQ% t* = со0/,
где звездочкой обозначены безразмерные величины, получим
du __ d (uQu*) dt* _ „ du*
dt ~
d*u
dt2
dt*
2„ d2u*
dt
= (OqUq
dt*
dt**
Рис. 1.1 Масса, связанная с пружиной и вязкостным двмпфврем.

1.1. Анализ размерностей
11
при этом (1.1) представится в виде
Отсюда
2„ d2u* . du* , , • л
at* ai
ИЛИ
где
dt*
d2u*
dt*% ' r dt* ^ mwg
d'a* -+ii*4S-+«•=<>. (i.3)
+ Ли* = о,
dtS ' ^ Л*
u* = -^-. (1.4)
r mo)0 v '
Начальные условия (1.2) в безразмерных переменных
записываются как
и*(0)=1, -g-(0) = 0. (1.5)
Таким образом, решение данной задачи зависит от единственного
параметра \л*у представляющего собой отношение силы
сопротивления к силе инерции, или возвращающей силе пружины. Если это
отношение мало, то при построении приближенного решения задачи
безразмерную величину \i* можно рассматривать в качестве малого
параметра. В этом случае мы говорим о системе со слабым
затуханием. Следует отметить, что малость величины (i вовсе не означает,
что данная система будет представлять собой систему с малым
затуханием; для этого необходимо, чтобы было мало (г* = \i/m<o0 =
Пример 2. Предположим теперь, что упругая сила пружины
описывается нелинейной функцией вида
/упР = ku + k2u2, (1.6)
где k и k2 суть постоянные. Тогда (1.1) переходит в уравнение
Используя те же самые безразмерные переменные, что и в
предыдущем примере, получаем
2 d2u* , du* . , • . и „2 ♦' А
тиъщ -—-т- + fAWo«o -Tjr + ku0u -f к^и =0,
dt* ai
*"* + ^-^ + u* + e«** = 0, (1.8)
или
где
Л.« ' ^ df
ji* = -ii- и е = -^-. (1.9)
При этом начальные условия вновь преобразуются к виду (1.5).
Таким образом, данная задача будет зависеть уже от двух безраз-

12
Гл. 1. Введение
* •т
I
! , !
~ 1
Рис. 1.2. Космический корабль в гравитационном поле двух фиксированных
масс.
мерных параметров \х* и е. Как и выше, ц* представляет собой
отношение силы сопротивления к силе инерции, или линейной
возвращающей силе. Параметр же в представляет собой отношение
нелинейной и линейной составляющих упругой силы пружины.
В тех случаях, когда мы говорим о слабо нелинейной системе,
подразумевается, что величина k2ujk мала. Вместе с тем даже при
малости постоянной k2 по сравнению с k нелинейность может
оказаться весьма значительной, если и0 будет велико по сравнению
с отношением klk2. Таким образом, степень нелинейности системы
в целом характеризуется именно параметром е.
Пример 3. В качестве третьего примера рассмотрим задачу
о движении космического корабля с массой т в гравитационном
поле двух фиксированных притягивающих центров, массы которых
тх и т2 много больше массы т. В декартовой прямоугольной
системе координат, показанной на рис. 1.2, уравнения движения
имеют вид
d2x mmxGx mm2G(х — /.) ,, «^
m Л« - (,. + y*f<* [(, _ 1)1 + y2f2 > . I • '
d2y mmxGy mm2Gy
4F-~~ (rf + if1)372 ~ [(x-L)' + !/2]3/2 '
где / — время, G — гравитационная постоянная и L — расстояние
между массами тх и т2.
В данном случае зависимыми переменными являются
координаты х и у, а независимой переменной — время t. Ясно, что в
качестве характерной длины для этой задачи следует выбрать
расстояние L между притягивающими центрами. Выбор же
характерного масштаба времени далеко не так очевиден. Поскольку мы
предполагаем, что перемещения масс тх и т2 не зависят от
характера движения космического корабля, то mx и т2 будут двигаться
по эллипсам вокруг общего центра масс. При этом период их
обращения будет равен
г = 2ялэ'2
VG (тг + т2) '
т-
(l.ii)

1.1. Анализ размерностей
13
так что частота обращения оказывается равной
©0 = L"3/VG(mi + /ni)- (1.12)
Величину, обратную со0, мы и используем в качестве характерного
масштаба времени задачи. Далее, вводя безразмерные переменные
У*=1Г' '* = ШЛ (1.13)
i учаем
dx
dt ~
dy
dt
**=тЬ
d (x*L) dt*
dt* dt
d (y*L) dt*
dt* dt
f dx* d%x _ , 2 d2x*
= Ьщ—9 -^ -Ьщ—г,
T dy* d2y r 2 d2y*
При этом (1.10) и (1.11) переписываются в виде
_ mmxGLx* mm2GL (х* — 1)
~~ Ц*(х*г + у**)]3"2 ~~ [L2(^-l)4^2/]3/2 '
_ mmxGLy* mm2GLy*
~~~ [Л» (x*e Н- v*")]3/2 " [L*(x*-\)* + L*y*T2 '
mxG х* maG (х* — 1)
или
mLcoo
mLcoo
d2x*
d2x*
d/*1 ^2"6 (x*' + </*2)3/2 A3c°o [(x*-!)^^1]3/2'
d2y* m^G y* m2G y*
(1.14)
(1.15)
dt*1 LS<*1 (**2 + J/*')3/2 L3c°o [(jc*_1)« +y»'J3/2"
Используя (1.12), находим
wtjG /Wj tn2G tn2
L3co§ = т! + т2 ' L3co§ = m1 + m2 '
Поэтому, если положить
"* =e, то mm)m =l-e, (1.16)
и уравнения (1.14)—(1.15) принимают вид
(W + V'P [(x*-\)* + y**]W (iA,)
(1.18)
dV _ (l-e)j/*
Таким образом, наша задача определяется только одним
параметром е, который обычно называют приведенной массой. Если т1
представляет собой массу Земли, а т% — массу Луны, то
1
80 1

14
Гл. 1: Введение
т. е. действительно является малой величиной. Она и может
рассматриваться в качестве параметра возмущения при построении
приближенного решения задачи о движении космического корабля
в гравитационном поле Земли и Луны.
Пример 4. В качестве следующего примера рассмотрим
колебания круглой пластины радиуса а с закрепленным краем,
находящейся под действием равномерно распределенной радиальной
нагрузки. Если обозначить через w поперечное смещение
произвольной точки пластины, то линейные колебания пластины будут
описываться уравнением
DS*w - PS2w + р -|~- = 0, (1.19)
где t — время, D — жесткость пластины, Р — равномерно
распределенная радиальная нагрузка и р — плотность материала
пластины на единицу площади. Граничные условия имеют вид
л dw л
tt» = 0, -§— = 0 при г = а,
оу<оо при г = 0.
В данном случае w представляет собой зависимую переменную,
а/иг — независимые переменные. Ясно также, что характерной
длиной для этой задачи является радиус пластины а;
характерный же масштаб времени Т мы определим ниже. Вводя
безразмерные переменные
получаем
эк И' л. • 1Л. I
dw d(aw*) dr* dw*
Так как
то (1.19) дает
dr dr* dr dr* '
dw __ d{aw*) __ dw*
dw _ д (aw*) dt* __ a dw*
"5Г — —dt* 1Г ~" T" dt*
v "~ dr* ^~ r dr ^ r* ae2 '
или
a [ dr*' + r* dr* + ,*« aes /^ " t2 a/**
^V*V-V*V+-^|£=0. (1.21)

/./. Анализ размерностей
15
Теперь мы можем выбрать Т из условия, чтобм коэффициент при
—^- оказался равным 1, т.е. полагая Т = а jfp/P. В этом
dt*
случае уравнение (1.21) приобретает вид
eV* w* — V* w*
d2w*
dt*
■ = 0,
где
е =
D
а*Р
(1.22)
(1.23)
а граничные условия (1.20) в безразмерных переменных
переписываются как
IV*
дг*
Ш*< оо
0 при г* — 1,
при г* = 0.
(1.24)
Итак, наша задача вновь зависит от одного безразмерного
параметра е. При этом, если величина нагрузки Р велика по сравнению
cD/a*, с оказывается малым и может рассматриваться в качестве
параметра возмущения задачи.
Пример 5. В качестве последнего примера рассмотрим
установившееся обтекание плоской пластины потоком несжимаемой
жидкости. Задача описывается уравнениями
/ ди
ди . dv
дх
0,
д*и
д*и
ду*
/ dv . dv\ dp , I d*v , в*о \
)>
(1.25)
(1.26)
(1.27)
• граничными условиями
u = v = о при у = 0, (1.28)
U-+Uoo, v-+0 при х-~>— СО,
где w и и — составляющие вектора скорости вдоль осей х и у
соответственно, р — давление, р — плотность и ^ — коэффициент
вязкости жидкости.
В данном случае зависимыми переменными являются величины
и, v и ру а независимыми переменными — координаты х и у. Для
y,v
t
иа
-*-х,а
i
Рис. 1.3. ©бтекание бесконечной пластины.

16
Гл. 1. Введение
того чтобы привести уравнения (1.25)—(1.27) к безразмерному
виду, выберем в качестве характерной длины L расстояние от
передней кромки пластины до некоторой заданной ее точки
(рис. 1.3), а в качестве характерного масштаба скорости —
скорость набегающего потока £/<». Вводя безразмерные переменные
по формулам
* и
оо
имеем
ди
дх ~
dv
дх "-'
d*v
ду* ~
При этом из
p^L * ди*
L и дх*
Р"2о! * dv*
-ТГи IF"
71* т—: л* • "
"оо' Р - pi/».'
д{ио*и*) dx* ^оо ди*
дх* dx ~~ L дх* '
дЧ ^оо дЧ* дЧ
дх* ~~~ 1* дх** ' ду2 ~~ '
иоо dv* dv иоо dv*
L дх* ' ду ~~~ L ду* '
^оо дЧ* dp Pulo dp*
L* ду** ' дх ~ L дх* '
(1.25)—(1.28) получаем
^oo ди* . ^oo dv*
L dx* ' L dy*
pUl # du* pUl> dp*
+ L V dy* ~~ L dx*
Pulo * dv* pVlo dp*
+ L V dy* ""* L dy*
** = -£-, y* =
du ^» aa*
dy ~~ L dy* '
^oo a2a*
a*u ^oo d2v*
dx* - l» ax*'
dp p^L ap<
dy ~~ L dy"
= 0,
f^oo /d»a*
' + L* \ dx*% +
f^oo / d4*
■+ ^2 I a**'
1/
L '
?
it
it *
(1-29)
d*u*\
dy*')'
(1.30)
d2v* \
(1.31)
i* =r y* = 0 при (/* = 0,
U„u*-+U„> u*-*0 при x*-v~oo. (1.32)
Соотношения (1.29)—(1.32) можно переписать в виде
г.*
да*
ах*
dv*
dx*
dx* + а#* — '
, 7(* *<• _ аР* 1 / а%*
~г~и а*/* — ах* ~г Re \ ах*8 ~1~
. „* ** - др* 1 (d*v*
^V dy* — dy* + Re \ дх*> "Г
и* = и* = 0 при у* = 0,
и*-> 1, и*->0 при X*-V — ОО,
a2u* \
а**' Г
a*i>* \
а^1 /'
)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
(1.36)
(1.37)

1.2. Разложения
17
где параметр
Re--!-2- (1.38)
называется числом Рейнольдса.
Уравнения (1.33)—(1.35) с граничными условиями (1.36)—
(1.37) показывают, что наша задача зависит лишь от одного
безразмерного параметра Re. В случае малой вязкости, т. е. когда ц
мало по сравнению с произведением р(/«Х, параметр Re
оказывается большим, и обратная ему величина может быть использована
в качестве параметра возмущения при построении приближенного
решения данной задачи. Этот процесс приводит нас к широко
известным в механике жидкости уравнениям пограничного слоя.
Если же поток обтекает пластину с малой скоростью, т. е. в случае,
когда pUooL невелико по сравнению с ц,, параметр Re становится
малым и сам может служить в качестве параметра возмущения
при построении приближенного решения. В этом случае мы
получаем так называемое течение Стокса—Озеена.
1.2. Разложения
При построении приближенных решений алгебраических,
дифференциальных и интегральных уравнений, а также при оценке
различных интегралов нам приходится иметь дело с рядами по
степеням параметра или независимой переменной. Такие
разложения в степенные ряды строятся обычно либо с помощью формулы
бинома Ньютона, либо путем использования рядов Тейлора. О них
и пойдет речь ниже.
Биномиальная формула
Простым перемножением находим
(а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ь\
(а + Ь)* = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь\
(а + Ь)* = а4 + 4а3Ь + 6а2Ь2 + АаЬ* + Ь*.
Обобщением этого правила на случай произвольных целых п
служит формула
(а + Ь)п = а* + па»-*Ь + п%~1) a«'W + "("-Ц("-2> ап-зЬз + ... f
(1.39a)
которую можно переписать в виде
п
(* + *)" = £ ml („-«)! 04**' 0-396)
ИЛИ
(Z+ЬГ = %<%?""*; где ft- "J, ■ (1.39в)
т=0

18
Гл. /. Введение
Разложение (1.39а) справедливо для любых положительных или
отрицательных п, при условии если \Ыа\ < 1; в противном случае
ряд расходится, поскольку
Нт т'Й член = lim (m-l)in(n-l)(/i-2) ... (n-tu+\)an-mbm _
ш-во(т—!)-й член m-enm!n(n—1)(л —2) ... (п — т + 2)*п-т+хЬт-хШЯЛ
i. (n —m + 1) 6 6 ., ,лч
m~*oo
Так, например, мы имеем
5
(fl + О5 = S ml (Б-«)!*""»" =
= a5 + 5a"& -h 10a3ft2 + lOa2^ + 5afr> + ft5,
(fl+&)c=Li(6-w)!fl6-mfcm=
= oe 4- 6a»& -f- 15o462 + 20а3Р + 15а2Ь4 + баб5 + 6',
(t)(-t)
(a + 6)1/2 = ai./s + i-a-'/2b + Ч 21 °'3/8y +
+ iiKz^iiziia-s/263+...==
= a'/2 -f -y a-"2fe - -J-o-3/2&2 + -jj a-5/263 -\ ,
(a + ft)-» = a-i -a-2ft + (~0(-2) а-з62 + (-l)(-2)(-3) a"4^ + . • • -
= a-1 - а-2& + crW - o"4fe3 H .
Отметим, что два первых разложения, соответствующие п = 5 и
п = 6, содержат конечное число членов. В последние два
разложения, соответствующие п = уня = —1, входит бесконечное число
членов; тем самым их справедливость имеет место лишь при
[*1<М.
Ряд Тейлора
Если функция / (х) бесконечно дифференцируема в точке
х =- х0> то ее можно разложить в ряд по степеням (х — х0)
f{x) = a0 -f аг(х - х0) + а2(х - х0)2 + аш{х- x0f -| =
- ЯЫх-ХоУ, (1.41)
л-0

1.2. Разложения
19
где ап — постоянные, определяемые значениями функции / (х)
и ее производных в точке х « х0. Действительно, полагая в (1.41)
х — лг0, находим, что а0 =■= / (х0). Дифференцируя разложение
(1.41) по х, получаем
/' (х) = ах + 2а2 (х — х0) + За3 (х — х0)* +
+ 4аА(х-х0)> + ..., (1.42)
откуда, если положить х =*= лг0, имеем ^ = /' (х0). Далее,
дифференцируя (1.42) по ху получаем
f*(x) = 2! а2 + 3\0п(х - xQ) + 4-3 аА(х - *0)а + .... (1.43)
Полагая х = х0, находим аа = -тл-Г (хо)- Дифференцирование
(1.43) по х дает
Г (х) = 3! а3 + 4! а, (х - х0) + ..., (1.44)
откуда, полагая х = х0, имеем а3 = -ур /'" (х0). Неограниченно
продолжая этот нроцесс, можно определить все остальные
коэффициенты
fln=^rW, (1.45)
dnf
где /<*> =—'— и /<°) =/(*<>). Таким образом, разложение (1.41)
можно представить в виде ряда
00
f(*) = YiJ^rL(*-x*)n' (М6)
который называется рядом Тейлора функции / (х) в окрестности
точки х = х0.
Так как
-rj- (sin дг) = cos л* и -J- (cos jc) = —sin x,
то
x* x' x' , \ч (—l)nx2n+I /t -«4
8lnx=sX-F + ¥-7r+ •" =2j W+i)i - (M7)
• xa . x* x« , Y4 (—\)n x*n /, .ion
cosx=l-Tr+Tr-Tr+- —2j (2n)i - (M8>
Аналогично, с помощью формулы
получаем
е*=1+ТТ+-5Т + 1Г+"-=Ё-£' <М9>
п=0

20
Гл. L Введение
а из соотношении
-^[1п1(1+*)]==(!+*)->, -s-0 + Д0-Я =-л (1+*)-"-
имеем
И1 + <)^-т + т-т+",=1! , * • (L50)
Вышеприведенные тейлоровские разложения мы будем часто
использовать в последующих главах.
1.3. Калибровочные функции
В этой книге мы будем заниматься исследованием пределов
различных функций, в частности предела функции / (в) при е,
стремящемся к нулю, что будем обозначать как е -> 0. Этот предел
может зависеть от того, стремится ли е к нулю справа (этот факт
мы будем записывать как е -> +0) или слева (такое стремление
обозначим как е -> —0). Например,
lim е-1/е = 0, но lim в"1-/е= оо.
В дальнейшем мы будем предполагать, что все параметры
выбираются таким образом, что е ^ 0. Если предел функции / (е)
существует (т. е. у нее нет существенных особенностей при е = 0,
таких, как у функции sin е-1), то имеет место одна из трех
возможностей
при е-^0, 0<|Л|<оо. (1.51)
Чаще всего такая классификация оказывается не слишком
удобной, поскольку существует бесчисленное множество функций,
стремящихся к нулю при е -* 0. Так,
limslne = 0, Пгп (1 — cose) = 0, lim(e — sine) = 0,
s-0 e+0 e-*0 /j 52)
lim [In (1 + e)]4 = 0, lim e-V* = 0.
•-►0 e-»0
Точно так же имеется бесконечно много функций, которые
стремятся к бесконечности при е -> 0, например
lim IFF = °°' ,im Г^ = °°'
е-0 5Ш к е-0 1 5"е2 — C0S 8
, (1.53)
lime,/e= оо, lim In— = оо.
е-0 е->0 е
/(e)-0
№ + А
/(e)- оо

1.3. Калибровочные функции
21
Поэтому, для того чтобы уточнить вышеприведенную
классификацию, мы будем подразделять каждый из указанных классов
функций в соответствии со скоростью, с которой они стремятся
к нулю или к бесконечности. Иначе говоря, мы будем сравнивать
скорость соответствующего убывания или возрастания этих
функций со скоростью стремления к нулю или бесконечности некоторых
известных функций. Эти функции сравнения называются
калибровочными функциями. Простейшими и наиболее употребительными
из них являются целые положительные степени параметра е
1, е, е , е , ...,
а также его обратные степени
е-1, е-2, е-3, е"4, ...;
при этом известно, что для малых е
1 > е > е2 > е3 > е4 > ... и е"1 < е-2 < е~3 < е~4 < ... .
Определим теперь скорость, с которой рассмотренные нами
ранее функции стремятся к нулю или бесконечности. Используя
тейлоровское разложение (1.47), имеем
е3 . е& е7 ,
slne=e__+___+...
и, следовательно, sin е ~> 0 как е, поскольку
1S^ = 1S(1-it + tt-+"-) = 1-
Далее, с помощью (1.48) получаем
1 е2 е4 ,
1-cose==-2T~lT+ '"'
откуда 1 — tos е -> 0 как е2, поскольку
1. 1 — cos R ,. / 1 е2 . \ 1
И"Р— = Й(^Г—4Г "I"--') =1Г-
Точно так же е — sin е -> 0 как е8, поскольку из разложения
(1.47) следует
е8 р.&
и
,. с — sin е ,. / 1 Геа \ I
Аналогично, используя (1.50), получаем
[ln(l+e)]«=(e--f + .f + ...)4,
еткуда [In (1 + е) ]4 -» 0 как е*, поскольку
limJ^y^==lim(l--i. + |L.f...y=1.
g-*0 ь в->0 \ * л /

22
Гл. 1. Введение
Для того чтобы определить скорость, с которой стремится
к нулю ехр (—1/в) при е -> 0, попытаемся разложить эту функцию
в ряд Тейлора при малых е. Для этого нам необходимо знать ее
нроизводные при е = 0. Но
что при е = 0 приводит к неопределенности вида ■—. Так как
lim/'(e)==lim-^- = lim хЧ'* = \\т —,
е-»0 £-*0 е х-юо jc->oo е*
то, используя правило Лопиталя и дважды дифференцируя по х
числитель и знаменатель, имеем
НтПе)= Пт-^ = 0,
е-*о х-уоо е
откуда
Г (0) - 0. (1.546)
Далее, дифференцируя по е соотношение (1.54а), находим
Пе) = (-гг--^)*-'". (1-55а)
откуда /" (0) = 0, поскольку, согласно правилу Лопиталя,
,. / 1 2 \ 1/с .. х* — 2х* t. 4! л
hm (-J- - -у) erV* = hm —-— = hm — = 0.
Наконец, дифференцирование (1.55a) дает
Г(е)=(-^--|-+-|г)*-,/г' (1.56a)
откуда /'" (0) = 0, так как
Продолжая этот процесс, получаем, что
/<"> (0) - 0 (1.57)
для всех п. При этом из (1.46) следует еЛ!г = 0"+0 + 0 + 0 +
+ ..., что, конечно, неверно. Таким образом, функция ехр (—1/е)
не может быть представлена рядом по степеням е. Происходит это
потому, что при е -> 0 она стремится к нулю быстрее, чем любая
степень е. Действительно,
hm —— = hm — = hm -^r ^ 0
t--o в л-->оо £ л:-»-» е
— этот результат легко получается с помощью последовательного
применения правила Лопиталя. Итак, одних лишь степенных
калибровочных функций нам оказывается недостаточно, и к ним
нужно добавить функцию ехр (—1/е).

1.3. Калибровочные функции
23
Исследуем теперь, с какой скоростью стремятся к
бесконечности функции, представленные в соотношениях (1.53). Используя
(1.47), получаем
_1 = 1 = 1
sin е -~ -е3 , /, е2 \ '
е__+... е^1__+...)
откуда (sin е)"1 -► оо как е"1, поскольку
,. l/sine t. е |. 1 ,
hm —т-г— = iim —:— = lim 5 = I-
е->0 Х1г 8-0 Slne E.oi_i!_i...
3! ^
Далее из разложения (1.48) находим
1 1
1 е4 ес '
l_Te«_cose -_+_+...
так что (1—2*е2 —cose) -> — 00 как—е~4, поскольку
= lim =^ = -4!.
30 r
Так как ехр (—1/е) стремится к нулю быстрее, чем любая
положительная степень е, то функция ехр (1/е) стремится к
бесконечности быстрее, чем любая обратная степень е; в самом деле,
согласно правилу Лопиталя, имеем
е*
в\/Ш еХ
lim —— = lim —- = lim —г = оо.
Таким образом, мы должны пополнить совокупность
калибровочных функций еще одной функцией, —ехр (1/е). Далее, функция
1п (1/е) при е -*• 0 стремится к бесконечности медленнее, чем е~а,
где а — сколь угодно малое положительное число, так как
,. In (1/е) ,. In* ,. 1 1 ,. I А
hm —*-£-£- — lim —— = lim —г = — lim —- = 0.
Следовательно, к набору калибровочных функций необходимо
добавить еще функцию 1п (1/е). Точно так же в этот набор нужно
включить и функцию [In (1/е)]"1, с тем чтобы иметь возможность
описывать поведение функций, которые стремятся к нулю
медленнее, чем любая степень е, в частности еа, где а — сколь угодно
малое положительное число.
Итак, приведенные рассуждения показывают, что для
получения полного набора калибровочных функций кроме различных

24
Гл. 1. Введение
степеней е мы должны включать в него логарифмы, экспоненты,
а также функции вида
/"1в-"\Ып(-1), lnlnln(f), (in-i)", (1п1)-%,д.
1.4. Символы порядка
Вместо утверждения о том, что sin е стремится к нулю с той же
скоростью, что и е, обычно говорят, что «sin е имеет порядок е
при е -> 0», или «sin е есть «О большое» от е при е -> 0», и
записывают это как
sin е = О (е) при е -> 0.
Вообще мы полагаем х)
/(e) = О [g(e)] при е->0, (1.58)
если существует такое число Л, что
hlW=A> 0<М|<оо. (1.59)
Таким образом, при е -> 0
cos б = О (1), cos е — 1 = О (е*),
sh е = О (е), tg е = О (е),
cosec е = 0 (е-1), sec е = О (1),
ctge = 0(e^), ^1 = 0(6^),
sh -i- = 0(е1*), sch -i- = 0 (<?-»/•).
Необходимо отметить, что введенное с помощью символа О
математическое понятие порядка формально отличается от физического
понятия порядка величины, поскольку численное значение
постоянной Л, т. е. выбранного коэффициента пропорциональности,
при этом совершенно не учитывается. Так, Аг = 0 (е), даже если А
равно ста тысячам. Вместе с тем всегда существует тайная надежда,
что эти две оценки в значительной степени связаны между собой.
Иными словами, обычно принимается, что соответствующие
коэффициенты пропорциональности порядка единицы и значение,
определяемое символом порядка, оказывается достаточно близким
к фактическому численному значению физической величины.
*) В существующей литературе по асимптотическим методам символ 0 обычно
вводится несколько иначе. А именно, / (е) = 0 [g (е)] при е-* 0, если |/ (е)| ^
^ A \g (е) |, е^е0, А = const; при этом символ О фактически означает оценку
порядка сверху. Ограничиваясь, согласно (1.59), точной оценкой порядка, автор
отходит от традиционного определения и восстанавливает соответствие между
звучанием и смыслом соотношения (1.58). Вопрос о новом символе для
верхних оценок у автора не возникает, поскольку такие оценки в книге не
используются. — Прим. ред.

1.5. Асимптотические ряды
25
Во многих случаях имеющаяся у нас информация о заданной
функции оказывается недостаточной для определения скорости,
в которой эта функция стремится к пределу, однако с ее помощью
вполне можно установить, будет ли эта скорость больше или
меньше скорости изменения соответствующей калибровочной
функции. При этом мы используем символ порядка «о» (о малое),
определяемый следующим образом:
если (1.60)
Так, при
/(е) =
е-^0
sine = o(l),
cose = о (е-1),
e-i/» = о (е-10"'
о Ig (e) ] при e -*■ 0,
sin e = о (e'/2),
cose = о(б"1/3),
'), e-10,0 = o(e1/e),
In — = о(е-0-«*»), In In— = o(ln—),
в 6 \ в /
eV» = о («<I/e)
^ln-i-)2 = o(e-°-00001)
(1.61)
1.5. Асимптотические ряды
Рассмотрим теперь вопрос об оценке интеграла
/N-J
CD + X
0
dx (1.62)
при больших положительных о. Одним из способов построения
соответствующей аппроксимации для функции / (со) является метод
Лапласа, описываемый в § 3.3. Он заключается в разложении
множителя, стоящего в подынтегральном выражении при ехр (—х),
в ряд по степеням х и последующем почленном интегрировании
иолученного ряда. Действительно, используя биномиальную
формулу, получаем ряд
со _ 1 __ , _ JL.L — —4- ... — V (—!)"*"
(Л I гл2 /,лЗ ~Г 7 , „ 9
io -+- х 1 -f со_1х со ' со2 о3
п=-о
(1.63)
который сходится при х < со. Основная идея, лежащая в основе
метода Лапласа, состоит в том, что при больших х ехр (—л:)
стремится к нулю быстрее, чем растет к бесконечности любая степень х.
Отсюда следует, что величина нашего интеграла при больших со
определяется в основном лишь поведением подынтегральной

26
Гл. 1. Введение
функции вблизи начала координат. Подставляя (1.63) в (1.62),
находим
\П vn0-x
О п=0 п=0 О
Но поскольку для целых п
то
j x'le~x dx = n\,
о
СО'
п=0
Применяя признак сходимости Даламбера, получаем
,. /1-й член ,. (—\)пп\ со""1 ,. —п
hm-7 гг= = Ьш—-*—^-г-; = urn-— = — оо,
n-оо (л—1)-ичлен „^ шя(-1)«-> (п-1)! „-*«> !w
и, следовательно, ряд (1.64) расходится для всех значений со.
Для того чтобы выяснить, можно ли все-таки каким-либо образом
использовать формулу (1.64) для вычисления /(со), вычислим
остаток, получающийся при усечении этого ряда на N-м члене.
Заметим при этом, что отрезок ряда
N
S(—\)nXn
О)"
представляет собой геометрическую прогрессию с суммой
■(--2-У
1 '
1+ —
' СО
Отсюда следует, что
СО -f X
1-
~ (0
где /?jV — ^^
или, окончательно,
СО
со + х
п=0
-(-■s-r*:
■+-S-
VI (—1)"*"
~~ ill con
i
+ ■
CO /
'+■5-
<aN (o) + x)
(-*)w+1
<0W (0) + X)
(1.6!
/I«0

1.5. Асимптотические ряды
27
Умножая (1.65) на ехр (—х) и интегрируя полученный
результат от х = 0 до х = оо, получаем
оо N оо
м=0 0
N
о м=0
или
/2=0
где остаток
^N=-4^-J-^-rfA' (Г67)
0
является, очевидно, функцией со и N.
Теперь вместо того, чтобы применять признак Даламбера, мы
можем заняться исследованием поведения RN (со) при
фиксированном (о и iV-^oo. При этом для сходимости ряда необходимо,
чтобы lim RN = 0. В нашем примере это не так: на самом деле
N-+oo
RN -* оо при N -* оо, так что ряд расходится для всех значений
со, в полном соответствии с результатом, полученным по признаку
Даламбера. Следовательно, для того чтобы можно было
воспользоваться рядом (1.66), нужно зафиксировать число N и исследовать
поведение RN (со) при фиксированном N. Для этого попытаемся
оценить величину RN (со).
Так как со и х положительны, то
1 ■<+-
и значит
о + * ^ х
о о
Итак, ошибка, обусловленная усечением исходного ряда на N-u
члене, численно не превосходит первого отброшенного члена,
а именно (N + 1)-го. Более того, при фиксированном N и со -> оо
имеем RN -* 0. Поэтому хотя ряд (1.64) и расходится, но для
фиксированного N первые N членов этого ряда могут представлять
функцию/ (со) с ошибкой, которая может быть сделана произвольно
малой с помощью выбора достаточно большого значения со. Такой
ряд называется асимптотическим рядом типа Пуанкаре и
обозначается как
^-Ё-Ч^- (1-69)
п=0

28
Гл. 1. Введение
6 8 10 12
п
Рис. 1.4. Поведение членов расходящегося асимптотического ряда.
Вообще для заданного ряда £ (ап/соп), где ап не зависит от о,
мы говорим, что он является асимптотическим рядом, и пишем
со
CD-
тогда и только тогда, когда
N
(0-
оо.
(1.70)
(1.71)
При этом из (1.71) следует, что
так что условие (1.71) можно переписать в виде
(0-
оо,
Ю-*оо.
(1.72)
Необходимо отметить, что полезность асимптотических рядов
основана на том факте, что ошибка, совершаемая при усечении
ряда, по определению имеет порядок величины первого
отброшенного члена и, следовательно, быстро стремится к нулю при со -> оо.
В приложениях обычно фиксируют достаточно большое значение со
и пытаются минимизировать ошибку увеличением числа членов
ряда. Однако если ряд расходится, то в конце концов достигается
точка, за которой добавление новых членов лишь увеличивает
ошибку (рис. 1.4). Таким образом, для каждого заданного
значения о существует оптимальное значение N, при котором ошибка

1.6. Асимптотические разложения
29
будет наименьшей. На практике только в редких случаях
вычисляют более одного-двух членов разложения, и поэтому нет
необходимости заботиться о сходимости получающегося ряда. В тех же
случаях, когда требуется подсчитать достаточно много членов
ряда, их обычно получают посредством тех или иных
алгебраических операций, проводимых на ЭВМ. Затем ряд исследуется на
аналитичность, после чего он соответствующим образом
преобразуется с целью улучшения его свойств — например, с помощью
подстановок типа рациональных дробей, использования
естественных координат или преобразования Эйлера. Вопросы
преобразования расходящихся рядов в этой книге не рассматриваются, а
читателей, интересующихся этой проблемой, мы отсылаем к
монографии Ван-Дайка (1975) и содержащейся в ней библиографии.
1.6. Асимптотические разложения и последовательности
Как указывалось в § 1.3, существует множество функций, чье
поведение не может быть описано рядами по степеням малого
параметра. Более того, мы установили, что степени е следует
дополнить другими калибровочными функциями — логарифмом,
экспонентой, логарифмом логарифма и т. д. Вместе с тем для
асимптотического представления заданной функции вовсе не
обязательно ограничиваться перечисленными функциями
сравнения. Вместо них можно воспользоваться произвольной
последовательностью функций общего вида 8п (е), удовлетворяющих
условию
вл(е) = о[вя.д(е)] при е-*0. (1.73)
Такая последовательность называется асимптотической
последовательностью. Примерами асимптотических последовательностей
являются
е«, е"/3, (In е)-", (sine)", (ctge)-". (1.74)
В терминах асимптотических последовательностей мы можем опре-
00
делить и асимптотические разложения. Так, сумму вида SarAi (в),
где ап не зависит от е, а 6П (е) представляет собой асимптотическую
последовательность, мы будем называть асимптотическим
разложением функции / (е), если при е -► О
N
/(e)=EaA(e) + o(6„(e)), (1.75)
или, что то же самое,
f (е) = Е *А (е) + О (6N (в)), (1.76)
Пшш О

30
Гл. 1. Введенш
записывая это соотношением
оо
/(е)~ЦаА(е) при е + 0. (1.77)
Очевидно, что асимптотический ряд есть частный случай
асимптотического разложения.
Отметим также, что асимптотическое представление заданной
функции / (е) не единственно. В самом деле, функция / (е) может
быть представлена бесконечным числом асимптотических
разложений, поскольку существует бесконечное число асимптотических
последовательностей, которые могут быть использованы для такого
представления. Однако при задании последовательности функций
бп (е) асимптотическое представление функции / (е) с ее помощью
оказывается уже единственным. Действительно, положим
/ (е) ~ а0б0 (г) + аД (е) + а262 (е) + .... (1.78)
Разделив (1.78) на *0 (е), имеем
откуда, если устремить е к нулю,
поскольку Нт [8П (е)/б0 (е) ] = 0 для п ^ 1. Перенося член
8-0
а0ё0 (г) в левую часть и деля полученное соотношение на 6j (в),
находим
/ (в) — Qq6q (в) fi2 («) .
MS) ai + a2MST+ '•'•
откуда при е -► 0
е-0 61 (8)
Продолжая этот процесс, легко получить общую формулу
/(e)- 2«m6m(e)
«•-Й та • с-79»
1.7. Сравнение сходящихся и асимптотических рядоя
В гл. 13 мы получим два различных представления для функции
Бесселя нулевого порядка /0 (*)> а именно

1.8. Действия над асимптотическими разложениями
31
И
Jo{*) ~У ^[ис<*(х - %) + v *to (*— т)] при *->00'
(1.81)
где
и(Х)=\ — 4а 2* 2! х^ + 4«-2М1х« + " ' ' ( '* '
i \ 1' 1аЗа5а . п QQv
Ряд (1.80) сходится абсолютно и равномерно для всех значений
х, в то время как ряды для и (х) и v (х), а следовательно, и правая
часть (1.81) расходятся для всех значений х. Однако при х -► оо
слагаемые в и и v быстро убывают с ростом номера, так что
представление (1.81) действительно будет асимптотическим, поскольку
ошибка, совершаемая при обрывании рядов, имеет порядок
первого отброшенного члена.
Для малых х первые несколько членов разложения (1.80)
дают вполне приемлемую точность. В самом деле, первые девять
членов дают значение J0 (2) с точностью до 11 значащих цифр.
Однако до мере возрастания х число членов, необходимых для
обеспечения той же точности, быстро растет. При х = 4 восемь
членов ряда дают точность до третьей значащей цифры, в то время
как такую точность обеспечивает уже первый член
асимптотического разложения (1.81). При дальнейшем росте х хорошую
точность можно получать с гораздо меньшей затратой труда, именно
используя расходящийся асимптотический ряд (1.81).
Действительно, в случае очень больших х сходящийся ряд (1,80)
оказывается совершенно бесполезным с вычислительной точки зрения
из-за ограниченности разрядной сетки современных ЭВМ. Таким
образом, любая попытка вычисления функции J0 (х) при больших
х • помощью ряда (1.80) потерпит неудачу, как только х окажется
больше некоторого определенного значения; правда, это значение х
во многом определяется искусством программиста.
1.8. Простейшие действия над асимптотическими разложениями
При построении приближенных решений алгебраических,
дифференциальных и интегральных уравнений, а также при оценке
интегралов мы предполагаем, что асимптотические разложения
можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие
действия, такие, как сложение, вычитание, умножение, возведение
в степень, интегрирование и дифференцирование. Иногда
применение некоторых из этих операций оказывается необоснованным;
в этом случае они приводят к еингулярностям или неравномер-
ностям.

32
Гл. 1. Введение
Например, равенство
/Ff7=/7(i+^),/2 =
в^г 0+-£--£- + •■■) при е-*° (184)
не обосновано при е/х «■ О (1), поскольку при этом второй, третий
и последующие члены разложения становятся сравнимыми по
порядку с первым его членом. Следовательно, ошибка,
совершаемая в результате усечения ряда после N членов при х = О (е), уже
не будет иметь порядок О (е^), т. е. не будет порядка первого
отброшенного члена, и мы говорим о неравномерном разложении.
Аналогично, равенство
_L_ = 1 _ гх + е»дг* - г*х* + ... (1.85)
не обосновано при гх = 0(1), поскольку, по той же причине,
правая часть его будет неравномерна при больших х. Таким
образом, необходимо всегда проверять, являются ли полученные
разложения равномерными или нет, — в этом, собственно говоря, и
заключается одна из главных целей методов возмущений.
Упражнения
1.1. Найти первые три члена разложений следующих функций при малом е:
^О-т^+тяг'*')"1'
б) cos V\ — е/,
в) }Л--5-в + 2е«,
г) sin (1 -f-e —еа).
1.2. Разложить каждое из следующих выражений при малом 8, сохранив
три члена:
а) jA-4-«-Te4/'
б) (1 +6СОЗ/Г1,
в) (1 + е©х + е»©!)"1,
г) sin (s + eco1s Н- e*o)2s),
1 + 2е — е*
е) In—'
з/ТТ2£

Упражнения
33
3
1.3. Пусть Ji^e + ^x + e2^ и * = — [1-/1—4*0—1*)].
Разложить функцию h при малом е, сохранив три члена.
1.4. Определить порядок функций при малых е:
sn/il), In (1+sine), In (2 +sine), eln <l"8>
феделить порядок следующих вырал
Ке(1 — в{, 4я2е, 1000е,/2, 1п(1+е),
1.5. Определить порядок следующих выражений при е—► 0:
1 — cos е е3/2
1 + cos е ' 1 — cos е 9
-ch<l/e>. jV'ds.
е
6
1.6. Определить порядок следующих выражений при е-> 0
ln(l+5e), arcsin -==-, -^-, 1—fe'-cose, In(sh-l),
1.7. Определить порядок следующих функций при е—► 0:
,ln(ctge), cth(J-), _^_, ,„[, + 1п±±^]-
1.8. Расположить следующие выражения в ряд по порядку убывания при
малых е:
е2, е1'2, In (In е"1)» 1, e^Ine'1, е In е"1,
Г1/6, In е"1, е8'2, е, e2Ine*1.
1.9. Расположить следующие выражения в ряд по порядку убывания при
малых е:
•"(-т). Чт). 8-,/,0°' ct«8- *(f)-
1.10. Расположить следующие выражения в ряд по порядку убывания
при малых е:
sine
157Г»
1п(1+е), clge, th(i-),
elne, expr(-±), sh(±), ta-i(i-).
1.11. Расположить следующие функции в порядке убывания при малых е:
<-'/е> Чт). т> **• 0"f)*. °,/2'Чт)' в,/в«
_1_, ,. е, *», -^ /», е-И/., 1п(1п±),
eff.0001f в-0.0001, е0.0001^М\ б1/в> 5-1/е.

34
Гл. /. Введение
, 1.12. Расположить следующие функции в ряд по порядку убывания при
малых е:
г\ еЛ е«\ е"», 1, в3'2, е"3/2, ехр (±), In (±),
Ч'»Ш]. Н±)]: -»Ш. «*ф. -»(-■*•)• -•
где v = 10"100 и \l = 10100.
1.13. Расположить следующие выражения в порядке убывания при малых в:
In (1 + 6), seen"* е, |Т1!°!!: , j/"e (1 — е), e-ch <!/е>,
1 + cos е
In
In
1+2е
!+■
1 —2е
1пГ1 ln(l+2e)1 в"»
J' ш Ll+ e(l-2e) J ' 1-cose
1.14. Какие из следующих разложений по параметру не являются
равномерно пригодными для всех значений аргумента? Каковы области их неравно -
мерности?
+ »(-£?)'
Г 1 4- v2
б) т) (*, е) = е cos х + -^ е* 1 J_£ 2 cos 2* +
+ 4.^/12П+7Г+1,созЗ, + 0(е«);
16 (1 — 2уа) (1 — Зу2)
8^*
+ 0(е*);
в) о (kt е) = J/"^ _ 1
т) / (*, 8) == 1 — 8ДГ + е2*8 — е8х* + О (е*);
д) и(/, 8) = acos(l+-|-8a2)/+-g.cos3(l+^-pa8)/ + 0(e2);
е) u(tt e) = acosf + -~ (-j- cos 3/ - 3/ sin /) + 0(еа);
2в Зва
ж)с(т, 6) = !+-^—р+ (т_1)а +0(е«);
з) у (х, К) = т
V*4(l-*)
cos
I X J^^(l—х) djr I
+ 0(1) при Л,-*оо;
и) /(х, е) = sinx + еcosх —jе*sinх — -g-е*cosх + О(е4).

Глава 2
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы займемся исследованием алгебраических
уравнений, зависящих от малого параметра. Их приближенные
решения будут строиться в виде некоторых разложений, которые
в этом случае называются возмущениями по параметру. Сначала
разберем этот метод для уравнений второго порядка, поскольку
для них в целях сравнения можно легко воспользоваться точными
решениями. Далее, в § 2.2 мы исследуем кубические уравнения,
в § 2.3 — уравнения высших порядков и, наконец, в § 2.4 —
некоторые трансцендентные уравнения.
2,1 • Квадратные уравнения
Начнем с анализа квадратных уравнений и рассмотрим
несколько простых примеров, сравнивая полученные разложения
с точными решениями.
Пример 1
Будем искать корни уравнения
,х* — (3 + 2е) х + 2 + е = 0 (2.1)
при малом е. В случае е = 0 имеем" уравнение
х2 — Зх + 2 = (х — 2) (х — 1) = 0 (2.2)
с корнями х = 1 и х = 2. Уравнение (2.1) называется
возмущенным уравнением, а (2.2) — невозмущенным или вырожденным
уравнением. При малом, но конечном е естественно ожидать, что
корни уравнения (2.1) будут лишь немного отличаться от значений
1 и 2.
Первый шаг при нахождении приближенного решения
заключается в выборе формы разложения. В нашем случае предположим,
что искомые корни можно представить в виде
х = х0 + гхх + г2х2 + ..., (2.3)
где многоточие заменяет слагаемые со степенями е, для которых
показатель степени п ^ 3. В большинстве приложений определяют
только один или два члена разложения, поскольку вычисление
членов высших порядков оказывается весьма громоздким; по

36
Гл. 2. Алгебраические уравнения
возможности подобные расчеты стараются проводить с помощью
ЭЙМ. Однако следует отметить, что во многих физических задачах,
особенно нелинейных, нахождение членов высших порядков
оказывается достаточно сложной процедурой даже при использовании
ЭВМ. В этой книге мы будем ограничиваться рассмотрением лишь
нескольких первых членов соответствующих разложений. Обычно
первый член разложения *0 называют членом нулевого порядка,
эторой, т. е. гхъ — членом первого порядка и т. д. Иными словами,
порядок соответствующего члена определяется видом функции
сравнения, а не его порядковым номером в асимптотическом
разложении.
Второй шаг заключается в подстановке выбранного разложения
(2.3) в исходное уравнение (2.1), что дает
(*о + **i + е2*2 + -)1 - (3 + 2е) (*0 + гх± +
+ е2*2 + .,.) + 2 + е = 0. (2.4)
Третий шаг представляет собой выполнение элементарных
операций типа "сложения, вычитания, умножения, возведения в
степень и т. д. и, наконец, группировку коэффициентов при
одинаковых степенях е. Используя для разложения первого члена
биномиальную формулу, получаем
(*о + 6*i + 6% Н )2 = -*о + 2*0(в*1 + е2*2 + •••) +
-f- (eJti + е2дг2 Н )2 = 4 + 2e*o*i + 2b2XqX2 +
+ е2*? + 2e3*i*2 + е4*2 -\ = *о + 2e*o*i + е2 (2*о*2 + •*?) + •••;
(2.5)
здесь в соответствии с выбранной формой разложения (2.3)
сохранены лишь члены порядка е2. Если бы мы искали разложение
с точностью до членов порядка еп, где п ^ 3, то в выражении (2.5)
следовало бы сохранить члены того же порядка. Выполнив
умножение во втором члене в (2.4), находим
(3 + 2е) {xQ + ехх + е2*2 + ...) = 3*0 + Зе*х -^ Зе2*а + 2е*0 +
+ 2е2*х + 2е8*2 + ... = Зх0 + е (3*х + 2х0) +
+ е2 (3*2 + 2*0 + .... (2.6)
Здесь также в соответствии с выбранной формой исходного
разложения сохранены лишь члены порядка е2. Подставляя (2.5) и (2.6)
в (2.4), имеем
*o + 2e*o*i +е2 (2*0*2+*?)— Здг0 — е (3ati + 2^0) —
- е2(3*2 + 2*0 + 2 + е -\ =0-
Собирая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
(*§- 3*о+ 2)+ 6(2*0*1-3*!-2*о+1) +
+ e2(2*o*2+*?-3*2-2*i)H ==0. (2.7)

2.1. Квадратные уравнения 37
Четвертый шаг состоит в приравнивании нулю коэффициентов
при последовательных степенях е. Для оправдания этого шага
устремим е к нулю в выражении (2.7). В р^ул^-ате получим
уравнение
4-3*0 + 2 = 0, (2.8)
а (2.7) примет вид
е (2*0*1 - 3*i - 2*о + 1) + е2 (2*<^2 + *? - 3*2 - 2х\) -\ = 0.
Разделив на е, приходим к равенству
(2*o*i - 3*i - 2*о + 1) + е (2*о*2 + *? - 3*2 - 2*,) -\ =0,
(2.9)
которое при е -* 0 дает
2*o*i — 3*! — 2*о + 1 = 0. (2.10)
При этом (2.9) переходит в равенство
е (2*о*2 + *? - 3*2 - 2*0 -\ =0,
или после деления на е
2*о*2 + *? - 3*2 -2*1 + 0 (е) =0. (2.11)
Устремив в (2.11) е к нулю, иолучаем
2*о*2 + *i - 3*2 - 2*i = 0. (2.12)
Отметим, что соотношения (2;8), (2.10) и (2.12) можно получить
непосредственно из формулы (2.7), приравнивая нулю
коэффициенты при последовательных степенях е.
Пятый шаг состоит в последовательном решении упрощенных
уравнений (2.8), (2.10) и (2.12). Уравнение (2.8) совпадает с
вырожденным уравнением (2.2), и, следовательно, его решениями
будут
х0 = 1,2.
Зная *0, из уравнения (2.10) мы можем найти xv Отметим, что
(2.10) линейно относительно xv Практически в большинстве задач
уравнения каждого приближения также оказываются линейными,
за исключением, быть может, первого. В случае *0 = 1 уравнение
(2.10) дает
*х + 1 = 0, или *! = —!.
Зная *0 и *!, можно разрешить уравнение (2.12) относительно *2.
При *0 = 1, *i = —1 из уравнения (2.12) получаем
*2 — 3 = 0, или *2 = 3.
В случае *0 = 2 из (2.10) находим
*i — 3 = 0, или *! = 3,
а из (2.12) prt
*з +Д= 0, или *8 = —3.

38 Гл. 2. Алгебраические уравнения
Последний шаг заключается в подстановке полученных
значений xQt Xi и х& в исходное разложение (2.3). При х0 = 1, х± = —1
и х% = 3 это разложение приобретает вид
х = 1 _е + 3еа + ..., (2.13)
а при х0 = 2, л?! = Зи х2 = —3 разложение (2.3) можно
представить как
V > = 2 + Зе — Зе» + .... , (2-14)
Формулы (2.13) и (2.14) дают нам приближенные выражения для
обоих корней уравнения (2.1). Для того чтобы выяснить, насколько
удачны эти приближения, сравним их с точным решением
лг = 4-[3 + 2е =F/(3 + 2е)2-4(2+е)Ь
или
х = -L. [ з + 2е =F /1 + 8е + 4е2].. (2.15)
Используя биномиальную формулу, получаем
(т)(-т)
(1 +8е + 4е2)1/2=. 1 + -L(8e + 4e») + ч г/ 2Ч, ' (8е + 4е2)* + - =*
= 1 +4е + 2еа--§-(64еа+ ...)=1+4е-6е2+ ...,
что при подстановке в (2.15) дает
[-^-(3 + 2в+1+4е-6е2+...),
х =
или
»'(3 + 2e-l-4e + 6ea+...).]
f 2 + 3e-3e»+...,
*-{l—+ 3*+.... (2Л6)
в полном согласии с (2.13) и ,(2.14)
Пример 2
В качестве второго примера исследуем уравнение, разложения
для корней которого могут включать в себя не только целые, но и
дробные степени параметра е. Так, рассмотрим уравнение
(х— 1)(х —т) = —гх. (2.17)
При е = О оно сводится к уравнению ».
(*-1)(*-т) = 0,-
имеющему корни л; =s 1 и * =*~т. Исходя из этого, будем искать
приближения для корней уравнения (2.17) в виде
х =* х0 + гхх + г2х2 + .... (2.18)

2.1. Квадратные уравнения
39
Здесь му вновь ограничиваемся членами порядка е2, и поэтому
разложение (2.18) будем называть разложением второго порядка.
Подставляя (2.18) в (2.17), получаем
(*0 — 1 + е*! + е2*а + ...) (х0 — т + гхг + в2х2 + ...) =
= -^-е (х0 + гхх + г2х2 + ..♦),
что после "перемножения дает
(*0 — 1) (л-о — т) + е(х0— 1)лг1 4-е2(дг0 — 1)^2 + в(;г0 — т)дг1 +
+ е2дг? + е2 (х0 — т) х2 + гх0 + г2Х\ -| =0.
Объединяя члены с одинаковыми степенями е, имеем
(*о- 1)(*о^т) + е[(2дг0- 1)хг + *0) +
. +е2[(2^о-1-т)^2 + ^ + лг1]+---=0. (2.19)
Как и ранее в соответствии с выбранной формой разложения, мы
сохраняем лишь члены до порядка е2. Приравнивая нулю
коэффициенты при последовательных степенях е в соотношении (2.19),
получаем
(*0-1)(*0-т) = 0, (2.20)
(2*0 — 1 — т) Xl + х0 = 0, (2.21)
(2лг0 — 1 — т) лг2 + ^? + л:, = 0 Л (2.22)
что позволяет последовательно найти значения xQl хг и хг.
Решение уравнения (2.20) дает
х0 = 1 или х0 = т.
При *0 = 1 (2.21) переписывается в виде
(1 — т)*!+ 1 ±=0, или *! = ———.
Далее, из (2.22) находим
_(1_Т)*2 = ___ + __ = ^_Е_
а »
х
ИЛИ ДГ2 = (l-,T)t '
Таким образом, один из корней можно представить разложением
*-»-Т=7—(Г^)Г+---- (2-23)
При х0 = т (2.21) переписывается в виде
(T.-l)jf1-f-T = 0, или х1=-^-^,
а из соотношения (2.22) имеем
. jx т т1 X
p-i)x2 у—т (1_т)а (1_т)» '

40
Гл. 2. Алгебраические уравнения
ИЛИ
*2— (1-х)» #
Тем самым второй корень исходного уравнения дается
разложением
ж-т+157 + -?г?дГ+.... (2.24)
Выражения (2.23) н (2.24) показывают, что при т -► 1
полученные разложения перестают быть справедливыми (они оказываются
неравномерными), поскольку в этом случае «поправки» к решению
вырожденного уравнения будут стремиться к бесконечности.
Фактически же для того, чтобы построенные разложения
действительно оказались непригодными, % не обязательно должно
строго равняться единице. Дело в том, что эти разложения
нарушаются всякий раз, когда члены первого и последующих порядков
становятся сравнимыми по величине с членомчнулевого порядка,
так как в этом случае поправки к члену нулевого порядка будут
уже не малыми, в противоположность предположению, лежащему
в основе описываемого метода. Чтобы определить порядок величин
т—1, для которых разложения (2.23), (2.24) оказываются
непригодными (т. е. найти область их неравномерности), установим
условия, при которых последовательные члены разложения имеют
одинаковый порядок. Так, из формулы (2.23) следует, что нулевой
и первый члены этого разложения оказываются одного и того же
порядка, когда
-^ = 0(1), или 1_т = 0(е),
в то время как первый и второй члены. <>удут иметь одинаковый
порядок, когда
Т^-0[ТТ=^]' ИЛИ 0-т)' = 0(е),
или же
1 _ х = О (е1/2).
Поскольку для малых е е1/2 больше, чем е, то областью
неравномерности будет наибольшая из указанных двух областей, т. е. она
будет даваться соотношением 1 — т = О (е1/2).
Как отмечалось в гл. 1, неравномерности в разложениях
возникают тогда, когда при построений этих разложений необоснованно
используется та или иная элементарная операция. Для того чтобы
выяснить, какая это операция, обратимся к точному решению.
С этой' целью перепишем (2.17) в виде
х2 — х — IX + т + гх = О,
или
х% — (1 + х — е) х + %; = 0.

2.1. Квадратные уравнения •' 41
Корни этого уравнения даются формулой
ДГ=4-П+т-е±/(1+т-е)а-4т],
или
* = ' П +т - е±К(1 -т)а- 2е(1 + т) + в»]- (2.25)
О
Далее, разложим (2.25) в случае малых е и сравним результат
с (2.23) и (2.24). Используя биномиальную формулу, получаем
[(1 - т)2 - 2е(1 + т) + е2]"2 = (1 - т) [l
2е(1 +т) — е» "] 1/2
(1-х)
1,/2_
= (1-т)[
= (1_т)(1_|-о1±±- +
, (т)( 5") [2в(1+т)-е»]« ,
+ 51 (Г^)5 +"
е(1+т)
е»
1 4е»(1+т)»
(1_т)а -г 2(1— %)* 8 (1—т)« ^
— П <г\ U е('+т) r2eH , I
■]-
(2.26)
где вновь в соответствии с видом искомого разложения сохранены
лишь члены порядка г*. Подставляя (2.26) в (2.25), с учетом
положительного знака перед радикалом для одного из корней
получаем
у— l Ti _ь- о_1_ 1 в(1 + х) 2ъН . 1
или
х=1
е«т
1-т
(2.27)
в полном соответствии с (2.23). Подставляя (2.26) в (2.25), с учетом
отрицательного знака перед радикалом для второго корня имеем
илг
* = т
ет , е»т
Г=Т + (1-х)* + •••»
(2.28)
в полном соответствии с (2.24).
При выводе формул (2.27) и (2.28) из точного решения мы
выполнили возведение в степень в (2.26), а также сложение и
вычитание в (2.27) и (2.28). Сложение и вычитание являются обычно
обоснованными операциями, так что «подозрительной»
представляется операция возведения в степень. Действительно, при аппрокси-

42 - Гл. 2. Алгебраические уравнения
мации (1 — и)1'2 разложением вида 1 j-«+ 21 "2 + ...
мы неявно предположили, что \и\ < 1. В нашем примере величина
— TV1 (2-й)
мала по сравнению с единицей, только если т не слишком близко
к единице. В случае же т= 1 и обращается в бесконечность
независимо от того, насколько мало е, лишь бы оно было отличным
от нуля. Поэтому из (2.29) следует, что биномиальное разложение
становится непригодным, когда и = О (1), или (1 — т)2 = О (е),
или же 1 — т = О (е1/2).
Следовательно, для получения равномерно пригодного
разложения в случае, когда 1 — т = О (е1/2), нам необходимо
видоизменить описанную выше методику с учетом этого обстоятельства.
Это можно осуществить, если ввести так называемый «параметр
расстройки», определяемый соотношением
1-т = е1/2(т, (2.30)
где or не зависит* от е. Подставляя (2.30) в (2.17), имеем
(а:— 1) (аг— 1 + г^а) = —елт. (2.31)
При е = О уравнение (2.31) сводится к уравнению (х — I)2 = 0,
имеющему двукратный корень х = 1. Этот факт, а также наличие
в уравнении (2.31) множителя е1/2 дают возможность
предположить, что искомое разложение следует искать в виде jr: (
х = 1 + е1'2*! + едг, Н . (2.32)
Мы ограничимся вычислением лишь члена порядка е1'2, поскольку
построение высших приближений представляется очевидным.
Подстановка первых двух членов разложения (2.32) в (2.31) дает
(е1/2*Н )(e^/2Л:1_(-e1/%^ ) = —е(1 +е1^1+ •••),
или
гхг + гохг + г + • • • =0,
что приводит к уравнению
*i+a*i + l=0,
корни которого записываются как
Таким образом, корни уравнения (2.17) в этом случае даются
разложениями
х=1 — ^-е'/2 (<т - /аа - 4 ) + • • • ,
(2.33)
*=1-^-в«/*(а+/5^Т)+---,
равномерными при а = 0 или т = 1. . -,

i.L Квадратные уравнения
43
Пример 3.
В качестве третьего примера рассмотрим уравнение
гх2 + х + 1 = 0, (2.34)
в котором малый параметр стоит множителем при наибольшей
степени х. Когда е «► 0, уравнение (2.34) вырождается в уравнение
первого порядка 'г р.
х + 1 = 0, (2.35)
имеющее только один корень. Таким образом, величина х
претерпевает разрыв при е = 0. Такую задачу принято называть задачей
сингулярных возмущений.
Уравнение (2.35) дает возможность предположить, что один из
его корней следует искать в виде разложения ^ -
х = х0 + гхг + • ... (2.36)
Для упрощения"вычислений мы ограничимся нахождением только
членов первого порядка. Подставляя (2.36) в (2.34), имеем
е (*<> + е*х Ч )2 + х0 + гхг Н hi =0,
или
е (х% + 2е*о*|) + *о + e*i + 1 -\ =0,
или же
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
систему
*о+1=0,
из которой можно последовательно найти х0 и хг> В частности,
xq — — 1 и х\ = —xl = —1, что дает для одного из корней
х = _i _ е + ... . (2.37)
Как и следовало "ожидать, описанная выше методика позволяет
найти только один корень уравнения (2.34). В целях разработки
модифицированной процедуры, позволяющей определить второй
корень этого уравнения, обратимся к его точному решению:
* = -^(-1±у1^4Г). (2.38)
Используя биномиальную формулу, получаем
2 ( 2 )',
/1~4е =1-2е+ Ч2| (—4е)2-| » 1_2е-^2е2 + ... .
(2.39)

44
Гл. 2. Алгебраические уравнения
Подставляя (2.39) в (2.38) с положительным знаком перед
радикалом, имеем для одного из корней уравнения
* =——*- ^ х __i _е_| f (2.40)
в полном соответствии с (2.37). Подставляя (2.39) в (2.38) с
отрицательным знаком перед радикалом, для второго корня исходного
уравнения находим
х= .!.,+», + »,+ ... ._.j_ + 1+8+... ^ {2А1}
Таким образом, оба корня описываются разложениями по
степеням е, но одно из них начинается с члена порядка е-1. Не
удивительно поэтому, чтр выбранная форма искомого разложения
не,позволяет найти корень (2.41). Очевидно, что без знания
особенностей структуры второго корня оказывается невозможным
определить его с помощью традиционной техники возмущений. Однако
в общем случае, когда точное решение не известно, характер
корней также заранее не известен и должен определяться в процессе
нахождения решения. Вместе с тем ясно, что при сохранении
порядка исходного уравнения второй корень становится
неограниченным при е -* 0, и поэтому старший член разложения следует
искать в виде
*=-?-+••• (*42)
е
с положительным v, определяемым в процессе дальнейшего
решения. Подставляя теперь (2.42) в (2.34), имеем
el~2V + e-v# + Н =0. (2.43)
Далее, выделим в (2.43) члены, играющие определяющую роль.
Для восстановления структуры второго корня мы должны
сохранить первый член el~2v#2; в противном случае мы будем вынуждены
сразу же остановиться. Так как v > 0, то второй член много
больше 1 и, следовательно, главная часть (2.43)-будет
e1-2v^2 + e~v^ = 0. _ (2.44)
При этом степени е в обоих слагаемых соотношения (2.44) должны
быть одинаковы, т. е.
1 — 2v = —v, или v = 1,
для у, отличных от нуля. Затем из (2.44) получаем
у = 0 или у = —1.
Значение у = 0 соответствует первому корню (2.37), поскольку
в области О (г'1) он оказывается равным нулю; значение у — —1
Соответствует второму корню исходного уравнения. Тем самым из

2.2. Кубические уравнения 1 45
(2.42) следует, что первое приближение для второго корня можно
записать как
в полном соответствии с (2.41). Для определения следующих
членов в разложении для второго корня попытаемся искать его
в виде
* = -4- + *о+— . (2.45).
Подстановка (2.45) в (2.34) дает
или
или же
—2х0 + *о + 1 + О (г) = 0.
Отсюда х0 = 1, и разложение (2.45) приобретает вид
* = --L-fl + ...,
в полном соответствии с (2.41).
С другой стороны, как только величина v определена, можно
рассматривать (2.42) как преобразование переменной х к
переменной у. Тогда, полагая в (2.34) х = у/г, получаем уравнение
У2 + У + е - 0, (2.46)
из которого могут быть найдены оба корня, поскольку параметр е
уже не входит множителем в член высшего порядка.
2.2. Кубические уравнения
В этом параграфе мы также рассмотрим три примера. В первом
примере корни уравнения представляются в виде ряда по целым
степеням малого параметра е, корни второго уравнения
выражаются в виде ряда по дробным степеням е, а часть корней в третьем
примере включает в себя обратные степени параметра.
Пример 1
Рассмотрим уравнение
х? — (6 + е) х2 + (11 + 2е) х — 6 + е2 = 0 (2.47)
и попытаемся воспользоваться разложением по целым степеням'е
х = х0 + ьхг + ... . (2.48)

46 Гл. 2. Алгебраические уравнения
Подстановка (2.48) в (2.47) дает
(*о + **+- )8 - (6 + е) (*0 + гхх + • • )2 +
+ (11 + 28) (*0 + гхг +.-.) — 6 + е2 = О,
или
xl + Зг4хх _ (6 + е) (*£ + 2e*o*i) +
+ (ll+28)(*0 + e*i)-6 + 82+...=0,
или же
xl + 3e*<j*i — 6*о — 12e*o*i — е*о +
+ 11х0 + * le*i + 2е*0 — 6 И =0.
Группируя члены с одинаковыми степенями е, получаем
4 - 6*о + 11 хо - 6 + 8 (3*5*1 - 12*0*1 +
+ 11дг1_д8 + 2*о)+•••*=<>,
где в соответствии с видом выбранного разложения сохранены
лишь члены порядка е. Приравняв нулю коэффициенты при е°
и 81, имеем
4-б4+П*о-6 = 0, (2.49)
34*1 — 12*c*i + 11*1 - х% + 2лг0 = 0. (2.50)
Уравнение (2.49) можно представить в виде произведения
• (*о - О (*о - 2) (х0 - 3) = 0,
что дает
Xq = 1 , Xq = Z, Xq = о.
Из (2.50) следует, что
(3*о - 12*о + 11) *i = *о - 2*о,
откуда
jr, = (*§ — 2лг0)/(3лг§ — 12*0+11). (2.51)
При *0 = 1 из (2.51) получаем, что хх = g-. Таким образом,
один из корней исходного уравнения дается разложением
*=1—-^-е-1 .
При *0 = 2 из (2.51) получаем, что хх = 0. Следовательно,
разложение для второго корня можно записать как
* = 2 + 0-е+... .
з
При *0 = 3 из (2.51) получаем, что хх = -^-. Исходя из этого,
третий корень представляется в виде разложения
- хв.з+4-в+---.

2.2. Кубические уравнения
47
Таким образом, в данном случае разложения для всех корней
содержат лишь целые степени е. j
Пример 2
В качестве второго примера исследуем уравнение
х* — (4 + е) х2 + (5 — 2е) х — 2 + еа = 0. (2.52)
Как и в предыдущем случае, попытаемся воспользоваться
разложением вида - jfc,
х = х0 + гхг + • • •. (2.53)
Подстановка (2.53) в (2.52) дает
(х0 + ехг + ...)8 — (4 + е) (х0 + гхг + • • О2 +
. + (5 - 2е) (х0 + гхг + • • •) - 2 + е2 - 0
или
*о — 4x1 + 5*0 — 2 + е (3*o*i — 8*0*i — *о + 5*i — 2х0) + • • • = 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях е,
имеем
дг? — 4лго + 5лг0 — 2 = 0, (2.54)
3*o*i — 8*o*i — *о + 5*i — 2*о = 0. (2.55)
Для того чтобы решить уравнение (2.54), представим его левую
часть в виде произведения
(*0 - I)2 (*0 - 2) = 0,
откуда получаем
*о а= 1» *о = If4 х0 = 2.
Для того чтобы найти хх из (2.55), перепишем это уравнение
в виде
(34-8*о-Ь 5)*1=*? + 2*о,
откуда
*i= зх{-Ьх*+Ъ • (2<56)
При *0 = 2 из (2.56) следует, что хг = 8. Таким образом, один из
корней исходного уравнения может быть представлен как
* - 2 + 8е + • - • . (2.57)
При 10 = 1 из (2.56) получаем *! = <», что указывает на
ошибочность выбранной формы разложения.
Для построения разложения, пригодного при *0 = 1, заменим
разложение (2.53) на следующее:
х = 1 + е% + е2^ -\ , v>;0 (2.58)

48
Гл. 2. Алгебраические уравнения
и попытаемся найти значение v в ходе вычислений. Подставляя
(2.58) в (2.52), имеем
(1+8^ + 8^+...)»-(4 + e)(l+e^1 + e2v;fl+•..)•+.
-f (5-2е)(1 4-е% + е2у*2Н ) — 2-\ =0
или
1 + 3evxi + Зе^а + 3e2v^ - 4 - 8гух{ - 8e2v*2 - 4e2v^ - е -
- 2e1+vjri + 5 + 5ev^i + 5e2vr2 - 2e - 2e1+vJC! - 2 -\ =0,
откуда
__^e2v-3eH =0. (2.59)
Для того чтобы главные члены в (2.59) скомпенсировали друг
друга, 2v должно быть равно 1, или v = -sr, и, следовательно,
хх = ±т/3 L Тогда из (2.58) получаем, что второй и третий корни
исходного уравнения можно представить как
дг=1±е1/ауТН .
Этот пример иллюстрирует трудности, возникающие в случае
неверного выбора вида исходного разложения. В то же время
правильный выбор разложения позволяет сразу построить
соответствующее решение. Отметим, что подобная ситуация оказывается
типичной для многих задач теории возмущений.
Пример 3
В качестве третьего примера рассмотрим уравнение
ех3 + х + 2 + е = 0, (2.60)
в котором малый параметр стоит множителем при наибольшей
степени х. В случае е -► 0 уравнение (2.60) переходит в уравнение
х + 2 = 0;
исходя из этого, положим, что один из корней (2.60) можно
представить в виде
х = х0 + гхх + • • •. (2.61)
Подстановка (2.61) в (2.60) дает
е (*„ + е*1 + • • -)3 + *о + e*i + • • • +2 + е = 0
или
дг0 + 2+-е(АГ1+-АГ§+ 0Ч
Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях е,
получаем
х0 + 2 = 0, ДГ1+ДГ03+1 =0,

2.3. Уравнения высших порядков 49
откуда х0 = —2 и хг => 7. Таким образом, один из корней дается
разложением х = —2 + 7е "+ • • •. Прежде чем приступить к
нахождению остальных корней, отметим, что при е -*■ 0 они будут
стремиться к бесконечности, поскольку е входит множителем
в член наивысшего порядка. Поэтому при выборе разложений для
этих корней примем, что их главные члены имеют вид
х = Лг+...$ v>0. (2.62)
в
Подставл1яя (2.62) в уравнение (2.60), получаем
e<-3V 4_е-^ + 2-| =0. (2.63)
Для того чтобы определяющие члены в (2.63) скомпенсировали
друг друга, необходимо, чтобы
1 — 3v = —v или v = ~5" и У*-\'У = ®>
откуда у = 0, у = /, у = —/.
Случай у = 0 соответствует первому корню исходного уравнения
и поэтому здесь не рассматривается.
При построении уточненных приближений для второго и
третьего корней воспользуемся приведенной выше информацией
и будем искать эти разложения в виде
= -Ьг+*о+---, (2.64)
X
е1
где у « -J-/. Подстановка (2.64) в (2.60) дает
ИЛИ
r4*W + y) + tyx% + x. + 2+~-~0.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, имеем
У8 + у = 0, Зу*х0 + х0 + 2 = 0.
Отсюда, как и ранее, у — ±/ и
х0 = -2/(3(/я + 1) = 1.
Таким образом, второй и третий корни уравнения (2.60)
представляются разложениями
2.3. Уравнения высших порядков
В этом параграфе рассмотрим уравнения высших порядков,
уделив особое внимание случаю, когда малый параметр стоит
множителем при наибольшей степени неизвестной. В частности,
исследуем уравнение
гхп = хт + flm.!*™-! + ат_2х"-2 + • • • + W + До, (2.65)

50 Гл. 2. Алгебраические уравнения
где коэффициенты а8 не зависят от е и л:, л и m — целые числа и
л > т. При е -* 0 уравнение (2.65) сводится к уравнению /j
хт + flm-i^-1 + flm-**"1-2 + • • • + агх + flo = 0, (2.66)
имеющему корни а3, где s =* 1, 2, ..., m. Для уточнения этих
корней положим
* = *о + e^ + ...; (2.67)
подставляя в (2.65), имеем
е(*о + е*Н )Л = (*о + **Н )m + 0m-i(*o + e*iH У"^1+
+ лт_2(АГ0 + ел1Н У"-2Н h «1 (^0 + в^х -( ) + я0
или
4* + am-i*?"1 4- ат-2х%-2 + • • • + fli*o + До +
+ е W*1 + (т - 1) Ят-^2 +
+ (т - 2) ат_2<-3+ •. • +a,J;ri - ejrff + О(е2) = 0.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
л? + am-i*?-1 + Ят-2*?~2 + • • • + ахх0 + а0 = 0, (2.68)
[тхГ"1 + (т - 1)а^1Д^"2 + (т- 2)ат^^'г + • • • + flil *i =*?•
(2.69)
Уравнение (2.68) совпадает с (2.66) и, следовательно, имеет те же
самые корни х0 = ав, где s = 1, 2, 3, .... m. Тогда из (2.69)
следует, что
xi = а? [та?-1 + (т - 1)>т_1аГ"2 + v + fli]*1-
Таким образом,
х =* <xs + ес£ [та?"1 + (т - 1)>т_1аГ~2 Н |- а,^1 + • • • /
(2,70)
Следует отметить, что разложение (2.70) становится непригодным
всякий раз, когда член в квадратных скобках стремитея к нулю.
Это соответствует случаю "кратного корня уравнения (2.68).
При этом разложение должно включать в себя дробные степени е
и строится в соответствии с методикой, используемой в примере 2
предыдущего параграфа.
Прежде чем приступить к определению оставшихся п — т
корней, заметим, что они стремятся к бесконечности при е -> 0,
поскольку малый параметр е стоит множителем при наибольшей
степени неизвестной х. Поэтому разложения для них будем искать
в виде
* = Чг"+*о+---, v>0. (2.71)

2.4. Трансцендентные уравнения 51
Подставляя (2.71) в (2.65), имеем
с I gnv г e(n-l)v ~Г I — emv ~ e(m—l)v ~ •
i_ am-i!/n~' i (m — 1) flnu-jy"" *о _j_ . . /о 70\
+ 8<m-l)v H e(m-2) v Г ••• l^'^/
Выделяя главные члены, получаем
e(l-nv) yti = z-m»t/n
и, следовательно,
1 — nv = —mv, так что v = n_m » (2.73)
Уп = 0я». (2.74)
Для уравнения (2.74) нуль является корнем кратности т\ кроме
того,
Упмм — 1 = е2ли>
где г = 1, 2, ..., (п — т). Отсюда
у = а>, со2,..., а)—; со = ехр(-^г). (2.75)
Корень у = 0 мы отбрасываем, так как он соответствует первым
s корням.
Используя (2.73) и (2.74), перепишем (2.72) в виде
пуп-хХф* = т^х^У + ат-гУ"1-1^ -\ .
Сравнение коэффициентов при ev в обеих частях этого равенства
дает
njf-% = туп-^Хо + ат_^-\
откуда
Y em-if/*""1 flm-i flm-i /о 7fi\
*°- ny«~i-mtr-x ~ niTm-m " »-m ' ^ '
Таким образом, оставшиеся n — m корней даются разложениями
<0Г , An
'e7 + 7rJr+-^ '=*. 2---. «-«. (2'77>
где v и о) определяются формулами (2.73) и (2.75).
2.4. Трансцендентные уравнения
Рассмотрим теперь нули функции Бесселя J0 (х) при
больших ху т. е. исследуем корни трансцендентного уравнения
Jo (х) - 0
при л:->оо. В гл. 13 будет построено разложение для /0 (*)
при х-* оо. Из формулы (13.141) следует, что
Л(*)~ ]/-^r[ttCoa(^--T-).+ 08in('""Т")] при *-*°°>
(2.78)

5? Гл. 2. Алгебраические уравнения
где и и v в соответствии с (13.129) и (13.130) даются разложениями
Полагая в (2.78) /0 (*) = °i имеем
и cos (* —j-) = — if sin (х —5-Л
или
ctg (*--£-) = --^. (2.81)
Из разложений (2.79) и (2.80), с использованием биномиальной
формулы, следует, что
"ЧТ** 1024xs "I )(! + ~128*Н ) ^ T^~"5l2** +
(2.82)
Подставляя (2.82) в (2.81), находим, что при больших значениях
аргумента нули фуркции J0 (х) описываются уравнением
«*{х-т)—sr+w- + ---- <2-83>
Так как х велико, в первом приближении правой частью
уравнения (2.83) можно пренебречь, что дает в результате
ctg(*-;.2-)=o.
Откуда
*-т = (я + тг)я или- * = (" + 4-)я' (2*84)
где п — целое число, которое должно быть достаточно большим
для того, чтобы х было велико. Однако, как показано ниже, даже
при я = 0 мы имеем удивительно хороший результат.
Для уточнения полученных приближенных значений х
положим теперь
x-iL=(/i-{--i-)ji + 8, или х=(п+^-)п+6 (2.85)
и, подставив в (2.83), получим
ctg[(«+4-)" + 6]=- 2л(4. + 3) + 8б +
33 -) . (2.86)
[2я (4л + 3) + 86J8

2.4. Трансцендентные уравнения
53
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами,
перепишем левую часть (2.86) как
г/ 1 \ -Г <*g(*+4-Wctge-l
ctg (п+4-)*+4=—)—Н в
L4 1J J ctg^ + -L)n + ctg6
F = _tg6 = -(6 + -l-63+.-.)<
ctg
Тогда (2.86) приобретает вид
6 + Т68== 2я(4п + 3) + 86 [2я(4л + 3) + 86]8 + ' " ' • (2-87)
причем это соотношение можно рассматривать как алгебраическое
уравнение относительно б.
\ х Выберем в качестве малого параметра е = [2я (4/* + 3) I"1
и перепишем (2.87) в виде
л i х аз в ЗЗе»
б+Х6 =Tqrii6— (ц-8еб)^ + "••
или
б + -i-68 = e(l - 8еб)- ЗЗе3Н . (2.88)
Далее, воспользуемся следующим разложением для 6i
б = ебх + е2б2 + е8б8 + • • • • (2.89)
Подставляя (2.89) в (2.88), мы имеем
ей + б2б2 + е3б3 4 b-y-e36?=:e--8e36i ~33е3Н •
где сохранены лишь члены до порядка е8. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
■6i = lf б2 = 0 и бз + -|-в? = —86i — 33,
откуда б8 = —41 -г-. Следовательно,
д' = (п+-г)я+е-41-ге,+
\
или
Сравнение приближенных значений нулей функции Бесселя
Л (*)i подсчитанных по формуле (2.90), с точными значениями
представлено в табл. 2.1. Соответствие оказывается весьма
хорошим даже для первого корня, точное значение которого равно
2,40482 • • •, т. е. аргументх при этом не очень велик.
Приближенное же значение прн этом отличается от точного лишь в четвертой

54
Гл. 2. Алгебраические уравнения
Таблица 2.1
Сравнение приближенны* н точных значений нулей функции Бесселя J0 (х)
Порядковый
номер 12 3 4 6 6 7
нуля п
Метод Щ 2.40308 5.52004 8.65372 11.79153 14.93092 18.07106 21.21164
возмущений
Точное 2.40482 5.52008 8.65373 11.79153 14.93092 18.07106 21.21164
значение
значащей цифре, а относительная ошибка составляет примерно
0,07 %. По мере увеличения порядкового номера нуля п точность
увеличивается; для п = 4 значение, полученное по методу
возмущений; совпадает с точным табличным значением вплоть до
седьмой значащей цифры.
Упражнения
2.1. Определить два члена разложения для каждого корня следующих
уравнений при малых в:
а) х8 — (2 + е) х8 — (1 — е) х + 2 + Зе = 0, .
б) х8 — (3 + е) х — 2 + е = 0,
в) х3 + (3 — 2е) х* + (3 + е) х + 1 — 2е = 0,
г) х4 + (2 — Зе) х8 — (2 — е) х — 1 + 4е = 0,
д) х4 + (4 — е) х8 + (6 + 2е) х* + (4 + е) х+ 1 — еа = 0.
2.2. Определить два члена разложения для каждого корня следующих
уравнений при малых е:
а) е (и8 + и2) + 4«а — Зи — 1 = 0,
б) ей8 + и — 2 = 0,
в) ги* + (и — 2)а = 0,
г) иа - и — 2 + -i-e (и8 + 2и + 3) = 0,
. д) ей4 + и8 — 2м2 — и+2=0,
е) ем4 — и8 + Зи — 2 — 0,
ж) ей4 — ыа + Зи — 2 = 0,
з) ем4 + и2 — Зи + 2 = 0,
и) ем4 — и*! + 2и — 1 = 0,
к) ем4 + и* — 2и + 1 = 0,
л) е (и4 + и9) — к* + Ъи — 2 = 0,
м) е(«*+к4— ги^+гк2 — Зи + 1 = 0,
и) е (а6 + и4 — 2м8) — 4ua + 4и — 1 = О,
о) е2ив — ем4 — и8 + 2иа + и — 2 = 0.

2.4. Трансцендентные уравнения 55
2.3. Найти двучленные разложения для решений следующих уравнений
при малых е:
ч е Зе2 Л
б)1 ' «* 0.
3jAs bVs
2.4. Найти двучленные разложения для корней следующих трансцендентных
уравнений при больших значениях аргумента:
а) х tgx =* 1,
б) Jtctg*= 1.
2.5. Дифференцируя (2.78) и используя (2.79) и (2.80), показать, что
большие нуля функции J'0(x) являются решениями уравнения
«(--5-)---£-+-.
Показать также, что
Х=(п + -Г)п- 2*(4п + 1) +••••
Сравнить полученный результат с точными табличными значениями для первых
семи нулей.
2.6. Асимптотическое разложение функции Неймана нулевого порядка
имеет вид
Показать, что нули У0 (х) даются формулой
1
:==(Л + ~г)я +
2я(4л + 1) ^
Сравнить этот результат с точными табличными значениями для первых семи
нулей.
2.7. Используя асимптотическое разложение Y0 (х) из предыдущего
упражнения, показать, что корни уравнения KJ (х) = 0 даются формулой
'-("+4)"- а»<Л + з)+--
Сравнить этот результат с точными табличными значениями для первых семи
корней.
2.8. Асимптотическое разложение функции Бесселя /v (*) имеет вид
9 yv т/ 2 Г / vя я\ 4va — 1 . / vn я \1
при X -+ оо.
а) Показать, что корни уравнения Jv (х) = 0 даются формулой
/ 3 v \ 4v2 — 1
*=(/* + !- + — )П 2n(4n + 3 + 2v) +
зать, что корни уравнения J^ (х) = 0 даются фор«
у-In л. l j. v V„ 3 + 4v«
*-(,»+—+ — )* 2я(4« + 1+2г) +

56
Гл. 2. Алгебраические уравнения
в) Сравнить эти результаты с полученными в упр. 2.5 и в п. 2.4 при v = 0.
г) Сравнить эти результаты с точными табличными значениями для первых
семи корней при v = 1.
2.9. Асимптотическое разложение функции Неймана Yv (х) имеет вид
М*>~ У 1ST l8to(*"-5—г) + —W~cos (*—5—г) J
при х^+ сю.
а) Показать, что корни уравнения Yv (х) — 0 даются формулой
/ 1 v \ 4v2 — 1
*==^+_+_j „_____+....
Сравнить этот результат с результатом, полученным для Y0 (х) в упр. 2.6.
б) Показать, что корни уравнения KJ (х) = 0 даются формулой
/ , 3 , v \ 3 + 4va
^(»тТ + Т)я- 2я(4п + 3 + 2у) + ""
Сравнить этот результат с результатом, полученным для Y0 (х) в упр. 2.7.
в) Сравнить эти результаты с точными табличными значениями для первых
семи корней при v = 1.

Глава 3
ИНТЕГРАЛЫ
Как известно, решения многих дифференциальных и
разностных уравнений не выражаются в элементарных функциях, но
могут быть представлены в виде определенных интегралов. Среди
многочисленных методов, используемых для получения
интегральных представлений решений дифференциальных уравнений,
основное место занимают преобразования Лапласа и Фурье. Прежде
чем приступить к описанию приближенных методов оценки
интегралов, покажем на примере, как можно получить в
интегральной форме решение простого дифференциального уравнения.
Другие примеры того же рода приведены в § 13.5 и в
упражнениях 13.17 и 13.18.
Будем искать общее решение следующего линейного
дифференциального уравнения первого порядка:
У' + У = -Т- (3.1)
Умножая обе части уравнения (3.1) на интегрирующий множитель
ехр (х), получаем соотношение
у'е* + 0е* = 4-, (3-2)
которое может быть переписано как
-£-<w-4~ .. <33>
Интегрируя уравнение (3.3), находим
X
ye'^l^-dx + c, (3.4)
где т — переменная интегрирования, х0 — произвольно
выбранный нижний предел и с — произвольная постоянная. Подчиним
наше решение начальному условие у (1) = а. Это условие
определяет постоянную с в виде
с = ае~~ I —dr.
х9

58
Гл. 3, Интегралы
Подставляя выражение для с в (3.4), получаем
X 1 X
уе*= \-?—d%-\-ae— J 4г-<к = ае+ f_£_dt.
Таким образом, имеем
X
уч=ае1-* f е-* J-^-^t. (3.5)
Данная глава посвящена методам приближенной оценки
интегралов типа (3.5), являющихся решениями обыкновенных
дифференциальных уравнений и не выражающихся в элементарных
функциях. Мы рассмотрим такие методы, как разложение
подынтегральной функции, интегрирование по частям, метод Лапласа,
метод стационарной фазы и метод скорейшего спуска. Все эти
методы будут продемонстрированы на специальных примерах.
3.1. Разложение подынтегральной функции
В этом параграфе рассмотрим четыре примера.
Пример 1
Оценим величину интеграла
/(е) = \sinex2dx ^ (3.6)
при малых е. Разложение подынтегральной функции в ряд
Тейлора дает
sln „. = |j НДГ' _ „. _ 4- eV + -jjy.** + 0 (в»).
(3.7)
Применяя к полученному ряду (3.7) признак Даламбера, имеем
. я.й член _ ,. (-^'(^(h-SII _
п™ (п-1)-йчлен -ZZ (2п-1)!(-1)»(е*2)2'»-3 ~
п™ (2«-1)(2л-2) и>
Следовательно, ряд (3.7) сходится при любых значениях ах*.
Поскольку |*| < 1, а е мало, то остаточный член в формуле
(3.7) есть величина порядка е' для всех значений х из про-

3.1. Равлошние подынтегральной функции 59
межутка интегрирования. Подставляя теперь ряд (3.7) в
исходный интеграл (3.6) и интегрируя почленно, получаем
л=1 О
- Ё ^~X\C-l) =-re-!Fe8+We5 + 0 С1»- (3-в)
/1=1
Пример 2
В качестве второго примера рассмотрим полный эллиптический
интеграл первого рода
7 Л
7И- j yi-msln»6 (3-9)
о
при малых т.
Используя биномиальную формулу, можно записать
/ 1 \/_ 3\
(1 - тsln29)-'/2 — 1 + 4-m>ln*6 + fei ^ (-/nsln28)*+
+ (-r)(-j)(-r){_m sln29)8 +
+ V "^/V Л" А—2_Д—2_L (_m sln* б)4 + О (m5). (3.10)
Применение признака Даламбера дает
л-й член
lim
(я — 1)-й член
" " (-Ж-*)(-4)-"(-**1)"-1>|«—«г«"
i<
Таким образом, ряд (3.10) сходится при всех значениях в, для
которых msin20 < 1. Поскольку sin2 0 <з 1, а параметр т
с самого начала предполагается малым, то остаточный член в
формуле (3.10) представляет собой величину порядка ть для любых
значений 0.

60
Гл. 3. Интегралы
Таблица 3.1
Зависимость отношения Jjl9 от величины параметра т
т 0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
1аИе 1 1.0000 0.99917 0.99720 0.99216 0.98043 0.95382
Подставляя ряд (ЗЛО) в формулу (3.9) и интегрируя почленно,
получаем
Я/2 я/2 Я/2
L/b(m)== J d6 +-y*m J sln29d9 + -|-m2 J sin49d9 +
0 0 0
я/2 Я/2
+ -^-m3 J slneed9+-^m4 J sln*Qd0 + O(m*). (3.11)
о о
Воспользовавшись формулой
Я/2
j*"2ne^= ДУ^'Д, > (3.12)
можно переписать разложение (3.9) в виде
(3.13)
В табл. 3.1 представлена зависимость от параметра т величины
отношения /а//е» гДе U — приближенное значение интеграла,
подсчитанное по формуле (3.13), а 1е — точное значение интеграла
/ (т), взятое из книги Абрамовида и Стигана (1979, с. 608). При
т -* 0 отношение IJI9 стремится к единице. Так, при т <: 0,5
относительная погрешность, возникающая при замене интеграла
1е приближенным выражением /а, составляет менее 0,2fr%;
при т = 0,7 эта ошибка he будет превышать 2 %. Таким образом,
разложение (3.13) является хорошим приближением к 1е при
небольших значениях /л.
Пример 3
В качестве третьего примера рассмотрим интеграл
X
/(*)=} *-*/*-'Л (3.14)
о
при малых х. Разложим экспоненту, входящую в
подынтегральное выражение, в ряд Тейлора
*"'=]£ (~ni"'" =i-<+-r*2-4-/3+-jr'4+°;(/6)- <ЗЛ5>

8.L Разложение подынтегральной функции
61
Используя признак Даламбера, имеем
,. я-й член ,. (—l)nin(n— 1)! ,. —t л /0 ,.v
hm -7Z—1ч а ппа„ = bm -1—*—п i п\ = Ьт —— = 0 (3.16)
■«-• («—!)-* член пнмю Л|(_i)»-i^-i rt^oo n l ;
для любых U Следовательно, ряд (3.15) сходится при всех
значениях t. Кроме того, если считать t малым, порядок ошибки в
разложении (3.15) будет равномерным по t.
Подставляя теперь ряд (3.15) в интеграл (3.14) и интегрируя
почленно, получаем
пА 0 Jmmi П\ (/* + -J-)
= 4а:1/* - -J-^* + -LXM - -J- *13/* + О (*"/*). (3.17)
Пример 4
В качестве последнего примера исследуем так называемый
интеграл ошибок
00
/(*)*-} е-'( А (3.18)
X
при малых х. Разлагая подынтегральную функцию в ряд Тейлора,
получаем ряд следующего вида:
оо
e-l._£±=tt^Li (з.19)
который, как показано в предыдущем примрре, сходится при
любых значениях U Заметим, однако, что функцию ехр (—t2) на
всей числовой оси нельзя представить с помощью конечного числа
членов ряда (3.19) (см. рис. 5.2). С другой стороны, разложение
(3.19) является асимптотическим при /-*0, поскольку
Поэтому интеграл (3.18) удобнее представить в следующей форме:
00 X
/ (дг) = J е-*ш dt - j ert% dt. (3.21)
о о
Для того чтобы вычислить первый из этих интегралов, заметим,
что
оо оо
/j = [ e-u'du = j е-"' dv, (3.2.2)

62 Гл. 3. Интегралы
Следовательно,
i?= Tf e—da^ (Г^"1" л) = f f в" <вв+вв>Л*А. (3.23)
Перейдем в последнем интеграле от декартовых координат и
и v к полярным гиб. При этом элемент площади преобразуется
по формуле
ds = dudv = rdr d0, (3.24)
причем г будет меняться от нуля до бесконечности, а 9 — от
нуля до -2-. Таким образом, интеграл (3.23) преобразуется к виду
а» Я/2 /я/2 \ /со \
/?=j j re-rldrdQ = [ J dQ )[\re-rtdr =
oo \o / \o * J
1 •/ i Г*7Л l°° 1 "^
вяТя-(-Тг^)|о-Тя'
откуда
/1=J^*^ = XiL-. (3.25)
о
Подставляя теперь ряд (3.19) во второе слагаемое в формуле (3.21),
интегрируя почленно и используя формулу (3.25), получаем ,
Л=х0 ^ О
_ V*
2j я!(2я+1) "" 2 *+3* Ю ^+ 42 Х +U^'
лг—О
(3.26)
3.2. Интегрирование по частям
Проиллюстрируем данный подход также с помощью
нескольких примеров. При этом последний из них позволит выявить
ограничения метода интегрирования по частям и подведет нас к идее
метода Лапласа и метода стационарной фазы.
Пример 1
В качестве первого примера исследуем неполную гамма-
функцию, которая определяется интегралом вида \
00
X
при больших значениях х.

3.2. Интегрирование по частям 63
- - -
Метод интегрирования по частям основан, как известно, на
использовании тождества
d (uv) = и dv + v du, (3.28)
или и dv = d (uv) — v du. (3.29)
Если и и v являются функциями переменной /, то интегрирование
обеих частей равенства (3.29) в пределах от tx до /2 А^ет
\ udv = uv | — J vdu. (3.30)
Для того чтобы иметь возможность воспользоваться формулой
(3.30), нужно представить подынтегральное выражение в (3.27)
в форме и dv, т. е. положив
^-dt = udv. (3.31)
Обычно разбиение на множители и к dv осуществляется таким
образом, чтобы выражение для dv можно было проинтегрировать.
Кроме того, и я dv следует выбирать так, чтобы последовательные
члены разложения интеграла / (я), получающиеся при
интегрировании по частям, являлись бы величинами все более высокого
порядка по малому параметру х-1. Для того чтобы
проиллюстрировать оба указанных требования, рассмотрим два варианта.
Сначала положим
и = е~', dv=^. (3.32)
Тогда
du = —ertdt, t> =-*--]-. (3.33)
Подстановка выражений (3.32) и (3.33) в формулу (3.30) дает
XX * X
или
jr^dt-rL-jrlat. _ (з.з4)
X X
Продолжая этот процесс, положим
и = е-*, dv = -?j-. (3.35)
Тогда
du = —е-* dt, v = In / (3.36)
и
ОО 00 00 ч
J .£__# = J udv = e-'\nt Г + 1 e-nntdt. (3.37)

64
Гл. 3. Интегралы
Поскольку в соответствии с правилом Лопиталя имеем
lim е-< 1п / = lim -^ = lim —{— = О,
f-^oo} t-+oo в /-+-09 tel
то соотношение (3.37) принимает вид
ОО 00
J £rdt = —e-*\nx-{- J e-'lntdt. (3.38)
X \ X
Подстановка этого соотношения в формулу (3.34) дает
00 -/ -х °°
J l—dt = —x—\-er*\nx- J er*\ntdt. (3.39)
X X
Отметим, что второе слагаемое в правой части (3.39) оказывается
существенно больше первого при х -> оо. Таким образом,
использование выражений (3.32) и (3.35) не позволяет получить
асимптотическое разложение интеграла / (х) при х -> оо г. '
В качестве второго варианта выберем
и=-±-9 dv = e-*dt. (3.40)
Тогда
du = --^dtt v = —e-*. (3.41)
Подстановка выражений (3.40) и (3.41) в формулу (3.30) дает
X X х
или
X х
Продолжая процесс интегрирования по частям, положим -
и =4-, dv = e-'dt, (3.43)
откуда
&и = jrdt, v = —e-t. (3.44)
Таким образом, имеем
^ Продолжая этот процесс интегрирования по частям, можно построить
(сходящееся) асимптотическое разложение интеграла / (х) при х-Ц). —Прим.
перев.

3.2. Интегрирование по частям
65
ИЛИ
\±ldt = -^-3\^-dt. (3.45)
X X
Подстановка соотношения (3.45) в формулу (3.42) дает
)т-^^-^ + 3'[^^ (3-46)
Х Х
Продолжая процесс интегрирования по частям и полагая на
каждом шаге e~l dt = dvy находим
Г ill Hi — е~Х _ 2и~Х 4 зи~* _ 4! е~х , |
Л—1 « I л—* /• л—»
(—I)"-1 л!е
+ (_1)п(Аг + 1)!|^_^ (3.47)
1 хп+1 IV V V- I V J /Л+2
Поскольку при х < / < оо имеет место неравенство /'*+2 ^> *"+2,
то
1 1
,л+2 "^ ^л+2 '
Интегрируя полученное неравенство, имеем
00 -/ j °°
1-^л<7ит1е"'Л!
хп+2
Таким образом, формулу (3.47) можно представить в виде
разложения
* W = е~х S (~^"'"' + '"'О ("р^Г ) . (3-48)
которое по определению является асимптотическим. Отметим,
что ряд (3.48) расходится, поскольку
,. m-й член ,. (—\)т"1т\хт ,. — т
ит -т гг-? = Ьш п— о = ит =* —оо.
т-оо (^-0-Й член т^ xm^{__l)m~2{m_l)l т^ Х
Однако при фиксированном N остаточный член в разложении
(3.48) может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора
достаточно большого х.
Пример 2
В качестве второго примера рассмотрим интеграл вида
!^ = \7TTdt <3-49>
о

66
Гл. 3. Интегралы
при больших положительных х. Как и в предыдущем примере,
разбиение на множители
и = е~', dv = (х + t)-[ dt
не приводит к асимптотическому разложению при х -> оо.
Поэтому положим
и = (х + О"1, dv = e-f dt, (3.50)
откуда du = —(х + t) 2 dt, v = —е~1. (3.51)
Подстановка выражений (3.50) и (3.51) в формулу (3.30) дает
оо оо
Jp—t р—l |°° с Р~~1
— di---7TT \0-lvkwdt-
о о
или
H^—T-ljjrtW*- (3-52)
о
Продолжая процесс интегрирования по частям, положим
и = (х + ty\ dv = е-1 dt, (3.53)
откуда du = —2 (х + t)~3dt, v = — *-'. (3.54)
Подставляя выражения (3.53) и (3.54) в (3.30), имеем
00 -/ -/ °° °° -/ °° _/
J (х + о1 Л = ~ (* + о2 J ~~ 2 J (* + о3 dt = ^ " 2 J (*-и)8 d/"
О 0 0 о
(3.55)
При этом формула (3.52) принимает вид
О
Повторяя процедуру интегрирования по частям п раз, мы
приходим к разложению
+(-1),,я,]тгтгр1Л- (3>57)
Для оценки остаточного члена в (3.57) воспользуемся следующим
неравенством, справедливым при положительных х и t:
! <_!_.

3.2. Интегрирование по частям
67
Интегрируя это неравенство, получаем
■Л<—L~[ er'dt =—\r
J (х+/)«+1 х*+1
0 V ^ ' 0
Таким образом,
и, следовательно, разложение (3.57) является асимптотическим
при х -+ сх>. Отметим, что ряд (3.58) расходится, поскольку
в соответствии с признаком Даламбера
,. /n-й член .. (—I)"1"1 (т— l)!*"1'1
lim -г jt-5 = lim v } v ' —
m^oo (т-1)-йчлен M^co xw(-l)m-2(m-2)!
~(m—1)
= lim —- — = —-oo.
m-*oo
Однако при фиксированном N остаточный член этого ряда может
стать сколь угодно малым при достаточно большом х.
Пример 3
В качестве третьего примера рассмотрим преобразование
Лапласа от функции / (/), т. е. интеграл вида
оо
/(*)=] e~xif{l)dt. (3.59)
о
Построим асимптотическую оценку этого интеграла при больших
положительных х в предположении, что функция f (t) является
аналитической (т. е. на рассматриваемом интервале она обладает
производными любого порядка) и что исходный интеграл
существует. Заметим, что интегралы типа (3.59) возникают при
решении дифференциальных уравнений с помощью преобразования
Лапласа.
Положим
и = / (/), dv = e-xi dt, (3.60)
так что
du = f'(t)dt, i> = —-flfL. (3.61)
Если бы мы выбрали разбиение на множители вида и = ехр (—xt)>
do = f (t) dt, то получили бы, что возникающее разложение не
является асимптотическим при х -* оо. Подстановка выражений
(3.60) и (3.61) в формулу (3.30) дает
оо оо
J e-*'f(t)dt = ~^-f(t) Г + JL J *-*7'(0Я.

68
Гл. 3. Интегралы
ИЛИ
оо
/(х) = Ш + 4" J *-"/' (О*. (3-62)
О
Продолжая процесс интегрирования по частям, положим в
интеграле в правой части (3.62)
u = f'(t), dv = e-xtdtt (3.63)
откуда
du = f"(t)dt, V = — J^L. (3.64)
Подставляя выражения (3.63) и (3.64) в формулу (3.30), а
полученный результат в формулу (3.62), находим
. со
/ (х) = -Ш. _ JL±- f (/) |" + _£_ j е-7" (О*,
или
оо
/(х) = Ш. + 2_<°1 + _L J е-*т(0л. (з.б5)
о
Продолжая процесс интегрирования по частям, имеем
г/.л„ /(О i /'(0) . ПО) ■ Г(0) , , /(п)(0) ,
+ -4fr\e-*'f<"+»(t)dt. (3.66)
1
U
Следовательно,
и разложение (3.67) является асимптотическим при *-* оо.
Пример 4
С помощью аналогичного процесса можно получить
асимптотическое разложение интеграла Фурье
оо
/(а)= J e^f{t)dt (3.68)
о
при больших положительных а для случая, -когда / (t) —
бесконечно дифференцируемая функция от t. Интегралы такого типа
возникают при решении дифференциальных уравнений с помощью
преобразования Фурье.

3.2, Интегрирование по частям
69
Пусть функция / (/) достаточно быстро стремится к нулю при
/-►оо, так что интеграл (3.68) существует1. Для того чтобы
проинтегрировать (3.68) по частям, положим
и = /(*), dv = eiatdt, (3.69)
откуда
du = f'(t)dt, о = -75- (3.70)
Подстановка выражений (3.69) и (3.70) в формулу (3.30) дает
J e**<f (t) dt= *£- f (t) Г - -1- J е'*Г (0 *,
или
1 («)=- т - -w J elatr (0 dL <3-71)
0
Продолжая процесс интегрирования по частям (а именно,
интегрируя еш и последовательно дифференцируя / (/)), как и в
предыдущем примере, получаем
Разложение (3.72) является асимптотическим при а -> оо.
Пример 5
В качестве последнего примера рассмотрим обобщенный
интеграл Лапласа
ь
1{х)=\ e*h «>/ (/) Л, 6 > а, (3.73)
а
при больших положительных х для случая, когда h (t) и / (0 —
дифференцируемые функции аргумента /. Для того чтобы
проинтегрировать (3.73) по частям, необходимо представить
подынтегральное выражение в виде udv. В данном случае мы не можем
положить
и = / (/), dv = exh (О dU (3.74)
поскольку последнее выражение не интегрируется в общем виде
через известные функции. Чтобы получить интегрируемое
выражение, преобразуем формулы (3.74) следующим образом:
и=-Ш-, dv = e*byW(t)dt. (3'75)
1 При этом производные функции f (t) также должны затухать при t—► оо,
с тем чтобы существовали соответствующие интегралы, возникающие в
результате последовательного интегрирования по частям. — Прим. перев.

70
Гл. 3. Интегралы
При этом
*-ш* --=^~ (3-76>
Подстановка выражений (3.75) и (3.76) в формулу (3.30) дает
ъ ь
а а
ИЛИ
«*M*)/W е*М*>/(а) i г г /«) V
'W~ хЛ'(*) *ft'(a) xje L Л' (0 J
(3.77)
Оценивая интегральный член в правой части соотношения (3.77),
находим, что
Формулы (3.77) и (3.78) получены в предположении, что функции
f (t) и h (t) дифференцируемы и h'(t) Ф 0 на промежутке [а, 6].
Если же какая-либо из точек этого промежутка оказывается для
функции h (t) стационарной (т. е. в этой точке К (t) = 0), то
интегрирование по частям становится незаконным и интеграл
в правой части (3.77) будет расходящимся. При Ь! (t) Ф 0 формула
(3.78) показывает, что основной вклад в величину интеграла
дают лишь ближайшие окрестности концевых точек промежутка
интегрирования. Более того, если h (а) Ф h (b)> то
асимптотическое поведение нашего интеграла определяется окрестностью
только той концевой точки, в которой значение функции h (t)
больше. Это обстоятельство позволяет предположить, что
основной вклад в асимптотическое разложение интеграла (3.73) дает
окрестность точки t = с £ [а, й], соответствующей наибольшему
значению h (t), независимо от того, является ли точка t = с
внутренней или граничной точкой промежутка интегрирования.
В этом, собственно, и заключается центральная идея метода
Лапласа. Если функция h (t) достигает наибольшего значения
в граничной точке, например при t = а, и если эта точка не
является стационарной (т. е. h! (а) Ф 0), то верхний предел в
интеграле (3.73) можно заменить на любую внутреннюю точку
/ = с (при условии, что на отрезке [а, с] производная h! (t) не
обращается в нуль), проинтегрировать результат по частям и
получить требуемое асимптотическое представление интеграла
(3.73). Если же наибольшее значение h (t) достигается в
стационарной точке, то метод интегрирования по частям становится
непригодным. В следующем параграфе рассмотрим построение

3.3. Метод Лапласа
71
асимптотических разложений интегралов типа (3.73) с помощью
метода Лапласа, причем ограничения, связанные с дифференци-
руемостью функции / (/) и отсутствием нулей у производной h' (/),
будут сняты.
3.3. Метод Лапласа
В этом параграфе мы рассмотрим интеграл общего вида
ь
l{x) = \e*h^f(t)dt (3.79)
а
в случае действительной функции h (/) и при больших
положительных х, а также в предположении, что интеграл (3.79)
существует (т. е. имеет конечное значение). Как указывалось в
предыдущем параграфе, основной вклад в асимптотическое представление
интегралов вида / (х) вносит ближайшая окрестность точки, в
которой функция h (t) достигает своего наибольшего значения.
На этой идее Лапласа основан достаточно общий метод получения
асимптотических оценок интегралов типа (3.79). Ниже мы
рассмотрим метод Лапласа на нескольких наиболее характерных
примерах.
Пример 1
В качестве первого примера рассмотрим частный случай
интеграла (3.79), а именно интеграл
ю
7W=J TTTdL (3-8°)
Для того чтобы построить асимптотическое разложение / (х)
при х -* оо, разложим функцию (1 + О"1 в ряд по степеням t
и проинтегрируем полученное разложение почленно, заменив
верхний предел в (3.80) на оо. Возможность такой замены будет
обоснована ниже.
Из биномиальной формулы следует, что
ос
(1 \-t)'1=l -t-\-l*-l3-\ = 2(_ 1)я/«. (з.81)
л=0
При этом, согласно признаку Даламбера, имеем
,. л-й член 1. (—1)" *л " 1. / ,ч х
lim -t гт-т = lim — „ Л „ 1 =hm (—/) = — t.
(п — П-и член / пи—' /Я—1 ^ '
Следовательно, ряд (3.81) сходится только при |/| < 1, а значит,
подстановка ряда (3.81) и почленное интегрирование в пределах
от 0 до 10 являются незаконными, поскольку разложение (3.81)

72
Г л, 3. Интегралы
справедливо только при 1t\ < 1. Для того чтобы преодолеть
указанное затруднение, разобьем промежуток интегрирования на
два — [0, 6] и [6, 10], где 6 — некоторое малое положительное
число. Таким образом, мы можем представить интеграл (3.80)
в виде
а ю
7 <*)=J-rS'd/+J TTTdL (3-82)
Покажем теперь, что второе слагаемое в правой части (3.82)
экспоненциально мало при х -+ оо. С этой целью заметим, что
1 > (1 + t)"1 при t > 0. Поэтому
ю , ю
С Р"Х1 Г P~~xl ш 1
<—10х р—6х\
При х -* оо ехр (—10*) стремится к нулю быстрее, чем любая
степень лг1. При конечном б и при х -* оо то же самое можно
утверждать и для слагаемого ехр (—8*). Следовательно, второй
интеграл в правой части (3.82) будет стремиться к нулю
экспоненциально, т. е. можно записать
о
Л
f— Л+(Э.М.Ч.) при *->оо, (3.83)
где сокращение (Э. М. Ч.) использовано4 для обозначения
экспоненциально малых членов. Таким образом, основной вклад в
асимптотическое разложение интеграла (3.80) действительно дает только
близкая окрестность точки t = 0.
Подставляя разложение (3.81) в формулу (3.83) и интегрируя
почленно, имеем
Л / оо \ оо б
Цх)=1е-**[ ^ (-l)ntn ]Л = 2(— l)n\ Per-t'dt. (3.84)
0 \п=0 / я=0 о
Для оценки интеграла в правой части (3.84) введем замену
переменной т = xt. При этом dt = dxlx и, следовательно,
6 6х
\ 1пе-** dt = -^j- j %»e-* dt. (3.85)
6 о

3.3. Метод Лапласа
73
Последовательное интегрирование по частям в правой части
соотношения (3.85) дает
|/«е-*'Л = _щ-| тпе-т</т =
о о
= ^[тЛ + /гт«-1 + А2(/г-1)т"-2+...+4-^2 +
+ п\ т + п\ | ег
или
6
о
+ i7=r+—+ l^t (3,86)
Поскольку функция exp (—Ьх) при x -* oo стремится к нулю
быстрее, чем любая степень лг\ то член в правой части (3.86),
содержащий множитель ехр (—Ьх), будет экспоненциально
малым. Поэтому
J tn^xt dt e _£_ +(Э. м. Ч.), (3.87)
о
причем этот результат не зависит от величины б, так как он
остается справедливым даже при 6 -> оо. Действительно,
J tne~xtdt =
п !
хп+1 •
Таким образом, приведенное рассуждение оправдывает
описанную выше процедуру вычисления асимптотики интеграла (3.80).
Подставляя разложение (3.87) в формулу (3.84), без учета
экспоненциально малых членов имеем
п^Ч^1- <3-88)
При этом, согласно признаку Даламбера, имеем
1. я-й член ,. (—\)пп\хп t. — п
lim -; л-? = lim ——rr—Чгп = lim — = — оо,
„-«о (я - ])-й член п^ хп+\ (_i)"-i (п _ 1) ! „_«, х
и, следовательно, ряд (3.88) расходится. Поэтому использование
знака равенства в формуле (3.88) является незаконным, и его

74
Гл. 3. Интегралы
следует заменить на знак асимптотического соответствия.
Окончательно можно записать
оо
/(^-245^ пРи*-*°°- (3-89)
Отметим также, что этот результат может быть получен и с
помощью метода интегрирования по частям.
Использованный выше прием — разбиение промежутка
интегрирования и отбрасывание экспоненциально малых
слагаемых — заимствован нами из доказательства так называемой леммы
Ватсона. С помощью этой леммы строятся асимптотические
представления интегралов вида
ъ
/(*)= \f(t)e-*<dtt (3.90)
о
где функция / (t) непрерывна на промежутке [0, Ь] и имеет
асимптотическое разложение
оо
f{t)~ 2 ajm*~l при /-►О, (3.91а)
причем показатель |3 считается положительным, что
обеспечивает сходимость интеграла (3.90). Кроме того, при Ь -> оо должно
иметь место неравенство
|/(/)| <Ке«<, (3.916)
где К и а — положительные постоянные. При указанных
условиях лемма Ватсона утверждает, что полное асимптотическое
разложение интеграла / (х) может быть получено с помощью
подстановки разложения (3.91а) в (3.90), дальнейшего почленного
интегрирования и замены верхнего предела интегрирования на оо,
в результате чего получается формула
оо оо
m^-1 0
ИЛИ
I(x)~ f| атТ(т^)/хт^ . (3.92)
m=l
Пример 2
В предыдущем примере функция h (t) = —/ (см. формулу
(3.79)) достигала своего наибольшего значения на нижнем пределе
1 Здесь Г (х) — гамма-функция Эйлера, определение и свойства которой
указаны ниже на стр. 77. Полное же доказательство леммы Ватсона см.,
например, Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. I—II. Пер. с англ.—
М.: Изд. иностр. лит., 1949. — Прим. перев.

3.3. Метод Лапласа
75
интегрирования. Поскольку в этом случае h' (0) = —1,
указанная точка не являлась точкой относительного максимума. Поэтому
в качестве второго примера рассмотрим случай, когда
наибольшее значение h (t) и точка максимума совпадают, а именно
исследуем интеграл
/w=J
5 -,/.
Т+уЛ. (3'93)
у которого функция h (t) имеет относительный максимум в точке
/ = 0. Как уже отмечалось в примере 5 предыдущего параграфа,
метод интегрирования по частям в данном случае оказывается
непригодным. При больших положительных х асимптотическое
представление интеграла (3.93) определяется лишь вкладом от
окрестности точки / = 0, в которой функция h (t) = —t2
достигает своего наибольшего значения. Асимптотику интеграла / (х)
будем искать с помощью леммы Ватсона, т. е. подставляя
степенное разложение (3.81) функции (1 + t)~l в интеграл (3.93) и
интегрируя далее почленно в пределах от нуля до бесконечности.
В результате имеем
оо оо
Цх)~ £ (—l)nJ tne-*''dt. (3.94)
/1=0 о
Обозначая последовательные интегралы в формуле (3.94) через
/„, т. е.
оо
In = J tne~xi9 dt, (3.95)
о
попытаемся вычислить эти интегралы при произвольных
значениях /г. Для случая п = 0 имеем
оо
10= j e-'t'dt. (3.96)
о
Полагая -/xt = т и dt = rfx/j/jc, приведем интеграл (3.96) к виду
оо
/„ = —L-J «r-T'dx. (3.97)
Интеграл в (3.97) мы вычисляли ранее (см. формулу (3.25)).
Таким образом, имеем
, Г~е-^=-^. (3-98)
о г

76
Гл. 8. Интегралы
Дифференцируя обе части соотношения (3.98) по переменной х%
находим
откуда
t2e-*t'dt = — ^п
4х3'2 '
о
/2 = j"/2e-^=_g_. (3.99)
О
Далее, дифференцируя по х левую и правую части (3.99), в свою
очередь находим
— f t4e-xitdt = -
о
откуда
ЗУ" л
8х5'2
/4 = |^^Ла=^_. (з.100)
Продолжая указанный процесс, можно получить выражение для
интеграла вида (3.95) при произвольном четном п. Итак,
1ш = -^-/п(-1Г^Г(х-^). (3.101)
Для того чтобы определить /п при нечетном л, рассмотрим
прежде всего случай п = 1:
оо
/1= J te-xitdt. (3.102)
о
Полагая xt2 = т, имеем 2xt dt = dx и, следовательно,
с»
1 Г _..,, 1
/1=4-1^Л—■
2х
о
•ег
-х
2х
о
1 (3.103)
Дифференцирование соотношения (3.103) по х дает
0
откуда
оо
/,= J /зе_^Л = _^_. (З.Ю4)

3.3. Метод^Лапласа
77
Далее, дифференцируя по х выражение для /3, приходим к
формуле для /б:
оо
/,= J t*e-*t'dt = ±-. (3.105)
о
Продолжая указанный процесс, можно получить следующую
общую формулу для интегралов вида (3.95) с нечетными
индексами п:
Окончательно с учетом формул (3.101) и (3.106) разложение
(3.94) переписывается в виде
/w-|/«£(-i)ffl^-H2)-
-_L V /_iy» Л-(x-i) = JUL _ J_ + JUL _ _L_ .
m=0
3V"n __1
8*1 "
+ 44r-^- + --- (3107>
Интегралы вида (3.95) можно вычислить и другим способом,
выразив их через гамма-функцию Эйлера, определяемую при
положительных г соотношением
Г(г)= J T*-le-*d%. (3.108)
о
С этой целью введем замену переменных
% = xt\ dx = 2xtdt. (3.109)
Тогда интеграл (3.95) преобразуется к виду
оо
In = -Lx-(n+u/2 j тС-')/2е-тch=±-x-i"WT (^)-
о
(3.110)
Подстановка (3.110) в разложение (3.94) дает
м=0

78
Гл. 3. Интегралы
Покажем теперь, что разложения (3.111) и (3.107) совпадают.
Воспользуемся для этого следующим функциональным
соотношением для гамма-функции:
Г (г) = (г — 1) Г (г — 1) (3.112)
и докажем эту формулу для г > 1. Используя метод
интегрирования по частям, положим
и = T*-it dv = e~T di,
откуда
du = (z — 1) t2'2 dr, v = —ex.
При этом из формулы (3.30) следует, что
с»
Г (г) = —т*-1е-< f -1- (г - 1) J t*-V"* d%. (3.113)
о
Интеграл в правой части при z > 1 существует и равен Г (г — 1)1.
Тогда из формулы (3.113) сразу следует соотношение (3.112).
Отметим также, что рекуррентное соотношение (3.112) позволяет
найти Г (г) при г > 1, если Г (г) протабулирована на интервале
0 < z < 1. Например,
Г (5,3) = 4,ЗГ (4,3) - (4,3) (3,3) Г (3,3) = (4,3) (3,3) (2,3) Г (2,3) =
= (4,3) (3,3) (2,3) (1,3) Г (1,3) = (4,3) (3,3) (2,3) (1,3) (0,3) Г (0,3).
При натуральных г, а также при z, равных половине целого
положительного числа, интеграл, определяющий
гамма-функцию, может быть вычислен в явном виде. Так, в случае
натуральных z рекуррентная формула (3.112) дает
Г (г) = (г — I) Г (г — 1) = (г — 1) (г — 2) Г (г — 2) =
= (г— 1) (г — 2) (z —3) ... 3-2-ЬГ(1). (3.114)
Полагая в формуле (3.108) z = 1, находим
Г (1) == J е-* dx = — е-* |~ =1. (3.115)
о
При этом из соотношения (3.114) следует, что
Г (г) = (г-1)!, (3.116)
где z — целое положительное число. Поэтому в случае п = 2пг +
+ 1, где m—произвольное натуральное число, имеем
г(»+1) = г(*1 + ^±1)-Г(т+1)-т1.
1 Формулы (3.108) и (3.112) справедливы при всех z, за исключением
нуля и отрицательных целых чисел. См., например: Лебедев Н. Н.
Специальные функции и их приложения. — М.—Л.: ГИФМЛ, 1963. — Прим. перев.

3.3. Метод Лапласа
79
Тогда из формулы (ЗЛЮ) получаем
в полном соответствии с (3.106).
В случае если z = т + -у, где т — натуральное число,
из соотношения (3.112) следует, что
Г(* | 4-)==(/п-4)Г(да--г) =
Ч-4)К-4)ф-4Ь
= (m - 4") (m - 4) ("' - -г) ■ ■ -т-т---гт(-г)■
(3.118)
Полагая теперь в соотношении (3.108) z -^-, имеем
оо
Г (4-)-"= J т-'/^-Мт. (3.119)
о
С помощью подстановки т =-■ у2 интеграл (3.119) можно привести
к виду
Г (-!•)=--2 j c-r-dy. (3.120)
I)
Величина интеграла в (3.120), согласно формуле (3.25), равна
У л/2, и, следовательно,
Г (±-)=уп. (3.121)
Таким образом, соотношение (3.118) принимает вид
(3.122)
где т — целое положительное число. Отсюда при п = 2т (т —
целое) имеем
Г№)-Г№)-Г(«4|)-
= (m"4-)(m-4-)(m-4)-'-4,4-'4->/"-
(3.123)

80
Гл. 3. Интегралы
Наконец, из формулы (3.110) следует, что
■••4~-4-/^^[w+(1/2)1
(3.124)
в полном соответствии с (3.101).
Пример 3
В качестве третьего примера рассмотрим несколько более
общий, чем в предыдущем примере, интеграл, а именно
ъ
1(х) = \?(1)ехН«)(И, Ь>ау (3.125)
где К (а) = 0, h" (а) < 0,
/ (0 ~ /о (t — а)% ПРИ t -» а
(3.126)
(3.127)
и /0 — некоторая постоянная. Условия (3.126) означают, что
функция h (t) имеет в точке t = а относительный максимум.
Мы предположим также, что этот максимум является наибольшим
значением h (t) (т. е. абсолютным максимумом) на промежутке
интегрирования (рис. 3.1). Для существования интеграла (3.125)
необходимо, чтобы показатель X был больше —1. Основной
вклад в асимптотическое представление / (х) дает только
окрестность точки t = а, в которой достигается наибольшее значение
h (t). Поэтому верхний предел интегрирования в (3.125) вполне
можно заменить на а + б, где б — малое положительное число,
в результате чего получим
я+б
1(*)~ J f{t)exh^dt.
(3.128)
Рис. 3.1. Функция, имеющая относительный и абсолютный максимум в точке
f == а.

3.3. Метод Лапласа
81
Для того чтобы найти главный член разложения / (х),
представим функцию h (t) в окрестности точки / = а ее рядом
Тейлора, положив W?!
h(t) = h(a) + h"(a)(t -a) + -2T^ (a)(t - af+ ...,
или
Л(0 = Л(а)+1уЛ|Г(а)(/-а)М , (3.129)
поскольку h' (а) = 0. Подставляя теперь (3.127) и (3.129) в
интеграл (3.128), имеем
I {X) ~ fexh (a) J (/_a)3lg(I/2)**Me)(/-e)»df. (3.130)
a
Поскольку h" (а) < 0, верхний предел а + 6 можно заменить на
оо, что приведет к экспоненциально малой ошибке. Таким
образом, перепишем (3.130) как
оо
/ (л-) ~ f0exh С) J (/ - a)V<"2> xh" <«> С-»)' Л. (3.131)
а
Интеграл в правой части (3.131) можно выразить через гамма-
функцию. С этой целью положим
__ J^ xh" (a) (t - af = т (3.132)
и получим
оо
I^--i-[^Fw}a+W2^xh{a)\ ^-')^-^т, (3.133)
о
или, с учетом (3.108),
г / \ ! Г 2 mi -D/2 . / Л -ь 1 \
(3.134)
Отметим также, что для того, чтобы найти члены высшего
порядка в разложении / (х), необходимо сохранять члены более
высокого порядка и в разложениях функций / (/) и А (/).
Пример 4
В качестве четвертого примера рассмотрим интеграл вида
(3.125) в случае, когда функция h (t) имеет при t = а точку
перегиба (рис. 3.2). При этом •
К (а) = h" (а) = 0 и hM (а) < 0. (3.135)

82
Гл. 3. Интегралы
Рис. 3.2. Функции, имеющая точку перегиба и абсолютный максимум в точке
/ --- а.
Как и в предыдущих случаях, основной вклад в асимптотическое
разложение нашего интеграла дает только окрестность точки
/ = а, поэтому верхний предел интегрирования можно заменить
на а + б, где б — малое положительное число.
Для того чтобы найти главный член асимптотического
разложения интеграла (3.128) при условиях (3.135), представим
функцию ft (t) ее рядом Тейлора в окрестности точки / = а, положив
мо=л и+h' и е - *)+4гк ^(/ -а)2 +
или
_/Г(а)(/-а)»+...,
h(t) = h(a)+-±-hm(a)(t-ar +
(3.136)
Подставляя соотношения (3.127) и (3.136) в интеграл (3.128) и
заменяя а + б на оо, получаем
оо
' (*) ~ foex"(0) J (/ - a)*- eO'W" w с-")' dt. (3.137)
а
Интеграл в формуле (3.137) можно выразить через гамма-функцию.
С этой целью положим
Тогда
-±-xh"'(a)(t~-a)>=T.
(3.138)
оо
/W~4-[^Sr]a+l,/3^Ma,J ^-2)/3*-т^> (3-139)
откуда, с учетом (3.108), следует, что
и \ 1 Г 6 1<и-1)/з /„чт^/^+1 N
(3.140)

3.3. Метод Лапласа
83
Пример 5
Во всех предыдущих примерах наибольшее значение функции
h (t) достигается в граничных точках промежутка
интегрирования. Теперь мы рассмотрим случай, когда h (t) достигает
наибольшего значения в некоторой внутренней точке (рис. 3.3). Итак,
рассмотрим интеграл вида
ь
l(x) = \f(t)e*h Mdt, b>a, (3.141)
а
при больших значениях х в случае выполнения условий
W (с) - 0, h" (с) < О, а < с < Ь} (3.142)
/ (0 ~fo(t — с)х при / -> с, (3.143)
где к — целое число, большее —1, что гарантирует сходимость
нашего-интеграла. Для того чтобы найти асимптотическое
представление интеграла (3.141) при х->оо, разложим функцию
в ряд Тейлора, сохраняя в этом разложении первый член с
ненулевой производной:
h(t) = h{c)-\--^-h4c){l- cf i ....
Тогда имеем
с -|-б
/ (х) - f^exh <с> | (/ - cf eW xh» (D [t-cv dt,
(3.144)
(3.145)
с-6
где б — некоторое положительное число. Заменяя, как обычно,
в интеграле (3.145) б на оо, получаем
/ (*) ~/0е*Л (0 j (t-c)Ke^^xtl"ic^r c)td(.
(3.146)
Рис. 3.3. Функция, имеющая абсолютный максимум во внутренней точке
промежутка.

84
Гл. 3. Интегралы
С помощью подстановки
— -i- xh" (с) (t - с)2 = т2 (3.147)
асимптотическое представление (3.146) можно привести к виду
оо
'Ф-Л» [wb)]a+l)/2e"h (с) J ^e-'*dT при Х-+0О.
