/
Author: Капитонов И.М.
Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика математическая физика ядерная физика физика частиц
ISBN: 5-354-0058-0
Year: 2002
Text
И.М.Капитонов
ВВЕДЕНИЕ
в Физику
ядра и ЧАСТИЦ
Допущено Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия
для студентов физических факультетов
классических университетов,
а также для студентов других вузов,
обучающихся по специальности
«Ядерная физика» и направлению «физика»
УРСС
Москва • 2002
УДК 539.17
ББК 22.38
К 20
Рецензенты:
Институт ядерных исследований РАН,
профессор В. И.Саврин
Капитонов Игорь Михайлович
К 20 Введение в физику ядра и частиц: Учебное пособие. — М.: Едиториал
УРСС, 2002. - 384 с.
ISBN 5-354-00058-0
Книга является заключительным разделом общего курса физики, посвящен-
ного атомным ядрам и элементарным частицам. Материал представлен в виде 15
лекций, читаемых автором для студентов физического факультета Московского
государственного университета. В последних лекциях рассматриваются космоло-
гические аспекты физики частиц и ядер. Книга содержит новейшую информацию
и снабжена приложениями.
Для студентов-физиков.
Издание осуществлено с готового оригинал-макета.
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, д. 9.
Лицензия ИД №05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 27.11.2001 г.
Формат 60 x 90/16. Тйраж 1700 экз. Печ. л. 24. Зак. № 320
Отпечатано в ГУП «Обли’здат». 248640, г. Калуга, пл. Старый Topi, 5.
ISBN 5-354-00058-0
О И. М. Капитонов, 2002
© Едиториал УРСС, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................ 8
Лекция 1................................................11
1. Введение в курс ....................................11
2. " Открытие атомного ядра. Общие понятия о ядре........13
3. Опыт Резерфорда. Модель атома Томсона и Резерфорда....14
4. Эффективное сечение................................ 15
5. Формула Резерфорда. Рассеяние а-частиц на ядре 208 РЬ.17
6. Волны де Бройля. Дифракционная картина рассеяния......18
7. Рассеяние электронов на ядрах. Опыты Хофштадтера......19
8. Формула Мотта. Форм-фактор. Распределение заряда в ядре. 20
9, Распределение заряда в нуклоне и размер нуклона....23
Лекция 2.............................................. 25
1. Ядерный парк.
TVZ-диаграмма стабильных и долгоживущих ядер...........25
2. Масса и энергия связи ядра. Энергия отделения нуклона.26
3. Удельная энергия связи. Источники ядерной энергии.
Некоторые свойства ядерных сил...................... 28
4. Модель жидкой капли. О ядерных моделях.............30
5. Формула Вайцзеккера.
Объемная, поверхностная и кулоновская энергии.........31
6. Энергия симметрии. Роль принципа Паули.
Зависимость Z от А для стабильных ядер............... 33
7. Эффект спаривания.
Четно-четные, нечетные и нечетно-нечетные ядра.
Вклад различных видов энергии в полную энергию ядра.35
Лекция 3................................................39
1. Основное и возбужденные состояния ядра.
Диаграмма ядерных уровней.............................39
2. Квантовые характеристики ядерных состояний.
Инвариантность гамильтониана и квантовые числа....... 40
3. Особенности спинов ядер............................41
4. Четность. Орбитальная и внутренняя четность.
Четность системы частиц...............................42
5. Тождественность частиц. Статистика. Фермионы и бозоны ...46
6. Классические статические электромагнитные моменты ядер.. 47
*7. Квантовомеханические моменты ядер................. 51
-3-
Лекция 4......................................................56
1. Общие закономерности радиоактивного распада.
Виды распада.......................'...................56
2. а-Радиоактивность. Прохождение а-частиц через барьер.
Центробежный барьер....................................58
3. /3-Распад. Нейтрино. Слабое взаимодействие.
Промежуточные бозоны....................................63
4. 7-Распад. Классификация фотонов. Правила отбора для
электромагнитных переходов. Вероятности электромагнитных
переходов в длинноволновом приближении.................65
*5. Дополнительные выводы о /9-распаде.
Разрешенные и запрещенные /9-переходы.
Переходы Ферми и Гамова-Теллера...........................69
Лекция 5......................................................72
1. Очевидные свойства ядерных (нуклон-нуклонных) сил........72
2. Дейтрон. Зависимость ядерных сил от спина.
Их нецентральность. Волновая функция дейтрона..........72
3. Зарядовая независимость ядерных сил..................77
4. Спин-орбитальные силы ...................................78
5. Обменный характер нуклон-нуклонных сил...................78
6. Радиальная форма нуклон-нуклонных сил.
Квант ядерного поля. Теория Юкавы......................80
7. Изоспин частиц и ядер....................................82
Лекция 6.................................................... 87
1. Ядерные реакции. Введение.............. .............87
2. Законы сохранения в ядерных реакциях................... 88
3. Кинематика ядерных реакций. Порог........................90
4. Механизмы ядерных реакций. Составное ядро................95
5. Сечение образования составного ядра нейтроном
в нерезонансной области................................97
6. Формула Брейта-Вигнера...................................98
7. Прямые ядерные реакции..................................101
Лекция 7................................................... 104
1. Модель ядерных оболочек. История ее появления.
Магические числа......................................104
2. Формулировка модели оболочек для ядра. Роль принципа Паули.
Объяснение магических чисел. Нуклонные конфигурации......107
3. Квантовые характеристики основных состояний ядер
в одночастичной модели оболочек (ОМО).
Возбужденные состояния в ОМО.............................115
-4-
4. Ограниченность одночастичной модели оболочек.
Многочастичная модель оболочек.
Коллективные возбуждения ядер. Аналогия с молекулой.118
5. Вращательные уровни четно-четных несферических ядер.120
6. Колебательные уровни четНо-^четных сферических ядер.121
7. Реальный ядерный спектр.......................... 123
Лекция 8................................*...............125
1. Элементарные частицы. Введение......................125
2. Современные ускорители..............................126
3. Некоторые сведения об элементарных частицах.........127
4. Экспериментальное исследование структуры частиц.....129
5. Теории в физике частиц. Типы взаимодействий частиц.
Константы и радиусы взаимодействий..................132
6. Диаграммы Фейнмана
для электромагнитных взаимодействий.................134
7. Кванты других полей. Фундаментальные бозоны.........140
Лекция 9................................................142
1. Систематика частиц. Фундаментальные частицы.
Барионы и мезоны.....................................142
2. Основные узлы фундаментальных взаимодействий.
Кварковые диаграммы.................................144
3. Законы сохранения в мире частиц. Барионное и лептонное
квантовые числа. Странность. Частицы-античастицы....146
4. Сильные взаимодействия. Адроны.
Правило Накано-Нишиджимы-Гелл-Манна.................151
5. Кварки........................................... 154
6. Кварковая структура легчайших барионов и мезонов..... 155
7. Кварковые атомы....................................158
8. Декуплет барионов с Jp = 3/г+. Распады Д-резонансов.
Кварковая диаграмма нуклон-нуклонного взаимодействия.160
*9. Об изоспине фотона и четности лептонов..............163
Лекция 10............................................. 164
1. Трудности простой кварковой модели.
Новое квантовое число «цвет»........................164
2. Барионы и мезоны как наборы цветных кварков........166
3. Глюоны. Квантовая хромодинамика (КХД)..............168
*4. Обобщение принципа Паули.
Структура волновой функции бариона в КХД..........171
5. Сравнение КЭД и КХД. Экранировка и антиэкранировка
заряда. Асимптотическая свобода.....................177
6. Внутри протона......................................183
- 5 -
Лекция 11..............................................186
1. Отсутствие кварков в свободном состоянии..........186
*2. Эксперименты, подтверждающие наличие кварков в адронах189
*3. Тяжелые кварки — с, 5, t......................... 199
Лекция 12............................................ 204
1. Слабые взаимодействия. Лептонные заряды. Типы нейтрино 204
2. Слабые распады. Константа слабого взаимодействия...208
3. Заряженные и нейтральные слабые токи ........... 209
4. Закон сохранения четности. Р-симметрия.
Несохраяение четности в слабых взаимодействиях.......212
5. Спиральность......................................216
Лекция 13.......................................... 221
1. Зарядовое сопряжение. СР-преобразование...........221
*2. Зарядовая четность................*................224
*3. Истинно нейтральные каоны и К$.....................225
4. Обращение времени. Нарушение СР-инвариантности.
СРТ-теорема .........................................229
5. Первые этапы объединения взаимодействий............231
6. Константы взаимодействий. Пропагатор.
Переопределение константы слабого взаимодействия.....231
7. Сбегающиеся константы. Великое объединение........234
8. Распад протона и другие предсказания теорий
Великого объединения............................. ..238
9. Поколения фундаментальных фермионов. Нейтрино.....241
10. Суперсимметрия..................................... 243
Лекция 14........................................ 247
1. Вселенная. Свидетельства Большого взрыва.......... 247
2. Первые мгновения Вселенной. Дозвездный синтез ядер.251
* 3. Барионная асимметрия.
Отсутствие антивещества во Вселенной. Инфляция.........259
4. Звездная эра. Ядерные реакции в звездах...........263
Лекция 15 ..................................... 273
* 1. Заключительные стадии жизни звезд. Сверхновые....273
* 2. Конечные этапы эволюции Вселенной................281
3. Космические лучи................................ 285
Литература........................................... 290
-6-
Приложения......................................... 291
А. Формула Резерфорда............................... 292
Б. Форм-фактор упругого кулоновского взаимодействия...295
В. Дефекты масс ядер,.................................302
Г. Деление атомных ядер...............................305
Д. Энергия симметрии..................................316
Е. Соотношение между наблюдаемым и собственным
электрическими квадрупольными моментами ядра...........319
Ж. Элементарная теория /3-распада. Правило Сарджента... 325
3. Потенциал Юкавы ........... ;......................338
И. Встречные пучки.................................. 341
К. О вращениях в квантовой механике...................345
Л. Состояние двух квадрупольных фононов...............346
М. Спиновые состояния двух нуклонов.
Двухнуклонные и кварк-антикварковые изоспиновые
состояния. Цветовые состояния глюонов..............348
Н. Распад заряженного пиона...........................356
О. Таблица избранных изотопов....................... 361
П. Распространенность нуклидов во Вселенной......... 368
Р. Таблицы законов сохранения, взаимодействий и частиц.370
С. Физические константы и единицы.....................375
Т. Историческая справка............................. 377
Предметный указатель*..................................383
Предисловие
Настоящая книга является заключительным разделом обще-
го курса физики. Студенты физических специальностей завер-
шают изучение общего курса физики разделом «физика ядра и
частиц». На физическом факультете Московского университета
этот раздел изучается в пятом семестре. Книга написана на базе
курса лекции по физике ядра и частиц, который автор читает в
течение ряда лет на одном из потоков III курса. Материал собран
в 15 лекций и расположен в той последовательности, в которой
он читается студентам. Возможности книги позволили несколь-
ко расширить рамки ряда лекций за счет включения дополни-
тельных разделов и большей детализации изложения. В целом, за
исключением вопросов, связанных с техникой эксперимента, вза-
имодействием частиц и излучений с веществом, дозиметрией и
радиационной защитой, которые изучаются студентами при вы-
полнении ядерного практикума, содержание книги отвечает про-
грамме курса. Таким образом, книга посвящена именно физике
атомного ядра и элементарных частиц. Отбор материала, по-
следовательность и форма его изложения оригинальны и, по
мнению автора, соответствуют стилю университетского физи-
ческого образования, традициям факультета, подготовленности
и возможностям студента-физика МГУ. Учтено, что с основа-
ми квантовой механики студенты уже познакомились в курсе
атомной физики.
Книга предназначена для первого систематического знаком-
ства студентов с физикой ядра и частиц. Уровень знаний и сте-
пень сложности в этой области в настоящее время столь вы-
соки, что делают невозможным полностью последовательное и
безупречно строгое изложение материала во вводном курсе. Са-
ма описываемая наука во многих основополагающих аспектах
не завершена и стремительно развивается, становясь все более
-8-
сложной и насыщенной. В особенности это касается физики час-
тиц. Ограничиться же только полностью понятными для студен-
та Ш курса темами — значит резко сузить рамки изложения и
лишить читателя возможности общего взгляда на быстро расту-
щее и поражающее архитектурой здание современной субатом-
ной физики. В этих попытках соединить в одном вводном учеб-
ном пособии живую науку с уже устоявшимися представлениями
— особенность предлагаемой книги и, возможно, ее недостатки.
Автор с благодарностью рассмотрит предложения и замечания,
которые следует направлять по адресу: 119899 Москва, Воробь-
евы горы, МГУ, физический факультет, кафедра общей ядерной
физики.
Тематически книгу можно разделить на три части. Пер-
вые семь лекций посвящены физике ядра и некоторым общим
вопросам. Физика частиц и взаимодействий рассматривается в
следующих шести лекциях. В завершающих двух лекциях рас-
сматриваются Вселенная, эволюция звезд и космические лучи.
Несмотря на огромное различием масштабах субатомных и кос-
мологических явлений, последние нельзя понять без знания пер-
вых. Поэтому включение астрофизических вопросов в данный
курс не только оправдано, но и (учитывая достигнутый уровень
знаний в этой области) необходимо. Курс современной астрофи-
зики читается студентам физического факультета МГУ вслед за
курсом физики ядра и частиц, что создает хорошие возможности
для более глубокого усвоения студентами обсуждаемых в этих
двух курсах общих вопросов. Автор рекомендует студентам так-
же компактную и написанную с большим педагогическим мас-
терством книгу И. Д. Новикова «Как взорвалась Вселенная» (М.:
Наука, 1988).
Значительную часть книги" составляют приложения. С од-
ной стороны, в них вынесен материал, для которого не нашлось
места в лекциях, но без которого в систематическом курсе обой-
тись нельзя (деление атомных ядер, элементы теории /3-распада,
встречные пучки и некоторые другие). С другой стороны, в
приложениях разъясняется целый ряд утверждений, которые в
основном тексте лекций лишь декларируются, а также дается
достаточно простой вывод некоторых формул. Существенную
часть приложений составляет справочный материал, прежде
всего таблицы изотопов и частиц. Автор также посчитал полез-
ным дать историческую справку о наиболее важных открытиях
в тех областях физики, которым посвящена книга.
-9-
Любой раздел общего курса физики и особенно данный ба-
зируется на сведениях, полученных из эксперимента. Процесс
открытия новых ядер и частиц, уточнения их характеристик
и ряда принципиальных констант (в том числе и космологиче-
ских), по существу непрерывен. Уже в ближайшие годы мы мо-
жем стать свидетелями таких фундаментальных открытий как
обнаружение бозонов Хиггса, суперсимметричных частиц, мас-
сивности нейтрино, структуры кварков и лептонов и др. Вся чис-
ленная информация, предлагаемая читателю, датируется 2000 г.
и взята из следующих справочников:
1) J. К Tuli, Nuclear Wallet Cards. National Data Center.
Brookhaven National Laboratory. USA, 2000.
2) Review of Particle Physics. The European Physics Journal.
2000. V. 15, №1-4.
Книга предусматривает два уровня сложности. Первый (и
главный) гвечает лекционному материалу без тех разделов, ко-
торые отмечены звездочками. Освоение этого уровня обязатель-
но для успешного завершения обучения по общему курсу физики.
Книга в полном объеме рекомендуется студентам, специализи-
рующимся в области физики ядра и частиц.
Автор благодарен профессорам Б. С. Ишханову, Е. А. Рома-
новскому и И. В. Ракобольской, докторам физ.-матем. наук
Н. Г. Гончаровой и В. В. Варламову, кандидатам физ.-матем. на-
ук И. А. Тутынь, В. С. Замиралову, Ю. И. Сорокину и Н. А. Сот-
никовой, чья помощь, советы и замечания способствовали по-
явлению и улучшению книги. Автор чрезвычайно признателен
Инне Альбертовне Тутынь за большую помощь при подготовке
рукописи к печати.
11
Лекция 1
1. Введение в курс
2. Открытие атомного ядра. Общие понятия о ядре
3, Опыт Резерфорда, Модель атома Томсона и Резерфорда
4- Эффективное сечение
б. Формула Резерфорда, Рассеяние а-частиц на ядре 208РЪ
6, Волны де Бройля, Дифракционная картина рассеяния
7. Рассеяние электронов на ядрах. Опыты Хофштадтера
3. Формула Мотта, Форм-фактор. Распределение заряда в ядре
9. Распределение заряда в нуклоне и размер нуклона
1. Введение в курс
«Физика ядра и частиц» — заключительный раздел общего
курса физики. Изучаемые объекты изображены на рис. 1.1. Это
атомные ядра и элементарные частицы, т. е. объекты более мел-
кие, чем атом. Специфика курса и связанные с этим трудности
следующие:
- много нового фактического материала, подчас непривычного;
- это раздел формирующейся науки, теория которой далека от
завершения;
- необходимо знать квантовую механику. Иначе нельзя изложить
курс, описывающий явления на сверхмалых расстояниях.
Однако и квантовой механики недостаточно. Она скорее не-
обходимый язык. Ее достаточно на уровне атома, но недостаточ-
но для ядра и элементарных частиц. В случае ядра необходима
еще теория многих сильно взаимодействующих тел. Пока стро-
го может быть решена задача не более чем четырех таких тел.
В случае частиц нужна универсальная квантовая теория поля,
объединяющая все типы взаимодействий. Обе теории в процес-
се создания. Таким образом, квантовая механика и теория поля
должны быть дополнены физикой взаимодействий (которая не-
достаточно понята) и соответствующей математикой.
До сих пор знания студентов ограничивались двумя типами
фундаментальных взаимодействий: электромагнитным и грави-
тационным. В этом курсе добавятся остальные два — сильное
(его проявлением является межнуклонное, ядерное) и слабое. Их
ненаблюдаемость в повседневной жизни связана с их короткодей-
ствием. Мы ощущаем их лишь апосредовано. Без них Мир был бы
совершенно другим. Солнце й звезды не могли бы существовать
даже и без слабого взаимодействия.
12
В процессе изучения курса мы дойдем (в последних лекциях)
до фантастических расстояний, энергий и интервалов времени
(10"33см, Т = 1033К, At = 10“43с). Уже есть представления о
том, что при этом происходит.
Весьма впечатляющим является то, что микромир объеди-
няется с космосом. Происходящее во Вселенной по существу объ-
ясняется законами микромира и гравитацией.
Итак, основное отличие данного раздела общего курса фи-
зики от других в том, что его невозможно изложить, выводя
последовательно все соотношения из малого числа основных по-
ложений. Во-первых, в силу неосвоенности читателем квантовой
теории и, во-вторых, в силу незавершенности процесса получе-
ния важнейшей фактической информации и самой теории микро-
мира. Многое пока придется брать на веру. Что можно вывести
просто, — будет выводиться. Но психологически нужно быть
готовым к тому, что многое до конца останется неясным. Это
неизбежно. Однако к концу курса у читателя должно возник-
нуть некое замкнутое представление о предмете.
13
2. Открытие атомного ядра. Общие понятия о ядре
В 1909 г. сотрудники Резерфорда Гейгер и Марсден устано-
вили, что отклонение а-частиц, рассеянных тонкими золотыми
и платиновыми фольгами (рис. 1.2), не согласуется с общеприня-
той в то время моделью атома Томсона, которая трактовала атом
как в целом нейтральную сферу размером 10“8см с равномерным
распределением заряда (положительный заряд распределялся на
поверхности, а отрицательные электроны — внутри). Для разре-
шения проблемы Резерфорд предложил в 1911 г. «планетарную»
модель атома с центральным положительно заряженным ядром
малого размера (^10"12см).
Рис. 1.2
Долгое время (около 20 лет) считалось, что ядро состоит из
протонов и электронов: А протонов и А-Z электронов. При этом,
так как масса протона много больше массы электрона, удавалось
объяснить не только заряд, но и массу ядра. Но были и проти-
воречия, например угловой момент (спин) ядра азот-14 (^.У).
Он был целочисленным (1), в то время как протон-электронная
модель предсказывала полуцелое значение (как и для всякой сис-
темы из нечетного числа фермионов).
В 1932 г. Чадвик открыл нейтрон и было признано, что ядро
состоит из протонов и нейтронов (Д. Д. Иваненко, Гейзенберг).
Для ядерщиков протон (р) и нейтрон (п) — два состояния одной
частицы — нуклона. Некоторые свойства протона, нейтрона и
электрона (е) даны в табл. 1.1.
При описании атомных ядер используют следующие обозна-
чения: число протонов Z, число нейтронов N, массовое число А
(число нуклонов): А = Z 4- N. Ядра с одинаковым Z называют
изотопами, а с одинаковым А — изобарами. Конкретное ядро
(нуклид) чаще всего обозначают ^S, где S — химический сим-
вол элемента, или просто (A,Z). Например, изотоп алюминия,
состоящий из 27 нуклонов, обозначают fjAl.
14 Лекция 1
Таблица 1.1
Некоторые, свойства частиц, из которых состоит атом
Частица Заряд Спин, Л Масса (тс2), МэВ Время жизни
Р +е 7* 938.272 > 1032 лет
п 0 7« 939.565 887±2с
<4 -е 72 0.511 > 4.2 -1024 лет
3. Опыт Резерфорда.
Модель атома Томсона и Резерфорда
Метод, позволивший получить вывод о существовании яд-
ра, типичен для субатомной физики (рис. 1.2): в тонкую мишень
направляют коллимированный пучок частиц и измеряют угло-
вое распределение (вероятность вылета под разными углами)
вторичных частиц. Анализ результатов дает сведения о при-
роде взаимодействия и структуре объекта (мишени). В опыте
Резерфорда было обнаружено, что примерно в одном случае из
104 а-частица меняет импульс на противоположный. Это нельзя
объяснить в модели Томсона, в которой атом — слишком рых-
лая система и силы, действующие на а-частицу слишком малы,
чтобы резко изменить ее траекторию. Повернуть а-частицу об-
ратно может лишь объект с массой М mQ (так отражается
мяч от стены).
jl Кинетическая энергия Та а-ча-
а стицы в описываемых опытах была
« 5 МэВ. Отсюда легко сделать вы-
бор между моделью атома Томсона и
Резерфорда.
' Гю1п । Найдем для обратного (на 180°)
Рис х 3 рассеяния, т. е. для лобового столкно-
ис* * вения (рис. 1.3), расстояние наиболь-
шего сближения rmin, отвечающее равенству кинетической энер-
гии Та энергии кулоновского отталкивания Укул:
— Ркул —
Z^Z^
rmin
15
_ ZaZ^
rmin — rp
J-a
2 • 79 (4.8 • 1O~10)2
5 • 10е • 1.6 • IO-12
rs 4.6 • 10~12 cm rs 46Фм.
Мы используем Гауссову систему единиц и внесистемные еди-
ницы: 1 ферми = 1 Фм = 10~13 см, 1 эВ = 1.6 • 10’12 эрг.
4. Эффективное сечение
Результаты опыта Резерфорда и вообще почти всех экспе-
риментов по столкновению частиц выражаются через попереч-
ное эффективное сечение. Обычно используют словосочетание
«эффективное сечение» или просто «сечение». Определим это
понятие (рис. 1.2).
При условии однократного взаимодействия (тонкая мишень)
и отсутствия взаимодействия между рассеивающими центрами,
число N частиц, испытавших в единицу времени взаимодейст-
вие с ядрами мишени и изменивших траекторию (рассеявшихся),
дается выражением (1.1)
N = jnSLa = jMa, (1.1)
где j — плотность потока частиц (число частиц, упавшее в еди-
ницу времени на единицу поперечной площади (1 см2)); п — чис-
ло частиц мишени в единице объема (1см3); S — облучаемая
площадь мишени (см2); L — толщина мишени (см); М — пол-
ное число рассеивающих центров в облучаемой части мишени;
а — величина, характеризующая вероятность взаимодействия и
называемая поперечным эффективным сечением.
Смысл а легко понять, если положить п = S = L = 1,
т.е. рассмотреть кубик со стороной 1см, внутри которого один
рассеивающий центр. Тогда
Э
т.е. а численно равно вероятности взаимодействия и имеет раз-
мерность площади (см2).
При механическом соударении двух шаров, из которых один
покоится внутри единичного объема кубической формы, а другой
падает нормально на грань этого кубика и имеет размеры значи-
тельно меньше размера покоящегося шара, вероятность соударе-
ния численно равна площади поперечного сечения s покоящегося
шара, т. е. а = s.
16 Лекция 1
Для взаимодействий, не являющихся механическими, а —
эффективная площадь, характеризующая вероятность конкрет-
ного процесса. Она может быть как больше геометрической пло-
щади (кулоновское взаимодействие), так и меньше нее (слабое
взаимодействие).
Понятие сг используется и в ядерных реакциях Л+а -* В+Ь.
Тогда N — число частиц Ь, вылетающих в единицу времени из
мишени во всех направлениях.
Если рассматривать рассеяние под углами 0 и (0 и <р —
полярный и азимутальный углы) в телесный угол dQ, то соот-
ношение (1.1) записывается в виде
dtf(0,V)==jMda(0,^),
где dN(6> <р) — число частиц, рассеявшихся на углы 0, внутри
dQ, или
<К1 3 </П '
Величина d<r(0,9?)/dfi = 0(0,95) называется дифференциаль-
ным сечением, в отличие от о — полного сечения:
f f / a(^9:>)sin0d0dy> = 2тг j
0 v?=0 0=0 о
в случае аксиальной симметрии.
Единица измерения полного сечения о — 1 барн:
1 барн = 16 = 10"24 см2 = 100 Фм2,
что по порядку величины — поперечная площадь ядра.
17
5. Формула Резерфорда.
Рассеяние a-частиц на ядре 208РЬ
Дифференциальное сечение рассеяния нерелятивистской
бесструктурной (точечной) заряженной частицы с нулевым спи-
ном в кулоновском поле бесспинового точечного ядра с массой
значительно большей массы частицы можно вычислить в рам-
ках классической и квантовой электродинамики. Результат оди-
наков — формула Резерфорда, которая в пренебрежении отда-
чей ядра выглядит одинаково в системах лабораторной (ядро
покоится) и центра масс (суммарный импульс частицы и ядра
нулевой):
da
dti
ZaZxe2\2 1
4Та / sin4 | ’
. $ __ ?*min __ Z^Z^2
S2 “ IT “ 2bTa ’
(1.2)
Здесь Zae — заряд частицы, Zxe — заряд ядра, Ta — кинети-
ческая энергия частицы, b — прицельный параметр.
Формула получена для потенциала zae
ядра Z*e2/г и применима при г > R*, t --
При выводе пренебрегали экраниров-
кой внешними электронами. ..................
Чтобы установить размер ядра
надо (из выражения для rmjn) либо
увеличивать кинетическую энергию Рис-1Л
частицы, либо уменьшать ее заряд.
Можно также изучать рассеяние на большие углы 0, что соот-
ветствует уменьшению прицельного параметра Ь. При этом надо
добраться до таких малых расстояний, при которых формула Ре-
зерфорда начнет нарушаться (это будет означать, что частица
начинает «чувствовать» поверхность ядра).
Рис. 1.5 демонстрирует результат эксперимента по рассея-
нию а-частиц с Та = 22 МэВ на ядре 208РЬ. Видно, что при
6 > 90° происходит отклонение от формулы Резерфорда. Оце-
ним 6 для угла 0 = 90°, при котором начинается это отклонение.
ъ _ 2а2яег _ 2-82- (4.8 • 1О~10 СГСЭ)2
9°° “ 2tg^Te ~ 2 • tg45° • 22 • 10е эВ • 1.6 • 10~12 эрг/эВ ~
= 5.4 • 10"13см.
3 Зак. 320
18
Лекция 1
Уменьшение числа а-частиц
под большими углами (3 > 90°)
по сравнению с формулой Резер-
форда объясняется их поглоще-
нием ядром за счет притягива-
ющих сил нового типа (ядерных
сил). Видно, что радиус действия
новых сил мал (« 10”13см). В
дальнейшем мы уточним этот ра-
диус (« 1.5 Фм) и приведем дан-
ные, показывающие, что ядерные
силы превосходят силы другого
типа.
6. Волны де Бройля.
Дифракционная картина рассеяния
До сих пор рассмотрение шло на корпускулярном уровне
(формула Резерфорда). Но микрочастицы обладают и волно-
выми свойствами. Их длина волны определяется формулой де
Бройля (1.3).
_ 2?rftc ~ 6.28 • 200 МэВ • Фм
у/2тТ ~ V2mc2T ~ у/2тс2Т ~ У2тс2Т [МэВ]
h __ для v < с,
р he ~ he _ 2тгйс ~ 6.28 • 200 МэВ • Фм
~ У = ~ Г [МэВ]
ДЛЯ V ы с,
где he = 197 МэВ • Фм « 200 МэВ • Фм. ,3j
При рассеянии должны проявляться волновые свойства рассеи-
ваемой частицы (рис. 1.6). Если рассеяние происходит на круг-
лом объекте с четкими границами радиуса Я, то дифракция воз-
никает при А < R и дифракционные минимумы, как известно из
оптики, появляются при углах
0.61
sin0min R
т = 1,2,3,...
(1.4)
19
Рис. 1.6
7. Рассеяние электронов на ядрах.
Опыты Хофштадтера
В 1953 году Хофштадтер
(США) использовал для экспе-
риментов по рассеянию пучок
электронов с Те = 250 МэВ. Их
длина волны
х 6.28 • 200 МэВ • Фм
А «-----z ~ 5 Фм
250 МэВ
уже достаточно мала, и наблю-
далась дифракционная карти-
на. При использовании элек-
тронов с Те = 750 МэВ (рис.
1.7) дифракционная картина
еще более отчетлива (рассея-
ние на ядре 40 Са). Из положе-
ний минимумов можно оценить
радиус ядра 40 Са:
Рис. 1.7
^тп=1
$гп=2
$т=3
«18°
«31°
«48°
=> Я « 3.3 Фм,
=> R « 3.9 Фм,
R ~ 3.6 Фм.
Используя для оценки радиуса ядра формулу (1.9), о которой
сказано в п. 8, получаем Я(40Са) — (1.2 • А1/3 - 0.5) Фм = 3.6 Фм.
Однако более важно то, что из формы угловой зависимости диф-
ференциальных сечений рассеяния dcr/dSl можно извлечь про-
странственное распределение плотности заряда в ядре />(г).
з*
20 Лекция 1
8. Формула Мотта. Форм-фактор.
Распределение заряда в ядре
Рассмотрим упругое рассеяние электронов на ядре и пока-
жем! как из экспериментальных данных можно извлечь сведения
о пространственной структуре ядра-мишени. Упругое рассеяние
означает, что не происходит изменения внутреннего состояния
ядра после рассеяния. Оно не возбуждается. Прежде всего рас-
смотрим рассеяние электронов на точечном (бесструктурном) и
бесспиновом ядре. Рассеяние на точечном объекте, естественно,
всегда Только упругое. Для дифференциального сечения рассея-
ния должна иметь место формула наподобие формулы Резерфор-
да. Однако эта формула должна отличаться от формулы Резер-
форда в двух отношениях:
1) должна быть применима к релятивистским частицам (и « с);
2) должна учитывать наличие ненулевого (1/г) спина электрона.
Такая формула была получена Моттом в 1929 г. в рамках
квантовой электродинамики и в пренебрежении отдачей ядра
имеет вид
da \ Zxe2 \2 cos2 |
(1-5)
Множитель cos2 | появляется из-за наличия спина у электро-
на. Формула Мотта получена в предположении бесструктурнос-
ти (точечности) ядра. Если ядро — протяженный сферически-
симметричный и бесспиновый объект с плотностью заряда р(г),
то экспериментальное сечение упругого рассеяния электронов на
нем будет отличаться от моттовского неким дополнительным
множителем, который определяется только кулоновским взаимо-
действием и называется кулоновским форм-фактором:
Величина форм-фактора F зависит от р(г) и может быть рас-
считана для любого p(r)t так как известен характер взаимо-
действия электронов с любым заряженным объектом — Это
электромагнитное взаимодействие. Электроны не участвуют в
ядерном (сильном) взаимодействии и взаимодействуют с ядром
почти исключительно посредством электромагнитного поля.
__________21
Это важное преимущество электронов по сравнению с други-
ми зондирующими частицами, такими, например, как а, р, п,
которые участвуют в ядерных взаимодействиях.
Кроме того, на современном уровне знаний электрон мож-
но считать точечной частицей. Вплоть до расстояний 10~16 см
(предел, достигнутый на сегодняшний день) у электрона не об-
наружена структура (отличие от точечности). Таким образом,
в форм-фактор упругого рассеяния дает вклад только р(г) яд-
ра. Схема нахождения р(г) такова. Определяют (^)эксп и затем
сравнивают с Из их различий находят F. Подбирают
такое р(г), которое воспроизводит значение F:
da\
у эксп
В свою очередь, так как заряд ядра создается протонами, р(г) =
= ZelV'p(r))2, где ^р(г) — волновая функция протона в яд-
ре (упрощая, мы пренебрегаем отличиями в индивидуаль-
ных волновых функциях протонов ядра; в противном случае
Z|V’p(r)|2 нужно заменить следующей суммой по протонам яд-
z
Ра: Е |^(г)|2).
1=1
Вообще говоря, форм-фактор зависит от величины импульса
д, который получило ядро при рассеянии, — так называемого
«переданного импульса».
Можно показать, что упругий кулоновский форм-фактор
следующим образом связан с р(г):
F = F(<?) = -^/p(r)ei^ftdV, (1.7)
J
где q — переданный ядру импульс q = (р0 -р) (р0 и р — импуль-
сы электрона до и после рассеяния). Формула (1.7) может быть
получена в рамках классической оптики методом многолучевой
интерференции. Множитель учитывает сдвиг фаз между
падающими электронными волнами де Бройля и упруго (коге-
рентно) рассеянными, распределенными по всему объему ядра.
Таким образом, учитываются волновые свойства рассеиваемых
частиц, приводящие к интерференции от разных участков ядра.
22 —__________________________________________Лекция 1
Рисунок 1.8 показывает р(г) для нескольких ядер.
Простейшим приемлемым приближением для р(г) считает-
ся двухпараметрическое распределение Ферми (рис. 1.9)
/>(о)
(1-8)
^(г) - ! + е(г-Л)/а •
Рис. 1.9
23
Величину R, являющуюся радиусом полу плотности, будем в
дальнейшем называть радиусом ядра. Радиус ядра описывается
приближенной формулой
Я= (1.2-А1/3-0.5)Фм. (1.9)
Для ядер с А > 20 радиус R с точностью не хуже 20% можно
получить из соотношения
Я «1.2- А1/3 Фм.
Параметр а связан с толщиной поверхностного слоя t соотноше-
нием
t = (41пЗ)а 4.4а.
Как показывает опыт, толщина поверхностного слоя примерно
одна и та же для всех ядер: t « 2.4Фм (а ~ 0.55 Фм).
Наряду с упругим кулоновским рассеянием существует и
упругое магнитное (для ядер с отличным от нуля спином), из
которого можно извлечь распределение намагниченности (маг-
нитного момента) внутри ядра. Существует и упругий магнит-
ный форм-фактор. Вклады кулоновского и магнитного форм-
факторов можно разделить.
9. Распределение заряда в нуклоне и размер нуклона
С помощью электронов можно исследовать и структуру нук-
лонов. Результаты приведены на рис. 1.10, 1.11.
Те менялась вплоть до 20 ГэВ. В отличие от ядер у нук-
лонов не наблюдается дифракционной картины (максимумов и
минимумов), говорящих о резкой границе. В нуклоне (протоне)
плотность заряда убывает плавно. Для протона
р(г) = />(0)е~г/а, где а = 0.23Фм, р(0) = 3—. (1.10)
Фм
Из (1.10) можно найти среднеквадратичный радиус протона,
учитывая, что заряд, сосредоточенный в шаровом слое единич-
ной толщины, равен 4тгг2 • />(т):
сю
f 4irr2p(r)r2dr
< Г2Р >= -----------= 0.62Фм2.
J 47rr2p(r)dr
о
24 —— _________________________________________Лекция 1
Отсюда размер протона у<гр> ~ 0.8Фм. Размер нейтрона
примерно такой же.
В нейтроне центральная область заряжена положительно, а
область г > 0.7 Фм — отрицательно. При этом суммарный по
всему объему заряд равен нулю, что хорошо видно из рис. 1.11,
который показывает, какое количеств^ заряда (и какого знака)
сосредоточено на различных расстояниях от центра протона и
нейтрона. Зарядовая структура нейтрона и протона объясняется
их кварковым составом.
25
Лекция 2
1. Ядерный парк. NZ-диаграмма стабильных и долгоживущих ядер
2. Масса и энергия связи ядра. Энергия отделения нуклона
3. Удельная энергия связи. Источники ядерной энергии.
Некоторые свойства ядерных сил
4. Модель жидкой капли. О ядерных моделях
5. Формула Вайцзеккера.
Объемная, поверхностная и кулоновская энергии
6. Энергия симметрии. Роль принципа Паули.
Зависимость Z от А для стабильных ядер
7. Эффект спаривания.
Четно-четные, нечетные и нечетно-нечетные ядра.
Вклад различных видов энергии в полную энергию ядра
1. Ядерный парк.
NZ-диаграмма стабильных и долгоживущих ядер
f В природе существует и искусственно получено большое
< число нуклидов — ядер с различными Z и А. Диапазон изме-
)нений Z и А для известных ядер соответственно 1-118 и 1-293.
СВсего известно около 3 000 нуклидов, т.е. ядерный мир значи-
тельно богаче мира химических элементов (атомов). Среди не-
/обычных искусственно полученных изотопов, такие, как ^Не,
8С, Х|О и 2|О. Условно все известные ядра можно разделить на
2 группы:
1. Стабильные и долгоживущие (всего их 285). Долгоживу-
щими принято считать нуклиды с периодом полураспада >
> 5-108 лет, что обеспечивает ненулевое процентное содержание
этих нуклидов в естественной смеси изотопов;
2. Радиоактивные (их около 2 700). Для ядер этой категории
< ti/2 < 5 • 108 лет.
На рис. 2.1 приведена АГ2/-диаграмма стабильных и долго-
живущих ядер. Каждому такому ядру соответствует точка на
плоскости с осями N и Z и совокупность этих точек образует уз-
кую полосу, называемую линией или дорожкой стабильности.
Легкие стабильные ядра следуют линии N = Z, а для тяжелых
стабильных ядер N > Z. Ниже будет показано, что за такой ход
линии стабильности отвечает кулоновское взаимодействие. Без
него для всех стабильных ядер было бы N a; Z.
2 Зак, 320
На диаграмме пунктиром показаны Вп и Вр — энергии от-
деления нейтрона и протона (минимальные энергии, необходи-
мые, чтобы удалить нуклон из ядра). Вп = Вр = 0 отвечает
ситуация, когда добавляемый к ядру нуклон не захватывается
ядром, т. е. вне линий Вп = 0 и Вр = 0 ядро долго не может су-
ществовать. Между линиями Вп = 0 и Вр = 0, где расположена
область нуклидов с энергиями отделения нуклонов > 0, может
быть 5 000-6 000 ядер. Эти числа определяют количество ядер,
которое может быть получено искусственным путем.
2. Масса и энергия связи ядра.
Энергия отделения нуклона
Ядро — система связанных нуклонов. Чтобы его разделить
на составные нуклоны, нужно затратить некую минимальную
энергию W(AjZ)j называемую энергией связи ядра. Очевидно
VZ(A, Z) = (ЯгпрС2 + Nmnc2) - М(А, Z)c2, (2.1)
где М(А, Z) — масса ядра.
27
Энергия отделения нуклона» Как уже было сказано вы-
ше, энергия отделения нуклона Влг (Вп или Вр) — это мини-
мальная энергия, необходимая для вырывания нуклона из ядра.
Очевидно, это энергия наиболее слабо связанного нуклона (си-
дящего наиболее высоко в потенциальной яме).
Найдем энергию отделения Вп нейтрона. Отделению нейт-
рона отвечает процесс
(A,£)-»(A-l,Z) + n.
Энергия, необходимая для такого процесса, определяется разнос-
тью масс (в энергетических единицах) после и до процесса, т.е.
Вп = М(А - 1, Z)c2 + тпс2 - М(Л, Z)c2 =
= РУ(А,Я)-РУ(А-1,Z)-РУ(1,0) = ТУ(АЛ)-РУ(А-1,Z). (2.2)
Здесь учтено, что энергия связи свободного нейтрона РУ(1, 0) — 0.
Аналогично
Вр = РУ(А, Z) - W(A - 1, Z - 1). (2.3)
Если отделяется сложная частица ж (a, z), состоящая из не-
скольких нуклонов, то
Вх = РУ (A, Z) - РУ (А - a, Z - z) - РУ (а, z), • (2.4)
где W(a,z) — энергия связи частицы ж, уже на равная нулю.
Массы определяют либо из масс-спектрометрии, либо из
баланса энергий в ядерных реакциях или распаде.
Принцип действия масс-спектрометра показан на рис. 2.2.
Электрическое и магнитное поле выбираются так, чтобы ионы с
различными скоростями, но одинаковыми ZjM, попадали в одно
место фотопластинки или другого позиционно-чувствительного
детектора. Относительная погрешность измерения массы lO”8-
10“7.
Международная атомная единица массы — r/i г массы атома
12С
lw = 1 а. е. м. = масса 5^^.. С _ 931) 494013(37) МэВ/c2 =
= 1,66053873(13) • 10~27кг.
2*
28 Лекция 2
магнитное
поле
3. Удельная энергия связи.
Источники ядерной энергии.
Некоторые свойства ядерных сил
W(A,Z) тем больше, чем больше А. Удобно иметь дело с
так называемой удельной энергией связи (энергией связи на один
нуклон)
_ 1У(А,Я)
е —
(2-5)
График этой величины для стабильных и наиболее долгоживу-
щих тяжелых элементов дан на рис. 2.3. Для А > 20 удельная
энергия е & 8 МэВ. Для разрыва химической связи (электромаг-
нитные силы) нужна энергия в 10е раз меньше. С точки зрения
запасов энергии 1г ядерного топлива соответствует примерно
1 т химического топлива.
Ядерную энергию можно получить двумя способами:
1. Синтез легких ядер (fusion).
2. Деление тяжелых ядер (fission).
В обоих процессах (показанных стрелками на рис. 2.3) совер-
шается переход к ядрам, в которых нуклоны связаны сильнее, и
часть энергии связи высвобождается.
Если разделить ядро с А « 240 (е « 7.6 МэВ) на два осколка
равной массы А\ = Аз — 120 (е « 8.5МэВ), то освободится
энергия « 240 • (8.5-7.6)МэВ = 220МэВ.
29
Значение е характеризует величину ядерного (сильного)
взаимодействия. Гравитационная энергия двух нуклонов в яд-
ре определяется величиной
2
G—^— ~ ю~36МэВ,
< >
где < >= 2Фм — среднее расстояние между нуклонами, а
G « 1.3 • 10“42 Фм -с4/МэВ (с — скорость света) — гравитаци-
онная постоянная. Таким образом, гравитационная энергия двух
нуклонов внутри ядра в 1037 раз меньше их ядерной энергии.
Кулоновская энергия двух протонов внутри ядра «
« 0.7МэВ, что примерно в 10 раз меньше ядерной.
Некоторые очевидные свойства ядерного взаимодействия:
1. Притяжение.
2. Короткодействие («1Фм).
3. Большая величина (интенсивность).
4. Насыщение (видно из рис. 2.3).
Поясним последнее свойство. При увеличении числа нукло-
нов в ядре от А = 2 удельная энергия связи резко возрастает и
быстро достигает предельного значения « 8 МэВ (насыщается)
при А w 20. Так как это значение почти не меняется при даль-
нейшем росте А, то для ядер с А > 20 энергия связи W ~ еА,
т.е, пропорциональна А. Такое поведение е означает, что каж-
дый нуклон внутри ядра взаимодействует не со всеми, а лишь с
30 Лекция 2
ближайшими нуклонами. Если бы нуклон в ядре взаимодейство-
вал со всеми другими, то при наличии двухтельных сил энергия
связи ядра была бы пропорциональна А2, а не А. Действитель-
но, в этом случае энергия связи была бы пропорциональна числу
двухнуклонных связей, т.е. числу сочетаний из А по 2, которое,
как известно, равно А(А - 1)/2 ~ А2 (при А > 1).
4. Модель жидкой капли. О ядерных моделях
Свойство насыщения ядерных сил, вытекающее, в свою оче-
редь, Чиз их короткодействия и отталкивания на малых рассто-
яниях, делает ядро похожим на жидкость. Силы, связывающие
молекулы жидкости, тоже насыщаются, а энергия испарения ли-
нейно увеличивается с увеличением массы. На этой основе был
создан способ описания ядра в модели жидкой капли (Вайцзек-
кер, 1935 г.).
Зачем вообще нужны модели ядра, заранее навязывающие
ему определенные свойства? Можно ли решить задачу без моде-
лей, строго?
Ядро — совокупность нуклонов, каждый из которых сохра-
няет свою структуру и свойства. Действительно, масса нуклона
« 940 МэВ/с2, а для перевода нуклона в первое возбужденное
состояние нужна энергия « 300 МэВ. В то же время средняя
кинетическая энергия нуклона в ядре
< 20 МэВ.
Так же как в кинетической теории газов можно не учиты-
вать атомную структуру, а при описании атома — ядерную, при
описании ядра можно не учитывать структуру нуклонов. Кроме
того, так как < Тм 20МэВ<С шс2 ~ 940 МэВ, то право-
мерно использование нерелятивистской квантовой теории, т.е.
уравнения Шредингера для системы А частиц. Гамильтониан
ядра Н может быть записан в виде
А А А
ct=l а=1 0>а
(2-6)
либо
сг=1 л
А А
a=l
-31
где Та — р«/2тпа — оператор кинетической энергии нуклона;
— потенциал взаимодействия нуклонов а и /3 (парный по-
тенциал) и вышеприведенные два варианта записи энергии вза-
имодействия исключают учет энергии взаимодействия одной и
той же пары нуклонов дважды. Уар близок к потенциалу эле-
ментарного нуклон-нуклонного (7VW) взаимодействия. Послед-
ний уточняется в физике высоких энергий (физике частиц), а на
долю теории ядра остается решение задачи многих тел.
Трудности решения уравнения Нх/> = Е'ф для ядра:
1) N//-взаимодействие до конца не изучено;
2) проблема А сильно взаимодействующих тел строго не реше-
на для А > 4.
Последнюю и главную трудность можно обойти, используя для
упрощения модели ядра, в которых уже задаются (угадываются)
некоторые наиболее существенные его свойства. Одна из первых
и простейших моделей ядра — модель жидкой капли, откуда
следует формула Вайцзеккера для энергий связи ядер.
5. Формула Вайцзеккера.
Объемная, поверхностная и кулоновская энергии
Ниже получается формула
для энергии связи ядра в основ-
ном состоянии в модели жидкой
капли — формула Вайцзеккера.
Сходство жидкой капли и яд-
ра основано на следующих двух
пунктах:
1. В обоих случаях энер-
гия связи пропорциональна чис-
лу составляющих частиц.
2. Радиальная форма ////-потенциала (рис. 2.4) аналогична
(если не учитывать разницу в масштабах) потенциалу Леннард-
Джонса для двух молекул.
В формулу для энергии связи ядра входит ряд членов.
Объемная энергия. Энергия связи ядра тем больше, чем
больше в нем нуклонов или объем ядра. Поскольку этот объем
пропорционален Л, энергию ядра в первом приближении можно
записать в виде так называемой объемной энергии
где av > 0 — константа.
(2-7)
32 Лекция 2
Если этим ограничиться, то мы имеем дело с бесконечной
ядерной материей (поверхностные эффекты не существенны),
лишенной заряда (пренебрегаем кулоновским отталкиванием).
Поверхностная энергия. Нуклоны на поверхности связа-
ны менее сильно, чем внутри, так как взаимодействуют с мень-
шим числом своих партнеров, чем внутренние нуклоны. Если
в бесконечной ядерной материи провести поверхность, ограни-
чивающую ядро, и отбросить нуклоны вне ее, то оставшиеся у
поверхности нуклоны ядра потеряют половину своих связей.
Чи^ло потерянных связей пропорционально числу нуклонов
на поверхности, а следовательно и площади поверхности, кото-
рая равна S = 4тгЯ2 = 4тгг§А2/3 * * (Л = г0А1/3 — радиус ядра,
го = 1.2 Фм). Итак, за счет поверхности, энергия связи умень-
шается на величину asA2/3, т.е. в формулу для энергии свя-
зи необходимо добавить (со знаком «минус») слагаемое, которое
будем называть поверхностной энергией
Бпов — / ,
(2.8)
где а8 > 0 — константа.
На нуклон, находящийся на поверхности, действует резуль-
тирующая сила, направленная внутрь ядра. Поэтому поверх-
ностные нуклоны стремятся сжать ядра, создавая, как и в капле
жидкости, поверхностное натяжение, энергия которого и опре-
деляется выражением (2.8).
Кулоновская энергия. Эту энергию легко оценить для
заряда, равномерно распределенного по объему сферы с плот-
ностью р = -тт—г. Тогда энергия кулоновского отталкивания,
уменьшающая энергию связи, дается классической электроста-
тической энергией такого распределения
_ЗЯ(2Г-1), Z(Z-l)
Екуа “ 5 R с AV3 ’
(2-9)
где
3 е2 3 (4.8 • IO"10)2
5 го “ 5 (1.2 • IO"13 • 1.6 • IO"6 * *)
= 0.72 МэВ.
Ограничиваясь членами (2.7)-(2.9), нельзя получить пра-
вильный ход линии стабильности. Для легких ядер эта линия
отвечает приблизительному равенству чисел протонов и нейт-
ронов (N Z). В то же время, из выше рассмотренных трех
33
членов для энергии связи, при фиксированном А от Z зависит
лишь кулоновский. Ввиду этого максимум энергии связи дости-
гается при Z = 0 и стабильные ядра должны были бы состоять
из одних нейтронов. Очевидно, это не так, и связано это с тем,
что не учтена «вантовая природа ядерной капли,
6. Энергия симметрии. Роль принципа Паули.
Зависимость Z от А для стабильных ядер
Чтобы получить правильный ход линии стабильности, не-
обходимо учесть принцип Паули (ядро состоит из фермионов,
подчиняющихся этому принципу). Вследствие этого ядра, у ко-
торых нуклонов одного типа больше, чем другого, имеют мень-
шую энергию связи, чем ядра с одинаковым числом протонов и
нейтронов. Это хорошо видно из рис. 2.5, где показано располо-
жение четырех нуклонов по уровням энергий в прямоугольной
потенциальной яме в некоторой условной модели (наподобие мо-
дели ферми-газа) для двух случаев:
а) 2 протона+ 2 нейтрона (без учета кулоновской энергии);
б) 4 нейтрона.
Рис. 2.5
Предполагаем, что каждый уровень характеризуется лишь
одним набором квантовых чисел и поэтому в соответствии с
принципом Паули может быть занят лишь одним нуклоном каж-
дого типа.
Считая, что уровни эквидистантны и расстояние между ни-
ми (а также глубина наиболее мелко сидящего уровня) равны
ДЕ, получаем для левого варианта (а) энергию связи (т. е. энер-
гию, необходимую для того, чтобы «достать» все нуклоны из по-
тенциальной ямы) W& = 14ДЕ, а для правого (б) — Иб = ЮДЕ,
т. е. > W$. Если даже создать ядро из одних нейтронов или
34 Лекция 2
протонов, то оно путем процессов п —> р (или р —> п) перейдет
в ядро с приблизительно равным числом нейтронов и протонов
(эти процессы — не что иное как Д-распад, см. Лекцию 4).
Член в формуле Вайцзеккера, который учитывает стремле-
ние ядра иметь в основном состоянии симметричное располо-
жение по уровням нейтронов и протонов (энергия симметрии),
может быть записан в следующем виде (вывод дан в Приложении
Д):
_ (N-Z)2 (А-2%2
"симм — asym д — &sym д” •
Квадратная степень в числителе отражает тот факт, что энер-
гия симметрии должна возрастать при росте относительного
числа нуклонов любого типа. Появление множителя 1/А связано
с реальным сближением ядерных уровней с ростом А. Слагаемое
(2.10) должно быть добавлено в формулу Вайцзеккера со знаком
«минус» потому, что отклонение от симметрии уменьшает энер-
гию связи. Итак, с учетом уже имеющихся членов (2.7)-(2.10),
для энергии связи ядра в модели жидкой капли получаем
ТГ(4, Z) = avA - а,А2'3 - (2.11)
где хорошую подгонку под экспериментальные данные дает сле-
дующий набор констант:
av = 15.6 МэВ, а8 =s 17.2 МэВ,
ас = 0.72 МэВ, aeym = 23.6 МэВ.
Равновесное число протонов ZpaBH (линия стабильности) в ядре
при фиксированном А определяется минимумом по Z суммы 3-го
и 4-го членов в (2.11), откуда легко получить
у__________^а^тдА ~ __________А______
равн ас А2/3 + 4aeym ~ 0.015А2/3 + 2 *
(2.12)
Видно, что #Рави < у. При отсутствии кулоновской энергии
ZpaBH = у. При учете кулоновской энергии линия стабильнос-
ти с ростом Z все более смещается в сторону большего числа
нейтронов.
35
7. Эффект спаривания.
Четно-четные, нечетные и нечетно-нечетные ядра.
Вклад различных видов энергии
в полную энергию ядра
Вп, МэВ
. 74
‘ 7.6 78
I «Се
80 82
75^
77 79 ” 'И/, "
I’3 85 87
74 78 82 86
число нейтронов
Рис. 2.6
С помощью формулы (2.11)
можно описать энергию связи
ядер (исключая легкие с А <
< 20) с точностью 1%. Од-
нако имеются «пульсации» на ю
уровне 1-2 МэВ, которые объ-
ясняются специфическим свой- 3
ством WW-взаимодействия — в
основном состоянии ядра возни- 6
кает дополнительная связь меж- 4
ду двумя нуклонами одного ти-
па (двумя протонами или дву-
мя нейтронами), занимающими
один и тот же энергетический
уровень. Этот эффект невелик
(« 1-3 МэВ), т.е. всего « 0.2% от энергии связи ядра, но четко
виден в зависимости энергии связи от A, Z и W. Он продемон-
стрирован на рис. 2.6 для энергии отделения нейтрона изотопов
Се (церия).
Видно, что энергия отделения нейтрона возрастает на 2-
3 МэВ, когда их число становится четным. Это объясняется
обсуждаемым особым свойством WW-взаимодействия: «возник-
новением в основном состоянии ядра дополнительной связи
между двумя нуклонами одного типа, находящимися на одном
и том же энергетическом уровне». Качественно этот эффект
иллюстрирует рис. 2.7, где схематически показано, как меняет-
ся энергия отделения внешнего нейтрона при последовательном
увеличении их числа.
С точки зрения обсуждаемого эффекта (или, как говорят,
сил спаривания) все ядра разбиваются на Три типа:
- четно-четные ядра (все нуклоны в основном состоянии спа-
рены и положительная добавка к энергии связи наиболь-
шая);
- нечетно-нечетные ядра (не спарены в основном состоянии
по одному нуклону каждого типа и добавка к энергии связи
наименьшая);
36 Лекция 2
Рис. 2.7. Спаривание нуклонов в ядре. Энергия спаривания
Д « 1-3 МэВ. В верхней части рисунка показаны проекции
моментов у спариваемых нуклонов (подробнее в Лекции 7)
- промежуточный случай — нечетные ядра (один нуклон в
основном состоянии не спарен).
Спаривательное слагаемое Еся в формуле для ТУ (A, Z) усло-
вились записывать так, чтобы для нечетных ядер оно было рав-
ным нулю. В этом случае наилучшее воспроизведение экспери-
ментальных данных дает следующая формула:
Еса = <5Л“3/4, (2.13)
где 6 = +|5| — четно-четные ядра;
S = 0 — нечетные ядра;
S = —|<5| — нечетно-нечетные ядра;
|<5| = 34 МэВ.
Итак, окончательное выражение для энергии связи ядра
(формула Вайцзеккера) имеет следующий вид:
W(A, Z) = avA - а,А2/3 - «Д
А '
-а,пл + ЬА-*И. (2.14)
Вклад различных членов в формулу для удельной энергии связи
иллюстрирует рис. 2.8.
37
16
14
12
10
8
6
15.6 МэВ
e=W/X, МэВ
объемная энергия
2
0
массовое число А
50 100 150 200 250
Рис. 2.8
Приведем распределение числа стабильных и долгоживущих
ядер в зависимости от типа (четно-четные, нечетные, нечетно-
нечетные).
Таблица 2.1
Z N А
Число стабильных ядер
ч ч ч 167
н ч я 53
ч н н 57
н н ч 8
Всего 285
Стабильные нечетно-нечетные ядра: JH, gLi, ^В, X?N.
Долгоживущие нечетно-нечетные ядра с измеренным про-
центным содержанием в естественной смеси изотопов: JgK, 23V,
57 La, ^fLu.
38 Лекция 2
В заключение приведем таблицу синтезированных сверхтя-
желых элементов с Z > 100:
Таблица 2.2
Синтезированные сверхтяжелые элементы
Z Название ч Самый долго- живущий изотоп Наиболее вероятный распад Период полураспада
100 Fermium 257Fm а-распад 100.5 сут
101 Mendelevium 258 Md а 51.5 сут
102 Nobelium 259No а 58 мин
103 Lawrencium 282 Lr е-захват 3.6ч
104 Rutherfordium 263 Rf спонтанное деление (/) 10 мин
105 Dubnium 232 Db а 34 с
106 Seaborgium 2eeSg «> / 21с
167 Bohrium 284Bh а 0.44 с
108 Hassium 277Hs / 16.5 мин
109 Meitnerium 288Mt а 0.7 с
110 281 а 1.6 мин
111 272 а 1.5 мс
112 285 а 15.4 мин
114 289 а 30.4 с
116 289 а 0.60 мс
118 293 а 0.12 мс
39
Лекция 3
1. Основное и возбужденные состояния ядра.
Диаграмма ядерных уровней
2. Квантовые характеристики ядерных состояний.
Инвариантность гамильтониана и квантовые числа
3. Особенности спинов ядер
4, Четность. Орбитальная и внутренняя четность.
Четность системы частиц
5. Тождественность частиц. Статистика. Фермионы и бозоны
6. Классические статические электромагнитные моменты ядер
*7. Кв антов о механические моменты ядер
1. Основное и возбужденные состояния ядра.
Диаграмма ядерных уровней f
Атомное ядро — система с
фиксированной полной энергией.
Состояния таких систем называ-
ются стационарными. Для них
имеет место стационарное урав-
нение Шредингера
Я^(г) = £Ц(г); (3.1)
^(г) полностью определяется ви-
дом гамильтониана Я.
Состояние с наибольшей энер-
гией связи (наименьшей полной
энергией) называют основным.
Все остальные состояния (с боль-
шей полной энергией) — возбуж-
денные. Диаграмма уровней яд-
ра строится следующим образом
(рис. 3.1). Нижнему по энергии (наибольшему по энергии связи)
состоянию приписывается нулевой индекс и энергия Яо = 0:
Eq Me2 = (Zmp + Nmn)c2 - VP0;
Wq — энергия связи ядра в основном состоянии.
(3-2)
40 Лекция 3
Энергии Ei (i = 1,2,...) остальных состояний определяются
как
Ei = Wo - Wit (3.3)
т.е. отсчитываются от основного состояния. Таким образом, —
это энергии возбуждения. Нижние уровни ядра дискретны. При
Ei > Wo спектр уровней уже непрерывен. При ядерных превра-
щениях (и распадах) происходят переходы между различными
стационарными состояниями ядер.
2. 'Квантовые характеристики ядерных состояний.
Инвариантность гамильтониана и квантовые числа
Какие физические величины помимо энергии сохраняются
в стационарных ядерных состояниях? Этот набор определяется
симметрией системы (гамильтониана). А именно, неизменность
(инвариантность) гамильтониана Н относительно определенно-
го преобразования (операции симметрии) приводит к сохране-
нию некоторой физической величины, а значит, и соответству-
ющему квантовому числу:
1. Инвариантность Н (системы) относительно сдвига (тран-
сляций) во времени приводит к закону сохранения энергии.
2. Инвариантность Н относительно параллельного переноса
системы (или осей координат) приводит к закону сохране-
ния импульса.
3. Инвариантность Н относительно пространственных пово-
ротов приводит к закону сохранения момента количества
движения.
Эти три закона универсальны, т. е. справедливы для всех
систем.
Как найти другие сохраняющиеся физические величины
(квантовые числа)? Напомним некоторые сведения из кванто-
вой механики. Значение наблюдаемой величины F в состоянии
V>(t) дается средним значением < F > соответствующего опера-
тора F (пусть он не зависит от времени):
< F >= [ (3.4)
41
Можно легко показать, что <F> сохраняется, т. е. не зави-
сит от времени), если коммутатор операторов Гамильтона сис-
темы Н и F обращается в нуль:
[H>F] = HF-FH = 0
или более точно
f(HF - FHtydv = О,
т. е. операторы Н и F коммутируют.
Таким образом, нахождение сохраняющейся величины (или
соответствующего квантового числа) можно свести к нахожде-
нию таких преобразований (операций симметрии), оператор ко-
торых U коммутирует с Н.
3. Особенности спинов ядер
Следующим (вслед за энергией Е и импульсом) квантовым
числом, которое сохраняется у ядра в силу инвариантности к
поворотам (см. п. 2, 3-я инвариантность списка), является пол-
ный момент J количества движения покоящегося ядра или, как
говорят, спин ядра. Спин ядра является результатом сложения
спинов sa и орбитальных моментов частиц (нуклонов), входя-
щих в состав ядра.
Вообще говоря, ядерные состояния (как любой системы час-
тиц) характеризуются также полным орбитальным моментом L
(в центральном поле) и полным спиновым моментом S:
L = S = y>e. (3.5)
а а
В зависимости от типа взаимодействия между частицами воз-
можны следующие варианты объединения орбитальных и спи-
новых моментов отдельных частиц в полный момент (спин) J:
L 4- S (LS-связь),
Fjco где ja = la + sa, (У j-связь).
42 Лекция 3
Очевидно, для ядра выполнение следующих правил:
а) А четно J = п (п = 0,1,2,3, ...), т. е. целое;
б) А нечетно J — п + х/2, т. е. полуцелое.
Кроме того, экспериментально установлено еще одно правило.
у четно-четных ядер в основном состоянии (ground state)
Jgs — 0.
В основном состоянии остальных ядер
А
Jg* 53 &*1‘
а=1
>
Все это указывает на взаимную компенсацию моментов нуклонов
в основном состоянии — особое свойство межнуклонного взаимо-
действия.
4. Четность. Орбитальная и внутренняя четность.
Четность системы частиц
Инвариантность системы (гамильтониана Н) относитель-
но пространственного отражения — инверсии (замены г -г)
приводит к закону сохранения четности и еще одному квантово-
му числу — четности. Ядерный гамильтониан обладает соот-
ветствующей симметрией.
Действительно,
v(i..-„i), ₽•=-»> (£+£+£)•
а=1 /3<а
(3-7)
Это означает, что система (ядро) не меняет своих свойств при
г —> —г. л
Определим оператор пространственной инверсии Р (опера-
тор четности) для системы частиц следующим образом:
Р^(Г1,Г2)... ,гд) = 1&(-Г1,-г2,... ,-гА) (3.8)
или просто Р^(г) = Щ-г), если ввести обозначение г =
= гьг2,... ,Гд.
Подействуем на левую и правую части (3.8) еще раз опера-
тором Р:
= РЩ-г) = V’(r). (3-9)
т.е. Р2 — оператор тождественного преобразования.
43
С другой стороны Р удовлетворяет уравнению на собствен-
ные значения (так как в силу инвариантности к пространствен-
ному отражению должно быть соответствующее сохраняющееся
квантовое число):
Р^(г) = pV’(r). (3.10)
Из (3.9) и (3.10) следует, что
Р2^(г) = p2V>(r) = ^(r)i
т.е. р2 = 1 ир = ±1.
Итак, имеется две возможности
DKX I/ X №), Р = +г
PV>(r) = V>(-r) = <
-^(г), р=-1
(3.11)
или
^(-г) = *0(г) — четные функции (состояния),
^(—г) = —^(г) — нечетные функции (состояния).
До сих пор волновая функция ^(гг,Г2,... ,гд) была волно-
вой функцией системы точечных (бесструктурных) частиц. Во-
обще говоря, волновая функция частицы с индексом а имеет вид
фа 5= ^ра'0(га), .(3.12)
где <ра описывает внутреннее состояние частицы а, а ^(га) —
движение частицы а как целого (точечного) объекта по неко-
торой траектории (орбите). Вид волновой функции Фв в форме
(3.12) следует из того, что гамильтониан объекта а можно пред-
ставить как сумму гамильтонианов + где описывает
объект как точку (без структуры), а Н£ — внутреннюю струк-
туру объекта.
Оператор четности действует на каждый множитель в Фа =
= <ра^(та):
РФа = Р<раР^(га), (3.13)
причем, если Н£ — инвариантен к инверсии в пространстве
внутренних координат,
^а(Ча) = ’’'аРа(Ча), (3-14)
44 Лекция 3
ч
где qa — внутренние координаты, тга — внутренняя четность
(оператор Р в последнем соотношении совершает инверсию в
пространстве внутренних координат частицы, от которых лишь
и зависит
Волновая функция V>(ra) орбитального движения в цен-
тральном поле (т.е. движения с определенным I) может быть
представлена в сферических координатах в виде
-0(гЛ) = ^рсг). (3.15)
Инверсия г “> -г соответствует в сферических координатах пре-
образованию
ГГ, у? —> 7Г + 9?, (3.16)
при котором радиальная часть волновой функции R(ra) не ме-
няется, a Yim(6on<Pa) — собственная функция оператора орби-
тального момента количества движения (так называемая сфе-
рическая функция или гармоника) — преобразуется следующим
образом:
PYlm(6a, <f>a) = Ра). (3-17)
Итак, имеем
= М~1)'фа- (3-18)
(-1)1 называют орбитальной четностью.
Волновую функцию системы независимых частиц можно
представить в виде произведения волновых функций отдельных
частиц (точнее, в виде линейной комбинации этих произведений):
4(1,2,...,А) = 9192—9л, (3.19)
где = 9?а^(га). Откуда, если речь идет о движении частиц в
центральном поле,
Р*(1, 2,... , А) = ТГ1ТГ2 • • • irA(-1)'*(-1)'» • • • (-l)'^(l.2.А),
т. е. четность такой системы
Ей
Р — 7П7Г2 • ’ •7Гл(~ 1) Л . (3.20)
45
Для двух частиц
Р12 = 7Г1»гг(-1)г‘+,а. (3.21)
В системе центра инерции li + li = L — орбитальный момент
относительного движения.
Формулы (3.20), (3.21) можно применять к ядру как системе
нуклонов, рассматривая их как независимые частицы в общем
ядерном потенциале, а также к реакциям, когда частицы до и
после столкновения можно считать невзаимодействующими.
Имеют смысл лишь относительные внутренние четности.
Для протона принимают тгр = +1. Нейтрон имеет ту же внутрен-
нюю четность +1. Остальные внутренние четности определяют
относительно протона. Для электрона, участвующего в электро-
магнитном взаимодействии, тге = +1. Для фотона тг7 == -1. Это
следствие того, что электромагнитное поле описывается вектор-
ным потенциалом А, который эквивалентен волновой функции
фотона, а для векторной функции
РА(г) = -А(-г), (3.22)
что позволяет приписать фотону тг7 = —1.
Поясним ситуацию с четностью векторов. Ранее записан-
ное соотношение (3.8) справедливо для скалярных функций ^(г)-
При действии же оператора Р на векторную функцию А (г) сле-
дует для полноты инверсии изменить не только знаки радиус-
векторов частиц (г —> -г), но также знаки всех трех компонент
вектора А (Ах -> -Axt Ау -Ауу Ах -АД что неизбежно
происходит при изменении направления всех координатных осей
на противоположные. Поэтому для любого истинного (полярно-
го) вектора имеет место соотношение (3.22).
Внутренние четности у частиц и античастиц с полуцелым
спином (фермионов) противоположны, с целым (бозонов) — оди-
наковы.
Внутренние четности частиц получают из распадов и ре-
акций с участием частиц с известной внутренней четностью на
основе закона сохранения четности. Он имеет место в сильных
и электромагнитных взаимодействиях и нарушается в слабых.
Рисунок 3.1 демонстрирует принятые обозначения спина и
четности ядерных состояний , например 0+, 3/з”, и т.д.
46------------------------ ------------------Лекция 3
5. Тождественность частиц.
Статистика. Фермионы и бозоны
В микромире частицы одного типа неразличимы, т. е. име-
ет место принцип тождественности частиц. Перестановка двух
одинаковых частиц не меняет состояния системы. Принцип тож-
дественности можно сформулировать и так: гамильтониан сис-
темы частиц инвариантен относительно перестановки всех
координат двух любых частиц одного типа. Поэтому должна
быть новая квантовая характеристика (квантрвое число) или
сохраняющаяся физическая величина, отвечающая этому преоб-
разованию.
Оператор перестановки ПХ2 и его собственные значения
определяются следующим образом:
П12^(1,2,.... Л) = 1,..., А) = ^(1,2,... , А),
2,.. ., А) = в’2,..., А) = ^(1,2,..., А)-
Поэтому £2 = 1 И € = ±1.
При £ = +1
Пи^(1,2,...,А) = ^(1,2,...,А),
т. е.
^(2,1,... ,А) = ^(1,2,...,А).
Частицы, входящие в состав таких систем, называют бозонами.
При е = —1
П12^(1,2,...,А) = -^(1,2,...,А),
^(2,1,...,Л) = ^(1,2,...,А).
Частицы, входящие в состав таких систем, — фермионы.
Примеры: бозоны — 7, а, тг; фермионы — р, п, е*.
У фермионов в одном состоянии может пребывать не более
одной частицы (принцип Паули), у бозонов — сколько угодно.
В квантовой теории поля показывается, что фермионы имеют
полуцелый спин, а бозоны—целый. Лазер существует благодаря
тому, что фотоны являются бозонами.
Доказательство принципа Паули:
^(2,1,...,А)=:-^(1,2,...,Л).
„47
Пусть частицы 1 и 2 находятся в одинаковом состоянии. Тог-
да ^(1,2,... , А) и ^(2,1, * • • > А) суть одна и та же функция и
<ф = —-0, 2^ = О, V’ ” 0, т. е. такого состояния нет.
6. Классические статические
электромагнитные моменты ядер
Ядро как система зарядов и токов обладает статически-
ми электрическими и магнитными мультипольными моментами.
Обычно ограничиваются не равными нулю моментами нижай-
шей мультипольности в основном состоянии электрическим
кеадрупольным и магнитным дипольным^ которые дают ценные
сведения о свойствах ядра. Электрический дипольный момент
ядра равен нулю, что легко доказывается на основе закона со-
хранения четности (см. ниже).
Электрические моменты. Если р(г) — плотность рас-
пределения электрического заряда в системе, то из классической
электродинамики известно, что
9 = f p(r)dv
есть электрический монополь, т.е. полный (скалярный) заряд
системы.
di~ у* Xip(r)dv (i = 1 (ось ®), 2 (ось у), 3 (ось z)) (?.23)
есть г-я компонента вектора электрического дипольного момента
d = rp(r)dv.
Компонента
Qv = У - r2Sij)p(r)dv (3.24)
есть одна из пяти линейно-независимых компонент тензора элек-
трического квадрупольного момента. Электрический квадру-
польный момент определяет взаимодействие системы с гради-
ентом внешнего электрического поля (например, создаваемого
электронной оболочкой). При наличии электрического диполь-
ного момента возникает его взаимодействие с напряженностью
внешнего электрического поля. При отличии от нуля электри-
ческого заряда системы возникает его взаимодействие с внешним
электрическим потенциалом.
48 Лекция 3
Под электрическим квадрупольным моментом Q ядра усло-
вились понимать величину
Q = = | f (3z2 - r2)p(r)dv. (3.25)
Величины электрического дипольного и квадрупольного мо-
ментов зависят от выбора системы координат. В дальнейшем мы
будем использовать так называемую собственную (или внут-
реннею) систему координат. Эта система, будучи жестко связа-
на с ядром, перемещается и поворачивается вместе с ним. Начало
собственной системы координат совпадает с центром распреде-
ления заряда и массы ядра. Можно легко показать, что электри-
ческий дипольный момент обращается в нуль при совпадении
центра заряда с центром массы системы. Равенство нулю ядер-
ного электрического дипольного момента как раз и говорит о
таком совпадении.
Если у ядра есть ось симметрии (как, например, у аксиально
симметричного эллипсоида), то значение Q зависит от ориента-
ции оси z собственной системы координат относительно этой
оси симметрии. Модуль |Q| максимален, если ось z совпадает
с осью симметрии, и как раз эту величину рассматривают как
собственный (внутренний), или классический квадрупольный
момент ядра и обозначают Qq.
Рис. 3.2
49
Qo характеризует отличие распределения заряда ядра от
сферически симметричного (Qo = 0 Для сферически симметрич-
ного ядра), т.е. характеризует форму ядра (рис. 3.2).
Следует подчеркнуть, что ядерный спин J в основном состо-
янии всегда направлен вдоль оси симметрии (если она существу-
ет). Понять это помогает простая аналогия с классической меха-
никой, где момент количества движения J тела возникает за счет
его вращения вокруг некоторой оси. В этом случае ось вращения,
совпадающая по направлению с J, и будет его осью симметрии.
Подавляющее большинство
несферических ядер имеет фор-
му аксиально симметричнного
эллипсоида. При Qo > 0 ядро —
вытянутый вдоль оси z эллип-
соид. При Qo < 0 ядро являет-
ся сплюснутым (вдоль z) эллип-
соидом (рис. 3.2). Квадруполь-
ный момент измеряется в бар-
нах (16= 10"24 см2).
Магнитный дипольный
Рис. 3.3. Орбитальный и спиновый
магнитный момент частицы
момент. Классическое опреде-
ление магнитного дипольного
момента частицы с массой т и
зарядом д:
g а
Д — ----Гр X р =: ----1.
2mcl J 2тс
(3.26)*
В микромире аналогом классического момента д является
магнитный момент орбитального движения
- 1
№ 2тс h ’
(3.27)
где gft/2mc — магнетон.
Если выражать Д/ в магнетонах, а 1 в ft, то
Д/ [магнетон] = 1 [ft].
(3.28)
Обобщая (3.27) на случай магнитного момента, возникающего
за счет спина, запишем его в виде
5 Зак. 320
gft s
~9>2mch'
(3.29)
50 Лекция S
или
Д, [магнетон] = дае [Л], (3.30)
где д9 — безразмерная константа (спиновый гиромагнитный
множитель), учитывающий отклонение собственного (спиново-
го, а значит квантового) магнитного момента от классического
(орбитального). В значении д9 скрыта информация о структу-
ре частицы. Можно показать (впервые это было сделано Дира-
ком), что точечная заряженная частица со спином 1/г массой т
и зарядом q (например, электрон) имеет величину собственного
магнитного момента
4 qh
Г’=2^'
т. е. для нее д9 = 2. Отклонение д9 от этой величины для час-
тицы со спином говорит о внутренней структуре частицы.
Экспериментальное определение д9 и их объяснение — важная
задача субатомной физики.
Можно ввести, обобщая, и орбитальные гиромагнитные
множители gi, которые очевидно равны 1, например,
д' = д? = 1-
С помощью gi можно включить в эту схему и нейтральные час-
тицы, для которых д{ = 0, например нейтрон, полагая для него
ЛЛ = 0.
Магнитные моменты нуклонов и ядер выражают в ядерных
магнетонах
HN = = 3.15 • 10~14 МэВ/Гс,
2тпрс
которые в тр/те = 1836 раз меньше магнетона Бора
£ ft
= 5.79 • 10“15 МэВ/Гс.
2тпес
Таким образом, магнитный дипольный момент ядра имеет ор-
битальную и спиновую составляющие:
= + (3-31)
0=1
51
Гиромагнитные факторы (^-факторы) электрона, позитрона и
нуклонов даны в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Гиромагнитные факторы
электрона/позитрона (в //в) и нуклонов (в Дн)
Частица 91 9*
Электрон -1 -2
Позитрон 1 2
Протон 1 5.586
Нейтрон 0 -3.826
Значения д? и д™ определены экспериментально Штерном в
1933 г., Альварецом и Блохом в 1940г. Отличие д? от 2 и нера-
венство нулю д* говорит о сложной структуре (неточечности)
нуклона, который, как известно, состоит из кварков.
Вводят также понятие гиромагнитного фактора для каждо-
го ядра:
Мя 9я^* (3.32)
Колинеарность дя и J очевидна, так как при вращении заря-
да магнитный момент должен совпадать или быть противопо-
ложным по направлению с J. Ценность изучения связана с
возможностью получения информации о спинах ядер.
* 7. Квантовомеханические моменты ядер
Наблюдаемые (квантовомеханические) электромагнитные
моменты ядер всегда меньше их собственных (классических)
значений. Это связано с квантовомеханическими свойствами век-
тора спина ядра J, который нельзя заставить ориентироваться
точно вдоль фиксированного направления в пространстве (оси
z). Этим направлением является, например, направление внеш-
него поля, используемого для нахождения величин статических
моментов. Будем, для определенности, говорить об электричес-
ком квадрупольном моменте ядра в форме вытянутого аксиаль-
но симметричного эллипсоида. Вектор спина J образует с осью
z угол Ом, определяемый соотношением (рис. 3.4):
л м
СОЗ&М = ' г..— =1
77(7 + 1)’
где М = ±J, ±(J — 1), ±(J - 2),... , ±*/2 (или 0).
5*
52 Лекция 3
В этой связи внешний наблю-
датель воспринимает ядро при
определенном М не как вытяну-
тый аксиально-симметричный эл-
липсоид, а как объект, получен-
ный усреднением всех возможных
ориентаций этого эллипсоида от-
носительно оси z (при неизменном
угле 0м). При этом конец вектора
J с равной вероятностью оказыва-
ется в любой точке окружности,
показанной на рисунке пункти-
ром. Очевидно, максимальное на-
блюдаемое значение квадруполь-
ного момента Q отвечает случаю,
когда проекция J на ось z макси-
мальна, т. е. когда
COS^Af-j — —===
v/J(J + i)
Именно это значение Qm~j и принимают за наблюдаемое (кван-
товомеханическое) значение электрического квадрупольного мо-
мента ядра:
1
Q — Qm=J ~
е ,
х / $}iAf=J(ri,r2,... ,гА)(з4 -=
Z
-r^j,jdv = ]T(J, J|(3z?-r?)|J, J), (3.33)
где суммирование по i относится к протонам.
