Избранные труды. Частицы, ядра, Вселенная - Зельдович Я.Б.

6. Квазистабильные состояния с большим изотопическим спином у легких ядер

7. О существовании новых изотопов легких ядер и уравнении состояния нейтронов

10. О нейтринном заряде элементарных частиц

$11. О распаде заряженных $\pi$-мезонов$

14. Тяжелый нейтральный мезон: распад и способ обнаружения

15. Несохранение четности первого порядка по константе слабого взаимодействия в рассеянии электронов и других эффектах

16. Соотношение между асимметрией распада и дипольным моментом элементарных частиц

17. Интерпретация электродинамики как следствия квантовой теории

19. Электромагнитное взаимодействие при нарушении четности

22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне

27. Космологическая постоянная и элементарные частицы

V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И АСТРОФИЗИКА

30. Аналог зееман-эффекта в гравитационном поле вращающейся звезды

36. Гипотеза, единым образом объясняющая структуру и энтропию Вселенной

VI. НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ И ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ, АККРЕЦИЯ

39. О ядерных реакциях в сверхплотном холодном газе

VII. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ИЗЛУЧЕНИЯ ВО ВСЕЛЕННОЙ

VIII. ОБРАЗОВАНИЕ КРУПНОМАСШТАБНОЙ СТРУКТУРЫ ВСЕЛЕННОЙ

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения

63. Происхождение ячеистой крупномасштабной структуры Вселенной

64. Топологические и перколяционные свойства потенциального отображения со склеиванием

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ИСТОРИЯ ФИЗИКИ. ПЕРСОНАЛИЯ

70. Главная книга Д. А. Франк-Каменецкого и ее автор

71. Памяти друга. Борис Павлович Константинов

БИБЛИОГРАФИЯ ТРУДОВ Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧА ПО ТЕМЕ «ЧАСТИЦЫ, ЯДРА, ВСЕЛЕННАЯ»

$11. О распаде заряженных $\pi$-мезонов$

Author: Зельдович Я.Б.

Tags: ядерная, атомная и молекулярная физика физика астрофизика ядерная физика молекулярная физика частицы ядра строения вселенной

Year: 1985

Similar

Охотники за нейтрино. Захватывающая погоня за призрачной элементарной частицей

Нейтрино - призрачная частица атома

Библиотечка "Квант" 15. Как регистрируют частицы. По следам нейтрино

Частицы, источники, поля. Том 1

Text

Я.Б.ЗЕЛЬДОВИЧ
it
;бранны<
труды
ЧАСТИЦЫ,
ЯДРА,
СЕЛЕННАЯ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Отделение общей физики и астрономии
Отделение ядерной физики
Институт космических исследований

Я.Б.ЗЕЛЬДОВИЧ
Избранные
труды
ЧАСТИЦЫ,
ЯДРА,
ВСЕЛЕННАЯ
Под редакцией
академика Ю.Б.ХАРИТОНА
МОСКВА
«НАУКА»
1985

УДК 539.1 + 524 + (091)53
Зельдович Я. Б. Избранные труды. Частицы, ядра, Вселенная.— М.:
Наука, 1985. 464 с.
Избранные труды академика Я. Б. Зельдовича включают работы по ядерной
физике, физике элементарных частиц и астрофизике. Во всех этих областях
Я. Б. Зельдовичу принадлежат первоклассные результаты, положившие
начало новым направлениям.
Ядерная энергетика базируется на принципах, изложенных в его
выдающихся статьях (совместно с Ю. Б. Харитоном) по делению урана.
В физике элементарных частиц достаточно упомянуть фундаментальную
работу о сохранении векторного тока при β-распаде.
С начала 60-х годов в центре интересов Я. Б. Зельдовича
астрофизические проблемы. Его работы легли в основы новой области науки —
релятивистской астрофизики. Он исследовал процессы взаимодействия вещества
и излучения на ранних стадиях расширения горячей Вселенной. Им
предсказано существование первичных черных дыр. В звездной астрофизике
основополагающими являются его работы по физическим процессам в окрестности
черных дыр. Я. Б. Зельдович создал теорию образования
крупномасштабной структуры Вселенной.
Редакционная коллегия:
академики Р. 3. САГДЕЕВ (зам. председателя), Ю. Б. ХАРИТОН (председатель),
члены-корреспонденты АН СССР
И. И. ГУРЕВИЧ, Л. Б. ОКУНЬ, Л. П. ПИТАЕВСКИЙ, Р. А. СЮНЯЕВ,
доктора физико-математических наук
Г. И. БАРЕНБЛАТТ, В. Б. ЛИБРОВИЧ,
В. А. КОРОЛЁВ (ученый секретарь)
Рецензенты:
академик А. Б. МИГДАЛ,
доктор физико-математических паук Ю. Н. ГНЕДИН
о1805000000-388лооо
3 042(02)-85 128-85-Ш
© Издательство «Наука», 1985 г·

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга, предлагаемая читателю, содержит избранные работы академика
Якова Борисовича Зельдовича * в области ядерной физики, физики
элементарных частиц и астрофизики. Приводятся также работы по атомной
физике, три статьи, посвященные видным ученым, и автобиографический
очерк. Наконец, дана полная библиография его работ по всем
перечисленным разделам, всего около 300 названий.
В начале помещен цикл работ, анализирующих цепную реакцию
деления урана. Эти работы, выполненные ЯБ вместе с Ю. Б. Харитоном,
явились основой решения атомной проблемы в СССР.
Последующие работы ЯБ по ядерной физике инициировали важные
направления теории и эксперимента. В качестве примера можно указать на
заметку ЯБ о хранении холодных нейтронов.
Вошедшие в книгу работы ЯБ по теории элементарных частиц
представляют большой интерес для истории этой фундаментальной науки в 50-е и
60-е годы. Современные представления, например, о калибровочных полях,
объединении взаимодействий, невылетании'кварков возникли не мгновенно,
не на пустом месте.
Работы ЯБ и его соавторов по бета-распаду пионов, перенормировке
векторного тока, нарушению четности в атомной физике, предсказанию тяжелых
мезонов сыграли существенную роль в становлении современных
представлений. Одновременно эти работы ярко характеризуют научный стиль ЯБ.
Соединение физики элементарных частиц и астрофизики, особенно
космологии, в настоящее время является особенно актуальным. Эта область была
инициирована помещаемыми работами ЯБ и соавторов по массе нейтрино и
кваркам в космологии.
Более половины книги посвящено работам по астрофизике. ЯБ был
инициатором детального исследования свойств нейтронных звезд и черных дыр,
их рождения и наблюдательных проявлений. Работы по теории горячей
Вселенной и в настоящее время остаются наилучшим изложением
соответствующих глав космологии. С исчерпывающей полнотой рассмотрено
взаимодействие вещества и излучения в ходе расширения Вселенной. Теория
структуры Вселенной представлена как основополагающей работой ЯБ
1970 г., так и последующими работами, включая статьи 80-х годов.
Статьи, посвященные творчеству А. Эйнштейна, Б. П. Константинова
и Д. А. Франк-Каменецкого, дают не только фактические сведения, но и
характеризуют внутренний мир и личность как этих ученых, так и автора.
Последней цели служат и автобиографические заметки ЯБ. Все работы' ЯБ
сопровождаются краткими комментариями редакционной коллегии.
Предлагаемая книга представляет интерес для широкого круга физиков.
Она будет особенно полезна научным работникам, аспирантам и студентам,
интересующимся современной астрономией, тесно связанной с физикой
элементарных частиц. На примере творчества нашего выдающегося современ-
* В дальнейшем для краткости будем называть его ЯБ, так же, как в книге
Зельдович Я. Б. Химическая физика и гидродинамика. Избранные труды. М.: Наука, 1984.

4
Предисловие
ника Я. Б. Зельдовича можно проследить историю и внутренние мотивы
развития многих важнейших направлений современной науки.
Книга «Частицы, ядра, Вселенная» выходит в свет через год после
выпуска избранных работ ЯБ в области химической физики, гидродинамики и
теории горения, которая включает составленный редколлегией общий обзор
и оценку всей научной деятельности ЯБ, в том числе и его работ,
помещенных в данной книге. Отсутствие подробного обзора научной деятельности
Я. Б. Зельдовича не умаляет самостоятельной ценности предлагаемой книги
для читателя, интересующегося астрономией и физикой ядра и частиц.
Заметим, что в книге приведена лишь небольшая часть всех работ ЯБ
по указанной тематике — всего 68 работ, тогда как в библиографии,
помещенной в конце книги, содержится около 300 наименований. Отбор наиболее
интересных и важных работ, с учетом ограниченного объема книги,
представлял трудную задачу, поэтому часть работ дана в сокращенном варианте или
в виде аннотации. Труды Я. Б. Зельдовича публикуются в настоящем
собрании в том виде, в котором они были напечатаны впервые. Отдельные
исправления очевидных опечаток или незначительных неточностей были сделаны
без дополнительных оговорок.
Редакционная коллегия выражает благодарность А. А. Старобинскому
за помощь в составлении ряда комментариев. Специально необходимо
отметить большую работу по подготовке настоящего издания к печати,
проведенную ученым секретарем редколлегии В. А. Королёвым. Большую помощь
при подготовке рукописи к печати оказали Л. А. Теучеж и М. Ю. Наумова.
Переводы статей, опубликованных только на английском языке, в основном
выполнены А. А. Абрикосовым (мл.).

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЧАСТИЦЫ И ЯДРА
I. ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
И. ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
III. АТОМНАЯ ФИЗИКА И ИЗЛУЧЕНИЕ

I
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
1
К ВОПРОСУ О ЦЕПНОМ РАСПАДЕ
ОСНОВНОГО ИЗОТОПА УРАНА*
(совместно с Ю. Б. Харитоном)
В работе разбирается вопрос о замедлении нейтронов, образующихся
при распаде урана, и об условиях, необходимых для цепного распада урана.
Для возможности цепного распада основного изотопа урана
существенно, чтобы образующиеся при делении ядра урана нейтроны успевали с
достаточной вероятностью вызвать следующий акт распада не только до того,
как они покинут массу урана, подвергаемую разложению [1], но и до того,
как эти нейтроны будут замедлены до энергии, ниже которой они уже не
способны вызвать распад основного изотопа.
В настоящей заметке мы рассматриваем именно этот последний вопрос.
Если будет найдена вероятность у того, что образующиеся с энергией Е0
нейтроны без поглощения, сопровождающегося актом распада, будут
замедлены до энергии Ек, ниже которой распад основного изотопа уже не может
быть вызван, то в наилучших условиях предельно большой массы урана
возможность цепной реакции определится неравенством
ν (1 - γ) > 1, (1)
где ν — (среднее) число нейтронов, возникающее на один захваченный в
области энергий Е0 — Ек нейтрон, а γ — определенная выше вероятность
нейтрону замедлиться, не будучи поглощенным (эквивалентная обрыву цепи).
Ниже мы приводим расчет, учитывая только упругое рассеяние
нейтронов.
Выполнение найденных в этом предположении условий является
необходимым, но в силу наличия неупругих столкновений может оказаться
недостаточным для осуществления взрыва.
Найдем величину γ. Для этого рассмотрим одновременно уравнение,
определяющее изменение средней энергии частиц при рассеянии их, и
уравнение для изменения числа частиц вследствие их поглощения.
Ограничиваясь, как сказано, упругими столкновениями, напишем:
dEldt = — Еи% онс{кг, (2а)
dNIdt = —Nu Σ Ocfi, (26)
где Ε n Ν — средняя энергия и число частиц, и — скорость нейтронов,
о~*лхс. — сечения рассеяния и захвата ядрами атомов ϊ-γο сорта, ct — их кон-
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1939, т. 9, вып. 12,
с. 1425-1427

1. К вопросу о цепном распаде основного изотопа урана
7
центрация, λ{ = 2т^/(тг + I)2. где πΐχ — масса ι-го ядра, выраженная в
массах нейтрона. Отсюда
dNIdt = ΝΣσα.οί/(ΕΣσ8χίλί) = Щ/Е. (3)
Если ψ не зависит от энергии:
γ = Nk/N0 = (Ek/E0)* (4)
и в общем случае
у = Nk/N0 =ехр ( J ψ (Ε) din Ε). (4a)
При составлении критерия возможности цепного взрыва (1) следует иметь
в виду, что входящее в него число нейтронов ν отнесено к одному
захваченному в интервале энергии Е0 — Ек нейтрону. Поэтому если число нейтронов,
выделяющееся на один акт развала, равно V/, то входящее в (1) число ν
получим по формуле
V = VfGfCu/ItGcXi, (5)
где суммирование в знаменателе включает в себя, как и в формулах (26)
и (3), также и член ори-
Приводим конкретный расчет в применении к предположенному
использованию окиси урана (см., например, [1]).
Примем следующие значения: ν = 1,5; 2; 3 [2—4]; Е0 в двух вариантах
расчета равно 3 и 2 МэВ [5]; Ек = 1,5 МэВ [6, 7]; oSo = 210"24 см2;
α8ϋ = 6-10"24 см2; оСо = 0, оси = 0,5-10"24 см2 [7]; с0 : cv = 8 : 3
соответственно составу U3Oe.
Подставляя в (4) формулу (1), получим окончательную таблицу для
величин ν (1 — γ).
Как видно из таблицы, наличие кислорода если
не устраняет вовсе, то сильно затрудняет
осуществление цепного распада урана.
Совершенно иначе дело обстоит с чистым
ураном: в этом случае во всех вариантах получим
ничтожный, не превышающий 5·10"3, обрыв цепи (в
отсутствие неупругого рассеяния) и возможность
взрыва.
Очевидно, что приведенные соображения применимы и к вопросу о
возможности уменьшения критической массы урана путем окружения ее
веществом, замедляющим диффузию нейтронов наружу [1]. Вследствие
замедления нейтронов при большом числе столкновений, причем дальнейшая судьба
замедленных нейтронов не существенна для цепной реакции, эффективно
работающая толщина слоя нейтроноизоляции равна по порядку величины
λ]/"Μ/σ, где h — длина пробега, а М — масса ядра изолирующего вещества.
Последнее замечание касается вопроса о регулируемости распада под
действием быстрых нейтронов: в непосредственной близости предела взрыва
(критических условий развития цепи) изменение даже весьма малого допол-
Я>
в?
3
2
V
1,5
0,63
0,3
2
υ,84
0,4
3
1,26
0,6

8
Часть первая. I. Ядерная физика
нительного количества нейтронов, происходящих от деления изотопа 235
под действием медленных нейтронов, может влиять на поведение такой
весьма чувствительной системы. Таким образом, принципиально мыслима
регулировка распада основного изотопа через посредство распада изотопа 235
под действием медленных нейтронов в условиях, когда сам этот последний
распад отнюдь к взрыву не приводит.
Все предыдущие вычисления проведены в предположении неограниченной
протяженности рассматриваемой системы, т. е. отсутствия дополнительных
потерь нейтронов, отводимых диффузией из системы.
Сопоставляя с расчетами Перрэна, можно заключить, что с уменьшением
величины ν (1 — γ) при приближении ее к единице критический размер
системы возрастает как [ν (1 — γ) — 1]"1/а и объем — как [ν (1 — γ) — 1]~3/2.
Напротив, при ν (1 — γ) <[ 1 ни при каких размерах системы не могут
быть достигнуты критические условия разветвления цепей.
Заметим, наконец, что в свете изложенного выше, отдельные опыты с
констатацией увеличения числа нейтронов источника на 10—20% [8] в
присутствии урана не могут еще считаться доказательством осуществимости цепного
разложения урана. Таким доказательством может быть только осуществление
усиления в 5—10 раз, соответствующего многократному разветвлению цепи,
что требует создания масс урана того же порядка, что и критическая.
Институт химической физики. Поступила в редакцию
Ленинград 7 октября 1939 г.
Добавление при корректуре. На основе теории Бора и Дж. Уилера
(Bohr TV., Wheeler H.— Phys. Rev., 1939, vol. 56, p.299),опубликованной во время
печатания настоящей статьи, нами был произведен расчет обрыва цепи, связанного с
неупругим рассеянием нейтронов. Ввиду отсутствия данных об энергетических уровнях урана
238, расчет был проведен для Th С, что, можно думать, не внесло существенных ошибок.
Результаты вычисления приводят к заключению, что даже в случае чистого
металлического урана цепной распад, по-видимому, не имеет места.
ЛИТЕРАТУРА
1. Perrin F.— С. г. Acad, sci., 1939, vol. 208, p. 1394.
2. Anderson Я. L., Fermi E., Szillard L.— Phys. Rev., 1939, vol. 56, p. 284.
3. Anderson H. L., Fermi E., Hanstein H. #.— Phys. Rev., 1939, vol. 55, p. 797.
4. Halban #., Joliot F., Kowarski L.— Nature, 1939, vol. 143, p. 680.
5. Halban #., Joliot F., Kowarski L.— Nature, 1939, vol. 143, p. 939.
6. Roberts R. В., Mayer R. C, HafstadL. R.— Phys. Rev., 1939, vol. 55, p. 416.
7. Ladenburg R., Kanner M. iV., Barshall H., Van Voorhis С. С— Phys. Rev., 1939,
vol. 56, p. 168.
8. Haenny C, Rosenberg Α.— С. r. Acad, sci., 1939, vol. 208, p. 898.

2, О цепном распаде урана под действием медленных нейтронов 9
2
О ЦЕПНОМ РАСПАДЕ УРАНА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕДЛЕННЫХ НЕЙТРОНОВ *
(совместно с Ю. Б. Харитоном)
При осуществлении цепного распада урана под действием медленных
нейтронов [1] для продолжения цепи необходимо замедлить образующиеся в
акте распада нейтроны с энергией в несколько миллионов вольт до скорости,
близкой к тепловой, при которой они с достаточной вероятностью вызывают
следующий акт распада изотопа с атомным весом 235. В интервале между
энергией образующихся нейтронов и той областью, в которой они вызывают
распад (продолжают цепь), расположена вблизи 25 эВ область резонансного
поглощения нейтронов1 основным изотопом 238; поглощение это не приводит
к возникновению новых нейтронов и является, следовательно, обрывом
цепи, так же, как поглощение нейтронов той или иной имеющейся в системе
примесью к урану.
Однако в количественном отношении между этими двумя видами обрыва
цепи существует значительная разница. Сечения захвата медленных
нейтронов различными ядрами, в том числе и сечение для захвата ядром урана,
приводящего к его распаду, одинаково меняются с энергией нейтронов (обратно
пропорционально скорости, т. е. как Ε~χΙή. Распределение нейтронов по
различным возможным процессам — поглощению различными ядрами,
поглощению ураном с последующим распадом — не зависит от энергии, значит
и от скорости замедляемых нейтронов. Вероятности различных процессов
захвата находятся в постоянном отношении, а именно: они
пропорциональны произведениям концентрации участвующего в процессе ядра на сечение
захвата, измеренное (имея в виду зависимость его от энергии, т. е. как Е~%1·)
для всех процессов при одной энергии, например при комнатной температуре.
Таким образом, число нейтронов, захваченных тем или иным определенным
способом, легко находится по формуле вида
N^NoMSWi)· (1)
I
Существенно иначе обстоит дело с резонансным захватом. Качественно
ясно, что вследствие резко отличной зависимости сечения от энергии
нейтронов (по сравнению с захватом медленных нейтронов по закону Е"1!*)
простая формула (1), не содержащая ни зависимости от начальной энергии
нейтронов, ни скорости замедления их, определяющей время пребывания в
опасной зоне резонансного захвата, не может правильно описывать зависимость
количества резонансно поглощенных нейтронов от концентрации 2. Если
уместна аналогия, то в то время, как все процессы с сечениями ~ /?-*/·
включены параллельно, резонансный захват в области 25 эВ, где указанные
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1940, т. 10, вып. 1, с. 29—36.
1 Под действием медленных нейтронов распадается изотоп 235, содержание которого
в уране составляет 0,7%.
2 При постоянных условиях (прежде всего, составе) резонансное поглощение,
конечно, может быть приближенно описано введением эквивалентного сечения захвата
нейтронов комнатной температуры (Жолио [5]). Однако это фиктивное сечение является
неизвестной функцией всех параметров системы.

10
Часть первая. I. Ядерная физика
выше процессы практически еще не идут, включен последовательно перед
ними по ходу замедления нейтронов 3.
В настоящей заметке мы попытаемся установить закономерности
резонансного захвата и вытекающие отсюда следствия, касающиеся цепного
распада на медленных нейтронах.
Предварительные подсчеты по методам предыдущей нашей заметки
показали, что при применении окиси урана или, тем более, чистого урана
резонансное поглощение чрезвычайно велико и полностью устраняет
возможность цепной реакции на медленных нейтронах.
Для осуществления последней необходимо мощное замедление нейтронов,
практически осуществимое добавкой значительного количества водорода.
Таким образом условия проведения реакции на медленных и на быстрых
нейтронах оказываются существенно различными, так что совместный учет их
необходим только в самой непосредственной близости к критическим
условиям для одной из реакций, где система оказывается настолько
чувствительной, что даже небольшое участие второй реакции может изменить ее
поведение (см. нашу заметку [2]).
Отметим особенности предстоящих расчетов.
1. Весьма значительный радиус рассеяния нейтронов протонами и
выгодное отношение масс делают излишним учет замедления нейтронов при
рассеянии всеми остальными ядрами.
2. При каждом столкновении нейтрона с протоном энергия нейтрона
после рассеяния меняется во всем интервале от 0 до начальной энергии до
столкновения. Нейтрон с энергией 35—50 эВ имеет большую вероятность
сразу быть замедленным до энергии менее 25 эВ, после чего он уже не будет
резонансно поглощен. При таком сильном обмене энергией методика
предыдущей заметки, в которой изменение энергии при столкновениях
рассматривалось как непрерывный процесс, неприменима.
3. Поглощение (хотя и небольшое) тепловых нейтронов протонами
ограничивает возможное разбавление урана водородом с целью ускорить обмен
энергией и уменьшить резонансный захват вблизи 25 эВ. Мы должны будем
найти оптимальное соотношение между ураном и водородом, учитывая оба
эффекта.
4. Наконец, для конкретных расчетов чрезвычайно существен вид
функции распределения нейтронов с данной начальной энергией по энергиям
после одного столкновения с протоном.
Как может быть показано в общем виде, волновая функция рассеянных
частиц имеет сферическую симметрию**; остальные волновые функции
обращаются в нуль в центре и поэтому входят с коэффициентами ~ г/λ, где г —
радиус ядра, λ — длина волны нейтрона, так что при интересующих нас
энергиях, значительно меньших 106 F, ими можно пренебречь. Не зависящая
от угла рассеяния равновероятность всех направлений такая же, как при
столкновении двух упругих шаров в классической механике, приводит
при учете законов сохранения к весьма простому распределению по энергии:
именно к равновероятности всех значений энергии меньших начального:
а (Е) dE = dE/E0, 0 < Ε < Е0; (2)
α (Ε) dE = 0, Ε > Е0.
3 Вблизи 25 эВ сечения, пропорциональные ΖΓ1/ζ, уже пренебрежимо малы.
** Имеется в виду симметрия в системе центра инерции покоящегося протона и
движущегося нейтрона (прим. редактора).

2. О цепном распаде урана под действием медленных нейтронов 11
При выводе формулы мы пренебрегаем тепловой энергией рассеивающих
протонов, весьма малой по сравнению с энергией в полосе резонанса.
Сечение резонансного захвата при наличии одного уровня подчиняется
формуле Брейта—Вигнера:
η -α ΐ/ΙΖ__ίίΒ!__ /οχ
ve — σΓ у Е ^Е _ Е^2 _j_ pi2j2 · (ό)
Для того, чтобы сделать рассматриваемую часть задачи замкнутой, мы
выделили из выражения (3) член σ2, который ведет себя при малых Ε как Е^·,
чтобы соответствующее сечение учесть наряду с остальными в виде (1):
ι /~~^~ Г (г/2)2 (Г/2)« Ι Ϊ
σ = σ1 + σ2; σ1 = σΓ|/ Τ|(^ν + (Γρ)Μ - Ε^(νβγ[ |
a2=arj/-f-
(Γ/2)·
^2 + (r/2)2
(За)
Остающаяся функция обращается в 0 при Ε = 0, и под резонансным
поглощением мы будем понимать в дальнейшем только эту часть функции
захвата.
Преимущество такого определения заключается в том, что сейчас можно
строго поставить вопрос о вероятности нейтронам быть замедленными, не
подвергнувшись поглощению на резонансном уровне, причем эта величина не
связана более с вопросом о судьбе тепловых нейтронов, как это было бы,
если бы не исключать из резонансной кривой захват при малых энергиях.
Вероятности нейтрону в ближайшем столкновении быть резонансно
захваченным ураном или рассеянным водородом находятся в отношении
ocUcu : a8HcH (мы не рассматриваем все другие процессы). Введем
нормированную вероятность быть захваченным в ближайшем столкновении:
W = W (Е) = аси (Щ cu/[acU (Ε) cv + asHcK]. (4)
Составим уравнение для интересующей нас суммарной вероятности φ (Ε)
нейтрону, имевшему энергию Е, быть замедленным, не подвергнувшись
захвату в резонансной области: при первом столкновении нейтрон имеет
вероятность W быть захваченным и с вероятностью (1 — W) оказывается
рассеянным с равномерной плотностью распределения по энергиям. Отсюда
получим интегральное уравнение
ψ(Ε)= Χ~™{Ε) ^(e)rfe. (5)
0
Уравнение интегрируется в квадратурах, для чего составляем
производную φ' и входящий в нее интеграл выражаем обратно через величину φ·
так мы приходим к дифференциальному уравнению
φ' = —WylE - W'y/(i - W), (6)
окончательно находим
φ = (1 — W)exp(— J WdlnE)
(7)

12
Часть первая. I. Ядерная физика
При энергии Ε больше резонансной, начиная с того значения, при
котором W можно пренебречь, φ больше не зависит от значения Е, так что
интересующее нас предельное значение
оо
φ = Θχρ(— J WdlnE). (8)
о
При простейшем виде зависимости сечения резонансного захвата от
энергии
acU (Ε) = оо, Ει < Ε < Е2; acU = О, Ε < Ει и Ε > Ε2, (9)
формула (8) даст
φ = Ег/Е2. (10)
Подчеркнем еще раз, что наше рассуждение и результаты (7), (8), (10)
относятся исключительно к замедлению протонами, при котором каждое
рассеивающее столкновение приводит к равномерному распределению в
интервале энергий от начальной до нулевой.
Для расчетов с резонансной кривой вида (3) заметим, что при очень
больших значениях сечения захвата W приближается к единице и далее меняется
весьма мало; поэтому (3) можно заменить выражением
acU = const- (E — Er)"2. (11)
При этом конкретный вид функции легко написать, но он нам не нужен:
W = Wo [си (Е - Er)-VcH), (12)
^ W d In E = const · у си/сю (13)
или, обозначив сн/си = η, получим:
φ = ехр (— а "^си/сн) = ехр (— αη·1'»). (14)
Перейдем к рассмотрению самого цепного распада урана. Обозначим
через N полное число возникающих в системе в единицу времени быстрых
нейтронов как от источника (7V0), так и от деления ядер урана под действием
медленных нейтронов (TVi), так что Ν = Ν0 + Νι. Число нейтронов,
возникающих на один захваченный ураном (любым способом) медленный нейтрон,
обозначим ν, вероятность того, что нейтрон (уже замедленный до энергии,
много меньшей ЕТ = 25 эВ) будет захвачен ураном, а не водородом,
вычисленную по формуле вида (1), — θ:
θ = асиси/(асисн + осЯся) = 1/(1 + pcK/cv) = 1/(1 + βη). (15)
Заметим, что если бы мы захотели воспользоваться числом нейтронов V/,
возникающих при одном распаде ядра урана, то, имея в виду возможность
захвата нейтрона ураном без распада, мы должны были бы ввести вместо
общей вероятности захвата ураном θ вероятность захвата с распадом:
θ/ = OfCxj/(oCT2Cjj + acHcH) = 7/(1 + βη)> (16)
где
γ = Of/Gcv = 1 — ai/acU>

2. О цепном распаде урана под действием медленных нейтронов 13
так что тождественно
ν/θ/ = νθ = ν/(1 + βη). (17)
Из общего числа возникающих в единицу времени быстрых нейтронов N
замедляются, благополучно пройдя резонансный уровень cpTV нейтронов,
которые, вызывая распад, создают Ni = vGcpiV новых нейтронов в единицу
времени. По определению
Ν = Ν0 + Ν! = Ν0+ νθφΛΓ,
Ν = N0/(l - νθφ),
откуда критическое условие [6]
νθφ = 1. (20)
Таким образом, определение оптимальных условий для разветвления
ядерной цепи сводится к нахождению максимума θφ в зависимости от η =
= сн/си, т. е. к нахождению максимума функции
ехр (- αη-ν·)/(1 + βη). (21)
Обращаясь к практическому вычислению, следует заметить, что в то
время, как величина β, равная отношению сечений, известна сравнительно
хорошо, данные о резонансном захвате, напротив, недостаточно определены.
Численный расчет величины φ непосредственно по формуле (7), причем
сечение захвата было взято в виде (3) с константами σ2 = 3000· ΙΟ"24, Γ =
= 0,2, а сечение рассеяния водородом а5н = 20-Ю"24 приводит при η = 1
к величине φ = 0,844, чему отвечает в интерполяционной формуле (14)
а = 0,168.
Прямой опыт Гальбана, Савича и Коварского [3] дает практически ту же
величину 0,84 при η = 62 (см. замечание ниже), что отвечает значительно
большему захвату в равных условиях и соответственно а = 1,36.
Имеются указаний [4] на то, что простая формула (3) с одним уровнем
вообще неприменима4.
До экспериментального уточнения вопроса не остается ничего лучшего,
чем вариантный расчет с двумя значениями:
а = 0,168 и а = 1,36.
Мы принимаем далее осн = 0,27 ·10"24, σ/υ = 2-10"24 и сечения
бесполезного захвата ураном 1,2· 10~24.
В результате численных расчетов получаем соответственно положение
и высоту максимума величины θφ и минимальное значение ν, при котором
выполняется критическое равенство (20). Приводим детальный расчет.
Из соотношения сечений находим в формулах (17), (16), (15):
ν/ν/ = γ = Of/Ocv = 0,625; β = σΗ/σ0υ = 0,0845.
4 Следует отметить, что при сильном возбуждении ядра, связанном с захватом
нейтрона, естественно ожидать наличия ряда резонансных уровней, отстоящих один от
другого на несколько десятков вольт. Это обстоятельство, однако, мало отразится на виде
формулы (14). Поэтому пересчет экспериментальных данных по (14) будет совершенно
законным и при наличии ряда уровней.
(18)
(19)

14
Часть первая. I. Ядерная физика
Функция, максимум которой мы ищем в двух вариантах, соответственно
имеет следующий вид:
10·"0,074δη'ν« |0-Ο,6Ο3η""1/«
Θ(Ρ1 = 1+0,0845η ; Θ(Ρ2 = 1 +0,0845η ' (22)
Составим таблицу обеих функций:
η 62 17 8 4 2 1 1/2 1/4
θ 0,160 0,410 0,597 0,748 0,855 0,922 0,960 0,980
cpi 0,980 0,960 0,942 0,918 0,885 0,840 0,785 0,710
φ2 0,840 0,716 0,613 0,501 0,377 0,521 - —
θφχ 0,157 0,384 0,562 0,686 0,757 0,775 0,752 0,696
θφ2 0,134 0,284 0,366 0,374 0,331 0,231 — —
При α = 0,168; r\m3iX = 1; 0qw = 0,775; Vmin = 1,29.
При α = 1,36; rimax = 4; 0(pmax = 0,374; vmin = 2,64.
Различие в результатах расчета в различных вариантах уменьшается
если учесть, что вычисление самой величины ν из опытов типа Жолио или
Ферми необходимо также последовательно проводить в двух вариантах.
При этом большее значение ее, менее благоприятное для осуществления
цепного распада (дающее меньшее ν), при обработке эксперимента приводит,
очевидно, к увеличению вычисленного из наблюденных опытных данных
выхода нейтронов v. Таким образом, интересующая нас в последнем счете
величина νθφ меняется в зависимости от выбора того или иного а значительно
меньше.
Произведем подробный пересчет опыта Жолио [5].
Для того, чтобы не вводить нового понятия времени жизни нейтронов,
будем рассматривать дальше число нейтронов 7V"h, поглощенных водородом
раствора как в присутствии, так и в отсутствие урановой соли в растворе.
Так как применявшийся Жолио детектор нейтронов поглощает нейтроны
также с вероятностью, пропорциональной Е~Ч*, поглощение нейтронов
водородом без всяких поправок пропорционально произведению показания
детектора на концентрацию водорода.
Интегрируя по всему объему, мы получим для сферически симметричной
задачи
Яп ~ ί ся1гЧг, (23)
где / — показания детектора в данной точке. В растворе с постоянной
концентрацией растворенного вещества, следовательно, и водорода
#н ~ сн J Ir4r. (24)
Найдем величину сн в двух примененных Жолио растворах, принимая
за 1 концентрацию водорода в чистой воде. Для этого данные относительной
плотности растворов нитрата аммония и уранил-нитрата в зависимости от
процента растворенного вещества ζ, взятые из физико-химических таблиц
Ландольта, Бернштейна, Рота, дополняем следующими величинами: моляр-
ностью раствора по формуле μ = 1000 dz/100 Μ, где Μ — молекулярный
вес соединения, содержанием воды в единице объема раствора ει = d (1 —
— ζ/100) и (отнесенным к чистой воде) содержанием водорода в растворе ε,
куда в случае нитрата аммония добавляется содержание водорода самой
соли. Окончательно интересующий нас результат находим графической ин-

2. О цепном распаде урана под действием медленных нейтронов 15
терполяцией в координатах μ — ε. При μ = 1,6 находим содержание
водорода в 1,6-молярном растворе нитрата аммония 0,982, в таком же растворе
уранил-нитрата 0,893.
Мы с такой подробностью остановились на этих элементарных расчетах
потому, что в заметке Жолио имеется утверждение, что концентрации
водорода в обоих примененных им растворах отличаются не более чем на 2%.
Этот, противоречащий нашему, результат может получиться либо, если
забыть об уменьшении концентрации водорода при растворении
уранил-нитрата в воде и сравнить ε раствора ΝΗ4Ν03 с ε = 1 для чистой воды, либо
в том случае, если забыто содержание водорода в самом нитрате аммония
и сравниваются содержания воды (или водорода только в виде воды) обоих
растворов. Очевидна незаконность обоих предположений.
Стоящий в правой части формулы (24) интеграл есть не что иное, как
площадь кривой /г2, изменение которой определял Жолио. Согласно его данным,
эта площадь при замене нитрата аммония уранил-нитратом, увеличивается
в отношении 1 : 1,05.
Таким образом, полное количество нейтронов, поглощенных водородом,
меняется при этом в отношении
-Jg.. 1,05-0,955.
Следовательно, при введении урана, как показывает наш расчет,
количество нейтронов, поглощенных водородом, в действительности падает.
Это еще не противоречит образованию более чем одного нейтрона на
каждый тепловой нейтрон, поглощенный ядром урана, так как при введении
урана прежде всего происходит весьма заметное поглощение быстрых нейтронов
источника при замедлении их до тепловой скорости на резонансном уровне
захвата при 25 В.
Покажем это численно. Во введенных ранее обозначениях из полного
числа N быстрых нейтронов, возникающих в единицу времени, в системе будут
замедлены без поглощения на резонансном уровне qpiV нейтронов; замедленные
нейтроны распределяются между ураном и водородом как θ : (1 — θ), так что
окончательно, согласно формуле (19), количество поглощенных водородом
нейтронов составит
#н = Ν0 (1 - θ) φ/(1 - νθφ), (25)
вместо Ν0 в отсутствие урана.
Приравнивая
(1 - θ)φ/(1 - νθφ) = 0,955, (26)
найдем при η = 62, θ = 0,160, φ в двух вариантах: φι = 0,98
(экстраполировано по вычислениям на основании данных по кривой захвата) и <р2 =*
= 0,840 (непосредственно измерено Савичем, Гальбаном и Коварским).
Окончательно получим
νι = 0,88; ν2 = 1,95. (27)
Соответствующие величины, отнесенные к одному акту распада урана,
при принятых соотношениях сечений захвата с распадом и бесполезного
захвата медленных нейтронов:
ν/ = 3,2 ν/2,0; νι/ = 1,41; ν2/ = 3,12. (28)

16
Часть первая. I. Ядерная физика
Последняя цифра 3,12 вычислена в тех же предположениях, в которых
Жолио получил выход V/ = 3,5. Таким образом, уточнение содержания
водорода в растворе и уточнение расчета (Жолио считал все эффекты,
связанные с введением урана, малыми и систематически отбрасывал члены второго
порядка малости) сравнительно очень мало изменили окончательную цифру.
Возвращаясь к интересующему нас вопросу, найдем величину
максимума критерия взрыва νθφ; в двух последовательно проведенных вариантах
расчета он оказывается равным:
(v6(p)imax = 0,88-0,775 = 0,68 при η = 1;
(νθφ)21Ι1αχ = 1,95-0,374 = 0,73 при η = 4.
Этому отвечает максимальное увеличение интенсивности источника за
счет дополнительных нейтронов от распада урана не более чем в 3—4 раза
при наилучшем выборе отношения уран—вода.
Таким образом экспериментальные данные Жолио дают почти
независимое от выбора а и притом недостаточное для осуществления цепного
распада значение произведения νθφ.
Расчет опыта Ферми затруднителен вследствие раздельного
распределения урана и воды в его приборе. Во всяком случае он даст не более
утешительный результат, и сделанный нами из опытных данных вывод
относительно неосуществимости мощного цепного распада в системе уран—вода
оказывается в последнем счете связанным только с принятым законом
изменения захвата на резонансном уровне в зависимости от соотношения водород—
уран в форме (14) и не зависит в широких пределах от значения
коэффициента а, как явствует из сопоставления окончательных результатов расчета
в двух вариантах, с сильно разнящимися значениями а.
Отсюда вытекает, что для осуществления условий цепного взрыва урана
необходимо для замедления нейтронов применять тяжелый водород или,
быть может, тяжелую воду, или какое-нибудь другое вещество,
обеспечивающее достаточно малое сечение захвата. Значительно меньшее по сравнению
с водородом сечение рассеяния и несколько меньшая эффективность обмена
энергией могут компенсироваться ничтожно малым сечением захвата
нейтронов и связанной с этим возможностью чрезвычайного разбавления урана
(большого η).
Другая возможность заключается в обогащении урана изотопом 235.
Если в качестве разбавителя пользоваться водой (водородом), то величина
νθφ становится равной единице при увеличении содержания урана 235
в 1,9 раза (от 0,7 до 1,3%) при оптимальном значении η ~ 8.
Все сказанное выше относилось к неограниченно протяженной смеси
урана с водородом (или водного раствора урановой соли, поскольку
действием других ядер можно пренебречь).
Учет конечных размеров объема, занятого смесью (раствором), приводит
к снижению эффективного значения θφ вследствие диффузии нейтронов
наружу.
Вблизи критических условий взрыва можно показать, что имеет место
соотношение
(θφ)3φΦ = θφ (Ι - A/d*), (29)
где d — характеристический размер системы, А — величина, зависящая от
длины пробега.

3, Кинетика цепного распада урана
И
Очевидно, что при этом затрудняется достижение критических условий
взрыва. Обратно, чем больше величина νθφ — 1, тем меньше могут быть
критические размеры системы.
Пользуемся случаем выразить нашу признательность И. И. Гуревичу,
И. В. Курчатову и И. Я. Померанчуку за ряд ценных указаний при
обсуждении настоящей работы.
Институт химической физики. Поступила в редакцию
Ленинград 22 октября 1939 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Perrin F.— С. г. Acad, sci., 1939, vol. 208, p. 1573.
2. Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1939, т. 9,
с. 1425.
3. Halban #., Kowarski Z,., Savitch P.— G. r. Acad, sci., 1939, vol. 208, p. 1396.
4. Anderson #., Fermi £., Szillard L.— Phys. Rev., 1939, vol. 56, p. 284.
5. Halban #., Joliot F., Kowarski L.— Nature, 1939, vol. 143, p. 470, 680.
6. Семенов Η. Η. Цепные реакции. Л.: Госхимтехиздат, 1934. 555 с.
з
КИНЕТИКА ЦЕПНОГО РАСПАДА УРАНА*
(совместно с Ю. Б. Харитоном)
Рассматривается развитие цепной ядерной реакции в массе урана при
переходе через критическое значение массы. Показано, что тепловое
расширение является мощным регулирующим фактором, делающим переход через
предел — если таковой существует — совершенно безопасным. При
критической массе в 1 τ разогрев на 1000° может быть осуществлен лишь при
добавлении ~50 кг сверх критической массы. Постепенное увеличение массы
сверх критического значения приводит к колебательному режиму реакции
с периодом, обратно пропорциональным корню квадратному из скорости
подачи урана. Запаздывающие нейтроны существенно увеличивают период
колебания скорости реакции.
1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих работах [1,2] мы рассматривали вопрос о принципиальной
возможности осуществления цепного распада урана на быстрых и медленных
нейтронах, причем не учитывался диффузионный отвод нейтронов, т. е.
в сущности расчеты относились к безгранично протяженной массе урана или
раствора соединения урана в воде.
Можно думать (недостаток экспериментальных данных не позволяет
высказывать категоричные суждения), что в результате применения тех или
иных мероприятий, создавая большую массу металлического урана либо
смешивая уран с веществами, обладающими малым сечением захвата
(например с тяжелой водой), либо обогащая уран изотопом U235, которому
приписывается распад под действием медленных нейтронов,— окажется возмож-
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1940, т. 10, вып. 5Г
с. 477—482.

18
Часть первая. I. Ядерная физика
ным создание условий цепного распада урана посредством разветвляющихся
цепей, при котором сколь угодно слабое облучение нейтронами приведет
к мощному развитию ядерной реакции и макроскопическим эффектам.
Подобный процесс мог бы представить значительный интерес, так как молярная
теплота ядерной реакции деления урана в 5·107 раз превышает
теплотворную способность угля; распространенность и стоимость урана вполне
допустили бы осуществление некоторых применений урана.
Поэтому, несмотря на всю трудность или ненадежность намеченных
путей, можно ожидать в ближайшее время попыток осуществления процесса.
В предлагаемой работе выясняются детали поведения системы, в которой
тем или иным способом достигнуты условия разветвления цепей ядерной
реакции. В безгранично протяженной системе при этом концентрация нейтронов
и интенсивность реакции нарастают экспоненциально (см., например,
Флюгге [3]): (1)
dn/dt = Ъп
до тех пор, пока не прореагирует значительная часть вещества. Если
вероятность разветвления составляет 0,1, т. е. величина α = V/ (1 — γ) — 1 = 0,1
(см. нашу работу [1]), или α = νθφ — 1 =0,1 (см. нашу работу [2]), то
обратное время релаксации Ъ уравнения (1) для быстрых нейтронов окажется
порядка 107 с"1, для медленных нейтронов около 104 с"1. В общем виде [4]
6 = oh*2/MV (2)
где α определено выше, и — скорость движения нейтрона, nt — число частиц
ί-го сорта в единице объема, ас. — сечение захвата частиц ι-го сорта.
В случае системы конечной величины отвод нейтронов в окружающее
пространство является, очевидно, эквивалентным обрыву цепей. Из этих
соображений, рассматривая диффузию нейтронов, Перрен [5] нашел
критические размеры, начиная с которых возможна разветвляющая цепь реакций.
Расчет Перрена был обобщен Пайерлсом [6]; последний подтвердил найденное
Перреном критическое условие существования стационарного режима, а
также рассмотрел не имеющий практического значения случай большой
вероятности разветвления и большого сечения развала, при котором критические
размеры системы невелики по сравнению с длиной пробега, и уравнение
диффузии не может быть написано.
Ограничиваясь единственно интересным случаем, когда критические
размеры значительно больше длины пробега, составим уравнение изменения
концентрации нейтронов в отсутствие внешнего источника:
dn/dt = Ъп + DAn, (3)
где коэффициент диффузии
D = 1/3λιι = ιι/(3Σηίο8.). (4)
Общее решение (3) может быть найдено в виде суммы:
η = η (х, у, z, t) = Σψ£ (я, у, ζ) exp [(b — gt) f], (5)
где tyi и gi суть соответственно собственные функции и собственные значения
уравнения
Ζ)Δψ + £ψ = 0 (6)
в граничных условиях ψ = 0 на поверхности тела.

3. Кинетика цепного распада урана
19
Из соображений размерности очевидно, что
gi = ktD/d\ (7)
где ki — безразмерный коэффициент, зависящий только от формы тела,
d — линейный размер тела. В случае шарообразной формы, отождествляя d
с диаметром шара, находим
kt = 4π2ί2; кг = 4ц2 ^ 40. (8)
Критическое условие
Ъ — £i = 0; b = k1D/cP; dKV> = 2n}<rD/b, (9)
что совпадает с результатом Перрена 15].
Подставляя (2) и (4), найдем на пределе
ώκΡ У Σ ща^ Σ ща^ = 2π/]/"3όΓ (10)
В смеси постоянного состава, в которой все nt находятся в постоянном
отношении, на пределе
^кр^г = const. (11)
При этом критическая масса
Мкр = а1рщ~т2 (12)
тем меньше, чем больше плотность.
2. КИНЕТИКА РАСПАДА
Проделанный расчет, очевидно, недостаточен для описания
макроскопического протекания процесса в реальных условиях.
Как явствует из уравнения (1), вдали от критических условий, когда
диффузионный отвод невелик, концентрация нейтронов нарастает
экспоненциально с огромной скоростью, увеличиваясь ве раз за время порядка 10"7 с
при распаде на быстрых, 10~3 с — при распаде на медленных нейтронах. При
столь быстром развитии цепного распада мы не вправе более отвлекаться
от рассмотрения создания самих сверхкритических условий, при которых
цепной распад только и возможен.
Время проведения процессов, осуществляющих переход критических
условий, например, время сближения двух урановых масс, каждая из которых
в отдельности находится в докритической в отношении цепного распада
области, вряд ли удастся сделать хотя бы сравнимым со временем разгона
реакции. Можно ожидать, следовательно, что в действительности во всех случаях
нам придется иметь дело с условиями, весьма близкими к критическим.
С одной стороны, необходимо рассмотрение разгона нейтронной реакции не
в заданных (неизвестно, как созданных) условиях, а при постепенном
переходе критических условий, отвечающих той или иной конкретной постановке
опыта, сближению двух масс урана, подсыпанию порошка урана и т. п.
С другой стороны, в непосредственной близости к критическим условиям
поведение системы чрезвычайно чувствительно по отношению к факторам,
влиянием которых вдали от предела можно было бы пренебречь. В качестве таких
факторов, рассмотрение которых необходимо, можно указать на расходование
урана и появление новых ядер, способных захватывать нейтроны при развале;

20
Часть первая. I. Ядерная физика
тепловое расширение применяемой массы урана вследствие выделения
энергии развала; выделение некоторого небольшого (~10~2) количества всех
нейтронов с задержкой около 10 с после развала. Влияние всех упомянутых
факторов на критические условия, незначительное само по себе, оказывается
решающим в том случае, когда система настолько близка к критическим
условиям, что влияние, например, теплового расширения или выделение
задержанных с полупериодом 10 с нейтронов, переводит систему из
сверхкритической в докритическую область или обратно.
Кинетика развития цепного развала является решающей для суждения
о тех или иных путях практического, энергетического или взрывного
использования развала урана. Сделанные без учета сказанного выше поспешные
выводы [3], например, о чрезвычайной опасности опытов с большими массами
урана, катастрофических последствиях таких опытов (в расчете на полный
развал всех взятых ядер урана), не соответствуют действительности. Также,
по-видимому, практически излишни и специальные добавки, например
кадмия, для регулирования процесса [7, 8]. Во всех цитированных работах не
учтена специфика, чрезвычайная чувствительность реакции вблизи предела.
Перейдем к составлению уравнений. Весьма существенно для нас
замечание, что в общей формуле (5) непосредственно под пределом и в
сверхкритической области коэффициент при первой собственной функции (с
наименьшим характеристическим числом) несравненно больше всех остальных
коэффициентов. Пренебрегая последними, мы приходим к выводу, что
практически во всей интересующей нас области пространственное распределение
нейтронов остается подобным самому себе и описывается первой собственной
функцией уравнения Пуассона нашей задачи (6). Благодаря этому в
дальнейшем нам нет надобности рассматривать зависимость концентрации нейтронов
и от координат, и от времени, что привело бы в лучшем случае к уравнению
в частных производных. Вместо этого при исследовании кинетики реакций
мы можем ограничиться рассмотрением зависимости от одной переменной —
времени — коэффициента при первой собственной функции или полного
числа нейтронов в системе.
При постоянных внешних условиях экспоненциальный рост (или
убывание) общего количества нейтронов (пропорционального коэффициенту при
первой собственной функции) со временем в отсутствие внешнего источника:
N = J ndv; η = со exp (pt) ψ (χ, г/, ζ); Ν = Ν0 exp (pt) (13)
отвечает дифференциальным уравнениям
dnldt = рп или dNIdt = pN; (14)
ρ = Ъ — kiD/d2 = au2niGc. — ^ιι/φάΡΣ^Οβ.). (15)
Подача нейтронов внешним источником добавляется с коэффициентом β,
зависящим от положения источника, который, однако, даже в наименее
благоприятном случае не многим меньше отношения длины пробега к размерам
системы, т. е. во всяком случае не меньше нескольких сотых:
dNIdt = pN + β™, (16)
где т — мощность источника: число нейтронов за 1 с, β — упомянутый
коэффициент. Наряду с этим мы вводим в рассмотрение скорость изменения
самой величины р, характеризующей расстояние от предела: ρ < 0 в докри-

3. Кинетика цепного распада урана
21
тической области, р^>0 в сверхкритической области:
dp/dt = с - aN, (17)
здесь с характеризует скорость добавки урана, сближения двух масс урана
или другого процесса, с помощью которого мы переводим систему через
критические условия. Напротив, коэффициент α описывает саморегулировку
системы, ее уход от предела в результате последствий развала урана
вследствие расходования вещества, теплового расширения системы в связи с
выделением энергии развала. Численные значения с и α в данных условиях
опыта легко находятся согласно определению ρ по формуле (15),
вскрывающей зависимость ρ от размеров и формы системы, концентрации урана и т. п.
Введем, наконец,— впервые в нашей работе — рассмотрение
запаздывающих нейтронов.
Наблюдаемый полупериод ~10 с есть, по-видимому, полупериод процесса
β-превращения одного из осколков, образующихся при развале; испарение
нейтрона из ядра, получившего достаточную энергию в результате
β-превращения, происходит, по существующим представлениям, за время, не более
10~13 с. Обозначая I число ядер, способных после β-превращения к выбросу
одного нейтрона, составим уравнение
dl/dt = IgN - /Ζ, (18)
где / — вероятность интересующего нас β-распада, 10~1с"1, согласно
сказанному, gN — число происходящих в единицу времени актов развала, ζ —
вероятность (безразмерная) образования в акте развала интересующего нас
ядра с нейтронной активностью.
В уравнении (16) появляется добавочный член
dNIdt = pN + β/τι + ξζη/Ζ, (19)
происходящий как раз от «запаздывающих» нейтронов.
Число запаздывающих нейтронов, возникающих в одном акте β-распада,
обозначено η. Произведение ζη есть экспериментально определенное
отношение выхода запаздывающих нейтронов к числу происшедших развалов
(~10-2).
Множитель ξ введен для учета того факта, что задержанные нейтроны
иначе распределены по энергии и поэтому эквивалентны в отношении
вызывания дальнейшего развала первичными нейтронами, образующимися в
самом процессе развала с задержкой 10"13 с. Величина ξ не отличается от 1 при
работе на медленных нейтронах и не меньше 10~2 при работе на быстрых
вследствие наличия концентрации 10"2 изотопа U235.
Рассмотрим прежде систему (18) и (19) в предположении постоянного р.
Решение ищем в виде
N = А ехр (у t) + 5, Ζ = С ехр (γ t) + Ε.
Для величины γ получим квадратное уравнение:
(V ~ Р)(У + /) - ζηξ/ϊ = 0. (20)
Интересующее нас критическое условие у = 0 будет достигнуто при
Ρ = -δη &, (21)
т. е. ранее, чем достигается предел в отсутствие запаздывающих нейтронов,
ρ = 0.

22
Часть первая, I. Ядерная физика
Подставляя выражение для (15) и учитывая, что Ъ = vg", получим
ρ = vg - H0D/r* = -|ηζ£. (22)
Видно, что критический радиус меняется в соответствии с малым выходом
задержанных нейтронов не более чем на 1%.
Составим далее
(dy/dp)y=0 = 1/(1 + ζηξ*//). (23)
Эта величина оказывается значительно меньше единицы при распаде
как на быстрых, так и на медленных нейтронах. Физически это означает, что
в той области, где задержанные нейтроны необходимы для осуществления
разветвляющейся цепи, т. е. ζηξ/ < ρ < 0, процесс на равном расстоянии от
предела развертывается медленнее,— в отсутствие задержанных нейтронов,
очевидно, было бы
у = р, dy/dp = 1.
Расчеты отдельных случаев, в которых интегрирование уравнения
сравнительно просто (например, стационарный режим, малые колебания и т. п.),
убедили нас в возможности следующей приближенной трактовки влияния
задержанных нейтронов: уравнение (19) заменяется на
dNIdt = yN + βττι,
причем
dy/dt = {dyldt)y=o, dpldt = c/(l + lv\lglf) - aN/(l + ζηξ^//)
в соответствии с (17) и (23).
Рассмотрим несколько частных решений, иллюстрирующих свойства
системы.
Пренебрегая весьма малым для любого макроскопического процесса
выделением нейтронов внешним источником, найдем стационарное состояние
γ = 0; с = aN; NCTaUi = с/а.
Стационарное количество нейтронов таково, что обеспечивает γ = 0,
несмотря на подвод урана (член с). При постоянной плотности и форме в
стационарном состоянии количество разваливающегося в единицу времени урана
с точностью до численного множителя, близкого к 1, равно количеству
подаваемого урана.
Оказывается, однако, что, например, для сплошной массы урана весом
в 1 τ развал 10~3 г урана нагреет уран до температуры около 1000°, чему
отвечает расширение примерно на 1%; такое расширение, происшедшее в
результате развала 10~3 г урана, компенсирует влияние на предел добавки 50 кг
урана, так что в этом интервале температуры естественная регулировка через
плотность приводит к выгоранию 1,5· 10"8 части подаваемых количеств.
Обратно, при отборе тепла от самораскалившейся до 1000° массы урана,
температура ее упадет до комйатной лишь после отнятия 1012 ккал, т. е.
выгорания ~50 кг урана (в действительности раньше, из-за действия остальных
факторов регулировки).
Рассмотрение малых колебаний вокруг стационарного состояния дает нам
период этих колебаний:

3. Кинетика цепного распада урана
23
характеризующий время релаксации системы. В отсутствие подачи
нейтронов внешним источником колебания эти оказываются незатухающими.
Уравнение интегрируется в переменных γ — N разделением переменных и при
больших амплитудах:
™max == -^*стац Ш ™стад/-*'min·
Период колебаний при этом меняется лишь логарифмически. Порядок
величины периода колебаний и времени релаксации системы численно
составляет, например, при критической массе 106 г и подаче 10 г/с около 0,1 с
(для быстрых нейтронов). Нетрудно оценить начальное количество
нейтронов, с которого начнутся колебания (циклы в плоскости γ — Ν) при
достижении предела: по порядку величины это количество
Nmin = §тх = §т Y{\ + lx\Wg)lc
равно произведению скорости подачи (интенсивности источника) на время
релаксации. Соответственно
N _ с lflJW_ /' ζηξ/\
^max— "grin—з (/ + —]·
При этом оказывается, что учет нейтронов источника приводит к
постепенному затуханию колебаний.
При внезапном выключении подачи урана, прекращении сближения двух
масс урана, количество урана, выгорающее «по инерции», пока спадает
концентрация нейтронов вследствие отхода от предела,— это количество
равно среднему количеству, выгоравшему за время релаксации при
стационарном режиме подачи.
Подытожим результаты данной последней части работы.
Начавшийся цепной развал урана **, в отличие от горения взрывчатых
веществ и т. п. процессов, практически сразу прекращается при обратном
переходе системы из сверх- в подкритическую область, не затрагивая таким
образом остающееся, весьма близкое к критическому, количество урана.
При изотермическом проведении процесса количество разваливающегося
в единицу времени урана равно количеству подаваемого.
При адиабатическом ведении процесса вследствие теплового расширения
выгорающее количество в ~108 раз меньше подаваемого.
Время релаксации процесса, обратно пропорциональное корню из
скорости подачи урана, порядка 102 с при подаче ~50 кг/ч и при критической
массе порядка 1 т, примерно в 103 раз больше того, которое было бы в
отсутствие задержанных нейтронов. Эти числа относятся к цепному распаду на
быстрых нейтронах. Полученные формулы, конечно, применимы и к распаду
на медленных нейтронах. Такие свойства системы (прежде всего регулировка
через тепловое расширение) делают экспериментальное исследование и
энергетическое использование цепного распада урана безопасным. Взрывное
использование цепного распада требует специальных приспособлений для
весьма быстрого и глубокого перехода в сверхкритическую область и
уменьшения естественной терморегулировки.
Институт химической физики. Поступила в редакцию
Ленинград 7 марта 1940 г.
** В настоящее время термин «развал» не применяется, его заменил термин
«деление урана» (прим. редактора).

24
Часть первая. I. Ядерная физика
ЛИТЕРАТУРА
1. Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1939, т. 9,
с. 1425.
2. Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1940, т. 10,
с. 29.
3. Flugge S,— Naturwissenschaften, 1939, Bd. 27, S. 402.
4. Семенов Η. Η. Цепные реакции. Л.: Госхимтехиздат, 1934. 555 с.
5. Perrin F.— С. г. Acad, sci., 1939, vol. 208, p. 1934.
6. Peierls #.— Ргос. Cambridge Philos. Soc, 1939, vol. 35, p. 610.
7. Perrin F.— С. г. Acad, sci., 1939, vol. 208, p. 1537.
8. Halban Л.— Nature, 1939, vol. 143, p. 793.
КОММЕНТАРИЙ
Открытие в 1938—1939 годах деления ядер урана, приведшее в конечном счете к
созданию ядерной энергетики, ознаменовало новый, чрезвычайно плодотворный этап научной
деятельности ЯБ. Его интересы сосредоточились на изучении механизма деления
тяжелых ядер и, что оказалось особенно важным, на создании теории цепной реакции
деления урана. По этой тематике за два года (1939—1940) ЯБ были выполнены в творческом
содружестве с Ю. Б. Харитон ом три основополагающие работы, имеющие огромное
принципиальное значение. Работы этого цикла являются фундаментом современной физики
реакторов и ядерной энергетики, они широко известны и не нуждаются в особых
комментариях — уже краткий обзор физических результатов достаточно красноречив.
Интерес ЯБ к общим вопросам ядерной физики, а затем и к физике элементарных
частиц был также стимулирован открытием явления деления тяжелых ядер и практической
работой в области ядерной энергии.
Прокомментируем последовательно три работы.
Работа 1. Рассмотрены условия возникновения цепной реакции деления
основного изотопа урана при учете замедления нейтронов ниже порога деления U238. В
основном тексте статьи рассматривается только упругое замедление нейтронов. При этом
авторы, беря правдоподобные значения величины числа вторичных нейтронов деления,
приходят к выводу о практической невозможности цепного деления в окиси урана и о
возможности цепного деления в чистом уране. Однако в добавлении при корректуре авторы
сообщают, что произведенный ими расчет на основе теории Бора — Уилера неупругого
рассеяния (замедления) нейтронов показывает, что даже в случае металлического урана
цепная реакция невозможна. Таким образом, была показана невозможность цепной
ядерной реакции на быстрых нейтронах в естественном уране.
В этой же работе впервые дана оценка толщины отражателя для быстрых нейтронов
в случае порогового деления.
Работа 2 является пионерской и классической в самом высоком смысле слова.
Основное в работе сводится к следующему:
а) ясное введение резонансного поглощения U238 как одного из определяющих
факторов коэффициента размножения в системах на медленных нейтронах (уран +
замедлитель);
б) формулировка истории одного поколения нейтрона и получение знаменитого
выражения для коэффициента размножения в бесконечной среде: К^ — νφ θ, где ν — число
вторичных нейтронов на акт захвата теплового нейтрона ураном, φ — вероятность
избежать резонансного захвата в процессе замедления и θ — коэффициент использования
тепловых нейтронов;
в) получение уравнения для φ, связывающего его с резонансными сечениями U238 для
водородного замедлителя. Уравнение для φ без труда обобщается на неводородный за

3. Кинетика цепного распада урана
25
медлитель (А > 1), но решение более сложно, так как оно приводит к уравнениям в
конечных разностях. В работе этого нет;
г) введение эффекта самоэкранировки атомов урана. Получен корневой закон
зависимости резонансного поглощения от концентрации. Понятая впоследствии возможность
уменьшения резонансного поглощения путем гетерогенного (блочного) размещения урана
в замедлителе основана на существовании двух эффектов, одним из которых является
самоэкранировка атомов урана, открытая в настоящей работе (внутренние области блока не
участвуют в поглощении). Второй эффект, не рассматриваемый в данной работе, состоит
в том, что поглощаются только резонансные нейтроны, образовавшиеся непосредственно
вблизи блока. Остальные нейтроны в процессе замедления выйдут из опасной резонансной
зоны раньше, чем достигнут блока;
д) произведен подробный пересчет опытов Жолио и сделан вывод о невозможности
получения самоподдерживающейся реакции цепного деления в системе естественный
уран + легкая вода при любой концентрации. Смесь, конечно, предполагается
гомогенной. На этом основании в работе делается важнейшее утверждение, полностью
оправдавшее себя в дальнейшем, о необходимости перехода к другим замедлителям и предложение
использования тяжелой воды и графита ввиду малости сечений поглощения тепловых
нейтронов дейтерием, углеродом и кислородом (см. ниже).
К пунктам гид) следует дать более подробные пояснения.
1. В ряде изотопов, в том числе в Ри239, есть отклонение от закона 1/v в тепловой
области, однако в то время это не было известно. Для U235, рассмотренного в статье, закон
1/v имеет место.
2. Учет реакции на быстрых нейтронах, упомянутый на с. 10, но не учтенный в статье,
становится более существенным в гетерогенной (блочной) системе. Соответствующий
коэффициент μ достигает 1,03 -s- 1,04 и весьма существен для реакторов с замедлителем —
графитом и водяным охлаждением.
3. Формула (11) справедлива лишь для больших концентраций урана
(пренебрежение Г2/4 в знаменателе формулы Брейта — Вигнера). Точное решение уравнения (8) дает:
— In φ = (π/2) 2 (Тг/Еог) [ησ, (1 + ησ8/σ00/σ0|]-^ ^
г
= (π/2) 3 (iy£oi) /σ0ί/ησ3 — σ0ί > ησβ (Ι)
в случае сильных уровней (самоэкранировки),
In φ ~ (π/2) ^ (ГуЯ0г) σ<π/ησ3 — o0i << ησ8 (II)
г
в случае слабых уровней.
Текст статьи отвечает учету в резонансном поглощении только сильных
(самоэкранирующихся) уровней.
Для водорода при концентрациях cjcv = 62 и даже 17 уже уровни в области 100—
200 эВ следует рассматривать по точной формуле.
4. Последующие измерения существенно изменили значения констант. При
современных константах φ ~ 0,6 при c^cv = 1. Однако принятая в статье оценка
значительно более реалистична, чем совершенно неправильная оценка А. Хальбана и Л. Коварско-
го, при которой даже тяжеловодный реактор не мог бы работать на естественном уране.
Соотношение сечения деления и захвата в уране на тепловых нейтронах приняты
близкими к современным. Но само оа для природного U в 2,4 раза меньше истинного
{3,2 бн вместо 7,5 бн),адля водорода лишь на 20%. Поэтому получены резко заниженные
значения Θ. Сейчас оптимум близок к cjcv = 3 и {<р6}тах = 0,69, т. е. минимальное
обогащение для гомогенной системы при μ = 1,02 соответствует vpf = 1,43 для К^ — 1,

26
Часть первая. I. Ядерная физика
т. е. обогащение порядка 1%:
θ = 8,96/(8,96 + 0,96) = 0,9; φ = 0,77;
μφθ = 0,707; Кж = 1,01.
Наконец, отметим, что самоэкранировка резонансных уровней захвата приводит к
выгодности применения урана в виде тел («блоков») размером несколько сантиметров. Блок-
эффект в СССР был открыт И. И. Гуревичем и И. Ю. Померанчуком в 1945 г., уже после
рассматриваемой работы ЯБ и Ю. Б. Харитона. Блок-эффект заметно увеличивает К^
и является крайне важным для работы реакторов, использующих природный необогащен-
ный уран. Вместе с тем, учет блок-эффекта не изменил важнейшие качественные выводы
рассматриваемой работы. Даже при оптимизации размеров блоков природный (необога-
щенный) уран с обычной (легкой) водой в бесконечной системе не достигает критичности*
Заметим, что в обзорной статье в УФН1* ЯБ вместе с Ю. Б. Харитоном наметили
подлежащие исследованию вещества, которые могут быть использованы как замедлителиt
и среди них гелий, тяжелую воду (D20) и углерод. Как известно, тяжеловодные и
графитовые реакторы применяются на практике.
Работа 3, подобно работе 2, является также классической и пионерской. Впервые
подробно рассмотрена кинетика цепного распада урана при переходе в закритическое
состояние. Главные результаты:
а) самым важным в работе является учет роли запаздывающих нейтронов в кинетике
цепной реакции. В интервале эффективных коэффициентов размножения в К = К^ Р,
Ρ — вероятность нейтрону быть поглощенным, а не вылетевшим из системы,
1 < К < 1 + β, (ΠΙ)
где β — доля запаздывающих нейтронов, кинетика делается очень мягкой и определяется
в основном периодами запаздывающих нейтронов. Авторы пишут полную систему
кинетических уравнений с запаздывающими нейтронами, из которой, в частности, следует
формула так называемых «обратных часов», характеризующих скорость разгона реакто»
ра, прямо в работе не полученная. Эта блестящая идея объясняет тот факт, что ядерный
реактор оказался легко регулируемой системой, что в свою очередь явилось одним из
основных факторов, предопределяющих успех атомной энергетики (все реакторы работают
в интервале (III));
б) пророческими в работе являются также слова о возможном появлении новых силь~
но поглощающих ядер. Известное явление «йодной ямы» в реакторах связано с
накоплением рекордно поглощающего тепловые нейтроны изотопа ксенона (Хе135 — ос =
= πΧ2/10 = 3·1066η);
в) подробно рассмотрено влияние на кинетику нагревания урана и показано, что теп·
ловое расширение является эффективным регулирующим фактором;
г) рассмотрены колебания около положения равновесия, которые в отсутствие внеш·
них источников оказываются незатухающими;
д) наконец, из работы непосредственно вытекают условия возникновения сильного
взрыва — значительная надкритичность в начальном состоянии и размножение на
быстрых нейтронах. Эти выводы, не сформулированные явно, были полностью
использованы авторами в дальнейшей работе.
Заметим, что правильная оценка критической массы U235 была дана авторами вместе
с И. И. Гуревичем еще в 1941 г. Тогда же было отмечено, что в далеком прошлом содержание
U235 было больше, чем сейчас, что обеспечило возникновение цепной реакции. Это
содержится во II части обзора2*, сданного в печать в 1941 г., но опубликованного только
в 1983 г. в связи с 80-летием И. В. Курчатова. Как известно, в месторождении урана в Окло
(Габон, Африка) обнаружены признаки цепной реакции, происходившей 2 млрд. лет
назад.

4, К теории развала ядер
27
В целом работы 1—3 были уникальными в мировой литературе. Соответствующие
работы в других странах не публиковались до Женевской конференции 1955 г.
С дальнейшим развитием идей, изложенных в этих статьях, можно ознакомиться
в книгах «Физическая теория ядерных реакторов» 3* и «Основы теории и методы расчета
ядерных энергетических реакторов» 4*.
!* Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б,— Успехи физ. наук, 1940, т. 23, с. 329—357.
2* Зельдович #. Б., Харитон Ю. Б.— Успехи физ. наук, ч. 1, 1941, т. 25, с. 381—
405; ч. 2, 1983, т. 139, с. 501—527.
3* Вейнберг Α., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. М.: Изд-во иностр.
лит., 1961. 732 с.
4* Бартоломей Г. Г., Батъ Г. Л., Байбаков В, Д., Алтухов М. С. Основы теории
и методы расчета ядерных энергетических реакторов. М.: Энергия, 1982. 511 с.
4
К ТЕОРИИ РАЗВАЛА ЯДЕР*
(совместно с Ю. А. Зысиным)
Рассмотрено возможное состояние ядра в момент его распада на два
приблизительно равных ядра. Расчет энергии двух соприкасающихся
эллипсоидов вращения опровергает высказанные Я. И. Френкелем доводы в пользу
существования существенно не шарообразных ядер. Найденный порядок
величины энергии эллипсоидов позволяет удовлетворительно описать
наблюденное образование нескольких быстрых нейтронов на каждый акт развала
как испарение указанных нейтронов возбужденными в процессе деления
осколками.
Теория Бора описывает ядро как каплю жидкости с равномерной
плотностью заряда, из которой проистекает электростатическая энергия.
Близкодействующие силы притяжения ядерных частиц обусловливают
определенную теплоту их испарения, а также поверхностное натяжение капли.
В 1939 г. важнейшим успехом теории было описание открытого Л. Мейт-
нер и О. Фришем [1] деления тяжелых ядер под действием нейтронной,
бомбардировки на два приблизительно равных осколка с выделением огромных —
даже для радиоактивных процессов — количеств энергии (100—200 МэВ)
и образованием нескольких нейтронов («нейтронной пыли») на акт развала.
Последняя особенность представляет особенный интерес, так как она
открывает принципиальную возможность цепного развала макроскопических
количеств урана [3]. В теории деления, особенно подробно развитой тремя
физиками — Н. Бором (Дания), Дж. Уилером (США) и Я. И. Френкелем (СССР)
[3], рассматривается устойчивость шарообразной формы равномерно
заряженной капли несжимаемой жидкости, обладающей определенным
поверхностным натяжением.
Как оказывается, шарообразная форма становится неустойчивой
относительно малых деформаций при отношении электростатической энергии Ε
к поверхностной О:
ЕЮ > 2. (1)
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1940, т. 10, вып. 8, с. 831—834.

28
Часть первая, I. Ядерная физика
Далее все три упомянутых автора рассматривают два соприкасающихся
шарообразных ядра, получившихся при делении исходных ядер. Нетрудна
найти, что энергия двух соприкасающихся шаров половинного объема равна
или меньше энергии исходного шара, если для последнего1
ЕЮ > 2,42. (2)
Введем некоторый параметр а, описывающий протекание деления, причем
для удобства графического изображения выберем а так, что для
шарообразной формы ядра а = 0. В момент, когда два образовавшихся ядра
соприкасаются в точке (что является необходимым этапом деления), а = 1;
наконец, когда образовавшиеся ядра разошлись на бесконечное расстояние,.
а = 2.
Для значения
2 < ЕЮ < 2,42 (3)
упомянутые вычисления приводят к виду кривой изменения энергии в ходе
развала, изображенному на рис. 1 сплошными линиями.
Левый отрезок ОА представляет результат расчета малых деформаций
капли при ЕЮ ^> 2; правый ВС — расчета энергии двух шариков как
функции расстояния. Из сопоставления представленных на рис. 1 сплошных
линий могут быть сделаны два существенно различных вывода.
1. Соединяя сплошные отрезки плавной кривой (пунктирная кривая
О ABC), мы с необходимостью получаем минимум энергии при а <] 1.
Физически это означает, что тяжелые ядра имеют устойчивую, отличающуюся от
шарообразной, форму (Френкель).
2. Другая возможность — распад через форму, отличающуюся от двух
равных соприкасающихся шаров — «приливно возмущенную форму» (Бор
и Уилер). Если этой форме отвечает достаточно малая энергия (точка D
на рис. 1), отпадают основания для представлений об устойчивых
нешарообразных формах.
Расчеты, составляющие предмет настоящей статьи, относятся именно
к энергии в момент распада, т. е. к нахождению ординаты точки D, а = 1.
Нетрудно видеть, что минимальной энергией при данном заряде и объеме
обладают в момент соприкосновения грушевидные формы.
Однако уже расчет для вытянутых вдоль линии центров эллипсоидов
вращения (рис. 2) дал достаточно определенные качественные результаты.
Разрез эллипсоидов изображен на рис. 2 сплошной линией. Длину
большой полуоси обозначим через с, длину короткой — Ъ. При данном отношении
с/&, каждую из полуосей легко найдем из условия сохранения объема:
2с&2 = rl (4)
где г0 — радиус исходного ядра.
1 Приведенная у Френкеля цифра 2,17 есть результат арифметической ошибки, так
как соответствующая формула в его статье
AW = Ε (1—21/з/2—5-21/з/24) — и (2Va — 1)
написана правильно. Ср. также график функции /* (х) (упомянутая работа Бора и Уи-
лера, рис. 4): /* (х) = 0 при χ = 1,2, где χ = Е/20 — параметр Бора.

4, К теории развала ядер
29
Ε К
л
Рис. 1
Рис. 2
Поверхностную энергию найдем по известной формуле
О = 2паЪ ( 1—— arcsin ε J,
(5)
где ε = |/~1 — bVc*.
Электростатическую энергию отдельного эллипсоида определим по
формуле
10
се
(1-ε)
Несколько сложнее определение взаимной энергии эллипсоидов. Точный
аналитический расчет для взаимной энергии двух эллипсоидов, проведенный
на основе метода, предложенного Лягерром в частном случае двух
однородных вытянутых эллипсоидов вращения, привел к формуле
У "Р ? dtdtod4(l-t*)(l-tl)
-1-10 ~~
Е** — Тб
9 (е/2)«
\ Ус* — Ъ* — t0 \fc2 — б2
Вычисление этой формулы привело к весьма громоздкому выражению,
содержащему свыше 100 членов. Расчет, проведенный для elb = 2, дал
совпадение с точностью до 3 % с соответствующими данными приведенного ниже
приближенного метода, по которому производились все вычисления.
Если к тому же учесть, что взаимная энергия составляет лишь часть
общей энергии, то возможная допущенная ошибка в вычислении полной
энергии будет порядка долей процента. При заданном заряде {el2) каждого
эллипсоида и расстоянии между центрами 2с, электростатическая энергия
взаимодействия элементарно находится из двух предельных случаев:
при Ъ = с, шары, тонкие линии рис. 2:
#1,2 = (е/2)2/2с; (8)
при Ъ ->0, «палочки», пунктир рис. 2:
Е1Л = (е/2)2/1,74с, (9)
(10)
В интересующей нас области
0< &<с
интерполируем по формуле
#1,2 = (е/2)2/]АЗ,04с2 + 0,96&2. (11)
Вид формулы (11) отображает простейшие представления о зависимости
энергии Elf2 от &, коэффициенты в (11) подобраны так., чтобы удовлетворить
обоим предельным выражениям (8) и (9).

30
Часть первая. I. Ядерная физика
Результаты расчетов сведены в таблицу. Для разных отношений ЕЮ
исходного ядра (столбец 1) приведены отнесенные к поверхностной энергии
исходного ядра энергии: для различных значений с/6 = 1, 2, 3, 4 и 5 двух
соприкасающихся эллипсоидов, получающихся из исходного ядра.
Как видно из таблицы,
минимальная энергия достигается в
исследованном интервале ЕЮ при
3 < с/Ъ < 4. (12)
Эта энергия меньше энергии
исходного ядра при £У0;>1,65.
Ядро, для которого имеет место
соотношение (3), не может
находиться в виде шара. Оно не может
также распасться через форму
касающихся шаров. Однако наш
расчет показывает, что распад через
два вытянутых соприкасающихся
эллипсоида не запрещен.
Для интервала
1,65 < ЕЮ < 2 (13)
наши сведения об изменении энергии в процессе развала сведены на рис. 3,
где все обозначения заимствованы из рис. 1.
Отрезок ОМА (где Μ — максимум энергии) заимствован у Бора.
Положение точки Ζ), отвечающей двум эллипсоидам, взято из наших данных. Так
как в указанном интервале (13) D расположено ниже 5, нет оснований
предполагать наличие каких-либо дополнительных максимумов в интервале.
Ограничиваясь рассмотрением шаров (отрезок ВС), мы пришли бы к
совершенно иным выводам, не имеющим связи с действительностью.
Рассматривая вместо эллипсоидов несимметричные грушевидные формы,
мы несомненно уменьшим нижнюю границу (13).
Наконец, сопоставляя энергию в точке D с энергией в точке М, но не
в точке О (рис. 3), мы должны получить ED<^EM при любом значении ЕЮ.
Любопытно, что после удаления на большое расстояние энергия двух
эллипсоидов, естественно, оказывается больше энергии двух удаленных
шаров (см. расположение точек F и С при а = 2 на рис. 1 и 3).
Разность энергии достигает при с/b ~ 3,5 ЕЮ ~ 1,8 около 0,078 О {О —
поверхностная энергия исходного ядра), т. е. около 42 МэВ на каждое
образовавшееся ядро.
Энергия возбуждения ядра будет обращена в первую очередь на испарение
нейтронов. При сравнительно малой энергии связи нейтронов в ядрах
осколков с аномальным отношением заряда к массе таким образом можно было бы
объяснить испускание значительного числа нейтронов на акт деления, а
также наблюденные, подчас очень большие, энергии нейтронов [4].
В действительности, даже в случае, если деление идет через форму двух
соприкасающихся эллипсоидов, при дальнейшем удалении форма их
меняется. Вычисления части энергии деформации осколков, переходящей в
кинетическую энергию, и той части, которая в виде энергии возбуждения может
быть использована для испарения нейтронов, представляет задачу динами.
Е/О
2,60
2,40
2,20
2,00
1,80
1,70
1,65
1,60
1,40
с/Ъ
1
3,581
3,402
3,231
3,047
2,869
2,778
2,734
2,689
2,511
2
3,414
3,254
3,095
2,939
2,779
2,70
2,659
2,620
2,462
3
3,318
3,118
3,038
2,898
2,755
2,686
2,650
2,614
2,473
4
3,312
3,180
3,050
2,918
2,789
2,723
2,69
2,658
2,527
5
3,493
3,293
3,05
2,929
2,807
2,747
2,718
2,687
2,565

4. К теории развала ядер
31
ки ядерной жидкости — области совер- Ε
шенно неразработанной.
Смысл наших элементарных расчетов
заключается в одном — указании на
порядок величины возможной энергии
возбуждения. ^
Во всяком случае, испарение
нейтронов возбужденными осколками
представляется нам более правдоподобным,
чем механизм, предложенный Н. Бором
и Дж. Уилером. Последние отмечают, Рш. 3
что обычно имеет место образование
нескольких мелких капелек в месте разрыва перемычки при делении одной
капли на две, и отождествляют нейтроны именно с этими мелкими капельками.
Институт химической физики. Поступила в редакцию
Ленинград 22 июня 1940 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bohr Ν,— Phys. Rev., 1939, vol. 56, p. 426 (см. Bibliography).
2. Зельдович Я. Б., Харитон Ю. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики,{1939, т. 9
с. 1425; 1940, т. 10, с. 475 (см. там же ссылки на более ранние статьи)/
3. Frenkel /.— Phys., USSR, 1939, vol. 1.
4. Joliot F.— С. г. Acad, sci., 1939, vol. 208, p. 341.
КОММЕНТАРИЙ
Произведен расчет энергии двух соприкасающихся осколков в момент распада
делящегося ядра. Форма делящегося ядра моделирована двумя соприкасающимися
эллипсоидами. Получена оценка разности энергии несферических соприкасающихся осколков и
сферических разлетающихся осколков, которая переходит в энергию возбуждения
(тепловую энергию) осколков (~ 40 МэВ). Величины этой энергии достаточно для объяснения
испускания нейтронов деления испарением из возбужденных осколков. Таким образом,
авторы предложили новый механизм вылета вторичных нейтронов деления, отличный от
рассмотренного Н. Бором и Дж. Уилером, предположивших вылет нейтронов из «шейки»
в момент деления.
Уже первые эксперименты Дж. Фрезера и Дж. Милтона ** по угловому
распределению нейтронов (авторы изучали деление U233 тепловыми нейтронами) показали резкую
корреляцию между направлением вылета нейтрона и направлением движения осколков и
тем самым полностью подтвердили справедливость механизма Зельдовича—Зысина.
Дальнейшие эксперименты и теоретические расчеты продолжили и углубили картину
вылета нейтронов деления. Так Дж. Террелл2*, пересчитывая кривые распределения
энергии осколков и их масс для U233, U235 и Cf252, оценил число вторичных нейтронов ν
как функцию массы осколка и показал, что ν легкого осколка больше ν тяжелого.
Исследование X. Бовмана, С. Томпсона, Дж. Милтона, У. Святетского 3* посвящено
изучению зависимости числа вторичных нейтронов от массы осколка, его критической энергии
и угла вылета для спонтанного деления Cf252. Используя измерение времени пролета
нейтронов и осколков, они установили сильную корреляцию между направлением движения
осколка и нейтрона и измерили отношение числа нейтронов, вылетающих из легкого
осколка, тяжелого осколка и под углом 90° к направлению движения осколков. Эти
отношения оказались равными 9 : 5 : 1. В работе Р. Ванден Боша4* было показано, что
экспериментально наблюденная кинетическая энергия и число нейтронов деления требуют

32
Часть первая. I. Ядерная физика
для своего объяснения введения оболочечной зависимости жесткости осколков
относительно квадрупольной деформации (жесткостью называется коэффициент с в выражении
для квадрупольной энергии деформации: Ε = са2/2). Дальнейшие расчеты обычно ис
пользуют метод Струтинского учета обол очечных поправок.
Таким образом, работа Я Б и Ю. А. Зысина дала правильный механизм вылета вторич
ных нейтронов деления и стимулировала большое число экспериментальных и теоретичес
ких работ по физике деления (см. сборник «Успехи физики деления ядер») 5*.
Отдельно следует отметить утверждение в начале статьи об «опровержении высказан
ных Я. И. Френкелем доводов в пользу существования существенно не шарообразных
ядер». В настоящее время хорошо известно, что ядра нешарообразные существуют и фак
тически Я. И. Френкель прав. Верно, однако, что это связано с обол очечными, а не элект
ростатическими эффектами, а также что деление ядер не является доказательством несфе
ричности.
λ* Fraser /. S. Л., Milton /. С. D.— Phys. Rev., 1954, vol. 93, p. 818—824.
2* Terrell /.— Phys. Rev., 1962, vol. 127, p. 880—904.
3* Bowman #., Thompson £., Milton /., Swiatecki W.— Phys. Rev., 1963, vol. 129,
p. 2120—2147.
4* Vanden Bosch #.— Nucl. Phys., 1963, vol. 46, p. 129.
5* Успехи физики деления ядер. Сб. статей. М.: Атомиздат, 1965. 307 с.
5
ХРАНЕНИЕ ХОЛОДНЫХ НЕЙТРОНОВ*
Идея удержания медленных нейтронов высказывалась неоднократно,
однако соответствующие опыты до сих пор не производились и в литературе
нет даже грубых оценок, относящихся к этому вопросу [1, 2].
Известно, что медленные нейтроны испытывают полное внутреннее
отражение при скользящем падении на поверхность большинства веществ. При
достаточно малой скорости нейтроны не смогут проникнуть в такое вещество
даже при нормальном падении. Так для углерода с плотностью ~2 г/см3
критическая скорость нейтрона близка к 5 м/с, для бериллия — около
7 м/с. Заключим нейтроны в полость, окруженную со всех сторон графитом.
Нейтроны, скорость которых превышает критическую, быстро покинут
полость. Однако нейтроны со скоростью, меньше критической, окажутся
запертыми в полости и будут исчезать лишь по мере их распада, с периодом около
12 мин. Такие медленные нейтроны проникают в стенку лишь на глубину
порядка их длины волны; с учетом безразмерных множителей, глубина равна
~10"~6 см. Поэтому при значительном объеме полости весьма мала доля
времени, которую нейтроны проводят в веществе оболочки,— для объема
полости 1 м3 эта доля равна ~10"~7.
Сечение захвата углерода (4,5-10""27 см2 при ν = 2,2· 105 см/с) следует
закону l/v и соответствует времени жизни нейтрона в углероде ~0,01 с
независимо от его скорости. Для нейтронов в полости получим время
поглощения 0,01/Ю""7 = 105 с = 1 сут. Медленные нейтроны будут также теряться,
приобретая энергию при столкновениях; очевидно, однако, что и этот про-
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1959, т. 36, вып. 6,
с. 1952—1953.

5. Хранение холодных нейтронов
33
цесс сильно подавлен вследствие того, что нейтроны подавляющую долю
времени находятся в полости, а не в веществе оболочки.
Наиболее трудно получить достаточное количество таких нейтронов.
В максвелловском распределении при комнатной температуре доля таких
нейтронов порядка 10 ~8.
Целесообразно предварительно охладить нейтроны в объеме,
заполненном жидким гелием, тогда доля нужных нейтронов возрастет до 10~5.
Вследствие большого времени жизни медленных нейтронов в полости, их
концентрация в течение нескольких секунд станет равной равновесной максвеллов-
ской. Основная трудность связана с необходимостью иметь большой объем
жидкого гелия вследствие большой длины пробега нейтронов в гелии (50 см).
При потоке нейтронов из реактора 1012 (см2-с)"1 и при полном
замедлении поток вылетающих нейтронов с температурой 3 К мог бы составить
10п(см2-с)-1, что при средней скорости порядка 2-104 см/с соответствует
плотности 5-106 см"3 тепловых нейтронов, в том числе 50 см"3 медленных (со
скоростью меньше 500 см/с). Таким образом, в самых благоприятных
предположениях можно накопить до 5-107 медленных нейтронов в полости
объема 1 м3.
Закрыв графитовой перегородкой отверстие, соединявшее полость с
жидким гелием, можно удалить полость с медленными нейтронами от реактора и
вести измерения при малом фоне.
Возможно, что целесообразным окажется паллиативный вариант без
гелия, с охлаждением нейтронов, например, до 70 К, с накоплением до 105
нейтронов. Заметим, что показатель преломления замедлителя должен быть
меньше показателя преломления материала стенок полости, иначе
замедлитель не впустит внутрь из вакуума, а следовательно, и не выпустит нужных
нейтронов.
Опыт такого рода весьма труден, однако представляется, что он мог бы
дать экспериментаторам ценный способ изучения взаимодействия медленных
нейтронов с веществами, вводимыми в полость. Вводя (л, 7)-поглотитель
нейтронов в полость, легко осуществить измерение количества нейтронов,
уцелевших к моменту наблюдения.
Отметим, что эффективное нагревание нейтронов в полости до скорости,
больше критической, может быть осуществлено механическим перемещением
графитовых поверхностей со скоростью в несколько метров в секунду.
Теория коэффициента преломления и полного внутреннего отражения
нейтронов хорошо известна; отметим только, что она остается справедливой
и при тех малых энергиях, при которых сечение поглощения, следуя закону
1/у, становится равным или превышает сечение рассеяния. Легко убедиться,
что мнимая часть псевдопотенциала, описывающая поглощение, мала по
сравнению с действительной частью, описывающей рассеяние; их отношение
равно Ι^πσς/λχ, где λχ — длина волны нейтрона, для которого σ8 = σα.
Следовательно, поглощение не изменяет экспоненциального закона
затухания волновой функции нейтрона в среде при полном внутреннем отражении.
Поступила в редакцию
3 апреля 1959 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Юз. Д. Нейтронные исследования на ядерных котлах. М.: Изд-во иностр. лит., 1954§
480 с.
2. Власов Н. В.— Нейтроны. Гостехтеориздат, 1955. 427 с.
2 Я. Б. Зельдович

34
Часть первая. I. Ядерная физика
КОММЕНТАРИЙ
Предложен способ удержания очень медленных нейтронов в полости, основанный
на том, что начиная с некоторой критической энергии (скорости) показатель преломления
нейтронов достигает нулевого значения и полное внутреннее отражение нейтронов
происходит при любых углах падения. «Ядерная бутылка Зельдовича» открыла бурно
развивающуюся сейчас область нейтронной физики — физики ультрахолодных нейтронов
(УХН) 2*. С помощью УХН производятся измерения электрического дипольного момента
нейтрона (до настоящего времени удалось получить только оценку его верхней границы)
в связи с нарушением симметрии при отражении времени, время жизни нейтрона,
связанные состояния нейтрона в веществе и многое другое. Все это восходит к
основополагающей работе ЯБ. Отметим также другой — магнитный метод удержания нейтронов2*,
предложенный В. В. Владимирским вскоре после рассмотренной работы ЯБ. Метод
Владимирского может оказаться более удобным для точного определения вероятности бета
распада нейтрона. Однако для некоторых важных физических экспериментов .магнитное
поле, взаимодействующее с нейтроном, недопустимо. Это относится к измерению
электрического дипольного момента нейтрона и к обнаружению осцилляции нейтрон —
антинейтрон.
1# Shapiro F. L.— In: Nuclear structure study with neutrons. Plenum press, 1974,
p. 259.
2* Владимирский В. В.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 39,
с. 1062—1070.
6
КВАЗИСТАБИЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ
С БОЛЬШИМ ИЗОТОПИЧЕСКИМ СПИНОМ
У ЛЕГКИХ ЯДЕР*
Рассмотрим нечетное ядро А с одним избыточным нейтроном, с
минимальным значением изотопического спина Τ = 1/2 в основном состоянии и
энергией связи нейтрона Q. Возбужденные состояния ядра А* с энергией
возбуждения Ε ^> Q, как правило, имеют весьма большую вероятность
испускания нейтрона, т. е. большую ширину Гп процесса Л* -+В + п, где В —
четное ядро.
Пусть основное состояние ядра В имеет Τ = 0, а состояние В * с Τ = 1
имеет энергию возбуждения Δ. Предположим, что у ядра А есть
возбужденное состояние Л* с Τ = 3/2 с энергией возбуждения Е3 такой, что(? <^ Е3 <
< Q + Δ. Распад А3 на #* + η энергетически невозможен, распад А3
на В + η идет с изменением изотопического спина и поэтому должен иметь
аномально малую ширину Гп. Состояние А3 является квазистабильным и
должно своеобразно проявляться в рассеянии нейтронов на ядрах В, а также
в фотоэффекте А + у = В + п.
При рассеянии η на В изотопический спин системы в начальном состоянии
Τ = 1/2, и обычно считают, что состояния с Τ = 3/2 должны давать лишь
малый вклад в сечение рассеяния. Однако, если существует квазистабиль-
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1960, т. 38, вып. 1, с. 278—280.

6. Квазистабильные состояния ядер
35
ное состояние, то при энергии нейтрона Еп = Es — Q будет иметься острый
резонанс рассеяния с максимальным сечением
4πλ2 (2/ + 1)/(25 + 1).
Малая вероятность процесса, связанная с нарушением изотопического
спина, проявится не в уменьшении сечения рассеяния, а в уменьшении
ширины резонанса рассеяния. Поэтому наблюдение резонанса при хорошей
монохроматичности нейтронов вполне возможно.
В резонансе наряду с повышенным сечением рассеяния будет также
повышенная вероятность процесса В (п, у) А, так как оп,у/азс = Γγ/Γη и
аномально малое Гп должно дать х аномально большое Γγ/Γη. Впрочем, остается в
силе неравенство Γγ/Γη <^ 1, так как при нарушении изотопического спина
кулоновским взаимодействием Гп ~ е2, так же, как и Γγ, но в Γγ есть и
другие малые множители (v/c)u, (Rfc)v, {KIMch)w в степенях, зависящих от типа
перехода (для El: и = 2, υ = 2, w = 0; для Ml: и = ν = 0, w = 2жт. д.).
Существование квазистабильного А3 должно приводить к узкому
резонансу в обратном процессе 2 А (у, ή) В, а также к резонансному рассеянию
у на А. Впрочем, вследствие неравенства Γγ/Γη <^ 1 последний процесс, по-
видимому, не поддается наблюдению.
Состояние А3 образует изотопический мультиплет с основным
состоянием ядра с тремя избыточными нейтронами, и, вводя известную кулонов-
скую поправку, можно определить ожидаемое положение квазистабильного
уровня. Так, зная [1] массы изотопов бора В12 и В13, можно определить
энергии соответствующих состоянии С\**(Т = 1) и СГ (Т = 3/2). Получается
(в наших обозначениях) Е3 = 11,2 МэВ при Q = 4,95 МэВ и Δ = 11,54 МэВ.
Следовательно, уровень Сз3* должен быть квазистабилен, так как его энер-
гия недостаточна для распада на С2 + п.
Следует ожидать узкого резонанса в рассеянии η на С12 при Еп = 11,2—
— 4,95 = 6,25 МэВ, что соответствует энергии нейтронов в лабораторной
системе 7,20 МэВ.
Из подобия между С13 в состоянии с Τ = 3/2 и основного состояния В13
следует ожидать, что С^3* находится в состоянии 3/2~, что приведет к
рассеянию на С12 нейтронов в состоянии Рз/2 с сечением
4πλ2 (2/ + 1)/(25 + 1) = 0,8 бн.
Экспериментально наблюдались [2] сравнительно узкий резонанс при
Еп = 6,30 МэВ и наложение двух резонансов при Еп = 7,4 и 8,7 МэВ.
Идентификацию интересующего нас состояния можно было бы
произвести, исследуя угловое распределение и поляризацию рассеянных нейтронов.
С другой стороны, по крайней мере, в принципе, есть возможность судить
о существовании неизвестных изобаров по резонансам в рассеянии нейтронов
на стабильных ядрах. Так узкий резонанс в рассеянии нейтронов на Be10
1 А * -* А + у разрешено, Γγ имеет нормальное значение.
2 Возможно, что наилучший способ наблюдения квазистабильного уровня состоит
в проведении реакции на сплошном спектре тормозного излучения с определением
максимумов в спектре вылетающих нейтронов, что может быть сделано по времени пролета при
импульсном источнике у.
2*

36
Часть первая. I. Ядерная физика
или С14 мог бы означать существование стабильных (относительно
испускания нейтронов) ядер Li11 или В15.
Пользуюсь случаем выразить благодарность В. И. Гольданскому за
дискуссию.
Институт теоретической Поступила в редакцию
и экспериментальной физики 24 сентября 1959 г.
Академии наук СССР. Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. Ajzenberg-Selove F., Lauritsen Т.— Nucl. Phys., 1959, vol. 11, p. 5.
2. Bondelid #., Dunning К. L., Talbott F. L.— Phys. Rev., 1957, vol. 105, p. 193.
КОММЕНТАРИЙ
В работе впервые указано на то, что поскольку изотопический спин в легких ядрах
является достаточно хорошим квантовым числом, то должен существовать запрет распада
уровня с Τ — 3/2 на ядро в состояние с Τ = 0 и нейтрон.
Обобщая идею работы, можно сказать, что в ней впервые обращено внимание на
возможность существования своеобразных «изоспиновых изомеров» — узких ядерных
уровней, расположенных выше энергии связи нуклона, но распадающихся посредством не
сильного, но электромагнитного взаимодействия, поскольку испускание нуклона с этих
уровней возможно лишь с изменением изотопического спина (AT = 1).
К сожалению, в работе предложен отнюдь не самый удачный путь заселения таких
узких уровней — при рассеянии нейтронов или фотоэффекте. Этот путь до сих пор не
реализован.
Однако, как было впервые указано В. И. Гольданским, «изоспиновые изомеры»
должны ярко проявляться в процессах испускания β+-зaπaздывaющиx протонов г* и
протонных пар2* в виде так называемых аналоговых состояний, заселяемых при сверх-
разрешенном (ΔΓ = 0) β'''-распаде материнских ядер, например 33Аг —> ззС1* —> ρ -f-
+ 32S или 22А1 —> 22Mg* —> 2p + 20Ne. Много таких примеров действительно наблюдалось
Г =2 Г =2 Г=0
на опыте. В работе предсказано также существование стабильных относительно
нейтронного распада ядер uLi и 1бВ, впоследствии обнаруженных на опыте.
!* Голъданский В. И.— Докл. АН СССР, 1962, т. 146, с. 1309—1311.
2* Голъданский В, И*— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1980, т. 32,
с. 572—574.
7
О СУЩЕСТВОВАНИИ НОВЫХ ИЗОТОПОВ
ЛЕГКИХ ЯДЕР
И УРАВНЕНИИ СОСТОЯНИЯ НЕЙТРОНОВ *
Рассмотрены границы устойчивости (относительно испускания нуклонов)
легких ядер. Предсказано существование (в смысле устойчивости
относительно распада с испусканием нуклонов) следующих ядер: Не8, Be12, О13, В15»17» 19,
С16~20, N18"21, Mg20. Рассмотрен вопрос о возможности существования тяже-
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1960, т. 38, вып. 4,
с. 1123—1131.

7. О существовании новых изотопов легких ядер
37
лых ядер, состоящих только из нейтронов. Задача сведена к вопросу о ферми"
газе с резонансным взаимодействием частиц. Энергия такого газа пропор"
циональна ω2/*, где ω — его плотность. Точность проделанных расчетов
недостаточна для определения знака энергии и для ответа на поставленный
вопрос о нейтронном ядре.
Вопрос о возможных изотопах для 8 ^ Ζ <ζ 84 рассматривал Немиров-
ский [1, 2], а в области 17 <^ А ^40 Базь [3]. Первый использует одночас-
тичное приближение, задаваясь зависимостью параметров ямы от числа
нейтронов и протонов. Базь для ядер с избытком протонов основывается на
экспериментальных данных по зеркальным ядрам (с избытком нейтронов) и на
известном выражении кулоновской энергии. Для ядер с избытком
нейтронов он экстраполирует энергии связи в ряду ядер с постоянным
изотопическим спином.
В упомянутых работах предсказано существование многих неизвестных до
сих пор β-радиоактивных изотопов. Ниже в таблице предсказанные
изотопы обведены пунктиром. Один из них (О20) в самое последнее время
обнаружен на опыте [4].
В предлагаемой работе (разд. 1) сделаны дополнительные предсказания
в области самых легких ядер, соответствующие изотопы в таблице обведены
сплошной линией. Особо отметим вывод о большой вероятности
существования Не8. Для ядер с избытком нейтронов автор пытался возможно точнее
учесть эффект оболочек и парного взаимодействия нейтронов.
В разд. 2 поставлен вопрос о существовании ядер, состоящих только из
нейтронов. В предельном случае большого числа нейтронов, пользуясь
данными о резонансе в ^-рассеянии, удается найти общий вид зависимости
энергии от плотности ядерного вещества, но точность сделанного в работе
первого приближения недостаточна для получения определенного ответа
на поставленный вопрос.
1. ЛЕГКИЕ ЯДРА
Следуя способу Базя [3], легко убедиться в том, что должно существовать
ядро О13 с энергией связи протона не менее 1,2 МэВ и энергией р+-распада
16 -г- 17 МэВ. Пользуясь данными о массе О20 [4], убеждаемся, что должно
существовать зеркальное ядроМ^20с энергией связи протона не менее 2,7 МэВ
и энергией Р+-распада ~7 МэВ. Не исключено существование О12, Ne16
и Mg10 (пустые места в таблице)1; соответствующие им зеркальные изотопы
Be12, С16 hN19 предсказаны в настоящей работе (см. ниже), однако их энергии
нельзя предсказать с такой точностью, чтобы сделать определенный вывод
об О12, Ne16 и Mg19. Изотопы Ne17, Na19, Mg21, Mg22 предсказаны Базем.
Относительно всех остальных ядер в верхней правой части таблицы
можно с уверенностью утверждать, что соответствующие ядра неустойчивы
относительно испускания протона, т. е. не существуют, что в таблице
показано знаком минус почти во всех верхних клетках.
Обратимся к ядрам с избытком нейтронов. Ядро с избытком нейтронов не
существует в том случае если все дискретные уровни уже заполнены нейтро-
1 Эти ядра могут оказаться неустойчивыми относительно исп у екания двух
протонов сразу. С другой стороны, выражение кулоновской энергии последнего протона
1,2 (Z— 1) Л""^ на границе стойчивости дает завышенный результат, так, например,
в паре Li8—В8 для Li8 имеем (?п = 2 МэВ, для В8 Qv = 0,2 МэВ и разность составляет
1,8 МэВ, а по формуле мы получили бы 1,2 χ 4 X 7"1/s = 2,5 МэВ.

38
Часть первая. I. Ядерная физика
П7
—
—
г
Р1
Б2
2,23
Т3
6,26
—
?Н5
Не3
Не4
\20,58
—
Не6
0,94
—
[не8]
—
—
Lib
Li7
7,25
Li8
1,04
Li9
3,58
—
Be'
Be8
ίβ,ίΟ
Be9
1,67
Be10
6,81
Be'1
0,55
| Beu|
—
—
—
B"
B9
18,58
B10
8,44
B11
11,50
B'2
B"
0
0
0
с9
с10
21,9
С11
7J,J
C1Z
70,73
С13
4,95
С14
0,77
с15
1,23
0
0
0
0
0
—
Ν12
Ν"
Ν14
10,55
Ν15
/0,W
Ν16
2,50
Ν"
0
0
0
0
И
Ο14
ο15
13,23
Ο16
Ο17
V.7J
„IB
8,07
О19
J,fl7
о20
7,65
Ι Ο211
I I
Г"1Л
I О221
I I
г-7л
ι ο231
ι ι
г-л
ι ο241
I I
г~л
ι Ο251
I I
r~^i
I I
г-л
1 027l
1 1
Г"м1
ι ο28ι
1 1
—
—
—
—
F"
117,01
F18
9,,17
F19
10,42
Fzo
6,61
F21
\8,18
I Fzzl
I 1
г-л
I Fz3l
ι ι
1 F24l
1 I
FIT1
I F25l
|ι ι
I I
1 FZ7I
1 1
\Г~7р
1 FZ8I
1 1
lF29i
L. 1
—
—
ι—.a
iNe17i
I I
Ne18
Ne'9
11,39
Νεζ0
16,92
Νεζ1
6,76
Ne22
10,36
Ne23
<?,20
Ne24
8,90
г-л
INeZ5l
1 I
INe26l
1 I
г-л
INeZ7I
1 1
INe28l
1 1
г-л
INe29i
1 I
lNc30l|
L--I
—
—
—
—
г-л
lNa19i
1 1
Na20
Na21
18,57
Na22
11,05
Na23
12,42
Na24
6,97
Na25
lNa26i
1 I
I I
lNa28l
1 1
Г-л
iNa29l
1 1
ι—;^i
lNa30i
1 I
Г-,71
iNa311
1 1
— J
— 1
— Ι
Щ
Г_7?
г-л
IMgZ2l
Mg23
Mg24
16,4
Mg25
7,34
Mgzs
77,72
MgZ7
8,44\
Mg28
8,56\
Г~7~А
Sufi
И
Γ~ϊΑ
IMg31l
Г~,л
lMg3Zl

7. О существовании новых изотопов легких ядер
39
нами. При этом существенно, что ядерные силы быстро спадают с
расстоянием, и поэтому число уровней в /поле ядерных сил ограничено (в отличие,
например, от кулоновского поля). Число уровней с учетом спина всегда
четное, поэтому если существует ядро, удерживающее нечетное число нейтронов
(2п + 1), то существует и место для следующего (2п + 2)-го нейтрона. За
счет взаимного попарного притяжения нейтронов энергия связи (2п + 2)-го
нейтрона всегда больше энергии связи предыдущего (2п + 1)-го.
В таблице в каждую клетку, соответствующую экспериментально
известному изотопу, вписана энергия связи последнего нейтрона. Легко
проверить, что всегда 2?2П+2 ^> Ε2η+ι- Поэтому из существования Be11 и С15 с
определенностью следует существование ядер Be12 и С16. Ориентировочно
энергия связи нейтрона в Be12 около 2—3 МэВ, энергия β-распада равна 12—
13 МэВ; в С16 соответственно 3—4 и 8—9 МэВ.
Выяснение существования других изотопов значительно труднее.
Экстраполяция при данном изоспине Τ [3] не представляется надежной, так как при
этом сравниваются нейтроны, находящиеся на разных оболочках.
Представление о плавной зависимости параметров ямы от N и Ζ [1, 2]
для самых легких ядер недостаточно учитывает индивидуальные особенности
оболочек. Мы попытаемся максимально использовать экспериментальные
данные. Известно из рассеяния нейтронов на Не4, что для парциальной
волны Ρζ/2 есть резонанс при энергии +1,0 МэВ (т. е. в сплошном спектре)
с шириной 0,55 МэВ (что соответствует для Не5 времени жизни 10~21 с).
Ядро Не5 не существует и, следовательно, нет дискретного состояния
нейтрона в поле Не4.
В таком же смысле не существует динейтрон, поскольку из опытов по
рассеянию нейтронов на протонах известно, что в ^-состоянии, разрешенном
принципом Паули для двух нейтронов, их притяжение недостаточно дл*я
образования связанного состояния. Поэтому ядро Не6 является замечательной
системой из трех частиц (η + η + Не4), которые не связываются попарно,
но втроем образуют связанную систему. Совсем грубо можно представить
себе, что Не6 состоит из двух нейтронов в состоянии (Ад)2 в поле Не4.
Энергия взаимодействия нейтронов между собой (около —3 МэВ) с избытком
компенсирует положительную энергию каждого нейтрона в состоянии р3/2
(+1 МэВ) в поле Не4.
Оболочка Рз/2 имеет всего 4 места. Поэтому можно поставить вопрос
о Не7 и Не8. Согласно Д. Курату [5], в пределе при малом радиусе сил и слабо
связанных нуклонах и при большом радиусе орбит оболочки (г0 <^ г1? L =
= ЗК, в его обозначениях) получается простой результат: если энергия
взаимодействия двух нейтронов равна В, то энергия взаимодействия трех
нейтронов тоже равна В, а энергия взаимодействия четырех нейтронов 2В, т. е.
нейтроны как бы объединяются в пары. Отсюда следует вывод, что Не7 не
существует, а Не8 существует; ожидаемая энергия связи нейтрона 0,8 -f-
-ь0,5 МэВ, энергия β-распада ~12 МэВ. Было бы весьма желательно
экспериментально проверить существование Не8 и определить его энергию
связи.
Насколько точно на опыте выполняется объединение нейтронов в пары на
одной оболочке вокруг дважды магического (замкнутого) остатка, можно
увидеть на двух примерах 2.
2 Данные по массам ядер взяты из обзоров [6—8].

Часть первая. I. Ядерная физика
1. Заполнение оболочки d>/2 на замкнутом О16 (см. таблицу). Приводим
энергии связи (в мегавольтах). Индекс γ Ε — число нейтронов на
^-оболочке (сверху атомный вес):
Ef = 4,15; Ef = 8,07; Ef = 3,96; Ef = 7,65.
Данных по Еъ и 2?в, заканчивающих заполнение, нет; ядра О21 и О22 еще не
наблюдались.
2. Заполнение оболочки /7/г у имеющего замкнутые оболочки Са40
(пример частично рассмотрен П. Немировским [2]). Энергии связи
следующие:
Е? Ef Ef Ef Eg Ef Ef Ef
8,3 11,4 8,0 11,4 7,4 11,0(?)3 6,8(?)3 10,8
По окончании заполнения fy2 энергия связи Е резко падает: Ef = 5,1.
Так как Не4 представляет собой замкнутое дважды магическое ядро (притом
еще более прочное по сравнению с О16 и Са40), то приведенные примеры
убедительно говорят в пользу существования Не8.
Если протонная оболочка не замкнута, то в пределах данной нейтронной
оболочки происходит весьма резкое падение Е; можно представить себе, что
первые нейтроны объединяются в пары со «свободными» (сверх замкнутой
оболочки) протонами, а следующие нейтроны уже не могут этого сделать. В
качестве примера рассмотрим йб/2-оболочку Ne18-Hflpa с двумя протонами
сверх О16. Имеем:
ctl9 е*20 #21 τρ22 г*23 #24
Ь\ Ь2 Ь3 hk ЬЬ Ь&
11,4 16,9 6,8 10,4 5,2 8,9
В том случае, когда в протонной оболочке не хватает одного, двух, трех
протонов до замыкания, энергия связи нейтронов уменьшается по сравнению со
связью на замкнутой оболочке (ср. С15, N16, О17 в таблице). Однако в пределах
данной нейтронной оболочки (на остатке с дырками в протонной оболочке)
Ε меняется мало, в отличие от случая наличия избыточных протонов.
Приведем примеры заполнения оболочки /7/г нейтронами в ядрах с
незамкнутой протонной оболочкой:
ядро КЦ : Ef = 7,9 ; Ef = 10,0 ; Ef = 7,4 ; Ef = 10,8 ;
ядро Arfg : Ef = 6,7 ; Ef = 9,7 ; Ef = 6,1 .
Итак, можно сформулировать правило: на ядрах с замкнутой протонной
оболочкой и" с дырками в протонной оболочке (но не на ядрах с избытком
протонов) энергия связи нечетных нейтронов в пределах данной нейтронной
оболочки практически постоянна. Также постоянна, но больше на величину
энергии спаривания, энергия четных нейтронов в пределах данной
оболочки. Перенося это правило на оболочку ώίζ, приходим к выводу, что
экспериментальный факт существования связанного состояния ώ/2 в ядрах С15 и
Ν16, Ν17 обеспечивает возможность заполнения всей Л»/2-оболочки
соответственно до С20 и Ν21.
3 Ядро Са46 не исследовано, поэтому экспериментально известна только сумма Ef +
+ Ef = 17,8; отдельные слагаемые в таблице приведены по интерполяции.

7'. О существовании новых изотопов легких ядер
41
Рассмотрение энергий связи нейтронов в таблице показывает
закономерное возрастание Ε в пределах каждой строки по мере увеличения числа
протонов (единственным исключением является пара Li8—Be18, что связано с
особой структурой Be8). Экстраполяция Ε по строкам влево делает вероятным
существование В15, а отсюда — по принципу постоянства энергии связи на
оболочке — В17 и В19. Существование ядер с нечетным числом нейтронов
В14, В16, В18 остается под вопросом. Со значительной уверенностью можно
утверждать, что не существуют нечетные (по ή) Be13, Be15, Be17, Li10.
Однако в целом утверждения, которые надежно можно сделать о заведомо
несуществующих ядрах с избытком нейтронов, весьма скудны. Вполне
точно из исследования рассеяния доказано только несуществование п2 и Не5.
Из принципов парного взаимодействия нейтронов очевидно, что не
существуют пъ и Не7. Уже относительно Н5 нет ясности (в таблице Н5 помещен с
вопросительным знаком) и высказывалось [9] предположение о его
существовании. Заметим, что если бы га4 и Н5 существовали, то были бы изотонически
подобные им квазистабильные Н4 с Τ = 2 и Не5 с Τ = 3/2, что проявилось бы
в рассеянии η на Τ и η на Не4; эта ситуация подробно рассмотрена в
отдельной заметке [10]. Экспериментальных данных в нужной области энергий
рассеиваемых нейтронов в настоящее время нет.
В отличие от верхней правой части таблицы, почти сплошь заполненной
знаками минус («не существует»), в левой нижней части в большинстве клеток
нельзя поставить ни минуса, ни символа ядра («существует»). Неясность
вопроса о границах существования изотопов с избытком нейтронов есть
следствие того, что не ясен предельный случай — неизвестно, может ли
существовать тяжелое ядро, состоящее из одних нейтронов.
2. НЕЙТРОННАЯ ЖИДКОСТЬ
Вопрос о предельном числе нейтронов, которые могут прилипнуть к
тяжелому ядру, рассматривал Уилер [И]; он пришел к выводу, что при Ζ ~ 90
-γη- 100 значение Атах ~ 500 -г- 600. Уилер пользовался формулой Вейц-
зекера. Немировский [2] справедливо критикует эту формулу вблизи
границы существования; поэтому выводы Уилера недостоверны.
Рассмотрим крайний случай очень большого ядра, состоящего из одних
нейтронов. Если оно и существует, то заведомо лишь с плотностью,
значительно меньшей плотности обычных ядер. Рассмотрим сперва свойства
нейтронной жидкости малой плотности; эти свойства определяются попарным
взаимодействием нейтронов при небольших энергиях (до нескольких
мегаэлектронвольт). В такой области существенно только взаимодействие в S1-
состоянии пары нейтронов, которое здесь полностью определяется длиной
рассеяния 4 (см., например, [12]):
а = — (d In φ/dr)"1 = —1910"13 см;
знак показывает отсутствие связанного состояния, величина а соответствует
так называемой энергии виртуального уровня (μ — приведенная масса,
равная Μ12)
ΕΌ = Η2/(2μα2) = 0,11 МэВ.
4 Для рр-рассеяния а = —17,2; rap-рассеяния а = —23,7; полагаем, что а линейно
зависит от произведения магнитных моментов.

42
Часть первая. I. Ядерная физика
Приведем здесь известный расчет [13,14] энергии взаимодействия частиц
в сплошном спектре, сразу ограничиваясь ^-волной. Как обычно, рассмотрим
сперва сферический ящик для г = г± — г2, где гг и г2 — координаты двух
частиц, т. е. положим ψ (г) =0 при | г \ — R. Без взаимодействия в таком
ящике нормированная функция 5-волны
ψ = sin (nnrlR)lr Y2nR.
При наличии взаимодействия, соответствующего рассеянию со сдвигом
фазы а,
ψ = sin [a + R~x {n —α/π) яг]/г]/2яД,
что соответствует изменению энергии га-го состояния
АЕп = — U2nnal\kR2.
Исключим вспомогательные R, η из выражения АЕп. Рассматриваемое
состояние характеризуется импульсом относительного движения
Рп — hnnlR
и плотностью в начале координат в невозмущенном движении
Рп (0) = ψ2 (0) = nnV2R*.
Выразим АЕп через ρ и ρ (0); после этого можно устремить R ->- оо, η ->- оо
и забыть про п. Получим
АЕ = — 2яЙ3ар (0)/μρ. (1)
Выразим фазу через длину рассеяния:
а = — arctg (ap/h).
При Ε <ξ; Εν, ар <^% имеем
α = ap/h, АЕ = —2пП2ар (0)/μ; (2)
при Ε ^> Εν, αρ^> h получаем
α = π/2, АЕ = - я2Й3р (0)/ρμ. (3)
Применим выражения (2) и (3) к ферми-газу, состоящему из одних
нейтронов со средней плотностью ω. Выделим один нейтроне определенным
направлением спина. В точке, где находится данный нейтрон, плотность
других нейтронов с параллельным спином равна нулю по принципу Паули:
если бы не было взаимодействия, плотность других нейтронов с
антипараллельным спином не отличалась от их средней по пространству, т. е. ω (0) =
= ω/2. Напоминаем, что ω есть суммарная плотность нейтронов с обоими
направлениями спина и что в формулы для АЕ входит именно плотность в
состоянии без взаимодействия 5.
6 Другой возможный подход основан на том, что статистические веса триплета и
синглета относятся как 3:1; данный нейтрон взаимодействует лишь с 1/4 остальных. Но
в синглетном состоянии без рассеяния плотность в начале координат вдвое больше
средней по объему плотности, так как в синглетном состоянии возможны только четные моменты
/ и поэтому 5-состояние — единственное, дающее вклад в ρ (0), составляет вдвое большую
долю всех синглетных состояний по сравнению со случаем разных частиц. Окончательно
найдем (1 — индекс синглета) ω (0) = 2щ — 2 (ω/4) = ω/2, что находится в согласии
с результатом, полученным в тексте.

7. О существовании новых изотопов легких ядер
Остается учесть, что изменение энергии АЕ относится к системе из двух
частиц: чтобы не учитывать дважды -+ взаимодействие каждой пары,
запомним, что уменьшение энергии одной частицы есть АЕ/2. Окончательно
получим, что если для пары частиц в ^-состоянии АЕ = кр (0), где к —
коэффициент, зависящий от импульса, то изменение энергии всего газа в единице
объема вследствие взаимодействия
U = со2йГ/4, (4)
здесь к усредняется по ферми-распределению.
Распределение Ферми характеризуется граничным импульсом pf,
граничной энергией Ef и полной кинетической энергией всего газа в единице
объема Щ. Как известно,
% = ωΕ = 3'λ£,/5, Ef = p2f/2M, ω = р?/(ЗлаЙ»),
8 = p6ff(10n*h*M). (5)
При усреднении к получим результат, зависящий от соотношения Ef
и энергии виртуального уровня Ev. При Ef < Ev величина к постоянна и
(μ = ΜΙ2)
U = — π/*2αω2/2μ. (6)
В предельном случае Ef^> Е^ нужно усреднить по распределению Ферми
р-1, где ρ — импульс относительно движения двух частиц. При этом
ρ = μ (vx — щ) = Μ (Vl — v2)/2 = (Pl — p2)/2. (7)
Воспользовавшись электростатической аналогией 6 , легко найдем
Ι ί>ι — J>2 Г1 = 6/(5Р/), /,-1 = 12/(5/,,), (8)
и окончательно
U = - Зя2Й3со2/(5 μρ,) - - 2ръ1 (15 п2Н*М) = - 4Я/3. (9)
Получился замечательный результат: энергия взаимодействия находится
в постоянном отношении к кинетической энергии.
Если принять полученные результаты буквально, то получаются
следующие физические выводы о зависимости от плотности средней энергии одного
нейтрона Ег (ω) = (& + 17)/ω: при малой плотности в пределе
Ег = 3EJ5 > 0, Ег~ со'/з (10)
взаимодействие пропорционально более высокой (первой) степени ω; при
плотности ω0, соответствующей Ef^=^5Ev, энергия Ег обращается в нуль,
затем меняет знак и при большей плотности
Ег = -Ят/3<0, Ег~ ω»/·. (И)
Это выражение имеет место при7 ω ^> ω0 ж α-3. Отсюда следует,что может
6 Для любого тела
г~* = \\ r~l dvx dv2 = \ φι dvi = Ф>
где φ — потенциал при единичной плотности заряда, удовлетворяющий уравнению
Δφ = —4π внутри тела, Δφ =0 — вне тела.
7 При последовательном расчете в сделанных выше предположениях коэффициент
весьма близок к единице.

44
Часть первая. I. Ядерная физика
существовать ядро, состоящее из одних нейтронов с энергией связи, равной
Проведенное рассмотрение не дает равновесной плотности, поскольку с
ростом плотности, согласно (11), ^продолжает убывать (Ег отрицательна и ее
абсолютная величина растет). Для нахождения равновесной плотности и
энергии связи при этой плотности нужно привлечь эффективный радиус ядерных
сил и взаимодействие в состояниях с Ι Φ 0. Однако качественно сам факт
существования нейтронных ядер следует уже из изменения знака Ег, которое
получится из расчета при плотности ω0 = α~3. Так как а весьма велико, то
ω0 ^ 0,001 ωη, где ωη — плотность обычных ядер. В состоянии,
соответствующем плотности ω0, где энергия Ег = 0, граничная кинетическая
энергия Ef = 0,5 МэВ, так что вклад Ι Φ 0 и влияние эффективного радиуса
ничтожны, предположения о взаимодействии нейтронов, положенные в
основу расчета, отлично выполняются при ω = ω0. Заметим, что если
подтвердится существование области ω, в которой Ег < 0, то поверхностное натяжение
нейтронной жидкости даст определенный критический размер нейтронной
капли, т. е. минимальное число нейтронов, при котором возможно
существование нейтронного ядра. Поэтому если будет доказано, что связанные
состояния га4, п6 или п* не существуют, то само по себе это еще не исключает
существования более тяжелых нейтронных ядер.
Тем не менее основной результат — изменение знака Ег — никоим
образом нельзя считать установленным, так как рассматривалось только
попарное взаимодействие нейтронов без учета влияния остальных нейтронов на
волновые функции взаимодействующей пары. Ненадежность результата
усугубляется тем, что при ω ^> ω0 искомое Ег оказалось малой разностью
двух близких величин:
Ег = Ε + UUE = ЗЯ//5; иг = — Щ1Ъ = -45/3. (12)
При ω > ω0, Ef ^> Ευ рассеяние не зависит от длины а, можно
положить а = оо, а-1 = 0, т. е. рассматривать резонансное рассеяние. Тогда
задача не содержит никаких безразмерных параметров. Из соображений
размерности следует, что в этой области
Ег~ иг~ Ε ~ Ef ~ соЧ (13)
Формула (11) для Ег находится в соответствии с этим требованием. Но тогда
и поправка в Ег из-за учета влияния третьего нейтрона на волновые функции
данной пары также пропорциональна Ef, т. е. зависит от той же степени
плотности и может отличаться от Ef и Е± только численным коэффициентом. В
отличие от обычного случая, в ферми-газе при абсолютном нуле температуры
при резонансном рассеянии нельзя разлагать в ряд по степеням плотности.
Поправки с учетом взаимодействия трех и более частиц нами не найдены;
вполне возможно, что они изменят знак Ег в области ω < ω0. Заведомо
Ег^> 0 при ω < ω0. С другой стороны, при ω, приближающемся к
плотности обычных ядер, следует ожидать, что энергия будет отклоняться вверх
от энергии, вычисленной по резонансному ^-рассеянию 8. Поэтому если при
точном решении задачи о ферми-газе с резонансным взаимодействием полу-
8 Для ядерного вещества, состоящего из равного числа нейтронов и протонов, без
учета кулрновского взаимодействия мы получили бы по способу, описанному выше,
Ux = —4Е, что при ядерной плотности дало бы энергию связи ~60 МэВ, во много раз
больше экспериментальной.

7. О существовании новых изотопов легких ядер
45
чится Ег ^> 0, то это будет означать невозможность существования ядер из
одних нейтронов.
Отметим, что найденное при учете парного взаимодействия выражение
(11) для Ег не есть математическое ожидание энергии, вычисленное по
невозмущенным функциям задачи без взаимодействия (иначе можно было бы
утверждать, что истинное Ег только ниже найденного): в расчете
взаимодействия с самого начала учитывалось изменение волновых функций (см.
начало раздела 2). В действительности расчет энергии парного взаимодействия
включает в себя изменение волновой функции в начале координат. Напомним,
что ρ (0) есть плотность, которая была бы при отсутствии взаимодействия;
при наличии взаимодействия при малых г получается
ψ_Γ-ι, ρ= яЧ»/у)'р(0)
Очевидно, что это изменение плотности и волновой функции (а
следовательно, и спектра по импульсу) влияет на взаимодействие рассматриваемой
пары с другими частицами. Заметим, что в рассматриваемом парном
взаимодействии при конечном изменении полной энергии математические ожидания
кинетической и потенциальной энергий в отдельности бесконечны и имеют
противоположный знак.
Резонансное рассеяние при сингулярном потенциале, отличном от нуля
в малой области, в пределе дает равное нулю взаимодействие в первом, втором
и т. д. порядке теории возмущений; конечный результат дает только сумма
бесконечного числа членов (подробно см. [15]) Приведенное выше
выражение Ег не есть первое приближение теории возмущений для ферми-газа
с попарным взаимодействием нейтронов. Ег есть результат учета
определенным образом выбранной бесконечной последовательности членов ряда теории
возмущений, и поэтому знак поправки к Ег не ясен. Высказывание Т. Янга
и Ц. Ли [16], согласно которому не только в бозе-газе, но и в ферми-газе
любое притяжение всегда приводит к конденсации, представляется
необоснованным.
Пользуюсь случаем выразить благодарность А. И. Базю, В. И. Гольдан-
скому, Л. Д. Ландау, А. Б. Мигдалу и П. Э. Немировскому за дискуссии
и Д. В. Григорьеву за помощь в оформлении статьи.
Поступила в редакцию
22 октября 1959 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Немировский Я. Э,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1959, т. 36, с. 883.
2. Немировский Я. «9.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 746.
3. Базъ А. И,— Атом, энергия, 1959, т. 6, с. 664.
4. Jarmie N., Silbert M. G.— Phys. Rev. Lett., 1959, vol. 3, p. 50.
5. Kurath D.— Phys. Rev., 1952, vol. 88, p. 804.
6. Ajzenberg-Selove F., Lauritsen Т.— Nucl. Phys., 1959, vol 11, p. 1.
7. Endt P. M., Kluyver /. C— Revs Mod. Phys., 1954, vol. 26, p. 95.
8. VanLatter D. M,. Whaling W.— Revs Mod. Phys., 1954, vol. 26, p. 402.
9. Blanchard M., Winter R. G.— Phys. Rev., 1957, vol. 107, p. 744.
10. Зельдович Я. Б,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 38, с. 278.
И. Уилер Дж.— Нильс Бор и физика. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
12. Бете Г., Моррисон Ф.— Элементарная теория ядра. М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
356 с.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М,— Статистическая физика. М.: Гостехиздат, 1951.
479 с.

46
Часть первая. I. Ядерная физика
14. Lee Г. #., Yang С. N.— Phys. Rev, 1957, vol. 105, p. 767.
15. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 38, с. 278.
16. Lee Т. #., Yang С. N.— Phys. Rev., 1957, vol. 105, p. 1119.
КОММЕНТАРИЙ
Рассмотрены границы устойчивости легких ядер относительно испускания нуклонов.
Для ядер с избытком нейтронов автор учел оболочечные эффекты и парное взаимодействие
нейтронов. Важным результатом является предсказание возможности существования
стабильных легких ядер, сильно переобогащенных нейтронами — нейтронноизбыточных
ядер. В особенности определенные предсказания были сделаны относительно
возможности существования Не8 (в то время, как ядро Не7 заведомо нестабильно). Это предсказание
существования Не8 было экспериментально подтверждено в Объединенном институте
ядерных исследований.
Открытие Не8 явилось началом экспериментального обнаружения легких
нейтронноизбыточных ядер. В настоящее время известны 16 легких стабильных
нейтронноизбыточных ядер: Не8, Li9, Li11, Be12, Be14, В16, В", С18, С19, С20, N19, N20, N21, О22, О23, О241*,2*.
Во второй части работы рассмотрен вопрос об уравнении состояния нейтронного газа
с взаимодействием и о возможности существования тяжелых ядер, состоящих только из·
нейтронов.
Имеются соображения о сходстве нейтронов и атомов Не3. В обоих случаях
притяжение пары частиц недостаточно для образования связанной системы, ядра динейтрона
в первом случае и молекулы, состоящей из двух атомов Не3, во втором случае. Тем не
менее, жидкий Не3 при нулевой температуре существует и его упругость пара равна нулю.
Зная поверхностное натяжение Не3, можно определить критический размер капли с
отрицательной энергией — она состоит примерно из 30 атомов Не3.
По аналогии можно ожидать и существования жидкой нейтронной фазы и
определенного критического размера капли, т. е. существования некоего достаточно тяжелого ядра
из одних нейтронов, подвергающегося β-распаду.
Несуществование динейтрона и ядра из 4 нейтронов подтверждено отрицательным
результатом тщательных экспериментальных поисков 1Нс.
Тяжелые нейтронные ядра, если они существуют, могли бы с малой вероятностью
рождаться при делении. Они, несомненно, были бы неустойчивы по отношению к
β-распаду, однако время жизни их должно быть достаточно велико, чтобы они могли достичь
оболочки блока и вызывать в ней необычные ядерные реакции. Отметим, наконец, что
в комментируемой работе получена новая промежуточная асимптотика уравнения
состояния вырожденного ферми-газа из частиц, взаимодействие которых характеризуется
большой длиной рассеяния а при малом радиусе гг потенциальной ямы. В пределе малой
плотности η вириальная поправка пропорциональна тг2, как и должно быть, но в области,,
где длина волны частиц на границе Ферми лежит между α и г, а > λ/ > rl3 энергия
взаимодействия меняется как тг^3.
Этот круг вопросов позже был более подробно исследован в связи с теорией
нейтронных звезд. Согласно последним работам Бете и его сотрудников, энергия нейтронной
жидкости при любой плотности больше энергии разреженного газа. Если они правы, то
тяжелые нейтронные ядра не существуют3*.
х* Базъ А. #., Голъданский В. #., Голъдберг В. 5., Зельдович #. Б. Легкие и
промежуточные ядра вблизи границ нуклонной стабильности. М.: Наука, 1972. 172 с.
2* Карнаухов В. Α., Петров Л. А. Ядра, удаленные от линии бета-стабильности. М.г
Энергоиздат, 1981. 200 с.
3* Pandharinande Л.— Nucl. Physics, 1971, vol. 129, p. 1141.

8. Вихревые изомеры ядер
47
8
ВИХРЕВЫЕ ИЗОМЕРЫ ЯДЕР*
Если ядерное вещество является сверхтекучей жидкостью, то возможно
состояние капли этой жидкости, т. е. ядра с квантованным вихрем *,
проходящим по оси капли.
Циркуляция скорости по контуру, окружающему вихрь, как известно,
равна him, где т — масса бозонов, из которых состоит сверхтекучая
жидкость. Это значит, что каждый такой бозон вносит вклад, равный h, в момент
вращения. Следовательно, полный момент вращения ядра в вихревом
состоянии равен nh = zh/2. Предполагается, что роль бозонов, число которых
равно п, играют α-частицы.
Вследствие того, что вращение не похоже на вращение с постоянной
угловой скоростью (ω ~ 1/г2 при наличии вихря), равновесная форма капли
имеет вид, показанный на рис. 1, с углублением на оси. Наиболее интересна
зависимость минимальной энергии ядра Ет от момента /.
Качественно кривая Ет (I) в случае сверхтекучести показана на рис. 2.
CD
I
I
Рис. 1 Рис. 2
h Ί
Вихревое состояние с / = I0 =nh = zh/2 является острым минимумом
кривой Ет (I) с разрывом производной дЕт/д1, так как для возбуждений,
наложенных на вихревое состояние, прирост энергии линейно зависит от
модуля момента АЕт ^ кА1.
Из вида кривой рис. 2 следует, что вихревое состояние можно
рассматривать как изомерное: его энергия больше энергии основного состояния, но
уменьшить энергию путем испускания кванта или той, или иной частицы
можно лишь одновременно изменяя момент на величину, составляющую не
меньше определенной доли al0 (см. рис. 2). Поэтому переход в основное
состояние, прямой или каскадный, является маловероятным, и можно ожидать,
что вихревое состояние ядра будет долгоживущим.
Представляет интерес также экспериментальная реализация вихревого
состояния капель жидкого сверхтекучего гелия. В этом случае
сверхтекучесть и существование квантованных вихрей сами по себе хорошо известны.
Тем не менее поведение капелек может иметь любопытные особенности:
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1966, т. 4, вып. 3,
с. 78—80.
1 Feynman R. Р.— Ргос. First Intern. Conf. Low Temperatures, 1958.
Ϊ y\
ψ 1 'fcl

48
Часть первая. I. Ядерная физика
интересно наблюдать эффект Магнуса при падении, изменение направленности
момента при сохранении его величины, испарение вихревой капли.
Применительно к ядру может возникнуть вопрос о том, начиная с какого малого
числа бозонов можно применять представление о сверхтекучести и
квантованном вихре. В этой связи отметим, что при одночастичном рассмотрении
невзаимодействующих бозонов в сферическом самосогласованном поле
функция Ет (I) также имеет излом, т. е. разрыв производной при / = nh,
I = 2лЙ..А Это свойство сохраняется и при включении взаимодействия
между бозонами. Таким образом, остается только количественный вопрос,
будет ли в системе дЕ1д11==ппй-о < 0, как это показано на рис. 2.
В принципе, следовательно, изомерное состояние с I = zh0/2 может
осуществляться и в сравнительно легком ядре.
Приготовление таких изомерных состояний, по-видимому, наиболее
вероятно при столкновении массивных частиц, но не при действии квантов,
протонов или нейтронов.
Поступила в редакцию
31 мая 1966 г.
КОММЕНТАРИЙ
В работе предсказывается новый тип изомерных состояний ядер, которые должны
возникать при столкновении тяжелых ионов. Этот тип изомерии возникает, если
рассматривать ядерные возбуждения бозонной жидкости. Оказывается, что при этом минимальная
энергия вихревого состояния зависит от полного момента ядра с минимумом при
определенном значении момента и разрывом первой производной. Такая зависимость делает
переход в основное состояние маловероятным.
Выполненные до настоящего времени эксперименты по соударению тяжелых ионов
с ядрами не дают оснований для ответа на вопрос, существуют ли вихревые изомеры.
Представляется весьма желательным целеустремленный поиск в этом направлении.
2 Исключение составляет вырожденный случай потенциала гармонического
осциллятора U = аг2.

и
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
9
К ТЕОРИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
СОХРАНЕНИЕ ЯДЕРНОГО ЗАРЯДА
И ВОЗМОЖНЫЙ НОВЫЙ ТИП V-ЧАСТИЦ*
За последние годы достоверно установлено существование нейтральных
частиц, распадающихся на протон и я-мезон, так называемых У-частиц;.
возможно, что при распаде F-частиц вылетает также третья незаряженная
частица [1—3].
F-частица является первой частицей такого рода, дающей при распада
нуклон. Закон сохранения числа нуклонов должен быть обобщен с учетом
существования У-частиц.
Как известно, из спина V2 нуклонов — протона и нейтрона — следует
существование антипротона и антинейтрона, способных аннигилировать
с обычными нуклонами.
Непосредственно свободные антинуклоны до сих пор еще не были
наблюдены, однако косвенным подтверждением их существования является
согласие с опытом теоретических предсказаний о распаде нейтрального я-мезона
на два кванта: эти предсказания и вычисление вероятности распада были
основаны на представлении об образовании виртуальных пар
протон—антипротон.
Из симметрии всех законов природы относительно частиц и античастиц
следует, что наряду с F-частицами должны существовать и анти-У-частицы,
дающие при распаде антипротон. Вывод этот не зависит от того, какой спинг
целый или полуцелый, имеет F-частица. Ниже более подробно изложены
соображения, которые приводят к этому выводу, рассмотрен вопрос о
возможном отличии свойств V и анти-F и даны весьма грубые соображения об
отношении числа V и анти-F, образующихся под действием космических
лучей х.
Отвлечемся на некоторое время от образования и распада F-частиц. Во·
всех других наблюденных до сего времени ядерных процессах происходит
рождение я-, μ-мезонов, электронов и позитронов, нейтрино и гамма-квантов
и превращение нейтронов в протоны или протонов в нейтроны, причем,
однако, сумма числа протонов ρ и нейтронов η остается постоянной:
ρ + η = const = Υ.
Целесообразно по аналогии с электрическим зарядом ввести понятие
о ядерном заряде и приписать протону и нейтрону одинаковый ядерный
заряд -{-у. Ядерный заряд я-, μ-мезонов, электронов, нейтрино и квант ра-
* Доклады Академии наук СССР, 1952, т. 86, № 3, с. 505—508.
1 Л. Шифф [5] недавно пришел к сходным выводам. Так как в его заметке не
рассматривается вопрос о спине V-частиц и нет соображений о возможности существования
античастиц при спине, равном нулю, мы считаем целесообразным дать здесь подробное
рассмотрение вопроса.

50
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
вен нулю. Тот факт, что происходит только превращение протонов в
нейтроны и обратно, без изменения их числа, формулируется как «закон сохранения
ядерного заряда». Другие законы сохранения (энергии, спина,
электрического заряда) не запрещают ^-захвата электрона протоном с полной
аннигиляцией атома водорода и образованием двух квант или превращения протона
в позитрон или нейтрона в нейтрино с испусканием гамма-квант, не
запрещают также процессов, где нет специальных причин ожидать малой
вероятности: аннигиляцию двух нейтронов с образованием двух квант или двух
π-мезонов. Между тем, самый тривиальный факт всей ядерной физики
заключается в том, что в ядрах нейтроны неограниченно долго существуют, не
аннигилируя. В терминах ядерного заряда такая аннигиляция невозможна,
потому что ядерный заряд атома водорода равен + г/, ядерный заряд пары
нейтронов равен +2у.
При образовании пар протон—антипротон (число протонов р, число
антипротонов р), нейтрон—антинейтрон (л, Я), как известно, сохраняется
величина ρ — ρ + η — ή = const. Для того чтобы приравнять ее ядерному
заряду У", необходимо приписать антинуклонам отрицательный единичный
ядерный заряд —у. Приписывая каждой частице как стабильной, так и
спонтанно распадающейся или аннигилирующей с другими ядерными частицами,
определенный ядерный заряд, мы обеспечим невозможность спонтанной
аннигиляции пары нейтронов в каком бы то ни было процессе, с любыми
виртуальными частицами.
Поскольку весь опыт показывает, что такой процесс абсолютно запрещен,
закон сохранения ядерного заряда является точным законом, так же, как
закон сохранения электрического заряда, а не приближенным законом типа
сохранения изотопического спина. Очевидно, что все высказанные выше
соображения не содержат по существу ничего нового и приведены лишь как
удобная форма записи общеизвестных фактов.
Обратимся к F-частицам и рассмотрим их в свете симметрии частиц и
античастиц. Не пользуясь понятием ядерного заряда, мы могли бы
предположить, что нейтральная F-частица может одинаково часто распадаться на
протон и антипротон:
V = ρ + π"; V = ρ + π+.
Однако в таком случае можно было бы через виртуальные У-частицы
построить процесс аннигиляции двух нейтронов
n + n = p + n" + n=V + n = p + n+ + n = p+p = 2y
или 2π°, или π+ + π". Поскольку такой процесс не наблюдается, очевидно,
что надо запретить распад V на ρ + π+. Такой запрет получится
автоматически, если на основании первой реакции распада V на ρ + π" приписать
V положительный ядерный заряд 2 + у. Из симметрии частиц и античастиц
следует, что наряду с нейтральной F-частицей с ядерным зарядом +у
должна существовать и нейтральная анти-У-частица, V, с ядерным зарядом — г/,
распадающаяся по уравнению
V = ρ + π+.
2 При этом, как и должно быть, разрешен распад V на нейтрон и нейтральный мезон,
но запрещен распад V на несколько π-мезонов и более легкие частицы.

θ. Сохранение ядерного заряда и возможный новый тип V-частиц 51
Если действительно V имеет полуцелый спин 3, то существование двух
различных нейтральных частиц V nV вполне естественно; хорошо известный
пример есть нейтральная пара нейтрон и антинейтрон; по аналогии можно
ожидать, например, что V имеет магнитный момент, причем V и V
отличаются знаком магнитного момента.
Предположим теперь, что F-частица распадается с вылетом нейтрино:
V = ρ + π" + ν,
так что V может иметь спин 0. И в этом случае следует ожидать
существование двух различных частиц, V и F, с уравнениями распада
V = ρ + π" + ν, V = ρ + π+ + ν.
Основным содержанием данной заметки и является указание на то, что,
кроме массы, спина, электрического заряда, магнитного момента, четности,
имеется еще одна внутренняя координата частицы — ее ядерный заряд;
благодаря наличию такой координаты возможно существование двух частиц
с одинаковой массой, с равным нулю спином, электрическим зарядом,
магнитным моментом, и все же сильнейшим образом различных, отличающихся
знаком ядерного заряда, т. е. отличающихся по своим продуктам распада.
Из уравнений распада V и V в сделанном предположении о вылете
нейтрино следует также и одинаковая четность их: действительно, и теория и опыт
показывают, что π+ и π" имеют одинаковую четность (псевдоскалярны).
Между тем, в случае спина 1/2 (уравнение Дирака) частицы и античастицы
(р и ру ν и ν) имеют противоположную четность, что впервые было показано
В. Б. Берестецким [4] на примере позитрона — электрона.
Принципиальную возможность существования двух частиц,
отличающихся только знаком ядерного заряда, можно подтвердить рассмотрением
сложных (составных) частиц. Рассмотрим атом водорода Η (состоящий из ρ и ё~)
в ^-состоянии с полным моментом F = 0 и аналогичное образование Η из
антипротона и позитрона, в таком же состоянии; для принципиальной
стороны дела не существенно, что энергия связи Η (или Н) весьма мала (13,5 эВ)
иди что еще на много порядков более слабое воздействие (сверхтонкая
структура!) переведет Η и Η в состояние F = 1, где они будут отличаться
магнитным моментом. Не существует строгих критериев для различия составной
частицы и элементарной частицы. Рассматриваемые как элементарные
частицы Η и Η в ^-состоянии с F = 0 имеют одинаковую четность, одинаковую
массу, одинаковые, равные нулю, электрический заряд, спин, магнитный
момент; однако, очевидно, они различны: в соприкосновении с обычной
материей Η стабилен, а Η — аннигилирует, выделяя около 2-109 эВ.
Сравним энергию, необходимую для образования V и V при
столкновении двух нуклонов. В первом случае по реакции η + ρ = V + ρ минимальная
потребная энергия в системе центра тяжести равна Mvc2 — Мпс2 = (2200—
— 1836) тс2 = 364 тс2; во втором случае, по реакции η + ρ = V + ρ + 2тг
Mvc2 + Мпс2 = (2200 + 1836) mc2 = 4036 гас2. Число нейтронов в
правой части равенства, описывающего образование V, определяется условием
сохранения ядерного заряда. Переходя к лабораторной системе координатг
в которой один из нуклонов покоится, найдем порог образования (кинети-
Полуцелый спин получится при распаде на ρ + я"~ или при распаде на ρ 4- я' f- ι°.

52
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
ческую энергию падающего нуклона) 760 тс2 = 390 МэВ для V и 12550 тс2 =
= 6400 МэВ для 7.
При этом число F, образующихся в космических лучах, должно быть
меньше числа Уине только потому, что выше порог и меньше первичных
частиц, способных создавать F, но и потому, что при большой энергии
соударения, превышающей порог образования F, с образованием V весьма сильно
конкурируют статистически более выгодные процессы множественного
образования π-мезонов.
Соотношение между числом V ж V будет несколько ближе к 1, если эти
частицы не являются первичными, а образуются при распаде каких-то
весьма короткоживущих, еще более тяжелых первичных частиц.
ВЫВОДЫ
1. Предложено понятие «ядерного заряда», позволяющее удобно
сформулировать известный принцип невозможности аннигиляции нуклонов.
2. Наряду с известной нейтральной F-частицей, распадающейся с
образованием протона, должна существовать анти-У-частица, распадающаяся
с образованием антипротона, притом независимо от полуцелого или целого
спина У-частицы.
Примечание по корректуре. А. Пайс [6] приводит замечание
И. Р. Оппенгеймера о необходимости обобщения закона сохранения числа нуклонов
на нуклоны и тяжелые F-частицы. Однако в дальнейшем А. Пайс полагает, что
тяжелые F-частицы суть фермионы, и не рассматривает отмеченной нами возможности
существования античастиц у нейтральных бозе-частиц.
Институт химической физики Поступила
Академии наук СССР. Москва 14 июля 1952 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fretter W. В.— Phys. Rev., 1952, vol. 85, p. 773.
2. Fretter W. В.— Phys. Rev., 1951, vol. 83, p. 1053.
3. Armenteros #., Barket K. H. et al.— Philos. Mag., 1951, vol. 42, p. 1113.
4. Берестецкий В. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1951, т. 21, с. 93.
5. Schiff L. /.— Phys. Rev., 1952, vol. 85, p. 374.
6. Pais Α.— Phys. Rev., 1952, vol. 86, p. 663.
КОММЕНТАРИЙ
Ядерный заряд в настоящее время называется барионным зарядом. Для нуклонов
барионный заряд был введен Штюкельбергом, который называл его тяжелым зарядом и
сопоставлял сохранению этого заряда специальное глобальное фазовое преобразование
нуклонов и антинуклонов 1Нс. В дальнейшем барионный заряд обсуждался Е. Вигне-
ром 2*>3*.
На гипероны сохранение барионного заряда было распространено в 1952 г. независимо
ЯБ в комментируемой статье и А. Паисом4*. (Последнему принадлежит термин барион,
объединяющий нуклоны и гипероны, и термин барионный заряд.)
У-частицы, обсуждаемые в статье,— это Λ-гипероны. Гипероны с целым спином,
обсуждаемые в статье, пока не обнаружены, но поиски таких частиц ведутся (эти частицы
должны содержать новый тип кварков — кварки с целым спином). Распространение
закона сохранения барионного заряда на гипероны сыграло важную роль в создании совре

10. О нейтринном заряде элементарных частиц
53
менной классификации адронов. Вопрос о возможном несохранении барионного заряда
привлек к себе особое внимание в связи с разработкой моделей великого объединения,
которые предсказывают нестабильность протона. Экспериментальные поиски распада
протона не обнаружили пока этого явления и установили нижнюю границу для времени
жизни протона порядка 1032 лет.
Основной недостаток комментируемой статьи, так же как и цитируемых ниже работ,
состоит в том, что не отмечено принципиальное отличие электрического заряда с одной
стороны и барионного или нейтринного зарядов. Однако этот недостаток частично
исправлен в следующей статье (ст. 10). Электрический заряд характеризует взаимодействие
с электромагнитным полем и уравнения Максвелла обеспечивают сохранение заряда.
Соответствующих полей, взаимодействующих с барионным или нейтринным зарядом, нет.
Возможность несохранения электрического заряда в том случае если бы у
электромагнитного поля была характерная масса (масса покоя фотонов) рассмотрена в работе Я Б и
Л. Б. Окуня «Парадоксы нестабильного электрона» б*.
ι* Stueckelberg Ε. С. G.— Helv. phys. acta, 1938, vol. 11, p. 299—328.
2* Wigner E. P.— Proc. Amer. Philos. Soc, 1949, vol. 93, p. 521.
3* Wigner E. P.— Proc. Nat. Acad. Sci. US. Phys. Sci., 1952, vol. 38, p. 449.
4* Pais Α.— Phys. Rev., 1952, vol. 86, p. 663—672.
6* Okun L. £., Zeldovich Ya. В.— Phys. Lett. В., 1978, vol. 78, p. 597—600.
10
О НЕЙТРИННОМ ЗАРЯДЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ*
В настоящее время постепенно накапливаются доказательства следующих
положений:
1. Двойной β-распад с испусканием двух электронов и без испускания
двух нейтрино не происходит [1].
2. Спектр позитронов, образующихся при распаде μ+-Μβ30Η0Β, не
противоречит предположению о том, что рождающиеся при этом распаде 2
нейтральные частицы одинаковы и подчиняются принципу Паули [2, 3].
3. Распад μ+ на е+ и кванты без испускания двух нейтральных частиц
со спином 1/2 не происходит [4].
Каждое из этих положений в отдельности еще отнюдь не может считаться
доказанным с полной достоверностью, и дальнейшая экспериментальная
работа весьма желательна; вместе с тем, если перечисленные положения
следуют из единого принципа, то вполне своевременно четко сформулировать
этот принцип и его следствия.
Как будет показано, элементарные частицы могут характеризоваться
«нейтринным зарядом» — величиной, сохраняющейся при всех процессах
взаимного превращения частиц, так же, как сохраняется электрический
заряд и число нуклонов; нейтринные заряды μ''-мезона и электрона, по-
видимому, различны, что приводит к своеобразным, абсолютно строгим,
если правильны исходные предположения, правилам отбора.
Общеизвестно, что отсутствие двойного β-распада означает необходимость
различать нейтрино (ν) и антинейтрино (ν), τ. е. что теория Майорана, в ко-
* Доклады Академии наук СССР, 1953, т. 91, № 6, с. 1317—1320.

54
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
торой возможны вещественные волновые функции, к нейтрино не применима
и следовательно, нейтрино описывается комплексными волновыми
функциями.
В теории комплексной частицы, естественно, рождаться или
аннигилировать (без изменения числа других частиц, участвующих в процессе) могут
только пары частица—античастица (ν + ν), но не пары одинаковых частиц
(ν + ν) или (ν + ν). Это утверждение является точным, справедливым для
процессов сколь угодно высокого порядка. Формальное доказательство
утверждения заключается в рассмотрении лагранжиана системы с учетом
членов, описывающих процессы превращения одних частиц в другие. Пусть
имеют место процессы типа
агA -f Ъ'ф -f ... = nxv + <hA + b'\B + ...,
a2A + b2B + ... = n2v + a2A + b"zB -f ..., (1)
Здесь А, В — обозначения частиц, ai, ά{, &i, Ъ'[ — число частиц данного
типа, участвующих в реакции. Если есть какое-то число процессов такого
рода, рассматриваемых как первичные, то в более высоком порядке теории
возмущений возможны любые процессы, уравнения которых являются
линейными комбинациями уравнений первичных процессов. Утверждение
заключается в том, что никакая комбинация процессов не даст 0 = ην
(сп φ 0), или, что то же, что невозможно осуществить процесс
акА + ЪкВ + · . · = ην + акА + ЪкВ + . . . (2)
с одинаковыми ак, Ък . . . слева и справа. Действительно, лагранжиан
свободных нейтрино состоит из членов, каждый из которых содержит ψν и г|)*г
и инвариантен относительно умножения ψν на eia.
Первичные процессы (1) дают в лагранжиане члены вида
М£Г (Ψβ)'1 · · · (ΨνΓ1 (ΨαΓ1 (Ψβ)'1 + компл. сопр. (3)
Такие члены окажутся инвариантными относительно умножения ψν на eiaf
если условиться, что одновременно г|и множится на е а, урв на е ь и т. д.
Числа па, пъ должны удовлетворять уравнению
а'фа + Ъ'фъ + ... = η + а[па + b[nb + . .. (4)
Если бы какая-то линейная комбинация давала бы процесс типа (2), то
в соответствующем приближении появился бы член вида
(Ч\Т №а$аР (VbVbY* · · · + компл· С0ПР·' (5>
который никак не может быть сделан инвариантным относительно умножения
ψν на eia. Отсюда и видно, что естественное требование инвариантности
лагранжиана относительно умножения комплексной ψν на eia приводит к
исключению процессов типа (2). Условие, чтобы никакая линейная комбинация
первичных процессов (1) не давала процесс типа (2), алгебраически
представляет собой условие совместимости алгебраических уравнений (4),
полученных из (1). Другими словами, можно ввести понятие нейтринного заряда
(коротко, «-заряда), причем «-заряд частиц А, В дается числами па, пъ\
н-заряд сохраняется при любых элементарных процессах; можно ввести
плотность «-заряда, подсчитываемую как сумму плотности нейтрино и взя-

10. О нейтринном заряде элементарных частиц
55
тых с коэффициентами па, пь плотностей частиц А, В и аналогично ток
Ji-заряда. «-Плотность и н-ток точно (в любом приближении) удовлетворяют
уравнению неразрывности. С учетом сохранения заряда и ядерного заряда
{числа нуклонов) [5—8] наиболее общая калибровочная группа,
относительно которой инвариантен лагранжиан, зависит от трех параметров: α, β,
7 и заключается в умножении каждой \|u на exp (inaa + ίζα$ + ЩаУ),
где ζα — электрический, уа — ядерный, па — нейтринный заряды частицы А.
Сказанное является необходимым и в сущности очевидным следствием
утверждения об отсутствии двойного β-распада.
Обратимся к выявлению «-заряда μ-мезона по данным о его распаде.
Наиболее вероятным объяснением отсутствия прямого распада, μ± = е± + γ,
является предположение, что н-заряд μ+-Μβ30Μ отличается на 2 единицы от
я-заряда е+, что и приводит к абсолютному запрещению ненаблюденного
процесса распада без нейтрино; то же относится и к μ" и в". Предположение
о различии нейтринных зарядов μ+ и е+ менее достоверно, чем само
предположение о существовании и сохранении нейтринного заряда. Более того,
трудно даже предложить практически осуществимый эксперимент,
который доказывал бы это предположение. Если предположить одинаковость
я-зарядов μ+ и е* и не вводить новых нейтральных частиц (μ°), то обычный
распад μ+ следует записать как μ+ = е+ + ν + ν; процесс μ+ = е+ + Υ
возможен, но нет способа по данным об обычном распаде рассчитать и
сравнить с опытом вероятность распада на е+ + У (см. расходящееся выражение
в заметке [9]). Тем не менее, мы в дальнейшем предположим, что н-заряды
μ+ и е+ различны и рассмотрим следствия этого предположения.
Решение уравнений (4), определяющих н-заряды частиц, не является
единственным. Если найти какое-то решение —систему «-зарядов п'а, щ,...,
удовлетворяющих условиям сохранения «-заряда при реакциях, то любая
линейная комбинация этих «-зарядов с электрическими и ядерными
зарядами частиц
Па =Па + kza + Ъуа [(6)
также будет величиной, сохраняющейся при реакциях. Следовательно,
величины па можно назвать «-зарядами с тем же правом, что и п'а.
По определению, «-заряд нейтрино nv = 1. Одну систему получим,
приняв, что нейтрон имеет только ядерный заряд yN = 1, ζχ = 0, ηχ = 0,
а электрон только электрический заряд уе = 0, ze = —1, пе = 0. Однако
такая система приводит к отличному от нуля «-заряду ρ и π± и к равному 2
«-заряду μ-мезона и поэтому неудобна. Наиболее удобная система
получится, если принять у электрона пе- = +1; при этом п^- = —1. У античастиц
«-заряд меняет знак; «-заряды Ρ, Ν, π± равны нулю.
В аналогичных процессах if-захвата электрона и if-захвата μ'-мезона
должны испускаться разные частицы, ν и ν:
е~ + Ρ = Ν + ν, (7)
μ- + Ρ = Ν + v. (8)
Другой любопытный вывод заключается в том, что, например,
гипотетическая частица (нейтральная) с целым спином, которая распадалась бы на
Ρ + е~, не могла бы распасться на Ρ + μ~, иначе нейтринный заряд не
сохранился бы. Точно так же запрещен распад одной и той же нейтральной
частицы с полуцелым спином в двух направлениях на π+ + μ~ и на π+ +

56
Часть первая, II. Теория элементарных частиц
+ в". Однако распад такого рода частицы в направлениях на π+ + μ"»
π" + е+, π° + ν, γ + ν допускается законами сохранения зарядов.
Необходимо особо отметить, что известный экспериментальный факт —
распад заряженного π-мезона с образованием μ-мезона и отсутствие распада
π с образованием электрона — не связан с запретом по «-заряду, сохранение
«-заряда разрешает обе реакции:
π+ = е+ + ν; π" = е" + ν; (9)
π+ = μ+ + ν; π" = μ" + ν. (10)
Возможность (9) по «-заряду устанавливается непосредственно по
совокупности процесса Ν = Ρ + π" и β-процесса [9].
Известно, что те варианты β-взаимодействия [9] — векторный V и
тензорный Т,— которые считаются в настоящее время наиболее вероятными [10,
11], приводят к запрету β-распада псевдоскалярного π-мезона через
поляризацию нуклонного вакуума, причем запрет связан со свойствами π по
отношению к пространственным преобразованиям (спин, четность); поэтому
запрет может преодолеваться при испускании дополнительных гамма-квантов
[12] с соответствующим уменьшением вероятности процесса. Из факта
распада на π и μ с определенностью следует, что взаимодействие (8) должно идти
по вариантам1 псевдоскалярному (Р) или (и) псевдовекторному (А).
Операторы V и Г, с одной стороны, и Ρ, Α, 5, с другой стороны,
принадлежат разным группам в отношении зарядового сопряжения (перехода к
античастицам). Возможно, что неслучайна принадлежность к разным группам
двух взаимодействий (7) и (8), в которых рождаются, соответственно, частица
и античастица ν и v.
В заключение заметим, что понятия нейтринного и ядерного заряда
существенно отличаются от электрического заряда. Электрический заряд есть
не только величина, сохраняющаяся при элементарных процессах (что
объединяет его с ядерным и нейтринным зарядом). Уравнения электромагнитного
поля таковы, что электрический заряд может быть измерен без исследования
атомистической структуры тела; закон сохранения электрического заряда
был установлен макроскопическими опытами и вошел в теорию Максвелла
задолго до создания электронной теории.
Ядерный и нейтринный заряды не могут быть измерены
макроскопически. В частности, масса тел, вследствие эйнштейновской связи массы и
энергии, является лишь приближенной (в обычных условиях, в веществе, не
содержащем антинуклонов, с точностью около 1%) мерой ядерного заряда
тела 2. Законы сохранения ядерного и нейтринного зарядов могут быть
установлены лишь исследованием элементарных процессов.
Существуют ли еще другие заряды, сохраняющиеся как электрический,
ядерный и нейтринный? Если любая элементарная частица может в конечном
счете распасться на какое-то число частиц трех сортов — протонов,
электронов, нейтрино (или соответствующих античастиц), то четвертому закону
сохранения нет места. Четвертый закон сохранения привел бы к существо-
1 Если считать (10) первичным, то для (8) получим непосредственно, применяя
теорию возмущений, вариант Р. Если считать (8) первичным, то для того, чтобы матричный
элемент (10) не равнялся нулю, необходимо, чтобы взаимодействие (8) содержало Ρ или
(и) А.
2 Связь ядерного заряда с мезонным полем (6) необязательна, но при наличии такой
связи мезонное поле не дало бы возможности макроскопического измерения ядерного
заряда.

10, О нейтринном заряде элементарных частиц
57
ванию четвертого сорта стабильных элементарных частиц. Вместе с
большинством физиков мы предполагали, что нейтральные частицы, образующиеся
при распаде π или распаде и захвате μ, суть те же нейтрино и антинейтрино,
которые участвуют в β-процессе, отвергая за полным отсутствием
доказательств μ°-Μβ30Η. Это предположение приводит к выводу, что
сохраняющихся зарядов только три.
Пользуюсь случаем выразить благодарность за обсуждение работы
Н. Н. Боголюбову, В. Б. Берестецкому, И. Е. Тамму, Л. П. Феоктистову.
Институт химической физики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 2 июля 1953 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fireman Ε. L., Schwarzer C— Phys. Rev., 1952, vol. 86, p. 451.
2. Tiomno /., Wheeler /. Л., Rau R. R.— Revs. Mod. Phys., 1949, vol. 21, p. 144.
3. Sagane #., Gardner W. £., Hubbard H. W.— Phys. Rev., 1951, vol. 82, p. 557.
4. Hincks E. P., Pontecorvo В.— Phys. Rev., 1948, vol. 73, p. 257.
5. Jordan P.— Ztschr. Naturforsch. A, 1952, Bd. 7, S. 78, 701.
6. Wigner E. P.— Proc. Nat. Acad. Sci. US. Phys. Sci., 1952, vol. 38, p. 449.
7. Зельдович Я. Б,— Докл. АН СССР, 1952, т. 86, с. 505.
8. Oneda S.— Progr. Theor. Phys., 1952, vol. 8, p. 255, 568.
9. Vortuba V., Muzikar C— Phys. Rev., 1951, vol. 82, p. 99.
10. Wu C. S,— Physica, 1952, vol. 18, p. 989.
11. De Groot S. #., Tolhoek Η. Α.— Physica, 1950, vol. 16, p. 456.
12. Ruderman M.— Phys. Rev., 1952, vol. 85, p. 157.
КОММЕНТАРИЙ
Нейтринный заряд, обсуждаемый в статье, в настоящее время называется лептонным
зарядом. Закон сохранения лептонного заряда был сформулирован в 1953 г. независимо
от Я Б Е. Конопинским и X. М. Махмудом 1# и Г. Марксом 2* и сыграл важную роль
в установлении современной классификации элементарных частиц и взаимодействий.
Постановка вопроса в настоящее время изменилась. Предполагается существование
не одного, а 3 лептонных зарядов. Остается в силе замечание о том, что нет аналогов
электромагнитного поля, которые бы делали сохранение абсолютным. В новых теориях
великого объединения и суперсимметрии обсуждается вероятность процессов, меняющих
лептонные заряды.
Вопрос о том, выполняется ли в природе закон сохранения лептонного заряда,
является в настоящее время одним из центральных вопросов физики элементарных частиц.
Ни одного случая нарушения этого закона не обнаружено. Однако, как стало ясно после
открытия несохранения четности, в ряде случаев соответствующие запреты могут быть
обусловлены не сохранением лептонного заряда, а продольной поляризацией нейтрино.
Особенно активно поиски несохранения лептонного заряда ведутся в двух направлениях:
во-первых, это поиски безнейтринного двойного β-распада, во-вторых, это поиски массы
нейтрино и так называемых нейтринных осцилляции, на возможность существования
которых указал Б. М. Понтекорво в 1957 году.
1# Konopinski Ε. /., Mahmoud #. Μ.— Phys. Rev., 1953, vol. 92, p. 1045—1049.
2* Marx G,— Acta phys. Acad. sci. hung., 1953, vol. 3, p. 55.

*Я
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
И
О РАСПАДЕ ЗАРЯЖЕННЫХ я-МЕЗОНОВ *
С точки зрения я-мезона как составной частицы [1] (ядра), очевидно, что
первичными следует считать взаимодействия N + ν = Ρ + е~, TV + ν =
= Ρ + μ~ (ο несущественном здесь различии ν и ν см [2, 3]).
Распад, например, я+ на е+ + ν или μ+ + ^ по терминологии, принятой
в теории β-процессов, классифицируется как 0—0-переход с изменением
четности (0—0, да), поскольку из нечетного ядра я+ (кроме легких фермионов)
получается вакуум, четный по определению. Распад я+ = я0 + е+ + ν
есть 0—0-переход без изменения четности (0—0, нет) между подобными
состояниями с одинаковым изотопическим спином Τ = 1.
Отсюда сразу следует известный результат [4, 5], что £-, F-, Г-варианты
β-взаимодействия не дают распада я+ = е*+ ν; я+ = μ+ + v. Распад
разрешен лишь в А- и Р-вариантах. Для электронного β-взаимодействия (в
отличие от μ-мезонного) вариант А в настоящее время исключен
экспериментально. Однако в последнее время считается, что вариант Ρ входит в
линейную комбинацию вариантов, описывающих β-распад [6, 7]; для этого
варианта расчет вероятности распада дадим ниже. Сопоставление этого расчета
с опытом позволит сделать выводы о возможной величине коэффициента,
с которым вариант Ρ входит в линейную комбинацию, описывающую β-вза-
имодействие нуклонов с легкими фермионами.
Для я+ = я0 + е+ + v-распада по аналогии с обычным β-распадом ядер
заключаем, что для F-варианта квадрат матричного элемента по ядру
sjR2 = <1>2 = Т (у + J) _ Тг (γζ _ ι) = 2, так что приведенное время
такого процесса /τ такое же, что и в других 0—0-переходах, например,
Οι4 ->■ Νΐ4 или С134 ->■ S34, и равно ~2600 с.
Подставляя энергию распада я+ ->■ я0, равную [8] 10,6 тес2, находим
максимальный импульс электрона рт = тес ]Л(10,6)2 — 1 = 10,6 тес
(поправка на отдачу я0 не превышает 2%) и по выражению / для больших
энергий / = 1/30 (рт1шес)ъ получаем, что τπ+πο = 1,7 с"1. Эту величину
надо сравнить с вероятностью я — μ-распада [9] τ^μ = 3,4· 107.
Интересующий нас процесс распада я+ = я0 + е+ + ν будет
происходить в среднем в одном случае на 2-107 обычных распадов я+ = μ+ + v.
Однако малая вероятность не исключает возможности наблюдения распада
я+ = я0 + е+ + ν при работе с мощным пучком искусственных мезонов;
действительно, распад я+ = я0 + е+ + ν в блоке замедлителя (в котором
я+ и е+ останавливаются) будет давать весьма характерную картину: я0
распадается на 2 γ-кванта с энергией около 65 МэВ каждый, а е+ остановится
и аннигилирует, также давая 2 γ-кванта по 0,5 МэВ; в каждой паре γ-кван-
ты летят в противоположные стороны.
В обычных ядрах в нерелятивистском приближении варианты S и V,
дающие по нуклонам матричные элементы, соответственно, <β> и <1>, дают
совпадающие результаты для разрешенных переходов. я-Мезон нельзя
рассматривать нерелятивистски, поскольку он состоит из нуклона и антинуклона.
Обобщенная теорема Фарри показывает, что распад я+ = я0 + е+ + ν
через поляризацию вакуума разрешен в F-варианте и запрещен в 5-варианте.
* Доклады Академии наук СССР, 1954, т. 97, № 3, с. 421—424.