—оо
(3.148)
В случае целых нечетных X интеграл в правой части (3.148)
обращается в нуль, и поэтому необходимо искать следующий
член асимптотического разложения. Если же к — четное число, то
оо оо
j xV-**dT = 2J xV-**dT, (3.149)
— оо О
откуда в результате подстановки т2 — 6 и с учетом формулы
(3.108) находим
оо оо
J x4-*d%=\ e^-')/2e-ede = r(^-i-). (3.150)
—оо 0
Таким образом, окончательно имеем следующее выражение для
главного члена асимптотики / (х):
(3.151)
Пример 6
Во всех предшествующих примерах функция / (t) в
окрестности точки t = с, т. е. в окрестности максимума к (/), имела
степенной характер:
f(t)~h(t-c)\ Ь> -1. (3.152)
В качестве последнего примера рассмотрим случай, когда / (t)
при t -> с стремится к нулю быстрее, чем любая степень (t — с),
и, следовательно, не может быть представлена в виде (3.152).
Рассмотрим, например, интеграл вида
/ (*) = J e-i/</-«>e-* (/-в)" dt9 Ь >а, (3.153)
а
при больших положительных х. Поскольку функция / (t) =
= ехр [—(t — а)"11 стремится к нулю быстрее любой степени
(t — а), вклад в асимптотику от окрестности точки t = а будет
экспоненциально малым. Поэтому непосредственное применение

3.3. Метод Лапласа
85
алгоритма, используемого в лемме Ватсона, к интегралу (3.153)
не позволяет получить требуемое асимптотическое разложение.
При нахождении главной части асимптотического
представления / (л:) мы не можем отделить ехр [—(t — а)"1 ] от ехр [—х (t —
— а)2 ]. Напротив, нам следует объединить эти экспоненты и
переписать (3.153) в виде
ь
I(x)=\eh<*-<)dty (3.154)
а
где h (jc, t) = —(t — a)-1 — x (t — a)2. (3.155)
Стационарные точки функции h (лс, /) находятся там, где
обращается в нуль производная
-W = ° = T^F-2x^-a)- <зл56)
Решая уравнение (3.156), можно найти точку максимума h (х> t)
t = a + {2x)-V\ (3.157)
Отметим, что в отличие от предыдущих случаев координата точки
максимума в данном случае зависит от аргумента х. Таким
образом, для того чтобы найти асимптотическое разложение
интеграла, мы должны прежде всего провести замену переменной
интегрирования с таким расчетом, чтобы координата точки
максимума (показателя) экспоненты не зависела от х. Полагая
t — a = x-]'*s9 (3.158)
перепишем интеграл (3.153) в виде
(6-а) лг^'З
/(*)=* *-*,/3 [«•+<!/•>] ds. (3.159)
Максимум функции h (s) = — (s2 + s"1), входящей в (3.159),
имеет место в точке s = 2~1/3. При условии что b > 2~1/3, вклад
в асимптотику вносит именно окрестность этой точки.
Следовательно, нужно разложить функцию h (s) в ряд Тейлора в
окрестности точки s — 2_1/3. Сохраняя в разложении первый член с
ненулевой производной, имеем
h (s) = h (2-1/3) — 3 (s — г-*/*)* + ... . (3.160)
Далее, полагая в (3.159)
З^/з (s — 2-1/3)* = т2 (3.161)

86
Гл. 3. Интегралы
,-(3/2) (глоЬ'з р°°
/ (дг) - -= е~*« dx,
и заменяя пределы интегрирования соответственно на +оо и
—оо, получаем
-(3/2) (2лг)Ь'3
VTx
или, с учетом формулы (3.125),
7 м ~ ("ir)1/2*~(8/2) (2д°1/3- (3,162)
3.4. Метод стационарной фазы
В этом параграфе мы исследуем обобщенный интеграл Фурье
ь
I(a)=\f(t)eiahMdt, b>a, (3.163)
а
в случае больших положительных а. При этом предполагается,
что f (t) и h (t) —вещественные функции и интеграл (3.163)
существует. Подынтегральную функцию в (3.163) можно
рассматривать как некоторое комплексное выражение, представленное
в показательной форме, причем / (t) и ah (t) служат
соответственно его модулем (амплитудой) и аргументом (фазой). Если
функции f (t) и h (t) непрерывно дифференцируемы, можно
попытаться применить метод интегрирования по частям, полагая
и=-Ш-, dv = e'"hwh'(t)dt.
При этом
du =
/С)
h'(t)
]dt> v = -nre
iah (/)
Интегрируя (3.163) по частям, находим
1 (а> — iah' (/)
!_ f {-Ш—Y eiahV) At ,o
«« J L A' (0 J <3-
164)
Интегральный член в правой части (3.164) мы можем оценить,
продолжив процесс интегрирования по частям. Окончательно
имеем следующее асимптотическое представление:
П^^-^^-'-^Ц + оШ- (3,65,
Как и в случае обобщенного интеграла Лапласа (пример 5
§ 3.2), метод интегрирования по частям становится непригодным,
если производная К (/) обращается в нуль в какой-либо точке
промежутка [а, Ь]. Если же h' Ф 0 на промежутке [а, Ь\ то,
согласно формуле (3.165), основной вклад в асимптотику ин-

ЗА. Метод стационарной фазы
87
(l*v?)coi bOt
Рис. 3.4. Быстро колеблющаяся функция.
теграла / (а) вносят только окрестности концевых точек. При
этом быстрые колебания функции exp iiah(t)] уничтожают
вклад в интеграл от внутренних точек промежутка (рис. 3.4).
В данном случае в отличие от обобщенного интеграла Лапласа,
для которого асимптотика определялась только окрестностью
концевой точки с большим значением функции h (/), обе
граничные точки дают существенный вклад в асимптотику. Если же
Ь! (t) обращается в нуль на промежутке интегрирования (иначе
говоря, если фаза имеет стационарные точки), вклад в
асимптотическое разложение вносят как окрестности концевых точек, так
и окрестности стационарных точек, причем вклад последних
значительнее. Этот факт хорошо иллюстрируется на рис. 3.5.
В точках, далеких от концевых и стационарных, положительные
и отрицательные полуволны взаимно погашаются. Кроме того,
из рис. 3.5 ясно, что взаимное погашение колебаний оказывается
меньшим в окрестности стационарной точки, чем в окрестностях
концевых точек. Поэтому главные члены асимптотического
разложения интегралов Фурье должны определяться именно
окрестностями стационарных точек.
OWOcosbOi'2-;:;1
Рис. 3.5. Функция со стационарной точкой.

88
Гл. 3. Интегралы
При отсутствии стационарных точек хорошее приближение
для данного интеграла можно получить с помощью метода
интегрирования по частям. При этом вклад концевых точек, как
показывает формула (3.165), представляет собой величину порядка
а-1. Для случая стационарных точек Стоке разработал так
называемый метод стационарной фазы, позволяющий учитывать вклад
стационарной точки t = с в асимптотику с помощью разложения
функций / (/) и h (t) по степеням (t — с). Как показано далее,
вклад окрестности стационарной точки в таком случае
представляет собой величину порядка а~1/2, и, следовательно, именно
стационарные точки определяют характер главного члена
асимптотического разложения интеграла / (а). Ниже мы опишем метод
стационарной фазы в применении к четырем конкретным примерам.
Пример 1
Начнем со случая, когда у функции h (t) существует
единственная стационарная точка (максимум или минимум),
совпадающая с левым концом промежутка интегрирования t = а.
Кроме того, принимается, что функция / (/) ограничена в точке
t = а9 т. е. что \f (а)\ < +°°. Как и при использовании метода
Лапласа, главный член разложения интеграла / (а) определяется
только вкладом окрестности точки а, и поэтому мы можем
заменить верхний предел интегрирования на а + б, где б — малое
положительное число. Таким образом, имеем
/(a)- j /(/)^ИО dt. (3.166)
а
В первом приближении функцию / (t) можно заменить на / (а),
а функцию h (t) представить ее тейлоровским разложением вида
h(t) = h(a) + -4rA"(fl)(' - *)2 + • • •
(поскольку К (а) ■= 0). При этом интеграл (3.166) можно
переписать как
I(a)~f(a)eiah<a> J *<»/*>'**"<«> <'-«>■#. (3.167)
а
Используя вновь допущение о том, что наиболее существенный
вклад в асимптотику вносит ближайшая окрестность
стационарной точки, заменим верхний предел а + б на +оо. Полагая
теперь t — а = г, перепишем формулу (3.167) в виде
оо
/ (а) ~ / (a) e'*h <«> j е<'/2> '«*" <«>г* dz. (3 168)

ЗА. Метод стационарной фазы
89
{a)h"(a)*0 (b) h"(a)>Q
Рис. 3.6. Деформация'контура интегрирования.
Для того чтобы вычислить интеграл в правой части (3.168),
воспользуемся теоремой Коши, согласно которой, если функция
комплексного переменного F (г) имеет производную, непрерывную
в некоторой области, ограниченной замкнутым контуром С,
и на нем (т. е. F (г) является аналитической в указанной области),
то
\F(z)dz = 0.
(3.169)
Основная идея вычисления интеграла / (а) заключается в том,
чтобы выбрать контур интегрирования С таким образом, чтобы
исходный интеграл Фурье перешел в интеграл Лапласа, т. е.
в интеграл, главная часть подынтегрального выражения которого
представляет собою экспоненту с вещественным показателем,
затухающую на бесконечности. В рассматриваемом случае имеем
F(z) = exp[-}riah"(a)z*]1
(3.170)
так что производная F' (г) существует при любых значениях г.
Следовательно, мы можем воспользоваться теоремой Коши в форме
(3.169). Для этого составим замкнутый контур С из отрезка
действительной оси х, отрезка прямой, выходящей из начала
координат под углом 45° к действительной оси, и дуги окружности
достаточно большого радиуса R (рис. 3.6). Тогда
J F (z) dz + J F (z) dz+\ F (z) dz -0. (3.171)
C\ Сг С»
На дуге С2
z = х + iy = R cos 6 + iR sin 9 = ReiQ,
откуда z2 = R2em = R2 cos 26 + iR2 sin 26.
Следовательно, для того чтобы интеграл по дуге С2 стремился
к нулю при R -> оо, мы должны выбрать аргумент 6 положитель-

90
Гл. 3. Интегралы
ным или отрицательным в зависимости от того, положительна
или отрицательна производная К" (а). Кроме того, для
преобразования нашего интеграла в интеграл Лапласа угол между
отрезками С и С3 должен равняться +-^- или 2L опять же в
зависимости от знака h" (а). При h" (а) > 0 имеем (рис. 3.6, Ь)
Я/4
f F U)dz = iR \ е~{]/2) ah" {а) R2 sin 20 f (l/2) iah" (а) Я* соз2О+/О^0
С2 U
(3.172)
Тогда
я/4
j F (г) dz I < R j e-vw *h" <a> *■ sin 20 d6 =
ct I 0
e я/4
= R\e-{l/2)ah"{Q)Rtsin2QdQ-]-R j 6-(i/2)^(«)^sin2ede> (ЗЛ73)
0 8
где e — малое положительное число. Поскольку h" (а) > 0,
a sin 26 > 0 при г < 6 < -^-, то подынтегральная функция при
R -> оо стремится к нулю равномерно относительно аргумента 6,
и, следовательно, второй интеграл в правой части (3.173) также
будет стремиться к нулю при R -> оо. Чтобы оценить интеграл
по промежутку [0, el, приближенно заменим sin 29 на 26, в
результате чего получим
е 8
R [ е~(1/2) ah"{а) Ri sin 20 dQ «* R \ e~ah"(a) RtBdQ =
о 0
l _ e-ah» (a) R*e ■
= ШЧа) *° ПРИ R^°°'
Таким образом, при R -> 00 весь интеграл по дуге С2 стремится
к нулю, и из соотношения (3.171) следует, что
\F(z)dz = ~ \F(z)dz при R-+oo. (3.174)
с, с,
На луче Ct z = х и z2=x2> тогда как на луче С3 z = г ехр (/я/4)
и г2 = г2 ехр (/я/2) = /г2, где г — расстояние от начала
координат до текущей точки на луче С3. При этом подстановка выражения
(3.170) в равенство (3.174) дает
с» 0
Г е(\/2) iah" (а) х* ^х _ e~inl\ Г е- (1/2) a/i" (а) г* ^ _
0 оо
оо
= e'n/il e-il/2)ah"ia)r'dr. (3.175)

3.4. Метод стационарной фазы 91
^
Соотношение (3.175) показывает, что мы действительно
преобразовали интеграл Фурье в окрестности стационарной точки в
интеграл Лапласа путем поворота контура интегрирования на угол
я/4 от действительной оси. Далее, используя подстановку
V
* ajf(a)r = %
2
и учитывая формулу (3.25), преобразуем (3.175) к виду
Г,(./»>**<•>«к = ^ ?e-*dT = №" (ЗЛ76)
Подставляя теперь выражение (3.176) в формулу (3.168), находим
Vnf (a) eiah <°ЖЯ/4
/ (а) _ У ЯНД)* . (ЗЛ 77)
v 1/2аА" (а) v '
Как уже отмечалось выше, в данном случае вклад в асимптотику
от окрестности стационарной точки оказывается величиной
порядка а_1/2, в то время как вклад от концевых точек представляет
собой величину порядка а"1.
В случае Ы' (а) < 0 контур интегрирования нужно повернуть
на угол —я/4, так чтобы
z = re-'m и 2* = А-'я/2 = .-*А
Тогда представление (3.168) примет вид
оо
/ (а) ~ / (a) eiah w ~ 'я/4 J eW) <*"(а)'* dr. (3.178)
и
Интеграл в правой части (3.178) является интегралом Лапласа,
поскольку h" (а) < 0. Используя подстановку
v
_-J-aA'(a) г = т
и формулу (3.25), получаем вместо (3.178)
/(a)~-—'•-—===== при a-^oo. (3.179)
Отметим, что в общем случае поворот контура интегрирования
на угол Э должен осуществляться таким образом, чтобы величина
iah" (а) z2 в интеграле (3.168) оказалась бы вещественной и
отрицательной. Поскольку
z = ге{е и z2 = r2e2iB = г2 cos 29 + ir2 sin 26,
то указанное требование приводит к условию cos 20 = 0, или
0 = ± — я. При этом имеем г2 = /г2 sin 20 и
ia/i" (a) z2 = —ar2h" (a) sin 20.

92
Гл. 3. Интегралы
Таким образом, при h" (а) > 0 следует выбирать 6 = л/4, а при
h" (а) < 0 необходимо полагать 9 = —л/4. Тогда в обоих случаях
интеграл в (3.168), т. е. интеграл по лучу Clf преобразуется в
интеграл типа Лапласа.
Пример 2
В качестве второго примера рассмотрим случай, когда функция
h (t) имеет стационарную точку при t = с, где а < с < Ь.
Предположим, что других стационарных точек у функции h (t) не
имеется; кроме того, будем считать, что функция / (t) ограничена
в точке с, т. е. |/ (с) | < +<х>. В соответствии с методом
стационарной фазы главный член асимптотического разложения
интеграла (3.163) определяется характером изменения
подынтегральной функции в окрестности стационарной точки t — с, что
позволяет записать
/(a)— J f(t)e**hMdtf (3.180)
с—с
где б — малое положительное число. Заменим функцию / (t)
ее значением в точке t = с, а функцию h (t) в окрестности этой
точки — ее рядом Тейлора, который имеет вид
h (t) = h (с) + -1- h" (с) (t - cf + . • • , (3.181)
поскольку h! (с) = 0. Подставляя разложение (3.181) в интеграл
(3.180), заменяя / (t) на / (с) и t — с на 2, а также заменяя пределы
интегрирования на ±оо, получаем в итоге
оо
/ (а) ~ / (с) e'ah (с) J е0/2) iah"(с) z' dz. (3.182)
■—00
Для того чтобы вычислить интеграл в правой части (3.182)
в случае, если h" (с) > 0, повернем контур интегрирования на
угол л/4, так чтобы г = г ехр (т/4). В результате получим
/ (а) ~ / (с) eiah {с) +inlA \ Г(,/2) *к"«> " dr.
—оо
Вычисление этого интеграла с помощью подстановки
V-
Lah''(c)r = x
и использования формулы (3.25) приводит к следующему
асимптотическому представлению:
/ (а) ~ v гщ {с)ге при сс-^оо. (3.183)

S.4. Метод стационарной фазы
93
Точно так же, в случае если h" (с) < 0, мы поворачиваем контур
интегрирования на угол —я/4 и затем, используя подстановку
У j-o*'(c)r = T,
получаем окончательно
1(а)~ -—' у при <x-~voo. (3.184)
Пример 3
В качестве третьего примера рассмотрим случай, когда h (t)
имеет стационарную точку при / = а, причем
А' (а) - /г" (а) - ... - /г*"-1) (а) = О,
но ft<rt> (а) ^ 0- Разложим функцию h (t) в ряд Тейлора, который
с учетом равенства нулю первых п — 1 производных будет иметь
вид
h (0 = h (а) + Jp /г(п) (а) (/ - а)л + • •. . (3.185)
Подставляя разложение (3.185) в интеграл (3.163) и заменяя в нем
/ (t) на / (с), в первом приближении получаем
00
/ (a) ~ / (а) е'аШ) J elahW <а) W^dt. (3.186)
а
Полагая теперь t — а = г, перепишем представление (3.186)
в виде оо
/(а) ~ / (а) е'"""» j elahin) (а) г"/"' dz. (3.187)
О
Для того чтобы вычислить интеграл в правой части (3.187) в
случае, если /i<n) (a) > 0, повернем контур интегрирования на угол
л/2я. При этом имеем z = г exp (in/2n) и формула (3.187)
преобразуется к виду
оо
/(<*)-/(*)e'aMa) f Ы/2п [ *~ahin) (a)гП,п]dr. (3.188)
Интеграл в правой части (3.188) выражается через гамма-функцию
с помощью подстановки
ah{n) (а) гп
При этом, учитывая формулу (3.108), находим
7е-аН(п) ia)rn/nldr = ±[_Jt\ ]!/« (^(l/n) - I -, ds
J я L«A<"><a)J J
[■
я I ]'/" Г V я ) (3.189)
ah(n) (a) J "

94
Гл. 3. Интегралы
Таким образом, асимптотическое представление (3.188) можно
переписать как
'(а)~ \—£—\иа Кп > е***™***»" приа-оо. (3.
V ' [ahin)(a)\ п F
190)
В случае если Ып) (а) < 0, контур интегрирования следует
повернуть на угол —я/2п от действительной оси. Тогда, выражая
полученный в результате интеграл через гамма-функцию, имеем
Ка)~\ nl Y/n Ца)Г\ п / еыю - /л/2, при а.
к } [ -ah{n)(a) \ п
оо.
(3.191)
Из формул (3.190) и (3.191) следует, что главный член
асимптотики интеграла (3.163), определяемый вкладом окрестности
стационарной точки, представляет собой величину порядка or1-'",
где показатель п соответствует наименьшему порядку
производной, не равной нулю в стационарной точке. Следовательно,
если функция h (t) обладает несколькими стационарными точками
на промежутке [а, Ь]9 то главный член асимптотического
разложения интеграла (3.163) определяется окрестностью
стационарной точки с наибольшим значением п. Если же наибольшему
значению п соответствует не одна, а несколько стационарных
точек, то главный член асимптотического разложения интеграла
(3.163) будет представлять собой сумму вкладов от всех этих
точек.
Пример 4
Во всех предыдущих примерах функция / (t) была
ограниченной в соответствующей стационарной точке. В данном примере
рассмотрим интеграл (3.163) при условии, что
/ (0 ~fo(t — а)*- при / -* а, (3.192)
где показатель X должен быть больше —1, для того чтобы
интеграл (3.163) сходился. Относительно функции h (t) используем
те же предположения, что и в предыдущем примере. Подставляя
выражения (3.185) и (3.192) в интеграл (3.163) и заменяя верхний
предел интегрирования на +оо, получаем
/ (а) ~ f0elah{a) \ (( - af e'ah{n) (fl) {t~a)n/nl dt. (3.193)
a
Для сходимости интеграла (3.193) на верхнем пределе потребуем
выполнения неравенства К < п — 1. Полагая t — а = г,
перепишем представление (3.193) в виде
оо
/ (а) ~ /0e'aft(") J z%ei*hW (a) z"ln\ (iz (з. 194)

ЗА. Метод стационарной фазы
95
-[•
Как и ранее, в случае если Л(п) (а) > 0, преобразуем интеграл
(3.194) в интеграл Лапласа, повернув контур интегрирования
на угол п/2п от действительной оси так, чтобы z = г exp (in/2n).
В результате имеем
оо
/ (ее) ~ f0eiah <а>+< (И-1) ^/2" I rxe-*h(n) <°>r"/nI rf/-. (3.195)
о
Интеграл в правой части (3.195) можно представить через>амма-
функции с помощью подстановки
ah{n)(a) гп __
п!
Учитывая формулу (3.108), находим
J n |_аЛ<">(с)] J
-Si—Г"7" ^ • (3.196)
ал(я) (a) J n v ;
Подстановка выражения (3.196) в (3.195) дает
J (а) ~ I ~ |(X+1,/n _!_А И L ei*h (а) + i <\+|) я/2/i /з 197)
v ; |. a/t<n> (а) \ п v • /
при а-^ сю.
В случае если Л<л> (а) < 0, необходимо повернуть контур на
угол —я/2/г. Выражая получающийся в результате интеграл
через гамма-функцию, получаем окончательно
/Г(Х ll)
1{а)~1-^£^Г'])/П ° » ;^и)-МХН)я/2/> (3.198)
при а-* оо.
Отметим, что формулы (3.197) и (3.198) при X -* 0 переходят
в выражения (3.190) и (3.191). Еще одно замечание относится
к случаю, когда X + 1 > п. При этом, как видно из
асимптотических представлений (3.197) и (3.198), главный член
асимптотического разложения порождается не окрестностью стационарной
точки t — а> вклад от которой представляет собой величину
порядка а-<ь+1>/л, а концевой точкой t ~ Ь, вклад от которой
оказывается величиной порядка а"1.

96
Гл. 3. Интегралы
3J>e Метод наискорейшего спуска 1
До сих пор мы рассматривали только интегралы, у которых
показатель экспоненты в подынтегральной функции был либо
чисто вещественным (интегралы Лапласа), либо чисто мнимым
(интегралы Фурье). В этом параграфе исследуем случай
комплексных показателей экспоненты, т. е. обратимся к изучению
интегралов вида
I(a) = \f(z)c*hWdzt (3.199)
где а — большое действительное положительное число, С —
контур интегрирования в комплексной плоскости г, а / (z) и h (z) —
аналитические функции г, регулярные в некоторой области
плоскости г, содержащей контур интегрирования. Как известно,
функция h (z) называется аналитической в области D, если она
определена и имеет производную в каждой точке этой области.
Функция h (г), аналитическая в некоторой области D, за
исключением конечного числа точек, называется мероморфной в Z). Эти
исключительные точки называются особенностями данной
функции.
Функция h(z) комплексного переменного z = х + iy
называется дифференцируемой в точке г0, если предел
lim И«Ь + А»)-И*о) /3.200)
существует и не зависит от выбора Аг. Этот предел называется
производной функции h (г) в точке г0 и обозначается как К (г)
или dh (z0)/dz. Подстановка г = х + iy в выражение для h (г)
после отделения вещественной и мнимой частей дает
h (г) = h (х + iy) - Ф (х, у) + и|> (х, у). (3.201)
Далее, подставляя выражение (3.201) в (3.200) и принимая Az
равным Ах, имеем
— (г)= lim ф(дсь + А*' Уо)"^^' Уо) _l
Ддт-Ю
Таким образом,
Д*->0 л*
1 В новейшей литературе предпочитают иное название: метод перевала,
которое лучше отражает идею и суть метода. Прохождение седловой точки
в направлении наискорейшего подъема и спуска — не обязательный, а лишь
удобный путь интегрирования в рамках этого метода. — Прим» ред.

3.5. Метод наискорейшего спуска
97
Аналогично, выбирая Аг = i Ay, для выражения (3.200) находим
— (z ) = lim у (*0' Уо + Ау) ~"ф (*0' Уо) 4-
<ЬКо' д^о **У
. ; ит Ф (*о> Уо + Ау) — ■» (*0, уо)
откуда ig- = Ц- - I Ц- при г = г0. (3.203)
Если функция h (z) дифференцируема, то величина производной
W (z) не может зависеть от выбора Дг, и поэтому выражения (3.202)
и (3.203) должны быть равны друг другу. Таким образом, имеем
*L . / *t - ill _ i *L (з 904)
дх ^1 дх ~ ду 1 ду ' (d-^HJ
Отделяя в равенстве (3.204) действительную и мнимую части,
получаем так называемые уравнения Коши—Римана
$ — ■£• (3.2056)
Исключение функции \|з из системы уравнений (3.205) с помощью
перекрестного дифференцирования дает
-§-+$ = 0. ,3.206,
Аналогичным образом, исключая из системы (3.205) функцию ср,
приходим к уравнению
& + &-0. «3.207,
Для того чтобы найти асимптотическое представление
интеграла / (а), воспользуемся свойством аналитичности
подынтегральной функции и, применяя теорему Коши в форме (3.169),
деформируем контур С в новый контур С с таким расчетом, чтобы
на С либо вещественная, либо мнимая части функции h (z)
оказались постоянными. Тем самым исходный интеграл преобразуется
либо в интеграл Фурье, либо в интеграл Лапласа. Тогда
асимптотика преобразованного интеграла может быть найдена с помощью
метода стационарной фазы или с помощью метода Лапласа. Во
многих случаях оказывается более предпочтительным
трансформировать исходный интеграл в интеграл Лапласа (т. е. в интеграл,
у которого Im h =г|э = const), поскольку полное
асимптотическое представление интеграла Лапласа порождается лишь
окрестностью той точки на контуре С, где функция ф = Re h (z)
принимает наибольшее значение. В то же время полное
асимптотическое представление интеграла Фурье определяется, вообще го-

98
Гл. 8. Интегралы
воря, не только стационарными точками функции \|з = Imft (z),
но и поведением подынтегральной функции в концевых точках
промежутка интегрирования.
Отметим также, что линии постоянной фазы г|з = const
являются одновременно линиями наиболее быстрого изменения
(спуска или подъема) для функции ср. Чтобы показать это,
воспользуемся понятием градиента. Известно, что в плоском случае
градиент функций ф (*, у) представляет собой вектор с компонентами
*»-(£. 30 • <3*»>
а производная функции ф по направлению, задаваемому
единичным вектором й, определяется выражением
-S- = Vq>.n. (3.209)
Таким образом, функция dy/dn достигает своего наибольшего
значения в случае, когда я = Уф/|Уф|. При этом направление,
параллельное вектору Уф, будет направлением наибольшего
возрастания (подъема) функции ф, а противоположное
направление, параллельное вектору —Уф, — направлением наибольшего
убывания ф, или направлением быстрейшего спуска. Кроме того,
из уравнений Коши—Римана (3.205) следует, что
уф.уф = 0, (3.210)
т. е. что векторы Уф и Уф взаимно перпендикулярны, и, значит,
производная функции -ф в направлении, определяемом вектором
Уф, будет равняться нулю. Таким образом, функция-ф оказывается
постоянной на линиях, касательные к которым параллельны
вектору Уф, откуда сразу следует, что линии постоянной фазы
являются одновременно линиями наискорейшего спуска (или
подъема) для функции ф.
Отметим также, что функция ф (х, у) не может иметь в точках
регулярности h (z) ни максимума, ни минимума. Действительно,
из уравнения (3.206) следует, что если, например,
£«>, то$>0, (3.211)
и наоборот. Вместе с тем поверхность ф (х, у) может иметь точки,
в которых
однако они не являются точками экстремума функции ф. Такие
точки называются обычно седловыми точками {точками перевала).
Топография поверхности функции ф (*, у), имеющей седловую

3.5. Метод наискорейшего спуска 99
точку г0, изображена на рис. 3.7. Из уравнений Коши
и формул (3.212) следует также, что
J^L = i^L = 0
дх ду
Таким образом, седловая точка функции ф (л:, у) является
одновременно и седловой точкой функции г|) {х, у)> а значит, точкой, где
h1 (г) = 0. При этом, если г = г0 есть седловая точка и если
ft' (г0) = ft" (г0) = ... = ft<«) (z0) = 0, но ft*'**1* (г0) Ф 0, точку
20 называют седловой точкой порядка т + 1.
Через седловую точку г0 проходят две или более линий уровня
(т. е. кривых, вдоль которых функция ср сохраняет постоянное
значение), разделяющих окрестность седловой точки на отдельные
сектора. Кроме того, через седловую точку проходят две или более
линий постоянной фазы (т. е. кривых, вдоль которых функция яр
постоянна), являющихся линиями скорейшего спуска или подъема.
Хотя форма линий уровня и линий постоянной фазы,
проходящих через седловую точку, если прослеживать их на всей
комплексной плоскости, может быть достаточно сложной, однако
найти вид и расположение этих линий в окрестности седловой
точки оказывается сравнительно нетрудно. Так, если седловая
точка имеет порядок /я, то в окрестности этой точки ряд Тейлора
для функции ft (г) имеет вид
h(z)^h(20) + ^rh^)(z0)(z^zor. (3.214)
=►*
Рис. 3.7. Топография поверхности q> = Re h(z) вблизи седловой точки для
типичной функции h(z). Толстые сплошные кривые, выходящие из седловой
точки, обозначают срединные линии «хребтов»-и «долин», пунктирные кривые —
линии уровня ф = ф (х0, у0) = const. Кривая А А' является линией
наискорейшего спуска.
—Римана
(3.213)

100
Гл. 3. Интегралы
Рис. 3.8. Топография поверхности ф = Re h(z) вблизи седловой точки второго
порядка для случая % = 0. «Долины» на рис. заштрихованы, сплошные кривые
представляют собой линии уровня, кривые наискорейшего спуска обозначены
пунктиром, а стрелки на них указывают направление убывания функции ф.
Поэтому если положить
-L A<*> (z0) = Keix и z - z0 = rel\ (3.215)
TO
h (г) ~ h (2b) + Krmel (x+m9) = <p -f u|>,
или
Ф = ф0 + Krm cos (x + тв), ф = фо + /Crm sin (x + m0), (3.216)
где ф0 и \|з0 представляют собой значения функций ф и г|) в седло-
вой точке. Таким образом, линии уровня ф = ф0, проходящие
через седловую точку, приближенно описываются уравнением
cos(х + mff) = 0, или х + тЪ = (п + -j-) л, (3.217)
где п = 1, 2, 3, ..., 2/п. Уравнение (3.217) дает нам 2т линий
уровня функции ф, задаваемых аргументами 8=|(я + — )л—
— Х]//я. Эти линии делят окрестность точки г0 на т «холмов»
и т «ложбин».
Точно так же из второго из уравнений (3.216) следует, что
линии постоянной фазы г|з = г|>0 приближенно задаются
уравнением
sin (х + mQ) =[0, или х + mQ = ял, (3.218)
где п = 1, 2, 3, ..., 2т. Уравнение (3.218) описывает 2т
кривых, т из которых являются линиями наискорейшего спуска,
а другие т — линиями наискорейшего подъема.
В самом простом случае, когда седловая точка имеет порядок,
равный двум, существуют две линии наискорейшего спуска и две
линии наискорейшего подъема (рис. 3.8). Кроме того, суще-

3.5. Метод наискорейшего спуска
101
ствуют четыре линии уровня, разделяющие окрестность седло-
вой точки на два «холма» и две «ложбины». В случае седловой
точки третьего порядка имеется шесть линий уровня,
разделяющих окрестность седловой точки на три «холма» и три «ложбины».
Кроме того, через эти «ложбины» проходят три линии
наискорейшего спуска, а через «холмы» — три линии наискорейшего
подъема (рис. 3.9).
Проведенный анализ показывает, что эффективным методом
построения асимптотических разложений для интегралов по
контурам, концевые точки которых располагаются в двух различных
«ложбинах», является метод наискорейшего спуска, развитый
Риманом и Дебаем. Идея этого метода заключается в деформации
контура интегрирования С в некоторый новый контур С\
удовлетворяющий следующим условиям:
1. Контур С проходит через седловую точку (т. е. через нуль
функции h' (г)).
2. Мнимая часть г|з функции h (г) на этом контуре должна быть
постоянна.
3. Контур С представляет собой кривую наискорейшего
спуска.
Если по условию задачи деформированный контур проходит
более чем через одну седловую точку, то каждая из них может
дать свой вклад в асимптотику интеграла, причем основной вклад
вносится точкой, соответствующей наибольшему значению
функции ф. Если же производная Ы (г) не обращается в нуль, то
контур интегрирования С выбирают таким образом, чтобы
удовлетворить второму и третьему из перечисленных выше условий.
Ниже метод наискорейшего спуска иллюстрируется тремя
типичными примерами.
Рис. 3.9. Топография поверхности <р = Re h(z) вблизи седловой точки третьего
порядка для случая % = 0. «Долины» на рисунке заштрихованы, сплошные
кривые представляют собой линии уровня, кривые наискорейшего спуска
обозначены пунктиром, а стрелки на них указывают направление возрастания
функции ф.

102
Гл. 3. Интегралы
Пример 1
В качестве первого примера рассмотрим следующее
интегральное представление функции Бесселя первого рода нулевого
порядка:
Jo(«) = T~ j y-j—ь & приа»1. (3.219)
Интегрирование по частям в этом случае не дает никаких
результатов, поскольку разбиение на множители
u = eia\ dv = (l-z2)-y2dz
приводит к разложению, не имеющему асимптотического
характера, а разбиение
u = (l-z2)~l/2, dv = eiazdz
приводит к выражениям, содержащим особенности в точках
г = ±1.
Для того чтобы найти приближенное выражение для J0 (а)
при больших а с помощью метода наискорейшего спуска,
деформируем контур интегрирования в линию постоянной фазы.
Отметим, что h (z) = iz, так что фаза г|э при z = 1 равна 1, а при
z = —1 она оказывается равной —1. Таким образом, контур
интегрирования не удается деформировать непрерывным
образом в единый контур, вдоль которого фаза i|? оставалась бы
постоянной. Вместе с тем существует возможность деформировать
его в контур, изображенный на рис. 3.10 и состоящий из трех
отрезков прямых: отрезка Съ соединяющего точки —1 и —1 +
+ /К, отрезка С2, соединяющего точки —1 + iY и 1 + /К, и,
У
•1
1
НГ)
"..J>
i
(0,Ю
Сг
(1,Ю
)
*
(-1,0) (1,0)
Рис. 3.10. Контур интегрирования для вычисления интеграла (3.219).

3.5. Метод наискорейшего cnycfta 163
наконец, отрезка С3, соединяющего точки 1 + iY и +1. Согласно
теореме Коши (3.169), имеем
1
I / dz = 1 / dz. • (3.220)
Строго говоря, контур следует деформировать так, как показано
на рис. 3.10 пунктирными линиями, с тем чтобы на него не
попадали точки ветвления подынтегральной функции х = ±1.
Однако в пределе, при р'-* 0, интеграл по такому криволинейному
(т. е. с обходом углов) контуру стремится к интегралу по
контуру, состоящему из прямолинейных отрезков. Поэтому в
дальнейшем мы можем не принимать во внимание наличие точек
ветвления на контуре интегрирования. При Yi+ оо интеграл по
участку Са стремится к нулю, поскольку в этом случае
подынтегральная функция также стремится к нулю, причем равномерно
относительно х = Re z. Следовательно,
— l+too г 1
J0(a) = — [ L dz + — f ° dz. (3.221)
-1 V 1+foo V
Используя подстановку z — —1 + iy в первом интеграле и
z = 1 + iy во втором, перепишем (3.221) в виде
оо я О
/0(а) = - [ / dy + — , е >dy,
0W я J V2iy + y* * * J V —2/у + у» *
или
оо
ip—ia—in/A Г . 1 \—1/2
/,(а) =" ^ J <Г1/2 (1 - -г 1>) е"а" df/ ~
te
/а-к л/4 j. i \—1/2
К2л
J г/ ,2(И-4(>Г'/2га1/^ (3-222)
Интегралы в правой части (3.222) представляют собой интегралы
Лапласа, и поэтому основной вклад в их асимптотику при а -> оо
вносит только точка у = 0. Таким образом, мы можем
воспользоваться леммой Ватсона, раскладывая предэкспоненциальные
множители, входящие в состав подынтегральной функции, в ряд
при малых у и интегрируя полученный результат почленно.
При этом главный член асимптотического разложения J0 (а)
оказывается равным
fi-ia+tn/4 !° Ja-in/4 ?
/о («) ~ Vun \ y-"*e-«ydy + *—— J ГЧ*ег*У(1у.

104
Гл. 3. Интегралы
С помощью подстановки ay = t полученное выражение можно
привести к виду
оо
У0(«) ~ -Л=- [в-ли-/«/4 + е;а-,я/4] f t-iiiert dt. (3.223)
г о
Окончательно, используя формулу (3.121) и тождество
(е*+ *"■*) = 2 cos в,
перепишем асимптотическое представление (3.223) в следующем
виде:
«М<*)~ у "S~cos (а Тп) приа-^оо. (3.224)
Пример 2
В качестве второго примера рассмотрим интеграл Эйри
оо
Ai (а) = -i- J cos (-i- s3 + as) ds (3.225)
о
в случае a > 1. Для того чтобы преобразовать (3.225) в интеграл,
имеющий форму (3.199), введем преобразование s = a1/2z. В
результате получим
оо
Ai(a) = ~-J cos [ а3'2 (~±-г3+ z)]dz =
о
оо
= -^ J [e«a3/2 (г3/3+г) + e_/a3/2 (г3/3+г) j dz =
о
= <£L [ е**3'2 (*3/з+2) cfe + -^ • f е-'«3/2 №+*) dz =
о о
= -2^1 Г е<«3/2 (гЗ/3+г) dZ ~ ^- \ ё^ №+* <Ь,
о о
оо
откуда Ai (a) = -^- J е'<*3/2 <*3/3+2> dz. (3.226)
—оо
Интегрирование по частям дает тривиальный результат Ai (a) =
= 0-a"1 + Ост2 + ..., поскольку, как будет показано ниже,
в асимптотическое разложение входит экспоненциальный
множитель, который стремится к нулю быстрее, чем любая
степень а"1.

3.5. Метод наискорейшего спуска
105
Рис. 3.11. Кривые постоянной фазы (включая траектории наискорейшего спуска^
проходящие через седловые точки, для функции Эйри. Стрелки на рис.
указывают направление, в котором функция Re h(z) убывает.
Для того чтобы найти асимптотическое представление
функции Ai (а), воспользуемся методом наискорейшего спуска. В
данном случае
h(z) = i(±-z* + z) и h'(z)=*i(*+l),
так что седловые точки, т. е. нули производной h' (г), суть точки
z = ±i. В этих точках
и, следовательно, Im h(±i) === 0. Полагая теперь в выражении
для h{z) z = х + itjt имеем
= »(-f»i-*i-1)+te("r*i-*p + 1)' (3'227)
Поскольку в седловых точках Im h = 0, то уравнение линий
наискорейшего спуска, проходящих через эти точки, получается
из условия Im h = 0. В соответствии с формулой (3.227) это
уравнение имеет вид
*(х*2-^2 + 1)====0' (3,228)

106
Гл. 3. Интегралы
Уравнение (3.228) представляет собой кубическое уравнение,
определяющее три кривые наискорейшего спуска: мнимую ось
х = 0 и две ветви гиперболы
Х*2-У2+ 1=0. (3.229)
Эти линии изображены на рис. 3.11, причем стрелки на кривых
указывают направление, в котором убывает функция Re h (z).
Таким образом, для того чтобы применить метод наискорейшего
спуска, деформируем исходный контур интегрирования в
контур СI, который:
1) проходит через седловую точку z = i,
2) представляет собой кривую постоянной фазы,
3) является линией наискорейшего спуска из седловой точки.
Требуемая деформация вполне осуществима, поскольку в
областях, расположенных между исходным и деформированным
контуром, подынтегральная функция затухает экспоненциально при
z-> с». Поэтому мы можем заменить интеграл (3.226) на
эквивалентный ему интеграл
1/2
Ai («) = -^тг I *'а3/2 (г3/3+г) dz- (3-230>
с,
На контуре Сх выполняется уравнение (3.229), и, значит, хг =
= 3 (у2 — 1), так что соотношение (3.227) можно записать в виде
h(z) = y(2-±tfi) ПРИ У^1' <3'231)
Кроме того, функция h (z) имеет максимум при z = i (т. е. при
у = 1). Следовательно, интеграл в формуле (3.230) представляет
собой обобщенный интеграл Лапласа, и его асимптотическое
представление может быть получено с помощью леммы Ватсона.
Для этого введем подстановку
a3/2h (г) = ia3/2 (-Lг3 + г) = a3% (t) - т2 = — -J- a3/2 - т2. (3.232)
Тогда
*a3'2 {f +l)dz = —2т dx, (3.233)
и интеграл (3.230) принимает вид
,„-(2/3) а3.'2 * т,-т«
Ai(«)~iL-m— \ #+гdx- <3-234>
—00
Далее, нам нужно разложить функцию \z% (т) + 11"1 в ряд при
малых т, а для этого необходимо построить разложение по сте*
пеням т самой функции z (т). С этой целью разложим левую часть

3.6. Метод наискорейшего спуска 107
^-luriini lit .ты -ii m 1 - .. i i .
(3.232) в ряд Тейлора по степеням (г — /), в результате чего
получим
(z - О2 - 4"1 (2 ~ ^ = arW%2' (3-235)
Решение этого уравнения при малых т имеет вид х
г = 1- + а-3/4Н . (3.235а)
Таким образом,
(г2+1)-, = (2га~3/4т)~1 при т-+0. (3.236)
Подстановка выражения (3.236) в формулу (3.234) приводит к
окончательному асимптотическому представлению функции Ai (а):
р- (2/3) а3/2
Ai (а) ~ g2^al/4 при а- оо. (3.237)
Нужно отметить, что строго следовать при интегрировании
вдоль всей линии наискорейшего спуска оказывается не столь уж
необходимым, поскольку асимптотическое разложение
интегралов типа (3.199) полностью определяется окрестностями точек,
где функция ф принимает наибольшее значение. Эти точки могут
быть как внутренними, так и концевыми точками отрезка
интегрирования, причем если точка, в которой достигается
максимум ф, является внутренней, то она необходимо будет и седло-
вой. В данном примере для получения главного члена
разложения оказывается вполне достаточным строго следовать по кривой
наискорейшего спуска лишь на очень коротком ее участке,
проходящем через седловую точку. Поскольку седловой точкой
в нашем случае является точка z = t, то показатель экспоненты
в (3.230) можно приближенно представить как
;аз/2 ^ гз + г) = _ _|_ аз/2 _ аз/2 (z-if-\ . (2.238)
При этом направление обхода контура интегрирования в точке
z = / должно выбираться с таким расчетом, чтобы величина
аз/2 (г — ^2 — т2 оказалась вещественной и положительной.
Подставляя теперь (3.238) в интеграл (3.230) и заменяя в нем
пределы интегрирования соответственно на —оо и + <», вновь
получаем для главного члена асимптотического разложения
выражение вида
е- (2/3) а3/2 °°
Ai(<*)~ 2яа1/4 J e~X'dT>
1 Разложение функции г (т) можно получить из уравнения (3.235) с
помощью метода неопределенных коэффициентов или путем обращения степенных
рядов по формуле Бурмана—Лагранжа (см., например, Лаврентьев М. А.
и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука,
1965). — Прим. перев.

108
Гл. 3. Интегралы
или, с учетом формулы (3.25),
е- (2/3) а3/2
Ai (а) ~ 2№ при а^ °° • (3,239)
Пример 3
В качестве последнего примера рассмотрим интеграл вида
оо
/(а) = J (Р^-г'Ыг (3.240)
о
при больших положительных а. Параметр X в данном случае
представляет собой комплексное число, не зависящее от а. Сед-
ловые точки задаются уравнением
Л'(г) =-д-(ЗА*--2е) = 0, или Ь-г2 = 0,
и, следовательно, они имеют координаты г = ±%Х12. Если
положить X = о2 exp (2/v), то координатами седловых точек будут
значения г = ±а exp (iv). Поскольку вторая производная
h" (г) = —6г в указанных точках отлична от нуля, то данные
седловые точки оказываются второго порядка.
Для того чтобы построить асимптотическое представление
интеграла (3.240), вновь воспользуемся свойством
аналитичности подынтегральной функции и деформируем исходный
контур интегрирования в контур С, проходящий через начало
координат и седловую точку z = о exp (iv) и являющийся линией
наискорейшего спуска (рис. 3.12). Тогда интеграл (3.240)
переписывается в виде
оо
/ (а) = J е» (зи-г«) dz= \е" <***-*•> dz. (3.241)
о с
Как отмечалось выше, основной вклад в асимптотику
интеграла / (а) вносит лишь небольшой отрезок С контура С,
проходящий через седловую точку. Поэтому
/(a)- |в»<^-*')&. (3.242)
с
Поскольку точка z — о exp (iv) является седловой, показатель
экспоненты в интеграле (3.242) можно представить в виде ряда
a (ЗА* - г3) = 2aa36?3<v - 3aae'v (z - oeiv)2 -) , (3.243)
а направление С выбрать таким образом, чтобы
3aae'v (г - oeiv)2 = г2, (3.244)

«2.5. Метод наискорейшего спуска 10§
где т2 — вещественная и положительная величина. Таким
образом, контур интегрирования С будет задаваться параметрическим
уравнением
(3.245)
e-(v, 2
oeiv = ± Г т.
/Заа
Формула (3.245) показывает, что существуют два возможных
направления интегрирования по контуру С, определяемые
аргументами — v/2 и л — v/2. Для того чтобы выбрать здесь
правильное направление, необходимо исследовать характер изменения
функций ф и г|э на всей комплексной плоскости (рис. 3.12). Из
рисунка ясно, что интегрирование следует проводить в
направлении, определяемом аргументом —v/2. Таким образом, в
формуле (3.245) мы должны выбрать знак плюс, поскольку
предполагается, что т на контуре С изменяется от отрицательных
значений к положительным. При этом, согласно лемме Ватсона,
в качестве пределов интегрирования можно выбрать
соответственно —оо и +оо. Подставляя теперь выражение (3.245) в
интеграл (3.242), с учетом сделанных замечаний для главного члена
асимптотики исходного интеграла получаем выражение вида
1(a)
ехр Г— -i-*v + 2ao¥'vl
VI
aa
или
/(a)„ j/_iL.eXp[ lriv + 2otfe»v] приа+оо. (3.246)
Рис. 3.12. Деформированный контур интегрирования С для случая о= 1 и
v= 22.5°.

ii6 Fa. 5. Интегралы
Упражнения
3.1. Показать что при е-► О
sine/
г sine/ ,, 1 ч ,
600
о
3.2. Показать, что при х —>0
X
J *-3/4<Г< dt ~ 4xJ/4 ^i-^ + l *9/4-
о
3.3. Показать, что при х —► оо:
. Се-*. _4 1 112! 3! 1.
л\ [ е~* nt е~* 1\ п I /,(д + 1) М« + 1)(» + 2)1
' J f* <"~ П [ * + X* X* J'
Г х"
3.4. Показать, что при х —► оо
3.5. Показать, что при х —► оо
Г -*■., -х- Г J 1 1-3 ЬЗ 5 1
J £ ЯГ - с у2х 2ЧЪ + 2зх5 24х7 j .
З.в. Рассмотреть полный эллиптический интеграл второго рода
Я/2
/ (щ) = | Kl—msin26cf8.
о
Показать, что
* . ч 1 Г, 1 3 ft 5 , 175 . , 1
Сравнить полученный результат с результатами, приведенными в книге
Абрамовица и Стигана (1979).
3.7. Показать, что при х —► оо
Г cos f ., / 1,2! 4! \ . . / 1 31 , 5! \
х
3.8. Показать, что при х —► оо:
оо
•Г COS/ л 1 /г -ч
a) J -77=-dl ~-77=-(/cos х — gsinx);
X
6) i -^5— dt -=- (f sin x -f g cos x),

Упражнения
111
где
, 1 ЬЗ-5 ЬЗ-5-7-9
' " 2х (2х)* + (2х)* + ''
t ЬЗ 1-3-5-7
ё ~ (2д:)2 + (2х)* + ''
3.9. Показать, что при х—► оо:
, f° cos (t — х) ., 1 3! , 5! .
дг
,J
sin (/ — jc) ., 1 2! , 4!
• at ~ г- н г- .
i х х* хъ.
3.10. Показать, что при х—* оо:
оо
Л 1 .
ч Г at
х In* '
X
б) 1тППН7
dt In х
In lnx
2
3.11. Показать, что при *->оо:
а> [тт^~2*-|/2-4*-5/2+1г
б) 1(^^^2)1/2^ |_х5/2 +^.хЗ/2.
0
х
\ ( dt х
в) JlnT^TnT-
а
3.12. Показать, что при х—► оо:
1
a) Je-*'ln(2 + 0*~J2£;
о
1
б) |в-*'1п(1+ол--у;
о
1
в) J*-*'sin*£tt—1-;
о
г) |е-<*/') + '+*'Л~^.

112
Гл. 3. Интегралы
3.13. Показать, что при со->оо
J со
о -Ь х + х J/"©
dx*
3.14. Показать, что при со—>оо:
оо
а) |e—C+^o+^dx-^j-;
О
оо
б) J e-»<*f+2*>ln(2 + x)dx~^;
о
оо
в) J,—(*•+») ,п(1+х)Лл>_^г;
О
Г ,-»(*«+2*) I/IT
3.15. Показать, что при со->оо
ь
J [coft' (а)]х+!
гдеЬ>—1, 6>а и Л(х)>Л(а).
3.16. Показать, что при со—► оо:
а) j «-^V^InO+jOdx-
In 2
2о)
1
оо
б) Je—'V* In**-■££.
1
3.17. Показать, что при со—► со:
, Г *-"" , ГШ.
а) I . Лс тгт—,
J /х + х» 2ш1/4
V ГШ
О
3.18. Показать, что при со—> оо:
а) Г,— in^+^dx-i^-.
J К со
—оо
б) J,—-шо+^л-^-.

Упражнения
113
3.19. Показать, что при дг—► оо:
2
V"я р~2х .
а) Гв-*[* + <i//>iл —L"
/ *Vx
2 -2*
в) J «-*[< +<»/<>] ЫЛ__?__;
1
2
Г e-*[' + (l/OJ
г) \ - r d(~Aj-l С2*-
1 'A" • 2jA2*1/4
l
3.20. Показать, что при x —* оо:
1 / 1
Г г-*1" г (^
а) уТ + ГЛ ^7^'
в) 1 7^="" «* ~ По^— •
; J Vt пх{/2п
О
3.21. Показать, что при а—► оо
О
3.22. Показать, что при а—► оо
оо
[^«[^/3+/]л L.
О
3.23. Показать, что при х —* оо
/о (*) =-^-J cos (х sin 9) dd~ J/ —cos (*- -j- я) .

114
Гл. 3. Интегралы
3.24. Показать, что при а—>оо:
(т) <im.
j r/i
a) Г «'«"А-
о
Л <'"%, г(т)'"'г.
e)JTr'" S*—•
О
г г (4) е''л/:
., J ^'1п(ц. о л—^^4—
о
1
Г (J-) е'я/6 in 2
г) j .«-in (2 + 0 Л ^ттг
О
3.25. Показать, что при х—► оо:
, К<2-1
1
я
Д) /n(x) = i-J^cosecosnede^-?=-.
о
3.26. Показать, что при z —► оо
<» /
о
3.27. Показать, что при х—^оо
1 - 1 - ■ >
j^o-« '«-(4-) 'г("+тЬНН"+1)]

Упражнений
115
3.28. Показать, что при со—► оо
1 • , *
1
щ/в^Л Ппи_^_^_2_
где y = — I е~* In tf d/.
о
3.29. Показать, что при а—► оо
ао
I
j^Sexp [--!-'" +-Г (%-'Я/4]
а <г-<г»/3) л~ , .
о
3.30. Рассмотреть интегральное представление для полиномов Лежандра я-го
порядка
я
Рп fli) = ^- J [fi + Kil5"1^ cos еГ <ю.
о
Показать, что
3.31. Рассмотреть функцию Эйри второго рода, определяемую интегралом
00
В! <*) = •—{ |><§'3 + " + sin (4"^3+ *<)■] *•
о
а) Используя метод Лапласа для оценки первого интеграла и метод
интегрирования по частям для второго, показать, что при г—► оо
„(2/3) г3/2
б) Положить г = —а; далее, используя метод Лапласа для оценки первого
интеграла н метод стационарной фазы для второго, показать, что
Ш(-г)~7^гС08(ха3/2+т-")-

Глава 4
УРАВНЕНИЕ ДЮФФИНГА
Во многих случаях свободные колебания консервативных
систем с одной степенью свободы описываются уравнениями
вида
■^■Т+ /(**) = 0, (4-1)
где / — некоторая нелинейная функция от х*\ при этом член
—-j- определяет ускорение системы, а / (л;*) — нелинейную
восстанавливающую силу. Пусть координата х* = х$ определяет
положение равновесия системы; тогда ясно, что / (*о) =0.
Предположим также, что функция f является аналитической в точке
х* = Xq\ тогда в окрестности этой точки ее можно разложить
в ряд Тейлора
f (х*) = kx {х* - х5) + h (х* - х*0Г + k3(х* - xSJ* + • • •, (4.2)
Таким образом, уравнение (4.1) можно представить в виде
d*x*
dt
Уравнение (4.3) описывает движение данной системы вблизи
положения равновесия. Вводя для удобства преобразование
w* ~ х* _ х*9 из (4.3) получаем
£* + klu* + kj* + Ааи*8 + • - • - 0. (4.4)
at*
Большая часть этой главы посвящена исследованию
специального вида уравнения (4.4), а именно уравнения
d2u*
_ + kx (х* - xS) + k2 (х* - xS)* + k3 (х* - Х&Г + • • • = 0. (4.3)
Л*
+ *1И* + *зИ*# = 0, (4.5)
где ki > 0, a k9 может быть как положительным, так и
отрицательным. Уравнение (4.5) называют обычно уравнением Дюф-
финга. Как уже отмечалось в гл. 1, прежде чем приступить^к
решению исходных уравнений, следует принять за правилсГ обя-

4.L Прямое разложение
11?
зательно приводить их к безразмерному виду. С этой целью
выберем некоторые характерные масштабы задачи — линейный U*
и временной Т* — и положим
__ и* , _ t*
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
_fL — JLJL — -LA d2 _ l d2 .
df* — d/ d/* "" Г* d/ ' dt*2 ~~ T*2 dt* y
при этом уравнение (4.5) преобразуется к виду
и + k{T*\ + k3T*2U*V = 0. (4.6)
Выберем Г* таким образом, чтобы ktT*2 = 1, и положим е ==
= fc^*2 U*2 = ksU*2/kv Тогда (4.6) перепишется как
й + а + ей* = 0. (4.7)
Отметим, что параметр е представляет собой безразмерную
величину, которая характеризует степень нелинейности системы.
В качестве начальных условий примем, что
и(0) = дг0> й(0) = Л0. (4.8)
Решение и нашей задачи является функцией независимой
переменной t и параметра е, что мы будем записывать как и = и (/; е),
отделяя параметр е от аргумента t точкой с запятой. В
следующем параграфе прямым разложением по параметру мы построим
приближенное решение задачи (4.7)—(4.8) при малых, но
конечных е, однако это разложение не будет равномерно пригодным
для больших значений t. Далее, в §4.2 мы получим точное решение
задачи, из которого будет видно, что частота системы со является
функцией параметра е (т. е. степени нелинейности системы).
Это обстоятельство используется в § 4.3 для построения
равномерно пригодного решения с помощью разложения функций и
и 0 в ряд по степеням параметра е — в этом состоит так
называемая методика Линдштедта—Пуанкаре. В § 4.4 ряды для и
и (о подставляются непосредственно в прямое разложение
решения, с тем чтобы сделать его равномерно пригодным — это так
называемый метод перенормировки. В § 4.5 мы описываем метод
многих масштабов, в § 4.6 — метод вариации параметров (метод
специальных возмущений) и наконец в § 4.7 — метод
усреднения.
4.1. Прямое разложение
В случае е = 0 уравнение (4.7) сводится к уравнению
й + и = 0, (4.9)
общее решение которого можно записать в виде
и0 = a0cos(t + р0), (4.10)

116 Fa. 4. Уравнение Дюффинёа
где а0, ро — произвольные постоянные. При малом, но отличном
от нуля значении параметра е общее решение (4.7) уже нельзя
представить формулой (4.10), и к ней следует добавить некую
поправку. Будем искать эту поправку в виде ряда по степеням е,
т. е. положим
и (*; е) = щ (t) + ги± (t) + е2и2 (t) + е3и3 (0 + ... . (4.11)
Ограничим наше исследование нахождением лишь первого
поправочного члена ряда (4.11), т. е. будем искать приближенное
решение задачи в следующем виде:
и (*; е) = и0 (t) + гиг (0 + О (е2). (4.12)
При этом, поскольку мы сохраняем здесь лишь один
поправочный член, будем называть разложение (4.12) разложением
первого порядка.
Подставляя (4.12) в (4.7), имеем
и"о + гиг + О (е2) + "о + гиг + О (е2) + е [щ + гиг + О (е2)]3 = 0.
(4.13)
Используя биномиальную формулу для разложения последнего
члена, получаем
[и0 + гщ + О (е2)]3 = и\ + Зи% [гщ + О (г2)] + Зи0 [гщ + О (е2)]2 +
+ [eui + О (е2)]3 = и\ + 3eiig«i + О (е2). (4.14)
Далее, подставляя (4.14) в (4.13) и собирая члены с одинаковыми
степенями е, находим
и0 + и0 + е (их + их + ul) + О (е2) = 0. • (4.15)
Поскольку нас интересуют лишь члены порядка е, то в
квадратных скобках в (4.13) необходимо учитывать лишь первое
слагаемое; это обстоятельство позволит нам существенно упростить
дальнейшие выкладки. Полагая в (4.15) е = 0, получаем
Ио + Ио = 0. (4.16)
При этом (4.15) принимает вид
е (их + их + ul) + О (г2) = 0. (4.17)
Разделив на е, имеем
Mi + iii+iiS + O(e) = 0f (4.18)
откуда, полагая в (4.18) е = 0, находим
ux + ux + ul=0. (4.19)
Сравнивая (4.16) и (4.19) с (4.15), можно заметить, что оба этих
соотношения легко получить, если просто приравнять нулю
коэффициенты при последовательных степенях е в выражении (4.15) —

4.1. Прямое разложение
119
именно таким способом и находят уравнения для и0 и иг. Заметим,
что уравнения (4.16) и (4.19) легко решаются последовательно.
Действительно, находя из (4.16) функцию «0, можно подставить
результат в уравнение (4.19) и затем найти функцию и^
Общее решение уравнения (4.16) можно представить в виде
и0 = а0 cos (t + р0), (4.20)
где а0 и ро — произвольные постоянные. Подставляя выражение
для и0 в (4.19), получаем
их + и, = -flgcos3 (t + Ро). (4.21)
Как известно, общее решение неоднородного уравнения (4.21)
складывается из общего решения соответствующего однородного
уравнения и некоторого частного решения (см. приложение Б).
Для того чтобы найти это частное решение, разложим
неоднородность в правой части (4.21) в ряд Фурье, используя
тригонометрическое тождество (формула (А. 18))
cos3 е = -J- cos зе + ~- cos е,
и перепишем (4.21) в виде
й + и, = 5" а*°cos (' + Ро) " Т а*°cos (3/ + 3W- <4'22)
Решение же соответствующего однородного уравнения можно
представить как
"iOAH = aiCOS(^ + p,), <4-23)
где аг и рх — также произвольные постоянные. В силу
линейности (4.22) частное решение этого неоднородного уравнения может
быть представлено в виде суммы двух частных решений,
соответствующих каждому из слагаемых неоднородности в правой
части (4.22). Таким образом, нам остается найти частные решения
следующих двух уравнений:
т + их = J- а\cos (/ + Ро), (4.24)
их + щ = — -J- а\ cos (3/ + Зр0). (4.25)
Частным решением уравнения (4.24) является функция вида
(формулы (Б. 75) и (Б. 76))
<)аст„ = -4^81п^ + Р^ (4.26)
а частным решением уравнения (4.25) — функция вида
(формулы (Б. 68) и (Б. 69))
C = W^C05(3/+W. (4.27)

120
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
Тогда, в силу принципа суперпозиции, для частного решения (4.22)
имеем
"Wr„ = - -гa3fl/ sin $ +Ро) + жq3°C0S (3/ + ЗРо) (4'28)
и, следовательно, его общее решение запишется как
их = a, cos (/ + Pi) - 4" а& sin (' + Ро) + i а° cos (3/ + Зр0). (4.29)
Подставляя теперь выражения для и0 и их из (4.20) и (4.29)
соответственно в разложение (4.12), для общего решения
уравнения (4.7) получаем следующее разложение первого порядка:
и = aQ cos (t + Ро) + е [fli cos (f + Pi) —|- <*о' sin (t + fa) +
+ ^flgcos(3/ + 3po)] + ---, (4.30)
где а0, аь Ро и рх — некоторые произвольные постоянные. Таким
образом, начав с уравнения второго порядка, для которого
ставятся два начальных условия, мы в конце концов получили
четыре произвольные постоянные. Однако при этом оказывается,
что постоянные а0, аъ р0 и рх связаны между собой и для их
нахождения будет вполне достаточно двух начальных условий (4.8).
Действительно, подставляя разложение (4.30) в условия (4.8),
получаем
лг0 = а0 cos Ро + е (ах cos Pi + -^а\ cos Зр0) -\ , (4.31)
х0 = — а0 sin ро — е (ах sin fa + -|- а\ sin Ро + ^ «о sin Зр0) + • • •.
(4.32)
Перенося теперь в соотношениях (4.31) и (4.32) все члены в одну
сторону и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых
степенях е, или, что то же самое, непосредственно приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, находим
при е°:
х0 = а0 cos р0, (4.33)
х0 = —а0 sin р0; (4.34)
a, cos ft = — JL og cos Зр0, (4.35)
fli sin p, = — -J- a\ sin ft - JL ag sin 3p0. (4.36)
Возводя (4.33) и (4.34) в квадрат и складывая, имеем
*о + *о = яо cos2 Ро + а\ sin2 р0 = ag,
при е1:

4.1. Прямое разложение
121
или
а0 = (хЪ + х1У2. (4.37)
Аналогичным образом из (4.33) и (4.34) можно найти и
величину Ро
ро=~arcsin tztw* = arccos(^+V- (4'38)
Далее, из (4.35)—(4.36) получаем
аг = ±с% [cos2 Зр0 + 9 (sin Зр0 + 4 sin р0)2]1/2, (4.39)
. 3al(A sin р0 + sin Зр0) / a2cos3pn\
fc=-arcsin 0( 32ai—- = arccos [—^mzr1) ■ <4-40>
Таким образом, вычислив постоянные а0 и ро по формулам (4.37)—
(4.38), постоянные ах и $х можно найти по формулам (4.39)—(4.40).
Возвращаясь вновь к разложению (4.30), заметим, что
а0 cos (/ + р0) + гаг cos (/ + рх) =
= а0 cos t cos р0 — а0 sin / sin р0 + еаг cos t cos px—
— zaL sin t sin px = (a0 cos po + гах cos px) cos t —
— (a0 sin Ро + гах sin PJ sin / = a cos £ cos p —
— a sin / sin p = a cos (t + P), (4.41)
a cos p = a0 cos p0 + eax cos pb (4.42)
где
a sin p = a0 sin p0 + eax sin px. (4.43)
При этом из (4.42), (4.43) следует, что
a0 =а + 0(е), ро = р + О (е). (4.44)
Воспользовавшись соотношениями (4.41) и (4.44), перепишем (4.30)
в виде
и = a cos (/ -f- Р) + е| 1-[a f 0(e)]3t sin [t -|- P -f- 0(e)| +
+ it [a + ° (e))3cos l3/ + 3P + ° №]} + ' •" •
откуда
u = a cos (/ + P) + ea3 [ — -|- * sin (/ + P) + -^ cos (3/ -f 3p) ] + • •. .
(4.45)
Отметим, что это решение может быть получено непосредственно
из уравнений (4.16) и (4.19) следующим образом. Выбирая
решение (4.16) в виде
и0 = a cos (t + Р), (4.46)

122 Гл. 4. Уравнение Дюффинга
перепишем уравнение (4.19) как
fli + ifi = -a,cos»(/ + p) = --|-Jflicos(/ + p)-
— -j-a3cos(3/+3p). (4.47)
Далее, при исследовании уравнения (4.47) ограничимся лишь
нахождением его частного решения, т. е. представим решение
этого уравнения в виде
«1 = §- аН sin (t + р) + JL аз cos (з/ + зр). (4.48)
Подставив теперь выражения для и0 и иг из (4.46) и (4.48) в (4.12),
сразу получим разложение (4.45). Итак, при решении задач
подобного типа существуют две возможности. В одном случае при
нахождении членов заданного порядка в них можно включать
соответствующее однородное решение, считая появляющиеся при
этом произвольные постоянные не зависящими от е. При другом
подходе решения соответствующих однородных уравнений не
учитываются в членах всех порядков, за исключением первого,
но при этом произвольные постоянные считаются функциями от е.
В этой книге мы будем пользоваться в основном вторым из
описанных здесь способов.
Возвращаясь вновь к разложению (4.45), находим, что в
первом приближении искомое решение записывается как
и = a cos (t + Р),
а первая поправка к этому решению есть
L aht sin (t + р) + -jy ея3 cos (3/ + Зр).
Отметим, что поправочный член будет мал, как это и
предполагается заранее, только тогда, когда произведение et мало по
сравнению с единицей. В случае если величина et имеет порядок
О (1), то член, относительно которого предполагается, что он
должен быть малой поправкой, оказывается того же порядка,
что и главный член разложения. Если же et > О (1), то наша
«малая поправка» может оказаться даже больше главного члена
разложения. Поэтому прямое разложение (4.45) будет применимо
только для таких времен /, при которых et < О (1), т. е. для
t < О (е-1). Таким образом, можно утверждать, что подобные
разложения являются неравномерными по t, поскольку при
больших временах t их справедливость явно нарушается, и они
оказываются непригодными для использования — именно поэтому
мы будем называть такие разложения «медленными» разложениями.
Причина непригодности прямого разложения (4.45) заключается
в наличии члена t sin (t + Р), т. е. произведения алгебраической

4.2. Точное решение
123
(линейной) и тригонометрической функций. В астрономической
литературе такие члены принято называть вековыми^ или секу-
лярными1), членами. Этим^названием мы обязаны тому
обстоятельству, что в астрономических приложениях величина е
оказывается обычно крайне малой, так что произведение tt начинает
играть заметную роль в расчетах лишь по истечении очень
большого промежутка времени, например порядка столетия. Итак,
для того, чтобы данное разложение было равномерно пригодным
по /, в нем должны отсутствовать секулярные слагаемые. С тем
чтобы выяснить, откуда же берутся такого рода члены, в
следующем параграфе мы построим и исследуем точное решение нашей
задачи, а в дальнейших параграфах опишем методы,
позволяющие избежать появления секулярных членов и, следовательно,
Дающие возможность получать равномерно пригодные
разложения.
4.2. Точное решение
Уравнение (4.7) относится к классу дифференциальных
уравнений второго порядка, у которых отсутствует первая
производная. Такие уравнения легко могут быть проинтегрированы
подстановкой 2) й = v, причем v рассматривается как новая
неизвестная функция аргумента и. При этом имеем
do do du do ,л .лч
„ = у==_ = __ = у_ (4.49)
так что уравнение (4.7) приобретает вид
v^ + u+zu* = 0. (4.50)
Разделяя переменные, получаем
v do = —(и + ги3) du> (4.51)
что после интегрирования дает
irv2=h - (4""2 + -г8"4) =Н ~ F№> (4«52)
где h — постоянная интегрирования. Так как и = й, то
величина -g- v2 оказывается пропорциональной кинетической энергии
системы, а поскольку сумма и + ей3 определяет собой
восстанавливающую силу, то выражение
F (и) = j (и + ги3) du = ±-u* + -J-ew4
х) От французского слова siecle —лвек, столетие.
3) Здесь более существенно то, что t входит в (4.7) только через и. —
Прим. ред.

124
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
оказывается пропорцциоальным потенциальной -энергии, и,
следовательно, величина h будет определять собой полную энергию
нашей системы. При данном h соотношение (4.52) представляет
собой некоторый интеграл исходного уравнения в плоскости uv,
называемой фазовой плоскостью. Этот интеграл можно
использовать для описания качественных характеристик движения
системы.
Прежде чем приступить к построению на фазовой плоскости
отдельных интегральных кривых, проанализируем характер
кривой F (и), представленной на рис. 4.1. При г >0 функция F (и)
имеет одну стационарную точку, а именно и = О, которая
соответствует минимуму функции F (и). С другой стороны, при е < О
у функции F (и) кроме и = О появляются стационарные точки
вида и = ±|е|~1/2: первая из них соответствует минимуму
F (и)у в то время как две другие — максимуму F (и). Три
горизонтальные линии, показанные на рис. 4.1, отвечают различным
значениям h. Из соотношения (4.52) также следует, что
v = ±j/2[h-F(u)]l/2. (4.53)
Таким образом, действительные значения и, а следовательно,
и реальные движения системы будут иметь место тогда и только
тогда, когда h ^ F (и). Кроме того, эти движения будут
симметричными относительно оси и. Наконец, поскольку й = и,
то при возрастании t мы будем двигаться вдоль интегральной
кривой в отрицательном направлении, т. е. обходя ее по часовой
стрелке.
В случае е > 0 реальные движения имеют место только при
h ^ h0 = 0. Если h = h0i то интегральная кривая вырождается
в точку, которая в этом случае называется центром. Если же
h > ft0, то данная интегральная кривая будет представлять собой
замкнутую траекторию, соответствующую периодическому
движению системы. Таким образом, в указанной ситуации все
возможные движения системы являются периодическими.
В случае е < 0 реальные движения существуют при всех
значениях h. Из рис. 4.1, б видно, что при h = h0 интегральная
кривая состоит из начала координат, т. е. центра, и двух
траекторий с ветвями, обращенными вправо и влево. При h = А2
интегральная кривая состоит из двух траекторий, проходящих
через точки и = |e|I/2, v = 0 и и = —|e|l/2, v = 0, которые
в этом случае называются седловыми точками (на рис. они
обозначены буквой S) и соответствуют максимумам функции F (и).
При этом сами траектории, проходящие через седловые точки,
обычно называют сепаратрисами. При h < h,0 соответствующая
интегральная кривая состоит из двух отдельных траекторий,
обращенных ветвями влево и вправо. Наконец, при А0 < h <h2
интегральная кривая состоит из трех отдельных траекторий —
замкнутой кривой, охватывающей начало координат, и двух

4.2. Точное решение
125
km
Рис. 4.1. Фазовая плоскость для уравнения Дюффинга: а) е> 0; б) е < 0.
ветвей, открытых влево и вправо, т. е. обращенных вершинами
к началу координат. Таким образом, периодические движения
существуют только при h0 < h < Л2, а также при условии, что
начальные данные ограничивают движение системы замкнутой
ветвью соответствующей интегральной кривой.
Обратимся теперь к интегрированию соотношения (4.52).
Используя начальные условия (4.8) и вспоминая, что v = й,

126
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
из (4.52) получаем
4-4=л-(^-4+-|-«4о),
откуда
h = 4- *о + ~y 4 + -J- е*$. (4.54)
Поскольку у = й, то из (4.52) также следует, что
u = ±(2h-u2- 4"8"4)172' (4'55)
где знаки плюс и минус соответствуют движениям выше и ниже
оси и. После разделения переменных в (4.55) находим
dt=± ^ г^, (4.56)
hh ~ и*—Yml
причем интегрирование (4.56) дает
и
' = ±\"7 ^ ГИГ' (4-57)
1 I du
±1 "7 i ГП2" *
Х0
Используем теперь полученное решение для исследования
периодических движений нашей системы. Из рис. 4.1 ясно, что
любая замкнутая траектория (соответствующая периодическому
движению системы) пересекает ось и в двух точках, координаты
которых обозначим через и = —х0 и и = х0 соответственно.
Подставляя значения и = ±х0 и и = ц = 0 в (4.54), получаем
h = — Xo + — *4>
откуда
2Н — и2 g" ем4 == дго + — в^о — и2 ^ ш*=
= (4-"2)(1 +^_е4 + 4-еы2). (4.58)
При этом (4.57) переписывается в виде
и
t=±\ "71 2M/2/t , I J2 , 1 Л7'*'* (4>59)
Этот интеграл может быть приведен к стандартной эллиптической
форме с помощью подстановки
и = —х0 cos 0. (4.60)

4.2. Точное решение
127
Из (4.60) имеем du = х0 sin 8d8; кроме того, точки и = ±х0
соответствуют значениям 80 = 0, я. Таким образом, (4.59) можно
представить как
или
' (1+~exo+"2"£^cos2e)
d6
V\— msin29 '
'-±FT7=ri^-5«-
где
e*g
m = ——S-sr. (4.62)
Так как все замкнутые траектории симметричны относительно
оси и, то время, необходимое системе для ее перемещения из
точки и = —х0 в точку и = +х0, составляет половину периода Т.
Тогда из (4.61) следует, что
я
т_ 2 Г dd
г f у d9 (4.63)
]^1+е*§ J Kl-msin'6
Поскольку величина интеграла в (4.63) одинакова как для
промежутка 0,-гЯ , так и для промежутка -я-я, я ,
формулу (4.63) можно представить в виде
2
Т =
1
л
j/l+e** J ^l-msin«6 V
Интеграл в (4.64) называется полным эллиптическим интегралом
первого рода — значения его (как функции параметра т)
подробно протабулированы. Зависимость величины Т от еХ*0
представлена в табл. 4.1. Из этой таблицы, так же как из формулы
(4.64), видно, что период Т зависит от ел^ и, следовательно,
является функцией нелинейности системы. Поскольку угловая
частота со равна 2я/7\ то ясно, что она также будет зависеть от
степени нелинейности системы. Именно в этом кроется
объяснение того факта, почему построенное нами прямое разложение
оказывается несостоятельным — ведь в соответствии с видом
разложения (4.45) угловая частота системы должна равняться
единице независимо от характера ее нелинейности. Это дает
возможность предположить, что всякое равномерно пригодное
разложение должно учитывать зависимость угловой частоты от

128
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
0
000
0.042
1.0004
0.087
1.002
0.136
1.004
0.190
1.007
0.25
1.013
Таблица 4.1
Точные значения периода Т для периодических движений,
описываемых уравнением Дюффинга
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0 0.042 0.087 0.136 0.190 Р.25
6.283 6.187 6.088 5.986 5.879 5.767
Таблица 4.2
Зависимость отношения TJT от величины параметра гх\
е*о
степени нелинейности системы. Самым ранним по времени
подходом, учитывающим это обстоятельство, явилась так
называемая методика Линдштедта—Пуанкаре, которая будет
рассмотрена нами в следующем параграфе. Отметим также, что
из формулы (4.62) при малом г следует малость величины т.
Тогда, разлагая в ряд подынтегральное выражение в (4.64) и
интегрируя почленно, имеем
j_
T=7^r)(,+^msin2e+'")d9=
= 25 [i+ ^_+...1 =
уттц;1 +<Ф+«*)+ J
= 2я(1-^-е*оЧ ...)(l+-i-e4+ ...),
откуда для двучленного приближения Та получаем
7а=2я(1 —-|-exg). (4.65)

4.3. Методика Л индштедта—Пуанкаре 129
Таблица 4.2 показывает, что приближение Та оказывается весьма
близким к точному значению Т: так, например, при ьх\ = 0,25
ошибка составляет всего 1,3 %.
4.3. Методика Л индштедта—Пуанкаре
Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, нарушение
пригодности прямого разложения связаьо с тем, что с его помощью
невозможно описать зависимость частоты системы от степени
ее нелинейности. Таким образом, можно заранее утверждать, что
любое разложение, не учитывающее эту зависимость, окажется
несостоятельным. В настоящее время, однако, разработан целый
ряд методов, позволяющих получать для подобного рода задач
равномерно пригодные разложения. Некоторые из этих методов
мы обсудим в данной главе, начав прежде всего с рассмотрения
методики Линдштедта—Пуанкаре.
Для того чтобы выявить зависимость частоты от степени
нелинейности системы, введем частоту со непосредственно в
дифференциальное уравнение (4.7). С этой целью воспользуемся
преобразованием
т = (о/, (4.66)
где со есть некоторая постоянная величина, определяемая только
значениями параметра е. Тогда, переходя от аргумента t к новой
независимой переменной т и используя правило
дифференцирования сложной функции, получаем
J_ - AL А. — A. -iL — 2 _&_
dt ~ dt dz (0 dx ' dt* "~ ^ di* '
в результате чего уравнение (4.7) перепишется в виде
coV + и + ей* = 0, (4.67)
где штрихи означают дифференцирование по переменной т.
Отметим, что фактическая частота системы со теперь явно входит в
исходное уравнение; правда, величины и и со остаются пока не
определенными. Будем искать их в виде разложений по степе*
ням б, т. е. положим
и = и0 (т) + шх (т) + ..., (4.68)
со = 1 + ео)! + • •. - (4.69)
При этом первый член разложения для со представляет собой
частоту линейной системы, которая в нашем случае равна единице.
Далее, исходя из требования, что разложение для функции и
должно быть равномерным при всех т, в процессе вычислений
можно определить все последующие поправки к частоте линейной
системы.

130
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
Так, подстановка (4.68) и (4.69) в (4.67). дает
(1 + бо>1 -\ f (и'о + т[ -\ ) + «о + e«i +
+ ...+e(«o + e?i+ —)3 = 0,
откуда после выполнения всех необходимых действий имеем
u"Q + 2есо1^о -f ги[ + • • • + и0 + гщ -f • • • + ей* + • • • = 0,
или
«о + "о + е («I + "i + "о + 2©i«o) ^ =0. (4.70)
Приравнивая нулю коэффициенты при г° и е1, получаем
•и; + «о = 0, (4.71)
и^ + щ = — а\ — 2o)i«o- (4.72)
Общее решение уравнения (4.71) дается формулой
uQ =■ a cos (т + Р), (4.73)
где аир — некоторые произвольные постоянные. При этом
уравнение (4.72) переписывается как
и[ + и{ = — a3 cos3 (т + Р) + 2coia cos (т + Р),
или
и[ + щ = (2аца - -|"а3) C0S(T + Р) - 4"a3cos(3T + 3Р)« (4'74>
Частное решение уравнения (4.74) (см. формулы (Б. 69) и (Б. 76))
можно представить в виде
"i = "T (2(0ia ~ ~та3)TSln(T + Р) + ^-a3cos(3t + 3Р)- (4-75)
Отметим, что данное частное решение для их содержит секуляр-
ный член, который делает разложение неравномерным. В то же
время, если исходить из требования равномерности искомого
разложения для и, мы не должны допустить появления членов
подобного рода в соответствующих выражениях для их, иъ us
и т. д. В противоположность методике построения прямого
разложения (4.45), при которой эти члены не могли быть
уничтожены (исключая случай а = 0, который приводил к
тривиальному решению и = 0), в данном случае мы можем подобрать
параметр wx таким образом, чтобы исключить соответствующий
секулярный член. С этой целью положим коэффициент при нем
равным нулю, т. е. примем
2©1a--|-fl3=0; (4.76)

4.3. Методика Линдштедта—Пуанкаре 131
при этом частное решение (4.75) приобретает вид
Wi==ic3cos(3T + 3Р)' (4'77>
Если исключить тривиальный случай а = О, то условие (4.76)
удовлетворяется при .
щ^-j-a*. (4.78)
Отметим также, что для получения условия (4.76),
позволяющего исключить секулярный член из выражения для и1э нам
вовсе нет необходимости строить в явном виде соответствующее
частное решение, как это, например, делалось выше. Вместо этого
мы можем, исходя из вида неоднородности в правой части (4.7,4),
которая собственно и определяет характер функции ии просто
положить равным нулю коэффициент при cos (т + Р), поскольку
именно это слагаемое ответственно за появление секулярного
члена в и{.
Подстановка (4.73) и (4.77) в (4.68) дает
a = acos(T + P)+-^ea3cos(3T + 3p)+ .... (4.79)
Подставляя теперь значение а)х из (4.78) в разложение (4.69),
имеем
©=1 +-|~еа2 н— • (4*8°)
Поскольку т = со*, то разложение (4.79) можно переписать в виде
a = acos[(l +-|-ея2)/ + р] +
+ ^-ea3cos Гз (1 +-f-^2) ' + 3Р] -f .... (4.81)
Таким образом, разложение (4.81) будет равномерным
разложением первого порядка, поскольку секулярные члены в нем
отсутствуют, а поправка (т. е. член, пропорциональный е)
оказывается малой по сравнению с главным членом разложения.
Сравним теперь период колебаний, получаемый с помощью
методики Линдштедта—Пуанкаре, с приближенным
выражением (4.65), полученным в предыдущем параграфе путем
разложения в ряд подынтегральной функции в точном решении задачи.
Поскольку точка и =—х0 представляет собой пересечение
замкнутой траектории с осью х, то при и = —х0 имеем й = 0.
Используя эти соотношения в качестве начальных условий для
разложения (4.81), получаем
О , 1 , OQ . (4'82)
_^0=^acosp + -^-ea3cos3p+ ..., v

132
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
откуда следует, что а2 = xl, поскольку р = 0 из условия и (0) =
= 0. При этом разложение (4.80) приобретает вид
со = 1 + -g- exl + • • •,
и поскольку Та = 2я/о), то, следовательно,
Тв=ь2я(1 +4-^о+---)_1=2я(1 --|.е^) + ..., (4.83)
что оказывается в полном соответствии с формулой (4.65).
4.4. Метод перенормировки
Вместо того чтобы вводить преобразование (4.66) в исходное
дифференциальное уравнение и строить новое разложение, как
это делалось в предыдущем параграфе (согласно методике Линд-
штедта—Пуанкаре), попытаемся теперь ввести это преобразование
непосредственно в прямое разложение (4.45). При этом из
(4.66) и (4.69) имеем
t = о)"-1т = (1 +есох -f- .. .^т = т(1 — есох -|- • • •) = т — ea)xT -|- • • •,
(4.84)
так что разложение (4.45) переписывается в виде
u = acos(x + p — 60)iT+ •••) -f
[з
-у (т — ecoit -f • • •) + sin (т -j- P — ea)^ -\- • • ♦) f
+ ^cos(3x + 3p-3eco1TH )] -\ . (4.85)
Разлагая косинусы и синусы в ряды Тейлора, получаем
cos (т + Р — есохТ + • • •) =
- cos (х + Р) + ea>ix sin (х + Р) + • • -, (4.86а)
sin (х + Р — есохх + • • •) =
= sin (х + р) — гщ-i cos (х + Р) + • • •, (4.866)
cos (Зх + Зр — ЗесохХ +*•••) =
= cos (Зх + Зр) + ЗесохХ sin (Зх + ЗР) + • • •. (4.86в)
Используя эти разложения, можно представить (4.45) в виде
и = a cos (х -f- Р) + е Г (ща -—g- аЛ х sin (х + Р) +
+-^ a3 cos (Зх + Зр)]+ .Л. (4.87)
В противоположность методу построения прямого
разложения, при котором не имелось возможности избавиться от секуляр-

4.5. Метод многих масштабов 133
ного члена, если только не положить а = 0 (что соответствовало бы
тривиальному решению), мы ввели в разложение (4.87) новый
параметр соь который можно выбрать таким образом, чтобы не
допустить появления секулярных членов. Так, полагая равным
нулю коэффициент при секулярном члене в (4.87), имеем
(D1fl--|-fl8=0, (4.88)
в результате чего (4.87) переходит в разложение
и = a cos (т + Р) + 35"т* cos (Зт + ЗРН . (4.89)
Исключая из рассмотрения тривиальный случай а = 0, мы полу-
чаем, что условие (4.88) удовлетворяется при сох = -о-я2, в
полном соответствии с значением (4.78), полученным по методу Линд-
штедта—Пуанкаре. Сравнивая разложения (4.89) и (4.79), легко
видеть, что они тождественны, т. е. данный метод позволяет
получить то же самое разложение, что и методика
Линдштедта—Пуанкаре. Описанный подход, при котором неравномерное прямое
разложение (4.45) преобразуется в равномерное в результате
непосредственной подстановки в него преобразования (4.66)
и (4.69), называют методом перенормировки.
4.5. Метод многих масштабов
Обратимся вновь к равномерному разложению (4.81),
полученному с помощью методики Линдштедта—Пуанкаре, и
перепишем его в виде
и=acos(t + р + -g-eta2) + -gg-etfcos (3/ + Зр + if^2) Н •
(4.90)
Из разложения (4.90) видно, что мы не можем разделить
функциональную зависимость и от t и е, поскольку функция и зависит
не только от этих аргументов в отдельности, но и от
произведения et. Таким образом, вместо зависимости и = и (t\ е) можно
писать и = и (t, е/; г). Обращаясь теперь в разложении (4.90)
к членам более высокого порядка, легко видеть, что функция и
помимо прямой зависимости от / и е должна зависеть и от
комбинаций вида et, гЧу гЧ, .... Это означает, что можно записать
u(t\ е) = u(t, it, гНу гЧ, ...; е),
или
и (t;e) = u(T0t Тъ Т%9 Г., ...;е), (4.91)
где аргументы Тп определяются следующим образом:
То = U Тг = %U Т2 = гЧ, Т3 = гЧ (4.92)

134
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
Отметим, что так как е является малым параметром, то
величины Тп представляют собой разные временные масштабы
исходной задачи. Например, если е = 1/60, то изменения в
масштабе Т0 могут быть охарактеризованы движением секундной
стрелки часов, изменения в масштабе 7\ определяются движением
их минутной стрелки, а изменения в масштабе Г2 связаны уже
с движением часовой стрелки. При этом, поскольку зависимость и
от t и е проявляется в различных масштабах времени, попытаемся
проследить за поведением функции и на разных временных
шкалах.
Таким образом, вместо того, чтобы рассматривать и как
функцию аргумента /, мы будем определять ее как функцию
переменных Т0, Тъ Т2, ... С этой целью перейдем в исходном
уравнении (4.7) от независимой переменной t к переменным Г0, Ть
Т2, .... Используя правило дифференцирования сложной функции,
получаем
^ = |f + 26^fr + 62(2a77k + -|f) + '--- <4-94)
При этом уравнение (4.7) принимает вид
дги , 0 д2и . « /0 д2и , д2и \ , . 3 . Л ,, Л-ч
к1+2ъдтЖ + ъ (21тЖ+-^)+" + еи+,-,=:а(4-95)
Отметим, что в данном случае обыкновенное дифференциальное
уравнение (4.7) мы заменяем уравнением в частных производных
и тем самым, казалось бы, еще более усложняем задачу. Однако
практика использования данного метода показывает, что
преимущества подобного подхода оказываются гораздо более
существенными. При этом, как будет видно из последующих глав, данный
метод позволяет не только строить искомое равномерное
разложение, но и описывать разнообразные явления нелинейного
резонанса, возникающие в исследуемой системе.
Будем искать приближенное решение уравнения (4.95) в виде
и = и0 (Г0, ТЪТ 2, ...) + гиг (Г0, 7\, Г2, ...) + • - •. (4.96)
Подстановка этого разложения в (4.95) дает
^ + ^ + 2е§^ + но + еЫ1 + б«3+--- = 0. <4'97)

4t$. Метод многих масштабов
13Й
Приравнивая нулю соответствующие коэффициенты при е° и е\
имеем
Щ+и, = 0, (4.98)
Общее решение уравнения (4.98) может быть представлено в виде
и0 = а (7\, Г2, ...) cos 1Т0 + р (7\, Г2, ...)]. (4,100)
Отметим, что в данном случае а и Р оказываются не постоянными
величинами, а функциями медленных масштабов Гь 7V ...,
поскольку и0 представляет собой функцию Г0, 7\, Г2, ..., а ее
производные в (4.98). берутся по переменной Т0. На данной
ступени аппроксимации функциональная зависимость а и Р от 7\, Г2,...
нам не известна и определяется на последующих этапах путем
исключения секулярных членов.
Подставляя теперь (4.100) в (4.99), получаем
^ + «1-~255^f-[acos(T0 + P)]-a3cos3(70 + P) =
о
= 2^-sln(r0 + p) + 2aJrcos(T0 + P)-
1 аз eos {То + (3) _ 1 аз cos (3г0 + Зр),
или
^ + ^-2^81п(Гв + Р) + (2а^.--|.АР)сов(Тв + Р)-
дТ0
--i-a3cos(3710 + 3p). (4.101)
Неоднородность в правой части уравнения (4.101) служит
источником секулярных членов для функции uv В случае же
равномерного разложения подобного рода члены должны отсутствовать.
Этого можно добиться, приравняв нулю коэффициенты при
sin (Г0 + р) и cos (Г0 + Р) в правой части (4.101), в результате
чего получаем
-^ = 0, (4.102)
2а^--±аа = 0. (4.103)
При этом частное решение уравнения (4.101) принимает вид
M1 = -^-a3cos(3r0 + 3p). (4.Ю4)

136
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
Решение уравнения (4.102) есть функция а = а (Т2, Т3, ...)•
Тогда при а Ф 0 (4.103) можно переписать в виде уравнения
JL-±a*
дТх~ 8 " '
решением которого будет функция
Р = 4-а,7\ + Ро(Т9, Г„ ...)• (4.105)
Подставляя выражения для и0 и ых из (4.100) и (4.104) в
разложение (4.96), получаем
и = a cos (Го + Р) +^- еа3 cos (ЗГ0 + 3р) Н . (4.106)
Подставляя теперь выражение для 6 из (4.105) в (4.106) и
вспоминая, что а — а (Тг, Т3, ...), находим
и = а(Т2, Г„ ...)cos[r0+-|-7,ia2(r2(r3>...) + Po(7,2, 7-3,...)] +
+ JLea3(72, Та, ...)cos[37,e + -|-7'1a»(7V Г„ ...) +
+ Зро(Г„ Г„ ...)] + •••■ (4.107)
Если в разложении (4.107) ограничиться только выписанными
членами, то в рамках принятой точности функции а и В0 можно
считать постоянными. Действительно,
а(Т„ Т„ ...) = а(е% г% ...) =
= а(0, 0, ...) + £-ъЧ + • • • = й0 + 0(е»/),
Рв(Г„ Г„ ...) = ft,(e4f е«/, ...) =
= Ро(0, 0, ...) + -^e4+... = ft, + O(e«0;
поэтому, заменяя а и р0 в (4.107) постоянными величинами а
и Ро, мы имеем (
M = <3cos(r0 + -|-^2 + Po) +
+ ±- ей8 cos (ЗГ0 + -J- Пй2 + Зр0) + О (е«0, (4.108)

4.5. Метод многих масштабов
137
или, после возвращения к исходной переменной /,
и = йcos (/ +—гШ + Ро) +
+'-1. ей3cos (3/ + А е^2 + Зр0) + О (е2/), (4.109)
что полностью согласуется с разложением (4.90), полученным
с помощью методики Линдштедта—Пуанкаре или по методу
перенормировки.
Анализ формулы (4.109) показывает, что ошибка в ней будет
иметь порядок О (1) и, следовательно, окажется порядка первого
члена, если / = О (е~2). Таким образом, для значений t >> О (е~а)
разложение (4.109) становится непригодным. Если же t = О (е-1),
то ошибка будет иметь порядок е, т. е. окажется порядка второго
члена разложения, и, следовательно, разложение, пригодное при
t — О (е"1), должно включать в себя только первый член. Итак,
для всех моментов времени вплоть до времен порядка е*1
и = djcos (* + -g-!^2 + Ро) + О (г). (4.110)
Это означает, что для того, чтобы построить равномерное
разложение первого порядка, мы должны, не решая самого уравнения
для иъ исключить из него члены, служащие источником секуляр-
ных слагаемых, найдя тем самым только зависимость и0 от 7\.
Подобным же образом при построении равномерно пригодного
разложения первого порядка по методике Линдштедта—Пуанкаре
или tee с помощью метода перенормировки мы лишь исключали
секулярные члены из уравнения для их и тем самым определяли
поправку ©х. Точно так же при построении высших приближений
мы полагаем
и = £ гпип (Т0, Tlt...,TN) + 0 (в"), (4.111)
т. е. если мы ищем разложение Af-ro порядка, то должны
учитывать масштабы T0f 7\, ..., TNt но не включать при этом в
рассмотрение член порядка eN.
В заключение этого параграфа обратимся к рассмотрению
другой формы решений для уравнений соответствующих
приближений, представив, в частности, решение уравнения (4.98) в
комплексной форме. С этой целью воспользуемся формулой/(А.22)
CoS9 = i-(e'4^''9) ~

138
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
и перепишем решение (4.100) в виде
2
и0 = 4-а[в|<Гв+Э) + в-'(Г-+3>] =4-а*'<Гв+Э) +4-fl*~'(ri4*):
или
и0 = Ле'Гв + Л<Г~'Го, (4.112)
где А к А — комплексно-сопряженные величины и
А = 1-ае*. (4.113)
При этом в случае разложения первого порядка мы считаем А
функцией только переменной 7\.
Подставляя (4.112) в уравнение (4.99), имеем
|*+и1 = --И#-е'* + И^.е-"--(Л*""' +Дг'г->». (4.114)
Ci Q 1 1
Выполнив возведение в куб в последнем слагаемом правой части
уравнения (4.114) и собирая коэффициенты при соответствующих
экспонентах, получаем
Щ + «. = - (2.- # + Mfl) ."• + (2< «: - ЗЛМ) Г"- -
-А*Ри-А*е-*'т: (4.116)
Ясно, что источником секулярных членов в частном решении
для их служат именно слагаемые, пропорциональные exp (iT0)
и ехр (—/Г0). Следовательно, для получения равномерно
пригодного разложения мы должны приравнять нулю каждый из
коэффициентов при этих экспонентах, т. е. положить
2i~ + 3A4 = 0t (4.116)
2*-2£--ЗЯМ = 0. (4.117)
Отметим еще раз, что для получения равномерно пригодного
разложения первого порядка совершенно не обязательно решать
уравнение для их — для этого вполне достаточно исключить из
уравнения (4.115) члены, порождающие в решении их секулярные
слагаемые.
Сравнение (4.116) и (4.117) показывает, что эти уравнения,
поскольку они комплексно сопряжены между собой, не являются
независимыми. Следовательно, если удовлетворяется одно из
них, то другое будет выполняться автоматически. Для удобства
анализа уравнения (4.116) подставим в него величину А из (4.113),

4.6. Вариация произвольных постоАннык 139
При этом получим
или
или
*е* -a^g-e* + 4-Л* =0,
Напомним теперь, что комплексное выражение равно нулю тогда
и только тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая
части. Поскольку аир действительны, то, приравнивая нулю
вещественную и мнимую части равенства (4.118), имеем
ж-°« <4119)
вт£—г*-0» (4Л2°)
что полностью совпадает с соотношениями (4.102) и (4.103),
полученными выше для случая, когда решение представлялось в
действительном виде. Сравнение вещественного и комплексного
подходов показывает, что комплексное представление решений
соответствующих уравнений оказывается более удобным. Именно
таким представлением мы будем часто пользоваться при
дальнейшем изложении.
4.6. Вариация произвольных постоянных
В случае е = 0 решение уравнения (4.7) может быть
представлено в виде
и = acos(f + р), (4.121)
где аир — некоторые произвольные постоянные. Кроме того,
из (4.121) следует, что
й = — asin(f + р). (4.122)
В случае е Ф 0 мы будем предполагать, что решение
уравнения (4.7) также описывается формулой (4.121), но при этом
величины аир являются функциями времени t. Иными словами,
мы рассматриваем формулу (4.121) как заданное преобразование
переменной и (t) к переменным a (t) и р (/). Именно поэтому
данный подход обычно называют методом вариации произвольных
постоянных. Развивая эту идею, укажем/что в данном случае мы
имеем два уравнения, а именно уравнения (4.7) и (4.121) для трех
неизвестных функций и (t), a (t) и р (*), и, следовательно, можем
наложить на эти функции еще одно дополнительное условие

146 Л*. 4. Уравнение Дюффинёй
(т. е. ввести третье уравнение, их связывающее). Это условие
может быть в достаточной степени произвольным, но обязательно
независимым от (4.7) и (4.121). Подобный произвол можно с
успехом использовать для получения простого и удобного
преобразования. С этой целью из всех возможных условий выберем
условие (4.122), предположив тем самым, что функции и и й имеют
тот же самый вид, что и для линейного случая. В результате мы
приходим к системе уравнений уже не второго, а первого порядка
относительно неизвестных функций a (t) и р (*).
Действительно, дифференцируя соотношение (4.121) по /
и учитывая, что аир также являются функциями времени t>
имеем
и = — a sin (/ + Р) + a cos[{t + Р) - ар sin (/ + Р). (4.123)
Сравнивая (4.123) с (4.122), можно заметить, что
a cos (t + р) - ар sin (t + р) = 0. (4.124)
Дальнейшее дифференцирование (4.122) по t дает
и = — acos(* + Р) - a sln(/ + Р) - apcos(r + Р)- (4.125)
Подставляя выражения для и и й из (4.121) и (4.125) в
уравнение (4.7), находим
a sin (t + р) + <Ф cos (t + Р) = ео3 cos3 (t + Р). (4.126)
Соотношения (4.124) и (4.126) представляют собой систему
двух дифференциальных уравнений первого порядка относительно
аир. Эти уравнения можно еще более упростить, если умножить
первое из них на cos (t + р), второе — на sin (t + Р) и
результат сложить; при этом, с учетом формулы (А.1), получаем
а = га3 sin (t + Р) cos3 (t + Р). (4.127)
Исключая теперь с помощью (4.127) величину а из уравнения
(4.124), находим
р - ea2cos4(' + Р), (4.128)
если, конечно; а Ф 0. Таким образом, исходное
дифференциальное уравнение второго порядка (4.7) относительно функции и (t)
мы заменили двумя уравнениями первого порядка (4.127) и (4.128)
относительно функций a (t) и р (t). Подчеркнем также, что при
выводе этих уравнений мы йе пользовались никакими
дополнительными предположениями.
Из сравнения преобразованных уравнений (4.127) и (4.128)
с исходным уравнением (4.7) видно, что нелинейность
преобразованных уравнений оказывается более резко выраженной. При
этом, естественно, возникает вопрос, какова же ценность
подобного преобразования. Ответ на этот вопрос зависит от величины
параметра е. Так, если е мало, то, как показано щ рис. 4.2,
главные части аир меняются в зависимости от t медленнее, чем
исходная функция и. Этот факт может быть с успехом использо-

4.7, Метод усреднения
141
А
,-dK»
=iL_„
м
№
ш
Щ
\\
I
i
I
i
11
I
II
ll-
i
Рис. 4.2. Зависимость величин a, f и и от времени / при а (0) = 1.5, (3 (0) =
= 0ие= 0.05.
ван как при аналитическом решении, так и при численных
расчетах. Аналитически он приводит к так называемому методу
усреднения, подробно описываемому в следующем параграфе;
при численном же анализе задачи исследование преобразованных
уравнений также оказывается более удобным, поскольку для их
решения можно выбрать существенно больший шаг
интегрирования. По этой причине астрономы используют метод вариации
произвольных постоянных для вывода уравнений, описывающих
параметры орбит небесных тел, после чего приступают к
численному решению именно проварьированных, а не исходных
уравнений. При этом специалисты по небесной механике называют
обычно подобный подход собственно «методом возмущений».
4.7. Метод усреднения
Воспользовавшись тригонометрическими тождествами
sin q> cos3 ф = -j- sin 2(p + -g- sin 4<p,
3 1 1
cos4 cp = -g- + ~2~ cos 2ф -f -g- cos 4q>,
перепишем уравнения (4.127) и (4.128) в виде
а = -J- га3 (2 sin 2ф -f sin 4q>), (4.129)
р = -i- т2 (3 + 4 cos 2ф + cos 4ф), (4.130)
где положено ф = / + р. Так как —1 <: sin пц> < 1 и .—1 <:
<: cos шр <. 1, то для любого ограниченного а получаем й =
= О (е) и р = О (е). Таким образом, при достаточно малом е
главные части аир оказываются медленно меняющимися функ-

Ц$ /л. 4. Уравнение Дюффинёа
. ' .. i i |... i i i i . " i~. I !■ тги»
циями времени (рис. 4.2). Это означает, что на интервале времени
длиной я они изменяются весьма незначительно и, следовательно,
в первом приближении на этом интервале их можно считать
постоянными.
Усредняя по интервалу [0, я] левые и правые части
уравнений (4.129) и (4.130), имеем
л л
-L^ddt = ~e Ja3(2sin2(p + sin4cp)d/, (4.131)
о о
л л
-^-\$dt =-^-8 Ja2(3 + 4cos2(p+ cos4cp)^. (4.132)
о о
Поскольку а и р на интервале интегрирования [0, я] считаются
постоянными, то величины а, а и р в формулах (4.131) и (4.132)
можно вынести за знак интеграла, в результате чего получаем
я
а = JL га2 J (2 sin 2ср + sin 4ср) dt, (4.133)
о
я
р = -|- ea2 + -^ ea2 J (4cos2cp+ cos4q>)£«. (4.134)
о
Заменим теперь переменную интегрирования t на ср = t + Р;
тогда при условии постоянства р на [0, я], dtp = d/ и
соотношения (4.133) и (4.134) перепишутся в виде
*+Р
a = -gjj- ea8 J (2 sin 2cp -|- sin 4ф) ^ф =
P
= —g^ ea8 ( cos 2q>-f — cos 4дЛ =0, (4.135)
3
л+р
3 1 г
P = — ea2 -f- -gjj- ea2 I (4 cos 2ф | - cos 4q>) dtp =
3
л+р
==^.8а2 + ^г8а2^281п2ф + -^-51п4ф) | =-|-ea2. (4.136)
Описанная выше техника усреднения называется обычно
методом Ван-дер-Поля или методом Крылова—Боголюбова.
Из соотношения (4.135) следует, что
а = а0 = const; (4.137)

Упражнения
143
далее, из (4.136) имеем
Р = ^.8а^ + Ро> (4.138)
где р0 — некоторая постоянная. Подставляя найденные
значения а и р в (4.121), в первом приближении получаем
a = a0cos[(l +-|-в$/ + р0], (4.139)
что полностью соответствует решениям, полученным по методике
Линдштедта—Пуанкаре, методу перенормировки и методу
многих масштабов.
В заключение этого параграфа отметим, что соотношения (4.135)
и (4.136) можно получить и без выполнения процедуры
усреднения. В самом деле, правые части уравнений (4.129) и (4.130)
представляют собой линейные комбинации быстро и медленно
меняющихся членов. При этом в первом приближении величина а
в (4.129) определяется (равными нулю) медленно меняющимися
членами в правой части этого равенства. Точно так же величина р
в (4.130) в первом приближении определяется медленно
меняющимися членами правой части, которые в свою очередь оказы-
ваются равными -^- га*.
Упражнення
4.1. Используя метод перенормировки, преобразовать следующие разложения
в равномерно пригодные:
а) и (/; е) = a cos (a0t + в) + гаП sin (со0/ + 6) + О (е2);
б) и (t\ е) = a cos (со0* + в) + е [ аЧ sin (со0/ + 8) +
+ (1 — a2) at cos (G)0f +6)]+0 (е2).
4.2. Рассмотреть уравнение
u-fcooU = eu2tt (е<1).
а) Построить двучленное прямое разложение решения и исследовать его
равномерность.
б) С помощью метода перенормировки сделать это разложение равномерно
пригодным.
в) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка с помощью
методики Линдштедта—Пуанкаре.
г) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка.
д) Используя метод усреднения, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка.
4.3. Рассмотреть уравнение
и + 4и + ги2й = 0.
а) Построить двучленное прямое разложение решения и исследовать его
равномерность.
б) С помощью метода перенормировки сделать это разложение равномерно
пригодным.

144
Гл. 4. Уравнение Дюффинга
в) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка с
помощью методики Линдштедта—Пуанкаре.-
г) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка.
д) Используя метод усреднения, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка.
4.4. Рассмотреть уравнение
а) Построить двучленное прямое разложение решения и исследовать его
равномерность.
б) С помощью метода перенормировки сделать это разложение равномерно
пригодным.
в) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка с
помощью методики Линдштедта—Пуанкаре.
г) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка.
д) Используя метод усреднения, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка.
4.5. Рассмотреть уравнение
й-\-со20и = ги* (е<1).
а) Построить двучленное прямое разложение и обсудить вопрос о его
равномерности.
б) С помощью метода перенормировки сделать это разложение равномерно
пригодным.
в) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка с помощью
методики Линдштедта—Пуанкаре.
г) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка.
д) Используя метод усреднения, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка, используя метод усреднения.
4.6. Движение математического маятника описывается уравнением
в+-~ sin 9 = 0.
а) Разложить решение при малых 8, сохранив кубические члены.
б) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка при
малых, но конечных 8. i
4.7. Рассмотреть уравнение >
ё = Й2 sin 8 cos 6---§- $in е-
а) Разложить решение при малых 8, сохранив в разложении квадратичные
члены.
б) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка при
малых, но конечных 8.
4.8. Движение точечной массы, перемещающейся по вращающейся параболе,
описывается уравнением
(1 + 4р*х2) х + Ах + 4р2х2х = 0,
где р и Л — некоторые константы. Построить равномерно пригодное разлс?-
жение первого порядка при малых, но конечных х.

Упражнения
145
4.9. Рассмотрел; уравнение
а) Разложить решение при малых и, сохранив кубические члены.
б) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка при
малых, но конечных и.
4.10. Рассмотреть уравнение
(/2 4- г2 — 2rl cos 9) 6 + rl sin 982 + gl sin 9=0,
где g, /иг — постоянные величины. Разложить при малых 9, сохранив
кубические члены. Построить равномерно пригодное разложение первого порядка
при малых, но конечных 9.
4.11. Рассмотреть уравнение
(-^ I2 + г202) ё + г29ё2 + gr9cos9 - 0,
где л, / и g — постоянные величины. Построить равномерно пригодное
разложение первого порядка при малых, но конечных 9.
4.12. Рассмотреть уравнение
тх + kx (х* + /2) "1/2 Г(х2 -(- /2)1/2 —-§-/] ■= 0.
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка при малых,
но конечных х.
4.13. Разложить в ряд подынтегральное выражение в (4.64), сохраняя члены
порядка О (т2), и получить при этом разложение
Та -=, 2я (l+ -j-m+-jLm*+... ).
У\+гх20 V 4 64 /
Представить Та как функцию m в виде
Т(1)
а
2п
/l-2m(l+-J-m + -|rm»+... )
и как функцию х0 в виде
r«e2a(,_4«S-h^.v0 + ...).
Показать, что Г^ представляет собой более точное разложение, чем Т^\
сравнив их с протабулированным точным решением (4.64). Обратить
внимание, что Т^ можно получить из 7^2) с помощью преобразования Эйлера m =
ex2
— о п \°—2Г» которое часто расширяет область пригодности асимптотического
2. (1 -+- 8*q)
ряда,

Глава 5
ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР С ЗАТУХАНИЕМ
В отличие от предыдущей главы, в которой рассматривались
консервативные системы, в этой главе мы рассмотрим системы
с затуханием. Для того чтобы свести к минимуму математические
выкладки, займемся исследованием простейшего уравнения для
системы с затуханием, а именно уравнения, описывающего
свободные колебания частицы с массой т, связанной с жесткой опорой
посредством пружины с коэффициентом упругости k и
успокоителя колебаний с коэффициентом затухания \i (рис. 5.1).
Уравнение, описывающее поведение такой системы, может быть
записано следующим образом:
"& + *%■ + ** = *• <5Л)
При этом в случае отсутствия затухания угловая частота
колебаний нашей системы будет равна со0 = у klm.
Как и ранее, введем безразмерные переменные
t = iu£ и и = и1щу
где Ио — некоторый характеристический масштаб длины, в
качестве которого можно выбрать, например, начальное смещение
частицы. Тогда уравнение (5.1) приобретает вид
где параметр е = -y-|i/i/km представляет собой меру отношения
демпфирующего усилия к упругой возвращающей силе пружины,
Рис, 5.1. Масса, связанная с пружиной и демпфером.

5.1. Йрямое райлдМниё
14?
а точки означают дифференцирование по времени. В данной главе
мы будем строить общее решение уравнения (5.2) при малых е.
Начнем, как и раньше, с построения прямого разложения,
после чего обсудим вопрос о его неравномерности. В § 5.2 для
выявления источника этой неравномерности мы исследуем
точное решение нашей задачи. Далее, в § 5.3 мы продемонстрируем,
что использование обычной методики Линдштедта—Пуанкаре
для описываемой системы приводит к тривиальному решению.
В § 5.4 покажем, как с помощью метода многих масштабов
можно получить равномерно пригодное разложение решения.
Наконец, в §5.5 для построения равномерно пригодного первого
приближения используем метод усреднения.
5.1. Прямое разложение
Будем искать разложение второго порядка в виде следующего
ряда по степеням е:
и (t\ е) - uQ (t) + гиг (t) + г2и2 (t) + ■ ■.. (5.3)
Подстановка (5.3) в уравнение (5.2) дает
"о + eui + е2й2 + • • ■ + 2е (й0 + ейг + г2й2 + ••■) +
4 и0 4- гиг -{- е2ы2 + • ■ • = 0.
Группируя члены с одинаковыми степенями е, имеем
й0 + и0 + г(йг + иг + 2й0) 4- е2(й2 4- и* + 2йх) -| =0,
откуда, приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих
степенях е, получаем уравнения
й0 + и0 = 09~ (5.4)
fli + Hi = — 2й0, (5.5)
йг 4- Щ = — 2й1% (5.6)
из которых последовательно могут быть найдены функции u0t
их и и2>.
Общее решение уравнения (5.4) может быть записано как
и0 = a cos (t + Р), (5.7)
где аир — некоторые постоянные. Тогда уравнение (5.5)
переписывается в виде
й1 4 иг = 2а sin (t 4 Р). (5.8)
При этом, как отмечалось в §4.1, если для выполнения
соответствующих начальных условий предположить, что а и Р являются
функциями от е, то нет необходимости искать решение
соответствующего (5.8) однородного уравнения. В связи с этим функцию иу
мы представим в виде только одного частного решения. Из фор-

148 Тл. S. Линейный осциллятор с затуханиёМ
мул (Б.81) и (Б.82) приложения Б следует, что решение (5.8)
можно записать как
иг = —at cos (t + Р). (5.9)
Подстановка этого выражения для иг в уравнение (5.6) дает
й2 + и2 = 2а cos (t + Р) — 2а/ sin (f + р). (5.10)
Используя операторный метод, метод вариации произвольных
постоянных или метод неопределенных коэффициентов, можно
построить частное решение уравнения (5.10) следующего вида
(см. формулы (Б.69) и (Б.76) приложения Б):
и2 = -L at2 cos (t h P) + -^-at sin (t + P). (5.11)
Подставляя теперь полученные выражения для и0у их и и2
из формул (5.7), (5.9) и (5.11) соответственно в уравнение (5.3),
находим
и = a cos (t + Р) — zed cos (t -f P) +
+ -i-E2a[/2cos(/ + p) + f sln(* + P)] + • • • . (5.12)
Полученное прямое, или «медленное», разложение оказывается
непригодным при t ^ О (е"1) из-за наличия в нем секулярных
членов. Отметим также, что по мере повышения порядка эти
секулярные члены становятся все более сложными. Так, в первом
приближении секулярный член зависит от t линейно, тогда как
второе приближение содержит уже квадратичный секулярный
член. Выполнив разложение до я-го порядка, мы найдем, что
соответствующее я-е приближение будет содержать секулярный
член, в который входит множитель tn. Перейдем теперь к
исследованию точного решения и попытаемся выяснить причину
появления подобных членов.
5.2. Точное решение
Для того чтобы установить причину неравномерности
полученного прямого разложения и разработать методы получения
равномерно пригодных разложений, обратимся к точному решению
уравнения (5.2). Поскольку это уравнение представляет собой
линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами, то оно допускает решения вида
и = с ехр (М), (5.13)
где с и X — некоторые, вообще говоря, комплексные постоянные.
Подстановка (5.13) в уравнение (5.2) дает
(К2 + 2гк + 1) с ехр (It) - 0,

&.$. tочное решение
№
откуда, поскольку нас интересуют только нетривиальные решения,
Х2 + 2гК+ 1 -0, (5.14)
или
Х = —е±/вГГ"Г. (5.15)
Отметим, что в случае е < 1 формулу (5.15) удобно представить
в виде
Л=—e±tVr^P. (5.16)
Таким образом, общее решение уравнеьия (5.2) может быть
записано как
и = сгехр [— zt + i-)/l — гЧ) + с2ехр [—е/ — ij/ I — е2*].(5.17)
Поскольку нас интересуют только действительные решения,
постоянная с2 должьа быть комплексно-сопряженной с cv Для того
чтобы записать решение (5.17) через тригонометрические функции,
представим величины сг и с2 в форме
Ci = — а ехр (ф), с2 - -у- а ехр (— ф),
где а и Р — вещественные постоянные. Тогда решение (5.17)
приобретает вид
и = ае"е/ cos (■)/ Т^"Й + р). (5.18)
Для того чтобы выяснить причину неравномерности прямого
разложения, разложим выражение (5.18) при малых е, найдем
первые три члена этого разложения и сравним полученный
результат с прямым разложением (5.12), полученным
непосредственно из исходного дифференциального уравнения. С этой целью
разложим отдельно входящие в точное решение экспоненту и
косинус. Так, применяя формулу Тейлора, получаем
e--==l_rf + ^reV-^reV.|-...-|;Jr(-e/)-.(6.19)
Прежде чем раскладывать в ряд тригонометрический* косинус,
воспользуемся биномиальной формулой и представим входящий
в него корень в виде
(±)(-±)
1/7^?=(1-е«)'/8 = 1-4-е'+ 21 &i~
_(-Н(-4)(-4)еЧ = i_.^ е---J-«•+•-. (6.20)

156 /л. $. Линейный осциллАтр с вШухйниёМ
При этом
= cos(/ + P)cos (-LB4 + ±-еЧ +•••) +
+ sin(/ + P)sln (-^z*t + -±-гЧ + •••),
но поскольку
m (-1)"62"
n=0
coee=l-^-e» + ^+ —Ji^- (5.21)
(—1)л+1б2П-1
«ing = 8-Jrff + Jr»+-=S(-^_V , (5-22)
rt=l
то, с точностью до членов порядка О (е4), имеем
cos(/n^/ + p) = cos(* + P)[l _^_(^_82/+ ...)*] +
+ sin (/ + Р) [4- в2/ + 4 гН + ... ] + •.. =
- (1 - 4*е4/2)cos с+р)+(4-е2/ + 4е4/)sin е+р>+
и, следовательно,
2/ _L_ ft\ — рлс // _L ft\ j
cos (/1 - гН + p) = cos (f .f p) + -L e2/ sin (t + p) +
+ -i-s4!' sin(/ + P) - /2cos(/ + p)J + .. • . (5.23)
Ддя того чтобы иметь возможность сравнивать с разложением
(5.12), нам нужно разложить выражение (5.18) с точностью до
членов порядка О (е8). Подставляя разложения (5.19) и (5.23)
для экспоненты и косинуса в формулу (5.18) и сохраняя в ней
члены до второго порядка включительно, находим
и=а (1 - st 4-у *V + • • -)[cos(f + Р) + ±e**sin(* + р) + ...] =
= a cos (t + Р) - иЛ cos (/ + Р) +
+ 4 в2а [*2 cos (* + Р) + / sin (t + Р)] + •. • (5.24)

5.2. Точное решение
151
Рис. 5.2. Аппроксимация экспоненциальной функции с помощью конечного
числа членов ряда Тейлора.
в полном соответствии с разложением (5.12), полученным
непосредственно кз исходного дифференциального уравнения.
При построении прямого разложения нам пришлось
раскладывать экспоненту по формуле (5.19) и тригонометрический
косинус по формуле (5.23). Используя для ряда (5.19) признак Далам-
бера, имеем
n-Pi член
lim •, fv^
л-» (л — П"й член
hm ——^f- = "im '
n-*-oo tl\ (—Et) n-*>oo
-Et
= 0.
Таким образом, ]эяд (5.19) сходится для всех значений et. Однако,
как показывает рис. 5.2, функция ехр (—et) не может быть
равномерно аппроксимирована с помощью конечного числа членов ряда
при всех значениях et. Следовательно, любая процедура
разложения, основанная на идее аппроксимации функции ехр (—Et)
конечным числом членов степенного ряда, заранее обречена на
неудачу при достаточно больших t.
В процессе разложения косинуса нам пришлось иметь дело
с тремя разложениями (5.20) — (5.22). Применяя признак Далам-
бера к ряду (5.20), имеем
lim
д-й член
л+оо ("—0-й член
= lim
(+){"i-)(-f)-(-isFi)<-,>-*1"
п-*оо
Следовательно, ряд сходится для всех е, удовлетворяющих усло-
ррю е2 <^ 1. Это означает, что разложение (5.20) будет равномер-

152
Гл. 5. Линейный осциллятор с затуханием
но пригодным при достаточно малых е. Используя теперь признак
Даламбера для ряда (5.21), находим
lim
"-й член , (-1)«62«(2*-2)! = ут z±
(я-1)-й член „^ {2п)\(-\)п-] б2""2 п^оо 2п(2п~\)
:0.
Таким образом, ряд (5.21) сходится при всех значениях 6. Однако
рьс. 5.3 показывает, что функцию cos б нельзя равномерно
аппроксимировать конечным числом членов ряда (5.21) для любых
значений 6. Аналогичным образом можно показать, что функцию
sin 6 также нельзя равномерно аппроксимировать конечной
суммой членов соответствующего ряда. Тем самым любое
разложение, основанное на аппроксимации функций cos б и sin б конечным
отрезком степенного ряда, может оказаться непригодным при
достаточно больших значениях б.
В заключение отметим, что несостоятельность прямого
разложения при больших t обусловлена именно разложением
функций ехр (—е/) и cos (j/1 — в2/ -f- р) в ряды по степеням параметра
е. При этом в соответствии с формой прямого разложения (5.23)
частота колебаний системы должна равняться единице
независимо от степени затухания. Фактически же наличие затухания
изменяет частоту от значения, равного 1, до значения >/Ч —82.
Следовательно, любая процедура разложения, не учитывающая
зависимость частоты колебаний системы от величины параметра
8, окажется несостоятельной при больших значениях t. Перейдем
теперь к рассмотрению методики Линдштедта—Пуанкаре,
которая, как мы покажем в следующем параграфе, может приводить
к тривиальному решению.
Рис. 5.3. Аппроксимация косинуса с помощью конечного числа членов ряда
Тейлора.

6.3. Методика Л индштед та—Пуанкаре
153
5.3. Методика Линдштедта—Пуанкаре
Л>ля учета того обстоятельства, что частота колебаний является
функцией параметра е, введем новую переменную т = со/, в
результате чего уравнение (5.2) перейдет в уравнение
(dV + 2еож' 4- и = 0, (5.25)
где штрихи означают дифференцирование по т. Далее, разложим
и и со в ряды по степеням е, т. е. примем, что
и ^ и0 (т) + euL (т) + е2н2 (т)Н , (5.26)
(0=1+ есох + в2(о2 Н . (5.27)
Заметим, что первый член в разложении (5.27) равен единице —
он определяет собой частоту колебаний невозмущенной системы,
или частоту свободных колебаний. Подстановка разложений (5.26)
и (5.27) в уравнение (5.25) дает
(1+вв>1+е2ю2Н )2(и'0-|-еи1 + в2|4+ ...)-f-
+ 2е(1 f 8(0!+82(о2 ^ Ж + ви[ +е^-[ ) +
+ и0 + ш\ -f- г2и2 f • • • = 0.
Учитывая малость в и собирая члены с одинаковыми степенями е,
имеем
и0 + "о I- е К |- Щ f 2(0^0 + 2wol -|-
+ е2 1*4 -f и2 + 2о)2"о + со?Ио + 2coiWi -f 2coiWo + 2и[] + • • • = 0.
Приравнивая теперь нулю коэффициенты при последовательных
степенях е, можно получить следующие уравнения для
определения функций ы0, их и и2:
u0 + u0 = 0t (5.28)
Wi | ttl = — 2(Oiao — 2«o» (5.29)
«2 -f ы2 = — 2a)2^o — со2Wq — 2(0x^1 — 2a>iWq — 2h! . (5.30)
Общее решенье уравнения (5.28) может быть записано в виде
w0 = acos(T-fp), (5.31)
где аир — некоторые постояннее. Тогда уравнение (5.29)
принимает вид
и[ -f и\ = 2асы cos (т f Р) -f- 2а sin (т + Р). (5.32)
Для того чтобы исключить секулярные члены из частного
решения для функции и1э нам необходимо избавиться от правой
части уравнения (5.32). При произвольном т это, условие может
быть выполнено, если потребовать, чтобы каждый из коэффициен-

154 Гл. 5. Линейный осциллятор с затуханием
тов при sin (т + Р) и cos (т + Р) обращался в нуль независимо
друг от друга, т. е. чтобы
2а(ох = 0 и а = 0. (5.33)
При этом (5.32) принимает вид
Wi + "i = 0. (5.34)
Соотношения (5.33) нельзя удовлетворить одновременно, если
только а Ф 0. Если же а — 0, то, согласно формуле (5.31), ц0 =
=-- 0, и тогда, если не учитывать решение соответствующего
однородного уравнения, имеем иг = 0. Далее, подставляя Uq = иг =
= 0 в уравнение (5.30), получаем для и2 уравнение вида
^ + "2 = 0, (5.35)
частным решением которого также является функция и2 = 0.
Итак, мы в конце концов приходим к тривиальному решению.
Если бы мы воспользовались решением однородного
уравнения (5.34), то это решение можно было бы представить в виде
их = ах cos (т + рх), (5.36)
где аг и Pi — произвольные постоянные. При этом уравнение
(5.35) заменилось бы уравнением
щ -|- ц2 = 2(Diai cos (т -f Pi) + 2fli sin (т + pi), (5.37)
для которого условие отсутствия секулярных членов в свою
очередь привело бы к требованию аг = 0. Тем самым мы опять
пришли бы к тривиальному решению.
Приведенное рассуждение показывает, что применение
методики Линдштедта—Пуанкаре для нашей задачи в любом случае
дает только тривиальное решение. Аналогичным образом, лишь
тривиальное решение получается и при использовании метода
перенормировки. Причина того, почему с помощью этих методов
оказывается невозможным построить равномерно пригодное
нетривиальное разложение решения, заключается в том, что в
процессе вычислений мы все время исходим из утверждения, что
равномерное решение должно иметь постоянную амплитуду, как
это следует, например, из формулы (5.31). Но поскольку из вида
точного решения (5.18) ясно, что амплитуда исходной задачи
описывается выражением а ехр (—et)y то единственно возможным
равномерно пригодным решением с постоянной амплитудой
будет то, которое достигается по истечении произвольно большого
промежутка времени, т. е. при достижении стационарного
состояния. Таким образом, можно сделать вывод, что хотя методика
Линдштедта—Пуанкаре и метод перенормировки оказываются
достаточно эффективными при построении периодических решений,
они не позволяют описывать переходные характеристики систем
с затуханием.

5.3. Методика Линдштедта—Пуанкаре
155
В данном примере указанный недостаток методики
Линдштедта—Пуанкаре и метода перенормировки можно устранить,
допустив, что величины сод могут быть комплексными. Для того
чтобы проиллюстрировать эту идею, представим решение
уравнения (5.28) в комплексной форме
u0 = Aeix+Ae-c\ (5.38)
где А — некоторая комплексная постоянная. Тогда уравнение
(5.29) примет вид
щ + щ = 2 (со, - 0 Aeix + (к- е.). (5.39)
где сокращение (к. с.) использовано для обозначения комплексно-
сопряженного слагаемого. Исключая из (5.39) члены, которые
приводят к появлению секулярных слагаемых, мы приходим
к выводу, что (х>± = I, причем уравнение (5.39) в этом случае
сводится к уравнению (5.34), решением которого будет иг = 0.