Отличный от нуля квадрупольный момент Q можно обна-
ружить, помещая ядро в неоднородное электрическое поле Е, в
котором у ядра возникает дополнительная энергия взаимодейст-
вия, пропорциональная Таким полем, например, является
электрическое поле электронной оболочки атома, в спектре ко-
торого в этом случае появляются добавочные линии сверхтонкой
структуры.
53
Можно показать, что между наблюдаемым и собственным
квадрупольными моментами имеет место соотношение
Q = (jA)(2J + 3)^0’ (3’34)
откуда получаем, что Q = 0 при J = 0 и Это не означа-
ет, что ядра с такими спинами обязательно сферические. Прос-
то невозможно, изучая взаимодействие такого ядра с внешним
неоднородным электрическим полем, «почувствовать» его не-
сферичность, так как энергия квадрупольного взаимодействия
равна нулю. Для ядра с J = 0 это достаточно очевидно, так как
у такого ядра нет выделенных направлений J относительно оси
z. Все направления равновероятны.
Наблюдаемый магнитный дипольный момент ядра опреде-
ляется (аналогично электрическому квадрупольному) как его
среднее значение в состоянии с максимальной проекцией спи-
на на ось z [М = J):
М = f = (J, J), (3.35)
где д — оператор магнитного дипольного момента
А
= +5Ж)“] • (3-36)
а=1
Очевидно средние значения операторов дт и ду равны нулю.
Величину магнитного момента можно найти, определяя
энергию его взаимодействия с внешним магнитным полем:
Е - —дН.
В атоме взаимодействие магнитного момента ядра с магнитным
полем электронной оболочки приводит к сверхтонкому расщеп-
лению оптического спектра атома. Это дает возможность опре-
делить величину магнитного момента ядра (по величине рас-
щепления), а также спин ядра (по количеству линий расщепле-
ния).
54
Лекция 3
Наблюдаемые значения квадрупольных моментов ядер по-
казаны на рис. 3.5. Обращает на себя внимание следующее:
1. Их равенство нулю для магических ядер (Z, N = 2, 8,
20, 50, 82, 126). Магические ядра — сферические. Вообще же
сферических ядер мало.
2. Они растут при отходе от магических ядер, достигая наи-
больших значений в середине между магическими областями. .
3. Большие величины квадрупольных моментов характер-
ны для вытянутых ядер (Q > 0). Вытянутых ядер больше^ чем
сплюснутых.
Можно показать прямым вычислением, что собственный
квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида да-
ется выражением
Qo = 7^(6’ - а2), (3.37)
5
где b и а — полуоси эллипсоида (рис. 3.4).
55
Если для оценки степени отклонения формы ядра от сфери-
ческой ввести параметр деформации Р и средний радиус ядра
Я, определяемые соотношениями
а Ь — а \Ь2-а2 -= 1,. , .
72(6+^) "2 я* ’ Д-2(Ь + а)>
то можно записать
о 4 «
Qo = ~Z(b2 - а2) = -ZR 0. (3.38)
5 о
Обычно для ядер /3 < 0.6.
Пример. Докажем, что из определенной четности волно-
вой функции системы частиц (например, ядра) следует равен-
ство нулю ее электрического дипольного момента:
d =
rp(r)dv = Ze
(3.39)
Здесь использовано то, что p(r) = Ze|^(r)|2. При определенной
четности ф(г) функция |^(г)р всегда четна и подынтегральная
функция в (3.39) нечетна, что и приводит к равенству нулю ин-
теграла, а значит и электрического дипольного момента.
Более строгое выражение для электрического дипольноТо
момента ядра
f А z Г
,гл)^еага^(г1>Г2,... ,rA)dv = H^idv,
J а=1 »=Г
(3.40)
где суммирование по i относится к протонам. Это более коррект-
ное выражение для d не меняет сути доказательства.
56
Лекция 4
1. Общие закономерности радиоактивного распада. Виды распада
2. а-Радио активность. Прохождение а-частиц через барьер.
Центробежный барьер
3. (3-Распад. Нейтрино. Слабое взаимодействие.
Промежуточные бозоны
4- 7-Распад. Классификация фотонов.
Правила отбора для электромагнитных переходов.
Вероятности электромагнитных переходов
в длинноволновом приближении
*5. Дополнительные выводы о {3-распаде.
Разрешенные и запрещенные /3-переходы.
Переходы Ферми и Гамова-Теллера
1. Общие закономерности радиоактивного распада.
Виды распада
При ядерных превращениях или распадах происходят пе-
реходы между различными стационарными состояниями ядер.
Ядро в возбужденном состоянии имеет среднее время жизни
т. Всякое возбуждение описывается волновой функцией, кото-
рая убывает со временем по закону
М)|2 = К0)|2е-*/\
Уровень с т / оо имеет энергетическую неопределенность
ДЕ = Г, которая связана с т соотношением неопределенностей
Гт « R (Г — ширина уровня на половине высоты). Наряду с т
используют понятие периода полураспада ty? (half life) и кон-
станты распада А = 1/т. Ее смысл — вероятность распада ядра
в единицу времени. Мы будем использовать обозначение w = А.
£1/2 — т1п 2 — это время, за которое половина ядер испытывает
распад.
Бели в момент времени t = 0 имеется N$ одинаковых радио-
активных ядер, то число радиоактивных ядер в последующие мо-
менты времени определяется законом радиоактивного распада
N(t) = Noe~t/r,
являющегося следствием вышеприведенной зависимости от вре-
мени волновой функции распадающегося ядра.
57
Ядро может самопроизвольно переходить в более низкое по
энергии состояние (при этом испускается 7-квант) или распа-
даться на различные конечные продукты. Необходимое условие
такого превращения v
М >
i
где mi — масса i-го конечного продукта.
Определим энергию распада Q:
(4-1)
Известны следующие виды распада:
- а-распад (испускание ядер |Не);
- 0-распад (е*; ие,
- 7-распад;
~ спонтанное деление;
- испускание нуклонов (одного протона или нейтрона, двух
протонов);
- испускание кластеров (ядер от 12 С до 32 S).
Ниже мы более подробно рассмотрим лишь а-, 0- и 7-
радиоактивность.
Области ядер с различным типом распада удобно показать
на JVZ-диаграмме (рис. 2.1). Отклонение от области стабильнос-
ти в сторону Вп — 0 (нейтронно-избыточные ядра) приводит
к 0~-распаду (п -4 р + е“ + ус). Движение к линии Вр = О
(протонно-избыточные ядра) ведет к 0+-распаду (р —> п+е++ре)
или е-захвату (р + е“ -> n + i/e). Движение в сторону тяжелых
ядер вдоль линии стабильности ведет к а-распаду и спонтанно-
му делению. Между линиями Вп = 0 и Вр = 0 находятся 5 000-
6 000 ядер, живущих больше характерного ядерного времени тж
(10~21-10”23с), которое можно определить как время пролета
испускаемой частицы через ядро. Для релятивистской частицы
2Дя ~ (0.6-1.5) • 10“12
с ~ 3 • 1010
«10-22-10"23с.
4 Зак. 320
58 Лекция 4
2. а-Радиоактивность.
Прохождение a-частиц через барьер.
Центробежный барьер
При Z > 60 появляются нуклиды, нестабильные к а-
распаду. Самое легкое а-радиоактивное ядро “jNd испускает
а-частицы с Та = 1.85 МэВ и ti/2 — 2.3 • 10й лет. Именно а-
распад обнаружил Беккерель в 1896 г. Условие а-распада
М(Л, Я) > М(А - 4, Z - 2) + М(4,2), М(4,2) = тпа.
Энергид, а-распада
Qa = [М (Л, Z) - М(А - 4, Z - 2) - me] с2. (4.2)
Энергии а-частиц заключены в основном в интервале 2 —
9 МэВ, а периоды полураспада в интервале от 3 * 10“7 с (^Ро) до
2.3’1015 лет (x^Nd). Основная часть энергии а-распада уносится
а-частицей и лишь «2% — конечным ядром. Тонкая структура
а-спектров связана с образованием конечного ядра не только в
основном, но и в возбужденных состояниях, т. е. а-спектры несут
информацию об уровнях ядер (рис. 4.1).
5.10 5.15 5.20
Рис. 4.1
Вероятность а-распада — произведение двух вероятностей:
вероятности образования а-частицы внутри ядра и вероятности
покинуть ядро. Первый процесс — чисто ядерный. Его сложно
рассчитать, так как ему присущи все трудности ядерной зада-
чи. Второй процесс легко рассчитывается. Как будет видно из
дальнейшего, именно он в основном определяет время а-распада.
59
Пусть внутри ядра двигается «готовая» а-частица со ско-
ростью v. В единицу времени она у = г/2Я раз окажется на
поверхности ядра и может в каждый из этих моментов поки-
нуть его с вероятностью Р.
Вероятность а-частице покинуть ядро в единицу времени
w = vP.
Рассмотрим потенциал, в
котором движется а-частица
(рис. 4.2). Это отрицательный
ядерный потенциал притяже-
ния (приблизительно прямо-
угольной формы) внутри ядра
(г < R) и положительный по-
тенциал кулоновского оттал-
кивания вне ядер (г > Я).
Отметим, что максимальная
высота кулоновского барьера
> Та = Ра. Действи-
тельно, Та « 2—9 МэВ. В то
же время, например, для 29*U
К7Г = ^^-д^«35МэВ.
Возникает задача расчета вероятности проникновения че-
рез барьер. Без барьера а-частица за характерное ядерное время
яй 10~21 с (для ТЛ = 5 МэВ) покинула бы ядро. Подчеркнем, что
Га — это кинетическая энергия свободной а-частицы (далеко за
пределами ядра). Внутри ядра кинетическая энергия а-частицы
Та + И).
Необходимо решить стационарное уравнение Шредингера
для а-частицы в центральном поле У (г)
Я^-(г) = [fe + V(r jty(r) = E^(r), (4.3)
где fa = —Л2Д/2пга, Д (лапласиан) = ^ + ^ +
4*
60 Лекция 4
Вместо та нужно брать приведенную массу системы д =
= « тпа, где М — масса конечного ядра (без а-частицы).
В силу центральной симметрии удобно перейти к сферическим
координатам г, у, з, —> г, 0, <р. По существу задача свелась к наг
писанию лапласиана в сферических координатах. Модифициру-
ем уравнение Шредингера. Вместо оператора Та запишем клас-
сическое выражение для кинетической энергии
т
2 ’
где v — скорость а-частицы относи-
тельно ядра-остатка (скорость относи-
тельной частицы). В сферических ко-
ординатах v можно представить как
векторную сумму радиальной (vr) и
угловой (v$) скорости (рис. 4.3).
Тогда v2 = V2 где — r$t L = д^г, ve =
В свою очередь
T=^ = ^ + 1,3) = r, + 54L; (4.4)
Z Z /дг
где Тг = ди2/2, а Те = £2/2дг2 — энергия вращения (классичес-
кая). Учитывая, что момент инерции G точечной частицы равен
дг2, легко получить более привычное выражение для этой энер-
гии L2/.2G = Gw2/2. Действительно, L2 = (дг^г)2 = д2г4о>2 =
= G2aA
Подставив (4.4) в (4.3) и переходя к операторам, получаем
т\2
(4-5)
где Тт + — оператор Т в сферических координатах, причем
г 2д \dr2 г dr) *
Очевидно имеет место уравнение
(4.6)
где Й2Ь(Ь-|-1)/2дг2 — квантовомеханическая энергия вращения.
61
В сферических координатах угловые (0, у») и радиальная
(г) переменные в уравнении Шредингера разделяются и решение
имеет вид
Ч&(Г) = R(r)F(0, р) = ^YLm(0, <р), (4.7)
где YLmtfiiV) — сферические функции, для которых
Ь2Ухт=(йЧ(£4-1)Уьт, L = 0,1,2,... ,оо;
ЬхПт = йтУГт, т = ±L,±(L - 1),... ,0.
Уравнение для «ь(г) имеет вид
Г Л2 d2 a2L(L + l) т„ .1 . . „ , .
+ ~ 2>'~ + W] «b(r) = Eul(t), (4.9)
т.е. такой же, как одномерное уравнение Шредингера с эффек-
тивным потенциалом
У,фф = ^^+У(г)- (4-10)
Центробежная энергия R2L(L + 1)/2дг2, как и кулоновская У(г),
препятствует вылету а-частицы из ядра или ее сближения с
ядром, увеличиваясь с уменьшением г, т. е. создает дополнитель-
ный (центробежный) барьер, который однако, мал (несколько
процентов от кулоновского).
Рассмотрим прямоугольный барьер (рис. 4.4) и случай L = 0
(центральный вылет или лобовой удар). Имеем
/ П2 d? \
V fyd? + v^~E)uW = 0- (411>
62-------------------------------------------Лекция 4
Уравнение (4.11) надо решить для областей 1, 2, 3:
«1 = Ci.e*fcr + Die-<fcr,
из = С2е«г + Д2е-’г, С3 = О,
из = Сзе*г + D3e~ikr, D3 = 0, (4.12)
2цЁ 12ц(у0-Е)
п2 ’ q~ у
В области 3 решение C3eikr отвечает частице, двигающейся
вправо, т.е. в область г > Rq, & D3e~ikr — обратно (влево).
Пусть частица подходит к барьеру слева. Тогда надо положить
Рз = 0.
Решение Cieqr в области 2 не имеет смысла, так как от-
вечает растущей экспоненциально вероятности найти частицу с
увеличением т.
В области 1 должны существовать как падающая, так и
отраженная от барьера волна.
Вероятность прохождения через барьер есть отношение ве-
роятностей обнаружить частицу в точках J?o и R. Для этого
достаточно знания u(r) под барьером (область 2):
1 = е-2«(Яо-Я) - е~г'\~Я> у/ЫЪ-Т)
Для определения вероятности проникновения через барьер про-
извольной формы необходимо выполнить интегрирование
«о
-> / VMVW-Tjdr
Р = е «
Для кулоновского барьера можно выполнить точное интегриро-
вание и получить период полураспада
л In 2 0.693
*1/2 = -- = --=7-
' w уР
Это впервые сделал Г. А. Гамов в 1928 г., еще до того как был
открыт нейтрон (Гамов полагал, что ядро состоит из а-частиц).
При этом получается следующая приближенная формула:
1g *1/2 = ^5=-в, (4.14)
и(Яр)
и(2?)
4.13
63
являющаяся одним из вариантов записи установленного еще в
1911 г. закона Гейгера-Неттола. В этой формуле А и В — кон-
станты. Они несколько меняются при переходе от одного ядра
к другому и зависят, главным образом, от Z. Если выражать
ti/2 в секундах, а Т в МэВ, то для довольно типичного набора
значений этих констант имеем А « 150, В « 55, откуда следу-
ет, что при увеличении Та от 4 до 9 МэВ ti/2 падает с 1О20 до
10~б с. Столь резкое падение tx/2> очевидно, вызвано тем, что ки-
нетическая энергия о-частицы входит в показатель экспоненты
выражения для проницаемости барьера.
3. /3-Распад. Нейтрино. Слабое взаимодействие.
Промежуточные бозоны
/3-Распад — это самопроизвольное испускание лептонов (е*,
ре, ^е)* За этот процесс ответственно слабое взаимодействие. /3-
Активные ядра разбросаны по всей системе элементов (рис. 2.1).
Есть три вида /3-распада. Происходящие при этом внутри ядра
превращения нуклонов и энергетические условия соответствую-
щего вида /3-распада выглядят так:
1) ^"(п->р + е" +Ре), M(A,Z) > М(А, Z + 1) + тпе,
2) Р*(р -4 п 4- е+ + >/е), М(А, Z) > M(At Z - 1) + те,
3) е-захват (р 4-е" —> n4-i/e), М(А, Z)4-me > М(А, Z - 1).
(4Л5)
Времена /3-распада лежат в интервале $i/2(/?) = 0-1 с —1017 лет.
а-Распад, за который ответственны ядерные силы, может проис-
ходить за времена существенно более короткие (до 3 • 10~7 с). На
малую интенсивность слабых взаимодействий указывает и боль-
шое время жизни нейтрона (« 15мин). у-Распад со сравнимой
энергией выделения (0.78 МэВ) идет в среднем за 10"12 с.
Энергия /3-распада
= [М(АИ) - М(ДZ Т 1) - те]с2,
Qe=[M(A,Z)-M(A,Z-l) + mjc2. Ь '
Она заключена в интервале от 18.61 кэВ (®Н -+ ®Не + е~ + Fe)
до 13.4МэВ fgB -> + е" + ve).
Кулоновский барьер при /3-распаде можно не обсуждать. Он
существует лишь для позитронов, образовавшихся внутри ядра.
64 Лекция 4
Главное то, что соотношение неопределенностей запрещает е±
долго оставаться внутри ядра (см. конец лекции).
При /З^-распаде возникает три продукта с произвольным
распределением по энергии. При этом энергетический спектр
каждого продукта непрерывен (рис. 4.5). При е-захвате — два
продукта и спектр дискретен. Непрерывность /З^-спектров (е^)
натолкнула Паули в 1930 г. на идею о существовании неизвест-
ной нейтральной частицы с полуцелым спином и очень малой
массой. Ферми назвал ее «нейтрино» (нейтрончик) после откры-
тия в 1932 г. нейтрона.
Рис. 4.5. Энергетические спектры лептонов
при распаде JgCa + е“ + i/e
Нейтрино очень
слабо взаимодействует
с веществом и ускольза-
ет от наблюдателя. Его
пробег в твердой сре-
де составляет «1015 км.
Лишь в 1956г. Райне-
су и Коуэну удалось
экспериментально под-
твердить существова-
ние нейтрино и оценить
сечение его взаимодей-
ствия с веществом
(а «10“43 см2).
В настоящее время
установлено, что слабое
взаимодействие осуществляется переносом (обменом) так назы-
ваемых промежуточных бозонов — частиц большой массы, ко-
торые являются квантами слабого поля, как фотоны — кван-
тами электромагнитного поля. Массы этих бозонов 80 (W^) и
91 (Z) ГэВ/c2. Они открыты в 1983г. в CERN (Европейская ор-
ганизация ядерных исследований, Швейцария). Исходя из массы
промежуточных бозонов можно оценить радиус действия слабых
сил.
Появление W (или Z) с Mw<? (или М^с2) означает нару-
шение закона сохранения энергии на величину ДЕ w Af^c2
~ Mzc2 & 100 ГэВ. Такие нарушения допустимы (ненаблюдае-
мы) в пределах временного интервала
<л
- ДЕ’
65
(что следует из соотношения неопределенностей AEAt > ft).
При этом виртуальная частицане может уйти на расстояние
ару, большее чем
*
aw = cat = ——г
Мщг
200 МэВ-Фм
100 • 103 МэВ
« 2 • 10-3 Фм.
В 1957 г. было установлено несохранение четности в слабых
взаимодействиях.
Полезное соотношение между массой переносчика взаимо-
действия и радиусом соответствующих сил
ftc
тс2
(4.17)
4. 7-Распад. Классификация фотонов.
Правила отбора для электромагнитных переходов.
Вероятности электромагнитных переходов
в длинноволновом приближении
С точностью до незначительной энергии
отдачи ядра энергия 7-перехода равна раз-
ности энергий уровней. Ядерные состояния
имеют определенные значения спина (J) и
четности (Р). Поэтому 7-переходы между ни-
ми также имеют определенные J(P).
Изучая 7-спектры, получают информа-
Рис. 4.6
цию о ядерных уровнях. Законы сохранения требуют, чтобы
Jy = J* 4* J7
Р/ = Р<Вг
или I Ji - Jf \ < < Ji + Jf)
или P7 = Pi • Pf.
Рассмотрим классификацию фотонов по моменту и четнос-
ти. Полный момент количества движения фотона J7 принимает
целочисленные значения, начиная с единицы: J7 = 1 (диполь-
ный), 2 (квадрупольный), 3 (октупольный),... , оо. Спин фотона
равен 1, т.е.
S7 = (J7)min = 1 - спин фотона.
66 Лекция 4
Полный момент фотона J7 равен векторной сумме его спина S7
и орбитального момента L7: J7 == S7 + Е7 (L — ранг входящих
в волновую функцию фотона сферических функций Уьт). Далее
опускаем индекс у у полного момента фотона. Для фиксирован-
ного J фотона L = J±l, J. Внутренняя четность фотона отрица-
тельна (как кванта векторного поля). Поэтому полная четность
фотона есть произведение его внутренней четности (-1) и орби-
тальной четности (—I)-6
Pr = TT7(-l)b = (-l)i+1. (4.19)
ч
Для фотонов с определенным J имеем разные L и, следовательно,
разные четности (опускаем индекс у у четности фотона)
L = J, Р = (-1)7+1 — магнитные (МJ) фотоны;
L = J ± 1, Р = (-1)J — электрические (EJ) фотоны.
Названия «магнитный» и «электрический» происходят от ти-
па систем зарядов и токов, излучающих соответствующие фо-
тоны. Колеблющийся электрический диполь (с изменяющимся
электрическим дипольным моментом) излучает £1-фотоны, ко-
леблющийся магнитный диполь — М 1-фотоны и т. д.
Правила отбора по четности имеют вид
PiPj = (-1)7 для EJ-фотонов;
PiPf = (-1)J+1 для MJ-фотонов.
Так как J > 1, переходы 0 0 с испусканием или поглощени-
ем одного фотона запрещены. Примеры простейших у-переходов
приведены на рис. 4.7.
—1" — —1* — 2* — г—— 2’
— о* — М1 0* — Е2 0* — М2 0*
Рис. 4.7 v
Вероятность поглощения (испускания) фотонов может быть
рассчитана в рамках квантовомеханической теории возмущений.
67
В общем случае при переходе между двумя уровнями с J 0 воз-
можно поглощение (испускание) фотонов разного типа и мультй-
польности. Оценим вероятность поглощения фотонов в случае,
когда Л > R (длинноволновое приближение), прибегая лишь к
самым простым рассуждениям.
Пусть на ядро падает плоская монохроматическая электро-
магнитная волна. Векторный потенциал для нее может быть за-
писан в виде
A(r,t) = Aoei(kr’w*>, (4.21)
где Ao = AqS, € — единичный вектор поляризации, k = p/ft =
— по>/с (п — единичный вектор в направлении движения вол-
ны). При hw = Ef - Ei возможно поглощение этой волны ядром.
A(r,t) можно придать смысл волновой функции фотона.
Плоская волна (4.21) не обладает определенным моментом
J и четностью Р. Но ее можно разложить по состояниям с опре-
деленным L (и четностью), т.е. по функциям набор
которых является полным. Разложение выполним для завися-
щей от координат части A(r,t), т.е. для elkr
оо
eto = £at(HW (4.22),
Ь=0'
где в — угол между к и г, Удо(^) не зависит от у?, а
аД&г) — коэффициенты разложения (которые, как Рис 4>8-
будет видно далее, зависят от fcr).
Квадраты коэффициентов аь(йг) определяют вероятность
обнаружить в плоской волне состояния с данным L
о© 2
(ХЗ |МН| = !)> т е- 1аь(Ьг)|2 указывают вес (долю) учас-
ь=о
тия в плоской волне фотонов с данным L.
Вероятность поглощения фотонов с определенным L при
прочих равных условиях пропорциональна вероятности обна-
ружить их в объеме ядра, т.е. величине |аъ(Лг)|2 в области
О < т < Я, где находится ядро (его считаем расположенным
в начале координат).
Можно показать, что
aL(kr) = £L<v/47r(2L+l)jL(jbr),
где i — мнимая единица, — сферическая функция Бесселя
первого рода порядка L.
68--------------------------------------------Лекция 4
Оценим величины jjjkr), определяющие поведение a^(kr)t
в длинноволновом приближении, ’т.е. при А > R. Условие это
эквивалентно условию kR < 1 (fc = р/Л = 2тг/А). Итак, необхо-
димо знать поведение л, (Аг) при 0 < г < R при дополнительном
условии кт 1. Асимптотическое выражение для при
кт 0 следующее:
ЫН =
( (*r)J
(kr)L I (2.7+1)!!’
1 • 3 • 5 •... • (2Ь +1) “ ] (jbr)'-i
I (27 — 1)!!’
MJ,
(4.23)
EJ.
Далее для оценок полагаем г = R. С учетом того, что в выраже-
ния для вероятностей входят IjbfkR))2, окончательно получаем
w(Af J) ~ (kR)2J ~
w(EJ) ~ (W?)2<J-l>
(4.24)
Соотношения (4.24) можно записать в виде
w(MJ)
w(EJ)
» (kR)2 < 1,
w(MJ + l) _ w(-EJ-H)
w(M J) ~ w(EJ)
(kR)2 « 1.
Переходы c Ey < 10 МэВ отвечают условию A > R. Дейст-
вительно, для фотона с энергией 10 МэВ
. _ 2?rfic
Л —— —_ *
6.28 - 200
10
Фм = 120 Фм.
Даже для ядер с А » 200, у которых R « 1.2А1/8 Фм » 7 Фм,
имеем А > R.
69
*5. Дополнительные выводы о /3-распаде.
Разрешенные и запрещенные /3-переходы.
Переходы Ферми и Гамова-Теллера
Для 7-переходов мы получили, что с ростом L (или J) погло-
щенного (излученного) фотона вероятность процесса резко пада-
ет, если А » R. Это же мы имеем и при /3-распаде. В этом случае
вместо плоских электромагнитных волн надо говорить о плос-
ких монохроматических лептонных волнах, испускаемых ядром.
Пространственную часть волновой функции лептонного излуче-
ния в этом случае можно записать как произведение волновых
функций электрона (позитрона) и антинейтрино (нейтрино):
В системе центра инерции (СЦИ) может быть записана в виде
(СЦИ) =
где k/з = Pjs/ft — относительный волновой вектор (р/з — отно-
сительный импульс), г = - ге — относительная координата
(радиус-вектор). Далее ^(СЦИ) — е<к*г разлагаем в ряд по
состояниям с различными относительными орбитальными мо-
ментами L (формула (4.22)).
Вводя затем условие А > R (kR < 1) и повторяя рассужде-
ния, использованные при рассмотрении электромагнитных пере-
ходов, приходим буквально к тем же выводам о резком снижении
вероятности /3-переходов с ростом относительного орбитального
момента L лептонной пары. Действительно характерные энер-
гии /3-распада (« 1-2 МэВ) таковы, что, полагая R & 5 Фм, име-
ем
kpR = &-R=%~R ~R = Фм- « 0.02-0.05 « 1.
р ft ftc ftc 200МэВ • Фм
(4.25)
Поэтому справедливо длинноволновое приближение и все сопут-
ствующие ему выводы. В данном случае увеличение орбитально-
го момента L на единицу приводит к уменьшению вероятности
/3-перехода в 1/(0.02-0.05)2 « 102-104 раз. Максимальную веро-
ятность (если они допустимы) имеют ^-распады с относитель-
ным моментом лептонной пары L = 0. Они называются разре-
шенными. Остальные (L / 0) называют запрещенными, причем
70 —__________________________________________ Лекция 4
степень запрета равна L. Есть разрешенные переходы двух ти-
пов (так как se = = i/2)
Ферми (8е + 8|/ = О),
Гамова-Теллера (se + 8Р = 1).
Итак, мы получили, что во всех рассмотренных видах радио-
активного распада ядер (а, /3, 7) вероятность распада зависит
от относительного орбитального момента L продуктов распа-
да. Во всех случаях (при прочих равных условиях) вероятность
падает с ррстом L. Однако в а-распаде это не является опреде-
ляющим фактором формирования вероятности распада. Значи-
тельно более важную роль там играет кулоновский барьер. В /9-
и 7-распадах, где кулоновский барьер не играет роли, фактор по-
давления вероятности за счет орбитального момента становится
определяющим.
Пример. Покажем, что соотношение неопределенностей
запрещает электрону при fl-распаде долго оставаться внутри
ядра.
Характерные энергии /3-распада таковы, что k@R ±=
= ppR/h < 1, где р/з — относительный импульс лептонной пары
при /3-распаде, R — радиус ядра. Таким образом, имеем нера-
венство p$R Л. В то же время, поскольку неопределенность в
импульсе электрона Дре « р@ и неопределенность в его коорди-
нате Дже « Я, из этого неравенства следует Д^еД®е < Л, что
противоречит соотношению неопределенностей ДрДг > Й.
Таким образом, электрон /3-распада не может долго оста-
ваться в ядре, не нарушая соотношение неопределенностей.
Задача. Показать, что к соотношениям (4.24) можно
прийти, рассматривая прохождение фотона, падающего на яд-
ро (или излучаемого ядром), через центробежный потенциал.
Решение. Будем для определенности рассматривать падение
фотона на ядро. Фотон, летящий не точно на центр ядра, т. е.
имеющий орбитальный момент L ф 0, эффективно двигается в
центробежном потенциале вида Л2£(1 + 1)/2^г2. При достиже-
нии расстояния Я© ДО центра ядра, определяемого равенством
*’Z(Z + 1)
энергия фотона Е становится равной величине центробежного
потенциала. При последующем сближении фотона с ядром этот
71
потенциал уже превышает Е и фотон испытывает нарастаю-
щую «центробежную силу», препятствующую его сближению с
ядром. Вероятность фотону достичь ядра определяется вероят-
ностью «пройти под» центробежным потенциалом и достичь по-
верхности ядра, т. е. точки г = R (см. рис. 4.2). Для расчета этой
вероятности используем формулу, полученную при рассмотре-
нии прохождения а-частицы сквозь барьер:
я о ________ ло """""— —
f y/2^V(r)-E]dr -I J
P = e * =e R
Избавившись от приведенной массы (д = Е/2с2) и выполнив
преобразования, приводим написанное выше соотношение к ви-
ду, удобному для интегрирования:
Р = е л
Здесь а = ^y/L(L 4-1), b = 2Е/Нс,
Так как
[ х/а2 -г2 /—---- а 4- х/а2- г2
Jr г
то
Ло _____________
-Ь / —-----—dr = Ь (у/а2 “ R2 + a In-Д,.= :-.^=А ,
Jr V а 4-х/а2 - R2 /
R
где учтено, что а2 — R2 = 0.
Для ядерных фотонов обычно Е < 20 МэВ и выполняется
условие длинноволнового приближения А = 2тгНс/Е R, откуда
следует, что й2 < а2 и
[ х/а2 - г2 _ J , R
—о I ----dr аЬ I 1 4- In —
Jr \ 2а
R
Таким образом, вероятность фотону, преодолев центробежный
потенциал, достичь ядра определяется выражением
Р ж €аЬ(1+1п &) —
~(‘л) '
которое для фотонов магнитного (£ = J) и электрического (L =
= J ± 1) типа эквивалентно соотношениям (4.24).
72 Лекция 5
Лекция 5
1. Очевидные свойства ядерных (нуклон-нуклонных) сил
2. Дейтрон. Зависимость ядерных сил от спина.
Их нецентральностъ. Волновая функция дейтрона
3. Зарядовая независимость ядерных сил
4. Спин-орбитальные силы
5. Обменный характер нуклон-нуклонных сил
6. Радиальная форма нуклон-нуклонных сил.
Квант ядерного поля. Теория Юкавы
7. Изоспин частиц и ядер
1. Очевидные свойства
ядерных (нуклон-нуклонных) сил
Рад свойств нуклон-нуклонных (AW) сил непосредственно
следует из рассмотренных фактов:
1. Это силы притяжения (следует из существования ядер).
2. Это короткодействующие силы (из размеров ядер следу-
ет, что радиус нуклон-нуклонных сил Гудг ~ 1 Фм).
3. Это силы большой величины (глубина ядерного потен-
циала w 40 МэВ). Нуклон-нуклонные силы значительно пре-
восходят силы другого типа (электромагнитные, слабые и
гравитационные).
4. Они обладают свойством насыщения (энергия связи яд-
ра W пропорциональна числу нуклонов в ядре А, а не А2).
Это свойство можно объяснить как обменным характером
TVW-сил, так и отталкиванием на малых расстояниях.
2. Дейтрон. Зависимость ядерных сил от спина.
Их нецентральность. Волновая функция дейтрона
Рад свойств ядерных сил получается из характеристик
простейшей системы связанных нуклонов — дейтрона. Дейтрон
(2Н) — это связанная система нейтрон-протон (пр). Дейтрон
стабилен и существует только в основном состоянии. Его на-
блюдаемые характеристики приведены в табл. 5.1.
Приведенные значения р и Q являются наблюдаемыми
(квантовомеханическими), а не собственными (классическими).
Собственный электрический квадрупольный момент Qq для дей-
трона в 10 раз больше наблюдаемого (формула (3.34) для J = 1):
Qq = 10Q = 2.82 Фм2.
73
Характеристики дейтрона
Таблица 5.1
Характеристика Значение
Масса (тс2) 1 876 МэВ
Энергия связи (V7) 2.224 МэВ .
Спин (J) 1
Четность (Р) +1
Магнитный момент (/х) 0.85742 /х#
Электрический квадрупольный момент (Q) 0.282 Фм2
Отсюда, используя связь между Qo и параметром деформа-
ции (3
4 ___2
Qo = zZR
О
получаем, полагая R = R# « 4.3 Фм (см. ниже), для дейтрона
/3(?Н) = 0.19.
Эта величина дает наглядное представление о степени несфе-
ричности дейтрона.
Спин дейтрона определяется формулой
J(?H) = s„ + sn + L,
где L — относительный орбитальный момент нуклонов в дей-
троне.
Так как четность дейтрона
Р = ’Гр’Гп(-1)£ = +1,
то L — четно (тГр = тгп = +1).
Антипараллельные спины нуклонов в дейтроне
Sp + sn = O(tJ.)
невозможны, так как в этом случае L = J = 1 и четность дей-
трона должна была бы быть отрицательной, чего нет. Поэтому
в дейтроне спины нуклонов параллельны (ft) и
Sp + Sn = 1.
74 Лекция 5
Здесь и везде, где число приводится в виде вектора (в данном
случае 1) мы, как это обычно принято для вектора квантовоме-
ханического момента j, указываем в качестве этого числа мак-
симальную величину проекции этого вектора в единицах ft, т. е.
просто квантовое число у. На самом деле длина вектора равна
Для орбитального момента X, очевидно, есть лишь две воз-
можности: L = 0 (^-состояние) и L = 2 (d-состояние). Спиновые
и орбитальные моменты в этих двух случаях направлены следу-
ющим образом:
S.I
Рис. БД
То что дейтрон существует лишь в состоянии с параллель-
ными спинами ft и не существует в состоянии указывает
на зависимость ядерных сил от спина. Нуклоны в состоянии ft
взаимодействуют иначе (притяжение в этом состоянии сильнее),
чем в состоянии
Итак, пятое свойство ядерных сил:
5. Ядерные (AW) силы зависят от спина.
Если бы в дейтроне у нуклонов было L = 0, то орбиталь-
ной части магнитного момента не было бы и для магнитного
момента дейтрона было бы
д = д£=0 = др + fin ~ 2.792847дя - 1.913043длг =
= 0.879804^ w 0.88ддг.
Эта величина отличается от экспериментального значения
(табл. 5.1) на 2.6%. Это говорит о том, что небольшую часть
времени дейтрон проводит в d-состоянии. С учетом этого вол-
новая функция дейтрона может быть записана как смесь я- и
d-состояний
V’(fH) = aip, + frfa,
причем а2 + /32 = 1. Небольшая примесь d-состояния объясняет
наличие у дейтрона электрического- квадрупольного момента (d-
состояние, в отличие от 5-состояния, не является сферически-
симметричным).
____75
Значения коэффициентов а и /3 можно найти «подгонкой»
магнитного дипольного и электрического квадрупольных момен-
тов под экспериментальные значения. При этом оказывается, что
а2 = 0.96, а Д2 = 0.04.
i Итак, мы приходим к еще одному свойству ядерных сил:
6. Они не обладают сферической симметрией,
т. е. нецентральны.
Основное состояние в случае центрально-симметричных сил
всегда s-состояние. Энергии связанных состояний с L / 0 всегда
выше из-за центробежной энергии.
Нецентральные силы, приводящие к Qq / 0, называются
тензорными. Они зависят от угла между вектором г, соединяю-
щим два нуклона, и вектором их суммарного спина. На рис. 5.2
показаны два предельных взаимных положения этих векторов в
дейтроне.
а) притяжение р _ 0 б) отталкивание
Так как Q(2H) > 0, то дейтрону отвечает левая конфигу-
рация (вытянутый эллипсоид). В этой конфигурации протон и
нейтрон притягиваются. Случай (б) отвечает сплюснутому эл-
липсоиду. Такая конфигурация у дейтрона отсутствует. Это го-
ворит о том, что при таком расположении между протоном и
нейтроном возникают силы отталкивания.
Хорошо известный классический пример тензорных сил —
силы, действующие между двумя магнитами (рис. 5.3).
Л/
S
77
$
1
77
s
2
77
s
а) притяжение
Рис. 5.3
б) отталкивание
1
2
76___________»_______________________________Лекция 5
Энергия взаимодействия двух магнитов дается выражением
1 / 3 \
£12 = ( Д1Д2 - ^(#*1Г)(Я2Г) I ,
где и Дз — магнитные дипольные моменты магнитов. По ана-
логии с этой формулой в W//-потенциал можно ввести слагаемое
тензорных сил
V,r = Кг(фи, (5.1)
где
з
> «12 = -т(в1 -r)(s2 -Г) - Si -Sj.
Г*
Продолжим рассмотрение дейтрона. Волновую функцию
его орбитального движения ^(г) можно найти из уравнения
Шредингера для частицы с приведенной массой
Я = \ >
+ тп
движущейся в центрально-симметричном поле. Функция ^(г)
имеет вид
Довольно хорошее описание экспериментальных данных дает
выбор потенциала в форме прямоугольной ямы глубиной %
« 35 МэВ и шириной а ~ 2 Фм.
В основном состоянии L = 0 (в рассматриваемом прибли-
жении центрально-симметричного поля основное состояние дей-
трона — это чистое ^-состояние) и loo = l/V^hrr. При этом все
сводится к решению радиального уравнения Шредингера в об-
ластях т < R и г > R (рис. 5.4).
Уравнение Шредингера и его решения для дейтрона в об-
ластях 1 (г < Я) и 2 (г > Я) имеют вид
<?«1 , ,2 п . . . . х/2я(И) - W)
-j-— + fe’ui = 0; «1 = Xsmfcr; k = Х_£_1_---'.
ат* п
2 „ -7г ’ ч/2/^
-^-7112 = 0; «2=Се^; Т=~д—
Радиусом дейтрона называют Rd = I/7 « 4.3 Фм, что
вместе со сравнительно малой величиной его энергии связи W
(« 2.2 МэВ) указывает на «рыхлостью дейтрона. Он имеет такой
же радиус, как и ядро с А = 40-50.
77
Для более полных
сведений о ЛГТУ-взаи-
модействии проводят
эксперименты по ну-
клон-нуклонному рас-
сеянию. Имея источ-
ники поляризованных
(т.е. с определенным
направлением спина)
нуклонов и поляризо-
ванные мишени (ядра
внутри которых име-
ют определенное на-
правление спина), мо-
жно изучать взаимо-
действие нуклонов в
триплетном (ft) и син-
глетном (fl) состоя-
ниях. Результаты та-
ких опытов подтверж-
дают различие в ха-
рактере этих взаимо-
действий.
V(r)
(-35 МэВ)
Рис. 5.4
3. Зарядовая независимость ядерных сил
TVW-рассеяние показало, что если вычесть влияние сил элек-
тромагнитной природы, то взаимодействия пар пр, рр и пп оди-
наковы, т. е. собственно ядерное (сильное) взаимодействие не за-
висит от типа нуклона. Это свойство ядерных сил обычно фор-
мулируют как их зарядовую независимость
7. Ядерные силы зарядовонезависимы.
Это еще один тип симметрии (симметрии между парами
пп, пр, ирр), которому соответствует (приближенная) независи-
мость ядерного гамильтониана от типов нуклонов. Если убрать в
формуле Вайцзеккера кулоновское слагаемое, то замена п -> р и
р —> п не изменит энергию связи. Этой симметрии соответствует
новая приближенно сохраняющаяся величина и квантовое число
— изобарический спин (изоспин), К рассмотрению этой величи-
ны мы вернемся в п. 7 настоящей лекции.
78 Лекция 5
4. Спин-орбитальные силы
протон р1
1 •---------------------
Д -------------------
2 •----------------
протон р2
налево
направо
Рис. 5.5
Ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов и ор-
битальных моментов нуклонов. Нуклон взаимодействует силь-
нее, если его спин и орбитальный момент направлены в одну
сторону. Об этом говорят опыты по рассеянию поляризованных
нуклонов (протонов) на бесспиновых ядрах-мишенях (например,
|Не, *|С) — рис.5.5.
Если смотреть по направлению Л, то карти-
на взаимной ориентации спина s и орбитального
момента L нуклона будет выглядеть следующим
образом (рис. 5.6). Оказывается, что налево (s и
L параллельны) и направо (в и L антипарал-
лельны) рассеивается различное число частиц,
что доказывает наличие спин-орбитальных сил.
Таким образом, можно сформулировать еще од-
но свойство ядерных сил:
8. Эти силы имеют спин-орбитальную добавку.
5. Обменный характер нуклон-нуклонных сил
Рассеяние высокоэнергичных нейтронов на покоящихся про-
тонах демонстрирует обменный характер нуклон-нуклонных
сил. В качестве примера на рис. 5.7 показано рассеяние нейтро-
нов с энергией 400 МэВ на протонах в системе центра инерции.
Учитывая большую кинетическую энергию нейтронов (Тп =
= 400 МэВ), это рассеяние на короткодействующем и неглубоком
потенциале (V « 50МэВ <С Тп = 400МэВ).
Рассмотрим на качественном уровне кинематику такого пр-
рассеяния в системе центра инерции. До взаимодействия нейтрон
и протон летят навстречу с одинаковыми скоростями (тпп « тпр).
79
-t??’ (шкала неравномерная)
dQ ср
энергия мала (14 МэВ)
То*400 МэВ
У* 50 МэВ
За исключением очень редких случаев лобового соударения (раз-
мер нуклона слишком мал, около 1 Фм) нейтрон и протон проле-
тают на некотором расстоянии друг от друга и рассеиваются
с небольшим изменением направления движения (скользящий
удар). Угол рассеяния каждого нуклона невелик (0ци < 90°).
Ситуация до и после столкновения выглядит так (рис. 5.8):
Появление большого числа назад летящих в системе центра
инерции нейтронов (0ци > 90°) возможно лишь при обмене заря-
дом, когда протон превращается в нейтрон, а нейтрон в протон.
Таким образом, результаты эксперимента выявляют еще одно
свойство ядерных сил:
9. Ядерные силы имеют обменный характер.
По величине «рогов» кривой (рис. 5.7) можно судить о соот-
ношении обычных и обменных сил. Они одного порядка.
В заключение этого пункта поясним, почему рассеяние нейт-
ронов сравнительно малых энергий (14 МэВ) изотропно. Рас-
смотрим цр-рассеяние при разных энергиях в рамках дифрак-
ционной картины (см. Лекцию 1). Положение первого дифрак-
ционного минимума определяется углом :
80_________________________________:__________Лекция 5
Рис. 5.9
sin 0i « 0.6—,
л
т.е. чем меньше энергия (и
больше А), тем 01 больше. От-
сюда следует, что в пределе
очень малых энергий рассе-
яние становится изотропным
(рис. 5.9).
К сказанному следует добавить, что четкой серии дифрак-
ционных максимумов не будет из-за «смазанности» пространст-
венного распределения заряда в нуклоне.
6. Радиальная форма нуклон-нуклонных сил.
Квант ядерного поля. Теория Юкавы
Результаты большого числа экспериментов показали, что
потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия имеет радиаль-
ную зависимость, представленную на рис. 5.10. На расстояни-
ях > 0.5 Фм между нуклонами действуют силы притяже-
ния. При г нм < 0.5 Фм силы притяжения сменяются силами
отталкивания (говорят об отталкивающем коре). Похожую фор-
му имеет межатомный потенциал, однако его величина в 106-107
раз меньше, а пространственный масштаб в 105 раз крупнее.
Отталкивающие силы
на малых расстояниях пре-
пятствуют сближению ну-
клонов в ядре до состояния
предельно плотной упаков-
ки (среднее расстояние ме-
жду нуклонами в
«2.3Фм).
В 1935 г. Юкава
жил основы теории
ных сил, постулировав су-
ществование кванта ядерного взаимодействия (я-мезона) с веро-
ятной массой ттс2 100 МэВ. тг-Мезон — формальный аналог
фотона — кванта электромагнитного поля. тг-Мезон открыт в
ядре
зало-
ядер-
81
1947 г. в космических лучах. Взаимодействие двух электронов и
двух нейтронов (или протонов) с помощью кванта (переносчика)
взаимодействия показано на рис. 5.11. Здесь изображены траек-
тории двух электронов и двух нейтронов, двигающихся навстре-
чу друг другу в плоскости листа.
np-Взаимодействие идет с обменом зарядом и осуществля-
ется заряженным тг-мезоном (рис. 5.12).
Оценим массу тг-мезона, исходя из соотно-
шения неопределенностей
дяд*« h.
Вспомним связь между радиусом сил а и массой
т переносчика взаимодействия
Отсюда при а = 1.5 Фм получаем
2 he 200 - м ж- „
г = — w « 130 МэВ.
а 1.5
Существует три тг-мезона: тг°, тг+ и яг**. Более тяжелые ме-
зоны — ту (тплс2 = 549 МэВ), р (тпрс2 = 770МэВ) и ы (тис2 =
= 782 МэВ) ответственны за JViV-взаимодействие на малых рас-
стояниях (а^ « 0.36 Фм, aPtW ps 0.25Фм).
Потенциал, создаваемый облаком испускаемых нуклоном
мезонов, носит название потенциала Юкавы и имеет вид
7 Зак. 320
e-r/a
V(r) = -gNe-------,
- Т
(5-2)
82 - - _______________________________________Лекция 5
где а — h/mc — радиус взаимодействия, дм — ядерный за-
ряд нуклона (напомним, что энергия взаимодействия пропорцио-
нальна квадрату заряда).
Принято в качестве константы, характеризующей силу вза-
имодействия, использовать безразмерную величину
feWg. (5.3) he
Для электромагнитного взаимодействия эта константа
е2 1 (5-4) пс 1о7
для ядерного « 10. (5.5) лс
Потенциал Юкавы отвечает полю, квантами (переносчиками)
которого являются релятивистские частицы с ненулевой массой
(в данном случае мезоны). Кулоновский потенциал отвечающий
безмассовому (тп = 0) переносчику взаимодействия — фотону,
непосредственно следует из потенциала Юкавы как предельный
случай при а — h/mc = со.
7. Изоспин частиц и ядер
Как отмечалось в п.З, зарядовая независимость ядерных
сил, трактуемая как симметрия собственно ядерного взаимо-
действия пары нуклонов к изменению типа нуклонов, позволя-
ет ввести новое квантовое число — изобарический спин, или
изоспин, присущее только сильному взаимодействию. История
появления этого квантового числа.восходит к 1932 г., когда Гей-
зенберг стал рассматривать нейтрон и протон как два состояния
одной частицы, названной нуклоном. По идее Гейзенберга срав-
нительно небольшое отличие в массах протона и нейтрона имеет
электромагнитную природу. Если «выключить» электромагнит-
ное взаимодействие, то массы протона и нейтрона должны совпа-
дать. Нейтрон и протон — это два зарядовых состояния нуклона.
Для формального описания этих двух зарядовых состояний
вводят трехмерное евклидово зарядовое (или изосциновое) про-
странство, никак не связанное с обычным пространством, и при-
писывают нуклону в этом пространстве вектор i = 1 с тем, что-
бы две возможные проекции вектора изоспина (± Уг) на одну из
83
осей зарядового пространства отвечали двум зарядовым состо-
яниям нуклона (длина этого вектора 0’(*+ !) = 1/2 (I + 1) 25
= Выбор знака проекции для протона и нейтрона про-
изволен. Для того чтобы не путать изоспиновое пространство
с обычным, будем его оси обозначать не xt у, zt а 1, 2, 3. Как
обычно, для квантовомеханического вектора определенное зна-
чение может иметь, проекция изоспина лишь на одну из осей.
Пусть этой осью будет ось 3. Будем считать, как это принято в
физике частиц, что (гз)р = -И/з, (»з)п = “V2 (в ядерной физике
часто используют противоположный выбор).
С формальной точки зрения Все обстоит так же, как и с
обычным спином. Два состояния частицы с обычным спиной
Уз, различающиеся проекцией на ось z (+*/2 или -Уз), рас-
сматривают не как две разные частицы, а как два состояния
одной частицы. Аналогично протон и нейтрон — не две разные
частицы, а два зарядовых состояния одной частицы — нуклона
(с изоспином, направленным либо вверх вдоль оси 3 (протон),
либо вниз (нейтрон)).
Формализм изоспина идентичен формализму обычного спи-
на. Удобно обозначать состояния с i и как |г, 23 >, тогда нейт-
ронное и протонное состояния нуклона можно записать как
|P>=|1/2,V2>, |П >= 11/2, -1/2 >, (5.6)
причем
О
i2|p >= i(i + 1)|р >= -|р >,
i2|n >= i(i + l)|n >= -|n >,
»з|р>=+1/2|р>,
1з|п >= -Vdn > •
Векторы состояний протона и нейтрона в изопространстве по-
казаны на рис. 5.13.
7'
84 Лекция 5
Из зарядовой независимости ядерного (сильного) взаимодей-
ствия следует, что куда бы ни был повернут вектор изоспина, это
взаимодействие не меняется, т. е. система сильновзаимодейству-
ющих частиц (в данном случае нуклонов) инвариантна относи-
тельно поворотов в изопространстве. Физический смысл имеет
только третья проекция изоспина. Она связана с измеряемой ве-
личиной — зарядом.
Заряд нуклона дается выражением
(5-7)
Используя факт зарядовой независимости ядерных сил, припи-
сывают изоспины всем сильновзаимодействуюхцим элементар-
ным частицам и атомным ядрам (не только протону и нейтрону).
Изоспиновое пространство существует только для сильного вза-
имодействия.
Рассмотрим понятие изоспина применительно к атомному
ядру. Ядро состоит из А нуклонов (Z,2V) и имеет заряд Ze, ко-
торый можно представить в виде
л А
Ze = '£«<* = 11е
а=1 а=1
(5-8)
где
-A 7 - АГ
h = £>)« = Z (+y2) + N (-i/t) = —(5.9)
a=l
есть проекция изоспина ядра I на ось 3 изоспинового простран-
ства.
I ведет себя (в изоспиновом пространстве) как вектор спина
J в обычном пространстве. Полный изоспин А нуклонов
asl
(5.10)
Все состояния ядра имеют Z3 = (Z - N)/2. Однако приписать
определенное значение I состояниям ядра непросто. В ядре А
изоспиновых векторов с i = 1/2 и возможно
2
(5.Н)
85
Минимальное I = |2з| (длина вектора не может быть меньше
длины любой его проекции). Максимальное I — А/2 и отвечает
всем ia, направленным в одну сторону. Имеет место следующее
правило (без доказательства): изоспин ядра в основном состоя-
нии равен \(Z — ЛГ)/2|, т. е.
Z - N
19> = |1з| = • (5-12)
Следует иметь в виду, что электромагнитное взаимодействие
нарушает изотропию изоспинового пространства, так как энер-
гия взаимодействия системы заряженных частиц меняется при
поворотах в изопространстве (при поворотах меняются заряды
частиц и в ядре часть протонов переходит в нейтроны или на-
оборот). Поэтому реально изоспиновая симметрия не точная, а
приближенная (в отсутствие электромагнитного взаимодействия
она точная). Так как электромагнитные силы много слабее ядер-
ных, изоспин остается довольно хорошим квантовым числом.
Всем элементарным частицам, участвующим в сильных взаг
имодействиях (кваркам и адронам), можно приписать определен-
ный изоспин г. Все эти частицы можно разбить на группы (так
называемые изомультиплеты), состоящие из частиц с одним и
тем же г, но разными проекциями изоспина г3. Частицы, обра-
зующие изомультиплет, ведут себя одинаково с точки зрения
сильного взаимодействия и имеют приблизительно одинаковые
массы (небольшие различия в массах частиц изомультиплета
имеют электромагнитную природу). Все члены изомультипле-
та соответствуют как бы одной субатомной частице, различ-
ным образом ориентированной в изопространстве. Если извест-
ны все члены изомультиплета, то легко найти г из соотношения
2г + 1 == п, где п — число частиц в изомультиплете (равное
числу проекций вектора изоспина на ось 3). Примером изодуб-
лета являются нейтрон и протон (г = г/г, п = 2). Примером
изотриплета (группы частиц с i = 1) является тг-мезон (тг°, тг+
и 7Г~). Эти три мезона имеют близкие массы (т*ос2 = 135МэВ,
тп^-с2 = т*+с2 = 140 МэВ), одинаковые спины и четности 0“.
Все, что их отличает, кроме массы, обусловлено лишь разли-
чием в электрическом заряде (это влечет также отличие в г3 и
магнитном моменте) и других частиц с близкими (в пределах
25%) массами нет.
86
Лекция 5
Понятие изомультиплета относится и к атомным ядрам.
Однако в этом случае изомультиплет формируют уровни ядер
с одинаковым числом нуклонов А, т. е. изомультиплет ядерных
уровней относится к системам нуклонов, состоящим из разного
числа протонов Z и нейтронов # (объединенных лишь одним
условием Z + # = А), и, следовательно, в ядерный изомульти-
плет входят уровни разных ядер. Это затрудняет идентифика-
цию изомультиплета в ядрах по сравнению с решением той же
задачи среди элементарных частиц. Пример изодублетов уров-
ней в ядрах jLi и J Be дан на рис. 5.14 (уровни изодублетов со-
единены пунктиром).
Рис. 5.14. Изодублеты (/ » х/а) уровней ядер JLi и jBe.
Схематически показано расположение нуклонов по уровням
в ядерной потенциальной яме для изодублетов основных (а)
л возбужденных (б) состояний ядер. Изодублеты сдвинуты по
энергии на величину ДЕ = ДЕкул — (w ~ тр)с*1 где ДЕхул
— разность кулоновских энергий ядер
Для установления изоспинов частиц и ядер, помимо пересче-
та всех членов изомультиплета, используют закон сохранения
изоспина в реакциях и распадах, вызванных сильным взаимо-
действием.
87
Лекция 6
1. Ядерные реакции. Введение
2. Законы сохранения е ядерных реакциях
3. Кинематика ядерных реакций. Порог
Механизмы ядерных реакций. Составное ядро
5. Сечение образования составного ядра нейтроном
в нерезонансной области
6. Формула Врейта-Вигнера
7. Прямые ядерные реакции
1. Ядерные реакции. Введение
Любой процесс столкновения элементарной частицы с ядром
или ядра с ядром будем называть ядерной реакцией. Наряду с ра-
диоактивным распадом ядерные реакции — основной источник
сведений об атомных ядрах.
Для записи ядерной реакции есть несколько способов. Два
наиболее употребительных поясняются следующими примера-
ми:
а 4“ А —6 4~ Б ИЛИ A(a,b)B,
p + Jbi -> fHe + ^He ИЛИ jLi(p, 2a),
р + ‘JO -> n+ ljF ИЛИ 1l0(P> ”)‘9F>
7 + ~> 19K + p + n или 2oCa(7,pn)i®K.
Обычно более легкая частица называется снарядом, более тяже-
лая — мишенью.
При столкновении протона с 3 Li могут быть различные про-
цессы (каналы реакции):
р 4- 7 Li — упругое рассеяние (упругий канал)
р + 7 Li* — неупругое рассеяние '
р + jLi —> <
а + а
а + а 4- 7
р 4- а + t, где t ~ f Н,
— неупругие
каналы
и т. д.
88
Лекция 6
Здесь 7Li* означает возбужденное состояние ядра 7Li.
При упругом рассеянии налетающая частица и мишень не
претерпевают каких-либо внутренних изменений и не появляет-
ся новых частиц.
Первая ядернал реакция осуществлена в 1919 г. Резерфордом
а + XrN xJO+p.
Для количественного описания вероятности ядерной реакции ис-
пользуется эффективное сечение — дифференциальное (da/dfi)
и полное (а = / ^dQ). В случае двух частиц в начальном и ко-
нечном состояниях реакция полностью характеризуется da/dQ.
Величина эффективного сечения зависит от квантовых состоя-
ний сталкивающихся частиц (энергий, спинов, орбитальных и
полных моментов, четностей, изоспинов).
Ядерные реакции рассматривают обычно либо в лаборатор-
ной системе координат (ЛСК), либо в системе центра инерции
(СЦИ). ЛСК — система, в которой мишень покоится.
2. Законы сохранения в ядерных реакциях
Ряд физических величин имеет одинаковые значения до и
после столкновения, т. е. сохраняется. Имеют место следующие
законы сохранения:
1. Энергии Е
2. Импульса р
3. Момента количества движения J
4. Электрического заряда Q
5. Четности (за исключением слабого взаимодействия) Р
6. Изоспина (только в сильном взаимодействии) I
7. Числа нуклонов
(до порога рождения пары нуклон-антинуклон)
8. Барионного заряда
(сохранение числа нуклонов следствие этого закона) В
9. Лептонного заряда L
Выделены абсолютные или универсальные законы сохране-
ния. Их нарушение никогда не наблюдалось.
Пример. Найти конечное ядро х в реакции
7 + i*Si-> jHe + se.
Из законов сохранения электрического заряда и числа нуклонов
получаем х ~ i^g.
89
Пример. На выполнение закона сохранения четности в
сильных взаимодействиях: реакция 19F(p, а)160, идущая че-
рез возбужденное 1+ состояние промежуточного ядра 20Ne
”0 + а
Рис. 6.1
Эта реакция идет за счет сильного взаимодействия с заселе-
нием 2-го возбужденного состояния ядра16О, имеющего энергию
6.13 МэВ. Основное и 1-е возбужденное состояния не заселяются.
Почему?
Реакция проходит в две стадии:
p + ^F JgNe*(l+) jHe + 1«0(3").
Из закона сохранения углового момента для 2-й стадии
^Ne — Jo + Ja + bo.aj
где
Ja = 0, Jo = 3, JNe ~ 1.
Для орбитального момента относительного движения ядра 16 О
и a-частицы имеем
1 = 3 + Lo,а и, опуская индексы, L = 2,3,4.
С другой стороны, из закона сохранения четности имеем
= Га’Г«0(-1)Ь, ИЛИ + 1 = (+1)(-1)(-1)Ь, (6.1)
откуда остается лишь L = 3.
6 Зак. 320 *
90
Лекция 6
Переход в основное и первое возбужденное состояние 1вО
невозможен, так как в этих случаях
l = 0 + 0 + L и L = 1.
Но тогда не выполняется закон сохранения четности (6.1)
+1 / (+l)(+l)(-l)2'=l = -1.
Опытным путем установлено, что в рассматриваемой реакции
отношение вероятностей переходов 1+ Д 0+ и 1+ Д 3“ меньше
3 10”13, что является хорошим подтверждением справедливости
закона сохранения четности в сильных взаимодействиях.
3. Кинематика ядерных реакции. Порог
Рассмотрим реакцию
A + B-+C + D + ... (6.2)
Запишем закон сохранения энергии через массы и кинетические
энергии Т
(Гд + Тв) + (т/ + пгв)с2 = (Тс + Тр + ...) + (тпс + тпр + .. .)с2.
Определим энергию реакции:
Q = {mA + rng)c2 - {me 4-тр + ...)с2, (6.3)
и закон сохранения энергии запишем в виде
(Тл + Тв) = {Тс + 1Ъ + (6.4)
При Q > 0 (выделение энергии) реакция идет при любом зна-
чении Та + Тв) в том числе и нулевом (так как правая часть
вышенаписанного соотношения может быть равна нулю).
При Q < 0 (поглощение энергии) реакция идет не всегда.
Так как -Q > 0, для этого нужно Тл + Тв > -Q = |<Э|, т. е. что-
бы Та + Тв превышала разницу в Массах конечных и начальных
ядер. Таким образом, реакция обладает порогом, при котором
начинает выполняться закон сохранения энергии.
91
Определение порога реакции 2?пор: это минимальная сум-
марная кинетическая энергия сталкивающихся частиц (ядер),
при которой реакция, идущая с поглощением энергии, стано-
вится возможной.
Оказывается
[ ~Q = |<Э|» - СЦИ,
^ = (Тл + тв)„ь=/ ИЛ ь -лек.
(6-5)
Ниже мы покажем, что пороговые значения энергии в СЦИ и
ЛСК равны величинам, приведенным в правой части (6.5). Еп(>р
зависит от системы координат. Она минимальна в СЦИ, где рав-
на —Q = |Q|. Действительно, пороговая энергия минимальна
когда (Тс + Тц + ...) = 0, т. е. когда Тс = То = •. * = 0.
При этом pc = Pd = • • • = 0, т. е. (рс + рр + . *.) = 0, что
отвечает определению СЦИ. В СЦИ центр инерции покоится и
в частном случае может покоиться каждый из конечных про-
дуктов. В остальных системах центр инерции движется и уже
за счет этого Тс 4- Тр + ... 0 0, т. е. часть кинетической энер-
гии идет на бесполезную для реакции энергию движения центра
инерции. При этом порог возрастает. Порогу в СЦИ отвечает
ситуация, когда каждый конечный продукт (7, D,... покоится и
поэтому покоится вся конечная система (рис. 6.2).
»'........ •
А В
ДО
после
Рис. 6.2. Порог в СЦИ
Теперь перейдем в систему координат, где В покоится, т.е.
в ЛСК. Ситуация, которая отвечает порогу в этой системе, где
скорость центра инерции иЦЛ = (для пР°стоты рас-
сматриваем нерелятивистский случай), изображена на рис. 6.3.
б1
92 —_________________________________________Лекция 6
2—
А
до
В
Рис. 6.3. Порог в ЛСК (Т^ = 0)
Итак, в ЛСК £?пор равно такому Тд, при котором продукты
имеют нулевую относительную энергию (скорость), т. е., образо-
вавшись, двигаются неразделенными. Еще раз отметим, что под
ЛСК мы понимаем такую систему координат, в которой до вза-
имодействия объект В покоился (мишень), а объект А двигался
(снаряд).
Найдем, используя релятивистские формулы, Еаор в ЛСК.
В ЛСК
•®ЦОр = (2л)пцп = (2д)ЯОр. (6*6)
Воспользуемся инвариантом I квадрата массы М системы час-
тиц:
(\ 2 / х 2
52 Et) - (SPi) с* = м*с4- (6 7)
i / \ i /
Запишем законы сохранения энергии и импульса в ЛСК и СЦИ
и используем вышенаписанный инвариант:
ЛСК
( Ед + тпвс^ = Ес + Ев + • • • = Е,
( Рл = Рс + Pd + • • • = р;
ЕА = ТА + тА<? = Ур^с2 + т\<*,
РАс2 = Та + 2Глпглс2;
СЦИ
(E'A + Eb = E'c + E,D + ... = E't
I Ра + Рв = Pc + Pd + • • • = Р; = 0.
Порогу в СЦИ отвечает рождение С, D,... с нулевыми кинети-
ческими энергиями, т. е.
Е'с = тсс2, E'D = mDc\ ...; р'с = pj, = ... = 0.
93
Инвариант массы в ЛСК:
Е2 - Р2дс2 = [ТА + (тА + тв)с2]2 - Т2А - 2ТАтАс2 =
= 2ТАтвс2 + (тд + тв)2с4.
Отвечающий порогу инвариант массы в СЦИ:
(Е')2 - (рх)2с2 ~ (тс + + • • Ус4-
Приравниваем инварианты массы в ЛСК и СЦИ и это отвечает
Тд = (Тд)пор*
Имеем
(2Тл)порПгвс2 + (тл + шв)2с4 = (тс + mD + .. .)2с4.
Откуда
(Т Ч - ^тс + mD + '1 -)2с4 - (тл + тв)2с4
UAjnop - .
Пусть (тс+тв + .. ,)2с4 = Ъ2, а (тА+тв)2с4 = а2, тогда имеем
(так как Ъ — а = —Q — |0|)
Ь2 - а2 = (J - a)(b + а) = |0|(* + а + а - а) = |0|(2а + |0|).
Итак,
(^Сд)пор =
= IQI (2(т^ + ^в)с2 IQI \ = / ПЫ 101 \
\ 2твс2 2твс2) \ тв 2твс2 J ’
(6-8)
причем два последних слагаемых в скобках — это доля кинети-
ческой энергии Та, идущая на движение центра инерции.
В ядерной физике обычно |Q| С 2тдс2 и
(Тл)ПОр « 101 (1+—У
(6-9)
94 ...........................................Лекция 6
При сохранении числа нуклонов |Q| — это разность энергий свя-
зи начальных и конечных продуктов.
Найдем (Тд)ПОр в ЛСК в нерелятивистском приближении. В
СЦИ из условия Е[ор = (ГД + =-Q = |Q| имеем
<22
. ™av'a = mBvB.
Отсюда легко найти
/,./ \2 _ 2Q тВ , / / ч2 __ 2Q тА
\VAJ ” _ I ~ \VBJ “ _L *
тпд тв тд тл + тв тв
А В
СЦИ
Рис. 6.4
„Л :й..- .
А В
ЛСК
Переходя из СЦИ в ЛСК мы должны остановить частицу
В, которая в СЦИ движется справа налево (рис. 6.4). Это дела-
ется добавлением направленной вправо скорости v'B каждой из
двух частиц (Л и В). Итак, ЛСК движется относительно СЦИ
влево со скоростью v'B. При этом продукты С, D,.. . движутся
в ЛСК вправо в неразделенном виде с той же скоростью vB. Их
кинетическая энергия бесполезна для реакции.
(Ti)w = ^«+vt)i = iei
тл
тА + тв
П^ + ^ + 2
тА тв
= Ю|('!!!!^£')=Ю|(1+=±).
\ тв / \ /
(6.10)
В нерелятивистском приближении доля кинетической энер-
гии, идущая на движение центра инерции, равна тд/тв. Добав-
ка \Q\/2msc2 в формуле (6.8) связана с использованием реляти-
вистских выражений, т. е. существенна при высоких энергиях.
95
Пример. Найдем порог реакции в нереля-
тивистском и релятивистском приближениях (р — антипро-
тон).
(7\)пор = IQI = 2mpc2 = 1877 МэВ
— нерелятивистское,
(TrU = 2mpc2 (1 + = 3 754 МэВ
у лШрС J
— релятивистское,
т.е. релятивистская «поправка» удваивает порог.
4. Механизмы ядерных реакций.
Составное ядро
Будем классифицировать реакции по времени протекания.
В качестве временного масштаба
удобно использовать ядерное время —
время пролета частицы через ядро
2R
(б.П)
Очевидно, тя — минимальное время протекания ядерной реак-
ции (тя « Ю“22 с для нуклона с^ = 25 МэВ и ядра с А = 25, а
также для нуклона с = 100 МэВ и ядра с А = 200).
Будем использовать следующую классификацию ядерных
реакций по времени протекания:
1. Если время реакции tp « тя, то это прямая реакция (время
реакции минимально).
2. Если tp тя, то реакция идет через составное ядро.
В первом случае (прямая реакция) частица а передает энер-
гию одному или нескольким нуклонам и они сразу покидают яд-
ро, не успев обменяться энергией с остальными нуклонами.
Во втором случае (составное ядро) частица а и нуклон, ко-
торому она передала энергию, «запутываются» в ядре. Энергия
делится среди многих нуклонов, и у каждого нуклона она недо-
статочна для вылета. Лишь через большое время в результа-
те случайных перераспределений она в достаточном количестве
концентрируется на одном из нуклонов (или объекте из несколь-
ких связанных нуклонов) и он покидает ядро. Это механизм со-
ставного ядра Бора (1936). Составное ядро и прямой механизм
полярны. Существует много реакций промежуточного типа.
96 Лекция б
Если реализуется механизм составного ядра, то реакция
идет в два этапа
а + А^С’-Лв + б, (6.12)
1 — образование составного ядра С, 2 — его распад.
В модели составного ядра длина свободного пробега час-
тицы а в ядре Лй < и эта частица захватывается ядром.
Энергия возбуждения последнего Е* & Та + Ва (в пренебреже-
нии отдачей) f где Ва — энергия отделения частицы а от ядра
С.
Появление Во в выражении Е* & Та 4- Ва можно объяс-
нить так: рассмотрим обратный процесс вырывания из ядра
захваченной им частицы а. Нужно, как минимум, затратить
энергию отделения Вй. Если энергия больше, то она идет на
кинетическую энергию Та.
В ядре С энергия возбуждения Е* делится среди А нуклонов
и в среднем на один нуклон приходится энергия ^+Вд- <
Лишь через t тя возможна концентрация достаточной энергии
на одном из нуклонов и его вылет. Составное ядро живет долго и
«забывает» способ своего образования. Поэтому сечение реакции
через составное ядро можно записать в виде
&ab — &а+А^В+Ъ = ^acWb, (б.13)
где 53 = ааС — сечение образования составного ядра (полное
ь
сечение реакции через составное ядро, вызванное частицей а), а
Wb — вероятность его распада по каналу Ь. Очевидно, 53 = 1-
ь
Испускание нуклонов составным ядром напоминает испаре-
ние молекул из нагретой капли. Угловое распределение в СЦИ
изотропно. Концепция составного ядра применима к средним и
тяжелым ядрам и £7* не более нескольких десятков МэВ. При бо-
лее высоких энергиях Л?/ > и вероятность захвата нуклона
ядром меньше единицы.
Далее мы познакомимся с тем, как выглядит сечение обра-
зования составного ядра аас в двух крайних случаях:
1) когда уровни составного ядра сильно перекрываются и об-
разуют непрерывный спектр без особенностей;
2) когда уровни составного ядра принадлежат дискретному
спектру и могут считаться изолированными (т.е. ширины
этих уровней Г меньше среднего расстояния между ними
ДЯ).
97
В качестве примера процесса 1-го типа рассмотрим образо-
вание составного ядра нейтроном.
5- Сечение образования составного ядра нейтроном
в нерезонансной области
Получим выражение для сечения образования составного
ядра. Будем предполагать, что сечение не зависит от квантовых
чисел налетающей частицы и квантовых чисел составного ядра,
и что уровни составного ядра образуют непрерывный спектр.
Пусть падающая частица является нейтральной и не нужно учи-
тывать кулоновское взаимодействие (например, случай образо-
вания составного ядра в реакциях с нейтроном). Вероятность
образования составного ядра нейтроном определяется произве-
дением вероятностей трех последовательных процессов:
1) попадания нейтрона в область действия ядерных сил
(эффективное сечение этого процесса обозначим по);
2) проникновения нейтрона внутрь ядра (вероятность этого
процесса F)’
3) захвата ядром нейтрона (вероятность f).
Ядерные силы короткодействующие, поэтому можно счи-
тать, что они отличны от нуля только внутри ядра. Следова-
тельно, сечение процесса, состоящего в том, что частица попа-
дает в область действия ядерных сил, определяется выражением
Сто к 7r(J? + А)2,
(6.14)
где F — радиус ядра, А — длина волны де Бройля для нейтро-
на. Зависимость потенциала, в котором движется налегающая
частица, от расстояния между ней и центром ядра приведена на
рис. 6.6.
При г = R происходит резкий
скачок потенциала, связанный с тем,
что в области г < R действуют ядер-
ные силы, имеющие характер при-
тяжения, При прохождении плоской
волны через скачок потенциала воз-
никает отраженная волна. Квантово-
механический расчет проницаемости
Р сквозь этот скачок для частиц с
массой М, кинетической энергией Т
и орбитальным моментом L = 0 при-
V(r) падающая
прошедшая ^0 нейтронная волна
отраженная R к
Рис. 6,6
водит к следующему результату:
98 _ ________________Лекция 6
_ 4kko
(* + М2’
(6.15)
где k = V2MT/ft, k0 = y/2M(T + V-Q)/K.
В модели составного ядра считается, что частица, попав в
ядро, с вероятностью £ = 1 остается в нем (как уже отмеча-
лось это имеет место для средних и тяжелых ядер и энергий
нейтронов вплоть до нескольких десятков МэВ).
Таким образом, сечение образования составного ядра ней-
трально^ частицей (нейтроном) определяется выражением
<гпс = « %(Я + А)»(^*?)а. (6.16)
При высоких энергиях А R и k ъ to* Поэтому 4кко/(& + &о)2
1 и получаем в качестве результата геометрическое сечение
адра: <гпС«?гЯ2. (6.17)
6. Формула Брейта-Внгяера
Рассмотрим сечение образования составного ядра в районе
изолированных уровней, т. е. когда ширины уровней Г меньше
расстояний ДЯ между ними. Изолированные уровни составного
ядра отчетливо проявляются при рассеянии медленных нейтро-
нов ядрами (рис. 6.7). На этом рисунке показано сечение взаимо-
действия нейтронов малых энергий (сотни эВ) с ядром 238U. То,
что наблюдаемые резонансы — уровни составного ядра, следует
из их ширины.
1<Ът'.барн
23ви<Л| /7')
99
Ширины показанных на рис. 6.7 уровней (резонансов) после
внесения поправок на аппаратную форму линии и допплеровское
уширение оказываются < 1эВ. Это означает, что время жизни
таких уровней т = й/Г > 10”15 с, что по крайней мере на 4 по-
рядка превышает время пролета нейтрона с энергиями сотни эВ
через ядро урана (это время 1О~19-1О~20 с).
Экспериментальные данные показывают, что среднее рас-
стояние между уровнями быстро уменьшается с ростом мас-
сового числа А и энергии возбуждения ядра. Это объясняется
возрастанием числа различных способов распределения энергии
между нуклонами. Все это приводит к тому, что с увеличением
энергии нейтронов уровни начинают перекрываться.
Для тяжелых ядер это происходит уже для нейтронов с энер-
гией Тп несколько кэВ. Энергия возбуждения составного ядра Е*
при этом близка к энергии отделения нейтрона из этого ядра Вп,
равной нескольким МэВ (£?* « Вп + ТП и для медленных нейтро-
нов Тп «< Вп). Для высоких энергий возбуждения (15-20 МэВ)
плотность уровней столь велика, что они, сильно перекрываясь,
образуют непрерывный спектр. В этом случае процесс образо-
вания составного ядра имеет нерезонансный характер и к нему
может быть применен подход, описанный в п. 5.
Итак, пусть у составного ядра С имеется набор изолиро-
ванных уровней с энергиями, пронумерованными в порядке их
возрастания Er = jE?i, 2%,... При совпадении энергии возбужде-
ния этого ядра с энергией одного из уровней (Е* = Ег) сечение
образования составного ядра <гаС (а + А С*) и сечение реак-
ции <гаь (а + А -> С* Ъ + В) имеет максимум. Форма сечения
в районе изолированного уровня совпадает с формой резонанса
в механике, оптике и электричестве, т. е. с формой лоренцовой
линии. В ядерной физике говорят о брейт-вигнеровской зависи-
мости сечения от энергии. Формула Брейта-Вигнера имеет вид
Vab = wAa _ Еагу + Г2/4. (6-18)
где Аа — де бройлевская длина волны падающей частицы.
Для реакции рассеяния нейтронов в районе изолированного
уровня получаем
Г2
= К(Е* - Ег)2 + Г2/4' (6'19)
100 Лекция 6
В этих формулах Г/Л — полная вероятность распада составного
ядра в единицу времени; Га/Л, Гь/Л, Г*/Л — вероятности рас-
пада составного ядра в единицу времени с вылетом частиц а, b
и нейтрона:
, все
г = Гв + Гь +... = (6-20)
Из формулы Брейта-Вигнера можно получить сечение образо-
вания составного ядра <гас в области изолированного уровня:
&ab ~ &acWb = О-ас~ = Я Ад
ГдГ
(Е* - Ег)2 + Г2/4
откуда
(6.21)
(6.22)
Ь
Г ’
В заключение этого раздела рассмотрим область энергий со-
ставного ядра ниже самого первого резонанса (В* < 2?i). В этой
области (рис. 6.8) сечение образования составного ядра нейтро-
ном <тпс не имеет особенностей и можно воспользоваться фор-
мулой (6.16). Рассматриваемая область это область близких к
нулю кинетических энергий нейтронов. Поэтому, полагая А > R
и ko > fc, получаем
апС~я(Я + А) +
4я 1
kg ~ kho ~ v1
(6.23)
где v — скорость падающего нейтрона (к = \/2MT/h ~ и).
101
7. Прямые ядерные реакции
Прямые реакции протекают без образования составного яд-
ра за времена, равные характерному ядерному времени тя «
« 10“22с (времени пролета падающей частицы через ядро). В
прямых реакциях налетающая частица передает свою энергию
одному или нескольким нуклонам ядра-мишени, которые затем
сразу вылетают из ядра, не успев обменяться энергией с осталь-
ными нуклонами ядра. Прямые процессы идут на всех ядрах при
любых энергиях налетающих частиц. Они вносят особенно боль-
шой вклад в сечение ядерных процессов при больших энергиях,
однако заметную роль могут играть и при малых энергиях.
ядро Л+1
ядро Л
Рис. 6.9
Одним из примеров реакций такого типа являются реак-
ции однонуклонной передачи (рис. 6.9), в которых налетающая
частица и ядро-мишень обмениваются одним нуклоном. Огра-
ничимся качественным рассмотрением реакции (d,p) и обратной
ей реакции (p,d). Первая из этих реакций носит название реак-
ции срыва, вторая — подхвата. Эти реакции обычно идут на
поверхности ядра. Так в реакции (d,p) дейтрон одним из своих
нуклонов «задевает» ядро, вследствие чего дейтрон распадается.
При этом один из нуклонов дейтрона захватывается (срывается)
ядром, а другой движется в направлении своего первоначального
импульса, не взаимодействуя с ядром.
102 Лекция 6
Реакцию срыва удобно использовать для изучения тех со-
стояний (уровней) конечного ядра А + 1, которые связаны с из-
менением положения отдельного нуклона (такие состояния назы-
вают одночастичными). При срыве захваченный ядром нуклон
(на рисунке это нейтрон) занимает один из свободных энерге-
тических уровней (он на рисунке условно показан пунктиром),
причем с большой вероятностью остальная часть ядра — ос-
тов — не возбуждается. Другой нуклон распавшегося дейтрона
(протон) несет информацию об этом уровне — его энергии, чет-
ности, моменте количества движения захваченного нейтрона на
этом уровне.
Рис. 6.10. Данные реакции (р, 2р) по выбиванию протона из ядра § Li, пред-
ставленные в вида зависимости числа протонов в ядре |Li от их энергии
связи (вертикальная шкала в МэВ). Эксперимент демонстрирует наличие
у ядра лития двух групп протонов с существенно различными энергия-
ми связи (S.0 и 21.5 МэВ). Менее связанные протоны имеют орбиталь-
ный момент L = 1 (p-состояние). Для более связанных протонов L = О
(з-состояние)
103
Реакция подхвата (р, d) обратна реакции срыва (d,p) и про-
текает аналогично. Она также удобна для изучения состояний
занимаемых отдельными нуклонами ядра. Подхваченный нале-
тающим протоном нейтрон оставляет вакансию (дырку) на том
уровне, который он занимал, а образовавшийся дейтрон несет ин-
формацию об этом уровне. Остальные нуклоны ядра с большой
вероятностью остаются в прежних состояниях.