11. О распаде заряженных к-мезонов
59
При подсчете числа нечетных операторов следует учесть оператор τ3 в
выражении связи нейтрального мезона с нуклонами; поэтому нечетный оператор
V дает отличный от нуля, а четный S равный нулю матричный элемент.
Выше собраны выводы о распаде мезонов, получающиеся из
пространственной и зарядовой симметрии. Дальнейшее выяснение требует расчета
расходящихся интегралов, которые в первом приближении теории возмущений
описывают распад я-мезона в псевдоскалярном варианте β-взаимодействия
(рис. 1):
А=^^У*(Р+я-мГ1У*(Р-мГ1<1*р (1)
и распад я+ = я0 + е+ + ν в векторном варианте (рис. 2 и 3):j
В = Βι + В2,
Вг =-??£- \ Spτ_γ5 (ρ + q - M)^ т+Ъ (p+q- Μγ* τ3γ5 (Ρ - Μ)~4*ρ,
(2)
в2 = ^f- ^Sp τ-γ5 (Ρ + * - мУг τ»ν» (Р - мУг тМр + я - му1 d*P.
В последнем случае В\ соответствует рис. 2, Б2 — рис. 3; операторы τ
действуют на изотопические переменные нуклонов, b = (ψβ+Υρψν)Υρ·
Относительно первого процесса в литературе имеются следующие
замечания: при одинаковом значении интеграла (1) вероятность распада я+ ^г
^± е+ + ν относится к вероятности распада я+ = μ+ + ν как
rtefTnl = 6(gPe/gPll)2. (3)
Первый индекс при g означает псевдоскалярный вариант взаимодействия,
второй (индекс е или μ) — к каким частицам (PNev или ΡΝμν) относится
константа g. Множитель 6 зависит от большего выделения энергии при
е+-распаде, что дает большой фазовый объем, и от несколько большего
матричного элемента по легким частицам. Так как на опыте [10] τ^/τ^μ <^
<7·10-4, то gPe<0,0lgp».
Следовательно, представления об «универсальном ферми-взаимодействии»
нельзя понимать упрощенно как равенство всех коэффициентов при всех
инвариантных для ΡΝμν- и PTVev-взаимодействий.
Для абсолютного расчета Дж. Штейнбергер [4] проводит регуляризацию
формально, строя аналогично А выражения со вспомогательными Mt и
коэффициентами Ct с соблюдением ряда условий:
^CiMi = 0, ^CtMi = 0 и т. д. Затем он получает (приняв gP = gTe)
вероятность распада я — μ τ^μ = O^gV"1 и вероятность распада я — е
τη* = 0,7^2с-1. Первое значение даже при g2 = 200 в 10 раз меньше
экспериментального [11]. Отсюда Дж. Штейнбергер делает вывод, что я — μ-
распад не описывается поляризацией вакуума и ΡΤνμν-взаимодействием 4 фер-
мионов. Взаимодействие я = μ + ν он считает первичным, а взаимодействие
ΡΝμν происходящим через виртуальное рождение я-мезонов, например,
по схеме: μ" + Ρ = τΓ + ν + Ρ = Ν + ν. Такой вывод еще в большей
мере противоречит заманчивой идее универсального взаимодействия 4 фер-
мионов [13], поскольку электронный β-процесс заведомо не описывается
схемами с виртуальными я-мезонами.

60 Часть первая. II. Теория элементарных частиц
Применим к вычислению А
определение интеграла /, данное в заметке
[14, формулы (1) и (2)]. По существу
при этом делается предположение, что
устранение расходимости и получение
равенства / = т^ (2) происходит за счет
изменения смысла d*p или факторов
распространения, но не за счет
изменения оператора γ5 в связи нуклона с
мезоном, иначе нарушилась бы аналогия
между выражениями А и I.
Для вероятности электронного
распада получим (выражение практически
не зависит от те, так как электрон
релятивистский)
τ2 = 0№mbnh-ic-*g2Pe (hc/g*) (4)
и для β-распада (отношение m^lm^
вошло в численный коэффициент)
τ^μ = 0,007т5я/Г7 c^gP]L (hc/g*). (5)
Для сравнения выпишем вероятность обычного β-распада:
τΐ1 = 0,01677i*/rV^2/, (6)
где 3R — матричный элемент, взятый по ядру, и /τ — приведенное время.
Максимальное значение g, которое дает минимальную вероятность
распада я, встречающееся в литературе [11]: g2/knhc = 15, g2/hc = 180.
Верхний предел, устанавливаемый опытом [10]: %^е <; 7·10"~4τπμ = 7·10"4·3,4·
•ΙΟ7 = 2,5· 104 с"1, откуда по формуле (4)
gPe < 0,0% = 0,08gTe. (7)
Результат противоречит оценкам [7, 12], основанным на анализе спектра
RaE (переход 0—0, да) *, согласно которым gPe ^ g$.
Для взаимодействия μ-мезонов с нуклонами в предположении, что
взаимодействие описывается такими же вариантами, что и обычное β-взаимодей-
ствие, как известно, получается #μ ^ #β, где gll = gS]L или gV[l, или gT]Ly
или gA[l.
Подставляя в (5) экспериментальное τπμ, найдем, что gPll = 9g^. Если
эффективное g взаимодействия π-мезонов с нуклонами меньше, то
соответственно меньше и gP[L.
Если во взаимодействии μ с нуклонами действует только Р-вариант, то
главную роль играют переходы первого запрещения. Для if-захвата
покоящегося μ-мезона:
£ρμ (ψίβϊδψμ-) § exp (iqvr) ψ^βγ5ψΡ dV = gP[l -^ (ψνβϊδψμ-) ^ ι|&σψΡ dV (8)
1 Примечание по корректуре. В последнее время это
предположение подвергается сомнению (см.: King R. W., Peaslee D. С— Phys. Rev., 1954, vol. 94,
p. 795).
Рис. 2

11. О распаде заряженных к-мезонов
61
(ср. доказательства эквивалентности псевдоскалярной и псевдовекторной
связей).
Матричный элемент (ψνβΥδΨμ-) Τ0Γ0 же порядка, что и матричные
элементы по легким частицам в других вариантах.
Следовательно, в чистом Р-варианте ΡΤνμν-взаимодействия роль
эффективной константы играет gPllqv/2Mc ^ 0,05gPll. Приравнивая ее £μ = g$,
получим (при g2/4nhc = 15) вычисленное по (5) τπμ = 2-108, в 3—4 раза
больше экспериментального. Следовательно, распад я = μ + ν может быть
описан через поляризацию вакуума и ΡΤνμν-взаимодействие, в
противоположность мнению Дж. Штейнбергера.
Распад я+ = я0 + £+ + ν в литературе не рассматривался. Для того,
чтобы получить правила отбора, связанные с зарядовой симметрией и
свойствами изотопического оператораτ3, воспользуемся формулами (2), в которых
выписаны все изотопические операторы (для π = е + ν или я = μ + ν
их запись дает лишь тривиальности и была опущена).
Производя сперва суммирование по изотопическим переменным,
заметим, что если в Вх τ_τ+τ3 = +1//2, то в В2 τ_τ3τ+ = —1/J/ 2. Следовательно,
пространственные части Βι и В2 входят с разными знаками; при составлении
выражений Βι и В2 мы уже заранее пренебрегали разностью масс Ρ л Ν,
а также (в факторах распространения) 4-импульсом пары
позитрон—нейтрино, равным разности 4-импульсов я+ и я0, т. е. тп+ — тяо. Эта разность,
от которой зависит возможность распада я+ = я0 + е+ + ν, учитывается
в расчете фазового объема, так что вероятность τ^+πο ~ (тп+ — тпо)~5.
В векторном варианте β-взаимодействия выражение, входящее в 2?ι,
в точности подобно выражению взаимодействия с электромагнитным полем
(формулы (3)—(5) заметки [14]), так что найдем
Bi = gveY* (bq), (9)
где Ъ — 4-вектор легких частиц с компонентами Ъ9 = ψ6γρψν; g — импульс
распадающегося мезона. Далее заметим, что заменой переменной
интегрирования р' = ρ + q можно установить равенство
В2 (δ, g, Μ) = Вх (δ, -g, M), (10)
откуда
Βι = -В2, В = gVe2 γ2 (bq). (11)
С учетом нормировки волновых функций бозонов я+ и я0 получим
окончательно квадрат матричного элемента перехода:
Ж2У = 2g2Ve | ψ6+γ4ψν |2 = 2g2Ve I ψ*+ψν |2, (12)
что как раз и соответствует предположению, высказанному выше по
аналогии с зеркальными ядрами, что Ж2 = 2.
В случае скалярного взаимодействия в Βι и В2 вместо оператора Ъ стоит
число (скаляр)
с = (ψ6+. 1 · ψν) = (ψ*+βψν). (13)
Рассматривая Βι = Βι (с, g, Μ) и В2 (с, д, М) = В2 (с, —g, M) по
симметрии, видим, что Βι = В2, В = Βι — В2 = 0, как и следует по теореме
Фарри.

62
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
Пользуюсь случаем выразить благодарность Г. М. Гандельману, Л. Д.
Ландау и Л. П. Феоктистову за дискуссии и помощь в работе.
Поступила в редакцию
26 мая 1954 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fermi Ε., Yang С. Ν.— Phys. Rev., 1949, vol. 76, p. 1739.
2. Reines F., Cowan С L.— Phys. Rev., 1953, vol. 92, p. 830.
3. Зельдович Я. Б.— Докл. АН СССР, 1953, т. 91, с. 1317.
4. Steinberger J.— Phys. Rev., 1949, vol. 76, p. 1180.
5. Ruderman M., Finkelstein R.— Phys. Rev., 1949, vol. 76, p. 1458.
6. Marshak R. E., Petschek A. G.— Phys. Rev., 1952, vol. 85, p. 698.
7. Peaslee D. C— Phys. Rev., 1953, vol. 91, p. 1447.
8. Panofsky W. K. #., Aamodt #. £., Hadley J.— Phys. Rev., 1951, vol. 81, p. 565.
9. Lederman L. M., Booth E. Г., By field #., Kessler J.— Phys. Rev., 1951, vol. 83, p. 685.
10. Friedman H. L., Rainwater J.— Phys. Rev., 1951, vol. 84, p. 684.
11. Brueckner Κ. Α., Watson K. M.— Phys. Rev., 1953, vol. 92, p. 1023.
12. Ruderman M.— Phys. Rev., 1953, vol. 89, p. 1227.
13. Finkelstein R., Kaus P.— Phys. Rev., 1953, vol. 92, p. 1316.
14. Зельдович Я. Б.— Докл. АН СССР, 1954, т. 97, № 2.
КОММЕНТАРИЙ
При чтении этой статьи следует иметь в виду, что вплоть до 1957 г. считалось, что
V- и А -варианты в β-распаде экспериментально исключены. (Опыты, на которых было
основано это мнение, как выяснилось впоследствии, были ошибочными.) Так что само
рассмотрение векторного слабого тока в статье является хорошим примером теоретической
интуиции.
В статье впервые дано значение квадрата матричного элемента β-распада я+-мезона
л+ _* ji°e+v для векторного варианта:
Τ (Τ + 1) — ΤΖ(ΤΖ— 1) = 2
и прослежено, как это число воспроизводится в составной модели π-мезона, предложенной
Ферми и Янгом. В этой модели π-мезоны рассматривались как связанные состояния
нуклона и антинуклона. Следует заметить, что незадолго до комментируемой статьи Я. Б»
Зельдович использовал модель Ферми—Янга для оценки разности масс π+- и я°-мезонов 1Нс.
Основная идея этой оценки состояла в том, что кулоновское притяжение протона и
антипротона является причиной уменьшения массы π° по сравнению с π" и π+. На современном
кварковом языке тот же результат получается вследствие того, что в я°-мезоне кварки и
антикварки имеют заряды противоположных знаков, а в я+-мезоне — одного знака.
Вопрос о β-распаде я+-мезона приобрел особое значение после создания в 1957 г.
Р. Фейнманом, М. Гелл-Маном, Г. Маршаком и Э. Сударшаном универсальной V — А
теории слабого взаимодействия (см. комментарий к следующей статье).
Первая попытка измерить λ-относительную вероятность распада π+ *-+ K°e+v была
предпринята в Дубне, в Лаборатории ядерных проблем ОИЯИ. 1 событие, λ<7·10-8
<1961 г.); 2 события, λ < Ι,δ-ΙΟ"8 (1962 г.); 4 события, λ = (CJ'^-IO"8 (1962 г.); 43
события, λ = (1,1 + 0,2)·10~8 (1964 г.) 2*. В 1962 г. об измерении вероятности распада π+ —*
—> n°e+v (14 + 2 события, λ = (1,7 + 0,5)·10~8 сообщила группа ЦЕРН 3*. Последняя
работа по измерению распада π+ -» jiV^v4*. Результат основан на наблюдении 1235 +
Jt 36 событий, λ = (1,036+ 0,039)· Ю-8. Согласие теории и эксперимента
характеризуется отношением (Ятеор - Яэкс)/Ятеор = (1,2 ± 3,7)%.
Согласно известным таблицам Review of Particles, 1982, относительная вероятность
распада π+ -н> π°β+ν составляет (1,02 + 0,07)-Ю-8 в полном согласии с теорией. Отличие

12. О мезонных поправках в теории ^-распада
63
этого числа от численной оценки, содержащейся в комментируемой статье, (λ = 5 · 10~8)
связано с тем, что в статье для разности масс π+- и я°-мезонов была принята известная в то
время величина 5,4 МэВ, современное же значение составляет 4,6 МэВ. Изменились также
экспериментальные значения времени жизни я+-мезона и величина /+ для ядра 140.
Кроме того, не вполне корректно оценен фазовый объем и не учтен In 2 при переходе от
периода полураспада к времени жизни.
!* Зельдович Я. Б.— Докл. АН СССР, 1954, т. 97, № 2, с. 225—228.
2* Дунайцев А. Ф., Петрухин В. if., Прокошкин Ю. //., Рыкалин В. И.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1962, т. 42, с. 632—637; с. 1421—1424; Phys. Lett., 1962,
vol. 1, p. 138—140.
3* Depommier P., Heintze /., MukhinA. et al.— In: Proc. 1962 Intern, conf. on high-
energy phys. at CERN. Geneve, 1962, p. 411.
4* Farlana W. K. M., Auerbach L. В., Gaille F. C. et al.— Phys. Rev. Lett., 1983„
vol. 51, p. 249—252.
12
О МЕЗОННЫХ ПОПРАВКАХ
В ТЕОРИИ β-РАСПАДА *
(совместно с С. С. Герштейном)
В появившейся недавно заметке Финкелыптейн и Мошковский [1]
обсуждают вопрос о влиянии сильной связи нуклонов с я-мезонным полем на β-pac-
пад нуклонов.
На языке диаграмм Фейнмана авторы работы [1] наряду с основным
процессом (рис. 1, а) рассматривают процесс с виртуальным испусканием
одного я°-мезона (рис. 1, б). Расчет ведется в тех же предположениях, в которых
Чу 12] рассматривает рождение и рассеяние мезонов и ядерные силы, а
Фридман [3] рассматривает аномальный магнитный момент нуклона: нуклон
считается бесконечно тяжелым, интегралы по импульсу виртуальных мезонов
обрываются при определенном значении ртах. Из сравнения с опытом
оказывается, что Ртах близко к Мс. Рассматривается зарядово-симметричная
теория, так что в выражение связи нуклонов с я0 входит матрица τ3.
Воспользуемся обозначениями, близкими к обозначениям работы Закса
[4]: пусть Pi есть вероятность того, что вокруг нуклона находится один
виртуальный я°-мезон, отнесенная к вероятности того, что нуклон является
«голым» и вокруг него нет мезонов г. Константы β-распада голого нуклона
обозначим g'F (фермиевское взаимодействие, S- и F-варианты), g'T (гамов —
теллеровское взаимодействие, Т- и А -варианты); те же константы для
реального нуклона, окруженного мезонным облаком, наблюдаемые на опыте,
обозначим gF и gT и отношение g%/g\ — R\ опыт [5] дает R = 1,75, т. е. R ^> 1*
Результат работы [1] имеет вид
gF = gF (I — Pl)\ gT = gT (1 + Λ/3),
gT/gF = (1 _ Рг) gT/[(i + iV3) gF] = (1 - Ρ г) γ7Γ/(1 + Λ/3) ^ 1.
Соглашаясь с основным выводом работы [1] gr/gF = 1, мы хотим сделать
здесь несколько замечаний к расчету.
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1955, т. 29, вып. 5, с. 698—699*
1 В обозначениях работы [1] Рг — 36.

tf4
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
N
-<ггО>
Л, Ж
α δ
Рис. 2
Рис. 3
1. В расчете не учтено изменение нормировки волновой функции нуклона
вследствие возможности рождения виртуальных мезонов. В методе Фейн-
мана [6] эффект изменения нормировки учитывается как собственно
энергетическая добавка на свободных концах диаграммы (рис. 2, а, б). В этих
диаграммах необходимо учитывать не только нейтронные, но и заряженные
я+, я~-мезоны (в вершинной части рис. 1, б диаграмма с заряженным
мезоном, очевидно, дает 0). Легко убедиться, что с учетом изменения нормировки,
в тех же предположениях, которые делают Финкелыптейн и Мошковский,
правильный результат имеет вид
gF = gF (I - Ρι)/(1 + 3Pi); gT = gT (1 + Λ/3)/(1 + 3PX).
Таким образом, поправка не влияет на отношение gr/gF- Однако
поправка может быть существенной при сравнении абсолютной величины g$ =
= gF = g'r с константой #μ, определяющей вероятность распада μ± = е± +
+ 2ν, которое намерены произвести авторы работы [1]. Численно, согласно
[2] и [1], 1 + ЗРг = 1,7.
2. В работе [1] не рассматривается возможность β-превращения мезона,
т. е. процессов типа я± = я0 + е± + ν, которые могут дать диаграммы типа
рис. 3.
Если вероятность β-распада π± ->π° такая же, как для зеркальных ядер,
то вклад диаграммы рис. 3 того же порядка, что и сама мезонная поправка
(диаграмма 1, а); отсутствие экспериментальных указаний на процесс
π± = я0 + е± + ν не противоречит такому предположению, так как
вследствие сильной конкуренции распада я± = μ± + ν первый процесс может
происходить не более чем в 10"7 доле распадов свободных я±.
Вопрос о β-распаде я-мезонов подробно рассмотрен одним из авторов
настоящей заметки [7]. Показано, что S- и Г-варианты β-взаимодействия не
дают β-распада я-мезона в том приближении, в котором справедлива теория
изотопической инвариантности. Таким образом, возможность не учитывать
диаграммы типа рис. 3, как это делают авторы [1], в действительности
связана с тем, что фермиевское β-взаимодействие описывается именно
скалярным (S), а не векторным (V) вариантом, как это следует из последних
экспериментальных данных [8].
Не имеет практического значения, но методически интересно, что в
«случае векторного (V) варианта взаимодействия следовало бы ожидать

12. О мезонных поправках в теории ^-распада
65
тождественно
gF(V) = gF(V)
в любом порядке по константе связи мезона с нуклоном, с учетом отдачи
нуклона, с учетом взаимодействия нуклона, например, с электромагнитным
полем, и т. д. Такой результат можно предвидеть по аналогии с теоремой
Уорда, относящейся к взаимодействию заряженных частиц с
электромагнитным полем: в этом случае виртуальные процессы, происходящие с частицами
(собственно энергетические и вершинные части), не ведут к перенормировке
электрического заряда частицы.
3. Нами был проделан расчет мезонных поправок по инвариантной
теории возмущений с псевдоскалярной связью π-мезона с нуклоном
(константа g).
В выражение собственно энергетической и вершинной части вводился
фактор сходимости С (&2), где к — 4-импульс виртуального мезона
Σ = ί τ£γ5 (ρ - к - ^)-ΐγ5τ£ (Λ2 - μ2)"1*? (Λ2) d%
Γ0 = ί TiV6 (Ρ -к- т)-Н+0 (р -к- m)^y,xi (Λ2 - μ2Γ^ (Λ2) d%
С (к2) = λ2/(λ2 - к2).
Кроме интегрирования по импульсу сРк, производилось суммирование
по индексу i изотопического спина мезонов. Оператор β-процесса
представлен как произведение оператора τ+, превращающего нейтрон в протон, и
оператора О, составленного из матриц у (О = ί для S, О = ytyk для
Г-варианта).
Член перенормировки массы нуклона вычитался из Σ обычным способом;
т — масса нуклона, μ —масса мезона; членами порядка μ/m пренебрегаем.
С учетом перенормировки волновых функций результат имеет
следующий вид:
' Г σ2/ / ^2 \ 1 \ Ί
gFw = gF{S) |_ 1 - жг(5 InЫ) ~ Τ)J '
gопт) = gGT(T) [1 - W (3 In (-£-) + 4)1 ·
При малом g и большом λ релятивистский расчет также даст уменьшение
gGTlgF по сравнению с gor/gF-
При современном состоянии теории взаимодействия π-мезонов с
нуклонами нельзя отдать предпочтение релятивистскому расчету по теории
возмущений по сравнению с расчетами работы [1] с константами, найденными
из опытных данных.
Поступила в редакцию
8 июня 1955 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Finkelstein Я. /., Moszkowski S. Α.— Phys. Rev., 1954, vol. 95, p. 1695.
2. Chew G. F.— Phys. Rev., 1954, vol. 95, p. 285, 1669.
3. Fridman M. Я.— Phys. Rev., 1955, vol. 97, p. 1123.
4. Sachs Я. G.— Phys. Rev., 1952, vol. 87, p. 1100.
5. Gerhardt Я.— Phys. Rev., 1954, vol. 95, p. 288.
6. Фейнман Ρ* Я.— В кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики. М.: Изд-во
иностр. лит., 1954, с. 161.
7. Зельдович Я. Я.— Докл. АН СССР, 1954, т. 97, с. 421.
8. Alforda P., Hamilton Я.— Phys. Rev., 1954, vol. 95, p. 1354.
3 Я. Б. Зельдович

66
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
КОММЕНТАРИЙ
В этой работе сформулирована важная идея о том, что слабый заряженный
векторный адронный ток должен сохраняться и что в результате этого сохранения эффективная
векторная константа в β-распаде нейтрона не меняется под действием виртуальных
сильных взаимодействий. Константа β-распада «голого» нуклона и нуклона,
взаимодействующего с π-мезонным полем, должны быть равны. Прослеживается связь этого равенства
с величиной амплитуды β-распада л-мезона (см. комментарий к предыдущей статье)*
Проводится аналогия между сохранением слабого векторного тока с сохранением
электромагнитного тока.
Идеи этой и предыдущей статей были заново открыты Фейманом и М. Гелл-Манном
в их статье об универсальном V — А -взаимодействии 1Нс. Эта статья не содержит ссылки
на работу С. С. Герштейна и ЯБ, но уже в следующей работе М. Гелл-Манна о проверке
природы векторного взаимодействия в β-распаде 2* такая ссылка имеется. С тех пор в
литературе по физике элементарных частиц гипотеза сохраняющегося векторного тока
прочно связана с именами С. С. Герштейна и ЯБ.
Гипотеза сохраняющегося векторного тока и аналогия между слабым и
электромагнитным токами сыграли важную роль в создании современной картины слабого
взаимодействия вообще и единой калибровочной теории электромагнитного и слабого
взаимодействий, в частности. По существу именно сохранение векторного тока заставило теоретиков
обратиться к описанию слабых взаимодействий на основе теории Янга—Милса.
1# Feynmann R. P., Gell-Mann Μ.— Phys. Rev., 1958, vol. 109, p. 193—198.
2* Gell-Mann Μ.— Phys. Rev., 1958, vol. Ill, p. 362—365.
13
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ГРАНИЦЫ
ПРИМЕНИМОСТИ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
ПУТЕМ ИЗМЕРЕНИЯ
МАГНИТНОГО МОМЕНТА ЭЛЕКТРОНА *
(совместно с Г. М. Ганделъманом)
В настоящее время выясняется, что современная квантовая
электродинамика с точечным взаимодействием, включающая перенормировку массы и
заряда, все же не является вполне замкнутой теорией.
Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчук [1] подходят к точечному
взаимодействию как к пределу взаимодействия размазанного, с малым радиусом а;
радиусу размазывания а соответствует импульс Λ = ha"1, размазывание
означает изменение (ослабление) взаимодействия в области радиуса а вокруг
электрона и уменьшение вероятности всех процессов, связанных с передачей
импульса порядка или больше Λ. В естественной системе единиц (Н = с =
= 1) Λ выражается в единицах массы; размазывание характеризуется
безразмерной величиной (ante)"1 = А/те = Z, где те — масса электрона.
Рассмотрение электродинамики приводит к неравенству
7 . /he 3π \
*<βχΡ(—-27J'
где ν — число различных типов элементарных частиц. При ν = 1 получим
I < 10260, при ν = 10, I < 1026.
* Доклады Академии наук СССР, 1955, т. 105, № 3, с. 445—447.

13. Об определении границы применимости квантовой электродинамики 67
Метод перенормировки позволяет доказать, что при импульсах ρ <^ζ lme
все физические результаты, выраженные через экспериментальную массу
те и экспериментальный заряд электрона е, содержат зависимость от I
лишь в виде добавок Ι"1 Ζ""2, ——I"1, Z"2h, следовательно, в пределе, при
е е
больших Ζ от Ζ, не зависят.
Поскольку соображения Ландау показывают, что ожидать
неограниченной применимости электродинамики нельзя, то возникает вопрос, что в
действительности известно о нижней границе Ζ, т. е. о той области импульсов и
длин, в которой применимость электродинамики установлена
экспериментально, и о методах определения этой границы.
На первый взгляд наиболее естественным кажется прямое исследование
взаимодействия энергичных гамма-квантов с электронами. Однако в
релятивистской области известно, что при столкновении кванта, обладающего
импульсом А тес и энергией Атес2 = 0,5 МэВ, А ;^> 1, с покоящимся электроном,
в системе отсчета, в которой полный импульс равен нулю, импульсы
электрона и кванта равны wiec ]Л4/2. Для того чтобы в системе, в которой полный
импульс равен нулю, электрон и квант имели противоположно направленные
импульсы, равные 1тес, нужно в лабораторной системе, где электрон
покоится, взять квант с энергией 212тес2, что делает весьма затруднительным
исследование области Ζ ]> 100. То же относится и к взаимодействию быстрого
электрона или позитрона с покоящимся электроном. Опыты со
столкновением движущихся навстречу быстрых частиц практически неосуществимы
из-за малой интенсивности пучков.
В принципе законы сохранения допускают большие передачи импульса
при столкновении квантов с тяжелыми ядрами. Однако, по замечанию
Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчука [1], фактически рождение пар жесткими
квантами в поле ядра в подавляющем большинстве случаев происходит
вдали от ядра, с малой передачей импульса (порядка тес) в системе покоя пары.
При рассмотрении тех редких случаев, когда передача импульса велика,
существенно отличие кулонова поля ядра от поля точечного заряда.
Изменение взаимодействия на малых расстояниях должно проявляться
в смещении уровней. Рассмотрим 5-терм водородного атома. Если заменить
кулоновский потенциал ядра на константу (или удвоить его) при г < h/lmec,
смещение уровня будет порядка Ry (α2/Ζ2) ^ 106/Ζ2 МГц. Более
правдоподобна, однако, следующая процедура. Кулоновский потенциал ядра
разложим в интеграл Фурье, а затем в этом интеграле вычеркиваем компоненты
с волновым вектором, большим lmec/h, и находим изменение энергии
электрона при таком изменении потенциала, вычисленное по неизменной волновой
функции г. Получим АЕ = Ry (α3*/Ζ3) ^ ΙΟ4/Ζ3 МГц. При Ζ = 100 эта поправ-
1 Для расчета удобно ρ (г) = | ψ (г) |2 также разложить в интеграл Фурье и
интегрирование по пространству W — f V (г) ρ (г) άω, где V — потенциал, заменить
интегрированием по волновому вектору фурье-преобразования. Тогда при законе Кулона
оо
W = е2 \ г , где а0— радиус ооровскои орбиты, при измененном законе взаимо-
0 °
Λ оо
С dJC *r*r С dk
действия W = е2 \ - , . ~4Q изменение энергии равно Afr = е2 \ 2
J (1 + 4agfc*)« г г А ( + ° *
выражения даны с точностью до численного множителя.
Все
3*

68
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
ка составляет 10"2 МГц, что находится на пределе точности эксперимента
(ограниченной собственной шириной уровня 2А/2). Влияние структуры самого
протона, т. е. эффектов, связанных с виртуальным рождением π-мезонов [2],
также дает смещение 5-терма порядка ΙΟ"1-— 10""2 МГц; величина эта,
очевидно, не может быть вычислена точно.
По нашему мнению, наиболее перспективным способом определения
границы применимости электродинамики является точное определение
магнитного момента электрона.
Расчет по теории возмущений до четвертого порядка включительно дает
μ = μο (1 + α/2π — 2,973 α2/π2) = 1,001145356 ± 0,000000013
(численное значение и вероятная ошибка цитированы по [3]).
Первый член α/2π имеет простой смысл поправки, возникающей от того,
что электрон испускает, а затем поглощает виртуальные кванты. Изменение
магнитного момента выражается суммой по всем значениям импульса
виртуального кванта к, причем сумма эта сходится. Предположение о
существовании границы применимости электродинамики означает, что суммировать
нужно лишь по квантам с импульсом меньше Л = 1тес. Практически такой
расчет был проведен нами при помощи фейнмановского фактора сходимости,
т. е. путем замены под интегралом функции распространения кванта 1/к2
функцией -тг Д2_ь2 » что обеспечивает лоренц-инвариантность
результата. В отличие от обычного расчета, мы не пренебрегаем членами,
содержащими Λ в знаменателе.
Результат имеет вид
ι»=μ·{1 + -έ-(1 + -ρ·ΐΛ р) + ···}·
В настоящее время наилучшее экспериментальное значение [4] μ = 1,001148 +
± 0,000006. Сопоставляя это значение с формулой, получим I >· 70.
Точность, с которой в настоящее время известно теоретическое значение μ,
позволяет обнаружить влияние I до 500—700. Дальнейшее увеличение I
потребует не только уточнения эксперимента (при I = 1000 поправка равна
5·10"8 μ0), но и учета следующих членов Ζ6, Ζ8 (т. е. а3, а4) в теоретическом
выражении μ/μ0.
Принципиальная граница метода связана с тем, что электрон
взаимодействует не только с электромагнитным полем, но также и с полем нуклонов,
нейтрино и μ-мезонов (это взаимодействие проявляется в β-распаде нейтрона
и μ-мезона). Зависящая от β-взаимодействия поправка в магнитном моменте
в существующей теории расходится . Естественные предположения дают по
порядку величины
(Δμ)β =: μ0^| Щ- ~ 10-10μο или (Δμ)β = μ0^| {lmef -J
в зависимости от того, обрываем ли мы рассмотрение β-взаимодействия на
импульсе порядка массы нуклона Μ или на искомой элементарной длине,
соответствующей импульсу Λ = lmec. Из условия, что найденная выше
поправка должна быть больше точно не известной β-поправки, получим I < 104
или I < 4-103, соответственно, в двух упомянутых случаях.
Таким образом, метод измерения магнитного момента позволит
продвинуть границы применимости электродинамики не далее чем до импульса
в несколько нуклонных масс, до длин не менее 10~14 см.

Об определении границы применимости квантовой электродинамики 69
По сравнению с положением в настоящее время такое продвижение было
бы весьма существенно и позволило бы пролить свет на возможную роль
элементарной длины в мезонной теории.
Пользуемся случаем выразить благодарность В. Б. Адамскому и Л. П.
Феоктистову за обсуждение и помощь в расчетах.
Институт химической физики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 10 июня 1955 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Померанчук И. Я.— Докл. АН СССР, 1955, т. 102, № 3.
2. Иваненко Д. Д.— В кн.: Новейшее развитие квантовой электродинамики. М.: Изд-во
иностр. лит., 1954. Вступит, статья, XXXIX.
3. Karplus Я., Kroll Ν. Μ.— Phys. Rev., 1950, vol. 77, p. 536.
4. Beringer #., Heald Μ. Α.— Phys. Rev., 1954, vol. 95, p. 1474.
5. Louisell W. #., Pidd R. W., Crane H. R.— Phys. Rev., 1954, vol. 94, p. 7.
6. Владимирский Я. Я.— Докл. АН СССР, 1955, т. 102, № 6.
КОММЕНТАРИЙ
В этой работе был впервые поставлен вопрос о проверке применимости
электродинамики на малых расстояниях путем измерения магнитных моментов лептонов. В
последующем, в статье В. Б. Берестецкого, О. Н. Крохина и А. К. Хлебникова 1# была получена
исправленная формула для магнитного момента:
JL —ι ι _£l/i 2 \
μ0 "^ 2л \ Ы* )
и было обращено внимание на то, что в случае магнитного момента мюона удается при той
же экспериментальной точности проверить применимость электродинамики на
расстояниях, в т 1те раз меньших.
Заметим, что квантовая электродинамика в порядке а2 дает следующие выражения:
для магнитного момента электрона
μ/μ0 = ι + α/2π — 0,328α2/π2
и для магнитного момента мюона
μ/μ0 = 1 + α/2π + 0,77α2/π2.
В настоящее время расчеты μ/μ0 проведены до членов порядка а4 включительно.
Теоретические и экспериментальные значения μ/μ0 согласуются друг с другом с точностью
порядка 10~9 для электрона и 10~8 для мюона, что соответствует расстояниям порядка
Ю-16—10"17 см.
х* Берестецкий В. Б., Крохин О. Н., Хлебников А, К,— Журн. эксперим. и теорет*
физики 1956, т. 30, с. 788—789.

70
Часть первая. II, Теория элементарных частиц
14
ТЯЖЕЛЫЙ НЕЙТРАЛЬНЫЙ МЕЗОН:
РАСПАД И СПОСОБ ОБНАРУЖЕНИЯ*
Классификация элементарных частиц допускает существование мезона
со странностью 0 и изотопическим спином 0 (см., например, обзор [1]).
Такая гипотеза выдвигалась неоднократно [2, 3]. Очевидно, такой мезон
(назовем его р) должен быть нейтральным и сильно взаимодействовать с ядрами;
в частности, он может рождаться поодиночке при столкновении двух нуклонов.
Предположим, что ρ отличается от я0 только массой и значением
изотопического спина, а пространственный спин и четность ρ такие же, как и
у я0 (псевдоскаляр). Значит ρ подобен нуклон-антинуклонной паре в
состоянии 0S1S0, тогда как я0 подобен паре в состоянии islS0, Tz = 0 по
классификации Бете и Гамильтона [4] Jcm. также [5]). Эти два состояния пары
отличаются относительной фазой РР и NN.
В настоящей работе будет рассмотрен вопрос о возможных схемах
распада ρ и о способе экспериментального его обнаружения. Очевидно, что
масса ρ больше массы я0, иначе ρ обнаруживался бы в опытах, в которых
наблюдается рождение я0. Превращение ρ -> 2я° или ρ -> я+ + л;"
невозможно по соображениям четности: 2 я-мезона в состоянии с L = 0 являются
четной системой, ρ — нечетной.
Пользуясь оператором СТ (С — зарядовое сопряжение, т. е. превращение
частиц в античастицы; Τ — зарядовая симметрия, т. е. превращение
протонов в нейтроны), Бете и Гамильтон показали, что 08-состояние не
может дать Зя-мезонной аннигиляции. Следовательно, запрещены распады
ρ -> Зя°, ρ -> я+ + я~ + Jt°. To же относится к любому нечетному числу я.
В случае распада на 4я-мезона разобьем их на две пары и обозначим
Ьг изотоспин первой пары, 1г — ее орбитальный момент, t2 и 12 — то же
для второй пары, L — момент движения центра массы одной пары
относительно другой. Из предположения о том, что р-мезон псевдоскалярен и
имеет Τ = 0, следует tt = t2, L = \ 1г + 12 U ^ + h + h нечетное. Если tx
четное, то 1г и 12 четные; если £х нечетное, то 1г и 12 также нечетные.
Если Ιλ = Ζ2, то обе пары можно рассматривать как одинаковые бозоны,
волновая функция должна быть симметрична относительно их перестановки.
Наименьшие значения моментов, удовлетворяющие всем условиям,
h — h = 2, L = 1, tx = t2 = 0 или Ьг = t2 = 2.
При 1г Φ Ζ2 таким состоянием является 1г = 1, Ζ2 = 3, L = 3, tr = t2 = 1.
Необходимость больших орбитальных моментов может существенно
уменьшить вероятность распада ρ -> 4я.
Распад ρ на я0 + V запрещен, как запрещены 0 — 0-переходы с
испусканием γ-квантов. Распад ρ на я+ + лГ + γ разрешен; при этом пара
я+ + л" должна находиться в состоянии с L = 1. Разрешен также распад ρ
на 2γ, совершенно аналогичный распаду я0 на 2γ. Если пгр ]> 2тл, то
следует ожидать, что распад с испусканием одного γ более вероятен.
Ожидаемое время распада 10"18 -г- 10"20 с.
Отождествление распада ρ -> я+ + л"" + У при наличии фона γ-квантов
от распадов я0 -> 2γ представляется весьма затруднительным.
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1958, т. 34, вып. 6,
с. 1644—1646.

14, Тяжелый нейтральный мезон: распад и способ обнаружения 71
Ниже предлагается способ обнаружения случаев одиночного рождения ρ
при взаимодействии заряженных частиц по балансу энергии — импульса.
Пусть идет реакция рг + Рг = Рз + Р* + Р» гДе Pi ~~ протон из ускорителя,
р2 — покоящийся протон, ps и р4 — также протоны.
За этим процессом следует распад р, однако продукты распада мы не
фиксируем. Энергия и импульс протонов ръ ps, p4 должны быть измерены
с большой точностью. Составим выражение
А = l(E1 + JWc2 -Е3- Е,У - с2 (Pl -р3- ptf].
В случае одиночного рождения ρ имеем А = ттг2рс4. В случае произвольного
процесса с рождением двух или более π-мезонов будем иметь сплошной
спектр значений А.
Если на опыте будет обнаружено, что в распределении А имеется
достаточно узкая линия (ширина которой должна соответствовать точности
измерения величины и направления р3 и р4), то будет доказано существование
ядерно-активного нейтрального мезона и будет определена его масса.
Пользуюсь случаем выразить благодарность В. Б. Берестецкому и
Л. Б. Окуню за ценные указания.
Институт химической физики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 9 марта 1958 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Окунь Л. Б.— Успехи, физ. наук, 1957, т. 56, с. 535.
2. Teller £.— Sci. News Lett., 1957, vol. 71, p. 195.
3. Окунь Л. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1958, т. 34, с. 469.
4. Bethe Я. Α., Hamilton /.— Nuovo cim., 1956, vol. 4, p. 1.
5. Lee T. Z)., Yang С Ν,— Nuovo cim., 1956, vol. 3, p. 749.
КОММЕНТАРИЙ
Нейтральный мезон, поиски которого обсуждаются в этой статье, был открыт в 1961 г.1*
в пузырьковой камере, наполненной жидким дейтерием и экспонировавшейся на пучке
я+-мезонов ускорителя лаборатории в Беркли (США). Мезон, названный открывшими его
физиками η-мезоном, был найден в реакции
л+ + а->р+р + ц°
'-> π+ + π" + π°·
В этом эксперименте л°-мезон не регистрировался, а его энергия-импульс и масса
определялись по балансу энергии-импульса, как это обсуждается в комментируемой статье ЯБ.
Затем был построен спектр по инвариантной массе системы трех π-мезонов, и в этом
спектре был обнаружен пик, отвечающий массе η-мезона (тц ~ 550 МэВ).
Экспериментаторы, открывшие η-мезон, по-видимому, не знали о статье ЯБ.
Кинематический метод, предложенный ЯБ и использованный при открытии η-мезона, получил
в литературе название метода недостающей массы. Он широко использовался и
используется при открытии и изучении многочисленных адронных резонансов. Сильный распад
η-мезона на 4 π-мезона, обсуждаемый Я Б, не идет, так как масса η-мезона недостаточно
велика. Происходит распад η —» 3π, запрещенный изотопической инвариантностью
сильного взаимодействия. Распад η —* 3π происходит в силу того, что изотопическая
инвариантность не является строгой симметрией.
1# Pevsner Α., Kraemer #., Nussbaum M. et al,— Phys. Rev. Lett., 1961, vol. 7,
p. 421—423.

72
Часть первая, II. Теория элементарных частиц
15
НЕСОХРАНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ПО КОНСТАНТЕ СЛАБОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В РАССЕЯНИИ ЭЛЕКТРОНОВ
И ДРУГИХ ЭФФЕКТАХ*
Предположим, что наряду со слабым взаимодействием, вызывающим
β-распад
g (PON) (ΓΟν) + э.с. (1)
существует взаимодействие
g (POP) (ГОе~) (2)
cg^ 10"49 и оператором О = γμ (1 + ίγ5)^ характерным [1] для процессов
в которых четность не сохраняется *.
Тогда при рассеянии электронов на протонах взаимодействие (2) будет
интерферировать с кулоновским рассеянием, и нарушение четности
возникнет в членах первого порядка по малой величине g. Благодаря этому
становится возможной экспериментальная проверка сделанного предположения и
определение знака g.
Матричный элемент кулоновского рассеяния — порядка е2/к2, где к
есть переданный импульс (Н = с = 1). Следовательно, отношение
интерференционного члена к кулоновскому — порядка gk2/c2. Подставляя g =
= 10~Ъ/М2, где Μ — масса нуклона, найдем, что при к~ Μ эффекты
нарушения четности могут быть порядка 0,1—0,01%.
При рассеянии быстрых (~ 109 эВ) продольно поляризованных
электронов на большие углы на неполяризованных ядрах мишени можно ожидать,
что сечения для правых и левых электронов (т. е. для электронов с ар ]> 0
и ар < 0) могут отличаться на 0,1—0,01 %. Такой эффект является
специфическим для взаимодействия, нарушающего четность.
Источником продольно поляризованных электронов может служить
намагниченная железная пластинка [6]. При выбивании из нее электронов
ионным или электронным ударом (динатронный эффект), фотоэффектом [6] или
в виде дельта-электронов можно ожидать поляризации даже большей, чем
это соответствует отношению числа магнитных электронов к общему числу
электронов железа, так как в этих процессах внутренние электроны
участвуют слабо. При термоэмиссии или вырывании полем электронов из железа
нельзя ожидать значительной поляризации вылетающих электронов, так
как химический потенциал электронов со спином по и против направления
намагничивания, очевидно, одинаков.
Взаимодействие (2) приводит к смешению электронных уровней разной
четности в свободном атоме.
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1959, т. 36, с. 964—966.
1 Такое взаимодействие неоднократно рассматривалось ранее в связи с вопросом об
изотопическом смещении электронных уровней (И. Е. Тамм). Об аналогичном
взаимодействии нейтрона с электроном см. [4, 5]. Новые экспериментальные возможности
возникают в связи с несохранением четности во взаимодействии (2).

15, Несохранение четности первого порядка по константе слабого взаимодействия 73
В атоме водорода вероятность перехода метастабильного 25Ί/2 ->- 1&/„
возникающая за счет примеси 2А/2 к 25i/g, оказывается все же меньше, чем
вероятность перехода за счет магнитного момента электрона, и более чем
в 107 раз уступает вероятности двухквантового перехода 2S ->- IS. Наконец,
взаимодействие (2) приводит к вращению плоскости поляризации видимого
овета любым веществом, не содержащим оптически активных (в обычном
имысле) молекул. Вращение плоскости поляризации также возникает в
результате того, что слабое взаимодействие смешивает в атомах электронные
состояния разной четности. Оценку эффекта дает выражение вида
| Яправ - плев | ~ No (α4/λ) g Ι ψβ (0) 11 ψΡ (0) \/(ΕΡ — E8)> (3)
где η — показатель преломления для света, поляризованного по кругу;
Ν0 ~ а"3 — плотность числа атомов; а — размер атома; λ — длина волны
света; | ψβ (0) | ~ 1/а3'*; в | \рР (0) | отличны от нуля «малые компоненты»
χ, равные χ ~ (h/2mc) a grad φ, где φ — «большие компоненты»; | ψΡ (0) | —
~ (h/mc) α-5/*, так что
| иправ — плев | ~ (g/a^ESP) (П/тс%) ~ Ю"20. (4)
Поворот плоскости поляризации на 1 рад происходит на длине порядка
λ/10"20 = 1015 см, так что даже в первом порядке по g эффект, по-видимому,
не может быть наблюден.
Насколько правдоподобно предположение о существовании взаимодействия
(2)? Рассмотрим ve~ как дублет в изотопическом пространстве и обозначим
посредством 1Х двухкомпонентную величину v, е~. Обозначим В (барионы)
двухкомпонентную величину Р, N. Взаимодействие, вызывающее
бета-распад, записывается:
g (Βτ+ΟΒ) (hxjOh) + g (St JOB) (\x<ph) = 2g (ΒτχΟΒ) (\τχΟΙχ) +
+ 2g(BxyOB)(T1xyOl1). (5)
При такой записи естественно добавить член, дополняющий (5) до
скалярного произведения τ^τ^:
2g (ΒτζΟΒ) (hxzOk) = 2g [(POP) - (NON)] [(vOv) - (ГОё)], (6)
содержащий интересующее нас прямое взаимодействие. При этом формализм
приводит к выводу, что для протона и нейтрона знак взаимодействия будет
разным. Для μ-мезонных взаимодействий нужно будет ввести еще одну
двухкомпонентную величину Z2, состоящую из ν, μ". При этом в скалярном
произведении (ί^τίχ) (Τ2τ12) нет членов, которые давали бы распад μ" -► 2е~ +
+ е+, и возражение Гелл-Мана и Феймана [1] отпадает.
Высказывались предположения о прямом взаимодействии g (e~Ov) ·
-(vOe~), приводящем к рассеянию нейтрино на электроне [1], а также о
слабом взаимодействии четырех нуклонов [2], которое приведет в первом
порядке по g к нарушению четности в ядерных реакциях и стационарных
состояниях ядер. Взаимодействие четырех нуклонов приведет к тому, что
нечетные ядра (спин Φ 0) будут иметь анапольный момент [3],
пропорциональный g. Электромагнитное взаимодействие электрона с анапольным
моментом приведет к явлениям нарушения четности порядка ge2. Таким
образом, при отсутствии прямаго слабого взаимодействия электронов с
нуклонами рассмотренные выше явления, связанные со смешением электронных
уровней разной четности в атомах, не исчезают, а ослабляются в ~ 100 раз.

74
Часть первая, II. Теория элементарных частиц
Пользуюсь случаем выразить неизменную благодарность Г. М. Ган-
дельману, А. С. Компанейцу, Л. Д. Ландау, Л. Б. Окуню, И. Я. Померан-
чуку и Я. А. Смородинскому за ценные замечания и дискуссии.
Поступила в редакцию
25 декабря 1958 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gell-Mann Μ., Feynman Я. P.— Phys. Rev., 1958, vol. 109, p. 193.
2. Roberts — Обзорный доклад на Женевской конференции по высоким энергиям,
1958.
3. Зельдович Я. Б,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 1531.
4. Foldy L. L.— Phys. Rev., 1952, vol. 87, p. 693.
5. Lopes /. L.— Nucl. Phys., 1958, vol. 8, p. 234.
6. Tolhoek Η. Α.— Revs. Mod. Phys., 1956, vol. 28, p. 277.
КОММЕНТАРИЙ
Эта статья содержит одно из наиболее ранних обсуждений вопроса о слабых
нейтральных токах, нарушающих сохранение пространственной четности. Особенно следует
отметить использование изоспина в слабых взаимодействиях и полученные на этой основе
заключения о том, что слабые нейтральные токи должны быть диагональны и потому не
должны приводить к распадам типа μ~ —» е~е~е+. Эти идеи были выдвинуты Я Б независимо
от С. Бладмана, который незадолго до этого рассмотрел модель изотопически
инвариантного слабого взаимодействия 1Нс.
В статье ЯБ впервые поставлен вопрос о вращении «плоскости поляризации видимого'
света любым веществом, не содержащим оптически активных (в обычном смысле) молекул».
Последующие теоретические работы (М. А. Бушья, И. Б. Хриплович и др.) показали, что
вывод ЯБ о том, что «эффект, по-видимому, не может быть наблюден», был слишком
пессимистичен и что в тяжелых атомах эффект значительно больше, чем в водороде. Впервые
вращение плоскости света в парах атомарного вещества (висмута) наблюдали Л. М.
Барков и М. С. Золоторев 2*. Затем это явление наблюдали некоторые другие
экспериментаторы 3*.
Опыт по измерению разности сечений рассеяния лево- и правополяризованных
электронов на нуклонах, предложенный в комментируемой статье, был выполнен в Стэн-
форде 4*.
Что касается реакций, обусловленных нейтринным нейтральным током, то они были
открыты в 1973 г., за несколько лет до открытия электронного нейтрального тока.
Р-нечетное взаимодействие лептонов с нуклонами, обсуждаемое в комментируемой
статье, является неотъемлемой частью современной единой теории электромагнитного
и слабого взаимодействий.
!* Bludman S.— Nuovo cim., 1958, vol. 9, p. 433—445.
2* Барков Л". М., Золоторев М. С— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики,
1978, т. 27, с 379—383; т. 28, с. 544—547.
3* Emmons Г. P., Reeves /. Μ., Fortson Ε. Ν,— Phys. Rev. Lett., 1983, vol. 51,
p. 2089—2092.
4* Prescott С. У., Atwood W. В., Cottrell R. L. et al.— Phys. Lett. B, 1978, vol. 77,
p, 347—352.

16. Соотношение между асимметрией распада и дипольным моментом 75
16
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ АСИММЕТРИЕЙ РАСПАДА
И ДИПОЛЬНЫМ МОМЕНТОМ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ *
Предположение о том, что при слабых взаимодействиях четность не
сохраняется, привело Ли и Янга[1]к новым выводам о поведении
элементарных частиц, обладающих спином:
1) о возможности асимметрии распада, при которой вылетающие частицы
преимущественно направлены по или против направления момента
распадающейся частицы, и
2) о возможности дипольного момента элементарной частицы, также
параллельного (или антипараллельного) моменту Ч1стицы.
Как известно, первый вывод Ли и Янга блестяще подтвердился на опытах
по β-распаду ориентированных ядер [2] и μ-мезонов [З]. Предсказанный ими
порядок величины дипольного момента лежит за пределами возможности
экспериментального обнаружения. Ландау [4] дал законченную теорию,
соединяющую несохранение четности при распаде заряженных частиц с
четностью пространства г.
Одним из выводов, сделанных Ландау, является тождественное
равенство нулю дипольного момента элементарных частиц. На первый взгляд
асимметрия распада неизбежно приводит к наличию дипольного момента:
представим себе, например, поляризованный нейтрон с моментом,
направленным вверх; можно считать установленным, что такой нейтрон при распаде
испускает электроны преимущественно вверх. Пусть теперь такой же
поляризованный нейтрон находится в сферическом симметричном поле ядра,
и энергетические соотношения таковы, что нейтрон стабилен, распад его стал
невозможен. В таком случае, однако, возможен и необходим виртуальный
распад, при котором нейтрон на мгновение распадается, испуская электрон, но
затем электрон снова поглощается: можно говорить об облаке виртуальных
электронов вокруг ядра.
Казалось бы, асимметрии реального распада должна соответствовать
также и асимметрия виртуального распада, асимметрия облака виртуальных
электронов, а следовательно, и дипольный момент. Работа Ландау в общей
форме указывает на ошибочность таких примитивных представлений 2.
В работе Иоффе [6] (Б. Л. Иоффе любезно ознакомил автора с работой до ее
появления в печати) выявлена зависимость асимметрии распада и
дипольного момента от предположений об инвариантности теории относительно
обращения знака времени. Суть дела сводится к тому, что предположение
о линейной связи импульса вылетающей частицы и направления
поляризации (направления спина) распадающейся частицы согласуются с обращением
знака времени: обе величины меняют знак. Статический дипольный момент d
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1957, т. 33, вып. 6, с. 1488—
1496. В связи с ограниченностью объема книги печатается лишь вводная часть статьи.
1 Предположение о возможности сочетания зеркального отражения с переходом
к античастицам независимо высказывали также Ли и Янг [5].
2 Примечание при корректуре (25 ноября 1957 г.) При отсутствии
дипольного момента нарушение четности приводит к особым магнитным свойствам,, как
показано автором в работе, помещенной в этом же выпуске (ЖЭТФ, 1957, т. 33,
вып. 6, с.1531—1533).

76
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
или аналогичная ему статическая величина — центр тяжести облака
виртуальных частица — не меняет знака при обращении времени. Поэтому связь между
спином s и статическими величинами d и г возможна лишь в теории,
неинвариантной относительно обращения времени.
В настоящей работе (раздел 1) непосредственно в координатном
представлении рассмотрено испускание нерелятивистской частицы при
превращении частиц со спином 1/2 в предположении о несохранении четности.
В этом примере удается весьма наглядно выяснить зависимость асимметрии
распада поляризованной частицы со спином 1/2 от фаз констант связи в
выражении взаимодействия, обусловливающего распад.
Показано, что в первом приближении асимметрия распада зависит от
мнимой части этой константы, так что между асимметрией распада и диполь-
ным моментом нет прямой связи. Показано, как учет потенциального
взаимодействия вызывает асимметрию распада в случае вещественной константы,
т. е. в теории типа Иоффе—Рудика—Окуня [7] (см. предположение II
работы [6]).
В теории Ландау «нечетными» являются заряженные частицы. В
молекулярной физике известны два типа нечетных образований: энантиоморфные
молекулы (например правая и левая винная кислота) и двухатомные
молекулы с Λ-удвоением (например молекула окиси азота с проекцией момента
электронов на ось, направленной от N к О, и такая же молекула с
противоположным направлением момента). В разделе 2 выясняются свойства таких
молекул в отношении асимметрии распада и дипольного момента. Показано,
что элементарные частицы, по теории Ландау, подобны именно энантиоморф-
ным молекулам, а не молекулам с Л-удвоением.
В разделе 1 для рассмотрения распада оказывается удобным
рассмотрение волновой функции рождающейся частицы в координатном пространстве,
а не импульсном представлении. В разделе 3 показано, что такой способ,
на наш взгляд более просто и непосредственно, без расчета плотности
уровней в фазовом пространстве, приводит к известным формулам для
вероятности распада·
Поступила в редакцию
1 июля 1957 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lee Т. D., Yang С. N.— Phys. Rev., 1956, vol. 104, p. 254.
2. Wuet С. S. et al.— Phys. Rev., 1957, vol. 105, p. 1413.
3. Garwin #., Ledermann L., Weinrich W.— Phys. Rev., 1957, vol. 105, p. 1415.
4. Ландау Л. Д.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 32, с. 407.
5. Yang С. N.— Rev. Mod. Phys., 1957, vol. 29, p. 231.
6. Иоффе Б. Л.— Журнал эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 32, с. 1246.
7. Иоффе Б. Л"., Окунь Л. Б., Рудик А. П.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957,
т. 32, с. 396.

17. Интерпретация электродинамики как следствия квантовой теории 77
17
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
КАК СЛЕДСТВИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
В классической теории действие строится как сумма трех частей,
относящихся к частицам Spl их взаимодействию с полем St и к самому полю Sf.
S = Sp + Si + Sf = — mc^dS — -i-C Aidx* — ~\(E^ — H*)d*x. (1)
В квантовой теории фермионов
Sp = — С ψρψ d*x> J. = — -1- С ψ4ψ d*x. (2)
Выражая Ε is. Η через Л, запишем Sf = L (-4μ,ν), где L — квадратичное
выражение.
В квантовой теории взаимодействие поля с вакуумом приводит к
перенормировке заряда, т. е. в действии появляется новый член, имеющий вид [1]
Sv = ne2L(Αμ, ν), η = -з^- In ± . (3)
Объединяя Sv и Sp и обозначая штрихом перенормированные величины,
имеем
S'f=Sf + Sv = (l + пе2) L (Αμ> V) = L (Αμ> νγί + пе2) = L (Αμ> ν),
^μ,ν = Αμ,νΥΐ + пе2, βΑμ = β'Α'μ, e'= eAli/A'li = e/Yl + пе2. (4)
Ландау и Померанчук [1] отмечают, что при пе2 ^> 1, когда е'2 ->- и"1,
появляется «возможность пренебречь в лагранжиане действием свободного
электромагнитного поля». (См. также [2].) Следуя этому замечанию,
рассмотрим теорию, в которой исходным является выражение
8 = Sp + 8t (5)
и соответствующую ей идеологию.
Физически (5) означает предположение, что существует «поле» Αμ (χ,
у, ζ, t), которое воздействует на движение заряженных частиц, в чем можно
убедиться, варьируя траекторию или волновую функцию частиц в (5). При
этом в неквантовой теории, следующей из (5) нет действия поля, нет энергии
поля, нельзя получить уравнения Максвелла распространения волн и т. д.
Однако в квантовой теории из выражения (5) следует, что поле А
действует не только на реальные частицы но й на вакуум. Теория такова, что
при А = 0 энергия и действие вакуума также тождественно равны нулю. При
наличии «поля» как воздействия на частицы и при отсутствии свободных
частиц в вакууме происходит рождение виртуальных электронно-позитронных
пар, появляется отличная от нуля энергия вакуума, которую мы называем
энергией поля, появляется вклад в действие.
Институт прикладной Поступила в редакцию
математики Академии наук СССР 26 сентября 1967 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Померанчук И. #.— Докл. АН СССР, 1955, т. 102, с. 489.
2. Фрадкин Е. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1955, т. 29, с. 258.
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1967, т. 6, вып. 10,
с. 922—925. В связи с ограниченностью объема книги печатается лишь вводная часть
статьи.

78
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
18
О МАКСИМАЛЬНОМ ЗНАЧЕНИИ ЗАРЯДА
ПРИ ЗАДАННОЙ МАССЕ СВЯЗАННОГО СОСТОЯНИЯ*
(совместно с В. Н. Грибовым, А. М. Переломовим)
Если система из^двух частиц А и В способна превращаться в стабильную
частицу D, то взаимодействие А + В £± D характеризуется «зарядом» g.
Масса D определяет положение полюса в амплитуде рассеяния А на В.
По определению физического заряда g полюсный член равен
А = rng2 = g2 тАтВ (1 {у
2π (ЕАВ — mD°2) ' Е'АВ + Q 2π (тА + тв) ' * '
где Е'ав — энергия за вычетом покоя, Q — энергия связи D. С другой сто·
роны, как показал еще Гейзенберг [1], вычет в полюсе связанного состояния
можно выразить через константу в асимптотике нормированной волновой
функции:
ψ (г) -> Се~*г12п YW (1.2)
при г ->■ оо, где κ = Y2mQ,
Res Л = — I С I 2/4шгс. (1.3)
Эта связь имеет место и в том случае, когда состояние физической частицы D
представляет собой суперпозицию «голой» частицы D0 и «облака» А + Ву
которое в случае 5-состояния описывается функцией ψ (г).
Если взаимодействие локально, то выражение (1.1) имеет место при
любом г)>0и условие нормировки (с учетом амплитуды голой D0) дает
1\^\Ι4ν = | С |2/4πκ< 1. (1.4)
Отсюда с помощью (1.3) и (1.1) Рудерман и Газиорович [2] получили
неравенства
—Res А < к/т = Y2Q/m, g2 < 2πκ/ττι2 = 2я/2(?/т3 (1.5)
(приводим их формулы для простейшего случая S волны и нулевого радиуса
взаимодействия).
Точное равенство в (1.5), на котором настаивает Ландау [3],
соответствует ситуации, когда D целиком состоит из А + В (J |ψ|2ώ; = 1), т. е.
является составной частицей при локальном взаимодействии А и В. В
природе заведомо существует слабое взаимодействие, при котором заряд на
несколько порядков меньше своего максимального значения. Теория в
настоящее время не в состоянии предсказать тот факт, что не существует
взаимодействий промежуточных по значению заряда между слабым и
электромагнитным, с одной стороны, и сильным (я- и if-мезонным), с другой стороны.
Поэтому предположение Ландау следует рассматривать не как теоретический
вывод, а как гипотезу.
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1961, т. 40, вып. 4Г
с. 1190—1198. В связи с ограниченностью объема книги печатается лишь вводная
часть статьи.

19. Электромагнитное взаимодействие при нарушении четности 79
Неравенства (1.5) могут быть выведены с помощью дисперсионных
соотношений без использования наглядных представлений об облаке А + В.
В разделе 3 рассмотрены свойства системы в максимуме вычета. В
реальном случае двух частиц, взаимодействие которых описывается протяженным
потенциалом U (г), неравенство (1.5) нарушается, вычет А больше к/т,
например, в случае дейтрона вычет в 1,5 раза больше к/т.
Доказательство этого и объяснение нарушения на языке дисперсионных
соотношений даны в разделе 4.
Наконец, в разделе 5 даны результаты расчета нерелятивистской
полевой модели с тремя элементарными частицами А, В иО; при данной
физической (перенормированной) массе D дано выражение физического
(перенормированного) заряда g, удовлетворяющее неравенству (1.5). При наличии
одного только канала D ^± А + В и при неограниченном увеличении
затравочного (неперенормированного) заряда g2 стремится к своему верхнему
пределу. Наличие нескольких каналов не меняет этого вывода.
В Приложении I проведены те расчеты, результаты которых изложены
в разделе 5. В Приложении II рассмотрен случай нестабильной частицы D\
в этом случае при неограниченном увеличении затравочного заряда полюс
(находящийся на втором листе в комплексной плоскости энергии) уходит на
бесконечность, амплитуда рассеяния обращается в нуль; в пределе сильного
взаимодействия нестабильные частицы выпадают из рассмотрения.
Поступила в редакцию
16 ноября 1960 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ни Ning.— Phys. Rev., 1948, vol. 74, p. 131.
2. Ruderman Μ. Α., Gasiorowicz.— Nuovo Cim., 1958, vol. 8, p. 861.
3. Ландау Л. Д.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 39, с. 1856.
19
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
ПРИ НАРУШЕНИИ ЧЕТНОСТИ*
До открытия нарушения четности предполагалось, что взаимодействие
элементарной частицы со спином V2 со слабым электромагнитным полем
исчерпывается тремя членами в энергии
#φ, μ (oil), a div Ε = 4παρ,
где σ — спин, q — заряд, μ — магнитный момент, константа а характеризует
поле сферического конденсатора, равное нулю снаружи, но
взаимодействующее с зарядом р, находящимся внутри конденсатора [1].
В известной статье о несохранении четности Ли и Янг [2] указывают на
возможность электрического дипольного момента, т. е. взаимодействия
d (оЕ). Однако, если при нарушении четности сохраняется инвариантность
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1957, т. 33, № 6,
с. 1531-1533.

80
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
по отношению к комбинированной инверсии (а следовательно, и по
отношению к обращению времени), то, как показал Ландау [3], дипольный момент
невозможен. Проще всего в этом убедиться, замечая, что σ меняет знак,
a JE не меняет знак при обращении времени.
Какие же электромагнитные взаимодействия, запрещенные в случае
сохранения четности, становятся возможными в теории комбинированной
инверсии?
Взаимодействие (аА) недопустимо по калибровочной инвариантности.
Остается
Ъ (βΔΑ) = Ь(а rot Н)=^ (aj).
Здесь j — плотность тока, j = pv, создающего магнитное поле Η'. При
сохранении четности такой член был бы псевдоскаляром (σ — псевдовектор,
j — вектор) и не мог бы входить в выражение энергии. С другой стороны иа
и j меняют знак при обращении времени. Момент силы, соответствующий
такой энергии взаимодействия, равен Μ = (inblc) [aj].
Такое взаимодействие непосредственно получается из модели
виртуального распада рассматриваемой частицы А со спином 1/2 на частицу В со
спином 0 и частицу С со спином 1/2 [4]. Если этот распад зависит от слабого
взаимодействия, не сохраняющего четность, то возможно одновременное
рождение двух частиц как в S-, так и в Р-состоянии. Инвариантности теории
относительно комбинированной инверсии соответствует такое соотношение
фаз S и Р-волн, при котором вероятность найти частицу С выше и ниже
экваториальной плоскости (перпендикулярной направлению спина
частицы ^4) одинакова, так что электрического дипольного момента нет. Однако
виртуальные частицы С, находящиеся в экваториальной плоскости,
обладают поперечной поляризацией, спин их ас имеет составляющую,
направленную по [гал]. Таким образом, вокруг оси спина А имеется кольцо
элементарных магнитиков — виртуальных частиц С со спином вдоль экватора.
Магнитное взаимодействие, пропорциональное(асН), даст вклад,
пропорциональный интегралу $ Hdl, взятому вдоль экватора. Такой интеграл выражается
через rot Η. Уместно напомнить работу Иоффе [5]: для реального распада
комбинированная инверсия дает асимметрию направления вылета и
продольную поляризацию, а второй вариант Иоффе (инвариантность относительно
зарядового сопряжения) дает симметричный вылет и поперечную
поляризацию вылетающих частиц. При виртуальном распаде соотношения
обращаются; как отмечает Иоффе, во втором варианте мог бы быть дипольный момент,
а в комбинированной инверсии нет дипольного момента, зато, как видно из
[4] и настоящего письма, имеется поперечная поляризация, приводящая
к взаимодействию (σ rot H). С точки зрения классификации магнитных
свойств частицы взаимодействие (σ rot H), очевидно, не соответствует
никакому магнитному мультиполю (диполю, квадруполю и т. д.); назовем его
анаполем. Для понимания анаполя существенно преобразование энергии
к виду (aj): анаполь взаимодействует лишь'стоком, который протекает в
самой той точке, где находится частица. Следовательно, внешнее поле анаполя
тождественно равно нулю (точнее — спадает так же, как спадает плотность
вероятности в облаке виртуальных частиц С).
В этом отношении анаполь аналогичен сферическому конденсатору,
в котором поле отличается от нуля только внутри конденсатора. Отличие
от конденсатора связано с тем, что анаполь есть вектор, имеет определенное

19. Электромагнитное взаимодействие при нарушении четности 81
направление (по спину рассматриваемой частицы А), тогда как сферический
конденсатор характеризуется скалярной величиной.
Классическую модель анаполя можно представить себе в виде
проволочной спирали (соленоида), согнутой в кольцо (тор). Ток, идущий по спирали,
создает магнитное поле только внутри тора. Если тор жесткий, то никакие
магнитные поля, создаваемые внешними токами, не действуют на тор как
целое. Однако, еслибы этот проволочный тор погрузить в раствор электролита,
который заполнил бы также пространство внутри соленоида и пропустить
ток по электролиту, то на тор будет действовать момент силы,
пропорциональный синусу угла между осью тора и направлением тока в электролите, что
и соответствует энергии взаимодействия (oj), так как ось тора направлена
по σ.
Анапольный момент элементарных частиц, т. е. константа по порядку
величины получится умножением магнитного момента на комптоновскую
длину Н/тс и на квадрат безразмерной константы слабого взаимодействия /2,
т. е. порядка 10~26 μ, поскольку только взаимодействие, в котором не
сохраняется четность, дает анаполь. Возможно, что для экспериментального
обнаружения важнее будет взаимодействие анаполя не с током, а с
переменным электрическим полем, дающим момент силы Μ = (inb/c) [σΕ]. Однако,
ввиду малости &, в настоящее время, по-видимому, такие опыты находятся
за пределами возможного.
Анапольное взаимодействие является примером, прямо опровергающим
высказанное В. Г. Соловьевым [6] утверждение, будто комбинированная
инверсия и градиентная инвариантность приводят к сохранению
пространственной четности в электродинамике.
Как мне стало известно после окончания работы, независимо
аналогичные с нашими результаты получил В. Г. Вакс.
Пользуюсь случаем поблагодарить за дискуссии Б. Л. Иоффе, А. С. Ком-
панейца (предложившего также название анаполя), Л. Д. Ландау и Я. А. Смо-
родинского.
Поступила в редакцию
26 сентября 1957 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Fermi £., Marshall L.— Phys. Rev., 1947, vol. 72, p. 1139.
2. Lee T. Z)., Yang C. N.— Phys. Rev., 1954, vol. 104, p. 254.
3. Ландау Л. Д.—" Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 32, с. 405.
4. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1958, т. 33, с. 1488.
5. Иоффе Б. Л,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 32, с. 1246.
6. Соловьев В. Г.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 1957.
КОММЕНТАРИЙ
Статьи 16—19, приведенные в сокращенном виде, имеют общую направленность.
Речь идет о поисках адекватной теории, описывающей сложную и/или составную
структуру взаимодействующих частиц, а также о наглядном описании виртуальных
частиц. В квантовой теории взаимодействующих частиц возможны их превращения,
рождение одних частиц и уничтожение других. На определенном этапе многие физики считали
желательным рассмотрение только начального и конечного состояний, т. е. частицы,
приходящей с бесконечности, и частиц, уходящих на бесконечность. В отличие от этого
в статье 16 подробно рассматривается волновая функция уходящих частип во всем
пространстве, особенно вблизи источника, т. е. распадающейся частицы.

82
Часть первая. II. Теория элементарных частиц
Возможен случай, когда имеется взаимодействие, которое могло бы вызвать распад,
однако этот процесс не возможен энергетически. В таком случае рождающиеся частицы
образуют облако, амплитуда которого экспоненциально убывает с расстоянием. Говорят
об облаке «виртуальных» частиц.
Стабильная система часть времени проводит в состоянии начальной частицы, а часть —
в измененном виде облака виртуальных частиц.
Статья 16 тесно связана с открытием несохранения пространственной четности.
В бета-распаде обнаружена сильная корреляция направления спина начальной
частицы и направления вылета электрона или позитрона. Казалось бы, что такую же
асимметрию должно иметь облако виртуальных электронов вокруг стабильного ядра. Однако
в приближении сохранения Т-четности (обращение времени) электрический дипольный
момент стабильного ядра тождественно равен нулю. Разрешение этого парадокса дано
в статье 16. Впоследствии оказалось, что СР-четность и Т-четность также не сохраняются,
и это придало новый интерес поискам электрического дипольного момента частиц.
Другой аспект того, что частица А часть времени пребывает в виде виртуального
облака В + £\ связан с определением «заряда», характеризующего превращение Α ^ί
τϊ В + С (статья 18).
Заряд следует определять как эффективное (перенормированное) взаимодействие
наблюдаемой частицы А. Оказывается, что предел максимально сильного взаимодействия
определяется условием приближения к единице доли времени, когда частица находится
в состоянии облака. Другими словами, в этом пределе мы имеем дело с составной частицей.
Перенормированный заряд принимает при этом определенное значение.
В работе 17 сделана попытка по-новому подойти к описанию электромагнитного поля
как возмущения вакуума электронов и позитронов (а также всех других заряженных
частиц). Для этого вводится вектор-потенциал и его взаимодействие с зарядами, но
энергия самого поля (Е2 + #2)/8π и соответствующий вклад в Лагранжиан (И2 — Е2)/8п
предполагаются зависящими от поляризации вакуума. Такой подход, в котором
участвуют все виртуальные частицы, представляется более элегантным по сравнению с
попытками описания фотона как пары, состоящей из одного электрона и одного позитрона.
К комментируемым работам примыкают также работы, не вошедшие в книгу из-за
недостатка места, а именно: момент нестабильных элементарных частиц1*,
«Нестабильная частица в модели Ли»2* и часть монографии Базя, Переломова и Зельдовича3*.
«Рассеяние реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике».
Отметим, что работа 18 обсуждалась с Л. Д. Ландау. Ее интересно сравнить с одной
из его последних работ 4*.
Наконец, статья 19 тесно связана с проблемой нарушения пространственной четности.
Наряду с прямым взаимодействием, рассмотренным ранее (см. статью 15 и комментарий
к ней), возможно также изменение электромагнитного поля частицы или системы (ядра),
связанное с отказом от четности.
В статье предложен новый тип электромагнитного взаимодействия названный
«анапольным». В настоящее время ведутся интенсивные попытки экспериментальных
методов измерения анапольного момента тяжелых ядер.5*
1# Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 39, с. 1483—1485.
2* Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 40, с. 1155—1159.
3* Базъ А. #., Зельдович Я. Б., Переломов А. М.— Рассеяние реакции и распады
в нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971. 544 с.
4* Ландау Л. Д.— Журн. эксперим. и терет. физики, 1960, т. 39, с. 1856—1869.
5* Дубовик В. М., Чеснов А. А,— Элементарные частицы и атомное ядро, 1974,
т. 5, с. 791.

Ill
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ИЗЛУЧЕНИЕ
20
УРОВНИ ЭНЕРГИИ
В ИСКАЖЕННОМ КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ*
Рассмотрим уровни энергии в поле потенциала И^при г ]> г0, не
отличающегося от кулоновского V = — е2/гг. При г <^ г0 потенциал W может
весьма сильно отличаться от кулоновского, в частности, потенциал W может
быть таким, что имеется несколько связанных и заполненных уровней с
волновыми функциями, сосредоточенными при г < г0. Граница г0 полагается
малой по сравнению с радиусом боровской орбиты.
Задача является идеализацией вопроса об уровнях энергии электрона
в примесном полупроводнике.
Рассматривается движение электрона, оторвавшегося от донора; при этом
донор превращается в положительно заряженный ион; поле его на большом
расстоянии есть поле одиночного заряда в среде с диэлектрической
постоянной ε.
Радиус боровской орбиты в таком поле а = гта0/теП, где а0 — боровский
радиус атома водорода, т — масса электрона, meif — его эффективная
масса в решетке. Таким образом, при большом значении ε радиус орбиты а
может во много раз превышать а0. Размер иона г0 порядка а0, так что г0 <ξ; а.
При г < г0, очевидно, W внутри иона донора ничего общего не имеет
с приведенным выражением V, в частности, поле иона таково, что на
внутренние орбитах удерживается (ζ— 1) электронов.
В кулоновском поле Vc = — е2/гг уровни энергии даются выражением
Еп = — 7/ieff/(2г2п2т) (в атомных единицах). Однако в рассматриваемом
случае эта формула нуждается в обосновании вследствие того, что вблизи
начала координат потенциал Несущественно отличается от Vc. Между тем,
выражение Еп в квантовой механике получается из двух условий, наложенных на
волновую функцию: убывание при г-^оои регулярное поведение в начале
координат. Поэтому не очевидно, сохранится ли выражение Еп при сильном
искажении потенциала и волновой функции при малых г.
Ясно, что можно при любом значении энергии Ε <^ 0 задаться волновой
функцией с правильным поведением при г->-оо. Интегрируя уравнение
Шредингера в сторону уменьшения г, получим решение урЕ при всех г > г0.
Всегда можно подобрать такой потенциал W при г ^ г0, чтобы волновая
функция, регулярная при г = 0, должным образом сшивалась с ψ# при
г = г0.
Таким образом, в рассматриваемой задаче в принципе возможны любые
значения Е, и боровские уровни энергии Еп могут быть выделены лишь как
наиболее вероятные при данном ходе V и произвольном независимом
изменении W. Такая постановка задачи идейно отличается от обычной задачи
нахождения собственного значения энергии Ε в заданном потенциале.
Рассмотрим волновую функцию в кулоновском потенциале при г ^ г0.
* Физика твердого тела, 1959, т. 1, № 11, с. 1637—1641.

84
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
В новых атомных единицах и для φ = п|? уравнение для s-терма имеет вид
При граничном условии φ (0) = 0 это уравнение имеет собственные
значения Еп = —пУ2, Ег = —1/2. При η = 1 собственная функция, нормиро-
со
ванная по условию J ср2йг = 1 имеет вид φι = 2re~r.
о
Найдем волновую функцию φ для Ε = Εχ + Δ, удовлетворяющую
условию φ (οο) = 0. Для этого применим метод Лагранжа г: найдем
нерегулярное решение χι уравнения при Ε = Ει:
г
Xi=<Pi$(l/<Pi)dr.
Мы выбрали χι такое, что D = φιώχι/dr — Xidyjdr = 1.
г
При малых г φι = 2г, χΧ = 2г ^ (* V2) dr = — V2 + Кг + . . . При больших
г χι ~ е2Г.
Будем искать решение для Ε = £Ί + Δ в виде
ф(г) = в (г) Φι + ъ (г) Хь
Вместо приведенной в [1] системы двух уравнений для а (г) и Ъ (г) удобно
перейти к одному уравнению для
ζ (г) = Ъ (г)/а (г); dz/dr = —2Δ (φι + *χι)2·
Это уравнение является точным. Мы ищем его решение, задаваясь ζ (οο) = 0.
При малом Δ можно ограничиться первым приближением
со со
- = — 2Αφ\, z(r) = 2\[yidr, z\0\ = 2Δ [ y\dr = 2L·
0
Подставим это выражение ζ (г) первого приближения в правую часть
точного уравнения:
dz
~аТ
= _ 2Δφ? - 8Δ2φιχι J φ2 dr - δΔ^χ2 (J φ2 drj
Легко убедиться, что поправки к ζ (0) первого приближения высшего
порядка по Δ (пропорциональны Δ2 и Δ3) и не имеют расходящихся множителей.
оо
Действительно, при больших г φχ ~ е~г, %ι ~ er, yldr ~e~2r, так что оба
г
члена с Δ2 и с Δ3 пропорциональны е"2Г. При малых г%г ~ —1/2 член с Δ3
остается конечным. Таким образом доказывается справедливость выражения
ζ (0) при малом Δ. Отметим, что dz/dr при г = г0 конечно (а в первом
приближении и вовсе dr/dz = 0), поэтому разность ζ (г0) — ζ (0) мала, и в
дальнейшем мы заменим ζ (г0) на ζ (0).
1 Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 1101.

20. Уровни энергии в искаженном кулоновском поле
85
Найдем логарифмическую производную φ при малом г = г0, используя
условие Лагранжа; обозначим ее h.
*- 4fef I, - wk -? l -*|>w *+6 w ■*■ ]/1, w» w+
+ b(ro)Xi (r0)] =r0 [^ + *Ыт^] / [ф1(г0) + * (ro) χι (го)] =
= ro [<pi (го) + ^ (0) χ; (Γ0)]/[φι (го) + ζ (0) χι (r0)].
При этом ζ (0) <^ζ 1, φ^ (г0) ~ χί (г0), поэтому в числителе можно
пренебречь ζχ[. Однако в знаменателе, при малом г0, φΧ = 2г0, χΧ = —1/2, | χι| ^>
2> φχ, член с ζ (0) удерживаем.
Окончательно получим
1
h = -
1 —Δ/2γο ·
Это значение fe необходимо «сшить» со значением hb полученным при
решении уравнения внутри потенциальной ямы. Подставляя 1пи найдем
смещение уровня
Δ = —2г0(1 —hi)/ht.
При рассмотрении внутренней задачи нет специальных причин, чтобы ht
было особо близко к 0. В общем случае | ht \ ~ 1, | 1 — ht \ ~ 1.
Δ = 2gr0, где g = (1 — hi)/ht ~ l.|
Таким образом, доказано, что наличие сильного возмущения потенциала
при малом радиусе г0, как правило, приводит к малому возмущению
энергии боровского уровня (в размерных единицах) kgE^rJa, где а — радиус бо-
ровской орбиты при данных ε и mefU a g порядка 1.
Для п-то боровского уровня, как известно, φη (0) = 2г/п3^. Проводя
аналогичный расчет, найдем
χ„ (0) = -υ·/./2 и Δη = (2г,/«3)(1 - ht)/ht ~ | ψη (0) |».
Таким образом, хотя к потенциалу ямы при малых г теория малых
возмущений неприменима, возмущение уровня энергии пропорционально
плотности в области, где имеется возмущение ψη (0) (напоминаем, что φ = гг|ь
а объемная плотность частиц есть именно ψ2), взятой по невозмущенной
функции. Этот результат можно было предвидеть, представив себе эквивалентный
потенциал, создающий такое же изменение фазы (рассеяние), что и
рассматриваемая яма, но удовлетворяющий условию применимости теории малых
возмущений. Такое рассмотрение применялось Ферми в теории рассеяния
нейтронов.
С учетом возмущения запишем
Еп = Еп + Ап = —1/2лг2 + р/п* ~ 1/2(п + Р?
в соответствии с сериальной формулой для водородоподобного спектра.
Сделанные выше выводы основаны на том, что нет специальных причин
для малости (hi).
Проиллюстрируем это положение, рассматривая частный случай
прямоугольной ямы W = const <J 0 ПРИ г <С Γοι тогда при | Ε | <ξί | W | внутри

Часть первая. III. Атомная физика и излучение
2mW/h
ямы решение есть
φ — sin kr\ k = ]/"-
и на краю при г = г0
hi = kr0ctg kr0.
Зависимость ht от W показана на рис. 1, где по оси координат отложена
величина ^, а по оси абсцисс
w = —8mr20W/n2h*.
Значение w = 1, при котором ht = О, соответствует условию появления
в яме в отсутствие кулоновского поля первого связанного уровня; при
fuc. 1
Рис. 2
w = 1 имеет место резонанс рассеяния медленных электронов на яме
(близкий к нулю реальный уровень при и; = 1 + еи виртуальный уровень при
w = 1 — ε). При w = 9 возникает второй уровень с | Ε | <ξ; | W |, и снова
имеет место резонанс расЬеяния медленных электронов. При этом первый
уровень уже имеет энергию, равную Ег~0,7 W, т. е. лежит весьма глубоко.
При w = 25 возникает третий связанный уровень и т. д.
Таким образом, существенное влияние ямы на уровни энергии в кулонов-
ском поле возможно лишь при наличии резонансного рассеяния медленных
частиц ямой; при этом необходимо, чтобы энергия реального или
виртуального уровня была по абсолютной величине порядка боровской энергии — как
и следует ожидать из общих физических представлений.
Этот результат можно иначе изложить с помощью длины рассеяния I.
Длина рассеяния есть координата точки, в которой обращается в нуль
волновая функция с Ε = 0 в поле W; она связана с h следующим соотношением:
φ(Ζ):
(I-
■*>-SH.-0·
I = (г0 — q)/q' = го (1 — q/r0q') ==
= го(1 — 1/А1) = го(А1— 1)/Alf
так что в отсутствие резонанса (т. е. если | ht | ~ 1), | I \ ~ г0.
Невозмущенные кулоновские функции удовлетворяют условию φ (0) = 0. При наличии
возмущающего потенциала W это условие надо заменить на φ (Ζ) = 0.
Соответствующее изменение энергии при малых I мало, порядка На.
Общая картина изменения спектра нашей задачи при изменении глубины
ямы показана на рис. 2. Масштаб энергии по оси абсцисс есть новая атомная
единица энергии, и он во много раз меньше той единицы энергии, которой мы
пользуемся при измерении глубины ямы
теЧгЧ2 < пПУ8тг20.

20. Уровни энергии в искаженном кулоновском поле
87
Это неравенство следует из условия г0 <^ а = h2z/ml2. Рис. 2 показывает,
как везде, кроме узких областей около резонансной глубины ямы,
сохраняется нормальный боровский спектр. Протяженность этих узких областей
в шкале w порядка rja <^ξ Ι.
Рассмотрим, например, область 9 < w <^ 25. Как видно из рисунка,
в этой области энергию Е1В имеет уровень, полученный адиабатически из
уровня с энергией ЕзВ невозмущенной кулоновской задачи. Следовательно,
уровень с энергией Е1В при 9 < w <^ 25 имеет два узла, волновая функция
имеет два узла, т. е. дважды обращается в нуль (не считая φ (0) = 0) и
меняет знак. Но при 9 <^ w<^ 25 в потенциальной яме имеются два сильно
связанных уровня, с энергией | Elf2 | ^ W с функциями без узлов и с одним
узлом. Функция, соответствующая энергии Е1В, ортогональна к ним;
следовательно, оба ее узла лежат в области ямы при г~ г0. При г ~ а^> г0
функция, соответствующая Е1В, узлов не имеет и мало отличается от функции
основного состояния (Е = Е1В невозмущенной кулоновской задачи.)
Рассматриваемый вопрос возник в ходе дискуссии по докладу Л. В.
Келдыша на семинаре Л. Д. Ландау. В последующем обсуждении принял участие
Ε. Μ. Рабинович. Пользуюсь случаем выразить им благодарность.
ВЫВОД
Показано, что при кулоновском потенциале, имеющем место везде, кроме
малой области в окрестности начала координат, спектр, как правило, мало
отличается от нормального боровского спектра водородного атома. Заметное
искажение спектра возможно лишь в случае когда возмущающий потенциал
имеет резонанс рассеяния частиц малой энергии. Без применения теории
возмущений показано, что изменение энергии кулоновских уровней
пропорционально плотности частиц в начале координат в невозмущенном решении.
Институт теоретической и Поступила в редакцию
экспериментальной физики 6 февраля 1959 г.
Академии наук СССР. Москва
КОММЕНТАРИЙ
В работе дается оригинальная трактовка задачи об уровнях энергии в потенциале
который является кулоновским вплоть до расстояний, много меньших, чем радиус первой
боровской орбиты, а на меньших расстояниях сильно отличается от кулоновского. При
этом, в принципе, возможна ситуация, когда уровни энергии с энергиями порядка боров-
ских существенно отличаются от их «чисто кулоновских» значений. В работе показано,
однако, что такая ситуация является, в определенном смысле слова, маловероятной.
Она возникает только в том случае, когда потенциал на малых расстояниях имеет
резонанс для рассеяния частиц малой энергии, для чего нет оснований в общем случае.
Поэтому более вероятным является малое смещение кулоновских уровней, пропорциональное
плотности частиц в начале координат в невозмущенной кулоновской задаче и длине
рассеяния на возмущающем потенциале.
В последнее время этот результат был применен к системе протон—антипротон
(аналог позитрония), см. работы В. С. Попова и др. !*,2*.
г* Кудрявцев А. Е., Попов В. С— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1979,
т. 29, с. 311-316.
2* Попов В. С, Кудрявцев А. Е., Лисин В. #., Мур В. Д.— Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1981, т. 80, с. 1271—1287.

88
Часть первая. Ill, Атомная физика и излучение
21
К ТЕОРИИ НЕСТАБИЛЬНЫХ СОСТОЯНИЙ*
Развита теория возмущения и дано выражение амплитуды (при данном
начальном состоянии) для состояния, экспоненциально затухающего с
течением времени. Получено конечное выражение, играющее роль нормы такого
состояния.
Экспоненциально затухающее состояние, которое описывает, например,
явление α-распада, характеризуется комплексным значением энергии,
причем мнимая часть энергии дает вероятность распада. Волновая функция этого
состояния экспоненциально возрастает по модулю на большом расстоянии,
поэтому обычные методы нормировки, теории возмущений и разложения по
собственным функциям не применимы к этому состоянию. Ниже развита
теория возмущений, которая дает выражение в виде квадратуры для
изменения средней энергии и вероятности распада при произвольном малом
изменении потенциала.
Если состояние в начальный момент описывается некоторой волновой
функцией, то в дальнейшем в широком интервале времени волновая функция
близка к экспоненциально затухающей функции с определенной
амплитудой. Эта амплитуда тоже вычисляется в квадратурах.
В решение обеих задач — о возмущении энергии и об амплитуде
экспоненциально затухающего состояния — входит величина, играющая роль
нормы этого состояния:
со
lim \ χ2 ехр (— осг2) г2 dr.
Для вычисления этой величины будет дан прямой способ, позволяющий
избежать предельного перехода α ->- 0.
1. Рассмотрим частицу, движущуюся в сферическом потенциале с
барьером, т. е. подобно α-частице в гамовской теории α-распада.
Пусть соответствующее уравнение Шредингера имеет формальное решение
ψ (г, t) = ехр (-iE't)x (г)
с комплексным значением Е' = Е0 — iy. Дискретное значение Е'
получается из условия, что на больших расстояниях χ (г) содержит только
расходящуюся волну:
Х(г)жСг-1е**г, г->оо, k = +f2Er, П = т=\.
Это решение представляет интерес не только как описание нестабильного
состояния; соответствующее ему собственное значение Е' является особой
точкой — полюсом (на комплексной плоскости энергии) матрицы рассеяния
частицы на потенциале.
Как известно, | χ (г) | экспоненциально возрастает при г->■ оо, функция
χ не может быть пронормирована и, в сущности, не может рассматриваться
как волновая функция в обычном смысле; χ не входит в полную систему
собственных функций \рп оператора Гамильтона. К χ не применимы обычные
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1960, т. 39, вып. 3, с. 776—
780.

21, К теории нестабильных состояний
89
формулы .теории возмущений, например,
6Еп = ξ ψ*δ# - ψη dx/§ ψ*ψη άτ,
и разложения функции произвольного состояния по собственным функциям:
φ (г) = Λψη> Л = $ Ψ*φ άτ Ι ξ ψ*ψη dx.
Найдем те выражения, которые заменяют для функции χ приведенные
общеизвестные формулы.
Начнем с теории возмущений. В самом простом случае 5-волны и
потенциала такого, что У(г) = 0приг^> i?, используя развитые в [1] и [2] методы,
нетрудно получить выражение
ЬЕ' = J t (r) 6F (г) άτ J {$ [t(r) — (Cr-V^)2] άτ — C^2ik), (1)
где С есть коэффициент в асимптотической формуле для невозмущенного
решения χ : χ (г) ^ Cr-1ei/fr при г —►■ оо. Оба интеграла — в числителе и
знаменателе — можно представить себе распространенными по всему объему:
в числителе область интегрирования определяется областью возмущения
6V (г), в знаменателе же при r^>R подынтегральное выражение равно нулю.
Отметим, что в интегралы входит не квадрат модуля, а комплексная
величина χ2, поэтому ЬЕ' комплексно. Выражение (1) дает изменение не только
энергии Е0, но и вероятности распада w = 2γ.
Для вывода формулы (1) введем переменную
г
y = dln χ/dr; χ (г) = exp {$ у (q) dq). (I)
о
Уравнение Шредингера примет тогда вид
dy/dr = -у* - 2 [Ε' - V (г)], (3)
а уравнение для возмущения у
dbyldr = —2г/бг/ + 2 ΙδΕ' - 6V (г)]. (4)
Условие регулярности χ при г = 0 однозначно определяет у (0), так что
Ьу (0) = 0, и отсюда
г г q
by (r) = exp j- 2 J у dr} ξ [6F (?) - 6Δ"] exp {2 J у dq] dq =
0 0 0
r
=Ί^Τ $ [6F (9) - bE'] χ2 (<?) dq- (5)
0
Граничное условие для возмущенной задачи при r^> R имеет вид
d In χ'/dr = y + 6y = i Y2{Er + ЬЕ') = i fW + ibE'/W,
by = ibE'lVW = ίδ£7Λ. (6)
Сравнивая теперь (6) и (5), элементарно получим (1).
Задавшись 6V = ε = const, во всем бесконечном объеме мы, очевидно,
должны получить ЬЕ' = ε; поэтому конечное выражение в знаменателе фор-

90
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
мулы (1) можно рассматривать как определение расходящегося интеграла
%2dr. Последний интеграл не имеет однозначного смысла вследствие того,
что
| χ | ~ exp (yr/ ]f2E0) -» <х> при г ~> ос
и не становится сходящимся при умножении подынтегральной функции на
е"аг с последующим стремлением а -> 0. Сходимости можно добиться при
умножении на е~аг2:
J χ2 άτ ξ= lim J χ2*-0"" <2τ = / ={j [χ2 — (Cr"V*r)2] <2τ — C2/2i/c. (7>
Тогда (1) можно записать в виде
δ£' = $χ2δ7<2τ/$χ2<2τ. (Ια)
2. Рассмотрим теперь нестационарную задачу. Пусть в начальный момент
задана волновая функция
ψ (г, t = 0) = φ (г).
Известно, что асимптотический вид решения
ψ (г, ί) = Лехр (-itf'f) χ (г) + О (г, f), (8)
причем О (г, £) спадает при малых г как £~3/ζ (подробнее об О (г, £) см. работу
Халфина [3]).
Несмотря на то, что первый член спадает экспоненциально как e~yt,
а второй только по степенному закону, выделение первого члена оправдана
в широкой области значений t при γ <^ Е0. Друкарев [4] показал, что
приближение ψ (г, t) к асимптотическому выражению (8) происходит неравномерно,
при малых г (г <^ vt, где ν — скорость частицы, соответствующая энергии
Е0). Как показали Фок и Крылов [5], коэффициент А в первом члене (8)
пропорционален вычету (в полюсе Ε = Ε') спектральной плотности
начального состояния φ (г), разложенного по собственным функциям сплошного
спектра ψ (Ε, г), соответствующим вещественным Е.
Коэффициент А можно выразить простой квадратурой через φ (г) и χ (г):
А = ί φχΛ/ί χ·Λ, (9)
где J χ2άτ определяется формулой (7).
Чтобы убедиться в этом, следуя Н. А.Дмитриеву, введем функцию ψ (г, s),
определив ее формулой
оо
ψ (г, s) = — ί ξ ψ (г, t) eist dt, (10)
о
для тех 5, при которых интеграл сходится. В области, где интеграл
расходится, определим ψ (г, s) как аналитическое продолжение функции, заданной
интегралом (10).
Уравнение Шредингера дает
-*ψ (г, s) — Δψ (г, s)/2 + V (г) ψ (г, «) - -<р (г). (11>

21. К теории нестабильных состояний
91
В области r^>R, где V (г) = 0 и φ (г) — 0, решение имеет вид
ψ (г, s) = [f (s) exp (irY2s) + /ι (s) exp (ir /2*)] r-\ (12)
где / и /χ — произвольные функции.
Рассматривая область Im s > 0, где ψ (г, s) выражается сходящимся
интегралом, убеждаемся, что Д (г, s) == 0, так как | ψ (г, s) | не может возрастать
при г -> оо. Условие, что ψ (г, 5) при больших г представляется
расходящейся волной, обобщается при аналитическом продолжении на любые s.
Функция χ (г), описывающая распадное состояние, удовлетворяет тому же
условию при г->оо и уравнению, аналогичному (11), но без правой части:
-Ε'χ (г) - Δχ (г)/2 + V (г)χ (г) = 0. (13)
Отсюда следует, что решение уравнения (11) с правой частью имеет полюс
при s = Е' (при этом Im s = —γ <^ 0):
ψ (г, s) = αχ (r)/(s - Ε') + ψΧ (г, s), (14)
где ψι (г, £") регулярна.
Для определения а умножим (И) на χ (г), а (13) на ψ (г, s) и вычтем одно
из другого. Интегрируем затем по объему 0 <] г <^ R и подставляем
выражение ψ (г, 5) в виде (14). Устремляя, наконец, s-> E', получим выражение для
а, совпадающее с выражением (9) для А.
Обращая выражение (10), найдем., что полюсной член в (14) дает
экспоненциальный член в (8) с А = а, чем и заканчивается вывод формулы (9).
3. Формулы легко обобщаются на случай состояния с Ι Φ 0. В этом
случае во все формулы вместо χ2 входит произведение х(гУ/* (г), где χ (г) —
решение сопряженного уравнения (см. [6]). В данном случае, так как оператор
Η эрмитов, то операция сопряжения сводится к изменению знака ί в
граничном условии
д In Γχ/дг = + ί γ2Ε', д In r\jdr = — ί γ2Ε'* (г -> оо).
После выделения углового множителя в χ (г) = Ρ (θ, φ) ζ (г) получим
χ=Ρζ, Ρ = Ρ, Ζ = Ζ*,
так что окончательно
ЬЕ' = J χ*χδ7 άτ / $ χ*χ άτ, (15)
φ (r, t) = A exp (— iE't) χ(ν) + 0 (г, f), (16)
А = ξχ* (г) ср (г) άτ J} χ* (г) χ (г) άτ. (17)
Эффективный потенциал U (г) в уравнении радиальной функции ζ (г)
включает центробежный:
U(r) = V (г) + r-2Z (Z + 1),
и поэтому в области r^>R, где V (г) = 0, функция ζ (г) выражается с
помощью функции Ганкеля полуцелого порядка от комплексного аргумента
кг (к комплексно, когда комплексно Е').
При г-> оо и | χ | -> оо, поэтому для придания определенного смысла
интегралу, играющему роль нормировки, нужно снова либо умножить
подынтегральное выражение на ехр (—аг2), устремляя затем α -> 0, либо

92
Часть первая. Ill. Атомная физика и излучение
воспользоваться конечным выражением типа (1), не требующим
предельного перехода:
оо Г
С z2r2 dr = { z2r2 dr + r2z2 -j^r In (rz). (18)
о о
При r^> R мы попадаем в область, где ζ (г) выражается через функции
Ганкеля, и производные во втором члене берутся элементарно. При этом
легко убедиться, что в силу уравнения, которому удовлетворяет ζ (г),
правая часть (18) не зависит от г. Аналогично разрешается вопрос для кулонов-
ского потенциала, с той лишь разницей, что при г ^> R величина ζ
выражается гипергеометрической функцией.
Наконец, в том случае, когда V (г) помимо кулоновского и центробежнога
потенциалов содержит еще часть, повсюду отличную от нуля, но спадающую
достаточно быстро (экспоненциально), наряду с решением полного уравнения
ζ (г) приходится ввести в рассмотрение еще функцию Ζχ (г) — решение
уравнения с V (г) = 0, совпадающее с ζ (г) в пределе при г -> оо (ζ (οο) =^ζχ (оо))
Функция ζχ выражается через известные функции (ганкелевские или
гипергеометрические) :
оо ρ оо
ξ A* dr = J A* dr +\(z2- %) r* dr + z\ -^ In (rzi) |r=P. (19)
0 0 0
При Ι Φ 0 окрестность начала координат 0 <^ г <^ ρ приходится
рассматривать отдельно вследствие того, что функции Ганкеля имеют в нуле неинте-
грируемую особенность. Предполагается, что после выделения из V (г)
членов порядка 1/г и 1/г2 убывание V (г) такое, что ζ2 — ζ\ есть
интегрируемая при г ->- оо функция.
В случае потенциала сложного вида, когда интегралы вычисляются
только численно, преимущество выражения (19) по сравнению с (18)
заключается в том, что производная в (19) берется от известных функций.
Пользуюсь случаем с благодарностью отметить участие в обсуждении
Г. А. Друкарева, А. Б. Мигдала, В. А. Фока и Л. А. Халфина. Особенно
следует отметить существенное участие и помощь Н. А. Дмитриева, давшего
формальные доказательства ряда утверждений, содержащихся в работе.
Поступила в редакцию
16 апреля 1960 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зельдович Я. Б.— Жури, эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 1101.
2. Лось Ф. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 273.
3. Халфин Л. Α.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 1371.
4. Друкарев Г. Л.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1951, т. 21, с. 59.
5. Крылов Н. С, Фок В, А,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1947, т. 17, с. 93.
6. Kapur L., Peierls #.— Ргос. Roy. Soc. London A, 1938, vol. 166, p. 277.
КОММЕНТАРИЙ
Работа посвящена последовательному развитию теории возмущений для
«квазистационарных» состояний квантовой механики. Как известно, волновые функций этих
состояний не входят в полный набор собственных функций гамильтониана системы: они должны
рассматриваться как суперпозиция волновых функций непрерывного спектра. Обычная

22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне 93
теория возмущений для них неприменима хотя бы уже из-за расходимости нормировочных
интегралов. С другой стороны, ясно, что, если время жизни состояния достаточно вели*
ко, оно физически во многих отношениях подобно состояниям дискретного спектра и дол*
жен существовать способ их описания, где это сходство выступает явно. Такой способ
описания и развит в данной работе.
Автор исходит из уравнения Шредингера, записанного в виде нелинейного уравнения
первого порядка. Применение теории возмущений к этому уравнению автоматически
приводит к сходящимся выражениям. При этом получается выражение для нормировочного
интеграла, не содержащее искусственного предельного перехода.
Заметим, что работы последнего времени показали эффективность применения теории
возмущений к уравнению первого порядка и для обычных задач квантовой механики 1Нс>2*,
Рассмотрение нестационатшой задачи с начальными условиями привело к формулам,
обобщающим на случай квазистационарных состояний нестационарных задач квантовой
механики, которые юешаются разложением начальной функции по функциям
стационарных состояний.
Более подробно вопрос обсуждается в монографии ЯБ и А. Н. Базя, В. М. Пере-
ломова «Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике». М.:
Наука, 1971, 544 с.
1# Долгов А. Д.у Попов В. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1978, т. 75,
с. 2010—2026.
2* Долгов А. Д., Елецкий В. Л"., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физики,
1980, т. 79, с. 1704—1718.
22
РАССЕЯНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ
КВАНТОВОЙ СИСТЕМОЙ
В СИЛЬНОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЕ*
ВВЕДЕНИЕ
Взаимодействие сильной монохроматической электромагнитной волны
с квантовомеханической системой (атомом, молекулой) представляет особый
интерес в связи с развитием мазеров и лазеров.
Когерентное рассеяние монохроматической волны, зависимость сечения
рассеяния и показателя преломления от амплитуды, когерентная генерация
гармоник, некогерентное излучение на собственных частотах атома,
изменение этих частот под влиянием волны — вот краткий неполный перечень
возникающих вопросов. Эти эффекты рассмотрены в целом ряде работ, из
которых назовем наиболее интересные [1], в которых приведены также
ссылки на предыдущие работы. При этом использовались различные методы:
теория возмущений (с зависящим от времени потенциалом), матрица
плотности (с учетом диссипации) и другие. В последнее время подробный и
строгий обзор нестационарной теории возмущений дан Лангхоффом и др. [2].
Вопросы излучения возмущенных состояний в обзоре [2] не рассматриваются.
Однако наиболее последовательным, систематическим и в то же время
простым методом является использование квазиэнергии и квазиэнергетичес-
* Успехи физических наук, 1973, т. 110, вып. 1, с. 139—151. Работа доложена на
Конференции по сильным электромагнитным волнам (Балатон, Венгрия, сентябрь 1972 г.)

«94
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
лих состояний (ниже кратко КЭС). Поэтому в качестве методического
усовершенствования, не претендуя на новые результаты, изложим метод
квазиэнергии. В этом методе влияние классической электромагнитной волны на
атом учитывается точно (по крайней мере, в принципе), а спонтанное
излучение — как малое диссипативное возмущение. Такой метод в точности
эквивалентен стандартной теории свободного атома, в которой сперва находят
точные решения уравнения Шрёдингера без учета спонтанного излучения и
получают набор уровней энергии и собственных (стационарных) состояний.
Спонтанное излучение рассматривается как малое возмущение системы.
При этом, в принципе, с учетом излучения только нижнее состояние
оказывается в точности стационарным. Замечательно, что при наличии сильной
волны в таком же приближении с учетом спонтанных процессов, все состояния
качественно одинаковы в том смысле, что ни одно из КЭС не является строго
стационарным. Напомним историю понятия квазиэнергии.
Для электрона в периодическом (по пространству) поле кристаллической
решетки общеизвестно, что существует и сохраняется квазиимпульс р,
ур (х + а) = е^аур (х), где а — постоянная решетки, и положено h = 1.
Рассматривая электрон (релятивистский, подчиняющийся уравнению
Дирака) в поле сильной волны, А. И. Никишов и В. И. Ритус [3] ввели понятие
четырехмерного квазиимпульса. Его четвертая компонента была названа
квазиэнергией.
В 1966 г. практически одновременно появились две работы [4, 5], в
которых понятие квазиэнергии применялось к атомной системе в поле волны
(см. также 16, 7J). В работе Ритуса [4] рассматривается конкретный способ
получения волновых функций КЭС. По определению, это есть функция,
удовлетворяющая условию
ψΛ(ί+ Τ) = exV(-iFkT)yk(t). (1)
Если выделить гармонический множитель, ее можно записать в виде
ψ* (t) = exp (-iFkt) φ, (ί), (2)
где (f>fc (t + Τ) = (p>fc (£), так что φ^ (t) есть строго периодическая (но не
гармоническая) функция времени ь, tyk и φ^. зависят также от х.
Функция ψ£ может быть разложена в ряд Фурье:
П=оо, ЙГ—оо
%= Έι cinkcpkexp[—i(Fi +ηω)ί], ω = 2π/Τ. (3)
71;= — οο, k=0
Ритусом построены уравнения для определения коэффициентов cink и самой
квазиэнергии Ft.
В работе Я. Б. Зельдовича [5] также вводится понятие квазиэнергии и
КЭС, конкретный способ расчета Ft и ψ£ не рассмотрен, зато подробно
рассматривается вопрос об излучении системы. Отмечено, в частности, что Ft
определено по модулю ω, т. е. Ft = Ft ± ω = Fx ± 2ω, поэтому нельзя
сказать, что, например, F2 ^> Fl9 так как всегда можно подобрать 2 целые
1 Обратите внимание на то, что в (1) в экспоненте FkT — числа, а в (2) в экспоненте
Fkt — линейная функция времени.
2 Однако при таком изменении определения F\ одновременно меняется
соответствующая фунция φι, сохраняя, однако, свое свойство периодичности. С другой стороны, ниже
отмечена возможность получить КЭС плавным переходом от строгого стационарного
состояния для независящего от времени гамильтониана i^0. В последнем случае энергия &-го
состояния Ек определена однозначно. В процессе плавного перехода можно проследить,
какое из значений Fk + ηω переходит в Ек; это значение Fk естественно назвать главным
значением, а остальные, отличающеся на целое кратное ω,— сателлитами.

22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне 95
(не обязательно положительные) т и η так, чтобы оказалось
F2 + ηω < Fi + ты.
Поэтому возникает демократия — все КЭС спонтанно переходят друг в
друга, нет энергетических запретов, поскольку сильная волна является
резервуаром энергии. Остаются в силе лишь запреты типа четности. Переход
между заданными двумя состояниями 2 и 1 дает не одну линию, а серию,
в соответствии с тем, что квазиэнергия определена по модулю ω. Однако,
так как модуль этот одинаков для обоих состояний, серия однопараметри-
ческая, частота зависит от (п — т), но не от η и т по отдельности.
Очевидно, что отдельные члены фурье-разложения дают результаты, не
отличающиеся от стандартной теории возмущений. Понятие квазиэнергии
полезно, но не необходимо. Однако сильные нелинейные эффекты было бы
трудно рассматривать, если игнорировать квазиэнергию.
Вблизи резонанса, т. е. при Е2 — £Ί — ηω <ξ^ ω, КЭС существенно
отличаются от стационарных собственных состояний невозмущенного атома
уже при сравнительно слабом электромагнитном поле мазерной или
лазерной волны. Именно в этой ситуации особенно плодотворен выход за рамки
теории возмущений, осуществляемый с помощью теории КЭС. В ряде случаев
разности энергий внутри определенной группы уровней (два уровня или
больше, но не континуум!) малы и существенно перемешивание этих уровней
между собой сравнительно слабым полем; далекие уровни и ионизационный
континуум остаются незатронутыми.
Напротив, в случае оптических переходов в атоме вдали от резонанса
одновременно с нелинейными эффектами возникает сильная ионизация атома
и наблюдение нелинейных эффектов окажется затруднительным. В этом
случае спектр квазиэнергии оказывается сплошным, дискретные состояния
имеют комплексную квазиэнергию, мнимая часть которой характеризует
вероятность ионизации атома в данном состоянии волной. К числу тех
случаев, в которых можно надеяться на полезное применение квазиэнергии,
относятся: близкие уровни атомов и молекул, возникающие в результате
спин-орбитального или сверхтонкого расщепления; система вырожденных
уровней атома водорода и почти вырожденные водородоподобные высокие
уровни атомов и ионов; вращательные уровни дипольных молекул, в
частности — с расщеплением под действием магнитного поля; пары уровней,
возникающие при наличии двух равноценных состояний с малой вероятностью
спонтанного перехода между ними 3. В конце статьи некоторые из
перечисленных примеров рассматриваются подробнее.
ЭВОЛЮЦИЯ СИСТЕМЫ
Рассмотрим подробнее аналогию между стационарными состояниями
невозмущенной системы и КЭС системы в периодическом поле и применение
этих понятий в задаче об эволюции системы.
В обоих случаях имеет место уравнение Шредингера
idty/dt = Ж'ψ, (4)
причем в невозмущенном случае Ж = Жо (х, д/дх) не зависит от времени.
Таким образом, перед нами линейное дифференциальное уравнение в част-
3 Отметим также применение квазэинергии при рассмотрении электрона под
действием двух полей — постоянного магнитного поля и поля волны [8].

96
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
ных производных. Однако никто, даже при наличии сверхмощной
электронно-вычислительной машины, не станет решать это уравнение численно 4,
разностным методом, находя приращения
ψ (ж, f + Δί) = ψ (ж, t) — 1Жо§ {х, t) Δί. (5)
Вместо этого решение разбивается на несколько этапов:
1) находим собственные состояния, т, е. частные решения вида
Ψ/c = Щ (х) ехР (—iEkt); (6)
2) произвольное начальное состояние ψ (ж, t0) представляем как
суперпозицию собственных состояний, т. е. находим ск в выражении
ψ (х, t0) = 2j скщ (х) exp (— iEkt0); (7)
ft
3) после этого решение задачи об эволюции, т. е. о вычислении значения
ψ (ж, t) в произвольный момент времени, выписывается немедленно:
ψ (х, f) = 25 ckq>k (x) exp (— iEkt). (8)
ft
Эта процедура общеизвестна. Здесь она приведена для того, чтобы показать
полную аналогию с теорией квазиэнергии. Пусть Ж = Ж (ж, д/дх, t)
содержит время t в явном виде. Тогда решений типа (6) не существует. Однако при
периодической зависимости ψ (t + Τ) = ψ (t) можно найти КЭС, т. е.
решения, периодически воспроизводящие себя. Таким образом, при
периодическом Ж (t) первый этап состоит в нахождении решений вида
Ψ* = <Р* (х, t) exp (—iFkt), (9)
где <pk не постоянны, но зависят от времени периодически. Второй этап
состоит в разложении произвольной, заданной в момент t0 функции ψ (ж, t0):
ψ (ж, t0) = 2j ckq>k (ж, t0) exp (— iFkt0). (10)
k
Найдя коэффициенты ck, конструируем решение, удовлетворяющее ка^
уравнению Шредингера, так и начальному условию в момент t0;
ψ (ж, t)=^ckyk(x, t)exv(—iFkt) = '2jCk\i)k. (11)
л ft
Итак, аналогия является полной. Коэффициенты, с которыми входят
различные ψΛ, строго постоянны, общий характер решения непосредственно
ясен.
Общим для решения с не зависящим от времени гамильтонианом Жо
и с периодическим Ж (t) является то, что спонтанное излучение (переходы
из одного состояния в другое) пока не учитывается. Принципиальной
основой в случае с Жо является существование полного ортонормированного
набора функций ц)к (ж), являющихся решением уравнения на собственные
значения
<^o(Pft (ж) = Екщ (ж).
4 Нижеследующее относится к ситуации, когда главную роль играют дискретные
состояния. В сплошном спектре, в частности, для свободного электрона прямые методы
могут быть эффективными.

22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне 97
В случае периодического потенциала математическая формулировка задачи
о нахождении φ^. (#, t) — функций КЭС,— на первый взгляд, совершенно
иная, ее нельзя свести к задаче с исключенным временем. Оказывается,
однако, что и КЭС образуют полную ортонормированную систему.
Практически, как правило, периодический потенциал состоит из не
зависящего от времени гамильтониана Ж о и периодической части Ж' (t), Ж =
= Жо + Ж'. Задача, однако, ставится как определение точных решений
уравнения Шредингера для Ж (t), в отличие от теории возмущений, в
которой Ж' считался бы малым. Тем не менее, можно проследить соответствие
между решениями для Ж о и решениями для Ж (t). Формально для этого
введем параметр а, определим Ж = Жо + аЖ' и проследим, как изменяются
решения при изменении α от 0 до 1. При этом каждой собственной функции
Жо окажется сопоставленным одно квазиэнергетическое решение. Если
рассматривается замкнутая группа состояний Жо·, которые «перемешиваются
между собой «возмущением» аЖг, то ясно, что число КЭС не отличается от
первоначального числа состояний Ж о»
В этом случае можно указать и ясный алгоритм нахождения волновых
функций КЭС и значений квазиэнергии. Ниже мы конкретно рассмотрим
простейший пример группы, состоящей из двух состояний.
От математической задачи о состояниях, зависящих от параметра а
в гамильтониане Ж = Ж о + аЖ' (t), перейдем к физической задаче о плавном
включении периодического потенциала. Пусть а = a (t) медленно (за время
гораздо больше периода Г, который считается постоянным) нарастает от О
до 1 Если в начальный момент при а = 0 система находится в заданном
k-м состоянии Жо-, то при медленном росте а система перейдет в чистое к-е
КЭС5.
Таким образом, КЭС имеют ясный физический смысл состояний,
получающихся при плавном включении периодического возмущения Ж''. Более того,
мы получили неочевидную теорему: из собственного состояния Жо путем
плавного включения Ж' получается состояние, обладающее свойством
периодичности с периодом Г, равным периоду Ж' (см. обзор [2]). Если
воспользоваться этим свойством, можно найти интересующее нас решение
гамильтониана Ж = Ж о + Ж', даже не рассматривая процесс включения Ж'.
Эти утверждения, безусловно, правильны в случае конечной группы
состояний и при дополнительном условии, чтобы не имел места точный резонанс:
Fn — Fk Φ πιω, где т — целое. Тогда играет роль континуум, необходимо
дополнительное исследование. Точный резонанс, по-видимому, существует
лишь для невзаимодействующих уровней, подобно тому как пересекаются
термы одинаковой симметрии в стационарной теории.
ИЗЛУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ СОСТОЯНИЙ Ж (t)
В предыдущем разделе подчеркнуто сходство КЭС и обычных собственных
состояний Жо, в частности, полная аналогия в решении задач эволюции
произвольного начального состояния. Следует, однако, видеть не только
сходство, но и отличие КЭС от стационарных состояний. Это отличие наиболее
ярко проявляется при рассмотрении излучения самой системы, которое не
включено в гамильтонианы Жо и Ж'.
5 При мгновенном включении (а = 0, t < tx\ a — 1, t >> tx) нам пришлось бы
разложить φ/£ (χ) по φη (χ, ίχ), и при этом, в принципе, коэффициенты сп^ с η φ к не равны
нулю.
4 Я. Б. Зельдович

Часть первая. III. Атомная физика и излучение
Frr+2w В случае стационарных состояний
Fl+2co Л излучение имеет место лишь при пере-
\ ходе из верхнего состояния в нижнее.
f \ F''+ω Между тем, КЭС излучает само по себе
F + ω чч \ (данное п-е КЭС, без перехода в дру-
ч>^\ г„ гие л ± 1, η ±2, ...). Величина
F' ^* \ ^x^dV не постоянна, а меняется со
чч временем с периодом волны. Из усло-
ч F'-ω вия периодичности ψη (χ, t) следует,
F-ω — что излучается электромагнитная
волна с тем же периодом, что и
возбуждающая. Однако излучаемая волна не гармоническая! Ее фурье-разложение
содержит главную компоненту с частотой ω и малые
компоненты-гармоники с частотами лсо, кратными ω.
Очевидно, что это излучение надо классифицировать как когерентное
рассеяние; излучение данного КЭС (без перехода в другое!) даст вклад в
вещественную часть показателя преломления среды, заполненной
рассматриваемыми атомами. Можно вычислить нелинейную поляризуемость среды и
изменение формы волны за счет гармоник.
Переходы между различными КЭС подобны переходам из возбужденного
стационарного состояния в основное (или из одного возбужденного в другое).
Такие переходы происходят вероятностным образом и сопровождаются
излучением фотонов с частотой, характерной для атома, т. е. отличной от
частоты волны.
Еще в разделе 1 (введении) было отмечено, что при наличии двух КЭС
ψη и % нельзя сказать, какое из них обладает большей квазиэнергией,
какое меньшей (см. рисунок). Спонтанные переходы идут в обоих
направлениях: ψη ->- if>fc с излучением ω' = Fn — Fk + ρω и ψ*. ->- ψη с излучением
ω" = Fk — Fn -\- gco, где ρ и q — целые 6, такие, что ω' ^> 0, ω" ]> 0. По
совокупности, переход η —>■ к —>■ η сопровождается излучением двух
квантов, таких, что ω' + ω" = (ρ + q) ω, в силу чего энергия, заимствованная
из поля сильной волны (из Ж' (t)), равна целому кратному частоты ω
сильной волны, чего и следовало ожидать.
Вероятность перехода мы считаем малой и не учитываем естественной
ширины уровней квазиэнергии. Однако отношение вероятностей переходов
ψη -► Ψλ: и ψ^-^ψη существенно, так как от него зависит стационарное
количество атомов в различных состояниях 7, а следовательно, и усредненные
по ансамблю атомов характеристики излучения и показателя преломления.
Особо интересен вопрос об инверсности. В статическом поле (Ж0) можно
выбрать инверсное начальное состояние, т. е. задать начальные
концентрации Nk ^> Nn при Ек > Еп. Создав резонатор, настроенный на частоту
cofrn = Ек — Еп, получим когерентный («лазерный») импульс. В отсутствие
резонатора получим спонтанное излучение частоты (йкп. Однако с
течением времени все атомы перейдут путем излучения в нижнее энергетическое
состояние. В поле Ж0 без подкачки энергии возбужденные состояния и,
в частности, инверсное состояние совокупности атомов существуют лишь
ограниченное время.
6 Не обязательно положительные. Возможно также, что одно из них равно нулю»
7 Без учета спонтанных переходов это количество зависело бы от начальных условий
и способа включения волны.

22* Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне 99
Совершенно иначе обстоит дело в системе, находящейся в периодическом
поле Ж (t) в квазиэнергетической ситуации. Выше было отмечено, что в
такой системе происходят спонтанные переходы, в принципе, из всех состояний
во все состояния. При t ->- оо устанавливается определенное распределение
атомов по КЭС, характеризуемое набором чисел JVfc, где к — номер КЭС.
Все эти числа отличны от нуля при t ->- оо.
Но если есть спонтанные оптические переходы между каждой парой
уровней в обе стороны, к ^± п, притом с разными частотами ω' и ω", то для
одного из этих переходов, например, для к-^п, ω" = Fk — Fn + gco (см.
выше), ситуация инверсная, если Nk ^> Nn. Напомним смысл инверсности.
До сих пор рассматривалось лишь спонтанное излучение на частоте ω".
Однако если есть спонтанное излучение, то существует и пропорциональное
ему индуцированное излучение, есть и поглощение излучения при обратном
переходе. Соотношение концентраций Nk ]> Nn приводит к тому, что
индуцированное излучение сильнее поглощения. Итак, хотя спонтанное
излучение на частоте ω" может оказаться слабее спонтанного излучения других
линий, например ω', все-таки излучение ω" может быть усилено до лазерного
импульса подходящим резонатором. Практически следует ожидать, что
в стационарном состоянии все же наиболее населенным будет наинизшее
КЭС. Точнее, следуя всем правилам игры, это КЭС надо назвать длинно:
«КЭС, адиабатически получаемое из нижнего уровня, не зависящего от
времени Ж0».
Если Ж' (t) мало, то соответственно малы высокочастотные компоненты
в этом состоянии (далекие сателлиты с большими р), мала вероятность
спонтанного перехода «бывшего нижнего» в одно из «бывших верхних» состояний,
а следовательно, предъявляются высокие, трудные требования к
добротности резонатора на ω", обеспечивающей генерацию.
Мы не рассматривали здесь целый ряд вопросов, важных для
практического расчета генерации (например, доплеровское уширейие линий,
кинетику накопления инверсности и т. п.). В рамках теоретической статьи о кван-
товомеханических системах в периодическом поле нужно ограничиться
указанием на принципиальную возможность генерации когерентного излучения
на частоте, отличной от частоты накачки.
Общие соображения, приведенные выше, в значительной части
высказывались раньше [1, 5].
ДВУХУРОВНЕВАЯ СИСТЕМА
Покажем, следуя [4], как соображения о квазиэнергии реализуются в
простейшем случае двухуровневой системы. Спонтанное излучение в данном
разделе игнорируем. Волновая функция и эволюция этой системы полностью
определяются двумя амплитудами — a (t) и Ъ (t):
ψ (χ, t) = a (t) у(х) + Ь (t) χ (χ), (12)
где φ и χ — пространственные части стационарных состояний
невозмущенной системы с энергиями Л и В. Таким образом, для невозмущенной системы
имеем
ψ0 = а0е-ш φ (χ) + bQe~iBtx (x). (13)
4*

100
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
Предположим, что φ и χ имеют разную четность; в дипольном приближении
взаимодействие с полной энергией F дается матричным элементом
Μ = еЕ\φ (χ) χχ (χ) dv, (14)
в силу чего окончательно уравнение Шредингера при наличии поля имеет
вид
idaldt = Аа + 2V cos (ωί) &, idbldt = 2V cos (ωί) α + Bb; (15)
здесь положено h = 1, величина V пропорциональна амплитуде волны и
матричному элементу, число 2 выделено для удобства, ω — частота волны.
Решение с квазиэнергией F запишем сразу в виде рядов Фурье , т. е.
a (t) = α0 exp (—iFt) + α2 exP ^~~* (^ + 2ω) t] + a_2 exp [—i (F — 2ω)·
·*] + .. .,
(16)
6 (ί) = βχ exp [—i (F + ω) t] + β_ι exp [—i (F — ω) t] +
+ β3 exp [-/ (F + 3ω) f] + . . .
Очевидно, что эти ряды тождественно удовлетворяют условию a (t + Τ) =»
= α (£) exp (—ΐίΤ), и аналогично для 6, так как Г = 2π/ο>. Удобно записать
2 cos ωί = ei(0i + 6"ίωί, при этом становятся очевидными правила четности
номеров для рядов Фурье для а и 6.
Подставляя ряды в уравнение, получим бесконечную систему
зацепляющихся уравнений для коэффициентов. Приравнивая детерминант нулю,
находим два собственных значения F\ F" и затем коэффициенты αή, βΑ,
αη, βη> соответствующие этим двум решениям. Запишем эту систему, точнее,
первые два уравнения:
Fa0 = Аа0 + F (βΧ + β_ι), (^ + ω) βΧ = £βχ + V (α0 + α2). (17)
Пусть
#>Л, ω — (β — 4) -δ (δ<ω); 7<#—Л.
Тогда разумная итерация дает F = А + ε (ε < ω),
εα0 = 7β1? (δ + ε)βΧ = 7α0, ε (δ + ε) = V\
ε', ε" = -(δ/2) ± [(δ2/ί) + V*]1'2. (18)
При адиабатическом включении волны (путем увеличения V от V = 0 при
ω — const) первое состояние, соответствующее решению ε' (знак + )»
получится из нижнего состояния:
У-> 0, F' = А + (F76), aj = 1 - (72/2δ2), β; = V/δ. (19)
Второе состояние ε" также соотносится с верхним невозмущенным
состоянием:
V _> 0, F" = Л - δ - (72/δ) - β - ω - (72/δ), (20)
«ο = -Wfi, βί = 1 - (72/2δ2).
На первый взгляд кажется странным, что квазиэнергия не стремится
к энергии невозмущенного верхнего состояния В при V ->- 0. Но здесь как раз
проявляется тот факт, что F определено по модулю ω. Во втором решении

22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне 101
главный член при У ->■ 0 есть
ψ" = βϊ exp [—i (F + ω) t] χ -► χ exp (—iBt),
как и следовало ожидать.
При У — δ коэффициенты а0 и βΧ одного порядка; в частности, при У ^> δ
F' = Л + V, ψ' = exp l—i (A + V) t] (φ + exp (—ίωί) χ),
F" = Α — У, ψ" = exp [—ί (5 — 7) t] (φ exp (ίωί) — χ). (21)
Типичный «резонансный» случай заключается в том, что У и δ могут быть
в любом соотношении У 5=5 δ, но обе величины F и δ малы по сравнению
с В — А. Тогда легко убедиться, что отброшенные члены ряда (а±2,±4г
β-ι,±3 · · ·) представляют собой разложение по степеням возмущения,
например,
а'±2 ~ VV(B - Α)2; β:1? β;3 ~ V*/(B - Af; а±, ~ V4(B - А)' . . .
При фиксированном У/б можно говорить и о разложении по степеням
«резонансности» δ/ω. В выражения для высших членов в знаменатель
войдут В — А + ω, В — А + 2ω . . .
Итерация и весь квазиэнергетический подход хороши в том случае, если
мала естественная ширина верхнего стационарного состояния γ0
(вероятность спонтанного перехода В->■ А): у0 = Wba^B —А; тогда есть
область
В — А ~ ω >>δ >γ0.
Уже первое изложенное выше приближение (с оставлением а0 и βΧ) содержит
нетривиальные результаты. Каждое из двух состояний F'n /"'имеет
переменный дипольный момент, пропорциональный α^βί и а'$[, соответственно
изменяющийся со временем с частотой ω. При У < δ когерентное излучение
— У2/б2, чему отвечает сечение рассеяния, не зависящее от амплитуды и
лоренцовым образом зависящее от разности δ = ω — (В — А) = ω — ω0.
При У ^> δ имеет место насыщение: излучение стремится к постоянному
пределу, в силу чего сечение падает как У~2. Таким образом, в форме
резонанса рассеяния У играет роль ширины; чем сильнее волна, тем больше
интервал частот, в котором сечение имеет плато.
Остановимся вкратце на истории вопроса. Методом адиабатической
теории возмущений, без явного употребления понятий квазиэнергии и КЭС,
двухуровневая система рассмотрена в работе Популяра [9]. В терминах
квазиэнергии вопрос рассмотрен в работах [10], включающих рассмотрение
и рассеяния, и гармоник. Об учете квантованности электромагнитного поля
при этом см. [11].
СПОНТАННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Обратимся к спонтанным переходам. Вероятность перехода F" —►■ Fr
пропорциональна | αόβϊ| 2; при У ->- 0 получаем максимальную вероятность^
равную γ0 = WBa невозмущенной системы. Вероятность обратного
«неестественного» перехода F'->■ F" пропорциональна | β^ο I 2 — У4/о4 при У < δ.
Излучаемые частоты равны
ω", ' = F" - F' + ω = Β - А - (2У2/б) = ω - δ — (2У2/б),
со', " = F' — F" +ω=2ω — (Β — А) + (2У2/б) = ω + δ + (2У2/б). (22*

102
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
Полный цикл F' —>- F" —>- F' сводится к излучению ω V и ω"»' с отбором двух
квантов энергии 2ω из классического поля волны. Отметим, что ширина
спектральной линии спонтанных переходов ни при каком V не становится
больше γ0, несмотря на расширение резонанса когерентного рассеяния.
Применительно к спонтанному излучению, от амплитуды волны (от V)
зависит смещение линий, но не их ширина.
В стационарном состоянии отношение числа атомов в F" к числу в F'
обратно отношению вероятностей. При V <^ δ имеем ηΊη — F4/64. Однако
при V ^> δ η и η" сравниваются. Эти два состояния дают вклад
противоположного знака в вещественную часть амплитуды рассеяния вперед, т. е.
в коэффициент преломления. Поэтому при увеличении V коэффициент
преломления убывает как F"4, т. е. быстрее, чем убывает сечение рассеяния.
Рассмотрение следующих членов разложения α±2,±4> β-ΐ,+з · · ·
позволяет вычислить когерентное излучение гармоник каждым из состояний. При
•этом легко убедиться, что возникают только нечетные гармоники 3ω, 5ω,
пропорционально V6, V10 при малых V. Кроме того, можно найти
вероятность спонтанного излучения ±(F" — F') + ясо с высокими η при переходах
из одного КЭС в другое.
Выписанную выше систему уравнений можно применить и для
определения вероятности возбуждения обертонов. Зададимся, например, 3ω =
= В — А — δ, δ <^ ω, тогда получим резонансное решение с большими
α0, βι, α2, Рз с условием резонансности б — F3/co2.
Вероятно, развитый выше метод будет полезен и для многоуровневых
атомно-молекулярных систем. При наличии сплошного спектра (кроме
дискретного) у невозмущенной системы квазиэнергия становится комплексной,
что описывает многофотонную ионизацию. Наконец, наряду со спонтанным
излучением на частотах, отличных от ω, можно рассматривать и
индуцированный процесс, т. е. генерацию на частотах ω' и ω" таких, что ω' + ω" =
= πω.
КВАЗИЭНЕРГИЯ И ЛИНЕЙНЫЙ ШТАРК-ЭФФЕКТ
В работах Коварского и Перельмана [10] понятие квазиэнергии
применяется к рассмотрению возбужденных уровней водорода. «Случайное»
вырождение, например, 25- и 2Р-уровней делает возбужденные состояния,
η > 2, водородного атома особо чувствительными к действию
электрического поля 8. Как известно, именно в таких атомах имеет место линейный
штарк-эффект. Из уровней 2S и 2Р, т = 0, можно построить линейные
комбинации с определенным значением дипольного момента φ+ = (2S +
+ 2/>)/|/г2, φ_ = (2S — 2Ρ)ΐγ2. В этом базисе электрическое поле даст
диагональные матричные элементы; другими словами, поле не вызывает
переходов из φ+ в φ_ и из φ_ в φ+. Поэтому в данном случае волновые
функции КЭС особенно просты:
ψ+ (я, t) = (ί/γ"2) exp (iy cos ωί) (2S + 2P),
ψ_ (x, t) = (l/j/"2) exp (—iy cos ωί) (2S — 2P). (23)
Разложение функции exp (ίμ cos ωί) в ряд Фурье общеизвестно:
коэффициентом при cos (ηωί) является функция Бесселя Jn (μ). Рассмотрим
8 Влияние случайного вырождения в задаче о многофотонной ионизации атома
рассмотрено Келдышем [12].

22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне ЮЗ
теперь спектр поглощения нормального атома водорода вблизи линии
Lya, т. е. перехода 15 —►■ (2S, 2Р). Если атомы находятся в поле сильной
волны, линия Lya расщепится: появятся сателлиты ωη = ω0 ± πω, где
ω0 — частота невозмущенной линии Lya. Амплитуда сателлитов зависит от
амплитуды волны, в которой находятся атомы, как J η (μ), где μ =
= βΕα0γ3/ω, Ε — поле волны, ea0Y'o — дипольный момент водородного
атома в состоянии 2S + 2Р. Итак, любопытно, что амплитуда сателлита
периодически зависит от амплитуды волны. Чем выше номер сателлита пу
тем большее поле необходимо для получения максимальной амплитуды
данного сателлита (так ведут себя функции Jn).
На этом примере видна не только сила, но и трудность
квазиэнергетического подхода. Дело в том, что здесь два КЭС вырождены как раз по той же
причине, которая так облегчила нахождение этих состояний. Поэтому точное
рассмотрение вероятности поглощения в окрестности Lya в зависимости от
угла, поляризации, номера сателлита требует учета фазовых соотношений
между двумя КЭС. Такое рассмотрение выходит за рамки данной статьи.
Без применения понятия квазиэнергии задача о возбуждении атома
рассматривалась ранее [1, 13]. Любопытно рассмотреть также вращательные
уровни дипольной молекулы типа НС1 или атомную систему с отличным от
нуля угловым моментом, но без случайного вырождения. При Ι Φ 0 имеется
21! + 1 подуровней. Из них можно составить линейные комбинации с
определенным квадрупольным моментом, взаимодействующим с градиентом
электрического поля сильной волны. С другой стороны, при переходах Ζ —>■ V
с разной четностью имеется дипольный матричный элемент, и при частоте
сильной волны, близкой к резонансу, в КЭС перемешаны подуровни двух
систем, Ι ιι V. Правила перемешивания (отбора) зависят от поляризации
сильной волны, например, т = т + 1 для плоской и т — т + 1 для
круговой поляризации 9.
В случае двухатомной амплитуды с постоянным моментом инерции
имеются целочисленные соотношения между энергиями последовательных
уровней, резонанс для одного перехода (0—1) совпадает с резонансом высших
порядков для следующих, с точностью до центробежной деформации
молекулы.
Ситуация с магнитным диполем в магнитном поле, где соединяется
эквидистантность и конечное число уровней, подробно рассмотрена в теории
магнитного резонанса. Уже этот краткий перечень показывает, как широк
класс явлений, к которым можно прилагать теорию квазнэнергии.
ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ
При какой величине поля, при какой мощности лазерного луча
проявляются характерные явления, описанные выше? Явления в слабых полях
можно описывать с помощью квазиэнергии, но они успешно описываются
также стационарной теорией возмущений — это обстоятельство было
отмечено уже на первой странице обзора. Преимущества
квазиэнергетического подхода проявляются при таких полях, при которых первое неисчезающее
приближение теории возмущений недостаточно. Дадим оценку необходимого
поля.
9 Случай произвольного числа вырожденных состояний рассмотрен В. А. Коварским
и Η. Φ. Перельманом [14].

104
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
Начнем с наиболее простого случая (см. предыдущий раздел и [10]) системы
(2S — 2Р)-уровней атома водорода. В этом случае: а) невозмущенный
гамильтониан Ж о вырожден; б) возмущение факторизовано, Ж' = V (х) cos ω£;
в) можно выбрать собственные состояния Ж0 и V (х) одновременно; г) в
результате КЭС также факторизуются, т. е. имеют вид φ (χ) f (£), где, однако,
/ (t) — не гармоническая функция:
/ ~ ехр (—ίγω J cos mtdt). (24)
Очевидно, условие нетривиальности результата есть γ ^ 1. Безразмерный
критерий γ равен в данном случае
γ = M2s, 2ρ/^ω = уЗеа0Е/Ны, (25)
тде Μ — матричный элемент перехода в поле Е, а0 — боровский радиус
(а0 = h2lme2).
Условие γ = 1 даст амплитуду поля Ε = те{ь1ЩГЪ. Найдем
соответствующую мощность идеально фокусированного лазерного луча. Зададимся
площадью фокусного пятна λ2, где λ — длина волны; получим
W = Е2К2с/8п = (я/6) тс2 (mc2/h) e2lhc = 2-Ю12 эрг/с - 2-Ю5 Вт.
Эта величина может считаться весьма скромной по сравнению с
достигнутыми в настоящее время мощностями. Надо иметь в виду, однако, что она
относится к фокусированному лучу. Спектроскопические опыты требуют
поля, заполняющего достаточный объем. Однако рассмотрение
экспериментальных устройств не входит в задачи статьи.
Если мы имеем дело с поворотом электронного спина, то матричный
элемент взаимодействия равен Μ = μΗ: он меньше, чем в предыдущем случае,
в (Нс/е2) ]/"3 ж 240 раз. Соответственно получится в 6-104 раз большая
необходимая мощность, ~1010 Вт. Осуществление опытов с такой мощностью
является трудной задачей.
Наконец, типичным является возбуждение невырожденного состояния
излучением, близким к резонансу. В этом случае нельзя ограничиться
первым членом ряда теории возмущений, когда
γ' ~ М/П | ω — ω0 | ~ 1. (26)
Для разрешенного перехода Μ ~ еа0Е, и условие γ' = 1 дает мощность
луча с площадью поперечного сечения S:
Ws = 6-105 (S/λ2) | (ω — ω0)/ω |2 Вт. (27)
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Необходимо подчеркнуть, что большая часть результатов была получена
ранее другими методами. Ниже отмечены соответствующие работы и
результаты. Однако метод квазиэнергии, развиваемый выше, представляется
наиболее адекватным и экономным даже там, где результаты известны.
Новый способ получения этих результатов представляет методический
интерес.
Задача данной методической статьи — показ на простейшем примере
способа действий с квазиэнергией и удобства этого понятия, особенно в
простейшем резонансном случае. Изложенные простые методы могут быть
полезны в задачах, связанных с астрофизическим мазерным излучением, и

22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне 105
в теории просветления разреженных сред (ср. заметку [15]). Автором не
ставилась цель полного обзора всей литературы. По более сложным вопросам
ограничимся указанием литературы [10, 13, 16, 17]. Вкратце остановимся
лишь на принципиальном вопросе: всегда ли существуют состояния с
определенной вещественной квазиэнергией для системы, находящейся в
периодическом поле?
Всякое воздействие на квантовомеханическую систему можно
рассматривать как унитарный оператор. Рассматриваем воздействие в течение однога
периода. Квазиэнергия есть результат диагонализации оператора однопериод-
ного воздействия. В конечномерной системе (например, двухуровневой) диа-
гонализация всегда возможна. Унитарность оператора обеспечивает
вещественность квазиэнергии. Однако в бесконечномерной системе диагонализация
возможна не всегда. А. М. Переломов и В. С. Попов (см. [17]) построили
интересный пример, рассматривая гармонический осциллятор с частотой
ω0 и возмущение вида Vx2 cos ωί. При значениях ω, близких к
параметрическому резонансу (ω ^ 2о>0), при любом начальном состоянии происходит
неограниченный рост энергии осциллятора, а значит, нет повторяющихся
с периодом 2π/ο> КЭС.
Таким образом, само существование квазиэнергий является
нетривиальным. В реальных системах понятие квазиэнергии является приближенным^
оно существует постольку, поскольку можно пренебречь многофотонной:
ионизацией. Однако не надо бояться приближенности с момента, когда
характер приближения понят. Здесь уместно сослаться на замечательную
статью В. А. Фока [18] о роли приближенных решений в физике.
ЛИТЕРАТУРА
4. Раутиан С. Г., Собелъман И. И.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 41,
с. 456; 1963, т. 44, с. 934; Кузнецова Т. И., Раутиан С. Г.— Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1965, т. 49, с. 1605.
2. Langhoff P. W., Epstein S. Г., Karplus Μ.— Rev. Mod. Phys., 1972, vol. 44, p. 602.
3. Никишов А. И., РитусВ. П.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1964, т. 46, с. 776.
4. Ритус В. И.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1966, т. 51, с. 1544.
5. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1966, т. 51, с. 1492.
6. Shirley J. Ν.— Phys. Rev., 1965, vol. B138, p. 979.
7. Young R. #., Deal W. J. , Jr., Kestner N. R.— Mol. Phys., 1969, vol. 17, p. 369.
8. ОлейникВ. И.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 52, с. 1049; т. 53, с. 1997.
9. Popular R,— С. г. Acad. Sci., 1967, vol. B265, ρ, 595.
10. Коварский В. Л., Лерелъман Η. Φ.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971, т. 60,
с. 509; т. 61, с. 1389; Физика твердого тела, 1971, т. 13, с. 1888.
И. Коварский В. Α.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1969, т. 57, с. 1217.
12. Келдыш Л. В.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1964, т. 47, с. 1945.
13. Karplus #., Schwinger J.— Phys. Rev., 1948, vol. 7,3, p. 1020; Басов Η. Г.,
Прохоров А. Μ.— Успехи физ. наук, 1955, т. 57, с. 48ft; Javan Α.— Phys. Rev., 1970,
vol. 107, p. 1579.
14. Коварский В. Α., Лерелъман Η. Φ.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971, т. 61,
с. 1389; 1972, т. 63, с. 831.
15. Варшалович Д. Α.— Успехи физ. наук, 1970, т. 101, с. 369.
16. Адамов М. #., Бальмаков М. Д.— Вестн. ЛГУ (Физика, химия), 1971, № 4, с. 83;
1972, № 1, с. 29.
17. Переломов А. М., Попов В. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1969, т. 57г
с. 1684; Базъ А. И., Зельдович Я. Б., Переломов Α. Μ'.— Рассеяние реакции и
распады в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд. М.: Наука, 1971.
18. Фок В. Α.— Успехи физ. наук, 1936, т. 16, с. 1070.

106
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
КОММЕНТАРИЙ
Создание лазерных источников света, способных, в принципе, создавать поля с на-
пряженностями порядка атомных, существенно изменило характер задач, представляющих
интерес для квантовой теории взаимодействия излучения с веществом. Прежде эта теория
строилась в большинстве случаев как теория возмущения по электромагнитному полю.
При этом различные процессы взаимодействия с полем рассматривались как процессы
перехода из одних стационарных (в отсутствие поля) состояний с определенной энергией
в другие. В сильном поле такой способ описания неприемлем, поскольку классификация
состояний по значениям энергии теряет смысл. Комментируемая работа посвящена
изложению математического аппарата, пригодного для описания явлений в сильных
периодических по времени полях. Он основан на классификации состояний по значениям
«квазиэнергии», задание которой определяет поведение волновой функции относительно операции
смещения во времени на период поля. Понятие квазиэнергии было введено практически
одновременно и независимо Я Б и рядом других авторов. В предлагаемой работе
показывается, какие сведения о поведении системы можно получить из самого факта
существования квазиэнергии, без более детальных расчетов. Особое значение имеет то
обстоятельство, что квазиэнергия определена только с точностью до целого кратного частоты
поля, что автоматически учитывает возможность поглощения и испускания
произвольного числа квантов поля. Дальнейшие приложения понятия квазиэнергии можно найти
в ряде монографий !*-3*.
В комментируемой статье особо отмечается также, что в стационарном состоянии
в системе всегда имеет место инверсия и отрицательный коэффициент поглощения
(позволяющий осуществлять генерацию) на определенных частотах.
Далее идеи, связанные с квазиэнергией, послужили основой для заметки ЯБ4*
о возможном способе получения низких температур.
До настоящего времени нет сведений об экспериментальной реализации этих
предложений. Отметим также, что расчет квазиэнергетических состояний упрощается в том
случае, когда электромагнитная волна имеет круговую поляризацию, энергия и момент
системы оказываются связанными б*.
В литературе до настоящего времени часто используются другие методы анализа
поведения системы в периодическом поле 6*, уступающие методу квазиэнергии по
наглядности и принципиальной простоте.
1# Делоне Н. Б., Крайнов В. П. Атом в сильном электромагнитном поле. М.: Атом-
издат, 1978. 288 с.
2* Рапопорт Л. П., Зон Б. Α., Манаков Н. Л. Теория многофотонных процессов в
атомах. М.: Атомиздат, 1978. 182 с.
3* КоварскийВ. Л., Перелъман Η. Ф., Авербух И. Ш. и др. Неадиабатические
переходы в сильном электромагнитном поле. Кишинев: Штиинца, 1980. 176 с.
4* Зельдович Я. Б.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1974, т. 19,
с. 120—123.
5* Зельдович Я. Б., Манаков Н. Л., Рапопорт Л. П.— Успехи физ. наук, 1975,
т. 117, с. 563—565.
6* Аллен Л., Эберли Дж.— Оптический резонанс и двухуровневые атомы. М.:
Мир, 1978.

23. Структура ударной волны в спектре излучения
107
23
СТРУКТУРА УДАРНОЙ ВОЛНЫ
В СПЕКТРЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
ПРИ БОЗЕ-КОНДЕНСАЦИИ ФОТОНОВ*
(совместно с Р. А. Сюняевым)
Рассмотрим детально спектр фотонов, взаимодействующих со свободными
электронами путем индуцированного комптон-эффекта. Ранее, в
предположении малой передачи энергии за одно столкновение, было предсказано
возникновение разрыва в зависимости интенсивности от частоты («ударная
волна» в фазовом пространстве). При учете конечной температуры электронов
в предлагаемой работе показано, что крутизна спектра увеличивается лишь
до определенного предела, после чего с коротковолновой стороны возникает
колебательная зависимость интенсивности от частоты. Таким образом,
структура «ударной волны» оказывается более сложной, чем предполагалось,
она подобна бесстолкновительной волне в плазме, а не вязкой волне
в нейтральном газе.
1. ВВЕДЕНИЕ
Открытие мощных компактных источников низкочастотного излучения
в астрономических объектах привлекает внимание к задаче о взаимодействии
интенсивных электромагнитных волн с яркостной температурой kTb ^>
^> пгес2 со свободными электронами.
Рассмотрим пространственно-однородную и изотропную ситуацию:
спектр излучения задан спектральной плотностью энергии излучения 8V
или числом заполнения η (ν) = (c3/8nhv3) $v. Пространство заполнено
электронами с плотностью Ne и температурой Ге, которые мы считаем заданными
и постоянными, хотя результаты практически не изменяются и при
переменной температуре, в частности самосогласованной (которую электроны
приобретают в данном поле излучения). Рассеяние излучения на свободных
электронах приводит к перераспределению энергии и интенсивности по
спектру; таким образом, предметом исследования является функция
&v (t, ν), где t — время. Вместо #v излучение можно характеризовать яр-
костной температурой Тъ, связанной с #v (рассматривается длинноволновое,
неполяризованное излучение) соотношением Рэлея—Джинса:
#v = 8nkTb/cX2 = 8nkTbv2/c3.
Поскольку $ является в общем случае неравновесным, Ть зависит от
частоты Тъ (v, t). Исследуется случай большой интенсивности длинноволнового
излучения, так что в широкой области частот Тъ ^> Те. При этом, как
известно [1, 2], взаимодействие излучения, имеющего высокую яркостную темпера-
ТУРУ> с более холодными электронами сопровождается отбором энергии от
излучения *, в результате чего спектр излучения в области низких частот
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1972, т. 62, вып. 1»
с. 153—160.
1 Для реализации этого случая необходимо, чтобы электроны теряли энергию каким-
то способом, не зависящим от рассматриваемого взаимодействия с низкочастотным
излучением.

108
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
эволюционирует [3] 2. Если к тому же kTb ^> пгвс2 ^> кТе, то 1)
индуцированное рассеяние сильнее спонтанного рассеяния, а 2) при ширине спектра
Δν ^> AvD = v YlkTJmc2 интегральное уравнение для перестройки
спектра может быть преобразовано в дифференциальное. Здесь AvD — доп-
леровская ширина спектра, соответствующая тепловым скоростям электронов.
Такое преобразование было впервые проделано А. С. Компанейцем [5],
получившим уравнение
я„ β^Ν h \ я ( кТ' f)n \
-^-=^-s-Jr4-^\n~ + n+—r-4L · (i)
dt m с ν2 dv \ h ov v '
e ч '
Применительно к рассматриваемой задаче это уравнение упрощается и
может быть записано в виде
dg/дх = gdg/dv, (2)
где
g = v2n = c3ev/8nhv; dx = (2от^ек/тес) dt; στ = 8π (e2/mec2)2/3.
В работе Е. В. Левича и одного из авторов [3] рассматривалось это
нелинейное уравнение; его характеристиками являются линии
dv/dx = — g, (3)
что соответствует уменьшению частоты со скоростью, пропорциональной
спектральной плотности энергии излучения (или точнее, связанной с ней
величине g).
При определенных начальных условиях эволюция спектра,
подчиняющаяся уравнению (2), приводит с течением времени к образованию бесконечной
производной dg/dv. Для этого необходимо и достаточно существования точки
перегиба на кривой g (ν, 0) с низкочастотной стороны, т. е. производная
dg (v, 0)/dv должна иметь максимум при определенном ν = v0, g = g0:
dg/dv К, 0) > 0, <Pg/dv* (v0, 0) = 0, cPg/dv* (v0, 0) < 0.
Ситуация математически подобна нелинейному распространению
акустической волны в газе: за счет зависимости скорости волны от амплитуды
возникает сперва бесконечная производная др/дх —►■ оо, др/дх —►■ оо, а затем
ударная волна. По аналогии в [3] было предсказано формирование «ударной
волны» и в спектре электромагнитного излучения при описанных выше
условиях.
Следует отметить, что значительно раньше такие ситуации были
рассмотрены применительно к плазменным колебаниям. В работе [6] для продольных
плазменных волн составлено нелинейное уравнение, подобное (2), и
отмечено, что эволюция приводит к сужению фронта волны. Идейно эта работа
(см. также [7]) предвосхищает результаты [3].
Отметим также, что А. С. Компанеец [5] и последующие авторы работ
[1—3] пользуются квантовым языком: рассматриваются комптоновское
рассеяние фотонов и соответствующая передача импульса hv/c и энергии,
причем учитываются как спонтанные, так и индуцированные процессы,
чему соответствует характерный для бозе-частиц — фотонов множитель
(1 + п) в уравнении (1). Однако постоянная Планка h повсюду
сокращается, так что в действительности рассматривается классическая задача,
2 Этот эффект был, по-видимому, обнаружен экспериментально [4].

23. Структура ударной волны в спектре излучения
109
Эволюция спектра излучения g (v) вследствие
комптоновского взаимодействия с тепловыми
электронами.
Начальный спектр выбран в виде θ-функции. Движение
квантов по оси частот справа от разрыва определяется
индуцированным комптон-эффектом, слева —
спонтанным
а квантовый язык служит лишь для
удобства описания 3.
Вернемся от истории вопроса к
существу задачи. Возникновение бесконечной
производной dgldv в ходе эволюции
означает нарушение условия гладкости g,
необходимого для перехода от
интегрального уравнения рассеяния к
дифференциальному уравнению А. С. Компанейца (1).
Анализ интегрального уравнения
показывает, что вместо ударной волны,
двигающейся, как предполагалось в [3], по
энергетической оси в сторону малых частот, возникает колебательная
зависимость интенсивности излучения от частоты. Результирующий спектр
представлен в виде набора узких спектральных линий с шириной Δν ~ AvD,
расположенных на расстоянии Δν ~ AvD друг от друга и двигающихся в
сторону низких частот (см. рисунок).
2. ВИД ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Предлагаемая работа посвящена анализу ситуации, возникающей при
резком укручении спектра. Для такого анализа необходимо возвратиться
к интегральному уравнению вида
dg (v, t)ldt = Ag (v, t) J Κ (ν, μ) g (μ, t) άμ. (4)
Здесь А = 2anNeh/mec = τ/t. Эффективная ширина функции К (ν, μ) —
ядра уравнения (4) соответствует среднему изменению частоты при
единичном рассеянии на движущихся электронах:
КфО при 11η (μ/ν) | = | μ — ν |/ν < v/c ~ YkTjmec2.
Ядро К представляет собой разность между вероятностью переброса фотонов
из всех μ в ν и обратным процессом рассеяния из ν во все μ. Поэтому
естественно, что ядро знакопеременно и, более того,— антисимметрично, К (ν, μ) =
== -К (μ, ν).
Интегральное уравнение (4) должно отвечать ряду условий. При компто-
новских рассеяниях сохраняется полное число квантов в системе. Так как
величина g пропорциональна числу фотонов за единицу частоты, то
0 = -5л =4r j ZWdv = SS K(V' ^^^)§(μ)άνάμ. (5)
о
3 Сравните рассмотрение В. Н. Цытовича [8] (а также Я. Б. Зельдовича [9]) о числе
квантов как инварианте классического поля, а также П. Парадоксова [10] о пользе
квантового языка. Заметим, что и спонтанное рассеяние свободными электронами классично.
к
Ь 1
l·
Ι ι
и ι
%>%
t2>%
tj»tZ
>.
V

110
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
Антисимметрия К обеспечивает тождественное выполнение этого условия.
Дополнительную информацию о К можно получить, используя тот факт, что
при достаточном числе квантов в системе совместное действие
индуцированного и спонтанного комптоновских процессов должно приводить к виду
спектра Рэлея—Джинса на низких частотах. Однако выяснение точного вида
ядра К не входит в нашу задачу.
В пределе при температуре электронов Те ->- 0 и соответственном узком
К ядро можно заменить сингулярной производной от функции Дирака —
δ' (ν — μ). В этом приближении интегральное уравнение переходит
в дифференциальное, выписанное выше (2). Нашей задачей является анализ
интегрального уравнения при малом, но конечном Те. Заметим, что при
Те —►■ 0 дифференциальное уравнение приводит к разрыву, следовательно,
при любом Те анализ структуры фронта требует учета Tt Φ 0.
Первое, кажущееся естественным, предположение состоит в том, что
вместо разрыва g (v0 + 0) Φ g (v0 — 0) в решении возникает переходная
область шириной Δν ~ v0v/c ~ v0YkTe/mec2, которая будет двигаться
вниз по оси частот, как размазанная вязкостью ударная волна, со скоростью,
пропорциональной среднему значению [g (v0 + 0) + g (v0 — 0)]/2.
Однако даже без детального математического анализа можно убедиться,
что решение сложнее. В самом деле, простая «ступенька»: g = glnipmv <^ ν0
и 8 = #2 при ν >v0; gi<g2i в качестве начального условия приведет
к тому, что слева от разрыва рост будет идти медленнее, чем справа (так как
в формуле (4) интеграл непрерывен, то dgldt ~ g). Таким образом, вместо
сглаживания разрыва имеется тенденция к увеличению разрыва и
возникновению острого максимума g ^> g2 справа от разрыва. Ситуация ясно
иллюстрируется предельным случаем, когда g1 = 0, т. е. когда начальный
спектр описывается θ-функцией. Тогда при ν ]> ν0 доминирует
индуцированное комптоновское рассеяние и движение квантов в сторону низких частот.
В области ν < ν0 квантов нет, поэтому индуцированный процесс не идет,
кванты могут попасть в эту область лишь при помощи спонтанного комп-
тоновского рассеяния. В результате должно происходить накопление
квантов и образование узкой спектральной линии с шириной Δν ~ Δν^ вблизи
разрыва. Влияние спонтанного комптон-эффекта на параметры этой линии
будет рассмотрено в разд. 4.
В общем случае g2 > gi φ 0 оказывается, что вместо одиночного
сглаженного разрыва при ν ~ νΌ возникает сложная картина периодической
зависимости g от v. Одновременно с общим перемещением особенности в
сторону меньших частот происходит нарастание амплитуды колебаний; их период
по шкале частот порядка ν у/с.
Вопрос о возможности осуществления и наблюдения такого характерного
спектра в астрофизических условиях выходит за рамки данной работы;
ниже, в разд. 5, будет дан лишь пример ситуации, в которой возможно
осуществление описанной картины. Для того, чтобы ответить на этот вопрос,
надо сначала решить задачу в реалистической геометрии и с учетом
обратного влияния излучения на электроны 4.
Здесь мы ограничиваемся идеализированной постановкой задачи для того,
чтобы выявить в простейших предположениях структуру волны в чистом
4 Любопытно, что при периодической зависимости <£ν от ν можно ожидать особенно
сильное увеличение индуцированного давления излучения на электроны [11].

23. Структура ударной волны в спектре излучения
111
виде. В численных же расчетах можно использовать следующий вид ядра:
к ^ ^=-щг ία ехР <- а* (v - №]> α ~ \/Ίπτ "τ · (6)
В разд. 3 будут выяснены аналитические свойства уравнения (4).
3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ (4)
И ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
Выберем масштаб, переходя к χ = ν/α, у = μ/α, t = 6τ, таким образом,
чтобы в уравнении
dg (x, t)/dt = g {x,t)l К (χ — у) g (г/, t) dy
ядро обладало следующими свойствами (ζ = χ — у):
а) I К (z) dz = О, б) J zK (z) dz = 1, в) J zsK (z) dz = 1,
γ) Κ (ζ) = άΦ (z)/dz, д) Φ (+ζ) = Φ (-2), e) J Φ (2) dz = 1. (7)
Условия α и д отражают антисимметрию ядра К (ζ) , условие г служит
определением симметричной функции Φ (ζ) (которую можно рассматривать,
как гауссову); б, в и е — нормировочные условия.
Уравнение (4) можно переписать в виде
тг-'$*тг*· (8>
что для медленно меняющегося: g даст
dgldt = gdg/dx.
Согласно уравнению (2), можно представить себе, что кванты «движутся»
со скоростью g/2. Заметим, что скорость потока не равна скорости
распространения возмущения, а в два раза меньше последней.
Дифференциальное уравнение (2) обладает двумя существенными для дальнейшего и
очевидными «законами сохранения»:
■±-^lngdx = -g(x1) + g(xt). (10)
Χι
Легко убедиться, что оба закона имеют место и для интегрального уравнения
если в окрестности хх и х2 функция постоянна и равна соответственно
gl и g2 на протяжении нескольких единиц выбранного масштаба (напомним,
что область влияния ядра К (х — у) порядка единицы).
Попытаемся сконструировать решение с произвольного вида переходной
областью, стационарно перемещающейся влево со скоростью и:
g (x, t) = φ (χ + ut), φ (— οο) = g±, φ(+ οο) = g2. (11)

112
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
Для такого решения независимо от вида φ производные от интегралов в
формулах (9), (10) имеют вполне определенные значения
оо
-|р jj gdx = u(g2 — g1) = -^-(gl—g21),
—ОО
± \ lngdx = uln(f.) = gi-g1,
отсюда получаются два разных значения и:
и' = tei + ft)/2, (12)
«' = (g, ~ *i)/(ln g, - In gl), (13)
совпадающие только в пределе
£2 -► Si -► So, и' -► и" -► ^0.
Это значит, что при g2 Φ g1 никакое стационарное решение невозможно!
Расхождение между и и и" невелико: задавшись g2 = g0 + α, gt =
= ίο — α, получим и' = ί0, и" = g0 — α2/3ίο + . . . .
При α <^ ίο? пренебрегая различием и' и и", попытаемся выяснить,
каким могло бы быть квазистационарное решение. Для этого будем искать
асимптотику решения вида φ {χ + got) слева и справа от разрыва:
Φ = gi + β (х + got), (14)
Φ = £2 + γ (χ + g0t). (15)
Полагая β малым в (14) и γ малым в (15), ищем решение в экспоненциальном
виде:
β (η) = В ехр (рг\); у (η) = С ехр (—qr\); η = χ + g0t. (16)
Подставляя такие β и γ в уравнение (2), найдем
So = gi ехр (/?2/4) = g2 ехр (дЩ). (17)
Так как £1<£о<#21из формул (17) следует, что ρ вещественное, но q мнимое.
Значит, в квазистационарном решении фронт волны экспоненциально
примыкает к низкочастотной области хг, #1? но выход на высокочастотную
асимптотику g ->- g2 является колебательным.
Полностью линеаризованный случай δ = g2 — gi <^ go не содержит
важного свойства нелинейной задачи — укручения g (x, t), т. е. роста
I dgldx |max, когда начальная функция g (x, 0) является медленно
меняющейся. Тем не менее, линейный случай небезынтересен. Уравнение
дЬ (х, t)ldt = J Kb (2/, t) dy (18)
для фурье-компонент
δ = i &k exp (ίωΐ + ikx) dk (19)
дает дисперсионное уравнение
ω (Л) = к ехр (—Ла/4). (20)

23. Структура ударной волны в спектре излучения
11^
При малом к имеем
ω = к — 0,25л8. (21)
При больших к
ω = к ехр (-£2/4). (22)
Отсюда видно, что медленно меняющееся δ перемещается (при к ->- 0) как
целое с единичной скоростью, так как
ίωΐ + ikx = ik (t + %)- (23>
Напротив, разрыв или другая особенность, характеризующая асимптотику
к—^оо, стоит на месте, поскольку при большом к в пределе ω —>- 0
зависимость от t исчезает.
4. ОБСУЖДЕНИЕ
Детальное выяснение картины потребует численного счета. Однако уже*
приведенные соображения показывают, что при индуцированном комптонов-
ском взаимодействии излучения высокой интенсивности, в спектре которого
с низкочастотной стороны имеется точка перегиба, с тепловыми электронами
следует ожидать весьма своеобразный результирующий спектр с
несколькими минимумами и максимумами. Спонтанное рассеяние может сгладить их-
с высокочастотной стороны.
Сам факт появления максимумов интенсивности при частотах, не
соответствующих никаким резонансам в системе, настолько любопытен, что
представляется целесообразным обсуждение ситуации даже до количественного
выяснения всей картины.
Структуру и эволюцию спектра излучения легко объяснить качественно
в простейшем примере с начальным спектром, выбранным в виде θ-функции:
g (ν }> ν0) = const, g(v < v0) = 0. Тогда при ν ^> ν0 движение квантов по
оси частот определяется индуцированным комптон-эффектом и идет со
скоростью
dv/dt | ind = — Ag = — GTNehv2n/mec. (3')
При ν < ν0 квантов нет, индуцированный процесс не идет, и кванты могут
попасть в эту область лишь при помощи спонтанного комптоновского
рассеяния. Вероятность спонтанного рассеяния w = oTNec, среднее изменение
частоты в одном акте | Avsp | ~ w/c. Сравнивая | Avsp | с индуцированным
сдвигом частоты
Ι Δνίηά | = | dv/dt |ird/u;sp
за то же время l/wSp» видим, что при
кТь = nhv > mecv = Ymec2kTe (24)
движение квантов по оси частот за счет индуцированных процессов идет
быстрее, чем за счет спонтанных, и что в области ν ~ ν0 должно происходить
накопление квантов. Очевидно, что в зоне с Δν/ν0 ~ vie должно скопиться
такое количество квантов, чтобы их уход в сторону меньших частот вследствие
спонтанного рассеяния сравнялся с притоком со стороны больших частот,
связанным с индуцированными процессами. В результате образуется узкая

114
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
линия вблизи v0 (см. рисунок). В дальнейшем, так как поток квантов в
сторону низких частот сохраняется, эта линия должна двигаться со скоросаью
(3), но при этом уже может возникать сложная колебательная структура
спектра. Легко сделать грубую (и явно завышенную в связи с пренебрежением
ролью индуцированных процессов в формировании линии) оценку
стационарной высоты линии:
Тъ (А)/Ть = пА/п = gA/g ~\ду/М\ш (g)/(\ Δν |8Р (Λ) ws9) ~
~ hv0n/(mecv) = kTb]fmec2/kTe/(mec2). (25)
5. ВОЗМОЖНОСТЬ АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ПРИЛОЖЕНИЙ
В [12] отмечалось, что индуцированное комптоновское взаимодействие
низкочастотного излучения с тепловой плазмой может существенно искажать
спектры квазаров, ядер галактик и пульсаров в области частот, где яркост-
ная температура излучения кТъ ^> тп^с21хт. Здесь ττ = oTNel— оптическая
толща по томсоновскому рассеянию излучающей области с характерным
размером I. Так как яркостные температуры излучения компактных
радиоисточников в квазарах и ядрах галактик достигают Тъ ~ 1013 К ~ (103—104)
тес2, в пульсарах даже Тъ ~ 1025 К ~1016 пгес2, то при наличии источников
с точкой перегиба с низкочастотной стороны в начальном спектре можно
надеяться на наблюдение узкой интенсивной линии в спектрах этих источников.
Отметим, что в этом случае имеет место стационарная задача с выходом
квантов из пространственно ограниченной области, в которой происходит
рождение квантов и их рассеяние.
Для того, чтобы неоднородность источника (и различие спектров
излучения в пространственно разделенных областях источника) не приводила к
замыванию обсуждаемых линий, особый интерес представляет следующее
геометрическое расположение рассеивающих электронов. Облако электронов,
имеющее оптическую толщу %т и линейный размер I, находится между
источником радиуса R и наблюдателем, причем оно удалено от источника на
расстояние г ^> R, г^> I. Тогда, если kTb ]> (mec2hT) (r/i?)3 [12], в спектре
должна образоваться узкая интенсивная линия излучения с Тъ (Λ) ^> Ть
в непрерывном спектре.
Пользуемся случаем выразить благодарность Г. И. Баренблатту,
Ю. А. Березину, А. А. Галееву, Е. В. Левичу, Р. 3. Сагдееву за
многочисленные обсуждения. Мы особенно благодарны А. X. Рахматулиной
проделавшей предварительные численные расчеты искажений спектра.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 28 июля 1971 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Peyraud P. /.— J. Phys., 1968, vol. 29, p. 88, 306, 872.
2. Зельдович Я. Б., Левич Е. В.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1970,
т. 11, с. 497.
3. Зельдович Я. Б., Левич Е.В.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1968, т. 55, с. 2423.
4. Красюк И. /Г., Пашинин П. Я., Прохоров А. М.— Письма в Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1970, т. 12, с. 439.
5. Компанеец А. С.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 876.
6. Галеев А. Л., Карпман В. Я., Сагдеев Р. 3.— Докл. АН СССР, 1964, т. 157, с. 1088.
7. Drummond L.— Ргерг., 1967.
8. Цытович В. Н.— Нелинейные эффекты в плазме. М.: Наука, 1967.