Подстановка найденных значений ц0, их и и2 в уравнение (5.30) дает
и2 + и2 = (2(02 + 1) Aeix + (к. с). (5.40)
Условие отсутствия секулярных членов приводит к требованию
(о2 = —g", в результате чего мы вновь получаем и2 = 0. Таким
образом,
Т = CD* = (l + fe - 4" 8' +/••)' (5'41)
и = Л ехр It (l -ffe--j-e4 ) t] +(к. с.) =
- А ехр (—8/) ехр [* (1 - -±- е2) f ] + (к. с.)Н . (5.42)
Полагая теперь A =-g- а ехр (/(J), где а и [J — действительные
числа, можно переписать разложение (5.42) в виде
u = a*Te'cos[(l --1-82)* + Р+ .♦.], (5.43)
что находится в полном соответствии с точным решением (5.18)»
в котором учитываются члены до второго порядка включительно-
Следует отметить, что успех применения описанной
модификации метода Линдштедта—Пуанкаре является чисто случайным.
Фактически же подобная модифицированная методика, как
показано в § 6.2, может приводить к совершенно ошибочным
результатам.

150 Гл. 5. Линейный осциллятор с ватуханием
5.4. Метод многих масштабов
Воспользовавшись разложением (5.20), перепишем (5.18)
в виде
a = ^~e/cos(/ + P-4-e2/ -~ТеН+ "•)" <5-44)
Отсюда ясно, что и (/; е) = и (t, е/, е2/, е3/, ...), и поэтому для
решения данной задачи вполне может быть использован метод
многих масштабов. Для нахождения разложения второго порядка
нам необходимы только три масштаба Т0 = t, Тг = et и Т2 = е2/.
Тогда, согласно правилу дифференцирования сложной функции,
производные по времени преобразуются в соответствии с
формулами (4.93) и (4.94). Однако в данном случае для упрощения формы
записи мы будем писать
4t=Do + bDi + B*D* + •"' • (б-4ба>
+ e2(2DoD2-fD?)+..., (5.456)
где
Dn = 4-n. (5.46)
При этом уравнение (5.2) принимает вид
[DS + 2eD0Di + е2(2ДА -f D?) + . • .Jи +
+ 2e (D0 + eDx + e2D2 H ) и + и = 0. (5.47)
Таким образом, исходная задача для обыкновенного
дифференциального уравнения (5.2) перешла в задачу для уравнения в
частных производных (5.47).
Будем искать решение уравнения (5.47) в виде ряда по
степеням е, т. е.
и = и, (Го, Ти Т%) + гиг (Г0, 7\, Т2) + г2и2 (Т0, 7\, Т2) + • ■ •.
(5.48)
Подставляя (5.48) в уравнение (5.47) и группируя члены с
одинаковыми степенями е, имеем
Л + "о 4-е №i + щ + 2DoD{u0 + 2D0w0] +
+ е2 №2 + «2 + 2D<A"o -f D?u0 + 2DoA"i +
+ 2D0u{ + 2DiMd] H = 0. (5.49)

5.4. Метод многих масштабов v
157
Приравнивая теперь коэффициенты при последовательных
степенях в, получаем
Dfr0 + "o = 0, (5.50)
D\u{ + Ui = — 2D0D{u0 - 2D0M0, (5.51)
D20u2 ~\- u2=~ 2D0D2u0 — D?«o - 2D0DiMi - 2A>Mi - 2DiW0- (5.52)
Как указывалось в § 4.5, решение уравнения (5.50) удобнее
представить в комплексной форме
w0 = А ('Л, Т2) eiT° + A(Tl9 Т2) e"iTo. (5.53)
Тогда уравнение (5.51) переписывается в виде
D^j + Щ = — 2i (DiA + A) eiT° + (к. с), (5.54)
где комплексно-сопряженное слагаемое в данном случае будет
равно 2i (D^A + Л) ехр (—iTQ).
Требование отсутствия секулярных членов в выражении для
их приводит к условию, чтобы каждый из коэффициентов при
ехр (iT0) и ехр (—iT0) независимо друг от друга равнялся нулю.
Обращение в нуль коэффициента при ехр (iT0) дает
DXA + А = 0. (5.55)
Это же условие для коэффициента при ехр (—iT0) приводит к
соотношению, комплексно-сопряженному с (5.55), и, следовательно,
не содержит никаких дополнительных ограничений, поскольку
если равенство (5.55) удовлетворяется, то
комплексно-сопряженное с ним будет удовлетворяться автоматически. С учетом (5.55)
уравнение (5.54) переписывается в виде
D\ux + щ = 0, (5.56)
причем, согласно принятому нами ранее подходу, по которому
решения соответствующих однородных уравнений не принимаются
во внимание, за исключением уравнения для порядка е°, решение
(5.56) запишется как
иг = 0. (5.57)
Решение уравнения (5.55) имеет вид
А = В{Т2)е~т\ (5.58)
где постоянная интегрирования В (Т2) (поскольку в уравнение
(5.55) входит только производная.по 7\) является функцией
переменной Т2. Она определяется из условия отсутствия членов,
порождающих секулярные слагаемые в задаче второго порядка, т. е.
в задаче для функции иг.
Подставляя выражения для и0 и их в уравнение (5.52),
получаем
D20u2 + щ = — (2iD2A + £?Л + 2DXА) е1Т° + (к. с). (5.59)

158 Гл. 5. Линейный осциллятор с затуханием
Условие отсутствия секулярных членов в выражении для и2
приводит к требованию обращения в нуль коэффициента при ехр (*Т0),
т. е. к соотношению
2iD2A + D\A + 2ДЛ — 0. (5.60)
Подстановка выражения для А из (5.58) в уравнение (5.60) дает
уравнение
2iD2Be~Tl -B<T7l=0,
или
2iD2B — В = 0, (5.61)
решением которого является функция
Я = *Г(,/2)'Т', (5.62)
где с — произвольная комплексная постоянная, поскольку В
зависит только от переменной 72.
Подставляя найденное выражение для В в формулу (5.58),
находим
A = ce-T'-il'2)tT', (5.63)
так что (5.53) приобретает вид
Ио = <*-*+' [Го-О/2) тл + &-iw[r.-<i/a>r.]#
Представляя постоянную с в форме — а ехр (ф), перепишем
выражение для и0 в виде
= jL.ae"Tx \е*1Тй-{1/*)Т*+М + е-'[Гг-0/2>гв+Р]) ^
= a^ricos(r0--i-r2 + p),
или, после возвращения к исходной переменной if,
и0 = ae~et cos (* - -j" гЧ + Р)• (5*64)
Подставляя теперь соответствующие выражения для и0 и и± из
формул (5.64) и (5.57) в разложение (5.48), приходим окончательно
к разложению
и = ae~etcos (t - -i-e2* + p) + О(e2), (5.65)
которое уже является равномерным по t и полностью
соответствует разложению (5.44) с точностью до членов порядка е2. Таким
образом, в данном случае метод многих масштабов позволяет не
только построить полное описание переходного процесса, но и
найти приближенное выражение для частоты колебаний нашей
системы.

5.5. Метод усреднения
159
5.5. Метод усреднения
В случае 8 = 0 решение уравнения (5.2) может быть записано
как
M = acos(f+ Р). (5.66)
где аир — произвольные постоянные. При этом
дифференцирование (5.66) по t дает
и = — a sin (t + Р). (5.67)
В случае 8^0 мы также будем считать, что решение исходной
задачи дается выражением (5.66) с условием (5.67), но при этом
предполагается, что величины аир зависят от времени.
Поскольку а = с (0 и Р = р (/), то дифференцирование (5.66)
по t дает
й = a cos (t + Р) — а (1 + Р) sin (t + Р) =
= —a sin (t + Р) + a cos (t + Р) — ар sin (* + Р). (5.68)
Сравнивая соотношения (5.67) и (5.68), можно сделать вывод, что
a cos (/ + р) — ар sin (f + Р) - 0. (5.69)
Дифференцирование (5.67) по t дает
и = —a sin (t + P) — a(l + Р) cos (* + Р). (5.70)
Далее, подставляя (5.66), (5.67) и (5.70) в исходное уравнение (5.2),
получаем
—a sin (t + Р) — a cos (t + Р) — a(J cos (« + Р) —
- 2ea sin (t + P) + a cos (f + P) = 0,
или
a sin (« + P) + aP cos (t + P) = —28a sin (t + P). (5.71)
Умножая теперь равенства (5.69) и (5.71) соответственно на
cos (t + Р) и sin (t + Р), складывая полученные результаты и
учитывая, что sin 2 G + cos2 8 = 1, находим
а = —2ea sin2 (< + Р) == — га + га cos (2t + 2р). (5.72)
Подстановка (5.72) в соотношение (5.69) дает
—2ea sin2 (/ + Р) cos (t + Р) — ар sin (t + Р) = 0. (5.73)
Если а ф 0, то из (5.73) следует, что
р = _2е sin (t + Р) cos (/ + Р) = —8 sin (2t + 2р). (5.74)
Как уже отмечалось в § 4.6, при решении уравнений (5.72) и
(5.74) в случае малых г мы можем воспользоваться двумя
различными подходами. С одной стороны, для построения первого
приближения можно усреднить правые и левые части уравнений (5.72)
и (5.74) по промежутку [0, я ]f а с другой — мы можем сохранить
в этих уравнениях лишь медленно меняющиеся члены. Используя

160 Гл. 5. Линейный осциллятор с затуханием
второй из этих подходов, в качестве первого приближения
получаем
а = —га, (5.75)
Р = 0. (5.76)
Решениями уравнений (5.75), (5.76) являются функции
a = a0e-et и р = р0, (5.77)
где а0 и р0 — произвольные постоянные. Тогда из (5.66) следует,
что
w = a0<re'cos(/ + p0), (5.78)
причем это выражение полностью соответствует (5.44) с точностью
до членов порядка е. Поэтому первое приближение метода
усреднения хотя и позволяет определить переходные характеристики
нашей системы, но не дает возможности найти поправки к ее
частоте, которые в данном случае имеют более высокий порядок,
чем первый. Следовательно, для нахождения этих поправок необ-
' ходимо построить решения уравнений (5.72) и (5.74) с точностью
до членов более высокого порядка. Это можно осуществить,
например, с помощью обобщенного метода усреднения (см. § 7.6).
Упражнения
5.1. Рассмотреть уравнение
и + 2г\кй + и + ей3 = 0 (е < 1).
Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить равномерно
пригодное разложение первого порядка для функции и.
5.2. Рассмотреть уравнение
it-f woM+ е"3 =° (е>1).
Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить равномерно
пригодное разложение первого порядка для функции и.
5.3. Рассмотреть следующее уравнение:
й f up + 2щиЧ + ем3 = 0.
Показать, что в первом приближении-
и = a cos (со0/ + (J) + О (е),
и получить соответствующие уравнения для нахождения а и Р с помощью
метода многих масштабов и метода усреднения.
5.4. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка для общего решения уравнения
4 sin2 6
e + to»8ine + 1+4(1_colfl)e«o
при малых, ио конечных 6.
5.5. Рассмотреть уравнение
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка при малых [дф
5.6. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка для уравнения
й + и + ейб = 0 (е< 1).

Глава 6
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С САМОВОЗБУЖДЕНИЕМ
В отличие от предыдущей главы, в которой рассматривались
системы с положительным затуханием, в этой главе мы займемся
исследованием систем, обладающих отрицательным затуханием.
А именно, мы рассмотрим системы с самовозбуждением, имеющие
одну степень свободы. Такие системы описываются уравнениями
типа
dt*% г п \и > м*) dt* ' v ;
где |li — некоторый положительный параметр, а функция /*
положительна при малых ы*.
С целью упрощения математических выкладок будем
рассматривать уравнение следующего специального вида:
<Ри* , , * Tt / du* \2] du* ,п лч
т IF- +ku = •* L1 ~аЫ) J IF <6-2>
с положительным а. Это уравнение называется обычно
уравнением Рэлея. Как уже указывалось ранее, прежде чем приступить
к анализу уравнения (6.2), необходимо привести его к
безразмерному виду. С этой целью, выбрав в качестве исходных масштабов
задачи некоторое характерное смещение и5 и собственную частоту
соответствующей линейной системы со0 = j/klm> введем
следующие безразмерные переменные:
Тогда уравнение (6.2) преобразуется к виду
( aul%k Л
^ fi + a = e^l--£-u»juf (6.3)
где е = [i/j/km. Выбирая величину aj таким образом, чтобы
auQ*k =-о- tn, можно записать уравнение (6.3) в стандартной
форме
U + U = 8 (й з" "8) • (6-4)
Дифференцируя уравнение (6.4) по времени, имеем
и-\-й = г(й- й2й). (6.5)

162 Гл. 6. Колебательные системы с самовозбуждением
Если положить и = vy то (6.5) можно представить в виде
v -f и = е(1 — у2) б. (6.6)
Полученное уравнение обычно называется уравнением Ван-дер-
Поля>
В этой главе мы рассмотрим методы нахождения
приближенных решений уравнения (6.4), а следовательно, и уравнения (6.6)
при малых е. Начнем, как обычно, с построения прямого
разложения решения, после чего обсудим вопрос о его равномерности.
Далее мы покажем, что ни методика Линдштедта—Пуанкаре, ни
метод перенормировки не позволяют построить описание
переходных режимов системы. В заключение покажем, что эти
переходные режимы могут быть описаны с помощью метода многих
масштабов и метода усреднения.
6.1. Прямое разложение
Будем искать прямое разложение решения (6.4) в виде
u(t\E) = u0(t) + eul(t)+-.'9 (6.7)
ограничиваясь членами первого порядка малости по е.
Подстановка (6.7) в уравнение (6.4) дает
й0 + euj + • • • + и0 + e«i + • • • = е (н0 + ейх + • • •) —
L8{uo + eu1+---)3. (6.8)
Используя биномиальную формулу для разложения кубического
члена в (6.8) и сохраняя члены порядка е, находим
«о + ио + г (Й1 + «О -f • - • = е (й0 - — йо) + • • • • (6.9)
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е в обеих
частях (6.9) ведет к уравнениям
й0 + и0 = 0, (6.10)
й{ +и\ = йо — -у йо, (6.11)
которые могут быть решены последовательно относительно и0 и uv
Общее решение уравнения (6.10) можно представить в виде
и0 = acos(t + Р), (6.12)
где а и р — произвольные постоянные. Тогда (6.11) переходит
в уравнение
йх + иг = — a sin (t + Р) + 4-я3 sin8 (/ + Р). (6-13)

6.1. Прямое разложение
163
Используя тригонометрическую формулу (А. 16)
sin8 0 = -4- sin 0 - 4- sin 30,
4 4
перепишем (6.13) как
u1 + w1=(-J-a2 - l)asin(/ + p) --^-a3sin(3/ + 3p).(6.14)
Поскольку уравнение (6.14) линейно, то его частное решение
может быть представлено как сумма двух частных решений
следующих уравнений:
й\[) + и\[) = (4~я2 - l) a sin (/ + Р) (6.15)
и
й\2) + и\2) = - -jy a3 sin (3/ + ЗР). (6.16)
Частное решение первого из них (см. формулы (Б.81) и (Б.82)
приложения Б) есть
и&стн = 4" (! - Т*а*) at cos <' + ®> <6',7)
частное решение второго (формулы (Б.68) и (Б.69)) —
Л™ = i fl8 sin (3/ + Зр), (6.18)
откуда
Щчасти = ^иастн + Участи = — ( 1 — — #2) Я< COS (/ + Р) +
+ -~-a8sin(3/+3p). (6.19)
Как уже указывалось в §4.1, в случае если аир считаются
функциями е, нам не нужно учитывать решение соответствующего
однородного уравнения, так что решение уравнения (6.14) будет
даваться именно формулой (6.19). Подставляя (6.12) и (6.19) в
разложение (6.7), получаем
и = acos(t + Р) + е [4- (1 - 4йа2) a'COS<' + Р) +
+ -^a3sin(3/ + 3p)] + '--. (6.20)
Построенное таким образом прямое разложение неравномерно
при / ^ О (е"1), поскольку при этом поправочный член из-за
присутствия в нем секулярного слагаемого оказывается по величине
порядка первого члена разложения или даже больше его. Эта
неравномерность хорошо иллюстрируется на рис. 6.1, где решение,

164 Гл. 6. Колебательные системы с самовозбуждением
подсчитанное по формуле (6.20), сравнивается с решением,
полученным с помощью численного интегрирования уравнения (6.4).
В начальные моменты времени прямое разложение решения и
численное решение близки между собой. Однако по мере возрастания
t аналитическое решение все более уходит от численного решения,
которое приближается к некоторому периодическому решению
с амплитудой, равной примерно 2 независимо от выбора
начальных условий. Это периодическое решение, к которому стремится
численное решение, называется предельным циклом. На рис. 6.2
показан типичный ход численных решений на фазовой плоскости
(плоскости uv, где v = й) для нескольких значений параметра е
и различных начальных условий. При этом, когда е мало,
предельный цикл имеет амплитуду, приблизительно равную 2,
независимо от выбора начальных условий.
Следует отметить, что секулярный член в.(6.20) пропадает, если
(1 _-J-fl»)a = 0. (6.21)
Если исключить тривиальный случай а = 0, то соотношение
(6.21) удовлетворяется при а = ±2. При положительных по
определению амплитудах (а = 2) разложение (6.20) принимает вид
a = 2cos(* + P) + -jUesln(3f+ ЗРН . (6.22)
I а
I б
Рис. 6.1. Сравнение прямого разложения (а) с точным решением (6) при и (0) —
— 0.5, и (0)— 0 и еж0.1.

6.2. Метод перенормировки
165
Рис. 6.2. Фазовые плоскости для уравнения Рэлея: а) е = 0.01; б) е = 0.1;
в) е= 1; г) е= 10.0.
Последняя формула представляет собой периодическое решение,
амплитуда которого, с точностью до малых первого порядка,
равна 2, т. е. дает нам предельный цикл.
в.2. Метод перенормировки
В этом параграфе для преобразования разложения (6.20)
используем метод перенормировки. Так, полагая
т » со/ « (1 + ею! +.. •) U (6.23)
имеем
t « т (1 + г<ог +. • .)"х = т — га>ух +.... (6.24)
Подстановка (6.24) в разложение (6.20) дает
и = a cos (т + Р — e<0it +•••) +
-f е Г-j- (1 j-аЛ а(т — есохТ + • • •) cos (т + р — ео^т -\ ) +
+ -^-a,sin(3t + 3P-3eco1T+ ...)] Н • (6.25)

166 Гл. 6. Колебательные системы с самовозбуждением
Используя разложения в ряды Тейлора вида (4.86), перепишем
(6.25) как
и = a cos (т + р) + е (о^ат sin (т -f Р) -{- у (1 — -j a2j ar cos (т-f Р) +
+ ^a3sin(3t+3p)] + .... (6.26)
Если &1 принимает действительные значения, то условие
отсутствия секулярных членов в (6.26) приводит к соотношениям
(оха = О, (6.27)
(1 -^а2)а^0. (6.28)
Так как в случае нетривиального решения а Ф О, то из
соотношений (6.27) и (6.28) следует, что щ = 0 и а = 2. (Случай а =
= —2 может быть отброшен, если считать амплитуду
положительной.) При этом из формулы (6.23) получаем, что т = / +
+ О (е2), и (6.26) переходит в разложение
и = 2 cos (t + Р) + -jy е sin (3/ -f Зр) -] , (6.29)
представляющее собой предельный цикл.
Возникает вопрос, нельзя ли нам все же построить
равномерно пригодное разложение, воспользовавшись введенным
в § 5.3 допущением о том, что соп могут принимать комплексные
значения. Для ответа на этот вопрос представим разложение
(6.26) в комплексной форме. С этой целью положим
cose = 4^e + *~lG) и sine = --^(*'e-e--'e)
и перепишем разложение (6.26) в виде
и = -L ае! <*+» + г {■£- [-J- (1 -1 *) " ^] ««'<Т+Р> "
-]4aV'(t+e)} + (K- с)+---. (6.30)
Требование отсутствия секулярных членов в (6.30) дает
«>i=-4- 'Ч1 -~ra2)' <6-3,)
и, следовательно,
ы = -L аес (х+р) + (к. с.) Н • (6.32)
При этом из (6.23) и (6.31) имеем
T = /--^-te (l --LaAt+ .... (6.33)

6.3. Метод многих масштабов
167
так что разложение (6.32) принимает вид
и=^аех*[1 ['"Т'Ч1 -|я2)' + Р+ •■•]} + (к.с.)+--- =
= ±аехр [4"б (1 - -La2) t] ехр [*(/ + р)] + (к. с) + ....
Таким образом, окончательно получаем
w = aexp[4-e(l --j-a*)t]cos{t+ $)+-... (6,34)
Из формулы (6.34) следует, что при t -* оо и -► оо, если |а| < 2,
иа->0, если \а\ > 2. Однако это неверно, поскольку из рис. 6.1
и рис. 6.2 видно, что численные решения уравнения (6.4) стремятся
к значению, приблизительно равному 2 независимо от начальных
условий, а следовательно, и от величины а. Таким образом,
предложенный вариант методики Линдштедта—Пуанкаре и метода
перенормировки, при котором допускаются комплексные
значения соп, может приводить к ошибочным результатам, как это и
произошло в данном случае. В связи с этим следует избегать
применения указанных методов для исследования решений, отличных
от периодических.
6.3. Метод многих масштабов
Для того чтобы построить равномерно пригодное разложение
первого порядка для решения уравнения (6.4) с помощью метода
многих масштабов, введем масштабы Т0 = t и 7\ = е/. При этом
производные по времени преобразуются следующим образом:
jL = D0 + eDi+"-. ^ = Dg + 2eDoD, + ...,
где Dn = д/дТп, а уравнение (6.4) примет вид
Dlu + 2eD0D1u + и = г [Дм - -у (°ои)8] + '' ' ■ (6-35)
Будем искать решение уравнения (6.35) в форме
и = и0 (Т0, Тх) + еих (Г0, 7\) + • ■ • . (6.36)
Подставляя разложение (6.36) в (6.35) и приравнивая
коэффициенты при е° и е1 в левой и правой частях, получаем
D^o + "o = 0, (6.37)
D\ux +их = ~ 2D0Dxu0 + DqW0 - 4- (А)«0)3- (6.38)

168 Гл. 6. Колебательные системы с самовозбуждением
Как и ранее, общее решение уравнения (6.37) запишем в
комплексной форме
и0 = А (Тг) eiU + А(Тг) e~iT*. (6.39)
Тогда (6.38) приобретает вид
В1щ +щ = — 2iA'eiT* + 2iA'emiT% + iA*iU - iAe~iT* —
-±(iAetT'-iAe-iT'Y,
или
D\u{ -(-«! = —/ (2>T - Л -f Л2Л) *""• + -±- iA*em* + (к. с). (6.40)
Требование отсутствия секулярных членов ^ решении для их
приводит к соотношению
2Л'-Л + Л2Л = 0. (6.41)
Как и ранее, представим А в форме
Л=-±-ш?'3, (6.42)
где аир — действительные функции переменной 7\. При этом
решение (6.39) приобретает вид
ИЛИ
a0 = acos(r0 + p). (6.43)
Подстановка (6.42) в уеловие (6.41) дает
Опуская общий множитель ехр (t'P) и отделяя вещественную и
мнимую части, получаем
Р< = 0. (6.45)
Решение (6.45) имеет вид
р = р0 = const. (6.46)
Уравнение же (6.44) представляет собой обыкновенное
дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, поэтому
dTi = T7ZTS5 e a(2-a)(2 + a)* <6,47)

6.3. Метод многих масштабов
169
Разлагая правую часть (6.47) на простейшие дроби, находим
-"■.-T + A-irr- <М8>
Интегрирование (6.48) дает
Тг + с ^2 \па — In 12 — а \ — In (2 + а),
или
Тх + с = \п [4^да| ,
где с — произвольная постоянная. Отсюда
_£!_ = ег.+«:=ее/+,> (б49)
Решая уравнение (6.49) относительно а2, получаем
а _ 4ехр И + с) = 4 /6 rq\
1 + ехр (е/ + О 1 + ехр (— et — с) ' ' ^u'uu'
Подставляя выражения (6.46) и (6.50) в решение (6.43) и полагая
Т0 «= t% находим
и0= 2Ц +бГв/"Т1/2 cos(^ + Po)+ • • •• (6.51)
Наконец, подстановка (6.51) в (6.36) дает нам следующее
разложение первого порядка для общего решения уравнения (6.4):
и = 2 [1 + ехр (— et - с)р1/2 cos (t + ft,) Н . (6.52)
Используя начальные условия
и (0) = во, £ (0) = 0, (6.53)
из разложения (6.52) находим
a0=2[l + ^cr1/2cosp0, (6.54)
0 = — 2 [1 +ГГ1/2 sinр0 + 0(e). (6.55)
При этом из соотношения (6.55) имеем sin р0 = 0 (е), или 0О —
= 0 + О (е), а из соотношения (6.54)
а2=4[1 + <ГС]~1. (6.56)
Выражая отсюда ехр (—с), находим
<Гс=4г-1. (6.57)
Таким образом, разложение (6.52) приобретает вид
« = 2Г1 + &- Л«~в'Г/2со8/+ .... (6.58)
Ив формулы (6.58) следует, что при t -*■ оо
и -*- 2 cos t + О (е) (6.59)

170 Гл. 6. Колебательные системы с самовозбуждением
б
Рис. 6.3. Сравнение приближенного (а) н точного (б) решений при и (0) = 0.5»
й (0) = 0 и е= 0.1.
независимо от значения а, если, конечно, а Ф 0. Этот результат
вполне соответствует характеру численных решений,
представленных на рис. 6.1 и рис. 6.3. Кроме того, из рис. 6.3 видно, что
результаты расчетов по формуле (6.58) оказываются в хорошем
соответствии с численными решениями уравнения (6.4).
Вместе с тем из формулы (6.58) ясно, что решение и нельзя
представить в виде a cos (t + (J), где а — экспоненциальная
функция времени. В то же время, согласно методике Линдштедта—
Пуанкаре и методу перенормировки, даже если предположить
со комплексным, амплитуда а обязательно будет представлять
собой экспоненциальную функцию. Это означает, что с помощью
указанных методов невозможно построить хорошее приближение
к решению исходной задачи. С другой стороны, метод многих
масштабов, который сводит исходную задачу для обыкновенного
дифференциального уравнения к системе уравнений в частных
производных, допускает достаточно широкий произвол при
выборе формы приближенного решения, что позволяет с помощью
этого метода получать весьма удачные аппроксимации.
6.4. Метод усреднения
Как указывалось в § 4.6 и 5.5, для того, чтобы применить метод
усреднения к уравнению (6.4), нам необходимо воспользоваться
идеей вариации произвольных постоянных и ввести
преобразование
и (/; г) = a (t) cos [t + Р (/) ], (6.60)
и (/; е) = —а (/) sin [t + $ (t) ]. (6.61)

6.4. Метод усреднения
171
Как и ранее, дифференцируя (6.60) по /, получаем
й = — a sin (t + Р) + a cos (t + Р) — «Р sin (* + Р). (6.62)
При этом из соотношений (6.61) и (6.62) следует, что
a cos (t + Р) — ф sin (t + Р) = 0. (6.63)
Дифференцирование (6.61) по f дает
и =-- —a cos (* + Р) — a sin (* + Р) — <*Р cos (/ + Р). (6.64)
Подставляя выражения (6.60), (6.61) и (6.64) в исходное
уравнение (6.4), находим
a sin (t + Р) + ^Р cos (t + Р) = еа sin (* + Р) - 4"т*sin3 ^ + ^
(6.65)
Разрешая теперь (6.63) и (6.65) относительно аир, получаем
следующие уравнения в вариациях:
а = е [a sin (t + Р) - -j-a3 sin3 (t + P)] sin (/ + P), (6.66)
ар = e [a sin (/ + P) — 4" а3 sin3 С + W] cos С + W- (6'67>
Воспользовавшись известными тригонометрическими
формулами
sin2 9 = 4 i- cos 29, sin4 9 = -J- (cos 49-4 cos 20 + 3),
sin 9 cos 9 = 4" sln 29, sin39 cos 9 = -^ (2 sin 29 - sin 49),
перепишем уравнения (6.66) и (6.67) в виде
d = ea[i(l _la*)-i(l - 1 a2) cos (2t + 2p) -
--l-a2cos(4/-f 4P), (6.68)
P = e [-J- (1 - 4 a2)sln & + 2P) + 14 a*sln W + 4P)]: (669>
кроме того, при выводе (6.69) используется предположение, что
а^О.
Как известно, в первом приближении мы сохраняем только
медленно меняющиеся члены, т. е. члены, не содержащие
тригонометрических функций. Таким образом, в первом приближении
уравнения (6.68) и (6.69) заменяются усредненными уравнениями
a = 4г еа (1 --j-a*), (6.70)
Р = 0, (6.71)

172 Гл. 6. Колебательные системы с самовозбуждением
1»Ф'4Щ*фф>фф •т-ФФ*т*Ф<ФФ-т>ФФФ ф т ФфффчЦ
|W
фф,ф, ф ф ,ф ф ф ф„ф,ф ф, ф,ф ф ф,ф,ф ф,ф ффф,*щ
Рис. 6.4. Сравнение решений проварьированных уравнений (6.68) и (6.69)
с решениями усредненного уравнения (6.70) при е = 0.3 в случае: а) а (0) =
= 0.5, Р (0) = 0; б) а (0) = 4.0, Р (0) = 0.
которые полностью совпадают с уравнениями (6.44) и (6.45),
полученными с помощью метода многих масштабов.
На рис. 6.4 приведено сравнение решений уравнений в
вариациях (6.68) и (6.69) с решениями усредненного уравнения (6.70)
при начальных условиях
а (0) - о,,, р (0) = 0.
(6.72)
Ясно, что решения усредненных уравнений представляют собой
средние значения решений уравнений в вариациях.
Упражнения
в.1. Рассмотреть уравнение Ван-дер-Поля
й + и = е (1 — и2) и.
а) Построить двучленное прямое разложение и исследовать его
неравномерность.
б) Преобразовать это разложение в равномерно пригодное, используя метод
перенормировки.
в) Используя метод многих масштабов и метод усреднения, получить pai-
номерио пригодное разложение первого порядка.
г) Сравнить результаты пп. б) и в) и указать ограничения метода
перенормировки.

Упражнения
173
6.2. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка, описывающее переходный
режим для решения уравнения
й + о>о«= г[й — й3 + й2и\ (е< 1).
6.3. Рассмотреть уравнение
х + х + х — — (х — | х |) б (х - х0) = О,
где хь — постоянная и б (а:) — дельта-функция Дирака. Построить равномерно
пригодное разложение первого порядка при малых, но конечных х.
6.4. Рассмотреть систему уравнений
{й -[- щи = 2е [(1 — v) й — ии],
V -\- V = и2.
Построить равномерно пригодные разложения первого порядка для и к v.
6.5. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка для уравнения
и + и — е (1 — и4) н при 6 < 1.
6.6. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка для уравнения
и ~\- и — е (1 — и2) а + ей3 = 0 при е < 1.

Глава 7
СИСТЕМЫ С КВАДРАТИЧНЫМИ И КУБИЧЕСКИМИ
НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
Рассмотрим свободные колебания частицы массы ту
находящейся под действием силы тяжести и связанной с пружиной, сила
упругости которой меняется по нелинейному закону (рис. 7.1).
Уравнение движения такой системы имеет вид
™^ + f(**)==rng, (7.1)
где g — ускорение силы тяжести, а / (а:*) — нелинейная
возвращающая сила пружины. Пусть / (х*) представляет собой полином
третьей степени от х* вида
/ (**) = kxx* + k&*\ (7.2)
где k. > 0. Подстановка (7.2) в уравнение (7.1) дает
т 4:?-+к***+k*x* = т8- (7-3)
at*
Опуская в уравнении (7.3) член, описывающий ускорение
системы, можно найти координаты x*s ее положений равновесия
из соотношения
kyxl + ks?* = mg. (7.4)
В этой главе мы будем исследовать малые колебания нашей
системы около одного из этих положений равновесия. С этой целью
положим в (7.3)
х* = х\+и\ (7.5)
в результате имеем
т -S- + fel (*• + "*) + *3 W + иУ = ms- (7-6)
Возводя в куб и используя (7.4), перепишем уравнение (7.6) в виде
т -45J1 + (*, + 3*э*Л «* + Зкгх*У* + кУ = 0. (7.7)
di* v
Как и ранее, введем следующие безразмерные переменные:
u = u*/x*s, t = (ut*f

7.L Прямое разложение
175
I
if™
i
м
Ш
Рис. 7.1. Масса, связанная с нелинейной пружиной, при наличии силы тяжести.
где со = У (ki\~3ksXsZ)/m — собственная частота
соответствующей линейной задачи, предполагаемая вещественной. Тогда
уравнение (7.7) принимает вид
и + и + Зсш2 + аи3 = 0, (7.8)
где а = fe3xjVm(o2, причем мы будем считать, что а = 0(1).
В отличие от уравнения Дюффинга уравнение (7.8) содержит как
квадратичные, так и кубические члены. В дальнейшем вместо
(7.8) будем исследовать несколько более общее уравнение, а именно
и + и + а2и2 + а9и* = 0 (7.9)
с постоянными <х2 и а3.
В следующем параграфе мы строим прямое разложение
второго порядка для решения уравнения (7.9). В § 7.2 и 7.3 это
разложение преобразуется в равномерно пригодное с помощью метода
перенормировки и методики Линдштедта—Пуанкаре. В § 7.4
равномерно пригодное разложение строится с помощью метода
многих масштабов. В § 7.5 мы покажем, что первое приближение,
полученное по методу усреднения, приводит к неполному
решению. Поэтому в § 7.6 мы опишем обобщенный метод усреднения,
что позволит получить для решения уравнения (7.9) равномерно
пригодное разложение второго порядка. Наконец, в § 7.7 изложим
метод Крылова—Боголюбова—Митропольского.
7.1. Прямое разложение
Уравнение (7.9) не содержит явно малого параметра, поэтому,
для того чтобы получить прямое разложение решения в случае
малых, но конечных амплитуд, нам нужно ввести малый параметр
в исходное уравнение. С этой целью будем искать разложение
решения (7.9) в форме
и = гих (0 + e2u2(t) + е*и3 (*)+•••. (7.10)
где е — малый безразмерный параметр, являющийся мерой
амплитуды колебаний. Мы используем этот параметр в качестве вспо-

176
Гл. 7. Системы с нелинейностями
могательного средства, с тем чтобы произвести «предварительный
учет» порядков величин, входящих в уравнение, а затем положим
его равным единице и будем считать малой амплитуду.
Подстановка (7.10) в уравнение (7.9) дает
гйх + г2й2 + е3йз + • • • + w/i +■ г2и2 + г3и3 + • • •
.. • + а2 (б«! + ш2 + е3и3 + *' * )2 ~Ь «з (e"i + е2"« + е3а3 + • • • )3 «= 0.
(7-11)
Возводя в соответствующую степень ряды, стоящие в скобках
в (7.11), и сохраняя члены до порядка О (г3) включительно,
получаем
е (Й1 + щ) + г2 (й2 -f ы2 -г 02«i) +
+ е3 (из -h "з + 2а2^1^2 + a3W|) -| =0. (7.12)
Приравнивая нулю коэффициенты при соответствующих степенях
е, имеем набор уравнений
йх + ик = 0, (7.13)
Й2 + "2 = — ос^?, (7.14)
из -Ь и3 = — 2а2«1«2 — аьи?, (7.15)
которые могут быть решены последовательно относительно
неизвестных и1У и2 и и9.
Общее решение (7.13) представим в виде
иг = acos(/ + Р), (7.16)
где аир — постоянные. При этом (7.14) принимает вид
й2 + ыа = — а2а* cos2 (* + Р) = — -g- a2a2 - -J- a2a2 cos (2/ + 20).
(7.17)
Как и ранее, мы не включаем в выражение для и2 решение
соответствующего однородного уравнения. Частное решение
неоднородного уравнения (7.17) можно найти как сумму частных
решений следующих уравнений:
йр + иР = —^а^9 (7.18)
af + uf = - -i-a2a2cos(2^ + 2Р). (7.19)
Частным решением первого из них будет

7.1. Прямое разложение
177
а частным решением второго (см. формулы (В.68) и (В.69)) —
4?аств = 4"«2a2cos(2/ + 2Р)- (7.21)
"2 = Л™ + ^часты = — 4- ^ + -я- а2а2 cos (2/ + 2Р). (7.22)
Таким образом, имеем
= — '2"*~ ~г б
Подстановка выражений (7.16) и (7.22) в уравнение (7.15) дает
й8 -f~ «з = — 2а2а cos (/ + Р) [— 4"а^ + 4а^2 cos (2/ + 2р)] _
— a3a3coss(* + Р),
или
ИЗ + "з = (4 «2 - 4" а3) fl3 C°S <' + Р) -
~~(4аз ^ -^-al)a3cos(3^ -f Зр). (7.23)
Поскольку уравнение (7.23) линейно, то
^3 = Участи + ^Зчастн» (7-24)
где Участи и «зчастн — частные решения уравнений
flS!) + 4° - (-f «3 - 4аз) fl3cosC + ?>• (7*25)
й?} + "f = - (4" аз + 4"«*) а*cos (3* + 3Р)« (7-26)
При этом из формул (В.69) и (В.76) следует, что
4'части = (4" <** - 4 аз) Л Sln С + Р)» (7'2?)
Из
ч'асти = X ("Г а3 + "Г «*) а' C°S (3/ + 3Р>- (7'28>
Подставляя теперь решения (7.27) и (7.28) в (7.24), находим
"з=(ту "» _ 4"аз)fl3'sin <' + Р) +
+ X ("Г «з + -д- «О °3 cos (3' + ЭД- (?'29)

178
Гл. 7. Системы с нелинейностями
Наконец, подставляя (7.16), (7.22) и (7.29) в (7.10), получаем
следующее прямое разложение третьего порядка (с точностью до
членов порядка О (е3)):
и = га cos (t f Р) h 4" а^'^ tcos (2/ + 2& ~ 3] +
+ eV [(-д-оЙ-4-аз) ' sin С + Р) + (7.30)
+ "Г (таз f ~Та") cos(3t + •*>] + '"' •
Заметим, что функциям зависит от е и а только через
произведение га. Это дает возможность положить б= I и рассматривать
а в качестве параметра возмущения. Вместе с тем прямое
разложение (7.30) становится непригодным при / ^ О (е-1^1),
поскольку при этом второй поправочный член становится величиной
одного порядка с первым из-за наличия в нем секулярного
слагаемого. Попытаемся теперь преобразовать разложение (7.30) в
равномерно пригодное, используя для этого метод перенормировки.
7.2. Метод перенормировки
Как указывалось в § 4.3 и 4.4, равномерно пригодное
разложение для решения уравнения (7.9) может быть построено либо
с помощью применения методики Линдштедта—Пуанкаре
непосредственно к дифференциальному уравнению, либо путем
использования метода перенормировки для разложения (7.30).
И в том, и в другом случае мы вводим замену т = <oi, где со —
«нелинейная» частота в уравнении (7.9). Далее, мы раскладываем со
в ряд по степеням е, причем первый член ряда оказывается
частотой линейных колебаний (в нашем случае равной единице). Итак,
представим частоту со в виде разложения
© = 1 + е©! + е2©2 -| . (7.31)
Отметим, что в это разложение мы включили только члены
второго порядка, поскольку секулярное слагаемое в (7.30) содержится
в члене третьего порядка. Далее, имеем
/ = (1 4_ е©х-f е2©2 Ч )"1т=[1 ~(гщ + г2щ-\ ) +
+ (е©1 + е2о>2+"-)2]т.
Сохраняя члены порядка О (е2), получаем
/ = т - е©!Т + г2 (со? - ©2) т -\ . (7.32)

7.2. Метод перенормировки
179
Подстановка (7.32) в (7.30) дает
и = га cos [т + Р — ecoiT -]- е2 (со? — со2) т -f • • • ] +
+ -|pct2e2a2 {cos [2т + 2р - 2ecoix -f 2е2 (со? - со2) т Н ] - 3} +
+eVf(4"a2-4*aO[T~80iT+e2^~G)2^TH—] Х (7,33)
X sin [т -|- Р — ecoiT -f- е2 (со? — со2) т -f • • • ] -[-
+ т(таз 1"1 а0 х
X cos [Зт -f- ЗР - 3eo)iT + Зе2 (со? - со2) т Н ]} -| .
Исследуем теперь разложение (7.33) при малых е и
фиксированном т. Раскладывая тригонометрические функции в ряды
Тейлора, находим
cos [т -\- Р — ecoit -f е2 (со2 — со2) т f- • • • 1 =
= cos (т + Р) -\- [гщх — е2 (со? — со2) т] sin (т f р) —
— ур [ecoit — б2 (со2 — со2) т -|-• • • • ]2 cos (т + р) =
= cos (т + р) + ecoit sin (т -f р) — е2 [(со? — со2) т sin (т -(- р) +
+ -^-co?t2cos(t + P)+..., (7.34)
cos [2т + 2р — 2ecoiT + 2е2 (со? — со2) т -| ] =
- cos (2т + 2р) + [2ecoiT - 2е2 (со? - со2) tJ sin (2т + 2р) -\- ■■=
= cos (2т + 2р) + 2есо,т sin (2т + 2р) -\ , (7.35)
sin[T + p~eco,T + e2(co?-co2)TH ] = sin(T f Р) j , (7.36)
cos [Зт -f Зр - 3ecoiT + Зе2 (со? - co2) т -| 1 = cos (Зт f 3p) -] .
(7.37)
Подставляя выражения (7.34)—(7.37) в (7.33) и сохраняя члены
до третьего порядка включительно, получаем
w = ея cos (т-f Р) -|-е2 Гацат sin (т ■}- Р) ■}-
+ 4" «2«2 cos (2т + 2р) - 4" ^а2] +
+ e3(-4"C0'aT2cos(T + Р) I'

180
Гл. 7. Системы с нелинейностями
+ [ ("S" °^ |-аз) «3 — а (со? — ш2) ] т sin (т + р) +
+ 4" a20>ia2T sin (2т + 20) +
+ т (т а» + 4-а*)а3 cos (Зт + 3Р)} + ""' • <7-38)
Для того чтобы избавиться от секулярного члена порядка О (е3),
необходимо (в случае а Ф 0) положить о^ равным нулю. При этом
исчезают и все секулярные члены третьего порядка, кроме одного,
который пропадает при условии
(-^(4-^-аг)а3 + а^ = 0. (7.39)
Отсюда
«2=-(4-°^--гаа)в2- <7'40)
После уничтожения секулярных членов разложение (7.38)
принимает вид
и = га cos (? -Ь Р) + -g- ^2а2 [cos (2т + Щ - ЗЦ , (7.41)
где
т = со/ = [l + (4аз - те**) e2fl2] ' + ■ •' • (7'42>
Отметим, что секулярный член порядка е3 в (7.38)
используется для определения ш2. Остальные члены порядка е8
ограничены при т -> оо; они не включаются в (7.41), поскольку
разложение проводится до членов второго порядка, так что ошибка
представляет собой величину О (е3) для всех / < О (е-*1). Более
подробно этот вопрос обсуждался ранее в § 4.5.
Обращаясь вновь к разложению (7.30), отметим, что первый
секулярный член появляется лишь в членах порядка е3. Таким
образом, еще заранее мы могли бы заключить, что ®г = 0,
поскольку член e(ot в разложении (7.31) порождает секулярные члены
второго, а не третьего порядка. Использование этого факта
позволило бы значительно сократить объем вычислений. Покажем
теперь, что методика Линдштедта—Пуанкаре требует проведения
еще меньшего объема вычислений, чем метод перенормировки.
7.3. Методика Линдштедта—Пуанкаре
Используя в уравнении (7.9) преобразование т = ш/, получаем
©V + и + а2и2 + а3и3 = 0, (7.43)

7.3. Методика Л индштедта—Пуанкаре
181
где штрихами обозначено дифференцирование по т. Далее,
раскладываем со и и в ряды по степеням е:
и = гиг (т) + *2и2 (т) + &иъ (т) + • - ., (7.44)
(о = 1 + 6% + е2со2 Ч . (7.45)
Как указывалось в предыдущих главах, первый член разложения
для со представляет собой частоту линейных колебаний, в нашем
случае равную единице. Подставляя (7.44) и (7.45) в уравнение
/7.43), имеем
(1 + eo)i + е2со2 + --О2 (ew'i + е^2 + £Щ +•••) + *"i +
+ г2Щ + е\ -\ \-а2 (еих + гЩ + г\ -\ )2 +
+ «з Hi + &иг + е3"з Ч )3 = 0.
Используя биномиальную формулу для разложения
квадратичного и кубического членов и сохраняя члены до третьего
порядка включительно, находим
(1 + 2eo3i + е2со? + 2е2о)2) (е«'[ -f г2и2 -f е3«з) + zu\ -f е2и2 + £из +
+ аа {*и\ + 2e3w,"2) -f а3*3и3 -| =0.
Перемножая выражения в скобках и приравнивая нулю
коэффициенты при последовательных степенях е, получаем
щ+и{ = 0, (7.46)
«2 + и2 = —2о>1«'; - а2и2, (7.47)
и3 + и3 = — 2cdi*4 - (<*>2 -f 2со2) «I - 2а2и{и2 _ ази3. (7.48)
Общее решение уравнения (7.46) может быть представлено как
u1 = acos(x-\-^)f (7.49)
где аир — постоянные. Тогда (7.47) переписывается в виде
и2 ~\- ц2 = 2о>1 a cos (т + Р) ~ a2a2 cos2 (i -f P),
или
и2 -)_ ы2 = 2coiacos (t + P) - -j- a^2 - \-a^ cos (2т + 3p).
(7.50)
Для того чтобы в решении и2 отсутствовали секулярные
слагаемые, необходимо положить (ох = 0. При этом решение (7.50)
отроится аналогично тому, как это проводилось в § 7.1; оно имеет
вид
и2= — -i-a2a2+ -~Ge,02cos(2T-f 2Р). (7.51)

182
Гл. 7. Системы с нелинейностями
Подставляя решения (7.49) и (7.51) в уравнение (7.48) и
учитывая тот факт, что о)! = 0, получаем
иъ -f- и3 = 2со2 a cos (т -f Р) —
— 2а2а cos (т + р) [— -±- а2а2 -f -±-а2а2 cos (2т + 2р)] -
— a3a3cos3(x + P). (7.52)
Используя теперь, как и в § 7.1, соответствующие
тригонометрические тождества, перепишем (7.52) в виде
и'з + и3 = (2со2а - -|- a3a3 + -§- ^3) cos (т -f- Р) -
- (4-а*+4- <)а*cos (Зт+3&- <7-53>
При этом требование отсутствия секулярных членов приводит
к соотношению
2о)2а - JL a3a3 + -§"а^3 = °>
откуда
Отметим, что подстановка выражений (7.49) и (7.51) в (7.44)
приводит к разложению (7.41), а подстановка (7.54) в (7.45) с учетом
преобразования т = tot и соотношения щ = 0 дает (7.42). Таким
образом, использование методики Линдштедта—Пуанкаре
приводит к тому же самому разложению, что и методика
перенормировки, но при заметно меньшем объеме вычислений.
7.4. Метод многих масштабов
В этом параграфе мы построим равномерно пригодное
разложение третьего порядка с помощью метода многих масштабов,
используя для того три переменные: Т0 = /, 7\ = et и Т2 = е2/.
При этом для производных по времени получаем
-^- = D0 + eDx + гЮ2 + • • -, (7.55)
-£т = D\ + 2eDoD, + е2 (D? + 2D0D2) +-•••, (7 5б)
где Dn = д/дТп. С помощью (7.56) преобразуем уравнение (7.9)
к виду
Dlu -f 2eD0D,u + е2 {D\u -f 2D0D2") f и + a2u2 -f a3«3 H =0.
(7.57)

7.4. Метод многих масштабов
183
Приближенное решение уравнения (7.57) будем искать в форме
и = гиг (70, Т19 Т2) + г2и2 (70, Тъ Т2) + е8иа (Т0, Г„ Т2) +
+ • • • . (7.58)
Подставляя разложение (7.58) в (7.57) и приравнивая нулю
коэффициенты при последовательных степенях е, находим
D\u{ + щ = 0, (7.59)
D^2 + "2 = — 2ЦД" - <x2ul (7.60)
£>о"з + "з = —D]ux - 2D0D2Ui - 2DqD\U2 — 2a2"i"2 — a.^? .(7.61)
Решение уравнения (7.59) может быть представлено как
их = Л (7\, 7а) е"» + Л (7\, Т2) *-'Ч (7.62)
При этом (7.60) принимает вид
D20u2 -f и2 = —2iDxAetT* ~|- 2iDlAe~iT° -
- а2 (A2e2ir« + 2ЛЛ + I%-2'r«) • (7-63)
Для того чтобы избавиться от секулярных слагаемых в и2>
положим
DXA = 0, или Л =: Л (Т2). (7.64)
Ограничиваясь, как и в предыдущем параграфе, нахождением
лишь частного решения уравнения (7.63), можно получить его
с помощью принципа суперпозиции. В результате имеем
и2 .= -L а2Л-е2/г<» h -J- a£A4-2iT* - 2ааЛЛ. (7.65)
Подстановка (7.62), (7.64) и (7.65) в уравнение (7.61) дает
Do"3 + u3 = _ 2iA'eiTo + 2M'e~lT° - 2a2 (Ле1То + 4e~'7'i) x
X (-j- аьАфт* + -д-ааЛ%-2'г«— 2а2ЛЛ) - а3 (Л^^« -f- Ле-'г')3,
(7.66)
где штрихом обозначается дифференцирование по переменной Т2.
При выводе (7.66) мы использовали уравнение (7.64), из которого
следует, чтой1и1 =D2u2 = 0. Воспользовавшись биномиальной
формулой, перепишем уравнение (7.66) в виде
Т%щ Д- и3 = [-2/Л' -|- -HL а^Л2Л - За3Л2л] etTo -
- (--«г + а3) АУСТо + (к. с). (7.67)
При этом условие отсутствия секулярных членов приводит к
соотношению
— 2/Л' -}- (-j- а22 - За3) Л2Л = 0. (7.68)

184
Гл. 7. Системы с нелинейностями
Представляя теперь комплексную амплитуду А в форме
Л = ^-ае* (7.69)
где аир — вещественные постоянные, приведем (7.68) к виду
-mVp + <фУр + (4- «I - -§-«з) аУ* = О,
или: ~Ш+«#'+(~пг ^ - 4-аз) °3=°- (770)
Отделяя вещественную и мнимую части в равенстве (7.70), имеем
а' - 0, (7.71)
а& = (±а3--^-а1)а>. (7.72)
При этом из (7.71) следует, что а = а0 = const, а из (7.72) (при
а Ф 0), что
Р= (т аз - -w°&) а*Т* + Poj (773)
где ро — произвольная постоянная.
Подставляя (7.69) в формулы (7.62) и (7.65) и вспоминая, что
Т0 = /, получаем
иг = a cos (/ + р), (7.74)
Uj = -g- а2а2cos (2/ + 2р) - -J-а2а2. (7.75)
Разложение (7.58) в этом случае принимает вид
и ••= m cos (/ + р) + -i- e2a2a2 [cos (2/ + 2Р) - 3] Н . (7.76)
С помощью формулы (7.74) и с учетом того, что а = а0 и Т2 **
= гН, можно переписать (7.76) в виде
а = га0 cos (art + Ро) + 4" ^4*2 [cos (2со/ + 2р0) - 3] ~\ ,
(7.77)
где (0=1+ (-§- а3 ^Т а*) ^ (7'78)
что полностью согласуется с разложениями (7.41) и (7.42),
полученными с помощью метода перенормировки и методики Линд-
штедта—Пуанкаре. Применим теперь к (7.9) первое приближение
метода усреднения.

7.5. Метод усреднения
185
7.5. Метод усреднения
Как и ранее, для преобразования исходной функции и
воспользуемся методом вариации произвольных постоянных, положив
и = eacos (t + Р), (7.79)
й = —га sin (t + Р), (7.80)
где * — малый безразмерный параметр, являющийся мерой
амплитуды колебаний. При этом для нелинейной задачи величины
аир считаются переменными. Дифференцирование формулы
(7.79) по аргументу t дает
й = —га sin (t -f Р) + га cos (/ + Р) — га$ sin (/ + р). (7.81)
Сравнивая (7.80) и (7.81), заключаем, что
a cos (< + Р) — аР sin (t + Р) = 0. (7.82)
Аналогично, дифференцируя выражение (7.80) по /, имеем
и = — га cos (f + Р) — га sin (f + р) — еа{$ cos (t + Р). (7.83)
Подстановка (7.79) и (7.83) в исходное уравнение (7.9) дает
a sin (/ + р) + ар cos (t + Р) = 0L2ea2 cos2 (t + р) +
+ а3в2а8 cos3 (* -f Р). (7.84)
Разрешая уравнения (7.82) и (7.84) относительно аир, находим
а = а2га2 sin (t + Р) cos2 (t + Р) + а3е2а3 sin (/ -f р) X
х cos3 (t + Р), (7.85)
р = а2еа cos8 (/ + Р) + а3е2а2 cos4 (t + р). (7.86)
Кроме того, при выводе (7.86) предполагается, что а отлично от
нуля.
Поскольку а мало, то производные аир представляют собой
медленно меняющиеся функции t. При этом в качестве первого
приближения можно попытаться усреднить (7.85) и (7.86) по
переменной /. Преобразуя с этой целью уравнения (7.85) и (7.86) с
помощью известных тригонометрических формул, получаем
а =. -J- ааеа2 [sin (/ + р) + sin (3/ + ЗР)] +
+ -J- а3е2а3 [2 sin (2t f 2Р) -f sin (4/ f 4p)],(7.87)
p = i- а3еа [3cos (t + p) + cos (3f + 3p)] +
+ -J- а3*2а2 [cos (4/ + 4P) + 4 cos (2t + 2P) + 3]. (7.88)

186
Гл. 7. Системы с нелинейностями
Сохраняя в правых частях уравнений (7.87) и (7.88) только
медленно меняющиеся слагаемые, находим окончательно
а = О, (7.89)
р=-|-азе2а2. (7.90)
В то время как соотношения (7.89) и (7.71) полностью согласуются
между собой, уравнение (7.90) не совпадает с уравнением (7.72),
полученным с помощью метода многих масштабов, поскольку в нем
отсутствует член -^ «г8^2- Подробно прослеживая ход решения
в предыдущем параграфе, можно обнаружить, что этот член
является результатом взаимодействия приближений первого и
второго порядков, которое не принималось во внимание при выводе
(7.89) и (7.90). Чтобы учесть указанный эффект, нам нужно ввести
в рассмотрение высшие приближения для а и Р в (7.87) и (7.88).
Это достигается с помощью обобщенного метода усреднения,
описываемого ниже, или его варианта — метода
Крылова—Боголюбова—Митропольского, рассматриваемого в § 7.7.
7.6. Обобщенный метод усреднения
Для того чтобы продемонстрировать применение этого метода,
введем новую переменную
Ф = t + Р, (7.91)
переписав соотношения (7.87) и (7.88) в виде
а = -£- а2еа2 (sin ф ~|- sin Зср) + -§- а3е2а3 (2 sin 2ф + sln 4ф),
(7.92)
ф = 1 -\~ _ а2га (3 cos ф -f cos Зф) + -g- г2а3а2 (cos 4ф +
+ 4со$2ф + 3). (7.93)
Приближенное решение (7.92) и (7.93) будем искать в следующей
форме:
а = а0 (t) + eaJ (оо, ф0) + г2а2 (a0l ф0) Н , (7.94)
Ф = Фо (0 + ефх (а0, ф0) + е2ф2 (я0, ф0) Ч , (7.95)
а0 = гАк (flo) + еМа (flo) + • • •. (7.96)
ф0 = 1 + eOj (flo) + ^2Ф2 Ы + ' ' ' • (7.97)
Функции аъ а2у ... и фь ф2, ... представляют собой быстро
меняющиеся функции ф0, в то время как а0 и, следовательно, Ап и
Фп — медленно меняющиеся функции t.

7.6. Обобщенный метод усреднения
187
Используя правило дифференцирования сложной функции,
представим первые производные выражений (7.94) и (7.95) в виде
, дал . . да* . . 9 да» . . 0 да* . .
a"a'+'-^-a'+"-drf'+tt-ita'+t'st *+
♦-♦.+.-£-*.+-a-*.+--s5-*.H '-а-*+
(7.98)
(7.99)
Подставляя разложения (7.96) и (7.97) в (7.98) и (7.99) и сохраняя
члены вплоть до второго порядка, получаем
*-•(*+-&).+•'(''•+-&-+*-&+•>-&■) + ••••
(7.100)
♦-'+•(«.+-Й-)+*(«».+-а-+*■&-+
Далее, необходимо подставить разложения (7.94) и (7.95) в (7.92)
и (7.93) и разложить правую часть при малых е, сохраняя члены
до второго порядка включительно. При этом для правой части
соотношения (7.92) имеем
га2 (sin ср + sin Зср) ==
■= в (а0 + Шу)2 |sln (ф0 + вфх) + sin (Зф0 + Зефх)! -| =
— 6 (а] 4- 2гаф\) [sin ф0 -|- еф1 cos фо -J- sin Зф0 + Зеф1 cos Зср0] -|-... =з
= га1 (sin фо + sln Зфо) + 2г\ах (sin ср0 + sin Зф0) -f-
+ ь2«сф1 (cos фо + 3 cos Зфо) 4- • • •, (7.102)
е2а3 (2 sin 2ф + sin 4ф) = г2а\ (2sln 2ф0 + sin 4ф0) 4 ,
(7.103)
а для правой части (7.93) —
га (3cos ф + cos Зф) = г (а0 + га*) [3 cos (ф0 + ефх) +
+ cos (Зфо + Зеф!) ] Н ==
= е (а0 4~ гаг) [3 cos ф0 — Зефх X
X sin фо + cos Зф0 — Зефх sin Зф01 4
+ ... = (7.104)
= га0 (3 cos ф0 + cos Зф0) + г2аг X
X (3 cos фо + cos Зфо) — Зе2а0ф! (sin ср0 + sin Зф0) 4

188
Гл. 7. Системы с нелинейностями
и
sV(cos 4ф + 4 cos 2ф + 3) = г2а\ (cos 4cp0 + 4 cos 2ф0 + 3) Н .
(7.105)
Подставляя выражения (7.100)—(7.105) в (7.92) и (7.93) и
приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях е, находим
Ai + ^^-^wUsteVo + sinSyo), (7.106)
Л' + ^ + Л^ + Ф^- 4-WMslnФо + з1пЗФо) +
+ — а2аоф1 (cos фо + 3 cos Зср0) + -%- а3а\ (2 sin 2ф0 + sin 4ф„),
(7.107)
Фх + 4JJ- = 4" а»ао (3 cos Фо + cos Зф0), (7.108)
Фг + -^- + А^- + Фх-^ = 4-аа«1(Зсо5ф0 + со3Зф0)-
-£- а2а0ф1 (sin ф0 + sin Зф0) + -§" азао (cos 4ф0 + 4 cos 2ф0 + 3).
(7.109)
Для того чтобы выделить быстро и медленно меняющиеся члены
в формулах (7.106)—(7.109), используем метод разделения
переменных. При этом для медленно меняющихся членов в (7.106) и
(7.108) имеем
Аг =ФХ « 0. (7.110)
Аналогично, для быстро меняющихся членов получаем
-^- = 4" ^ (sin ф0 + sln Зф0^ (7An>>
-|^ = 4-а^о(Зсо8Фв + со8 3ф0). (7.112)
Частные решения уравнений (7.111) и (7.112) имеют вид
аг = j- (Доо (cos фо + -у cos Зфо^ (7.113)
и Ф1 = -J- а2а0 (з sin ф0 + -у sin 3 фб) . (7.114)

7.6. Обобщенный метод усреднения
189
Подставляя теперь выражения (7.110), (7.113) и (7.114) в
уравнения (7.107) и (7.109), находим
Л2 + -J^- = g- а^о (cos ф0 + — cos 3Фо) (sin ф0 + sin Зфв) -f
+ 1б" а*а° (3 sin фо + ~Т sin Зф0) (sin фо + sln Зф°) +
+ 4-азао(2 81п2фо + 51п4ф0), (7.115)
Ф2 + -|~- = ^- «2°0 (COS фо + — COS Зф0) (3 COS фо + cos Зф0) —
Гб" а*а° (3 sin фо "^ "Г sln Зф0) (sin фо "I" sln Зф°)+
+ -g-азао (cos 4ф0 + 4 cos 2ф0 + 3). (7.116)
С помшцью известных тригонометрических формул (см.
приложение А) перепишем соотношения (7.115) и (7.116) в виде
+ (2а3 + -j- of) sin ф0 + -J- cef sln6ф0] , (7.117)
Ф2 + ^ = (4аз-4-а^о + (^аз-^а22)а?со82Фо +
+ (-g- а3 + — «£) ао cos 4ф0 + -gp а2ао cos 6ф0. (7.118)
Поскольку мы разыскиваем только разложение второго порядка,
нет необходимости решать уравнения (7.117) и (7.118) относительно
о>г и Фа- Для этого требуется только выделить в (7.117) и (7.118)
медленно меняющиеся слагаемые и тем самым определить А% и Фа,
которые в этом случае имеют вид
/1,-0, (7.119)
®2=(4-**--Wa*)a*' (7Л20>
Подстановка выражений (7.113) и (7.114) в (7.94) н (7.95) дает
а = «о —^аъш\ (cos Фо + -3" cos 3Фо) + • • •. (7.121)
Ф = Фо + — &#Щ (3 sln Фо + -3- sin3Ф#) Н *• (7*122)

190
Гл. 7. Системы с нелинейностями
Подставляя теперь выражения (7.110), (7.119) и (7.120) в (7.96)
и (7.97), получаем
d0 - 0, (7.123)
Фо= 1 + (-§-«з - -^2 *f) *2"1 (7.124)
Решение (7.123) имеет вид а0 = const; при этом из уравнения
(7.124) следует
V*= ' + (4 аз ~ ~ТГ а0 8^ + Р°> (7-125>
где р0 — постоянная интегрирования. Наконец, подстановка
разложений (7.121) и (7.122) в (7.79) дает
и = е \а0 j- а2га1 (cos фо + — cos Зф0) + • • • 1 х
X cos Гф0 + ^a2ea0(3s[r\(()o + у sin 3Фо) + " ■] • (7.126)
Для того чтобы сравнить построенное решение с
приближенными решениями, полученными по методу многих масштабов и с
помощью методики Линдштедта—Пуанкаре, нужно разложить
cos [ф0 + О (г) ] в (7.126) при малых е с точностью до членов
порядка е, в результате чего получим
и = г \а0 j-а2еяо (cosф0 + уcosЗф0) |cosф0 —
4~а2еа0 sin ^° ( ^ Sin ^° ~^~ Т"sin ^(р°) I "^ ''' =
= еа0 cos фо j- а2е2^ [cos2 Фо + у cos Ф°cos ^Фо +
+ 3 Sin2 Фо + -о- sin фо sin Зф0 ! + ••• =
<з J
= га0 cos фо j- а2е20о [ — + у cos 2ф0 + у cos 2ф0 +
+4---rcos2(po] + --^
а = га0 cos фо + ~f e2a2«2 (cos 2ф0 — 3) + • • •. (7.127)
или
Разложение, даваемое формулами (7.125) и (7.127), в точности
совпадает с разложениями (7.77) и (7.78), полученными по методу
многих масштабов. Оценка же объема вычислений, проделанных
здесь, и вычислений, проведенных в § 7.2 и 7.4, позволяет
сделать вывод, что метод перенормировки и метод многих масштабов
имеют в этом отношении преимущество перед обобщенным
методом усреднения.

7.7. Метод Крылова— Боголюбова— Митропольского 191
7.7. Метод Крылова—Боголюбова—Митропольского
В этом параграфе мы опишем еще один вариант обобщенного
метода усреднения, называемый обычно асимптотическим
методом Крылова—Боголюбова—Митропольского.
Если пренебречь нелинейными членами, то решение уравнения
(7.9) можно записать в виде
и = eacos(* + Р), (7.128)
где аир — некоторые постоянные, a е — малый безразмерный
параметр, определяющий амплитуду колебаний. При учете же
нелинейных членов мы рассматриваем (7.128) лишь как первый
член в приближенном решении (7.9), причем а и Р считаются
теперь не постоянными, а медленно меняющимися функциями
времени. Кроме того, введем так называемую быструю переменную
ф = t + Р- В результате будем искать приближенное решение
уравнения (7.9) в виде
и = га cos <р + е2иа (а, ф) + t?u3 (я, ф) + • • • . (7.129)
Поскольку аир представляют собой медленно меняющиеся
функции /, представим их рядами по степеням е с коэффициентами,
зависящими от «медленной» переменной а. Таким образом, мы можем
записать
а = eAl (а) + вМ2 (а) + • • •, (7.130)
ф = 1 + гФ, (а) + е2Ф2 (а) + • • • . (7.131)
Иначе говоря, этот метод можно рассматривать как
многомасштабную процедуру с выбранными масштабами времени а и ф.
С помощью правила дифференцирования сложной функции
выразим производные по t через новые независимые переменные
а и ф:
d _ . _д__
dt ~~а да
d* .2 а* . .. д . п. .
4F-a-bW + a-da-+2a^
При этом дифференцирование (7.130) по / дает
а = еЛ[й + еМ2ЙН , (7.134)
где штрихами обозначено дифференцирование по а. Подставляя
теперь (7.130) в соотношение (7.134), имеем
а == гА\ (гАх + еМ2 Н ) + **Ai{eAi+ ■-•)+ •••,
или
a = el4i4i + 0(e3). (7.135)
Аналогично, дифференцирование (7.131) по t дает
ф = еф[а 4 гЩа -] . (7.136)
+ Ф-а^>
а2 , . а2
да дц> "г ' аФ2
!*-£•
(7.132)
(7.133)

192
Гл. 7. Системы с нелинейностями
Подставляя (7.130) в (7.136), имеем
Ф = еФ[(еЛ1 + еМ2+ ...) + е2Ф2(еЛ,Н )~\ ,
или
Ф = еМ1Ф[ + 0(е3). (7.137)
Наконец, подставляя (7.130), (7.131), (7.135) и (7.137) в формулы
(7.132) и (7.133), находим
^ = (еЛ1 + еМ2+...)-^ + (1+еф1 + е2ф*+---)^.
-|г = М, + еМ2 + ...)«-£- + (еЧ.Л! 4 )-§s- +
+ 2(гА1 + еМ2 + • • -)0 + <*>i + е2Ф2 + • • -)д^ +
+ (1 + еФ1 + е'Ф2+...)г1^ + еМ;Ф;+...)4->
откуда
(7.138)
+ .■ [(Ф? + 2Ф2) -$- + 2 (Л2 + Л.ФО ^ +
При этом уравнение (7.9) принимает вид
-W + » [*^+А>Ш +е2[(Ф?+2Ф2)-^- + 2(Л2 +
+ а^)£щ+ А\ -£■ + МА\ *- + л1Ф; -*]+« + а2«2 +
+ а5"3Н =0. (7.140)
Подставляя разложение (7.129) в уравнение (7.140) и
приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
4^- + и» - 2Фха cos ф - 2Аг sin ф + а2а2 соб2ф = 0, (7.141)
-^- + «з + 2Ф1^- + 2Л1^-(Ф? + 2Ф>со5ф-
— 2 (Л2 + А{ФХ) sin ф + А\А\ cos ф — А\Ф[а sin ф -f
+ 2а2и2а cos ф + а^3 cos3 ф = 0. (7.142)

7.7. Метод Крылова—Боголюбова—Митропольского 193
Далее, с помощью тригонометрического тождества (А13)
перепишем (7.141) в виде
"l -f- и2 = 2<Di<2 cos ф + 2Лх sin <р —^" а&2 §" а2(г2 cos ^
(7.143)
Для того чтобы исключить секулярные члены из решения u2i
потребуем, чтобы
фх = 0 и Аг = 0. (7.144)
Тогда, как и ранее, решение (7.143) может быть представлено
в виде
и2 = ^- а^2 + -§- «2«2 cos 2ф. (7.145)
Подстановка (7.144) и (7.145) в уравнение (7.142) дает
""Тй^т* + аз = ЗФцЯ cos ф + 2Л2 sin ф — 2а2а cos ф х
X [— -J- а2д2 + if ^ cos 2ф ] ~~ а&*cos8 *• (7*146)
С помощью соответствующих тригонометрических формул (см.
приложение А) перепишем теперь (7.146) в виде
-^ + "з=(2Ф2~-|"0ца2 + -|-а^2)асо8ф + 2Л2§1пф~
~ ("газ+4" **)д3 cos Зср • <7-J 47>
Условие отсутствия секулярных членов в решении и3 дает
А2 = 0, Ф2 = (-§- а3 - -JL а£) а2. (7.148)
Наконец, подстановка (7.144) и (7.148) в разложения (7.130) и
(7.131) приводит к уравнениям
а=0, (7.149)
ф = 1 + (4 аз " ТГ °*) еV + •'' ■ (7• * 50>
которые полностью совпадают с уравнениями (7.123) и (7.124),
полученными с помощью обобщенного метода усреднения, а
следовательно, и с решением, построенным по методу многих
масштабов.

194
Гл. 7. Системы с нелинейностями
Упражнения
7.1. Рассмотреть уравнение
х — 2х — х2 + х* = 0.
Показать, что положения равновесия системы, описываемой зтим уравнением,
определяются координатами х = 0, —1, 2. Положить х = 2 + и и найти
уравнение для функции ы. Затем построить равномерно пригодное разложение
второго порядка^при малых, но конечных амплитудах с помощью:
а) метода Линдштедта—Пуанкаре,
б) метода многих масштабов,
в) обобщенного метода усреднения.
7.2. Рассмотреть уравнение}
и — и + и4 = 0.
Показать, что точка и = 1 является положением равновесия системы. Построить
равномерно пригодное разложение второго порядка, описывающее малые
колебания около точки и — 1. Указание: положить и— 1 + х, получить
уравнение относительно х и затем использовать либо метод Линдштедта—Пуанкаре,
либо метод многих масштабов, либо обобщенный метод усреднения.
7.3. Рассмотреть уравнение
и — и + и* — 0.
Показать, что точка и = 1 является положением равновесия данной системы.
Найтн разложение второго порядка для малых, но конечных колебаний вблизи
точки и = 1.
7.4. Рассмотреть уравнение
* + *-7б(Г=^ = 0-
Показать, что положения равновесия описываемой системы определяются
координатами х — 1/4 и х = 3/4. Изучить характер движения около этих
положений равновесия. Построить разложения второго порядка для решения
в окрестности устойчивого положения равновесия (т. е. соответствующего
колебательным движениям).
7.5. Построить равномерно пригодное разложение второго порядка для
уравнения
и + и + eV + ей2 = 0 (е < 1).
7.6. Найти равномерно пригодное разложение второго порядка для уравнения
й + и + ей2 + ей2 = 0 (е < 1).

Глава 8
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СО СЛАБОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ОБЩЕГО ВИДА
В этой главе мы рассмотрим системы с одной степенью
свободы, движущиеся под действием произвольных нелинейных сил.
Иначе говоря, будем исследовать уравнение
и + и = е/ (и, и), (8.1)
где е — малый безразмерный параметр, точкой обозначено
дифференцирование по безразмерному времени t и и — безразмерная
зависимая переменная. В этой главе, не ограничиваясь случаем,
когда / (и, и) является аналитической функцией своих
аргументов, мы будем предполагать, что она представляет собой
произвольную кусочно-непрерывную функцию. При этом уравнения,
рассмотренные в четырех предшествующих главах, оказываются
частными случаями уравнения (8.1).
Как и ранее, начнем с построения прямого разложения
первого порядка и обсудим вопрос о его неравномерности. В § 8.2
полученное прямое разложение преобразуется в равномерное
с помощью метода перенормировки. В § 8.3 и 8.4 мы используем
соответственно метод многих масштабов и метод усреднения.
Наконец, .в § 8.5 полученные результаты распространяются на
случай неаналитических функций /, а также применяются для
описания некоторых систем, рассмотренных в предыдущих
главах.
8.1. Прямое разложение
Как и в предыдущих главах, будем искать разложение первого
порядка в виде
u(t\ г) = u0(t) + гигу) +••• . (8.2)
Подстановка (8.2) в* уравнение (8.1) дает
«o + eujH Мо + ^Н = е/[Ио + еиН , ii0 +
+ eU!+ ...] = е/(ц>> "0)+.... (8.3)
Приравнивая коэффициенты при е° и е1 в обеих частях
соотношения (8.1), получаем
й0 + «о = 0, [ (8.4)
ui + "i = /(Wo, й0). (8.5)

196 Гл. 8. Колебательные системы со слабой нелинейностью
Общее решение уравнения (8.4) можно записать в виде
и0 = a cos (/ + Р), (8.6)
где а и р — произвольные постоянные. При этом уравнение (8.5)
принимает вид
йг + иг = f la cos (t + Р), —a sin (t + Р) ]. (8.7)
Чтобы найти частное решение уравнения (8.7), правую часть этого
уравнения удобно представить в виде ряда Фурье. Заметим, что
правая часть (8.7) является периодической функцией с периодом
2я. Следовательно, ее ряд Фурье имеет вид
Пасо8(* + Р), — asln(*+P)] =
оо оо
= /о (а) + S U (a) cos (nt + "Р) + Ц gn (a) sin (nt + яр), (8-8)
где
2л
f°(a) = ~*r\ f(aC0S(t>> — asinq>)dq>, (8.9)
о
2я
fn(a) = —[ f (a cosy, — a sin cp) cos /гф cftp, (8.10)
о
2Я
gn(a) = — J /(асоБф, — a sin q>) sin mp dq>. (8.11)
С помощью разложения (8.8) уравнение (8.7) можно переписать
как
С» 00
«г + «1 = f0 + Б /«. cos (л/ + nP) + Е g« sin (я/ + /»Р). (8-12)
Поскольку уравнение (8.12) линейно, мы можем использовать
принцип суперпозиции и найти частное решение в виде суммы
частных решений, соответствующих отдельным слагаемым в
правой части. Из формул (Б.69), (Б.76), (Б.78) и (Б.82) (см.
приложение Б) следует, что частным решением уравнения (8.12) будет
Ui = fo-\--Thtsln(t + ¥>)-±gltcos(t + ?>) +
оо
+ X 7=1?[f" cos (nt + «Р) + 8» sin С* + ЯРМ- (8-13>
л =2

8.2. Метод перенормировки
197
Как и ранее, мы не включаем в их общее решение однородного
уравнения. Подстановка выражений (8.6) и (8.13) в (8.2) дает
u = azo$(t + р) + ек + ~fxt sin(/ + Р) - -J-ft'cos (/+ Р) +
+ 2 Г=«11/-cos(nt + ЛР) + Л sin (nt + /ip)j + . •.. (8.14)
Отметим, что прямое разложение (8.14) становится непригодным
при t ^ О (в*1) из-за наличия секулярных членов. Ниже мы
преобразуем это прямое разложение в равномерное с помощью метода
перенормировки.
8.2. Метод перенормировки
Чтобы сделать разложение (8.14) равномерно пригодным,
используем замену переменных
т = со/, со = 1 -f есох 4 • • • • (8.15)
Тогда
/ = огЧ = т (1 + 80j 4 .. -)-1 = (1 — есох) т + • • • . (8.16)
Подстановка соотношения (8.16) в (8.14) дает
u = acos(x + P~eco1T+ ---) + г \fo + — /i(* — WW + •••)><
X sin (т + р — есохТ + • • •) J" ffi(х—г(огх+ • • •)cos (т+
+ Р—ecoxTH ) +^—^[fncos(nx + n$--m1nT+ ••■) +
+ gn sin (пх + лр - шхпх -f )] -f • (8«17)
Используя разложения
cos {пх + /гр — ecOi/гт +...) =
= cos (пх 4 /гР) + ecoj/гт sin (пх + лР) -f » (8.18)
sin (ят + ЛР — есох/гт 4 • ■ ■) =^
= sin (лт 4 «Р) — есохпт cos (лт 4 п$) -f , (8.19)

198 Гл. 8. Колебательные системы со слабой нелинейностью
перепишем (8.17) в виде
и = a cos (т + Р) + б /0 -f (-i-ft -f w^) т sin (т -f p) -
00
- 4 ftT cos(x + p) + 2 y-iji |/n cos (nx + np) +
+ fir„sln(/iT + nP)] +.... (8.20)
Требование отсутствия вековых членов в (8.20) дает
<*ха+±-П(а) = 0, (8.21)
A (а) = 0. (8.22)
Из уравнения (8.22) можно найти те значения амплитуды ау при
которых существуют периодические решения. При этом из
соотношений (8.15) и (8.21) следует, что указанные периодические
решения имеют частоты
*=l--S-/i(a)+---. (8.23)
С помощью формул (8.10) и (8.11) переписываем соотношения
(8.22) и (8.23) для периодических решений в виде
2Я
J / (a cos ф, — a sin ср) sin q> dq> = 0, (8.24)
о
2я
(0=1—2S<r! f(aC0S(P' ~a sin ф)cos<рdcp-}- •••. (8.25)
о
В частности, для уравнения Дюффинга (4.7) / = —и8, и
соотношения (8.24) и (8.25) принимают вид
2я
J a3 cos3 ф sin ф Жр = 0, (8.26)
о
2я
®=1+-55-J a3cos4d9+-" = l+4ea8+,--;(8-27)
О
при этом интегралы в (8.26) и (8.27) вычисляются по формулам
(А.31) и (А.37) приложения А. Отметим, что условие (8.26)
выполняется при произвольной амплитуде а. Что же касается
соотношения (8.27), то оно полностью совпадает с (4.80).

8.3. Метод многих масштабов
199
В уравнении Рэлея (6.4) f = и ^- й3, и соотношения (8.24)
и (8.25) принимают вид
2Л
J ( — a sin ф -f- -g- a3 sin3 ф j sin ф с(ф = 0,
2Л
ю= 1 2^5" J (~—asincP + -y^sin3 ф j cos у dy + ' "•
о
Вычисляя интегралы с помощью формулы (А.32), имеем
-а+^а3 = 0, (8.28)
ю=1 + 0(е2), (8.29)
что полностью совпадает с соответствующими выражениями (6.27)
и (6.28).
8.3. Метод многих масштабов
Для построения равномерно пригодного разложения первого
порядка методом многих масштабов введем вместо переменной t
две новые переменные: Т0 = t и 7\ = tt. Тогда производные по
t примут вид
d =D0 + eA + ..., 4r = Dl \-2eD0D1 -j-...,
где£п = д/дТп. Таким образом, уравнение (8.1) перейдет в
уравнение вида
Dfc + 2eD0D{u -| \-u = zf[u, D0 а Н zDxu + • - - ]. (8.30)
Будем искать приближенное решение уравнения (8.30) в форме
и = и0(Т0, 7,1)Ч-еи1(7,0, Тг) -\ . (8.31)
Подстановка разложения (8.31) в уравнение (8.30) дает
Dfco + eD?Mi -f 2eDQD{u0 -\ f uQ + mx -} =
= ef [u0 -f е«! + •. -, D0u0 + eDxu0 -j- eDo^i +...] =
= ef(Uo, A>"o) + '•■.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих
частях этого уравнения, получаем
Dgtt0 + H0 = Of (8.32)
Dgui + "i = — 2ЦДи0 + f (w0, D0u0). (8.33)

200 Гл. 8. Колебательные системы со слабой нелинейностью
Для того чтобы иметь возможность использовать ряды Фурье
(8.8), общее решение уравнения (8.32) удобно представить в
действительной форме
и0 = a cos (Т0 + Р). (8.34)
При этом
D0u0 = -a sin (Т0 + р),
DtD0u0 = —a' sin (Г0 + Р) — a? cos (Т0 + р),
а уравнение (8.33) принимает вид
В{щ -+ щ = 2а' sin (То + Р) + 2ар' cos (Т0 + р) + / [a cos (Т0 + Р),
— asin(70 + P)]. (8.35)
Используя представление функции f в виде ряда Фурье (8.8),
перепишем уравнение (8.35) следующим образом:
Dfci + щ = 2а sin (Г0 + р) + 2ар' cos (Г0 -|- р) + /0 (а) +
00 00
+ S /я (a) cos (лГ0 + np) + S g» (a) sin (л70 + лР).
(8.36)
Для того чтобы в решении иг отсутствовали секулярные
слагаемые, необходимо выполнение условий
2а' + gx (а) - 0, (8.37)
2ар; + h (а) = 0, (8.38)
Подстановка выражений (8.10) и (8.11) в условия (8.37) и (8.38)
приводит к соотношениям
а! = gjj-J f(acoscp, — a sin (p)sincpd(p, (8.39)
о
2я
1_
IT
О
ар'= 25Г J f(acoscp, — asin(p)cos(pdcp. (8.40)
Подставляя теперь (8.34) в разложение (8.31) и полагая Т0 = t,
находим, что в первом приближении решение имеет вид
н = acos(*+ Р) + ■-., (8.41)
где а и Р даются формулами (8.39) и (8.40). В § 8.5 мы применим
полученное приближенное решение (8.41) к ряду частных
случаев, а в следующем параграфе выведем формулы (8.39)—(8.41)
с помощью метода усреднения.

8.4. Метод усреднения
201
8.4. Метод усреднения
Прежде всего в соответствии с идеей вариации произвольных
постоянных мы должны совершить переход от искомой функции и
к новым переменным — амплитуде а и фазе |5:
u(t) = a(t)cos[t + $(t)) (8.42)
так, чтобы выполнялось равенство
и (t) = —a (t) sin И + р (/) ], (8.43)
т. е. чтобы и и й имели тот же вид, что и в невозмущенном
случае, когда 8 = 0. Дифференцируя формулу (8.42) по t, получаем
й = —a sin (/ + Р) + a cos (t + Р) —
— apsin(/+ Р). (8.44)
Из сравнения выражений (8.43) и (8.44) можно заключить, что
a cos (t + Р) — аР sin (* + Р) = 0. (8.45)
Дифференцируя еще раз по t соотношение (8.43), имеем
й = —a cos (t + Р) — a sin (t + Р) —
- ар cos (* + Р). (8.46)
Подстановка (8.42), (8.43) и (8.46) в уравнение (8.1) дает
a sin (t + Р) + ар cos (t + Р) =
= —ef [а cos (f + р), —а sin (< + р)). (8.47)
Умножая соотношения (8.45) и (8.47) на cos (t + Р) и sin (t + Р)
соответственно и складывая полученные результаты, находим
а = — е sin (* + Р) / [a cos (t + Р),
—а sin (* + Р)]. (8.48
Далее, подставляя (8.48). в соотношение (8.45) и разрешая его
относительно величины ар, приходим к уравнению
ар = —е cos (/ + Р) / [а cos (t + Р),
—asin(/+ Р)]. (8.49)
Заменяя функцию f ее рядом Фурье (8.8), перепишем теперь
уравнения (8.48) и (8.49) в виде
а = -г sin (/ + р) J /0 (а) + £ fn (a) cos (nt + яр) +
L п—1
+ fft(a)sln(/i/ + «P)|» (8.50)
4 = - е cos (* + р) f /0 (а) + 2 /„ (a) cos (nt + "Р) +
+ S**(a)slii(n/H-np)
(8.51)

202 Гл. 8. Колебательные системы со слабой нелинейностью
Используя известные тригонометрические формулы, преобразуем
уравнения (8.50) и (8.51) к виду
оо
а = - е/0 (a) sin (/ + Р) - ± е £ /„ (а) \ sin [(я + 1) / + (п -|- 1) PJ-
оо
-sin [(л -l)t + {n- 1)р]} - 4"е 2 ff"(a) {c0Sl{rt ~ l)t +
+ (п - 1) PJ - cos [(/г + 1) / + (п + 1) р]}, (8.52)
оо
<Ф = -е/о (a) cos (f + р) - 4- е £ /„ (a) {cos [(л + 1) / + (п + 1) р]+
/1=1
ОО
+cos[(n — 1)^ + (л— 1)РН —5"е2 ёп{й) <sln[(n+1)/+
rt=l
+ (л+1)р] + 81п[(л-1)/ + (л-1)Р]}. (8.53)
Как и в предыдущих случаях, в первом приближении мы
сохраняем только медленно меняющиеся слагаемые в правых частях
(8.52) и (8.53). Эти слагаемые представляют собой члены, явно
не зависящие от t Таким образом,
<* = -4-Vi(*). (8.54)
a(3 = --L£Ma)> (8.55)
что полностью соответствует формулам (8.39) и (8.40),
полученным с помощью метода многих масштабов.
8.5. Приложения
В качестве первого приложения рассмотрим уравнение Дюф-
финга (4.7). В этом случае / = —и3, и формулы (8.39) и (8.40)
принимают вид
2Я
а' = —г— ( a3 cos3 ф sin ер dcp = 0, (8.56)
о
2л
flP' = -^r.j я3со84фЖр = -|~а3; (8.57)
о
точно такой же результат был получен нами в гл. 4.
Интегрирование уравнений (8.56) и (8.57), как и других аналогичных соот-

6.5. Приложений 203
ношений, рассматриваемых в этом параграфе, осуществляется
с помощью соответствующих формул, представленных в § А.З
приложения А.
В качестве второго примера рассмотрим линейный осциллятор
с затуханием, описываемый уравнением (5.2). В этом случае
/ = —2й, и фюрмулы (8.39) и (8.40) принимают вид
2Л
-gjj-J 2а sin2 ф dtp = —а, (8.58)
о
а =
2Я
аР' = 2^" 1 2а sin ф cos ф йф = 0, (8.59)
о
что полностью согласуется с соответствующим приближением
первого порядка, полученным в гл. 5.
Рассмотрим теперь уравнение Рэлея (6.4). В этом случае
/ = и j- й3, и уравнения (8.39) и (8.40) принимают вид
2Я
1
а =
2я
о
j ( — a sin ф + -у a3 sin3 ф ) sin ф dtp = -g- а g- а3,
(8.60)
2Л
аР' = 2^~ ] ( —- я sin ф + -д- а3 sin3 ф J cos ф с?ф = 0,
о
(8.61)
т. е. мы сразу приходим к результату, полученному в гл. 6.
В качестве четвертого приложения рассмотрим уравнение
(7.9). Это уравнение не содержит малого параметра явно. Вводя
его с помощью соотношения и = еу, получаем
б + v + ea2v* + e2azv* = 0. (8.62)
Таким образом, / = —а2у2> и система уравнений (8.39), (8.40)
приобретает вид
2я
а' = -^- |а2я2 cos2 ф sin ф dtp = 0, (8.63)
о
2Я
ар' = ~^-\ а2я2со83фс{ф = 0. (8.64)
о
Аналогичный результат мы имели в гл. 7. Отметим, что влияние
нелинейности на амплитуду и фазу в данном случае сказывается
лишь во втором приближении.

204 Гл. 8. Колебательные системы со Слабой нелинейностью
В следующих двух примерах обратимся к рассмотрению
неаналитических функций /. В первом случае исследуем уравнение
й + и = — ей \й |. (8.65)
При этом / = — и | й |, и система уравнений (8.39), (8.40)
записывается в форме
2я
-^-J a2 sin2 ф | sin ф | dcp, (8.66)
4П
0
2я
1
яр' = ^- j a2 sin ф cos ф | sin ф | dxp. (8.67)
о
Для того чтобы выполнить интегрирование в (8.66) и (8.67),
заметим, что sin ф ^ 0 при 0<q><nHsin<p<0 при п < ф <:
<: 2я. Следовательно, в первом промежутке | sin ф | = sin ф,
а во втором | sin ф | = —sin ф. Поэтому промежуток
интегрирования в интегралах (8.66) и (8.67) мы разобьем на два, заменяя
| sin ф | соответственно на sin ф и —sin ф. Тогда уравнение (8.66)
перепишется в виде
Я 2Я
о2 f а2 Г
а' = _ I sin3 ф dy -\- "2^- I sin3 ф dtp =
о я
Я 2Я
= j^- j (3 sin ф - sin Зф) dy -f -|^- J (3 sin ф — sin Зф) dy =
о я
= "И" (3cos? -4-созЗф) |"--g- (3cos? --i-созЗф) £,
или a' = ij-a2. (8.68)
Аналогичным образом, уравнение (8.67) представим как
Я 2Я
а$' = 1— j sin2 ф cos ф dq> + -^- J sin2 ф cos ф йф =
= ___5тзф|о+__81пЗср|я,
или ар' = 0. (8.69)

$.5. Приложения
ы
f Из уравнения (8.69) имеем р = р0, где р0 — произвольная
постоянная. Уравнение (8.68) интегрируется с помощью
разделения переменных:
-ir=4rdT>' (8-7°)
откуда 4-+с = -5Г7'1 = -5Гв/' <8-71>
где с — постоянная интегрирования. В случае если а (0) = а0,
имеем с = —1/яи, и соотношение (8.71) принимает вид
откуда
а
а
=
1
<*0
1 +
■+■
«о
4
Зя
"ST8''
е/Оо
(8.72)
В заключение рассмотрим уравнение
й + и = — ги\и\. (8.73)
В этом случае f = —и \ и |, и уравнения (8.39) и (8.40) принимают
вид
2я
я' = -^- [ а2со8ф|со8ф|8Шф^ф, (8.74)
о
2л
аР' =-^-j a2cos2(p|cosq)|d(p. (8.75)
Заметим, что cos ф ^ 0 при —а~ я < Ф < "о" я и cos Ф ^ ^
1 3
при -g-я < ф < -y^- Так как подынтегральные функции в
(8.74) и (8.75) периодичны с периодом 2я, то значения
интегралов не меняются при сдвиге промежутка интегрирования. Поэтому
мы можем заменить промежуток интегрирования [0, 2я] на
промежуток ^- я, — я | и разбить этот новый промежуток на два,
заменяя | cos ф | в первом случае на cos ф, а во втором на —cos ф.
Таким образом, уравнение (8.74) можно переписать в виде
Я/2 ЗЯ/2
а2 с о2 С
а' = -Tjjj- J cos2 ф sin ф dy ^— I cos2 ф sin ф dy =
~я/2 л/2
а2 « I л/2 , а2 о 13л/2
= --^гС08°Ф
+4W
бл Y |—л/2 бл Y | л/2 '
или а' = 0. (8.76)

206 Гл. 8. Колебательные системы со слабой нелине&ностьХ)
Действуя аналогичным образом, уравнение (8.75) можно
представить в виде
а|3' = -^- I cos3 ф dtp ^ I cos3 Ф dcp =
—Я/2 я/2
Я/2 Зя/2
= "|^Г [ (3 cos Ф + cos Зф) dtp 1^- J (3 cos ф + cos Зф) dcp=
—я/2 я/2
= -|?Г ( 3Sln СР + "Г Sin 3Ф) |Л/2— "§^ (3Sln ^ + ^ Sln 3(Р) Гл/Г'
или аР, = -^Га2- (87?)
Решением уравнения (8.76) будет а = а0 —const. При этом если
а0 =^ 0, то из уравнения (8.77) имеем
Р в 4г «о^ + Ро = "4- efao + Ро, (8.78)
где ро — произвольная постоянная. Тогда из формулы (8.41)
следует, что в первом приближении
u = a0cos [(l + -gj-efle) t + Ро] + • • •■ (8.79)
Приведенные примеры показывают, что метод многих
масштабов и метод усреднения могут эффективно использоваться для
построения равномерно пригодных разложений первого порядка
в случае слабо нелинейных колебательных систем.
Упражнения
8.1. Построить равномерно пригодные разложения первого порядка для
решений следующих уравнений:
а) и + и + ги | и | = О,
б) и + и + е (sin й + 2fitw) = О,
в) и + и + е (sin й+ [i2u\u\) = О,
г) и + и + е (2^w + fi2w | и |) = О,
Д) и + и + е ф^и + sin й + \12й | и |) = 0.
8.2. Рассмотреть свободные колебания системы, описываемой уравнением
й + F (и) = 0,

Упражнения
207
**U
Fin)
-<ъ
-*»ц
+~и
Рис. 8.1. Упражнение 8.2.
где функция F (и) задана графически на рис. 8.1 для трех различных случаев
Показать, что в первом приближении
<4hm^('4)"].
„ <-»-Ц-(А)^("4П.

Глава 9
УРАВНЕНИЕ ДЮФФИНГА
СЛУЧАЙ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
В отличие от пяти предыдущих глав, где мы имели дело только
со свободными колебаниями, эту и последующую главы посвятим
анализу вынужденных колебаний. Для того чтобы сравнить
указанные два случая колебаний, обратимся к системе, которая уже
исследована в одной из предыдущих глав, а именно к системе,
описываемой уравнением Дюффинга (4.5), и попытаемся найти
реакцию такой системы на синусоидальное внешнее воздействие.
Иначе говоря, объектом нашего исследования будет уравнение
-Ё5£ + кги* + A3W*3 = F* cos со*/*, (9.1)
где F* и со* — постоянные величины. Как и в гл. 4, введем
безразмерные переменные, используя для этого характерные
масштабы времени 7* и длины (У*, т. е.
/ — Л. __ и*
Тогда уравнение (9.1) примет вид
-gr + hj^u + k3T*2U*V = -£j£- cos со*Г**. (9.2)
Выберем величину Г* таким образом, чтобы выполнялось
соотношение kxT*% = 1, или
_ 1
где соо — собственная частота соответствующей линейной задачи.
Далее, положим
е = *3Г*2сУ*2, F = ^-, со = со*Т* = -JL.
При этом уравнение (9.2) перепишется в виде
й + и + ги3 = F cos со/. (9.3)
Отметим, что величина со представляет собой отношение
частоты внешнего воздействия к собственной частоте
соответствующей линейной системы. Ниже вместо уравнения (9.3) мы будем
рассматривать более общее уравнение
U + и + 2ерй + ей3 = F cos со/, (9.4)

9J. Прямое разложение
209
где |ы — некоторая положительная постоянная. При этом
уравнение (9.4) учитывает дополнительно затухание колебаний под
действием малой вязкости.
В данной главе будем искать приближенное решение
уравнения (9.4) с точностью до членов первого порядка малости по е.
Прежде всего построим прямое разложение и, исследовав его,
найдем условия, при которых это разложение становится
неприменимым. Эти условия определят нам так называемые
резонансные значения частоты со. В § 9.2 и 9.3, используя соответственно
метод многих масштабов и метод усреднения, построим
разложения первого порядка для всех резонансных случаев с учетом
слабого вязкого затухания.
9.1. Прямое разложение
Будем искать прямое разложение решения (9.4) в виде
и (/, е) = и0 (0 + гиг (0 + • • • . (9.5)
Подстановка разложения (9.5) в уравнение (9.4) дает
й0 + ейх Н 1- Uq + £Wi Н f 2г\х (й0 + гйг ~\ ) +
+ £ («о + eui + • • • )3 = F cos со/,
или
uo + uo — F cos со/ +e(ui ~j~U\ -f 2|Ш0-f ujj) + • • -
Приравнивая нулю коэффициенты при е° и е, имеем
Щ + и0 = F cos со/,
Щ ~\~щ = — 2|ш0 — и\.
. =0. (9.6)
(9.7)
(9.8)
Уравнение (9.7) представляет собой линейное неоднородное
уравнение, так что его общее решение можно искать в виде суммы
решения соответствующего однородного уравнения и некоторого
частного решения, определяемого видом правой части. Решение
соответствующего (9.7) однородного уравнения может быть
записано как
"о.одн = «cos (/ + Р), (9.9)
где а и р — постоянные, а частное решение,
(Б.69) приложения Б, имеет вид
Поэтому
где
Р
"°ч 1 _ 0)2 LUb Ш '
и0 = a cos (t + Р) + 2Л cos со/,
Л = -у(1-со2)-1Л
согласно
формуле
(9.10)
(9.11)
(9.12)

210 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
Подстановка (9.11) в уравнение (9.8) дает
fii + Hi = 2|ы [a sin (/ + р) +
+ 2Лсо sin со/] — la cos (/ + Р) +
+ 2Л cos со/]3 = 2\ia sin (/ + Р) +
+ 4[аЛсо sin со/ — a3 cos3(/ + Р) —
— 6а2Л cos2 (/ + Р) cos со/ —
- 12аЛ2 cos (/ + р) cos2 со/ — 8Л3 cos3 со/. (9.13)
Далее, используя известные тригонометрические формулы (см.
приложение А), перепишем (9.13) в виде
й1~\~и1 = 2\ia sin (/ + Р) + 4^Л<» sin со/ - -^- cos (3/ + 3Р) —
- (-L а» + 6яЛ2) cos (/ + Р) - 2Л3 cos 3 со/ - (6Л3 + За2Л) cos со/ -
- -|-a2Acos[(2 + co)/ + 2p] - -J" я2Л cos [(2 - со) / + 2PJ -
- 3aA2cos[(l +2со)/ +р] - 3aA2cos[(l - 2со)/ +pj. (9.14)
Как и ранее, решение однородного уравнения мы включаем только
в члены первого порядка. Поскольку уравнение (9.14) линейно,
его частное решение может быть представлено в виде суммы
частных решений, соответствующих отдельным слагаемым в правой
части. Из формул § Б.4 следует, что
иг = — \iat cos (/ + Р) + |Иц2 sinco' + ~з2" а*cos № + 3Р) ~"
~~ (4"а3 + 3аД2) l Sin С + Р) "" 1 ^90)2C0S 3(0' ~
-^^"SC^
! х cos [(1 + 2со) / + И + 4(^'т) cos [(1 - 2со) / + Д. (9.15)
Подставляя выражения (9.11) и (9.15) в (9.5) и используя
соотношение (9.12), получаем
и = a cos (/ + Р) + 1_(0а CoS <*>* + Ц —pat cos (/ + Р) +
+ -(Syr sin со/ + ± a3 cos (3/ + 3p) -
-±а[±а>+ (lf(d2)2]/sln(/ + P)-
4(1 —co2)3(l—9o)2)
/73
cos 3co/ —

§.й. Метод многих масштабов
211
3F Г F2 ~\
~ 2 (1-ц*)* [* + 2(1-0)*)* J COS(0/ +
+ 4(1- со*нГ+ 4С0 + со*) C0S К2 + <о) t + 2PI +
+ 4(1-со*) (У-со) (1-со)COS «2 - «О< + 2PI +
+ l6(l-ff!- + «) C0SГО +*>)' + W +
+ 16(l-co')*f(co*-to)cosKl-2co)^4-P)}+---- (9-16)
Заметим, что наряду с секулярными членами разложение (9.16)
содержит дроби, знаменатели которых могут оказаться весьма
малыми. Такие члены разложения называют членами с малыми
знаменателями. Если условиться считать частоты колебаний
положительными, то малые знаменатели возникают в тех случаях,
когда со ^ 1, со ^ 0, со && 1/3 и со ^ 3. Эти особые частоты
называются резонансными. Таким образом, прямое разложение
становится непригодным по двум причинам: из-за наличия малых
знаменателей и в результате появления секулярных членов.
В случае когда со ^ 1, малые знаменатели появляются уже
в главном члене разложения. Поэтому при со ^ 1 говорят о
первичному или главном, резонансе. При со ^ 0, 1/3 или 3 малые
знаменатели появляются начиная с членов первого порядка. Резо-
нансы, возникающие в этих случаях, называют вторичными.
Продолжая прямое разложение до членов более высоких
порядков, можно обнаружить и другие резонансы. Отметим, что
появление того или иного резонанса зависит от характера
нелинейности системы. В общем случае резонансные частоты легко
определяются путем анализа прямого разложения, как это
сделано выше для уравнения Дюффинга.
В следующих двух параграфах, используя метод многих
масштабов и метод усреднения, построим равномерно пригодное
разложение первого порядка для решения уравнения (9.4), не
содержащее секулярных членов или членов с малыми знаменателями.
9.2. Метод многих масштабов
Для того чтобы найти приближенное решение уравнения (9.4),
свободное от дефектов типа секулярных членов или малых
знаменателей, необходимо различать случаи вторичных и первичных ре-
зонансов. Рассмотрим их в отдельности, обратившись поначалу
к исследованию вторичных резонансов.
9.2.1. ВТОРИЧНЫЕ РЕЗОНАНСЫ
В этом случае со отстоит достаточно далеко от 1, и малые
делители появляются впервые в членах порядка е. В дополнение
к быстрому времени TQ = t введем так называемое медленное

й\й /л. Р. Сравнение Дюффинга. вынужденные колебаний
время Тг = st. При этом производные по t преобразуются в
выражения вида
^ = D0 + eD1+--,
1p-==D20 + 2eD0D1 + ...,
где Dn = д/дТп. Поскольку физическое время t входит в исходное
дифференциальное уравнение явным образом, естественно
возникает вопрос, через какую переменную, Г0 или Ть оно должно
быть выражено. Чтобы ответить на этот вопрос, попытаемся
выяснить, в каких случаях зависимость от времени t является быстрой
и в каких — медленной. В уравнении (9.4) такой проверке
подлежит член cos со/. Если частота со достаточно далека от нуля,
cos (ot оказывается быстро меняющейся функцией, и мы пишем
cos cot = cos соГ0, (9.17)
представляя t через Г0. С другой стороны, если со ^ 0,
функция cos со< будет медленно меняющейся. В этом случае пишем
со = га, где а = О (1), чтобы выразить явно тот факт, что частота со
мала. Тогда имеем
cos Ы = cos oet = cos оТи (9.18)
тем самым t представляется теперь через 7\. Таким образом,
случай со ^ 0 требует, по-видимому, специального рассмотрения.
Если значение со оказывается достаточно далеким от нуля,
уравнение (9.4) можно преобразовать к виду
D%u + 2еДД" + 2ejxD0w Н f- и -f ги3 = F cos о>Г0. (9.19)
Будем искать приближенное решение уравнения (9.19) в виде
и = и0 (Го, Тг) + виг (Г0, Тг) + • • • . (9.20)
Подставляя разложение (9.20) в (9.19) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
D20Uq + tio = FcoscoTq, (9.21)
Dgu, + m = —DoDiUq - 2fiD0w0 - mq. (9.22)
Общее решение уравнения (9.21) может быть представлено
либо в действительной форме
и0 = а (Гх) cos 1Т0 + Р (ГО ] + 2Л cos соГ0, (9.23)
либо в комплексной
и0 = А (Тг) eiT» + Ле'»т* + (к. с), (9.24)
где А = ±ае*, А= ' (9.25)

P. 2. Метод 'многих масштабов
213
При этом уравнение (9.22) принимает вид
Dlux +их = —2* (Л' + (id)е'7"' + 2* (Л' + цЛ)е~'То -
— 2цгюЛе'в>г* + 2ffuoA^-/ttr« - [Ле1Т° + Лв'®7"» +
+ Л*-",<> + л*~'<в7'0]8,
или
D\ux + «1 = — [2* (Л' + цЛ) + 3 (АА + 2Л2) А] е£Т° -
- (2цш + 6ЛЛ + 3A2)A^wro - A*&iT* - AV®7"» -
- ЗЛ2Ле<" <2+») т-о _ ЗЛ2Л£<' (0)-2) т° — ЗАА*е* О+ги) т° —
- ЗЛА2*?' с1-2®) т. + (к. е.). (9.26)
Как указано в предыдущем параграфе, частное решение
уравнения (9.26) содержит секулярные слагаемые и члены с малыми
знаменателями при со, близких к 3, 1/з и 0. Рассмотрим эти случаи
каждый в отдельности.
Случай со ^ 3
Для того чтобы отразить близость безразмерной частоты со
к 3, введем так называемый параметр расстройки о = О (1),
определяемый соотношением
со = 3 + га. (9.27)
Подстановка (9.27) в уравнение (9.26) дает
D?qU{ + ц, = - [21А* + 2*>Л -f ЗЛ2Л + 6ЛА2] eiT> - л¥/г° -
— (2i>co + 6ЛЛ + ЗА2) Ae*iT«+ioeT<> - А3е*т°+ШеТ° —
— 3A2Ae°iT<>+iozT» _ 3A2AeiT°+iOBT<> — 3AA2e7iT°+2ioeT° —
- ЗЛА2е-5'то-2/аег0 _|_ (К. с). (9.28)
Возникающие при этом в правой части уравнения (9.28)
произведения еТ0 следует выразить через медленную переменную Тг =
= е70. Поэтому уравнение (9.28) переписывается в виде
Dlu{ + wi = — [—2iA\+ 2щА + ЗЛ2Л + 6ЛА21е'т° -
- [Л3 + (2f|Mo + 6ЛЛ + ЗА2)Ае">г*]еЫто - AVo7Vr. _
— ЗЛ2Ае1аГ'еб'т° — 3l2Ae<o7VT° - ЗЛЛ2е2'о7,»е7'т° —
- ЗЛЛ2^-2^^-5^ -f (к. с). ; (9.29)
Следует отметить, что введение параметра расстройки с
помощью соотношения (9.27) привело к преобразованию слагаемого
—ЗЛ2Лехр [/(со —2) Г0],

2l4 Гл. £. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебаний
которое определяло собой появление члена с малым знаменателем
в прямом разложении, к виду
—ЗЛ2Л exp (ш7\) ехр (*Т0),
которому соответствует секулярный член относительно
переменной Т0. Подобный подход является общим для всех случаев, когда
возникают члены с малыми знаменателями: с помощью параметров
расстройки их преобразуют к виду, порождающему секулярные
члены.
Потребовав теперь, чтобы решение иг не содержало секуляр-
ных слагаемых, из уравнения (9.29) получаем
2iA' + 2(>Л + ЗА*А + 6ЛЛ2 + ЗЛ*Л*'оГ' = 0. (9.30)
Заметим, что нет необходимости выписывать все члены в правой
части (9.28) и (9.29). Нужно учитывать лишь те слагаемые,
которые порождают в разложении секулярные члены или члены с
малыми знаменателями. Как и ранее, введем на этом этапе
экспоненциальное представление (9.25). В результате получим
ia'e* - ф'е*& + щае^ + -|-а3е'0 + ЗаЛ%'Э +
+ -~я2Л*ПоГ1~2Э)==0- (9.31)
Прежде чем отделить вещественную и мнимую части уравнения
(9.31), умножим его на ехр (—/р'), с тем чтобы избавиться от
экспоненциальных множителей у величин а' и р'. Этот прием
значительно упрощает результирующие уравнения. Действительно,
умножение (9.31) на ехр (—/р') дает
ia - <ф' + № + -§" я3 + ЗаЛ2 + JL а Ле' (отч-зр) = о. (9.32)
В уравнении (9.32) только один член содержит экспоненциальный
множитель. Используя формулу Эйлера ехр (i&) = cos 0 +
+ i sin 6, переписываем (9.32) в виде
id - ар' + ipa + -|- а3 + ЗаЛ2 +
+ -j- а2Л [cos (а^! - Зр) + i sin (дТг - Зр)] = 0,
или
I Га' + \ш -+- 4"а*Л sin (аГ1 - 3Р)^ ~ аР' +
+ -~ а3 + ЗаЛ2 + 4" Д2Л cos(а7\ - Зр) == 0. (9.33)
Поскольку комплексное выражение равно нулю тогда и только
тогда, когда равны нулю его вещественная и мнимая части, со-

9.2. Метод многих масштабов
215
отношение (9.33) эквивалентно системе двух уравнений
а' = ~\ia - -J- а2Л sin (о7\ - Зр), (9,34)
сф = ЗаЛ2 + 4"д2Л cos (аГ1 ~ 3Р)" (9-35)
Уравнения (9.34) и (9.35) являются искомыми уравнениями,
описывающими модуляцию амплитуды и фазы того слагаемого в
решении, которое определяет форму свободных колебаний.
Подставляя (9.23) в разложение (9.20) и вспоминая, что Т0 = t,
получаем
и = a cos (t + Р) + 2Л cos at + О (е), (9.36)
где а и Р определяются уравнениями (9.34) и (9.35). Поскольку
медленное время 7\ входит явно в уравнения (9.34) и (9.35), эта
система называется неавтономной. Представляется удобным
исключить явную зависимость от 7\, тем самым преобразовав
уравнения (9.34) и (9.35) в так называемую автономную систему. Этого
можно добиться, введя новую зависимую переменную у по формуле
у = а7\ — Зр. (9.37)
При этом
Y' = а—ЗР'. (9.38)
Подстановка (9.37) в уравнение (9.34) дает
а' = —ра - ~ а2Л sin у. (9.39)
Подставляя теперь уравнение (9.35) в (9.38) и используя (9.37),
получаем
ау* = са- 9аА2 - — а* - -|- а2А cos у. (9.40)
Из формулы (9.37) также следует, что
а * т ! l 4 *
fl = — oTl-—y = —Eot--ry.
Поэтому разложение (9.36) можно переписать в виде
и = a cos (t + -j- eat =- у) + 2Л cos at + О (e),
что в свою очередь, с учетом соотношения (9.27), может быть
представлено как
и = a cos (-L(ut — y\ -f 2Л cos otf +0(e). (9.41)
Таким образом, в первом приближении решение и дается
разложением (9.41), в котором величины а и у определяются из
автономной системы уравнений (9.39), (9.40).

216 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
I
L а
Рис. 9.1. Зависимости величин а и у от времени /, полученные в результате
численного решения уравнений (9.39)—(9.40) при е = 0.1, Л= )Л).08 , ц =
= 0.1, о= 1.0, а (0) = 1.0 и v (0) = 1.0.
На рис. 9.1 представлены зависимости а и у от медленного
времени Тъ полученные с помощью численного интегрирования
системы (9.39), (9.40). На начальном участке кривые а и у имеют
колебательный характер, однако по мере возрастания Т1 они
стремятся к некоторым постоянным значениям. Эти постоянные
значения обычно называют стационарными или установившимися.
При этом возможны два случая: установившееся значение
амплитуды будет либо равно, либо не равно нулю. При ненулевой
амплитуде установившихся колебаний член, соответствующий
свободным колебаниям, является периодическим с частотой, равной
в точности со/3, т. е. одной трети частоты внешнего воздействия.
О таком разонансе говорят как о субгармоническом резонансе
на частоте одна треть. В этом случае решение и, т. е.
установившаяся реакция колебательной системы на возмущение,
оказывается периодическим.
Для нахождения этой установившейся реакции нет
необходимости численно интегрировать систему (9.39), (9.40),
описывающую изменение any. Вместо этого используем тот факт, что
амплитуда и фаза в стационарном режиме постоянны, и,
следовательно, а' = 0 и у' = 0. В результате система (9.39), (9.40)
примет вид
—3\ia = -J- a2A sin у,
9 9 <9-42)
оа — 9аЛ2 g- а9 = -у- а2А cos у.
Возводя каждое из уравнений (9.42) в квадрат и складывая
полученные результаты, а также учитывая тождество
$in2 у + cos2 у = 1,
(9.43)

9.2. Метод многих масштабов
217
получаем
9|Л|» -f (а - 9Л2 - -J- а2)2 а2 = -^- а4Л2. (9.44)
При этом из уравнения (9.44) следует, что а либо равно нулю,
либо удовлетворяет уравнению
9ц2 + (а - 9Л2 - -|- я2)' = -уг^Л2-
Таким образом,
°4 - -т (а " -т1 Л2)*2+-§г[9^2 + (а ~ 9Л2)2] = °' <9'45)
и поскольку (9.45) представляет собой квадратное уравнение
относительно а2, его решения можно представить как
а-4(--4Л2)±Т-[(°-Т1л2)2-9^-(0-9Л2)гГ'
ИЛИ
е. в £ (0 _ »- А«) ± 4 ["J" А' (* - "Г" Л«) - ,*•] '" • (9.46)
Соотношение (9.46) называют обычно амплитудно-частотной
характеристикой.
Из (9.46) следует, что для существования вещественных
решений подкоренное выражение и первое слагаемое в правой части
этого равенства должны быть положительными, т. е.
63А?
4,1
20
15
10
5
0 3 6 9 12 ,
a/It-
Рис. 9.2. Области, где существуют субгармонические характеристики системы.

218 Гл. д. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
5,0
3.0
1.0
0 5 По 15" 20
б"
В
7
5
3
1
2 4 б 8 10 12 14 16 18
F
Рис. 9.3. Субгармоническая характеристика для уравнения Дюффинга:
амплитуда свободных колебаний в зависимости от: а) параметра расстройки, б)
амплитуды возбуждения.
Таким образом, нетривиальные решения существуют только в том
случае, если выполняются неравенства
т-(£-«Г«-!£-«*+(£-»Г-
Область, описываемая этими неравенствами, изображена на
рис. 9.2. На рис. 9.3а приведено несколько
амплитудно-частотных кривых, а на рис. 9.36 показана зависимость амплитуды а
от амплитуды возбуждения.
Заметим, что, хотя частота возбуждения втрое больше
собственной частоты системы, амплитуда отклика оказывается довольно
большой. Например, весьма сильные колебания отдельных частей
самолета могут возникать при работе его двигателя с угловой ча-

9.2. Метод многих масштабов
219
стотой, намного превосходящей их собственные частоты.
Известен такой случай, когда вращение винтов самолета одной
авиакомпании послужило причиной возбуждения субгармонических
колебаний порядка -~ в крыльях, которые в свою очередь
индуцировали колебания руля поворота порядка -J-. При этом
колебания оказались настолько сильными, что самолет разрушился.
Случай со ^ -i-
Для того чтобы отразить близость со к -i-, введем параметр
расстройки а, определив его равенством
Зсо = 1 + га. (9.47)
Как указывалось ранее, нет необходимости заменять величину со
на 1 + еа во всех членах уравнения (9.26). Замену следует
провести только в тех членах, в которых возникают малые
знаменатели, т. е. в членах —Л3 exp (±3i(oT0). С этой целью запишем
3g>T0 = (1 + еа) Т0 = Т0 + огТ0 = Т0 + аТг. (9.48)
Далее, преобразуем уравнение (9.26) к виду
D20ui + ui = — [2iA' + 2i\iA + 6Л2Л + ЗА2A] eiT° -
-AV°V« + (к. с.) + (И. С. Ч.), (9 49)
где символом (Н. С. Ч.) обозначены невыписанные члены правой
части, которые не служат источником секулярных членов.
Требование отсутствия секулярных членов в решении иг дает
21 (А + iiA) + 6Д2Л + ЗА2А -(- Л8*'07"' = 0. (9.50)
Обратимся вновь к экспоненциальному представлению (9.25)
и перепишем условие (9.50) в виде
ia'eifi _ ареФ -f_ щае^ + -|- с?е* + ЗА2Ае* + &3eiaT* = 0. (9.51)
Умножая (9.51) на ехр (—ф) с тем чтобы оставить лишь один член
с соответствующим экспоненциальным множителем, получаем
W - ф- + ща + -|-я3 + ЗЛ2я + AV <оТ^ = 0,
или
fa' - ар' + i\ia + -g- а8 + ЗЛ2а +
+ Л3 cos (а7\ - Р) + tA3 sin (а7\ - Р) = 0. (9.52)
Отделяя вещественную и мнимую части, имеем
а' = — ца — Л3 sin (аТг — Р), (9.53)
<ф' = ЗЛ2а + -i-я3 + Л3cos(аГ1 - Р)- (9-54)

220 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
а,у к
mfii»»»-
■+Т,
Рис. 9.4. Зависимости величин а и у от 7\, полученные с помощью
численного решения уравнений (9.57)—(9.58) при е = 0.05, <т= 0.1, Л= 1.0, и =0.1,
а (0) = 1.1 и Y(0)= 2.5.
Как и в предыдущем случае, преобразуем систему уравнений
(9.53), (9.54) в автономную, вводя замену переменной
Y = оТг — р. (9.55)
Тогда
у' = о — р'. (9.56)
Подстановка (9.55) в уравнение (9.53) дает
о! = —\ка — Л3 sin у, (9.57)
а подстановка (9.54) в (9.56) с использованием (9.55) приводит
к уравнению
ay' = аа — ЗА2а — -g- а3 — Л3 cos у.
Исключая величину р из (9.23) и (9.55), находим
Uq = a cos (Т0 + а7\ — у) + 2Л cos соГ0,
или uQ = a cos (< + eot — у) + 2Л cos соЛ
Наконец, подставляя (9.59) в разложение (9.20) и
(9.58)
(9.59)
используя
(9.47), приходим к окончательному выражению:
и = a cos (Зсо/ — у) + 2Л cos at + О (е). (9.60)
Таким образом, в первом приближении решение и дается
формулой (9.60), в которой величины а и у определяются из системы
(9.57), (9.58).
На рис. 9.4 представлены кривые изменения амплитуды а
и фазы у в зависимости от медленного времени Tlf полученные
с помощью численного интегрирования системы (9.57), (9.58).
На начальном участке эти кривые имеют колебательный характер,
однако по мере увеличения 7\ амплитуда и фаза стремятся к по-

9.2. Метод многих масштабов
221
стоянным значениям. Как и в предыдущем случае, эти
постоянные значения называют стационарными или установившимися.
Из уравнения (9.60) следует, что установившийся отклик системы
на внешнее воздействие является периодическим. При этом для
определения установившегося отклика нам вновь не нужно
численно интегрировать систему (9.57), (9.58). Поскольку в
установившемся режиме а и у оказываются постоянными, то, полагая а! — 0
и 'у' = 0 в уравнениях (9.57), (9.58), получаем
—\ia = Л3 sin у, (9.61)
оа - ЗА2а - -§-а3 = Л3 cos у. (9.62)
Возводя в квадрат обе части уравнений (9.61) и (9.62), складывая
полученные результаты и используя (9.43), получаем следующее
кубическое уравнение относительно а2:
у?а2 + (о - ЗЛ2 - 4" я2)2 я2 = Л6- (9-63)
Это уравнение, как и (9.46), называется амплитудно-частотной
характеристикой. При известной амплитуде а фаза у может быть
найдена из любого из уравнений (9.61), (9.62). При постоянных
а и у член, соответствующий свободным колебаниям, имеет
частоту, равную Зсо, т. е. утроенной частоте внешнего воздействия.
О таком резонансе говорят как о супергармоническом резонансе
порядка три.
На рис. 9.5 приведена одна из характерных кривых реакции
системы, т. е. зависимости амплитуды а от амплитуды внешнего
воздействия. Отметим, что изгиб этой кривой обусловлен
нелинейностью возвращающейся силы, причем этот изгиб приводит к
возникновению так называемого срыва колебаний. Чтобы пояснить
сказанное, представим себе, что мы исследуем колебания системы
при фиксированной частоте (т. е. при постоянной а) и медленно
jj а=50
*\
* \Ч
\ ,\!\
{ г4
1J
ji/
— t
Е
Л
Рис. 9.5. Скачок субгармонической характеристики для уравнения Дюф-
финга.

222 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
меняющейся амплитуде возбуждения (т. е. F или Л). Если
колебания начинаются при малом значении Л, соответствующем
точке А у а затем Л медленно увеличивается, то амплитуда а будет
медленно возрастать вплоть до точки В. При дальнейшем
увеличении Л происходит скачок из точки В в точку С с
соответствующим возрастанием амплитуды а, после чего она начнет плавно
убывать с увеличением Л до точки Е. Дальнейшее увеличение Л
приводит к новому плавному нарастанию амплитуды. Если
колебания начинаются в точке £ и Л уменьшается, то амплитуда
начнет медленно возрастать, изображающая точка будет
перемещаться через точку С и далее по верхней ветви вплоть до точки D.
При дальнейшем уменьшении Л происходит скачок из точки D
в точку А (резкое уменьшение а), после чего амплитуда вновь
будет плавно уменьшаться с уменьшением Л. Заметим также, что
режим, соответствующий пунктирной линии BD, не может быть
реализован ни при увеличении, ни при уменьшении Л.
Следовательно, этот участок кривой соответствует неустойчивому режиму.
Случай шя^О
В этом случае, как указывалось ранее, функцию cos о/ надо
выразить через переменную Т1 с помощью соотношения (9.18).
При этом уравнение (9.19) принимает вид
D\u + 2еД)Аи + 2e\iD0u + . •-• + и + ей3 = F cos аТ\. (9.64)
Подставляя разложение (9.20) в (9.64) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях этого
уравнения, получаем
Do«o + uQ = F cosoTi , (9.65)
DqUi -f wi = —2DQDiU0 — 2\iD0u0 - ut (9.66)
Общее решение уравнения (9.65) может быть представлено
в виде
и0 = Ае'т° + Ae-tT* + F cos &Гг. (9.67)
Тогда уравнение (9.66) переписывается как
Dga, + Щ = —2i (А' + М) etT* + 21 {А' + \i~A) e~iT° -
- [AelT> + Ae~iT* + F cos oTJ8,
или
LfoUl + mi = —2i (A + ixA) eiTo - A*e3iT' - 3A2Ae£T° -
—3F2cos2or7V4e'7'o _ 3FA2 cos аТге^о -
—3FAA cos oTi - -J- P cos3 o7\ + (к. с). (9.68)
Исключая секулярные члены из решения и1у имеем
21А' + 2щА + ЗЛ2Л 4- 3F4 cos2 аТх = 0. (9.69)

9.2. Метод многих масштабов 223
Представление А в форме (9.25) дает
ia'e'* - ф'е* + i\iae^ + -|-аъе^ + -|-F2ae<Pcos2а7\ = О,
или
la' - а$' + i\ia + -|- а3 + ~- F2a cos2 а7\ = 0. (9.70)
Отделяя в соотношении (9.70) вещественную и мнимую части,
приходим к системе
а' = — |ш, (9.71)
Qp' = J- а3 + -|- F2a cos2 (т7\. (9.72)
При этом из уравнения (9.71) следует, что
а = а0е-»Т>, (9.73)
где а0 — произвольная постоянная. Далее, из уравнения (9.72)
следует, что
= -g- а0е ' + — г cos a/1,
или
Р' = -|-fl^-2tir' + -|-F2 + ±F2cos2eTu (9.74)
откуда после интегрирования получаем
^-ЩГ^'^' + Х^Н--!?-51"^'-!-^ (9-75)
где р0 — произвольная постоянная. Подставляя (9.67) в
разложение (9.20) и используя показательное представление (9.25),
находим
и = a cos (Г0 + Р) + F cos аг7\ + О (е). (9.76)
Наконец, подставляя (9.75) в (9.76) и используя соотношения
Т0 = t, Тг — et и со = еа, перепишем (9.76) в виде
к = в*-»1' cos [ (1 + 4 eF2) / - -ifjr- ^-2е^' +
+ "ТЗГ sln 2ш/ + Р»] + F cos ш/ + ° <е)- (977)
Покажем теперь, что разложение (9.77) может быть получено
как частный, случай общей зависимости при о, отличных от 1.
Для этого заменим частоту со в последних членах правой части
уравнения (9.26) на величину е<т, в результате чего получим
Dgui + ы, = — [2iA' + 2ipA + ЗА2А + 6Л2Л] е'г° -
—ЗАА2е1Т> [ё"т>° + е-2<г«°] + (к. с.) -f (Н. С. Ч.).
(9.78)

224 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
Исключение секулярных членов из решения уравнения (9.78)
дает
21 А' + 2фЛ + ЗА2 А + 6ЛМ + 6ЛЛ2 cos 2аТг = 0. (9.79)
Поскольку со = ест, то из (9.25) следует, что Л » FI2. Тогда
соотношение (9.79) принимает вид
2iA' + 2i\iA + ЗА2 А + -|" F2A (1 + cos 2а7\) = 0,
или 2М' + 2фЛ + ЗЛМ + ЗЯЛ cos2 а7\ = 0, (9.80)
что полностью совпадает с условием (9.69).