К прямым ядерным реакциям относятся также реакции
(р, 2р), (е,ер), (е, еп) при больших энергиях налетающих час-
тиц (десятки-сотни МэВ). В таких реакциях одному из нуклонов
ядра сообщается большая кинетическая энергия и он покидает
ядро, практически не обмениваясь ею с другими нуклонами. Ре-
гистрируя конечные продукты реакции, например 2 протона или
электрон и нуклон, можно получить информацию о том энерге-
тическом уровне, который занимал вылетевший нуклон в ядре
до реакции.
В прямых реакциях рассмотренного типа были получены
важные результаты, свидетельствующие о том, что нуклоны в
ядрах находятся в устойчивых квантовых состояниях с опреде-
ленными значениями энергии связи (отделения), орбитального
и полного момента, а также четности. Эти состояния группи-
руются по энергии, образуя нуклонные оболочки, аналогичные
электронным оболочкам в атомах. Данные одного из подобных
опытов показаны на рис. 6.10.
104 Лекция 7
Лекция 7
1. Модель ядерных оболочек. История ее появления.
Магические числа
2. Формулировка модели оболочек для ядра. Роль принципа Паули.
Объяснение магических чисел. Нуклонные конфигурации
3. Квантовые характеристики основных состояний ядер
в одночастичной модели оболочек (ОМО).
Возбужденные состояния в ОМО
4. Ограниченность одночастичной модели оболочек.
Многочастичная модель оболочек.
Коллективные возбуждения ядер. Аналогия с молекулой
5. Вращательные уровни четно-четных несферических
(деформированных) ядер
6. Колебательные (вибрационные) уровни четно-четных
сферических ядер
7. Реальный ядерный спектр
1. Модель ядерных оболочек. История ее появления.
Магические числа
Модели ядра можно разбить на два больших класса — мик-
роскопические (рассматривающие поведение отдельных нукло-
нов в ядре) и коллективные (рассматривающие согласованное
движение больших групп нуклонов в ядре). Один из примеров
последних — модель жидкой капли. Среди микроскопических
ядерных моделей выделяется модель оболочек. Она аналогична
модели атомных оболочек, в которой задача многих тел сведена
к задаче одного тела (одночастичной задаче) — движению не-
взаимодействующих друг с другом электронов, подчиняющихся
принципу Паули, во внешнем (кулоновском) поле ядра. Таким
образом, модель оболочек для атома базируется на двух основ-
ных положениях:
1. Отсутствие (точнее, слабость) взаимодействия
между частицами (электронами).
2. Наличие внешнего поля сил притяжения
(потенциальной ямы) V(r) = —Z^/r,
Ни одно из этих условий для ядра не выполняется. Ядро
— это система сильно взаимодействующих плотно упакованных
нуклонов. Ядерное поле создается внутренними межнуклонными
105
силами. Нуклоны в ядре должны часто сталкиваться и обмени-
ваться энергиями. Средняя длина свободного пробега нуклона
в ядре должна быть меньше радиуса ядра. Все это приводит
к выводу о невозможности движения нуклонов внутри ядра по
устойчивым орбитам, с долго сохраняющимися квантовыми чис-
лами, т. е. нахождения их на определенных оболочках. Однако
факты заставили эту модель ввести. Она была сформулирована
в 1949 г. Марией Гепперт-Майер, Йенсеном, а также Хакселем
и Суэссом. Первые двое за эту работу были удостоены в 1963 г.
Нобелевской премии.
Рис. 7.1. Относительная распространенность средних
и тяжелых ядер
Основной факт, подтверждающий оболочечное строение яд-
ра — это «магические числа» нуклонов (протонов и нейтронов).
Ядра, у которых число нейтронов и (или) протонов равно этим
числам (2,8,20,50,82,126), обладают повышенной устойчивос-
тью и распространенностью, а также рядом других свойств, вы-
деляющих их из других ядер. Магические числа были установле-
ны в 1934 г. немецким физиком Эльзассером и интерпретированы
им и американцем Бартлетом задолго до 1949 г. как проявле-
ние оболочечного строения ядер. Приведем основные экспери-
ментальные факты в пользу существования магических чисел:
1. Повышенная распространенность магических ядер (рис. 7.1).
2. Относительное уменьшение массы магических ядер (рис. 7.2).
3. Увеличение энергии отделения нейтрона в ядрах с 7V = 50, 82,
126 (рис. 7.3).
4. Резкое увеличение энергии первого возбужденного состояния у
ядер с магическим числом нейтронов и (или) протонов (рис. 7.4).
106 —________________________________________Лекция 7
Магическим числам
нуклонов отвечают ядра с
заполненными оболочками,
демонстрирующие особую
устойчивость, подобно бла-
городным газам, имеющим
заполненные атомные обо-
лочки. Оболочечная струк-
тура ядра свидетельствует
о том, что нуклоны в ядре
во многом ведут себя как
независимые частицы в по-
тенциальной яме.
Рис. 7.3. ДВП = О отвечает предсказанию формулы Вайцзеккера
Рис. 7.4
107
2. Формулировка модели оболочек для ядра.
Роль принципа Паули.
Объяснение магических чисел.
Нуклонные конфигурации
Возможность введения модели оболочек для ядра означает,
что многочастичная ядерная задача допускает такую перефор-
мулировку, при которой усреднение отдельных короткодейству-
ющих межнуклонных потенциалов внутри ядра сводится к воз-
никновению почти одинакового для всех нуклонов потенциала
притяжения (яме), причем нуклоны в этой яме можно прибли-
женно рассматривать как независимые частицы.
Фундаментальная роль в применимости модели оболочек к
ядрам принадлежит принципу Паули. Этот принцип сущест-
венно ограничивает возможность взаимодействия между двумя
фермионами при низких энергиях. Так, у невозбужденного ядра
нижние одночастичные состояния вплоть до некоторой энергии
(уровня Ферми) заполнены. Взаимодействие двух нуклонов с из-
менением их состояния требует их перехода на новые энергети-
ческие уровни. При этом один нуклон увеличивает свою энергию
и переходит в более высокое свободное состояние, а другой —
теряет энергию и обязан занять более низкое состояние. Но все
нижние состояния уже заполнены и на них не может появиться
дополнительный фермион. Таким образом, нуклоны продолжа-
ют двигаться по прежним орбитам и длина свободного пробега
нуклона становится больше диаметра ядра. Возникает условие
для устойчивых нуклонных орбиталей.
Будем рассматривать «сферичес-
кую» модель оболочек, когда нуклоны
находятся в сферически симметричной
потенциальной яме V(r) = V(r). Пре-
небрегаем кулоновским взаимодействи-
ем. Рассмотрим три вида модельного по-
тенциала (рис. 7.5):
1. Прямоугольная яма с бесконечно
высокими стенками
У(г) =
-Vo,
+оо,
т < R,
г > R.
(7-1)
Рис. 7.5
108 Лекция 7
2. Потенциал гармонического осциллятора (М — масса ну-
клона)
V(r) = -Уо + ^Afw’r2. (7.2)
А
3. Потенциал Вудса-Саксона
Последний потенциал наиболее близок к реальному ядерно-
му потенциалу. По форме он является перевернутым распреде-
лением Ферми для плотности ядерного вещества (см. лекцию 1).
В потенциале (7.3) % ~ 40-50 МэВ, а & 0.55 Фм.
Переход от короткодействующего межнуклонного потенци-
ала к ядерной яме иллюстрирует рис. 7.6.
Если выбран модельный потенциал, то далее все сводится к
решению уравнения Шредингера для отдельного нуклона. Пусть
Но — гамильтониан ядра, a ha — гамильтониан отдельного нук-
лона (с индексом ос). Тогда имеем
Йоф =
где
А
ЯО = 22Лв
а=1
(7-4)
/V/V-потенциал ядерный потенциал
1.5 Фм
Рис. 7.6
Уравнение Шредингера
для отдельного нуклона
ha<f>i(ra) = £i<pi(ra). (7.5)
Так как ha выглядит оди-
наково для всех нуклонов,
можно записать
h<pi = £i<pi,
(7-6)
причем волновая функция нуклона, описывающая его орбиталь-
ное движение, имеет вид
<Р = ФпЬт = RnL(r)YLm(0, <f>),
(7.7)
109
где n — радиальное квантовое число (п = 1,2,3,...), L — орби-
тальный момент нуклона, m — его проекция на ось z.n — число
узлов (точек обращения в нуль) радиальной волновой функции
в области г > 0. При фиксированном L энергия е нуклона тем
больше, чем больше число п. Для L используются обычные бук-
венные обозначения:
L =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
spdfghij.
Состояние нуклона обозначают (как и состояние электрона в
атоме) в виде комбинации п (число) L (буква). Последова-
тельность одночастичных уровней зависит от V(r). На рис. 7.7
показаны схемы уровней для потенциалов гармонического ос-
циллятора, прямоугольной ямы и промежуточной формы (ти-
па Вудса-Саксона). Ядерные оболочки обычно обозначают по
уровням гармонического осциллятора: ls-оболочка, Гр-оболочка,
1сЙ5-оболочка и т.д. Подоболочками называют одночастичные
уровни, входящие в состав оболочек.
гармонический осциллятор / .P.6?!j^^'i/[138] 5Й“ 1ft[92] 3s[70] \ ^^lg[58] 3ft® ±3L-__ 2р[40] У[34] 2ft® [20] 2 s [20] 1Л® W 1р[8] о»® igra. Вудс—Саксон прямоугольная яма <1^ зр (6) < 1132] 1f (26) "" [106] 2f (14) . . t92i 3s (2) 1Л (22) [68] 2<* (10) , 1g (18) 2p (6) P4) V (14) gL25 <2> -- 113- 1d (10) -—£L i₽ (6) EL и (2)
Рис. 7.7
110-----------------------------------------Лекция 7
Заполнение оболочек (подоболочек) нуклонами происходит
в соответствии с принципом Паули. В основном состоянии заня-
ты самые нижние уровни. При этом одночастичные уровни для
протонов и нейтронов заселяются независимо. Число нуклонов
одного типа на уровне дается формулой
^ = 2(21 + 1), (7.8)
где (2L + 1) — число ориентаций вектора L, 2 — число ориен-
таций спина нуклона s = 1/2.
Уровни гармонического осциллятора эквидистантны. Рас-
стояние между ними дается выражением
/л-rr *2 \ V2
1w = (« 47Л"1/® МэВ (7.9)
при Vo == 40 МэВ.
Из (7.9) видно, что с ростом числа нуклонов А «плотность»
оболочек растет (расстояние между оболочками уменьшается).
Так, при А = 20 fw « 17 МэВ, а при А « 200 ftw « 8 МэВ.
Уровни гармонического осциллятора характеризуются
сильным вырождением. В потенциале Вудса-Саксона (как и в
прямоугольной потенциальной яме) снимается вырождение по
орбитальному моменту нуклона в пределах одной оболочки и
происходит перегруппировка псдоболочек для высоких одночас-
тичных уровней. Оболочками в случае произвольного потенциа-
ла следует считать группы близко расположенных одночастич-
ных уровней.
Пользуясь формулой (7.8), можно найти максимальное чис-
ло нуклонов одного типа на подоболочке (одночастичном уров-
не), максимальное число нуклонов одного типа на оболочке
(группе близкорасположенных одночастичных уровней) и, нако-
нец, — максимальное число нуклонов одного типа в ядрах с за-
полненными оболочками. Эти последние числа должны отвечать
магическим ядрам. Для потенциалов гармонического осциллято-
ра, прямоугольной ямы и промежуточной формы (типа Вудса-
Саксона) получаем следующие магические числа (рис. 7.7):
гармонический осциллятор N, Z=2, 8, 20, 40, 70, 112, 168;
прямоугольная яма N, Z=2, 8, 20, 34, 58, 92, 138;
Вудс-Саксон N, Z=2, 8, 20, 40, 70, 92, 138.
1hco
[в]
0000(4)
О —1s--------------------1s1/2---------------OO--------------(2) --------- [2]
P "
Рис. 7.8. Возникновение схемы ядерных уровней при наличии
спин-орбитальной связи. Показано расположение нуклонов в
основном состоянии 16 О
112 Лекция 7
Лишь первые три числа (2,8, 20) совпадают с реальными
магическими числами. Для объяснения всего набора магических
чисел, как оказалось, необходимо учесть спин-орбитальные си-
лы, т. е. ту часть ядерного потенциала, которая зависит от вза-
имной ориентации орбитального и спинового моментов нуклона
(Лекция 5). С учетом спин-орбитальной добавки ядерный потен-
циал имеет вид
У(г) = Гг(г) + Г2(т)Ь8, (7.10)
где Vs(r) < 0, как и Vi(r).
В потенциале (7410) снимается вырождение по полному мо-
ментуму нуклона в пределах одной оболочки, который при дан-
ном L в зависимости от ориентации спина нуклона принимает
два значения: j = L ± 1/j. Иными словами потенциал (7.10)
расщепляет состояния с разной взаимной ориентацией L и s.
Таким образом, каждый одночастичный уровень расщепляет-
ся на два. Глубже опускается уровень су ~ L 4- 1/г, так как
в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными.
Возникновение схемы ядерных одночастичных уровней с учетом
^L-расщепления демонстрирует рис. 7.8.
В обозначение одночастичных уровней вводится нижний ин-
декс, указывающий величину у. Так, вместо уровня 1р появля-
ются два уровня су — J/s и 3/г, обозначаемые lpi/з и 1рз/2-
Величина расщепления, очевидно, тем больше, чем больше L
(это следует уже из вида выражения Ls). Начиная с уровня 1<7
(рис. 7.8), затем lh и т.д., ^L-расщепление становится сравни-
мым с расстоянием между соседними осцилляторными оболоч-
ками. Расщепление уровней с L > 4 настолько велико, что ниж-
ний уровень оболочки с максимальным у и L сильно опускается
вниз и присоединяется к предыдущей оболочке (это относится
к уровням 1^9/2, 1Лц/2> 1*13/2 и 1^15/2, которые попадают соот-
ветственно в 4, 5, 6 и 7-ю оболочки).
Количество нуклонов одного сорта на подоболочке равно
числу Vj проекций у на ось z:
1^ = 2у + 1. (7.11)
Состояния ядра в изложенном варианте модели оболочек — од-
ночастичной модели оболочек (ОМО) — определяются располо-
жением нуклонов на одночастичных орбитах и называются кон-
фигурациями. Основное состояние ядра отвечает расположению
нуклонов на самых нижних подоболочках (орбитах). На рис. 7.8
113
показано расположение нуклонов по подоболочкам в основном со-
стоянии ядра 1§О. Кулоновское отталкивание протонов увеличи-
вает энергию протонных одночастичных уровней по сравнению с
нейтронными и видоизменяет потенциальную яму для протонов
(она мельче нейтронной и за пределами ядра дополнена асимпто-
тикой кулоновского потенциала), С учетом этого расположение
нуклонов по подоболочкам в основном состоянии 16О правильнее
показывает рис. 7,9. Конфигурации записываются в виде после-
довательности обозначений (п£у)^, где Vj — число нуклонов на
подоболочке. Так, для основного состояния ядра |Не конфигура-
ция нуклонов выглядит так: (l$i/г)р(151/2)п или (1^1 /г)4-
Следует отметить, что при Z и 77, больших 50, последо-
вательности уровней (а значит и порядок их заполнения) для
протонов и нейтронов различаются. Приведенная на рис. 7.8 по-
следовательность уровней одинакова для протонов и нейтронов
вплоть до Z = N = 50. Для нейтронов с 77 > 50 имеет место
тенденция к заполнению сначала уровней с меньшими момента-
ми. В табл. 7.1 даны последовательности заполнения протонных
и нейтронных уровней, согласующиеся с экспериментом.
9 Зак. 320
114_________________________________________— Лекция 7
Таблица 7.1
Последовательности заполнения
протонных ж нейтронных уровней
Z Протоны Нейтроны
2 1*1/» 2
6 1РЗ/2 6
8 1Р1/2 8
ч14 1<^/2 14
16 2«1/з 16
20 ldj/j 20
2$ .. Vr/» 28
32 2?з/1 32
38 l/s/2 38
40 2pi/2 40
50 109/2 50
58 107/2 2^5/2 56
64 2dj/i 107/2 64
76 1^11/2 3*1/2 66
80 2^8/2 2dj/3 70
82 3*1/2 1Л11/2 82
92 1Л9/2 1*9/2 92
100 2/7/2 2/7/2 100
114 1*13/2 1*13/2 114
120 2/1/3 Зрз/2 118
124 Зрз/2 . 2/s/2 124
126 3P1/2 3pi/2 126
142 1/15/2 209/2 136
152 209/2 1*11/2 148
164 1*11/2 1/15/2 164
170 3ds/2 3<fe/2 170
178 207/2 4*1/3 172
180 4*1/2 207/2 180
184 34з/2 3dj/3 184
115
3. Квантовые характеристики основных состояний
ядер в адночастичной модели оболочек (ОМО).
Возбужденные состояния в ОМО
В трех случаях одночастичная модель оболочек однозначно
предсказывает спин и четность основного состояния ядра:
1. Ядро с заполненными подоболочками. Так как в каждой
из них заняты состояния со всеми возможными проекциями j,
результирующий момент подоболочки и полный момент ядра J
равны нулю. Каждому нуклону на подоболочке с проекцией +jx
будет соответствовать нуклон с ~jz и суммарный момент нук-
лонов подоболочки будет равен нулю. Возможные значения jz
даются следующим набором чисел:
Л = ±J, ±(j - 1). ±(j - 2), .... ±1/2.
Например, если нуклон на подобо-
лочке имеет j = 3/г, то на этой подобо-
лочке может находиться 4 нуклона од-
ного типа (4 протона и 4 нейтрона) и
заполненную подоболочку с этими че-
тырьмя нуклонами можно изобразить
так, как на рис. 7.10.
Четность замкнутой подоболочки
положительна, так как она содержит
четное число (2j + 1) нуклонов одина-
ковой четности. Итак, для замкнутой
подоболочки (оболочки)
= 0+.
й=+3/2
+1/2
-1/2
-3/2
Рис. 7.10
(7-12)
2. Ядро с одним нуклоном сверх заполненных подоболочек.
Остов заполненных подоболочек имеет характеристики О+, и
полные момент и четность определяются квантовыми числами
единственного внешнего нуклона
Если этот нуклон в состоянии nLj, то полный момент ядра
J = У, а результирующая четность ядра Р = (-1)L. Поэтому
для основного состояния такого ядра имеем
(7-13)
9‘
116 Лекция 7
3. Ядро с дыркой в заполненной подоболочке, т.е. когда
до заполнения подоболочки не хватает одного нуклона. Пусть
квантовые числа нуклона на такой подоболочке nLj. Обозначим
момент и четность подоболочки с «дыркой» j1 и р'. Так как до-
бавление нуклона в подоболочку замыкает ее, имеем
j+j' = o и з' = 3>
р'-р = +1 и р' = р, (7.14)
т. е. для ядра с «дыркой» имеем те же правила нахождения спина
и четности основного состояния, что и для ядра с одним нукло-
ном (частицей) сверх замкнутых подоболочек (оболочек):
Рассмотрим случай двух тождественных нуклонов на подобо-
лочке nLj. Вся совокупность имеющихся экспериментальных
данных свидетельствует о том, что в основном состоянии ядра
нуклоны одного типа на подоболочке объединяются в пары с
противоположными jz. Поэтому моменты таких пар протонов и
нейтронов равны нулю. И если на подоболочке nLj четное число
нуклонов каждого сорта, то момент подоболочки J = 0, если не-
четное число нуклонов, то J = у. Когда происходит заполнение
подоболочки в основном состоянии, то нуклоны одного сорта по-
следовательно формируют пары с одинаковыми по величине, но
противоположными по знаку проекциями полного момента нук-
лона j, т. е. пары с ±ух. Таким образом, величина (и знак) проек-
ции момента четного нуклона «подстраивается» так, чтобы быть
равной (но противоположной по знаку) проекции последнего не-
четного нуклона того же сорта. Если опять обратиться к подобо-
лочке с j = 3/г, то, если первый протон (или нейтрон) оказался
случайно на этой подоболочке в состоянии с (jz)i = -И/г, то вто-
рой обязательно окажется в состоянии с (У«)г == - l/i- Для остав-
шейся пары протонов (нейтронов) возможны следующие вари-
анты выбора fa (j,)3 = +«/2) (;х)4 = -3/2, либо (y,)s = -3/2,
(jz)< = +3/г-
Подчеркнем, что это эмпирическое свойство относится
лишь к нуклонам одного сорта (двум протонам или двум нейт-
ронам) ма одной подоболочке в основном состоянии. С учетом
этого свойства легко сформулировать следующие правила для
спинов и четностей ядра в основном состоянии:
117
четно-четное ядро — Jp = 0+;
нечетное ядро — J = j; Р = (-1)ь;
нечетно-нечетное ядро —
tip - Jnl < j < Зр + Зп, Р = ,
(7-15)
где j, L, jp, Lp, jn} Ln относятся к полному и орбитальному
моменту нечетного нуклона (протона, нейтрона).
Таким образом, между любой парой нуклонов одного типа
на подоболочке в основном состоянии действует дополнительное
взаимодействие V0CT помимо общего, сводящегося к центрально
симметричному V(r), и это взаимодействие УОст (не сводимое к
У(г)) называется поэтому остаточным. Свойства Кет таковы,
что паре нуклонов одного сорта на одной подоболочке в основ-
ном состоянии выгодно иметь результирующий момент равный
нулю. Кет снимает вырождение по J этой пары (0 < J < 2j)
так, что низшим оказывается состояние с J = 0. Это и есть
уже упоминавшиеся ранее при обсуждении формулы Вайцзекке-
ра (Лекция 2) силы спаривания. Дополнительная энергия связи
за счет этих сил 1-3 МэВ (рис. 2.6, 2.7).
В одночастичной модели оболочек возбужденные состояния
возникают при переходе одного или нескольких нуклонов на бо-
лее высокие одночастичные орбиты. Наиболее просто выглядит
спектр возбуждений ядер с одним нуклоном или «дыркой» сверх
заполненных оболочек. Нижние возбуждения такого ядра обра-
зуются перемещением этого внешнего нуклона на более высокие
подоболочки или «дырки» на нижние подоболочки (вглубь) ядра.
Примерами возбуждений такого типа являются нижние состоя-
ния ядер 2§зРЬ и (рис. 7.11). Первое из этих ядер — это
ядро с нейтронной дыркой в дважды магическом коре 28®РЬ,
второе — с одним нейтроном сверх этого же кора. Представ-
ленные на рис. 7.11 возбуждения обусловлены соответственно
перемещением нейтронной дырки (ядро ^JPb) и нейтрона (яд-
ро 28гРЬ) по одночастичным уровням при неизменном дважды
магическом коре 2§fPb (Z = 82, N = 126).
118 Лекция 7
нейтронные подоболочки
0г
«РЬ
™рь
36U
4»t/z
=3d7a
=11?“
' 71S/2
1*11/2
20*2
уровень Ферми
3PV2
2?в/2
ЗРз/2
1*13/2
2fr/2
1/Ц/2
209
РЬ
2.52 -2g-
2.47 __Zgl—
2.03___121__
1.56—5gL_
1.41 1^
0.77..11/2L,
2
4
6
энергия связи, МэВ
Рис. 7.11. Нейтронные подоболочки ядра 208 РЬ и нижние состояния ядер
307РЪ и 309РЪ. Слева от уровня указана его энергия в МэВ. Показаны
количества нейтронов, заполняющих в основном состоянии внешние под*
оболочки ядра 308РЬ
4. Ограниченность одночастичной модели оболочек.
Многочастичная модель оболочек.
Коллективные возбуждения ядер;
Аналогия с молекулой
Одночастичная модель оболочек (ОМО), прекрасно объяс-
няя квантовые характеристики основных состояний ядер, встре-
чает большие трудности в объяснении спектра возбужденных
состояний ядер, а также их магнитных дипольных и электри-
ческих квадрупольных моментов, резко занижая величины по-
следних. В ОМО эти моменты в основном состоянии и не мо-
гут быть значительными, так как они либо строго равны нулю
(для четно-четных ядер), либо обусловлены одним-двумя нукло-
нами сверх четно-четного кора (в случае нечетных и нечетно-
нечетных ядер). Главная причина подобныхнеудач ОМО состо-
ит в пренебрежении остаточным взаимодействием между нукло-
нами. Напомним, что это та часть двухнуклонного взаимодейст-
вия Vap, которую нельзя свести к одинаковому для всех нуклонов
потенциалу.
119
Один из примеров остаточных сил, который уже обсуждался
в наших лекциях, это силы спаривания. Однако остаточные силы
не сводятся только к силам спаривания. Многочастичная модель
оболочек (ММО) — это усовершенствованная модель оболочек,
учитывающая остаточные силы. ММО — современный вариант
модели оболочек, который обладает значительно большей пред-
сказательной силой, чем ОМО. В задачу этих лекций, однако, не
входит рассмотрение ММО.
Наряду с одночастичными ядерными возбуждениями накап-
ливались данные и о коллективных ядерных возбуждениях, кото-
рые не удавалось объяснить в рамках модели оболочек. Простей-
шая коллективная модель (жидкой капли) уже была рассмотрена
при выводе формулы Вайцзеккера (Лекция 2).
Для прояснения вопроса о возможных типах возбуждений
ядра аналогия с хорошо изученным атомом не годится. Спектр
атомных возбуждений беден. Это одночастичные возбуждения
(переходы одного электрона) и многоэлектронные переходы как
сумма одноэлектронных. Атомное ядро по характеру возможных
возбуждений ближе к молекуле, где наряду с одноэлектронны-
ми переходами возможны коллективные возбуждения — колеба-
тельные и вращательные.
Идея о существовании у ядер коллективных вращатель-
ных и колебательных состояний оформилась в начале 50-х гг.
из анализа схем уровней четно-четных ядер (исторически нер-
вы^ из открытых коллективных ядерных состояний был гигант-
ский дипольный резонанс, предсказанный в 1945 г. советским
физиком А. Б. Мигдалом и обнаруженный экспериментально в
1947-1948 гг.). Для объяснения многообразия ядерных возбужде-
ний была использована аналогия с молекулярной спектроскопией
(рис. 7.12).
электронные состояния
(орбитали)
Д£>1эВ
колебательные состояния
(vibrations)
А£|»л«0.1 эВ
Рис. 7.12
вращательные состояния
(rotations)
ДЕ^-Ю^эВ
120_________________________________________— Лекция 7
В молекуле одночастичное состояние — это одноэлектрон-
ное состояние. Два электронных состояния отличаются тем, к
каким молекулярным оболочкам они принадлежат. Молекуляр-
ные орбитали различаются примерно на 1 эВ. Если молекуле пе-
редать энергию < 1 эВ, то одночастичные переходы невозможны
и могут быть лишь коллективные типы движений — колебания
формы или вращения молекулы как целого вокруг ее центра тя-
жести. Схематически эти три вида возбуждений для двухатом-
ной молекулы типа СО выглядят примерно так, как показано на
рис. 7.12.
Так^м образом, в молекулах (и ядрах) возникают три накла-
дывающиеся ветви возбуждений, из которых одна одночастич-
ная и две коллективных. Энергии одночастичных возбуждений
в ядрах исчисляются мегаэлектронвольтами (расстояние между
подоболочками). Коллективные ядерные возбуждения типа виб-
раций и вращений имеют энергии существенно ниже. Кратко
рассмотрим их.
5. Вращательные уровни четно-четных
несферических (деформированных) ядер
Рис. 7.13
Пусть имеется ядро в виде аксиально-
симметричного вытянутого эллипсоида и,
считая, что его ось симметрии совпадает с
осью z, рассмотрим его вращение, напри-
мер, вокруг оси х (следует напомнить, что
вращение ядра вокруг оси симметрии и, как
частный случай, вращение сферического яд-
ра вокруг любой оси, проходящей через его центр, с точки зрения
квантовой механики Невозможно — см. Приложение К).
Классическая энергия вращения дается выражением
г, L2
^вр * 2 2G* (7-16)
где G — момент инерции эллипсоида, L — орбитальный момент.
В основном состоянии (ground state) четно-четного ядра (т.е.
при отсутствии вращения) его спин Jga = 0. Если такое ядро
вращается, то его спин целиком обусловлен этим вращением и
J = L. Переходя к квантовой механике, т.е. производя замену
J2 => + 1), получаем
(7.17)
121
Очевидно, волновой функцией вращающегося ядра являет*
ся собственная функция оператора , т.е. сферическая функ-
ция У}м. При этом J = 0,2,4,..., что следует из соображе-
ний симметрии. Бесспиновое ядро, имеющее форму аксиально
симметричного эллипсоида, не меняется при пространственной
инверсии (отражении в плоскости жу), т. е. переходит само в се-
бя. Поэтому волновая функция такого ядра симметрична или
четна, что исключает J = 1,3,5,... Таким образом, четность
вращающихся состояний +1.
Примером вращательных уровней являются нижние уровни
ядра (рис. 7.14).
Характерным признаком враща-
тельных уровней (помимо последова-
тельности их спинов-четностей Jp =
= 0+, 2+, 4+, 6+, 8+,... для четно-чет-
ных ядер) является пропорциональность
энергии этих уровней величине J(J+1)-
Если в рассматриваемом примере вы-
брать G таким, чтобы энергия 1-го
возбужденного уровня 2+ была равна
93 кэВ, то, используя формулу (7.17), по-
лучим величины энергий уровней, при-
веденные на рисунке в скобках. Бли-
зость рассчитанных и опытных значе-
ний подтверждает вращательную природу уровней ^Hf.* По
мере приближения к магическим (сферическим) ядрам G умень-
шается и 2?вр увеличивается. При этом вращательные уровни
уходят вверх. Еще раз подчеркнем, что у сферических ядер вра-
щательных состояний нет.
______________1085 (1120)
______________ 642 (653)
______________ 309 (311)
_____________ 93 кэВ
------------- ° ।
™Hf J(J+1)
Рис. 7.14
6. Колебательные (вибрационные) уровни
четно-четных сферических ядер
У таких ядер вращательные состояния отсутствуют или ле-
жат очень высоко и низкоэнергичная часть спектра обусловле-
на колебаниями поверхности ядра вокруг равновесной формы.
Возможные колебания поверхности ядра показаны на рис. 7.15.
Монопольные (J = 0) колебания, в силу несжимаемости ядерной
материи, лежат высоко. Низкоэнергичная часть колебательного
спектра — квадрупольные (J = 2) колебания, затем — окту-
польные (J = 3) и т. д.
8 Зак. 320
122 Лекция 7
J=0 J=2 J=3
монопольные квадрупольные октупольные
Vhc. 7.15. Сплошной линией показана равновесная
(сферическая) форма ядра, а пунктиром два край-
них (различающихся половиной периода] состояния,
которые принимает ядро в процессе колебаний
Важно подчеркнуть, что в спектре поверхностных колеба-
ний, в процессе которых протоны и нейтроны двигаются нераз-
деленными (т.е. синхронно), отсутствуют дипольные (J = 1)
колебания, поскольку в процессе малых колебаний этого типа
ядро перемещается как единое целое без изменения своего внут-
реннего состояния (рис. 7.16). При таких колебаниях меняется
положение центра тяжести ядра. Внутреннего возбуждения яд-
ра не происходит.
----~ Если говорить об осцилляторе, способном
совершать гармонические колебания какой-то
{ ). । одной мультипольности J (только монополь-
Чу J ные (J = 0), только квадрупольные (J = 2),
' только октупольные (J = 3) и т. д.), то, как из-
Рис. 7.16 вестно из квантовой механики, уровни энергии
такого осциллятора даются выражением
Еп - (n + A)fiw,
где п = 0,1,2,... — число фононов, Яш — энергия одного фо-
нона, а константа А, определяюгйая размерность осциллятора и
энергию его основного состояния (энергию его «нулевых» коле-
баний Aftw), связана с мультипольностью J колебаний соотно-
шением А = Отсюда следует, что энергия возбуждения
малых гармонических колебаний одной мультипольности опре-
деляется соотношением
ЕКОл = пЯш.
(718)
123
Таким образом, для фононов определенной мультипольности
(например, квадрупольных) спектр эквидистантен — 1 фонон,
2 фонона, 3 фонона и т. д. Одному квадрупольному фонону четно-
четного ядра отвечает возбуждение с Jp = 2+. Состояния двух и
более квадрупольных фононов такого ядра также имеют положи-
тельную четность. Таким состояниям отвечает момент J, полу-
чающийся квантовомеханическим векторным сложением момен-
тов отдельных квадрупольных фононов. При этом, однако, для
двух квадрупольных фононов результирующие J = 1 и 3 исклю-
чается, так как такие значения J запрещены для двух тождест-
венных фононов, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна
(Приложение Л). Поэтому из двух квадрупольных фононов в
четно-четном ядре формируются лишь возбуждения с Jp = 0+,
2+ и 4+, в идеальном случае вырожденные по энергии. Идеаль-
ный спектр нижних квадрупольных возбуждений четно-четного
сферического ядра и реальный спектр ^8 Cd сравниваются на
рис. 7.17.
4* Па2 1.28 МэВ
£=2ha> _ л=2 0+,2+,4+ 2+_ 0+_ — 1.21 1.13
Е=Ьсо л=1 2+ 2* — Л = 1 0.56 МэВ
£=0 — л=0 0+ 0+ ЛхО 0
Рис. 7.17 ii:cd
7. Реальный ядерный спектр
Реальный ядерный спектр сложен. Он является наложени-
ем одно-, двух- (и т.д.) частичных возбуждений модели оболо-
чек и коллективных (вращательных и колебательных) возбужде-
ний. Лишь в очень ограниченном числе ядер доминирует какая-
либо одна из вышеперечисленных ветвей возбуждений. Харак-
терные энергии одночастичных возбуждений в ядрах — мега-
электронвольты, вибрационных — сотни-тысячи килоэлектрон-
вольт, вращательных — десятки-сотни килоэлектронвольт. С
ростом энергии возбуждений плотность ядерных уровней быстро
растет и при энергии больше 10 МэВ, как правило, уровни силь-
но перекрываются и спектр возбуждений становится непрерыв-
ным. При таких больших энергиях в ядрах появляются возбуж-
8*
124 Лекция 7
дения, в формирование которых вовлечены внутренние (наибо-
лее сильно связанные) нуклоны. Спектр ядерных коллективных
возбуждений существенно обогащается. Появляются, например,
«поляризационные» возбуждения, в процессе которых происхо-
дит разделение протонов и нейтронов ядра. На рис. 7.18 показа-
ны три призера таких возбуждений — электрические дипольные
(£1), электрические квадрупольные (F2) и магнитные диполь-
ные (Ml), называемые ножничными. Показаны крайние поло-
жения протонной и нейтронной составляющих ядра в процессе
этих колебаний (они меняются местами через половину периода
колебаний). Частота подобных колебаний в ядрах 1021-1022 Гц.
El-колебания являются наиболее «мощным» коллективным
ядерным возбуждением. Они наблюдаются у всех ядер с А > 2 и
называются гигантским дипольным резонансом. Максимум это-
го резонанса, хорошо видного в сечениях поглощения ядрами
фотонов, располагается при энергиях 13-25 МэВ. Ширина ре-
зонанса « 10МэВ (Лекция 8, рис. 8.1). Верхняя граница спектра
ядерных возбуждений ограничена энергией « 100 МэВ. При бо-
лее высоких энергиях, передаваемых внутрь ядра, начинаются
возбуждения самих нуклонов.
рр пп
дипольные
J=1
Рис. 7.18. Поляризационные колебания ядер
125
Лекция 8
I. Элементарные частицы. Введение
2. Соеременные ускорители
3. Некоторые сведения об элементарных частицах
4. Экспериментальное исследование структуры частиц
5. Теории в физике частиц. Типы взаимодействий частиц.
Константы и радиусы взаимодействий
6. Диаграммы Фейнмана для электромагнитных взаимодействий
7. Кванты других полей. Фундаментальные бозоны
L Элементарные частицы. Введение
Мир элементарных частиц — это мир объектов более мел-
ких, чем атомное ядро, т. е. объектов характерные размеры кото-
рых < 1 Фм (рис. 1.1). Это исключительно важный раздел физи-
ческой науки, да и науки вообще, так как он связан с изучением
фундаментальных законов природы. В последние 3-4 десятиле-
тия в этой области физики сделано много важных открытий.
Установлено существование кварков и лептонов, о размере ко-
торых в настоящее время известно лишь то, что он < 10“16 см.
Хорошо знакомые нам нуклоны (протоны и нейтроны), из ко-
торых состоят атомные ядра, больше не считаются бесструк-
турными объектами. Доказано, что они состоят из кварков. Из
кварков состоят не только нуклоны, но и вообще все сильновза-
имодействующие частицы — адроны (их характерный размер,
как и нуклонов, « 1Фм). Таким образом, к последовательнос-
ти дробящегося вещества, похожего на открываемую матрешку
(молекулы —> атомы —> ядра —> нуклоны), добавлен новый слой
структуры материи — кварк-лептонный (говорят об обнаруже-
нии новой ступени квантовой лестницы). Более того, оказалось,
что поведение кварков и лептонов может быть описано обобще-
нием уже известных принципов квантовой теории поля, наибо-
лее полно воплощенных в квантовой электродинамике. Таким
образом, не только открыт наиболее фундаментальный уровень
материи, но и в значительной степени поняты законы, управля-
ющие этим новым миром.
126
Лекция 8
2. Современные ускорители
Проникновение во все более малые области пространства
требует все больших концентраций энергии. Это непосредствен-
но следует из зависимости длины волны частицы от ее энергии
(поэтому физика частиц это также физика высоких энергий):
Л ~ 2wftc 1240 МэВ Фм
р * Е * Е'[МэВ]
(8-1)
Напомним, что лишь при А < R (Я — радиус объекта) мож-
но исследовать его внутреннюю структуру посредством анализа
дифракционной картины рассеяния (Лекция 1).
Открытие принципа фазовой стабильности, сделанное в
1944 г. в СССР В. И. Векслером и независийр в 1945 г. в США
Макмилланом, сняло ограничение на энергий кольцевых уско-
рителей. Энергии крупнейших кольцевых (и одного линейного)
ускорителей приведены в табл. 8.1. Все эти ускорители являют-
ся коллайдерами, т. е. ускорителями на встречных пучках, что
позволяет исключить потери энергии на движение центра масс
сталкивающихся частиц (Приложение И).
Таблица 8.1
Крупнейшие ускорители
Название ускорителя LBP LHC HERA TEVATRON SLC
Институт (центр) CERN CERN DESY Fermilab SLAC
Страна Швейцария Швейцария Германия США США
Год начала работы 1989 2005 1992 1987 1989
Ускоряемые частицы е+ р-х-р р -м-р е+
Их наибольшие энергии, ГэВ 101 + 101 7000 + 7000 30 + 920 1000 + 1000 50 + 50
Длина кольца, км 26.7 26.7 6.3 6.3 линейный ускоритель 3.2 км
С помощью перечисленных в таблице ускорителей можно
изучать структуру объектов размером до 10~16 см.
127
Максимальные массы частиц (в единицах тпс2), кото-
рые можно генерировать на коллайдерах, равны суммарным
энергиям сталкивающихся пучков (при условии, что уско-
ренные частицы имеют равные массы и энергии). Макси-
мальные массы частиц, которые могут быть рождены на
электрон-позитронных коллайдерах, достигают 200 ГэВ (LEP).
Для протон-антипротонного коллайдера (TEVATRON) соответ-
ствующая величина 2 000 ГэВ.
Принцип работы современных кольцевых ускорителей: за-
ряженные частицы двигаются по кольцу, проходя промежутки с
ускоряющим переменным электрическим полем радиочастотно-
го диапазона. Частицы, увеличивающие свою энергию, удержи-
ваются на фиксированной орбите с помощью нарастающего по-
ля мощных сверхпроводящих кольцевых магнитов. По достиже-
нии максимального магнитного поля ускоренные частицы либо
направляются на неподвижную мишень, либо сталкиваются со
встречным пучком, после чего цикл ускорения повторяется. Если
встречные пучки состоят из частиц, имеющих равные массы и
противоположные по знаку заряды, то для обоих пучков исполь-
зуется одно кольцо магнитов. В некоторых точках этого коль-
ца создаются области пересечения (столкновения) ускоренных
встречных пучков.
Современные ускорители высокой энергии оснащаются сис-
темами генерации пучков вторичных частиц (и античастиц). В
качестве последних могут быть тг^, нейтрино, антинейтрино
и др. С помощью пучков вторичных частиц (в частности v и F с
энергиями сотни ГэВ) выполнены многие важные эксперименты.
3. Некоторые сведения об элементарных частицах
В этом курсе мы уже сталкивались со следующими элемен-
тарными частицами: протон (р), нейтрон (п), электрон и пози-
трон (е*), фотон (7), нейтрино (у), антинейтрино (Р), проме-
жуточные бозоны (W±t Z), пионы (тг^, тг°). Число известных
элементарных частиц приближается к 500, если включать в это
число и античастицы. Среди только что приведенного списка па-
ры частица-античастица образуют е*, и и Р, JT*, тг±. У фотона
(7), Z-бозоиа и тг° частица совпадает с античастицей (точное от-
личие частиц и античастиц будет сформулировано в Лекции 9).
Есть несколько стабильных частиц — р, е, 7, у (и соот-
ветствующие им античастицы). Они или совсем не распадают-
ся, или распадаются так медленно, что это никогда не наблю-
128 Лекция 8
далось. Из опыта известно, например, время жизни электрона
тв > 4.2 • 1024 лет, протона тр > 1032 лет, что на много порядков
превышает возраст Вселенной (« 1О10 лет). Свободный нейтрон
распадается за тп « 900 с, но в ядре может быть не менее ста-
билен, чем протон. Важно подчеркнуть, что продукты распада
нейтрона
п —> р + е"
(нижний индекс е в обозначении антинейтрино ре означает, что
речь идет об одном, электронном, типе нейтрино) не являются
составными частями нейтрона, а рождаются в момент его рас-
пада. Это же справедливо для всех других частиц, претерпева-
ющих распад. Частицы распада — не составные части исходной
частицы, они рождаются в момент ее распада. Это кардиналь-
но отличает элементарную частицу от всех других известных
объектов и может быть принято как одно из определений элемен-
тарной частицы. При соударении двух очень энергичных частиц
рождается много новых. Наблюдались события, где рождались
сотни частиц и все они были не осколками столкнувшихся, а пол-
ноценными новыми частицами. Таким образом, наряду с более
формальным определением элементарной частицы (или просто
частицы), ведущим к началу этой лекции:
- (элементарной) частицей будем называть объект разме-
ром < 1 Фм\
можно использовать и более физическое определение:
- (элементарной) частицей будем называть объект, кото-
рый нельзя расщепить на составляющие его элементы.
Кроме «абсолютное стабильных перечисленных выше час-
тиц (р, е, у, г/) и нейтрона у остальных времена жизни ле-
жат в диапазоне 10"24—10~6с. Большинство живет < 10~2Ос
и называется резонансами, О более долгоживущих условно го-
ворят тоже как о стабильных (или квазистабильных). Резонан-
сы распадаются за счет сильного взаимодействия (характер-
ные времена таких распадов малы — 10~22—10~24 с). Их мож-
но рассматривать как возбуждения стабильных (квазистабиль-
ных) частиц. Квазистабильные частицы распадаются «медлен-
но» (т > 1О~20 с) и их распады вызваны электромагнитным или
слабым взаимодействием.
Большинство (более 450) известных частиц имеют размеры
« 1 Фм и состоят из двух или трех кварков. Они называются
адронами и участвуют во всех видах взаимодействий (сильных,
электромагнитных и слабых).
129
Шесть лептонов (е, р, т, ve, vT) вместе с шестью квар-
ками (d, u, з, с, 6, t) на современном уровне знаний точечны
(бесструктурны). Их размер < 10-16 см. Существование кварков
твердо установлено, хотя в свободном состоянии они никогда не
наблюдались.
4. Экспериментальное исследование структуры частиц
Форму частицы, ее размеры, распределение электрическо-
го заряда и магнитного момента (намагниченности) по объему
частицы изучают тем же методом упругого рассеяния электро-
нов, который был столь продуктивен в случае атомного ядра
(Лекция 1). Напомним, что дифференциальное сечение упругого
рассеяния электрона, например на протоне, имеет вид
(зй) = (ай)’ (8'2)
где — моттовское сечение (описывающее в данном при-
мере рассеяние релятивистского электрона на точечной бесспи-
новой мишени с зарядом протона); Fp(q) — зависящий от пере-
данного импульса q форм-фактор протона, в котором заключе-
на вся информация о распределении заряда и намагниченности
протона по его объему. Эксперимент по рассеянию электронов
на любой протяженной частице (адроне) можно выполнить так,
чтобы разделить в его форм-факторе вклады за счет чисто куло-
новского взаимодействия электрона и мишени и за счет их маг-
нитного взаимодействия (взаимодействия магнитных моментов).
Соответствующие форм-факторы носят название кулоновского
и магнитного.
Так, из кулоновского форм-фактора протона и нейтрона по-
лучены распределения плотности электрического заряда в них,
приведенные на рис* 1.10, 1.11. Эти данные свидетельствуют о
(Том, что нуклон «размазан» в пространстве, не имеет четкой
границы и его характерный размер (г^-)1^2 « 0.8Фм, т.е. около
одного ферми. Аналогичные размеры имеют и остальные адро-
ны.
Адроны, будучи протяженными, имеют внутреннюю струк-
туру (состоят из двух или трех кварков) и должны иметь воз-
бужденные состояния (резонансы). Первое возбужденное состо-
яние элементарной частицы было открыто Ферми в 1951 г. в ре-
акции рассеяния положительных пионов (тг+) на протонах:
7Г+ 4- р -> A4"1* 7Г+ + р.
130 Лекция 8
Протон состоит из трех кварков. Присоединяя за счет сильного
взаимодействия пион, он переходит в трехкварковое состояние с
зарядом +2е и большей энергией, обозначаемое Д++, которое за-
тем распадается на первоначальные частицы. В сечении этой ре-
акции возникает широкий резонанс, называемый Д-резонансом.
Максимум этого резонанса, который может отвечать различным
зарядовым комбинациям трех кварков, наблюдается при кинети-
ческой энергии пиона « 200 МэВ. При этом энергия возбуж-
дения в трехкварковой системе Е*& 300 МэВ, а масса резонанса
тд = 1232МэВ/с2. Одной из зарядовых разновидностей этого
резонансу является 1-е возбужденное состояние протона, обозна-
чаемое Д+.
Д+-Резонанс удобно проиллюстрировать с помощью реак-
ции поглощения протоном фотона:
где р* означает возбуждение протона.
На рис. 8.1 показано экспериментально полученное сечение
поглощения фотонов <т7 ядром 9Ве в широкой области энергий
фотонов (от 10 до 400 МэВ). Величина этого сечения разделена
на число нуклонов в ядре А (вертикальная шкала соответствует
а7/Л, где А = 9), т.е. показывает, какая часть сечения прихо-
дится на один нуклон. Это нормированное экспериментальное
сечение демонстрирует два максимума — низкоэнергичный при
« 20-50 МэВ и высокоэнергичный при « 200-400 МэВ.
Низкоэнергичный резонанс присущ всем ядрам с А > 2, и это не
что иное как коллективное ядерное возбуждение — гигантский
дипольный резонанс — отвечающее колебанию всех протонов
относительно всех нейтронов ядра (об этом возбуждении рас-
сказано в Лекции 7). В процессе этих возбуждений сами нуклоны
остаются в невозбужденном (основном) состоянии.
Верхний резонанс с максимумом при Еу « 300 МэВ отвечает
ситуации, когда фотон поглощается не всем ядром, а отдельным
нуклоном, вызывая внутреннее возбуждение этого нуклона. Это
и есть резонанс в системе трех кварков, обнаруженный Ферми.
Положение и форма этого нуклонного резонанса, возбуждаемо-
го в ядрах фотонами с энергией « 300 МэВ, почти не зависят
от типа ядра (на рис. 8.1 приведены также данные для ядер Си
и РЬ). Наиболее отчетливо нуклонные резонансы проявляются
на свободных нуклонах. На рис. 8.1 в области больше 100 МэВ
сплошной линией показано для сравнения сечение реакции на
131
свободном протоне у + р -> р*. Это сечение демонстрирует на-
личие у протона не только состояния) обнаруженного Ферми,
но и еще более высокоэнергичных резонансов (в районе 600 и
1000 МэВ). Таким образом, получен целый спектр внутренних
возбуждений протона.
область — 1—
возбуждений (область возбуждений нуклона
ядра Рис. 8.1
। В настоящее время обнаружено множество состояний нукло-
нов и других адронов. Рисунок 8.1 показывает, что ядерные воз-
буждения «вымирают» к энергии « 100 МэВ и выше этой энер-
гии начинаются возбуждения адронов (в том числе и нуклонов).
Большинство этих возбуждений имеет время жизни « 10-22—
10~24 с и, с точки зрения принятой в физике частиц терминоло-
гии, являются резонансами.
Найденный Ферми резонанс (Д-резонанс) с массой 1232 МэВ
есть самое нижнее (1-е) возбужденное состояние системы трех
кварков. Протон состоит из трех кварков, каждый из которых
имеет спин Уз. В основном состоянии протона у одного из квар-
ков спин противоположен спину двух других и полный спин
протона Уг- В первом возбужденном состоянии спины всех квар-
ков ориентированы одинаково и полный спин этого состояния
становится равным 3/з. Таким образом, при самом низком воз-
буждении нуклона происходит «переворот» спина того кварка,
который в основном состоянии нуклона был ориентирован про-
тивоположно спину двух других. На такой «переворот» требует-
ся затратить энергию ~ 300 МэВ. Из рис. 8.1 видно, что ширина
на половине высоты Д-резонанса Гд 120 МэВ, откуда для вре-
мени жизни этого резонанса получаем тд « Я/Гд « 3 • 10“23 с.
132 Лекция 8
5. Теории в физике частиц.
Типы взаимодействии частиц.
Константы и радиусы взаимодействий
Как известно существует четыре типа фундаментальных
взаимодействий — сильное, электромагнитное, слабое и гра-
витационное. Наиболее существенны в физике частиц первые
три. Гравитационное взаимодействие, в силу его исключитель-
ной слабости, для большинства процессов с участием элемен-
тарных частиц можно не учитывать. Лишь при экстремально
больших энергиях («1019ГэВ) роль гравитационных сил не ме-
нее важна, чем остальных. В данном курсе мы ограничимся
рассмотрением сильных, электромагнитных и слабых взаимо-
действий элементарных частиц.
Для описания процессов, происходящих в мире частиц, слу-
жит релятивистская квантовая теория или квантовая теория по-
ля. Наиболее известный и разработанный вариант этой теории
применяется для описания электромагнитных взаимодействий и
носит название квантовой электродинамики (КЭД). КЭД —
наиболее продвинутая из всех известных физических теорий.
Она обеспечивает рекордную точность предсказаний (на уров-
не 1О"9-1О”10) и пока не обнаружено ни одного факта, противо-
речащего этой теории. Приведем в качестве примера величины
магнитного момента электрона (в магнетонах Бора), рассчи-
танные в рамках КЭД и полученные экспериментально
1.0011596522(03) ±27
1.00115965218(7) ±4
КЭД,
эксперимент.
(8.3)
Точность данных относится к цифрам в скобках.
За создание КЭД Фейнману, Швингеру и Томонаге в 1965 г.1
была присуждена Нобелевская премия.
В настоящее время создана теория, объединяющая электро-
магнитное и слабое взаимодействие (в так называемое электро-
слабое). Эта теория, описывающая электромагнитные и слабые
взаимодействия кварков и лептонов и включающая КЭД как со-
ставную часть, носит название электрослабой модели (ЭСМ) и
подтверждена экспериментально. За ее создание Глэшоу, Сала-
му и Вайнбергу в 1979 г. присуждена Нобелевская премия.
Для описания сильных взаимодействий кварков построена
теория, называемая квантовой хромодинамикой (КХД).
133
Таким образом, ЭСМ и КХД совместно описывают сильное,
электромагнитное и слабое взаимодействие кварков и лептонов и
образуют теоретическую схему, называемую стандартной мо-
делью, Эта модель содержит, в частности, объяснение возник-
новения массы элементарных частиц в рамках механизма спон-
танного нарушения симметрии, предложенного Хиггсом. Стан-
дартная модель (а также КЭД, ЭСМ, КХД) слишком сложна,
чтобы излагаться в данном курсе. Мы ограничимся некоторы-
ми качественными представлениями, о которых начнем говорить
уже в следующем разделе, посвященном диаграммам Фейнмана.
Диаграммы Фейнмана являются удобной иллюстрацией процес-
сов, происходящих в мире частиц. Одновременно они позволяют
получать оценки вероятности этих процессов, так как задают
алгоритм вычисления эффективных сечений. Центральный фак-
тор, от которого зависит вероятность процесса, — константа
взаимодействия а. Эта константа безразмерна и является ха-
рактеристикой фундаментального взаимодействия. Она опреде-
лена в Лекции 5. О ней мы скажем также в конце следующего
раздела, а пока укажем лишь, что сила и энергия взаимодействия
двух частиц пропорциональны а, а вероятность взаимодействия
— а2.
Приведем таблицу фундаментальных взаимодействий с ука-
занием теорий, описывающих эти взаимодействия, их констант
и радиусов соответствующих сил.
Таблица 8.2
Фундаментальные взаимодействия
Тип взаимодействия Теория Константа Радиус сил
Сильное КХД а» « 1 10"13см
Электромагнитное КЭД, ЭСМ «е « 1/1УГ оо
Слабое ЭСМ aw « 10~6 10"16см
Г равитационное aG « IO'38 оо
134 Лекция 8
в. Диаграммы Фейнмана
для электромагнитных взаимодействий
е А Согласно квантовой теории поля вза-
1 имодействие между двумя частицами осу-
£ ществляется обменом некоторой третьей
S частицей, которая является возбуждением
2 (квантом) поля или переносчиком взаимен
-"в .,г дааеми. Так ажктроиапшткоа взимо-
Рис 8 2 действие двух электронов осуществляется
ч ’ обменом фотоном: один электрон испуска-
ет фотон, другой — поглощает. Этот процесс показан на рис. 8.2,
где изображены траектории двух электронов ei и ег, двигаю-
щихся навстречу друг другу в плоскости листа. В точке А элек-
трон 1 испускает фотон и в силу закона сохранения импульса
испытывает отдачу. Сохранение энергии при этом невозмож-
но (легко убедиться, рассматривая испускание фотона первона-
чально покоившимся электроном) и поэтому испущенный фотон
— не обычный (свободный), а так называемый виртуальный. В
силу соотношения неопределённостей разрешено кратковремен-
ное нарушение закона сохранения энергии. Если энергия нару-
шается на величину ДЕ, то такие нарушения ненаблюдаемы за
временные интервалы Д$ < Л/ДЕ.
В точке В виртуальный фотон поглощается и энергетичес-
кий баланс восстанавливается. Электрон 2 при поглощении фо-
тона также испытывает отдачу и, следовательно, оба электрона
отталкиваются друг от друга. Однако не всегда при взаимодей-
ствии с обменом фотоном возникают силы отталкивания, так
как направление импульса виртуального фотона не обязательно
совпадает с классическим. Виртуальный фотон отличается от
свободного (то же можно сказать о любой виртуальной части-
це). Виртуальный фотон может пройти расстояние сД$, и следо-
вательно, чем дальше он уходит, тем меньше ДЕ, слабее обмен
энергией между частицами. Таким образом, сила взаимодейст-
вия электронов убывает с расстоянием, что является хорошо из-
вестным свойством кулоновского взаимодействия.
Точки Л и В, в которых происходит испускание и погло-
щение виртуальной частицы, называют узлами (или вершина-
ми). За исключением закона сохранения энергии в каждом узле
выполняются все законы сохранения, присущие данному взаи-
135
модействию (для всех типов взаимодействий — это законы со-
хранения электрического, барионного, лептонного зарядов, для
электромагнитного и сильного взаимодействий — это закон со;
хранения четности, для сильного взаимодействия — это также
закон сохранения изоспина и т. д. (подробнее о законах сохране-
ния сказано в Лекции 9). В каждом узле сохраняется импульс, но
не выполняется соотношение Е2 - (pc)2 = т2с4 для внутренней
линии. В каждом узле сохраняется и момент количества движе-
ния. При этом для виртуальной частицы, которой соответствует
свободная частица со спином J, возможны спины J, J -1,..., 1/з
или 0. Так, для виртуальной векторной частицы (со спином 1),
например фотона, возможны значения J = 1 и 0.
Обычно диаграммы изображают следующим образом: ось
времени направлена вправо или вверх. Перпендикулярно этой
оси направлена координатная ось, условно описывающая поло-
жение частиц. Рисунок 8.2, изображающий рассеяние двух элек-
тронов, теперь меняется на рис. 8.3. Такой рисунок называется
диагралслсой Фейнмана. С помощью таких диаграмм можно на-
писать (вообще говоря, комплексную) амплитуду вероятности
процесса и, просуммировав амплитуды для всех возможных диа-
грамм, отвечающих данному процессу, получить его эффектив-
ное сечение как квадрат модуля суммарной амплитуды.
Каждому элементу диаграммы от- о в
вечает, как правило, заранее известная
функция или множитель. Внешним (не- S
замкнутым) линиям соответствуют вол- х г
новые функции реальных частиц до и
после взаимодействия; внутренним от- в * е
вечают виртуальные частицы, распро- -----------:--------
стреляющиеся от точки возникновения *
до точки поглощения. Этим линиям со- Рис- 8-3
поставляются функции распространения виртуальных частиц,
называемые пропагаторами (от англ, propagate — распростра-
няться). В каждом узле появление (или поглощение) частицы
происходит с вероятностью, присущей данному взаимодействию.
Фейнмановские диаграммы содержат алгоритм расчета ам-
плитуды процесса, который сводится к так называемым пра-
вилам Фейнмана. Рассмотрение этих правил не входит в нашу
задачу. Мы ограничимся лишь изложением самых общих прин-
ципов построения диаграмм Фейнмана и оценок с их помощью
сравнительных вероятностей различных процессов.
136 Лекция 8
Вероятность (или, как часто говорят, интенсивность) про-
цесса, соответствующего данному узлу, определяется, главным
образом, тремя факторами:
1) фундаментальным взаимодействием, ответственным за
процесс, т. е. константой а, о которой говорилось в пре-
дыдущем разделе (чем больше а, тем выше вероятность);
2) степенью нарушения соотношения Е* — (рс)2 = т2с4 для
виртуальной частицы — степенью виртуальности (чем
сильнее это нарушение, тем ниже вероятность);
3) полной энергией столкновения или распада (чем больше
энергия распада, тем выше его вероятность).
Самый важный фактор — первый, определяемый констан-
той взаимодействия а. Амплитуда вероятности процесса, пред-
ставляемого узлом из трех линий, пропорциональна у/a. В диа-
грамме с N узлами амплитуда вероятности Ах ~ (V&)N. Так,
амплитуда электрон-электронного рассеяния, описываемого вы-
шеприведенными диаграммами с двумя узлами, пропорциональ-
на (i/а)2 = о, т. е. Аее ~ (\/5)2 = а* Сама вероятность этого
процесса ~ а2, так как эта вероятность определяется значением
дифференциального эффективного сечения которое связано
с амплитудой А процесса соотношением (без доказательства)
Ж “К (8.4)
ail
Напомним, что амплитуда процесса в квантовой механике
аналогична амплитуде процесса в оптике, а интенсивность про-
цесса в оптике аналогична дифференциальному эффективному
сечению в квантовой механике.
Виртуальной частицей не обязательно должен быть квант
поля (например, фотон — квант электромагнитного поля). Ею
может быть, например, электрон, как в ниже рассмотренном
примере комптон-эффекта. Электрон в этом Примере является
переносчиком взаимодействия. Однако, как мы увидим, и в этом
случае «элементарным» блоком диаграммы остается тот же узел
из двух электронных и одной фотонной линий, который был в ее-
рассеянии.
Рассмотрим в качестве примера эффект Комптона — рассе-
яние фотона на свободном электроне. Диаграммы низшего по-
рядка (т.е. с наименьшим числом узлов) для этого процесса
— это двухузловые диаграммы. Можно нарисовать два типа
двухузловых диаграмм комптон-эффекта (рис. 8.4).
137
Если процесс комптон-эффекта развивается в соответствии
с диаграммой 1, то фотон сначала поглощается электроном в мо-
мент времени ti, отвечающий первому узлу, а затем испускается
в момент <2, отвечающий второму узлу. На временном интервале
от t\ до ^2 имеется лишь один виртуальный электрон.
Бели реализуется диаграмма 2, то сначала в момент й элек-
трон испускает фотон, с которым в дальнейшем ничего не про-
исходит. Первичный фотон в момент поглощается электроном
и исчезает. В интервале от t\ до имеются два фотона и вир-
туальный электрон.
Амплитуда вероятности комптон-эффекта А с учетом толь-
ко двухузловых диаграмм есть сумма амплитуд, соответствую-
щих диаграмм 1 и 2: А = Ai + Аг. Сама вероятность комптон-
эффекта дается дифференциальным сечением
= |А|! = |А1+А2|2.
КОМПТОН
Из А1 = А2 ~ (\/“ё)2 = “е следует
КОМПТОН
Дифференциальное сечение ее-рассеяния с учетом только двух-
узловых диаграмм также пропорционально а*.
Множители у/а в узлах процессов ее-рассеяния и комптон-
эффекта характеризуют вероятность испускания (поглощения)
фотона электроном. Если вместо электрона будет объект с заря-
дом Ze, то он будет создавать вокруг себя в Z раз более плотное
облако виртуальных фотонов и соответствующий множитель в
узле будет равен Zy/ct^. Диаграмма низшего порядка для уп-
ругого рассеяния электрона на ядре с зарядом Ze показана на
рис. 8.5.
138 ——-______________________________________Лекция 8
Амплитуда этого процесса А ~ Zy/3^/a£ = а его
сечение (вероятность) ~ Z2a* ~ Z2e4. Как мы уже виде-
ли, именно множители Z2e4 присутствуют в резерфордовском и
моттовском сечениях (Лекция 1).
е 9 Константа — не что иное как посто-
явная тонкой структуры, хорошо известная
8 в атомной физике:
е2 1
e‘=ikKi37<1:
ядро ядро
Рис. 8.5 Поэтому увеличение числа узлов диаграм-
мы на два (это минимальное число узлов, на
которое можно увеличить диаграмму про-
цесса, так как появление нового узла, где возникает виртуальная
частица, обязательно должно быть дополнено еще одним узлом,
где эта виртуальная частица исчезает) уменьшает вероятность
процесса примерно в (1/ае)2 « Ю4 раз.
Следовательно, в электромагнитных процессах с большой
точностью можно ограничиться диаграммами с минимальным
числом узлов. При этом расчет вероятности процесса сильно
облегчается. Так при расчете ее-рассеяния и? всех возможных
диаграмм в хорошем приближении может быть оставлена лишь
простейшая — двухузловая (рис. 8.6).
Рис. 8.6
На рис. 8.6 темный кружок слева — область взаимодейст-
вия. Приведено лишь по одному типу четырех- и шестиузловых
диаграмм (их на самом деле много больше). ;
Аналогично обстоит дело и в слабых взаимодействиях
(aw а? 10-6), где также можно в большинстве случаев огра-
ничиться малоузловыми диаграммами. А в сильных взаимодей-
ствиях (ал « 1) часто приходится учитывать большое число
139
диаграмм, что существенно осложняет расчеты. Поэтому точ-
ность КХД, скажем в предсказании магнитных моментов нукло-
нов, ~ 10% в лучшем случае, что ниже точности эксперимента
в 10в-107 раз. Точность же КЭД, как уже отмечалось, достига-
ет 1О“хо, что отвечает учету восьмиузловых диаграмм. Именно
в таких расчетах получена величина магнитного момента элек-
трона де, приведенная в предыдущем разделе.
Отметим еще то, что линии античастиц на диаграммах на-
правлены в сторону уменьшения времени. Возникновение такого
обозначения античастиц поясняет рис. 8.7.
На этом рисунке слева показан обычный электромагнитный
узел, описывающий испускание (поглощение) фотона электро-
ном. Если повернуть левый электронный луч вокруг узловой
точки в положение, когда он будет лежать правее узла, то полу-
чим правую диаграмму. При этом стрелка на повернутом луче
будет направлена в сторону меньших времен и самому этому
лучу будет отвечать позитрон (е+), а не электрон (е~). Этрго
требует закон сохранения электрического заряда. Правая диа-
грамма описывает процесс рождения фотоном пары е+е’. Еще
раз подчеркнем, что показанные на рис. 8.7 диаграммы не опи-
сывают реальных процессов, так как не обеспечивают одновре-
менное выполнение законов сохранения энергии и импульса. Эти
диаграммы должны быть составными частями более сложных
диаграмм.
В завершение этого раздела еще раз определим константу
взаимодействия а. В Лекции 5 мы определяли эту константу
как безразмерную величину
« = &£«£, (8.5)
ПС
где каждому взаимодействию присущ свой заряд — электричес-
кий для электромагнитного взаимодействия, и соответственно
сильный, слабый и гравитационный — для трех других взаи-
модействий. Для электромагнитного взаимодействия в качестве
140 Лекция 8
заряда используется элементарный электрический заряд (заряд
электрона или протона), что дает ае = е2/Лс RJ1/137. В качест-
ве трех других зарядов (сильного, слабого и гравитационного)
будем использовать соответствующие заряды протона, который
участвует во всех видах взаимодействий (гравитационный за-
ряд протона — это просто его масса). Полученные при этом
константы а,, aw и ас приведены в табл. 8.2.
7. Кванты других полей. Фундаментальные бозоны
Аналогичный подход (диаграммы, обмен виртуальными
частицами^ применим и к другим взаимодействиям. Кванты (пе-
реносчики) всех взаимодействий известны. Их характеристики
даны в табл. 8.3.
Все они являются частицами с целым спином, т. е. бозонами
и часто используются с прилагательным «фундаментальные»,
так как относятся к фундаментальным физическим полям. Кван-
том сильного поля является глюон (существует 8 разновиднос-
тей глюона), получивший название от англ, glue — клей. Кванты
слабого поля — промежуточные бозоны Ил±, Z. Квант гравита-
ционного поля — гравитон.
Таблица 8.3
Кванты полей (фундаментальные бозоны)
Поле (взаимодействие) Квант (бозон) Масса (тс3) Спин Радиус взаимодействия, см
Сильное глюон (8 видов) 0 1 Ю-1Э
Электромагнитное фотон 0 1 оо
Слабое W±, Z 80, 91 ГэВ 1 Ю-le
Гравитационное гравитон 0 2 00
141
Все фундаментальные бозоны (кроме гравитона) обнаруже-
ны. Очень малый радиус действия слабых сил объясняется боль-
шой массой IF*, Z. Безмассовость глюона, казалось бы, должна
была дать бесконечный радиус сильного взаимодействия (как
электромагнитного и гравитационного). Однако наличие у глю-
она цветового заряда (Лекция 10) не позволяет глюону далеко
уйти от точки рождения и делает сильное взаимодействие ко-
роткодействующим.
Пример. Показать, что из представления об обмене вир-
туальными частицами, лежащего в основе квантовой теории
поля, следует закон Кулона для силы, действующей между дву-
мя электрическими зарядами.
Обмен виртуальным фотоном приводит к изменению (пере-
даче) импульса Др и создает силу
7 дг
где Д* — время передачи импульса. Бели г — расстояние между
зарядами, то для безмассового фотона
Д4=
С
Из соотношения неопределенностей
г • Др % Л
и для f получаем
/=
Др _ Л/г _ he
Д< r/с г2
Число виртуальных фотонов, испускаемых одним зарядом
Ze, определяется множителем Zy/o£, поэтому окончательное вы-
ражение для электрической силы F, действующей между заря-
дами Z^e и Z^e, содержит произведение
Z\• Zzy/a^ = ZiZj—.
he
Таким образом,
F^ZlZ2^-f=
he г2
142 Лекция 9
Лекция 9
1. Систематика частиц. Фундаментальные частицы.
Барионы и мезоны
2. Осноеные узлы фундаментальных взаимодействий.
Кварковые диаграммы
3. Законы сохранения в мире частиц.
Барионное и лептонное квантовые числа.
Странность. Частицы-античастицы
4. Сильны^ взаимодействия. Адроны.
Правило Накано-Нишиджимы-Гелл-Манна
5. Кварки
6. Кварковая структура легчайших барионов и мезонов
7. Кварковые атомы
8. Декуплет барионов с Jp — ЗД+, Распады ^-резонансов.
Кварковая диаграмма нуклон-нуклонного взаимодействия
*9. Об изоспине фотона и четности лептонов
1. Систематика частиц.
Фундаментальные частицы. Барионы и мезоны
В настоящее время известно (вместе с резонансами и анти-
частицами) около 500 частиц. Однако все это многообразие фак-
тически сводится (если не учитывать античастицы) к 12 ферми-
онам — б кваркам и 6 лептонам, которые, участвуя в различных
взаимодействиях (исключая гравитационное), обмениваются че-
тырьмя бозонами (фотоном у, глюоном д, бозонами W и Z). Эти
12 вышеупомянутых фермионов, имеющих спин 1/zt естествен-
ным образом делятся на три группы, которые принято назы-
вать поколениями. В каждом из поколений 2 кварка и 2 лептона
(табл. 9.1).
Таблица 9.1
Поколения 1 2 3 Заряд Q
Кварки верхние U с t +te
нижние d 8 ь 1 W|*- Л
Лептоны нейтрино заряженные «'е е V» я 0 -1е
143
Кварки и лептоны (их размер < 10”16 см) на современном
уровне знаний точечны (бесструктурны), т.е. не состоят из бо-
лее элементарных объектов. Их называют фундаментальными
фермионами^ и из них состоят все более крупные объекты —
адроны, ядра, атомы, молекулы и т. д.
Четыре вышеупомянутых бозона (7,5, W и Z) имеют спин 1
и являются квантами трех фундаментальных полей — электро-
магнитного, сильного и слабого. Эти частицы называют фунда-
менталъными, или калибровочными бозонами (лагранжиан со-
ответствующих им фундаментальных взаимодействий инвари-
антен относительно калибровочных преобразований; для описа-
ния таких взаимодействий используют калибровочные теории).
Таким образом, наш мир можно свести к фундаментальным
фермионам, взаимодействующим посредством обмена фундамен-
тальными бозонами.
Названия (обозначения) кварков происходят от английских
слов: и (up), d (down), с (charm), s (strangeness), b (bottom, a
также beauty), t (top, а также truth). Более детальная таблица
характеристик кварков дана в разд. 5.
Кварки участвуют во всех видах взаимодействий. Лептоны
не участвуют в сильных взаимодействиях.
Все протяженные (« 10"13см) сильновзаимсдействующие
частицы (включая резонансы), называются адронами и состо-
ят из кварков. Есть два типа адронов:
барионы — состоят из трех кварков (д»д>^), не обязатель-
но разных, имеют барионное квантовое число (заряд) В = 1 и
полуцелый спин, т. е. являются фермионами;
мезоны — состоят из кварка и антикварка (д^), имеют
барионный заряд В = 0 и целый спин, т.е. являются бозонами.
Так, протон состоит из двух u-кварков и одного d-кварка
(р = uud), нейтрон — из двух d-кварков и одного и-кварка
(n = udd). Протон и нейтрон — барионы. Кварковая структура
7г+- и тг "-мезонов следующая: тг+ = ud, тг" = ud (черта сверху
обозначает античастицу).
Всеми вышеперечисленными типами частиц (фундамен-
тальные фермионы и бозоны, адроны (барионы + мезоны)) и их
античастицами исчерпываются известные элементарные части-
цы. Полное число частиц меняется, так как открываются новые
частицы. Распределение этого числа по группам частиц (с уче-
том античастиц) дано в табл. 9.2 (данные на 2000 г.).
144
Лекция 9
Таблица 9.2
Кварки / антикварки Лептоны/антилептоны Фундаментальные бозоны/антибозоны (у, g9 р, W±9 Z) Барионы/антибарионы Мезоны/антимезоны - 12 - 12 -6 -290 -171
Всего -491
Следует отметить, что наличие квантового числа цвет
(Лекция 10) утраивает число различных состояний кварков (ан-
тикварков) и увеличивает до 8 число глюонов (антиглюонов).
2. Основные узлы фундаментальных взаимодействий.
Кварковые диаграммы
Элементарные узлы всех фундаментальных взаимодейст-
вий рисуют на уровне фундаментальных.частиц, т.е. на кварк-
лептонном уровне. На этом же уровне изображают все диаграм-
мы процессов в мире частиц. Эти диаграммы являются комбина-
циями элементарных узлов. Типичные элементарные узлы вза-
имодействий показаны на рис. 9.1.
сильное
G (гравитон)
IV’ : IV* ; Z
слабое слабое слабое
Рис. 9.1
гравитационное
На месте электрона в правом узле электромагнитного вза-
имодействия может быть любой заряженный лептон (антилеп-
тон). В случае слабого взаимодействия в качестве примера даны
узлы трех конкретных процессов d и + ТУ”, ие -> е” + ТУ+,
+ Z. Узлы слабых взаимодействий других возможных
процессов строятся аналогично.
145
Заменой на диаграмме всех частиц на античастицы можно
получить диаграмму процесса с участием античастиц.
Распад нейтрона n—>p+e"4-I7e — это по существу рас-
пад в нем d-кварка по той же схеме d и + е" + ие (d-кварк
несколько тяжелее u-кварка). Диаграмма распада нейтрона на
кварк-лептонном уровне выглядит так:
Диаграмма тг"-мезона до распада имеет следующий вид:
Рис. 9.3
тг "-Мезон испытывает распад за счет слабого взаимодейст-
вия по схеме тг" —> д" + На кварковом уровне этот процесс
выглядит так: d + и —> g" + и диаграмма такого распада
имеет вид
Следует отметить, что на диаграммах обычно не указыва-
ются глюоны, так как обмен ими, в силу большой величины кон-
станты а,, происходит часто и различными способами. Другие
калибровочные бозоны (7, W*, Z и гравитон) всегда указыва-
ются, так как обычно происходит однократный обмен этими час-
тицами (следствие малости констант ае, aw и ад).
11 Зак. 320
146 Лекция 9
3. Законы сохранения в мире частиц.
Барионное и лептонное квантовые числа.
Странность. Частицы-античастицы
В процессе взаимодействий и превращений частиц выпол-
няется ряд законов сохранения. Они двух типов — аддитивные
и мультипликативные (разъяснение ниже в этом разделе). Ряд
законов сохранения универсален, т.е. выполняется всегда (при
всех взаимодействиях). Другие в некоторых взаимодействиях не
выполняются (нарушаются).
К универсальным законам сохранения относятся те, кото-
рые обусловлены инвариантностью уравнений движения отно-
сительно трансляций (сдвигов) в пространстве и во времени. С
этими типами симметрий — однородностью пространства и вре-
мени — связано существование законов сохранения импульса и
энергии изолированных систем частиц. Изотропность 3-мерного
пространства, т.е. инвариантность уравнений движения отно-
сительно поворотов (вращений), приводит к закону сохранения
момента количества движения.
Если преобразование волновой функции, отвечающее закону
сохранения, имеет непрерывный характер (т. е. может быть как
угодно малым), то соответствующий закон сохранения аддити-
вен, т. е. в реакции
a-f-Ь—(9*1)
сохраняется сумма соответствующих характеристик (или кван-
товых чисел):
Na + Nb = Nc + Na + ... = const. (9.2)
Трансляции и повороты — непрерывные преобразования и
соответствующие законы сохранения (энергии, импульса и мо-
мента количества движения) — аддитивны. Аддитивными со-
храняющимися величинами являются также электрический за-
ряд Q, барионное квантовое число (барионный заряд) В, лептон-
ное квантовое число (лептонный заряд) L, иЗбспин I, а также ряд
других квантовых чисел, имеющих кварковую природу — стран-
ность (strangeness) S, очарование (charm) С, Bottom (Beauty —
красота) В, Top (Truth — истина) Т.
147
С какими типами симметрий связаны законы сохранения
всех этих аддитивных квантовых чисел (Q, В, L, /, S, С, В, Т)?
В настоящее время известен ответ лишь для электрического за-
ряда Q и изоспина I. Так, сохранение изоспина в сильных взаи-
модействиях — следствие инвариантности этого взаимодействия
относительно поворотов в специальном изоспиновом (зарядовом)
пространстве (Лекция 5). Сохранение же электрического заряда,
как можно показать, есть следствие того, что не существует спо-
соба измерить абсолютное значение электрического потенциала
и во всех соотношениях он является относительной величиной.
Не возникает никаких новых физических явлений, если этот по-
тенциал изменить (сдвинуть) на одно и то же значение во всех
точках пространства. Такой одинаковый сдвиг (одинаковую ка-
либровку) шкалы потенциала во всем пространстве называют
глобальным, а неизменность физических уравнений к такого ро-
да преобразованиям — глобальной калибровочной симметрией
(инвариантностью).
В квантовой физике существует калибровочная инвариант-
ность и другого типа — инвариантность к изменению фазы вол-
новой функции. Нет способа определить абсолютное значение
фазы волновой функции. Последняя относительна и любое взаи-
модействие должно быть инвариантно к изменению этой фазы,
причем фаза может меняться различным образом в различных
точках пространства-времени. Такая локальная калибровочная
симметрия должна быть присуща всем квантовым теориям по-
ля. Из нее следует существование калибровочных сил, действие
которых осуществляется обменом калибров очными бозонами, и
сохранение источника поля — соответствующего заряда.
Если мы вернемся вновь к электромагнитному полю, то уви-
дим, что суть локальной калибровочной симметрии сводится к
следующему. Пусть i/>g(r, t) — волновая функция частицы с заря-
дом q, удовлетворяющая уравнению Шредингера. Преобразуем
эту функцию в функцию <pq(r, t) с помощью следующей опера-
ции:
pg(r, i) = eia(r’t) Vg(r, t), (9.3)
которая меняет фазу волновой функции заряженной частицы
различным образом в разных точках пространства-времени (та-
кие преобразования называют локальными калибровочными).
Можно показать (это не входит в задачу курса), что это не
меняет наблюдаемой физической картины при условии, если за-
ряды взаимодействуют посредством дальнодействующего (элек-
148 Лекция 9
тромагнитного) поля, описываемого системой уравнений Макс-
велла, причем переносчик такого взаимодействия должен быть
безмассовым (фотон), а электрический заряд должен сохранять-
ся.
Барионное кеантоеое число (или барионный заряд) В име-
ют лишь барионы — адроны с полуцелым спином. Для них
В = +1, для антибарионов В = -1. Барионный заряд сохраняет-
ся в сильных, электромагнитных и слабых взаимодействиях.