24. Равновесная концентрация позитронов в оптически тонкой плазме 115
9. Зельдович Я. Б,— Докл. АН СССР, 1965, т. 163, с. 1359.
10. Парадоксов П.— Успехи физ. наук, 1966, т. 89, с. 707.
11. Левич Е. В.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971, т. 61, с. 112.
12. Сюняев Р. Α.— Астрон. журн., 1970, т. 48, с. 244.
КОММЕНТАРИЙ
В термодинамическом равновесии «химический потенциал» фотонов тождественно
равен нулю, так как фотоны могут рождаться и поглощаться. Поэтому истинная
равновесная бозе-конденсация фотонов невозможна.
Однако возможна кинетическая бозе-конденсация в ситуации, когда излучением и
поглощением можно пренебречь и имеет место лишь рассеяние с изменением частоты, но
с сохранением числа фотонов. Именно эта ситуация рассмотрена в статье с помощью
кинетического уравнения А. С. Компанейца.
Статья представляет особый интерес в связи с предсказанием возможности
образования узких спектральных линий в спектрах космических радиоисточников с высокой яркост-
ной температурой излучения. Замечательно, что образующиеся линии не имеют отношения
к какой-либо квантовомеханической системе с дискретными энергетическими уровнями,
а являются следствием индуцированного комптон-эффекта.
Идеи, высказанные в статье, получили развитие в обзоре ЯБ 1Нс, а в связи с
процессами в плазме — в ряде статей2*-4*.
х* Зельдович Я. Б,— Успехи физ. наук, 1975, т. 115, с. 161—197.
2* Галеев А. А. Сюняев Р. А.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 63,
с. 1266—1281.
3* Галеев Α. Α., Сагдеев Р. 5.— В кн.: Вопросы физики плазмы. 1973. М.: Атомиздат,
т. 7, с. 3—145.
4* Галеев А. Л., Сагдеев Р. 5.— В кн.: Основы физики плазмы. М.: Энергоатомиздатг
1983, т. 1, с. 590—638.
24
РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ ПОЗИТРОНОВ
В ОПТИЧЕСКИ
ТОНКОЙ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЕ*
(совместно с Г. С. Бисноватым-Коганом, Р. А. Сюняевым)
В плазме, непрозрачной для излучения, рождение позитронов начинается
при температурах кТ ~ 0,1 тс2. Очень быстро (при кТ ~ 0,4 тс2 — масса
электрона) давление пар сравнивается с давлением излучения и может
значительно превысить давление электронов [11 **. В плазме малой плотности,
когда излучение свободно уходит, концентрация позитронов определяется
равновесием между процессами рождения пар при столкновениях е~, е+
с ядрами и друг с другом (без участия фотонов) и аннигиляцией электронов
и позитронов (с испусканием фотонов); детальное равновесие не имеет места
и равновесные термодинамические формулы не применимы. В эюй заметке
мы даем физическую картину процессов в такой плазме.
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1970, том 12, вып. 2Г
с. 64—66.
** Здесь имеется в виду ситуация в горячей Вселенной, где до рождения пар
концентрация электронов в 109 раз меньше концентрации фотонов (прим. редактора).

116 Часть первая. III. Атомная физика и излучение
Основным результатом является отсутствие равновесного состояния при
температурах, превышающих 20 МэВ, что устанавливает верхний предел на
температуру оптически тонкой релятивистской плазмы.
Аннигиляция есть процесс второго порядка по заряду, его сечение порядка
(h/mc)2a2g (Е/тс2) = r20g (Elтс*),
где а = е21%с = 1/137 — постоянная тонкой структуры, г0 = е2/тс2 — 2,8·
•10"13 см — классический радиус электрона, Ε — энергия пары в системе
центра массы. При Ε ^> тс2 функция g ~ Е~2.
Число аннигиляции в единице объема и в единицу времени, полученное
интегрированием по максвелловским распределениям электронов и
позитронов, равно
А = nn+njcrlty (θ), θ = kT/mc2,
где
ψ (0) - 1 πψ (θ) ~ θ""2 при θ > 1.
Рождение пары при столкновении заряженных частиц есть процесс
четвертого порядка по заряду, так что его сечение порядка
{%lmc)2a*f (Е/тс2) = r20a2f (Е/тс2).
После интегрирования по максвелловскому распределению получим число
рождений пар
В = π (пр + п+ + /г_) (п+ + п_) crla2y (Θ).
φ (θ) ~ ехр (—2/Θ) для θ < 1 и φ ~ const для 1 <^ θ < М/т,
так что ядра нерелятивистские. Мы отвлекаемся здесь от медленно
меняющихся логарифмических по θ факторов и от различия в численных
коэффициентах для столкновений ре", ре+, е~е~, е~е+. Электронейтральность дает
ην + п+ = п_, так что окончательно
dnjdt = В — А = псг20п__п+ [2α2φ (θ) (1 + njn+) — ψ (θ)].
Отсюда видно, что в стационарном состоянии каждой температуре отвечает
определенное отношение позитронов к электронам:
">- 1st = 2α2φ (θ) [ψ (0) - 2α2φ (θ)Γι.
„Аналогичная ситуация возникает при определении степени ионизации
плазмы малой плотности, где ионизация осуществляется электронным ударом
и идет радиационная рекомбинация (формула Элверта). Точные расчеты по
формулам, приведенным в [2], дают выражение для концентрации
позитронов (Θ > 1, ψ > 2α2φ, njn_ < 1):
п+ = (56пр/27п2) (α2θ2 In2 (1 + θ)) ж 10~5 njd2 In2 (1 + θ).
Отметим отличие от полного статистического равновесия, где
произведение п+п_ является постоянным, порядка (тс/Н)6% (Θ). При п__ <^ (mclfif =
= 1033 см"3 в оптически тонкой и малоплотной плазме, которая
встречается в астрофизике, стационарная концентрация позитронов, вычисленная
выше, весьма мала по сравнению со статистически равновесной концентрацией
позитронов при той же температуре. Новые явления возникают, когда
величина α2φ/(ψ — α2φ) обращается в единицу. Возникает равенство п+ = п_
и стремление п+, га_->-оо, поэтому стационарное решение не существует.

24. Равновесная концентрация позитронов в оптически тонкой плазме 117
Это имеет место при Τ χ AOmc2 ^ 20 МэВ. При лавинообразном нарастании
числа пар п+ = п_ кинетическое уравнение имеет вид
dnjdt = D (θ) 4, D = ncr20 [2α2φ (θ) - ψ (θ)].
Это уравнение привело бы к уходу п+ в бесконечность за конечное время.
Очевидным ограничением является статистическое равновесие, которое
возникло бы, когда при данной температуре плазма станет толстой и по
тормозному поглощению квантов, а не только по комптоновскому рассеянию и
рождению пар квантами. Однако в астрофизике дискретных радиоисточников
мы всегда чрезвычайно далеки от равновесия, которое требовало бы
гигантского излучения энергии.
В действительности нарушается условие постоянства температуры и тем-
лература подстраивается так, что D = 0, а концентрация позитронов
соответствует мощности подкачки энергии.
Наконец отметим, что рождение пар всегда энергетически гораздо меньше
«(по крайней мере в а раз) по сравнению с тормозным излучением.
Специфическая роль рождения пар связана с тем, что при наличии магнитного поля
позитроны остаются в пределах рассматриваемой области пространства,
тогда как фотоны уходят из оптически тонкой (г < 1 по комптоновскому
рассеянию) области. При ультрарелятивистской температуре тормозные фотоны
вызывают фоторождение пар с сечением в а раз меньше сечения рассеяния фотонов.
Этот фактор а компенсирует отношение а"1 тормозного излучения к
рождению пар при столкновении. Поэтому для справедливости результатов
приведенных выше достаточно условия г < 1. При г < 1 пока мало тормозное
поглощение и нет термодинамического равновесия, также существует
температура, при которой исчезает стационарность, она ниже 40 тс2 и около тс2
при г ~ 10.
Релятивистская плазма в астрофизических условиях может длительно
состоять из одних и тех же частиц, причем потери энергии компенсируются
подкачкой излучением, ударными волнами, переменными магнитными полями.
В частности, такая ситуация может иметь место вблизи, радиоизлучающих
областей квазаров и пульсаров [3]. Возможен другой случай, когда в данную
область пространства впрыскиваются быстрые частицы, покидающие область
одновременно с потерей энергии.
Наши расчеты относятся лишь к плазме с временем жизни больше времени
установления равновесия. Наблюдение плазмы с температурой (или
эффективной энергией) электронов существенно выше критической
свидетельствует о кратковременном пребывании плазмы в таком состоянии. Подробная
статья будет опубликована в «Астрономическом журнале».
Благодарим А. 3. Долгинова за замечание, стимулировавшее данную
работу.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 5 июня 1970 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. 567 с.
2. Ахиезер А. If., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М.: Физматгиз,
1959. 656 с.
.3. Левич Е. В., Сюняев Р. Α.— Радиофизика, 1978, т. 13, с. 1873—1878.

118
Часть первая. III. Атомная физика и излучение
КОММЕНТАРИЙ
Сейчас после открытия удивительного мощнейшего источника в аннигиляционной
линии позитрония в области галактического центра **, после обнаружения аннигиляцион-
ных линий в спектрах космических гамма-всплесков 2* и торжества модели Рудермана —
Сазерленда 3*, связывающей наблюдаемые свойства радиопульсаров с рождением элект-
ронно-позитронных пар, их ускорением и излучением не удивительно, что
комментируемая работа — первая, указавшая на возможность катастрофически сильного рождения
пар в высокотемпературной плазме, широко цитируется и обсуждается. Ее выводы
обсуждаются, уточняются и развиваются 4*~6*.
Отметим, что основные ссылки идут на более подробную статью авторов 7*, где
затрагивается вопрос о гамма-излучении высокотемпературной электронно-позитронной
плазмы.
Вместе с тем необходимо отметить, что постановка вопроса в комментируемой статье
содержит далеко идущую идеализацию. В астрофизической ситуации необходимо рассма-
ривать конкретный механизм подвода энергии к плазме и пространственно-временную
картину явления.
х* Riegler G. #., Ling /. С, Mahoney W. A. et al.— Astrophys. J. Lett., 1981,
vol. 248, p. L13—L16.
2* Mazets E. P., Golenetskii S. F., Aptekar #. Z,.— Nature, 1981, vol. 290, p. 378—382.
3* Манчестер Р., Тейлор Дж.— Пульсары. М.: Мир, 1980. 292 с.
4* Cavallo G., Rees M,— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1978, vol. 183, p. 357—365.
5* Aharonian F.A., Atoyan A. M., Sunyaev Я. Л.— Astrophys. and Space Sci., 1983r
vol. 93, p. 229—245.
6* Svensson #.— Astrophys. J., 1982, vol. 258, p. 335—348.
7* Бисноватый-Коган Г. С, Зельдович Я. Б., Сюняев Р. Α.— Астрон. журн., 1971Т
т. 46, с. 24—31.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АСТРОФИЗИКА И КОСМОЛОГИЯ
IV. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
И КОСМОЛОГИЯ
V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
И АСТРОФИЗИКА
VI. НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ И ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ,
АККРЕЦИЯ
VII. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА
И ИЗЛУЧЕНИЯ ВО ВСЕЛЕННОЙ
VIII. ОБРАЗОВАНИЕ
КРУПНОМАСШТАБНОЙ СТРУКТУРЫ
ВСЕЛЕННОЙ
IX. НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В КОСМОЛОГИИ

IV
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
И КОСМОЛОГИЯ
25
КВАРКИ: АСТРОФИЗИЧЕСКИЙ
И ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЙ АСПЕКТЫ*
(совместно с Л. Б. Окунем и С. Б. Пикелънером)
1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущем номере УФН опубликован целый ряд высказываний о
путях развития и задачах физики элементарных частиц. В связи с этой
дискуссией имеет смысл отметить еще одно возможное направление исследований,,
возникшее в последнее время, наравне с исследованиями на ускорителях
и в космических лучах.
Речь идет о поисках новых редких типов стабильных частиц в окружающей
нас природе. Таким образом, к исследованию элементарных частиц наряду
(но, конечно, не взамен!) с традиционными направлениями могут быть
добавлены физико-химические методы обогащения и исследования. Различные
аспекты этого направления обсуждаются ниже.
В последнее время обсуждается возможность существования новых типов
частиц тяжелее протона с дробным или целым зарядом. Классификация
известных сильно взаимодействующих частиц (SU3-, 5С/6-симметрии),
естественно, приводит к предположению о существовании трех частиц-кварков
с зарядами +2/3е, —г/3е, —xUe H» 2] (см. популярный обзор [48]).
Не исключена также возможность существования новых типов частиц,
с целыми зарядами в рамках 5£73-симметРии [3—8] *, так и не связанных
с SUд-симметрией [9].
Среди кварков, частиц с дробным зарядом, одна — наиболее легкая —
должна быть стабильной, притом не только в вакууме, но в силу дробности
электрического заряда — ив соприкосновении с обычным веществом
(ядрами, электронами). Частицы с целым зарядом могут быть нестабильны, но не
исключены и запреты, которые обусловят стабильность таких частиц. Эти
запреты могу! быть связаны с сохранением нового квантового числа типа
заряда — суперзаряда 2. При строгом сохранении суперзаряда рождение
и уничтожение суперзаряженных частиц возможно лишь парами — частица
и античастица. Запреты могут быть связаны также с тем, что частицы могут
обладать необычными сочетаниями известных квантовых чисел. В этом
случае их число должно сохраняться не абсолютно, а, как и в случае кварков,—
* Успехи физических наук, 1965, т. 87, вып. 1, с. 113—124.
1 Схемы, соединяющие классификацию частиц по SU3 или SU6 с предположением
о существовании фундаментальных частиц с целыми, а не дробными зарядами, сложнее,
чем схема кварков, и содержат большее число фундаментальных частиц.
2 Суперзарядом [7] мы называем утроенный средний заряд S С/3-супермультиплета.
Если существуют S£/3-триплеты с целыми зарядами (типа ρ, η, Λ), их суперзаряд равен
единице. У кварков суперзаряд равен нулю.

25. Кварки: астрофизический и физико-химический аспекты 121
по модулю. Например, барионы с целым спином могут рождаться при
столкновении нуклонов парами (сохранение по модулю два). Заметим, что кварки
сохраняются по модулю три, т. е. при реакциях могут образовываться или
уничтожаться только 3, 6, 9 и т. д. кварков; например, 7 кварков не могут
целиком превратиться в обычную материю — останется по крайней мере
один свободный кварк.
2. ОБРАЗОВАНИЕ КВАРКОВ
ЧАСТИЦАМИ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ
Эксперименты при высоких энергиях до сих пор не привели к открытию
новых стабильных частиц и показали, что масса этих частиц не может быть
малой. Опыты на ускорителях [10—15] не обнаружили кварков вплоть до
масс 3—5 ГэВ и сечений рождения ΙΟ"34—10"32 см2.
Опыт в космических лучах [21] дает на высоте порядка 2,5 км верхнюю
границу потока релятивистских кварков с зарядом х1^е величину /ι/3 <
< 1,6· 10"8 см"2 · с""1 · ср"1 (опыт на уровне моря [22] дает границу потока 20·
•10~8 см^-с^-ср"1). Если предположить, что замедление кварков в атмосфере
примерно такое же, как у нуклонов, и что сечение их рождения ~0,01 мб,
то из указанного верхнего предела следует, что mq ^> 7 ГэВ. При этом
используется интегральный спектр первичного космического излучения
N (Е) = 0,9£"Ь5 см^-с^-ср"1, (1)
где Ε — в ГэВ.
Поиски долгоживущих частиц с целым зарядом на ускорителях в Брук-
хейвене и ЦЕРНе [16—20] дали отрицательный результат вплоть до масс
4 ГэВ и показали, что эти частицы если и образуются, то в количестве,
примерно на три порядка меньшем, чем антипротоны.
Наряду с поисками новых стабильных частиц, в опытах по столкновению
жри высоких энергиях возможен и другой путь — поиски частиц,
образовавшихся давно и имеющих температуру среды. Если предположить, что кварки
могут рождаться первичными космическими нуклонами с Ε ^> 300 ГэВ, то
с принятыми выше параметрами их должно было родиться в атмосфере за
5·109 лет примерно 1011 см"2, что составляет примерно 108 кварков на 1 г
поглощающего слоя атмосферы. Из верхних слоев атмосферы кварки
диффундируют в нижние слои, служат там центрами конденсации капель, с осадками
выпадают на поверхность Земли и перемешиваются в океане. При этом
получается примерно 105 кварков на грамм воды. Если же осадки собирались
во внутренних водоемах, которые потом становились сушей, то
концентрация может быть на 1—3 порядка выше.
Из-за отсутствия перемешивания концентрация кварков, образованных
космическими лучами, может быть порядка 109 на 1 г в метеоритах. Однако
размер метеорита должен быть очень большим (~30 см), чтобы удержать
кварки в момент рождения.
В отдельных случаях концентрация космических лучей может быть
значительно больше средней. На Солнце во время хромосферных вспышек
образуется много космических лучей, правда, с относительно небольшой
энергией. Гораздо более мощными источниками являются переменные звезды
типа τ Тельца, находящиеся в процессе гравитационного сжатия: на этих
звездах происходит сильная конвекция, которая приводит к появлению
переменных магнитных полей и ускорению частиц. Таким образом, звезда является

122 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
источником «собственных космических лучей». Об этом говорит аномальна
большое количество Li и некоторых других элементов, являющихся
осколками более тяжелых ядер. Есть звезды с аномально большим содержанием
Не3, который, по предположению авторов [23], образуется из Не4
космическими лучами. Повышенное содержание дейтерия и Li на Земле также
связывается с периодом образования солнечной системы, когда Солнце
представляло собой звезду типа τ Тельца и облучало вещество планет.
Энергетический спектр здесь неизвестен, но если бы он был достаточно жестким, наряду
с Li должны были бы образовываться и кварки.
Наиболее мощные источники космических лучей — сверхзвезды, или
квазизвездные источники [24],— также должны образовывать кварки. Наконецг
кварки могли образовываться при взрывах меньших масштабов,
происходящих в центрах галактик. Однако относительно небольшая длительность
процесса взрывов и малая масса газа позволяют думать, что основной вклад в
Галактике дают все-таки обычные космические лучи.
3. ОБРАЗОВАНИЕ И ВЫГОРАНИЕ КВАРКОВ
В НАЧАЛЬНЫЙ ПЕРИОД РАСШИРЕНИЯ МЕТАГАЛАКТИКИ
Если гипотетические стабильные частицы (не кварки!) обладают особым
строго сохраняющимся квантовым числом, подобным барионному зарядуг
то их минимальная концентрация является мировой характеристикой,
подобной суммарному барионному заряду нашего участка Вселенной, и может
быть, в принципе, любой. Если, однако, эти частицы сохраняются по модулюг
то их ожидаемая концентрация зависит от их истории, т. е. от физических
условий, в которых было ранее вещество, и от процессов, которые приводят
к уничтожению частиц. Рассмотрим, например, уничтожение кварков.
Поскольку кварки тяжелее нуклонов, возможен процесс
?ι + ?ι -+ Яз + ?-1 (2>
с последующим qx + g_x —►■ nq0. Здесь индекс указывает число кварковг
входящих в частицу, знак минус соответствует античастице. Таким образомт
Qx — единичные кварки, q2 — пары кварков, соединенные сильным
взаимодействием, q3 — обычные барионы из трех кварков, q0 — мезоны. В силу
реакции (2) уничтожение кварков может идти серией парных столкновение
а не более редкими тройными столкновениями.
Процесс типа (2) не учитывав! возможность существования q2. Однака
учет q2 не меняет вывода о роли парных столкновений. Действительно, если
т2 ^> mi + m3i то идет реакция q2 —►■ q3 + (7-ι*> если же m2<imx — т3, то
свободные кварки окажутся нестабильными: qx —►■ q3 + g_2. В этом случае
частицы с дробным зарядом, которые могут существовать в природе,
окажутся дикварками. Если, наконец, т2 лежит в интервале, обеспечивающем
одновременно стабильность частиц q2 и ql9 то оба сорта частиц уничтожаются ва
всех вариантах двойных столкновений. Аналогично и с теми же выводами
можно рассмотреть g4, qb . . .
Наиболее существенным с точки зрения возможности образования и
выгорания кварков является период начального расширения Метагалактики,
если это расширение происходило из сингулярного состояния. При этом
приходится исходить из определенной космологической гипотезы. Здесь будет
предполагаться, что модель однородной и изотропной Вселенной А. А.
Фридмана (см., например, обзор [25]) применима с достаточной точностью, вплоть

25. Кварки: астрофизический и физико-химический аспекты 123
до t ^ 10~7 с. Отклонения от однородности и изотропии, которые на ранней
стадии могут быть существенны [26, 27], могут, разумеется, заметно
изменить результаты. Выбор же между открытой и закрытой моделями на
начальной стадии совершенно не существен. С другой стороны, теория Фридмана
оставляет свободными термодинамические параметры вещества, удельную
энтропию и удельный лептонный заряд единицы массы покоя вещества.
Предположим вслед за Гамовым [28], что в особом состоянии при
бесконечной плотности удельная энтропия была велика («горячая модель») 3.
Тогда на ранней стадии расширения плотность квантов и всех видов пар частиц
и античастиц существенно превышала избыточную плотность барионов,
соответствующую зарядовой несимметрии нашей окрестносаи, которая нами
экстраполируется на всю Вселенную. При t —►■ 0 величины ρ —►■ оо, Τ —►■ оо.
Задаваясь значением массы кварка т, легко найти относительную
равновесную концентрацию кварков при Τ <[ т 4: эта концентрация η ~ е~т1Т.
В настоящее время нет условий, когда заметное число кварков находилось
бы в равновесии. Поэтому надо определить момент, когда в ходе расширения
фактическая концентрация кварков перестает следовать за равновесной
концентрацией (момент «закалки» равновесия). Аналогичная задача была
решена раньше применительно к закалке антинуклонов [29].
Из уравнений общей теории относительности для решения Фридмана и из
термодинамики следует
ρ = ahT* = 3/32πΩ2, s = 4ahT3/3pb, (3)
здесь а = ίσ/c = π2/15, где σ — константа Стефана—Больцмана, рь —
плотность массы покоя избыточных барионов, s — удельная энтропия,
отнесенная к единице этой массы, h — безразмерное число, учитывающее наличие
других частиц, находящихся в равновесии с излучением цри данной
температуре (h = 1 для одних квантов, h = 2,75 для квантов и е+, е~ пар при
Τ > mec*).
С учетом мюонов и нейтрино h ~ 9. Формулы (3) относятся к начальной
стадии, когда pb<^p. Обозначим через η концентрацию кварков, отнесенную
к концентрации избытка барионов, N = р&/М, где Μ — масса бариона.
Равновесная концентрация при Τ <^ m
neq χ (2/Νγ<* (mT/2n) exp [- (m - М1Ъ)1Т]. (4)
Это уравнение напоминает формулу Саха, но для системы, состоящей из трех
частиц. Уравнение кинетики имеет вид
dn/dt ж νσ2Ν (nlq — и2), (5)
где ν — средняя скорость, σ2 — сечение соударения двух кварков,
антикварков или дикварков, ведущего к уменьшению числа этих частиц на единицу.
Множитель N входит благодаря тому, что концентрация кварков, выраженная
ъ см"3, равна Cq = nN. Ясно, что Cq меняется как вследствие реакций, так
и за счет общего расширения, тогда как η меняется только за счет реакций.
Время установления равновесия τ ^ (va2Nnbq)"1.
Для того, чтобы определить момент «закалки», время τ нужно сравнить
с характерным временем изменения neq из-за расширения, описываемого
3 В последнее время к этой гипотезе примкнули также Хойл и Тайлер [44].
4 Мы работаем в единицах й = с = А = 1. В этих единицах масса, энергия и
температура имеют одинаковую размерность и могут выражаться в градусах, в
мегаэлектронвольтах, в единицах массы протона и т. д.

124 Часть вторая, IV. Элементарные частицы и космология
формулой (3). Это характерное время tx находим из условия
tl1 = d In n^ldt x m/2Tt = 1/2θί, (6>
где используется (4) и г ~ trlf* из (3). Величина θ = Τ/т. (Мы пренебрегаем
изменением предэкспоненциального множителя в (4).)
Весь период расширения можно разделить на две стадии. В первой τ < tx
и η χ nbq. На второй стадии t ^> £,, η j> neq и можно пренебречь рождением
новых кварков. В момент ί0, разделяющей обе стадии, можно приближенна
положить η ж 2neq (t). Интегрирование уравнения
dn/dt = —νσ2Νη2 (7)
от t = t0 дает для относительной концентрации после «закалки» выражение
оо
-J— = С w2iV Λ ж 2σ2νΝ0ΐ0. (8)
η (оо) J
Последний результат получится, если учесть, что Ν = Ν0 (ί0/ί)3/ί (см. (3))
и σ2ι> ж const. Используя t0 из (3), запишем (8) в виде
„(oc)=y-g--^-Wr=y-S-^3T(—) ^, (9)
где Г — температура излучения, оставшегося к настоящему времени
(расширение предполагается изэнтропическим), a JV — средняя плотность
нуклонов в настоящее время. Величина h ж 3 относится к моменту, когда
остались только кванты и два сорта пар нейтрино ve, л>е, νμ; h0 ^ 9.
В единицах массы нуклона Μ можно принять σ2ν ж М~2, Т0 ^ Μ (см.
ниже), G = 0,610~38 М~2. Отсюда следует, что
η(οο)^β.ί0τΐ9(Τ*/Ν). (10)
По существу малость концентрации кварков является следствием малости
гравитационных сил. При этом, чтобы дать безразмерную характеристику
гравитационного взаимодействия, нужно записать GM2lhc, Μ — масса
нуклона, по аналогии с е21Нс — постоянной тонкой структуры. Качественно
легко понять, почему слабость гравитационного взаимодействия приводит к
малой концентрации: скорость расширения на начальных стадиях должна быть
выбрана такой, чтобы кинетическая энергия расширения как раз преодолела
гравитационное притяжение и позволила веществу перейти от ρ = оо к
сегодняшнему ρ = 10"30. Слабость гравитации означает медленность
расширения и создает условия для гибели кварков.
С другой стороны, чем выше температура и энтропия, тем больше разных
частиц (квантов, пар е+, ё~ и т. д.) приходится на один нуклон; в более
разбавленной системе кварки сталкиваются и гибнут реже, отнесенная к одному
нуклону концентрация кварков больше.
Величина Τ3/Ν, приходящаяся на один нуклон, известна в настоящее
время с большой неопределенностью. Если Г^1°, aJV^ 2-10"7 см"3, что
отвечает нижней границе плотности с учетом одних галактик (см. [30] с
редукцией к постоянной Хаббла Η = 100 км/(с-Мпс)), то Τ3/Ν ^ 109. Это
отвечает горячей модели мира. Прямые измерения метагалактического фона ра-

25. Кварки: астрофизический и физико-химический аспекты 125
диоизлучения приводят к выводу, что Τ <С 3 К [31] 5. Наблюдениям не
противоречит, однако, и величина Τ3/Ν χ 1. Такой малой энтропии отвечает
модель исходного холодного вещества, состоящего из свободных кварков
и нуклонов 6. Таким образом, в зависимости от величины Τ3/Ν возможная
концентрация кварков после первичного расширения будет составлять
10~9—10""18, даже если в начале их концентрация была близка к единице.
Следует подчеркнуть, что эти числа являются сугубо ориентировочными.
В частности, они могут сильно измениться при учете неоднородности и
анизотропии.
Уточним теперь значения величин t0 и Т0, определяемые равенством
(ОТаЛГевГ1 = 2θί (И)
или
θ ехр ( - 4-) » -^^ %£''{h,koYU « 5 ■ 10-", (12)
если s ^ 109. Отсюда следует, что θ^ 1/30. Если масса кварка m ж 10 ГэВ,
то температура закалки Т0 ж 300 МэВ, а время, когда происходит закалкаг
t0 ж G~4*Tq2 ^ 10"5 с. Из (8) и (10) следует, что величина Т, а
следовательно, и η (оо) слабо зависят от массы кварка т. Дело в том, что, хотя
равновесная концентрация neq экспоненциально зависит от т и Г, скорость
реакции сама зависит от neq. Поэтому момент t0 оказывается всегда
соответствующим определенному п, которое от т зависит только алгебраически.
Весь процесс закалки заканчивается при температуре выше 100 МэВ,
так что кулоновские барьеры и кулоновское прилипание кварков к
нуклонам не играют роли при оценке величины ш2? характеризующей сечение
реакции двух кварков. Ядра при этих условиях вообще не существуют.
4. СОХРАНЕНИЕ КВАРКОВ
В ПРОЦЕССЕ ЭВОЛЮЦИИ ГАЛАКТИКИ
Выше было оценено выгорание кварков в первые микросекунды фридма-
новского расширения. Рассмотрим теперь, как должно изменяться
содержание кварков в процессе дальнейшей эволюции вещества. Эта задача имеет
тем больший интерес, что уточнение верхнего предела содержания кварков
могло бы дать тогда некоторые ограничения и для выбора космологических
моделей.
Согласно современным космологическим представлениям, первичный
газ образовывал конденсации, которые, постепенно дробясь, дали начало
галактикам. В галактиках газ превращался в звезды, более массивные
из которых быстро проходили свою эволюцию и выбрасывали часть газа,
обогащенного тяжелыми элементами, в межзвездное пространство. В нашей
Галактике более 98% газа уже превратилось в звезды. В звездах процесс
выгорания кварков при парных столкновениях продолжался. Однако теперь
5 Самые последние сведения, полученные путем измерения радиошумов на длине
волны 7 см, говорят как будто в пользу Τ ~ 4 К [47].
6 Уже в работе [45] было отмечено, что в теориях, где барионы рассматриваются как
составные, при достаточно высокой плотности нельзя говорить о газе из всех известных
из эксперимента частиц (/?, Ν, Λ, Σ, Ξ). В действительности нужно говорить о газе из
«собственно» элементарных частиц — /?, JV\ Λ в модели Сакаты, или из кварков, по
современным взглядам^

126 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
существенную роль начинает играть кулоновское взаимодействие между
шкварками и ядрами и кварков между собой.
При максвелловском распределении число реакций в 1 см3 за 1 с равно
(см., например, [32])
С1С^и = Сир1С, (^)'/з Т-г<> ехр [-3 (ΐ*-α?Ζ\Ζΐψ-ψ] , (13)
где пг12 — приведенная масса частиц, А12 — она же в долях массы протона,
α = 1/137, Сг = С2 = С (Т) — концентрация частиц, С12 — постоянная для
данной реакции. Если принять параметр сечения реакции, как для дейтерия,
м выразить Τ в эргах, то С12 ~ 2-10"20. Из уравнения типа (7) и из (13)
находим концентрацию оставшихся кварков
С (t) « 2/Fqq(t), (14)
если, разумеется, начальная концентрация была выше.
Для кварков с Ζ = +2/3 ni^5 концентрация через 109 лет при Τ =
= 106 К будет Cq <С 1015 см"3, что составляет, например, 10"9 от концентрации
водорода в слоях Солнца с принятой температурой. При более высокой
температуре выгорание кварков резко усиливается. При Τ = 107 КС9^ 106 см"3,
т. е. 10"18 на 1 г в соответствующих слоях.
Для кварков с Ζ = —1/3, как следует из (13), выгорание происходит
значительно быстрее. Однако эти кварки могут присоединяться к протонам
и ядрам, образуя устойчивую систему. Заряд системы кварк—протон равен
+2/3е, и выгорание кварков теперь должно происходить примерно с такой
же скоростью, как и в рассмотренном выше случае. Однако при температурах,
когда возможно уничтожение, кварки скорее будут оторваны от протонов
и присоединятся к Не и более тяжелым ядрам. Выгорание и в этом случае
будет уже несущественно ввиду большой величины Ζ ж А. Оценим это
количественно.!
Энергия связи кварка с ядром равна Q = 2,76 Ζ\Α КэВ, где Ζη —
зарядовое число ядра, А — приведенная масса системы в единицах массы
протона. По формуле Саха относительная концентрация свободных и
связанных кварков равна
Cq/Cqn = (AmnT/2n)^ exp (-Q/T)fCn.
При Τ = 106 К концентрация кварков, прилипших к протонам, в 109 раз
больше, чем свободных. Однако равновесие устанавливается за 10"4—10"5 с,
так что при такой малой доле свободных кварков они за t — 105 с все
перейдут на более тяжелые ядра, в данном случае на Не. При более высокой
температуре кварки будут отделяться от Не, но прилипнут к более тяжелым
элементам. Во всех случаях время перехода на более тяжелые элементы
значительно меньше, чем время выгорания.
При Τ = 107 К доля кварков, прилипших к Не, в 109 раз больше, чем
свободных. Учитывая концентрацию ядер С, Ν, О, можно оценить, что время
перехода всех кварков на эти ядра меньше 107 с. Отлипание от таких ядер
требует очень высокой температуры. Например, при Τ = 5-107 К, что
превышает температуру внутри звезд главной последовательности, доля
свободных кварков сравнительно с кварками, прилипшими к О, составляет
10"100. Таким образом, перелипания к более тяжелым ядрам, например к
Fe, практически не происходит, доля атомов Fe и О, имеющих кварки, оди-

25. Кеарки: астрофизический и физико-химический аспекты
127
накова, но содержание Fe мало сравнительно с О. Если в процессе взрыва
температура поднималась выше 109, то кварки перейдут на Fe.
Резюмируя, можно сказать, что кварки с Ζ = + 2/3, попадая внутрь
звезды, в значительной степени уничтожаются; концентрация остается не
более 10~18 на 1 г. Остаются только те, которые находились на поверхности
в течение всего времени. Это возможно в звездах без конвективной зоны,
но, поскольку на ранней и поздней стадиях эволюции почти все звезды
конвективны, сохранение их маловероятно. Кварки с Ζ = —1/3,
побывавшие в звезде, прилипают к элементам группы С, Ν, О и более тяжелым.
Поэтому нужно искать спектры атомов и молекул С, Ν, О и более тяжелых,,
ядра которых имеют кварки. Спектры атомов должны отличаться от обычных
из-за изменения заряда ядра (изотопическое смещение мало), а спектры.
молекул — из-за изменения колебательно-вращательных параметров
системы.
Рассмотрим теперь кварки, не побывавшие в звездах. Они должны бьпь
либо свободными (Ζ = +2/3), либо прилипшими к водороду (Ζ = —1/3).
Нужно заметить, что в межзвездном газе свободные кварки и кваркоядра
должны вследствие наличия заряда прилипать к пылинкам. Поэтому в
спектре межзвездного газа их линий может и не быть. Впрочем, современные
методы исследования межзвездной среды вообще не могут дать сведений об
элементах с низким относительным содержанием.
Оценим теперь, какова вероятность того, что кварки в процессе
формирования галактики и образования звезд не попадали в звезды. При каждом
процессе звездообразования около половины конденсирующегося газа
превращается в звезды малой массы, которые эволюционируют медленно. Другая
половина превращается в массивные звезды, которые быстро проходят свой
путь и в конце выбрасывают около половины своей массы в межзвездное
пространство. Остальное коллапсирует либо образует сверхплотную звезду.
Примем, что 1/4 часть массы, превратившейся сначала в звезды, снова
выбрасывается в межзвездный газ и смешивается с остатками первоначального
газа, после чего снова происходит звездообразование (см., например, обзор
[33]). О таком постепенном расходовании газа говорит постепенное
изменение химического состава звезд и скоплений с изменением их
пространственных и кинетических характеристик. Пусть доля а всего оставшегося газа
превращается в звезды в одном цикле. Эта величина неизвестна, она может
быть порядка 0,1—0,3, но точное ее значение несущественно. После η
циклов остается (1—3/4α)η газа, причем в нем доля а = [1 — а/(1 — 3α/4)]η
не прошла через звезды. В настоящее время сохранилось 2% начальной
массы галактики в виде газа. Отсюда па ^ 5 и а ж 0,25—0,20 в широком
интервале значений а от 0,1 до 0,3. Несмотря на схематичность, расчет
показывает, что в межзвездном газе должна быть заметная примесь первичного
газа и, следовательно, относительное содержание кварков в межзвездном
газе должно составлять 10—20% начального. Как уже говорилось,
обнаружить их там, однако, вряд ли возможно.
Наилучшие условия для экспериментального обнаружения имеются
на планетах, подобных Земле. Солнечная система образовалась по-видимому,
в процессе сжатия туманности, центральная часть которой превратилась
в Солнце. Планеты, особенно внутренние, образовывались в первую очередь
из пыли [34, 35]. Поэтому доля кварков на них должна быть относительно
не малой. В период образования Земли температура основной массы Солнца
должна была быть низкой, это была еще стадия сжатия. Физические условия.

128 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
в тот период пока плохо изучены; трудно сказать, насколько вероятно
перемешивание с глубокими слоями и уничтожение кварков, если они имеют
положительный заряд. Отрицательные кварки при этом перешли бы на ядра
Не или более тяжелых элементов. Более вероятным казалось бы, однако,
отсутствие заметного выгорания, так как Т<—106 К достигалась, по-видимому,
только в самом центре конденсирующегося Солнца, а конвективной была
в основном оболочка. Кроме того, газ около Земли был разреженным, и он,
не целиком увлекал пыль, из которой образовалась Земля. Таким образом,
если кварки отрицательны, их следует искать в водороде и более тяжелых
элементах, причем относительное содержание их в этих элементах должно
быть сравнимо с начальным, а если они положительны, то их содержание
может быть велико или мало, в зависимости от условий конвекции на
Солнце в период образования Земли.
Нужно заметить, что чем дальше планета от Солнца, тем больше
вероятность сохранения на ней кварков. С этой точки зрения большой интерес
представляют метеориты, которые являются продуктом распада комет.
Согласно современным представлениям, кометы сохраняются на периферии
солнечной системы, откуда они под влиянием возмущений переходят на
орбиты, более близкие к Солнцу, после чего постепенно дезынтегрируются
[36]. Метеориты из таких комет, по всей вероятности, не были в недрах
Солнца в перлод образования солнечной системы.
Поскольку уничтожение положительных кварков происходит в тех же
условиях, что и сгорание дейтерия, контролем могло бы быть содержание
дейтерия. Однако обилие его на Земле объясняется, как уже говорилось,
активностью Солнца в период конденсации, когда образовывалось много
космических лучей.
5. ВОЗМОЖНЫЕ ПУТИ ПОИСКОВ НОВЫХ ЧАСТИЦ
При полках новых частиц следует учитывать возможность обогащения
или обеднения образцов в силу своеобразия их физико-химических свойств7.
Рассмотрим поэтому некоторые физико-химические свойства кварков и
гипотетических стабильных частиц с целыми зарядами и обсудим возможные
способы поисков этих частиц.
Частицы с целым зарядом Ζ = +1 (&+) физико-химически не отличаются
от изотопов водорода. Они концентрируются при производстве тяжелой
воды. Масс-спектрометрическое исследование образцов тяжелой воды дает
относительную концентрацию С <^ 10"~10 в расчете на водород в исходной
(до разделения) воде [37, 38]. Представляется возможным и важным
понижение этой границы на несколько порядков. Спектроскопический
оптический метод обнаружения такого «водорода» в земных условиях уступает масс-
^пектрометрическому. Оптические поиски за пределами Земли по
изотопическому сдвигу также весьма затруднены, поскольку сдвиг обычно гораздо
меньше ширины линий. Пример поисков дейтерия в спектре Солнца
показывает, что чувствительность — не лучше 10""3 от содержания основного
изотопа [39]. Молекулярный спектр гидридов сильно зависит от массы
атомов, но он наблюдается лишь в сравнительно узком интервале
спектральных классов, ограниченном сверху диссоциацией молекул, а снизу — малой
интенсивностью свечения звезды.
7 В принципе, нельзя, например, исключить возможность биологической
концентрации кварков некоторыми организмами.

25. Кварки: астрофизический и физико-химический аспекты
129
Частицы с целым зарядом Ζ = — 1 (Г), в частности античастицы
предыдущих, рождаются энергичными космическими лучами в атмосфере,
прилипают к ядрам в атмосфере, причем от протонов перескакивают на более
тяжелые ядра, как в случае μ'-мезоатомов. Их естественно искать масс-
спектрографически среди изотопов углерода (Ν, Г), азота (О, Г) и кислорода
(F, Г). Такие атомы образуются в результате реакций типа О + ρ, Γ -^
—> F, Г + γ. Энергия связи с такими ядрами — несколько мегаэлектрон-вольт.
Кварки д+2/3 или д"1/3 (в зависимости от того, какой из них легче) и
соответствующие антикварки стабильны и могут накапливаться на Земле.
Атомы, в состав которых входят кварки, обладают нескомпенсированным
электрическим зарядом и ведут себя как ионы. Сольватация ионов в
полярных растворах практически исключает возможность испарения из воды
кварков или молекул, содержащих кварки. Можно сослаться на пример
ионов Li+, Na+, F", СГ. Все ионы имеют структуру благородных газов,
растворимость которых в воде мала. Однако заряд ионов дает энергию
сольватации порядка 1,5 эВ, что делает их совершенно нелетучими из раствора.
Для кварков энергия сольватации меньше в отношении Ζ или Ζ2, т. е.
порядка 0,5—1 эВ для Ζ - 2/3 и 0,2—0,5 эВ для Ζ = —1/3. При 100° С
соответствующие ехр (—QIT) равны 10~14—10~17 в первом случае и 10~3—10~7 во
втором. Нелетучесть кварков следует учитывать при
масс-спектрографических поисках этих частиц: их концентрация в парах существенно меньше,
чем в жидкости. При дистилляции воды исследуемый образец очищается от
кварков. Опыты Кольрауша по исследованию электропроводности чистой
воды [40], по-видимому, дают относительную концентрацию кварков
менее 10"9. В силу сказанного, для естественной воды эта оценка хуже.
Из неполярных веществ (нефти, масла) ионы с кварками должны
адсорбироваться на поверхности породы, содержащей нефть, или на фильтрах,
на стеклянных и металлических стенках сосудов, в которых находится масло.
Потери кварков при очистке масла следует учитывать при интерпретации
опыта Милликена, который указывает на относительную концентрацию
меньше 10~15.
Методика весьма точного определения малых периодических сил, успешно
развиваемая В. Б. Брагинским [41], по его предположению, может быть
использована для обнаружения единичных дробных зарядов в образцах
весом до 10~4 г, помещенных в периодическое электрическое поле. Это
соответствует чувствительности 10"19.
Оптические спектры атомов, содержащих кварки, должны быть весьма
характерны. Линии La у атомов (q^^e") и (q~i/3pe") попадают в близкий
ультрафиолет λ = 2750 А. Красное хаббловское смещение далеких галактик
и квазизвездных источников перемещает эту линию в удобную для
наблюдений область. Атомы С, Ν, О, Fe, ядра которых присоединили кварк д-1/з,
должны иметь спектры, совсем непохожие на спектры обычных атомов тех
же элементов, так как изменяются все параметры экранирования их
электронных оболочек. Расчет спектров таких атомов представляет собой
отдельную квантовомеханическую задачу. После расчета необходимы
целеустремленные поиски этих линий, а также линии λ = 2750 А и молекулярных
линий необычных масс 8 в спектрах различных космических объектов,
совершенно независимо от различных оценок возможной концентрации
кварков, которые не могут в настоящее время претендовать на достоверность
8 Аналогичные предложения для позитрония и антипротония см. [42, 43].
5 Я. Б. Зельдович

130 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одним из основных вопросов, возникающих в связи с возможностью
существования новых стабильных частиц, и в частности кварков, является
вопрос о том, почему эти частицы до сих пор не обнаружены в окружающей
нас природе. Как показывает проведенное выше рассмотрение, в этом нет
ничего удивительного. В процессе первичного фридмановского расширения
кварки интенсивно выгорают, превращаясь в нуклоны, и их концентрация
становится порядка 10"9—10~18 на нуклон, даже в том случае, если вначале
кварки и нуклоны имели сравнимые концентрации. Если наиболее легкими
и, следовательно, стабильными являются положительно заряженные кварки,
то их выгорание продолжается в недрах звезд. Отрицательно заряженные
кварки «консервируются», прилипая к атомным ядрам. Поэтому то
обстоятельство, что кварки до сих пор не обнаружены, может рассматриваться
как аргумент того, что стабильными являются положительные кварки.
Следует, однако, иметь в виду, что в процессе эволюции часть газа не
проходит через звезды и сохраняет ту концентрацию кварков, которая осталась
после начального этапа фридмановского расширения.
При поисках термализованных кварков в земных условиях следует
учитывать их физико-химические особенности, такие, как сольватация в
водных растворах и осаждение на стенках в неполярных растворителях. В
лабораторных условиях наилучшим способом поисков кварков является
измерение элементарных зарядов макротел и масс-спектрометрия.
Последний метод особенно эффективен для поисков новых частиц с целыми
зарядами. Оптическая спектроскопия может быть использована для поисков
кварков во внеземных объектах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gell-Mann Μ.— Phys. Rev. Letts., 1964, vol. 8, p. 214.
2. Zweig G. GERN, Preprint, 1964.
3. Gursey F., Lee T. D.— Phys. Rev., 1964, vol. B135, p. 467.
4. Franzini P., Lee /.— Phys. Rev. Letts., 1964, vol. 12, p. 602.
5. Gell-Mann M.— Physics, 1964, vol. 1, p. 63.
6. Lee T. D.— Nuovo cimento, 1965, vol. 35, p. 933.
7. Окунь Л. £,— Ядер, физика, 1965, т. 1, с. 297.
8. Зельдович Я. Б.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1965, т. 1, с. 3.
9. Окунь Л. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1964, т. 11, с. 1773.
10. Adair R. Coral Gables Conference on Symmetries Principles at High Energy Univ. of
Miami, Freeman W. H. and Co, 1964, p. 36.
11. Leipuner L. В., Chu W. Т., Larsen R. S., Adair R. K.— Phys. Rev. Letts., 1964,
vol. 12, p. 423.
12. Morrison D. i?.— Phys. Rev. Letts., 1964, vol. 9, p. 199.
13. Bingham H. H. et al.— Phys. Rev. Letts., 1964, vol. 9, p. 201.
14. Hagopian V., Selove W., Ehrich R. et al.— Phys. Rev. Letts., 1964, vol. 13, p. 280.
15. Blum W., Brandt S., Cocconi V. T. et al.— Phys. Rev. Letts., 1964, vol. 13r
p. 353a.
16. Franzini P., Leontic В., Rahm D. et al.— Phys. Rev. Letts., 1965, vol. 14, p. 196.
17. Gilly L., Leontic В., Lundby A. et al.— Proc. Rochester Conf., 1960, p. 808.
18. Von Dar del G., Mermod R. M., Weber G., Winter K.— Proc. Rochester Conf., 1960r
p. 836.
19. Cocconi V. Т., Fazzini Г., Fidecaro G. et al.— Phys. Rev. Letts., 1960, vol. 5, p. 19.
20. Baker W. F., Cool R. L., Jenkins E. W.— Phys. Rev. Letts., 1961, vol. 7, p. 101.
21. Bowen Т., De Lise D. Α., Kalbach R. M., Mortata L. В.— Phys. Rev. Letts., 1964,
vol. 13, p. 728.
22. Sunyar A. W., Schwarzschield A. Z., Counors P. J.— Phys. Rev. Letts., 1964, vol. 136,
B1157.

25, Кварки: астрофизический и физико-химический, аспекты
131
23. Jugaku Л, Sargent W. L. W., Greenstein J. L.— Astrophys. J., 1961, vol. 134, p. 783.
24. Burbidge E. M., Burbidge G. #., Fowler W. Л., Hoyle F— Rev. Mod. Phys., 1957,
vol. 29, p. 548; Layzer D. — Phys. Rev. Letts, 1965, vol. 15; Гинзбург В. Л.,
Озерной Л. Μ., Сыроватский С. Я.— Докл. АН СССР, т. 154, с. 557; Ginzburg V. L.,
Ozernoy L. Λ/., Syrovatsky S. I.— Quasistellar Sources and Gravitational Collapse.
Chicago Univ., 1965, p. 937.
25. Зельдович Я. £.— Успехи физ. наук, 1963, т. 80, с. 357.
26. Мс Crea W. Н.— Zs. Astrophys., 1939, vol. 18, p. 98.
27. Зельманов А. Л.— Тр. 6-го Совещ. по вопросам космогонии. М.: Изд-во АН СССР,
1959
28. Gamov G.— Phys. Rev., 1946, vol. 70, p. 572.
29. Zeldovich Υ а. В.— Advances Astron. and Astrophys., 1965, vol. 3, p. 242.
30. Turtle Α. /., Pugh J. £., Kenderdine S., Pauliny — Toth I. I. K.— Mont. Not. Roy
Astron. Soc, 1962, vol. 124, p. 297.
31. Аллен К. У. Астрофизические величины. Μ.: Изд-во иностр. лит., 1960, с. 284; Oehm.—
Bell Syst. Tech. J., 1961, vol. 40, p. 1065; De Grass Λ — Appl. Phys., 1959, vol. 30,
p. 2013.
32. Шварцшильд Μ. Строение и эволюция звезд. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
33. Каплан С. Α., Пикельнер С. Б. Межзвездная среда. М.: Физматгиз, 1963.
34. Шмидт О. Ю. Четыре лекции о теории происхождения Земли. М., 1950.
35. Urey H. С. The Planets, USA, 1952.
36. Oort J. #., Bull. Astron. Nederl., 1960, vol. 11, N408, p. 91.
37. Sherr #., Smith L. G., Bleakney W.— Phys. Rev., 1938, vol. 54, p. 388. ,
38. Кукавадзе Г. М., Мемелова Л. Я., Суворов Л, Я.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1965, т. 49, с. 689.
39. Северный А. Б.— Астрон. журн., 1957, т. 34, с. 328.
40. Реми Г. Курс неорганической химии. М.: Изд*во иностр., лит., 1963, с. 74.
41. Брагинский В. Б.— Успехи физ. наук 1965, т. 86, с. 433; Приборы и техника
эксперимента, 1964, № 3, с. 130.
42. Mohorovicic S.— Astron. Nachr., 1934, vol. 259, p. 94.
43. Власов Я. Α.— Астрон. журн., 1964, т. 61, с. 893.
44. Hoyle F., Tuler Α.— Nature, 1965, vol. 224, p. 1000.
45. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1959, т. 37, с. 569.
46. Зельдович Я. Б,— Журн. эксперим. и теорет. физики. Письма в редакцию, 1965,
т. 1, с. 1.
47. Scientific American, 1965, vol. 213, № 1, с. 44 (Редакционное сообщение).
48. Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1965, т. 86, с. 303.
КОММЕНТАРИЙ
Эта статья представляет собой одно из направлений того наступления на кварки
которое ЯБ организовал в середине 60-х годов. К тому же времени относится
исключительный по простоте и энтузиазму краткий обзор Я Б «Классификация элементарных
частиц и кварки в изложении для пешеходов»1* и его участие в экспериментальных
поисках свободных кварков 2*.
Верхние пределы, достигнутые в поисках свободных дробнозаряженных частиц,
полностью исключили возможность того, что взаимодействия кварков похожи на
взаимодействия обычных адронов, и натолкнули теоретиков на идею невылетания кварков —f
«конфайнмента». Комментируемая статья является также одной из первых, в которых
Я Б заложил новое перспективное направление на стыке космологии, астрофизики и
физики элементарных частиц. Роль этого направления стала общепризнанной после того,
как было осознано, что на многие важные вопросы физики элементарных частиц ответы,
в принципе, не могут быть получены на ускорителях и требуют обращения к «горячей
лаборатории ранней Вселенной».
ι* Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1965, т. 86, с. 303—310.
2* Брагинский В. Б.9 Зельдович Я. Б., Мартынов В. К., Мигулин В. В.— Журн·
эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 52, с. 29—39.
5*

132 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
26
МАССА ПОКОЯ
МЮОННОГО НЕЙТРИНО И КОСМОЛОГИЯ*
(совместно с С. С. Герштейном)
Экспериментальные оценки массы покоя нейтрино имеют малую точность
[1] для электронного нейтрино т (ve) <^ 200 эВ/с2 и для мюонного нейтрино
ιιι(νμ) <2,5·106 эВ/с2.
Космологические соображения, связанные с горячей моделью
Вселенной [2], позволяют усилить второе неравенство. Так же, как в работа
Я. Б. Зельдовича и Я. А. Смородинского [3], рассмотрим гравитационное
действие нейтрино на динамику расширяющейся Вселенной. Возраст
известных астрономических объектов не меньше 5· 109 лет, постоянная Хаббла
Η не меньше 75 км/(с-Мпс) = (13-Ю9 лет)"1. Отсюда следует, что плотность
всех видов веществ во Вселенной в настоящее время *
ρ < 2-10"28 г/см3.
В настоящее время окружающее нас пространство заполнено равновесным
излучением при температуре 3 К [4]. Предполагается, что это излучение
является «реликтовым», свидетельствует о высокой температуре плазмы
в дозвездном периоде при большой плотности.
При температуре порядка 3 МэВ для ve и порядка 15 МэВ для νμ имело
место полное термодинамическое равновесие между ν, γ, е+ и е~.
Количество других частиц в этом равновесии мало, кроме, может быть, гравитоновг
которые, однако, не влияют на дальнейшее. В термодинамическом
равновесии отношение числа фермионов и антифермионов со спином 1/2 и числа
квантов равно
Ы + [Ve] = [νμ] + [νμ] = [β+] + [П = 2 \\,_^1χ2άχ Μ = 1'5 [?]·
Однако, в ходе охлаждения от Τ ^> тес2 (для которого выписаны
соотношения) до настоящего времени, когда Τ <^ тес2, эти соотношения меняютсяг
так как аннигиляция пар е+е~ увеличивает число квантов, не меняя
количества нейтрино в единице сопутствующего объема [5]. Для настоящего
времени следует ожидать
[е+] + [е~] = 0, [νμ] + [νμ] = [v.] + [v.] = 0,5 [γ].
При 3 К [γ] = 550 г · см"3, откуда для нейтрино получим в настоящее время
[νμ] + [νμ] = [Ve] + [V.] = 300 СИ"».
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1966, т. 4, вып. 3,
с. 174—177.
1 Используем асимптотическую формулу
Τ = π/(2Η Τ^ρΤρ^); рс = 3#2/8πσ; ρ = 3π/32σΓ2.
Другие более сложные оценки по исследованию далеких объектов дают сходный результат;
q0 = р/2рс < 2,5; Η < 120 км/(с-Мпс);
рс < 2,5-Ю-29 г/см3; ρ < 1,25-10-28 г/см3.

26. Масса покоя мюонного нейтрино и космология
133
Сопоставляя с приведенным выше пределом плотности, получим
т0 Ы < 7.10"31 г = 400 эВ/с2
и то же для m0(ve). Таким образом, для электронного нейтрино мы не
получили новой информации; однако для мюонного нейтрино космологические
соображения снижают верхнюю границу массы покоя на три порядка.
Рассматривая вопрос о возможной массе нейтрино, мы, естественно,
применяли статистические формулы для четырехкомпонентных (т Φ 0) частиц.
Но мы знаем, что в соответствии с (V — ^4)-теорией в слабом взаимодействии:
участвуют преимущественно нейтрино определенной поляризации.
Равновесие для нейтрино противоположной поляризации устанавливается лишь
при более высокой температуре. Впрочем, это может изменить предел
массы не более чем вдвое.
Нейтрино с неравной нулю массой покоя могут аннигилировать по
диаграмме
μ ' μ слабое r ' r эл. магнитное r ' r r v μ/ ^ v '
при т (νμ) ^> ^(e+} и на 3γ или по квадрату слабого взаимодействия на пару
ve + ve, если предположить т (νμ) ^> т (ve). Сечение аннигиляции при
ν < с идет, как ί/ν. Однако оценки показывают, что в ходе космологического
расширения заметная аннигиляция не успевает произойти.
Импульс невзаимодействующих частиц в ходе расширения меняется
—1/i?, где R — линейный масштаб независимо от наличия и величины массы
покоя частиц. В настоящее время импульс нейтрино должен быть того же
порядка (несколько меньше), что и импульс реликтовых квантов, т. е. ρ ж
ж 5·10"4 эВ/с.
Если нейтрино обладают массой покоя, то их скорость и скорость звука
в нейтринном газе порядка р/т, т. е., например, 30 км/с при т = 5 эВ/с2
и 3 км/с при т = 50 эВ/с2. Такой газ должен подвергаться сильным
гравитационным возмущениям со стороны галактик. Возможно, что более
детальное рассмотрение этих процессов позволит понизить сделанную выше
оценку верхней границы массы нейтрино.
Данная заметка возникла в стимулирующей обстановке летней школы
в Балатон-вилагоше; пользуемся случаем выразить благодарность
организаторам школы.
Поступила в редакцию·
4 июня 1966 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Rosenjeld А. #., Barbaro Galtieri Л., Barkas W. H. et al.— Revs Mod. Phys., 1965,
vol. 37, p. 633.
2. Gamov G.— Phys. Rev., 1946, vol. 70, p. 572; 1948, vol. 74, p. 505; Revs Mod. Phys.,
1949, vol. 21, p. 367; Gamov G.— Vistas Astron., 1956, vol. 2, p. 1726; Dicke i?.,
Peebles P. У. £., Roll P. G; Wilkinson D. Т.— Astrophys. J., 1965, vol. 142, p. 414;
Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1966, т. 89, с. 647.
3. Зельдович Я. Б., Смородинский Я. Α.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961 г
т. 41, с. 907.
4. Penzias Α. Α., Wilson R. W.— Astrophys. J., 1965, vol.142, p. 419.
5. Peebles P. J. E.— Phys. Rev. Lett., 1966, vol. 16, p. 410.

434 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
КОММЕНТАРИЙ
В работе впервые получена верхняя оценка массы нейтрино на основе
космологических соображений. Работа оказала очень большое влияние на дальнейшее развитие как
космологии, так и физики, по существу открыв новое перспективное направление на
стыке этих наук. За рубежом эти идеи были подхвачены существенно позднее 1*»2*. Более
раннее обсуждение реликтового нейтринного моря в предположении лептонной
несимметрии и вырождения было проведено в начале 60-х годов3*-6*, до открытия реликтовых
•фотонов Пензиасом и Вилсоном.
Особенно большое число работ, развивающих идеи данной работы, опубликовано
после 1980 г., когда появились сообщения о том, что масса электронного нейтрино,
возможно, составляет величину, близкую к 30 эВ 6*. В этом случае основная масса Вселенной
заключена именно в реликтовых нейтрино, которые должны играть ключевую роль в
образовании скоплений галактик и их скрытой массы, на что первыми указали А. Салаи и
Г. Маркс 2*. Эти идеи развиваются Я Б и его соавторами в статьях, помещенных в данном
томе. Ограничения на полную плотность всех видов вещества и энергии, вытекающие из
данных о возрасте Вселенной, применялись ЯБ и его соавторами И. Ю. Кобзаревым
и Л. Б. Окунем и в другой связи. Рассматривается возможность разбиения Вселенной на
домены) (области), отличающиеся знаком нарушения четности. Дается оценка удельной
плотности (на единицу поверхности) стенок между доменами, сделан вывод о
противоречии между такой гипотезой и наблюдениями 7*.
Другую важную идею, относящуюся к нейтринной космологии, высказал В. Ф.
Шварцман — ученик ЯБ 8*. Он заметил, что темп расширения Вселенной и, как следствие,
распространенность в природе первичного гелия зависят от числа различных типов
нейтрино. Уточнения оценки В. Ф. Шварцмана 9* привели к заключению, что, кроме
электронного, мюонного и тау-нейтрино> может существовать еще не более одного типа
нейтрино. Подробное обсуждение возможной космологической роли нейтрино, а также
тяжелых гипотетических нейтральных лептонов см. в обзорах, опубликованных в журнале
«Успехи физических наук» го*»и*.
1# Cowsik #., McClelland J.— Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 669—670.
2* Szalay A. S., Marx G.— Astron. and Astrophys., 1976, vol. 49, p. 437—441.
3* Peres Α.— Progr. Theor. Phys., 1960, vol. 24, p. 149—154.
4* Понтекорво Б. М., Смородинский Я. А.— Журн. эксперим. и теорет. физики,
1961, т. 41, с. 239—243.
б* Смородинский Я. Л., Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961,
т. 41, с. 907.
6* Козик В. С, Любимов В. Α., Новиков Е. Г. и др.— Ядерная физика, 1980, т. 32,
с. 301.
7* Волошин Μ. Б., КобзаревИ.Ю., ОкуньЛ. Б.— Ядер, физика, 1974, т. 20, с. 12—29.
8* Шварцман В. Ф.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1969, т. 9, с. 315.
9* Steigman G., Schramm Z>., Gunn /.— Phys. Lett. B, 1977, vol. 66, p. 202—204.
10* Долгов А. Д., Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1980, т. 130, с. 559—614.
и* Зельдович Я. Б., Хлопов М. Ю.— Успехи физ. наук, 1977, т. 123, с. 703—709.

27. Космологическая постоянная и элементарные частицы
135
27
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ
И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ*
В последнее время вновь высказывается предположение, что в уравнения
общей теории относительности входит космологическая постоянная Λ по·
рядка Л^ + 5-10""56 см"2 [1—3]. Предполагается замкнутый мир с
современным радиусом i?! — Л"1/*, хэббловской константой Нг— сЛ"1/г и
плотностью рх — Ac*/G; при этом наличие Л существенно замедляет расширение
в период, соответствующий красному смещению z = 1,95, при котором
группируются красные смещения линий поглощения в спектре квазаров [4].
Данному Л соответствует представление о вакууме как о среде с плотностью
р0 = Лс4/8яС? = 2,5· 10""29 г/см3, плотностью энергии ε0 = 2-10"8 эрг/сма
и отрицательным давлением (натяжением) Р0 = —ε0 = —2-10"8 дин/см2.
Как можно представить себе теорию, в которой такие свойства вакуума
получались бы из наших представлений об элементарных частицах?
Отправной точкой такой теории являются формулы, которые дают нужный
порядок величины ε0, выраженной через постоянные т, с, h, G, где т — масса
элементарной частицы. Пользуясь формулами Эддингтона [5] и Дирака
[6], для величин, характеризующих современную Вселенную, и связью
этих величин с Л, получим:
A~G2mW, p0~Gm*c*/h*, (1)
ε0 ~ Gm6c4hK
Введем комптоновскую длину волны элементарной частицы λ = h/mc и
запишем
ε0 ~ (Gm2/X)/X3. (2>
Последняя формула соответствует предположению, что в вакууме имеются
виртуальные пары частиц с эффективной плотностью η ~ l/λ3.
Предполагается, что теория такова, что соответствующая плотность энергии
тождественно равна нулю. Однако энергия гравитационного взаимодействия этих
пар (Gm2/X для одной пары) не обращается в нуль и дает как раз ε0. В
релятивистски инвариантной теории вакуума данному ε0 должно будет
соответствовать Р0 = —ε0.
Численно выражение (2) с т, равным массе протона, дает ε0 в 108 раз
больше, чем нужно. Возможно, это означает, что в (2) входит еще константа
слабого взаимодействия. Безразмерная константа g1 — 10"5; в размерном виде
(g = 2 -10""49 эрг-см3) предлагается г
ε0 ^ Ggm*c5/h7 fe 10"* эрг/см3. (3)
Выражения (2) и (3) связывают между собой локально измеримые
физические константы. В этом их принципиальное отличие от соотношений
Дирака—Эддингтона: (2) и (3) не предполагают ни переменности G, ни влияния
всего мира (в духе принципа Маха) на локальные законы (ср. с [7]). Соот-
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1967, т. 6, вып. 9Г
с. 883-884.
1 Взаимодействие, нарушающее временную четность, вероятно, еще слабее.

136 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
ношения Дирака получаются как приближенные, справедливые лишь для
нынешнего этапа эволюции мира вскоре после задержки расширения; они
являются следствием уравнений общей теории относительности с ε0 и
соответствующим Л.
В заключение необходимо подчеркнуть, что решающее слово
относительно величины Л принадлежит астрономическим наблюдениям; в настоящее
время еще нельзя считать доказанным, что Л Φ 0.
Выражаю благодарность за постановку вопроса и ознакомление с [2, 3]
в рукописи Н. С. Кардашеву и И. С. Шкловскому, за ценные дискуссии
также A. JI. Зельманову, И. Ю. Кобзареву и И. Д. Новикову.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 15 августа 1967 г.
ЛИТЕРАТУРА
4. Petrosian V., Salpeter Ε., Szekeres P.— Astrophys. J., 1967, vol. 147, p. 1222.
2. Шкловский И. С.— Астрон. циркуляр, 1967, № 429.
3. Кардашев Н. С,— Астрон. циркуляр, 1967, № 430.
4. Burbidge G.— Astrophys. J., 1967, vol. 147, p. 851.
5. Eddington A. S.— Proc. Roy. Soc. London, 1931, vol. 133, p. 605.
6. Dirac P. A. M.— Proc. Roy. Soc. London A, 1938, vol. 165, p. 199.
7. Зелъманов A. JI.— В кн.: Физический энциклопедический словарь. Космология. М.:
Сов. энциклопедия, 1962, т. 2, с. 490.
КОММЕНТАРИЙ
В этой заметке предложены размерные оценки е0-плотности энергии вакуума, которые
в единицах Л = с = 1 могут быть записаны в виде
ε0 ~ Gm6 и ε0 — GpGm8.
Здесь G — гравитационная постоянная Ньютона, GF — константа слабого взаимодействия
Ферми, т — характерная масса элементарной частицы. При т, равном массе протона,
первая оценка ε0 оказывается на 8 порядков, а вторая — на 3—4 порядка больше верхней
границы, допускаемой данными по эволюции Вселенной. К вопросу о происхождении
и возможной космологической роли тензора энергии-импульса вакуума ЯБ возвращался
неоднократно, см. его обзоры i*»2*. Он отметил, что Λ можно рассматривать как плотность
энергии и отрицательное давление вакуума также и в том смысле, что для
расширяющегося сопутствующего объема V выполняется закон сохранения энергии (первое начало
термодинамики) в форме dE = d (sV) = — pdV при р = — ε. Особенно настойчиво ЯБ
отмечал, что определение вакуума есть состояние с минимальной энергией, однако из этого
определения отнюдь не следует, что минимум равен нулю. Равенство нулю (или малость)
абсолютной величины Λ известны нам только из наблюдений. Строгое теоретическое
обоснование этого факта до сих пор отсутствует.
В последнем обзоре 2* обсуждается идея инфляционной Вселенной, которая была
выдвинута А. Гусом и разрабатывается в настоящее время в работах ряда авторов (С. Хо-
кинг, А. Д. Линде, А. А. Старобинский).
ι* Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1968, т. 95, с. 209—230.
2* Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1981, т. 133, с. 479—503.

28, О концентрации магнитных монополей во Вселенной 137
28
О КОНЦЕНТРАЦИИ МАГНИТНЫХ МОНОПОЛЕЙ
ВО ВСЕЛЕННОЙ*
(совместно с М. Ю. Хлоповым)
Показано, что закаленная концентрация монополей А. М. Полякова—
Дж.т'Хофта должна составлять в настоящее время ~10""19 см"3.
Остаточная концентрация определяется скоростью диффузионного выгорания
монополей на протон-антипротонной стадии и не зависит от деталей выхода
монополей из термодинамического равновесия и механизмов их
образования. Полученное значение концентрации существенно превышает
экспериментальный верхний предел на реликтовую концентрацию монополей с
зарядом g = hc/e. По аналогии с выводами из отсутствия реликтовых
кварков (конфайнмент!) можно предположить, что существует дополнительный
эффект, запрещающий существование свободных монополей.
Как показали А. М. Поляков [1] и Дж. т'Хофт [2], в неабелевых
калибровочных теориях, включающих электромагнитное взаимодействие в
компактную группу симметрии, существуют решения типа монополей [3, 41
с массой М0 = Mw/a ~ 5—10 ТэВ и магнитным зарядом g = hc/e. В
настоящей работе проводится оценка остаточной концентрации таких
монополей во Вселенной г по аналогии с расчетами закалки антибарионов [5, 61
и кварков [7].
Прежде всего рассмотрим выход монополей из термодинамического
равновесия в теории горячей Вселенной. Концентрация монополей и антимоно-
полей, рассматриваемых как частицы с массой М0, определялась бы при
достаточно высоких температурах (но все же при кТ << М0с2)
термодинамическим равновесием
n = nM = ns = y ^ ρ ΘΧΡ(-"ΤΗ· (4>
Однако в теориях со спонтанным нарушением симметрии монополи могут
образовываться только после того, как в ходе расширения произошел
фазовый переход к несимметричной фазе (см., например, [8]), т. е. при Τ <^
<С ^кр — Mw <С М0. Если масса монополей определяется величиной
вакуумного среднего хиггсовских мезонов, то и в этом случае, непосредственна
после фазового перехода, монополи будут находиться в термодинамическом
равновесии или даже в избытке вследствие того, что их первоначальная
масса мала. В ходе расширения понижается температура и одновременно
растет масса монополей по закону оэУ ГкР — Г2, что и приведет к выходу
монополей из термодинамического равновесия. Как мы покажем далее,
величина остаточной концентрации монополей не зависит от условий в период
изменения массы монополя. Поэтому мы примем для оценки Гкр = Mw закон
изменения массы монополей Μ (Τ) = У Mw — (kT)2/c*/a- Тогда вместо (1>
* Physics Letter., 1978, vol. 78В, p. 239—243.
1 Следует отметить интересную работу [11], в которой на основе экспериментальных
ограничений на потоки космических монополей были получены ограничения на их массу
и сечение аннигиляции в теории горячей Вселенной (см. также [12]).

138 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
имеем для равновесной концентрации монополей
/ΊΓ / Μ (Т) с \9/г [ kT VV* / М(Т)с*\
при T<MW(1 — α2/2). (Г)
Определим скорость аннигиляции монополей. Естественно ожидать,
что сечение аннигиляции будет определяться кулоновским притяжением
магнитных зарядов. При температуре Τ кулоновское притяжение монополей
и антимонополей становится существенным на расстояниях r^. r0 = g2lkT*
Если длина свободного пробега монополей относительно рассеяния в плазме
λ J^> г0, то можно рассматривать аннигиляцию свободных монополей. В
противном случае (λ <ξΞ; г0) аннигиляцию следует вычислять в диффузионном
приближении. Поскольку к моменту выхода из равновесия концентрация
монополей мала, длина свободного пробега монополей определяется их
рассеянием на заряженных частицах λ = 1МзарСГ. Сечение многократного
рассеяния монополей на 90° определяется согласно [9]
σ = ИМ J = 2-1СГ33 см2/9, θ = кТ/М0с2\
и мы получаем, что λ < г0 до t <^ 10~5 с и далее: λ ^> г0.
Скорость аннигиляции монополей в диффузионном приближении можно
найти, рассмотрев задачу о диффузии частиц с магнитным зарядом — g к
абсолютно поглощающему шару радиуса а <; г0 с магнитным зарядом +£·
Запишем уравнение диффузии
дп(г, t) п 1 д 2 Г дп{г, t)
dt ~ гз дг
[4^+^ (*«>]. га
где D = λν/3.
Для стационарного (dn/dt = 0) распределения диффундирующих частиц
при пограничных условиях η (оо) = п0 и η (а) = 0 имеем решение
η = 0 при г <[ а.
η = п0 [1 —- ехр (г0/г — г0/а)]/[1 — ехр (—г0/а)] при г > а. (3)
Отсюда получаем для диффузионного потока^
q = inr2D n^' χ 4nDr0nM {пм = ^о)» (4)
и скорость аннигиляции монополей в диффузионном приближении имеет
вид п2м4лОг0, а не пмпа2и, как это было бы для свободных монополей.
Напоминаем, что r0 = g2/kT.
С учетом (4) уравнение для относительной концентрации монополей
ν = пм1щ имеет вид [5—7]
dv/dt = —4nDr0ny (v2 — VpaBH). (5)
Решая уравнение (5) методом итераций, аналогично тому, как это делалось
в [5—7], найдем относительную концентрацию монополей vx для момента
tx выхода монополей из термодинамического равновесия. Если лраВн Дается
формулой (1), то
Vl = 2-Ю-16; tx = 2·ΙΟ"11 с; θχ = kTJMQc2 = 1/42, (6)

28. О концентрации магнитных монополей во Вселенной
139»
а если Иравн 0ПРеДеляется в соответствии с (1'), то v{ = 4·10~16;
h = 2-10-10 с; θ; = кТ[/М0с2 = 1/143; кТ'г/М (Т[)с2 = 1/41 (7)
(напомним, что по определению М0 = const = Μ (T)T^Tcr).
После выхода из равновесия диффузионное выгорание монополей
продолжается вплоть до t — 10"5 с, пока λ ^ г0. Уравнение (7) теперь имеет
вид
dvldt = —4nDr0nyv2 = — 4в*Ч2, (8)
где А = 2-1028с"х. Введем безразмерную переменную τ = t/tv Тогда θ (t) =*
= θχΤ'1/* и решение уравнения (8) имеет вид
ν (*) = νχ (1 + Ыфг (τ3* - ΙΚ/β)-1. (9)
Поскольку 44θ^/2ί1ν1/3— l/θχ^Ι, аналогично для θ^, t[ и νί получаем
при произвольном τ = tltx ^> 1 (τ' = t/t[ ^> 1):
3 3
Таким образом, остаточная концентрация монополей не зависит от νχ и,
следовательно, существенно не зависит от условий выхода монополей из
термодинамического равновесия. Заметим, что вследствие зависимости ν (t)*
от t выгорание происходит все время вплоть до наступления РД-стадии **.
Если же по каким-то причинам образование монополей происходило бы
только неравновесным образом, то и в этом случае уравнение (8) было бы
справедливо. Такие монополи могли бы образовываться вследствие
флуктуации вакуумного среднего хиггсовского поля [8, 10]. Соответствующая
относительная концентрация vl образовавшихся монополей существенно не
зависит от деталей рассматриваемой группы симметрии. Однако можно
ожидать, что и в этом случае t'i — t{ и θί — θ^, a v{ — (vi -~- Vj), и решение
(10) останется справедливым.
Как уже отмечалось, после t2 = B2g*l(G1t*M\), где В характеризует
сечение многократного рассеяния монополей на угол —90° в плазме, σ =
= В/(ТМ0) в ед. U = с = к = 1, λ > г0, и диффузионное приближение
становится несправедливым.
Получаем
ν2 з= ν (ί2) = Gv*BI{g2MbZi*) = GV2M/(fiV) = ΙΟ"21. (11>
Для t^> t2 сечение аннигиляции монополей определяется как σ = πα2·
Величину а можно определить как максимальный прицельный параметр,
для которого движение монополей становится финитным вследствие потери
энергии на излучение. Поскольку для монополей g2/hc^> vie, их рассеяние
описывается классическими формулами, и для потери энергии при
столкновении имеем
Ag = kT(r0/p)5(kT/M0c2^.
Отсюда из условия Δ# ~ кТ получаем, что
α-Ртах- (кТ/М0с*У'»г0. (12>
** рд __ радиадионно доминированная (прим. редактора).

140 Часть вторая. IV. Элементарные частицы и космология
Уравнение для относительной концентрации монополей имеет вид
dv/dt = —ovriyv2 (13)
или
dv/dr = -6θ2Λ42ν2, (14)
где Ъ = 4-1032 с"1; θ2 = 3* 10"8, t2 = 10"5 с, а т = t/t2. Тогда для
концентрации ν получаем (v2 ξ v (t2))
ν = ν2/[ΐ + 20ν2&θ21/ιοί2 (1 - τ-1/»)] (15)
и
v.. = ν2/(1 + 20ν26θ2214) « ν2 « ΙΟ"21.
То есть после £r ~ ΙΟ"5 с выгорание монополей практически прекращается.
При современной плотности реликтовых фотонов пу = 400 см"3 плотность
монополей должна составлять в настоящее время
пм = Voo^y = 4-10"19 см"3. (16)
Дальнейшее выгорание монополей могло бы происходить только в недрах
звезд. Существенно, что характерное время гравитационной диффузии
монополей к центру протозвезд (tg = ov/Gmp = 1018 -f- 1020 с) значительно
превышает время коллапса протозвезд (1012 с). Поэтому при однородном
в среднем распределении монополей в веществе до развития гравитационной
неустойчивости аннигиляция монополей могла бы происходить только в том
веществе, которое было переработано в звездах. Точное значение доли
вещества, оставшегося в межзвездном газе, указать трудно. Во всяком случае,
указанная доля может составлять ^10% и, уж во всяком случае, не
меньше современной доли массы вещества в межзвездном газе нашей Галактики
(1 %). Поэтому величина пм не может уменьшиться более чем на два порядка.
Конечно, не исключены различные механизмы (например, наличие малых
магнитных полей на стадии образования галактик и т. п.), которые бы
приводили к обеднению монополями окружающего нас пространства. Тем не
менее, со всеми оговорками, полученная в работе остаточная концентрация
значительно превосходит экспериментальные ограничения на количество
монополей в земной породе [11] и потоки космических монополей [12],
а также оценки из соображений об энергетике магнитного поля Земли и
космических магнитных полей [11—18] (пм < ΙΟ"30 ~- 10"38 см"3).
Таким образом, гипотеза о существовании свободных монополей
приходит в противоречие с современными представлениями о горячей фридманов-
ской модели. Это противоречие в величине относится к тому периоду, который
непосредственно не наблюдается. Если бы была справедлива гипотеза Ха-
гедорна о критической температуре, противоречие отсутствовало бы.
Обнаружение свободных монополей явилось бы важнейшим событием не
только для физики элементарных частиц, но и для космологии.
Мы признательны М. И. Высоцкому, С. С. Герштейну, А. Д.
Долгову, А. Г. Дорошкевичу, А. Д. Линде, И. Ю. Кобзареву, Л. Б. Окуню,
В. М. Чечеткину за интересные обсуждения.
Институт прикладной математики
АН СССР. Москва.
Поступила в редакцию
3 июля 1978 г.

28. О концентрации магнитных монополей во Вселенной
141
ЛИТЕРАТУРА
1. Поляков А. М.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1974, т. 20, с. 430.
2. Ί Hooft G.— Nvcl.Phys. В, 1974, vol. 79, р. 276.
3. Dirac Р. А. М.— Proc. Phys. Soc, 1934, vol. A 133, p. 60; Phys. Rev., 1948, vol. 74,
p. 817.
4. Schwinger J.— Phys. Rev., 1966, vol. 144, p. 1087.
5. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1965, т. 48, с. 986; Зельдович Я. Б.,
Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975. 735 с.
6. Chiu Η. У.— Phys. Rev. Lett., 1966, vol. 17, p. 712.
7. Zeldovich Ya. В., Okun L. В., Pikelner S. В.— Phys. Lett., 1965, vol. 17, p. 1964.
8. Kirzhnitz D. Л., Linde A. D.— Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 42B, p. 471; Preprint IC/76/
28.
9. Amaldi E. et al.—CERN Rep., 1963, N 63, p. 13.
10. Kibble T. W. В.— Preprint ICTP/75/5, 1976.
11. Домогацкий Г. В., Железных И. Μ.— Ядер, физика, 1969, т. 10, с. 1238.
12. Adams Р. /., Canuto F., Chiu Η. Υ.— Phys. Lett. В, 1976, vol. 61, p. 397.
13. Eberhard P. #., Ross R. R., Alwares L. W.— Phys. Rev., 1971, vol. D4, p. 3260.
14. Vant-Hull L.— Phys. Rev., 1968, vol. 173, p. 1412.
15. Kolm H. #., Villa F., Odian Α.— Phys. Rev., 1969, vol. 184, p. 1393.
16. Fleischer R. L. et al.— Phys. Rev., 1969, vol. 184, p. 1393.
17. Schatten K. H.— Phys. Rev., 1970, vol. Dl, p. 2245.
18. Parker Ε. Ν.— Astrophys. J., 1970, vol. 160, p. 383.
КОММЕНТАРИЙ
В предлагаемой статье, датированной 1978 г., связь с моделями Великого
объединения непосредственно не обсуждается. Тем не менее, она оказала существенное влияние на
развитие этих моделей. Работа выделила основную проблему космологии, основанной на
моделях Великого объединения — проблему реликтовых магнитных монополей. Главный
вывод работы — это формула (11), которая описывает закаленную концентрацию
монополей произвольной массы и магнитного заряда, независимо от способа их образования при
единственном условии достаточно большой начальной концентрации монополей.
Оставалось сделать только небольшой шаг — поставить в эту формулу массу 1016 ГэВ,
характерную для монополей, предсказываемых в модели SU (5), и проверить, что начальная
концентрация монополей, образуемых в фазовом переходе от S U (5) симметричного до S U (3) χ
χ SU (2) X U (1) симметричного вакуума, достаточно велика, и формула (И)
справедлива. Это и было сделано в работе 1*. Последовавший поток статей был посвящен анализу
возникшей проблемы «перепроизводства монополей». Стало ясно, что огромная закаленная
концентрация монополей, по-видимому, не может уменьшиться на много порядков в ходе
их гравитационного скучивания 2*»3*. Другая возможность, указанная уже в
предлагаемой статье, конфайнмент монополей, механизм которого был уже предложен 4*. Но
наиболее плодотворным оказался подход б*, в котором затяжка фазового перехода приводила
к малой начальной концентрации монополей, так что формула (11) переставала быть
справедливой. Развитие этого направления связывает проблему реликтовых магнитных
монополей с проблемой б*-7* однородности и изотропии Вселенной, с проблемой образования
начальных возмущений... — со всем комплексом проблем, решаемых в рамках моделей
инфляционной (раздувающейся) Вселенной.
!* Preskill J. P.— Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 43, p. 1365—1368.
2* Goldman Г., Kolb E. W., Toussaint D.— Phys. Rev. D — Part, and Fields, 1981,
vol. 23, p. 867—875.
3* Лолнарев А. Г., Хлопов М. Ю.— Астрон. журн., 1981, т. 58, с. 706—716.
4* Linde A. D— Phys. Lett., В, 1980, vol. 96, p. 293—296.
б* GuthA.— Phys. Rev. D — Part, and Fields, 1981, vol. 23, p. 347—356.
6* Linde A. D.— Phys. Lett. B,< 1982, vol. 108, p. 389.
7* Albrecht Л., SteinhardtP. /.— Phys. Rev. Lett., 1982, vol. 48, p. 1220—1223.

ν
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
И АСТРОФИЗИКА
29
КОЛЛАПС МАЛОЙ МАССЫ
В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ *
Расчет равновесия холодного идеад±>ного ферми-газа в собственном поле
тяжести, проведенный Г. Волковым и Дж. Оппенгеймером [1, 2], привел к
следующему результату: при малом числе нейтронов (Ν < 0,35©)
существует одно решение, при 0,35© < N < 0,750© — два решения и при N ^>
^> 0,75© — ни одного (знак © означает здесь число нуклонов Солнца).
Предполагалось, что единственное решение при N < 0,35© является
абсолютно устойчивым и при таком N коллапс невозможен. Покажем, что это
не так.
Задавшись достаточно большой плотностью, можно создать при любом
данном числе частиц N конфигурацию, масса которой сколь угодно близка
к нулю и заведомо меньше массы статического решения. Такая
конфигурация, очевидно, не может перейти в состояние равновесия (в статическое
решение) и, следовательно, может только неограниченно сжиматься.
Зададимся произвольным сферически симметричным распределением
покоящегося вещества; плотность частиц обозначим л, плотность энергии ε
(ε включает массу покоя частиц); η и ε связаны между собой уравнением
состояния.
Метрика задана выражением (полагаем везде с = 1):
ds2 = еШ2 — еЧг2 — г2 (sin20d(p2 + <2θ2). (Ι)
Как известно, из уравнения для λ (см. [3]), следует
г
e-Ur) = 1 _ JL С ε (r) r2 dr, (2)
о
где Ъ = 8пк. Масса звезды дается выражением
оо
Λί = 4πξ e(r)r2dr, (3)
о
а число частиц (άω — инвариантный элемент объема)
оо
N = ^п da> = 4π § η (г) e^*r2 dr. (4)
о
Возьмем распределение покоящейся материи, заданное формулами
ε = a/r2, г<Я; ε = 0, г>Д. (5)
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1962, т. 42у вып. 2ус. 641—642.

29. Коллапс малой массы в общей теории относительности 143
Тогда
*τλ = 1 — α&, г < Д, *τλ = 1 — abR/r, r > R. (6)
М = 4яаД, Λί = 4π -Су>,гМг (7)
г о
Для ультрарелятивистского газа
ε = % (3/я2У'т% η = (π1/.)1/* (8/й)3/*. (8)
Подставляя (5) и (8) в (7), получим
N = const · α3/*β3/7ΐ/Ί — α&,
i? = const - ЛР/ад-* (1 _ ab)V3, Af = const - N2l*axl* (1 — at)1': (9)
Откуда следует, что Μ —* 0 при a —> 1/& при любом iV1. Этим доказывается
сделанное выше утверждение.
Для грубой оценки энергетического барьера, отделяющего равновесное
решение с Μ <ζ Nm (m — масса нейтрона) от коллапсирующего состояниял
найдем максимум Μ по формуле (9). Получим
Мтах ж Ν4* γΈ/k, Mmax/Nm ~ N~lf> Yh/k/m « (N/Ncry^ (10)
где 77i7Vcr — порядка максимальной массы, для которой существует решение,
т. е. порядка массы Солнца. Следовательно, для систем, состоящих из
малого числа нуклонов, коллапс хотя и возможен, но барьер во много раз
превышает начальную энергию покоя системы. Так как барьер ~7V2/a, то
абсолютная величина его уменьшается (хотя потребная плотность и увеличивается)
при сжатии части рассматриваемого тела. Все выводы качественно не
изменяются при учете взаимодействия нейтронов, в частности и при наиболее
жестком уравнении состояния ε ~ п2, совместимом с теорией
относительности [4].
При пользовании выражениями (1)—(4) не предполагается, что η (г) и
ε (г) с равной нулю скоростью ν = 0 соответствуют статическому решению;
уравнения поля дадут отличные от нуля λ, ν, г), где точка означает
производную по времени. Вне тела (r^> R) имеем λ = 0, так что масса Af, измеренная
до внешнему гравитационному полю, останется неизменной в процессе
эволюции, которая последует при заданном начальном распределении * не
удовлетворяющем условиям равновесия.
Использованное для доказательства распределение (8) имеет особенности:
ε —> оо при г = 0; ε имеет разрыв от alR2 до 0 при г = R. Легко убедиться,
однако, что результат не изменится при сглаживании этих особенностей,
например, заменой (5) на
ε = α/α2/?2 при r<^aR; α<^1,
« = -£· *%д~Г ' *(1-β)<Γ<Λ(1 + β); β<1, (И)
ε = о/г·, aR < г < R (1 — β).
1 При малом α нельзя пользоваться ультрарелятивистским уравнением (8). При
• 0 масса Μ —» Nm.

144 Часть вторая» V. Общая теория относительности и астрофизика
В рассматриваемом начальном распределении (5) или сглаженном (11) везде
е"к > 0, ev > 0, т. е. метрика не сингулярна и нет трудностей, связанных
со шварцшильдовской особенностью (ех —> оо, ev = 0).
Автор благодарен Н. А. Дмитриеву, Л. Д. Ландау, Ε. Μ. Лифшицу и
С. Холину за ценные дискуссии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Oppenheimer J. Я., Volkoff G. Μ. Phys. Rev., 1939, vol. 55, p. 374.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ. Стат. физика. М.: Гостехиздат, 1951. 479 с.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. 3-е изд. М.: Физматгиз, 1960. 400 с.
4. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 41, с. 1609.
КОММЕНТАРИЙ
Исследования устойчивости холодных звездных конфигураций с массой порядка
массы Солнца, проведенные в сороковые — шестидесятые годы, показали существование
критической массы порядка 1,5 М@, выше которой устойчивых конфигураций не существует,
и коллапс неизбежен. Конфигурации с меньшей массой устойчивы. Как показано в данной
статье, в принципе, такие массы можно заставить сколлапсировать, если искусственно
сжать их внешними силами до размеров порядка их гравитационного радиуса. Однако для
этого нужно предварительно затратить громадную работу. Поэтому состояние коллапса
малой массы отделено от устойчивого состояния гигантским энергетическим барьером.
В действительности, энергетический барьер, отделяющий равновесное состояние
малой массы от коллапса, в классической теории может быть сколь угодно малым. Суть дела
состоит в том, что для перевода малой массы в состояние коллапса не нужно увеличивать ее
полную массу-энергию полной работой внешних сил, а достаточно искусственно
образовать громадную флуктуацию плотности вещества в центре конфигурации. При этом масса
флуктуации произвольно мала, а следовательно, мала и полная работа, необходимая для
создания такой конфигурации. В предлагаемой работе был построен первый конкретный
пример конфигурации заданного числа нуклонов со сколь угодно малой полной
гравитационной массой, т. е. с гравитационной энергией связи, сколь угодно близкой по
абсолютной величине к полной массе-энергии покоя нуклонов. Это показывает, что, в
принципе, можно построить,машину, использующую силы гравитации, которая выделяла бы
из вещества энергию, почти равную энергии покоя М^с2, что несравненно больше ядерной
энергии 0,01 М%,.
Комментируемая статья явилась также первым шагом к идее о возможности
образования первичных черных дыр малой массы в ранней Вселенной при наличии достаточно
сильных возмущений (см. статью ЯБ, И. Д. Новикова, А. Г. Полнарева, А. А. Старобинско-
го 1# и цитированную там литературу).
Отметим также, что эта заметка является первой работой Я Б по общей теории
относительности и одновременно последней работой, которую Я Б еще имел возможность
детально обсудить с одним из своих учителей — Львом Давидовичем Ландау — за
несколько дней до катастрофы, оборвавшей научную работу Ландау.
х* Novikov I. D., Polnarev A. G., Starobinsky Α. Α., ZeldovichYa. В.— Astron. Astro-
phys., 1979, vol. 20, p. 104—109.

30. Аналог зееман-эффекта в гравитационном поле вращающейся звезды 145
30
АНАЛОГ ЗЕЕМАН-ЭФФЕКТА
В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ
ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЗВЕЗДЫ*
Как известно, в общей теории относительности (ОТО) гравитационный
потенциал более не является скаляром (как это было в теории Ньютона).
Гравитационное поле вращающегося тела отличается от поля покоящегося
тела подобно тому, как в электродинамике вращающееся заряженное тело
создает не только электростатическое, но и магнитное поле. Тирринг и Лен-
зе заметили, что идеальный гироскоп вблизи вращающегося тела медленно
поворачивается по отношению к инерциальной системе на бесконечности,
т. е. поворачивается по отношению к далеким неподвижным звездам. По
порядку величины скорость Ω поворота гироскопа на поверхности тела равна
Ω ж <uRglR,
где ω — скорость вращения тела, R — его радиус, Rg — гравитационный
радиус. На полюсе Земли Ω равно 0,1 угловой секунды в год (5-10"7 рад/
/год = 1,6· Ю-14 рад/с); наблюдение этого эффекта явилось бы важной
проверкой ОТО. Поворот плоскости поляризации света рассматривал
Г. В. Скроцкий х [1].
В предлагаемой заметке рассматривается влияние изменения
гравитационного поля, создаваемого вращением, на спектр, излучаемый атомами на
поверхности тела и наблюдаемый приемником, находящимся вдали от тела.
Компоненты гравитационного поля, аналогичные магнитному полю,
вызывают изменения спектра» подобные эффекту Зеемана.
Линия, испущенная атомом с частотой ω0 на полюсе и принятая далеким
наблюдателем над полюсом, расщепляется на две компоненты с
противоположной круговой поляризацией и с частотами ω0 + Ω и ω0 — Ω.
В отличие от классического магнитного зееман-эффекта, гравитационный
эффект является универсальным, расщепление не зависит от конкретных
свойств системы, испускающей свет, оно одинаково для атома и молекулы в
оптическом и в радиодиапазоне.
Для доказательства рассмотрим линейный осциллятор на полюсе.
Можно представить себе, что он скреплен с идеальным гироскопом 2 и в
центральном поле сил все время колеблется в плоскости, в которой лежит ось
гироскопа. С точки зрения наблюдателя, находящегося на полюсе, осциллятор
испускает плоскополяризованную волну, которую можно рассматривать как
суперпозицию двух волн, поляризованных по кругу в разные стороны с
равной частотой.
Но относительно далекого наблюдателя ось гироскопа поворачивается
со скоростью Ω. Следовательно, с той же скоростью поворачивается и
плоскость поляризации. Линейно поляризованный свет с поворачивающейся
плоскостью поляризации, очевидно, представляет собой суперпозицию двух
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1965, т. 1, вып. Зг
с. 40—45.
1 Скроцкий Г. В.— Докл. АН СССР, 1957, т. 114, с. 73.
2 Ось гироскопа лежит в горизонтальной плоскости и перпендикулярна линии центр
тела—полюс—наблюдатель, т. е. направлению луча.

146 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
волн, поляризованных по кругу, но с различными частотами ω0 + Ω. Итак,
мы доказали, что свет, испущенный зарядом, колеблющимся в центральном
поле сил на полюсе вращающегося тела, воспринимается далеким
наблюдателем как совокупность лучей с круговой поляризацией, расщепленных по
частоте. В силу принципа соответствия между квантовой теорией и
классической механикой, очевидно, что этот результат останется справедливым для
любой атомной или молекулярной системы. На поверхности нейтронной
звезды эффект, в принципе, может достичь наблюдаемой величины. На
самом деле, при массе порядка ΜΘ радиус звезды порядка 10 км;
максимальная скорость вращения звезды ω, соответствующая параболической скорости
на экваторе, порядка ~104 с"1. При этом (с учетом распределения плотности)
достигается Ω ~ 102 с"1. Для радиолинии 21 см, ω0 = 1010 с"1 такое
расщепление (101J + 102) могло бы быть наблюдено при современной точности.
Однако в действительности наблюдение, вероятно, безнадежно, так как
поверхность нейтронной звезды ничтожна и соответственно ничтожна мощность
излучения в длинноволновом диапазоне; существуют другие причины унш-
рения и смещения линий; на полюсе и на экваторе эффект имеет разные
знаки.
Независимо от эксперимента принципиальные соображения о
существовании гравитационного зееман-эффекта могут быть интересны с точки зрения
углубления аналогии между магнитным полем и соответствующими
членами в релятивистской теории тяготения. На эту аналогию независимо
обратил внимание Смородинский, рассматривающий в ОТО вектор, играющий
роль потенциала; ротор этого вектора определяет локальное вращение инер-
циальной системы.
Альтернативное описание явления заключается в том, что право- и лево-
поляризованные по кругу кванты испытывают различное красное смещение
в поле тяготения. Таким образом, здесь имеет место частный случай влияния
момента вращения частицы (кванта) на движение частицы в гравитационном
поле.
Из симметрии задачи ясно, что это различие целиком связано с
вращением тела, создающего поле тяготения.
Изменение частоты кванта, равное Ω, не зависит от частоты кванта ω0
и происходит в основном на пути порядка 1/2 или 1/3 радиуса тела; на Земле
оно составляет примерно 2,5-Ю""15 Гц на (2—3)-108 см, т. е. 10~23 Гц/см. Это
изменение можно сравнить с измеренным Паундом и Ребкой красным
смещением всех квантов (правых и левых) в основном статистическом поле
Земли:
J_*L= * 10-"cm-i.
ах с2
Для квантов с энергией 14 кэВ, частота которых 4-1018 Гц, изменение
частоты равно 5 Гц/см и влияние спина (круговой поляризации) жестких
квантов неизмеримо мало. Для протона влияние направления спина на его вес,
связанное с вращением Земли, порядка 10"28 веса протона.
Поступила в редакцию
1 апреля 1965 г.

31. Рождение частиц в космологии
147
КОММЕНТАРИЙ
Влияние вращения тела на создаваемое им гравитационное поле или (в терминологии
общей теории относительности) на метрику окружающего тела пространства известно
давно. Соответствующий эффект носит имена Лензе и Тирринга. Экспериментально эффект
до сих пор не обнаружен, наиболее перспективным представляется проект опыта,
предложенного Брагинским, Торном и Полнаревым х*.
В комментируемой заметке дана наиболее естественная трактовка эффекта в слабом
поле.
Показано, что можно ввести понятие гравитационного магнетизма и описывать
эффект как взаимодействие гравимагнитного момента тела и гравимагнитных моментов
атомов, частиц, фотонов.
Взаимодействие является универсальным и, подобно магнитному полю, приводит
к зеемановскому расщеплению уровней.
1 Braginsky V. В.% Polnarev Л. £., Thome К. S,— Phys. Rev. Lett., 1984, vol. 53r
p. 863—866.
31
РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ В КОСМОЛОГИИ*
Рождение элементарных частиц вблизи сингулярности в анизотропных
космологических моделях, по грубым полуколичественным оценкам, способно
создать плотность энергии, достаточную для изотропизации расширения.
Если упомянутые оценки правильны, то с учетом рождения частиц
степенная асимптотика сингулярности типа Казнера оказывается внутренне
противоречивой применительно к космологии, уцелеть может лишь
вырожденный случай фиктивной особенности с показателями 1, 0, 0 или изотропная
фридмановская сингулярность. Рождение частиц может оказаться
существенным для объяснения наблюдаемого в настоящее время отношения общего
числа частиц (главным образом фотонов) к числу барионов.
Вопрос о рождении частиц в космологической задаче рассматривался
применительно к изотропному (фридмановскому) решению в работе Л.
Паркера [1].
В предлагаемой работе будет рассмотрена сингулярность типа Казнера
(см. [2]):
ds2 = с2 dt2 — № df — № dr\2 — № άζ2. (la)
Роль (la) в качестве прототипа наиболее общего решения с особенностью и
для описания начальной стадии эволюции Вселенной рассмотрена в работах
[3-5].
С точки зрения локального ньютоновского наблюдателя в пространстве
с координатами # = #»£, у = #4), z — №ζ имеет место гравитационный
потенциал (см. [6, 7]):
φ = -[Pl (Pl _ 1) Х2 + р2 {р2 _ 1) у2 + рз {рз _ t) z2]/2t\ ДФ= 0. (1б>
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1970, т. 12, вып. 11г
с. 443—445.

148 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
Условимся, что рг < р2 < р$, так что рх < 0 и по оси .г потенциал имеет
максимум в начале, Φ = —kx2, k ^> 0. Можно предполагать, что такой
потенциал благоприятен для рождения пар, движущихся в противоположные
стороны по оси χ со всенарастающей скоростью. По аналогии с рождением
заряженных пар в статическом электрическом поле (см., например, [8]) найдем
полуширину барьера г из условия
φ (г) = Φ (0) - с2, г = c/fk. (2)
Если ширина меньше комптоновской длины волны частицы, то следует
ожидать, что вероятность рождения не зависит от массы покоя частиц и
дается выражением, следующим из размерности:
dnldt [1/(см3.с)1 = АДг8 = р\ (рг — 1)2/*4с3. (3)
Рассмотрение по методу [1] приводит к сходному результату. Строго
можно поставить задачу лишь в том случае, если задаться статической метрикой
при t = +оо и заменить сингулярность плавными и конечными
выражениями метрических коэффициентов в области —10 < ί < ίο-
Статичность при t = — оо нужна для однозначного определения вакуума,
статичность при t = +°° — Для однозначного определения числа
родившихся частиц. Устранение сингулярности в области | t | < t0 необходимо для
получения однозначного решения.
Как показано в работах [1] и [9], рождение частиц определяется
отношением Ъ (t = -\-oo)/b (t = — оо) величины Ъ (£), удовлетворяющей
уравнению типа
Ъ + ω2 (t) 6 = 0, (4)
где ω есть частота данной собственной моды поля, описывающего частицы.
Кажется парадоксальным тот факт, что частицы появляются на
расстоянии 2г друг от друга, превышающем ct (см. формулу (2)).
Этот парадокс есть следствие классического описания на языке частиц
с определенными координатами явления прохождения под потенциальным
барьером, которое по существу неразрывно связано с волновыми свойствами
материи.
Аналогичный парадокс имеет место и в рождении заряженных частиц
электростатическим полем Е: классические траектории даются выражением
х± = хо ± Y{mc2fl(eEf + c2(t~tQf.
Сумма импульсов р+ и р_, где ρ = mcfi/γΐ — β2, β = (dx/dt)/c равна
P+ (t) + Ρ- (0 = 0. Это свойство, как и уравнение траекторий, лоренцин-
вариантно. Однако в любой системе интервал между мировыми точками
рождения электрона и позитрона пространственно подобен. Хотя рождение двух
частиц пары взаимосвязано, так как е+ или е" отдельно родиться не могут,
но при классическом описании причинная связь кажется невозможной.
Вернемся к задаче о гравитации.
В случае пространственно однородной задачи пространственная функция
волнового поля описывается плоской волной ехр (Λ1ξ + &2η + &3ζ), так что
волновой вектор и частота (при т = 0) даются выражениями
со2/с2 = | fc |2 = *ΪΓ2Λ + к\Г2р> + к23Г2р\ (5)

31. Рождение частиц в космологии
149
Уравнение типа (4) решает задачу о поведении классического волнового
ноля в заданной, зависящей от времени, метрике.
Число квантов есть адиабатический [10] инвариант классического поля.
Нарушение адиабатической инвариантности в классической задаче | Ь+ |/
/ I Ь_ | > 1 в согласии с принципом соответствия описывает рождение пар
частиц в вакууме в квантовой теории поля.
Приближенные решения (4) имеют вид (полагаем ω(ί = οο)=ω(ί =
= _эо); η = (b2+ - Ъ1)1Ы)
-j-oo -f-oo -f-oo
J dt li } dt ι J -шГ^ dt2
—oo —oo —oo /r*\
Ответ зависит в основном от окрестности сингулярности. Грубо можно
лоложить, что рождение происходит вблизи t0 и рождаются с вероятностью
лорядка 1 частицы с ω (ί0)< ίο"1· Плотность этих частиц составит в таком случае
η 1/см3 = к3 = со3/с3 = 1/с3^. (7)
По порядку величины выражение совпадает с тем, что получится из (3),
если подставить η (t0) ^ t0 (dn/dt) \t=t0- Отличие заключается лишь в
множителе, зависящем от рг и равном нулю при рх = 0. Это отличие
неудивительно. Метрика с рг = 0 имеет лишь фиктивную особенность, но в
постановке задачи (с переходом от сжатия к расширению вблизи сингулярности)
такой переход вносит отличную от нуля кривизну. Средняя энергия частиц в
момент рождения, соответствующая (7), порядка ftco ~ K/t0, так что
плотность энергии ε0 ~ h (c3t0).
Остановимся на том месте, которое спонтанное рождение частиц в
гравитационном поле занимает в общей теории относительности (ОТО).
Классические уравнения
Rt* - 1UgikR = *Tik (8)
несовместимы с рождением частиц: следствием этих уравнений является
тождество Т\к = 0. Пусть начальное состояние представляет собой вакуум, на
гиперповерхности t = const или t = —oo равны нулю Tik и его производные.
Тогда из Tii1c = 0 следует, что вакуум всегда сохраняется.
Следовательно, рождение частиц по необходимости связано с
поправками к ОТО, а точнее — с квантовыми поправками, поскольку выражение г~%.
Квантовые поправки к уравнениям ОТО рассматривались в нескольких
работах, как на основе классических уравнений [11, 12] и в самое последнее
время в [13], так и в рамках нового подхода [14] к выводу уравнений ОТО.
Однако при этом рассматривались «вещественные» поправки порядка
квадрата кривизны и высшего порядка, т. е. нелинейное изменение
упругости вакуума.
Рождение частиц представляет собой «мнимую» поправку, имеющую
смысл «вязкости» вакуума.
Обратимся к космологическим следствиям рождения частиц. После
периода интенсивного рождения при t0 следует расширение с падением
плотности энергии по закону
ε = (ί/ί0)-«, 4/3 > α > 1 — | Pl |, 9)
где показатель α зависит от предположений о взаимодействии частиц [15].

150 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
Теперь найдем момент tv когда эта плотность энергии окажется
достаточной для того, чтобы оказать гравитационное воздействие на метрику и
перевести казнеровское решение во фридмановское. Из условия
ε (ίι) ж c2/Gt2 (10)
получим ответ
tl = (cbG-m-4taih~a = (*ο"%2)1/2"~α, (Ц>
где tv = 10"43 с. Следовательно, если начать расчет с t0 ~tp, то и переход
во фридмановское решение произойдет практически в тот же момент,
казнеровское решение тут же кончает самоубийством. Остается открытым вопрос
о ситуации в случае показателей 1, 0, 0. По-видимому, необходимо более
глубокое рассмотрение сингулярности. В рамках модели Фридмана, согласно-
Л. Паркеру [1], при ρ = ε/3, a (t) ~ ]/*ί безмассовые частицы не рождаются»
Рассмотрим в качестве начального состояния холодный мир с предельно
жестким [16] уравнением состояния (т — масса покоя бариона)
ρ = е = n2m*c5h-s, a (t) ~ t113.
Спонтанное рождение (пар) частиц в такой метрике приведет к росту
энтропии; задаваясь t0 = tp, получим по порядку величины безразмерную
энтропию
5S Yhc/GM2 ~ 1018
вместо наблюдаемой s ~ y/nb ~ 108 (см. [6, 17]). Не исключено, что какая-
то модификация уравнения состояния даст правильное значение s.
Пользуюсь случаем выразить благодарность В. А. Белинскому,
В. Л. Гинзбургу, Б. Я. Зельдовичу, Д. А. Киржницу, Н. Б. Нарожному,
А. И. Никишову, И. Д. Новикову, А. М. Переломову, В. С. Попову за
многократные обсуждения **.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 23 сентября 1970 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Parker L.— Phys. Rev., 1969, vol. 183, p. 1057.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ. Теория поля. Μ.: Наука, 1967, изд. 5.
3. Белинский В. Л., Халатников И. М.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1969,
т. 56, с. 1700.
4. Misner С. W.— Phys. Rev. Lett., 1969, vol. 22, p. 1071.
5. Khalatnikov I. M., Lifshitz E. M.— Phys. Rev. Lett., 1970, vol. 24, p. 76.
6. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967. 656 с.
7. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1971, т. 60, вып. 1.
8. Нарожный Н. Б., Никишов А. К.— Ядер, физика, 1970, т. И, с. 1084.
9. Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1969, т. 56у
с. 1375.
10. Зельдович Я. Б.— Докл. АН СССР, 1965, т. 163, с. 1359.
И. De Witt В. S.— Phys. Rev., 1967, vol. 162, p. 1254.
12. Feynman R. L.— In: Report at Warsaw conference on relativity. Warsaw, 1962.
13. Гинзбург В. Л., Киржниц Д. Α., Любушин А. А.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1971, т. 60, вып. 1.
14. Сахаров А. Д.— Докл. АН СССР, 1967, т. 117, с. 1.
15. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков Л. Д.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1967, т. 53, с. 644.
16. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 41, с. 1609.
17. Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1966, т. 89, с. 617.
** Комментарий приведен после статьи 35.

32. О возможности рождения частиц классическим гравитационным полем 151
32
О ВОЗМОЖНОСТИ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ
КЛАССИЧЕСКИМ ГРАВИТАЦИОННЫМ ПОЛЕМ*
(совместно с Л. П. Питаевским)
В недавней работе С. Хоукинг [1] указал, что «если ТаЬ удовлетворяет
"физически разумному условию: . . . пространство—время. . ., которое
однажды было пустым, должно оставаться пустым всегда». Зная об
аннигиляции пар частиц в гравитоны и обратном процессе, он отмечает несоответствие
между «трудностью определения локального оператора энергии-импульса
для полей материи в искривленном пространстве—времени», и «тем фактом,
что мы квантуем материальные поля, но не метрику» (см. [1], с. 301, 302, 305).
Более точно он утверждает, что если в начальный момент времени плотность
энергии Го равна в некоторой области нулю (так же, как и другие
компоненты Т\), тогда и в дальнейшем она останется равной нулю. Доказательство
основано на неравенстве
К>\т1\ (1)
для компонент тензора энергии-импульса.
Наша цель в этой заметке — показать, что хотя неравенство (1) и
справедливо для части тензора Т\, описывающей уже существующие частицы,
оно, вообще говоря, нарушается для части Т\, соответствующей
поляризации, которую вызывает в квантованном вакууме частиц (т. е. электронно-
позитронном вакууме) классическое гравитационное поле. Именно эта
последняя часть Т\ в точности описывает рождение частиц.
В качестве простого примера мы обсудим рождение частиц в слабом
гравитационном поле в линейном приближении. Пусть
gik = g°ik + hih. (2)
Вследствие поляризации вакуума слабое возмущение hih порождает добавку
к тензору энергии-импульса
Этот вклад может быть вычислен методами квантовой теории поля. В
линейном по hih приближении этот процесс изображается диаграммой. Мы
рассматриваем рождение двух бозонов, так что можно принимать во внимание
обращенную по времени диаграмму
г&> = (^) (3)
Здесь волнистая линия обозначает поле hik, ровные линии — это пропагато-
ры — изображают рождение частиц, а точками изображены вершины для
взаимодействия этих частиц с полем. Мы здесь не будем выписывать
соответствующие аналитические выражения, которые различаются для разных сор-
* Communications mathematical Physics, 1971, vol. 23, p. 185—188.

152 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
тов частиц. Подчеркнем лишь тот факт, что они не равны нулю. Поскольку
это играет принципиальную роль, мы работаем с малыми возмущениями
метрики Минковского
£оо = 1, gu = gn = gss = —1.
В случае слабого поля мы можем разложить hik по плоским волнам и
рассматривать каждую фурье-компоненту в отдельности; таким образом, мы
положим
hik ~ е-**. (4)
Тогда соотношение между Т$ и hik описывается диаграммой (3):
Tin = Л|Л:ет^ет (5)
(полевые компоненты, способные рождать частицы, разумеется,
удовлетворяют неравенству к2 = ω2 — к2 > 0. Например, для рождения электрон-по-
зитронной пары требуется к2 ^> im2).
В линейном приближении пополю, Т$ должны удовлетворять уравнению
непрерывности в простой форме:
дТ\а)/дхк = 0. (6)
Отметим в этой связи некоторые свойства симметрии для aikem. Прежде
всего должно выполняться
^ikem ==z &ikme == ^kime == ^текг*
Первые два уравнения очевидны из определения; третье, соответствующее
принципу симметрии Онсагера, следует непосредственно из диаграммы (3)-
Уравнение (6) дает
к1аШт = 0 (7а)
и тогда также
keaikem = 0. (76)
Последние уравнения выражают примечательную калибровочную
инвариантность теории. Действительно, при бесконечно малом преобразовании
координат (ξ£ — произвольный бесконечно малый вектор)
hik —> hik + ikfek + ^fr£i>
тензор Т$ в линейном приближении по h и ξ должен быть инвариантен, что
гарантируется (76). Следовательно aikem могут быть выражены через две
скалярные функции:
агнет = αϊ (к2) [(g?№ - кгкк) (gj&k* - кект)] +
+ а2 (к2) [(gfjk2 - kike) (gflk2 - кккт) +
+ (gflk* - ккке) (gflk2 - к{кш)}. (8)
Для плоской волны с к2 ^> 0 можно всегда выбрать систему координат, в
которой поле однородно (к = 0, к2 = со2). Тогда из (6) следует, что
-*соГ00(1) -0; Т°0 = 0.
Это во всех случаях противоречит (1) и разрешает парадокс Хоукинга. В при-

32. О возможности рождения частиц классическим гравитационным полем 153
сближении следующего порядка по степеням h мы имеем
дТ°0{1)/дх° = 1/2 (dha$/dxQ)T<*№, (9)
где черта над Τ означает усреднение.
В комплексной форме
дТУдх* = ωΙια^ Im (α#)/4, (10)
где Im означает мнимую часть.
Правая часть равенства (10) положительна и, как легко можно показать,
в точности равна энергии частиц, рождаемых полем в единицу времени. Мы
отметим также, что прямое вычисление Im а из диаграммы (3) ведет к
сходящемуся выражению и не требует перенормировки.
Из (10) видно, что в выбранной системе координат Tl ~ h2, в то время как
Та ~ h. Это полностью аналогично обычной квантово-механической
ситуации, когда изменение сохраняющейся величины, скажем, энергии атома,
имеет порядок Е2 по электрическому полю Е, в то время как, например, ди-
польный момент атома содержит члены, линейные по полю. Отметим также
очевидную аналогию между формулой (10) и известным выражением для
диссипации энергии электромагнитного поля в среде, диэлектрическая
постоянная которой содержит мнимую часть.
В заключение подчеркнем, что в свободном гравитационном поле плоские
волны, разумеется, обладают к2 = 0, так что наше обсуждение относится к
рождению частиц гравитационным полем, вызванным материей. Тогда
Т?к представляет собой только часть полного тензора энергии-импульса —
часть, обусловленную полем. Это, однако, связано только с линейным
приближением и, мы полагаем, не влияет на наше основное утверждение. Уже
во втором приближении частицы могут рождаться даже свободным
гравитационным полем, т. е. двумя плоскими поперечными гравитационными
волнами, распространяющимися в различных направлениях.
Феноменологическое описание может быть выполнено аналогичным образом. Компоненты,
которые появятся, по-прежнему будут удовлетворять неравенству (1). Здесь
необходимо подчеркнуть, что едва ли есть сомнения в возможности рождения
частиц классическим гравитационным полем. Проблема определения
оператора энергии-импульса в слегка искривленном пространстве имеет ту же
трудность, что и в электродинамике; хорошо известно, что эти трудности
могут быть преодолены с помощью перенормировок, в результате которых
остаются конечные выражения со всеми нужными свойствами. В самом деле,
существует возможность квантового превращения гравитонов в частицы, как
уже было упомянуто в [1]. Но большое число бозонов формирует
классическое поле, и процесс превращения, конечно же, может происходить в
присутствии большого числа гравитонов.
Рождение частиц в нестационарной метрике может быть важно для
космологии (см. [2] и [3]). В этой связи наше обсуждение возможности
вычисления вероятности рождения в приближении неквантованного
гравитационного поля (т. е. неквантованной метрики) имеет первостепенное значение.
Общее обсуждение рождения пар во внешнем гравитационном и электрическом
полях может быть найдено среди трудов одного из авторов [4]. Важность
рождения для эволюции анизотропной метрики подчеркивается в [5].
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Институт физических проблем 18 марта 1971 г.
Академии наук СССР. Москва

154 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
ЛИТЕРАТУРА
1. Hawking S.— Communs Math. Phys., 1970, vol. 18, p. 301.
2. Parker L.— Phys. Rev., 1969, vol. 183, p. 1057.
3. Зельдович Я. Б.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1970, т. 12, с. 443.
4. «Magic without Magic»/Ed. Klauder. N. Υ.: 1972, p. 277—278.
5. Зельдович Я. Б. Старобинский А. А.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971, т. 61 г
№ 12.
КОММЕНТАРИЙ
Работа Л. П. Питаевского и ЯБ имела весьма принципиальное значение. К моменту
ее написания уже известны были работы Л. Паркера 1# и А. А. Гриба 2*, в которых
рассматривалось рождение частиц гравитационным полем. Однако незадолго до
приведенной работы появилась статья С. Хоукинга, цитируемая в комментируемой статье, с
доказательством невозможности рождения частиц. Это доказательство использовало то же
предположение, что и общепризнанное доказательство неизбежности сингулярности, а
именно утверждение об энергодоминантности полей и частиц. В помещенной выше работе·
Л. П. Питаевского и ЯБ было доказано, что поляризация вакуума может нарушать
условие энергодоминантности. Тем самым был снят трудный парадокс и открыт путь для
дальнейшего исследования рождения частиц. Этим воспользовались ЯБ и А. А.
Старобинский в следующих работах данного цикла3*»4*, а также и сам Хоукинг, создавший
теорию рождения частиц гравитационным полем черных дыр.
Позднее было осознано, что нарушение энергодоминантности поляризацией вакуума
позволяет строить самосогласованные космологические решения без сингулярности.
Пример такого решения дан в работе А. А. Старобинского 5*, там же даны ссылки на
предшествующие работы.
Весьма наглядно, подробно и живо, применительно как к гравитационному, так
и к электромагнитному полю, идеи связи поляризации вакуума и рождения частиц
изложены в замечательной обзорной статье ЯБ 6*.
1# Parker L.— Phys. Rev., 1969, vol. 183, p. 1057—1068.
2* Гриб А. Л., Мамаев С. Г.— Ядер, физика, 1969, т. 10, с. 1276—1281.
3* Зельдович Я. Б., Старобинский Α. Α.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971г
т. 61, с. 2161—2175.
4* Зельдович Я. Б., Старобинский Α. Α.— Письма в Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1977, т. 26, с. 373—377.
5* Старобинский Α. Α.— Phys. Lett. В, 1980, vol. 91, p. 99—102.
6* Zeldovich Ya. В.— In: Magic without magic. San-Francisco, 1972, p. 277— 288-
33
РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА
В АНИЗОТРОПНОМ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ *
(совместно с А. А. Старобинским)
Рассмотрено рождение частиц и поляризация вакуума скалярного поля
с произвольной массой во внешнем сильном гравитационном поле с
однородной пространственно-плоской нестационарной метрикой. В общем
анизотропном случае найдены конечные перенормированные средние значения
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1971, т. 61, вып. 6,,
с. 2161—2175

33. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле 155
тензора энергии-импульса. Установлено, что отсутствие поляризации
вакуума и рождения частиц безмассового поля ** имеет место только в изотропном
случае. Исследовано поведение вблизи сингулярности; в случае изотропного
коллапса найдены точные асимптотики. Показано, что при анизотропном
коллапсе найденные средние значения растут, как Г"4, и при учете
обратного влияния скалярного поля на метрику закон сжатия может
существенно измениться. Для случая слабого гравитационного поля рассчитан
поляризационный оператор в первом порядке по h.
Высказывания о возможности рождения частиц в пустоте до 1960 г. [1—3]
интересны как указание на важную область исследования, но они не
содержат четкой физико-математической трактовки вопроса.
В ряде работ последующего десятилетия исследуется структура полевых
поправок к теории тяготения [4—7], вплоть до попытки всю теорию
тяготения вывести из рассмотрения поляризации вакуума [8]. С этой же точки
зрения изучается вопрос о космологической постоянной [9—10].
В последние годы в ряде работ рассматривается рождение частиц в
сильных гравитационных полях, в частности вблизи космологической
сингулярности [11—16]. Интерес к этому вопросу «подогревается» теорией «горячей»
Вселенной,! содержащей, как известно, большой перевес нейтральных
частиц над заряженными. Важно также рассмотреть рождение частиц в
процессе релятивистского коллапса.
Как известно, наиболее общее решение задачи о коллапсе вблизи
сингулярности оказывается локально анизотропным [17]. Известны также
космологические решения, в которых расширение вначале, вблизи сингулярности,
является анизотропным, и лишь впоследствии происходит переход к
изотропному расширению, наблюдаемому в настоящее время (простейшее из
них — решение Гекмана — Шюкинга). В последнее время интерес к таким
моделям усилился [18—20].
В предлагаемой работе главным является исследование рождения
скалярных частиц в сильных анизотропных гравитационных полях, в частности,
вблизи сингулярности.
Естественно при наличии сильного гравитационного поля рассматривать
его в классическом (не квантовом) приближении. Напротив, рождающиеся
частицы (фотоны, пары е+, е~, ν, ν, TV, TV и др.) обязательно нужно описывать
в духе теории квантовых полей. То же самое относится и к гравитонам; это
значит, что метрику целесообразно представить как суперпозицию медленно
и быстро меняющихся величин (ср. рассмотрение гравитационных волн в
работе Р. А. Изааксона [21]) и квантовать нужно только последние.
Поляризация вакуума и рождение частиц обязательно должны изучаться
совместно; более того, до тех пор, пока метрика не становится четырехмерно
плоской, принципиально нельзя отделить в формулах реально родившиеся
частицы от виртуальных частиц, обусловливающих поляризацию. Без учета
этого обстоятельства возникают парадоксы [22], которые, однако,
разрешаются по аналогии с ситуацией в электродинамике [23].
Оказывается, что при приближении к анизотропной сингулярности
плотность энергии и другие компоненты тензора энергии-импульса
рождающихся частиц быстро растут. При характерном времени tv = YGUIcb учет
рождения частиц может существенно изменить асимптотику коллапса; однако такой
* * Утверждение о поляризации неверно. См. конец комментария на с. 175 (прим.
редактора).

156 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
полный расчет с учетом обратного влияния рождающихся частиц на
метрику еще не проделан.
Нужно подчеркнуть, что изотропный случай (равномерное сжатие или
расширение во всех направлениях), который рассматривался в работах
[11—14], является вырожденным. При приближении к изотропной
сингулярности рождение частиц прекращается (см. § 3) и обратное влияние его на
метрику мало, в анизотропном же случае ситуация как раз противоположная.
Причины такого различия связаны с конформной инвариантностью полей.
В теории волновых полей (классических или квантовых — безразлично)
существует важное понятие конформной инвариантности [24], т. е.
инвариантности относительно конформного преобразования метрики ds2 —>
—> ν2 (хг) ds2. При у, зависящем от координат, происходит изменение свойств
пространства, например, преобразование плоского пространства в
искривленное (но не во всякое искривленное).
Очевидно, что масса покоя частицы нарушает конформную инвариантность
ее волнового уравнения, так как связанная с массой покоя т длина Til тс
не преобразуется пропорционально масштабу v. Конформно-инвариантными
могут быть лишь поля частиц ст = 0. Для таких частиц получается
замечательный результат: они не рождаются (что показано в работах К. А.
Бронникова и Э. А. Тагирова [12] и Л. Паркера [13]) и не дают вклада в
поляризацию вакуума в конформно-плоском пространстве-времени. Для частиц с
т Φ О вклад на больших импульсах пропорционален четвертой степени
массы, что приводит к устранению расходимости поляризации и к малости
рождения пар.
К конформно-плоским метрикам относится важнейший класс
космологических решений Фридмана. Однако более общие сингулярные решения ит
в частности, простейшие из них с тремя масштабами а, Ь, с по трем
пространственным осям, по-разному зависящими от времени (см. ниже метрику (1))г
не являются конформно-плоскими. В такой метрике можно ожидать сильного
рождения частиц, не зависящего от массы (т. е. также и при т = 0),
нарастающего как Г"4 в случае степенных а, 6, с [16]. Вид ответа ε ~ Йс~3Г"4 следует
из размерности: действие гравитационного поля на частицы и другие поля
не содержит гравитационной постоянной G; из Й, с и t плотность энергии
строится единственным образом. Результат можно сформулировать подобно
известным свойствам вязкости газа: отсутствие эффекта рождения пар при т =
= 0 в изотропном случае означает, что для вакуума релятивистских частиц
равна нулю так называемая вторая вязкость, связанная с дивергенцией
скорости и изменением объема. Однако отлична от нуля первая вязкость
вакуума, связанная со сдвиговой деформацией,— соотношения такие же, как для
газа. Конкретные вычисления проделаны нами для метрики (1), в которой
трехмерное пространство (сечение t = const) является однородным и
трехмерно плоским. Квантовая теория может рассматриваться в гамильтонов-
ском формализме благодаря выделенной роли времени. Задача сводится к
решению классического волнового уравнения г.
Предлагаемая методика является общековариантной. В самом деле,
волновое уравнение и тензор энергии-импульса скалярного поля являются ко-
1 Эта связь между рождением частиц в квантовой теории и рассмотрением
классического уравнения вполне естественна, так как для бозе-частиц классическая теория
является точным асимптотическим пределом квантовой при большом числе частиц.
Усиление классической волны за счет неадиабатичности и параметрического резонанса есть
рождение частиц — квантов поля.

33. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле 157
вариантными. Неоднозначным же является выбор квантового состояния, по
которому производится усреднение. В качестве такого состояния мы берем
вакуум скалярного поля, который можно корректно определить только
в плоском пространстве-времени (ПВ). Однако, если к такому ПВ
примыкает произвольное ПВ, то, решая волновое уравнение (а также «га-уравнение»,
необходимое для перенормировки), можно однозначно определить тензор
энергии-импульса Тц рассматриваемого волнового поля, получившегося из
вакуума. Неясно, как разделить в неплоском ПВ вклад в Тц ранее
родившихся частиц и вклад поляризации вакуума, однако, возможно, что этот вопрос
относится скорее к филологии, чем к физике.
Рассматриваемый вид метрики (1) содержит как конформно-плоский
случай, так и противоположный, не сводимый конформно к плоскому. Далее,
в упомянутом случае в полной мере имеют место расходимости
поляризационного тензора энергии-импульса, и поэтому необходима программа
перенормировки и устранения бесконечностей. Для этой цели разработана
методика, являющаяся видоизменением метода Паули—Вилларса. Каждой
отдельной «волне» с данным m и волновым вектором к сопоставляется п-
волна с подобно увеличенным тип ипки уменьшенной в Υ η раз амплитудой.
Тензор энергии-импульса гс-волны Т$ (к) и нужное количество его
производных по η вычитаются из Tid (к) рассматриваемых физических частиц так,
чтобы J d*k rf/g (к) сходился, а затем делается предельный переход η -> оо.
Увеличение не только πι, но и к существенно облегчает процедуру. Величины
Т$\ как и Tij, строятся из решений волнового уравнения, поэтому каждая
из величин удовлетворяет закону сохранения Т]] = 0. Следовательно,
и перенормированная величина Tffg тождественно удовлетворяет закону
сохранения. По сравнению с методом Паули—Вилларса принципиальное
преимущество состоит в том, что в новом методе можно указать
перенормированный вклад каждой индивидуальной волны с данным к. Вычитаемые
величины соответствуют га-частице, траектория которой является
классическим пределом (лучом) рассматриваемой волны с заданным тик, чего нет
в методе Паули—Вилларса. Реального рождения га-частиц, очевидно, нет
в пределе га —>- оо.
Для изучения общих свойств рождения частиц поучителен случай малых
изменений метрики:
a2 (t) = 1 + К (*), б2 (*) = 1 + га2 (t), с2 (t) = 1 + К (*);
М±оо) = 0, μα|< ι.
В этом случае, задавшись вакуумом при t = — оо, можно однозначна
определить число частиц и все свойства при t = + оо, т. е. после окончания
процесса. При этом ответ для t = + оо оказывается при гладких ha
сходящимся. Число родившихся частиц связано с мнимой частью поляризации
вакуума. Эта мнимая часть конечна и не нуждается в перенормировке.
Вещественная же часть при t Φ + оо оказывается расходящейся, и конечный
ответ получается лишь после перенормировки.
Рассмотрение малых возмущений метрики позволяет также
классифицировать величины по степени малого параметра h. Оказывается, что
пространственные составляющие тензора энергии-импульса Γμν пропорциональны
первой степени /г, тогда как плотность энергии ε = Т00 пропорциональна /г2.
Благодаря этому удовлетворяется закон сохранения энергии, схематически
имеющий вид Т00 ~ ΑΓμν. Лишь при t ->■ +сх> пространственные составляю-

Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
щие Γμν первого порядка по h исчезают, остаются Γμν (+<*>) ~ h2. Таким
образом, в процессе рождения частиц нарушается условие
«энергодоминантности» (соотношение | Γμν | < ^оо); только по окончании процесса мы
имеем дело с определенным числом рожденных реальных частиц и
указанное условие выполняется [22, 23].
Выше рождение частиц рассматривалось в заранее заданной метрике и
без учета обратного влияния рожденных частиц на метрику. В силу
уравнений общей теории относительности (ОТО) заданная метрика соответствует
вполне определенному Tik^ext) — тензору энергии-импульса «внешнего»
вещества (в частности, возможно, что ^(ext) =0). В этом смысле не вполне
точно называть изучаемый процесс рождением частиц в вакууме; в
действительности рассматривается рождение частиц при наличии «внешней»
материи. Однако здесь учитывается лишь гравитационное взаимодействие
«внешнего» вещества с рождающимися частицами.
Частный случай метрики Казнера со степенными зависимостями а, &, с
от in с показателями'рг, р2, р3, удовлетворяющими известным соотношениям,
соответствует отсутствию «внешнего» вещества. Впрочем, если постепенно
совершать переход от метрики Минковского к метрике Казнера, то внешнее
вещество обязательно понадобится. Естественный способ перехода к
метрике Казнера дает решение Гекмана—Шюкинга с a (t) ~ tPi (t + £i)*/srPl и
т. д. В этом случае при t —>- 0 «внешнее» вещество не исчезает, его плотность
растет как Г1, и роль его по сравнению с главными членами (~ Г2) в
уравнениях ОТО мала. Методически постановка задачи рождения в заданной
метрике от этого не изменяется. Способ перенормировки, проверенный на
примере слабого поля, оказывается пригодным и для задачи о рождении
в асимптотически казнеровской метрике. Отметим случай рх = 1, р2 = Рг —
= 0, на важности которого настаивает В. А. Белинский. При этом
пространство-время является четырехмерно-плоским и легко преобразуется к виду
Минковского. Однако метрика с переходной областью a (i) ->- const при
t < t0 и a (t) ~ | t\ при t ^> t0; Ъ = с = const — существенно неплоская при
t ~ t0; в ней имеется «внешнее» вещество. Вследствие нелокальности теории
влияние перехода при t = t0 проявляется и при t ^> t0. Поэтому отличный от
нуля результат для рг = 1; р2 = р3 = 0 в такой постановке задачи не
нарушает общих принципов.
Предлагаемая работа не претендует на исчерпывающее рассмотрение
вопроса. Ближайшая основная задача, которая представляется
принципиально разрешимой (хотя и трудной) в рамках развитых представлений, —
последовательное рассмотрение коллапса и сингулярности с
самосогласованным учетом обратного влияния рождающихся частиц и поляризация
вакуума. Как указано выше, в изотропном случае такое влияние мало, однако
оно может стать большим в анизотропном коллапсе. Весьма вероятно, что
обратное влияние рождения частиц на метрику приведет к изотропизации
сжатия, переведет последний этап приближения к сингулярности на рельсы
квазиизотропного рещения, описанного Е. М. Лифшицем и И. М. Халатни-
ковым [17]. С другой стороны, маловероятно, чтобы обратное влияние могло
привести к смене сжатия на расширение: для этого нужно было бы, чтобы
плотность энергии была на каком-то этапе отрицательной.
Наконец, отметим задачи, естественно составляющие часть общей
проблемы, но требующие новых идей: 1) общековариантная формулировка теории,
в частности, формализм без выделенной роли времени; 2) учет
непосредственного (электромагнитного, сильного и т. д.) негравитационного взаимодейст-

33. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле 159
вия частиц между собой; 3) наиболее трудная и важная — космологическая
задача о выходе из сингулярности, о формулировке начальных условий
в сингулярном состоянии. Возможно, что эта задача неотделима от
общей проблемы квантования метрики, где разделение на высоко- и
низкочастотные зависимости от координат уже неудовлетворительно в силу
сжатия горизонта. Здесь также можно высказать заманчивую гипотезу о том,
что, как и при коллапсе, обратное влияние поляризации вакуума на
гравитационное поле приводит к переходу анизотропного расширения типа Каз-
нера в квазиизотропное при t ~ tp (соответствующие оценки см. в [16]).
1. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ И СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Рассмотрим вещественное скалярное поле φ (хг) в однородной
космологической модели с пространственно-плоской нестационарной метрикой:
d& = dt2 - a2 (t) dx\ - Ъ2 (t) dx\ - с2 (t) dx\, (1)
где α, &, с — некоторые заданные неотрицательные функции времени.
Плотность лагранжиана этого поля возьмем в виде
L = Ч% W\,i <Р,* - (т2 - Д/6) φ2], (2)
где R = glkRik — скалярная кривизна (в статье выбрана система единиц,
где % = с = 1; обозначения производных и выбор знаков в определениях
gut, Rmm и Riu совпадают с принятыми в [25]). Соответствующее уравнение
поля имеет вид
φί! + (т2 - Д/6) φ = 0. (3)
Оно является конформно-инвариантным при т = 0 [24], т. е. при
конформном преобразовании метрики
(ds = ν (χ1) ds, gjk ->- gjk = ιΓ2 (я*) gjk)
и при соответствующем преобразовании функции поля
(φ ->- φ =ν {χ1) φ)
уравнение (3) сохраняет свой вид. В работе Э. А. Тагирова и Н. А.
Черникова [11] приведены соображения в пользу необходимости выбора
лагранжиана скалярного поля в виде (2).
Тензор энергии-импульса этого поля [11] имеет вид
Тгн = Ф, i<P, ft - giuL + (Rik + gik D — ViVft) Ψ2/6, (4)
где Q = glk V£Vfe; V — оператор ковариантного дифференцирования.
Этот тензор обладает следующими свойствами:
Tik = Tki, |Γ = Γί = ιην. Τ% = 0. (5)
Отметим, что в случае плоского пространства—времени Tik отличается
от обычно употребляемого тензора энергии-импульса скалярного поля на
величину (#^Г] — VtVk) φ2/6, имеющую вид дивергенции.
Метрика считается заданной и не квантуется. Квантование скалярного
поля мы проведем стандартным способом, используя гамильтонов
формализм (для случая изотропной модели Фридмана это было проделана

160 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
К. А. Бронниковым, Э. А. Тагировым [12] и Л. Паркером [13]), а именно:
введем канонические одновременные коммутационные соотношения
[φ (χ, t), φ (#', t)] = [π (χ, ί), π (.#', t)] = 0,
[φ (#, ί), π (χ', t)] = ίδ<»> (χ — χ'), (6)
где обобщенный импульс поля π = д (Υ— gL)/ddp — F(p, F = ]/— g =
·= a&c.
Соотношения (6) выполняются, если функцию φ (хг) представить в виде
<Р (*') = ^Г ξ <Р* [А<Р* (t) e-ik* + AWt (t) e"*]. (7)
Здесьoc = (χ1, χ2, x3),k = (кг, /с2, ks) — постоянный волновой вектор;
функция q)fr (t) удовлетворяет уравнению
Φ* + -τ" Φ* + (ω*(ί) g-J Φλ: = 0, (8)
где
ω! (ί) = m2 + /c>2 + /c*/&2 + /с*/с2,
и условию
φφ* — φ*φ = i/V (9)
(точка означает дифференцирование по i), a ifc — некоторые постоянные
операторы с коммутационными соотношениями:
[ЛкAr] = [AUv] = 0, [ЛкАр\ = б(з) (к - к'). (10)
Далее будем везде считать, что при t ->- — оо а, &, с ->- const и
пространство—время является плоским, причем начальное условие для φ^. (t)
имеет вид
где ω^ο = ω^. (— оо), F0 = V (— оо). Только в этом случае при t = — оо
операторы Ак и Ак совпадают с операторами уничтожения и рождения
квантов свободного поля, и можно ввести постоянный гейзенберговский вектор
состояния | 0> (удовлетворяющий условию: Ак | 0> = 0 для всех к),
который является правильно определенным вакуумом свободного скалярного
поля при t = — оо. Аналогично вводится полная система m-постоянной при
i = — оо.
Из-за нестационарности метрики (1) операторы Лк и Лк в общем случае
нельзя отождествить с операторами рождения и уничтожения при t ^> — оо,
а состояние | 0> при t ^> — оо не является вакуумом. Вопрос о том, как
определить операторы рождения и уничтожения и «вакуумное» состояние
для всех t в случае изотропной модели Фридмана исследовался К. А.
Бронниковым и Э. А. Тагировым [12], которые показали, что ответ не является
однозначным (по этому поводу см. также работу А. А. Гриба и С. Г.
Мамаева [14]).
Для задач, рассматриваемых в данной статье, эта неоднозначность
несущественна, так как нас будет интересовать только среднее значение
<0 | Т\ (£) | 0>. В пространстве с метрикой (1) отличны от нуля средние зна-

33. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле 161
чения диагональных компонент тензора энергии-импульса:
* = <о|г;|о> = ^$#л{4-(|«Ы* + <о!|<ы2) +
^1 = _<0|2'}|0> = ^5.5ίΡΛ{^-|φ»|« + 4-(|φ*|,-ωί|φ*|«)-
и т. д.
Видно, что в такой постановке квантовая задача свелась к рассмотрению
классического волнового уравнения (3) для φ (χ1) или (8) для φ^. (t).
Сразу заметим, что вакуумные ожидания (11) включают в себя плотность
энергии и давление нулевых колебаний вакуума и заведомо расходятся.
Поэтому в дальнейшем будут исследоваться перенормированные величины
ε = g — #01 Ра = $>а — &а0 (а = 1, 2, 3),
где
*?
*·=(2^$**ΤΓ· ^ = ЩПГ№
2α2ω^
и т. д.; (Е0 и ^ао не зависят от скорости изменения метрики и расходятся
как &4.
Перенормированные плотность энергии и давление еира удовлетворяют
закону сохранения:
4-4^)—(л-г + ^х + л-г)· <12>
Вопрос об их сходимости будет исследован в следующем разделе.
Из-за пространственной однородности метрики (1) полный импульс
скалярного поля Ga = Ιβ3χγ— gT% сохраняется. В случае комплексного
скалярного поля φ (хх) (квантование которого проводится аналогично)
сохраняется также и полный заряд Q = l<№x]f—gj°, т. е. частицы
рождаются парами с противоположными зарядами и импульсами.
f dt
2. ОБЩИЙ АНИЗОТРОПНЫЙ СЛУЧАЙ
Произведем следующую замену переменной t и функции поля φ:
dt
φ(η.35)=·χ(η.«)/ν/·(η). φ*(η)=χ*(η)/^ν*(η)· (13)
Обозначим у (η) = 7*/», gx (η) = α/ν, g2 (η) = &Μ тогда уравнение (8)
приводится к виду
χ; + [Ωΐ + ζ>(η)]χ* = 0, (14)
6 Я. Б. Зельдович

162 Часть вторая. V. Общая теория, относительности и астрофизика
где
Ωϊ = Λοϊ = m*v* + kl/gl + k\lgl + g\g\kl,
Q (η) = [(a'/a — V/bf + (a'/a - c'/cf + (b'/b — c'/c)2]/18 =
= [(g'M* + (alg*? + ftft/*ift]/3,
штрих означает дифференцирование по η. Видно, что Q (η) = 0 только в
изотропном случае.
Мы получили уравнение классического осциллятора с переменной
частотой.
Рассмотрим частный случай метрики, эволюционирующей так, что a, bf
с |η=_οο = а, 6, с |η=+οο = 1. Возьмем одну моду h. Пусть при η ->- — оо
функция χ (η), соответствующая этой моде, имеет вид ехр (— ΐΩ0η), где
Ω0 = Ym2 + №. Тогда при η ->- + оо эта же функция χ имеет асимптотику
χ = α ехр (— ΐΩ0η) + β ехр (έΩ0η),
где I ос |2 — |β|2 = 1, β^ΟΒ общем случае. Таким образом, происходит
усиление волны — ее энергия увеличивается в 1 + 2 | β |2 раз. То же самое
относится и ко второй элементарной волне: если при η -> — оо χ =
= ехр (ίΩ0η), то при η ->- + оо
χ = α* ехр (ίΩ0η) + β* ехр (— ΐΩ0η).
Энергия этой волны также усиливается в 1 + 2 | β |2 раз. Произвольная
линейная комбинация обеих волн с разными знаками частоты при η ->- — оо
может, очевидно, как усиливаться, так и ослабляться.
Волновое уравнение инвариантно относительно замены η на — η; легко
построить начальную комбинацию
χ = Схехр (— ΐΩ0η) + С2 ехр (ΐΩ0η),
где η ->- — оо, которая даст уменьшение энергии на выходе, т. е. при η -> +
+ оо. Однако, если при η ->- — оо зафиксировать отношение модулей Сг
и С2 и усреднить ответ по относительной фазе (Arg {Сг1С?)), то снова
получится усиление полной энергии в те же 1 + 2 | β |2 раз.
С квантовой точки зрения, увеличение энергии при этом процессе
означает рождение новых квантов поля. В классической теории прирост энергии
пропорционален начальной ее величине в силу линейности уравнений поля.
Квантовая теория бозе-частиц эквивалентна классической теории с
отличной от нуля энергией состояния без частиц (ΗΩ0/2) и поэтому дает отличное
от нуля рождение частиц из этого состояния. Так как вакуум есть состояние
с неопределенной фазой, то энергия всегда только увеличивается.
Очевидно, что β является мерой неадиабатичности процесса. Отклонение
от адиабатичности уменьшается с увеличением волнового вектора Η и
частоты Ω^, поэтому | β |2 оказывается быстро убывающей функцией | U |. Для
вычислений удобно в явном виде писать поправки к адиабатическому
приближению, поэтому для решения уравнения (14) мы используем метод
Лагранжа.
Итак, будем искать решение уравнения (14) в виде
Ζ* (Л) = *ь (Л) ejYWb + h (η) ejYW»
e± = ехр {+ i} Ω^ ώη} , (15)

33. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле 163
с дополнительным условием
%'k (η) = - Й2* К (Л) eJY2Qi - fo (η) e+/f ВД (16)
{т. е. производная от χΛ берется так, как если бы ак, β^, Ω^ не зависели от
времени). Из (9), (15) и (16) следует, что
Ι«*(η) I2- IP* (η) Ι2=ΐ· (17)
В результате вместо одного дифференциального уравнения второго
порядка для хк (14) получается система двух линейных уравнений первого
порядка для ак и β^:
ак = (Qh/Qk — iQ/Qk) eJpt/2 — iQakl2Qk,
β', = (QklQk + iQ/Qk) elak/2 + iQ$k/2Qk (18)
с начальными условиями: при η = — оо (£ = — оо) величины ак = 1ш
Р* = о.
Иногда бывает удобно перейти от двух комплексных переменных ак и
j3fr, связанных условием (17), к трем действительным переменным:
Sk = I β* |2' Щ= ak$el + а*$ке%
τΛ = i (ak$e2- — α*β^4). (19)
Для них можно получить систему трех линейных уравнений:
** _ ί Q* „ . * 0 т
? = ^-('+^)-(^ + 2Ω«)τι, (20,
с начальными условиями: sk = ик = гк = 0 при η = — оо. Из
асимптотики решения системы (20) (или эквивалентной ей системы (18)), приведенной
в приложении II, видно, что при Ω^ -> оо
-ι
sk — Ω/c , ик — Qk , тк — Ω^ ,
так что ε и ра расходятся на верхнем пределе как к2 (см. далее
формулу (22)).
Следовательно, в анизотропном случае необходима дополнительная
перенормировка. Воспользуемся методикой, изложенной во введении к статье.
Пусть Tij (fc, m) — тензор энергии-импульса для одной моды fc, a T\f =
= n~1Tij (nk, nm) — то же самое для л-волны. Тогда перенормированный
тензор энергии-импульса данной моды будет:
Tf^(je,m)=nm\Tij(k)-T[f(k)-T^T^(Jc)-
-iaW^H- (21)
6*

164 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
Разлагая Тц (к) по обратным степеням Ω^. при Ω^ ->- оо, легко показать,
что при больших Ω^ имеем Tffg (к) ~ Ω^5; так что полный тензор энергии-
импульса поля Tffg = I dskTfjeg(k) сходится. Кроме того, при | к | ->■ О
л m Φ 0 \ Tffg (k)\<C оо. Отметим, что первое вычитание соответствует
отбрасыванию тензора энергии-импульса нулевых колебаний вакуума,
сделанному в конце разд. 1. Из способа регуляризации ясно, что тензор rfj6g
удовлетворяет закону сохранения: T$eg;j = 0.
При m = 0 данный метод перенормировки неприменим из-за
возникновения инфракрасной логарифмической расходимости (аналогичное явление
наблюдается в квантовой электродинамике). Эта расходимость в
действительности является фиктивной и, по-видимому, может быть устранена таким же
способом, как и в электродинамике.
С помощью этой методики можно найти конечные перенормированные
средние значения тензора энергии-импульса поля (при m Φ 0):
ε^=ρ^ξ^{ΩΠ^-42)-44))-|-^[^-42) + 4-Κ-^2))])'
* «*=&h \d4 [§ζ(Sk ~ ^ -si4))+
+4γΗ--ω|)κ-42)-44))+^[(4)'-^]><
X^-si^ + ^-i^-uf^-^-^-^-rf)} и т.д., (22)
где s%\ 44\ u<k\ *44\ tic\ τϋΡ представляют собой соответствующие члены
асимптотического разложения %, щ и тк по степеням Ω^1 при Ω^ -> оо (см»
приложение II); индекс указывает порядок убывания по Ω^1»
Случай слабого гравитационного поля (малого отличия метрики (1) от
метрики Минковского) рассмотрен в приложении I.
Интересный и важный частный случай представляет собой
квазиевклидова модель Фридмана, где можно принять а = Ъ = с = ν, и тогда метрика
(1) является изотропной и конформно-плоской:
ds2 = ν2 (η) (<2η2 — dx\ — dx\ — dx\).
Вследствие этого, Q (η) = 0 и все формулы значительно упрощаются.
Во-первых, в изотропном случае при к = | к | ->■ оо имеем sk ~ йг6?
щ ~ /с"4, тк ~ /с"3, так что величины ε и р, введенные в конце разд. 1,
оказываются конечными (т.е. уже первого вычитания достаточно для
регуляризации). Они имеют вид:
ε== (2π)3 ι* ^d8*Qfc*k'
p=jw^)^(k2Sk~ I4^Uk)' (23*
где Ω^ = Υ к2 + m2v2. Из выражения для ε следует, что sk можно
интерпретировать как среднее число пар (реальных и виртуальных), рождающихся
на моде к.

33. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле 165
Далее, для частиц с т = О будет Ω^ = О и β^. = О, так что ε = ρ = О·
Таким образом, в изотропном случае при любой зависимости ν (η) не только
не происходит рождения реальных безмассовых частиц, что показано в
работах [12, 13], но и полностью отсутствует поляризация вакуума.
Подчеркнем, что в общем анизотропном случае β^ Φ 0 при т = 0, что видно из
системы (18).
3. ПОВЕДЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ И ДАВЛЕНИЯ
СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ ПРИ ПРИБЛИЖЕНИИ К СИНГУЛЯРНОСТИ
Наибольший физический интерес представляет исследование поведения
поля вблизи сингулярности. Рассмотрим случай коллапса, когда при t —
= —оо мы имеем плоское пространство—время, а при t = 0 —
сингулярность. Пусть при t —>- 0 величины а, Ъ и с являются степенными функциями t.
В анизотропном казнеровском случае основной вклад в интегралы в
формуле (22) дает область ω^. ~ l/ί, где sk ~ 1, и при t ->- 0 и | mt | <^ 1 имеем
ε ~ Ра ~ Г"4 (с точностью, возможно, до логарифмических членов). Точные
коэффициенты при ей ра еще не определены. Так как при t ->- 0 компоненты
тензора Римана растут как £~2, а плотность энергии «внешнего» вещества —
как £-4/з (для ультрарелятивистского газа), то при приближении к
характерному времени t ~ tp = YG обратное влияние рождающихся частиц на
метрику становится большим и может существенно изменить (разумеется,
при рассмотрении самосогласованной задачи) дальнейший ход сжатия.
В вырожденном случае изотропного сжатия пространства физически
интересен случай: a (t) ~ tq при £->-0;0<#<1. Выберем η так, чтобы η =
= 0 при t = 0, тогда α (η) ~ η*7*, где qx = q (1 — q). Из (II.2) (см.
приложение II) видно, что если та (η) <^ к = \ к | <^ l/η (а при достаточно
малом η любое к попадает в эту область), то sk, ик,хк ->- const, следовательно,
рождение пар прекращается при η ->- 0.
Причина этого очень проста: при η ->- 0, ω^. ях к/а, т. е. массой можно
пренебречь, а частицы с т = 0 при изотропном коллапсе вообще не
рождаются. При дальнейшем сжатии родившиеся частицы ведут себя как
релятивистский газ с уравнением состояния ρ = ε/3, так что при t -^ 0 и \ mt \ <^ 1
оо
ε = Зр = ~аТ \ dkk*n (*) ~ m41mt Г4*'
о
где η (к) = lim sk. Можно показать, что при к ->- 0 η (к) ~ йГ1, а при
η->0
к ->- оо η (к) ~ Лг4/^"^, поэтому написанный интеграл сходится.
Соответствующая асимптотическая плотность частиц (включая и поляризацию вакуума)
равна
оо
п О = w Sdkk2n W ~m3\mt I"39·
0
Если α (t) ~ Y\t I (q = V2)npH | f | < t0 ^> ί/m (внешнее вещество — ульт-
рарелятивистский газ), то отношение энергии родившихся частиц к энергии
внешнего вещества будет: ε/^ext ~ Gm2 <C 1 (мы рассматриваем «обычные»
элементарные частицы с массами 10~24 -е- 10"27 г).

166 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
Заметим, что в изотропном случае можно поставить обратную,
«космологическую» задачу, задав «вакуумное» состояние при t = 0 с помощью
условия: 5, и, τ \t==0 = 0 (или Сг = 1/(2 ]АЛ), С2 = Y~kl2; см. приложение II,
формулу (П.2). В анизотропном случае s, и, τ ->- оо при t ->- 0 и наложить такое
начальное условие невозможно.
Авторы выражают глубокую благодарность Л. П. Питаевскому за
постоянное внимание к работе и ценные указания. Пользуемся также случаем
поблагодарить участников объединенного астрофизического семинара,
семинара кафедры квантовой теории физического факультета МГУ и семинара
ВНИИФТРИ за интерес и критику.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
СЛАБОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
Рассмотрим случай слабого внешнего поля (т. е. малого отличия метрики
(1) от метрики Минковского) и рассчитаем ε и ра в первом порядке теории
возмущений по h (t). Наиболее интересен следующий анизотропный случай:
а2 (*) = 1 + hx (*), б2 (0 = 1+ К (*)■ *2 (0 = 1+ К (I),
причем
Ι Λα(t) |< ι, ha(t) μ±σο = о, з к = о.
α=1
В первом порядке по ha в фурье-представлении имеем
з
6Reg = 0, 2 PaReg = 0, paReg (g) = ^4 (q) ha (g), (LI)
a=l
где
оо <x>
/г^ = ^Г $ H9)eiqtdq, p(t) = -L·^ p(q)eWdq.
— OO —OO
Мнимая часть A (q) конечна и не требует перенормировки:
Im A(q) = ~ 1glF(«f - 4»»*)« |/l - i£-θ (<? - 4i»«) £ (<?), (1.2)
где
fl, x>0 f 1, ж>0
θ^ = (θ, χ<0· *<*> = {-1, *<0.
Величина Im Л (д) определяет энергию при £ = + сю во втором
приближении (т. е. энергию реально родившихся частиц):
оо 3 оо 3
e(+oo) = -J- ξ dt£paha = --L. ξ d^Im^^lM^F^O.
—©ο α=ι —оо α=ι
(1.3)
Регуляризованная с помощью трех вычитаний действительная часть
поляризационного оператора имеет вид

33. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле 167
(1.5)
при 0 <^ у <; 1; у = q2/im2;
*Λ®-*^ΜΎ-τ?+-£;--*Ιϊ#1ι°№--π=ν]
при γ ^> 1.
Асимптотика A (q):
*> A^ = ^mwJr^- при v<i;
2> А® = -ШШ·^^ при γ>1.
Поучительны также выражения в координатном представлении:
оо 3 t
ε(+οο) = Ljj dt£ha(t) J hZx{x)W(t — x)dx, (1.6)
—oo GC=1 —oo
где «^Γ (ί — τ) ~ (t — τ) In (t — τ) для частиц с т = 0. Величина \ . . *
—оо
играет роль р'а = — Γαα — компоненты тензора натяжений. Однако это
есть лишь часть ра; очевидно, что добавление к р'а членов вида h^n) (t) не
меняет ε (+ оо). Именно такие члены, не дающие вклад в ε (+οο),
подвергаются перенормировке.
Заметим, что найденные ра пропорциональны ha, если S^a = 0, так же,
a
как и вязкие натяжения при деформации несжимаемой жидкости. Однако
вязкость дала бы ра ~ Тга\ поляризация вакуума (и даже одна ее мнимая
часть) имеет более сложную нелокальную зависимость от вида h как
функции t.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (20)
Рассмотрим случай больших импульсов (Ω^. ->- оо) и разложим решение
системы уравнений (20) в асимптотические ряды по Ω^1. Это разложение
применимо в квазиклассической области: | Ω& | <^ Ω|. В этой области |%|,
\Щ Ι» Ι τΛ: I <С 1· Оказывается, что τ = %W + τ(3) + · · ·» s = s(2) + s(4) + · · ·»
и = u№ + uM + · · · (здесь и далее индекс к опущен),
«·--ΐ[τ?--'-§1->+4Μ·

168 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
и т. д. Индекс в скобках указывает порядок убывания по Ω&1 при Ω^ -+ оо.
Вблизи сингулярности (η = 0, t = 0) можно получить другую важную
асимптотику систем (18), (20). Пусть
,. а,Ъ, с
lim <——-1—= оо,
t-*o 1
тогда при достаточно малых η для любых к
η
|$Ω*£*η|<1.
о
В этой существенно неквазиклассической области имеем
—c'(VO-tjk-S<?d>*i)+#.
^=ι Ci ι2 [ω+4-(S ^rfr^)!]+-^^+-ίτ(^^—cx^t) ξ <? ^л—4-»
T = 4|C1p5(?^ + 2i(C*C2-C1C*),
где Сг и С2— комплексные числа (зависящие от к), удовлетворяющие
условию: С*С2 + СгС^ = 1/2. В случае степенных а, Ь, с имеем Q (η) ~ η"2,
так что в анизотропном случае при η ->- 0 величина s ^ — 2и ~ 1/Ωη2;
τ ~ η"1; в изотропном случае при η ->- 0 5, и, τ ->- const.
Сшивая две найденные асимптотики в области
п
| J Ω£<2η|~1,
о
можно получить закон ε ~ ра ~ £~4, приведенный в разд. 3**.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 25 июня 1971 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hoyle F.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1948, vol. 108, p. 372; 1949, vol. 109,
p. 365.
2. Иваненко Д. Д., Соколов А. А. Квантовая теория поля. Ч. 2. М.: Гостехиздат, 1952.
780 с.
3. Станюкович К. Я. Гравитационное поле и элементарные частицы. М.: Наука,
1965. 311 с.
4. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 403 с.
5. Feynman R. P.— Acta phys. pol., 1963, vol. 24, p. 697.
6. De Witt Br. S.— Phys. Rev., 1967, vol. 160, p. 1113; 1967, vol. 162, p. 1195, 1239.
7. Гинзбург В. Л., Киржниц Д. Л., Любушин Α. Α.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1971, т. 60, с. 451.
8. Сахаров А. Д.— Докл. АН СССР, 1967, т. 177, с. 70.
** Комментарий приведен после статьи 35.

34. Генерация волн вращающимся телом
169
9. Зельдович Я. Б. Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 6, с. 883;
Успехи физ. наук, 1968, т. 95, с. 209.
10. Сакураи Дж.— В кн.: Элементарные частицы и компенсирующие поля. М.: Мир,
1964, с. 42.
11. Тагиров Э. Л., Черников Н. А. Препр. ОИЯИ Р2-3777. Дубна, 1968.
12. Бронников К. Л., Тагиров Э. А. Препр. ОИЯИ Р2-4151. Дубна, 1968.
13. Parker L.— Phys. Rev. Lett., 1968, vol. 21, p. 562; Phys. Rev., 1969, vol. 183, p. 1057;
Phys. Rev., 1971, vol. 3, p. 346.
14. Гриб Α. Α., Мамаев С. Г.— Ядер, физика, 1969, т. 10, с. 1276; XV Intern, conf. on
high-energy phys. Kiev, 1970, vol. 2, p. 809.
15. Sexl R. £/., Urbantke H. K.— Phys. Rev., 1969, vol. 179, p. 1247 >
16. Зельдович Я. Б.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1970, т. 12, с. 443.
17. Лифшиц Ε. М., Халатников И. М.— Успехи физ. наук, 1963, т. 80, с. 391; Белинский
В. Л., Лифшиц Е. М., Халатников И. М,— Успехи физ. наук, 1970т т. 102, с. 463.
18. Misner С. W.— Phys. Rev. Lett., 1969, vol. 22, p. 1071; Phys. Rev., 1969, vol. 186,
p. 1328.
19. Дорошкевич А. Г., Новиков И. Д.— Астрон. журн., 1970, т. 47, с. 948.
20. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1971, т. 60, с. 3.
21. Isaacson R. Л.—Phys. Rev., 1968, vol. 166, p. 1263.
22. Hawking S.— Communs Math. Phys., 1970, vol. 18, p. 301.
23. Зельдович Я. Б., Питаевский Л. 77.— Communs Math. Phys., 1971, vol. 21, p. 185.
24. Penrose #.— In: Relativity, groups and topology/ Ed. by C. and B. de Witt. N. Y.; L.,
1964, p. 565.
25. Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ. Теория поля. М.: Наука, 1967. 460 с.
34
ГЕНЕРАЦИЯ ВОЛН ВРАЩАЮЩИМСЯ ТЕЛОМ*
Осесимметричное тело, вращающееся внутри полости резонатора,
способно усиливать определенные моды колебаний внутри резонатора,
передавая этим колебаниям энергию вращения.
Частота усиливаемых колебаний не связана целочисленным
соотношением с угловой скоростью вращения тела, и мгновенное состояние
резонатора не зависит от времени, так что рассматриваемое явление отличается от
параметрического резонанса.
При рассеянии плоской волны, падающей на вращающееся тело,
целесообразно разложить волну на сферические (или цилиндрические) волны
с различными значениями проекции момента на ось вращения. При
рассеянии волны с моментом, параллельным вектору вращения (и достаточно
большим), усиливаются, тогда как все остальные ослабляются. При наличии
внешнего отражателя с малыми потерями (резонатора) усиление при
однократном рассеянии может превратиться в генерацию. Линейная скорость на
поверхности вращающегося тела, очевидно, меньше скорости света, υ = βί,
β < 1. Усиливаются волны с угловой зависимостью ехр (тер), где τΓ> β"1.
Отсюда следует, что радиус тела меньше η длин волн по крайней мере в β раз;
это значит, что тело находится внутри зоны, в которой амплитуда волны
убывает быстрее, чем (г/Х)п. Поэтому при малых β усиление
экспоненциально мало, как ββ"1 или еще слабее.
Описанное выше относится к телу, состоящему из вещества, которое,
находясь в покое, поглощает волны; условия усиления и генерации полу-
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1971, т. 14, вып. 8,
с. 270—272.