9.2.2. ПЕРВИЧНЫЙ РЕЗОНАНС
В случае первичного резонанса со я« 1, и члены с малыми
знаменателями появляются непосредственно в слагаемых
порядка О (е°) прямого разложения (9.16). Следовательно, и0 будет
резко возрастать при со ->- 1. Однако при этом все большую роль
начинают играть нелинейное слагаемое в возвращающей силе и
член, описывающий затухание, что приводит к изменению
порядков, приписываемых различным членам в уравнении (9.6). Более
того, «частное решение» и «решение однородного уравнения»
сливаются, так что их нельзя отличить друг от друга. В этой
ситуации для нас существуют две возможности. Первая из них
состоит в том, чтобы перенормировать нелинейный член и член,
описывающий затухание, так, чтобы они имели порядок е° и тем
самым компенсировали эффект первичного резонанса на частоте
возбуждения. Однако этот путь приводит к уравнению
й0 + "о + 2{iDqUo + uq — F cos соГо = 0, (9.81)
совпадающему с исходным нелинейным уравнением. Вторая
возможность заключается в перенормировке внешнего воздействия,
с тем чтобы неоднородность появлялась в членах порядка е,
т. е. одновременно с нелинейностью и затуханием. Первый член
разложения оказывается при этом величиной порядка е и
описывается линейным уравнением. Именно такой подход, пригодный
для слабо нелинейных систем, применяется в этой книге. Чтобы
воспользоваться им в данном случае, положим F = е/ и
перепишем уравнение (9.4) в виде
и + и + 2г\кй + ги* = е/ cos со/. (9.82)
При со, близких к 1, первые два члена прямого разложения
(9.16) имеют примерно одинаковую частоту, так что слагаемое
a cos (t + Р), описывающее свободные колебания, «сливается»
с реакцией на внешнюю силу F (1 — со2)"1 cos со/. Этот факт
оправдывает перенормировку, проведенную в уравнении (9.82).
Для того чтобы получить приближенное решение уравнения
(9.82), введем переменные Т0 = t и 7\ = et и представим cos со/

9.2. Метод многих масштабов
Ж
как cos соГ0. Тогда, как и в предыдущих случаях, уравнение (9.82)
примет вид
DqU + 2eDQDlu + 2e|iD0u + И 1- ш3 = e/cos соГ0. (9,83)
Решение уравнения (9.83) будем искать в виде
и = и0 (Г0, Тг) +9еи1 (Г0, 7\) + • - • . (9.84)
Подставляя разложение (9.84) в (9.83) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих частях этого
уравнения, получаем
Л+ "о=0, (9.85)
£>o«i + "1 = — 2ДЛ«о - 2|xD0Wo - и\ + / cos соГ0. (9.86)
Общее решение уравнения (9.85) можно представить как
и0 = А (Тг)е*т* + А (Тг) e~iTK (9.87)
При этом уравнение (9.86) переписывается в виде
D\ux + mi = —2i {А + \iA) eiTo + 2t (Л' + цЛ) e~iT° -
- (AeiT° + Ле-'^з + _*_/^*г. + jLfe-i<*T*t
или
£)gM| + wi = — (2/Л' + 2i\iA + ЗЛ2Л) elTo - AУ r° +
+ ^-/^wro + (K. c). (9.88)
Поскольку мы рассматриваем случай со ^ 1, то, введя параметр
расстройки по формуле
со = 1 + еа, (9.89)
получим
соГ0 = (1 + го) Т0 = Г0 + аеГ0 = Г0 + <x7V (9.90)
Подстановка (9.90) в уравнение (9.88) дает
Dim + щ = — (2i7l' + 2*>Л + ЗЛ2Л) <?'То - ЛУГо +
+ 4-/^'аГ1^Го + (к- с-)« (9.91)
Требование отсутствия секулярных членов в решении этого
уравнения приводит к условию
2iA' + 2i\iA -f ЗЛ2Л - \ feiaT^ = 0. (9.92)
Представляя А в форме (9.25), переписываем соотношение
(9.92) в виде
iae* - apV* + *|Ш*'* + -|- о3*'* - -J- /е*^, = 0,

226 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
f.Y
1л^
♦Г|
Рис. 9.6. Зависимости величин а и v от Т1у полученные в результате
численного решения уравнений (9.98)—(9.99) при е = 0.5, а = 0.05, f= 0.5, ц = 0.1,
а(0) = 1.1 и 7(0) = 0.5.
или
id _ ф' + ^ + -|- а3 - -g- /cos(a7\ - Р) - 4'/ sin (^i - Р)-
(9.93)
Отделяя вещественную и мнимую части в соотношении (9.93),
приходим к системе уравнений
d = -ца + 4/sin(a71 - р), (9.94)
<ф' = А я3 ~ 4/cos ^ ~ Р)' (9*95>
Как и раньше, преобразуем систему (9.94), (9.95) в
автономную, вводя новую неизвестную
y = oTl_ pt (9.96)
при этом
v' = a_p\ (9.97)
Подстановка (9.96) в (9.94) дает
d = — pa + 4 / sin V- (9.98)
Подставляя выражение (9.95) в (9.97) и используя (9.96),
получаем
ау' = то - 4 я3 + 4 f cos V- (9-99)
Подстановка формы (9.25) в решение (9.87) приводит к выражению
и0 = a cos (Т0 + Р).
При этом из разложения (9.84) следует, что
и = a cos (Г0 + Р) + О (е).
Учитывая формулы (9.89), (9.96), а также равенства Т0 = f и
7\ = е/, перепишем последнее разложение в виде
и = a cos (со/ — v) + О (е). (9.100)
На рис. 9.6 представлены зависимости амплитуды а и фазы у
от переменной Тъ полученные с помощью численного интегриро-

9.2. Метод многих масштабов
227
вания системы уравнений (9.98) и (9.99). При этом поведение
кривых а и у оказывается аналогичным их поведению в случае
вторичных резонансов. При 7\ -+ оо а и у стремятся к предельным
значениям, которые можно найти из решения системы уравнений
lia==±.fs[nyy (9.101)
-aa-f-g-a3 = -^/coS7. (9.102)
Возводя соотношения (9.101) и (9.102) р квадрат и складывая
полученные результаты, приходим к кубическому уравнению
относительно величины а2 вида
\iW + (a - -§- а2Уа2 = "Г Р' (9*103)
Уравнение (9.103) определяет зависимость а от а, обычно
называемую амплитудно-частотной характеристикой системы. Такое
же название носит и кривая, изображающая эту зависимость.
На рис. 9.7 представлена типичная амплитудно-частотная
характеристика. Резкое искривление этой характеристики
приводит к явлению срыва. Поясним его, как и в предыдущем случае,
с помощью мысленного эксперимента, в котором амплитуда
внешнего воздействия поддерживается постоянной, а частота (и,
следовательно, а) медленно изменяется, возрастая или убывая по
сравнению с собственной частотой линейной системы. При этом
в ходе эксперимента будем следить за амплитудой гармонического
отклика. Пусть начальная частота соответствует точке 1 на
кривой, изображенной на рис. 9.7. При уменьшении частоты а
уменьшается, и амплитуда а медленно возрастает, следуя участку
кривой 1—2—3. При дальнейшем уменьшении параметра расстройки
происходит скачок из точки 3 в точку 4, сопровождающийся
увеличением амплитуды, после чего с дальнейшим ростом а
амплитуда начинает медленно убывать. Если колебания начинаются
в точке 5 и а увеличивается, амплитуда а будет медленно
возрастать, следуя участку кривой 5—4—6. При достижении точки 6
происходит срыв — резкое уменьшение амплитуды до значения,
Рис. 9.7. Скачок в первичном резонансе для уравнения Дюффинга.

228 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
Рис. 9.8. Скачок в первичном резонансе для уравнения Дюффинга.
соответствующего точке 2, а затем медленное убывание амплитуды
с ростом частоты. Максимальная амплитуда, соответствующая
точке 6, достигается только при подходе к этой точке со стороны
низких частот. Участок амплитудно-частотной характеристики
между точками 3 и 6 соответствует неустойчивым движениям и,
следовательно, не может быть воспроизведен экспериментально.
Явление срыва может наблюдаться и в случае, когда
колебания возбуждаются при фиксированной частоте внешнего
воздействия со и медленно меняющейся амплитуде /. Предположим, что
колебания начинаются в точке 1 на кривой, изображенной на
рис. 9.8. При увеличении / амплитуда а будет медленно возрастать
вплоть до точки 3. При дальнейшем увеличении / происходит
скачок из точки 3 в точку 4, а затем увеличение амплитуды а с
ростом /. При обратном ходе процесса изображающая точка следует
участку кривой 5—4—6У а в точке 6 происходит срыв в точку 2.
9*3. Метод усреднения
Применение к рассматриваемой задаче метода усреднения также
требует отдельного рассмотрения первичных и вторичных резо-
нансов. Мы начнем со второго случая.
9.3.1. ВТОРИЧНЫЕ РЕЗОНАНСЫ
Как известно, при использовании метода усреднения первый
шаг состоит в том, чтобы ввести вместо искомой функции и две
новые зависимые переменные — амплитуду и фазу свободных
колебаний системы, а затем воспользоваться идеей вариации
постоянных. Итак, при 8 = 0 общее решение уравнения (9.4) имеет
вид
и - a cos (t + Р) + 2Л cos со*, (9.104)
где аир — произвольные постоянные, а Л определяется
формулой (9.12). Дифференцирование выражения (9.104) по t дает
и = — a sin (t + р) — 2Лсо sin со/. (9.105)
При гфО мы вновь представим решение в форме (9.104)
и подчиним его условию (9.105), но при этом будем считать а

9.3. Метод усреднения
229
и (J функциями /. Дифференцирование выражения (9.104) по t
в этом случае дает
и = —a sin (/ + Р) + a cos (/ + Р) —
- ар sin (/ + Р) — 2Лсо sin со/. (9.106)
Сравнивая формулы (9.105) и (9.106), находим
a cos (/ + Р) — ар sin (/ + Р) = 0. (9.107)
Далее, дифференцируя (9.105) по /, получаем
и = ~а cos (/ + Р) — a sin (/ + Р) — ар cos (/ + Р) — 2Лсо2 cos со/.
(9.108)
Подставляя соотношения (9.104), (9.105) и (9.108) в (9.104), имеем
—a cos (/ + Р) — d sin (/ + Р) — ар cos (/ + р) - 2Лсо2 cos со/ -
— 2efxa sin (/ + Р) — 4е(гсоЛ sin со/ + a cos (/ + Р) +
+ 2Л cos со/ + е [а cos (/ + Р) f 2Л cos со/]3 = F cos со/.
(9.109)
Поскольку, согласно формуле (9.12), 2Л = (1 — со2)"1^,
соотношение (9.109) сводится к уравнению вида
a sin (/ + Р) + яР cos (/ + р) = — 2e\i [a sin (/ + Р) +
+ 2соЛ sin со/] + е [a cos (/ + р) + 2Л cosco/]3.
(9.110)
Умножая (9.107) на cos (/ + Р), а (9.110) — на sin (/ + Р) и
складывая результаты, получаем
а = —2е|х sin (/ + Р) [a sin (/ + Р) + 2й>Л sin °>/] +
+ б sin (/ + Р) [a cos (/ + Р) + 2Л cos со/]3. (9.111)
Подставляя (9.111) в уравнение (9.107) и разрешая его
относительно аР, имеем
ар = —2efi cos (/ + Р) [a sin (/ + Р) + 2соЛ sin со/] +
+ ecos(/ -f Р) [acos(t + Р) + 2Acosco/]3. (9.112)
Таким образом, задача свелась к решению системы уравнений
(9.111), (9.112) вместо уравнения (9.4).
Возводя в куб последние члены в уравнениях (9.111) и (9.112),
перепишем эту систему в виде
а = — 2ец sin (/ + Р) [a sin (/ + Р) + 2соЛ sin со/] + е sin (/ + Р) X
X [a3cos3(/ + P) + 6a2Acos2(/ + P)cosco/+ 12aA2cos(/ + P)x
X cos2со/ + 8Л3cos3 со/], (9.113)
ар = —2е(х cos (/ + Р) [а sin (/ -f Р) -f 2соЛ sin со/] + е cos (/ + Р) X
X [а3cos3 (/ + Р) + 6а2Л cos2 (/ + p)cosco/ + 12aA2cos(/ + Р) X
X cos2 со/ + 8Л3 cos3 со/]. (9.114)

230 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
Используя известные тригонометрические формулы (см.
приложение А), придадим системе (9.113), (9.114) вид
а = е [ — \ш + ца cos (2/ + 2р) - 2юцЛ cos [(1 - со) / + Р1 +
+ 2соцЛ cos [(1 + a)t + PJ + (т я3 + ЗаЛ2) sin (2/ + 2р) +
+ -J- ^ sin (4t + 4Р) + (4" а'Л + ЗЛЗ) sin 1(1 +<">)' + W +
+ (-§-а2Л + ЗЛ3) sin [(1 - со) * + р] +
+ -|"аЛ2 sin К3 + №)' + 3И + "Г а2Л sln К3 -<•>)' + 3Р] +
+ -|" аЛ2 sln К2 + 2(°)' + 2Р) + 4"аЛ2sin [(2 ~ 2й)) ^ + 2р] +
+ Л3 sin [(1 -f Зсо) / + PJ + Л3 sin [(1 - Зсо)/ + p] }, (9.115)
ар = e / — \ш sin (2/ + 2P) - 2соцЛ sin [(со -f 1) t + PJ -
- 2соц,Л sin [((o - 1)/ - PJ + -j-a3 + ЗаЛ2 +
-f (-j- а3 + ЗаЛ2) cos (2/ + 2p) + -J- fl3cos (4/ + 4p) -f
+ (4 а2Л + ЗЛ3) cos [(1 + со) t + p] +
+ (-|-а2Л + ЗЛ3) cos [(1 - со) / + p] +
-f -| а2Лсо8[(3 + со) / + 3pJ + -|-a2Acos[(3— co)< + 3p] +
+ 4<*A* cos [(2 -(- 2co) H- 2pJ +
+ -|- аЛ2 cos [(2 - 2co) / + 2p] -|- ЗаЛ2 cos 2co/ +
+ A3cos[(l + 3co)f + p]-)-A3cos[(l -3co)^ + p]}.
(9.116)
В первом приближении мы должны сохранить в уравнениях
(9.115), (9.116) только медленно меняющиеся слагаемые. Члены
—e\ia и e(-g-a3 + ЗаЛ2) не зависят от частоты со, во все же
остальные члены частота со входит явным образом. Отметим, что
соответствующий член уравнения будет медленно меняющимся,
если коэффициент при t (т. е. частота) мал. Анализируя правые

9.3. Метод усреднения
231
части уравнений (9.115), (9.116), приходим к выводу, что медленно
меняющиеся члены возникают при частоте со, близкой к
значениям 0, 1, 3 и -д-. Случай со ^ 1 следует^исключить из
рассмотрения, поскольку при этом малый знаменатель появляется уже
в главном приближении и0. Это г случай рассматривается в разд.
9.3.2. Остальные случаи последовательно рассмотрены ниже.
Случай со, отличной от О, 3 и -~ L
В этом случае медленно меняющимися оказываются только
члены, не зависящие от t. Поэтому из системы уравнений (9.115),
(9.116) следует, что
а = — г\хау (9.117)
аР = -§-еа3+ЗеяЛ2, (9.118)
откуда
a — doe-*»*,
Р = - -ЩГ floe"2141' + ЗеЛ2/ + Ро, (9.119)
где а0 и ро — произвольные постоянные.
Случай со ^ 3
В этом случае медленно меняющимися членами являются
sin [(3 — со) t + Зр] в уравнении (9.115) и cos [(3 — со) t + З.р]
в (9.116). Следовательно,
а = — ща + -1 еа2Л sin [(3 - со) t |- Зр], (9.120)
ар = -|- еа3 + ЗеаЛ2 -f -|- еа2Л cos [(3 - со)/ f Зр)]. (9.121)
Система (9.120), (9.121) совпадает с системой (9.34), (9.35),
полученной по методу многих масштабов, если учесть, что со — 3 =
= га.
Случай со «=? -i-
Здесь медленно меняющимися слагаемыми являются sin [(1 —
— Зсо) / + р ] в уравнении (9.115) и cos [(1 — Зсо) t + Р 1 в
уравнении (9.116). Следовательно,
а = — г\ка + еЛ3 sin [(1 — Зсо) t + р], (9.122)
ер = 4" еа3 + ЗеаЛ2 -| - еЛ3 cos [(1 - Зсо) t + Р]. (9.123)
Система (9.122), (9.123) совпадает с системой уравнений (9.53)
и (9.54), полученной по методу многих масштабов, если учесть,
что Зсо — 1 = ест.

232 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
Случай о ^ О
В этом случае в уравнении (9.115) нет медленно меняющихся
членов, а уравнение (9.116) содержит медленно меняющееся
слагаемое cos2 соЛ Следовательно,
а = —ера, (9.124)
Qp = -А- еа3 + Зга А2 + ЗеаЛ2 cos 2ю/, (9.125)
что совпадает с системой (9.71), (9.72), полученной по методу
многих масштабов, если учесть, что со = га и Л ^ F/2.
9.3.2. ПЕРВИЧНЫЙ резонанс
При е = 0 общее решение уравнения (9.82) может быть
записано в виде
и = acos(t + Р), (9.126)
Где а и Р — произвольные постоянные. При этом
и = —asm (t + Р). (9.127)
Если е Ф 0, по-прежнему представляем решение в форме (9.126)
с наложенным на него условием (9.127), но при этом считаем,
что аир зависят от времени. Дифференцирование выражения
(9.126) по t дает
й = — a sin (t + Р) + a cos (/ + р) — ар sin(/ + Р). (9.128)
Из сравнения формул (9.127) и (9.128) следует, что
a cos (/ + Р) — а($ sin (t + р) = 0. (9.129)
Дифференцирование (9.127) по t дает
й = — a cos (t + Р) — a sin (/ + Р) — яР cos (/ + Р). (9.130)
Подставляя выражения (9.126), (9.127) и (9.130) в уравнение
(9.82), получаем
a sin (t + Р) + ^Р cos {t + Р) = —2e\ia sin (/ + Р) +
+ 8a3cos3(^ + р) - e/cos coL (9.131)
Разрешая теперь (9.129) и (9.131) относительно а и ар, имеем
а = —2&\ia sin2 (t + Р) +
+ га3 sin (t + Р) cos3 (t + Р) — е/ sin (* + Р) cos cof, (9.132)
ар = —2г\ха sin (* + Р) cos (t + р) +
+ еа3 cos4 (f + Р) — е/ cos (t + Р) cos со*. (9.133)

Упражнения
233
Используя известные тригонометрические формулы (см.
приложение А), перепишем уравнения (9.132) и (9.133) в виде
а = — еца + ща cos (2/ + 20) + -i- еа3 sin (2/ + 2Р) +
+ -^-еа* sin (4/ -f 4р) - ^-efsln [(1 + со) / + |3] -
--J-e/sin[(l-©)*+W, (9.134)
ар = —гра sin (2/ + 2Р) + -|~еа* + 4" 8a* cos <2/ + 2Р) +
+ -J- еа3 cos (4/ + 4Р) - -у*е/ c°s [(1 + ©) * + Р] -
- -j-е/cos [(1 — со)/ -f- Р]. (9.135)
В первом приближении следует сохранить только медленно
меняющиеся слагаемые в правых частях уравнений (9.134), (9.135).
В случае первичного резонанса со ^ 1, и медленно меняющимися
членами являются sin [(1 — со) / + PJ в (9.134) и cos [(1 — со) t +
+ р] в (9.135). Таким образом, приходим к системе
а = — е\ш - 4-е/sin [(1 - со)/ + Р], (9.136)
ар = -|-еа3 - -±- e/cos [(1 - со) / + Pi. (9.137)
которая полностью совпадает с системой (9.94), (9.95),
полученной по методу многих масштабов, если учесть, что со — 1 = ест.
Упражнения
9.1. Отклик системы с квадратичными нелинейностями на синусоидальное
возбуждение описывается уравнением
и + coga — —2e\iu + гаи2 + К cos Q/.
а) Используя метод многих масштабов, показать, что
и0 = АеШоТ° + AeiQT° + (к. с),
&0и{ + (л\и{ = -2ico0 (А' + iiA) еШоТо — 21рЛаешт° —
_ а \aV^t. + А2#шт. + Ад + Л2 + 2jUi <q-g>0) Го +
+ 2ЛЛв/<о+»в>Гв| +(к.с).
Чему равно Л?
б) Для случая 2Q = о0 + еа показать, что
2*о0 (Л' + |лЛ) + *№т* = 0.
Решить это уравнение относительно А и затем найти решение, соответствующее
установившемуся режиму.
в) Для случая Q = 2©0 + еа показать, что
ФоИ' + М) + <*ЯЛ*'оГ1.

234 Гл. 9. Уравнение Дюффинга. Вынужденные колебания
Решить это уравнение относительно А. Указать условия, при которых
амплитуда А будет неограниченной.
9.2. Рассмотреть уравнение
+ <й%и = е ( й о" "3) + е£ cos Q/.
Для случая Q = со0 + еа, используя метод многих масштабов и метод
усреднения, показать, что
и — a cos (со0/ + Р),
где
4 = -ге(1--гш*,,)в + -й;81п(еа<-р)>
ар=2^С08(8а/-р)-
9.3. Рассмотреть уравнение
и + ©jji* = e (и -L йЛ -f-KcosQ/,
где Q не совпадает с частотами Зсэ0, со0/3 и 0. Используя метод многих
масштабов и метод усреднения, показать, что £gj
is
и ~ a cos (со0* -f- Р) — — cos Й/,
ее" — COq
где а = _ е ^л _ _ Ца2) а, (1 = 0.
Определить величину г\.
9.4. Рассмотреть уравнение
й +co2w =е (и i- иЛ + /CcosQ/,
где 3Q = со0 + еа. Используя метод многих масштабов и метод усреднения,
показать, что
is
и = a cos (о0/ + р) — Q2 _ р2 cos Q/,
где а = -^- е ( rj j- со2а2 J a -f Tcos (еа/ — P),
ар - еГ sin (еа/— Р).
Определить величины т) иГ.
9.5. Рассмотреть уравнение
й + со2ы = е (и — йЛ ,
где Q = 3(о0 + еа. Используя метод многих масштабов и метод усреднения,
показать, что
и = a cos (со0/ + Р) — Q2 _ рд cos Q/,
где d = —е /<п — -j- со§аМа+ -^-eco0gcos(ea/ —ЗР),
ар ^= — eco0ga2 sin (еа/ — Зр).

Упражнений 235
Определить величины г\ и £.
9.6. Рассмотреть уравнение
u -f а = —ей | u ] -f 2е£ cos Q/,
где Q = 1 + еа. Используя метод многих масштабов и метод усреднения,
показать, что
ы= a cos (/ + Р)+...,
4еа2
где а = - 1- е& sin (ест/ — Р),
ар = — ek cos (еа/ — Р).
9.7. Рассмотреть уравнение
и + и + 2еы2« = 2е& cos Q/,
где Q = 1 + еа. Используя метод многих масштабов и метод усреднения,
показать, что
и — a cos (/ + Р),
где а = J- еа8 + ek sin (еа/ — Р),
ар = — гк cos (еа/ — Р).
9.8. Рассмотреть уравнение
u + o>lu + ей4 = 2/( cos Q/.
Показать, что резонансы первого порядка существуют при й « 4co0, 2со0, <d0/4,
ю0/2, 2©0/3 и 3<о0/2. Используя метод многих масштабов и метод усреднения,
вывести уравнения, описывающие изменения амплитуды и фазы в каждом случае.

Глава 10
МНОГОЧАСТОТНОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ
В то время как в предыдущей главе мы имели дело с одноча-
стотным возбуждением, предметом исследования в данной главе
будет многочастотное возбуждение. Для того чтобы уменьшить
объем вычислений, будем рассматривать систему с квадратичной
нелинейностью, находящуюся под действием двухчастотного
возбуждения. Итак, обратимся к уравнению
и + и + 2е|хй+еи2 = Fx cos a>xt + F2 cos (<u2t + v), (10.1)
где v — постоянная фаза, a Fn и o)n — некоторые постоянные.
Как и ранее, прежде всего построим прямое разложение и
исследуем его равномерность, чтобы выявить малые знаменатели и,
следовательно, возможные резонансы. В § 10.2, с тем чтобы
построить равномерно пригодные разложения первого порядка для
некоторых из этих резонансов, мы используем метод многих
масштабов. В § 10.3 рассмотрим эти резонансы с помощью первого
приближения метода усреднения.
10.1. Прямое разложение
Будем разыскивать (двучленное) разложение первого порядка
для решения, и в виде ряда по степеням е
и (*, е) = и0 (0 + шх (t) + • • • . (10.2)
Подставляя (10.2) в уравнение (10.1), имеем
й0 + ейх + • • + и0 + еих + • • • + 2г\л (й0 + • • • )+
+ е (и0 + • • )2 = Fx cos (uxt + F2 cos ((o2t + v),
uo + uQ + e (u{ + u\ + 2|лй0 + ul) -f- •.. =
= Fi cos (Hit + F2 cos(co2/ + v). (10.3)
Приравнивая коэффициенты при последовательных степенях 8
в обеих частях уравнения (10.3), получаем
й0 + и0 = Fx cos ©!* + F2 cos (w2f + v), (Ю.4)
- Й1 + u\ = — 2|Ш0 — Mo- (10.5)

16.1. Прямое разложение 23?
Общее решение уравнения (10.4) может быть получено так же,
как в § 9.1 или в приложении Б. Оно имеет вид
и0 = a cos (/ + Р) + 2Aj cos со^ + 2Л2 cos (со2/ + v), (10.6)
где а и Р — произвольные постоянные, а
При этом уравнение (10.5) принимает вид
й1 + Ни = 2fx [a sin (/ + Р) + 2Л1со1 sin со^ + 2Л2со2Х
X sin (а)2/ + v) ] — [а cos (t + Р) + 2Лг cos со^ +
+ 2Л2 cos (со2/ + v) I2,
или
йг -f Ui = 2fi [a sin (/ + P) + 2Л1<о1 sin co^ -f 2A2co2sin (co2/ -f v)l —
- a2 cos2 (* -f P) - 4 A2 cos2 со,/ - 4Л2 cos2 (co2/ + v) -
— 4aAx cos (/ - j P) cos co^ — 4aA2 cos (/ -f P)cos (^ + v) —
— 8AiA2 cos (dit cos (<d2t + v). (10.7)
Используя известные тригонометрические формулы, перепишем
уравнение (10.7) в виде
й\ f иг = 2|ii [a sin (/ -f- Р) -\- 2Л1со1 sin со/ -|- 2Л2со2 sin (со2/ + v)l —
- (-1- я2 I- 2Л? + 2Л22) ~ 4" fl2 coS (2/ + 2^ "
- 2Л? cos 2<о!* - 2Л2 cos (2со2/ -f 2v) -
- 2aAx cos [(1 -f coj) / + Pi ~ 2aAj cos [(1 - coj) t + P) +
+ 2aA2 cos [(1 + co2) / + P + v] - 2aA2 x
X cos [(1 — co2) t + P — v] — 4AjA2 cos [(coj -|- co2)/ -f v] —
- 4AiA2 cos [(co2 - ©J /fv]. (10.8)
Как указывалось ранее, решение однородного уравнения мы
учитываем только при построении решения и0. Частное решение
уравнения (10.8) имеет вид (см. § Б.4)
и, = [-pat cos (t + р) + ii^g. sm Wlt + Ji^|. sln ((U2, + v)] _
- (4-a2 + 2Л? + 2Л1) + 4~ fl2 cos (2/ + 2p) -
2Л2 2Л2
- i-щ cos2(°i' - 1_4ц cos(2co2/ + 2v) +

U38 Гл. 10. Многочастотное возбуждение
- l-(4MA11+^cos[^+^)/+v]-
- L^^cosKm, - ajt + v). (10.9)
Подставляя (10.6) и (10.9) в уравнение (10.2) и используя
определение Лп, имеем
и = a cos (t + Р) + -p^j- cos alt + -р^ cos (©,/ -f- v) +
+ e |-Иа/ cos (/ -[- p) + ^g, sin co^ +
+ irSfF »m(«^ -I- v) - 4- a> - 2-Tri!F -
-2<rir+Tfl2cos(2' + 2P)-
2(1—cdJ)2(1—4©|) LUbZUJi* 2(1 — co2)2 (1 _ Щ) л
X cos(2co2/ + 2v)+ (1„ш^1 + ш.) cos[(l Ч-со^ + Й-
^ (l-H^-pf) C0S [(1 - *i) ' +-W +
+ П-црр^ + ш» cos[(l+co2H + p + v]-
- п-цр^-шв cos[(l-co2)^ + p-v]-
- (l^coD(l-Sni--(co1 + co2n C0S K^i + °d ' + v] -
- (l-coDd-Sni-K-co.n cos K«. - "i> < + v]}+ • ■ ■.
(10.10)
Уравнение (10.10) показывает, что малые знаменатели появляются
в тех случаях, когда о)х *^ 1, о)! «^ 1/2, о^ ^ 2, со2 ^ 1, со2 ^*
^ 1/2, со2 «^ 2, со2 + о)! ^ 1 и со2 — о)! ^ 1. Поскольку при
щ ^ 1 и со2 ^ 1 малые знаменатели возникают в первом члене
разложения, эти случаи называются первичными, или
основными, резонансами. Все остальные резонансы называются
вторичными, поскольку соответствующие и малые знаменатели
появляются в-высших приближениях. Случаи ыг ^^ 1/2 и со2^ 1/2
называются супер гармоническими резонансами порядка 2,
поскольку при этом в системе возбуждаются свободные колебания
с частотой 1, равной приблизительно 2(йг или 2со2. Случаи щ ^ 2
и со2 ^ 2 называются субгармоническими резонансами порядка

J0.2. Метод многих масштабов
239
1/2, так как при этом возбуждаются свободные колебания с
частотой, примерно равной 0)^2 или со2/2. Случай ыг + <о2 ^* 1
называется комбинационным резонансом суммарного типа, а
случай со2 — Wj^ 1 — комбинационным резонансом разностного
типа. В следующем параграфе мы покажем, как метод многих
масштабов может использоваться для построения равномерно
пригодных разложений в случае вторичных резонансов. Что
касается основных резонансов, то их исследование проводится так же,
как это описано в предыдущей главе.
10.2. Метод многих масштабов
Если ограничиться членами первого порядка, то наряду с
быстрым временем Т0 = t следует ввести медленное время Тг = et.
При этом
JJ- = D0 + bD1+-..9
-^ = Д? + 2еДД _(-...,
где Dn = д/дТп. Тогда уравнение (10.1) примет вид
DqU + 2eDoD{u -\ \- и + 2ец (DQu + еДи -\ ) -f ей2 =
= Fx cos щТь + ^2 cos (со2Г0 + v). (10.11)
Будем разыскивать приближенное решение уравнения (10.11)
в форме
Г\ ' ! и = и0 (Г0, Тг) + вих (Г0, Гх) + ... . (10.12)
Подставляя (10.12) <в уравнение (10.11) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих его частях, получаем
[?0и0 + uo = F{ cos щТ0 + F2 cos (со2Г0 + v), (10.13)
Do«i + щ = —2D0DiU - 2fiD0w0 — *4 (10.14)
Общее решение (10.13) можно записать в следующей
комплексной форме:
и0 = А (Тг) eiT° + А (Тг) e~iT* \- Ахе'**т* +
+ Лгег*«>г г« + Л2е«»*т<> +А2е-Ш*т<>, (10.15)
При этом уравнение (10.14) принимает вид
Dg«, + ы, = —2» (Л' + \аА)е1Т° - 2ща>А1е{<й,т° - 2щщА2е1а'т' -
-А2е2!Т° - А2е2Ш'т° - Ah2l°"T° - АА - Л? - Л2Л2 -
—2ААге* <•+»•> г« - 2ЛЛхе< <»-••> г« - 2ЛЛ2е« <«+••> т> -
—2ЛЛае<,-<|>«> го - 2ЛхЛ2е' «->.+<»>) г. _
—ЯЛ^Л,^<•«-««) г» +(к. с). (10.17)

240
Гл. 10. Многочастотное возбуждение
Как и в предыдущем параграфе, частные решения уравнения
(10.17) содержат секулярные члены и члены с малыми
знаменателями. Для того чтобы разложение было равномерным, эти члены
должны быть уничтожены с помощью подходящего выбора
функции А. Тот или иной выбор А зависит от типа возникающего
резонанса. Ниже мы рассмотрим два случая: а) сох + щ «=* 1
б) со2 — 0)!^ 1 и о2 *=« 2.
10*2. 1 - СЛУЧАЙ CDj-f с»2^1
В этом случае предполагаем, что сог + со2 « 1, а все остальные
резонансы в членах первого порядка отсутствуют. Чтобы описать
близость суммы (Ох + со2 к единице количественно, введем
параметр расстройки а, определив его с помощью соотношения
<*i + со2 = 1 + еа. (10.18)
Единственными членами в уравнении (10.17), которые могут
порождать малые знаменатели, являются член —2AtA2 exp [i (ыг +
+ со2) Т0] и член, комплексно-сопряженный с ним. Используя
соотношение (10.18), перепишем этот член в виде
—2АхV <»«+»■> г° = —2КХК^ <1+еа) т° = —2А1Л1в'т»+'о7,«.
При этом уравнение (10.17) примет вид
Dim + Hi = —21 {А' + \лА) eiT° - 2Л1Ла^о7Уг§ + (к. с.) + (Н.С.Ч.),
(10.19)
где символ Н. С. Ч. обозначает члены, не дающие вклада в
секулярные слагаемые. Требование отсутствия секулярных членов
в решении уравнения (10.19) приводит к соотношению
21 {А' + \*А) + 2ЛхЛ2^г» = 0,
или А' + \лА = iAxA2eiaTK (10.20)
В данном случае уравнение (10.20) для комплексной
амплитуды, поскольку оно является линейным неоднородным
уравнением первого порядка, допускает точное решение; при этом
представлять А в показательной форме не требуется. Решение
однородного уравнения имеет вид
Л = се-*г«, (10.21)
где с — комплексная постоянная. Так как правая часть
уравнения (10.20) содержит экспоненту, то соответствующее ей частное
решение можно искать в форме
A = beiaT>. (10.22)
Подстановка (10.22) в уравнение (10.20) дает
iobecaT* + i*beiaTi + *Л1Л2е«тТ>,
ИЛИ fab + \ib = /л;л3,

10.2. Метод многих масштабов
241
откуда ^ == *'AiAa
При этом общее решение уравнения (10.20) имеет вид
А = се~*Т* + *+** eiaT*. (10.23)
Подставляя выражение для А в формулу (10.15), а затем
подставляя полученный результат в разложение (10.12), получаем
и = \сет*** + 'llAa е'*еа'1 *" + Ai*'®*' + Л,в'®»' + (к. с.) + О (е).
(10.24)
Представим теперь постоянную с в показательной форме с =
= (1/2) а0 ехр (ф0) и подставим выражения (10.16) для Лп в (10.24).
В результате имеем
и = —е-е^е* <'+Ро) л iFlf2 ес (0+*°) '+'v 4-
-I £± £*<М J ^2 ei (CD2f+V) I /K C ) I И (E)
^2(1— of) * т 2(1 —со?) TlK-4t^(fc/-
(10.25)
Заметим, что 1 + ea = о)х + co2 (см. (10.18)) и
! = 1 p-l arctg (а/ц)
И- + i<* V\& + O2
Следовательно, мы можем переписать решение (10.25) в виде
и = а0е-*»< cos (/ + ft) ^— X
V -ГКО/ 2(1-©2)(1_(й2)уу2 + а2
X sin [(©! + ©,) < + v - arctg у] + T^rsf cos coxt +
+ Т^ЦС08^ + v> + °(е>- (1026>
При /~>- оо первый член в правой части (10.26) стремится к нулю,
и и стремится к следующему установившемуся решению:
и= £&— sin [(а^ + ю,)*+ v - arctg —1 +
2(i- <of) (i - o>|) \Гу? + а2 [V 1 -г 2/ -г в ^ j -г
+ T=isrC0S ^ + T~WC0S (0)2/ + v) + °(8)' (10'27)
10.2*2. СЛУЧАЙ W, — ©j « 1 и ©1»2
В этом случае предположим, что два резонанса существуют
одновременно, а именно со2 — ы1 *=^ 1 и сох ^ 2; другими словами,
имеем со1^=^2и со2я^З. Для того чтобы исследовать этот случай
более подробно, введем два параметра расстройки аг и а2,
определив их соотношениями
(0j = 2 + еа;, со2 = 3 + еа2. (10.28)

242
Гл. 10. Многочастотное возбуждение
Подставляя (10.28) в уравнение (10.17), имеем
rfoUl + щ = —2i (Л' + \лА) eiT° - 2А1АеСТ°-НгоТо -
—гЛхЛ^' <a«-ai> еГ°+'т° _|_ (К. с.) _|_ (Н. С. Ч),
или
DgWl -f- Mi — — 2i (A' + цЛ) £>tT° - 2AlAeioTleiT° -
—2\ХЛ^ <a«-a«> r<etT° + (к. с.) + (H. С. Ч).
(10.29)
Уничтожая секулярные члены, получаем
i {А + цЛ) + ЛИ*'0'7". + A^V <а'~а'> т> = 0. (10.30)
Уравнение (10.30) представляет собой неоднородное уравнение с
переменными коэффициентами. Прежде всего преобразуем его
в неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Введя
с этой целью подстановку
А = Ве*т*9 (10.31)
где к — вещественное число, получим
i (В' -Ь &В + цВ) eikT> -f АхВе1 «v-M г* + Ах\#* <а'~а'> т* = 0,
или
i (В' + &В + (хВ) + ЛХВ^ <°'-2*> г> + Л^е* <°.-°.-м г. = 0. (10.32)
Если выбрать X = ог/2, то коэффициенты при В и В не будут
зависеть от 7\, и тогда уравнение (10.32) примет вид
i (В' + -g-toifl + fxS) + ЛхВ + ЛхЛ2^ (^-за1/2) 7, = о. (Ю.ЗЗ)
Вместо того чтобы выражать В в показательной форме, как
в предыдущих случаях, представим В в виде
В = Br + iBt. (10.34)
Возникающие при этом уравнения решаются легче, чем
уравнения относительно модуля и аргумента В. Подставляя (10.34)
в уравнение (10.33) и используя (10Л6), с тем чтобы
представить Л2 в показательной форме, получаем
iBr - iB\ - \o\Br - ^-ioxBi + щВ - цВ, +
+ ЛхВг - iAxBt + Г cos (оТх + v) + *Т sin (а7\ + v) = 0, (10.35)
где Г = TTy^|f - а = а2 - 4" ai- (10'36)
Отделение действительной и мнимой частей в (10.35) дает
B'r + \iBr - (Л, + -j-ffi) в< = ~rsln (^ + v)> (10-37)
щ + КВ, - (Л, - -±- а,) Вг = Г cos (оГ, + v). (10.38)

id.2. Метод многих масштабов
243
Поскольку (10.37) и (10.38) представляют собой систему
линейных неоднородных уравнений относительно Вг и 5,, их общее
решение можно получить как сумму общего решения однородной
системы и некоторого частного решения. Общее решение
однородной системы можно получить, представив ВТ и Вх в виде
ВТ = ЬГеУТ^ Bi = bievT>. (10.39)
Подставляя теперь (10.39) в систему уравнений (10.37), (10.38)
и приравнивая нулю ее правую часть, получаем
(у + v)br- (лх + 4-а0ь* = °> (10-4°)
-(A!--J-ai)^ + (T + l*)bi = 0- (10-41)
Таким образом, наша задача свелась к решению системы двух
линейных однородных алгебраических уравнений. Поскольку нас
интересуют нетривиальные решения для Ът и Ъь определитель
системы (10.40), (10.41)
Y + H — (Ai-f-g-Qi)
-(Ai~4~ai) ? + fi
должен обращаться в нуль. При этом
(7 + fx)2-A? + 4^=0- (10-42)
Это условие можно было бы получить и путем исключения Ьт
и bt из системы (10.40), (10.41). Из уравнения (10.42) следует,
что
Y + |i = ±]A\?--i-a?. (10.43)
Следовательно, существуют два возможных значения у. Они даются
формулами
Yi = -H- ]Av?-4"°?' Т2--[^ + |/л? + 4-а?. (10.44)
Далее, из уравнения (10.40) получаем, что
bt = —v + 1* br. (10.45)
Ai + "2" ai
Поэтому если
Д^М'^+М*7"1. (10.46)
то из соотношения (10.45) имеем
Bt= VlY M"r' + Ъ\* Ь2еУ>т>, (10.47)
Ai + "2" ai Ai + -g- a2
где /?! и b2 — произвольные постоянные.

244 /V». 10. Многочастотное возбуждение
Частное решение системы (10.37), (10.38) можно построить
с помощью метода неопределенных коэффициентов. Поскольку
правые части системы содержат синусы и косинусы аргумента
о7\ + v, а уравнения системы имеют постоянные коэффициенты,
будем искать ее частное решение в виде
ВТ = сх cos (о7\ + v) + с2 sin (о7\ -f v), (10.48)
Bt = с3 cos (оТх + v) + c4 sin (o7x + v). (10.49)
Подставляя выражения (10.48), (10.49) в уравнения (10.37),
(10.38) и приравнивая коэффициенты при cos (а7\ + v) и
sin {oTi + v) в обеих частях этих уравнений, получаем
\асх + стс2 — [hx + -y Oi) с3 = 0, (10.50)
-oc1 + fic2-(Ai + -l-o-i)c4 = -r) (10.51)
— (л1 - 4" °0 Cl + № + <«« = Г, (10.52)
— (лх 2" °i) с* — асч + ^с4 = °- (10.53)
Воспользовавшись правилом Крамера, найдем, что решение
системы уравнений (10.50)—(10.53) имеет вид
о -(Лх + ^-Ох)
0
0
-Г
Г
о
о
о
(Ax + 4-°i)
-(л1--г°0
(10.54)
1
1
с3 = —
V-
—о
-(Лх-4^)
0
И
—о
-(Лх-4-<Гх)
0
0 -
—г
г
0
-(л,
-(Лх + ^-Ох)
0
И
—о
а 0
ц -Г
0 Г
- 4-*) 0
(>i + -r°0
(10.55)
(Ai + T-oi)1
(10.56)

10.2. Метод MHoiux масштабов
245
с. = -
И
(Лх-4-Oi)
О
о
.(А1 + ^а1) 0|
О
(Аг-^Ог)
—а
где
Д =
—Г
г
о
(10.57)
—а
-(Лх-^-аа)
О
-(Л,+ -J ах) О
О -(Лх+^ах)
|ы а
(Ai — ~y <Ji) —о fx
О
(10.58)
Складывая решения однородных уравнений (10.46), (10.47)
с соответствующими частными решениями (10.48), (10.49),
получаем следующее общее решение системы (10.37), (10.38):
ВТ = Ь^7* + Vv<r' + Cl cos (oTl + v) + C2 sin (aTl + v)> (Ю.59)
Ai + -g- <Ji
Ai f -g- ai
+ c3 cos (a7\ + v) + c4 sin (аГх + v). (10.60)
Из соотношений (10.31) и (10.34) и того факта, что к = ах/2,
следует, что
А = (Br + ffi,) в<>/2> "*г. . (10.61)
Подставляя (10.61) в формулу (10.15), а затем подставляя
полученный результат в (10.12) и используя (10.16), имеем
и = (Вг + iBt) е* [1 + и/2) еа»1 ' + (£r - iBt) е~* П + ц/2) e<rt _j-
+ -j^Sf cos *** + T^Sf cos (ш«* + v> + ° (*)•
Так как сох = 2 + ea, то, следовательно,
+ T^15f cos <** + т^гcos (^ + v) + ° 00'
1 IF
или и = 2Br cos -5- co^ — 2B* sin -5- co^ + -;—Ц- cos co^ -f-
(10.62)

246 Рл. Ю. Многочастотное возбуждение
Подстановка (10.59) и (10.60) в (10.62) позволяет получить
следующее выражение для первого приближения:
и = 2 [fr^vi' -f fe2£ev*' + Cicos (ea* + v) + c2 sin (ea/ -f v)] cos -y o)^ —
- 2 Г Yl+1tA W*** + 72+^ Ь2^2' + c.,cos (ea/ + v) +
[Ai + yCTi Ai+y-a!
1 1 F
-f c4 sin (ea/ -(- v) sin -g- о)х/ + ] _1ft)2 cos w^ +
+ Т^Г005^ + v) + 0(e). (10.63)
Формула (10.63) показывает, что решение и становится
неограниченным по /, если вещественная часть Yi или уг
положительна. При этом из соотношений (10.44) следует, что
вещественная часть Yi всегда отрицательна, в то время как вещественная
часть 72 положительна при условии
Л\>Т<Л и |/л?-1-а?-^>0,
или A^>yai + (Li2.
В этом случае пропорциональные cos ((d^/2) и sin ((0^/2) члены
в (10.62), которые описывают свободные колебания системы,
будут стремиться к бесконечности при /->оо. Фактически же
решение и остается ограниченным, но член, описывающий
свободные колебания, становится большим, и необходимо продолжить
разложение до членов более высокого порядка.
Ю.ЗЛМетод усреднения
Как и ранее, применение этой методики начинается с
введения вместо искомой функции и двух новых зависимых
переменных— амплитуды а и фазы (5 свободных колебаний и
использования идеи вариации произвольных постоянных. С этой целью
заметим, что при е = 0 решение уравнения (10.1) имеет вид
и = a cos (/ + р) + -j^jp cos ioxt + 1-^sr cos (atf + v), (10.64)
где а и j} — произвольные постоянные. Тогда
й = -a sin (t + Р) - у^- sin atf - -g^- sin (co2/ + v). (10.65)
В случае г Ф 0 вновь представим решение в форме (10.64),
подчинив его условию (10.65), но при этом будем считать амплитуду а
и фазу р функциями времени t.

10.3. Метод усреднения
247
Дифференцирование (10.64) по / дает
й-=--—а sin (/ + Р) -\- a cos (/ + р) - af$ sin (/ + Р) —
- "T^rVsin ^ " хйгsin (^ + v>- (I0-66>
Сравнивая соотношения (10.65) и (10.66), заключаем, что
a cos (f + Р) — ар sin (t + р) = 0. (10.67)
Далее, дифференцируя (10.65) по t, находим
и = - acos(/ + Р) - a sin (/ + р) - ар cos # + Р) —
--Sfcos^--Tz|fcos((o^ + v). (10.68)
Подставляя выражения (10.64), (10.65) и (10.68) в уравнение (10.1),
получаем
a sin (t + Р) + ар cos (t + р) = в/, (10.69)
где
/ = -2ц [а sin (t -Ь Р) + -£^- sin ш^ f -^^ sin (<*2t + v) ] +
+ a2 cos2 (* + P) + (1 _?m!)1 cos2 «** + -(nr||)T cos2 (o^ + v)4- .
+ тйт cos (t + P) cos в*/ + -^L_ cos (* + p) cos (aV + v) -f
+ (i _mp ft-«oD cos^cos(Ю2^ + v)- (10-7°)
Разрешая уравнения (10.67) и (10.69) относительно d и ар, имеем
а = e/sin(f + р), (10.71)
ap = e/cos(* + Р). (10.72)
Подставляя в систему (10.71), (10.72) соотношение (10.70) и
используя известные тригонометрические формулы (приложение А),
получаем
а = -ща + г\ла cos (2t + 2р) ~ \F^ {cos [(щ - 1) t - Р] —
- cos [К + 1) / + PI} - ^Щ- {cos [(a>2 - 1) t - р + v] -
- cos[(o)2 + 1) t + p -h v]l + 4-ea2 sin (f + p) +
4- -5-ea2 sin (3* 4- 3P) 4- 2{1*^Щ)9 {sin (f 4" P) +
+ -5- sin [(1 + 2Wl) ^ + p] 4- i- sin [(1 - 2(ox) f + p] j +
+ 2(1-1^ {sin С + P) + Tsin Id 4- 2a>2) / 4- P 4- 2vJ 4-

248
Гл. 10. Многочастотное возбуждение
+ 4sinKl-2o)2)^ + p-2v]j + 2(i^1(oD{sin[(2 + co1)/ + 2p] +
zaF,
+ sin [(2 - щ) t + 2ft} + 2(1_'а1) {sin [(2 + ©,) t + 2p + v] +
+ sln[(2-M>)< + 2P-v]}+2(1_^_ai) X
X {Sin [(1 +0)! + C02)/ + p + V] -{- Sin[(l - 0)! - ©,)< + P - V] +
+ Sin [(1 + 0)2 - (0!) f + P + V] + Sin [(1 - Щ + CO!) t + P - V]},
(10.73)
op = -в|ш sin (2/ Ь 2p) - -g&J- {sin (K + 1) / + pj -f
+ sin [(cox - 1) t - pj} - -^L {sin [(o)2 + 1) t + P + v] +
+ sin[(o>2 — 1)C —p4-v]}+-|-a2cos(^ + p)4--l-a2cos(3^ + 3p) +
+ 2(13»»» {cos С + P) + Tcos Kl + 2wi)' + PJ +
+ 4-cos [(1 - 2(0!) t + p]} +2(i^)1{cos (* + P) +
+ 4 cos [(1 + 2(0.) + P + 2v] + 4-cos [(1 -2©2) / + p -|- 2v]J +
+-Sf {cos <**+4-cos K2+^ *+2N+
+ -j- cos [(2 - ©0 * + 2p]} + -j^- |cos (co2* + v) +
+ 4- cos [(2 + g>2) t + 2p + v] + 4- cos [(2 - o)2) / + 2p - v]J +
+ 2(1_^i2_(ol){cos[(l+co1 + o)2)< + P + v] +
+ COS [(1 - Щ - <Ot)t + P - V] +COS [(1 +©, - (Ox^ + p + V] +
+ cos[(l -(02 + (0i) ^ + p-v]}. (10.74)
Отметим, что в результате правые части уравнений (10.73)
и (10.74) оказались весьма громоздкими. Можно было бы
значительно упростить их, если представить и и и в соотношениях
(10.64) и (10.65) не в действительной, а в комплексной форме.
Для этого положим
и = Ае" + Л^""-' + Лге'4»»' 4- (к. с), (10.75)
й = iAe" 4- icox/V""'' 4- ШгЛце"*'* 4- (к. с). (10.76)
Дифференцируя и по t с учетом того, что А = A (t), получаем
ц = iAe" 4- Лё" 4" »«УУт1< 4- twAe'6»»' 4- (к. е.). (10.77)

10.3. Метод усреднения
249
Сравнивая (10.76) и (10.77), заключаем, что
Ae" + AV" = 0. (10.78)
Дифференцирование соотношения (10.76) по t дает
и = —Ае" + Ш" - ©?Л,е*ж,/ - <&\*Р'' + (к. с). (10.79)
Подставляя теперь выражения (10.75), (10.76) и (10.79) в
уравнение (10.1) и используя (10.16), находим
Ш" - (Ае'" = —21гц [Ае" + co1A1e''0>1' -f gvV'05''] -
_ елУ" - еЛ2е2'м'' - еЛ|е"и'' - 2еЛА,е' (,+и'>' -
— 2еЛЛ2е'(1+<0г)' - гА А- еЛ2. - еЛ2Л2 -
— 2гАА1е' <••-» < - 2гАА^ «■>>-'> < _
— 2еЛхЛ2е< <»•+»«>' — 2еЛхЛ2е< <<в«-«>'>' -j- (к. с).
(10.80)
Из равенства (10.78) следует, что А ехр (—it) = — А ехр (#).
Тогда из (10.80) имеем
М = [—iefx [Ле« + анЛ^' + ©jA^'®»'] --^-zA2c2it -
_ i-eA?e2^< - i- еА^2'40*' - еЛЛ^ (ы'+,)' + еЛЛ2е'«°'+1)' -
-4-е (A Л + Л? Ь Л2А2) - еЛЛ/ ^^ ' - еЛЛ2е< {(*>~]) ' -
— еЛЛ^' <w*+<»«> < — eAiA^ <««-««>' + (к. с.)] в"". (10.81)
Наконец, представляя Л в показательной форме и отделяя в
соотношении (10.81) вещественную и мнимую части, приходим к
системе (10.73), (10.74).
Перейдем теперь к рассмотрению случая coL -+ о)2 — 1 + еа»
обсуждавшегося в п. 10.2.1, и случая о^ = 2 + еа1т о>2 =z 3 +
+ еа2, обсуждавшегося в п. 10.2.2.
10.3.1. СЛУЧАЙ со, + ю, «1
В первом приближении мы сохраним только медленно
меняющиеся члены в правых частях уравнений (10.73), (10.74). В
результате имеем
а = -еца + 2(1_*ffi_.ml) sin f(l - щ - со2) t + р + v], (10.82)
«M27T^§fr=^^C0^ (10-83)
Система уравнений (10.82), (10.83) эквивалентна уравнению (10.20),
полученному с помощью метода многих масштабов. Отметим, что,

250 Гл. 10. Многочастотное возбуждение
в то время как уравнение (10.20) линейно, система (10.82), (10.83)
оказывается уже нелинейной. Именно по этой причине мы не
представляли амплитуду А в показательной форме, а решали
уравнение (10.20) в комплексном виде.
Сохраняя в уравнении (10.81) лишь медленно меняющиеся
члены, находим
А = —щА + U\x\£* <»1+®.-1> t9 (10.84)
что полностью согласуется с уравнением (10.20).
10.3.2. СЛУЧАЙ со, - со, « 1 И со, ж 2
Сохраняя в правых частях уравнений (10.73) и (10.74)
медленно меняющиеся члены, получим уравнения
а = _е|Ш + 2(Г-о)|) sln 1(2 - ®i)< + ЭД +
+ 2(1_^.(Ql)sin[(l-co2 + o)1)^ + P--v]> (10.85)
аР =2 (Г-со*) cos К2 - ^' + 2W +
+ 2(1 — ^)0-108) C0SK1 -«H + ^X + P-vb (Ю.86)
которые эквивалентны уравнению (10.30), полученному с
помощью метода многих масштабов. Снова отметим, что уравнение
в форме (10.30) представляется более удобным для решения, чем
система уравнений (10.85), (10.86).
Если сохранить только медленно меняющиеся члены
непосредственно в уравнении (10.81), то результат имеет вид
А = ~г\лА + иААге* <а^ t + ieAxA^ <»«-*i-»>', (10.87)
что полностью согласуется с (10.30). Вывод уравнений (10.84)
и (10.87) показывает, что комплексная форма записи решения
является более удобной по сравнению с действительной.
Упражнения
10.1. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, получить
уравнения для амплитуд и фаз первого приближения в случае системы,
описываемой уравнением
и + cogu = ей2 + К\ cos Qxt + К2 cos Q2t, е < 1,
при условии fi2 ± &i ^ ©о.« Ограничиться случаем, когда значение частоты И!
достаточно далеко от нуля.
10.2. Рассмотреть уравнение
и + иЦи + ew3 = Ki cos (Qxt + 9Х) 4- К2 cos (Q2t +- 62),

Упражнения
251
где со0, Кп и 6rt — постоянные. При условии что значения частот Qn
достаточно далеки от со0, с помощью метода многих масштабов показать, что
и0 - Л (74) в1""07"0 + Aie/Ql7,° + Л2е''йгГо + (к. с),
Далее показать, что
Dou\ + ®o"i = — [2'Ш<И' + 3 (АА+ 2ЛД, + 2Л2Л2) Л] г'®вГв —
- 3 (2 А А + AxAi + 2Л2Л2) Л^'7'" - 3 (2 Л J+ 2ЛА + Л2Л2) X
X Л2*'°«7'* - ЛV®-7"» - A?*3'0'7' - ЛУа'т* ~
- ЗА2Аге1 <2<**+fi'> г<> - ЗЛ2Лае' <2®о+а„> Го _
- ЗЛ2Л/ (2w°-Ql) r° - ЗЛ2Л2е'' (2»о-о.) т0 __
- 34AV t^*20*) r° — 3i4AV (^о+гйв) 7-0 __
- ЗАА2е< ««о-20») г° - зЛА^в' <««"20«) г° -
- 6ЛЛхЛ2е< («о+я1+й2) Го _ ьАА*А*1 (соо-о.-О.) т-# _
- бЛЛхЛ/ (wo-fii+Q«) ^ - бЛА^е' (®o+Oi-0.) 7-d __
- ЗЛ2Л2е< (2Q>+ft*> r< - 3A2V (2Ql*Q,) Т° -
- ЩА& (Q'+2Q'> r° - ЗЛ^' (20»-в«> Г° + (к. с).
а) Показать, что при Q2> Qi резонансы возникают при условиях
со0 « 3fij или 3Q2, <о0 « -5""й1 или "q"^2» ©0^^2±2Q1 или 2QX — Q2,
о о
со0 « 2Й2 ± Qlt со0 « y(fia ± fii).
б) Показать, что резонансы разных типов существуют одновременно при
условиях
Q2 « 9QX « Зсо0, Q2 » Qj « Зсо0,
1 5
Q2 « Qj « — Q0, ,Q2 л 5QX « — co0,
3 u' £ l 3
7 2
— 0)0, Qa& 2Q2 « —
Й2 « 7^i « -о- co0, Qa « 2QX « — (o0,
7 5
— Qt« 7co0, Q2 « —
Q2 « — Qt« 7co0, Q2 « —- Qx « 5<o0.
в) Для случая co0 = 2ЙХ + Q2 -|- ea показать, что
2/со0Д' + (ЗА 1 + SAjA, + бЛ^) Л + 3A?A2e'ari - 0.
г) Для случая ЗЙг = о>0 + еах и Qa = 3<0ц + еа2 показать, что
2«©0Л' + 3 (ЛЛ + гА^! + 2Л2Л2) А + Л?«" *Tl + ЗА^Ре1**7* = 0.
д) Для случая 3Q* = ю0 + 8ai и Оа + Qx = 2ю0 + еаа показать, что
2Ш0А' + 3 (АЛ + гл^! + гл^Ц) Л + A\eia*T* + 6AA{Atfia*T* = 0.

252
Гл. JO. Многочастотное возбуждение
е) Для случая ЗЙХ = со0 + еог и Q2 — Qt = 2со0 + еа2 показать, что
2/о>0Л' 4- 3 (АЛ + гл^! 4- 2Л2Л2) А + h\ei(5*T* + 6АА{А2е£а*Т> = 0.
ж) Для случая 3Qi = ш0 + eat и 2Q2 — Gi = to0 + ea2 показать, что
2*ю0Л' + 3 (АА+ гл^! -Ь 2Л2Л2) Л + A?e'°*r» + ЗЛ2Л1е'(Г*7'' = 0.
з) Для случая Qx = Зсо0 + ео^ и Q2 — 2Qt = со0 + ea2 показать, что
2/со0Л' + 3 (АА+ 2A,AJ + гл^) Л + ЗА?А{е'а1Т* 4- З^Л^^71 = 0.
и) Для случая Qx — Зсо0 + &о1 и Й2 — Йх = 2со0 4^ еа2 показать, что
21щА' + 3 (>L4 + 2AiAi + 2Л2Л2) А 4- ЗА2Ахеса*т* 4- 6ЛЛ1Л2^(У^* = 0.
10.3. Рассмотреть уравнение из предыдущего упражнения. Пусть
и = А (0 е1(*»* 4- Ai*'Ql' 4- Л2е'°2' 4- (к. с),
—2tco0,A' = {3 (АА + 2AiAi 4- 2Л2Л2) Л в'^' + З (2Л J+AiAi + 2AjAa) Л^'Ч-
+ 3 (2АА 4- 2ЛД! 4- Л2Л2) A2eiQ*f 4- Л V®0' 4- Л?*3'0»' 4-
4- А|^/0«' 4- ЗЛ2Л/ (2Шо+Й1)' 4- ЗЛ2Л2е1' <2в>о+0»>' +
+ ЗЛ2^*' (2(0o"Ql) < 4- ЗЛ2Л/ <2o)°-Q«> * + ЗАА2ес <2Q'+W«> < +
4- ЗЛЛ2е< <2Q'+Wo)' 4- ЗАА2/ <®«"20»>' 4- ЗЛА2*' <«'-20«>< +
4- ЬААхА2е1 (°«+0«+шо)< 4- 6i4AiA^' <Qi+0»-fi>«)' +
4- бЛАхА^* <o.-Oi+«i)< 4- бМхЛ^1' (Ot-o.«»o) * +
+ зл2л^ да»*0-) < 4- 3a?v (2Ql"Qa)' + щф (Ql+2Qa)' +
+ ЗА1Л|в'<ю'-°'>' + (к. c.)}e«*°<.
Усреднить последнее уравнение для случаев, указанных в предыдущем
упражнении.
10.4. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
равномерно пригодные разложения первого порядка для системы уравнений
йх 4- <»>i«i = ai«i"2» W2 + Ш2"2 ~ a2wi
в случае малых, но конечных амплитуд, а также при условии, что соа « 2©!.
10.5. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
уравнения для амплитуд и фаз системы уравнений
U2 4" <01«2 = a2"l"3>
йз + шз"з = <*зи А
в случае малых, но конечных амплитуд, а также при условии, что соз « сох 4- со2.
10.6. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, построить
равномерно пригодные разложения первого порядка для системы уравнений
йх 4- а>\их — ea1«1u2 4- b^i cos fix/,
и2 4- ш1«2 = ea2"i + е&2 cos Q2/
при условиях
а) о>2 » 2о)х и Qi « a>i, б) ш2 » 2(0i ий2» сох.

Глава 11
УРАВНЕНИЕ МАТЬЕ
В отличие от двух предыдущих глав, в которых внешнее
воздействие входило в правые части исходных уравнений, в этой
главе мы рассмотрим возбуждение, описываемое переменными
коэффициентами уравнений. Такое возбуждение называется
параметрическим. Простейшим уравнением, описывающим
параметрическое возбуждение системы с одной степенью свободы,
является уравнение Матье
Jg!_ + (б* + е* cos со*/*) и* = 0. (11.1)
Как и ранее, введем безразмерные переменные, полагая
где Uq представляет собой некоторое характерное значение w.
При этом уравнение (11.1) можно записать в стандартной форме
и + (6 + 2ecos 20 и = 0, (11.2)
Л 46* 4к*
В следующем параграфе мы построим прямое разложение
второго порядка при малых е и исследуем вопрос о его
равномерности. В § 11.2 мы изложим теорию Флоке, описывающую точные
решения уравнения (11.2). В § 11.3 рассмотрим так
называемый метод растянутых параметров, применяемый для построения
приближенных периодических решений, а в § 11.4 построим
приближения к точным решениям. В § 11.5 и 11.6 мы покажем,
как для получения равномерно пригодных разложений решений
уравнения (11.2) могут использоваться метод многих масштабов
и метод усреднения.
11.1. Прямое разложение
Будем искать прямое разложение решения уравнения (11.2)
в виде следующего ряда по степеням е:
и (/; е) = щ (t) + гих (t) + е2«2 (t) + ... . (11.3)

254
Гл. 11. Уравнение Матье
Подставляя (11.3) в уравнение (11.2) и приравнивая нулю
коэффициенты при последовательных степенях е, имеем
й0 + 8и0 = 0, (11.4)
#i + Ьих = —2и0 cos 2ty (П-5)
й2 + 6и2 = —2wxCOs 2/. (11-6)
Общее решение уравнения (11.4) можно представить как
и0 = a cos (со/ + Р), б = со2, (11.7)
где а и р — произвольные постоянные. При этом уравнение
(11.5) принимает вид
йх + (о2их = —2а cos (со/ + Р) cos 2/,
или
#! + w2"i = — a cos [(со + 2) / + Р1 — a cos [(со — 2) t + Р ].
(11.8)
Как и ранее, исключая из рассмотрения решение
соответствующего однородного уравнения, запишем решение (11.8) в виде
., „ acos[((D + 2); + ft] , acos[(co-2)/-bP] m Q.
ui- 4(Ц-(о) г 4(1 —со) * <п-у'
При этом уравнение (11.6) принимает вид
ut + tfut = - 2(ifl+(o)cos[(co+2)/ + P]cos2^-
- 2(1,ю) cos [(со - 2) / + р] cos 2/,
или
й2 + co2w2 - - 4(1Д+(0) cos [(со + 4) * + Р] - 4(1^ю) X
X cos [(со - 4)/ + р] [4(1а+ш) + 4(11ю)] cos(co/ + Р)- (11-Ю)
Опуская решение однородного уравнения, запишем решение (11.10)
в виде
а . . , . . Qv . a cos [(со + 4) t + 8] .
«t = - 4со(1-со*) ^1ПИ + Р) + ^(1+ш)(2 + со) +
, acos [(со-4)/ + Р] Л1 1П
"•" 32(1—со) (2 —со) e \ll-ll>
Подставляя выражения (11.7), (11.9) и (11.11) в разложение
(11.3), получим
-, 4 , q\ , 1 f cos [(со + 2) /-f-Р] , cos [(со — 2) / + Р] ) .
u = acos (со/ + Р) + —еа | ^ ^- + {_£ j +
J_ _L р2„ /_ в^ sin (со/ + P) , COS [(CO + 4) / + P] ,
^ 32 fcW| €0(1 — CO*) "T" (1 + CO) (2 + CO) "t"
Cos[(co-4)/ + Pl| ... (U 12)
-r (1__(o)(2-.co) j^ • V111ZJ

11.2. Теория ФлоКе
255
Полученное прямое разложение становится непригодным при
больших значениях t из-за присутствия в разложении секуляр-
ных членов. Кроме того, оно будет непригодным и при (о ^ О,
1 и 2 из-за появления малых знаменателей. Если продолжить
разложение до членов высших порядков, то оказывается, что
малые знаменатели возникают при w^n, где п = 0, 1, 2, 3, ... .
Перейдем теперь к изложению теории Флоке, описывающей
точные решения уравнения (11.2).
11.2. Теория Флоке
В этом параграфе мы изучим общие свойства решений
уравнения (11.2), не решая уравнения в явном виде. Информация об
этих свойствах используется в последующих параграфах при
построении соответствующих равномерных приближений.
Поскольку (11.2) представляет собой линейное однородное
уравнение второго порядка, оно обладает двумя линейно
независимыми решениями их (t) и и2 (t), удовлетворяющими
начальным условиям
МО) = I МО) =0, (11.13)
МО) =0, й2(0) = 1,
так как определитель Вронского (см. § Б1) отличен от нуля.
Покажем теперь, что если ut (/) является решением уравнения
(11.2), то и их (t + л) также является решением. С этой целью
заменим независимую переменную t на z =-■= t + п. При этом
уравнение (11.2) примет вид
-~+ [б -f 2ecos(2z - 2л)] и = 0,
d2u
или -£r + (6 + ezcos2z)u = Q, (11.14)
так как cos (2z — 2я) = cos 2zl Но уравнение (11.14) совпадает
с уравнением (11.2), поэтому если функция ux(t) есть решение
(11.2), то функция их (z) = их (t + я) является решением
уравнения (11.14) и, следовательно, и уравнения (11.2).
Из предшествующих рассуждений следует, что если их (t)
и и2 (t) — два решения уравнения (11.2), то и их (t + л) и и2 (t +
+ я) также представляют собой решения (11.2). Более того, если
функции их (t) и и2 (0 линейно независимы, то их (t + я) должно
линейно зависеть от иг (/) и и2 (t)y поскольку уравнение второго
порядка может иметь только два линейно независимых решения.
Следовательно, существуют две постоянные, ап и а12, не
обращающиеся в нуль одновременно, такие, что
«1 (t + я) = antii (t) + аыи2 (t). (11.15)

256
Гл. 11. Уравнение Матье
Точно так же существуют две постоянные, по крайней мере одна
из которых не равна нулю, такие, что
и2 (t + л) = а2Хих (0 + а22и2 (t), (11.16)
поскольку и2 (t + я) должно линейно зависеть от иг (t) и и2 (/).
Используя начальные условия (11.13), из соотношений (11.15)
и (11.16) находим, что
«и = "1 (я), «2i = Щ (я). (11.17)
Дифференцирование (11.15) и (11.16) по t дает
йх (t + п) = а1гйг (0 + а12й2 (0, (11.18)
Щ (t + я) = а21йх (t) + а22й2 (/).
Подставляя условия (11.13) в (11.18), имеем
«12 = «1 (Л)> «22 = &2 (Л). (11.19)
Таким образом, если функции их (t) и иг (t) известны, то
коэффициенты аи в соотношениях (11.15), (11.16) определяются
однозначно по формулам (11.17) и (11.19).
Обращаясь вновь к соотношениям (11.15) и (11.16), запишем
их в матричной форме
u (t + я) = Ли (0, (11.20)
где
Л =
«11 «12
L «21 «22 J
, и =
«1
[ и2 J
(11.21)
Далее, исследуем линейное преобразование вектора и (/) в
вектор v (/), а именно положим
v(t) = Pu(t), (11.22)
где Р — постоянная невырожденная квадратная матрица 2-го
порядка. В скалярной записи соотношение (11.22) принимает вид
^1 = Pll^l + />12«2, v2 = р21их + р22и2. (11.23)
При этом из (11.22) следует, что
и (0 = P~lv (О,
где Р"1 — матрица, обратная к Р, т. е.
РР-1 = /,
где / — единичная матрица
1 01
о lj'
Подстановка (11.24) в формулу (11.20) дает
P"1v(/ + n) = /lP-1v(0. (11.26)
(11.24)
(11.25)
/ =

1 1.2. Теория Флоке
257
Умножая соотношение (11.26) слева на матрицу Р и используя
(11.25), получим
v (* + я) = РАР-Ч (/), (11.27)
или
v (t + л) = В\ (0, (11.28)
где
В = РАР-1. (11.29)
Матрицы А и В называются обычно подобными, так как они
обладают одними и теми же собственными числами. Чтобы показать
это, заметим, что
[| В - XI | = | РАР-1 - ХРР'11 = | Р (А - XI) Р-11 =
= \P\\A-XI\\P-l\ = \A-XI\, (11.30)
поскольку | Р | | Р \~1 = 1.
Из курса линейной алгебры известно, что всякую
невырожденную постоянную матрицу Р можно выбрать таким образом,
чтобы матрица В имела простейшую так называемую жорданову
каноническую форму. Эта форма определяется собственными
числами и собственными векторами матрицы А. Собственные числа
матрицы А (а следовательно, и матрицы В) находятся из
уравнения
#11 — ^ #12
I #21 #22 — X
или (ап — X) (а22 — Ц — #i2#2i = 0,
откуда
№ — (#11 + #22) *» + #11#22 — #12#21 = 0- (11.31)
Учитывая соотношения (11.17) и (11.19), а также тот факт, что
вронскиан функций иг (t) и и2 (t) равен 1, имеем
#11#22 — #12#21 = «1 (Я) "2 (Л) — «2 (Л) «1 (Я) = 1-
При этом уравнение (11.31) принимает вид
№ — 2аК + 1 = 0, (11.32)
где
а = — (#и + #22) = "2 lui (д) + й* (Я)Ь
Решения уравнения (11.32) даются выражением
Я=.а±Уа2- 1. (11.33)
Если а =£ ±1, формула (11.33) определяет два различных
собственных числа
Xx=a + V^P^~\, Jt2 = a->/a2- 1 (11.34)
и матрица В имеет диагональную форму
Хх 0
= 0,
в =
о я2
(11.35)

258
Гл. 11. Уравнение Матье
Если а = ±1, то формула (11.33) дает только одно собственное
число, а именно к = а = ±1, и матрица В имеет либо вид
Г ±1 01
* = [ о ±i J* ("■*)
либо вид
±1 о
в-[ 1 ±lj- (и-37>
Если матрица В имеет форму (11.35) или (11.36), то
соотношение (11.28) можно переписать в следующей скалярной форме:
vi (t + *t)= Vi (0. ^2 (t + я) = k2v2 (/), (11.38)
где Xx = X2 = ±1, если В имеет форму (11.36). Из соотношений
(11.38) следует, что
vi (t + 2я) = Kxvi (t + я) = Jtfo (0,
vi (t + Зя) = X{v{ (t -f 2я) = X\v{ (/),
ui (f + 4л) = Ьцц (f + Зя) = K\vx (0,
i>i(* + nn) = tfi>,(0, (11.39)
где л — целое число. Аналогичным образом,
v2{t + rm) = ^v2(t). (11.40)
Следовательно, при / -» оо имеем
■"<Н«>, i^i>i (1L41)
и решение становится неограниченным по времени, если
абсолютная величина любого из собственных чисел больше единицы.
В случае когда Хг = Х2 = 1, соотношение (11.38) показывает,
что решения vt периодичны с периодом я. Если же Кг = А,2 =
= —1, то
vt (t + л) = — и, (0,
и, (/ + 2я) = —vt (t,+ я) = и, (/), (11.42)
т. е. решения vt представляют собой периодические функции с
периодом 2я. Таким образом, случаи Хх = к2 = ^1 отделяют
устойчивые решения от неустойчивых. Эти значения К обычно
называют переходными значениями.
Соотношения (11.38) можно использовать для того, чтобы
записать решения vj (t) в так называемой нормальной форме, или
форме Флоке. Для этого умножим первое из равенств (11.38)
на exp I—Yi(/4-Ji)], где показатель уу будет определен
впоследствии, и получим
е~ъ ('+*>»!(/ + я) = A**-*vvify(О- (И-43)

11.2. Теория Флоке
259
Если положить Ку ехр (—71я) ^ 1> тогда ехр (ухп) = Ях и
Т1 = ^-1пЯ1. (11.44)
В результате соотношение (11.43) принимает вид
е-ъ u+n)Ux у _|_ Я) = g-vi/^ (/). (11.45)
Следовательно, функция ехр (—yj) vx (t) является периодической
с периодом я, так что ее можно представить как
e-v>'v1(t) = <p1(t), (11.46)
где фх (t.+ я) = фх (/). Таким образом, v1 (t) можно
представить в нормальной форме
М0 = *"'<М0. (п-47)
где 7i = (1/я) ln ^i — так называемый характеристический по-
казатель. Аналогичным образом можно представить в нормальной
форме и функцию v2 (t):
М*) = **'<М0, О1-48)
где ф2 (* + я) = ф2 = (t) и 72 =■■ 0/я) In К-
Если матрица В имеет форму (11.37), соотношение (11.28)
переписывается в виде
Vl (t + я) = ког (0, (П.49а) v2 (t + я) = Ь2 (<) + МО. (11.496)
где А, = ±1. Используя рассуждения, аналогичные приведенным
выше, можно представить vx (t) в нормальной форме
M0=*v4i(0>
ср1(/ + я) = ф1(/) и 7 = (1/я)1пЯ. (П,50)
При- этом второе из соотношений (11.49) принимает вид
M* + *) = to2(0 + **q>i(0. (11.51)
Как и ранее, умножение равенства (11.51) на ехр [—у (t + л)]
приводит к соотношению
е-у (t+*)V2 (/ + я) = berWe-Vvt (t) + <rVJt<Pi (0.
которое может быть переписано в виде
e-v «+*>М* + я) — *-*М*) + у-ф! (0- (11.51а)
В этом случае вид решения МО отличен от (11.48) из-за
присутствия члена ^~1Ф1(0. Легко проверить, что вместо (11.48)
имеемся (/) = fft [ф2 (/) + -J- ф1 (/)]. (11.52)
В случае |а| > 1 абсолютная величина одного из
собственных чисел кг будет больше единицы, в то время как абсолютная
величина другого собственного числа окажется меньше единицы,

260
Гл. 11. Уравнение Матье
Рис. 11.1. Неограниченные решения уравнения Матье.
поскольку КУХ2 = 1 в силу условия (11.32). Так как yt = (1/я) In kt
вещественная часть одного из показателей yt положительна,
а другого — отрицательна. Поэтому из соотношений (11.41)
или (11.47), (11.48) и (11.52) следует, что одно из решений
неограниченно растет со временем, а другое остается ограниченным.
На рис. 11.1 показаны два возможных типа неограниченных
решений. Решение первого типа осциллирует с амплитудой,
экспоненциально растущей со временем, а решение второго типа
неосциллирующее, но также возрастает со временем
экспоненциально.
В случае |<х| < 1 собственные значения Kt представляют
собой сопряженные комплексные числа, модули которых равны
единице, так что вещественные части характеристических
показателей у* оказываются равными нулю. Следовательно, нормальные
решения в этом случае будут ограничены. Эти ограниченные
решения являются, вообще говоря, апериодическими, меняясь
КМЛЛЛЛ'
х
HVVV\w#WVvIAAf'
Рис. 11.2. Ограниченные решения уравнения Матье.

11.2. Теория Флоке
261
-24 -20 -ft -12 -8 -4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 &
Рис. 11.3. Области устойчивости и неустойчивости (последние на рис.
заштрихованы) в плоскости параметров для уравнения Матье.
с двумя частотами — мнимой частью у и частотой возбуждения,
равной 2. В зависимости от отношения этих двух частот решение
может принимать разнообразные формы, кроме переходных
периодических колебаний. Три возможных типа решения показаны
на рис. 11.2.
Переход от устойчивых движений к неустойчивым происходит
при |а| = 1, что соответствует кратным корням Яа = Л,2 = 1
или Хх = А,3 = —1. При этом 7i = 72 = 0 или Yi —-Y2 = *Л-
Как указывалось выше, в первом случае существует нормальное
периодическое решение с периодом л, а во втором — нормальное
периодическое решение с периодом 2л. Эти свойства решений
уравнения Матье служат основой метода растянутых параметров,
применяемого для определения значений бив, соответствующих
условию | ее | = 1 и, следовательно, переходу от устойчивости
к неустойчивости. Переходные кривые, разделяющие плоскость
в — б на области устойчивости и неустойчивости, показаны на
рис. 11.3. Вдоль этих кривых по крайней мере одно из
нормальных решений является периодическим с периодом л или 2я.
Характеристические показатели для уравнения (11.2) могут
быть получены с помощью численного расчета двух линейно
независимых решений по начальным условиям (11.13) на отрезке,
равном периоду колебаний. Используя численные значения этих
решений и их первых производных при t = л, можно рассчитать
а = (1/2) [их1п) 4- йг (л)], затем по формулам (11.34) определить
Kt и с их помощью вычислить yt = (1/я) In Хг. Очевидно, что для
каждой пары значений б и е эту дорогостоящую процедуру,
требующую значительных затрат машинного времени, необходимо
повторять. Для случая малых yt мы опишем в § 11.4 расчетную

262
Гл. 11. Уравнение Матье
схему, называемую методом Уиттекера, предназначенную для
приближенного определения характеристических показателей.
Проведенный анализ показывает, что применение метода
растянутых параметров или метода Уиттекера требует информации
о качественном характере решения, а именно о нормальной форме
решения (форме Флоке). В § 11.5 и 11.6 будет показано, что
использование метода многих масштабов и метода усреднения
позволяет вполне обходиться без такой информации.
11.3. Метод растянутых параметров
В § 11.1 мы выяснили, что прямое разложение становится
непригодным при б ^ 0, 1, 4, ... . Это наводит на мысль, что
наряду с разложением по е решения и (/, е) следует разложить
в ряд по степеням е в окрестностях указанных значений и параметр
б. Итак, будем искать равномерно пригодное разложение вида
и (/, е) = и, (t) + вих (t) + в2и2 (0 + • • • , (11.53)
б = п* + ббх + е2б2 + ••• , (11.54)
определяя коэффициенты 6П из требования периодичности
приближенного решения. Получаемые в результате выражения для б,
как указывалось в предыдущем параграфе, будут определять
переходные кривые, отделяющие области устойчивости и
неустойчивости решения.
• Подстановка разложений (11.53) и (11.54) в уравнение (11.2)
дает
#о + е«! + е2«2 + • • + (п2 + г8х + е2б2 + • ■) (и0 +
+ вих + е2и2 +■••) + 2е cos 2t (и0 + гих + г2и2 + • • •) = 0,
или
й0 4- п2и0 + е (йх + n2uL + бхЦ) + 2и0 cos 2t) +
+ е2 (й2 + п2и2 + bxui + 82и0 + 2их cos 2t) + • • • =0.
Приравнивая нулю коэффициенты при последовательных
степенях е, получаем
й0 + п*и0 = 0, (11.55)
ui + пгих = —б^о — 2и0 cos 2t> (11.56)
й2 + п2и2 = —б^х — 62u0 — 2их cos 2t. (11.57)
Общее решение уравнения (11.55) можно представить в виде
и0 = a cos nt + b sin л/. (11.58)
Из формулы (11.58) ясно, что функция и0 является периодической
с периодом я, если п четно, и с периодом 2я, если л нечетно.
Поэтому далее мы последовательно рассмотрим случаи п =
= 0, 1 и.2,

11.3. Метод растянутых параметров 263
Случай п = О
В этом случае решение (11.58) сводится к и0 = а !>. Тогда
уравнение (11.56) принимает вид
йг = — 8га — 2 acos 2t. (11.59)
Требование отсутствия в правой части (11.59) слагаемого,
порождающего секулярный член в решении их (т. е. подчинение их
условию периодичности), приводит к условию
вх = 0. (11.60)
В результате уравнение (11.59) сводится к виду
йх = —2a cos 2/. (11.61)
Решение уравнения (11.61), не включающее в себя решение
соответствующего однородного уравнения, имеет вид
u1 = -~-acos2t. (11.62)
При этом уравнение (11.57) можно представить как
й2 = —б2а — a cos2 2/
и с помощью известных тригонометрических формул
преобразовать его к виду
й2 = —82а —2~а —2" a cos 4/. (11.63)
Для периодичности и2 требуется выполнить условие
Ь^а + т а = 0,
откуда при а Ф 0 (т. е. в случае нетривиального решения) имеем
б, = -4- (п-64)
Используя полученные результаты, находим решение во втором
приближении:
и = а+ ^ва cos2t~] , (11.65)
б = —(1/2) е2 + ... (11.66)
Таким образом, переходная кривая, отделяющая области
устойчивости и неустойчивости и выходящая из точки е = 0, б = 0,
описывается уравнением (11.66). Соотношение (11.65) показывает,
что на этой кривой решение периодично с периодом я.
п Решение ц>= а не является общим решением, поскольку оно подчиняется
условию ограниченности при t—► оо. — Прим. перев.

264
Гл. П. Уравнение Матье
Случай п = 1
Подставляя (11.58) в уравнение (11.56) и полагая п = 1,
получим уравнение
fii + «1 = —Ь\ (я cos t + b sin /) — 2 (a cos / + b sin /) cos 2/,
которое с помощью простых тригонометрических формул
преобразуется к виду
йг + иг = —(1 + бх) a cos t — (бх — 1)6 sin ^ —
— a cos 3/ — fcsin3/. (11.67)
Требование исключения слагаемых, порождающих секулярные
члены в их, приводит к условиям
(бх+ 1)а = 0, (11.68)
(6г — 1) Ъ = 0, (11.69)
в результате чего уравнение (11.67) принимает вид
«1 + «1 = —a cos 3/ — b sin 3/. (11.70)
Условие (11.68) удовлетворяется при бх = —1 или при а = 0,
а условие (11.69) — при 8Х = 1 или b = 0. При этом в случае
§1 — —1 дЛЯ выполнения соотношения (11.69) необходимо, чтобы
b равнялось нулю, а в случае бх = 1 для выполнения (11.68)
необходимо, чтобы а равнялось нулю. Таким образом, мы имеем
две возможности
б1 = _1, ь = 0, (11.71)
6Х = 1, а = 0. (11.72)
Следовательно, решение уравнения (11.70), не содержащее
решения соответствующего однородного уравнения, имеет вид
Wl = JLacos3/ (11.73)
или
Wl = i-fr sin3*. # (11.74)
Подстановка (11.71) и (11.73) в уравнение (11.57) дает
й2 -f- fi« = -g- a cos 3/ — 62acos t —j- a cos 3/ cos 2/,
или
й2 + "г = — (б2 + -§-) a cos / + -g- a cos 3/ — ~- cos 5/. (11.75)
Требование отсутствия слагаемого, которое приводит к
появлению секулярного члена в решении «2, дает
«• = — 4-. (11-76)

11.3. Метод растянутых параметров 265
Таким образом, во втором приближении имеем
, a = acos/ + -^-eacos3/ + •-., (11.77)
6=l-8 + -i-e2+.... (11.78)
Уравнение (11.78) описывает одну из ветвей переходной кривой,
выходящую из точки е = 0, б = 1, а соотношение (11.77)
показывает, что на этой кривой решение является периодическим с
периодом 2л.,
Аналогичным образом, подстановка (11.72) и (11.74) в
уравнение (11.57) дает
й2 + и2 = £- b sin 3/ — Ьф sin / —j-b sin 3/ cos 2/,
или
й2 + u2 = — (б2 + -i-) fcsin / - -g-& sin 3/ - -i-6sin5/.. (11.79)
Требование отсутствия слагаемого в правой части (11.79),
порождающего секулярный член в решении ы2, приводит к условию
б2 = --§-• (11.80)
Следовательно, во втором приближении имеем также
u = bs\nt+-^ebs[n3t-] , (11.81)
б = 1 + е —g- е2 -| . (11.82)
Уравнение (11.82) описывает вторую ветвь переходной кривой,
выходящую из точки е = 0, б = 1, а соотношение (11.81)
показывает, что и на этой ветви решение имеет период 2я.
Случай п = 2
Подставляя (11.58) в уравнение (11.56) и полагая п = 2,
получаем
#i + 4«i = —бх (a cos 2t + b sin 2t) —
— 2 (a cos 2t + b sin 2t) cos 2f,
или
йх + 4их = —бх a cos 2t — bxb sin 2/ —
— а — a cos 4t — b sin 4/. (11.83)
Из условия уничтожения секулярного члена в их следует, что
бх = 0. При этом решение (11.83), не включающее в себя решение
соответствующего однородного уравнения, дается формулой
иг = — -i-a+1yacos4/+-~-&sin4/. (11.84)

266
Гл. 11. Уравнение Матье
Тогда уравнение (11.57) с учетом (11.84) принимает вид
й2 + 4и2 = — 82(acos2t + bsin2/) — 2 (—j-a -^--r^acosit +
+ -j^-6sin 4Л cos 2/,
или
й% + 4и2 = — (в, - -{L) a cos 2/ - (б2 + -j~) Ь sin 2/ + (Я. С. V).
(11.85)
Потребовав, как обычно, исключения секулярных членов из м2,
приходим к соотношениям
(б2-4')а==0> (б2 + 1г)Ь=:0- (1Ь86)
Таким образом, существуют два решения
62 = 4-> Ь=0 (11.87)
или
62 = --1., а = 0. (11.88)
Итак, во втором приближении имеем
« = acos2/~ -j-ea (l --i-cos 4/) + • • • , (11.89)
8 = 4+4-e2+"- (11.90)
или
tt = ftsm2/- + -iyebsin4H , (11.91)
в = 4 jye»H . (11.92)
Уравнения (11.90) и (11.92) описывают две ветви переходной
кривой, выходящие из точки е = 0, 6 = 4; при этом соотношения
(11.89) и (11.91) показывают, что на этих ветвях решение и
периодично с периодом я.
11.4. Метод Уиттекера
В предыдущем параграфе мы установили, что метод
растянутых параметров позволяет найти переходные кривые и
периодические решения на этих кривых. Если же нас интересуют решения
в окрестности переходных кривых, необходимо воспользрваться
другим подходом. Для этого используем лормальйую форму
решения, или форму Флоке. Положим
и(/) = **Ф(0. (11.93)

11.4. Метод Уиттекера
267
где в соответствии с теорией Флоке <р (t + я) = <р (/). Но
дифференцирование (11.93) по /дает
й = еУ*у + уеУ*у, (11.94)
й = еу*ф + 2у^ф + у2е^ф. (11.95)
Подставляя выражения (11.93) и (11.95) в уравнение (11.2)> имеем
ф + 2уф + (б + у2 + 2е cos 2t) <р = 0. (11.96)
Таким образом, задача сводится к определению у и построению
периодических решений уравнения (11.96) при заданном б. В
окрестности переходной кривой величина у мала, и поэтому будем
искать разложение в форме
Ф (he) = Фо (0 + еф1 (/) + е2ф2 (0 + • ■ • , (П.97)
б = б0 + еб! + е2б2+ ... f* (11.98)
у = б71 + б272+ • (П.99)
Для того чтобы дать лишь общее представление о методе
Уиттекера, ограничимся нахождением членов порядка е. Подставляя
разложения (11.97)—(11.99) в уравнение (11.96), находим
Фо + еф! + 2evi (фо + еф2) + (б0 + e6i + г2у\ + 2е cos 2t) х
X (Фо + вфх) Н =0,
или
Фо + б0ф0 + е (Ф1 + 60<Pi + 2Yi<Po +
+ бхф0 + 2ф0 cos 2t) + • -. = 0. (11.100)
Приравнивая нулю коэффициенты при е° и е в уравнении
(11.100), получаем
Фо + VPo = 0, (11.101)
Ф1 + $оф1 = —2?1ф0 — в2ф0 — 2ф0 cos 2t. (11.102)
Общее решение уравнения (11.101) можно представить как
<p0 = acosy%t + bsiny%t. (11.103)
Поскольку, согласно теории Флоке, функция ф имеет период я,
то величина >/80 будет равна п, где п — произвольное целое
число. При этом уравнение (11.102) примет вид
Ф1 + А12фх = —2yi (—an sin nt + bn cos nt) —
— 8X (a cos nt + b sin nt) —2 (a cos nt + b sin nt) cos 2t. (11.104)
В случае n Ф 1 источником секулярных членов в решении фх
оказываются первые два слагаемых правой части (11.104),
пропорциональные ух и 6г\ в случае п = 1 секулярный член поро-

268
Гл. 11. Уравнение Матье
ждается и последним слагаемым. Таким образом, уравнение
(11.104) можно переписать в виде
<Pi + Ф1 = (27]Д — М + b) sin / —
— {2yxb + Ьга + a) cos / + (Н. С. Ч). (11.105)
Уничтожая слагаемые, приводящие к появлению секулярных
членов в фь имеем
2yLa + (1 — 6Х) b = 0, (1 + 8х)а + 2угЬ = 0. (11.106)
Условием существования нетривиального решения системы
(11.106) является обращение в нуль ее определителя, т. е.
47?-(1 -6?) = 0, или Y? = i-(1_6?),
откуда
yi=±^Yl-b^ (11.107)
Из первого уравнения (11.106) с учетом формулы (11.107) следует,
что
Следовательно, в первом приближении получаем
и = ахг*т " VTT\ |"cos t _ (~4^-)1/2 sin / ] +
+ сцг от zt )ГЩ [cos/ + (i-tA)I/2 sin/] + ..., (11.109)
где аг и a2 — произвольные постоянные, которые определяются
из начальных условий задачи.
Соотношение (11.109) представляет собой первое приближение
к решению и на переходной кривой и в ее окрестности. При
этом характеристические показатели оказываются равными
±уе yfl — 6j. Поэтому движение будет неограниченным при
6J < 1 и конечным при 6* ^> 1. Значения 8* = 1, или 8t = ±1,
соответствуют переходу от устойчивого режима к неустойчивому.
Следовательно, переходные кривые, выходящие из точки е = 0,
6 = 1, описываются в первом приближении уравнениями
б = 1 ± е + ... . (11.110)
11.5. Метод многих масштабов
Хотя метод Уиттекера и позволяет получить равномерную
аппроксимацию решения уравнения (11.2) на переходных кривых
и в их окрестностях, однако он пригоден только для линейных
задач, при решении которых можно обратиться к теории Флоке
с тем, чтобы с ее помощью заранее определить форму решения.
К нелинейным задачам теория Флоке неприменима, и априорная

11.5. Метод многих масштабов
269
информация о виде решения отсутствует, поэтому использовать
метод Уиттекера в таких задачах не представляется возможным.
Тем не менее существует эффективный метод приближенного
решения и для нелинейных задач. Таким методом является метод
многих масштабов, не требующий к тому же задания какой бы
то ни было априорной информации о характере искомого решения.
Для того чтобы проиллюстрировать применение метода
многих масштабов к уравнению (11.2), будем искать равномерно
пригодное разложение решения в виде
u(tfi) = и(Т01 Тъ Т„ ..., Тп. е) = «0 +" гиг + г2и2 + ••• , (11.111)
где Тп = ггЧ. В этом параграфе мы получим только разложение
первого порядка, оставляя построение высших приближений
читателю (см. упражнения в конце данной главы). Таким образом,
будем проводить вычисления с точностью до членов порядка е
и поэтому используем только два масштаба времени и
соответственно две независимые переменные Т0 и 7\. Подставляя
разложение (11.111) в уравнение (11.2) с учетом формул (5.45) и (5.46),
получаем
(Do + 2eD0D,) (и0 + гщ) + (6 + 2е cos 2Т0) (и0 + гих) Н = О,
(11.112)
где cos 2t представлен как функция быстрого времени.
Приравнивая нулю коэффициенты при е° и е, имеем
D20«o + Sw0 = 0, (11.113)
DqW, -I- fiui = —2DqDxuq - 2u0 cos 27V (11.114)
Общее решение уравнения (11.113) может быть представлено
в комплексной форме
и0 = А(Т1)е«»то + А(Т1)е-«»т*, (11.115)
где ш = /б или о)2 = б. (11.116)
При этом уравнение (11.114) принимает вид
Dfax + <о2и, = —2коЛУ(оГо + 21ъА'е'ШТш -
__ (e2tT, _^ е-2Ль) (Ле'ю7,° + Ае'шт>),
или
Dlu{ + <А, = -2шА'ешт< - Ае1 (2-ю) То - Ъ'1 (2+(0) и + (к. с).
(11.117)
Для нас интерес представляют два случая: 1 — со = О (1) и
\ —(0 = 0 (е).
Случай о, далеких от единицы
В этом случае условие уничтожения секулярных членов в
решении их сводится к уравнению А' = 0, откуда
А = А0 = const. (11.118)

270
Гл. 11. Уравнение Матье
Следовательно, в первом приближении имеем
u = A0eiwT°.
Если положить Л0 = (1/2) а0 ехр (ф0), где а и р — вещественные
постоянные, то решение и примет вид
и -a0cos((o/ + р0), (11.119)
из которого следует, что движение исходной системы является
ограниченным.
Случай со ^ 1
В этом случае введем параметр расстройки с помощью
соотношения
со = 1 + гщ (11.120)
и положим
(2 — о) Т0 = соТ0 — 2ви1Т0 = (оТ0 — 2(0^. (11.121)
Из вида правой части уравнения (11.117) следует, что секулярные
члены уничтожаются при условии
2/©Л' + Ле-2'««7,«=0. (11.122)
Уравнение (11.122) можно решить, представляя комплексную
амплитуду А либо в показательной, либо в алгебраической форме.
В первом случае имеем
А = \ае*. (11.123)
При этом уравнение (11.122) принимает вид
ш (а' + шр') е* + -J- ае-' №+2««7'i> = О,
или
/со(a' + fofr)+-g-fl0'/x = fo>(a' + шР') + -j-flcosx —-yto sin x =0,
(11.124)
где х = 2р + 2©17\. (11.125)
Отделяя в уравнении (11.124) вещественную и мнимую части,
имеем
coa' = ^-asinx, (11.126)
coap'^^-acosx. (11.127)
Исключение р из соотношений (11.125) и (11.127) дает
coax' ^ 2a>(0ia + a cos х- (11.128)
Из уравнений (11.126) и (11.128) в случае а Ф О следует
dfl _ 1 sin X d% 1 d (cos x)
a ~~ 2 2(0(0! -f cos x 2 2(0(0! -j- cos x

11.5. Метод многих масштабов
271
Интегрируя это уравнение, получаем
а - с [2(00)! f cosyj"172, (11.129)
где с — произвольная постоянная. Уравнение (11.129) задает
связь между а и %. При этом, для того чтобы получить
зависимость а и, следовательно, % от времени 7\, нужно решить
уравнение (11.126) или уравнение (11.128).
При изменении переменной х от —°° до +оо cos х меняется
от —1 до 1. Следовательно, выражение в скобках в (11.129)
будет обращаться в нуль, а амплитуда а — в бесконечность
(т. е. движение становится неограниченным) при условии 2(ды1 <
< 1 или 20)0)! ^ —1; в остальных случаях выражение в скобках
в нуль не обращается и амплитуда а остается ограниченной.
Таким образом, переход от устойчивого режима к неустойчивому
происходит при выполнении соотношений
2(D(0i — U 2(00)! — —1.
При этом, поскольку о ^ 1, указанные условия дают щ ^ 1/2
или (Ох ^ —1/2. Следовательно, переходные кривые описываются
уравнениями
о) = 1 ± -у е -1 .
Вспоминая, что б = о2, получаем для переходных кривых,
выходящих из точки е=0, 6 = 1, уравнения вида
б = (1±4е+-")2'
или б = 1 ± е + ... . (11.130)
При втором способе решения прежде всего введем в уравнение
(11.122) преобразование
А = Ве-1°»Т', (11.131)
переводящее его в уравнение с постоянными коэффициентами
вида
2to>fl' + 2и>щВ + В = 0. (11.132)
Для решения уравнения (11.132) представим В в алгебраической
форме
B = Br + iBh (11.133)
в результате чего получим
2«о (B'r + iB}) + 2(ош1 (Br + iB{) + Br- iB( = 0. (11.134)
Отделяя в (11.134) вещественную и мнимую части, находим
2а>Вг + (2шщ — 1) В; = 0, (11.135)
2u>Bi — (2(00)! + 1) Вг = 0.

272 Гл. И. Уравнение Матъе
Уравнения системы (11.135) имеют постоянные коэффициенты,
поэтому решение этой системы можно искать в виде
ВТ = bre^T\ Bt = Vv'r*. (11.136)
Подстановка (11.136) в (11.135) дает
2©Vibr + (2(00)! — 1) bt = О,
—(2(00)! + 1) br + 2(ovA =* 0. (11.137)
Нетривиальное решение системы (11.137) существует при условии
обращения в нуль ее определителя:
4(o2v? f (4а)2о)? -1) = 0 или Y? - 4" fa"2 ~ 4о}2)'
откуда
?1 = ±4-]Ла"2-4со2. (П-138)
Поскольку о) ^^ 1, соотношение (11.138) можно записать в виде
Y.^i^K1 ~4о)?. (11.139)
При этом из (11.137) следует, что
Подставляя выражения для Л и В из формул (11.131) и
(11.133) в решение (11.115) и далее — в разложение (11.111),
с учетом соотношения (11.120) имеем
U =* (Вг + tSf)£>' <«Г.-«,Г,) _|_ (fir _ ^.^-i («Го-©.!,) _| =
= (Вг -Ь ««) в" -f>r - iBi) е-» + ... =
= Вг (в" + «-") + *В, (в'' - е-") =
= 2ВГ cos / - 2Bt sin / i . (11.141)
Воспользовавшись теперь выражениями (11.136) и (11.140),
перепишем формулу (11.141) в виде
u = ax<rW**V^M [cos/-( | + ^| )1/2sin/l-|-
+ a^ <»/«>»'^Д [cos/+ ( }+^ )1/2sinfj + .... (11.142)
Разложение (11.142) полностью совпадаете разложением (11.109),
полученным по методу Уиттекера, если учесть, что 2а>1 = bv
11.6. Метод усреднения
Для того чтобы применить к уравнению (11.2) метод усреднения,
прежде всего следует ввести вместо переменной и (t) новые
зависимые переменные fa (t) и {J (t)f положив
u(t) - а (0 cos Ы + Р (/)], . (11.143)

11.6. Метод усреднения
273
где, как и ранее, б = со2. Дифференцирование (11.143) по * дает
и = —соа sin (со* + Р) + d cos (со* + Р) —
— ар sin (со* + Р). (11.144)
Как и ранее, подчиняя решение условию, что
й = —соа sin (со* + Р), (11.145)
получаем из (11.144)
dcos (со* + Р) — aPsin (со* + 0) = 0. (11.146)
Дифференцирование (11.145) по * дает
и = — со2а cos (со* + Р) — cod sin (со* + Р) —
— coapcos (со* + Р). (11.147)
Подставляя выражения (11.143) и (11.147) в уравнение (11.2),
имеем
—со2а cos (со* + Р) — cod sin (со* ~\- Р) — соар cos (со* + Р) +
4- (S 1- 2е cos 2*) a cos (со* + р) = 0.
Упрощая последнее уравнение, с учетом равенства б = со2
получаем
cod sin (со* + Р) + соар cos (со* + Р) =
= 2га cos 2* cos (со* + Р). (11.148)
Разрешая уравнения (11.146) и (11.148) относительно аир,
находим
cod = 2еа cos 2* sin (со* + Р) cos (со* + Р),
соар - 2eacos2*cos2 (со* + Р). (11.149)
С помощью известных формул тригонометрии перепишем
(11.149) в виде
cod = -i- га {sin [2 (со + 1) * + 20] + sin [2 (со - 1) * + 2р]|, (11.150)
соар = -j га |2cos2* -f cos [2 (со -f 1) * + 2Р] + cos [2 (со - 1) * + 2р]}.
(11.151)
Приближенное решение имеет различный вид для со, близких
и далеких от, единицы. В последнем случае все члены в правых
частях уравнений (11.150) будут быстро меняющимися, так что
в первом приближении имеем
а = 0, р = 0,
что полностью согласуется с уравнением (11.118), полученным
по методу многих масштабов. При со *& 1 функция (со — 1) * + Р
представляет собой медленно меняющуюся функцию *. При этом

274
Гл. 11. Уравнение Матье
из уравнений (11.150) и (11.151) следует, что в первом
приближении
о>а = -i- еа sin [2 (ах- 1) t + 20],
coaP = -^eacos[2(co- l)f+ 20], (11.152)
что также согласуется с системой уравнений (11.125)—(11.127),
полученной по методу многих масштабов.
Упражнения
11.1. Рассмотреть уравнение Матье
й+ (б + 2е cos 2t) и = 0.
Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение второго порядка при б « 0 и б « 4.
11.2. Рассмотреть уравнение Матье
и + (б + 2е cos 2/) и = 0.
Используя метод Уиттекера, построить равномерно пригодное разложение
второго порядка при S » 0 и б » 4.
11.3. Рассмотреть уравнение
^ 1 -h е cos 2/
а) Построить разложения второго порядка для уравнений переходных
кривых вблизи точек 6=0, б— 1 и б = 4.
б) Используя метод Уиттекера, построить разложение второго порядка
для решения и в окрестности этих кривых.
11.4. Рассмотреть уравнение
„ , 6 — 8 COS2 t
1 1-е cos2 /
а) Построить разложения второго порядка для уравнений первых трех
переходных кривых (т.е. при 6=0, 1, 4).
б) С помощью метода Уиттекера построить приближенное решение в
окрестности этих кривых.
11.5. Рассмотреть уравнение
и + (6 + е cos3 /) и = 0.
Построить разложения второго порядка для первых трех переходных кривых
с помощью метода растянутых параметров и метода Уиттекера.
11.6. Рассмотреть уравнение '
й + (б + еcos 2/ — -д- e2a sin 2/ + -§- е2 cos 4Л и = 0.
Найти два первых члена в уравнениях переходных кривых при б « 1 и б«4,
11.7. Рассмотреть уравнение
й + — (I — е cos /)~2 а"2 [2 (1 — е cos t) (2 — ea2 cos /) + e2a2 sin2 /] и = 0.
Показать, что первые три переходные кривые описываются уравнениями
а = 2± -^-е, а = 1 +-^-82.

Упражнения
275
11.8. Рассмотреть уравнение
й + (со2 + 2е cos 3/) и = О, е < 1.
а) Используя метод вариации параметров, получить уравнения для
амплитуды и фазы.
б) Используя метод усреднения, получить уравнения, описывающие
медленные изменения амплитуды и фазы. Рассмотреть все возможные случаи.
11.9. Используя метод многих масштабов и метод усреднения, получить
уравнения первого приближения для амплитуд и фаз в случае системы,
описываемой уравнением
и + cog*/ = ew'~ cos Ш%
где Q существенно отлична от нуля и
а) сов далека от Q и Q/3,
б) о)0 « Q,
в) 3(о0 « Й.
11.10. Рассмотреть уравнение
й + а>1и + 2еы3 cos 2/ = 0, е < 1.
Используя метод многих масштабов и метод усреднения, получить уравнения,
описывающие в первом приближении амплитуду и фазу колебаний данной
системы при следующих условиях:
а) о)0 далека от 1 и 1/2,
б) со0 « 1,
В) (Do « 1/2.
11.11. Параметрическое возбуждение системы с двумя степенями свободы
описывается системой уравнений
"i + ©i"i + е cos Q/ (fnUi + fl2u2) = 0,
й> + Щи2 + е cos Q/ (/2i«i + /22и2> = 0.
Используя метод многих масштабов и метод усреднения, получить уравнения
для амплитуд и фаз колебаний при условии Q « ш2 =Р o>i.

Глава 12
ЗАДАЧИ С ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ
В задачах, рассмотренных в гл. 4—11, влияние возмущений
было малым, однако они действовали в течение длительного
времени. Поэтому соответствующие амплитуды и фазы оказывались
медленно меняющимися функциями времени и их можно было
исследовать путем введения медленных временных масштабов или
почти тождественных преобразований координат. В этой главе
мы будем рассматривать задачи с возмущениями, действующими
в очень узких областях, или зонах, в которых зависимые
переменные испытывают достаточно резкие изменения. Ввиду наличия
малого параметра при старшей производной эти узкие зоны часто
оказываются лежащими вблизи границы области, в которой
решается задача. Поэтому в задачах механики жидкостей и газов
такие зоны называют обычно пограничными слоями, в механике
твердого тела — областями краевого эффекта, в электрических
приложениях — поверхностными, или скин-слоями. Во многих
физических задачах резкие изменения зависимых переменных
часто происходят внутри интересующих нас областей; в таких
случаях узкие зоны, где эти изменения имеют место, в механике
жидкостей и газов и в механике твердого тела называются обычно
ударными слоями (скачками уплотнения), в квантовой механике —
точками перехода, в математике — стоксовыми линиями или
поверхностями. Указанные быстрые изменения мы не можем
исследовать с помощью обычных медленных масштабов; это
приводит к необходимости вводить новые — быстрые, увеличенные
или растянутые — переменные.
Существует большое число методов исследования задач с
пограничным слоем, как, например, метод сращиваемых
асимптотических разложений, метод составных разложений, метод многих
масштабов, метод ВКБ и преобразование Лангера. Два
последних метода применяются только для линейных уравнений с
большим параметром — мы обсудим их в гл. 14. В данной главе
ограничимся лишь анализом метода сращиваемых асимптотических
разложений, затем кратко рассмотрим метод составных
разложений, и на одном примере исследуем возможности метода многих
масштабов.
Мы начнем с анализа простого примера, имеющего точное
решение; это решение удобно использовать в дальнейшем для срав-

12.1. Простой пример 277
нения и обоснования предлагаемых методов. Затем мы исследуем
несколько линейных и нелинейных задач, у которых точные
решения отсутствуют.
12.1. Простой пример
Рассмотрим краевую задачу вида
гу* + (1 + е2) у' + (1- е2) у = 0, (12.1)
у(0) = а, £/ (1) = р, (12.2)
где е — малый безразмерный параметр, который мы считаем
положительным. При этом предполагается, что уравнение и
граничные условия уже приведены к безразмерному виду.
Для начала будем искать прямое разложение решения в форме
У (*; е) = у0 (х) + гуг(х)+--: (12.3)
Подстановка разложения (12.3) в уравнение (12.1) и граничные
условия (12.2) дает
в U/o + eyT+ ••.) + (! +e2)(*/o + et/i + ...) +
+ (1-е2)(0ь + еу, + ...) = <>,
у0 (0) + гух (0) + • ■ • = а,
. Уо (О + Ц/г (О + ' = Р.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, имеем:
для порядка е°:
Уо + Уо = 0, (12.4)
Уо (0) = а, у0 (1) = Р; (12.5)
для порядка е1:
У\+У\=-У1 (12.6)
Ух(0) = 0, Уг(1) = 0. (12.7)
Общее решение уравнения (12.4) записывается в виде
Уо = Сое-*, (12.8)
где с0 — произвольная постоянная.
Отметим, что, согласно (12.5), на функцию у0 накладываются
два граничных условия; в то же время общее решение (12.8)
содержит лишь одну произвольную постоянную. Таким образом,
мы оказываемся не в состоянии (кроме как по чистой случайности)
удовлетворить обоим граничным условиям. Например,
воспользовавшись условием у0 (0) = а, из формулы (12.8) имеем
а = с0у или Уо = ае~х. (12.9)

278 Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Используя же граничное условие у0 (1) = р, с помощью (12.8)
находим
Р = с0е-\ или с0 = ре, (12.10)
откуда Уо = $е1~х. (12.11)
Сравнение выражений (12.9) и (12.10) показывает, что для того,
чтобы удовлетворить обоим граничным условиям, постоянная с0
должна принимать одновременно два различных значения, а именно
с0 = а и с0 = ре. Это конечно, невозможно, если исключить
случайное совпадение, когда а = ре.
Сравнивая уравнение (12.4) с исходным уравнением (12.1),
можно заметить, что уравнение (12.1) является уравнением
второго порядка, что позволяет использовать оба граничных
условия, тогда как уравнение (12.4). оказывается уже уравнением
первого порядка — для него можно использовать лишь одно
, граничное условие. Таким образом, мы не в состоянии
удовлетворить другому граничному условию и обязаны его опустить.
Естественно, нельзя ожидать, что и результирующее разложение
окажется пригодным на том конце промежутка, где опущено
соответствующее граничное условие. При этом возникает вопрос,
какое же из заданных граничных условий должно быть
отброшено. Как будет видно из последующего изложения, на этот
вопрос можно ответить, привлекая как физические, так и
математические соображения. Ниже мы покажем, что в случае, когда
коэффициент при, у' в уравнении (12.1) положителен, следует
отбрасывать граничное условие на левом конце промежутка,
т. е. при х = 0.
Опуская граничное условие у (0) = а, получаем, что с0 = $е
и функция у0 дается выражением (12.11). Тогда (12.6) переходит
в уравнение
yi+ 01 = -^-*, (12.12)
общее решение которого
yl = clerx — ^xel"x. (12.13)
Поскольку уравнение (12.12) вновь оказывается уравнением
первого порядка, решение ух будет содержать только одну
произвольную постоянную, и мы опять не сможем удовлетворить обоим
граничным условиям (12.7). Таким образом, решение задачи
для ух не позволяет преодолеть указанную трудность. Точно так
же нет оснований ожидать каких-либо изменений и на
последующих стадиях итерационного процесса, поскольку на каждом
шаге соответствующее дифференциальное уравнение будет
оставаться уравнением первого порядка. Таким образом, мы вновь
отбрасываем граничное условие при х = 0 и, используя
граничное условие ух (1) = 0, получаем из (12.13), что сх = $е.
Окончательно имеем
У1 = pel-* - §хех~х = р (1 - х) е{~*. (12.14)

12.1. Простой пример
279
Подставляя теперь выражения (12.11) и (12.14) в разложение
(12.3), находим
у = рг1-*-1-ер(1 _х)е\-х_> я (12.15)
При этом в точке х = О имеем у = $е (1 + е), что, вообще
говоря, отлично от значения а в первом из условий (12.2).
Для того чтобы выявить причину неравномерности
полученного разложения и способы ее устранения, обратимся к точному
решению нашей задачи.
Точное решение
Так как уравнение (12.1) представляет собой линейное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, его
решение можно искать с помощью подстановки
У = е**%
которая приводит к характеристическому уравнению
или es2 + (1 + е2) s + 1 — е2 = О,
(es -к 1 — е) (s + 1 — е) = О,
корни которого суть
*i = —(1-ЬО и s8 = — 4~+К
Таким образом, общее решение (12.1) можно представить в виде
y = flle-(i+e)*-[.fl2e-[(i/e)-n*# (12.16)
Подставляя решение (12.16) в граничные условия (12.2), имеем
а = а! + а2, p = a1e-<1+e> + oae-ni/e)-f]f
откуда
P-qg-K'/e)-!] _ аг-(Н-е)-_р
а1~~ е- (1+в) _е- ((1/е) -1] ' а2 e-(l+e)—e-[(l/e)-IJ •
Следовательно, точное решение исходной задачи записывается как
_ [р - Ое~ !<*/*> - П] е- (1+е) * + [ае- (1+е) __ р] g- [(1/8) - 1] к
У~ е— (1-Ье) е— [<1/е) — 1] # KiZA')
Для того чтобы установить причину неравномерности прямого
разложения вблизи начала координат, разложим точное решение
(12.17) в ряд для малых е. При этом обратим внимание на то
обстоятельство, что при е -► 0 функция ехр (—1/е) будет меньше,
чем любая положительная степень е. Поэтому мы можем
переписать формулу (12.17) в виде
у = рвО+в)0-*) + [а-Рв!+в]е-(*/в) + * + (Э. М. Ч.), (12.18)
где сокращение (Э. М. Ч.) используется для обозначения
экспоненциально малых членов. При построении прямого разложения
(12.15) предполагалось, что переменная х имеет некоторое фикси-

280
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
0.25
*-*
Рис. 12.1. Сравнение внешнего разложения у0 с точным решением уе при е =
= 0.01, Р= 1.0 и а = 0.0.
рованное значение, отличное от нуля, после чего разлагалось
решение у при малых е. Если х фиксировано и положительно,
тогда функция ехр (—х/г) будет экспоненциально мала, и мы
можем переписать решение (12.18) в виде
у = РеО+в>о-*> + (Э. М. Ч.). (12.19)
Раскладывая выражение (12.19) при малых е, имеем
у = №~хе* <1-*) + (Э. М. Ч.) =
= Р*'-* [1+8(1 -^ + -^82(1 -X? +.-],
откуда у = $е1-х + е£ (1 - х) е1~х -| (12.20)
в полном соответствии с прямым разложением (12.15).
Как и в случае прямого разложения, формула (12.20)
становится непригодной вблизи точки х = 0, поскольку при этом
у (0) = $е (1 + е), т. е., вообще говоря, отлично от. значения а
в первом из граничных условий (12.2). Следовательно, в
процессе разложения решения (12.17)-для случая малых е мы, по-
видимому, воспользовались одной или несколькими
необоснованными операциями, которые и послужили причиной возникновения
неравномерности полученного разложения. Для того чтобы
проследить, какие это были операции, проанализируем более
подробно процесс разложения в ряд точного решения. Прежде всего
мы предположили, что функция ехр (—1/е) экспоненциально
мала, и получили при этом выражение (12.18), которое остается
равномерным при х = 0, поскольку оно дает у (0) = а, т. е.
удовлетворяет первому из граничных условий (12.2). Далее, мы
зафиксировали некоторое положительное значение х и, исходя из того,
что функция ехр (—х/в) экспоненциально мала, перешли к
формуле (12.19). Полагая в этом выражении х = 0, видим, что у (0) =
= (5 ехр (1 + е), т. е. получаем значение, вообще говоря,
отличающееся от значения а из граничного условия (12.2). Таким
образом, именно этот шаг является причиной неравномерности

12.1. Простой пример 281
У
4,0
2.0
L I I I U^
0 0,25 0.50 0,75 1,00
Рис. 12.2. Влияние величины параметра е на толщину пограничного слоя
при р = 1,0 и а = 0.0.
нового разложения. Рассматривая указанный переход более
внимательно, можно заметить, что функция ехр (—х/е) будет
экспоненциально малой при е -*• 0 только в том случае, когда
значение х положительно и достаточно далеко от нуля. Поэтому не
удивительно, что любое разложение, полученное на основе этого
допущения, становится непригодным, когда х ^ 0. Фактически
при х = 0 ехр (—х/е) = 1, что всегда будет много больше, чем
любая степень ет, где т > 0. Если же х = е, то ехр (—х/е) = е-1,
т. е. эта функция оказывается величиной О (1) и уже никак не
экспоненциально малым членом.
Возникает вопрос, насколько применимо полученное прямое
разложение (12.15), если мы знаем, что оно непригодно вблизи
точки х = 0. Ответ на этот вопрос можно видеть из рис. 12.1,
на котором приведено сравнение решения у0, подсчитанного по
формуле (12.15), с точным решением уе (формула (12.17)) для
случая е = 0,01. Нетрудно заметить, что при указанном малом е
решение у0 хорошо согласуется с уе везде, за исключением малого
участка вблизи точки х = 0, где уе быстро меняется, чтобы успеть
удовлетворить граничному условию. Этот участок вблизи начала
координат мы будем называть пограничным слоем. Рис. '12.2
показывает, что по мере уменьшения величины е пограничный слой
становится все более тонким; следовательно, решение у (х\ е)
непрерывно при е > 0, но претерпевает разрыв в точке 8 = 0,
и мы не можем произвольно менять порядок предельных
переходов при л:-*0ие-*0. В самом деле, в соответствии с формулой
(12.17) имеем
lim у {х\ е) = а,
откуда lim lim у (х; е) = а.
С другой стороны, из решения (12.17) следует, что
lim у (х\ г) = fiel~x
е->-0

282
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
и, следовательно,
limlim у(х\ г) = $е.
Таким образом,
limlim у(х\ е) Ф limlim у (х\ е),
что и доказывает неравномерную сходимость прямого
разложения у0 к точному решению задачи у (х\ е). Задачи такого рода
обычно называются задачами сингулярных возмущений. Анализ
точного решения (12.17) показывает, что функция у зависит от
х и е различными способами — в виде комбинаций (масштабов)
х/е, Ext а также прямо от х. При этом возникает вопрос, нельзя ли
построить равномерно пригодное разложение, используя в
качестве масштаба не переменную х, а некоторую функцию х и е.
Для того чтобы ответить на этот вопрос, исследуем теперь
влияние разных масштабов переменных на получающиеся в
результате разложения.
Влияние разных масштабов на разложение
Идея метода построения равномерно пригодных разложений
для задач сингулярных возмущений заключается в том, что мы
увеличиваем или растягиваем пограничный слой и исследуем
поведение решения в пограничном слое как функцию новой,
растянутой переменной. Для облегчения этого исследования,
проанализируем влияние смены масштаба непосредственно на
результирующем разложении (12.18).
Перейдем, например, от переменной х к растянутой
(мелкомасштабной) переменной £ = х/г. Тогда выражение (12.18),
которое не содержит явно экспоненциально малых членов,
перепишется следующим образом:
у = ре<!+е> (1-Bft) + [а _. p^l+e] ^-ft+efc + (Э. М. Ч.).
Раскладывая его при малых е и при фиксированном значении £,
получаем
у = р* + (а - ре) erl + е {р* (1 - I) + [- р* + (а - $е) 1}е~Ц + .. ..
(12.21)
Возвращаясь в разложении (12.21) вновь к переменной х, имеем
у = $е(1 -х) + (а-М(1+*)е-х/е + Ф11 - <г-*/с]+• • •. (12.22)
В начале координат у (0) = а, тогда как на правом конце
промежутка у (1) = фе. Поэтому разложение (12.22) оказывается
непригодным в окрестности точки х = 1, хотя оно, по-видимому,
остается в силе в начале координат. На рис. 12.3 показано, что
разложение (12.22) хорошо согласуется с точным решением лишь
в малой окрестности точки х = 0, но сильно отклоняется от него
вдали от этой ТОЧКИ;

12.1. Простой пример
283
Рис. 12.3. Сравнение так называемого внутреннего разложения (12.22),
обозначенного на рис. через у1, с точным решением у6 при е=0.01, Р= 1.0
и а = 0.
В качестве второго примера рассмотрим еще более мелкий
масштаб, а именно переменную £ = х/г2. Тогда разложение (12.18)
можно переписать в виде
y = P^(!-be)(l-8^) + [a„p^+ej^e:+8^ + (3# М. Ц.),
откуда при малых е и фиксированном £ получаем
у = a — е (а — 0*) £ + • • • , (12.23а)
или
*/ = а
■(«-Р*) +
(12.236)
В начале координат мы вновь имеем условие у (0) = а, в то время
как на правом конце у (1) = a — (a — (te)/e, что отличается от
величины р из условий (12.2). Таким образом, разложение (12.23)
оказывается неприменимым вблизи точки х = 1. Фактически
же оно будет пригодным только в очень малой окрестности
начала координат (рис. 12.4).
2,0 h
*»х
Рис. 12.4. Сравнение так называемого внутренне-внутреннего разложения (12.23),
обозначенного на рис. через у11, с точным решением уе при е= 0.01, р = 1.0
н a = 0.

284
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
■)
(12.24а)
(12.246)
В качестве третьего примера исследуем случай умеренно
растянутой координаты у] = х/е]/2. Для нее разложение (12.18)
переписывается в виде
у = реСЧ-е)(1-е1/2ц) + [а — p^l+e] ^-це-^+еЬ'*,, + ^ М
откуда при малых е и фиксированном г\ имеем
у = ^(1+в+---)(1-в|/2Л + -гвт12 +
= p£f[l_ei/aT| + e(l + 4-n2)+ ■••],
или у = ре|1— ^-[__^2_|_е_|_ ... 1
В начале координат у (0) = $е (1 + е) ^ а, а на правом конце
промежутка у (1) = Ре (-j"+ в) =т^ Р- Таким образом,
разложение (12.246) оказывается непригодным вблизи обоих концов.
Из рис. 12.5 видно, что это разложение хорошо согласуется с
точным решением лишь на небольшом внутреннем интервале
изменения переменной х.
\ Приведенноеграссуждение показывает, что'разложение
функции, зависящей от некоторого аргумента и малого параметра,
например функции у (х; е), очень сильно зависит от используемого
при зтомТ]масштаба (т. е. от того,какой аргумент считается
фиксированным). В рассмотренном примере при фиксированном х
мы получили разложение (12.20), пригодное везде, за
исключением малой окрестности начала координат. Зафиксировав
переменную £ = лУе, мы получили разложение (12.22), справедливое
только в малой окрестности точки х = 0. Считая же
фиксированной переменную £ = */еа, мы получили разложение (12.23),
имеющее место в еще меньшей окрестности начала координат. Наконец,
фиксируя'переменную у\ = х/г1/2> мы получили формулы (12.24), ко-
*~х
Рис. 12,5. Сравнение* так называемого промежуточного разложения (12.24)
обозначенного на рис. через у1, с точным решением уе при е«= 0.01, Р= 1.0
и а= 0.

12.1. Простой пример
285
торые оказались непригодными вблизи обоих концов промежутка,
но хорошо описывали решение на малом внутреннем промежутке.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что равномерно
пригодное разложение решения задачи сингулярных возмущений
нельзя получить, используя лишь один определенный масштаб
(т. е. определенную комбинацию х и е), как, например, #, х/ву
х/г2 или #/е1/2; тем самым подобные задачи оказываются
идеальным объектом для применения метода многих масштабов. Однако
для нелинейных задач, и в особенности для тех, которые
описываются нелинейными уравнениями в частных производных,
использование метода многих масштабов в некоторых случаях
может оказаться затруднительным, в связи с чем в таких задачах
довольно часто используется другой метод — метод сращиваемых
асимптотических разложений. Именно этот метод мы и будем
рассматривать в данной пцаве.
Основная идея, лежащая в основе метода сращиваемых
асимптотических разложений, состоит в том, что приближенное
решение данной задачи ищется не в виде единого разложения с
заданным масштабом переменных, а в виде нескольких отдельных
разложений, в которых используются два или более различных
масштаба, пригодные лишь в части рассматриваемой области. Эти
масштабы выбираются таким образом, чтобы а) полный набор
разложений охватывал всю интересующую нас область и б)
области применимости соседних разложений перекрывались. При этом
ввиду условия б) нам необходимо срастить (т. е. согласовать
друг £ другом) соседние разложения и тем самым связать их
между собой. Рассмотрим процесс согласования или сращивания
решений в различных областях более подробно.
Сращивание
Для иллюстрации ^основной идеи сращивания попытаемся
в качестве примера срастить разложение (12.15), которое будет
пригодным везде, за исключением малой окрестности начала
координат, с разложением (12.21), которое применимо лишь вблизи
точки х = 0. При этом мы сумеем срастить их только в том
случае, если эти два разложения имеют перекрывающиеся области
применимости. Разложение (12.15) было найдено путем
разложения функции у (х; в) при фиксированном *, тогда как формула
(12.21) была получена в результате разложения функции у (х\ в)
при фиксированном \ = х/в. В связи с этим возникает вопрос,
какое влияние на эти два разложения оказывает переход от
одного масштаба переменной к другому.