Лептонное кеантоеое число L (лептонный заряд) присущ
только лептонам. Существует три типа лептонного заряда £е,
и L?, каждый из которых сохраняется в отдельности. Леп-
тонным зарядом Le = +1 обладают лептоны 1-го поколения (ус,
е“); Ьд = +1 для лептонов 2-го поколения (рд, д“) и Lt = +1
для лептонов 3-го поколения (i/T, т”). У антилептонов соответ-
ствующий лептонный заряд -1 (Ье = -1 Для ve и е+; = -1
для i/д и д+; ЪТ = -1 для vT и т+).
Протон — самый легкий барион, и если закон сохранения ба-
рионного заряда абсолютен, то протон должен быть стабильной
частицей. Экспериментальные данные свидетельствуют о том,
что время жизни протона тр > 10зг лет. В теориях Великого объ-
единения (единых теориях сильного, электромагнитного и сла-
бого взаимодействий) предсказывается нестабильность протона.
Но предсказываемые времена распада неопределенны и могут су-
щественно превышать величину 1032 лет. Поиски распада прото-
на ведутся. Однако при тр « 1035 лет такой распад практически
невозможно обнаружить. В предсказываемых распадах протона
нарушается и закон сохранения лептонного наряда. Мы, однако,
будем относиться к законам сохранения барионного и лептонно-
го заряда как к универсальным, поскольку они выполняются во
всех наблюдаемых процессах.
Если преобразование волновой функции, отвечающее закону
сохранения, дискретно, то соответствующий закон сохранения
мультипликативен, т.е. в реакции (9.1) сохраняется произведе-
ние соответствующих характеристик (квантовых чисел)
Na • — Nc * ATd • * • = const. (9.4)
Пример дискретных преобразований — операция зеркаль-
ного отражения (пространственной инверсии). Инвариантность
к такому преобразованию приводит к квантовому числу — чет-
ности Р (о нем уже говорилось в Лекции 3). Все взаимодействия,
кроме слабого, инвариантны к пространственной инверсии и для
149
них справедлив закон сохранения P-четности в мультиплика-
тивной форме. О двух других дискретных преобразованиях —
зарядовом сопряжении и обращении времени — и связанных с
ними законах сохранения будет сказано в Лекции 13. До этой
лекции мы о них упоминать не будем.
Приведем перечень законов сохранения, действующих в ми-
ре частиц, с указанием их статуса. Эти законы можно разделить
на два класса — универсальные (действующие во всех взаимо-
действиях) и те, которые в некоторых взаимодействиях не вы-
полняются (табл. 9.3).
Таблица 9.3
Законы сохранения
1. Энергии Е
2. Импульса р универсальные
3. Момента количества движения J [выполняются
4. Электрического заряда Q во всех
5. Барионного числа (заряда) В взаимодействиях)
6. Лептонного числа (заряда) Le, ;
? Г Изоспина I выполняется только в сильном взаимодействии
X Проекции изоспина
8. Четности Р
9. Странности (Strangeness) 5
10. Очарования (Charm) С
11. Bottom В
выполняются в сильном
и электромагнитном
взаимодейств иях
12. Тор Т
Первые шесть законов универсальны, т.е. выполняются
всегда (во всех взаимодействиях). Изоспин сохраняется толь-
ко в сильных взаимодействиях. Остальные законы сохранения
не выполняются в слабых взаимодействиях.
Мы видим, что в мире частиц действует много новых за-
конов сохранения (с 9-го по 12-й). Эти четыре закона, а также,
как мы увидим ниже, закон сохранения изоспина, напрямую свя-
заны с кварковой структурой адронов, т. е. со специфическими
квантовыми числами, присущими кваркам.
150_______________________ Лекция 9
Квантовое число странность было введено в 1953 г. Гелл-
Манном задолго до появления кварковой модели. Название этого
квантового числа происходит от казавшегося странным поведе-
ния некоторых частиц, которые рождались только парами, а рас-
падались по одиночке. Так, наблюдались два процесса
. _ 10"” с А . т^О
р + ж -+ А 4-К , (9.5)
0 + 0 = -1 + 1
А 10"” с . _
Ч Л > р + * » (9 6)
-1 / 0 + 0
Первый из них — рождение частицы Л — происходит быстро
(за время « 10"23 с), т. е. за счет сильного взаимодействия. Вто-
рой — распад Л — сравнительно медленно (« 1О“10 с), за счет
слабого взаимодействия. Важно то, что частица Л в первой реак-
ции появляется только в паре с другой (К*0). Распадается же Л
вполне «самостоятельно» с образованием тех же двух частиц р
и тг", столкновение которых приводит к появлению Л совместно
с KQ. Существование двух обсуждаемых процессов можно объ-
яснить введением нового квантового числа (странности S), ко-
торое равно нулю для р и тг“, -1 для А и +1 для К0. Если при
этом предположить, что странность сохраняется в сильных вза-
имодействиях и не сохраняется в слабых, то процессы (9.5) и
(9.6) получают объяснение (квантовые числа странности приве-
дены под символами частиц в процессах (9.5) и (9.6)).
В заключение этого раздела сформулируем точное разли-
чие частицы и античастицы. При переходе от частицы к анти-
частице (и наоборот) знаки всех аддитивных квантовых чисел
(имеющих смысл зарядов различного типа) меняются на проти-
воположные, т. е.
меняют знак Q, В, £е, £г, 13, 5, С, В, Т, а также
магнитный момент частицы, так как он пропорционален элек-
трическому заряду Q;
не меняются масса частицы, ее спин; изоспин I, величина
магнитного момента, время жизни и способ распада частицы
(с заменой всех частиц распада на античастицы).
Так, из (9.6) следует, что частица А (антилямбда-гиперон)
распадается следующим образом:
Л -+ (97)
+1 о + о
151
Цифры под символами античастиц в (9.7) — их квантовые числа
странности. Электрический заряд антипротона (в единицах е)
равен —1.
Если все аддитивные квантовые числа (заряды) частицы
равны нулю, то такая частица тождественна своей античасти-
це, т. е. ничем от нее не отличается. Подобные частицы называ-
ют истинно нейтральными. Примерами таких частиц являются
фотон (7), тг°-мезон и Z-бозон.
Четность антифермиона противоположна четности ферми-
она. Четности бозона и антибозона совпадают.
4. Сильные взаимодействия. Адроны.
Правило Накано-Нишиджимы-Гелл-Манна
Адроны — это протяженные частицы, участвующие в силь-
ных взаимодействиях. Их около 450. Это самый обширный класс
частиц. Как уже говорилось, адроны с полуцелым спином (фер-
мионы) называют барионами (для них барионное число В = 1).
Адроны с целым и нулевым спином (бозоны) называют мезонами
(В = 0). Довольно давно было известно, что адроны неточечны и
имеют размер 1 Фм. Лишь с появлением кварковой модели удаг
лось навести порядок в обширном семействе адронов. Решающее
значение для классификации адронов имело правило (формула),
установленное Накано, Нишиджимой и Гелл-Манном в 1953 г.,
которое для краткости мы будем называть правилом ННГ. Было
обнаружено, что
- и барионы (антибарионы), и мезоны (антимезоны) обра-
зуют группы по 8-10 частиц с одинаковым спином и четнос-
тью Jp (эти группы называют супермультиплетами)}
- характеристики адронов связаны правилом ННГ и в дик-
туемой этим правилом координатной плоскости супермульти-
плеты образуют фигуры с высокой степенью симметрии.
Правило ННГ связывает электрический заряд адрона Q (в
единицах е), его третью проекцию изоспина I3, барионный заряд
В и странность S выражением
<Э = 1з + ^ (9.8)
или
<? = /з + у, (9.9)
£
где У = В + S — так называемый гиперзаряд.
152 Лекция 9
Формулы (9.8) и (9.9) — это обобщение связи между зарядом
Q частицы и ее проекцией изоспина Is* которая имеет место для
барионов со странностью S = 0, в частности протона и нейтрона
(соотношение (5.7)).
В качестве примеров в дальнейшем будем рассматривать
три супермультиплета (два барионных и один мезон/антимезон-
ный), в которые группируются самые легкие адроны:
Jp = 0 — нонет мезон/антимезонов:
ч г+, 7Г-, ij, < К+, К*, К~, К°;
= 1/2+ — октет барионов:
р, п, Л, Е+, Е°, Е“, S°, а";
Jp = з/2+ — декуплет барионов:
Д++, Д+, Д°, Д", Е+*, Е0*, Е“*, S0*, S"*, ГГ.
(9.10)
Таблица 9.4
Октет легчайших барионов с Jp = 1/з+
Барион тс2, МэВ 5(У) h I
р 938 0(4-1) +l/J 1/2
п 940 0(4-1) -7«
Е+ 1189 -1(0) +1
£° 1193 -1(0) 0 1
Е“ 1197 -1(0) -1
А 1116 -1(0) 0 0
1315 -2(-1) +1/® 7г
1321 -2(-1) -1/2
Рассмотрим более детально октет барионов Jp = ~+. Ха-
рактеристики барионов этого октета даны в табл. 9.4. Ниже
тс2 = 1400 МэВ нет других барионов с Jp = |+.
153
Из правила ИНГ следует, что, так как В = 1, то из Q, 1з и
S (или У) остается две независимых величины и все барионы
данного октета можно получить, меняя только I3 и S (или У).
Разместим барионы этого октета на плоскости, где горизон-
тальная ось координат — ось значений /3, а вертикальная ось —
ось значений странности S (гиперзаряда У)* Барионы окажутся
в узлах координатной сетки (рис. 9.5) и мы получим следующую
картину (рис. 9.6):
Если рисовать эту картину в координатах 7з и У, то ее
центр оказывается в начале координат.
Частицы октета, лежащие на горизонталях (при одном и
том же S), образуют изоспиновые мультиплеты (см. также
табл. 9.4). Для данного октета мы имеем один изосинглет Л
(7 = 0), два изодублета п, р и S“, Е° (7 = Уз) и один изотри-
плет Е”, Е°, Е+ (7 = 1). Внутри изомультиплета частицы от-
личаются лишь проекцией изоспина (электрическим зарядом).
Частицы изомультиплета обладают сходными свойствами по
отношению к сильному взаимодействию. Различие их масс, от-
ражающее высокую степень изоспиновой симметрии в сильных
взаимодействиях, всего лишь доли процента и имеет электро-
магнитную природу. В то же время различие в массах частиц
разных изомультиплетов существенно (6-40%) и определяется
сильным взаимодействием.
Аналогично в координатах 7з, 5(У) строятся фигуры и для
других вышеупомянутых супермультиплетов адронов — нонета
мезонов (антимезонов) с Jp = 0" и декуплета барионов с Jp =
= 3/г+ (п. 6 и 8 настоящей Лекции).
10 Зак. 320
154 Лекция 9
5. Кварки
Гипотеза о существовании кварков родилась из попыток
представить адроны супермультиплетов (9.10) в виде совокуп-
ности минимального числа более фундаментальных частиц.
Кварковая модель возникла в 1963 г. Ее авторы — Гелл-Манн
и Цвейг (термин кварк предложен Гелл-Манном и взят им из
романа Джойса «Поминки по Финнегану*). В соответствии с
кварковой моделью барионы состоят из трех кварков, а мезоны
— из кварка и антикварка. Сенсационность кварковой гипотезы
— в дробности электрического и барионного зарядов, приписы-
ваемых кваркам. Характеристики кварков даны в табл. 9.5.
Таблица 9.5
Характеристики кварков
(для всех кварков Jp = 1/г+ и барионный заряд В = х/з)
Характеристика Тип кварка (аромат)
d S С ь t
Электрический заряд Q -зе -Ь +h -Iе +1е
Изоспин I 1 2 1 2 0 0 0 0
Проекция изоспина 7з 2 +1. 0 0 0 0
Странность S 0 0 —1 0 0 0
Charm С 0 0 0 +1 0 0
Bottom В 0 0 0 0 —1 0
ТорТ 0 0 0 0 0 +1
Масса (тс2) 3-9 1-5 75-170 1.1-1.4 4.0-4.4 174 ±5
МэВ МэВ МэВ ГэВ ГэВ ГэВ
Вначале было введено три кварка: u, d, а. Их было достаточ-
но для описания известных в то время (самых легких) адронов.
В дальнейшем список кварков увеличился до шести, и в настоя-
щее время считается, что известны все кварки. Все кварки «на-
блюдались», т.е. их существование доказано экспериментально,
хотя в свободном состоянии они, по-видимому, не существуют.
Из табл. 9.5 видно, что по существу все аддитивные кванто-
вые числа, присущие сильному взаимодействию (кроме барион-
ного заряда В, который равен х/з для всех кварков), привязаны
к конкретным кваркам. Изоспином обладают кварки d и и (в
названиях этих кварков, происходящих от английских down и
155
up, указано, куда направлен вектор изоспина), странностью —
только s-кварк, очарованием — с-кварк, квантовое число bottom
несет 6-кварк, a top — t-кварк. Отсюда следует простой рецепт
определения всех этих квантовых чисел для любого адрона —
по кварковому составу этого адрона.
Квантовые числа антикварков определяются по общим пра-
вилам, которые связывают характеристики частиц и античас-
тиц (конец п. 3 настоящей Лекции).
Поскольку кварки не существуют в виде свободных изолиро-
ванных частиц, то указанные для них в табл. 9.5 массы требуют
пояснений, которые будут даны в конце Лекции 10. d-Кварк не-
сколько тяжелее u-кварка, что и приводит к распаду нейтрона.
Кварковый состав бариона QiQjQki антибариона где
нижний индекс отличает тип (аромат) кварка. Ароматы квар-
ков, входящих в состав адронов, могут совпадать. Кварковая
структура мезонов имеет вид антимезонов — q^j.
С учетом тяжелых кварков с, 6, t и связанных с ними кванто-
вых чисел Charm, Bottom, Тор обобщаем понятие гиперзаряда:
Y = B + S + C + S + T. (9.11)
При этом с обобщенным гиперзарядом остается справедливым
правило ННГ: Q = Z3 + —.
6. Кварковая структура
легчайших барионов и мезонов
Кварковый состав октета легчайших барионов с Jp — х/г+
(табл. 9.4) показан на рис. 9.7, выполненном в координатах Z3, S.
Барионный октет Jp = 1/3+ формируется из трех легчай-
ших кварков u, d, з. Из полученных семи комбинаций этих
кварков одна (uds) соответствует двум разным частицам —
Е° и А. Отличие этих двух частиц состоит в том, что Е°
это частица с изоспином I = 1 и проекцией изоспина Z3 = 0,
т.е. эта частица входит в состав изотриплета Е+, Е°, Е“. В то
же время А — это изосинглет, т. е. частица с I — 0 и Z3 = 0.
Бели на рис. 9.7 все частицы заменим на античастицы, то
получим кварковую структуру октета легчайших антибарионов.
В состав этого октета будут, например, входить антинейтрон
п (ddu), антипротон р (uud), антисигма-минус-гиперон с квар-
ковым составом (гшз), имеющий отрицательный электрический
заряд и поэтому обозначаемый Е . Соответственно античасти-
цей Е“ будет Е4*.
ю*
156 Лекция 9
На рис. 9.8 показан квар-
ковый состав нонета лег-
чайших мезонов с Jp = О"
(частицы, входящие в со-
став этого мультиплета,
приведены в первой строч-
ке выражения (9.10)). Ни-
же тс2 = 1000 МэВ нет
других мезонов с Jp = 0".
Этот супермультиплет, как
и все другие супермульти-
плеты мезонов, одновремен-
но содержит частицы и их
античастицы (это отличает
мезоны от барионов), т.е.
в данном случае мы име-
ем супермультиплет мезо-
нов/антимезонов.
Действительно, рас-
смотрим, например, части-
цу K°(d3). Чтобы получить
ее античастицу К , нужно
кварки, входящие в состав
К0, заменить на антиквар-
ки: d d, s —> s. Получаем
К (ds). Именно эта части-
ца занимает нижнюю пра-
вую «ячейку» рис. 9.8. Во-
обще частица и ее анти-
частица на рис. 9.8 распо-
лагаются симметрично от-
носительно центра фигуры
(точки с S = 0 и 13 — 0).
Рядом с символом частицы на рис. 9.8 приведена ее масса в МэВ
(напомним, что массы частицы и античастицы равны), что поз-
воляет разбить нонет мезон/антимезонов на изоспиновые муль-
типлеты (в которые, как уже говорилось, группируются части-
цы с близкими массами). Нонет распадается на два изодублета
(I = V2): К"0, К+ и К”, один изотриплет (I = 1): тг“, тг°,
тг+ и два изосинглета (/ = 0): Т} и 1/.
Рис. 9.7
Ао-
1
О
-1
К°(498)Д
* К+(494)
4(647), Л'(958)
/=1/2
/=1 (я)
/=0(4,4')
/=1/2
-1 -1/2 0 1/2 1 /3
Рис. 9.8
К“(494)
R°(498)
1
157
Рассмотрим вопрос о том, почему в центре фигуры (5 = 0
и 1з — 0) оказались три частицы и как они отличаются с точки
зрения кваркового состава. Из u-, d-, s-кварков и их антиквар-
ков можно составить только три од-пары с 1$ = 0. Это ии, dd
и ss. По существу эти три возможности и приводят к появле-
нию трех частиц в центре нонета. Однако эти частицы не яв-
ляются чистыми по аромату од-комбинациями (<ш, dd или зз),
а оказываются смесью этих трех комбинаций с различными ве-
сами, что, подразумевая под вышеупомянутыми комбинациями
соответствующие им волновые функции, можно записать следу-
ющим образом: ctuu+/3dd+'yss1 где а2+/32+72 = 1. Одна из этих
комбинаций должна иметь I = 1 и соответствовать тг°-мезону
— члену изотриплета тг-мезонов. В составлении кварковой ком-
бинации тг°-мезона могут участвовать лишь ии и dd-пары, так
как только из кварков этого типа (имеющих изоспин V2) мож-
но сформировать состояния с I = 1. Таким образом, 7(7Г*) = 0.
Две оставшиеся комбинации кварков отвечают изосинглетам —
частицам с I = 0, у которых нет изоспиновых партнеров за
пределами центра нонета. Эти две частицы — т] и т/'-мезоны.
В формировании их кваркового состава участвуют uu-, dd- и
зз-пары.
Вид кварковых комбинаций для 7} и т/'-мезонов (как и всех
других мезонов нонета) приведен без доказательства в конце п. 3
Лекции 10. Здесь лишь заметим, что поскольку в состав т} и rf-
мезонов входит зз-пара, состоящая из значительно более тяже-
лых кварков, чем и и d (табл. 9.5), то рассматриваемые мезоны
(ту и if) имеют существенно большие массы, чем тг°-мезон.
Мезоны тг°, 7} и if, располагающиеся в центре рис. 9.8, явля-
ются истинно нейтральными частицами, т.е. для них частица и
античастица тождественны. Это следует из того, что все эти ме-
зоны — комбинации пар qq одинакового аромата (uu, dd или зз).
Замена в этих комбинациях кварк —> антикварк и наоборот не
меняет кварковой структуры комбинации, т.е. приводит к той
же частице.
Основываясь на кварковой структуре барионов, легко прий-
ти к выводу, что среди последних нет истинно нейтральных час-
тиц.
158_____________:. Лекция 9
7. Кварковые атомы
В предыдущем разделе даны примеры того, как выгля-
дит кварковое строение легчайших адронных супермультипле-
тов — одного барионного и одного мезон/антимезонного. Все
остальное многочисленное семейство адронов так же распада-
ется на супермультиплеты, формируемые сочетаниями из трех
или двух кварков — qqq (барионы), JgJ (антибарионы), qq (ме-
зон/антимезоны). Таким образом, адроны можно рассматривать
как кварковые атомы (или ядра). Сравним известные образо-
вания (яЬра) из трех нуклонов с кварковой структурой самих
нуклонов:
?Н = рпп; ,Не = ррп;
п = udd] р = uud.
Такое сравнение еще раз показывает, что с открытием квар-
ков достигнут новый уровень структуры материи (новая ступень
квантовой лестницы).
Кварки, образующие адроны, могут находиться в состояни-
ях с различными орбитальными моментами. Спины этих квар-
ков могут быть ориентированы различным образом. Поэтому
для одной и той же кварковой комбинации допустимы различ-
ные значения полного момента и четности Jp. Энергия (масса)
фиксированной кварковой комбинации зависят от Jp, т.е. для
каждой кварковой комбинации получаем набор энергий (масс).
Такова суть спектроскопии адронов, которая по существу не от-
личается от атомной или ядерной спектроскопии. Единственное
отличие, о котором здесь нужно сказать, состоит в том, что ес-
ли у атома (или ядра) с определенным внутренним составом
частиц меняется энергия и квантовые числа, то это означает
переход в другое состояние этого же атома (ядра). В физике
адронов изменение энергии (массы) и квантовых чисел фиксиро-
ванной кварковой комбинации означает переход к другой части-
це (другому адрону со своим обозначением). Таким образом, в
богатстве адронов скрыто все многообразие межкварковых воз-
буждений. Отмеченное отличие, однако, не принципиальное, а
скорее терминологическое.
Рассмотрим вопрос о том, как ориентированы спины квар-
ков в нуклонах, каковы их орбитальные моменты и почему у
нуклонов Jp = г/2+- Возьмем для примера протон: р = twd.
Протон — самое нижнее (основное) состояние кварковой комби-
нации uud. Как и в атомной (ядерной) спектроскопии основные
159
(и самые нижние возбужденные) состояния отвечают нулевым
орбитальным моментам составных частиц. Поэтому результи-
рующий орбитальный момент L кварков в протоне равен нулю
и полный момент протона получается сложением лишь спинов
кварков. Оказывается, что в протоне у одного из кварков спин
направлен противоположно двум другим, а именно, р = ufuf
В итоге получаем для протона J = 1Д и (так как внутренние чет-
ности кварков положительны) четность протона
р=wr^-l)1’’0 = (+1)(+1)(+1)(-1)°=+1.
То же справедливо для всех других членов мультиплета легчай-
ших барионов с Jp = l/z+ (рис. 9.7).
У любой частицы, входящей в состав супермультиплета лег-
чайших мезонов (рис. 9.8), орбитальный момент кварков также
равен нулю. Спины кварка и антикварка антипараллельны (|ф)
и суммарный момент мезона/антимезона этого нонета J — О*
Так как внутренняя четность кварка 4-1, а антикварка -1, чет-
ность мезона нонета
р=W( - 1)L=O = (+1)(-1)(-1)° = -1.
В итоге для легчайших мезонов/антимезонов имеем Jp = 0“.
С учетом всего вышеизложенного можно записать следую-
щие формулы для определения четности мезонов/антимезонов,
барионов и антибарионов:
^мезон/антимезон ~ 1)*’= (4”1)(“1)(“1)^ — —
Рбаржо» = lWrg(-l),’+l’+,« = (+1)(+1)(+1)(-1)Ь = (-1)Ь;
P«itm6.p«o» =’г?ягг7(-1)'з+'54-'5'=(-1)(-1)(-1)(-1)L=-(-1)Ь,
(9.13)
где L - результирующий орбитальный момент кварков в адроне.
160 Лекция 9
8. Декуплет барионов с Jp = 3/2+.
Распады ^-резонансов. Кварковая диаграмма
нуклон-нуклонного взаимодействия
В качестве последнего примера рассмотрим кварковую
структуру еще одного супермультиплета барионов — декуплета
с Jp — (нижняя строчка выражения (9.10)). Этот декуплет
показан на рис. 9.9.
Верхнюю строчку фигуры образуют частицы со страннос-
тью 5 = 0. Эти частицы — всевозможные тройные комбинации
из двух легчайших кварков и и d. Всего возможны четыре таких
комбинации. Они отличаются проекцией изоспина 1з и образу-
ют изоспиновыи квартет (I = 3/а)* Следующий ряд (5 = -1) —
это все комбинации из двух нестранных (и и d) кварков и одного
странного (а). Возможны три таких комбинации. Они образуют
изоспиновый триплет (I = 1). Ниже (5 = -2) — это ряд час-
тиц, в состав которых входит два а-кварка. Таких частиц две
— dss и пая, — и они образуют изодублет (Z = х/2). Наконец,
самая нижняя частица — это П*", состоящая из трех а-кварков.
Очевидно, что изоспин этой частицы равен 0 (изосинглет).
3
О
-1
-2
-3
Jp=3/2+
Д’(1234) Д°(1234) Д+(1232) ЛМ(1232)
£‘*(1387) £°*(1384) £+*(1383)
2’41535) В°*(1532)
Q’'0(1672)
/=3/2
/=1
М1/2
/=0
...4... ....1,. I t . t
-3/2 -1 -1/2 0 1/2 1 3/2 /3
Рис. 9.9
Сопоставление рис. 9.7 и 9.9 показывает, что по сравнению с
октетом барионов Jp — */2+ в декуплете Jp = 3/2+ появились час-
тицы, состоящие из одинаковых кварков: ddd, игш, ааа. Эти час-
тицы, расположившись в углах, превратили «шестиугольник»
октета в «треугольник» декуплета. Вопрос о том, почему этих
161
трех комбинаций одинаковых кварков нет в октете Jp = г/2+, мы
отложим до Лекции 10, где будет дано (на качественном уровне)
изложение квантовой хромодинамики (КХД).
Остальные (неугловые) кварковые комбинации — это повто-
рение комбинаций октета Jp ~ х/2+. Так кварковые комбинации
декуплета udd и uud аналогичны нейтрону и протону. Отлича-
ются же они от нейтрона и протона тем, что у обсуждаемых
кварковых комбинаций декуплета Jp = 3/г+ (а не Jp = 1/з+).
То же можно сказать и о других общих кварковых комбинациях
октета и декуплета. Экспериментальное исследование барионов
декуплета показывает, что результирующий орбитальный мо-
мент кварков в нем L = 0 и спины кварков параллельны (tTT) •
Таким образом, полный момент частиц декуплета J = 3/з. Чет-
ность Р частиц декуплета находим, пользуясь правилом (9.13):
•Рдекуплет = ( —1)^”° = +1» (9*14)
Итак, получаем для спина и четности частиц декуплета Jp =
= 3/г+.
Все общие (с октетом) кварковые комбинации декупле-
та есть возбужденные состояния (резонансы) соответствующих
частиц октета. Д°-Резонанс — это возбуждение нейтрона, Д+-
резонанс — это возбуждение протона и т. д. Звездочка (*) справа
вверху в обозначении S* и 2*-гиперонов декуплета отражает это
обстоятельство. Отсутствие же в декуплете частицы аналогич-
ной частице А октета с I = 0 также объясняется особенностями
КХД (Лекция 10).
Возбуждения нуклонов, отвечающие Д° и Д+-резонансам,
состоят в перевороте спина одного из кварков, после чего спины
всех кварков направлены в одну сторону. То же можно сказать
и о возбуждениях Е и S-гиперонов, отвечающих частицам Е*
и 2*. Переворот спина кварка в нуклоне, как видно из массы
нуклона и Д-резонанса, требует энергии около 300 МэВ. Именно
этот тип трехкваркового возбуждения наблюдал в 1951 г. Ферми
при рассеянии пионов на протонах (Лекция 8). Отметим, что в
современных таблицах барионов, в том числе и приведенной в
Приложении Р, в обозначении частиц декуплета звездочка (*)
не используется. Вместо нее приводится усредненная масса (в
МэВ) частиц соответствующего изомультиплета. Так, частицы
изотриплета Е* обозначены Е(1385)+, Е(1385)°, и Е(1385)“, а
частицы изодублета 2* — 2(1530)° и 2(1530)“*.
Кроме О", все частицы декуплета — резонансы. Они распа-
даются за 10“23 с на соответствующий барион октета и тг-мезон.
162-----------------------------------------_ Лекция 9
Так, Д-резонанс распадается на нуклон и пион: Д -4 тг + нуклон.
Например, Д++-резонанс распадается единственным способом
д++->тг++р. (9.15)
Для распада Д°-резонанса существует две возможности:
Д° -4 тг® + п, Д° -4 7г*” +р. (9.16)
ит.д.
Кварковая диаграмма распада (9.15) показана на рис. 9.10.
«Вилка» 2d в правой части диаграммы возникла в резуль-
тате рождения пары dd глюоном (рис. 9.11). Этот глюон был
испущен одним из трех w-кварков Д++-резонанса. Однако, как
уже отмечалось выше, глюоны на диаграммах сильного взаимо-
действия обычно не рисуют (они лишь подразумеваются).
В заключение раздела изобразим на кварковом уровне диа-
грамму межнуклонного (ядерного) взаимодействия между нейт-
роном и протоном. Ранее (Лекция 5) мы изображали это взаимо-
действие как обмен тг-мезоном (рис. 9.12).
Кварковая диаграмма такого обмена показана на рис. 9.13.
Рис. 9.12
Рис. 9.13
163
Мы видим, что ядерное взаимодействие — это некий оста-
ток сильного (межкваркового) взаимодействия. Подобным обра-
зом межмолекулярные (или межатомные) силы — остаток более
фундаментальных электромагнитных сил.
*9. Об изоспине фотона и четности лептонов
Изоспин фотона
В современных таблицах частиц фотону приписывается изо-
спин 0 или 1. Закономерен вопрос: что это значит? Ведь фотон,
не участвуя в сильных взаимодействиях, казалось бы не может
характеризоваться определенным значением изоспина.
Появление в таблицах двух вышеупомянутых значений изо-
спина фотона = 0 или 1 проще всего объяснить, рассматривая
процесс рождения фотоном пары кварк-антикварк 7 + &•
В этом процессе участвуют кварки одинакового аромата. Если
фотон рождает пары ss, сс, ЬЬ и ttt не имеющие изоспина, то
рожденная пара также будет иметь нулевой изоспин, и формаль-
но выполняется закон сохранения изоспина, если такому фотону
приписать нулевой изоспин (аналогичный результат будет, если
фотон рождает пару лептон-антилептон). Если же фотон рож-
дает пары dd и utt, состоящие из кварков с изоспином Мг, то эти
изоспины могут сложиться в суммарный изоспин | + f = 0 или
| + | = 1. Это показывает, что фотон в этих процессах фор-
мально ведет себя как частица с одним из этих двух возможных
значений изоспина. Но по существу это доказывает лишь то, что
не имеющий изоспина фотон может переходить в адронные со-
стояния с I = 0 или 1. Сама двойственность этого результата
и есть отражение несохранения изоспина в электромагнитных
взаимодействиях. Третья проекция изоспина 1з в электромаг-
нитных процессах, очевидно, сохраняется.
Четность лептонов
В таблицах частиц четность лептонов и промежуточных бо-
зонов W±t Z не указана. Это связано с тем, что для этих частиц
важную роль играют слабые взаимодействия, не сохраняющие
четность, т.е. по отношению к этим взаимодействиям понятие
внутренней четности частиц не имеет смысла.
164__________________________________________. Лекция 10
Лекция 10
1. Трудности простой кварковой модели.
, Новое квантовое число «цвет*
2. Барионы и мезоны как наборы цветных кварков
б. Глюоны. Квантовая хромодинамика (КХД)
*4. Обобщение принципа Паули.
Структура волновой функции бариона в КХД
5. Сравнение КЭД и КХД. Экранировка и антиэкранировка заряда.
Асимптотическая свобода
б. Внутри протона
1. Трудности простой кварковой модели.
Новое квантовое число «цвет*
Появление кварковой модели свело сотни адронов к шес-
ти точечным частицам — кваркам. Кроме того, оказалось, что
кварки, в отличие от адронов (например, нуклонов), описывают-
ся теми же методами квантовой теории поля, которые оказались
столь эффективными в случае электромагнитного взаимодейст-
вия (КЭД). Однако ограничиться моделью кварков в той сравни-
тельно простой форме, в которой она представлена в Лекции 9,
нельзя. Так, например, возникает следующая проблема, особен-
но отчетливо видная при анализе кваркового состава декуплета
барионов (см. рис. 9.9). В углах «треугольника» декуплета рас-
полагаются частицы Д“ = ddd, Д++ = uuu и О" = ssa, т.е.
комбинации из трех тождественных кварков в одних и тех же
квантовых состояниях. Действительно, их орбитальные момен-
ты равны нулю, а спины ориентированы одинаково (tft)« Таким
образом, имеем даже не два, а три тождественных фермиона в
одном состоянии. Принцип Паули нарушен (в случае мезонов
проблемы с квантовой статистикой не возникает, так как они
содержат только различимые кварки).
Помимо этого простая модель кварков не объясняет выде-
ленности наблюдаемых кварковых комбинаций. Так комбинации
типа qqq, qqq и qq в природе реализуются. Но все остальные воз-
можности — нет. Так, например, не обнаружены кварковые со-
четания gg, gg, ggg, ggg, да и самих отдельных кварков никогда
не наблюдали.
Все отмеченные трудности устраняются введением для
кварков нового квантового числа, получившего название цвет.
165
Это новое квантовое число, естественно, никак не связано с
обычным цветом. Смысл этого названия будет ясен из дальней-
шего изложения.
Предположим, что кварки бывают трех цветов — красные
(К), зеленые (3) и синие (С). Тогда, например, Д++-резонанс
можно представить как комбинацию трех u-кварков в разных
цветовых состояниях: Д++ = и противоречие с кванто-
вой статистикой устраняется. Подчеркнем, что цвет для кварков
вводится именно как квантовое число, как своеобразный спин,
имеющий три возможные ориентации в неком цветовом про-
странстве. Этот цветовой трехзначный спин, естественно, имеет
совершенно другую природу, чем, например, обычный двухзнач-
ный спин кварка или электрона (±г/гЛ). Трехзначность цвета
диктуется необходимостью восстановления принципа Паули для
барионов, построенных из трех кварков одинакового аромата.
Однако нельзя ограничиться только трехзначностью цвета.
Остается следующая проблема. Если — это единствен-
ный вариант Д++-резонанса, то для протона можно предложить
много кандидатов, не нарушая принципа Паули: uKu3dc, uKu3d3,
и т.д. Но существует только одно протонное состояние
и нужно ввести новое квантовое число «цвет», не увеличивая
число наблюдаемых состояний. Для этого постулируется, что
наблюдаемые в природе адроны абсолютно бесцветны
(белые) — в них кварки разного цвета образуют бесцветные
комбинации, т.е. перемешаны равномерно. О таких цветовых
состояниях говорят как о цветовых синглетах. Они не меня-
ются при вращениях в цветовом пространстве (с осями К, 3, С).
При таком вращении происходит циклическая замена цветов, на-
пример так, как на рис. 10.1.
Антикваркам приписывают антицвета г 3
(дополнительные к_цветам) — К (голубой), 7^
3 (пурпурный) и С (желтый), которые мы ( А
будем называть антикрасным, антизеленым * )
и антисиним. Комбинации из антикварков,
в которых эти три антицвета представлены —с
одинаковыми долями, также являются цве- Рис. ю.1
товыми синглетами.
Теперь становится очевидной аналогия между оптическим
и квантовым цветом. И в том и в другом случае равномерная
смесь трех базовых цветов дает абсолютно бесцветную (белую)
комбинацию.
166 Лекция 10
2. Барионы и мезоны как наборы цветных кварков
Принятие постулата о бесцветности наблюдаемых квар-
ковых комбинаций ограничивает эти комбинации следующими
тремя возможностями (если рассматривать комбинации из ми-
нимального числа кварков):
1) смесь красного, зеленого и синего поровну — К ЗС;
2) смесь антикрасного, антизеленого и антисинего поровну —
КЗС; _ _ _
3) смесь цвета и его антицвета поровну — К К, 3 3, С С.
Этц возможности в точности соответствуют наблюдае-
мым адронам: 1 — барионы, 2 — антибарионы, 3 — ме-
зоны/антимезоны. Например, с точки зрения цвета протон =
= КЗС, антипротон = К5С, тг-мезон К!£+33+СС. Это
означает, что протон, например, — это по-прежнему комбина-
ция кварков uud, но различным образом окрашенных.
Следует подчеркнуть, что аналогия между квантовым цве-
том и оптическим неполная. Каждое из трех возможных состоя-
ний цвет-антицвет К К, 33, С С тоже бесцветно (точнее — име-
ет скрытый цвет), но лишь комбинация К К+3 5+С С, не меняю-
щаяся при вращениях в пространстве цветов (рис. 10.1), являет-
ся абсолютно бесцветной или, как мы будем говорить, белой, т. е.
является цветовым синглетом и отвечает наблюдаемому мезону.
Запишем в качестве примера правильно нормированную волно-
вую функцию наблюдаемого (белого) ^“-мезона, учитывающую
аромат и цвет кварков,
|ir~) = + dc^c) • (10.1)
Такая запись подразумевает, что антикварки наделены ан-
тицветами. Соответствующие барионные волновые функции
должны быть антисимметризованы, так как в состав бари-
она могут входить тождественные кварки. Так, например,
ароматово-цветовая волновая функция наблюдаемого (белого)
Д++-резонанса выглядит так:
|Д++) =
= д/^Л(«к«з«с+«з«<5«к4-«с«к«з-из«к«с-«к«с“з-«сиз«к)-
(10-2)
167
Требуемая антисимметризация волновой функции Д++-
резонанса получена. Она антисимметрична по цвету, симмет^
рична по пространственным координатам (орбитальные моменч
ты кварков — нулевые) и спинам (ttt). Таким образом, волновая
функция Д++-резонанса антисимметрична в целом, как и долж-
но быть для систем фермионов. Легко проверить выполнение
принципа Паули для состояния (10.2). Пусть зеленый и-кварк
стал красным: из «к- Тогда в комбинации (10.2) имеем два
красных u-кварка в одном и том же состоянии. При этом функ-
ция (10.2) обращается в нуль.
Ароматово-цветовая волновая функция протона получается
из (10.2) заменой третьего u-кварка в каждом слагаемом на d-
кварк.
Подведем итоги. Кваркам придано новое «скрытое» кван-
товое число цвет. Оно скрыто в том смысле, что все адроны
(связанные состояния кварков), регистрируемые детекторами,
являются белыми или абсолютно бесцветными (синглетами по
цвету). Этим достигается не только восстановление принципа
Паули для барионов, но и объясняется отсутствие в природе це-
лого ряда кварковых комбинаций. Так, комбинация qq при любом
сочетании цветов двух кварков (КК, КС, СЗ,...) будет цветной и
поэтому не может встречаться в природе в силу постулата о том,
что наблюдаемы лишь абсолютно бесцветные (белые) связан-
ные состояния кварков. Изложенная цветовая схема объясняет
выделенность в природе кварковых комбинаций qqq} qqq и qq.
Эта же схема исключает возможность наблюдения отдельных
кварков, так как они окрашены.
Таким образом, сильное взаимодействие устроено так, что
цветные состояния значительно тяжелее бесцветных и поэтому
энергетически менее выгодны. Это роднит межкварковые силы
с электрическими и понять это помогает аналогия с атомами.
Нейтральные атомы, где заряды скомпенсированы, значитель-
но устойчивее ионов, имеющих большую дополнительную элек-
тростатическую энергию и стремящихся превратиться в ней-
тральные атомы под действием сил кулоновского притяжения.
Нейтральные атомы в этом плане аналогичны белым адронам,
а ионы — цветным состояниям. Рассмотренная аналогия позво-
ляет трактовать цвет как заряд сильного взаимодействия. Так
вводится цветовой заряду ответственный за сильное взаимодей-
ствие (по аналогии с электрическим зарядом, ответственным за
электромагнитное взаимодействие).
168-----------------------------------------Лекция 10
3. Глюоны. Квантовая хромодинамика (КХД)
Сильное взаимодействие осуществляется обменом безмассо-
вой электрически нейтральной частицей со спином 1, отрица-
тельной четностью и нулевым изоспином — глюоном. Эта час-
тица как бы «склеивает» кварки в адронах.
Испуская или поглощая глюон, кварк определенного цвета
может сохранить этот цвет, или изменить цвет.
----
Я,
Я<
Ряс. 10.2
При испускании й поглощении глюона выполняется закон
сохранения цвета или цветового заряда. Таким образом, пони-
мая под 91, 9ц 9з и 94 цветовые заряды (цвета) кварков, а под д
— цвет глюона, можно записать
91 = 91 +5»
?з+9 = 94-
(1Ь.З)
Рассмотрим два варианта взаимодействия красного (К) и
зеленого (3) кварков — с обменом и без обмена цветом.
Рис. 10.3
Для левой диаграммы (с обменом цветом) из закона сохра-
нения цвета в узлах а и б имеем
а)К = / + 3, б)3 + / = К, (10.4)
откуда получаем цветовую структуру глюона д':
д' = КЗ. (10.5)
169
Действуя аналогично для правой диаграммы рис. 10.3 (без обме-
на Цветом), получаем
а)К = <?" + К, б)3 + </" = 3.
Отсюда цветовая структура глюона дн
КК,
д" = 33,
сс.
(10.6)
(10.7)
Таким образом, глюон обладает двумя цветовыми характерис-
тиками (цветом и антицветом), т.е. несет цвет, в том числе и
скрытый.
Сильное взаимодействие — это обмен глюонами, т.е. цве-
том. Теория, описывающая такое взаимодействие, называется
квантовой хромодинамикой (КХД). КХД — это квантовая те-
ория цветовых калибровочных полей. В КХД сила пропорцио-
нальна цветам кварков (цветовым зарядам) и равна нулю для
бесцветных состояний. КХД во многом повторяет КЭД, о чем
свидетельствует табл .10.1.
Таблица 10.1
КЭД КХД
Электрон кварк
Заряд цвет
Фотон глюон
Позитроний (е+е“) мезон (qq)
Итак, каждый глюон несет пару цветовых зарядов — цве-
товой и антицветовой. Всего из трех цветов и трех антицветов
можно построить 9 парных комбинаций, которые можно пред-
ставить в виде матрицы 3x3:
Таблица 10.2
к 3 с
К кк КЗ КС
3 зк 33 зс
С СК сз сс
170....................................... Лекция 10
Эти 9 парных комбинаций цвет-антицвет разбиваются на 6
недиагональных явно окрашенных и_3 диагональных, обладаю-
щих скрытым цветом: КК, 33 и СС. Цветовые заряды, как и
электрические, сохраняются. Поэтому б недиагональных явно
окрашенных пар не перемешиваются между собой. Что каса-
ется трех диагональных пар, то сохранение цветового заряда
не препятствует переходам типа КК О 33 СС, т. е. диаго-
нальные пары перемешиваются. В результате этих переходов
вместо цветовых сочетаний КК, 33 и СС возникают три их
линейные комбинации, вид которых можно получить из сообра-
жений симметрии и требования ортонормированности глюонных
состояний (Приложением). В итоге вместо трех диагональных
цветовых комбинаций КК, 35 и CU получаются три линейные
комбинации:
4=(КК-33), -+(КК+33-2СС), 4=(КЙ+33+СС).
у2 v6 уЗ
При этом последняя комбинация полностью симметрична отно-
сительно цветов, т.е. не обладает даже скрытым цветом, яв-
ляясь абсолютно бесцветной (белой). Это цветовой синглет, не
меняющийся превращении в пространстве цветов. Комбинация
^-(КК + 33 + СС) лишена цветового заряда и не может играть
роль глюона, участвующего в сильном взаимодействии (перено-
сящего цвет от одного кварка к другому). Таким образом, после
исключения комбинации —^(КК + 33 + СС) остается 8 глюонов.
Перечислим их:
КЗ, КС, ЗС, ЗК, СК, СЗ, 4=(КК-33), 4=(КК + 33-2СС).
у2 - v6
Зная цветовую структуру глюонов, легко получить кварко-
вую структуру нонета легчайших мезонов/антимезонов с Jp = 0“
(Лекция 9, п. 6). Действительно, этот нонет образован ^-комби-
нациями трех кварков — tt, d, s. Эти комбинации даются мат-
рицей 3x3, аналогичной приведенной в табл. 10.2, с заменой
цветов на ароматы (К-> п, 3—> d, С—> я). Все дальнейшие рас-
суждения о получающихся кварк-антикварковых состояниях по-
вторяют аналогичные рассуждения о цветовых состояниях глюо-
нов. Поэтому кварковые состояния нонета мезонов/антимезонов
с Jp = 0" получаются Из состояний глюонов просто заменой
171
К—». 3-> d, C-*_s, причем_в такой замене участвует и 9-й
белый глюон ^(КК + 33 4- СС). В итоге получаем следующую
кварковую структуру частиц нонета:
ud обозначают тг+,
du
~^=(ии — dd)
из
8U
ds
sd
-“=(uu + dd - 2ss)
-^=(uu+ dd+ зз)
V 3
7Г0,
K+,
K",
K°,
K°,
rf-
*4. Обобщение принципа Паули.
Структура волновой функции бариона в КХД
Появление нового квантового числа цвет позволяет полнос-
тью объяснить все трехкварковые комбинации, присущие раз-
личным супермультиплетам барионов. Ниже в конце этого раз-
дела, мы дадим ряд примеров, относящихся к рассмотренным
ранее в Лекции9 октету (Jp = Уз4") и декуплету (3/з+) лег-
чайших барионов. Однако перед этим мы рассмотрим общий
вид волновой функции системы фермионов, введем обобщенный
принцип Паули и запишем волновую функцию бариона в том ви-
де, который непосредственно отражает свойства симметрии этой
функции к перестановке тождественных кварков.
Волновую функцию системы частиц Ф(1,2,3,...) можно
представить в виде произведения волновых функций отдельных
частиц Ф1, Фз, Фз, • • •
ФаэЗЛ-.О^Ф^Фз..., (10.8)
либо в виде линейной комбинации этих произведений. Здесь под
цифрами 1,2,3,... помимо номера частицы, будем понимать всю
172 Лекция 10
совокупность координат и квантовых чисел, характеризующих
состояние частицы. Далее для определенности будем говорить о
системах, состоящих из трех частиц. Тогда
Ф(1,2,3) = ФхФ2Ф3, (10.9)
где волновая функция отдельной частицы, например первой,
Фх = ^(гх). (10.10)
описывает внутреннее состояние частицы, ^(гх) — ее дви-
жение как целого бесструктурного (точечного) объекта по неко-
торой траектории (орбите). Для точечной частицы у>х определя-
ется внутренними квантовыми числами такими, например, как
спин, изоспин, цвет (для кварков). Соответствующее внутреннее
состояние (спиновое, изоспиновое, цветовое) описывается своей
волновой функцией (спиновой 5, изоспиновой /, цветовой С), вид
которых для данного рассмотрения не важен, <рх — произведение
этих функций:
Р1=$хЛС1. (10.11)
Ограничимся пока одной внутренней степенью свободы — спи-
ном, тогда
Ф(1,2,3) = 51^(п)5^(г2)5з^(гз). (10.12)
Далее будем считать, что система состоит из трех точечных фер-
мионов, из которых первые два тождественны (третий может
быть тождествен первым двум или быть другим фермионом).
Перепишем (10.12) в виде
Ф(1,2,3) = 31^(г1)<&(г2)Фз = Ф(1,2)Ф3, (10.13)
где (и далее) используются обозначения
Ф(1,2) = SiS2^(ri)^(r2) = $(1,2)^(1,2), (10.14)
и в дальнейшем будем рассматривать свойства Ф(1,2,3) к пере-
становке двух первых (тождественных) фермионов, полагая, что
спины этих фермионов 1/2. Эта перестановка затрагивает лишь
функцию Ф(1,2) двух.тождественных фермионов. Ее зависящая
173
от пространственных координат часть ^(1,2) = ^(г1)^(гг) в
системе центра инерции представима в виде
^(1,2) = Ф(К)/(г), (10.15)
где R = г/2(г1 + г2) — «координата» центра инерции, а г =
= *1 - г2 — «относительная координата». $(R) описывает дви-
жение центра инерции системы, а /(г) — относительное движе-
ние частиц системы.
Волновая функция тождественных фермионов Ф(1,2) долж-
на быть антисимметрична к перестановке частиц:
Ф(2,1) = -Ф(1,2). (10.16)
При такой перестановке меняются местами не только простран-
ственные координаты частиц, но и все их квантовые числа, т. е.
имеем
Ф(2,1) = 5(2,1)^(2,1) = -5(1,2)0(1,2). (10.17)
Таким образом, чтобы быть антисимметричной в целом, вол-
новая функция двух тождественных фермионов должна при их
перестановке менять знак либо спиновой, либо пространственной
части, т.е. одна из компонент волновой функции должна быть
симметричной (s), а другая — антисимметричной (а)
Ф(1 2)=pa(l,Wl,2),
I Ss(l,2)^a(l,2).
(10.18)
Свойство симметрии к перестановке пространственной функции
*0(1,2) зависит от относительного орбитального момента L час-
тиц. Действительно в СЦИ имеем (10.15) и
^(2,l) = $(R)/(-r), (10.19)
т. е. перестановка пространственных координат сводится к опе-
рации инверсии Р для функции относительного движения час-
тиц:
/(-г) = Р/(г) = (-1)Ь/(г), (10.20)
где (—1)ь — орбитальная четность (Лекция 3). Итак, простран-
ственная волновая функция *0(1,2) симметрична (четна) при
L = 0,2,4,... и антисимметрична (нечетна) при £ = 1,3,5,...
174____________________,______________________Лекция 10
При рассмотрении спиновой части волновой функции двух
фермионов ограничимся частицами со спинами Уз. Тогда возни-
кает лишь два варианта спиновых состояний — спины частиц
параллельны (ft) и результирующий спин равен 1 или спины
частиц антипараллельны (||) и результирующий спин равен
нулю. В первом случае спиновая функция симметрична к пе-
рестановке, во втором — антисимметрична, т. е.
5,(1,2) = 5(П), S«(l, 2) = 5(H). (10.21)
Теперь мы можем записать волновую функцию бариона как
системы йз трех кварков, используя (10.12)—(10.14). В этих вы-
ражениях вместо спиновых функций кварков S используем функ-
ции внутреннего состояния кварков у в форме (10.11), учитыва-
ющей также изоспиновую и цветовую степени свободы, прису-
щие кваркам. Имеем
Ф(1,2,3) = ^^(пМ^з^О*) =
= ?(1,2)^(1,2)Ф3 = 5(1,2)/(1,2)С(1,2М1,2)Ф3. 1 '
Функция Ф(1,2,3) может быть записана и в следующем виде:
Ф(1,2,3) = 5(1,2,3)1(1,2,3)^!, 2,3)^(1,2,3), (10.23)
где 5(1,2,3) = 5j5j5j, 1(1,2,3) = С(1,2,3) = С&С9,
V>(1,2,3) =
Если среди трех кварков, входящих в состав бариона, есть
хотя бы два тождественных, то Ф(1,2,3) должна быть антисим-
метрична к перестановке этих кварков. При этом спиновая (5),
изоспиновая (Z), цветовая (<7) и пространственная (V>) функции
по отдельности могут быть как симметричными (s) так и анти-
симметричными (а). Важно, чтобы Ф(1,2,3) была антисиммет-
ричной в целом. В этом суть обобщенного принципа Паули. Не
участвующая в перестановке частица ведет себя как наблюда-
тель. Ее волновая функция не меняется.
Необходимо уточнить, что понимается под тождественными
кварками. Поскольку используется изоспиновое квантовое чис-
ло, то кварки и и d считаются тождественными. Они составляют
изсдублет (J = Уз) и отличаются третьей проекцией изоспина
(7з = +у2 для «-кварка; 1$ = — Уз для Шкварка). Использо-
вание иэоспиновой симметрии превращает и- и d-кварки в два
175
состояния одной частицы — легкого кварка. Подобным образом
нейтрон и протон — просто два изоспиновых состояния одной
частицы — нуклона. Легкий кварк (u, d) и остальные кварки
(s, с, Ь, t) не являются тождественными фермионами.
Изменим обозначение волновых функций в (10.23):
5(1,2,3) = ^(SiS253), 7(1,2,3) -
(7(1,2,3) = ^(КЗС), ^(1,2,3) = ^(ггг2г3), ’ '
понимая под символами в скобках значения квантовых чисел и
координат кварков. Тогда (10.23) переписывается в более удоб-
ном виде
Ф(1,2,3) = ^(КЗС)^(г1г2г3)^(515253)^(717273). (10.25)
Еще раз подчеркнем, что Ф(1,2,3) должна быть антисим-
метричной в целом к перестановке всех квантовых чисел и коор-
динат двух тождественных кварков (кварки и и d тождествен-
ны). При этом цветовая, пространственная, спиновая и изоспи-
новая функции в отдельности могут быть как симметричными
(s), так и антисимметричными (а). Перестановочный характер
пространственной функции ^(г1Г2г3) легко установить, зная ор-
битальный момент L кварков (10.20). Для спиновой и изоспино-
вой функций правило простое — если переставляются частицы с
параллельными спинами (изоспинами) — (tt)j то функция сим-
метрична, если переставляются частицы с антипараллельными
спинами (изоспинами) — (Ц), то функция антисимметрична.
Цветовая функция ^(КЗС) всегда антисимметрична (она обес-
печивает выполнение принципа Паули, когда все другие кван-
товые характеристики тождественных фермионов совпадают).
Для легчайших барионов орбитальные моменты кварков L = 0 и
пространственная функция ^(г1г2^з) симметрична. В этом част-
ном случае, который для нас интересен, (10.25) переписывается
в виде
Фа(1,2,3) = ^а(КЗС)^(пг2г3)да5253)^(717213). (10.26)
Отсюда следует, что в супермультиплетах легчайших барионов
(например, октете Jp = */2+ и декуплете Jp = 3/2+ (Лекция 9))
допустимы лишь такие кварковые комбинации, у которых спи-
новая и изоспиновая функции одновременно либо симметричны,
либо антисимметричны, т. е. спиново-изоспиновая функция либо
либо
Рассмотрим примеры.
176 Лекция 10
Пример 1. Показать, что для частиц октета легчайших
барионов Jp = х/з+ выполняется следующее правило: у кварков
одинакового аромата спины параллельны.
Рассмотрим протон (uud). Запишем (10.26) в виде
$a(u«d) = ^a(«Kti3rfc)^s(rurwrd)VF(5'uSuSd)^(+l/2; + l/2; “V2).
В изоспиновой функции указаны проекции изоспина кварков
в зарядовом пространстве. Переставим u-кварки. Изоспиновая
функция к такой перестановке симметрична. Значит должна
быть симметричной и спиновая функция. Это означает, что спи-
ны «-кварков обязаны быть параллельны. Спин d-кварка дол-
жен быть антипараллелен спинам u-кварков, чтобы результи-
рующий момент протона (его спин) был равен 1/г (напомним,
что орбитальный момент кварков в протоне равен нулю). Итак,
$(SuSuSd) = ^(ttl)* Эту ситуацию можно изобразить и так:
р — titutdj,. Аналогично рассуждая, можно получить п =
= «4 df dt, S° = fit fit, a* = dj. fit .
Пример 2. Показать, что в супермультиплете легчайших
барионов i/i* не может быть частиц, состоящих из кварков
одинакового аромата йии, ddd, звз.
Рассмотрим комбинацию иии:
Фа(игш) = V'a(«KW3«c)Vrs(rururu)^(ttW(+1/2;+1/2;+1/2).
Изоспиновая функция симметрична к перестановке любой па-
ры u-кварков. Поэтому симметричной обязана быть и спиновая
функция. Однако она антисимметрична к перестановке тех и-
кварков, у которых спины антипараллельны. Таким образом,
комбинация из трех одинаковых по аромату кварков в супер-
мультиплете барионов У2+ (Д == 0) запрещена.
Пример 3. Доказать, что система двух а-частиц может
быть только в состояниях с Jp = 0+( 2+, 4+,...
Спин и изоспин а-частицы равны 0 (Sa — 1а = 0). Поэтому
волновая функция двух а-частиц имеет только пространствен-
ную часть
Ф(аа) = ^(rere).
а-Частицы — бозоны и Ф(аа) должна быть симметричной при
перестановке а-частиц. Симметричной должна быть и $(тата).
Это имеет место лишь при L =0,2,4,... В этом случае
Jaa = Ь 4" Sa + Sa = Ii — 0,2,4,...
При ЭТОМ
^аа ~ iraJTe(—= +1.
177
5. Сравнение КЭД и КХД.
Экранировка и антиэкранировка заряда.
Асимптотическая свобода
В КХД, являющейся теорией сильного взаимодействия, в от-
личие от КЭД имеется не один (фотон), а восемь переносчиков
взаимодействия — глюонов. Это связано с наличием цвета и с
тем, что сами глюоны (как и кварки) окрашены, т. е. несут цве-
товой заряд, выполняющий роль заряда сильного взаимодейст-
вия. В силу этого глюоны сами участвуют в сильном взаимодей-
ствии не только с кварками, но и с другими глюонами. Глюоны
способны испускать и поглощать глюоны. Так, возможны сле-
дующие диаграммы (рис. 10.4), описывающие рассеяние глюона
на глюоне посредством испускания виртуального глюона (а) и
прямее глюонное рассеяние (б).
Таким образом, наряду с уже известным нам элементарным
узлом сильного взаимодействия, который описывает испускание
(поглощение) глюона кварком (рис. 10.5, а), появились новые уз-
лы, в которых сходятся три или четыре глюона (рис. 10.4). В
этом коренное отличие КХД от КЭД, где квант поля — фо-
тон — не несет заряда и диаграммы типа а и б (рис. 10.4) с
участием фотонов невозможны. Единственный возможный узел
электромагнитного взаимодействия показан на рис. 10.5, б и от-
вечает испусканию (поглощению) фотона заряженной частицей.
Не обладающий электрическим зарядом фотон не может погло-
щать и испускать (или, как говорят, «стряхивать с себя») фото-
ны. Невозможность этого непосредственно видна из уравнения
Максвелла для векторного потенциала
4тг. ,
ОА = ——j, (10.27)
13 Зак. 320
178 Лекция 10
где □ = V2 - Из этого уравнения следует, что источни-
ком векторного потенциала (свободного электромагнитного по-
ля) может быть только электрический ток (движущийся элек-
трический заряд).
Из существования прямого взаимодействия глюонов (рис.
10.4) вытекают очень важные различия между КЭД и КХД. Так,
в КЭД за счет узлов типа б (рис. 10.5) или его вариаций, элек-
трон может на короткое время и на малых расстояниях порож-
дать виртуальные фотоны, а через них и е~е+-пары. Поэтому
свободный электрон должен изображаться не одиночной лини-
ей —>—, отвечающей «голому» (дираковскому) электрону, а
бесконечной суммой усложняющихся диаграмм (рис. 10.6).
е-= —+
Таким образом, электрон «одет в шубу» из виртуальных
е"е+-пар и фотонов (подобным образом кварк одет в шубу из
виртуальных д$-пар и глюонов). В КЭД электрон может фигу-
рировать как бы в разных масках, например в такой, которая
изображена на рис. 10.7.
Итак, электрон окружен виртуальными е“е+-парами. Так
как позитроны притягиваются к «родительскому» электрону,
они располагаются ближе к нему, чём виртуальные электроны,
179
испытывающие отталкивание. Электрон окружен облаком вир-
туальных зарядов, которое поляризовано так, что положитель-
ные заряды располагаются ближе к электрону (рис. 10.8). Это
эквивалентно экранированию отрицательного заряда в диэлек-
трической среде (роль этой среды в данном случае выполняет
вакуум КЭД).
Пусть мы хотим определить заряд электрона по его куло-
новскому взаимодействию с пробным зарядом. Результат будет
зависеть от расстояния между пробным зарядом и электроном.
Часть силовых линий пробного заряда (и электрона) замыкается
на виртуальных зарядах и собственное взаимодействие электро-
на и пробного заряда будет ослаблено (электрон экранирован).
При приближении пробного заряда к электрону он проникает
внутрь облака е’е+-пар, все больше силовых линий пробного
заряда замыкается на электроне и величина измеренного заряда
электрона возрастает (рис. 10.8). В КЭД зависимость измерен-
ного заряда от расстояния может быть рассчитана. Величина
е2/he = 1/137 соответствует измерению на большом расстоя-
нии.
Рис. 10.8. Экранировка электрического заряда в КЭД
Доказательства того, что электрон не является «голым», а
окружен облаком виртуальных фотонов и е+е“-пар было полу-
чено в прецизионных измерениях спектра атома водорода, вы-
полненных Лэмбом, и магнитного момента электрона, осущест-
вленных Кашем в 1947 г. Наблюдавшийся в эксперименте сдвиг
13*
180----------------------------------------_ Лекция 10
по энергии уровней атома водорода (лэмбэвский сдвиг) и не-
большое (на 0.1%) увеличение магнитного момента электрона
по сравнению с магнетоном Бора (Лекция 8) полностью под-
твердили расчеты в рамках КЭД, учитывающие виртуальные
процессы, приводящие к поляризации вакуума. Лэмбу и Кашу в
1955 г. присуждена Нобелевская премия.
Рассмотрим теперь влияние виртуальных процессов на цве-
товой заряд кварка. Поляризация вакуума КХД была бы точной
копией поляризации вакуума КЭД, если бы в КХД был бы толь-
ко один элементарный узел типа (а), аналогичный единственно-
му элементарному узлу КЭД типа (б) (рис. 10.5). Однако, как
мы уже знаем, окрашенность глюона приводит к чисто глюон-
ным узлам (рис. 10.4), у которых нет аналога в КЭД. Эти новые
узлы должны быть учтены.
«Стандартные» узлы типа а (рис. 10.5) приводят за счет
диаграммы, показанной на рис. 10.9, к эффекту экранировки цве-
тового заряда, аналогичному экранировке электрического заряда
в КЭД.
q
g X"
q
Рис. 10.9
В то же время чисто глюонные узлы приводят к появлению
диаграмм рождения виртуальных глюонов (рис. 10.10), которые,
как мы покажем ниже, приводят к эффекту обратному экрани-
ровке цветового заряда.
За счет глюонных диаграмм цветовой заряд кварка, измеря-
емый пробным цветовым зарядом, уменьшается с приближением
пробного заряда к кварку. Диаграмму, показанную на рис. 10.10,
по этой причине называют диаграммой антиэкранировки. Рас-
чет показывает, что влияние диаграмм антиэкранировки в КХД
преобладает над влиянием диаграмм экранировки и, сближаясь,
два кварка будут «чувствовать» все более ослабленные цвето-
вые заряды друг друга, а значит, и сила их цветового взаимо-
действия будет ослабевать. В пределе очень малых расстояний
кварки перестают взаимодействовать и ведут себя как свобод-
ные. В этом суть явления асимптотической свободы в сильном
взаимодействии кварков.
1
181
Возникновение антиэкранировки можно объяснить с по-
мощью следующего рассуждения. Одиночный кварк (пусть он
имеет красный цвет) окружен виртуальными глюонами и qq~
парами. Испуская глюоны этот кварк меняет цвет за счет про-
цессов К —> 3 + КЗ и К ч С + КС. Таким образом, цветовой
заряд кварка выносится глюоном во внешнюю область. Этот
глюон далее либо поглощается кварком, либо генерирует про-
цессы, описываемые рис. 10.9 и 10.10 и удерживающие цветовой
заряд кварка вдали от него. Чисто глюонный процесс (рис. 10.10)
вероятнее, так как глюоны, в отличие от кварков, как бы имеют
двойные цветовые заряды — цвет-антицвет. Простейшая диа-
грамма такого чисто глюонного процесса выглядит так:
и влияние подобных диаграмм преобладает над влиянием диа-
грамм экранировки (рис. 10.12).
Рис. 10.12
Глюоны «размазывают» (расщепляют) цветовой заряд ква-
рка по окружающей его области пространства так, что цветовой
заряд, содержащийся в любой сфере, окружающей кварк, умень-
шается с уменьшением радиуса сферы (рис. 10.13).
Пробный цветовой заряд, проникая вглубь облака размазан-
ного цветового заряда кварка (точки на рис. 10.13), достигает Л
сферы все меньшего радиуса, содержащей все меньший цвето-
вой заряд внутри, и поэтому сила цветового взаимодействия
уменьшается с приближением пробного заряда к кварку (цве-
товые заряды вне достигнутой сферы не оказывают никакого
влияния на взаимодействие внутри сферы).
182.................................. ... Лекция 10
Обратной стороной асимптотической свободы является рост
силы притяжения двух кварков с увеличением расстояния меж-
ду ними, приводящий к невылетанию кварков из адронов. Это
явление называют пленением или конфайнментом (confinement)
кварков.
Рис. 10.13. Антиэкранировка цветового заряда
Уменьшение силы межкваркового взаимодействия с умень-
шением расстояния между кварками эквивалентно уменьшению
константы сильного взаимодействия а, с увеличением энергии
кварков. Приведенное в табл. 8.2 значение а, = 1 отвечает энер-
гии кварков « 100 МэВ. При росте энергии кварков до 100 ГэВ а»
уменьшается почти в 10 раз (а, = 0.12). При таких значениях а8
уже можно использовать теорию возмущений, пренебрегая вкла-
дом многоузловых диаграмм. Именно асимптотическая свобода
делает КХД теорией, пригодной для количественных вычисле-
ний.
В заключение раздела отметим, что КХД — это теория не-
абелевых калибровочных полей (теорию таких полей впервые
разработали Янг и Миллс в 1954г.). Неабелево поле несет в
себе заряд того источника, которым оно создается. Так, глю-
оны несут цветовой заряд; Асимптотическая свобода — важное
свойство неабелевых калибровочных полей. К неабелевым полям
относятся также поля, создаваемые слабыми и гравитационны-
183
ми силами. В отличие от сильного, слабого и гравитационного
полей электромагнитное поле является абелевым, т. е. не несет в
себе заряда того источника, которым оно генерируется (в данном
случае, электрического заряда).
6. Внутри протона
Попытаемся, основываясь на изложен-
ном материале и, следуя Перкинсу [14; 17],
«заглянуть» внутрь протона. То, что мы уви-
дим, зависит от пространственного разре-
шения наблюдательного прибора. Роль та-
кого прибора выполняет довольно сложная
и громоздкая установка, основными элемен-
тами которой являются, например, ускори-
тель электронов и система детекторов электронов, рассеянных
мишенью, состоящей из протонов (водород). Приведенные ни-
же картинки внутреннего строения протона, полученные в опы-
тах с разным энергетическим разрешением, не следует понимать
слишком буквально, поскольку любые изображения субъядерных
объектов весьма условны в силу квантовых эффектов.
Пусть мы исследуем протон, рассеивая на нем электроны.
Соответствующая диаграмма Фейнмана показана на рис. 10.14.
Энергетическое разрешение опыта определяется длиной
волны виртуального фотона Л = h/q (q — импульс виртуального
фотона, т.е. переданный протону импульс). Если изучать рассе-
яние электронов с энергией « 200 МэВ на большие углы (близкие
к 180°), то длина волны виртуального фотона будет « ЗФм и
протон будет «освещаться» длинноволновым фотонным лучом
(рис. 10.15, а). Поскольку длина волны фотона больше размера
184 Лекция 10
протона, последний будет казаться точечным бесструктурным
объектом. Рассеяние электрона на таком объекте будет упругим
(без изменения внутреннего состояния протона).
Если увеличить переданный протону импульс д, то это
будет соответствовать уменьшению длины волны виртуаль-
ного фотона и повышению разрешающей способности опыта
(рис. 10.15,6). Если довести разрешение (А) до 0.1 размеров
протона (0.1 Фм), то коротковолновым фотонным лучом будут
«освещаться» отдельные составляющие протона — кварки и
глюоны. Будет «видно», что протон состоит из трех кварков (в
дальнейшем называемых валентными), между которыми «про-
скакивают» глюоны. Будет видно, как иногда глюон рождает
виртуальную кварк-антикварковую пару. Наблюдаемая карти-
на условно представлена рис. 10.16, а.
Рис. 10.16. Вид протона при разрешении 0.1 (а) и 0.01 Фи (6)
Если еще на порядок повысить разрешение, доведя его
до 0.01 Фм (это соответствует энергиям современных ускори-
телей), то мы обнаружим внутри протона значительно более
сложную картину (рис. 10.16, б). Вместо нескольких кварков и
глюонов (рис. 10.16, а) внутри протона будет множество кварк-
антикварковых пар и еще большее количество глюонов. В этом
«море» виртуальных частиц почти не видны три валентных
кварка п, и, d. Виртуальные кварки, образующие gg-пары, так
и называют морскими кварками.
185
Итак, в состав протона (и вообще любого адрона) входят:
1) валентные кварки;
2) морские кварки;
3) глюоны.
Эти элементарные бесструктурные составляющие адрона объ-
единяют, вслед за Фейнманом, общим термином партоны (от
англ. part).
Йри рассеянии электрона (или другого лептона) на нукло-
не (или другом адроне) электрон, в случае высокого энергети-
ческого разрешения, взаимодействует с нуклоном уже не как с
целым бесструктурным объектом, а с его элементарными со-
ставляющими — партонами. Переданный нуклону импульс q
воспринимается отдельным партоном и внутреннее состояние
нуклона меняется — он переходит в возбужденное состояние. Та-
кое рассеяние (являясь упругим на отдельном партоне) уже не
является упругим на нуклоне в целом и носит название глубо-
конеупругого рассеяния, поскольку отвечает передаче больших
энергий внутрь нуклона. Эксперименты по глубоконеупругому
рассеянию электронов на протонах позволили установить до-
лю импульса (массы) протона, которую несут кварки и глюо-
ны. Так, оказалось, что доли импульса протона, приходящиеся
на u-кварки (и антикварки), d-кварки (и антикварки) и глюоны,
следующие:
еи = 0.36, ed = 0.18, гд = 0.46, (10.28)
причем на долю антикварков приходится около 5% полного им-
пульса (массы) протона (эти данные получены для q ~ ЗГэВ/с).
Таким образом, около 50% массы нуклона приходится на глюо-
ны.
Коснемся вопроса о массах кварков, приведенных в табл. 9.5.
Этот вопрос требует уточнения, так как кварки не существу-
ют в свободном изолированном состоянии. Массы, указанные в
табл. 9.5, относятся к «голым» кваркам и не включают энер-
гию глюонного поля, окружающего кварк. Наряду с этим часто
приводят массы кварков как составных частиц адронов — так
называемых конституентных кварков. В этом случае в массу
кварка включается «вес шубы» из глюонов и морских кварков, в
которую одет валентный кварк. Очевидно, масса конституентно-
го кварка больше массы «голого» кварка. Оценка конституент-
ной массы ц- и d-кварков получается делением массы нуклона
на три, что приводит к muc2 « mdc2 « 300 МэВ.
12 Зак. 320
186 Лекция 11
Лекция 11
1. Отсутствие кварков в свободном состоянии
*2. Эксперименты, подтверждающие наличие кварков в адронах:
- глубоконеупругое рассеяние электронов нуклонами;
- струи адронов;
~ проявление цвета кварков в в”е+ -аннигиляции
*3, Тяжелые кварки — с, b,t
По^ре формулировки кварковой модели некоторое время
многие полагали, что эта модель — лишь удобный и изящный
способ классификации адронов. Но возрастающее число фактов
указывало на то, что кварковая модель отражает реальную си-
туацию. Нет ни одного факта, противоречащего этой модели.
Более того, есть опыты, которые подтверждают существование
кварков. Целью данной лекции является описание некоторых из
этих опытов.
1. Отсутствие кварков в свободном состоянии
Если все адроны состоят из кварков, то естественны попыт-
ки обнаружить их в свободном состоянии. Казалось бы, обнару-
жение кварков не такая уж сверхсложная задача. Они имеют
дробный электрический заряд, и его нельзя нейтрализовать ни-
каким числом электронов или протонов. Если, например, в капле
масла один кварк, ее заряд будет дробным. Опыты с капелька-
ми в начале XX века позволили определить заряд электрона.
Опыты с подвешиванием заряда повторили после возникнове-
ния кварковой модели. Результат — отрицательный. Ограни-
чение на концентрацию дробнозарядных частиц согласно этим
опытам < 10~21 кварк/нуклон.
Протоны космических лучей достигают энергий 1011 ГэВ.
Можно было предположить, что они, взаимодействуя с атмосфе-
рой, способны выбивать кварки. Последние, становясь центрами
конденсации водяных паров, падали бы с дождями на Землю и в
конце концов попадали бы в озера, моря и океаны. Этот механизм
действовал бы постоянно (распасться же в связи с дробным за-
рядом самый легкий кварк не может) и концентрация кварков в
водоемах Земли должна расти со временем. Оценки показывают,
что за время существования Земли могйоЗЬ счет этбго механиз-
ма накопиться 105 кварковВ 1 с^ ^кйы. Еслй сравнить это с кон-
центрацией протонов пр « 1024 см*3, То один кварк приходится
187
на 1019 протонов. Этот предел (n9/np w 10"19) давно превышен
числом 10“27. Это число дал точный масс-спектроскопический
анализ воды. Делались попытки обнаружить кварки непосредст-
венно в космических лучах. Получено следующее ограничение на
кварковый поток из космоса < 2 • 10“15см“2 с’1-ср”1.
Кварки искали и в метеоритах, и в специфическом излуче-
нии атмосфер звезд, если бы в них были атомы, где роль ядра
играет кварк, или атомы с кварком на внутренних оболочках.
Все эти попытки оказались безрезультатными. Кварки не обнаг
руживают в свободном состоянии и в ускорительных экспери-
ментах. Сегодня большинство специалистов склоняется к тому,
что в свободном состоянии кварков нет. Говорят о пленении (кон-
файнменте) кварков в адронах.
На примере системы кварк-антикварк (qq) можно пояснить
процесс невылетания кварков (рис. 11.1). На малых расстояниях
силовые линии цветового поля выглядят также как и кулонов-
ского поля. Когда кварк и антикварк расходятся, их цветовое
взаимодействие становится сильнее. Из-за взаимодействия глю-
онов друг с другом силовые линии цветового поля между q и q
на увеличенных расстояниях сжаты в трубкообразную область.
Это отлично от случая кулоновского поля, где ничто не препят-
ствует силовым линиям расходиться. Нет взаимодействия между
фотонами, которое бы их удерживало друг вблизи друга (кванты
поля двигаются вдоль силовых линий). Если в цветовой трубке
плотность энергии на единицу длины постоянна и равна А; то
потенциальная энергия взаимодействия между q и q будет воз-
растать при их отдалении: V(r) = Аг, так что кварки никогда не
смогут вылететь. Таков вкратце механизм удержания кварков в
бесцветных адронах.
Рис. 11.1
12*
188 Лекция 11
Расходящаяся пара qq растягивает цветовые силовые линии
до тех пор, пока возрастающая потенциальная энергия не ока-
жется достаточной для образования иовой пары qq, Родившиеся
ди? — конечные точки разорванных силовых линий, так что
трубка делится на две (а при дальнейшем растяжении и на три,
четыре и т. д.) более коротких трубки с меньшей полной энерги-
ей. Это похоже на то, как нельзя оторвать полюса магнита друг
от друга (рис. 11.2).
Рис. 11.2
В целом взаимодействие между двумя кварками описывает-
ся потенциалом типа воронки
__ otgJic _
К, «-------— + Ar,
г
(11.1)
где первое слагаемое, доминирующее на малых (< 0.2 Фм) рас-
стояниях, создается обменом одиночными глюонами и имеет тот
же вид, что и потенциал кулоновского взаимодействия между
единичными разноименными зарядами
Ксул —
г
(11.2)
(следует помнить, что константа взаимодействия и квадрат за-
ряда связаны соотношением (8.5)). Второе слагаемое, домини-
рующее на больших расстояниях, обусловлено механизмом кон-
файнмента — удержания кварков в адронах и создается много-
глюонным обменом. При этом из эксперимента Л « 1ГэВ/Фм.
Таким образом, для того чтобы раздвинуть два кварка на рас-
стояние 1 см нужна фантастическая энергия «1013 ГэВ. Силы,
189
действующие между двумя кварками на больших расстояниях,
напоминают силы, создаваемые растягиваемой пружиной. Гово-
рят о «мягкой пружине конфайнмента», имея ввиду то, что ее
потенциальная энергия пропорциональна г, а не г2, как у жест-
кой механической пружины.
Рис. 11.3. Потенциалы сильного и кулоновского
взаимодействий (ос4 и 0.3, А « 1 ГэВ/Фм)
*2. Эксперименты,
подтверждающие наличие кварков в адронах
Глубоконеупругое рассеяние электронов нуклонами
Первые доказательства существования кварков в протоне
были получены в 1968-1969 гг. в серии исторических экспери-
ментов на трехкилометровом линейном ускорителе электронов
SLC (Стэнфорд, Калифорния, США (см. табл. 8.1)). В то время
энергия электронного пучка ускорителя была 20 ГэВ. Электроны
бомбардировали протоны. Электроны точечны и не участвуют
в сильном взаимодействии. Они легко проникают вглубь про-
тона, не взаимодействуя сильно, и «чувствуют» кварки за счет
электромагнитных сил. В дальнейшем эксперименты были вы-
полнены и с пучками других лептонов (/х, v). Энергия менялась
от 15 до 200 ГэВ. Отбирались только глубоконеупругие события,
т.е. такие, когда большая часть энергии и импульса налетаю-
щей частицы шла на изменение внутреннего состояния нуклона
190 Лекция 11
(о глубоконеупругом рассеянии электрона на протоне уже го-
ворилось в конце Лекции 10). Оказалось, что в описываемых
опытах налетающие частицы часто рассеивались на углы мно-
го большие чем те, которые ожидались в предположении непре-
рывного распределения заряда внутри нуклона. Это можно объ-
яснить лишь наличием внутри нуклона заряженных объектов,
несущих значительную часть массы нуклона и имеющих разме-
ры много меньшие размера нуклона. Эти эксперименты подобны
эксперименту по рассеянию атомами а-частиц на большие углы,
который доказал существование атомного ядра (опыт Резерфор-
да). Глубоконеупругое рассеяние лептонов высоких энергий нук-
лонами — это как бы опыт Резерфорда третьего поколения (ко
второму поколению относят неупругое рассеяние электронов с
энергиями сотни МэВ атомными ядрами, демонстрирующее на-
личие нуклонов внутри ядра).
В опыте Резерфорда весь удар а-частицы приходится в ма-
лую часть атома — ядро. В глубоконеупругом рассеянии элек-
тронов нуклоном весь удар приходится в малую часть нуклона
— кварк.
Длина волны виртуального фотона, «освещающего» нук-
лон, определяет размер тех объектов, которые можно «увидеть»
внутри него. Возможности современных ускорителей позволяют
обнаружить внутри нуклона объекты размером до 10“16 см, т. е.
в 103 раз более мелкие, чем сам нуклон.
Мы в данном курсе не имеем возможности детально описы-
вать эксперименты по глубоконеупругому рассеянию лептонов
на нуклонах и продемонстрировать, как из этих экспериментов
извлекаются характеристики точечноподобных объектов, обна-
руженных в нуклоне. Подчеркнем лишь, что анализ этих экспе-
риментов однозначен, так как, например, в случае использования
заряженных лептонов е и д, наблюдаемые эффекты вызваны хо-
рошо изученным и поддающимся достаточно точному расчету
электромагнитным взаимодействием. Результаты всех исследо-
ваний сводятся к следующему:
1. Внутри нуклона обнаружены точечноподобные объекты
— партоны (< 10~х* см), в которых сосредоточена вся масса
(внутренняя энергия) нуклона. J ч
2. Заряженные партоны имеют все характеристики кварков
— их спин а заряды либо + |е, либо 1'
3. Нейтральные партоны, отождествляемые с глюонами, не-
сут около половины внутреннего импульса (энергии) нуклона.