170 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
чаются после преобразования уравнений к движущейся системе.
По-видимому, аналогичная ситуация может возникнуть и при рассмотрении
вращающегося тела в состоянии гравитационного релятивистского коллапса.
Метрика вблизи такого тела описывается известным решением Керра.
Гравитационный захват частиц и волн так называемой ловушечной
поверхностью заменяет поглощение; ловушечная поверхность («горизонт событий»)
находится внутри поверхности g00 — 0. Наконец, при квантовом
рассмотрении волнового поля следует ожидать спонтанного излучения энергии и
момента вращающимся телом. Однако эффект ничтожно мал, меньше Тьъ*1с* для
мощности и Ня3/с3 для тормозящего момента силы (для массы покоя m = 0,
кроме того, опущена безразмерная функция β). Вращающееся тело
рассматривается классически, все изложенное неприменимо к частицам с
квантованным моментом.
Возможно и дальнейшее обобщение на случай фермионов, в том числе и
заряженных. Вращающееся тело вызывает спонтанное рождение пар в том
случае, если тело может поглотить одну из частиц, а вторая (анти)частица
уйдет на бесконечность, унося энергию и вращательный момент. Нужно лишь,
чтобы унесенный момент был достаточен для отбора энергии от тела, что тр >-
бует определенного значения прицельного параметра Ь; область между
поверхностью тела и цилиндром радиуса Ъ является барьером. Возможен,
наконец, вариант, когда поглощение частицы заменено ее рассеянием
материалом тела. Без взаимодействия с телом, очевидно, одно вращение не ведет
к рождению пар.
Для доказательства всех утверждений рассмотрим простейший случай
скалярного поля ψ. В вакууме ψ подчиняется уравнению [^ψ — 7/ι2,ψ = 0.
В поглощающей среде в системе координат, где среда покоится, Οψ +
+ adtyldt — 77i2i|) = 0, здесь а характеризует затухание.
В системе, где среда движется вдоль оси х, лоренц-преобразование
переведет
αθψ/dt -► αγ (dty/dt — β0ψ/&τ); γ = (1 — β2)"1/*.
Рассмотрим цилиндрическую задачу ψ = / (г) ехр (ίωί + imp).
Пусть χ = щ отсчитывается вдоль круга, по которому происходит
вращение, β = γΩ/c, Ω — угловая скорость тела.
В этом случае внутри вращающегося тела (под его поверхностью)
добавочный член в волновом уравнении равен
ψαγ (tco + фпс/r) = ψΐαγ (ω + ηΩ).
Следовательно, при ηΩ < —со, η < 0, | η |^> ω/Ω добавочный член
меняет знак; среда эффективно работает как усилитель, а не поглощатель
по отношению к волнам с таким п.
Для гс-полюсника граница волновой зоны по порядку величины
соответствует Γω = | п\ λ = | η |с/(о; радиус тела г = ν/Ω = β^/Ω. Из неравенства,
необходимого для усиления, получим rlr^ < β, тело находится глубоко
внутри Γω. Условие усиления волны совпадает с простым энергетическим
критерием: энергия фотона Ё = Йсо, момент фотона в и-полюсном состоянии μ =
= rih (спином +1 пренебрегаем), μΩ^> Ε означает, что уменьшение энергии
вращения тела, больше энергии испущенного фотона. Постоянная % в ответ
не входит, являясь данью современному способу выражения в эпоху, когда
«квантоваямеханика помогает понять классическую».

34. Генерация волн вращающимся телом
171
Пользуюсь случаем отметить стимулирующее обсуждение с К. Мизнером,
К. Торном, Дж. Уилером проблемы извлечения энергии из
вращающегося коллапсировавшего тела и полезные дискуссии с Г. А. Аскарьяном,
Г. А. Гринбергом, Б. Я. Зельдовичем, П. Л. Капицей и И. И. Собельманом.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 9 июля 1971 г.
КОММЕНТАРИЙ
Интересный пример того, как одна и та же идея может быть плодотворно использована
в таких на первый взгляд далеких друг от друга областях, как прикладная классическая
электродинамика и квантовая теория черных дыр, представляет работа Я Б «Генерация
волн вращающимся телом». В гидродинамике был известен эффект усиления волны при
отражении от поверхности раздела сред, движущейся со скоростью, большей фазовой
скорости звука (сверхотражение). Непосредственное обобщение этого эффекта на случай
электромагнитных волн в вакууме невозможно, так как в вакууме вещество не может
двигаться со сверхсветовой скоростью. Однако Я Б обратил внимание на то, что возможно
«сверхсветовое вращение» тела: если на вращающееся тело падает монохроматическая
электромагнитная волна с временной и угловой зависимостью sin (πιφ — ωί), где т — целое
число, то угловая скорость вращения тела Ω вполне может быть больше угловой фазовой
скорости вращения волны ω/m, хотя линейная скорость вращения Ωγ, разумеется, меньше
скорости света. В работе было показано, что при условии ω < mQ электромагнитные
волны усиливаются при отражении от вращающегося проводящего цилиндра *. Наличие
ненулевой проводимости цилиндра, приводящее к диссипации энергии внутри него и
росту энтропии, существенно. Необходимая для процесса усиления энергия заимствуется
из вращательной механической энергии цилиндра, которая, таким образом, частично
переходит в энергию электромагнитной волны, а частично — в тепло.
Более подробно эта задача была исследована в последующих работах Я Б 1# и Я Б
и А. А. Старобинского 2*, где были рассмотрены случаи двух различных поляризаций
электромагнитной волны, а также малой и большой проводимости.
Эта же идея была применена Я Б к черным дырам, что привело к предсказанию
эффекта усиления волн (включая электромагнитные и гравитационные), рассеивающихся на
вращающейся черной дыре. Здесь также можно ввести величину Ω, имеющую смысл
угловой скорости вращения черной дыры, хотя никакой реальной твердой поверхности черная
дыра не имеет. Критерий существования эффекта усиления тогда снова принимает вид
ω < ηιΩ. Это утверждение было строго доказано (а величина эффекта количественно
рассчитана) в последовавших работах А. А. Старобинского 3* и А. А. Старобинского и
С. М. Чурилова 4*. При этом условие роста энтропии заменяется условием роста
площади поверхности горизонта событий черной дыры.
Наконец, развивая аналогию между усилением классической волны и квантовым
рождением частиц, ЯБ предсказал эффект квантового рождения частиц (фотонов,
гравитонов, электронов, позитронов и др.) вращающейся черной дырой. Этот эффект
складывается с другим эффектом рождения частиц черной дырой, открытым через три года С. Хоу-
кингом (последний эффект имеет иную природу и существует также в случае невращающей-
ся черной дыры).
* При чтении обратите внимание на неудачный выбор отрицательного т.
г* Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 62, с. 2076—2082.
2* Зельдович Я. Б., Старобинский Л. Α.— В кн.: Вопр. матем. физики. Л.: Наука,
1976, с. 35—48.
3* Старобинский Α. Α.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1973, т. 64, с. 48—57.
4* Старобинский Α. Α., Чурилов С. М.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1973,
т. 65, с. 3-11.

172 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
35
О СКОРОСТИ РОЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ
В ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЯХ*
(совместно с А. А. Старобинским)
Вычислена локальная скорость рождения безмассовых частиц в
слабоанизотропной однородной космологической модели, а также в слабом
неоднородном гравитационном поле, в котором для волновых векторов ненулевых
фурье-компонент выполнено условие qlqt > 0, во втором порядке теории
возмущений. Скорость оказывается пропорциональной локальным значениям
инвариантов тензора кривизны.
Хорошо известно, что в переменном гравитационном поле могут
рождаться пары частица—античастица, в том числе с нулевой массой покоя.
Различные аспекты эффекта рассматривались в большом числе работ. В частности,
авторы рассчитали [1] среднее значение тензора энергии-импульса (ТЭИ)
рождающихся скалярных частиц в случае, когда внешнее классическое
гравитационное поле описывается однородной анизотропной метрикой,
принадлежащей к первому типу Бианки. Это среднее значение оказывается
сложным нелокальным причинным функционалом от метрики
пространства—времени. Оно включает в себя вклад от реальных родившихся частиц
и поляризации вакуума квантового поля, причем расщепление единого
среднего значения ТЭИ квантового поля на ТЭИ реальных частиц и ТЭИ,
описывающий поляризацию вакуума, в общем случае не является общековариант-
ным и однозначным. Это связано с неоднозначностью определения понятия
частицы — кванта поля (в отличие от оператора ТЭИ поля) в римановом
пространстве—времени.
Если, однако, пространство—время является плоским при t = +оо«
то можно однозначно определить in- и out-вакуумы и рассчитать количество
реальных частиц, рожденных из in-вакуума во всем пространстве в течение
всего интервала времени — оо < £< оо. В настоящей работе обращается
внимание, что в некоторых случаях можно найти локальную скорость
рождения безмассовых частиц в единице объема в единицу времени, причем эта
скорость зависит только от локальных значений инвариантов тензора Ри-
мана.
В качестве первого примера рассмотрим слабоанизотропную однородную
космологическую модель, принадлежащую к первому типу Бианки, и
вычислим локальную скорость рождения безмассовых конформно-ковариантных
частиц (1/}/~ — g) d (γ—gn)/dt во втором порядке по величине анизотропии
(т. е. в первом порядке по малому отношению С ^^Ο1*1™ I RmfmRinm, гДе
С mm — конформный тензор Вейля). Метрика пространства—времени
имеет вид х
ds* = dt* — α2 (t) [(1 + /*i (t)) dx\ + (1 + h2 (*)) dx\ + (1 + hs (*)) dxl], (1)
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1977, т. 26, вып. 5,
с. 373—377.
1 Выбрана система единиц, где скорость света равна единице.

35, О скорости рождения частиц в гравитационных полях 173
з
где \ha |<^ζ 1, 2 ha = 0. Вводя, согласно [1], переменную η, = J dt/a (t) иЛ
α=ι
в случае рождения скалярных частиц, полевую функцию χ = φ/α, для
пространственной фурье-компоненты χ получаем уравнение (в первом порядке
пой»):
» + *"** = 7* (η) Χ*. (2)
3 3
где 7^01) = 2 Λα(η)&α> k2= 2! &αί *= {&α} — постоянный волновой век-
α=ι α=ι
тор. Если при t = —оо (η = —оо) состояние квантового поля было
вакуумным, то χ^ = e~ikr^ при η —> —оо. Тогда (2) можно представить в виде
интегрального уравнения:
η
& (η)=4" $ sin * (л - чО П Ы x* Μ dm + е-^. (3)
—СХ)
При f-* + оо (η ->· оо), когда А« -»· 0, χ* (η) = α*έΗ*4 + β*^ где
I «t Ι* - Ι β* Ι* = 1· Тогда
оо
—00
oo
—oo
Полная плотность реальных рожденных частиц при η —> + оо связана с
J3fe формулой
п = (2п)-* а'* $ d*k \fa |2. (6)
Решая (3) методом итераций и подставляя %к (η) в (5), находим, что во втором
порядке по Ь,а при η —► -f- oo
α=ι
{штрих означает дифференцирование по η). Поэтому локальная скорость рож»
дения безмассовых скалярных частиц в метрике (1) 2:
Таким же способом можно показать, что аналогичная формула имеет место
и в случае рождения фотонов и нейтрино. Отличие заключается только в том,
что для нейтрино числовой коэффициент в правой части (8) равен 1/320π„
а для фотонов 1/80π.
Рассмотрим теперь рождение гравитонов в изотропной модели Фридмана
{К = 0), когда к тому же отношение R2/RikimRilkm мал0 (R — скалярная
кривизна). Используя уравнение для гравитационных волн [2], которое
2 Результат (8) нетрудно также получить из формул, приведенных в приложении I
работы [1].

174 Часть вторая· V. Общая теория относительности и астрофизика
приводится к виду
Л + *1—ί" χ* = 0'
и описанный выше метод, приходим к следующему результату:
При R = 0 и СШт = 0 гравитоны не рождаются — результат, отмеченный
Л. П. Грищуком [3].
Заметим, однако, что в следующих порядках по малому параметру
Сшт^*,то/(ДштДШто) (или RV(RiklmRiklm)) плотность рожденных частиц
71 (Л = + °°) не выражается через однократный интеграл по η от
локальных величин, и поэтому локальные формулы (8)—(9) не обобщаются на высшие
порядки теории возмущений.
Перейдем к случаю слабого неоднородного гравитационного поля. Пусть
метрика пространства—времени имеет вид gik = r\ik -f hik, где r\ik —
метрика Минковского, I hik | <^ 1. Тогда полная вероятность рождения пары во
втором порядке по h есть
W = <0 | SN1) + <S(1) | 0> = -2Re [<0 | S& | 0>], (10>
где SM и £(2> — соответственные члены разложения ^-матрицы по степеням
h. Вычисляя S по теории возмущений, аналогично тому, как это было
проделано в [4], приходим к результату
w = .
Й)Г J #4 [Rik (q) (Rik (g))* - -J-1 R (q) |«] θ (gO) θ (?*?1), (H)
8π (2π)'
где коэффициент α равен 1/60 в случае безмассовых конформных скалярных
частиц, 1/20 в случае нейтрино и 1/5 в случае фотонов (подробности расчета
см. в [5]). За счет множителя θ (qlqi) интеграл в (11) в общем случае нельзя
преобразовать в однократный интеграл по d*x. Если, однако, при Rik (q) Φ (У
выполняется условие q%qt > 0, то θ-функцию от qtq% в (11) можно опустить и
тогда (с учетом известного факта, что инварианты CiklmClklm и 2(RikRlk — R^/3)
отличаются на полную производную) W приводится к виду W = J w (хг) d*x,
где
™^)=-^СтгпСт™, (12)
что снова приводит к (8) в одномерном случае.
В настоящее время, на фридмановской стадии эволюции Вселенной
нейтрино и фотоны не рождаются, а темп рождения гравитонов, как
следует из (9), исчезающе мал: —Ю~106 см"3·с"1. Вблизи сингулярности
г "iriY—8п) — *~4 ' что Дает de/dt—Гъ, в соответствии с
результатами [1]. Формула (8) применима и в случае массивных частиц при
условии /Γ4ττι*< | RiklmRikfm\.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию»
Академии наук СССР, 16 августа 1977 г.
Институт теоретической физики
им. Л. Д. Ландау
Академии наук СССР. Москва

35. О скорости рождения частиц в гравитационных полях 175
ЛИТЕРАТУРА
1. Зельдович Я. Б., Старобинский Л, Л,— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971.
т. 61, с. 2161.
2. Лифшиц Ε. Λ/.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
3. Грищук Л. Я.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1974, т. 67, с. 825.
4. Sexl R. £/., Urbantke Я. К,— Phys. Rev., 1969, vol. 179, p. 1247.
5. Старобинский Λ. Λ, Дис. ... канд. физ.-матем. наук. Черноголовка: ИТФ, 1975.
КОММЕНТАРИЙ
Прокомментируем серию работ, посвященных исследованию квантово-гравитацион-
ных процессов рождения частиц и поляризации вакуума в сильных гравитационных полях
вблизи космологической сингулярности. Эффект рождения частиц был известен в
изотропных моделях Вселенной, однако там он не приводит к существенным космологическим
следствиям. В работе «Рождение частиц в космологии» ЯБ показал, что эффект рождения
частиц оказывается исключительно важным там, где вначале вещества не было (или оно
было несущественно), т. е. в анизотропных вакуумных решениях типа решения Казнера.
Там этот эффект приводит к быстрой изотропизации решения.
В момент написания этой работы еще не было ясно, совместим ли эффект рождения
частиц из вакуума с обобщенным законом сохранения Tf k = 0. Ответ на этот вопрос был
выяснен в работе ЯБ и Л. П. Питаевского и оказался положительным: эффект рождения
действительно совместим с условием Т* fe = 0, но при этом должно нарушаться условие
чоне pro доминантности» для компонент тензора энергии-импульса материи, в частности,
давление оказывается больше энергии.
Это возможно в силу того, что полный тензор энергии-импульса материи т\ включает
в себя как тензор энергии-импульса реальных частиц, так и поляризацию вакуума, причем
в общем случае разделить эти два вклада невозможно. Поэтому при вычислении полного
среднего значения <Г?> рождение частиц и поляризация вакуума должны
рассматриваться совместно. Программа расчета <Г^>, включающая корректную регуляризацию этой
величины, в анизотропных однородных моделях Вселенной была реализована в работе
ЯБ и А. А. Старобинского «Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропном гра*·
©итационном поле», которая послужила основой для многочисленных последующих работ.
Существуют, однако, ситуации, когда все-таки можно отдельно вычислить вклад
рождающихся реальных частиц. Для них в работе ЯБ и А. А. Старобинского «О скорости
рождения частиц в гравитационных полях» была получена красивая формула, выражающая
скорость рождения реальных частиц из вакуума через геометрические инварианты,
составленные из тензоров Вейля и Риччи.
Отметим, что применяемая регуляризация с помощью тг-волн (см. статью 33)
отличается от метода Паули Вилларса. Безмассовому физическому полю сопоставляется также
безмассовое регуляризующее поле. Таким образом сохраняется важное свойство
безмассовых полей — их конформная инвариантность. В конформно-плоском пространстве не
происходит рождения реальных частиц, но тем не менее возникает локальная
поляризация вакуума.
Обратное утверждение, несколько раз встречающееся в работе, ошибочно.
Поляризация в этом случае называется «конформной аномалией» х*.
1# Davis Р. С. W., Fulling S. Л., Christensen S. Μ., Bunch Т. £.— Annal. of Physics,
1977, vol. 109, p. 108—120.

176 Часть вторая* V. Общая теория относительности и астрофизика
36
ГИПОТЕЗА,
ЕДИНЫМ ОБРАЗОМ ОБЪЯСНЯЮЩАЯ СТРУКТУРУ
И ЭНТРОПИЮ ВСЕЛЕННОЙ *
Предлагается гипотеза о среднем начальном состоянии и его
возмущениях, описывающая энтропию горячей Вселенной (возникающую при
затухании коротких волн) и ее структуру (скопления галактик образуются из
крупномасштабных возмущений).
Предлагается гипотеза, что Вселенная изначально вблизи
космологической сингулярности была заполнена холодными барионами. В среднем в
ходе эволюции происходило однородное изотропное расширение в
соответствии с решением Фридмана и уравнением состояния холодных барионов.
На это среднее расширение наложены флуктуации плотности барионов и
соответствующие флуктуации метрики. Единственное число (примерно 10"4) —
безразмерная амплитуда флуктуации метрики, не зависящая от масштаба,—
описывает два различных важнейших свойства Вселенной: ее структуру и
энтропию. Флуктуации плотности обратно пропорциональны квадрату дли-
ды волны в данный момент времени. Мелкомасштабные флуктуации—
порядка среднего расстояния между барионами — возникают первыми. Они
трансформируются в акустические волны, т. е. фононы, распространяющиеся в
барионной жидкости.
Затухание коротких акустических волн сопровождается возбуждением
других мод и приводит к термодинамическому равновесию с высокой
удельной энтропией на барион. Следуя этой линии рассуждений, можно, подгоняя
один параметр (начальные возмущения метрики 10~4), получить отношение
числа фотонов и барионов, характерное для горячей Вселенной.
Релаксация к термодинамическому равновесию происходит рано, при
t <^ Н/тс2. Поэтому общеизвестный сценарий горячей Вселенной остается
без изменений, включая адронную эру с большим количеством антибарионов,
нуклеосинтез, приводящий к образованию 25—30% Не4, радиациоино-доми-
нированную эру, в ходе которой формируется наблюдаемый чернотельный
фон с температурой 2,7 К.
В частности, адронная эра с отношением числа барионов и антибарионов
В : В = 1 -f- 10"8 цредставляется самым неестественным элементом
стандартного сценария горячей Вселенной. Почему это отоошение не равно 1?
Почему разница (10~8) всюду положительна? _
В нашей гипотезе первоначально В_: В = 1 : 0 всюду. Выделение
энергии приводит к образованию пар, В = В, число которых в 108 раз превышает
начальное число барионов. Поэтому непонятное отношение 1 + 10"8
объясняется безобидными (хотя и произвольными) флуктуациями плотности и
метрики.
Другая линия рассуждений касается длинноволновых флуктуации
метрики и плотности. Характерное время, когда λ = с£, для этих возмущений
наступает очень поздно в радиационно-доминированную эпоху или даже
в эпоху нейтрального газа. Созданная Лифшицем [1] теория в последние годы
* Monthly Notice Royal Astronomical Society, 1972, vol. 160, p. lp—3p.

36. Гипотеза, единым образом объясняющая структуру и энтропию Вселенной 177
детально разработана. Предложенный спектр аналогичен спектру,
приведенному Харрисоном [2].
Флуктуации метрики с амплитудой порядка 10"4—10~5 приводят к
образованию скоплений галактик с характерными массами —ΙΟ13 М©, причем
произошло это не так давно, при красных смещениях Ζ — 2—20.
Возмущения меньшего масштаба затухают [3], а на больших масштабах
возмущения недостаточно велики, чтобы создать изолированные скопления
с массой, значительно превышающей ΙΟ13 ΜΘ. Предположение о & — 10"4
находится в соответствии с нижним пределом на флуктуации реликтового
чернотельного излучения [4].
Наиболее привлекательным кажется то обстоятельство, что единый
плоский спектр возмущений метрики, зависящий от одной произвольной
постоянной, позволяет рассчитать и «состав» Вселенной (ее энтропию, первичный
химический состав, отношение числа фотонов и барионов и т. д.) и ее
«структуру» (массу и плотность скоплений, степень неоднородности в больших
масштабах).
Можно провести интерполяцию от малых начальных возмущений в
промежуточную область 10~24 г <^М <^ ΙΟ13 ΜΘ. Областей с преобладанием
антивещества появиться не должно. Остаются следующие нерешенные
вопросы: 1) почему Вселенная в среднем холодная и фридмановская? и 2)
почему спектр возмущений метрики плоский и имеет амплитуду порядка 10~4?
Ниже приводится грубый расчет энтропии. Используется система единиц
с h = с = 1, так что масса имеет размерность обратной длины, см"1, а
размерность ньютоновской гравитационной постоянной G = см2. Безразмерный
параметр Gm2/Hc = g = 10"38, все остальные числа (2, 3, π, е) опускаются.
Возмущения метрики *■ обозначаются &. Нулевой индекс относится к план-
ковскому моменту t0 = GI/z (= 10"43 с). Уравнение состояния холодных
барионов взято в виде ρ = & = п2тГ2, что верно при п^> т3 [5], где η —
плотность барионов. Члены пт и п4/*, дающие вклад ври & при низких
плотностях, отброшены. Нулевые значения (t = t0 = G1/z) равны:
р0'= G"2 (= 1093 г/см3), п0 = mG-1.
Самые короткие волны, которые рассматриваются, имеют длину Xmin =
= л-*/з, поэтому λ0> min= G?/*mr4*. Они превращаются в акустические*
волны в момент tx = КЬТтп = щ/з; λ1ίΤΐιιη = tx = G^mr1^ = tQg-x^^> t0~
Флуктуациям метрики b соответствуют флуктуации плотности
δρ = Μ^λ"2.
Энергия акустических волн в момент t = tx равна
#ак = p-i (δρ)2 = &2G-3/2/ti.
После установления термодинамического равновесия тепловая энергия,
температура и энтропия единицы объема соответственно равны: <gT = Г4 =
= b2G~3^m\ S = Τ3 = G-9/*m3/*b3/*. Разделив S на плотность барионов п1ч
получим энтропию на барион:
Sb = &3/2G-3/877i-3/* = у/.^/. = 1014&*/2,
так что при Ь = 10"4 получаем Sb = 108, что примерно соответствует
наблюдаемому значению. Чтобы получить эмпирический закон [6] Sb = g"1/^
необходимо положить Ъ = g1/*.
1 Это не амплитуда Фурье &&> а Ъ = (| && |2&3),/г при к = λ"1. То же касается δρ-

178 Часть вторая» F. Общая теория относительности и астрофизика
Рассматривались только возбуждения, связанные с движениями барионов^
поскольку другие типы возбуждений (гравитационные волны,
электромагнитные, мезоны) конформно инвариантны (точно или приближенно в
пренебрежении массой покоя) и поэтому не нарастают в ходе конформно-плоской
в среднем эволюции [7—10]. Флуктуации плотности возрастают вследствие
гравитационной неустойчивости, хотя соответствующие флуктуации метрики
постоянны в интервале t0 < t < tx [1, 11].
Недавно Рис [12] предложил теорию возрастания энтропии вследствие
затухания сильных возмущений, приводящих к образованию ударных волн
в радиационно-доминированную эпоху.
Сходство наших подходов очевидно: мы оба ищем возмущения фридманов-
ского решения, которые бы объяснили энтропию (благодаря коротким
волнам) и структуру (благодаря длинным волнам). Но предположение Риса
требует больших возмущений. Химический состав первичного вещества (Н:
: Не4) и чернотельный спектр [13] соответствуют невозмущенной (или
слабовозмущенной) фридмановской Вселенной. Существует опасность, что это
соответствие разрушает картину Риса. С другой стороны, недостаток моей
гипотезы заключается в использовании непроверенного уравнения
состояния барионов вплоть до пределов современной теории.
A priori нельзя отдать предпочтение теориям малых или больших
возмущений. Только анализ наблюдений может решить проблему.
Я благодарен А. А. Старобинскому за многочисленные обсуждения и
помощь.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 4 сентября 1972 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лифшиц Е. М.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
2. Harrison Ε. #.— Phys. Rev. D, 1970, vol. 1, p. 2726.
3. Silk J.— Astrophys. J., 1968, vol. 151, p. 569.
4. Zeldovich Υ а. В., Sunyaev R. Α.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 7, p. 201.
5. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 41, с. 1609.
6. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Астрон. журн., 1966, т. 43, с. 758.
7. Parker L.— Phys. Rev. Lett., 1968, vol. 21, p. 562.
8. Parker L·— Phys. Rev., 1969, vol. 183, p. 1057.
9. Parker L.— Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 705.
10. Зельдович Я. Б., Старобинский А. А.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971,
т. 61, с. 2161.
11. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967. 656 с.
12. Bees Μ.— Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 28, p. 1669.
13. Sunyaev Я. Л., Zeldovich Ya. В.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 9, p. 368.
КОММЕНТАРИЙ
В данной статье вслед за Гаррисоном (см. ссылку [2]) рассматривается специфический
начальный спектр возмущений. В терминологии Лифшица (ссылка [1]) речь идет о
скалярных возмущениях.
Затем было отмечено, что такой спектр является автомодельным и фрактальным. На
наглядном физическом языке это означает, что возмущения метрики одинаковы в любом
масштабе.
Я Б и И. Д. Новиков х* выдвинули предположение о равенстве амплитуд (в среднем)
скалярных и тензорных возмущений. Они показали, что конечные векторные (вихревые)
возмущения несовместимы с фридмановской асимптотикой сингулярности.

37. Полные космологические теории
179»
Впоследствии оказалось, что к спектру Гаррисона — Зельдовича приводит
инфляционная теория ранней Вселенной. Однако абсолютное значение неоднородности метрик»
до сих пор еще не получено из теории и должно быть определено из наблюдений
реликтового излучения и структуры Вселенной.— см. разделы VIII и IX данной книги.
г* Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Астрон. журн., 1969, т. 46, с. 775—778.
37
ПОЛНЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ*
(совместно с Л. П. Грищуком)
ВВЕДЕНИЕ
Современная космология успешно описывает основные закономерности
окружающего мира, но использует при этом определенные начальные
данные, которые сами по себе не имеют еще объяснения. Отсутствует теория,
которая была бы способна не только описать наблюдаемый мир, но и объяснить
почему, по каким причинам ему присущи те или иные свойства. Важнейшим
вопросом является вопрос о природе космологической сингулярности,
существование которой предсказывается классической (не квантовой)
релятивистской теорией тяготения. Для исчерпывающего анализа сингулярности нужна
еще не созданная квантовая теория тяготения. В отсутствие такой теории мы
вынуждены начинать космологические построения с классических стадий,
вводя те или иные начальные условия и сравнивая их следствия с реально
наблюдаемым миром.
В докладе предлагается попытка дать рациональное объяснение
происхождению тех начальных условий, которые приводят к так называемой
стандартной космологической модели. Космологические теории, претендующие
на описание Вселенной от самого «начала» (включая квантово-гравитацион-
ную стадию) и вплоть до наших дней, мы называем полными. Ясно, что
никакой законченной теории такого типа еще нет, но сам факт существования
правдоподобных соображений и аргументов (излагаемых ниже), которые
позволяют наметить основные черты этой теории, мы считаем известным
прогрессом. Предлагаемый ниже сценарий содержит много отдельных элементов,
уже известных в литературе, но полной картины, насколько нам известно, еще
не было. Осознавая спекулятивность некоторых изложенных здесь
построений, мы рассматриваем этот доклад как вызов блестящим экспертам по
квантовой гравитации, собравшимся здесь, как попытку привлечь их внимание
к проблемам, важным для космологии.
I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
Полезно напомнить об основных особенностях наблюдаемого мира,
которые, как полагают, являются отражением условий в очень ранней
Вселенной. Эти особенности можно использовать как ориентиры при экстрапо-
* Препринт ИКИ АН СССР Пр-176, М., 1982; сокращенный вариант статьи
опубликован в книге «Квантовая теория гравитаций». М.: Институт ядерных исследований
АН СССР, 1982, с. 39—47.

180 Часть вторая. V, Общая теория относительности и астрофизика
ляции назад, в прошлое. С другой стороны, зная современное состояние
Вселенной, мы знаем результат, к которому должна приводить полная
космологическая теория.
Наиболее важными свойствами наблюдаемого мира, как известно,
являются следующие [1—4]:
1. Крупномасштабная однородность и изотропия. Распределение галактик
в пространстве и поле их скоростей таковы, что не наблюдается сколь-нибудь
заметной неоднородности или анизотропии при усреднении по масштабам
порядка 100 Мпс. Особенно убедительным свидетельством
крупномасштабной однородности и изотропии является отсутствие угловых вариаций
температуры реликтового излучения, АТ/Т ^ 10"4. Столь высокая степень
одинаковости температуры фонового излучения, приходящего с разных
направлений, весьма удивительна. Достаточно удаленные друг от друга элементы
первичной плазмы не могли быть причинно связанными в прошлом, вплоть
до сингулярности, если экстраполировать их судьбу по стандартным фрид-
мановским космологическим моделям. (Более формально, один из элементов
плазмы находится за пределами горизонта частиц другого элемента.) Это
обстоятельство известно в литературе как проблема горизонта [5].
2. Близость средней плотности вещества к критической. Разнообразные
астрономические данные указывают на то, что средняя плотность вещества
рт меньше критической рс = 3/(8nGHl) и составляет ρ = (10"1 -^- 3-10"2) рс.
Другие данные (например возможное наличие массивных нейтрино) не
исключают того, что плотность всех видов вещества pt может быть порядка или даже
выше критической. Так или иначе, отношение Ω = р^/рс близко к единице.
В терминах ньютоновской механики можно сказать, что в нашу эпоху
кинетическая энергия расширения близка к потенциальной энергии
взаимодействия. Такой баланс кинетической и потенциальной энергии в современную
эпоху удивителен, так как он подразумевает, что, скажем, в эпоху
нуклеосинтеза равенство кинетической и потенциальной энергий выполнялось с
огромной относительной точностью, порядка 10"15. В терминах релятивистских
уравнений это означает пренебрежимо малую роль пространственной
кривизны во всей предшествующей динамической истории Вселенной [6]. Это
обстоятельство известно под названием проблемы пространственной эвклидовости,
хотя точнее ее было бы назвать проблемой близости Ω к единице.
3. Существование структуры в виде галактик и их скоплений. Вселенная
заведомо неоднородна в масштабах галактик и их скоплений. Согласно
современным представлениям структура образовалась в результате развития
малых начальных возмущений. Вблизи космологической сингулярности,
в пределе t —> 0, начальные возмущения метрического тензора не исчезают и
стремятся к постоянным значениям [7]. Чтобы привести к наблюдаемой
картине, начальные возмущения должны были иметь определенную форму
спектра и определенную амплитуду. В частности, Я. Б. Зельдович [8] высказал
соображения в пользу фрактального спектра (см. книгу Б. Мандельбройта
[9]) начальных возмущений метрики. Таким образом, полная
космологическая теория должна включать объяснение как крупномасштабных свойств
Вселенной, так и происхождение ее структуры.
4. Барионная асимметрия и высокая удельная энтропия. Наблюдаемое
вещество состоит из барионов и не видно признаков существования во
Вселенной сколь-нибудь заметного количества антибарионов, антивещества.
Отношение плотности числа фотонов пу к плотности числа барионов пь
составляет ny/nb ^ 109. Большое значение удельной энтропии s = 4ny/nb оправды-

37. Полные космологические теории
181
вает применение ко Вселенной термина «горячая». Барионная асимметрия
и конкретное значение удельной энтропии, вероятно, найдут свое объяснение
в рамках теории великого объединения, при условии, что будет обоснован»
использование стандартной космологической модели вплоть до энергий
порядка 1017 ГэВ. Образование барионной асимметрии в расширяющейся
Вселенной может оказаться возможным вследствие нарушения СР-симметрии и
несохранения барионного числа. Эта проблема освещена в обзоре А. Д.
Долгова и Я. Б. Зельдовича [10].
II. ПОЛНЫЙ СЦЕНАРИЙ В ОБЩИХ ЧЕРТАХ
Изложим вкратце полный сценарий, оставляя подробности на следующие
разделы доклада.
Мы предполагаем, что в начальном состоянии не было ничего, кроме
нулевых (вакуумных) колебаний всех физических полей, включая
гравитационное. Поскольку понятия пространства и времени являются классическими, то
в начальном состоянии не было частиц, не было пространства, не было
времени. Говоря о времени, можно сказать образно, что было время, когда
времени еще не было.
Предполагается, что в результате флуктуации образовалась классическая
трехмерная замкнутая геометрия. Конечность трехмерного объема является
необходимым условием такого процесса. Впервые появляется понятие
классического пространства-времени. Поскольку реальных частиц еще не было,
динамическая эволюция этой геометрии определялась поляризацией
вакуума частиц, созданной внешним гравитационным полем. Естественно
ожидать, что все характерные параметры родившегося мира были планковски-
ми, т. е. классическое пространство-время начинает свое существование на
границе применимости классической теории тяготения. Классическое
гравитационное поле (искривленное пространство-время) играет роль внешнего
поля по отношению к другим (квантованным) полям, включая квантовую
часть самого гравитационного поля.
Некоторое время мир существовал в виде решения, близкого к решению
Де-Ситтера, столь же симметричного (допускающего 10-параметрическую
группу), как и мир Минковского. Линейный элемент мира Де-Ситтера есть
ds2 = c2dt2 — a2 (t) [dr2 + sin2 r (d№ + sin2 Qdy2)], (1)
где a (t) = r0 ch (ct/r0), r0 = const.
В таком пространстве-времени вакуумные поляризационные эффекты
приводят к среднему значению <0 | Γμν | 0>, которое пропорционально
метрическому тензора мира Де-Ситтера. Таким образом, деситтеровское
пространство-время возникает как самосогласованное решение уравнений Эйнштейна.
Согласно нашему сценарию моменту рождения мира соответствует t = О
(рис. 1). Естественно думать, что родившийся мир был не максимально
симметричен (как это предполагалось бы формулой (1) для линейного элемента),
а содержал малые возмущения метрического тензора /&μν. Как масштабный
фактор a (t), возмущения Λμν создавали поляризацию вакуума частиц и сами
управлялись ею. В замкнутом мире величины Λμν можно представить в виде
дискретного набора собственных функций. Среди них есть наинизшая мода,
соответствующая возмущениям масштабного фактора: a (t) —> a (t) + δα (t).
Такое возмущение не нарушает однородность и изотропию фонового
пространства времени. Оно уменьшает размерность группы движений с 10 до 6

182 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
параметров. Другие моды вводят малую неоднородность и анизотропию·
Как и обычно в задачах такого сорта, следует ожидать, что наиболее
возбужденной, спустя некоторое время, окажется наинизшая мода, соответствующая
максимально возможной длине волны. Она может обеспечить одновременное
во всем пространстве изменение масштабного фактора, между тем как
высокочастотные моды могут дать начало первичным возмущениям, необходимым
для образования крупномасштабной структуры во Вселенной.
Мы предполагаем, что к моменту t = ti в течение короткого переходного
периода произойдет переход масштабного фактора с деситтеровского на
фридмановский режим расширения, a (t) —* ]/7, а сама Вселенная
наполнится всевозможными частицами с доминирующим уравнением состояния
рг = εΓ/3. Такая перестройка могла бы происходить следующим образом.
aft)
1£l—ι 1 1 L»
Рис. 1
Наинизшая мода после возрастания создает условия для рождения частиц
внешним переменным гравитационным полем [11]. Как известно, рождение
частиц квадратично по /ζμν, хотя поляризация вакуума присутствует уже в
линейном приближении. Рождающиеся частицы наполняют мир веществом
и излучением. Можно думать, что после t = ti мир будет описываться
стандартной радиационно-доминированной космологической моделью,
содержащей малые возмущения вещества, излучения и гравитационного поля.
Все эти процессы, по предположению, происходили задолго до времени
достижения температур великого объединения, возможных фазовых
переходов во Вселенной, нуклеосинтеза и т. д. Таким образом, возникновение
барионной асимметрии, производство химических элементов, переход на
режим доминирования нерелятивистского вещества, разделение вещества и
излучения, рост возмущений плотности и образование галактик — могли
происходить в соответствии с обычными представлениями об этих процессах.
Каких же целей достигает предлагаемый здесь сценарий?
Во-первых, решается вопрос о начальном состоянии Вселенной. В
соответствии со сценарием, наблюдаемый мир возник, в известном смысле, из
ничего. (Впервые идеи такого сорта высказывал Е. Трион [12].)
Во-вторых, достаточно продолжительная деситтеровская стадия решает
проблему горизонта и проблему Ω ж 1, подобно тому, как они решаются в
другом сценарии, который рассматривал А. Гут [6]. Оказывается, что все
элементы первичной плазмы, с которыми мы могли находиться в причинной
связи, были причинно связаны между собой в удаленном прошлом.
Современное Ω оказывается близким к единице.
В-третьих, есть основание надеяться на естественное объяснение спектра
и амплитуды возмущений, приведших к образованию наблюдаемой
крупномасштабной структуры. Эти возмущения могут развиваться из первичных

37. Полные космологические теории
183
возмущений /&μν, с которыми возникла деситтеровская стадия, причем, по-
видимому, достаточно считать, что сами)^ возникли с минимально возможной
'классической амплитудой — на уровне нулевых колебаний.
III. СПОНТАННОЕ РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТОГО МИРА
Распространена точка зрения, согласно которой космологическую
сингулярность удастся избежать благодаря учету квантовых эффектов во
внешнем гравитационном поле. Это становится возможным, поскольку вакуумные
поляризационные эффекты нарушают условие энергодоминантности,
лежащие в основе теорем о сингулярностях [13]. Известны регулярные решения
такого сорта, примером которых является самосогласованное решение (1) при
— оо <^ t <^ оо. Однако они неустойчивы, их нельзя экстраполировать назад
во времени до t = — оо.
Мы придерживаемся другой точки зрения. Мы полагаем, что
классическая космологическая сингулярность должна быть заменена существенно
квантово-гравитационным процессом, который можно назвать спонтанным
рождением мира.
Количественную формулировку этому процессу, вероятно, можно дать
с использованием фейнмановского метода интегрирования по путям. В
связи с квантовой гравитацией его развивали в [14, 15].
Состояние гравитационного поля можно характеризовать трехмерными
геометриями — начальной gi3) и конечной gf\ Амплитуда вероятности
перехода из начального состояния в конечное дается интегралом
<gi2)\gfy = ld[g^]exp[il(g^)].
Для простоты ограничиваемся метриками FRW1
ds2 =*c2dt2 — a2 (t) [dr2 + f2 (г) (άθ2 + sin2Qdy2)].
(Такое ограничение перекликается с гипотезой Пенроуза [16] об
исчезновении тензора Вейля в начальной сингулярности.) В качестве начального
состояния принимаем 3-геометрию с нулевым объемом at = 0. В качестве
конечного состояния — 3-геометрию с конечным объемом, порядка куба
планковской длины, т. е. а/ ^ dpi. (В формуле (1) это состояние
соответствует t = 0, г0 ^ dpi.) Замкнутость мира является необходимым условием
существования такого процесса. Действительно, амплитуда перехода А, в
конечном счете, выражается равенством
А^ Id [gm exp [- iLdvdt].
Неисчезающее значение А получается при условии, что интегрирование по
объему дает конечную величину. Таким образом, замкнутый мир мог,
вероятно, возникнуть в результате квантово-гравитационного скачка [17]. Следует
отметить, что после введения понятия вероятности в контексте «рождения
вселенных» вряд ли удастся избежать спекуляций об антропогенном
принципе, отбирающем одну из них. Недавнее обсуждение этого вопроса провел
М. Рис [18].
Дополнительным аргументом в пользу возможности такого процесса
является тот факт, что замкнутый мир сохраняет квантовые числа вакуу-
1 FRW — Фридман—Робертсон—У окер.

184 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
ма —нулевое значение полной энергии, полного электрического заряда и
т. п. [12].
Барионный заряд не является строго сохраняющейся величиной.
Поэтому возникновение мира с нулевым барионным зарядом не препятствует
появлению асимметрии в ходе дальнейшей эволюции. Переход в конечное
состояние, характеризующееся наличием классического гравитационного поля,
можно, вероятно, рассматривать как результат спонтанного нарушения
симметрии в духе современной квантовой теории поля. Однако в нашем случае-
поле, приобретающее ненулевое классическое значение, есть не просто
физическое поле, заданное в пространстве-времени, а пространство-время
(гравитационное поле) само по себе.
В некоторых работах рассматривается возникновение расширяющейся
Вселенной в результате квантово-механического туннелирования из
некоторой начальной конфигурации, которую можно было бы интерпретировать как
основное состояние системы. Конкретно, рассматривается возможность
распада мира Минковского или мира Де-Ситтера с постоянным значением
λ-члена [19—21].
По нашему мнению, эти предложения обладают следующими
недостатками. Во-первых, не снимается вопрос о происхождении начального
классического пространства — времени. Во-вторых, что более важно, в рамках
стандартной общей теории относительности решения Минковского и Де-Ситтера
обладают минимальной энергией и устойчивы как классически, так и
относительно квантово-механического распада [22, 23]. Впрочем, в рамках более
сложных теорий (например теории Калуцы — Клейна) основное состояние
(Μ4 χ S1) может все-таки оказаться неустойчивым квантово-механически
[24, 25].
IV. ПРОМЕЖУТОЧНАЯ ДЕ-СИТТЕРОВСКАЯ СТАДИЯ
В соответствии с предлагаемым здесь сценарием родившийся мир
управлялся поляризацией вакуума всех физических полей. Другими словами, его
эволюция описывалась самосогласованным решением уравнений Эйнштейна:
#μν - 4" ft**** = -ir- <° I ZVv 10>. (2)
Вычисление правой части этих уравнений и поиск самих самосогласованных
(в частности, деситтеровских) решений производились в работах [26—30,
11]. А. А. Старобинский [11] рассматривал самосогласованные решения как
способ устранить космологическую сингулярность, он указал также на
возможность перехода такого решения на фридмановскую стадию (см. такжа
[31]). В нашем сценарии деситтеровская стадия имеет не только конец, но
и начало. Она представляет собой промежуточную стадию, связывающую акт
квантового рождения Вселенной с радиационно-доминированной эпохой.
В упомянутых работах величина <0 | Γμν | 0> определялась конформной
аномалией тензора энергии-импульса безмассовых конформно-инвариантных
частиц. В настоящее время не ясно, в какой мере конформная аномалия
является неизбежным свойством квантовой теории в искривленном
пространстве-времени (см. [32, 33]). Однако проявление де-ситтеровской стадии в
результате того или иного механизма выглядит правдоподобным, поскольку
необходимый источник в уравнении (2) может быть обеспечен массивными
или безмассовыми неконформными частицами. Промежуточная де-ситтеров-

37. Полные космологические теории
185
•екая стадия есть также вероятная черта другого сценария, аппелирующего
к хиггеовским полям и фазовым переходам в ранней Вселенной [6, 34—37].
Однако она могла произойти значительно позже в эволюции Вселенной и мы
ожидаем, что она не изменит последствий предшествующей де-ситтеровской
стадии, управляемой вакуумными поляризационными эффектами.
V. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МИРА ДЕ-СИТТЕРА
Поскольку решение Де-Ситтера может оказаться столь важным для
космологии, напомним некоторые его свойства.
Как известно [37], решение Де-Ситтера можно представить как
гиперболоид произвольного радиуса г0, вложенный в пятимерное псевдоевклидово
пространство. Координатная система, в которой записана метрика (1),
покрывает весь гиперболоид, т. е. все пространство-время. Пространственные
сечения, t = const, представляют собой трехмерные сферы. Сечение t = 0
обладает минимальным объемом. Однако точки этого сечения ничем не выделены.
В силу максимальной симметрии пространства Де-Ситтера его можно покрыть
другими координатными системами, в которых метрика будет по-прежнему
иметь форму (1), но гиперповерхность минимального объема будет другой.
Более того, такое сечение можно провести через произвольную точку
пространства-времени, причем с произвольно ориентированным времениподоб-
ным вектором нормали в этой точке. Таким образом, точки, лежащие на
гиперповерхности минимального объема ничем не выделены, поскольку нет
какой-либо одной гиперповерхности с таким свойством.
Чтобы проиллюстрировать сказанное рассмотрим двумерный аналог
решения Де-Ситтера. Пусть гиперболоид (рис. 2)
ν2 — х2 — у2 = — го
вложен в трехмерное псевдоевклидово пространство-время
ds2 = dv2 — dx2 — dy2.
водя
υ = r0sh (t/r0), x = r0 ch (t/r0) sin г, у = r0 ch (t/r0) cos r,
линейный элем нт ds2 на гиперболоиде запишем в виде
ds2 = dt2 — r20 ch2 (f/r0) dr2. (3)
Линии t = const образованы пересечением гиперболоида с плоскостями
ν = const. Это есть окружности с длиной I = 2яг0 ch (t/r0). Минимальная
длина окружности Zmin = 2яг0 достигается при t = 0.
Теперь заметим, что лоренц-преобразование
ν = (ν' — $χ')ΐγΐ=ψ, χ = (χ' — βι/)//ί^Γβ2;
У = У' (β = const, |β|<1) (4)
переводит гиперболоид в себя, ι/2 — χ'2 — г/'2 = —rl и индуцирует такое
преобразование между (£, г) и (£', г'), которое оставляет формулу (3)
неизменной:
ds2 = dt'2 - rl ch2 (t'/r0) dr'2.
В новой системе координат окружность минимальной длины /min = 2яг0
определяется условием Ϊ = 0. Эта окружность образована пересечением

186 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
гиперболоида с наклонной.плоскостью у+ $х =0
(см. рис. 2). Хотя на рис. 2 линия пересечения
выглядит эллипсом, легко понять, принимая
во внимание псевдоевклидов характер
пространства-времени, что в системе tf, г' она есть
окружность, причем абсолютно эквивалентная
исходной окружности t = 0. Ясно, что полная
3-параметрическая группа движений,
действующая транзитивно на гиперболоиде, позволяет
провести кратчайшую окружность через
произвольную точку и с произвольной ориентацией.
Каждая такая окружность будет образована
пересечением гиперболоида с плоскостью,
включающей точку χ — у = ν = 0.
Известно, что в мире Де-Ситтера можно так-
Рис. 2 же ввести системы координат с плоскими или
открытыми (гиперболическими)
пространственными сечениями. Они возникают в результате пересечения гиперболоида
с достаточно круто наклоненными плоскостями. Эти системы координат
покрывают мир Де-Ситтера не полностью.
На двумерной модели это иллюстрируется следующим образом. Введем
ν = r0 sh (т/г0) ch χ, χ = r0 ch (т/г0), у = r0 sh (т/г0) sh χ.
На гиперболоиде получаем
ds2 = dx2 - rl sh2 (τ/го) d%2. (5>
Пространственные сечения τ = const есть гиперболы, возникающие от
пересечения с плоскостями χ = const, χ ^> г0. Предельные гиперболы,
соответствующие χ = г0, вырождаются в две светоподобные линии ν = +у.
Система координат (5) покрывает только ту часть пространства-времени, которая
лежит внутри светового конуса ν = +г/. Начало системы координат (5)
(х = 0) можно сместить в произвольную точку пространства-времени.
Например, лоренц-преобразование (4) индуцирует преобразование между (τ, χ) и
(τ', χ'), сохраняющее форму (5) и сдвигающее начало отсчета вдоль линии
у = 0, ν2 - х2 = -rl
Наконец, система координат с плоскими сечениями вводится подстановкой
ν = r0sh (t/r0) + exp (t/r0) г2/2г0, χ = r0ch(t/r0) — exp (t/r0) r2/2r0,
у = r exp (t/r0).
На гиперболоиде получаем
ds2 = dt2 — exp (2t/r0) dr2. (6)
Система координат (6) покрывает только половину гиперболоида. Ясно, что
пространство время Де-Ситтера с плоскими сечениями есть промежуточный
случай между вариантами с замкнутыми и открытыми сечениями.
Тот или иной выбор времени, т. е. выбор пространственных сечений,
очень важен, так как, по предположению, в разные моменты времени
происходят смены режимов расширения, а некоторому моменту t = 0
соответствует акт спонтанного рождения мира. О каком выборе времени идет речь
и, следовательно, какую пространственную геометрию обнаружат
наблюдатели? Согласно развиваемым здесь взглядам мир рождается замкнутым и,

37. Полные космологические теории
187
следовательно, преимущественными являются замкнутые сечения t = const
в записи (1) метрики Де-Ситтера. Естественно думать, что переход на фрид-
мановский режим произойдет на гиперповерхности t= tl9 которая
«параллельна» гиперповерхности t = 0, отмечающей акт рождения замкнутого
мира. Если самосогласованное решение Де-Ситтера создавалось конформной
аномалией, то из уравнения Эйнштейна следует, что г0 = с/Н, где Н"1
пропорционально tpi, а коэффициент пропорциональности зависит от вкладов
различных полей. Важно, что если де-ситтеровская стадия длилась примерно
70—100 характерных времен 1/Н, т. е. tt x (70—100)-Я"1, то, как будет
показано дальше, проблемы горизонта и Ω = 1 могут быть полностью
устранены.
VI. ПЕРЕХОД К ФРИДМАНОВСКОЙ СТАДИИ
Отвлекаясь пока от причин смены де-ситтеровского режима на фридма-
новский, рассмотрим сшивку этих решений в момент t = tt (см. рис. 1).
На де-ситтеровской стадии поляризация вакуума приводила к эффективной
плотности энергии ev и давлению ρυ, причем ρΌ = —ευ, ευ = 3c2H2/8nG.
На фридманрвской радиационно-доминированной стадии имеем уравнение
состояния рг = εΓ/3. Плотность энергии падает с расширением по закону
гг ~ а"4. После перехода в момент t = t2 на стадию доминирования материи
плотность материи изменяется по закону рт ~ а"3. Современные значения
плотности и масштабного фактора обозначим рр, ар, а их значения в момент
t = t2 и t = tr обозначим соответственно, р2, а2 и рь аг.
Проблема Ω ^ 1 решается следующим образом. Современное значение
Ωρ удовлетворяет равенству
Ωρ — 1 = k/(E — k), Е = 8nGppa2p/3c\
где k = +1 для замкнутого мира. Для 1 < Ωρ ^ 2 надо, чтобы величина Ε
была больше единицы. Из условий сшивки получаем
ρραρ = p2alfap = ρ\α\/α*β,ρ.
При t = tt имеем аг = r0ch (Я^) ^ ен^с/2Н и рг = 3H2/8nG. Принимая
ар ^ 1029 см, с/Н χ 10"32 см, а2 ^ 10"4ар, приходим к выводу, что
вследствие условия Ε12 ^ 1 должно выполняться равенство ет* ж 1030, т. е.
тг ^ 70.
Проблема горизонта снимается тем, что уже на де-ситтеровской стадии
в течение времени от t = 0 до t = tt горизонт частиц увеличивается
практически вплоть до горизонта событий будущего. Действительно, к
моменту t = t-L световой луч, испущенный при t = 0, покрывает расстояние
1= аг (π/2 — 2β~Ηίή. Таким образом, все доступные наблюдению частицы
могли находиться в причинном контакте в удаленном прошлом. Отметим, что
устранение проблем горизонта и Ω ^ 1 с помощью де-ситтеровского решения
(но реализующегося в другую эпоху и по другим причинам) впервые
рассматривал А. Гут [6].
VII. МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ ГАЛАКТИК
Важной проблемой всего сценария является уход с де-ситтеровской
стадии и развитие малых возмущений разных масштабов. Как уже
упоминалось, решение Де-Ситтера, созданное конформной аномалией безмассовых
конформно инвариантных полей, классически неустойчиво, в то время как

188 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
решение Минковского устойчиво. Различные самосогласованные решения
уравнений Эйнштейна можно характеризовать их скалярной кривизной R»
Для решения Де-Ситтера R = —12 Н2, а для решения Минковского R = О*
Классический распад де-ситтеровской стадии может происходить с
увеличением или уменьшением | R |. Первый случай неблагоприятный, так как
| R | увеличивается неограниченно и возникает сингулярность. Однородные
возмущения ведут к сингулярности космологического типа, а результатом
неоднородных возмущений будет, видимо, образование черных дыр. Во
втором случае возмущенное решение будет постепенно приближаться к точке
устойчивости R = 0, и это движение сопровождается осцилляциями
кривизны. Эти осцилляции могут приводить к рождению частиц, обладающих
массой покоя [11]. В конце концов эффективное уравнение состояния
превратится в ради ационно-до минированное, рг = ег/3.
Распад де-ситтеровской стадии описывается сложными нелинейными
уравнениями в частных производных. Подробный анализ возможен для
линеаризованных возмущений.
Так же, как и фоновое де-ситтеровское решение, малые поправки к нему
удовлетворяют системе уравнений (2). Удобно ввести переменную η согласно
равенству cdt/a (t) = ац. Тогда α (η) = r0/cosT|. Типичное уравнение для
функции / (η), описывающей возмущение с собственным числом п, имеет
следующий вид:
/" + / [п2 - (2 + c2)/cos2 η] = 0,
где с2 — постоянная, зависящая от конкретных значений конформной
аномалии. Уравнения такого вида часто встречаются в теории усиления
классических волн и квантового рождения частиц во внешних гравитационных
полях. Можно ожидать, что возмущения с низшими собственными числами
обеспечат уход с де-ситтеровского режима, а возмущения плотности с
большими п, соответствующими масштабам современных скоплений галактик,,
вырастут до требуемой амплитуды. Окончательно этот важный вопрос не
выяснен, хотя обнадеживающие предложения на эту тему содержатся в ряде
работ [38—40].
Сравнение предсказываемого спектра возмущений плотности с реальной
крупномасштабной структурой Вселенной является важной проверкой
предлагаемых сценариев.
До сих пор мы рассматривали решение Де-Ситтера, созданное конформной
аномалией безмассовых конформно-инвариантных полей. Очень важна
учесть вклад неконформных полей, особенно гравитации. В этом случае
самосогласованное де-ситтеровское решение может оказаться устойчивым
классически, т. е. устойчивым относительно инфинитезимальных возмущений
метрики [41]. Вместе с тем, упрощенная форма уравнения для скалярной
кривизны R совпадает формально с одной из версий уравнения для хиггсов-
ского скалярного поля, обладающего ложным вакуумом [35]. В нашей
модели ложный вакуум соответствует решению Де-Ситтера, а истинный вакуум —
решению Минковского. Можно думать, что распад де-ситтеровского решения
произойдет путем квантово-механического туннелирования сквозь барьер,
разделяющий эти вакуумы. Физическая причина такой неустойчивости может
быть связана с тем фактом, что самосогласованное решение характеризуется
положительной плотностью энергии, εν ^> 0, отрицательным давлением,
ρν = —εν <^ 0, и нулевой энтропией, 5 = 0. Не исключено, что для этой
среды энергетически более выгодным будет образование пузырей [42], внут-

37. Полные космологические теории
189
ри которых спустя некоторое время будет гг^> О, рг^> 0, s^> 0.
Кардинальное отличие этой гипотезы от обычной трактовки фазового перехода*,
испытываемого скалярным полем в заданном пространстве-времени, состоит
в том, что в нашем случае туннелйрованию подвергается само поле скаляра
кривизны.
В принципе туннелирование может произойти либо сразу после рождения
де-ситтеровского мира, либо позже, в процессе его экспоненциального
расширения. В первом случае все замкнутое 3-пространство проходит через
«фазовый переход», в то время как во втором случае размер пузыря будет
меньше, чем радиус расширившегося 3-пространства. В обоих случаях
туннелирование приводит к состоянию (другому самосогласованному
решению), близкому к исходному решению Де-Ситтера, но классически
неустойчивому. Последующая классическая эволюция подобна классическому
распаду де-ситтеровской стадии, которую мы рассматривали вначале.
VIII. ЛОКАЛИЗОВАННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ОТКРЫТОГО МИРА
Неустойчивость решения Де-Ситтера относительно возмущений с
максимально возможной длиной волны, a (t) ->- a (t) + δα (t), предполагает, что
переход в радиационно-доминированную стадию произойдет сразу во всем
пространстве. В этом случае пространственные сечения сопутствующей
системы отсчета на фридмановской стадии будут замкнутыми. Нельзя, однаког
исключить того, что неустойчивость фонового решения Де-Ситтера будет
развиваться локально, начиная с малой области. Стенки «пузыря», расширяясь
со скоростью, близкой к с, как бы «вырезают» область фонового решения,
ограниченную световым конусом. Разумно считать, что переход на
радиационно-доминированную стадию внутри этой области произойдет в
некоторый момент времени τ = τχ = const, причем τ отсчитывается вдоль мировых
линий, расходящихся из точки τ = 0, где впервые образовалось
локализованное возмущение. Но сечения τ = const являются гиперболическими,
открытыми. В терминах τ времени метрика Де-Ситтера записывается в виде*
ds2 = c2d%2 - r20sh2 (cx/r0)[d%2 + sh2x (dQ2 + sin2 ΘΛρ2)].
По предположению, возмущение впервые возникло в точке τ = 0, χ = 0.
Если переход на радиационно-доминированную стадию произойдет в
некоторый момент τ = Τχ, то пространственные сечения, на которых плотность
и температура всюду одинаковы, будут соответствовать к = —1. Другими
словами, в современную эпоху мы обнаружили бы, что живем в открытом
мире. Чтобы параметр Ω был близким к единице, т. е. чтобы мир был не-
слишком открытым, переход на радиационно-доминированную стадию
должен произойти не раньше, чем при τ = τ1? где еНх* ж 1030.
Означает ли возможность такого локализованного возмущения, что идея
спонтанного рождения замкнутого мира излишняя? Можно ли ограничиться
представлением о существовании (от t = —оо) полного мира Де-Ситтераг
на фоне которого происходят акты локализованных возмущений с
последующим превращением в открытые «вселенные». (Предложение такого сорта
содержится в [21]). Нам кажется, что идея спонтанного рождения замкнутого
мира необходима, экстраполировать решение Де-Ситтера до t — —оо нельзя.
Дело в том, что акты локализованных возмущений должны
характеризоваться некоторой конечной вероятностью появления в единицу времени, в
единице объема. В силу полной симметрии решения Де-Ситтера эта вероятность

190 Часть вторая. V. Общая теория относительности и астрофизика
должна быть одинаковой в любой мировой точке. Но в этом случае полная
вероятность должна обращаться в бесконечность, так как интегрирование
следует распространить на все предшествующие моменты времени, вплоть
до t = —оо. Избежать этой трудности можно, лишь предположив, что
классическая стадия полного решения Де-Ситтера начинается не с t =* —оо,
а с некоторого конечного момента времени t = 0.
IX. ГРАВИТОНЫ И ГРАВИТИНО В РАННЕЙ ВСЕЛЕННОЙ
Вероятно, единственным средством проверки предположений о
физических условиях в очень ранней Вселенной будет поиск реликтового
гравитационно-волнового фона. Гравитационные волны и гравитоны (в
противоположность остальным известным безмассовым полям и частицам) обладают
замечательной способностью усиливаться и рождаться в конформно-плоском
гравитационном поле [43]. Следствием этого процесса должно быть
существование в современную эпоху нетеплового фона реликтовых гравитонов.
Предсказания об их интенсивности и форме спектра зависят от конкретных
характеристик гравитационного поля в очень ранней Вселенной [44]. Эти
выводы о поведении гравитонов, вытекающие из стандартной общей теории
относительности, остаются в силе и в супергравитационных теориях [45].
Современные экспериментальные возможности еще недостаточны для
регистрации такого гравитационно-волнового фона, но ситуация может
измениться к лучшему в недалеком будущем.
Мы признательны Б. ДеВитту, С. Хоукингу, А. Полякову, В. Ф. Муха-
нову, Г. В. Чибисову, А. Д. Линде, Дж. Хартлю и особенно А. А. Старо-
бинскому за ценные обсуждения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Zeldovich Ya. В.— Adv. Astron. and Astrophys., 1965, vol. 3, p. 241.
2. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.
735 с.
3. Вейнберг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975.
4. Пиблс П. Физическая космология. М.: Мир, 1975.
5. Misner С. W., Thome К. S., Wheeler J. A. Gravitation. San-Francisco: Freeman and Go,
1973.
6. Guih Α.— Phys. Rev., 1981, vol. 23D, p. 347.
7. Лифшиц Ε. Μ.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
8. Zeldovich Ya. В.— Month. Not. Roy. Astron. Soc, 1972, vol. 160, p. 1.
9. Mandelbroit В. В. Fractals form, chance and dimension. San-Francisco: Freeman and Go,
1977.
10. Dolgov A. Z)., Zeldovich Ya. В.— Rev. Mod. Phys., 1981, vol. 53, p. 3.
11. Starobinsky Α. Α.— Phys. Lett., 1980, vol. 9113, p. 99.
12. Tryon E. D.— Nature, 1973, vol. 246, p. 396.
13. Zeldovich Υ а. В., Piiaevsky L. P.— Gomm. Math., Phys., 1971, vol. 23, p. 185.
14. Wheeler J. Α.— Geometrodynamics. N-Y.: Acad. Press, 1962.
15. Hawking S. W.— Nucl. Phys., 1978, vol. B138, p. 349.
16. Penrose #.— In: General Relativity/ Ed. S. W. Hawking, S. Israel. Cambridge Univ.
Press., 1979.
17. Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1981, т. 133, с. 479.
18. Rees Μ. I.— Quart. L. Roy. Astron. Soc, 1981, vol. 22, p. 109.
19. Brout #., Englert F., Gunring E.— Ann. Phys., 1978, vol. 115, p. 78.
20. Atkaiz Z)., Pagels H.— Prepr. Rep. Numb. RU81/B/2, 1981.
21. Gott J. R.— Prepr., Princeton, 1981.
22. Witten E.— Comm. Math. Phys., 1981, vol. 80, p. 381.
23. Abbot L. F., Deser S.— Prepr. TH 3136 — CERN, 1981.
24. Witten E.— Prepr., Princeton, 1981.

37. Полные космологические теории
191
25. Lapedes Α., Mottola £.— Preprint, 1981.
26. Dawker J. S., Critchley R.— Phys. Rev., 1976, vol. D 13, p. 3224.
27. Davies P. C. W.— Phys. Lett., 1977, vol. 68B, p. 402.
28. Davis P. C. W., Fulling S. Α., Christensert S. M. et al.— Ann. Phys., 1977, vol. 109r
p. 108.
29. Fischetti M. F., Hartle J. Я., Ни В. L.— Phys. Rev., 1979, vol. D20, p. 1757.
30. Мамаев С. Г., Мостапенко В. Μ.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1980, т. 78,
с. 15.
31. Гурович В. Ц., Старобинский А. Л.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1979,,
т. 77 с. 1699.
32. DeWitt В. S.— In: General Relativity/Ed. S. W. Hawking. W. Israel. Cambridge
Univ. Press, 1979.
33. Christensert S. M., Duff M. /., Gibbons G. W. et al.— Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 45,
p. 161.
34. Linde A. D.— Prepr., Lebedev Inst., N 229, M., 1981.
35. Linde A. D.— Prepr. Lebedev Inst. N 265, M., 1981.
36. Hawking S. W., Moss 1. G.— Prepr. Cambridge, DAMTI, 1981.
37. Hawking S. W.<, Ellis G. The large scall structure of space-time. Cambridge Univ. Pressr
1973.
38. Муханов В. Ф. Чибисов Г. В.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1981г
т. 33, с. 549.
39. Компанеец Д. Л., Лукаш В. Я., Новиков И. Д.— Препр. ИКИ, № 652. М., 1981.
40. Старобинский А. А.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1981, т. 34, с. 460.
41. Гурович В. Ц. — Письма в Астрон. журн., 1982, т. 8, с. 532.
42. Coleman С— Phys. Rev., 1977, vol. D15, p. 2929.
43. Грищук Л. П.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1974, т. 67, с. 825.
44. Старобинский А. А.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1979, т. 30,
с. 719.
45. Грищук Л. Я., Попова А. Д.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1979, т. 77, с. 1665*.
КОММЕНТАРИЙ
Кроме работ, отмеченных в тексте, следует упомянуть еще несколько статей, в которых
содержатся высказывания о возможности «отпочкования» замкнутой Вселенной от
плоского пространства — времени х* и ранние высказывания (до известной работы А. Гута 2*)
о космологическом значении «вакуумоподобного» уравнения состояния 35М*.
Дальнейшее развитие идей квантового рождения Вселенной связано с построением,
«волновой» функции Вселенной» б* и анализом роли классических скалярных полей 6*>7*.
** Фомин П. И.— Докл. АН УССР, 1975, сер. А, № 9, с. 831.
2* Guth Α.— Phys. Rev., 1981, vol. 230, p. 347—356.
3* Gurevich L. E.— Astrophys. and Space Sci., 1975, vol. 38, p. 67—78.
4* Глинер Э. Б., Дымникова И. Г.— Письма в Астрон. журн., 1975, т. 1, с. 7—9.
б* Hartle /. J9., Hawking S. W.— Phys. Rev., 1983, vol. 28D, p. 2960—2975.
6* Линде А. Д.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1984, т. 87, с. 369—374.
7* Linde A. D.— Rep. Progr. Phys., 1984, vol. 47, p. 925; Успехи физ. наук, 1984г
т. 144, с. 177—214.

VI
НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ
И ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ, АККРЕЦИЯ
38
СУДЬБА ЗВЕЗДЫ
И ВЫДЕЛЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ
ПРИ АККРЕЦИИ*
Хорошо известно, что холодное вещезтво не может противостоять
сжимающему действию тяготения, если его масса больше массы Солнца. Этот
результат получен Р. Оппенгеймером и Г. Волковым [1] в 1938 г. при рассмотрении
вырожденного нейтронного газа в эйнштейновской теории тяготения («общая
теория относительности») и вошел в учебники [2]. Качественно результат не
изменяется ни при каких предположениях о взаимодействии элементарных
частиц при большей плотности.
Общая теория относительности радикально изменяет наглядную
картину динамики сжатия. В классической теории бесконечная плотность
достигается за конечное время; можно было думать, что после этого произойдет
распгирение или возникнет идущая от центра наружу ударная волна,
которая выбросит часть вещества.
Как показали Р. Оппенгеймер и X. Снайдер [3], общая теория
относительности приводит к выводу, что бесконечная плотность действительно
достигается за конечное собственное время (измеренное наблюдателем,
движущимся вместе с какой-либо частицей звезды). Однако при передаче
сигналов от звезды наружному наблюдателю, находящемуся вне гравитационного
поля звезды, необходимо учитывать изменение масштаба времени. Красное
смещение линий, испущенных с поверхности звезды, является частным
случаем этого изменения хода времени. Оказывается, что для наружного
наблюдателя асимцтотически при t —>- оо внешняя поверхность звезды только
достигает так называемого гравитационного (шварцшильдовского) радиуса
г0 = 2GM/c2. Можно для каждой частицы, например для центральной,
определить тот момент, когда эта частица должна испускать сигнал, для того,
чтобы этот сигнал достигал наружного наблюдателя при t ->- оо. В этом
смысле можно говорить о гравитационном самозамыкании сжимающейся звез-
ды [4].
В момент испускания сигнала плотность в каждой частице меньше
характерной величины
Ря = ЗМ/4яг| = 3cV32nM2G* = 1,8·101β (M/MQ)'2 г/см3.
Следовательно, достижение бесконечной плотности в ходе сжатия
является ненаблюдаемым, получение информации заканчивается задолго до этого
момента. Тем более не имеет смысла вопрос о том, что произойдет после
(р = ОО.
* Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 155, № 1, с# 67—69.

38. Судьба звезды и выделение гравитационной энергии при аккреции 193
Все эти результаты сохраняются с учетом давления [5], а также и для
горячего вещества. Задачу о существовании и устойчивости механического
равновесия при наличич давления и тяготения следует рассматривать при
фиксированной энтропии вещества. Равновесие соответствует минимуму
полной энергии при данной энтропии (и, естественно, при данном числе
сохраняющихся частиц — барионов). В ходе быстрого сжатия также можно
считать, что энтропия сохраняется.
При каждом значении энтропии S есть серия равновесных конфигураций
горячего газа (звезд), отличающихся массой М\ такие конфигурации
существуют, однако, лишь при массе меньше критической. Значение критической
массы Мс тем больше, чем больше энтропия S, Мс = Мс (S). При S = О
Мс = Мс (0) ^ё ΜΘ. Звезды с!> ΜΘ могут находиться в состоянии
механического равновесия постольку, поскольку они горячие и поскольку
при равной плотности давление горячего вещества больше давления
холодного вещества [6].
Следовательно, конечной стадией эволюции всякой невращающейся
звезды, масса которой значительно превышает массу Солнца, является
неудержимое сжатие — коллапс **.
Свечение горячей звезды в ходе коллапса из-за эффекта гравитационного
самозамыкания весьма быстро затухает по экспоненте с падением в е раз
за время порядка rg/c, т. е. 10"4 с при Μ — 10ΜΘ. Следовательно, сжатые
звезды должны представлять собой темные тела, взаимодействие которых
с окружающей средой ограничивается их гравитационным полем. Так как
излучение, а следовательно, и потеря массы в ходе коллапса незначительны
[4, 7], то гравитационное поле сжимающейся звезды на большом расстоянии
почти не отличается от поля той же звезды до сжатил. Вопрос о том, какая
доля всех нуклонов во Вселенной находится в данный момент в темных
сжимающихся звездах, был поставлен в работе [8]. Из соображений, связанных
с возрастом Вселенной, можно было получить только неравенство для
общей плотности ρ <^ 2-10"28 г/см3, тогда как плотность по нормальным,
видимым звездам ρ ^ (0,3 ~- 1)· 10~30 г/см3. Ф. Хойл, В. Фаулер, Дж. и М. Бер-
беджи [7] решительно поставили вопрос о наличии большого количества
темных звезд. По их оценке масса всех таких звезд в несколько раз больше
массы светящихся звезд, что близко к верхней границе согласно [8]. Интерес
к катастрофическому сжатию звезд возрос в связи с открытием оптически
ярких далеких радиоисточников [9, 10] и гипотезой Ф. Хойла [11], что эти
источники суть сверхзвезды с массой порядка ΙΟ8 М®. Источник энергии
мощных радиогалактик до недавнего времени не был ясен; идеи
аннигиляции вещества и антивещества, столкновения галактик и одновременного
взрыва многих сверхновых оказались несостоятельными. Как сжатие
сверхзвезд приводит к выделению потребных гигантских количеств энергии?
Согласно [7] сжатие сопровождается колебаниями, плотность достигает
1030 г/см3, и в этот момент максимальной плотности испускаются
ультрарелятивистские частицы. С этой точкой зрения нельзя согласиться не только
потому, что остановка при рт = 1030 г/см3 зависит от гипотетического,
имеющего весьма странные свойства, #-поля [7, 12]. В действительности для
внешнего наблюдателя рост плотности асимптотически остановится на весьма
скромной величине порядка 2 -s- 200 г/см3 (при Μ = 108 ~- 107 Mq) в силу
гравитационного самозамыкания.
** См. комментарий.
7 Я. Б. Зельдович

194 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
В предлагаемой заметке рассматривается другой механизм выделения
энергии, связанный с падением внешних масс в гравитационном поле
сжимающей звезды.
При приближении к гравитационному радиусу скорость свободно
падающей частицы приближается к скорости света.
Столкновение двух частиц на расстоянии порядка (не меньше!)
гравитационного радиуса происходит с относительной скоростью порядка с.
Следовательно, при столкновении энергия излучения релятивистских частиц может
быть атс2; энергия, уносимая на бесконечность, меньше из-за красного
смещения и геометрического фактора: часть излучения и частиц падает на звезду.
Выход энергии наружу равен а$тс2, где т — масса частицы, α < 1, β < 1.
Это произведение достигает максимума порядка 0,1 тс2 при столкновении
на г = 1,5 rg. Существенно, чтобы сталкивающиеся частицы имели
различный вектор момента вращения относительно звезды; приведенные числа
относятся к Мх = —Μ2. Если столкновения происходят редко, то при данном
распределении частиц по скоростям вдали от звезды выделение энергии
пропорционально сечению столкновения. При большом сечении, когда
свободный пробег становится мал по сравнению с размером звезды, столкновения
упорядочивают движение частиц, и в этом случае необходимо перейти к
гидродинамическому описанию движения. При этом оказывается, что в
сферически симметричном движении гравитационная энергия в основном
превращается в кинетическую энергию радиального движения; количество энергии,
которое может быть излучено, составляет пренебрежимо малую долю массы
покоя падающего вещества.
Однако, если на звезду набегает поток вещества со сверхзвуковой
направленной скоростью вдали от звезды, то картина движения резко меняется.
Со стороны звезды, противоположной направлению, откуда приходит поток,
возникает стационарная ударная волна. Вблизи звезды изменение скорости
во фронте волны порядка с, и излучается заметная доля тс2 вещества,
сжимаемого волной. В стационарном гидродинамическом движении до теореме
Бернулли невозможен выброс даже малой части вещества на бесконечность
со скоростью больше начальной скорости вдали от звезды. Однако в момент,
когда облако вещества приближается к звезде, окружает ее и схлопывается
на тыльной стороне, движение нестационарно и возможен кумулятивный
выброс части вещества со скоростью порядка с.
Отметим в заключение, что «частицы», о которых говорилось выше, могут
представлять собой не атомы и молекулы, а сгустки плазмы с вмороженным
магнитным полем; тогда особенно вероятно образование релятивистских
электронов при столкновении. Рассматривай поток вещества
издалека, по-видимому, не следует представлять себе межзвездный газ и пыль
с ρ = 10"25 г/см3, что дало бы малую мощность.
В качестве падающего материала можно представить себе вещество
второй звезды при коллапсе первой звезды близкой пары. Это может быть та
часть оболочки самой кол лансирующей звезды, которая была выброшена
перед самым моментом гравитационного самозамыкания: наряду с веществом,
приобретающим гиперболическую скорость, часть выбрасываемого вещества
может оказаться в запасе на далеких, но замкнутых орбитах.
В самом о£щем виде идея о падении в мощном гравитационном поле как
источнике энергии радиоизлучения высказывалась И. С. Шкловским [13].
Пользуюсь случаем выразить искреннюю благодарность И. Д. Новикову
и И. С. Шкловскому за многочисленные дискуссии.

38. Судьба звезды и выделение гравитационной энергии при аккреции 195
ЛИТЕРАТУРА
1. Oppenheimer /. R. Volkoff G.— Phys. Rev., 1938, vol. 55, p. 374.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. 567 с.
3. Oppenheimer J. R., Snyder H.— Phys. Rev., 1939, vol. 56, p. 455.
4. Зельдович Я. Б.— Астрон. циркуляр, 1963, № 250.
5. Подурец Μ. Α.— Докл. АН СССР, 1964, т. 154, № 2.
6. Зельдович Я. Б.— Вопр. космогонии, 1963, т. 9, с. 80.
7. Hoyle F., Fowler W., Burbidge G., Burbidge M.— Relativistic Astrophysics, Preprint,
1963.
8. Зельдович Я. Б., Смородинский Я. А.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961,
т. 41, с. 907.
9. Matthews Г., Sandage Α.— Pubis Astron. Soc. Pacif., 1962, vol. 74, p. 406.
10. Schmidt M.— Astrophys. J., 1962, vol. 136, p. 684; Nature, 1963, vol. 197, p. 1040.
11. Hoyle F., Fowler W.— Nature, 1963, vol. 197, p. 533.
12. Hoyle F., Narlikar J. V.— Proc. Roy. London, 1963, vol. 273, N. 1352, p. 1.
13. Шкловский И. С.— Астрон. журн., 1962, т. 39, с. 591.
КОММЕНТАРИЙ
В задаче об аккреции на белый карлик или нейтронную звезду выделение энергии
в конечном счете связано с падением вещества на поверхность. В случае черной дыры
такого механизма нет, отдельная частица падает, унося с собой всю энергию.
Необходимо было привлечь столкновение, по крайней мере, двух частиц между собой.
В работе предложен и реалистический вариант: в двойной системе обычная звезда дает
поток газа, обтекающий черную дыру с образованием излучающей ударной волны в
уходящем потоке.
В статье впервые выдвинута идея обнаружения черных дыр и по свечению вещества,
движущегося в их сильном гравитационном поле. Эта идея решительно изменила
отношение наблюдателей к проблеме черных дыр. Ранее черные дыры рассматривались как
ненаблюдаемые следствия недоказанной экстраполяции ненадежной теории. После работы
ЯБ и О. X. Гусейнова (ст. 42) о небесной механике двойной системы с черной дырой и
особенно после комментируемой работы поиск и исследование черных дыр в нашей Галактике
стал наиболее принципиальной задачей звездной астрономии. В рамках этой задачи
указан конкретный механизм излучения энергии при падении газа, делающий наблюдаемой
черную дыру. Он работает при обтекании черной дыры сверхзвуковым потоком газа.
Излучение связано с образованием излучательной ударной волны за черной дырой.
Отмечено, что этот механизм может работать в двойных звездных системах, один из компонентов
которой является черной дырой.
Работа сыграла большую роль в становлении теории аккреции и теории компактных
рентгеновских источников. В настоящее время механизм энерговыделения, предложенный
в комментируемой статье, рассматривается как один из трех важнейших вариантов
аккреционных течений в окрестности релятивистских звезд наряду с дисковой и сферически-
симметричной аккрецией (см., например, обзоры1*» 2*).
Одновременно (и независимо) подобная идея была опубликована Э. Салпитером 3*.
Отметим неточность в начале статьи: звезда большой массы может и не превратиться
в черную дыру, если в ходе эволюции (медленной и взрывной) она потеряет достаточную
часть массы. С другой стороны, нейтронная звезда может превратиться в черную дыру,
накапливая массу в ходе аккреции. Вопрос об общем числе черных дыр в нашей и в других
галактиках до сих пор не решен.
г* Lightman A. P., Shapiro S. L., Rees M, J,— In: Phys. and Astrophys. of Neutron
Stars and Black Holes, 1978, p. 786—827.
2* Sunyaev R. A.— In: Phys. and Astrophys. of Neutron Stars and Black Holes, 1978,
p. 697—763.
3* Salpeter E. E.— Astrophys. J., 1964, vol. 140, p. 796—800.
7*

196 Часть вторая. VI, Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
39
О ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ
В СВЕРХПЛОТНОМ ХОЛОДНОМ ГАЗЕ *
Показано, что ядерные реакции, происходящие подбарьерно в холодном
водороде при плотностях 104—106 г/см3, идут с вполне заметной для
астрофизических масштабов вероятностью. Это обстоятельство кладет предел
возможному сжатию холодного водорода, так как уже при плотности
0,7· 105 г/см3 небесное тело не может прожить более 108 лет. Такая плотность
в холодном водороде достигается под действием грявитации при массе,
близкой к массе Солнца.
Известно [1—3], что в звездах осуществляются термоядерные реакции
p+p=O + e* + v,p + O= He3 + V и далее при высокой температуре
Не3 + Не3 = Не4 + Ρ + Ρ, а при высокой плотности Не3 + е~ = Τ + ν,
Τ + Ρ = Не4 + γ.
Впервые Шатцман [4] отметил, что при высокой плотности и низкой
температуре должны настудить отклонения от обычных выражений скорости
термоядерной реакции и дал общие выражения для вырожденного ядерного
газа.
Рассмотрим реакции, протекающие в водороде, сжатом до плотности
104—106 г/см3 при температуре ниже 106 К. В этих условиях водород является
твердым, т. е. протоны расположены в узлах кристаллической решетки;
тепловым движением и термоядерной реакцией можно пренебречь.
Как известно, кулоновское отталкивание ядер, препятствующее ядерной
реакции, может преодолеваться за счет квантово-механического явления
проникновения под барьер (туннельного перехода). Вероятность туннельного
перехода экспоненциально мала, причем показатель экспоненты сильнее
зависит от длины пути, чем от высоты барьера.
Расстояние, на котором наступает ядерное взаимодействие, порядка
3-1СГ13; кулоновская энергия двух протонов на этом расстоянии 0,5 МэВ.
При плотности водорода 104—106 г/см3 расстояние между протонами
6,5-10""10 -ь 1,35· 10"10 см (в 1000 раз больше ядерного расстояния и всего
в 10—50 раз меньше расстояния между ядрами в молекуле водорода).
Кулоновская энергия двух протонов на таком расстоянии 400—2000 эВ.
Таким образом, сжатие до указанной плотности практически не снижает
высоты барьера; однако наиболее трудная для преодоления длинная область
малых энергий пройдена за счет внешнего давления, и скорость ядерной
реакции p-{-p = O-\-e+-}-v оказывается вполне заметной по
астрофизическим масштабам. Для расчета скорости реакции при равной нулю
температуре и заданной плотности находим равновесное расстояние г0 между
ядрами при наиболее плотной упаковке. Энергию в зависимости от
расстояния между ядрами г аппроксимируем выражением е2/г + е2/(2г0 — г)-
Начальная энергия равна 2е2/г0 + Е0, где Е0 = Ηω/2 = ehl\Mr\ — энергия
нулевых колебаний, Μ — масса протона.
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1957, т. 33, вып. 4,
с. 991—993.

39, О ядерных реакциях в сверхплотном холодном газе
197
Экспонента проникновения под барьер равна
В = ехр {— φ (ie/h) Y2M~F0} ,
где Л/др — приведенная масса, равная Л/72, φ находится численным
интегрированием. При малых ε
φ = 0,70 — 0,17ε In (1/ε), ε *= E0r0/e2.
Вероятность нахождения двух протонов в одной точке в отсутствие
ядерного взаимодействия, ψ2 (0), приближенно определим так, как если бы
рассматривалась двухатомная молекула [5] с равновесным расстоянием г0 и
нулевой энергией колебаний Е0:
ψ2 (0) = BE0MlveVh\
Наконец, скорость реакции определим, используя расчеты Сальпетера
[2]: вероятность реакции ρ (с"1) — imp2 (0). Константа w связана с сечением
реакции а (при проведении реакции в лабораторных условиях, в пучке)
формулой (для однозарядных ионов)
w 2пе* Г 2пе2 \ пМе* В S а
σ= ——ехР(—ts-)=w-tt-f=-tb·
где ν — скорость, Ε — энергия, S — см. [2, формула (7)]. Сравнивая
формулы (9) и (39) в [2], находим S = 4.10"19 бн-эВ, откуда w = 5-Ю"40 см3/с.
За реакцией образования дейтона следует весьма быстро реакция
образования Не3. При рассматриваемых плотностях максимальная энергия
электронов Ее (вырожденный ферми-газ) больше энергии распада трития; поэтому
также быстро [2] идет реакция Не3 + *~ = Τ + ν, а за ней ρ + Τ = Не4 +
+ γ. Таким образом, каждый акт первичной реакции двух протонов
немедленно приводит к выделению —25МэВ энергии. В таблице дана сводка
результатов для двух плотностей:
р, г/см»
5-105
0,7-105
Г0,'СМ
1,65.10-1°
3,1.10-1°
Е0, эВ
125
45
-lgB
8,5
11,6
ρ, с-1
4.10-17
10-20
н эр*
Г-С
1000
0,25
Ее, эВ
2,6-105
0,7-105
ρ ΈΞ
' СМ2
5-1022
0,2-1022
Г, эВ
400
150
Здесь Η — скорость выделения энергии, Ρ — давление вырожденного
электронного газа, Τ — та температура, при которой равная скорость
реакции была бы достигнута за счет термоядерного механизма [2].
Высказанные выше соображения позволяют понять, что существует
предел возможному сжатию холодного водорода. Действительно, уже при
плотности 0,7 · 105 (нижняя строчка) при нулевой начальной температуре за время
6-107 лет будет достигнута температура 150 эВ, и скорость реакции, грубо
говоря, удвоится, так что небесное тело, состоящее из холодного водорода
с плотностью 0,7 -105, не может прожить более 108 лет.
По известным формулам Эмдена (см. [6]) плотность холодного водорода
достигает 0,7 -105 г/см3 при давлении 2-1021 дин/см2 под действием
гравитации в центре небесного тела, масса которого равна 1,5-1033 г, т. е. 0,75
массы Солнца.

198 Часть вторая· VI. Нейтронные звезды, и черные дыры, аккреция
Л. Д. Ландау [7] в 1938 г. указал, что при большой плотности
произойдет «нейтронная конденсация». Для водорода граничная энергия реакции
е" + Ρ = η + ν равна 0,75 МэВ. Соответствующая плотность равна
107 г/см3.
Подбарьерная реакция наступает значительно раньше. Следовательно,
нейтронная конденсация наступит лишь после превращения водорода в
гелий (или более тяжелые ядра) и при соответственно еще большей плотности,
как и рассмотрено в [6].
Реакции ρ + Ό, ρ + Ύ, D + D> D _|_ f также могут идти холодным
способом и требуют меньших давлений. Однако этот процесс никогда не будет
иметь практического значения: потребные давления столь велики, что в
земных условиях они могут быть осуществлены лишь нестационарно, в весьма
малых объемах и в течение весьма малого времени. При равной затрате
энергии или равном давлении подбарьерная реакция во много раз уступает
термоядерной реакции в нагретом веществе.
Пользуюсь случаем выразить благодарность Д. А. Франк-Каменецкому
и А. И. Лебединскому за интерес к работе и ценные замечания.
Поступила в редакцию
29 апреля 1957 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bethe Ή. Л., Critchfield С. L.— Phys. Rev., 1938, vol. 54, p. 248.
2. Salpeter E. E.— Phys. Rev., 1952, vol. 88, p. 547.
3. Франк-Каменецкий Д. А.— Докл. АН СССР, 1955, т. 104, с. 30; Успехи физ. наук,
1956, т. 58, с. 415.
4. Schatzman Ε.— J. phys. et radium, 1948, t. 8, p. 46.
5. Зельдович Я. Б. и др.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 32, с. 947.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: ГТТИ, 1951. 479 с.
7. Landau L. Ώ.— Nature, 1938, vol. 141, p. 333.
КОММЕНТАРИЙ
В ходе исследования процессов коллапса звезд, сопровождающегося превращением
вещества в нейтроны, естественно было поставить вопрос о нейтронизации водорода.
Однако, как показано в данной заметке, водород раньше вступает в реакции, ведущие
к образованию гелия, даже в холодном состоянии за счет подбарьерного эффекта.
В статье содержится упоминание ,работы Шатцмана, поставившего вопрос о реакциях
в вырожденном ядерном газе. Однако позже ЯБ нашел статью В. Вильдхака «Превращение
протонов в дейтерий как источник энергии в плотных звездах» (Phys. RevM 1940, т. 57,
с. 81—86). В этой статье пикноядерные (т. е. при большой плотности) реакции и их
астрофизические следствия рассмотрены подробно.
Статья Вильдхака упомянута уже в монографии Я Б и И. Д. Новикова «Теория
тяготения и эволюция звезд» (М.: Наука, 1972. 484 с).
Отметим также упомянутую в конце статьи возможность проведения реакций
изотопов водорода при более низком давлении. Этот круг идей соприкасается с работами по
мюонному катализу ядерных реакций изотопов водорода

40. Нейтронияация Не*
199
40
НЕИТРОНИЗАЦИЯ Не4*
(совместно с О. X. Гусейновым)
Как известно, при высоких плотностях, когда энергия электронов
становится достаточной для обратного β-процесса, в веществе начинается
реакция нейтронизации [1].
Первый шаг в исследовании кинетики этого процесса сделал А. Д. Франк-
Каменецкий [2]. Во время коллапса звезды вследствие нейтронизации
вещества будут испускаться нейтрино больших энергий, которые, возможно,
удастся обнаружить экспериментально. В предыдущей заметке [3] был
рассмотрен процесс коллапса с нейтронизацией холодного водорода. Оценки
для других элементов были крайне грубы. Оценка в предположении
коллапса 10 звезд в год с Μ = 2 ч- ЗМ© в нашей Галактике давала поток
высокоэнергичных нейтрино (10—30 МэВ), составляющий несколько процентов
от солнечного (нейтрино от распада Be8, с максимальной энергией 14 МэВ).
В упомянутой заметке была сделана заниженная оценка энергии нейтрино.
Найдем более точное значение энергии нейтрино, образующихся в ходе
нейтронизации гелия.
Образование нейтрино больших энергий при коллапсе холодной звезды
связано с процессом
ё- + Не4 = Τ + η + v. (1)
Пороговая энергия этого процесса составляет Q = 22,1 МэВ = 43,4 тс2.
За этой реакцией следует более «легкая» реакция е" + Τ = Ъп + v.
Протекание реакции (1) осложняется тем, что ядро Н4 не существует, и нейтро-
низация сопровождается вылетом нейтрона. По-видимому, ядро Н4 не
существует и как виртуальное состояние [4]. Поэтому в качестве первого
приближения естественно считать матричный элемент независящим ни от
энергии нейтрино, ни от энергии нейтрона, ни от угла между ними, а
вероятность реакции соответственно считать пропорциональной фазовому объему.
При данной плотности ре электронов с энергией Ε суммарная
кинетическая энергия продуктов реакции (1) равна Ε — Q; она распределяется
между нейтрино, Εν и кинетической энергией η + Ύ относительно центра
инерции этой системы, Е\ = Ε — Q — Εν. Энергией движения центра инерции
Τ + η (порядка 1 МэВ) пренебрегаем. Ввиду того, что Τ и л-частицы
нерелятивистские, их фазовый объем пропорционален У ExdEx. Таким
образом, при данной энергии электрона и данной плотности электронов ре
дифференциальная вероятность процесса с рождением нейтрино в интервале
энергии от Ev до Ev + dEv имеет вид
dW = 9eKE% YE — Q-EvdEv. (2)
Отсюда для полной вероятности получим
E-Q
W = PeK ξ El γΕ — Q — Ev dEv = PeB {Ε — Q)V* =
= peB(mc*)y>(E'-Q')V*, (3)
* Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1965, вып. 1,
т. 1, с. 11—17.

200 Часть вторая* VI, Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
где К, В — константы, Е' и ()' — безразмерные энергии, выраженные в
единицах mc2, m = те.
Для нахождения константы В воспользуемся аналогией между
интересующим нас процессом и реакцией
μ- + Не4 = Τ + η + ν, (4)
изученной экспериментально * [5].
Вероятность этой реакции, найденная из эксперимента, ]Υμ = 370 ±
± 50 с"1 относится к мюонам, находящимся в ls-состоянии в поле ядра.
Составим выражение, аналогичное (3), для вероятности \¥ц процесса с μ-мезо-
ном:
ΤΡμ = Я | ψ (0) I WW - <?')VS (5)
находим В; по гипотезе универсального слабого взаимодействия для
электронного и мюонного процессов выражения В должны быть одинаковыми.
Перейдем от реакции с электроном заданной энергии Ε к случаю нейтро-
низации вырожденным релятивистским электронным газом:
Ер
WF = (B/n2)(h/mc)-*(mc2)y> ξ (Ε' — QJbE'* dE\
Q'
Ef = mc* (ρ/(μβ.10ψκ (6)
Подставляя выражение В, найденное из экспериментальных данных о
реакции с мюонами, получим
WF = W» [(me/mμ)3 (e*/hcy* (mHe + ^)3/(mL^e)] (E» ~ QV'% x
EF
X J (Ε' — <?')7'2 dE' = WV 9,5 (у — 1)V, (0,154г/2 + 0,056^ + 0,012), (7)
Q
y = EFlQ = (p/(ve.i,7.lO")yu.
Предполагается, что после процесса е~ + Не4 = Τ + η + ν следующий
акт е" + Τ = Злг + ν идет практически мгновенно, в соответствии с тем, что
ядро Τ гораздо менее прочное и более «рыхлое» по сравнению с Не4.
Используя соотношения для свободного падения
ρ = 1/[6яб (ί0 — *)2] = 8-105/(ί0 - t?\ dt = 4,5.ΙΟ2 ρ-ν«φ,
получим приближенное уравнение кинетики нейтронизации (х — доля не*
распавшегося Не4)
_dx___o 105 * (9х \2/з Г 1 / Р* У/з \Ύ,%
dp — °"1 ρ3/*ρ'2 V 2-106 У L Q' \2·106 У l\ ·
Интегрирование этого уравнения от ρ = 0, χ = 1 дает ρ = pt = 1,7· 1011,
χ = 1 (порог); ρ = 7,5ρί, λ; = 0,86; ρ = 15pf, χ = 0,5; ρ = 60ρί7 χ = 0,16.
Нейтронизация основной массы Не4 в режиме свободного падения
происходит при ферми-энергии в 2 раза больше порога, т. е. 45 МэВ. Значит в
процессе е" + Τ = Ъп + ν рождаются нейтрино с энергией до 35 МэВ. Вероят-
1 Среднее число нейтронов в акте реакции μ"~ -(- Не4 около 1,2, откуда следует, что
реакции μ~ + Не4 = D + 2га + ν и μ~ + Не4 = ρ + Зга + ν составляют меньше
половины всех случаев.

40. Нейтронизация Не4
201
ность их регистрации в 10—20 раз больше вероятности регистрации
пороговых нейтрино от распада В8, которые предполагается наблюдать в спектре
Солнца; эти нейтрино можно отличать от солнечных, если детектор
регистрирует энергию нейтрино и, хотя бы грубо, их направление [6].
Испускание коллапсирующей звездой нейтрино с энергией до 35 МэВ
происходит при плотности порядка 1012—1013 г/см3. Эту плотность нужно
сравнить с критическим значением [7, 9]
pg= 1,8- ΙΟ16 (Μ/ΜΘ)-2,
при котором происходит гравитационное самозамыкание. Ясно, что при
Μ <[ 50 Λί©, τ. е. для подавляющего большинства звезд, энергичные
нейтрино от нейтронизации успевают покинуть звезду без заметного ослабления
гравитационным полем.
Вместе с тем плотность ρ — 3-1012 г/см3 еще значительно меньше ядерной
плотности, поэтому вполне оправдано рассмотрение, проделанное выше без
учета ядерного взаимодействия. Об излучении тепловых нейтрино при
коллапсе см. [7] и [10].
Поступила в редакцию
6 апреля 1965 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. 567 с.
2. Франк-Каменецкий Д. А.— Журн. эксперим и теорет, физики, 1962, т. 42, с. 875.
3. Зельдович Я. Б., Гусейнов О. X.— Докл. АН СССР, 1965, т. 162, № 4.
4. Базь А. И., Голъданский В. И., Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1965, т. 85
с. 415.
5. Foldy L., Walecka.— In: Congr. Intern, phys. nucl. P., 1964, II, p. 1168.
6. Reines F., Woods i?. M. Jr.— Phys. Rev. Lett., 1965, vol. 14, p. 20.
7. Зельдович Я. Б.— Астрон. циркуляр, 1963, № 250, I—VII.
8. Hoyle F., Fowler W.— Relativistic Astrophysics, Preprint, 1963.
9. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Успехи физ. наук, 1964, т. 84, с. 377.
10. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Успехи физ. наук, 1965, т. 86, с. 447.
КОММЕНТАРИЙ
Образование нейтронных звезд должно сопровождаться превращением протонов
(свободных и связанных в ядрах) в нейтроны с захватом электронов и испусканием нейтрино.
В комментируемой заметке впервые, хотя и грубо, рассмотрены динамика этого
процесса и спектр вылетающих нейтрино. Показано, что нейтрино приобретают большую
энергию до 20—30 МэВ и наглядно объяснены причины этого. Выдвинуто предложение об
экспериментальном обнаружении нейтринного всплеска при коллапсе звезды в
окрестности Солнца. В дальнейшем расчеты испускания нейтрино и антинейтрино при коллапсе
горячих и холодных звезд с учетом рассеяния и других факторов многократно уточнялись.
С современным состоянием вопроса читатель может познакомиться в обзоре В. С. Имшен-
ника и Д. К. Надежина **.
2* Imshennik V. £., Nadezhin D. К.— In: Astrophys. and Space Phys. Rev. Harwood
Acad. publ. GmbH, 1983, vol. 2, p. 73—161; Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ,
1982, т. 21, с. 63—129.

202 Часть вторая» VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
41
НЕЙТРИННАЯ СВЕТИМОСТЬ ЗВЕЗДЫ
ПРИ ГРАВИТАЦИОННОМ КОЛЛАПСЕ
В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ*
(совместно с М. А. Подурцом)
Теория гравитационного коллапса, принципы которой были развиты
еще в 1937—1938 гг. [1, 2], в последнее время привлекает внимание: ставится
вопрос о количестве коллапсировавших звезд во Вселенной [3—6], о
динамике коллапса и о потерях энергии, в частности, путем излучения нейтрино
в ходе коллапса [4, 7—9].
Еще Р. Оппенгеймер и X. Снайдер [2] выяснили, что поверхность звезды
пересекает гравитационный радиус г0 за конечное собственное время τ,
однако для внешнего наблюдателя поверхность только асимптотически
приближается к r0, r-*~r0 при £-> оо (для далекого наблюдателя время совпадает
с координатным временем t). Светимость поверхности асимптотически
стремится к нулю несмотря на конечную температуру поверхности. Происходит
гравитационное самозамыкание звезды.
В предлагаемой заметке рассматривается закон гравитационного
самозамыкания для нейтринного излучения, рождающегося главным образом
в центре звезды. В этом случае нет ни доплер-эффекта, зависящего от
движения поверхности, ни изменения телесного угла.
В работах [4, 7] эффект гравитационного самозамыкания учитывался
грубо, по порядку величины: была найдена характерная плотность р^ = M/vg,
где vg = 4лТо/3, и интегрирование потерь энергии элементом массы
обрывалось в момент, когда плотность достигала pg.
Располагая решением, описывающим коллапс, легко найти траектории
световых или нейтринных лучей (ds = 0), распространяющихся по радиусу.
Момент t], когда покидает центр последний луч, пересекающий поверхность
звезды как раз при г = г0 и достигающий внешнего наблюдателя при t = оо,
не совпадает с моментом достижения pg. Мощность излучения
трансформируется по закону
I(t) = Q (τ) (άτ/dt)2, (1)
где τ есть собственное время в начале луча, в центре звезды; t —
координатное время покоящегося далекого наблюдателя в момент прохождения того
же луча мимо него: Q (τ) — энергетическая мощность излучения веществом
в центре звезды, dE = Q άτ; I (t) — мощность, подсчитанная по энергии,
проходящей через далекую сферу, на которой находится наблюдатель;
dE = AnrH (t)dt = I (t)dt.
Отметим, что в формулу (1) входит квадрат величины άτ/dt, которая
меньше 1 и стремится к нулю при t -> оо, поэтому
§ <?(τ)<2τ< J I(t)dt.
—оо —оо
* Доклады Академии наук СССР, 1964, т. 156, № 1, с. 57—bu.

41. Нейтринная светимость звезды при гравитационном коллапсе 203
При подсчете числа сохраняющихся вдоль луча частиц — нейтрино
имеет место соотношение
Τι
η(ί) = ν(τ)-|Η-, Ν= { v(x)dx = { n(t)dt,
где ν — число нейтрино, испускаемых в единицу собственного времени τ;
η — число нейтрино, пролетающих через далекую сферу за единицу
координатного времени: общее число частиц N есть инвариант.
Однако при подсчете энергии нужно учитывать еще красное смещение,
т. е. изменение энергии каждого индивидуального нейтрино при движении
из гравитационной потенциальной ямы наружу к далекому наблюдателю.
Энергия меняется в том же отношении, что и частота (в согласии с ε = Йо>),
это и дает лишнюю степень dxldt.
Итак, для того, чтобы вычислить светимость звезды по формуле (1),
нужно знать ход радиальных световых лучей как внутри звезды, так и вне ее,
причем внутри звезды удобнее пользоваться не шварцшильдовой системой
отсчета (t, г), а сопутствующей (τ, R). Имея это в виду, умножим и разделим
правую часть (1) на (dtjdxx)2, где dtx — изменение времени между двумя
лучами вдоль границы звезды, dxx — такой же интервал собственного
времени. Тогда
I (t) =Q (τ) (dx/dxj2 (dxjdtj2 {dtjdtf. (2)
Множитель dxxldtx определяется из закона преобразования времени вдоль
границы и равен
dxx rt — r0 1
dh
Yrl + l-ro/ъ
(3)
здесь гг — радиус границы, а точка обозначает дифференцирование по
собственному времени хг.
Множитель dtjdt легко найдем, зная уравнения траекторий лучей света
в пустоте г + То In (r/r0 — 1) — t = const (здесь и далее с = 1):
dh = V^ + l-ro/n
dt Yrl + l-roln-ъ
Объединяя (2), (4), получаем
■^ШС-^^,^-;,]
Все входящие сюда величины являются функциями τχ, и поэтому t также
должно быть выражено через хг. Эта связь имеет вид
t = г + r0 In (r/r0 — 1) — rx — r0 In (r/r0 — 1) + h. (6)
Легко видеть, что в пределе, при гг -> г0
/ (0 ~ (rjro - I)2, t 2r0 In (r/r0 - 1) (7)
(последнее легко получается из (3)). Поэтому асимптотика светимости коллап-
сирующей звезды имеет вид
/ (t) ~ ехр (- t/r0). (8)

204 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
\-Ю -J а]
ι ι ι ι I I I I I /
airy
—^^
5\
I I I I J
I xmtm j
м
--W Μ)
щ2
CD
СУ
CD
-/
У
У ι ι ι ι
1 2 3 У |
"""*—' "^ч 1
1ЮК
Рис. 1
Рис. 2
Мы видим, что, хотя процесс коллапса для внешнего наблюдателя
длится неограниченно долго, характерное время спада светимости очень мало,
оно равно гравитационному радиусу звезды, деленному на скорость света.
Для Солнца r0 ~ 3-105 см, и время спада светимости в е раз составляет
1(Г5 с.
Рассмотрим численные примеры.
Для скорости потери энергии примем Q ~ Г9р, что верно при Г9 > 5.
Здесь Τ — температура, ρ — плотность числа частиц. Если показатель
адиабаты вещества γ = 4/3, то Q ~ р2.
Разберем два случая.
1. Коллапс пыли (р = 0). Движение описывается известным решением
Толмена [10], которое можно взять в частном, наиболее простом виде
г = (8/2)'/зГ;/зДтг/з, e<V2 = (3/2)2/зГ;Ч8/з, ρ = 1/6πτ2. (9)
Здесь к = 1, R = 1 на границе звезды. Интервал ds2 = άτ2 — e^dR2 —
—гъ (άθ2 + sin20dcp2). Коллапс происходит при τ = 0, гравитационное
самозамыкание — при τ = —2/3 г0.
2. Коллапс звезды из холодного ферми-газа. Начальное состояние
звезды — покой. Начальный профиль плотности слегка отличается от профиля
в звезде с максимально возможной массой Mm3LX ~ 0,73 ΜΘ, так что полная
масса составляет 0,98 ΜΘ. Результаты численного расчета коллапса такой
звезды приведены в [6]. В случае пыли, благодаря простоте решения,
формулы (5) и (6) могут быть записаны в конечном виде:
/ (t) = q [1 + (г/З)1/^!*7·]»/^· [т!/з - (3/2)2/зГ;/з/3]2,
t = г + r0 In (r/r0 - 1) + τχ - (3/2)1/зГ;Ч2/3 +
+ 3 (4/9)V3r2041/3 - r0 In [1 + (3/2)1/зго1/зт1/з]2.
Здесь q — множитель пропорциональности, а произвольная постоянная
в t (τχ) выбрана так, чтобы при τχ -> оо выполнялось τχ = ί1#
На рис. 1 представлены зависимости мощности источника Q (τ) и
светимости звезды / (t) от собственного и координатного времени соответственно.
По оси абсцисс отложены tVs и iVs, по оси ординат lg Q (τ) и \g I (t). За
единицу длины (и времени) принята величина 9/4 г0, за единицу для Q л I
величина д/(9/4 г0) 4. На кривой Q (τ) отмечена точка а, выше которой часть

41. Нейтринная светимость звезды при гравитационном коллапсе 205
кривой Q (τ) недоступна внешнему наблюдателю. Точке а соответствует τχ =
= —1. Гравитационное самозамыкание происходит в момент τ2 = —8/27.
В принятых единицах
ξ <?<2τ = 12,81; \ QdT = 1/s; jj I dt = 0,0882.
—oo —oo —oo
На рис. 2 приведены аналогичные кривые для кол лансирующей звезды
с Μ = 0,98 ΜΘ из холодного ферми-газа. Здесь принято, что при τ < 0
звезда покоилась. В качестве единицы светимости выбрана мощность
источника в покоящейся звезде.
Дополнение. Приводим таблицу, характеризующую потери массы
звездами из-за испускания нейтрино в процессе коллапса. Здесь даны также
значения Г и ρ в момент гравитационного самозамыкания. Таблица заимствована
из [6]. В последней строчке к ней добавлены значения потерь, уменьшенные
оо τ2
в отношении \ Idt \ Qdx.
—оо —оо
Μ/ΜΘ 102 10* 105 10е 10»
Т9 360 36 11,3 3,6 0,5
Р,г/см3 1,8-1012 1,8.10е 1,8.10е 1,8-10* 1,8
Δ М/М 55 0,055 1,7 . 10"3 4,5. 10-6 10-12
(ΔΙ/Μ)! 0,38 3,8-Ю-4 1,17-10-5 3,1 · 10~7 7.10-1*
Поступила в редакцию
11 февраля 1964 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Oppenheimer /. #., Volkoff G.— Phys. Rev., 1939, vol. 55, p. 374.
2. Oppenheimer /. #., Snyder H.— Phys. Rev., 1939, vol. 56, p. 455.
3. Зельдович Я. Б., Смородинский Я. Л.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961,
т. 41, с. 907.
4. Hoyle F., Fowler W., Burbidge E., Burbidge G,— Relativistic Astrophysics, Preprint,
1963.
5. Wheeler J,— Solvay Conference, Bruxelles, 1958.
6. Новиков И. Д., Озерной Л. Μ. Препр. Физич. ин-та им. П. Н. Лебедева АН СССР.
М., 1964.
7. Зельдович Я. Б.— Астрон. циркуляр., 1963, № 250.
8. Подурец М. Л.— Докл. АН СССР, 1964, т. 154, № 2.
9. Зельдович Я. Б.— Докл. АН СССР, 1964, т. 154, № 3.
10. Tolman R.— Proc. Nat. Acad. Sci. US, Phys. Sci., 1934, vol. 20, p. 3.
КОММЕНТАРИЙ
Статья относится к раннему периоду освоения наблюдательных следствий общей
теории относительности применительно к последним катастрофическим стадиям эволюции
звезд.
Важнейший результат состоит в определении того, что авторы вольно назвали «ли·
нией последнего вздоха».
Специфика метрики релятивистского коллапса состоит в том, что конечное сжатие
неограниченно, возникает сингулярность. Однако закон распространения фотонов (если
отвлечься от их рассеяния) или нейтрино таков, что информация приходит лишь от
вещества на определенной стадии с конечным сжатием, еще далеким от сингулярности.

206 Часть вторая. VI, Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Разъяснение этого обстоятельства, кажущегося сегодня тривиальным, имело большое
значение в становлении теории коллапса звезд.
Систематическое рассмотрение проблемы коллапса см. монографию ЯБ и И. Д.
Новикова х*
г* Зельдович Я. Б., Новиков Я. Д. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967·
656 с.
42
ЭВОЛЮЦИЯ СИСТЕМЫ
ГРАВИТАЦИОННО-ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ТОЧЕЧНЫХ МАСС*
(совместно с М. А. Подурцом)
Изучается эволюция системы тяжелых точечных частиц. Медленно
эволюционируя, система проходит последовательность квазиравновесных
состояний, свойства которых определены из уравнения равновесия общей
теории относительности. Показана неизбежность завершения эволюции
коллапсом.
Рассмотрены эффекты, приводящие к эволюции: испарение частиц и
специфические для общей теории относительности гравитационное излучение
и слипание. Обсуждается применимость результатов к астрономическим
объектам.
Рассмотрим систему, состоящую из точечных масс, т. е. частиц,
взаимодействующих между собой только за счет всемирного тяготения.
В ньютоновском приближении эта задача исчерпывающе рассмотрена
в ряде работ, среди которых следует отметить статью В. А. Амбарцумяна [1]г
недостаточно известную статью Л. Э. Гуревича [2] и новые численные
расчеты [3].
Вкратце ситуация сводится к следующему: истинное статистическое
равновесие невозможно вследствие того, что статистический интеграл расходится
как при удалении частицы на бесконечность, так и при неограниченном
сближении частиц. Однако испарение частиц идет медленно и можно
рассматривать почти равновесное состояние системы с данной энергией Ε
(отрицательной), числом частиц N и моментом вращения / (в дальнейшем
рассматриваем случай / = 0). В этом состоянии каждая частица в основном
движется в общем усредненном гравитационном поле всех остальных частиц.
Изредка частицы сталкиваются и обмениваются энергией, что приводит к
установлению распределения частиц по энергиям ε, мало отличающегося от
максвелловского при ε < 0. Еще реже частицы при столкновении
приобретают е^>0и испаряются. По мере испарения Ε ж N меняются и система
эволюционирует, проходя последовательность почти равновесных состояний;
закон эволюции имеет вид
N~(t0 — tfl1, YW ~ (t0 — t)-y\ U ~ GN2m/ul
* Астрономический журнал, 1965, т. 42, № 5, с. 963— 973*

42. Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс 207
Образование тесных π ιρ частиц требует тройного столкновения г и
происходит редко по сравнению с их испарением. Почти равновесная система
устойчива относительно малых возмущений распределения плотности. В
настоящей заметке рассматриваются те изменения, которые появляются, когда
скорости частиц сравнимы со скоростью света. При этом одновременно и
ньютоновскую теорию тяготения нужно заменить общей теорией
относительности (ОТО). Такая ситуация:, очевидно, неизбежно возникает в последней
стадии эволюции системы, даже в том случае, когда в начальном состоянии было
vie < 1.
Основные результаты сводятся к следующему:
1. Для эволюции существенно не только испарение, но и специфическое
возникновение тесных нестационарных пар при двойных столкновениях с
перигелием порядка шварцшильдова гравитационного радиуса частицы.
2. Серия почти равновесных состояний заканчивается критическим
состоянием с определенным vie ~ 1, после достижения которого большая часть
системы сжимается (коллапсирует) за время порядка времени обращения на
орбите.
1, РАВНОВЕСНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ МАСС
Обратимся к выводу этих результатов, начиная с пункта 2. Для
рассмотрения почти равновесного состояния сперва полностью пренебрежем
столкновениями и рассмотрим движение частиц в самосогласованном центрально-
симметричном поле тяготения.
Статическое поле в ОТО характеризуется заданием двух функций ν (г)
и λ (г) в выражении интервала
dS2 = c2e*dt2 - еЧг2 - г2 (dQ2 + sin20 dy2). (1.1)
Совокупность движущихся в этом поле частиц будем описывать
статистически, при помощи функции распределения частиц в фазовом пространстве
N (х\ рк). Смысл инвариантной функции распределения дается
равенством [4]
dn dS = mNdxdp,
где dx dp — инвариантный элемент объема восьмимерного фазового
пространства, dn — число мировых линий, пересекающих dx в направлении ρ -J-
+ dp, dS — их длина внутри объема dx, m — масса покоя частиц.
В статическом поле статическое решение кинетического уравнения может
зависеть только от интегралов движения: энергии частицы — ср0
(включающей потенциальную энергию тяготения) и момента количества движения.
Предполагая, что распределение не зависит от направления скорости,
ограничимся простейшим случаем N = N (р0).
Теперь можно написать тензор энергии импульса частиц
Тtk = I PtPtN dp/y=T. (1.2)
Интегрирование удобно выполнять в сферической системе координат
импульсного пространства:
Ро = ~ V=~g7* Υ В2 + т'2 + Λ
Третья частица отбирает энергию.

208 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Ρι = ΥΊΓιΒ COS θ,
ρ2 = W22 Β sin θ cos Φ,
Ps = VIssB sin θ sin Φ,
0<5<οο, 0< m' < 00, 0<θ<π, 0<Φ<2π.
Конечно, мы предполагаем, что масса всех частиц одна и та же, т. е. что
N ~ δ (т'2 — т2). После этого интегрирование по переменным т', θ, Φ
выполняется до конца, и остается одна квадратура по В.
Окончательно выпишем смешанные компоненты Т* (общий
безразмерный множитель опускаем, его можно включить в Ν):
оо
Tl = — -^-e-VI^ { 7V(r])r]2|/e-V — m*c*di\, (1.3)
mc»eV/2
ОО
T\ = T\ = Т\=\^~ e-(V.)v jj Ν (η) (e-νη» - т2с4)3/г ίη, (1.4)
Г01 = Го2 = 77оз = 0. (1.5)
Здесь η = — ср0.
Мы видим, что система частиц, движущихся в поле тяготения с
распределением, не зависящим от момента, ведет себя как газ с плотностью энергии
ε = — Tl и с давлением ρ = Т{, подчиняющимся закону Паскаля.
Особенностью этого газа является то, что в выражения для ε и ρ явно
входит величина гравитационного поля ν (г). Заметим еще, что, как и следо
вало ожидать, тензор энергии-импульса (1.3)—(1.5) уравнению равнове
сия Т\ъ = 0 удовлетворяет тождественно. Аналогично тензору Tik можно
ввести вектор тока:
В нашем случае ]\ = /2 = /3 = 0, а компонента /0 связана с плотностью
числа частиц п:
пси0 = /0.
Вычисление дает
оо
ra=-J-erv С ΛΓ(η)η/6>-νη2_ ш*с* dx\. (1.7)
mc*eV/2
Вся система характеризуется двумя важными параметрами — массой Μ
и массой покоя М0.
М = ^1^гг2аг, (1.8)
М0 = Anm l пе^Ч2 dr. (1.9)
Разность (М — Μ о) с2 = — АМс2 соответствует отрицательной
ньютоновской энергии и обеспечивает невозможность разлета системы.

42. Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс 209
Зададимся максвелловской функцией распределения
N = Аё^Т, (1.10)
где Τ — температура в энергетических единицах.
Постоянство температуры соответствует отсутствию столкновений, т. е.
бесконечной теплопроводности 2.
При такой функции распределения задача об отыскании равновесных
конфигураций не имеет решения, так как плотность не обращается в нуль
при г -*■ оо. Эта трудность отражает тот факт, что в максвелловском
распределении всегда присутствуют частицы с η ^> тс2, могущие уйти на
бесконечность.
Поэтому равновесные состояния следует искать, задаваясь
видоизмененной функцией Ν (η), такой, что при
η > η0 < тс2, Ν (η) = 0.
Представляется разумным считать
η0 = тс2 - 772. (1.11)
Заметим, что для одного простейшего способа задания функции задача уже
решена в литературе. Действительно, когда Р. Оппенгеймер и Г. Волков
(ОВ) [5] рассматривают идеальный вырожденный ферми-газ при равной
нулю температуре, то это соответствует
Ν (η) = К = const при η ^ η0 < тс2, Ν (η) = 0 при η ^> η0.
В решении, найденном для ферми-газа, можно мысленно исключить
столкновения между частицами и рассматривать звезду (которую имели в виду
авторы) как совокупность частиц, каждая из которых независимо движется
по орбите в общем поле тяготения [13].
В чем же состоит отличие задачи ОВ от той задачи о системе частиц,
которая рассматривается в данной статье? В случае ферми-газа решение
является точным и при учете столкновений между частицами: никакая пара
частиц с гц < η0, η2 < η0 не может после столкновения дать пару с другими
η3, η4 так как одно или оба состояния 3 и 4 лежат ниже η0, а значит заняты,
и по принципу Паули переход 1,2—3,4 запрещен. В нашей задаче о
классических неквантовых частицах принципа Паули нет и столкновения будут
нарушать вид Ν (η), приближая Ν (η) к максвелловскому и вызывая
эволюцию системы.
Другое отличие заключается в том, что в задаче ОВ константа К имеет
вполне определенное значение, выражается через квантовую постоянную
Планка Н, К = 2/(2яЙ) 3. Когда же рассматриваются.классические частицы,
К может быть любым.
Решение ОВ легко обобщить на случай произвольного К, так как
уравнения имеют группу преобразований подобия: если изменить К, оставляя
KR2 = const, где R — характерный размер, то решение остается в силе.
Обратимся теперь непосредственно к отысканию равновесных решений
для системы точечных частиц. Задача сводится к интегрированию уравнений
2 Постоянна по пространству величина Г, которую можно назвать «температурой^
измеренной бесконечно удаленным наблюдателем». Температура в данной точке,
измеренная локальным наблюдателем, находящимся в этой точке, равна Тех = Te~v^2 и в
равновесии переменна по пространству, как и должно быть в ОТО.

210 Часть вторая* VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Эйнштейна с тензором энергии-импульса, полученным выше. Уравнения
имеют вид
e-U±Jy_,±\ 1 8nG
где
тс»—(»/«)Г
р= -J- J2L e-v/2 С ^-η/Γ (β-νη2 _ т2с4)з/2 dr)?
mc«ev/2
тс·—(Х/«)Г
gnV^v С 4β-*ι/Γη* }/У νη2 — т2с4 dr],
mc2ev/2
тс«-(*/.)Г
6Τν С Лбгп/Γη ]/Vvr]2 — т2с4 dr].
т2
mc«ev/2
Здесь уже использовано условие (1.11). Счет ведется так. Задаемся
температурой Г и постоянной А; интегрирование начинаем из центра, принимая,
как обычно, λ (0) = 0 и ν (0) = ν0, причем Vo определяется по условию на
свободной границе: ведем интегрирование до обращения в нуль ρ и ε
(свободная граница), т. е. до точки г = R, где выполняется условие ev/2 =
= 1 — Т/(2тс2). Подбор нужного значения v0 производится условием
сшивки решения на границе со шварцшильдовым решением в пустоте ν (R) +
+ λ (R) = 0.
Удобно ввести в качестве параметров безразмерную температуру Τ =
= Т/тс2 и плотность массы покоя в центре р0 = п0т вместо А, а также
перейти к безразмерной переменной г = г/г0, где ?0 = (n°/Gp0Y^C, причем
безразмерная плотность числа частиц в центре
1—Г/2
η = е"*о ^ е~*&х Y~e-V<x2 — 1 dx
eV„/2
зависит только от безразмерной температуры Τ. После такого выбора единиц
в задаче остается только один параметр Τ (не входят ни /тг, ни р0 ), a v0 =
= Vo (Τ).
Таким образом, используя только подобие, получаем важные
зависимости основных величин — радиуса системы i?, массы Μ и дефекта массы AM
от плотности в центре р0:
д=л/7;/2с-1/2Ф-1/%
М = Яг%*<Гч*<*£1*, (1.13)
AM = AMnt(!'G-3/'c*p;1/\
В этих формулах безразмерные величины, отмеченные тильдой, зависят
только от безразмерной температуры Т, численные их значения
определяются в результате интегрирования уравнений равновесия (1.12), записанных
в безразмерном виде.

42. Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс 21$
Результаты численного интегрирования представлены в таблице.
г
0,01
0,05
0,1
0,2 ,
0,22
0,25
0,27
0,27
0,25
0,22
0,15
0,1
0,1
0,125
0,135 1
п0
1,035·10-*β
7,494. ΙΟ"1*
5,820-Ю-6
4,538-Ю-3
9,571.10-3
3,070-Ю-2 |
7,836.10-2 1
0,1840
0,2416
0,2570
9,517-10-2
1,033.10-* 1
2,711.10-2
0,3281
0,6368
RnQ
0,0939
0,2162
0,3113
0,4818
0,5147
0,6015
0,7091
0,9210
1,141
1,485
2,911
6,552
12,29
14,97
15,03
Ήη^
4,682.10"*
5,208-ΙΟ"3
1,518-Ю-2
4,578-10-2
5,340-10-2
7,050-10-2
8,928-10-2
0,1151
0,1337
0,1544
0,2095
0,3185
0,5985
0,9062
0,9807
AMn0n
1,050-ΙΟ"6
!5,821.10-5
3,205-Ю"4
1,645-10-*
1,984-ΙΟ"3
2,519-Ю-3
2,524-ΙΟ"3
1,257-ΙΟ"3
—4,61 -ΙΟ"*
—2,16.10-8
—1,57. ΙΟ"3
5,45-ΙΟ"3
ι,οιίο-2
4,52.ΊΟ"3
7,88-Ю"4
Основной результат, необходимый для понимания эволюции системы,,
заключается в отсутствии статических решений при достаточно высокой
температуре, Τ > 7*Крит, причем 7*Крит = 0,273. Обзор других свойств решений
дан в дополнении.
2. НАПРАВЛЕНИЕ И СКОРОСТЬ ЭВОЛЮЦИИ
Испарение частиц приводит к увеличению плотности и температуры с
неизбежным достижением критической температуры и к последующему
быстрому коллапсу. Неизбежность достижения 7*Крит легко усмотреть, рассмат
ривая эволюцию в плоскости (М, М0). Каждой температуре Τ соответствует
прямая линия Μ (М0), эти прямые заполняют сектор от Μ = М0 для Τ = 0
до Μ = 0,964М0 для Τ = 7крит. При испарении «параболических»
(уходящих на бесконечность с нулевой скоростью) частиц dM/dM0 = 1 (или
AM = const), и 7*Крит достигается всегда, если начальное Τ > 0. В
действительности, испаряющиеся частицы «гиперболичны», dM/dM0^> I,
и эволюция идет еще быстрее.
На рис. 1 показаны кривые AM = const, описывающие эволюцию из
разреженного и холодного состояния.
Характерными новыми процессами, с которыми приходится иметь дело
в релятивистской задаче, являются гравитационное излучение и прилипание
частиц при парных столкновениях.
Начнем с излучения, зависящего от движения частиц в общем
(самосогласованном) поле тяготения. Поскольку при этом М0 = const в плоскости
(М, М0) этот процесс изображается вертикальным спуском вниз. Как
известно, мощность гравитационного излучения дается выражением
*=-в-гИЗ)·
(?·ΐ>

Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Ms
меним умножением на частоту
орбиты
W =
точно) ω = via. Получим окончательно
1 Gm*v*
Рис. 1
Эволюция в плоскости (М, р0)
Сплошные кривые — равновесные для разных
Г; пунктирные — дают эволюцию, идущую
слева направо и заканчивающуюся наТгкрит = 0,273
Подставим выражение квадруполь-
ного момента Q, связанного с
движением одной частицы, Q = та2, где
а — среднее расстояние частицы от
центра. Производные по времени за-
равную по порядку величины (для круговой
45
(2.2)
Теперь остается выразить средний радиус а через скорость частиц и число
частиц. По порядку величины
GMla = GNmla = ιΑ
Исключая а, найдем
W = ν46ί;10/(GiW).
(2.3)
Наконец, для того чтобы получить скорость потери энергии частицей,
имеющую размерность обратного времени, поделим W на кинетическую энергию
частицы:
1 2W 2 у8
mv*
45 GN^mc*
Сравним эту величину с частотой основного движения
ω = via = vs/(GNm),
1 = 2
ωτ 45
мя-
(2.4)
(2.5)
Таким образом, вследствие некогерентности излучения отдельных частиц,
даже при релятивистской скорости vie ~ 1, потеря энергии гравитационным
излучением есть медленный процесс, содержит множитель 1/7V и,
следовательно, происходит за время не меньше N оборотов. Релятивистское
столкновение двух частиц одинаковой массы до сих пор не рассмотрено точно.
В качестве первого приближения рассматривают движение пробной (легкой)
частицы в шварцшильдовом поле второй (тяжелой). Классификация орбит
была произведена С. А. Капланом [6]. Недавно обзор вопроса вместе с
рассмотрением гравитационного излучения был сделан И. Д. Новиковым и
одним из авторов [7].
При столкновении двух частиц с моментом порядка mcrg = 2Gm?/c
вместо гиперболической орбиты ньютоновской теории возникает спиральная
орбита, происходит падение частиц друг на друга. С точки зрения внешнего
наблюдателя частицы асимптотически сближаются на расстояние порядка
гравитационного радиуса. Этот процесс можно назвать слипанием. В баланс
энергии системы частиц как целого теперь будет входить только
кинетическая энергия движения центра тяжести двух частиц, но не энергия их отно-

42. Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс 213
сительного движения. Следовательно, с точки зрения системы теряется
энергия относительного движения частиц ~mv2/2; сечение, с которым
происходит этот процесс, определяется величиной прицельного параметра Ъ:
mvb = 2mcrg = 4С?яг2/с, b = 4:Gm/(vc), oc = nb2 = l6nG2m2/
/(v2c2). (2.6)
Обратное время изменения энергии, связанное со слипанием
l/τ = nacv, (2.7)
где η — концентрация частиц.
Выражая все величины через v, TV, m, получим
η = N/as = vQ/(GsN2ms), 1/τβ = l6nv5/(GN2mc2). (2.8)
Потеря энергии от гравитационного излучения, происходящего при
попарных столкновениях, быстро убывает с увеличением прицельного параметра.
Эта потеря при одном столкновении не превышает кинетической энергии
относительного движейия, иначе столкновение классифицируется как
слипание.
С учетом гравитационного излучения вероятность слипания
увеличивается. Однако заметное увеличение происходит лишь при таких v/c, когда
весь эффект мал; поэтому практически можно ограничиваться выражением
потери энергии при слипании в парном гравитационном излучении
dEjdt = —mv2Nl{2xc). (2.9)
Факторы эволюции, характерные для ОТО, нужно сравнить с основным
классическим фактором эволюции — испарением. Обратное характерное
время испарения порядка
1/τβ = noeve-ulQ = nanG2m2e~*v~b,
где множитель α эффективно учитывает далекие столкновения, а ~ 1
(показатель экспоненты заимствован из работы Амбарцумяна [1]).
Сравнение приводит к следующему результату: скорость эволюции от
испарения (е—evaporation), слипания (с — capture, захват) и излучения
(г — radiation) находится в отношении
W.:We:Wr = -b-:ib *.:-&-£
Как и следовало ожидать, эффекты ОТО малы, когда v/c<^ 1. Однако,
благодаря игре безразмерных численных коэффициентов, слипание
сравнивается с классическим испарением уже при vie ~ 0,04. Гравитационное
излучение, напротив, нигде не играет заметной роли.
Ускорение эволюции за счет слипания должно привести к тому, что в
статистическом ансамбле систем, эволюция которых по предположению
началась в разное время, уменьшится число систем с vie ^> 0,04.
3. КАТАСТРОФИЧЕСКОЕ СЖАТИЕ
После того как медленная эволюция подвела систему к критическому
состоянию, начинается катастрофическое сжатие. Ключом к пониманию
сжатия является рассмотрение свойств траекторий пробных частиц в шварц-
шильдовском поле точечной массы. Напомним, что при моменте меньше

214 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
определенного значения
/ = 2mrgc = AGmM/c
в ОТО нет финитной траектории. При этом последняя, критическая
круговая траектория имеет радиус, равный 3rg.
Рассмотрим пробную частицу, движущуюся по круговой траектории.
Пусть во время ее движения постепенно увеличивается масса частиц,
находящихся внутри данного шара, экватором которого является орбита. При
таком процессе момент пробной частицы остается постоянным, а сама орбита
постепенно сжимается. Однако после того, как соотношение между моментом
и массой внутри перейдет критическое, траектория пробной частицы
превратится в спираль. Заметим, что для такого срыва с круговой орбиты не
нужно, чтобы масса внутри была точечной или находилась бы под своим
гравитационным радиусом, поскольку радиус критической орбиты равен
утроенному гравитационному.
В задаче о движении частиц в своем самосогласованном поле срыв орбиты
одних частиц вызовет увеличение поля, действующего на другие частицы,
которые сорвутся в свою очередь, и т. д. Таким образом, произойдет
лавинообразное, катастрофическое сжатие системы, достигшей критического
состояния.
Вблизи критического состояния катастрофа развивается экспоненциально,
пропорционально exl%k с характерным временем тк порядка времени обращения
частицы по орбите. Следовательно, катастрофа происходит дейсавительно
гораздо быстрее эволюции — характерное время эволюции больше по крайней
мере в N раз, где N — число частиц.
Для катастрофы решающее значение имеет наличие квазиэллиптических
орбит, т. е. орбит, у которых различно максимальное и минимальное
расстояния частицы от центра.
В самом деле, представим себе систему, в которой все частицы движутся
по круговым орбитам; плоскости орбит распределены хаотически, так что
эта модель имеет сферически симметричное распределение плотности. Пусть
в результате столкновений отдельные частицы падают в центр и масса
внутри каждой сферы увеличивается. В результате этого какие-то орбиты
сг<Г! станут неустойчивы [6] и соответствующие частицы по спиралям
устремятся к центру: при этом, однако, масса, действующая на расстоянии
г^>гг, не увеличится, не произойдет лавинообразного нарастания
возмущения.
Если же частица, двигавшаяся между rinin <Ξ τ' <^ Гщах «сорвалась»,
перешла на спиральное движение, то этот срыв повлияет на все частицы, для
которых rmin < ''max, в свою очередь эти частицы повлияют на следующий
СЛОЙ чаСТИЦ С ГтШ < Гтах И Т. Д.
Эллиптические орбиты физически связывают между собой те слои,
которые эти орбиты пересекают.
Заметим, что изотропное распределение частиц в фазовом пространстве
Ν = Ν (η) обязательно предусматривает наличие эллиптических орбит.
Выше отмечалось, что такое распределение дает закон Паскаля —
изотропию давления. Компонента Т\, ответственная за перенос импульса вдоль
радиуса, зависит как раз от радиальных компонент импульса частиц. При
круговом движении этих компонент нет. Значит Т1 зависит именно от
эллиптических траекторий. Наглядно вполне очевидно, что именно передача дав-

42, Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс 215
ления через элементы поверхности сферы, перпендикулярные г, необходима
для того, чтобы могло произойти катастрофическое сжатие, когда внутренняя
часть системы не выдерживает веса внешней и сжимается под ее давлением.
Подобный расчет динамики катастрофического сжатия, т. е. коллапса
системы частиц весьма сложен. Задача труднее, чем нестационарная
гидродинамическая задача, так как в задаче о частицах состояния вещества в
каждой точке характеризуется не несколькими числами (плотность, давление,
температура, скорость), а функцией вектора импульса.
В почти равновесном состоянии можно было в хорошем приближении
считать функцию изотропной, т. е. зависящей только от величины, но не от
направления импульса, или, иными словами, от энергии.
В задаче о коллапсе изотропность заведомо нарушается. Конкретно
следует ожидать интересных качественных особенностей. Происходит быстрое
общее сжатие большей части массы.
Однако частицы, которые в начальном, почти равновесном состоянии
находились вблизи наружного края, на орбитах, близких к круговым,
останутся не вовлеченными в это сжатие. После сжатия эти частицы создают
облака, окружающие основную массу. Основная масса быстро сожмется до
своего гравитационного радиуса: выход частиц и излучения при этом быстро
асимптотически устремится к нулю [8, 9].Частицы облака будут лишь
постепенно, по законам медленной эволюции, падать на коллапсировавшую
массу.
Весьма желателен численный расчет такой модели.
4. ПРИМЕНИМОСТЬ МОДЕЛИ К СИСТЕМАМ ЗВЕЗД
Рещение строго поставленной задачи об эволюции системы точечных масс,
взаимодействующих только гравитационно, не полностью отвечает на
реальный вопрос об эволюции системы звезд.
Проведенное выше рассмотрение имеет в значительной мере методический
интерес, и выводы лишь с большой осторожностью могут быть перенесены на
астрономические объекты.
Средняя плотность системы в критическом состоянии соответствует
среднему расстоянию между звездами порядка
г = 2rgN*'*,
где rg гравитационный радиус звезды. Следовательно, при N большом
расстояние между звездами может быть достаточно большим, при этом, однако,
чем больше 7V, тем больше время эволюции, что снижает интерес к большим N.
Однако, каким бы ни было 7V, столкновения между звездами, ведущие
к эволюции системы, происходят со сближением до расстояний порядка
Gm/v2. В релятивистской области при vie ~ 1 расстояние сближения
становится порядка гравитационного радиуса.
Значит, даже в том случае, если частицы представляют собой белые
карлики или нейтронные звезды, размеры их таковы, что соударения нельзя
рассматривать как соударения точечных масс. При реальных соударениях
должно происходить мощное взаимодействие оболочек, выброс струй газа
и много других явлений, на которых останавливаться здесь неуместно.
Частично положение улучшается благодаря известному факту большой роли
далеких соударений при кулоновском или ньютоновском взаимодействии.

216 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Т/тс* Рис. 2
Совокупность равновесных решений
Сплошные участки — Δ Μ > 0, пунктирные — ΔΜ < О
Основной вывод работы — отсутствие
статических решений с «темперааурой» вы-
пп определенного предела, и смена
эволюции катастрофическим коллапсом,
по-видимому, останется в силе и при учете всех
осложняющих факторов.
Дополнение. Как видно из таблицы,
MVF'· 10~41 r3/z-cM_3/z ПРИ Достаточно высоких температурах
' решение многозначно. Повторные решения
расположены в ее нижней части. Оказывается возможным представить всю
совокупность результатов в виде одной функции. Обратим внимание на тог
что величина Мп^ (или MjApo) меняется монотонно, это позволяет
применять ее в качестве независимой переменной. На рис. 2 представлена
зависимость Т/тс2 от Μγρ0. В этих переменных обнаруживается удивительная
аналогия со статическими решениями для звезд, если на соответствующем
графике откладывать зависимость Μ от р0 при постоянной по всей звезде
энтропии [5, 10, 11]. __
В соответствии с указанной аналогией, например, величина АМУрд,
достигает максимального значения при Τ — Τννκτ, после чего уменьшается,,
обращается в нуль на падающей ветви кривой Τ (MjApo) и становится
отрицательной. _
При возрастании аргумента функция Τ не спадает монотонно, а
колеблется с уменьшением амплитуды. Эти колебания аналогичны колебаниям
функции Μ (р0) для звезд, обнаруженным впервые Н. А. Дмитриевым и
С. А. Холиным [12] в решении Оппенгеймера и Волкова.
Но в отличие от него здесь дефект массы не остается н дальнейшем всюду-
отрицательным, он положителен, например, на второй восходящей ветви
кривой Τ (Μγρ0). Пунктиром обозначены части кривой с AM < 0.
Можно показать, что математическая природа колебаний в обоих случаях
одна и та же. Н. А. Дмитриев и С. А. Холин показали, что при больших р0,
где уравнение состояния газа р0 = αε, исследование системы уравнений
равновесия может быть сведено к исследованию одного уравнения первого
порядка. Это уравнение имеет особую точку — фокус, и навивание
интегральной кривой вокруг него обусловливает колебания Μ (ρ0). Нетрудно видеть,
что для нашего «газа» предельное уравнение состояния при больших ή
(или больших е~*) можно записать в виде
ρ = V3e-2vcp (Τ), ε = <г*Чр (Τ), η = e~'^ (Τ),
т. е. наш «газ» ведет себя как ультрарелятивистский газ 3, для которого у =
= 4/3. При помощи уравнения состояния из уравнений равновесия можно
получить в точности такое же уравнение первого порядка, которое
исследовалось в [12].
Как и в случае звезд, по-видимому, можно утверждать, что решения,
отвечающие первой восходящей ветви кривой Τ (Μ jApo), устойчивы. Точ-
3 В другом предельном случае при ή —» 0 оказывается у = 5/3►

42, Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс 217
ке Τ = ^крит отвечает безразличное равновесие, решения при больших
M]fp0 неустойчивы, причем после каждого последующего экстремума
кривой Τ (Μ ]/"ро) появляется новый вид неустойчивости [12].
Поступила в редакцию
13 января 1965 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Амбарцумян В. А.— Учен. зап. ЛГУ, 1938, т. 22, с. 19.
2. Гуревич Л. Э.— Вопр. космогонии, 1954, т. 11, с. 151.
3. Michce Я. W., Bodenheimer Р. Я.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1963, vol. 425.
p. 127; 1963, vol. 126, p. 278.
4. Tauber G. £., Weinberg /. W.— Phys. Rev., 1961, vol. 122, p. 4.
5. Oppenheimer /. #., Volkoff G. Я.— Phys. Rev., 1939, vol. 55, p. 374.
6. Каплан С. Α.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1949, т. 19, с. 851.
7. Зельдович Я. Я., Новиков Я. Д\— Докл. АН СССР, 1963, т. 155, с. 1033.
8. Зельдович Я. Я., Подурец Μ. Α.— Докл. АН СССР, 1964, т. 156, с. 57.
9. Подурец М. А.— Астрон. журн., 1964, т. 41, с. 1091.
10. Зельдович Я. Б.— Вопр. космогонии, 1963, т. 9, с. 157.
11. Амбарцумян В. А,, Саакян Г. С.— Вопр. космогонии, 1963, т. 9, с. 91.
12. Дмитриев Я. Л., Холин С. А.— Вопр. космогонии, 1963, т. 9, с. 254.
13. Зельдович Я. Я.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1962, т. 42, с. 1641; Зельдович
Я .Я., Новиков Я. Д.— Успехи физ. наук, 1964, т. 84, с. 377.
КОММЕНТАРИЙ
Системы точечных масс в собственном самосогласованном поле тяготения (в
самосогласованной метрике) рассматриваются давно, с первых лет возникновения ОТО.
Особенность комментируемой работы состоит в том, что рассматривается эволюция такой
системы, притом без искусственных предположений о круговых орбитах. Вывод авторов
о релятивистском коллапсе] на поздних стадиях эволюции бесспорен и остается в силе
в настоящее время.
Этот вывод имеет важнейшее значение для астрофизики в целом, так как ядра
квазаров (а в некоторых случаях и ядра галактик) представляют собой черные дыры с
большой массой. Есть все основания предполагать, что такие черные дыры образовались не
путем коллапса одной сверхмассивной газовой сверхзвезды, а именно путем коллапса
скопления индивидуальных звезд. В комментируемой работе рассматривается коллапс
за счет испарения звезд, уносящих энергию больше средней, и за счет гравитационного
излучения звезд при столкновении. Более поздние работы выяснили, что для скопления,
состоящего из обычных звезд (не нейтронных и не черных дыр массой порядка 3—30 МэВ),
столкновение оболочек звезд играет большую роль. Наконец, с сожалением надо
отметить, что идея объяснения феномена квазаров аккрецией на сверхмассивную черную
дыру возникла не в группе ЯБ, хотя все отдельные слагаемые этой идеи обсуждались в
различных аспектах.
В группе Я Б последовало построение математических моделей скоплений звезд с
большим гравитационным красным смещением (см. труды ЯБ и М. А. Подурца1*,
Г. С. Бисноватого-Когана 2*). Однако такие конфигурации должны быть короткоживу-
щими и не могут быть интересны для астрофизики. В действительности большое красное
смещение у гравитационного радиуса черной дыры является источником энергии
аккрецирующего вещества, но затем большая часть этой энергии перерабатывается во внешней
газовой оболочке с малым гравитационным смещением. Этой картины в комментируемой
статье нет.
х* Зельдович Я. Я., Подурец М. Л.— Астрофизика, 1968, т. 5, с. 223—234.
2* Бисноватый-Коган Г. С., Зельдович Я. Б.— Астрофизика, 1969, т. 5, с. 223—234.

218 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
43
КОЛЛАПСИРОВАВШИЕ ЗВЕЗДЫ В СОСТАВЕ
ДВОЙНЫХ*
(совместно с О. X. Гусейновым)
В работе предлагается способ обнаружения коллапсированных звезд
в составе спектрально-Двойных звезд. Среди спектрально-двойных систем
с невидимыми спутниками выбраны несколько пар, в которых можно
предполагать, что их компоненты являются коллапсировавшими звездами.
Коллапсировавшие звезды (КЗ), существование которых предсказывает
общая теория относительности, могут быть обнаружены лишь по их
гравитационному полю (см. обзор и ссылки на оригинальную литературу в [1]).
Сравнение общей массы скопления с массой видимых звезд с целью
определения массы КЗ весьма неубедительно ввиду ненадежности определения масс.
Желательно найти индивидуальную КЗ. Это, в принципе, можно сделать,
если КЗ входит в состав двойной в паре с обычной звездой (03).
Просмотр литературы [2] позволил выбрать среди спектрально-двойных
звезд с невидимыми спутниками несколько пар, в которых можно
предполагать, что спутник является КЗ. Приводим данные для этих пар (см. таблицу).
В первых двух столбцах помещены справочные данные — название звезды и
ее координаты. Затем следуют наблюдательные данные — видимая
величина т и спектральный класс наблюдаемой звезды, период двойной р,
половина амплитуды периодического изменения скорости Кг, и вычисленные с
помощью небесной механики а^ sin i — проекции большой полуоси орбиты на
картинную плоскость и MF = $П% sin3 il(^R1 + Ж2)2 в 20?Θ, индекс 1
относится к 03, индекс 2 — к КЗ. Следующие величины определяются весьма
ненадежно: по спектральному классу и классу светимости находим массу 03
Шг. Предполагая наклонение ί = 90°, 'Sin3 ί = 1, находим массу КЗ ЗГО2·
Величины 2Э?2 вычислены для среднего значения sin3 i = 2/3. И, наконец,
приводится абсолютный параллакс π. Отметим, что предположение i = 90°
при данных MF и Жх дает минимальное значение массы второй звезды.
В парах, приведенных в таблице, невидимый спутник имеет массу 30?2
больше, чем масса наблюдаемой обычной звезды З)^. Можно высказать гипотезу,
что невидимые компоненты указанных спектрально-двойных звезд являются
КЗ. Можно считать, что невидимая компонента последней звезды таблицы
является нейтронной.
Однако сделанный вывод отнюдь не является категорическим. По
замечанию И. Д. Новикова, невидимая компонента спектрально-двойной
системы может давать спектр без заметных на фотографии спектральных линий и
«невидима» лишь в этом смысле. Л. И. Снежко отмечает, что в состав двойных
часто входят звезды, прошедшие стадию гиганта, сбросив^пие водородную
оболочку и сжигающие гелий. В этом случае светимость 03 гораздо больше,
чем на главной последовательности1, и вторая — невидимая — звезда может
находиться на главной последовательности и тем не менее быть невидимой по
* Астрономический журнал, 1966, т. 43, № 2, с. 313—315.
1 Такая ситуация довольно часто отмечается среди двойных звезд [10].

43. Коллапсировавшие звезды в составе двойных
219

Литературный
источник
I
*в
1 v«
i
й
•2 i
"и
·** о
υ
*1
ag
a
i
о
«О
о
ё
Звезда
% \
со »* io со с- оо 'а\
^ СМ
со" оо о
сГю со
оо
1 оо
СО «^ CM^tf
05 05 05 00 00 t>. тн
СМ ^Н ^гч
СО СМ
^н ^н СМ1>. 05 СМ
t>. см ю ^ см ю ^н
СМ ^н ^н
^ СО ЧР
■^ О Μ О СО N тн
тн ^н ^н
^ СО 0000
СМ «^ СМ ООЮ
t>. Ч^ Ю CD СО ^ ГМ
счГо'^^'сГ-чн'о 1
Т-1
со см
- ι Ч
feoo^tf ' 05 ;ОЮ
°°см^ со смсм
Ю СМ тН1Л
^„«l о S S3
£г ^ оо
о^ t>. сосм ю
t^ О 05 тч СО sfi ^Г
СМ ^н Ю СМЮ тню
!>· со ю см
°0 гм |
05 0О СО 2 тн Т1 00
pqpq <;>о^ьц
со ю οι Ι
t>^^t>^t>. ю см оо
ι> οο ο· σΓ^Γ^Γΐο*
C^ CO CM CO t^ ^н t^
^н Ю -^н 00 О 00 CM
COO· CM 00 О CO ^
g COlONCOOo'lN
СОО^тнОтНгн
< ю^ооооос^
^JOOCM CM-rH ^н
ОЭ 00
ОЭ sq OOCM
t^^oooo^
^Ho CO^ &ctf ^
^н CM 00 ^ Ю CO t>-
контрасту с более яркой (хотя и менее массивной)
первой.
В спектре первой звезды — HD 187399
наблюдаются линии поглощения водорода, смещенные в
сторону отрицательных скоростей, которые автор
приписывает разлетающемуся облаку водорода,
окружающему орбиту двойной звезды. В случае третьей
звезды — HD 30353 авторы отмечают бедность
звезды водородом и необычайно большое значение
функции масс. Относительно звезды +40° 1196
известно, что движение, определяемое по водороду,
кальцию и железу, сильно различается.
Главная задача предлагаемой заметки —
привлечь внимание наблюдателей к указанным выше
(и аналогичным) объектам. Наряду с тщательным
изучением спектра было бы весьма важно определить
параллакс рассматриваемых звезд или хотя бы его
нижнюю границу. Зная расстояние до звезды, можно
было бы определить ее абсолютную величину и
выяснить, может ли вторая звезда быть невидимой по
тривиальной причине, из-за аномально большой
светимости первой. В последних случаях [5—7], где
параллакс известен, мы нашли т2 — видимую
величину, которую имела бы звезда массы Ф12> если бы
она находилась на главной последовательности.
Эта величина определена очень грубо, так как на
возможные ошибки при определении массы 2Э?2 здесь
наложены еще возможные неточности значений
параллаксов, например, из-за неправильного учета
собственного движения 03.
Можно пытаться обнаружить собственное
движение звезды (порядка 0",01 — на грани точности
наблюдения), а также с помощью интерферометра
Майкельсона проверить, не является ли звезда
визуально-двойной. Можно искать специфические
явления, связанные с движением газа в поле КЗ [1].
Доказательство реального существования хотя бы
одной коллапсировавшей звезды имело бы большое
принципиальное значение для всей теории эволюции
звезд 2. Даже отрицательный результат, т. е.
объяснение всех рассматриваемых пар без привлечения
КЗ представляет определенный интерес: из
статистических сопоставлений можно будет сделать вывод,
что эволюция звезд большой массы не приводит
к состоянию коллапсировавшей звезды, очевидно,
вследствие закономерностей потери массы на
определенных стадиях эволюции 3; начало коллапса
может затянуться также из-за вращения звезд, на что
2 Возможность обнаружения коллапса по испусканию
энергичных нейтрино рассмотрена в [11].
3 Такую возможность обсуждал, например, А. Камерон [12].

220 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
уже указывает большое число видимых и затменных пар по сравнению
с подозреваемыми нами КЗ среди звезд с массами больше 2ΜΘ. В работе
[13] отмечается, что наличие белых карликов в молодых скоплениях (и, в
частности, в составе двойных звезд) указывает на возможность сброса массы,
протекающего за время порядка ΙΟ4—105 лет.
В заключение нужно снова подчеркнуть большую принципиальную
важность обнаружения коллапсировавшей звезды. В силу этого каждый случай,
в котором имеется вероятность доказать наличие такого необычного объекта,
должен стать предметом тщательного и всестороннего критического
изучения.
Выражаем благодарность за помощь и дискуссии П. Г. Куликовскому
И. Д. Новикову и Л. И. Снежко.
Поступила в редакцию
18 октября 1965 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зельдович Я. £., Новиков И. Д.— Успехи физ. наук, 1964, т. 83 (3), с. 377; 1985,
т. 86 (3), с. 447.
2. Becvar Α.— Atlas coeli, Π, 1959; Hoore I. H., Neubauer F. I.— Lick. Observ. Bull.,
1948, vol. 20, N 521.
3. Merrill P. W.— Astrophys, J., 1949, vol. 110, p. 59.
4. Melustey S. W.— Astrophys. J. Suppl., 1959, vol. 4, p. 35; Schmidt-Naler Т.— Ye-
roff. Univ. Sternwarte Boon, 1964, N 70; Merrill W.— Astrophys. J., 1934, vol. 79,
p. 343.
5. Heard J. E., Boshko O.— Astrophys. J., 1955, vol. 121, p. 192; Heard J. E.— Pubis D.
Dunlap Observ. Univ. Toronto, 1962, vol. 2, N 9, p. 269.
6. Hilther W. Α.— Astrophys. J., 1945, vol. 101, p. 356.
7. Harper W. E.— Victoria Pubis, 1924, vol. 3, N 8, p. 189.
8. Bateson F. M., Jones A. F., PhilpottD. A,— Circ. NZAS, 1960, N 107.
9. Bouigne #.— Ton. Ann. 1957, vol. 25, p. 69.
10. Sahade Iorge.— In: Modeles (Tetoiles et evolution stellaire. Liege, 1960, vol. 16, p. 76.
11. Зельдович Я. Б., Гусейнов О. X.— Докл. АН СССР, 1965, т. 162, № 4, с. 791.
12. Kameron A. G.— In: Modeles d'etoiles et evolution stellaire. Liege, 1960, vol. 16, p. 76.
13. Auer L. #., Wolf,N. /.— Astrophys. J., 1965, vol. 142, p. 182.
КОММЕНТАРИЙ
Работа, вызвавшая в свое время громадный резонанс и способствовавшая постановке
большого числа наблюдательных программ в ряде обсерваторий. Следуя идеям
комментируемой статьи, В. Тримбл и К. Торн 1# составили обширный список «кандидатов в
черные дыры».
Следует тем не менее отметить, что благодаря успехам рентгеновской астрономии
поиск черных дыр пошел иным путем.
Однако для того, чтобы отличить черную дыру от нейтронной звезды, и в настоящее
время пользуются критерием массы, превышающей определенный предел, около 3 масс
Солнца.
Вместе с замечанием о роли аккреции на нейтронные звезды (см. статью 44)
комментируемая работа стимулировала теорию и наблюдения конечных продуктов эволюции»
х* Trimble V. L., Thome К. S,— Astrophys. J., 1969, vol. 156, p. 1013.

44. Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду 221
44
РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ АККРЕЦИИ ГАЗА
НА НЕЙТРОННУЮ ЗВЕЗДУ*
(совместно с Н. И. Шакурой)
Рассматривается аккреция газа нейтронной звездой и спектр излучения,
возникающий при этом. Все рассмотрение проводится в сферически
симметричном случае. Дан последовательный, внутренне согласованный
метод расчета физических параметров атмосферы нейтронной звезды и
электромагнитного спектра излучения.
Расчет ведется в двух предположениях о длине пробега падающих
протонов: 1) при торможении протонов парными столкновениями с
частицами атмосферы и 2) с учетом коллективных плазменных колебаний,
сокращающих пробег. Рассчитанный спектр излучения существенно отличается от
планковской кривой, особенно во втором случае.
ВВЕДЕНИЕ
Нейтронные звезды (далее НЗ) родились на кончике пера теоретиков
более 30 лет назад, однако до сих пор нет убедительного отождествления
таких звезд; то же относится и к звездам в состоянии релятивистского
коллапса.
По расчетам НЗ образуются в результате катастрофического сжатия
в состоянии интенсивных колебаний и с высокой температурой. О начальном
состоянии в момент потери устойчивости (перед катастрофой) сказано в
работах [1, 2]. Однако тепло быстро рассеивается излучением нейтрино [3],
колебания также быстро затухают вследствие гравитационного излучения [4].
Аккреция газа из окружающего пространства способна обеспечить весьма
длительное поддержание рентгеновского излучения НЗ.
Продолжительность жизни НЗ, вычисленная как время, за которое масса
ее увеличивается, например, от 1 до 1,5 Af©, составляет 3-108 лет при
светимости L = 1037 эрг/с. Выделение энергии на единицу массы упавшего
вещества равно гравитационному потенциалу на поверхности порядка 0,1 -~
ч- 0,2 с2, т. е. в 10—20 раз превышает выделение энергии при ядерных
реакциях. Эти соображения были высказаны еще в 1964 г., тогда же была
отмечена своеобразная саморегулировка аккреции: давление светового потока
ограничивает скорость аккреции величиной порядка 1,5·1Ο"8Λί0 в годг
чему соответствует «критическая» светимость Lc ~ 6-104 Lc для НЗ с Μ ~
~ ΜΘ.
Отмечалось, что наряду с межзвездным газом, аккреции может
подвергаться часть газа, выброшенная в момент рождения НЗ, или газ истекающий
из второй компоненты, если НЗ входит в состав двойной системы [5—8].
И. С. Шкловский [9] анализирует излучение Sco X-1, представляя его
как тормозное излучение оптически тонких слоев газа различной
температуры. Он претендует на доказательство механизма аккреции газа в двойной
звезде непосредственно из наблюдательных данных и, стало быть,
независимо от предшествующих теоретических гипотез.
* Астрономический журнал, 1969, т. 46, № 2, с. 225—236#

222 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
А. Камерон и М. Мок [10] рассматривали аккрецию на белых карликах и
отметили, что и в этом случае может излучаться мягкий рентген. Как
нетрудно убедиться, время жизни при этом должно быть существенно
меньше, порядка 3-105лет при L — 1037 эрг/с, так как гравитационный
потенциал меньше на поверхности карлика, чем у НЗ. Возможно, что
вспышки ядерной реакции и сброс газа [11] удлиняют этот срок.
В последнее время рассматривается [12] генерация быстрых частиц и
плазменных колебаний при аккреции газа на НЗ в связи с неустойчивостью
при L — Lc. Этот механизм привлекается для объяснения компактного
радиоисточщгка в Крабовидной туманйости.
Чтобы закончить обзор, отметим своеобразие аккреции на коллапсирую-
щую («застывшую») звезду [7]; в этом случае сферически симметричная
аккреция в гидродинамическом приближении вообще не сопровождается
выделением энергии!
Заметим еще, что аккрецию имеет смысл рассматривать только для
звезд, которые находятся на заключительной стадии своей эволюции, так
как в случае звезд, источником энергии которых является ядерное горение,
имеет место явление, обратное аккреции,— «звездный ветер».
Из краткого обзора видно большое разнообразие проявлений аккреции.
Вместе с тем, до последнего времени нет точных решений хотя бы самых
простых, идеализированных задач.
В настоящей статье рассматривается аккреция газа на НЗ и излучение,
возникающее при этом. Все рассмотрение проводится в простейшем
идеализированном случае сферически-симметричного движения газа. Задаваясь
законом торможения падающих частиц, находим распределение температуры,
плотности и давления в слое, в котором происходит торможение частиц.
Затем находим спектр излучения, выходящего наружу. Расчет ведется
в двух предположениях: 1) при торможении частиц столкновениями и
2) с учетом плазменной неустойчивости, сокращающей пробег.
Не учитывается влияние магнитного поля как вмороженного в падающий
газ, так и поля звезды. Предполагается, что L <C Lc, так что можно
пренебречь влиянием излучения на падающий поток и обратным влиянием
разреженного падающего газа на спектр излучения. Предварительное сообщение
о результатах было сделано на XIII съезде MAC [13].
1. УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ЭНЕРГИИ,
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ И ПЛОТНОСТИ
rice численные расчеты носят оценочный характер и проводятся для НЗ
с Μ ~ М©, R — 106 см и светимостей Ьг = 1,3 -1037 эрг/с или L2 = 1,3·
•1036 эрг/с, что составляет соответственно 0,1 и 0,01 от критической
светимости. На поверхность НЗ падает поток ионизированного водорода; по закону
свободного падения скорость потока ν = ]/ 2GM/R достигает ~0,5 с. Поток
массы dM/dt = AnpvR2 = ΙΟ17 — 1016 г/с, соответствующая плотность в
падающем потоке у поверхности — 5·10"7 или 5·10~8 г/см3.
Тормозясь в атмосфере НЗ, поток отдает свою кинетическую энергию,
которая перерабатывается в излучение. Легко дать крайние оценки темцера-
туры. В лабораторных условиях, когда поток наталкивается на препятствие,
образуется ударная волна, кинетическая энергия превращается в тепловую,
излучение происходит медленно. В этом приближении найдем температуру
по адиабате Гюгонио Τ = 1012 К. Другую оценку получим из энергетическо-

44, Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду 223
го баланса, положив, что НЗ излучает как черное тело:
L = ΐΐτ = 4jxi?2b7lff, ъ = 5,75- ΙΟ"5 эрг/(см2. град4).
Отсюда имеем Teff = 1,15·107 К для L = 0,1 Lc или Teff = 6,5·106 Κ
для L = 0,01 Lc.
Огромное расхождение между двумя оценками показывает, насколько
важна задача детального исследования явления. Суть задачи заключается
в том, что протоны падающего потока тормозятся не мгновенно. Они отдают
свою энергию сравнительно протяженному слою атмосферы. Рассмотрим
тепловой баланс этого слоя, точнее — электронов, находящихся в слое. Они
получают энергию от падающих протонов (прямо или через протоны слоя,
получившие энергию от падающих протонов); отдают электроны энергию
тормозным излучением или через обратный комптон-эффект.
оо
Введем у =\ p(x)dx, у имеет смысл количества вещества, лежащего над
данной точкой; в интеграл входит плотность ρ (χ) практически покоящегося
вещества атмосферы НЗ.
Не конкретизируя пока длину пробега падающих частиц, положим ее
равной у0.
Тогда в первом приближении выделение энергии на 1 г вещества
атмосферы W = Q/y0 при у < у0 и W = 0 при у > у0, Q = L/AnR2 — поток
энергии на единицу поверхности звезды.Тепловой баланс электронов
определяется приходом энергии W и расходом на тормозное излучение
W' = 5.1020/7;р (1.1)
и на комптонизацию, т. е. изменение энергии квантов при рассеянии на
максвелловских электронах [14, 15],
W = 4есос кТе/(тртес*); (1.2)
ε — плотность лучистой энергии, ос = 6,65· 10"25 см2.
Эти выражения не учитывают обратных процессов. Очевидно, что в поле
равновесного излучения с Тф = Те W = W" = 0. Учтем обратные
процессы, вводя эффективные температуры излучения Tf и Т"', тогда уравнение
баланса имеет вид
Q/y0 = 5.1020 γΤβρ (1 - Т'/Т9) + 6,5εΓβ (1 - Г1Те). (1.3)
Величины Т' и Т" зависят от спектра излучения, однако ниже, в первом
приближении, примем Т' = Т" = Тф =γ ε/α; а = 7,8· 10"15 эрг/(см3-град4).
Плотность лучистой энергии определяется из уравнения диффузии
9 = Q (У — УоУУо = — cdz/(3Gdy), у < у0, (1.4)
σ = 0,38 см2/г — непрозрачность полностью ионизированной плазмы, q —
поток лучистой энергии. При у > у0 д = 0ие = const. Для полностью
ионизированной водородной плазмы уравнение справедливо независимо от
спектра излучения.