Прежде чем ответить на этот вопрос, обозначим разложение,
полученное при фиксированном х, надстрочным индексом «о»,
т. е. заменим в выражении (12.15) функцию у на у0. Разложение
же, полученное при фиксированном значении 1 = х/в, будем
обозначать надстрочным индексом «t», т. е. заменим в формуле

286
Гл. 12. Додачи с пограничным слоем
(12.21) у на у1. Далее, перейдем в разложении (12.15) от
переменной х к переменной £; в результате получим
уо = §е\-г\ _|_ ер (1 - eg) е1~* + • • • . (12.25)
Разлагая (12.25) для малых е и при фиксированном |, имеем
(у°У = $е + ф(1 -1)+..., (12.26)
где верхний индекс «/» в разложении (12.26) использован для того,
чтобы показать, что функция у0 разлагается при фиксированном
значении £. Наконец, переходя в разложении (12.21) к
переменной х и вспоминая, что следует заменить функцию у на у*,
находим
yi = р*>(1 — х) + (а - §ё) (1 +х) ег** + ф [1 - *-*•*«] + • • •. (12.27)
Разлагая (12.27) для малых е при фиксированном х, имеем
(у<)° = $е (1 - х) + Ф + • • •, (12.28)
где верхний индекс «о» в выражении (12.28) использован для того,
чтобы показать, что функция у1 разлагается при фиксированном
значении х. Заменяя теперь в (12.26) переменную | на х1ъ% имеем
(уоу = $е (1 _ х) + ф -1 . (12.29)
Сравнение разложений (12.28) и (12.29) позволяет сделать вывод,
что
(У')° = (У°У. (12.30а)
Другими словами,
внешнее разложение внутреннего разложения =
= внутреннему разложению внешнего разложения. (12.306)
Очевидно, что правило (12.30) применимо только в том случае,
когда два соседних разложения имеют перекрывающиеся области
применимости. Это правило называется обычно принципом,
сращивания и служит для сшивания двух соседних разложений.
При этом объединение областей применимости разложений
(12.15) и (12.25) позволяет охватить всю интересующую нас
область, т. е. весь промежуток [0,1 ]. Следовательно, полученные
разложения можно использовать для представления решения у
на всем промежутке [0,1].
Выберем теперь в разложениях (12.15) и (12.23а) новые
переменные. Как и ранее, разложение, полученное при
фиксированном х9 будем обозначать верхним индексом «о». Кроме того,
разложение, полученное при фиксированном £ = #/еа, будем
обозначать индексом «и». Такое разложение принято называть обычно
внутренне-внутренним разложением. Заменяя в разложении
(12.15) переменную х на £, имеем
уо = p^i-e»; + ер (1 - е%) е[~^ -\ ,

12.L Простой пример
287
откуда, разлагая при малых е и фиксированном £, находим
(уо)и = §е + ф 4 . (12.31)
Выражение (12.23а), которое после перехода к переменной я
принимает вид (12.236), в случае разложения для малых е и при
фиксированном х дает
(^Ов = -(а-Р^)-г + а+"в' <12'32)
Сравнение (12.31) и (12.32) показывает, что
(у°У'Ф(Уи)°. (12.33)
Таким образом, можно сделать вывод, что области применимости
разложений (12.15) и (12.23а) не перекрываются. Это и не
удивительно, поскольку, как видно из рис. 12.4, разложение (12.23)
будет справедливым в очень малой окрестности начала
координат — именно по этой причине мы и назвали его внутренне-
внутренним разложением. Отметим также, что существует
бесконечное множество таких внутренне-внутренних разложений,
характеризуемых различными масштабами £ = x/ev, где v > 1.
Итак, объединение областей применимости разложений (12.15)
и (12.23а) не покрывает всю интересующую нас область, а именно
интервал [0,1 ].
В качестве третьего случая рассмотрим переход от одного
масштаба к другому в разложениях (12.15) и (12.24а). Будем
обозначать через у1 разложение, полученное при фиксированном т] =
= */е|/2; такое разложение мы будем называть промежуточным.
Переходя в разложении (12.15) от переменной х к переменной т],
имеем
(/ = Р^-е1/2л + ер(1 _ el^) gl-e>/24-j , (12.34)
откуда, разлагая при малых е и фиксированном т], получаем
(У°У = Р* - в^Рег] + е (ре + -±-Ч2) + • • • ■ (12.35)
Замена т] на х в формуле (12.24а) дает разложение (12.246), откуда,
разлагая при малых е и фиксированном х, находим
{у'у> = 1е(<1-х + ±х*)+ф!+..'. (12.36)
Сравнивая разложения (12.35) и (12.36) и вспоминая, что т] =
= х/е1/2, можно видеть, что эти разложения совпадают, и,
следовательно, можно записать
(У°У-(У% (12.37)
Таким образом, области применимости разложений (12.15) и
(12.24а) перекрываются, что позволяет путем взаимной замены
переменных получить из них одинаковые разложения. В то же
время, хотя разложения (12.15) и (12.24а), как это видно из

288
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
рис. 12.5, имеют перекрывающиеся области пригодности,
объединение этих областей не позволяет покрыть целиком интересующий
нас промежуток, поскольку ни одно из них не будет пригодным
в окрестности начала координат.
Приведенные рассуждения показывают, что соседние
разложения, полученные в результате использования разных
масштабов, не обязательно должны иметь перекрывающие друг друга
области применимости. Более того, для двух соседних разложений
объединение их перекрывающихся областей применимости не
всегда будет охватывать всю интересующую нас область.
Следовательно, целью метода сращиваемых асимптотических
разложений является получение таких разложений, которое покрывали
бы всю рассматриваемую область, причем таким образом, чтобы
соседние разложения имели перекрывающиеся области
применимости. При этом соседние разложения сращиваются или
сшиваются с помощью принципа сращивания (12.30).
В рассматриваемом случае следует воспользоваться
разложениями (12.15) и (12.21), поскольку они охватывают всю
интересующую нас область и одновременно обладают перекрывающими
друг друга областями применимости. В то же время мы не можем
использовать разложения (12.15) и (12.23а) именно из-за того, что
их области применимости не перекрываются. Наконец,
разложения (12.15) и (12.24а) нельзя использовать потому, что они не
перекрывают всю интересующую нас область. Следует отметить,
что область применимости разложения (12.24а) перекрывается
с областью применимости разложения (12.21). Чтобы убедиться
в этом, произведем в разложении (12.21) следующую замену
переменных: т) = х/е1/2 = е1/2£. В результате имеем
yi = $е + (а - $е) *-n/e1/a +
откуда при малых е и фиксированном т) находим
(yty = §е - Рее^т] -\-ф~\ • (12.38)
Точно так.же, заменяя в (12.24а) х\ на £э имеем
yi = $e [1-вБ + в(1 + 4-Й2)+ ...],
откуда, разлагая при малых е и фиксированном £, получаем
(у!у = ре + ф>(1 —I) + ... . (12.39)
Сравнивая формулы (12.38) и (12.39) и вспоминая, что ц = е*/2£,
можно сделать вывод, что эти разложения тождественны, и,
следовательно,
(<,<)' = (У1)'- (12-40)

12.2. Метод многих масштабов
289
Приведенные рассуждения показывают, что области применимости
разложений (12.15) и (15.21) перекрываются, а их объединение
покрывает весь интересующий нас промежуток. Разложение
(12.15) называется обычно внешним разложением и обозначается
через у0. Разложение (12.21) принято называть внутренним раз-,
ложением и обозначать через у1. Переменная х при этом
называется внешней переменной, а переменная £ — х/г — внутренней.
Отметим также, что область применимости разложения (12.24а)
перекрывает области применимости разложения (12.15), с одной
стороны, и разложения (12.21) — с другой. Поэтому разложение
(12.24а) обычно называется промежуточным разложением, а
переменная г] = х/г1'2 — промежуточной переменной, поскольку
увеличение масштаба переменной, получаемое в результате
введения переменной г\, лежит между х и х/г. Таким образом,
любая переменная т) = #/ev, где 0 < v < 1, оказывается
промежуточной. Иногда вместо непосредственного сращивания сшивание
внешнего и внутреннего разложений производят путем
поочередного приравнивания их некоторому промежуточному
разложению. Мы продемонстрируем этот подход в § 12.3. В следующем
же параграфе будет показано, как для получения равномерно
пригодного разложения решения (12.1) можно использовать метод
многих масштабов.
12.2. Метод многих масштабов
Как отмечалось в предыдущем параграфе, решение у (х; г)
зависит не только прямо от переменных х и е, но и от их
комбинаций вида х/г и гх. Это обстоятельство делает данную задачу
идеальным объектом для применения метода многих масштабов.
Поскольку область решения задачи конечна, величина гх
остается малой, и, следовательно, в противоположность задачам для
бесконечных областей, рассматривавшимся в гл. 4—11, наличие
в нашей задаче секулярных членов вида гх, г2х2, eV, ... не
будет служить причиной возникновения неравномерностей. Таким
образом, достаточно ввести лишь одну мелкомасштабную
переменную I = х/г, которая для данной задачи совпадает с обычной
внутренней переменной, и координату х0—х, которая в нашем
случае является внешней переменной. В этих координатах
dx e dl + dx09 dx* ~" ea d& + e д£дх0 + дх% ' \ил{)
так что уравнение (12.1) принимает вид
т*+ЧЬ+'3+о+о(4-*+£)+<'-*»-<>-
(12.42)
Будем искать равномерно пригодное разложение первого
порядка в форме
У=Уо (S, *о) + т (I. *о) + - • (12.43)

290
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Как и в задачах о нелинейных колебаниях, для того чтобы
определить произвольные функции, появляющиеся при решении
задачи для у01 нам необходимо исследовать член порядка е.
Подставляя разложение (12.43) в уравнение (12.42) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, имеем
■Т^ + -5М; ч (12.44)
д2Ух ■ дух __ о д*у0 ду0
dV + dl — Z dldxQ дх0 *• УиАЬ>
Общее решение уравнения (12.44) дается выражением
у0 = А (х0) + В(х0)е-*, (12.46)
где функции Л и В на этом шаге аппроксимации остаются
неопределенными; их определяют на следующем этапе с помощью
соответствующих условий разрешимости. Подстановка
полученного выражения для у0 в (12.45) дает
-fj£- + -^ = 2В'е-1 -А'- В'е-Ъ -А- Ве~\
или ^+°2l- = -(A' + A) + (B'-B)e-l. (12.47)
Частное решение уравнения (12.47) имеет вид
Угч = ~ (А' + А) £ - (В' - В) Ьг\ (12.48)
так что при £ -► оо величина гуг оказывается много больше, чем
у0. Поэтому для получения равномерно пригодного разложения
коэффициенты при I и при £ ехр (—I) в формуле (12.48)
должны обращаться в нуль одновременно. Таким образом,-имеем
А' + А = 0, В' — В = 0. (12.49)
Решения уравнений (12.49) можно представить в виде
А = ае~х\ В =* Ьех% (12.50)
где а и Ь — произвольные постоянные. Тогда решение (12.46)
принимает вид
у0 =а ае-~*° + Ье~-*+Хо,
или, если перейти к исходной переменной,
у0 = ае~х + Ьет <*/е> + *.
Подстановка найденного выражения для у0 в разложение (12.43)
дает
у = ае~х + Ье-<*./е> + х Н . (12.51)
Удовлетворяя граничным условиям (12.2), имеем
а = а + Ь9 р = ae~l + te~ (W + 1.

12.3. Сращиваемые асимптотические разложения 291
*-ДГ
Рис. 12.6. Сравнение решения (12.52), полученного с помощью метода многих
масштабов (и обозначенного на рис. через ут), с точным решением уе при е =
= 0.1, р= 1.0 tfa= 0.0.
Пренебрегая в этих соотношениях экспоненциально малым членом
ехр (—1/е) и разрешая их относительно а и Ь, получаем
а = fie, Ь = a — fie.
Таким образом, из разложения (12.51) находим, что в первом
приближении
у = p*i-* + (а - fie) е~ <*/*> + * +.•••. (12.52)
Рис. 12.6 показывает, что разложение (12.52) хорошо согласуется
с точным решением (12.17) во всех точках рассматриваемого
промежутка. При этом значение параметра е мы выбрали равным 0,1,
для того чтобы иметь возможность различить на рисунке эти два
решения.
12.3. Метод сращиваемых асимптотических разложений
Как отмечалось в § 12.1, главная идея, лежащая в основе
метода сращиваемых асимптотических разложений, заключается
в представлении решения несколькими разложениями, каждое
из которых пригодно в некоторой части рассматриваемой области,
причем области применимости соседних разложений
перекрываются, что позволяет провести их сращивание. В этом параграфе
мы проанализируем несколько примеров использования указанного
метода, начав с рассмотрения простой краевой задачи (12.1)—
(12.2).
При е -* 0 (12.1) вырождается в уравнение
у9 + У = о,
которое представляет собой уравнение первого порядка и,
следовательно, не позволяет удовлетворить обоим краевым условиям.
Поэтому одно из них должно быть опущено, и на соответствующем
конце промежутка должен появиться пограничный слой. В § 12.1
для того, чтобы показать, что пограничный слой возникает вблизи

292
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
начала координат, мы воспользовались точным решением нашей
задачи. Конечно, на практике, когда мы пользуемся описываемой
методикой, точное решение задачи отсутствует; в противном случае
просто не было бы нужды прибегать к построению приближенного
решения. Таким образом, в данной задаче нам прежде всего
необходимо определить расположение пограничных слоев. Хотя во многих
случаях для этого можно воспользоваться различными
физическими соображениями, в данной главе мы опишем, как можно
определить расположение пограничных слоев чисто
аналитическими методами. Кроме того, в двух предыдущих параграфах мы
воспользовались структурой точного решения, для того чтобы
установить, что в качестве внутренней переменной следует выбрать
именно переменную £ = х/в. В этом параграфе мы также
попытаемся обосновать выбор именно этой внутренней переменной.
Чтобы определить местоположение пограничного слоя,
предположим, что он существует на одном, вполне определенном конце
промежутка, и построим соответствующие одночленные
разложения. При этом если мы сумеем срастить соседние разложения, то
наше предположение будет правильным; в противнрм же случае
пограничный слой будет располагаться вблизи другого конца.
Предположим, например, что пограничный слой имеет место на
правом конце * промежутка и, следовательно, условие у (1) = Р
должно быть опущеюо. Будем искать внешнее разложение в виде
у° (х; е) =* у0(х) + ... .
Подстановка этого разложения в уравнение (12.1) и условие
у (0) = а дает
Уо + Уо — 0, jfo(0)=»a.
Таким образом, имеем
Уо = с0е~* и а «в Со,
откуда у0 = о.ет* + •. •. (12.53)
Для того чтобы проанализировать поведение решения в
окрестности выбранного пограничного слоя, нужно растянуть область
вблизи точки х = 1, т. е. растянуть малый участок 1 — х (х < 1)
вблизи конца х = 1. Поэтому выберем
6 = -Ц^. (12.54)
где величина v должна быть больше нуля, для того чтобы £
оказалось увеличивающим, или растягивающим, преобразованием.
Величина v, вообще говоря, заранее не известна и определяется из
последующих рассуждений. Отметим также, что, согласно
определению, координата | является положительной,

12.3. Сращиваемые асимптотические разложения 293
Из соотношения (12.54) следует, что
d __ d dl Id d* 1 d*
£JL = 0
dx ~~ dl dx ev df dx* e2v d& '
Переходя в уравнении (12.1) к переменной £, имеем
e'~2vlF - e~v0 + e2)f- + 0 - е2) У = °- (12-55)
При е-^Ои фиксированном g главными членами в (12.55) будут
e1-*-2^-e-v|f- + 0+...=O. (12.56)
Предельная форма соотношения (12.56) при е -► 0 зависит от
величины v. При этом существуют три возможности: v > 1, v < 1
и v = 1.
В случае V > 1 соотношение (12.56) в пределе дает уравнение
££
aV
общим решением которого будет
У* = а0 + Ь01. (12.57)
Поскольку предполагается, что пограничный слой существует при
х = 1, это решение должно удовлетворять условию у = |5 при
х* 1. Но точка х = 1 соответствует точке £ =0, и, следовательно,
у[ = Р при 5 = 0. Поэтому из решения (12.57) следует, что
Р=До
и, значит,
у* - Р -Ь 6oS. (12.68)
Для того чтобы срастить разложения (12.53) и (12.68), необходимо
построить пределы (у0)1 и (у<)°. Выражая (12.63) через
переменную £, получаем
откуда, разлагая при малых е и фиксированном £, находим
(у°У = <хе~К (12.59)
Аналогичным образом, переходя в (12.58) к переменной х, получаем
откуда, разлагая при малых4-е и фиксированном х, имеем
1|5, если Ь0 = 0,
^-Х). если 60^0. (12-б°>

294
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Приравнивание в соответствии с принципом сращивания пределов
(12.59) и (12.60) приводит к соотношениям Ь0 = 0 и ае~1 = р,
что, вообще говоря, неверно. Таким образом, случай v > 1
исключается из нашего рассмотрения.
В случае v < 1 уравнение (12.56) в пределе дает
откуда yi = а0.
Как и ранее, функция у1 должна удовлетворять граничному
условию у (1) = р, или ус = Р при £ = 0. Поэтому а0 = Р и
У{ = Р. (12.61)
Так как функция у1 постоянна, то
(У')° =>Р. (12.62)
Кроме того, как и в предыдущем случае, (у0)1 = ае~1. Поэтому
в соответствии с принципом сращивания имеем
(у°У = (у<)°,
откуда р = ае-1, что, вообще говоря, неверно. Следовательно,
случай v < 1 мы также должны исключить из рассмотрения.
Наконец, в случае v = 1 предельной формой уравнения (12.56)
будет уравнение
dV dy<
d? ~~ dl ~и'
общее решение которого записывается в виде
yi = Оо + V*-
Выполняя условие у{ = р при 5 = 0, имеем
До + Ь0 = Р, или а0 = Р — Ь0.
Таким образом,
*/< = Р-&о + М*.
Для того чтобы выполнить процедуру сращивания, выразим у1
через переменную х. В результате получим
y = P-*o + MxP(-Lz±),
откуда, разлагая при малых е и фиксированном #, находим
[ р, если ft0 = 0,
(</<)* = I м_*ч fc _n (12.63)
^b0exp(^—— j, если b0¥=0.
При этом предельное соотношение (у0)1 вновь дается выражением
(12.59). Далее, приравнивая в соответствии с принципом сращива*
ния выражения (12-59) и (12.63), получаем Ь0 = 0 и, следовательно,

12.3. Сращиваемые асимптотические разложения 295
Р = ае~\ что, вообще говоря, неверно. Тем самым мы должны
отбросить и этот последний случай. Отсюда следует, что
пограничный слой вблизи конца х = 1 не существует.
Для того чтобы проверить, имеется ли пограничный слой вблизи
конца х = 0, введем преобразование растяжения
1 = -^-, или х = г% (12.64)
ev
где величина v считается положительной. Тогда
_d d_ ^£ __L jL j*!_ = J 4L
dx - dl dx ev dl ' dx* e2v d&
и уравнение (12.1) принимает вид
el_2V^p- + e_V<1 +е2)Ц- + (1 -e2)y = 0.
Главной частью этого уравнения при е -* 0 является уравнение
г>-»^ + г-^ + у = 0. (12.65)
Как и ранее, здесь также существуют три возможности: v > 1,
v < 1 и v = 1.
В случае v > 1 предельная форма (12.65) при е -> 0 приводит
к уравнению
-7jjfr = 0, (12.66а)
общее решение которого
у{ = а0 + Ь0Ъ
Поскольку предполагается, что пограничный слой существует
вблизи начала координат, это решение должно удовлетворять
граничному условию у (0) = а. Но, согласно (12.64), точка х = 0
соответствует точке 1 = 0, и, следовательно, мы имеем у1 = а
при 1 = 0. Тогда а = а0 и
*/' = а + *0£. (12.666)
Ясно, что внешнее разложение должно оставаться
справедливым при х = 1. В связи с этим будем искать его в форме
у°{х\ г) = у0(х)-\ .
Подстановка этого разложения в уравнение (12.1) и условие у (1) =
= Р дает
Уо + £/о = 0, £/0 (1) = Р-
Таким образом,
Уо = с0е-* и с0 = Ре,
и уо = $ех-х-\ . (12.67)

296 Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Для того чтобы срастить разложения (12.666) и (12.67),
перепишем первое из них через переменную х. В результате получим
ev
откуда, разлагая при малых е и фиксированном х% находим
Ia, если Ь0 == О,
*„-£,, если 6„#0. <1268>
Далее, перепишем разложение (12.67) через переменную х, т. е.
откуда, разлагая при малых е и фиксированном £, имеем
(у°У = Р* + .... (12.69)
Приравнивание в соответствии с принципом сращивания
разложений (12.68) и (12.69) дает Ь0 = 0 и a = ре, что, вообще говоря,
неверно. Таким образом, случай v > 1 должен быть исключен из
рассмотрения.
В случае v < 1 предельная форма уравнения (12.65) при
е -> 0 имеет вид
-^ = 0, (12.70а)
откуда у1 = оо-
Используя условие у1 = а при 1 = 0, получаем, что а0 — а, и,
следовательно,
</< = а. (12.706)
Для того чтобы срастить разложения (12.67) и (12.706), заметим,
что (у°У и в этом случае дается выражением (12.69) и, кроме того,
{У1)0 = а,
поскольку у{ есть постоянная величина. Как и ранее, использб-
вание принципа сращивания приводит к требованию a = fte, что,
вообще говоря, неверно. Следовательно, случай v < 1 также
должен быть отброшен.
В случае v = 1 предельной формой уравнения (12.65) при г -► 0
служит уравнение
% + %-0. 0271)
общее решение которого имеет вид
у1 = а0 + Ь0е-Ь.
Подстановка условия у1 = а при g = 0 дает
Яо + Ь0 = а, или а0 = а — Ь0,

J2.3. Сращиваемые асимптотические разложения 297
и, следовательно,
ус = a-b0 + b0e-t. (12.72)
Для того чтобы срастить разложение (12.67) с (12.72), заметим, что
(у°У и в этом случае дается той же самой формулой (12.69).
Переходя в разложении (12.72) к переменной #, имеем
& = а-Ьо + Ь0-*'*9
откуда, разлагая при малых е и фиксированном х, находим
(у*У = а - &0. (12.73)
Приравнивая теперь в соответствии с принципом сращивания
выражения (12.69) и (12.73), получаем
а — b0 = [te, или b0 ~ а — $е.
Таким образом, в первом приближении имеем
у° = №~х-\ , 0'= Ре + (« - Р*) *-"*/8Н (12.74)
в полном соответствии с разложениями, полученными в § 12*. 1
с помощью преобразования точного решения.
Поскольку мы сумели добиться сращивания, наше
предположение о местонахождении пограничного слоя оказывается
правильным. Кроме того, выбор в качестве внутренней переменной
преобразования I = xh позволяет построить внутреннее разложение,
перекрывающее соответствующее внешнее разложение, причем
именно случай v = 1 обеспечивает необходимое изменение
масштаба в пограничном слое. Отметим также, что преобразования
растяжения, соответствующие случаям v § 1, приводят к
требованию а = ре, что, вообще говоря, является неверным. При этом
условия v < 1 и v > 1 остаются в значительной мере
неопределенными, поскольку каждое из них удовлетворяется бесконечным
набором значений v. С другой стороны, условие v = 1 оказывается
вполне конкретным; оно соответствует так называемому
характерному пределу задачи. При этом оказывается, что использование
характерного предела всегда дает нам надлежащее преобразование
координат. Кроме того* предельные формы (12.66а) и (12.70а)
исходного дифференциального уравнения при v s 1 представляют
собой частные случаи предельной формы (12.71) при v = 1. Таким
образом, мы будем говорить об уравнении (12.71) как о наименее
вырожденной форме предельного уравнения в пограничном слое.
Поэтому в последующих параграфах мы всегда будем определять
требуемые преобразования переменных путем выбора характерных
пределов.
Формулы (12.74) представляют собой два отдельных
разложения, а именно разложение у0 — пригодное везде, за исключением
малой окрестности порядка е вблизи точки х — 0, и
разложение у1 — пригодное только в малом промежутке порядка е вблизи
этой точки. Хотя области пригодности разложений у0 и у* перекры-

298 .
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
ваются, для получения численного решения, которое могло бы
быть использовано на всем промежутке решения задачи, при
некотором малом значении координаты х нам необходимо
переключаться с одного разложения на другое. Однако это значение х
точно не известно. Для того чтобы преодолеть указанное
затруднение, из полученных разложений строят так называемое составное
разложение, которое мы будем обозначать далее через ус. Оно
определяется следующим образом:
Ус = У0 + У* - (У°У = У° + У'~ (У{)°. (12.75)
При этом оба указанные здесь варианта разложения эквивалентны,
поскольку в силу условия сращивания имеем (у0)1 = (у1)0. Таким
образом, составное разложение (12.75) получается как результат
сложения внешнего и внутреннего разложений, из которого
вычитается их общая часть (y°)f или (у1)0. Отметим, что разложение
(12.75) хорошо согласуется с внутренним и внешним разложениями
в соответствующей области их применимости. Действительно,
(УС)° = (У°)0 + (У')°-[(У'П.
Но поскольку (f°)° = /°, то
(У°)° = У0, [(У{)°]° = (У1)0>
и, следовательно,
(*/с)° = <Л (12.76)
Аналогичным образом имеем
(УСУ = (У°У + (У1У + 1(У°УУ.
Но поскольку (](У = /'', то
(У'У = УС, [(У°УУ = (У°У,
и, следовательно,
(УСУ = У1- (12.77)
Таким образом, поскольку ус представляет собой внешнее
разложение во внешней области и внутреннее разложение во внутренней
области, можно утверждать, что оно является хорошим
приближением во всей области решения задачи.
В'рассмотренном примере общая часть внешнего и внутреннего
разложений у0 и у1 дается выражением (12.69) или (12.73), т. е.
(у°У = (у{)° = $е.
Поэтому
ус = p^i-* + (а - И е~х/е Н . (12.78)
Устремляя в разложении (12.78) параметр е к нулю при
фиксированном #, имеем
Переходя теперь в (12.78) к переменной £, получаем

12.3. Сращиваемые асимптотические разложения 299
1Г*
Рис. 12.7. Сравнение составного разложения ус с точным решением уе при
е= 0.1, р= 1.0 и а= 0.0.
откуда, разлагая при малых г и фиксированном £, находим
(у*)' = $е + (а - И е-* + • • • = </'•
Следовательно, ус действительно воспроизводит внутреннее и
внешнее разложения в соответствующей области их применимости.
Естественно, что разложение (12.78), как это и подтверждает
рис. 12.7, оказывается прекрасным приближением к точному
решению на всем интервале изменениях. Значение е = 0.1 выбрано
для того, чтобы можно было на рисунке легко различить
приближенное асимптотическое и точное решения.
В заключение этого параграфа сравним разложение (12.78)
с разложением (12.52), полученным с помощью метода многих
масштабов. В то время как метод сращиваемых асимптотических
разложений дает нам составное разложение, которое распадается
на два отдельных разложения во внешних и внутренних
переменных, метод многих масштабов приводит к единому разложению.
Отметим также, что в случае уравнений с переменными
коэффициентами внутренняя переменная очень часто оказывается
нелинейной функцией от х.
**х
Рис. 12.8. Сравнение решения утл полученного по методу многих масштабов,
с составным разложением ус и точным решением уе прн е= 0.1, р = 1.0 и
а= 0.

ЗОЙ
Гл. 12. Задачи с Пограничным слоем
Устремляя е к нулю при фиксированном х, находим, что
соотношения (12.52) и (12.78) приводят к одному и тому же внешнему
разложению. Полагая теперь х = eg и устремляя е к нулю при
фиксированном £, получаем, что формулы (12.52) и (12.78) дают
одно и то же внутреннее разложение. Следовательно, разложения
(12.52) и (12.78) совпадают во внешней и внутренней областях.
Однако разложение (12.52) ввиду присутствия в нем
дополнительного множителя ехр(лг) лучше согласуется с точным решением при
больших значениях е (см. рис. 12.8). Это, конечно, не означает, что
метод многих масштабов является более мощным по сравнению
с методом сращиваемых асимптотических разложений. Так,
например, использование метода многих масштабов для
построения решений нелинейных дифференциальных уравнений, и
особенно уравнений в частных производных типа уравнений Навье—
Стокса, представляет собой весьма сложную задачу.
12.4. Высшие приближения
Как отмечалось выше, для того чтобы построить
асимптотическое разложение более высокого порядка, описывающее решение
краевой задачи (12.1), (12.2), мы должны найти внешнее и
внутреннее разложения, срастить их и, наконец, построить
соответствующее составное разложение.
Внешнее разложение
Будем искать внешнее разложение в следующей форме:
У0 =j/oW +т№ + .... (12.79)
При этом, поскольку мы предположили, что пограничный слой
существует вблизи начала координат, это разложение должно
удовлетворять граничному условию у (1) = р. Таким образом,
подставляя разложение (12.79) в уравнение (12.1) и граничное
условие у (1) = р и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях е, имеем
Уо+Уо = 0, 0о(1) = Р, , (12.80)
У[ + У1 = -У1 0i(1) = O. (12.81)
Как и ранее, решение задачи для у0 можно представить в виде
0о = Р*1-*.
Тогда уравнение (12.81) переписывается как
01 + 01 = —Р*1-*.
Общим решением этого уравнения является функция
уг = Cle-* — $хе1-*.
Но поскольку ух (1) = 0, то сх = Ре, и, следовательно,
^ = P^-* + eP(i -Jrj^-'H • (12.82)

12.4. Высшие приближений.
301
Внутреннее разлооюение
Для того чтобы найти внутреннее разложение, прежде всего
заменим в уравнении (12.1) независимую переменную х на
переменную | = х/г. Тогда для внутреннего решения, которое будем
обозначать через у1, получим уравнение
^ + (l + e2)4£- + e(l-eW = 0. (12.83)
Поскольку, согласно исходному предположению, пограничный
слой существует вблизи начала координат, внутреннее разложение
должно удовлетворять граничному условию у = а при х = 0.
Но координата х = 0 соответствует координате £ = 0, поэтому-
у1 (0) - а. (12.84)
Далее, будем искать внутреннее разложение в форме
у* = Г0(1) + гУг(Ъ) + .... (12.85)
Подставляя разложение (12.85) в уравнение (12.83) и граничное
условие (12.84) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях е, находим
У5 + Г6 = 0, К0(0) = а, (12.86)
Y\ + KJ = - Го, YX{Q) = 0. (12.87)
Общее решение задачи для Y0 имеет вид
У о = Яо + Ь^егУ
Подстановка этого выражения в условие Y0 (0) = а дает
а = До +-Ьо, или а0 = а — Ь0,
откуда Y0 = а — Ь0 + Ь0е~Ь.
При этом уравнение (12.87) переходит в уравнение
Y'i + Y\ = ~(a-b0)-b0e-lt
общее решение которого записывается как
Y1 = a1 + ЪхеЛ -(а-Ь0)1 + Ь0Бг*-
Подстановка в условие Yx (0) = 0 дает
ах + Ьх = 0, или ах = —Ьь
и, следовательно,
у, = _fcx + ъхе-\ - (а - Ь0) I + Ь0Ъе-*.
Таким образом, окончательно имеем
y< = a-b0 + b0e-t + z[~bx + bxe-t-(a-b0)l + b0te-t)+...t
(12.88)
где оставшиеся постоянные Ь0 и Ьх определяются из условия
сращивания.

302 Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Сращивание
Для того чтобы сшить внешнее и внутреннее разложения,
воспользуемся условием сращивания (у0)1 = (у')°- Поскольку оба
этих разложения содержат по два члена, нам нужно найти первые
два члена в каждом из разложений (у°)£ и (у1)0. Переходя в (12.82)
к переменной £ = х/е, имеем
уо = pei_e6 + ер (1 - еЕ) е1"1* -\ ,
откуда, разлагая при малых г и фиксированном £, находим
(У°У = ре + ере(1 - I) + ■-.. (12.89)
Возвращаясь в разложении (12.88) к переменной х> имеем
yi = a-b0 + b0e-x'* +
+ е [-^ + Ьет*!* _ (а _ ь0) -f + ь0-±-ег*1*\ + • • •,
откуда, разлагая при малых е и фиксированном ху находим
(j/')° = « - Ь0 - (а - 60) х - гЬх + ... . (12.90)
Наконец, приравнивая разложения (12.89) и (12.90) в силу
принципа сращивания, получаем соотношение
§е + е$е (1 — Б) = а — Ь0 — (а — &0) * — ebl9
которое с учетом того, что £ = л:/е, можно переписать в виде
Ре — §ех + е$е = а — Ь0 — (а — Ь0) х — ebv (12.91)
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е в
равенстве (12.91) приводит к условиям
р* _ Ре* = а — 60 — (а — b0) *, j( 12.92)
Ре = —bv (12.93)
Если пограничный слой существует там, где мы и предположили
заранее, и соответствующее растягивающее преобразование
выбрано правильно, то полученные условия сращивания оказываются
непротиворечивыми, и из них можно определить постоянные Ь0
и Ьх. В самом деле, приравнивание коэффициентов при одинаковых
степенях х в соотношении (12.92) дает
Ре = а — Ь0У ре = а — fc0,
откуда bo = а — Ре. Далее, из условия (12.93) следует, что Ьх =
= —Ре. Таким образом, разложение (12.88) приобретает вид
yi = ре + (а - Ре) ет* + е (Ре - Рее~& - Ре£ + (а - ре) Ьг*] ^
(12.94)
Как уже отмечалось в §12.1, сращивание можно производить,
используя промежуточные разложения. Введем, например,
промежуточную переменную г\ = х/е1/2, которая дает изменение

12.4. Высшие приближения
303
масштаба, среднее между х и Б =* х/г. Переходя от переменной
х к переменной т), перепишем разложение (12.82) в виде
уо = р^-е^л + ер (1 - е1/^) ^-£1/2я -{ , (12.95а)
откуда, разлагая при малых е и фиксированном т)э имеем
(уоу = ре- г1/2$ец + ере (1 + ~- г)2) Н . (12.956)
Полагая теперь в разложении (12.88) £ = т]/е1/2, находим
^ = a_fc0 + V-T1/el/2 +
+ e[-fti + ^-^W2 - ^Ш^ + Т^^^172] + • •' • (12-96а)
откуда, разлагая при малых е и фиксированном г|, получаем
(yi)i = a - Ь0 ^ е1/2 (a - b0) л - efcx -1 . (12.966)
Приравнивая разложения (12.956) и (12.966) в соответствии с
принципом промежуточного сращивания, находим, что они согласуются
вплоть до порядка е1/2. Следовательно, на этом шаге
аппроксимации мы можем найти только постоянную Ь0. Для того чтобы
срастить разложения до О (е), необходимо продолжить внутреннее
разложение до членов второго порядка. С другой стороны,
промежуточное сращивание может проводиться путем вычитания
разложения (12.96а) из (12.95а), после чего следует устремить е к нулю
при фиксированном значении переменной т]. Этот процесс
позволяет определить обе постоянные Ь0 и Ьг. Сопоставляя процесс
промежуточного сращивания с прямым сращиванием, можно
сделать вывод, что промежуточное сращивание представляет собой
излишнее усложнение предлагаемого метода, и поэтому в
дальнейшем мы не будем им пользоваться.
Весьма удобный вариант прямого сращивания представляет
собой так называемый принцип сращивания Ван-Дайка:
m-членное внутреннее разложение
n-членного внешнего разложения равно
n-членному внешнему разложению
т-членно'го внутреннего разложения, (12.97)
где тип — два произвольных целых числа, не обязательно
равных друг другу. Чтобы определить m-членное внутреннее
разложение (м-членного внешнего разложения), перепишем первые п
членов внешнего разложения, выразив их через внутреннюю
переменную, и затем разложим их для малых е при фиксированном
значении внутренней переменной, учитывая в полученном
разложении лишь т членов. Аналогичным образом можно получить и
правую часть соотношения (12,97).

304
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Для того чтобы продемонстрировать использование принципа
сращивания Ван-Дайка, применим его к сращиванию двучленного
внешнего разложения (12.82) с двучленным внутренним
разложением (12.88). При этом будем действовать следующим образом.
Двучленное внешнее разложение: у~$е*-х ~{-е$(1 — х)ех"х.
Перепишем через внутреннюю переменную: = Ре1"** +
+ ер(1-е£)е,-е*.
Разложим при малых е: = $е ( 1 — е£ + -~- е2|2 -J- • • •) +
+ вр^(1 _ eg) (1 — е£ Н ).
Найдем двучленное внутреннее разложение: = $е + фе (1 —£).
(12.98)
Двучленное внутреннее разложение; у ~ а — Ь0 + b0e~t +
+ е \- Ьх + Ьег* - (а - b0) I + Ь&г1].
Перепишем через внешнюю переменную: = а — b0 + bQe~~x/e' +
+ е [~bi + V-*/e - (« - Ь0) -г + ■¥■ e"*/e] •
Разложим при малых ё: ■= а—b0—(a—b0)x—гЬ1 + (Э. М. Ч.).
Найдем двучленное внешнее разложение: =а — Ь0 —
-г(а — Ь0)х-гЬ1. (12.99)
Приравняв теперь разложения (12.98) и (12.99) в соответствии
с условием сращивания (12.97) и выразив переменную | через
переменную х, мы в точности получим соотношение (12.91). Следует
отметить, что существуют случаи, в которых принцип сращивания
Ван-Дайка может оказаться неприменимым. Тем не менее он очень
удобен и потому широко применяется на практике.
В приведенном примере мы могли найти любое число членов
во внутреннем или внешнем разложениях, причем соответствующие
произвольные постоянные определялись в процессе сращивания.
Однако это оказывается возможным далеко не всегда. Например,
при построении асимптотики решения задачи обтекания тела
произвольной формы потоком вязкой жидкости необходимо прежде
всего определить одночленное внешнее разложение, которое
используется для нахождения одночленного внутреннего
разложения; лишь затем переходят к нахождению второго члена
внешнего разложения, который в свою очередь используют для
нахождения второго члена внутреннего разложения и т. д.
Составное разложение
После того как внешнее и внутреннее разложения найдены,
проведено их сращивание и тем самым определены все неизвестные
постоянные, можно построить составное разложение, которое будет

12.5. Уравнения с переменными коэффициентами 305
равномерно пригодным на всем промежутке решения задачи.
С этой целью подставим выражения для у0, у1 и (у0)1 из формул
v(12.82), (12.94) и (12.89) соответственно в выражение (12.75) и
получим такое единое равномерно пригодное разложение:
ус = §е\-х _|_ (а _ р<,) е~% _|_ е да (J _ д) gi-* _ p^i-i _j_
-Ь (а — р^) ^-^] + ' • • - * (12.100)
12.5. Уравнения с переменными коэффициентами
В этом параграфе мы воспользуемся методом сращиваемых
асимптотических разложений для построения асимптотического
решения первого порядка краевой задачи
*У" + Pi (х) у' + Ро (х) У = 0, е « 1, (12.101)
у(0) =а, у{\) - р (12.102)
в случае задания функций рх и р0 некоторого специального вида.
Эта задача исследуется также в гл. 14 с помощью метода ВКБ
и преобразования Лангера. Здесь мы рассмотрим два примера,
в которых функция рх (х) Ф 0 на промежутке [0, 11, а также два
примера, в которых рх (х) обращается в нуль на этом промежутке.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
гу"-(2х + 1)у' + 2у = 0. (12.103)
При е -*• 0 это уравнение переходит в дифференциальное
уравнение первого порядка, и, следовательно, одно из граничных условий
(12.102) должно быть опущено. При этом оказывается, что если
Рх (х) > 0 на промежутке [0, 1 ], то пограничный слой существует
на левом конце этого промежутка, а если рх (х) < 0 на [0,11, то
пограничный слой будет иметь место на правом конце. Таким
образом, для рассматриваемого уравнения пограничный слой
существует в окрестности точки х = 1, и внешнее разложение должно
удовлетворять граничному условию у (0) = а. Во всяком случае,
наличие пограничного слоя на правом конце промежутка
подтвердится, если мы сумеем срастить полученные разложения, так
чтобы вся схема построения решения оказалась математически
непротиворечивой г).
Будем искать внешнее разложение в виде
У° = Уо(х) + еух(х) + .... (12.104)
1)В литературе по прикладному асимптотическому анализу такие
процедуры, хотя и не имеющие строгого математического обоснования, но
обладающие внутренней стройностью и логической завершенностью, называют обычно
самосогласованными- — Прим. перев.

306
Гл. 12. Задача с пограничным слоем
Подставляя разложение (12.104) в уравнение (12.103) и условие
у (0) = а и приравнивая коэффициенты при 8° в обеих частях
полученных равенств, получаем
-(2*+1)у6 + 2у0 = 0, |/0(0) = а. (12.105)
Разделяя переменные в (12.105), находим
dy0 _ 2dx
у0 - 2х + 1 '
откуда In у0 = In (2х + 1) + In с0,
где с0 — произвольная постоянная. Тогда
у0 = с0 (2х + 1),
и поскольку г/0 (0) = а, то, следовательно, с0 = а. Таким образом,
имеем
у0 = а (2х + 1)
и у0 = а (2х + 1) + ... . (12.106)
Для того чтобы построить разложение, пригодное в
пограничном слое, необходимо растянуть окрестность точки х = 1. Поэтому
положим
или л: = 1 — (12.107)
где величина v считается положительной и определяется в
процессе дальнейшего анализа. Переходя в уравнении (12.J03) к
переменной £ с помощью преобразования (12.107) и обозначая
внутреннее решение через у\ получаем
ei-2v AL + е-* (3 - 2ev|) JjjjL + 2*/< = 0. (12.108)
При е -* 0 предельная форма уравнения (12.108) зависит от выбора
v. Как отмечалось ранее, требуемое значение v должно выбираться
в соответствии с видом характерного предела. Поэтому положим
v = 1 и перепишем уравнение (12.108) как
^. + (3-24)^- + 2в^ = 0. (12.109)
Поскольку мы предположили, что пограничный слой существует
вблизи точки х = 1, внутреннее решение должно удовлетворять
граничному условию у (1) = р. Но точка х = 1 соответствует
точке 5 = 0, откуда
f/<(0) = P. (12.110)
Будем искать внутреннее разложение в виде
*/< = У0(1) + ^ (!) + •••• (12.111)

12.5. Уравнения с переменными коэффициентами 307
Рис. 12.9. Сравнение составного разложения ycd с точным решением уе,
полученным в результате численного интегрирования уравнения (12.103) с
граничными условиями (12.102) при е= 0.2, а= 1.0 и р= 0.
Подставляя разложение (12.111) в уравнение (12.109) и условие
(12.110) и приравнивая коэффициенты при е° в обеих частях
полученных равенств, находим
Г5 + ЗГо = 0, К0(0) = р. (12.112)
Отсюда Y0 = а0 + V3*> Р = До + t?0t
и, следовательно,
y< = p-&0 + V-34-—, (12.113)
где постоянная Ь0 должна определяться в процессе сращивания
внутреннего и внешнего разложений.
Воспользовавшись условием сращивания Ван-Дайка, будем
действовать следующим образом.
Одночленное внешнее разложение: у ~ а (2х +1).
Перепишем через внутреннюю переменную: = а (3 — 2е£).
Разложим при малых е: = За — 2еа£. (12.144)
Найдем одночленное внутреннее разложение: = За,
Одночленное внутреннее разложение: у ~ р — Ь0 + Ь0е"^.
Перепишем через внешнюю переменную: =р—b0 + V3(l~*)/8-
Разложим при малых е: = р — Ь0 + (Э. М. Ч.).
Найдем одночленное внешнее разложение: = р — Ь0. (12.115)
Приравнивая разложения (12.114) и (12.115), имеем
За "= р — Ь0, или Ь0 = Р — За.
Таким образом,
yi = За + (Р ~ За) е-Ъ -^ (12.116)
и ус = а(2х+ 1) + За + (р-За)е~3^-За-^ ,
или ус = а (2х + 1) + (р - За) е"3 <>-*)/« -^ . (12.117)
Рис. 12.9 показывает, что составное разложение ус оказывается
очень близким к решению, полученному с помощью численного
интегрирования задачи (12.103), (12.102). Поскольку мы сумели
обеспечить сращивание внутреннего и внешнего разложений, так

308
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
что вся процедура оказалась самосогласованной, следовательно,
наше предположение о существовании пограничного слоя на
правом конце промежутка является вполне оправданным.
Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим
уравнение (12.101), у которого функция рг (х) сохраняет знак на всем
промежутке [0, 1 ], но может быть как положительной, так и
отрицательной.
Пусть теперь для определенности рг (х) > 0 на [0, 11. В этом
случае мы предполагаем, что пограничный слой существует на
левом конце промежутка, поскольку только такое предположение
обеспечивает возможность сращивания соответствующих
разложений и получение математически непротиворечивых результатов.
Тогда внешнее разложение должно удовлетворять граничному
условию у (1) = р, а внутреннее — граничному условию у (0) =
= а. Будем искать внешнее разложение в виде
У°=Уо(х) +*Ух(х) + ••• . 012.118)
Подставляя разложение (12.118) в уравнение (12.101) и условие
у (1) = р и приравнивая коэффициенты при г° в обеих частях
полученных равенств, получаем
Р>Уо + РоУо = 0, ЫП = Р. (12.119)
Уравнение (12.119) представляет собой линейное
дифференциальное уравнение первого порядка, и, следовательно, его решение
может быть найдено стандартными приемами. Действительно,
разделяя переменные, перепишем это уравнение в виде
Уо Pi
откуда после интегрирования находим
\ny0 = -\^dr + \nc0,
или
у0 = с0ехр
i
L 1
ft(T)
А>(т)
d%
При этом нижний предел интегрирования выбирается равным 1,
с тем чтобы нам было удобнее удовлетворить граничному условию
на правом конце. Условие у0 (1) = р дает с0 = р, откуда
г 1
#0 = рехр
J5-*]^Pexp[j-£*
1 J L*
и, окончательно,
if = pexp J-g-dt +
(12.120)

12.5, Уравнений с переменными коэффициентами 309
Для того чтобы найти внутреннее разложение, пригодное
вблизи начала координат, введем преобразование растяжения
1 = ~, или x=Vg (v>0). (12.121)
Тогда уравнение (12.101) для внутреннего решения у{ перепишется
в виде
ei-2v^V + e-*ft (eV?) 4t + p0 (evg) у* = 0. (12.122)
При e -* 0 px (ev£) -* px (0) и /?0 (evg) -> /?0 (0), поскольку
функция p0 предполагается регулярной в начале координат. Тогда
уравнение (12.122) переходит в уравнение
e1-2v^r + e-vp1(0)^- + Po(0)^+---=0( (12.123)
предельная форма которого при е -> 0 определяется величиной v.
Выбирая v = 1, что соответствует характерному пределу, находим,
что предельной формой (12.123) будет уравнение
^ + Рх(0)^- = 0, (12.124)
общее решение которого записывается в виде
yi = а0 + VPl (0) 1 (12.125)
Из соотношения (12.121) следует, что координата х = 0
соответствует точке £ = 0, и, следовательно, граничное условие у (0) = а
переходит в условие у1 (0) = а. Тогда из формулы (12.125)
получаем, что
а = а0 + Ь0, или а0 = а — Ь0,
и поэтому
у1 = а - b0 + V~Pl <0) *. (12.126)
Срастим теперь одночленное внешнее разложение (12.120) с
одночленным внутренним разложением (12.126). При этом формально
будем действовать следующим образом.
Одночленное внешнее разложение: у ~ р ехр
Перепишем через внутреннюю переменную: = 0ехр
Разложим при малых е: = р ехр | I •*£- dx | +
-о

310
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Найдем одночленное внутреннее разложение:
[И-
= рехр Мтг<4- (12.127)
Одночленное внутреннее разложение: у ~ а — b0-\~b0e-P^ <°>*.
Перепишем через внешнюю переменную: == а—Ь0+ Ь0е-р* <°>х/г.
Разложим при малых е: = а — &0 + (Э.М.Ч.).
Найдем одночленное внешнее разложение: = а — Ь0.
(12.128)
Отметим, что множитель ехр [—рг(0)х/г] при е-> 0 будет
экспоненциально мал, поскольку рх (0) > 0. Если бы значение
Pi (0) оказалось отрицательным, то член Ь0 ехр [—рх (0) дг/е ]
экспоненциально возрастал бы при е -> 0 и внутреннее разложение
невозможно было бы срастить с внешним. Именно поэтому
отсутствие экспоненциально растущих членов во внешнем и внутреннем
разложениях является весьма существенным для успешного
сращивания. Итак, приведенные рассуждения показывают, что
пограничный слой действительно находится на правом конце
промежутка.
Приравнивая теперь разложения (12.127) и (12.128), имеем
а — Ь0 = р ехр I J — dx , или b0 = а — Р ехр [ — dx .
Таким образом,
у* = р ехр J -g- dx + la - p ехр f-g-dx 11 r-* <o)^_] . (12.129)
Наконец, складывая внешнее разложение (12.120) с
внутренним разложением (12.129) и вычитая из полученной суммы их
общую часть (12.127), получаем следующее составное разложение:
^ = Рехр \^dx \+ a-pexp J ^dx [*-*«» 6 + .. .. (12.130)
Пример 3. В качестве третьего примера исследуем случай,
когда коэффициент рх (х) обращается в нуль в точке х = 0.
А именно, рассмотрим уравнение
гу" + ху' — ху = 0 (12.131)
с граничными условиями вида (12.102). Поскольку коэффициент
при у' положителен, мы предполагаем, что пограничный слой
существует на левом конце промежутка, даже если рг (х) = х
обращается на этом конце в нуль. В противном случае мы не
смогли бы срастить найденные разложения и полученные
результаты оказались бы математически несовместными.

12.5. Уравнения с переменными коэффициентами 311
ч *
Если искать внешнее разложение в виде
У0 (х) = Уо(х) + £Уг(х) + ..-,
то из уравнения (12.131) можно получить следующее уравнение
для у0:
ху'о — хуо = О,
общее решение которого
Уо = с0ех.
Поскольку мы предположили, что пограничный слой располагается
вблизи начала координат, внешнее разложение должно
удовлетворять условию у (1) = р, или у0 (1) = р. Таким образом, имеем
0о(1) = Р и
р = с0е, или с0 = ре"1.
Тогда
Уо = Р^-1
и, окончательно,
уо = p^x-i + ... # (12.132)
Для того чтобы исследовать пограничный слой вблизи начала
координат, введем растягивающее преобразование
Е=~, или х = г*Ъ (v>0), (12.133)
в результате чего уравнение (12.131) перепишется в виде
*l-2v4f+5 Чг ~еЧуС=°- (12Л34)
При е -* 0 предельная форма уравнения (12.134) зависит от
величины v. Как и ранее, ограничимся исследованием лишь
характерного предела, который в данном случае имеет вид
ljfr-HM|f- = 0, (12.135)
что соответствует значению v = -у. Уравнение (12.135)
представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого
порядка относительно функции -j~-, и, следовательно, его решение
может быть найдено стандартными приемами. Так, полагая
в (12.135)
получаем уравнение
общее решение которого

312
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Поэтому
откуда после интегрирования получаем
\
y' = a0\e~Wdx + b0>
о
где нижний предел в интеграле выбран равным нулю, с тем чтобы
нам было проще удовлетворить граничному условию на левом
конце. Поскольку в соответствии с видом преобразования (12.133)
точка х = О переходит в точку £ = 0, использование условия
у (0) = а, или у1 (0) = а, дает а = Ь0, откуда
I
у'.= а0\е-~т/2(1т + а, (12.136)
о
где постоянная а0 должна определяться в процессе сращивания
внутреннего и внешнего разложений.
Для того чтобы срастить одночленное внешнее разложение
(12.132) с одночленным внутренним разложением (12.136), будем
действовать следующим образом.
Одночленное внешнее разложение: у ~ $ех~К
Перепишем через внутреннюю переменную: =p^eI/2S — ],
Разложим при малых е: = фе~1 (1 +е1/2£+ •••).
Найдем одночленное внутреннее разложение: =$е~1.
(12.137)
Одночленное внутреннее разложение: y~0oJ e-*l/2dx-\-a.
о
Перепишем через внешнюю переменную:
*/ei/«
о
оо
Разложим при малых е: == а0 J e~x%l2dx + <х+ •••.
о
Найдем одночленное внешнее разложение: а°*.- +а9
(12.138)
где интеграл можно вычислить по формуле (3.25), полагая / =
= т ]/2, т. е.
J е~*i* dx - J/'2 j e-tl dt = J/ 2 ■
V2

J2.5. Уравнения с переменными коэффициентами 313
+»х
Рис. 12.10. Сравнение составного разложения ус с точным решением уе,
полученным в результате численного интегрирования уравнения (12.131) с
граничными условиями (12.102) при 8= 0.2, а = 4.0 и р = 1.0.
Далее, приравнивая разложения (12.137) и (12.138), находим
или
P^-itgbi+a.
а»=7Г^-'-а)-
Итак, внешнее и внутреннее разложения действительно
допускают сращивание, причем весь процесс решения оказывается
самосогласованным, оправдывая тем самым наше предположение
о том, что пограничный слой в данной задаче существует в
окрестности начала координат. Подставляя теперь найденное выражение
для а0 в (12.136), имеем
yt = a + ^L($e-*-a) 'e-^dx + • -.. (12.139)
Наконец, складывая внешнее разложение (12.132) с внутренним
разложением (12.139) и вычитая их общую часть (12.137), находим
единое составное разложение, которое будет равномерно
пригодным на всем промежутке решения задачи. Оно имеет вид
0* = pe*-i+a-
V2
р-1
Vn
-a) J е-**'* dx-pr-1,
или ус = р*
>х-1
ф*
.-!
- I
а)1 1 — ф|г J r-^dx )+.•-. (12.140)
Рис. 12.10 показывает, что составное разложение ус очень мало
отличается от точного решения у даже при е = 0,2. В случае же
е = 0,1 разложение ус практически совпадает с точным решением.
Пример 4. В качестве последнего примера исследуем случай,
когда коэффициент рг (х) имеет простой нуль в некоторой
внутренней точке промежутка [0, 1 ], что приводит к появлению так назы-

314
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
ваемого «внутреннего» пограничного слоя. Итак, рассмотрим
дифференциальное уравнение
*У''+(х--т)у'-(х--т)у==Ъ (12.141)
с граничными условиями (12.102). В данном случае функция
/ ч 1 1
Pi (х) = х ^ меняет знак' при переходе через точку х = -у, и
потому наши рассуждения относительно расположения
пограничного слоя требуют более подробного рассмотрения. При этом
оказывается, что на обоих концах промежутка пограничный слой
отсутствует, и вместо этого, как будет показано ниже, возникает
пограничный слой в окрестности точки х = -у.
Если искать внешнее разложение в виде
У0 = Уо (х) + гуг (х) + ■ • • ,
то из уравнения (12.141) получаем, что
(х - -i-) у'0 - (х - -L) у0 = 0.
Общим решением этого уравнения служит функция
Уо == сое »
относительно которой естественно предположить, что она будет
пригодна всюду, за исключением малой окрестности, примыкающей
к точке х = -^-. В интервале д: > — разложение у0 должно
удовлетворять граничному условию у0 (1) = р. Поэтому cQe = р и
У°п= №-* + ..., (12.142)
где индекс «п» означает правую часть промежутка. В интервале
х < -^ функция у0 должна удовлетворять граничному условию
у0 (0) = а. Поэтому с0 = аи
# = «**+.••, (12.143)
где индекс «л» указывает на левую половину промежутка.
Исследуем теперь окрестность точки * = —, вводя следующее
преобразование растяжения:
1 = —^Л-> или * = -i- + evE (v>0). (12.144)
Уравнение (12.141) при этом переписывается как
^-^■^-+1^--гЧу' = 0. (12.145)

12.5. Уравнения с переменными коэффициентами 315
При г -► О предельная форма уравнения (12.145) зависит от выбора
величины v. Как и ранее, выберем характерный предел в виде
^- + 1-^ = 0, (12.146)
что соответствует значению v = -у. Общее решение уравнения
(12.146) строится в виде (ср. с формулой (12.136))
I
0' = &o + floJe-Ti/2dT, (12.147)
о
где нижний предел в интеграле выбран равным нулю в
соответствии с предположением о существовании пограничного слоя
вблизи точки х = -у. Постоянные а0 и Ь0 определяются в процессе
сращивания внутреннего и внешнего разложений.
Для того чтобы срастить одночленное внешнее разложение
(12.142) с одночленным внутренним разложением (12.147), будем
действовать следующим образом.
Одночленное внешнее разложение: у ~ ре*-1.
Перепишем через внутреннюю переменную: = fteel/2*-<,/2>.
Разложим при малых е: = $е-^2(1 -}-е1/2£ + •••).
Найдем одночленное внутреннее разложение: ={te~1/2.
(12.148)
Одночленное внутреннее разложение: у ~ Ь0 + До J e~T'/2 dx.
о
Перепишем через внешнюю переменную:
[*-<1/2)]/в1/*
= Ь0 + а0 \ er**i*dx.
во
Разложим при малых е: =Ь0-\-а0 J e-tl/2dx + •••.
г-= г
Найдем одночленное внешнее разложение: Ь0 + г£
(12.149)
Приравнивая разложения (12.148) и (12.149), получаем
соотношение
Ь„ + -*^-=р*-'/2, (12.150)
1 Вычисление соответствующего интеграла было проведено в предыдущем
примере,

316
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
связывающее постоянные а0 и Ь0. Чтобы найти второе соотношение
между этими постояннымиг срастим внутреннее разложение
(12.147) с внешним разложением (12.143). Следуя обычной
процедуре асимптотического сращивания, находим
(Й)' = «1/я
—оо оо
и (у*у> = Ь0 + а0 \ е-*г<2 dT = b0-a0\ е-*'2 dx,
о о
откуда b0 = -Z^=±=aeW. (12.151)
Решая уравнения (12.150) и (12.151) относительно а0 и b0l получаем
а0 = -L=- фе-ч* - о*'/*), Ь0 = 4- фе~1/2 + *eXJ2)>
и, следовательно,
(12.152)
В данном случае мы не можем перейти к единому составному
разложению, которое оказалось бы равномерно пригодным на
всем промежутке решения задачи. Вместо этого образуем два
составных разложения, одно из которых будет действовать на
промежутке [0, -у L а другое — на промежутке Г-у-, 11. С этой
целью положим
А - Л+у1 - Ш - с** + т &~т+«•""> +
yi = -L (pe-i/2 -)- oei/2) + _>_ (pe-i/2 _ ает) J е-т'/2 dx +
, J в-та/а rfT _,
+ -~- фг-м - ое1'») J е-*»/» dx - сев»/» Н ,
о
или
/л - с** + (Р«-,/8 - е*,/2) f-J- + -pfe- J *"Т2/2 dx) + .... (12.153)
Аналогичным образом имеем
/n = P^-4(^1/2-pe-,/2fi---pi=-|e-T,/'dTJ + ---. (12.154)
Рис. 12.11 показывает, что разложение ус очень мало отличается от
точного решения уже при е = 0?Х.

12.6. Задачи с двумя пограничными слоями 317
У
2.0
1.0
О 0.25 0.50 0,75 1.00 '"
Рис. 12.11. Сравнение составного разложения ус с точным решением уе,
полученным в результате численного интегрирования уравнения (12.141) с
граничными условиями (12.102) при е= 0.1, а = 1,0 и Р = 1.0.
Отметим, что в данном примере коэффициент рх {х) представляет
собой монотонно возрастающую функцию, и потому в задаче
имеется только один внутренний пограничный слой. Если же
рх (х) будет монотонно убывающей функцией, структура решения
становится более сложной: кроме внутренней точки пограничные
слои могут появиться и в граничных точках промежутка. Такого
рода задачи в последнее время привлекают все больший интерес
исследователей.
12.6. Задачи с двумя пограничными слоями
В предыдущих параграфах рассматривались задачи, имеющие
лишь один пограничный слой. В этом параграфе исследуем задачу
с двумя пограничными слоями, а именно краевую задачу
следующего вида:
«yv-(l+*F/-0f (12.155)
1/(0) -а, у'(0)-р, у(1)-у /0) -«. (12.156)
В данном случае порядок старшей производной на две единицы
превышает порядок производной во втором члене; это позволяет
предположить, что в данной задаче имеются два пограничных
слоя — по одному на каждом конце промежутка. Как обычно,
сделанное предположение будет подтверждено в дальнейшем
после проверки полученных результатов на самосогласованность.
Внешнее разложение
Будем искать двучленное внешнее разложение в виде
У0=Уо(х) + *Ух(х) + .^ (12.157)
Подставляя разложение (12.157) в уравнение (12.155) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
-0+*)Ч"=1> (12.158)
-(l+*)2tf = 0. ,(12.159)
*- к

318
Гл. J2. Задачи с пограничным слоем
Уравнение (12.158) можно переписать в виде
" — _ 1
Уо— (1 +л;)2 '
откуда у0 = In (1 + х) + А0х + В0У (12.160)
где А0 и В0 — произвольные постоянные. Общее решение
уравнения (12.159)
- уг = Агх + В19 (12.161)
где Ах и В1 — произвольные постоянные. Следовательно,
у0 = In (1 + х) + А0х + В0 + е (Ахх + Вг) + .... (12.162)
Отметим, что построенное внешнее разложение (12.162), вообще
говоря, не удовлетворяет ни одному из граничных условий.
Поэтому его необходимо срастить с двумя погранслойными
(внутренними) разложениями, каждое из которых действует на своем конце
промежутка.
Внутреннее разложение вблизи точки х = 0
Для построения этого разложения, которое будем обозначать
через у1 у введем в уравнении (12.155) преобразование растяжения
£ = ^г> или х = *У\ (v>0), (12.163)
переписав это уравнение в виде
При е-> 0 характерный предел соответствует значению v = 1.
Поэтому у1 должно удовлетворять предельному уравнению вида
^-О+га + ОД-^-А (12.164)
Будем искать двучленное внутреннее разложение в форме
U* = Y0(Q + eY1W + .... (12.165)
Подставляя разложение (12.165) в уравнение (12.164) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, имеем
rJv-F; = 0, (12.166)
Y? -Y\ = 2\Yl (12.167)
Разложение у1 должно удовлетворять также граничным
условиям в точке х = 0, которая соответствует значению 5=0.
Таким образом, условие у (0) = а переходит в условие
у1 (0) =а. (12.168)
Кроме того, поскольку
, dij _ dy d\ _ _1_ dy
У '-~фс"~~ d\ dx ~~ ъ d$ '

12.6. Задачи с двумя пограничными слоями 319
граничное условие у' (0) = р преобразуется в условие
^■(0) = еР. (12.169)
Подставляя разложение (12.165) в условия (12.168) и (12.169) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, находим
У0(0) = а, Уо(0) = 0, (12.170)
у,(0) = 0>- К[(0) = р. (12.171)
Отметим, что влияние величины р сказывается только на членах
первого порядка малости — именно по этой причине мы
ограничились построением двучленного разложения.
Общее решение уравнения (12.166) записывается в виде
Y0 = a0 + b0l + ctfrt + d&%
где постоянная d0 должна равняться нулю. В противном случае
функция Y0 будет экспоненциально расти с увеличением £, что не
позволит срастить это решение с внешним разложением.
Удовлетворяя граничным условиям (12.170), находим
do + с0 = а, Ь0 — с0 = 0.
Таким образом, Ь0 = с0 и а0 = а — с0, и, следовательно,
Ко = « + Ме-»+ 6--1). (12.172)
В данном случае удобнее проводить сращивание на этом шаге,
поскольку постоянная с0 оказывается равной нулю. Итак, для
того чтобы срастить одночленное внешнее разложение с
одночленным внутренним разложением, положим в (12.97) т = п = 1
и будем действовать следующим образом.
Одночленное внешнее разложение: у ~ In (1 + *) + ^о* + В0.
Перепишем через внутреннюю переменную:
= 1п(1+е£) + еЛ05 + Я0.
Разложим при малых е: = е£ + еЛ0| + В0 +
Найдем одночленное внутреннее разложение: = В0. (12.173)
Одночленное внутреннее разложение: у~а-\-с0(е~^ +|— 1)«
Перепишем через внешнюю переменную:
= a + c0(e-*/* + -f-l).
Разложим при малых е: = а — с0-\-с0— + (Э. М. Ч.).
|а при с0 = 0,
-¥■ при офО.
(12.174)

320
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Условие равенства (12.173) и (12.174) дает
Cq = о, В0 =а (12.175)
и Y0^a. (12.176)
Подставляя найденное выражение для YQ в (12.167), получаем
уравнение
Y\v-Y] = 0,
общее решение которого записывается в виде
Как и ранее, постоянная dx должна равняться нулю, поскольку
в противном случае функция Yx будет экспоненциально расти
с увеличением £, что не позволит срастить это решение с внешним
разложением. Выполняя граничные условия (12.171), имеем
аг + сх = 0, ь1 — с1 = р.
Поэтому ах — —сх и Ьх = сх + р, и, следовательно,
Y1 = n + c1(e~* + Б-1). (12.177)
Окончательно находим
^ = а + в [рЕ + ci (е-* + I - 1)] + .... (12.178)
Срастим теперь двучленное внешнее разложение (12.162) с
двучленным внутренним разложением (12.178), действуя следующим
образом:
Двучленное внешнее разложение:
у ~ \п{1 + х) + АоХ + В0 + г(Агх + Вх).
Перепишем через внутреннюю переменную:
= In (1 + eg) + еЛ01 + а + е (вАг1 + Вх).
Разложим при малых е:
= е6 + еЛоЕ + сх + вМ1Е + еВ1+.-..
Найдем двучленное внутреннее разложение:
= а + г(1 + А01 + Вг). (12.179)
Двучленное внутреннее разложение:
Перепишем через внешнюю переменную:
= « + e[^. + c1(*-*/> + -f-l)].
Разложим при малых е:
= а + $х+с1х-гс1 + (Э. М. Ч.).
Найдем двучленное внешнее разложение:
= а + Р* + схх — есх.
(12.180)

12.6. Задачи с двумя пограничными слоями
321
Далее, переписывая разложение (12.179) через переменную х и
приравнивая его (12.180), имеем
а + х + А0х + гВх = а + $х + схх — гсъ
откуда 1 + А0 = р + q и Вх = — с,. (12.181)
Внутреннее разложение вблизи точки х = 1
Для построения этого разложения, которое мы будем
обозначать через у1, введем в уравнении (12.155) следующее
преобразование растяжения:
С = -^| или х=1-г% (v>0). (12.182)
Тогда уравнение (12.155) перепишется в виде
При е-* 0 характерный предел соответствует значению v = 1.
Поэтому функция у1 должна удовлетворять предельному
уравнению вида
Цг - (4 - 4еС + е«С»)-^- = е«. (12.183)
Будем искать двучленное разложение у' в виде
0/ = ?о«) + вР1(»+ .... (12.184)
Подставляя разложение (12.184) в уравнение (12.183) и
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, находим
rJv_4fo = 0, (12.185)
r!v-4F;=-4^. (12.186)
Внутреннее разложение у1 должно удовлетворять также
граничным условиям в точке х = 1, которая в данном случае
соответствует точке £ = 0. При этом условие у (1) = у дает
f/'(0) = Y> (12.187)
а поскольку
,/ _ i*L — i!L -EL — 1 <*У
* —• Же "" a% dx ~ e dl '
то второе граничное условие у9 (1) = 6 переходит в условие
4^(0) = —ев. (12.188)
Подставляя разложение (12.184) в условия (12.187) и (12.188)
и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е,
получаем
K0(0) = y> F6(0) = 0, (12.189)
^(0)3=0, Ki(0) = —в. (12.190)

322
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Общее решение уравнения (12.185)
Yo^Zo + boZ + Coe-K + dtf*
где постоянная 50 должна равняться нулю. В противном случае
функция Y0 будет экспоненциально расти с увеличением £, что не
позволит срастить это решение с внешним разложением. Далее,
используя граничные условия (12.189), находим, что
До + с0 = у, б0 — 2с0 = 0.
Поэтому б0 =■- 2с0 и а0 = у — с0, и, следовательно,
Кв = Т + М*-2*-Ь2Е-1). (12.191)
Как и ранее, срастим одночленное внешнее разложение с
одночленным внутренним разложением, действуя по следующей схеме.
Одночленное внешнее разложение: у ~ In (1 + х) + А0х + а.
Перепишем через внутреннюю переменную:
= In (1--2е0 + 4>(1-«*)+«.
Разложим при малых е:
= 1П 2 - -L eg + Л - еЛ0£ + а + • • • •
Найдем одночленное внутреннее разложение:
= Л0 + а + 1п2. (12.192)
Одночленное внутреннее разложение:
Перепишем через внешнюю переменную:
= V + Со (е-2 <'-*>/« +1±^- - 1) •
Разложим при малых е:
= Y+2g°(1e"*> -g. + (3- МГЧ.).
Найдем одночленное внешнее разложение:
Y при с0 = 0,
*а<1-*> - ^п (12.193)
ov '., при с0ф0.
е
Условие равенства разложений (12.192) и (12.193) дает с0 = 0 и
Л0 + а + In 2 = v, или А0 = у — а — \п2, (12.194)
и, следовательно,
Р0 = 7- _ (12.195)
Подставляя найденное выражение для YQ в (12.186), получаем
уравнение
f}v_4r;=o,

12.6. Задачи с двумя пограничными слоями
323
общее решение которого записывается в виде
Как и ранее, для того чтобы можно было срастить разложение у1
с внешним разложением, постоянная йх должна равняться нулю.
Далее, используя граничные условия (12.190), находим, что
а1 -f Cj = 0, Ьх — 2с1 = ~ 6.
Поэтому ах = —сх и Ьх = 2с1 — 6, и, следовательно,
Yt = -6£ + сг (*-* + 2£ - 1). (12.196)
Срастим теперь двучленное внешнее разложение с двучленным
внутренним разложением у1, действуя следующим образом.
Двучленное внешнее разложение:
у~ In(1 + х) + AqX + а + г(А1х + fix).
Перепишем через внутреннюю переменную:
= In (2 - eg) + Л (1 - е£) + а + е (Д - е^ + Вх).
Разложим при малых е:
= In 2 - -J" *£ + Л - еЛС + а 4- еЛх - еМ^ + eft Н •
Найдем двучленное внутреннее разложение:
,= ,4в + а + 1п2 + е(Л1 + В1-4-Е-Л|С).
(12.197)
Двучленное внутреннее разложение:
У ~ V + в [-в£ + Z^e-'C + 2? - 1)])
Перепишем через внешнюю переменную:
= т + в{-1^ + ^ [^(«-^ + 111^.-1]}.
Разложим при малых е:
= 7-6(1 -дС) + 2г1(1 -х)-гс1 + (Э. М. Ч.)-
Найдем двучленное внешнее разложение:
= 7+ (22,-d)(l-*)-ей.
(12.198)
Переписывая разложение (12.197) через переменную х и
приравнивая его разложению (12.198), имеем
A9 + a + \n2-(^ + A0)(l-x) + t(Al + BJ =
= v + (2c1-6)(l-x)-ecl)

324
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
У
2,0
1,0
О 0,50 ^SSv 1,00
Рис. 12.12. Сравнение составного разложения ус с точным решением yet
полученным с помощью численного интегрирования уравнения (12.155) с
граничными условиями (12.156) при е= 0.2, а= |}= 1.0 HV=fi= —1.0.
откуда следует соотношение (12.194), а также соотношения
— ^ - Л0 = 2с, - 6, А, -\-Вх = —дх. (12.199)
Подставляя теперь значение А0 из (12.194) в (12.181), находим
Вх = — Cl = — у + а + Р — 1 + In 2, (12.200)
а подставляя значения Л0 и Вх из (12.194) и (12.200) в соотношения
(12.199), окончательно имеем
g1==^-(a + 6^Y-4+ln2)> (12*201)
^ = --i-(3a + 2p-3Y + 6--|- + 31n2)- О2-202)
Таким образом, все произвольные постоянные во внешнем и
внутренних разложениях оказались выраженными через граничные
значения.
Соответствующее составное разложение может быть построено
следующим образом:
y^y + y' + y'-iy'Y-iy1)9*
где (у1)0 и (у1)0 даются формулами (12.180) и (12.198), В результате
имеем
tf = )n(l+x) + Aflx + a + B{A1x + B1) + a +
— a - р* -f Bix — eBi - V - (2*i — 6)0 — *) + «2ь
_^ъ. •

12.7. Случай нескольких зон
325
или
Ус = а + 1п(1+лг) + (7-а-1п2)* +
+e[-4-(3a+2P-3v+s-4+31n2);c-
— (Y - а - Р + 1 - In2)(1 - г-*-/е) +
+4- (а+s - 7 - 4"+1п 2)е'2 (1~х)/е] + ■ - • (12-203)
Рис. 12.12 показывает, что составное разложение у° хорошо
соответствует точному решению задачи.
12.7. Случай нескольких зон
Во всех рассмотренных ранее примерах в области пограничного
слоя существовал только один характерный предел. В этом
параграфе обсудим случай, когда в данном пограничном слое имеется
несколько характерных пределов. При этом, если в задаче
существуют, например, два характерных предела, результирующее
разложение, кроме внешнего, будет включать в себя два
внутренних разложения. Области пригодности каждого из этих
разложений обычно называют зонами х), а сама задача именуется в этом
случае трехзонной задачей. Таким образом, если в данном
пограничном слое существует не один, а несколько характерных
пределов, то говорят соответственно о многозонной задаче. Ниже мы
исследуем случай двух характерных пределов в пограничном слое,
т. е. трехзонную задачу.
Итак, рассмотрим краевую задачу
еУ + х*у' + (х* — е) у = 0, (12.204)
у (0) = а, у (1) = (5. (12.205)
Поскольку коэффициент при у' положителен, пограничный слой
должен существовать вблизи начала координат. Поэтому внешнее
разложение должно удовлетворять граничному условию у (1) = 0,
однако, вообще говоря, не предполагается, чтобы оно
удовлетворяло условию на левом конце у (0) = а.
Будем искать внешнее разложение в виде
У0 = Уо (*) + e#i(*) + ....
Подставляя разложение у0 в уравнение (12.204) и граничное
условие г/ (1) == р и приравнивая коэффициенты при е° в обеих
частях полученных равенств, получаем
*Ч + *Ч = 0, у0(1) = р. (12.206)
Общее решение уравнения (12.206)
Уо = Щг*.
) У автора используется слово deck (палуба). — Прим. ред.

326
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
При этом из условия у0 (1) = р следует, что с0 = fie. Поэтому
у0 = №~*
и yQ = №~* + .... (12.207)
Ясно, что полученное разложение не удовлетворяет граничному
условию при х = 0.
Как и ранее, для того чтобы исследовать окрестность точки
х = 0, введем преобразование растяжения
£ = JL, или * = ev£ (v>0). (12.208)
В результате уравнение (12.204) перепишется в виде
63"2v .g. + e2vg3 j|_ + (e3v^3 „ е) у = 0< (J2.209)
При е -* 0 член О (e3v) оказывается малым по сравнению с e2v,
поскольку v > 0. Поэтому главной частью уравнения (12.209)
будет
e3_2vi^ + e2vg3 _|_ _ гу + ... = 0# (12.210)
Соответствующие характерные пределы получаются в результате
«уравновешивания» (компенсации) двух любых членов в (12.210).
Так, чтобы скомпенсировать первый и второй члены этого разло-
з
жения, следует положить 3 — 2v = 2v, или v = -т-. При этом
(12.209) переходит в уравнение
е3;2 _g_ _|_ 63/2|3_|_ + (е9/4£3 _ 8) */ = 0,
главная часть которого соответствует тривиальному решению
у = 0. Поэтому данный случай должен быть исключен из нашего
рассмотрения. Если теперь скомпенсировать в (12.210) первый и
третий члены, мы должны выбрать 3 — 2v = 1, или v = 1. Тогда
уравнение (12.209) переходит в уравнение
e-g- + e265^ + (e8P-e)y = 0 (12.211а)
с нетривиальной главной частью, и поэтому данный случай
необходимо учесть при дальнейшем рассмотрении. Если же, наконец,
скомпенсировать в разложении (12.210) второй и третий члены, то
необходимо положить 2v = 1, или v = -^-. В отличие от
предыдущего случая, где преобразование пограничного слоя имело вид
6=х/е, здесь мы используем новую мелкомасштабную переменную
£, так что £ = #/е,/2. При этом уравнение (12.209) переходит
в уравнение
#$+Ф% + {*»?-*)У=*0 (12,2116)

72.7. Случай нескольких зон 327
с нетривиальной главной частью, и, следовательно, этот случай
также следует учитывать при анализе. Изменение масштаба £ =
= х/гу соответствующее v = 1, описывает некоторую область
(подслой) вблизи начала координат, которую будем называть
левой зоной. Изменение масштаба £ = #/е1/2, соответствующее
v = -^-, определяет другую область, лежащую между левой зоной
и областью внешнего разложения (правой зоной). Поэтому будем
называть ее средней зоной. Отметим, что в задачах вязко-невязких
взаимодействий эти зоны обычно называются нижним, средним и
верхним подслоем соответственно.
Из формулы (12.211а) следует, что главный член Y0 разложения
левой зоны у1 удовлетворяет уравнению
Общее решение этого уравнения можно записать в виде
где постоянная Ь0 должна равняться нулю, так как в противном
случае функция Y0 будет с увеличением £ экспоненциально расти,
что не позволит срастить ее с разложениями средней или правой
зоны. Поскольку разложение левой зоны пригодно в окрестности
начала координат, оно должно удовлетворять граничному условию
у (0) = а. Но точка х = 0 соответствует точке £ = 0, и,
следовательно, у1 (0) = а. Тогда из этого условия имеем а0 = а и
откуда yi = ae-b-\ . (12.212)
Точно так же из формулы (12.2116) следует, что главный член
Y0 разложения средней зоны ут удовлетворяет уравнению
С3К6 — Ко = 0.
Разделяя переменные, имеем
dY0 =dt1_
Ко V '
Интегрирование этого соотношения дает
In Y0 = — -щг + In d0,
откуда Y0 = d0e~l №
и jtm = d0r'l№ + .... (12.213)
Так как начало координат соответствует точке £ = 0, то из
разложения (12.213) следует, что ут -► 0 при £ -> 0, и поэтому данное
разложение не может удовлетворить граничному условию у (0) =
= а. Таким образом, постоянную d0 следует определять из условия
сращивания ут либо с разложением у1, либо с разложением у0.

328 Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
У
2.0
1.0
0 0.25 Ог50 0.75 1.00
Рис. 12.13. Сравнение составного разложения ^сточным решением yet
полученным с помощью численного интегрирования уравнения (12.204) с граничными
условиями (12.205) при е= 0.05, а= 2.0 и р= 1.0.
Отметим, что разложение у1 нельзя срастить прямо с
разложением у0, поскольку
0/0° = 0 и (у°У = $е.
Поэтому для ликвидации разрыва между у1 и у0 нужно
воспользоваться разложением ут. Для того чтобы срастить разложения ут
и у0, заметим, что
{ym)° = d0 и (у°)т = $е.
Отсюда d0 = (te, и, следовательно,
^n = Pfi-iW-| . (12.214)
Аналогично, для того чтобы срастить разложения ут и у1, заметим,
что
(утУ^0 и (y')w = 0,
и, следовательно, их сращивание вполне возможно.
Наконец, образуем составное разложение по следующей схеме:
tf = y° + ym + yl- (У°)т - (у1)1».
Таким образом,
f/C===pgi-x + ^i-(i/2C«)+ ae-i _ р^ в (12.215)
При этом из разложения (12.215) имеем
(yc)° = ^~x = y°f
и, следовательно, мы можем утверждать, что разложение ус будет
равномерно пригодным на всем промежутке [0, 11. Рис. 12.13
показывает, что разложение у° действительно оказывается
достаточно близким к точному решению.

12.8. Нелинейные задачи
329
12.8. Нелинейные задачи
В заключение этой главы рассмотрим две нелинейные задачи.
Задача 1. Прежде всего исследуем случай, когда в процессе
построения асимптотического решения приходится вводить не
растягивающее, а сжимающее преобразование масштаба.
Рассмотрим следующую краевую задачу:
Ув+\уГ + W' = О, е« 1, (12.216)
у(1)=0, уЫ = 1. (12.217)
Здесь разложение нулевого порядка оказывается равномерным,
а неравномерность будет проявляться только в членах первого
порядка. Отметим также, что в данном случае малый параметр
стоит не при старшей производной, и, следовательно, причиной
неравномерности, как и в задачах о нелинейных колебаниях,
является неограниченность области изменения аргумента х.
Будем искать двучленное прямое разложение в виде
У = Уо(х) + *у1(х) + .... (12.218)
Подставляя разложение (12.218) в уравнение (12.216) и граничные
условия (12.217) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях е, имеем
для порядка е°:
*5 + 4^ = 0, (12.219)
f/o(l) = 0, у0(оо)=1\ (12.220)
для порядка г1:
Я+'ТУ\ = -УоУо, (12.221)
И (1) = 0, »i(oo) = 0. (12.222)
Умножая уравнение (12.219) на *2, перепишем его в виде
**;+**«-£ (*»■£-)-<>,
откуда, после интегрирования, находим
Уо = —J- + *o. (12.223)
Используя граничные условия (12.220), получаем
—<*о + Ь0 = 0 и Ь0 = 1.
Отсюда а0 = Ь0 =*= 1, и, следовательно,
ув=1 -JL. (12.224)

330
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Таким образом, первый член разложения (12.218) оказывается
равномерным по xt поскольку он удовлетворяет вырожденному
уравнению (12.219) и исходным граничным условиям.
Подставляя найденное выражение для у0 в (12.221), получаем
уравнение
которое после умножения на х2 приобретает вид
*ЧЙ + 2г* = -1+4-, или -jL^-^-i+JL.
Интегрируя его, имеем
*. **. = -*+ 1™ + ^, или ^ = __L+J!Ll + ^_.
dx ' l l1 dx x i x2 ' x2
Повторное интегрирование дает
у1 = -1пх-^-±-^- + Ь1. (12-225)
Используя граничное условие ух (1) = 0, получаем, что Ьх =
= ах + 1, откуда
Л==_1п*- Jli+ft1(l -■!). (12.226)
При х->оо функция ух является неограниченной, и поэтому мы
не можем удовлетворить второе из граничных условий (12.222),
а именно условие уг (оо) = 0. Таким образом, прямое разложение,
которое будем называть внешним и обозначать через у0, т. е.
?=1-т + г[-(1 +т)1п*-ь^1-т)] + '-- (12-227>
оказывается непригодным при больших х.
Для того чтобы исследовать поведение решения в случае
больших х, введем следующее преобразование сжатия:
| = хг* (V > 0). (12.228)
При этом
dx ~ d\ dx —ь d% ' dx* ~ь aV '
и уравнение (12.216) переписывается в виде
Характерным пределом для него является уравнение
^- + Т^ + ^^ = 0' <12-229>
соответствующее значению v = 1. Получающееся в результате
разложение будем называть внутренним и обозначать через у1.

12.8. Нелинейные задачи
331
Далее, вместо того чтобы задавать вид разложения у*,
последовательно находить и решать уравнения для членов различного
порядка и, наконец, сращивать у1 с внешним разложением, мы
поступим иначе, а именно: используем внешнее разложение в
качестве критерия для определения формы внутреннего
разложения у1. Такой подход оказывается очень удобным в случае
уравнений в частных производных и интегродифференциальных
уравнений, особенно нелинейных. Кроме того, в этом случае
первый член разложения, даваемый формулой (12.224),
оказывается пригодным на всем промежутке решения задачи и,
следовательно, его можно использовать и во внутренней области.
Тогда, переписывая этот член через внутреннюю переменную,
имеем
</о=1-у- (12.230)
Устремляя теперь е к нулю при фиксированном £, получаем
у0 = 1; эта функция и будет первым членом внутреннего
разложения. Кроме того, вид функции у0> даваемой формулой (12.230),
позволяет предположить, что ус разлагается в ряд по целым
положительным степеням е. Таким образом, мы будем искать
внутреннее разложение в форме
^=1+8^(6)+.... (12.231)
Подставляя разложение (12.231) в уравнение (12.229) и
приравнивая нулю коэффициент при е1, получаем
И + (у + l) Y\ = 0. (12.232)
С помощью интегрирующего множителя
exp [J(y+l)«] =exp(21ng.+ 6) = 6W
перепишем уравнение (12.232) в виде
Интегрируя, имеем
или
М**'Ф)-°-
dl -Cl~p"'
откуда после повторного интегрирования находим
К,' = сг j Ц-р d% -(- db (12.233)

332
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
где сх и dx — произвольные постоянные. В связи с тем что
внутреннее разложение должно удовлетворять граничному условию
на бесконечности, нижний предел интегрирования в этой формуле
мы положили равным бесконечности (поскольку точка х = оо
соответствует точке | = оо). При этом из (12.217) и (12.231)
следует, что Yx (оо) = 0, и, значит, постоянная dx в формуле (12.233)
должна равняться нулю. Таким образом, формулу (12.233) можно
переписать как
У\ = сх J 4jT dx>
00
а разложение (12.231) принимает вид
оо
</<= 1-^1-^1+..., (12.234)
I
где мы поменяли пределы интегрирования, с тем чтобы значение
интеграла оставалось положительным. Постоянная же сх
определяется в процессе сращивания внутреннего и внешнего
разложений.
Срастим теперь двучленное внешнее разложение (12.227)
с двучленным внутренним разложением (12.234), действуя
следующим образом.
Двучленное внешнее разложение: у~ 1 \- г Г—(1 + — jx
Х1ЛХ + Ц1 -4-)]-
Перепишем через внутреннюю переменную: =1—г- +
+•[-0+i)taW+*0-г)]-
Разложим при малых е: =1 s- + elne — eln| +
+ <*!+•••.
Найдем двучленное внутреннее разложение: = 1 — е (-г- +
+ ]nl-\ne-biy . (12.235)
оо
Двучленное внутреннее разложение: у ~ 1 — гсх j-^j~ ^т-
I
оо
Перепишем через внешнюю переменную: = 1 — егх J -^-dx.
1 Обратим внимание читателя на наличие в разложении (12.235)
логарифмического члена.

12.8. Нелинейные задачи
333
Разложим при малых е: = 1 — гсх Г — -|- In ел* +
Найдем двучленное внешнее разложение: =1 —
— гсг (—1 + In х + In е). (12.236)
При вычислении интеграла мы воспользовались интегрированием
по частям:
7 е~х . е~х |°° 1 е~х , Г е~х . . 1°°
J Та 1 |ех J Т |_ т Jejc
вх ex
00
— I In те-х di = — 1- e_ex In e* + 0 (e In e).
ex
Переписывая разложение (12.235) через внешнюю переменную
х и приравнивая его разложению (12.236), получаем
1 --L-t\nx +вЬх= 1 --fL-ec^—1 -|-ln* + lrie). (12.237)
Таким образом, сг = 1 и Ьх = 1 — lne, и, следовательно,
уо=,_± + е[_(,+±)1п^-(1-1пе)(1 .-4-)]+ •••
(12.238)
оо
и #<=1 -е \^-dx Ь •••• (12.239)
Наконец, складывая внешнее разложение (12.238) с
внутренним разложением (12.239) и вычитая их общую часть (12.236)
при £i = 1, находим искомое составное разложение
ус=1_± + е[_(1+±)1п^ + (1-1пв)(1-1-)] +
ОО
+ l-eJ-LldT_l +JL+e(-l + ln* + lne)+...,
I
или /=1-е]^с/т-е[^+-Ц^]+.... (12.240)
Задача 2. В качестве второго примера, следуя Коулу (1968),
рассмотрим следующую задачу:
SJ/" +УУ'-У = 0, 0 < х < 1, (12.241)
0(0) = а, У(1) = Р; (12.242)
где 0 < 8 « 1 и а и р не зависят от е. В этом случае малый
параметр стоит множителем при старшей производной, в результате

334
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
чего в задаче возникает пограничный слой, причем разложение
этого пограничного слоя зависит от знака коэффициента при у'.
В то же время поскольку функция у определяется значениями а
и Р на границе области, то в конечном счете местоположение
пограничного слоя также оказывается зависящим от граничных
значений аир.
Будем искать внешнее разложение в виде
У0 = Уо(х) + *Уг (*) + ....
Подставляя это разложение в уравнение (12.241) и условия (12.242)
и приравнивая коэффициенты при е°, получаем
УоУо-Уо = 0, (12.243)
Уо (0) = а, Уо (1) = р. (12.244)
Решение уравнения (12.243) состоит из двух ветвей, а именно:
Уо - 0 (12.245)
и у0 = х + с0. (12.246)
Первую ветвь следует отбросить, потому что с ее помощью мы
не можем удовлетворить произвольным граничным условиям.
Вторая ветвь дает два специальных внешних решения
уг = х + $ — 1, (12.247)
у1 = х + а, (12.248)
где у удовлетворяет граничному условию на правом конце, а
у'— условию на левом конце. При этом из (12.247) и (12.248)
следует, что
iT(0) = p-l и у'(1)=а + 1.
Таким образом, если а Ф р — 1, то функция уг оказывается
непригодной вблизи точки х = 0, а функция у1 — вблизи точки
х = 1, и, следовательно, возникает необходимость ввести
пограничный слой. Если пограничный слой существует на левом конце
промежутка, то решение у1 следует исключить из рассмотрения;
если пограничный слой имеет место на правом конце, то из
рассмотрения исключается решение у. Если же пограничный слой
располагается в некоторой внутренней окрестности данного
промежутка (ударный слой), то нам необходимо учитывать оба этих
решения. Если теперь а = р — 1, то функция уг = у1 = х +
+ Р — 1 будет удовлетворять дифференциальному уравнению
(12.243) и граничным условиям и, следовательно, она является
точным решением задачи.
Как отмечено выше, в случае а Ф р — 1 пограничный слой
располагается в некоторой внутренней точке промежутка [0,1].

12.8. Нелинейные задачи
335
Для того чтобы исследовать поведение функции у в этом
пограничном слое, введем преобразование растяжения
■хь
или * = Jtb + ev£ (v>0), (12.249)
gl-2v+k
dV
d& "t"
f ex+v-'
характерным
d2y'
где координата xb задает положение пограничного слоя и заранее
не известна. При этом для линейных задач нет необходимости
изменять масштаб зависимой переменной, поскольку он не
оказывает влияния на решение задачи. Однако в случае нелинейной
задачи может возникнуть необходимость изменить масштаб и у
зависимой переменной. Поэтому положим
yi: = Y (g; е) + • •. = Щ^ , (12.250)
где величина X подлежит определению из дальнейшего анализа.
Подставляя (12.249) и (12.250) в уравнение (12.241), имеем
или
Если А, = 0, характерным пределом будет уравнение
тф- + у' 4г = °' (12-251)
соответствующее значению v = 1. Если же к Ф 0, то характерный
предел будет иметь вид
-^- + f/'-f--</< = 0, (12.252)
что соответствует случаю
X-\-v— 1=0 и 2v - 1=0, или v = -o" и ^, = 'F'
При этом из разложения (12.250) следует, что в первом случае
(т. е. при X — 0) у = О (1), тогда как во втором случае (т. е.
при к = -М функция у = О (е1/2). Во втором случае
характерный предел совпадает с исходным дифференциальным уравнением.
Таким образом, уравнение для характерного предела приходится
интегрировать численно, и, следовательно, обращаясь к методу
асимптотических разложений, мы практически не получаем
никакого упрощения исходной задачи. Однако Коул (1968) показал,
что данные граничные условия являются каноническими, и
поэтому численное интегрирование может быть проведено сразу
для всех задач. Здесь мы ограничимся исследованием только
первого случая, когда j/ =0 (1) и v = 1, а характерный внутренний

336
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
предел (12.251) оказывается более простым, чем исходное
дифференциальное уравнение.
В первом приближении можно заменить у1 на К в уравнении
(12.251), откуда после интегрирования находим
Y'+ ±-Y* =-Lb, или Y' = ±(b-Y*), (12.253)
где Ь — произвольная постоянная. Эта постоянная Ъ должна
быть положительной, поскольку в противном случае при \ -► ±оо
функция Y будет стремиться к =Foo, и, следовательно, мы не
сумеем срастить разложение у1 с соответствующим внешним
разложением.
Разделяя переменные в (12.253), имеем
-*£г7Г = Я. (»2.254)
где постоянную Ь мы заменили на положительную величину k2.
При интегрировании уравнения (12.254) будем рассматривать два
случая: Y2 < k2 и Y2 ^ k2. В первом случае положим
Y = kthQ
и, учитывая, что dY = &sch20d9, из уравнения (12.254) получим
= dfe = -г ад.
& — k2 th2 0 "* k
Таким образом, имеем
и
yi = Г + ... = k th [-i- й (6 + d) ] + • • ■ , (12.255)
где d — постоянная интегрирования. Во втором случае положим
r = ftcth8
и, учитывая, что dY = —£cscha9d0, из уравнения (12.254)
получим
2^ csch2 е <*е _ ,, |j
Следовательно,
и £/'=*Ч =£cth [-J-*(£ + *)] + •••• (12.256)
Отметим, что величину k также можно считать положительной,
поскольку функции th и cth нечетные. Постоянные
интегрирования k и d в обеих формах внутреннего разложения определяются
в процессе сращивания внутреннего и внешнего разложений.

12.8. Нелинейные задачи
337
Исследуем теперь три возможных случая расположения
пограничного слоя: на левом конце промежутка, на правом его конце
и в некоторой внутренней точке.
Если пограничный слой существует на левом конце
промежутка, т. е. координата хъ = 0, то внешнее решение (12.248)
следует отбросить и надлежащим внешним решением будет
(12.247). Затем это внешнее решение сращивается с одной из форм
внутреннего разложения, в результате чего получаются условия
для пограничного слоя на левом конце. Выражая у через
переменную £ и разлагая найденное выражение при малых е,
имеем
(if)' = P-l. (12.257)
Далее, выражая у1 из разложений (12.255) или (12.256) через
внешнюю переменную х, раскладывая при малых е и замечая,
что х > 0, получаем
(^)o = /j>o. (12.258)
Следовательно, k = р — 1 и
[(P_l)th[i-(P-l)(S + d)] при К<Р-1,
Y = \ \ \ (12.259)
l(P-l)cth['i-(P-l)(g + d)] при К^Р-1.
Поскольку предполагается, что пограничный слой
существует в точке х --= 0, которая соответствует точке £ = 0, он должен
удовлетворять условию у (0) = а, или К (0) = а. Тогда из
(12.259) следует, что
а = (р- l)th[4-(P-l)d] (12.260)
или
a = (p--l)cth[-g-(P- l)d]. (12.261)
Учитывая поведение функций th и cth (рис. 12.14), из
соотношения (12.258) можно сделать вывод, что величина р должна
быть больше единицы, так что внутреннее решение либо убывает,
либо возрастает до значения р — 1 > 0. Кроме того, если a >
> р — 1, внутреннее решение выражается через cth, который
убывает от значения а до значения р — 1. Если же a < р — 1,
то должно быть также a > — (р — 1), так что внутреннее
решение будет выражаться через th, который возрастает от значения
а до значения р — 1. Оба этих решения приведены на рис. 12.15.
Перейдем теперь к анализу случая, когда пограничный слой
существует на правом конце. При этом имеем хь = 1, и,
следовательно, решение (12.247) должно быть отброшено, а
надлежащее внешнее решение будет даваться формулой (12.248). Для того
чтобы срастить это внешнее решение с одной из форм внутреннего

338
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
(a) tin; / (6)cth^
Рис. 12.14. Поведение функции th £ и cth £.
разложения, выразим у1 через переменную £ == (л: — 1)/е и
разложим полученное выражение при малых е. В результате получим
(уо)* = а+1. (12.262)
Кроме того, выражая у£ в (12.255) и (12.256) через внешнюю
переменную ху имеем
JC — 1
Y = kth[±-k(^-\-d)},
r = ftcth[-J-A(iz!.M)].
Рис. 12.15 Характер изменения составного решения в случае, когда
пограничный слой существует в окрестности точки х = 0, при е= 0.1, Р= 3 н а) а =
= —0.5; б) а= 4.

12.8. Нелинейные задачи
339
*»Х
Рис. 12.16. Характер изменения составного решения в случае, когда
пограничный слой существует в окрестности точки х— 1, при е= 0.1, а— —3 и
а) р= 1; б) р= —4.
Устремляя е к нулю и замечая, что х < 1, находим, что аргумент
в этих выражениях стремится к —сю, и, следовательно,
(0<)° = —А. (12.263)
Приравнивая в соответствии с принципом сращивания выражения
(12.262) и (12.263), получаем, что k = — (а + 1). Таким образом,
Y={
|-(a+l)th[-4-(«+l)(6 + d)] при Y^a+l,
-(a+l)cth j_i-(a f 1)(6+ d)] при K<a+1,
(12.264)
причем функция Y должна удовлетворять граничному условию
У (1) = Р, или Y (0) = р, поскольку точка х = 1 соответствует
точке 6 = 0. Наконец, находим
P = -(a + Dth[—l(a+l)rf]
P = _(a+l)cth[-4-(a+l)rf]
(12.265)
или В = — (a 4- Hcth \ — 4-(a4-Y\d\. (12.266)
Поскольку предполагается, что k > 0, величина a + 1 должна
быть отрицательной. Если Р < a + 1 < 0, внутреннее решение
выражается через cth, причем оно будет возрастать от значения
р до значения а + 1. Если же | р | < | a + 1 | и a + 1 <
< 0, то внутреннее решение будет выражаться через th, который
убывает от значения р до значения a + 1. Оба этих решения
представлены на рис. 12.16.
Наконец, исследуем случай, когда пограничный слой существует
в некоторой внутренней точке промежутка. При этом с
внутренним разложением необходимо сращивать уже оба внешних
решения. Для того чтобы срастить у из (12.247) с разложением у1,

340
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
выразим эту функцию через переменную £ = (х — хь)/г и,
разлагая результат при малых е, получим
0Г)' = *6 + Р-1. (12.267)
Для того чтобы срастить решение у1, определяемое формулой
(12.248), с разложением у1, перепишем это решение через
переменную £ и, разлагая результат при малых е, получим
0Ю' = *ъ + а.. (12.268)
Так как \ = (х — хъ)1г стремится к минус бесконечности при
х < Хр и к плюс бесконечности при х > хъ, то внутреннее
решение у1 должно возрастать от хь + а до хь + р — 1. Рис. 12.14
показывает, что такой характер изменения, т. е. возрастание
от значения —k при \ = —оо до значения +k при £ = +оо,
имеет только функция th. Следовательно, внутреннее решение
должно даваться формулой (12.255). Полагая £ = +оо,
находим, что
(У<У = к, (12.269)
а полагая | = —оо, получаем, что
(00' = -*. (12.270)
где надстрочные индексы г и / обозначают внешние пределы справа
и слева от хъ соответственно. Приравнивая (12.267) и (12.269),
имеем
Хь + р _ 1 = k, (12.271)
а приравнивая (12.268) и (12.270), находим
Хь + а = —к. (12.272)
При этом из соотношений (12.271) и (12.272) следует, что
xb=±(l -а-Р), * = i-(p_ 1 -а), (12.273)
и, следовательно, внутреннее решение у1 можно записать в виде
t/' = i-(P-l-a)th [^(р_1-а)|]+ .... (12.274)
Рис. 12.17. Характер изменения составного разложения в случае, когда
пограничный слой существует во внутренней точке промежутка, при a = —2, (5 =
= 1.8 и е = 0.1.

Упражнения
341
Рис. 12.18. Диаграмма, иллюстрирующая расположение пограничного слоя
в плоскости (а, (5).
Таким образом, как показано на рис. 12.17, внутреннее решение
возрастает от j- (р — 1 — а) до + -у (Р — * — а)> причем
мы принимаем d = О, поскольку с самого начала предполагается,
что центр ударного слоя расположен в точке х = xbl или £ =
= 0. Так как 0 < хь < 1, а величина k считается
положительной, из формул (12.273) получаем, что существование ударного
слоя (т. е. внутреннего пограничного слоя) требует выполнения
условий
0<-j-(1-<z-P)<1 и р-1-а>0,
или
— 1<а + р<1 и р>1+а. (12.275)
На рис. 12.18 иллюстрируются все возможные варианты
решений для пограничного слоя в плоскости (а, р). Незаштрихо-
ванная область на рисунке соответствует случаю, когда у = О (е1/2),
и характерный предел дается уравнением (12.252); при этом, как
отмечалось выше, решение должно строиться с помощью
численных методов.
Приведенный пример показывает, что в^нелинейной задаче
с пограничным слоем положение последнего в очень большой
степени зависит от выбора граничных значений.
Упражнения
12.1. Рассмотреть краевую задачу
ЬУ" + У' + У=Ъ> #(0)-а, У(1)= Р.
а) Найти точное решение.
б) Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка. Сравнить полученный
результат с точным решением.

342
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
в) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка. Сравнить полученный результат с результатами
пунктов а) и б).
12.2. Рассмотреть краевую задачу
*У" -у' + У=0, У (0) = «, у (1) = Р.
а) Найти точное решение.
б) Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка. Сравнить полученный
результат с точным решением.
в) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка. Сравнить полученный результат с результатами
пунктов а) и б).
12.3. Рассмотреть краевую задачу
гу'-у'= 1, у(0) = а, у (1) = р.
а) Найти точное решение.
б) Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка. Сравнить полученный
результат с точным решением.
в) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка. Сравнить полученный результат с результатами
в пунктах а) н 6).
12.4. Рассмотреть краевую задачу
гу" + у'= 1, 1/(0) = а, </(!) = р.
а) Найти точное решение.
б) Используя метод сращиваемых асимптотических разложений, построить
равномерно пригодное разложение первого порядка. Сравнить полученный
результат с точным решением.
в) Используя метод многих масштабов, построить равномерно пригодное
разложение первого порядка. Сравнить результат с результатами, полученными
в пунктах а) и б).
12.5. Построить равномерно пригодные разложения первого порядка для
решений краевых задач
гу" ± (Зх+ 1) у' = 1, у (0) = а, у (1) = р.
12.6. Построить равномерно пригодные разложения первого порядка для
решений краевых задач
гув ±у' = 2х, у (0) = а, у (1) = р.
В обоих случаях сравнить полученный результат с точным решением.
12.7. Построить равномерно пригодные разложения первого порядка для
решений краевых задач
гу"±(2х* + х + \)у'= 4* + 1, 1/(0) = а, </(1)= р.
12.8. Построить равномерно пригодные разложения первого порядка для
решений следующих краевых задач:
а) гу" + ху' — ху = 0,
У (0) = а, у (1) = р.
б) е</'+(1-*)*/'-(1-*)*/= 0,
У (0) = а, у (1) = Р.
12.9. Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для
решения краевой задачи
е/ + *У - х*у = 0, у (0) = а, у (1) = р.

Упражнения
343
12.10. Рассмотреть задачу
е</ + *У -хту = 0, у (0) = а, у (1) = р.
При каких условиях существует пограничный слой вблизи начала координат?
Построить для этого случая равномерно пригодное разложение первого порядка.
12.11. Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для
решения краевой задачи
в/ + ху' - ху = 0, у (-1) = а, у (1) = р.
12.12. Рассмотреть задачу
*ум-у' = 1,
У (0) = а, у' (0) = Р, у (1) = Y-
а) Найти точное решение и с его помощью показать, что в общем случае
пограничный слой существует на обоих концах промежутка.
б) Построить равномерно пригодное двучленное разложение и сравнить
полученный результат с точным решением.
12.13. Рассмотреть задачу
*Ут - У' + У = 0, у (0) = а, у' (0) = Р, у (1) = у.
а) Найти точное решение и с его помощью показать, что в общем случае
пограничный слой существует на обоих концах промежутка.
б) Построить равномерно пригодное двучленное разложение н сравнить
полученный результат с точным решением.
12.14. Рассмотреть задачу
ву'»-(2х+ l)i/'= 1,
у (0) = а, у1 (0) = р, у (1) = у.
Построить равномерно пригодное двучленное разложение первого порядка.
12.15. Рассмотреть задачу
IV " t
*У — У = 1.
У (0) = а, у' (0) = Р, у (1) = у, у' (1) = б.
а) Найти точное решение и с его помощью показать, что в общем случае
пограничный слой существует на обоих концах промежутка.
б) Построить равномерно пригодное разложение первого порядка и сравнить
полученный результат с точным решением.
12.16. Рассмотреть задачу
ву™-(2х+ 1)/= 1,
*«>) = а, </'(0)=Р, *(1) = Y. у' (I) = 6.
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка.
12.17. Рассмотреть задачу
еУ + Л'- (^ + е,/2Ь = 0,
0(0) = а, 0(1)= р.
Показать, что для нее существуют два характерных предела. Далее построить
равномерно пригодное трехзонное решение первого порядка.
12.18. Рассмотреть задачу
о
и" + — «' + еыи' = 0, и(1) = 0, и(оо) = 1.
Построить равномерно пригодное двучленное разложение.
12.19. Рассмотреть задачу
и" +—иЧ-еии' = 0, и (1) = 0, и(оо) = 1.

344
Гл. 12. Задачи с пограничным слоем
Построить равномерно пригодное одночленное разложение. Обратить внимание
на то, что неравномерность проявляется уже в первом члене разложения.
Ответ: и0 «= [In (1/е)]^1 lnr+...f
оо
ег
12.20. Рассмотреть задачу
2 х 1 — х '
Показать, что
V2 tc = -§- *3/2 + е [-L - !п 2 + ±- In е +
+ i-*3'2+*"2- in(i + х1/2)+1- ггш+Т) + Arsh^r] + •••,
где
I = (1 - *)/е.
12.21. Рассмотреть задачу
Щ" — уу' — У=0, у (0) = а, у (1) = р.
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для случая
У =0(1).
12.22. Рассмотреть задачу
*У* + УУ' — ху= 0, у(0) = а, */(!)= Р.
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка для случая у =
= 0(1).
12.23. Рассмотреть задачу
е^-</2=0, у(0)= а, у(1)= р.
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка.
12.24. Рассмотреть задачу
в/ ± (2х+ 1) *' + у2 = 0, (/ (0) = а, £ (1) - Р.
Построить равномерно пригодное разложение первого порядка.

Глава 13
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В этой главе мы займемся исследованием линейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
следующего вида:
y'(x) = F(x)y(x) + h(x), (13.1)
где у и h — вектор-столбцы с п компонентами, г F (х) —
квадратная матрица л-го порядка, составленная из переменных
коэффициентов. При этом нас будут интересовать лишь решения
однородной задачи
y'(x) = F{x)y(x)t (13.2)
поскольку, если они известны, для нахождения частного решения,
а затем и общего решения исходной неоднородной задачи всегда
можно воспользоваться методом вариации произвольных
постоянных. Действительно, пусть уг (х), у2 (*),..., уп (х) — п линейно
независимых векторных решений уравнения (13.2); тогда решение
неоднородной задачи (13.1) можно представить в виде
У (х) = с1(х)у1(х) + с%{х)у%(х)+ — +сп(х)уп(х), (13.3)
где сп (х) — некоторые скалярные функции от х, подлежащие
определению в дальнейшем. Дифференцируя выражение (13.3)
по х, имеем
У' (X) = С\У\ + С2У2 "I Ь СпУп + С\у[ + С&2 -{ -\~ Спу'п. (13.4)
Подстановка (13.4) в уравнение (13.1) дает
С\У\ + ЪУ2 "I h с'пУп + Ciyi -f С2У2 Н h СпУп =
= ^Ух + c2Fy2 + . •. + cnFyn + h. (13.5)
Поскольку у'п = Fy,u соотношение (13.5) можно упростить:
с\у\ + eft* Н h с'пУп = h, (13.6)
что дает нам систему из п линейных уравнений относительно п
скалярных функций с'т. Обозначив составляющие вектора уот
через у , равенство (13.6) можно переписать в виде
W = h, (13.7)

346 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
где
Г =
021
Уп
022
01*
Угп
с =
L 0Л1 0,;2 • • • Упп J
Поскольку у1э у2, ..., уп линейно независимы, матрица Y
оказывается невырожденной и будет иметь обратную матрицу, которую
обозначим как Y'1. Умножая уравнение (13.7) слева на К-1,
получаем соотношение
c' = K-4i, (13.8)
определяющее собой систему п независимых уравнений
относительно неизвестных ст. Поскольку у и h — известные функции,
решение (13.8) может быть представлено в квадратурах
c^\Y-1(x)h(x)dx.
(13.9)
Таким образом, если решения соответствующего (13.1)
однородного уравнения известны, то частное решение уравнения (13.1)
может быть найдено по формуле (13.9). Именно поэтому будем
рассматривать только однородные уравнения вида (13.2). При
этом сначала рассмотрим скалярные уравнения первого порядка,
а затем перейдем к исследованию уравнений второго порядка.
13.1. Скалярные уравнения первого порядка
Начнем со случая, когда у (х) и F (х) представляют собой
скалярные функции, поскольку тогда точное решение уравнения
(13.2) можно записать в виде
9[F(x)dx
У =се]
(13.10)
где с — постоянная интегрирования, определяемая из начального
условия.
Если функция F (х) представима в виде ряда Тейлора,
сходящегося при | х — х01 < /?, то говорят, что х0 есть обыкновенная
точка данного дифференциального уравнения; в противном случае
точка х0 называется особой. Кроме того, если считать переменную
х комплексной, тогда F (х) будет аналитической функцией,
регулярной в некоторой окрестности \ х — х0\ < R точки х0.
Если точка х0 конечна, ее всегда можно перевести в начало
координат, положив
Ъ = х-х0. (13.11)
Тогда уравнение (13.2) переписывается в виде
-f<L = F (£ + *,) у,
(13.12)

13.1. Скалярные уравнения 1-го порядка
347
причем функция F (£ + х0) разлагается в ряд Тейлора,
сходящийся для всех | £| < R. Таким образом, не уменьшая общности,
можем считать, что интересующая нас точка является началом
координат.
В случае если ряд
F(x)= Е^*".
/1=0
(13.13)
где Fn — некоторые постоянные коэффициенты, сходится при
|*| < Я, решение (13.10) можно записать как
у = сехр
или
J ( g Fnx« )dx\=cexp\%Fnlx*dx\,
у = cexp
(13.14)
Заметим, что ряд под знаком экспоненты сходится, так как
lim
п-*оо
п-и член
(я — 1)-й член
= Игл
/1-Ю°
Fnxn+ln
х lim
Fn
X
{п + \)Fn.iXn | " n-ooi Fn-i
(13.15)
а ряд (13.13) по условию представляет собой сходящийся ряд с
радиусом сходимости /?. Поскольку функцию ехр (г) всегда
можно представить в виде ряда Тейлора, сходящегося при любых
значениях z, правая часть (13.14) также оказывается разложимой
в ряд Тейлора, который будет сходиться при |*| < R.
Если точка х = 0 представляет собой изолированную особую
точку функции F (х), например полюс порядка N, то F(x) можно
разложить в ряд Лорана вида
(13.16)
л=0
где Fn — некоторые постоянные и F0 Ф 0. Подстановка ряда
(13.16) в формулу (13.10) дает
у = с ехр
IS Fnx«-A dx\ = c ехр £ Fn\ х»-» dx\,
или
у = с ехр
[•
Fi
• +
(N—l)xN-1 (Ы-2)х*-2
+ FJt-l\nx + Fttx + -^F„+1#+±-F„+j»+...]. (13.17)

348 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
В случае N = 1 разложение (13.17) принимает вид
или
y = cxF*exp [fxx + ±-F2x* +± F3x* + - -.]. (13.18)
Если представить экспоненциальный член в виде ряда по^степе-
ням х, то формулу (13.18) можно записать как
оо
jf = car* Е аах», (13.19)
где ап — постоянные, не зависящие от х. В случае N = 2
разложение (13.17) принимает вид
y = cexp[-^+F1\nx + F2x + ±F3x* + ±-FAx*+ ...],
или
у = ас* ехр (- А) exp [f2x + ^F^ + -L F^ + ... ] . (13.20)
Член exp (— FJx) нельзя представить в виде ряда по степеням х
или дг1, поскольку при х -+ 0 эта функция стремится к нулю
быстрее, чем любая степень х, если F0 > 0, или к бесконечности
быстрее, чем любая степень лг\ если F0 < 0. В то же время вторую
экспоненту в (13.20) можно представить в виде ряда по степеням
х, так что разложение (13.20) переписывается как
п
у = cxF*e-F°x-1 2 anxnt (13.21)
л=0
где постоянные коэффициенты ап не зависят от х. Аналогичным
образом можно переписать разложение (13.17) в случае N^2:
00
(13.22)
где ап — постоянные коэффициенты, не зависящие от х.
Сравнение формул (13.19), (13.21) и (13.22) показывает, что
полюс первого порядка всегда можно отличить от полюсов
более высокого порядка. Действительно, в случае простого полюса
решение (13.19) отличается от решения в обыкновенной точке
множителем #F°. Если же полюс имеет более высокий порядок,
чем первый, то соответствующая форма решения будет отличаться
от представления решения в обыкновенной точке на
экспоненциальный множитель, который нельзя разложить в ряд по степеням
ху и, кроме того, на множитель ха, где о — некоторая постоянная.

13.2. Уравнения 2-го порядка
349
Отметим, что в случае N = 1 рассматриваемая точка, т. е.
начало координат, называется регулярной особой точкой, а в случае
iV ^ 2 —иррегулярной особой точкой.
Отметим также, что полученные выше представления решений
не меняют своего вида и в случае, когда у есть вектор-столбец,
a F — квадратная матрица я-го порядка.
13.2. Уравнения второго порядка
Рассмотрим теперь решения уравнения
у" + р (х)у' +q(x)y = 0 (13.23)
вблизи начала координат. Если р (х) и q (х) являются
аналитическими функциями, регулярными в окрестности х = 0, то точка
х=0 называется обыкновенной точкой данного дифференциального
уравнения. В этом случае функции р (х) и q (х) разлагаются в
сходящиеся степенные ряды с ненулевым радиусом сходимости,
причем решение у 'также можно представить в виде сходящегося
степенного ряда по степеням переменной х. В случае если одна
из функций р (х) и q (х) или обе они одновременно оказываются
нерегулярными в начале координат, тогда точка х = О
называется особой точкой исходного дифференциального уравнения. Если
р (х) имеет в этой точке полюс максимум первого порядка, а
q (х) — полюс второго порядка, тогда точка х — О называется
регулярной особой точкой. При этом по крайней мере одно из
решений уравнения (13.23) имеет вид (13.19). Если р (х) имеет
в точке х = О полюс порядка выше, чем первого, или q (х) имеет
в этой точке полюс выше второго порядка, или это имеет место
одновременно, тогда^/гочка х = 0 называется иррегулярной
особой точкой, и по крайней мере одно из решений уравнения (13.23)
имеет вид (13.22). Покажем теперь, как строятся решения
уравнения (13.23). Для уменьшения объема вычислений рассмотрим лишь
несколько частных случаев, иллюстрирующих характерные
свойства получаемых решений. В этом параграфе исследуем случай,
когда начало координат представляет собой обыкновенную точку
дифференциального уравнения.
Обратимся, например, к уравнению
у" + ху' +2у = 0. (13.24)
Здесь р (х) = х и q (х) = 2, так что точка х -= 0 является
обыкновенной точкой уравнения (13.24), и, значит, функцию у можно
разложить в ряд Тейлора вида
оо
у(х)=%апх". (13.25)

350 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
Дифференцируя (13.25) по xt имеем
у'(х)=% паах«-К (13.26)
Дальнейшее дифференцирование (13.26) по х дает
</"(*)=£ п(п-1)апх»-*, (13.27)
поскольку члены, пропорциональные а0 и ах, пропадают.
Подставляя разложения (13.25)—(13.27) в исходное уравнение (13.24),
имеем
оо оо оо
2 п(п - 2) апхп-* + 2 ла^"-1 + 2 2 а»*" = 0. (13.28)
Следующий шаг заключается в том, чтобы приравнять
коэффициенты при одинаковых степенях х. Для этого сделаем замену
индекса суммирования п таким образом, чтобы степени х под
знаком каждой суммы оказались одинаковыми, а именно положим
п — т + 2 в первой сумме и п = m во второй и третьей суммах.
В результате находим
ОО ОО 00
2 (от + 2) (от + l)am+t*" -f S "Wm*m + 2 £ amAf" = 0,
m=0 m—0 m=0
ИЛИ
оо
2 [(от + 1) (от + 2) ат+г + (от + 2) flm] *» = 0. (13.29)
Далее, приравняв нулю коэффициенты при а^1, получим
рекуррентное соотношение вида
^=--йПгТ. т==0' *• 2> •••• (13*30)
При этом из (13.30) следует, что
Oj а2 uq
#2 — —&о» й9 — g-, #4 — Т" — ~з""'
ар — — — 2.4' "e ~ Т~~~~~1ПГ ' f ' ' •
Таким образом, коэффициенты ап с четными и нечетными
индексами оказываются не связанными друг с другом: все четные
коэффициенты выражаются через а0, а все нечетные — через аг.
В результате мы имеем два линейно независимых решения, в одно
из которых входит множителем коэффициент а0, а в другое —
коэффициент аг. Следовательно,
У (х) = а0уг (х) + а&% (х), (13.31)

13.3. Регулярная особая точка
351
где
х4 *в , х8 . \У (—2)тт\х2п
^W=i-^ + 4-tt+tit+--- = S
(2m)!
(13.32)
и
оо т
(13.33)
Ясно, что ряд в формуле (13.33) сходится, поскольку мы смогли
записать его сумму в замкнутой форме. Применяя теперь признак
Даламбера к ряду (13.32), имеем
Нш , ""*7" = Hm _<-2Гт.г-(2m-2). =
m-»« (m - П-й член т^п (2m) | (-г)»"-1 (т - 1)! х2'""2
—2тх* о 1 • 1 л
т-оо (2т) (2т— 1) „^ 2т — 1
и, следовательно, ряд (13.32) также сходится для всех значений
х. Таким образом, общее решение уравнения (13.24) при любых
значениях х дается формулой (13.31).
13.3. Решение в окрестности регулярной особой точки
В этом случае каждая из функций р (х) и q (х) или обе
одновременно имеют особенности в точке х = 0, но в то же время
функции хр (х) и x2q (х) могут быть разложены в ряды Тейлора
по степеням х. Простейшее уравнение такого типа имеет место
в том случае, когда
р (х) = р0х~1 и q (х) = q0x~2y
где р0 и q0 — постоянные величины. При этом уравнение (13.23)
записывается как
У>+-*-у'+%У = 0. (13.34)
Это уравнение называется уравнением Эйлера; как показано ниже,
можно легко построить его точное решение.
Уравнение Эйлера
Перепишем уравнение (13.34) в виде
*У + Ро*У' + ЯоУ = 0. (13.35)
Ясно, что данное уравнение принадлежит к классу так
называемых однородных уравнений, каждый член которых содержит

352 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
х в той же степени, что и соответствующий порядок производной
от у. Такие уравнения имеют решения вида
у = х°, (13.36)
где о — некоторая постоянная, которая называется обычно
характеристическим показателем и определяется из самого
уравнения. Подстановка (13.36) в (13.35) дает
о (о - 1) х° -f р0ох° + <7о*° = О,
или а2 + (ро — 1) о + q0 - 0. (13.37)
Это уравнение принято называть определяющим уравнением;
корнями его будут
cii,2 = t(1 -Ро)± [т0 -/>о)2 -</о]1/2. (13.38)
Если корни аг и а2 различны, то функции х°* и х°* представляют
собой два линейно независимых решения исходного уравнения.
Тогда общее решение уравнения (13.35) можно записать как
y{x) = c1xG^-c2x^> (13.39)
где сги с2 — произвольные постоянные. В случае если ог = а2 =
«= -х- (1 — ро)» т- е> ПРИ (1 — Ро)2 = 4<7о> описанный способ дает
нам только одно из двух возможных линейно независимых
решений, а именно
у г (х) = ха*.
Второе линейно независимое решение можно получить с помощью
преобразования
у2 (х) = и {х)у1 (х),
где функция и {х) подлежит определению в дальнейшем.
Подстановка выражения для у2 в (13.35) приводит к уравнению
*V + 2#у\и + з?у[и + Рохиу{ + poxuyl f <7оШ/1 - 0,
которое после упрощения принимает вид
**У\и + (2х2у[ + Poxyi) и = 0, (13.40)
поскольку ух является решением исходного уравнения (13.35).
Соотношение (13.40) представляет собой уравнение первого
порядка относительно функции и'. Таким образом, указанный
подход является общим; он всегда позволяет найти еще одно линейно
независимое решение произвольного уравнения второго порядка.
Подстановка выражения для уг в уравнение (13.40) дает
хо1+2и' _|_ (2(7! -f Ро) ^1+1«' = 0,
или хин + и'- = 0.

13.3. Регулярная особая точка
353
Таким образом,
-^т-+ — = 0, или 1пы'-Нпх = 0,
и, следовательно, и' = —, или ы = 1пл\
Окончательно имеем
у%(х) = х°Лпх. (13.41)
Решение (13.41) можно получить и другим способом. Так,
полагая в уравнении (13.35) у = х°, имеем при ог = а2
*У + /W/' + ЯоУ = [а2 + (Ро - 1) а + ft] *а = (а - а^ х*. (13.42)
Дифференцирование (13.42) по а дает
*2^Ш + ^ (£) + *rg = 2(а-а^ + (а-а1)^1п*.
(13.43)
Полагая теперь а = ах в (13.42) и (13.43), мы видим, что функции
у и ду/до должны удовлетворять исходному дифференциальному
уравнению при о = аг. Следовательно, одним из решений
исходного уравнения будет функция уг = х0^ а вторым — функция
в полном соответствии с формулой (13.41).
Приведенный пример показывает, что случай одинаковых
показателей требует специального рассмотрения. Как показано
ниже, такое рассмотрение может потребоваться даже тогда, когда
ох и ог различны, но их разность равна некоторому целому числу.
Перейдем теперь к рассмотрению уравнений более общих,
чем уравнение Эйлера, причем мы начнем со случая неравных
показателей, разность между которыми не есть целое число.
Случай, когда о2 — огФ целому числу
Рассмотрим уравнение
4ху' + 2у'+у = 0. (13.44)
Здесь р (х) = -д- лг1 и q (х) = -j- лг1, и, следовательно, х = О
есть регулярная особая точка этого уравнения. Поэтому уравнение
(13.44) обладает решениями в так называемой форме Фробениуса
00 00
у = х« S апхп = Е я***""1- (13.45)
Подстановка (13.45) в уравнение (13.44) дает
00 00
4 S (о + л) (а + п - 1) аих°+»-1 + 2 2 (а + я) апх0+"-1 +
л=0 л—О
00
+ Sa^+" = 0. (13.46)
п=-0

354 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
Главные члены первых двух сумм в (13.46) пропорциональны
л?-1, тогда как главный член в последней сумме оказывается
пропорциональным ха. Поэтому основное соотношение, определяющее
вид характеристических показателей, можно получить, положив
коэффициент при х?~1 равным нулю, т. е.
4а (а — 1) а0 + 2аа0 = 0. (13.47)
Тогда соотношение (13.46) принимает вид
СО 00
U 2 (а + п) (2а + 2п - l)anx0+n-{ -f Е я**0*" = 0.
Показатели степени х в каждой сумме можно сделать одинаковыми,
полагая п = т + 1 в первой сумме и п = т — во второй. В
результате имеем уравнение
оо
2 [2(a + m+l)(2a + 2m+l)am+1 + am]^+m = 0,
из которого, последовательно приравнивая нулю коэффициенты
при л?+т, можно получить рекуррентное соотношение
Gm+1 ~ ~ 2(a + m+lH2a + 2m+l)' (13.48)
При этом из формулы (13.47) следует, что либо а0 = 0 (что
соответствует тривиальному решению), либо
4а2 — 4а + 2а = О,
откуда ах = 0 и а2 = -у.