191
В целом результаты этих исследований подтверждают внут-
реннюю структуру нуклона, описанную вп.б Лекции 10, как час-
тицы, состоящей из трех валентных кварков, виртуальных мор-
ских кварков/антикварков и глюонов, причем доли внутреннего
импульса протона распределяются среди этих типов партонов в
соответствии с (10.28).
Струи адронов
При лобовом столкновении Г и е+, имеющих одинаковые
энергии, рождается виртуальный фотон в состоянии покоя. Если
энергия столкновения велика, этот фотон затем может превра-
титься в пару кварк-антикварк (gg). В силу закона сохранения
импульса g и g должны лететь в противоположных направлениях
от точки рождения, растягивая «мягкую пружину конфаинмен-
та». Когда gg-napa расходится на расстояние « 1 Фм, натяжение
этой пружины становится столь сильным, что она лопается, об-
разуя новые gg-пары (рис. 11.2). При энергиях столкновения е’
и е+, доступных современным ускорителям, пружина конфайн-
мента лопается многократно и рождаются десятки новых gg-nap,
двигающихся в направлениях вылета первичных кварка и анти-
кварка. Таким образом, возникают кварк-антикварковые струи,
двигающиеся в противоположных направлениях. Однако квар-
ки (антикварки) в изолированном состоянии не могут далеко
192 Лекция 11
уйти из области размером w 1 Фм и тем более быть зарегист-
рированы детекторами. Они объединяются в адроны (главным
образом в мезоны, кварковый состав которых qq). При этом про-
исходит «обесцвечивание» кварков и компенсация их дробных
зарядов. Струи цветных и дробнозарядных кварков-антикварков
превращаются в струи белых адронов с целочисленными заря-
дами (рис. 11.5).
(
Процесс генерации адронных струй допускает и более «клас-
сическое» описание. Когда первичная gg-napa расходится на
расстояние « 1 Фм, цветовое взаимодействие становится столь
большим, что оно резко тормозит кварк и антикварк. Замед-
ляющиеся q и q испускают адроны (главным образом кванты
ядерного взаимодействия тг-мезоны) аналогично тому, как тор-
мозящийся в кулоновском поле электрический заряд испускает
кванты электромагнитного поля фотоны (тормозное излучение).
Диаграмма образования адронных струй показана на рис. 11.6.
Рис. 11.6
193
Струи адронов были предсказаны как проявление их квар-
ковой структуры и впервые наблюдались в 1975 г. на е"е+-
коллайдере SPEAR (Стэнфорд, США) с суммарной энергией
сталкивающихся частиц 7 ГэВ. На рис. 11.7 приведен пример
двухструйного события, наблюдавшегося в 1980 г. на е"е+-
коллайдере PETRA (DESY, Гамбург) с энергиями пучков 22.5+
+22.5 ГэВ. В дальнейшем струи наблюдались во многих про-
цессах, не только в е“е+ gg, но также в глубоконеупругом
рассеянии электронов, мюонов и нейтрино на нуклоне и рассея-
нии мезонов на нуклоне.
Анализ адронных струй подтвердил их кварковую природу.
Более того, оказалось, что струи «запоминают^ информацию о
родительском кварке — его заряде, аромате и спине. Так, веро-
ятность образования струи в е”е+-аннигиляции зависит от угла
между осью струи и осью первичного пучка именно так, как и
должно быть при рождении частицы и античастицы со спинами
Vi-
Весьма показательными ока-
зались измерения зарядов ад-
ронных струй. Поскольку адро-
ны имеют целочисленные заря-
ды, то суммарные заряды ад-
ронных струй также целочис-
ленны. Однако, если повторять
один и тот же опыт по рожде-
нию струй много раз и опре-
делять средний по событиям
суммарный электрический за-
Рис. 11.7. Реконструированное двух-
ряд струи, ТО ОН оказывается струйное событие (детектор TASSO,
Дробным И величина его имен- ускоритель PETRA, Гамбург, 1980 г.)
но Такая, какая и должна быть е" и е+ летят перпендикулярно пло-
у КВарКОВ. Наиболее удобным скости листа и сталкиваются в лент-
для таких исследований явля- ре круга
ется глубоконеупругое столкно-
вение нейтрино (антинейтрино) с нуклоном — j/# и vN. В
таких процессах переносчик слабого взаимодействия заряжен-
ный W+- (или VK") бозон может поглотиться лишь кварком
d (или ад) внутри нуклона, превратившись в кварк ад (d), ко-
торый, вылетая из нуклона, дает начало струе адронов. Рас-
смотрим это подробнее. Как известно, заряженный тг-мезон рас-
падается по схеме тг+ —> + д+, тг“ —> + д”. Возь-
194_____________________________ -__________Лекция 11
мем тг -мезон. Диаграмма его распада показана на рис. 9.4.
С учетом кварковой структуры № процесс выглядит так:
d + + (11.3)
Перенесем антинейтрино в левую часть (11.3), заменив его на
нейтрино, а кварк й — в правую часть, заменив на кварк и.
Это отвечает повороту соответствующих лучей на диаграммах,
превращающему античастицу в частицу (см. рис. 8.7). Получаем
+ (И-4)
Соответствующая диаграмма, с учетом того что кварк d вхо-
дит в состав нуклона (например, протона) мишени, показана на
рис. 11.8.
Рис. 11.8
в заднюю
полусферу
в переднюю
полусферу
Аналогично можно получить, что будет «выбирать» в
нуклоне кварк и и взаимодействовать с ним по схеме
Рд + и + d. (11-5)
Конечный кварк (и в реакции (11*4) или d в реакции (11.5)), по-
лучив в глубоконеупругом столкновении основную часть энергии
j'p (р^), приобретает большую скорость и вылетает из нуклона
в переднюю полусферу (в СЦИ). Этот кварк называют лидирую-
щим, Оставшиеся два кварка (кварки-наблюдатели) — медлен-
ные и летят в заднюю полусферу. Между лидирующим кварком
и кварками-наблюдателями натягивается, а затем рвется «пру-
жина конфайнмента», что приводит к возникновению двух струй
адронов, двигающихся в СЦИ в противоположных направлени-
ях.
195
Струя в передней полусфере несет информацию об аромате
(заряде) лидирующего кварка. Если поставить опыт так, чтобы
с определением зарядов адронов в струе в передней полусфере од-
новременно идентифицировать заряд мюона, то мы будем знать,
к какому из двух процессов — (11.4) или (11.5) — относится
конкретное измерение. Усредняя многие измерения, можно про-
верить «помните ли струя адронов аромат (заряд) лидирующего
кварка. Приведем данные одного из измерений, выполненных в
1979 г. на нейтринном (антинейтринном) пучке с энергией 100-
200 ГэВ от протонного ускорителя TEVATRON (Fermilab, США)
с помощью пузырьковой камеры диаметром 4.5 м, наполненной
жидкой водородно-неоновой смесью и помещенной в сильное маг-
нитное поле (« 3 Тл). Камера использовалась совместно с внеш-
ним мюонным идентификатором. Оказалось, что средние (по
событиям) заряды адронных струй, образующихся в передней
полусфере под действием пучка нейтрино (антинейтрино), сле-
дующие (в единицах элементарного заряда):
Q(vN) = 0.65 ± 0.12; Q&N) = -0.33 ± 0.09, (11.6)
что убедительно согласуется с величинами +2/з и для и и
d-кварков.
В процессах е+е"-аннигиляции, помимо двухструйных со-
бытий, наблюдают и трехструйные (первое наблюдение отно-
сится к 1979г. — PETRA, DESY, Гамбург). Третью струю
(с наименьшей энергией) генерирует «жесткий^ глюон, излуча-
емый одним из кварков. Этот глюон может уносить до половины
энергии кварка и двигаться под большим углом к нему, рождая
отдельную адронную струю (рис. 11.9).
196 Лекция И
Рис. 11.10
Изучение характеристик
третьей (наименее энергичной
струи) согласуется с предста-
влениями о том, что она рож-
дена глюоном. В частности
электрический заряд, распре-
деление по углам движения
этой струи относительно двух
других (кварковых) такие, ка-
кие должны быть для час-
тицы с нулевым зарядом и
со спином 1 (именно такой
спин приписывают глюону).
Пример трехструйного собы-
тия приведен на рис. 11.10.
Проявление цвета кварков в е~е*-аннигиляции
Наиболее убедительное подтверждение «окрашенности»
кварков получено в е"е+-аннигиляции при высоких энергиях.
Изучались и сравнивались процессы двух типов
е е+ р"д+, е"е+ адроны. (11.7)
Оба процесса идут за счет электромагнитных сил (вкладом
слабых сил можно пренебречь), причем для второго процесса
диаграмма приведена на рис. 11.5. Адронным струям предшест-
вует появление пары qq. Таким образом, основные (двухузло-
вые) диаграммы обоих процессов выглядят так, как показано на
рис. 11.11 (индекс i отвечает определенному типу кварка).
Рис. 11.11
197
Для амплитуд сравниваемых процессов имеем: Ащ± ~
~ = Ле, Ая& ~ = ZQiae и отношение
сечений этих процессов
Р _ g(gig») _ |4к?. |2 _ ~2
<Г(ДД) - |Лд_|»
(11.8)
С учетом всех возможных типов кварков, которые могут учас-
твовать в адронном канале, для отношения сечений рождения
адронов и мюон-антимюонных пар получаем
д = ?Wrons = у- д. = У' Z2; (И .9)
i i
Величина определяется набором кварков разного типа,
t
участвующих в процессе. Если кварки бесцветны, то они разли-
чаются лишь по аромату. Наличие цвета утраивает количест-
во типов кварков и соответственно утраивает значение суммы
квадратов их зарядов.
Рассмотрим область энергий + £?е+, при которых могут
рождаться лишь пары utt, dd и ss. Порог рождения мезона с
кварковым составом ss около 1 ГэВ (самый легкий мезон такого
типа ф имеет массу 1019 МэВ/c2). В то же время порог рождения
мезЬна с кварковым составом сс около ЗГэВ. Таким образом-, в
области энергий е"е+-столкновений 1-3 ГэВ будут рождаться
лишь кварковые пары гш, dd и ss. Если кварки бесцветны, то
R - «niadrons/^MM = S Ri = S(^gi)2 — это сумма по ароматам и
» i
•R(flavor) = (Sd)2+(ZU)2+(V = (- i/3)2+(+J/3)2+(-1/3)2 = »/8.
(11.10)
Если же кварки цветные, то R = ^hadrone/^дд = = JJZ^.
— это сумма по ароматам и цветам, и, так как цвет не зависит
от аромата, то значение Я утраивается:
^(flavor + color) = 3[(Zd)2 + (Zu)2 + (Я,)2] = 2. (11.11)
Эксперимент (рис. 11.12) дает в интервале энергий 1.5-2.5 ГэВ
значение 7?Эксп = 2.0 ± 0.2, что однозначно свидетельствует в
пользу гипотезы цветных кварков.
198 Лекция И
Рассмотрим ситуацию при более высоких энергиях. Порог
рождения 56-мезона Т (ипсилон) равен 9.46 ГэВ, поэтому в облас-
ти энергий е“е+-столкновений 3.1-9.5 ГэВ возможно рождение
кварковых пар ий, dd, вв и сё, что дает
Я(3.0-9.5 ГэВ) = 3 [(Zd)3 + (Zu)3 + (Zt)3 + (Ze)3] =
= 3 [(- Vs)2 + (+’/з)’ + (-Уз)’ + (+’/з)*] = “>/з. (11.12)
При еще больших энергиях (9.5-350 ГэВ) нужно учесть возмож-
ность рождения 66-пары и для R имеем
Я(9.5-35(К ГэВ) = 3[(Zd)3 + (Zv)3 + (Z,)2 +\Ze)3 + (Zb)2] = и/з,
(11.13)
в отличие от значения 11/э, предсказываемого концепцией бес-
цветных кварков. Экспериментальные данные для области энер-
гий 10-40 ГэВ представлены на рис. 11.12 и, так же как и при
более низких энергиях (1.5-2.5), полностью подтверждают на-
личие у кварков цвета.
Величина R должна сохраняться равной п/з вплоть до энер-
гии 350 ГэВ, когда становится возможным рождение пары tt.
После этого R должно возрасти до 5 и при дальнейшем уве-
личении энергии оставаться неизменной.
'Рис. 11.12. Отношение R сечения е+е“ -кадрены
-к сечению е+е" ->
199
*3. Тяжелые кварки — с, J, t
Годом открытия с-кварка является 1974, когда впервые на-
блюдали связанное состояние сс. Этим состоянием является ме-
зон J/V>, обнаруженный одновременно в двух экспериментах —
в е“е+-соударениях в лаборатории SLAC (Стэнфорд, США) на
-коллайдере SPEAR и на ускорителе AGS (Брукхэйвен,
США) в соударениях протонов с энергией 28 ГэВ с бериллие-
вой мишенью. Лидерам соответствующих экспериментальных
групп Рихтеру и Тингу в 1976 г. за это открытие присужде-
на Нобелевская премия (двойное название новой частицы J/^ф
(«джи-пси») — следствие того, что группа Рихтера присвоила
ей символ а группа Тинга — символ J).
На рис. 11.13 показаны результаты группы Рихтера по на-
блюдению J/^-мезона. Этот мезон наблюдается в виде острого
резонанса с массой около 3.1 ГэВ/с2. Наблюдаемая ширина резо-
нанса определяется экспериментальным разрешением по массе.
Истинная ширина J/tf гораздо меньше и по последним данным
(2000 г.) составляет 87 ± 5 кэВ. Помимо J/ф наблюдается серия
мезонных резонансов, отвечающих связанной сс-системе, полу-
чившей название чармония (более общее название систем qq —
кварконий). Таким образом, различные типы сс-мезонов это раз-
личные состояния чармония.
В 1977 г. в Fermilab (США) в соударениях протонов с энер-
гией 400 ГэВ с_ ядрами были обнаружены связанные состоя-
ния системы ЬЬ в области энергий 9—11 ГэВ. ‘Позже в е“е+-
столкновениях со значительно лучшим энергетическим разреше-
нием быЛи уточнены характеристики обнаруженных резонансов,
200 Лекция 11
а также найдены новые состояния ^системы, получившей на-
звания боттомония, Обнаружение боттомония означало откры-
тие пятого кварка — bottom. Так же, как и в случае чармония,
каждое состояние (уровень) боттомония, наблюдающееся в виде
узкого резонанса (рис. 11.14), это отдельный мезон с кварковой
структурой bb. Сравнение схем уровней чармония (сс), боттомо-
ния (W) и позитрония (е“е+) выявляет большое сходство между
ними (если отвлечься от масштаба энергий) и показывает, что
эти водородоподобные системы могут быть описаны на единой
основе как связанные состояния пар фермион-антифермион. При
этом хорошее воспроизведение спектра кваркония дает исполь-
зование потенциала типа воронки (см. рис. 11.3).
Самое нижнее состояние боттомония с массой 9.46ГэВ/с2
получило название ипсилон (Т). По этой причине боттомоний
иногда называют ипсилон-системой.
Уровни чармония и боттомония, классифицируют также,
как уровни позитрония, используя обозначения атомной спект-
роскопии. В настоящее время найдено 10 уровней чармония и 12
уровней боттомония. Все они отвечают состояниям системы qq с
относительными орбитальными моментами L = 0 (S-состояние)
или 1 (P-состояние). В табл.11.1 даны характеристики упомяну-
тых в тексте и на рисунках состояний чармония и боттомония.
Обращает на себя внимание малая ширина распада приве-
денных в табл. 11.1 частиц, соответствующая времени жизни
т = Л/Г « 10“2Ос, характерному для быстрых электромаг-
нитных распадов. Это объясняется тем, что распад систем сс и
ЬЬ через промежуточную аннигиляцию в глюоны подавлен, так
201
как из-за точечности кварков требует их сближения до малых
расстояний, при которых цветовое взаимодействие между ними
резко ослабевает (асимптотическая свобода). По этой причине
такой тип распада, хотя и остается главным для приведенных в
табл. 11.1 частиц (70% для J/V9j становится сравнимым с элек-
тромагнитными распадами, идущими через промежуточную ан-
нигиляцию сс и bb в фотон (30% для J/V9-
Таблица 11.1
Некоторые состояния чармония и боттомония
Система Чармоний (сс) Боттомоний (ЬЬ)
Обозначение в тексте и на рисунках J / 'ф или 'ф т Tr/
Обозначение в таблицах частиц V>(25) T(lS') Y(2S) T(3S)
Спектроскопическая характеристика zsx ’Si zsx zsx 3S1
Масса тс2, МэВ 3 097 3 686 9 460 10023 10 355
Ширина распада Г, кэВ 87 277 53 44 26 *
Последний, шестой и самый тяжелый кварк top был открыт
в 1995 г. в Fermilab на да-коллайдере TEVATRON в эксперимен-
тах, которые параллельно выполняли две коллаборации CDF
и Z>0.
Осуществлялся поиск t?-nap, рождавшихся в да-столкнове-
ниях. В 90% случаев такие пары возникают в процессах qq —>
—> Й, где q и q — кварк и антикварк одного аромата, входящие
в состав сталкивающихся протона и антипротона (рис. 11.15).
Топ-кварк распадается очень q
быстро (в покоящемся состоянии s"''
за время ~ 10”25 с) и пара tt не д
успевает образовать связанного Ч.
состояния — топония (время жи- _ _
зни i-кварка значительно мень- q рис 11л5 < f
ше времени оборота t вокруг £).
202
Лекция 11
Топ-кварк распадается на квант слабогоьполя W и, 6-кварк:
+ t-+W~ + b, (11.14)
Кварки b и Ь превращаются в струи адронов, a W так же
быстро, как и t-кварк, распадается либо' йа пару «заряжен-
ный лептон—нейтрино», либо на пару кварк—антикварк раз-
ного аромата, например
W р + *% W* ->« + </. (11.15)
Пробег t-кварка (так же, как и W) до распада слишком мал
(< 1Фм), чтобы его можно было зафиксировать в виде трека.
Кварки 6, 6, и и d также не видны и, пролетев расстояние не
более 1 Фм, превращаются в струи адронов. Таким образом, t-
кварк «вырывается» из невидимой зоны в форме адронных струй
и лептонов. В рассматриваемом варианте рождения t-кварка,
представленном на рис. 11.16, его следом являются 4 адронные
струи, мюон и мюонное антинейтрино.
Сложная детекторная система общим весом 5 000 тонн с цен-
тральной трековой камерой в магнитном поле записывает тра-
екторию каждой конечной заряженной частицы, определяет ее
заряд и энергию. Нейтрино не оставляет трека и о его присут-
ствии судят по недостающей энергии, поскольку полная энергия
^столкновения известна.
203
Вероятность рождения t-кварка в столкновении р и р с энер-
гиями около 1ТэВ (1000 ГэВ) 1О"9-1О“10, и потребовалось не-
сколько месяцев непрерывной работы, чтобы убедиться в устой-
чивом наблюдении t-кварка и определить его массу mtc2 и ши-
рину распада Г$:
mtc2 = 174 ±5 ГэВ; Tt = 2 ГэВ.
Как уже отмечалось время жизни топ-кварка г = Л/Г* =
= 3 • 10"2S с слишком мало, чтобы он мог входить в состав свя-
занных систем кварков (мезонов и барионов), поэтому адронов с
квантовыми числами Тор не существует. В заключение приве-
дем табл. 11.2 тяжелых кварков с указанием года их открытия,
массы, времени жизни и основного канала распада.
Таблица 11.2
Тяжелые кварки
Кварк Год открытия Масса тпс2, ГэВ Время жизни т = Н/Г,с Основной канал распада
с 1974 1.1-1.4 ю-12 W+s
b 1977 4.0-4.4 иг12 W~c
t 1995 174 ±5 10~25 W+b •
204 Лекция 12
Лекция 12
1. Слабые взаимодействия. Лептонные заряды.
Типы нейтрино
2. Слабые распады. Константа слабого взаимодействия
3, Заряженные и нейтральные слабые токи
4. Закон сохранения четности. Р-симметрия,
Несохранение четности в слабых взаимодействиях
5. Спиральность
Ч
1. Слабые взаимодействия.
Лептонные заряды. Типы нейтрино
Третий важный в физике частиц вид взаимодействия (по-
мимо сильного и электромагнитного) — слабый. Его константа
otw w 10“ 6 (ae « 1, ae « 10“2). Радиус слабых сил очень мал
(л$ 10*16см). Слабое взаимодействие осуществляется обменом
промежуточными бозонами W±t Z. В слабых взаимодействиях
участвуют лептоны и кварки (адроны).
Несмотря на «слабостью слабого взаимодействия его роль
в нашем мире и в физике велика. Оно выделяется, во-первых,
экзотичностью. Многие законы сохранения нарушаются имен-
но слабыми силами. Кроме того, без слабых сил не светило бы
Солнце. Ключевым процессом, открывающим цепочку ядерных
реакций на Солнце и в других звездах, является реакция
р + р-> 2Н 4-е+-f-i'e, (12.1)
идущая за счет слабых сил.
Одним из признаков слабого взаимодействия является появ-
ление нейтрино (антинейтрино). Эти частицы входят в группу
лептонов — точечных фундаментальных фермионов со спином
Уг» не участвующих в сильных взаимодействиях (в них не участ-
вуют также кванты слабого поля W±t Z и квант электромагнит-
ного поля — фотон). Характеристики лептонов даны в табл. 12.1.
Характеристики антилептонов получаются изменением знаков
всех зарядов и заменой в схемах распада частиц на античасти-
цы.
Лептонный заряд, или лептонное квантовое число, было вве-
дено в физику частиц в 1955 г., когда появились эксперименты,
указывающие на нетождественность v и V. Был известен распад
205
нейтрона n -* р+е" + ^е. Дэвис поставил опыт по обнаружению
реакции
уе + 17CI —> 18-А-г + е , (12.2)
которая соответствовала внутри ядра процессу Fe + n—>р + е".
Необходимые для этой реакции ve брались из реактора, т. е. от
распада нейтронов. Реакция (12.2) не была обнаружена. Наибо-
лее естественный способ объяснения этого состоял в приписы-
вании электрону и антинейтрино нового (лептонного) квантово-
го числа Lej равного по величине и противоположного по знаку
(условились полагать для электрона и нейтрино Le = +1, а для
позитрона и антинейтрино Le = -1). Тогда реакция (12.2) нару-
шает закон сохранения лептонного заряда и поэтому не должна
идти.
Таблица 12.1
Характеристики лептонов (спин x/i)
Лептон Масса тс2, МэВ Электрич. заряд, ед. е Лептонный заряд Время жизни Основной тип - распада
Le А» Lt
е~ 0.511 -1 +1 0 0 >4.2 1024лет
Уе <ЗэВ 0 +1 0 0 стабильно
105.7 -1 0 + 1 0 2.2 10-® с е~УеУр.
<0.19 0 0 + 1 0 стабильно
т~ 1777 -1 0 0 + 1 2.9-Ю"13 с адроны +уТ1 е~уеУт, ^УцУт
Ут <18.2 0 0 0 + 1 стабильно
В 1962 г. был открыт новый тип нейтрино — мюонное нейт-
рино Мюон распадается следующим образом:
+ F + (12.3)
В то же время распад
/х~>е + 7, (12-4)
206 Лекция 12
не запрещенный ни одним из известных в то время законов со-
хранения, не наблюдался, так же, как и распад р —> Зе (вероят-
ность распада (12.4) в полном распаде мюона по современным
данным < 5Л0"11, а вероятность распада д -4 Зе меньше 10”12).
Наиболее простой способ объяснить отсутствие 7-распада мюо-
на (также как и распада на Зе) состоял в введении нового закона
сохранения: закона сохранения мюонного лептонного заряда
отличного от электронного лептонного заряда Le. Тогда в распа-
де (12.4) нарушаются законы сохранения и Le, а распад (12.3)
должен быть записан в следующем виде (если распадается jz“):
fi -4 е +Fe-|-i/g. (12.5)
В 1962 г. был поставлен специальный эксперимент, доказы-
вающий отличие ие от Выделялся чистый пучок из рас-
пада 7г” -4 и было показано, что с этим пучком идет
реакция
+ р -4 + п (12.6)
и не идет реакция
+ р е+ + п.
В то же время последняя реакция идет с электронным антинейт-
рино ие.
В 1975 г. группа физиков под руководством Перла на е+е~-
коллайдере SPEAR (SLAC, Стэнфорд, США) открыла т-лептон,
и в физике частиц появились тау-лептонное квантовое число Lr
и тау-лептонное нейтрино ит.
Таким образом, шесть лептонов подразделяются на три об-
особленные группы по два лептона, один из которых заряжен-
ный, а другой нейтральный: е“, ve\ т“, vT. Эти группы,
как уже отмечалось в Лекции 9, входят вместе с кварками в со-
став трех поколений фундаментальных фермионов (табл. 12.2).
207
Второе и третье поколения являются как бы копиями пер-
вого, и причина существования подобных копий пока не ясна.
Окружающий нас мир состоит из фундаментальных фермионов
1-го поколения. Остальные поколения обнаружены в эксперимен-
тах на ускорителях. Есть веские основания полагать (о них
мы скажем в конце курса), что этими тремя поколениями ис-
черпывается набор фундаментальных фермионов. Следует под-
черкнуть, что лептоны и кварки одинаково взаимодействуют с
переносчиком слабого поля бозоном Ж, т.е. можно говорить о
том, что все фундаментальные фермионы наделены одинаковым
слабым зарядом. Это явление называют кварк-лептонной уни-
версальностью.
Типы кварков различают по ароматам. Можно расширить
значение этого термина, включив в него и шесть типов лептон-
ных ароматов. В этой связи часто говорят не о различных типах
нейтрино, а о нейтринных ароматах.
В заключение этого пункта отметим, что несмотря на то,
что существующие экспериментальные данные свидетельству-
ют в пользу существования нейтрино и антинейтрино и выпол-
нения закона сохранения лептонного заряда, нельзя исключить
и такого варианта, когда нейтрино и антинейтрино (по край-
ней мере некоторые из них) на самом деле истинно нейтраль-
ны, т.е. являются античастицами по отношению к самим себе.
Такие истинно нейтральные нейтрино называют майорановыми
(по имени итальянского физика Майораны), в отличие от обыч-
ных, рассмотренных нами выше и называемых дираковскими.
Дираковские нейтрино, как и майорановы, могут иметь массы
(эти массы могут быть ничтожно малыми). Если хотя бы неко-
торые нейтрино майорановы, это означает, что закон сохранения
лептонного заряда должен нарушаться (эти нарушения также
могут быть очень незначительными и трудно наблюдаемыми).
В современной Стандартной модели элементарных частиц нейт-
рино считаются дираковскими и безмассовыми. В дальнейшем
мы также будем полагать нейтрино дираковскими и безмассо-
выми и закон сохранения лептонного заряда абсолютным.
Два физика были отмечены в 1995 г. Нобелевской премией за
экспериментальные открытия лептонов — Раинес (за открытие
в 1956 г. электронного антинейтрино Fe) и Перл (за открытие в
1975 г. т-лептона).
208 Лекция 12
2. Слабые распады.
Константа слабого взаимодействия
х Распады за счет слабых сил идут с сохранением лептонных
зарядов (также как электрического и барионного), однако чет-
нрсть, изоспин/проекция изоспина, странность (S), очарование
’ (<7), bottom (В) и top (Т), т.е. кварковые квантовые числа мо-
гут не сохраняться (при слабых распадах адронов что-то из них
обязательно не сохраняется).
Для нейтрона распад
п -> р + е" + ve
(12-7)
—'единственный распад, допустимый законами сохранения энер-
гии, электрического, барионного и лептонного зарядов. Примеры
слабых распадов адронов — распады тг±:
^±-*М±+(^),
х^я/
\veJ
« 100%,
«10-4%
(12.8)
Время жизни — 2.6 • 10-8 с.
Распад я-0 происходит за счет электромагнитного взаимо-
действия
7Г°“>27 (т%)>
тг° -> е+ + +у (1.2%) 7
и протекает значительно быстрее (т^о « 10~16с). В резком раз-
личии т для и 7г° проявляется различие в интенсивностях
электромагнитных и слабых процессов. Сильные распады про-
текают за времена 10“23-10“24с.
Для двухузловых диаграмм
1 1
вероятность а2 ’
(12.10)
Пользуясь этим соотношением, можно из эксперимента извлечь
величину aw. Реакции и я-0 для этого не подходят, так как
продукты распада разные. Можно извлечь aw из сравнения вре-
мен жизни Д~иЕ~. Эти частицы имеют близкие массы (1232
и 1197 МэВ/c2) и распадаются одинаково:
209
Д —> п+ 7Г
Е" п + тг"
т та 10 23 с (сильный распад),
т « 1.5 • Ю-10 с (слабый распад).
(12-11)
Используя (12.10), получаем
т(Д") _ /cuwV 10 23 с
т(Е’) “ \ о?) ” 1.5 • Ю’10 с
(12.12)
Откуда, так как а8 та 1, имеем aw та 10”6.
Кварковые диаграммы распадов Д_ и S" приведены на
рис. 12.1.
Рис. 12.1
3. Заряженные и нейтральные слабые токи
Слабые распады идут в тех случаях, когда запрещены силь-
ные или электромагнитные распады. Обычно время слабых рас-
падов > 10“13 с. Слабые распады могут быть трех типов:
1. Лептонные (безадронные), например
е+ + i/e + »'/п /х" “> е~ + ve + (12.13)
2. Лептон-адронные (полулептонйые), например
n->p + e"+Fe, тг*-> Д1 + (1м ) • (12.14)
3. Адронные (безлептонные), например
Е”->П+7Г-, Q"->S° + 7T". (12.15)
210 Лекция 12
Появление нейтрино (антинейтрино) прямо указывает на
то, что распад произошел за счет слабых сил, так как нейт-
рино может возникать лишь при распаде квантов слабого поля
W, Z. Труднее всего идентифицировать взаимодействие, ответ-
ственное за безлептонный распад.
Уже говорилось о том, что в слабых распадах адронов, осу-
ществляемых обменом W^f не сохраняется по крайней мере одно
из кварковых квантовых чисел — либо изоспин I, либо его проек-
ция /э, либо странность S, либо Charm, либо Bottom, либо Тор.
Несохрацрние странности видно, например, из диаграммы рас-
пада Е" (s-кварк переходит в и-кварк) — рис. 12.1. Безнейтрин-
ный слабый распад идентифицируют по тому квантовому числу
(одному или нескольким), которое не сохраняется.
Рассмотрим распад нейтрона п —> р + + Fe.
Распад нейтрона — это распад d-кварка: d —> и + е“ + ve, в
котором не сохраняется проекция изоспина (рисЛ2.3).
Из рис. 12.3 поворотом линий и- и d-кварков получается 12.4:
где слева — пара (вилка) кварк-антикварк а справа — пара
(вилка) лептон-антилептон одного поколения.
211
Много кварковых слабых процессов^ родственных распаду d~
кварка, в частности, du —> e“Fe или ud —> е+ие. Эти последние
процессы — способы распада тг” и тг+, хотя и не основные.
Из уже ранее встречавшихся видов распада тг± (12.8) следу-
ет возможность и таких процессов, как du —> и ud —>
Легко, пользуясь законами сохранения электрического за-
ряда, составить таблицу элементарных процессов, в которых
появляется или исчезает заряженный квант слабого поля W±.
Эти процессы объединяют понятием «заряженный слабый ток»
по аналогии с тем, как обычный электрический ток (движущий-
ся электрический заряд) является источником квантов электро-
магнитного поля — фотонов. Эти слабые токи могут быть ли-
бо кварковыми (вилка д^), либо лептонными (вилка лептон-
антилептон одного из трех возможных поколений). Всего полу-
чается 12 вариантов заряженных токов (9 кварковых и 3 лептон-
ных). Приведем их все для W~:
du, de, dt, su, se, st, bu, be, bt — кварковые,
e”Fe, дТм, r~vT — лептонные.
Заряженные токи, отвечающие получаются заменой
частиц на античастицы в заряженных токах Видно, что
слабые взаимодействия, происходящие за счет обмена W±, ме-
няют ароматы кварков, т.е. не сохраняют I, 1з, S, С, В, Т.
Существуют также нейтральные слабые токи, связанные
с электрически нейтральным квантом слабого поля Z-б озоном.
Эти токи не меняют электрических зарядов участвующих час-
тиц (лептонов и кварков). Они истинно нейтральны, так как не
меняют и других (кварковых) квантовых чисел. Нейтральные
слабые токи ответственны, например, за такие процессы как
Рис. 12.5
На рис. 12.5 вместо кварковых линий могут быть линии про-
тона, нейтрона (и вообще любого адрона) или любого лептона.
Поворот этой диаграммы на 90° дает рис. 12.6.
15*
212 Лекция 12
Все процессы, представленные на рис. 12.5 и 12.6, с большей
вероятностью идут за счет электромагнитного взаимодействия,
т. е. во всех этих диаграммах вместо Z можно нарисовать вир-
туальной фотон.
Рисунок 12.6 дает полное представление о всех возможных
вариантах нейтральных слабых токов. Эти токи образованы
либо кварками (вилка одД либо лептонами (вилка лептон-
антилептон) одинакового аромата. Всего существует 6 кварко-
вых и 6 лептонных нейтральных слабых токов.
шх, dd, ss, сс, 66, tt — кварковые,
е”е+, /Г>+, т~т+, j/eFe, vTvT —лептонные.
(12.17)
Кванты слабого поля Ж*, Z были предсказаны в 60-е годы Глэ-
шоу, Саламом и Вайнбергом в рамках созданной ими электро-
слабой модели. В 1979 г. за эту работу им была присуждена Но-
белевская премия. До этого в 1973 г. были открыты предсказан-
ные ими нейтральные слабые токи. Кванты слабого поля Ж±,
Z были найдены в 1983 г. в специально поставленных экспери-
ментах в CERN (Швейцария) на рр-коллайдере SPS с энергией
каждого пучка 270 ГэВ. В 1983 г. за это открытие руководитель
коллектива экспериментаторов Руббиа и Ван дер Меер, возгла-
вивший создание коллайдера SPS, были удостоены Нобелевской
премии.
4. Закон сохранения четности, Р-симметрия,
Несохранение четности в слабых взаимодействиях
Четность (Лекция 3) сохраняется в сильных и электромаг-
нитных взаимодействиях. Это означает, что состояния систем,
участвующих в таких взаимодействиях, можно характеризовать
определенной четностью — положительной (^(”?) = ^(г)) или
отрицательной (^(—г) = —^(г)). Если четность не сохраняет-
ся, то состояние можно представить как смесь состояний с
положительной (+) и отрицательной (—) четностью:
— <м1>+ + 6^-, а2 + 62 — 1. (12.18)
213
Такое состояние (а / О, b / 0) не будет собственным состоянием
оператора четности Р, так как
= аРф+ 4- ЬРф_ = “ Ъф_ / (12.19)
где р = +1 или “1.
Отношение b/а может служить мерой несохранения четнос-
ти. Нарушение четности максимально, если ф содержит четное
и нечетное состояние с равными весами (Ь2/а2 = 1). Вся со-
вокупность экспериментальных данных свидетельствует о том,
что в сильных взаимодействиях четность сохраняется. Установ-
лено, что в таких взаимодействиях вероятность возникновения
примеси состояния с противоположной четностью |Ь/а|2 < 10“13.
Четность, как уже отмечалось, сохраняется и в электромаг-
нитных взаимодействиях. Поскольку интенсивность электромаг-
нитных взаимодействий значительно ниже интенсивности силь-
ных взаимодействий, установленный предел степени сохранения
четности в электромагнитных процессах примерно на два по-
рядка менее жесткий.
Четность не сохраняется в слабых взаимодействиях, о чем
более детально будет сказано ниже. Учет этого взаимодействия
в тех процессах, где доминируют сильное и электромагнитное
взаимодействия, приводит к тому, что к состоянию с данной
четностью добавляется (обычно незначительная) примесь состо-
яния с противоположной четностью. Типичная величина такой
примеси в атомных и ядерных состояниях 10”6-10"7.
Операция пространственной инверсии г —> —г эквивалентна
двум последовательным операциям (рис. 12.7):
1) отражение в плоскости хОу (зеркальное отражение) и
2) поворот на угол 180° вокруг оси 0z.
зеркало
Рис. 12.7
поворот
214 Лекция 12
Так как инвариантность физических законов к вращениям
не вызывает сомнения, вместо полной пространственной инвер-
сии можно ограничиться зеркальным отражением, т. е. инвари-
антность относительно пространственной инверсии эквивалент-
на инвариантности относительно зеркального отражения.
Как уже отмечалось, электромагнитное взаимодействие ин-
вариантно относительно пространственной инверсии (уравнения
Максвелла не меняются при зеркальных отражениях). Это же
справедливо для сильного и гравитационного взаимодействий.
До 1954 г. инвариантность всех физических законов относи-
тельно пространственной инверсии не подвергалась сомнению.
Но в 1954-1956 гг. появились факты, заставившие усомниться в
этом. Один из них — 0-т-парадокс. в и т — два символа одной и
той же частицы (мезона), которая сейчас называется К+. Ранее
полагали, что 9 и т — разные частицы. Многие их характеристи-
ки совпадали — электрические заряды, массы, спины (нулевые),
сечения рождения. Однако способы распада были разными:
0+ ->7Г++7Г° (21%),
Т+ -4 7Г+ + 1Г+ + х" (5.6%)
(12.20)
(основной тип распада К+ -> д+ + (63.5%)).
Оба распада «долгие» (« 10”8с) и слабые. Так как спи-
ны 9+ и т+ нулевые, то четность должна быть положитель-
ной, а четность т+ — отрицательной. Действительно, четность
двухпионной системы FrF7r(—1)L. Так как спины пиона и 9+
равны 0 (Лг = Je = 0), то L = 0 и, поскольку = -1, то
Ре = (-1)(-1)(-1)° = +1.
R CJTV4A.A также vri
В случае т+, также имеющего нулевой спин,
рг=(-1)(-1)(-1)(-1)°=-1
(более строго, лишь специальный анализ показывает, что в по-
следнем случае L — 0; при этом распад идет с выделением отно-
сительно малой энергии 75 МэВ). Итак, возникла дилемма: либо
существуют практически идентичные частицы с противополож-
ными четностями, либо четность не сохраняется в слабых взаи-
модействиях.
Американские теоретики Ли и Янг, анализируя ситуацию,
обнаружили, что доказательства сохранения четности сущест-
вуют только в сильных и электромагнитных взаимодействиях.
215
Их нет для слабого взаимодействия. В 1956 г. Ли и Янг заявили,
что 6 и т тождественны, но четность не сохраняется в слабых
взаимодействиях. Они предложили поставить специальный экс-
перимент по проверке этого утверждения. Первый такой опыт
осуществила в 1957 г. By с сотрудниками в Колумбийском уни-
верситете (США), и он подтвердил правильность вывода Ли и
Янга.
В опыте By изучался ^-распад поляризованных (т. е. с опре-
деленным направлением спина) ядер 60Со:
|?Со2§Ni + е (12.21)
и измерялось количество электронов, испущенных по двум про-
тивоположным направлениям — по спину J ядра 60 Со и против
спина. Эти две возможности связаны зеркальным отражением
(рис. 12.8).
Рис. 12.8
При таком отражении (и ориентации спина J ядра 60 Со пер-
пендикулярно плоскости зеркала) направление вылета электро-
на (его импульс ре) меняется на противоположное, а вектор спи-
на ядра остается неизменным. Последнее следует из того, что по-
казанное на рис. 12.8 направление спина отвечает правому винту
(вращению по часовой стрелке). Характер этого вращения при
отражении не меняется — правый винт, отразившись, остается
правым.
Инвариантность относительно отражения требовала, чтобы
в обоих случаях регистрировалось одинаковое число электронов.
Оказалось, однако, что электронов вылетает больше (пример-
но в 1.5 раза) в направлении противоположном J (правая часть
рис. 12.8), чем в направлении J (левая часть рис. 12.8). Таким
образом, было доказано, что четность в слабых взаимодействи-
ях не сохраняется. В 1957 г. Ли и Янгу за это открытие была
присуждена Нобелевская премия.
216 Лекция 12
5. Спиральность
Если вероятности различных направлений спина одинаковы
(спины частиц ориентированы произвольно), то говорят о рав-
ной нулю поляризации частиц. Если спины направлены в одну
сторону, то говорят о единичной (или стопроцентной) поляриза-
ции, и, если спин перпендикулярен импульсу, говорят о попереч-
ной поляризации. Продольная (круговая) поляризация означает,
что спин частицы направлен вдоль ее импульса (рис. 12.9).
левая
правая
поперечная
поляризация
продольная
поляризация
Рис. 12.9
Правополяризованной считается частица, спин которой на-
правлен по импульсу, лев ополяризов анной — против импульса
(говорят о правой и левой спиральности). Спиральность h опре-
деляется как
(12.22)
Правополяризованная частица имеет положительную спираль-
ность (Л = +1), левополяризованная — отрицательную (Л = -1).
В 1958 г. экспериментально было показано, что спираль-
ность нейтрино всегда отрицательна (Л= -1) или нейтрино всег-
да имеет левую спиральность, а антинейтрино — всегда правую
(рис. 12.10). Это явилось еще одним доказательством отсутствия
инвариантности к пространственной инверсии в слабых взаи-
модействиях. Нейтрино и антинейтрино, которые появляются
и участвуют только в слабых процессах, — постоянные дока-
зательства несохранения четности в слабых взаимодействиях,
причем в данном случае четность не сохраняется стопроцентно.
J=h/2
J=h/2
<
ve(h=+1, Le=-1)
ve(ft=-1, te=+1)
Рис. 12.10. Импульс, спиральность и спин антинейтрино и нейтрино
217
Остановимся на этом более подробно. Если не принимать в
расчет лептонное квантовое число Le> то левая часть рис. 12.10
(антинейтрино) связана с правой частью (нейтрино) операци-
ей зеркального отражения. Инвариантность к такой операции
означает, что если существует частица (в данном случае j7e)i
у которой направления спина J и импульса р совпадают, то
должна существовать и зеркально отображенная частица, у ко-
торой спин противоположен импульсу. Поскольку пространст-
венная инверсия не меняет лептонного квантового числа Lei то
у этой зеркально отображенной частицы Le должно быть -1, как
и у uei т. е. наряду с антинейтрино, у которого J и р направлены
в одну сторону, должно было бы существовать и антинейтрино
с противоположно направленными J и р. Так как антинейтрино
с такими свойствами нет, то зеркальная симметрия в рассмат-
риваемом примере отсутствует.
В противоположность этому фотон, который, как и нейтри-
но, безмассовая частица, движущаяся со скоростью света (для
нейтрино это, во всяком случае, хорошее приближение), сущест-
вует как в виде левоспиральной, так и в виде правоспиральной
частицы (рис. 12.11). Этот факт — прямое следствие сохранения
четности в электромагнитных взаимодействиях.
r(h=+1) Y(h=-1)
Рис. 12.11. Импульс, спиральность и спин фотона
До сих пор мы рассматривали нейтрино и фотон как час-
тицы с продольной поляризацией. Без доказательства сформу-
лируем следующее правило: любая частица с нулевой массой
покоя продольнополяризована, т. е. имеет не более двух ориен-
таций спина — параллельную и антипараллельную ее импульсу,
независимо от величины спина.
Проще всего это понять для фотона. Он имеет спин J = 1.
Спин частицы (собственный момент количества движения) мож-
но, хотя и с оговорками, рассматривать как результат вращения
частицы вокруг собственной оси симметрии. Для массивной час-
тицы это выглядит довольно естественно. Но как интерпретиро-
вать такое вращение в случае такой безмассовой частицы, как
фотон? Единственная возможность — рассматривать это вра-
щение как вращение электромагнитного поля (векторов Е и В).
14 Зак. 320
218
Лекция 12
Очевидно, для того чтобы удовлетворить условию поперечности
электромагнитной волны, вращение должно происходить лишь
вокруг линии импульса (рис. 12.12).
правый винт
(h=+1, Jz=+1)
Рис. 12.12
левый винт
(Л=И,Л=“1)
Р
Таким образом, получаем, что спин фотона может иметь
лишь две возможные ориентации (+1 и -1). Нулевая проекция
спина фотона на направление импульса исключена.
В 1909 г. Пойнтинг предложил эксперимент для проверки
своего предсказания о том, что электромагнитная волна, поля-
ризованная по кругу, должна иметь момент количества движе-
ния. Первый успешный эксперимент такого рода был выполнен
в 1935 г; Современный вариант этого эксперимента — микровол-
новый двигатель. Микроволновое излучение, поляризованное по
кругу, падает на электрический диполь, свободно подвешенный
в конце волновода кругового сечения. Диполь поглощает энер-
гию волны, получая момент количества движения, и начинает
вращаться. Зная поглощенную энергию и частоту вращения,
можно определить собственный момент количества движения
фотона и убедиться, что для фотона = Л, т.е. спин фото-
на равен 1.
Левоспиральность нейтрино и правоспиральность анти-
нейтрино можно согласовать с законом сохранения лептонного
заряда лишь в случае их безмассовости. Такие частицы двига-
ются со скоростью света, и поэтому в любой системе координат
закрученные, например, по правому винту частицы остаются
правоспиральными. Для частиц с т / 0 можно указать такое
преобразование Лоренца (вдоль импульса), которое изменит на-
правление импульса на противоположное, оставив неизменным
направление спина частицы (т.е. направление ее собственного
вращения), и частица, закрученная по правому винту, превра-
тится в закрученную по левому винту в новой системе отсчета.
219
Если бы антинейтрино обладало массой, то оно могло бы в новой
системе отсчета поменять спиральность на противоположную и
с этой точки зрения совпасть с нейтрино, и закон сохранения
лептонного заряда не имел бы места.
Мы уже упоминали в связи с обсуждением рис. 12.10, что
операция пространственной инверсии превращает ve в некий
объект, которого нет в природе — лептонное число антинейт-
рино (Le = -1), а спиральность h = -1. Такой спиральностью
обладает vei но у него L« = +1, а не -1, как у Fe. Пространст-
венная инверсия ие тоже приводит к несуществующему объекту
с Le — 4-1 и h = 4-1. Это можно изобразить так:
Pve = |ze = -l, Л=-1), Pve = |le=+l, Л=+1). (12.23)
где справа от знака равенства стоят варианты, не использован-
ные природой. Отсутствие этих вариантов означает, что ve и ие
не имеют определенной внутренней четности. Это же примени-
мо к i/д (Л = -1) и Уц (h = 4-1), а также к vT (h = -1) и ит
(Л = 4-1).
На изложенных фактах базируется теория двухкомпонент-
ного дираковского нейтрино нулевой массы (такое описание без-
массовых фермионов со спином г/г впервые предложил Вейль
в 1929г.). Экспериментально также установлено, что в слабых
процессах с заряженными слабыми токами отрицательно заря-
женные лептоны /х" и т~ рождаются левополяризованными,
а их античастицы (е+, л+ и т+) — правополяризованными с
^поляризациейгде и — скорость частицы. Таким образом,
олизка к 101)% и продольная поляризация ультрарелятивист-
ских (у « с) заряженных лептонов. Общее правило, вытекающее
из структуры гамильтониана слабого взаимодействия, таково:
ультрарелятивистские фермионы, участвующие в любом ела-
бом процессе с изменением заряда, могут иметь спиральности
только —1 для частиц и 4-1 для античастиц.
Эта четкая привязка знака продольной поляризации заря-
женного лептона, рожденного в слабом взаимодействии, к знаку
его лептонного заряда (h = -v/c, L — 4-1 для е“, /х”, т“ и
h = 4-v/c, L — — 1 для е+, , т+) лишает смысла понятие
внутренней четности для заряженных лептонов, участвующих в
слабых процессах. В то же время это понятие вполне уместно
для тех же лептонов, участвующих в электромагнитных взаи-
модействиях. Поясним это.
220____,___—________________________________Лекция 1&
Рассмотрим два процесса, в которых рождается пара
электрон-позитрон:
?че"+е+, Z->e” + e+.
В первом из этик процессов е”е+-пара рождается за счет элек-
тромагнитного, а во втором — за счет слабого взаимодейст-
вия. Если многократно генерировать эти процессы и каждый
раз измерять поляризацию, скажем, электрона, то получится
следующее. С одинаковыми вероятностями в первом (электро-
магнитйом) процессе будут рождаться левополяризованные и
правополяризованные электроны. Во втором (слабом) процес-
се будут рождаться преимущественно левополяризованные элек-
троны. Это означает, что электромагнитный процесс зеркально
симметричен и поэтому образующиеся в нем электроны и пози-
троны можно характеризовать определенной внутренней четнос-
тью. Соответствующий слабый процесс не обладает зеркальной
симметрией, и для участвующих в нем частиц нельзя использо-
вать понятие внутренней четности.
221
Лекция 13
1. Зарядовое сопряжение. СР-преобразование
*2. Зарядовая четность
Истинно нейтральные каоны и К$
4- Обращение времени. Нарушение СР-инвариантности.
С РТ-теорема
5. Первые этапы объединения взаимодействий
6. Константы взаимодействий. Пропагатор.
Переопределение константы слабого взаимодействия
7. Сбегающиеся константы. Великое объединение
8. Распад протона и другие предсказания теорий
Великого объединения
9. Поколения фундаментальных фермионов. Нейтрино
10. Суперсимметрия
1. Зарядовое сопряжение. СР-преобразование
Определим операцию С (charge) зарядового сопряжения как
операцию замены знаков всех аддитивных квантовых чисел (за-
рядов) на противоположные. При этом масса, импульс и спин не
меняются. Это операция, переводящая частицу в античастицу и
наоборот:
С|частица) = | античастица),
<7| античастица) = (частица).
Обнаружение того, что у частиц и античастиц (нейтрино
и антинейтрино) поляризация различна, сокрушило зарядовую
симметрию. Зарядовая симметрия означает, что если существу-
ет какой-либо процесс с участием частиц, то при замене их на
античастицы (зарядовом сопряжении), процесс также существу-
ет и с той же вероятностью.
У нейтрино ие и антинейтрино спиральность различна
(—1 и +1) и различно Le (+1 и -1). При зарядовом сопряжении
они переходят в несуществующие в природе объекты:
Ci/e = с|ье = +1, =
. J ; \ (1з.2)
Сие = — h =-|-1у == |1/е — 4-1, h=4_ly-
222 Лекция 13
Итак, в слабых взаимодействиях нарушаются одновремен-
но Р- и С-инвариантность. С-инвариантность имеет место для
сильных и электромагнитных взаимодействий (уравнения Макс-
велла не меняются при замене знаков зарядов).
Если над ие осуществить операцию пространственной ин-
версии Р, то получим несуществующий объект — нейтрино со
спиральностью h = +1 и Le = +1. Однако, если затем совер-
шить над полученным объектом операцию С, то вновь получим
реальный объект ve (h = +1, = -1). Аналогично, приме-
нение операции Р, а затем С над переводит его в реаль-
ный объект ие< Последовательность операций Р и (7 (или в об-
ратном порядке) носит название CP-преобразования. Результат
CP-преобразования (комбинированной инверсии) ие и следу-
ющий:
CPve = = Л=+1) =Ге,
_ ; (1з.з)
СРие= Le = +1,
Таким образом, для нейтрино и антинейтрино операция, пере-
водящая частицу в античастицу, это не операция зарядового со-
пряжения (13 Д), а GP-преобразование.
Было высказано предположение, что хотя в слабых взаи-
модействиях нет отдельно Р- и С-инвариантности, но есть СР-
инвариантность, т. е. инвариантность к преобразованию сначала
Р, а потом С или в обратном порядке. Ставилось большое число
экспериментов по проверке СР-инвариантности в слабых про-
цессах. Так, изучались распады покоящихся ?г±-мезонов, идущие
с нулевым относительным орбитальным моментом образующих-
ся лептонов (Приложение И)
я’" д" + (13.4)
Как известно, имеет нулевой спин (J* = 0). В то же вре-
мя Зц = Л = х/г. Таким образом, при Р- и С-инвариантности
возможны четыре варианта распада покоящихся тг*, удовле-
творяющих законам сохранения импульса и углового момента
(рис. 13.1).
В природе реализуются лишь случаи «б» и «в» с «правиль-
ной» спиральностью для и Вылетающие в этих случаях
i/p и в силу законов сохранения импульса и момента коли-
чества движения «навязывают» д+ и д~ соответственно левую
223
и правую спиральность. Такие спиральности для и были
бы запрещены, если бы они были ультрарелятивистскими (т. е.
имели скорости v « с). Однако распад пиона из состояния по-
коя идет с малым энерговыделением (34МэВ), мюоны рождают-
ся нерелятивистскими и могут иметь любые спиральности (см.
Приложение Н).
спин к
V - * а 1 V импульс* и
--------CZZ^> б <^z~]--------- Н+
------Ф=3 в > _
--------[=> 9 <=)----------- Н-
Рис. 13.1
Разрешенные варианты распада заряженного пиона «б» и
«в» отличаются Друг от друга CP-преобразованием и равнове-
роятны, что подтверждено экспериментом. Эту ситуацию можно
выразить соотношениями (13.5) и проиллюстрировать рис. 13.2.
СР|б) = |в>,
др|в) = |б).
(ia.5)
Рассмотрим подробнее вариант распада «б». Для совершения Р-
преобразования размещаем зеркало в точке распада тг+ (первая
строчка рис. 13.2).
vh
Р|б>= —
зеркало
н
СР|б>= —
ось
Рис. 13.2
224---------------------------------------------Лекция 13
Результат P-преобразования изображен второй строчкой
рис. 13.2. Результат СР-преобразования — третья строчка
рис. 13.2. Полученный результат отличается от варианта «в»
рис. 13.1 лишь поворотом на 180° вокруг оси, от которого ниче-
го не зависит.
Распад заряженного пиона происходит за счет слабых сил
и в данном распаде СР-инвариантность не нарушается. Много-
численные эксперименты до 1964 г. согласовывались с представ-
лением о том, что слабые взаимодействия СР-инвариантны.
> *2. Зарядовая четность
Если операцию зарядового сопряжения применить дважды,
то получится частица с исходными квантовыми числами:
С2 (частица) = (7|античастица) = (частица). (13.6)
Имеет ли оператор С собственные значения? Если да, то эти
собственные значения равны +1 и -1. Действительно, уравнение
на собственные значения имеет вид
С|частица) = р|частица). (13.7)
Отсюда, рассматривая совместно (13.6) и (13.7), получаем р2 — 1
и р = ±1. Таким образом, оператор С имеет такие же собст-
венные значения, что и оператор пространственной инверсии Р.
Однако, в отличие от оператора Р, оператор С далеко не всегда
имеет собственные значения, т. е. далеко не для всех частиц или
систем частиц формально записанное соотношение
С\Ф) = р№) (13.8)
имеет физический смысл. Например, подействуем оператором С.
на состояние, описывающее тг+-мезон:
С|тг+) = К). (13.9)
Получаем справа состояние (тг“), отличное от исходного (тг+),
и поэтому для тг±-мезона невозможно выполнение уравнения
(13.8). Это свойство оператора С обусловлено тем, что он не
коммутирует с оператором заряда.
225
Оператор зарядового сопряжения имеет собственные значе-
ния лишь для полностью нейтральных (истинно нейтральных)
частиц, таких, как 7, тг°, т/, р°, J/ip и др., и для полностью ней-
тральных систем частиц (тг+тг", е+е“ и др.). Для таких частиц
(ристем) соотношение (13.8) имеет смысл и величина р, называ-
емая зарядовой четностью^ равна либо +1, либо —1. Зарядовая
четность сохраняется в сильных и электромагнитных взаимо-
действиях и нарушается в слабых. Как можно приписать опре-
деленные значения зарядовой четности нейтральным частицам?
Рассмотрим фотон. Он описывается векторным потенциалом
А(г,£), который создается зарядами и токами. Следовательно,
он должен менять знак при операции зарядового сопряжения
С|А) = -|А).
(13.10)
Таким образом, зарядовая четность фотона отрицательна (р7 =
= -1).
Используя то обстоятельство, что электромагнитное взаи-
модействие С-инвариантно и зарядовая четность сохраняется,
легко приписать определенную зарядовую четность тг°-мезону.
Так как тг° распадается в результате электромагнитного взаи-
модействия на два фотона: тг° —> 27, то он должен иметь поло-
жительную зарядовую четность
Ск0) = С|т). С\ч) = -|7). (-|7)) = +к°). (13.11)
Таким образом, зарядовая четность тг° положительна (р^о = 4-1).
*3. Истинно нейтральные каоны и K°s
Электрически нейтральные каоны KQ и К° являются час-
тицей и античастицей по отношению друг к другу и связаны
процедурой зарядового сопряжения
С|7С°) = |К°>, С?!#0) = |К°). (13.12)
Эта процедура меняет знаки проекции изоспина 13 и странности
S (проекция изоспина меняется на AZ3 = 1, а странность —
на ДЗ = 2). Нейтральные каоны рождаются в сохраняющем
изоспин и странность сильном взаимодействии, а распадаются в<
слабом, например на два или три пиона. Слабое взаимодействие
226__________________________,________________Лекция 13
не сохраняет странность (как и изоспин). Поэтому» находясь в
свободном состоянии, KQ и распадаясь за счет слабых сил
на два (2тг) или три (Зтг) пиона, могут переходить друг в друга
в двух последовательных виртуальных процессах с изменением
странности в каждом из них на Д5 = 1:
KQ(S = 1)
2тг или $if(S = 0) 4—> ^°(S = -1),
т.е.
2*
Рис. 13.3
Таким образом, возникает смешивание KQ и К . Механизм
этого смешивания можно описать с помощью кварковых диа-
грамм тйпа
Рис. 13.4
Слабые распады CP-инвариантны, поэтому частицы, рас-
падающиеся за счет слабого взаимодействия, являются собствен-
ными состояниями оператора комбинированной инверсии СР.
Но состояния К0 и К не являются собственными состояниями
CP-оператора. Действительно, учитывая, что оператор С меня-
ет К0 на К (и наоборот), а оператор Р умножает каждое из
этих состояний на -1 (их внутренняя четность отрицательна),
имеем
СР|К°) = СРр) = -|К°). (13.13)
Таким образом, нейтральные каоны не могут распасться оста-
ваясь чистыми |К0)- и )-состояниями. Для того чтобы их
227
распад произошел, они должны образовать такую комбинацию
(смесь), которая будет собственным состоянием СР-оператора.
Этот оператор имеет два собственных значения ±1, поэтому
должны быть и два состояния. Такими состояниями, как лег-
ко убедиться, являются линейные комбинации
СР = -1,
(13.14)
СР = +1.
С учетом (13.13) получае»»
СР\к£) = -\КЦ
CP\KG) = +\KG^
(13.15)
т.е. имеет СР = -1, a \KQS) — СР - +1.
Таким образом, нейтральные каоны рождаются в сильном
взаимодействии в виде KQ и К , а распадаются в слабом взаи-
модействии в виде и Kg. При этом KQ и К различаются по
способу образования, а К^ и Kg — по способу распада. А именно
Kg распадается на два пиона, а К& — на три:
Kg 2я (ТГ°7Г0 ИЛИ 7Г+1Г"),
К& —> Зтг (7Г°7Г°7Г0 ИЛИ 7Г+ ТГ “ 7Г°).
(13.16)
Покажем это, ограничиваясь распадами на нейтральные пионы
(анализ для заряженных пионов аналогичен, но несколько слож-
нее). Каоны имеют нулевой спин и отрицательную внутреннюю
четность, так же как и пионы. Поэтому при распаде К -¥ 2тг пио-
ны будут образовываться в состоянии с L = 0 и, следовательно,
их полная четность
= РгоРжо(-1)Г = (_1)(-1)(_1)Ь=0 = +1)
где Pvo — внутренняя четность тг°-мезона.
Зарядовая четность тг° равна +1 (см. п. 2). Таким образом,
для 7го?го-системы СР — +1 и поэтому распасться на 2тг° может
только каон имеющий то же значение СР.
228 Лекция 13
Трехпионный распад К -> Зтг вдет с малым энерговыделе-
нием (93 МэВ) и образованием пионов в состоянии с L = 0 и
отрицательной четностью:
Р™ = PffoPwoP%o(-l)L = (-1)(-1)(_1)(_1)Ь=0 = _!
Поэтому система Зтг° имеет СР = -1 и распасться на нее может
лишь каон KQL с тем же значением комбинированной четности.
Энерговыделение при двухпионном распаде 230 МэВ и зна-
чительно больше, чем при трехпионном (93МэВ). Поэтому ве-
роятность распада 2тг существенно выше, чем Зя*,
т.е. время жизни К$ должно быть значительно меньше времени
жизни К%. Табличные данные следующие: т(К§) = О.89-1О“10 с,
т(К%) = 5.2*10~8с.
Вернемся теперь к вопросу о том, как происходит распад К0
(или К°). Пусть К° появился в реакции тг" + р -> Л + К0. Ис-
пользуя (13.14), его состояние в начальный момент можно пред-
ставить в виде следующей суперпозиции состояний и К$:
= + (13.17)
Предоставленный самому себе, KQ будет испытывать слабые
распады либо через «короткоживущий» двухпионный канал
|Кс) 2тг, либо через «долгоживущий» трехпионный канал
К1-+ Зтг, т.е. К* не будет иметь определенного времени жиз-
ни. Поскольку понятие «частица» следует относить к объектам
с определенным временем жизни, именно каоны К$ и нужно
считать истинными частицами. К° (как и К°) является смесью
частиц и К^.
И последнее. как и — это истинно нейтральные час-
тицы, т. е. каждая из них одновременно частица и античастица.
Зарядовая четность К$ отрицательна (-1), а положительна
(+1).
229
4. Обращение времени.
Нарушение CP-инвариантности. СРТ-теорема
Операция обращения времени (Т-преобразование) сводится
к t —> -t, г —> г. Эта операция меняет знаки у импульса и мо-
мента количества движения, превращая исходное движение в об-
ратное (как бы прокручивание фильма в обратном направлении).
Уравнения Максвелла Т-инвариантны. Сильное взаимодействие
тоже Т-инвариантно. Одно из следствий Т-инвариантности —
равные вероятности прямых и обратных реакций a + Ь «ч с + d.
Многочисленные проверки не обнаружили нарушения этого ра-
венства. Однако точность таких проверок не слишком высока —
обычно на уровне 10~2-10~3.
В 1964 г. Кронин и Фитч (Принстон, США) обнаружили,
что истинно нейтральные долгоживущие каоны (о них гово-
рилось в п. 3) могут распадаться на два пиона (правда, с веро-
ятностью « 10 ~3)
K°L -4 7Г+7Г-
Kl 7Г°7Г°
(2 • 10~3),
(9 • 10~4)
(13.18)
(среди адронных каналов распада доминирует трехпионный
— 34% всех распадов).
Кроме того, было обнаружено, что из полулептонных рас-
падов этого же каона
-ч тг~е+1/е, К£-ч 7r+e’j/e (13.19)
первый несколько более вероятен. Используя для обозначения
вероятности букву w, результат эксперимента можно записать
следующим образом:
w(Kl -ч тг е+г/е) ~ 7г+е Fe)
w(K£ -ч 7г~е+д/е) + w(K£ 7r+e~Fe)
(13.20)
Можно показать (п. 3), что во всех этих распадах наруша-
ется CP-инвариантность. Особенно наглядно это для распадов
(13.19). Действительно, конечные состояния этих распадов пере-
ходят друг в друга под действием операции СР
тг e+j/e тг+е~!/е. (13.21)
Поэтому в случае строгой СР-симметрии (инвариантности) ин-
тенсивности сравниваемых полулептонных распадов были бы
одинаковыми.
230 .. ____._________________ _____________Лекция 13
Обнаружение нарушения CP-инвариантности было очень
важной новостью (Кронин и Фитч за это открытие в 1980 г.
удостоены Нобелевской премии). Дело в том, что существует
СРТ-теорема. Ее доказательство нетривиально. Смысл СРТ-
теоремы можно свести к следующему утверждению: наш мир и
мир, полученный из нашего путем зарядового сопряжения, про-
странственной инверсии и обращения времени, идентичны. Ины-
ми словами, наш мир и мир, являющийся его зеркальным отра-
жением с заменой всех частиц на античастицы и движением всех
объектов в обратном направлении, идентичны. СРТ- теорем а мо-
жет бытькформулирована и несколько иначе: произведение трех
операций С,РлТ (порядок операций не важен) коммутирует
практически с любым мыслимым гамильтонианом^ т. е.
[СРТ,Я] = 0.
Таким образом, любой мыслимый гамильтониан инвариан-
тен относительно СРТ-преобразования. СРТ-теорему доказали
Швингер (1951, 1953), Людерс (1954) и Паули (1955).
Нарушение СР-инвариантности и СРТ-теорема приводят
к дилемме. Либо нет Т-инвариантности (она должна нарушать-
ся, если справедлива СРТ-теорема), либо СРТ-теорема не вер-
на. Все известные на сегодняшний день факты свидетельствуют
в пользу справедливости СРТ-теоремы. СРТ-инвариантность
следует из общих принципов квантовой теории поля. Ее нару-
шение потребовало бы радикально изменить такие основы этой
теории, как принцип причинности и связь спина с квантовой
статистикой. Простейшие тесты СРТ-инвариантности — ра-
венство масс и времен жизни частиц и античастиц. Лучший
известный тест — ограничение на разность масс К® и ее ан-
тичастицы К :
m/fo “
Нарушение СР-инвариантности (при справедливости СРТ-
теоремы) убедительно, хотя и косвенно, доказывает нарушение
Т-инвариантности в распадах нейтральных каонов. Причина
этого нарушения неясна. Распад нейтральных каонов — един-
ственный известный процесс, в котором обнаружено нарушение
СР- (а значит и Т-) инвариантности.
231
5. Первые этапы объединения взаимодействий
В электрослабой модели (ЭСМ) объединены электромагнит-
ные и слабые взаимодействия. Их константы сильно различают-
ся (табл. 8.2), однако имеют тенденцию к сближению при росте
энергии. Дело обстоит примерно так же, как и при объединении
электрических и магнитных сил Максвеллом. Сила, действую-
щая на заряженную частицу (сила Лоренца) имеет следующий
вид:
F = еЕ + -[v х В]. (13.22)
С
При малых скоростях частицы (|v| с) магнитная сила много
меньше электрической. При |v| с они одного порядка. То же
можно сказать и об электрослабом объединении. Электромаг-
нитные и слабые силы объединяются при энергиях « 100 ГэВ.
Перечислим пройденные этапы объединения взаимодейст-
вий:
- объединение электрических и магнитных сил
(Максвелл, 1864);
- объединение электромагнитных и слабых сил
(Вайнберг, Салам, Глэшоу, 1967).
б. Константы взаимодействий. Пропагатор.
Переопределение константы слабого взаимодействия
Интенсивности (вероятности) различных взаимодействий
характеризуются безразмерными константами а. При энерги-
ях 100 МэВ эти константы таковы:
а, = 1, аега10“2, ашга10~е, aG га 1СГ38.
Здесь aw обозначена константа слабого взаимодействия, исполь-
зовавшаяся раньше в этом курсе без черты сверху (табл. 8,2).
В случае безмассовых переносчиков взаимодействий (глюон,
фотон, гравитон) константы связаны с соответствующими за-
рядами gi соотношением
СГ^
G = (13-23)
причем де = е.
232 --------------------------------------------Лекция 13
В случае массивных переносчиков на вероятность
взаимодействия существенно влияет и масса переносчика. Чем
больше его масса, тем в узле сильнее нарушается закон сохране-
ния энергии, тем «более виртуальным» становится переносчик
взаимодействия и тем менее вероятен процесс. Введенное ранее
значение константы слабого взаимодействия aw учитывало вли-
яние на вероятность слабого процесса как собственно величины
слабого заряда gw, так и массы переносчиков mw и (далее
везде будем писать только т^). Поскольку в дальнейшем нас
будут интересовать процессы при сверхвысоких энергиях, ког-
да массой Переносчиков можно пренебречь (полагая mw « 0),
то естественно сравнивать константы = д2/Лс, не учитывая
массы переносчиков. В этой связи необходимо переопределить
константу слабого взаимодействия в соответствии с формулой
aw = Именно для этой константы мы в дальнейшем и
будем использовать обозначение atw, т.е. без черты сверху.
Переопределение константы слабого взаимодействия можно
сделать, используя вид пропагатора, — функции, описывающей
внутреннюю линию диаграммы Фейнмана. Пропагатор перенос-
чика имеет вид (без доказательства)
пропагатор ~ -J —у, (13.24)
— д*
где д2 = q$ - q2 — квадрат 4-импульса виртуальной частицы
(до = Е/с). Пропагатор входит множителем в амплитуду А»
двухузловой диаграммы, как и константа взаимодействия а», и
с учетом этого амплитуда может быть записана в следующем
виде:
л Г- Г- 1 С2
А ~ • пропагатор • ,
(13.25)
где = дЦЪл и, как и везде в этом курсе, значок означает
«пропорционально».
Если бы переносчик взаимодействия был реальной части-
цей, то для него выполнялось бы релятивистское соотношение
Е2 — р2с2 = тп2с4, и знаменатель в пропагаторе (13.24) обра-
щался бы в нуль. Однако переносчик — частица виртуальная и
для нее упомянутое релятивистское соотношение не выполняется
(Е2 - р2с2 / т2с4). Из (13.25) видно, что чем сильнее наруша-
ется это релятивистское соотношение (т. е. чем «виртуальнее»
частица-переносчик), тем ниже вероятность процесса.
233
Когда квадрат 4-импульса, переноси-
мого Ж-бозоном, q2 мал по сравнению с
тпру-с2, пропагатор Ж-бозона перестает за-
висеть от переносимого им импульса
m2wc2 - q2 rn^c2 ‘
_ Рис. 13.5
Поэтому влияние массы промежуточного
бозона (Ж и Z) на вероятность слабых процессов особенно ве-
лико при энергиях меньше т^с2 « 100 ГэВ.
Рассмотрим для определенности ситуацию при q2c2 я
« (1 ГэВ)2 « (тпрс2)2, где тр — масса протона. Так как mpp
> тр, то для амплитуды двухузловой диаграммы слабого про-
цесса (рис. 13.5) имеем согласно (13.25)
Qty Qty С Qty 1
W m2wc2 -q2 ~ (m2w/m2 - 1) m£c4 ~ (mw/mp)2 (™Pc)2'
(13.26)
Для двухузловой диаграммы электромагнитного процесса (мас-
са переносчика нулевая) при том же квадрате переданного им-
пульса
Qe __ QeC2 1
q2 q2c2 ^ае(трс)2‘
(13.27)
Из сравнения (13.26) и (13.27) видно, что при рассматривае-
мых энергиях (« 1 ГэВ) за счет массы промежуточного бозона
константа слабого взаимодействия эффективно уменьшается на
множитель порядка (пцу/17^)2 по сравнению с константой элек-
тромагнитного взаимодействия, осуществляемого обменом без-
массовым фотоном. Именно это уменьшенное за счет массы пе-
реносчика значение использовалось ранее в настоящем курсе в
качестве константы слабого взаимодействия aw & 10"6:
(mw/mp)2 (тиг/тпр)2
(13.28)
Отсюда следует, что «освобожденная от влияния массы перенос-
чика» константа слабого взаимодействия может быть оценена
при низких энергиях как
/ \2
aw rs aw | — ) rs 10~s • 104 = 10"2.
\ mp J
(13.29)
234 Лекция 13
Более точное значение этой константы при энергии 1 ГэВ сле-
дующее: aw яг i/j8. Таким образом, otw > ote, т.е. «слабость»
слабого взаимодействия по сравнению с электромагнитным —
следствие большой массы промежуточных бозонов. Сам слабый
заряд gw даже больше электромагнитного (де = е) примерно в
2 раза.
7. Сбегающиеся константы. Великое объединение
Константы взаимодействий а,, строго говоря, не являются
константами, а зависят от энергии. Приведем значения a€ и
aw при Некоторых энергиях
Таблица 13.1
Энергия, ГэВ а* «е
0.01 10 1/137
0.1 1 1/135 1/27
1 0.40 1/133 1/28
100 0.12 1/128 1/30
Понижение ав с ростом энергии — следствие антиэкрани-
ровки «сильного» (цветового) заряда, приводящей к асимпто-
тической свободе. Лнтиэкранировка также имеет место и для
слабого заряда и понижает aw с ростом энергии. Для ае из-за
экранировки имеет место рост с энергией. Наиболее резко ме-
няется с энергией константа сильного взаимодействия. Величи-
ны, обратные константам взаимодействия, т.е. 1/а<, согласно
теории зависят от энергии логарифмически и соответствующие
предсказываемые теорией графики приведены на рис. 13.6.
Из этого рисунка видно, что константы различных взаимо-
действий, сильно различающиеся при низких энергиях, с ростом
энергии сближаются и в конце концов «сбегаются» при энергиях
1015-1016 ГэВ к общему значению
<*gu « (13.30)
На этом основана надежда создать теорию, объединяющую силь-
ное, электромагнитное и слабое взаимодействия. Концепции объ-
единения этих трех взаимодействий называют. Великим объеди-
нением — Grand Unification (GU). При создании объединенных
235
теорий элементарных частиц широко используется теория групп
— раздел математики, являющийся основой для описания сим-
метрий.
Электрослабая модель (ЭСМ), объединившая электромаг-
нитное и слабое взаимодействие, — лишь часть программы Ве-
ликого объединения.
Рис. 13.6. Сбегающиеся константы взаимодействий
На рис. 13.6 график 1/ас приведен с коэффициентом 3/в* По-
явление этого коэффициента связано с понятием угла Вайнберга
9W (его называют также слабым углом смешивания). Этот угол
можно определить через отношение элементарного электричес-
кого и слабого зарядов:
— =sin0w; (13.31)
9w
sin0w, как и константы взаимодействий, меняется с энергией. Из
эксперимента найдено, что при энергии т^с2 j= 91 ГэВ значение
sin2 0w|mrC3 = 0.231. (13.32)
Теории Великого объединения (ТВО) предсказывают, что в точ-
ке объединения (т. е. при 1015-1б16 ГэВ) угол Вайнберга возрас-
тет до значения, определяемого соотношением
о
sin2 #w|GU = ~. (13.33)
о
236 Лекция 13
Умножение 1/ае на графике (рис. 13.6) на величину 3/в обеспечи-
вает «одновременное» попадание констант электромагнитного и
слабого взаимодействия в точку Великого объединения.
Таблица 13.2
Фундаментальные бозоны минимальной 8П(5)-модели
Частица Античастица
ТУ+ W-
Z
7
8 глюонов
Х(К,3,С)
у(к,з,с)
Х(К,3,С)
У(К,3,С)
В этой точке вместо сильного и электрослабого взаимодейст-
вий возникает единое взаимодействие. Существуют различные
версии ТВО. Простейшая версия принадлежит Джорджи и Глэ-
шоу (1974). Ее называют минимальной Бй(5)-моделью (символ
SU(5) означает специальная унитарная пятимерная группа).
Фундаментальные фермионы этой модели — это уже известные
шесть кварков и шесть лептонов. Что касается фундаменталь-
ных бозонов, то к четырем уже известным (J7, Z, 7, глюон)
добавляются два новых — переносчики сил Великого объеди-
нения бозоны X и У, имеющие, как и остальные, спин 1, но
дробные электрические заряды (соответственно +4/зе и Ч-Узе).
Таким образом, возникает «полный набор» фундаментальных
частиц
в кварков + 6 лептонов + 6 бозонов.
Высокая степень симметрии проявляется, в частности, в безмас-
совости всех частиц (речь идет об энергиях > 1015ГэВ). Как
и кварки, X- и У-бозоны окрашены, т.е. находятся в одном из
трех цветовых состояний — красном, зеленом или синем. С уче-
том трех цветовых состояний X- и У-бозонов, а также наличия
античастиц (у фотона, Z-бозона и двух глюонов со скрытым цве-
том частица совпадает с античастицей) «полный набор» фун-
даментальных бозонов 8и(5)-модели насчитывает 24 частицы
(табл. 13.2).
237
Важнейшее свойство X- и У-бозонов состоит в том, что они
участвуют в процессах, не сохраняющих барионный и лептон-
ный заряды. Эти бозоны, являясь переносчиками сил Великого
объединения, соединяют двухкварковые и кварк-лептонные вил-
ки (рис. 13.7), что одновременно нарушает законы сохранения
барионного и лептонного зарядов.
Рис. 13.7. Примеры диаграмм с участием X- и У-бозонов
Если систему частиц, нагретую до температур выше точ-
ки Великого объединения (Г > Tgu ~ 1028”29К), подвергнуть
охлаждению, то она, согласно ТВО, испытает два фундамен-
тальных фазовых перехода с понижением степени симметрии:
1. При Т w 1028 К наступит конец Великого объединения и
сильное взаимодействие отделится от электрослабого. При этом
переносчики сил Великого объединения X- и У-бозоны приобре-
тают массы « 1015“1016 ГэВ/c2. Остальные частицы остаются
безмассовыми.
2. При Т « 1015 К (это соответствует энергии частиц
« 100 ГэВ) разрушится электрослабая симметрия и слабое вза-
имодействие отделится от. электромагнитного. В этот момент
кварки, лептоны и промежуточные бозоны (W±, Z) приобрета-
ют массы.
Оба фазовых перехода с понижением степени симметрии
происходят самопроизвольно (спонтанно) и поэтому носят на-
звание спонтанного нарушения симметрии. Это явление имеет
довольно общий характер и хорошо известно в физике. О.спон-
танном нарушении симметрии говорят тогда, когда уравнения
(или гамильтониан), описывающие систему, обладают опреде-
ленной симметрией, а основное (т.е. устойчивое) состояние сис-
темы такой симметрией не обладает. В этом случае симметрич-
ные состояния (расположенные выше основного) неустойчивы
и спонтанно за счет сверхмалых (практически нулевых) воз-
мущений переходят в несимметричные устойчивые состояния.
Примерами такого рода процессов в физике являются: спонтан-
ное намагничивание твердого тела ниже температуры Кюри
— ферромагнетизм; кристаллизация жидкости ниже критичес-
кой температуры; конденсация паров воды; сверхпроводимость.
238 Лекция 13
Более наглядные примеры: падение вертикально поставленной
иглы и скатывание шарика, помещенного на вершину поверх*
ности, имеющей форму круглого мексиканского сомбреро. В обо*
их этих случаях спонтанно нарушается цилиндрическая симмет-
рия. Кроме того, видно, что спонтанное нарушение симметрии
тесно связано с вырождением основного состояния (игла может
упасть, а шарик скатиться различными способами).