224
Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Полагая на границе атмосферы при у = 0 ε = |ЛЗ(?/с, имеем
ε = τ-{"^3 +4-аЦ> у>уо.
В глубине при у^>у0 устанавливается полное термодинамическое
равновесие с температурой, которую находим из условия ε = αΓ4. Используя
<1.5), найдем, что при у ;> у0 Τ ~ L1/*^*. На поверхности ρ -► О, W -+0
Рис. 1
Распределение температуры электронов в
атмосфере НЗ
Кривая 1 — для светимости Lt = 1,3-1037 эрг/с,
кривая 2 — для светимости L2 = 1,3-103β эрг/с;
пунктиром обозначены эффективные температуры,
вычисленные из общего энергетического баланса;
принято у0 = 20 г/см2
температура электронов определяется комптонизацией и не зависит от
светимости, так как ε ~ Q ~ L.
Распределение плотности вещества найдем тривиально, пользуясь
уравнением гидростатического равновесия:
Ρ = 2pkT/mp = (GM/R* + p0vVy0) у, 0 < у < у0;
Ρ = 2pkT/mp = GMy/R* + p0v*, у > y0. (16)
Первый член суммы обусловлен весом вещества атмосферы, второй —
импульсом, который отдают падающие частицы в слое у0.
Теперь, задавая поток у поверхности Q = 1024 эрг/(см2-с) или () =
= 1023 эрг/(см2-с) и длину пробега ι/0, получим распределение температуры и
плотности в атмосфере НЗ. Определение значения у0 является основной
трудностью задачи.
1а. Торможение протонов столкновениями отдельных частиц.
Кинетическая энергия падающих протонов может меняться в широких пределах
в зависимости от гравитационного потенциала НЗ. Для массы —ΜΘ, Ер ~
— 100—300 МэВ. Длины пробега таких протонов в полностью ионизованной
плазме определяются кулоновскими столкновениями и составляют у0 ~
~ 5 -г- 30 г/см2. Для численных расчетов возьмем у0 — 20 г/см2. Так как
на глубине Τ ~ г//4, то другое значение у0 несущественно изменит
физические условия при у^> у0, а на поверхности температура электронов от у0
не зависит. Правда, при малых у0 увеличивается доля комптонизации в
энергообмене и это сказывается на выходящем спектре, однако влияние
комптонизации мы учтем в другом предельном случае (п. 16). Для у0 ~ 20 г/см2
на глубине при у^>у0 имеем Тг = 1,5-107 К или Т2 = 8,6-106 К для
принятых светимостей. Температура электронов на поверхности в обоих случаях
~108 К. Распределение температуры в слое у0 получим, численно решая
уравнения (1.3), (1.5), (1.6). Результаты вычислений приведены на рис. 1,
здесь же отмечены эффективные температуры, полученные из общих энерге-
*1 ι I 1 | |
10 1 0,1 0,01 у. г/см2

44. Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду 225
тических оценок. Эффективность η равна:
Уо
r\=§Wdy)/Q. α.7)
О
Введем величину, которая показывает долю энергии, отдаваемой
электронами на комптонизацию. Для у0 >— 20 г/см2 η < 0,05 при Lx = 0,1LC или
η < 0,01 при L2 = 0,01 Lc, т. е. вклад комптонизации в общий теплообмен
невелик и соответственно мало влияние комптонизации на выходящее
излучение.
16. Влияние плазменных колебаний. Известно, что при прохождении
пучка заряженных частиц через плазму в последней появляются плазменные
колебания, в основном на ленгмюровской частоте vnjl = Yne2n/ime,
которые эффективно взаимодействуют с ионами пучка и тормозят его.
Сокращение длины пробега, вызванное плазменными неустойчивостями,
приведет к повышению температуры электронов. Можно предположить, что
рост температуры ограничен тем, что при vTe > ν = \f2GMIR скорость
генерации плазменных колебаний резко падает, и плазменные колебания
подвергаются поглощению Ландау [16]. Ниже принимаем, что
устанавливается такой режим плазменных колебаний и такое ι/0, при которых vTe = ν =
= Y2GM/R. Температура электронов, определяемая этим условием,
θ ~109 К.
Путь торможения найдем из условия, что нагрев и потери на излучение
и комптонизацию проходят при данной температуре θ. Используя (1.3), (1.5),
(1.6) и фиксируя во всем слое у0в = 109 К, получим у0 — 2 г/см2.
Температуру вещества в глубине при у ^> у0 определяем как и раньше —
Τ = }/~г/а. Это даст Тг = 1,1-107 К или Т2 = 6-106 К для разных свети-
мостей.
Таким образом, в этом случае температура в поверхностном слое
возрастает почти на порядок, при этом увеличивается доля комптонизации
(η = 0,96 для Ζ/χ или η ~ 0,7 для L2) и появляются жесткие рентгеновские
кванты с энергией 50—100 кэВ (тормозное издучение горячего слоя).
Выходящий спектр оказывается существенно непланковским#
2. СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ
В реальной атмосфере выходящий поток излучения определяется
решением интегродифференциального уравнения переноса с учетом изменения
частоты при рассеянии. Однако с вполне удовлетворительным приближением
атмосферу звезды можно разделить на относительно «холодное»
полупространство сГ^ 107 К и тонкий горячий слой с θ ~ 108 или 109 К в
зависимости от длины пробега у0. Поток, излучаемый изотермическим
полупространством с относительно низкой температурой излучения, комптонизуется на
горячих электронах тонкого слоя; к этому добавляется собственное
излучение горячего слоя.
Легко убедиться, что для большей части рентгеновского спектра в
атмосфере НЗ коэффициент рассеяния на свободных электронах σ = 0,38 см2/г
во много раз превышает истинный коэффициент поглощения, который здесь
определяется свободно-свободными переходами
κυ = 1,14.1056-ί^ рсм2/г. (2.1)
8 Я. Б. Зельдович

226 Часть вторая. VI, Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
С учетом рассеяния поток излучения из изотермического однородного
полупространства
Fv χ πΒν (Τ) У κν/(σ + κν") (2.2)
и в виновской области, где hv ^> кТ (именно в этой области неравенство
σ/κν 2§> 1 выполняется с большим запасом) Fv ~ v3/2e~hv/fer, для сравнения,
поток излучения от черного тела (а = 0) Fv ~ v3e~hv/kT. Однако атмосфера
НЗ не является однородной, плотность очень быстро растет с глубиной. Это
обстоятельство несколько смягчает влияние рассеяния, и Fv ~ v2e~hv/fer.
Расчет спектра в эддингтоновском приближении при σ ^> κν Дан в
приложении 1. При а < κν полупространство излучает как черное тело. В нашем
случае это условие выполняется в области частот hv < кТ.
Точное решение задачи о спектре с учетом изменения частоты при
рассеянии весьма затруднительно: задача формулируется как интегральное
уравнение для функции координат (х) и волнового вектора фотона; в плоской
задаче F (χ, ρ, μ), где/? — модуль волнового вектора, μ = pjp = cos (ρ, χ)
Без изменения частоты для каждого ρ функция Fv (χ, μ) находится
независимо, и хорошо известны весьма эффективные методы.
Ниже предлагается приближенный метод, в котором используется
решение задачи о рассеянии с изменением частоты в нестационарном, но
пространственно однородном случае, т. е. для F (/?, t).
Точная задача включает в себя определение времени τ пребывания
квантов в зоне высокой температуры; в данной геометрии можно говорить о
распределении квантов по величине τ. Ниже это распределение заменим одной
средней величиной τ и используем решение однородной задачи F (ρ, τ).
Значение τ найдем из энергетических соображений. Выше было показано,
что, даже не зная спектра, можно найти энергию, отдаваемую электронами
путем комптонизации.
Задача о комптонизации излучения в однородной среде при рассеянии на
электронах, средняя энергия которых во много раз больше средней энергии
квантов, имеет аналитическое решение [17]. Изменение спектра зависит от
единственной величины t = xkTe/mec2 или в общем случае переменной тем-
пературы t = -^ \ Τ dt.
е С
Через эту величину выражается также изменение полной энергии
излучения в единице объема: F2 (t2) = e^Fx (ίχ).
Отождествим в задаче об излучении атмосферы величину F2 с полным
потоком излучения, выходящим из горячего слоя наружу, а величину Ft —
с потоком излучения, рождающегося в холодном полупространстве и
выходящего в горячий слой. Отсюда находим эффективное значение t, которое
используем для того, чтобы преобразовать спектр излучения холодного слоя;
после комптонизации окончательно получим выходящий спектр:
оо
F2 (v)=l К (ν, ν', t) Fx (ν') dv, (2.3)
ln-r + 3i I
где
121
ΜνΗ-' L"v
exp
4f

44. Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду 227
W32
If ю3'
U
2 1П30
со
па
а:
5 ""
т2в
- L=1,d-W36dvz/c
j/r2z/mi
- \
>\
III I I III l l.Ml
/.=7,3 /Лрг/с
y~Z0z/ctf
1 10
100 1
a
III I I 111 I I
Г J/
//
1 III 1
*Л=1,д 10д7эрг/с
\y0~2z/CMz
\\
\\
\\
\\
\\
\\
III I I III
Л=7}д-7037эрг/с
u/ff~Z0z/mi
J 10 100 1
б
ill ι ι ill ι ι
10
ГкзВ
Puc. 2
Распределения энергии в спектре НЗ, вычисленные для разных значений параметров L
и у о
Пунктирные кривые — распределение энергии в спектре черного тела равной общей светимости
Все математические подробности см. в приложении 2. Качественно влияние
комптонизации на горячих электронах заключается в перераспределении
квантов, причем уменьшается число мягких квантов и увеличивается за счет
этого число жестких квантов.
Однако в области еще более жесткой главную роль играет тормозное
излучение горячего слоя, как это видно из рис. 2.
3. ПЛАЗМЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
В оптической, инфракрасной и радиообласти излучение нагретого
ионизированного газа мало уже в силу того, что оно не может превосходить
равновесное излучение, подчиняющееся формуле Рэлея—Джинса hv <^
<^ кТ. Несмотря на высокую температуру, общий поток низкочастотного
излучения мал, так как мала поверхность НЗ; то обстоятельство, что НЗ
может оказаться рентгеновской, но оптически невидимой звездой,
отмечалось ранее (В. А. Амбарцумяном, Г. С. Саакяном [18]).
С другой стороны, очевидно, что именно в области низких частот
когерентные механизмы излучения могут играть решающую роль. В связи с этим
нужно рассмотреть вопрос о плазменных неустойчивостях в предлагаемой
картине явления. Как известно, такие неустойчивости появляются
практически при любых отклонениях от статистического равновесия. В падающем
потоке в сферической задаче есть побудительная причина, вызывающая
отклонение от максвелловского распределения: элемент объема плазмы при
свободном падении вытягивается вдоль радиуса и сжимается в
перпендикулярном направлении. В бесстолкновительной задаче распределение частиц
в импульсном пространстве становится анизотропным (это замечание
заимствовано у Р. 3. Сагдеева, который высказал его применительно к
«солнечному ветру»).
Однако в нашем случае столкновения электронов с квантами, т. е. ком-
птон-эффект, не только поддерживают на постоянном уровне, порядка
1 кэВ, температуру электронов в падающем потоке, но и обеспечивают их
изотропное максвелловское распределение. Можно предполагать, что
в падающем потоке нет сильных плазменных колебаний.
8*

228 Часть вторая» VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
В атмосфере под действием падающего потока, вероятно, возбуждены
сильные плазменные колебания, существенно сокращающие пробег протонов
(см. п. 16). Эти колебания должны с заметным к. п. д. преобразоваться
в электромагнитные волны. В зоне торможения протонов плотность меняется
от 5·10"7 до 3-10"3 г/см2 в случае у0 ~ 2 г/см2. Плазменная частота
меняется от 4,4-1012 до 3,4-1014 Гц, λ - от 7105 до 8000 А.
Оптическая толща в падающем потоке для частот ν <J 1014 Гц больше
единицы, поэтому интересна наиболее коротковолновая область: из грубой
оценки вытекает, что часть оптического излучения, возможно, имеет
плазменное происхождение; эта часть сосредоточена в ничтожном телесном угле.
Остаются неясными вопросы о том, не будут ли плазменные колебания
в атмосфере генерировать быстрые электроны, и какова дальнейшая судьба
этих электронов. Можно предполагать, что колебания, сокращая пробег
протонов, одновременно уменьшают и пробег электронов, препятствуют
выходу быстрых электронов навстречу потоку и электронной
теплопроводности.
В данной работе предполагается, что светимость заметно меньше
критической, так что влияние уходящего потока квантов на падающий поток частиц
невелико. Поэтому здесь не рассмотрен вопрос о возможной неустойчивости
потока при L ж Lc, поставленный в [6]. Эту неустойчивость А. Камерон и
Д. Мелроуз [12] считают вероятной причиной генерации частиц и
радиоизлучения в компактном источнике Краба.
4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЫХОДЯЩЕГО ИЗЛУЧЕНИЯ
С ПАДАЮЩИМ ПОТОКОМ
Оценим оптическую толщу τ в падающем потоке относительно комптонов-
ского рассеяния. (Для квантов с энергией Ε ^ 1 кэВ поглощение
пренебрежимо мало.)
Пользуясь законом свободного падения ν ~ г"1/» и законом сохранения
потока pvr2 = const, получим распределение плотности в падающем потоке
ρ ~ г"3/2.
Теперь для τ имеем
τ = ас \ η (R) (Д/r)3/* dr = 2асп (R)R. (4.1)
R
Окончательно τ = 0,4 для L = 1,3· 1037 эрг/с и определяется в основном
слоями, которые находятся в непосредственной близости от поверхности
звезды. Ясно, что это практически не меняет распределения энергии
в спектре.
Однако этого вполне достаточно, чтобы комптон-эффект держал
температуру в падающем потоке Τ ~ Гф ~ 107 К до расстояний г ~ 1010 см.
Тф определяется не интегральной плотностью излучения в данной точке
(ср. (1.3)), которая сильно разбавлена дилюцией, а спектральным составом
входящего излучения. Составим уравнение энергетического баланса. На 1 г
падающего вещества имеем
Д*Л1=6,5е(Гф — Т) — 5.10*»У~Тр+ R* —и -^ , (4.2)
Д* = 8,3-107 эрг / (моль-град).

44. Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду 229
Здесь помимо комптоновского рассеяния учтены тормозное излучение и
изменение энергии из-за изотермического сжатия вещества при падении.
Перепишем (4.2) следующим образом:
ж = -^ т- (г* - Т) -1012 Утр + Tuir- (4·3)
с
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что до расстояний
г ~ 1010 см член с комптон-эффектом является определяющим.
Сверхзвуковое течение при этом не нарушается. Оценим тормозное излучение этого слоя
U = 1СГ27 /ГМЕ:
ME = 4π jj η2 (В) (R/r)dr2 dr = inn2 (R) i?3 In (r/R) (4.4)
R
при r ~ 1010 см, ME ~ 1054 см"5 и V ~ 3-1030 эрг/с, что составляет
~10"~7 от полной светимости НЗ.
Энергетический баланс и излучение разреженного падающего газа при
г ^> 1010 см существенно зависят от предположения о далекой области.
Имеем ли мы дело с аккрецией из межзвездного газа, вытекающего из второй
компоненты двойной звезды, или газа, ранее выброшенного при взрыве
сверхновой? Укажем на возможность излучения в этой области эмиссионных
линий Н, Hell, NIII, GUI, которые наблюдаются в спектре оптического
объекта, отождествляемого с Sco X-1. Подробный анализ этих предположений
мы надеемся провести в следующих работах.
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
Спектры рентгеновского излучения, полученные выше, зависят от двух
параметров — светимости L (или связанного с ней потока массы dMIdt)
и длины торможения потока у0. Общий вид спектра таков, что, подбирая
параметры, можно получить удовлетворительное согласие с экспериментом
(например, для Sco X-1 L ~ 1037 эрг/с, у0 ~ 2 г/см2 при расстоянии
~320 пс, см. рис. 3). Сводку данных см. в обзоре [19].
Однако такое согласие нельзя считать доказательством правильности
модели вследствие идеализированной постановки задачи и упрощающих
предположений. Напомним наиболее важные моменты: сферическая
симметрия, отсутствие магнитного поля, сокращение пробега плазменными
колебаниями, пренебрежение электронной теплопроводностью из-за тех же
плазменных колебаний. Именно эти упрощения, а не грубость
математических расчетов, ограничивают надежность и точность выводов.
Основной результат работы заключается в том, что для идеализированной
модели удалось найти последовательное внутренне согласованное решение,
в котором учтены и распределение температуры, и распределение и спектр
электромагнитного излучения. Реалистическая теория аккреции,
включающая и далекую область, которая определяет величину потока массы, будет
использовать приведенные выше результаты, хотя эта теория может дать иные
предсказания, касающиеся спектра.
Только в конце этого пути можно будет дать ответ: являются ли
наблюдаемые точечные рентгеновские источники нейтронными звездами, можно
ли перевести нейтронные звезды из разряда гипотетических объектов в число
надежно идентифицированных видов звезд.

230 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Рис. 3
Распределение энергии в спектре
излучения ScoX-1 [19].
Сплошная кривая — поток излучения от НЗ при
L~1037 эрг/с, у0~2 г/см2 и на расстоянии
— 320 пс
Необходимо гораздо более
подробно рассмотреть аккрецию на белые
карлики и на коллапсирующие
звезды, а также нетепловые
механизмы ускорения электронов,
которые могут излучать рентген.
Отметим в заключение
возможность излучения γ-квантов при
аккреции, которое в принципе позволит
отличать нейтронные звезды от
других точечных рентгеновских
источников. Как впервые отмечено в [7],
при максимально возможном
потенциале НЗ энергия свободного
падения достаточна для рождения π-мезо-
нов, распад которых может дать
γ-кванты с энергиями 20 — 60 МэВ;
возможно также излучение γ-квантов
с энергией ~2 МэВ за счет реакции
захвата протона нейтроном, который
в свою очередь выбит падающим протоном из ядер Не4.
По расчетам [19], максимально возможное отношение энергии,
излучаемой в виде γ-квантов (20—60 МэВ), к рентгеновской светимости составляет
~10~4. Применительно к Sco X-1 поток γ-квантов у Земли почти на два
порядка ниже чувствительности современной аппаратуры.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ИЗЛУЧЕНИЕ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
ПРИ σ>κν
Будем пользоваться уравнением переноса:
\bdlvldy = (κν + о) Ιν — σ/ν — κν#ν. (Π. 1.1)
Здесь /ν = ^ ΙγάΩ/Αη— средняя интенсивность в данной точке, Βν —
функция Планка.
Очевидно, что в таком виде уравнение переноса может быть использовано,
если рассеяние изотропно и происходит без изменения частоты.
Дальше, действуя стандартным образом при расчете в эддингтоновском
приближении, вводим Ην = J ΙνμάΩ/Αη и К = j Ινμ2άΩ/4π и из (П. 1.1)
получаем:
dHv/dy = κν (/ν — Βν),
dKvldy = (σ + κν) Ην χ σΗν. (Π. 1.2)

44. Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду 231
Предположим, что для всей атмосферы выполняется равенство Κν ^
ж /ν/3, тогда второе уравнение можно записать dJv/dy = 3σΗν, и из
системы двух уравнений первого порядка получим уравнение
d2Jv/dy2 = 3σκν (/ν — #ν). (Π. 1.3)
Изотермическая атмосфера в поле тяжести распределена по
барометрическому закону
Ρ = Pi + у IK (П. 1.4)
где h = kTI(\n,emvg) — высота однородной атмосферы, рг — плотность на
границе изотермического полупространства. Вводя в (П. 1.3) вместо у в качестве
переменной плотность р, имеем
d*Jv/dp* = 3σκν^2 (/ν — Βν). (Π. 1.5)
Перепишем (П. 1.5) следующим образом:
d2Jv/dp2 - (3axv#Vp) ρ (/ν - Βν) (Π. 1.6)
и обозначим kv = 3σκν^2/ρ. Очевидно, что к» для данной частоты есть
константа и от плотности не зависит.
Теперь, вводя переменную ξ = &ν3ρ, получим уравнение Эйри
d2Jv/dl2 = ξ(/ν-£ν), (Π. 1.7)
решение которого можно записать через функцию Эйри:
/v = Bv + CAt (ξ) + DBt (ξ). (П. 1.8)
D = 0 из условия ограниченности решения при г/->- оо.
Используя условие Hv (0) = Jv (0)/2, определим и выходящий поток
излучения
2k^-3ahAi,(kl9l) \. (П.1.9)
Fv = nB^k'i
При pi -*■ 0 A tIA\ гг; 1,4; для больших частот 2Ац,/з мало и Fv ж( SKv/pa2h)'/mBv
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ИЗМЕНЕНИЕ ЧАСТОТЫ ПРИ КОМПТОНИЗАЦИИ
Следуя А. С. Компанейцу [14] и Р. Вейману [15], взаимодействие
квантов с электронами при kTe J§> hv можно записать как некоторое уравнение
диффузии в пространстве частот для числа заполнения η = Ivc2/2hv3:
β
Полное число квантов N = a \ nx2dx. Умножая обе части (П. 1.2) на х2 и
о
интегрируя по х, получим dNIdt = 0, т. е. полное число квантов при
рассеянии сохраняется.

232 Часть вторая* VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
Выражение для полной энергии Ε = а \ пх3 dx. Умножая обе части урав-
о
нения на х3 и интегрируя по х, получим Е2 = Еге^ — изменение полной
энергии по комптонизации. Зная АЕ = Е2 — Еъ из общего энергетического
баланса определяем эффективную величину t (см. разд. 2). Далее поступаем
так же, как в [17].
Чтобы получить аналитическое выражение для изменения энергии в
каждой частоте спектра, введем вместо χ переменную у = In x, а затем перейдем
к переменной ζ = 3t + У-
Уравнение (П. 2.1) после такой замены сводится к уравнению
теплопроводности
dnldt = d2n/dz\ (П. 2.2)
Решение уравнений (П. 2.1) и (П. 2.2) имеет вид
оо
η (χ, *) = --L_. С п (у) exp {— (In χ + St — yf/Щ dy. (Π.2.3)
—оо
Окончательно для интенсивности получим
τ ί f г/ α/ ν\3 Г [In ν/ν' + 3ί]2} dv' /ττ 0 /ч
Iv=zV^V (ν)(~) ехр{- л—π-1-]— ■ (п·2·4)
ЛИТЕРАТУРА
1. Бисноватый-Коган Г. С.— Астрон. журн., 1966, т. 43, с. 89.
2. Arnett W. D.— Ganad. J. Phys., 1967, vol. 45, p. 1621; 1966, vol. 44, p. 2553.
3. Chiu H. Y,— Ann. Phys., 1964, vol. 26, p. 364.
4. Chao Wai-yin.— Astrophys. J., 1967, vol. 147, p. 664.
5. Зельдович Я. Б,— Докл. АН СССР, 1964, т. 155, с. 67.
6. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Докл. АН СССР, 1964, т. 158, с. 811.
7. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Успехи физ. наук, 1965, т. 86(3), с. 477;
Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967.
8. Novikov /./>., Zeldovich Ya. В.— Nuov cim. Suppl., 1966, vol. 40, p. 810.
9. Шкловский И. С— Астрон. журн., 1967, т. 44, с. 930; Astrophys. J. Lett., 1967,
vol. 148, L. 1.
10. Cameron A. G., Mok M.— Nature, 1967, vol. 215, p. 464.
11. Saslaw W. C— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1968, vol. 138, p. 337.
12. Melrose D. В., Cameron A. G.— Preprint, 1968.
13. Зельдович Я. Б.— In: Trans, of XIII IAU. Pr., 1967.
14. Компанеец А. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 876.
15. Weyman Л.— Phys. Fluids, 1965, vol. 8, Ν 11, p. 2112.
16. Веденов Α. Α., Велихов Ε. Я., Сагдеев Р. 5.— Успехи физ. наук, 1961, т. 73, с. 701.
17. Зельдович Я. Б., Сюняев Р. А.— Успехи физ. наук. (В печати).
18. АмбарцумянВ.А., Саакян Г. С.— Вопр. космогонии, 1963, т. 9, с. 91; Астрон. журн.
1960, т. 87, с. 193.
19. Morrison Ρ,— Annu. Rev. Astron. and Astrophys., 1967, vol. 5, p. 325.
КОММЕНТАРИЙ
Комментируемая статья является до сих пор одной из наиболее широко цитируемых
в астрофизической литературе по теории аккреции. Она написана более чем за два года до
запуска спутника «Ухуру», совершившего революцию в наблюдательной рентгеновской
астрономии. Данная статья подготовила астрофизиков ко многим наблюдательным фактам,
детально исследованным позднее приборами спутников «Ухуру», «Ариэль», «АНС»
«GAG-III» и «XEAO-I».

45. Нейтронные звезды и «черные дыры»
233
1. Вопрос о торможении протонов в атмосфере нейтронной звезды приобрел особую
актуальность в связи с открытием рентгеновских пульсаров. Детальному исследованию
этого вопроса, впервые поставленного в комментируемой работе, посвящены десятки
теоретических работ. Особый интерес вызывают исследования возможности образования у
поверхности нейтронной звезды бесстолкновительной ударной волны, а также анализ
влияния сильного магнитного поля нейтронных звезд на пробег частиц в плазме.
2. В комментируемой статье впервые решена задача о спектре излучения, выходящего
из горячей изотермической атмосферы звезды при доминирующей роли томсоновского
рассеяния в непрозрачности. Найденное авторами решение получило широчайшую
известность, а сейчас, после открытия источников рентгеновских всплесков — барстеров, и
важнейший объект астрофизического приложения.
3. В комментируемой статье впервые указано на важнейшую роль комптонизации в
формировании спектров излучения рентгеновских источников. Приводимое в статье
аналитическое решение (П.2.3) было опубликовано ЯБ и Р. А. Сюняевым не в УФН, а в
журнале Astrophysics and Space Science (статья 49).
45
НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ И «ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ»*
Выход спутников за пределы атмосферы создал фундамент развития
рентгеновской астрономии. В настоящее время открыты дискретные
рентгеновские источники в пределах нашей Галактики (в том числе рентгеновские
пульсары), со светимостью в 1000 и более раз превышающей светимость Солнца.
Эти источники в ряде случаев образуют (вместе с обычными звездами,
испускающими свет в оптическом диапазоне) двойные системы, точнее,— тесные
пары. Благодаря этому удается определить массу рентгеновской звезды.
Совокупность данных говорит о том, что рентгеновским источником
является в одних случаях нейтронная звезда, в других — звезда в состоянии
релятивистского коллапса, т. е. застывшая звезда, или, как ее сейчас принято
называть, «черная дыра».
На примере источника Геркулес Икс-1 («икс» — от икс-лучей,
английского названия рентгеновских лучей) рассмотрим наблюдательный материал.
Источник имеет период 1,7 дн (около 40 ч), из которых около 8 ч приходится
на затмение, когда обычная звезда находится между источником и земным
наблюдателем. Период изменения скорости обычной звезды совпадает с
периодом затмений, что подтверждает отождествление пары.
Рентгеновское излучение имеет короткий период 1,24с, т.е. подобно
пульсарному. Период 1,24 с свидетельствует о том, что источник является
вращающейся нейтронной звездой (масса по орбитальным наблюдениям
подходящая, ~0,8 Mq, где ΜΘ — масса Солнца, 2-1033 г) с магнитным полем,
обусловливающим направленность рентгеновского излучения.
Это излучение связано с падением и ударом о поверхность нейтронной
звезды газа, перетекающего от обычной звезды на нейтронную.
Простые энергетические соображения доказывают, что именно аккреция
(а не вращение) является источником энергии, питающим рентгеновское из-
* Тезисы доклада на Юбилейной научной сессии Отделения общей физики и
астрономии АН СССР 22.11.72 г.— Успехи физических наук, 1973, т. 110, № 2, с. 441—443.

234 Часть вторая. VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
лучение. Период 1,24 с соответствует сравнительно медленному вращению
нейтронной звезды; энергии вращения хватило бы всего на несколько лет.
В этом принципиальное отличие Геркулеса Икс-1 от пульсара в Крабо-
видной туманности (ПК), также излучающего рентгеновские лучи. Период
ПК 0,03 с, в силу чего его кинетическая энергия вращения в 1000—2000 раз
больше, и к тому же ПК действительно молод (всего 1000 лет). В этом случае
энергетический баланс между излучением и потерей вращательной энергии
сходится.
В системе Геркулес Икс-1 рентгеновский источник освещает обычную
звезду; на поверхности обычной звезды энергия рентгеновского излучения
(превышающая собственную светимость звезды) перерабатывается в
оптическое излучение. В результате освещенная часть в несколько раз ярче
неосвещенной. По циклу обращения двойной системы мы видим то освещенную, то
неосвещенную часть, что объясняет кривую блеска и изменения цвета
системы. Нагрев освещенной части вызывает отток газа, способствующий падению
газа на нейтронную звезду. Существует еще один период в 36 дн, связанный
с периодическим поворотом магнитной оси пульсара; этот период не столь
принципиально важен и здесь не обсуждается. В двойной системе Лебедь
Икс-1 затмений нет. Анализ доплеровского смещения линий, кривой блеска
и спектральных характеристик оптической звезды, с учетом законов
механики, приводит к выводу, что масса источника рентгеновских лучей порядка
10 Mq. По теории компактное тело такой массы должно находиться в
состоянии релятивистского коллапса. Падение газа на «черную дыру»
сопровождается рентгеновским излучением в том случае, когда падающий газ
обладает моментом вращения. Такая ситуация имеет место в двойной системе.
В первом приближении частицы газа вращаются вокруг «черной дыры» (по
круговым кеплеровским орбитам под действием притяжения к «черной дыре»).
Постепенное уменьшение радиуса орбиты происходит сравнительно
медленно, по мере отдачи газом вращательного момента за счет взаимодействия с
газом на соседних орбитах (за счет трения). В целом газ образует диск вокруг
«черной дыры». Трение в этом диске сопровождается выделением энергии
и рентгеновским излучением. Лишь в непосредственной близости, когда
вращательный момент становится меньше критического значения, круговые
орбиты сменяются короткой спиралью, частицы газа падают на поверхность
«черной дыры» — на так называемый гравитационный радиус. Но эта наиболее
драматическая часть процесса почти не сопровождается излучением энергии.
Общая излучаемая энергия — 6—20% массы покоя падающего газа, что
превышает выделение энергии, которое могло бы быть получено в ходе
ядерных реакций.
Рентгеновское излучение имеет квазипериодические флуктуации с
периодом менее 1 с. Эти флуктуации можно объяснить наличием на поверхности
диска ярких точек и доплер-эффектом при быстром вращении диска. Их
исследование, находящееся в начальной стадии, в принципе, может дать ценную
информацию о гравитационном поле «черной дыры». Дело в том, что известное
решение Шварцшильда справедливо лишь для невращающейся звезды. При
коллапсе вращающейся звезды возникает поле стационарное, но не
статическое (решение Керра). В релятивистской теории тяготения предсказывается
существование гравитационного аналога магнитного поля г.
1 Истинное магнитное поле «черной дыры» не существует; она как бы всасывает внутрь
магнитное поле, так же как гравитационное поле поступает со светом и нейтрино в случае
«черной дыры». Поэтому, в частности, «черная дыра» не дает пульсарных явлений.

45. Нейтронные звезды и «черные дыры»
235
Гравимагнитное поле влияет на орбиты газовых частиц, период
обращения, выделяющуюся энергию. В принципе, исследование флуктуации может
обнаружить эти новые свойства гравитационного поля.
Рентгеновский источник с мощностью, в 100 000 раз большей солнечной,
открыт в Магеллановом Облаке. Можно полагать, что и здесь источником
является «черная дыра» в двойной системе, в паре с обычной звездой.
Итак, рентгеновская астрономия предоставляет нам данные огромного
интереса и важности. Значение рентгеновской астрономии определяется тем,
что компактные релятивистские объекты при выделении энергии в малой
области пространства неизбежно ускоряют частицы до высокой энергии,
развивают высокую температуру и излучают волны высокой частоты.
Рентгеновская астрономия открывает реальный путь исследования таких объектов,
как «черные дыры», где возникают принципиально новые ситуации,
радикально меняется структура четырехмерного комплекса пространства—времени.
Эту ситуацию нужно признать принципиально новой, хотя уравнения, из
которых она возникает, суть уравнения общей теории относительности,
установленные давно. Вкратце рассмотрим историю вопроса. До войны Ф. Цвик-
ки, Л. Д. Ландау, Р. Оппенгеймер и их сотрудники установили
принципиальное существование нейтронных звезд и «черных дыр». Теория их
уточнялась рядом авторов, в частности В. А. Амбарцумяном и Г. С. Саакяном,
Камероном, Бете и др. Было выяснено, что нейтронные звезды остывают за
несколько лет, «черные дыры» исчезают из вида менее чем за тысячную долю
секунды.
Наша группа — Отдел теоретической астрофизики Института прикладной
математики АН СССР — выдвинула идею обнаружения сверхсильного
гравитационного поля, окружающего релятивистские объекты. Была
поставлена задача изучения внешнего вещества и его аккреции, в отличие от
свечения самого объекта; было отмечено преимущество двойных звезд в этом
отношении. Ряд работ уяснил свойства объектов. Отметим ряд работ, главным
образом советских: А. Б. Мигдал. Сверхтекучесть ядерного вещества, из
которого состоят нейтронные звезды (пульсары); В. Л. Гинзбург и Л. М.
Озерной. Втягивание магнитного поля черной дырой; Р. Керр (США). Решение
уравнения ОТО для вращающегося тела, в том числе «черной дыры», с
моментом; А. Г. Дорошкевич, Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. Устойчивость
этого решения. Поисками двойных систем с релятивистскими звездами
занимался О. X. Гусейнов. Уточнялась картина аккреции. И. С. Шкловский
рассматривал рентгеновский источник в Скорпионе как нейтронную звезду
в двойной системе. Н. И. Шакура исследовал сферическую аккрецию.
Дисковую аккрецию начали рассматривать (хотя и для других объектов —
белых карликов, ядер галактик и квазаров) Дж. Бербидж, Дж. Прендергаст
и Д. Линден-Белл.
Открытие пульсаров явилось неожиданностью для теоретиков.
Оправившись от нее, теоретики усмотрели в пульсарах нейтронные звезды и
использовали стабильность их периода для тонких выводов о структуре этих звезд.
Усилилась общая вера в теорию последних стадий эволюции.
Теоретики выиграли следующий раунд: В. Ф. Шварцман за два года до
соответствующих наблюдений предсказал, что в двойной системе пульсар
будет периодически излучать рентгеновские импульсы за счет аккреции.
Большая работа проведена в короткий срок после наблюдений двойных
(в частности, затменных) рентгеновских источников — в Геркулесе, в Лебеде
и др. Р. А. Сюняев и М. М. Баско рассматривают испарение газа под дейст-

236 Часть вторая, VI. Нейтронные звезды и черные дыры, аккреция
вием рентгеновского потока. Р. А. Сюняев и Н. И. Шакура рассматривают
спектр диска. Сюняев предлагает квазипериодические флуктуации как
способ исследования «черной дыры».
И. Д. Новиков и американский физик К. Торн развили
последовательную релятивистскую теорию дисковой аккреции. В исследования включились
специалисты по переменным и двойным звездам Института им. Штернберга
(ГАИШ МГУ) В. М. Лютый, А. М. Черепащук, Курочкин, вместе с членами
нашей группы интерпретирующие оптические наблюдения «обычных
компаньонов» релятивистских звезд. Возникла новая, необычайно быстро
развивающаяся отрасль астрономической науки, в которой советские
астрофизики достойно участвуют.
Общие сведения см. в книге Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова «Теория
тяготения и эволюция звезд» (М.: Наука, 1972). Эта книга существенно
пополнена в части, касающейся темы доклада по сравнению с книгой тех же
авторов «Релятивистская астрофизика» (М.: Наука, 1967). С другой
стороны, последние результаты излагаются в непрерывно нарастающем потоке
сообщений в «Astrophysical Journal Letters», «Astrophysical Journal»,
«Astronomy and Astrophysics», «Astrophysics and Space Science», «Астрономическом
циркуляре», «Астрономическом журнале», «Астрофизике» и других
журналах и в еще большей степени — в препринтах советских и иностранных
ученых.

VII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА
И ИЗЛУЧЕНИЯ ВО ВСЕЛЕННОЙ
46
«ГОРЯЧАЯ» МОДЕЛЬ ВСЕЛЕННОЙ *
Минувший 1965 г. принес важнейшее открытие в астрономии. Измерения
в области коротких и ультракоротких радиоволн (λ = 7; 3; 0,25 см)
показали наличие изотропного, т. е. не зависящего от направления наблюдения,
излучения, соответствующего температуре около 3 К. К моменту написания
статьи имелись: опубликованное в июле 1965 г. краткое сообщение об
измерениях на λ = 7,3 см, заметка об измерениях на λ = 3 см (март 1966 г.),
сообщение о неопубликованных измерениях другой группы на λ = 0,25 см,
также радиометодами11.
Изучение спектра поглощения радикала циана (CN) в галактическом газе
в оптическом диапазоне также подтверждает наличие излучения с длиной
волны 0,254 см, интенсивность которого соответствует 3 К. Любопытно, что
результаты измерений, относящихся к CN, были известны еще в сороковых
годах, но тогда они остались необъясненным парадоксом. В изученной
области длин волн обнаруженное излучение в 102—105 раз больше того, которое
можно ожидать от известных источников — звезд и радиогалактик.
Возможность существования такого излучения была предсказана на
основе теории расширяющейся Вселенной Фридмана. Начиная с 1948 г., в
рамках этой теории рассматривалась горячая модель, в которой предполагается,
что в дозвездном состоянии вещество характеризуется большой энтропией.
Понятие энтропии имеет в данном случае простой и наглядный смысл: в
тепловом равновесии при большой энтропии на каждый атом приходится много
квантов света, и оказывается, что энтропия прямо пропорциональна числу
квантов. Измерения, упомянутые выше, приводят к значению около 109
квантов на атом. В ходе расширения энтропия, а значит и число квантов,
сохраняются. Однако энергия квантов при расширении убывает в
соответствии с тем, что длина волны увеличивается в той же пропорции, в которой
в ходе расширения растут все расстояния между каждой заданной парой
частиц или парой галактик.
Таким образом, экстраполяция в прошлое приводит к представлению о
плазме, в которой число квантов в единице объема гигантски превосходит
число атомов или, точнее, число нуклонов и электронов в том же объеме.
Температура этой плазмы в ходе расширения меняется. Предположим, что
был момент, когда плотность была бесконечна, и будем отсчитывать время
от этого момента, отстоящего от сегодняшнего дня приблизительно на 1010 лет
в прошлое. Из уравнений механики и из известного сейчас соотношения
между числом квантов и числом атомов в единице объема можно найти
температуру и написать соответствующие зависимости от времени. В момент t = 1 с
* Успехи физических наук, 1966, т. 89, вып. 4, с. 647—653. Из-за ограниченности
объема издания приводится основной текст обзора без приложений.
1 В самое последнее время измерения проделаны и на длине волны 20 см.

238 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
температура была около 1 МэВ, т. е. 1010 градусов; наряду с квантами в
равновесии было почти столько же пар электронов и позитронов; при этом ядра
не могли существовать, имелись протоны и нейтроны в почти одинаковом
числе; столкновения с электронами и позитронами приводили к взаимным
превращениям протонов и нейтронов.
По мере расширения исчезали позитроны. Часть нейтронов распадалась,
остальные нейтроны соединялись с протонами и в конечном счете дали
состав: ~70% водорода и ~30% гелия по весу (т. е. ~10% по числу атомов
гелия). От этого периода должны остаться также нейтрино и антинейтрино
в количестве, примерно равном количеству квантов, и с той же средней
энергией, отвечающей в настоящий момент нескольким градусам, т. е. около
10~3 эВ. Несколько лет назад считалось, что содержание гелия в веществе,
не подвергшемся переработке в звездах, значительно меньше 30%, и это
представлялось существенной трудностью для горячей модели.
В этот период была сформулирована гипотеза о возможной «холодной»
модели^ дающей 100% водорода при полном отсутствии радиоизлучения того
типа, который открыт в настоящее время. Очевидно, что в свете последних
данных гипотеза о холодной модели должна быть оставлена, хотя вопрос о
первичном содержании гелия с наблюдательной стороны остается неясным
и требующим исследования 2.
Еще более парадоксальные выводы следуют из горячей модели для более
ранних моментов и более высоких температур. Из теории следует, что был
период (когда Τ !> 1013 град), когда было много нуклонов и антинуклонов,
и с этой точки зрения сегодняшние нуклоны представляют собой результат
малого избытка нуклонов над антинуклонами на той ранней стадии. Если
существуют еще более тяжелые частицы — кварки, то они и должны были
находиться в заметном количестве в равновесии, и можно рассчитать, что к
сегодняшнему моменту могло уцелеть до 10""9—10""10 кварков на один атом
водорода; это больше, чем средняя концентрация золота 10~12—10~13 и
радия 10"18 (также на один атом водорода). Следует подчеркнуть, что выводы
о ядерных реакциях при t = 1 с и позже практически не зависят от
предположений о более ранней стадии, о природе кварков и антинуклонов и о том,
достигалась ли когда-нибудь плотность больше 106 г/см3 и температура выше
1010 градусов. Уже при указанных условиях все процессы идут быстро;
какой бы ни был задан начальный состав, в этот момент произойдет почти
мгновенное установление равновесия; система забудет начальный состав,
дальнейшее развитие событий не зависит от предположений о том, что было при
t < 1 с. Напомним, что, по существу, теория горячей Вселенной представляет
собой экстраполяцию в прошлое состояния окружающей нас Вселенной,
свойства которой изучаются в настоящее время. Как и всякая экстраполяция,
она тем надежнее, чем ближе к нам, т. е. чем менее удалено в прошлое
рассматриваемое состояние.
После периода ядерных реакций (1 с < t < 100 с) второй характерной
вехой является момент t = 3-106 лет, соответствующий температуре 3000 -г-
-:— 4000 К. Если водород и гелий более или менее равномерно перемешаны
с излучением, то до этого периода они ионизованы. Плотность излучения
превышает плотность обычного вещества. Давление излучения велико;
«вещество», т. е. электроны и ионы (ядра), сильно взаимодействует с излучением.
2 В самое последнее время, согласно частным сообщениям, обнаружены старые звез-
цы с низким содержанием гелия. Надежность этих сообщений не ясна.

46, «Горячая» модель Вселенной
239
Это взаимодействие с излучением препятствует образованию звезд и
галактик. Силы тяготения, которые собирают вещество в ту область, где плотность
вещества уже превосходит среднюю («гравитационная неустойчивость»),
не в состоянии преодолеть давление излучения, повышающееся при сжатии
вещества. Только после t = 3-106 лет происходит рекомбинация электронов
и протонов в атомы водорода и, предположительно, начинается образование
звезд и галактик. При этом намечается концепция, согласно которой первое
поколение звезд составляет малую долю общей массы вещества; может быть,
здесь более уместен термин «празвезды», поскольку условия их образования
радикально отличаются от условий, в которых в настоящее время
образуются звезды; соответственно могут отличаться и их свойства.
Итак, предполагается, что празвезды могут быстро выделить энергию,
достаточную для нагрева остальной, большей части вещества. Значительная
часть этого вещества остается в виде горячей ионизированной плазмы и не
конденсируется в звезды. Таким образом, концепция горячей модели
Вселенной увязывается с независимо возникшей гипотезой о существовании (в
настоящее время!) горячего ионизированного межгалактического газа,
плотность которого ~10""29 г/см3 в десятки раз больше плотности вещества в
звездах, усредненной по всему пространству. Необычайно яркие объекты —
сверхзвезды (квазары), открытые в последние несколько лет, дают
наблюдательные основы для этой гипотезы. Спектр одного из наиболее удаленных (из
известных в настоящее время) квазаров ЗС-9 имеет особенности, на основании
которых сделан вывод, что в межгалактической среде содержится 6· 10"11
атомов нейтрального водорода в 1 см3 (плотность 10~34 г/см3) 3. Этот водород
поглощает линию Лаймана а с длиной волны λ = 1216 А. Источник ЗС-9
находится на таком расстоянии, что красное смещение увеличивает все длины
волн в 3,012 раза! Благодаря этому далекая ультрафиолетовая область
спектра с длиной волны λ = 1216 А (которую атмосфера не пропускает)
воспринимается нами как λ = 3662 А и доступна наблюдению земными телескопами.
Чем ближе к нам рассматриваемый слой межгалактического газа, тем
меньше смещена в красную сторону линия поглощения; в целом получается
полоса поглощения для земного наблюдателя, простирающаяся от λ = 3,012·
• 1216 = 3662 А в сторону более коротких волн. Указанная плотность
нейтрального водорода 10"34 г/см3 относится к окрестности ЗС-9, т. е. не только
к пространственно удаленному объекту, но и к далекому прошлому.
Предполагается, что в этот период плотность ионизованного газа составляла
(2 -ξ- 5) · 10""28 г/см3, т. е. нейтральный газ составлял менее 10~6 доли всего
газа, для чего требуется температура газа порядка 106 град. При этом газ
весьма разрежен, прозрачен и отнюдь не находится в равновесии с общим
космическим излучением, температура которого в этот момент порядка 10 К.
В рассматриваемый период (t ~ 2-109 лет) нагрев газа осуществляется
только за счет энергии таких объектов, как звезды и галактики.
Нужно различать две связанные между собой, но существенно
отличающиеся по содержанию гипотезы.
1. Горячая модель Вселенной — температуры от 1010 К
при t = 1 с до 3 К сегодня. Изотропное радиоизлучение в области длин волн
порядка сантиметров и миллиметров есть следствие горячей модели.
Радиоизлучение является прямым наследником того мощного излучения в сжатой
3 В самое последнее время измерения на другом источнике не подтвердили этот
вывод, что, однако, не исключает наличия ионизованного водорода (см. ниже).

240 Часть вторая* VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
горячей плазме, плотность которого на ранней стадии во много раз
превосходила плотность вещества; при этом совершенно несущественно, имеем
ли мы дело с теми же самыми индивидуальными квантами: в состоянии
полного теплового равновесия происходит поглощение одних квантов,
испускание других, рассеяние третьих, но все эти процессы уравновешены так, что
не меняют ни полной энергии среды, ни спектра квантов. Так обстоит дело
при большой плотности. При малой плотности поглощение и испускание
квантов становится несущественным, рассеяние их не играет роли, можно
следить за судьбой отдельного кванта. Во всяком случае наблюдаемые
сейчас радиокванты — это или те же кванты, или потомки тех квантов, которые,
как предполагается, имели энергию порядка мегаэлектронвольта при t =
= 1 с и уменьшили свою энергию в силу красного смещения в ходе
расширения, т. е. по существу за счет доплер-эффекта. По отношению к этим
квантам сейчас в ходу термин «реликтовое излучение». Важно, что ни звезды, ни
радиогалактики, ни горячий межгалактический газ не могут дать ничего
приближающегося по свойствам к реликтовому излучению: энергия реликтового
излучения слишком велика, и спектр его не похож ни на спектр звезд, ни на
спектр радиоисточников 4. Этим и доказывается космологическое, реликтовое
происхождение рассматриваемого радиоизлучения.
2. Горячая межгалактическая плазма. Эта
концепция относится к периоду заведомо после t = 3-106 лет; плазма нагрета до
105—106 К и уже не находится в равновесии с реликтовым излучением.
Значит такая плазма нуждается в источниках нагрева.
Вопрос о взаимодействии горячей плазмы и реликтового излучения
весьма интересен. Обмен энергией между ними в настоящее время мал, но раньше
он мог быть больше. Энергетические оценки показывают, что плазма не
могла дать то излучение (с его плотностью и спектральным составом), которые
мы считаем реликтовым. С другой стороны, те же подсчеты баланса энергии
показывают, что плазма не могла быть нагрета слишком рано, сразу после
t = 3-106 лет. Электроны плазмы рассеивают кванты излучения за счет комп-
тон-эффекта. Любопытно, что оптическая толща порядка единицы
достигается на расстоянии, соответствующем красному смещению 6—8. Изотропное
реликтовое излучение не меняет свои свойства при этом рассеянии; энергии
электронов и квантов таковы, что рассеяние не сопровождается заметным
обменом энергией, не меняет спектр. Однако наблюдение далеких дискретных
источников — квазаров с большим красным смещением будет затруднено
эффектом рассеяния на электронах. Вместе с тем, в силу независимости
речения рассеяния от частоты, очень нелегко с уверенностью доказать наличие
комптоновского рассеяния и определить концентрацию свободных
электронов.
Важнейшее значение имело бы обнаружение гелия в составе
межгалактического газа и измерение его температуры по излучению мягких
рентгеновских квантов. В настоящее время измерения дают лишь неравенство Τ <
< 2-106 для температуры межгалактического газа.
Необычайно трудную задачу представляет собой обнаружение
реликтовых нейтрино и антинейтрино. Для ее решения нужно повысить
существующую точность в 106 раз!
4 В самое последнее время обсуждалась гипотеза, согласно которой на ранней стадии
в звездах выделилась практически вся ядерная энергия, а свет звезд был переработан
в тепловое излучение путем поглощения и переизлучения частицами пыли. Однако по
многим причинам эту гипотезу надо считать неправдоподобной.

46. «Горячая» модель Вселенной
241
Вместе с тем, необходимо подчеркнуть огромное значение такого опыта.
Обнаружение нейтрино в должном количестве и с ожидаемым спектром
подтверждало бы представления горячей модели об очень ранней стадии, когда
t < 1 с, плотность больше 106 г/см3, температура выше 1 млн. В. Поистине
измерение реликтовых нейтрино будет «экспериментом века»!
Горячая модель ставит задачи огромной важности и трудности перед
теоретиками. Сюда относятся прежде всего:
1. Вопрос о том, можно ли построить (с привлечением квантовых
представлений) теорию перехода от сжатия при ί<0 к расширению при t > 0.
2. Удельная энтропия вещества в горячей модели (характеризуемая
числом 109 квантов на один атом) рассматривалась выше как изначально
заданная характеристика этой модели, как одно из тех начальных условий,
задание которых необходимо для интегрирования уравнений. Можно ли
поставить вопрос: почему энтропия именно такая, а не больше или меньше?
Только поняв происхождение большой энтропии, можно будет удовлетворительно
ответить на вопрос о том, как получается почти зарядово-симметричное
состояние с гигантским числом антинуклонов и нуклонов и в то же время с
определенным небольшим перевесом нуклонов. В самом деле, если при t < 0
были только нуклоны, которые каким-то способом создали большую
энтропию, то эта энтропия в cboiq очередь при малой плотности проявлялась в
излучении. В таком случае последующее при сжатии рождение пар Ν + Ν
и наличие пар N + N (при сохранении перевеса нуклонов N) в начале
расширения при t ^> 0 является следствием известных законов.
3. Любопытно, что в связи с горячей моделью по-другому ставится
вопрос о существовании сверхплотных тел, находящихся под своим
гравитационным радиусом. Такие тела обязаны собирать излучение своей
окрестности, и при этом они катастрофически увеличивают свою массу. Гипотеза
об изначальном существовании сверхплотных тел должна как-то учитывать
взаимодействие этих тел с окружающим их излучением.
4. Отметим конкретные вопросы, относящиеся к состоянию большой
плотности: Как обстоит дело с вихревыми движениями и магнитными полями в
этом состоянии? Какова степень однородности и флуктуации в этом
состоянии?
5. Теория образования и эволюции «обычных» объектов (звезд, галактик,
скоплений, квазаров) также должна развиваться с учетом реликтового
излучения.
6. Напомним, наконец, что до настоящего времени остается нерешенным
самый жгучий вопрос: надо ли себе представлять эволюцию Вселенной как
1) однократное расширение из особого сингулярного состояния, или как
2) однократное сжатие от t = —оо, ρ = 0 через t = 0, ρ = оо (или 1093 г/см3)
и последующее расширение, продолжающееся до настоящего времени, или
как 3) бесконечную последовательность циклов сжатия и расширения?
Производить выбор той или иной гипотезы на основе философских соображений
нельзя. Каждая из этих гипотез согласуется с известными нам законами
физики; физические законы являются не связями между ощущениями
мыслящей личности, а объективно существующими закономерностями внешнего
мира. В полном соответствии с этим и ответ на поставленный вопрос, т. е.
выбор между различными гипотезами, должен производиться на основе
объективного естественнонаучного изучения окружающей нас Вселенной как
путем наблюдений, так и путем разработки физической теории с учетом
наблюдательны χ данных.

242 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Можно высказать теоретические доводы (связанные с увеличением
энтропии) против идеи бесконечного повторения подобных циклов. Любопытно,
что в силу законов общей теории относительности картина явления
совершенно не похожа на обычное представление о «тепловой смерти». В самом деле,
на протяжении каждого цикла Вселенная может быть неоднородной, состоять
из звезд и очень мало походить на картину постоянной средней плотности
и температуры, которая соответствует максимуму энтропии в системе без
тяготения. Повторение циклов требует, чтобы плотность в настоящее время
была больше определенной критической величины рс ~ (1 -ь 2)·10"29 г/см3.
При этом Вселенная должна быть геометрически замкнутой 5. С каждым
циклом возрастает энтропия, а следовательно, и энергия, приходящаяся на
один атом в его сопутствующей системе координат, возрастает период и
размах цикла, т. е. максимальный радиус в момент перехода от расширения
к сжатию.
Однако решающее слово принадлежит наблюдательной астрономии:
именно измерение общей средней плотности вещества (включая и самые
трудно обнаружимые формы — от нейтрино и гравитационных волн до коллап-
сировавших звезд и галактик) определит свойства и судьбу Вселенной. Как
уже отмечено, если ρ ^> рс, то расширение сменится сжатием. Если ρ < рс,
остается выбор лишь между однократным расширением и однократным
сжатием, которое сменилось расширением.
Сама величина рс зависит от константы Хэббла Η ~ 75 -т- 100 км/(с·
• Мпс) ~ 0,3· 10~17 с"1, U = Нг, рс = 3#2/8яСг, гравитационная константа
G = 6,7· 10~8 см3/(г-с). Поэтому рс известно довольно точно. Основной вклад
в р, вероятно, вносит межгалактическая плазма, и поэтому практически ее
изучение является важнейшей задачей.
Вернемся от гипотез, которые излагались в порядке возрастающей
смелости (а значит, убывающей достоверности), к фактической, наблюдательной
стороне дела.
Нет ли несоответствия между несколькими наблюдениями на трех или
четырех длинах волн и грандиозностью выводов? Каковы те следствия, которые
непосредственно могут быть сделаны из опытных данных? Эти два вопроса
не случайно поставлены рядом. Понятно, что огромный резонанс и значение
опытов, о которых идет речь, зависят от сопоставления их со всей системой
взглядов эволюционной космологии, с теорией А. А. Фридмана, с
современными сведениями о взаимодействии вещества и излучения и о ядерных
реакциях. На этом стоит остановиться, потому что совсем недавно высказывалась
такая точка зрения: теория Фридмана, т. е. идея общей космологической
эволюции, является приближением, которое на определенном этапе было
полезно и привело к открытию красного смещения; но вот уже 30—40 лет эта
теория не дает новых результатов, она неплодотворна, дальнейшее развитие
должно пойти по линии замены ее другими представлениями...
Однако развитие, которое получила космология в последние годы, и даже,
точнее, в последний год, не подтвердило такой прогноз, а значит, не подтвер-
6 Вывод о замкнутости при р>рс получается как следствие уравнений общей теории
относительности, связывающих кривизну пространства с плотностью вещества. При этом
принимаются дополнительные гипотезы об отсутствии так называемого космологического
члена в уравнениях, об однородности распределения вещества и изотропности
(равноценности всех направлений) в расширении. Эти три гипотезы не могут считаться строго
доказанными, но они во всяком случае не противоречат наблюдениям, а в последнее время
получили поддержку в связи с измерениями реликтового излучения.

46. «Горячая» модель Вселенной
243
дило и приведенную выше оценку прошлого. Новые факты находят
понимание и увязываются (реликтовое излучение и химический состав) в рамках
применения теории Фридмана ко все более далекому прошлому, эта теория
оправдывается для состояний, все более близких к сингулярному. Эта теория
является плодотворной, она дает руководящие идеи наблюдениям — без нее
вряд ли было бы придано фундаментальное значение особенностям спектра
молекулы CN.
Обращаясь к непосредственным следствиям наблюдений, не связанным
с теорией, следует подчеркнуть изотропию излучения и согласие с формой
равновесного спектра (планковской кривой) в пределах изученной части
спектра. Изотропия излучения, безотносительно к определенной теории и к
предположениям о далеком прошлом, свидетельствует об одинаковости условий
в различных направлениях от нас. Слабое взаимодействие с пылью,
нейтральными атомами и плазмой рассматриваемого излучения (7 -н- 0,25 см)
позволяет сделать заключения, относящиеся к гораздо большему расстоянию,
чем это можно сделать по статистике далеких дискретных объектов.
Измеряемые сегодня кванты испытали рассеяние (в среднем) на таком расстоянии,
которое соответствует красному смещению порядка 2 = 6 или 8, т. е. в
момент с ί^ £(/15, где t0 — сегодняшний возраст. Значит, по крайней мере
начиная с этого периода, расширение происходит изотропно.
Второе следствие заключается в том, что Земля (Солнце, наша Галактика)
не имеет . большой скорости относительно поля излучения: скорость
10 000 км/с дала бы анизотропию в 10% на длине волны 7 или 3 см и 20%
на длине 0,25 см. По-видимому, такая анизотропия была бы замечена. План-
ковский спектр реликтового излучения (который следует проверить дальше
до λ ~ 0,05 см) косвенно может дать подтверждение существованию периода
равновесия света и плазмы, относящегося к более раннему этапу. Свойства
реликтового излучения при этом позволяют глубже заглянуть во Вселенную,
проверить и прямо подтвердить основы современных космологических
взглядов — изотропию и однородность практически всей доступной наблюдению
части Вселенной.
Обзор, приведенный выше, ставил целью дать общую характеристику
состояния космологии после крутого поворота, произошедшего совсем недавно.
Этот обзор в основном рассчитан на неспециалиста в области космологии, т. е.
на физика, но не астронома. Чтобы облегчить восприятие всей картины,
изложение не прерывалось техническими деталями, формулами,
приоритетными вопросами, ссылками на оригинальную литературу.
Однако читатель, заинтересовавшийся излагаемой проблемой или
отдельными ее частями, нуждается в таких материалах. Все они вынесены в
приложения, следующие за основным текстом обзора и написанные подчеркнуто
сухо, чтобы компенсировать нестрогий, беллетризованный стиль обзора.
КОММЕНТАРИЙ
Статья написана почти сразу после открытия реликтового излучения. В ней изложены
практически все идеи, получившие в дальнейшем развитие как в наблюдательном, так и в
теоретическом аспектах. И на сегодняшни день она является блестящим введением к
статьям этого и следующего за ним разделов книги.
В статье, по-видимому, впервые четко поставлен вопрос об удивительном составе
Вселенной на раннем этапе, когда концентрации нуклонов и антинуклонов были почти

244 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
одинаковы, однако небольшой перевес нуклонов обеспечивал после аннигиляции
наблюдаемое в настоящее время наличие нуклонов при отсутствии антинуклонов.
Отметим четкий отказ от «холодной» модели (см. следующую статью данного раздела).
В издании из-за ограничений в объеме печатается лишь основной текст обзора, без
приложений, изобилующих рисунками, формулами, ссылками на оригинальные работы.
Большую роль в развитии космологии как в СССР, так и за рубежом сыграли другие
обзорные статьи ЯБ1*»2*, которые вместе с комментируемой данной статьей послужили
основой при написании разделов, посвященных космологии в последующих трудах 3*>4*.
1# Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1963, т. 80, с. 357—390.
2* Zeldovich Υ а. В.— In: Advances in astron. and astrophys., 1965, vol. 3, p. 241—379.
3* Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967.
656 с.
4* Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.
352 с.
47
ДОЗВЕЗДНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕЩЕСТВА*
В соответствии с наблюдаемым в настоящее время разбеганием
туманностей считается вероятным, что на ранних стадиях эволюции Вселенной
имело место однородное изотропное фридмановское нестационарное решение
с плотностью вещества, убывающей от бесконечного значения в начальный
момент.
Рассмотрим состояние вещества в начальной стадии эволюции.
Предположим, что вещество состоит из смеси протонов, электронов и нейтрино
в равном количестве и энтропия мала. Тогда при высокой плотности
(порядка ядерной) при температуре, равной нулю, нейтрино и электроны образуют
вырожденный релятивистский ферми-газ, причем вследствие спиральности
(двухкомпонентности) нейтрино их ферми-энергия Ер выше ферми-энергии
электронов; при плотности 2,5· 1038 частиц/см3 имеем Efv = 500 МэВ,
EFe = 400 МэВ. Процесс е~ + ρ = η + ν, приводящий к образованию
нейтронов при большой плотности вещества в звездах [1], здесь оказывается
запрещенным, так как заняты состояния нейтрино, энергетически
достижимые в этом процессе. В однородной модели (замкнутой или открытой)
нейтрино никуда не уходят. При расширении такое вещество превратится
в чистый холодный водород.
По современным взглядам, считается наиболее вероятным, что именно
чистый водород является исходным веществом, из которого первично
образовывались звезды, а более тяжелые элементы явились результатом
ядерных процессов в звездах.
Ранее Г. Гамов, Р. Альфер и Р. Герман [2, 3] предполагали, что в
начальном состоянии вещество состоит из нейтронов или из примерно равного
количества нейтронов и протонов (см. также [4]) и находится при столь
высокой температуре, что плотность излучения гигантски превосходит
плотность нуклонов. Эта точка зрения, на основе которой авторы пытались
даже воспроизвести наблюдаемое в настоящее время распределение вещества
по элементам, приводит к непреодолимым противоречиям. На дозвездной
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1962, т. 43, вып. 5,
с. 1561 —1562.

47'. Дозвездное состояние вещества
245
стадии получается большое количество гелия (около 10—20%) и дейтерия
(около 0,5%). Плотность излучения (энергия/с2) остается примерно равной
плотности нуклонов после расширения вещества до современной средней
плотности нуклонов 10~30 г/см3. Эти выводы несовместимы с наблюдениями;
представление о веществе, состоящем из протонов, электронов и нейтрино,
является единственно возможным г. При плотности, во много раз больше
ядерной, когда ферми-энергия протонов становится сравнимой с их массой
покоя, в принципе становятся возможными различные процессы
образования нейтронов и гиперонов (см. [5]) (р —> η + я+, ρ —> Σ + , ρ + е~ = η + ν).
Однако расширение происходит медленно (см. [4]) по сравнению с временем
релаксации этих процессов 2, и поэтому к моменту достижения ядерной
плотности остаются только р, е~, v.
Для теории распада однородного вещества на отдельные скопления,
соответствующие галактикам, могут оказаться существенными неоднородности
плотности, возникающие в ходе расширения в интервале плотности 0,5—
2 г/см3, где происходит превращение металлического водорода в
молекулярный [6], а, может быть, и фазовый переход твердое тело—газ при
плотности меньше 0,07 г/см3. Этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д.— Докл. АН СССР, 1937, т. 17, с. 301.
2. Gamov G.— Revs. Mod. Phys., 1949, vol. 21, p. 367.
3. Alpher #., Herman R.— Revs. Mod. Phys., 1950, vol. 22, p. 153; Ann. Rev. Nucl*
Sci., 1953, vol. 2, p. 1.
4. Hayaschi C— Progr. Theor. Phys., 1950, vol. 5, p, 224.
5. Амбарцумян В. Л., Саакян Г. С.— Астрон. журн., 1960, т. 37, с. 193.
6. Абрикосов А, А.— Астрон. журн., 1954, т. 31, с. 112.
КОММЕНТАРИЙ
Я Б начал активно заниматься космологией еще до открытия реликтового излучения.
В начале он некритически подошел к отдельным указаниям, имеющимся в литературе и
касающимся малого содержания первичного гелия-4 и низкой температуры общего фона
радиоизлучения.
Грубые расчеты космологического нуклеосинтеза привели Я Б к ошибочному выводу
о том, что горячая модель противоречит наблюдениям1*. Возникла задача о поисках
другой космологической модели, сохраняющей теорию расширяющейся Вселенной
Фридмана. Вариант такой модели приведен в прилагаемой статье.
Статья представляет собой определенный исторический интерес. После открытия
реликтового излучения Я Б стал горячим сторонником горячей модели Вселенной *см. его
обзорную статью 46).
1 Подробно этот вывод обосновывается в статье автора, направленной в сборник
«Вопросы космогонии» (М.: Изд-во АН СССР, 1963, с. 5—59).
2 Заметим, что процесс, обратный образованию нейтронов, идет не как распад
свободного нейтрона, а под влиянием ферми-газа нейтрино, и потому проходит
практически полностью за время расширения.
г* Зельдович Я. Б,— Атомная энергия, 1983, т. 14. с. 92—99.

246 Часть вторая» VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
48
РЕКОМБИНАЦИЯ ВОДОРОДА
В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ*
(совместно с В. Г. Куртом, Р. А. Сюняевым)
Значительное выделение энергичных квантов при рекомбинации
водорода в расширяющейся Вселенной приводит к замедлению рекомбинации
и искажению спектра реликтового излучения в виновской области. Обмен
энергией между электронами и излучением при эффекте Комптона
поддерживает температуру вещества равной температуре излучения вплоть до
времени, соответствующего красному смещению ζ — 150, что приводит,
в частности, к изменению зависимости от времени длины волны Джинса
гравитационной неустойчивости однородной среды в расширяющейся
Вселенной.
В горячей модели Вселенной [1, 2] предполагается, что на ранней стадии
расширения полностью ионизованная плазма находится в равновесии с
излучением. Остываниепри расширении приводит к рекомбинации. Так как в
ходе расширения сохраняется удельная энтропия Т3/п = 3·106 град3· см3
[2], легко проверить *, что по равновесной формуле Саха степень
ионизации 50% достигается при температуре Τ — 4100 К и суммарной
концентрации η = ρ + Η = 2,6· 104 см~3 (буквами ρ, Η, е обозначены плотности
соответствующих частиц).
Плотность квантов во Вселенной намного больше, чем плотность ионов,
электронов и атомов (пу/п — 108). На первый взгляд кажется невозможным
какое бы то ни было обратное влияние материи на чернотельное излучение.
Как будет показано ниже, искажение спектра оказывается действительно
малым, но по значительно более сложным причинам.
Дело в том, что температура эффективной рекомбинации значительно
меньше, чем потенциал ионизации: кТ χ //40 ж Μ?α/30 (να — частота La-
кванта), поэтому плотность а энергичных квантов с ν^> να составляет малую
часть общей плотности излучения и примерно в 200 раз меньше плотности
протонов и атомов:
8лЖЪсТ
Е*е~Е'*т dE = ° егЫ*т.
(he)3
При Τ — 4100 К величина α ж 102 см-3. Согласно формуле Саха, при е =
= ρ — Η (50%-ная ионизация)
η _ (2nmekT)*
е~ 2 ~ h' в
и отношение числа электронов к числу квантов с энергией выше порога
ионизации / равно [я (тс2)3кТ/231*]Ч*. Это отношение не зависит от
абсолютного значения концентрации водорода: чем меньше п, тем ниже
температура 50%-ной ионизации, меньше и множитель ехр (—I/кТ), входящий
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1968, т. 55, вып. 1, с. 278—286.
1 Расчеты ведутся в следующих предположениях о сегодняшней ситуации: Τ =
= 3 К, п= 10-бсм-3.
а =
8π
(he)*

48, Рекомбинация водорода во Вселенной
247
в выражение числа квантов с энергией выше порога. Число квантов с ν ^>
^> να больше, чем число квантов с hv ^> /; так как hva = 3//4, то α — га3/*
и aln <— тг_1/\ т. е. слабо зависит от п.
Если бы каждый акт рекомбинации сопровождался эмиссией энергичного
кванта, то плотность квантов сильно возросла бы по сравнению с планков-
ским спектром. В настоящее время температура равновесного излучения
равна 3 К [2], так что со времени рекомбинации все длины волн увеличились
примерно в 1400 раз, и можно было бы ожидать аномалий в реликтовом
спектре для длин волн λ —10~2см. Однако предположение о выделении
энергичного кванта при каждой рекомбинации неправильно в данной ситуации;
имеет место обратное поглощение £а-квантов и более жестких. Как будет
показано ниже, происходит заметное замедление рекомбинации электронов
и протонов, так как сверхравновесная концентрация квантов с ν ^> να
влечет за собой сверхравновесную концентрацию возбужденных атомов
водорода, которые легко ионизуются мягкими квантами (/2 = //4 = 3,4 эВ).
Решающее значение играет двухквантовый переход Н* —* Η + Vi + γ2>
астрофизическая роль которого рассматривалась в [3, 4]. Ниже дана
приближенная теория рекомбинации и получающегося при этом спектра.
1. ДИНАМИКА РЕКОМБИНАЦИИ
В динамическом равновесии основными процессами являются процесс
фотоионизации Η + Υ —> ρ -{- е л обратный процесс рекомбинации с
излучением кванта. Независимо от того, идет ли рекомбинация прямо в основное
состояние или каскадно через возбужденные состояния ρ + е —> Н* +
+ γ1? Η* —» Η + γ2, излучается один квант с энергией, равной или большей
hva. Такой же квант поглощается при ионизации 2. Указанные процессы
оставляют постоянной сумму Σ = е + а, где е — концентрация электронов
и α — концентрация квантов с ν )> να.
Учтем космологическое расширение; в этом случае сохраняется
Σ' = V(e + a')4
где V — мгновенный физический объем, соответствующий постоянному
сопутствующему объему, Vn = const и α' — число квантов с частотой,
превышающей частоту
ν' = [να (1 + ζ0)/(ί + ζ')Ι = να (и'/ло)1/.,
изменяющуюся в соответствии с красным смещением в ходе расширения.
Хорошо известно, что расширение переводит равновесный спектр с
температурой Т0 в равновесный с Т' = Т0 (п /п0)Ч». Выберем момент Г0,
соответствующий 50%-ной ионизации с е/а0 ~ 100, и момент Т' такой, когда
рекомбинация практически закончилась, е/п<^.1. В таком случае из Σ' =
= const следует
а' = а0 (1 + е/а0)(п'7/ι0)1/$·
Равновесному спектру соответствует концентрация а' = а0 (η'/η0)4*,
следовательно, в принятом приближении на поздних стадиях получался бы спектр
с а', превышающий таковую для равновесного распределения в 100 раз.
2 Наряду с прямой ионизацией hv + Η = ρ + е рассматриваем и ступенчатую
hv + Η —> Η*, Η* + мягкий квант = ρ -\- е.

248 Часть вторая» VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Для настоящего времени v'a ~ 10~3 να, τ. е. это максимально возможное
нарушение равновесия относится к излучению с длиной волны порядка
10~2 см. Расширение, оставляя неизменным Σ', меняет Σ в соответствии с тем,
что а) уменьшаются все концентрации и б) часть квантов в результате
красного смещения «уходит под порог να» (их энергия становится меньше
энергии £а-кванта). Легко составить уравнение для Σ в этом предположении
άΣ/at = — ШЪ — VaXI Ы,
так как dvldt = —Жу, где/ — функция распределения квантов по частотам,
Ж — мгновенное значение постоянной Хаббла, Ж = —d In nxl*ldt. Задаваясь
виновским видом спектра
/ ~ exp (—hv/kT), a = f (va)kT/h,
получим
άΣ/dt = -ЪЖЪ - ЖЫаа/кТ.
Зная величину Σ, легко восстановить всю ситуацию. В самом деле,
быстрые процессы обеспечивают динамическое равновесие между
концентрацией электронов и концентрацией различных возбужденных состояний
водородных атомов; переходы между ними происходят за счет поглощения
и испускания квантов малой энергии, число таких квантов велико, и они,
несомненно, находятся в равновесии, соответствующем общей температуре
излучения. Значит
#* = Кер = Ке\ (1)
где К = К (/*, Т) вычисляется по формуле Саха для энергии связи
возбужденного состояния. Однако такого соотношения нет между еиН; концентрация
е больше, чем это соответствует формуле Саха. Следовательно, и / (να) не
соответствует равновесию с общей температурой Г.
Благодаря большому сечению поглощения £а-квантов устанавливается
равновесие е + ρ ^± Н* + γ1? Η* ^± Η + γα, при котором
/ (va) = const H2PIH = const·(ep/H) exp (I2P/kT),
a = JcT f (va)/h = const- Τ (ep/H) exp (I2P/kT)
(подробнее см. приложение). Здес^> Н2Р — концентрация водорода в 2Р-со-
стоянии.
Соотношение между а, е и ρ вместе с тривиальными условиями е — рг
е + Ρ + Η — η позволяет элементарно выразить через Σ, η, Τ все
интересующие нас величины е, р, /, а и концентрацию атомов водорода во всех
возбужденных состояниях 3. В частности, это относится и к H2s —
концентрации атомов водорода в 25-состоянии. С учетом двухквантового излучения
уравнение для Σ принимает вид
άΣ/dt = -ЪЖΣ — ЖЬ,хаа/кТ — w Ш& — И exp (-hvJkT)], (2)
где w = 8 с-1 — известная вероятность перехода, а последний член
учитывает возможность двухквантового возбуждения атома из основного
состояния в H*s· Строго говоря, следовало бы добавить к w вклад всех других
двухквантовых процессов 35 —> 15, 3D —> 15,. . ., а также переходов из
3 Эти концентрации малы и могут не учитываться в суммах при вычислении Σ и п.

48, Рекомбинация водорода во Вселенной
249
континуума, оставляя, однако, лишь те процессы, в которых энергия каждого
из двух квантов меньше энергии £а-кванта.
В задаче о рекомбинации при космологическом расширении η ж Τ суть
известные функции времени. В приближенной теории задача сводится к
интегрированию одного дифференциального уравнения с несколькими
алгебраическими соотношениями между входящими величинами 4.
Таким образом, получаем в функции времени все интересующие нас
величины. Чтобы найти спектр излучения в настоящее время, замечаем, что
в каждый момент спектральная плотность не испытывает разрыва при
частоте να; с другой стороны, в дальнейшем кванты с частотой ν <^ να в
рассматриваемом приближении подвергаются только красному смещению.
Поэтому каждому значению / (να) в текущий момент t' соответствует в
настоящее время / (ν = να/(1 + ζ')) = (1 + 2')~2/α (*')· Здесь ζ' — красное
смещение, соответствующее t', и степень при (1 + ζ') соответствует тому, что
/ дано как плотность квантов в единице объема (физического, не
сопутствующего!) на единицу частоты.
2. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ
Как показано в приложении, скорость ухода £а-квантов под порог равна
г%#2*р = Я^р8я^/(ЗЯХ^)[1/см3.с)].
При слабой ионизации (когда Η — h)
wa = 8лж/(гх1н)^8л&е/(3\3ап) = 8пж0/т1п0(1 + *)·/.] =
= 1,55.103/(1 + 2)8/2 [1/с].,
(Здесь учтено, что Ж = Жо(1 + s)3/2, а п = п0 (1 + ζ)3, где Ж0 и п0 —
современные значения константы Хаббла и плотности). Очевидно, что в
интересующей нас области ζ — 103, wa<^w, и скорость рекомбинации
определяется двухквантовыми распадами уровня 2S.
Пренебрегая уходом £а-квантов под порог и учитывая, что а < е,
упростим уравнение (2):
dp/dt = —ЗЖр — w [H2S — Η exp (—hvJkT)]. (3)
Перейдем к безразмерным переменным: красному смещению ζ и степени
ионизации χ — е/(е + Н) = е/п; подставляя из (1) Н2в = К (Ц, Т) е2,
получаем
dxldz = QVbvnjb1!* exp (I/AkT0z) [χ2 - (2nmekT0)V2(l - χ) Χ
χ exp (-I/kT0z)/(Qh*nczV2)], (4)
где пс = pc/mp = ЗЖ1/8тсОтр = 10~5 см-3 — критическая современная
плотность, Ω = njnc\ учтено, что
dtldz = Ж^1[{\ + 2)2(1 + Qzfl*] ж Ж?№К£1%.
4 В каждый момент при соответствующих Тип есть определенное равновесное
значение 2е, которое осуществилось бы с течением времени, если остановить расширение,
т. е. при Ж = 0. Очевидно, что при Σ' = 2е решение этих уравнений для р, е, Hzs и т. д.
тождественно даст равновесные значения, и для настоящего времени получится точно
планковское выражение, точнее, предельное его выражение — формула Вина / (ν) =
= const v2·exp (—hvlkT), поскольку не учтены стимулированные процессы. Так как
hv/kT ^ 30, эта ошибка ничтожно мала.

250 Часть вторая, VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
7
X
D,5
л
-
то гзоо 7200 то τ
v^
0,5
0
l·
Γ"
г
mo
~"^4s
N
1
mo
1
\\
\N
\
7200
I
\ X
ι
\ v
\
__l
7100 2
I
В
^h^"
Рис. 1
Отклонение степени
ионизации от
равновесной χ = р/(р + Н)
Для сравнения приведены
рекомбинационные кривые
при различных значениях
современной плотности
вещества во Вселенной: α —
— Ω = 1; ρ = 2·10~29 г/см*
Ω
0,05;
Ρ =
4200 J600 Τ, К V2 00 3600 Γ, К и
_ 10-зо г/смз
Выражение в скобках в (4) при термодинамическом равновесии, очевидно,,
равно нулю, так как представляет собой формулу Саха.
Результаты численного интегрирования приведены на рис. 1, где
представлены равновесная степень ионизации и степень ионизации, полученная
при интегрировании (4).
3. АСИМПТОТИКА РЕКОМБИНАЦИИ
При значительном понижении температуры энергии равновесных квантов
не хватает для поддержания равновесия между возбужденными уровнями
атома водорода и свободными электронами, и каждый акт рекомбинации
приводит к эмиссии энергичного кванта. Скорость фотоионизации и
диффузии вверх по энергетической оси (экспоненциально падающая с уменьшением
температуры) становится меньше скорости двухквантового распада уровня
25, начиная с ζ ~ 870 (Т ~ 2500 К). А при ζ ~ 700 сравниваются скорости
ухода ^а-квантов под порог и фотоионизации с уровня 2Р, т. е. при ζ <^ 700
каждый акт рекомбинации приводит к уменьшению степени
ионизации.Используя результаты интегрирования (4) до ζ — 870, найдем асимптотику
рекомбинации из уравнения
dpldt = —a (t)p2
или
dxldz = a (z)x2Qt^z1^Mo1nc
(5)
В области температур, где эффект Комптона квантов реликтового
излучения на электронах поддерживает электронную температуру равной
температуре излучения (см. раздел 5), Τ ж Т0 (1 + ζ) и коэффициент
рекомбинации [5]
а = а2Р + a2S =a0//T« 2,5-Ю"11//:/7 [см3/с]
пропорционален ζ-1/*, т. е.
dxldz = а^иЖ1гпсх21УТо = Ах2,
откуда
x(z) = l/(C-Az).
При Ω = 1 численный расчет дает для ζ — 870 величину χ — 2-Ю"3.
Учитывая, что до ζ — 700 уровень 2Р находится в равновесии с излучением и что
a2s ~ сс/3 [5], получаем для ζ ~ 700 значение χ ~ 3,3-Ю-4. При меньших
ζ имеем χ (ζ) = [3·103 + 43(700 — ζ)]-1. Однако при ζ~ 150 температура

48. Рекомбинация водорода во Вселенной
251
вещества отрывается от температуры излучения (см. разд. 5) и, начиная с
этого времени, α (ζ) — ζ-1 и χ (ζ = 0) = 2,5-Ю-5.5
Отношение вероятностей процессов Η + ρ —> Н\ + hv и Η + е~ -* Η" +
+ hv к вероятности радиационной рекомбинации в интересующей нас
области температур много меньше отношения р/Н = е/Н = χ [5]. Поэтому
этими процессами можно пренебречь. Слабость процессов Η + ρ —> Η2 + hv
и Η + Η —> Η2 + hv говорит о ничтожном отношении концентрации Н2
к Η в межгалактической среде.
4. ИСКАЖЕНИЕ СПЕКТРА РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Выделение энергичных квантов при двухквантовых распадах уровня
2S должно исказить вид спектра наблюдаемого реликтового излучения
F (v0) в виновской области. Если /ν — спектральная светимость единицы
объема и ν = ν0 (1 + ζ), то согласно [7] искажение спектра
**<*)--k S
zmax . / ч ,
/ν (ζ) dz
о (1+*)β(ΐ+Ωι)ν.
При двухквантовом излучении
/ν (ζ) = hvA (v/va)N2S (ζ)/4π,
где Α (ν/να) — вероятность испускания кванта с частотой ν в единичный
интервал частот, протабулированная в [4], причем
Поэтому
(1+ *)*(! +Ω*)1'»
Начиная с 2 — 700, каждый акт рекомбинации приводит к эмиссии
энергичного кванта, поэтому асимптотика F(v0) имеет вид [7] при να/ν0 = ζα <^ 700:
ν
F (vo) = ^- Ων·#α (ζα) *2 (ζα) ~ 6 · 10-29Ω3/* -2-,
при vjv — 700
F (v0) = 6· ΙΟ"28 (να/ν).
Рассчитанный вид спектра приведен на рис. 2. Вместо ожидавшегося
100—200-кратного превышения равновесной спектральной плотности в
узкой области мы имеем совершенно иную картину.
При λ <[ 1,6·10~"2 см излучение от рекомбинаций всегда значительно
превышает равновесное, но мало абсолютно. Видимо, в этой области даже
5 Остаточная степень ионизации в горячей модели Вселенной была ранее найдена
Л. М. Озерным в предположениях полного термодинамического равновесия, последующей
закалки и рекомбинации при Τ ~ (1 + ζ)2; было получено χ (ζ = 0) = 10"4 [6].
Очевидно, что наше рассмотрение должно сильно увеличивать χ (ζ = 0).

252 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
48
\-
1
2,5W2
Ι ι
\ л=/
\
\
\
\
\
ι Ι \
1 1 1 ,._
Рис. 2
Искажение спектра реликтового излучения при
рекомбинации водорода (Fv, эрг/см2·с·Гц·ср).
Пунктиром дана планковская кривая
2W3 1,510д W3800 z
-22\- Ν\^ν _ I такие слабые факторы, как излучение пыли
в инфракрасном диапазоне, окажутся более
существенными. Необходимо учитывать, кроме
того, искажение спектра вследствие обратного
-2б\- \ | эффекта Комптона излучения на горячих
электронах при ζ — 100 [8], если к этому времени
уже произошел вторичный разогрев газа, а
также собственное тормозное излучение горя-
-д0\ 1 _„ 1 L—-—\ 1 чего межгалактического газа.
Следует еще раз подчеркнуть, что
полученное значительное превышение спектра над
равновесным относится к области спектра, в
которой общее число квантов и энергия их
составляют весьма малую часть от всего равновесного излучения, поэтому
указанное изменение интенсивности соответствует ничтожному изменению
эффективной температуры. Однако, как видно из рис. 2, измерения потока
при λ <^ 2-Ю"2 см позволят установить верхнюю границу для плотности
вещества во Вселенной.
5. ОБМЕН ЭНЕРГИЕЙ МЕЖДУ ЭЛЕКТРОНАМИ И ИЗЛУЧЕНИЕМ
Замедление темпа рекомбинации по сравнению с формулой Саха приводит
к тому, что плотности непрорекомбинировавших электронов (а она
практически не зависит от общей плотности вещества) хватает до ζ — 150 для
поддержания температуры вещества, равной температуре излучения. Энергия
от квантов передается электронам благодаря эффекту Комптона;
столкновения выравнивают температуру электронов и атомов водорода.
Скорость обмена энергией между излучением и электронами [9]
L = 4σ0& (Ту — Те) &у/тес,
где σ0 — томсоновское сечение, <£у ~ (1 + ζ)4— плотность энергии
излучения, Те и Ту — температуры электронов и излучения. Если бы не было
комптоновского обмена энергией между электронами и излучением, то
температура электронов после рекомбинации падала бы по адиабате с γ = 5/3,
а температура излучения — с γ = 4/3, т. е. Те ~ р2/з — (1 + ζ)2, а Ту —
— р7з — (1 _|_ ζ). Отсюда
d (Ту - Tjldz = Ty/(l +z)- 2Ге/(1 + ζ).
Граничное значение zm\n, вплоть до которого Ту — Те, можно было бы
получить, приравнивая d (Ту — Te)ldz и
L(z) = L (t)dtldz = 4a0fcf (ζ)(ί + z)VmecM0 (1 + Ω*)1/..
Однако нейтральных атомов водорода много больше, чем электронов, и
соударений с газокинетическим сечением вполне достаточно для передачи им
энергии от электронов, поэтому для поддержания температуры вещества
необходима передача энергии от излучения электронам, в Их раз большая,

48, Рекомбинация водорода во Вселенной
253
т. е.
кТ (ζ)/(ί + *) ~ Ао0кТ (ζ)χ (1 + z)VmecM0 (1 + Ω*)1/.,
отсюда
4σ0Ω"1% (Ω, z)z*4mcM<> = 1.
Следовательно, zmin слабо зависит от Ω и равно 150—200.
Изменение температуры вещества по адиабате с γ = 4/3 в течение столь
длительного периода должно отразиться на джинсовской длине волны
гравитационной неустойчивости в однородной расширяющейся Вселенной.
Джинсовская масса остается после рекомбинации постоянной, в то время
как при отсутствии взаимодействия реликтового излучения и плазмы она
убывает по степенному закону [10].
Авторы благодарны Л. Доможиловой и А. Г. Дорошкевичу за помощь
в проведении численных расчетов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Найдем скорость ухода квантов под порог при расширении Вселенной.
Уравнение для спектральной плотности квантов в линии La выглядит
следующим образом:
dfv/dt = Avy (v)#*p — -Ζ?νφ (ν)/ν#,
где Av и Βν — коэффициенты Эйнштейна, φ (ν) — профиль линии. Так как
при расширении Вселенной
ν = vo (toft)*'· и dv/dt = —2v0*o 73#* ~ —2ν/3ί = — Μν,
το
dfv/dt = dfv/dt — (dfv/dv)Mv.
Решая характеристическое уравнение
άμΐΒνψ (ν) Я (/* -/v)] = -dvlXv,
где
/* = H*PAV/HBV = Я*р8яМ>3/3#с3,
получаем
ν
fv = f*(i-exV{-(n-p)BvJMva} I <p(v)dv),
откуда видно, что вне профиля /ν ^ /* 6. Теперь можно найти число
квантов, уходящих под порог. Оно равно
—/* (dv/dt)/hv = Mf*lh =HtP8nv*M/3Hc8 Гсм-'-с"1].
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 27 декабря 1967 г.
6 Индуцированное излучение можно не учитывать, так как вследствие низкой
температуры Н2Р <^ Н.

254 Часть вторая* VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
ЛИТЕРАТУРА
1. Gamov G.— Phys. Rev., 1946, vol. 70, p. 572.
2. Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1966, т. 89, с. 647.
3. Киппер А. #.— Астрон. журн., 1950, т. 27, с. 321.
4. Spitzer L., Greenstein J. L.— Astrophys., 1965, vol. 114 p. 407.
5. Атомные и молекулярные процессы. Под ред. Бейтса. М.: Мир, 1965.
6. Озерной Л. М.— Дис. канд. физ.-мат: наук; М.: ГАИШ, 1966.
7. Курт В. Г., Сюняев Р. А.— Космич. исслед., 1967, т. 5, с. 573.
8. Weymann Я.— Astrophys. J., 1966, vol. 145, p. 560.
9. Weymann #.— Phys. Fluids., 1965, vol. 8, p. 2112.
10. ДорошкевичА. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Астрон. журн., 1967, т. 44, с. 295.
КОММЕНТАРИЙ
История этой работы такова: весной 1967 г. В. Г. Курт, занимавшийся в то время
внеатмосферными наблюдениями планет и межпланетной среды в линии La водорода (λ0 =
= 1216 А) поставил перед ЯБ и Р. А. Сюняевым вопрос — куда делись фотоны La,
образующиеся при рекомбинации водорода во Вселенной и не должна ли в спектре
реликтового излучения наблюдаться узкая яркая линия с длиной волны λ0 (1 -|- zr) —-170 мкм.
Напомним, что еще в пионерской работе Г. Гамова (ссылка 1 в литературе
комментируемой статьи) было отмечено, что рекомбинация водорода во Вселенной должна происходить
согласно формуле ионизационного равновесия Саха. Подстановка параметров Вселенной
(температуры реликтового излучения и средней плотности вещества) в эту формулу
показала, что рекомбинация произошла при ТТ ~ 4000 К, т. е. при красном смещении zr ~
~ 1500.
Вопрос В. Г. Курта привлек внимание его будущих соавторов. Оценки показали, что
уход фотонов в линии La в далекое крыло линии за счет космологического красного
смещения и уширения линии вследствие многократных резонансных рассеяний идет
сравнительно медленно. Высокая плотность фотонов в линии приводит к высокой заселенности
возбужденных уровней и тормозит темп рекомбинации. Неожиданно оказалось, что
наиболее эффективным механизмом является не излучение фотонов в линии La и их уход в
красное крыло, а двухквантовый распад уровня 2S. В работе выведено уравнение,
описывающее ход рекомбинации, приведено его численное решение и рассчитаны возникающие
при рекомбинации искажения спектра реликтового излучения.
В 1967 г. в США состоялся Техасский симпозиум по релятивистской астрофизике,
в работе которого участвовали И. С. Шкловский и И. Д. Новиков. Они рассказали об
этой работе, ее основной идее и результате. Известный американский астрофизик
Дж. Пиблс повторил все расчеты и опубликовал их1*, указав во введении, что идеи и
основной результат он заимствовал из замечаний (remarks) И. С. Шкловского на Техасском
симпозиуме и обзора И. Д. Новикова и Я Б 2*.
Комментируемая работа оказалась весьма важной для космологии. Ее результаты
вошли во многие книги (см., например работу Пиблса 3* и Я Б и Новикова 4*).
Найденная в статье остаточная концентрация свободных электронов (не успевающих
прорекомбинировать за космологическое время) оказалась достаточной для
поддержания температуры электронов и ионов равной температуре излучения вплоть до ζ ~ 400.
Впоследствии Д. А. Варшалович, В. К. Херсонский и Р. А. Сюняев б* показали, что
к подобному эффекту ведет малая концентрация тяжелых элементов (С, О, N и т. п.).
Отметим, однако, что в космологической ситуации при больших Ζ заметное обилие тяжелых
элементов маловероятно.
Немгновенность рекомбинации приводит к усиленному затуханию возмущений
средних масштабов из-за эффектов лучистой вязкости и теплопроводности6*.7*. Масштаб
выживающих возмущений растет. И, главное, затягивание рекомбинации приводит к замы-

49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. I 255
ванию мелкомасштабных угловых флуктуации реликтового излучения (это было впервые
отмечено в статье ЯБ и Р. А. Сюняева (статья 66), также вошедшей в этот сборник, и
учитывается во всех последующих расчетах). Позднее М. Лонгейр и Р. А. Сюняев 8*,
ЯБ и Р. А. Сюняев (упомянутая выше статья, вошедшая в данный сборник) нашли
асимптотическое аналитическое решение, описыьлюъле ход рекомбинации при 1000 <<
< ζ < 1500, когда концентрация электронов меньше концентрации нейтральных атомов.
Был рассчитан ход рекомбинации гелия9*. В. К. Дубрович 10* отметил, что в спектре
реликтового излучения должны существовать слабые спектральные детали, связанные с
переходами между возбужденными уровнями в атоме водорода. Ю. Э. Любарский и
Р. А. Сюняев п* указали, что при наличии сильных первичных искажений спектра
реликтового излучения такие детали могут оказаться наблюдаемыми. Кроме того, они
рассчитали ход рекомбинации в различных космологических моделях, в частности, с учетом
скрытой массы, сосредоточенной в слабовзаимодействующих частицах. Подробные
расчеты рекомбинации опубликовали Б. Джонс и Р. Визе12*.
Сравнение данных наблюдений межзвездного дейтерия с результатами расчетов
нуклеосинтеза в горячей модели Вселенной свидетельствует о низкой современной средней
плотности барионов во Вселенной η ~ 10~7 см~3. Это значение существенно меньше, чем
принятые в комментируемой работе η ~ 10~б -τ- 3-10-7 см-3. В работах Ю. Э.
Любарского, Р. А. Сюняева п* и Б. Джонса, Р. Визе 12* расчеты проведены для η ~ 10~7 см-3.
ι* Peebles P. J. Е.— Astrophys. J., 1969, vol. 153, p. 1—11.
2* Novikov I. D., Zeldovich Υ а. В.— Ann. Rev. Astr. and Astrophys., 1967, vol. 5,
p. 627.
3* Пиблс Дж. Физическая космология. М.: Мир, 1975. 310 с.
4* Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука,
1975. 736 с.
б* Варшалович Д. Α., Херсонский В. #., Сюняев Р. А.— Астрофизика. 1981, т. 17,
с. 487—493.
6* Silk /.— Astrophys. J., 1968, vol. 151, p. 459—471.
7* Чибисов Г. В.— Астрон. журн. 1972, т. 49, с. 74—84.
8* Longair Μ. S., Sunyaev R. Α.— Nature, 1969, vol. 223, N5207, p. 719—721.
9* Sato #., Matsuda Т., Takeda H.— Suppl. of the progress of the theoret. phys.,
1971, N49, p. 11—82.
10* Дубрович В. К.— Письма в Астрон. журн., 1975, т. 1, с. 3—4.
11 * Lyubarsky Υ. Ε., Sunyaev R. Α.— Astron. and Astrophys., 1983., vol. 123,
p. 171-182.
12* Jones B. J. Г., Wyse R. F. G.— Month. Not. Roy. Astron. Soc, 1983, vol. 205,
p. 983-1007.
49
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ИЗЛУЧЕНИЯ
В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ*
(совместно с Р. А. Сюняевым)
В этой статье мы продолжаем начатое Р. Вейманном исследование причин
отклонения реликтового спектра от планковской кривой. Обсуждаются
искажения спектра вследствие излучения при рекомбинации первичной плазмы,
получены аналитические формулы для отклонений от равновесного спектра
при комптоновском эффекте на горячих электронах, на основе
наблюдательных данных доказывается необходимость периода нейтрального водо-
* Astrophysics and Space Science, 1969, vol. 4, N 2, p. 285—300.

256 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
рода в эволюции Вселенной. Показано, что любое выделение энергии при
—1010 с (красное смещение —105) приводит к отклонениям от равновесного
спектра.
1. ВВЕДЕНИЕ
Со времени открытия реликтового излучения прошло уже более трех лет.
За это время появились десятки экспериментальных работ, проведены
прямые измерения или получены верхние границы температуры реликтового
излучения в диапазоне длин волн от 50 до 5,6· 10~2 см. Совокупность
результатов этих работ приведена на рис. 1. Температура излучения оценивается
в настоящее время по данным на 3,2; 1,58 и 0,86 см в 2,68ί£?4Κ И, 2].
Двадцатилетней давности данные по температуре возбуждения
вращательных уровней молекул CN, СН, СН+ в межзвездной среде позволили
установить верхнюю границу на температуру излучения в далекой виновской
области [3] и оценить ее при λ = 0,263 см [3, 4]. Эта оценка, а также новые
измерения в миллиметровой области (λ = 3,3 мм) доказали, что наблюдаемый
спектр реликтового излучения принципиально отличен от спектра излучения
«серого» тела. Попытки объяснить наблюдаемый фон в сантиметровом
диапазоне совокупным излучением источников с аномальным изломом спектра
в области 50—30 см (см., например, [5]) обречены на провал.
Несостоятельными являются, по-видимому, и попытки объяснить происхождение
реликтового излучения переизлучением на пыли оптического излучения
гипотетических празвезд. В [6] было показано, что такое объяснение встречает
значительные трудности.
Фоновое радиоизлучение дало уже космологам значительную
информацию о изотропии расширения Вселенной [7] и о ранних стадиях ее эволюции,
подтвердив горячую модель Вселенной [8].
Рассмотрение физических процессов, приводящих к формированию
спектра реликтового излучения, показывает, что практически любое
выделение энергии в ходе расширения Вселенной до момента t — 1010 с будет
полностью переработано; плазма и излучение будут все время находиться
в термодинамическом равновесии, спектр излучения будет планковским.
В интервале 1010 <^ £<^3·1017 с взаимодействие излучения с электронами
уже не может превратить спектр, отличающийся от планковского, в планков-
ский. Отсюда следует, что наблюдаемое сейчас реликтовое излучение было
сформировано до момента t ~ 1010 с, соответствующего красному смещению
ζ ~ 105.
Для дальнейшего примем наличие полного равновесия при ζ ^> 105.
Это равновесие сохраняется вплоть до ζ — 1500. Дело в том, что согласно
горячей модели Вселенной на ранних стадиях расширения полностью
ионизованная плазма находилась в равновесии с излучением. Дальнейшее
охлаждение плазмы при расширении должно было привести к рекомбинации
водорода и сопровождается искажением спектра реликтового излучения
в его «синей» части (при hv/kTr ^> 30, т. е. при λ <^ 0,02 см для
современного наблюдателя). Мы приведем результаты расчетов, проделанных в [9],.
В ходе дальнейшего расширения в строго однородной модели водород
должен оставаться нейтральным. Однако мы знаем, что в действительности
вещество собирается в звезды, галактики, скопления галактик, т. е.
заведомо имеет место заметная неоднородность. По-видимому, эта
неоднородность приводит и к ионизации газа, может быть даже на более ранней стадии,
до образования современных структур. Наблюдения в нашей окрестности,

49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. 1
257
Рис. 1
Возможные искажения реликтового
излучения при комптон-эффекте на
горячих электронах; на кривой
реликтового излучения нанесены
существующие экспериментальные
точки (ссылки в работах [3, 21, 26])
вплоть до областей,
соответствующих красному смещению
ζ— 2, не обнаружили заметной
плотности нейтрального
водорода. В то же время они не
противоречат существованию
горячего ионизованного
межгалактического газа г. Таким
образом, подтверждается
предположение о ионизации газа.
Совместить существование
межгалактического газа с горячей
моделью Вселенной можно, если
предположить вторичный
разогрев и ионизацию газа,
который после этого уже не
находится в равновесии с
реликтовым излучением.
Возникает весьма важный качественный вопрос: можно ли утверждать,
что между равновесной ионизованной плазмой при ζ— 1500 и современным
неравновесным ионизованным газом действительно была стадия
нейтрального водорода? В какой момент (при каком ζ) произошла вторичная
ионизация. Р. Вейманн [13] отметил, что излучение газа после ионизации и компто-
новское рассеяние квантов на электронах должны приводить к
значительным искажениям спектра реликтового излучения и нести информацию о
времени разогрева газа.
Нам удалось найти аналитическое выражение для искажения спектра
в результате комптон-эффекта и доказать на основе существующих
измерений необходимость периода нейтрального водорода в эволюции Вселенной.
Часть приводимых здесь результатов была ранее опубликована в [9, 14].
0,07
2. ИСКАЖЕНИЯ СПЕКТРА ПРИ РЕКОМБИНАЦИИ ВОДОРОДА
В горячей модели Вселенной предполагается, что на ранней стадии
расширения полностью ионизованная плазма находится в равновесии с
излучением. Остывание при расширении приводит к рекомбинации. Согласно
формуле Саха, степень ионизации, равная 50%; е = ρ = Н, достигается при
1 Более того, последние результаты наблюдений рентгеновского фонового излучения
в мягкой области интерпретируются как обнаружение межгалактического газа с
температурой в интервале 10б— 10е Кис плотностью порядка критической (рсг = SHq'SkG =
= 2-10""29 г/см3) [10, 11]. Правда, как сейчас считает один из авторов (Р. С.),
существование весьма протяженных мостов между галактиками и распределение нейтрального
водорода на периферии галактик ставит под сомнение подобную интерпретацию [12].
9 Я. Б. Зельдович

258 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Рис. 2
Искажение спектра при рекомбинации
водорода
Τr — 4000 К, в период,
соответствующий красному смещению
ζ ~ 1500.
Плотность квантов во
Вселенной намного больше, чем
плотность ионов, электронов и атомов:
пу/(р+Н)=0,24ШпСТ (kTr/hc)3=
= 4,15·107Ω-\
где Ω = р/рсг = п/пст- Однако
температура, при которой
эффективно идет рекомбинация,
значительно меньше, чем потенциал
ионизации и возбуждения первого
уровня в атоме водорода:
кТг ~ //40 ~ W30
(να— частота £а-кванта), поэтому
в период рекомбинации плотность энергичных квантов с ν ^> να составляет
малую часть общей плотности квантов и примерно в 200 раз меньше
плотности ионов и атомов.
В. Г. Курт заметил **, что если бы каждый акт рекомбинации
сопровождался эмиссией энергичного кванта, то их плотность сильно возросла бы
по сравнению с планковским спектром. Так как со времени рекомбинации
все длины волн увеличились в 1500 раз, то можно ожидать аномалий в
реликтовом спектре для длин волн λ — 10~2 см.
Этот вопрос подробно рассматривался в [9] 2. Предположение о выделении
энергичного кванта при каждом акте рекомбинации неправильно в данной
ситуации, так как имеет место обратное поглощение квантов La и более
жестких. Вследствие этого происходит заметное замедление рекомбинации
электронов и протонов, так как сверхравновесная концентрация квантов
с ν ^> να влечет за собой сверхравновесную концентрацию возбужденных
атомов водорода, которые легко ионизуются мягкими квантами (/2 = //4 =
= 3,4 эВ). Уменьшение концентрации протонов и электронов, находящихся
в термодинамическом равновесии с возбужденными уровнями, происходит
главным образом за счет двухквантового распада метастабильного уровня
2s атома водорода.
Выделение энергичных квантов при двуквантовых распадах уровня
2s должно исказить вид спектра наблюдаемого реликтового излучения в ви-
новской области. В [9] было рассчитано искажение спектра в предположении
Тг = 3 К. На рис. 2 приведены кривые, демонстрирующие искажения
спектра при Тг = 2,7 К. Заметные отклонения (AJ/J = 30%) можно ожидать
уже при λ —230 мкм. При λ <^ 230 мкм излучение от рекомбинации всегда
значительно превосходит равновесное, но мало абсолютно. Излучение ра-
2 О результатах этой работы говорилось в [15, 16]. Результаты Дж. Пиблса [17]
находятся в хорошем согласии с нашими.
** См. предыдущую статью в данной книге.

49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной, I 259
диогалактик и звезд в инфракрасном диапазоне, видимо, значительно
меньше. Оценки теплового излучения метагалактической плазмы и искажений
при комптон-эффекте на тепловых электронах показывают, что если
разогрев газа произошел при ζ<^20/Ω, то они в области λ ~240 мкм значительно
слабее рекомбинационного излучения. Лишь излучение пыли в галактиках
(существующие теоретические оценки интенсивности этого излучения крайне
ненадежны) и излучение инфракрасных объектов могут оказаться более
сильными.
Измерения в области длин волн λ — 200 мкм крайне интересны, так как.
во-первых, они могут дать информацию о периоде ζ — 1000, а, во-вторых;
возможно, позволят установить плотность вещества во Вселенной: как видно
из рис. 2, рекомбинационное излучение существенно зависит от плотности
вещества.
3. ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Известно, что если ионизация определяется электронными ударами, то до
температур Те — 104К водородная плазма остается практически
нейтральной, при больших же температурах степень ионизации быстро растет.
Этот факт в совокупности с наблюдаемой низкой яркостной температурой
теплового излучения газа (см. ниже) говорит о его малой оптической толще
вплоть до периода, соответствующего красному смещению ζ — 104. Поэтому
в дальнейшем при оценках теплового излучения метагалактической плазмы
мы не будем принимать во внимание самопоглощение, т. е. использовать
формулы для излучения тонкого слоя. Объемный коэффициент излучения
при свободно-свободных переходах ί18] равен
Etf (ν) = 5,44.10-39£Ге~1/2 exp (-hv/kTe)n2e эрг/(см3.с.ср.Гц), (1)
где фактор Гаунта g: при hv^>kTe g = 1, а при hv<^kTe g =
= ]/"3/π (In (AkT/hv) — 0,577). Нас в основном будет интересовать случай
hv <^ кТе, когда спектр радиоизлучения межгалактической плазмы
плоский, что облегчает его идентификацию
Eff (ν) = 5,44-Ю-39 gTeUn\ эрг/(см3.с.ср.Гц). (2)
Так как спектр реликтового излучения имеет максимум в области длин
волн λ — 0,1 см, то следы теплового радиоизлучения плазмы следует искать
в длинноволновой λ — 50 см и коротковолновой λ— <^0,03 см областях.
В области длин волн λ — 50—100 см вклад совокупного радиоизлучения
дискретных объектов: галактик, радиогалактик и квазаров в радиофон
Вселенной сравнивается с вкладом реликтового излучения. Согласно А. Бридлю
[20], яркостная температура внегалактической компоненты радиофона на
170 см составляет 30 + 7 К. Ее спектральный индекс равен 0,7 (Ть — 3 К
при λ = 75 см). Вклад излучения нашей Галактики в радиофон неба сильно
зависит от направления и сравним с вкладом реликтового излучения вплоть
до λ — 40—60 см.
Измерения Т. Хауэлла и Дж. Шейкшафта [21] на волнах λ = 75 см
и λ = 50 см и Пелюшенко и др. на λ = 15, 20, 30 см [22] позволили установить
верхнюю границу на интенсивность теплового радиоизлучения
межгалактической плазмы:
Л<10""19 эрг/(см2.с.ср.Гц)(Гд(50 см)< 1 К).
9*

260 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
4. ИСКАЖЕНИЕ СПЕКТРА РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ПРИ КОМПТОН-ЭФФЕКТЕ НА ТЕПЛОВЫХ ЭЛЕКТРОНАХ
Этот вопрос был подробно исследован Р. Вейманном [13], рассчитавшим
численно несколько вариантов искажения спектра. Нам удалось получить
аналитическое выражение для искажения спектра при комптон-эффекте
на тепловых электронах (вывод дан в приложении). При выводе были
использованы формулы, полученные ранее А. С. Компанейцем [23] и Р. Вейманном
[24].
Для изменения со временем чисел заполнения
h (ν, Τ) = (8nhv3/c3)-4E/dv
в нерелятивистском приближении кТе <^ζ mec2 и кТг <^ζ mec2 (в этом случае
изменение частоты кванта при каждом акте рассеяния происходит из-за
наличия тепловых скоростей электронов, т. е. в результате доплер-эффекта)
А. С. Компанеец и Р. Вейманн дают формулу
яп кТ' тг σ я
игь е ее/ i\— о ^
dt m с*
И-2жИ4(|- + " + 4 <3>
где Теи Тг — температуры электронов и излучения, пе — плотность
электронов, σ — томсоновское сечение, и х1 = hv/kTe. В случае Те ^> Тг эта
уравнение упрощается и принимает вид
dt ~~ т& с Х дх дх · v '
Удобно перейти к χ = hv/hTr, так как в ходе расширения Вселенной
частота и температура излучения меняются по одному и тому же закону ν —
— (1 + ζ) и Τr ~ (1 + ζ)· Теперь можно вслед за А. С. Компанейцем ввести
безразмерную переменную
г» кТ Х? кТ
с0 0
где τ = J o0nedl — оптическая толща по томсоновскому рассеянию. Переходя
от t и пе к красному смещению ζ и безразмерной плотности Ω = р/рСг имеем
~ЬЧ —'х дх х дх ' К '
max
y=QnCr GocH'1 [ кТе(*] }±l=dz. (5')
* ,1 mec ]f\ + Qz
Здесь Η о — современное значение постоянной Хаббла; учтено, что
dt/dz = сЩх1[{\ + z)2fl + Ωζ].
Уравнение (4') легко решить при малых значениях параметра ι/, когда
отклонения от планковской кривой малы, подставляя в правую часть
невозмущенную планковскую функцию п0 (х) = 1/(ех — 1). Тогда, как показано

49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. I 261
в приложении, относительное искажение спектра описывается формулой
по /о * е — 1 V '
Физический смысл зависимости степени искажения от частоты
прозрачен: сохранение общего числа квантов сопровождается повышением средней
энергии кванта: при этом поток в рэлей—джинсовской области уменьшается
(х < 3,83), а в виновской области растет. Но мы не знаем первичного,
неискаженного потока. Температуру реликтового излучения определяем из
измерений в различных участках спектра: с наибольшей точностью — в
рэлей—джинсовской области. Удобно перейти к выражению, в которое входят
лишь наблюдаемые значения температуры. Учитывая уменьшение
температуры в рэлей—джинсовской области, получаем (см. приложение)
T(x)-Tvn _ f χ л J (χ)-J (*, Грд) _
Грд y\th(xl2) J' /(*, ГРД)
Величина искажения, как и следовало ожидать, растет с увеличением
частоты.
В виновской области при больших х, где даже у <^Ξ 1 может привести
к значительным отклонениям от планковской кривой, как показано в
приложении,
J (X) ( , Οίο — ηϋβ) \ 1 η О г/ /Qv
Эта формула верна при у < 1. Наконец, при любом у имеет место следующее
соотношение для плотности энергии излучения:
оо
Ε = ^L· С /v dx = оП Де12у. (9)
о
Часть показателя экспоненты 8г/ связана с тем, что наблюдаемая
температура в рэлей—джинсовской области меньше первичной, Грд — Т0е~2у, а другая
часть —4ι/ обязана своим появлением увеличению средней энергии кванта
при комптоновском процессе Ε = Е0е*у — ъТ\е*у'. Наименьшее значение из
современных наблюдений можно найти по формулам (7), (8), используя
данные измерений температуры возбуждения уровней молекулы CN и прямых
измерений потока на длине волны λ = 0,33 см. Последние оценки по циану
В. Бортолота, Дж. Клаузера и П. Таддеуша [25] дают для λ ~ 0,263 см
Τ γ — 2,83 ± 0,15 К, а из принстонских измерений следует, что Тг — 2,46 ±
± 0,44 К при λ — 0,33 см. Эти данные согласуются в пределах ошибок
с измерениями в рэлей—джинсовской области Грд = 2,68!^д4 К, поэтому
не исключено, что у s= 0. Однако в тех же пределах этим данным не
противоречит и любое у < 0,15, которое может привести к значительному
искажению спектра в виновской области и к огромному (е12У ~ 6) увеличению
плотности излучения:
0,25 эВ/см3 < Ε < 1,5 эВ/см3,

262 Часть вторая, VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Таким образом, отсутствие точных измерений реликтового спектра в области
максимума приводит к большой неопределенности в важнейшей величине Е.
На величине Ε = 0,25 эВ/см3 в настоящее время базируются расчеты по
рентгеновскому излучению и тепловому балансу межгалактического газа,
связанные с обратным комптон-эффектом.
5. НЕОБХОДИМОСТЬ ПЕРИОДА НЕЙТРАЛЬНОГО ВОДОРОДА
В ЭВОЛЮЦИИ ВСЕЛЕННОЙ
Как уже говорилось в разд. 2, при ζ ~ 1500, согласно горячей модели
Вселенной, должна была произойти рекомбинация водорода. При
дальнейшем расширении водород должен был оставаться нейтральным. Однако
наблюдения в линии λ — 21 см и измерения поглощения линии La в
спектрах далеких квазаров указывают на отсутствие нейтрального
межгалактического водорода. Дадим грубую оценку на 2тах, при котором произошел
вторичный разогрев. Ранее нам удалось показать, что разогрев газа не мог
произойти ранее ζ ~ 300 [14].
Действительно, наличие экспериментального предела на
радиоизлучение газа (см. разд. 3).
$E„dl/(i + ζ)3</ν (10)
И ограничение потерь энергии газом при обратном комптон-эффекте
тепловых электронов на реликтовом излучении полным возможным
энерговыделением
lL-dt<w (11)
дают возможность ограничить период существования неравновесно
ионизованного газа. В (11) согласно [24]
L = 4σ0Λ (Те - Tr) aTt/mempc *= 3·10-12(1 + zfTe (z) эрг/(г-с), (12)
a Eff в (10) задается выражением (2), причем фактор Гаунта принят равным
g = 10, так как измерения сделаны на дециметровых длинах волн, а
температура газа оказывается порядка ΙΟ5—106 К. Неравенства (10) и (11)
дают нам систему из двух функционалов
ZTX (iA-z)T-^4z)
J fl + Ωί N '
о
zmax
(1 + Z)2r«(ZU<10-e„. (110
γ\ + Ωζ
Тормозное излучение ионизованной плазмы велико при низкой
электронной температуре, а комптоновские потери значительны при высокой.
Система функционалов (10') и (11') позволяет найти экстремальную функцию
Те (ζ) = 1,4-ΙΟ"18 (mV/v)2/3Q4/32-2/s
и наибольший возможный момент разогрева zmax = 1,1· ΙΟ5 (/* w2/Qs).
При любой другой зависимости Те (ζ) для тех же Jvnw одно из неравенств
(10) или (11) приведет к меньшим ζ разогрева.

49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной, I 263
В [14], предполагая наличие лишь ядерных источников энергии и
соответствие первичного химсостава горячей модели Вселенной, мы указали на
необходимость периода нейтрального водорода в эволюции Вселенной (zmax<
< 300). Однако недавно появилась интересная работа Л. М. Озерного и
А. Д. Чернина [27], в которой указывается на возможность нагрева газа
реликтовой турбулентностью и на выделение при этом энергии, значительно
превышающей как ядерную энергию, так и энергию покоя вещества (тс2);
в такой теории критерий (11) отпадает. Комптон-эффект электронов,
подогреваемых турбулентностью (или другими источниками неограниченной или
точнее — неизвестной мощности), на реликтовом излучении должен
искажать его спектр. Наличие верхней границы величины этого искажения и
«эффективной толщи рассеяния» (разд. 4)
zmax .
y=a0QncrcH?J^ ξ ^±L Te(z)dz<0,l5, (13)
6 о
в совокупности с ограничением на тормозное излучение газа дает вторую
систему функционалов:
zmax
Ω2 \ [(1 + z)/Vl + Qz] Ttu (z) dz < 1,8.1019/v, (10')
о
zmax
Ω [ [(1 + ζ)/]/Ί + Ωζ] Te (ζ) dz < 9. ΙΟ1 γ
о
Экстремалью этой системы является функция
Τβ(ζ)*= 2,9.10-6(Ω^ν)2/*
(т. е. постоянная, не зависящая от температуры), а
Используя существующие пределы
Jv < 10"19 эрг/(см2-с.ср«Гц) и у < 0,15,
получаем zmax < 300 Ω"7/., при этом Те = 3,8·106Ω2/3 К.
Таким образом, если средняя плотность вещества во Вселенной
превышает ρ = 0,12ркрит — 2-Ю""30 г/см3, то из наблюдений следует необходимость
периода нейтрального водорода во Вселенной. При этом затраты энергии
на нагрев вещества ограничены сверху w < 2,5·1018Ω~16/· эрг/г.
6. ФОРМИРОВАНИЕ СПЕКТРА РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Любое выделение энергии в ходе расширения Вселенной, приводящее
к повышению температуры плазмы, искажает и спектр реликтового
излучения. Однако существует момент времени £1? такой, что взаимодействие
вещества и излучения при дальнейшем расширении замывает все искажения
и делает спектр излучения близким к планковскому. Нагрев же электронов
после этого момента времени приводит к отклонениям от планковской
кривой.
(13')

264 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Как показали Р. Вейманн и А. С. Компанеец, комптоновское рассеяние
излучения на максвелловских электронах с Те ^> Тг приводит к
установлению бозе—эйнштейновского распределения с числом квантов меньшим, чем
в планковском распределении:
η (χ) = (е«+х — Ι)"1, а > О, (14)
причем время приближения к квазиравновесному распределению (14)
характеризуется величиной у' = 4ι/ ^ 1, где у задается формулой (5). В
условиях расширяющейся Вселенной с плотностью вещества ρ = Ωρ0Γ и с
температурой электронов Те ^ Гг (1 + ζ) у' становится порядка единицы при
ζ ~ 104Ω-1/δ. Отметим, что при ζ0 = 4·104Ω плотности энергии вещества и
излучения сравниваются, и при ζ ^> ζ0 темп расширения меняется; оно идет
быстрее, чем в пылевом решении:
dt/dz ~ z~s вместо ζ-2»5.
Учет этого факта в случае Ω <^ 1 увеличивает ζ, при котором достигается
У' ~ 1.
Спектр наблюдаемого в настоящее время реликтового излучения близок
к планковскому, для получения его из бозе—эйнштейновского распределения
необходимо рождение квантов, так как комптоновский процесс оставляет их
число неизменным. Мы пренебрегаем двойным комптон-эффектом.
При достаточно малых частотах оптическая толща по тормозным
процессам всегда велика, и такие кванты находятся в термодинамическом
равновесии с электронами. Следуя А. С. Компанейцу, можно найти границу частоты
х0, при которой комптоновский процесс подхватывает квант быстрее, чем
он успевает поглотиться:
у'/%' ~ 1. (15)
Здесь τ' = J к (ν) nldt — оптическая толща по тормозным процессам.
Коэффициент поглощения [18]
*(v) = 3,8.10«-i^.(i_e-*»/*re)>
Τ /2ν3
е ν
Условие (15) удовлетворяется при
х0 (1η 4/*0)-ν2 ж 80 2-3/*Ω+1/2, ζ > ΙΟ3. (15')
Зная полное число квантов в реликтовом излучении N =
= 0,244 (2nkTr/hc)s, можно найти красное смещение, соответствующее
искомому моменту времени t1, решая уравнение
4πΩ»" f l f Eff(z)
h J N (z) j χ dz '
о z0
£2»4Л1п«(-^.)«10*, (16)
где x0 определяется условием (15), a Eff = к (ν) (Βν — /ν) формулой (1).
Из (16) Zl = ΙΟ5 Ω~4, и t ~ 4·109Ω8 с.
Таким образом, практически любое выделение энергии в ходе
расширения Вселенной до момента ίχ — 4-109 с будет полностью переработано;
плазма и излучение будут все время находиться в термодинамическом равно-

49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. I 265
весии, спектр излучения будет планковским. В интервале 1010 < tx < 3·
• 1017 с взаимодействие излучения с электронами уже не может превратить
спектр, отличающийся от планковского, в планковский. Отсюда следует,
что наблюдаемое сейчас реликтовое излучение было сформировано до
момента t ~ 1010 с, соответствующего красному смещению ζ ~ 105.
При Ω <^ 1 может tx <ξ: 1010 с, однако ясно, что интенсивное рождение
электронно-позитронных пар при t < 300 с резко увеличивает оптическую
толщу как по тормозным, так и по комптоновским процессам.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Формула для искажения спектра при коми*
тоновском рассеянии на тепловых электронах
(малые искажения). Вводя переменные у= \ —^— -j-dz (см.
о е
разд. 4), (τ — оптическая толща по комптон-эффекту) и χ = hv/kTr (оче~
видно, не зависящее от величины красного смещения, при котором
происходило рассеяние), легко получить при Те ^> Тг из выражений, выписанных
Р. Вейманном и А. С. Компанейцем следующее уравнение для числа
заполнения:
, л _ с3 dE
η\Χι Ч— Snhvs dv
(dE/dv — спектральная плотность энергии излучения),
дп _2 д ±дп_ /jv
~д^—х ~ЬЧХ ~ьЧ- (1'
Считая, что отклонения от планковской функции невелики, подставляем
в (1) справа п0 = (ех — I)"1:
дп е Г χ Λ
Ίϊ ~ (в*-1)« Х\ th(*/2) ~Ί *
Да
An Δ/ ех f χ ,1 /ТТч
ϊ—джинсовской части спектра найдем, устремляя χ ->- 0:
-2у. (Ill)
Тогда
Искажение в рэлей—джинсовской части спектра найдем, устремляя χ ->- 0:
An _ Δ/
Щ / χ-*0
Из экспериментов нам известна температура в рэлей—джинсовской части
спектра, поэтому (II) лучше представить в виде
An Δ/ хуех Г χ ^1 /ιγ\
»(*, Грд) — /(*, Грд) — ех-\ lth(*/2) Ί' {i >
Так как
Δ/ _ din J AT
J ~~ din Τ Τ '

266 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
ТО
AT
РД
-у{жт-2}· w
2. Формула для искажения спектра при коми-
тон-эффекте на тепловых электронах
(асимптотика при больших ж)
Уравнение (I) заменой ξ — In x,
дп/ду = 3 дп/dl + d2n/dl2
и переходом к переменным ζ = Ъу + ξ, у' = у сводится к уравнению теп·
лопроводности
дп/ду = d2n/dz\ (VI)
Решение уравнений (I), (VI) с начальным условием η (х, у = 0), которое
является планковской функцией, имеет вид
"<-МтУ WW~""t%~"> (W)
—оо
Легко найти вид перенормировки, необходимой для учета искажений в рэ-
лей—джинсовской области. При комптон-эффекте в рэлей—джинсовской
области п(х) = х'1, (п (t) = е~г) должно переходить в η {χ') = (χ')'1:
—оо
оо
= -^=- ехр (2у - In *) $ ехр [ - (* ~ lnJ ~ у)* ] dt = аг V*,
откуда ясна перенормировка (интересно сравнить с (III)):
хг = хе2у. (VII)
Теперь
—оо
Замена η = t — In x' — у дает
оо
η (ζ', y) = -7L·^ [ [ехр(^^) — l]-V*/*dT|. (VIII)
1/4m/ J
—oo
При χ Ξ^> 1 единицей в знаменателе можно пренебречь.
Функция / = хе^+у + η2/4ι/ имеет минимум при
_ ще-Ъо = 2хуеу. (IX)

49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. I 26?
Разлагая ее в ряд Тэйлора вблизи η0:
/ = / (Ло) + Г Ы (η - ηο)2/2,
получим
Окончательно
/ (х', у) _ 1 / Цо — г^12
J (χ') γι _ ηο
«p(^F + 4 W
где параметр η0(#, у) задается (IX).
При χ ^ 1 ошибку уменьшает введение множителя [ехр {хе^+у} — I]"1.
При ху < 1/2 экспоненту в / можно разложить в ряд е^+у = 1 + η +
+ У + (η + 2/)2/2 + ... Тогда получим, что при χ > 1
1^У) < expiffeii. (XI)
'(*) ΥΤ+ЪГу F (1 + 2*2/) '
Асимптотики (X) и (XI) при у ->- 0 совпадают с точным решением (IV).
3. Изменение полной энергии реликтового
излучения при комптон-эффекте на тепловых
электронах
Вновь опираемся на уравнение (I)
— = х'2 — х* —
ду дх дх *
Так как выражение для полной энергии излучения имеет вид
Ε = ΏΤ\\ηχ4χ,
то, умножая обе части (I) на хъ и интегрируя по х, вслед за Р. Вейманном
и А. С. Компанейцем находим
оо оо
1 дЕ
DT* ^
0 0
Но
оо оо оо
\ χ -7г- #4 -A dx = хъ -^ Г — \ #4 ~7Г- dx = — х*п Г + 4 \ Лг d# = 4
J 5* 5* дх \а i дх |о J
о оо
Окончательно Ε = Е0еАУ, где
DK
Ео = ^^Т
dx
— энергия планковского излучения с той же температурой в рэлеи—джин-
совской области. Учитывая перенормировку χ = хе2у, имеем
Ε = оПде12*. (XII)
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 30 декабря 1968 г.

268 Часть вторая» VII, Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
ЛИТЕРАТУРА
1. Wilkinson D.— Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 19, p. 1195.
2. Stokes Я. Л., Partridge Я. Я, Wilkinson D. Т.— Phys. Rev. Lett., 1967, vol. 19,
p. 1199.
3. Thaddeus P., Clauser /. E.— Phys. Rev. Lett., 1966, vol. 16, p. 819.
4. Field G. Я, Hitchcock /. L.— Phys. Rev. Lett., 1966, vol. 16, p. 817.
5. Парийский Ю. Я.— Астрономия, 1968, т. 45, с. 279.
6. Зельдович Я. Я., Новиков И. Д.— Астрон. журн., 1967, т. 44 с. 663.
7. Partridge Я. Я, Wilkinson D. Т.— Nature, 1867, vol. 215, p. 70.
8. Dicke Я. Я., Peebles P. /. £., Roll P. G., Wilkinson D. Т.— Astrophys. J., 1965,
vol. 142, p. 414.
9. Зельдович Я. Я., Курт В. Г., Сюняев Р. Α.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1968,
т. 55, с. 278.
10. Henry В. С, Fritz G., Meekins /. Ε. et al.— Astrophys. J., 1968, vol. 153, p. Lll.
И. Вайнштейн Д. Α., Сюняев Р. Л.— Космич. исслед., 1968, т. 6, с. 635.
12. Sunyaev Я. Л.— Astrophys. Lett., 1969, vol. 3, p. 33.
13. Weymann Я.— Astrophys. J., 1966, vol. 145, p. 560.
14. Сюняев Р. А,— Докл. АН СССР, 1968, т. 179, с. 45.
15. Novikov I. Я., Zeldovich Ya. В.— Annu. Rev. Astron. and Astrophys., 1967, vol. 5,
p. 627.
16. Шкловский И. С— Труды IV-й техасской конференции по релятивистской
астрофизике. Нью-Йорк, 1967.
17. Peebles P. J. Е.— Astrophys. J., 1968, vol. 153, p. 1.
18. Allen С. W. Astrophysical quantities. L.: Athlone press, 1963.
19. Karzas W. /., Latter Я.— Astrophys. J. Suppl., 1961, vol. 6, p. 167.
20. Bridle A. N.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1967, vol. 136, p. 219.
21. Howell T. F., Shakeshaft /. Я.— Nature, 1967, vol. 216, p. 753.
22. Пелюшенко С. Л., Станкевич К. С— Астрон. журн., 1969, т. 46, с. 283.
23. Компанеец А. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 876.
24. Weymann Я.— Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 2112.
25. Bortolot V., Clauser /. F., Thaddeus P.— Phys. Rev. Lett., 1969, vol. 22, p. 307.
26. Boynton Я. £., Stokes Я. Л., Wilkinson D. Г.— Phys. Rev., Lett., 1968, vol. 21, p. 462.
27. Озерной Л. М., Чернин А. Д.— Астрон. журн., 1967, т. 44, с. 1131.
КОММЕНТАРИЙ
Для плазмы, заполняющей Вселенную в интервале температур от 108 до 4000 К,
характерна полная ионизация водорода и дейтерия. Присутствующий в количестве всего
около 7% (по числу ядер) гелий захватывает электроны еще раньше. Ни водород, ни
гелий не имеют низколежащих возбужденных уровней. Вместе с тем даже при полной
ионизации концентрации ядер и электронов ничтожны (в 109 раз меньше) по сравнению с
концентрацией фотонов.
Поэтому в широком интервале условий процессами, происходящими при
столкновениях электронов и ядер, можно пренебречь по сравнению с процессами при столкновении
фотонов с электронами. Главную роль играет комптоновское рассеяние фотонов на
электронах.
В общей форме задача об эволюции спектра и установлении термодинамического
равновесия в такой ситуации была поставлена А. С. Компанейцем, в его работе,
выполненной в 1947 г. и опубликованной в 1956 (эта работа цитируется в комментируемой статье).
В комментируемой статье уравнение Компанейца прилагается к космологической
ситуации.
Основным результатом работы является аналитическое решение (приведено в
приложении и помечено в данном издании звездочкой) уравнения Компанейца (в
пренебрежении эффектом отдачи и индуцированными эффектами). Это решение описывает
эволюцию во времени спектра излучения в результате комптоновского взаимодействия с
горячими kTe^> hv максвелловскими нерелятивистскими электронами. Оно позволило найти

50. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. II 269
искажения спектра реликтового излучения, которые могли бы получиться, если имели
место какие-либо процессы энерговыделения, наложенные на фридмановское расширение
плазмы. Таким образом, удалось получить важные ограничения, на энерговыделение в
ранней Вселенной, используя данные о спектре реликтового излучения. Работа получила
широкую известность (см. обзоры современного состояния вопроса Р. А. Сюняев, ЯБ *%
Л. Данезе и др. 2*
До этой работы расчеты искажения спектра проводились численными методами (см#
цитированную в статье под номером 13 работу Веймана).
Приведенное в статье решение (7) послужило основой для расчетов эффекта
понижения яркости реликтового излучения в направлениях на скопления галактик с горячим
межгалактическим газом (приведенная в данном сборнике статья ЯБ и Сюняева).
Решение Зельдовича — Сюняева нашло широкое применение в работах по теории
рентгеновских источников. Оно послужило основой для расчетов комптонизации
излучения при сферически-симметричной аккреции на нейтронные звезды (статья 44),
используется при расчетах спектров рентгеновского излучения аккреционных дисков 35М* и
оценках характерных времен и переменности их излучения **,б*.
Вторым важным результатом статьи является вывод о необходимости периода
нейтрального водорода во Вселенной. Несмотря на то, что учет вклада слабовзаимодействую-
щих частиц в среднюю плотность вещества во Вселенной может несколько изменить
приведенные в статье оценки, метод и основной результат представляют большой интерес.
Третьим важным результатом является постановка вопроса о формировании
наблюдаемого чернотельного спектра реликтового излучения. Этот вопрос был решен авторами
в следующей статье данной книги.
х* Sunyaev Л. Л., Zeldovich Υ а. В.— Ann. Rev. Astron. Astrophys., 1980, vol. 18f
p. 537-560.
2* Danese L., de Zotti G,— Rev. Nuovo cim., 1977, vol. 7, p. 277.
3* Sunyaev Я. Л., Titarchuk L. G.— Astron. Astrophys., 1980, vol. 86, p. 121—138.
4* Shakura N. /., Sunyaev R. Л.— Astron. Astrophys., 1973, vol. 24, p. 337—355.
6* Pozdnyakov L. Α., Sobol I. M., Sunyaev R. Α.— In: Astrophys. and Space Phys.
Rev. Soviet Sci. Rev. Harwood Acad. publ. GmbH, 1983, vol. 2, p. 189—331.
50
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ИЗЛУЧЕНИЯ
В ГОРЯЧЕЙ МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ*
II. ИСКАЖЕНИЯ РЕЛИКТОВОГО СПЕКТРА
(совместно с Р. А. Сюняевым)
Нагрев первичной плазмы на стадии расширения до рекомбинации водо·
рода во Вселенной приводит к отклонениям в наблюдаемой рэлей—джинсов-
ской части спектра реликтового излучения (λ ~ 1-1-60 см). Современные
экспериментальные данные позволяют определить верхний предел на
энерговыделение в то время, что дает ограничения на
а) количество антивещества во Вселенной,
б) параметры первичной турбулентности,
в) спектр первичных адиабатических возмущений плотности в области
малых масс (М < 1011 ΜΘ).
* Astrophysics and Space Science, 1970, vol. 7, N 1, p. 20—29.

270 Часть вторая. VII, Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Выделение энергии до момента времени t = ΙΟΩ12/5 с и, в частности,
аннигиляция электронно-позитронных пар при Τ ~ 1010 -г- 108К, t < 300 сек,
не оставляет наблюдаемых следов в спектре реликтового излучения (здесь
Ω = Pm/Pcr — безразмерная характеристика плотности вещества во
Вселенной).
В первой части этой статьи, опубликованной в [1], обсуждались
искажения реликтового спектра, возникающие вследствие выделения энергии на
стадии расширения после рекомбинации водорода во Вселенной. Ниже
рассматривается период до рекомбинации — полностью ионизованная плазма.
Выделение энергии на этой стадии приводит к отклонениям от планков-
зкого спектра в рэлей—джинсовской области. Дело в том, что в этот период
тормозные процессы не успевают поддерживать полное термодинамическое
равновеоие между веществом и излучением. Между тем, обмен энергией
электронов и фотонов при рассеянии происходит достаточно быстро, в
результате устанавливается бозе-эйнштейновское распределение с заданной
плотностью квантов, которая меньше, чем в планковском распределении,
соответствующем той же плотности энергии излучения [2, 3]:
η (χ) = (ех+» — Ι)"1; μ > 0 (1)
Обозначения здесь и далее те же, что и в [1], η — число заполнения.
Комптоновское рассеяние поддерживает на этой стадии равновесие
между температурами плазмы и излучения Те = Тг = Τ и χ = hv/kT.
Отличие от полного равновесия связано с химическим потенциалом квантов
Μ = —μκΤ. Однако (1) справедливо не везде.
В области малых частот χ < х0<^1, где велика оптическая толща по
тормозным процессам, поддерживается рэлей—джинсовское распределение.
Значениех0 будет дано ниже и будет показано, что область наибольших
возможных отклонений от планковской кривой находится в освоенном
диапазоне λ ~ 1 -=- 60 см. Отсутствие заметных искажений реликтового спектра
в этой области устанавливает верхний предел энерговыделения, когда
температура плазмы меняется от 105 или 107 К (в зависимости от плотности)
и до Τ ~ 3· 104 К, т. е. задолго до момента рекомбинации первичной плазмы.
Таким образом, можно положить ограничения, в частности, на диссипацию
энергии турбулентных движений и звуковых волн, связанных с
адиабатическими возмущениями плотности, а также на выделение энергии при
аннигиляции антивещества.
МАЛЫЕ ОТКЛОНЕНИЯ
ОТ ПЛАНКОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КВАНТОВ
Рассматриваем ситуацию, когда происходит медленное изменение
температуры под влиянием притока тепла.
Кинетическое уравнение для фотонов при кТе <^ шес2 и с учетом
переменности температуры электронов (но пока без учета фридмановского
расширения) имеет вид
+ ^1[1_.(4._1И_,*^. (2,

50. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. II 271
Здесь х = hv/kTe. Первый член описывает изменение частоты при компто-
новском рассеянии, причем а = о0спекТе/тес2 [2, 3], второй — тормозное
излучение вместе с соответствующими обратными и индуцированными
процессами, где
8π *»g(»)n\ nl
К- з Ше (вяИви·.)·/. (kTef -1,2δ 1ϋ g(x) ту ' (3)
a g (x) — фактор Гаунта. Наконец, третий член связан с тем, что в
определение переменной χ входит температура Те. Действительно, если не
происходят никакие процессы с квантами, то дп (v, t)ldt |v = 0, и для η как
функции χ имеем
дп χ dT ...
phys ""¥Т¥' I4'
дп
~дГ
дп I , дп дх I дп
~дГ ν *" ~дх ~dt ν = ~ЬЧ
где dnldt |PhyS соответствует первым двум членам в уравнении (2).
Общие свойства уравнения (1) очевидны: первый член равен нулю не
только для планковского η (χ) = (ех - I)"1, но и для η (χ) = {e*+v· — Ι)"1,
т. е. для бозе—эйнштейновского равновесного распределения с заданным
числом квантов. Причина заключается в том, что комптон-эффект не меняет
числа квантов, хотя и перераспределяет их по частотам. Второй член
обращается в нуль только в истинном равновесии η = (ех — I)"1. Третий
член описывает возмущающее влияние подвода энергии в том случае, когда
эта энергия первично отдается электронам.
К уравнениям для квантов следует добавить уравнение для температуры
электронов в зависимости от скорости подвода тепла Q. Нулевое
приближение, в котором предполагается равновесие квантов, равенство температур
излучения и электронов и малость теплоемкости последних, даст
&·<*'=Q- (5)
Так как комптоновское рассеяние пропорционально первой степени
плотности электронов, а тормозные процессы — квадрату, то К <^ а в случае
разреженной плазмы (при пе < 2,7-1012 Г4е'5 [3]. В этом случае можно
полагать, что следующим приближением явится решение вида η —
= (βχ+ν — I)"1 и задачу можно свести к нахождению μ (t).
Приняв такое распределение, считая μ малым, запишем выражения,
разложенные в ряд μ, для η и плотности энергии излучения Щ г.
п = (β*+μ _ 1)-ι = (е* — 1)-ι — μ6*/(β* — I)2, (6)
g = oT*G { (e*+i* — I)"1*3 dx = aT*U — y&\ -^—- хъ dx\ =
о о
= σΓ4(1 — Μμ)~ σΓ4(1 — μ). (7)
Плотностью энергии, заключенной в электронах и ядрах, пренебрегаем.
1 Здесь и ниже F и G — безразмерные числа,
G-!= J (ех — l)"1*3 dx = π4/15; F"1 = J (ex — If1*· dx = 2,404.

Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Таким образом, уравнение баланса энергии (5) дает одно соотношение
между dTldt и άμ/dt:
4 din Τ/at — άμ/dt = Q/σΤ*. (8)
Второе соотношение можно найти из рассмотрения баланса полного числа
квантов в единице объема:
N = HT*F С (e*+i* — Ι)"1*2 άχ = ΗΤ3(ί — μΡ{ χ ** x*dx) =
= ΗΤ*(1 — 1,35μ)^ΗΤ*(1—μ). ° (9)
В предельном случае at ^> 1 и К = 0 обеспечена точная форма спектра η =
= (^χ+μ — I)"1 и в то же время число квантов строго постоянно:
π=^4-« («о
и, следовательно, в этом предельном случае
din Τ _ _1__Ф_ _ _0_
dt ~ 3 dt ~~ σΓ* #
(")
Задача заключается в составлении уравнения для μ с учетом
тормозного излучения, которое ограничивает рост μ, а в пределе — после
прекращения выделения энергии и по истечении достаточного времени — приводит
к μ = 0, т. к. к полному равновесию.
Естественно составить производную dN/dt, пользуясь выражением N =
= HT*Fln (x,t)x4x
При этом тождественно первый и третий члены уравнения (I) не дадут
вклад, так что
dN
dt
= HT*FK ^±^[i — n(ex — 1)] dx. (13)
Теперь, казалось бы, естественно подставить в это уравнение η =
— (ех+& — I)"1 и разложить его в ряд по малым μ, оставляя лишь два
первых члена разложения (см. (6)).
Однако при этом интеграл в первой части формулы (13) разойдется.
Следовательно, нужна несколько более точная процедура. Физика дела
ясна: при весьма малых частотах (малых х) за счет множителя 1/х3
возрастает скорость установления равновесия, поэтому выражение для η с
постоянным μ не может быть правильно для всех х, как бы ни было мало К.
Предлагается задаться выражением η = (ex+v — I)"1 с μ, зависящим ото:,
и найти эту зависимость 2 в области малых #, рассматривая в данной
области тормозной процесс и комптон-эффект, но пренебрегая стационарностью,
2 Выше— см. формулу (1) — μ считалось не зависящим от х. Мы покажем, что при
χ > х0 действительно μ (χ) —» const.

50. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. II 273
т. е. величиной dnldt. По-прежнему, считаем μ малым. Получаем
0=JL » Ж4
х2 ах
£+n> + n]+«f-[l-n(e*-l)] =
a d 4 e άμ/dx . Ке μβ
χ2 dx /ex 1)2 х3 ех ^_ 1
Так как χ мало, заменяем ех на 1 и ех — 1 на #, тогда
-·$£*%+£» = <>. (14)
Это уравнение элементарно решается
μΗ = μοβχρ(±4-|/-~)· (15)
Решение с плюсом в экспоненте отбрасываем, второе решение,
приведенное ранее в работе А. С. Компанейца (1956) [2] имеет нужные свойства:
μ (χ) = 0 при χ -> 0 и μ = const = μ0 при χ ^> ]/"К/а.
Таким образом, мы нашли естественную границу частоты, ниже которой
несправедливо решение с μ — const (χ). Величина μ, независящая от хТ
которая вводилась ранее, есть как раз μ0 из формулы (15), а γК/а = х0
есть граница области, где μ постоянно.
Отклонения η (χ, t) от выражений с μ — const (x) не влияют заметно на
выражения N и Щ. Поэтому левые части дифференциальных уравнений для
dT/dt и άμ/dt не изменяются.
Уточнение вида μ в области малых χ производилось с единственной
целью получить правильное выражение для скорости тормозного рождения
квантов. Найдем
1 dN
N dt
dx
= κ\μ(χ) **J-D x*dx=K^\exP {-ίγΥ-ίγ) χ
(e-1)
χ
^ΚμοΫ^μοΥαΚ. (16)
χ (e — 1) га
Таким образом, получим систему
Ы In T/dt — άμ/dt = Q/σΤ*, 3d In T/dt — άμ/dt = μ γ~αΚ. (17)
Точное решение этой системы имеет вид
t t
μ (*) = 3 $ -^г (τ) exp {-4 J Vα (ρ) Κ (ρ) dp] dx. (18)
ο τ
В квазистационарных условиях (μ = const)
"-«£**-· (i9>
Из системы (17) следует также, что при отсутствии подогрева
μ = μ (t0) exp [— 4]/aK (t — t0)]

Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
или, точнее, если учесть отличие от единицы коэффициентов при μ в (7) и
(9):
μ = μ (t0) exp [— 1,82 У~Ш (t — t0)]. (20)
Используя (18), легко найти максимальное отклонение спектра от планков-
ской кривой в области больших длин волн, которое должно иметь место при
критической длине волны х0 = ]/К/а:
-^L = μβ*ο/(6*ο — I)2:1/(е*. — 1) ~ μοβ"1/^ =
= μβ-1 Υа/К = 3Qe-y(4KaT*). (21)
Максимальное отклонение оказывается вообще не зависящим от
скорости комптоновского изменения частоты а, если соблюдено условие α J^> К.
От этой скорости зависит только значение частоты (длины волны), при
котором имеет место максимальное отклонение.
ИСКАЖЕНИЯ СПЕКТРА РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ВСЛЕДСТВИЕ ЭНЕРГОВЫДЕЛЕНИЯ
НА РАННИХ СТАДИЯХ РАСШИРЕНИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Приведем грубые оценки для космологической модели Фридмана с
современными температурой излучения Τ = 2,7 К и средней плотностью
вещества пе = 10~5 Ω см"3. Вместо времени вводим переменную ζ (красное
смещение). В области ζ ^> 4·104Ω, где плотность энергии излучения превосходит
массу покоя вещества pY ^> pm, но при кТ <ξζ mec2 имеем:
Τ = 2,7 ζ К] g = 4.ΙΟ""13 ζ4 эрг/см3
пе = ΙΟ"5 Ωζ* см"3; kT/mec2 = 4,55· ΙΟ"10 ζ
ρν = 4,5·ΙΟ'34 ζ4 = 4,5-ИГ5/*2 г/см3.
Откуда находим «гидродинамическое» время от начала расширения t =
= 3- 101β ζ~2 с (если 1 < ζ < 4- ΙΟ4 Ω, το t = 2- ΙΟ17 Ω"1/^5).
Приведем также величины, характеризующие взаимодействие вещества
и излучения:
тс = 1/(о0пес) = 5-1018 / (Ωζ3) с;
а = опес кТ/ (тес2) = 9,МО"29 Ωζ4 с"1
и, согласно (3),
К = 3,9-10г** g(x) Ων/2 с"1.
Как показали А. С. Компанеец (1956) и Р. Вейман [2, 3], характерное
время установления бозе—эйнштейновского распределения определяется
из условия 4г/ = 4 ja (t) dt ~ 1, откуда находим, что это время ta ~ 3·
·10ηΩ с соответствует красному смещению
ζα ж ΙΟ4 Ω"1/.. (22)
Наблюдаемые эффекты будут формироваться именно в это время.
Учет фридмановского расширения Вселенной не меняет выводов
предыдущего раздела: это связано с тем, что в отсутствие физических процессов,

50. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. II 275
перераспределяющих кванты по энергетической оси относительно друг
друга, для любой группы квантов χ = hv/kT не зависит от ζ, τ. е. не меняется
в ходе расширения. Математическую формулировку этого утверждения
легко получить из формулы (3) работы Р. Веймана (1966) [4].
Введем безразмерную характеристику выделения энергии
q = Qt/oT* (23)
и выразим через нее максимальное отклонение спектра от планковского (21)
при χ = х0:
Δ/г ΔΓ 3 qe-i 2500g
η ~ Τ ~ 4 кТ
Ω2ΐ/"ί
(24)
Подставляя в (24) ζα из (22), находим ожидаемое максимальное отклонение
от планковского спектра:
(ΐΙΗ^^Ω-*. (25,
Оно достигается при
х0 = УЩа ^ 200Ω*VA = 0,2Ω'/β,
λ° = Τ-^- = 2,5Ω-'/»0Μ. (26)
а
Так как 1/45 < Ω < 3, то 60 см ^> λα ^> 1 см, λα лежит в хорошо
изученной области.
Существующие экспериментальные данные (см. ссылки в [1]) показывают,,
что Ап/п = АТ/Т < 10% в области 1< λ < 21 см (0,1 < Ω < 3), что
соответствует q = 4·10~3Ω1>75 (27). На более длинных волнах 21 см < λ <
< 60 см (0,1 ]> Ω > 1/45), АТ/Т < 30%, что дает верхнюю границу на
энерговыделение
q < 10~2 Ω1*75. (28)
Ограничение (27) соответствует
μο = μ0(*α)<5.10-2Ων8. (29)
Если энерговыделение происходит раньше tb = 1010 Ω12/5 с, то искажения
замываются по закону (20) (zb = 5,4· 104 Ω~β/5):
μ = μ(ζ) exp {- (z/zb)h**). (30)
Поскольку выше использовалось условие стационарности, то
подразумевается, что изменение спектра обусловлено не мгновенным, а средним
значением Q и величину Qt/σΤ* в (23) надо понимать как J Q(t)/(oT4: (t)) dt,
взятый за время, когда ζ меняется от zb = 5·104 Ω-0/* до ζα ~ 104 Ω-1'2.
Эффекты, связанные с выделением энергии на более ранней стадии, можно
рассчитать по формуле (18).
Физический вывод этого раздела заключается в том, что выделившаяся
в период ζ ~ 104 энергия не может превышать 1/250 плотности энергии
излучения в тот период.

276 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
ОГРАНИЧЕНИЯ НА ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ
В ПЕРВИЧНОЙ ПЛАЗМЕ
К сожалению, быстрое замывание искажений спектра реликтового
излучения при ζ ^> 107 не дает возможности обнаружить эффекты, связанные
с мощным выделением энергии при аннигиляции электронов и позитронов
в период ζ ~ 109. В принципе, по степени ослабления эффектов можно было
бы судить о средней плотности вещества во Вселенной. Однако даже в случае
Вселенной, заполненной лишь излучением, наблюдаемые эффекты
пренебрежимо малы, μ ~ 108: на раннем этапе аннигиляции вследствие высокой
плотности электронов и позитронов искажения быстро замываются, а на
позднем — ничтожно выделение энергии.
Выделение энергии при сгорании 30% первичного вещества в гелий
в ходе ядерных реакций при ζ ~ 108 -н 109 незначительно по сравнению
с полной энергией излучения в тот период и поэтому также не оставляет
заметных следов (μ <ξί ΙΟ"8).
Приведем ряд примеров использования полученных выше оценок на
энерговыделение во Вселенной:
Первичная турбулентность. Л. М. Озерной и А. Д. Чернин [5]
интенсивно развивают идею К. Вейцзекера [6] о наличии во Вселенной первичной
турбулентности. Выделение энергии вследствие диссипации турбулентных
движений оценим, следуя Л. Д. Ландау и Ε. Μ. Лифшицу 3 [7]
<?~ {Auflc эрг/(г.с) (31)
или
4 Сз I '
где I — максимальный масштаб турбулентности, а Аи— турбулентная
скорость в этом масштабе. Сравнивая (31) с (27) и (28), видим, что на момент
ZoL ~ ΙΟ4 Ω"1/*
Ыс < 0,15 Ω7/- (IJctJ/** (32)
Антивещество во Вселенной. Е.Гаррисон [8] рассмотрел зарядово-сим-
метричную модель Вселенной с первичными флуктуациями барионного
заряда, из которой следует пространственное разделение вещества и
антивещества после аннигиляции барионов в горячей модели Вселенной, т. е. при
Τ < 1012 К. В дальнейшем до момента рекомбинации трение вещества о
излучение затрудняет движение вещества, поэтому аннигиляция затруднена
и области с веществом и антивеществом (будущие объекты и антиобъекты)
доживают до ζ — 103.
По замечанию Дж. Бардина (см. обзор Г. Филда [9]), после рекомбинации
водорода области с одним знаком барионного заряда стали бы быстро
обособляться и образовали бы объекты со средней плотностью порядка
10"20 г/см3, что значительно превышает наблюдаемую плотность вещества
в галактиках и скоплениях галактик (М ^> ΙΟ8 Μ©).
Ниже будет показано, что наличие таких областей с меньшими массами
противоречит полученным ограничениям на энерговыделение. Дело в том,
3 На стадии до рекомбинации водорода при ζ ^> 103 скорость звука азв — с/УЪ и
первичная турбулентность должна быть дозвуковой, иначе слишком велико будет выделение
энергии на стадии после рекомбинации водорода (см. статью [1]).

50. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. II 277
что несмотря на сильную связь вещества и излучения, вещество будет
диффундировать к разделу областей с разными барионными зарядами,
аннигилировать, а выделяющаяся при этом энергия будет быстро отбираться
излучением и искажать его спектр.
Коэффициент амбиполярной диффузии плазмы с температурой Τ в поле
излучения с плотностью энергии & равен D = 2кТе/о0<£ = 2кТ0/о0<§0я*.
Размер зоны г, откуда плазма успеет дойти за гидродинамическое время
до места раздела вещества и антивещества, определим из условия [7]
г2 « 6Dt.
Характерный размер области с массой Μ равен R = ]/3Λ/74πρ· Проанни-
гилирует зона с размером г, при этом выделится энергия
q ~ (Зг/Д) (pm/pY). (33)
Используя ограничения (27) и (28), находим, что наблюдения реликтового
излучения противоречат первичному разделению Вселенной на области
барионов и антибарионов, если их масса меньше 3·1Ο9Ω5/2Λί0. Это
утверждение и замечание Дж. Бардина создают большие трудности для гипотезы
Е. Гаррисона [8].
В «обычной» картине энтропийных возмущений плотности [10, 11]
предполагается наличие флуктуации плотности барионов, которое в
интересующих масштабах Μ ~ (105 -г- 106) Mq не выходит за пределы δρ/ρ — 0,01,
так что ρ везде одного знака, антивещества нет. Здесь можно ставить вопрос
об экстраполяции δρ/ρ к малым объемам; этот вопрос будет рассмотрен
отдельно [12];
Адиабатические возмущения плотности. До момента рекомбинации джин-
совская масса превышала lO18Af0, и адиабатические возмущения плотности
меньших масштабов представляли собой звуковые волны. Дж. Силк (1967)
[13] заметил, что трение вещества о излучение на дорекомбинационной
стадии приводит к диссипации энергии звуковых волн и к выравниванию
возмущений плотности в масштабе масс меньше ΙΟ10 -ί- 1012 М@. Co временем по
закону Μ ~ ts растет масштаб, в котором происходит диссипация энергии.
В промежутке между za ~ 104Ω-1/2 и Zb — 5,4·ΙΟ4 Ω~β^5 затухают колебания,
связанные с массами
Μ ~3.106Ω29/5--4.109Ω3.
Ограничения на энерговыделение (27) и (28) дают верхний предел на
амплитуду адиабатических возмущений плотности в этой области масс.
Энергия звуковых волн
Ε ~ ри2, (34)
Δρ Ι Δρ
где и = —— азв ~ —-ρζ—— с — скорость вещества. 1 еперь легко оценить
энерговыделение
»-И£Г <*>
Согласно (27) получим
ΔΡ/ΡΙμ>3.ιο.ω-Α<10"1Ω'/8· (36)

278 Часть вторая. VII. Взаимодействие вещества и излучения во Вселенной
Задаваясь амплитудой возмущений в области масс ΙΟ11 М® на момент
рекомбинации водорода, из (36) легко получить ограничения на спектр
адиабатических возмущений плотности (см. подробнее Я. Б. Зельдович, Р. А. Сю-
няев, 1969).
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 6 ноября 1969 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Астрон. журн., 1967, т. 44, с. 295
2. Зельдович Я. Б., Сюняев Р. Л.— Astrophys. Spa. Sci., 1969, vol. 4, p. 285.
3. Зельдович Я. Б., Сюняев Р. Α.— Astrophys. Spa. Sci., 1970, vol. 9, p. 368.
4. Компанеец А. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 876.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат, 1954,
788 с.
6. Озерной Л. М., Чернин А. Д.— Астрон. журн., 1967, т. 44, с. 1131.
7. Field G. В. Stars and Stellar System, 1968, Vol. IX, ed. by A. and M. Sandage.
8. Harrison E. #.— Phys. Rev. Letts., 1967, vol. 18, p. 1011.
9. Peebles P. J. E., Dicke R. #.— Astrophys. J., 1968, vol. 154, p. 898.
10. Silk J.— Astrophys. J., 1968, vol. 151, p. 459.
11. Weizsaecker С P.— Astrophys. J., 1951, vol. 114, p. 165.
12. Weymann #.— Phys. Fluids., 1965, vol. 8, p. 2112.
13. Weymann R.— Astrophys. J., 1966, vol. 145, p. 560.
КОММЕНТАРИЙ
В статье впервые указано на существование специфических искажений спектра
реликтового излучения, связанных с энерговыделением на стадии до рекомбинации. Решен
вопрос о формировании чернотельного спектра при совместном действии комптонизации
и тормозных процессов.
Дальнейшее развитие идеи, высказанной в работе, содержится в трудах А. Ф.
Илларионова и Р. А. Сгоняема !*,2*# Оказалось, что во Вселенной с низкой плотностью ба-
рионов двойной комптон-эффект может играть более важную роль, чем тормозные
процессы 3*»4*.
Обратимся к пространственному распределению температуры.
Возмущения малого масштаба в плазме, заполняющей Вселенную, затухают в радиа-
ционно-доминированной плазме. Такие возмущения не дают флуктуации наблюдаемого
в настоящее время реликтового микроволнового фонового излучения.
Важное значение комментируемой статьи состоит в том, что исследование спектра
реликтового излучения дает возможность ограничить сверху амплитуду адиабатических
возмущений плотности, а также количество антивещества и других источников энергии.
Ограничение на энерговыделение в ранней Вселенной оказалось полезным при
расчетах спектра масс первичных черных дыр малой массы 5* и анализе свойств
нестабильных долгоживущих элементарных частиц в космологии (см. обзор А. Д. Долгова и
Я. Б. Зельдовича 6*).
В стандартной картине нет ни энерговыделения, ни первичных черных дыр, ни
нестабильных частиц. Поэтому результат — точный планковский спектр — представляется
тривиальным. Однако в исторической перспективе, да и с учетом возможных будущих
неожиданностей, это не совсем так. Источником энергии могли бы быть также сильные
акустические волны.
Прямые наблюдения дают малость ΔΤ/Τ только на масштабах, превышающих
1 Мпс (по сегодняшней шкале расстояний), что соответствует углу в несколько дуговых
минут. Ограничение определяется не разрешающей способностью аппаратуры, а замывани-

50. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной· II 279
ем и затуханием возмущений в малом масштабе в ходе рекомбинации водорода во
Вселенной.
Все суждения о неоднородностях любого типа меньшего масштаба оставались бы
ненадежной экстраполяцией, если бы не предлагаемая работа.
Как пример новых вопросов отметим варианты с испарением черных дыр, с
нестабильными частицами: для соответствующих оценок снова вынимаем из ножен
неустаревшие аргументы работ I и П.
Вторая сторона дела — перенос методов и идей на скопления галактик, рентгеновские
источники и т. п., где методы, развитые в этих двух статьях, оказались весьма
полезными. Отметим также, что поиск искажений в спектре реликтового излучения ведется. Он
является важнейшей частью программы исследований — готовящегося к запуску
спутника «СОВЕ»
λ* Илларионов Л. Ф., Сюняев Р. Л.— Астрон. журн., 1974, т. 51, с. 698—711.
2* Илларионов Л. Ф., Сюняев Р. Л.— Астрон. журн., 1974, т. 51, с. 1162—1176.
3* Sunyaev Л. Л., Zeldovich Ya. В.— Ann. Rev. Astron. and Astrophys., 1980, vol. 18,
p. 537—560.
4* Danese L., de Zotti G.— Riv. nuovo cim., 1977, vol. 7, p. 277.
6* Carr B. /.— Astrophys. J., 1975, vol. 201, p. 1—19.
6* Долгов Л. Д., Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1980, т. 130, с. 559—614.

VIII
ОБРАЗОВАНИЕ
КРУПНОМАСШТАБНОЙ СТРУКТУРЫ
ВСЕЛЕННОЙ
51
ТЕОРИЯ КРУПНОМАСШТАБНОЙ СТРУКТУРЫ
ВСЕЛЕННОЙ *
ВВЕДЕНИЕ
Основатель психоанализа Зигмунд Фрейд учил, что поведение взрослых
зависит от опыта, приобретенного ими в раннем детстве.
Аналогично этому проблема космологии состоит в том, чтобы на основе
гипотетических предположений относительно ранней эволюции Вселенной
вывести наблюдаемую сейчас структуру и состояние Вселенной.
По-видимому, единственное и наиболее важное утверждение, касающееся
крупномасштабной структуры Вселенной, состоит в том, что в наибольших
масштабах — 1000 Мпс или больше — вообще отсутствует какая-либо структура.
В этих масштабах Вселенная однородна, бесструктурна и изотропно
расширяется в хорошем соответствии с простыми моделями А. Эйнштейна,
А. А. Фридмана, М. Хьюмассона, Э. Хаббла, X. Робертсона, А. Уокера.
С другой стороны, в масштабах меньше 50—100 Мпс существует большое
разнообразие структур. Это скопления и сверхскопления галактик.
Была проделана большая работа по классификации этих объектов по
«классам богатства», а также были сделаны попытки получить из
наблюдений «функцию масс», характеризующую распределение вещества по
объектам различных размеров и масс. Существует твердо установленное деление
на области с плотностью звезд и радиоисточников, превышающей среднее
значение, и области, где плотность ниже средней. В последние годы в
качестве характеристики связи между величиной плотности и линейным
масштабом распределения галактик в пространстве использовалась корреляци-.
онная функция.
Усилия, направленные на систематическое измерение красных смещений
(в оптике и в линии 21 см) тысяч галактик, привели к подтверждению закона
Хаббла. Удивительно то, что закон Хаббла приблизительно справедлив
в масштабах, меньших, чем масштаб неоднородности плотности. Измерения
красных смещений открыли путь к исследованию трехмерной структуры
Вселенной в противоположность двумерной проекции астрономических
объектов на небесную сферу.
Настоящий симпозиум реально открыл новое направление в
исследовании геометрических структур распределения светящегося вещества в
пространстве. Мы слышали о лентах или цепочках, вдоль которых выстроены
* Крупномасштабная структура Вселенной. М.: Мир, 1981, с. 452—464. (Труды
симпозиума Международного астрономического союза № 79. Таллин, 1978). Издание на
английском языке: Large scale structure of the Universe. Dordrecht: Reidel, 1979.

51. Теория крупномасштабной структуры Вселенной 281
скопления галактик, а также о модели «пчелиных сот», в которой
подчеркивается, что большая доля вещества сосредоточена в стенках наряду с
существованием больших пустот в пространстве («дыр», но, разумеется, не
«черных дыр»). Космологические теории должны учитывать эту информацию и
использовать ее для выбора между различными предлагаемыми схемами.
Разрешите кратко охарактеризовать те схемы, которые ныне представляются
наиболее многообещающими. Можно сделать два крайних предположения
о начальных возмущениях плотности. Согласно первому, на ранней стадии
{радиационно-доминированной) Вселенная имеет идеальную,
невозмущенную метрику, связанную уравнениями общей теории относительности
с идеально однородным распределением плотности. Возмущения
представляют собой неоднородности распределения «вещества» — избытка барио-
нов — на фоне однородного распределения излучения. Поэтому отношение
у/В (число фотонов, приходящихся на один барион) непостоянно.
Поскольку удельная энтропия вещества пропорциональна этой величине, то такие
возмущения называются «энтропийными». Второй тип возмущений
представляет собой общее движение фотонов и барионов. В таких возмущениях
энтропия сохраняется, и поэтому они называются «адиабатическими».
Некоторое отклонение от основной линии доклада во введении
допустимо.
Для космологии очень важна действительная величина отношения у/В,
которая по порядку величины равно 108 или 109. Замкнута Вселенная или
открыта — зависит от этой величины. Возможно, что с течением времени
эту величину можно будет рассчитать с помощью теории элементарных
частиц, с учетом доказанного в 1964 г. в лабораторных экспериментах
отсутствия точной симметрии между частицами и античастицами (так называемое
нарушение СР-инвариантности, СР-нарушение), а также с учетом
несохранения барионов, предсказанного некоторыми теориями. В этом случае
понятно, почему отношение у/В постоянно повсюду. Это связано с тем, что
физические постоянные везде одинаковы. Однако этот аргумент не очень
сильный. Возможно также, что отношение зависит от взаимосвязи внешних
физических постоянных и локальных свойств метрики пространства—времени.
В этом случае отношение у IB не обязано быть постоянным.
Но давайте вернемся к обычной космологии. До сих пор мы не знаем
ничего лучшего, чем, сделав более или менее правдоподобные предположения
с размере, амплитуде и характере начальных возмущений, получить
логические и математические следствия этих предположений и сопоставить их
с наблюдательньщи данными.
В докладе будут исследованы адиабатические
возмущения—возмущения второго типа по приведенной выше классификации. Эти исследования
проводились приблизительно в течение десяти лет в нашей группе А. Г. До-
рошкевичем, Р. А. Сюняевым, И. Д. Новиковым, С. Ф. Шандариным,
Ю. С. Сиговым, Е. В. Коток и др. При этом были использованы важные
теоретические результаты, полученные Е.М. Лифшицем, В. Боннором, Дж.
Силком, Дж. Пиблсом, Ай. Ю и др.
Рассматривается несколько различных фаз развития возмущений:
t. Акустические колебания радиационно-доминированной плазмы и их
затухание до и в течение рекомбинации.
2. Рост малых возмущений в нейтральном газе.
3. Нелинейный рост возмущений, ведущий к образованию сжатых
газовых слоев — «блинов».

282 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
4. Дальнейшая эволюция «блинов», их взаимодействие, распад на
галактики и на протоскопления галактик.
Исследования, перечисленные в первых двух пунктах, проводятся с
использованием «старой простой» линейной теории малых возмущений. В
третьем и четвертом пунктах широко используется нелинейная теория, а также
численные эксперименты. При этом рассматривается статистический аспект
проблемы и делаются радиационно-астрономические предсказания.
Наиболее обнадеживающим является основной результат: спектр адиабатических:
возмущений содержит характерную длину волны; при более коротких
волнах происходит резкое уменьшение амплитуды, что было отмечено уже
Силком. Сейчас мы видим, что эта критическая длина волны проявляется в
ячеистой структуре Вселенной.
1. ТЕОРИЯ РОСТА ВОЗМУЩЕНИЙ
Предполагается, что на ранней стадии спектр возмущений плотности
в радиационно-доминированной плазме не содержит выделенных масштабов.
Из-за фотонной вязкости и вследствие затухания возмущений в течение
рекомбинации окончательный фурье-спектр растущих возмущений в
нейтральном газе будет иметь вид
(δρ/ρ)| = Ъ\ = а\кп ехр (— кНс).
Характерный масштаб Rc зависит от следующих факторов:
1) плотности излучения во время рекомбинации вследствие
специфических эффектов реабсорбции излучения линии La и распада метастабилъного
уровня водорода 2s->- is + 2γ;
2) комптоновского сечения рассеяния фотонов на электронах и
3) плотности вещества или отношения у IB. Наиболее точные расчеты дают
для величины Rc (умноженной на (1 + 2рек) Для того, чтобы учесть
расширение от рекомбинации до настоящего времени)
Rc = 8 Мне при Ω = 1, Rc = 40 Мпс при Ω = 0, 1.
Длина волны Кс определяется соотношением λ0 = 2я//сс, kcRc = 1, так что
Хс = 2nRc.
Показатель степени η и средняя величина al подбираются так, чтобы
имело место наилучшее согласие с наблюдаемой картиной. Однако
независимо от этого выбора из-за экспоненциального фактора затухания
ехр (—kRc) мы уверены, что сохранившиеся флуктуации имеют очень
гладкий вид. Отсюда сразу ясно, что в адиабатической теории раннее образование
звезд, шаровых скоплений или даже галактик невозможно. Вначале
должны вырасти крупномасштабные возмущения, и только затем возможна
их фрагментация на более мелкие объекты.
Другая качественная особенность состоит в том, что газ движется только
под действием сил гравитации. Силы давления, зависящие от градиентов,
в рассматриваемых больших масштабах пренебрежимо малы. В этом случае
рост возмущений происходит особенно просто: из-за гравитационной
неустойчивости возмущения растут по амплитуде и увеличиваются в линейных
размерах, но сохраняют свою форму. Возмущения плотности и пекулярная
скорость (избыток над хаббловской скоростью) даются следующими соот-

51. Теория крупномасштабной структуры Вселенной
283
ношениями:
δρ/p = / (r/R) φ (ί), η = U (r/R) ψ (ί),
где φ (t) = f/з — (1 + ζ)-1 и ψ (ί) = ί1/· — (1 + ^)-V. при Ω = 1, a i? =
= const·*1/» — (1 + ζ)-1.
Очевидно, что плотность и скорость связаны уравнением неразрывности
£(£)~/~div«~divI7.
а также уравнением движения, в котором учтено возмущение потенциала,
вызванное возмущением плотности.
Важно осознать, что уже в линейной теории в областях, где δρ/ρ
положительно и растет, сжатие происходит анизотропно; три компонента,
входящие в дивергенцию пекулярной скорости, не равны между собой:
dujdx Φ dUyldy Φ дщ/dz.
Существуют и сдвиговые движения
dujdy Φ 0 и т. д.,
однако, конечно, вихрь равен нулю:
dujdy — dUyldx = 0,
ибо движение происходит под действием потенциальных (гравитационных)
сил. Анизотропию деформации, обусловленной пекулярными скоростями,
легко понять: приливное действие окрестных возмущений плютности
искажает движение в рассматриваемой точке.
Естественным способом построения приближенной теорли, справедливой
в линейной области и достаточно хорошо описывающей нелинейный режим,
является использование лагранжева подхода. Положение всех частиц в
пространстве (т. е. их эйлеровы координаты) г·задается как функция времени t
и их начальных положений (т. е. лагранжевых координат) ξ.
Решение только для растущих возмущений записывается в виде
r = a(t)[l + b(t)q(l)].
Первый член αξ описывает хаббловское расширение ά/α = Η, второй член
abty (ξ) описывает смещение каждой частицы из ее невозмущенного
положения. Функция Ъ (t) растет со временем как Ъ (t) ~ ί2/». Возмущения,
растущие под действием гравитации, потенциальны: ψ = grad^cp.
Аналитические и численные исследования подтверждают справедливость
приближенного решения; ошибки составляют величину менее 20—30% на
протяжении всей нелинейной стадии (доказательства этого содержатся в
оригинальных работах).
Имея формулу для г»(1, £), легко записать скорость каждой частицы
и=-£-1, ипек = и — Нг = а6ч$> (ξ),
а также плотность
P = pfat)~(9*r/dl*)-*,
где dz r/dZ? — якобиан преобразований, или, иначе говоря, определитель,
составленный из частных производных.