В данном случае показатели ог и а2 не равны друг другу, а их
разность равна -|-, т. е. отлична от целого числа. Поэтому можно
построить два линейно независимых решения, соответствующие
разным значениям а.
Так, полагая в формуле (13.48) a = О, находим
«m+i— 2(m + l)(2m+ 1)'
откуда
«l— 2' "2~""" 2-2.3 ~41 ' "3~~ ~ 235 "~~ 61*
Следовательно, выбирая a0 = 1, имеем
m=0
Этот ряд сходится при всех х, поскольку
ни , от-»Длен - lim (-DOT^(2;-2); =0-
т-оо (т-1)-йчлен т^то (2т)1 (-1)т-|хт-'

13\3. Регулярная особая точка
355
Полагая теперь в формуле (13.48) a =-s-, получаем
0-тх.Л
'w+1"~ 2(m+ 1)(2т + 3)'
откуда
"1 — 2-3' 2~~ 22-5 ~~ 5! ' а* — ~ 2-37 ~~ 7! ' '
Следовательно, выбирая а0 = 1, имеем
^>=*,''(i-^+£-4+-£+---)=*,*2
I (2m+l)J*
(13.50)
Легко показать, что построенный ряд сходится при любых
значениях х. Таким образом, в данном случае как и для уравнения
Эйлера, мы получим два линейно независимых частных решения,
соответствующие разным корням характеристического уравнения.
Случай, когда а2—ах равно целому числу
Рассмотрим здесь два уравнения: решение одного из них мы
получим, используя описанный выше способ, решения же второго
получаются в результате некоторого видоизменения указанной
процедуры. Начнем с уравнения
(1 - х2) у' + 2ху' + у = 0. (13.51)
Действуя как и ранее, будем искать решение у (х) в форме (13.45)
Подставляя (13.45) в уравнение (13.51), имеем
(1 - *■) £ (о + п) (о + п - 1К*™-» +
fi—0
00 00
+ 2 Е (а + л) апх°+" + £ ^х0"1 - О,
ПштО П—О
или
£(а + п)(а + п-1)а„**»>-2 +
оо
+ S П + 3 (а + п) - (а + л)2] а„х^п = 0. (13.52)
Главными членами в разложении (13.52) являются члены с х0-2 и
ха~1; они соответствуют значениям индекса п = 0 и п = 1 в
первой сумме. Приравнивая нулю коэффициенты при указанных
степенях х, находим
а (а — 1) а0 = 0, (13.53)
(а + 1) оах = 0. (13.54)

356 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
Тогда (13.52) ^переписывается в виде
оо
2(а + л)(а + п-1)а|,«™*-» +
+ 2 [1+3(а + п)-(а + «)2]ап^« = 0.
Как и ранее, приведем показатели степени при х в обеих суммах
к одинаковому виду; с этой целью положим п = т + 2 в первой
сумме и п = /л во второй сумме. В результате получим
S4(a + m + 2)(a + /n+I)am+2 +
m=0
+ [ 1 + 3 (a + т)-(а + m)2] am} *»* = 0.
Далее, приравнивая нулю коэффициенты при последовательных
степенях х, находим
а - l+3(a + m)-(a + m)« пз сВч
a"+2 (a + m + 2)(a+m+l) flm" (16шМ)
Из соотношения (13 53) следует, что при а0 Ф 0 a = 0 или
a = 1. В случае когда a = 0, уравнение (13.54)
удовлетворяется автоматически, а значение ах может быть выбрано
произвольно. Если же a ~ 1, то из соотношения (13.64) следует, что
ах « 0.
При а «* 0 формула (13.55) принимает вид
1 + Зт — m* Л
<W»~~ (m + li(m + 8) fl»"
откуда
<*! — — •§■» <*4 ——-^""if-i ^""T^--!^' •••■
Следовательно, получаем решение
,W-flb[l-if-+2f. + .{J.+ ...] +
которое содержит две произвольные постоянные и которое
поэтому должно быть общим решением исходного уравнения. При
этом суммы в квадратных скобках представляют собой два
линейно независимых частных решения уравнения (13.51).
Используя признак Даламбера, легко, показать, что оба ряда в решении
(13.56) сходятся при любмх значениях *,

13.3. Регулярная особая точка
357
При о = 1 из соотношения (13.54) следует, что аг = 0, а
формула (13.55) принимает вид
п — l+3(m + l)-(m+l)2„
<W — (m + 2) (m + 3) G/n-
Тогда
Д3 = fl6 = Я? = ' • ' = ^2п+1 = • • • = О,
л — а° п — а> — а° п — Зд* _ 3ао
"2 — 2 ' "4 — 20 "" 15"' в ~ 14 "" 560 ' ' # ' '
В результате имеем разложение
* = «*[* -T + TBT+W+-"-]' (13"57>
лишь постоянным множителем отличающееся от второго
частного решения в разложении (13.56), которое, как уже упоминалось
выше, дает общее решение уравнения (13.51).
Перейдем теперь к исследованию случая, в котором требуется
несколько видоизменить описанную выше процедуру, а именно
рассмотрим уравнение Бесселя первого порядка
х2у" + ху' + (г* - 1) у = 0. (13.58)
Как и ранее, подстановка разложения (13.45) в уравнение (13.58)
приводит к соотношению
Е (о + п)(о + п- l)ajfi*" + £ (а + п)ая*™ +
Я—0 ПттО
+ (*•- 1)Еа„х™-0,
которое можно переписать в виде
ИЛИ
(а*- 1)ао*° + о(а + 2)а^*1 + Е К* + п)*- 1]a**0*" +
/1-2
+ Е a„x°+n+2 = 0. (13.59)
Полагая коэффициенты при главных членах разложения, т. е.
членах с^и х°н в (13.59), равными нулю, имеем
(аа _ 1) оо = (а - 1) (а + 1) ао = 0, (13.60а)
[(а + 1)2 _ 1 ] аг = а (а + 2) ах = 0. (13.606)
При этом соотношение (13.59) принимает вид
во од
Е [(а + п? - 1] а„х"« -+- £ апх°+п+2 =0. (13.61)

358 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
Для того чтобы привести показатели степени х в каждой сумме
к одинаковому виду, положим п = /п + 2в первой сумме ип =
= т — во второй. В результате получим
оо
Е \[{а + т-\- 2)2 -1]ат+2 + ат\ *»*« = 0.
т=0
Приравнивание коэффициентов при последовательных степенях
х приводит к рекуррентному соотношению
йт ат
(а + т + 2)2 — 1 (а + т + 1) (а + /и + 3)
(13.62)
Из формулы (13.60а) следует, что при а0 Ф 1 показатель
а равен ± 1. Тогда из (13.606) находим, что аг = 0 и,
следовательно, а3 — fl6 == <*7 = ••• =А2я+1 = ... = 0. Полагая в (13.62)
о = —1, имеем
>-=-тп5т5г- (13-63)
Если положить теперь в формуле (13.63) т = 0, то
коэффициент а2 оказывается равным бесконечности. Таким образом,
описанная выше метвдика не позволяет получить решение при
а = —1.
В случае когда о = 1, из рекуррентной формулы (13.62)
следует, что
Qm±2 —
Поэтому
т+2 ~ (т + 2) (т + 4)#
"а Т7' 4~~ 46 ~~ 24».6
д4
6-8 ~ 24»62-8 » ' • ' '
и, следовательно,
Ух (X) = Л (*) = Яо* [ 1 — "зХ + 2426 2.4«.6»-8 + ' " J
(13.64)
Построенный ряд представляет собой одно из решений
уравнения (13.58); при а0 = — он обычно называется функцией
Бесселя 1-го рода первого порядка и обозначается через Jx (х).
Для того чтобы найти второе линейно независимое решение
уравнения (13.58), можно воспользоваться одним из приемов,
применявшихся для построения второго решения уравнения
Эйлера в случае равных показателей, т. е. равных корней
определяющего уравнения. Здесь мь| используем второй из описанных там

13.3. Регулярная особая точка 359
способов, а именно выразим коэффициенты ат через а0, не
подставляя соответствующее значение а. Тогда из формулы (13.62) имеем
а2 = «о
<<г+1)(а + 3) '
Я« =
(а + 3) (а + 5) • (а + 1) (а + 3)» (а + 5)
в4 _^ fl0
(а + 5) (а 4- 7) (а + 1) (а + З)2 (а + 5)* (а + 7)'
и, следовательно,
УЮ-* [а°"~ (a+l)(a + 3) + (a+l)(a + 3)"(a + 5)
"(a+l)(a + 3)*°(a + 5)*(a4-7) + '"J- <13'65)
Как и ранее, если положить в разложении (13.65) a = —1, то
соответствующие коэффициенты обратятся в бесконечность ввиду
наличия в их знаменателях множителя (а + 1). Для того чтобы
обойти это затруднение, выберем а0 равным Ь (о + 1). При этом
из разложения (13.65) имеем
y=^[(a+l)--^+(<r + 3)r(g + 5)"
- (a + 3)«(a + 6)Ma + 7) + ' ' ' ] ' (l3M>>
откуда после подстановки в дифференциальное уравнение (13.58)
находим
х*у" + ху' + (х2 — 1) у «= Ь (о + I)2 (о — 1) *>. (13.67)
С другой стороны, уравнение (13.67) можно получить прямо из
формулы (13.59), полагая в ней а0 = Ь (о + 1), аг = О и учитывая
соотношение (13.61). Как и для уравнения Эйлера в случае
равных корней определяющего уравнения, наличие квадратичного
множителя (а + I)2 в правой части (13.67) приводит к тому, что
функции у и ду/до должны удовлетворять исходному
дифференциальному уравнению при a = — 1. Полагая теперь в (13.66)
о = —1 и принимая ft = 1, приходим к разложению
й(х)= дг> [-4 + -А- -ТГ&Т + * • *] • (13'68а)
которое лишь постоянным множителем отличается от (13.64).
Далее, дифференцируя (13.66) по а и полагая Ъ = 1, имеем
~~l (а+3)»(о + 5) + (а + 3)Н° + 5>» J ** "• )*

360 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
откуда, полагая а = —1, находим
y%{x) = th{x)hix + x-i[l +£-"2^+ ■•■]. (13.686)
Таким образом, разложения (13.64) и (13.686) представляют собой
два линейно независимых решения уравнения (13.58). Используя
признак Даламбера, можно легко показать, что построенные для
Ух и Уг ряды сходятся при любых значениях х.
Случай о2 — ог
В качестве следующего примера рассмотрим уравнение
Бесселя нулевого порядка
ху" + у' + ху = 0. (13.69)
Как и ранее, подставляя разложение (13.45) в уравнение (13.69),
имеем
00 оо
2 (а + п) (о + п - \)апх^пЛ + 2 IP + п) апх°+п-1 +
Л=0 П=:0
ОО
+ S апха+п+1 = О,
ИЛИ
оо оо
J] (а + п)2 anx0+n~l + £ алха+"+1 = О,
ИЛИ
оо оо
о2о0^°-1 + (а+ l)2ai^+ 5j(CT + n)2onx0+n-4- Е ал^+п+1 = 0. (13.70)
Приравнивая нулю коэффициенты при первых двух степенях х,
т. е. при х°~] и ха, находим
о2а0 = О, (13.71а)
(а + l)2^ = 0. (13.716)
Соотношение (13.70) в этом случае переписывается в виде
оо оо
£ (а + nf апх°+«-1 + 2 он*"'*1 = 0> (13.72)
п=2 п—0
откуда, полагая п = m + 2 в первой сумме к п = т — во второй,
получаем
£ [(а + m + 2)2 ат+2 + ат] х™»+1 = 0.
т=0
Приравнивание коэффициентов при последовательных степенях
х приводит к рекуррентной формуле
m+2 (a-f-m + 2)2 •
(13.73)

13.4. Бесконечно удаленная точка 361
Из соотношения (13.71а) следует, что при а0 Ф О оба
характеристических показателя равны нулю; при этом из (13.716) получаем,
что аг = 0. Следовательно, используя прямую методику Фро-
бениуса, можно построить только одно решение уравнения (13.69).
Поэтому прежде всего попытаемся найти зависимость решения
у от величины а. Из формулы (13.73) имеем
Яз = Яб = я? = • • • = Я2л+1 = • • • = 0
и
а2 — — (а + 2)2 * а* — ~~ (а + 4)2 ~~ (а + 2)2 (а + 4)2 ' ' ' ' '
Таким образом, получаем
y—a0x[i (а + 2)Я + (а + 2)2 (а + 4)2
~(а + 2)2 (ст + 4)2 (а + б)2 + ' ' J ' (13.74)
Подстановка разложения (13.74) в уравнение (13.69) дает
хуп + У' + ху^а0ох°~К (13.75)
С другой стороны, уравнение (13.75) можно получить из (13.70),
полагая at = 0 и используя соотношение (13.72). Как и ранее,
наличие квадратичного множителя а2 в правой части (13.75)
приводит к тому, что функции у и ду/да должны удовлетворять
исходному дифференциальному уравнению при а = 0.
Полагая теперь в (13.74) о = 0 и выбирая а0 = 1, приходим
к решению следующего вида:
Уг(х) = Мх)=1 ^-F + irW"" 22.42.62 + "•• <1376)
Далее, дифференцируя (13.74) по а и принимая а0 = 1, получаем
~~ L (а + 2)8 (а-Ь 4)2 + <а + 2)»(а + 4)».Г +'#-)'
откуда при о = 0 находим второе решение исходного уравнения
лИ = Л(*)1пх + 4---Й-+-'-- <1377)
Воспользовавшись признаком Даламбера, можно легко показать,
что ряды для уг и у2 сходятся при всех значениях х.
13.4. Сингулярность в бесконечно удаленной точке
В § 13.2 и 13.3 мы строили решения дифференциальных
уравнений в виде рядов в окрестности некоторой конечной точки.
В этом параграфе мы рассмотрим решения в окрестности беско-

362 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
нечно удаленной точки. Для того чтобы выяснить, является ли
бесконечность обыкновенной или особой точкой данного
уравнения, а также выяснить характер ее особенности, бесконечно
удаленную точку обычно переводят в начало координат с помощью
подстановки z = лг1. При этом
JL — JL i*L — ! !_ = _r2 JL
dx ~~ dz dx ~' x2 dz dz y
d* _ 2 d 1 d> _Q3 d , ^ <P
d*2 ~ X3 <fc "T" X* <fc* ~" ^ 62 » 4 dz2 •
Тогда уравнение (13.23) переписывается в виде
■ *,-г-+«,-з--*(-!-)-*-+«(т)*-0-
или
d2«/
*+[т-Т'(г)]#+7»(-9»-«>- <1378>
Таким образом, * = оо будет обыкновенной точкой уравнения
(13.23), если точка z = 0 будет обыкновенной точкой для
уравнения (13.78). Следовательно, бесконечно удаленная точка будет
обыкновенной точкой для уравнения (13.23), если функции
Т~^гР{т) и ?ч{т)
представляют собой аналитические функции, регулярные в
окрестности точки z = 0; в противном случае бесконечно удаленная
точка будет особой точкой исходного уравнения. Указанные
условия равносильны требованию, чтобы функции
2х — х2р (х) и xAq (х)
разлагались в сходящиеся ряды Тейлора по обратным
степеням х.
В качестве примера рассмотрим уравнение
У' + (т + 4г)* + (-7 + 1!г)у = Ь 03-79)
Подстановка z = лг1 переводит его в уравнение
-g._3-§- + (22+l)*/ = 0. (13.80)
Поскольку точка z = 0 является обыкновенной точкой для
уравнения (13.80), то бесконечно удаленная точка также будет
обыкновенной точкой для уравнения (13.79). Следовательно, решения
уравнения (13.79) могут быть представлены в виде сходящегося
ряда
где ап — некоторые постоянные коэффициенты.

13.5. Иррегулярная особая точки
363
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
После преобразования z = лг1 оно принимает вид
-^ + (T-3)^+(f+.2)>=°- (13-83>
Поскольку z = О есть регулярная особая точка уравнения (13.83),
то бесконечность будет регулярной особой точкой для уравнения
(13.82). Следовательно, по крайней мере одно из решений
уравнения (13.82) можно представить в виде сходящегося ряда
оо
y=x°lllk (13-84)
с постоянными коэффициентами ап. Второе частное решение этого
уравнения строится с помощью формулы (13.84), как это делалось,
например, в предыдущем параграфе.
В качестве последнего примера исследуем уравнение Бесселя
нулевого порядка
ху" + у' + ху = 0. (13.85)
После подстановки z — х'1 оно приобретает вид
з+-нн-т»-<>- <1з8б>
Поскольку z = 0 есть иррегулярная особая точка уравнения
(13.86), то бесконечность также будет иррегулярной особой
точкой уравнения (13.85). Приближенные представления решений
дифференциальных уравнений второго порядка вблизи
иррегулярной особой точки рассмотрим в следующем параграфе.
13.5. Решение в окрестности иррегулярной
особой точки
Как указывалось в § 13.1, если начало координат есть
иррегулярная особая точка уравнения (13.23), то решения этого
уравнения имеют вид
у(х) = е*тх?и(х)9 (13.87)
где функция и (х) может быть представлена в виде ряда (не
обязательно сходящегося) по степеням л™/*, Л (х) — некоторый
полином от х~т/пу а т и п —простые числа. В случае п = 1
такое решение называется нормальным, если же п Ф 1, то оно
называется субнормальным решением. В этом параграфе мы
рассмотрим три примера — уравнение, для которого существует
нормальное решение, уравнение, для которого имеется
субнормальное решение, и уравнение с иррегулярной особой точкой на
бесконечности.

364 /л, 13. Уравнения с Переменными коэффициентами
■ . I. . . Г Ш ..У
Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим уравнение
х*у" - (1 - а*) у' + у = 0, (13.88)
которое, как мы покажем ниже, обладает нормальным решением
вблизи начала координат, являющегося в этом случае
иррегулярной особой точкой. Для того чтобы определить вид
многочлена Л (х), прежде всего найдем его главный член. Принимая,
что главный член в Л (х) имеем форму Ajtv, положим
y~e^*-v. (13.89)
Тогда
*'~--£r^V> lM-^+*^l^. (13.90)
[yv+2
*v+2
Подставив выражения для у, у' и у" в уравнение (13.88) и
разделив на х2, получим
XV Xv(v-fl) Яу ЗЯу 1 _п nqn
x2v+2 "г xv+2 "г ^v+3 xv+2 "г Х2 Т" "—v. ^itf.tfij
Поскольку при х-+ 0 ;r2v~2 > ;rv-2 и лг*-3 > Arv"2, то,
сохраняя в (13.91) лишь основные члены, находим
Далее нужно приравнять соответствующие показатели степени
у переменной х. Поскольку эти показатели степени зависят от
величины v, то здесь возможны три варианта:
2v+2 = v + 3, 2v + 2 = 2 и v + 3 = 2;
соответственно получаем три значения v: v = 1, v = 0 и v=—1.
Однако из этих значений нужно выбрать лишь самое большее,
поскольку в противном случае мы не сумеем скомпенсировать
главный член в (13.92). Например, если выбрать значение v = 0,
то первый член этого разложения будет иметь порядок лг2,
второй член — порядок х~3 и третий — порядок лг2. Следовательно,
мы не сможем подобрать величину К таким образом, чтобы
исключить главный член, которым в этом случае окажется второе
слагаемое в разложении (13.92). В случае же v = —1 многочлен
Л (х) -* 0 при х -+■ 0, и поэтому функция ехр [Л (*)] будет
представима рядом по степеням х, что позволит объединить ее
с функцией и (х).
В то же время в случае v = 1 главными членами разложения
(13.92) окажутся первые два слагаемых. Их можно
скомпенсировать, положив
XV + Kv == 0, или А,2 + X = 0,
откуда X = 0 или —1.

13.6. Иррегулярная особая точки 365
В случае К = О, подставляя ряд
!/W=Sfl/M (13.93)
в уравнение (13.88), получаем
Е (о + п) (о + п - 1) апх°+» - (1 - Эх) £ (а + л) fl^*11"1 +
/1=0 л=0
оо
+ S а„*а+п=0,
или
оо оо
S (а + /г + I)2 а,ха+Л - J (а + л) ал*в+я-1 = 0. (13.94)
При этом главный член в (13.94) оказывается пропорциональным
хР"1% что соответствует слагаемому с индексом п = 0 во второй
сумме. Если положить коэффициент при х°~] равным нулю, то
имеем
aa0 = 0, (13.95)
и разложение (13.94) приобретает вид
оо оо
2 (о + п -f I)2а„*°+л —Jj{o + n) а**0™-' = 0.
Отсюда, полагая л = т в первой сумме и я = m + 1 — во
второй сумме, находим
оо
Е l(o + tn+lfam-{o + m+\)ain+1]x°™ = 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при последовательных
степенях х, получаем
<W = (о + т + 1) flm. (13.96)
Из формулы (13.95) следует, что при а0 Ф 0 a = 0. Тогда из (13.96)
получаем
ят+1 = (т + 1) дт,
и, следовательно,
fli = я<ъ я» = 2ax = 2a0, a3 = Заа = 3! a0>
a4 = 4a3 = 4Ia0, a* = 5a4 = 5Ia0.
или
г/1(л:) = а0[1+х-Ь2!х2 + 3!х3 + 4!х4 + 5!х54 ].
Таким образом, имеем
оо
yi(x)~a„ £ /nlJf". (13.97)
m=0

366 Рл. 1$. Уравнения с переменными коэффициентами
Используя признак Даламбера, легко показать, что ряд (13.97)
расходится для всех значений х\ именно поэтому мы
воспользовались вместо знака равенства знаком асимптотического
соответствия. То, что построенный ряд оказался расходящимся,
не должно являться для нас неожиданным — ведь начало
координат представляет собой иррегулярную особую точку
рассматриваемого уравнения.
В случае X = —1 положим
У\x) = v{xYexp (--£)> (13-98>
откуда
Подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (13.88), имеем
x*v" + 2v' - ^v + -Lv - v' - ±v + 3xv' + ±v + v = 0,
или
xV + (l+3x)i/ -f(l +t)v = 0- (13,99)
Поскольку экспоненциальный множитель exp [Л (x)] уже
включен нами в выражение (13.98) для у (х), будем искать решение
v (х) в форме Фробениуса
оо
v(x)= 2 ап*а+п- (13.100)
Подстановка ряда (13.100) в уравнение (13.99) дает
оо оо
Е (a -f п) (а + п - 1) а„л™ + Е (о + л) а»*™-1 +
оо оо оо
+ 3 Е (а + п) апх°™ + 2 а^*»-1 + Ц а,,*0™ = 0,
ИЛИ
оо оо
S (a + n + l)^^^-1^ Е (а + п+1)2адл:^ = 0. (13.101)
Полагая главный член в (13.101) равным нулю, находим
(<т+ 1)Оо =0. (13.102)
При этом (13.101) принимает вид
оо оо
2 (а + п + 1) а,,*""-1 + S (а + я + 1)2а„*а+п = 0,
п=\ л=0

13.5. Иррегулярная особая точка 367
откуда, полагая п = т + 1 в первой сумме и п = т — во
второй сумме, имеем
оо
£ [(а + m + 2)ат+1 + (о + т+ lfam]jf** = 0.
m=0
Наконец, приравнивая нулю коэффициенты при
последовательных степенях х, получаем
Из соотношения (13.102) следует, что в случае а0 Ф 0 а =
= —1; тогда из формулы (13.103) находим
т
ат+1 —
т+\ т'
откуда ах = а2 = а3 = ... = ат = 0 для т Ф 0, и, следовательно,
ряд (13.100) обрывается на первом члене. Таким образом, если
принять а0 — 1, имеем окончательно
Ы*)--^ехР(-4-)' (13.104)
При этом, поскольку экспонента в формуле (13.104) включает
в себя обратные степени х, функция у2 (х) есть нормальное
решение исходного уравнения.
Пример 2. В качестве следующего примера рассмотрим
уравнение, обладающее субнормальными решениями вблизи начала
координат, а именно уравнение *и
*У — *У —У = 0. (13.105)
Поскольку точка л: = 0 является иррегулярной особой точкой,
то решения уравнения (13.105) будут иметь вид (13.87). Для того
чтобы определить явным образом функцию Л (л:), предположим,
что главный член решения имеет форму (13.89). Подстановка
выражений (13.89) и (13.90) в уравнение (13.105) приводит к
соотношению
ХМ + М^ + _^_1 + ...в0| (13Л06)
основными членами которого являются первое слагаемое и,
возможно, последнее. Чтобы скомпенсировать эти члены, потребуем
выполнения условий v = -^- и A,V = 1. Тем самым X = ±2,
и, принимая в (13.106) v = -j-, мы лишь подтверждаем
предположение о том, что основными членами в этом соотношении
являются первый и последний.
Итак, в данном случае решение у имеет вид
y = e±**'l,2v(x). (13.107)

368 Гл. IS. Уравнения с переменными коэффициентами
Поскольку экспонента в формуле (13.107) включает в себя
дробные обратные степени х, такое решение называется субнормальным
решением. При этом из (13.107) следует, что
у' = (р* q: x-**v)ехр(±2х-1*),
у" в (у =F 2x-Wv' + x*v ± -~-x~*i*v) ехр (±2x~W).
Подставляя выражения для (/, у\ у" в уравнение (13.105), получаем
хУ =F 2*3'2 и' + о ± -§" *1/2<> - *V ± *l/2v - » = 0,
или Л' - (х2 ± 2xW)v' ±-yX*»v = 0. (13.108)
Далее, будем искать решение уравнения (13.108) в виде ряда по
степеням я1/2, т. е.
00
v~ £ ап*<°+")/2. (13.109)
Подстановка этого разложения в (13.108) дает
оо оо
2 4"(а+п) (а+п -2) >**(а+л+2)/2 - 2 "т(а+л)вп^в+л+2)/2=р
оо оо
4= 2 ^ 4-(° + я)апАг<°+',+1>/2±-|- 2 вп*(а+',+,)/2 =0,
или "=0 п=0
оо
2 4" (а + п) (а + п - 4) в^'+п+м +
ОО
+2 (±4-TaTn)a**(a+n+1)/2==o- (13.1Ю)
л=0
Главный член в разложении (13.110) представляет собой
слагаемое, пропорциональное х<а+1>/2, что соответствует члену с
индексом п = 0 во второй сумме. Приравнивая этот член нулю,
находим
(±-§-=Fc)ao = 0. (13.111)
Далее, полагая п = m в первой сумме и л = т + 1 — во второй
сумме, перепишем разложение (13.110) в виде
оо
2 {4*(° + т)(а + т — 4)am +

13.5. Иррегулярная особая точка 369
Приравнивание нулю коэффициентов при последовательных
степенях х дает рекуррентную формулу
ewtl = (« + «)(a + m-4) ^ (13Л12)
4 (±у?атт? Л
5
Из соотношения (13.111) следует, что при а0 Ф О а = -^-.
Тогда формула (13.112) принимает вид
(•+40 (--}■)
am+i = ± 4(m + i) а"" (13.113)
ос 7 1 ^ К 7
откуда fli = =F -j^- о0> а2 = Т -j^- fli = -j^ a°'
Л , 9-1 , 3.5-7.9
a* - ± -WTa* = ± "ГбГзГ a°'
_ , 11-3 _ 32-5-7.9-ll
a*"" ± ~1бХаз"" 16MI a°>
и, следовательно,
(x)^^-^4[i^3^+3^ +
, З-б-У-Эх3'2 , У-5-7-9-11*» t 1 /10,144
+ 163-31 + 16M! + "T (13ЛИ)
08(*)~*-to~,/2^y4[l +
3-5x1/2 , 3-5-7*
16 ^ 162-2
3-5-7.9*3'2 , 3*. 5.7- 9- Их2 ] /1QI1Kv
16^3!—+ WT\ + "'J' (13Л15)
Используя признак Даламбера для ряда (13.109), в соответствии
с рекуррентным соотношением (13.113) получаем
Ит (я» + 1)-й член _ ^«£l>* =xmVm±^=±00.
т^т m-ft член m^0D атх<а+т"2 т^ *т ^
Таким образом, ряды (13.114) и (13.115) являются
асимптотическими, в связи с чем мы воспользовались в них не знаком
равенства, а знаком асимптотического соответствия.
Пример 3. В качестве последнего примера рассмотрим
построение приближенного решения для уравнения Бесселя нулевого
порядка
хут + (/+ху = 0 (13.116)

370 Гл. IS. Уравнения с переменными коэффициентами
при больших х. Как было показано в § 13.4, точка х = <х>
является для этого уравнения иррегулярной особой точкой. Поэтому
решение уравнения (13.116) при больших х имеет вид
у(х)~еА{х)х°и(х), (13.117)
где Л (х) — полином от х™1" (m, п — простые числа), а функция
и (х) может быть представлена рядом по обратным степеням л^/л.
Для того чтобы определить вид функции Л (*), предположим,
что главный член (13.117) можно представить в форме
у~е*х\ (13.118)
Тогда
у' ~ Jlvj^-1^, у" ~ [X2v2x2v~2 + Xv (v - 1) *V-2J <**\
и подстановка выражений для у> у' и у" в уравнение (13.116) дает
X2v2jc2v-1 _|_ XV (V _ J) jfv-l _|_ j^v-i + ^ = о. (13.119)
При х ->■ оо основными членами в (13.119) будут первое и
последнее слагаемое, причем для того, чтобы они скомпенсировали друг
друга, необходимо выбрать
v=l и X=±i. (13.120)
В случае X = i положим
у == eix v (х)
и, подставив в уравнение (13.116), получим
х {v" + 2ivf — v) + v' + iv + xv = 0,
или xv" + {2ix + l)v' + iv = 0. (13.121)
Будем теперь искать решение уравнения (13.121) в форме
оо
«~ Лапх-°-п, (13.122)
что при подстановке в это уравнение дает
Е (a -f- п) (а + я + 1) anJf-'-"-1 - 2i fj (а + л) enr-»— -
/1=0 л=0
оо оо
- 2 (о + л) апх-°-"-1 + i S апДГ-0-л = 0,
п=0 л=0
или
оо оо
Е (а + м)2^*-*-"-1 + f Е О - 2сг- 2л)апдг-*-л = 0. (13.123)
л=0 л=0
Главный член в этом разложении пропорционален лга; он
соответствует индексу п = 0 во второй сумме. Приравнивая этот член
нулю, получаем
(1 — 2o)aQ -0. (13.124)

13.5. Иррегулярная особая точки 371
Далее, полагая п = т в первой сумме и п = т + 1 — во второй
сумме, перепишем разложение (13.123) в виде
оо
S [(а + т)2 ат - i (2а + 2/л + 1) ат+1] *-«-«-1 = 0.
т=0
Положив коэффициент при соответствующей степени х равным
нулю, находим
Из соотношения (13.124) следует, что при а0 Ф 0 а = -^-; в
результате рекуррентная формула (13.125) приведется к виду
f(m + ~r)2
^m+i— 2(m+ 1) fl""
откуда
1 — 4.2 ' 2 4 ■ 22 42 • 23 '
_ ЬЧа% __ 1-32-52ш0 __ 72/a3 _ 1-32-52*72о0
a*~~ 4-31 ~~ 48-2«.3! ' fl4~" T2T-" 44-2«.4! * ' ' ' '
Таким образом,
( ч_ /JC „1/2 fi 1 1-32 132-52 . ,
У(Х) — е X j^l 4>2jc l 42.22.2!x2 "i" 43.23-31x3 l ~+~
+ -S5S-+ ■■■] при x^°°- <13-126>
Поскольку отношение двух последовательных членов этого
разложения
i(2m-fl)2
-efr+l)*"*"'00 ПРИ m^°°'
то ряд в (13.126) расходится при любых значениях х. Однако
при больших х он все же представляет собой асимптотическое
разложение решения, поскольку его старшие члены с ростом т
убывают очень быстро.
Отделяя в (13.126) вещественную и мнимую части, получаем
следующие два линейно независимых решения уравнения (13.116):
yi ~ jr-,''2(Mcosjir + usinjir) (13.127)
и y2~x-V2(us[nx-vcosx), (13.128)
где
/ ч 1 12'3а , 12-За.52-72 . /10 100Ч
42-22-2!х2 ' 44-24.4!*4
12-За52
4-2* ~~ 48-23-3!х3
»(*) = ^-1ЙКг+—- (13130)

372 /л. 13. Уравнений с Переменными коэффициентами
. i ■ .11 . ■ - ■ i - i ■ ■ шшЯт\
Таким образом, имеем
Jo(x)~ Аух-\-Ву2 при дг-^оо, (13.131)
где А и В — постоянные, определяемые из обычных начальных
условий типа У0 (0) = 1 и J'0 (0) = 0. Вместе с тем формула (13.131)
теряет силу при малых х, поскольку при *-* 0 правая ее часть
становится неограниченной. Следовательно, мы не можем прямо
воспользоваться полученным асимптотическим разложением, чтобы
удовлетворить заданным начальным условиям. Для того чтобы
преодолеть это затруднение, обычно пытаются построить
интегральное представление рассматриваемой функции, которое
удовлетворяло бы исходным начальным условиям. Тогда, определив
главный член в асимптотическом разложении полученного
интеграла, можно связать постоянные в асимптотическом
представлении типа (13.131) с соответствующими начальными условиями.
Интегральное представление функции /0 (х) можно найти
следующим образом. Разложим функцию exp (/*sin8) в ряд по
возрастающим степеням х, т. е.
Pixsinе — 1 _l ixs'mQ д. (/xsine)2 i (**sta9)« , . . _
(testae/1
-s
(13.132)
n!
Поскольку
,. л-й член ,. (testae)" (л—1)1 n
lim -7 rr-z = lim ' „ / = U,
n^oo (л-1)-и член „^ /i!(tesine)n-1
то ряд (13.132) сходится для всех значений х. Интегрируя обе
части разложения (13.132) по 8 в пределах от нуля до 2я, имеем
2Я оо 2Я
_LJ e,.„nede==2-^f 4rS sin"9d0' (13133>
О Л=:0 О
Из формулы (А.38) приложения А следует, что
. 2Я [ 0, если п нечетное,
-в- \ sin"ede= {я_ 1)(я —з)...з-1
о I п(п-2).. 4-2 ' есЛИ П чеТНОе-
Тогда с учетом этой формулы из (13.133) находим
2Я
_^_j eIJCS,ned9= 1 -il + ^p-- -¥^w+ .... (13.134)

IS. £. ИррегулАрнаЛ особая гНочка 373
*•■' —"*"• -■"-■-■■•■
Так как, согласно формуле (13.76), ряд в правой части (13.134)
представляет собой функцию J0 (х), то тем самым получаем
искомое интегральное представление для J0 (х)
<M*) = iH ^sine^e, (13.135)
о
удовлетворяющее начальным условиям JQ (0) = 1 и J'0 (0) = 0.
Найдем теперь главный член асимптотического разложения
интеграла (13.135) для больших х. С этой целью воспользуемся
методом стационарной фазы, заметив, что соответствующие
стационарные точки даются соотношением cos0 = 0, или 9 = ±я/2.
Поскольку в окрестности точек 6 = ±я/2
sine
=±[i - 4-(e ^ 4-*)*+ •••]• (13Л36)
то главный член в асимптотическом разложении нашего
интеграла в соответствии с рекомендациями § 3.4 будет даваться
выражением
оо оо
«/"o(Jr)—ST*** \e-QmMldt + -%re-1* \e№ixt,dt, (13.137)
—оо —оо
где tt=Q-±-— я. Интегралы в формуле (13.137) можно
преобразовать в обычные интегралы Лапласа путем поворота из контуров
1 I 1 D
интегрирования на углы т-пи +-г"Я соответственно. В
результате получим
/e(jc) ~ 4~*" J e-wvdt + -^e-ix j s'"V2 dt.
(13.138)
Далее, положив t = j/2 rx~{/2exp ( j- in\ в первом интеграле
и/ = y/ll тх~1/2ехр(~г- in) во втором интеграле, перепишем (13.138'
в виде
оо
/0 (х) ~ —1= е( <*-*/4> Г е-'' dr +
—ОО
оо
я/2* J

374 Гл. 1&. Уравнения с Переменными коэффициентами
или с учетом формулы (3.25)
J0 (х) -=L^ [е{ <X-W + в"' (*~я/4)],
откуда
«М*)~ у ^Tcos(x 4"п) ПРИ *-^°°- (13.139)
Из формул (13.127)—(13.130) при х-+ оо следует, что
ух ~*-1/2cos* и у2~x~l/2sinх.
Поэтому из (13.131) получаем
J0{x) ~ x-l'2(Acosx + В slnx). (13.140)
Сравнивая выражения (13.139) и (13.140), находим
]/ — (cos* cos-^- -f sin* sin-^Л = Л cosx-f- В sinx,
откуда
-«-V4<—5- '-^f-n-f
Подставляя найденные значения Л и В в (13.131) и используя
(13.127) и (13.128), получаем окончательно
J о (*) ~ у -J3J- \и (cos х cos -^- + sin х sln-^Л +
+ v (sinxcos-^— cos* sin-^-Н ,
или
J°(*) ~V -kr[ucos(x - -г) +vs* {* --г)} О3-141)
ПРИ *->00.
Формулы (13.76) и (13.141) описывают два различных
представления одной и той же функции /0 (*)• Первая из них дает
ряд, сходящийся при всех значениях х, тогда как ряды в формуле
(13.141) расходятся при любых х. Как уже отмечалось в гл. 1,
хотя сходящийся ряд (13.76) прекрасно описывает функцию J0 (х)
при малых х, при больших значениях аргумента он оказывается
бесполезным с вычислительной точки зрения вследствие
ограниченности разрядной сетки современных ЭВМ. На практике
любая попытка вычисления на ЭВМ функции /0 (*) при больших х
с помощью сходящегося ряда (13.76) будет терпеть неудачу,
как только х превысит некоторое заданное значение, которое,
правда, в значительной степени определяется мастерством
программиста. В то же время, хотя расходящийся ряд (13.141)
оказывается совершенно непригодным при малых значениях *, он

Упражнения
375
будет давать очень хорошее приближение к J0 (х) при больших х,
причем точность этого приближения с ростом х будет
увеличиваться.
Упражнения
13.1. Найти два линейно независимых решения для каждого из следующих
уравнений:
а) х/+у' = 09
б) *У - У = О,
в) *У+*у' —0=0,
г) *У + 2ху' — 4г/ = 0,
д) хУ -ху' + у=0.
13.2. Найти три линейно независимых решения для каждого из следующих
уравнений:
а) х2ут + 2ху" — 2у' = 0,
б) *у" - Зху' + Зу = 0,
в) х?уш + 2х2у" — Зху' + Зу = 0,
г) х*ую — 6хУ + 7^1/' — 7у = 0.
13.3. Для каждого из следующих уравнений построить два линейно
независимых решения в окрестности точки х = 0 и найти радиус сходимости
полученных рядов:
а) У* — ху= 0,
б) / + ху' - 2у = 0,
в) / + 1/' - 2ху = 0,
г) l/" — дс£/' — 1/ = 0.
13.4. Рассмотреть уравнение Эрмита
у" - 2ху' + уу=0.
Найти два линейно независимых частных решения этого уравнения, представляя
их в виде степенных рядов в окрестности точки х = 0, и показать, что один
из них вырождается в конечную сумму в случае, если у = 2п, где п = 0,
1, 2
13.5. Рассмотреть уравнение Лежандра
(1-**)/-2*0'+ YJ/=0.
Построить два линейно независимых решения этого уравнения, представляя
их в виде степенных рядов в окрестности точки х = 0, и показать, что один из
иих вырождается в конечную сумму в случае, если у = п (п + 1), где п = 0,
1, 2
13.в. Построить два линейно независимых решения уравнения Чебышева
представляя их в виде степенных рядов в окрестности точки х — 0, и показать,
что один из них вырождается в конечную сумму в случае, если у — п2, где п =
= 0, 1, 2

376 Гл. 13. Уравнения с переменными коэффициентами
13.7. Для каждого из следующих уравнений построить два линейно
независимых решения, представляя их в виде соответствующих степенных рядов
в окрестности точки х = 0:
а) Аху* + 2у" — у = 0,
б) &x+*)!f+y' — 6xy=0.
в) 9х(1 — х) / - 12? + Ау= 0,
г) 2х (1 - х) у"+ (1-дг) 1/' + Зг/ = 0.
13.8. Для каждого из следующих уравнений построить два линейно
независимых решения, представляя их в окрестности точки х = 0 в виде степенных рядов:
а) *V + х (х — 1) у' — ху = 0,
б) *Y+ V+(*a-4)(/=0,
в) (1 — х2) / — 2xi/' + 2г/ = 0,
г) х (1 — х) / — Зх(/' — у = 0,
Д) 1/" + *а0 = о,
е) (2+х*)у' + ху'+(1 + х)у=0.
13.9. Для каждого из следующих уравнений построить два линейно
независимых решения, представляя их в окрестности точки х = 0 в виде степенных
рядов:
а) х/+ (\ + х)у'+2у=0,
б) (х-х2)^+(1-х)у'-г/=0,
в) (х- х2) /+ (1 - 5х) у1 - 4i/= 0,
г) 4 (х4 — ха) у" + 8хУ — 1/ = 0.
13.10. Для каждого из следующих уравнений построить два линейно
независимых решения, представляя их в окрестности точки х=0в виде степенных
рядов:
а) хУ + хУ - 2у = 0,
б) xi/*-(l + x)i/' + 2(l-x)i/=0.
13.11. Показать, что точка х = 0 является устранимой особой точкой для урав»
неиия
хУ - (Ах + ^х2) у' + (4 - М У = 0,
если: а) А,2 = — ^i» б) ^2~ — 2V» в) А* = —3Xif (Указание: Показать, что все
построенные решения регулярны при х = 0.)
13.12. Показать, что функции
1 , 3 , 9 , , 27 , .
*-^[7Г + ^ + ^ + -ПТ-"+-]
являются линейно независимыми решениями уравнения
9хУ + 27х/ +8у' — у=0.

Упражнения
377
13.13. Показать, что функции
Ух — 1 + х + "2Г + 22.3а + " ' >
^=i/1inx+2[^-^(i+4-)^-w(l+4-+-r)x3+"'-]'
представляют собой три линейно независимых решения уравнения
ЛЛ + W+ (1 - *) У' - У = 0.
13.14. Показать, что выражение
г/ = сх ехр ^х + — ) + с2 ехр (—х - —)
представляет собой общее решение уравнения
х4 (1 — ха) t/" + 2*У - (1 — х2)8 t/ = 0.
Показать, что точки х = 0 и х = оо являются иррегулярными особыми точками
этого уравнения.
13.16. Для каждого из следующих уравнений построить два линейно
независимых решения, пригодных в окрестности точки х = 0:
а) х*у" + х (1 - 2х) у' — 2у** 0,
б) *У+2хУ-|/=0,
в) *У+2(1-х) у'-у= 0.
13.16. Для каждого из следующих уравнений построить два линейно
независимых решения, пригодных при больших х:
а) 16*У + 32ху' -(4х+Ъ)у= 0,
6)ху"+2(\-х)у' -(/=0,
в) 4*У + 8хг/' - (4х2 + 3) у = 0.
13.17. Рассмотреть модифицированное уравнение Бесселя нулевого порядка
ху" + У' — ху = 0.
а) Показать, что в окрестности точки х = 0 оно имеет следующее
ограниченное решение:
ха х4 Xе
/о (*) = + -gr "Г 22.42 22«42'62 ''' '
Найти второе линейно независимое решение этого уравнения.
б) Построить асимптотическое решение для больших х, включающее в себя
произвольную постоянную.
в) Показать, что
2л
M*) = 4rj **sinede.
г) Построить асимптотическое разложение интеграла, полученного в п. «в»,
при больших х и с его помощью определить произвольную постоянную,
введенную в п.«б».
13.18. Рассмотреть уравнение Бесселя первого порядка
х2у'+ху'+(х*- 1)*/=0.

378 Гл. IS. Уравнения с переменными коэффициентами
а) Показать, что одно из решений этого уравнения можно представить
в виде ряда
сходящегося при любых значениях х. Найти второе линейно независимое
решение этого уравнения.
б) Разложить функцию sin 9 exo (ix sin 9) в ряд по степеням х,
проинтегрировать полученный результат по 9 в пределах от нуля до 2я и получить
формулу
2Я
yl(jc)==_L j Sinte'*SIned9.
о
в) Построить асимптотическое разложение решения этого уравнения при
больших х, включающее в себя две произвольные постоянные.
г) Найти главный член асимптотического разложения полученного в п. б)
интеграла при х->оо и с его помощью иайти значения постоянных из в).
13.19. Для каждого из следующих уравнений построить асимптотические
разложения трех линейно независимых решений при больших х:
а) х*уГ + Ьхьу" — у = О,
б) ху"-(2х+ \) у" - (\ + х) у' + (2х+ 3) у = 0.
13.20. Рассмотреть уравнение Бесселя порядка v
*У + ху' + (х2 — v2) у = 0.
а) Показать, что одно из решений этого уравнения есть
•«-2М
(-1)"(х/2)2^
ir(v + n+0'
Показать, что в случае, когда v отлично от целого числа, решением этого
уравнения служит также функция
, М-У (-i)nW2)2n-v
~vW ~ Zj nir(-v + « + l) '
л=0
б) Показать, что при больших х
У ~ Ау\+ Ву2,
где
"~7re'*[l+Jr+-£ + --] и *-*■
в) Воспользовавшись интегральным представлением
1
Jy {х) = _2f/2>V f (1 - flv-l/. cos xtd(< v > _ ±2
/nr(v + -5-) J
показать, что
/vw- у -^cos (*-тv"-тя) при *~*°°-
г) Используя результат в), найти постоянные А и В из б).
2

Глава 14
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ
В этой главе мы будем строить приближенные решения
однородных дифференциальных уравнений второго порядка,
содержащих большой параметр. Такие уравнения имеют вид
Уя + р(х, Ь)У' +д(х9 Я) 0 = 0, (ИЛ)
где к — безразмерный параметр, причем к > 1. Уравнение (14.1)
можно преобразовать к так называемому нормальному виду,
т. е. к виду, не содержащему первой производной, если
воспользоваться подстановкой
y(x)=:fjLx)u(x).
При этом
у> = р'и 4- Ри', у" = Р"и + 2Р'и' + Ри".
Подставляя выражения для г/, у* и у" в уравнение (14.1),
приведем его к виду
Р'и + 2Р'и' + Ри" + рР'и + рРи! + qPu = 0. (14.2)
Полагая коэффициент при и' равным нулю, находим
2Р' + рР - 0. (14.3)
Тогда уравнение (14.2) переписывается как
u" + [-^ + -^+q]u = 0. (14.4)
Интегрирование (14.3) дает
1пР = —-yjpdx,
или
P = exp[~±.\pdx]. (14.5)
Дифференцируя выражение (14.5), имеем
P' = -±-pexp[~±-\pdx]9
P'=(-±p' + ±f)vLP[-±lpdx].
При этом уравнение (14.4) принимает вид
»п + [я~тР2-\р')и = 0' (14,6)

380
Гл, 14. Уравнения с большим параметром
Таким образом, мы можем ограничиться исследованием урав-
нения
У" + q(x,X)y = 0, (14.7)
поскольку исходное уравнение (14.1) всегда может быть
преобразовано к виду (14.7). В качестве примера |рассмотрим^уравнение
Бесселя нулевого порядка
ху" +у' +ху = (0. (14.8)
В данном случае р = хг1, q = 1, так что преобразованное
уравнение (14.6) имеет вид
"" + (1+1^)м = 0- (14-9)
Заметим, что нормальная форма (14.7) оказывается удобной
для построения асимптотического решения дифференциального
уравнения при больших значениях аргумента х.
В этой главе будем исследовать специальный класс уравнений
(14.7), а именно уравнения
У" + WftW + ftMlj/^O. (14.10)
Уравнения вида (14.10) называют обычно уравнениями Лиу-
вилля. Прежде всего мы рассмотрим ВКБ-приближение, затем
Жеобразование Лиувилля—Грина и, наконец, преобразование
1нгрена для случая уравнений с точками поворота.
14.1, ВКБ-приближение
Предположим, что в интервале, на котором разыскивается
решение уравнения (14.10), функция ft (*) дифференцируема,
а функция q% (х) непрерывна. Разделив обе части уравнения (14.10)
на X1, имеем
TJ/ + W + TJW-0. (14.11)
Если формально устремить X в уравнении (14.11) к бесконечности,
то (14.11) перейдет в уравнение вида
q& -= 0, (14.12)
которое имеет только тривиальное решение у = 0. Следовательно,
мы не сможем построить приближенное решение уравнения (14.10),
если станем искать его в форме
У(х) = Уо(х) + -кУ1(х)+-.., (14.13)
как это делалось в предыдущих главах.
Поясним идею используемого ниже метода на простом примере
уравнений, в котором коэффициент <7j равен постоянной, а коэф-

14.1. В KB-приближение
381
фициент q2 равен нулю. В этом случае решение уравнения (14.10)
имеет вид
y = Clexp (iky^qlx) +с2ехр (—&/~сЦх), (14.14)
где сх и с2 — произвольные постоянные. Если коэффициент qx
отрицателен, общее решение уравнения (14.10) можно записать
в виде
y = c1exp(ky/^^lx) + c%exp(—Kjf^q1x). (14.15)
В том и в другом случае оба линейно независимых решения можно
выразить через показательные функции, причем параметр к
будет входить в показатель соответствующей экспоненты.
Рассмотренный пример наводит на мысль вместо прямого
разложения по обратным степеням к искать приближенное решение
уравнения (14.10) в виде
у =*ехр [kG(x, к)], (14.16)
а для функции G строить прямое разложение по обратным
степеням к. Вычисляя первую и вторую производные выражения (14.16),
имеем
у' = М}'*°, у = (кЮл + МГ) е™.
Подставляя выражения для у, у' и у" в линейное уравнение
(14.10), преобразуем его в следующее нелинейное уравнение:
k*G'* + kG* + k*qx + Я* в °»
или
Как указывалось выше, прямое разложение для функции О
мы будем искать в форме
Подставляя разложение (14.18) в уравнение (14.17), имеем
(os + xOi + ^O'+^ + t^+t^+^O+tt^^0»
или Go' + х 080J + Я\ + у °о Н =0. (14.19)
Приравнивая нулю коэффициенты при к0 и к~19 получаем
05е+ 7i = 0, (14.20)
G5 + 2G;g; = 0. (14.21)
Из уравнения (14.20) следует, что
( zhiYTb в^и 9i>0,
GS= г— Ч (14.22)
[±У—Яи если ^<0,

382
Гл. 14. Уравнения с большим параметром
При ЭТОМ
( ±i \j/rqldxi если ?i>0,
Go= f (14.23)
[ ± J к—<7idA*, если ^i<0.
Для того чтобы решить уравнение (14.21), разделим обе его части
на 2G'0. В результате получим
4~g-+Gi=0,
что после интегрирования дает
Gi+4-lnGi = 0-
Из дальнейшего будет ясно,, что постоянную интегрирования в
последнем соотношении можно опустить. Переписывая это
соотношение в виде
Gi=— ln/Gi (14.24)
и подставляя (14.23) и (14.24) в разложение (14.18), имеем
G = ±i J /?id* - — Пп /±7 + In y'ft] Н при ^1 > О
(14.25)
или
G = ± J /^^d* — у [In /±Т + In V^A Н при Ях < 0.
(14.26)
Подстановка выражения (14.25) в формулу (14.16) дает
У — ехр {±Л J /fcdx - [ln/±T + In y'fc] Н },
что с учетом соотношения ехр (—In г) = г~х может быть
переписано в виде
'~ WW • (14-27)
Формула (14.27) доставляет нам приближенные выражения для
двух линейно независимых решений уравнения (14.10). Выражая
экспоненты через тригонометрические функции, общее решение
уравнения (14.10) можно приближенно записать в форме
сх cos X | V^i dx Ы- с2 sin \к \ Vql dx
у ~ u Ь= — L - (14-28)
V Qi
где сх и с2 — произвольные постоянные.
В случае qx < 0 подстановка выражения (14.26) в формулу
(14.16) и использование основного логарифмического тождества

14.2. Преобразование Лиувилля—Грина
383
позволяет приближенно записать общее решение уравнения (14.10)
в виде
ci е*Р ^ V—Qi dx \ + с2 ехр —X V~Ц\ dx
у ~ LJ [ I J I. (14.29)
Соотношения (14.28) и (14.29) называются обычно ВКБ-прибли-
жениями в честь Вентцеля, Крамерса и Бриллюэна.
Отметим, что соотношения (14.28) и (14.29) становятся
непригодными в окрестностях нулей функции qx (х) (и в самих этих
точках). Эти нули называются обычно точками поворота или
точками перехода. Задачи для уравнений с точками поворота
рассматриваются в § 14.5 и 14.6.
Рассмотрим в качестве примера уравнение
у" + X2 (1 + х)2 у = 0. (14.30)
В этом уравнении qx = (1 + х)2 > 0, так что соотношение (14.28)
дает
rlCos \х(х + ±-хА] + ^sin \х(х + ±-хА]
У^ ±—"- - /4= — '—: (14.31)
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
у" -h2{\ +х)*у = 0. (14.32)
При этом qx — —(1 + х)2 < 0, и приближенное решение,
согласно формуле (14.28), имеет вид
с1ехр Гх(* + 4-*2)1 +с2вхр \-х(х+±-хА]
у^ ^ -—'\ —t ^ -—LJ. (14.33)
14.2. Преобразование Лиувилля—Грина
В этом параграфе мы рассмотрим другой способ построения
приближенного решения уравнений с большим параметром. Этот
способ включает в себя использование так называемого
преобразования Лиувилля—Грина. При этом производится замена как
зависимых, так и независимых переменных по формулам
z = ф (х), v (г) = <ф (х) у (х), (14.34)
где функции ф (х) и ^ (х) выбираются таким образом, чтобы
уравнение (14.10) перешло в новое уравнение, в котором наиболее
существенные при А, -► оо члены имели постоянные коэффициенты.
Из формул (14.34) следует, что
У = Т&' <14-35)

384
Гл. 14. Уравнения с большим параметром
dx2 ~ dx \ y\>2 )V \f>2 dz dx ~* dx \ \p ) dz * у dz2 dx
_&L£v_, ( Ф* 2q>'4>' \ dv I У 2у,г \ t\±47\
— 1|> dz2 "г* \ ф y2 ) dz \ \|>2 V ) К11*-°П
Подставляя выражения для у и у" в уравнение (14.10), получаем
Ф'8 d?v , / ф" 2фУ \ <fp / *[>' 2гр/Ж \
г|> dz2
+ (*** + ?.)-J-= 0.
ИЛИ
d2u
dz2
(14.38)
Как указывалось выше, выбор функций ср и я|э обусловлен
требованием, чтобы главная часть преобразованного уравнения
(14.38) имела постоянные коэффициенты. С этой целью прежде
всего обратим в нуль коэффициент при первой производной dv/dz,
полагая
ф»_^1=0. (14.39)
Уравнение (14.39) можно решить с помощью разделения
переменных. В результате получим
-2-1Пф' = 1п\|),
или ф = /ф\ (14.40)
При этом уравнение (14.38) принимает вид
Уравнение (14.41) имеет два переменных коэффициента, а
именно qjq'* и б. Поскольку на функции <р и *|) наложено только
одно условие, у нас есть возможность связать их еще одним
соотношением. Мы используем это второе условие, чтобы сделать
постоянным коэффициент Wqjy'* при главном члене в уравнении
(14.41). Не теряя общности, постоянную в соотношении АЛ^ф'* =
= const можно выбрать равной 1 при qx > 0 или равной —1
при qx < 0. Таким образом,
,,_(A,2<7i, е^и </1>0,
ф ~~ | — Х%, если qx<0.

14.3. Задачи на собственные значения
385
При этом
|±^ \Vqidx, если ?1>0,
f (14.43)
±^)V~ Qidxy если <7i<0,
а из уравнения (14.40) следует, что
U1/2f^ если Ч1>0,
|^/2f'=^, если <7i<0. (
После сделанного выбора функции ф уравнение (14.41)
принимает вид
■£r±v = -b>. (14.45)
где знаки «плюс» и «минус» относятся соответственно к случаям
положительной или отрицательной функции qlu
В первом приближении можно пренебречь малым членом
—6v в правой части уравнения (14.45). В результате имеем
уравнение вида
общее решение которого можно представить как
v = сг cos г + с2 sin г при <7i > 0, (14.46)
г/ = Сх exp z + с2 ехр (—г) при ^ < 0. (14.47)
Подставляя теперь выражения для г, if и у в формулу (14.35),
получаем в первом приближении соотношение (14.28) в случае,
когда ?i > 0, и соотношение (14.29) при qx < 0.
14.3. Задачи на собственные значения
В этом параграфе мы используем ВКБ-приближение, чтобы
найти собственные числа и собственные функции некоторых
краевых задач для дифференциальных уравнений второго
порядка с переменными коэффициентами. В качестве первого
примера рассмотрим задачу на собственные значения для уравнения
У* + Vqi(x)y = 0 (14.48)
с краевыми условиями
у (0) - 0, у (1) = 0 (14.49)
при больших значениях параметра X. Предполагается также, что
функция <7i положительна на отрезке [0, 1 ]. Поскольку qx > 0,
общее решение уравнения (14.48) в первом приближении может
быть представлено формулой (14.28). Кроме того, мы должны
удовлетворить граничным условиям (14.49). Для упрощения вычис-

386 Гл. 14. Уравнения с большим параметром
лений выберем нижние пределы интегрирования в формуле (14.28)
равными нулю. Тогда формула (14.28) перепишется в виде
сх COS
J \fq\ (т) di + с2 sin j \/rq1 (т) di
У « l— if== ^ *-, (И.50)
где т — переменная интегрирования. Подставляя выражение
(14.50) в граничное условие у (0) = 0, имеем
0
Уйг (0)
откуда
у «* СчЦ\1/4 sin
или сх = 0,
UJ/?i(t)aL
Подстановка этого выражения в граничное условие у (1) = 0
дает
0=^2 МО!"174 sin
M/?i(T)dT .
Lo J
Для существования нетривиального решения задачи необходимо,
чтобы постоянная с2 была отлична от нуля. Поэтому
sin I X J Vqi(x)d% =0,
i
х|/^(т)Л = ля| /1=1,2,3, .... (14.51)
или
Отметим, что случай п = 0 приводит к тривиальному решению
задачи (14.48), (14.49); по этой причине значение п = 0 не
включено в формулу (14.51) 1. Таким образом, в первом приближении
собственные числа определяются формулой
J/?i(x)dx ,
\YQi I , (14.51а)
а соответствующие им собственные функции— формулой
Уп = ?Г,/4 sin Хп [ у' ft(x)dx • (14.52)
1 В формулу (14.51) не включены также и отрицательные значения п : п~
= —1, —2, —3 Случай отрицательных п легко сводится к описываемому
случаю ввиду нечетности функции sin х. — Прим. перев.

14.3. Заадачи на собственные значения
387
Таблица 14.1
Сравнение приближенных значений собственных чисел,
подсчитанных по методу возмущений, с точными численными
значениями
Порядковый
номер
собственного
числа
Метод
возмущений
Точное
значение
Ошибка (%)
2.0944
2.0604
1.65
4.1888
4.1686
0.49
6.2832
6.2691
0.23
8.3776 10.4720 12.5664 14.6608
8.3668 10.4632 12.5590 14.6545
0.13 0.08 0.06 0.04
Рассмотрим численный пример. Пусть qx (х) = (1 + х)а, тогда
формула (14.51а) примет вид
пп
]-1
i-0
В табл. 14.1 приведены для сравнения собственные числа,
подсчитанные по предыдущей приближенной формуле, и собственные
числа, полученные с помощью численного интегрирования
уравнения (14.48) и применения итерационного метода Ньютона—
Рафсона *. Совпадение оказывается очень хорошим даже в самом
неблагоприятном случае, т. е. для наименьшего собственного
числа А,х ^ 2,0604. Как и следует ожидать, точность решения,
полученного методом возмущений, увеличивается с ростом номера
собственных чисел.
В качестве второго примера рассмотрим задачу на собственные
значения для уравнения (14.48) при краевых условиях
у' (0) = 0, у (1) = 0. (14.53)
Для того чтобы иметь возможность подставить приближенное
решение в первое из условий (14.53), продифференцируем
выражение (14.50) по х. В результате получим
у' ъ -XVVt ksin к J Vqjx)dx - c2cos j Vq^)dx +0 (1).
(14.54)
Отметим, что слагаемые, появляющиеся при дифференцировании
множителя <7J"1/4> суть величины 0(1) при Х->оо. Они малы
1 Итерационный метод Ньютона—Рафсона используется при этом для
решения трансцендентного уравнения, получающегося в результате
выполнения исходных граничных условий. — Прим. перев.

388 Гл. 14. Уравнение с большим параметром
Таблица 14.2
Сравнение приближенных значений собственных чисел,
подсчитанных по методу возмущений, с точными численными
значениями
Порядковый
номер
собственного
числа
Метод 1.0472 3.1416 5.2360 7.3304 9.4248 11.5192 13.6136
возмущений
Точное 1.1879 3.2089 5.2793 7.3621 9.4497 11.5397 13.6310
значение
Ошибка (%) 11.84 2.10 0.82 0.43 0.26 0.18 0.13
по сравнению со слагаемыми, которые возникают при
дифференцировании тригонометрических функций. Последние растут
пропорционально X при А,-> оо. Воспользовавшись теперь условием
у' (0) = 0, имеем с2 = 0, так что выражение (14.50) принимает
вид
У ^cxq\XIA cos
JV?i(T)dT .
б
Подставляя последнее выражение в граничное условие у (1) = 0,
приходим к уравнению
cos
Uj/ft(T)dTj
решения которого имеют вид
1
Ь jVfli(T)dT=(tt +-3") я, л = 0, 1, 2, ....
о
Таким образом, в первом приближении собственные числа задачи
(14.48), (14.53) определяются формулой
а соответствующие им собственные функции — формулой
Уп = <7F1/4cos К ] y^TW dx . (14.56)
Если при этом вновь положить qx = (1 + *)а, то
К
Kl = (n + -^)nU(l+x)dx\ =*-д-(я + т)я-

14.5. Уравнения с точкой поворота
389
В табл. 14.2 приведены для сравнения приближенные значения
собственных чисел, подсчитанные по методу возмущений, и
значения тех же собственных чисел, найденные с помощью численных
методов. Как и следует ожидать, точность приближенного решения
быстро возрастает с ростом номера собственных чисел. При этом
уже для третьего собственного числа относительная погрешность
не превышает одного процента.
14.4. Уравнения с медленно меняющимися коэффициентами
В этом параграфе рассмотрим уравнения вида
-|f+<7i(T)i/ = 0, (14.57)
где т = et и е — малый безразмерный параметр. Таким образом,
т представляет собой по отношению к / «медленную» переменную.
Переходя от t к т, имеем
dy _ dy di dy d2y 2 d2y
dt ~ di ~aT~-E dt ' dt2 ~~8 di2 '
в результате чего уравнение (14.57) принимает вид
e2-0 + 7i(T)0 = O. (14.58)
Полагая е = Л"1, перепишем уравнение (14.58) в виде
■^- + ЩЛг)у = 0. (14.59)
Уравнение (14.59) совпадает с уравнением (14.10), поэтому к нему
применимо ВКБ-приближение, рассматривавшееся в § 14.1.
Следовательно, учитывая соотношение
X J -/qldx = гХ J i/ftd* = J }/qi dt,
можно записать выражения, аналогичные (14.28) и (14.29), через
исходную переменную /:
y«^1/4{cicos[fy^£tt]+c2slii[j/^ctt]}f <7i>0, (14.60)
fr^H(7l)-i/4[^I^^ + r^I^r^], qi<0. (14.61)
14.5. Уравнения с точкой поворота
Как указывалось в § 14.1, ВКБ-приближения (14.28) и (14.29)
становятся непригодными в окрестностях нулей функции qx (х).
Эти точки называются точками поворота, или перехода. Пусть,

39Э
Гл. 14. Уравнения с большим параметром
например, qx = 1 —х3. В этом случае формулы (14.28) и (14.29)
можно представить в виде
X [ /1 — т3 dx + с2 sin \Х [ /1 — т3 dx
гх COS
если х < 1,
УТ1"^
L j yV — 1 dx\
(14.62)
°iе*Р \Х \ у х*— \ dx \ + а2ехр ■,
.У yir=\ —! ~' если х>1'
(14.63)
где alt аъ сх к с2 — произвольные постоянные, а верхний и
нижний пределы интегрирования в первой и второй формулах
соответственно выбраны равными 1, с тем чтобы входящие в них
интегралы оказались положительными. Отметим, что при
рассмотрении уравнений с точками поворота один из пределов
интегрирования в формулах ВКБ-приближения удобнее всего принимать
равным координате точки поворота. Можно считать, что формулы
(14.62) и (14.63) дают два различных представления одной и той же
функции у (х), причем одно из этих представлений пригодно при
х < 1, а другое при х > 1. При этом ясно, что постоянные ап
и сп должны быть линейно связаны между собой, поскольку наше
дифференциальное уравнение имеет второй порядок и его решение
определяются лишь двумя произвольными постоянными. Один
из рассматриваемых ниже методов нахождения связи между
этими постоянными предусматривает построение разложения,
пригодного в окрестности точки х = 1 (или так называемого
внутреннего разложения), и сращивание этого разложения
соответственно с разложениями (14.62) и (14.63). В следующем
параграфе обсуждается также другой метод, позволяющий связать
константы в (14.62) и (14.63); он основан на использовании
преобразования Лангера.
Для того чтобы построить разложение, пригодное в
окрестности точки х = 1, введем «растягивающее» преобразование
независимой переменной х, с тем чтобы координаты точек, близких
к х = 1, оказались величинами 0(1) при К -► <х>. С этой целью
положим
I = (х — 1) xv, так что х = 1 + X"vg, (14.64)
причем показатель v, точное значение которого будет определено
ниже, считается положительным, чтобы преобразование (14.64)
действительно было растягивающим. Производные по исходной
переменной х преобразуются следующим образом:
.j*L_ dy di__ \v *L d2y — № ё2У
dx ~ "df dx ~~ л dl ' dx* - л dtf •

14.5. Уравнения с точкой поворота
391
При этом уравнение (14.10) в случае qx = 1 — я3 и q2 = 0
принимает вид
^2v-|r + ^[l-(l+^vs)3Ji/ = 0,
или
^-3^-3v^i+^-^+4-^2v^)^=°- о4-65)
Если X -> оо, то второе и третье слагаемые в скобках в уравнении
(14.65), поскольку v > 0, будут стремиться к нулю, и уравнение
(14.65) примет вид
-g- - 3?с2-3% = 0. (14.66)
Уравнение (14.66) имеет различную предельную форму при
К -> оо в зависимости от величины показателя v. В случае v > 2/3
коэффициент X2'3v стремится к нулю, и уравнение (14.66)
переходит в уравнение вида
-|^ = 0. (14.67)
В случае v < 2/3 коэффициент K2'3v стремится к бесконечности,
и уравнение (14.66) имеет предельную форму
Ъу = 0. (14.68)
Наконец, при v = 2/3 коэффициент A,2~3v равен единице, и
уравнение (14.66) принимает вид
-3JS--36y = 0. (14.69)
Предельная форма (14.69) является «наименее вырожденной»
из трех; она включает в себя уравнения (14.67) и (14.68) в
качестве частных случаев. Кроме того, первые два случая соответствуют
бесконечным наборам значений v, в то время как третий случай
определяется вполне определенным значением показателя v.
Следовательно, наиболее подходящей предельной формой является
уравнение (14.69), соответствующее значению v = 2/3.
С точностью до коэффициента 3 уравнение (14.69) представляет
собой так называемое уравнение Эйри, решения которого хорошо
известны. Для того чтобы использовать эти решения,
представляется удобным видоизменить преобразование (14.64), с тем чтобы
результирующее уравнение не содержало множителя 3. Таким
образом, вместо замены переменных (14.64) используем
преобразование
г = З'/з (х - 1) tf/з или х = 1 + З-1'3*,"2'3*, (14.70)
в результате чего вместо уравнения (14.69) придем к уравнению
Эйри в стандартной форме:
S"-4f = 0. (14.71)
<fc«

392
Гл. 14. Уравнения с большим параметром
Общее решение уравнения (14.71) обычно выражают в виде
у& = М* (*) + Ь%В1 (2), (14.72)
где Ьг и Ьг — произвольные постоянные, a Ai (z) и £t (z)
представляют собой функции Эйри первого и второго рода
соответственно.
Теперь необходимо провести сращивание решения (14.72)
с ВКБ-решениями (14.62) и (14.63). Для этого потребуются
асимптотические разложения функций Ai (z) и Bi (z) при больших
положительных z (т. е. при х > 1), чтобы срастить (14.72) с
решением (14.63), и при больших по абсолютной величине
отрицательных z (т. е. при х < 1), чтобы срастить (14.72) с решением
(14.62).
Если мы будем искать указанные асимптотические разложения,
исходя из дифференциального уравнения (14.71), то обнаружим,
что первые члены этих разложений экспоненциально растут или
затухают в случае положительных z и совершают синусоидальные
колебания в случае отрицательных z. Более точно, используя
ВКБ-приближение (14.28) и (14.29) при qx = —z, имеем
у ~ z-1/4 [c^os (J- z3/2) + с2 sin (-|- z3/2)] при z-+ - оо
и
у ~ z-v* [Д^а/з)*372 + а2е- № *3/2] при z-> оо.
Однако при этом нам по-прежнему не известны соотношения
между постоянными ап> сп и аПУ спу с одной стороны, и 5„, сп
и Ьп — с другой. Для того чтобы обойти это затруднение, обычно
представляют решения уравнения (14.71) в интегральной форме
и затем определяют главные члены асимптотических разложений
полученных интегралов, подобно тому как мы делали это в
примере 3 § 13.5.
Интегральные представления построенных выше двух линейно
независимых решений уравнения Эйри можно получить с помощью
модифицированного преобразования Лапласа. Функции Эйри
первого и второго рода обычно определяют как
оо
Ai(z) = -i- j cos (-j t* + zt) dt, (14.73)
о
oo
Bi {*) =-^ \[<*p(--jt* + zt) +sin (±t* + zt)]dt. (14.74)
0
Главный член асимптотического разложения функции Ai (z)
при z -► оо найден в § 3.5 с помощью метода перевала. Так,
из формулы (3.239) следует, что
А1{г)~!2ШР при z^co. (14.75)

14.5. Уравнения с точкой поворота 393
Используя метод стационарной фазы, можно получить главный
член асимптотики А1 (г) при г->—оо. Из упражнения 3.21
следует, что
At (г) ~ ^_ (|_г)|/4 sin [■§■ (-гр + -*-] при *->-«>. (14.76)
Главные члены асимптотических разложений интегралов в (14.74)
при z -> оо можно найти с помощью метода Лапласа и
интегрирования по частям. Таким образом, мы имеем (см. упражнение 3.31)
ехр [(2/3) гЩ
Bi(z)~—^"J j/4 при 2-^ оо. (14.77)
При больших по абсолютной величине отрицательных значениях г
асимптотика интегралов, входящих в (14.74), определяется с
помощью метода Лапласа и метода стационарной фазы. В этом
случае имеем (см. упражнение"*3.31)
Bi{z)~ v^{_z)V, cos [4(-*)3/2 H"f] при *-*-«>. (14.78)
Асимптотические представления (14.75)—(14.78) дают нам
искомые соотношения между сПУ ап и Ьп. Устремляя теперь в решении
(14.72) z к бесконечности и используя представления (14.75)
и (14.77), находим
Ьх ехр[-(2/3)г3/2] Ь2 ехр [(2/3) г3/2]
2/лг1/4 ^ \fnzl
о, ехр L-y , jr-j *2 ехрдw j ,4 ?9)
У о 1^. «1/4 ' ,/-_- „1/4 V '
Точно так же, устремляя в (14.72) г к —оо и используя
представления (14.76) и (14.78), получаем
+ 7^=^41 (-'P + T-j- <М'80)
Для того чтобы найти соотношения между постоянными ап и сп
в ВКБ-приближениях (14.62) и (14.63), необходимо срастить эти
разложения с решением (14.72), справедливым в окрестности
точки поворота. Чтобы срастить разложения (14.62) и (14.72),
выразим в интегралах, входящих в (14.62), переменную х через г
и устремим А- к бесконечности при фиксированном г. Таким
образом, имеем •• /;-; j fj jjfj^
A j /Г^Т3 dx = X J /I~^t,
x i+3-l/3x-2/3z

394
Гл. 14. Уравнения с большим параметром
откуда, полагая т = 1 + З-1/3^2/3*, находим
1 о
х j ух _тз dx = х j [_з-2/зх-2/3/ - у*х-щ* -\— ]*/2 з-1/^.-2/3 Л <
«^ J (—f)1/2 d/ = -|- (—2Г)3/2.
г
Тогда
rlCosr4(-z)3/2H<2sin г4<-*>з/21
Km */(1) = — пв-Лтв пг^ -• (14-81)
г фикс.
Для того чтобы использовать условие сращивания, необходимо
выразить решение у(3) через х при х < 1 и совершить предельный
переход А» -> оо при фиксированном х. Эта процедура эквивалентна
вычислению асимптотики у(3> при г-> —оо; в результате имеем
представление (14.80). Приравнивая разложения (14.80) и (14.81)
в соответствии с принципом сращивания, получаем
я1/2х1/бз-1/в /Cl cos [4 (-z)3/2] + c2sin [4 (-*)3/2]} =
= b, sin [4(-2)3/2 + -r] + fc*cos [i (~-2)3/2 + t] •
Далее, используя тригонометрические формулы для синуса и
косинуса суммы двух аргументов и приравнивая коэффициенты при
cos Г-3- (—z)2/3 и sin \~y (—2)2/3 в обеих частях полученного
равенства, находим
Cl = 3>/e„-i/2x-i/e |\ sin .*. + 62cos~-1,
г « * i (14-82)
с2 = З^я-1^-^ JblC0S -J- _ ba sin-^J.
Перейдем теперь к сращиванию асимптотических
представлений (14.63) и (14.72). Выразим переменную х в формуле (14.63)
через г и совершим предельный переход X -*• оо при
фиксированном положительном z, что соответствует х > 1. С этой целью
запишем
* 1+з-1/3;г2/з2

14.5. Уравнения с точкой поворота
395
и, полагая т = 1 + 3-1/3Аг2/3*, преобразуем этот интеграл к виду
х г
X J /^Tdi = X J [З^Х'^Ч + 3"/зХ-4/з/2 + • • .]V*3'V*K-2'*dt ™
1 о
2
« J/1/2^ = ^-2^.
0
Тогда из формулы (14.63) следует, что
Urn у<2> = З-^^^/^-^П^ехр [(2/3)2*/*];+а,ехр [(—2/3) г3/2]. (14.83)
г фикс.
Далее, необходимо выразить в решении (14.72) переменную г
через х и совершить предельный переход X ->• оо при
фиксированном х, большем 1. Это эквивалентно нахождению асимптотики
функции yW при г->оо; результат дается формулой (14.79).
Приравнивая выражения (14.79) и (14.83) в соответствии с
принципом сращивания, получаем соотношение вида
3-1/б^1,бя1/2 j"aiexp(i-z3/2^+a2eXp^__^.03/2^j =
= А ехр (- -|- г3/2) + b2 exp (± sflft) ,
из которого после приравнивания коэффициентов при каждой
из экспонент в левой и правой частях находим искомые связи
между постоянными ап и Ьп:
а± = З^Л-1'**-1'2*,, а2 = ±3{W*n'42b1. (14.84)
Итак, решение нашей задачи дается тремя отдельными
разложениями: разложением (14.62), пригодным при х < 1,
разложением (14.63), пригодным при х > 1, и разложением (14.72),
справедливым в окрестности точки х — 1. При этом мы срастили
полученные разложения с помощью координатной асимптотики для
интегральных представлений функций Эйри. Результатом
сращивания явились соотношения (14.82) и (14.84), которые связали
коэффициенты ant Ьп и сп всех трех разложений. Подобно тому
как это было проделано в гл. 12, можно получить и составное
равномерно пригодное разложение. Однако используемая при
этом процедура оказывается сравнительно громоздкой. Другой
метод получения разложения, пригодного всюду, включая
окрестность точки поворота, заключается в применении преобразования
Лангера и приводит к единому представлению решения во всей
области через функции Эйри. Этот метод рассматривается в
следующем параграфе.

396 Гл. 14. Уравнения с большим параметром
14.6. Преобразование Лангера
Суть преобразования Лангера состоит в том, чтобы заменить
зависимые и независимые переменные по формулам (14.34) и
подобрать функции ф и *ф таким образом, чтобы преобразованное
уравнение, будучи возможно более простым по форме, в то же
время имело решения, поведение которых совпадало бы в основных
чертах с поведением решений исходного уравнения. Например,
если во всех точках интересующего нас интервала коэффициент
Ях > 0, то решения исходного уравнения (14.10) имеют
колебательный характер, и поэтому функции ф и г|> следует выбрать
так, чтобы главная часть преобразованного уравнения совпадала
с уравнением
-9г + 0 = О, (14.85а)
которое представляет собой простейшее уравнение, обладающее
осциллирующими решениями. Если же во всех точках
рассматриваемого промежутка для уравнения (14.10) qx < 0, то с ростом х
одно из решений этого уравнения будет экспоненциально расти,
а другое — экспоненциально убывать. Поэтому функции ф и i|)
в этом случае следует выбрать так, чтобы преобразованное
уравнение с точностью до малых слагаемых совпадало с уравнением
■§--» = 0, (14.856)
которое является наиболее простым уравнением, обладающим
экспоненциально растущим и экспоненциально затухающим
решениями. Наконец, если функция qx в интересующем нас
интервале один раз меняет знак, как, например, функция qx = 1 —х?
в рассмотренном нами в предыдущем параграфе случае, то
решения исходного уравнения (14.10) будут иметь колебательный
характер при х < 1 и экспоненциально расти или затухать при
х > 1. Поэтому функции ф и г|) следует выбрать таким образом,
чтобы преобразованное уравнение оказалось близким к такому
уравнению, решения которого в заданной точке меняют свое
поведение, переходя от осцилляции к экспоненциальному росту или
затуханию \ Простейшим уравнением с такими свойствами
является уравнение Эйри
-Sr-w = 0. (14.86)
рассматривавшееся нами в предыдущем параграфе. При г > 0
одно из решений уравнения (14.86) растет, другое убывает,
в то время как при г < 0 оба решения имеют колебательный
характер.
1 При этом существенно, чтобы сохранялся порядок поведения
коэффициента в точке перехода. В целом этот метод называют методом эталонных
уравнений. — Прим. ред.

14.6. Преобразование Лангера
397
Приведенные рассуждения объясняют, почему ВКБ-прибли-
жение или преобразование Лиувилля—Грина становятся
непригодными в окрестности точки поворота. В § 14.1 и 14.2 мы
стремились представить решения уравнения (14.10) через
элементарные функции — тригонометрические или показательную.
Поскольку ни одна из указанных элементарных функций не может
описать поведение решений уравнений с точкой поворота,
справедливость ВКБ-приближений в окрестности этой точки должна
нарушаться. Таким образом, разложение, равномерно пригодное
для любых значений аргумента х, должно выражаться через
неэлементарные функции, поведение которых качественно совпадает
с поведением решений исходного уравнения.
С другой стороны, нарушение пригодности ВКБ-приближения
в окрестности точки поворота можно объяснить тем, что
преобразование (14.34) имеет особенность в этой точке. Согласно
формулам преобразования Лиувилля—Грина, i|> ~ VЯг- Поскольку
функция q1 обращается в нуль в точке поворота, то и функция ф
в этой точке также должна обращаться в нуль. Поэтому
представление (14.35) становится непригодным в окрестности точки
поворота, так как оно содержит деление на нуль. Следовательно,
для того чтобы получить равномерно пригодное разложение,
мы должны найти преобразование, регулярное всюду в
интересующем нас интервале. В частности, функция^ в этом интервале
должна быть регулярной и не иметь нулей. Кроме того, из формулы
(14.40) следует, что аналогичными свойствами должна обладать
и функция ф' (z). Исходя из этого, положим
^1 = Ф''£(г), (14.87)
так что (14.41) принимает вид
-S- + C(*)* = -to, О4-88)
и постараемся подобрать по возможности наиболее простую по
форме функцию £ (z), которая вместе с тем привела бы к
преобразованию, не содержащему особенностей. Для того чтобы функция ср'
была регулярной и не имела нулей в рассматриваемом интервале,
функция £ (г) должна иметь особенности и нули того же порядка,
что и функция qx.
Пусть, в частности, функция q1 (х) регулярна и имеет
единственный нуль первого порядка (простая точка поворота), как,
например, функция 1 —х8. Тогда функцию £ (z) надо тоже
выбрать так, чтобы она была регулярна и имела один простой нуль.
Простейшей функцией, удовлетворяющей этим требованиям,
является функция £ (z) = z. Если q1 (х) регулярна и имеет
единственный двойной нуль в интересующем нас интервале (т. е. в этом
интервале существует точка поворота второго порядка), то и
функция £ (z) должна быть регулярной и иметь один двойной

398 Гл. 14. Уравнения с большим параметром
нуль. Простейшей функцией этого типа является функция £ (z) =
= z2. В случае точки поворота я-го порядка, когда функция q1 (х)
регулярна и имеет единственный нуль порядка я, в качестве
функции £ (г) следует выбрать функцию ztl. Если, наконец, qx (х)
имеет два нуля в точках х = аих = Ь(Ь>а) порядка тип
соответственно, то полагают £ (z) = zm(l —z)n.
Существует еще одна причина, по которой происходит
нарушение точности ВКБ-приближения и преобразования Лиувилля—
Грина. Слагаемое bv в уравнении (14.45) мало по сравнению с
другими членами уравнения только вдали от точки поворота. В самой
же этой точке функция б (г) имеет особенность и, следовательно,
± v = 0
в противоречии с нашим исходным предположением не является
уже главной частью преобразованного уравнения. Так, в примере,
рассмотренном в предыдущем параграфе, qx = 1 — г\ и в
соответствии с (14.43) и (14.44),
г|р = 0[Л1/2(л:— l)l/,J, у* = 0(к2(х- I)) при л:->1 и Х->оо.
При этом из формулы (14.42) следует, что
6 = 0 -s -То" ПРИ Х->1, Х,->оо.
Следовательно, коэффициент б будет мал по сравнению с единицей
при К -> оо только при х, далеких от 1, т. е. вдали от точки
поворота. Таким образом, чтобы убедиться в равномерности
получающегося в результате разложения, необходимо проверить,
всегда ли отброшенные члены преобразованного уравнения будут
малы по сравнению с оставшимися.
Остановимся подробнее на случае простой точки поворота,
когда функция qx в рассматриваемом интервале имеет
единственный простой нуль, а функция £ (z) должна быть регулярной в этом
интервале и иметь в соответствующей точке единственный
простой нуль. Простейшими функциями этого типа являются функции
£ = ±г. Ниже мы используем функцию £ = —z, для того чтобы
преобразованное уравнение имело форму стандартного уравнения
Эйри (14.86). Иначе говоря, запишем соотношение (14.87) в виде
фф'1 - —М/ь (14.89)
поскольку, согласно первой из формул (14.34), г = ф. Извлекая
квадратный корень из обеих частей (14.89), получаем уравнение
которое после разделения переменных приводится к виду
^1/2 dy = ±Х у —qx (х) dx.

14.6. Преобразование Лангера
399
Интегрируя это уравнение, имеем
X
-|- Ф3/2 = ±Я j ^=^ГсГ) dx,
где буквой т обозначена переменная интегрирования. В качестве
нижнего предела интегрирования удобно выбрать координату
точки поворота. Пусть это будет, например, точка х = ц,. Тогда
можно записать окончательно
х
А 2з/2 = _|_ ф.ч/2 = ±х J j, _.9l (Т) dx. (14.90)
Из уравнения (14.89) следует, что
и, следовательно, в соответствии с уравнением (14.10)
ф = ^2ф -1/1 (-^р. (14.91)
Как уже отмечалось выше, общее решение уравнения (14.86)
выражается через функции Эйри в виде
v (г) - c^Ai (г) + c2Bi (z). (14.92)
Подстановка выражений (14.91) и (14.92) в формулу (14.35) дает
У ~ г1/4 (-<7i)-l/4 [CiAi (z) -j- c2Bi(z)l (14.93)
при этом множитель Х~1'2 включается в постоянные сх и с2.
Проверим теперь регулярность преобразования (14.34) и
порядок величины слагаемого б, отброшенного в преобразованном
уравнении (14.41). Поскольку предполагается, что \х — простая
точка поворота, то ql = О (х — fx) при х-> \х. При этом из
соотношения (14.90) вытекает, что
X
±. (|;3/2 .^ ±Х j {_q[ ((l) (т __ ц) _|_ . . . ]l/2 dx ^
И
X
~ X /=Ш \ (т - И)1'2 rfx = ± -§- Л, /=Ш (* - цР.
Следовательно,
ф = о №*(х — ц)]
и ф' = О (А,2/3) при *-► (LI, А,-> ОО.
Наконец,
^ = )Лф *= 0(W'3) при X-^|Lt, А,-^оо,
что и доказывает регулярность преобразования всюду, включая
точку поворота. Подставляя полученные выше оценки в
соотношение (14.42), находим, что 6 = 0 (Аг4/3) равномерно
относительно х. Это означает, что слагаемое 6v будет мало по сравнению

400
Гл. 14. Уравнения с большим параметром
с членами, оставленными в уравнении (14.86), при всех
значениях х. Таким образом, единое асимптотическое представление
(14.93), в котором z дается соотношением (14.90), оказывается
справедливым всюду, включая точку поворота.
14.7. Задачи на собственные значения для уравнений
с точкой поворота
В этом параграфе мы применим полученные выше результаты
к двум задачам на собственные значения. Сначала мы
рассмотрим задачу
у" + ь2(1 ~х*)у = 0, (14.94)
у (0) = 0, (/-> 0 при х-> оо, (14.95)
которая является прототипом задач, встречающихся в квантовой
механике. Здесь <7i = 1 — х3, так что соотношение (14.90)
принимает вид
х
-L &* = _|_ фз/2 = X J у т3- 1 dx. (14.96)
1
В формуле (14.96) выбран положительный знак перед квадратным
корнем, с тем чтобы z было положительно при х > 1. Поэтому
при х-+ оо, £-> до, и решение (14.93) в соответствии с
асимптотическими представлениями (14.75) и (14.77) будет вести себя как
у ~ {х3 -'Г'М [4-gig- (2/3> г3/2 + с*™ *т) при Х-.0О.
Поскольку exp ~o-z3/2 стремится к бесконечности намного
быстрее, чем стремится к нулю множитель (х3 — 1)~1/4 при х_* оо,
то из условия ограниченности решения (т. е. второго из условий
(14.95)) следует, что с2 = 0. Таким образом, соотношение (14.93)
принимает вид
у~с^'*{х*- l)-»/Mi(z). (14.97)
Подчиняя решение граничному условию у (0) = 0, имеем
с, lz(0)V'*Ai (2(0)1 = 0,
откуда с учетом требования нетривиальности решения находим
At lz(0)l =0. (14.98)
Поскольку z является функцией X, корни уравнения (14.98) дают
нам искомые собственные значения. Из соотношения (14.96)
следует, что
о 1
-|_ [z (О)]32 = Л, J 7/Ч*- 1 dx = —a j у 1 -х3 dx,
1 о

14 J. Задачи для уравнений с точкой поворота
401
Таблица 14.3
Сравнение приближенных значений собственных чисел,
подсчитанных по методу возмущений, с точными численными
значениями
Порядковый номер
собственного числа
Метод возмущений
Численное значение
1
2.892
2.807
2
6.535
6.540
3
10.27
10.27
4
14.00
14.00
откуда
1 12/3
2(0)=—х2/з|"
fj^l-T'*]2
(14.99)
Следовательно, г (0) -► —оо при А, -► +оо и в соответствии с
асимптотическим представлением (14.76) мы получаем оценку
^[^0)]-^[-z(o)i^sin{i[^(Qr2+^}- (МЛ00)
Подставляя (14.99) и (14.100) в уравнение (14.98), имеем
sin Ш /1 -т» dx + -J- = 0.
Решения этого уравнения имеют вид
i
Xj/l -т3 dT + -"- = /m, /i = 0, 1, 2,...,
о
или Лп = (л - 4^) я J /1 - т3 dx . (14.101)
Таким образом, собственные функции даются формулой (14.97),
где z определяется соотношением (14.96), а собственные числа Хп —
формулой (14.101).
В табл. 14.3 приведены для сравнения собственные числа,
подсчитанные по приближенной формуле (14.101), и собственные
числа, полученные с помощью численного интегрирования
уравнения (14.94) и использования итерационного метода Ньютона—
Рафсона. Совпадение оказывается очень хорошим, даже в самом
неблагоприятном случае, т. е. для наименьшего собственного
числа Хг ^ 2,807. При этом относительная погрешность
определения первого^собственного числа составляет 3 %, второго —
0,08 %.• Третье;же собственное значение вычисляется по
асимптотической формуле (14.101) с четырьмя верными знаками.

402
Гл. 14. Уравнения с большим параметром
В качестве второго примера рассмотрим задачу
у" + \ц\ __ Х2)у = 0f (14.102)
0(0) =0, у(1) -0, (14.103)
возникающую при расчете теплообмена в плоском канале в
случае полностью развитого ламинарного течения. При этом <7i =
= 1 —лс2, так что уравнение (14.102) имеет две точки поворота:
одну при х = 1, а другую при х = —1. Однако в промежутке
интегрирования находится только одна точка поворота, а именно
х = 1. Поскольку задача решается на конечном промежутке,
удобнее выразить решение уравнения Эйри не через функции
Эйри, а через функции Бесселя.
Выбирая функцию £ (г) равной г, полагаем
X* (1 —х2) - ф,2ф, (14.104)
так что преобразованное уравнение с отброшенными малыми
слагаемыми принимает вид
.-g- + a» = 0. (14.105)
Решение уравнения (14.104) запишем как
X
_|_гз/2 = _|_фз/2 = —ь J у 1 _ т2 dx = W/. (14.106)
1
В формуле (14.106) выбран знак минус перед квадратным корнем
с тем, чтобы z было положительно при х £ [0, 1 ]. Общее решение
уравнения (14.105) можно представить через функции Бесселя
порядка 1/3 (см. упражнение 14.3). В результате имеем
» = >/? [г,у_1/3 (хг3/2) -b^V(-r23/2)]' (,4Л07)
Из уравнения (14.104) следует, что
и поэтому в соответствии с (14.40)
^ = ^/22-1/4(1 _Х2)1/4. (14.108)
Подставляя теперь выражения (14.107) и (14.108) в формулу (14.35)
и используя соотношение (14.106), получаем окончательно
y~HV*(l-x*)-"*[clJ-m(XH) + c2Ji/3(m]. (14.109)
Для того чтобы подчинить решение граничному условию у (1) =
= 0, необходимо вычислить предел выражения (14.109) при х~+1.
С этой целью заметим, что при *-> 1
1 1
#= Jyi _т2 dx-^y/2"J(l -т)»/2йт=-|-/2"(1 - xfi*.

14.7. Задачи для уравнений с точкой поворота 403
Кроме того, из упражнения 13.20 следует, что
J_l/3 = 0(H-W), J\s* = 0(HW) при H-+Q,
и, следовательно,
Л.|/з = 0(1 -л:)-1'2, /i/3 = 0(1-*)1'2 при *-*1.
Таким образом,
0 = 01(1 -*)3/40 -*)~1/4Ы1 — лг)-1/2 -|-с2(1 -х)1'2]],
или у = сх О (1) + с20 (1 — х) при jc —► 1.
Это означает, что мы можем удовлетворить граничному условию
у (\) = О только при сх = 0, так что соотношение (14.109)
принимает вид
y~c2Hl'2(l -*2)-l/4</i/3(A#). (14.110)
Удовлетворяя второму граничному условию у (0) = 0, получаем,
что собственные значения %п должны быть корнями уравнения
Ji/aUji/l -т24т =0,
или L о J
/|/»(пг)=0. (14.111)
Поскольку к велико, можно воспользоваться асимптотическим
представлением функций Бесселя при больших значениях
аргумента
■Л/з(*)~ ]/ -^-С08(г-тг) при 2~>°°
(см. упражнение 13.20). При этом вместо уравнения (14.111) имеем
/як 5л \ Л пк 5я / . 1 \ _
cos("4 гг)^0* или — \г=\п+—)я-
п = 0, 1, 2
Таким образом, собственные функции даются формулой (14.110),
а собственные числа определяются соотношением
Я„ = 4(«+-11-). (14.112)
В табл. 14.4 приведены для сравнения собственные числа,
подсчитанные по приближенной формуле (14.112), и собственные числа,
полученные с помощью численного интегрирования исходного
уравнения и использования итерационного метода Ньютона—
Рафсона. Совпадение результатов оказывается очень хорошим,
даже для наименьшего собственного числа, приближенно равного
3.6723. Как и следует ожидать, точность приближенной формулы
быстро растет с увеличением номера собственных чисел. Так,
уже пятое приближенное собственное значение имеет пять
верных значащих цифр.

404 Гл. 14. Уравнения с большим параметром
Таблица 14 А
Сравнение приближенных значений собственных чисел,
подсчитанных по методу возмущений, с точными численными
значениями
Порядковый номер
собственного числа
Метод возмущений 3.6667 7.6667 11.6667 15.6667 19.6667 23.6667
Численное значение 3.6723 7.6688 11.6679 15.6675 19.6673 23.6672
Ошибка (%) 0.152 0.027 0.010 0.005 0.003 0.002
Упражнения
14.1. Рассмотреть уравнение Бесселя порядка 1/2
хУ + ху' + (*2~4~) У== °"
Ввести преобразование, исключающее первую производную, и получить
уравнение
и" + и - 0.
Показать также, что
Jx,2 (х) = х~~х/2 (Cj sin х -\- с2 cos х).
14.2. Рассмотреть общее дифференциальное уравнение Бесселя
х%" + *? + (х2 - v*) £ = 0
для цилиндрических функций £v (х). Положив х = yz^ и £v = za~P w (z), или
u = 2Pv-atv(V2P),
далее показать, что функция и удовлетворяет дифференциальному уравнению
л <Ри , /Л ft0 , n du
+ (2a - 2pv + 1)2 -р- + [P2Y2^P -f a (a - 2vp)] и - 0.
dz* ' v K ' ' dz
14.3. Рассмотреть уравнение Эйри
d*u
dz*
+ zu = 0.
Используя результаты предыдущего упражнения, выразить общее решение
этого уравнения через функции Бесселя дробного индекса
«=^[v_1/3(4^2)+^'/3(4^2)]-
Указание: Представить уравнение в виде
d2u
Сравнить это уравнение с уравнением из упражнения 14.2, положив
2a —2v0 = 1, PY= 1,
2р = 3, а (а — 2vp) = 0.

Упражнения
405
14.4. Используя результаты упражнения 14.2, показать, что общее решение
уравнения
d2u +Л = 0
dz*
может быть представлено в виде
г- Г г I 2
и = у Z
\С J /_L_2(l+2)/2\ , ,J ( 2 (п+2)/2\1
где v = (п -f 2)"1.
14.5. Рассмотреть задачу на собственные значения
еУ + (х2 + 2х + 2) у = 0, е < 1,
У(0)= 0, £/ <1) = 0.
Показать, что
1
о
14.6. Показать, что большие по номеру собственные числа краевой задачи
и" + Щ (х) и - 0, / (х) > 0,
и (0) = 0, и (1) = 0
даются приближенной формулой
о
Я* = пя \\Vf (х) dx
—1
14.7. Показать, что большие по номеру собственные числа краевой задачи
и" + А,2/ (х) и = 0, / (х) > 0,
и (0) = 0, и' (1) = О
даются приближенной формулой
In = (п + i-) я И \Tf {Х) dx -
-о
14.8. Рассмотреть задачу о собственных значениях вида
у" + Х2х2у = 0,
</ (1) = 0, у (2) = 0.
Показать, что
2
14.9. Показать, что большие по номеру собственные числа краевой задачи
и" + Л2/ (х) и = 0, / (х) > 0,
и' (а) - 0, ы (Ь) = 0, £ > а
даются приближенной формулой
Гb Л~{
-л
14.10. Рассмотреть задачу
^ (0) = 0, у (1) = 0.

406 Гл. М. Уравнения с большим параметром
Показать, что собственные числа с большим номером описываются
приближенным соотношением
14.11. Применить метод В КБ непосредственно к уравнению
ху" + у' + №х (1 — х2) у = 0, к > 1.
Указать область применимости полученного приближения.
14.12. Рассмотреть краевую задачу, описывающую теплообмен в плоском
канале при полностью развитом турбулентном течении,
!f+V(\-x*)f(x)y=0t
у (0) = 0, у (1) = 0,
где / (х) = f (—х) > 0 при х [0, 1 ]. Показать, что
Г *
Хл==(я+-1Г)Я N К(1-т*)/(тМт
—1
14.13. Рассмотреть задачу из предыдущего упражнения при краевых условиях
У'(0)-0, у (1) = 0.
Показать, что
г 1
U
di
14.14. Рассмотреть уравнение
у" + к2 (1 - х2)2 = 0.
Показать, что при А,-* сю и х> —1 имеет место асимптотическое представление
^-^1/2(i-^2)~l'2[Vi/4(^)+V-i/4(^)],
где
И = J (1 — i2)di = x —
■(*-!)».
14.15. Рассмотреть уравнение
y' + k*q(x)y=0,
где q (|ы) = q' (\л) = 0 и <?" (|ы) =^= 0. Показать, что при А,-* сю имеет место
асимптотическое представление
</~ Я1 V'/4 [c{JXIA (Ul) + с2У_,/4 (X//)],
где
*=jV<
dx.
14.16. Рассмотреть уравнение
е</"+(2х + 1)</' + 2*/=0,
0<е« 1.
Провести преобразование, исключающее средний член уравнения, а затем
применить к полученному уравнению метод В КБ.
14.17. Рассмотреть уравнение
гу" + (2х + 1) у' + 2у = 0, 0 < е < 1.
Представить решение в форме у = exp [e~1G (х, е)] и найти два члена
разложения функции G.

Глава 15
УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ
В процессе использования методов возмущений, и в частности
метода многих масштабов, нередко возникают совокупности
задач, которые должны решаться последовательно, одна за другой.
При этом задача первого порядка обычно оказывается
однородной, в то время как задачи высших порядков будут
неоднородными, но линейными. Для того чтобы получить зависимость
решения от медленных переменных, нам необходимо исследовать
задачи высших приближений, после чего функции медленных
переменных подчиняются условиям, позволяющим преобразовать
асимптотическое разложение в равномерно пригодное. В простых
задачах о нелинейных колебаниях указанный процесс приводит
к исключению секулярных членов и членов с малыми
знаменателями. В задачах с одной степенью свободы такая операция
выполняется легко. Все, что мы должны при этом сделать, — это
положить равными нулю коэффициенты при тех слагаемых,
которые порождают соответствующие секулярные члены. Однако
для динамических систем со многими степенями свободы, которые
описываются несколькими связанными между собой
дифференциальными уравнениями, уничтожение секулярных членов
представляет собой несколько более сложную задачу. Эта задача и ее
приложения к динамическим системам с двумя степенями свободы
составляют содержание первой части настоящей главы.
В других задачах неравномерность получаемых разложений
проявляется в том, что мы не можем удовлетворить всем
граничным условиям. Такую несогласованность удается устранить только
наложением некоторых условий, называемых условиями
разрешимости (иначе условиями согласования, интегрируемости
или совместности). Ниже эти условия выведены для случая
неоднородного дифференциального уравнения второго порядка
при различных краевых условиях. Полученные результаты
используются затем при решении двух простых задач на
собственные значения, задачи о волнах в канале с волнистыми стенками и
задачи о колебаниях мембраны, близкой по форме к кругу.
В § 15.10 и 15.11 выведены условия разрешимости для случая
неоднородного уравнения четвертого порядка при различных
краевых условиях. Эти результаты применяются затем еще к двум
задачам, одна из которых возникает в теории устойчивости по-

408
Гл. 15. Условия разрешимости
граничного слоя, а другая — при рассмотрении колебаний
пластин, близких по форме к круговому кольцу. Далее, в § 15.12
с помощью развитой теории решается вырожденная задача на
собственные значения. В § 15.13 рассматривается система
дифференциальных уравнений специального вида. Краевые задачи
для систем дифференциальных уравнений первого порядка
общего вида изучаются в § 15.14. § 15.15 посвящен рассмотрению
краевых задач для дифференциальных уравнений с внутренними
граничными условиями. В § 15.16 рассматриваются интегральные
уравнения, а в § 15.17 — краевые задачи для дифференциальных
уравнений с частными производными.
15.1. Алгебраические уравнения
Рассмотрим прежде всего систему двух алгебраических
уравнений:
*i — *2 = bi> О5-1)
2xL — 2х2 = Ь2. (15.2)
Очевидно, что эта система не имеет решения, если только не
выполнено условие Ъ2 = 2ЬХ. В самом деле, умножив первое
уравнение на 2, получим
2х1 — 2х2 = 2bv (15.3)
Сравнивая уравнения (15.2) и (15.3), мы приходим к выводу, что
для совместности уравнений (15.1) и (15.2) необходимо, чтобы
Ь2 = 2Ьг. Если Ь2ф2Ьг, то уравнения (15.1) и (15.2)
оказываются противоречивыми, и, следовательно, у системы (15.1), (15.2)
решений нет. Если же Ь2 = 2ЬЪ то уравнения (15.1) и (15.2)
будут линейно зависимы, и фактически имеем лишь одно исходное
уравнение. Например, можно решить любое из уравнений (15.1),
(15.2) относительно х2у записав
*2 = *i — Ьг. (15.4)
В этом случае значение хх остается произвольным, и,
следовательно, имеем бесчисленное множество решений исходной системы.
Если положить в уравнениях (15.1), (15.2) Ьп — 0 и
рассмотреть возникающую при этом однородную систему уравнений
Хх — Х2 = U,
£ХХ £Х2 -— и,
то нетрудно видеть, что эта система имеет нетривиальное решение
Х2 = Х\.
Видоизменим систему уравнений (15.1), (15.2) так, чтобы
однородная система не имела нетривиальных решений. Рассмотрим,
например, систему
хх — х2 = Ьъ (15.5)
2хх + 2х2 = Ь2. (15.6)

15.1. Алгебраические уравнения
409
Умножение уравнения (15.5) на 2 дает
2*! — 2х2 - 2ЬХ. (15.7)
Складывая уравнения (15.6) и (15.7), получаем
4*! = Ь2 + 2ЬЪ
а вычитая (15.7) из (15.6), получаем
4х2 = Ь2 — 2ЬХ.
Следовательно, система уравнений (15.5), (15.6) имеет решение
* = -г ft -i 2Ь^> х* = т & -2Ь^
существующее при любых значениях Ъх и Ь2. В этом случае
однородная система, соответствующая (15.5), (15.6), а именно система
Хх — х2 === и,
2хх + 2х2 = 0
обладает лишь тривиальным решением. В случае системы (15.1),
(15.2) для существования решения требуется подчинить
постоянные Ьг и Ъ2 условиям разрешимости, а соответствующая
однородная система может иметь нетривиальное решение. В случае
системы (15.5), (15.6), напротив, неоднородная система не требует
наложения никаких условий на Ьх и Ь2 для своей разрешимости,
а соответствующая однородная система должна иметь только
тривиальное решение.
Далее, рассмотрим систему третьего порядка
х1 + 2х2 — Зх3 = Ьъ (15.8)
—2хх + х2 + х3 = Ьъ (15.9)
Ъхх + х2 — 4лг3 = Ь3. (15.10)
Сложение уравнений (15.9) и (15.10) дает
хх + 2х2 — 3*з = Ь2 + Ь3. (15.11)
Сравнивая уравнения (15.8) и (15.11), замечаем, что они
совместны только при условии
Ь2 + Ь3 = Ьъ
которое и представляет собой требуемое условие разрешимости.
При этом уравнения системы (15.8)—(15.10) оказываются
линейно зависимыми, и для нахождения решения достаточно
использовать любые два из них.
Например, из уравнений (15.8) и (15.9) можно выразить хх и х2
через х3. В результате имеем
хг = x3 + -L(b1- 2b2), х2 = х3 + -I" (2fei + W. (15.12)

410
Гл. 15. Условия разрешимости
причем значение л:3 остается произвольным; следовательно,
система (15.8)—(15.10) при вь/полнении условия разрешимости
имеет бесчисленное множество решений. К условию
разрешимости bx — b2 = Ь3 можно прийти иначе, подставив решение (15.12)
в уравнение (15.10). Однородная система, соответствующая (15.8)—
(15.10), имеет нетривиальное решение хх = х2 = х3.
Приведенные рассуждения показывают, что в случае, если
однородная система имеет нетривиальное решение, неоднородная
система имеет решение тогда и только тогда, когда правая часть
удовлетворяет условию разрешимости. Покажем это теперь для
системы линейных алгебраических уравнений общего вида
Лх = Ь, (15.13)
где А представляет собой квадратную матрицу порядка JV, а х
и b — вектор-столбцы с N компонентами. Эта система имеет
единственное решение при произвольных правых частях b тогда
и только тогда, когда однородная система
Лх = 0 (15.14)
обладает только тривиальным решением. Если у однородной
системы существует нетривиальное решение, то неоднородная
система не имеет решений, если только компоненты вектора b не
удовлетворяют специальным условиям разрешимости. В принципе
эти условия разрешимости можно получить с помощью процесса
исключения неизвестных. Другой способ получения условий
разрешимости состоит в использовании так называемой расширен-
ной матрицы В. Матрица В представляет собой N X (N + 1)
матрицу, получающуюся добавлением столбца Ьъ 62» •••» bN
к так называемой матрице коэффициентов А. Таким образом,
если матрица коэффициентов имеет вид
(15.15)
А = {
ап а12
#21 #22
[_aNi aN2
то расширенная матрица имеет вид
В =
~ап ап
! «2
1 #22
VI aN2
alN "1
02iV
aNN J
alN bx
a2N #2
aNN DN
(15.16)
При этом условие разрешимости можно сформулировать
следующим образом: система линейных алгебраических уравнений имеет
решение тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы В
совпадает с рангом матрицы коэффициентов А.

15.1. Алгебраические уравнения 411
Отметим, что однородная система имеет нетривиальное
решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы
коэффициентов обращается в нуль, т. е.
При этом ранг матрицы А меньше Ny и поэтому ранг матрицы В
тоже меньше N. Следовательно, определитель любой квадратной
матрицы iV-ro порядка, образованной из матрицы В вычеркиванием
одного из столбцов, должен равняться нулю. Любое такое условие,
например,
а12 а13 ... alN bL
^22 ^23 • • • a2N "2
aN2 aN3 • • • aNN "N
(15.17)
дает некоторое условие разрешимости. Это условие разрешимости
можно интерпретировать еще и по-другому. Если | А \ Ф О, то
для нахождения решения хъ х2, ..., xN можно использовать
правило Крамера. Например,
*i =
bi а12 а13
Ь2 а22 ^23
bN aN2 aw
\Л\
a2N
О-NN
(15.18)
Если | А | = 0, то, как видно из формулы (15.18), хх обращается
в бесконечность. Следовательно, система уравнений (15.13)
неразрешима, если только одновременно не обращается в нуль и
определитель в числителе дроби (15.18). При этом мы имеем
неопределенность вида 0/0.
Условие разрешимости системы (15.13) в случае, когда
соответствующая однородная система обладает нетривиальным
решением, можно выразить еще и следующим образом. Рассмотрим
векторное уравнение, транспонированное по отношению к
уравнению (15.13), и умножим его справа на вектор-столбец и, где черта
сверху означает комплексное сопряжение, а так называемый
сопряженный вектор-столбец и определяется ниже. В результате
имеем
(Лх)ти = Ьти,
(15.19)

412
Гл. 15. Условия разрешимости
где верхний индекс Т означает операцию транспонирования, т. е.
021 Д-22
Яш
a2N
L aNX aN2
aNN .
an a21
CLi2 #22
Я*1
aN2
L alN a2N
aNN .
bi
b2
L bN
= [bi b2 ... bN].
Поскольку (Ax)r = хтЛт, соотношение (15.19) можно переписать
в виде
xMTu = bTu.
Следовательно,
xMTu = bTu,
или
xM*u = bTu,
(15.20)
где матрица Л* = АТ представляет собой матрицу, сопряженную
к матрице А. Матрица А называется самосопряженной, если
А* = Л, т. е. такая матрица будет либо эрмитовой, либо
симметричной, в зависимости от того, является ли она комплексной
или вещественной. Если однородная система (15.13) имеет
нетривиальное решение х, то |Л | = |Л*| = 0. Последнее равенство
означает, что однородная система
Л*и = 0 (15.21)
имеет нетривиальное решение.
Определив вектор и как решение однородной системы (15.21),
обратимся вновь к неоднородной системе (15.13), т. е. к случаю
b Ф 0. Подставляя соотношение (15.21) в (15.20), получаем
следующую форму условий разрешимости:
bTu = 0, (15.22)
где и — любое решение сопряженной системы. Иначе говоря,
условие разрешимости требует, чтобы правая часть системы
(15.13) была ортогональна к любому решению однородной
сопряженной системы.
Если определить внутреннее произведение вектор-столбцов и
и v как
(и, v)=uTv, (15.23)
то соотношения (15.19) и (15.20) можно переписать в виде
(Лх, и) = (х, Л*и) = (Ь, и), (15.24а)

15.1. Алгебраические уравнения 413
а соотношение (15.22) — в виде
(b, и) = 0. (15.246)
Хотя мы показали только необходимость условия (15.246),
на самом деле оно является и достаточным условием разрешимости
системы (15.13).
Рассмотрим в качестве примера систему (15.8)—(15.10). В этом
случае
Г 1 2 —31
h s j!
11 —2 3"J
(15.25)
(15.26)
и A* = Ат, поскольку матрица А вещественная. Далее,
сопряженная система имеет вид
Li 1 -!][;Ь
(15.27)
или
иг — 2и2 + Зи3 = 0, (15.28а)
2мх + и2 + ив = 0, (15.286)
—Зых + и2 — 4и3 = 0. (15.28в)
Система уравнений (15.28) имеет нетривиальное решение,
поскольку таким свойством обладает система (15.8)—(15.10).
Умножая уравнение (15.286) на 2 и складывая с (15.28а), имеем
Ъих + 5и3 = 0.
В то же время вычитая из уравнения (15.286) уравнение (15.28в),
имеем снова
5ttj + 5w3 = 0.
Следовательно, и3 = —иг. При этом из уравнения (15.286)
вытекает, что и2 = — иг. Таким образом, сопряженная задача имеет
решение вида
.-.[-!].
Подчиняя теперь вектор Ь условию ортогональности к решению
однородной сопряженной системы, находим, что условие
разрешимости имеет вид
bi — b2 — b3 = 0,

414
Гл. 15. Условия разрешимости
что полностью согласуется с условием, полученным выше с
помощью исключения неизвестных. Заметим, что условие
разрешимости в форме (15.17) удобно для применения, и поэтому мы
будем часто использовать его в дальнейшем.
Применим теперь полученные выше результаты к двум
задачам о колебаниях гироскопических систем с двумя степенями
свободы.
15.2. Нелинейные колебания гироскопических систем
с двумя степенями свободы
Рассмотрим свободные колебания гироскопической системы
с двумя степенями свободы с учетом квадратично нелинейных
возвращающих сил. Такая задача сводится к исследованию
системы уравнений
йх + й2 + 2их = 2ихи2,
. , о 2 (15.2У)
и2 — щ -у 2и2 = Mi
при малых, но конечных амплитудах.
Будем искать равномерное разложение с помощью метода
многих масштабов в виде
«1 = еиц (Г0, 7\) + е2и12 (Г0, 7\) + • ,
и2 = ги21 (70, Тх) + е*и22 (Г0, Тг) + ■ , {15"3U)
где Т0 = t, Т1 = et и е — малый безразмерный параметр,
характеризующий амплитуду колебаний. Подставляя разложения
(15.30) в уравнения (15.29) и используя соотношение (5.45),
получаем
(D? -{- 2eD0I>i) (виц + г2и12) + (Ц> -f eDj) (eu2i + е2к22) +
+ 2 (еии + e2w12) H =2 (еии + e2w12) (ew21 + e2w22) -| ,
(Djj + 2eD0A) (eu2l + e2u22) - (A, + еД) (еии + e2ul2) +
+ 2 (eu21 + e2w22) + ... = (еии + e2"i2)2 + ....
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е в обеих
частях этих уравнений, имеем
для порядка е:
D20un+D0u2{-\-2un =0, (15.31а)
D\u2X - Дни + 2«2i = 0; (15.316)
для порядка г2:
D*0ui2 + D0u22 -f 2wi2 = — 2ДДиц — Д w2i + 2ицы2Ь
DqW22 - D0w]2 + 2^22 = —2DoDiU2i + D{uu + u2n. (15.32)

15.2. Гироскопические системы с 2 степенями свободы 415
0.
Уравнения (15.31) образуют систему двух
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Следовательно,
их решения можно получить, полагая
ип = сх ехр (шТ0), и2 = с2 ехр (ш Т0). (15.33)
Подстановка (15.33) в уравнение (15.31) дает
(2 — со2) сх + ia>c2 = 0,
—шсх + (2 — (о2) с2 = 0. (15.34)
Для того чтобы существовало нетривиальное решение системы
(15.34), определитель матрицы ее коэффициентов должен
обращаться в нуль, т. е.
2 — со2 ш
—ш 2 — со2
Следовательно,
(2 — со2)2 — со2 = 0,
или со4 — 5со2 + 4 = (со2 — 4) (со2 — 1) = 0,
откуда со = 1 и со = 2, если рассматривать только
положительные частоты. При со = 1 из первого из уравнений (15.34) следует,
что
сх + ic2 = 0, или с2 = icx.
При со = 2 из того же уравнения имеем
—2сх + 2ic2 = 0, или с2 = —icx.
Следовательно, общее решение системы (15.31) можно записать
в виде
«и = А (7\) *"". -,' - А, (7\) е-"* -h А2 (7\) <*<** + А2 (7\) е-*<т;
«2i = iA± (7\) eiT° - ilx (7\)er'T* - *Л2( WT° + Й,(7\) e'2iT°.
(15.35)
Как и в случае колебательной системы с одной степенью свободы,
амплитуды Ах и А2 нельзя определить на этом этапе
итерационного процесса. Они будут определены на следующем этапе из
условий разрешимости неоднородной задачи.
Подставляя решения (15.35) в систему уравнений (15.32),
имеем
£>o«i2 + А)"22 + 2w12 = —2iA{eiTo - 4iA2e2iT° - lA[eiT° +
+iA2e2iTo + (к. с.) -f 2 {AieiTo + A{e~iTo +
+A2e2iT> +A2e~2iT»)(iAxeiTo -
—iAiertT* - iA2e2iT* + iA2e-2iT*)y
D20u22 - D0u{2 + 2w22 = 2A[eiTo - 4ЛгУТо + A[eiT° +
+Л^2/Г§ + (к. с.) + (A{eiTo + 34ie"'re -f-
+A2e2iT* + Лав-2'7"0)2.

416
Гл. 15. Условия разрешимости
После некоторых преобразований и упрощений последняя
система примет вид
Dlui2 + D0u22 -f 2щ2 = —i (3A[ + 4A2Ai) eiT° +
+i (_3A2 + 24?) e2iT* + (к. с.) + (H. С. 4.),
(15.36)
D\u22 - D0u{2 + 2u22 = (ЗЛ1 + 2Л2Л1) elTo +
+ (-3A'2 + Л?) e2'T° + (к. с.) + (H. С. 4).
(15.37)
Поскольку однородная система, соответствующая (15.36), (15.37),
имеет решения, пропорциональные ехр (±*Т0) и exp (±2tT0)r
слагаемые в правых частях, пропорциональные этим экспонентам,
порождают в решении ип, и22 секулярные члены. Заметим, что
правая часть каждого из уравнений (15.36) и (15.37) содержит
слагаемые, пропорциональные ехр (±:iT0) и ехр (±2гТ0), и
поэтому нет необходимости полагать коэффициент при каждой из
этих экспонент в обоих уравнениях равным нулю. Более того, если
бы мы поставили такое условие, то получили бы четыре
несовместных комплексных уравнения относительно AL и А2. Поэтому для
того чтобы уничтожить секулярные члены (т. е. чтобы найти
соответствующие условия разрешимости), будем искать частное решение,
не содержащее резонансных слагаемых, соответствующих ехр (iT0)
и ехр (2*Т0), в виде
Un = Qi(Tl)e"' + Qt(W: ^'Ж)
Подставляя решения (15.38) в уравнения (15.36), (15.37),
имеем
(Я, + iQi) etT' + (—2Р8 + 2iQ2) е21Т° = —i (ZA\ + 4Л2Л,) х
xeiT'+i(-3A2 + 2A2)e2iT°,
i-iPi + Q.) е'т° + (-2iP2 - 2Q2) e2iT° = (3A[ + 2Л2Л,) x
Х^ + (_ЗЛ2 + Л?)е2'г'.
Приравнивая коэффициенты при каждой из экспонент в обеих
частях полученных уравнений, находим
Р -f Щ = —i (ЗА\ -Ь 4A2Ai), (15.39а)
—iPl + Ql = 3Ai + 2A2A~u (15.396)
-2Р2 + 2iQ2 = i (-ЗД2 + 24?), /1слп^
о (15.4U)
-2iP2-2Q2 = -3A2-\-A2.

15.3. Параметрическое возбуждение
417
= 0.
= 0,
ИЛИ
= 0.
Уравнения (15.39) образуют неоднородную систему двух
линейных алгебраических уравнений относительно Рх и Qx.
Соответствующая однородная система имеет нетривиальное решение,
так как определитель матрицы ее коэффициентов равен нулю:
Г i
—i 1
При этом условие разрешимости системы (15.39) может быть
записано в одной из двух форм:
1 -г(ЗЛ;+4Л2Л,)|
-i 3A[ + 2A2Ai
В двумерном случае оба этих условия приводят к одному и тому же
результату, но в случае систем более высокой размерности это,
вообще говоря, не так. В настоящем случае оба равенства
эквивалентны условию вида
Ai=—A2Ai- (15.41)
Аналогичным образом, определитель системы (15.40) равен нулю,
и эта система имеет решение тогда и только тогда, когда
выполняется следующее условие разрешимости:
!—2 i(—3A2 + 2A2{)\
—i(3A[ + 4A2Ai) i
ЗА\ + 2А2А{ 1
i— 2i
равносильное уравнению
-ЗА2 + А\
0,
А!2 = ±А\.
(15.42)
Уравнения (15.41) и (15.42) описывают модуляцию амплитуд Ах
и Л2, т. е. их изменение с медленным временем 7\. Как и в случае
динамических систем с одной степенью свободы, амплитуды Ах
и А2 обычно представляют в показательной форме и в уравнениях
(15.41) и (15.42) отделяют вещественные и мнимые части. Решением
этих уравнений завершается построение разложения первого
порядка. Мы не будем- здесь входить в детали этого решения,
а отошлем заинтересованного читателя к книге Найфэ и Мука.
15.3. Гироскопические системы с параметрическим
возбуждением
Рассмотрим параметрически возбуждаемую линейную систему
с двумя степенями свободы. Иначе говоря, будем исследовать
решения системы уравнений вида
их + й2+ 2их + 2е cos Ш (/а«! + /1аи2) = 0,
й2 — йг + 2и2 + 2е cos Ш (/21tti + f22u2) = 0
(15.43)

418
Гл. 15. Условия разрешимости
при малых б. Предположим для определенности, что частота й
положительна. Используя метод многих масштабов, будем
искать решение в виде
"1 = "ю (То, 7\) + гип (Г0, 7\) + ■ • • ,
и* = и20 (Г0, 7\) + ги21 (Г0> 7\) + ■ • . . (15.44)
Подставляя разложения (15.44) в систему (15.43), учитывая
соотношение (5.43) и выражая cos Ш в виде cos ЙГ0, получаем
(Do + 2eD()Di)(u[0 -f ewn) -f- (D0 -f еД) (w20 + e«2i) +
+ 2 (м10 + Eun) + 2e cos QT0 (fnul0 + /12«20) | =0,
(D2, + 2eD0Di) (a20 + en2i) - (A> + eD,) (uI0 + еип) +
+ 2 (u20 + ew21) -f 2e cos Qro (/21и10 + /22w20) -\ =0.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях б, имеем
для порядка е°:
D§Mio +A>tt2o + 2ttio = 0,
о (15.45)
£)qW2o — А)Ию + 2w2o = 0;
для порядка г1:
DoUu -f Dcw2i + 2un = —2О0Да10 — Diw20 — 2cosQr0(/n«io + /i2W2u),
(15.46)
D§«2i — DoUu + 2w2i = -~2D0DiU2q + DiWio — 2 cos QT0(/2iWio + /22^20).
(15.47)
Как и в предыдущем параграфе, общее решение системы
дифференциальных уравнений (15.45) можно представить как
"ю = Аг (Тг) е"> + Аг (Тх) е~"» -|- А2(7\) е^» + Л2 (7\) е~*'т;
и20 = iAxeiT* - Йхе-то _ М^т-о + Йа*-2'7\ (15.48)
где Ах и Л2 подлежат определению из условий разрешимости на
следующем этапе итерационного процесса. Подстановка
выражений (15.48) в уравнения (15.46) и (15.47) дает
Dlun + D0U21 + 2ии = -ЗЛ;*'То - 3/Л2г2'То + (к. с.) - (e'w° +
+ ег**.) (Mi*'7e + М*8'* + 'Mi*'* - ifaiV". + (к. с.)),
Do"2i - A>"n + 2и21 + 3A[eiT* - ЗЛ2е2'г° + (к. с.) - (еШТо +
+ ^/fi7°) (М^ + hxAtf™* + if22AieiTo - if22A2e><r0 + (к. с.)),
или
D20un + D0W21 + 2мп = -3A[eiT° - ЗЛ2е2'т° -
- (/и + V12) ^il*' (I+fl) Го 4- ^ (1~й) Ч -
- (/и - if и) А2 [е* <2+й) 7° + е( <2~й> 7°) + (к. с), (15.49)

15.3. Параметрическое возбуждение
419
Dlu2l - D0un + 2u2l = 3A[eiTo - 3A2e2iT° -
- (/21 + i/22) Ai № (,+Q) T° + *' °-й) 4 -
- (/2i - ifv) A2 [e' <2+й> T-o _|_ et (2-й) r.j ,|_ (K. c). (15.50)
Когда амплитуды Al и Л2 постоянны, как в случае прямого
разложения, правые части уравнений (15.49) и (15.50) содержат
слагаемые, которые могут порождать в решении секулярные члены
при определенных значениях Q. Так, резонансные члены
появятся в ип и и21у если любой из показателей экспонент в (15.49)
и (15.50) будет равен ±1 или ±2, поскольку функции
ехр (±*Т0) и exp (±2iT0) являются решениями соответствующей
однородной системы. Итак, условия появления секулярных
членов суть следующие:
1 + Q = ±2, 1 — О = -t-2, 1 + Q = ±1, 1 — Q = ±lf
2 + й --= ±2, 2 — Q = ±2, 2 + 0 = ±1, 2 —Q = ±l,
т. е. параметрический резонанс наступает при Q = 0, 1, 2, 3, 4.
Если заменить точное равенство на приближенное, то вместо
секулярных членов появятся члены с малыми знаменателями.
Рассмотрим случай Q ^* 3.