В современной квантовой теории поля спонтанное наруше-
ние симметрии осуществляется с помощью гипотетического ме-
ханизма, впервые предложенного Хиггсом в 1964 г. Этот ме-
ханизм постулирует существование нейтральных бесспиновых
частиц Я-бозонов Хиггса (или просто «хиггсов»), непосредст-
венно участвующих в появлении массы у элементарных час-
тиц. «Хиггс» пока не найден. На LEP его искали в реакции
е++е~ Z+H. Поиск хиггса — важная задача физики высоких
энергий. Она в программе экспериментов на LHC. Определенно
известно, что тис2 > 78 ГэВ и, возможно, < 200 ГэВ. Рассмот-
рение механизма Хиггса выходит за рамки данного курса.
8. Распад протона и другие предсказания
теорий Великого объединения
Одним из важнейших предсказаний ТВО является распад
протона. Показанные на рис. 13.7 процессы с участием Х~ и
У-бозонов отвечают за возможные распады протона (а также
нейтрона) — рис. 13.8.
Рис. 13.8
239
Вероятность предсказанного распада протона (нейтрона)
чрезвычайно мала из-за огромной массы виртуальных X- и Y-
бозонов. По оценкам ТВО в лучшем случае (8и(5)-модель) вре-
мя жизни протона относительно доминирующего канала распада
р е++тг° не может превышать 1032 лет. В то же время для это-
го канала распада протона эксперимент уже дает > 5 * 1032 лет,
что, по-видимому, исключает минимальную 81Т(5)-модель.
Пример. Оценка времени жизни протона по отношению
к распаду р -> е+ + тг°.
Получим эту оценку сравнением с традиционным распадом
нейтрона п —> р + е~ + ие. Сравниваемые распады описываются
двухузловыми кварковыми диаграммами (рис. 13.9).
Рис. 13.9
Традиционный распад нейтрона — это /3-распад, за который
ответственна константа слабого взаимодействия
__ <*W
aw ~ (mw/mpy
(см. (13.28)). Кроме того, известно, что вероятность /3-распада
пропорциональна энерговыделению в 5-й степени, т.е. Q5 (см.
Приложение Ж). Таким образом, для вероятности распада нейт-
рона в единицу времени имеем
1
wn = —
1 2
___Г)5
(mw/mp)2J n
(13.34)
где aw « 1/30, Qn — (mn - mp — me)c2 « 0.8 МэВ, m^c2 «
«80ГэВ/с2.
За распад протона ответственна константа сил Великого
объединения oegu = 1/40 и для вероятности такого распада, по
аналогии с (13.34), получаем
1
Тр
<*GU
(тх/тр)г
Qs,
(13.35)
240 Лекция IS
где Qp = (mp — те — тпко)с2 « 800МэВ, m%c2 « 1015ГэВ/с2.
В итоге для Тр имеем
2 / \4 /л \ 5
Лщ \ \ [ Qn\
---- . । -- । . __ ।
Лои/ \mw/ \QpJ
/40\2/1015\ /0.8А ,пзз
« 15 мин ( — ) ( —- ) ( — ) « 1033 лет,
к 30/ к 80 / \ 800/
Помимо полей Хиггса и распада протона теории Великого объ-
единения предсказывают существование изолированных магнит-
ных зарядов — монополей Дирака. Дирак выдвинул в 1931 г. ги-
потезу о существовании магнитных монополей для сохранения
фундаментальной симметрии уравнений Максвелла. Он показал,
что если существует частица с магнитным зарядом д, то элек-
трический заряд квантуется согласно условию
п_
ед = ~ he,
(п — целое число).
Магнитный монополь (заряд) — источник сферически симмет-
ричного магнитного поля, напряженность которого спадает как
1/г2. До 1975 г. искали лишь «легкие» релятивистские магнит-
ные монополи с тдс2 < 10 ГэВ. Результаты этих поисков отри-
цательные. В 1974 г. Поляков и т’Хоофт показали, что теории
Великого объединения (в частности, Би(5)-модель) содержат в
качестве решений магнитные монополи, причем их масса огром-
на гиде2 рь 1016-1017 ГэВ, т.е. около 10"8-10“7 г (подобные мас-
сы имеют бактерии). Столь большие массы монополей исклю-
чают возможность получения их на ускорителях и объясняют
безрезультатность их поисков в прошлом.
В ТВО монополи возникают при разрушении симметрии,
присущей Великому объединению, при температурах ~ 1028 К и
их появление тесно связано с хиггсовским полем. Монополи не
являются точечными объектами. Они протяженны, имеют слож-
ную «слоистую» структуру и содержат практически весь спектр
частиц ТВО. В центре монополя (г < 10~29 см) находится «ва-
куум» ТВО. За ним (г < 10“18см) — область электрослабо-
го объединения. Далее (г < 10"15 см) — оболочка конфайнмен-
та, содержащая фотоны и глюоны. Снаружи (г < 10“13см) —
область фермион-антифермионных пар. При расстояниях, боль-
ших нескольких ферми, такой монополь подобен дираковскому.
241
Благодаря сложному строению монополи ТВО могут слу-
жить катализаторами распада протона {эффект Рубакова). Из
ненаблюдаемости распада протона найдено ограничение на по-
ток монополей < Ю“14см“2’ср"1-с“1. Слишком большой по-
ток монополей мог бы разрушить галактическое магнитное
поле (порядка нескольких микрогаусс). Сохранение этого по-
ля ограничивает верхний предел потока монополей величиной
IO"15 см’2 • ср"1 • с"1. Магнитные монополи могли бы сохранить-
ся во;Вселенной как реликты эпохи Большого взрыва.
Если простейшие варианты ТВО справедливы, то в облас-
ти от 100 до 1015 ГэВ не происходит ничего неожиданного и не
появятся новые частицы (т. е. непредсказываемые ТВО). Эту об-
ласть иногда называют «Великой пустыней», имея в виду отсут-
ствие новой физики в столь огромном энергетическом интервале.
9. Поколения фундаментальных фермионов.
Нейтрино
Уже отмечалось, что фундаментальные фермионы (кварки
и лептоны) естественным образом делятся на три поколения
по два кварка и два лептона в каждом (рис. 13.10). Каждое
следующее поколение является как бы «утяжеленной» копией
предыдущего. Вся стабильная материя, т.е. практически весь
окружающий мир, состоит из частиц первого поколения. Для
чего нужны второе и третье поколения пока не ясно. Согласно
простейшим теоретическим моделям без них нельзя, например,
нарушить CP-инвариантность. Нарушение СР-инвариантности
на ранних стадиях эволюции Вселенной, по-видимому, привело
к барионной асимметрии и преобладанию вещества над антиве-
ществом (Лекция 14).
17 Зак. 320
242 ...................... _ _________________Лекция 13
Разбиение кварков и лептонов по трем поколениям в соот-
ветствии с рис. 13.10 подтверждается и степенью той связи, ко-
торая существует между фермионами внутри одного поколения.
Так, лептоны одного поколения имеют сохраняющееся лептон-
ное квантовое число одного типа (Le, или LT) ъ поэтому,
скажем, электрон, всегда будет рождаться в паре с лептоном
1-го поколения — позитроном или электронным антинейтрино.
Что касается связи (степени взаимодействия) между кварками
то, хотя кварки одного поколения в результате слабых распа-
дов могут переходить в кварки другого поколения, связь между
кварками одного поколения наиболее сильна. Чем дальше отсто-
ят поколения друг от друга, тем слабее связь между кварками.
Если связь между кварками одного поколения характеризовать
коэффициентом 1, то коэффициент связи кварков 1-го и 2-го по-
коления будет & 0.2, а связь кварков 2-го и 3-го поколений ха-
рактеризуется коэффициентом « 0.04. Слабее всего связь между
кварками 1-го и 3-го поколений. Она характеризуется коэффи-
циентом « 10“3—10“2.
Могут ли существовать другие поколения, содержащие бо-
лее тяжелые фундаментальные фермионы? Существующие экс-
периментальные данные о ширине распада Z-бозона и отноше-
нии гелия к водороду во Вселенной очень чувствительны к числу
нейтринных ароматов (типов нейтрино). Эти данные свидетель-
ствуют о том, что число таких ароматов N„ (и поколений) равно
трем.
Так, расчеты ширины распада Z-бозона Г^г, выполненные
в рамках электрослабой модели с учетом лишь трех поколений
кварковых и лептонных пар, дают
Гя(т) = 2.496 ±0.001 ГэВ.
При этом каждый нейтринный аромат (добавляя новый канал
распада Z —> vv) вносит в полную ширину распада величину
0.18 ГэВ. Наиболее точное экспериментальное значение Г^ сле-
дующее:
Г#(э) = 2.4952 ± 0.0026 ГэВ,
что полностью согласуется с Ny = 3 и исключает возможность
существования других поколений фундаментальных фермионов
(если не существует тяжелых нейтрино с массами в несколько
десятков ГэВ/c3). Число легких нейтрино из экспериментальных
исследований распада Z-бозона следующее:
= 3.00 ±0.06.
243
Ограничение на число поколений фундаментальных фермионов
можно получить также из отношения распространенностей ге-
лия и водорода во Вселенной, равного 1:10. Гелий в основном об-
разовался на ранней (дозвездной) стадии эволюции Вселенной и
на его долю приходится около 25% массы ее видимого вещества.
Как показывают детальные расчеты, каждый лишний нейтрин-
ный аромат увеличивает эту долю примерно на 1%. Наблюдае-
мое отношение гелий/водород ограничивает число нейтринных
ароматов значением Nv < 3.5.
В заключение этого раздела подчеркнем, что до сих пор не
ясно, имеют ли нейтрино массу. Экспериментальные ограниче-
ния на массы различных типов нейтрино следующие: т^с2 <
<ЗэВ, т^с2 <0.19 МэВ и mVrc2< 18.2МэВ. Кроме того, не из-
вестно, являются ли нейтрино дираковскими или майорановыми.
В Стандартной модели нейтрино дираковские и безмассовые и
у них есть античастицы (антинейтрино). Майорановы нейтрино
истинно нейтральны, т. е. являются античастицами по отноше-
нию к себе. В настоящее время ряд экспериментальных групп
ведет активный поиск доказательств массивности нейтрино.
Осуществляются попытки обнаружить так называемые «нейт-
ринные осцилляции» и «безнейтринный двойной /3-распад». Не
останавливаясь на сути этих опытов, заметим лишь, что обнару-
жение безнейтринного двойного /3-распада будет означать, что
нейтрино майораново и его масса отлична от нуля. Одновремен-
но это будет означать крушение закона сохранения лептонного
заряда, которому пока не удалось сопоставить какой-либо тип
симметрии.
10. Суперсимметрия
Объединение всех четырех фундаментальных взаимодейст-
вий, включая гравитацию, как полагают, должно происходить
при энергиях на 3-4 порядка выше точки Великого объединения,
т.е. при энергиях « 1019ГэВ. Эту энергию называют планков-
ской, и она получается следующей комбинацией трех мировых
констант (гравитационной постоянной G, постоянной Планка h
и скорости света с):
Spi = « 1.2 • 1019 ГэВ. (13.36)
Планкоеской энергии отвечает планкоеская масса тр\ =
= Ер\/с2 — 1.2-1019ГэВ/с2 и планковская длина rpi = y/Gh/c? я
«10-33см.
17*
244 Лекция 13
При планковской энергии к трем уже объединенным при бо-
лее низких энергиях сильному, электромагнитному и слабому
взаимодействиям присоединяется гравитационное, образуя еди-
ное универсальное взаимодействие. Теоретические модели, по-
священные такого рода объединению, имеют дело с суперсим-
метрией (SUSY) — симметрией между фермионами и бозонами
(модели Великого объединения рассматривали симметрию меж-
ду кварками и лептонами). Этой новой более высокого ранга
симметрии отвечает инвариантность к преобразованию, изменя-
ющему <щин частицы. Любая модель Великого объединения мо-
жет быть расширена за счет включения в нее суперсимметрии.
Таблица 13.3
Основные SUSY-партнеры
№ Частица спин SUSY-партнер спин
1 кварк 1/2 скварк 0
2 лептон 1/2 слептон 0
3 нейтрино 1/2 снейтрино 0
4 фотон 1 фотино 1/2
5 глюон 1 глюино 1/2
6 W-бозон 1 вино 1/2
7 Z-бозон 1 зино 1/2
8 хиггс 0 хиггсино 1/2
9 гравитон 2 гравитино 3/2
В SUSY-моделях фермионы и бозоны собраны в супермуль-
типлеты. Симметрия между фермионами и бозонами в супер-
мультиплете такова, что каждый фермион имеет партнером бо-
зон и наоборот. При этом число фундаментальных частиц прак-
тически удваивается — у каждого фундаментального фермиона
(кварка или лептона) появляется бозонный партнер с нулевым
спином (называемый скварком или слептоном). В свою очередь,
каждый известный бозон (фотон, глюон, Z) и хиггс име-
ет фермионного партнера (соответственно фотино, глюино, ви-
но, зино, хиггсино). Основные SUSY-партнеры перечислены в
табл. 13.3. Суперчастицы 3, 7, 8 часто называют нейтродине.
Самая легкая из суперчастиц должна быть стабильна. Такие
частицы могут составлять значительную часть невидимой (тем-
ной) материи Вселенной (Лекция 14).
245
При точной суперсимметрии SUSY-партнеры имеют одина-
ковые массы. Пока не найдено ни одной суперсимметричной час-
тицы (их поиск — важная задача физики высоких энергий), что
свидетельствует о нарушении суперсимметрии. Масштаб этого
нарушения определяет массы суперчастиц.
На пути создания единой теории всех взаимодействий долж-
на быть решена и задача построения последовательной теории
гравитации, соединяющей принципы квантовой теории поля и
суперсимметрии. Возможно, решение проблемы будет достигну-
то в теории суперструн — гипотетических одномерных объек-
тов, имеющих линейные размеры порядка планковской длины
(10~33 см) и натяжение (энергию на единицу длины) планков-
ского масштаба.
Ниже планковской энергии теория суперструн не отлича-
ется от суперсимметричной квантовой теории поля с точечны-
ми фермионами. Струнная природа частиц должна проявлять-
ся при энергиях выше планковской. Минимальная размерность
пространства-времени, в котором может быть построена теория
суперструн, равна 10 — временная координата и 9 простран-
ственных. Это пространство при энергиях ниже планковской
должно «свертываться» (компактифицироваться) в наблюдае-
мое четырехмерное пространство-время.
Таким образом, в рассмотренных теоретических концепци-
ях предсказывается объединение всех фундаментальных взаимо-
действий в единое универсальное взаимодействие при энергиях
выше планковской (1019ГэВ). Такие энергии соответствуют ха-
рактерным расстояниям < 10“33см. Единому взаимодействию
отвечает наивысшая симметрия. С уменьшением энергии сим-
метрия в системе частиц снижается путем ее последовательного
спонтанного нарушения. При этом от единой силы «отщепляют-
ся» ее отдельные хорошо нам известные составляющие — гра-
витационная, сильная, слабая и электромагнитная (рис. 13.11).
Фантастические значения энергии Великого объединения
(1015-1016 ГэВ) и планковской энергии (1019ГэВ) исключают
полноценную проверку вышеупомянутых концепций в ускори-
тельных экспериментах. Даже если построить сверхпроводящее
ускорительное кольцо с диаметром, равным диаметру Земли, то
протон можно будет ускорить лишь до 108 ГэВ (синхротронное
излучение не позволит превысить этот предел). В то же время
достигнутые на сегодняшний день энергии ускорителей позво-
ляют, например, искать бозоны Хиггса и суперсимметричные
246 Лекция 13
частицы. Среди «неускорительных» экспериментов можно вы-
делить опыты по поиску монополей Дирака и распада протона.
Определенные надежды связаны с тем, что Вселенная должна
была пройти все стадии, показанные на рис. 13.11, в процессе
своего охлаждения после Большого взрыва (моменты достиже-
ния этих стадий после Большого взрыва указаны на рисунке).
Единое взаимодействие
суперструны
[гравитация]
компактификация 101»ГэВ 10-«с
(Великое объединение)
электромагнитное ]
взаимодействие J
взаимен
спонтанное нарушение симметрии . <в
/ \ 102ГэВ, 10“6см, Ю‘10с
Рис. 13.11
Таким образом, должна возникать прямая связь между фи-
зикой частиц сверхвысоких энергий и космологией. Установле-
ние этой связи позволяет выявить те объекты нынешней Вселен-
ной, которые несут «следы» ее самого раннего горячего состоя-
ния, и возможно дадут недостающие подтверждения справедли-
востиединых теорий.
247
Лекция 14
1. Вселенная, Свидетельства Большого взрыва
2. Первые мгновения Вселенной. Дозвездный синтез ядер
*3. Барионная асимметрия.
Отсутствие антивещества во Вселенной. Инфляция
4. Звездная эра. Ядерные реакции в звездах
1. Вселенная. Свидетельства Большого взрыва '
Согласно концепции Большого взрыва более 10 млрд лет на-
зад вещество Вселенной было сконцентрировано в очень малом
объеме и имело огромную плотность, температуру и давление
(Леметр, Гамов). Происходило стремительное (взрывное) рас-
ширение Вселенной, сопровождаемое ее охлаждением и умень-
шением давления. Бели за начальный момент t = 0 взять момент
Большого взрыва, то зависимости плотности р и температуры
Т вещества от времени t космологического расширения даются
следующими приближенными соотношениями (без вывода):
р г/см8
5 • 105
*2Н
10хо
(14.1)
Из этих соотношений видно, что при t = 1 с Вселенная
имела колоссальную плотность (« 105г/см3) и температуру
(« 101ОК). Для сравнения укажем, что температура в центре
Солнца 1.5 • 107 К.
Расширение Вселенной следует из анализа красного сме-
щения спектров видимого излучения галактик (т. е. увеличения
длин волн излучения) за счет эффекта Допплера. Установлено, <
что величина красного смещения и, следовательно, скорость раз- <
бегания галактик увеличивается для более удаленных галактик. <
Скорость разлета v двух галактик и расстояние R между ними
связано законом Хаббла:
v = HRt
(14-2)
где Н — постоянная Хаббла. Таким образом, скорость разлета
галактик прямо пропорциональна расстоянию между ними. Та-
кое разбегание галактик является свидетельством расширения
Вселенной. Зная численное значение постоянной Хаббла и счи-
тая, что она не меняется со временем, можно оценить момент
248 Лекция Ц
времени в прошлом, когда все галактики были практически в
одной точке. Учитывая, что Н == 71 ± 7 км/(с • мегапарсек) и
1 мегапарсек = 3.1 • 1019 км, получаем для времени to, прошедше-
го после Большого взрыва, следующее значение:
to « — = — = (12-16) млрд лет.
v Н
(14-3)
Состояние Вселенной в настоящее время характеризуется вели-
чинами, приведенными в табл. 14.1.
> Таблица 14.1
Характеристики Вселенной в настоящее время
Возраст to 12-18 млрд лет
Радиус (горизонт видимости) Ro ~ cto 1028 см
Полное количество вещества и энергии 105вг
Средняя плотность вещества и энергии 10-29 г/см3
Полное барионное число (число нуклонов) 1078
Доля антивещества < 10“4
Постоянная Хаббла Н 71 ± 7 км/с • Мпк
Температура реликтового (фонового) излучения 2.73 К
Плотность реликтовых фотонов 411 см-3
Энергетическая плотность 0.26 эВ/см3 =
реликтовых фотонов = 4.6 -10-34 г/см8
Отношение числа реликтовых фотонов к числу барионов п7/по (1О9-1О10): 1
Распространенность атомов (ядер): по чжслу по массе
водород 91% 70.7%
гелий 8.9% 27.4%
остальные < 0.2% 1.9%
1 мегапарсек= 3.1 • Ю19 км
Вселенная в больших масштабах (> 100 Мпк) однородна и
изотропна. Она содержит не менее 10“ галактик. Наша галак-
тика — Млечный путь — содержит 1011 звезд.
249
Средняя плотность р вещества и энергии во Вселенной опре-
делена с 10%-й точностью из большого числа разнообразных аст-
рофизических наблюдений. Оказалось, что она в пределах точ-
ности опытных данных совпадает с критической плотностью
рк. Последняя, как известно, выражается через постоянную Хаб-
бла и гравитационную постоянную G:
ЗН2 . з
'’ = йё“10 г/с“-
Средняя плотность р Вселенной определяет ее геометрию и судь-
бу. То, что р~р* означает, что Вселенная плоская (описывается
геометрией Евклида) и будет расширяться неограниченно долго
(Лекция 15, п. 2).
В отличие от величины средней плотности р Вселенной, ее
состав известен значительно хуже. Наиболее хорошо определен
вклад в плотность Вселенной той части, которую называют ба-
рионной материей. Она состоит из оптически ярких звезд (на
их долю приходится лишь Ую массы барионной материи), меж-
звездной пыли и газа, молекулярных облаков, остатков звездной
эволюции (включая черные дыры), планет и очень маленьких
звезд, массы которых недостаточны для ядерных реакций син-
теза. Масса всей совокупности этого вещества практически це-
ликом сосредоточена в барионах (протонах и нейтронах), при-
чем на долю протонов приходится 85%, а на долю нейтронрв
— 15% этой массы. Нейтроны связаны в ядрах, главным обра-
зом, в гелии. В среднем на 4-5 м3 нынешней Вселенной прихо-
дится 1 протон и 1 электрон (Вселенная электрически нейтраль-
на). Плотность барионной материи невелика — всего 5% полной
плотности Вселенной.
95% вещества-энергии Вселенной заключено в неизвестной
оптически невидимой небарионной материи, которую принято
называть темной материей (dark matter). О ее существовании ис
вкладе определенно свидетельствуют гравитационные эффекты. <
Данные наблюдений свидетельствуют также о том, что темная
материя делится на две части: первая — неизвестные массивные
частицы (это могут быть стабильные нейтральные суперчасти-
цы (табл. 13.3), в том числе гипотетические тяжелые нейтрино)
и вторая — вакуум. Имеется ввиду физический вакуум, т. е. наи-
низшее энергетическое состояние физических полей, пронизыва-
ющих пространство. Плотность энергии вакуума может быть
не равной нулю и за счет квантовых эффектов достигать весьма
16 Зак. 320
250 —— _______________ _____________________Лекция Ц
больших значений. Вакуум, на фоне которого разворачивают-
ся процессы во Вселенной, наделен отрицательным давлением
и ответствен за появление гравитационного отталкивания. Это
особое свойство вакуума имеет прямое отношение к механизму
Большого взрыва. К этому вопросу мы вернемся в п. 3, а пока
сделаем ряд замечаний о реальности самого Большого взрыва.
Существует несколько прямых следствий событий далекого
прошлого, подтверждающих концепцию Большого взрыва. Эти
явления называются реликтовыми. Основные среди них:
1) микроволновое фоновое излучение (температура 2.7 К);
2) высокая распространенность гелия всех ядер по
массе);
3) соотношение между числом фотонов и барионов (109—1010): 1
в пользу фотонов).
Таблица 14.2
Вклады в полную плотность Вселенной
различных форм материи
(в единицах рк — 10"29г/см3)
Барионы 0.05
в том числе: - звезды 0.005
Фотоны 5•10~5
Безмассовые нейтрино 2 IO"5
Темная материя 0.95
в том числе: - неизвестные массивные частицы
(не барионы) 0.2-0.4
- вакуум 0.6-0.8
Полная плотность вещества-энергии 1±0.1
Наиболее убедительным подтверждением теории Большо-
го взрыва явилось открытие в 1965 г. Вильсоном и Пензиасом
предсказанного Гамовым реликтового микроволнового излуче-
ния, Форма спектра этого излучения соответствует излучению
абсолютно черного тела с температурой 2.7 К. Это излучение
заполняет всю Вселенную. Максимум его интенсивности прихо-
дится на длины волн около 0.1 см. Соотношение между числом
реликтовых фотонов и барионов (протонов и нейтронов) (109-
10го) : 1 в пользу фотонов. Однако суммарная энергия релик-
тового излучения в настоящее время на три порядка меньше
251
суммарной массы покоя вещества в энергетических единицах.
Помимо реликтовых фотонов должны существовать и реликто-
вые нейтрино примерно в том же количестве и с той же энергией
(см. ниже).
В табл. 14.2 приведены вклады в полную плотность Вселен-
ной различных форм материи (данные приведены в единицах
критической плотности).
Отметим, что плотность энергии вакуума, умноженную на
8тгС?/с2, называют космологической постоянной Л.
2. Первые мгновения Вселенной.
Дозвездный синтез ядер
Вернемся к реликтовому излучению. Оно было свидетелем
процессов, происходивших во Вселенной на самых ранних ее эта-
пах. Ниже рассматривается эволюция горячей Вселенной в рам-
ках Стандартной космологической модели.
1 Современные космологические теории рассматривают эво-
люцию Вселенной, начиная с планковского момента t?i после
Большого взрыва:
tpi = =54 •10-44 с- (14.4)
Планковский момент отвечает «планковским условиям» — план-
ковским энергиям частиц (1019ГэВ), их планковской темпе-
ратуре (1032К), характерным расстояниям между частицами,
равным планковской длине (10-33 см) и планковской плотнос-
ти (« 1094 г/см3). Диаметр Вселенной в этот момент был все-
го лишь несколько микрон. Привычные представления о про-
странстве и времени вряд ли применимы к столь экстремаль-
ным условиям. Происходит распад на кванты единого непре-
рывного пространства-времени (линейно-временной масштаб
этих квантов соответствует вышеприведенным планковским
значениям). Квантовые флуктуации пространства-времени, по-
видимому, лишают смысла понятия «прошлое», «будущее»,
«причинность». Квантовые флуктуации при t < 10“43с могли
стать причиной возникновения крупномасштабной структуры
Вселенной.
Для времен, больших планковских (t > tpi), сценарий эво-
люции взаимодействий, предсказываемый современными едины-
ми теориями, уже был показан на рис. 13.11. Вселенная сразу пос-
ле Большого взрыва должна была «испытать на себе» действие
16*
252--------------------------------Лекция Ц
этого сценария. Соединение стандартной космологии и единых
теорий позволяет, начиная с планковского момента, воспроизвес-
ти эволюцию остывающей Вселенной в виде табл. 14.3.
Для связи между собой физических величин в различные
моменты времени помимо формул (14.1), удобно использовать
следующие соотношения для средних энергий Е частиц и ха-
рактерных расстояний г между ними:
В[ГэВ]«(М-5)
Первое из них следует из хорошо известной формулы Е ял kT, а
второе — из соотношения неопределенностей г • рс = гЕ ъ he.
Сразу после планковского момента (t > tpi) единое поле
распалось и от него отделилось гравитационное взаимодейст-
вие. Интервал 10"43-10"36 с соответствует эпохе Великого объ-
единения трех взаимодействий — слабого, электромагнитного и
сильного. Момент 10“36 с отвечает концу Великого объединения.
При этом отделяется сильное взаимодействие. Конец Великого
объединения наступает при Т « 1028 К, характерных энергиях
частиц 1015 ГэВ и масштабах расстояний 10“29 см.
Составляющими Вселенной в рассматриваемый период
(10“43-10~36 с) были все известные фундаментальные частицы,
включая их гипотетических суперпартнеров (табл. 13.2, 13.3).
Все частицы безмассовы. В момент крушения Великого объ-
единения переносчики сил Великого объединения X- и У-бозоны
приобретают массы 1015-1016ГэВ/с2, остальные частицы оста-
ются безмассовыми вплоть до 1О“10 с, Когда рушится электро-
слабая симметрия и происходит разделение электромагнитного
и слабого взаимодействий. При этом кварки, лептоны и проме-
жуточные бозоны (W±tZ) приобретают массы. Концу электро-
слабого объединения соответствует Т = 1015 К, энергии частиц
« 100 ГэВ, масштабы расстояний 10"16см. За счет аннигиля-
ции и распада X- и У-бозоны и их античастицы при t > 10”36 с
исчезают.
Вначале вещество имело столь высокую температуру, что
кварки не могли объединиться в адроны, так как высокая тепло-
вая энергия вновь разрушала их. К 10"6 с Вселенная охладилась
настолько (Т = 1013 К), что стало возможным слияние кварков в
адроны. Произошел кварк-адронный фазовый переход с образо-
ванием адронов и антиадронов, интенсивно взаимодействующих
между собой.
253
Таблица 14.3
Догалактические этапы эволюции Вселенной
Время после Большого взрыва Характерные температуры, К Характерные расстояния, см Этап/Событие
<10“43 с >1О82 <10-33 Квантовым хаос. Суперсимметрия (объединение всех взаимодействий)
10-43 с 1032 ю-33 Планковский момент. Отделение гравитационного взаимодействия
10-43-10-38 с 10з2-1028 ю-33-10-29 Великое объединение (электро* слабого и сильного взаимодействий)
10~3® с 1028 ю-2® Конец Великого объединения. Разделение сильного и электросла- бого взаимодействий
1О’ХО с 1015 ю-16 Конец электрослабого объеди- нения
10*”® с ю13 10"14 Кварк-адронный фазовый пе- реход
10”10-10~4с 1О15-1О12 10-16-ю-13 Адронная эра. Рождение и ан* нигиляция адронов и лептонов
10“4-10с 1012-1010 10~13-10—10 Лептонная эра. Рождение и ан- нигиляция лептонов
0.1-1 с 2•1010 ю-11 Отделение нейтрино. Вселен- ная становится прозрачной для нейтрино (антинейтрино)
102-103с «10® 10-10-10“® Дозвеэдный синтез гелия
10 с-40 ООО лет 1010-104 10-10-10~5 Радиационная эра. Доминиро- вание излучения над веществом
40 000 лет 104 ю~5 Начало эры Вещества. Веще- ство начинает доминировать над излучением.
400 000 лет 3 -103 10 ~4 Образование атомов Разделение вещества и излуче- ния (Вселенная прозрачна для излучения)
254 Лекция Ц
Помимо распадов частиц основными процессами, идущими
на самых ранних этапах горячей Вселенной, являются рождение
7-квантами пар частица-античастица и аннигиляция этих пар,
вновь приводящая к образованию 7-квантов. В состоянии термо-
динамического равновесия прямой и обратный процессы идут с
одинаковой скоростью и плотность частиц и античастиц близка
I к плотности 7-квантов. Поэтому основные реакции, происходив-
шие во Вселенной в этот период, можно Записать следующим
образом:
частицы + античастицы <=$> 7-кванты,
т.е. в горячей Вселенной должно было быть колоссальное ко-
личество античастиц, равное числу частиц, и примерно равное
числу 7-квантов. В этот период Вселенная была непрозрачна для
7-квантов и реакции образования пар частица-античастица из
7-квантов шли с высокой скоростью.
С началом образования из кварков адронов энергии 7-
квантов какое-то время были достаточны для рождения адронов
(антиадронов). Этот период эволюции Вселенной носит назва-
ние эры адронов. Она начинается примерно при t = 10~1Ос и
заканчивается к 10~4 с. Конец адронной эры наступает тогда,
когда энергия излучения становится меньше энергии покоя са-
мого легкого адрона — тг-мезона.
В условиях дальнейшего падения температуры и давления,
когда рождение пар адрон-антиадрон было уже невозможно, а
их аннигиляция и распад, естественно, продолжались, происхо-
дило быстрое уменьшение числа адронов. Уменьшение числа ад-
ронов (антиадронов) привело к повышению числа легких частиц
— лептонов, являющихся продуктами распада адронов. На этом
этапе энергия фотонов была еще достаточна для рождения пар
лептон-антилептон. Этот период называют лептонной эрой> и
основные процессы, происходившие в эту эру, можно предста-
вить следующей схемой:
адроны+антиадроны —> 7-кванты <=> лептоны + антилептоны.
В лептонную эру также наблюдалось статистическое рав-
новесие, при котором лептон-антилептонные пары рождались и
аннигилировали примерно с одинаковой скоростью. Вселенная в
этот период, помимо фотонов, состояла из лептонов (антилеп-
тонов) — в основном электронов (позитронов), нейтрино (ан-
тинейтрино) и небольшого количества легчайших барионов —
255
протонов и нейтронов, оставшихся после адронной эры. К этому
небольшому количеству барионов мы вернемся ниже. Лептонная
эра завершается примерно к десятой секунде, когда температура
падает до 1О10 К и энергии фотонов становятся недостаточными
для рождения пары самых легких заряженных лептонов — е“е+.
В лептонную эру произошло еще одно важное событие —
через несколько десятых долей секунды после Большого взры-
ва Вселенная стала прозрачной для нейтрино (антинейтрино).
Энергии пар нейтрино-антинейтрино были уже недостаточными
для создания пар е~е+. В дальнейшем нейтрино (антинейтрино)
и вещество расширялись независимо — изменение температуры
и давления нейтрино не совпадало с изменением температуры и
давления остальной части Вселенной. Нейтринный газ в даль-
нейшем только охлаждался за счет расширения. Число нейтри-
но при этом должно было сохраниться неизменным до наших
дней. Их концентрация должна быть примерно такой же, как и
для реликтовых фотонов. Однако, в связи с тем, что отделение
нейтрино произошло раньше, чем отделение излучения, темпе-
ратура реликтовых нейтрино должна быть несколько меньше.
К настоящему моменту нейтринный газ должен охладиться до
1.9 К для безмассовых нейтрино (при тус2 = 30 эВ температура
будет 0.005К). Обнаружение реликтовых нейтрино — важная и
сложная проблема.
Можно оценить верхнюю границу массы реликтовых нейт-
рино, исходя из наблюдаемой плотности вещества во Вселенйой
(10“29 г/см3). Такая оценка приводит к следующему условию на
суммарную массу трех типов нейтрино:
(гп„е 4- + тпРт)с2 < 50 эВ,
существенно ограничивая массы мюонного и тау-нейтрино по
сравнению с лабораторными измерениями.
На смену лептонной эре приходит радиационная эра. В на-
чале этой эры было еще много лептонов, но за счет аннигиляции
они быстро исчезали, превращаясь в излучение. Таким образом,
Вселенная от состояния, когда плотность массивных частиц бы-
ла близка к плотности фотонов, перешла к состоянию, в котором
плотность фотонов на много порядков превосходила плотность*
частиц с массой. Вселенная практически полностью стала состо-
ять из фотонов и нейтрино.
256 Лекция Ц
В начале радиационной эры излучение интенсивно взаимо-
действовало с заряженными частицами (протонами, электрона-
ми), входившими в состав Вселенной. За счет расширения про-
исходило охлаждение Вселенной, в том числе и фотонов. Фотоны
охлаждались за счет эффекта Допплера при отражении от уда-
ляющихся частиц. Увеличение длины волны фотонов ДА связано
с увеличением расстояния ДЯ между удаляющимися при расши-
рении Вселенной частицами следующим соотношением:
ДА ДЯ
> А “ Я *
При дальнейшем расширении Вселенной отношение концентра-
ций фотонов и массивных частиц остается постоянным. Эти кон-
центрации пропорциональны 1/Я3, где Я — радиус Вселенной,
т.е. уменьшаются с одинаковой скоростью. При этом энергия
не имеющего массы фотонного газа, в соответствии с (14.6),
неограниченно стремится к нулю (в целом плотность энергии
излучения падает с расширением пропорционально 1/Я4). В то
же время полная энергия массивных частиц ограничена снизу
их суммарной массой покоя.
Примерно через 40 000 лет после Большого взрыва, когда
температура упада до Т « 104К, суммарная энергия, заклю-
ченная в веществе (с учетом массы), начинает превосходить
суммарную энергию излучения. Во Вселенной начинает доми-
нировать вещество и на смену радиационной эре приходит эра
вещества,
При охлаждении до Г « 3 • 103 К происходит объедине-
ние протонов и электронов в атомы водорода (рекомбинация).
Плазменное состояние вещества Вселенной сменяется состояни-
ем нейтральных атомов (среди них уже есть атомы дейтерия
и гелия) и излучение практически перестает взаимодейство-
вать с веществом. Вселенная становится прозрачной для излуче-
ния. Это происходит примерно через 400 000 лет после Большого
взрыва, когда плотность вещества снижается до « 10~20 г/см3.
Начиная с этого момента фотоны реликтового излучения охлаж-
даются, двигаясь свободно в расширяющейся Вселенной (ее по-
перечный размер в это время « 1025см). Увеличение длины
их волны (смещение в красную область спектра) с ростом мас-
штабов Вселенной также дается формулой (14.6). В настоящее
время, как уже отмечалось, температура реликтового излуче-
ния упала до 2.7 К. Это излучение равномерно пронизывает все
пространство и практически изотропно (анизотропия 10“5).
257
?Н + ?Н->
Разделение вещества и излучения привело к усилению влия-
ния первичных неоднородностей в распределении вещества, что,
в свою очередь, привело к образованию галактик и сверхгалак-
тик. Неоднородности меньшего масштаба привели к образова-
нию звезд. Этот этап развития Вселенной продолжается и в на-
стоящее время.
В радиационную эру произошло важное событие — в ре-
зультате синтеза образовалось первое ядро тяжелее водорода.
Условия для синтеза легчайших ядер (нуклеосинтеза) возник-
ли во Вселенной примерно через минуту после Большого взрыва.
При еще достаточно высокой плотности (« 50г/см3) температу-
ра снизилась настолько (109 К), что при столкновении протона и
нейтрона стали эффективно образовываться ядра дейтерия. Со-
ударение двух ядер дейтерия открывает путь к возникновению
гелия. Цепочка основных реакций синтеза гелия выглядит так:
р + п + у+ 2.22МэВ,
?Н+р +4.03 МэВ,
|Не +п + 3.27 МэВ, (14.7)
зНе + п + 17.59 МэВ,
IН + |Не -> jHe + р + 18.35 МэВ,
где для каждой реакции указана выделяющаяся энергия Q.
За короткое время (по-видимому, не более четверти часа)
24% нуклонов Вселенной превратилось в гелий. При этом прак-
тически все нейтроны в результате цепочки реакций (14.7) ока-
зались связанными в jHe. Последовавшее за этим снижение тем-
пературы и плотности Вселенной остановило реакции синтеза.
Изложенный механизм образования гелия позволяет коли-
чественно объяснить распространенность гелия во Вселенной и
является сильным аргументом в пользу догалактической фазы
его возникновения и всей концепции Большого взрыва. В звездах
образуется « 1/10 всего гелия.
В результате первичного, т.е. дозвездного нуклеосинтеза
образуются также ядра дейтерия (2Н), 3Не и даже 7 Li. Одна-
ко их количества ничтожны по сравнению с ядрами водорода
и 4Не. По отношению к водороду дейтерий образуется в коли-
честве 10“4-10~5, 3Не — в количестве 10“5, 7Li — в количестве
1О"10.
258.............................................Лекция Ц
Реакции синтеза 2 Не (14.7) идут с выделением значитель-
ной энергии и могут быть использованы для создания генера-
тора термоядерной энергии. При этом выход на единицу массы
ядерного вещества в таком генераторе (термоядерном реакто-
ре) может быть в 2-3 раза выше, чем в обычном ядерном ре-
акторе, использующем для получения ядериой энергии процесс
деления.
В земных условиях цепочка реакций синтеза 4 Не из изото-
па водорода дейтерия |Н выглядит наиболее привлекательной,
поскольку вероятность этих реакций, идущих за счет сильного
взаимодействия, достаточно велика и дейтерий, содержащийся
в воде морей и океанов, является практически неисчерпаемым
источником дешевого термоядерного горючего. Распространен-
ность |Н в естественной смеси изотопов водорода 0.015% и 1г
дейтерия можно извлечь из 60 л воды.
Следует отметить, что протон-протонная реакция (14.10),
генерирующая дейтерий из самого распространенного природно-
го изотопа |Н, идет за счет слабого взаимодействия и не может
быть использована на Земле в силу ее крайне низкой вероятнос-
ти.
Реакции термоядерного синтеза с участием ?Н, 3Н (тритий)
и 3Не (14.7) в крупных масштабах удалось осуществить лишь
при взрывах термоядерных устройств и водородных бомб. Уста-
новки, использующие управляемый (медленный) термоядерный
синтез, находятся в стадии разработки. Создание таких устано-
вок (термоядерных реакторов) — сложная научно-техническая
задача. В термоядерных реакторах дейтерий или дейтерий-
тритиевая плазма с плотностью ядер п > 1014см”3 должна
нагреваться до очень высокой температуры 108-109 К и удер-
живаться в заданном объеме в течение некоторого бремени г,
зависящего от конкретной схемы проекта. Для того чтобы воз-
никла термоядерная реакция, должен выполняться критерий
Лоусона — произведение пт должно быть не менее определенно-
го значения. Так, для чисто дейтериевой плазмы с температурой
Т — 5 • 108 К критерий Лоусона пт — 1018 с • см“3.
259
*3. Барионная асимметрия.
Отсутствие антивещества во Вселенной.
Инфляция
j Куда девалось огромное количество антивещества? Ведь
на начальных этапах эволюции Вселенной количество вещества
равнялось количеству антивещества. Этот вопрос очень важен,
так как именно из вещества, оставшегося после завершения ран-
него (горячего) этапа развития Вселенной, в дальнейшем обра-
зовались галактики, сверхгалактики и звезды, развились новые
формы материи, появилась жизнь.
Напомним, что мы располагаем следующими фактами о ны-
нешнем состоянии Вселенной:
1. Во Вселенной практически нет антивещества (соотноше-
ние антивещества и вещества не превышает 10 ”4). Единичные
антипротоны регистрируют в космических лучах.
2. Количество вещества во Вселенной « 105в г. Из этого ко-
личества 2 • 1054 г приходится на барионы.
3. Барионная материя по массе с точностью до 10”3 состоит
из легчайших барионов — нуклонов, причем отношение числа
нуклонов к числу реликтовых фотонов п7 следующее:
« 1О~9-1О~10. (14.8)
Т1>7 71*у
Эта барионная (нуклонная) компонента Вселенной на 85% состо-
ит из протонов и на 15% из нейтронов, находящихся в связанном
состоянии в атомных ядрах (главным образом, в гелии).
4. Из электрической нейтральности Вселенной в целом сле-
дует, что отношение концентрации электронов пе к концентра-
ции реликтовых фотонов п7 то же, что и для нуклонов, т. е.
— и 1О"9-1О"10. (14.9)
п7
Отношения (14.8) и (14.9) не должны зависеть от времени в адиа-
батически и изотропно расширяющейся Вселенной.
Современные концепции исходят из того, что Вселенная ро-
дилась с квантовыми числами вакуума, т.е. электрически ней-
тральной, и имела суммарный барионный заряд равный нулю.
Барионная асимметрия возникла, как полагают, на самых ран-
них этапах развития Вселенной в условиях высоких энергий
(температур).
260 Лекция Ц
Вернемся к концу адронной эры (10~4 с после Большого
взрыва). В тот момент интенсивно рождались и аннигилирова-
ли легчайшие барион-антибарионные пары. Их плотность была
сравнима с плотностью фотонов. При стремительном расшире-
нии и охлаждении Вселенной рождение нуклон-антинуклонных
пар уже не компенсировало их аннигиляцию и число барионов
(антибарионов) быстро уменьшалось, пока не стабилизировалось
на некотором значении, когда резко упавший за счет сильного
разряжения темп аннигиляции перестал влиять на отношения
концентраций барионов пб, антибарионов и фотонов п7. Ока-
зывается,'"что эти отношения стабилизируются на уровне
= 3 «10-“,
Пу Пу
что намного ниже наблюдаемого для барионов значения 10"9-|
1О"10 (для антибарионов это значение не превышает 10“13).
В 1967 г. А. Д. Сахаровым была выдвинута гипотеза о том,
что наблюдаемое значение обсуждаемого отношения для барио-
нов является следствием незначительного преобладания нукло-
нов над антинуклонами:
(1О9-1О10) +1
(1О9-1О10)
возникшего в результате несохранения барионного заряда и на-
рушения CP-инвариантности. Условием появления этого бари-
онного избытка, как предполагается, должен быть временный'
выход Вселенной из равновесного состояния в процессе ее рас-
ширения. По мере последующего остывания Вселенной вещество
аннигилировало с антивеществом за исключением незначитель-
ного остатка 1О”9-1О“10, который и послужил материалом для
дальнейшей эволюции.
Этот незначительный дисбаланс (1О~9-1О~10) между бари-
онами и антибарионами (и вообще между фермионами и анти-
фермионами) вычисляется в рамках современных теорий Вели-
кого объединения, дополненных моделью Большого взрыва. В
соответствии с таким подходом обсуждаемый дисбаланс возник
в весьма краткий временной интервал после Большого взрыва,
когда типичные энергии частиц и температура были еще доста-
точны для рождения переносчиков сил Великого объединения —
Х-, У-бозонов и их античастиц. Эти частицы, как уже отмеча-
лось, участвуют в кварк-лептонных переходах, не сохраняющих
ни барионный, ни лептонный заряд (Лекция 13, п. 7). Они от-
ветственны за возможную нестабильность протона. X и X (так
261
же, как У и У) в силу СР Т-теоремы имеют одинаковые пол-
ные ширины распада, но отдельные (парциальные) их распады
могут происходить с нарушением CP-инвариантности, как это
имеет место в распаде истинно нейтральных А^-мезонов (Лек-
ция 13, п. 4). Так, например, за счет того, что вероятность распа-
да > 7г~е+ре несколько выше вероятности СР-сопряженного
распада —> тг+е~,Р'е; может возникнуть избыток протонов по
сравнению с антипротонами в процессах типа
тг° + е+ —> р, 7г° + е” —> р.
Нарушение CP-симметрии гарантирует появление фермион-
антифермионной асимметрии при условии, что система вышла
из теплового равновесия. По мере расширения Вселенной сразу
после Большого взрыва ее плотность и температура стремитель-
но падали и она могла выйти из состояния теплового равнове-
сия. Расчеты показывают, что это могло происходить в конце
эпохи Великого объединения, когда Вселенная, возможно, была
подвержена чрезвычайно быстрому (экспоненциально зависяще-
му от времени) расширению. Такое экспоненциальное «раздува-
ние» Вселенной называют инфляцией. После завершения инфля-
ции Вселенная возвращается к обычному (инерционному) тем-
пу расширения. При дальнейшем остывании Х-, У-бозоны и
их античастицы быстро исчезают, распадаясь на другие час-
тицы. Тепловое равновесие восстанавливается. Но возникшая
фермион-антифермионная асимметрия уже не может исчезнуть и
сохраняется до наших дней. Предсказываемое при этом отноше-
ние числа нуклонов (и электронов) к числу фотонов оказывается
хорошо согласующимся с наблюдаемым значением 10"9- 1О~10.
В заключение раздела остановимся на инфляционной модели
ранней Вселенной. Она была предложена с целью устранить не-
достатки Стандартной космологической модели горячей Вселен-
ной, изложенной в п. 2. Перечислим некоторые из них. Согласно
теориям Великого объединения на самых ранних стадиях горя-
чей Вселенной должно было рождаться большое число сверхтя-
желых магнитных монополей. Плотность вещества, обусловлен-
ная их появлением, к настоящему моменту должна была бы на
15 порядков превосходить наблюдаемую плотность вещества во
Вселенной (10“29 г/см3). Теория горячей Вселенной, не объясня-
ет также, почему наша Вселенная плоская (описывается евкли-
довой геометрией) и с огромной точностью однородна и изотроп-
на (в масштабах больше 100 Мпк). Теория горячей Вселенной не
дает ответа и на вопрос, что было до Большого взрыва.
262 Лекция Ц
Большую часть проблем модели горячей Вселенной уда-
ется решить в рамках теории Раздувающейся Вселенной. В
простейшем варианте этой теории инфляционный «сценарий» >
схематически выглядит следующим образом, Вселенная изна-Ч
чально находится в состоянии физического вакуума с огромной
(планковской) плотностью 1094г/см3. В этом состоянии, назы-
ваемом вакуумоподобным состоянием или ложным вакуумом,
находится пространство, заполненное однородным и медленно
меняющимся скалярным полем (т.е. полем, квантами которо-
го являются частицы с нулевым спином, типа бозонов Хиггса).
Уравнение состояния такого вакуума, связывающее плотность
и давление, имеет вид р = -р/с2, т.е. Вселенная в начальный
момент имеет огромное (планковского масштаба) отрицательное
давление. Это отрицательное давление, эквивалентное мощному
гравитационному отталкиванию, является причиной взрывного
(экспоненциально зависящего от времени), расширения Вселен-
ной, «запуская» механизм Большого взрыва. Расширение проис-
ходит столь стремительно, что за время раздувания (инфляции)
« 10"35 с размер Вселенной увеличивается в 1О10 —1О10 раз.
При этом планковская область (10“33см) вырастает до разме-
ров, неизмеримо превосходящих размер нынешней видимой час-
ти Вселенной (1028см). После столь сильного расширения гео-
метрия пространства становится неотличимой от евклидовой
геометрии плоского мира, а практически все магнитные моно-
поли и другие первичные неоднородности оказываются далеко
за пределами современного горизонта видимости.
Стадия раздувания завершается распадом неустойчивого
вакуумоподобного состояния. При этом огромная энергия, запа-
сенная в ложном вакууме, освобождается и идет на рождение
пар элементарных частиц, т. е. на разогрев Вселенной. Опусто-
шенная и охлажденная инфляцией Вселенная разогревается до
температур порядка температуры Великого объединения и за-
полняется высокоэнергичными частицами, античастицами и из-
лучением — продуктами распада вакуумоподобного состояния.
В этом море новых частиц практически не осталось старых (до-
инфляционных). Вновь рожденные «горячие» частицы взаимо-
действуют друг с другом, устанавливается термодинамическое
равновесие и дальнейшая эволюция происходит согласно моде-
ли горячей Вселенной (п. 2). Использование в рассматриваемом
сценарии скалярного (хиггсовского) поля обеспечивает реализа-
цию в остывающей Вселенной механизма возникновения у час-
263
тиц масс при прохождении стадий со спонтанным нарушением
симметрии. Несмотря на то, что этап раздувания представляет-
ся в настоящее время необходимым элементом эволюции ранней
Вселенной, само существование такого этапа нуждается в опыт-
ном подтверждении.
4. Звездная эра. Ядерные реакции в звездах
Начало звездной эры относится примерно к 1 млрд лет с мо-
мента Большого взрыва, когда формируются первые галактики.
Первые звезды образуются через 2 млрд лет. Солнечная система
возникла сравнительно поздно — примерно через 10 млрд лет.
Согласно современным представлениям образование звезд
происходит внутри облака газа и пыли. Обычно исходят из
представления о том, что однородно распределенное вещество
в пространстве неустойчиво и может собираться в сгустки под
действием сил тяготения. Небольшие, случайно образовавшиеся
сгустки плотности, растут из-за гравитационной неустойчивос-
ти. Чтобы образовалась звезда, необходимо сжатие некоторой
области газопылевого облака до такой стадии, когда она станет
достаточно плотной и горячей. В процессе такой концентрации
вещества происходит увеличение температуры и давления. Воз-
никают условия для появления звезды.
Звезды конденсируются под действием гравитационных сил
из гигантских газовых молекулярных облаков (т. е. состоящих в
основном из вещества в молекулярной форме). Масса вещества,
сосредоточенного в молекулярных облаках, составляет значи-
тельную часть всей массы галактик. Эти газовые облака пер-
вичного вещества состоят преимущественно из водорода. Не-
большую примесь (» 9%) составляет гелий, образовавшийся,
в основном, в результате первичного нуклеосинтеза в дозвезд-
ную Эпоху. Звезды образуются из отдельных неоднородностей
в гигантском молекулярном облаке, называемых компактными
зонами (их типичный размер порядка нескольких световых ме-
сяцев, плотность 3 * 104 молекул водорода в 1 см3 и температура
« 10 К). Сжатие компактной зоны начинается с коллапса внут-
ренней части, т. е. со свободного падения вещества в центре зо-
ны. «Падая» на центр притяжения, молекулы приобретают энер-
гию и в результате взаимодействия (столкновения) в конечном
счете происходит разрушение молекул на отдельные атомы и пе-
реход вещества в ионизованное состояние. Сгусток, образующий-
ся в центре коллапсирующего облака, называют прогнозе ездой.
264--------------------------------------------Лекция Ц
Время образования протозвезды от начала коллапса 105-106 лет.
Падающий на поверхность протозвезды газ (это явление называ-
ется аккрецией) образует ударный фронт, что приводит к разо-
греву газа до « 106 К. Излучение протозвезды — это излучение
свободно двигающихся электронов в ионизованной среде. Про-
тозвезда светит за счет освобождения гравитационной энергии
при сжатии.
Когда масса вещества звезды в результате аккреции дости-
гает 0.1 массы Солнца (0.1М@), температура в центре звезды
возрастает до 1 млн Кив жизни протозвезды начинается новый
этап — реакции термоядерного синтеза. Однако эти термоядер-
ные реакции существенно отличаются от реакций, протекающих
в звездах, находящихся в стационарном состоянии, типа Солнца.
Дело в том, что протекающая на Солнце реакция синтеза
р + р ->2 Н + е+ + + Q,
(14.10)
где Q = 0.42 МэВ — выделяющаяся энергия, требует более вы-
сокой температуры (« 10 млн К). Температура же в центре про-
тозвезды составляет всего 1 млн К. При такой температуре эф-
фективно протекает реакция слияния дейтерия
2Н + 2Н -> 3Не + п + 3.27МэВ.
(14.11)
Дейтерий, как и 4Не, образуется на дозвездной стадии эво-
люции Вселенной, и его содержание в протозвезде составляет
Ю"4-10~5 от содержания протонов. Однако даже этого неболь-
шого количества достаточно для появления в центре протозвез-
ды эффективного источника энергии.
Дальнейшее сжатие звездного вещества за счет гравитаци-
онных сил приводит к повышению температуры и плотности
в центре звезды, что создает условия для начала ядерной ре-
акции горения водорода (14.10). Эта реакция начинается при
Т « 107К, когда средняя кинетическая энергия протонов до-
стигает ~ 1кэВ, что позволяет двум протонам, находящим-
ся на высокоэнергичном участке распределения Максвелла, за
счет эффекта квантовомеханического туннелирования, преодо-
леть кулоновское отталкивание и сблизиться до расстояний
1-2 Фм, при которых вступают в действие ядерные силы при-
тяжения.
265
Ядерная реакция (14.10) начинается в звезде типа Солнца
в ограниченной центральной части при плотностях « 100г/см3.
Эта реакция сразу же останавливает дальнейшее сжатие звезды.
Тепло, выделяющееся в процессе термоядерной реакции горения
водорода, создает давление, которое противодействует гравита-
ционному сжатию и не позволяет звезде коллапсировать. Проис-
ходит качественное изменение механизма выделения энергии в
звезде. Если до начала ядерной реакции горения водорода нагре-
вание звезды происходило, главным образом, за счет гравита-
ционного сжатия, то теперь появляется другой доминирующий
механизм — энергия выделяется за счет ядерных реакций син-
теза. Звезда приобретает стабильные размеры и светимость, ко-
торые для звезды с массой, близкой к солнечной, не меняются
в течение миллиардов лет, пока происходит «сгорание» водо-
рода. Это самая длительная стадия звездной эволюции. В ре-
зультате сгорания водорода из каждых четырех ядер водорода
образуется одно ядро гелия. Наиболее вероятная цепочка ядер-
ных реакций на Солнце, приводящих к этому, носит название
протон-протонного цикла и выглядит следующим образом:
р + р -> 2Н + е+ + ие + 0.42 МэВ,
р + р 2Н 4- + Уе 4- 0.42 МэВ,
р + 2Н 3Не 4- 7 + 5.49 МэВ, (14.11а)
р + 2Н —> 3Не + у + 5.49 МэВ,
3Не + 3Не 4Не + р + р + 12.86 МэВ
или в более компактном виде (суммируя все реакции)
6р -> 4Не + 2р + 2е+ + 2уе + 2у + 24.68 МэВ. (14.116)
Испускаемые Солнцем нейтрино надежно регистрируются зем-
ными детекторами, что подтверждает протекание на Солнце ре-
акции (14.10).
Как видно из (14.116), полная энергия, выделяющаяся
в результате синтеза 4Не из четырех протонов, составляет
24.68 МэВ. Образующиеся при синтезе два позитрона анниги-
лируют с двумя электронами, увеличивая энерговыделение до
24.68 МэВ + 4тес2 = (24.68 + 4 • 0.51) МэВ = 26.72 МэВ.
Основная часть этой энергии выделяется в виде 7-излучения
и кинетической энергии протонов. Лишь около 0.6 МэВ уносят
нейтрино.
266
Лекция Ц
Цепочка (14.11а) начинается с реакции (14.10), идущей за
счет слабого взаимодействия. Эта реакция никогда не наблюда-
лась в земных условиях. Малая величина сечения этой реакции
объясняет, почему стадия горения водорода — самая продолжи-
тельная стадия звездной эволюции. Большинство звезд находит-
ся именно на этой стадии.
В звездах более массивных, чем Солнце, имеющих более вы-
сокую внутреннюю температуру (> 2 • 107 К) водород «сгорает»,
главным образом, в другой последовательности реакций, называ-
емой углеродным, циклом, Особенность его в том, что начинаясь
с ядра углерода, он сводится к последовательному добавлению
четырех протонов и образованию из них в конце цикла ядра 4 Не:
Х|О + р -4 l?N + 7 + 1.94 МэВ,
X*N -> Х|С + е+ + ve +1.20 МэВ,
+ р -+ + 7 + 7.55 МэВ,
X*N + р -> х| О + 7 + 7.30 МэВ,
“О X*N + е+ + ve +1.73 МэВ,
X|N + р -4 1ХС + fНе 4- 4.97МэВ.
Цикл начинается с ядерной реакции между ядрами водорода и
имеющимися в звезде ядрами углерода. Образующийся радиоак-
тивный изотоп 13 N в результате /?+-распада (<г/2 = 10 мин) пре-
вращается в изотоп 13С. Затем в результате последовательного
захвата двух протонов происходит образование ядер l4N и 15 О.
Радиоактивное ядро 15 О в результате /3+-распада (ti/г = 122 с)
превращается в изотоп 15 N. Завершается углеродный цикл ре-
акцией захвата ядром 15N протона с образованием ядер 12 С и
4Не. Таким образом, в углеродном цикле ядра углерода играют
роль катализаторов. Количество этих ядер в результате цепочки
реакций не меняется.
Стабильная звезда на стадии горения водорода находится на
главной последовательности диаграммы Герцшпрунга-Рассела
(рис. 14.1), представляющей собой зависимость светимости звез-
ды от температуры ее поверхности. Время пребывания звезды
на главной последовательности на 2-3 порядка больше време-
ни всей последующей ее эволюции. Поэтому количество звезд
на главной последовательности существенно превышает число
звезд на других участках диаграммы Герцшпрунга-Рассела.
267
светимость по отношению к Солнцу
50 20 10 5
Рис. 14.1. Диаграмма эволюции звезды
В массивных звездах (М > ЮМф) горение водорода проис-
ходит при относительно низкой плотности (1-10 г/см3) и более
высокой температуре ((4-8)-107 К) по сравнению со звездами,
имеющими массы близкие к солнечным.
По мере того, как в центральной части звезды сгорает водо-
род, его запасы там истощаются и накапливается гелий. В цент-
ре звезды формируется гелиевое ядро. Когда водород в центре
звезды выгорел, энергия за счет термоядерной реакции горения
водорода там не выделяется, тепловое давление, препятствую-
щее гравитационному сжатию, ослабевает и гелиевое ядро на-
чинает сжиматься. Сжимаясь, ядро звезды нагревается и темпе-
ратура в центре звезды продолжает расти. Кинетическая энер-
гия сталкивающихся ядер гелия увеличивается и достигает в
массивной звезде величины, достаточной для преодоления сил
кулоновского отталкивания ядер гелия. Начинается следующий
этап термоядерных реакций — горение гелия (при этом в цент-
270 - - ________________________________Лекция Ц
звездной эволюции массивных звезд главную роль начинают иг-
рать многочисленные реакции с участием протонов, нейтронов,
а-частиц и 7-квантов. Быстрый захват ядрами кремния и обра-
зующимися более тяжелыми ядрами нуклонов и а-частиц приво-
дит к образованию большинства элементов в районе «железного
максимумам в кривой распространенности элементов (рис. 7.1 и
П.1) на основе исходных, ядер 28Si и формированию железной
сердцевины звезды.
По мере горения элементов со все большим Z температура
и давление в центре звезды увеличиваются со все возрастающей
скорость^, что в свою очередь увеличивает скорость ядерных
реакций (рис. 14.2). Если для массивной звезды (25М$) реак-
ция горения водорода продолжается несколько миллионов лет,
то горение гелия происходит в 10 раз быстрее. Процесс горения
кислорода длится около бмес., а горение кремния происходит за
сутки.
Какие элементы могут образовываться в звездах в последо-
вательной цепочке термоядерных реакций синтеза? Ответ очеви-
ден. Ядерные реакции синтеза более тяжелых элементов могут
продолжаться до тех пор, пока возможно выделение энергии. На
завершающем этапе термоядерных реакций в процессе горения
кремния образуются ядра в районе железа. Это конечный этап
звездного термоядерного синтеза, так как ядра в районе железа
имеют максимальную удельную энергию связи (рис. 14.3).
Рис. 14.3. Зависимость удельной энергии
связи W/A от массового числа А
На стадии горения кре-
мния звезда достигает мак-
симального размера. Если
у звезды нет недостатка в
ядерном горючем, то чем
более тяжелые ядра сгора-
ют в ядерных реакциях, тем
большее количество энер-
гии будет выделяться в еди-
ницу времени и тем больше
будет ее светимость. Же-
лезная звезда должна све-
тить в 100 раз ярче водо-
родной.
271
В процессе горения звезды в ее центре последовательно исто-
щаются запасы водорода, гелия, кислорода, неона, кремния. Тер-
моядерные реакции постепенно захватывают периферию звезды,
приводя к расширению ее оболочки. Если на начальной стадии
звезды она имела однородный состав, то теперь она имеет сло-
истую структуру (рис. 14.4). В центре массивной звезды содер-
жатся элементы группы железа, никеля, а на периферии — более
легкие элементы. Внешняя оболочка состоит из водорода.
Рис. 14.4. Основные этапы эволюции массивной звезды (М > 25М©)
Термоядерные реакции, происходящие в звездах, существен-
но Зависят от массы звезды. Происходит это, очевидно, пото-
му, что масса звезды определяет величину гравитационных сил
сжатия, что в конечном счете определяет максимальные темпе-
ратуры и плотности, достижимые в центре звезды. В табл. 14.4
приведены результаты теоретического расчета возможных ре-
акций ядерного синтеза для звезд различной массы. Из таблицы
видно, что полная последовательность ядерных реакций синтеза
возможна лишь в массивных звездах. В звездах с М < 0.08М@
гравитационной энергии недостаточно для нагрева звездного ве-
щества до температур, необходимых для протекания реакции
горения водорода.
272 Лекция Ц
Таблица 14.4
Теоретический расчет возможных ядерных реакции
в звездах различной массы
Масса, Мф Возможные ядерные реакции
0.08 0.3 0.7 9.0 25.0 нет горение водорода горение водорода и гелия горение водорода, гелия и углерода все реакции синтеза с выделением энергии
В заключение раздела приведем табл. 14.5 пределов измене-
ния характеристик звезд:
Таблица 14.5
Пределы изменения характеристик звезд
Характеристика Пределы изменения относительно Солнца Характеристики Солнца
Масса (О.О8-1ОО)М0 2 1033г
Светимость (ю-4-юв)ь@ 4 • 1033эрг/с
Радиус (10-2-108)Я@ 7-101Осм
Температура
поверхности (0.3-20)Т@ 6 • 103 К
273
Лекция 15
*1. Заключительные стадии жизни звезд. Сверхновые
*2. Конечные этапы эволюции Вселенной
3. Космические лучи
*1. Заключительные стадии жизни звезд.
Сверхновые
На стадиях нарушения динамического равновесия, когда в
центре массивной звезды последовательно выгорают водород, ге-
лий, углерод и т.д. и каждый раз начинается гравитационное
сжатие ядра звезды, приводящее к его резкому разогреву, проис-
ходят периодические извержения звездного вещества в окружа-
ющее пространство. При этом звезда теряет внешнюю оболоч-
ку и остается после завершения всех возможных термоядерных
реакций в виде центрального ядра. Дальнейшая судьба звезды
определяется массой этого ядра.
Если она < М® (это имеет место при начальной массе звез-
ды < 8М@), остаток звезды (ядро) за счет гравитационного
сжатия уменьшается в размерах и превращается в белый кар-
лик. Изолированная звезда может пребывать в состоянии бело-
го (а затем и черного) карлика неограниченно долго, постепенно
остывая. Плотность белого карлика 106-107г/см3, температу-
ра поверхности около 104 К. При этих условиях атомы должны
быть полностью ионизованы и внутри звезды ядра должны быть
погружены в море электронов, образующих вырожденный элек-
тронный газ. Давление этого газа препятствует дальнейшему
гравитационному коллапсу звезды. Это давление имеет кванто-
вую природу и возникает как следствие принципа Паули, ко-
торому подчиняются электроны. Принцип Паули устанавливает
предельный минимальный объем пространства, который может
занимать каждый электрон (этот объем 10"3°-10~31 см3, соот-
ветственно среднее расстояние между электронами « 10“1Осм).
Гравитационное давление белого карлика не в состоянии этот
объем уменьшить. В белом карлике все электроны достигли ми-
нимального объема и гравитационные силы уравновешены внут-
ренним давлением электронного газа.
19 Зак. 320
274 - ___________________________________Лекция 15
Расчеты показывают, что максимальная масса белого кар-
лика 1.4Ме. Таким образом, давление вырождения электронов
не может удержать массы большие, чем 1.4$ (предел Чандрасе-
кара), Если О.БМф < М < 1.4Мф, ядро белого карлика состоит
из углерода и кислорода. Если М < 0.5@Af, ядро белого карли-
ка гелиевое. Светимость белых карликов составляет 10"2-10"4
светимости Солнца. Их излучение обеспечивается запасенной в
них тепловой энергией.
Если начальная масса звезды М > 1(Шф, конечной стадией
ее эволюции является взрыв сверхновой. Массивная звезда про-
ходит все этапы термоядерной эволюции, завершая «жизненный
путь» гравитационным коллапсом. Более подробно рассмотрим
развитие такой звезды с момента, когда в ее центре становится
возможным горение кремния с образованием ядер железа. Что-
бы достичь этой стадии массивной звезде необходимо несколько
миллионов лет. Все дальнейшее происходит стремительно. Ре-
акция горения кремния происходит в течение суток. В центре
звезды, внутри кремниевой оболочки начинает формироваться
железное ядро. На границе железного ядра и кремниевой оболоч-
ки и в более удаленных слоях продолжается синтез элементов и
выделение энергии за счет термоядерных процессов. Состоящая
из элементов группы железа центральная область начинает сжи-
маться. Однако ядерные источники энергии уже исчерпаны, так
как образовавшиеся в центре звезды атомные ядра имеют мак-
симальную удельную энергию связи. Ядерный разогрев сердце-
вины звезды прекращается, и она разогревается лишь за счет
выделяющейся при сжатии гравитационной энергии.
При температуре Б * 10е К существенную роль начинают
играть реакции расщепления ядер железа на нейтроны, прото-
ны и ядра гелия, а также реакции слабого взаимодействия ядер
(A, Z) + е’ -> (A, Z - 1) + ve с выбросом нейтрино. Эти реакции
протекают с поглощением энергии и способствуют охлаждению
центральной части звезды. Давление в центре звезды (в част-
ности давление вырожденного электронного газа) уже не в со-
стоянии противостоять силам гравитации. Звезда теряет устой-
чивость и начинается ее коллапс — убыстряющееся (свободное)
падение наружных оболочек на центр звезды.
В момент начала коллапса температура в центре звезды
109-101ОК, плотность 108-109 г/см3. Рост кинетической энер-
гии падающего к центру звезды вещества приводит к быстро-
му увеличению скорости горения наружных слоев звезды. При
275
Г = Ю9"1О10 К кислород во внешней зоне выгорает за несколько
минут (освобождающаяся при этом энергия сравнима с энерги-
ей, выделяемой Солнцем в течение миллиарда лет).
Особенно бурно протекает заключительный этап сжатия
массивной звезды. За время не более нескольких секунд плот-
ность центральной части звезды достигает плотности ядерного
вещества (1014-1015 г/см3). Температура ядра звезды поднима-
ется до 10“-1012 К. В этих условиях интенсивно идет реакция
превращения протонов в нейтроны с образованием нейтрино
р + е' n + v€, (15.1)
Нейтрино покидают звезду, унося подавляющую часть высво-
бождающейся при взрыве сверхновой энергии (1051-1054 эрг) и
оставляют в центре звезды сжатое до ядерной плотности нейт-
ронное ядро.
С образованием нейтронного ядра сжатие центральной час-
ти звезды резко прекращается и возникает отраженная удар-
ная волна. Эта волна нагревает внешнюю оболочку до 109 К, и
оболочка выбрасывается в окружающее пространство под дей-
ствием давления излучения и потока нейтрино. Невидимая до
этого глазом звезда мгновенно вспыхивает. В максимуме свети-
мости сверхновая излучает в единицу времени столько же энер-
гии, сколько излучает целая галактика из обычных звезд.
Важным подтверждением вышеизложенного механизма
взрыва сверхновой явилось наблюдение в 1987 г. сверхновой
SN 1987 А в одной из ближайших галактик - Большом Ма-
геллановом облаке, — отстоящей от нашей галактики на
170 000 световых лет. Оболочка сверхновой была выброшена
взрывом со скоростью несколько десятков тысяч километров
в секунду. На ее месте раньше наблюдался голубой гигант с
массой 16Mq. Нейтринные детекторы Земли зарегистрировали
около 30 нейтрино от этого взрыва.
В момент взрыва сверхновой температура во внешних слоях
звезды резко повышается и там происходит взрывной нуклеосин-
тез. В частности, образующиеся интенсивные потоки нейтронов
приводят к их быстрому последовательному захвату ядрами и к
появлению элементов в области массовых чисел А > 60, в том
числе и самых тяжелых.
19’
276 Лекция 15
Взрыв сверхновой довольно редкое событие. В нашей Га-
лактике (содержащей « 10й звезд) за столетие происходит в
среднем от 3 до 4 вспышек сверхновых. Всего же Наблюдалось
более 900 сверхновых, в основном в далеких галактиках.
После взрыва сверхновой уплотнившееся ядро звезды может
образовать нейтронную звезду или черную дыру, в зависимости
от массы вещества, оставшегося в центральной части взорвав-
шейся сверхновой. В нейтронную звезду превращаются звезды с
начальной массой 10М@ < М < 40в черную дыру — самые
массивнее звезды с начальной массой М > 40М$.
Нейтронная звезда образуется как остаток сверхновой в
результате процесса (15.1) после выброса нейтрино. Она име-
ет ядерную плотность (1014-1015 г/см3) и типичный радиус 10-
20 км. Дальнейшему гравитационному сжатию нейтронной звез-
ды препятствует давление ядерной материи, возникающее за
счет взаимодействия нейтронов. Это также давление вырожде-
ния, как ранее в случае белого карлика, но давление вырожде-
ния существенно более плотного нейтронного газа. Это давление
в состоянии удерживать от гравитационного коллапса массы
вплоть до ЗМф. Таким образом, масса нейтронной звезды ме-
няется в пределах (1.4-3)Мф.
Нейтрино, образующиеся в момент коллапса сверхновой,
быстро охлаждают нейтронную звезду. Ее температура по оцен-
кам падает с 10й до 109К за время около 100 с. Дальше темп
остывания уменьшается. Однако он высок по космическим мас-
штабам. Уменьшение температуры с 109 до 108 К происходит за
Рис. 15.1. Сечение нейтронной звезды массой 1.5М© и радиусом R=16 км.
Указана плотность р в г/см3 в различных частях звезды
277
Структура нейтронной звезды массой 1.5Мф и радиусом
16 км показана на рис. 15.1: область I — тонкий внешний слой
из плотно упакованных атомов. Область II представляет собой
кристаллическую решетку атомных ядер и вырожденных элек-
тронов. Область III — твердый слой из атомных ядер, перена-
сыщенных нейтронами. IV — жидкое ядро, состоящее в основ-
ном из вырожденных нейтронов. Область V образует адронную
сердцевину нейтронной звезды. Она, помимо нуклонов, должна
содержать пионы и гипероны. В этой части нейтронной звезды
возможен переход нейтронной жидкости в твердое кристалли-
ческое состояние, появление пионного конденсата, образование
кварк-глюонной и гиперонной плазмы. Отдельные детали стро-
ения нейтронной звезды в настоящее время уточняются.
Обнаружить нейтронные звезды оптическими методами
сложно из-за малого размера и низкой светимости. В 1967 г. в
Кембриджском университете Хьюиш и Белл открыли косми-
ческие источники периодического радиоизлучения — пульсары.
Периоды повторения радиоимпульсов пульсаров строго посто-
янны и для большинства пульсаров лежат в интервале от 10”2
до нескольких секунд. Пульсары — это вращающиеся нейтрон-
ные звезды. Только компактные объекты, имеющие свойства
нейтронных звезд, могут сохранять свою форму, не разруша-
ясь при таких скоростях вращения. Сохранение углового момен-
та и магнитного поля при коллапсе сверхновой и образовании
нейтронной звезды приводит к рождению быстро вращающих-
ся пульсаров с очень сильным магнитным полем 1010—Ю14 Гс.
Магнитное поле вращается вместе с нейтронной звездой, однако
ось этого поля не совпадает с осью вращения звезды. При та-
ком вращении излучение звезды (радиоволны и видимый свет)
скользит по Земле как луч маяка. Каждый раз, когда луч пересе-
кает Землю и попадает на земного наблюдателя, радиотелескоп
фиксирует короткий импульс радиоизлучения. Частота его по-
вторения соответствует периоду вращения нейтронной звезды.
Само излучение нейтронной звезды возникает за счет того, что
заряженные частицы с поверхности звезды двигаются вовне по
силовым линиям магнитного поля, испуская электромагнитные
волны. Таков механизм радиоизлучения пульсара, впервые пред-
ложенный Голдом (рис. 15.2).
Образование нейтронных звезд не всегда является следст-
вием вспышки сверхновой. Возможен и другой механизм: в ходе
эволюции белых карликов в тесных двойных звездных системах.
278______________________________________ —- Лекция 15
Перетекание вещества звезды-компаньона на белый карлик по-
степенно увеличивает массу белого карлика и по достижении
критической массы белый карлик превращается в нейтронную
звезду. В случае, когда перетекание вещества продолжается и
после образования нейтронной звезды, ее масса может сущест-
венно увеличиться и в результате гравитационного коллапса она
может превратиться в черную дыру. Это соответствует, так на-
зываемому «тихому коллапсу».
Рис. 15.2. Модель пульсара
Если при взрыве сверхновой сохраняется остаток массой
М > ЗМф, то он не может существовать в виде устойчивой
нейтронной звезды. Ядерные силы отталкивания на малых (<
0.5 Фм) расстояниях не в состоянии противостоять дальнейшему
гравитационному сжатию звезды. Возникает необычный объект
— черная дыра (термин введен Уилером в 1967 г.; существова-
ние черных дыр предсказано в рамках общей теории относитель-
ности Оппенгеймером и Снайдером в 1939г.). Основное свойство
черной дыры состоит в том, что никакие сигналы, возникающие
внутри нее, не могут выйти за ее пределы и достичь внешне-
го наблюдателя. Звезда массой М, коллапсируя в черную дыру,
достигает сферы радиуса гщ (сферы Шварцшильда):
2GM о М
= —г- 3— км
с2
(15.2)
279
(формально к этому соотношению можно прийти, полагая в
известной формуле для второй космической скорости Vk2 =
= y/2GM/R предельное значение этой скорости, равное скорос-
ти света).
При достижении объектом размера сферы Шварцшильда
его гравитационное поле становится столь сильным, что поки-
нуть этот объект не может даже электромагнитное излучение.
Шваршпильдовский радиус Солнца равен Зкм, Земли — 1см
(ни Солнце, ни Земля, конечно, не могут стать черной дырой).
Черная дыра Шварцшильда относится к невращающимся
объектам и является остатком массивной невращающейся звез-
ды. Вращающаяся массивная звезда коллапсирует во вращаю-
щуюся черную дыру (черную дыру Керра).
С точки зрения удаленного наблюдателя коллапс в черную
дыру (достижение объектом шварцшильдовского радиуса) про-
должается бесконечно долго. Для наблюдателя внутри объекта
коллапс происходит быстро (^ 10~4 с для М ЮМф). Средняя
платность сферы Шварцшильда равна средней плотности нук-
лона (10г5г/см3). Фундаментальной проблемой физики черных
дыр является проблема сингулярности внутри нее. В конце кол-
лапса все вещество сжимается в точку (г = 0) и плотность ста-
новится бесконечной. При этом понятие пространства-времени
теряет смысл. Неизбежность сингулярности следует из теорем,
доказанных в конце 60-х гг.
Черную дыру можно обнаружить лишь по косвенным при-
знакам, связанным с влиянием ее сильного гравитационного по-
ля на движение окружающего вещества и распространение излу-
чения, в частности, если она входит в состав двойной звездной
системы с видимой звездой. В этом случае черная дыра будет
затягивать газ звезды. Этот газ будет нагреваться, становясь
источником интенсивного рентгеновского излучения, которое мо-
жет быть зарегистрировано.
В настоящее время известно несколько десятков объектов,
которые считают черными дырами. Так имеется объект Ле-
бедь XI, представляющий собой двойную систему с периодом
вращения 5.6 сут. В состав системы входят голубой гигант с
массой 22Мф и невидимый источник пульсирующего рентге-
новского излучения с массой 8Мф, который, как полагают, и
является черной дырой (объект такой большой массы не может
быть нейтронной звездой).
280__________________________________,_-_____Лекция 15
Наряду с черными дырами, образовавшимися при коллапсе
звезд, во Вселенной могут быть черные дыры, возникшие задол-
го до появления первых звезд вследствие неоднородности Боль-
шого взрыва. Появившиеся при этом сгустки вещества могли
сжиматься до состояния черных дыр, тогда как остальная часть
вещества расширялась. Черные дыры, образовавшиеся на самом
раннем этапе Вселенной, называют реликтовыми, Предполага-
ют, что размер некоторых из них может быть значительно мень-
ше размера протона.
Другой тип черных дыр — сверхмассивные черные ды-
ры (106-109Mq), которые могут возникать в центре галактик
и звездных скоплений. В 1963 г. были открыты квазары —
компактные внегалактические источники радио-, оптического и
рентгеновского излучения огромной мощности. Их светимость
1045-1048 эрг/с. Столь мощное излучение может быть обеспече-
но сверхмассивными черными дырами.
В 1974 г. Хокинг показал, что черные дыры должны испус-
кать частицы. Источником этих частиц является процесс об-
разования виртуальных пар частица-античастица в вакууме. В
обычных полях эти пары аннигилируют столь быстро, что их
не удается наблюдать. Однако в очень сильных полях виртуаль-
ные частица и античастица могут разделиться и стать реаль-
ными. На границе черной дыры действуют мощные приливные
силы. Под действием этих сил некоторые из частиц (античас-
тиц), входивших в состав виртуальных пар, могут вылететь за
пределы черной дыры. Так как многие из них затем аннигили-
руют, черная дыра должна становиться источником излучения.