284 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Используя условие ψ = grad^cp, выбирая соответствующие оси
координат и вводя обозначения
д\/д£ = -а, д\1дй = -β, д\1д& = -γ,
уславливаясь а ^> β ^> γ, получим
ρ = ρ/(1-δα)(1-6β)(1-6γ).
Зная функцию φ, определяемую по начальным малым возмущениямг
можно найти частицы, в которых величина а имеет локальные максимумы
aml, am2 .... Условие
1 - Ъ (tt) аш = О
определяет момент, когда для ΐ-й частицы плотность обратится в
бесконечность.
Из формулы для плотности видно, что эта бесконечность обусловлена
пересечением траекторий соседних частиц, лежащих на оси |1# В момент
времени tx возмущения вдоль двух других осей ξ2 и ξ3 конечны.
Приближенная теория предсказывает образование тонких плотных
газовых облаков. Эти облака растут из-за падения на них свежего газа, который
сжимается и нагревается в ударных волнах. Облака также увеличиваются
в диаметре, так как происходит пересечение траекторий соседних частиц..
Картина, кратко обрисованная выше, была уже известна к моменту
симпозиума Международного астрономического союза № 63 «Конфронтация
космологических теорий с наблюдательными данными», который состоялся
в Кракове. Эта картина была качественно изложена в докладе А. Г. Дорош-
кевича и др. [1]; формулы и подробный анализ дан в оригинальных работах,
а также в книге Я. Б. Зельдовича и И. Д. Новикова «Строение и эволюция
Вселенной», вышедшей на русском языке в 1975 г. в издательстве «Наука»·
и готовящейся к выпуску на английском языке издательством Чикагского
университета **.
Теперь перейдем к результатам, полученным после Краковского
симпозиума и частично опубликованным на русском языке в «Астрономическом
журнале» и частично в препринтах Института прикладной математики АН
СССР. Эти результаты важны в связи с оптическими и
радиоастрономическими наблюдениями.
2. ПОЗДНИЕ СТАДИИ РАЗВИТИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
И ЯЧЕИСТАЯ СТРУКТУРА
Когда более половины вещества перешло в плотную фазу, то для
исследования дальнейшей эволюции возмущений были необходимы численные
расчеты. Во время доклада в Таллине был показан кинофильм, снятый с дисплея
ЭВМ. Здесь можно привести только отдельные картинки.
На рисунке показан соответствующий фрагмент, рассчитанный с помощью
приближенной нелинейной теории в случае двумерных возмущений.
Начальный спектр возмущений имеет резкий обрыв как со стороны коротких волн,
так и со стороны длинных волн; внутри этого интервала он плоский (в сред-
** Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука,.
1975. 735 с. (прим. редактора).

51. Теория крупномасштабной структуры Вселенной 285
нем). Индивидуальные
коэффициенты Фурье внутри интервала взяты
случайными, распределенными по
Гауссу.
При сопоставлении этих расчетов
с другими следует подчеркнуть, что
в данном случае потенциал, скорость
движения и возмущение плотности
рассчитываются для случая
непрерывной среды, а не для
определенного числа дискретных точечных
масс. Расчеты неточны, а начальные
возмущения в некотором смысле
искусственны (двумерность, плоский
спектр с резким обрывом). Однако
эти отклонения от идеального
случая совсем другого рода по
сравнению со случаем, когда рассматривается конечное число Ν дискретных масс г.
На представленном рисунке изображено конечное число точек, однако
эти точки являются лишь пробными частицами, которые дают возможность
наблюдать движение и распределение плотности. Используемый в расчете
потенциал соответствует непрерывному распределению вещества, или,
другими словами, бесконечному числу частиц, обладающих инерционной и
гравитационной массой.
Расчеты продолжаются до момента, когда произойдут пересечения
траекторий. При этом предполагается, что частицы не взаимодействуют друг
с другом, а слои могут проникать один сквозь другой. Таким образом,
приклеивание частиц, физические негравитационные столкновения и
образование ударных волн не учитываются. Поэтому «блины» в этой картине более
толстые, чем они были бы в реальных газодинамических расчетах. Тем не
менее, они достаточно тонки, чтобы различить структуру, отличную от
сферических или аморфных сгустков, которые предполагаются в
упрощенном подходе.
С течением времени «блины» растут и начинается их взаимодействие. На
рисунке видна типичная структура: большая часть вещества сосредоточена
в тонких волокнах, большие пустые внутренние области пространства
разделены сетью стенок.
По-видимому, трехмерные расчеты также приведут к ячеистой или
сотовой структуре, где вещество концентрируется в стенках, окружающих
большие, не связанные между собой пустые области. Пересечение таких стенок
может давать дополнительное повышение плотности на линиях.
Пока не ясно, существует ли реально подобная структура (или по
крайней мере ее остатки) в данных наблюдений М. Йыэвээра, Я. Эйнасто, Е. Тага
и М. Селднера, Р. Сийберса, Дж. Грота и Дж. Пиблса. Хорошо известно, что
человеческий глаз обладает свойством находить линии и структуру даже
в поле случайно брошенных частиц. Один из примеров — это каналы Скиап-
1 В численных экспериментах с N телами непроизвольно вносятся коротковолновые
возмущения самим дискретным характером распределения массы. В двумерном случае
_ з
важным членом является Υν, а в трехмерном — Υ N.

286 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
парелли на Марсе, а другой, даже более поразительный,— это созвездия,
напоминавшие нашим предкам фигуры людей, животных и т. д. Поэтому
нужно быть очень осторожным при интерпретации данных наблюдений.
Нужно найти математический алгоритм, который позволил бы отличить
квазисферические сверхскопления от структуры типа «пчелиных сот».
Возможно, что метод корреляционных функций (двухточечных, трехточечных и т. д.)
не является наилучшим методом решений этой проблемы.
Очевидны следующие трудности:
1. Стенки должны фрагментировать на отдельные галактики и
скопления галактик. Турбулентность в «блинах» и гравитационное
взаимодействие фрагментов должны частично «замывать» структуру.
2. При исследовании трехмерной структуры в качестве меры
расстояния используется красное смещение. Однако из-за пекулярных скоростей
эта процедура неточна, так что данный вопрос требует дальнейших
исследований. Тем не менее, даже с учетом всех неопределенностей нужно
подчеркнуть следующее: возникновение в теоретических расчетах ячеистой
структуры не является искусственным продуктом использования
приближенной теории.
Проводились расчеты другого типа, которые представлены во второй
части киноматериалов. В двумерной задаче численно рассчитывалось
движение (128)2 = 16000 частиц. Для каждого распределения частиц
потенциал рассчитывался с помощью уравнения Пуассона Δφ = 4яС?р; при этом
использовалось согласование и интерполяция в малых масштабах. В
больших масштабах предполагалась периодичность: частица, пересекающая
границу квадрата, появлялась с противоположной стороны. Свойство
периодичности также использовалось при расчете потенциала 2.
В качестве начального опять был использован плоский спектр
возмущений, обрезанный с двух сторон. Результаты этих расчетов практически
неотличимы от результатов приближенной теории. Характерная картина
тонких стенок и не связанных между собой пустых областей зависит от
юбрезания спектра на коротких волнах — вот в чем состоит строгое
утверждение. Это подтверждается тем фактом, что линейные размеры пустот
в среднем равны длине волны обрезания 2я/&тах.
Следовательно, такая картина характерна для адиабатической теории
с экспоненциальным обрезанием на коротких длинах волн, обусловленным
взаимодействием вещества и излучения.
В спектре энтропийных возмущений не ожидается обрезание, вплоть
до масштаба длины волны Джинса в нейтральном водороде,
соответствующей шаровым скоплениям. Поэтому в этом случае, по-видимому, нельзя
ожидать появления ячеистой структуры. Соответствующие численные
расчеты, проведенные с требуемой точностью, сейчас отсутствуют. Возможно,
эту задачу легче решить в двумерном случае, сохранив при этом
качественные особенности трехмерной задачи.
В вопросе выбора между энтропийными и адиабатическими
возмущениями мы возлагаем большие надежды на исследования крупномасштабной
структуры Вселенной.
2 Сила, пропорциональная г-1, и потенциал, пропорциональный lg г, характерны для
двумерной гравитации, что является точным описанием трехмерной ситуации, в которой
имеют дело не с точками, а с бесконечными нитями.

51. Теория крупномасштабной структуры Вселенной
287
Проводились трехмерные расчеты для случая адиабатических
возмущений, т. е. для спектра с экспоненциальным обрезанием, но узким местом
проблемы в данном случае является не сам расчет, а наглядное
представление результатов. В момент, когда подготавливался доклад, работа в данной
области еще продолжалась.
3. СТАТИСТИКА ОБРАЗОВАНИЯ «БЛИНОВ» И ПОДСЧЕТЫ КВАЗАРОВ
Рождение отдельного «блина» происходит в момент пересечения
траекторий, или, говоря на математическом языке, в момент, когда наименьший
делитель в выражении для плотности [1 — Ъ (t) а] стремится к нулю, так
что ρ —►- оо. Поэтому нужно найти локальные максимумы а = —(d2cp/d£i).
Из-за статистического характера задачи ответ также дается в
статистической форме. Функция Ρ (ат) дает плотность локальных максимумов
данной величины:
dN (см"3) = Ρ (am)dam.
В случае обрезанного на коротких волнах спектра Ρ пропорционально i?73·
Зависимость от ат универсальна и определяется гауссовым распределением
величины возмущения плотности. Однако Ρ (am) отличается от простого
гауссова вида, потому что при расчете ат мы проводим нелинейную
операцию диагонализации тензора д\/д^д^к, а также находим максимумы.
А. Г. Дорошкевич получил, что
Ρ (am) ~ α5 ехР (—па2) (а > \ΙγΊή.
Используя связь между высотой максимума ат и моментом tm, можно
получить функцию рождения F (t) или / (ζ), определяющую темп рождения
«блинов» в сопутствующем пространстве, в зависимости от t или от ζ.
Только что образовавшиеся «блины» имеют малый вихрь и низкую
температуру. Таким образом, образование компактных объектов и ярчайших
галактик происходит легче всего как раз в окрестности центра «блина»
и прежде, чем «блин» вырастет в размерах.
Поэтому разумно отождествлять скорость рождения «блинов» со
скоростью рождения известных компактных объектов — квазаров. Если время
жизни квазаров мало и не зависит от их абсолютного возраста, тогда в
каждый момент времени плотность квазаров пропорциональна их скорости
рождения. Высокая степень а5 перед гауссовым множителем приводит к
крутой зависимости (1 + ζ)Ί плотности квазаров в качестве промежуточной
асимптотики для плоского мира. При больших ζ степенной закон
обрезается гауссовой экспонентой. С помощью единственного параметра
(характеризующего амплитуду возмущений) можно получить хорошее согласна
кривой скорости рождения «блинов» с результатами Лонгейрапо подсчетам
радиоисточников и с данными Шмидта об эволюции квазаров.
Однако не следует переоценивать сходство эволюции радиоисточников
и квазаров со скоростью рождения «блинов».
1. Используемые степенные законы относятся к разным областям
изменения ζ.
2. Рождение холодных «блинов» происходит в области довольно
больших ζ (порядка 10 или 20) до ζ = 4—3. Хорошо известно, что при ζ < 4
газ полностью ионизован, потому, даже если «блины» продолжают рож-

288 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
даться, их физические свойства резко отличаются от свойств первых
«блинов», образовавшихся из холодного первичного газа. С другой стороны,
наблюдаемые подсчеты радиоисточников и квазаров относятся к области
Ό <^ ζ <^ 4, так как при ζ ^> 4 вместо эволюции наблюдается резкий обрыв
или остановка. Этот вопрос требует дальнейшего исследования.
Следующий статистический тест касается двухточечной
корреляционной функции. Адиабатическая теория «блинов» не противоречит наиболее
интересной области корреляционной функции Пиблса δ ~ ξ"1*7 в области
«6^1. Для количественного сопоставления мы отсылаем к оригинальным
работам.
В итоге представляется, что адиабатическая теория не противоречит
наблюдениям.
4. РЕШАЮЩИЕ ТЕСТЫ И БУДУЩИЕ ПРОБЛЕМЫ
Однако отсутствие противоречий еще не является доказательством
правильности развиваемой теории. Чтобы выбрать между энтропийной и
адиабатической теориями, необходимы прямые наблюдения. Наблюдения
шаровых скоплений и галактик на очень ранней стадии (при ζ ^> 30 или даже
при ζ s 100 или 200) в сильной степени подтверждали бы теорию
энтропийных возмущений, в которой начальные маломассивные объекты скучиваются
в скопления галактик. Если же будут обнаружены облака горячего газа
«с первичным химическим составом (Н + Не), отождествляемые с
«блинами», то это будет являться сильным аргументом в пользу адиабатической
теории. Облака, состоящие из полностью ионизованного горячего газа,
могут быть обнаружены по рентгеновскому излучению и по искажению
планковского спектра фонового радиоизлученид (понижение яркостной
температуры в рэлей—джинсовской области). Не очень горячий водород
дает излучение в линии 21 см, сдвинутое красным смещением.
Во всяком случае, противоречие с измерениями Δ TIT флуктуации
реликтового излучения должно быть разрешено в любом из вариантов.
Энтропийные возмущения предсказывают значения Δ77Γ, только в 2—3 раза
меньше, чем адиабатические. Исследование этих возмущений,
непосредственно связанных со структурой Вселенной, является наиболее
перспективной частью проблемы.
Экстраполируя от симпозиума в Кракове через симпозиум в Таллине
к следующему симпозиуму где-нибудь в начале восьмидесятых годов, можно
выразить уверенность, что проблема образования галактик и скоплений
галактик будет решена в ближайшие несколько лет.
Остается более широкий вопрос о виде общего спектра возмущений,
включая наименьшие масштабы, где возмущения затухли на очень ранней
радиационно-доминированной или адронной стадии, а также вопрос о
наибольших масштабах возмущений, которые остаются малыми вплоть до
настоящего времени. Описывается ли весь начальный спектр степенным
законом без выделенных масштабов? Для ответа на этот вопрос требуются новые
и, к сожалению, косвенные наблюдательные тесты. Однако главный
теоретический вопрос — какова фундаментальная теория происхождения
начальных возмущений — остается неразрешенным. Кроме того, неясно,
каковы причины для столь однородного и изотропного расширения из
состояния сингулярности, которое является фоном для возмущений.

51. Теория крупномасштабной структуры Вселенной
289
ЛИТЕРАТУРА
1. Doroshkevich A. G.t Sunyaev R. Α., Zeldovich Ya. Β. Confrontation of cosmological
theories with observational data/Ed. M. S. Longair. Dordrecht; Boston, 1974. Рус. пер.:
Космология. Теория и наблюдения. М.: Мир, 1978.
2. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.
3. Zeldovich Ya. В.— Astron. and Astrophys., 1970, vol. 5, p. 84.
4. Дорошкевич А. Г.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 581.
5. Sunyaev R. Л., Zeldovich Ya. В.— Astron. and Astrophys., 1972, vol. 20, p. 189.
6. Дорошкевич А. Г., Рябенький B.C., Шандарин С. Φ.— Астрофизика, 1973, т. 9, с. 257.
7. Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф.— Астрофизика, 1973, т. 9, с. 549.
8. Doroshkevich A. G.— Astrophys. Lett., 1973, vol. 14, p. 11.
9. Doroshkevich A. G., Shandarin S. F,— Sov. Astron. USSR, 1974, vol. 18, p. 24.
10. Шандарин С. Ф,— Астрон. журн., 1974, т. 51, с. 667.
11. Doroshkevich A. G., Shandarin S. F.— Sov. Astron. USSR, 1975, vol. 19, p. 4.
42. Sunyaev R. Л., Zeldovich Ya. В.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1975, vol. 171,
p. 375.
13. Doroshkevich A. G., Shandarin S. F.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1976, vol. 175,
p. 15P.
14. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Сюняев Р. А.— Образование и эволюция галактик
и звезд/По ред. С. Б. Пикельнера. М.: Наука, 1976.
15. Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф.— Препр. ИПМ АН СССР, № 3. М., 1976.
16. Doroshkevich A. G., Shandarin S. F.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1977, vol. 179, p. 95.
17. Doroshkevich A. G., Shandarin S. F,— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1978, vol. 182,
p. 27.
18. Дорошкевич А. Г., Саар Э. М., Шандарин С. Ф.— Препр. ИПМ АН СССР № 72,
М., 1977.
19. Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф.— Препр. ИПМ АН СССР № 73. М., 1977.
20. Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф.— Астрон. журн., 1977, т. 54, с. 734.
21. Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф.— Препр. ИПМ АН СССР № 84. М., 1977.
22. Дорошкевич А. Г., Саар Э. М., Шандарин С. Ф.— В кн.: Крупномасштабная
структура Вселенной. М.: Мир, 1981.
23. Seldner Μ., Siebers Д., Groth Ε. Λ, Peebles P. J. Ε.— Astron. J., 1977, vol. 82, p. 249.
24. Joeveer M., Einasto /., Τ ago E.— Preprint A-l, Struve Astrophysical Observatory,
Tartu, 1977.
КОММЕНТАРИЙ
В обзорном докладе доступно и достаточно полно отражено состояние проблемы к
концу семидесятых годов. Доклад является хорошим вступлением в теорию образования
структуры. Редколлегия сочла целесообразным предпослать этот обобщающий доклад
ряду частных работ, в которых впервые развивались отдельные вопросы. Численные
расчеты см. в статье А. Г. Дорошкевича и др. г*
С большим научным предвидением отмечены направления дальнейшей работы,
действительно ставшие центральными в последующие годы.
Вместе с тем, следует отметить некоторую ограниченность доклада. ЯБ исходит
из принципа наиболее экономного построения теории, вводя в рассмотрение только те
законы и частицы, существование которых надежно установлено к концу 1970 г.
Развитие физики частиц привело в настоящее время к огромному разнообразию
предположений: тяжелые нейтрино, аксионы, суперсимметричные частицы, стабильные и
нестабильные, не равная нулю космологическая постоянная и т. д. Астрономические
соображения со своей стороны настойчиво требуют каких-то видов «скрытой массы».
Начало этого направления отражено в работах, публикуемых в данной книге
(статьи 59—61). Конец этого направления еще скрыт в тумане будущего...
Подчеркнем здесь, что многие важнейшие результаты, такие, как понятие
«блинов» и ячеистой структуры с пустотами, остаются в силе и во многих вариантах,
выходящих за пределы изложенной в докладе картины.
ι* Doroshkevich A. G., Kotok Ε. У., Novikov I. D. et al.— Nonth. Motic. Roy·
Astron. Soc, 1980, vol. 192, p. 321.
10 Я. Б. Зельдович

290 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
52
ЭНЕРГИЯ СЛУЧАЙНОГО ДВИЖЕНИЯ
В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ*
(совместно с Н. А. Дмитриевым)
Составлено дифференциальное уравнение, связывающее кинетическую
энергию случайного движения с должным образом определенным
изменением гравитационной энергии вследствие неоднородности плотности.
Получено неравенство, ограничивающее сверху энергию случайного движения,
развивающегося за счет гравитационной неустойчивости.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Наблюдаемая Вселенная отличается от изотропной и однородной
космологической Модели, развитой А. А. Фридманом, в двух отношениях: 1)
истинное распределение плотности не является однородным, ρ (г, t) Φ ρ (t)
и 2) истинное распределение скорости движения материи отличается от
закона Хаббла: иф Иг. При этом скорость случайного движения
определяется как разность ν = и — Нг.
Известно, что в модели Фридмана импульс отдельной частицы, имеющей
случайную скорость ν, с течением времени убываетх обратно
пропорционально увеличению радиуса Вселенной R: \ ρ \ — const/i?. Иногда эту
теорему применяют к случайному движению галактик [1]. Современные
случайные скорости порядка 200 км/с. Предполагается, что в момент
образования галактик t0 средняя плотность вещества во Вселенной была равна
сегодняшней средней внутригалактической плотности ρ (t0) ^ 10"25 г/см3,,
тогда как в настоящее время ρ (£χ) χ 10""30 г/см3. Следовательно,
R (t0) = R &)[р &)/р (f0)iv. = 0,02Д &).
Отсюда делается вывод, что в момент образования галактик случайная
скорость составляла 200/0,02 == 10000 км/с. Такая случайная скорость явно
слишком велика; эта оценка рассматривается Ф. Хойлем как трудность
в применении теории Фридмана к фактически наблюдаемой Вселенной.
Очевидная ошибка рассуждения заключается в том, что изменение
случайной скорости рассматривается так, как будто каждая отдельная
галактика движется в поле тяготения вещества, равномерно распределенного
в пространстве. В действительности неравномерное распределение
плотности существенно влияет на закон изменения скорости.
В качестве вульгарного примера можно привести вращение Земли
вокруг Солнца: очевидно, что расширение Вселенной не уменьшает эту
скорость. То же относится к любой стационарной системе тел, среднее
расстояние между которыми остается постоянным. Более поучителен другой
пример — малых возмущений плотности и скорости, наложенных на
однородную изотропную модель* В этом случае, как показал Ε. Μ. Лифшиц [2]t
* Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1963, т. 45, вып. 4, с. 1150—
1155.
1 Красное смещение спектра далеких объектов можно рассматривать как частный
случай применения этой теоремы к квантам света.

52. Энергия случайного движения в расширяющейся Вселенной 291
существуют два решения: нарастающие возмущения,
δρ/ρ ~ ft*, ν ~ t\
и затухающие возмущения,
δρ/ρ ~ Г1, ν ~ Г4/з.
Следовательно, в расширяющейся Вселенной возможно не только
уменьшение скорости случайного движения.
При определенном соотношении фазы случайной скорости и фазы
возмущения плотности скорость увеличивается в ходе расширения. Очевидной
причиной этого является гравитационная неустойчивость однородного
вещества, расширяющегося строго по закону Хэббла. Нарушение
однородности сопровождается уменьшением гравитационной энергии, которая
частично превращается в кинетическую энергию случайного движения.
В настоящей работе поставлена задача получить общее соотношение
между кинетической энергией случайного движения и величиной, которая
характеризовала бы отклонение истинного распределения плотности от
однородного, не ограничивая себя малыми возмущениями. Такое
соотношение может представить интерес в связи с предположением, что на ранней
стадии эволюции Вселенная точно удовлетворяла уравнениям модели
Фридмана. Пусть затем какие-то небольшие возмущения (термодинамические
флуктуации или явления при фазовых переходах [3] 2 или какие-либо
другие причины) вызвали небольшие отклонения от однородности и создали
малые случайные скорости. Предположим, что после этого все явления
развивались под действием единственной силы тяготения. Тогда должно
существовать определенное соотношение между сегодняшней энергией
случайного движения и наблюдаемой в настоящее время неоднородностью
распределения плотности. К сожалению, состояние наблюдательного материала
в настоящее время вряд ли даст возможность прийти к определенным
заключениям. К тому же, наряду с гравитационными силами, могло играть роль
и выделение термоядерной энергии в звездах. Поэтому, трезво оценивая
значение полученных результатов, нужно считать, что они носят главным
образом методический и негативный характер: ясно доказывается лишь то,
что наблюдаемые случайные скорости не могут считаться опровержением
применимости модели Фридмана в прошлом.
2. РЕЗУЛЬТАТ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
Основной результат можно записать в следующем виде:
Здесь R — радиус Вселенной, Τ — кинетическая энергия случайного
движения:
Τ = (J pv2dV)/2.
Величина F дается выражением
F = _ _|_ ^ (ft - Ж* - Р) dVl dV%i
2 Отметим, что, согласно последующим нашим расчетам, роль фазовых переходов
меньше, чем предполагалось в [3].
10*

292 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Pi = Ρ (Гц Οι Р2 = Ρ fo, *), Ρ = Ρ (ί)ι
*Ί2 = Ι гг — r2 |, dVx = dVlf dF2 = dV2,
где κ есть ньютоновская гравитационная константа.
Этот результат относится к состоянию, являющемуся однородным и
изотропным, но лишь в среднем, в достаточно большом масштабе L. Поэтому
при интегрировании по объему F^>L3, обе величины Τ и F
пропорциональны V. Для величины Τ это очевидно непосредственно, для величины F надо
заметить, что на расстояниях г12 ^> L нет корреляции между рх — ρ и
р2 — р. Фиксируя точку г и мы заметим, что при г12 }> L величина р2 — ρ
знакопеременна, в среднем по большим объемам равна нулю, а потому
ri2 ^> Ь не дают вклада в интеграл. Следовательно, F порядка
откуда видно, что F также пропорционально объему интегрирования V.
Рассматривая изменение Τ и F со временем, мы полагаем, что объем
интегрирования содержит всегда одно и то же количество вещества Μι
Μ = pF, откуда следует, что V = const·i?3, объем V расширяется
одновременно с общим хэббловским расширением. В этом смысле можно
говорить об удельных {на единицу массы) значениях Тх = TIM и Fx = FIM
которые отличаются от Τ и F только постоянным множителем.
Величины Тх и Fx являются «локальными» в масштабах больше L.
Величина R идейно связана с представлениями о кривизне пространства,
специфичными для общей теории относительности. Однако в
действительности предлагаемая теорема носит локальный характер, и R можно
исключить. Для этого заметим, что dlnR/dt = Η, где Η — постоянная Хэббла —
есть величина, определяемая локально по распределению средней скорости
вблизи рассматриваемого объема. Таким образом, теорему можно
переписать в локальных величинах:
d (Τ, + Fx)ldt + Η(Τ, + FJ = -ΗΤΧ.
Рассмотрим различные предельные случаи.
1. Однородная плотность, ρ = ρ, F = 0. Найдем
dTJdt = -2HTt = ^2T1dlnR/dt.
Отсюда сразу
Тг = const/i?2,
в соответствии с тем, что в этом случае случайная скорость убывает^
как 1/R.
2. Вещество распалось на сгустки постоянного объема, занимающие
малую часть пространства и не расширяющиеся при общем расширении
(увеличивается только расстояние между сгустками). В этом случае Ft»
« const ^ —tfi/r, где m — масса сгустка, г — его радиус,
dTJdt = -2НТХ - HFV
Асимптотически Тг стремится к пределу
Тг = —FJ2.
Этот результат представляет собой теорему вириала для отдельных сгустков.

52. Энергия случайного движения в расширяющейся Вселенной 293
3. В теории малых возмущений теорема выполняется. Приведенные
в разд. 1 формулы относятся к плоскому миру, т. е. к случаю R ~ f/»f
Η = 2/3ί, где t отсчитывается от момента бесконечной плотности.
Соответственно в нарастающих возмущениях
ν ~ **/·, Τ ~ fA,
δρ/ρ ~ fV·, δρ ~ fit Γ2 = *-4/з
L ~ f/з, F ~ (6p)2L2F ~ Г8/з *·/.*» = fiK
Подставляя это в (1), получим
Тг = —2FJ3.
Аналогично для затухающих возмущений
Тх~ Fx~ Г8/з, Тг = —3FJ2.
4. При быстром возникновении возмущений
Тг + Fx = const.
Таким образом, теорема заключает в себе все частные случаи.
Основной вывод для космологии заключается в следующем: если было
однородное состояние с Τ = О, F = 0, и затем какие-то малые воздействия
нарушили эту однородность, то под действием одной только гравитации
могло возникнуть лишь состояние, в котором кинетическая энергия не
превышает определенного предела: Тг <^ —Fx. Если обработка наблюдений
покажет, что это неравенство не выполняется, и будет показано, что большая
кинетическая энергия не получилась из ядерной энергии реакций в
звездах — тогда и только тогда нужно будет отказаться от модели Фридмана
для ранней стадии эволюции Вселенной.
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Предполагаемое ниже доказательство основано на рассмотрении
большого (г :Ξ> L) шарового объема в рамках классической механики и
ньютоновской теории тяготения.
Как известно, в такой постановке задачи правильно получаются все
локальные свойства модели Фридмана; результаты для ρ (t) и Η (t) в точности
совпадают с результатами общей теории относительности. Как показал
В. Боннор [4], то же относится и к развитию возмущений, совпадающему
в этой модели с расчетами Е. Лифшица· В такой постановке задачи нет
никакого так называемого гравитационного парадокса 3 и, устремляя радиус
шара в бесконечность, г->- оо, мы получим вполне определенный, конечный
ответ для всех локальных величин и, в частности, для интересующих нас Fx
и Тг.
Заметим, что в классической постановке кинетическая энергия хэбблов-
ского движения и потенциальная энергия всего шара, отнесенные на
единицу массы, растут, как г2, и не стремятся к определенному пределу при
г->- оо. Тем не менее, на этом фоне можно получить соотношение между ки-
3 Для этого необходимо и достаточно рассматривать именно шар; для тела
произвольной формы не удовлетворено.требование изотропии тензора вторых производных
гравитационного потенциала д2<р/дхгдхк = const δ^ (в декартовых координатах).

294 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
цетическои энергией случайного движения и потенциальной энергией
нарушения однородности.
Пусть г t и mt — радиус-векторы и массы отдельных материальных точек,
составляющих систему (скажем, галактик), R (t) — характерный размер
системы. Введем относительные координаты |f при помощи формул
dr. ά£· /7 7? dl·. с/Д.
так что случайная скорость
Vi = dTi/dt — Ηνχ = R dlifdt.
Уравнения движения суть
i!u = R d% , о dR Ъ
, 0 dR <4i iRR j VI %mj
dt*
if*!
Последнее слагаемое слева равно ускорению точки в чисто фридманов-
ском движении, т. е. под действием притяжения шара радиуса R и
равномерной плотности ρ (t). Перенося его направо, имеем
n dt* +Ζ^Γ dt — gra<lr*v2j |f,-r.| ) \r*-*\)m
ίΦϊ J 0
Переходя также справа к относительным координатам, получаем
4г«™»* (Σίϊ^-κΗ TfFfT*)
j*i J 0
— выражение, в котором время явно входит только в множитель Ι/i?2, так
как pi?3 — константа. Домножая уравнение на i?2 и на mid%ildt и суммируя
по г, получаем нашу теорему, аналогично обычному интегралу энергии:
г г
D άτ . 0 dR ψ d г γη ^i^ -„.γι Ρ d% 1
(i. i) i
где двойная сумма берется по всевозможным сочетаниям (i, /).
Добавляя справа под знаком dldt постоянную величину — потенциал от
действия шара радиуса R самого на себя,— получаем величину — ί\ но
вычисленную в относительных координатах. В самом деле, переходя к
континуальной записи, получим
<*, 3)
** Σ*>\-π2π—*ΰ
рф dV2 dV]
7*12

52. Энергия случайного движения в расширяющейся Вселенной 295
Наконец, упомянутая постоянная величина, которую можно добавить
под знак dldt, есть
Собирая, получим справа
Окончательно имеем
at ' at dt
т. е.
£r(T + F)+<*T = 0,
что и требовалось доказать.
Поступила в редакцию
15 апреля 1963 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hoyle F.— In: La Structure de l'Univers (11 Conseil de Solvay), Bruxelles, 1958, p. 66»
2. Лифшиц Ε. Μ.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
3. Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1962, т. 43, с. 1982.
4. Bonnor W. В.— Month. Notic. Roy. Astron. Зое, 1957, vol. 117, p. 104.
КОММЕНТАРИЙ
В работе получено соотношение между кинетической энергией пекулярного
(случайного, отличающегося от общего расширения) движения и потенциальной энергией
неравномерного распределения вещества (за вычетом расходящейся гравитационной энергии
однородного вещества).
Результат в литературе получил название теоремы Ирвина — Дмитриева. Имя
В. Ирвина появилось в связи с тем, что Д. Лейзер в более поздней работе 1# ссылается на
неопубликованную диссертацию своего студента В. Ирвина 2*. Имя Зельдовича не
попало в название, возможно, потому, что оно связано также с рядом других теорем.
В настоящее время предпринимается много попыток измерения пекулярных
скоростей для определения средней плотности вещества во Вселенной и решения проблемы
скрытой массы (см., например, обзор Дж. Пиблса3*).
В принципе можно было бы установить и роль энергии коллективных вспышек
сверхновых. Общая трудность применения теоремы Ирвина — Дмитриева связана с тем, что
измеряются скорости светящихся объектов — звезд. Однако плотность звезд, вероятно,
не только не равна, но и не пропорциональна плотности всех видов материи в каждом
данном объеме (см. в этой связи помещаемую в данной книге статью о черных областях во
Вселенной).
Сказанное не умаляет четкость постановки вопроса и математическое изящество его
решения в комментируемой статье.
2* Layzer D.— Ann. Rev. Astron. Astrophys., 1964, vol. 2, p. 341.
2* Irvine W. M,— Doctoral Dissertation. Harward University, 1961.
3* Peebles P. J. E.— Ann. Rev. Astron. Astrophys., 1983, vol. 21, p. 1—32.

296 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
53
РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С МАЛЫМ ДАВЛЕНИЕМ*
(совместно с А. Г. Дорошкевичем)
В работе рассматривается гравитационное развитие возмущений на фоне
расширяющейся по хэббловскому закону материи.
Подобные исследования проводились Е. М. Лифшицем [1] и В. Бонно-
ром[2].
Настоящая работа посвящена рассмотрению некоторых интересных
случаев (р = 0; и к ->- 0). При этом закон развития возмущений плотности
и скорости не зависит от формы начальных возмущений. Показано, что
вращательные возмущения скорости не связаны с возмущениями плотности и
затухают в ходе расширения мира.
Приведено сравнение с результатами Джинса.
Вопрос о гравитационной неустойчивости вещества весьма важен для
выяснения истории развития мира. Гравитационная неустойчивость может
служить причиной образования туманностей и звезд при расширении
однородного фридмановского мира, а также одной из причин образования звезд
из пылевых туманностей.
Впервые этот вопрос был исследован Дяс. Джинсом [1, 2], который
рассматривал развитие возмущений на фоне однородной покоящейся материи.
Однако его рассмотрение некорректно, так как однородное покоящееся
вещество не удовлетворяет уравнениям классической теории. Правильный
закон развития возмущений на расширяющемся фридмановском мире
получил Ε. Μ. Лифшиц в рамках общей теории относительности [3]. Им показано,
что существует вид возмущений плотности и скорости, растущих
пропорционально радиусу мира. Аналогичные результаты в классической теории
получил В. Боннор [4]. Подробный анализ результатов этих работ, а также
изложение современного состояния вопроса гравитационной неустойчивости
даны Я. Б. Зельдовичем [5].
Цель настоящей работы — показать, что с помощью результатов Бон-
нора можно получить закон развития возмущений плотности и скорости
произвольной формы в однородной среде с малым давлением (пыль), а также
для длинноволновой части возмущений в однородной среде с произвольным
уравнением состояния. Как растущая, так и убывающая части возмущения
плотности и скорости определяются соответствующими линейными
комбинациями этих же величин, заданных в начальный момент времени.
Вращательные возмущения скорости не связаны с возмущениями плотности и затухают
в ходе расширения при любом уравнении состояния среды.
Остановимся поподробнее на результатах В. Боннора. Решением
невозмущенной задачи (однородное вещество) при произвольном уравнении
состояния является:
Ρ = Ρο/φ3; и = фг/φ; г = срД; φ2 = 8π6ρ0/3φ + ε, (1)
* Астрономический журнал, 1963, т. 40, № 5, с. 807—811.

63. Развитие возмущений произвольной формы в однородной среде 297
где ρ и и — плотность и скорость вещества, G — гравитационная
постоянная, В — начальная координата частицы, т. е. лагранжева переменная,
φ (t) дает закон расширения системы, характеризует энергию системы.
Для сферы конечной массы полная энергия (сумма кинетической и
гравитационной) равна F = 2πρ0ϋ50ε/5. (Возможно: ε > 0, ε = 0 и ε < 0).
Боннор рассматривает специальный вид сферически симметричных
возмущений
f _.ft ,)=u(0^*£-=u((,(sin^L)/(^), (2,
где к постоянно, а
λ = 2πφ/&.
Критерием нарастания возмущений является соотношение
(k2/<p2)(dp/dp) - 4ябр < 0. (3)
Если неравенство (3) не выполнено, то возмущения распространяются как
звуковые волны.
Особый интерес представляют возмущения плотности большой длины
волны (&->- 0) и возмущения в среде с малым давлением (пыль). В этом
случае неравенство (3) выполняется всегда, и уравнение для h (t) в пределе не
зависит от длины волны возмущения. Для амплитуды возмущения
плотности h (t) есть два линейно независимых решения с различным полем скорости,
соответствующим одному и тому же распределению плотности вида (2):
Нг = φ/φ, h2 = (3ίψ/φ — 2)/ε. г (4)
Вихревая составляющая скорости меняется как l/φ (приложение А).
Произвольные возмущения плотности и скорости в начальный момент
t0 разложимы на три члена: две линейно независимые комбинации s0 и
div v0 в соответствии с двумя решениями вида кг и h2 и вихревая
составляющая скорости vr0, не связанная с изменением плотности. При переходе к
произвольному моменту времени t каждый член изменяется по своему закону.
Так как hu h2 и h3 не зависят от волнового вектора &, фурье-анализ при
t = t0 и последующий фурье-синтез в момент t сохраняют форму возмущений.
Это позволяет сразу написать результат для произвольного возмущения
в замкнутой форме.
Так как возмущения скорости и плотности связаны уравнением
непрерывности
ds/dt + div ν = 0, (5)
то имеем
s = кгА + h2B, div v = —hxA — h2B, vr = h3C. (6)
Напомним, что hl4 h2nh3 — функции только времени, а А, В и С —
функции только лагранжевых координат. Для определения функций А, В и С
используем очевидные начальные условия:
s0 = h10A + h20B, div v0 = div vp0 = — h10A — h20B, vr{i = Ch30l (7)
1 При ε —> 0, hx —> ir1 раскрытие неопределенности для h2 дает h2 = t/з.

298 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
где s0 = s (t0; г); v0 = ν (t0; г) = vp0 + vr0· Причем div vr0 = 0; rot vp0
= 0. Задание div vp полностью определяет возмущение скорости vp.
В простейшем случае ε = 0 получим:
h± = Г1, h2 = f /з,
s(t; ν) = —-γ-[~j-s0 + t0divv0J + —(-j^j ' (so— hdivv0),
t div vp = -y- -7-(-5- ,9° + to div v°) Γ \Тг) 3 ^So — ίο div v°) '
vr = (t0/ty/*vr0.
(8)
В частности, следовательно, если в начальный момент v0 = 0, то и в
любой момент времени s = f (t) s (t0; г) (притом при любом ε)2. Если где-то
s0 = 0, то там и s (t; r) = 0. Как наглядно понять, почему сила тяжести,
возмущающая движение вещества повсеместно, а не только в точках s Φ Ο,
не меняет формы s? Для этого заметим, что при s0 ~ δ (г — г0) и div 6F ~
~ δ (г — г0), где^ — сила тяжести, т. е. div (dv/dt) ~ δ (г — τ·0) и,
следовательно, div ν ~ δ (г — г0).
Таким образом, возмущение скорости действительно не ограничено
областью s Φ 0, но обратное влияние возмущения скорости на плотность
таково, что дельтаобразное распределение плотности не нарушается.
Таким образом, для длинноволновой части возмущений, а также для
возмущений в однородной среде с ρ = 0 справедливы следующие утверждения.
1. Закон развития возмущений плотности и скорости не зависит от их
начальной формы.
2. Нарастающая часть возмущений плотности и скорости определяется
некоторой линейной комбинацией начальных возмущений этих же величин.
В частном случае ε = 0 эта комбинация есть s0 — t0 div v0-
3. Вращательные возмущения скорости не связаны с возмущениями
плотности и затухают со временем.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Ε. Μ. Лифшиц показал [3], что вихревые возмущения скорости не
связаны с возмущениями плотности и затухают при любом уравнении состояния.
Аналогичные результаты можно получить и в классической теории.
Запишем уравнение Эйлера для возмущения скорости в однородной среде
с уравнением состояния ρ = ρ (ρ):
dvr/dt 4- grad (uvr) — ur rot vr = 6F— grad δρ/ρ,
div6i7 = —4πβδρ. (Α.1)
Применив к этому уравнению операцию rot и перейдя к лагранжевым
координатам R (согласно (1)), получим
-^ rotR φυΓ = 0, (А.2)
т. е. Γθΐβ ψυΓ = TotRy0vro и tv=<potWq>·
2 В частности, при ε = 0 / (t) = 0,4ί0/ί + 0,6 (*/*0)2/з.

53. Развитие возмущений произвольной формы в однородной среде 299
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Рассмотрим, следуя В. Боннору, случай ε = 0; ρ = ар4/з. При этом
критерий нарастания возмущений (3) запишется в виде
nc2/(Gp%2) - 1 = а2 — 1 < 0, (Б.1)
причем α2 = nc2/Gp%2 от времени не зависит, так как ρ ~ Γ2, λ = 2πφ/Α ~
~ L ~ t /з ис2 = dpi dp — pVa ~ /-7з. При произвольных λ для h получаются
степенные уравнения:
h = Atn* + Bt71^
^=-4±/§--ία2· (Б·2)
При α2 ^> 25/24 мы имеем дело со звуковыми волнами. Влияние силы
Тяжести проявляется в изменении частоты звука при данной длине волны,
т. е. в дисперсии. Записывая звуковую волну в виде £~Ve exp [ikR +
+ iY2U&2 — 25/зб In ί], получим для частоты:
-=4[/xa2-flni]=-f]/4a2-f (Б·3)
Покажем, что уменьшение амплитуды звуковой волны по закону Г1'·
есть следствие расширения среды. Для этого воспользуемся тем, что
отношение энергии волнового пакета к частоте есть адиабатический инвариант.
Для звуковых волн Ε ~ Lspc2s2 ~ c2s2, так как L3p ~ Μ = const. Поэтому
c2s2 ~ ω ~ l/ί и s ~ Г1/·.
Роль критерия Джинса играет условие обращения в нуль подкоренного
выражения, означающее невозможность колебаний. Получаем а2 = 25/24,
тогда как по Джинсу а2 = 1.
Для закона изменения плотности в области длинных волн естественным
обобщением результата Джинса h1;2 = e±mt, где т2 = 4яС?р — (4π2/λ2)·
• (dp/dp) ~ 4яС?р, является формула hVtZ = exp (± 1 /τιώ). Так как
ρ = 1/(6jxG/2), to hlf2 = t±}iz/i, что уже довольно близко к hx — Г1,
fe2 = f/з в точном решении. С учетом уменьшения амплитуды вследствие
расширения среды можно обобщить результат Джинса таким образом:
hh 2 = Γ*/β exp (± i rndt), (Б.4)
что дает для амплитуды
ήι = Гг1<-У V". = го»98, /г2 = *-*/·+/% = ί ο,65#
Показатели степени отличаются от точных на 2%.
Для рассмотренного выше случая ρ = ар4/» при таком обобщении
получаем:
h = Atn* + Btn>, Λι,а = — Ve ±i 1/"2/з(а2—1), (Б.5)
что также весьма близко к точному решению.
Проведенное рассмотрение свидетельствует о том, что по существу
физическая картина, предложенная Джинсом, правильна.
Поступила в редакцию
7 декабря 1962 г.

300 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Примечание при корректуре. После сдачи работы в печать мы
ознакомились с работами [6—8], в которых рассматривается развитие возмущений в
сжимающемся облаке газа. Результаты близки к нашим прежде всего по той причине, что и те и
другие непосредственно следуют из работы Боннора и Лифшица. Как отмечено Лифшицем,
в сжимающемся облаке нарастание возмущений плотности происходит быстрее, чем в
расширяющемся. Однако нам представляется важным подчеркнуть правильность теории
Джинса по существу, а не ее формальную некорректность. В частности, адиабатическое
возрастание амплитуды звуковых волн нужно отличать от гравитационной
неустойчивости, и в этом смысле, в противоположность мнению, выраженному в [7], критерий Джинса
сохраняет свое значение.
ЛИТЕРАТУРА
1. Jeans J. Η.— In: Astronomy and cosmology. Cambridge, 1929, p. 345.
2. Jeans J. H,— Philos. Trans. Roy. Soc. London A, 1902, vol. 199, p. 44.
3. Лифшиц Ε. Μ.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
4. Воппог W. В.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1957, vol. 117, p. 104.
5. Зельдович Я. Б.— Вопр. космогонии, 1963, т. 9.
6. Hunter С— Astrophys. J., 1962, vol. 136, p. 594.
7. Layzer D,— Astrophys. J., 1963, vol. 137, p. 351.
8. Savedoff P.— Astrophys. J., 1962, vol. 136, p. 609.
КОММЕНТАРИЙ
Комментируемая статья почти тривиальна, поскольку в линейной теории задача
сводится к фурье-анализу и последующему фурье-синтезу при известном предельном
законе изменения отдельных фурье-компонент.
Значение работы, однако, заключается в том, что она подготовила нетривиальный
приближенный анализ нелинейной задачи, т. е. создание теории «блинов» — см.
следующую статью в данной книге.
В рамках линейной задачи продолжением комментируемой работы явился учет
конечной длины волны возмущений как поправки в координатном представлении *■*.
2* Зельдович Я. Б,— Астрон. журн., 1982, т. 59, стр. 636—638.
54
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ГАЛАКТИК
В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ*
(совместно с А. Г. Дорошкевичем, И. Д. Новиковым)
В настоящее время вырисовывается излагаемая ниже последовательность
образования в эволюционирующей Метагалактике галактик, скоплений
галактик и других объектов.
За основу принимается «горячая» модель Метагалактики, описываемая
решением Фридмана. Предполагается, что современная плотность вещества
близка к критической плотности ρ ~ 2-10"29 г/см3 и современная
температура реликтового излучения ΓΥ~3Κ[1, 2]. Схематично эволюция
Метагалактики в рамках рассматриваемой гипотезы сводится к следующим ос-
* Астрономический журнал, 1967, т. 44, № 2, с. 295—303.

54. Возникновение галактик в расширяющейся Вселенной
301
новным этапам (обоснование отдельных положений гипотезы см. в
последующих разделах).
1. Время t ^ t± ~ 1013 с (за t = 0 принят момент ρ = оо), р]> рх ~
~ 10~20 г/см3, Тт = Ту ^ 4-103 К. Вещество Метагалактики представляет
собой плазму, находящуюся в равновесии с излучением. Плазма состоит
из 70% ионизованного водорода и 30% (по весу) гелия. Гелий ионизован
при Γ^8·103 К и нейтрален при более низких температурах.
Распределение излучения и плазмы в пространстве с большой точностью однородно,
возмущения плотности малы δρ/ρ <^ 1.
2. Время ^<^<^(2ч-5)· 101в с, плотность рх <^ ρ <; р2 ~ (1 -ь-
-ч—10) · 10~27 г/см3. В момент t = tx произошла рекомбинация водорода и
вещество в дальнейшем практически не взаимодействует с излучением. В ходе
адиабатического расширения уменьшаются температуры излучения Ту и
вещества Tm: Ty ~ p1/*, Tm ~ р*/>. Происходит гравитационное нарастание
возмущений плотности. Предполагается, что к моменту t = t2 возмущения
плотности вырастают настолько, что в отдельных частях, по закону случая,
возникают конденсации газа («празвезды») с преимущественной массой
М3~ (0,5 ч- 1)·106 ΜΘ (см. разд. 2).
3. «Празвезды» быстро эволюционируют, выделяя значительную часть
своей ядерной энергии. При этом остальное вещество разогревается до
температуры Т3 ~ (0,5 ч- 1)·106 К, во много раз превышающей температуру
реликтового излучения в этот момент.
4. При разогреве образуются неоднородности δρ/ρ ^ 1 в масштабе
Λί4 ~ 109-^- 1010 Mq (масса, приходящаяся на одну «празвезду»). Разогрев
газа приводит к прекращению образования «празвезд»; через «празвезды»
проходит около 10~4 всего вещества Метагалактики. Нагретый метагалакти-
ческий газ быстро охлаждается (за время At ^ 0,5£2)· При этом возникает
второе поколение «празвезд» с характерной массой Μ ~ Μ4. Возможно, что
часть этих «празвезд» превращается в обычные и радиогалактики, а часть —
в объекты типа квазаров. Входе эволюции «праквазаров»и «прарадиогалак-
тик» вещество вновь разогревается (за время порядка At ~ (0,1 ч-0,3) t2\
время жизни квазара Atk ~ ΙΟ13 -τ- 1014 с ~ 0,0112) до температуры Г4 ~
~ 106 К. В «праквазарах» сосредоточено также ~10~4 всего вещества
Метагалактики.
5. При втором разогреве характерный масштаб неоднородностей
возрастает до величины Мь ~ М4/10"4 ~ 1013 -=- 1014 ΜΘ, что примерно
соответствует длине волны Джинса при Τ ~ ΙΟ6 Κ, ρ ~ 10"27 г/см3. Поэтому
в этот момент происходит обособление облаков, из которых образуются
скопления галактик с массой Μ ~ Мъ.
6. В ходе эволюции скоплений галактик за счет тепловой неустойчивости
происходит фрагментация, т. е. дробление скопления на отдельные
галактики. При дальнейшей эволюции галактик возникают звезды обычного типа.
Изложенная схема не является полностью доказанной и может сильно
измениться в будущем. В частности, в этой работе не затронут вопрос о
величине и роли магнитного поля на всех этапах. Подлежат уточнению и
основные предположения гипотезы; однако уточнение значения ρ в рамках
горячей модели не изменит качественную картину. Отметим, наконец, что
некоторые части предлагаемой гипотезы имеются в литературе. Отмечалась
роль излучения в развитии неодно род но стей [3, 4] на первом этапе,
необходимость разогрева и ионизации плазмы до образования галактик и скоплений
галактик и важная роль в этом квазаров и радиогалактик [4], рассматри-

302 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
валось образование галактик путем фрагментации газовых облаков,
являющихся «протоскоплениями» [4, 5].
Конкретными основными новыми предположениями являются:
1) образование первого поколения «празвезд» и оценка их массы, времени
эволюции, выделяемой энергии и создаваемой ими прогретой зоны;
2) развитие во времени рождения «празвезд» на основе статистического
характера начального спектра возмущений, с учетом экспоненциально
малой вероятности сильного возмущения (конденсации) при малых
среднеквадратичных возмущениях;
3) учет охлаждения газа после рождения первого поколения «празвезд»,
роль празвезд как источников возмущений плотности, ведущих к
образованию второго поколения, и аналогичное соотношение между вторым
поколением и скоплениями;
4) весь процесс от возникновения первых метагалактических объектов
до обособления облаков, дробящихся затем на галактики, происходит
быстро при ρ ях 10"2в -н 10"27 г/см3. Средняя плотность при этом изменяется
примерно на порядок.
Противоположное предположение о растянутости во времени всех
процессов [4] приводит, вероятно, к серьезным затруднениям (см. разд. 5).
В разд. 1 будет коротко рассмотрено развитие Метагалактики на первой
стадии, в разд. 2 качественно рассмотрены процессы образования и
эволюции «празвезд», в разд. 3 коротко обсуждается тепловой режим
Метагалактики на различных этапах расширения, в разд. 4 обсуждаются процессыг
приводящие к образованию скоплений галактик (см. выше пункты 4, 5).
1. Развитие возмущений в горячей модели. Принимая современную
температуру равновесного излучения Ту ~ 3 К [1, 2], что соответствует
плотности ρν ~ 0,7· 10~33 г/см3, получим при сделанных выше предположениях
о плотности вещества (р = рт = 2-10"29 г/см3), что при ρ = р0 ~ 5-Ю"1*
г/см3 плотность излучения равнялась плотности вещества, рт ~ ру ~ р0.
На более ранних стадиях расширение определялось преимущественно
плотностью излучения, на более поздних — плотностью вещества [6].
Развитие возмущений в «горячей» модели исследовалось в работах
[3-5,7].
В смеси плазмы и излучения возможны два типа неустойчивости:
адиабатические возмущения, сопровождающиеся совместным сжатием плазмы и
излучения, и изотермические возмущения, при которых сжимается плазма;
а излучение остается однородным. Адиабатические возмущения нарастают
в большом масштабе, Ι Ζ> λχ, где λχ ~ οΐ/γ3 — длина волны Джинса,
соответствующая давлению излучения. В меньших масштабах адиабатические
возмущения затухают. Изотермические возмущения плотности практически
не нарастают в любых масштабах вследствие сильного трения плазмы об
излучение. Существует вторая длина волны Джинса, λ2, связанная с
изотермической скоростью звука в плазме. В масштабе I <; λ2 давление плазмы
приводит к затуханию как адиабатических, так и изотермических
флуктуации плотности. Изложенные соотношения иллюстрируются рис. 1.
При ρ = р0 Мг ~ 0,5· 1015 Af0, ikf2~ 5-105 Af0, где Мг и М2 — массыг
соответствующие λχ и λ2. Однако при р^>р0 взаимодействие излучения с
веществом подавляет рост адиабатических возмущений в масштабах 1<^ λ1τ
поскольку давление излучения все еще много больше давления плазмыг
а трение плазмы об излучение все еще велико. Лишь после рекомбинации,,
которая происходит при температуре излучения Ту ~ 3600—4000 К, что

54. Возникновение галактик в расширяющейся Вселенной 303
WW4
^k(M/i^
Рис. 1
Развитие возмущений в «горячей» модели Метагалактики
По оси абсцисс отложен \g (M/Mq). По оси ординат lg t (t в с). Кривые Мг = Мг (0, Мг = М2 (0
показывают зависимость от времени масс, соответствующих первой и второй длинам волн Джинса. U —
момент рекомбинации водорода, t2 — момент разогрева. Адиабатические возмущения нарастают в
области 1 и затухают в области 2. В области 3 затухают и адиабатические и изотермические возмущения.
В момент разогрева масса, соответствующая критической длине волны Джинса, резко возрастает
(волнистая линия, которая уМ^ 1013Mq должна быть загнута вверх налево)
Рис. 2
Вероятность образования «празвезд» W как функция времени t
t отложено в условных единицах: W — *_2/з ехр (Г4/*). В момент t = t2 происходит разогрев газа,
критическая масса быстро возрастает, образование «празвезд» прекращается
соответствует ρ = рг ~ 5-10"20 г/см3, вещество перестает взаимодействовать
с излучением и начинается рост возмущений в масштабах I > λ2. При ρ =
= pj Мг ~ ΙΟ18 ΜΘ, М2 ~ 5·105 ΜΘ. В ходе дальнейшего адиабатического
расширения температура излучения падает по закону Ту = Тг (p/pi)1/s,
температура вещества — по закону Тт = 7\(ρ/Ρι)2/3. Основное внимание
здесь мы уделим более поздней эпохе, ρ < р1? предполагая, что в момент
ρ = Pi задано некоторое распределение возмущений плотности. В
дальнейшем удобнее характеризовать неоднородность распределения вещества
функцией Oq (М) = (АМ/М)2, которая характеризует отклонение массы от
среднего значения в объеме со средней массой М. Связь возмущений плотности
с функцией Oq (Μ) подробно обсуждается в работе [7]. Удобно также вместо
длины волны Джинса %д использовать массу, соответствующую Хд:
Мд = ~-ртк%.
(1)
При ρ ^ Pi в ходе гравитационного усиления возмущения нарастают по
закону о? (Μ) ~ (*/*ι)4/3 = (p/Pi)~V3 в масштабах Μ > ikf2, где М2 —
критическая масса, связанная с адиабатической скоростью звука в нейтральном
водороде.
2. Разогрев нейтрального газа. После рекомбинации вещества (р <^ рх)
возмущения начинают быстро нарастать: σΐ (Μ) ~ (p/pi)~*/s. В силу
статистического характера флуктуации одновременно с определенной
вероятностью происходит образование конденсаций с σ = AMI Μ ~ 1 — «празвезд».

304 Часть вторая. VIII» Образование крупномасштабной структуры Вселенной
В дальнейшем считаем, что условие σ^ 1 есть условие образования
сгущения, которое примерно за гидродинамическое время t* = (6π6?ρ)~*/ί
обособляется от окружающего вещества и перестает участвовать в общем
хэббловском расширении.
Предположим, что вероятность найти относительное возмущение σ =
= AMΊΜ в объеме, содержащем среднюю массу М, определяется
распределением Гаусса:
W (σ, Μ) do dM = r * exp Γ f·— 1 do dM, (2)
тогда уже при значении а\ ~ 0,05 примерно 10~4 всего вещества
сконденсируется в «празвезды». Если предположить, что о\ (М) убывает с ростом М,
то в соответствии с «малой» критической массой М2 (М2 ~ 5· 105 М@) наиболее
вероятно возникновение «празвезд» с массой М3, близкой к М2. С помощью
функции W (σ, Μ) можно определить вероятность образования «празвезд»
как функцию времени: W (t, Μ) (рис. 2).
Образовавшиеся «празвезды» большой массы быстро эволюционируют и
разогревают остальной метагалактический газ до высокой температуры
(Τ ~ 105ч-106 К)1. Длина волны Джинса резко увеличивается и это
предотвращает дальнейшее образование «празвезд». Приведенные соображения
иллюстрирует рис. 2.
Рассмотрим несколько подробнее эволюцию «празвезды».
Теория звезд с массой ~105ч-106 разработана еще недостаточно
подробно, однако основные закономерности эволюции таких звезд известны [6, 8].
Звезда быстро эволюционирует до «критического» состояния (ядерных
источников энергии недостаточно для поддержания равновесной светимости),
затем следует фаза быстрого сжатия. Однако для звезд с массой ^106 MQ
вблизи критического состояния включаются ядерные реакции (ЗНе4 ->■
-^С12, азотно-углеродный цикл и др.). Это ведет к быстрому выделению
энергии и, вероятно, к взрыву «празвезды» [6]. Расчет взрыва см. [16].
Для нагрева газа до температуры Τ ~ 105 ~~ 106 требуется энергия
2,5 · (ΙΟ13 -τ- 1014) эрг/г. Между тем при сгорании водорода выделяется
6·1018 эрг/г, а при сгорании гелия (30% всего вещества) 1,8· 1017 эрг/г.
Следовательно, даже при сгорании одного лишь гелия в доле 10~3 -ч- 10~4 всего
вещества остальное будет разогрето до температуры Τ ~ 105 -ч- 106 К.
Примем для КПД «празвезды» примерное значение 0,1ч-0,01% Мс2.
При этом энерговыделение «празвезды» с массой ~5·105 ΜΘ составит EQ~
~ юзе ^_ 1057 эрг
Если предположить, что в результате эволюции «празвезды» происходит
ядерный взрыв, то по окружающему веществу пойдет сильная ударная
волна. До тех пор, пока скорость волны D ^ D0 ~ 100 -~ 200 км/с, ее можно
рассматривать как адиабатическую ударную волну [5]. При этом за время
t ~ 0,1ί2 при соответствующей плотности эта волна успевает разогреть
газ с массой М4 ~ E0/D2 ~ 109 ч- Ю10М® до температуры Τ ~ (3 -ч- 8)·
•105 К. Образование «празвезд» прекратится, когда на долю каждой
взорвавшейся «празвезды» будет приходиться ~109 ч- 1010 MQ газа, т. е. когда
через «празвезды» пройдет ~0,5(10"~3 -г- 10~4) всего вещества. Гипотезе,
изложенной выше, отвечает о\ ~ 0,05. Плотность р2, при которой
происходят образование и взрывы «празвезд», зависит от величины флуктуации
Численные оценки здесь и в дальнейшем весьма приблизительны.

54. Возникновение галактик в расширяющейся Вселенной
305
σ0 в момент рекомбинации (р = рх). Дальнейшая эволюция Метагалактики
сильно зависит от этого значения плотности.
3. Тепловой режим расширяющейся Метагалактики. Вопрос о тепловом
режиме Метагалактики рассматривался в работе Гинзбурга и Озерного [9].
Поэтому здесь мы лишь коротко остановимся на некоторых особенностях
этого вопроса, характерных для рассматриваемой задачи. Наиболее
интересна область ρ ^ 10~27 г/см3, не рассмотренная в [9]. Метагалактическую
среду рассматриваем как идеальный газ, с отношением теплоемкости
Cplcv = у = 5/з, расширяющийся согласно модели Фридмана.
Уравнение теплового баланса можно записать в виде [10]
^L_4?--_LTZ.i£. + pL = 0, (3)
y — idty — lpdtlv v '
где Ρ = pi? 77 μ (обозначения обычные) и L — LT — L+, L" и L+ определяют
отток и приток энергии в единицу времени на 1 г вещества. Функция L"
складывается из потерь энергии на излучение при свободно-свободных и
свободно-связанных переходах и из излучения в линиях водорода и гелия (роль
гелия подробно рассмотрена в [11]), которое можно учесть изменением
коэффициента Т0 в члене, описывающем свободно-связанные переходы:
Цх) = 0,5-1021 ГА ρ [аг + ΤJT]. (4)
Также необходимо к функции L" добавить остывание за счет обратного ком-
птон-эффекта на реликтовом излучении. Соответствующая формула получена
в работе А. С. Компанейца [12] и Р. Вейнмана [13], что дает:
L2 = 4σ0
*(Γβ-Γν)
mm с
e ρ
где σ0 — томсоновское сечение рассеяния, εγ — плотность энергии
реликтового излучения, гпе и пгр — массы электрона и протона, Те и Ту —
температура электронов и реликтового излучения. Учитывая, что Τ = Те ^>
^> Ту и что εγ ~ р4/з, получим (а3 = 2-104)
ΙΓ = 0,5-1021Г/*р [аг + TJT + а8Г/«р'/.]. (5)
Если пренебречь излучением гелия и излучением водорода в линиях, то
ах = 1, Т0 = 0,385·106 К. Предполагая присутствие 30% (по весу)
ионизованного гелия в среде, получим ах ~ 1,4, Т0 ~ 106 К. За счет излучения
в линиях водорода и особенно гелия получим Т0 ~ 1,5· 106 К ^ 107 К.
Переходя к безразмерной переменной χ = ρ/(2·10~29) г/см3, Τ = Γβ·106 Κ,
получим:
дТе/дх = F~ - F+,
где F+ = 0,4-ΙΟ3 *-/·Ζ,+ (L+ в единицах CGS),
F+ = ^l± + 0,58. ΙΟ"2 \I±.y + A(IlJ/2 +0,2·10-2Γ6α:-ν. (6)
и Ьг = {1,6· ΙΟ"3; 4,3·10~3; 6,5· ΙΟ"3; <;4·10~2} для приведенных
предположений о роли линий водорода и гелия.
Удобно ввести время тепловой релаксации tT = Τ6ί*/2χΡ и
рассматривать отношение /Γ/£*, которое характеризует скорость остывания как
функцию χ и Т6 (р и Т).

4Ю6 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
При плотности ρ Г>> 10~25 г/см3 (х ^ 104) можно не учитывать остывание
за счет излучения при рекомбинации и в линиях, поскольку среда является
оптически толстой. Но даже без учета этого излучения в интересующей нас
области χ = 104 и Г6 = 1-г- 0,1 tTlt* ~ 0,1, т. е. остывание среды
происходит практически мгновенно. Главную роль при этом играет комптоновское
остывание на реликтовом излучении (его температура ~40 К при χ = 104).
При χ = ΙΟ3 (ρ~10~26 г/см3) время остывания сильнейшим образом зависит
от температуры. При Г6 = 1 tTlt* ~ 0,4 причем примерно одинаковый вклад
в остывание дают адиабатическое расширение и реликтовое излучение. При
Τq =0,1 tTlt* ~ 0,1 и определяется главным образом излучением при
рекомбинации и в линиях. При χ = 102 (р ~ 10"27 г/см3) и TQ = 1 £Γ/£*~0,6,
а при Τq ~ 0,1 t It* ~ 0,1 и также определяется излучением при
рекомбинации и в линиях.
Таким образом, при высоких плотностях (х ^ 104), а также при низких
температурах (Г6 ~ 0,1) и всех плотностях в интересующем нас интервале
(х ^> 102) остывание происходит практически мгновенно, если нет
достаточных источников подогрева 2. Лишь при высоких температурах (Г6 ~ 1)
и достаточно низких плотностях (д:^103) остывание протекает за время,
сравнимое с гидродинамическим.
4. Образование галактик и скоплений галактик. В результате
взрыва «празвезд» при ρ = р2 вещество Метагалактики разогревается до
Τ ~ (105 ч- 106) К, причем возникают большие (δρ/ρ ^ 1) возмущения
плотности в масштабе Μ ~ М± ~ ΙΟ9 -г- ί010/ΜΘ.
Представляется сомнительным, что такой процесс мог произойти при
ρ ^ 10~25 г/см3, поскольку время остывания в этих условиях того же
порядка, что и время разогрева, т. е. основная масса газа останется холодной,
а характерный масштаб неоднородностей, вызванных взрывами, растет. Это
привело бы к возникновению плотных конденсаций большой массы,
возможно, сколлапсировавших тел 3. В настоящее время такие объекты не
наблюдаются и вопрос о возможности их существования остается открытым.
Разогрев эффективен лишь при р^Ю""26 г/см3, поскольку при этом время
остывания (от Τ ~ 106 К) существенно превосходит время разогрева.
Поэтому в дальнейшем предполагаем, что р2 ~ (1 -г- 10) · 10""27 г/см3.
Для оценки неоднородно стей в масштабах Μ ^> М4 можно принять
Οι (М) = (АМ/М)2 ^ MJM, что соответствует предположению о
статистической независимости взрывов.
Поскольку в рассматриваемых условиях tTlt* ~ 0,6 остывание среды
проходит быстро по сравнению с гидродинамическим временем (хотя и
медленно по сравнению с предшествующим разогревом), то преимущественно
должны образовываться объекты с массой Μ ~ М±. Большую роль должна
играть тепловая неустойчивость [4, 10], развивающаяся за время порядка
времени остывания. Это особенно важно, поскольку в результате первого
разогрева возникают большие неоднородности температуры и плотности
{bfIT ^1и δρ/ρ ^ 1) в масштабах Μ ^ М±. Используя для оценок
результаты работы Дж. Филда [10], полученные в предположении стационарности
среды, и принимая L" = 0,5-ί021Τ^ψ[ί -j- TJT], найдем значение
критической для тепловой неустойчивости массы, связанное с электронной тепло-
2 Как показал Р. Вейнман [13], эти процессы незначительно искажают спектр
реликтового излучения.
3 Высокая температура (Т > 10б К) не может поддерживаться, начиная с плотности
ρ >> 10~23 г/см3, уже по энергетическим соображениям (см. [3]).

54. Возникновение галактик в расширяющейся Вселенной 307
проводностью (для фотонов среда практически прозрачна в рассматриваемых
масштабах):
Мс ss 0,4. Ю-71 — g- ΜΘ, (7)
что при Г ~ 106 К, ρ ~ 10~26 г/см3 и Т0 ~ 1,6-106 К дает ikfc ~ 0,3-ΙΟ7 ΜΘ.
Резюмируя, следует отметить, что в рассматриваемых условиях
преимущественно образуются объекты с Μ ~ Λί4. Однако это ни в коей мере не
исключает возможности образования некоторого количества объектов во всем
интервале масс от Μ ~ ΙΟ4 -τ- ΙΟ5 ΜΘ до Μ ~ 1011 -=- ΙΟ12 ΜΘ. Поскольку
условия в Метагалактике в этот период подобны современным (газ
ионизован, возможно, зарождаются хаотические магнитные поля), то
образовавшиеся объекты должны быть подобны современным квазарам, галактикам и
радиогалактикам.
Отметим, что характерная масса Λί4 ~ ΙΟ9 -τ- ΙΟ10 ΜΘ согласуется
с оценками массы квазара ЗС 273 (3·109 ΜΘ) [6].
В то же время процесс образования космических объектов на этой
стадии — «праквазаров», «прагалактик» — не может охватить заметной доли
массы Метагалактики точно так же, как и при первом разогреве. В
настоящее время нет теории эволюции квазаров, не выяснены и условия их
образования. Однако время жизни квазара оценивается [14] в ^ 1014 с, что
составляет ~0,(Ш*, т. е. квазар эволюционирует практически мгновенно·
При массе Μ ~ ΙΟ9 -τ- ΙΟ10 ΜΘ «праквазар» при эволюции может
выделить энергию Ε ~ ΙΟ59 -τ- 1060 эрг только за счет ядерного горючего при
КПД ~ 0,1%. Этого достаточно для разогрева до Τ ~ 106 К массы Мъ ~
~ 0,4(1012 -г- ΙΟ13) Μ0. Основным механизмом нагрева могут являться
выбросы газовых масс с дальнейшим образованием ударных волн. В этом случае
применимы оценки разд. 2.
При переходе в «праквазары» ~10"4 массы Метагалактики дальнейшее
их образование прекратится из-за сильного разогрева. Можно ожидать, что
в объекты других масштабов (галактики и радиогалактики) перейдет
сравнимая доля массы.
Мы не рассматриваем вклад в энергобаланс Метагалактики, галактик и
радиогалактик главным образом потому, что время их эволюции значительно
превосходит время жизни квазаров. Образовавшиеся на этом этапе
галактики и радиогалактики могут частично в будущем войти в состав скоплений,
а частично остаться в виде галактик фона. Напротив, «праквазары», должны
были быть расположены главным образом вне скоплений.
При плотности ρ = 10"27 г/см3 и Τ = 106 К джинсовская масса Мд =
= 1013 М©, что соответствует новому масштабу неоднородности Мд~ Мь ~
~ ΙΟ13 ΜΘ. В этих условиях происходит обособление облаков, дающих
скопления с характерной массой Μ ~ Мъ. Распределение «праскоплений»
по массам в этих условиях определяется спектром возмущений,
образовавшихся при последовательных взрывах, а также процессами в уже
возникших скоплениях и может иметь очень сложный характер. Тем не менее в
большом масштабе, М*^>МЪ, можно ожидать, что о\ (Μ) ~ MJM и
определяет частоту появления «праскоплений» большой массы. После
обособления газовой массы, из которой в дальнейшем образуется скопление галактик,
ее время тепловой релаксации при Τ ~ 106 К значительно возрастет,
поскольку такая газовая масса перестает участвовать в общем расширении.

308 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
В этих условиях определяющую роль в образовании галактик в ходе
эволюции скопления играет тепловая неустойчивость. Процессы,
приводящие к выделению галактик из скопления, рассматривались Озерным [4].
Применяя для оценки доли массы, вошедшей в «праскопления», формулу
(2) с 02 (М) = МЬ1М вплоть до Μ = Мь получим, что в «праскопления»
войдет заметная доля (~0,3) всей массы 4. Это объясняется главным
образом тем, что характерный масштаб неоднородности (Μδ) близок к
критической массе Джинса. Возможно, что не все обособившиеся облака газа
приведут к образованию скоплений галактик.
Эволюция некоторых «праскоплений» может происходить медленнее,
поскольку: 1) эти облака (если они образовались позднее) имеют меньшую
среднюю плотность, и потому возрастает время их тепловой эволюции,
и 2) они могут разогреваться энергией, выделяемой при эволюции
развитых скоплений, радиогалактик, космическими лучами и т. д.
Для данной гипотезы характерно, что и первый разогрев нейтрального
водорода, и образование «праскоплений», протекают при плотности р2 ~
~ 10"26 -г- 10"27 г/см3, т. е. в области ζ = Δλ/λ ~ 5 -ч- 10. В принципе,
как показано в работе [15], эта область еще доступна для непосредственных
наблюдений. Согласно предлагаемой гипотезе, при ζ ^> 5 должно резко
возрасти число квазаров. Экспериментальное подтверждение этого факта
представляет большой интерес.
В данном варианте гипотезы критическая масса Λ/1=1018 ΜΘ не играет
никакой роли, так как предполагается, что первичные флуктуации в таком
масштабе были слишком малы, чтобы к настоящему времени вырасти до
заметной величины, а новых флуктуации в столь большом масштабе не
возникает. Наблюдательная проверка этого предположения путем
выяснения однородности Метагалактики в максимальных масштабах крайне
желательна.
В заключение еще раз подчеркнем, что предлагаемая гипотеза не
является строго доказанной во всех пунктах. В этом направлении еще предстоит
большая работа. Задачей статьи являлась попытка дать возможную
картину образования космических объектов из однородной Метагалактики.
Авторы благодарны Л. М. Озерному за возможность ознакомиться с
рукописью работы [4], что стимулировало данную работу, и С. Б. Пикель-
нера за ценные обсуждения.
Поступила в редакцию
22 апреля 1966 г.
Примечание при корректуре (1/ΙΙΙ 1967). Исследования распределения
радиоисточников по величине потока приводят к выводу, что плотность их имеет резкий
максимум при ζ ~ 3 или 4 (см. Longair Μ. S,— Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1966,
vol. 133, p. 421).
ЛИТЕРАТУРА
1. Penzias Α. Α., Wilson R. W.— Astrophys. J., 1965, vol. 142, p. 419.
2. Roll P. G., Wilkinson D. Т.— Доклад на конференции в Майами, 1965.
3. Peebles P. J. Е.— Astrophys. J., 1965, vol. 142, p. 1317.
4. Озерной Л. М.— Сб. трудов симп. «Переменные звезды и звездная эволюция», Москва,
1964, М.: Наука, 1966.
5. Каплан С. Α., Пикельнер С. Б. Межзвездная среда. М.: Физматгиз; 1963.
4 Разумеется, этот вывод ни в коем случае не категоричен и здесь возможны широкие
вариации.

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения 309
6. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д.— Успехи физ. наук, 1965, т. 86, с. 447.
7. Zeldovich Υ а. В.— Adv. Astron. and Astrophys., 1965, vol. 3, p. 241.
8. Fowler W. A,— Rev. Mod. Phys., 1964, vol. 36, p. 545, 1104.
9. Гинзбург В. Л"., Озерной Л. Μ.— Астрон. журн., 1965, т. 42, с. 943.
40. Field G,— Astrophys. J., 1965, vol. 142, p. 531.
41. Сюняев P. A. — Астрон. журн., 1966, т. 43, с. 1237.
12. Компанеец А. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 876.
13. Weymann. Preprint USA, 1966.
14. Hoyle F„ Fowler W., Burbidge G., Burbidge E. M,— Astrophys. J., 1964, vol. 139,
p. 909.
15. Кардашев Η. С, Шоломицкий Г. Б,— Астрон. циркуляр, 1965, № 336.
46. Бисноватый-Коган Г. С.— Астрон. журн., 1967, т. 44.
КОММЕНТАРИЙ
Статья сыграла громадную роль в становлении одного из вариантов современной
теории образования галактик, а именно, предположения о первичных энтропийных
возмущениях плотности. В статье показано, что джинсовская масса на стадии после
рекомбинации равна ~106 j|f Предложен сценарий, в котором взрывы образующихся в
результате роста возмущений «празвезд» с массой порядка 106 Mq обеспечивают разогрев газа
до высоких температур и рост джинсовской массы до масштаба скоплений галактик.
Картина образования крупномасштабной структуры Вселенной вследствие взрывов празвезд
удивительным образом предвосхитила популярный ныне сценарий, разрабатываемый
Дж. Острайкером 1* и связанный с ударными волнами, образованными взрывами
многочисленных сверхновых в молодых галактиках. Подробно исследован вопрос о тепловом
режиме межгалактического газа в расширяющейся Вселенной, впервые поставленный в
пионерской работе В. Л. Гинзбурга и Л. М. Озерного (ссылка [9] в комментируемой
статье).
Следует отметить, что в 1968 г. Дж. Пиблс и Р. Дикке 2* предложили свой сценарий
эволюции изотермических возмущений, согласно которому растущим возмущениям с
массой 106 Mq соответствуют шаровые скопления. Вопрос о том, какой из сценариев
верен — во что превращаются сжимающиеся первыми облака нейтрального водорода
и гелия с Μ ~ 106 AfQ, до сих пор не решен. Решение этого вопроса (шаровые скопления
или взрывающиеся празвезды) требует детальных численных расчетов с учетом
образования молекул, процессов охлаждения, отвода энергии и фрагментации. К тому же под
вопросом само существование энтропийных возмущений (ср. докл. 51).
1# Ostriker J. P., Cowie L. L,— Astrophys. J. Lett., 1981, vol. 243, L127.
2* Peebles P. J. E., Dicke R. H.— Astrophys. J., 1968, vol. 154, p. 891.
55
РАСПАД ОДНОРОДНОГО ВЕЩЕСТВА НА ЧАСТИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ТЯГОТЕНИЯ*
Получено приближенное решение для задачи о росте возмущений в
расширяющемся веществе без давления.
Решение качественно правильно даже тогда, когда возмущения не малы.
Бесконечная плотность получается вначале на дископодобной поверхности
в результате сжатия по одной из осей.
* Астрофизика, 1970, т. 6, вып. 2, с. 319—335.

310 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Следующие слои сжимаются вначале адиабатически, а потом ударной:
волной. Анализируются физические условия в сжимающемся веществе.
Предлагается приближенное решение задачи о развитии
крупномасштабной гравитационной неустойчивости на поздней нелинейной стадии, когда
возмущения плотности отнюдь не малы по сравнению со средней плотностью*
Хорошо известно решение линейной задачи об эволюции малых
возмущений плотности δρ/ρ и скорости и = ν — Нг\ легко также найти и сме_
щения частиц s = ] udt в этом приближении. Естественная гипотеза
заключается в том, что смещение s, рассматриваемое как функция от времени
и начального положения частицы д, подчиняется формулам линейного
приближения даже тогда, когда возмущения плотности велики.
Решение задачи получается записанным в лагранжевых координатах.
В невозмущенном решении
г о = a (t) д/а0 = A (t) q. (1)
Для крупномасштабных возмущений, с длиной волны во много раз больше
джинсовской, влиянием давления можно пренебречь; возмущение
развивается, сохраняя свою форму. Значит в предлагаемом решении
r=e + r0 = B(t)s(q) + A(t)q, (2)
где A (t) и В (t) — известные функции времени и притом В растет быстрее,
чем А; функция s (q) определяется по начальным возмущениям плотности
и скорости, которые считаются заданными на стадии, когда возмущения
еще малы и линейная теория применима точно.
Формула (2) для смещения позволяет вычислить и все остальные
величины: скорость и ускорение
и = dr/dt = Bs (q) + Aq, (3)
w = Bs (q) + Aq
и плотность
ρ = Л3р dq/dr = A*pd (qx, qy, qz)/d(rx, rv, r,), (4)
где d (qx, qy, qz)ld (гя, ry, rz) есть якобиан.
При этом и, w, ρ получаются выраженными через q и t. Для того, чтобы
получить наглядную картину в эйлеровых координатах, нужно еще с
помощью (2) выразить q через г.
Характерная особенность решения (2) заключается в том, что с
увеличением возмущения наступает момент tc пересечения траекторий, т. е.
появляются такие пары частиц, эйлеровы координаты которых совпадают:
^(ffc + dffc, tc) = r(qc, tc).
Это совпадение происходит при определенном выборе направления dqc.
Критерием совпадения является как раз равенство нулю якобиана д (гх,
ry, rz)/d(qx, qy, qz). Другими словами, пересечение траекторий
сопровождается обращением в бесконечность плотности вещества.
Сравнительно сложное изложение с применением якобиана и (дальше)
тензора деформаций связано с тем, что рассматривается задача в
трехмерном пространстве. Если бы мы рассматривали одномерную задачу, то не
было бы вопроса о выборе направления dgc, и пересечение траекторий мож-

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения 311
Яг Яг
Рис. 1
Яс
Рис. 2
ЯзЯг Яс Яг Яч Я
Рис. 3
но было бы удобно проследить на графиках г — q для разных моментов
времени.
На рис. 1 пересечения нет, на рис. 2 пересечение (или, точнее, касание)
двух соседних траекторий впервые появилось в точке qCo в момент tCo. На
рис. 3 при t ^> tCo касание траекторий имеет место в двух точках qCt и qCi.
В трехмерном случае происходит по существу то же самое, но вдоль
оси, направление которой заранее неизвестно и должно быть найдено из
решения задачи.
Удобно ввести тензор деформаций Dik (i, к = 1, 2, 3), определяя его
условием
dr, = Dik dqk, Dik = В (t) dSt/dqt + A (t) 6ik.
Возмущения, растущие под влиянием тяготения, являются
безвихревыми, откуда следует, что dSJdqk = dSJdqi и тензор Dik симметричен. Его
можно привести к главным осям; направление осей для разных частиц
различно, но для данной частицы постоянно. Обозначая диагональные
члены в главных осях
dS1/dq1 = -λΐ7 dS2/dq2 = -λ2, dS3/dqs = -λ3,
получим
ρ (g, ί) = ρ (1 — ^BfA)-1^ - ΚΒΙΑ)-\ί - Χ3Β/Α)~\ (5)
где λι, λ2, λ3 — функции лагранжевой координаты частицы g, а отношение
ΒΙΑ зависит только от времени. Если хотя бы одна из величин λ£ положит·
тельна, то к моменту £с, когда В (tc)/A (tc) = 1/| λ,|, произойдет обращение
плотности в бесконечность.
Обращение плотности вещества в бесконечность в приближенном
решении, очевидно, ставит предел применимости решения. Ясно, что в
реальной задаче при увеличении плотности наступит момент, когда нельзя будет
пренебречь давлением, учет которого и ограничит рост плотности.
Однако, рассматривая задачу в целом, мы не считаем пересечение
траекторий и обращение ρ —► оо недостатком приближенного метода. Напротив^
можно доказать, что в точном, истинном решении при равном нулю
давлении события развиваются качественно точно так, как это предсказывает
приближенное решение.
Приближенным решением можно воспользоваться для того, чтобы понять
закономерности нарастания плотности.

312 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
В заданной совокупности частиц (в данной области изменения q) есть
определенная частица, первой достигающая бесконечной плотности в момент
£Со. После этого бесконечная плотность достигается в соседних частицах.
В физическом пространстве (т. е. в эйлеровых координатах г) область
бесконечной плотности представляет собой бесконечно тонкий диск. Количество
сжатого вещества на единицу поверхности диска σ [г/см2] конечно.
Плотность максимальна в центре диска, где она возрастает как ]/1 — tCu.
Размеры диска растут так же, как ]/"i — tc, так что общая масса диска
пропорциональна (t — £c)3/z.
В предлагаемом решении момент £с, когда в данной частице возникает
ρ = оо, не является особым для зависимости скорости и смещения частицы
от времени. Но точно так же ведет себя частица и в точном решении: если
ρ —> оо, но σ конечно на всей поверхности диска, то гравитационный
потенциал и сила тяготения остаются конечными сколь угодно близко к диску.
Значит, и, в самом деле, ускорение остается конечным, скорость и
смещение остаются гладкими функциями времени вплоть до момента, когда
давление, возникшее на диске, остановит частицу.
Возникновение дисков с большой плотностью на первый взгляд является
чисто кинематическим эффектом; выше мы подчеркивали, что даже
бесконечная плотность вещества в диске не вызывает особенностей скорости·
Однако следует помнить, что сам закон изменения скорости, от которого
зависят функции В (t) и S (g), в формуле (2) определяется гравитационным
взаимодействием неоднородностей на всем протяжении времени до
столкновения частиц.
Сжатие в диск идет за счет деформации по одной оси, перпендикулярной
диску. По двум осям, лежащим в плоскости диска, может в это время
происходить как сжатие, так и расширение. Поэтому совокупность частиц,
образующих диск, в одних случаях может быть гравитационно связанной
системой, в других же случаях диск может расширяться и в конце концов
рассеяться. Таким образом, предлагаемое решение не исчерпывает вопроса
о распаде однородного вещества на отдельные гравитационно обособленные
объекты. Но если вопрос и не решен до конца, то все же можно
констатировать, что значительный этап эволюции возмущений удается описать
приближенным, но качественно правильным и простым решением.
Образование дисков большой плотности является неизбежным
следствием развития длинноволновых возмущений достаточной амплитуды.
Вещество, которое в приближенном решении не конденсируется в диск,
останется несвязанным и в точной теории. Предлагаемое приближенное
решение дает возможность выразить количество остающегося межгалактического
вещества через параметры космологической модели и спектр возмущений.
Предлагаемое решение особенно хорошо подходит для рассмотрения
адиабатических возмущений горячей модели.
В адиабатических возмущениях в горячей Вселенной на стадии до
рекомбинации плотность барионов и температура связаны рв ~ Т3. Как
показал Дж. Силк [1], такие возмущения при длине волны меньше
определенного предела (соответствующего Ms = Ρβλ3/8 ~ lO12Af0) затухают из-за
фотонной вязкости. Таким образом, к моменту после рекомбинации остаются
только возмущения с большей длиной волны.
Однако после рекомбинации излучение не препятствует собиранию в
сгустки нейтрального газа.

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения 313
При этом джинсовская длина волны, зависящая теперь только от
газового давления, сразу падает до величины *, соответствующей Mj = 106ΜΘ.
Таким образом, те возмущения, которые остались от периода до
рекомбинации, действительно могут рассматриваться как длинноволновые в период
после рекомбинации. Роль давления для этих возмущений мала, как и
предполагается при пользовании решением (2).
Развивая теорию и сопоставляя ее с наблюдениями, мы либо найдем
«леды первичных плотных дисков в современных структурах, либо должны
будем сделать вывод, что возмущения других типов — энтропийные,
магнитные, но не адиабатические — играли главную роль в эволюции
Вселенной. Для энтропийных возмущений нужно предполагать, что максимум
соответствовал как раз Mj = 106ΜΘ; для таких возмущений теория
неприменима и нельзя пренебречь давлением.
ПОТЕНЦИАЛЬНОСТЬ СКОРОСТИ
Покажем, что приближенное решение обладает также важным
качественным свойством точного решения: описываемое им движение является
безвихревым.
Для доказательства исходим из выражений
r = Aq + Bl(q), v = Aq+Bl(q).
В этих выражениях ξ (q) удовлетворяет условию отсутствия вихря в д-
лространстве. Физически это следует из условия рассмотрения возмущений,;
растущих под влиянием силы тяжести. Пока Ъ<^а\ Ъ <^ а решение является
точным (ошибка порядка Ъ21а2).
Но в точном решении вихрь равен нулю по общим теоремам для
движения, происходящего под действием силы, обладающей потенциалом (силы
тяготения).
Другим способом можно получить то же самое, замечая, что в фурье-
представлении растущим модам возмущения соответствуют продольные
волны. Поэтому пекулярная скорость имеет вид
и = v _ Aq = IB (t) J с {к) keik* d3k = ВЬ (g),
откуда сразу видно, что вихрь 6 равен нулю. Однако необходимо доказать
нечто большее: для конечного (не малого) отношения Ыа и bid нужно
доказать точное отсутствие вихря, притом в r-пространстве. Прямолинейное
решение задачи включает в себя решение первого уравнения относительно
q как функции г. Подставляя затем q (r) во второе уравнение в принципе
можно получить ν (г) и вычислить искомый (rot v)i == €>mdvk/dri- Понятно,
что фактически с 6 (д), заданным в статистическом смысле, такая процедура
неосуществима; она здесь описана с единственной целью пояснить сущность
задачи.
Для решения задачи нужно использовать тот факт, что вихря нет в
линейном приближении: ведь именно экстраполяция линейного
приближения является существом предлагаемого решения.
1 Оба числа Ms и Μj даны для критической средней плотности ρ = рс = 3H8/SkG —
~ 2-Ю-29 г/см3. Если Ms ~ Ω"54 то Μ3 ~ Ω-2. Если Ω <0,05, нужно учитывать
гравитационное влияние излучения даже после рекомбинации [2].

314 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Один способ заключается в том, что записываем
6 (q) = Vgi|) (q).
В самом деле, если 6 безвихревое, то его можно записать как градиент
скалярной функции поля ψ (q).
Итак,
r = Aq + νςψ (q) = Vq (Aq*/2 + βψ),
v = Vq(Aq*/2 + By).
Для доказательства того, что вихрь ν (г) равен нулю, рассмотрим интеграл
по замкнутому контуру j>vdr. В силу однозначной связи гид, контуру
интегрирования, замкнутому в r-пространстве, соответствует замкнутый
контур в д-пространстве.
Остается переписать в д-пространстве выражение скалярного
произведения (vdr). Получим, вводя обозначения
г(х, у, z), q(%, η, ζ), ψξ=0ψ/3ξ..ο
(νχ dx) = (ΑΙ + £%) (Α άξ + Вуря άξ + £ψ|η άΆ + Βψιζ άζ),
vdr=AAd (g2)/2 + ΑΒ d (ψ) + ΛΒ [d (qVq$) dty] + BBd (Vqyp)2/2.
Поскольку vdr удалось записать как сумму полных дифференциалов в
(/-пространстве, очевидно, что § = 0 и вихря нет.
Второй способ доказательства того же основан на локальном подходе.
Рассмотрим тензор деформаций в д-пространстве:
Tik = dvi/dqk.
Этот тензор симметричен — его симметрия выражает отсутствие вихря в-
g-пространстве, является следствием того, что d££/dgfc — d^/dqi, так как
ξι есть Vgi|).
Переход в г-пространство локально является афинным преобразованием
координат; произвольное афинное преобразование могло бы нарушить
симметрию (поскольку преобразуются компоненты д, но не компоненты 6).
Для правильного ответа существенно то, что совпадают главные оси
тензора Ты и тензора преобразования.
Выберем в данной точке g-пространства главные оси тензора Ti1e, после
чего он записывается
ι Тг О 0 ι
О Т2 О I
I О О Т3\
В этой системе скорость (г, /, /с-орты)
ν = ν Ы + гТг (ξ + Ь) + JT2 (η - ηο) + ЛТ9 (ζ - ζο).
Преобразование координат
* = *о (ίο) + (α + ЬТг)(Ъ - Ιο)
и аналогично для у и z.
Следовательно,
ν = ν (?0) + гТг (х - х<>)1{а + ЪТг) + .,.

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения 315
Тензор деформации остался диагональным в г-пространстве в указанных
осях, хотя отношение значений по разным осям изменилось. Диагональность
в одной избранной системе означает симметрию как в этой, так и в любой
другой системе, а симметрия тензора деформаций (в г-пространстве)
совпадает с условием безвихревости.
Внутренней причиной является тот факт, что одна и та же безвихревая
(по q) функция ψ определяет и скорость движения, и деформацию координат.
Заметим, что отсюда следует отсутствие вихря и в начале сжатия
вещества ударной волной после достижения сингулярности (р = оо). В
первом приближении, без учета второй производной δ, ударная волна также
лежит в плоскости двух главных значений тензора Ti1e. Деформация в
4 раза координаты, нормальной волне, (в соответствии с изменением
плотности в волне) не меняет диагональности тензора деформации.
ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ В СЖАТОМ ГАЗЕ
Общая картина сжатия, вытекающая из предыдущего, заключается в
том, что процесс достижения большой плотности идет одномерно,
решающим является движение вдоль одного из направлений. На соответствующей
оси существует одна точка, в которой сжатие идет наиболее быстро и
впервые достигается бесконечная плотность (в приближении нулевого
начального давления). В действительности, в этой точке сжатие происходит
адиабатически. Ближайшие частицы также сжимаются адиабатически, но еще
раньше, чем будет достигнута бесконечная плотность, эти частицы
наталкиваются на слой ранее сжатого газа. Таким образом, для всех частиц,
кроме одной, сжатие происходит в два этапа: сперва адиабатическое, а
затем в ударной волне, останавливающей вещество **.
В результате в диске возникает распределение платности сжатого
газа поперек диска с острым максимумом в середине, ρ ~ £~2/з, где ξ —
расстояние от средней плоскости. Покажем, как выводится этот
асимптотический закон и дадим оценку входящей в него константы, рассматривая
упрощенную одномерную модель.
Зададимся законом движения
χ = t2/*q — At4* sin kq.
Здесь рассматривается плоская космологическая модель Ω = 1, ρ =
= 1/(6яС?£2). Единицу времени удобно выбрать 2/з#о\ Н0 — параметр Хаб-
бла, так чтобы в настоящее время t = 1; тогда t = (1 + z)~3/z, где ζ —
красное смещение.
За единицу скорости выберем скорость света, так что единица длины
равна 2/3с/Н0.
Характерная масса равна
Μ = ρ (λ/2)3 = ρ {nlkf.
В принятых единицах
_М___±_Щ_ S(J2 с \з 1 _ π» с* 1 _Q7,1Q8, 1
ΜΘ ~ ΜΘ 8nG П \ 3 Н0 ) к3 — 9 ΟΗ0ΜΘ к* ~ ' /с* '
Λ = 4000(1012ΜΘ/Μ)ν..
** Речь идет об одной точке в одномерной задаче. В трехмерной задаче
адиабатическое сжатие происходит на 2D -поверхности в середине блина, являющегося тонким, но
3D -образованием (прим. редактора).

316 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Массу Μ не следует смешивать с массой одного диска, особенно в момент
возникновения диска. Константу А — амплитуду возмущения — выразим
через момент возникновения бесконечной плотности. Из условия
dxldq = fit — Afl*k cos kq = 0, q = О
получим
А = фк'1 = (1 + z0)/k.
Итак, основное уравнение перепишем в виде
кх — f/βφ — t*l*u%l* sin φ, φ = kq
и займемся динамикой сжатия.
В порядке последовательных приближений примем, что толщина диска
мала, и вещество останавливается именно там, где впервые получено ρ = оо,
т. е. в начале координат, χ — 0. Отсюда
t/tc = (sin <ρ/φ)-8/2 = 1 + φ2/4.
Величина φ удобна, поскольку через нее выражается количество вещества,
приходящееся на единицу площади диска (от —φ до +ф)·
μ = 2φ JL -|- JL. ¥*. (1 + Zcf = 6 - 10τ*φ (ilf/1O"M0)V. (1 + zcf г/см2.
В рассматриваемом одномерном приближении доля вещества,
подвергшегося сжатию, равна φ/π.
Если бы вещество не наталкивалось на плоскости χ = 0, то
бесконечная плотность за счет касания соседних траекторий при t < te достигалась
бы там, где
dxldq = fl· [1 — (t/t0)2!* cos φ] = 0.
Сравнивая два условия
х = 0, (t/tc)4* = φ/sin φ = 1 + <Р2/6,
dxldq = 0, (t/tjt* = 1/cos φ = 1 + φ2/2,
мы видим, что при t/te = 1 + ε
φ (χ = 0) = /6ε, φ (dxldq = 0) = У2ε, φ (χ = 0) = φ {dxldq = 0) ]/"3.
Это соотношение сохраняется в начале конденсации в любой модели,
независимо от упрощающих предположений.
Асимптотически в упрощенной модели при t —-> оо, φ (χ = 0) —» π
(конденсируется все вещество), φ (dxldq = 0) —> π/2 (т. е. без учета
столкновения конденсируется половина вещества). Однако здесь одномерное
рассмотрение не обобщается на трехмерную задачу.
Выразим через φ скорость, с которой вещество ударяется о диск; после
точной формулы приводим простое выражение для φ <^ 1:
dxjdt = (2cpf /s/3— 4i4/. sin фй*)1Ы = — 2<ρ£νγ3& =
= (— 2(рс VT+TC/12000) (Μ/10"ΛΓΘ)ν. =
= — 5А0*уУГТТс(М/1012Ме)У* см/с.

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения 317
Отметим простое правило: скорость падения частицы на диск равна той
скорости, с которой данная частица удалялась бы от центральной частицы
в невозмущенном движении. Найдем плотность, до которой сжимается
частица перед ударом,
dxldq = f/s (l — f/s cos φ/tj*),
причем ΐ4ΐ%% = (sin φ/φ)"1 из условия χ = 0 окончательно (р0> Sh — перед:
ударом, p0iSh = 4ρ0, sh — после удара):
Ро, s/ι/ρ = [t~*l* dxldq]"1 = (1 — φ cos φ/sin φ)"1 = 3/φ2.
Давление, которое достигается в ударной волне, останавливающей веществоТ
равно 4/3Ро, sh,u2. Получим
Р- 4~h 2·10-(1 + *)V-25.10"(-IS^-)1'· (1 + «) =
Таким образом, при φ <^ 1, t — tc<^tc, zc — ζ <^ zc оказывается, что дав-
ление на поверхности диска остается постоянным, не обращается ни в О,
нив оо, при φ —-> 0.
Отсюда следует, что после прохождения фронта ударной волны вещества
остается при постоянном давлении (по крайней мере, пока φ <^ 1), а
значит, и не меняет свою плотность, и не движется. Масса на единицу
поверхности пропорциональна φ, μ = αφ. Следовательно * распределение
плотности по толщине найдем из условия
άμ = pdx = βώ/φ2 = αώφ,
откуда
х = γφ3, ρ = δ/α?ί*.
Дадим оценку максимальной и минимальной температурам сжатого
вещества с учетом того, что начальная температура газа отлична от нуля.
По-видимому, Tg = Τг при ζ > zu где zx порядка 400 за счет неполной
рекомбинации и связи электронов с излучением, а Тг — температура
излучения.
Следовательно при ζ = ζχ имеем
Tg = 2,7 (1 + Zl),pg = 2-10-29 (1 + Zl)3,
pg = RTp = 8,3·107·2,7·2·1(Γ29 (1 + zxf = 5-10"21 (1 + zx)4.
В момент максимального сжатия дано давление ρ (см. выше), и по
адиабатическим формулам получим
Τ = Тг (p/ptf'* = 250 (1 + *i)J/· (1 + Ъ)'1ь (iW/Ю12 М@)Ч*
и соответственно для плотности
ρ = 2-10"29 (1 +Zl)3,
(plpgfb = Ю"26 (1 + *!)·/. (1 + zc)u/'(il//1012ikr©)*/»s
s 4-1<Г»(1 + zc)*/» (M71012 MqY'k
Однако эти величины относятся лишь к самой центральной плоскости.

318 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Рассмотрим физические условия в веществе, сжатом ударной волной.
При μ<1,6·106, Τ < 104К, и водород остается нейтральным. При и ]>
> 6-10е происходит практически полная ионизация водорода. Рассмотрим
скорость рекомбинации, сравнивая ее со скоростью роста диска. Зададимся
Μ = 1012М© для масштаба возмущения и zc = 4. Получим
ρ = 1,5- 1(Г13, |и| = 107φ, tc=-^-(l + zc)~^ = 2· 1017·0,1 = 2· 1016c,
t/tc = 1 + <Ρ2/4, t — tc = tc<p2/4 = 5 · 1015φ2.
При температуре 104 К в ионизованном газе плотность η = p/2kT =
= 0,05 ион/см3 и характерное время рекомбинации τ = {an)"1, где а =
= 4-ΙΟ"13, τ = 5-1013с.
Полная ионизация происходит при и = 6·106, φ = 0,6, при этом t — tc =
= 5.1015.0,36^2.1015с.
Таким образом, время рекомбинации несколько меньше общего времени
образования диска. В первом приближении можно считать (в типичных
условиях, выбранных выше для численного примера), что большая часть
вещества диска представляет собой нейтральный атомный водород с
температурой ниже 104 К.
Образование молекул и дальнейшее охлаждение [3] здесь не
рассматриваем.
Остановимся в заключение на роли тяготения в диске. Сравним с
давлением ударной волны то давление, которое в середине диска создается
тяготением. При поверхностной плотности μ г/см2 давление тяготения равно
рт = πβμ2/2. Подставляя выражение μ, получим
Рт = φ2.4·10-16 (1 + *с)2(М/1012 ΜΘ)8/..
Таким образом, отношение Pm/P8h зависит только от φ и достигает 1 лишь
при φ ~ 1.
PJPsh = 1,6φ2.
Следовательно, при приближении конденсации к середине (φ ~ 1 -ч- 1,5)
тяготение в диске увеличивает в 2—3 раза давление, и диск оказывается
в среднем гравитационно связанным по отношению к расширению вдоль
оси конденсации.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ПРИБЛИЖЕННОЙ ТЕОРИИ
Рассмотрим трехмерную задачу со спектрально заданным возмущением*
С учетом того, что в растущем типе возмущений заданы лишь
продольные волны, запишем
r= Aq + B^ihc(L·)eik* d3k,
тде А и В суть две известные (зависящие только от космологической модели,
т. е. от Ω) функции времени или красного смещения ζ, отношение ΒΙΑ = /.
Тензор деформаций
Djk = dxj/dqk = Α (δjJk - / $ kface** d*k) .

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения 319»
Отсюда для плотности получим
ρ = ρ/[(ΐ _ λι/)(1 - λ2/)(1 - λ3/)].
В линейном приближении
δρ/ρ = / (λ, + λ2 + λ3) = / Sp Dik и (δρ/ρ)2 = /2σ2.
Обратимся к статистическому анализу нелинейного выражения ρ (χ),
следующего из приближенной теории.
Как показал А. Г. Дорошкевич, в сделанных предположениях функция
распределения вероятности по трем λ1? λ2, λ3 имеет довольно сложный вид.
До диагонализации отдельно взятая компонента Djk является
гауссовой. Поворот тензора представляет собой линейное преобразование при
Данных углах поворота, но при диагонализации углы поворота зависят
от самих значений компонент, поэтому λ1? λ2, λ3 выражаются через
компоненты (корни кубичного уравнения). Сюда добавляется еще
неаналитическая процедура выбора названий: уславливаемся λχ ]> λ2 ]> λ3. Из
размерности очевидно, что вероятности зависят только от безразмерных
отношений т1 = λχ/σ, т2 = λ2/σ, τη3/λ3σ. Любопытной особенностью функции
Ρ (nti, т2, т3) является наличие в ней множителя (т1 — т2)(т1 — т/г3)·
'(т2 — w3). Вероятность совпадения или близости двух главных значений
меньше, чем вероятность совпадения или близости двух независимых
величин. Это обстоятельство дает дополнительный аргумент в пользу собира-^
ния вещества в диск, а не в линии или точки.
Для дальнейшего перейдем к функции одной переменной Φ (т), дающей
вероятность того, что λχ ^> τησ; т1 ^> т. Функция Φ получается
интегрированием Ρ (λ1? λ2, λ3) по λ1? λ2, λ3 в пределах —οο<λ3<λ2, —οο<
< λ2 < λ1? τηΰ < λχ < οο. Согласно А. Г. Дорошкбвичу, о Φ (τη) известна
Φ (τη) ~ 0,92 — 0,4m — 0,74m2 . . ., m < 1;
Φ (m) ~ 0,12m exp (—2,5m2)[l — 0,6 (1 — 0,2/m2 + 0,12/m4 —
— . . .)/m2] + 0,145 exp (-3,75m2)[l - 0,13/roa + 0,26/m4 - . . J/m,
m> 1.
Теперь можно дать выражение доли вещества, подвергшегося бесконечному
сжатию:
μ(ί) = φ(τη), λι/=1, -^σ/ = /ησ/=1, m = 4f'
где σ характеризует начальную амплитуду возмущения плотности, а / (t) —
закон нарастания возмущений. Так как (δρ/ρ)2 = σ2/2 при линейной
экстраполяции самой плотности, то можно сформулировать результат следующим
образом: нелинейная приближенная теория дает долю вещества,
подвергшегося бесконечному сжатию, как однозначную функцию от одного только
параметра — линейно экстраполированного среднего отклонения плотности.
Эта связь не зависит ни от вида спектра, ни от космологической модели.
Приведем таблицу
ΐΛ^Ρ/Ρ)2 0,5 0,83 1 1,33 1,5 2 2,2 3 10
μ=φ ΙΟ-* 10-а 0,023 0,16 0,2 0,33 0,48 0,62 0,873
Согласно предыдущему, на ранней стадии доля вещества, сжатого ударной
волной, по крайней мере, в 7^3 раз больше, чем количество вещества, под-

-320 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
вергшегося бесконечному сжатию, без учета удара. Приблизительно μ]ί3 =
= 0,3 в момент, когда по линейной теории δρ/ρ = 1,45.
С помощью таблицы и функций / (£, Ω) можно дать ответ на следующий
вопрос: пусть задано значение μ = μ0 сегодня; при каком ζ в среднем
происходила конденсация? Более конкретно дадим zyg, при котором μ = μ0/2.
Приводим несколько численных примеров
Ω = 1 Ω = 1/30
μο
*V.
Возмог
0,1 0,5
0,09 0,5
0,5 0,85
4,2 ~21
;ности элементарной
теории без применения счетных машин, по-
видимому, исчерпываются информацией того типа, который приведен выше.
Решение таких вопросов, как статистика размеров дисков, доля
гравитационно-связанных пар (или групп) дисков и т. п., по-видимому, легче
проводить грубым численным счетом реализаций, а не сверхуточненной
аналитико-вероятностной теорией общего случая.
Тем более это относится к расчету дальнейшей судьбы дисков.
Пользуюсь случаем искренне поблагодарить В. Ф. Дьяченко за идею
лагранжевых координат и благожелательное отношение к численным
расчетам, А. Г. Дорошкевича — за помощь и справедливую, острую критику.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 28 ноября 1969 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Silk J.— Astrophys. J., 1968, vol. 151, p. 454.
2. Чернин А. Д.— Астрон. журн., 1965, т. 42, с. 1124.
3. Dicke R. Я., Peebles P. J.— Astrophys. J., 1968, vol. 194, p. 838.
4. Дорошкевич А. Г.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 581.
КОММЕНТАРИЙ
Предлагаемая статья, которая в настоящее время рассматривается как фундамент
теории крупномасштабной структуры Вселенной, лишь постепенно, на протяжении почти
15 лет получила признание.
Формально в статье предложено только приближенное решение нелинейной задачи
я определенных упрощающих предположениях (пренебрежение давлением). Было не
ясно, насколько верны исходные предположения и какие ошибки вносит приближение.
С тех пор получены ответы на оба вопроса. Современная космология приводит к выводу
об адиабатическом характере первичных возмущений и об отсутствии вихревых и
энтропийных возмущений. ЯБ предвидел это (см. доклад на таллинском симпозиуме
крупномасштабной структуры Вселенной, 1978 г., статья 51 в настоящем издании). В последнее
время это с определенностью утверждают, например А. Гус **, А. Д. Линде 2* и А. А. Ста-
робинский 3*. Затухание коротковолновых адиабатических возмущений приводит к тому,
что для выживающих длинноволновых возмущений пренебрежение давлением вполне
оправданно.
Заметим, впрочем, что в самое последнее время (1984 г.) возникают попытки
возродить теорию энтропийных возмущений. В теориях с «холодной» скрытой массой,
состоящей из тяжелых частиц, масштаб выживающих возмущений может быть настолько малым,
что давление нейтрального водорода и гелия окажется существенным. Эти гипотезы не
умаляют значения результатов ЯБ о поведении вещества в обычных предположениях о
его свойствах.

55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения 321
Точность приближения исследовали А. Г. Дорошкевич, В. С. Рябенький и
С. Ф. Шандарин 4*. Они показали, что погрешность остается конечной вплоть до момента,
когда достигается бесконечная плотность, характерная для данной задачи и
предлагаемого решения. Предлагаемое решение заинтересовало математиков и послужило отправной
точкой систематического рассмотрения лагранжевых отображений. (Об этом см. в книге
В. И. Арнольда 5* и Арнольда с соавторами * и в написанном В. И. Арнольдом разделе
«Введения» к избранным трудам Я. Б. Зельдовича 7*).
Приближенное решение правильно описывает сингулярности (каустики,
катастрофы), которые первыми возникают в рассматриваемой задаче. В дальнейшем Арнольд,
Шандарин и Я Б 8* рассмотрели также особенности высшего порядка. Астрофизические
аспекты процесса образования структуры Вселенной, основанные на приближенном
решении, рассмотрены в работе ЯБ, Сюняева Р. А. (статья 56) и последующих работах
учеников Я Б — А. Г. Дорошкевича, С. Ф. Шандарина, А. А. Клыпина, эстонских
астрономов Я. Э. Эйнасто, Э. Саара; группы Дж. Силка, Ш. Салаи и других за рубежом.
Используя предложенное приближенное решение для анализа поздних стадий Я Б
и С. Ф. Шандарин обосновали появление «черных» пустых областей в распределении
галактик в пространстве, и далее ЯБ обосновал ячеистую структуру распределения
вещества. Вслед за этим Шандарин 9* предложил перколяционный способ объективного
определения тенденции галактик к расположению вдоль линий на поверхностях. Применение
этого метода, по-видимому, подтверждает всю теоретическую концепцию, построенную на
базе комментируемой статьи.
Отметим, наконец, что предположение о «скрытой массе», состоящей из слабовзаимо-
действующих частиц, не меняет эту концепцию: сценарий с нейтрино с массой покоя,
отличной от нуля, рассмотрен ЯБ и его учениками в работах, публикуемых в данной книге
(статьи 59—61). При существенно более тяжелых частицах (гравитино, аксионы)
характерный масштаб может оказаться меньше джинсовской длины волны нейтрального
водорода. В этом случае тяжелые частицы будут образовывать «блины», подчиняясь решению
комментируемой статьи, но распределение газа и звезд окажется более сложным.
В последние годы решение статьи проверялось непосредственно путем численных
машинных расчетов ю*-13*.
В целом можно уверенно сказать, что комментируемая работа выдержала испытание
временем и оказала большое плодотворное влияние как на развитие космологии, так и
на развитие ряда разделов математики.
Отметим, что несколько раньше более короткая статья Я Б на ту же тему
опубликована за рубежом 14*.
В комментируемой работе с полной определенностью сказано, что сферически
симметричный рост возмущений, рассмотренный вследствие своей простоты в ряде
теоретических работ, в действительности является вырожденным и нетипичным. Далее
отмечается, что область, ограниченная каустикой, в лагранжевом пространстве представляет
собой трехосный эллипсоид, а = const, все три оси которого величины одного порядка
и пропорциональны |/ t — ic, где tc момент рождения каустики. Однако одностороннее
сжатие вещества вдоль одного направления (которое не обязано совпадать с осью
эллипсоида каустик) превращает эллипсоид в «блин», толщина которого ^ (t — tc)a^2.
Современное состояние теории изложено в подробной обзорной статье Шандарина
С. Ф., А. Г. Дорошкевича и ЯБ 1б*.
Одним из наиболее авторитетных сторонников теории за рубежом является Ян
Оорт 16>17*.
ι* Guth Α.— Phys. Rev. D.— Part and Fields, 1981, vol. 23, p. 347—356.
2* Linde A. D.— Phys. Lett. В., 1982, vol. 180, p. 389.
3* Starobinsky Α. Α.— Phys. Lett. В., 1980, vol. 91, p. 99.
11 Я. Б. Зельдович

322 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
4* Дорошкевич А. Г., Рябенький В. С, Шандарин С. Ф.— Астрофизика, 1973, т. 9,
с. 257—272.
δ* Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Изд-во МГУ, 1983. 64 с.
в* Арнольд В. #., Варченко А. #., Гусейн-заде С. М. Особенности
дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982. 304 с.
7* Зельдович Я. Б.— Избранные труды. Гидродинамика и химическая физика. М.:
Наука, 1984. 370 с.
8* Arnold V. /., Shandarin S. F., Zeldovich Υ а. В.— Geophys. and Astrophys. Fluid
Dan., 1982, vol. 20, p. 111.
9* Шандарин С. Φ.— Письма в Астрон. журн., 1983, т. 9, с. 195—199.
Zeldovich Ya. В.— In: Highlights of astronomy. Dordreht, 1982, vol. 6, p. 29.
10* Клыпин Α. Α., Шандарин С. Ф.— Препр. ИПМ АН СССР № 136, М., 1982.
п* Klypin Α. Α., Shandarin S. F.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1983, vol. 204,
p. 891—907.
12* Frenk С S., WhiteS. D. M., Davis M.— Astrophys. J., 1983, vol. 271, p. 417—430.
13* Delek Л., Aarseth S. J.— Astrophys. J., 1984, vol. 283, p. 1—23.
14* Zeldovich Ya. В.— Astron. and Astrophys., 1970, vol. 5, p. 84—89.
1б* Шандарин С. Ф., Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1983,
т. 139, с. 83—134.
16* Oort J. H.— Annu. Rev. Astron. and Astrophys. 1983, vol. 21, p. 373.
17* Oort J. H.— Astron. and Astrophys. 1984, vol. 139, p. 211, 214.
56
ОБРАЗОВАНИЕ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИК:
ФРАГМЕНТАЦИЯ ПРОТОСКОПЛЕНИЙ
И НАГРЕВ МЕЖГАЛАКТИЧЕСКОГО ГАЗА*
(совместно с Р. А. Сюняевым)
Ударные волны, возникающие на нелинейной стадии роста первичных
возмущений плотности, дают своеобразное распределение температуры и
плотности сжатого газа. Масштаб возмущений ~1012 -г- 1014ΜΘ является
характерным для теории адиабатических возмущений плотности и
ассоциирует с протоскоплениями галактик. За время образования протоскоп-
лений галактик выбирается период, соответствующий красному смещению
ζ ~ 3^-5, в согласии с результатами подсчетов квазаров и мощных
радиоисточников.
Примерно 1% газа сжат адиабатически, имеет низкую температуру
и высокую плотность. Выдвигается гипотеза о возникновении из этого газа
плотных тел (квазаров и ядер галактик). Около 20% газа после нагрева
остывает до 104 К; предполагается, что этот газ превращается в галактики.
Остающийся газ нагрет до 106 К, что объясняет наблюдаемую полную
ионизацию межгалактического газа.
Рассматривается динамика ударных волн, тепловые процессы в газе,
его излучение и вклад в рентгеновский фон, а также процесс фрагментации
холодного газа на перечисленные выше объекты.
Мы постараемся дать последовательную теоретическую картину
образования галактик в рамках современной космологии. Невозмущенная
Вселенная испытывает расширение, сопровождающееся уменьшением
температуры излучения и плотности вещества. В некоторый момент времени
* Astronomy and Astrophysics, 1972, vol. 20, Ν 2, p. 189—200.

56. Образование скоплений галактик
323
происходит рекомбинация протонов и ядер гелия и электронов.
Идеализированная картина дала бы холодный нейтральный однородный газ.
Нас интересуют минимально возможные возмущения, необходимые для
возникновения наблюдаемой структуры Вселенной. Выбраны
адиабатические возмущения (δρ/ρ = 36Т/Т) начальной амплитуды δΤ/Τ = 10~4 к
моменту рекомбинации в характерном масштабе *, соответствующем
массам 1012 — 1014ΜΘ.
Малые возмущения плотности и скорости в первичном нейтральном
газе после рекомбинации вещества во Вселенной увеличиваются в
результате гравитационной неустойчивости. На стадии больших возмущений
теория, исходящая из концепции малых возмущений, предсказывает
образование плоских сгущений («блинов») и сжатие большей части газа ударными
волнами. Подробное рассмотрение гидродинамической и, главным образом,
тепловой картины приводят к выводам, существенным для понимания
современной структуры Вселенной; эти выводы, как нам кажется, в общих
чертах согласуются с наблюдениями.
Нагрев газа ударными волнами объясняет отсутствие нейтрального
водорода в межгалактическом пространстве: как известно, к такому выводу
приводят наблюдения спектра квазаров с красным смещением ζ ~ 2.
Внутри первых протоскоплений первично возникает плавное распределение
температуры от 300 К в плоскости симметрии до 106 К на краю в соответствии
с тем, что в ходе образования протоскопления растет скорость падения газа.
В ходе последующего охлаждения газ резко разделяется на внутренний
слой с температурой μ ~ 104 К и два окружающих его внешних слоя с
температурой μ ~ 106 К.
По-видимому, фрагментации внутреннего слоя приводят к образованию
протогалактик. Оценки дают разумные величины для ожидаемых масс.
В первых протоскоплениях можно выделить самый внутренний слой,
подвергшийся только адиабатическому сжатию с температурой μ ~ 300 К
и высокой плотностью газа η ~ 30 см"3. Можно предположить, что этот слой
превращается в ядра галактик и квазары. В дальнейшем мягкое
рентгеновское излучение первых протоскоплений прогревает все слабовозмущенное
вещество во Вселенной, и холодный внутренний слой становится редкостью.
Этим предположительно объясняется известный эволюционный эффект
уменьшения в тысячи раз плотности радиоисточников и квазаров от ζ ~ 2 -г- 2,5
до настоящего времени.
В целом, картина развития адиабатических малых возмущений
оказывается весьма многогранной: можно надеяться, что эта картина позволит объяснить
крупномасштабную структуру Вселенной, вплоть до ядер галактик и
квазаров. В течение долгого времени существовало молчаливое убеждение, что
теория адиабатических возмущений не способна объяснить вращение
галактик, поскольку растущие адиабатические возмущения дают потенциальное
поле скорости.
В таком случае вращение указывало бы на первичные вихри: именно
такова, по-видимому, внутренняя мотивировка вихревых теорий эволюции
Вселенной [1—3].
Однако в ряде работ [4—6] показано, что адиабатические возмущения
приводят, с учетом всех нелинейностей, к возникновению вихревых движений и
1 Возмущения меньшего масштаба затухают до момента рекомбинации; из
наблюдений следует, что возмущения большего масштаба гораздо более слабые.
11*

324 Часть вторая. VIII, Образование крупномасштабной структуры Вселенной
набору вращательного момента; таким образом, снимается существенная
трудность адиабатической теории. Особое внимание следует уделить работе [6],
в которой образование вихрей объясняется за счет наличия ударных волн,
характерных для нелинейной картины. С другой стороны, отмечаются
трудности теории первичных вихрей [7, 8]. В целом результаты последних лет,
включая изложенное ниже, укрепляют уверенность в том, что теория
адиабатических возмущений «необходима и достаточна» для описания структуры
Вселенной.
Ниже обсуждается схема эволюции адиабатических возмущений
плотности на нелинейной стадии. В силу статистичности задачи (не учитываемой
в данной статье), приводимые цифры указывают лишь на порядок величины.
I. ТЕПЛОВАЯ КАРТИНА
1. Эволюция возмущений плотности на нелинейной стадии. В работе
Я. Б. Зельдовича [9] найдено приближенное решение задачи о поведении
возмущений плотности вещества во Вселенной на нелинейной стадии, когда
возмущения уже не малы по сравнению со средней плотностью вещества. На этой
стадии становится важным отсутствие сферической симметрии возмущений и
различие в амплитуде (а иногда и в знаке!) скоростей (связанных с
возмущениями) по разным направлениям.
Пока возмущения плотности малы, эти скорости слабо влияют на общее
хаббловское расширение вещества. Возмущения растут по линейной теории
Δρ/ρ~ f/* ~ (1 + ζ)"1, вместе с ними растут и скорости сжатия
пропорционально iVa (Δρ/ρ и скорости связаны уравнением неразрывности). Когда
в каком-либо масштабе Δρ/ρ становится порядка единицы, то при наличии
сжатия хотя бы по одной оси этот масштаб выделяется из общего
расширяющегося фона, и вещество сжимается в диск, причем сжатие идет по оси, вдоль
которой первоначальная скорость сжатия была максимальной по амплитуде.
По двум другим осям, лежащим в плоскости диска, в это время может
происходить как сжатие, так и расширение. Как показал А. Г. Дорошкевич [10]
(в естественных предположениях о гауссовом распределении амплитуды
возмущений), около 8% всего вещества сжимается по всем трем главным осям
локального тензора деформации; 42% вещества сжимается по двум осям и
расширяется по третьей; еще 42% сжимается по одной и расширяется по двум
другим и, наконец, лишь 8% вещества расширяется по всем трем осям.
Поэтому вещество, образующее диск, может в одних случаях оказаться
гравитационно связанной системой, в других же случаях может расширяться и затем
рассеяться. Малая часть вещества в диске сжимается только адиабатически и
достигает высокой плотности. Следующие слои газа наталкиваются на уже
сжатый газ: образуется ударная волна, бегущая по падающему веществу.
Аналогичное качественное объяснение дано в работе [24], там же приведены более
ранние ссылки.
2. Параметры ударной волны. Скорость, с которой вещество ударяется
о диск (см. [9] и приложение), равна
и = ХЯ0 (M/1O13M0)V3 (1 + zju (πμ)ν, (sin πμ)1/* =
= 9,3. ΙΟ6 (1 + *C)V. (πμ)1/. (sin πμ)1/. (Μ/1018Μ0)V. см/с, (1)
при малых μ <^ 1
и = 2,9-107 (1 + ζο)ν*(Μ/1013ΜΘγ/ψ см/с.

56, Образование скоплений галактик
325
Здесь μ — доля вещества внутри данного масштаба, подвергнувшаяся
сжатию, красное смещение zc соответствует началу конденсации.
Формула (1) получается при рассмотрении возмущения и скорости как
плоских синусоидальных волн. Длина волны X связана с характерным масштабом
Μ соотношением Μ = ρ0 (πλ) 3; λ = (М/р0)1/з/я. Плотность вещества во
Вселенной предполагается критической р0 = рСгп = ЗД^/8я G = 10"29 г/см3
при постоянной Хаббла Н0 = 75 км/(с«Мпс). В [9] и в приложении показано,
что долю вещества, прошедшего через ударную волну к данному моменту
времени, можно определить из соотношения sin π μ/π μ = (1 + ζ)/(I + зс),
ί+ζ= (t0/t)2^ t0 = 2/ЗЯ0.
Отметим, что предположение о критической плотности вещества сделано
лишь для упрощения расчетов: крупномасштабные свойства Вселенной,
естественно, не должны играть роли на нелинейной стадии конденсации
объектов.
Температура вещества на фронте ударной волны равна
Tfr = u2mp/6k = 1,7 · ΙΟ5 (1 + zc) πμ sin πμ (М/1О13М0)г/зК, (2)
при малых μ<^1
Tfr = 1,7· 10е (1 + zc) μ2 (M/lO13M0)VaK, (2')
при μ ~ 1/2, когда 1 + ζ = 2 (1 + zc)/n и температура на фронте волны
близка к максимальной,
Tfr = 2,7. Ю5 (1 + zc) (М/1О13М0)8/зК·
Все формулы даны для полностью ионизированного вещества в
пренебрежении потенциалом ионизации / <^ кТ или для нейтрального газа
Плотность вещества перед фронтом ударной волны
(1+«6)»(8ίηπμ/πμ)' _ (1+*с)3
Р1 = Р° (1-πμ^πμ) iI^l ^p0 tf£T~ ' (ό)
у + i
За фронтом ударной волны плотность равна р2 = _. i Pi= ^Рь Здесь р0 —
современная средняя плотность вещества во Вселенной; ρ — текущая средняя
плотность вещества во Вселенной, рх = ρ при μ = 1/2 и 1 + ζ = 2 (1 +
+ zc)/n. Зная рх и и, находим давление, которое достигается в ударной
волне, останавливающей движение вещества:
2 _ q а а п-16 (1 + *c)4 sin* ^π / Μ \г/з _
pfr = piu — B,t>.iu (;ιμ)2(1_πμ/^πμ)^ι0χ3ΜΘ J —
μ= 2,5.10^(1 + ^(Ίδ^)ν3 Дин/см2. (4)
Давление на поверхности диска не зависит (пока μ мало) от μ — доли
вещества, вошедшего в диск, а зависит лишь от масштаба возмущения.
С ростом μ давление падает, уменьшаясь к μ = 1/2 в 7,5 раз. Выписанные
выше соотношения получены в очень грубом приближении путем
рассмотрения одной плоской волны. В лучшем случае (если систематические ошибки
малы) они дают средние параметры при большой дисперсии истинных
величин.
3. Спектр адиабатических возмущений плотности. Несмотря на то, что
нелинейная теория образования галактик (если Μ ;>> Mj — джинсовской

326 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
массы) применима к возмущениям плотности любой природы: энтропийным,
турбулентным и т. д., ниже будут обсуждаться лишь адиабатические
возмущения. Существующая теория дает характерный масштаб для этих
возмущений, хорошо согласующийся с наблюдениями 2.
Каков бы ни был начальный (на радиационно-доминированной стадии
до момента рекомбинации, когда рг > рт, ζ > 2·104 Ω, где р7. = оГ4/с2 —
плотность излучения, рт = р0 (1 + ζ)3 — плотность вещества) спектр
адиабатических возмущений плотности, на стадии после рекомбинации возмущения
в малых масштабах будут малы. На радиационной стадии, когда
возмущения представляют собой звуковые волны, они затухают в малых
масштабах из-за эффектов теплопроводности, вязкости и трения вещества о
излучение. Дж. Силк (1968) показал, предполагая рекомбинацию мгновенной, что
затухают возмущения в масштабе меньшем
Md = 7·1010 ΜΘ, если Ω = 1, и Md = 5-1011 ΜΘ, если Ω = 1/30.
Здесь Ω = ρ/рсг — безразмерная средняя плотность вещества во Вселенной.
Наиболее аккуратные и полные расчеты, проведенные в последнее время
Дж. Пиблсом и Дж. Ю (1970), дают Md = ΙΟ12 ΜΘ при Ω = 1 и Md = ΙΟ14 ΜΘ
при Ω = 1/30. Г. В. Чибисов [12] считает, что при
Μ <Md = 5- 1013Ω-ν2ΜΘ
адиабатические возмущения плотности затухают. Так как спектр первичных
возмущений плотности не мог быть растущим в сторону больших масс — не
наблюдаются объекты с М^>Юи ΜΘ и малы флуктуации реликтового
излучения в больших угловых масштабах [13],— то максимум спектра после
рекомбинации должен приходиться на Μ ~ ΙΟ12 -τ- ΙΟ14 ΜΘ — масштаб,
характерный для богатых скоплений галактик.
4. Время формирования объектов. Предположим, что при zc ~ 3 ч- 5
во Вселенной происходила интенсивная конденсация скоплений галактик.
Уход к большим красным смещениям противоречит наблюдаемой картине —
среднее расстояние между скоплениями галактик лишь в 5—7 раз
превышает их размеры, и грубая оценка показывает, что при ζ ~ 4 -ь 6 они
должны были бы сомкнуться между собой и заполнить весь объем. Наблюдения
квазаров и мощных радиоисточников также свидетельствуют о
максимальной скорости рождения объектов при ζ ~ 2 ^- 4 [14—15] (см. более
подробное обсуждение Р. А. Сюняева [16], где отмечается также, что конденсация
объектов при ζ ~ 2 ~ 4 соответствует предположению об Ω > 0,2, так как
согласно линейной теории эффективный рост возмущений плотности имеет
место лишь при ζ ^> 1/Ω).
5. Распределение температуры и плотности в газе, сжатом ударной
волной. Выбор характерного значения массы Μ ~ ΙΟ13 ΜΘ и времени
конденсации zc ~ 4 позволяет определить физические свойства газа, прошедшего
через ударную волну. Укажем на слабую зависимость этих свойств (прежде
всего давления) от массы сжимающего газа и сильную — от выбранного
значения zc.
Малая часть газа сжимается адиабатически. Невозмущенное вещество
имело температуру Τ = 4000 К при zTec ~ 1400. До ζ ~ 2000 и Τ = 550 К
2 В турбулентной теории образования галактик [3] также рассматривается
образование ударных волн, разогреваюпщх вещество. Однако основное энерговыделение в этом
случае происходит очень рано, вскоре после рекомбинации от ζ ~ 100 [11] до ζ ~ 1000 [7],
так как в ходе дальнейшего расширения турбулентные скорости быстро уменьшаются.

56. Образование скоплений галактик
327
его температура менялась так же, как и температура излучения по
адиабате с γ = 4/3 [17, 18]. В дальнейшем комптоновский обмен энергией между
веществом и излучением стал недостаточным и охлаждение вещества описы -
валось адиабатой с γ = 5/3. В результате при zc = 4 вещество имело
плотность Я ~ 10"3 см"3 и температуру Τ ~ 0,3 К.
В приближении равной нулю начальной температуры газа ударная волна
возникает сразу после пересечения первых двух соседних траекторий частиц;
давление в ударной волны при этом сразу устанавливается на определенном
значении р/г, тогда как плотность газа перед фронтом ~ μ""2, Tfr ~ μ2,
так что Tfr (μ = 0) = 0. Учтем отличную от нуля начальную температуру
и начальное давление газа. Они не повлияют на распространение волны и не
изменят, в частности, р/г, когда волна пройдет заметное расстояние, и
амплитуда ее станет большой. Однако начальная стадия изменится
существенно; начальное давление воспрепятствует возникновению бесконечной
плотности и мгновенному образованию ударной волны при μ = 0. Адиабатическое
сжатие от и, Т, р до pfr даст nmax = ή (p/r/p),/e = 30 ((1 + zc)/5),!S/5.
• (Μ/1013 ΜΘ)Ι/δ см"3 и соответствующую температуру Гтах порядка 300·
• ((1 + 2с)/5)8/» (М/1013 Af0)4/'5K. Ударная волна возникнет лишь при таком μ,
когда
Tfr = const μ2 > Tmax.
Следовательно, центральный тонкий слой с μ <^ 1,3-10"2 ((1 + zc)/5)3/*>·
• (М/Ю13М@у/& оказывается сжатым адиабатически.
Сжатое вещество похоже на сэндвич, центральная часть которого,
холодная и плотная, не проходила через ударную волну, а внешние слои
разогреты ударной волной.
Итак, при μ ~ 10~2 формируются две ударные волны, движущиеся по
падающему веществу от центральной плоскости диска. Вблизи μ~ 6·ΙΟ""2·
•((5/(1 + 2с))*/2 (Af/1013 Λί©)"1^ температура достигает ΙΟ4 К (важного
уровня, характеризующегося сильной ионизацией водорода электронными
ударами и резким увеличением потерь энергии на излучение), а плотность η ~
~ 1 см"3 ((1 + 2с)/5)4 (М/1О13М0)2/з. В дальнейшем, после полной
ионизации вещества при μ ^> μ2 = 3μΐ7 если пренебречь охлаждением, температура
должна расти с ростом μ и при μ ~ 1/2 достигать Τ ~ 1,35 -106 ((1 + 2с)/5)·
•(М/1013 М®)*/* К. В действительности, в сжатом веществе время
установления состояния ионизации, так же как и время обмена энергией между
электронами, атомами и ионами в рассматриваемом случае, мало по сравнению
с космологическим. При μ <^ 0,1 важно наличие малой доли электронов
е/Н ~ 10~5 -η 10"4 в первичной плазме [17]. При μ > 0,1 ионизирующее
излучение от ударной волны вызывает появление свободных электронов в газе
перед фронтом волны. Наличие этих электронов существенно уменьшает
время релаксации. За фронтом ударной волны температура будет быстро
падать до 104 К из-за радиационного охлаждения. Отношение времени
охлаждения tc к гидродинамическому времени th
tjth = 3kTe Y4nG~pfL- = 4· IQr^T^fnJ9 ~ 40μ2
при Μ = 1013 MQ и zc = 4.
Для оценки выбрана скорость охлаждения за счет тормозных процессов
L" = 10"27 neTl/2 эрг/с. Из (6) следует, что критическим является μ ~ 150,

328 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
^
-<—
1 \ 1°В
N
\
ю\
102
10
1
μτ-,κ ^—ι
/
L- /
Г/
/
/
\
I
—^J
А
L^
я, см"3
1
, /
1
* -2
/ 10Z
w"3
\
\
\
- \
\
\
- \
>.
μ μ μ μ
Рис. 1
Распределение температуры в сжимающемся протоскоплении галактик с Μ = 1013 Af0
За время μ = 1/2 и красном смещении zc = 4
Пунктирная кривая показывает то же самое распределение без учета эффектов радиационного
охлаждения
Рис. 2
Распределение плотности в газе, сжатом ударной волной
когда Τ ~ 2-105 К (учет других механизмов охлаждения 3 может довести
эту цифру до 5-Ю6 К). За космологическое
icosm ~ [2 (1 + з)--/./3] Но1 = (2Ηό1/3) (1 + 2С)-3/* (πμ/sin πμ)8/*
время успевает остыть лишь малая часть μ<1/3 вещества, прошедшего
через ударную волну — самый горячий газ не успевает остыть за время жизни
Вселенной. В то же время весь холодный газ сГ< 5-Ю5 К быстро остывает
до Τ ~ 104 К. Ниже будет показано, что время фрагментации холодного
вещества на протогалактики в несколько раз превышает гидродинамическое,
поэтому охлаждается до Τ ~ 104 К примерно μ = 0,25 часть газа.
Напомним, что давление на фронте ударной волны постоянно лишь при μ<^Ξ1,
а затем начинает уменьшаться. При μ = 0,25 оно в 1,5 раза меньше
начального. Средняя плотность вещества в зоне с Τ ~ 104 К должна подстроиться
под это значение давления и сравняться4 сп ^ 0,6 см"3. В итоге по оси,
вдоль которой происходит сжатие, устанавливается профиль плотности и
температуры, приведенный на рис. 1, 2.
3 Свободно-свободное излучение наиболее существенно при высоких температурах
Τ >> 10δ К. При более низких температурах (Τ ~ 104 -н 10б К) начинают играть роль
свободно-свободные и связанно-связанные процессы, но после рекомбинации при Τ ~
~ 104 К они перестают работать. Суммарная картина (см. рис. 1, а) слабо зависит от
процессов излучения при низких температурах.
4 Отметим еще раз, что все численные значения являются приближенными и зависят
от выбранных значений параметров Ω и zc.

56. Образование скоплений галактик
329
Здесь нужно отметить трудности, связанные со статистическим
характером задачи. Простые формулы были выведены для начального возмущения
в виде плоской синусоидальной волны sin &#, в которой одновременно во всех
плоскостях χ = О, χ = ±2π/&, х = -j- 4я//с и т. д. начинается резкое сжатие.
В действительности, очевидно, что одни протоскопления образуются раньше,
другие позже. Именно поэтому параметр μ должен быть выбран как доля газа,
сжатого волной в окрестности данного протоскопления, а не в среднем во
Вселенной. Согласно формулам, приведенным в [9] и в начале этой статьи,
падение газа на диск должно продолжаться вплоть до достижения μ = 1,
т. е. и при ζ = 0. В действительности же, вскоре после достижения μ = 1/2
скорость падения вещества начинает уменьшаться, и давление в ударной
волне падает. После этого уже нельзя считать давление постоянным в
пространстве, заполненном сжатым газом. Ударная волна «отрывается» от вещества
большой плотности и пробегает по невозмущенному газу, нагревая его до
высокой температуры (благодаря малой плотности для этого не нужно высокого
давления). Детальная картина требует газодинамического расчета, однако,
если иметь в виду статистический характер задачи в целом,
неидеализированный расчет провести весьма трудно. Важно также, что ультрафиолетовое
и мягкое рентгеновское излучение внешних слоев диска, прогретых ударной
волной, не может существенно повлиять на тепловой баланс холодной
центральной части: ионизующее излучение полностью поглощается в тонком слое
вещества, оттекающего от медленно движущегося ионизационного фронта
[19]. Жесткое рентгеновское излучение не успевает прогреть эту зону за
время (порядка гидродинамического), необходимое для фрагментации. В то
же время, наличие жесткого излучения может существенно повлиять на
степень ионизации газа и резко уменьшить потери энергии на излучение в
линиях. Эффекты электронной теплопроводности пренебрежимо малы.
П. ФРАГМЕНТАЦИЯ ПРОТОСКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИК
В холодной плотной части диска создаются условия, благоприятные для
ее фрагментации на объекты малой массы. В остывающем газе за фронтом
ударной волны определенную роль может играть тепловая неустойчивость,
однако скорее всего в процессах фрагментации дисков главную роль играет
гравитационная неустойчивость.
1. Гравитационная неустойчивость в среде с внешним давлением. В
холодном тонком диске внутри сжимающегося объекта гравитационная
неустойчивость развивается в специфических условиях [38]: внешнее давление,
равное давлению фронта ударной волны, намного (р/г^гауд<<1 = 4/π2μ2)
превышает силы тяготения. Как известно, для плоского слоя в случае
длинных волн (амплитуда eikx при /с —^ 0) давление не играет роли, и скорость
нарастания возмущения пропорциональна e10)i, где ω = }^2π6?σ&, а σ [г/см3] —
поверхностная плотность вещества в слое.
Так как ω ~ "|/"&, то всегда «наиболее опасны» (приводят к фрагментации)
те короткие волны, для которых формула ω ~ γ к оказывается на границе
применимости. Эта граница применимости связана с тем, что давление газа
противодействует гравитационной неустойчивости. В том случае, когда
внешнего давления нет, давление выражается через σ, ρ = pgTav = ябо2/2
и практически не вносит новых параметров по сравнению с теорией Джинса
для безграничного слоя. Максимальное кт-ах, очевидно, зависит от конечной

330 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
толщины слоя 2d, причем σ = 2pd, и естественно, что джинсовская длина
волны равна Xj ^ 2d, откуда джинсовская масса Mj ~ 4ярсР и (отах ^
^ Y2nGald ^ YAnGp, максимальная скорость нарастания возмущений
определяются средней плотностью вещества в слое, как и в теории Джинса для
безграничного объема.
Однако, если тяжелый слой сжат с обеих сторон легким газом и давление
на поверхности больше собственного гравитационного давления,
гравитация может играть роль лишь в радиальном направлении. При этом
критическая длина волны возрастает в том же отношении, что и давление:
ускорение давления порядка ρΔσ/ρλσ = pAad/λσ2, тогда как ускорение
силы тяжести G Δσ не зависит от длины волны. Итак, Xmax ~ dp/Go2 ~
~ dp/pgrav, соответствующая масса наиболее быстро растущих возмущений
по порядку величины равна
Л^тах ~ 2πλ^χσ = 4rrd3p (Pfr/Pgmv)2.
Если отнести эту массу к джинсовской массе Mj = nX^p/2^^5-i02Ts^M(I)/n1^
для самогравитирующего диска с данной плотностью, получим
Mmax/Mj ~ (dlljf (pfr/pgr^)2 ~ (PfrlPgmvP* ~ 2/πμ, (7)
^max ~ Μj (Р1г/рёжр> Ж (3/μ)· Ю2ГШе/п^
Тело, выделяемое при неустойчивости такого рода, первоначально имеет
вид ограниченного диска с толщиной, равной 2d ~ λ/μ, и характерным
размером в его поскости Xmax ~ λ/μ"1 ~ άμ~2. Характерное время нарастания
таких возмущений
t ~ 1/G)max = Ypfr/PgraY/V^nGp = Ι/μ Y^nGp. (8)
2. Источники возмущений. Для фрагментации диска необходимы
возмущения в соответствующем масштабе Λί<^103 ΜΘ. Соответствующие
адиабатические возмущения малы вследствие затухания, поэтому необходимы
возмущения какого-то другого типа. В газе, прошедшем через ударную волну,
должны существовать малые возмущения плотности вещества. Надо
отметить, однако, что возможно и существование первичных возмущений
плотности малого масштаба, много меньшего, чем Μ ~ ΙΟ13 М®, характерного для
адиабатических возмущений плотности. Это могли бы быть, например,
энтропийные возмущения как первичные, существовавшие наряду с
адиабатическими, так и вторичные: при диссипации адиабатических возмущений
плотности возникают малые (квадратичные и кубичные по Δρ/ρ) энтропийные
возмущения плотности [20].
В радиационно-доминированной Вселенной их амплитуда оставалась
неизменной, позднее, в нейтральном газе после момента рекомбинации они
медленно росли. В ходе адиабатического сжатия в конденсирующемся про-
тоскоплении галактик амплитуда этих возмущений должна была
существенно возрастать во всех масштабах, а наличие гравитационной неустойчивости
приводило бы к выделению объектов с массой Мтах ~ Μ <^ζ ΙΟ13 Μ®.
Вследствие наличия максимума ω (рост βωΐ), при определенном значении
к в плоском случае при фрагментации плоского слоя спектр начальных
возмущений не так важен, как в трехмерном случае.
3. Образование галактик. Согласно формуле (7), в зоне с температурой
Τ ~ 104 К условия (η ~ 0,6 см"3) благоприятны для выделения объектов
с Μ ~ Afmax ~ 3·109 Mq. Объекты такой массы, естественно, ассоциируют-

56, Образование скоплений галактик
331
ся с протогалактинами. Отметим, что протогалактики в этой схеме также
являются слабо (Ящах/й ~ 4π2/μ2 ~ 6) сплюснутыми дисками,
сжимающимися первоначально (при постоянном давлении, т. е. сохраняя объем) лишь
в плоскости симметрии.
Конечная форма сильно зависит от вращения, приобретенного протога-
лактикой вследствие гравитационного взаимодействия, и наличия ударных
волн. Этот существенный фактор до сих пор еще не изучен.
Картина сжатия протогалактик должна сильно отличаться от ситуации
в протоскоплении галактик (и, по-видимому, не приводит к образованию
ударных волн). Об этом косвенно свидетельствует и величина средней
плотности вещества в зоне с Г— 104 К, близкая к наблюдаемой плотности
вещества в галактиках η ~ 10 см"3.
Плотная η ~ 30 см"3, холодная Τ < 300 К часть дисков должна фраг-
ментировать согласно (7) на объекты с характерной массой Μ ~ 3-107 Af0,
имевшие первоначальную форму диска со сплюснутостью порядка Xmax/d ~
~ μ"2 ~ 104. Из наблюдаемых астрономических объектов в соответствие
им можно поставить лишь квазары и ядра галактик. При этом плотные,
достаточно массивные объекты, возможно, служат естественными центрами
конденсации образующихся впоследствии галактик.
В такой схеме удается дать объяснение наблюдаемой космологической
эволюции квазаров и мощных радиоисточников [14, 15]. Квазары должны
образовываться во всех первых протоскоплениях галактик. Время их жизни
t ~ 105 -ч- 106 лет оказывается существенно меньше времени фрагментации
(8) и эволюции плотной части «блинов» (t ~ 3·108 лет, согласно (8)) и, тем
более, времени образования галактик (t ~ 108 -г- 109 лет), поэтому в такой
схеме скопления квазаров и квазары в скоплениях галактик должны
наблюдаться крайне редко 5.
После конденсации значительной части «блинов» во Вселенной
появляется заметный фон мягкого рентгеновского излучения, который должен
приводить к разогреву всего невозмущенного вещества во Вселенной до
температуры порядка 104 К [22—23]. Столь низкая температура газа не может
влиять на скорость конденсации объектов с Μ ~ 10х3 М©, однако она
приведет к исчезновению холодной (Τ <^ 104 К) плотной части «блинов» и
ликвидирует условия, благоприятные для образования квазаров. Таким образом,
темп рождения и наблюдаемое число квазаров должен быть сильной
функцией времени, что согласуется с наблюдаемой картиной (см. также [16]).
5. Обсуждение. Как уже отмечалось раньше, лишь в малой части
протоскоплении, сжатие которых происходит по всем трем осям, все вещество
должно было войти в состав наблюдаемых объектов (аналогичные соображения
выдвинуты Я. Оортом [24]). Большая часть дисков могла оказаться
гравитационной несвязанной и рассеяться полностью, образуя галактики поля;
другая часть могла рассеяться частично, оставив после себя группу
галактик. Таким образом, несмотря на наличие выделенного теорией масштаба
Μ ~ 1012 -г- 1014 ΜΘ рассматриваемая схема эволюции «блинов» приводит
к образованию широкого спектра связанных объектов: скоплений, групп
галактик и одиночных галактик поля, но все галактики образовались в
плотных частях дисков с близкими условиями. Хотя галактики образовались
позже протоскоплении, плотность вещества в галактиках изменяется в сущест-
5 Б. В. Комберг и Р. А. Сюняев [21] отмечают, что наличие конденсирующейся
протогалактики вокруг квазара практически не отражается на его спектре.

332 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
венно меньшем диапазоне, чем плотность вещества в скоплениях галактик ь.
Конечная плотность вещества в скоплении сильно зависит от кривизны
блина, возможности возникновения связанной системы нескольких блинов и от
других факторов, которые не влияют на плотность вещества в галактиках.
Обсуждаемая картина, бесспорно, во многом идеализирована. Прежде всего,
образующийся диск не является идеально плоским; имеющаяся кривизна
(связанная, например, с неоднородностью в распределении скоростей) в
совокупности со скоростями, обусловленными движением в направлениях,
перпендикулярных оси, вдоль которой идет сжатие, могут сферизовать
возникающее скопление или группу галактик.
Образование галактик из достаточно плотной газовой среды в
центральной части диска и долгое ~ Ath их нахождение в тесной группе тел упрощает
задачу о наборе момента вращения галактик в результате приливных
взаимодействий [25]. Интересный подход к вопросу о происхождении
вращательного момента галактик предложен А. Г. Дорошкевичем [6]. Теорема о
сохранении вихря нарушается при сжатии газа ударной волной (см. также [5]),
поэтому наличие скоростей в направлениях, перпендикулярных
направлению ударной волны, может привести к рождению вихрей и вращения
галактик. С этой точки зрения, любопытным отличием центрального холодного,
адиабатически сжатого газа является отсутствие ротора скорости в этом газе.
Возможно, что это замечание будет существенно в теории образования
плотных тел (ядер, квазаров).
III. НАГРЕВ МЕЖГАЛАКТИЧЕСКОГО ГАЗА
Горячий, неконденсирующийся в галактики, газ на периферии «блинов»
также может оказаться гравитационно связанным в скоплениях галактик,
но основная его часть должна быть более или менее однородно
распределенной в межгалактическом пространстве вне скоплений галактик.
Через ударные волны должно проходить почти все вещество Вселенной,
так как возникшая при μ <^ 1 ударная волна не останавливается с
достижением μ ~ 1/2, а продолжает распространяться с затухающей амплитудой
по невозмущенному газу, участвующему в хаббловском расширении
Вселенной.
1. Выделение энергии в ударных волнах. Полная выделяющаяся в
ударных волнах энергия (а = (1 + zc)/(2 + zc))
а
W = ^ {и2β) άμ = 8,6 · ΙΟ13 (1 + zc) (М/1О13М0)2/з ξ πμ sin πμ άμ <
< 8,6 · ΙΟ13 (1 + zc) (M/1O13M0)V3 эрг/г, ° (9)
w = Wp <ζ 8,6 · 10"16Ω (1 -f zc) (Μ/ 1013ΜΘ)8/. эрг/см ^
^ 5,4- 10"4Ω(1 f zc)(Μ/1013ΜΘ)2/3 эВ/см2.
При μ ~ 1/2, Μ = ΙΟ13 ΜΘ и zc = 4 имеем w ^ ΙΟ""3 Ω эВ/см3 и W =
= 1014 эрг/г, что много меньше полного запаса энергии покоя вещества
W ~ с2 ~ 1021 эрг/г и его ядерной энергии W ~ 6-1018эрг/г. Однако эта
энергия выделяется в большей части вещества Вселенной, а не в малой его
доле, вошедшей в дискретные объекты. Для нагрева не требуется экзотиче-
6 Этот факт отмечался Дж. Эйблом и Л. М. Озерным на основе наблюдательных
данных.

56. Образование скоплений галактик
333
ских механизмов передачи энергии дискретных источников объектов
межгалактическому газу.
Такого энерговыделения вполне достаточно для разогрева
межгалактического газа до высоких температур.
2. Наблюдаемые свойства межгалактического газа. Наблюдения
квазаров с красным смещением ζ ~ 2 показали, что межгалактический газ (если
он существует) сильно ионизован лн/яр<;3-10""8 ]Α+2Ω/Ω [26, 27].
Существование верхнего предела Jv < 1,5· 10"21 эрг/(см2 -с-ср·Гц) фонового
ультрафиолетового излучения с 1^ 2500 А [39] указывает на трудность
обеспечения наблюдаемого пц/пр за счет фотоионизации холодного газа с Ω ^> 0.1
[40]. Действительно, измерения на λ ~ 2500 А несут информацию об
излучении вблизи лаймановского континуума λ ~ 912 А при ζ ~ 2. Полное
отсутствие газа — ионизованного или нейтрального — в пространстве между
галактиками представляется маловероятным: трудно представить себе
механизм, способный привести к конденсации в галактики более чем 99% всего
вещества Вселенной.
3. Обсуждение других механизмов нагрева. Предлагались различные
механизмы нагрева межгалактического газа: ионизационные потери
субкосмических лучей [28] диссипация турбулентной энергии и энергии
пекулярных движений галактик [29], ударные волны, возникающие при взрывах
квазаров и радиогалактик [30] и т. п. Большинство упомянутых механизмов
предполагает, что главными источниками энергии, необходимой для нагрева
газа, являются дискретные объекты, известные из наблюдений: квазары,
радиогалактики и т. п. Надо отметить, что разогрев межгалактического газа,
даже без учета потерь энергии на излучение и при расширении Вселенной,
требует больших энергетических затрат, сравнимых с полным
энерговыделением (в виде излучения, космических лучей, ударных волн и т. д.)
наблюдаемых астрономических объектов, которое предполагается близким к
энерговыделению на излучение в электромагнитных волнах. Плотность тепловой
энергии межгалактического газа с Г^ 10е К и Ω ~ 1 составляет w =
= 3 kTene ж 2·10~4 эВ/см3, что превышает полную плотность энергии
фонового нетеплового радиоизлучения w ~ 10~7 эВ/см3, γ- и рентгеновского
w ζζ 10"4 эВ/см3 и ультрафиолетового w <^ 10"4 эВ/см3. Они сравнимы лишь
в оптическом диапазоне, где главный вклад в фон w ~ 3-10""3 эВ/см3 дают
нормальные звезды в галактиках и в инфракрасном диапазоне w ~
— 10~2 эВ/см3 [31]. Более ранний нагрев 2С^> 0 лишь усиливает энергетические
трудности упомянутых механизмов, так как в расширяющейся Вселенной
плотность энергии излучения убывает пропорционально (1 + з)4, а
плотность тепловой энергии вещества быстрее, чем (1 + з)5· Предлагаемый
механизм нагрева межгалактического газа ударными волнами на стадии
образования скоплений галактик не встречает энергетических трудностей (см.
(8)), так как нагрев происходит за счет гравитационной энергии,
выделяющейся при обособлении наблюдаемых объектов и возникновении неоднород-
ностей в пространственном распределении межгалактического газа.
4. Обсуждение. До экстремально высоких температур Τ ~ 10е К
разогревается лишь газ, подвергшийся сжатию ударной волны при падении на
«блин». Напомним, что этот разогрев происходит при 1 + ζ ^ 2 (1 + zc)/n ^
^ 3,2. Возможно, что значительная часть межгалактического газа (10 ч-
-г- 50%) не прошла через сжатие в «блинах» и разогревалась лишь
отходящими от них ударными волнами с затухающей амплитудой (см. разд. II,
п. 4). Температура такого газа могла оказаться существенно меньше Τ ~

334 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
~ 10е К, требуемой для объяснения наблюдаемого отсутствия поглощения
в линии La в спектрах квазаров cz^2. Кроме того, такой газ мог быстро
остыть из-за наличия радиационных потерь.
Согласие обсуждаемой схемы нагрева межгалактического газа с
наблюдениями достигается при учете ионизации межгалактического газа
ультрафиолетовым и мягким рентгеновским излучением «блинов» и
формирующихся в них объектов: квазаров и т. п. Ионизовать излучением холодный газ
с Г^ 104 К трудно, так как при низких температурах велик коэффициент
радиационной рекомбинации, быстро уменьшающийся с увеличением
электронной температуры. В то же время, наличие ионизирующего фонового
излучения должно существенным образом сказываться на ионизационном
балансе горячего газа сГ^ 105 -=- 10е К. Фотоионизация сказывается и на
тепловом балансе газа: уменьшение концентрации нейтральных атомов по
сравнению с равновесным при ионизации электронными ударами приводит
к уменьшению излучения в линиях, связанных с возбуждением резонансных
уровней электронными ударами (А. Г. Дорошкевич, Р. А. Сюняев, 1972).
Отметим, что излучение в линиях во многих случаях определяет тепловой
баланс межгалактического газа, рассчитываемый в пренебрежении
фотоионизацией [29, 32, 33] в интервале температур 104 < Τ < 3-105 К.
5. Современное состояние межгалактического газа. Таким образом,
межгалактический газ при ζ^ 2—3 был горячим сГ^ 105 -т- 10е К. Энергию
для разогрева дали ударные волны, а фотоионизация обеспечивалась
жестким излучением. Потери энергии на излучение в линиях были малы, газ
адиабатически охлаждался в ходе расширения Вселенной. Такая эволюция
приводит к низким температурам Τ ~ 104 ~- 105 К при ζ~0. Высокую
степень ионизации пц/пр ~ 10"2 -4- 10"4 при ζ ~ 0 легко поддерживает
ультрафиолетовое и мягкое рентгеновское фоновое излучение (Р. А. Сюняев,
1969; Дж. Силк, М. Вернер, 1969; М. Рис, Дж. Сетти, 1970).
Пространственное распределение газа должно быть неоднородным по плотности и
температуре, так как большая часть газа участвовала в сжатии протоскоплений
галактик и лишь впоследствии включилась в хаббловское расширение Вселенной.
Межгалактический газ, гравитационно связанный в скоплениях
галактик, должен быть более горячим Τ χ 10е К. Плотность его может быть
меньше, чем определяемая формулой (3), так как эволюция протоскопления
галактик допускает некоторое расширение в направлениях, перпендикуляр-
ных оси сжатия.
IV. НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЕ ПРОЯВЛЕНИЯ МЕЖГАЛАКТИЧЕСКОГО
ГАЗА
Горячий газ в межгалактическом пространстве, возможно, удастся
обнаружить по его рентгеновскому и ультрафиолетовому излучению [34]. При
этом газ, прошедший через ударные волны, должен быть сильно неоднородным,
что, бесспорно, увеличивает его вклад в фоновое излучение. Газ с
температурой Τ ^ 10е К должен был остаться и в массивных скоплениях галактик,
сжимавшихся первоначально по всем трем осям, возможно, он наблюдается
в скоплении галактик Coma [35]. Не проводя детальных наблюдений
спектра, трудно отличить излучение горячего межгалактического газа от
совокупного излучения дискретных источников в том же скоплении. Напомним,
что ранее нами было указано на уменьшение температуры реликтового
излучения в рэлей—джинсовской части спектра в направлении на зону с горячим

56. Образование скоплений галактик
335
газом
Δ TIT = —2στΝβΙ kTe/mec2.
Это уменьшение связано с комптоновским взаимодействием горячих
электронов с излучением, имеющим Тг <^ Те. Высокая температура неоднородно
распределенного межгалактического газа должна приводить к флуктуации
реликтового излучения [19].
Излучение зоны «блинов», остывающей до Τ ~ 104 К, должно в основном
перерабатываться в линию La, так как при конденсации «блина» внешние
его части, не прошедшие через ударную волну, имеют большую оптическую
толщу для ионизирующего излучения. Это излучение приходит к нам из
областей с zc ~ 4 и попадает в оптическую область спектра. Информацию
о стадии, когда Вселенная была непрозрачна для La излучения, несет
фоновое излучение. После ионизации всего межгалактического газа свет от
источников распространяется по прямой, однако на этой стадии меньшая часть
излучения идет в La, а большая — в непрерывном спектре и линии λ 304 А
Hell. Тем не менее, было бы интересно обнаружить объекты, излучающие
в основном в узких, сдвинутых красным смещением, линиях.
Существует другая возможность обнаружения «блинов» — наблюдение
линии 21 см (смещенной в красную область вследствие хаббловского
расширения) от сжатых ударной волной областей нейтрального водорода с
температурой Τ ~ 104 К. Спиновая температура в этом случае оказывается гораздо
выше температуры реликтового фона Тг = 2,7 (1 + ζ) К. Масса дозвезд-
ного вещества в этих областях Μ ~ 3·1012 ΜΘ гораздо больше полной
массы нейтрального водорода во всех галактиках любого скопления галактик,
где большая часть вещества сосредоточена в звездах. Угловой размер блинов
при zc ~ 4 порядка 3 угл. мин.
Существенная часть гравитационной энергии, выделившейся при
конденсации протоскоплений галактик и идущей на нагрев межгалактического газа,
может излучаться в виде ультрафиолетовых и рентгеновских квантов. В этом
случае, согласно (9), вклад радиационных потерь межгалактического газа
в жесткое фоновое излучение
w ^ 3. ΙΟ"4 Ω (Μ/1013 ΜΘγ/* эВ/см3,
что сравнимо с полной плотностью энергии фонового излучения с λ < 1300 А
(М. Лонгейр, Р. А. Сюняев, 1971). Однако основная часть этой энергии не
успевает высветиться за время жизни Вселенной. При средней массе
«блинов» Μ < ΙΟ14 ΜΘ, 0,2 < Ω<1 излучение газа, прогретого ударными
волнами, не вступает в противоречия с наблюдениями фона в рентгеновском
диапазоне. Это следует, в частности, из наличия верхней границы температуры
межгалактического газа Τ < 2·106(1 +ζ)Κ, полученной на основе
наблюдений рентгеновского фона [36—37]. В то же время, в силу статистичности
задачи, возможно существование отдельных «блинов» с аномально большой
массой Μ i^> 1013ч-1014 ΜΘ, разогревающих газ в ударных волнах до очень
высоких температур Τ ~ 107 -г- 108 К. Такие объекты должны быть
мощными источниками жесткого рентгеновского излучения. Помочь решению
вопроса об их природе могут наблюдения флуктуации реликтового излучения.
Мы чувствуем, что приведенная выше картина нарисована в точном,
определенном стиле так, словно мы сами явились свидетелями описанных
процессов. Это было сделано умышленно, с целью упрощения понимания
читателем излагаемого материала: если бы все трудности и возникающие неопре-

336 Часть вторая. VIII· Образование крупномасштабной структуры Вселенной
деленности упоминались во всех местах, они скрыли бы идеи, лежащие в
основе изложения (согласно русской поговорке «за деревьями не увидели леса»).
Мы решились на этот шаг, пренебрегая опасностью подвергнуться критике;
любая конструктивная критика будет только приветствоваться.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Расчеты температурного режима проведены для возмущения, заданного
одной синусоидальной плоской волной на фоне плоского мира с Ω = 1.
Движение вещества, еще не сжатого ударной волной, задано в лагранжевой
форме
х = f/.ξ — fcV· sin kl, у = f/зть ζ = ί»/.ζ.
Условно принято, что к связано с характерной массой Μ скопления
соотношением
Μ = ρ (λ/2)3, ρ = (6π6*2Γ\ λ = 2πί·'·/Λ, Μ = (n/k)V6nG.
Приведенное решение является точным в пренебрежении начальным
движением и давлением и для заданного вида возмущения благодаря тому,
что гравитационное поле плоского слоя ρ = ρ (χ, t) не зависит от
распределения плотности внутри слоя. В веществе, не подвергшемся сжатию ударной
волной, решение остается точным и тогда, когда остальная часть была
сжатой волной.
Плотность дается выражением
/ 1 \/ dx dy dz \-l _1 1
P^"V teiG )\ dl dy\ άζ J — 6π№ i-w'/fccog^'
откуда момент возникновения tc бесконечной плотности в плоскости χ = О
выражается через Ъ соотношением
Вместо ξ вводим переменную μ = ηζ/k, так что интервал 0 < ξ < л/к
соответствует 0 < μ < 1. Вводим χ = (t/tc)z/* = (1 + zc)/(l + *ϊ и г =
= 6ла2р= р/р. В этих переменных
г = (1 — τ cos π μ)"1.
Распространение ударной волны рассматриваем сперва в предельном
случае мгновенного охлаждения. В таком случае плотность сжатого в волне и
остывшего вещества ρ = оо, так как ρ φ. Ο, Τ = 0; это вещество находится
в тонком слое при х = 0. Отсюда находим лагранжеву координату μχ фронта
волны:
χ = 0 = лμ1 — τ sin лμ1^
Удобно задавшись μχ, выразим τ через μχ: τ = πμχ/sin лμ1. При τ — 1 <^J 1
найдем
τ = 1 + (πμχ)2/6, μχ = /6 (τ — Ζ,)/π2.
Безразмерная плотность перед фронтом
ri = г (μχ) = (1 — л\кг/^ лμ1)-1.

56. Образование скоплений галактик
337
При τ — 1 <^ 1 асимптотика
г (μι) = 1/2 (τ - 1) = 3/π2μ2ν
Давление в указанном предельном случае дается выражением
так как
ί1ί = -§-==--Τψ7 = --Ύ--^Γ=%Η^ί + г°У* (л^У/г (sin nti'U ■ 4τ'
Поверхностная плотность сжатого слоя σ, с учетом того, что сжатие
происходит с двух сторон плоскости χ = 0 и с учетом хэббловского расширения, равна
σ = 2μ · 2πλρ/(1 + ζ) = 4πλρ0 (1 + 2C)_1 μ (sin πμ/πμ)2,
Pgmv = яба2/2, β = Pgrav/Pfr = π2μ2/4.
Чтобы выразить ρ и σ через τ нужно решить трансцедентное уравнение для
μχ (τ). Отметим, что ρ монотонно падает, ρ (μχ = 1/2) = ρ (0)/7,5, тогда как
σ проходит через максимум σ = amax при tg πμχ = 2πμχ, характерно, что
μ достигает единицы (т. е. все вещество сжато волной) лишь асимптотически
при £-> оо. При этом давление волны стремится к нулю. Однако именно
эти свойства зависят от сделанного выше предположения о сильной
теплоотдаче. Противоположный предельный случай соответствует отсутствию
теплопотерь, т. е. адиабатическому изменению температуры и плотности
в сжатом веществе после прохождения ударной волны.
Однако в этом случае полный расчет требует решения уравнения в
частных производных для описания движения вещества, сжатого волной; от
решения этих уравнений зависит и движение фронта волны μχ (τ).
Движение несжатого волной вещества μχ (τ) < μ < 1 остается прежним.
Удается найти лишь асимптотику τ<^ζ 1, вычисляя величины,
пропорциональные ]/"τ — 1, и пренебрегая по сравнению с ними величиной τ — 1. В этом
приближении можно пренебречь хэббловским расширением и считать
покоящимся вещество, сжатое волной.
Сжатое вещество рассматриваем как полностью ионизованный водород
пе — пр, пн = 0, энергией ионизации пренебрегаем. Показатель адиабаты
γ = 5/3, сжатие во фронте волны р2 = 4рх, где индекс 2 относится к хг — О,
индекс 1 к хг + 0. Отсюда (с учетом покоя за фронтом) из уравнений
сохранения
dxjdt = — ггх/3; р2 = 4р1и2/3, суТ2 = ul/2,
где су — теплоемкость при постоянном объеме.
Наконец, есть приближенное решение (не используемое в данной статье) г
дающее алгоритм для адиабатической задачи во всей области 0 < μ < 1.
Предлагается заимствовать из решения с сильной теплоотдачей зависимость
Ρ (τ)Ιρ (тс — 1); задаться точным значением /?2(тс) адиабатического случая
и с найденным таким образом ρ (τ) решить численно уравнение
распространения волны
άμ2/άτ = α Υр2(ъ)1г (μ2, τ).
Институт прикладной математики Поступила в редакцию*
Академии наук СССР. Москва 25 февраля 1972 г.