Для того чтобы уничтожить члены с малыми знаменателями,
мы прежде всего преобразуем их в секулярные члены, вводя
параметр расстройки по формуле
Q = з + еа (15.51)
и соответственно записывая
QT0 = ЗГ0 + е<тТ0 = 370 + <т7\., (15.52)
Подставляя соотношение (15.52) в уравнения (15.49) и (15.50),
имеем
flfcii + D0u2i + 2ип = - [ЗМ; + {fn + ifX2) A2eioTi] eiT° -
- [ЗМ2 + {fix - V,a) AxeiaT*\ e2iT> + (к. с.) + (H. С. Ч.), (15.53)
D\u2l - DfMn + 2«2i = [ЗЛ| - (f2l + t/22) ^or,l e'r° -
- [ЗЛ2 + (/21 - Ы AieiaTi] e2iT> + (к. с.) + (H. С. 4). (15.54)
Для того чтобы вывести соответствующие условия
разрешимости, будем искать частное решение системы (15.53), (15.54),
не содержащее секулярных членов, в виде
"и = Pi (7\) ехр (iT0) + Р2 (7\) ехр (2tT0), (15.55)
«2i = Qi (Тг) ехр (iT0) + Q2 (Тг) ехр (2tT0).
Как и в предыдущем параграфе, подставляя решения (15.55) в
уравнения (15.53) и (15,54) и приравнивая коэффициенты при

420
Гл. 15. Условия разрешимости
exp (/Tq) и exp {2iT0) в обеих частях каждого из уравнений,
получаем
Р, + /Q, = —з/л; - (/и + ifi2)A2exp{iaTi),
—iP\ + Q\ = ЗЛ[- (/2l + if22) Л2ехр (far,), (15.56)
—2P2 + 2iQ2 = ~3M2 - (/и - i/,2) A\ exp (wr7U
- 2iP2 - 2Q2 = —ЗЛ2 - (/2i - if22)Ai exp (юГО. (15.57)
Поскольку однородная система (15.56) обладает нетривиальным
решением, неоднородная система разрешима тогда и только тогда,
когда выполняется следующее условие:
I 1 — 3Mi'-(/ii + i/i2M2exp(ia7\)|
I —i ЗЛ[ - (/2l + if22) А2 exp(ioT{) |
Это условие можно переписать в виде
4i =-g-l/2i - /12 + i\f\\ +h))A2exp(ioT]). (15.58)
Условие разрешимости системы (15.57) имеет вид
I -2 —ЫА1 - (/и - lfi2) Ах ехр (ктТ,) I _
|_2* _ЗЛ2 -(/2i -//22)Л, exp (toTi) |~ '
или Л2 = ~4" 1/21 — /i2 — * (/и + /22)1 -4i exp(fari). (15.59)
Уравнения (15.58) и (15.59) описывают модуляцию амплитуд
Аг и Л2. За деталями анализа этих уравнений мы вновь
отсылаем читателя к книге Найфэ и Мука.
15.4. Краевые задачи для дифференциальных уравнений
второго порядка
В этом параграфе будут выведены условия разрешимости
краевых задач для линейных неоднородных дифференциальных
уравнений второго порядка с неоднородными граничными
условиями общего вида. Итак, рассмотрим задачу
Рг (х) у" + рг (х) у' + pQ (х) у =
= / (х), а < х < Ь, (15.60)
«Ы/' (я) + <*2i</ (а) + cclsyf (Ь) + а14у (Ь) = plf
a2i#' (а) + a22t/ (a) + <х23у' {b) + а24у (b) = 02, (15.61)
где граничные операторы линейно независимы, т. е. матрица
On а12 а13 о^Л
Ом «22 осад a24J

15.4, Краевые задачи для уравнений 2-го порядка 421
имеет ранг 2, и, следовательно, существует по крайней мере одна
невырожденная субматрица размером 2x2. Иначе говоря, по
крайней мере один из определителей
А,о =
Лоа =
«И «12
«21 «22
«12 «13
«22 «2J
Al3 =
А2й =
«11 «13
«21 «23
«12 «14
«22 «24
Аи =
д34
«И «14
«21 «24
«13 «14
«23 «24
Yll = а
А Pia23 — Рга13
Ais '
(15.63)
отличен от нуля.
Граничные условия (15.61) называют смешанными или
неразделенными, поскольку они содержат значения искомой функции
и ее производной на обоих концах промежутка.
В этом параграфе рассмотрим случай, когда определитель
А13 ф 0. Разрешая уравнения (15.61) относительно у' (а) и у' (6),
имеем'
У' (а) = УпУ (а) + УиУ (Ь) + «lt (15.62)
У' (Ь) = У21У (а) + У22У (Ь) + б1э
Даз л, '— Дз* л, — Aia м — ^
Т12 ~д > Т21 д— У Г22 —
Л18 а13
Л Р2а11 ~~ Pla21
Ais * °2~ ЬГз •
Предпошлем подробному выводу условий разрешимости
поясняющий дальнейшее простой пример. Рассмотрим задачу вида
у" + п2у = я sin пх, (15.64)
У (0) = Pi, У (1) - Р..
В данном случае граничные условия разделены, а
соответствующая однородная задача
у* + п2у = 0, у(0)=у (1) = 0 (15.65)
имеет нетривиальное решение у = sin л*. Поэтому неоднородная
задача не будет иметь решения, если только не окажется
удовлетворенным соответствующее условие разрешимости. Для того
чтобы получить указанное условие, будем искать решение задачи
(15.64) в предположении, что оно существует. Общее решение
уравнения (15.64) представляет собой суперпозицию общего
решения однородного уравнения и некоторого частного решения
(см. приложение Б). В результате имеем
у = сх sin тех + с2 cos их — 0,5л; cos я*, (15.66)
где*?! ис3 — произвольные постоянные. Подчиняя решение (15.66)
граничным условиям (15.64), получаем
^2 — Рь —с2 + -я- = Рг-

422
Гл. 15. Условия разрешимости
Эти уравнения несовместны, и, следовательно, исходная задача
(15.64) не имеет решения, если только не выполнено соотношение
Pi + fc = 4-' (15.67)
которое и представляет собой искомое условие разрешимости.
При этом решение задачи (15.64) имеет вид
у = сг sin лх + Pi cos лх ^ х cos ял*. (15.68)
Для того чтобы найти условия разрешимости в общем случае,
нет необходимости проводить указанную выше процедуру, в
особенности если не представляет интерес явный вид решения, как,
например, в задачах теории возмущений. Вместо этого
воспользуемся идеей обращения к сопряженной задаче. Умножим
уравнение (15.60) на функцию их (х), которую будем называть
сопряженным решением, подлежащим определению в дальнейшем.
В результате получим
РгЩ" + Р&У' + РоЩ = /"• (15.69)
Почленное интегрирование соотношения (15.69) от а до b (т. е.
по интересующему нас промежутку, на котором решается
краевая задача) дает
ь ь ь ъ
J p%uy"dx + J ргиу' dx + J p0uy dx= ] fu dx. (15.70)
a a a a
Далее, проинтегрируем по частям первые два слагаемых
в (15.70), чтобы перейти от дифференцирования функции у к
дифференцированию функции и. Таким образом, имеем
ь ч ь ь
\ ргиу" dx = ргиу' | — | (р2и)' у' dx
а а а
Ь Ь
\ (р&У y'dx = (p2u)f у\—\ {РФ)" У dx,
откуда
J ргиу" dx = [ргиу' - (рги)' у]ьа + J (p2u)"ydx. (15,71)
а а
Кроме того,
ъ ь ь
\ рхиу' dx = ргиу | - \ (pxu)'ydx. (15.72)

15.4. Краевые задачи для уравнений 2-го порядка 423
Подставляя соотношения (15.71) и (15.72) в (15.70), имеем
ь
[p2Uy - (p2U)' у + pxUyfa + j {p2u)" ydx ~
а
ь ь ь
— \ (Р&У У dx + J р0иу dx=\ fu dx,
a a a
или
b
J IP*"" + (2/>2 - pi) и + (yt?2 - pi + Po) "] У ^ +
a
6
+ {р&У +i(p\ - P2)u- p2u\y\a= \fudx. (15.73)
a
Приравнивая нулю подынтегральное выражение в левой части
соотношения (15.73), получим уравнение относительно функции и\
р2и" + (2pi - pi) и' + (pi - pi + Ро) и == 0, (15.74)
которое обычно называют сопряженным по отношению к
однородному уравнению (15.60). Для того чтобы найти вид граничных
условий, необходимых для замыкания сопряженной задачи,
рассмотрим однородную задачу, соответствующую (15.60), (15.62),
т. е. положим / = 0 и бх = 62 = 0. Тогда соотношение (15.73)
и условие (15.62) примут вид
\Р2Щ' + [(р\ —pi)и — р2и'\ у\х==ь —
— \Р2Щ' + [(Р\ — рди- р2и']у\х==а = 0, (15.75)
У' (а) = УиУ (я) + УпУ (Ь)9 у'(Ь) = у%1у (а) + у22у (Ь). (15.76)
Подставляя выражения для у' (а) и у' (Ь) в соотношение (15.75)
и собирая члены, содержащие у (а) и у (Ь)> получим
[Y2l/?2" \х=Ь — (У\\Р2 + Р\ — Р2) Ux=a + РФ-' \х=а] У (а) —
~ [712^2" \х=а — (Y22/?2 + Р\ ~ рЬ) « \х=Ь + Р^ \x=b] у (Ъ) = 0. (15.77)
Выберем граничные условия сопряженной задачи так, чтобы
коэффициенты при у (а) и у (Ь) обращались в нуль каждый в
отдельности, т. е.
Y2l/?2« \х=Ь — (У\\Р2 + Р\ — Р2) U \х=а + Р&' \х=а = 0,
У\2Р2и \х=а — (Y22/?2 + Р\ " />г) « \х=Ь + Л**' |аг=Ь = 0. (15.78)
Таким образом, функция и представляет решение краевой
задачи для уравнения (15.74) с граничными условиями (15.78).
Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее
(15.60), называется самосопряженным, если оно совпадает с
сопряженным ему уравнением (15.74). Эти уравнения совпадают в
случае, если
2p2 — pi=P\, Р2 — р'\ = 0, (15.79)

424
Гл. 15. Условия разрешимости
или р\ = /?2- При этом однородное уравнение, соответствующее
(15.60), имеет вид
Р2У+Р*У' +РоУ = 0,
или
(Р*У')'+РоУ = 0. (15.80)
Сопряженное уравнение (15.74) можно тогда записать как
(p%u'Y + Рои = 0, (15.81)
а граничные условия (15.78) примут вид
и {а) = упи (а) - у2\Р2 (р) pj{ (а) и (Ь),
* _1 \\o.oZ)
и (b) = —yi2p2(a)p2 (b)u(a)-\-y22u(b).
Отметим, что граничные условия (15.82), вообще говоря,
отличаются от граничных условий (15.76), если только не выполнено
равенство
—Y2i/>2 (Ь) = —У12Р2 (^). (15.83)
Если же соотношения (15.79) и (15.83) выполнены, то сопряженное
дифференциальное уравнение (15.81) и граничные условия для
него (15.82) совпадают с исходным однородным дифференциальным
уравнением (15.80) и граничными условиями (15.76). В этом
случае самосопряженной называют краевую задачу в целом.
Если однородное дифференциальное уравнение второго порядка
не является самосопряженным (т. е. р^ Ф р'2), его всегда можно
преобразовать в самосопряженное, умножив на подходящую
функцию v. Для того чтобы найти функцию vy умножим
однородное уравнение, соответствующее (15.60), на v. В результате
получим
РМ" + РгЩ' + Povy = 0. (15.84)
Условие самосопряженности уравнения (15.84) имеет вид
P\v = (P2V)' = P2V' + Р'&>
откуда
HL — Л EL
v р2 р2 '
или
In v = [ — dx — In р2.
Таким образом,
v = p2lexp \&-dx. (15.85)
J Рг
Следует отметить, что дифференциальное уравнение порядка выше
второго преобразовать в самосопряженное не всегда возможно.
Определив сопряженную краевую задачу (15.74), (15.78),
вернемся к неоднородной задаче (15.60), (15.62), с тем чтобы найти
вид соответствующего условия разрешимости. С учетом того, что

15.4. Краевые задачи для уравнений 2-го порядка 425
функция и удовлетворяет уравнению (15.74), соотношение (15.73)
принимает вид
[р2иу' + (pi — р'2) иу — р2иу]х=ь —
ь
— 1Р2"У' + (Р\ — Р2)иу — р2иу]х^а =\fu dx. (15.86)
а
Подставляя выражения для у' (а) и у' ф) из условий (15.62)
в соотношение (15.86), имеем
62/?2« \х=Ь — 6iyP2W \х=а + [\2\P2U \х=Ъ ~ (УпР2 +
+ Р\ ~ Р2) U \х=а -f Р2" \х=а] У (а) —
Ь
— 1У\2р2и \х=а — (722/?2 + Р\ ~ Р^) " |*=б] У (&) = J /" <**• (15.87)
в
Поскольку члены в квадратных скобках в соответствии с
условиями (15.78) обращаются в нуль, соотношение (15.87) сводится
к искомому условию разрешимости:
ь
82р2 {Ь) и (b) + V2 (a) u(a)=\f (х) и (х) dx, (15.88)
а
где и представляет собой решение сопряженной краевой задачи
(15.74), (15.78).
В качестве частного случая рассмотрим неоднородную задачу
Штурма—Лиувилля
[р (х) y')+q(x)y-br(x)y = f (х), (15.89а)
У'(*) = УиУ(й)+У1*У(Ь), 05.896)
У' (Ь) = V2i у (а) + у22У (Ь). (15.89в)
При формулировке задачи (15.89) предполагается, что выполнено
соотношение (15.83) и, кроме того, что г (х) >0 при х £ [а, Ь].
Если значение параметра К не совпадает ни с одним из
собственных чисел однородной задачи (т. е. однородная задача имеет только
тривиальное решение), то неоднородная задача имеет
единственное решение при любой непрерывной функции f (х). С другой
стороны, если параметр X равен какому-либо собственному числу
однородной задачи (т. е. однородная задача имеет нетривиальное
решение), неоднородная задача разрешима лишь при условии
ь
\f(x)u(x)dx=:0, (15.90)
а
т. е. при условии ортогональности функции/ (х) собственной
функции, отвечающей собственному значению X. Этот результат
составляет содержание теоремы, обычно называемой альтернативой
Фредгольма:

426
Гл. 15. Условия разрешимости
При заданном значении X либо неоднородная задача
имеет единственное решение при любой непрерывной
функции f, либо однородная задача имеет
нетривиальное решение.
В следующем параграфе мы рассмотрим краевую задачу с
граничными условиями общего вида (15.61). В § 15.6 и 15.7 применим
развитую теорию к двум задачам о собственных значениях,
а в § 15.8 — к задаче о звуковых волнах в канале с волнистыми
стенками. В § 15.9 мы видоизменим полученные выше
результаты, с тем чтобы применить их к задаче для дифференциального
уравнения с регулярной особой точкой, и используем
модифицированную теорию в задаче о колебаниях мембраны, близкой по
форме к кругу.
15.5. Граничные условия общего вида
Сопряженный оператор
Обозначим через L дифференциальный оператор второго
порядка, определяемый дифференциальным выражением (15.60),
т. е.
L(y)~ [p2{x)^r + pl(x)^r+p0(x)]yf (15.91)
где /?2, р'\ и ро представляют собой непрерывные функции в
промежутке [а, 6]. Если у (х) и и (х) — дважды непрерывно
дифференцируемые на [а, Ь] функции, то имеем
X X
J и Цу) dx=\ [(р2и) у" -f {рхи) у' + (р0и) y]dx, а < х <: Ь. (15.92)
а а
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения
(15.92) по частям дает
X
j uL (у) dx = \р2иу - (р2и) у + р\иу\ха +
а
х
+ | KP2U)" - (ли)' + PoU]ydx. (15.93)
а
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в
подынтегральное выражение в правой части (15.93), через L*, т. е.
L* (и) = (р2и)" — (рхи)' + р0и =
= [р* "5F" + &Р'2 - Р») -дг + Ро + pi ~~ Р\\ и- (15.94)
При этом соотношение (15.93) перепишется как
X
j [uL (у) - yU (и)) dx = [р2 (иу' - у"и) + (р, - р'2) иу]*а. (15.95)
а

15.5. Граничные условия общего вида
427
Оператор L* называется сопряженным по отношению к
оператору L. Умножая соотношение (15.94) на у и интегрируя
полученный результат по частям, легко показать, что L является
сопряженным оператором по отношению к оператору L*. Таким
образом, операторы L и L* взаимно сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение
L* (и) = 0 (15.96)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению
L (у) = 0. (15.97)
Если же L = L*, то оператор L и дифференциальное
уравнение L (у) = 0 будем называть самосопряженными. Сравнивая
выражения (15.91) и (15.94), приходим к выводу, что L = L*
тогда и только тогда, когда
2/?2 — Р\ = Р\-
Таким образом, оператор L будет самосопряженным тогда и
только тогда, когда рх = р2. При этом
Как указывалось в § 15.4, любое дифференциальное уравнение
вида (15.97) можно преобразовать в самосопряженную форму,
умножив на функцию vy определяемую равенством (15.85).
Дифференцируя соотношение (15.95) по х, получаем так
называемую формулу Лагранжа
uL (у) - yU (и) = -£- fa (иу - и у) + (рх - pi) иу]. (15.98)
Выражение в квадратных скобках называется билинейной
дифференциальной формой от и и у, поскольку при заданном у это
выражение линейно по и, в то время как при заданном и оно линейно
по переменной у. Полагая в соотношении (15.95) х = 6, получаем
формулу Грина
ь
\ [uL (у) - yL* (и)] dx = [р2 (иу - и у) + (рх - р2) иу)ьа. (15.99)
а
Правая часть этой формулы может быть записана как
R = [р2 (иу' - и у) + (р{ - р2) uy)ba = р2 (b) и (b) у' (b) -
-р2 (b) и (b) у (b) + [Pl (b) - p'2 (b)] и (b) у (a) - p2 (а) и (а) у (a) +
. +p2(a)u'(a)y(a)-[Pl(a)-p2(a)]u(a)y(a) = ulPyb, (15.100)

428
Гл. 15. Условия разрешимости
где
0» = ,
Г"»]
>
0 pa (а)
Pi{a) pi(a) — pi(a)
0 0
0
0
У* =
0
0
0J
Р2Ф)
-у'Ф)-]
УФ)
У'Ф)
^уф) _
>
0 "I
0
~р2ф)
Pi ф) - Pi ф) J
(15.101)
Отметим, что
\Р\ = [р2(а)р2ф)}\
и, следовательно, матрица Р — невырожденная,
выражения (15.100) в соотношение (15.99) дает
\[uL(y)-yL'(u)]dx = ulPyb.
Подстановка
(15.102)
Сопряженная однородная задача
Поскольку граничные условия общего вида (15.61) включают
в себя линейные комбинации компонент у' (а), у (а), у' (Ь) и у (Ь)
вектора уЬ) введем следующее невырожденное линейное
преобразование уь в вектор Y:
У = АУь,
где
Y =
Yi
Y*
Y,
А =
«11
«21
«31
«41
«12
«22
«32
«42
«13
«23
«33
«43
«14
«24
«34
«44
(15.103)
(15.104)
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено
бесчисленным множеством способов в зависимости от выбора
матрицы А. Правда, мы уже наложили некоторые ограничения на Л,
потребовав, чтобы первые две строки этой матрицы совпадали
с коэффициентами а^ в граничных условиях (15.61). Однако две
нижние строки матрицы А остаются при этом произвольными, за
исключением того, что они должны быть линейно независимы друг
от друга и от двух верхних строк с тем, чтобы определитель | А \
не обращался в нуль. При заданном ненулевом векторе уь две
последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать
любые требуемые значения компонентам Y9 и F4« Это замечание
используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных
граничных условий.

15.5. Граничные условия общего вида 429
Поскольку |Л 1=7^=0, мы можем обратить преобразование
(14.103) и получить
Уь = А~Ч.
При этом формулу (15.102) можно переписать как
ь
\ [uL (у) - уС (и)] dx = uTbPA-]\,
а
ИЛИ
Ъ
\ [uL (у) - yL\u)]dx = U'Y = U1Y1 + VtY% + U3Y3 -f UAY€l (15.105)
a
где
UT= uTbPA-\ U =(Л"1)тРти6- (15.106)
Билинейная форма UTY в соотношении (15.105) называется
каноническим представлением билинейной формы в правой части
тождества (15.102).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи,
положим в соотношении (15.105) L (у) = 0 и L* (и) = 0 и
получим
U1Y1 + U2Y2 + UBY9 + f/4^4 = 0. (15.107)
Из формулы (15.103) и граничных условий (15.61) следует, что
однородные граничные условия, соответствующие (15.61),
эквивалентны равенствам
У г = «и/ (а) + а12у (а) + аиу' (Ь) + аиу (Ь) = 0, (15.108а)
Yt = ашгу' (а) + а22у (а) + а2зу' (Ь) + ану (Ь) = 0. (15.1086)
С учетом равенств (15.108) соотношение (15.107) принимает вид
U3Y3 + UiYt = 0. (15.109)
Как указывалось выше, при ненулевом векторе уь последние две
строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты Y3
и К4 принимали любые требуемые значения, лишь бы Yz и К4
не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки
матрицы А можно выбрать из условия Y9 = 1, К4 = 0. При этом
из соотношения (15.103) следует, что U9 = 0. Аналогичным
образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы
выполнялись равенства К8 = 0 и К4= 1. Тогда из соотношения
(15.103) вытекает, что £/4 = 0. Таким образом, задача,
сопряженная задаче
Ну) = о, yx = г2 = о, (15.1Ю)
имеет вид
L* (и) = 0, U9= U4 = 0, (15.111)
где U9 и (У4 связаны с компонентами и (а), и (а), и' (Ь) и и (Ь)
вектора щ соотношением (15.106). Краевая задача (15.110) на-

430
Гл. 15. Условия разрешимости
зывается самосопряженной тогда и только тогда, когда L = L*
и каждая из двух компонент U3 и t/4 является линейной
комбинацией Y± (ub) и Y2 (ub)> т- е- и (х) пропорциональна у (х).
Поскольку граничные условия (15.61) линейно независимы,
по крайней мере один из определителей
Аи = aua2j — a>ijO>2iy i ф j
матриц-блоков
" «и «и
a2i a2j
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность
сравнить эти результаты с теми, которые были получены в предыдущем
параграфе, предположим, что Д1з ф 0. Далее, выберем такие Y3
и К4, чтобы строки матрицы А были линейно независимы.
Например, положим К3 = у (а) и У4 = —у (Ь). При этом матрица А
примет вид
а12
«22
А =
a2i
0
1
0
«13
а2з
0
0
а14
«24
0
— 1
(15.112)
Из формулы (15.112) следует, что \А\
и-'>т=-х
—«23
«1з
^34
о
о
—Аи
0
—Д13 ф 0. Тогда
«и 0
11
—а
Ли
~Л14
о
о
Ais
(15.113)
Подставляя матрицы (15.101) и (15.113) в соотношение (15.106),
имеем
1
х
о
о
-Д1з/>2 W
Ais
«2302 (fl) 0
-«1зР2 (а) 0
—^2302a — 0
-Ais lPi (а) — 0i (fl)l
—А34Р2 (а) -А13Р2 (b)
«2102 (Ь)
"«1102 (Ь)
A12p2 (b)
—Ai* 0a(b) + A13
[0i W- 02W]
"6-
(15.114)
Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид
l/з = Л И и' И + [р5 (а) - Pi (fl) + -^f Р2 (fl)] и (а) -
_ AjLp2(b)u(fc) = 0, (15.115а)

15.5. Граничные условия общего вида 431
Щ = р2 (Ь) и' (Ь) +^-р2 (а) и (а) -
а13
- [pi(b)~ Р2ф)-^Р2(Ь)] и{Ь) = 0, (15.1156)
что полностью совпадает с граничными условиями (15.78), если
учесть соотношения (15.63).
Для того чтобы краевая задача (15.60), (15.61) была
самосопряженной, необходимо, чтобы L = L* и чтобы каждая из
компонент (/3 и (/4 являлась линейной комбинацией Yx (u&) и Y2 (ub).
Как указывалось выше, L = L* тогда и только тогда, когда рг =
==/02- При этом условия (15.115) принимают вид
и'{а)+-^и{а)^^^иф) = ^
Л / . Л (15.116)
и'ф) + д34Р2S и(а) + ^и(Ь) = 0.
Разрешая равенства (15.61) относительно у' (а) и у' (Ь) при рх =
-— р2 :=; 0 и заменяя у на а, получаем
Ais v ' ' А13
a'(fl) = --ra-M(fl) + 4si-«(*).
«'<*> = -^<*>-*«<*>-
(15.117)
Д12 / ч Ai
^13 V ' A13
Сравнивая граничные условия (15.116) и (15.117), заключаем, что
они совпадают тогда и только тогда, когда
Рг(а) Лз4 = р%(Ь) Д12. (15.118)
Соотношение (15.118) представляет собой равенство (15.83),
полученное в предыдущем параграфе. Следовательно, краевая
задача (15.60), (15.61) при Д1з ф 0 самосопряжена тогда и только
тогда, когда выполнены соотношение (15.118) и равенство рг =
Условие разрешимости
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению
неоднородной задачи (15.60), (15.61). Используя определение
(15.111), перепишем формулу Грина (5.105) в виде
ь
J uL(y)dx=Y1U1 + YJJt. (15.119)
а
В силу уравнения (15.60) и граничных условий (15.61) L (у) =
= / (х), Yx — р! и Y2 — Р2; тогда из соотношения (15.119)
вытекает, что условие разрешимости имеет вид
ь
РА + W* = j / (х) и {х) dx. (15.120)

432
Гл. 15. Условия разрешимости
Для того чтобы сравнить условие (15.120) с условием
разрешимости (15.88), полученным в предыдущем параграфе, используем
связь 1!г и 02 с вектором ub, описываемую формулой (15.114),
т. е.
U1 = - a*fJa) и(а)~ a^Jb) u{b)y
При этом соотношение (15.120) принимает вид
an\~a2lPl Р2 (Ф и(Ь) - «^"«А и (а) р2 (а) =
= \f(x)u(x)dx,
что полностью совпадает с условием (15.88), если учесть
соотношения (15.63).
Сравнивая вывод условия разрешимости в настоящем и
предыдущем параграфах, можно заметить, что процедура,
использованная в § 15.4, требует меньшего объема вычислений. Поэтому, если
приходится иметь дело с граничными условиями общего вида,
подобными (15.61), можно порекомендовать выразить какие-либо
два из граничных значений (функции или производной) через два
других, аналогично тому как это проделано в (15.62), и затем
действовать, как в предыдущем параграфе.
15.6. Простая задача на собственные значения
Рассмотрим задачу на собственные значения
у" + lX + sg(x)]y^0, е« 1,
У (0) - 0, у (я) = 0,
где X — собственные числа. Поскольку значения X зависят от
малого параметра е, будем искать равномерное разложение первого
порядка с помощью метода растянутых параметров, раскладывая
в ряды по степени е не только решение у, но и собственные числа X:
У = Уо (х) +гуг(х) + • •-, (15.123)
X = Х0 + гХ1 + • • • .
Подставляя разложения (15.123) в уравнение и граничные условия
(15.122), имеем
Уо ~Ь Щ + [Х0 + еХ{ -f eg"] (у0 + щ) -| =0,
#o(0) + eyi(0) f -0, !/0(л) + £!/1(я)+"-0.

15.6. Простая задача
433
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е дает
для порядка е°:
yl + ^оУо = О,
Z t \ п (15Л24>
для порядка е:
y'i + ^oyi = ~£*/о — ^i*/o> (15.125)
01 (0) = *1 (я) = 0. (15.126)
Общее решение дифференциального уравнения в (15.124) можно
записать как
у0 = сх cos У Я0 л: -| - <г2 sin у'Я0 *.
Воспользовавшись краевым условием у0 (0) = 0, находим сг = 0.
При этом второе граничное условие приводит к уравнению
c2s'm -]/К0п = 0.
Для того чтобы существовало нетривиальное решение (т. е. при
с2 ф 0), Х0 должно удовлетворять уравнению
sin>/A,0tt = 0, или }'Х0п = пл, п-=1,2,....
Таким образом, с точностью до членов первого порядка малости
собственные функции имеют вид
у0 = sin пх, (15.127)
а собственные числа равны
Х0 - п2. (15.128)
Подставляя выражения (15.127) и (15.128) в уравнение (15.125),
получаем
у[ + п2у\ = —g(x) sin пх — Xi sin пх. (П. 129)
Поскольку однородная задача, соответствующая (15.129), (15.126),
имеет нетривиальное решение, неоднородная задача обладает
решением, только если выполнено некоторое условие разрешимости.
Вместо того чтобы применять общие результаты предыдущего
параграфа, на наш взгляд, будет более поучительным вновь
вывести это условие для рассматриваемого частного случая.
В уравнении (15.129) р2 = 1 и рх = 0, так что р\ = ръ т. е.
условие (15.118) выполнено, и задача является самосопряженной.
Следовательно, в качестве решения сопряженной задачи можно
взять функцию и = у0 sin пх. Умножая уравнение (15.129) на и
и интегрируя полученный результат от х = 0 до х = я, после
некоторых преобразований получим
я я
J УЛи + n2u)dX'\- [y\u\ — y\u] = — J lg(x) + k[]us'mxdx.
о 0
(15.130)

434
Гл. 15. Условия разрешимости
Поскольку а = sin пх и уг (0) = 0, ух (л) = 0, левая часть
соотношения (15.130) обращается в нуль, и условие разрешимости
принимает вид
л я
j g (х) s'm2 пх dx-\- Хх J s'm2nxdx = 0.
о о
С учетом того, что второй интеграл равен л/2, последнее
соотношение переписывается как
я
А* = —-^-j" g(x)sin2nxdx. (15.131)
о
Подставляя выражения (15.127), (15.128) и (15.131) в разложения
(15.123), находим, что в первом приближении
у = sin пх + О (е),
2р Р <15Л32>
Я = я2 - -^- J g (jc) sin2 пх dx f О (e2).
о
15.7. Вырожденная задача на собственные значения
Рассмотрим следующую задачу на собственные значения:
У" + (Ь + е/ (х)] у = 0, в « 1, (15 133)
У (0) ==»(!), 0'(О)=у'(1>-
Как и в предыдущем параграфе, будем искать равномерное
разложение первого порядка, раскладывая у и X в ряды по степеням е:
У (х, г) - у0 (х) + гУ1 (х) + , • (15.134)
X = Х0 -\~ гкг + • • • .
Подставляя разложение (15.134) в уравнение и граничные условия
(15.133) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г
в обеих частях этих соотношений, получаем
для порядка е°:
Уо + ^о0о = 0,
f/o(0) = r/o(i), f/i(0)=f/o(i); (15,135)
для порядка г:
У\ + Uy\ = - (Xi + f)yo,
yi(0) = yx(D. yi{0) = yi(i). ( }
Общее решение уравнения в (15.135) можно записать как
Уо = (*\ cos У%0х f- а2 sin }/Х0х.

15.7. Вырожденная задача
435
Удовлетворяя граничным условиям (15.135), имеем
ах = ах cos у К0 -\- а2 sin у Х0,
а2 = —ах sin ух Х0 -f 02 cos -j/A,0,
или (cos/Го- lK + sini/Гоа^О,
/— / /— \ (15.137)
—sin у Kai-\~ (cos у А0 — 1) а2 = 0.
Для того чтобы существовало нетривиальное решение системы
уравнений (15.137), ее определитель должен равняться нулю, т. е.
(cosy Х^- l)2-f sin2-р h = Q, (15.138а)
что при действительных А,0 дает х
sin у Х0 = 0 или cos V Х0 = 1,
откуда Л0 = 4л2я2, л = 0, 1, 2, ..., (15.1386)
причем из системы уравнений (15.137) вытекает, что аг и а2
могут быть произвольными числами.
Тогда
у0 = аг cos 2плх + а2 sin 2плх (15.139)
при произвольных аг и а2.
Таким образом, при любом Х0 = 4/г2я2, где п ^> 1, существуют
две линейно независимые собственные функции, а именно cos 2лпх
и sin 2лпх. Задачи на собственные значения с двумя или более
собственными функциями, отвечающими одному и тому же
собственному числу, называются вырожденными. Вырождение
является результатом симметрии и может быть снято, если эта
симметрия будет нарушена. Покажем, что в данном примере
асимметрию, устраняющую вырождение исходной задачи, может
вносить член / (х) у (х).
Подставляя решение (15.139) в уравнение (15.136) и учитывая,
что К0 — 4 л2 л2, имеем
у[ -\- 4п~л2у\ = — (к\ + /) (а\ cos 2лпх -f я2 sin 2лпх). (15.140)
Поскольку задача для однородного уравнения, соответствующего
(15.140), совпадает с задачей (15.135) и поэтому имеет
нетривиальное решение, неоднородная задача относительно ух имеет
решение, только если выполнены условия разрешимости. Для
нахождения этих условий умножим уравнение (15.140) на и (х) и
проинтегрируем полученный результат от х - 0 до х = 1. В результате
некоторых преобразований получим
1
[у[и — у\и\Ъ +)У\ (и f \nziu)dx =
о
1
=— | и (Xj + /) (ах cos 2лпх -\ а2 sin 2лпх) dx. (15.141)
6
1 Комплексных решений уравнение (15.138а) не имеет. — Прим. перев.

436
Гл. 15. Условия разрешимости
Для того чтобы найти вид уравнения и граничных условий
сопряженной задачи, рассмотрим прежде всего задачу для
однородного уравнения, соответствующего (15.140), т. е. положим в
формуле (15.141) А,! = 0 и / = 0. Сопряженное уравнение получаем,
как обычно, обращая в нуль коэффициент при у в интегральном
члене в соотношении (15.141), т. е.
а" + 4п2п2и = 0. (15.142)
При этом соотношение (15.141) принимает вид
yi(l)u(\)-yi(l)u'(l)-y{(0)u(0) + y{(0)u'(0) = 0. (15.143)
Но в силу граничных условий (15.136) у1 (0) = ух (1) и у\ (0) =
= у[ (1), и, следовательно, соотношение (15.143) можно
переписать как
[u(l)~-u(0)]yi(\)-lu'(l)-u'(0))yi(l)^0. (15.144)
Выбирая сопряженные граничные условия так, чтобы
коэффициенты при £/х (1) и у[ (1) обращались в нуль одновременно, имеем
и (1) = и (0), и (1) = и (0). (15.145)
Таким образом, однородная краевая задача, соответствующая
(15.136), является самосопряженной, и поэтому
и = sin 2ппх или cos 2ппх. (15.146)
Определив сопряженную задачу, вернемся к неоднородной
краевой задаче. Используя уравнение (15.142) и граничные условия
(15.145), приведем формулу Грина (15.141) к виду
1
J и(*)[^i + /(*)] (aiQos2nnx + 02sin2лпх)dx = 0, (15.147)
о
откуда и получаются искомые условия разрешимости. Отметим,
что соотношение (15.147) должно выполняться для всех
допустимых функций и (х), удовлетворяющих условиям сопряженной
задачи. В данном случае, если п ^ 1, и (х) = sin 2ппх или
cos 2лпх. Следовательно, неоднородная задача (15.140)
разрешима относительно уъ только если условие (15.147) выполняется
при и (х) = sin 2лпх и и (х) = cos 2лпх.
Полагая в соотношении (15.147) функцию и (х) равной
sin 2лпх и cos 2ппх соответственно, получаем
/»fli + (*i +/n)flt = 0 (15.148)
и (К +Ы)аг +/12д, = 0, (15.149)

15.7. Вырожденная эадача
437
где *
/и = 2 J / (л:) sin2 2ппх dx,
о J
1
/12 == 2 j / (х) sin 4ппх dx,
о
1
/22 =
2j/(*)cos22n/zxd*.
Требование существования нетривиального решения системы
уравнений (15.148), (15.149) приводит к условию обращения в нуль
определителя этой системы, т. е.
^i + (/и + /22) h + /11/22 — /12 = О»
откуда
М1>8> = J-(/„ -|-Ь)+ -тШп -/22)2 + 4/?2],/2. (15.150)
Тогда из уравнения (15.149) следует, что
ai = -X™ + F*av (15.151)
/12
Таким образом, в первом приближении имеем либо
уО) = cos2rtAix - X[U +/22 sin 2лпх + О (г),
Х<"> = 4/iV - 4" е I/» + /» + W" " М2 + 4/?2],/2} + О (г2),
(15.152)
либо
</<2> = cos 2rou - **" + h'2 sin 2ллл: + О (г),
Х« = 4/iV - 4 е '/и + Ь - [(/п ~ Ы2 + 4/22]1/2} + О (в2).
(15.153)
Следовательно, при условии, что Х\1) отличается от Х[2) (т. е.
/и Ф /22 и /12 =т^ 0), вырождение снимается, поскольку каждому
из собственных чисел Х<т) соответствует только одна собственная
функция у(т). Если А,}0 = A,i2), то вырождение может быть снято
в высших приближениях теории возмущений.

438
Гл. 15. Условия разрешимости
15.8. Звуковые волны в канале с волнистыми стенками
Рассмотрим задачу о распространении линейных гармонических
звуковых волн в плоском канале (волноводе), ширина которого
меняется по синусоидальному закону. Математически задача
ставится так:
Ф*х + %у + <о2ф = 0, (15.154)
Ф^ = 0 при у — 0, (15.155)
Фу = zkwVx cos kwx при у = 1 + е sin kwxf (15.156)
где со и kw — постоянные величины и г — малый безразмерный
параметр. За исключением формы граничных условий, данная
задача является прототипом задач о распространении по
волноводам электромагнитных и упругих волн.
В качестве первого шага для получения равномерно
пригодного разложения первого порядка построим прямое разложение
вида
Ф = Фо (х, у) + еф! (*,{/) + ••• . (15.157)
Отметим, что граничное условие (15.156) поставлено при у —
= 1 +esinkwx. Поэтому при подстановке разложения (15.157)
в граничное условие малый параметр е будет входить не только
в коэффициенты при последовательных членах разложения, но
и в аргумент функции ф. Поскольку обычная процедура метода
возмущений состоит в приравнивании коэффициентов при
одинаковых степенях 8, мы не сможем провести ее до тех пор, пока не
исключим параметр 8 из аргумента ф. Чтобы добиться этого,
проведем так называемый перенос граничных условий. В данном
случае мы перенесем граничные условия с поверхности у = 1 +
+ е sin kwx на плоскость у = 1 с помощью тейлоровского
степенного разложения. Запишем ф» при у = 1 + е sin k^ в условии
(15.156) как
% (х, 1 + е sin kujX).
Раскладывая эту функцию в ряд Тейлора в окрестности у = 1,
имеем
Ц)у(х, 1 + еsinkwx) = Ц)у(х, \) + %y{xt l)8Sinfcu,A; +
+ -ТГ Ъуу (х> 1)е2 sln2 kw* +
+ "ЗГ Vywv (х> ^ е3 Sin3 kwXJ[ '
Аналогичным образом раскладываем в ряд Тейлора
производную фх:
фж(л:, 1 + е sin kwx) = Ф* (х, l) + yxy(xf \)ss[nkwx +
+ ТГ У*уу (Xf J )e* sin2 kwX +
+ IT V*wv (x> ^ e' sln3 ku)X "I *

15.8. Звуковые волны в канале
439
Подставляя полученные тейлоровские разложения в граничные
условия (15.156), находим
уу(х, \) + гц>уу(ху \)s\nkwx = zkwqx(xi \)zoskwx-\ . (15.158)
Тем самым мы совершили перенос граничных условий с
поверхности у = 1 + е sin kwx на плоскость у = 1 и исключили е из
аргументов функций фх и qy Теперь можно продолжить процесс
построения прямого'разложения.
Подставляя разложение [(15.157) [в уравнение (15.154) и
граничные условия (15.155) и * (15.158)"[имеем
Фо** + Щххх + Щуу + Щ1уу + «2Фо + ecoV + • -. = О,
Фоу (х> 0) + е<р1у (х, 0) Ч =0,
<?оу(х9 I) + г(р1у(х,1)^E^0yy(xtl)s\nkwx = Ekw^0x(xtl)coskwx-] .
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е
в обеих частях каждого из написанных выше соотношений
приводит к последовательности задач следующего вида:
для порядка е°:
для порядка е:
—ФоуИ*» \)sinkwx-{- kw(p0x(xy 1)со$£шл:. (15.164)
Поскольку уравнение (15.159) имеет постоянные коэффициенты,
соответствующая задача может быть решена с помощью метода
разделения переменных. С этой целью положим
ц>о = Х(х) Y(y). (15.165)
В результате имеем
X"Y + XY" + tfXY = 0, (15.166)
X (х) Г (0) = 0, (15.167)
Х(х) Г (1) = 0. (15.168)
Разделив (15.166) на произведение XY и перегруппировав
члены уравнения, получим
-4L = ir+c°2- (15Л69>
Фок* + Фош + ©2Фо = 0,
Фо» (х, 0) = 0,
Фо;, (х, 1) = 0;
фь:* + 4>1уу + ©V = 0,
Фи, (х, 0) = 0,
(15.159)
(15.160)
(15.161)
(15.162)
(15.163)

440
Гл. 15. Условия разрешимости
Поскольку левая часть (15.169) зависит только от ху а правая
часть только от у, обе части этого уравнения должны равняться
одной и той же постоянной, т. е.
-4" = Ь> (15.170)
-£- + со2 = Ь. (15.171)
Уравнение (15.170) можно записать как
X" + ЬХ = 0.
В случае распространяющихся волн функция X должна
меняться по синусоидальному закону, поэтому Ь должно быть
положительным.
Обычно полагают Ъ = fc2, так что
X = exp (± ikx), (15.172)
где k — так называемое волновое число. Полагая Ъ = &2,
перепишем уравнение (15.171) в виде
Y" + (со2 — k*) Y = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Y = сг sin ]/ со2 — k2 у + c2cos>/cd2-£2(/. (15.173)
Поскольку X (х) не обращается в нуль тождественно, из
соотношений (15.167) и (15.168) следует, что
Г (0) = Г'(1) = 0. (15.174)
Подчиняя этим условиям решение (15.173), находим, что сг = 0
и |/со2 — кг = пп, или
kl = u2-л2п\ л = 0, 1, 2,... . (15.175)
Т..г да
Y = cos лш/. (15.176)
Подставляя выражения (15.172) и.(15.176) в формулу (15.165),
имеем
Ф0 = е'*л*cosлпу или e~ikn*cosnny, (15.177)
где одно из решений соответствует волне, распространяющейся
в прямом направлении, а другое решение — волне,
распространяющейся в обратном направлении. Решение, соответствующее
заданному номеру я, называется n-й модой.

15.8. Звуковые волны в канале 441
Возьмем решение со знаком плюс в показателе экспоненты.
Подставляя его в граничное условие (15.164), имеем
<Pi„(*» !) = (~l)n n2n2eiknX sin kwx + i (—1)" knkweik"x cos kwx =
= (-iynWeik*x ^L(etk^ - e~ik«>x) +
+ i(—\)n knkweik*x • -i-(«'V + «-'*«*) -
= de' <*"+*»>x + &*' <*«"*"> *, (15.178)
где d = 4" (- ^ l (*»*« " n2jl2)» ^ = 4" (-^< (*п*м + n2*2)-
(15.179)
Чтобы найти решение задачи (15.162), (15.163), (15.178)
относительно фь заметим, что граничное условие (15.178) неоднородно
и его форма позволяет воспользоваться разделением переменных
в следующем виде:
ф1 = фг (у) е{ (*»+*•)х + ф2 (у) J (*»-*•>*. (15.180)
Подставляя выражение (15.180) в уравнение (15.162) и граничные
условия (15.163) и (15.178), имеем
[О! + «foi 1 е (*Л) Ч [Ф2 + ^Ф2] е ^'^х = 0,
Ф1 (0) ес (*«+*») * + Фг (0) е( (kn~kw) х = о,
Ф[ (1) е* (*»+*»)' + Ф5 (1) *' (*«-*») * = ^ (*«+*») * _)_ g^' (*«-*») *,
где а? = со2 - (Ая + kw)\ а\ = со2 - (Лй - Аш)2. (15.181)
Приравнивая коэффициенты при каждой из экспонент в обеих
частях этих соотношений, получаем
ФГ + «2Ф1 = 0,
Ф[(0) = 0, Ф1(1) = СГ,
Фг + а\ = 0,
Ф5(0) = 0, Ф2(1) = Ь.
Общее решение уравнения (15.182) записывается как
Фх = сг cos агу + с2 sin а^у.
С учетом граничных условий (15.182) находим, что
с2 = 0, С\ = —ЬаГ1 sin""1 ai
и, следовательно,
ф = Ь cos aij/
1 ai sinax
(15.182)
(15.183)

442
Гл. 15. Условия разрешимости
Аналогичным образом, решение задачи (15.183) можно
представить в виде
ф _ £2 cos а2у
2 a2sina2
Таким образом, имеем
= _ Ci cos сад i (*n+kw) x _ £2CQsa2j/ t (kn-kw) x
^ aisinax a2sina2 * ^10.10^;
Подставляя теперь решения (15.177) и (15.184) в разложение
(15.157), получаем
Ф = cosnnyeik*x - г Г Si£««ULе* (*»+*»>* +
^ V L al SHI OLx ]
Анализ разложения (15.185) показывает, что оно становится
непригодным при sin ax = О (г) или sin a2 = О (е). Если sin ax
или sin a2 обращается в нуль, второй член разложения (15.185)
оказывается неограниченным. При sin a,- = О (г) появляются
члены с малыми знаменателями, и разложение становится
неравномерным.
Поскольку равенство sin at = 0 означает, что at = nmf
т = 0, 1, ..., пригодность прямого разложения нарушается при
условиях
со2 - (kn + kwf « л2/л2 или со2 - (kn - kwf ^ п2т2 (15.186)
в соответствии с равенствами (15.181). Учитывая дисперсионное
соотношение (15.175), формулам (15.186) можно придать вид
(kn + kwf ^ k\\ ИЛИ (kn — kwf *** k2m,
или kwt**±kn±km. (15.187)
Иначе говоря, прямое разложение перестает быть справедливым
тогда, когда волновое число, характеризующее «волнистость»
стенки волновода, равно сумме или разности волновых чисел km
и kn двух распространяющихся мод, т. е. при наличии
комбинационного резонанса.
Для того чтобы найти разложение, пригодное при kw «^
л* kn — km% введем параметр расстройки а по формуле
kw = kn-km + Ba. (15.188)
Кроме того, будем использовать метод многих масштабов и
искать решение в виде
Ф (х, у, е) = ф (дс0, х1% у, е) = ф0 (лг0, хъ у) +
+ еф1 (хв, хи у) + ■■• , (15.189)

15.8. Звуковые волны в канале
443
где х0 = х и хх = гх. При этом
д* "" дх0 ^ь дхг ' дх* дх* r Zfc длг0 д*х ^
(15.190)
Подставляя разложения (15.189) и (15.190) в уравнения (15.154)
и граничные условия (15.155) и (15.158) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
для порядка е°:
-g^ + |^-fco4 = 0, (15.191)
-*&- = () при у = 0, -*&. = <) при 0=1;
для порядка е:
"ЖГ + ~^~ + со ф1 — —2 g^^-^, (15.192)
^L = 0 при у = 0, (15.193)
^df = ~ "^~ sin kwX° + *« "^" cos *"*° ПРИ # — !'
(15.194)
где sin kwX и cos kwx выражены через переменную х0 в
предположении, что величина kw достаточно далека от нуля.
Решение (15.191) можно получить с помощью метода
разделения переменных, как это сделано выше. Однако теперь вместо
решения (15.177), содержащего одну моду, выберем ф0 в виде,
содержащем две взаимодействующие моды, т. е. запишем решение
в виде
фо = А п (a-j) cos яш/£>1'***° + Am (*i) cos птуе'*™*», (15.195)
где km и kn определены соотношением (15.175), а функции Am
и An подлежат определению в дальнейшем из условия
разрешимости задачи второго приближения. Подставляя выражение
(15.195) в уравнение (15.192) и граничное условие (15.194), имеем
-й-+-Зг-+«^=- Ш"А*cos nnУe"lnX', -
**» ду (15.196)
— 2ikmA'm cos птуе'*™*»,
+ UA»e' (""^"о + ЪтАте1 (*«-*»)*• при «/= 1,(15.197)
где £i„. £2я и Cimi Ssm определены соотношениями (15,179) при
значениях индекса, равных соответстренно чии,

444
Гл. 15. Условия разрешимости
Для того чтобы найти вид условий разрешимости для задачи
второго приближения, подставим прежде всего соотношение
(15.188) в граничное условие (15.197), с тем чтобы преобразовать
члены с малыми знаменателями в секулярные члены. В
результате получим
ду
h = 1тАпе1 <2*»-*т+"> -о + г2пАпе< (к™~*°) *о +
+ llmAj (kn+>°) Хо + ^AJ (2^-*n-ea) *%% y=l
или
д<р
ду
3- - tlnAne'aW <2*' -*т) *» + С1яЛлв-'°V*™*. +
+ £1пИтЛ'*"*о + UA»e_'eV <**".-*») \ t/ = 1. (15.198)
Заметим, что только члены, пропорциональные exp (ikmx0) и
exp (iknx0) в правых частях (15.196) и (15.198), могут привести
к несовместности, поэтому условия разрешимости должны быть
наложены лишь на эти слагаемые. Эти условия разрешимости
можно получить, если искать частное решение, соответствующее
указанным членам, в виде , ] * t \
Ф1 = Фп (*ь У) eik»xo + Фт (хъ у) eikmxo. (15.199)
Подставляя выражение (15.199) в уравнение (15.196) и граничные
условия (15.193) и (15.198) и приравнивая коэффициенты при
exp (iknx0) и exp {iknx0) в обеих частях этих соотношений, с
учетом формулы (15.175) получаем
(15.200)
—д-дг + я 2/г2Фл = — 2lknAn cos ппу,
d®" = о и — 0 дФп — £, A eiox* и — 1 •
£§hl + я V<Dm = —2ikmA'm cos пту,
(15.201)
ду —v' * ~W| ду
Таким образом, нахождение условий разрешимости для ф2
сводится к определению условий разрешимости для функций Фл
и Фш.
Уравнение задачи (15.200) самосопряженное благодаря тому,
что в этом уравнении р2 = 1 и рг = 0. Поэтому решение
сопряженной задачи можно выбрать в виде и (у) = cos ппу. Умножая у ка-

15.8. Звуковые волны в канале 445
занное уравнение на и (у) и интегрируя полученный результат
по частям от у = 0 до у = 1, получаем
J (и + п2п2и) Фп dy + [ ^- и - Ф„ы'] * = 2i*„i4« j a cos ллу dy.
о о
(15.202)
Поскольку и = cos лпу, соотношение (15.202) переходит в
равенство
—тг— cos яяу
= — ёбЛлЛл,
где б = 1 при п ^5 1 и б = 2 при м = 0. Используя граничные
условия задачи (15.200), имеем
(-i)4imAmeiaXi =-/ew;
или A'n = (~\)nibmk-xb-{AmeioXl . (15.203)
Аналогичным образом, при т Ф 0 можно найти условие
разрешимости задачи (15.201)
Ат = (-1)т1Г2п&Апе-'ох>. (15.204)
Если положить
Ап = а„ exp (i'Yi*i), Ат = ате exp (*ул). (15.205)
где а„, ат, Yi> Y2 — постоянные величины, то из уравнений
(15.204), (15.205) следует, что
iyian = (-l)n%lmk-]6-lami (15.206)
*^* = (-1Г'Ьп*«Ч» (15.207)
Y2 = Yi — *• (15.208)
Исключение у2 и ат из системы уравнений (15.206)—(15.208)
дает
Yi(Yi - а) = (-1)п+т(кпкт6ГПшЪп,
ИЛН VI - CXY1 - (- О^ (Мтб)"1 £lm£2n.
Следовательно,
Yi = 4"a=F [т о" + (— 1)я+т (Л^Лжв)-1 СжтЬ»]1/Я • (15.209)
Подстановка этих выражений в (15.205) позволяет определить
зависимость амплитуд двух взаимодействующих мод от медленной
переменной хг.

446
Гл. 15. Условия разрешимости
15.9. Колебания мембраны, близкой по форме к кругу
Рассмотрим малые колебания мембраны, форма которой близка
к кругу. В безразмерном виде математическая постановка задачи
сводится к следующему:
d2w \ dw , 1 d2w d2w ~
дг2 + г дг ^"W "dp W ~~ >
\w\ < оо при Г = 0,
w - 0 при г = 1 + е/ (в),
(15.210)
(15.211)
(15.212)
причем средний радиус мембраны равен 1, так что
2л
J /(в) 49 = 0. (15.213)
о
Рассматривая гармонические по времени колебания, положим
w (г, 6, 0 = Ф ('. 9 )cos (со/ + т), (15.214)
где со — безразмерная частота. Подставляя выражение (15.214)
в условия задачи (15.210)—(15.212), для амплитуды колебаний
получаем
|ф| < оо при г = 0, (15.216)
ф = о при г = 1 + е/(9). (15.217)
Как и в предыдущем параграфе, необходимо перенести
граничные условия с линии г = 1 + е/ (9) на окружность г = 1 с
помощью разложения в ряд Тейлора. Таким ^образом, условие
(15.217) перепишем в виде
Ф(1,в) + е-^(1,в)/(в)+...=0. (15.218)
Для того чтобы построить равномерно пригодное разложение
первого порядка для функции ф, используем метод растянутых
параметров, раскладывая ф и со в ряды следующим образом:
Ф = Фо ('. 9) + ефх (г, 9) + •, (15.219)
со = со0 + есох + • • • .
Подставляя разложение (15.219) в уравнение (15.215) и условия
(15.216) и (15.218) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях е, получаем

15.9. Колебания мембраны
447
для порядка е°:
~а72- + -—аГ + ~ ~W^ + °W0 - и> (15.^0)
|Фо(0, в) |< oof (15.221)
ФоО. в) = 0; (15.222)
для порядка е1:
"^+4^Г + 7ГТ + «** = -2СО0СО.Ф0, (15.223)
|ф1 (0, 9)| < оо (15.224)
ф1(1.0) = ^-(1,в)/(в). (15.225)
Решение задачи нулевого порядка можно получить с помощью
метода разделения переменных. Так, полагая в уравнении (15.220)
Фо = /?(г)6 (6), (15.226)
имеем
#"0 + ± #'0 + J- р>в" + со02/?в = О,
или -jt (r2R + rR' + rW0R) 4-^=0.
Следовательно,
е" = -ре, r2R+rR +(*lr2R = $R.
Решение уравнения для функции 0 можно представить как
в = дг cos /р9 + с2 sin /р е.
Для однозначности в, а значит, и ф0 следует положить -/р = л,
где п — некоторое целое число.
Тогда
e = c1cosn9 + c2sinne, (15.227)
и уравнение для функции R принимает вид
r*R + rR + (cogr2 -n2)R = 0.
Это уравнение представляет собой уравнение Бесселя порядка п\
его общее решение записывается в виде
R = czJn (щг) + CtYn (со0г). (15.228)
Подставляя выражение (15.226) в условия (15.221) и (15.222),
получаем граничные условия для функции R : | R (0) | < оо
и R (1) = 0. Поскольку при г-> 0 Yfi ->- оо (см. § 13.3), условие

448
Гл. 15. Условия разрешимости
| R (0) | < оо требует, чтобы с4 = 0. При этом граничное условие
/? (1) = 0 приводит к характеристическому уравнению
-Мсоо) = 0- (15.229)
Таким образом, имеем
соо = 0«п. (15.230)
где Qnm — корни уравнения Jn (£2) = 0. Следовательно,
ф0 = Jn (Qnmr) [сг cos л 9 + с2 sin лО ],
или Фо = Ja (Qnmr) (Anme'»Q + Лпте~^), (15.231)
где Апт — комплексные постоянные. Решение вида (15.231) при
заданных пит называется л/л-й модой; полное же решение
задачи содержит сумму вкладов всех мод. Исследуем теперь
влияние отклонения формы мембраны от круга на частоту Q„;n nm-й
моды.
Заметим, что при заданной частоте Qnnl существуют две
колебательные моды, а именно
Jn(®nmr) cos л9 и Jn(Qnmr)s'mnQ.
Следовательно, о круглой мембране можно говорить как о
вырожденной системе, поскольку одному собственному значению
(частоте) соответствуют две линейно независимые собственные
функции (моды). Вырождение является результатом высокой
симметрии системы и, как показано ниже, может быть снято при
нарушении симметрии.
Подставляя выражение (15.231) в уравнение (15.223) и
граничное условие (15.225) и полагая со0 = Q^,, имеем
= -2&птщ]п {Qnmr) (AnmeinQ + Anme~in% (15.232)
<р,(1, 6) = ~-Q„mj;^m)/(e)[^m^e + ~Апте-ш]. (15.233)
Далее, разложим функцию / (8) в ряд Фурье:
оо 2Л
/(9)= 2 /«*"°. /* = "SrJ fme-">6dQ, (15.234)
q=—оо 0
где /0 = 0 в соответствии с условием (15.213). Следуя методу
разделения переменных, представим в виде ряда Фурье и искомую
функцию фх:
Ф1 =- 21 Ф*(г)*<*8. (15.235)
&=—оо

15.9. Колебания мембраны 44$ .
Подставляя ряд (15.235) в уравнение (15.232), имеем
2 [ф;+-|-ф* + (<&- - -£-) ф*] ^ =
k
= -2Qnm^Jn (Qnmr) [Апте'я* + ~Апте-<"*],
что после умножения на ехр (—isQ) и интегрирования от Э = О
до Э = 2я дает
ф; + -L ф; + (0Sm - -£-) Ф* - -2Q„mcoH„m//l (Q„mr),
(15.236)
Ф; + 4ф^+("^-~-^-)ф^ = 0> s^"- (15.237)
Аналогичным образом, подставляя ряды (15.234) и (15.235) в
граничное условие (15.233), имеем
£ ФЛ (1) в'** = -Q„m/; (Q„m) 23 [Anmf^ <«+"> о +
что после умножения-на ехр (—ts8) и интегрирования от 9 = О
до 0 = 2я дает
Ф, (1) ^ —QnmJn (Опт) [Anmfs-n + AnMf*+nl (15.238)
Наконец, подстарляя ряд (15.235) в условие (15.224) приходим
к выводу, что функции Фв (г) должны удовлетворять условию
ограниченности:
|Ф.(0)| <оо. (15.239)
В случае если s Ф п, задача (15.237)—(15.239) для функции Фв
имеет единственное решение, потому что соответствующая
однородная задача имеет только тривиальное решение. Поскольку мы
не собираемся продолжать разложение до членов более высоких
порядков по е, нет необходимости находить функции Фв. При
s = n однородная задача, соответствующая (15.236), (15.238),
(16.239), имеет нетривиальное решение, и поэтому неоднородная
задача имеет решение только при выполнении некоторого условия
разрешимости. Для нахождения упомянутого условия умножим
уравнение (15.236) на /ус тем.чтобы это уравнение можно было
переписать, в самосопряженной форме
(гФпУ + (а\тг - -т~) ф" = -20«*М«*гЛ, (ОптГ).
(15.240)

450 Гл. 15. Условия разрешимости
Кроме того, полагая в граничном условии (15.238) s = п, имеем
Фп (1) = -QnmflnJn (QnmAnm), (15.241)j
поскольку /0 = 0 в соответствии с (15.213).
Заметим, что уравнение (15.240) имеет регулярную особую
точку в начале координат, и поэтому вместо условия типа (15.61);
в роли граничного условия в этой точке выступает условие
ограниченности (15.239). В связи с этим придется рассмотреть
построение сопряженной задачи и вывод условия разрешимости бо-'
лее подробно.
Умножая уравнение (15.240) на и (г) и интегрируя
полученный результат по частям в пределах от г = 0 до г = 1, находим
1
J Фп [(ги'У + (р2птГ - -£-) и] dr + [тФк - ги'Фп]\ =
о
1
= -2QnmMn« J ruJn[(Q„wr)dr.|(15.242)
о
Для того чтобы определить вид уравнения и граничных условий
сопряженной задачи, прежде всего используем формулу^ 1(15.242)
для случая однородного уравнения, соответствующего |(15.240)
(т. е. положим правую часть (15.242) равной нулю). Как и ранее,
полагая равным нулю коэффициент при Ф„ в подынтегральном
выражении в левой части (15.242), получаем следующее
сопряженное уравнение:
(ruj + (&птг - —-) и =0. (15.243)
Учитывая, кроме того, граничные условия однородной задачи
Фп (1) = 0 и \Фп (0)| < оо, приведем соотношение (15.242) к виду
и (1)Ф; (1) - Шп [гиФп - ги'Фп] = 0. (15.244)
Выберем сопряженные граничные условия так, чтобы оба члена
в соотношении (15.?44) обращались в нуль независимо, т. е.
и (1) = 0, lim [гиФп - ги'Фп] = 0.
г-*-0
Второе условие удовлетворяется, если функция и ограничена
при г -* 0. Таким образом, сопряженные граничные условия,
которым подчинена функция и, имеют вид
и (0 = 0, |u(0)|<oo. , (15.245)
Следовательно, рассматриваемая однородная задача является
самосопряженной, и в качестве решения сопряженной задачи
можно взять функцию и = Jn (Qnmr).

J5.9 Колебания мембраны
451
Возвращаясь к неоднородной задаче, из соотношения (15.249).
получаем искомое условие разрешимости
1
[rPn(Qnmr)dr. [(15.246)
о
Для вычисления интеграла в левой части (15.246) применим
формулу
г
J гРп (ar) dr = ± rV'n (or) + 4" г2 (1 - £g ) Л (от).
О
(15.247)
Полагая в (15.247) а = Qnm и используя тот факт, что Jn (Q„m) =
= 0, находим
1
J rPn (Qmr)dr = \ Г* (Q„m). (15.248)
о
Подстановка соотношения (15.248) в условие (15.246) дает
^n mhrAnm = —щАпт. (15.249)
Для того чтобы исследовать соотношение (15.249), представим
коэффициенты Апт и f^ в показательной форме, а именно
Апт - -у <W*nm> /■» - ^^ • (1б'2б0>
В результате получим
о): — -QnntF2ne((v*n-**nm). (15.251)
Поскольку поправка <ог к частоте является вещественной
величиной, то из отношения (15.251) следует, что
vt„ — 2рлт = 0 или я.
Следовательно,
Р*™—ПР- или 4-(vi»-«)f (15.252)
и соотношение (15.251) может принять одну из двух форм_
сох = — QnmF2n или ©! = QnnF2n. (15.253)
Подставляя выражения (15.250), (15.252) и (15.253) в формулу
(15.231), полученный результат — в разложение (15.219) и, на*

452 _ Гл. 15. Условия разрешимости
конец, разложение (15.219) — в формулу (15.214), получаем в
первом приближении
и>с1 > = аптJn (Qnmr)cos (п9 + -у-v2n) cos(wV>/ -f т)Н ,
(15.254)
wW = anmJn(Qnmr)sin (/ie + -l.van)cos((o<2)/ + T)H ,(15.255)
где .
©<,>=.Qnm(l-eFlll)+...f (15.256)
(0<2)=Qnm(l+eF2n)+....
Заметим, что в случае круглой мембраны одному собственному
числу Qnrn соответствуют две линейно независимые собственные
функции. Однако в случае почти круглой мембраны различные
собственные функции отвечают различным собственным числам со^>
и о)<2>, если F2ll ф 0. Если же F2n = 0, то для того, чтобы -снять
вырождение, нам необходимо продолжить разложение до членов
более высокого порядка.
15.10. Краевая задача для дифференциального уравнения
четвертого_порядка
В этом параграфе рассмотрим вопрос о построении
сопряженной задачи и найдем условия разрешимости краевых задач для
линейных неоднородных уравнений четвертого порядка при
неоднородных гранцчных условиях. Точнее говоря, мы будем
исследовать задачу
M*)<PIV + Pi (*)*"■+р. <*)ф* +
+ рг (х) ср' + Л (*) Ф - / (*).' (15.257)
Ф (0) = рх, Ф; (0) = Pt, Ф (О ч Р., ф' (1) - Р4. (15.258)
Краевую задачу для уравнения четвертого порядка при
смешанных граничных условиях общего вида обсудим в следующем
параграфе, а в § 15.12 изучим задачу о собственных значениях для
уравнения четвертого порядка.
Для того чтобы найти условия разрешимости задачи (15.257),
(15.258), умножим уравнение (15.257) на функцию и (*), которая
является решением сопряженной задачи и подлежит определению
Э дальнейшем, и проинтегрируем полученный результат почленно

15 JO. Краевая задача для уравнения 4-го порядка 453
в пределах от х = 0 до х = 1 (т. е. по всему промежутку,
определяемому граничными условиями). В результате получим
1 11 1
J P*u4>lv dx + J РзИф" dx + ) р2"ф" dx + J pxU(p' dx +
о о
l l
+ J poiiydx^: ( u/d*. - (15.259)
о б
Далее, проинтегрируем члены, содержащие производные
функции ф, по частям, чтобы «перебросить» дифференцирование на
функцию и. Выпишем результаты интегрирования по частям для
каждого члена в левой части (15.259) в отдельности:
J р4иФ1У dx = Ptu<pm |J - J (pAuY ^dx =
о 0
1
= 1Л«ф" - (Ли)' q>"lj + J (ли)" 4>"dx =
0
1
= \P4tf ~ (ft«)' ф" 4- (ли)" Ф'К - J (Л"Г <?'dx =
0
1
- \pwT - (ли)' ф" + (Р«ЦГ ф' - (WO" ФЙ + J (P4")IV Ф Л,
о
1
[ р&чГ dx — [р8иф* - (ли)' Ф' + (Рз"Г Ф)I - [ (РаиГ Ф *х*
1 1 ~
J ргщ" dx «[раиф' - (р%и)' фЦ + J (раи)". ф'Лг.
1 1
J л«ф# dx » рдо IJ - J (р^)' ф Дг.
о о
С помощью найденных выражений перепишем соотношение
(15.259) как
!
J Ф 1(Л")1У + («О" + (ЛИ)" - (Л«)' + Рои] Лг +
о
+ 1Л«ф" - [(Ли)' - Л"] ф" + [(Л")" - (Ли)' + ЛИ] Ф' -
1
- [(ЛИ)" - (Л"Г + (ЛИ)'-Л"] ф}£ = }/"<**• (15.260)

454 ( " Гл. 15. Условия разрешимости
Как и ранее, сопряженное уравнение получим, приравняв нулю
коэффициент при ф в подынтегральной функции в левой части
(15.260). В результате имеем
(p4w)IV - (PsuT + {ptuY - (Piu)'+ p0u = 0. (15.261)
Для того чтобы однородное уравнение, соответствующее
(15.257), было самосопряженным, оно должно совпадать с
уравнением (15.261). Раскрывая производные и перегруппировывая члены
в (15.261), приведем это уравнение к виду
P4"IV + (4pi ~ РЪ)У + (6/7; - 3/7з + Р2) *> +
+ (4рГ - Ър\ + 2р2 -Pi)" + (рГ - Рз + ft - Р\ + Ро) и = 0.
(15.262)
Условие совпадения уравнений (15.257) и (15.262) дает
±р\ - Рз = Рз» Ар" - Зрз + 2Р2 - Pi = Рь
6р4 — ЗРЗ + Р2 = Р2> P4V — РЗ + Р2 — Pi + РО = РО»
или /73 = 2л, Рз = 2ft. Pi = 2pJ |-Рз + Р2 = —Р4 + Л-
При этбм уравнение (15.257) принимает вид
р4ф + 2р4ф + />2ф + (Рг — Р\) Ф + Роф =* 0,
или ^г (* ■&■) + -Ж" [<Л ~ Я) -S-] + РоФ - 0. (15.263)
Таким образом» произвольное самосопряженное дифференциальное
уравнение четвертого порядка без правой части может быть за*
писано в виде
£(*-$-)+^-(А-&)+Л^0: (15.264)
Заметим, что в то время, как любое дифференциальное уравнение
второго порядка может быть приведено к самосопряженному виду
путем умножения на специально подобранную функцию,
произвольное дифференциальное уравнение порядка выше второго, вообще
говоря, не может быть преобразовано в самосопряженное.
Для того чтобы найти сопряженные граничные условия,
рассмотрим соотношение (15.260) для однородной задачи (т. е. при / =
- 0, рл = 0):
{PtU<pm - ifou)' - р3и] ф* + [(p4w)e - («О' + Р2«1 ф' -
- Км*)" - iPsuY + (p2«)L ~ P2U] ф>1 = о.
Учитывая уравнение (15.261) и однородные граничные условия
Ф (0) = ф' (0) = ф (1) = ф' (1) — 0, получаем
> /VK"0) - 1М' - ЛиЬф'О) - P4"|o<P"(0) +
+ [(Р^)'-Рз"]|оф^О) = 0. (15.265)

15.10. Краевая задача для уравнения 4-го порядка 455
Выберем сопряженные граничные условия так, чтобы
соотношение (15.265) выполнялось при произвольных значениях <р" (0),
ф" 0)> ф" (0) и ер" (1). Для этого необходимо положить равным
нулю коэффициент при каждой из указанных величин. В
результате имеем
и(0) = 0, u(l) = 0, и'(0) = 0, и'(1)^0. (15.266)
Таким образом, сопряженная задача включает в себя уравнения
(15.261) и краевые условия (15.266).
Для того чтобы найти условие разрешимости неоднородной
задачи, вернемся к соотношению (15.260). Используя уравнение
и граничные условия, которым подчинена функция и, находим
i
[p4utp - (рАи + Зр'4и - ръи) q ]о == J uf dx. (15.267)
о
Подставляя в соотношение (15.267) граничные условия (15.258),
перепишем (15.267) как
(РЛ - pAumfo - 3/?УРз + рЛ) \\ —
1
- (рЛ - P4""pi - 3pAufa + /Л) |о = J fu dx. (15.268)
о
Выбирая в качестве функции и любое нетривиальное решение
однородной сопряженной задачи, из соотношения (15.268) можно
получить условие разрешимости задачи (15.257), (15.258). Ясно,
что в случае, когда сопряженная однородная задача имеет лишь
тривиальное решение, условие (15.268) удовлетворяется при
любых значениях р„ и при произвольной функции / (х).
Применим теперь полученные результаты к двум модельным
задачам.
Пример 1
При исследовании вопросов устойчивости пространственных
течений вблизи плоских поверхностей, если сформулировать
соответствующую гидродинамическую задачу с помощью функции
тока и пользоваться методом многих масштабов, возникает так
называемая неоднородная задача Орра—Зоммерфельда
следующего вида:
Ф(0) = 0> |г(0)==0'
ф|- -0, -ЙН -0,' (15.270)

456
Гл. 15. Условия разрешимости
где величины R, k и со не зависят от у, а V и / являются заданным^
функциями у. При этом соответствующая однородная задача пред-*
ставляет собой задачу на собственные значения, у которой су<
ществует нетривиальное решение, только если выполнено
определенное условие разрешимости.
Раскрывая производные в (15.269), перепишем это уравнение
как
<piv _ (2fe* + ikRU — mR) q>" + (k\ +
+ ik9RU — m&R + ikRU") ф = /. (15.271)
Здесь
Pa = 1, P* = 0, p2 = — (2k2 + ikRU — *co#),
Л = 0, po = A4 + **W — to/W? + AW?!/'.
При этом сопряженное уравнение (15.261) переписывается в виде
„iv _ [(2£2 + ikRlJ _ i(0R) иу +
+ (ft4 + i*8/?t/ — i(ok2R + ikRU") и = 0,
или
uiv _ (2fe2 + ikRU _ i(i)R) u» _ 2ikRU'u' +
+ (Л4 + ik*RU — iuk2R) и = 0.
После некоторых преобразований последнее уравнение можно
представить как . *
(£-*)\-«(W-«0(£-*)-2lwf f = 0. .
(15.272)
Граничные условия для функции и имеют вид
«(0)«о, ы'(0) = о, (15273)
и, и' -** 0 при у -> оо.
Определив таким образом сопряженную задачу, воспользуемся
соотношением (15.268), заменяя в нем верхний предел, равный 1,
на оо. Тогда условие разрешимости сводится к соотношению
оо
\fudy = 0. (15.274)
о
Пример 2
Исследование колебаний пластины, имеющей форму, близкую
к круговому кольцу, в случае жестко закрепленной кромки, если
пользоваться при этом методом растянутых параметров, приводит
к следующей неоднородной задаче:
E(*+TT-?),—!-i'-'w (,5-275)
Ф (о) = р„ ф' (а) = 6,. Ф (6) - #„ ф' (») - В„ (15.276)

J5.10. Краевая задача для уравнения 4-го порядка 457
где л, pft (k = 1, 2, 3, 4) и cortm — постоянные величины и Ь > а.
Соответствующая (15.276), (15.275) однородная задача имеет
нетривиальное решение, поэтому для разрешимости неоднородной
задачи требуется выполнить специальное условие.
Вместо того чтобы раскрывать дифференциальный оператор
в круглых скобках в (15.275), группировать члены с производными
одного порядка и применять затем условие разрешимости,
выведенное в предыдущем параграфе, покажем, что удобнее иметь дело
непосредственно с уравнением (15.275), которое можно
преобразовать в самосопряженное, умножая его на функцию v (г) = г.
При этом для вывода условия разрешимости уравнение (15.275)
следует умножить на ги (г), где и (г) — решение сопряженной
однородной задачи, которое подлежит определению в дальнейшем.
Производя указанное умножение и интегрируя полученный
результат от г = а до г = Ъ, получаем
Iм [("И" +±£-^У-<*1т]<Р<1г=\гиМг. (15.277)
а а
Если положить
то первое слагаемое в левой части (15.277) можно преобразовать
следующим образом:
а а
а
Подставляя выражение (15.278) в (15.279) и вновь интегрируя по
частям, имеем
а а
*fr*('*)--£]*-f[-H'*)--f»]x*-
а

458 Гл. 15. Условия разрешимости
• III. I I. I I . . ■ III.! I I II . ■ I |ИД
Подставляя выражение (15.281) в (15.280), имеем i
ь
с , г d ( du\ n2ui< г dcp /d2w , 1 du п2и\
a
, d /d*u , 1 du п2а\1* .
- "POF \dF + "Г 17 - — )Ja +
+ 1^(^+-!-4-Яа"аМ15.282)
Наконец, подставляя (15.282) в (15.279), а полученный результат —
в соотношение (15.277), получаем
ь
W [(if*+-г-£--£)* - <°Ч и^ +
"*" [ dr V dr2 ~r f dr r* I dr {dr*^ r dr r2 I ~r
, dcp / d2u ^ L--Eii —\
+ rdrldr2+ г dr r2 /
-tT(s+-i-f-*)]:-H*- о*-*»
a
Как обычно, приравнивая нулю коэффициент при ф в
подынтегральной функции в левой части (15.283), получаем сопряженное
уравнение
которое полностью совпадает с однородным уравнением,
соответствующим (15.275). Следовательно, это уравнение является
самосопряженным. Далее, полагая в граничных условиях (15.276)
Ра = 0, (k = 1,2, 3, 4) и подставляя полученный результат в
соотношение (15.283), а также полагая в нем / = 0, имеем
|гшр'" + шр" -га'ф'']а = 0,
или
Ьи (Ь) ф" (Ь) + [и (Ь) — Ьи' (6)1 ф" (Ь) —
— аи (а) ф'" (а) — [и (а) — аи' (а)] ф" (а) = 0. (15.285)
Сопряженные граничные условия, как и ранее, найдем из того
условия, чтобы левая часть (15.285) обращалась в нуль при
произвольных значениях ф" (а), ф" (Ь), ф'" (а) и ф" (Ь). Для этого

iS.ll. Уравнение 4-го порядка с граничными условиями общего вида 45д
следует приравнять нулю коэффициенты при каждой из
указанных производных, т. е.
и(а) = и (Ь) = 0, и' (а) = и' (b) ^ 0. (15.286)
Сравнивая, наконец, уравнение (15.284) с уравнением (15.275),
а граничные условия (15.286) с условиями (15.276), замечаем, что
однородная краевая задача, соответствующая (15.275), (15.276),
является самосопряженной.
Определив сопряженную однородную задачу, вернемся к
неоднородной задаче (15.275), (15.276), с тем чтобы нййти
недостающее условие разрешимости. Используя уравнение (15.284) и
граничные условия (15.286) для функции и и подставляя граничные
условия (15.276) в соотношение (15.283), получаем искомое
условие разрешимости в виде
ЬрАи« (Ь) - Ь№" ф) - М" (Ь) - яМ" И +
ь
+ а№ (а) + $lU" (а) = j rufdr. (15.287)
а
15.11. Краевая задача для уравнения четвертого порядка
с граничными условиями общего вида
В этом параграфе мы выведем условие разрешимости для
краевой задачи вида
Pa (х) <PIV + Л (х) ф" + Р2 (х) ф" + Рх {х) ф' + Ро (х) Ф = / (х),
а<х<Ь, (15.288)
8
g«iW = P/. i=U 2, 3, 4, (15.289)
где <pj представляют собой соответствующие компоненты cpw (а),
Ф* (я)> ф' (а)> Ф (я)» Ф* (Ь)> ф" Ф), ф' (Ь)9 ф (Ь) вектор-столбца ф6.
Предполагается, что граничные условия (15.289) линейно
независимы, т. е. существует по крайней мере одна невырожденная
квадратная субматрица 4-го порядка матрицы [а^1.
Для того чтобы определить вид сопряженной задачи, обозна-*
чим дифференциальный оператор в левой части уравнения (15.288)
через L, т. е.
^ (ф) = ЛФ1У + Аф" + № + /¥Р' + А>Ф> я < х < Ь} (15.290)
ту т I* #■
где /?4 , рзу р2$ р\ и ро предполагаются непрерывными на
промежутке la, b]. Пусть ф (х) и и (х) — две произвольные функции,
непрерывные на [а, Ь] вместе со своими производными до
четвертого порядка включительно. Тогда имеем
ь ч ъ
J uL (ф) dx = J l/vVV + РъЩ* + РгЩ + Р\Щ + РоЩ] <&-
(15.291)

460 Гл. 15. Условия разрешимости
Интегрируя соотношение (15.291) по частям, с тем чтобы
«перебросить» дифференцирование с функции ср на функцию и,
получаем
ь ь
\ uL (ф) dx = J ф I(/?4u)IV - (p3uf + (р2и)" - (pxuj + Рои] dx ±
+ \P№W - [(PauY - (ръи)} Ф" + [(Р*иУ - (p3u)' + p2u] ф' -
-[(P&r-iwY + W'-PMvfr (15.292)
Далее, обозначим дифференциальный оператор в подынтегральном
выражении в левой части (15.292) через L*, т. е.
С (и) = (p4u)IV - (до)'" + (Р*и)" - (Аи)' + ро". (15.293)
При этом соотношение (15.292) может быть переписано в виде
следующей формулы Грина:
ь
J [uL (ф) — ф£* (a)] dx = (p4*V — [р4и -}- (р4 - Ръ)"] ф" +
а
+ [Ра" + (2pi - ръ) и + (р; - р'3 + р2) а] Ф' - [рАим +
+ (3pi - Рз) и" + (3pJ - 2р^ + р2) и +
+ (рГ — Р8 + Р2 — Pi)«] ф}а- (15.294)
Оператор L* называют сопряженным по отношению к оператору L.
Нетрудно проверить, что оператор L сопряжен оператору L*,
так что L и L* взаимно сопряжены друг с другом. Как и в
предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение
L* (и) = 0 (15.295)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению
L (ф) = 0, (15.296)
и наоборот. Если же L = L*, то будем говорить, что оператор L
и дифференциальное уравнение L (ф) = 0 являются
самосопряженными. Сравнивая уравнения (15.290) и (15.293), заключаем,
как и в предшествующем параграфе, что оператор L будет
самосопряженным тогда и только тогда, когда
Р3=2р4, Р\=Р2 — Р4-
При этом уравнение (15.290) можно переписать как
Ш « ■£■ (А ^) + £ [<Л - Я £] + W. (15.297)
Правая часть тождества (15.294) называется билинейной
дифференциальной формой относительно ф и и, поскольку при
заданной функции ф она линейна по и, а при заданной и —* линейна

15.11. Уравнение 4-го порядка с граничными условиями общего вида 461
по ф. Используя векторно-матричную форму записи, перепишем
формулу (15.294) в виде
ь
J [uL (ф) - ф// (и)] dx= и[Яф6, (15.298)
а
где вектор фь определен ранее, иь представляет собой вектор-
столбец с компонентами и!" (а), и" (а), и' (а), и (а), и!" (Ь), и" (Ь),
и' (Ь)у и (b)t а матрица Р определяется соотношением
"Л0 О
.0 Ль
причем матрицы-блоки Ла>ь имеют вид
0 0 0
0 0 —л
0 Ра Рг- 2/?;
I — Ра Ра — Рг Рг — р\ — р2
Р =
(15.299)
Ла, ь =
Ра
3ft - м
3^4 —2/73 + Л
pl — Рг + р2 — Р\ \
(15.300)
1р4 (а) р4 (Ь)]А и, следовательно, матрица Р
\х—а, b
Заметим, что |Р|
невырожденная.
Для того чтобы найти сопряженные граничные условия,
преобразуем правую часть формулы Грина (15.298) в каноническую
билинейную форму. С этой целью введем невырожденное линейное
преобразование вектора фЬ в вектор Ф согласно формуле
Ф = Лфь, (15.301)
где А — квадратная матрица 8-го порядка с постоянными
элементами аи. Матричные элементы aih входящие в первые четыре
строки матрицы, совпадают с коэффициентами в граничных
условиях (15.289). Нижние четыре строки остаются при этом
совершенно произвольными, за исключением того, что они должны быть
линейно независимыми между собой и с четырьмя верхними
строками. Следовательно, при заданном ненулевом векторе фЬ
произволом в выборе нижних четырех строк матрицы А можно
воспользоваться, чтобы получить любые наперед заданные значения ком-
понентФ5,Фв, Ф7 и Ф8. Ниже мы используем этот факт при
нахождении граничных условий сопряженной задачи.
Преобразование (15.301) можно обратить, что дает
Фь = Л-2Ф.
Тогда имеем
ь
\ [иЦ<р) - <pL* (и)]dx = \xTbPА"1 Ф=игФ, (15.302)
где
VT = nTbPA~\
или
V = (A~{)TPT,
nb-
(15.303}

462 Гл. 15. Услш* разрешимости
Из соотношения (15.301) и граничных условий (15.289) следует,
что
8
Ф|=Еа*/Р> = Рь f=l, 2,3, 4. (15.304)
/=1
Чтобы завершить построение сопряженной задачи, рассмотрим
однородный случай (т. е. fy = 0) и положим левую часть
соотношения (15.302) равной нулю. В результате имеем
^UiOi = 0t Ф, = 0, 1=1,2,3,4.
Следовательно,
t/бФб + t/вФв + и7Ф7 + £/*Ф8 = 0. (15.305)
Как указывалось выше, при заданном ненулевом векторе фь
последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать
любые требуемые значения компонентам Фб, Фв, Ф7 и Ф8 в
соотношении (15.301). Выберем эти четыре строки, например, таким
образом, чтобы выполнялись равенства ФБ = 1, Фв = Ф? = Фв =
= 0. Тогда из (15.305) следует, что Иь = 0. Точно так же можно
выбрать последние четыре строки матрицы А из условия Фв = 1,
Фь = Ф7 = Фв = 0, откуда следует, что Ue = 0. Кроме того,
с помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что
U7 - Us = 0.
Таким образом, задача, сопряженная задаче
L (ф) - 0, Фх = Ф2 = Фз = Ф4 = 0, (15.306)
имеет вид
L* (и) = 0, Ub = U* = U7 = Us = 0. (15.307)
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к
неоднородной задаче, чтобы найти условие ее разрешимости. С учетом
(15.307) формула Грина (15.302) принимает вид
ь 4
JnL(cp)d* = 2t/,0,. (15.308)
a i=\
Наконец, из соотношений (15.288) и (15.304) следует, что L (ф) =
= / (х) иФ* = $1 при i = 1, 2, 3, 4. С учетом этих равенств
соотношение (15.308) переходит в искомое условие разрешимости:
ь 4
J u(x)f(x)dx = 2 PA. (15.309)
а ~ /=1
15.12. Задача на собственные значения для дифференциального
уравнения четвертого порядка
Применим развитую в двух предыдущих параграфах теорию
к следующей задаче на собственные значения:
cpIV + 10ф" + 1% + е/ (х)]ф = 0, е < 1, . (15.310)
Ф(0) = ф'(0) = Ф(я) = <р'(я) = 0.

15.12. Задача на собственные значения 463
Будем искать равномерно пригодное разложение первого
порядка для решения задачи (15.310) с помощью метода растянутых
параметров, т. е. полагая
Ф (ху г) = ф0 (а:) + 8фа (х) + ..., (15.311)
^ X = Ао + г%х + ... .
Подставляя разложения (15.311) в уравнение и граничные условия
(15.310) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях е, получаем
для порядка е°:
фо(0) = фо(0)=фо(я) = фо(я)==0; (15.312)
для порядка г:
ф!У+10ф[ + Я0ф1=-(Я1+/)фо, (15.313)
Ф1(0) = ф1(0) = Ф1(я) = ф;(я) = 0. ' (15.314)
Нетрудно проверить, что решением задачи (15.312) является
функция
Фо = sin пх при Х0 = п2 (10 — п2). (15.315)
Заметим, что, согласно приведенной формуле, собственные числа
при п = 1 и п = 3 совпадают, т. е. Я^ (1). = А^ (3) = 9.
Следовательно, собственные функции sin х и sin Зх отвечают одному и
тому же собственному числу Х0 = 9, а при л = 1 и/г = 3 задача
на собственные значения (15.312) оказывается вырожденной.
При всех остальных значениях п каждому собственному числу
соответствует только одна линейно независимая функция, и,
значит, вырождение отсутствует. Оба эти случая, вырожденный и
невырожденный, рассмотрим ниже.
Неоднородная задача имеет решение, только если выполнены
условия разрешимости. Для нахождения этих условий прежде
всего сформулируем соответствующую сопряженную задачу.
С этой целью умножим уравнение (15.313) на функцию и (#),
проинтегрируем это произведение отх = 0дох = я,а затем
преобразуем полученный результат с помощью интегрирования по
частям, «перебрасывая» дифференцирование с функции фа ria
функцию и. В результате получим
я
j ф1 (ulv + 10if + Уф) dx + [фГ« - Ф1« + ф!"" - Ф1^1о +
о
я
+ Ю [<р[и - ф!«']? = — } (Я, + /)фо« dx. (15.316)
о
Следовательно, сопряженное уравнение имеет вид
«lv+ 10М"+Я0«=0, (15.317)

464 Гл. 15. Условия разрешимости
что полностью совпадает с однородным уравнением,
соответствующим (15.313). Этот факт не является неожиданным, поскольку
однородное уравнение, соответствующее (15.313), имеет форму
(15.263). Для того чтобы найти сопряженные граничные условия,
положим в соотношении (15.316) %х = 0 и / = 0, так что (15.316)
примет вид
[фГи - ф>' + Ф1 ("'' + Юи) - ф1 (ит + 10и')]? = 0. (15.318)
Учитывая в соотношении (15.318) граничные условия (15.314),
имеем
ФГ (я) и (я) -|- ф| (я) [и (я) + 10и (я)] —
— <рГ(0)и(0) - ф! (0) [и(0) -f Юи(0)] = 0. (15.319)
Как и ранее, выберем сопряженные граничные условия, требуя,
чтобы выражение (15.319) обращалось в нуль при произвольных
значениях фГ (я), у[ (я), <р" (0) и ф! (0), т. е.
и (0) = и" (0) = и (я) = и" (я) = 0. (15.320)
Таким образом, однородная краевая задача, соответствующая
(15.313), (15.314), является самосопряженной.
Вернемся теперь к неоднородной задаче и, используя
уравнения и граничные условия сопряженной задачи, получим из
(15.316) искомое условие разрешимости:
п
J(bi + /)<Powd*=0. (15.321)
- о
Рассмотрим теперь в отдельности вырожденный и
невырожденный случаи, начиная со случая простого (т. е. некратного)
собственного значения.
Невырожденный случай
В этом случае параметр п отличен от 1 и 3, и решение задачи
нулевого порядка дается формулой (15.315). При этом решение
сопряженной задачи можно взять в виде и = sin пх> что после
подстановки в условие (15.321) дает
J 1*1+ /(*)] sin2 лх Же ==0.
о
Таким образом,
Хх = — -j-j/(jrjsln*/ur*r,
о

15.12.. Задача на собственные значения 465
и из разложения (15.311) следует, что в первом приближении
<р = sin пх + О (е), (15.322а)
я
Х = л2(10 - п2) - ^- J/(x)sin2пхdx + О(е2). (15.3226)
о
Вырожденный случай
В этом случае параметр п равен 1 или 3, и решение задачи
нулевого порядка имеет вид
Фо = 0i sin х + а3 sin Зх, Х^ = 9, (15.323)
где постоянные аг и #8 на данном этапе итерационного процесса
считаются независимыми, что в данном случае и служит
проявлением вырождения задачи. При Я0 = 9 решениями сопряженной
задачи будут функции и = sin х и и = sin Зх. Подставляя
решение (15.323) в условие разрешимости (15.321), имеем
я
J l*i + /(*)](*isiiur + a3sin3x)u(x)dx = 0. (15.324)
о
Соотношение (15.324) должно выполняться для любого решения
сопряженной задачи. Полагая в соотношении (15.324) и = sin х
и и = sin Зх, получаем соответственно
я
J [К + / (*)] (ai sin х + я3 sin Зх) sin х dx = 0,
о
я
J [Хг + / (х)] (flj sin х + 0j sin Зх) sin Зх dx = 0,
о
или (Xi + /n) ^ + /1за3 = 0, (15.325)
/l3«l + (^i + /зз) Яз = 0»
я я
гДе /и = —J/sin2xdx, /зз = —j/sln23xdx,
о о
я
/13 = — J /sinxsin3xdx.
о
Для того чтобы существовало нетривиальное решение системы
уравнений (15.325), необходимо и достаточно, чтобы
определитель этой системы обращался в нуль, т. е.
|^i + /n /l3 | '
I Аз \ + /зз I

466 Гл. 15. Условия разрешимости
Раскрывая этот определитель, получаем квадратное уравнение
вида
Л? + (/п+/зз)Л1+/„/з8-/?з=0
с корнями
К{1\2) = - 4- (/и + /зз) ± [(/и - /зз)2 + 4/?3]1/2 • (15.326)
Если Хх совпадает с одним из корней (15.326), то из системы
(15.325) находим
а,- ^—fli-
Окончательно, подставляя найденные выражения в разложение
(15.311), получаем, что в первом приближении
ф(1) = 81пх-".^').+ /" sinar+---.'
/13
*(° = 9 - ТТ (/» + /») + "Г IV» - /зз)2 + 4/?3]1/2 + .. • (15.327)
и
^(2) =9-у(/н+/зз)~| [(/и - /зз)2 + 4/?3]1/2 + • ■ •. (15.328)
Таким образом, если Х|1} Ф %\2) (т. е. /и =^ /зз или /i3 ф 0), то
в первом приближении вырождение задачи снимается.
15.13. Система дифференциальных уравнений первого порядка
В этом параграфе выведем условия разрешимости краевой
задачи для одной системы дифференциальных уравнений первого
порядка. В следующем параграфе рассмотрим систему уравнений
первого порядка общего вида, а в § 15.15 — краевую задачу для
дифференциального уравнения второго порядка с внутренними
граничными условиями на поверхностях раздела.
При изучении распространения затухающих звуковых волн
в сжимаемой жидкости, движущейся по каналу кольцевого
сечения, возникает следующая неоднородная задача:
- i (со - ku0)ср4 + {«до* + iML% + -L" ±(гт2) = /ь г(15.329)
— ipo (о) — kuo) ф1 + ромоф2 + Мирб = h> (15.330)
— фо(<о— йи0)ф2 + ф5 = /гз> (15.331)
— i ро (о) - kuo) Фз + -у- Ф6 = Д,. (15.332)

IB. 13. Система уравнений 1-го порядки 46?
— фо(о)~- £«о)фб+ ро^оф2 + *'(V — 1)(»—*«о)фб = /б, (15.333)
^ = Т" + ^' (15-334)
Pq Ро io
Фа (/?i) - Р1Ф6 (/?i) = alf Фа (R%) - р,фб (Л,) = alf (15.335)
где и0, ро, /?a» ^0 и /л (г) представляют собой известные функции
переменной г, а параметры ш, т, Л, <х„, ря и у не зависят от г.
Отметим, что четыре приведенных уравнения из шести являются
алгебраическими, следовательно, система дифференциальных
уравнений имеет второй порядок. Предполагается, что
соответствующая однородная Задача имеет нетривиальное решение,
поэтому для разрешимости неоднородной задачи требуется
выполнить специальное условие.
Для того чтобы получить требуемое условие разрешимости/
умножим каждое из уравнений (15.329)—(15.334) соответственно
на iplf \f2, ^si ^4* 4'б и \|v Далее, сложим полученные произведения
и проинтегрируем результат по г в пределах от /?х до R2. Затем
преобразуем полученное соотношение с помощью интегрирования
по частям, перенося дифференцирование с функций ф„ на
функции \|v В результате получим
Яа Ri
J Ф0Ф1 [— <Н2 + &М dr + j Р0Ф2 [— fAfo + "о^2 -rSF ("Г") +
я, я»
+ Т'^ъ] dr + j фоФз [- &Ь + -у- *i ] dr + j <р4 [— icfyi —
«1 «1
я,
— ^оМб] ^ + j ФБ [**№ — ^3 + "у5" ^4 + i (Y — 0 <Нб +
Яг
+ Ро^о^е] dr + J рофе [— Щб - PoW dr +
Rx
Б Rt
+ [роф2^1 + <М*1Й = J] j W» dry (15.336)
где о)=со — kuQ. Отметим, что члены в левой части соотношения
(15.336) сгруппированы так, что в подынтегральное выражение
в каждом интеграле входит только одна из функций ф„. Прирав-

468 Гл. 15. Условия разрешимости
нивая нулю коэффициенты при каждой из функций фЛ, получаем
сопряженную систему уравнений вида
— Ato + toh = 0, (15.337)
- шфз + и^2 - г —• (-^-) + ТоЬ = 0, (15.338)
( ' -Л*4 + -т-*1-0, (15.339)
— шух + ГоАЛЬ = 0» (15.340)
*Н2 ~Ь + ^ *4 + i (У ~ 1 )Л*б + РоТо^е = 0, (15.341)
*Л*в + Ро*в = 0. (15.342)
Система уравнений (15.337)—(15.342) сопряжена системе
уравнений (15.329)—(15.334). Для того чтобы получить граничные
условия, которым подчинены функции я|)л, положим в соотношении
(15.336) fn = 0 и воспользуемся уравнениями (15.337)—(15.342).
В результате получим
[роФ2^1 + фб^; = 0. (15.343)
Полагая в граничных условиях (15.335) а„ = 0, а затем выражая
граничные значения ф2 через граничные значения ср6, перепщием
(15.343) в виде
(p<Mi + Ь)г=р,Фа (fli) - (РоРЛ + Ь)г=ъ Фб \Ri) = 0. (15.344)
Сопряженные граничные условия выбираем, как и ранее, из
условия обращения левой части (15.334) в нуль при произвольных
значениях <рб (Ri) и ф6 (#$). В результате получаем
фэ (Я*) + PoMi (Ri) = 0,
(15.345)
^з (Яг) + РоМч (Ri) = 0.
Таким образом, сопряженная краевая задача определяется
системой уравнений (15.337)—(15.342) и граничными условиями
(15.345).
Возвращаясь к неоднородной задаче, прежде всего упростим
соотношение (15.336) с помощью уравнений (15.337)—(15.342)
и условий (15.345). В результате получим
5 я,
[роФ2^1 + ФбМ& = 2 J Wn dr. (15.346)
Выражая граничные значения \|>з через граничные значения уг
с помощью соотношений (15.345), а граничные значения фа через

15.14. Общая краевая задача
469
граничные значения срб и постоянные ах и а3, перепишем (15.346)
как
Б Rt
<4Po(*i)*i№) -<*xPo(Ri)b(Ri)= 2 1/п*д^. (15.347)
/7=1 /?!
что и служит искомым условием разрешимости.
15.14. Общая краевая задача для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
Рассмотрим вывод условий разрешимости для задачи вида
J->»W? = fW, (15.348)
Ф« (0) = Рь / = 1, 2, . . ., т,-
(15.349)
Фг (1) = Pi, / = т + 1, т + 2, . . ., п,
где ф и f — вектор-столбцы с п компонентами, А — квадратная
матрица п-го порядка, a pf — известные постоянные величины.
Отметим, что граничные условия краевой задачи для системы
уравнений первого порядка не всегда могут быть разделены,
как в соотношениях (15.349). Нетрудно, однако, развить теорию
и для граничных условий, содержащих п линейно независимых
комбинаций % (0) и <pf (1). Более общие, чем (15.349), случаи
рассматриваются в конце настоящего параграфа.
Предположим, что однородная задача, соответствующая
(15.348)—(15.349), обладает нетривиальным решением, так что
неоднородная задача имеет решение, только если удовлетворено
некоторое условие разрешимости. Для того чтобы вывести
условие разрешимости задачи (15.348), (15.349), умножим t-e
уравнение (15.348) (*.= 1,2, . . ., п) на \|^ и сложим полученные
результаты. Эта операция эквивалентна умножению векторного
уравнения (15.348) слева на фг, где^г представляет собой
транспонированный сопряженный вектор-столбец tj> с п компонентами.
Таким образом, имеем
что после интегрирования по переменной х в пределах от 0 до 1
дает
1 1 1
J tf -*■ dx - J q>TA<pdx = J Vf dx. (15.350)
0 ' о 0

470 /л. 15. Условия раьрёшимббти
Интегрируя по частям в первом интеграле в левой части (15.350),
находим
11 . 1 1
+Ч| —J^J-<pd*- l^TA4>dx= \tf\dx,
0 0 о о
или
11. 1
*r<p|-J(-^-+*T^)(p^=J^Tf^-i (15-351>
оо тл о
Приравнивая нулю коэффициент при ср в подынтегральном
выражении в левой части (15.351), получаем сопряженное
векторное уравнение
Выполняя транспонирование, имеем
(т£)Г+(*Г>4Г) = 0.
4|+лЧ=0. (15.352)
ИЛИ
Сравнивая уравнения (15.348) и (15.352), приходим к выводу,
что уравнения окажутся сопряженными, если А = —Лт. Для
того чтобы вывести граничные условия для вектора^, рассмотрим
однородную задачу. Полагая в соотношении (15.351) f = 0,
получим
*t>T<p|i = 0, (15.353)
или
[^1ф1 + Ь<(2 Ч + фяфп]о = 0. (15.354)
Полагая в граничных условиях (15.349) р* = 0 и подставляя
граничные значения функций <р* в (15.354), находим
^1(1)ф1(1) + ^а(1)фа(1) + •• • —
~ W(0)qw (0) - 4w (0) Фт+2 (0) фп (0)<рп (0) = 0.
(15.355)
Как и ранее, сопряженные граничные условия определяем из
требования, чтобы левая часть соотношения (15.352) обращалась
в нуль при произвольных значениях <р^ (1), i = 1, 2, . . ., т и
Ф1 (0), i = т + 1, т + 2, . . ., п. В результате имеем
■ Ф* (0) = 0, / = т + 1, т + 2, . . ., я, (15.356)
ф, (1) = 0, i = 1, 2, . .-., m. ^

15.14. Общая краевая задача 471
Возвращаясь к неоднородной задаче, подставим выражения
(15.349), (15.356) в формулу (15.351). Это дает соотношение
Pm+lVm+1 + Pm+l^m+l Н h Мп 0) —
- Ml (0) - Р2Ф2 (0) Mm (0) = J tf f Лг, (15.357)
0
которое и служит искомым условием разрешимости.
Рассмотрим теперь более общий случай граничных условий,
чем (15.349), а именно
Ф(0) = лЛр(1) + р, (15.358)
где ^ — квадратная матрица л-го порядка с постоянными
элементами, р — вектор-столбец с п компонентами. В этом случае
соотношения (15.350)—(15.354), выведенные выше, сохраняют
силу, причем изменяется лишь последний этап вывода
сопряженных граничных условий. Так, полагая f = 0 и р = 0, из
соотношений (15.353) и (15.358) находим, что
*7(1)ф(1)-^(0)ср(0) = ^(1)ф(1)~*Г(0)Лср(1) = 0,
или
№Г0)-П>г(0)Л]ф(1)=0. (15.359)
Как и раньше, сопряженные граничные условия определяем
с учетом требования, чтобы левая часть соотношения (15.359)
обращалась в нуль при произвольных значениях компонент
вектора <р* (1). В результате получим
4>7(1)-V (0)^ = 0,
откуда после транспонирования находим
^(1) = ^г^(0). (15.360)
Обращаясь вновь к неоднородной задаче и используя
уравнение (15.352), приведем соотношение (15.351) к виду
i|?r(l)(p(l) —^r(0)(p(0) = Ji|5rfdjc. (15.361)
о
Подставляя выражение (15.358) в формулу (15.361), имеем
1
Ч>Г (1)ф(1) — я|5Г (0)^ср(1) — я|?г (0)Р ^ \$ \dx. (15.362)
о
Принимая во внимание условие (15.360), убеждаемся, что первые
два члена в левой части (15.362) взаимно уничтожаются, так что
это соотношение сводится к равенству
— ^Г (0) Э = J fdx, (15.363)
о

472
Гл. 15. Условия разрешимости
которое и является искомым условием разрешимости. Таким же
образом можно рассмотреть и другие задачи с аналогичными
краевыми условиями.
Наконец, обратимся к случаю граничных условий самого
общего вида
S a,/p;=plf i= 1, 2 л, (15.364)
где <р/ представляют собой компоненты граничного вектор-столбца
Фь, причем первые п компонент вектора <рь совпадают с
составляющими вектора <р (1), а последние п компонент — с
составляющими вектора <р(0). Соотношения (15.350)—(15.354) остаются
в силе и в этом случае. Следующий шаг состоит в том, что мы
вводим невырожденное линейное преобразование вектора <рь по
формуле, аналогичной (15.103) ^и (15.301)
Ф = ^фь, (15.365)
где si> — квадратная матрица 2п-го порядка с постоянными
элементами. Элементы первых ее п строк совпадают с коэффициентами
в граничных условиях (15.364), поэтому
2л
Ф* = E«iW = P«. i=l, 2, ...,п. (15.366)
Как и в других подобных случаях, последние п строк матрицы
остаются произвольными, за исключением того, что они должны
быть линейно независимы одна от другой и от первых л строк.
При ненулевом векторе срь последние п строк матрицы А можно
выбрать так, чтобы компоненты Ф*, I >> п + 1, принимали любые
наперед заданные значения.
Перепишем соотношения (15.353) в виде
. -Фгф|^ = ^г (1)/ср(1) — -фг (0)/ср(0) = 0,
или
[*Г (1)*Т (0)]
или, наконец,
^ф|£ = ч£рфд==0, (15.367)
где / — единичная матрица порядка л, а через Р обозначена
матрица вида
'-[! 'У
Разрешая уравнения (15.365) относительно <рь, имеем
/ 0
0 /
О)
(0)
К

15.15. Внутренние граничные условия
473
Подстановка этого выражения в (15.367) дает
или ЧГТуЦ = ЧГТ Ф = 09 (15.368)
где
WT = УъР&~~Х> откуда Y = (sTl)TPT^ (15.36§)
Учитывая однородные граничные условия, соответствующие
(15.366) (при р^ = 0), приведем соотношения (15.368) к виду
2/1
2 Ч^Ф* = 0. (15.370)
Левая часть (15.370) представляет собой линейную форму от
компонент ¥*, i = п + 1, п + 2, . . ., 2п. Поскольку эта форма
должна обращаться в нуль при произвольных ненулевых
значениях коэффициентов Фь то все компоненты Ч^ также должны
обращаться в нуль
V, =0, I = п + 1, п + 2, . . ., 2л. (15.371)
У] Определив вид сопряженных уравнений (15.352) и граничных
условий (15.371), вернемся к неоднородной задаче. С помощью
уравнения (15.352) и соотношения V<p|o = Ч^Ф придадим
формуле (15.351) следующий вид
1
ЧГтФ=\ът1(1х. ' (15.372)
о
Используя теперь граничные условия (15.366) и (15.371), получим
искомое условие разрешимости
л 1
i=l о
которое должно выполняться для произвольного вектора 1|>,
являющегося решением сопряженной задачи.
15.15. Краевые задачи с внутренними граничными условиями
При исследовании распространения волн в составных телах
часто приходится сталкиваться с краевыми задачами для
неоднородных дифференциальных уравнений с неоднородными
граничными условиями на поверхностях раздела. В этом параграфе
мы рассмотрим в качестве примера задачу о крутильных
колебаниях стержня, покрытого оболочкой из другого материала при

474
Гл. 15. Условия разрешимости
синусоидальном возмущении поверхности раздела
«ядро—оболочка». Эта задача формулируется следующим образом:
№+±Q+(*-±)<Pi=h(r), 9<г<«. (15.373)
^+-гФ---^ + ^)ф2 = /2(г)> а<г<М15.374)
|ф! (0)|< оо, <f2(b) - Ь<^ф)= О, (15.375)
ф1 (а) — ф2 (а) = pi, фг (а) — jii<pi (а) — (х2ф1 (я) = fa>
где aj, у*» Рл»-Рт я и & — заданные постоянные.
Как указывалось в § 15.9, однородные уравнения,
соответствующие (15.373) и (15.374), можно привести к
самосопряженному виду, умножив каждое из них на независимую
переменную г. Таким образом, для того чтобы вывести условие
разрешимости задачи (15.373)—(15.375), следует умножить уравнение
(15.373) на гих (г), а уравнение (15.374) — на гм9 (г). Интегрируя
результат первого умножения по переменной г от 0 до а, получим
а а
J [иЛгтУ + (а»' - 4) wUl]dr = J ru& dr> (15«376)
о о
что после интегрирования по частям дает
а а
[ruspl - mi<piK + J Ф1 [W + («^ - 4") Ul] dr = J m»A ^
о 0
(15.377)
Аналогичным образом, интегрируя результат умножения (15.374)
на ги2 (г) по промежутку [a, ft], получим
ь ь
\ [М'Ч*)' -(у*пГ+ 4)ф2Ц2] dr = J ^2/2^,
а а
откуда после интегрирования по частям имеем
ъ ь
\ Ф2 \(ги2У - (ylr + —) W2j dr -f [Г^2ф2 ~ ГИ2ф2]а= J ^2/2^-
(15.378)
Складывая теперь соотношения (15.377) и (15.378), находим '
[ пг2ф2 — ги2ф2]а + [ гщу'х — rulcpilo +
а
+ J Ф1 [(ги\У + (а2„г - 4) ui] dr +
о
.Ъ a b
+ J <Гг [( гиг)' - ($ г + 4 ) Ч dr = J ru^ dr + J ru*f* *• (! 5379)

15.15. Внутренние граничные условия 475
Далее, приравнивая нулю коэффициенты при <рг и <р2 в
подынтегральных выражениях в левой части соотношения (15.379),
получим сопряженные ч уравнения
(^iT + (a*r--L)w1==0, " (15.380)
(ЧУ - (tfr + 4~)"2 =0. ;(15.381)
При этом соотношение (15.379) примет вид
Ьи2ф) срг ф) — Ьи2 ф) ф2 ф) — lim [гщ q[ — ru\q>\] +
+ ащ (a) q?i (а) — cmj (a) ф1 (a) — яи2(a) q'2 (a) -f- яыг (a) ф2 (я) = 0
(15.382)
Уравнение (15.380) имеет регулярную особую точку г = 0, так
что одним из граничных условий для него служит условие | щ (0) |<
<оо. Как показано в § 15.9, сопряженным этому условию
является условие ограниченности решения
!М0)|;<°о. (15.383)
Если условие (15.383) выполнено, то должно обращаться в нуль
слагаемое в левой части (15.382), содержащее предельный
переход г -+ 0.
Из однородных граничных условий, соответствующих (15.375),
следует, что
Ф2(&) = &ф2(&),
Ф, (а) - фх (а),
Ф2 (а) =» Ц1ф1 (а) + |ы2ф1 (а).
Подставляя эти выражения в соотношение (15.382), приводим
его к виду
Ь [Щ Ф) - Ьи2 ф)] Фг ф) + а [щ (а) - \кхи2 (а)) <р[ (а) +
+ а [Ща) - их {а) — ц-Л (a)] tpx (а) — 0 (15.384)
Как обычно, выбираем сопряженные граничные условия из
требования, чтобы левая часть соотношения (15.384) обращалась
в нуль при произвольных значениях ф£ (6), ф[ (а) и ф! (я), т. е.
и2ф) = Ьи2ф), ui(a) = ii{u2(a)t
и2 (а) — и[ (а) - \i2u2 (а) = 0. (15.385)
Таким образом, сопряженная краевая задача состоит в решении
уравнений (15.380) и (15.381) с граничными условиями (15.383) и
(15.385). Сравнивая сопряженную задачу с исходной однородной
задачей, замечаем, что несмотря на то, что дифференциальные

476
Гл. 15. Условия разрешимости
уравнения этих задач самосопряжены, краевые задачи не
являются самосопряженными, за исключением случая |хх = 1.
Определив теперь сопряженную задачу, вернемся к
неоднородной краевой задаче, чтобы завершить вывод условия
разрешимости. Соотношение (15.379) с учетом сопряженных
уравнений (15.380), (15.381) и условия ограниченности (15.383)
преобразуем к виду
bu2 (k) ф2 (Ь) — Ьи2 ф) ^2 ф) + <ш\ ф) ф1 Ф) — cai[ (a) cpi ф) —
а а
— аи2 ф) ф2 (а) + аи2 (а) ср2 ф) = j ru{fx dr + j ru2f2 dr. (15.386)
о 0
Выражая ф2 (ft), Ф2 Ф) и фг (а) с помощью граничных условий
(15.375) и подставляя результат в (15.386), имеем
Ь [и2 (Ь) - Ьи2 ф)] ф2 ф) + а [Щ ф) - |ц«2 (а)] ц>[ ф) +
+ а [и2 ф) - и[ ф) - ц2«2 Ф)] Ф1 ф) - сф&2 ф) - а^и2 ф) =
а Ь
= \rujxdr+ j ru^dr.
0 fl
Упрощая последнее соотношение с помощью условий (15.385),
приводим его к виду
а Ь
— afah ф) - apiU2 ф) — \ ™\fi dr + J ™2k <fr- (15.387)
0 a
Соотношение (15.387) и служит искомым условием разрешимости.
15.16. Интегральные уравнения
В этом параграфе выведем условие разрешимости для
интегрального уравнения Фредгольма второго рода
ь
ф (s) = / ($) + Я J К (s, t) ф (0 dt (15.388)
a
в случае, когда соответствующее однородное уравнение {т. е.
при / = 0) имеет нетривиальное решение. Для этого умножим
уравнение (15.388) на функцию \|> (s) и проинтегрируем
полученный результат по промежутку [a, Ь]. В результате получим
ь ь ь г ь 1
JT(s)^(s)ds=J/(s)i|?(s)ds-K^J )k(s, 0ф(0Л*(в)Л,
или
b b b b
J<p(s)*(s)ds= J/(s)iKs)ds+'XjJjC(sf/)9(0*(s)Ar
<* яря

15.16. Интегральные уравнения
477^
что после смены порядка интегрирования в двойном интеграле
дает
ь ь ь ь
Jq>(s)i|>(s)ds-X J J/C(s, t)$(s)tp(t)dsdt= J/(s)*(s)ds. (15.389)
a a a a
He меняя значения двойного интеграла в левой части (15.389),
поменяем местами обозначения переменных интегрирования s и t.
Тогда соотношение (15.389) перепишется как
ъ ь ь ь
\}p(s)(p(s)ds-X j J/C(/, s)*(/)q>(s)Ads= J/(s)*(s)ds,
a a a a
ИЛИ
J U (s) — % f /C (/, s) ф (/) Л ф (s) ds = j / (s) y\) (s) ds. (15.390)
a L о J a
Для того чтобы определить вид сопряженного интегрального
уравнения, рассмотрим соответствующее однородное уравнение
(т. е. положим в (15.390) / = 0). При этом соотношение (15.390)
примет вид
j L (S) _ i J к (/, S) ф (t)dt Ф (s) ds = 0. (15.391)
По аналогии с уже рассмотренными случаями выберем
сопряженное уравнение так, чтобы обратился в нуль коэффициент при
Ф (s) в подынтегральном выражении в (15.381):
ь
;# (s) - К)\ К (f. s) ф (0 dt, , [(15.392)
Сравнивая уравнение (15.392) с однородным интегральным
уравнением, соответствующим (15.388), замечаем, что они отличаются
друг от друга лишь порядком аргументов ядра К (s, t).
Следовательно, однородное интегральное уравнение Фредгольма
второго рода будет самосопряженным тогда и только тогда, когда
его ядро К (s, t) симметрично, т. е. К (s, t) = К (t, s).
Возвращаясь к тождеству (15.390) и предполагая, что
входящая в него функция -ф является решением сопряженного
уравнения (15.392), получаем искомое условие разрешимости
ь
J/(s)\|?(s)ds = 0, " (15.393)
а
которое можно сформулировать следующим образом:
неоднородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода разрешимо
при условии, что его правая часть ортогональна любому
нетривиальному решению сопряженного интегрального уравнения,

478 Гл. 15. Условия разрешимости
Мы доказали необходимость этого условия, но на самом деле
оно является и достаточным. Если однородное уравнение имеет
только тривиальное решение, то условие (15.393) удовлетворяется
автоматически, поскольку в этом случае \р (s) = 0.
Эти предложения составляют содержание так называемой
альтернативы Фредгольма: либо интегральное уравнение (15.388)
разрешимо при произвольном неоднородном члене / (s) и
соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное
решение, либо однородное уравнение имеет нетривиальные решения,
и неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда,
когда его правая часть ортогональна всякому решению
сопряженного однородного уравнения.
В качестве приложения развитой выше теории рассмотрим
случай интегрального уравнения с вырожденным ядром. Ядро
К (sy t) называют вырожденным, если оно может быть
представлено конечной суммой слагаемых, каждое из которых является
произведением функции переменной s на функцию переменной t,
т. е.
KRs, 0 =Z|ai (*)&(')• [(15.394)
В случае вырожденного ядра уравнение (15.388) можно
записать в виде
N ь
Ф (в) - f (в) + * 2 a, (в) J & (0 Ф (t) dt. (15.395)
М а
Для того чтобы решить уравнение (15.395), положим
ь
|М0Ф(0Я-*1. <-1,"2 ,N. (15.396)
а
Тогда уравнение (15.395) примет вид
¥(*)-m + *E*i«iW-' О5'397)
itm\ у
Умножив уравнение (15.397) на $j (s) и проинтегрировав
полученный результат по промежутку [а, Ь)% получим
Ь Ь N Ь
I Р/(в) ф (в) ds = } Р, (5) f(8) dS + К 2 ** J «i W Ь W *• (15'398)
a a i=\ a
Интеграл в левой части уравнения (15.398)"равен Xj (см. 15.396)),
поэтому данное уравнение можно переписать как
N
XJ = fj+%T>aJixii j=l, 2,...,tf, (15.399)

IS. 17. Уравнения с частными производными 479
где ' b
h=]Ms)f(s)<b'
а
b
^1 = J РЛ«) ««(«)*. (15.400)
а
Отметим, что решение интегрального уравнения (15.388)
свелось к решению системы линейных алгебраических
уравнений (15.399). Эту систему уравнений можно записать в векторной
форме как
[/ — ХЛ] х = f f (15.401)
где / — единичная матрица порядка N, А — квадратная
матрица порядка N, элементами которой являются коэффициенты aJit
а х и f — вектор-столбцы с компонентами xt и ft.
Как указывалось в § 15.1, если однородное векторное
уравнение, соответствующее (15.401), имеет только тривиальное
решение, неоднородное уравнение имеет единственное решение при
произвольном f. С другой стороны, если однородное уравнение
имеет нетривиальное решение (т. е. |/ — ХА | = 0), то
уравнение (15.401)-имеет решение тогда и только тогда, когда
(u, f) = 0, (15.402)
где вектор и представляет собой любое решение сопряженного
уравнения
[/-ЯЛ]* и = 0. (15.403)
Поскольку матрица А вещественна, уравнение (15.403) можно
переписать как
V-kAT)u = 09
или, в тензорных обозначениях,
N
"/-^Иед = 0. (15.404)
Таким образом, исходное интегральное уравнение является
самосопряженным тогда и только тогда, когда матрица А симметрична,
т. е. atj = cijt, что имеет место, например, при условии
«I « = Pi (s). "
15.17. Дифференциальные уравнения с частными производными
В предыдущих параграфах данной главы мы изучали
различные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений. В этом параграфе мы рассмотрим вывод условий
разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных.
Алгоритм, с помощью которого выводятся условия
разрешимости в этом случае, аналогичен алгоритму, который мы приме-

480 Гл. 15. Условия разрешимости
няли в задачах для обыкновенных уравнений, за исключением
того, что интегрирование производится не по отрезку числовой
оси, а по многомерной области. Продемонстрируем процедуру
вывода условий разрешимости на двух примерах.
Пример 1
При исследовании распространения звуковых волн по
акустическому волноводу с переменным по длине прямоугольным
сечением возникает следующая неоднородная задача:
■^+-Э-+> = /^г)' Ъ<У<а>Ъ<*<Ь, (15.405)
Ф (0, г) = 0, ф (</, 0) = 0, (15:406)
-^---0^ = ^(2) при у = а,
ду (15.407)
-^-ow==p2(i/) при z = b.
Для того чтобы найти условие разрешимости задачи (15.405)—
(15.407), умножим уравнение (15.405) на функцию и (у, г) и
проинтегрируем полученный результат по интересующей нас
области, т. е. по прямоугольнику 0 < у < а, 0 < z <: b. В
результате получим
Ь а Ь а
JJ [u^ + u^- + bu<?]dydz=jlufdydz. (15.408)
0 0 0 0
Преобразуем теперь соотношение (15.408) с помощью
интегрирования по частям, чтобы «перебросить» дифференцирование с
функции ф на функцию и:
ji«£**-j[j«£-*i*-
0 0 0 Lo J
-jf(«fc -s*)t+jHH* <i5:409)
о L о J
0 a 0 Lo J
4[(«£-ir*)i:+I*iH
0 L 0 J
dy. (15.410)

15.17. Уравнениям частными производными 48 \
Подставляя (15.409) и (15.410) в соотношение (15.408), имеем
Ь *
JJ{-№+# + 4-'[tf-+tf+H}**-
р о
-k«*-T*)E* + K**-Tr»)i*.'<•"»>
о о о
Соотношение (15.411) можно получить и другим способом,
непосредственно используя формулу Грина для произвольной
области
.||(и^-ф^и)^=|(и|£--ф|£.)&, ' (15.412)
S г
где Г представляет собой границу области 5.
Сопряженное уравнение определим, как и ранее, из условия
равенства нулю коэффициента при ф в подынтегральном
выражении в левой части соотношения (15.411), т.е.
w+^+%u=0- <15-413>
Для того чтобы найти вид сопряженных граничных условий,
обратимся к однородной задаче (т. е. положим / = 0, Р„ = 0).
В случае если / = 0, соотношение (15.411) принимает вид
о о
Перепишем теперь однородные граничные условия,
соответствующие (15.407), разрешая их относительно производных
ду \у=а
Подставляя в формулу (15.414) вместо левых частей граничных
условий (15.406) и (15.415) соответствующие правые части, имеем
Н(--тИ—£U* +
о
о
Поскольку соотношение (1.5.416) должно выполняться для любой
функции ф (yt г), удовлетворяющей однородному уравнению,
соответствующему (15.405), и однородным граничным условиям,
соответствующим (15.406) и (15.407), то коэффициенты при
каждом из следующих членов:
Ф (*,*)„ Ц-(0,г), Ф (</,*>), -J-Uf.0)
= oi9 \у=а, •£ |г=б = Оаф \г=ь. (15.415)

482 Гл. 15. Условия разрешимости
должны обращаться в нуль, т. е.
и (О, г) = 0, и (у, 0) = О, (15.417)
Ц- (а, z) - аги[(а9 z) = 0, -g- (у, Ъ) - оф {У> Ь) = 0. (15.418)
Определив таким образом сопряженную задачу, обратимся
вновь к исходной неоднородной задаче. Учитывая (15.405) и
(1$.413),/вместо соотношения (15.411) имеем
П***-/(.*-т*)С*+К"*-4г*)|>-
0J) ^ о о
что с помощью граничных условий (15.406), (15.407), (15.417) и
(15.418) легко приводится к виду
Ь а Ь а
\\ufdydz = \$х(г)и{а% z)dz + \&(y)u(yt b)dy. (15.419)
0 0 о о
Таким образом, неоднородная задача (15.405)—(15.407) имеет
решение лишь при условии, что соотношение (15.419)
удовлетворяется для любого решения и {у> z) сопряженной задачи,
включающей уравнение (15.413) и граничные условия (15.417) и
(15.418). Сравнивая сопряженную задачу с исходной однородной
задачей, замечаем, что они полностью совпадают друг с другом,
и, следовательно, эти задачи являются самосопряженными.
Пример 2
В качестве второго примера рассмотрим задачу, состоящую
в решении уравнения (15.223) с граничными условиями (15.224) и
(15,225). В § 15.9 мы раскладывали функции фх и / в ряды Фурье
и сводили задачу к решению обыкновенного дифференциального
уравнения. Вместо этого в данном параграфе будем оперировать
непосредственно с исходным уравнением в частных производных.
Для этого запишем уравнение (15.223) как
V4 + «JPi = -2aV>i<Po' (15-42°)
В качестве следующего шага можно либо умножить уравнение
(15.420) на решение сопряженной задачи и (г, 9),
проинтегрировать полученный результат по интересующей нас области и
преобразовать его с помощью интегрирования по частям, либо
применить непосредственно формулу Грина (15.412). Первым
способом мы только что воспользовались при рассмотрении
предыдущего примера, поэтому здесь пойдем по второму пути. Чтобы
избежать трудностей, связанных с наличием у\уравнения (15.420)
решений, неограниченных в начале координат, в качестве
области интегрирования в формуле Грина возьмем кольцо г0 < г < 1,
где г0 — малая величина. Перепишем формулу (15.412) в поляр-

15.17. Уравнения с частными производными 48& ,.
^
ных координатах, учитывая, что dS = rdrdQ и ds = rdQ. Произ-~
водные по нормали, входящие в левую часть (15.412), выразятся
как ду/дп = dyldr при г *= 1 и ду/дп = —ду/дг при г = г0,
так как предполагается, что нормаль п внешняя. При этом
формула Грина (15.412) принимает вид
2л 1 2л
0 0 0
2л
-J («*-**)L/""- <|ЫМ)
0
Подставляя в (15.421) вместо лапласиана У2фх его явное
выражение из формулы (15.420), имеем
2л 1 2л 1
— [ J 2щщг(р0и dr dQ — j ( ф! [V2u + а%и] rdrdQ —
0 0 0 Го
2л 2л
-J ("*--*t)L*-J («*-*t)L''*<IM4>
о о
По виду соотношения (15.422) определяем, что сопряженное
уравнение совпадает с однородным уравнением, соответствующим
(15.420), т. е.
V2u + <&u = 0. (15.423)
Cлeдoвateльнo, оба эти уравнения являются самосопряженными.