Черная дыра излучает как черное тело с температурой Th тем
большей, чем меньше ее масса Mh'
Th«10-7(M@/Mh)K.
Энергия, излучаемая в пространство черной дырой, поступает
из ее недр. Поэтому в процессе такого испускания частиц, масса
и размеры черной дыры должны уменьшаться, а температура —
расти. Таков механизм «испарения» черной дыры. Оценки пока-
зывают, что темп «испарения» очень медленный. Черная дыра с
массой lOAf0 испарится за 10е9 лет. Время испарения сверхмас-
сивных (миллиарды масс Солнца) черных дыр, которые могут
быть в центре больших галактик, может составлять 1096лет.
Конечный этап испарения должен протекать как мощная вспыш-
ка 7-излучения (длительностью 0.1 с для Mh ~ Ю9 г).
281
*2. Конечные этапы эволюции Вселенной
Соотношение между плотностью вещества р и критической
плотностью рк определяет судьбу Вселенной. Если р < рк, то
Вселенная будет расширяться все время, ее объем будет возрас-
тать неограниченно. Такую Вселенную называют открытой.
Если р > />к, то гравитационное притяжение будет замедлять
расширение и оно в конце концов прекратится, сменившись по-
стеценно ускоряющимся сжатием. Размеры Вселенной в этом
случае будут конечными. Такую Вселенную называют закры-
той (рис. 15.3).
Мы знаем, что средняя плотность Вселенной определе-
на с 10% точностью и совпадает с критической плотностью
Ю~ 2 9 г/см3. Таким образом, наша Вселенная (в рамках остаю-
щейся неопределенности наблюдений) может считаться откры-
той. Для дальнейшего уточнения необходимы новые данные о
темной материи, на долю которой приходится 95% плотнос-
ти Вселенной. Напомним, что такой ненаблюдаемой небарион-
ной материей могут быть, например, гипотетические нейтри-
но или неизвестные слабо взаимодействующие массивные час-
тицы, предсказываемые суперсимметричными версиями Стан-
дартной модели. Однако большую часть темной материи со-
ставляет вакуум — необычная субстанция, заполняющая про-
странство. Природа этого нового «эфира» еще во многом не ясна
и рассмотрение теоретических разработок, посвященных этому,
выходит за рамки дайной книги. Отметим лишь, что физичес-
кий вакуум принципиально отличается от эфира науки прош-
18 Зак. 320
282-----------------------------------------. Лекция 15
лых столетий, которому приписывалась роль переносчика света
и электромагнитных взаимодействий. Вакуум, обладая некото-
рыми свойствами обычной материальной среды, тем не менее не
создает связанной с ним выделенной системы отсчета, не меша-
ет движению тел и распространению полей через заполненное
им пространство, т. е. не производит эфирного венгра.
Реальная плотность вещества Вселенной р определяет гео-
метрию пространства — ее кривизну С (или радиус кривизны
L = у/1/С). Общая теория относительности дает для радиуса
кривизны следующую формулу:
г - £ /
яУр-л’
где с — скорость света, Н — постоянная Хаббла. Если р ~
то L = оо, а С = 0. Пространство в этом случае плоское, а гео-
метрия такого пространства евклидова. Если р > рх, кривизна
пространства положительна и радиус кривизны L конечен. При
р < рх, радиус кривизны L тоже конечен (и мнимый), а кривизна
С отрицательна.
Наглядно представить «кривое» (неевклидово) трехмерное
пространство невозможно, поэтому приходится для иллюстра-
ции обращаться к двумерным объектам -г- поверхностям. Ев-
клидова геометрия в двумерном варианте отвечает плоскости.
Кратчайшими (т. е. геодезическими) линиями на плоскости яв-
ляются прямые, а сумма углов треугольника, образуемого гео-
дезическими линиями на плоскости, строго равна я* (180°).
Пусть теперь двумерной поверхностью будет сфера
(рис. 15.4, а). Геодезическими (кратчайшими) линиями на сфере
являются дуги больших кругов (меридианов). Очевидно, сум-
ма углов треугольника, образованного на сфере тремя таки-
ми дугами, будет больше тг (следствие выпуклости сферы). На
седлообразной (вогнутой) поверхности (рис. 15.4, б) сумма углов
треугольника будет меньше ж. Чисто геометрически кривизну в
данной точке поверхности определяют следующим образом:
(1б-4)
•>Д
где 0д— сумма углов треугольника, 5д— его площадь (5д-> 0).
283
При этом радиус кривизны L = y/lJC = у/S&/(()& - **)• Сфери-
ческая (выпуклая) поверхность имеет положительную кривизну,
седлообразная (вогнутая) — отрицательную, а плоская — нуле-
вую.
Данные наблюдений свидетельствуют, что наша Вселенная
плоская (евклидова). Однако, е.сли наш мир и неевклидов, то в
среднем чрезвычайно мало от него отличается. Пусть, напри-
мер, его плотность р = 2рк, тогда из (15.3) имеем L « 3 • 109 пс «
1023 км. Очевидно «почувствовать» столь ничтожную искрив-
ленность Вселенной в целом невозможно (локальная искривлен-
ность вблизи, например, черной дыры может быть большой).
Если Вселенная положительно искривлена, т. е. является за-
крытой, то ее ждет остановка расширения и сжатие в точку
(рис. 15.3). Что последует за этим? Может быть новый Большой
взрыв. Таким образом, закрытая Вселенная возможно является
циклической (или пульсирующей) — рис. 15.5.
Рис. 15.5. Модель циклической Вселенной
284 Лекция 15
Даже если наша Вселенная закрытая, то (учитывая, что ни-
каких признаков быстрого замедления нет) до начала ее сжатия
по меньшей мере десятки миллиардов лет.
Рассмотрим, что произойдет со Вселенной, если она плос-
кая, т.е. открытая. Этот вариант нам должен быть наиболее
интересен, поскольку наша Вселенная плоская или очень мало
от таковой отличается. Сначала погаснут звезды. Так Солнце
через 5 млрд лет превратится в белый карлик. Еще раньше по-
гаснут более массивные звезды, превратившись в нейтронные
звезды и черные дыры. Звезды менее массивные, чем Солнце,
проживут дольше. Процесс образования новых звезд происходит
и в наше время. Однако наступит эпоха, когда новые звезды не
будут рождаться. Запасы ядерной материи, из которой может
возникнуть звезда, будут исчерпаны. Звездный этап Вселенной
завершится через 10й лет.
Через 1018-1019 лет прекратят свое существование галак-
тики. Около 90% звездной материи галактик будет рассеяно в
межгалактическом пространстве, а около 10% будет затянуто в
черные дыры. Последние также будут сливаться и, в конце кон-
цов, на месте каждой галактики останется одна сверхмассивная
черная дыра.
Рассеянная в пространстве ядерная материя исчезнет за
счет распада внутриядерных нуклонов, вызванного переносчи-
ками сил Великого объединения — бозонами X и Y (Лекция 13).
Этот процесс закончится через 1033—1035 лет. Продуктами рас-
пада нуклонов являются электроны, позитроны, фотоны и нейт-
рино. Из-за крайней разреженности вещества к этому моменту
электроны и позитроны не будут аннигилировать.
В конце концов из «тяжелых» объектов во Вселенной оста-
нутся только сверхмассивные галактические черные дыры. Они
будут объединяться, образуя еще более массивные супергалак-
тические черные дыры. И, наконец, сами эти черные дыры бу-
дут испаряться. Этот процесс крайне медленный и завершится
через 101ООлет. При этом во Вселенной останется, главным об-
разом, сильно разреженный газ электронов, позитронов, фотонов
и нейтрино — лептонная пустыня, изредка «тревожимая» холод-
ными фотонами. ------------
285
3. Космические лучи
Космические лучи (излучение) — это частицы, заполняю-
щие межзвездное пространство и постоянно бомбардирующие
Землю. Они открыты в 1912 г. австрийским физиком Гессом с
помощью ионизационной камеры на воздушном шаре. Макси-
мальные энергии космических лучей ад 1021 эВ, т. е. на много
порядков превосходят энергии, доступные современным ускори-
телям (ад 1012эВ). Поэтому изучение космических лучей играет
важную роль не только в физике космоса, но также и в физике
элементарных частиц. Ряд элементарных частиц впервые был
обнаружен именно в космических лучах (позитрон — Андерсон,
1932 г.; мюон (д) — Неддермейер и Андерсон, 1937 г.; пион (тг)
— Пауэлл, 1947 г.). Хотя в состав космических лучей входят не
только заряженные, но и нейтральные частицы (особенно много
фотонов и нейтрино), космическими лучами обычно называют
заряженные частицы.
। При обсуждении космических лучей следует уточнять, о ка-
ких именно лучах идет речь. Различают следующие типы кос-
мических лучей:
1. Галактические космические лучи — космические час-
тицы, приходящие на Землю из недр нашей Галактики.
В их состав не входят частицы, генерируемые Солнцем.
2. Солнечные космические лучи — космические частицы,
генерируемые Солнцем.
Поток галактических космических лучей, бомбардирующих
Землю, примерно изотропен и постоянен во времени и состав-
ляет ад 1частица/см2’С (до входа в земную атмосферу). Плот-
ность энергии галактических космических лучей ад 1 эВ/см3, что
сравнимо с суммарной энергией электромагнитного излучения
звезд, теплового движения межзвездного газа и галактического
магнитного поля. Таким образом, космические лучи — важный
компонент Галактики.
Состав галактических космических лучей:
1. Ядерная компонента — 87% протонов, 12% ядер гелия,
1% более тяжелых ядер (т. е. примерно соответствует рас-
пространенности ядер во Вселенной).
2. Электроны, Их число ад 2% от числа ядер.
3. Позитроны. Их число ад 10% от числа электронов.
4. Антиадроны (антипротоны) составляют 10"4 протонов.
286 ..... __________________________________Лекция 15
Энергии галактических космических лучей охватывают ог-
ромный диапазон — не менее 15 порядков (106-1021 эВ). Их по-
ток для частиц с Е > 10е эВ быстро уменьшается с ростом энер-
гии. Спектр ядерной компоненты в области IO10- 1О10 эВ подчи-
няется выражению
п(Е) = noS-7,
(15.5)
где по — константа, у 2.7 при Е < 1015 эВ и « 3 при Е >
> 1015 Энергетический спектр ядерной компоненты показан
на риЬ 15.6.
Рис. 15.6. Энергетический спектр ядер-
ной компоненты космических лучей
движения частиц «
105эВ. В то же
Поток частиц сверхвы-
соких энергий крайне мал.
Так, на площадь 10 км3 за
год попадает в среднем не бо-
лее одной частицы с энерги-
ей > 1О30 эВ. Характер спект-
ра электронов с энергиями
> 109эВ аналогичен приве-
денному на рис. 15.6. Поток
галактических космических
лучей не менялся в течение по
крайней мере 1млрд лет.
Галактические космичес-
кие лучи, очевидно, имеют
нетепловое происхождение.
Действительно, максималь-
ные температуры (« 10е К)
достигаются в центре звезд.
При этом энергия теплового
время частицы галакти-
ческих космических лучей, достигающих окрестности Земли, в
основном имеют энергии > 108 эВ.
Есть веские основания полагать, что космические лучи ге-
нерируются, главным образом, вспышками^сверхновых (другие
источники космических лучей — пульсары, радиогалактики,
квазары). В нашей Галактике взрывы сверхновых происходят
в среднем не реже одного раза в 100 лет. Легко подсчитать, что
для поддержания наблюдаемой плотности энергии космических
287
лучей (1 эВ/см3) достаточно им передавать всего несколько про-
центов мощности взрыва. Выбрасываемые при вспышках сверх-
новых протоны, более тяжелые ядра, электроны и позитроны
далее ускоряются в специфических астрофизических процессах
(о них будет сказано ниже), приобретая энергетические харак-
теристики, присущие космическим лучам.
। В составе космических лучей практически нет метагалак-
тических лучей, т.е. попавших в нашу Галактику извне. Все
наблюдаемые свойства космических лучей можно объяснить ис-
ходя из того, что они образуются, накапливаются и длительное
время удерживаются в нашей Галактике, медленно вытекая в
межгалактическое пространство. Если бы космические частицы
двигались прямолинейно, они вышли бы за пределы Галактики
через несколько тысяч лет после своего возникновения. Столь
быстрая утечка привела бы к невосполнимым потерям и резко-
му снижению интенсивности космических лучей.
На самом деле наличие межзвездного магнитного поля с
сильно запутанной конфигурацией силовых линий заставля-
ет заряженные частицы двигаться по сложным траекториям
(это движение напоминает диффузию молекул), увеличивая вре-
мя пребывания этих частиц в Галактике в тысячи раз. Воз-
раст основной массы частиц космических лучей оценивают в
десятки миллионов лет. Космические частицы сверхвысоких
энергий отклоняются галактическим магнитным полем слабо
и сравнительно быстро покидают Галактику. Этим, возмож-
но, объясняется излом в спектре космических лучей при энергии
3*1015эВ.
Остановимся очень кратко на проблеме ускорения косми-
ческих лучей. Частицы космических лучей двигаются в разря-
женной и электрически нейтральной космической плазме. В ней
нет значительных электростатических полей, способных уско-
рять заряженные частицы за счет разности потенциалов между
различными точками траектории. Но в плазме могут возникать
электрические поля индукционного и импульсного типа. Так ин-
дукционное (вихревое) электрическое поле появляется, как из-
вестно, при увеличении напряженности магнитного поля со вре-
менем (так называемый бетатронный эффект). Ускорение час-
тиц может быть также вызвано их взаимодействием с электри-
ческим полем плазменных волн в областях с интенсивной тур-
булентностью плазмы. Существуют и другие механизмы уско-
рения, на которых мы не имеем возможности останавливаться
288 Лекция 15
в данном курсе. Более детальное рассмотрение показывает, что
предложенные механизмы ускорения способны обеспечить рост
энергии заряженных частиц, выброшенных при взрывах сверх-
новых, с 105 до 1021 эВ.
Заряженные частицы, испускаемые Солнцем, — солнечные
космические лучи — весьма важный компонент космического
излучения, бомбардирующего Землю. Эти частицы ускоряют-
ся до высоких энергий в верхней части атмосферы Солнца во
время солнечных вспышек. Солнечные вспышки подвержены
определенным временным циклам. Самые мощные повторяются
в среднем через 11 лет, менее мощные — через 27 дней. Мощные
солнечные вспышки могут увеличить поток космических лучей,
падающих на Землю со стороны Солнца, в 106 раз по сравнению
с галактическим.
По сравнению с галактическими космическими лучами в
солнечных космических лучах больше протонов (до 98-99% всех
ядер) и соответственно меньше ядер гелия (« 1.5%). В них прак-
тически нет других ядер. Содержание ядер с Z > 2 в солнеч-
ных космических лучах отражает состав солнечной атмосферы.
Энергии частиц солнечных космических лучей меняются в ин-
тервале 105-1011 эВ. Их энергетический спектр имеет вид сте-
пенной функции (15.5), где у — уменьшается от 7 до 2 по мере
уменьшения энергии.
Все приведенные выше характеристики космических лучей
относятся к космическим частицам до входа в атмосферу Зем-
ли, т.е. к так называемому первичному космическому излуче-
нию. В результате взаимодействия с ядрами атмосферы (глав-
ным образом, кислородом и азотом) высокоэнергичные частицы
первичных космических лучей (прежде всего протоны) создают
большое число вторичных частиц — адронов (пионов, протонов,
нейтронов, антинуклонов и т. д.), лептонов (мюонов, электронов,
позитронов, нейтрино) и фотонов. Развивается сложный много-
ступенчатый каскадный процесс. Кинетическая энергия вторич-
ных частиц расходуется в основном на ионизацию атмосферы.
Толщина земной атмосферы около 1000г/см2. В то же вре-
мя пробеги высокоэнергичных протонов в воздухе 70-80 г/см2,
а ядер гелия - 20-30г/см2. Таким образом, высокоэнергичный
протон может испытать до 15 столкновений с ядрами атмосфе-
ры и вероятность дойти до уровня моря у первичного протона
крайне мала. Первое столкновение происходит обычно на высоте
20 км.
289
Лептоны и фотоны появляются в результате слабых и элек-
тромагнитных распадов вторичных адронов (главным образом,
пионов) и рождения у-квантами е“е+-пар в кулоновском поле
ядер:
7Г° -> 2у,
тг* -»
ядро + у -» ядро + е~ + е+.
Таким образом, вместо одной первичной частицы возникает
большое число вторичных, которые делят на адронную, мю-
онную и электронно-фотонную компоненты. Лавинообразное на-
растание числа частиц может привести к тому, что в максимуме
каскада их число может достигать 106-109 (при энергии пер-
вичного протона > 1014эВ). Такой каскад покрывает большую
площадь (много квадратных километров) и называется широким
атмосферным ливнем (рис. 15.7).
После достижения максимальных размеров происходит за-
тухание каскада в основном за счет потери энергии на ио-
низацию атмосферы. Поверхности Земли достигают в основ-
ном релятивистские мюоны и нейтрино. Сильнее поглощает-
ся электронно-фотонная компонента и практически полностью
«вымираете адронная составляющая каскада. В целом поток
частиц космических лучей на уровне моря примерно в 100 раз
меньше потока первичных космических лучей, составляя около
0.01 частицы/см2-с.
290
Литература
Основная
1. Широков Ю. M.t Юдин Н. Л. Ядерная физика. М.: Наука, 1980.
2. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика. Кн. 1, 2. М.:
Энергоатомиздат, 1993.
3. Фраунфельдер Г,, Хенли Э. Субатомная физика. М.: Мир, 1979.
4. Валантзн Л. Субатомная физика. Т. 1, 2. М.: Мир, 1986.
5. План Д. Ядра, частицы, ядерные реакторы. М.: Мир, 1989.
6. Ишханов Б. С., Капитонов И. М., Мокеев В. И. Ядерная физика.
Конспект лекций; Ядерная физика. Ч. 2. Изд-во Моск, ун-та, 1980;
1981Л
7. Любимов А., Киш Д. Введение в экспериментальную физику
частиц. Дубна, изд. ОИЯИ, 1999.
8. Клапдор-Клайнгротхаус Г. В., Штаудт А. Неускорительная
физика элементарных частиц. М.: Наука, 1997.
9. Ишханов Б. С,, Капитонов И. М., Тутынь И А. Нуклеосинтез во
Вселенной. Изд-во Моск, ун-та, 1999. !
10. Антонова И. А., Бояркина А.Н., Гончарова Н.Г. и др. Практи-
кум по ядерной физике. Изд-во Моск, ун-та, 1988.
Повышенной трудности
11. Натаф Р. Модели ядер и ядерная спектроскопия. М.: Мир, 1968.
12. Готтфрнд К., Вайскопф В, Концепции физики элементарных
частиц. М.: Мир, 1988.
13. Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц. М.: Наука, 1988.
14. Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. М.: Энерго-
атомиздат, 1991. <
15. Бопп Ф. Введение в физику ядра, адронов и элементарных час-
тиц. М.: Мир, 1999.
Научно-популярная
16. Адлер И. Внутри ядра. М.: Атомиздат, 1968.
17. Фундаментальная структура материи. М.: Мир, 1984.
18. Намбу Ёитиро, Кварки. М.: Мир, 1984.
19. Окунь Л, Б, afdy.'.Z // Библиотечка «Квант». Выл. 45. М.:
Наука,1985.
20. Новиков И. Д. Как взорвалась Вселенная // Библиотечка
«Квант». Выл. 68. М.: Наука, 1988.
21. Девис П. Суперсила. М.: Мир, 1989. \
22. Паркер Б. Мечта Эйнштейна: в поисках единой теории строения
Вселенной. М.: Наука, 1991.
ПРИЛОЖЕНИЯ
292 Приложения
Приложение А
Формула Резерфорда
Движение а-частицы в кулоновском поле ядра — это дви-
жение частицы в центральном поле с радиальной зависимостью
потенциала вида 1/г. Такое движение аналогично движению
под действием гравитационного потенциала и хорошо изучено
в классической механике (законы Кеплера). Используя законы
сохранения углового момента и энергии, можно показать, что
движение в потенциале вида 1/г является плоским, а траек-
тория в несвязанном состоянии — гипербола. При этом имеет
место соотношение
‘4=^. (*•»
где 6 — угол рассеяния, Ь — прицельный параметр, гть — рас-
стояние наибольшего сближения налетающей частицы и рассе-
ивающего центра при нулевом прицельном параметре (рис. 1.3).
Рис. А.1
293
Дадим вывод формулы Резерфорда (1.2), используя соот-
ношение (А.1) и определение дифференциального эффективного
сечения
dN . „г dcr . ж
dQ “jnSLdQ’
где значения всех величин поясняются в Лекции 1 (п. 4).
Будем рассматривать рассеяние на одном ядре, т. е. число
рассеивающих центров nSL = 1. При плотности потока j в коль-
цо радиуса b толщиной db (заштриховано на рис. А.1) попадает
в единицу времени j • 2тг6 db частиц. Все они рассеятся на угол 0.
Итак, для числа dN рассеянных на угол 0 частиц имеем
dN = -j • 2irbdb, (А.З)
причем знак минус означает, что эти частицы выбывают из пуч-
ка.
В силу аксиальной симметрии
2тг
dQ = sin 0 dO у* d^ = 2тг sin 0 d0.
о
С учетом nSL = 1 и соотношений (А.2)-(А.4) получаем
d<r __ 1 dN _ 1 / j • 2тг& db \ _ b db
d(l j dQ j \27rsin0d0/ sin0 d0*
Подставляя в (A.5) значение прицельного параметра из (А.1)
L__ ^min_
е
2
и его производную по углу 0
db ____________________ ?*min 1
d0~~ 4 sin2f’
приходим к соотношению
1
dQ 16 sin4 |
Учитывая, что rmjn = ZiZ2e2/T\, где Ti — кинетическая энергия
налетающей частицы, приходим к формуле Резерфорда
da (Z&J'X2 1
т=sTf• (A-6)
(A.4)
(A.5)
294-----------------------------------Приложения
Задача А1» Из формулы Резерфорда следует, что при
9 = 0 дифференциальное сечение обращается в бесконечность.
Как объяснить этот результат?
Решение, Дифференциальное сечение — это поперечная
площадь того участка пространства, попадание частиц в кото-
рый обеспечивает рассеяние на определенный угол 9 (в преде-
лах единичного телесного угла), В данном случае это площадь
кольца радиуса Ь (см. рис. А.1). Толщина кольца определяет те-
лесный угол рассеяния dil. При 9 0 прицельный параметр
6 —> оо.>Это приводит к тому, что площадь соответствующего
кольца тоже становится равной оо.
Задача А2. Написать выражение для дифференциального
сечения гравитационного рассеяния нерелятивистской части-
цы массы т на рассеивающем центре массы М (гравитаци-
онный аналог формулы Резерфорда), Считать т < М, т. е.
отдачу рассеивающего центра не учитывать.
Решение. Для того чтобы от формулы Резерфорда перей-
ти к требуемой формуле гравитационного рассеяния, достаточно
заменить выражение для г min- При рассеянии в кулоновском по-
ле rmin = Zi^2e2/Ti. При рассеянии в гравитационном поле rmin
следует заменить на GmM/T, где G — гравитационная констан-
та Ньютона, Т — кинетическая энергия налетающей частицы.
При этом искомое дифференциальное сечение будет иметь вид
' / гр&вят ' J
1
sin4 f
295
Приложение Б
Форм-фактор
упругого кулоновского взаимодействия
В этом приложении будет дан сравнительно простой вы-
вод выражения (1.7) для форм-фактора упругого кулоновского
рассеяния точечной заряженной частицы (например, электрона)
на протяженном сферически симметричном заряженном объекте
(например, атомном ядре), имеющем плотность заряда р(г):
F(g) = Т~е f ^V/hdv’
(Б.1)
где Z* — заряд ядра в единицах элементарного заряда, q — пере-
данный ядру импульс q = (ро -р) (рсь Р — импульсы электрона
до|и после рассеяния).
Прежде всего напомним, что дифференциальное сечение
рассеяния нерелятивистской точечной (т.е. бесструктурной) за-
ряженной частицы с нулевым спином в кулоновском поле бесспи-
нового точечного заряда дается (в системе центра масс) форму-
лой Резерфорда (1.2).
Если перейти к процессу рассеяния релятивистской точеч-
ной заряженной частицы со спином (электрона) на бесспи-
новом точечном заряде, то дифференциальное сечение в системе
центра масс будет описываться формулой Мотта (1.5):
da \ _ / Ze2 \ 3 cos2 |
/ м \ 2Те / sin4 |
(Б.2)
где Ze — заряд рассеивающего силового центра, Те — кинети-
ческая энергия электрона.
296------------------------------------------Приложения
Принципиальное отличие этой формулы от формулы Резер-
форда состоит в появлении множителя cos2 f, который возникает
из-за взаимодействия магнитного момента электрона (имеющего
спин / 0) с магнитным полем частицы-мишени, которая двига-
ется относительно электрона.
Если перейти теперь к рассеянию релятивистского электро-
на на протяженном бесспиновом заряде, то эффект упругого ку-
лоновского рассеяния (т. е. кулоновского рассеяния без изменения
внутреннего состояния рассеивателя, его возбуждения) не может
быть сведен просто к суммированию моттовских сечений на от-
дельных точечных зарядах, входящих в состав рассеивателя. Ре-
альное сечение упругого кулоновского рассеяния при достаточно
резкой границе мишени (такой мишенью является атомное ядро)
имеет осциллирующий дифракционный характер (рис. 1.7), ко-
торого нет в формуле Мотта. Причиной этого является то, что
моттовское сечение не учитывает волновой картины процесса
рассеяния.
Чтобы учесть «волновой аспект» процесса необходимо со-
поставить падающим электронам плоские монохроматические
де-бройлевские волны
(Б.З)
где С — амплитуда электронной волны, в которой учтено нали-
чие у электрона спина 1Д (<7 — так называемая, спинорная ам-
плитуда). Вид этой амплитуды совершенно не важен для даль-
нейшего рассмотрения. Заметим лишь, что формальный учет
этой амплитуды и приводит к появлению множителя cos2 ( в
формуле (Б.2).
Итак, рассмотрим, что нового дает волновая картина про-
цесса. Рассеяние происходит на отдельных частицах мишени и
мы полагаем это рассеяние упругим (когерентным). Для упро-
щения можно считать это рассеяние происходящим без измене-
ния величины волнового вектора к (или импульса р) электрона,
что справедливо При те М (М •— масса отдельной частицы
мишени). В случае ядра, состоящего из «тяжелых» нуклонов,
это справедливо, хотя данное условие не обязательно для коге-
рентности и не сказывается на существе рассмотрения.
Будем также считать, что многократное взаимодействие па-
дающей частицы с частицами мишени отсутствует, т. е. падаю-
щая частица испытывает один акт рассеяния. В случае рассея-
ния электрона на атомном ядре это справедливо, так как сечение
рассеяния электрона на протоне мало (исключая 0 « 0).
297
Для дальнейшего нам полностью достаточно знания вол-
новой оптики. Очевидно, когерентное рассеяние плоских элек-
тронных волн приведет к интерференционной картине, которой,
конечно, нет в корпускулярном подходе.
Итак, приходим к оптической задаче о многолучевой ин-
терференции. Рассмотрим объект из N одинаковых заряженных
частиц. Картина рассеяния двух параллельных лучей на угол 9
на двух частицах мишени, одна из которых находится в начале
координат (точка 0), показана на рис. Б.1,
Рис. Бл
Разность фаз <У, возникающая при упругом (когерентном)
рассеянии плоской волны на двух частицах мишени, дается вы-
ражением
£ = £Д,
где k = p/ft, причем |ро| == |р| — Д — разность хода по
отношению к частице в начале координат (отрезки а и 6, дающие
эту разность хода, выделены на рисунке жирными линиями).
Далее
—Д = а 4- b = r[cos а 4- cos/3] = r[- cos(po, г) + cos(p,r)] =
‘рг рог] lf ,
= г---------= - (Р-Ро)г|,
pr pr J рL 4
или
J = fcA = -1 [(р - Ро)г] = J [(ро - р)г] = у,
где q = (р0 — р) — переданный импульс.
298 ___- _______________________________Приложения
При многолучевой интерференции от N частиц мишени
имеем для комплексной амплитуды (см., например: А. Н. Матве-
ев «Оптика»)
А = AieiSl + AteiS* + ... + Апе'6" + ... + ANeiS” =
n=l n~l
Дифференциальное эффективное сечение рассеяния (в опти-
ке говорят об интенсивности) определяется квадратом модуля
суммарной (комплексной) амплитуды, т. е. имеем
Теперь учтем, что у нас все точечные составляющие иден-
тичны (например, протоны ядра). Тогда
Л, = At = ... = Ап = ... = An = Ар
и, следовательно,
(Б.4)
так как |АР| — не что иное, как квадрат модуля амплитуды
рассеяния электрона на протоне, т. е. дифференциальное сечение
этого рассеяния
|Ар| ‘
\проток р
Если теперь перейти в выражении (Б.4) от суммы к интегриро-
ванию по объему ядра (протоны не строго локализованы в объ-
еме ядра, а лишь с вероятностью |^(г)|2, определяемой их волно-
выми функциями, находятся в определенной его точке), формула
для ядра приобретает вид
._______________299
2ei4T/hdv
(Б.5)
где ^п(г) — волновая функция протона с номером п. Исполь-
зуем выражение для зарядовой плотности ядра (ядро считаем
сферйчески-симметричным)
z
PW = eJ2|^n(r)|2
и переписываем формулу (Б.5) в виде
где
F(«) = [ P^e'^dv
£i t J
(Б.6)
(Б.7)
называют кулоновским форм-фактором ядра. Этот форм-фак-
тор Выражается через фурье-образ плотности заряда и в нем
содержится вся информация о зарядовом распределении внутри
мишени.
Величина Z2 (^)р есть не что иное, как дифференциальное
сечение рассеяния электрона точечным ядром (точнее — ядром,
весь заряд которого сосредоточен в объеме протона).
Если считать протон точечной частицей, лишенной спина,
то (^у) будет равно просто моттовскому сечению рассеяния
электрона на единичном заряде, т.е.
d<r\ _ /da\p
(Б.8)
а величина Z2 (^) будет равна моттовскому сечению рассея-
ния электрона ядром:
2 (d<r\ (da\WQ
Cl I I = I Згл /
у ь / р \
(Б.9)
300 Приложения
В этом случае мы приходим к следующей.формуле, описываю-
щей рассеяние электрона бесспиновым ядром:
м
(Б.10)
ядро
Бесспиновость приводит к отсутствию результирующего
магнитного поля, создаваемого внутренними токами мишени
(т. е. отсутствию намагниченности мишени, вызванной движе-
нием зарядов, входящих в ее состав), и, следовательно, устра-
няет необходимость учитывать взаимодействие магнитного мо-
мента налетающего электрона с этим полем. Магнитное взаи-
модействие, так же как и кулоновское, может быть упругим и
влиять на величину сечения рассеяния электрона намагничен-
ным ядром.
Формула (Б.10) остается справедливой для в целом бесспи-
нового ядра и при учете спинов нуклонов. В этом случае собст-
венный магнетизм (намагниченность) нуклонов компенсируется
магнетизмом, создаваемым орбитальным движением протонов.
Внутреннюю структуру протона (и нейтрона) можно изу-
чать также (как и ядра) с помощью упругого рассеяния элек-
тронов. Энергия электронов в этом случае должна быть бо-
лее высокой^ Формула для дифференциального сечения упругого
рассеяния электрона протоном выглядит так же, как и для ядра:
<Б11>
Однако в этом случае, из-за наличия у протона спина, Fp(q) яв-
ляется комбинацией двух форм-факторов — электрического (ку-
лоновского), описывающего распределение заряда внутри прото-
на, и магнитного, описывающего распределение магнитного мо-
мента (намагниченности) в протоне. Формула, показывающая
как Fp(q) выражается через два этих форм-фактора, называется
формулой Розенблюта. Приводить ее мы не будем.
При q —> 0 Fp(q) 1. Таким образом, выражение (Б.11)
переходит в (Б.8) при нулевом переданном импульсе, т.е. при
угле рассеяния 9 0, так как q = 2psin f.
Эксперимент по упругому рассеянию электрона на протоне
ставится так, что удается разделить вклады кулоновского и маг-
нитного форм-факторов протона и определить каждый из них в
отдельности.
301
Аналогично для ядра с отличным от нуля спином можно
разделить вклады кулоновского и магнитного форм-факторов в
сечение упругого рассеяния электронов и получить распределе-
ние заряда и намагниченности по объему ядра.
Задача. Как изменится дифференциальное сечение рассе-
яния релятивистских электронов на ядре ^О, если предполо-
жить, что весь заряд этого ядра сосредоточен в одной точке!
Решение. Во-первых, сечение потеряет осциллирующий
(дифракционный) характер, так как интерференции на одиноч-
ном точечном заряде не будет. Сечение будет полностью опи-
сываться формулой Мотта (Б.2), где Z = 8. Это сечение пред-
ставим в виде Z2 (|б)м, где — моттовское сечение на
элементарном заряде [Z = 1). Отсюда виден и второй эффект —
сильное возрастание величины сечения, поскольку для реально-
го ядра моттовское сечение (не учитывающее интерференции)
равно сумме моттовских сечений на единичных зарядах, т.е.
Z (^)м* Итак, за счет рассматриваемого эффекта сечение вы-
растет в Z — 8 раз.
302 —_____________________________Приложения
Приложение В'
Дефекты масс ядер
Обычно в таблицах атомных ядер даются не их массы
М{А, Z) или энергии связи W(A, Z), а дефекты (или избыт-
ки) масс Д(А, Z). Определим понятие дефекта масс и получим
соотношения, с помощью которых, зная дефект массы Д(Л, Z),
можно быстро получить не только массу ядра М(А, Z), но так-
же его энергию связи W(A,Z), энергии отделения нуклонов ВП)
Вр и более сложных объектов г (a, z), состоящих из z протонов и
а - я нейтронов.
Запишем соотношение (2.1) в виде
W(At'= Zmp + JVmn - М(А, Z).
С
Переходя от масс ядер М(A, Z) к массам атомов Л/ат(А, Z), это
соотношение можно переписать следующим образом:
= Zmp + Zme + Nmn - М(А, Z) - Zme =
= ZmK 4- Nmn - MaT(A, Z),
где mei mn — массы электрона и атома водорода, причем не-
значительными поправками, обусловленными энергиями связи
атомарных электронов и обычно лежащими за пределами точ-
ности экспериментальных значений, мы пренебрегаем.
Дефектом масс называют величину
Д(А, Z) = Мат(А, Z)<? - Аи,
где и — атомная единица массы (931.494МэВ). По определению
атомной единицы массы дефект массы 12С точно равен нулю
(Д(«С) = 0).
303
Очевидно
W(A, Z) = (ZmH + tfmn)c2 - MaT(A, Z)c2 =
= (2тд + Nmn)c2 — Д(А, Z) - Au —
= Z(mHc2 - u)+AT(mnc2 - u) - Д(А, Z) = £ДН+#Д„ - Д (A, Z).
Отсюда сразу получаем энергию связи ядра в МэВ, если в
этих же единицах взять дефект массы водорода Дц, нейтрона
Дп и ядра Д(А,2). Учитывая, что Дн = трс2 + гпес2 - и =
= (938.272+0.511 -931.494)МэВ = 7.289МэВ, а Дп = тпс2-и =
= (939.5656 - 931.4943) МэВ = 8.071 МэВ, окончательно имеем
W(A, Z) = [Z • 7.289 + (А - Z) • 8.071 - Д(A, Z)] МэВ.
Для энергий отделения нейтрона, протона и сложного объекта
х(а, г), получаем выражения (в МэВ):
Вп = W(A, Z) - W(A - 1, Z) = Дп + Д(А - 1, Z) - Д(А, Z) =
= 8.071 + Д(А - 1, Z) - Д(А, Z),
Вр = W(A, Z) - W(A - 1, Z - 1) =
= Дн + Д(А - 1,Z-1) - Д(А,Z) =
= 7.289 + Д(А - 1, Z - 1) - Д(А, Z),
Вх = W(A, Z) - W(A - a, Z-z)- W(a, z) =
— Д(а, z) + Д(А - a, Z - z) - Д(А, Z).
Таблицы дефектов масс можно найти в книгах: Г. Фраун-
фельдер, Э. Хенли «Субатомная физика» (М.: Мир, 1979. С. 695);
«Субатомная физика. Вопросы. Задачи. Факты» под редакцией
Б. С. Ишханова (Изд-во Моск, ун-та, 1994. С. 144). Дефекты масс
215 нуклидов приведены в Приложении О.
304 Приложения
Пример. По таблице дефектов масс найти энергию связи
ядра г§0 и энергии отделения нейтрона ВП1 протона Вр и а-
частицы Ва из этого ядра.
РИ(^О) = 8ДН + 8ДП - Д (х|0) =
= 8 • 7.289 + 8 • 8.071 - (-4.737) = 127.617 МэВ,
Вп = Дп + Д(‘вО) - Д0$О) =
= 8.071 + 2.855 - (-4.737) = 15.663 МэВ,
5р = Дн + Д(1|Н)-Д(1$0) =
= 7.289 + 0.101 - (-4.737) = 12.127 МэВ,
Ва = Д(]Не) + Д(*вС) - Д(\вО) =
= 2.424 + 0 - (-4.737) = 7.161 МэВ.
305
Приложение Г
Деление атомных ядер
Делением атомных ядер называют их распад на два оскол-
ка сравнимой массы. Деление может быть самопроизвольным
(спонтанным) или вынужденным (вызванным взаимодействием
с налетающей частицей). Деление энергетически выгодно для
тяжелых ядер и является основным источником ядерной энер-
гии. При этом энерговыделение составляет величину « 1 МэВ на
один нуклон делящегося вещества или 1014 Дж/кг, что на много
порядков превосходит энерговыделение всех других освоенных
человеком источников энергии. Энергия деления используется в
атомных электростанциях (реакторы) и атомном оружии.
Энергия деления
То, что при делении тяжелых ядер выделяется энергия, сле-
дует из зависимости удельной энергии связи е = W(A,Z)/A от
массового числа А (см. рис. 2.3). Из этого рисунка видно, что
при делении тяжелого ядра совершается переход к более легким
ядрам, в которых нуклоны связаны сильнее, и часть энергии вы-
свобождается. Если разделить ядро с А = 240 (е «7.6 МэВ) на
два осколка равной массы Ai = А% = 120 (ei « 8.5МэВ), то
освободится энергия
Едел = А(ег - £) = 240(8.5 - 7.6) « 220 МэВ. (Г.1)
Выразим энергию деления £?дел через энергии связи началь-
ного и конечных ядер. Энергию начального ядра, состоящего из
Z протонов и ТУ нейтронов и имеющего массу М (4, Z) и энергию
связи W(A, Z), запишем в следующем виде:
М(4, Z)c2 = (Zmpc2 + Nmnc2) - 1У(4, Z). (Г.2)
306 Приложения
Если это ядро разделить на осколки с массами Mt(Ai,Zt),
Mi(A2,Z2) и энергиями связи Wt(Ai,Zt), W2(A2,Z2), то для
энергии деления имеем выражение
Едел = М(А, Z)c2 - [Мг (At, Z2)c2 + М2(А2, Z2)c2] =
= Wt(At,Zt) + W2(A2,Z2) - W(A,Z), (Г.3)
причем А = At + Аз, Z = Z\ + Zj.
Для анализа деления удобно рассматривать ядро в модели
жидкой Капли и использовать формулу Вайцзеккера (2.14) для
энергии связи ядра. Для случая, когда ядро делится на два оди-
наковых осколка с 41 = Дз = 4/2 и Zi = Z3 = #/2, пренеб-
регая незначительной энергией спаривания и, полагая
Z(Z-l) « Я2, получаем (слагаемые объемной энергии и энергии
симметрии сокращаются)
/4 Z\
]-W(A>Z)k
\ A Z J
[EBOB(A,Z)+EKr„(A,Z)]—2 [еоо. (44) +^ул (44)
/л\2/з]
А2/3-2(4)
+ ас
AV* \2j
av1/3‘
2 )
— а8
\ v^TUc^l/s^1 -
°-37ас4тз " 0.26а.А,/а.
А1/8
(Г.4)
Отсюда следует, что деление энергетически выгодно (Едел > 0)
в том случае, когда 0.37ас^у > 0.26а, А2/3, т.е. когда
Z2 0.26 а, _ 0.26 17.2
А > 0.37 ас ~ 0.37 0.72 *17
(Г.5)
Величина Z21А называется пароиетролс деления. Для иттрия
(39Y) Z2 /А = 17. Таким образом, деление энергетически выгодно
для всех ядер тяжелее иттрия.
307
Из соотношения (Г.4) следует, что Едел определяется изме-
нениями поверхностной (Епов = алЛ2/3) и кулоновской (2?кул =
— acZ(Z - 1)/Аг/3) энергий при переходе от начального ядра к
двум его осколкам. В выражение (Г.2) для энергии ядра входит
сумма поверхностной и кулоновской энергий Enw + Екул. При
делении Д,ов возрастает, так как возрастает площадь ядерной
поверхности (суммарная площадь поверхностей осколков боль-
ше площади поверхности начального ядра), а Екул уменьшает-
ся, так как увеличивается среднее расстояние между протонами.
Для того чтобы при делении освобождалась энергия (£?дел > 0),
необходимо, чтобы уменьшение в Екул превышало увеличение в
Епов. В рассмотренном выше примере деления ядра с А = 240
на два равных осколка уменьшение кулоновской энергии превы-
шает увеличение поверхностной энергии примерно на 220 МэВ.
Рассмотрим более детально вопрос о продуктах деления.
Продукты деления
Осколки — не единственный продукт деления. Отношение
числа нейтронов к числу протонов в ядрах с А = 240 примерно
1.6, в то время как у стабильных ядер, имеющих массу, близкую
к массе осколков, это отношение меняется в пределах 1.25-1.45.
Следовательно, осколки в момент образования сильно перегру-
жены нейтронами и находятся в состояниях с большой энерги-
ей возбуждения. Очевидно, такие осколки не устойчивы к f}~-
ржп&ку, восстанавливающему баланс между числом нейтронов
и протонов в ядре. Осколки испытывают последовательный /3~-
распад, причем заряд первичного осколка может увеличиваться
на 4-6 единиц.
Снятие начального возбуждения осколков, вызванного на-
рушением «нормального^ соотношения числа нейтронов и про-
тонов, происходит также за счет вылета мгновенных нейтронов
деления. Эти нейтроны испускаются движущимися осколками за
время, меньшее, чем 4-10~14 с. В среднем в каждом акте деления
испускается 2-3 мгновенных нейтрона. Энергетический спектр
мгновенных нейтронов непрерывный с максимумом около 1 МэВ.
Средняя энергия мгновенного нейтрона 2 МэВ. Испускание бо-
лее одного нейтрона в каждом акте деления дает возможность
получать энергию за счет цепной ядерной реакции деления.
Небольшая доля (~ 1%) нейтронов испускается с некото-
рым запаздыванием относительно момента деления (так назы-
ваемые запаздывающие нейтроны). Время запаздывания дости-
гает 1 мин. Запаздывающие нейтроны испускаются остановив-
21*
308 Приложения
шимися осколками после предварительного /3“-распада и ока-
завшимися в результате этого распада в состояниях с энергией
возбуждения, превышающей энергию отделения нейтрона Вп.
Часть энергии деления уносится 7-квантами, испускающи-
мися возбужденными осколками сразу после вылета мгновенных
нейтронов (мгновенное 7-излучение), а также 7-квантами, ис-
пускающимися после /3-распада осколков.
Как распределяется энергия деления между различными
продуктами этого процесса? Основная часть энергии деления
освобождается в виде кинетической энергии осколков. Такой вы-
вод следует из того, что кулоновская энергия двух соприкасаю-
щихся осколков (за вычетом собственной кулоновской энергии
каждого из них) приблизительно равна энергии деления. Под
действием электрических сил отталкивания кулоновская энергия
осколков переходит в их кинетическую энергию. Оценим величи-
ну кулоновской энергии соприкасающихся одинаковых осколков
= (Г-6)
где Z н R.— заряд и радиус осколков. Если рассмотреть деление
урана (A 240, 2Z = 92) на два одинаковых осколка (симмет-
ричное деление), оценивая радиус каждого из них с помощью
выражения R = 1.2А1/3 Фм, получаем
Ек =
(4.8 • 1О-10 • 46)2
2 • 6 • 10-13 • 1.6 • 10"®
« 250 МэВ.
(Г.7)
Характерной особенностью деления является то, что осколки,
как правило, существенно различаются по массам, т. е. преобла-
дает асимметричное деление. Так, в случае наиболее вероятного
деления изотопа урана 3^JU, вызванного захватом нейтрона (де-
лится составное ядро 2|f U), отношение масс осколков равно 1.46.
Тяжелый осколок имеет при этом массовое число 139 (ксенон), а
легкий — 95 (стронций). С учетом испускания двух мгновенных
нейтронов рассматриваемая реакция деления имеет вид
П + —> 2$U gSr + ^Хе + 2п. (Г.8)
Распределение по массам осколков деления 2g|U нейтронами
малых (тепловых) энергий показано на рис.Г.1. Среди осколков
деления были обнаружены осколки с А = 72-161 и Z = 30-65.
309
Г.1. Массовое распределение
асов деления урана
Вероятность деления на два равных по массе осколка не рав-
на нулю, В рассматриваемом случае вероятность симметрич-
ного деления примерно на три порядка меньше, чем в случае
наиболее вероятного деления на осколки с А = 139 и 95. Капель-
ная модель не исключает возможности асимметричного деления,
однако не объясняет основных закономерностей такого деления.
Асимметричное деление можно объяснить влиянием оболочеч-
ной структуры ядра. Ядро стремится разделиться таким обра-
зом, чтобы основная часть нуклонов каждого осколка образовала
устойчивый магический остов.
При наиболее вероятном де-
лении 2||U тепловыми нейтро-
нами легкий осколок (А = 95)
приобретает кинетическую энер-
гию 100 МэВ, а тяжелый (А =
= 139) — 67 МэВ. Таким об- 10'’
разом, суммарная кинетическая
энергия осколков — 167 МэВ. 10*2
Полная энергия деления в дан-
ном случае составляет 200 МэВ. ю-3
Таким образом, оставшаяся эне-
ргия (33 МэВ) распределяется ю-4
между другими продуктами де-
ления (нейтроны, электроны и 10-5
антинейтрино /3"-распада ос-
колков, 7-излучение осколков и Рис-
продуктов их распада). Распре- оско-
деление энергии деления между различными продуктами при
делении 23|U тепловыми нейтронами дано в табл. Г.1.
Таблица Г.1
Распределение энергии деления 236U
тепловыми нейтронами
Кинетическая энергия осколков -167 МэВ
Мгновенные нейтроны -5 МэВ
Электроны /3-распада - 5 МэВ
Антинейтрино /3-распада - 10 МэВ
Мгновенное 7-излучение -7 МэВ
7-Излучение продуктов распада -6 МэВ
Полная энергия деления -200 МэВ
310
Приложения
Механизм деления
Как было показано выше (Г.5) деление энергетически вы-
годно для ядер с Z2/А > 17, т.е. для ядер с А > 90. Почему же
большинство известных тяжелых ядер устойчиво по отношению
к спонтанному делению? Ответ можно получить рассматривая
механизм деления.
В процессе деления ядро последовательно проходит через
следующие стадии (рис. Г.2): шар, эллипсоид, гантель, два гру-
шевидных осколка, два сферических осколка.
Как меняется энергия яд-
ра на различных стадиях де-
ления? Было показано, что это
изменение определяется изме-
нением суммы поверхностной
и кулоновской энергий Епов+
+Екуп начального ядра и ос-
колков (Г.4).
разрыв
перетяжки
На рис.Г.З показано как
меняется 2?пов> Екуп и их сум-
ма в зависимости от расстоя-
ния между центрами осколков
при делении 236 U из основно-
го состояния на два асиммет-
Рис. Г.2. Стадии процесса деления ричных фрагмента — ксенон
и стронций (Г.8). Радиус ксе-
нона и стронция соответственно 6.2 и 5.5 Фм, поэтому точка
г & 12 Фм на графике (рис. Г.З) соответствует практически со-
прикасающимся сферическим осколкам. Суммарная поверхност-
ная энергия осколков £?пов достигает при этом максимального
значения
= 17.2(139г/8 + 952/3) = (460 + 360) = 820 МэВ, (Г.9)
и при дальнейшем увеличении г не меняется.
Суммарная кулоновская энергия при г > 12 Фм скла-
дывается из суммы «внутренних» кулоновских энергий осколков
/я2 я2 \
ас I Н—da* 1 и энергии кулоновского взаимодействия оскол-
\ ^2 / *'
ков
311
Е (т 12 Фм) — а ( ^Хе + Zst 4- 6 ^Xe^Sr —
Екул(Г > 12 ФМ) - ас I -дд + -ууу | + -
\АХе ASr /
= (400 + 220) МэВ + (Г.10)
т
При бесконечном удалении осколков кулоновская энергия
стремится к минимальному значению Е™1£ = (400 + 220) =
= 620 МэВ, целиком определяемому суммой их внутренних элек-
тростатических энергий. Найдем значение Епов + Дсул для ядра
233 U в исходном (основном) состоянии (г = 0):
(^пов + ^кул)и = + ас
Aj f
= (17.2 • 2362/3 + 0.72 rSr) = (660 + 980) = 1640 МэВ.
\ 2361'3 J
(Г.И)
Из (Г.9, Г.10 и Г.11) следует, что при делении 236U из основного
состояния выделяется энергия
(Япов + ДсуЛ)и - (£птоавх + )и = 1640 - (820+620) = 200МэВ.
(Г.12)
Рис.Г.З показывает, что Епов + Екул при увеличении г от
начального значения т = 0 сначала растет, а затем уменьша-
ется. Таким образом, возникает потенциальный барьер, препят-
ствующий мгновенному (за характерное ядерное время 10”22 с)
спонтанному делению исходного ядра из основного состояния. В
данном случае (236U) величина этого барьера около 6 МэВ. Барь-
ер возникает потому, что поверхностная энергия с увеличением
г (при г < 10 Фм) растет быстрее, чем уменьшается кулоновская
энергия.
Ядро 236 U в основном состоянии практически стабильно. Пе-
риод его полураспада 2.3-107 лет. Если ему добавить небольшую
энергию, то оно может менять форму от сферической до эллипсо-
идальной, совершая небольшие колебания относительно исход-
ного «сферического» состояния и не испытывая деления. Одна-
ко при передаче ядру 236U энергии, большей величины барьера
(6 МэВ), амплитуда колебаний становится настолько большой,
что ядро проскакивает максимальное значение потенциальной
энергии и делится. Вершине барьера соответствует гантелевид-
ная форма делящегося ядра. Как только ядро приобретает форму
гантели деление становится необратимым.
Рис. Г.З. Зависимость поверхностной и кулоновской энергий оскол-
ков деления и их суммы от расстояния между центрами осколков для
наиболее вероятного варианта деления 236 U. Точка 12 Фм на оси рас-
стояний отвечает сумме радиусов сферических осколков, т. е. стадии
необратимого разделения осколков
При делении 235 U тепловыми нейтронами (Г.8) составное
ядро 236 U получает энергию возбуждения, равную энергии отде-
ления Вп нейтрона от ядра 236 U (кинетическая энергия теплово-
го нейтрона — сотые доли электронвольта и добавкой к энергии
возбуждения 236U этой величины можно пренебречь). Так как
Bn(236U) = 6.5МэВ, т.е. превышает барьер деления, то 23eU
делится. Вынужденное деление может быть вызвано не только
нейтронами, но и другими частицами, но использование нейт-
ронов практически выгодно, так как их захвату ядром не пре-
пятствует кулоновский барьер и эффективное сечение захвата
велико.
313
Рассмотрение динамики деления позволяет понять, как ме-
няется величина барьера деления при изменении массового числа
А и заряда Я. Для этого достаточно проследить, как меняется
поверхностная и кулоновская энергии при малых значениях г,
т. е. при небольших отклонениях формы исходного ядра от сфе-
рической. Пусть возбужденное ядро принимает форму вытяну-
того аксиально-симметричного эллипсоида, причем отклонение
от исходной сферической формы незначительно (случай малых
деформаций). Тогда, при условии, что объем ядра не меняется
(ядерная материя практически несжимаема), величины малой и
большой осей эллипсоида даются выражениями
Ь = К(1 + е). (Г-13)
vl + е
где R — радиус исходного ядра, е — малый параметр. Действи-
тельно, объемы эллипсоида и сферы при этом будут равными:
|тгЬа2 = |тгй3. Отметим, что введенный таким образом пара-
метр деформации е не сильно отличается от параметра дефор-
мации
в=—_____—
Р 1(Ь + аУ
определенного ранее в Лекции 3 (п. 7). Можно показать, что
Поверхностная и кулоновская энергии эллипсоида могут
быть записаны в следующем виде:
ЯПо» = аМ2/3 (1 + ^2+
У О /
F _я & Л 1 2, \
Ехул - асА1/3 I 1 - + •••)•
(Г-14)
Отсюда следует, что изменение полной энергии при переходе от
сферы к эллипсоиду определяется соотношением
ДЕ=> (2аМ2/8-ас-^У
о у Л1/3 /
Барьер возникает тогда, когда ДЕ > 0, т. е. при
А < ас ~48,
(Г.15)
(Г.16)
причем высота барьера тем меньше, чем меньше выражение в
скобках (Г.15), т.е. чем больше параметр деления Z2/A.
Рис. Г.4. Зависимость формы и высоты потенциального барьера, а также
энергии деления от величины параметра Z3/A. Двусторонняя вертикаль-
ная стрелка показывает высоту барьера деления
На рис. Г.4 показана (на качественном уровне) зависимость
формы и высоты барьера деления, а также энергии деления от
величины параметра 21 /А.
При Z2/А « 48 барьер деления исчезает и ядра с таким
или большим параметром деления неустойчивы к мгновенному
(за время « 10"22 с) спонтанному делению. Спонтанное деление
ограничивает область существования устойчивых или долгожи-
вущих ядер со стороны больших Значений Z и Л. Так, например,
Z2 /А = 48 для ядра с А = 270 и Z = 114. Вероятность спонтан-
ного деления растет с увеличением параметра деления Z2/А, т. е.
с уменьшением высоты барьера.
315
В целом период спонтанного деления уменьшается при пере-
ходе от менее тяжелых ядер к более тяжелым от tx/2 > 1021 лет
для 2э§ТЬ (торий) до бмс для 2Q®Rf (резерфордий). Зависимость
спонтанного деления от высоты барьера столь же резкая как
и при а-распаде.
То, что при делении каждого ядра испускается больше одно-
го (обычно 2-5) нейтрона, открыло возможность осуществления
цепной реакции деления. Если большинство мгновенных нейт-
ронов будет захватываться ядрами делящегося вещества и вы-
зывать их деление, то на каждом следующем шаге количество
актов деления будет увеличиваться в 2-3 раза по сравнению с
предыдущим, что приведет к стремительному (взрывному) воз-
растанию со временем выделяющейся энергии. Это происходит
при взрыве атомной бомбы.
Скоростью цепной реакции деления большого количества
ядер можно управлять, добиваясь сравнительно медленного и
постоянного энерговыделения. Это осуществляется в ядерных
реакторах.
20*
316 Приложения
Приложение Д
Энергия симметрии
Одним из слагаемых в формуле Вайцзеккера для энергии
связи ядра (2.14) является энергия симметрии (2.10):
Е -о. ИГП
&СИММ — °8ут • (Д*1)
В Лекций 2, где рассматривалась формула Вайцзеккера, выра-
жение (Д.1) для Есимм не выводилось. Мы ограничились лишь
пояснением общего вида этого выражения. Дадим простой его
вывод.
Начнем опять со схематической модели ядра в виде нуклонов
в потенциальной яме, содержащей эквидистантную последова-
тельность уровней (рис. 2.5), причем, как и ранее, считаем, что
каждый уровень может быть занят лишь одним протоном и од-
ним нейтроном. Количество нуклонов в яме для вывода формулы
(Д.1) значения не имеет.
На рис. Д.1 показано несколько вариантов ядра из 10 нукло-
нов в основном состоянии, отличающихся значением N -Z. При
движении от левого варианта (а) к правому (г) совершается пе-
реход от ядра с N = Z к ядру со все большим значением N - Z
путем последовательной замены протонов на нейтроны. Переход
от ядра с # = Z к ядру с N - Z > 0 можно осуществить, за-
менив верхних протонов на нейтроны и переместив их на
свободные нижние нейтронные уровни. Такой переход можно ре-
ализовать, увеличив энергию каждого из новых нейтронов
на величину (^у^) ДЕ, где ДЕ — расстояние между соседними
уровнями (описываемый процесс показан стрелками на диаграм-
ме г оис. Л. 1).
317
Таким образом, рост энергии ядра с N > Z по сравнению с
дцром, имеющим N = Z (или, что то же самое, уменьшение его
'нергии связи) будет даваться следующей величиной (энергией
шмметоии):
Лими = (Д-2)
Рис. Д.1
Для уточнения полученного выражения следует отказаться
от крайнего упрощения, связанного с возможностью нахождения
за уровне лишь одного протона и одного нейтрона. Большинство
нуклонов в ядрах находятся на одночастичных уровнях (подобо-
ючках), вмещающих значительное число нуклонов каждого ти-
за, т. е. характеризующихся многократным вырождением (Лек-
ция?). Так, например, на подоболочке ld5/2 можно разместить
до 6 нуклонов каждого сорта, т. е. все нуклоны схематического
ядра, показанного на рис. Д.1. Учтем это обстоятельство.
Пусть имеется ядро с N = Z и замкнутыми (заполненными)
•болонками. Чтобы перейти к ядру с тем же числом нуклонов и
V — Z > 0, оставляя его в основном состоянии, нужно про-
гонов во внешней замкнутой оболочке исходного ядра заменить
за нейтроны и переместить их в следующую свободную оболоч-
'V. Эта оболочка располагается уже вне исходного ядра, в то
зремя как внешняя замкнутая оболочка этого ядра (из которой
завлекаются протонов) образует его поверхность.
318 Приложения
Для оценки среднего расстояния Д® между нуклонными
уровнями достаточно энергетический интервал Йо; между сосед-
ними ядерными оболочками разделить на число нуклонов пв1 за-
мыкающих оболочку. Интервал Тм между ядерными оболочками
дается формулой (7.9), из которой следует, что
(Д.3)
где А = N + Z, Поскольку в обсуждаемом процессе участвуют
прежде всего нуклоны, находящиеся на поверхности ядра, число
этих нуклонов ns определяется величиной этой поверхности, т. е.
(Д-4)
где R — радиус ядра. Итак,
Обозначив коэффициент пропорциональности между АД и 1/А
через 4а,ут, получаем Д2? = 4aiJm/A и окончательно приходим
к формуле (Д.1).
319
Приложение Е
Соотношение
между наблюдаемым и собственным
электрическими квадрупольными
моментами ядра
Определение собственного Qq и наблюдаемого Q электри-
ческих квадрупольных моментов ядра дано в Лекции 3. Напом-
ним, что для ядра с плотностью распределения электрического
заряда />(г)
Qo = - /*(3z2 -r2)p(r)dv.
е е J
(Е.1)
Qo определен в собствен-
ной (внутренней) системе ко-
ординат ядра. Начало этой
системы координат совпада-
ет с центром заряда и мас-
сы ядра, а ось z направлена
вдоль оси симметрии ядра.
Для ядра в основном состоя-
нии спин J направлен вдоль
этой же оси (рис. Е.1).
Наблюдаемое значение
квадрупольного момента оп- х
ределено в штрихованной си-
стеме координат (х', у7, zl),
ориентация которой задает-
ся направлением внешнего электрического поля, используемо-
го для нахождения квадрупольного момента. Эта система ко-
ординат повернута относительно собственной системы ж, у, z на
Рис. Е.1
320 Приложения
некоторый угол а, поскольку принцип неопределенностей не до-
пускает точной локализации J вдоль направления внешнего поля
(оси z'). Поэтому наблюдаемое значение Q всегда меньше собст-
венного Qo- Вектор J образует с осью z' угол а, определяемый
соотношением cos а = +1), где М — проекция J на
ось z*. В качестве Q используют его максимальное значение,
Т.е. значение при М = J. В этом случае угол а минимален и
COS OtM~J
В этом разделе мы покажем, что имеет место следующее
соотношение между Q nQo
Q = Qo*^zl (Е.2)
и, пользуясь этим соотношением, подтвердим общую теорему о
том, что Q = 0 при J < 1.
Поворот системы координат т', у', z* относительно системы
г, у, z характеризуется полярным и азимутальным углами а и
Полярные и азимутальные углы в этих системах координат
обозначаем у>' и 0, <р. Имеет место следующее тригонометри-
ческое соотношение:
cos 9* ±= cos 9 cos а + sin 9 sin a cos(y> — /3).
Кроме того, z = rcos0, z* = r'cosfl', т = т* и dv = dv*, Ни-
же полагаем однородное распределение плотности заряда р(т) =
— const — Ро* Тогда
Q = ~Ро [— r2)dv* = -ро [r2(3cos29* - 1)dv* =
e J e J
— lp0 f r2 [3 cos2 ff cos2 a 4- 3 sin2 9 sin2 a cos2 (y? - /?)+
e J L
+6 cos 9 cos a sin 9 sin a cos(<p - /3) — 1] dv,
где dv = r2dr sin 9 d9d<p.
Третье слагаемое в квадратных скобках за счет множителя
cos(y>-/3) при интегрировании по от 0 до 2% даст нуль, поэтому
его в дальнейшем не учитываем. Во второе слагаемое входит
множитель cos2 (<р - /?) и появляется необходимость вычисления
интеграла
СО8Л(<р-0)d<p,
v о
321
который, как легко показать, равен тг. Итак, получаем
1 /* / 3 \
Q = -р0 / г2 ( 3cos2 0COS2 а + -sin2 flsin2 а - 1 ) dv.
е J к 2 /
Здесь при записи второго слагаемого в скобках учтено, что я* =
2 г
= | J dtp. Преобразуем полученное выражение для Q:
о
<? =
i г2 [б cos2 в cos2 а + 3(1 - cos2 0)(1 - cos2 а) - 1] dv =
Ze J
/ г2 [9 cos2 6 cos2 а —
Ох» I *
3 cos2 0 — 3 cos2 а + 1] dv =
= J r2(3 cos2 0 - 1)(3 cos2 a - 1) dv =
(3 cos2 а-1)1 Г , 2 . (Зсоз2а-1)
= ------------ / p0r2(3cos2 0 - 1) dv = i--------Qq.
Z € J Z
Формула (E.2) получена. Так как в качестве Q использу-
ют его максимальное значение при cosajvf=j = J/ у/+ 1),
приходим к соотношению
J(2J -1)
2J(J + 1)
(Е.З)
откуда, в частности, следует, что Q = 0 при J = 1/2- Поскольку
обращение Q в нуль при J = 0 для ядра любой формы очевидно
в силу его произвольной ориентации в пространстве, справедли-
вость теоремы о том, что Q = 0 при J < 1 подтверждена.
Отметим, что более строгое квантовомеханическое рассмот-
рение, принимающее в расчет вид волновой функции ядерного
эллипсоида, дает приведенное в Лекции 3 выражение (3.34)
9=(J + lV2J + sA (Е'4)
+ 1Д2</ + 3)
Этим последним выражением и следует пользоваться для точ-
ного сопоставления Q и Qo-
322
Приложения
Коснемся вопроса о том, каким образом у ядер в основном со-
стоянии возникают довольно большие значения Qo* Эксперимен-
тальные данные по электрическим квадрупольным моментам
(Лекция 3, п. 7, рис. 3.5) показывают, что эти моменты равны
нулю для ядер с магическим числом протонов и (или) нейтро-
нов, т.е. для ядер с заполненными оболочками (Лекция 7). Та-
кие и близкие к ним ядра имеют сферическую (или почти сфе-
рическую) форму. По мере удаления от магических ядер элек-
трические квадрупольные моменты растут, достигая значений
Qo ж 10-20 барн (а в некоторых случаях и еще больших) в се-
редине между магическими областями. В ядрах с такими Qo
отношение длинной оси эллипсоида к короткой Ь/а приближает-
ся к 3/2, т. е. форма таких ядер уже далека от сферической (они
сильно вытянуты или сплюснуты).
Одночастичная модель оболочек (Лекция 7) не может объяс-
нить столь больших величин Qo в основном состоянии. Согласно
этой модели они либо строго равны нулю у ядер с заполненными
оболочками или четно-четных ядер (в таких ядрах все моменты
отдельных нуклонов в основном состоянии полностью скомпен-
сированы), либо незначительны, поскольку обусловлены движе-
нием по несферическим орбитам одного-двух неспаренных нук-
лонов сверх четно-четного сферического остова (в случае нечет-
ных и нечетно-нечетных ядер). Таким образом, в одночастичной
модели оболочек все ядра либо сферические, либо почти сфери-
ческие независимо от того, находятся они в областях магичности
(где нуклоны замыкают оболочки), либо далеки от этих областей
(их внешняя оболочка в этом случае заполнена лишь частично
и имеет много вакансий). Причина подобных неудач одночас-
тичной модели оболочек кроется в пренебрежении остаточным
взаимодействием между нуклонами (Лекция 7), т.е. той частью
двухнуклонного взаимодействия которую нельзя свести к
одинаковому для всех нуклонов потенциалу (в сдночастичной
модели оболочек учтена лишь короткодействующая часть оста-
точного взаимодействия — силы спаривания). Происхождение
больших квадрупольных моментов объясняется влиянием даль-
нодействующей составляющей остаточных сил со стороны са-
мых внешних нуклонов ядра, двигающихся по несферическим
орбитам, на замкнутые сферические ядерные оболочки. Эти си-
лы деформируют (поляризуют) сферический остов заполненных
оболочек. Поскольку остов содержит большинство нуклонов яд-
ра и основную часть его электрического заряда, даже сравни-
323
тельно малая его поляризация приводит к заметной величине
квадрупольного момента. Если сверх остова имеется большое
число нуклонов, то его поляризация, а следовательно и квадру-
полЬный момент ядра, могут стать весьма значительными. Учет
дальнодействующих остаточных сил в рамках многочастичной
модели оболочек (о ней упоминается в Лекции 7) позволяет при-
близиться к описанию экспериментально наблюдаемых величин
электрических квадрупольных моментов ядер.
В заключение раздела поясним утверждение о том, что у
ядра, имеющего ось симметрии, спин J в основном состоянии
всегда направлен вдоль этой оси. Пусть это ядро имеет вид вы-
тянутого аксиально-симметричного эллипсоида (рис. Е.2,а). В
основном состоянии этот эллипсоид неподвижен (не вращается)
и спин ядра формируется только как векторная сумма 53 j а пол-
ос
ных моментов количества движения небольшого числа внешних
нуклонов, совершающих быстрое независимое движение внутри
фиксированной эллипсоидальной поверхности. Такое представ-
ление о несферическом ядре соответствует делению его на бес-
спиновый инертный деформированный остов и валентные нук-
лоны, практически не возмущающие этот остов (их влияние на
остов уже учтено в появлении деформации остова). Эти валент-
ные нуклоны двигаются теперь не в сферической потенциальной
яме, а в деформированном аксиально-симметричном потенциале
(яме), создаваемом остовом. Поскольку в такой яме симметрия
относительно пространственных поворотов (кроме поворотов от-
носительно оси симметрии) отсутствует, то полные и орбиталь-
ные моменты нуклонов и их сумма £ ja не сохраняются. Но из-за
а
аксиальной симметрии сохраняющимся квантовым числом оста-
ется проекция 53на °сь симметрии z (а также четность Р).
ot
324----------------------------------- . Приложения
Вектор 22 быстро прецессирует вокруг оси z и его составляю-
or
щие на оси х и у усредняются до нуля. Таким образом, в качестве
наблюдаемого значения спина ядра J остается проекция 22 Ja на
а
ось симметрии. При этом состояние ядра характеризуется сим-
волом Jp.
Если теперь перейти к возбужденному состоянию ядра, за-
ставив его вращаться как целое без изменения характера движе-
ния валентных нуклонов, то ситуация с моментами количества
движения будет той, которая изображена на рис. Е.2, б. На этом
рисунке В это вектор момента количества движения, возникаю-
щий за счет вращения ядерного эллипсоида. Этот вектор перпен-
дикулярен оси я, так как квантовомеханическое вращение может
происходить лишь вокруг оси перпендикулярной оси симметрии
системы (Приложение К). Вектор суммарного момента I = J+R
есть вектор спина ядра в этом возбужденном (вращательном) со-
стоянии, и он уже не направлен вдоль оси симметрии. Конечно,
возбуждение ядра можно вызвать и изменением состояний нук-
лонов (изменением вектора 22J«)> но лишь возбуждения с вра-
ct
щением ядра способны заставить его спин ориентироваться не
вдоль оси симметрии.
325
Приложение Ж
Элементарная теория ^-распада.
Правило Сарджента
Золотое правило Ферми
Пусть имеется квантовая система, описываемая не завися-
щим от времени гамильтонианом Яо, и Для этой системы из-
вестно решение соответствующего уравнения Шредингера
(Ж.1)
Пусть теперь внутри этой системы в какой-то момент возника-
ют дополнительные силы, причем эти силы существенно меньше
тех сил, которые обеспечивают существование самой системы.
Эти дополнительные силы меняют исходный гамильтониан на
малое слагаемое V (гамильтониан взаимодействия системы с но-
выми силами) и теперь гамильтониан системы
Я = Яо + У. (Ж.2)
Малость дополнительных сил означает, что V Но, т. е. проис-
ходит слабое изменение (возмущение) исходного гамильтониана.
V, вообще говоря, зависит от времени, т. е. нестационарно, и это
дополнительное взаимодействие может возникать не только за
счет появления новых внутренних сил в системе, но и за счет
внешнего поля, которое действует на систему.
За счет дополнительного взаимодействия V система может
перейти из исходного (начального) состояния в некое новое
(конечное) состояние причем, согласно квантовомеханичес-
кой теории возмущений вероятность такого перехода в единицу
времени дается формулой
326 Приложения
w =
rfV^dv2 pf(Ef) = £
(Ж.З)
где pj(Ef) — плотность конечных состояний системы;
Эта формула была названа Ферми за ее простоту и удобство
использования золотым правилом.
Следует подчеркнуть, что в соотношении (Ж.З) конечное
состояние V*/; как и начальное является собственным состоя-
нием невозмущенного гамильтониана Hq. Это является отраже-
нием малости У по сравнению с Яо, что позволяет по-прежнему
характеризовать систему собственными функциями и энерги-
ями Е исходного гамильтониана Яо.
Вывод соотношения (ЖЛ) можно найти в любом учебни-
ке по квантовой механике. Здесь мы лишь покажем, как можно
быстро получить это соотношение с точностью до множителя
2?г.
Пусть система до появления дополнительного поля находит-
ся в состоянии fa. При включении нового поля оператор (га-
мильтониан) взаимодействия V переводит исходное состояние в
состояние, описываемое волновой функцией Ф:
ф = У^ = у|»), (Ж.4)
Какова вероятность того, что этим новым состоянием будет
состояние ™ |/)? Разложим Ф по состояниям невозмущенного
гамильтониана Яо:
Ф = $>мЬ = £а*|4), (Ж.5) fc к
причем = (Ж.6) к
т.е. |а*|2 есть вероятность присутствия в Ф состояния |Л). Оче-
видно, в силу ортонормированности собственных функций га-
мильтониана Яо l<*fc|2 = К*|Ф>|2. (Ж.7)
-327
Таким образом, искомая вероятность обнаружить в качестве но-
вого состояния будет
1а/|2 = 1(/|Ф>|2 = К/lW- (Ж.8)
Вероятность перехода системы в энергетический интервал от Е
до Е + ДЕ дается соотношением
(Ж.9)
Ct
где сумма по а — это сумма по состояниям, лежащим в интер-
вале от Е до Е + ДЕ (рис. Ж.1).
j Пусть величины для состоя-
ний |а), лежащих в указанном интерва- "" f
ле, приблизительно одни и те же и равны " 3ZZ
Тогда
W « |(/|V|i>|2 Дп, (Ж.10)
где Дп — число состояний в интервале от
Е до Е + ДЕ. Если ДЕ = 1, то Дп — Рис’ Ж1
где р/ — плотность конечных состояний.
Итак,
W«|<f|V|i>|\. (Ж.11)
Вероятность перехода в единицу времени
W
Д*1
(Ж.12)
где Д£ — время, за которое происходит переход. Из соотношения
неопределенностей ДЕД£ « й. При ДЕ — 1 имеем Д£ « h и
окончательно получаем
и'*£|(/|Я0|2р/.
(Ж.13)
что с точностью до множителя 2тг совпадает с (Ж.З).
Формула (Ж.З) ниже будет использована для описания /3-
распада атомных ядер, вызываемого слабым взаимодействием.
Эта формула пригодна и для расчета вероятности взаимодейст-
вия ядер с электромагнитным полем.
328 Приложения
Плотность состояний свободного движения
Для того чтобы воспользоваться формулой (Ж.З), необхо-
димо определить плотность конечных состояний р/. Важным (и
часто встречающимся) является случай, когда конечными состо-
яниями распада или реакции, вызванной возмущающим полем,
оказываются состояния свободного движения продуктов распа-
да (реакции). Это относится и к рассматриваемому ниже случаю
/3-распада. Покажем, как рассчитывается плотность состояний
свободного движения.
Есри пренебречь зависимостью возмущающего гамильтони-
ана V от спинов конечных частиц, то волновые функции свобод-
ного движения этих частиц могут быть выбраны в виде плос-
ких волн. При этом зависящая от пространственных координат
часть волновой функции
(Ж.14)
где V — нормировочный объем, не входящий в конечный резуль-
тат, к — волновой вектор частицы (к = р/Я).
Условие нормировки
у
2
dv = 1
приводит к тому, что вектор импульса (и волновой вектор) уже
не меняется непрерывно, а принимает набор дискретных значе-
ний (квантуется). При этом возникают следующие ограничения
на проекции импульса частицы:
2тгЛ 2тгЛ 2тгЛ . ч
Рх — Ру — Pz — £ (2К.15)
где L — длина ребра нормировочного куба (V = L3), а пя, пу,
nz — положительные или отрицательные целые числа, включая
нуль (0, ±1, ±2,...).
Из (Ж.15) следует, что на одно состояние свободной части-
цы в пространстве импульсов приходится объем (2тгй)3/У. При-
мем V = L = 1 и опустим нормировочный множитель 1/-/У в
волновой функции (Ж.14). Тогда на одно состояние в импульс-
ном пространстве будет приходиться объем (2тгЛ)3. Учитывая,
329
что плотность состояний — это число состояний на единичный
интервал энергии, получаем для плотности состояний свободной
частицы
dn _ dnxdnydnz __ dpxdpydpz p2dpdQ
dE ” dE ~ 4Е(2тгЛ)3 ” dE(27rft)3’
где dQ — элемент телесного угла в импульсном пространстве.
Полученная плотность состояний относится к тем состояни-
ям свободного движения частицы, когда направление вектора ее
импульса р почти не меняется и он попадает в элемент dQ телес-
ного угла в пространстве импульсов. В дальнейшем мы не бу-
дем интересоваться ориентацией вектора импульса, интегрируя
по всем направлениям движения частицы. При этом плотность
состояний возрастает по сравнению с в 4тг раз. Это значение
плотности и будет использовано в дальнейших расчетах:
„ _ P2dP f Jn- ^Р2 dP 1й\
Pf dE(2irK)3 J dE(2Trft)3' (Ж.16)
0
Следует иметь в виду, что при распаде исходного объекта на две
частицы плотность конечных состояний системы дается тем же
выражением (Ж.16), так как импульс одной из образующихся
частиц полностью определяется импульсом другой (в системе
центра инерции эти импульсы равны по величине и противо-
положно направлены) и никаких дополнительных состояний в
системе не возникает.
Теория Ферми
Основы теории слабых взаимодействий и /3-распада были
заложены Ферми в 1934 г. К 1958 г. эта теория была обобще-
на в универсальную четырехфермионную теорию слабых вза-
имодействий, согласно которой элементарный процесс слабого
взаимодействия представляет собой контактное взаимодействие
четырех фермионов — нейтрона, протона, электрона (или по-
зитрона), нейтрино (или антинейтрино). В простейшем случае
/3-распада нейтрона графическое изображение такого процесса
представлено на рис. Ж.2, а.
Приложения
Рис. Ж.2
В настоящее время процессы как слабого, так и электро-
магнитного взаимодействия находят объяснение в новой под-
тверждённой экспериментом объединенной теории — электро-
слабой модели (ЭСМ), согласно которой слабое взаимодействие
осуществляется обменом виртуальными массивными промежу-
точными бозонами W* и Z, Графическое изображение такого
процесса на примере распада нейтрона показано на рис. Ж.2, б.
Электрослабая модель не отменяет многих результатов те-
ории /3-распада Ферми, излагаемых ниже. Действительно, ра-
диус слабых сил « 10~3Фм (Лекция 4). При столь малом ра-
диусе взаимодействия теория Ферми, в которой взаимодействие
четырех фермионов считается точечным, будет справедлива в
области Низких и средних энергий взаимодействия. В частнос-
ти, она справедлива при энергиях /3-распада ядер. Отклонения
процессов слабого взаимодействия от теории Ферми, предсказан-
ные электрослабой моделью, проявляются при высоких энергиях
частиц Е > тпцгс2 « 100 ГэВ, где туу — масса промежуточного
бозона.
Малая интенсивность слабых взаимодействий позволяет для
получения вероятности /3-распада использовать теорию возму-
щений и формулу (Ж.З). Ниже для определенности будем гово-
рить о /3”-распаде, когда ядро испускает электрон и антинейт-
рино. В этом случае в начальном состоянии существует ядро,
описываемое волновой функцией а в конечном — ядро, элек-
трон и антинейтрино, описываемые волновыми функциями
и V’t/- Считая, что конечное ядро, электрон и антинейтрино
не взаимодействуют друг с другом, получаем следующее выра-
жение для волновой функции конечного состояния системы:
(Ж.17)
При этом матричный элемент /3-распада имеет вид
331
Для вычисления матричного элемента необходимо выпол-
нить интегрирование по объему ядра. В первом приближении
(это впервые сделал Ферми) этот матричный элемент можно за-
менить следующим:
Gf /
(Ж.18)
где Gf — константа Ферми, определяющая интенсивность сла-
бого взаимодействия. Из опыта найдено
Gp = 0.89 -IO-4 МэВ -Фм3.
Так как нейтрино (антинейтрино) очень слабо взаимодей-
ствует с другими частицами, ее волновая функция может быть
выбрана в виде плоской волны (Ж. 14). Полагая V = 1, имеем
(Ж.19)
Функция фе представляет собой волновую функцию электрона
в кулоновском поле ядра и электронной оболочки. Однако если
заряд ядра мал, то потенциальной энергией электрона в кулонов-
ском поле можно пренебречь по сравнению с его кинетической
энергией и взять волновую функцию электрона также в виде
плоской волны
= е<(р«г/Л)
(Ж.20)
Для нахождения плотности конечных состояний pf обратимся к
формуле (Ж.16). Учтем, что число независимых конечных со-
стояний системы в данном случае равно произведению чисел
конечных состояний электрона и антинейтрино (состояние ко-
нечного ядра однозначно определяется состоянием электрона и
антинейтрино). Поэтому плотность конечных состояний при вы-
бранной нормировке волновых функций дается выражением
_ 1 4irp|dpe 4irpldpv
Pf ~ dEfi (2тг&)3 (2тгЛ)3 ’
(Ж.21)
Теперь можно, используя золотое правило (Ж.З), получить вы-
ражение для энергетического спектра электронов при ^-распаде.
332 —___________________________:_______Приложения
Спектр электронов ^-распада. Правило Сарджента
Преобразуем выражение (Ж.21). В этом выражении Ер =
= Q3 — энергия 3-распада, равная сумме кинетических энергий
электрона и антинейтрино (отдачей ядра пренебрегаем):
Ep = Qp = Te+Tu. (Ж.22)
Учтем, что
>7е = Ci/Pe + ^2С2 ~ тс2, Ту = Еу — р^с, (Ж.23)
где тп — масса электрона.
Мы Хотим найти вероятность вылета электрона с опреде-
ленной кинетической энергией, поэтому фиксируем эту энергию.
Тогда из (Ж.22) получаем dEp s dQp = dTy. Кроме того, из
(Ж.22) и (Ж.23) имеем
Ре = -УТе(Те + 2ТПС2), Ре dpe = ( + ГП ) dTe,
С \С* /
Pi=^(Qfi-Te)2> dp„=^. (Ж.24)
Подставляя все это в (Ж.21), получаем
Р,= ~->Ж+2™!) (£+") =
= 4^W^(Т. + 2тс»)(Тв + тс2)((^ - Te)2dTe. (Ж.25)
С учетом вида матричного элемента /3-распада (Ж.18) и
волновых функций электрона (Ж.20) и антинейтрино (Ж. 19) из
золотого правила (Ж.З) получаем следующее выражение для ве-
роятности dwe ъылеть. в единицу времени электронов с кинети-
ческой энергией Те в интервале сКГе:
, 2тг
dwe = ~r~Gp
Л
12
Pf>
(Ж.26)
333
где pj дается формулой (Ж.25). Вероятность вылета электронов
в единичном интервале их энергий (спектр электронов) будет
описываться формулой
dwe _ G2f
dTe “ 27г3Л7с6
X
X у/Те(Те + 2тс2)(Те + тс!)(^ - Те)2 =
= 7^Г1\М\г у/Те(Те + 2тс*)(Те + тс2)(^ - Те)2, (Ж.27)
2тг3л с6
где
м= [ ^je-<<p‘+p*)r/h dv (Ж.28)
— матричный элемент /3-перехода.
Спектр электронов (позитронов) /3-распада искажается ку-
лоновским полем атома, которое складывается из поля ядра и
электронной оболочки. Поэтому в выражение (Ж.27) необходимо
добавить множитель F(TeiZ)i который определяется как отно-
шение вероятности появления электрона с энергией Те с учетом
реального кулоновского поля атома (Z / 0) к вероятности без
учета этого поля (Z = 0). Учет реального поля приводит к уве-
личению числа электронов малых энергий и уменьшению числа
малоэнергичных позитронов.
Полная вероятность /3-распада в единицу времени т.е.
величина обратная среднему времени жизни ядра относитель-
но /3-распада, равна суммарной вероятности вылета электронов
(позитронов) всех энергий, т.е. интегралу f dTe\
о е
1
WB ~ — =
е-
Обозначая
= у у/Те(Те + 2mc2)(Te + mc2)(Q0 - Te)2F(Te, Z) dTe,
334__________ -_________________________Приложения
получаем, полагая |М|2 const,
(ж-29)
^9 2ТГ3П С6
F(Q@) сильно зависит от Q@. При очень больших энергиях
/3-распада имеем Т€ тпс2 и
1
Wj3 — — ~
т0
Q0
I T2(Q0-Te)2dTe~Qsp.
О
(Ж.ЗО)
Это соотношение, показывающее, что при больших энергиях ве-
роятность /3-распада зависит от энерговыделения в пятой степе-
ни, носит название правила Сарджента,
Переходы Ферми и Гамова-Теллера
В Лекции 4 (п. 5) отмечалось, что характерные импульсы
лептонов при /3-распаде таковы, что
1Р< + Ру1Д » К)-2 < 1,
п
(Ж.31)
где R — радиус ядра. При этом экспонента в матричном элемен-
те мало отличается от единицы (интегрирование в матричном
элементе проводится по внутренней области ядра, где ядерные
волновые функции и отличны от нуля, т.е. для г < R) и
матричный элемент сводится к
М
т.е. к выражению, зависящему только от Состояний начально-
го и конечного ядер и не зависящему от импульсов лептонов.
Форма /3-спектра в этом случае определяется только плотнос-
тью конечных состояний р/ (Ж.25). Такие /3-переходы (и /3-
спектры), как уже отмечалось, называются разрешенными, по-
скольку идут с наибольшей вероятностью. Для таких переходов
О < J dv < 1. Если j dv » 0, то экспоненту в мат-
ричном элементе (Ж.28) нужно разложить в ряд по степеням
335
показателя экспоненты. Степень первого члена этого ряда, ко-
торый дает отличный от нуля вклад в матричный элемент, на-
зывается порядком запрещенности перехода, а сами переходы
запрещенными, поскольку их вероятность мала по сравнению с
вероятностью разрешенных переходов. Порядок запрещенности
перехода (степень запрета) равна относительному орбитальному
моменту L лептонной пары (Лекция 4).
При /3-распаде спин ядра меняется на величину ДД, равную
векторной сумме спинов электрона и антинейтрино (позитрона
и нейтрино) и их относительного орбитального момента L:
ДД = L + Se + s^. (Ж.32)
Если суммарный спин лептонной пары se + sM = 0 (спины лепто-
нов антипараллельны), то имеем /3-переход Ферми. Если Se+s^ =
» 1 (спины лептонов параллельны), то имеем [3-переходы Га-
мова-Теллера. При разрешенном переходе фермиевского типа
ДД = 0 и спин конечного ядра равен спину начального ядра;
Jj = Ji. Для запрещенных переходов Ферми орбитальный мо-
мент лептонов (степень запрета) L = Д J. Для переходов Гамова-
Теллера ДД = L, L ± 1.
Для фермиевских /3-переходов гамильтониан (оператор) сла-
бого взаимодействия V/з = Gp = const. Такой оператор, действуя
на волновую функцию начального состояния ядра (pi, оставля-
ет Все квантовые характеристики этого состояния (спин Д, чет-
ность Р, суммарный орбитальный момент нуклонов, суммарный
спин нуклонов) неизменными и в случае разрешенных переходов
(L = 0) квантовые характеристики конечного ядра совпадают с
квантовыми характеристиками начального, в частности Jf — Ji,
Pf^pi-
Для разрешенных переходов Гамова-Теллера ДД = Д/ — Д^ =
= 1 и Jj = Ji, Ji ± 1. При этом переход 0 0 (из сос-
тояния с Ji ~ 0 в состояние с Jf — 0) запрещен, так как
лептонная пара должна унести момент se 4- зу == 1. Четность
ядра в разрешенном гамов-теллеровском переходе не меняет-
ся (Pf = А). Оператор (гамильтониан) слабого взаимодейст-
вия гамов-теллеровского типа устроен так, что воздействует на
спиновые состояния нуклонов. В простейшем случае разрешен-
ного гамов-теллеровского перехода у одного из нуклонов ядра
направление спина меняется на противоположное — происходит
«переворот» спина нуклона.
336 Приложения
Примером разрешенных ^-переходов является распад сво-
бодного нейтрона п р 4- е* + ve. Этот распад происходит как
за счет взаимодействия Ферми, так и за счет взаимодействия
Гамова-Теллера. Эти два варианта распада нейтрона можно
проиллюстрировать следующим рисунком, где вертикальными
стрелками показаны направления спинов нуклонов и лептонов
Nt + t + l
> t-H +1+ t
переход Ферми,
переход Гамова-Теллера.
В случае фермиевского распада нейтрона матричный элемент
имеет вид J трр'ФпЛи и должен быть равен 1, так как в пре-
небрежении электромагнитными поправками волновая функция
одиночного протона должна быть той же самой, что и волновая
функция одиночного нейтрона (переход происходит между ком-
понентами изоспинового дублета). Спин и четность нуклона 7г+
и распад нейтрона — это переход 7з+ -4 г/г+.
Изложенная простейшая теория /3-распада — это теория,
где четность сохраняется. После 1956 г., когда стало ясно, что
в слабых взаимодействиях четность не сохраняется, теория бы-
ла модифицирована, с тем, чтобы учесть эффекты несохранения
четности. Эти эффекты учтены использованием в новой теории
специально сконструированного гамильтониана слабого взаимо-
действия, не сохраняющего четность. Рассмотренные выше вза-
имодействия Ферми и Гамова-Теллера — части нового моди-
фицированного слабого взаимодействия. Рассмотрение новой те-
ории выходит за рамки данной .книги. Вместе с тем отметим,
что новая теория не отменяет основных выводов, сделанных в
настоящем Приложении.
В заключение раздела, посвященного /3-распаду, рассмот-
рим задачу.
Задача. Показать, что реакция р+р —> 2H+e+4-i/ej являю-
щаяся основным источником энергии Солнца, идет за счет сла-
бого взаимодействия Гамова-Теллера, причем соответствую-
щий /3-переход является разрешенным.
Решение. Для того чтобы осуществилась обсуждаемая
реакция, два протона должны оказаться практически в одной
точке (радиус слабого взаимодействия ~ 10”16см). При этом,
подчиняясь принципу Паули, эти протоны не могут в этой точ-
ке иметь все одинаковые квантовые числа. Ниже будет показа-
но, что состояние двух соприкасающихся Йфбтонов при малых
337
энергиях — это почти чистое s-состояние, т. е. состояние с ор-
битальным моментом L = 0. Таким образом, орбитальные кван-
товые числа протонов одинаковы и они могут отличаться лишь
направлениями спинов — спины протонов должны быть анти-
параллельными (||). Поэтому полный момент и четность двух
протонов Jfp = 0+.
В результате реакции образуется дейтрон в основном состо-
янии, т.е. в состоянии с JP(2H) = 1+. Очевидно, реакция мо-
жет быть разрешенной только за счет взаимодействия Гамова-
Теллера и направления спинов нуклонов и лептонов показаны на
следующей схеме:
р + р 2H(np) + е+ + ve
Теперь покажем, что два протона, участвуя в реакции, имеют
нулевые орбитальные моменты. Известно, что обсуждаемая ре-
акция в звездах идет при кинетических энергиях протонов Тр «
« 1 кэВ. Тогда значение их относительного орбитального момен-
та определяется из соотношения
< pRy
(Ж.ЗЗ)
где р — импульс протона, R — радиус нуклона.^Так как
Р= |^2Тртпрс2 и
« о '.'km--т-\/2 • 10-3МэВ-938МэВ « 4.6 • 10"11 МэВ • с/см,
3 • 1О10 см/с '
Я»10“13см, Л и 6.6 • 10-22МэВ-с,
из (Ж.ЗЗ) получаем
pR 4.6 • 10"11 МэВ • с/см • 10“13см _
LiT =----------6.6 • 10~зг МэВ с--“ °'007'
Поскольку квантовомеханический орбитальный момент обя-
зан быть целым числом или нулем, для орбитального момента
протонов остается единственное значение L = 0. Задача решена.
Итак, реакция р+р -»2 Н + е+ + ve может быть разрешенной
(т. е. протекать сравнительно быстро) и играть важную роль в
звездной эволюции именно потому, что существует взаимодей-
ствие Гамова-Теллера.
338
Приложения
Приложение 3
Потенциал Юкавы
Рассмотрим формализм получения потенциала Юкавы, ис-
пользуя аналогию с электромагнетизмом. Заряды и токи — ис-
точники скалярного и векторного поля (скалярного и векторного
потенциалов <р и А). Уравнения Максвелла для <р и А имеют вид
В пустоте (p=j=0) они дают волновое уравнение для элек-
тромагнитного излучения (в поперечной калибровке при этом
<р = 0). К волновому уравнению формально можно прийти так-
же из релятивистского соотношения между энергией и импуль-
сом для.безмассовой частицы Е1 = р’с3 заменой Е -> и
Рх Ру -> Р*
Неподвижные электрические заряды (статический случай)
дают только скалярный потенциал, удовлетворяющий уравне-
нию Пуассона
Д<р = -4тгр,
которое для одиночного заряда запишем в виде
Ду> = —4тгер,
(3-2)
где р(г) — плотность вероятности найти частицу в данной точ-
ке пространства. Для одиночного заряда е в начале координат
имеем в качестве решения уравнения Пуассона (3.2) кулоновский
потенциал
339
Уравнения (3.1) применимы к безмассовому полю (фотоны).
Пионы (кванты ядерного поля — тг-мезоны) имеют массу. Соот-
ветствующее уравнение для пионов легко найти из релятивист-
ского соотношения для массивной частицы Е2 — р2с2 +тп2с4 под-
становкой Е ihji и р ч -iftV, что дает уравнение Клейна-
Гордона
: (3.3)
Это уравнение описывает свободное пионное поле, т.е. плоскую
волну
где к = p/ft, ар удовлетворяет соотношению Е2 = р2с2 4- т2с4.
Если говорить о ядерном поле, создаваемом неподвижным
нуклоном, то мы приходим к уравнению, являющемуся аналогом
уравнения Пуассона (3.2)
Д ” = 4%5w
л /
(3-4)
где gN — ядерный заряд нуклона, а р(г) — плотность вероят-
ности найти нуклон в данной точке пространства.
Для сферически симметричного случая из (3.4) имеем •
Id/ 1 / / \ л t \
(3.5)
где а = ft/mc — радиус взаимодействия.
Решение (3.5) и есть потенциал Юкавы
к \ е~г/
^(Н = -gN—-
т
(3.6)
для которого в Лекции 5 (соотношение (5.2)) используется обо-
значение У(г) вместо ^(г). Знак «минус» перед gN означает при-
тяжение одинаковых ядерных зарядов в отличие от одинаковых
электрических зарядов.
Радиальная зависимость потенциала (3.6) переходит в ради-
альную зависимость кулоновского потенциала (1/г) при тп = 0.
23*
340-------------------------------------Приложения
Энергия взаимодействия двух юкавских зарядов
^(r) = -^e-r/e.
Все предыдущее изложение относилось к скалярному полю,
т. е. к полю, переносчиками которого являются скалярные час-
тицы (частицы со спином и четностью 0+). Пионы — псевдо-
скалярные частицы (0"), поэтому для них потенциал должен
быть^уточней. Это уточнение выходит за рамки данного кур-
са. Отметим лишь то, что и в уточненном варианте потенциа-
ла пионного поля присутствует радиальный множитель е“г/а/г.
Отметим также и то, что существуют нейтральные скалярные
(0+) мезоны с массой существенно большей, чем масса пионов,
к которым применимо вышеприведенное рассмотрение и кото-
рые участвуют в ядерных взаимодействиях на более коротких
расстояниях.
341
Приложение И
Встречные пучки
Ускорители заряженных частиц можно разделить на два
типа:
1. Ускорители с неподвижной мишенью. Кинематика та-
ких ускорителей соответствует лабораторной системе координат
ЛСК (рис.б.З и И.1).
Та
а (снаряд) b (мишень)
Рис* ИЛ
2. Ускорители на встречных пучках, в которых снаряд и
мишень летят навстречу друг другу (обе сталкивающиеся час-
тицы являются как снарядом, так и мишенью). Если частицы а
и b равны по массе и двигаются с одинаковой скоростью, то кине-
матика таких ускорителей соответствует системе центра инер-
ции СЦИ (рис. 6.2 и И.2).
К т;
а b
Рис. И.2
В ускорителях второго типа центр инерции обычно покоит-
ся и вся энергия столкновения (суммарная кинетическая энергия
Т' + Т’) может вкладываться в реакцию. В ускорителях перво-
го типа значительная часть энергии столкновения (Та) неизбеж-
но идет на бесполезную для реакции энергию движения центра
342 ----------_--------------------------Приложения
инерции. Этот энергетический выигрыш в ускорителях второго
типа особенно значителен при высоких энергиях столкновения,
что делает ускорители на встречных пучках основным типом
ускорителей для физики высоких энергий.
Ускорители с неподвижной мишенью и на встречных пучках
будем считать эквивалентными^ если (помимо одних и тех же
частиц а и 6), они имеют одинаковые полезные энергии, вкла-
дываемые непосредственно в реакцию. Получим формулу, свя-
зывающую кинетические энергии частиц в эквивалентных уско-
рителях. Это проще всего сделать, оперируя понятием порога
реакции*(Лекция 6) и считая частицы а и b равными по массе.
Используем обозначения та = тъ = пг, Т(а = Т[ = Т7, Та = Т,
Пусть кинетические энергии частиц в эквивалентных уско-
рителях таковы, что в реакцию вкладывается минимальная
энергия, необходимая для рождения частицы с массой М. Та-
ким образом, речь идет о пороговой энергии появления такой
частицы. Пороговые энергии в СЦИ и в ЛСК получены в Лек-
ции-6 (соотношения (6.5)). Эти энергии в СЦИ и ЛСК в данном
случае следующие:
Мс2
Мс2
Мс2 \
2mc2)
СЦИ,
ЛСК.
(И.1)
В то же время верхнее значение в (И.1) равно 2Т7 (Г7 — кине-
тическая энергия каждой из частиц в СЦИ, их массы совпада-
ют), а нижнее значение в (И.1) равно Т (кинетическая энергия
частицы-снаряда в ЛСК). Итак, получаем
Т = 2Т7
m
m тс2
‘ут?
т=^т'+2тс1у (И-2)
тс*
Это и есть искомая формула, связывающая кинетические энер-
гии Т и Т1 частиц в эквивалентных ускорителях с неподвижной
мишенью и на встречных пучках.
В ультрарелятивистском случае (Г7 > тле2)
~ тс2
(И.З)
343
Задача 1. Каковы должны быть минимальные кинети-
ческие энергии протонов и антипротонов, сталкивающихся в
ускорителях на встречных пучках и с неподвижной мишенью,
для генерации нейтральных квантов слабого поля?
Решение. Нейтральный квант слабого поля Z-бозон име-
ет массу М% = 91.2ГэВ/с2 (заряженные кванты слабого поля
ТУ *-бозоны несколько легче: Mw = 80.4ГэВ/с2). Очевидно,
минимальная кинетическая энергия каждой из сталкивающих-
ся частиц (протона и антипротона) в ускорителе на встречных
пучках определяется из соотношения
z Mzc2 91.2^^
(2p)min — п “ q ГэВ — 45.6 ГэВ.
Минимальную кинетическую энергию антипротона (снаряда) в
ускорителе с неподвижной мишенью получаем из соотношения
(И13):
(TP)min « ГэВ = 4434 ГэВ = 4.434 ТэВ.
Задача решена.
Рассмотрим теперь ускоритель на встречных пучках, в ко-
тором сталкиваются частицы а и 6, имеющие разные кинетичес-
кие энергии Та и Тъ. Найдем максимальную массу М частицы,
которая может быть рождена на таком ускорителе. Запишем за-
коны сохранения энергии и импульса:
Та + Тъ = Мс2 4- Гл/)
Ра 4- Рь = РМ,
где Тм и рм — кинетическая энергия и импульс рожденной час-
тицы. Учитывая, что Мс2 + Ты = \/{рмсУ + М2с4 и в ультра-
релятивистском случае |ра + Рь| = - 7ь| — рм? получаем
(Та + Ть)2 = р2мС2 + М2С4 = (Та - Ть)2 +М2с4.
Откуда
Мс2 = 2у/Т^Гь.
(И.4)
344 Приложения
Задача 2. В ускорителе HERA (Гамбург, Германия) стал-
киваются электрон с кинетической энергией 30 ГэВ и протон
с кинетической энергией 920 ГэВ, Частицу с какой наибольшей
массой можно генерировать на таком ускорителе?
Р е ш е й и е. Используем формулу (И.4):
Мс2 = 2у/Ы> = 2>/30 • 920 ГэВ = 332 ГэВ.
Г i
345
Приложение К
О вращениях в квантовой механике
Покажем, что с точки зрения квантовой механики не может
быть вращения ядра вокруг оси симметрии и, как частный слу-
чай, вращения сферического ядра вокруг любой оси, проходящей
через его центр.
Рассмотрим вначале сферически симметричное ядро. Здесь
ядерный потенциал, действующий на нуклоны, при повороте во-
круг любой оси, проходящей через его центр, не меняется и,
следовательно, не возникает сил, заставляющих нуклоны такого
ядра согласованно участвовать во вращательном движении.
Более формальное рассуждение сводится к следующему.
Волновая функция *ф сферически симметричного ядра не зави-
сит от углов 6 и 9? сферической системы координат. Поэтому
_ п
де д<р~
Так как оператор L2 квадрата полного орбитального момента
количества движения в сферических координатах имеет вид
t2 Г 1 д ( , й д \ 1 <Э2 '
sin0 дв \ П дв) **"* sin2 6 д<р2
отсюда следует, что для сферически симметричного ядра
L2i/> = h2L(L + 1)^ = 0.
Это означает, что орбитальный момент количества движения
сферического ядра равен нулю. Таким образом, у такого ядра
нет состояний, отвечающих вращению.
Аналогично этому не имеет смысла говорить о вра-
щении деформированного ядра, имеющего форму аксиально-
симметричного эллипсоида (рис. 7.13), вокруг оси симметрии, z,
поскольку момент количества движения относительно этой оси
также равен нулю. Вращения могут происходить вокруг осей х
и у, перпендикулярных оси симметрии.
22 Зак. 320
346 --—- _______________________________Приложения
Приложение Л
Состояние двух квадрупольных фононов
Покажем, что момент количества движения J двух квадру-
польных фононов 2+ может принимать лишь значения 0, 2 и 4.
Значения J = 1 и 3 исключаются. Этот результат важен для по-
нимания квантовых характеристик нижних вибрационных воз-
буждений четно-четных сферических ядер (Лекция 7, рис. 7.17).
Воспроизведем идеальный спектр нижних вибрационных состо-
яний таких ядер (рис. Л.1).
п — 9 Формально выполненное
2й© — П — Z - 0* 2* 4* векторное сложение моментов
П =1 двух (п = 2) квадрупольных фо-
1 Л© 2 нонов дает следующие значения
Ой© — п = 0 0+ результирующего момента:
Рис. Л.1 J(n = 2) = |2 4-2| = 0, 1,2, 3, 4.
Уточнение набора этих значений проще всего осуществить с по-
мощью так называемой таблицы Слэтера,
Обозначим mi и т2 проекции на ось z каждого из двух квад-
рупольных фононов. Очевидно, что эти проекции могут прини-
мать значения 0, ±1 и ±2. При векторном сложении моментов их
проекции суммируются. Составим таблицу (таблицу Слэтера),
указывая в ней все возможные значения суммарной проекции
М = 7П1 + 7712. '
Таблица Слэтера
-2 -1 0 +1 4-2
-2 -1 0 +1 +2 lilt о н ю ы д -3 -2 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 4-2 -1 0 4-1 4-2 4-3 0 4-1 4-2 4-3 4-4
347
Учтем, что рассматриваемые частицы тождественны (не-
различимы). Ввиду этого два состояния, отличающиеся обме-
ном mi и m2, являются одним и тем же состоянием и необходи-
мо исключить значения М, располагающиеся ниже диагонали.
Значения на самой диагонали отвечают двум квадрупольным
фононам, находящимся в одном и том же состоянии. Такие со-
стояния разрешены, так как фононы подчиняются статистике
Бозе-Эйнштейна. Итак, после исключения значений Л/, распо-
ложенных ниже диагонали, получим следующий набор М:
-4 -3 -2 -1 О
-2 -1 О
О +1
+2
+1
+2
+3
+4
Очевидно, Мтах = 4 соответствует J = 4. Но при J = 4
Квантовое число М может принимать значения -4, -3, —2, -1,
О, 4-1, 4-2, 4-3, 4-4. Выделим эти значения в таблице и исключим
из дальнейшего рассмотрения. Для остающихся состояний мак-
симальное М равно 2, что может соответствовать лишь <7 = 2.
Бели теперь исключить из рассмотрения все пять значений М,
отвечающих J = 2 (М = -2, —1, 0, 4-1, 4-2), то в таблице оста-
нется единственное состояние с М = 0, которое, очевидно, отве-
чает <7 = 0.
Итак, мы получили, что для двух квадрупольных фононов
возможны лишь состояния с четными <7:
<7(2Ло>) = 0, 2 и 4.
22*
348--------------------------------Приложения
Приложение М
Спиновые состояния двух Нуклонов*
Двухнуклонные и кварк-антикварковые
изоспиновые состояния*
Цветовые состояния глюонов
Система двух тождественных частиц со спином 1/2
Пусть система состоит из двух тождественных частиц, ко-
торым присвоены номера 1 и 2, причем эти номера отража-
ют всю совокупность внутренних и пространственных коорди-
нат каждой частицы. Волновая функция этой системы предста-
вима (Лекция 10, п. 4) в виде произведения пространственной
^(г1,г2) = и внутренней у?(1,2) частей. Последняя опре-
деляется такими квантовыми числами, как спин, изоспин, цвет
и другие: t
* (мл)
Из всего набора внутренних характеристик будем рассмат-
ривать лишь спиновые состояния частиц. Тогда <^>(1,2) =
= 5(1,2), где 5(1,2) :— спиновая волновая функция, и полная
волновая функция системы двух частиц будет иметь вид
Ф(1,2) = 5(1,2)^(1,2). (М.2)
Волновая функция системы тождественных частиц должна
обладать правильной симметрией к перестановке частиц — быть
симметричной для бозонов и антисимметричной для фермионов.
Перестановке частиц в данном случае отвечает перестановка как
пространственных, так и спиновых координат. Требование сим-
метрии относится к полной функции Ф при перестановке всех
координат. Отсюда, в частности, для тождественных фермио-
нов следует обобщенный принцип Паули (Лекция 10), который
349
для рассматриваемого случая сводится к утверждению, что, ес-
ли спиновая функция симметрична к перестановке частиц, то
пространственная антисимметрична, и наоборот (соотношение
(10.18)). В этой связи познакомимся со структурой симметрич-
ного и антисимметричного спиновых состояний системы двух
тождественных фермионов со спином г/г (например, двух прото-
нов, двух нейтронов или двух кварков одинакового аромата).
В зависимости от ориентации спинов отдельных частиц
имеем четыре возможности:
ТТ, U. U, -И- (м.3)
Здесь стрелка f обозначает частицу со спином, направленным
«вверх» (т. е. имеющим проекцию +У2 на ось z), а | — частицу
со спином, направленным «вниз» (т.е. с проекцией —х/ъ на ось
z) и эти стрелки приводятся в порядке нумерации частиц.
Очевидно, первые два варианта в (М.З) — «вверх-вверх» и
«вниз-вниз» — это состояния с суммарным спином 5 = 1 (спины
частиц параллельны) и проекциями этого спина на ось z соот-
ветственно Sz = +1 и Sz = -1, т. е. это состояния
is-s->=(м-4)
Два правых варианта в (М.З) отвечают Sz = 0. Такое значе-
ние Sz может быть как у состояния с суммарным спином 5.= 0
(спины антипараллельны), так и с суммарным спином 1 (спи-
ны параллельны). Соответствующие состояния |5, Sz) = |0,0) и
|1,0). Каждое из этих состояний — некая смесь (линейная ком-
бинация) двух правых вариантов в (М.З). Состояние 11,0) — это
состояние с параллельными спинами. Оно не меняется при пере-
становке частиц, т. е. симметрично к этой перестановке. Легко
убедиться, что нормированное состояние с нужной симметрией
имеет вид
|l,0)=4j(H + U). (М.5)
V *
Другая смесь Ц и It должна дать состояние |0,0). Это состояние
должно быть ортогонально состоянию |1,0). Можно установить
проверкой, что таковым состоянием является следующее:
|o,o) = -^(n-lt). (м.б)
V 4*
350______-______________________________Приложения
Видно, что это состояние антисимметрично (меняет знак) к пе-
рестановке частиц.
Итак, окончательно имеем для триплетного (S = 1) и синг-
летного (S = 0) по спину состояний:
триплетное
синглетное
I1’1) -tT> (М.7)
4 1 1
М) + |o,o) = ^=(n-;t).
V « у л
Следующий рисунок показывает ориентацию спинов отдельных
частиц и суммарного спина во всех рассмотренных случаях.
И,1>
|1“1> |1,о> Ю,о>
Рис* МЛ
Система двух нуклонов
Используя результаты предыдущего пункта, легко полу-
чить правильно симметризованные изоспиновые волновые функ-
ции системы двух нуклонов. Они аналогичны спиновым функ-
циям (М.7) и получаются заменой в них спинов, направленных
вверх, на изоспины, направленные вверх (1$ == +1/2), что соот-
ветствует протонам, и спинов, направленных вниз, на изоспины,
направленные вниз (зз = -1/2), что соответствует нейтронам
(выбор знаков проекций для протона и нитрона соответствует
принятому в физике частиц). Получаем следующие изоспиновые
варианты двухнуклонных состояний:
351
Изоспиновый триплет — это состояние с суммарным изо-
спином I = 1 и проекциями суммарного изоспина 7з = ±1, 0.
Оно симметрично по изоспину:
|7 = 1, /3 = 1) = рр,
|7 = 1, 13 = 0) = ~у=(рп + пр),
у л*
(М.8)
J/ = 1, /з = -1) = пп.
Изоспиновый синглет — это состояние с суммарным изоспином
1 = 0. Оно антисимметрично по изоспину:
|/ = 0, 13 = 0) = ~у=(рп ~ пр). (М.9)
V **
Пр отношению к перестановке нуклонов триплетное состояние
симметрично, а синглетное антисимметрично. При поворотах в
изоспиновом пространстве триплетное состояние преобразует-
ся как вектор, а синглетное как скаляр, т.е. не меняется (см.
рис. МД).
Система нуклон-антинуклон
Поскольку антинуклон имеет тот же изоспин 1/2, что и нук-
лон, то система нуклон-антинуклон может образовывать те же
изоспиновые состояния, что и нуклон-нуклонная система, т.е.
триплетное состояние с Z = 1, Z3 = ±1,0 и синглетное состояние
с I = /3 = 0. Однако система нуклон-антинуклон не является
полной аналогией системы двух нуклонов, поскольку в данном
случае мы имеем дело с парой частица-античастица, у которых
проекции изоспина противоположны. Всего, как и в случае двух
нуклонов, получаем четыре нуклон-антинуклонных комбинации:
рп(1» = 1), рр(1з = о), пп(13 = 0), np(I3 = -1).
Из этих комбинаций нужно составить изотриплет и изосинглет.
Начнем с изосинглета. В случае системы нуклон-антинуклон
инвариантна относительно поворотов в изопространстве ком-
бинация (рр + лп). Поэтому такая комбинация и отвечает
изосинглету |Z = ОДз = 0). Для изотриплета имеем готовые
члены |1 = 1,13 = 1) = рп и |Z = 1,/3 — -1) = пр. Член
352 Приложения
|/ = 1Д3 = 0) есть такая комбинация рр и пп, которая орто-
гональна изосинглету ^(pp + nft). Легко убедиться, что такой
ортогональной комбинацией является ^*(РР “ пп). Итак, имеем
изотриплет
{|/= 1, Z3 = 1) =РТ,
|1 = 1, 13 = Р) = ~у=(рр - rin), (М.10)
V ®
|/ = 1, 13 = -1) = пр.
изосинглет
|1 = 0, 13 = 0) = 4=(й> + nn). (М.11)
V "
Следует подчеркнуть, что нуклон-антинуклонные состоя-
ния не обязаны обладать определенной симметрией к переста-
новке частиц (это относится к любым типам частиц, не только
нуклонам), поскольку частица и античастица не тождественны.
Кварк-антикварковые комбинации и- и d-кварков
Эти комбинации аналогичны нуклон-антинуклонным ком-
бинациям, рассмотренным в предыдущем пункту и получаются
из последних заменой р -> и, р -> и, п -> d, п d:
изотриплет
' |Z = 1, Z3 = 1> = ud,
.< |I = 1, li = 0) = -^(u« - СЙ), (М.12)
Ji = i, i8 = -i) = du.
изосинглет
|I = 0, Is = 0) = ~т= (ий + <Й). (M.13)
v 2 -
Этим комбинациям отвечают скалярные (J = 0) и векторные
(J = 1) мезоны, приведенные в нижеследующей таблице.
Таблица М.1
J м2 dU ^(uu + dd)
0 7Г+ 1Г~ 1Г°
. 1 Р+ Р~ Р° О?
353
Кварк-антикварковые комбинации из и-, d-, s-кварков.
Мезонный нонет (Jp = 0*)
Из кварков u, d, s и их антикварков можно составить де-
вять исходных комбинаций кварк-антикварк. Их удобно пред-
ставить в виде матрицы 3x3, указав в скобках значение Z3. Из
этих девяти комбинаций шесть сразу распределяются по одному
изотриплету (туда входят ud и du) и двум изодублетам (us, su и
ds, sd).
u d s
u uu(0) ud(+l) us(4-l/2)
d du(-l) dd(0) ds(-l/2)
s su(-1/2) «3(+l/2) ss(0)
Изодублеты сформированы полностью. Не хватает одной со-
ставляющей изотриплета, а именно с 13 = 0. Для ее получения у
нас есть три линейно независимых состояния с одинаковым на-
бором квантовых чисел Q(электрический заряд) = 0, Jp = 0“,
/3 = 0 — это uu, dd, ss. Они могут перемешиваться, составляя
различные комбинации.
Вначале составим комбинацию для недостающего члена
изотриплета. Его, очевидно, надо строить только из и- и d-
кварков, поскольку только из них можно получить состояния
с I = 1. Кроме того, этот член изотриплета не должен сильно
отличаться по массе от других составляющих изотриплета. От-
сюда имеем для искомого члена изотриплета уже полученный в
предыдущем пункте вид
у "
Итак, из 3 х 3 = 9 возможных линейно независимых комби-
нации u-, d-, s-кварков имеем семь. Остались две. Очевидно, что
они должны принадлежать двум изосинглетам, так как для их
«строительства» имеем блоки uu, dd и ss с /3 = 0.
Составим вначале очевидный изосинглет (инвариантный к
поворотам в изопространстве):
|С) = -—=(uu + dd4- ss).
v3
354_______-______________________________Приложения
Легко установить проверкой, что он ортогонален |4) и осталь-
ным шести кварк-антикварковым комбинациям, рассмотренным
ранее. Осталась последняя неизвестная комбинация
|В) =
1
^/а2 + Д2 +72
(а-иВ + /3 • <Й+ 7 • зЗ),
где а, /3,7 — неизвестные коэффициенты. Находим их из условия
ортогональности
т = Л^+Ж+7[а‘Я = “ ™ =
<с|в) = ^75+^+7[“+^+т] = 0 ” о+^+7 = “'
т.е. а = /3 и 7 = -2а.
Очевидно, следует положить а = = 1 и 7 = -2. Получаем
|В) — -y(uu + dd - 2ss),
уб
Итак, имеем все девять комбинаций (нонет) и мезонный но-
нет, состояйхий из кварк-антикварковых комбинаций на основе
кварков u, d, з следующим образом распределяется по этим ком-
бинациям:
тг+ ud Р
7Г
1Г°
К+
к°
к°
Л»
-^(uu-dd)
u7
зй
ds
s3,
-t=(uu + dd — 2*5)
v6
-^(uu + dd + ss)
355
Цветовая структура глюонов
Используя результаты предыдущего пункта, легко полу-
чить цветовую структуру глюонов. Имеем три цвета К, 3, С
и цветовое трехмерное пространство — векторное, как и любое
другое трехмерное пространство, подобное, например, изоспи-
новому, в котором может быть вектор (изовектор) или скаляр
(изоскаляр). Из трех цветов и трех антицветов можно составить
девять парных комбинаций и представить их в виде матрицы
3x3:
к 3 с
к КК КЗ КС
3 ЗК 33 ЗС
с СК сз СС
Ситуация аналогична ситуации с кварк-антикварковыми
комбинациями из трех кварков u, d, s, рассмотренной в пре-
дыдущем пункте применительно к нонету легчайших мезонов.
Повторяя все рассуждения, сразу получим цветовую структуру
всех девяти глюонов из кварковой структуры нонета мезонов с
jp = q- заменой и К, d —> 3, s -> С:
КЗ, КС, зс,
ЗК, СК, сз,
4(кк-зЗ),
у Z
4=(КК + 33-2СО),
V 6
-^=(КК + 33+СС).
V 3
Последняя комбинация должна быть отброшена, так как это
синглет (скаляр) в цветовом пространстве. Она полностью ли-
шена цвета (бесцветна) и не может выполнять роль переносчика
сильного взаимодействия.
356 Приложения
Приложение Н
Распад заряженного пиона
Основным способом распада заряженного пиона (тг^) явля-
ется распад с образованием пары лептонов 2-го поколения —
мюона (//±) и мюонного нейтрино (антинейтрино):
7Г+ -4- Р* + 7Г~ -4 /Г" + (Н.1)
Этот распад идет с вероятностью близкой к 100% (99.99%) и на
долю остальных способов распада приходится всего около 0.01%.
Этот факт на первый взгляд является удивительным, посколь-
ку существует не запрещенный никакими законами сохранения
распад аналогичный (Н.1), но на пару лептонов первого поколе-
ния:
тг+-4е+ + х/е; тг"-4 е’+Fe, (Н.2)
который идет со значительно большим энерговыделением (масса
меньше массы в 207 раз), но происходит в 104 раз реже.
Напомним, что при прочих равных условиях распад тем веро-
ятнее, чем больше энергия распада Q (за счет большего чис-
ла доступных конечных состояний образующихся частиц или,
как часто говорят, большего фазового объема). Энергии рас-
пада Q для сравниваемых процессов (Н.1) и (Н.2) составляют
соответственно - тпд)с2 = 34 МэВ и (т* — тпе)с2 = 139 МэВ.
Таким образом, существует какой-то механизм, который подав-
ляет процесс (Н.2). Рассмотрим этот вопрос.
Оба сравниваемых распада слабые и идут через промежу-
точный заряженный бозон (Иг±). Диаграммы этих распадов име-
ют одинаковый вид (в дальнейшем для определенности будем го-
ворить о распаде тг+) и содержат по два узла, характеризуемых
одинаковой константой взаимодействия aw (рис. Н.1).
357
Пион — частица с нулевым спином. Поэтому законы сохра-
нения углового момента и импульса требуют, чтобы лептоны в
системе покоя пиона летели в противоположные стороны с про-
тивоположно направленными спинами (Je + Jp = | | = 0).
При этом, поскольку нейтрино левополяризовано (спиральность
Лр = ~1), то сравниваемые распады выглядят так, как показано
на рис. Н.2 (см. также рис. 13.1).
импульс
Рис. Н.2
Заряженные лептоны также вылетают левополяризованны-
ми, но эта поляризация для них является «неправильной», так
как ультрарелятивистские е+ и в слабых процессах с заря-
женными слабыми токами рождаются правополяризованными
(правило, сформулированное в конце Лекции 12). Эта «непра-
вильная» поляризация в данном случае навязана е+ и /Д нейт-
рино.
Для качественного объяснения эффекта подавления распа-
да -> е+ре по сравнению с распадом я,+ доста-
точно вспомнить, что и рождаются в слабых процессах
со спиральностью h = Ч-v/c, т.е. v/c всех рождающихся е+ и
должны быть правополяризованными (эту поляризацию мы
называем «правильной»). Соответственно 1 - - положительно
заряженных лептонов будут левополяризованными, т. е. поляри-
зованными «неправильно». Распад с «правильно» поляризован-
ными е+ и запрещен законом сохранения углового момента.
Поэтому распад ?г+ идет с «неправильно» поляризованными в+
и Д а доля таких 1 - Так как в распаде тг ей электроны
358 —___-________________________________Приложения
(позитроны) ультрарелятивистские, то t?e/c « 1 и 1 - ve/c« 0.
В распаде тг —> pv мюоны нерелятивистские, vM/c сравнитель-
но мало и 1 - Vp/c довольно велико, т. е. вероятность рождения
«неправильно» поляризованных мюонов значительна. Поэтому
вероятность распада тг —> /«/ за счет этого эффекта во много раз
превосходит вероятность распада тг —> ev. Обратимся к вычис-
лениям.
Из законов сохранения релятивистских энергий и импуль-
сов получаем, что при распада покоящегося пиона д, е и со-
ответствующие нейтрино образуются со следующими полными
энергиями и импульсами:
Ец = =109.8 МэВ, Ev„ = =29.8 МэВ,
Рд = Р^ = = т\т^с ~ 2918 МэВ/с>
_ =б9 786 МэВ Е _ =69.784 МэВ,
2mw е 2т„
z Р1 т? — тп?
Ре-Рие = -~ = -%- = 69.8 МэВ/c. (Н.З)
С ыПх
Откуда
= cjl - (= 0.272с,
V \ /
/ /т Л \ ’
ve = С4/1 - ( = 0.999973с. (Н.4)
V \ /
Таким образом, фактор подавления распада тг -> ev по сравне-
нию с распадом тг -> pv за счет рождения е и /х с нужной (но
«неправильной») поляризацией равен
£—V? = 3.7 • UP*. (Н.5)
(1 “ ^/с)
На самом деле отношение вероятностей распадов тг -> ev
и тг —> ри выше за счет большего фазового объема (т. е. большей
плотности конечных состояний) для распада с вылетом электро-
на. Оценим роль этого фактора.
359
Напомним, как входит плотность конечных состояний в вы-
ражение для вероятности процесса. Обе сравниваемые вероят-
ности можно рассчитать, пользуясь золотым правилом Ферми
(формула (Ж.З)). Соответствующие выражения таковы:
w(?r-> el/) = ^|(e«/|t^|7r)|2pei/(-E'),
w(tt -> Д1/) = K/wd|2p^(-E)• (H-6)
n
Входящие в эти формулы матричные элементы (д1/|р^|тг) и
(е1/|У^|тг) относятся соответственно к диаграммам (а) и (б)
рис. Н.1. Нет необходимости вычислять эти матричные эле-
менты, поскольку отношение квадратов их модулей равно уже
полученной нами в более простых рассуждениях величине
(1 - Ь.) / (1 - = 3.7 • 10”5. Для получения окончательной
величины осталось рассчитать отношение плотностей
конечных состояний Для каждой из этих плотностей
справедлива формула (Ж.16), из которой следует, что
Pf
п2 dp
Р dE'
Используя (Н.З), рассчитаем плотность ре„ для электронного
распада. Имеем
~т2 1 / т*с4\
Р-~2^ГС-Тс\
где Е — тп^с2. Отсюда
А>в,/~р2^ = 8^(ТП» ”me)2(rn’ + me)-
Аналогичное выражение (с заменой те —> тпд) возникает для
Таким образом,
=(Ф4У. й 3.5. (И-?)
Ри» m2+ml
360
Приложения
Окончательно имеем
_ !.28.10-., (н.8)
(1 — vm/c) pgl/
что хорошо согласуется с экспериментальной величиной
1.23 10“4.
Используя (Н.З), (Н.4) и (Н.7), отношение вероятностей
электронного и мюонного распадов заряженного пиона можно
выразить только через массы участвующих в распаде частиц:
41 w(tt ei/) f те\2 f mJ. - ml 4 2
(Н.9)
w(tt —>• Д1/) ym^J - m^
В заключение данного Приложения рассмотрим возмож-
ность вылета при распаде тг+ -> е++^« (?гг -> e“+Fc) лептонной
пары с относительным орбитальным моментом Le„ ~ 1. Такая
возможность позволила бы позитрону (электрону) иметь «пра-
вильную» спиральность, а закон сохранения углового момента
был бы выполнен за счет компенсации суммарного спина леп-
тонов Je 4- Jp = 1 противоположно направленным орбитальным
моментом Lep = 1 (рис. Н.З).
J
J,
Рис. Н.З
Такая возможность, однако, исключается малостью радиуса
слабого взаимодействия (Rw « 2 10"3Фм), за счет которого
происходит распад заряженного пиона. Действительно, лептоны
распада вылетают из области действия слабых сил и должно
выполняться соотношение
jDgj/ft < pRw*
Учитывая, что при электронном распаде рс = Е„ ъ Ее ~
w 70 МэВ, получаем
pRw ?cRw 70 МэВ • 2 • 10-8 Фм з
bev- h “ he ~ 2О0МэВ Фм -u '- u •
что согласуется лишь c Leu = 0 и исключает Ley = 1.
361
Приложение О
Таблица избранных изотопов
Таблица содержит сведения о 215 нуклидах (118 стабиль-
ных и 97 радиоактивных). Приведено, по крайней мере, по од-
ному изотопу каждого элемента, в числе которых указывается
и наиболее распространенный стабильный изотоп. Указаны сле-
дующие характеристики: порядковый номер элемента Z (число
протонов), массовое число А (число нуклонов), спин и четность
основного состояния Jp, дефект (избыток) масс Д, распростра-
ненность в естественной смеси изотопов (для стабильных нук-
лидов) и тип распада (для радиоактивных нуклидов). Для по-
следней категории ядер в крайнем правом столбце дан период
полураспада
Типы радиоактивного распада обозначаются следующим
образом:
/3 — /5 ~-распад;
е — захват электрона или /3+-распад;
а — испускание а-частиц;
f — спонтанное деление;
2/3 — двойной /3 “-распад (/3“/3").
Если указано более одного способа распада, то они приведе-
ны в порядке убывания их вероятности (доминирующий распад
указан первым). Распады с относительной вероятностью < 1%
не приводятся.
Рецепт получения из дефектов масс ядер Д(4, Z) их масс
M(AfZ)t энергий связи W(AtZ)t энергий отделения нуклонов
Вп, Вр и более сложных частиц изложен в Приложении В.
Данные для таблицы взяты из J.K. Tali. «Nuclear Wallet
Cards», 2000. National Nuclear Data Center. Brookhaven National
Laboratory. USA.
362_____________________________________- Приложения
Избранные изотопы
Z Элемент Символ А JP Дефект масс Д, МэВ Распростра- ненность, % или тип распада Й/2
1 2 3 4 5 6 7 8
0 Нейтрон п 1 1/2+ 8.071 /з 10.24 мин
1 Водород Н 1 У*+ 7.289 99.985
Дейтерий D 2 1+ 13.136 0.015
Тритий Т 3 1/2+ 14.950 /з 12.33 года
2 Гелий Не 3 1/2+ 14.931 0.000137
4 0+ 2.425 99.999863
3 Литий Li 6 1+ 14.086 7.59
7 3/?“ 14.908 92.41
4 Берилий Be 7 3Л 15.769 е 53.29 сут
8 0+ 4.942 а 0.7-Ю-18 с
9 3/г“ 11.348 100
5 Бор В 10 3+ 12.051 19.8
11 ’/*" 8.668 80.2
12 1+ 13.369 0 20.20 мс
6 Углерод С 11 ’Л" 10.651 е 20.39 мин
12 0+ 0 98.89
13 У»“ 3.125 1.11
14 0+ 3.020 /з г 5 730 лет
16 0+ 13.694 0 0.747 с
7 Азот N 13 V2- 5.345 е 9.965 мин
14 1+ 2.863 99.634
15 V2- 0.101 0.366
16 2“ 5.683 /з 7.13 с
8 Кислород О 15 Уг 2.855 е 122.24 с
16 ,а+. -4.737 99.762
17 5/г+ —0.809 0.038
18 о+! -0.782 , 0.200
9 Фтор F 19 У»+ —1.487 100
10 Неон Ne 20 о+ -7.042 90.48
21 з/2+ -5.732 0.27
22 0+ -8.024 9.25
L
363
11 Натрий
Na
22
12 Магний
Mg
13 Алюминий
14 Кремний
15
16
17
18
Фосфор
Сера
Хлор
Аргон
19 Калий
20 Кальций
21 Скандий
22 Титан
23 Ванадий
24 Хром
25 Марганец
26 Железо
С1
23
24
25
26
26
27
28
29
30
31
31
32
32
33
34
35
35
36
37
36
38
40
39
40
41
3/2+
5/2+
5/2+
3/з+
з/2+
3Л+
3/2+
0+
141
44
45
48
51
52
53
55
56
57
-5.182
-9.530
-5.473
-13.933
-13.193
-16.215
-12.210
-17.197
-21.493
-21.895
-24.433
—22,949
-24.441
-24.305
—26.016
—26.586
-29.932
-28.846
-29.014
-29.522
-31.761
-30.230
-34.715
—35.040
-33.807
100
78.99
10.00
11.01
100
92.23
4.683
3.087
100
95.02
0.75
75.77
24.23
0.3365
0.0632
99.6003
93.2581
2.6019 лет
11.317с
7.17 • 105 лет
157.3 мии
14.262 сут
87.38 сут
3.01 • 105 лет
1.277-10® лет
-35.559
-34.846
-35.138
-41.469
-41.069
-48.487
-52.197
-55.413
-55.281
-57.706
-60.601
—60.176
6.7302
96.94
1.03 • 10s лет
2.09
100
73.72
99.750
83.789
9.501
100
91.754
2.119
364 -Приложения
V
27
28
29
30
31
32
33
34
Кобальт
Никель
Медь
Ццнк
Галлий
Германий
Мышьяк
Седен
Бром
36 Криптон
37 Рубидий
38 Стронций
39 Иттрий
40 Цирконий
41 Ниобий
42 Молибден
43 Технеций
44 Рутений
45 Родий
46 Палладий
47 Серебро
Со
Ni
Си
Zn
Ge
Вг
Кг
Rb
Sr
Zr
Nb
Mo
Ru
Pd
56
59
60
56
58
60
63
65
64
66
68
69
71
70
72
74
75
78
80
79
81
84
85
88
90
95
89
90
93
98
98
102
103
104
106
107
108
109
110
о+
0+
0+
о+
1/2+
o+
e/,+
(6)+
о+
•56.035
62.224
•61.644
•53.90
•60.223
•64.468
65.576
67.260
•65.999
•68.896
•70.004
•^9.321
•70.137
70.560
72.586
73.422
•73.033
77.026
77.759
76.068
77.974
82.431
82.168
87.920
85.942
75.117
87.702
88.768
87.209
88.112
86.428
89.098
88.022
86.950
89.905
88.405
87.604
88.720
87.457
>
100
68.077
26.223
69.17
30.83
48.63
27.90
18.75
60.108
39.892
20.37
27.31
36.73
100
23.77
49.61
50.69
49.31
57.00
72.17
82.58
100
51.45
100
24.13
31.55
100
27.33
51.839
48.161
77.233 сут
1925.1 сут
6.075 сут
28.79 лет
23.90 с
лет
42.3 с
365
Олово
50
Сурьма
51
54
52
53
48
49
Кадмий
Индий
Теллур
Йод
55 Цезий
56
57
58
59
60
61
62
63
Церий
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
Ксенон
Барий
Лантан
Празеодим
Неодим
Прометий
Самарий
Европий
Гадолиний
Тербий
Диспрозий
Гольмий
Эрбий
Тулий
Иттербий
Лютеций
Гафний
Тантал
Вольфрам
б
-90.021
—88.570
-89.537
-90.558
-90.067
-91.103
-89.593
-89.223
-87.353
—88.987
-87.445
—89.280
—86.424
-75.65
-88.076
-86.551
-88.267
-87.236
—88.088
-86.026
-85.960
-83.757
-81.279
-74.773
-74.663
-73.377
-70.700
-69.542
-65.977
-64.907
-64.935
—61.282
-56.953
-55.174
-53.391
-49.790
—48.441
-45.706
7
28.73
95.71, 0
0.66
8.59
32.58
57.21
42.79
34.08, 2/3
100
0
26.909
8.857, 20
0
100
71.698
99.910
88.450
100
27.2
23.8, а
е, а
26.75
47.81
52.19
24.84
100
28.18
100
33.503
100
31.83
97.41
2.59,0
35.08
99.988
30.64, а
8
71.9с
4.41 • 10й лет
>5.6 • 1028 лет
8.0207 сут
>3.6 • Ю20 лет
39.68 с
30.07 лет
2.29 -1015 лет
17.7 лет
3.73 1О10 лет
>4 • 1018 лет
366
; Приложения
75
76
85 Астат
86 Радон
87 Франций
88 Радий
89 Актиний
90 Торий
Рений
Осмий
77 Иридий
81 Таллий
82 Свинец
83 Висмут
84 Полоний
78 Платина
79 Золото
80 Ртуть
Re
40.93
Т1
5(+)
22.1
Bi
100
о+
At
о+
о+
4
Th
100, а
91 Протактиний Ра
33.421
3/,+
з/2+
Pt
Au
Hg
9Л+
0+
з/2+
0+
0+
1/2+
V2+
37.40
62.60, 0
185
187
191
192
191
193
195
197
198
202
203
205
206
208
206
207
j 208
209
210
211
212
214
209
210
211
212
210
212
214
218
222
223
226
227
228
232
231
-43.821
-41.218
-36.395
-35.882
—36.709
-34.536
-32.812
-31.157
-30.971
-27.362
-25.775
-23.835
-22.267
-16.763
-23.801
-22.467
-21.764
-17.629
-14.743
-10.497
-7.557
-0.188
-18.273
—14.806
-11.869
-8.130
-15.968
-10.384
8.09
16.367
18.379
23.662
25.846
26.763
4.35 • Ю10 лет
33.832
100
9.97
29.86
29.524
70.476
4.200 мин
3.053 мин
3.253 ч
22.3 года
36.1 мин
10.64 ч
26.8 мин
5.013 сут
2.14 мин
60.55 мин
138.376 сут
0.299 мкс
164.3 мкс
3.8235 сут
1600лет
21.773 лет
1.9116 лет
1.405 • 1010 лет
3.2760 • 104 лет
92
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
114
116
118
Уран
5/2+
0.7204, а
99.2742
Np
7г+
72+
(7+)
(V2-)
Db
Bh
Mt
277
Нептуний
Плутоний
5/г+
5/2+
287
289
289
293
239
236
239
243
245
233
235
236
238
43.602
36.913
40.914
(5+, б+)
(3Л+)
Ст
Вк
Fm
Md
No
Америций
Кюрий
Берклий
Калифорний [ Cf
Эйнштейний
Фермий
Менделевий
Нобелий
Лоуренсий
Резерфордий
Дубний
Сиборгий
Борий
Хассий
Мейтнерий
249
254
253
255
255
257
261
262
263
262
264
266
271
47.304
50.569
49.305
42.894
48.583
57.168
60.999
65.483
69.719
81.986
79.341
84.836
86.85
101.3
106.3
110.2
114.6
119.61
128.5
136.1
143.0
8
68.9 лет
1.592 • 105 лет
7.038 10® лет
2.342 • 10? лет
4.468 • 108 лет
23.45 мин
2.3565 сут
2.858 года
2.4110-Ю4 лет
7 370 лет
8 500 лет
1380 лет
351 год
275.7 сут
3.00 сут
Г
3.1 мин
0.646 с
65 с
34 с
1.0 с
102 мс
0.8 мс
0.8 мс
0.06 с
1.5 мс
0.24 мс
0.58 мс
5.5 с
30.4 с
0.60 мс
0.12 мс
368 Приложения
Приложение П
Распространенность нуклидов во Вселенной
Таблица П.1
Пятьдесят наиболее распространенных нуклидов*
(распространенность Si принята равной 10е)
''н 2.79 • Ю10 57Fe 1.98 • 104
4Не 2.72 • 109 38 Ar 1.60 • 104
160 2.37 • 107 60Ni 1.29 • 104
12с 9.99 10е 1SN 1.15 • 104
20Ne 3.20 • 10е 52Cr 1.13 IO4
14n 3.12-10е 55Mn 9.55-108
2Н 9.49 10s 17O 9.04 • 108
28Si 9.22 10* 21 Ne 7.77 • 108
24 Mg 8.48 10s ®»s 3.86 • 103
seFe 8.25 10* 39K 3.52 • 108
32S 4.89 IO5 85 Cl 2.86 • 103
3He 3.86 • 105 S9Co 2.25 • 10s
22Ne 2.34 • 10s 48т{ 1.77 • 103
26Mg 1.18 • 105 82Ni 1.77-IO3
13C 1.11 • id5 53Cr 1.28 • 10s
25Mg 1.07 10s 44 Ca 1.28 • 10s
36Ar 8.50 • 104 37C1 9.13 IO2
27 Al 8.49 • 104 wp 8.43 • 102
40Ca 5.92 • IO4 84Zn 6.13 • 102
54 Fe 5.22 • 104 50Cr 5.87 • 102
180 4.76 • 104 81 Ni 5.57 • 102
29Si 4.67 • 104 84 Ni 4.49 • 102
58 Ni 3.37 • 104 42Ca 3.95 • 102
30Si 3.10 104 63Cu 3.61 IO2
S4s 2.17 • 104 88Zn 3.52 • 102
* Таблица составлена по данным Е. Андерса и Н. Гривса,
1989г.
Рис. П.1. Логарифм распространенности нуклидов во Вселенной в зависимости от массового числа (по данным
В. Андерса и Н. Гривса, 1989). Выбраны такие единицы, в которых распространенность Si принята равной 106.
Эффект спаривания нуклонов приводит к тому, что у ядер с четными значениями Z и N распространенность, как
правило, выше, чем у соседних ядер с нечетными Z и 7V
со
о
370 —--------------------- --------Приложения
Приложение Р
Таблицы законов сохранения,
взаимодействии и частиц
Законы сохранения
Характеристика Взаимодействие
сильное электро- магнитное слабое
Аддитивные законы сохранения
Электрический заряд Q + + 4-
Энергия Е + + +
Импульс Р 4- 4- +
Момент импульса J + 4- 4"
Барионный заряд В 4* 4- +
Лептонные заряды Ьр LT + 4- 4-
Странность (strangeness) S 4- + —
Очарование (charm) С 4- 4- —
Bottom + + —
Top Т . + + —
Изоспин I + — —
Проекция изоспина h .+ + —
Мультипликативные законы сохранения
Пространственная четность Р + + —
Зарядовая четность с + + —
Временная четность т + 4- ?
Комбинированная четность СР + + ’ —
СРТ-четность СРТ + ' + 4-
371
Виды и свойства фундаментальных взаимодействии
Взаимо- действие Кон- станта взаимо- действия Участ- вующие частицы Кванты поля (калибро- вочные бозоны) Масса кванта поля, ГэВ Характерн. время взаимо- действия, сек Радиус взаимо- действия, см
Сильное 1 кварки (адроны) глюон (8 видов) 0 10"21-10~23 и 10"13
Электро- магнитное 10-1 заряженные частицы 7-квант 0 ~ Ю-18 ОО
Слабое 10~в лептоны и кварки W± Z 80 91 ~ 1О-10 и 10-16
Гравита- ционное Ю-38 все частицы гравитон 0 оо ОО
Калибровочные (фундаментальные) бозоны
Частица Масса тс2, ГэВ Ширина распада Г (время жизни т«Л/Г) Спин-четность, изоспин /₽(/) Основные моды распада
7 0 стабилен 1-(0,1)
80.42 Г = 2.12 ГэВ 1 Д1/, 71/,
адроны
Z 91.19 Г = 2.50 ГэВ 1 е+е", д+д",
т+т~, адроны
д (глюон) 0 1-(0)
гравитон 0 2
24*
372 Приложения
Лептоны
Частица WU? Время , жизни Лептонный заряд Основные моды распада
Ье Ьд LT
"е < ЗэВ стабильно +1 0 Q
ч < 0.19 МэВ стабильно 0 + 1 0
Ут < 18 МэВ стабильно 0 0 + 1
е~ 0.511 МэВ > 4.2 • 1024лет +1 0 0
105.66 МэВ 2:2-ю-вс 0 +1 0 evv
т~ 1777МэВ 2.9 10-13 с 0 0 + 1 адроны+1,} pi/i/, evv
Кварки
1 4* 1
(Jp = | , барионный заряд В = -)
Характеристика Тип кварка (аромат)
d U 8 С ь 1
Электрический заряд Q 1 съ 1 Л + со|к> Л -Iе +h
Изоспин I 1 2 1 2 0 0 0 0
Проекция изоспина h 1 ~2 +1 0 0 0 0
Странность S 0 0 -1 0 0 0
Charm С 0 0 0 +1 0 0
Bottom в 0 0 0 0 -1 0
Top т 0 0 0 0 0 +1
Масса в составе адрона, ГэВ 0.33 0.33 0.51 1.8 5 174
373
Адроны: избранные барионы
(барионный заряд В = 1)
Частица Квар- ковая струк- тура Масса me2, МэВ Время жизни т (с) ИЛИ ширина Г Спин- четность, изоспин JP(J) Основные моды распада
р uud 938.27 >1032 лет V2+(V2)
п udd 939.57 887±2 т) рей
к uds 1116 2.6 • 1О~10 V2+(0) рТГ~, ПТГ°
Е+ uus 1189 0.80-Ю"10 V2+(l) рТГ°, П7Г+
Е° uds 1193 7.4 • 1О“20 V2+(l) л?
Е" dds 1197 1.5-1О-10 V2+(l) птг"
со USS 1315 2.9-Ю-10 Лтг°
«V* dss 1321 1.6-Ю"10 1Л+(У2) Лтг”
д++ UUU «1232 «120 3/2+(3/j) ртг+
д+ uud «1232 «120 3/2+(’/2) Р7Г°, П7Г+
д° udd «1232 «120 3/2+(3/2) Р7Г", П7Г°
д- ddd «1232 «120 Ш) П7Г”
Е(1385)+ uus 1383 36 МэВ 3/2+(l) Лтг, Етг
Е(1385)° uds 1384 36 МэВ 3/2+(l) Лтг, Етг
Е(1385)~ dds 1387 39 МэВ 3/2+(l) Лтг, Етг*
S(1530)° USS 1532 9.1 МэВ 3/2+(V2) Ётг
2(1530)“ dss 1535 9.9 МэВ WA) Stt
Q- sss 1672 0.82 -10~10 3/2+(0) ЛК“, 5°тг-
ЛГ(1440)+ uud «1440 «350 МэВ V2+(l/2) п(р)+тг(2тг), Дтг
ЛГ(1440)° udd «1440 «350 МэВ У2+(Уз) п(р)+тг(2тг), Дтг
7V(1520)+ uud «1520 «120 МэВ 3/2“(У2) п(р)4-тг(2тг), Дтг
ЛГ(1520)° udd «1520 «120 МэВ y2 (y2) п(р)+7г(2тг), Дтг
ЛС udc 2285 2.1 • 10"13 V»+(o) (п или р)+др.
Ес(2455)++ uuc 2453 У2+(1) AJtt"*'
Ес (2455)+ udc 2454 У2+(П Л£тг°
Ес (2455)° ddc 2452 У2+(1) Л£тг“
374 .................................Приложения
Адроны: избранные мезоны
(барионный заряд В = 0)
Частица Кварковая структура Масса me2, МэВ Время жизни т(с) или ширина Г Спин- четность, изоспин Jp(I) Основные моды распада
7Г+ ud 139.57 2.6-10"’ о-(1)
7Г~ du 139.57 2.6 -10"’ 0"(1)
7Г° Ъй-dd 134.98 8.4-10"17 о-(1) 2?
К+ us 494 1.2 • 10"* о-(2Л) 7Г°7Г+
К- su 494 1.2-10"’ о-(Уз) РД", 7Г°7Г"
к° ds 498 8.9-10"11К§ 0-(1/2) 7Г+7Г", 7Г°7Г°
к° sd 498 [5.2-10"* Kl о-(Уз) тгек, nfii/j Зтг
uu+dd-2ss 547 1.2 кэВ 0-(0) 2у, Зтг
л' uu+dd+ss 958 0.20 МэВ 0"(0)
Р+ ud 769 150 МэВ 1-(1) 7Г7Г
р~ du 769 150 МэВ 1-(1) 1Г1Г
р° uu-dd 769 150 МэВ 1-(1) JTK
от uu+dd 783 8.4 МэВ 1"(0) Зтг
ф ss 1019 4.5 МэВ 1"(0) К+К~, K°LK°S
Р+ cd 1869 1.1-10’12 о-(‘Л) К+др., е+др., р+др.
D~ de 1869 1.1-10"12 0-(‘/2) К+др., е+др., р+др.
D° cu 1865 4.1-10"13 о-(У?) К+др., е+др., р+др.
uc 1865 4.1-Д0"1* о-0/j) К+др., е+др., р+др.
D+s cs 1969 5.0 • 10"1* 0"(0) К+др.
°s sc 1969 5.0-10"1’ 0"(0) К+др.
В+ ub 5279 1.6-10"12 О-(Уг) Р+др., Р’+др., v+ap.
в- bu 5279 1.6-10"12 0"(Уз) Р+др., Р*+др., v+др.
в° db 5279 1.6-10"12 о-(7з) Р+др., Р*+др., У+др.
в° , bd 5279 1.6-10"12 о-(2Л) Р+др., Р*+др., Р+др.
J/ф cc 3097 87 кэВ 1"(0) адроны, 2е, 2д
т bb 9460 53 кэВ 1-(0) т+т", р+д", е+е"
375
Приложение С
Физические константы и единицы
(приближенные значения)
с — скорость света в вакууме 3.00 • 108 м * с”1.
G — гравитационная постоянная 6.67 • 10”11 м3‘ кг”1 • с"2.
N& — число Авогадро 6.02 • 1023 моль”1.
k — постоянная Больцмана
1.38 • 10”23 Дж • К”1 = 8.62 • 10”п МэВ • К'1.
е — величина заряда электрона
1.60 • 10”19 Кл = 4.80 • Ю”10 ед. СГСЭ.
h — постоянная Планка 6.63-10”34 Дж • с = 4.14 ЛО”21 МэВ • с;
П = h/2ir 1.05 • 10"34 Дж • с = 6.58 • 10~22 МэВ • с;
he — переходная константа 3.16 • 10"2в Дж • м = 197 МэВ • Фм.
ае = е2/Йс — постоянная тонкой структуры 1/137.
те — масса электрона 9.11 • 10”31 кг = 0.511 МэВ • с”2. .
тр — масса протона 1.6726 • 10"27 кг = 938.27МэВ - с"2.
тп — масса нейтрона 1.6749 • Ю”27 кг = 939.57МэВ • с"2.
тп ~ Шр=1.29 МэВ • с"2.
дв = еЯ/2тпес — магнетон Бора
9.27 • 10“24 Дж • Тл”1 = 5.79 • 10”15 МэВ -Гс”1.
ддг = eh/2mpc — ядерный магнетон
5.05 * 10”27 Дж • Тл”1 = 3.15 • 10"18 МэВ • Гс”1.
7ПР1 = (ftc/G)1^2 — масса Планка
2.18 • 10”8 кг = 1.22 • 1019 ГэВ • с”2.
гР1 = (Gft/c3)1^2 — планковская длина (квант расстояния)
1.6-Ю”33 см.
£Р1 = (СЛ/с5)1?<2 — планковское время (квант времени)
5.4-10”44 с.
Af© — масса Солнца 2 • 1О30 кг .
Hq — постоянная Хаббла 70 км • с”1 • мегапарсек”1.
to — возраст Вселенной 15 • 109 лет.
Зрм — температура реликтового (фонового) излучения 2.7К.
376 Приложения
Энергия:
1 эВ = 1.60 • 10-12 эрг = 1.60 • 10~18 Дж;
1 эВ = 10-3 кэВ - 10“в МэВ = IO"9 ГэВ = 10~12 ТэВ.
Длина:
1 Фм (ферма) = 10“13 см;
Дпк (парсек) = 3.09 •
1 световой год = 9.46 • 1015 м.
Масса:
1а.е.ц. (атомная единица массы)=931.5МэВ/с2 = 1.66'10-27кг.
Эффективное сечение
я электрический квадрупольный момент:
16 (барн) в 10-24см2 = 100 Фм2.
Активность:
1 Бк (беккерель) = 1 распад с-1;
1 Ки (кюри) = 3.7 • Ю10 Бк.
1 год и тг • 107 с.
377
Приложение Т
Историческая справка
Основные события в физике ядра
1. Открытие радиоактивности (1896, Беккерель).
2. Открытие атомного ядра (1911, Резерфорд).
3. Первая ядерная реакция (1919, Резерфорд).
4. Квантовая теория а-распада (1928, Гамов, Кондон, Герни).
5. Первый ускоритель заряженных частиц — циклотрон (1930,
Лоуренс).
6. Открытие нейтрона (1932, Чадвик).
7. Протон-нейтронная модель ядра (1932, Гейзенберг, Иванен-
ко).
8. Гипотеза о протоне и нейтроне как двух зарядовых состоя-
ниях одной и той же частицы — нуклона (1932, Гейзенберг)
и введение квантового числа изоспина (1936, Кассен, Кон-
дон).
9. Первая теория /3-распада (1934, Ферми).
10. Модель ядра в виде жидкой капли (1935, Вайцзеккер).
11. Мезонная теория ядерных сил (1935, Юкава).
12. Концепция ядерных реакций через составное ядро (1936,
Н. Бор).
13. Открытие деления атомных ядер (1938, Ган, Штрассман).
14. Обнаружение спонтанного деления ядер (1940, Флеров,
Петржак).
15. Открытие первого трансуранового элемента (Z > 92) —
нептуния (Z = 93) (1940, Мак-Миллан, Абельсон).
16. Первый ядерный реактор (1942, под руководством Э. Ферми,
США).
17. Первый взрыв атомной бомбы (1945, США).
18. Предсказание (1945, Мигдал) и открытие (1947, Болдуин,
Клайбер) первого коллективного возбуждения ядра — ги-
гантского дипольного резонанса.
19. Открытие кванта ядерного поля — пиона (1947, Пауэлл).
378 ————____________________________________Приложения
20. Открытие прямых ядерных реакций (1947-1948, Хирцель,
Веффлер, П. Йенсен; 1951, Курант).
21. Оболочечная модель ядра (1949, Гепперт-Майер, Й. Йенсен,
Хаксель, Суэсс).
22. Первый взрыв атомной бомбы в СССР (1949).
23. Модель ядра, объединяющая коллективные и индивидуаль-
ные движения нуклонов — обобщенная модель (1952,0. Бор,
Моттельсон, Рейнуотер).
24. Первый взрыв наземного термоядерного (водородного) уст-
ройства (1952, США).
25. Первый взрыв водородной бомбы (1953, СССР).
26. Наблюдение внутренней структуры ядра с помощью рассе-
яния электронов (1953, Хофштадтер).
27. Обнаружение гиперъядер — ядер, в состав которых вместо
нуклонов входят гипероны (1953, Даниш, Пневский).
28. Первая атомная электростанция (1954, СССР, Обнинск).
29. Наблюдение несохранения четности в /3-распаде ядер 60Со
(1956, By).
30. Открытие резонансного поглощения 7-квантов ядрами без
отдачи и создание метода сверхточного измерения энергии
(1958, Мёссбауэр).
31. Сверхтекучая модель ядра (1959, Беляев, Соловьев).
32. Обнаружение изобар-аналоговых состояний ядер, означав-
шее, что изоспин — хорошее квантовое число для всех ядер
(1961, Дж. Андерсон, Вонг).
33. Обнаружение антиядер дейтерия (1965, США), гелия-3
(1970, СССР), трития (1973, СССР).
34. Обнаружение кластерной радиоактивности — самопроиз-
вольного испускания тяжелыми ядрами ядер углерода (1984,
Роуз, Джонс), неона, магния, кремния, серы.
35. Синтез сверхтяжелых элементов с Z = 110, 111, 112, 114,
116 и 4.18 (1994-2000, Германия, Россия, США).
36. Получение кварк-глюонной плазмы в столкновении ульт-
рарелятивистских тяжелых ядер (2000, Европейский центр
ядерных исследований (ЦЕРН) Швейцария).
Основные события в физике частиц
1. Открытие первой элементарной частицы — электрона
(1897, Дж. Дж. Томсон).
2. Зарождение представления о кванте излучения (1900,
Планк).
3. Законы фотоэффекта (1904, Эйнштейн).
4. Связь между массой и энергией (1905, Эйнштейн)
379
5. Гипотеза о волнах, связанных с каждой материальной Час-
тицей (1924, де Бройль).
6. Установление статистики Бозе-Эйнштейна (1924).
7. Формулировка принципа запрета и введение понятия спина
(1925, Паули, Гаудсмит, Уленбек).
8. Введение понятия четности (1924-1927, Лапорт, Вигнер).
9. Формулировка принципа неопределенности (1927, Гейзен-
берг).
10. Релятивистское волновое уравнение для электрона и кон-
! цепция античастиц (1928-1930, Дирак).
11. Гипотеза о существовании нейтрино (1930, Паули).
12. Открытие позитрона в космических лучах (1932, К. Андер-
сон).
13. Определение магнитного момента протона и нейтрона (1933,
Штерн; 1940, Альварец, Блох).
14. Открытие мюона в космических лучах (1937, Неддермейер,
К. Андерсон).
15. Обнаружение аномального магнитного момента электрона
(1947, Каш).
16. Обнаружение лэмбовского сдвига уровней атома водорода
(1947, Лэмб, Ризерфорд).
17. Создание перенормируемой квантовой электродинамики
(1949, Фейнман, Швингер, Томонага, Дайсон).
18. Наблюдение первого возбужденного состояния нуклона
(1951, Ферми).
19. Введение понятия «странностью и формулировка правила
Накано-Нишиджимы-Гелл-Манна (1953).
20. СРТ-теорема (1951-1954, Швингер, Людерс; 1955, Паули).
21. Открытие антипротона (1955, Сегре, Чемберлен, Виганд,
Ипсилантис).
22. Гипотеза о несохранении четности в слабых взаимодействи-
ях (1956, Ли, Янг).
23. Экспериментальное доказательство существования элек-
тронного антинейтрино (1956, Райнес, Коуэн).
24. Обнаружение мюонного нейтрино (1962).
25. Гипотеза кварков (1963, Гелл-Манн, Цвейг).
26. Гипотеза о четвертом (с) кварке и квантовом числе «очаро-
вание» (1964, Бьеркен, Глэшоу).
27. Обнаружение несохранения комбинированной (СР) четнос-
ти (1964, Кронин, Фитч).
380 Приложения
2?. Формулировка механизма возникновения масс у частиц
вследствие спонтанного нарушения симметрии. Предсказа-
ние частицы, получившей название бозона Хиггса (Хиггс,
1964).
29. Введение квантового числа «цвет» (1965, Боголюбов, Стру-
минский, Тавхелидзе, Хан, Намбу, Кара, Миямото).
30. Объединение электромагнитных и слабых взаимодействий
(1967, Вайнберг, Салам, Глэшоу).
31. Обнаружение внутри протона точечных объектов —* парто-
нов (1968, Стэнфордский линейный ускоритель, США).
32. Доказательство перенормируемости калибровочной теории
со спонтанным нарушением симметрии, сделавшее электро-
слабую модель теорией, пригодной для вычислений (1971,
т'Хоофт).
33. Открытие глюона (1973).
34. Обнаружение асимптотической свободы в КХД (1973,
т'Хоофт, Гросс, Вильчек, Политцер),
35. Открытие мезона J/чр, подтвердившее существование о
кварка (1974, Тинг, Рихтер),
36. Первая теория Великого объединения (1974, Джорджи, Глэ-
шоу).
37. Открытие т-лептона (1976, Перл).
38. Открытие ипсилон-мезона (Т), подтвердившее существова-
ние пятого кварка — Ь (1977, Ледерман),
39. Открытие квантов слабого поля — промежуточных бозонов
И7*, Z (1983, Руббиа, Ван дер Меер).
40. Открытие последнего (шестого) кварка — t (1995, Лабора-
тория им. Э. Ферми, США).
41. Первое наблюдение т-нейтрино (2000, Лаборатория им.
Э. Ферми, США),
Основные события
в современной астрофизике и космологии
1. Открытие космических лучей (1912, Гесс).
2. Публикация диаграммы светимость-температура поверх-
ности звезды (1913, Герцшпрунг. Рассел).
3. Общая теория относительности (1916, Эйнштейн).
4. Гипотеза о ядерной природе энергии звезд (1917, Эддинг-
тон).
5. Модель статической Вселенной. Гипотеза об антигравита-
ции (1917, Эйнштейн).
6. Модель нестационарной (расширяющейся) Вселенной (1922-
1924, Фридман).
381
7. Первый вариант модели Большого взрыва — деление «пер-
вичного атома» (1927, Леметр),
8, Открытие расширения Вселенной (1929, Хаббл).
9. Открытие радиоизлучения Галактики (1932, Янски).
10. Обнаружение скрытой массы в скоплениях галактик (1933,
Цвикки).
11. Теория белых карликов (1934, Чандрасекар).
12. Первые успешные расчеты термоядерных реакций в звез-
дах — протон-протонная реакция (1938, Критчфилд, Бете)
и углеродный цикл (1939, Бете).
13. Предсказание черных дыр в рамках общей теории относи-
тельности (1939, Оппенгеймер, Снайдер).
14. Формулировка механизма охлаждения сверхновой посредст-
вом излучения нейтрино (1940, Гамов, Шенберг).
15. Первая радиокарта неба (1944, Ребер).
16. Начало экспериментальной ядерной астрофизики (1947, Фа-
улер).
17, Концепция Горячей вселенной — второй вариант модели
Большого взрыва. Предсказание космического микроволно-
вого реликтового излучения (1946-1948, Гамов),
18. Разработка метода интерферометрии в радиоастрономии
(1952, Райл).
19. Открытие квазаров (1963).
20. Открытие космического микроволнового реликтового излу-
чения (1965, Вильсон, Пензиас).
21. Открытие пульсаров (нейтронных звезд) (1967, Хьюиш,
Белл),
22. Начало экспериментальной нейтринной астрономии и ре-
гистрация солнечных нейтрино (1968, Дэвис).
23, Концепция испарения черных дыр (1974, Хокинг).
24, Теория образования химических элементов во Вселенной
(1957-1980, Е. Бербидж, Дж. Бербидж, Фаулер, Хойл),
25. Теория раздувающейся (инфляционной) Вселенной — совре-
менный вариант модели Большого взрыва (1972-1986, Лин-
де, Старобинский, Киржниц, Глинер, Гус, Альбрехт, Стейп-
хардт).
26. Первое наблюдение взрыва сверхновой всеми средствами со-
временной астрономии. Регистрация нейтрино от сверхно-
вой (1987).
27. Появление данных о совпадении средней плотности Вселен-
ной с критической, свидетельствующее о том, что Вселенная
плоская, т. е. евклидова (2000).