Обращаясь к однородной задаче (т. е. полагая в (15.422)
о>1 = 0 и / = 0) и используя (15.423), из соотношения (15.422)
получаем, что
2Я 2л
I »4P-l_«"-,"-f (•*-*4r)L/'*-e- (|5-424)
0 ° 0
Граничным условием, сопряженным условию в начале координат,
т. е. |ф1 (0, 9)| <оо, является условие ограниченности решения
сопряженной задачи \и (0, 9)| < с». При этом второй член в
левой части соотношения (15.424) обращается в нуль. Далее обычное
рассуждение приводит к требованию обращения в нуль
коэффициента при дц>±1дг в подынтегральном выражении в первом
члене левой части (15.424). Таким образом, сопряженные
граничные условия имеют вид
|а (0, в) |< оо, и(\9 в)=0. (15.425)
Сравнивая краевую задачу (15.423), (15.425) с однородной
краевой задачей, соответствующей (15.223)—(15.225), убеждаемся
в том, что обе эти задачи являются самосопряженными,

484
Гл. 15. Условия разрешимости
Для того чтобы вывести соответствующее условие
разрешимости, вернемся к исходно^ неоднородной задаче. Используя
уравнение (15.423) и граничные условия (15.425) и переходя к
пределу при г0 -* 0, из соотношения (15.422) получаем
2я 1 2я
2(d0g>i [ J (p0ur drdQ = f <pt -£-1 d0,
0 0 0 ~
откуда с учетом граничных условий (15.225) находим
2я 1 2я
2(00(0! j \<p0urdrdQ^- j -^-^=i/(9)dG. (15.426)
0 0 о
Соотношение (15.426) является искомым условием разрешимости
задачи (15.223)—(15.225).
Подставляя теперь в (15.426) выражение (15.231) для
функции ф0 и вспоминая, что о>0 = &пт* имеем
2Я 1
2сох j J rJn (Qnmr) (Anme<«* + Anme~<"*) и drdQ =
о 0
2л
= ~J'n(Qnm)l (Annfilne+Anme-{ne)^\r=J{Q)dQ. (15.427)
0
Поскольку рассматриваемая задача является
самосопряженной, в качестве функции и можно взять решение соответствующей
однородной задачи
u = Jn(Qnmr)ei«* или Jn(®nmr)e-inQ,
причем соотношение (15.427) должно удовлетворяться для
любого из эт^х решений.
Используя второе решение, из (15.427) получим
2Я 1
2<*г J J г Л (Qnmr) (Апт + Annfi-2*1*) drdQ='
о о
2я
= -QnmJ'n2(Qnm)l [Anmf(Q) + Anme-2inef(Q)]dQ. (15.428)
о
Вычисляя интеграл от функции rJ% (Qnmr) с помощью формулы
(15.427) и вспоминая, что
2Л
J e'm8de = 0,
о
если т — произвольное целое число, из (15.428) получаем
соотношение _
®\Апт= ь2п/п/2п^пт>
которое полностью совпадает с (15.249), выведенным другим
способом.

Упразднений 485
Упражнения
15.1. Найти условия разрешимости системы уравнений
4
ui + «« + 2«i= 2 /VtVl',
4
Jnt
"2 — "i + 2и2 = £ Q*e
где Pn и Qrt — заданные постоянные величины.
15.2. Найти условия разрешимости системы уравнений
х + у + х = Рх ехр (2//) + Я2 ехр (itiVz),
у - 1,5* + Ь = <?i ехр (2И) + (?2 ехр (i7/K*2)>
где Рл и Qn — заданные постоянные величины.
15.3. Найти условия разрешимости следующих краевых задач:
а) и" + 0,25и = /(*), и' (0) = а, и (я) = ft;
б) и" + х~Ч' + k2u= f (х), и (а) = £?1? u (ft) = с2.
В задаче б) предполагается, что ft> а> 0 и, кроме того, что соответствующая
однородная задача имеет нетривиальное решение.
15.4. Найти условие разрешимости краевой задачи
и" + JTV + (Я2 - я2*"2) и = / (*),
|и(0)|<оо, и' (а) = g,
где a Hg- заданные постоянные величины, а X — корень уравнения J'n (ка) =
= 0,
15.5. Найти условия разрешимости следующих задач:
а) ф" + п2я2 сГ2у = / (*),
ф' (0) - 0, q>' (d) = Р;
б) Ф' + ^Ф = /<*).
Ф# (0) = 0, ф' (1) - а ф (1) = р,
где Y* tg Yn = —а-
15.6. Найти условие разрешимости краевой задачи
д2ф . д2ф , / л2я2 , т2я2 \ .,
Фу (0, г) = 0, Фг (у, 0) - 0,
Фу (dt г) = рх, ф2 (у, ft) = Р2.
15.7. Найти условие разрешимости краевой задачи
<*2Ф , 1 <*Ф , / о "2 \ . . .
Ч?Г+ — -аТ + {Гп,п-— )ф = /(г),
|ф(0)|<оо, Ф'(1)-РФ(1) = «.
™e V„m — корень уравнения y*^ (Y) — №п (V) = °-
15.8. Найти условие разрешимости краевой задачи
. д2ф
1 дф
1
Ш
|Ф(0, 9) |<оо, фг (1, в) = аехр(/яв),
где упт — корень уравнения Гп (y) = 0.

48б
/л. 15. Условия разрёшимосШ
15.9. Найти условие разрешимости краевой задачи
d2u , 2 du 1
-57Г + — -y + Xii^fW.
а (а) = аа, а (Ь) = и&
при условии, что параметр X равен одному из собственных значений
соответствующей однородной задачи.
15.10. Найти условие разрешимости краевой задачи
у4ш+ fav= F (г),
| ш (0) | <оо, ш(1)= plf
|ш'(1) l=Pt.
где X — одно из собственных чисел соответствующей однородной задачи
v dr* ^ г dr
15.11. Найти условие разрешимости краевой задачи
<Pi + '"'«Pi + (<** - г~2) ф, = fx (г),
Ф2 + r~42 - (Vn + Г~2) Ф2 = /2 <Г)>
ф! 0) = И-1Ф1 (0 + И2Ф2 (0. Ф2 0) = Н-ЗФ1 0) + № 0).
| Ф1 (0) | <оо, аф£ (а) — ф2 (а) = 0, а> 1
при условии, что соответствующая однородная задача имеет нетривиальное
решение.
15.12. Найти условие разрешимости краевой задачи
а2ф
dr2
♦ [-^З+^З-Р^-'-Й-"*
|ф(0)|<оо, ф/(1)-Рф(1) = «.
где Т0, Оо и / — известные функции переменной г; со, ky Р и а — заданные
постоянные величины и т — целое число. Предполагается, что соответствующая
однородная задача имеет нетривиальное решение.
15.13. При исследовании распространения волн в плоском канале возникает
задача
и + -р- + 5я^-/(у)51п2юс,
= 0, ' *L
у=о ау
= a sin 2ях.
дф
Показать, что условие разрешимости данной задачи имеет вид
1
J cos пу f (y)dy = —a.
о
15.14. Найти условие разрешимости краевой задачи
£ [' <*•"> -S-] + £ [«<*•»> f] +^"> *='<*•*>•
фх (0, |/) = 0, фу (х, 0) = 0,
J Ф* (а, I/) ~ <*i (I/) Ф (а» У) = Pi (У)> Фу (*■ Ь) — а2 (х) ф (х, Ь) = Р2 (х).

Упражнений 487
15.15. Рассмотреть систему уравнений
( * — У + 2х + Зех3 + 2е#* = О,
1 у+ Х+2Ьу+4еху=0,
где 6 = 1 + еа, е<1. С помощью метода многих масштабов показать, что
х = Ai (7\) exp {iT0) + Аг (Tt) exp (2iT0) + (к. с. ) + - • •,
причем функции Ах (7\) и Аг (Тх) удовлетворяют системе уравнений
1 • А 1
тюА2 т
A'2 = -^-ioA2 i-M?
А[ = — ioA1 — iA1A2.
15.16. Нелинейные колебания динамической системы с двумя степенями свободы
описываются системой уравнений
( йх + 0,5и3 + 6ых = еи^,
1 «2 — 0,5u1 + 0,5u2 = euf,
где е< 1, 6 = 0,5 + еа. Показать, что система уравнений относительно
комплексных амплитуд имеет вид
ЗА'2 = Ш2 + 2А\,
ЪА[ = ioAx — \АХА2.
15.17. С помощью метода многих масштабов получить уравнения, описывающие
изменения амплитуд и фаз колебаний следующей системы:
й2 + (оЦщ = CLbUxUb,
ПрИ УСЛОВИИ, ЧТО 0)8 « (Ох + (03.
15.18. Рассмотреть параметрически возбуждаемую колебательную систему из
§ 15.3. Получить уравнения относительно комплексных амплитуд в случае, если
a) Q « 1, б) Q « 2 и в) Q « 4.
15.19. Определить разложение первого порядка для собственных чисел задачи
и" + ки = е/ (х) а,
и (0) = 0, и (1) = 0
при условии, что е < 1.
15.20. Рассмотреть задачу о собственных значениях
W+ [Х+ е/(х)]«= 0,
и (0) = 0, и' (1) = 0.
Показать, что
1
x>==(/l+T")2jl2"2eJ/w sln2 (Л+-^-) ^^Н— •
о
15.21. Рассмотреть краевую задачу
ulw+bu" + [Ь+е/(*)]ц=0, е<1,
и (0) = а'' (0) = и (я) = и" (я) = 0.
Показать, что при к « 4
X = 4 + еХ1э

488
Гл. 15. Условия разрешимости
где Хх — один из корней уравнения
Ч + (/и + /И) *ч + /и/22 - Я. = О,
я я
/и=4"J/w si°2*<**' /»=-|-J/ wsin22*dx*
0 0
я
2 r
/u = — J / (x) sin x sin 2x d*.
0
15.22. Найти условие разрешимости для уравнения
Pi(x)yff + p1(x)yt + p0(x)y=f(x)
при краевых условиях
а) У (0) = Pi, У (1) = Р*;
б) у' (0) - ад (0) + Pi, у' (1) = аа </ (1) + р3;
с) у (0) = аьу' (0) + <W (1), у (1) = cW (0) + а22/ (1).
15.23. Найти условия, при которых уравнение
РвУт + РгУ* + РхУ' + РоУ = О
является самосопряженным. Ответ: р2 = 1,5/?з» р0 = 0,5 (pj — р\ + р[).
15.24. Найти условия разрешимости для уравнения
Ра М У* + Ра М 1/" + Pi to У' + Ро(х)У = f М
при краевых условиях
а) у (0) = fc, у' (0) = ра, у (1) = р8;
б) / (0) = «uif (0) + <х2у' (0) + а^ (1) + а^' (1),
/ (1) = «и* (0) + <W (0) + ощг (1) + аьу' (1),
О - «810 (0) + <W (0) + ош (О + <W (1).
15.25. Доказать, что произвольное однородное самосопряженное уравнение
шестого порядка можно представить в виде
15.26. Доказать, что произвольное однородное самосопряженное уравнение
порядка 2т можно представить в виде
dmy \ , dm~l I А dm~1'
dx« v^m "rf^"J+ "Z^1^ VЛт^ "Z?^7"J + """
15.27. Найти условия разрешимости краевой задачи
Рь (*) УУ + Ра (х) ylW + Pi (х) у + р2 (х) у + рг (х) у +p0(x)y = f (х),
y(0)=Pi, l/f (0) = р2, 0"(О)=Рз, у(1)=Р4, /0)*Р|.
15.28. Рассмотреть задачу о собственных значениях
я
Ф (s) = X j [cos (s + 0 + e/Ci (s, t)] q>(t)dt, e < 1. •

Упражнения
489
Показать, что
фП> = cos s + • • • f ф(2) = sin s + • • •,
Х<!> = 2я~* + еХх + ...Д(2)=— 2я-1+еХ2+ ....
Найти коэффициенты А,п.
15.29. Найти равномерно пригодное разложение- первого порядка для решения
интегрального уравнения
1
Ф (s) = X \ [st + sH* + e/Ci (sx/)] Ф(0 dt, е < 1.
-l
15.30. Найти равномерно пригодное разложение первого порядка для решения
интегрального уравнения
Ф (s) = X J [s — / + e/Ci (s, 01 Ф (0 dU е< 1.
о
15.31. Показать, что дифференциальный оператор
будет самосопряженным тогда и только тогда, когда v9 = ±t>i.
15.32. Показать, что дифференциальный оператор
, , ч 1 d 1 d \ d у
L (у) = — -з 3 т- -£-
является самосопряженным тогда*и только тогда, когда
t>4 = ±vit v3 = ±v2.
15.33. Показать, что дифференциальный оператор
L )== _L.jLJ_-^ LAJ--1-L
Уп+i ^ fn dx " * * v9 dx v2 dx vt
является самосопряженным тогда и только тогда, >когда
Vn+l = ±Vly Vn = ± »а, Vn.l = ± 1>8. «^ .
15.34. Рассмотреть задачу на собственные значения
/*Ь_аф)| =0,
\дг ^ I |г*=а+е/<9)
дф
or |r=b+eg(9)
Найти разложения первого порядка для собственного числа со.
15.35. Течение несжимаемой жидкости вблизи волнистой стенки описывается
краевой задачей вида
У2Ф = 0,
(* +в*£,1„ЛЛ „о.
\ ду дх / \у=г cos kx
Доказать, что .
ф = и (х + е sin kxe~ky -f 0,5е2£ sin 2kxe^ky + .. ).
Обсудить вопрос о равномерности этого разложения.

490
Гл. 15. Условия разрешимости
15.36. Обтекание тела, близкого по форме к телу вращения, несжимаемым
невязким потоком жидкости описывается следующей краевой задачей:
д2^ 1 д$ 1 аац?
дг* + г дг + г2 дв2 '
Н->оо-> ^г sin 6< * Ua (1-е sin« 9) = 0.
Показать, что
Рассмотреть вопрос о равномерности этого разложения.
15.37. Найти условия разрешимости краевой задачи
у«ф _ Ц> = / (г, 9),
ф (а, в) = 0, ф (bt 9) = 0,
^(а,е) = /(в), £<'.•>-*№>■
15.38. При исследовании устойчивости двумерного течения несжимаемой жидко*
оти вблизи волнистой стенки возникает краевая задача
lau + v' = U(y)9
-i (со - aU) и + U'v + tap - -L (u* - a^u) = /3 (y),
—i(<x>
«i
— Ж/) v + p'
и (0) = c„
l^oo-^O,
, 1
R
f(0) =
4+«
(0'-
: ^2>
,-o,
•a4>)
= /•
(»).
где U л fn — известные функции переменной yf со, a, /?, fc и сп — некоторые
постоянные величины, а штрихом обозначается производная по у. Показать,
что условие разрешимости данной задачи имеет вид
3 оо
J J ФЛ *У = X ^ (0) + TF С2ф3 (0)'
«=10
где фп удовлетворяет уравнению и граничным условиям соответствующей
сопряженной задачи
/aq>2 — Ф^ = О,
ioupx — i (со — at/) ф2 — R-1 (фз — а2ф2) = О,
— Ф1 + ^'Ф2 -'(<■>- а</) Фз - Я"1 (Ф; ~ а2Фв) = О,
Фг (0) = Ф» (0) = О,
фп—► О» У-*' <*>.
Указание: Умножить исходные уравнения на <рь ф2 и ф8 соответственно. Далее,
проинтегрировать полученный результат от у = 0 до у = сю, преобразовать
полученные соотношения с помощью интегрирования по частям, с тем чтобы
«перенести» дифференцирование с функций и, v и р на функции фп. Затем
сложить полученные уравнения и собрать коэффициенты при и, v и р9 после
чего провести остальные этапы вывода, следуя § 15.13.

Упражнения
491
15.39. При исследовании устойчивости трехмерного пограничного слоя,
существующего при течении несжимаемой жидкости вблизи плоской поверхности,
возникает следующая задача:
iau+ фш+ v' =-fi(y)t
—i&u +U'v+ iap - /Г * (u* — Pu) = /2 (y),
_fo, + p' - R-1 (vn - k*v) = /8 (y).
—i6w + i$p + W'v — tf"1 {w* — 62ш) = /4 (y),
и — v ~ w = 0, (/=0,
a, u, ш-> 0 f/—► oo,
где. © — со — at/ — pW и k2 = a2 + P2. Здесь (У, W и fn — известные функции
переменной j/, a a, P, Я и со — заданные постоянные величины. При условии что
однородная задача имеет нетривиальное решение, показать, что условие
разрешимости имеет вид
4 оо
П=х1 б
где функции фп (п = 1, 2, 3, 4) удовлетворяют системе уравнений
«aq>2 + Фф* — Фз = 0,
iacp1 — /соф2 — Я"1 (Фг — k-q>2) — 0>
- <Pi + С/'Ф» - 'софз - Я-1 (Ф5 - *2Ф3) + ^'ф4 = о,
1'РФ! — I Аф4 — Я"1 (<Й — *2Ф*) = 0,
ф2 (0) = Фз (0) = ф4 (0) = 0,
Фм|^->оо^0.
15.40. Рассмотреть задачу о собственных значениях
фхх + Чуу + ^Ф = е*2ф.
ф (*, 0) = ф (х, я) = ф (0, у) = ф (я, у) = 0.
Найти разложения первого порядка для случая, когда значение параметра К
близко к значениям 2 и 5.
15.41. Рассмотреть краевую задачу для уравнения
у2Ф + Х,ф = ef (*, у, г) ф
с условиями обращения функции ф в нуль на поверхности куба с ребром,
равным я. Найти разложения первого порядка прн X « 3 и X « 6, если а) /• = х2
н б) / = *У

Приложение А
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
А.1. Основные формулы
sin2 а + cos2 а = 1, (А.1)
4~ - sin а i^ cos а , _ # 1 / а о\
sin (а ± Р) = sin а cos Р ЧЬ cos а sin р, (А.З)
cos (а ± Р) = cos а cos р =F sin а sin p. (А.4)
Складывая формулы (А.З), имеем
sin a cos Р = 4" (sln (а + Р) + sln <а ~~ Р^,; (А<5)
вычитая формулы (А.З), получаем
cos a sin Р = -L [sin (а + Р) - sin (а - р)]. (А.6)
Аналогичным образом, складывая и вычитая формулы (А.4),
находим
cos a cos р = 4* fcos (а + Р) + cos (а — Р)Ь
, (А.7)
sin а sin Р = -J- [cos (а — р) — cos (а + Р)].
Из соотношений (А.2)—(А.4) следует, что
\а ( -u ftt — sin (а±Р) __ sin а cos ft ± cos а sin ft
g ( ± р; — cos ^а ± ^ — cos а cos ft =f sin а sin ft'
Разделив числитель и знаменатель на cos a cos р, получим
•WiB-rSHnSfr- <А8>
Аналогично
cttCdzB-У,^.'. (А.9)
Положим теперь
а+р = хиа — P = f/,
тогда а = -2-(* + #) и Р = — (*-</)•

Тригонометрические формулы
493
При этом равенства (А.5)—(А.7) переписываются в виде
sin х -+- sin у = 2 sin * ~ty cos x~Zy ,
sin* — sin у = 2cos * "^ y sin x ~ y , (A. 10)
cos x -f- cos у = 2 cos ^ y cos *~^ ,
cos у — cos v = 2 sin *"^~y sin *~Ty . (A. 11)
Подстановка в формулу (A.5) P = а дает
sin 2a = 2 sin a cos a, (A.12)
подстановка p = a в формулы (A.7) приводит к соотношениям
cos 2a = 2 cos2 a — 1,
cos 2a = 1 — 2 sin2 a, (A. 13)
складывая которые, получаем
cos 2a = cos2 a — sin2 a. (A. 14)
Для того чтобы выразить sin За через sin a, положим в (А.З)
Р = 2a:
sin 3a = sin a cos 2a + cos a sin 2a.
Используя формулы (А.12)хи (A. 13), имеем
sin 3a = sin a (1 — 2 sin2 a) + 2 cos a sin a cos a.
Поскольку cos2 a = 1 — sin2 a, то
sin 3a = sin a — 2 sin3 a + 2 sin a (1 — sin2 a),
или sin 3a = 3 sin a — 4 sin8 a. (A.15)
Выражая отсюда sin8 a, приходим к часто используемой формуле
sin3a = -^-(3cosa — sin 3a). (A. 16)
Аналогичным образом, можно выразить cos За через cos a.
Действительно, полагая в (А.4) р = 2а, имеем
cos За = cos a cos 2а — sin a sin 2а,
откуда, используя (А. 12) и (А. 13), получаем
cos За = cos а (2 cos2 а — 1) — 2 sin a sin a cos а =
= 2 cos3 а — cos а — 2 sin2 a cos а =
= 2 cos8 а — cos а — 2 (1 — cos2 a) cos а.
Таким образом,
cos За = 4 cos8 а — 3 cos а, (А. 17)
или cos3 а = -j-(3cosa + cos3a). (А. 18)

494
Приложение А
А.2. Комплексные величины
Полагая в (1.49) х = t'9, где i = -j/—1 , находим
e ~"1"t~l!"1 2! ~r~ 3! _t~ 4! "+" 5! "*" 6! ^ "
Поскольку t2 = —1, имеем разложение
* ~~ * ^ 1! 2! 3! ^ 4! ^ 5! 61 ^
которое можно переписать в виде
(А. 19)
Сравнивая ряды в круглых скобках с разложениями (1.47) и
(1.48), заключаем, что
eib = cos 9 + f sin 9. (А.20)
Переходя в (А.20) к комплексно сопряженным величинам,
получаем
е-* = cos в — i sin 9. (А.21)
Сложение формул (А.20) и (А.21) дает
cos 9 = 4 (е* + е~(% (А.22)
Вычитая (А.21) из (А.20), находим
sin в = -^-(е'°— *-'*). (А.23)
Покажем теперь, как с помощью формул (А.20)—(А.23) можно
представить cos" 9 и sin" 9 в виде рядов Фурье. Из (А.22) в
соответствии с биномиальной формулой следует, что
cos3 в - [4- (*'в + *~'9)]3 = 4" (е<* + е~^ =
=4(*3'9 + Зе* + Зе-я + е-3'6).
Перегруппировывая соответствующие члены и учитывая (А.22)»
имеем
cos3 9 = 4" (е3'6 + *"3'e) + -|" <*'е + *~'в) =
==4-2cos39 + -g-#2cosG-
Таким образом,
cos8 9 = 4 (cos зе + 3 cos °)»

Тригонометрические формулы
495
что полностью совпадает с (А. 18). Аналогичным образом, из
(А.22) с помощью формулы (А. 16) получаем, что
sin3 9 = [-i- (eiQ — е-*) ] = -gL {eiQ — er**f =
= — -L (&* _ 3^0 + 3^-^в _ £-3/9) =
3 eie-e-iQ 1 ^в_в-з/в з j
= -r sin 9 3- sin 39
4 2/ 4 2i 4 °111 4
в полном соответствии с формулой (АЛ6).
Для того чтобы разложить cosn 8 при произвольном
натуральном п, заметим, что
cosn в = [4* (е*в+e'ie)]n=4г (*'е+e~ie)n-
Полагая теперь в формуле (1.396) а = ехр (/9) и Ь = ехр (— /0),
находим
п
(piQ Д. р~(в\п V* п * pi (п-т) Qp-imB
п
"" 2 ml{n-m)l е' ("-2т) 6 = еШ + ~* (П"2> в +
т=0
+ * <*- Ц е< (п-4) в _| _|_ "^^ в-' ("_4) в + пе-' ("-« в +
_|_ g-inb _ е<1в _J_ e-in9 _|_ п [е< (я-2) в _|_ е-1 (п-2) в] _|_
+ п{п~П 1е' <"-4>в + е-1 с-4)в] +
^_ п(п—1)(п-2) ^ („_6) в ^_ g_, („_6) 6j _)_ ...
Поэтому для нечетных п
cos" 6 = —j^- [cosnS + ncos(n - 2)9+ п{п^Х) cos(n - 4)9 +
+ n(n-lHn-2)cos(/i_6)e+...jt (Д24)
а для четных n
cosn0 =—^rrrcos»e + ncos(»-2)9-h B(B2'j"1) cos(»-4)9+ •••

496
Приложение А
Аналогичным образом, для того чтобы разложить в ряд sin* в,
заметим, что
с
sin»9 = [4- (е"> - е-")]" = JL-(*«> - ет'*?.
Полагая в формуле (1.396) а = exp (fG) и Ь = —ехр (—/0),
имеем
л
ШЪ __ p-i9\n — V* (~ !) П| л/ (л-m) 9Wm9 —
I* е > — ^j т!(гс-т)! * * ~
т=0
л
= VI (— 1)тя1 , (п_2т) в
^j т! (л—т)1
Тогда в случае четных п
(ei0 _ e-f9)/i = ^/лв _ „^ (л-2) в _|_ Л(Я--1) gt- (п.4) в _^
-|- n ("— U g-f (л-4) 0 _ Л£-| (л-2) в I e-ind -_ gfn9 I £-«пв _
— п[^ <п-2>е + е~1 <"-2> е] 4- п(п~~1) [е1 <"-4>9 4- е-* (n~4) е] -f • • •.
Следовательно, для четных п
sin" 0 = -^ [cos «9 - n cos (п - 2) 0 + п (я2~ !) cos (п - 4) 8 -
2V °
»(п-1)(я-2) cos(n_6)e+..,+(_1)n/2 «I I
2t,2
(A.26)
В случае нечетных п имеем
ЫЭ _ e-iQ\n = einO __ mi (л-2) 6 » П (П~~ ^ ^ (л-4) в _
п (п~~ *) ^-* (л-4) е I ng-t (л-2) е __ ^-^е __ ^ле __ ^-4ле __
— п [в1 <*-2>е — с1 <"-2>е] -f п(п~~l) [^ (i-4) в _ £-* (л-4) в] _|_ ...;
Поэтому для нечетных п
sin"0 = —^ [sin лв - nsln(n - 2)6 -f--U^LpiL Sin (П _ 4)0 _
,»(»-Ц(»-а),|п(я_6)е+...]. (A.27)
Полагая в (А.25) л = 4, имеем
cos4 в = -j- (cos 49 + 4 cos 20 + 3).

Тригонометрические формулы
497
Полагая в (А.24) п = 5, находим
cos*0 = -^ (cos 50 + 5 cos 39 + 10 cos 0).
16
Полагая в (А.26) п = 4, имеем
sin4 0 = -i-(cos 40 - 4cos 20 + 3).
Полагая в (А.27) п = 5, находим
sin5 0 = -щ- (sin 50 - 5 sin 30 + 10 sin 0).
Для того чтобы разложить в ряд Фурье произведение cos" 0 X
X sinm 0, мы можем либо непосредственно использовать формулы
(А.22) и (А.23), либо предварительно разложить каждый из
сомножителей по степеням cos 0 и sin 0 и затем воспользоваться
формулами (А.22) и (А.23).
А.З. Интегралы
J cos ах cos р* dx = -^ j cos (а + Р) х dx + -g- j cos (а — p) x dx =
sln(a + P)* sln(a-P)* R
2(a-fp) "I" 2(a-P) ' P^a' ,д ш
j sin a* sin p* dx = -y j cos (a — P) x dx —j- f cos (a + P) x dx =
( sin (a-ft)* sin (a + ft)* R ,„
I 2(a_ft) 2(a + p) ' P^a' д 2q,
~ 1 sin 2a* a . lA^y>
j sin a* cos рдг dx = -g- j sin (a + p) x dx + -j- j sin (a — p) x dx =
cos (a + P) x cos (a — ft)*
2(a + P) 2(a-ft)
cos 2a*
4a '
cos"+1 9
(A.30)
P = a;
jcos"0sinOd0 = --^L-i, (A.31)
J sin" 0 cos 0 dQ = ~2^p. (A.32)
Интегрируя левые и правые части формул (А.24)—(А.27),
получаем

498 Приложение А
для нечетных п
1 Г 1
| cos« ede = JL. [JL sin «e + ■— sin (n - 2) e +
+^^s|"("-4)°+nV-672)sln("-6)9+'--]'
(A.33)
для четных л
|cos«9d9 = 1lr r-i-sinne+ ^2 Sin(n-2)9-
-^H)Sin^-4)e+-"+9/l Г/. 4,1' (A34>
для четных n
J sln"9d9 = -jL- Г-i- sinnO - jJLj sln(n - 2)9 +
— f-
2(T«)l(T»)lJ
для нечетных n
Jsinne^=^p[-4cosne+^2cos(rt-2)e-
-Щ^Т^оЦп- 4)9 +...]. (A.36)
Окончательно из соотношений (A.33)—(A.36) находим
О, если п нечетное,
2Л v' v'v"'1" '* »*--»^»"^>
f cos"9d9=| . я я .—-, если я четное; (А.37)
О
2л
J sin"9d9 =
О, если п нечетное,
——, v п.*!—г—, если п четное. (А.38)
[ '"-'/"(д»)! (т")1

Приложение В
ЛИНЕЙНЫЕ ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение,
которое связывает неизвестную функцию (называемую часто
зависимой переменной), производные этой функции, а также
некоторые известные величины. Если зависимая переменная
представляет собой функцию одной переменной (называемой обычно
независимой переменной или аргументом), то такое уравнение
называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если
же зависимая переменная является функцией двух или более
независимых переменных, тогда данное дифференциальное
уравнение называется уравнением в частных производных. Итак,
обыкновенное дифференциальное уравнение общего вида
записывается в форме
n(dnu dn~lu d2u du \ л ,~ 1Ч
*[*?•&* ^-57-"^)=°' <БЛ>
где порядок старшей производной называется порядком
дифференциального уравнения. Например, уравнение (Б.1)
представляет собой дифференциальное уравнение порядка л.
Обыкновенное дифференциальное уравнение /i-го порядка
называется линейным, если оно линейно относительно функции и
и ее производных ы', и'\ . . ., u^n'l)t ы(п). Таким образом, самое
общее линейное дифференциальное уравнение /z-го порядка имеет
вид
M*)0 + P»-iW£^+-" +М*)|Кро (*)* = /(*), <Б'2>
где рт (т = 0, 1, 2, . . ., п) и / — известные функции от х.
Если / (х) = 0, то уравнение (Б.2) называется однородным;
в противном случае оно будет неоднородным.
Положим, что функции рт (х) (т = 0, 1, 2, . . ., п)
непрерывны на промежутке / = [х £ [а, Ь]\, включающем в себя
некоторую точку х0, причем рп (х) не обращаются в нуль ни
в одной точке этого промежутка. Тогда для любых вещественных
чисел а0, аъ . . ., ап_г существует единственное решение и (х),
удовлетворяющее уравнению (Б.2) на всем промежутке /, а также
начальным условиям
и (х0) = обо, и' {х0) = аъ ..., и^-^ (*<>) = ап_!.

500
Приложение В
Приведенное утверждение представляет собой основную теорему
существования для обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений.
Часто бывает удобным выразить уравнение (Б.2) в
операторной форме. С этой целью обозначим через D дифференциальный
оператор dldx. Тогда
г* du г
D4 = D (Du) = D (и') = и",
Dnu = D (Dn-lu) = D [«<"-'>] = ы<">.
Кроме того, будем считать, что D°u = и. При этом уравнение
(Б .2) можно переписать как
PnD»u + Pn-iD"-^ +■••+ р^и + PoWu = / (x), (Б.З)
или, в более удобной, сокращенной форме
L(u)=f (х), (Б.4)
где оператор L определяется с помощью соотношения
L = pwD» + pn_1D»-4--..+p1Z) + AD». (Б.5)
Оператор L называется линейным оператором и обладает
следующими свойствами. Так, если с — постоянная п и (х) —
произвольная функция, имеющая по крайней мере п производных, то
L (си) = cL (и), (Б.6)
поскольку
L (си) = рп (cu)w 4- ?„_! (ш)<«-'> -|- •-.+р1 (си)' -г- Ро (си) =
= рпш<"> + Pn.i^c-') А h.PiC"' + РоС" =
= С [Р„«<п> + Pa-lW*"-" "I f Pi"' + Ро") = Cl (tt).
Если U]HU: — две произвольные /г раз дифференцируемые
функции, то
L (их +и2) = L (Ul) + L (и,), (Б.7)
поскольку
L (щ + и,) = рп (uj. + и2)<"> -Ь Рп-1 («1 + "2)("-" + • ■ ■
• • • + Pi ("1 + "2)'. + Р« ("1 + ««) = Р« I"}"' + «И +
" + Pn-i ["Г0 + "Г'Ч -I- • • • f Pi («I + "2) + Ро ("1 + "2) =
= [р„«Г + Pn-iu[n'l) + • ' • + Pl"i + Po^l +
+ lPnU(2n) + Pn-A"'" + • • • + Pl«2 + Po"2] = ^ ("l) + ^ M-
Из соотношений (Б.6) и (Б.7) следует, что
L (схЫх + с2ы2) = CxL («х) + c«L (u2), (Б.8)

Линейные дифференциальные уравнения 501
или, в более общем случае,
L (сгих + с2и2 + f- стит) = c±L (их) + c2L (и2) -j У cmL (ит),
• (Б.9)
где ct — некоторые произвольные постоянные.
Б.1. Однородные уравнения
Полагая в уравнении (Б.4) / (х) ~ 0, получаем однородное
дифференциальное уравнение п-го порядка вида
L(u) = 0. (Б. 10)
Если функция их есть решение уравнения (Б.10) и
с—произвольная постоянная, то произведение сиг также является
решением уравнения (Б. 10), поскольку
L (сиг) = cL (Wi) = 0.
Принцип суперпозиции
Если функции и± и и2 являются решениями уравнения (Б. 10),
a d и са — две произвольные постоянные, тогда выражение C\UX +
+ с2и2 также будет решением уравнения (Б. 10), поскольку
L (cxUx + с%ы2) = ctL (иг) + c2L (и2) = CiO + с20 = 0.
В более общем случае, если функции ui9 и2у . . ., ит являются
решениями уравнения (Б.10), а съ с2, . . ., ст —~ произвольные
постоянные, то сумма
схиг + с2и2 + • • • + стит
также будет решением этого уравнения, поскольку
L (сгиг + с2и2 -\ Ь стит) = ctL {их) + c2L (и2) + \-cmL (ит) =
= Cl0+c2Q-{ f-cm0 = 0.
Данное свойство называется обычно принципом суперпозиции,
а выражение сгиг + с2и2 + • • • + стмот — линейной комбинацией
функций Hlf и2, . . ., wm.
Линейная независимость
Пусть функции «! (л:), ы2 (*)» • • .. "mW представляют собой
множество функций, определенных на промежутке / = [а, Ь].
Говорят, что функции иъ и2, . . ., ит линейно Зависимы между
собой, если найдутся такие постоянные clf с2У . . ., ст> не равные
нулю одновременно, что условие
схиг (х) + с2и2 (х) + Ь стит (х) = 0 (Б. 11)
выполняется для всех х из промежутка [а, 61; в противном случае
данные функции называются линейно независимыми.
Ограничение, что не все с% должны равняться йулю одновременно, яв-

502 Приложение Б
ляется существенным, поскольку соотношение (Б. 11) в случае,
если все с{ равны нулю, выполняется для любых функций ит (х).
Например, функции 2х — 1 и 6х — 3 будут линейно зависимыми,
потому что — 3(2* — 1) + 1-(6jc — 3) = 0.
В то же время функции 2х — 1 и Ъх — 3 являются линейно
независимыми, поскольку невозможно подобрать такие постоянные сг
и с2, не равные нулю одновременно, чтобы
сг {2х — 1) + с2 (5х — 3) = 0.
Другим важным методом проверки функций их (х), иг(х), . . .,
ит (х) на линейную независимость служит исследование их
определителя Вронского, т. е. определителя вида
W = W(u1,u2t...,um) =
иг и2 ... ит
Щ , U2 ... ит
tAm-\) ,Лт-\) ,.(т-1)
(Б. 12)
Так, если функции иг (х), и2 (х), . . ., ит (х) —линейно
зависимы на промежутке /, тогда существуют постоянные съ с2, . . .,
ст, не равные нулю одновременно, такие, что
CXUX + C2U2 + V ' + ст^т = 0- (Б. 13)
Дифференцируя соотношение (Б. 13) (т — 1) раз, имеем
сги{ + с2и'2 Н h стит = 0, (Б. 14)
Сфх +с2«Н h сти'т = 0, (Б. 15)
с,иГХ) + с2иГ~1) + • • • + стиЯГ» = 0, (Б.16),
При произвольном фиксированном х из промежутка /
соотношения (Б. 13)—(Б.16) образуют неоднородную систему линейных
алгебраических уравнений относительно постоянных си с2» • • •>
ст. Так как постоянные сх одновременно не равны нулю, onpei
делитель матрицы коэффициентов этой системы должен равняться!
нулю. Но поскольку указанный определитель является юпрЫ
делителем Вронского для функций uv и2, . . ., мт, то, следов
вательно, W (х) = 0 в каждой точнее промежутка /. Если же
определитель Вронского не равен нулю во всех точках х £ /,
тогда система (Б. 13)—(Б.16) имеет только тривиальное решение
сг = с2 = • • • = ст = 0, так что функции их (х)> и2 (*), ...»
ит (х) оказываются линейно независимыми. Таким образом,
функции ип (х) (п = 1, 2, . . ., т) являются линейно зависимыми
на промежутке / тогда и только тогда, когда их определитель
Вронского равен нулю во всех точках промежутка /. Например,

Линейные дифференциальные уравнения 503
определитель Вронского для функций 2х — 1 и 6х — 3 имеет вид
2х - 1 6х - 31
2 6
W =
= 0,
и, следовательно, эти функции линейно зависимы. В то же время
для функций 2х — 1 и 5х — 3 определитель Вронского не равен
нулю, поскольку
' 2х - 1 5л: — 3 I
W =
= 1.
2 5
Таким образом, указанные функции являются линейно
независимыми.
Общее решение
Уравнение (Б. 1.0) имеет не более чем п линейно независимых
решений. В самом деле, допустим, что функции их (х), и2 {х)у . . .,
uN (*), где N > п, являются решениями уравнения (Б.10). Тогда
определитель
их и2 ... ип ... uN
W(ult и2, ..., «ЛГ) =
\Х\
U2
U'n
UN
и\п)
и(2п)
,(п)
UN
u\N-l) u\»-l>
AN-D
и»
ЛМ)
(Б.17)
равен нулю, поскольку с помощью уравнения (БЛО) мы всегда
можем представить (п + 1)-ю строку в виде линейной
комбинации первых п строк. Следовательно, решения их (х), и2 (jc), . . .,
uN (х) при N > п оказываются линейно зависимыми.
Покажем теперь, что уравнение (БЛО) на промежутке / имеет
ровно п линейно независимых решений. С этой целью заметим,
что согласно основной теореме существования уравнение (БЛО)
имеет п единственно возможных решений их (*), и2 (*), . . .,
и>п (*)> удовлетворяющих начальным условиям
их(х0) = 1, и{ (х0) = щ (х0) =;...= и[п'1) (х0) = 0;
и2 (х0) = 0, и2 (х0) = \>и2 (х0) =...== uin~l) (х0) = 0;
М*о) = «з(*о)==0, ul(x0)= 1, и"(х0)= ... =uin~])(x0) =0;
ит <*о) = •••== «JT2) (*.) = 0, и%л> (х0) = 1,
,(т)
(л-1),
(дг0)=...=ц£-"(*0) = 0;
Un (X*) = Un (Х0) = . • . - U(nn-2) (Х0) = 0, «Г0 (АГ0) = 1.

504
Приложение Б
Легко показать, что определитель Вронского для этих п
решений в точке х0 равен единице. Следовательно, этот определитель
не равен нулю в каждой точке промежутка /1}, и потому функции
их (х), и2 (х), . . ., ип (х) линейно независимы.
Произвольная совокупность п линейно независимых решений
уравнения (Б. 10) называется фундаментальной системой, причем
произвольная линейная комбинация этих решений также будет
решением уравнения (Б. 10). Таким образом, если функции их (х),
и2(х), . . ., Un(x) представляют собой фундаментальную
систему решений уравнения (Б. 10), то комбинация
и (х) = схих (х) + с2и2 (х) + • • • + спип (х)
(Б. 18)
при любых значениях постоянных сх, с2, .
с принципом суперпозиции будет решением уравнения (Б. 10).
При этом, поскольку любое решение уравнения (Б. 10) может
быть получено из выражения (Б. 18) путем надлежащего выбора
постоянных стл выражение (Б. 18) называется общим решением
уравнения (Б. 10).
В заключение этого параграфа выведем соотношение,
связывающее значение определителя Вронского для фундаментальной
системы решений в произвольной точке промежутка / с его
значением в некоторой заданной точке х0. С этой целью запишем
определитель Вронского в виде
W =
их
и2
и2
Д*-1)
иГ1)
,(1-1)
(Б.19)
Дифференцируя выражение (Б.19) по х и используя известные
свойства определителей, имеем
W'*=
щ
и'\
Лп-\)
1\
и2
и* '
«Г1'
•
Un
••• Uk
... „<,"-!)
•• +
+
«! ыг
Щ щ
«{"-'> utl) •■
«1 1Ц ••• un
u[ U%. • • • Un
и\п) и
4Л)
... ип
.
•• ип
• • «;
• «<г
+
(Б.20)
*> См. также формулу (Б.24). — Прим. перев.

Линейные дифференциальные уравнения
505
Все определители в (Б.20), за исключением последнего, равны
нулю вследствие наличия в каждом из них одинаковых строк.
Поэтому
иг «2 ... ип
Щ U2 ... и'п
W
/<">
4п)
,(*)
(Б.21)
Воспользовавшись уравнением (Б. 10) для того, чтобы выразить
,(">
,(п-\)
член Um' через «т, «т, . . ., Um "\ и используя известные свои;
ства определителей, перепишем определитель (Б.21) в виде
W' = -
«1 «2
и[ <4
4п-2) ut2)
Ап-2) 4п-2)
Рп-1
Рп
их
щ
«Г1
... "п
. . . и'п
и(п-2)
.. и
(л-2)
/1
«2
Ы2 •
> 4'г_1) .
Ро
. • "п
.. «;
—
Wi W2 '
u[ u2 . .
u<"-2) «Г"2) ..
Wi M2
•• «n
. «;
u(n_s
. Un
pn-2
~Pn~
(Б.22).
Все определители в соотношении (Б.22), за исключением
первого, также равны нулю ввиду наличия в каждом из них
одинаковых строк. Кроме того, легко видеть, что первый изч
определителей в (Б.22) есть определитель Вронского (Б. 19). Таким
образом, мы получаем дифференциальное уравнение
р— W, (Б.23)
Рп v 7
1Г = -
решение которого можно представить в виде
Pn-i (т)
W(x) = W(x0)exp
Н*#4
(Б.24)
Найденная формула позволяет выразить значения W (х) через
W (хо).
Б.2. Неоднородные уравнения
Уравнение (Б. 10) называется однородным по отношению
к уравнению (Б.4). При этом оказывается, что мы можем решить
неоднородное уравнение (Б.4), если нам известны общее решение
соответствующего однородного уравнения и какое-либо частное
решение уравнения (Б.4). Так, если функции их {х)у и2 (*), . . .,

506
Приложение Б
ип(х) представляют собой п линейно независимых решений
однородного уравнения (Б. 10), а функция ир (х) есть некоторое
частное решение уравнения (Б.4), то общее решение уравнения
(Б.4) будет иметь вид
и = сгих + с2и2 + • • • + спип + иру (Б.25)
где сп — произвольные постоянные. При этом комбинация
ис = схих + с2и2 + • • • + спип (Б.26)
часто называется дополнительной функцией. Таким образом,
Общее решение неоднородного уравнения (Б.4) есть сумма
некоторого частного решения и дополнительной функции.
Покажем прежде всего, что всякое решение вида (Б.25) является
решением уравнения (Б.4). Поскольку L (ит) = 0 при т = 1,
2, . . ., п и L (ир) = /, то
L (сгиг + с2и2-\ Ь спип + ир) = cxL (иг) + c2L (и2) ~\ +
+ cnL(un) + L(up) = f.
Тем самым мы получаем, что выражение (Б.25) является
решением уравнения (Б.4). Покажем далее, что всякое решение
уравнения (Б.4) имеет вид (Б.25). Пусть функция и (х) является
решением уравнения (Б.4). Тогда
L (и) = /,
и поскольку
L (ир) = Л
то
L(u-up) - L (и) - L (ир) =f-f = Q.
Таким образом, разность и — ир является решением
соответствующего однородного уравнения L (v) = 0. Следовательно,
V = U — Up = Сгиг + C2U2 + • • • + cnUn>
откуда мы сразу получаем формулу (Б.25).
Кроме того, если
M«) = /(,,W + PW+- + /,*,W (Б-27)
и
- L[uW]=f">(x), (Б.28)
то
Ир = 4'Ч42)+---+4*). (Б-29)
поскольку
• • • - f L [ы<*>] = /(,) (х) + /<2> (*)+••• + fW (*)•

Линейные дифференциальные уравнения
507
Б.З. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
В этом параграфе мы рассмотрим построение общих решений
однородных уравнений с постоянными коэффициентами, т. е.
уравнений вида
L (и) = 0, (Б.ЗО)
где L = D» -f pn.xD^ + Pn-jy-* + • • • + P*D* + PlD + p0, (Б.31)
а коэффициенты /?„ являются постоянными величинами. Каждому
оператору L поставим в соответствие некоторый многочлен вида
Р (s) = s» + рп_г8»-1 + Рп-Фп'2 + • • ■ + Л«" + Pis + Ро, (Б.32)
так что Р (D) = D" + pn^D^ + pn_zD«-* + •.. + />2D2 + PlD + /)0.
(Б.ЗЗ)
Назовем P (D) операторным многочленом и перепишем
уравнение (Б.ЗО) как
P(D)u = 0. (Б.34)
Поскольку
Desx = sesxt D2esx = s2esx, ..., [Xnesx = s?ne8X,
то Я (D) esx = P (s) e*x. (Б.35)
При этом P (s) обычно называется характеристическим много-
членом, соответствующим операторному многочлену Р (D). Из
соотношения (Б.35) следует, что если sm является корнем
многочлена Р (s), то функция exp (smx) будет решением уравнения
(Б.34). Поэтому если многочлен Р (s) имеет п различных
действительных корней slf s2, • • •» srt, то каждая из функций
е*1*, ё*у ..., е$п*
является решением уравнения (Б.34). Поскольку эти функции
линейно независимы, общее решение уравнения (Б.34) будет
записываться в виде
и = сгеУ + cj* Н h спе9*, (Б.36)
где сп — произвольные постоянные.
Обратимся, например, к уравнению
и" — Ъи' + 2и = 0, (Б.37)
которое можно переписать как
(D2 — 3D + 2) и = 0. (Б.38)
Соответствующий характеристический многочлен имеет вид
s2 — 3s + 2 = (s — 2) (s — 1);
корнями его будут значения sx = 1 и s2 = 2. Поэтому каждая
из функций ехр (х) и ехр (2л:) является решением уравнения

508
Приложение Б
(Б.37). Поскольку эти функции линейно независимы, общее
решение уравнения (Б.37) можно представить как
и = схех -f- с2е2х.
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
ит + 2и" — и — 2 = 0, (Б.38)
для которого соответствующий характеристический многочлен
имеет вид
<* + 2s2 _ s _ 2 = (S _ i) (S + i) (s + 2);
корнями его будут значения s1 = 1, s2 == —1 и s3 = —2. Поэтому
каждая из функций
е*> е'ху е'2х
является решением уравнения (Б.38). Так как эт функции
линейно независимы между собой, общее решение (Б.38) можно
записать в виде
и = сгех + с2ех + съеЧ.
Следует отметить, что в общем случае корни
характеристического многочлена могут оказаться равными друг другу или
комплексными. Рассмотрим эти возможности более подробно, начав
со случая комплексных корней.
Случай комплексных корней
Рассмотрим уравнение второго порядка, у которого
соответствующий характеристический многочлен имеет два комплексно
сопряженных корня (л + /со и |х — /со, где \i и со — вещественные
величины. Отметим также, что если один из корней
характеристического многочлена оказывается комплексным, то второй
корень обязательно должен быть комплексно сопряженным
с первым, поскольку сам этот многочлен (т. е. его коэффициенты.—
Прим. перев.) является вещественным. Таким образом, каждая
из функций
e(H+i<u)x и е{ц-(а)х
будет решением исходного уравнения. Поскольку эти решения
линейно независимы между собой, общее решение этого
уравнения дается формулой
и = сге^+£^х + с#№»х. (Б .39)
Используя равенства
еш = cos шх _|_ i sln аХ
е-ых _ cos ^ — i sin cox,
перепишем выражение (Б.39) в следующей вещественной форме:
и = схе»х (cos сох + / sin сох) + сге^х (cos сох — i sin сох) =
= &х [(Ci + с*) cos сох +1 (сх — с2) sin сох],
или и « e^iA cos сох + В sin сох), (Б.40)

Линейные дифференциальные уравнения 509
где А = сх + с2 и В = t (cj — с2) — произвольные постоянные,
которые можно считать вещественными. Формула (Б.40)
показывает, что каждая из вещественных и мнимых частей обеих
функций exp l(\i + i(o) х] и ехр [(ц — ш) х] является решением,
исходного уравнения.
Отметим также, что решение (Б.40) можно переписать в
следующей более удрбной для использования форме:
и = ae»xcos (сох — (J), (Б.41)
или и = ae^sin ((ох + 6), (Б.42)
где а = (Л2 + В2у/2, p = arctg-§-.' 9 = -f-|5.
Рассмотрим, например, уравнение
и+в&и = 0, (Б.43)
соответствующий характеристический многочлен для которого
записывается в виде
s2 + cog.
Он имеет корни sh2 = ±ш0. Поэтому каждая из функций
ехр (ш0х) и ехр (—ш0л:) является решением уравнения (Б.43);
точно так же решениями уравнения (Б.43) являются функции
cos coqJC и sin G)0;t, т. е. вещественная и мнимая части ехр (ш^).
Таким образом, общее решение уравнения (Б.43) можно
представить в одной из следующих форм:
и = A cos (д0х + В sin G)0.K,
или и = a cos (щх — Р),
или, наконец, и = a sin (о>0л: + 0).
В качестве второго примера исследуем уравнение
и" + 2и! + Ъи = 0. (Б.44)
Соответствующий характеристический многочлен имеет вид
s2 + 2s + 5 = (s + 1 + 20 (s + 1 — 20-
Корнями его будут значения sx = — 1 — 2i й s2 = —1 + 2/, так
что каждая из функций ехр (—х — 2ix) и ехр (—х + 2ix)
является решением уравнения (Б.44). Аналогичным образом можно
утверждать, что функции ехр (—х) cos 2х и —ехр (—х) sin 2х,
т. е. вещественная и мнимая части ехр (—х — 2ix), также
являются решениями уравнения (Б.44). Следовательно, общее
решение уравнения (Б.44) может быть представлено в виде
и = е~х (A cos 2х + В sin 2*).
В качестве третьего примера рассмотрим уравнение
aIV-u&/ = 0, (Б.45)

510
Приложение Б
-
соответствующий характеристический многочлен для которого
есть
4 2
S — Щ. _
Корнями этого многочлена будут sh2 = ± V<*>o и $з>* = ±i V<°о-
Это означает, что каждая из функций
или eV^*t e-V^l*t cosj/т^*, sin^*,
является решением уравнения (Б.45). Таким образом, общее
решение уравнения (Б.45) записывается в виде
и = A cos ^щх -f В sin iftoox -f СеУЪ* + De~ V^x.
В качестве последнего примера исследуем уравнение
wiv + 2и"' + 6w" + 2и' + Ъи = 0. (Б.46)
Характеристический многочлен для него имеет вид
s? +. 2s3 + 6s2 + 2s + 5 = (s2 + 1) (s2 + 2s + 5);
корнями его будут sh2 = ±/, s8 = —1 — 2/, s4 = —1 + 2i\
Поэтому каждая из функций
е t е , е , е ,
или cos *, sin х, е-* cos 2х, *-* sin 2х,
будет являться решением уравнения (Б.46). Следовательно,
общее решение уравнения (Б.46) может быть записано в виде
и = A cos х + В sin х + е~х (С cos 2х + D sin 2х).
Случай равных корней
Рассмотрим уравнение
и" — 2аи' + а2и = 0, (Б.47)
или (D2 — 2aD + а2) и = (D — a)2 w = 0. (Б.48)
Соответствующий характеристический многочлен
(S-CX)2
имеет двукратный корень s = а. Следовательно, мы имеем только
одно решение экспоненциального вида, а именно функцию exp (ax).
Так как уравнение (Б.47) представляет собой уравнение
второго порядка, нам необходимо построить второе решение,
которое было бы линейно независимым с функцией exp (ax). С этой
целью положим
и = <Pxv(x). (Б.49)
Поскольку
D {e^xv) = vDeP* + ePxDv = av^x -f e?xDv «ж

Линейные дифференциальные уравнения 511
и D2 ((f*xv) = D[D (e?xv)\ = D [e?x (D -\-a)v) = eax (D -f a)2 v,
то P(D)(eaxv) = e<*>xP(D + a)v. (Б.50)
При этом подстановка выражения (Б.49) в (Б.48) приводит к
уравнению
e?xD2v = 0, или D2v = О,
решением которого является функция v = сг + с%х. Таким
образом, общее решение уравнения (Б.47) есть
и = (сг + сгх) е?х. (Б.51)
Другими словами, функции ехр (а*) и х ехр (ах) представляют
собой два линейно независимых решения уравнения (Б.47).
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
(D — afu = 0, (Б.52)
у которого соответствующий характеристический многочлен
(s - ос)8
имеет корень s = а третьей кратности. Это означает, что существует
лишь одно линейно независимое решение уравнения (Б.52),
которое можно представить в виде экспоненты, а именно функция
ехр (ах). Для того чтобы найти два других линейно независимых
решения, подставим выражение (Б.49) в уравнение (Б.52), откуда,
воспользовавшись формулой (Б.50), получим
(D - а)3 и = (D - а)3 еах v (х) = e*xDzv = 0.
Таким образом, мы приходим к уравнению
D8v = 0,
общее решение которого имеет вид ,
V = сх + с^х + С3Х2.
Следовательно, общее решение уравнения (Б.52) можно записать
как
и = (сх + с2х + с3х2) е*х. (Б.53)
При этом из формулы (Б.53) следует, что функции
eaxi хеР", xW
являются линейно независимыми решениями уравнения (Б.52).
В качестве третьего примера исследуем уравнение
\ (D — ау»и = 0. (Б.54)
Как и ранее, используя формулы (Б.49) и (Б.50), для функции
получаем уравнение
Dmv = 0,
решение которого есть
v = сг + сшх + с3х2 + • • • -f стхтл.

512
Приложение Б
Окончательно имеем
и = еах (сг + с2х + с3х* +■••.+ V*"1)-
В качестве четвертого примера рассмотрим следующее
уравнение общего вида, характеристический многочлен которого
имеет два кратных корня:
(D - ai)"» (D - a2)*v = 0. (Б.55)
Уравнение (Б.55) можно переписать как
(D-a1yn[(D-aty,M] = 0.
Отсюда следует, что ему удовлетворяет любое решение более
простой задачи
(D-a2)*u = 0. (Б.56)
Поскольку операторы (D — аг)т и (D — а2)п обладают
свойством коммутативности, уравнение (Б.55) можно переписать в
виде
(D - а2)п [(D - ах)т и] = 0.
Таким образом, уравнение (Б.55) удовлетворяется также с
помощью любого решения более простого уравнения вида
(D — аг)ти = 0. (Б.57)
Общее решение уравнения (Б.55) представляет собой сумму
общих решений (Б.56) и (Б.57), содержащих (т + п)
произвольных постоянных, т. е.
и = ё*>* (сг + с2х-\ + стх™-*) + е«>* (6, + Ь*х + • • • +- Ьпх»-*).
\ (Б.58)
В качестве примера использования формулы (Б.58)
рассмотрим уравнение
(D4 — 8D2 + 16) и = 0, или (D2 — 4)2 и = 0. (Б.Б9)
Соответствующий характеристический многочлен (s2 — 4)2 имеет
корни
Sjl = 2 (двукратный корень) и s2 = —2 (двукратный корень).
Тогда в соответствии с формулой (Б.48) общее решение уравие»
ния (Б.59) можно представить в виде
и = (сг + с2х) е** + (Ьг + Ь&) г**.
В качестве второго приложения формулы (Б.58) рассмотрим
следующее уравнение с комплексными корнями:
(D2 + a2)2 (D2 + сф3 и = 0. (Б.60)
Соответствующий характеристический многочлен j
(s2 + a2)2 (s2 + a2)8
имеет корни

Линейные дифференциальные уравнения
513
Si = iaLx (двукратный корень), s2 = —iax (двукратный корень),
S3 = ia>2 (трехкратный корень) и s4 = —iol2 (трехкратный корень).
Поэтому общее решение уравнения (Б.60) записывается как
и = (ах + а2х) *'«i* + фг + Ь2х) е~^х +
+ (сг + с2х + cjfl) е«**х + (dx + d2* -f d3x*) е-«*>*,
или, в действительной форме,
и = (Лх + А2х) cos о^лс + (Bj + В2х) sin aajc + (Сх + C2* +
+ C3x2) cos сс2лг + (Di + D2x + D8x2) sin a2x.
Б.4. Частные решения неоднородных уравнений с постоянными
коэффи циен там и
Перейдем теперь к построению частных решений для
уравнений вида
P(D)u = f(x), (Б.61)
где правая часть / (х) может включать в себя экспоненты,
тригонометрические функции, положительные степени х и их
произведения. Частные решения такого уравнения, соответствующие
функциям / (х) общего вида, могут быть найдены другими
методами, отличными от используемого здесь символического метода,
например, с помощью метода вариации произвольных
постоянных, широко применявшегося в гл. 4—11. Ниже для
обозначения частного решения уравнения (Б.61) мы будем пользоваться
следующей символикой:
" = -Р15Г/(дс)' (Б,62)
Случай f (х) = ехр (ах)
Поскольку Р (D) еах = е^Р (а),
то при условии, что Р (а) Ф 0, частное решение (Б.62) может
быть записано в виде
Легко видеть, что выражение (Б.63) является частным решением
уравнения (Б.61), поскольку
/>(D)« = />(D)[-^.] = 4tIL = ^
В случае если Р (а) = 0, в выражение для Р (D) должен
входить множитель (D — а). Мы предположим, что а есть корень
кратности т для многочлена Р (а); следовательно, в Р (D) будет
входить множитель (D — a)m. Поэтому Р (D) = (D — a)mQ (D),
где Q (а) Ф 0. Тогда, используя формулу (Б.62), частное решение
уравнения (Б.61) можно записать в виде
. pax — * Г—— pa* 1
~ (D-a)mLQ(DV У
и = •
(D-a)mQ(D) (D — a)"

514
Приложение Б
Поскольку Q (а) Ф О, то.
1
£<** =
0{РУ —Q (а) '
Таким образом,
1 еах 1 1
" = (D-a)mQ(a) ^WlD-.o)"^' (Б,64)
Воспользовавшись формулой (Б.50) для случая и = 1, из (Б.64)
имеем
где выражение 1/D обозначает величину, обратную D, т. е.
оператор однократного интегрирования по переменной х, тогда
как выражение \IDm представляет собой оператор т-кратного
интегрирования по х. Таким образом,
и, следовательно, частное решение уравнения (Б.61) в случае
когда Р (D) = (D — a),nQ (D), где Q (а) ф 0, будет иметь вид
поскольку
(D-a)-Q(D)« = (D-arQ(D)[^T] =
Случай f (х) = cos ах
Поскольку
D2 (cos ах) = —a2cos ах и D4 (cos ах) = (—a2)2 cos ах,
то Q (D2) cos ах = Q (—a2) cos ах.
Это дает возможность предположить, что мы можем найти
нужное нам частное решение, заменив во всех случаях, где это
необходимо, величину D2 на величину —а2. Таким образом, частное
решение уравнения
Q(D2)u = cos ax (Б.66)
дается выражением
1 cos ax /С C7v
u=QW)cosax==m=&) (Б-67>

Линейные дифференциальные уравнения 515
при условии, что Q (—а2) Ф 0. Действительно,
Q (V) и = Q (D>) {^} = ^ Q (D*) {cos ах) =
О (— а2) cos ах
= • Q(-a») ==«*<**•
Важным частным случаем уравнения (Б.66) и решения (Б.67)
является уравнение
и + сооы = cos со/, (Б.68)
решение которого имеет вид
cos Ш /t, cm
ц== cog-co* ' <*=/=co0. (Б.69)
В случае если Q (—а2) = 0, описанную процедуру надлежит
несколько видоизменить. С этой целью заметим, что
cos ах = Re (eiax)9
так что уравнение (Б.66) может быть переписано в виде
Q (D2) (Re и) = Re (*'«).
Поэтому частное решение уравнения (Б.66) можно будет построить,
если мы сумеем найти частное решение уравнения
Q (D2) и = е«™ (Б.70)
и затем отделить его действительную часть. Частное решение
уравнения (Б.70) можно представить как
и=оте'ах- <Б-71)
Поскольку теперь Q (—а2) = 0, то
Q (D) = (D + ta)« (D — ia)mF (D2),
где F (—а2) ^ 0. Таким образом, решение (Б.71) переписывается
в виде
и — ! eiax __ !_ ( i eiax\
(D + /<x)m (D — ia)m F (D2) (D - / a)m 1 (D + ia)m F (D2) J '
(Б.72)
если выделить часть оператора, для которой знаменатель
обращается в нуль. Выполняя в формуле (Б.72) действия в фигурных
скобках, имеем
и- L_ I £1 U L L_ {ешх
(D— ia)m\(2ia.)m F (— a2) j (2/a)m F (—a2) (D —ia)ml "
откуда, используя формулу (Б.50) для случая v = 1, находим
и = =г W 0) = -^Цг • (Б.73)
(2ra)m F (— a2) Dw х (2a)m F (— a2) m\ v '

516
Приложение Б
Отделяя в выражении (Б.73) действительную часть, получаем
следующее частное решение уравнения (Б.66):
х"1
и = -
(2ct)m F (— а2) т\
cos (а* ^ тп) • (Б.74)
Важным частным случаем формул (Б.66) и (Б.74) является
уравнение
й + o)ow = (D2 + coo) и = cos a*>f, (Б.75)
частное решение которого имеет вид
u = i0 cos (^ ~ 4- Л) = sk'sin ^L (Б'76)
Случай / (х) = sin а* исследуется аналогичным образом. Так,
частное решение уравнения
Q (D2) w = sin ах. (Б.77)
дается формулой
Если теперь Q (—а2) = 0, мы можем искать частное решение
таким же способом, как и в случае / (я) = cos ах, за
исключением того, что теперь мы будем выделять не действительную,
а мнимую часть решения (Б.73). Так, например, частное решение
уравнения
(D2 + a2)*F (D2) и = sin ах (Б.79)
имеет вид
и = —— sin (ах - 4- тп) . (Б.80)
(2a)m F (- a*) ml \ 2 / v
Важным частным случаем формул (Б.79) и (Б.80) является
уравнение
и + o)ow = (D2 -f о>о) « == sin о)0/, (Б.81)
частное решение которого записывается как
и=sksln (У ~ 4~я)= ~ i' C(W- (Б82)
Если полином Р (D) явно зависит от D и D2, описанную
процедуру также необходимо видоизменить. При этом вместо
исследования общего случая рассмотрим конкретное уравнение
(D2 + 2D + 3) и = cos ou, (Б.83)
частное решение которого может быть записано как
" = DM-2D4-3COSa*- (Б'84>

Линейные дифференциальные уравнения 517
Заменяя в (Б.84) величину D2 на —а2, находим
" = 2В + 3+а*С05а*- (Б'85)
Преобразуем теперь правую часть формулы (Б.85) таким
образом, чтобы получить в знаменателе разность квадратов двух
величин, одна из которых оказалась при этом равной D2. Для
этого умножим числитель и знаменатель в (Б.85) на оператор
2D — (3 — а2), в результате чего получим
2D — (3 — а2) 2D -- 3 + а2
"-— cosgu = t™—,* 940cosax =
" ~~ (2D + 3 - а») (2D - 3 + а*) ^ ~~ 4D2 — (3 — а2)2
= (2D - 3 + a2) 4D2 _ (з _ а2)2 cos ах =
= (2D-3+««)_w^^tta)1 =
2а sin ах — (3 — а2) cos ах
"~~ а4 — 2а2 4- 9 "
Случай f (х) = хт, где т — положительное число
Рассмотрим уравнение
Р (D)u = х™, (Б.86)
частное решение которого может быть записано в виде
и = -ГЩ)Хт- <Б-87>
Разлагая функцию \IP (D) в ряд Лорана по степеням D, находим
= (^+^+---+a-"Dm+--')JCm==
(m + /г) (7i + Л — 1)...(т + 1)
' (т + £ — l)(m + k — 2)...(т+ 1) + " ' + ml am+fe*
В качестве примера рассмотрим уравнение
D (D2 + 3D + 2) и = а:2.
Тогда
= -иг [» - (4 я + т*) + (iD2 + iD2)2 -
~(4D + iD2)3+---]^ =

5Д8
Приложение Б
= i(l -4-D + iD2- -rrDa+ •••)*-
V 2D 4^8- 16 ^ ^ /*
__L <* L 2_i _L IL
""6 4 * ' 4 * 8*
Отметим, что все члены ряда порядка выше чем D2 дают нам
нули, поскольку они воздействуют на функцию х2. Кроме того,
15 *
постоянный член —g- в этом выражении может быть опущен,
^поскольку его можно включить в решение однородного
уравнения.
Общий случай
Рассмотрим, наконец, уравнение
(D2 + 4а2) и = х2 cos 2а*.
Поскольку Р (—а2) = 0, то мы можем найти его частное решение
как действительную часть частного решения уравнения
(D2 + 4а2) и = x2e2iax.
Таким образом, имеем
/у — r2*2iax — ! r2p2iax —
и""/)а + 4аале — {D — 2ta) {D + 2ia) Л* ~~
' 1 <?iax /1 1 D D2
= с**** x2 = --- f — - --—I- — f-
D (D + 4ia) 4/a V D 4ia 16a* ~ 64fa» ^
^ / 4ia \ 3 X 4ta 8a« ^ 32/a» / >
и, следовательно,

ЛИТЕРАТУРА
(Абрамовиц М., Стиган И). Справочник по специальным функциям с
формулами, графиками н математическими таблицами. Под ред. М. Абрамо-
вица, И. Стиган. Пер. с англ. — М.: Наука, 1979.
Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Пер. с аигл. —
Харьков: Гос. научно-технич. нзд-во Украины, 1939.
Алфорс (Ahlfors L.V.). Complex Analysis. — New York: McGraw-Hill, 1953.
Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Наука,
1981.
Арскотт (Arscott F.). Periodic Differential Equations. —- New York: Pergamon,
1964.
(Бабич В. M.). Математические вопросы теории дифракции и распрост- '
ранения волн. Под ред. В. М. Бабича. Записки научных семинаров
ЛОМИ нм. В. А. Стеклова. Вып. 1—12. — Л.: Наука, 1968—1981.
Баумен (Bowman F.). Introduction to Bessel Functions. — New York: Dover,
1958.
Бейер (Beyep R. Т.). Nonlinear Acoustics. — Washington, D. C: Naval Ship
Systems Command, 1974.
Бейтмен (Bateman H.). Partial Differential Equations of Mathematical Physics. —
Cambridge: Cambridge University Press, 1959.
Беллман (Bellman R). Perturbation Techniques in Mathematics, Physics and
Engineering. — New York: Holt, 1964.
Беллман P. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Пер.
с англ. — М.:' Изд. иностр. лит., 1954.
Бендер, Орсаг (Bender С. М., Orszag S. A.). Advanced Mathematical Methods
for Scientists and Engineers. — New York: McGraw-Hill, 1978.
Биркгоф, Рота (Birkhoff G., Rota G. C). Ordinary Differential Equations.—
Boston: Ginn and Company, 1962.
Блакьер О. Аиалнз нелинейных систем. Пер. с аигл. — М.: Мир, 1969.
Блейстейн, Ханделсман (Bleistein N., Handelsman R. A.). Asymptotic
Expansions of Integrals. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1975.
Блум, Казаринов (Bloom С. О., Kazarinoff N. D.). Short Wave Radiation
Problems in Inhomogeneous Media: Asymptotic Solutions. — New York: Sprin-
ger-Verlag, 1976.
Боголюбов H. H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.
Бойс, Ди Прима (Воусе W. Е., Di Prima R. С). Elementary Differential
Equations and Boundary Value Problems. — New York: Wiley, 1977.
Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.:
Физматгиз, 1961.
Брауер, Ногел (Brauer F., Nohel J. A.). The Qualitative Theory of Ordinary
Differential Equations. — New York: Benjamin, 1969.
Бриллюэн Л., Пароди M. Распространение волн в периодических структурах.
Пер. с англ. — М.: Изд. иностр. лит., 1959.
Брокетт (Brockett R. W.). Finite Dimensional Linear Systems. — New York:
Wiley, 1970.

520
Литература
Бутенин Н. В. и др. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука,
1976.
Бхаттачария Р. Н., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением
и асимптотические разложения. Пер. с англ.—М.: Наука, 1982.
Бюргерс (Burgers Т. М.). The Nonlinear Diffusion Equation: Asymptotic
Solutions and Statistical Problems. — Amsterdam: North-Dordrecht—-Holland,
1974.
Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциал ь-
_ных уравнений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1968.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1967.
Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Ч. I—II. Пер. с англ. — М.: Изд.
иностр. лит., 1949.
Ган (Hahn W). Stability of Motion. — New York: Springer-Verlag, 1967.
Гарабедян (Garabedian P.R.). Partial Differential Equations. — New York:
Wiley, 1964.
Грабмюллер (Grabmuller H.). Singular Perturbation Techniques Applied to
Integro-Differential Equations. —- San Francisco: Pitman, 1978.
Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. — М.: Наука, 1971.
Гринберг (Greenberg М. D.). Foundations of Applied Mathematics. — Eng-
lewood Cliffs: Prentice-Hall, 1978.
Де Брейн H. Г. Асимптотические методы в анализе. Пер. с англ. — М.: Изд.
иностр. лит., 1961.
Дейвис (Davis Н.) Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations,—
New York: Dover, 1962.
Ден Хартог (Den Hartog J. P.). Mechanical Vibrations. — New York: McGraw-
Hill, 1947.
Деттман (Dettman J. W.). Introduction to Linear Algebra and Differential
Equations. — New York: McGraw-Hill, 1974.
Джакалья Г. Методы теории возмущений для нелинейных систем. Пер. с англ.—
М.: Наука, 1979.
Джеффрис (Jeffreys Н.). Asymptotic Approximations. — Oxford: Oxford
University Press, 1962.
Джеффрнс Г., Свирлс Б. Методы математической физики. Вып. 1—3. Пер.
с англ. — М.: Мир, 1969—1970.
Диментберг Ф. М. Изгнбные колебания вращающихся валов. — М.: Изд.
АН СССР, 1959.
Дингл (Dingle R. В.). Asymptotic Expansions: Their Derivation and
Interpretation. — New York: Academic, 1973.
Дьюар M. Дж. С, Догерти P. Теория возмущений молекулярных орбиталей
в органической химии. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.
Еругин Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. — Минск:
Изд-во АН БССР, 1963.
Ивен-Ивановский (Evan-Iwanowski R. М.). Oscillations in Mechanical Systems.—
New York: Elsevier, 1969.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер.
с нем. — М.: Наука, 1971.
Каннингэм (Cunningham W. J.). Introduction to Nonlinear Analysis. — New
York: McGraw-Hill, 1958.
Каплун (Kaplun S.). Fluid Mechanics and Singular Perturbations. Lagerstrom P. A.,
Howard L. N.. Liu C. S., Eds. — New York: Academic, 1967.
Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. — М.: Наука,
1973.
Карриер, Крук, Пирсон (Carrier G. F., Krook М., Pearson С. Ё.). Functions
of a Complex Variable. — New York: McGraw-Hill, 1966.

Литература
521
Карриер, Пирсон (Carrier G. F., Pearson С. Е.). Ordinary Differential
Equations. — Waltham, Mass.: Blaisdell, 1968.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. Пер. с японск. — М.:
Мир, 1972.
Каудерер Г. Нелинейная механика. Пер. 'с нем. — М.: Изд. иностр. лнт.,
1961.
Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. Пер. с англ. — М.: Изд. иностр. лит., 1958.
Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. —
М.: Наука, 1964.
Копсон Э. Т. Асимптотические разложения. Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.
Копсон (Copson Е. Т.). An Introduction to the Theory of Functions of a Complex
Variable. — Oxford: Oxford University Press, 1935.
Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1972.
Коул Р. Г. (Cole R. Н.). Theory of Ordinary Differential Equations. — New
York: Appleton-Century-Crofts, 1968.
Крылов H. M., Боголюбов H. H. Введение в нелинейную механику. — Киев:.
Изд-во АН УССР, 1937.
Кумар К. Теория возмущений и проблема многих тел для атомного ядра. Пер.
с англ. — М.: Мир, 1964.
Курант Р. и Гильберт Д. Методы математической физики. Пер. с нем. —
Т. 1__2. —М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.
Лайтхнлл (Lighthill М. J). Introduction to Fourier Analysis and Generalized
Functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1960.
Ландау Л. Д., Лнфшиц Ev М. Теоретическая физика. Т. 3. Квантовая
механика. Нерелятивнстская теория. — М.: Наука, 1974.
(Лейбович, Сибасс). Нелинейные волны. Под ред. С. Лейбовича н А. Сибасса.
Пер. с англ. — М.: Мнр, 1977.
Лейпхольц (Leipholz Н. Е.). Stability Theory. — New York: Academic, 1970.
ЛефшецС. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. Пер. с англ.—
М.: Изд. иностр. лит., 1961.
Лю (Lu Y. -С). Singularity Theory and an Introduction to Catastrophe Theory.—
New York: Springer-Verlag, 1976.
Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения. — М.—Л.: Гостех-
издат, 1950.
Магнус, Оберхеттингер (Magnus W. and Oberhettinger F.). Formulas and
Theorems for the Functions of Mathematical Physics. — New York:
Chelsea, 1947.
Магнус, Уинклер (Magnus W. and Winkler S.). Hill's Equation. — New York:
Wiley, 1966.
Мак-Лахлан H. В. Теория и приложения функций Матье. Пер. с англ. —
М.: Изд. иностр. лит., 1953.
Мак-Лахлан (McLachlan N. W.). Ordinary Nonlinear Differential Equations
in Engineering and Physical Sciences. — Oxford: Clarendon Preess, 1950.
Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гос-
техиздат, 1956.
Мейровнч (Meirovitch L.). Methods of Analytical Dynamics. — New York:
McGraw-Hill, 1970.
Мерцбахер (Merzbacher E.). Quantum Mechanics. — New York: Wiley, 1970.
Миллер (Miller K. S.). Linear Differential Equations in the Real Domain. — New
York: W. W. Morton, 1963.
Минорский (Minorsky N.). Non-Linear Mechanics. — Ann Arbor, MI: J. W.
Edwards, 1947.
Минорский (Minorsky N.). Nonlinear Oscillations. — Princeton: Van Nostrand,
Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных
колебаний. — М.: Наука, 1964.

522
Литература
Морс Ф. М. и Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1—2. Пер. с нем.—
М.: Изд. иностр. лит., 1958—1960.
Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. Пер. с англ. — М.:
Атомиздат, 1972.
Мюррей (Murrey J. D.). Asymptotic Analysis. — Oxford: Clarendon, 1974.
Найфэ А. Методы возмущений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1976.
Найфэ, Мук (Nayfeh A. and Mook D.T.). Nonlinear Oscillations. — New York:
Wiley, 1979.
Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. — Пер.
с англ. — М.: Наука, 1978.
О'Малли (O'Malley R. Е.). Introduction to Singular Perturbations. — New York:
Academic, 1974.
Пиаджио (Piaggio H. Т. H.). An Elementary Treatise on Differential Equations
and their Applications. — London: G. Bell and Sons, 1954.
Пуанкаре А. Избранные труды. В 3-х т. Т. I. Новые методы небесной
механики. Пер. с франц. — М.: Наука, 1971.
Рабенстейн (Rabenstein A. L.). Introduction to Ordinary Differential Equations. —
New York: Academic, 1972.
Реллих (Rellich F.). Perturbation Theory of Eigenvalue Problems. — New York:
Gordon and Breach, 1969.
Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1—4. Пер.
с англ. — М.: Мир, 1977—1982.
Рокленд (Rockland С). Hypoellipticity and Eigenvalue Asymptotics. — New
York: Springer-Verlag, 1975.
Poco (Roseau M). Asymptotic Wave Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1976.
Сагдеев, Галеев (Sagdeev R. Z. and Galeev A. A.). Nonlinear Plasma Theory. —
New York: Benjamin,, 1969. ч
Сибуя (Sibuya^ Y.). Global Theory of a Second Order Linear Ordinary
Differential Equation. — Amsterdam: North-Holland, 1975.
Силяк (Siljak D. D.). Nonlinear Systems. — New York: Wiley, 1969.
Сирович (Sirovich L.). Techniques of Asymptotic Analysis. — New York: Sprin-
ger-VeHag, 1971.
Скотт (Scott E. J). Transform Calculus. — New York: Harper and Brothers, 1955.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т.1—5.—М.: Наука, 1957—1959.
Стейнманн (Steinmann О.). Perturbation Expansions in Axiomatic Field Theory.—
i New York: Springer-Verlag, 1971.
Страбл (Struble R. A.). Nonlinear Differential Equations. — New York: McGraw-
Hill, 1962.
Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. — М.: Наука,
1967.
Тондл А. Динамика роторов турбоагрегатов. Пер. с анл. — Л.: Энергия, 1971.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.
Уили (Wylie С. R.). Advanced Engineering Mathematics. — New York: McGraw-
Hill, 1965.
Уилкокс (Wilcox С. H.). Asymptotic Solutions of Differential Equations and
their Applications. — New York: Wiley, 1964.
Уилкокс (Wilcox С. H.). Perturbation Theory and its Applications in Quantum
Mechanics. — New York: Wiley, 1966.
Уиттекер (Whittaker E. Т.). Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies.
4th ed. — Cambridge: Cambridge University Press, 1937.
Уиттекер (Whittaker E. Т.). A Treatise on the Analytical Dynamics of
Particles and Rigid Bodies. —Cambridge: Cambridge University Press, 1961.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. Ч. I—II. Пер.
с англ. —М.: Наука, 1963.
Фене (Fans W. G.). Self-Adjoint Operators. — New York: Springer-Verlag, 1975.
Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в
теории линейных дифференциальных уравнений. — Киев: Наукова
думка, 1966.

Литература
523
Фреман Н., Фреман П. У. ВКБ-приближение. Пер. с англ. — М.: Мир, 1967.
Фридрихс (Friedrichs К. О.). Advanced Ordinary Differential Equations. — New
York: Gordon and Breach, 1965.
Хагедорн (Hagedorn P.). Nichtlineare Schwingungen. — Wiesbaden: Akademische
. Verhagsgesellschaft, 1978.
Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. Пер. с англ. — М.:
Изд. иностр. лит., 1957.
Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1968.
Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов. (Метод В КБ.) Пер. с аигл. —
М.: Мир, 1965.
Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. Пер. с англ. — М.: Мир, 1966.
Хейл (Hale-J. К.). Ordinary Differential Equations. — New York: Wiley, 1969.
Хилдебранд (Hildebrand F. В.). Methods of Applied Mathematics. — New York:
Prentice-Hall, 1952.
Хоффман (Hoffman K.). Linear Algebra. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1961.
Хохштадт (Hochstadt H.). Differential Equations. — New York: Holt, Rinehart
and Winston, 1964.
Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1964.
Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями. —
М.: Изд-во АН СССР, 1958.
Шмидт Г. Параметрические колебания. Пер. с нем. — М.: Мир, 1978.
Штокало И. 3. Линейные дифференциальные уравнения с переменными
коэффициентами. (Асимптотические методы и критерии устойчивости и
неустойчивости решений.) — Киев: Изд-во АН УССР, 1960.
кхаус (Eckhaus W.). Matched Asymptotic Expansions and Singular
Perturbations. — Amsterdam: North-Holland, 1973.
Экхаус (Eckhaus W.). Studies in Nonlinear Stability Theory. — New York:
Springer-Ver lag, 1965.
Эрдейи А. Асимптотические разложения. Пер. с англ. — М.: Физматгиз, 1962.
Эрдейи, Магнус,4 Оберхеттингер, Трикоми (Erdelyi A., Magnus W., Oberhettin-
ger F. and Tricomi F. G.). Higher Transcendental Functions. 3 Vols. — New
York: McGraw-Hill, 1953.
Якубович В. А., Старжинский В. M. Линейные дифференциальные уравнения
с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.: Наука, 1972.
' Литература, добавленная редактором перевода
1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности
дифференцируемых отображений. — М.: Наука, 1982.
2. Асимптотика решений дифференциальных уравнений: Материалы к
семинару «Дифференциальные уравнения и их применение». — Вильнюс: Инст.
математики и кибернетики АН СССР, 1981.
3. Асимптотические и качественные методы в теории нелинейных колебаний.—
Киев: Инст. Мат. АН УССР, 1971.
4. Асимптотические методы в динамике систем. — Новосибирск: Наука, 1980.
5. Асимптотические методы в механике. — Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1979,
1981.
6. Асимптотические методы в механике жидкости и газа. — Иркутск: ИГУ, 1979.
7. Асимптотические методы в нелинейной механике. — Киев: Инст. Мат.
АН УССР, 1974.
8. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — Киев: Наукова
думка, 1979.
9. Асимптотические методы в теории нестационарных процессов. — М.: Наука,
1971.
10. Асимптотические методы в теории систем. — Иркутск: ИГУ и СЭИ СО
АН СССР; в. 1, 1970; в. 2, 1972; В. 3, 4, 5, 1973; в. 6, 7, 1974; в. 8,
1975; в. 9, 1976; в. 10, 1977; в. 11, 1978; в. 12, 1980; в. 13, 1982.

524
Литература
11. Асимптотические методы нелинейной механики. — Киев: Инст. Матем.
АН УССР, 1979.
12. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений:
Материалы к семинару «Дифференциальные уравнения и их применение». —
Вильнюс: Инст. Матем. и киберн. АН Лит. ССР, 1980.
13. Асимптотические методы теории дифференциальных и интегро-дифферен-
циальных уравнений и их приложение. — Фруизе: Кирг. Гос. ун-т, 1981.
14. Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных
уравнений. — Киев: ^нст. Матем. АН УССР, 1978.
15. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах
дифракции коротких волн. — М.: Наука, 1972.
16. Бабич В. М., Булдырев В. С. Искусство асимптотики. Вестн. Ленингр.
ун-та, № 13, 1973. .
17. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя в задачах
дифракции. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
18. Баренцев Р. Г. Об асимптотологии. Вестн, Ленингр. ун-та, № 1, 1976.
19. Баранцев Р. Г. Дефиниция асимптотики и системные триады. В кн.:
Асимптотические методы в теории систем. — Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1980.
20. Баренблат Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика.—
Л.: Гидрометеоиздат, 1978.
21. Бартман А. Б., Перельман Т. Л. Новый асимптотический метод в
аналитической теории переноса. — Минск: Наука и Техника, 1975.
22. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории
нелинейных колебаний.—М.: Наука, 1974.
23. Брекер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. Пер.
с англ. — М.: Мир, 1977.
24. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Федорюк М. В. Асимптотические методы
в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Итоги науки.
Математический анализ. — М.: ВИНИТИ, 1969.
25. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической
физики. — М.: Изд-во МГУ, 1982.
26. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений
сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука; 1973.
27. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в
критических случаях. — М.: Изд-во МГУ, 1978.
28. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных
колебательных систем. — М.: Изд-во МГУ, 1971.
29. Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно-
возмущенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений
и их приложениям. Тезисы докладов. — Фрунзе: Илим, 1975.
30. Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно-
возмущенных уравнений. Тезисы докладов. — Алма-Ата: Наука, 1979.
31. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. Пер. с англ. — М.:
Мир, 1981.
32. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности.
Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.
33. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания
тонких упругих оболочек.—М.: Наука, 1979.
34. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Резонансы и малые знаменатели в
небесной механике. — М.: Наука, 1978.
35. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа
нелинейных систем. — М.: Наука, 1979.
36. Дифференциальные уравнения с малым* параметром. Свердловск: УНЦ
АН СССР, 1980.
7. Зино И. Е., Тропп Э. А. Асимптотические методы в задачах теории
теплопроводности и термоупругости. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1978.
38. Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. 3. Асимптотическая теория
оценивания. — М.: Наука, 1979.

Литература
525
39. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.:
Наука, 1981.
40. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений
эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. —
Тбилиси: ИПМ ТГУ, 1981.
41. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: Изд-во
МГУ, 1965.
42. Маслов В. П. Комплексный метод В КБ в нелинейных уравнениях. — М.:
Наука, 1977.
43. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для
уравнений квантовой механики. — М.: Наука, 1976.
44. Методы возмущений в механике. — Новосибирск: Наука, 1982.
45. Методы малого параметра и их применение. — Минск: ИПМ АН СССР, 1982.
46. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев'
Наукова думка, 1971.
47. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б. И. Асимптотические решения урав-
. неиий в частных производных. — Киев: Высшая школа, 1976.
48. Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым
параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975.
49. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука,
1981.
50. Панасюк А. И., Панасюк В. И. Асимптотическая оптимизация
нелинейных систем управления. — Минск: Изд-во БГУ, 1977.
51. Панченков А. Н. Основы теории предельной корректности. — М.: Наука,
1976.
52. Панченков А. Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах
механики. — Новосибирск: Наука, 1982. -
53. Постои Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. Пер. с аигл. —
М.: Мир, 1980.
54. Применение метода согласования асимптотических разложений к краевым
задачам для дифференциальных Сравнений.—Свердловск: УНЦАНСССР, 1979.
55. Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. — Киев: Наукова
думка, 1977.
56. Проскуряков А. П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. —
М.: Наука, 1977.
57. Риекотыиьш Э. Я. Асимптотические разложения интегралов. — Рига: Зи-
иатне, Т. 1, 1974; Т. 2, 1977; Т. 3, 1981.
58. Рождественский К. В. Метод сращиваемых асимптотических разложений
в гидродинамике крыла. — Л.: Судостроение, 1979.
59. Смирнов Б. М. Асимптотические методы в теории атомных столкновений. —
М.: Атомиздат, 1973.
60. Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.
61. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных
уравнений. — М.: Наука, 1983.
62. Фещенко. С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы
в теории линейных дифференциальных уравнений.— Киев: Наукова думка,
1966.
63. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Пидченко Ю. П., Сотниченко Н. А.
Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с
отклоняющимся аргументом. — Киев: Наукова думка, 1981.
64. Филатов А. Н. Методы усреднения в дифференциальных и интегродифферен-
циальных уравнениях. — Ташкент: Фан, 1971.
65. Фридрихе К. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве.
Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.
66. Цирулис Т. Т. Метод градиентных линий для асимптотического
представления контурных интегралов, —г Рига: Зинатне, 1973.
67. Eckhaus W. Asymptotic analysis of singular perturbations. — Amsterdam:
North-Holland Publ. Co, 1979.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономная система 215 , 220 , 226
Акустические волны
в каналах , заполненных сжимаемой
жидкостью 466
в каналах с переменным поперечным
сечением 480 — 482
в каналах с синусоидальными стенками
438 — 445
Алгебраические уравнения 35 — 56
высших порядков 49 — 51
квадратичные 35 — 45
кубические 45 — 49
условия разрешимости 408 — 414
Альтернатива Фредгольма ,
для задачи Штурма—Лиувилля 426
для интегрального уравнения 477
Амплитудно-частотная характеристика 217
в случае первичного резонанса 227 — 228
в случае субгармонического резонанса
216 - 218
в случае супергармоннческого резонанса
221 — 222
Анализ размерностей 9 — 17
для линейного осциллятора -146
для осциллятора с самовозбуждением 161
для системы с квадратичными нелиней-
ностямн 174 — 175
для уравнения Дюффинга 116 — 117
для уравнения Матье 253
Аналитическая функция 67 , 89 , 97 . 108 ,
116 , 346 , 349 . 362
определение 96
Апериодические решения 260
Асимметрия 435 , 448 '
Асимптотическая последовательность 29
логарифмические члены 29
по дробным степеням параметра 38 — 42 ,
48 — 49 , 50
по обратным степеням параметра 44 , 45
Асимптотический ряд 25 — 29
его точность 30 — 31
определение 27 — 28
погрешность 28
сравнение со сходящимся рядом 30 — 31 ,
374 .
См . также Асимптотическое разложение
Асимптотического соответствия знак 28 ,
74 , 366 , 369
Асимптотическое разложение 29 — 30
для уравнений с большим параметром 380
единственность 30
интегралов 57 — 115
определение 29
по параметру 35
равномерное 32
расходящееся 27 , 31
функций Весселя 31 , 102 - 104 , 114 ,
369 — 374 , 378
функций Эйри 104 — 108
элементарные операции над ними 31 . 41 .
См . также Асимптотический ряд
Биномиальная формула 17 — 18 , 25 , 36 ,
38 , 41 , 52 . 59 , 71 , 118 , 149 . 162 , 181 ,
183 , 494
Быстрые колебания 87
Вариация произвольных постоянных 148 ,
345 — 346 , 513
в случае миогочастотного возбуждения
246 - 249
в случае слабой нелинейности общего
вида 201 — 202
для линейного осциллятора 159 — 160
для линейных неоднородных
дифференциальных уравнений 345 — 346
для систем с квадратичными нелинейно-
стями 185 — 186
для уравнения Дюффинга 139 — 141
для уравнения Дюффинга в случае
вынужденных колебаний 228 — 233
для уравнения Матье 272 — 274
для уравнения Рэлея 170 — 172
Векторное решение 345
Ветвь внешнего разложения 334
Взаимодействие ,
вязко-невязкое 327
приближений 186
Взаимодействующие моды 443 , 445
ВКВ-приближенне 380 — 383 . 389
несостоятельность 397 — 398
применение к решению задачи на
собственные значения 385 — 389
Внешнее разложение 285 — 286 , 289 , 298
для задачи с двумя пограничными слоями
317 - 318
для нелинейной задачи 329 — 330 , 334
для простой краевой задачи 300
для трехзониой задачи 325 — 326
для уравнений с переменными
коэффициентами 305 — 306 , 308 , 311 , 314
Внешняя переменная 289
как критерий при выборе внутреннего
разложения 331
Внутренне-внутреннее разложение 283 ,
286 , 287
Внутреннее произведение 412
Внутреннее разложение 285 — 286 , 289 , 297 —
299
для задачи с двумя пограничными слоями
318 - 323
для задачи с точкой поворота 390 — 391
для нелинейной задачи 331 — 333 . 335 —
338
для простой краевой аадачн 282 — 283 ,
301
для уравнения с переменными
коэффициентами 306 - 307 . 311 - 313 . 315
Внутренняя переменная 289
выбор 292 — 298 , 306 , 309 . 311
Возбуждение ,
внешнее 208 , 209 . 216 . 221
параметрическое 253

Предметный указатель
527
порядок 224 .
См . также Многочастотное возбуждение
Возмущение ,
по параметру 11 , 12 , 13 , 15 , 17 , 34
сингулярное 43
Возмущенное уравнение 34
Волновод 438
Волновое число 440 , 442
Восстанавливающая (возвращающая) сила
11 , 116 . 123 . 146 , 174
Вронскиан 255 , 257 , 502 — 505
Вторичный резонанс 211 — 224 , 228 — 232
определение 211 .
См . также Комбинационный резонанс ,
Субгармонический резонанс , Супер-
гармонический резонанс
Вынужденные колебания ,
многочастотиые 236 — 252
с одной частотой 208 — 235
Вырождение 435 , 448 , 465
в задаче о колебаниях мембраны ,
близкой по форме к кругу 448 — 452 ,
482 — 484
снятие 437 , 452 , 466
Вырожденная задача иа собственные
значения ,
для уравнения второго порядка 434 — 437
для уравнения четвертого порядка 408 ,
463 , 465 - 466
Вырожденное уравнение 35 , 37 . 40 , 117 ,
291
Вырожденное ядро 478
Гамма-функция 81 , 82 , 93 , 95
асимптотическое представление 114
неполная 62
определение 77 — 80
Геометрическая прогрессия 26
Гипербола 106
Гироскопические системы 414 — 420
нелинейные 414 — 417
с параметрическим возбуждением 417 —
420
Главный резонанс ,
См . Первичный резонанс
Градиент 98
Граничные условия ,
на поверхности раздела 408 , 473 — 476
общие 420 , 426 — 432 , 472 — 473
перенос 439 , 446
потеря 278 , 292
смешанные (неразделенные) 421
сопряженные 429 — 430
Дельта-функция Дирака 173
Демпфирование 146 — 209
отрицательное 161
Деформация контура интегрирования 89 ,
101 , 102 , 106 , 109
Дифференцируемая функция комплексного
переменного 96
Дифференциальное уравнение ,
общее решение в линейном случае 503
определение 499
Дробные степени параметра 38
Естественные координаты 29
Жорданова каноническая форма 257
Задача на собственные значения ,
вырожденная , для уравнения второго
порядка 434 — 437
для уравнения четвертого порядка 462 —
466
решение с помощью метода ВКБ 385 — 389
с регулярной особой точкой 446 — 452
с точкой поворота 400 — 406
Задача Орра — Зоммерфельда 455
Задача с двумя точками поворота 402 — 404
Задача сингулярных возмущений 43 , 282
Задача с точкой поворота 380
на собственные значения 404 — 406
п-го порядка 398
определение 383 . 389
решение методом сращиваемых
асимптотических разложений 310 — 317 , 389 —
395
Задача Штурма—Лнувилля 425
Замкнутая траектория 124 — 127
Затухание 466
Изменение масштаба зависимой
переменной 335
Интеграл ,
асимптотическое разложение 57 — 115 ,
373 , 378
движения 124
Интеграл Лапласа 89 , 91 , 95 , 96 , 97 , 103 ,
373
обобщенный 69 , 86 , 106
интегрирование по частям 67 — 68
Интеграл ошибок 61
Интеграл Фурье 96 . 97
главный член 86 — 87 , 88
обобщенный 86
преобразование в интеграл Лапласа 89 .
91
Интегральное представление ,
решений дифференциальных уравнений
57-58 , 373 . 377 , 378 .
функций Эйри 392 — 393
Интегральное уравнение Фредгольма 476 —
479
Интегрирование по частям 62 — 71
в приложении к функции Эйри 115 , 393
несостоятельность 69 , 71 , 75 , 86 , 102 , 104
Интегрирующий множитель 57 , 331
Исключение первой производной 379 — 380
Калибровочные функции 20 — 24 , 36
Каноническое представление 429 , 461
Колебания пластины 14 , 15 , 456 — 459
Комбинационный резонанс 251 , 252
для акустических волн в каналах 442
для гироскопических систем с
параметрическим возбуждением 419
при многочастотном возбуждении 239
расчет методом многих масштабов 239 —
246
расчет методом усреднения . 246 — 250
Консервативные системы 116 , 146
Корин характеристического уравнения ,
комплексно сопряженные 510
кратные 510 — 513
Коррекция частоты 129 , 215 , 220 , 226
Краевая задача ,
нелинейная 329 — 341
решение с помощью метода ВКБ 406
с двумя пограничными слоями 317 — 325
см . также Задача на собственные
значения , Условия разрешимости
Кривая ,
интегральная 124 — 125
наискорейшего спуска 100 , 101
см . также Линия наискорейшего спуска
Лемма Ватсона 74 — 75 , 85 , 103 , 106 , 109
формулировка 74
Линейная комбинация 501
Линейная независимость 501 — 503
Линейные дифференциальные уравнения
499 - 518
с большим параметром 379 — 406
с переменными коэффициентами 345 —
378

528 Предметный указатель
Лииейиый оператор 500
Линейный осциллятор с затуханием 146 —
160 . 203
использование метода многих
масштабов 156 — 158
использование метода усреднения 159 —
. 160
использование методики Линдштедта —
Пуанкаре 153 — 155
прямое разложение 147 — 148
точное решение 148 — 152
Линия наискорейшего спуска 99 — 101 . 108
Линия постоянной фазы 102 , 106
Линия уровня 99
Малые знаменатели 211 , 407
в задаче для гироскопических систем
с параметрическим возбуждением 419
в задаче об акустических волнах 442
в задаче о вынужденных колебаниях
для уравнения Дюффинга 211
в задаче о многочастотном возбуждении
236 , 238
для уравнения Магцье 255
преобразование к секулярным членам
213 - 214 , 444
приводящие к комбинационному
резонансу 238 , 239 . 419 , 442
приводящие к первичному резонансу
224 , 230 - 231
приводящие к субгармоническому
резонансу 213
приводящие к супергармоническому
резонансу 219
Масштабы 134 , 135 , 191
влияние на вид разложения 282 — 285
их комбинация 282 , 289
Матрица , невырожденная 428 , 461
Матрица-блок 430
Мембрана 407 , 426 , 482
колебания 446 — 452
Мероморфная функция 96
Метод Ван-дер-Поля 142
Метод ВКБ 277 , 305 , 406
Метод Лапласа 25 , 71 — 86
в приложении к функциям Эйри 115 , 393
сравнение с методом стационарной фазы
97
Метод многих масштабов 117 , 144 , 147 ,
160 , 162 , 172 — 173 , 175 , 186 , 190 ,
191 . 193 . 194 . 202 , 209 , 231 . 232 ,
233 - 235 , 407 . 455
для задачи об акустических волнах
442 - 445
для задачи о лииейиом осцилляторе
156 - 158
для краевых задач 276 , 289 — 291
для нахождения вторичных резон ан-
сов 211 - 224
для нахождения первичных резонан-
сов 224 — 228
для нелинейной гироскопической
системы 414 — 417
для нелинейных уравнений в частных
производных 300
для систем с квадратичными нелннейно-
стями 182 — 184
для систем с нелинейностямн общего
вида 199 — 200
для систем с параметрическим
возбуждением 417 — 420
для уравнения Дюффинга 133 — 139
для уравнения Матьг 268 — 272 ,
для уравнения Рэлея 167 — 170
сравнение с методом сращиваемых
асимптотических разложений 299 — 300
упражнения 274 — 275
Метод наискорейшего спуска (метод
перевала) 96 — 109 , 392
Метод неопределенных коэффициентов 148 ,
244
Метод перенормировки 117 , 133 , 137 , 143 ,
144 , 162 , 172 , 175 , 182 , 184 , 190
для произвольных нелинейных систем
197 — 199
для системы с квадратичными
нелинейностямн 178 — 180
для уравнения Дюффинга 132 — 133
для уравнения Рэлея 165 — 167
недостатки 155 , 167 , 170
Метод растянутых параметров 253 , 261 ,
456
в вырожденной задаче на собственные
значения 434 — 437
в задаче на собственные значения для
уравнения четвертого порядка 462 —
466
в задаче о колебаниях мембраны 446 —
452
в простой задаче на собственные
значения Для уравнения второго порядка
432 - 434
для уравнения Матье 262 — 266
Метод сращиваемых асимптотических
разложений 276 , 299 . 300
для простой краевой задачи 291 — 300
для уравнений с переменными
коэффициентами 305 — 317
основная идея 285 , 291
сравнение с методом многих
масштабов 299 , 300
Метод стационарной фазы 86 — 95
в приложении к функциям Весселя 373
для интеграла Эйри 115 , 393
сравнение с методом Лапласа 97
Метод У и штекера 262 . 266 — 268 , 272
ограничения 268 — 269
упражнения 274
Метод усреднения 117 . 143 , 144 , 147 , 162 ,
170 - 173 , 175 . 209 , 228 - 235
для линейного осциллятора 159 — 160
для общего нелинейного уравнения
201 — 202 . 206
для систем с квадратичными
нелинейностямн 185 — 186
для случая многочастотного
возбуждения 246 — 250
для уравнения Дюффинга 141 — 143 .
228 — 233
для уравнения Мпщье 272 — 274
для уравнения Рэ'лея 170 — 172
методика Крылова— Боголюбова—Мит-
ропольского 191 — 193
недостатки 185 — 186
обобщенный 160 , 186 — 190 , 193 . 194
сравнение с методом растянутых
параметров 262
упражнения 274 — 275
Методика Крылова— Боголюбова—Ми т-
ропольского 176 , 186 , 191 — 193
Методика Линдштедта—Паункаре 117 ,
133 , 137 , 143 , 144 , 147 . 162 , 175 , 178 ,
184 , 190 , 194
в задаче о линейном осцилляторе 153 —
155
для системы с квадратичными
нелинейности ми 180 — 182
для уравнения Дюффинга 129 — 132
недостатки 154 , 167 , 170
Методика Ньютона—Рафсона 387 , 401 , 403
Многочастотное возбуждение 236 — 252
использование метода многих
масштабов 239 — 246
использование метода усреднения 246 —
250
прямое разложение 236 — 239

Предметный указатель
529
Мода ,
акустическая 440 , 442
при колебаниях мембраны 448
Модуляция амплитуды и фазы 215 , 417 , 420
Наименее вырожденная форма 279 , 391
Неавтономная система 215
Неаиалитические функции 195 , 204 — 207
Невырожденное преобразование 428
Нелинейные колебания 290
Неограниченные решения 246 , 268 , 271
для уравнения Матье 258 , 260
Неоднородные уравнения 407 — 491
определение 499
с постоянными коэффициентами , их
решения 513 — 518
свойства 505 — 506
связь с соответствующим однородным
уравнением 505 , 506
Неравномерная сходимость прямого
разложения 282
Неравномерное разложение 40 , 117 , 122
Неравномерность 40 , 130 , 147
в разложении 32
для линейного осциллятора 147 — 152
для простой краевой задачи 278 — 282
для уравнения Дюффинга 122 , 129
для уравнения Рэлея 163
область 34 , 40
Несовместные уравнения 416
Неустойчивые движения 222 , 228 , 258 , 261
Неэлементарные функции 397
Нормальная форма Флоке 258 , 262 , 266
Нормальное решение 363 , 367
Область ,
бесконечная 329
внешняя 297 — 300
внутренняя 297 — 300
конечная 289
применимости 285 , 288 , 298 .
См . также Перекрывающиеся области
Обтекание бесконечной пластины 15 — 17
Обыкновенная точка дифференциального
уравнения 346 , 348 , 349
решения вблизи нее 349 — 351
Ограниченные решения уравнения Матье
260
Однородное дифференциальное уравнение ,
определение 499
с постоянными коэффициентами ,
решения 507 — 513
свойства , 501 — 505
Оператор 500
коммутативный 512
сопряженный 460
четвертого порядка 459
Операторный метод 148
Операция , не обоснованная 41 , 280
Определяющее уравнение 352
Особая точка ,
изолированная 347
иррегулярная 349
решения вблизи нее 363 — 375
классификация 348 — 349
на бесконечности 361 — 363
регулярная 349 , 426 , 450
решения вблизи нее 351 — 363
устранимая
Осциллятор с самовозбуждением 161 — 173
использование метода многих
масштабов 167 - 170
использование метода перенормировки
165 - 167
использование метода усреднения 170 —
172
прямое разложение 162 — 165
Парабола 144
Параметр 20 ,
безразмерный 11 , 12 , 13 — 14 , 15 , 17
в уравнении Дюффинга 117
малый , при старшей производной 276 —
344
Параметр расстройки 42 , 213 , 219 , 225 ,
240 , 241 , 270 , 419 , 442
в случае первичного резонанса 225
в случае субгармонического резонанса
213
в случае супергармоннческого
резонанса 219
для акустических волн в канале 442
для гироскопических систем с
параметрическим возбуждением 419
для уравнения Матье 270
при комбинационном резонансе 240 , 241
Параметрическое возбуждение 253
гироскопической системы 417 — 420
системы С двумя степенями свободы 275 .
См . также Уравнение Матье
Первичный резонанс 238
исследование методом многих
масштабов 224 — 228
исследование методом усреднения 232 —
233
определение 211
Переключение с одного разложения иа
другое 298
Перекрывающиеся области 285 — 289 , 297 ,
298
Перенос граничных условий 438 — 439 , 446
Переходная характеристика 154 , 158 , 160 ,
162 , 173
Переходные кривые 262 — 274
периодические 261 , 262
Периодическое решение 124 — 126 , 154 , 164
в случае . первичного резонанса 227
в случае субгармонического резонанса
216
в случае супергармонического резонанса
221
произвольной нелинейной системы 198
уравнения Дюффинга 127 — 129 , 131 , 132
уравнения Матье 258 — 269
см . также Предельный цикл
Пограничный слой 281
внутренний 313 — 317 , 334 , 339 — 341
высшие приближения 300 — 305
определяющие уравнения 17
Подобные матрицы 257
Подынтегральное выражение , 128
разложение в ряд 58 — 62
Полиномы ЛежанЬра 115
Полная энергия 123 — 124
Положение равновесия 116 , 174 , 194
Порядок ,
величины 9
дифференциального уравнения 499
члена 36 , 224
Правило Крамера 244 , 411
Правило Лопиталя 22 — 23 , 64
Преобразование ,
интегрального уравнения к системе
алгебраических уравнений 478 — 479
невырожденное 397 , 428 , 461 . 472
обратное 429
регулярность 399
Преобразование Лангера 276 , 380 , 390 ,
396 - 400
Преобразование Лапласа 57 . 67
модифицированное 392
Преобразование Лиувилля—Грина 380
383 — 385 , 397 , 398
Преобразование растяжения 276 , 282 ,
292 . 295 , 311 , 314 , 318 , 321 , 326 ,
335 , 390
См . также Внутренняя переменная

530 Предметный указатель
Преобразование сжатия 329 , 330
Преобразование Фурье 57 , 68
Преобразование Эйлера 29 , 145
Приведенная масса 13
Признак Даламбера 18 , 26 , 27 , 59 . 61 , 65 ,
67 , 71 , 73 , 151 , 152 . 347 , 351 , 354 ,
360 , 369 , 372
Принцип асимптотического сращивания ,
См . Сращнванне
Принцип сращивания Ван-Дайка 303 — 304
Принцип суперпозиции 119 , 120 , 183 ,
196 , 421 , 501 , 504
Производная по направлению 98
Промежуточная переменная 289
Промежуточное разложение 284 , 287 , 289
для простой краевой задачи 302 — 303
Пружина 10 , 11 , 146 , 174 , 175
Прямое разложение 117 , 147 . 162 , 175 ,
196 , 209 , 236 . 253 , 277
в задаче для уравнения Дюффинга в
случае вынужденных колебаний 209 — 211
в задаче об акустических волнах в
канале 438 — 442
в задаче о многочастотном возбуждении
236 - 239
для линейного осциллятора 147 — 148
для произвольных нелинейных систем
196 - 197
для простой краевой задачи 277
для систем с квадратичными нелинейно-
стями 175 — 178
для тригонометрической функции 149 —
150
для уравнения Дюффинга 117 — 123
для уравнения Матье 253 — 256 , 262
для уравнения Рэлея 162 — 165
для экспоненты 149
причины несостоятельности 127 , 151 ,
152 , 163 - 164
Радиальная нагрузка 14 . 15
Разделение переменных 123 , 126 , 168 ,
188 , 205 , 306 , 308 , 327 , 336 , 379 ,
384 . 398
в задаче о колебаниях мембраны 447
в задаче об акустических волнах в
канале 439 — 441 , 443
Разложение 17 — 20
неравномерное 32 , 122
перекрывающееся 285
подынтегральных функций 58 — 62 .
См . токже Асимптотическое
разложение , Внутреннее разложение ,
Внешнее разложение
Растянутая переменная 276 , 282 . 292
См . также Внутренняя переменная
Расширенная матрица 410
Резонанс 134 , 235
одновременный 241 , . 251 , 252
см . также Комбинационный резонанс ,
It'Первичный резонанс . Субгармоничес-
, кии резонанс , Супергармоннческий
резонанс
Резонансные частоты 209 , 211
Рекуррентные соотношения 350 , 354 , 360 ,
365 , 367 . 369 , 371
Решение в форме фробениуса 353 — 355
361 , 366
Ряд ,
См , Асимптотический ряд .
Геометрическая прогрееоия . Ряд Тейлора
Ряд Лорана 347 , 517
Ряд Тейлора 18 — 19 . 58 , 60 . 61 , 81 . 82 ,
83 . 85 , 88 . 92 , 93 , 107 , 116 , 132 .
166 , 179 , 346 - 347 , 349 . 351
для косинуса 149 — 152
для экспоненты 149 , 150
разложение с целью переноса
граничных условия 438 — 439 , 446
Ряд Фурье 119 , 198 , 200 , 201 . 448 , 482
для тригонометрических функций 494 —
497
Самосопряженный 433 , 436 444 , 484
алгебраическая система 479
дифференциальное уравнение
четвертого порядка 454 — 455 , 464
задача для уравнения в частных
производных 482 , 483
задача с внутренними граничными уело*
внямн 475 — 476
интегральное уравнение 477
матрица 412
оператор 427 , 460
система дифференциальных уравнений
второго порядка 424 , 430
система уравнений первого порядка 470
уравнение с регулярной особой точкой
449 - 450
Седловая точка 98 — 101 , 105 — 107 , 108 , 124
Секулярные члены 123
более сложный внд при увеличении
порядка 148
их исключение 130 , 138 , 153 , 155 , 157 ,
158 , 180 - 182 , 193 , 200 , 407
в решении для произвольной
нелинейной системы 198
в решении для систем с квадратичными
нелннейностями 180 . 181 . 183
в решении уравнения Дюффинга 123 ,
130 - 133 , 135
в решении уравнения Матье 263 — 266
в решении уравнения Рэлея 164 ,
166 , 168
в случае вынужденных колебаний
для уравнения Дюффинга 211
не приводящие к неравномерности 289
Сепаратрисы 124
Сила инерции 11
Символический метод 513 — 518
Символы порядка 24 — 25
Симметричная матрица 412 , 479
Симметричное ядро 477
Симметрия 435 , 448
Системы с квадратичными нелннейностями
174 - 194 . 236 , 250
прямое разложение 175 — 178
решение методом многих масштабов 182 —
184
решение методом перенормировки 178 —
180
решение методом усреднения 185 — 186
решение обобщенным методом
усреднения 186 — 190
решение с помощью методики Крылова —
Боголюбова — Митропольского 191 —
193
решение с помощью методики Л и нош-
теЬта—Пуанкаре 180 — 182
случай ненулевого внешнего
воздействия 233 — 236
См . также Многочастотное возбуждение
Системы со слабой нелинейностью общего
вида 195 — 207
прямое разложение 195 — 197
решение методом многих масштабов
199 - 200
решение методом перенормировки 197 —
199
. решение методом усреднения 201 — 202
Скачок характеристики 221 , 222 , 227 , 228
Собственное значение матрицы 257 , 258
Собственный вектор матрицы 257
Составное разложение 298 — 300

Предметный указатель
531
для задачи с двумя пограничными слоями
324 - 325
для аадачи с точкой поворота 313 , 316 ,
317
для многоэонной вадачи 328
для нелинейной задачи 333
для уравнения с переменными
коэффициентами 307 . 310
для уравнения е постоянными
коэффициентами 304 — 305
Составное тело 473
Сращивание
в многозонной задаче 327 — 328
основная идея 285 — 289
принцип 286
промежуточное 289 , 302 — 303
сравнение промежуточного и прямого
303
См . также Принцип сращивания Ван-
Дайка
Сращнванне внешнего и внутреннего
разложений
в задачах с точками поворота 392 — 395
в многозонной задаче 327 — 328
в простой краевой задаче 302 — 304
для задачи с двумя пограничными слоями
319 - 324
для нелинейной задачи 332 — 333 . 337 —
340
для уравнений с переменными
коэффициентами 307 , 309 — 310 . 312 — 313 ,
315 — 316
Стационарная точка 70 , 85 , 87 , 88 , 91 , 92 ,
93 , 94 , 98 . 124 , 373
вклад в главный член 94
Стационарное решение 154 , 216 , 221 , 241
Стержень , покрытый оболочкой 473
Стоксовы линии и поверхности 276
Субгармонический резонанс 213 — 219 . 238 ,
239
определение 216
Субнормальное решение 363 . 367 — 369
Супергармоннческий' резонанс 219 — 222 ,
231 — 232 . 238
определение 216
Существенно особая точка 20 , 349
на бесконечности 363 . 364 , 370
решения вблизи нее 363 — 375
Сходимость 27
асимптотического ряда 31
неравномерная 282
радиус 347 , 349
см . также Признак Даламбера
Тензорная запись 479
Теорема Коши 89 , 97 , 103
Теорема существования 500 , 503
Теория Флоке 253 . 255 — 262 , 267
Теплообмен в канале 402 , 406
Течение
вблнаи волнистой стенки 489
ламинарное 402
сжимаемой жидкости 466
турбулентное 406
ем . также Акустические волны
Течение Стокса—Оаеена 17
Точка ветвления 103
Точки перегиба 81
Точки перехода 276 , 383 , 389
Точное решение
алгебраических уравнений 38 , 41
в случае линейного осциллятора 148 — 152
для простой задачи на собственные
значения 279
уравнения Дюффинга 123 — 129
Точность асимптотического ряда 28 — 29
Точность решения , построенного по методу
возмущений 387 . 388 . 401 , 403
Траектории 124 — 126
Транспонирование 411 , 468 , 471
Трансцендентные уравнения 51 — 54
Тригонометрические формулы 492 — 498
Ударный слой 276 , 334 , 341
Упругие волны 438
Уравнение Бесселя
в нормальной форме 380
модифицированное 377
л-го порядка 378 , 447
нулевого порядка 360
Уравнение Ван-дер-Поля 162 , 172
см . также Осциллятор с
самовозбуждением
Уравнение Дюффинга 116 — 143 , 175 , 198 ,
202
вариация произвольных постоянных
139 - 141
прямое разложение 117 — 123
решение методом многих масштабов
133 - 139
решение методом перенормировки 132 —
133
решение методом усреднения 141 — 143
решение с помощью методики Линдш-
тедта—Пуанкаре 129 — 132
случай вынужденных колебаний 208 — 235
точное решение 123 — 129
фазовая Плоскость 124 — 125
явление скачка 221 — 222 , 227 — 228
Уравнение Лиувилля 380
Уравнение Матье 253 — 275
прямое разложение 253 — 255
решение методом многих масштабов
268 — 272
решение методом растянутых
параметров 262 — 266
решение методом Уиттекера 266 — 268
решение методом усреднения 272 — 274
Уравнение Рэлея 161 . 165 , 199 , 203
случай вынужденных колебаний 234
см . также Осциллятор с
самовозбуждением
Уравнение Эйлера 351 — 353 , 355 , 358 , 359
Уравнение Эйри 391 . 396 . 399 , 404
Уравнения Коши — Римана 97 — 99
Уравнения Иавье—Стокса 15 , 16 , 300
Уравнения с большим параметром 379 — 406
ВКВ-приближение 380 — 383
задачи на собственные значения 385 — 389
задачи на собственные значения с
точками поворота 400 — 404
преобразование Лангера 396 — 400
преобразование Лиувилля—Грина 383 —
385
случай медленно меняющихся
коэффициентов 389
Уравнения с медленно меняющимися
коэффициентами 389
Уравнения с постоянными коэффициентами
неоднородные 513 — 518
однородные 507 — 513
Уравнения , совместные 408 , 409
Условия разрешимости 290 , 407 — 491
в случае общей краевой задачи для
системы дифференциальных уравнений
первого порядка 469 — 473
для алгебраических уравнений 408 — 414
для граничных условий общего вида
426 - 432
для дифференциального уравнения
четвертого порядка с граничными
условиями общего вида 459 — 462
для интегральных уравнений 476 — 479
для системы дифференциальных
уравнений с внутренними граничными уело»
виями 473 — 476

532
Предметный указатель
для системы обыкновенных
Дифференциальных уравнений: 466 — 469
для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка
420 - 432
для системы уравнений четвертого
порядка 452 — 459
для уравнений в частных производных
479 — 484
достаточность 478
простой модельный пример 421 — 422
Успокоитель колебаний 146
Устойчивость
пограничного слоя 407 — 408 , 490 , 491
пространственного течения 455
См . также Переходные кривые
Устранимая особая точка 376
фазовая плоскость
для уравнения Дюффинга 124 — 126
для уравнения Рэлея 164 , 165
Формула Грина 427 , 431 , 436 , 460 , 462 ,
481 , 483
Формула Лагранжа 427
Фундаментальная система решений 504
Функции Бесселя
асимптотические разложения 113 — 114 ,
374 , 378 , 403
интегральное представление 102 , 373 ,
377 . 378
модифицированные 377
п-го порядка 448
нулевого порядка 30 , 102 — 104 , 360 —
361 , 369 — 374
нули 51 — 56 , 448
первого порядка 357 — 360 , 378
порядка 1/2 404
порядка 1/3 402 , 404
Функция , дополнительная 506
Функция тока 455
Функции Эйри 391 , 395 , 402
второго рода 115
интегральное представление 104 , 392
первого рода 104 — 108 , 113
связь с функциями Бесселя 402 , 404
Характеристический показатель 259 , 261 ,
262 , 268
Характеристический полином 507 — 513
Характерный предел 297 , 306 , 309 , 311 ,
315 , 318 . 321 , 330 . 335 , 341 , 343 , 393
случай нескольких характерных
пределов 325 — 328
Целые степени параметра 38
Центр , притягивающий 12
Частота
нелинейной системы 178 , 198
собственная 10 , 175
Численное интегрирование 335 , 387 , 401 ,
403
Число Рейнольдса 17
Экспоненциальная форма разложения 381
Электромагнитные волны 438
Электрон 9
Элементарная функция 397
Эллиптический интеграл
второго рода 110
первого рода 59 , 127
Эрмитова матрица 412
Ядро , вырожденное 478

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие . . . 8
Глава 1. Введение 9
1.1. Анализ размерностей 9
1.2. Разложения 17
1.3. Калибровочные функции 20
1.4. Символы порядка 24
1.5. Асимптотические ряды 25
1.6. Асимптотические разложения и последовательности 29
1.7. Сравнение сходящихся и асимптотических рядов 30
1.8. Простейшие действия над асимптотическими разложениями 31
Упражнения 32
Глава 2. Алгебраические уравнения 35
2.1. Квадратные уравнения 35
2.2. Кубические уравнения 45
2.3. Уравнения высших порядков 49
2.4. Трансцендентные уравнения 51
Упражнения^ 54
Глава 3( Интегралы . ,. 57
3.1. Разложение подынтегральной функции 58
3.2. Интегрирование по частям 62
3.3. Метод Лапласа 71
3.4. Метод стационарной фазы 86
3.5. Метод наискорейшего спуска 96
Упражнения 110
Глава 4. Уравнение Дюффинга 116
4.1. Прямое разложение 117
4.2. Точное решение 123
4.3. Методика Линштедта—Пуанкаре 129
4.4. Метод перенормировки 132
4.5. Метод многих масштабов 133
4.6. Вариация произвольных постоянных 139
4.7. Метод усреднения 141
Упражнения . . * 143
Глава б. Линейный осциллятор с затуханием 146
5.1. Прямое разложение . 147
5.2. Точное решение 148
5.3. Методика Линштедта—Пуанкаре 153
5.4. Метод многих масштабов 156
5.5. Метод усреднения 159
Упражнения 160

534 Оглавление
Глава 6. Колебательные системы с самовозбуждением .... 161
6.1. Прямое разложение 162
6.2. Метод перенормировки 165
6.3. Метод многих масштабов ' 167
6.4. Метод усреднения 170
Упражнения 172
Глава 7. Системы с квадратичными и кубическими нелинейностями 174
7.1. Прямое разложение 175
7.2. Метод перенормировки 178
7.3. Методика Линштедта—Пуанкаре 180
7.4. Метод многих масштабов 182
7.5. Метод усреднения 185
7.6. Обобщенный метод усреднения 186
7.7. Метод Крылова—Боголюбова—Митропольского 191
Упражнения 194
Глава 8. Колебательные системы со слабой нелинейностью
общего вида .... 195
8.1. Прямое разложение 195
8.2. Метод перенормировки 197
8.3. Метод многих масштабов 199
8.4. Метод усреднения 201
8.5. Приложения 202
Упражнения 206
Глава 9. Уравнение Дюффинга. Случай вынужденных колебаний 208
9.1. Прямое разложение 209
9.2. Метод многих масштабов 211
9.3. Метод усреднения 223
Упражнения 233
Глава 10. Многочастотное возбуждение 236
10.1. Прямое разложение 236
10.2. Метод многих масштабов 239
10.3. Метод усреднения 246
Упражнения 250
Глава 11; Уравнение МатЬе .....' 253
11.1. Прямое разложение 253
11.2. Теория Флоке 255
11.3. Метод растянутых параметров 262
11.4. Метод Уиттекера 266
11.6. Метод усреднения 272
Упражнения 274
Глава 12. Задачи с пограничным слоем 276
12.1. Простой пример 277
12.2. Метод многих масштабов 289
12.3. Метод сращиваемых асимптотических разложений 291
12.4. Высшие приближения 300
12.5. Уравнения с переменными коэффициентами 305
12.6. Задачи с двумя пограничными слоями 317
12.7. Многозонная задача 325
12.8. Нелинейные задачи 329
Упражнения , , , , , 341

Оглавление
535
Глава 13. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 345
13.1. Скалярные уравнения первого порядка 346
13.2. Уравнения второго порядка 349
13.3. Решение в окрестности регулярной особой точки 351
13.4. Сингулярность в бесконечно удаленной точке. 361
13.5. Решение в окрестности иррегулярной особой точки ... 363
Упражнения 375
Глава 14. Дифференциальные уравнения с большим параметром 379
14.1. ВКБ-приближение 380
14.2. Преобразование Лиувилля—Грина 383
14.3. Задачи на собственные значения 385
14.4. Уравнения с медленно меняющимися коэффициентами .... - 389
14.5. Уравнения с точкой поворота 389
14.6. Преобразование Лангера 396
14.7. Задачи на собственные значения для уравнений с точкой
поворота 400
Упражнения 404
Глава 15. Условия разрешимости 407
15.1. Алгебраические уравнения 408
15.2. Нелинейные колебания гироскопических систем с двумя
степенями свободы 414
15.3. Гироскопические системы с параметрическим возбуждением . . 417
15.4. Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго
порядка 420
15.5. Граничные условия общего вида 426
15.6. Простая задача на собственные значения 432
15.7. Вырожденная задача на собственные значения 434
15.8. Звуковые волны, в канале с волнистыми стенками 438
15.9. Колебания мембраны, близкой по форме к кругу 446
15.10. Краевая задача для дифференциального уравнения четвертого
порядка 452
15.11. Краевая задача для уравнения четвертого порядка с
граничными условиями общего вида 459
15.12. Задача на собственные значения для дифференциального
уравнения четвертого порядка 462
15.13. Система дифференциальных уравнений первого порядка. . . 466
15.14. Общая краевая задача для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений 469
15.15. Краевые задачи с внутренними граничными условиями .... 473
15.16. Интегральные уравнения 476
15.17. Дифференциальные уравнения с частными производными ..." 479
Упражнения 485
Приложение А. Тригонометрические формулы 492
Приложение Б. Линейные обыкновенные дифференциальные
уравнения 499
Литература 519
Литература, добавленная редактором перевода 523
Предметный указатель 526

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, И-ИО, ГСП, 1-й Рижский
пер., 2, издательство «Мир».
Алн Найфэ
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ВОЗМУЩЕНИЙ
Старший научный редактор А. А. Бряндинская
Художник А. Я. Мусии
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор В. П. Сизова
Корректор Т. П. Пашковская
ИБ № 3611
Сдано в набор 12.01.84. Подписано к печати 29.06.84.
Формат 60X90Vte. Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем бум. л. 16,75 "<
Усл. печ. л. 33,50. Усл. кр-отт. 33.5Х Уч.-нзд. л. 27,92. Изд. Jfc f/2701.
Тираж 1С500 экз. Зак. № 35. Цена 2 р. 30 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-П0, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союз пол нграфп рома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.