338 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
ЛИТЕРАТУРА
1. von Weizsacker С. F.— Astrophys. J., 1951, vol. 114, p. 165.
2. Gamov G.— Phys. Rev., 1952, vol. 86, p. 251.
3. Озерной Л. М., Чернин А. Д".— Астрон. журн., 1968, т. 45, с. 1137.
4. Peebles P. J. Е.— Astrophys. J., 1969, vol. 155, p. 393.
5. Чернин А. Д.— Письма в Журн. эксперим. и теор. физики, 1970, т. И, с. 317.
6. Дорошкевич А. Г.— Астрон. журн., 1972, т. 49, с. 74.
7. Peebles P. J. Е.— Astroph. and Space Sci., 1971, vol. 11, p. 443.
8. Зельдович Я. Б., Илларионов А. Ф., Сюняев Р. А.— Журн. эксперим. и теор. физики,
1972, т. 62, № 4.
9. Зельдович Я. £►.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 319.
10. Дорошкевич А. Г.— Астрофизика, 1971, т. 6, с. 581.
11. Озерной Л. М., Чибисов Г. В.— Астрон. журн., 1970, т. 47, с. 769.
12. Чибисов Г. В.— Астрон. журн., 1972, т. 49, № 1.
13. Sachs R. К., Wolfe A. M.~ Astrophys. J., 1967, vol. 147, p. 73.
14. Лонгейр М. С— Успехи физ. наук, 1969, т. 99, с. 229.
15. Schmidt Μ,— Astrophys. J., 1968, vol. 151, p. 393.
16. Sunyaev R. Α.— Astron. and Astrophys., 1971, vol. 12, p. 190.
17. Зельдович Я. Б., Курт В. Г., Сюняев Р. Α.— Журн. эксперим. и теор. физики, 1968,
т. 55 с. 278.
18. Peebles P. J. Е.— Astrophys. J., 1968, vol. 153, p. 1.
19. Зельдович Я. £►., Сюняев Р. А.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1969, т. 56, с. 2078.
20. Зельдович Я. Б., Сюняев Р. А.— Астрофизика, 1972.
21. Йомберг Б. В., Сюняев Р. Α.— Астрон. журн., 1971, т. 48, с. 235.
22. Сюняев Р. Α.— Астрон. журн., 1969, т. 49, с. 929.
23. Silk /., Werner M.— Astrophys. J., 1969, vol. 158, p. 185.
24. Oort J. H.— Astron. and Astrophys., 1970, vol. 7, p. 381.
25. Peebles P. J. E., Yu J. Т.— Astrophys. J., 1970, vol. 162, p. 815.
26. Gunn /., Peterson В.— Astrophys. J., 1965, vol. 142, p. 1633.
27. Burbidge G., Burbidge M,— Quasi stellar objects. San. Francisco: Freeman, 1967.
28. Гинзбург В. Л"., Озерной Л. Μ.— Астрон. журн., 1965, т. 42, с. 943.
29. Gould #., Ramsay W.— Astrophys. J., 1966, vol. 144, p. 587.
30. Christiansen W.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1969, vol. 145, p. 327.
31. Лонгейр И. С, Сюняев Р. Α.— Успехи физ. наук, 1971, т. 105, с. 41.
32. Weymann Л.—Astrophys. J., 1967, vol. 147, p. 887.
33. Дорошкевич А. Г., Сюняев Р. Α.— Астрон. журн., 1969, т. 46, с. 20.
34. Курт В. Г., Сюняев Р. Л.— Космич. исслед., 1967, т, 5, с. 573.
35. Gursky #., Kellogg Ε., Murray S. et al.— Astrophys. J., 1971, vol. 167, L81.
36. Field G., Henry R. C — Astrophys. J., 1964, vol. 140, p. 1002.
37. ВайнштейнЛ. Л., Сюняев P. Α.— Космич. исслед. 1968, т. 6, с. 635.
38. McCrea D. Л.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1957, vol. 132, p. 641.
КОММЕНТАРИЙ
В статье заложены основы астрофизического аспекта теории образования
крупномасштабной структуры Вселенной. Она является естественным продолжением
предыдущей работы (статья 55), в которой изложена теория, предсказавшая одномерную картину
сжатия протоскоплений галактик — «блинов».
В комментируемой статье впервые рассчитаны параметры газа, сжатого ударной
волной в «блине». Указано на существование:
а) зоны сильного охлаждения плазмы (до 104 К), в которой и должны образовываться
галактики:
б) зоны адиабатически сжатого плотного газа — возможно именно его эволюция
приводит к образованию ядер галактик и квазаров;
в) зоны горячего газа, не остывающего за космологическое время, являющегося
источником рентгеновского излучения.
Замечательно, что последующие точные расчеты мало что изменили в этой картине:
уточнялись параметры, но обсуждались и детализировались те же идеи. Даже в популяр-

56. Образование скоплений галактик
339
ном ныне сценарии эволюции Вселенной, доминирующий вклад в среднюю плотность
вещества согласно которому во Вселенной дают слабовзаймодействующие частицы
(нейтрино?), тепловая картина для обычного вещества изменилась очень слабо, сохранив все
основные черты, изложенные в данной статье (см. последние обзоры С. Ф. Шандарина,
А. Г. Дорошкевича и ЯБ 1Нс, ЯБ — в советских научных обозрениях 2*, в оригинальной
работе Дж. Силка, Дж. Естафиу 3*).
В статье впервые отмечено, что образование галактик в «блинной» картине идет при
постоянном давлении, что приводит к увеличению масштаба, в котором максимальна
скорость роста возмущений плотности. Рассмотренная в статье картина образования
галактик сводится к задаче о гравитационной неустойчивости плоского слоя, на который
оказывает давление горячий газ с пренебрежимо малой плотностью. Без учета внешнего
давления гравитационная неустойчивость плоского слоя рассматривалась ранее А. Пахоль-
чиком 4* и А. Тумре б*. Обзор ранних результатов дан в книге В. Л. Поляченко и
А. М. Фридмана 6*. Позднее поведение плоского слоя при наличии внешнего давления
было подробно исследовано А. Г. Дорошкевичем 7*.
Именно в комментируемой работе был предложен метод наблюдения протоскоплений
в стадии формирования в линии λ = 21 см нейтрального водорода, сдвинутой красным
космологическим смещением в метровый диапазон длин волн. Позднее эта тема получила
развитие в работе авторов 8*. Поиски таких линий ведутся сейчас группой Р. Дэвиса
в обсерватории Джодрелл Бэнк 9*, на крупнейшем в мире радиотелескопе апертурного
синтеза VLA в Нью-Мексико по заявке Дж. Бонда, Дж. Силка и Ш. Салаи. Этот метод
поиска протоскоплений обсуждает (и агитирует за него) крупнейший голландский
астроном, патриарх радиоастрономии Ян Оорт 10*. Под его руководством начинаются
наблюдения этих линий на радиотелескопе апертурного синтеза в Вестерборке.
1# Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Шандарин С. Ф.— Успехи физ. наук, 1983,
т. 139, с. 83—134.
2* Зельдович Я. Б.— В кн.: Итоги науки и техники. Астрономия. М.: ВИНИТИ 1983г
т. 22, с. 4—32; Astrophys. and Space Phys. Soviet Sci. Rev., 1984, vol. 3, p. 1.
3* Efstathiou G., Silk J.— Fundamentals of Cosmic Physics, 1983, vol. 9, p. 1.
4* ПахольчикА.— Астрон. журн., 1962, т. 39, с. 953.
б* Тоотге Α.— Astrophys. J., 1964, vol. 139, p. 1217.
6* Поляченко В. Л"., Фридман А. М. Равновесие и устойчивость гравитирующих
систем. М.: Наука, 1976. 448 с.
7* Дорошкевич А. Г.— Астрон. журн., 1980, т. 57, с. 259—267.
8* Sunyaev R. А., Zeldovich Ya. В.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc.,1974, vol. I74r
p. 375—379.
9* Дэвис Р. Д.— В кн.: Крупномасштабная структура Вселенной. М: Мир, 1981 г
с. 489.
10* Oort /. #.— Astron. and Astrophys., 1984, vol. 139, p. 211—214.

340 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
57
РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИИ
В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ
ИЗ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ*
(совместно с Г. С. Бисноватым-Коганом)
Рассмотрено развитие возмущений в бесстолкновительной среде на фоне
точного решения для расширяющейся Вселенной с критической плотностью
Использована ньютоновская теория тяготения.
Решение линеаризованного кинетического уравнения получено методом
«интегрирования по траекториям». Полученные результаты для длинных волн
совпадают с результатами гидродинамического рассмотрения.
В случае коротких волн в отличие от гидродинамики получено
апериодическое затухание.
Показано, что наличие пучков на функции распределения оказывает
стабилизирующее воздействие на рост возмущений; гравитационное
взаимодействие не приводит к пучковой неустойчивости.
1. ВВЕДЕНИЕ
На ранних стадиях расширения вещество во Вселенной находилось в
термодинамическом равновесии за счет столкновений и описывалось
гидродинамически.
Развитие возмущений в расширяющейся фридмановской Вселенной
рассматривалось в работах [1, 2] для различных уравнений состояния. В
ньютоновской Вселенной развитие возмущений рассматривалось в работах [3, 4].
На поздних стадиях расширения происходит образование различного
класса конденсаций: звезды, галактики, скопления галактик. Время между
столкновениями таких конденсаций очень велико, поэтому на этой стадии
можно рассматривать Вселенную, заполненную свободными частицами.
Образование галактик и скоплений путем скучивания предполагалось в [5].
Если пренебречь движением частиц, то соответствующее кинетическое
рассмотрение совпадает с хорошо известным гидродинамическим решением
для пыли [6]; соответственно совпадает и картина развития возмущений.
Учет движения свободных частиц требует кинетического рассмотрения.
В модели Фридмана функция распределения частиц статистически
изотропна. Но в космологии возможны ситуации, когда она анизотропна, кроме того,
рассмотрение анизотропных функций распределения интересно с точки
зрения сравнения развития возмущений в бесстолкновительной плазме с
электромагнитным взаимодействием и в гравитирующей среде свободных частиц.
Устойчивость однородной бесстолкновительной покоящейся среды
рассматривалась в [7]. Полученный там результат практически не отличается
от классического результата Джинса о наличии критической длины волны.
Для плавных распределений типа максвелловского значение критической
длины волны мало отличается от гидродинамического результата Джинса.
* Астрономический журнал, 1970, т. 47, № 6, с. 942—947.

57. Развитие возмущений в расширяющейся Вселенной из свободных частиц 341
Характерный новый момент в системе свободных частиц возникает при
наличии группы частиц с малым разбросом скоростей. Нарастание
возмущений в этой группе происходит с инкрементом, соответствующим плотности
этих частиц. Однако, как известно, джинсовское рассмотрение является
некорректным, хотя некоторые точные результаты можно интерпретировать
как обобщение джинсовского решения [4]. Для выяснения более тонких
вопросов нужно строить строгое решение и на его фоне исследовать развитие
возмущений.
Существенное отличие от гидродинамики имеет место для коротких волн,
где происходит быстрое затухание возмущений в отличие от незатухающих
колебаний в гидродинамике идеального газа. Это связано с тем, что
идеальный газ с равной нулю вязкостью требует равного нулю свободного
пробега, что полностью противоположно бесстолкновительной среде.
Отметим, что выражение для критической длины волны, полученное в [7],
некорректно, так как полученный в результате интеграл расходится и при
выводе нельзя было делать интегрирования по частям. Правильный резуль-
оо
тат й£рит = — inGm У v dv приведен в той же работе, к — волновое
—оо
число, G — гравитационная постоянная, т — масса, ν — скорость, /0 —
невозмущенная функция распределения, интеграл берется в смысле главного
значения.
Рассмотрение задачи о неустойчивости однородной среды из свободных
частиц должно проводиться на фоне точного нестационарного
расширяющегося или сжимающегося решения. Интересно исследовать при этом
устойчивость различных функций распределения, в том числе и при наличии пучков
дающих неустойчивость в плазме. Строгое исследование устойчивости
стационарных, но неоднородных или анизотропных систем точечных масс
проводилось в работах [8—10].
В настоящей работе построена расширяющаяся модель из свободных
частиц и рассмотрено развитие возмущений в такой модели. При этом мы
ограничились ньютоновской задачей.
Кинетическая релятивистская модель расширяющейся Вселенной
построена в [11], но в ней не рассматривалось развитие возмущений. Трудность
рассмотрения развития возмущений на фоне расширяющейся Вселенной
состоит в том, что система свободных частиц при расширении эквивалентна
гидродинамической системе с показателем адиабаты γ = 5/3, для которой
нет точных аналитических решений. Каждый лагранжев объем со временем
становится неустойчивым, критическая масса убывает со временем.
Рассмотрены случаи очень коротких и очень длинных волн. Для коротких
волн получено апериодическое затухание возмущений в отличие от
гидродинамики, где в области устойчивости имеют место адиабатически затухающие
колебания. Результаты для длинных волн аналогичны результатам в
гидродинамике.
Рассмотренная здесь задача описывает скучивание шаровых скоплений
(если они образовались раньше всех других объектов [12]), галактик или
скоплений галактик в более крупные объединения.

342 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
2. РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
В НЕВОЗМУЩЕННОЙ РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ
Как известно, решением кинетического уравнения в однородной,
изотропно расширяющейся Вселенной, рассматриваемой в рамках
ньютоновской механики, является произвольная функция /0 скоростей у, убывающих
по адиабатическому закону.
Пользуясь эйлеровой системой координат х, следует учесть также хабб-
ловскую скорость расширения. Имеем (т — масса):
/о = (т, η), η = a (t) (ν — Нх). (1)
В однородной Вселенной с критической плотностью постоянная Хаббла
зависит от времени Η ~ l/ί, масштабный фактор a (t) ~ f/з, хотя (1)
остается справедливым и в случае произвольной плотности. В нерелятивистской:
теории функция / — произвольна, она может быть, например, анизотропной
по скоростям и определять анизотропный тензор давлений Pik = J fpiVkdn
(pi — импульс). В релятивистской теории произвол выбора функции (1)
уменьшается. Требуется, чтобы в однородной, изотропно расширяющейся
Вселенной тензор давлений Pik был также изотропным, т. е. сводился бы
к скаляру. Наличие зависящего от времени масштабного множителя a (t)
в аргументе функции распределения (1) означает, что средняя хаотическая
скорость уменьшается при расширении ~ На.
Покажем теперь, что (1) является точным решением задачи.
Кинетическое уравнение
dt "^ дх доо дх \ /
и уравнение Пуассона
Дф = 4ябр (26)
решаем методом характеристик. Здесь Φ — гравитационный потенциал·
Решение для ньютоновской Вселенной с плотностью, равной критической,
есть [6]
Момент t = 0 есть начало расширения от бесконечной плотности.
Характеристики уравнений (2а) определяются системой
dt = dxjvi = — dvj (2/9 Xi/t2) (4)
Интегралы системы (4) есть
Си = 3ΐ74ί*/« - xjfl*, C2i = vtf* - 2/3 Xilfl*. (5)
Решение должно быть таким, чтобы J fdvdm = 1/6 nGt2. Легко видеть, что
произвольная функция a/ (C2i) удовлетворяет этому условию. Постоянная а
определяется из условия нормировки
a J / (ut) dudm = 1/6 nGt2, ut = vtf/* — 2/3 xtW· (6)

57. Развитие возмущений в расширяющейся Вселенной из свободных частиц 343
Рассмотрим в дальнейшем максвелловскую функцию распределения для
частиц с одинаковой массой
/·=6ΐ^(·^Γβχρ(-^τ) (7>
и распределение со встречными пучками по оси хх
f 1 ί_„™ ( ul^u%\ fexp (- (Щ - у)Щ + exp (- (щ + у)Щ 1
<° — бявт йШеХ* { θ Я 2 J·
(8)
3. РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ
Линеаризованное кинетическое уравнение решим методом
интегрирования по траекториям [13]. Уравнения траекторий совпадают с уравнениями
характеристик кинетического уравнения.
Решение этой системы, выражающее скорость ν' и координату х' в момент t'
через их значения в момент t, есть
χ' = (3ι*//· — xlfl*)t'4> + (2ar/iV· — Зи//·) (ί')ν·.
(9)
νκ = 2/3 (SvjV* — х/Щ (t')-V> + Va (2x/f* - 3^V.) (i')-V,.
Согласно [13], решение линеаризованного кинетического уравнения есть
f=i^^dt' т=°- (io)
о
В невозмущенном решении (3) каждый масштаб растет ~ £*/·, поэтому
и длина волны возмущения растет ~ fl*.
Ищем решение в виде разложения в ряд по собственным функциям при
U = (к, О, 0):
φ = β«δφ(ί), f = eik*, l = x/fU. (11)
Подставляя (И) в (10), учитывая (5), (6), (9), получим, интегрируя по
частям:
t
f = ik -|^L С φ (f) exp [Шиг (Г1/. — Г"1/.)] df. (12)
о
Из уравнения Пуассона и (И) имеем
дф = — *2ср4/(з° е«6 = е<*6 С / do. (13)
Выполняя интегрирование по скоростям для функции (8), получим
интегральное уравнение для φ (t)
t
φ (£) + -L- С φ (f) τ exp( — -^ τ2) cos ЗАялт dt' = 0, τ = f1/· — (0Va. (14)
о
Для максвелловской функции (7) уравнение получается из (14) при
ν = 0. Для длинных волн или больших времен уравнение (14) сводится к
дифференциальному. В этом случае 9&2θτ2/4 <^J 1 и экспоненту в (14) заменяем

344 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
единицей. Дифференцируя (14), получаем уравнение для φ:
*VV + 32*Υ73 + [254*2/9 + 2t'l*(kvf] φ" + [448*/27 + 16fV-(to)a/3] φ'+
+ 2 [(fa;)2 Г8/. -f- (kvf Г4/з]ф = 0. (15)
Малое kvlt1!* не влияет на развитие возмущений. С течением времени
роль пучков всегда падает, и решение неизменно выходит на известное
гидродинамическое решение для пыли [3, 4]. Уравнение для него получается из
(14) при ν = 0:
Лр" + 8<р73 = 0. (16)
Решения уравнения (16): φχ = с1? φ2 = c2t~*/*, что дает δρ/ρ ~ t2/· для
первого решения и δρ/p ~ Г1 для второго [3, 4]. Второе (затухающее)
решение формально, при подстановке в исходное уравнение (14), даст
расходимость при t = 0. Так же, как и в плазме, его следует рассматривать как
аналитическое продолжение сходящегося (нарастающего) решения с
соответствующим обходом полюса типа Ландау [14].
Развитие возмущений для коротких волн существенно отличается от
гидродинамического случая. Удается найти решение, если
9£2θ*-ν3/4 > 1; 9&2θ/4 = λ; λ > k2v\ (17)
В этом случае интеграл в (14) берется методом перевала 115]. Считая
φ (Ϊ) медленно меняющейся функцией, а τ ехр (9&2θτ2/4) — быстро
убывающей при больших λ, получим из (14)
откуда
ψ F L 9 У π cos (ЗЬД/2Я) 'J V '
Характерное время затухания от момента времени t0 есть Т:
Τ = 9У^ЦЩ3)й cos (3Λΐ7/|Λ2λ), (20)
причем в силу критерия (17) аргумент косинуса 3kv/y 2λ <^ π/2. По порядку
величины время затухания есть
Τ = 9Vn(2eKs) t20 ~ h (h/t)\
где tK — время пролета частицей длины волны в момент t0.
Таким образом, наличие пучков на функции распределения по скоростям
не приводит к неустойчивости, а оказывает стабилизирующее воздействие.
Скорость затухания возмущений зависит в основном от хаотической
энергии единицы массы.
Для коротких волн можно упростить уравнение (14). Перейдя к
переменной χ = t~xl*, из (14) получим
оо
φ (χ) + Qx2 [ φ (χ') (χ — χ') е-«(*-*'>8 cos Ь{х — х')-^- = 0. (21)
Χ
а = 9Λ*θ/4, b = Skv.

57. Развитие возмущений в расширяющейся Вселенной из свободных частиц 345
При а ^> 1 можно положить я'4 = я4, тогда получим
оо
φ (χ) + ^ [ φ (χ') {χ — xr) <г<*(*-*')' Cos Ъ (χ — χ') dx' = 0.
χ
Уравнение (22) допускает решения типа φ ~ βωχ, где для ω получается
уравнение
оо
1 — -^ \ τβ~ατ4ωτ cos Ьх άτ = 0.
о
К сожалению, при произвольных Ь, а ^> 1 уравнение (23) разрешить не
удается, при малых Ъ получается результат, совпадающий с (19).
Особенность решения (23) состоит в том, что получается локальный инкремент
нарастания, интегральный (истинный) инкремент можно качественно получить
в виде [4] φ ~ ехр (] ωάχ).
Для локального закона нарастания φ ~ еа/г ~ еах§ интегральный закон
eaSx*dx совпадает по виду зависимости с локальным.
Для двух пучков, движущихся с большой взаимной скоростью,
инкремент нарастания соответствует плотности каждого пучка.
Нарастание является монотонным для наблюдателя, движущегося
с пучком, а для покоящегося наблюдателя φ ~ ехр [J ωάΐ + ik {χ — I vdt)]
возникают еще и колебания с частотой kv.
Аналогичные результаты получены в [10], где на модели цилиндра
рассмотрена неустойчивость функции распределения с двумя пучками
произвольной относительной скорости.
При увеличении длины волны для некоторого &КриТ имеет место переход
от устойчивости к неустойчивости, причем &крит есть возрастающая функция
времени.
4. ВЫВОДЫ
Результаты, полученные в работе, сводятся к следующему:
1. Нарастание длинноволновых возмущений в расширяющейся
Вселенной из свободных частиц происходит так же, как при гидродинамическом
рассмотрении.
2. Коротковолновые возмущения апериодически затухают из-за чисто
кинетического механизма.
3. Пучки в функции распределения в отличие от плазмы с
электромагнитным взаимодействием не приводят к дополнительной неустойчивости.
Напротив, кинетическая энергия движения пучков способствует
уменьшению инкремента нарастания возмущений.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 9 апреля 1970 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лифшиц Ε. Μ.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
2. Лифшиц Е. М., Халатников И. М.— Успехи физ. наук, 1963, т. 30, с. 391.
3. Bonnor W. В.— In: Appl. math., 1967, vol. 8, Relativ. theory and astrophys., Pt. 1.
Relativity and cosmology, p. 263.
4. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. В.— Астрон. журн., 1963, т. 40, с. 807.
(22)
(23)

346 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
5. Layzer D,— Annu. Rev. Astron. and Astrophys., 1964, vol. 2, p. 341.
6. Зельдович Я. Б., Новиков И, Д. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967. 656 с.
7. Максумов М. #., Марочник Л. С — Докл. АН СССР, 1965, т. 164, с. 1019.
8. Lee Ε. P.— Astrophys. J., 1967, vol. 148, p. 185.
9. Бисноватый-Коган Г. С, Зельдович Я. Б., Сагдеев Р. 5., Фридман A.M.— Журн-
прикл. механики и техн. физики, 1969, № 3.
10. Бисноватый-Коган Г. С. Препринт Ин-та прикл. матем. № 8. М., 1970.
11. Bel L.— Astrophys. J., 1969, vol. 155, p. 83.
12. Peebles P. J. E., Dicke R. H.— Astrophys. J., 1968, vol. 154, p. 898.
13. Шафранов В. Д.— Вопр. теории плазмы, 1963, вып. 3, с. 3.
14. Ландау Л. Д.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 574; Успехи физ.
наук, 1967, т. 93, с. 527.
15. Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного.
М.: Физматгиз, 1958.
КОММЕНТАРИЙ
Для классической физики начала века характерно рассмотрение многочастичных
систем в гидродинамическом приближении. В связи с теорией плазмы появилась задача
о бесстолкновительном газе с коллективным дальнодействием. После пионерской, но не
полной работы Μ. Η. Максумова и Л. С. Марочника, упомянутой в комментируемой
статье, последовала сама эта статья.
Задача о гравитационной неустойчивости бесстолкновительного газа была решена
Г. С. Бисноватым-Коганом и ЯБ строго, т. е. не в джинсовском приближении, а с учетом
космологического расширения.
Как известно, в классической работе Ε. Μ. Лифшица была полностью решена
задача об эволюции адиабатических возмущений Фридмана в гидродинамическом
приближении (в том числе, при нулевом давлении вещества). Однако для приложений очень важна
эволюция адиабатических возмущений в бесстолкновительном гравитирующем газе
(«частицами» газа в зависимости от конкретной задачи могут считаться как тяжелые
нейтрино или другие гипотетические массивные частицы, так и звезды и целые галактики).
Эта задача была впервые решена не в джинсовском приближении, а с учетом
космологического расширения Г. С. Бисноватым-Коганом и ЯБ в 1970 г. Оказалось, что в
области длинных волн (λ —> оо) воспроизводится классическая джинсовская неустойчивость
и результат не отличается от случая сплошной среды. При λ < Ясг, где Ясг мало
отличается от джинсовской длины волны, возмущения быстро затухают (в случае сплошной
среды в этой области были бы звуковые волны). В последнее время эта работа получила
новое важное приложение в связи с гипотезой доминантности массивных слабовзаимо-
действующих частиц (массивных нейтрино и др.) во Вселенной.
Другой существенный результат состоит в отсутствии специфической пучковой
неустойчивости, характерной для плазмы с электромагнитным взаимодействием. Очень
подробно в последнее время этот круг вопросов рассмотрен в монографии А. М.
Фридмана и В. Л. Поляченко 1Нс.
г* Friedman А. М., Polyachenko V. L. Physics of gravitating systems. Vol. 1.
Equilibrium and stability. Springer verlag, 1984.

58. Пекулярные скорости скоплений галактик и средняя плотность вещества 347
58
ПЕКУЛЯРНЫЕ СКОРОСТИ
СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИК
И СРЕДНЯЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕЩЕСТВА
ВО ВСЕЛЕННОЙ *
(совместно с Р. А. Сюняевым)
1. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей статье авторов [10] показано, что наблюдения
микроволнового фонового излучения в направлениях на скопления и далекие
сверхскопления галактик позволяют в принципе измерить как радиальную, так и
тангенциальную компоненты пекулярной скорости галактик относительно
фонового излучения.
В настоящее время нам известна пекулярная скорость движения лишь
нашего Солнца и Галактики [7]. Какую информацию мы получим, если
удастся привязать богатые скопления галактик к системе координат, связанной
с фоновым излучением, т. е. к сопутствующей системе координат?
В этой стетье будет показано, что такие наблюдения могут дать
важнейшую информацию о параметре ускорения д0, или что то же, о параметре
плотности Ω = 2g0 = Po/pcr, где р0 — современная средняя плотность вещества во
Вселенной, а рсг = -^ = 5 · Ю"30 ( 50 км/^°· Мпс) У г/см3 ~ критическая плот-
ность. Кроме того, эти наблюдения могут дать дополнительную информацию
о спектре крупномасштабных возмущений плотности вещества во Вселенной
с характерными размерами λ ^> 100 Мпс. В этих масштабах, согласно
данным о пространственном распределении галактики [5], амплитуда
возмущений плотности мала и работает линейная теория эволюции возмущений
плотности и скорости вещества.
Ранее на важность определения пекулярной скорости галактик и
скоплений указывалось Р. А. Сюняевым и Я. Б. Зельдовичем [9]. Они отмечали, что
такие наблюдения дадут важнейшую информацию о спектре возмущений
плотности. А. Сэндейдж и др. [11] отмечали, что малый разброс точек на
хаббловской диаграмме (видимая величина галактик — их красное смещение ζ)
говорит о малой пекулярной скорости галактик (V ^ 50 км/с) и
свидетельствует в пользу открытой космологической модели. Дж. Силком [6] была
предпринята попытка учесть влияние нелинейных эффектов на амплитуду
пекулярной скорости галактик в моделях мира с Ω <] 1. Нелинейные
эффекты возникают из-за наличия возмущений с δρ/ρ ^ 1 в определенных
пространственных масштабах.
Мы вернулись к этой теме в связи с появлением нового метода измерения
пекулярных скоростей скоплений и усилением интереса
астрофизиков-наблюдателей к космологии. Следует ожидать, что специализированная
рентгеновская Эйнштейновская обсерватория откроет новые рентгеновские
скопления галактик с ζ>1. Детальные радио- и субмиллиметровые наблюдения
дадут информацию об их пекулярной скорости. В этом случае в полную
силу может заработать рассматриваемый ниже космологический тест:
пекулярная скорость — средняя плотность вещества во Вселенной.
* Письма в Астрономический журнал, 1980, т. 6, № 10, с. 738—741.

348 Часть вторая. VIII, Образование крупномасштабной структуры Вселенной
2. ПЕКУЛЯРНАЯ СКОРОСТЬ В ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
РОСТА МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ
Вслед за В. Боннором [1], С. Вайнбергом [2], Я. Б. Зельдовичем и
И. Д. Новиковым [3], линеаризуя уравнения гидродинамики, выпишем на
фоне расширяющейся Вселенной простые ньютоновские уравнения,
определяющие эволюцию во времени амплитуды малых возмущений плотности
δ = (δρ)/ρ и пекулярной скорости вещества V в среде с давлением, равным нулю:
δ + 2-ί-δ-
.4π(?ρδ = 0;
ш i(kV)
(1>
л ν Ί" ^— » — л "
При выводе уравнений (1) предполагалось, что возмущения потенциальны
представляют собой плоские волны
δ = "(2^" S а* ехр (ikr/R (*))d8*i Г = -J2^T
С учетом того, что масштабный фактор
^bkexip(ikr/R(t))dsk. (2>
Д(') = ттг
Ω-3^
p=Q-gJ-(l + z)* и *L = -H0(i + zrYl + Qz,
получаем уравнение, описывающее зависимость δ от ζ(δζ = θδ/θζ):
δζζ (1 + ζ) (1 + Ωζ) + ΐ/ιΩβ, (1 + ζ) — 3/2Ωδ = 0.
(3)
В. Боннор показал, что ньютоновское рассмотрение дает те же результаты,
что и рассмотрение в рамках общей теории относительности, проведенное
Ε. Μ. Лифшицем [4].
В масштабах λ = 2п/к <^ζ ct это в достаточной мере очевидно. В больших
масштабах λ ^>ct эволюцию возмущений плотности следует трактовать
следующим образом: ход расширения Вселенной зависит от средней плотности
вещества. При наличии возмущений плотности в масштабах с λ ^> ct области
с различными плотностями эволюционируют по-разному, в результате чего
контраст плотности увеличивается со временем, т. е. происходит рост
крупномасштабных возмущений плотности. Он описывается теми же уравнениями,
что и рост возмущений в масштабах X<^ct. В ходе расширения Вселенной
длина волны возмущения λ = λ0/(1 + ζ) растет медленнее, чем горизонт ct.
Поэтому любой масштаб, который сегодня мал по сравнению с горизонтом,
когда-то превышал его. Применимость уравнений (1) к возмущениям любых
масштабов позволяет проследить их эволюцию во времени и, более того,
Таблица 1
Ω
0,375
0,37
9,36
0,35
0,325
0,3
0,275
0,25
zmax
2,3-Ю"3
0,02
0,067
0,12
0,25
0,4
0,59
0,81
Ω
0,225
0,2
0,175
0,15
0,125
ρ,ι
0,09
|θ,08
zmax
1,1
1,4
1,8
2,4
3,2
4,4
5,1
5,9
Ω
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
zmax
7
8,4
10
13
18
j 28
59
Таблица 2
Ω
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
ο,ι
Б (Ω)
4,9-10-2
8,2.10-2
ο,ι
0,13
0,16
0,18
0,21 Ι
| 0,25
Ω
0,15
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Β (Ω)
0,32
0,38
0,49
0,58
0,67
0,74
0,81 Ι
Ω
0,8
0,9
1
1,1
1,5
2
2,5
Β (Ω)
0,88
0,94
1
1,1
1,3
1,5
1,7

58. Пекулярные скорости скоплений галактик и средняя плотность вещества 349
Ig(t-f-z)
1,в 7,4 1}0 0,6 QtZ
100
70
50
-ST 30
ΐ 20
Ν
^Τ> 7
Ν
Ι
-
-
-
-
-
"Γ
α
ι ι
"Ι ■'"
ι ιιιιιιι
ΤΓ7
Zyffi
Ar A
r^ J
J^H
OJJJ
Ц
I I I I
4(1+ z)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
>;*
14
II
o,sh
0,2 h
'Ί00 SO 30 20 10 7 5 3 2 ! 0,5 0
ζ
\—
l·
L
ι ι ι
1 1 1 1 1 II 1
Ι ι у
Уо,03
Хз-
^^1
2^^
, I I... L... 1
—\
-\
±J
0,1 0,30,5 0,81 1,5 Ζ 2,53 3,5
Рис. 1
Эволюция малых возмущений плотности а и скорости б вещества в ходе расширения
Вселенной сильно зависит от средней плотности вещества, т. е. от параметра Ω
Значения Ω указаны на кривых. Кривая Ω = 1 соответствует закону:
а — бр/р сг 1/(1 + ζ) o5*7s, б — V <*> 1/ Vl + z<z>*Vs
Рис. 2
Изменение среднеквадратичной пекулярной скорости вещества с красным смещением
(согласно линейной теории) при различных Ω
Значения Ω указаны на кривых. Кривая Ω = 0 соответствует закону ν <*> (1 -f- ζ), кривая Ω = 1 —
закону ν <*> (1 -f- z)-l/2
доказывает, что на стадии, когда давлением можно пренебречь, малые
возмущения всех масштабов эволюционируют по одному и тому же закону.
Решениями уравнения (3) являются δι = (1 + ζ) ]/Ч + Qz (это затухающая
мода) и
δ2 = (1 + ζ)Υΐ + Ωζ Γ
dz
(4)
(растущая мода). Интеграл в (4) легко берется. Окончательно получаем [8]
ι Ί
- πρπΩ<1,
(5)
[
1 + 2Ω + 3Ωζ 3 Ω (1 + г) ΐΛΐ + Ωζ , |Λ + Ωζ — \ίΐ — Ω
(1 - Ω)«
Α
+
(1 - Ω)6/*
1η
ΐ/"1 + Ωζ — |/Ί — Ω .
Γ1+2Ω + 3Ωζ . 3Ω(1+ζ)ΐΛ + Ωζ Γ . -,/~1+Ωζ nil _.. .
[ (a-i)« + (o-.i)V [arctgV ω^γ-^-JJ nPHQ>l,
δ=-
1+2
при Ω = 1,

350 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
где А—нормировочный множитель. Используя второе из уравнений (1),
яаходим
1 к λ 1 к db dz гт /л , ч -гГ'л—i—гТ~ & ^6
F =
(1+2) А2 1+г А2 dz dt -"»^Т'/г 'T^jj d2 ,
4A;2
+ (2 + Q+3QZ)ln^i±g-^] при Q<1.
+ (2 + Q + 3QZ)(arctg]/j_t^l *_)] при Ω>4, (7)
Г = Л-^* при Ω = 1.
Возмущения плотности в мире с Ω <^J 1 растут при Ω ^> 1/ζ, а затем рост
резко замедляется (рис. 1, а). Пекулярные скорости в мире с Ω <^ 1 также
сначала растут, а затем начинают уменьшаться (рис. 1, б). В табл. 1
приведена зависимость zmax (при котором достигается м&ксимум пекулярной
скорости) от параметра Ω.
Интересную информацию содержит рис. 2. Зависимость пекулярной
скорости от красного смещения принципиально различна для разных Ω. При
Ω = 1 пекулярная скорость убывает в пропитое, а при Ω = 0,03 или 0,1
растет. При Ω = 0,3 она почти не зависит от ζ. Обращает на себя внимание
факт, как сильно кривая V (ζ) для Ω = 0,03 отличается от кривой с Ω = 0
(это известное решение V —' (1 + ζ)). Сам факт различного поведения V (ζ)
как функции Ω известен давно. Лишь теперь благодаря Эйнштейновской
лаборатории становится возможным систематический поиск скоплений
галактик с ζ ^> 0,5, а исследование микроволнового фона в направлении на эти
скопления даст возможность измерять пекулярную скорость. Важно, что
изменение интенсивности микроволнового фонового излучения в
направлении на скопление, движущееся с пекулярной скоростью, не зависит от
красного смещения, на котором находится скопление [10]. От ζ зависят лишь
угловые размеры скопления. Отметим, что даже при ζ = 0,2 отличие в кривых
с Ω = 2 и Ω = 0,03 вполне заметно.
Если пекулярные скорости скоплений галактик зависят от малых по
амплитуде возмущений плотности больших масштабов, то наблюдения
микроволнового фона в направлениях на далекие скопления галактик откроют
новую возможность определения параметра Ω, т. е. можно будет использовать
космологический тест: пекулярная скорость — красное смещение.
Интересную информацию о параметре Ω могут дать и измерения
пекулярных скоплений в нашей окрестности ζ <^ 0,1, если известно δ в больших
масштабах. Из формул (1), (5), (7) следует, что
ν(ζ = 0) = Μ^Β(Ω)δ(ζ = 0). (8)
Кроме того, из уравнения неразрывности dbldt + div V = 0 сразу
следует, что В = 1 при Ω = 1. При Ω Φ 1 зависимость более сложна.
Зависимость В (Ω) приведена в табл. 2. В интересующей нас области 0,03 <^ Ω <^
<^ 2 она хорошо аппроксимируется степенным законом В = Ω0»615. Чеммень-

58. Пекулярные скорости скоплений галактик и средняя плотность вещества 351
ше Ω, тем меньше должно быть ожидаемое значение пекулярной скорости.
Это естественно, в мире с малым Ω <^ 1 линейные возмущения плотности
«замораживаются», а возмущения скорости уменьшаются в ходе
расширения. Формулу (8) мы приводим, чтобы проиллюстрировать связь между δ
и V. Для того чтобы найти величину пекулярной скорости, надо сделать
ряд предположений о спектре возмущений плотности.
3. СПЕКТР ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ
Спектр линейных возмущений плотности в области малых к (больших λ)
неизвестен. Предположим, для иллюстрации, что он степенной: ак ~ кп
в формуле (2). Тогда из (5) и (7) следует, что bk ~ к71"1. Следовательно,
среднеквадратичная пекулярная скорость (измеряемая величина)
определяется более длинными волнами, чем возмущения плотности
При —3/2 <С гс<^ — х/2 главный вклад в пекулярную скорость дают масштабы
λ —' с£, в то время как (δρ/ρ)2 определяется малыми масштабами. Очевидно,,
что для теоретической оценки величины пекулярной скорости скоплений
необходима дополнительная информация о спектре и амплитуде возмущений
плотности в больших масштабах. Эту информацию, в принципе, могут дать
наблюдения угловых флуктуации микроволнового фона.
Приведенное выше рассмотрение не учитывает нелинейных эффектов,
которые могут давать в V вклад того же порядка, что и рассмотренные выше
линейные эффекты.
Институт космических исследований Поступила в редакцию*
Академии наук СССР. Москва 4 августа 1980 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bonnor W.B.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1957, vol. 117, p. 104.
2. Вайн0ерг С. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975. 696 е.; Weinberg S. Gravitation
and cosmology. N. Υ.: Wiley, 1972.
3. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.
735 с.
4. Лифшиц Е. М.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
5. Davies Μ., Groth Ε. /., Peebles R. J. Ε,— Astrophys. J. Lett., 1977, vol. 212, L107.
6. Silk J.— Astrophys. J., 1974, vol. 193, p. 529.
7. Smoot G. F., Gorenstein M. 7., Muller R. Α.— Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 898.
8. Sunyaev R. Α.— Astron. and Astrophys., 1971, vol. 12, p. 190.
9. Sunyaev R. Л., Zeldovich Ya. В.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 7, p. 3.
10. Sunyaev R. Л., Zeldovich Ya. В.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1980, vol. 190,.
p. 413.
11. Sandage Л., Tammann G., Hardy E.~ Astrophys. J., 1972, vol. 172, p. 253.
КОММЕНТАРИЙ
Статья тесно связана со статьей 68. В ней приведены достаточно простые и удобные
формулы, описывающие рост возмущений плотности и эволюцию пекулярных скоростейг
пробных точек (скоплений галактик) во Вселенной. Независимо подобные результаты
получены в группе Ф. Пиблса 2*.

352 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Интерес представляет и возможность определения модели мира (открытая, плоская,
замкнутая) по данным о зависимости пекулярных скоростей скоплений от красного
смещения ζ. В настоящее время авторами проведены расчеты и для плоской модели
Вселенной при наличии Л-члена, Ω = 1, ΩΒ -|- Qr < 1, где ΩΒϊ Qr характеризуют
соответственно вклад вещества (включая скрытую массу) и излучения в среднюю плотность
вещества во Вселенной.
Отметим, что при очень пологом спектре возмущений плотности, когда главный вклад
в пекулярную скорость дают длинноволновые возмущения плотности, излучение также
вовлекается в движение. В этом случае реликтовое излучение уже нельзя рассматривать
как «новый эфир».
Между тем с наименьшей ошибкой, по-видимому, можно измерить именно скорость
скоплений относительно излучения (см. статью 68 Я Б и Р. А. Сюняева в этой книге)·
В малом масштабе трудность истолкования измерений пекулярных скоростей
галактик связана с тем, что распределение галактик не повторяет среднее распределение
гравитирующего вещества, особенно при наличии скрытой массы (ср. комментарий к
статье 52 Н. А. Дмитриева и ЯБ).
г* Пиблс Ф. Дж. Э. Структура Вселенной в больших масштабах. М.: Мир, 1983.
408 с.
59
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ
МАССЫ ПОКОЯ НЕЙТРИНО*
I. ВСЕЛЕННАЯ
(совместно с Р* А. Сюняевым)
Масса покоя нейтрино выделяет во Вселенной масштаб порядка
расстояния между скоплениями галактик. Амплитуда возмущений плотности
нейтрино меньших масштабов уменьшается как высокая степень длины
возмущения. Рассмотрена эволюция адиабатических и энтропийных возмущений
плотности. Показано, что наличие массы у нейтрино ведет к уменьшению
предсказываемых мелкомасштабных флуктуации реликтового излучения по
сравнению с моделями для mv = 0.
Наши представления о Вселенной как целом существенно изменятся,
когда будет доказано, что нейтрино имеют массу покоя, отличную от нуля.
Новейшие измерения говорят в пользу энергии покоя электронных
антинейтрино порядка тщс2 χ 30 эВ, т. е. массы покоя т? χ 5·10~32 г [7].
В связи с этим отметим, что если сумма энергий покоя всех трех
известных физике элементарных частиц сортов нейтрино (ve, νμ, ντ) больше 20 эВ,
то Вселенная замкнута г. Если сумма энергий покоя больше 60 эВ, то возраст
Вселенной в обычных предположениях окажется меньше 1010 лет, что
противоречит другим оценкам возраста. Если прямые лабораторные измерения
дадут этот результат, то с неизбежностью последует вывод, что
космологическая постоянная отлична от нуля.
* Письма в Астрономический журнал, 1980, т. 6, № 8, с. 451—456.
1 При У. mvc2 ^ ^fi ( 50 км/(с°-Мпс^ ) эВ МИР окажется плоским, несмотря на
малую плотность обычных видов вещества.

59. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. I
353
Космологическая постойнная, разрешающая это противоречие,
соответствует положительной плотности энергии порядка 10"8 эрг/см3 и
отрицательному давлению плоского вакуума. Вместе с условием, что Вселенная
проходила через состояние высокой плотности, соображения, касающиеся
возраста, ограничивают возможное значение космологической постоянной
узкими пределами. При наличии такой космологической постоянной будущее
Вселенной предсказывается как неограниченное расширение, несмотря на
замкнутость трехмерного пространства.
В литературе отмечалось, что масса покоя нейтрино меняет наши
представления о возникновении структуры Вселенной на уровне скоплений
галактик, объясняет парадокс «скрытой массы» галактик и скоплений галактик.
Эти вопросы будут уточнены в следующих заметках.
Наконец, отметим, что наличие массы покоя нейтрино делает возможным
(хотя и не доказывает) осцилляции нейтрино, предсказанные ранее Б.М.
Понтекорво [9]. Таким образом, может найти разрешение результат опытов
Дэвиса по измерению потоков нейтрино от Солнца. Это краткое перечисление
показывает, что измерение масс нейтрино имеет первостепенное значение для
астрономии.
В настоящей заметке мы ограничиваемся рассмотрением эволюции
Вселенной как целого.
1. ПЛОТНОСТЬ НЕЙТРИНО ВО ВСЕЛЕННОЙ
Вселенную заполняет реликтовое излучение с температурой Ту =
= 3 (1 + ζ) К, в 1 см3 пространства находится Ny = 20Т* = 540 (1 + ζ)3
реликтовых фотонов (ζ — красное смещение). На ранних стадиях расширения
температура излучения превышала mec2/k χ 6-109 К и в равновесии с
излучением находились электронно-позитронные пары и нейтрино всех сортов.
Рассматриваются нейтрино с массой тщ <^ те, стабильные относительно
спонтанного распада.
Как известно [6], плотность нейтрино в термодинамическом равновесии
равна Νν = gv-7,5T% см"3, где Τν — температура нейтрино в Кельвинах,
gv — статистический вес. В слабом взаимодействии участвуют нейтрино
одной спиральности и антинейтрино другой каждого сорта (ve, νμ, ντ и
ve, νμ, ντ), так что Σgv = 6 для всех сортов и gv = 2 для каждого сорта.
При кТу^>тес2 нейтрино находились в равновесии с излучением, т. е. Tv =
= Ту, в ходе дальнейшего расширения нейтрино стали бесстолкновитель-
ными. При аннигиляции электронно-позитронных пар при кТу ^ 0,2 тес2
энергия и энтропия пар перешли к излучению и Ту возросло по отношению
к Γν. Из статистической физики следует, что в широком интервале
температур тес2 > кТу > тщс2 имеет место соотношение Τν = (4/11)Ч»Ту = 0,7ΓΥ,
что приводит к Νν = gv-2JTy см"3. Выражение для Nv остается
справедливым как при кТу <^ тес2, когда нейтрино перестают взаимодействовать
с излучением, так и при кТу <^ζ тщс2, когда они становятся
нерелятивистскими. Температуре реликтового радиоизлучения 3Θ К (множитель θ учитывает
неопределенность экспериментальных данных о температуре реликтового
излучения) соответствует современная плотность Νν = 7503gv см"3, т. е.
15O03CM~3ve и ve, и 450Θ3 см"3 нейтрино всех трех сортов. Обозначим Στπ^ο2
сумму энергий покоя трех сортов нейтрино, выраженную в эВ.
12 Я. Б. Зельдович

354 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Космологическая плотность нейтрино равна
μν = 2 ntvNv = 2,7.10"31θ3 2 mvc2 г/см3.
В работе [8], исследовавшей распад трития Τ -> Не3 + е~ + ve, сделан
вывод, что 25 эВ <^ mv с2 <^ 47 эВ с вероятностью 99%. При mv с2 = mv с2 =
= 30 эВ и mv = mv% = 0 имеем pv = 8- ΙΟ""30 θ3 г/см3, а при τΗνμ = mv% =
= mv получим μν = 2,4· ΙΟ""29 θ3 г/см3.
2. КОСМОЛОГИЯ И НЕЙТРИНО
Постоянной Хаббла Я0 = 50й км/с Мпс соответствует критическая
плотность per = 4,7·10~30 fe2 г/см3. Параметр fe ~ 1 характеризует
неопределенность в экспериментальных данных о постоянной Хаббла»
Следовательно, уже существование ту с2 = 30 эВ приводит к выводу г
что Вселенная является пространственно замкнутой, Ω = pv/pCr = 1,763/Г2Г
и наблюдаемое в настоящее время расширение через некоторое время
порядка (2—3)· 1010 лет сменится сжатием (рис. 1). Этот вывод
существенно отличается от предположения, сделанного ранее на основе
определения плотности вещества, сконцентрированного в галактиках;
Qm = 0,03. Одним из важнейших аргументов в пользу открытой модели
Вселенной Ω = 0,03 считалось высокое обилие дейтерия в межзвездной
среде [10], синтез которого в таких количествах возможен лишь в ходе ядерных
реакций на ранних стадиях расширения Вселенной. Очевидно, однако, что
на ранних стадиях расширения наличие у нейтрино малой массы не влияет
на динамику Вселенной (определявшуюся в то время плотностью энергии
излучения и релятивистских нейтрино) и на ход ядерных реакций; таким
образом, масса нейтрино дает информацию о полной современной плотности
вещества во Вселенной. Возраст Вселенной дается выражением
* = *? Ι (ΐ-Η^ΓΤΩ-* ~ 2Д · 101° ЛеТ/(А + /°21>с*/40эВ). (1)
При Ω -> 0 он равен t = Щ1 = 1,96-Ю10^"1 лет; f = 2/ЗЩ1 = 13 млрд. лет
ири Ω = 1. Если Σπίγο2 = 30 эВ, то Ων == 1,7 и t = 0,59 Ног= 11,7 млрд.
лет; при Στη^ο2 = 90 эВ имеем Ων = 5,1 πί = 0,44 Щ1 = 8,63 млрд. лет.г
а при Σπινο2 = 120 эВ возраст равен t = 0,385 Щ1 = 7,57 млрд. лет, так как
Ων = 6,8 [12].
В последнем обзоре Таммана и др. [12] приведены оценки возраста
наиболее старых звезд в звездных скоплениях t > 14 -4- 16 млрд. лет [2], а
также оценки возраста Вселенной, полученные рений-осмиевым методом
ядерной космохронологии £=11-ь18 млрд. лет [11]. Делается вывод, что tr
вероятно, больше 15млрд. лет и во всяком случае больше 12 млрд. лет. Таким
образом, намечается противоречие, которое станет невыносимым, если новые
экспериментальные данные увеличат Στηνο2 существенно за пределы 30 эВ.
Прямое измерение массы мюонных и тау-нейтрино, аналогичное опыту [8]
с электронными нейтрино, трудно представить себе в обозримом будущем.
Однако вполне реально наблюдение осцилляции, т. е. взаимных превращений
νβ ^± νμ £± νμ, в экспериментах с регистрацией нейтрино от реакторов и
ускорителей. В таком случае, строго говоря, определенные массы имеют су

59. Астрономические следствия массы покоя нейтрино, I 355
Прошлое и будущее Вселенной в различных моделях мира:
1 — замкнутый мир с космологической постоянной, Ω = 3,5; λ = 4,5; 2 — открытый мир, Ω = 0,03
λ = 0; 3 — плоский мир, Ω = 1; λ = 0; 4 — замкнутый мир, Ω = 3,5; λ = 0
Рис. 2
Возраст Вселенной для различных моделей мира
I __ λ — 4,9; Ω = 3,5; 2 — λ = 4,5; Ω = 3,5; 3 — λ «= 0; Ω = 0,03; 4 — λ = 0; Ω = 3,5
перпозиции ανβ + βνμ + γντ. Эти массы можно будет определить в опытах
на ускорителях и реакторах. Именно эти массы войдут в космологические
расчеты. Если будет доказано существование осцилляции нейтрино, то
в соответствии с идеей Б. М. Понтекорво втрое уменьшится ожидаемое число
реакций в детекторе солнечных нейтрино и будет устранено противоречие
между измерениями Дэвиса и расчетами потока электронных нейтрино от
Солнца, проведенными в простейших предположениях. Это уменьшение,
естественно, объясняется превращением электронных нейтрино, излучаемых
в ходе ядерных реакций в недрах Солнца, при осцилляциях по пути до
Земли в смесь из трех видов нейтрино, из которых лишь один вид
детектируется детектором Дэвиса. Осцилляции возможны лишь при разнице в
массах хотя бы двух из трех видов нейтрино.
3. КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСТОЯННАЯ
Если измерения надежно дадут Στηνο2 ^> 30 эВ и не изменится оценка
температуры реликтового излучения, постоянной Хабблаи возраста Вселенной,
то можно будет утверждать, что космологическая постоянная отлична от
нуля. Космологическую постоянную можно рассматривать как плотность
энергии вакуума εΌ, отличную от нуля, при малой кривизне пространства-
времени [3, 4]. При этом давление вакуума равно ρν = — ευ, плотность
массы ρΌ = гп/с2. Введение этих величин в уравнения, описывающие динамику
Вселенной при ευ^>0, увеличивает время расширения Вселенной при
данной постоянной Хаббла и плотности вещества Ω. Обозначая2 λ = ρυ/ρ0Γ =
2 Общепринята запись уравнений с космологической постоянной Эйнштейна R^ —
— 1kSikR = л£гй: + SnGTix/c*; при этом размерность Λ есть [см~а] и введенная выше
безразмерная величина равна λ = ЛсУН^.
12*

356 Часть вторая, VIII* Образование крупномасштабной структуры Вселенной
= 8nGeJc2Hl, получим выражение для возраста
t=4~l dZ (2)
#о J (1 + ζ) Υ(\ + ζ)* (1 + Ωζ) — λζ (2 + ζ) ν '
из которого видно, что при любых Н0 и Ω можно получить сколь угодно
большой возраст за счет конечного увеличения λ с приближением к
критическому значению λ0Γ, при котором подкоренное выражение обращается
в ноль в точке касания кривых (1 + ζ)2(ί + Ωζ) и λζ (2 + ζ).
Наглядное объяснение увеличения возраста t при положительных λ,
ρυ, εΌ заключается в том, что при введении λ>0π увеличении λ
одновременно уменьшается сегодняшний радиус замкнутого мира а, связанный
с Н0, Ω и λ формулой (с — скорость света)
Неравенство t^> tt даст для λ и εν неравенство того же знака λ ^> λ1? εΌ ^>
^> ευχ. Но, с другой стороны, необходимо также λ <^ λ0Γ, иначе Вселенная
не могла бы проэволюционировать от весьма плотного состояния
(необходимого для возникновения реликтового излучения) до состояния с
сегодняшними Н0 и рт. Таким образом, если окажется, что Σπινο2 порядка 50—100 эВ
и выполнены другие предпосылки, то космологическая постоянная будет
известна с точностью в пределах 10—40%, несмотря на то, что Для возраста
Вселенной может быть известна лишь нижняя граница. Так, для Στηνο2 =
= 60 эВ имеем Ων = 3,5 и 4,4 < λ < 4,9 (см. рис. 2). При этом параметр
ускорения q0 = Ω/2 — λ отрицателен и лежит в интервале — 2,65 <[ q0 <Г
< —3,15. Отметим, что при Στηνο2 > 200 эВ на кривой эволюции ζ (t)
возникает плато при ζ ~ 0,35, противоречащее известным данным о
распределении галактик и квазаров по величине ζ. Поэтому Στη^ο2 <^ 200 эВ
является жестким (даже с учетом космологической постоянной) верхним пределом
суммы масс стабильных нейтрино. Эта величина совпадает с осторожной
оценкой С. С. Герштейна и Я. Б. Зельдовича [1] (ср. с [5]). Применение
наблюдательных тестов современной космологии возможно позволит получить
дополнительные ограничения на Στη^ο2. В модели с Λ-членом заметное
отличие от фридмановских моделей в количестве объектов, их свойствах и
возрасте мира ожидается уже при красных смещениях ζ ~ 0,2 н- 0,3t на которых
современным телескопам доступны для детального исследования многие
галактики и скопления галактик.
4. ПЛОСКИЙ МИР С КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ
Наша Вселенная на ранних стадиях расширения (ζ^>1, Ωζ^> 1) имела
практически плоскую геометрию. Так как наше время практически ничем не
выделено, то естественно предположить (хотя это и не доказано!), что наш
мир плоский. При Ω, отличном от единицы, это возможно лишь в случае,
если имеется космологическая постоянная и λ = 1 — Ω (см. формулу (3)).
В этом случае возраст мира равен

59. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. 1 357
При fe = 1ий = 5,1 имеем t = 7,2 млрд. лет; t = 10,9 млрд. лет при Ω =
= 1,7; при Ω === 1, естественно, t = 2/ЗЩ1. Интересен случай низкой
плотности Ω = 0,03, когда t = 1,65 Щ1 = 32,4 млрд. лет. Видно, что при
ΣτηνΟ2 ^> 20 эВ возраст плоского мира с тяжелыми нейтрино вступает в
противоречие с возрастом самых старых объектов Вселенной. Условие
облегчается при θ < 1, Σηινο2 < 20Θ"3 эВ.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решение с космологической постоянной представляется искусственным
именно потому, что только узкий интервал взаимно согласованных значений
2/wvc2, Λ и α дает приемлемый сценарий эволюции. Между тем на ранней
стадии эволюции эти значения ничем не выделены.
Однако надо помнить, что а) фундаментальная теория не требует Λ = 0
(общественное мнение физиков в настоящее время формулируется: «все, что
не обязано равняться нулю, не равно нулю»; один пример — вероятность
распада протона, другой, более близкий,— масса нейтрино), б) физика и
астрономия — экспериментальные и наблюдательные науки. Если опыт и
наблюдения приведут к значению Λ Φ 0, то фундаментальной теории
придется объяснить его!
Институт космических исследований Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 28 июня 1980 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Герштейн С. С, Зельдович Я. Б,— Письма в Журн. эксцерим. и теорет. физики
1966, т. 4, с. 174.
2. Demarque P., McClure R. D.— In: The evolution of galaxies and stellar populations
Ed. B. M. Tinsley, R. B. Larson. Yale: Univ. Observ., p. 199.
3. Зельдович Я. Б.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 6, с. 1050.
4. Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1975, т. 115, с. 169.
5. Cowsik Д., McClelland /.— Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, p. 669.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.
7. Любимов В. Α., Новиков Е. Г., Нозик В. 3. и др.— Препр. Ин-та теорет. и эксперим.
физики, № 62. М., 1980.
8. Любимов В. Α., Новиков Ε. Г., Нозик В. 3. и др.— Ядерн. физика, 1980, т. 32, с. 301.
9. Понтекорво Б. М.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 53, с. 1717.
10. Rogerson Υ. В., York D. С— Astrophys. Lett., 1973, vol. 186, p. 95.
11. Steigman G., Schramm D. N., Gunn /. E.— Phys. Lett. B, 1977, vol. 66, p. 202.
12. Tamman G., Sandage Α., Yahil Α.— Prepr. Basel Univ. N 28, 1980.

358 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
60
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ
МАССЫ ПОКОЯ НЕЙТРИНО *
II. СПЕКТР ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ
И ФЛУКТУАЦИИ МИКРОВОЛНОВОГО ФОНА
(совместно с А. Г. Дорошкевичем,
Р. А. Сюняевым, М. Ю. Хлоповым)
Обсуждается влияние существования массы покоя нейтрино на явление
«скрытой» массы галактик и скоплений галактик, на нелинейную стадию
эволюции неоднородностей и на проблему наблюдения Η 1 в спектрах далеких
квазаров.
Как отмечали Ш. Шалаи и Г. Маркс (1976), при наличии массы покоя
mvc2 ^> 5 эВ нейтрино становятся нерелятивистскими задолго до
рекомбинации водорода во Вселенной и определяют как среднюю плотность вещества
во Вселенной и динамику расширения, так и рост возмущений плотности
вещества во Вселенной на линейной стадии. Энергия покоя нейтрино
тщс2 ~ 20 -г- 30 эВ выделяет во Вселенной характерный масштаб, близкий
к расстоянию между скоплениями галактик. В меньших масштабах
первичные возмущения плотности нейтрино затухают. Рост возмущений плотности
нейтрино в масштабе скоплений галактик шел и на стадии перед
рекомбинацией водорода во Вселенной, когда возмущения смеси излучения, барионов и
электронов не растут. Позже области повышенной плотности нейтрино
притягивают к себе нейтральное вещество и вызывают процесс образования
плотных облаков обычного газа, превращающихся затем в скопления галактик.
Привлекательность этой картины (по сравнению с ситуацией для
безмассовых нейтрино) связана с тем, что для образования скоплений необходим
более низкий уровень начальных возмущений метрики и предсказывается
более низкий уровень мелкомасштабных флуктуации в угловом
распределении реликтового излучения·
1. СПЕКТР РЕЛИКТОВЫХ НЕЙТРИНО
В статье С. Тримейна и Дж. Ганна (1979) справедливо отмечалось, что
массивные нейтрино при низкой температуре (kTv <^ т^с2) имеют
неравновесный спектр.
При k T J> тес2 нейтрино находились в термодинамическом равновесии
с другими частицами: фотонами, электронами и позитронами. В то время
можно было пренебречь массой нейтрино кТ ^> mec2 ^> mvc2 и считать, что
Ev = cpv, где Ev — энергия, a ρν — импульс нейтрино.
Согласно ферми-статистике, число заполнения ультрарелятивистских
нейтрино в фазовом пространстве имело вид
η = (exp (cpv/kTv) + I)"1 (1)
* Письма в Астрономический журнал, 1980, т. 6, № 8, с. 457—464.

60. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. II 359
с химпотенциалом μ = 0. При этом ην = η-. При kT ~ mec2 нейтрино стали
бесстолкновительными. Для бесстолкновительных нейтрино импульс
каждой данной группы частиц убывает пропорционально (1+2), а их
плотность (число заполнения) в фазовом пространстве сохраняется в ходе
расширения. Согласно (1), это эквивалентно убыванию Τν пропорционально
(1 + ζ). Затем при kT ~ 0,1тес2 во Вселенной произошла аннигиляция
электронно-позитронных пар, что повысило температуру излучения по
сравнению с температурой нейтрино:
Tv = (4/ll)V.rr = 2,14 (1 + ζ) К, Tr = 3 (1 + ζ) Κ при кТг <
< 0,1 шес2.
Распределение (1) дает концентрацию нейтрино Nv = h3 J nd?p = 75·
.(1 + zf см"3.
Необходимо отметить, что при kTv <^ mvc2 распределение (1) не является
равновесным, так как в нерелятивистской области несправедливо выражение
Ev = cpv и pvc = (Е% — ttcJc4)1/*, т. е.
η = [exp ((Е% — n£c*yb/kTv) + I]"1 с- [exp (Y2mvc2EklkT^) + I]"1,
так как Ev — mvc2 ~ p%/2mv = Ек <^ζ mvc2 и Ev + тщс2 ~ 2т^с2 при
kTv <^ζ mvc2. Используя (1) и усреднение по фазовому объему, находим
Ёк = pj/2mv = 6,47 (H\)2/mvc2,
u=2 = 0,385m%c2/k2T$,
ΥΨ = 3,6 kTv/mvc = 6,64 (1 + ζ) км/с.
Для максвелловского газа такая скорость соответствовала бы температуре
Уэкв = m^v2l3k = 5,5-10"5 (1 + ζ)2Κ. Нейтрино становятся
нерелятивистскими при ζ ~ 4,5-104 (mvc2/30 эВ) задолго до рекомбинации водорода
ziec ^ 1500.
2. ЭВОЛЮЦИЯ ПЕРВИЧНЫХ АДИАБАТИЧЕСКИХ
ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ
Напомним сначала привычную картину эволюции адиабатических
возмущений при массе покоя нейтрино, равной нулю (см., например, [До-
рошкевич и др., 1974; 1978]).
Наблюдаемое обилие дейтерия в межзвездной среде указывает на низкую
плотность барионов во Вселенной: Qm = 8nGpm/3Hl ~ 0,03. В этом случае
плотность энергии излучения и энергии безмассовых нейтрино вплоть до
момента рекомбинации водорода во Вселенной zTec с^. 1500 превышает
ртс2. При ζ ^> 1500 джинсовская длина волны практически совпадает с
горизонтом:
*■*-£-w /^W-1·3'10*'1+гГ Мпс· (2)
Здесь и ниже все размеры даны в сопутствующем пространстве. Чтобы найти
соответствующий современный размер, приведенное значение нужно
умножить на (1 + ζ).

360 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Все возмущения в масштабах λ > Xmj растут (δρ/ρ ~ (1 + ζ)"2), в
меньших масштабах возмущения ведут себя как акустические волны. В малых
масштабах акустические колебания затухают из-за лучистой вязкости и
теплопроводности (Силк, 1968). Затухание выделяет масштаб порядка
расстояния между скоплениями галактик. После рекомбинации Вселенная
становится прозрачной для изучения, джинсовская масса уменьшается до
Μj ^ 1Ο5Λί0 и во всех больших масштабах возмущения растут. В пустом
мире возмущения бы не росли, в открытом мире с Ω = 0,03 они успевают
вырасти с момента ζ = 1000 до ζ = 0 лишь в 15,3 раза [Гюйо и Зельдович,
1970; Розгачева и Сюняев, 1980]. Если начальный спектр возмущений при
ζ ^> zr задать в виде δρ/ρ = §akd?k, то после рекомбинации он будет
представлен в виде
6p/p=}akckd*k, (3)
где ск = —.ρ J e~kRc/2 при /с Ъ> -^- и ск = 1 при к < 2njRj,
κ it j it j
к = 2π/λ — волновое число, Rc характеризует масштаб вязкого затухания
на момент рекомбинации, a Rj— джинсовскую длину волны на тот же
момент.
Что изменится в этой картине, если нейтрино имеют энергию покоя
порядка 30 эВ? При ζ ^> 5·104 нейтрино релятивистские и наличие у них
массы не меняет описанной выше картины. При ζ <^ 5-104 (mvc2/30 эВ)
нейтрино нерелятивистские и к ним применимо известное решение задачи о
неустойчивости бесстолкновительного гравитирующего газа [Бисноватый-Коган и
Зельдович, 1970, Мак-Кон, 1971; Сильвестров* 1974]. В таком газе можно
ввести аналог джинсовской длины (в сопутствующем пространстве):
( λτ \з /30 эВ \з,5
Mj = Pv(-f) =8.108(1+Ζ)ν*θν2(^) Μ@.
Численные оценки приводятся в предположении, что mvc2 = 30 эВ и все
три вида нейтрино имеют равные массы. В масштабах λ <^ λj возмущения
затухают (см. приложение 2), а при λ ^> Xj растут.
Важнейшим параметром оказывается масштаб, равный джинсовской
длине волны на момент, когда нейтрино становятся нерелятивистскими.
Сегодня он соответствует
Rv = Xj (Zl)(l + %) = 30 Мпс
и по порядку величины равен расстоянию между скоплениями. В меньших
масштабах возмущения нейтрино испытали затухание и росли не все время
(см. рисунок** и приложение 2). Это меняет начальный спектр возмущений
плотности нейтрино:
ск = (1 + £2Д*/4я2Г4,
** Рисунок не приводится (прим. редактора).

60. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. II 361
т. е. Cfc » 1 при kRv < 2π и ck ~ к'8 при kRv ^> 2π. Нейтрино делают мир
замкнутым или плоским. Поэтому при ζ <^ % возмущения плотности
нейтрино в масштабах R^> Rv растут по закону
δρ/ρ ~ (1 + ζ)"1.
Возмущения плотности барионов и излучения в масштабах, меньших
горизонта, при ζ ^> zr не растут (приложение 1) и к моменту рекомбинации
оказываются меньше возмущений плотности нейтрино в 3X2/(2nRj)2 раз, т. е.
в zxlz ~ 40 раз для масштаба Rv. После рекомбинации возмущения
нейтрино подтягивают возмущения вещества до своего уровня (приложение 2).
В итоге первичные возмущения плотности вещества в масштабе i?v могут
вырасти от ζχ κ ζ = 0 в 5·104 раз (вне зависимости от Qm <^ Ων), в то время
как в мире с Qm = 0,03 и mv = 0 они вырастали лишь в 150 раз (в 15 раз
после рекомбинации и в kRj ~ 10 раз за счет скачка амплитуды возмущений
в ходе рекомбинации [Сюняев и Зельдович, 1970]). Для образования
наблюдаемой структуры Вселенной в мире mvc2 ~ 30 эВ нужны в 300 раз меньшие
первичные возмущения метрики г.
Возмущения метрики вблизи Сингулярности 8h (определенное
hk — фурье-амплитуда возмущения метрики) разумно предположить не
зависящими от к. Этот спектр, соответствующий в (3) а^с/экУ*, является
единственно возможным спектром, не выделяющим никакого характерного
масштаба. Он характеризуется одной безразмерной величиной 6h. Метрика мира
вблизи сингулярности представляется подобной фракталю Мандельбройта
(1975).
3. МЕЛКОМАСШТАБНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Наличие возмущений плотности и скорости вещества на момент
рекомбинации ведет к появлению угловых флуктуации фона [Силк, 1968; Сюняев
и Зельдович, 1970; Дж. Пиблс, 1970; Дорошкевич и др., 1978]. В масштабах
Rv или Rc главным механизмом, приводящим к возникновению флуктуации,
является рассеяние излучения на электронах, движущихся из-за наличия
возмущений скорости вещества [Сюняев и Зельдович, 1970].
Уменьшение на момент рекомбинации амплитуды возмущений плотности
вещества в мире с mvc2 = 30 эВ по сравнению с вариантом mv = 0 уменьшает
и пекулярные скорости вещества. Пекулярные скорости в веществе
возникают по двум причинам: из-за наличия малых (бт <^ δν) возмущений
плотности вещества бт до рекомбинации и из-за их роста под действием больших
возмущений плотности нейтрино δν. В угловом масштабе θ <^ 10',
соответствующем λ ~ i?V', ожидаемые флуктуации уменьшаются примерно в 20 раз
даже по сравнению с миром с Um = 1 и т^ = 0. В теории адиабатических
возмущений плотности в мире с mvc2 = 30 эВ ожидается уровень
флуктуации реликтового излучения δΤ/T ~ 3-10"6 в масштабе θ ^ 10'.
1 По сравнению с миром Qm= 1 и mv = 0 этот выигрыш меньше и составляет лишь
5—6 раз.

362 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
4. ЭВОЛЮЦИЯ ЭНТРОПИЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОТНОСТИ
Как показано в приложении, по Вселенной с тяжелыми нейтрино и
малой плотностью барионов энтропийные возмущения в масштабе λ <^ Rv
не могут играть заметной роли, если бт = брт/рт <^ Qv/Qm на момент гг.
В масштабах λ ^> Rv возмущения плотности барионов на стадии ζ <[ ζχ
вызывают появление возмущений плотности нейтрино, которые растут и
после рекомбинации подтягивают возмущения плотности вещества до своего
уровня. Для образования объектов (скоплений галактик) при ζ ~ 5 нужно
задать начальное бт ]> 1/40 в масштабе Rv.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Линеаризованные уравнения, описывающие рост малых флуктуации
плотности вещества, легко получить в рамках ньютоновской механики
[Боннор, 1957; Вайнберг, 1972; Зельдович, Новиков, 1975]. Для Вселенной,
до рекомбинации состоящей из двух невзаимодействующих компонент
нейтрино с массой покоя и смеси барионов, электронов, атомов и излучения,
эти уравнения имеют вид
При выводе этих уравнений предполагалось, что при zr <^ ζ <^ ζχ динамику
Вселенной определили нерелятивистское нейтрино, мир был практически
плоским, рассматривались размеры меньше горизонта и тяготением
барионов и излучения пренебрегалось. Из этой системы следует, что при zr <^ ζ <^
<^ ζ1 возмущения нейтрино растут:
δν = A(t) г^/з,
а
бт = А + ir1/* {d sin [УШг {tlttf'A + CaCoslVScAj (t/t^]}.
Постоянные Сг и С2 легко найти из начальных условий при t = tt. Видно#
что осциллирующаяся компонента медленно затухает, а из-за наличия
растущей моды нейтрино появляется постоянная компонента 6m = 2А/(к^сН1)у
которая растет с увеличением длины волны и сравнивается с δν вблизи Rj.
Напомним, что кх — волновой вектор в момент tu когда нейтрино стали не-
релятивистскими. (Подробное обсуждение этой и последующих задач этого
приложения см. в работе И. К. Розгачевой и Р. А. Сюняева [1980]).
После рекомбинация вещество и излучение перестают взаимодействовать
друг с другом, и в уравнении (А2) можно пренебречь третьим членом в левой
части. Задаваясь начальными условиями 6m (tr) = 0 и δ^ (tr) = 0,
находим, что δν = A {tit})4* и
бт = δν [1 + 2trlt —3 (tr/ty/*].
Если t = tr (1 + Δ), το бт = 8δνΔ2/3; бт = δν/2 лишь при ζ ~ 350.
При ζ ^> ζχ энтропийные возмущения представляют собой флуктуации
плотности барионов на однородном фоне излучения и нейтрино. При ζ <^ ζχ

60. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. II 363
для возмущений в масштабе меньше горизонта и больше Rv флуктуации
плотности барионов вызывают появление возмущений плотности нейтрино,
их рост описывается уравнением
ϋ ι 4 6v 2 δν — 2 Ω™ б™
Uv_h 3 t 3 *2 ~~ 3 Qv ί2 '
которое имеет решение
«.-£Ч-'+-И-1гГ+-И-Н).
При Qv/Qm = 150 возмущения бт и δν в масштабе Rv успевают вырасти
к моменту ζ = 0 в 180 раз, т. е. в 250 раз меньше, чем адиабатические
возмущения той же амплитуды на момент гг. Возмущения нейтрино с R <^ i?v не
растут из-за сильного затухания. После рекомбинации рост бт полностью
зависит от уровня δν. При δν = 0 (т. е. в области λ <^ Rv).
Om~ г t з Ων ί2 —и
имеет затухающую моду 6m ~ ir1 * и слабо растущую 6m ~ ίη, где
В масштабе λ ^> Rv возмущения вещества подтягиваются к уровню
возмущений нейтрино.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Рассмотрим затухание коротковолновых возмущений бесстолкновителъ-
ного нейтринного газа. Задача о затухании волн в бесстолкновительном газе
подробно рассмотрена как в литературе по теории плазмы [Арцимович и
Сагдеев, 1979], так и применительно к нейтральному газу. Разница с
рассмотренным ранее случаем состоит в том, что из-за отличия спектра нейтрино
от максвелловского затухание не экспоненциальное, а степенное. Волны,
длина которых существенно меньше i?v, затухают в основном в период tu
zl4 когда нейтрино из релятивистских превращаются в нерелятивистские
(это будет показано ниже). В таком случае задача тривиально сводится к
движению частиц с постоянной скоростью. Если в начальный момент t±
плотность в фазовом пространстве задана функцией η = η (р, sc), t = tl4 то
в произвольный момент времени η = η (ρ, χ — ν (t — ίχ)). Если п =
— по (ρ) +δ^0 (Ρ) eikx ПРИ ί = 0, то позже δη = δη0 (ρ) eih{^-vt\ и
возмущение плотности δρ (sc, t) = I Ьп {ρ, χ, ί), dp = eikx j δη0 (ρ) e~ikvtdp.
Здесь ν следует рассматривать как функцию импульса
ν = с2р/Е = c2p/Y(m^2)2 + р2с2.
В расширяющейся Вселенной, очевидно, произведение kvt надо заменить
на J k (dx/dt) dt. При этом если к и χ записаны в сопутствующих
координатах, то dl — adx, где а — радиус (масштабный множитель) Вселенной, так
что dx/dt = via. Кроме того, импульс свободно движущейся (пробной)
частицы убывает обратно пропорционально а, т. е. ρ = р0а0/а.

364 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Таким образом, интеграл имеет вид
/= const- <"*■ ******
а
2 VРосЪЪа* + щМ '
где μ = cos (kv, p). На релятивистской стадии этот интеграл упрощается
как j kv — и сходится при t ->- 0 (поскольку а оо У*). На нерелятивистской
j— d£. При α оо f/з этот интеграл сходится при
£->- оо. Обе оценки показывают, что интеграл имеет максимум как раз в период
перехода от одного закона к другому, и по порядку величины этот максимум
равен J = kv c* -??- = -т-^ ?^- , где к^ — «максимальный» волновой
ν α (id po &max i>o ' ^
вектор, соответствующий «минимальной» длине волны i?v? введенной выше;
р0 — импульс данной частицы на каком-то раннем ультрарелятивистском
этапе t0 <^ tu р0 — усредненный по спектру нейтрино импульс в тот же
ранний момент (впрочем отношение pip не меняется с течением времени). Именно
ρ0 входило в расчет ^ и ίν·
Закон затухания возмущений существенно зависит от вида функции
&по (р)- Например, при максвелловском виде этой функции возмущения
в нерелятивистском газе δη оо e~v2'e и при фиксированном интервале времени
мы получили бы
J ехр (—ν2/β — ikvt) dv x exp (—£2ί2θ/4).
Но если возмущены только покоящиеся частицы δη (ρ) = δ (ρ) (вторая δ
здесь — дельта-функция Дирака), то такое возмущение вообще не затухает.
Существенно поэтому выяснить характер начального возмущения,
возникшего до начала затухания, на «непричинной» стадии, когда длина волны
больше горизонта.
Напомним, что в теории Ε. Μ. Лифшица (1946) вблизи сингулярности
возмущение плотности отсутствует, оно возникает в ходе неравномерного
расширения. Естественно поэтому считать, что возмущение состоит в
неодинаковой степени расширения в разных точках пространства, что приведет
к различию температуры и возмущению вида -~%гегкх. Одномерный расчет
возмущения, возникающего в релятивистском газе под действием
гравитационного поля, подтверждает это предположение. Пусть в начале η =
= η (ρ) = η (ср/кТ). Воздействие возмущения метрики можно считать
эквивалентным воздействию гравитационного поля. Изменение импульса
релятивистской частицы в данной метрике или в данном поле
пропорционально самому импульсу. Следовательно,
^_=Hx)pJnJcplkT)
dt J ^' * dp '
где / (χ) оэ eilzx. Важно, что
дп (ср/кТ)
др
— — т JL· „ ( ср \
'~ L дт п\кТ )·
Но еслибл ~ дп/дТ, то η = п0 + δη = η (ρ, Τ + βίΗχδΤ), что и требовалось
доказать. Рассмотрение трехмерной задачи по необходимости приближенно.

60. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. II 365
Итак, затухание возмущений определяется сверткой
δρ = exp (ikx) jj -~ ехр (ср/аГ) + ! ехР (— ikpRvlP) Ρ2 dp άμ ώρ.
Разложим
1/exp (cp/kT) + 1) = exp (—cp/JcT) — exp (—2cp/kT) + . . .
Легко убедиться, что вклад первого члена доминирует. Вычисляя
интегралы при Rvk ^> 1, получим
(δρ/ρ)ν |i>fv = (δρ/ρ)ν |fcci/a=i (kmax/k)*.
При сравнении ожидаемой амплитуды коротких возмущений в настоящее
время следует учесть еще, что чем короче длина волны, тем позже (уже на
нерелятивистской стадии при t ^> tv) данное возмущение становится
растущим, меньше его рост от этого момента до настоящего времени. Это
добавляет множитель (kRv)2 — (kj/λ)2. С другой стороны, на релятивистской
стадии ζ ^> Ζχ растут лишь возмущения с λ ^> с£, это также дает множитель
(kRv)2. Окончательно закон убывания амплитуды возмущения в сторону
коротких волн дается формулой
(τ-)ν = -^^)№Γ8·
Убывание амплитуды, пропорциональное восьмой степени длины,
является достаточно быстрым для того, чтобы считать Rv определяющим размером
при дальнейшем рассмотрении нелинейной стадии роста возмущений.
Институт космических исследований Поступила в редакцию
Академии наук СССР 28 мая 1980 г.
Институт прикладной математики
им. М. В. Келдыша Академии наук СССР.
Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. Арцимович Л. Л., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы дл* физиков. М.: Атомиздат, 1979
2. Бисноватый-Коган Г. С, Зельдович Я. Б,— Астрон. журн., 1970, т. 47, с. 942.
3. Bonnor W. В.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1957, vol. 117, p. 104.
4. Weinberg S. Gravitation and cosmology. N. Y.: Wiley, 1972.
5. Guyot M., Zeldovich Ya. В.— Astron. and Astrophys., 1970, vol. 9, p. 227.
6. Doroshkevich A. G., Zeldovich Ya. В., Sunyaev R. Α.— In: Confrontation of cosmolo-
gical theories and observational data Ed. M. S. Longair. Dordrecht, 1974.
(Русск. пер.: Космология: теория и наблюдения. Μ.: Мир. 277 с).
7. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б., Сюняев Р. А.— Астрон. журн., 1978, т. 55,
с. 913.
8. Зельдович Я. В., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975.
9. Лифшиц Е. М.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1946, т. 16, с. 587.
10. МсСопе А. /.— Nucl. Sci. Abstrs., 1971, vol. 25, Ν 15.
11. Mandelbroit J. Fractals. San Francisko: Freeman, 1975.
12. Peebles P. J. Ε., Yu I. Г.— Astrophys. J., 1970, vol. 162, p. 815.
13. Розгачева И. Г., Сюняев Р. Α.— Письма в Астрон. журн., 1980, т. 21, с. 370.
14. Silk /.— Astrophys. J., 1968, vol. 151, p. 459.
15. Сильвестров В. В.— Астрон. журн., 1974, т. 51, с. 293.
16. Sunyaev R. Α., Zeldovich Ya. В.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 7, p. 3.
17. Tremaine S., Gunn J. E.— Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 407.
18. Szalay A. S., Marx G.— Astron. and Astrophys., 1976, vol. 49, p. 437.

366 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
61
АСТРОНОМИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ
МАССЫ ПОКОЯ НЕЙТРИНО*
III. НЕЛИНЕЙНАЯ СТАДИЯ РАЗВИТИЯ
ВОЗМУЩЕНИЙ И СКРЫТАЯ МАССА
(совместно с А. Г. Дорошкевичем,
Р. А. Сюняевым, М. Ю. Хлоповым)
В предыдущих статьях было рассмотрено влияние массивных нейтрино
на строение и эволюцию Вселенной в целом, на развитие неоднородностей на
линейном этапе и на мелкомасштабные флуктуации температуры
реликтового излучения. Ниже мы рассмотрим особенности нелинейного этапа
эволюции неоднородностей и образования галактик и скоплений галактик и
связь этих особенностей с проблемой скрытой массы. Будет показано, что
1) наличие у нейтрино энергии покоя —30 эВ с неизбежностью приводит
к эффекту скрытой массы, причем распределение скрытой массы сильно
отличается от распределения видимого вещества; 2) нелинейная стадия
эволюции неоднородностей газа массивных нейтрино приводит к образованию
сильно уплощенных вытянутых конденсаций нейтрино и вещества, подобных
газодинамическим «блинам»; 3) возрастание светимости сжатого в «блин»
вещества в ультрафиолетовом и рентгеновском диапазонах, вероятно,
позволит объяснить низкое содержание Η1 в пространстве между скоплениями.
Явление «скрытой массы» [Эйнасто и др., 1974; Острайкер и др., 1974]
связано с серьезным расхождением между величиной массы, определяемой из
теоремы вириала, и массой, определяемой из соотношения
масса—светимость для пар, ряда галактик, а также групп и скоплений галактик. По-
видимому, впервые вопрос о возможности объяснения этого явления
наличием у нейтрино малой (~10 эВ) энергии покоя был поставлен в работах
Г. Маркса и Ф. Ковези-Доморосс [1964], Г. Маркса и Ш. Шалаи [1976].
Дж. Ган и Тримейн [1979] отмечали ряд трудностей в таком объяснении
при Ων <^ί 1, т. е. mvc2 <^ 1,2 эВ. Однако при mvc2 ~ 30 эВ и Ων ^> ΩΒ
именно эволюция неоднородностей нейтринного газа определяет
крупномасштабную структуру Вселенной. Поэтому решение вопроса о конечном
распределении скрытой массы лежит в детальном рассмотрении эволюции
неоднородностей. Заметим, что попытки объяснить большую плотность «скрытой» массы
с помощью маломассивных звезд любого типа встречают трудности в
объяснении реликтового содержания дейтерия [Вагонер, 1973; Ривс, 1974;
Зельдович, 1975].
Наблюдаемое обилие дейтерия в межзвездном газе совместно с расчетами
космологического нуклеосинтеза в рамках горячей модели лишь при очень
малой плотности барионов во Вселенной: ΩΒ ~ 0,03. Отметим, что наличие
энергии покоя нейтрино mve2 ~ 30 эВ в эпоху ядерных реакций (кТ !>
> 100 кэВ) не влияло ни на динамику расширения Вселенной, ни на хоя
ядерных реакций. Таким образом, мы приходим к картине, в которой
современная плотность массы нейтрино приблизительно в 100 раз превышает
плотность вещества.
* Письма в Астрономический журнал, 1980, т. 6, № 6, с. 465—469.

61, Астрономические следствия массы покоя нейтрино· 111 367
Тепловые скорости нейтрино в расширяющейся Вселенной убывали
пропорционально (1 + ζ) и к моменту ζ = 0 близки к 5 км/с, что соответствует
«температуре» нейтрино Τ ~ 0,75 ·10"4 К (о температуре нейтрино можно
говорить несколько условно, поскольку функция распределения нейтрино
далека от максвелловской (см. предыдущую статью)). Если примитивно
рассмотреть образование скоплений галактик как процесс «натекания»нейтрино
в потенциальную яму гравитационного потенциала скопления, то при
скоростях нейтрино в таком потенциале (ν ~ 103 км/с) и при сохранении
плотности в фазовом объеме плотность нейтрино в скоплениях должна примерно
в 103 раз превышать «наблюдаемые» значения. Однако процесс образования
скоплений происходит более сложно.
1. После рекомбинации водорода взаимодействие вещества и излучения
пренебрежимо мало, и гравитационное влияние возмущений нейтринного
<фона быстро приводит к появлению возмущений и в веществе (см.
предыдущую статью). При этом в веществе сохраняются и собственные возмущения,
малые и практически не зависящие от времени.
Эволюция возмущений нейтринного фона, согласно нелинейной теории
гравитационной неустойчивости [Зельдович, 1970], приводит к образованию
нейтринных «блинов» с характерным масштабом ί?ν^12βν(1 + z)""1^/*2)""1 Мпс,
βν ^ 0,5, определяемым масштабом затухания возмущений в
нейтринном фоне. Тождественность растущих мод возмущений в нейтринном фоне и
в веществе приводит к тому, что в нейтринном «блине» также сжимается и
вещество. При этом если нейтрино свободно пролетают сквозь «блин», то
вещество тормозится, сжимается и разогревается в ударной волне,
ограничивающей газовый «блин». Расчеты в одномерном приближении эволюции
ч<блина», образующегося из бесстолкновительных частиц, показывают, что
массивные нейтрино образуют гравитационно связанный «блин», толщина
которого в 2—3 раза превосходит толщину газового «блина». Поэтому
средняя плотность нейтрино в «блине» по-прежнему превосходит среднюю
плотность газовой компоненты, но не так сильно, как в среднем во Вселенной.
Это может несколько ослабить ограничения Сендейджа и Таммана (1975)
на максимальное значение Ω.
Сравнение параметров сжатого в «блин» газа в модели с массивным
нейтрино и в моделях с mv = 0 показывает, что в несколько раз возрастает
плотность сжатого вещества и тем самым светимость «блина» в ультрафиолетовом
и рентгеновском диапазонах. Это связано, прежде всего, с изменением
спектра возмущений (см. предыдущую статью). Известно, что температура газа
«лабо зависит от вида спектра и определяется характерным масштабом
неоднородности. Поскольку характерный масштаб i?v — 12βν(1 + ζ)~χ (Ωvh2)'1 Мпс
близок к использованному в моделях с т^ = 0 масштабу затухания
{Силк, 1968; Чибисов, 1972, Дорошкевич и др., 1978] Re = 2ββ(1 + ζ)"1·
• (Ω^2)"1 Мпс, β0 = 0,5 (с учетом различия в значениях Ων и Ω&), то
температура сжатого газа мало меняется при переходе к моделям с mv Φ 0. С
уменьшением mv величина Rv растет, и соответственно растет температура газа.
Существующие наблюдательные пределы на величину ультрафиолетового и
рентгеновского фона, а также данные о крупномасштабной структуре
Вселенной налагают ограничения на величину i?v : Rv ^ 100 -5- 120 Мпс, что
позволяет получить ограничения снизу mvc2 ^ 5 эВ при дополнительном
условии Ων Ξ^> Ω6.
Таким образом, в моделях с массивным нейтрино в 3—5 раз возрастают
плотность, давление и тепловая энергия сжатого газа, что при соответст-

Зб8 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
вующем возрастании меры эмиссии приводит к росту светимости «блина».
Ранее сделанные оценки показали [Дорошкевич и др., 1974; Дорошкевич и
Шандарин, 1975], что в моделях c/nv = 0 одного излучения сжатого газа
недостаточно для сильной фотоионизации водорода между скоплениями,
для объяснения эффекта Гана—Петерсона [Ган и Петерсон, 1965]. Вероятно,
с учетом возрастания светимости «блина» это излучение может обеспечить
необходимую ионизацию водорода между скоплениями.
2. Радиационное остывание нагретого в ударной волне газа вместе с
тепловой и гидродинамической неустойчивостями приводит к дроблению
охлажденного газа на отдельные облака и газозвездные комплексы [Дорошкевич
и др., 1978], на которых в дальнейшем последовательным скучиванием
образуются галактики разных масштабов и скопления галактик. Вместе с
газозвездными комплексами в процессе скучивания принимают участие и
массивные нейтрино. Существенно, что в процессе скучивания участвуют нейтрино,
входящие в «блин», а не однородно распределенные нейтрино фоны.
При конденсации нейтрино в «блин» возникает многопотоковое
распределение частиц с резко анизотропной функцией распределения [Зельдович,
Мышкис, 1973]. Каустическую поверхность, отделяющую одно- и трехпото-
ковое распределения можно рассматривать как границу нейтринного «блина».
При этом из-за малых отклонений от одномерного сжатия появляются
большие скорости нейтрино и в плоскости «блина». Эффективная энтропия
нейтринного газа в «блине», связанная с образованием многопотокового
распределения и определяемая усреднением хаотических движений нейтрино в
макроскопическом объеме, близка к энтропии горячего газа и «газа», состоящего
из холодных газовых облаков и газозвездных комплексов, хотя и
плотность, и хаотические скорости «газа» нейтрино в несколько раз выше, чем те
же величины для «газа» облаков и для обычного горячего газа, входящего
в состав «блина». Поэтому можно полагать, что дальнейшее скучивание
нейтрино, облаков и горячего газа в отдельные галактики и скопления
галактик будет протекать по схемам, развитым в моделях с mv = 0
[Дорошкевич и др., 1978]. Оценки [Дорошкевич, Клыпин, 1980] показывают, что
энтропия вещества в «блине» близка к энтропии вещества, входящего в
скопления галактик.
В динамике скучивания важную роль играют процессы быстрой
релаксации, ведущие к установлению квазистационарного состояния в системе
[Линден-Белл, 1967; Пиблс, 1970]. Вероятно, таким путем можно объяснить
образование скоплений галактик, но одними только процессами быстрой
релаксации не удается объяснить образование отдельных галактик [Аарсет
и Вини, 1978; Дорошкевич, Клыпин, 1980]. В образовании галактик,
вероятно, была важна роль диссипативных процессов типа столкновения
скучивающихся облаков, ведущих к их слипанию, торможению и оседанию на центр.
Лишь при учете процессов такого типа можно объяснить очень большие
значения плотности в центральных областях галактик (до 10~20 г/см3). Эти
эффекты и их возможное слияние на скучивание массивных нейтрино при
образовании галактик изучались в работе [Зельдович и др., 1980]. Было
показано, что рост плотности рь сталкивающихся частиц ведет к зависимости
гравитационного поля от времени, что в свою очередь приводит к росту
плотности pv бесстолкновительных частиц, только более медленному. Отношение
плотностей p&/pv изменяется в ходе сжатия по закону
Рь/pv со pl\

61. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. 111
и pv растет с течением времени. Плотность бесстолкновительных частиц
спадает с радиусом медленнее, чем плотность вещества, и если в центральных
областях может быть pb/pv ^^ 3 -^— 10, то вблизи границ галактик и далее
можно ожидать pv ^> р&, а на расстояниях порядка величины нескольких
радиусов галактики плотность нейтрино близка к плотности нейтринного
фона в «блине», т. е. в 2—3 раза больше плотности видимого вещества в той
же области пространства.
Если скрытая масса связана с нейтрино, то ее проявления будут весьма
различными в богатых скоплениях, например в гипергалактиках и группах
галактик. Это связано с различием в гравитационных потенциалах богатых
скоплений, сверхскоплений и галактик. В скоплениях гравитационный
потенциал велик, он соответствует скорости около 108 см/с, велики и приливные
силы, ведущие к обобществлению протяженных оболочек галактик. Поэтому
в скоплениях, вероятно, нейтрино не будут связаны с отдельными
галактиками. В скоплениях более естественно образование общего нейтринного фона,
аналогичного фону скрытой массы гипотетических карликовых звезд,
черных дыр и др. Специфика массивного нейтринного фона в скоплениях,
вероятно, не проявляется.
Напротив, в отдельных галактиках, гипергалактиках и группах галактик
вклад нейтринного фона в скрытую массу может быть в несколько раз
меньше, чем в скоплениях и гигантских галактиках. При конденсации в «блин»
массивные нейтрино приобретают скорости порядка 107 см/с, и это может
помешать гравитационному захвату нейтрино системами с малым
гравитационным потенциалом. Если же скрытая масса связана с обычным веществом
в виде каких-либо звезд, черных дыр и др., то возможные столкновения и
диссипативные процессы в период образования этих звезд способствуют их
гравитационному объединению с системами галактик. Поэтому проявления
«скрытой» массы в форме нейтрино сильно зависят от массы отдельной
галактики или, точнее, группы галактик и быстро убывают вместе с массой.
Поскольку гравитационный потенциал Галактики соответствует вириальным
скоростям υ~ 300 км/с, то нейтрино в Галактике должны иметь скорости
того же порядка. Гравитационный потенциал Земли дает скорости на
порядок меньше, а Солнце — того же порядка величины, поэтому плотность
нейтрино в Солнце и в Земле должна незначительно отличаться от их средней
плотности в Галактике. Следовательно, нейтрино дают ничтожный вклад
в массу Земли и Солнца. Можно также ожидать, что нейтринная скрытая
масса ярче проявляется на периферии больших сверхскоплений или в
бедных сверхскоплениях галактик, образовавшихся из маломассивных «блинов»^
поскольку в этих случаях при конденсации в «блин» нейтрино приобретают
в среднем меньшие скорости и эффективную энтропию. Таким образом, может
проявляться связь между положением пар и групп галактик и проявлением
нейтринной скрытой массы. В системе Галактика + Туманность Андромеды
можно ожидать яркое проявление скрытой массы — масса каждой галактики
велика, и они удачно расположены на далекой периферии местного
сверхскопления. Было бы весьма интересно проверить соответствие ожидаемой
картины и наблюдений.
Наблюдения зависимости скорости вращения М31 от ее радиуса,
проведенные в линии 21 см Робертсом и Вайтхурстом (1975), показали, что
скорость ν ~ YGMIR не уменьшается с радиусом. Отсюда следует широко
известный результат, что Μ ос Л и что плотность скрытой массы (нейтрино)
ρν оо 7?~2, в то время как плотность видимого вещества спадает более быстро-

370 Часть вторая* VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
В краткой заметке трудно коснуться всего многообразия следствий
существования фона массивных нейтрино в космологии и теории образования
галактик. Как общий итог обсуждения отметим лишь, что массивные
нейтрино не меняют принципиальных основ и выводов космологических моделей
Фридмана и адиабатической теории образования крупномасштабной
структуры Вселенной, галактик и скоплений галактик. Изменяются (причем
в лучшую сторону) лишь численные оценки теории. Интересным (ввиду
возможных наблюдаемых следствий) качественным эффектом наличия массы
у нейтрино является резкое увеличение плотности реликтовых нейтрино
в Галактике — в 104—105 раз по сравнению со случаем безмассовых
нейтрино, однородно распределенных по всей Вселенной.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР 28 мая 1980 г.
Институт космических исследований
Академии наук СССР. Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. Aarseth S. /., Binney /.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1978, vol. 185, p. 227.
2. Wagoner R.— Astrophys. J., 1973, vol. 179, p. 343.
3. Gunn J. E., Peterson В. Л.— Astrophys. J., 1965, vol. 142, p. 1633.
4. Gunn J. E., Tremaine S.— Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 407.
5. Doroshkevich A. G., Zeldovich Ya. В., Sunyaev R. Α.— In: Confrontation of cosmologi-
cal theories and observational data Ed. M. S. Longair. Dordrecht, 1974.
•6. Дорошкевич А. Г., Клыпин А. А. Препр. Ин-та прикл. матем. им. М. В. Келдыша
АН СССР № 2, М., 1980.
7. Doroshkevich Л. G., Saar Ε. Μ., Shandarin S. F.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc,
1978, vol. 184, p. 648.
8. Дорошкевич Α. Λ, Шандарин С Ф.— Астрон. журн., 1975, т. 52, с. 643.
9. Зельдович Я. Б.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 319.
10. Зельдович Я. Б.~- Письма в Астрон. журн., 1975, т. 1, № 1, с. 10.
11. Зельдович Я. Б., Клыпин Α. Α., Хлопов М. Ю., Чечеткин В. М.— Ядер, физика,
1980, т. 31, с. 1286.
12. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973.
13. Lynden-Bell Z).— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1967, vol. 136, p. 101.
14. MarxG., Kovesi-Domoross F. /.— Acta phys. Acad. Sci. Hung. 1964, vol. 17, p. 171.
15. Marx G., Szalay S.— Astron. and Astrophys., 1976, vol. 49, p. 437.
16. Ostriker /. Д., Peebles P. J. Ε., Υahil A.— Astrophys. J. Lett., 1974, vol.193, LI.
17. Peebles P. J. E.— Astron. J., 1970, vol. 75, p. 13.
18. Roberts M. S., Whitehurst R. V,— Astrophys. J., 1975, vol. 201, p. 327.
19. Sandage Α., TammanG. Α.— Astrophys. J., 1975, vol. 196, p. 313.
20. Silk /.— Astrophys. J., 1968, vol. 151, p. 459.
21. Чибисов Г. Я.— Астрон. журн., 1972, т. 49, с. 74.
22. Einasto /. Ε., KaasikA., Saar Ε. Μ.— Nature, 1974, vol. 250, p. 309.
КОММЕНТАРИЙ
Теория горячей Вселенной предсказывает большую концентрацию нейтрино. Коо
мологические следствия этого фундаментального факта были впервые рассмотрены *
статье ЯБ и С. С. Герштейна (см. статью 26 и комментарий к этой статье).
Сообщение о лабораторных измерениях массы нейтрино совпало с накоплением
трудностей в космологии (проблема скрытой массы и замедленный рост возмущений в открытой
модели Вселенной с реликтовым излучением — статья 58). Комментируемые статьи
ознаменовали начало новой волны в космологии. За ними последовал огромный поток работ
по роли тяжелых нейтрино или других не наблюденных до сих пор частиц в космологии.
Окончательное выяснение фактического положения дела будет достигнуто не скоро,
оно немыслимо без необычайно трудного продвижения в физике элементарных частиц.
Вместе с тем, пионерская роль этих трех комментируемых работ сохранится навсегда

62. «Черные» области во Вселенной
371
62
«ЧЕРНЫЕ» ОБЛАСТИ ВО ВСЕЛЕННОЙ *
(совместно с С. Ф. Шандариным)
В рамках картины фрагментации, реализующейся в сценарии
образования крупномасштабной структуры Вселенной из первичных адиабатических
возмущений плотности, объясняется происхождение гигантских областей,
в которых практически нет галактик. Обсуждаются физические свойства газа,
заполняющего такие области, и возможности его наблюдения.
В последнее время на основе массовых измерений лучевых скоростей
галактик в нескольких площадках небесной сферы были определены
расстояния до всех галактик ярче определенной видимой величины. Их
пространственное распределение говорит о существовании больших — до
миллиона кубических мегапарсек — областей, в которых полностью или почтж
полностью отсутствуют галактики [Йыэвээр и др., 1977; Кинкарини и Рудг
1978; Грегори и Томпсон, 1978; Таренги и др., 1979; Киршнер и др., 1981].
Ранее мы отмечали, может быть, недостаточно громко и настойчиво, что
такие области естественно получаются в том сценарии образования структуры
Вселенной («блины»), который мы разрабатываем более 10 лет [Зельдович,
1970]. Не считая выбор сценария и количественную теорию законченными,
сосредоточимся на вопросе о «черных» областях и задачах их изучения.
Мы намеренно, сознательно ограничиваемся здесь рассмотрением
наиболее поздних стадий эволюции Вселенной, отвлекаясь от предыдущего
периода полностью ионизованной плазмы. Вопрос о характере эволюции неоднород-
ностей на послерекомбинационной стадии сводится к альтернативе: 1) сперва
образуются сравнительно малые структурные единицы (—ΙΟ6 ΜΘ),
которые затем собираются в более крупные, вплоть до сверхскоплений (кратка
«скучивание») [Дикке и Пиблс, 1968; Готт и Рис, 1975]; или 2) сперва
образуются неоднородности плотности самого большого масштаба (~1015 ΜΘ);
в областях высокой плотности возникают объекты меньшего масштаба;
другими словами, облака газа высокой плотности дробятся на отдельные
галактики (кратко «фрагментация») [Сюняев, Зельдович, 1972; Дорошкевич, Шан-
дарин, 1974; Зельдович, 1978].
В варианте скучивания на позднем этапе нужно рассматривать движение
газа, молекулами которого являются шаровые скопления или галактики.
В варианте фрагментации крупномасштабная структура определяется
движением газа атомного водорода и гелия. В обоих случаях возможно участие
тяжелых нейтрино, что мы здесь детально не обсуждаем [Дорошкевич и др.,
1980а].
Оставляя в стороне вопрос об областях высокой плотности, обратимся
теперь специально к областям пониженной плотности. Именно по отношению
к областям низкой плотности различие между картинами скучивания и
фрагментации наиболее велико.
В варианте скучивания первоначально образовавшиеся галактики были
распределены более или менее равномерно. Затем под действием сил
взаимного притяжения они собирались в более массивные агрегаты: скопления
и сверхскопления галактик. Поэтому области пониженной плотности в ва-
* Письма в Астрономический журнал, 1982, т. 8, № 3, с. 131—135.

.372 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
рианте окучивания сутв области, содержащие более или менее обычные
галактики, но оставшиеся в концентрации меньшей, чем средняя концентрация
галактик во Вселенной.
Рассмотрим теперь вариант фрагментации. В этом случае, попадая в
области большой плотности («блины»), газ сжимается ударной волной и при
этом нагревается до Τ ~ 106 -f- 107 К и ионизируется. Затем часть
нагретого газа излучает и охлаждается до Τ ~ 104 К. При этом газ рекомбини-
рует, а его плотность еще более повышается. Все вместе создает в «блинах»
необходимые условия для образования галактик. Процесс образования
галактик проходит довольно быстро, так как скорость роста возмущений
в теории гравитационной неустойчивости определяется в первую очередь
локальной плотностью.
В этой картине наряду с областями повышенной плотности газа
естественно возникают и области пониженной плотности газа. Подчеркнем, однако,
что в них фрагментации не происходит вовсе — галактики вообще не
образуются. Связано это прежде всего с тем, что в областях пониженной
плотности характерное время нарастания неоднородностей галактических масштабов
превышает космологическое время.
Легко дать нижнюю оценку средней плотности газа, оставшегося в
«черных» областях. В сценарии фрагментации на стадии, предшествующей
образованию первых объектов — «блинов», все элементы газа можно разделить
на 4 группы. Частицы первой группы испытывают сжатие (относительно
системы отсчета, сопутствующей среднему расширению Вселенной) по всем
трем главным осям, частицы второй группы сжимаются по двум осям,
расширяясь по третьей, частицы третьей группы сжимаются только вдоль одной
оси, а Частицы четвертой группы расширяются по всем трем осям. Согласно
Дорошкевичу [1970], в первую и четвертую группы входит по 8% всего
вещества в каждую, а во вторую и третью — по 42%. На протяжении
длительного промежутка времени газ, расширяющийся по всем трем осям, не
может фрагментировать на более мелкие объекты, так как его плотность ниже
средней плотности во Вселенной. Таким образом, по меньшей мере 8% всего
вещества остается в виде газа в «черных» областях. Если бы этот газ занимал
весь объем, то его средняя плотность составляла бы ~10% от средней
плотности во Вселенной. В действительности его плотность выше.
Нейтральный газ даже при малой плотности можно было бы обнаружить
по поглощению линий La. В сплошном газе, вовлеченном в космологическое
расширение, эта линия превращается в сплошную полосу. Учитывая
отсутствие сплошного поглощения излучения с длиной волны короче La
в спектре далеких квазаров, Дж. Ганн и С. Петерсон [1965] сделали вывод:
плотность нейтрального водорода в 105—106 раз меньше средней плотности
вещества. Полагая, что общая плотность газа не может быть слишком мала,
Ганн и Петерсон сделали вывод, что в пространстве между скоплениями
галактик газ практически полностью ионизован. Такая картина естественно
возникает в модели фрагментации [Дорошкевич, Шандарин, 1975].
Ультрафиолетовое и мягкое рентгеновское излучение из плотных областей (как
излучение первичного газа, сжатого ударной волной, так и излучение отдельных
объектов, родившихся в плотных областях) проникает в области низкой
плотности, ионизирует и нагревает газ, оставшийся там. Температура газа
в черных областях достигает нескольких десятков тысяч градусов. Эта
температура определяется тем, что устанавливается баланс между потоком
излучения, внешнего по отношению к этому газу, и его собственным излуче-

62. чЧерныеь области во Вселенной
373
нием в более длинноволновом диапазоне. Высокая температура газа также
препятствует образованию галактик. При плотности 0,1рс и Τ — 2-104
масса Джинса равна Mj ~ ΙΟ11 Μ©.
Выше было показано, что внутри «черных» областей не могут рождаться
галактики, однако это не означает, что газ в них обязательно распределен
однородно. Действительно, процесс рождения плотных областей — «блинов»
растянут во времени в соответствии со статистическим распределением
начальных возмущений. Поэтому наряду с наиболее плотными областями, рано
возникающими из нейтрального газа, должны быть и уплотнения («блины»),
образующиеся позже. К этому времени первые «блины» прогрели весь газ,
еще не вошедший в поздние «блины». Увеличение плотности в поздних
«блинах» достигает меньшей величины по двум причинам:
1) они образуются из более слабых возмущений, потому они и
образуются позже;
2) они образуются в горячем ионизованном газе, упругость которого
препятствует сжатию.
Поздние «блины» могут никогда не превратиться в галактики. Они не
лортят, не заселяют оптически светящимся веществом (галактиками,
звездами) «черную» область. Однако, может быть, поздние «блины» удастся
обнаружить благодаря малой примеси нейтрального водорода по линиям поглощения
в спектре далеких квазаров [Дорошкевич, Шандарин, 1977; Оорт, 1981].
Если удастся доказать таким образом наличие горячего газа «в черной»
области, где нет галактик, вся концепция «блинов» получит существенное
подтверждение, наше объяснение происхождения «черных» областей
укрепится, продвинется и количественная теория.
Вернемся к образованию «черных» областей. Интуитивно трудно себе
представить полное опустошение какой-либо области пространства за счет
гравитационной неустойчивости. Поэтому наличие больших областей, не
содержащих ярких галактик («черных» областей), говорит скорее в пользу
того, что в этих областях физические условия препятствовали образованию
галактик при умеренно малой плотности вещества. Предположение о том,
что галактики были везде с приблизительно одинаковой концентрацией,
а затем все до единой покинули большую область — такое предположение
представляется очень маловероятным. Итак, обнаружение «черных»
областей, по-видимому, подтверждает теорию фрагментации и связанную
с ней теорию адиабатических возмущений и является аргументом против
теории последовательного скучивания, основанной на идее энтропийных
(изотермических) возмущений.
«Черные» области в некотором смысле даже более характерны для теории
фрагментации по сравнению с ячеистой и сетчатой структурами.
Действительно, в ходе роста возмущений в теории «блинов» первыми возникают
особенности — области высокой плотности, для которых характерно сжатие
по одной оси. С течением времени появляются другие типы особенностей,
общая классификация которых при движении холодного вещества дана
в другой работе [Арнольд и др., 1981]. В целом возникает ярко выраженная
пористая и нитевидная структура.
Однако на позднем этапе эволюции эта структура разрушается.
Происходит вторичное скучивание галактик, первоначально образовавшихся в
«блинах» [Дорошкевич и др., 19806]. При этом теряется четкая ячеистая и
сетчатая форма. Движение идет наиболее сильно по-прежнему в областях
большой плотности и в гораздо меньшей степени затрагивает области пониженной

374 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
плотности вещества. Поэтому выводы, основанные на анализе «черных»
областей, представляются более надежными.
Однако, как уже отмечалось в начале, вопрос отнюдь не решен
окончательно. Цель данной статьи состоит не в том, чтобы сделать поспешный
вывод на основании неполных данных. Подчеркивается перспективность
исследования «черных» областей. На данном этапе важно отметить, что
детальное исследование «черных» областей, наблюдательное и теоретическоег
сможет в недалеком будущем дать требуемый ответ. Что же нужно сделать
для этого?
Первая очевидная задача состоит в расширении области исследований,.
в обнаружении и измерении большого числа «черных» областей так, чтобы
можно было говорить о статистических свойствах этих областей.
Необходимо продвинуться в измерениях спектров более слабых галактик,
чтобы усилить утверждение о том, что в «черных» областях их нет. Такое
утверждение всегда имеет характер верхней границы: «число галактик
меньше определенного процента от среднего ожидаемого», и эту границу надо
снижать так же, как и границу светимости тех слабых галактик, которые
могли бы оказаться в «черной» области.
Желательно научиться отличать галактику с большой пекулярной
скоростью в плотной области от одиночной галактики, движущейся по закону
Хаббла внутри «черной» области. Другая сторона этого вопроса: нужно
уметь отличать галактики, родившиеся в «черной» области, от тех, которые
туда прилетели после выброса из плотных областей. Пекулярная скорость
~1000 км/с дает ошибку в определении расстояния галактики в 10/^оо Мпс·
Двигаясь с такой скоростью, галактика за хаббловское время t0 ~ Щ1
проходит расстояние 10/£оо Мпс.
Прямым тестом, решающим альтернативу: фрагментация или скучивание
(или, по-другому: адиабатический или энтропийный сценарий реализовался
при образовании структуры Вселенной), было бы позитивное обнаружение
газа внутри «черных» областей. Определение его химического состава
практически решило бы проблему. В картине фрагментации «черные» области
должны быть заполнены газом с догалактическим химическим составом:
~75% водорода и ~25% гелия. В модели скучивания не должно быть
областей, где нет тяжелых элементов.
Результаты наблюдений надо сопоставить с картинами, полученными
в численных расчетах, и с теоретическими оценками. Однако такие оценки
сделать трудно. Прежде-всего теория требует определенных исходных данных:
плотности вещества, а в случае, если нейтрино имеют массу покоя,—
плотности обычного вещества и плотности нейтрино. Необходимо знать спектр и
среднюю амплитуду возмущений плотности.
Плотность вещества, масса нейтрино и амплитуда возмущений вместе
определяют тот момент, когда происходит образование больших неоднород-
ностей плотности. Не зная этих параметров, придется рассматривать
множество вариантов. То же относится и к численным расчетам. Отметим, что
до последнего времени, представляя результаты численных расчетов (см.,
например, рисунки в Трудах Таллинского симпозиума [Зельдович, 1978]),
мы изображали распределение плотности вещества, а не плотности галактик,
давая иллюстрации, мы игнорировали тот факт, что галактики образуются
в плотных областях и не образуются в разреженных. Контраст
распределения галактик сильнее, чем контраст распределения вещества.

62 > «Черные* области во Вселенной
375
Подытоживая сказанное, нужно еще раз отметить важность исследования
«черных» областей. Имеющиеся данные о «черных» областях уже сейчас
свидетельствуют в пользу картины фрагментации, которая реализуется в рамках
адиабатического сценария образования структуры Вселенной. Новые данные
о «черных» областях помогут окончательно решить вопрос: фрагментация или
окучивание играли главную роль при формировании структуры Вселенной.
Независимо от вопроса об аккреции излучения, доля всей материи а,
подвергшейся коллапсу на раннем этапе (когда рг ^> рь) должна быть мала.
Действительно, рг/рь в ходе расширения падает, а излучение в ядрах
не участвует в космологическом расширении и рс/рь = const, где рс —
ллотность сколлапсировавших масс, усредненная ко всему пространству.
Из сегодняшних наблюдений рс/р& < 160. Отсюда, как можно показать,
а < 10"в]/~М/М®, где Μ — масса сколлапсировавших тел. Аналогичные
рассуждения дают ограничения на начальный спектр флуктуации
неоднородности.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
ям. М. В. Келдыша Академии наук СССР 3 декабря 1981 г.
Примечание при корректуре. Появившаяся недавно новая модель
образования структуры Вселенной (Ostriker /., Cowie L.— Astrophys. J. Lett. 1981, vol. 243,
L127), в которой основную роль играют взрывы проэволюционировавших объектов,
предсказывает в высшей степени однородное распределение тяжелых элементов во Вселенной.
Этим свойством она, как и энтропийная модель, отличается от адиабатической.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И., Зельдович Я. Б., Мандарин С. Ф.— Препр. Ин-та прикл. матем. им.
М. В. Келдыша АН СССР № 100, М., 1981; Geophys. and Astrophys. Fluid Dyn.,
1982, vol. 20, p. 111.
2. GunnJ., Peterson S.— Astrophys. J., 1965, vol.142, p. 1633.
3. Gott J. #., Rees M. J,— Astron. and Astrophys., 1975, vol. 45, p. 365.
4. Gregory S. Α., Thompson L. Α.— Astrophys. J., 1978, vol. 222, p. 784.
•5. Dicke R. #., Peebles P. J. E,— Astrophys. J., 1968, vol. 194, p. 838.
6. Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф.— Астрон. журн., 1974, т. 51, с. 41.
7. Дорошкевич А. Г.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 581.
8. Дорошкевич А. Г., Шандарин С. Ф.— Астрон. журн., 1975, т. 52, с. 9.
9. Doroshkevich A. G., Shandarin S. F,— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1977, vol. 179,
p. 95.
10. Doroshkevich A. G., Khlopov M. Yu., Sunyaev R. A. et al.— In: Proc. Xth Tex. symp.
on relativ. astrophys. N. Y., 1981, p. 32.
11. Doroshkevich A. G.,, Kotok E. 7., Novikov I. D. et al.— Month. Notic. Roy. Astron.
Soc, 1980b, vol. 192, p. 321.
12. Зельдович Я. Б.— Астрофизика, 1970, т. 9, с. 319.
13. Zeldovich Ya. В.— In: The large scale structure of the Universe. 1978. (IAU Symp. N79).
(Рус. пер.: Крупномасштабная структура Вселенной. Μ.: Мир, 1981. 452 с).
14. Joeveer Μ., Einasto /., Τ ago Ε,— Prepr. Tartu Astron. Observ. N 1, 1977.
15. Chincarini G., Rood Η. /.— Astrophys. J., 1978, vol.230, p. 648.
16. Kirshner #., Oemler Л., Schechter P., Schectman S.— Astrophys. J. Lett., 1981, vol. 248,
L57.
17. Oort J. H.— Astron. and Astrophys., 1981, vol. 94, p. 359.
18. Sunyaev R. Α., Zeldovich Ya. B.— Astron. and Astrophys., 1972, vol. 20, p. 189.
19. Tarenghi M., Tifft W. C, Chincarini G., Rood H. /.— Astrophys. J., 1979, vol. 234,
p. 793.

376 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
КОММЕНТАРИЙ
В работе рассматривается одно из важнейших следствий теории крупномасштабных
возмущений Вселенной. Предсказывается существование областей, в которых никогда не-
образовывались галактики. Очевидно, что альтернативная теория, в которой галактики
образовались везде, но после группировались, приводит к совершенно иным выводам
относительно свойств вещества в черных областях. Детальное исследование черных
областей становится важнейшей задачей космологии. Отметим более подробную статью
ЯБ, Я. Э. Эйнасто, С. Ф. Шандарина в Nature 2*.
Интерес, вызванный этими работами, виден и в обзоре Я. Оорта 2*.
1# Einasto /., Shandarin S. F., Zeldovich Ya. В.— Nature, 1982, N 5891, p. 407—412,.
2* Oort /.— Astron. Astrophys. 1984, vol. 139, p. 211—214.
63
ПРОИСХОЖДЕНИЕ ЯЧЕИСТОЙ
КРУПНОМАСШТАБНОЙ СТРУКТУРЫ ВСЕЛЕННОЙ*
Дано качественное объяснение своеобразной структуры Вселенной,
в которой «черные» (лишенные галактик) области окружены со всех сторон
замкнутыми сравнительно тонкими «яркими» слоями (содержащими
галактики). Объяснение основано на самых общих представлениях о развитии
длинноволновых возмущений в холодном газе.
Наблюдения и теория показывают наличие больших «черных» областейt
разделенных сравнительно тонкими слоями, в которых концентрируются
галактики. Такую структуру можно назвать ячеистой. Концентрация
галактик повышается на линиях пересечения слоев, в связи с чем иногда говорят
о ячеисто-сетчатой структуре. Мы полагаем [Зельдович, Шандарин, 1982],
что «черные» области заполнены ионизованным газом, плотность которого
в несколько раз меньше средней плотности вещества во Вселенной. В этом
газе галактики никогда не рождались. Общий объем «черных» областей, по-
видимому, значительно больше «яркого» объема, занятого галактиками.
В данной статье рассматривается топологический вопрос: почему «яркий»
объем образует сплошую совокупность стенок ячеек, а «черные» области
разобщены друг от друга яркими стенками.
Очевидно, при случайном распределении двух типов областей — «ярких»
и «черных» — следовало бы ожидать, что области, занимающие меньший
объем, будут распределены, как капли, внутри сплошного массива области,
занимающей больший объем. Бытовой пример: молоко содержит 6% жира и
94% процента воды (объемные проценты) и при этом отдельные капли жира
окружены сплошной массой воды.
Грубо можно предположить, что во Вселенной 60—80% вещества (по
массе) находится в «ярких» областях, где плотность приблизительно в 10 раз
больше средней. Следовательно, «яркие» области занимают 6—8% всего
объема» Остающиеся 40—20% вещества занимают 94—92% всего объема, что
соответствует плотности вещества в «черных» областях 0,43—0,22 от средней.
* Письма в Астрономический журнал, 1982, т. 8, № 4, с. 195—197.

63. Происхождение ячеистой крупномасштабной структуры Вселенной 377
Поэтому, казалось бы, «яркие» области должны быть разобщены и окружены
сплошной темной областью. Ячеистая структура означает, что в
действительности, как это ни удивительно, ситуация противоположная.
Яркой областью мы называем не сами отдельные галактики, а общую
область, оконтуривающую распределение галактик в пространстве.
Ячеистая структура (см. [Оорт, 1981]) не установлена с достаточной
определенностью, несмотря на ряд указаний о наличии скоплений галактик,
располагающихся в тонком слое определенных поверхностей (наблюдения,
пожалуй, в большей мере обосновывают сетчатую структуру).
Предположение о существовании ячеистой структуры основано в большей мере на
результатах расчетов. В этих расчетах изучалось движение холодного газа
в собственном поле тяготения. Начальные условия определяли общее (фрид-
мановское, хаббловское) расширение вещества и рост малых возмущений,
также заданных начальными условиями. Теория такого движения
[Зельдович, 1970] показывает, что вначале образуются отдельные малые
тонкие сгущения большой плотности — «блины». Строго и детально характер
особенностей проанализирован в работе Арнольда и др. [1981]. На
начальной стадии ячеистой структуры нет. Однако топология ячеистой (в
двумерных расчетах — сетчатой) структуры, наблюдаемой на поздних
стадиях численных расчетов, до сих пор не имела теоретического обоснования.
Здесь я предлагаю воспользоваться описанием движения в лагранжевых
координатах, как в работе 1970 г., однако не настаивая на определенном виде
решения.
Пусть положение частицы г является функцией ее начального
положения | и времени t:
г = Ч> (S. *)·
Начальное положение берем достаточно рано, в момент tQ, когда
плотность вещества ρ еще мало возмущена и везде равна р0. Рассмотрим
«яркую» область (ту, в которой вещество будет сжато и где родятся галактики)
в координатах |. В этих координатах доля объема, занятая яркими
областями, равна доле массы, т. е. dm = р0сР£. Следовательно, когда в
«ярких» областях находится больше половины вещества (см. 60—80% в
примере, приведенном выше), естественно, что яркие области соединяются
в одну сплошную среду. Темные области, занимающие 40—20% в ξ-προ-
странстве, окажутся в этом пространстве отдельными каплями 1.
Центральным моментом всего рассуждения является непрерывная
зависимость г οι ξ: векторная функция ψ (ξ, t) нигде не имеет разрывов.
Физически это означает, что две соседние точки всегда остаются соседними.
Возьмем в ξ-пространстве сплошную замкнутую поверхность,
проведенную в яркой области, внутри которой находится капля «черной»
области. Это сплошная поверхность останется сплошной и после
преобразования от ξ- к г-пространству. Но это и означает, что «черные» области будут
изолированы друг от друга на поздней стадии, что и требовалось доказать.
Добавим к сказанному некоторые замечания.
Функция преобразования не имеет особенностей как функция ξ. Это
не исключает того, что функция может быть немонотонной 2 на поздней
1 Говоря о каплях, я подчеркиваю изоляцию отдельных «черных» областей и не имею
в виду округлой или близкой к сфере формы, для чего нет оснований.
2 Для функции одной переменной обращается в нуль и затем меняет знак dr/dl·,. Для
«функции нескольких переменных роль производной играет якобиан | дт^д^ |.

378 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
стадии, и при этом в обратной функции (в выражении ξ = -φ"1 (г, t))
появятся особенности. Физически это означает, что в одну точку в г-прост-
ранстве приходят две или больше частицы из разных начальных
положений. Возникновение такой ситуации (аналогичное каустике световых
лучей) сопровождается сильным сжатием вещества. Однако использованное
выше свойство замкнутой яркой поверхности оставаться замкнутой при
этом не нарушается. На поверхности могут возникать складки, но не
дырки — заключенная внутри яркой поверхности «черная» область не
ускользнет, не соединится с другой черной областью.
Имея в виду, что движение происходит под действием гравитационных
сил, можно утверждать, что движение является безвихревым и
преобразование — потенциальным. Его можно записать, выделяя общее
расширение в виде
Γι = α(ί)ξί — -0ξ7<ρ(ξ*,ί)·
В приближенной теории предполагается, что
ri = a (t) ξ, - Ъ (t) -щ- Φ (ξ,), τ. е. φ (&, t) ж Ъ (t) Φ (&)·
Высокая (формально — бесконечная) плотность возникает тогда, когда
—jj- —= 1, где £fc берется понаиболее опасному направлению, по которому
эта производная максимальна в данной точке. Область, в которой д2Ф/д^ < О*
и бесконечная плотность никогда не достигается, занимает всего 8%
объема в ξ-пространстве [Дорошкевич, 1970].
Необходим, однако, дополнительный физический анализ условий
образования галактик там, где большая плотность достигается поздно.
С другой стороны, в областях, где галактики образовались рано,
последующее их движение приводит к сосредоточению на линиях и в точках
пересечения двух и трех областей. Формально сплошная яркая область может
оказаться с течением времени настолько обедненной галактиками, что
окажется ненаблюдаемой между линиями.
Ячеистая структура является некоей промежуточной асимптотикой
решения задачи о развитии длинноволновых возмущений в холодном газе*
По-видимому, за ячеистой структурой (яркие поверхности) следует сетчатая
структура (яркие линии) и как последняя стадия релаксации появляются
яркие капли. Вследствие статистического характера задачи смена структур
происходит нечетко; в один момент времени в разных участках в пространстве
могут осуществляться разные стадии.
Наблюдения ячеистой структуры могут дать важнейшие сведения
о моменте образования и возрасте структуры и об амплитуде начальных
возмущений.
Во всяком случае ячеистая структура очень не похожа на совокупность
отдельных более или менее сферических гигантских сверхскоплений
галактик. Здесь необходимо отметить, что после образования первых «блинов»
немедленно начинается процесс образования звезд. Эволюция массивных
звезд за время, малое по сравнению с космологическим, приводит к взрывам
сверхновых с выделением энергии, во много раз превышающей
гравитационную. Согласно Острайкеру и Коуэ [1981], эти взрывы могут оказать решаю-

64. Топологические и перколяционные свойства потенциального отображения 379
щее влияние на общую структуру вплоть до 100 Мпс. Рассмотрение
движения холодного газа на поздних стадиях может оказаться чрезмерной
идеализацией даже в теории первичных адиабатических возмущений.
Ячеистая структура является весьма специфическим следствием
своеобразных начальных возмущений и условий эволюции Вселенной и поэтому
«е исследование представляет огромное значение для космологии.
Благодарю А. Г. Дорошкевича и особенно С. Ф. Шандарина за
обсуждение и помощь.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
им. М. В. Келдыша 26 января 1982 г.
Академии наук СССР. Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И., Зельдович Я. Б., Мандарин С. Ф. Препр. Ин-та прикл. матем. им.
М. В. Келдыша АН СССР № Ю0, М., 1981. Geophys. and Astrophys. Fluid Dyn.,
1982, vol. 20, p. 111.
2. Дорошкевич А. Г.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 581.
3. Зельдович Я. Б,— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 319; Astron. and Astrophys., 1970,
vol. 5, p. 84.
4. Зельдович Я. Б., Шандарин С. Ф.— Письма в Астрон. журн. 1982, т. 8, с. 131.
5. Oort J. Ν,— Prepr. Sterrewasht. Leiden, 1981.
6. Ostriker J. P., Cowie L. L.— Astrophys. J. Lett., 1981, vol.243. L127.
КОММЕНТАРИЙ
В комментируемой статье впервые поставлен вопрос о глобальных топологических
свойствах распределения вещества во Вселенной. Одновременно поставлен и вопрос о
свойствах того математического отображения, которым описывается движение вещества.
Таким образом, эта работа открыла принципиально новое направление в теории
отображений и возникающих при этом структур. В этом аспекте тема развивалась дальше в
работах ЯБ (статья 64) и ЯБ с С. Ф. Шандариным х*
й* Zeldovich Ya. В., Shandarin S. F.— Phys. Rev. Lett., 1984, vol. 25, p. 1488—1491.
64
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
И ПЕРКОЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
СО СКЛЕИВАНИЕМ*
Потенциальное движение частиц образует непрерывное отображение
лагранжева пространства на пространство эйлеровых координат частиц
[1, 2]. Мы рассматриваем движение по инерции, без взаимодействия, с
гладким случайным полем скоростей. Условие склеивания частиц на каустиках для
образования сингулярностей приводит к примечательной структуре с
локализованными районами разреженной материи, окруженными склеенными
поверхностями, на которых имеются сингулярности более высокого порядка
* Proceedings of National Academy of Sciences, USA, Ser. Mathematics, 1983, vol. 80,
p. 2410—2411.

380 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
Рис. 1 Рис. 2
Непрерывное отображение есть обычный объект в механике и теории
катастроф. Рассмотрим простейший пример:
Xi{t,l) = li + td^(i)idi^ (1)
который соответствует свободному инерциальному движению частиц,
причем начальная скорость является потенциальной.
ν = grad φ. (2)
Мы предполагаем скалярную функцию случайной, но гладкой.
Пересечение траекторий частиц ведет к локальным особенностям,
эквивалентным каустикам, возникающим при пересечении лучей в
геометрической оптике. Эти локальные особенности теперь хорошо изучены и
систематизированы [1—3]. Я ставлю задачу, отличную от задачи с бесстолк-
новительными частицами тем, что частицы, траектории которых
пересекаются, склеиваются. Для таких частиц после склеивания простое уравнение (1)
более несправедливо. Вместо простейшего типа особенностей — «губ»
получаются сначала маленькие двумерные поверхности в трехмерном
пространстве. На этих поверхностях плотность есть δ-функция Дирака по
координате, нормальной к поверхности. Классификация сингулярностей старшего
порядка изменится из-за склеивания. Но в этой статье я интересуюсь лишь
глобальными топологическими свойствами решения, в частности, на поздней
стадии.
Понятно, что для гладкой φ (ξ) при малых t < te количество
склеивающихся частиц невелико. Склеенные поверхности не сообщаются, и еще
несклеившаяся материя (ЕНСМ) преобладает и занимает
простую связную область.
Мое утверждение состоит в том, что в некоторый момент времени при
t ~ tc пересечение и слияние поверхностей сформирует связную сеть, делая
район ЕНСМ несвязным. Заключительная эра при t^>ktc, k ^> 1, но еще
неизвестная, характеризуется ЕНСМ, заключенной в объемах, полностью
окруженных склеенными поверхностями так, что районы, занимаемые ЕНСМ,.
не сообщаются.
В двумерном случае ситуация даже проще (рис. 1,2). Самые первые
линии склеившегося вещества уже делают начальную плоскость несвязной
(рис. 1). Позднее растущие сегменты линий склеивания создают сеть,
разбивающую плоскость на несвязные части, содержащие ЕНСМ (рис. 2).

64. Топологические и перколяционныв свойства потенциального отображения 381
Автор наблюдал двумерную ситуацию в плавательном бассейне в Деб-
рецене, Венгрия. Случайные волны на поверхности воды из-за множества
плавающих людей преломляли солнечные лучи. Яркие каустики на
керамическом дне формировали отчетливую сетчатую структуру.
Чтобы оценить характерное время t, можно использовать размерный
анализ: φ имеет размерность [см2«с"1], поэтому
ic = ((5V^i^))-,/2· (3)
Доказательство предположения, сделанного выше, состоит из двух частей.
Во-первых, мы оценим распределение материи между склеенной фазой и
ЕНСМ. Это даст нам также распределение объема между этими двумя фазами
в лагранжевом пространстве (ξ). Мы применим результаты перколяционной
теории, чтобы понять топологию этих фаз в лагранжевом пространстве.
Второй шаг основывается на предположении о том, что если отображение
(1) непрерывно и выполняется с гладкой φ (ξ), то оно не меняет топологию.
Любые две точки, находившиеся вначале на бесконечно малом расстоянии,
остаются близкими, любая замкнутая линия в лагранжевом пространстве
остается замкнутой в эйлеровом (х) пространстве, причем то же верно и для
замкнутых паверхностей.
В связи с первым шагом, можно сказать более конкретно: принимая
начальную плотность в ξ-пространстве р0 = 1, просто получить плотность
вокруг той же частицы в произвольный момент:
ρ={дЧ1д*1г*=18ik + td^/dii dik |-i. (4)
Обозначим через α, β, γ взятые со знаком минус три собственных числа
тензора деформаций, т. е. решения кубического уравнения.
\ д*<р/дШк - Mik\ = 0, (5)
α = -λχ, β = -λΓ, γ = -λ3, (6)
с дополнительным условием
α > β > γ. (7)
В терминах α, β, γ плотность дается соотношением
ρ = [(1 - at) (1 - βί) (1 - yt)]-\ (8)
Эта формула справедлива до тех пор, пока ни один из сомножителей в
знаменателе не равен нулю.
1 — at < 0, t < 1/a. (9)
Затем частицы склеиваются, и плотность становится одномерной δ-функцией,
как мы говорили выше. Таким образом описывается сингулярность
простейшего типа. При поверхностном рассмотрении, забывая условие (8) и способ,
которым вычисляются α, β, γ из (3) и (4), можно было бы думать о α, β, γ
как о трех случайных независимых функциях ξ. Это дает для каждого из них
вероятность быть положительным, равную ρ = 0,5. В силу этого,
вероятность того, что данная частица останется несклеенной, была бы N = р3 =
= 0,125.
В действительности, вычисление [4] показывает, что вероятность тогог
что а<0 (это подразумевает β < 0, γ < 0) согласно условию (7), есть

382 Часть вторая. VIII. Образование крупномасштабной структуры Вселенной
N = 0,08. Она меньше, чем наивная оценка 8"1 = 0,125 из-за хорошо
известных явлений отталкивания собственных значений.
Поэтому слипшаяся материя составляет 1—0,08 = 92% от всей в
трехмерном случае и более 75% в двумерном случае при достаточно больших
временах.
Очевидно, что ЕНСМ, которая занимает 8% в лагранжевом трехмерном
и менее 25 % в двумерном случае, состоит из изолированных островков в
океане склеившейся материи. Из этих рассуждений следует, что она
представлена изолированными островками в эйлеровом пространстве, хотя теперь
склеившаяся материя тонкая, острова разделяются скорее узкими каналами,
чем широким океаном.
Есть также дополнительные замечания.
1. Есть материя, которая приклеивается, налипая с конечной скоростью
на уже сформировавшуюся поверхность. Асимптотически, по мере того, как
t -> оо ЕНСМ стремится к нулю, а не к 0,08—0,05.
Но важно, что наше утверждение об изолированных островах не
нуждается в таком глубоком истощении ЕНСМ. Оно останется верным, коль скоро
ЕНСМ меньше 33% в трехмерном и 50% в двумерном пространстве. Поэтому
изолированные островки появляются при некотором конечном tc довольно
рано. Точно вычислить это £с, разумеется, очень трудно, может быть, оно
зависит от спектра φ. Условия того, что ср —случайная гауссовская
изотропная и однородная в среднем, достаточны для вычисления вероятностей а,
β, γ, но возможно, что требуется больше информации, чтобы найти время
изоляции.
2. Склеивание частиц резко изменяет их скорость. Разумно
предположить, что скорость в каждой точке сингулярной (склеенной) поверхности
есть средняя скорость всех частиц, приклеившихся в данном месте
поверхности.
Для линии или поверхности, изображенной в лагранжевом пространстве,
изменение скорости приводит к излому в эйлеровом пространстве, но оно не
разрывает ни линию, ни поверхность.
Получающаяся структура была уподоблена Бирманном (мл.) пене
шампанского. Сравнение улавливает важную деталь: малый объем жидкости
разделяет гораздо большие объемы газа на изолированные пузыри. Но есть
также и отличие. Структура пены зависит от поверхностного натяжения и
специфических свойств шампанского, стабилизирующих ее.
В нашем случае поверхностное натяжение отсутствует. Поэтому возможно
выдвижение отростков сингулярных поверхностей (А) или изолированных
поверхностей (линий в двух измерениях) (рис. 2). Существует один тонкий
момент, существенный для количественной теории. Предполагается, что
распределение значений а в лагранжевом ^-пространстве довольно близко
к случайной величине (но с ά^>0), хотя ρ получается из α с помощью
нелинейной операции. Поэтому мы применяем критерий перколяции к лаг-
ранжеву пространству. В эйлеровом пространстве объем, занимаемый ЕНСМ,
по определению, 100%, но распределение плотности существенно отличается
от случайного, поэтому прямое применение церколяционного критерия
*шло бы совершенно неправильно.
Последняя, но немаловажная связь с реальной физикой должна быть
упомянута. В случае света, распространяющегося в одном направлении и
гладко преломляемого в двух других, склеивание отсутствует. Лучи
формируют каустики и затем распространяются по прямым линиям. Каустики

64. Топологические и перколяционные свойства потенциального отображения 383
первого поколения довольно тонкие и яркие, так что наша картина есть
хорошее приближение, но только для промежуточных асимптотик. На
больших промежутках возникает статистическая картина без острых каустик.
Если заменить склеивание сжатием в ударной волне с высокой
плотностью газа с низкой, но конечной начальной температурой, то все
бесконечности исчезнут. Однако, по-прежнему, границы ЕНСМ хорошо
определяются ударными волнами, и все топологические следствия сохраняются -
В этом случае из-за конечных плотностей отображение остается
одно-однозначным всегда, но оно теряет потенциальный характер из-за рождения
вихрей в ударных волнах.
В случае, если крупномасштабная структура Вселенной обусловлена
гравитационной неустойчивостью, ударная волна в сжатом газе и
гравитационное пленение массивных нейтрино (если они есть) играет роль
склеивания. Именно в связи с наблюдением гигантских пустот в распределении:
галактик были выполнены эти рассуждения.
Приношу искреннюю благодарность В. И. Арнольду, А. Г. Дорошкевичу,
С. Ф. Шандарину.
Институт физических проблем
Академии наук СССР. Москва
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. #., Варченко А. #., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых:
отображений. М.: Наука, 1982.
2. Arnold V. I. Mathematical methods of classical mechanics. Springer, 1978.
3. Arnold V. /., Shandarin S. F., Zeldovich Υ a. B.— Geophys. and Astrophys. Fluid Dyn.,
1982, vol. 20, p. 111.
4. Дорошкевич А. Г.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 581.
КОММЕНТАРИЙ
В данной работе, так же как и в предыдущей (статья 63), а также в работе С. Ф. Шан-
дарина и ЯБ в Phys. Rev. Lett.1* открывается новая глава исследования глобальных
свойств отображений. Поставленный вопрос интересен и для оптики и для математики.
До недавнего времени объектом исследования были лишь локальные свойства (каустики,
катастрофы). Нет сомнения, что новая область заинтересует многих и последуют работы
(в частности, методами численного моделирования), устанавливающие связь глобальных
свойств отображения со спектром исходной случайной функции. На очереди вопрос о
глобальных свойствах векторных полей различного происхождения (см., например,
статью ЯБ «Перколяционные свойства двумерного случайного стационарного магнитного
поля»2* и цитированную там литературу). Перколяционный анализ структуры
предложен С. Ф. Шандариным. 3*
!* Zeldovich Ya. В., Shandarin S. F.— Phys. Rev. Lett., 1984, vol. 25, p. 1488—1491.
2* Зельдович Я. Б.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1983, т. 38,
с. 51—54,
3* Шандарин С. Ф. — Письма в Астрон. журн., 1984, т. 9, с. 195.

IX
НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ
В КОСМОЛОГИИ
65
НАБЛЮДЕНИЯ ВО ВСЕЛЕННОЙ,
ОДНОРОДНОЙ В СРЕДНЕМ*
Локальная неоднородность вещества Вселенной в отдельных галактиках
существенно меняет угловые размеры и яркость далеких объектов по
сравнению с формулами, выведенными для модели Фридмана.
Распространение света в однородной и изотропной модели
расширяющейся Вселенной (впервые изученной А. А. Фридманом) рассмотрено в ряде
работ [1—3].
При этом получены выражения для наблюдаемого углового размера θ
и наблюдаемой яркости объекта известного абсолютного размера и
абсолютной яркости/в зависимости от расстояния или, точнее, от красного смещения
объекта Δ = (ω0 — ω)/ω0=ζ/(1 + ζ).
В частности, замечательной особенностью выражения θ (Δ) является
наличие минимума при Δ около 1/2. В приложении формула (10) и кривая на
рис. 6 дают ход величины / (Δ) = гН/св, обратно пропорциональной углу Θ,
для определенной плотности вещества. Здесь г — размер объекта, Η —
постоянная Хаббла, с — скорость света, максимум кривой / (Δ)
соответствует минимуму угла Θ. Такое поведение θ зависит от искривления
пространства веществом, заполняющим Вселенную.
В модели Милна с равной нулю плотностью вещества θ монотонно
убывает вплоть до горизонта, где Δ = 1, ω = 0 (см. рис. 6 в приложении,
кривая/о (Δ). В принципе, в однородной Вселенной наблюдения θ (Δ) могут дать
независимое определение средней плотности вещества р.
В действительности распределение вещества очевидным образом
отличается от модели Фридмана, так как вещество сконцентрировано в отдельных
звездах, образующих скопления-галактики.
Как влияет неоднородность плотности на функцию θ (Δ)? Угловой
размер Θ, под которым наблюдается объект АВ, определяется ходом двух лучей
АО и ВО, испущенных крайними точками объекта (рис. 1).
Масса, находящаяся между этими лучами, искривляет их так, что θ
увеличивается (рис. 2). Имеется в виду искривление лучей гравитационным
нолем, предсказанное Эйнштейном, равное 1.75" для луча, проходящего
у края солнечного диска, и подтвержденное наблюдениями.
Такого рода искривление лучей веществом, расположенным внутри
конуса, образованного лучами, и представляет собой физическую основу
своеобразной зависимости θ от Δ во фридмановском решении. Отсюда видны
чрезвычайно суровые требования к равномерности распределения плотности
вещества: необходимо, чтобы плотность вещества внутри конуса луча не
* Астрономический журнал, 1964, т. 41, № 1, с. 19—24.

65. Наблюдения во Вселенной, однородной в среднем
385
отличалась от средней плотности во Вселенной; только в этом случае угол θ
будет таким, как в однородном решении.
Сделаем крайнее предположение: пренебрежем массой межгалактического
вещества (включающей такие формы материи, как нейтрино и гравитонная)
по сравнению с массой вещества, сконцентрированного в галактиках.
Тогда угловой размер тех объектов, у которых в световом конусе нет
галактик, дается выражением θχ (Δ), существенно отличающимся от функции
θ (Δ), относящейся к однородной модели (см. расчет в приложении).
Рис. 1
Рис. 2
В частности, θχ (Δ) не имеет минимума во всей наблюдаемой области 0 <
< Δ < 1. В приложении для определенной плотности дана формула (21а)
для величиныД, обратно пропорциональной θ (кривая Д показана на рис. 6).
Для объектов АВ (рис. 3), у которых в конусе находится галактика С,
имеет место образование гало, отмеченное Ф. Цвикки [4], см. также [5],
а при нецентральном расположении — довольно сложная картина
преломления лучей, рассмотренная недавно Ю. Г. Климовым [6].
X
Рис. 3 /7<^^ ~~ С\^я„ ^,.в
о
Здесь нельзя дать какую-либо определенную зависимость θ2 (Δ), так как
θ2 зависит от массы С и деталей взаимного расположения АВ, θ в
однородной Вселенной есть взвешенное среднее, составленное из ΘΧ(Δ) и всевозможных
θ2 (Δ).
Следовательно, в неоднородной Вселенной непосредственно изучать
θ (Δ) нельзя, даже если отвлечься от трудности выявления объектов с
известными линейными размерами. Ясно, что, как правило, наблюдаются объекты,
не заслоненные другими, более близкими, т. е. наблюдения относятся
к ситуации θχ (Δ).
Сделанное замечание существенно также для соотношения между
абсолютной и наблюдаемой яркостью далеких объектов, в том числе объектов,
неразрешаемых по угловым размерам, например, отдельных звезд.
Количество света, принимаемого наблюдателем от далекой звезды,
пропорционально телесному углу, под которым она видна. Поэтому в
известные формулы нужно ввести поправку (θ1 (Δ)/θ2 (Δ))2 в том случае, когда
звезда не заслонена другими звездами и можно пренебречь плотностью
межгалактического вещества.
Заметим в заключение, что вещество, заполняющее Вселенную, влияет на
красное смещение квантов, а также на общее количество объектов данного
типа, имеющих красное смещение меньше заданного, Ν (Δ).
13 Я. Б. Зельдович

386 Часть вторая. IX. Наблюдательные эффекты в космологии
В принципе, неоднородность плотности и здесь могла бы внести
изменения в зависимости, справедливые для однородной модели.
Однако в последние задачи входит средняя плотность вещества в шаре,
радиус которого порядка расстояния от точки наблюдения до наблюдаемого
объекта. Для далеких объектов объем такого шара велик, и несмотря на
локальную неоднородность плотность мало отличается от средней, обычные
формулы вполне применимы.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Рассмотрим случай плоской модели Фридмана с давлением, равным нулю
Метрику удобно записать в виде
ds2 = c2dt2 - (аЩ2 [dx2 + dy2 + dz2], (1)
где х, у, ζ — сопутствующие координаты.
В этом решении плотность вещества
ρ = 1/(6 πκ t2), (2)
где κ — ньютоновская постоянная тяготения, константа Хаббла в настоящий
момент t0
Луч, идущий по оси χ (у = ζ = 0) и приходящий в точку наблюдения
(начало координат) в момент t0 удовлетворяет уравнению
dx = —cdtl{at:*)\ χ = 3с (#3 — Щ/а. (4)
Обозначим 3cio3/a = х0 — расстояние до горизонта и перепишем
fU = а (х0 — х)/(3с). (4а)
Рассмотрим соседний луч, лежащий в плоскости ху и входящий в
начало под малым углом θ (рис. 4). Очевидно, что и в сопутствующей системе
свет распространяется по прямым, так что
у = Вх. (5)
Абсолютный линейный размер объекта, заключенного между двумя
лучами,
г = afl*y = 03cf/3 (#· - f1/.). (6)
Выразим соотношение между гиб через постоянную Хаббла и красное
смещение. Как известно,
ωι/ω0 = *·/./#·, (7)
з ωχ — частота света, принятого наблюдателем в момент £0, ω0 — частота
зта, испущенного объектом в момент t. Следовательно:
?U = tl* γ\ - Δ, Δ = (ω0 - ωό/ω,,, (8)
г/θ = 2c (1 - Δ) (1 - |ΛΓ^~Δ)/#, (9)
Нг/(св) = / (Δ) = 2 (1 - Δ) (1 - ΐΑΓ=~Δ), (10)

65. Наблюдения во Вселенной, однородной в среднем
387
где / (Δ) есть функция, характеризующая изменение метрики в однородной
модели. При малых Δ, / (Δ) = Δ , т. е. расстояние равно сЫН, как и
должно быть. / (Δ) имеет максимум, равный 8/27 при Δ = 5/9.
Можно сказать, что наибольшее «расстояние», определенное по отношению
линейного размера к угловому (в эвклидовой геометрии θ = rlR) равна
R = 8с/27Н = 1200 Мпс (И)
при Η = 75 км/(с-Мпс).
Все предыдущее относилось к однородной модели, притом к плоскому
случаю ρ = рс = 3#2/8πκ (ср. (2) и (3)).
Рассмотрим теперь следующую задачу: распределение плотности
отличается от однородного тем, что в конусе с осью χ раствором а (где а ^> Θ)
Граница плотности
Рис. 4
Рис. 5
Граница плотности
вещества нет, а во всей остальной области ρ дается (2) и не зависит от
координат. Предполагается, что 6иа<^1, так что вынутое количество вещества
мало и не влияет на общее движение. Как известно, луч, проходящий мимо
сосредоточенной массы т с прицельным параметром &, отклоняется на угол
Δβ = Акт/сЧ. (12)
Поскольку возмущение плотности заключается в вынимании массы, т. е.
как бы во введении отрицательной массы, отклонение вызванное таким
возмущением, направлено наружу (рис. 5).
Функция Е = 2кт/Ь представляет собой поле, соответствующее
ньютоновскому потенциалу двумерной задачи:
ρ = 2кт In Ъ + const. (13)
Полное отклонение луча на всем пути, вызванное полной массой т
равно β = 2£Ус2.
В случае непрерывно распределенной плотности, потенциал <рх от массы,
приходящейся на единицу длины, удовлетворяет
1 d dcpi
Δφι
dr
Γ--5ΐ=4πκρ,
(14)
где г — расстояние точки от оси х, так что внутри полости
<рх = яг2р, Ег = 2ягр. (15)
Обобщая выражение Эйнштейна для изгиба луча, получим поворот
к единице длины:
dtydl = 2Ег/с2 = 4ягр/с2, (16)
dtydx = (4ягр/с2) dl/dx. (17)
13*

388 Часть вторая» IX. Наблюдательные эффекты в космологии
Напомним выражение плотности (2), выражение (6) для г, dlldx = а?1*
и выражение (4а). Получим
(Py/dx2 = d$ldx = 6у/(х0 — χ)2. (18)
Это однородное уравнение решается элементарно
У = *ι (х0 - *)3 + К (х0 - хГ- (19)
Накладываем условия χ = 0; у = 0 (лучи сходятся в точке наблюдения)
dy/dx \х==0 = θχ, по определению получим
У = 2/δθι*ο [4 (*о — *Г - *J? (*о — ж)»]. (20)
Отсюда найдем и связь между абсолютным размером объекта г (6)? угловым
его размером θχ и расстоянием, которое можно характеризовать красным
смещением Δ, с помощью формул (8) и (4), (4а), связывающих Δ, t и х. Получим
-^ = ^4[1-(1-Δ)Η (21)
/χ(Δ)=4[1-(1-Δ)5/·]. (21а)
В отличие от функции /, функция /х монотонно возрастает вплоть до
самого горизонта (Δ = 1), достигая там значения /1 = 2/5, что соответствует
Rx = */ьс/Н = 1600 Мпс.
Поправка в наблюдаемой яркости далекого объекта равна
Lx = L{f (Δ)/Λ (Δ))» (22)
для Δ = 5/9,/ = 8/27, Д = 418/1215, Lx = 0,7L. При Δ-* 1, ///х-^0.
Проделанный расчет подтверждает тот факт, что максимум отношения θ
или минимум θ при данном г возникает лишь при наличии вещества внутри
светового конуса объекта.
Расчет в принципе можно воспроизвести и в том случае, когда ρ =^= рс,
т. е. для гиперболического или замкнутого мира. На рис. 6 сопоставлены
функции / (Δ) = гН/вс для трех случаев:
для пустого мира (предельный случай ρ -> 0, модель Милна)
/0 = Δ (1 - Δ/2), (23)
для плоского мира с однородной плотностью ρ = рс
/ = 2 (1 - Δ) (1 - γΤ=~λ), (24)
для плоского мира со средней плотностью ρ = рс для объекта с пустым
световым конусом (21а)
/х = V5 [1 - (1 - Δ)5/*]. (25)
Остановимся вкратце на влиянии отдельной массы, расположенной в
произвольной точке вблизи лучей, идущих от объекта к наблюдателю.
Рассмотрим плоскость г/2, перпендикулярную лучам и проходящую через массу
(рис. 7).
В этой плоскости лучи изображаются точками A'B'C'D', которые
соответствуют испустившим лучи точкам ABCD объекта (рис. 7 слева).

65. Наблюдения во Вселенной, однородной в среднем
389
Изгиб лучей под действием массы Μ совершается в направлении вектора,
соединяющего точку луча {А и т. д.) с точкой Μ и пропорционального F =
= grad φ, где φ — двумерный потенциал массы М.
Изменение угла между А' и В' зависит от разности Eg в этих точках, т. е.
от д2<р/ду2, а угла между С и D' от 32φ/3ζ2. Так как вне массы Δφ = 0, то
с точностью до более высоких производных масса М, находящаяся вне ко-
W
ом
Рис. 7
нуса (т. е. на чертеже вне контура А'В'CD'), не меняет площадь этого
контура, т. е. не меняет телесный угол, под которым виден объект, и,
следовательно, не меняет полное количество света, поступающего к наблюдателю.
Масса Μ деформирует наблюдаемый контур, сжимая его по оси,
соединяющей объект с М, и растягивая по перпендикулярной оси.
ЛИТЕРАТУРА
1. Tolman Л. С. Relativity, thermodynamics and cosmology. Oxford, 1934.
2. Robertson Η. P.— Astrophys. J., 1938, vol. 15, p. 69.
3. Мак-Витти Г. Общая теория относительности и космология. М.: Изд-во иностр.
лит., 1961. 284 с.
4. Zwicky F. Morphological astronomy. Springer, 1957; Helv. phys. acta, 1933, vol. 6,
p. 1; Astrophys. J., 1937, vol. 86, p. 217; Phys. Rev., 1937, vol. 51, p. 290, 679.
5. Тихое А. Г.— Докл. АН СССР, 1938, т. 16, № 4; Изв. Гл. астрон. обсерватории в
Пулково, 1937, т. 16, с. 1.
6. Климов Ю. Г.- Докл. АН СССР, 1963, т. 148, с. 789.
КОММЕНТАРИЙ
Любое исследование далеких источников как с целью определения параметров Все
ленной (в частности средней плотности вещества и параметра ускорения), так и для
определения свойств самих источников, требует знания связи углового размера изображения,
абсолютного размера источника и величины красного смещения ζ. Эта зависимость
существенна и для объектов, разрешаемых телескопом, так как она входит в соотношение
между абсолютной светимостью и принимаемым излучением.
Только на малом расстоянии, при малом ζ можно пользоваться Евклидовой геометрией,
угол обратно пропорционален ζ, телесный угол обратно пропорционален ζ2.
Одним из важнейших способов определения современных космологических
параметров (отношения плотности вещества к критической Ω, параметра ускорения) является
исследование зависимости углового размера далеких галактик от их красного смещения.
Расчет этой зависимости, проделанный для полностью однородной Вселенной с Ω = 1,

390 Часть вторая. IX, Наблюдательные эффекты в космологии
показывает, что угловой размер проходит через минимум при z^Ih растет при ζ —* оо#
Я Б обратил внимание, что этот расчет верен только тогда, когда плотность вещества
внутри конуса, в котором виден удаленный объект, мало отличается от средней плотно»
сти вещества во Вселенной. Поскольку угол зрения мал, то и объем конуса невелик,
в результате чего велика вероятность того, что плотность вещества в конусе окажется
отличной от средней и, в частности, что конус окажется пустым. В работе «Наблюдения
во Вселенной, однородной в среднем» Я Б вычислил зависимость углового размера от
красного смещения в предельном случае пустого конуса. Полученная зависимость су·
щественно отличается от рассчитанной по полностью однородной Вселенной с Ω = 1,
она не имеет минимума и более похожа на зависимость в случае полностью однородной
Вселенной с Ω = 0 (модели Милна). В последующих работах В. М. Дашевского иЯБ1*
В. М. Дашевского и В. И. Слыша2* этот результат был обобщен на случай произвольного
Ω и наличия межгалактического газа.
Комментируемая работа интересна также и потому, что появляется наглядная фи·
зическая интерпретация эффекта увеличения углового размера как гравитационного
отклонения лучей материей внутри конуса («гравитационная линза»).
Любопытно, что после опубликования работы Я Б в откликах ученых США было
отмечено, что аналогичные соображения одновременно и независимо развивал известный
физик-теоретик Р. Фейнман. Позже задачу о влиянии неоднородного распределения
вещества вне светового конуса на яркость исследовал Рефсдал 3*.
г* Дашевский В. М., Зельдович Я. Б,— Астрон. журн., 1965, т. 41, с. 1071—1074»
2* Дашевский В. М., Слыш В. #.— Астрон. журн., 1965, т. 42, с. 863—864.
3* Refsdal S.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1964, vol. 128, p. 295—306.
66
МЕЛКОМАСШТАБНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ*
(совместно с Р. А. Сюпяевым)
Возмущения плотности вещества в однородной и изотропной
космологической модели, приводящие к образованию галактик, должны на еще более
ранней стадии эволюции вызывать пространственные флуктуации
реликтового излучения. Дж. Силк предположил, что между возмущениями плотности
на момент рекомбинации первичной плазмы и флуктуациями наблюдаемой
температуры излучения имеется адиабатическая связь oTlT = (6pw/pm)/3.
В предлагаемой работе показано, что такая простая связь не имеет места
вследствие:
1) немгновенности рекомбинации;
2) того, что когда области с Μ < ΙΟ15 ΜΘ становятся прозрачными для
излучения, еще велика оптическая толща до наблюдателя по томпсоновско-
му рассеянию;
3) скачкообразного увеличения 6pw/pw в ходе рекомбинации.
В результате ожидаемые флуктуации температуры реликтового
излучения должны быть меньше адиабатических. В статье вычислено δΤ/T, возни-
* Astrophysics and Space Science, 1970, vol. 7, N 1, p. 1—20.

66. Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения 391
кающее при рассеянии излучения в движущихся электронах; поле скоростей
генерируется адиабатическими или энтропийными возмущениями плотности.
Оценены также флуктуации реликтового излучения, возникающие при
вторичном разогреве межгалактического газа.
Детальное исследование спектра флуктуации, в принципе, может
позволить выяснить природу первичных возмущений плотности, так как
адиабатическим возмущениям свойственна своеобразная периодическая
зависимость спектральной плотности возмущений от длины волны (массы).
Практически наблюдения весьма трудны из-за малости эффекта и из-за наличия
флуктуации, связанных с дискретными источниками радиоизлучения.
1. ВВЕДЕНИЕ
В современной горячей модели Вселенной предполагается, что в далеком
прошлом, до рекомбинации первичной плазмы, во времена,
соответствующие красному смещению ζ ~ 1000, галактик не было, а возникновение
галактик связано с незначительными отклонениями от строгой однородности,
существовавшими в тот период.
В первом приближении можно считать, что после рекомбинации протонов
и электронов «вещество» — нейтральные атомы — не взаимодействует с
излучением, и реликтовое излучение (имеющее в настоящее время среднюю
температуру 2,7 К) непосредственно приносит нам информацию о состоянии
при ζ ~ 1000. В частности, отклонения температуры от средней в
зависимости от направления наблюдения, проводимого сейчас с Земли, характеризуют
именно отклонения от однородности, т. е. зависимость физических величин
от координат в пространстве на ранней стадии.
Эти отклонения в дальнейшем (после рекомбинации) возрастают за счет
гравитационной неустойчивости. За момент образования обособленных
объектов разумно принять время возникновения областей с плотностью, по
крайней мере, вдвое больше средней, т. е. δρ/ρ ~ 1. Предполагается, что это
произошло сравнительно недавно (в логарифмической шкале времени) при ζ ~
~ 2 -ь- 10.
В таком случае для возмущений в момент рекомбинации получается
оценка δρ/ρ ~ 10~2 ч- 10~3, т. е. можно говорить о малых возмущениях. Для
характеристики изначальной неоднородности представляют интерес не только
те возмущения, которые привели к образованию галактик и скоплений
галактик, интересен полный спектр возмущений.
Сами возмущения могут быть качественно различной природы:
1) возмущения плотности ядер и электронов pw на фоне постоянной
плотности квантов рг (так называемые энтропийные возмущения);
2) волны сжатия и разрежения плазмы как целого, с одновременным
изменением pw и рг (адиабатические возмущения);
3) турбулентные движения плазмы;
4) хаотические магнитные поля, а может быть, и другие типы
возмущений.
Различные типы возмущений эволюционируют по-разному в плазменном
периоде (ζ ^> 1400) и дают различные предсказания относительно
образования галактик и флуктуации реликтового излучения Дж. Силк [14—16]
первым сделал количественные предсказания, относящиеся к адиабатическим
возмущениям. Его результаты получены в предположении, что
рекомбинация первичной плазмы происходит весьма резко, при определенном zr. Рань-

392 Часть вторая. IX. Наблюдательные эффекты в космологии
ше по времени, при ζ ^> zr, предполагается точная адиабатичность, так что
Wpm = ЗбГ/Г, брг/рг = 46Г/Г.
После, при ζ < zr, вещество полностью прозрачно, и наблюдатель
непосредственно измеряет 6Г/Г, достигнутое на момент ζ = zr. С другой стороны,
в дальнейшем, в силу гравитационной неустойчивости, δρ/ρ растет
пропорционально (/ + я)"1, так что
(бр/р)*г = [(1 + z0)/zr] (δρ/ρ)0 = (1 + z0)/zr
(по определению z0, в этот момент δρ/ρ = 1). Ясно, что измерения
флуктуации реликтового излучения позволяют судить о времени образования
галактик, если только излучение не взаимодействует после рекомбинации с
веществом.
В действительности рекомбинация не может происходить мгновенно.
Даже если бы она шла по равновесной формуле Саха, то результаты Дж. Силка
нуждались бы в существенных исправлениях.
К тому же, как показали детальные расчеты [4, И], рекомбинация
водорода во Вселенной происходит не по равновесной формуле Саха, а гораздо
медленнее. Когда протогалактика или протоскопление галактик становятся
прозрачными для излучения, оптическая толща по томсоновскому рассеянию
вещества между протообъектами и наблюдателем еще очень велика,
вследствие чего флуктуации температуры реликтового излучения сглаживаются.
Здесь под протообъектом мы понимаем небольшие на момент рекомбинации
возмущения плотности, охватывающие массы, которые в дальнейшем
превращаются в соответствующие современные объекты.
Тезис о малой величине рассмотренных Дж. Силком адиабатических
флуктуации подтверждается и скачкообразным увеличением амплитуды
возмущений плотности в ходе рекомбинации.
Рассмотрение процессов, происходивших до рекомбинации, приводит
к следующей картине: на поздней стадии расширения амплитуда возмущений
плотности оказывается периодической функцией длины волны (массы).
Такая картина была ранее получена в [6] для холодной модели Вселенной.
Наряду с возмущениями плотности имеют место и пекулярные движения
плазмы (связанные, в частности, с этими возмущениями), наложенные нэ
общее космологическое расширение. Величина δΤΐΤ о которой говорилось
выше, представляет собой изменение температуры, измеряемой наблюдателем,
движущимся вместе с плазмой: земной наблюдатель обнаружит также
изменение интенсивности (флуктуации) за счет доплер-эффекта, равное δΤΐΤ =
= (и/с) cos θ, где и — скорость плазмы, θ — угол между вектором скорости
и направлением на наблюдателя.
Условимся на протяжении всей статьи называть δρ/ρ — возмущениями
плотности, а δ ΤΙ Τ — флуктуациями температуры.
Вследствие немгновенности рекомбинации, адиабатические возмущения
температуры сглаживаются и эффекты, связанные с наличием пекулярных
скоростей, определяют наблюдаемые флуктуации температуры реликтового
излучения, связанные с первичными возмущениями. Так как на послереком-
бинационной стадии рост адиабатических и энтропийных возмущений
плотности следует одному и тому же закону, оказываются одного порядка скорости
пекулярных движений и флуктуации температуры излучения,
относящиеся к различным видам возмущений. В приближении Дж. Силка
энтропийные возмущения не дали бы никакого эффекта.

66. Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения
393
Весьма вероятно, что при образовании современных объектов, т. е. когда
возмущения плотности стали большими (δρ/ρ) ^ 1, произошли вторичный
разогрев и ионизация газа. Ионизированный газ за счет томсоновского
рассеяния уменьшает амплитуду флуктуации излучения, приходящих с
периода ζ ~ 1000. С другой стороны, этот ионизованный газ при малых ζ сам
создает флуктуации излучения как за счет своего макроскопического движения,
так и, при наличии неоднородностей нагрева, за счет теплового движения
электронов.
В заключении сравниваются все описанные выше, а также
гравитационные эффекты, вычисленные в [13]. Гравитационное действие на свет при
одних и тех же значениях δρ/ρ много меньше, чем описанные выше эффекты,
но оно продолжается и тогда, когда вещество становится полностью
прозрачным для излучения. Оно существенно для больших масс.
2. РЕКОМБИНАЦИЯ И ЕЕ ВЛИЯНИЕ
НА ВОЗМУЩЕНИЯ ПЛОТНОСТИ
И ФЛУКТУАЦИИ ТЕМПЕРАТУРЫ
В этой части и далее будут использованы следующие обозначения: ζ —
красное смещение,
Ω = р/рс = п/пс
— современная безразмерная средняя плотность вещества во Вселенной,
рс = 3H20/8nG = 2 · 10"29 г/см3, пс = 10"5 см"3
— критическая плотность, Н0 = 10~10 лет"1 — постоянная Хэббла, То =
= 2,7 К — современная температура реликтового излучения, / = 13,6 эВ —
потенциал ионизации атома водорода, и; = 8 с"1 - вероятность
двухбайтового перехода в атоме водорода из 25-состояния в основное Η (2s) ->
->- Η (is) + Vi + Y2· Концентрации соответствующих частиц обозначены
символами р, е, Н; рг и рт — плотности энергии излучения и вещества. При
современной температуре излучения Т0 = 2,7 К в ходе расширения Вселенной
рг и pw сравниваются при ζ = 4·104 Ω = ζλΩ. На стадии до рекомбинации
первичной плазмы скорость звука зависела от соотношения между рг и pw:
а8 = (с/УЗ) (yr4Pr/(4pr + 3pw)) = (с/ \ГЩ (1 + 3pm/4pr)-V2 =
= с/|/3(1+3^/44
1. Скорость рекомбинации. Решая уравнение рекомбинации (4) из
работы [4] легко найти, что в области 900 < ζ < 1500
х (ζ) = ρΙ(ρ + Η) = el(e + Η) = A exp (—Blz)lffl*z, (1)
где
A = (2nmekT0)^H0I/iwnekT0hs = 6-106,
В = IJkT0 = I/4kT0 = 1,458-104.
Это аналитическое решение получается из следующей физической картины.
При zr ~ 1500 (Tr = T0z = 4000 К), согласно равновесной формуле Саха,
ρ = е = Η. В ходе дальнейшего падения температуры при расширении Все-

394 Часть вторая, IX, Наблюдательные эффекты в космологии
ленной формула Саха перестает описывать ход рекомбинации. В равновесии
с протонами, электронами и излучением находятся лишь возбужденные
уровни атома водорода; скорость рекомбинации определяется двухквантовыми
распадами уровня 2s и описывается уравнением
dp/dt = — ЗН/> — wH2s; Н28 = const- p2e'B'\ (2)
решением которого является формула (1). При ζ < 900 равновесие между
H2S и свободными протонами и электронами нарушается: время ионизации
с уровня 2s квантами и электронными ударами становится больше иГ1,
поэтому решение (1) верно лишь в области 900 < ζ < 1500.
Оптическая толща Вселенной по томсоновскому рассеянию равна
ζ
τ (ζ) = аг/*аТпесЩг $ η1/.* (η) dx\ = τ0 + а&чт*!*, (З)
о
где
а = аг,*атпесЩгА/В = 27,3.
Константу
900
τ0 = ΩV2σΓAгccЯo1 $ χ (ζ) ζ1/* dz = 0,4
о
легко найти по формулам для χ (ζ) при ζ < 900, приведенным в [4].
2. Ослабление флуктуации. Найдем момент ζ2, когда интересующий нас
протообъект с массой
Μ = 4πρ (ζ2) Ζ3 (ζ2)/3
становится прозрачным (условие прозрачности: Ωστ1 (ζ2) пс2% ~ 1)
ζ2 = 4,4·104/(7,5 + In [AfQV./Af0]). (4)
Формула (4) верна лишь для Μ > ΙΟ9 ΜΘ, когда ζ < 1500 и применима (3).
Очевидно, что адиабатическая связь
δ TIT = 6Pw/3Pw
будет нарушена, и температура выровняется несколько раньше момента z2.
Итак, z2 тем больше, чем меньше масса М. С другой стороны, в этот момент
оптическая толща до современного наблюдателя еще велика, и
адиабатические флуктуации излучения, связанные с массами, меньшими 2·1015 Ω""1/»,
будут сильно ослаблены последующими рассеяниями в е~х раз, где
х = 0,4 + 8,3-104 (ΜΩν2/ΜΘ)-ν3 = 0,4 + (6-1014 Af©/AfQV.)V.. (5)
К примеру, эффект от одиночной галактики, подобной нашей, с Μ = 1011 ΜΘ
при плотности Ω = 0,1 будет ослаблен в 1011 раз.
Ниже нам понадобится функция
ег* άτ/dz = Gt^cH^Az-^ ехр {— az*l*e~Blz — В/ζ — τ0}, (6)
которая, согласно (3), имеет острый максимум при zmax = 1055
(e-tdT/dz\z=Zmax = 3,32.lO-*)
и экспоненциально уменьшается в обе стороны, причем значение функции
падает до половины максимального к z3 = 960 и z4 = 1135. В дальнейшем

66, Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения
395
нам будет удобно аппроксимировать ее гауссовой функцией с дисперсией
ог = 75, интеграл ее, очевидно, тождественно равен 1.
3. Скачок амплитуды возмущений. В ходе рекомбинации возрастают
и амплитуды самих возмущений плотности. До рекомбинации джинсовская
длина волны была равна
λJ = as jAx/G(pr + pm) ж (c/fG) Yir/(pr + pm) ж
ж (ο/ΥσΡο)/[ΥΖιΩ (1 + (ζ/ΖιΩ))].
Отметим, что в период ζ ^> ζ1, Ω (рг ]> pw) она была порядка ct. Джинсовская
масса вещества равнялась
Mj = npmX3j/6 = 10" [Q-«/(l + (ζ/ΖιΩ))3] Μ®, (7)
т. е. росла с уменьшением ζ вплоть до ζχΩ, а затем практически не менялась.
В меньшем масштабе возмущения плотности представляли собой
звуковые волны амплитуды δρ/ρ, которая была связана со скоростью движения
вещества и соотношением
δρ/ρ|ίοη = JGTw/ω, (8)
где К — волновой вектор, ω = а8К, а усреднение по времени в пределах
полупериода.
δρ/p lion И δρ/p |neutral
соответствуют возмущениям плотности в период рекомбинации, до и после.
После рекомбинации длина волны Джинса, определяемая только
давлением плазмы, падает (mj = 105-~ ΙΟ6 ΜΘ) и возмущения, соответствующие
массам, большим mj, растут ~ft*. Используя уравнение неразрывности (см.
ниже), можно показать, что
δρ/p |neutral ~ 3tKu/5, (9)
где t соответствует гидродинамическому времени в период рекомбинации,
а волновое число
К = 103#0 (ΙΟ^Μφ/ΜΩ-ψ'/ο,
δρ/ρ выходит на ассимптоту δρ/ρ |neutrai за гидродинамическое время.
Сравнивая (8) и (9), видим, что рекомбинация водорода во Вселенной
приводит к увеличению амплитуды возмущений плотности, так как скорости
вещества не могут сильно измениться
frVPlneutral _ 3 у, _ / ^j (*r) \У» _ (2-10»Ω/Μ )*'■ п
δΡ/Ρ lion -Τ"α«Δί-1 Μ ) - 1 + 27Ω * <1U'
При Ω = 0,1 и!= ΙΟ11 Mq это отношение близко к 2· 102, что подтверждает
тезис о малости первичных флуктуации температуры излучения
(δΤ/Τ < δρ/Зр [neutral)·
Формула (10) верна лишь для масс Μ < Mj (zr).
4. Периодическая зависимость амплитуды возмущений плотности и
флуктуации температуры от масштаба. Приведенная выше картина является лишь
грубым приближением, поскольку не рассматривались фазовые соотношения
между возмущениями плотности и скорости в стоячих волнах в
ионизованной плазме. Как упоминалось во введении, в [6] было показано, что
амплитуда возмущений вещества на поздней стадии, когда давление не играет роли

396 Часть вторая. IX. Наблюдательные эффекты в космологии
Ъггс \~
а*
15
L
гее
10
5
: Ц
^ у\
- ^\/£Л
.Mill!,!.
а +
I I I I._L1_LU
О
Mj(tn
цм/м@
5 10 15
Ц(м/Ю
Рис. 1
Диаграмма неустойчивости в горячей модели
Правее линии Mj (0 — область неустойчивости, левее — область устойчивости. Два дополнительных
графика демонстрируют эволюцию возмущений плотности со временем: рост до того момента, пока
рассматриваемая масса меньше джинсовской, и колебания после. Видно, что к моменту рекомбинации
возмущения, соответствующие разным массам, приходят с разными фазами
Рис. 2
Зависимость квадрата амплитуды возмущений плотности вещества от масштаба
Сплошной линией обозначена обычно предполагаемая зависимость 6р/р~ЛГп. Очевидно, что флуктуации
реликтового излучения должны зависеть от масштаба подобным образом
(в нашем случае — после рекомбинации), оказывается периодической
функцией длины волны. Эта характерная зависимость накладывается на обычно
предполагаемую степенную зависимость.
Из выражения для зависимости джинсовской массы от красного
смещения найдем zj — момент, когда данная масса Μ равнялась джинсовской:
zj = QZl [(1016Q-2/ikf)Vs _ l]#
В период между zj и zr адиабатические возмущения плотности данного
масштаба представляли собой стоячие звуковые волны. Волны,
соответствующие разным масштабам, имели разные частоты, время существования их
также было различным (см. рис. 1). В результате к моменту рекомбинации
звуковые волны должны были приходить с фазой, зависящей от масштаба, т. е.
возмущения плотности (и связанные с ними возмущения скорости и
флуктуации температуры излучения) должны зависеть от массы протообъекта (рис. 2).
На предыдущем этапе до момента zj амплитуда возмущений плотности
росла, именно из-за присутствия лишь растущей моды звуковые волны на
стадии zr < ζ < ζj должны быть стоячими:
(^)*~Η5ωΛ+φ*)'
ζ ζ
Щ (ζ) ~ c°s (\ ω dt + щ) = sin ί \ ω dt + <pfc -f -у-j.
(П)
*J

66. Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения 397
Условия сшивки обеспечивают на момент zj разную фазу для звуковых волн
всех масштабов. Отметим, что (tot)ZJ не зависит от &, так как ω = ask, a ast ~
~ λj ~ к j .
Тогда на момент рекомбинации zr
(ap/p)fe ~ sin φΓ, щ ~ cos φΓ.
Учитывая, что zr ^ ζχΩ для всех возможных Ω, находим х
"г
l/"3 V^Qz^o
ZJ
где
Φι = Φο — M)ZJ.
Теперь легко найти нули функций sin qpr и δρ/ρ (Λί)
qpr = πη, &&0 + Φι = яи, &0 = (яи — Φι)/& (га = 0, 1, 2, . . .(,
что соответствует уравнению
(Mj/Mq)1'* = пп — φι,
MJMj = 1/(πη — φι)^Μ ж (πη)"3. (12)
Нули функции и (Μ) будут сдвинуты:
Mo/Mj = {(η + 1/2) π - φιΓ3. (13)
В разд. 1 было показано, что скачок амплитуды возмущений плотности
во время рекомбинации связан с наличием скорости, поэтому реальное
распределение объектов по массам должно описываться последней формулой.
Наблюдать такое распределение едва ли удастся, так как масса галактики
Μ ~ ΙΟ11 ΜΘ при Ω = 1 соответствует η ~ 15, а при Ω = 0,1 — η ~ 70
и AMI Μ <^ 1. В случае Ω = 1 этот эффект дает AM ~ Μ для скоплений
галактик, но возможно, что он маскируется процессами на поздней стадии
расширения Вселенной.
Зависимость от масштаба амплитуды возмущений плотности и скорости
движения вещества должна отразиться и на флуктуациях реликтового
излучения. Этот вопрос мы собираемся рассмотреть в другом месте. Отметим
лишь, что наблюдения мелкомасштабных флуктуации реликтового
излучения, периодически зависящих от масштаба, могут дать информацию о
возмущениях плотности больших масштабов, которые, возможно, малы и на
сегодняшний день.
Эффект, рассмотренный в данном пункте, имеет место лишь для
адиабатических возмущений плотности, его обнаружение позволило бы сделать выбор
между возмущениями плотности различной природы.
г
1 Мы заменяем \ ω dt на ωί \ζ — ωί \2 , что значительно упрощает выкладки и не
меняет существенно результаты.

398 Часть вторая» IX» Наблюдательные эффекты в космологии
3. НАБЛЮДАЕМАЯ КАРТИНА ПЕРВИЧНЫХ ФЛУКТУАЦИИ
В первой части статьи было показано, что адиабатические флуктуации
температуры малых масштабов сильно подавляются в ходе рекомбинации.
Ниже будут рассмотрены флуктуации, связанные с движением вещества во
время рекомбинации.
1. Рассеяние на движущемся веществе. Для любых заданных возмущений
плотности по уравнению неразрывности можно найти соответствующие им
скорости движения вещества
д (δρ/ρ)/3ί = div U. (14)
Рассеяние квантов на движущихся электронах приводит к изменению их
частоты (зависящему от направления движения) вследствие эффекта Доплера.
Эффект в первом приближении пропорционален оптической толще
движущегося вещества и ослабляется, как уже говорилось в предыдущем пункте,
из-за последующих рассеяний при распространении излучения от протообъ-
ектов к наблюдателю, т. е.
оо
ЬТ/Т = J [ut (ζ) e-tV άτ/dz] άζ, (15)
о
где иг — проекция скорости на направление луча и интегрирование
производится по лучу г = г (z), t = t (ζ), θ = const, φ = const. Функцию ё~х (άτ/dz)
мы нашли ранее, см. формулу (6).
Весь эффект (15) набирается в области максимума функции (6).
Максимальный эффект дают объекты, для которых в пределах гауссовой кривой не
меняется знак иг. Это имеет место для возмущений, охватывающих массы
с Μ > Mmax:
Afmax = ЙРс4ах [сЩ1 ] ΖΓ™Ω~<>* dzj= 7 . 10"Q-V.M Θ. (16)
Для меньших объектов надо учитывать знакопеременность иг.
Ниже будут вычислены интересующие нас среднеквадратичные
флуктуации температуры излучения.
Представим возмущения плотности и связанные с ними скорости
вещества в виде интегралов Фурье:
δρ/ρ = (2π)~3 J аре**>га3р,
и/с = (2я)"3 J Ъре1»г dsp, (17)
причем, безразмерную переменную г определим следующим образом:
г = 1 — RH0/2c = (1 + Ω*)-*/», (18)
где
U
R = J а'1 (х) dx = 2с [1 — (t/toy/*]/H0 = 2с [1 — (1 + Ωζ)-ν·]/Η0
t
— сопутствующая координата горизонта, a (t) — радиус Вселенной. При
таком определении
Ζ_^ = 2.103^^)_ν> (19)
ι + * Но —*·™ ^ю»лг0

66. Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения
399
не зависит от ζ. В (19)
— масса, заключенная в пределах сферы с радиусом в половину длины
волны.
Согласно [2], возмущения после рекомбинации изменяются со временем
по закону
бр (f)/fip = F [(*/*,)'/. _ (t/tr)-1] (20)
при любом ζ < zr, если Ω = 1, и при ζ ^> (1/Ω), если Ω < 1. В (20)
предполагается, что до рекомбинации возмущения плотности δρ/ρ были малы, при
t = tr δρ/ρ (tr) = 0, и возмущения возникают благодаря наличию скорости.
Для нас интерес представляет растущая мода, при t^>tr
δρ (ί)/ρ ~ f/з - (1 + ζ)'1. (21)
Если наблюдаемые объекты образовались при ζ0 и δρ/ρ (ζ0) ~ 1, то из (21 *
следует, что
δρ (*)/р = (1 + *β)/(1 + ζ).
Так как р не зависит от ζ, по такому же закону изменяются и ар:
Щр?=(2п)-*^\ар\*а*р и а,~(1+*о)/(1 + з). (22)
При помощи уравнения неразрывности (14), используя (20) для момента
t = tr
ΙΆ^^^^η,ΡΗ^Ω^
и учитывая связь между физической координатой χ = ct и переменной г
2с '
div г* = (2π)"3 ^ ipbpe^r dsp -
находим искомое соотношение между ар и 6Р:
Ър = — Ы&11чг1*^ар. (23)
В этом расчете переход от адиабатических колебаний плазмы, связанной
с излучением, к росту возмущений предполагается происходящим
мгновенно: соответствующее время мало по сравнению с гидродинамическим.
Флуктуации температуры выражаются через флуктуации скорости
согласно (15), откуда, используя выражение (17) для и, найдем
6Т
-jr- - (2π)"3 ξ d*p jj (^-) exp (- τ + ipr) άτ = (2π)-» ξ cp d*p. (24)
Коэффициенты ср вычисляются следующим образом: представляя ё"1 (dxldz)
в виде гауссовой функции с максимумом в гтах = Ω"1/»^^ и дисперсией
ог и учитывая, что аг = σζζ^χΩ""1/2/2, стандартным способом получаем из
(22)-(24):
с, = 0,54 /Βπ'ΑΩ'ν cos θρ-'/^\χ (1 + ζ0) · exp [— ρ2σ| cos29/8zLxQ +
+ гJWmax] «ι> (ζο) == Cap (ζ„) cos θρ-*/. exp [— α cos2 θ/2 + iprmiix], (25)

400 Часть вторая. IX. Наблюдательные эффекты в космологии
где
α = ρ2σΙ/Αζ^ΆΧΩ.
Средний квадрат флуктуации температуры излучения равен
(Щ* = (2л)-« ξ ν d3p' ξ с, rf»i». (26)
Вследствие ортогональности волн с различными ρ и р', используя (25),
получаем
1
/-£LY = С2 (2я)"2 ί ρ-* dp \ cos2 θ exp (—α cos2 θ) d cos θ. (27)
о
Интеграл по углам легко вычисляется:
ι ι
/ = \ cos2 θ exp (— a cos2 θ) d cos θ = \ г/2 exp (— ay2) dy =
о о
где
χ
Ф(х) = -^[ег(М*)<И
v о
— интеграл вероятности. При больших а ^> 1, / = }/"π/4α3/*; при малых
α <<ζ 1, / ^ 1/3, а при α = 1 /^ 0,5.
Примем аппроксимацию (при этом мы завышаем в два раза
асимптотические значения δ ΤΙ Τ для малых и больших масс)
/V* = 2пг1Ч{УЪпг1* + 2а3/*) (28)
и отметим, что α = lj при ρ = ΙΟ3 Ω1/* и! = 8-1015 Ω-ν, Μ®. Из (25), (27),
(28), предполагая, что функция ар имеет максимум, соответствующий массе
Мщ получаем окончательно
WT2 о лп-* (Μ^/Μ^Μ^Ηΐ+ζο)
1 + 2,5 (1Ο16Μ0/ΜΩ1/2)1/2
Характерный угловой масштаб флуктуации определяется [5], как
θ = Z#0/2c\|) (ζ, Ω),
VI
ЖТ2 = 2.10-* W4WWV+'·) . (29)
где
ψ = [Ω* + (Ω - 2) (/1 + Ω* - 1)]/Ω2 (1 + ζ)2.
При ζ ^> 1/Ω, что имеет место в интересующем нас случае, учитывая, что
I = 2ЯС/Г1 (1 + z)~V#0> получаем
θ = 2πΩ//> ^ 10' (ΜΩ2/1015 ΜΘ)\ (30)
2. Обсуждение. Отметим особо, что возмущения, соответствующие
массам, малым по сравнению с ΙΟ15 ΜΘ, дают весьма малый вклад в δΤ/T; так,
например, для одного объекта с массой Μ = 1011 ΜΘ, в случае Ω = 1ибр/р =
= 1 при 20 = 2 при волновом векторе, направленном под углом θ = 45°

66. Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения 401
к наблюдателю, по формулам (6), (9) и (15) получим δΤΙΤ = 3-Ю"8. После
интегрирования по углам находим δΤΙΤ ~ 10"~8. Эффективно возмущения
проходят из области, абсолютный размер которой (при zmax = 1055 и oz =
= 75) порядка L ~ 1023 см. Протообъект с массой Μ = 1011 Mq имел в то
время размер I ~ 1021 см. Если на длине L укладывается N = LII
характерных длин и один объект дает эффект (δΤ/Τ)^ то, казалось бы, интегральный
эффект должен составить просто
δτιτ = γΉΓ(δτ/τ)1
по закону сложения случайных величин. Почему в предлагаемых расчетах
эффект гораздо меньше и иначе зависит от размеров и массы объекта?
Физически это означает предположение об определенной сильной
антикорреляции между скоростями движения вещества в соседних областях
пространства.
Вероятнее всего, что на расстояниях порядка размера объекта знак
скорости меняется на противоположный. Формально результат связан с тем,
что начальные адиабатические возмущения на весьма ранней стадии задолго
до рекомбинации задаются спектральной функцией ар. Нет оснований
считать, что эта функция сводится в целом или хотя бы при малых ρ к
постоянной величине (см. соображения об этом в [5]). То, что называют «естественным»,
«случайным» распределением, для которого справедлив элементарный закон
(δρ/ρ) ~ (1/]/"гс), Arc = Υ η (где η — число объектов в данном объеме),
соответствует ар = const. Степенному закону а (р) ~ р™ при m ^> 0
соответствует большая степень упорядоченности; например [18] при m = 2 Arc ~
~ 721/·, т. е. имеет место антикорреляция между флуктуациями в соседних
объемах.
По-видимому, такого рода зависимость а (р) при /?·^0 в
действительности имеет место в природе.
4. ФЛУКТУАЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ
СО ВТОРИЧНЫМ РАЗОГРЕВОМ ВЕЩЕСТВА ВО ВСЕЛЕННОЙ
После рекомбинации водород во Вселенной должен был оставаться
нейтральным. Однако в нашей окрестности вплоть до ζ ~ 2 нейтральный
межгалактический водород не обнаружен. Возможны варианты:
а) средняя плотность вещества во Вселенной значительно превышает
среднюю плотность вещества, вошедшего в галактики, которая соответствует
Ω = 1/45. Где-то при zh между zr = 1500 и ζ = 2 произошли вторичный
неравновесный разогрев и ионизация межгалактической плазмы; главная часть
плазмы осталась равномерно распределенной и не вошла в состав галактик.
Тогда оптическая толща этого ионизованного газа по томсоновскому рассея*-
нию
zh zh
τ = QoTnccH? J рЩ- dz = 6,65 · 10-Ω ] γ=^= dz (31)
о о]
может оказаться достаточной для сильного ослабления первичных
флуктуации излучения. Из-за больших потерь энергии ионизованной плазмой при
обратном комптон-эффекте электронов на квантах реликтового излучения
маловероятно, что разогрев произошел ранее ζ ~ 10 [20, 3], что дает t<2,
14 Я. Б. Зельдович

402 Часть вторая· IX. Наблюдательные эффекты в космологии
т. е. этот разогрев не мог более чем на порядок ослабить флуктуации
реликтового излучения, происходящие от возмущений при ζ ~ 1000;
б) вещество в основном сосредоточено в галактиках, средняя его
плотность крайне мала (Ω = 1/45). Даже если оно и было ионизовано до
образования галактик, τ должно быть крайне мало (τ <ξΞί 1);
в) межгалактический газ в скоплениях галактик определяет среднюю
плотность вещества во Вселенной. Так как нейтральный водород в
скоплениях галактик не обнаружен Η < 10"7 см"3 (Р. Аллен, 1968), то и этот газ
должен иметь высокую температуру, но и здесь τ < 1.
Обратимся к флуктуациям, возникающим за счет взаимодействия с
электронами на этой стадии (ζ < 10).
В работе [19] было показано, что при комптоновском рассеянии горячих
электронов на квантах реликтового излучения его спектр меняется,
увеличивается интенсивность при hv ^> 3,83 кТ, а в наиболее удобной для
наблюдения рэлей—джинсовской области интенсивность падает. Эффективная
температура при hv<^kT0
Τ = Т0е~2у, (32)
где параметр у определяют следующим образом:
у = J (кТе/щс*) άτ. (33)
Очевидно, что в варианте а неоднородность электронной температуры и
неоднородность разогрева плазмы в различных направлениях должны приводить
к флуктуациям температуры излучения, причем возможны наблюдаемые
эффекты даже при τ < 1; формулы, относящиеся к рэлей—джинсовской
области, верны даже при этом условии.
В варианте в значительный интерес представляет определение δ ΤΙ Τ в
направлении ближайших скоплений галактик.
Измерения мелкомасштабных флуктуации реликтового излучения
согласно (32) чувствительны к протяженным высокотемпературным объектам с
малой электронной плотностью; с повышением температуры плазмы оптическая
толща по тормозным процессам падает, а параметр у и δΤΙΤ растут:
интенсивность рентгеновского и радиоизлучения пропорциональна квадрату
электронной плотности, а у — первой степени. Уменьшение интенсивности
в рэлей—джинсовской части спектра реликтового излучения вблизи
рентгеновских источников решило бы вопрос о механизме излучения и позволило
бы точно определить размеры источников. Так, например, наличие в
скоплении галактик межгалактического газа с температурой 3·108Κ и пе =
= 10~3 см"3 при диаметре скопления 1025 см [9] привело бы к δΤ/Τ = —2у =
= —10~3. Знак эффекта (понижение Т\) и большие размеры скопления,
которые позволяют устранить вклад наиболее ярких радиоисточников, дают
возможность проверить интерпретацию рентгеновских данных.
Из рентгеновских измерений фонового излучения получены ограничения
температуры межгалактического газа при Ω ~ 1; Те < 10° (1 + ζ) К [12, 1].
С другой стороны, существующие наблюдения флуктуации реликтового
излучения, дающие δΤΙΤ < 10"3 в масштабе 10' -ь 15° [17, 8] указывает на
отсутствие в исследованных областях неба протяженных объектов с
температурами, превышающими 108 К. Последняя оценка не зависит от ζ, так как у
есть функция отношения кТе/тес2

66. Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения 403
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При Μ < 1015Ω""*/2 ΜΘ из-за ослабления адиабатических флуктуации
излучения последующими рассеяниями первичные флуктуации будут
определяться эффектом рассеяния на движущемся веществе и будут равны в
случае адиабатических и энтропийных возмущений:
У (δΤ/Τ)2 = 10"6 (AfQVvlO15ikf0)5/· (l + *0)f (34)
где z0 соответствует моменту, когда δρ/ρ ~ 1. Но при Μ ^> 1015 Ω~ν* MQ
и больших Ω адиабатические флуктуации излучения даже с учетом скачка
амплитуды возмущений плотности при рекомбинации становятся одного
порядка с флуктуациями, связанными с движением вещества. Это легко
увидеть, сравнивая формулы (9), (10), (15).
Приведем для сравнения две формулы для Μ ^> ΙΟ15 Ω"1/* ΜΘ:
1) эффекты, связанные с движением
У(δΤ/Τ)2 = 2 · 10"δ (ilf QV./10»Jlf 0)V. (1 + z0). (35)
2) адиабатические флуктуации
Υ{δΤΐΤ)2 = 10~β (1 + 27Ω) (Μ Ω-νΐ015ΜΘ)ν. (1 + Ζο). (36)
Вторая формула верна лишь для масс, меньших Mj (zr) (т. е. меньше
джинсовской массы в дорекомбинационный период). Для Μ ^> Mj вновь
важнейшими становятся эффекты рассеяния на скорости: они, как и скорость,
растут пропорционально ЛГ/>, в то время как адиабатические возмущения
температуры в этой области уже не зависят от массы:
Υ{δΤ!Τγ = 2. ΙΟ"5 (ΜΩ^/ίΟ^Μ 0)V. δορ/ρ, (37)
где δ0ρ/ρ — возмущения плотности, соответствующие в настоящее время
(если Ω = 1 или при Ω < 1 в момент ζ ~ 1/Ω) объектам с массой Μ ^>
> Mj (zr) = ΙΟ16 Ω"2 Μ®.
Энтропийные возмущения плотности после рекомбинации ведут себя
так же, как и адиабатические. Связанные с ними флуктуации температуры
возникают при рассеяниях на движущемся веществе и описываются
формулой (29).
Используя вид функции е~х (dxldz) (6), можно легко вычислить
флуктуации температуры реликтового излучения при любом заданном распределении
скоростей.
В [13] для случая Ω = 1 оценены флуктуации температуры реликтового
излучения, возникающие из-за гравитационного действия близких объектов
(гравитационные эффекты на ранней стадии расширения малы вследствие
роста флуктуации плотности):
δΤΙΤ = 2·КГ6 (М/1015 М0)2/збоР/р. (38)
Сравнивая (35), (36) и (38), видим, что в случае Ω = 1 флуктуации
излучения, образовавшиеся в период рекомбинации, превышают гравитационные
эффекты вплоть до масс порядка 1018 М®. В случае Ω = 1 существующие
экспериментальные данные δΤΙΤ < 10"3 в масштабе θ ~ 10' -г- 15° [17, 8]
противоречат δρ/ρ ~ 1 для масс Μ ^> ΙΟ19 ΜΘ.
14*

404 Часть вторая» IX. Наблюдательные эффекты в космологии
В таблице сравниваются флуктуации излучения, соответствующие
одним и тем же возмущениям плотности вещества, но обусловленные
различными физическими эффектами. В пятом столбце даны вероятные значения
возмущений температуры, связанных с пекулярным движением наблюдателя
(т. е. нашей Галактики) относительно реликтового излучения. Это движение
должно проявляться в виде 24-часового периода. Обследование в одной
плоскости дало [17] для этой величины δΤ/Τ |24л ^ 10~3. Из таблицы видно,
что отсутствие наблюдаемого движения и 24-часовой асимметрии дает
наиболее жесткие ограничения на возмущения наибольшего масштаба.
Масса
объекта,
1
Флуктуации темпера
туры реликтового излучения
Причина возникновения флуктуации
Адиабатическ ая
связь
2
Рассеяние на
движущемся
веществе
3
Гравитационное
воздействие
Доплеровская
скорость
наблюдателя
Возмущение
плотности вещества
4 | 5 | 6
ЮН
ΙΟΙ3
1016
1016
ΙΟΙ7
1019
Юн
Ю13
1016
1016
1017
Ю19
5
3
2
2
5
3
4
Ю-13
. ΙΟ"7
Ю-4
10-е
Ю-б
Ю-б
Ю-13
. Ю-7
Ю-4
ΙΟ"7
Ю-б
Ю-б
3
2
5
ΙΟ"8
Ю-б
Ю-5
Ю-б
10-е
Ю-б
ю-8
Ю-б
Ю-4
Ю-б
Ю-б
Ю-б
Ω = 1
2 . Ю-7
4 . ΙΟ"7
Ю-4
Ю-4
5 . Ю-4
2 . ΙΟ"3
Ω = 1/45
(γ/ρ = 1
при
ζ0 = 2
δ0ρ/ρ=0,1
при
ζ=0
δρ/ρ = 1
при
ζ0 = 45
δ0ρ/ρ = 0,1
при
ζ = 0
Необходимо, однако, подчеркнуть специфику этого измерения: данные
о скорости относительно реликтового излучения мы, в принципе, можем
получить лишь для одного объекта — нашей Солнечной системы. Остается
возможность и того, что при средней по всем галактикам пекулярной скорости
й, случайно скорость нашей галактики меньше и0. Априорная вероятность
этого порядка а < (и0/й)2 при измерении в одной плоскости, как это
сделано в настоящее время (две компоненты и0). Если при измерении в двух
перпендикулярных плоскостях (все три компоненты) по-прежнему останется
скорость меньше и0, получим вероятность а < (и0/й)3. Для и0 = 200 км/с,
задаваясь а ^> 0,01, найдем й < 1000 км/с = 3-10"~3-с.
Рассеяние квантов реликтового излучения на горячих электронах в
скоплениях галактик может привести к флуктуациям температуры реликтового
излучения δ77Г ^ ΙΟ"4 -τ- 10"5, так как наблюдаемое фоновое рентгеновское
излучение противоречит аномально высоким температурам газа в
скоплениях галактик при любом ζ < 4. Таким образом, трудно ожидать ЬТ1Т^>
^> 10~5 от наблюдаемых объектов с массой Μ < 1015 MQ. В то же время,
флуктуации фонового излучения, обусловленные наличием дискретных ис-

66, Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения
405
точников радиоизлучения, превышают 10"4 -г- 1СГ5 и затрудняют
обнаружение эффектов, связанных с образованием наблюдаемых объектов [10].
Авторы благодарны А. Ф. Илларионову за обсуждения.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 11 сентября 1969 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вайнштейн Л. Α., Сюняев Р. А.— Космич. исслед., 1968, т. 6, с. 635:
2. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б.— Астрон. журн., 1963, т. 40, с. 807.
3. Дорошкевич А. Г., Сюняев Р. Α.— Астрон. журн., 1969, т. 46, с. 20.
4. Зельдович Я. Б., Курт В. Г., Сюняев Р. А.— Журн. эксперим. и теорет. физики,
1968, т. 55, с. 278.
5. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967.
6. Сахаров А. Д.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1965, т. 49, с. 345.
7. Allen R. /.— Nature, 1968, vol. 220, p. 147.
8. ConklinE. К., Bracewell R. Ν.— Nature, 1967, vol. 216, p. 777.
9. FeltenJ. £., Gould R. G., Stein W. Α.— Astrophys. J., 1967, vol. 146, p. 955.
10. Longair M. S., Sunyaev R. Α.— Nature, 1969, vol. 223, p. 719.
11. Peebles P. J. E.— Astrophys. J., 1968, vol. 153, p. 1.
12. Rees M., Sciama D., Setti G.— Nature, 1968, vol. 217, p. 326.
13. Sachs R. K., Wolf A. M.— Astrophys. J., 1967, vol. 147, p. 73.
14. Silk J.— Astrophys. J., 1967a, vol. 151, p. 459.
15. Silk J.— Nature, 1967b, vol. 215, p. 1155.
16. Silk /.— Nature, 1968, vol. 218, p. 453.
17. Wilkinson D. Г., Partridge R. В.— Nature, 1967, vol. 215, p. 719.
18. Zeldovich Υ а. В.— Adv. Astron. and Astrophys., 1965, vol. 3, p. 241.
19. ZeldovichYa. В., Sunyaev R. A.— Astrophys. and Space Sci., 1969, vol. 4, p. 302*
20. Сюняев P. Α.— Докл. АН СССР, 1968, т. 179, с. 45.
КОММЕНТАРИЙ
Соотношение между амплитудой угловых флуктуации реликтового излучения и
структурой наблюдаемой Вселенной является центральным вопросом космологии на
современном этапе. Флуктуации реликтового излучения в масштабе меньшем одного
градуса дуги дают нам уникальную информацию о возмущениях плотности и скорости
вещества в далеком прошлом — в период рекомбинации водорода во Вселенной. Именно
наблюдения флуктуации доказали, что в тот период Вселенная была в высшей степени
однородна. Данные наблюдений зависимости AT/T от угла должны, в принципе, дать
нам начальные данные для полного описания эволюции структуры Вселенной до
современного состояния. Однако без учета всей количественной сложности на этом пути
возможны ошибки, приводящие к принципиально неверным выводам. Комментируемая
статья положила начало детальному исследованию вопроса.
В работе получено асимптотическое решение, описывающее темп рекомбинации
водорода на наиболее интересной ее стадии, определяющей появление мелкомасштабных
флуктуации реликтового излучения, максимальную длину волны адиабатических воз·
мущений плотности, затухающих из-за лучистой вязкости и теплопроводности.
В литературе до сих пор широко обсуждаются три эффекта, впервые отмеченные в
данной работе (см. например, работу П. Пиблса 1Нс, статью В. Б. Джонса и Р. Визе 2*):
1) замывание первичных адиабатических флуктуации реликтового излучения вслед·
ствие немгновенности рекомбинации в масштабах, меньших горизонта на момент ре ком·
бинации;
2) периодическая зависимость амплитуды возмущений от их масштаба в масштабах,
меньших горизонта на момент рекомбинации. Независимо она была найдена Пиблсом
и Ю 8* в результате численных расчетов;

406 Часть вторая. IX. Наблюдательные эффекты в космологии
3) скачок амплитуды адиабатических возмущений плотности в результате
рекомбинации, связанный с резким изменением скорости звука.
В комментируемой статье дан общепринятый ныне метод расчета мелкомасштабных
флуктуации реликтового излучения. Показано, что первичные адиабатические
флуктуации ΔΤ/Τ в малых масштабах замываются в ходе рекомбинации.
Общепризнанно, что статья является одной из основополагающих работ по теории
возникновения мелкомасштабных флуктуации реликтового излучения. Это отмечается,
например, в одной из лучших наблюдательных работ 4*.
Кроме того, в статье впервые указано на эффект понижения яркости реликтового
излучения в направлениях на скопления галактик. В этой же работе впервые показано,
что неоднородности нагрева горячего межгалактического газа приводят к флуктуациям
реликтового излучения. Эта тема в данное время интенсивно разрабатывается Хоганом δ*.
Продолжаются интенсивные теоретические и экспериментальные исследования.
Эксперименты ведутся как на наземных радиотелескопах, с высотных баллонов, так и с
космических аппаратов. Здесь следует отметить успешный эксперимент «Реликт» на
спутнике «Прогноз-9»,6*.
1# Пиблс Ф. Дж. Э. Структура Вселенной в больших масштабах. М.: Мир, 1983. 408 с.
2* Jones В. J. Г., Wyse R.F. G.— Month. Not. Roy. Astron. Soc, 1983, vol. 123,
p. 171-182.
8* Peebles P. J. E., Yu I.— Astrophys. J., 1970, vol. 162, p. 815—836.
4* Uson /., Wilkinson D.— Astrophys. J., 1984, vol. 283, p. 471—478.
6* Hogan С J. — Astrophys. J. Lett., 1984, vol. 284, LI—L5.
6* Струков И. Α., Скулачев И. П.— Письма в Астрон. журн., 1984, т. 10, с. 3—13.
67
НАБЛЮДЕНИЯ РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
КАК ТЕСТ ПРИРОДЫ
РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ОТ СКОПЛЕНИЙ ГАЛАКТИК*
(совместно с Р. А. Сюняевым)
Недавно было открыто рентгеновское излучение от ряда скоплении
галактик (Кома, Дева, Персей) [1]. Предполагается, что эти скопления
галактик образуют важный класс мощных рентгеновских источников и, возможно,
обеспечивают главный вклад в рентгеновское фоновое излучение во
Вселенной [2]. Какова природа этих источников? Какие физические процессы
производят наблюдаемое рентгеновское излучение?
Наиболее вероятными механизмами являются либо тормозное излучение
горячего межгалактического газа, либо обратное комптоновское рассеяние
фотонов на релятивистских электронах. Опять-таки возникает вопрос —
откуда берутся фотоны и где происходит рассеяние? Реликтовые фотоны в
межгалактическом пространстве [3] или в гало массивных эллиптических
галактик [4], или инфракрасное излучение в окрестностях ядер галактик [5]?
Наблюдения малых возмущений в угловом распределении реликтового
излучения могут дать ответ на эти вопросы. Эти наблюдения позволят нам сделать
* Comments on Astrophysics and Space Physics, 1970, vol. 2, p. 173-—178.

67. Наблюдения реликтового излучения
407
выбор между горячим нерелятивистским электронным газом (являющимся
источником тормозного излучения) и небольшим числом релятивистских
электронов. Провал в спектре реликтового излучения — уменьшение его яр-
костной температуры в рэлей—джинсовской области
ДГГ/ГГ = - 2 (kTefmec*) στΝΘ1,
должен наблюдаться в направлении на источник, содержащий горячие
электроны [6], если эти электроны являются оптически тонкими по тормозному
поглощению и томсоновскому рассеянию.
При большой оптической толще по томсоновскому рассеянию величина
эффекта сильно возрастает. Основным физическим процессом при этом будет
перенос мягких фотонов (hv<0^kTr) в область коротких длин волн (hv^> кТг)
СВОЙСТВА РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
В дальнейшем будем работать с реликтовым излучением с температурой
2,7 К. Оно, несомненно, является наилучшим источником информации об
отклонении от однородности и изотропии Вселенной, а его характерные
особенности удивительны: 1) замечательная изотропия —независимость от
направления 6FV/FV с точностью лучше 10"3 на всех угловых масштабах от
10 угл. мин до 24 ч; 2) значительно превышает излучение от дискретных
радиоисточников (при наблюдениях с широкими углами) на сантиметровых или
миллиметровых длинах волн; 3) спектр описывается формулой
Рэлея—Джинса Fv = 2кТг/Х2 с большой точностью (лучше, чем 5 или 10%) в интервале
от 70 см до 3 мм.
Этих свойств реликтового излучения вполне достаточно для его
использования в качестве теста в предлагаемом тесте. И, что более важно,
реализация теста на различных длинах волн поможет выяснить форму спектра
реликтового излучения 1.
ИСКАЖЕНИЕ СПЕКТРА РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
ИЗ-ЗА ТОМСОНОВСКОГО РАССЕЯНИЯ НА ТЕПЛОВЫХ ЭЛЕКТРОНАХ
Хорошо известно, что при томсоновском рассеянии излучения на
тепловых электронах нечтолько меняется направление движения фотона (изотро-
пизация), но из-за эффекта Доплера уширяются спектральные линии.
Нашей задачей является исследование взаимодействия тепловых электронов
со спектрально широким планковским излучением. Предполагается, что в
изотропно расширяющейся Вселенной находится нерасширяющееся облако
тепловых электронов с Ге^> Тг.
Пренебрегая изменением частоты при рассеянии, мы не получим эффекта.
Очевидно, упругое рассеяние фотонов не может изменить равновесного
изотропного излучения. Фотоны 1, рассеянные в 1', не достигают наблюдателя,
а вместо них фотоны 2 рассеиваются на наблюдателя (2') и замещают
«потерянные» фотоны 1. Компенсация является точной и справедлива даже при
многократном рассеянии (рис. 1).
Из-за теплового движения (скорость ν) электронов частота случайным
образом смещается на
Это замечание сделано Ю. Н. Парийским.

408 Часть вторая. IX, Наблюдательные эффекты в космологии
/2 где / зависит от углов между скоростью
0 электронов и направлением распространения
фотонов до и после рассеяния
рассматриваются мягкие фотоны hv <^.kTe. Это хорошее
/ приближение в области радиочастот. Пред-
положим, что электроны движутся изотропно
(равновероятно по всем направлениям; макс-
велловское распределение в частном случае)
в системе координат, в которой
невозмущенное излучение изотропно. Это означает, что
на космологическом расстоянии пекулярной
скоростью плазмы пренебрегается. Это также
Рщ. 2 означает, что количество фотонов, чья
частого™™ Λ „™ ™ „ та повышается (Δν ^> 0) и понижается
Рассеяние изотропного поля из- , А пч \ ^ /
лучения облаком электронов (Δν<ϋ) при рассеянии, одинаковое. В
широком спектре в первом порядке эффекта нет.
Однако во втором порядке эффект,
пропорциональный (Δν)2, τ. е. v2/c2, остается. Оказывается, v2/c2 для электронов
пропорционально кТе/тес2. Более сложные вычисления для произвольного
спектра излучения дают следующее выражение [7, 8] 2:
F (ν)Ά0 - F (v)n0CJie = yv-^ ν*-£-ν-*Ρ (vV,
где у = (кТе/тес*) ττ < 1; τΓ = J NeoTdl, στ = (8π/3) r\ = 6,65.1(Г25 -
сечение Томсона.
Подставляя начальный спектр Рэлея—Джинса Fv = Αν2 в правую часть,
мы получим
AFV = F (v)„0 — F (V)nocne = — 2yF (v)A0.
Планковский спектр излучения в целом не сохраняется: его рэлей—джин-
совская часть уменьшается, а его виновская,область hv ^> кТг возрастает:
AFV = у (hv/kTr -2)F (v)«0. **
Энергия излучения, проинтегрированная по всему спектру, увеличивается:
ξ F (v)no™e dv = e*v^F (ν)Ά0 dv, AS = (e*> -i)S = 4yS,
но число фотонов сохраняется:
5 4r F Мпос». dv = 5 -L· F (v)„0 dv.
Качественно эти результаты очевидны: при рассеянии сохраняется число
фотонов. Предполагается, что температура электронов намного выше, чем тем-
2 Это допустимое приближение общего кинетического уравнения вида [9, 10]
дп eTNh я / кТо
dt
■^-к—С^+'+^-й-)
где η = (c2/8nhv3) Fv есть число заполнения в фазовом пространстве фотонов. В
рассматриваемой ситуации членами п2 и η можно пренебречь по сравнению с (kTe/h) dn/dv, так
как Те^>Тг.
** Формула не точна. См. следующую статью (прим. редактора).

67. Наблюдения реликтового излучения
409
пература излучения, поэтому электроны охлаждаются, а энергия излучения
растет с сохранением числа фотонов. Это возможно только при переносе
фотонов из низкочастотной области hv <^ kTr в диапазон высоких частот
hv >> кТг.
СКОПЛЕНИЯ ГАЛАКТИК — ЛУЧШИЙ КАНДИДАТ
ДЛЯ НАБЛЮДЕНИЯ ПРЕДЛАГАЕМОГО ЭФФЕКТА
В разреженном межгалактическом или межзвездном газе комптоновская
оптическая толща мала, кТе/тес2<^1, и поэтому эффект мал. Однако
упомянутые свойства реликтового излучения и большая точность
дифференциальных измерений позволяют нам измерить мелкомасштабные флуктуации с
точностью, выше абсолютных измерений.
Если горячий газ действительно присутствует в скоплениях галактик,
выполняются все условия для проявления этого эффекта. Таким образом,
например, рентгеновское излучение от скопления Кома интерпретируется как
тормозное излучение горячего межгалактического газа с Ге~7-107К
и плотностью Ne ~ 10"3 см"3. Линейный размер источника оценивается
в ϊ^ 1025 см. Перемножая эти величины, мы находим
AT kT
-7JL = -2y = -2oTNellirjs. 2.10"*
г е
— величину, доступную для наблюдений. Более того, такой эффект был
недавно открыт в скоплениях Кома Ю. Н. Парийским [11].
Дефицит яркости (провал) в скоплении Кома (рис. 2) трудно
интерпретировать другим механизмом! Температура излучения 2,7 К; произвольное
поглощение излучения всегда сопровождается спонтанным излучением.
Если бы температура поглощающего вещества была выше 2,7 К, в результате
наблюдалось бы увеличение излучения вместо наблюдаемого дефицита.
Общее излучение галактик и радиогалактик скопления должно также
привести к увеличению интенсивности излучения в направлении на
скопление. Однако в диапазоне сантиметровых длин волн вклад галактик в
фоновое излучение мал, как это следует из прямых наблюдений (см., например,
[12]) и подтверждается наблюдениями Ю. Н. Парийского.
Есть только один другой механизм,
ведущий к «провалу» в реликтовом излучении.
Удаляющееся от наблюдателя облако
электронов также ведет к уменьшению
температуры реликтового излучения в направлении
на это облако. Уменьшение температуры
излучения равно
=-^- — ту — cos θ = OtNJ, — cos θ,
1С С
г
где ν — скорость облака в системе отсчета,
связанной с реликтовым излучением.
Изменение температуры из-за эффекта Доплера
не зависит от частоты, в отличие от
предыдущего механизма (диффузии фотонов по оси
частот из-за рассеяния на горячих электро-
Тг
2J
' Скопление
галактик
Угловая координата
Рис. 2
Понижение яркости в реликтовом
излучении

410 Часть вторая» IX. Наблюдательные эффекты в космологии
нах). Следовательно, можно различить эти эффекты, наблюдая «провал»
яа низких частотах спектра, hv<^kTr, и на высоких частотах, hv ]> kTr.
Оба эти эффекта сравниваются при
2kTe/mec2 = vie.
Если наблюденный «провал» в скоплении Кома обязан удалению даже при
cos θ = —1, скорость его движения в системе отсчета, связанной с
реликтовым излучением, должна быть порядка 7000 км/с. Эта величина сравнима
по порядку со скоростью, найденной по красному смещению линий в
скоплении Кома. Однако эта скорость почти наверняка связана с расширением
Вселенной, и данная величина ν противоречит наблюдениям.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, уменьшение яркостной температуры реликтового
излучения в направлении на скопления галактик однозначно определяет
существование горячего межгалактического газа в скоплениях. Этот эффект
пропорционален произведению J NeTedl. Зная угловые размеры «провала»
и расстояние до скопления галактик, мы можем определить величину
J ATrdQ в I NeTedV, которая дает полную тепловую энергию всех
свободных электронов в данном объекте. Наиболее интересные данные могут быть
получены при сравнении этой информации с рентгеновскими наблюдениями.
Интенсивность рентгеновского излучения горячего газа пропорциональна
J N\T^,%dV\ рентгеновские измерения позволят нам определить
температуру газа. Используя все эти данные, можно определить нижний предел на
массу межгалактического газа в скоплении галактик и найти его
пространственное распределение. Для подтверждения нашего эффекта было бы важно
выполнить измерения на различных длинах волн. В принципе,
совершенствуя измерения, можно получить информацию о возможных отклонениях
спектра от простой формулы Рэлея—Джинса, и это имеет очень важное
космологическое значение [8].
Мы благодарны Ю. Н. Парийскому за стимулирующие обсуждения и за
предварительное сообщение результатов наблюдения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gursky #., SolingerA., Kellogg Ε. Μ. et al.— Astrophys. J., 1972, vol. 173, p. L99.
2. Fabian A. C— Nature. Phys. Sci., 1972, vol. 237, p. 19.
3. Brecher K., Morrison P.— Astrophys. J., 1967, vol. 150, p. L61.
4. Курилъчик В. Η.— Астрон. журн., 1972, т. 49, с. 89—93.
5. Longair Μ. £., Sunyaev R. Α.— Astrophys. Lett., 1969, vol. 4, p. 65.
6. Sunyaev R. Α., Zeldovich Υа. В.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 7, p. 3.
7. Zeldovich Ya. В., Sunyaev R. Α.— Astrophys. and Space Sci., 1969, vol. 4, p. 302.
8. Sunyaev R. Α., Zeldovich Ya. В.— Comments Astrophys. and Space Phys., 1970, vol. 2,
p. 66.
9. Компанеец А. С— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 876—885.
10. Weymann R.— Phys. Fluids, 1965, vol. 8, p. 2112.
И. Парийский Ю. Н.— Астрон. журн., 1972, т. 50, с. 453.
12. Welch G. Л., Sastry G. N.— Astrophys. J., 1972, vol. 175, p. 323.

68. Определение скорости движения скоплений галактик
411
КОММЕНТАРИЙ
В статье рассмотрен эффект, получивший в иностранной литературе название
эффекта Сюняева— Зельдовича. Этот эффект предсказывает понижение яркости фона в
направлении на скопления галактик в области hv < 3,83 kTr (делает их «отрицательными»
радиоисточниками) и повышение яркости фона в субмиллиметровом диапазоне при hv >
> 3,83 к7>, λ < 1,25 мм (превращая скопления в ярчайшие источники субмиллиметрового
излучения). Отметим, что первым провел наблюдения эффекта в направлении на
скопление галактик Кома Ю. Н. Парийский на Большой пулковской антенне 1Нс. Ныне эффект
входит в программу наблюдений многих крупнейших радиотелескопов мира, открыт в
скоплении А 2218 (красное смещение ζ— 0,17)2* и в скоплении 0016 + 16 (красное
смещение ζ = 0,56)3*.
Недавно М. Биркиншоу, С. Галл и X. Хардебек 4* объявили, что в результате
многолетних наблюдений на 40-метровой антенне Калифорнийского технологического
института в Оуэнс-Вэлли они уверенно обнаружили эффект (на уровне, превышающем
семь среднеквадратичных отклонений) в трех богатых скоплениях на длине волны 1,5 см.
Эффект привлекает внимание исследователей тем, что он совместно с данными
рентгеновских наблюдений скоплений открывает возможность определения абсолютного
размера скопления, а следовательно, расстояния до него и постоянной Хаббла |!*~в*.
Детальные наблюдения эффекта на нескольких частотах позволяют также определить
пекулярную скорость скопления относительно реликтового излучения, т. е. использовать
реликтовое излучение как «новый эфир» (см. статью 68 ЯБ и Р. А. Сюняева в данной
книге, в которой впервые указано на эту возможность). Сам факт обнаружения эффекта
в направлении на скопление с красным смещением ζ = 0,56 (скопление 0016 + 16) имеет
громадное значение — он экспериментально доказывает, что реликтовое излучение имеет
действительно космологическое, а не локальное происхождение. Оно существовало при
ζ — 0,56, когда Вселенная была почти вдвое моложе.
х* Парийский Ю. Н.— Астрон. журн., 1972, т. 50, с. 453—458.
2* Schallwich D., Wielebinski #.— Astron. and Astrophys., 1979, vol. 71, L15—L16.
3* Birkinshaw M., Gull S. F., Moffet А. Т.— Astrophys. J., 1981, vol. 251, p. L73.
4* Birkinshaw M., Gull S. F., Hardebeck #.— Nature, 1984, vol. 309, p. 34.
5* Birkinshaw M.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1979, vol. 187, p. 847—862.
6* Cavaliere Л., Danese L., de Zotti G,— Astron. and Astrophys., 1979, vol. 75f
p. 322—325.
7* Silk /., White S.— Astrophys. J. Lett., 1978, vol. 226, L103—L106.
8* Sunyaev R. Л., Zeldovich Υ а. В.— Annu. Rev. Astron. and Astrophys., 1980,
vol. 18, p. 537—560.
9* Зельдович Я. Б., Сюняев Р. Α.— Β кн.: Астрофизка и космич. физика. М.: Наука,
1982, с. 9—65.
68
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ
СКОПЛЕНИИ ГАЛАКТИК
ОТНОСИТЕЛЬНО РЕЛИКТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ *
(совместно с Р. А. Сюняевым)
Наблюдения интенсивности и поляризации реликтового излучения в
направлениях на скопления галактик открывают принципиальную возможность
определения их пекулярной скорости относительно реликтового излучения.
* Monthly Notices of Royal Astronomical Society, 1980, vol. 190, N 2, p. 413—420.

412 Часть вторая* IX.Наблюдательные эффекты в космологии
Из данных рентгеновских наблюдений мы знаем, что в богатых
скоплениях галактик содержится большое количество горячего межгалактического
газа [1], т. е. скопления представляют собой облака газа с высокой
температурой и заметной оптической толщей по томсоновскому рассеянию.
Рассеяние 3-градусного фонового излучения на свободных электронах
в облаках межгалактического газа открывает возможность определения
скорости облака относительно системы координат, связанной с фоновым
излучением (в этой системе фон изотропен).
Радиальное движение приводит к изменению наблюдаемой температуры
излучения в направлении на облако на величину порядка AT/Τ ~ игт/с,
где τ = \ aTNedr — оптическая толща облака по томсоновскому рассея-
о
нию, vr — пекулярная радиальная скорость облака (отличие радиальной
скорости от скорости хаббловского удаления).
Однако существует еще и принципиальная возможность определения
тангенциальной скорости облака vt. Она приводит к эффектам порядка
0,1 β?τ и р^т2/40 (β = vie) в поляризации фона в направлении на облако.
Во втором случае знаки эффекта противоположны в передней (по отношению
к направлению движения) и задней части облака.
Рассмотрим подробнее происхождение и ожидаемую величину эффекта.
Измерения крупномасштабной асимметрии реликтового излучения
привели к определению скорости движения солнечной системы ν = 390 км/с.
Используя данные о скорости вращения Галактики, удалось оценить и
скорость движения центра Галактики относительно фонового излучения ν ~
~ 600 км/с [2, 3]. Это сравнительно малая скорость. Очень важно знать,
каковы скорости других галактик, скоплений галактик и гигантских
скоплений галактик относительно реликтового фона.
Ранее мы проанализировали искажения спектра фона пз-за рассеяния на
свободных горячих электронах в богатых скоплениях галактик [4].
Рассеяние на горячих электронах ведет к перераспределению фотонов по спектру.
В длинноволновой (рэлей—джинсовской) области спектра яркостная
температура и интенсивность излучения уменьшаются:
^L-iii —J^lr (i)
Τ — Jv — mQc* T' * '
а в коротковолновой (виновской) — возрастают. Приведем (см. рис. 1,
кривые с vr = 0) зависимость изменения температуры и интенсивности от длины
волны и величины] χ = hv/kT в направлении на скопление [5] (см. также
16, 7]):
\^\=2-фх7^АшШ~2}' (2)
или, что то же,
m-4M
2 th (х/2)
Формулы (2) не зависят от красного смещения скопления, они верны и при
*> 1.

68. Определение скорости движения скоплений галактик
413
Отличие (2) от простой формулы (1) возрастает с х. Оно составляет: 0,26%
при χ = 0,18 и λ = 3 см; 3,7% при χ = 0,67 и λ = 8 мм и 53% при χ = 2,7
и λ = 2 мм.
Экспериментальное исследование этого эффекта было начато в работах
Ю. А. Парийского [8] и С. Галла и С. Нортховера [9]. В настоящее время
эффект уверенно наблюдается в рэлей—джинсовской области в направлении
на наиболее богатые скопления галактик. Например, Л. Лэйк и В. Парт-
ридж [11] (наблюдения велись на длине волны 9 мм) и М. Биркиншоу и др.
[10] (λ = 2,6 см) обнаружили понижение яркостной температуры в
направлении на скопление галактик Эйбл 2218 с красным смещением ζ = 0,17.
Согласно [9] (см. также [10]), для этого скопления AT = (—2,65 ± 0,23)· 10~3 К.
Предположим, что температура газа в скоплении составляет кТе = 5 кэВ,
т. е. такая же, как в рентгеновских скоплениях Кома, Дева и др. [12], в
которых дисперсия скоростей галактик того же порядка (~1500 км/с), что и в
А2218. Тогда по формуле (1) легко оценить оптическую толщу облака:
г т кте ~ 20 · КЧ
1. РАДИАЛЬНАЯ КОМПОНЕНТА СКОРОСТИ
При интерпретации наблюдений [7—10] пекулярное движение скопления
не рассматривалось. В нашей статье [4] уже отмечалось, что движение облака
как целого относительно фона должно приводить в силу доплер-эффекта к
дополнительному изменению температуры (АТ/Т)2 и интенсивности (AJV/JV)2
излучения в направлении на облако. Малые эффекты складываются линейно
(АТУЛшнш = (ΔΓ/Γ)ι + (Δ77Γ)2.
При малых τ
(Я—^: (%■),—πϊ* w
(В системе покоя облака фоновое излучение имеет анизотропию дипольногО
типа. Томсоновское рассеяние убирает дипольную компоненту и в первом
приближении по β делает излучение изотропным. Переход в систему
наблюдателя в силу доплер-эффекта вновь приводит к дипольной анизотропии
рассеянного излучения, увеличивая эффективную температуру и полный поток
в направлении движения.) Знак эффекта зависит от направления скорости.
В отличие от формулы (2), ΑΤΙ Τ в (4) не зависит от частоты, но не меняет
знака, в отличие от (Δ/ν)χ. Двух измерений в различных спектральных
диапазонах, в принципе, достаточно для того, чтобы разделить эффекты, связанные
с температурой электронов и с движением облака как целого г. Из рис. 1
(кривые ν = 0) видно, что при измерениях на длине волны λ = 2 мм
тепловой эффект уменьшается почти в два раза по сравнению с
рэлей—джинсовской областью спектра
(*L)\ —Ξ±.τ
\ л /l|2MM mec
1 Мы отвлекаемся от таких факторов, как наличие в скоплении нетепловых
радиоисточников, отклонения спектра реликтового излучения от планковского, тормозного
радиоизлучения облака и др.

414 Часть вторая. IX. Наблюдательные эффекты в космологии
5см 5см 2см км 5мм Змм 2мм 1мм Л
h кГо = 5кзЪ
-1
-ч\-
0,2 0,д 0,5
j см 5см 2см 1см 5мм Змм 2мм 1мм
Рис. 1
Изменение температурь* реликтового
излучения в направлении на скопление
галактик с горячим межгалактическим
газом с кТе = 5 кэВ
Слева направо: пекулярная радиальная
скорость vr — —3000 км/с направлена к
наблюдателю, τ = 0,2; скопление покоится
относительно реликтового излучения, τ — 0,1;
« = о; пекулярная скорость направлена
от наблюдателя, vr = 3000 км/с; τ = 1/15
Наблюдения на длине волны 2 мм
можно проводить с поверхности
Земли [13]. Тепловой эффект
меняет знак в виновской области
спектра при χ = 3,83; λ = 1,4 мм,
однако наблюдения при λ< 1,4 мм
(где Δ Τ положительно) требуют
выноса аппаратуры за пределы
атмосферы. Кривые с vr = ±3000 км/с
(см. рис. 1) иллюстрируют
изменение зависимости Δ Г от χ или λ
при одновременном действии
теплового эффекта и общего
радиального движения. В рэлей—джин-
совской области амплитуды эффектов оказываются одного порядка
величины при | vrlc | = 2kTe/mec2 = 1/50, или \ vr \ = 6000 км/с.
Существующие данные наблюдений скопления А2218 [9, 10] можно ис
пользовать для оценки верхнего предела радиальной скорости скопления
относительно реликтового излучения
|yr|<c_^L-L = 6000 км/с.
(5)
Отметим, что хаббловская скорость для ζ = 0,17 равна 50000 км/с,
точность определения расстояния и постоянной Хаббла 2 хуже 10 %. Поэтому
обычный способ определения скорости по доплер-эффекту не дает
возможности определить пекулярную скорость 6000 км/с на расстоянии,
соответствующем ζ = 0,17. Следовательно, даже этот грубый результат представляет
большой интерес в связи с проблемами крупномасштабной структуры
Вселенной и спектра возмущений плотности вещества во фридмановских моделях.
При точности измерений Δ ΤΙ Τ на λ = 3 см и λ = 2 мм порядка
нескольких процентов можно надеяться, что удастся измерять скорости порядка
скорости движения нашей Галактики относительно реликтового излучения.
2. ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ КОМПОНЕНТА СКОРОСТИ
Рассмотрим возможность измерения тангенциальной компоненты
пекулярной скорости облаков газа относительно фона. Эта задача более трудная.
Для ее решения можно привлечь измерения поляризации рассеянного излу-
2 Дж. Де Зотти и др. [15] и Дж. Силк и С. Байт [16] предложили новый метод
измерения постоянной Хаббла, основанный на исследованиях теплового эффекта.

68. Определение скорости движения скоплений галактик
415
чения. Существующая аппаратура позволяет измерять поляризацию
реликтового излучения с точностью порядка 10~4 [14]. Тем не менее, по-видимому,
можно надеяться на повышение точности измерения поляризации на два
порядка. Имеется два поляризационных эффекта.
2.1. Эффект рассеяния на одном электроне. Отдельный электрон,
движущийся относительно фона, воспринимает реликтовое излучение как
анизотропное, преобразованное доплер-эффектом. При этом в каждом
направлении сохраняется планковский спектр, но температура зависит от угла θ0
между направлением движения и лучом зрения. В соответствии с известной
формулой [17]
Γ0 = Γ/ΐ-β2/(1 + βμο), (6)
где β = v/c; Г0, μ0 = cos θ0 и угол θ0 измеряются в системе покоя
электронов. Разложение этой формулы для Т0 во втором порядке по β содержит
квадрупольную компоненту в угловом распределении:
Т0 = ТИ- βμ0 + β2 (f4 - 1/3) + ··.]. (7)
Как известно, рассеяние неполяризованного коллимированного пучка света
приводит к линейной поляризации рассеянного излучения. Поляризация
должна возникать и при угловом распределении излучения вида (7).
Будучи тензорной величиной, поляризация не зависит от дипольного
члена в распределении интенсивности и пропорциональна квадрупольной
составляющей. Вклад высших гармоник также равен нулю.
После рассеяния на свободном электроне в направлении,
перпендикулярном направлению его движения, должна возникать линейная поляризация
с электрическим вектором, перпендикулярным направлению его движения,
должна возникать линейная поляризация с электрическим вектором,
перпендикулярным плоскости, определяемой векторами скорости движения ν
и луча зрения. Если угловое распределение интенсивности имеет вид
/0 = / [1 + αμ0 + Ъ (μ2, - 1/3) + ...],
то степень линейной поляризации равна
У± + У II
Она не зависит от α и коэффициентов при высших гармониках. В рэлей—
джинсовской области Ъ = β2, следовательно, Ρ = 0,1 β?.
При малом τ прибор воспринимает также излучение, прошедшее через
облако без рассеяния, поэтому
Ρ = Ο,ΐτβϊ.
Переход в систему наблюдателя не меняет этот результат. При ι;, = 6000 км/с,
β, = 0,02 и τ = 1/20 получаем ρ = 2-10"6. Эту величину следует сравнивать
с наблюдаемым Δ 77 Г χ 10""3. Измерить β, этим методом будет достаточно
трудно.
При χ ^ 1 следует учитывать нелинейную зависимость интенсивности
на данной частоте от температуры.
dB„ \ ι d2B„
Iv = Bv(T0) + 4f\ (Т-Т0) + 4Г-±
(Τ-τ0γ. (8
1 о

416 Часть вторая» IX. Наблюдательные эффекты в космологии
Используя это разложение, легко найти коэффициент Ъ и степень
поляризации на любой частоте.
2.2. Эффект конечной оптической толщи. Несмотря на малость τ,
возможно, удастся наблюдать эффекты, пропорциональные τ2. Эти эффекты
отсутствуют при рассмотрении рассеяния на одном электроне.
В системе покоя облака поле невозмущенного излучения в первом порядке
есть
Т0 = Τ (1 - βμ0), /0 = / (1 - £βμ0),
где коэффициент к зависит от χ (см. формулу (8)).
В силу симметрии угловой зависимости томсоновского рассеяния
относительно замены θ-^π — θ, μ -^ — μ —- рассеянное излучение такое же, как
в изотропном поле /, дипольный член &βμ0 в рассеянном излучении
исчезает.
Очевидно, изотропное поле не изменяется под действием
томсоновского рассеяния, точно компенсирующего ослабление падающего
излучения.
Таким образом, остается учесть некомпенсированное ослабление
рассеянием дипольной составляющей падающего излучения. Например, для шара
постоянной плотности в точке, находящейся на конце диаметра, получим
в первом порядке по τ
/0 = / (1 — £βμ0), —1< μ0 < О,
/0 = / (1 - Λβμοβ"1^), 0 < μ0 < 1,
где τ — оптическая толща по диаметру шара.
Такое распределение содержит вторую гармонику с коэффициентом ~&βτ.
Рассеянное излучение становится поляризованным, причем поляризация
имеет противоположный знак на противоположных краях облака.
С учетом разбавления рассеянного излучения первичным нерассеянным,
получим лишнюю степень τ. Оценивая численные коэффициенты, имеем
окончательно
Лпах — ±£τ2β740.
Численно в рэлей—джинсовской области (к = 1)прит = 0,1, vt = 3000 км/с,
β^ = 0,01 получим
Лпах = ±2,5-ΙΟ'6.
2.3. Другие источники поляризации. Отметим, что, кроме
инструментальных трудностей, имеются и принципиальные. К поляризации фона в
направлениях на скопления должно приводить наличие в них нетепловых
радиоисточников. Радиоизлучение межгалактического газа (любой природы)
также дает вклад в поляризацию. В этом случае к поляризации приводит
рассеяние неполяризованного излучения в облаке электронов. Знак и
степень поляризации должны зависеть от угла между лучом зрения и
направлением на центр облака. Этот эффект хорошо известен для оптических
толстых облаков [19, 20]. Очевидно, что он имеет место и при τ < 1. Он
пропорционален τ и интенсивности источника излучения. Коэффициент при них
меньше 1/40.

68. Определение скорости движения скоплений галактик
417
Рис. 2
Ожидаемая поляризация реликтового излучения в направлении на скопление галактик:
2
а — эффект, связанный с рассеянием на отдельных электронах и пропорциональный β^τ; б — эффект»
связанный с конечным значением оптической толщи и пропорциональный β.τ2; β — поляризация»
связанная с тепловым эффектом; г — поляризация, связанная с наличием в облаке источника
неполяризованного излучения
Тепловой эффект уменьшает интенсивность в рэлей—джинсовской
области спектра. Его действие можно сравнить с «отрицательным источником
излучения», распределенным по облаку. В этом случае
кТ
Рш** = У-^к^ и γ < 1/40.
е
Распределение поляризации по проекции облака на картинную плоскость
приведено на рис. 2 для всех обсуждающихся случаев.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Изучение распределения поляризации по изображению облака на
нескольких длинах волн может дать чрезвычайно важную информацию для
космологии. Возможно, что имеются скопления галактик, сверхскопления, мосты
из межгалактического газа между ними с 0,05 < τ < 1. В этом случае второй
поляризационный эффект становится наблюдаемым. Он не зависит от
температуры электронов.
Даже при τ = 1/20 облако должно рассеивать несколько процентов
излучения галактик и проявлять себя как диффузный источник излучения во всех
спектральных диапазонах (и в оптическом, в частности). Из-за доплер-эф-
фекта (Δν/ν = Y2kTe/mec2 ж 1/7) в рассеянном свете должны отсутствовать
узкие спектральные линии.
Отметим также, что формулы (2) выведены на основе дифференциального
уравнения Компанейца [21], которое получено в предположении большого
числа рассеяний. В действительности τ мало, и мы рассматриваем вклад
малого числа однократно рассеянных фотонов. Тем не менее, формулы (2)
верны для χ < Ymec2/2kTex 7 [22]. Существенные отклонения от формулы
(2) начинаются лишь при χ > 7, т. е. λ < 0,7 мм, где наблюдения весьма
трудны.
Институт прикладной математики Поступила в редакцию
Академии наук СССР. Москва 31 мая 1979 г.

418 Часть вторая. IX. Наблюдательные эффекты в космологии
ЛИТЕРАТУРА
1. Forman W., Jones С, Cominsky L., et al.— Astrophys. J. Suppl. 1978, vol. 38, p. 357.
2. Cooke B. A.) Rickers M. /., Maccacaro Τ. et al.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc,
1978, vol 182,. p. 489.
3. Smoot G. F., Gorenstein M. 7., Muller R. Α.— Rhys. Rev. Lett., 1977, vol. 39, p. 14,
898.
4. Sunyaev R. Α., Zeldovich Ya. В.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 7, p. 3.
5. Sunyaev R. Л., Zeldovich Ya. В.— Comments Astrophys. and Space Phys., 1972, vol. 4,
p. 173.
6. Zeldovich Υ а. В., Sunyaev R. Α.— Astrophys. and Space Sci., 1969, vol. 4, p. 301.
7. Gould R. /., Raphaeli Y.— Astrophys. J., 1978, vol. 219, p. 12.
8. Парийский Ю. Η.— Астрон. журн., 1973, т. 50, с. 453.
9. GullS. F., Northover К. J. Ε.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1975, vol. 173,
p. 535.
10. Вirkinshaw M., Gull S. F., Northover K. J.E.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc,
1978, vol. 185, p. 245.
11. LakeG., Partridge R. В.— Nature, 1977, vol. 270, p. 502.
12. Shallwich D., Wielebinsky R.— Astron. and Astrophys., 1979, vol. 71, p. L15.
13. Mitchel R. /., Culhane J. L.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1977, vol. 178, p. 75.
14. Fabbri #., Melchiorri F., Natale V.— Astrophys. and Space Sci., 1978, vol. 59, p. 223.
15. De Zotti et al.— Prepr., Bologna Univ. 1978.
16. Silk J., White D.— Astrophys. J., 1978, vol. 226, p. L103.
17. LubinP. M., Smoot G. F.— Phys. Rev. Lett., 1979, vol. 42, p. 2, 129.
18. Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ. Теория поля. М.: Физматгиз, 1963, 422 с.
19. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 432 с.
20. Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука, 1967.
21. Компанеец А. С.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с 876.
22. Сюняев Р. Α., Зельдович Я. Б. В кн.: «Астрофизика и космическая физика». М.:
Наука, 1982, с. 9—65.
КОММЕНТАРИЙ
Обнаружение дипольной анизотропии фонового реликтового излучения (Smoot
et. all5|c) доказало, что Солнечная система движется относительно фона со скоростью около
350 км/с Однако долгое время казалось, что это измерение останется единичным, что
нужны наблюдатели в других далеких галактиках и обмен информацией с ними для
получения большей информации.
В статье предложены методы, позволяющие измерять как радиальную, так и
тангенциальную компоненты скорости далеких скоплений галактик, содержащих ионизованный
межгалактический газ относительно системы координат, в которой изотропно фоновое
излучение, т. е. относительно так называемого «нового эфира».
Массовые наблюдения пекулярных скоростей должны дать важнейшую информацию
о спектре и амплитуде крупномасштабных возмущений плотности вещества. Этот же метод,
в принципе, позволяет исследовать динамику скоплений галактик в сверхскоплениях
и, в частности, выявить наличие или отсутствие вращения скоплений и сверхскоплений
галактик.
Для того, чтобы выделить в изменении яркости реликтового излучения в направлении
на скопления составляющую, связанную с движением скопления относительно
реликтового излучения, необходимы измерения на разных длинах волн и обязательно при λ =*
= 2 мм, где температурный эффект обращается в ноль.
!* Smoot G. F., Gorenstein Μ. 7., Muller R. Α.— Phys. Rev. Lett., 1977, vol. 39,
p. 898—901.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИСТОРИЯ ФИЗИКИ
ПЕРСОНАЛИЯ

69
ТВОРЧЕСТВО ВЕЛИКОГО ФИЗИКА
И СОВРЕМЕННАЯ НАУКА*
(ОБ ЭЙНШТЕЙНЕ)
Эйнштейн был скромным и самокритичным человеком. Он говорил, что
теория броуновского движения, идея фотонов, специальная теория
относительности — все эти работы лежали в общем русле развития науки, и если
бы не он, то другие физики с задержкой не более 2—3 лет пришли бы к тем
же результатам. Но для общей теории тяготения он делал исключение: ее,
может быть, не открыли бы еще лет 50. Эта оценка нашла замечательное
подтверждение уже после смерти Эйнштейна: действительно, только в 60-х и 70-х
годах XX века появились методы, которые закономерно, без гениальных
догадок, подводят к формулировкам общей теории относительности. Даже
интервал времени 50 лет угадан правильно. Сын Эйнштейна в возрасте десяти
лет спросил отца, за что он так прославлен во всем мире. Отец ответил:
«Человечество подобно гусенице, ползающей по ветке, а я открыл, что эта ветка
кривая».
Выше говорилось о науке вчерашнего дня, о бесспорных достижениях,
связанных с работами и с именем Эйнштейна. Но идеи Эйнштейна живут
и в сегодняшней и в завтрашней науке, вдохновляют идущих еще
неизвестными путями. Остановлюсь на двух направлениях: единой теории поля и
современной астрофизике. Известно, что Эйнштейн40 лет неустанно работал над
единой теорией поля, до конца дней надеялся на успех, но не достиг
желаемого результата. Неудача? Трагедия? Оптимистическая трагедия, потому что
сейчас, через 25 лет после смерти Эйнштейна, возникает другая новая единая
теория. В ней единство другое — это не одно поле, а много полей,
устроенных по единому плану, единство симметрии. Это единство достигается, когда
мы отвлекаемся от различия масс частиц. Современные физики поступают
так, как сказал Александр Блок*.;
«Сотри случайные черты,
И ты увидишь—мир прекрасен».
Доживи Эйнштейн до наших дней, он бы оценил работы, в которых —
пусть другими путями — реализуется его мечта, его интуитивная вера
в единый план построения природы, строения мира.
Выше говорилось ** о законе сохранения барионов и важнейшем его
значении. Современная теория допускает возможность, что этот закон не
абсолютно точен! Возможно, что и протоны — ядра обычного водорода —
способны распадаться, что водород и другие атомы способны превращаться
полностью в энергию, но за время порядка 1032 лет. Представьте себе
единицу и за ней 32 нуля! Реально это значит, что в одной тонне воды такой
распад происходит раз в 100 лет, в кубическом километре воды в океане —
раз в секунду. Такой темп распада ничтожен даже в геологических мас-
* Вопросы философии, 1980, № 6, с. 32—45 (публикуется с сокращениями). Статья
написана на основе доклада, прочитанного 12 декабря 1979 г. на юбилейном заседании
Академии наук СССР и Московского государственного университета имени М. В.
Ломоносова, посвященном 100-летию со дня рождения А. Эйнштейна.
** Речь идет о части доклада, не вошедшей в данную публикацию.

69. Творчество великого физика и современная наука (об Эйнштейне) 421
штабах, и мы не видим способов ускорить его ни в земных, ни в звездных
условиях. Распад и рождение протонов могли играть роль лишь в самой
плотной и горячей дозвездной фазе существования Вселенной, но обсуждение
этого здесь завело бы нас слишком далеко.
Если предметом единой теории является микромир, составляющий
первый раздел естествознания, то второй важнейший раздел естественных
наук изучает макромир, Вселенную. Огромную роль играет теория
относительности Эйнштейна в современной астрономии. Первоначально Солнечная
система была лабораторией, где проверялись еле уловимые отличия
предсказаний общей теории относительности от ньютоновской теории. Астрономия
питала физику, общую теорию относительности, но мало получала взамен.
Общая теория относительности (кратко ОТО) объяснила аномалии
движения Меркурия, которые не находили объяснения в ньютоновской небесной
механике. ОТО указала правильное значение отклонения света и радиоволн
Солнцем. Фотоны тоже весят, их траектория искривляется силами
тяготения. ОТО предсказывает изменение частоты света: уменьшение, т. е.
красное смещение для фотонов, удаляющихся от тяжелого тела, синее
смещения для падающих вниз фотонов. Все эти предсказания теории подтверждены
наблюдениями и опытами, со всей доступной в настоящее время
точностью. И все же здесь скорее можно говорить о том, что астрономия
подтверждает ОТО, подкрепляет ее наблюдениями. Эта ситуация радикально
изменилась в последние 15—20 лет. В речи П. Л. Капицы уже сказано о
теории расширяющейся Вселенной. Сюда надо добавить открытие, сделанное
позже,— открытие микроволнового излучения, заполняющего Вселенную.
Восторжествовала выдвинутая Гамовым теория горячей Вселенной.
Микроволновое излучение — это живое, дошедшее до наших дней свидетельство
далекого прошлого Вселенной, свидетельство того, что Вселенная
состояла из горячей бесформенной плазмы, из которой только позже
выкристаллизовались галактики и звезды. В каждой точке расширяющейся
Вселенной есть своя выделенная система координат. Эта система координат
определяется микроволновым излучением. Только в этой системе координат
излучение со всех сторон одинаково. Тело (например, человеческое), которое
движется вперед относительно выделенной системы, будет встречать грудью
большее число более горячих, энергичных фотонов, а спина будет замерзать.
Можно сказать, что микроволновое излучение — это новый эфир,
присутствующий в каждой точке Вселенной.
Если вся космическая материя не движется относительно нового эфира,
т. е. относительно излучения, то это значит, что материя расширяется
вместе с расширением излучения. При таком расширении сохраняется
равномерное распределение вещества. Напротив, движение относительно нового
«эфира» — это то движение, которое приводит к образованию структуры
Вселенной — скоплений галактик и индивидуальных галактик и далее
вплоть до звезд. На фоне общего расширения Солнечная система движется
со скоростью 400 км/с. Недавно найден способ обнаружения движения очень
далеких скоплений галактик. Появляется новый радиоастрономический
способ исследования глубин Вселенной. Появляется уверенность, что
скоро измерения дадут возможность сделать выбор между замкнутым миром,
в котором сегодняшнее расширение сменится сжатием, и открытым миром,
т. е. неограниченно расширяющейся Вселенной.
Общая теория относительности дает великолепные конкретные
предсказания. Найдены две очень плотные звезды, которые вращаются друг отно-

422
Часть третья. История физики. Персоналия
сительно друга. При этом они излучают гравитационные волны, теряют
энергию, постепенно падают друг на друга и, сближаясь, вращаются все быстрее;
это подтверждено наблюдениями. Подтверждаются эйнштейновские
формулы излучения гравитационных волн. Еще пример: на линии лучей далекого
квазара, идущих к нам, находится галактика. Масса галактики отклоняет
лучи света. К нам приходят два пучка, мы видим изображения одного и
того же квазара в двух направлениях, раздвинутых на 6 угловых секунд.
Самое замечательное предсказание относится к эволюции ввезд: когда
масса велика, сила тяготения возрастает так, что ни электроны, ни ядра
не могут противостоять тяготению. Возникает загадка: какова же конечная
стадия эволюции звезд? Как это ни странно, до конца пятидесятых годов
астрономов мало интересовал этот вопрос. На съезде Международного
астрономического союза в Москве в 1958 г. я сравнил позицию астронома с
мироощущением здорового человека, который не думает о своей смерти (и
правильно делает), хотя, если его спросить, он, конечно, понимает неизбежность
смерти. Оправдание этой позиции заключается в том, что в активном
периоде своей жизни звезды светят, их можно наблюдать и исследовать с помощью
телескопа. Предполагалось, что после исчерпания запаса энергии звезда
так или иначе превращается в то или иное пассивное, ненаблюдаемое,
неинтересное тело. В действительности в определенных условиях возникает
черная дыра — вещество звезды оказывается внутри черной дыры, и его
окружает такое поле тяготения, что даже свет и нейтрино не могут выйти за
пределы черной дыры. На первый взгляд это мертвое тело. Но стоит другому
веществу приблизиться к черной дыре, и тяготение ускоряет его почти до
скорости света. Горе препятствиям на пути такого вещества! Опуская груз на
нитке к черной дыре, мы могли бы извлекать всю энергию покоя — любое
вещество давало бы в 1000 раз больше энергии по сравнению с ураном в
реакторе. Такой нитки нет. В естественных условиях, падая постепенно и
сталкиваясь между собой, частицы падающего вещества дают 0,1—0,2 с2
на один грамм, унося остаток 80 или 90% энергии покоя в черную дыру.
Но даже к. п. д. 10—20% в десятки раз превосходит энергию ядерных
реакций! Так объясняется источник энергии рентгеновской звезды в Лебеде.
Так объясняется и огромная светимость квазаров. В последнее время
Р. А. Сюняев находит убедительные детали в спектре квазаров,
подтверждающие эти взгляды. В ряде случаев мы видим, что из квазаров и ядер
Галактики выбрасываются струи вещества, но выбросу каждого килограмма
сверкающей плазмы предшествует падение 100 килограммов вещества в поле
тяжести. Вещество не рождается, как не рождается и энергия; происходит
только перераспределение энергии.
Для звезд, для Солнца источником свечения и активности является
ядерная энергия. Для более крупномасштабных явлений тяготение
оказывается главным, еще более сильным источником. Подчеркнем, что не
приходится придумывать новых неведомых законов физики.
Астрономические явления находят естественное объяснение в
существующих законах физики, в частности в общей теории относительности. Эта
теория доминирует в современной астрономии, игнорировать ее невозможно.
Научно-техническая революция в астрономии не кончается, она принимает
новые формы и углубляется. На очереди не только вопросы близкой к нам
окрестности, но и самые трудные вопросы о состоянии сверхбольшой
плотности, о самых ранних стадиях эволюции Вселенной. В последнее время
рименительно к самым ранним стадиям Вселенной настойчиво ищут син-

69. Творчество великого физика и современная наука (об Эйнштейне) 423
тез ОТО и квантовой теории — наука идет дальше, per aspera ad astra:
через тернии трудностей и ошибок к звездам познания истины. Наконец,
отметим одно из предсказаний ОТО — существование гравитационных волн,
в какой-то мере подобных электромагнитным, но необычайно слабо
взаимодействующих с веществом. С одной стороны, это обеспечивает приход
гравитационных волн из таких недр звезд и ядер галактик, откуда
электромагнитные волны не приходят. С другой стороны, слабость взаимодействия
обусловливает исключительную трудность обнаружения гравитационных волн,
И все же можно надеяться, что еще до конца нашего века появится
наблюдательная гравитационно-волновая астрономия, лабораторные детекторы
будут таким способом обнаруживать столкновения и взрывы звезд в
далеких галактиках. Может быть, удастся получить сведения о самой ранней,
дозвездной стадии Вселенной. Все это будет грандиозным вкладом в
астрономию, в познание мира.
Вернемся к Эйнштейну, к его работе и судьбе после создания ОТО и
завершения работ по излучению (1917—1924). Он прожил еще более 30 лет
в сложной обстановке возникновения нацизма в Германии, второй мировой
войны и первого послевоенного десятилетия. В Германии, да и в соседней
Голландии он не был в безопасности. С 1934 года до своей смерти в 1955 году
он жил в США, в хороших материальных условиях, окруженный славой,
как ни один ученый. И в то же время он работал всего с несколькими
коллегами, обозначилась его отчужденность от главного направления
современной ему физики. Здесь начинается часть самая трудная для автора
юбилейной статьи. Может быть, из уважения к Эйнштейну лучше всего вовсе
опустить рассказ о малопродуктивном периоде его жизни и творчества?
Нет, даже заблуждения человека его масштаба интересны и поучительны.
Эйнштейн работал чрезвычайно упорно, пробовал различные варианты
теории, в письмах к друзьям не раз писал, что близок к успеху, но снова
вынужден был признать, что единая теория не получилась. Возникает
психологический вопрос: почему Эйнштейн с таким самоотверженным
упорством, несмотря на все разочарования, занимался единой теорией поля?
Людей, которые ему советовали обратиться к квантовой теории, бурно
развивавшейся в те годы, было немало. Ландау с большим юмором рассказывал,
как в 1930 году, будучи совсем молодым (22 года), он посетил Эйнштейна,
чтобы наставить его на путь истинный...
Я могу только бездоказательно реконструировать психологию
Эйнштейна. Огромный успех общей теории относительности, несомненно, повлиял
на него. Об этом свидетельствует и его высказывание, приведенное выше.
Но для создания ОТО Эйнштейну не понадобились последние самые свежие
экспериментальные данные. Оказалось достаточно того, что уже 200 лет
знает каждый школьник. Так естественно, так заманчиво было еще раз
повторить этот мировой рекорд, еще раз построить теорию на основе
минимума сведений. Но «то, что бьется нечаянно,— к счастью, то, что бьется
нарочно,— не в счет» (Евтушенко). Создавая теорию гравитации, Эйнштейн
знал всю физику 1917-го года: оказалось, что для основания теории
понадобилась лишь малая ее часть. В 20-е, 30-е, 40-е, 50-е годы создается
впечатление, что Эйнштейн сознательно ограничивал исходные основания
предполагаемой теории, и она не получилась, эти его работы оказались «не в счет».
Сегодня, в конце 70-х годов, единая теория возникает, но совсем в другом
обличье. Это огромная, трудная работа, продвигающаяся шаг за шагом,
контролируемая и направляемая опытами на все более мощных ускорителях.

424
Часть третья. История физики. Персоналия
В будущем можно надеяться (первые ростки уже появляются), что и
тяготение будет привлечено в круг объединяемых взаимодействий, однако уже
сейчас видно, что на этом пути придется пройти много промежуточных
этапов, каждый из которых будет вносить качественно новые идеи. И все же,
может быть, не мы, а потомки, оставляя в стороне все детали, отдадут
должное главному. Они оценят саму мысль Эйнштейна о том, что должна
существовать единая теория,— мысль, основанную на глубоком убеждении о
единстве природы.
Я кончаю научную часть и хочу коротко сказать о человеческих
качествах и о связи их с научно-методическими особенностями творчества. Чем
объясняются такие успехи Эйнштейна? Как понять необычайную роль
одного человека в современной науке? Меньше всего я хочу обожествлять его
или говорить о божественной благодати, снизошедшей на него. Кстати, и
сам Эйнштейн не хотел этого. Вы помните слова П. Л.Капицы о
скромности и самокритичности Эйнштейна? Но объяснение нужно, и я вижу два
главных фактора. Один из них — это фактор времени. Окончание учебы
Эйнштейна, его расцвет в 20—25 лет совпали с кризисным моментом, когда
перемены в физике назрели, стали необходимыми. Как сказал Тютчев:
«Блажен, кто посетил сей мир в его минуты роковые». Но это не все. Были
современниками молодого Эйнштейна, наверное, не менее 100 молодых и не
совсем молодых физиков-теоретиков. Три крупнейших открытия (молекулы,
кванты, теория относительности), сделанные одним человеком, безусловно,
означают, что этот человек выделялся. Но выделялся, как мне кажется, не
быстротой или блеском, не формальным образованием. Его выделяла
глубина, стремление к ясности, постоянство мысли, и это второй фактор успеха.
В одном из писем Эйнштейн говорит: «Бог дал мне упрямство осла, но не
дал ослиной толстой шкуры». Как это далеко от напыщенности, но оцените
то ударение, которое самокритичный автор делает именно на упрямстве.
В автобиографии он пишет, что в 4 года его поразило чудо магнитной
стрелки, поворачивающейся без прикоснования, а в 15 лет он задумался о
о том, что увидит человек, движущийся быстрее скорости света.
Постоянство мысли не дало ему забыть или обойти этот вопрос, и он вернулся к
нему, создавая специальную теорию относительности. Природную
любознательность юноши не подавило образование. Эйнштейном руководило
глубокое чувство единства природы, гармонии законов природы. Он не думал,
что занимается упорядочиванием своих ощущений или экономией
мышления. Он открывал объективно существующие законы природы, не
отвлекаясь от главного, принципиального. Помните слова Пастернака: «Во всем
мне хочется дойти до самой сути: в работе, в поисках пути...» и дальше:
«до оснований, до корней, до сердцевины».
Отмечу еще здесь для физиков одну характерную техническую деталь:
Эйнштейн необычайно отчетливо понимал, что новые теории не разрушают,
а обогащают старые, он понимал «принцип соответствия». В частности, он
сознательно и целеустремленно использовал тот факт, что движение
пылинок, больших молекул — всегда одно и то же и не изменится в квантовой
теории. Понимал, что новая теория тяготения должна быть построена так,
чтобы в пределе сомкнуться со старой, ньютоновской. Другими словами,
строя новое, он опирался на достигнутое в физике, с огромной интуицией
выбирал в старом то, что останется навсегда. Наконец, после 1905 года было
окрыляющее чувство успеха, не зависящее ни от материального, ни от
служебного положения. Какая-то часть успеха была в признании коллег и

70. Главная книга Д. А. Франк-Каменецкого и ее автор 425
в том, что статьи были напечатаны и признаны. Но еще важнее было
ощущение, что раскрыты тайны природы. Чувство успеха дало Эйнштейну силы
12 лет создавать свою теорию тяготения, общую теорию относительности.
Я не могу дать рецепты руководству, как выращивать Эйнштейнов. Можно
повторить только общеизвестное: надо развивать науки, надо беречь
людей. Пожелание, обращенное к молодежи,— доводить мысли до конца,
до полной ясности.
Возвращаясь к теме статьи, надо сказать: пожалуй, главное — это то,
что Эйнштейн был истинно хороший человек с чистыми помыслами,
увлеченный сутью своей работы. Это не так тривиально. Есть вечный вопрос:
«гений и злодейство несовместны». Не будем говорить об уголовном
злодействе. Много хороших и нужных научных работ делаются по житейским
побуждениям, например, для защиты диссертации. Мой тезис заключается
в том, что работу экстра-класса можно сделать только на высочайшем
моральном уровне самоотречения, и этот уровень был у Эйнштейна.
Мы отмечаем столетие со дня рождения великого физика. Но мы
чествуем и большого человека, одного из организаторов Общества друзей
Советской России, иностранного почетного члена Академии наук СССР. Когда
после ожесточенной войны в 1919 году английские астрономы занялись
проверкой теории немецкого физика, то простой человек с улицы, не
знающий его теории, знал, что есть большой ученый, и письма, адресованные
«Планета Земля, Эйнштейну», доходили до адресата. Когда в 1923 году
Эйнштейн воспринял пришедшую из нашей страны теорию расширяющейся
Вселенной, то это были зримые приметы мира между народами, что так и
было воспринято во всем мире. Это было одной из причин огромной его
популярности. Когда в 1933 году Эйнштейн был изгнан из Германии —
это значило, что надвигается новая война. Вот слова из манифеста
Эйнштейна—Рассела—Жолио Кюри: «...Поэтому вопрос, который мы
ставим перед Вами,— вопрос суровый, ужасный и неизбежный: должны ли мы
уничтожить человечество или человечество должно отказаться от войны».
И еще: «...Перед нами лежит путь непрерывного прогресса, счастья, знания
и мудрости. Изберем ли мы вместо этого смерть?» Этот документ Эйнштейн
подписал за несколько дней до своей смерти в 1955 году, это —его
завещание человечеству. Мы чествуем великого ученого и мы чествуем человека,
который неизменно защищал дело мира, выступал за справедливость, за
социальный прогресс, за счастье людей.
Вечная слава физику и человеку — Эйнштейну!
70
ГЛАВНАЯ КНИГА
Д. А. ФРАНК-КАМЕНЕЦКОГО И ЕЕ АВТОР
В настоящее время готовится третье, посмертное издание замечательной
монографии «Диффузия и теплопередача»
Изданная в СССР в 1947 г. и вторым изданием в 1967 г., книга была
переведена в ФРГ в 1959 г. и в США в 1969 г.
Монография сыграла огромную роль в развитии послевоенной науки
и техники, в воспитании не одного поколения химиков, технологов и
физике охимиков.

426
Часть третья. История физики. Персоналия
До настоящего времени именно эта монография остается наиболее
известной и чаще всего цитируемой в работах, относящихся к основам
химического машиностроения и к теории горения.
Книга стала библиографической редкостью и в связи с этим, естественно,
возник вопрос о ее переиздании. К величайшему сожалению,
предполагаемое третье издание будет посмертным. Давид Альбертович Франк-Каменец-
кий безвременно скончался 2 июня 1970 года, не дожив до шестидесяти лет.
Намечая новое издание книги без участия ее автора, представляется
необходимым подробно сказать в предисловии и о книге и об ее авторе.
Нужно объяснить причину исключительного долголетия и актуальности книги.
Отличительная ее особенность заключается в обилии собственных
результатов автора — одного из тех, кто заложил основы новой области науки.
В предисловии к 1-му изданию академик Η. Η. Семенов пишет: «При
этом автору удалось разработать новые плодотворные методы, выделить
важные предельные области, ввести ряд новых физических понятий и
получить ценные физические результаты. Можно сказать, что этот труд
знаменует собой начало превращения макроскопической кинетики в
самостоятельный раздел науки. Автору удалось показать, что рассматриваемые вопросы
имеют не только частное и прикладное, но и общее научное значение,
представляют общий теоретический интерес».
Развитие науки за последние 35—40 лет полностью подтвердило эту
оценку Η. Η. Семенова. Макроскопическая кинетика под новыми
названиями «синергетика», «теория диссипативных структур», «теория катастроф»
бурно развивается. При этом естественно, возникают и новые задачи и
новые результаты. Однако для глубокого понимания новых отраслей науки
с их историческими корнями необходимо обратиться к основам, к
пионерским работам в области макроскопической кинетики — и здесь книга
Франк-Каменецкого является лучшим пособием.
Но есть и другая задача, связанная с кончиной автора книги. Все меньше
остается людей, знавших его лично. Не все читатели книги представляют
себе творческий путь и облик автора, не все знают о широте научных
интересов Давида Альбертовича, и в частности, о его результатах в других
областях науки — в физике плазмы, в астрофизике и космологии. В
предлагаемом очерке сделана попытка восполнить этот пробел. Думается, что
такой рассказ поможет лучше оценить и предлагаемую монографию
«Диффузия и теплопередача в химической кинетике».
Давид Альбертович начал свою научную деятельность при не совсем
обычных обстоятельствах. Детство и юность он провел в Сибири, там же
получил диплом инженера-металлурга (окончил Томский технологический
институт) и стал работать на горнообогатительном заводе. В начале 1935 г.
Давид Альбертович написал академику Η. Η. Семенову письмо, в котором
обсуждались проблемы химической термодинамики. Талант автора был
настолько очевиден, что его пригласили в Институт химической физики.
Сознательный поиск и привлечение способных молодых людей, особенно с
периферии, широко и с успехом применялись тогда в Ленинградском физико-
техническом институте и в тех институтах — в частности в Институте
химической физики, которые от него отпочковались.
Давид Альбертович в составе большого коллектива принял участие в
работе по проблеме окисления и фиксации атмосферного азота при горении
и взрывах. Упоминания об этой проблеме, например, у Кавендиша,
появились сразу после открытия азота и вслед за тем, как был установлен сое-

70. Главная книга Д. А. Франк-Каменецкого и ее автор
427
тав воздуха. К исследованию этого процесса обращались такие крупные
химики, как Ф. Габер, В. Нернст (Германия), Р. Бон (Англия). В связи с
развитием теории цепных реакций вставал вопрос о возможности прямого
использования энергии горения для превращения азота в окись азота.
Исследования, проведенные при участии Давида Альбертовича, показали, что
процесс связан с механизмом цепной реакции при участии атомов Νπ О,,
однако при этом выход окислов азота ограничен условиями
термодинамического равновесия. Вполне естественно наметились направления
последующей работы Давида Альбертовича: с одной стороны — теория горения и
взрыва, с другой — общие основы химической технологии. К этим вопросам
Давид Альбертович был близок и по своему инженерному образованию и опыту.
В фундаментальной работе 1939 г. Давид Альбертович ставит задачу
о тепловом взрыве с учетом пространственного распределения температуры
в среде, в которой протекает химическая реакция. Решение этой задачи
завершило почти вековое исследование. Появилась возможность точно
предвычислить условия возникновения взрыва. Многочисленные
эксперименты полностью подтвердили теорию Д. А. Франк-Каменецкого.
Благодаря этой теории были получены важные результаты в химической кинетике.
В упомянутой работе таилось, однако, более глубокое содержание,
выходящее за пределы вопроса о взрыве. Только спустя много лет была
понята плодотворность постановки задачи о критических условиях как о
границе существования решения. На примере теплового взрыва Давид
Альбертович развил теорию подобия процессов выделения и отвода энергии.
Он предложил асимптотическое выражение, к\ ехр (α (Τ — Γι)),
заменяющее экспоненциальную зависимость к2 ехр (—AIRT), при котором решение,
относящееся к некоторой температуре, получается преобразованием
подобия из решения, относящегося к другой температуре. По современной
терминологии Давид Альбертович использовал групповые свойства уравнений
и сознательно выбрал аппроксимацию, необходимую для возникновения
группы, аддитивной по температуре и мультипликативной по координатам.
Эти общие физические и математические идеи были широко
использованы в работах по теории горения, выполненных как при непосредственном
участии Д. А. Франк-Каменецкого, так и в порядке продолжения его
исследований.
Исследования Давида Альбертовича, относящиеся к основам
химической технологии, подытожены в его замечательной монографии.
Теплопередача, диффузия, гидродинамика представляют собой разделы
классической физики. Монография замечательно сочетает аналитические
решения, теорию подобия и полуэмпирический подход к явлениям и
процессам различной степени сложности. Широкая научная программа физико-
математического подхода к технологии, осуществляемая в настоящее время,
во многом использует глубокие идеи и методы, изложенные в этой работе.
Научные интересы Давида Альбертовича вскоре после войны и после
написания книги перемещаются в область астрофизики. Проблемы
спокойной эволюции звезд мастерски изложены в монографии «Физические
процессы внутри звезд». Д. А. Франк-Каменецкий также решил задачу о том,
как при взрыве звезды ударная волна усиливается во внешних слоях. Это
явление существенно связано с законами изменения блеска сверхновых
звезд, а также, может быть, с процессом первичного ускорения космических
лучей. Одним из первых Давид Альбертович понял, как об этом
свидетельствуют работы об «эпиплазме», ту роль, какую играет в астрофизике и, в част-

428
Часть третья. История физики. Персоналия
ности в космологии процесс рождения пар частица — античастица в
экстремальных условиях. В 1956 г. Д. А. Франк-Каменецкий по приглашению
И. В. Курчатова переходит в Институт атомной энергии, где возглавляет
новое направление — исследование взаимодействия волн с плазмой. Здесь
им впервые была четко сформулирована задача о нагреве плазмы за счет
диссипации волн, возбуждаемых в ней внешним источником колебаний.
Давид Альбертович теоретически предсказал важное явление магнитно-
звукового резонанса, которое затем было экспериментально обнаружено
при его непосредственном участии. В дальнейшем им и его учениками это
явление было подробно исследовано как в теоретическом, так и в
экспериментальном плане. Были изучены дисперсионные свойства обширного класса
колебаний: прямых и косых магнитозвуковых волн. Экспериментально было
показано возникновение резонансной раскачки электромагнитных полей
в плазме при магнитно-звуковом резонансе («эффект пространственного
усиления магнитного поля»). Наконец, была обнаружена аномальная
диссипация магнитно-звуковых колебаний и, как следствие этого,
продемонстрирована экспериментально возможность нагрева плазмы при
магнитно-звуковом резонансе до высоких температур. В частности, с помощью этого
метода плотную водородную и гелиевую плазму удалось нагреть до
температур 5(106-107) К.
В последние годы наряду с этой тематикой Давид Альбертович
предпринял исследование неустойчивости плазмы при электронном циклотронном
нагреве , а также развернул работы по изучению плазменных явлений в
твердом теле.
Следует отметить громадное влияние Давида Альбертовича на
творческую молодежь. Еще в 1956—1957 гг. он призывал к исследованию
коллективных процессов в плазме и явлений, где они должны проявляться:
нелинейных и ударных волн без столкновений, пинча и пр. Его идеи, несомненно,
играли фундаментальную роль в становлении физики плазмы.
Широта эрудиции, энциклопедичность знаний, незаурядный
литературный талант и умение о самом сложном сказать просто и ясно снискали
Давиду Альбертовичу славу одного из крупнейших популяризаторов в
области естественных наук. Он автор серии научно-популярных книг по
различным областям физики: «Энергия в природе и технике», «Образование
химических элементов в недрах звезд», «Ядерная астрофизика».
Наибольшую известность получила написанная им по предложению И. В.
Курчатова книга «Плазма — четвертое состояние вещества», неоднократно
переизданная и переведенная на болгарский, польский, чешский, немецкий
и японский языки.
Давид Альбертович был одним из наиболее компетентных специалистов
по огромному кругу вопросов физики, химии, астрофизики, биофизики.
Искреннее и совершенно бескорыстное желание помочь каждому, кто
обращался к нему за советом, колоссальная эрудиция, постоянная готовность
с энтузиазмом погрузиться в решение научных проблем, даже лежащих
вне круга его сегодняшних интересов, делали Давида Альбертовича
незаменимым творческим консультантом. Яркое представление об уникальной
широте его научных интересов, а также о присущем ему живом стиле
изложения и чувстве юмора дают рецензии, печатавшиеся в течение многих лет
в бюллетене «Новые книги за рубежом», статьи и заметки о последних
достижениях советской и мировой науки и по ряду принципиальных
философских проблем в журнале «Природа». Под редакцией Д. А. Франк-Ка-

70. Главная книга Д. А* Франк-Каменецкого и ее автор
429
менецкого вышли на русском языке многие научные и научно-популярные
книги известных зарубежных ученых. Большую известность получили его
публичные лекции по самым животрепещущим проблемам современного
естествознания, его блестящие выступления по радио и телевидению.
Преподавательская деятельность Д. А. Франк-Каменецкого, начатая
еще в начале 30-х годов в Читинском горно-металлургическом техникуме
и Иркутском университете, продолжалась почти непрерывно всю его жизнь.
В последние годы он возглавлял организованную им кафедру физики
плазмы в Московском физико-техническом институте. Давид Альбертович —
автор учебника «Лекции по физике плазмы».
Советское правительство высоко оценило заслуги Д. А.
Франк-Каменецкого: он был награжден орденами Ленина и Трудового Красного
Знамени и трижды Государственной премией.
Простое перечисление научных работ Давида Альбертовича еще не дает
полного представления об авторитете и научном влиянии Д. А. Франк-
Каменецкого, которые во многом зависели от его личных качеств и
щедрости, с которой он передавал свои идеи не только своим ученикам и
сотрудникам, но любому, обращающемуся к нему за советом.
Огромный оптимизм и доброжелательность, душевное благородство и
внимательность — эти качества Давида Альбертовича хорошо известны не
только его сотрудникам и ученикам, но и широкому кругу физиков и
химиков. Его отличали полное отсутствие ревности или зависти к чужим
результатам. Естественное для ученого активное желание раскрыть свои
способности и получить важный результат у Давида Альбертовича гармонично
сливалось с интересом к сути дела, с интересом к природе.
Давид Альбертович прожил яркую и счастливую жизнь. Память о нем
навсегда останется в наших сердцах.
Время подтвердило те оценки, которые приведены выше.
Вопросы диффузии и теплопередачи в химической кинетике по-прежнему
находятся в центре внимания химической технологии и теории горения.
В последней главе книги «Диффузия и теплопередача в химической
кинетике» Давид Альбертович уделяет большое внимание периодическим
химическим реакциям. В настоящее время в нашей стране проведен большой
цикл исследований периодической реакции Белоусова—Жаботинского.
На недавней международной конференции «Синергетика 1983» (август
1983) в Биологическом центре АН СССР в Пущине под Москвой стало
особенно ясно, что исследования периодических реакций и связанных с ними
пространственных картин вырастают в самостоятельную область науки —
синергетику. Теория теплового взрыва была первой ласточкой современной
теории катастроф. Благодаря развитию теории катастроф результаты
Давида Альбертовича и его сотрудников обобщаются на множество областей,
на первый взгляд, внешне, далеких от горения и взрыва — от механики
полимеров до биологических явлений. Большое значение имеют работы
Давида Альбертовича по теории плазмы. Его популярная книга «Четвертое
состояние вещества» остается и сегодня лучшим введением для молодежи
в физику плазмы. Глубокое проникновение в физику диссипативных
процессов позволило ему сделать существенный вклад в теорию диффузии и
теплопроводности плазмы.
Ему принадлежит ряд методических пособий по вопросам переноса и
волн в плазме. Он автор одного из методов нагрева плазмы, использующего
звуковой резонанс.

430
Часть третья* История физики. Персоналия
Книга «Физические основы теории звезд» (1960 г.) не имеет себе равных
по ясности и проникновению в суть вопросов, по рациональному
применению теории подобия. Более того, рассмотрение водородных звезд
оказалось более важным, чем это казалось 20 лет тому назад. В настоящее время
установлено, что в космологическом нуклеосинтезе тяжелые элементы не
образуются. Следовательно, звезды первого поколения состояли из водо-
родно-гелиевой смеси без более тяжелых ионов.
Давид Альбертович развил идеи об эпиплазме, ему же принадлежит
и само это название плазмы, состоящей из частиц и античастиц. Сегодня
с несомненностью установлено, что именно таким было состояние вещества
на ранней стадии эволюции Вселенной.
Давид Альбертович олицетворял широту знаний, стремление к синтезу
наших знаний.
Иногда сетуют на все возрастающую сложность и дифференциацию
отдельных областей естествознания. Жизнь и творчество Давида Альбертовича
являются убедительным опровержением этих жалоб. Талант и эрудиция
Давида Альбертовича позволили ему преодолеть барьеры, разделяющие
отдельные области, и остаться ученым-универсалом на высоком
профессиональном уровне в нашей трудной второй половине XX века.
Сегодня становится очевидным, что в целом ряде вопросов идеи Давида
Альбертовича обгоняли свое время и, может быть, поэтому не получили
достаточного резонанса.
Все мы (и в первую очередь автор предисловия) с запозданием ощущаем,
что в шестидесятые годы недостаточно контактировали с Давидом
Альбертовичем, недостаточно прислушивались к его идеям и советам. Может быть,
эти строки послужат толчком к усилению контактов и дискуссий среди
советских физиков, химиков, биологов.
Хотя об этом и не принято писать, напомним, что Давид Альбертович не
был избран ни академиком, ни членом-корреспондентом Академии Наук.
Я убежден, что Давид Альбертович был вполне достоин этих званий. Он
лае получил их в значительной степени потому, что диапазон его работ был
шире тематики тех отделений (общей химии, физики и астрономии), на
которые сегодня делится Академия.
Сыграла роль и его личная скромность... И все же остается ощущение
несправедливости и недостаточной настойчивости коллег и соратников
Давида Альбертовича, в том числе и автора. Здесь нужно сказать, что самому
Давиду Альбертовичу были абсолютно чужды соображения карьеристские.
Он был человеком исключительно светлого мироощущения, любил
природу и искусство. Его работа, его ученики и, наконец, («на последнем месте,
но не последнее по значению» — last but not least) его семья доставляли
ему непреходящую радость.
Хочу поделиться одним глубоко личным, дорогим для меня
воспоминанием. В марте 1970 года под действием какого-то внутреннего импульса, без
конкретного повода или приглашения я с женой приехал в гости к Давиду
Альбертовичу. После беседы о науке (главным образом, об астрономии)
мы пошли ужинать на кухню. К нам присоединилась жена Давида
Альбертовича Елена Ефимовна, его дети и друзья его детей. Зашла речь о поэзии,
и Альберт Давидович вдохновенно прочел «Равенну», стихотворение Блока,
начинающееся словами: «Все что минутно, все что бренно, похоронила ты
в веках...»
Навсегда запомнилось восхищение молодежи.

71. Памяти друга. Борис Павлович Константинов
431
Давид Альбертович был уже тяжело болен, но в памяти об этой встрече
остался его образ такого, каким он был всю жизнь,— талантливым,
вдохновенным, счастливым.
71
ПАМЯТИ ДРУГА.
БОРИС ПАВЛОВИЧ КОНСТАНТИНОВ
Борис Павлович Константинов навсегда остается для меня другом,
родным, просто Борисом, для моих детей — добрым «дядей Борей». Тот, кто
считает, что писать надо беспристрастно и бесстрастно —пусть не читает
этот очерк. Я любил Бориса, я и сейчас горюю о том, что его нет с нами, что
он ушел так рано. Он оставался остроумным, изобретательным, глубоким
и веселым, добрым и активным до последних месяцев, когда уже трагически
уставало больное сердце. Борис Павлович не дожил до 60 лет. Эти заметки
посвящены 75-летию со дня его рождения. А разве не могли мы посвятить
их живому юбиляру? Сколько мог бы сделать Борис Павлович с его умом и
талантом за эти 15 лет!
Мы познакомились в 1932 г. в большой квартире Константиновых на
Малой Подьяческой улице около канала Грибоедова в Ленинграде.
Познакомила нас Варвара Павловна, Варя, сестра Бориса, моя жена.
Я узнал, что Борис — физик, что работает он в Акустической
лаборатории и так же, как и я, не имеет высшего образования. Узнал я еще, что
недавно он тяжело болел (в те времена болезнь называлась пороком сердца),
что выходила его Нина Николаевна Рябинина, ставшая впоследствии его
женой. Среди большого семейства (шесть братьев и три сестры) Борис был
самым талантливым, самым ярким и щедрым душевно, самым музыкальным,
певучим и «заводным». Но и вся семья Константиновых была замечательная.
В трудные годы братья и сестры оставались сплоченными, помогали друг
другу жить, получить образование. Они недоедали, экономили на трамвае,
но всеми правдами и неправдами пробирались на галерку Мариинского
оперного театра, а иногда и на сцену — статистами. Все вместе ходили на
лыжах.
Наверное, в умении Бориса Павловича работать с людьми, понимать
их и помогать им большую роль сыграли детские и юношеские годы,
проведенные в многодетной дружной семье. К тому времени, когда я вошел в эту
семью, родителей уже не было в живых. Отец умер в 1918 г. Недавно в
толстой книге «Весь Петроград, 1916 год» я нашел строку «Константинов
Павел Федосеевич, потомственный почетный гражданин, строительные
подряды, Малая Подьяческая, дом 10».
Отец Бориса — самородок, человек, который начинал свою жизнь
трудом, добился самостоятельного положения. До сих пор помню рассказ о
том, как ежедневно затемно в 5 часов утра он садился за работу с
документами и счетами.
Дом, в котором жили Константиновы, и шестиэтажный дом напротив
выстроены им. Сейчас мы ушли от примитивной идеи о том, что строит толь-
* Вопросы истории естествознания и техники, 1984, № 2, с. 71—75; Наука в СССР,
1984, № 5, с. 109—112.

432
Часть третья» История физики. Персоналия
ко тот, кто своими руками кладет кирпичи (Павел Федосеевич начинал
с этого). Мы сегодня видим и значение организаторской деятельности.
В 1929 г. умерла мать Агриппина Федосеевна. Вышла замуж и уехала
с мужем за границу старшая сестра Екатерина Павловна. Женился и
несколько отдалился от семьи старший брат — талантливый радиотехник
Александр Павлович Константинов. О нем писали как об изобретателе
в области телевидения. Он работал в Пулковской обсерватории, был
связан и с геофизиками. Помню на выставке Академии наук его прибор для
регистрации землетрясений по изменению емкости конденсатора.
Старший брат высоко ценил ум, талант и изобретательность Бориса,
помог устроиться ему на работу в Акустическую лабораторию. Оба
высокие, светловолосые, с крупными чертами лица, они были похожи и внешне,
но в детстве Борис много болел, и это наложило отпечаток на внешность.
Пожалуй, в Александре больше чувствовалась самоуверенность, в Борисе —
доброта и внимание.
Невольно я думаю, нужно ли писать обо всем этом? То, что дорого мне
и волнует по понятным причинам — интересно ли, нужно ли читателю?
Да еще такому читателю, который никогда не встречал живого Константинова.
Его конкретные научные работы, изобретения давно опубликованы,
теории, им созданные, продолжают развиваться в трудах последователей.
Они стали безличны. Но нет! Так только кажется, что они безличны. Если
мы попытаемся глубже понять само творчество, возникнут вопросы: почему
человек взялся за определенную проблему, почему сотрудники пришли
к нему и пошли за ним, почему он стал лидером. Чтобы понять это, нужно
вернуться к самому человеку, в его детство, семью — к истокам его
личности...
Во время войны Борис с родными, как и я со своей семьей, переехали
в Казань. Я знал о серьезных работах Бориса в Физико-техническом
институте, о блестящей защите докторской диссертации в 1943 г., об очень
хорошем отношении к нему со стороны наших старейшин — Абрама
Федоровича Иоффе, Петра Леонидовича Капицы, Николая Николаевича
Андреева.
После войны Борис Павлович вместе с сотрудниками Физтеха вернулся
в Ленинград. Я попал в Москву еще до окончания войны. Параллельно
с работой по внутренней баллистике пороховых ракет был привлечен к
атомным делам. Несколько лет мы с Константиновым встречались редко.
Позже работа сблизила нас опять. В ходе исследований, которые я
проводил вместе с Курчатовым и Харитоном, возникла сложная задача,
допускавшая несколько различных вариантов технического решения. Она была
поставлена и перед ленинградским Физико-техническим институтом (ФТИ),
в частности перед Борисом Павловичем. Он проявил поразительный
здравый смысл в выборе варианта и огромную конструкторскую
изобретательность. Начался новый период его жизни: исследования в ленинградской
лаборатории, обсуждение их результатов, согласование планов,
материальное обеспечение работ — в Москве в правительственных учреждениях,
в Академии наук, затем строительство и пуск объекта.
В большинстве случаев, будучи в Москве, Борис предпочитал
останавливаться в нашей квартире, спал на диване в нашей комнате, засиживался
со мной и сестрой вечерами допоздна. Утром — мне стыдно сейчас
вспоминать об этом — мы будили его шумной зарядкой, а дети веселой возней.
Потом он уезжал в министерство или на вокзал.

71. Памяти друга. Борис Павлович Константинов 433
Помню вечер, когда Борис был необычайно бледен, молчалив, серьезен.
Возникла трудность, может быть, связанная с ошибкой, допущенной ранее.
Под вопросом оказалась судьба варианта. Борис пил кофе, не ложился
спать — и к утру он сумел найти нужные идеи и спас работу.
Надо ли говорить о том, что она была выполнена успешно! Борис
Павлович получил Золотую звезду Героя Социалистического Труда, вскоре
его избрали членом-корреспондентом Академии наук. Наконец — и это,
конечно, самое главное — предложенный и разработанный
Константиновым процесс поныне остается непревзойденным, по сей день находит широкое
применение.
В 1955 г. Бориса Павловича назначают директором ленинградского
Физико-технического института. Ныне перед входом в институт стоит его
бронзовый бюст. Точнее, напротив друг друга возвышаются два бюста:
Абрама Федоровича Иоффе, основателя Физтеха и его директора с 1918
по 1948 г., и Бориса Павловича Константинова, занимавшего эту должность
с 1955 г.
Роль Абрама Федоровича Иоффе в становлении советской физики,
советской науки невозможно переоценить. Все мы, и в том числе
Константинов, сознавали и сознаем, чем обязаны ему, считаем его в высшем смысле
своим учителем. Поэтому вопрос о том, имеет ли право бронзовый бюст
Константинова находиться рядом с бюстом Иоффе — трудный вопрос.
Я все-таки предпочитаю высказаться в защиту Константинова открыто,
не оставляя места недомолвкам.
Главное, что нужно отметить: Иоффе перестал быть директором ФТИ
не потому, что пост занял Константинов. Это видно из сопоставления дат
(1948 π 1955 гг.) Борис Павлович не второй, а третий директор Физтеха.
Его приход ознаменовал начало возрождения Института, несколько
утратившего авторитет и традиции за семь лет. Наряду с энергичной поддержкой
старых, классических направлений Константинов организовал новые
направления: хроматографию, технический электролиз; он обращал внимание
на астрофизическую тематику (подробнее об этом позже), начал работы
по диагностике термоядерной плазмы. Нашли свое место в тематике и
исследования по атомным столкновениям. Наконец, под руководством
Константинова укрепились теоретические отделы. Теоретики поняли, что им
не надо искать другое место работы, поняли, что они нужны, их ценят,
у них есть перспектива работать самим и учить молодежь. Отдел ядерной
физики Физтеха в Гатчине позже вырос в самостоятельный институт, по
праву носящий имя Б. П. Константинова.
Наверное, я не все перечислил, не упомянул о десятках добрых дел.
Знаю одно: он жертвовал своим временем, силами, здоровьем и умер, не
дожив до 60 лет. Спросите любого сотрудника ФТИ со стажем 15—20 лет
и он вам скажет, кем был Константинов для Института.
Борис Павлович стал директором тогда, когда Иоффе уже возглавлял
Институт полупроводников и не хотел возвращаться в Физико-технический.
Константинов ездил к нему, советовался, поддерживал его.
Вспомним дни празднования 100-летия юбилея Иоффе в Ленинграде.
Еще звучат слова акад. Александрова и многих других о том, чем был и
чем остается для страны, для науки, физики и физиков созданный Абрамом
Федоровичем институт. Но понимаем ли мы достаточно, сознаем ли, что
не звучали бы они так, если бы Константинов, а потом Тучкевич не
сохранили бы институт!
15 Я. Б. Зельдович

434
Часть третья. История физики. Персоналия
Я не буду останавливаться на деятельности Константинова — вице-
президента Академии наук СССР. Об этом, несомненно, напишут другие
и напишут хорошо. Я высоко ценю его труд на посту вице-президента.
Вместе с тем я видел, что чрезмерная нагрузка в эти годы сказывалась на
здоровье. Слабое сердце. Никогда не забуду, как Борис приехал к нам
на дачу отдохнуть в субботний вечер. Ему трудно было подняться по
лестнице на один этаж. Мы вынесли кресло в сад, окружили Бориса Павловича,
смеялись и шутили. А в душе поднималась огромная тревога за него, за
его жизнь. В этот период он не оставлял своих обязанностей. Попытки
помочь ему окольными путями не удавались. Должен ли был врач или кто-то
близкий сказать ему о смертельной опасности? Знал ли он сам, что сгорает?
Наверное, оптимизм и надежда на выздоровление — необходимые
компоненты здоровой психики, даже если сердце больное.
Я хочу остановиться еще на одной работе Бориса, занимавшей его,
очень дискуссионной. Снова предупреждаю —не ждите от меня
беспристрастности!
Речь пойдет об астрофизической идее Константинова, об идее
«антивещества у нас дома», в Солнечной системе, в метеорах. Это, безусловно,
неправильная идея. Она опровергнута опытами, поставленными лабораторией
Константинова. Более того, внимательный анализ косвенных данных мог
бы показать, что идея антивещества в Солнечной системе (да и в нашей
Галактике) представляется крайне маловероятной.
Теперь, через 20—30 лет, вопрос стоит несколько по-иному: не следует
ли считать работы по поискам антивещества свидетельством плохого
знания предмета, нежелания прислушаться к мнению специалистов или, что
еще хуже, желания путями неправедными приобрести славу, почет и
положение?
Проще всего ответить на последний из этих вопросов-обвинений.
Достаточно сказать, что к моменту начала астрофизической деятельности
Борис Павлович уже был академиком, директором крупного института,
Героем Социалистического Труда. Все должности, звания, награды он
получил за несомненные заслуги в других областях. Лично ему
астрофизическая деятельность не сулила ничего, кроме дополнительного труда,
хлопот, тревог — но и, конечно, удовлетворения научного интереса!
Хорошо помню свое отношение к идее антивещества. Я не верил, считал
маловероятным. Но я думал и о том, что при малой вероятности значение
такого открытия, если бы оно состоялось, было бы огромно.
В физике и в быту мы различаем вероятность и математическое
ожидание. В шутку говорят, что математическое ожидание — «произведение
вероятности на неприятности». Вероятность одного процента мала, мала
по сравнению с единицей. Но если это вероятность смертельного исхода
болезни, то болезнь считается очень тяжелой.
Так вот: при малой вероятности открыть антивещество я не считал
математическое ожидание слишком малым. С такой точки зрения
контраргументы ослабевают. Да, для десяти или ста метеорных потоков доказано,
что они состоят из обычного вещества. Да, большинство, пусть подавляющее
большинство, метеоров «обычны». Доказывает ли это, строго говоря, что
одиннадцатый или сто первый поток — не из антивещества? В такой
постановке вопрос переходит в другую плоскость: можно ли, нужно ли
браться только за работы с гарантированным успехом, нужно ли отвергать за-

Автобиографическое послесловие
435
ранее работы, сулящие большой риск? Как пример исследований, где риск
отрицательного результата велик, можно указать поиски радиосигналов
внеземных цивилизаций. Однако они продолжаются в течение многих лет
и не считаются бесперспективными и компрометирующими.
Вернемся к вопросу об антивеществе. Действительно, в Солнечной
системе его нет. К такому выводу пришли сотрудники Константинова. Для
многих астрономов этот вывод считался само собой разумеющимся уже в
самом начале работы. Но можно и должно посмотреть глубже, задать
вопрос о том, почему же нет антивещества? Тогда прагматическая точка зрения
«нет и все тут» становится похожей на чеховское выражение «этого не
бывает, потому что этого не бывает никогда».
Постановка проблемы Константиновым была проявлением святого
беспокойства. А если поставить проблему особенно строго: почему нет
антивещества в горячей Вселенной, где в далеком прошлом в течение очень
короткого времени обязательно имели место сверхвысокие температуры,
при которых рождались пары протонов и антипротонов? Тогда становится
очевидным, что вопрос есть, вопрос трудный и нетривиальный.
Будучи буквально неправильной, идея Константинова, несомненно,
стимулировала чрезвычайно важное направление современной космологии—
теоретическое исследование сверхранней Вселенной. Борис Павлович не
дожил до тех дней, когда эти вопросы стали широко обсуждаться, когда
появились гипотезы, возможно, объясняющие отсутствие антивещества.
Вернемся в своем повествовании к ленинградскому
Физико-техническому институту. Увлеченный идеей, Борис Павлович, создал
астрофизический отдел, который и сейчас является одним из ведущих центров
астрофизики высоких энергий. В 1981 г. группа его сотрудников во главе с
Е. П. Мазецем получила замечательные результаты по космическим
источникам гамма-излучения. А докт. физ.-мат. наук Е. П. Мазец до сих пор
благодарен Борису Павловичу за то, что тот привлек его,
квалифицированного ядерщика, к астрофизике. Таких примеров много.
Итак, неверная идея, тем не менее, оказалась плодотворной как в
теоретическом, так и в экспериментальном плане.
Оглянемся же мысленно на весь жизненный путь Бориса Павловича
Константинова. Поразительно цельный человек, ученый, он прожил
короткую, но яркую, плодотворную, достойную жизнь.
АВТОБИОГРАФИЧЕСКОЕ ПОСЛЕСЛОВИЕ
Перевернута последняя страница последней статьи, и, естественно,
возникает вопрос об итоге семидесяти лет жизни и пятидесяти трех лет
работы и об уроках на будущее, которые можно извлечь из этого итога.
Первый вопрос — об итоге — является предметом вступительной
статьи — Введения,— составленной редакционной коллегией и помещенной
в начале первой книги, но охватывающей содержание обеих книг. На мой
взгляд, введение содержит завышенную оценку моих результатов и влияния
их на современную науку.
Было бы неуместно, однако, спорить — больше или меньше значение
той или иной работы. Интересным может быть качественное отличие между
15*

436
Часть третья. История физики. Персоналия
оценками моих работ, а также общего состояния физики с разных сторон:
извне — специалистами, даже самыми благожелательными, и изнутри —
мною самим. Таким образом, данное послесловие написано с сугубо
субъективных позиций, без каких-либо претензий на объективность.
Хорошо помню первый, еще детский (12 лет) выбор области знаний,
разговор с отцом. Для математики нужны исключительные способностиг
которых я не ощущал. Физика казалась законченной наукой: сказывалось
влияние почтенного школьного учителя физики, торжественно читавшего
незыблемые законы Ньютона сперва по латыни, затем на русском.
Мятежный дух новой физики еще не проник в среднюю школу в 1926 году. Между
тем курс химии изобиловал загадками: что такое валентность? катализ?
И химики не скрывали отсутствия фундаментальной теории. Большое
впечатление произвела на меня книга Я. И. Френкеля «Строение материи»,
особенно первая ее часть, посвященная, главным образом, атомистике и
кинетической теории газов, определению числа Авогадро и броуновскому
движению. Но атомистика, как и термодинамика, в равной степени
относится к физике и химии. Потом судьба определила меня в Институт
химической физики (ИХФ).
В 1930 г. я был лаборантом в Институте механической обработки
полезных ископаемых (Механобра), рассматривал шлифы горных пород. Навсегда
запомнились богатства Кольского полуострова, запечатлелось уважение
к академику А. С. Ферсману. В марте 1931 г. с экскурсией сотрудников
Механобра я посетил отдел химической физики Ленинградского физико-
технического института. В лаборатории С. 3. Рогинского меня
заинтересовала кристаллизация нитроглицерина в двух модификациях. Об этом
рассказывал Л. А. Сена (Рогинский был за границей).
После дискуссии (в которой ни я, ни Сена еще не знали истину) мне
предложили в свободное время работать в лаборатории. Вскоре встал
вопрос об официальном переходе. Ко времени зачисления (15 мая 1931 года)
отдел превратился в самостоятельный Институт химической физики. В
промежутке помню свой реферативный доклад о кинетике превращения пара-
водорода в ортоводород. Не вполне понимая, что это такое, я все же
твердо и горячо отстаивал принцип детального равновесия.
Присутствовали Η. Η. Семенов, С. 3. Рогинский и многие другие будущие мои
коллеги.
Много лет спустя я услышал три легенды. Первая: Механобр отдал меня
Химфизике в обмен на масляный насос. Вторая: Академик А. Ф. Иоффе
написал в Механобр, что для решения практических задач я никогда не
буду полезен. Третья: Иоффе терпеть не мог вундеркиндов и потому отдал
меня в Химфизику.
До сих пор не знаю, сколько истины в каждой из них. Могу только
засвидетельствовать, что Иоффе я не видел до 1932 г., а увидел я его в
примечательных обстоятельствах: был созван общий семинар физтеха и его
дочерних институтов. Иоффе огласил телеграмму от Дж. Чедвика об
открытии нейтрона, прокомментировал ее, а в заключение была принята резолюция
и послана ответная телеграмма о том, что и мы (все?!) включаемся в
нейтронную физику. Для меня — не сразу — резолюция оказалась пророческой.
В интересе к химии большую роль играло чисто зрительное восприятие
ярких цветов и форм, начинающееся с «превращения воды в кровь» при
взаимодействии солей железа и роданистого калия, с образования осадков

Автобиографическое послесловие
437
и кристаллизации. За этим следовал интерес к резкости перехода окраски
индикатора и далее к резкости фазовых переходов.
В соседних лабораториях изучались атомные спектры. Отчетливо
помню, что по сравнению с многообразием цветов и форм макроскопических
явлений детальная теория атома казалась скучной. Сегодня я пишу об этом,
свидетельствуя о своем тогдашнем глубоком непонимании физической
теории.
Вместе с тем было правильное и естественное чувство, что за
случайностью форм и чередованном плавных и резких зависимостей кроются общие
закономерности. Сегодня они получили название теории катастроф и
синергетики.
В 30-х годах, развивая теорию горения, мы, по существу, занимались
конкретными примерами этих новых наук, не зная их названия. Вспомните
мольеровского мещанина во дворянстве, в преклонном возрасте узнающего,
что он всю жизнь говорил прозой.
Огромной непреходящей заслугой Абрама Федоровича Иоффе и
Николая Николаевича Семенова является создание институтов, отовсюду
привлекавших способную молодежь. Возникла «сверхкритическая» ситуация
быстрого роста людей и большой их отдачи. Для меня огромную роль
сыграла возможность учиться у молодых (но старше меня!) теоретиков. Я
глубоко признателен моим тогдашним учителям и нынешним друзьям —
Л. Э. Гуревичу, В. С. Сорокину, О. М. Тодесу, С. В. Измайлову. Около
двух лет я учился (но не закончил) на заочном факультете университета.
Посещал замечательные лекции по электродинамике покойного М.П.
Бронштейна. Вспоминаю сейчас слова «градиентная инвариантность», которые
тогда не воспринял...
Большим счастьем было сочетание экспериментальной и теоретической
работы над одним и тем же вопросом. Изотерму адсорбции Фрейндлиха
я сперва наблюдал экспериментально, исследуя систему Мп02—СО—02—С02-
Только после этого была разработана соответствующая теория (см. статью
1 в моей книге «Химическая физика и гидродинамика»). Не откладывая,
я проверил на опыте зависимость от температуры показателя η в формуле
q = cPn. В эксперименте не было ничего принципиально нового, изотерму
Фрейндлиха, как показывает само название, открыл Фрейндлих, а не я.
Однако собственный эксперимент необычайно активизировал желание
понять явление и дать его теорию. Думаю, что это общее явление. Теоретикам,
работающим в области макроскопической физики, настоятельно советую
принимать участие в эксперименте!
Определенный цикл работ по адсорбции и катализу составил
кандидатскую диссертацию. Благословенные времена, когда ВАК давал разрешение
на защиту лицам, не имеющим высшего образования! Защита состоялась
в сентябре 1936 г.
Еще раньше я пустился в самостоятельное плавание и решил заняться
топливным элементом. Интерес к электрохимии подогревался уважением
к академику А. Н. Фрумкину, благожелательно относившемуся к моим
работам по адсорбции, в значительной мере параллельным работам его
и М. И. Темкина. Размышления о путях преобразования энергии топлива
в электричество естественно возникали под влиянием А. Ф. Иоффе.
Однако практически в Ленинграде в ИХФ с вопросом о топливном
элементе я оказался в одиночестве. Работа шла очень медленно.

438
Часть третья. История физики. Персоналия
В 1935 г. в институт приехал, лучше сказать ворвался, необычайно
энергичный и пробивной одессит А. А. Рудой. Его вдохновила цепная
теория химических реакций. Что мешает найти способ превращения энергии
горения в энергию активных центров и использовать ее для
эндотермической реакции окисления азота? Почему бы не получить несколько литров
азотной кислоты из одного килограмма топлива и бесплатного воздуха?
За туманной дымкой рисовались картины совсем идиллические: трактор,
вспахивая поле, одновременно снабжает его азотными удобрениями, а
классические установки для синтеза аммиака лежат в запустении. Семенов взял
Рудого в Институт, но одновременно создал и серьезную группу для
исследования вопроса. В нее вошли покойные П. Я. Садовников, Д. А. Франк-
Каменецкий, А. А. Ковальский. Вошел также и я. Оказалось, что
образование окислов азота при горении водорода в воздухе наблюдал еще Ка-
вендиш, раньше чем был установлен состав воздуха.
Не буду здесь описывать результаты большой коллективной работы —
они изложены в материалах, помещенных в упомянутой моей книге
«Химическая физика и гидродинамика».
Я снова работал и как экспериментатор, и как теоретик. Работа
заставила изучить и применить теорию размерности, подобия и автомодельности,
расширила кругозор, ввела меня в проблемы турбулентности, конвекции
и теплотехники. Книга А. А. Гухмана «Теория подобия» вдохновляла.
Завязалась крепкая и плодотворная дружба с Давидом Альбертовичем Франк-
Каменецким. Инженер по образованию, он прислал в ИХФ письмо, за
которым Η. Η. Семенов разглядел талант. Он вызвал Давида Альбертовича
из Сибири в Ленинград и вскоре привлек его к работе по окислению азота.
От Франк-Каменецкого с его инженерным образованием я узнал о числе
Рейнольдса, сверхзвуковом потоке, сопле Лаваля и многое другое.
Значительно позже, также в связи с окислением азота, я встретился
с Рамзиным, получившим к тому времени Государственную премию, еще
активным, но уже безнадежно больным. Работая дома по вечерам, он за
две недели выполнил работу, которую иной научно-проектный институт
растянул бы на годы. Но качественно ответ был выяснен раньше. В лучшем
случае, с подогревом воздуха и топлива и даже с добавлением кислорода
получаются сравнительно низкие концентрации окиси азота. Лимитирующим
оказался процесс превращения N0 в Ν02 по классической тримолекулярной
реакции 2Ν0 + 02 = 2Ν02. Только Ν02 можно поглотить и использовать,
но технологические объемы, необходимые для его образования, непомерно
велики. Мечта не сбылась, и только в последние десятилетия теория
окисления азота приобрела новое, экологическое значение. Теория окисления
азота была темой моей докторской диссертации, защищенной в конце 1939 г.
Мне приятно отметить, что в числе оппонентов был Александр Наумович
Фрумкин. Естественным продолжением работы, в которой горение было
источником высокой температуры, явилось исследование самого процесса
горения.
Горение выступает во многих обличиях: горение взрывчатых смесей,
горение неперемешанных газов, детонация и т. д. Все эти процессы
изучались ранее, но без проникновения в химическую кинетику реакций.
Предыдущее поколение исследователей шло от теплотехники и
газодинамики. Блестящим исключением был француз Таффанель, опубликовавший
в 1913—1914 гг. работы, предвосхитившие многое. В 1914 г. он умолк.

Автобиографическое послесловие
439
Только в апреле 1985 г. я узнал, Таффанель дожил до 1946 г., успешно
занимаясь инженерными вопросами.
Перед нами было широкое поле деятельности, и период 1938—1941 гг.
был плодотворным. Сказывался живой интерес Η. Η. Семенова. Как
правило, через 10 минут после моего возвращения вечером домой, Николай
Николаевич звал к телефону, и ужин откладывался на час. Шло обсуждение
отдельных частей известной обзорной статьи Семенова в «Успехах
физических наук» (1940, т. 23, с. 251; т. 24, с. 433).
В институте была организована лаборатория горения, где мы
планомерно исследовали кинетику реакции 2СО + 02 = 2С02 вплоть до самых
высоких температур. Может быть важнее было то, что в институте рядом
уже давно существовала лаборатория двигателей внутреннего горения, где
К. И. Щелкин исследовал детонацию. Наибольшее влияние на меня
оказывало соседство с лабораторией взрывчатых веществ. Там были мои
сверстники А. Ф. Беляев и А. А. Аппин. Организовал эту лабораторию и
руководил ею Юлий Борисович Харитон. Это мой друг и мой учитель до
настоящего времени. О совместных работах с Юлием Борисовичем многое будет
еще сказано дальше.
Как физик-теоретик я считаю себя учеником Льва Давидовича Ландау.
Здесь нет надобности объяснять роль Ландау в создании и развитии
советской теоретической физики. Вместе с тем, не умаляя этой роли, хочу
отметить, что с годами взрослея — старея, увы! — лучше стал понимать и
больше стал ценить роль других школ и лиц. Это прежде всего Я. И.
Френкель с его огромной интуицией, оптимизмом и широтой. Это В. А. Фок
с глубокой и блестящей математической техникой. Это И. Е. Тамм и его
ученики и идущая от Л. И. Мандельштама школа теории колебаний.
Наконец, это многие, в том числе ныне здравствующие математики, успешна
работающие в теоретической физике.
Очень прошу не читать вышестоящий абзац злонамеренным образом.
Если я пишу, что Френкель имел интуицию, а Фок был хорошим
математиком, то не делайте вывода, что у Ландау не было ни интуиции, ни знания
математики — этого я не имею в виду! Талант Ландау был гармоничен,
суд его строг, но почти всегда справедлив. Сказанное о школах
теоретической физики можно применить и к физическим школам в целом.
В молодости мой кругозор ограничивался Химфизикой и Физтехом.
Нет сомнения, что Физтех дал блестящую плеяду физиков, вырастил Игоря
Васильевича Курчатова и его соратников, выполнивших важнейшее
государственное дело. Об этом прекрасно написано во многих статьях и
книгах. Но в довоенные годы, да и в первые послевоенные годы мне казалось,
например, что оптика — это наука, в которой исчерпаны принципиальные
вопросы. Сегодня достаточно назвать черенковское излучение и лазеры,
чтобы опровергнуть это неправильное поверхностное мое суждение. Линияг
идущая от Лебедева через Рождественского и Вавилова, Мандельштама
и Тамма, Черенкова, Франка, Гинзбурга, Прохорова и Басова, оказалась
бесконечно более плодотворной, чем мне это казалось в 30-е годы.
Сейчас мне трудно установить, было ли это лично моим дальтонизмом
или в какой-то мере недооценку другой школы (других школ) разделяли
мои коллеги. Во всяком случае, из очень откровенных воспоминаний Гамова
и некоторых реплик Скобельцына теперь я могу уверенно судить о взглядах
представителей другого направления. Школа Лебедева очень определенна

440
Часть третья. История физики. Персоналия
ощущала свое существование, отдельное от школы Иоффе. Но предоставим
эту тему историкам науки. В настоящее время такого противопоставления,
к счастью, нет, произошло достаточно тесное перемешивание тех школ,
которые можно было различить в давние времена.
Возвращаясь к своей работе конца 30-х годов, вижу один существенный
дефект: недостаточное внимание к пропаганде своих результатов за
рубежом. Я хорошо знал иностранные работы, печатал некоторые работы в
советских журналах на английском языке. Однако мне и в голову не
приходило разослать свои оттиски иностранным ученым. Не было и речи о
командировке за границу. Виновато было время, но виноваты в этом были,
может быть, в какой то мере и старшие товарищи, которые должны были
больше заботиться о живых связях.
Пойдем дальше. Открытие деления урана и принципиальной
возможности цепной реакции деления предопределило судьбу века — и мою.
Соответствующие работы Ю. Б. Харитона и мои опубликованы в начале
данной книги, и мне нечего (и незачем) добавить к комментариям по научному
существу. Хочу только отметить ведущую роль моего учителя —
Харитона — в понимании общечеловеческого значения задачи. Меня, пожалуй,
больше интересовали специфические вопросы методов расчета и т. п. Не
случайно именно Юлий Борисович стал в 1940 г. членом Урановой комиссии
(см. УФН за март 1983 г.). Дальнейшее развитие работы хорошо известно
по многим воспоминаниям участников.
Любопытную деталь отмечает Юлий Борисович: работу по теории
деления урана мы считали внеплановой и занимались ею по вечерам, иногда
очень допоздна... Впрочем, и администрация института, по-видимому,
придерживалась той же точки зрения — способный, но более практичный
сотрудник просил 500 рублей за обзор по теории разделения изотопов,
но суммы этой не нашлось...
Говоря о дальнейшей работе, хочу подчеркнуть роль теории детонации
ή взрывов.
Известно удивление ученых США, когда пробы воздуха показали, что
в августе 1949 г. их ядерная монополия окончилась. Август 1949-го,—
испытание советского атомного оружия — был закономерным итогом огромного
целеустремленного усилия всего народа, сыграл роль и научный потенциал
страны, накопленный еще в предвоенные годы. Удивление в США было
бы меньше, если бы они читали наши работы предвоенных лет,
опубликованные на русском языке. Речь идет при этом не только о работах по цеп-
лому делению урана. Наука о взрыве и теория детонации также являются
необходимой частью тех знаний, без которых нельзя решить проблему.
Напомним, что Харитон сформулировал условие предела детонации еще
ъ 1938 г. Законченная одномерная теория детонации была сформулирована
мною в 1940 г. В США та же задача была решена Джоном фон Нейманом —
крупнейшим математиком — только в 1943 г. Заметим, что задачей о
детонации фон Нейман занялся именно в связи с проблемой г.
Вскоре после начала войны Институт был эвакуирован в Казань.
Возникла задача детального анализа процессов, связанных с ракетным оружием —
1 Подробно об истории развития теории детонации см. в книге «Химическая физика
ж гидродинамика», в статьях и комментариях к ним.

Автобиографическое послесловие 44 ί
«катюшами». Теория горения пороха, достаточная для внутренней
баллистики ствольной артиллерии, нуждалась в корректировке. Для камеры
горения реактивного снаряда характерен деликатный баланс между
приходом пороховых газов при горении и уходом их через сопло. Новые
представления о горении пороха, явление раздувания, открытое в нашей
лаборатории О. И. Лейпунским, роль прогретого слоя пороха— все это было
непривычно для артиллеристов и получало различные оценки пороховиков,
и специалистов по внутренней баллистике.
Хочу отметить интерес и поддержку в работе со стороны генерала
профессора И. П. Граве, известного конструктора ракет Ю. А. Победоносцева
(обоих их нет...) и ныне здравствующего Г. К. Клименко. Но такую
поддержку мы встречали не всегда, были и острые споры, попытки
административного воздействия, замены аргументов окриком.
В связи с работами по горению пороха наша группа перебазировалась
в Москву. Мы оказались передовым отрядом, вслед за которым в Москву
(а не обратно в Ленинград) направился весь Институт химической физики
в конце войны. Работы по горению и детонации, как и работы по горению-
порохов, продолжаются в ИХФ и после перехода группы теоретиков
(вместе со мной) на новую тематику. Хочу здесь выразить глубокую
благодарность за это А. Г. Мержанову и его группе, Б. В. Новожилову, Г. Г. Ма-
нелису, А. И. Дремину и многим другим (Институт химической физики АН
СССР). В ходе своих работ они не забывают мои работы — и не дают забыть
о них другим. Без этой преемственности несомненно очень многое было бы
наново открыто за рубежом. Нет задачи более неблагодарной, чем
запоздалая борьба за приоритет...
Первая любовь не забывается — и вот в 1977 г. был организован научный
совет по теоретическим основам процессов горения. До настоящего времени:
я продолжаю работать в области проблем горения, хотя и не в полную силу.
В связи с проблемами горения, в тесном взаимодействии с Г. И. Барен-
блатом в пятидесятых годах сформулировано понятие «промежуточная
асимптотика», имеющее общее значение для математической физики. Также^
вместе с ним в теории возмущений автоволновых процессов (например,
распространения пламени) найдено очень общее решение, соответствующее
сдвигу и имеющее тождественно нулевой инкремент. Физики, занимающиеся,
теорией поля, увидят здесь аналогию с так называемой гольдстоновской
частицей.
Исследован переход (вместе с А. П. Алдушиным и С. И. Худяевым
(ИХФ)) от теории Колмогорова, Петровского, Пискунова и англичанина
Фишера к теории Франк-Каменецкого и моей. В самом общем случае
кинетики реакции и произвольных начальных условий правильный подход,
к задаче о распространении снова оказался связанным с идеей
промежуточной асимптотики.
Очень не простым оказался вопрос об открытой Л. Д. Ландау
гидродинамической неустойчивости пламени: здесь после очень принципиальной
работы А. Г. Истратова и В. Б. Либровича только в 80-е годы удалось
продвинуться вместе с В. Б. Либровичем и Н. И. Кидиным.
Идеи, заимствованные из теории поля, позволяют по-новому подойти
к нелинейной теории спинового горения. В последнее время, в рамках
Совета большое внимание приходится уделять организационной работе*
связанной с большой энергетикой сжигания угля.

442
Часть третья. История физики. Персоналия
Вернемся к атомной проблеме и сороковым и пятидесятым годам.
Огромный коллектив возглавил Игорь Васильевич Курчатов.
Важнейшим участком работы руководил Юлий Борисович Харитон. Вскоре эта
проблема целиком захватила и меня. В очень трудные годы страна ничего
не жалела для создания наилучших условий работы. Для меня это были
счастливые годы. Большая новая техника создавалась в лучших традициях
большой науки. Внимание к новым предложениям и к критике совершенно
независимо от чинов и званий авторов, отсутствие утаивания и
подозрительности — таков был стиль нашей работы.
Страна переживала трудные послевоенные годы. Однако огромный
авторитет Курчатова создавал здоровую атмосферу. Более того, наша работа
оказывала благотворное влияние на советскую физику в целом. Однажды,
когда я находился в кабинете Курчатова, раздался звонок из Москвы: «Так
что же, печатать в «Правде» статью философа, опровергающую теорию
относительности?» Игорь Васильевич, ни на минуту не задумываясь,
ответил: «Тогда можете закрывать все наше дело». Статья не была
напечатана.
К середине 50-х годов некоторые первоочередные задачи были уже
решены. Появились и новые веяния, вехами разрядки стали Женевская
конференция по мирному использованию атомной энергии и знаменитый доклад
Курчатова в Харуэлле (Англия) о термоядерных реакциях.
Часть работ, связанных с прикладной тематикой, представляла
общенаучный интерес и была опубликована. Сюда относятся работы по сильным
ударным волнам, их структуре и их оптическим свойствам.
Интерес к явлениям, происходящим при высокой температуре, привел
также к принципиальной постановке вопроса об установлении
термодинамического равновесия между фотонами и электронами. Специфика
заключалась в том, что при достаточно высокой температуре рассеяние
становится превалирующим над излучением и поглощением. Блестящую работу
на эту тему выполнил А. С. Компанеец. Она была опубликована в 1965 г.
и оказалась необычайно важной для космологии и астрофизики, для плазмы
горячей Вселенной и для излучения вещества, падающего в поле тяготения
черной дыры.
Работа в области теории взрыва психологически подготавливала к
исследованию взрывов звезд и самого большого взрыва — Вселенной как
целого.
Одновременно производственная работа стимулировала интерес к
ядерной физике и физике нейтронов. В 50-е годы отсюда было рукой подать
до физики элементарных частиц. Огромное стимулирующее впечатление
на меня оказала тонкая книга Энрико Ферми «Теория элементарных
частиц». В английском издании, которым я пользовался, но не в русском
переводе, на суперобложке издатель (не Ферми!) дал следующее
предуведомление:
«Книга издается на средства некоей богатой дамы, завещанные для
доказательства бытия Божия. Раскрытие законов природы и их гармонии
доказывает существование Бога лучше, чем теологические трактаты».
Если под бытием Божиим подразумевать объективность законов
природы, существующих независимо от наших познаний и желаний, то под этим
тезисом может подписаться любой философ-марксист.
В порядке самообразования я проработал самое лучшее изложение общей

Автобиографическое послесловие
443
теории относительности — вторую часть «Теории поля», 2-го тома курса
теоретической физики Ландау и Лифшица.
Хочу еще раз подчеркнуть огромную роль, которую сыграло для меня
общение с Львом Давидовичем Ландау. В Казани, а потом в Москве мы
жили рядом, тесно соприкасались по работе. Возможность прийти к нему,
посоветоваться, принести на его суд свои предположения, замыслы,
работы — все это ощущалось как огромное благо. О трагедии января 1962 г.,
когда Ландау перестал быть физиком-теоретиком (хотя он и остался в
живых), я узнал находясь далеко от Москвы. Незабываемы тревожные дни,
недели, месяцы борьбы за спасение его жизни, сплоченность физиков,
перешагнувшая государственные границы. Школа, созданная Ландау,
сохранилась! Она живет в лице тех, кто продолжает монументальный «курс
теоретической физики» — Ε. Μ. Лифшица, Л. П. Питаевского. Она живет в
Институте теоретической физики им. Л. Д. Ландау АН СССР. Его
организация, подбор людей, поддержание высочайшего профессионального уровня
теоретиков — это огромная заслуга И. М. Халатникова и его соратников.
К школе Ландау в узком смысле можно отнести и теоретический отдел
Института теоретической и экспериментальной физики АН СССР — детище
И. Я. Померанчука, возглавляемое в настоящее время Л. Б. Окунем. В
широком же смысле идеи и методы Ландау вместе с идеями и методами других
выдающихся советских теоретиков (кратко я перечислял их выше)
органически вошли во всю советскую теоретическую физику.
Возвращаясь к мемуарному жанру, хочу сказать, что работа с
Курчатовым и Харитоном дала мне очень много. Главным было и остается
внутреннее ощущение того, что выполнен долг перед страной и народом. Это дала
мне определенное моральное право заниматься в последующий период
такими вопросами, как частицы и астрономия, без оглядки на практическую
ценность их. Выше я писал о том, как вызревал научный интерес к этим
вопросам. Надо вместе с тем самокритично сказать о моих слабостях и трудностях,
с которыми я столкнулся при новом повороте своей научной деятельности.
Напомню, что в 1964 г. я официально перешел в Институт прикладной
математики АН СССР (ИПМ), организованный М. В. Келдышем еще в 1953 г.
После его смерти руководит этим институтом А. Н. Тихонов.В этом
институте я проработал 19 лет (до перехода в Институт физических проблем в
начале 1983 г.)
До перехода в ИПМ работы мои по частицам и астрономии были
внеслужебными, в какой-то мере необязательными — и сейчас я вижу, что
это отразилось на их качестве. До недавнего времени я гордился тем, что
получал максимум физических результатов при определенном довольно
элементарном запасе математических знаний, но сейчас, и особенно в
связи с теорией элементарных частиц, передо мной встает обратная сторона
этого утверждения. А почему, собственно, надо ограничиваться
определенным, скромным объемом математических знаний? Однако об этом я думаю
сейчас применительно к физику-теоретику профессионалу.
Есть совершенно другой вопрос о том, как начинать обучение
математике в средней школе. Когда подрастали мои дети, я просмотрел школьные
учебники и решил написать новый. Так возникла книга «Высшая
математика для начинающих физиков и техников».
Привожу часть моего письма, опубликованного в американском журнале
«Физика сегодня» (сент., с. 95), в связи с дискуссией в этом журнале о
причинах снижения уровня преподавания физики в США.

444
Часть третья. История физики. Персоналия
«В связи с обсуждением того, как учить молодое поколение физике,
я хотел бы упомянуть одну общую трудность.
Законы физики сформулированы в виде дифференциальных уравнений:
таковы, например, ньютоновские законы движения материальной точки,
твердого тела или же гироскопа. Максвелловские законы
электромагнитного поля — это уравнения в частных производных, также записываются
и законы газодинамики.
Школьники 2 способны понять весь этот материал.
Однако точнее будет утверждать, что они не способны глубоко понимать
и любить физику, если нужный для этого запас математических терминов
отсутствует. Вот мое главное замечание: в большинстве случаев обучение
математическому анализу начинается с опозданием и включает
затруднительные элементы теории множеств и пределов.
Так называемые «строгие» доказательства и теоремы существования
гораздо сложнее, нежели интуитивный подход к производным и
интегралам.
В результате нужные для понимания физики математические идеи
достигают школьников слишком поздно. Так же можно подавать соль и перец
не на обед, а чуть позже — к пятичасовому чаю.»
Но вернемся к той математике, которая используется, работает в
современной теоретической физике.
Теория частиц в огромной степени развивается под влиянием
опережающих математических идей и по направлениям, которые указывает
математическое изящество. Не буду вспоминать хрестоматийный пример ди-
раковской теории релятивистского электрона, приводящей к понятию
античастиц. Обратимся к изотопической инвариантности. Экспериментально
наблюдалась дискретная симметрия: замена протона на нейтрон (или
обратная замена) в одинаковом квантовом состоянии не меняет энергии ядра.
Однако Гейзенберг счел необходимым ввести непрерывную группу
вращения в изотопическом пространстве, плавно переводящую нейтрон в протон
при повороте на 180° через мистические промежуточные состояния! Не
самая простая, а более сложная и более изящная формулировка оказалась
более плодотворной. Глубина гейзенберговской формулировки проявилась
при переходе от ядер к мезонам. Особенно ярко заиграли понятия,
построенные по аналогии с изотопическим вращением в связи с теорией цвета
кварков, градиентной инвариантностью, теорией Янга—Миллса.
Не буду подробно описывать свои работы по частицам — они приведены
в этой книге и весьма квалифицированно прокомментированы. Из
комментариев, отмывая их от юбилейной вежливости, видно, сколько ошибок
я делал. Ошибок еще больше в работах опубликованных, но не помещенных
в данном собрании трудов.
Выше в предлагаемой книге помещены мои работы в области
астрофизики и комментарии к ним. Оспаривать эти комментарии нецелесообразно.
Сегодня наиболее значимой отдельной работой мне представляется
нелинейная теория образования структуры Вселенной, или, как сейчас кратко
ее называют, теория «блинов». Структура Вселенной, ее эволюция и
свойства того вещества, которое образует скрытую массу, до сих пор не
установлены окончательно. Большую роль в этой работе сыграли А. Г. Дорошкевич,
2 В оригинале teenagers (прим. переводчика).

Автобиографическое послесловие
445
Р. А. Сюняев, С. Ф. Шандарин и Я. Э. Эйнасто. Работа продолжается.
Однако теория «блинов» «красива» сама по себе; если выполнены исходные
предположения, то теория дает правильный и нетривиальный ответ. Теория
«блинов» является вкладом в синергетику. Мне особенно приятно было
узнать, что эта работа в какой-то мере инициировала математические
исследования В. И. Арнольда и других. Большой объем работ по спектру
реликтового излучения при наличии возмущений «повис в воздухе» —
Вселенная оказалась очень гладкой, возмущения слишком малы.
Выжила и представляет большой интерес предложенная мной вместе
€ Р. А. Сюняевым диагностика горячей плазмы по рассеянию реликтового
излучения с искажением спектра.
В значительной мере моя работа (вместе с ближайшими моими
сотрудниками, прежде всего Р. А. Сюняевым, А. Г. Дорошкевичем, С. Ф. Шан-
дариным и — до 1978 г.— И. Д. Новиковым) в области астрофизики
оказалась пропагандистской, популяризаторской и педагогической. Все это
нужно и полезно, однако расценивается по другим категориям по
сравнению с получением оригинальных результатов.
В начале астрофизической деятельности мне мешали навыки,
приобретенные в ходе практической деятельности. Астрофизик должен ставить
вопросы: как устроена природа? какие наблюдения дадут возможность
выяснить это? Между тем, я ставил задачу скорее так: как лучше устроить
Вселенную, или как устроить пульсар, чтобы удовлетворить данным
техническим условиям — простите, я хотел сказать: первым наблюдениям.
Так появилась идея холодной Вселенной, так появилась идея пульсара —
белого карлика в состоянии сильных радиальных колебаний. В оправдание
свое могу только сказать, что я не упорствовал в своих заблуждениях.
По-видимому, все же в целом деятельность моя — научная и
пропагандистская — была полезна. Астрономы приняли меня в свои ряды. С
астрономическими работами связано избрание меня в Национальную академию
США и в Королевское Общество, золотые медали Общества астрономов
Тихоокеанского побережья и Королевского астрономического общества.
Большой честью для меня было поручение прочесть доклад о современной
космологии на XIII Генеральной ассамблее Международного
Астрономического Союза. Греция, колоннада древнего театра, надо мной черное
звездное небо, слушатели на мраморных скамьях, мое волнение перед докладом
и во время доклада и счастливое завершение. Жизнь продолжается, и
космология углубляется в область, где физика далеко оторвалась от
экспериментальной проверки. Новое поколение теоретиков говорит не о первых
трех минутах или секундах, не о ядерных реакциях и плазме. Обсуждаются
процессы на «планковской» длине 10~33 см, за «планковское» время 10~43 с
с «планковской» энергией 1019 ГэВ. Лидируют С. Хоукинг, А. Д. Линде,
А. А. Старобинский, А. Гус и другие. В теории поля рассматривается 5-,
11- и 26-мерные пространства. В лабораторных условиях они обязательно
будут имитировать наше привычное (3 + 1) пространство—время, лишние
измерения спрячутся, свернутся, оставляя следы лишь в систематике
частиц и полей. Приходят 20-летние ребята, сразу, (5ез груза предыдущих
работ и традиций, берущиеся за новую тематику. Не выгляжу ли я среди
них мастодонтом или археоптериксом?
Меня утешает перестройка психики с возрастом. В настоящее время
(за несколько дней до 70-летия) меня уже меньше интересуют соревнователь-

446
Часть третья. История физики. Персоналия
ные мотивы, скажу ли именно я то «ээ», из-за которого спорили Бобчинский
и Добчинский. Конечный результат, физическая истина меня интересует
почти независимо от того, кто ее найдет первым. Хватило бы мне сил
понять ее!
Человечество, как никогда, находится на пороге замечательных
открытий. Все ярче выступает идея всеобъединяющей физической теории, все
большую роль играет геометрия. Может быть, в высшем смысле, не
буквально, окажется прав Эйнштейн, а его теория, сводящая силы тяготения
к геометрии, окажется моделью всеобъемлющей теории.
Возможно, что именно космология окажется пробным камнем для
проверки новых теорий. Тогда я вспомню работы С. С. Герштейна,
В. Ф. Шварцмана, С. Б. Пикельнера, Л. Б. Окуня, И. Ю. Кобзарева,
М. Ю. Хлопова и мои как первые робкие применения космологических
аргументов для решения недоступных сегодняшнему эксперименту
вопросов теории частиц. Вместе с Л. П. Грищуком и А. А. Старобинским мы
пытаемся продвинуться в анализе рождения Вселенной. В середине 80-х
годов в тугой узел сплетаются самые трудные и самые принципиальные
вопросы естествознания. Нет у меня желания более сильного, чем желание
дождаться ответа и понять его.
Москва, 3 марта 1984 года

БИБЛИОГРАФИЯ ТРУДОВ
Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧА
ПО ТЕМЕ
«ЧАСТИЦЫ, ЯДРА,
ВСЕЛЕННАЯ»

МОНОГРАФИИ, УЧЕБНИКИ1
1. Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике. М.: Наука, 1960,
576 с.2
2. Высшая математика для начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982. 512 с.
Совм. с. И. М. Ягломом.
3. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1967. 648с. Совм. с А. Д. Мышкисом 3.
4. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973. 352 с. Совм. с А. Д. Мышкисом.
5. Теория ударных волн и введение в газодинамику. М.: I.: Изд-во АН СССР,. 1946,
186 с. *
6. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. 2-е изд.,
испр. и доп. М.: Наука, 1966. 686 с. Совм. с Ю. П. Райзером *.
7. Теория горения и детонации газов. М.: Изд-во АН СССР, 1944. 71 с. **
8. Теория детонации. 2-е изд., испр. и доп. М.: Гостехиздат, 1955. 268 с. Совм. с А. С. Ком-
панейцем *.
9. Theory of detonation. N. Υ.: Acad, press, 1960. 330 p. With A. S. Kompaneetz*.
10. Математическая теория горения и взрыва. Μ.: Наука, 1980. 478 с. Совм. с Г. И. Ба-
ренблатом, В. Б. Либровичем, Г. М. Махвиладзе *б.
11. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. 2-е изд., испр.
и доп. М.: Наука, 1971. 544 с. Совм. с А. Н. Базем и В. М. Переломовым 5.
12. Легкие и промежуточные ядра вблизи границ нуклонной стабильности. М.: Наука,
1972. 172 с. Совм. с А. И. Базем, В. И. Гольданским и В. 3. Гольдбергом.
13. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. 352с. Совм. с С. И. Вайнштей-
ном и А. А. Рузмайкиным *.
14. Magnetic fields in astrophysics. N. Υ.: L.: Gordon Breach Sci. Publ. Inc., 1983, 358p.
With A. A. Ruzmaikin and D. D. Sokolov *.
15. Elements of gasdynamics and the classical theory of shock waves. N. Y.; L.: Acad, press.,
1968. Ill p. With Yu. P. Raizer *.
16. Релятивистская астрофизика. М.: Наука, 1967. 656 с. Совм. с И. Д. Новиковым.
17. Теория тяготения и эволюция звезд. М.: Наука, 1971. 484 с. Совм. с И. Д.
Новиковым б.
18. Строением эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975. 735 с. Совм. с И. Д. Новиковым 6.
19. Физические основы строения и эволюции звезд. М.: Изд-во МГУ, 1981. 160 с. Совм.
с С. И. Блинниковым и Н. И. Шакурой.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЧАСТИЦЫ И ЯДРА
ι
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
1. К вопросу о цепном распаде основного изотопа урана.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1939, т. 9, с. 1425—1427. Совм. с Ю. Б. Харитоном.
2. О цепном распаде урана под действием медленных нейтронов.— Журн. эксперим,
и теорет. физики, 1940, т. 10, с. 29—36. Совм. с Ю. Б. Харитоном.
3. Кинетика цепного распада урана.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1940, т. 10,
с. 477—482. Совм. с Ю. Б. Харитоном.
1 Труды, отмеченные одной звездочкой, приведены также в списке трудов Я.
Б.^Зельдовича в книге «Химическая физика и гидродинамика» (М.: Наука, 1984, 372 с.)у
а двумя — публикуются в ней.
2 Книга издавалась 5 раз в СССР, была издана в Венгрии, Болгарии, Польше,
Японии.
3 Книга издавалась 2 раза в СССР. Издательство «Мир» выпустило книгу на английском,
французском и арабском языках. Она была издана в Венгрии ж Болгарии.
4 Книга дважды издавалась в США.
6 Книга издана в США.
β Книга издана в США и совместно с Италией издательством «Мир» на итальянском языке.

Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
449>
4. К теории развала ядер.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1940, т. 10, с. 831—834.
Совм. с Ю. А. Зысиным.
5. Деление и цепной распад урана.— Успехи физ. наук, 1940, т. 23, с. 329—357. Совм.
с Ю. Б. Харитоном.
6. Механизм деления ядер I.—Успехи физ. наук, 1941, т. 25, с. 381—405. Совм. с
Ю. Б. Харитоном.
7. Механизм деления ядер II — Успехи физ. наук, 1983, т. 139, с. 501—527. Совм. g
Ю. Б. Харитоном.
8. Реакции, вызываемые μ-мезонами в водороде.— Докл. АН СССР, 1954, т. 95, с. 493—
496.
9. О реакциях, вызываемых μ-мезонами в водороде.— Журн. эксперим. и теорет. физики,
1957, т. 32, с. 947—949. Совм. с А. Д. Сахаровым.
10. О возможной эффективности мезонного катализа ядерных реакций.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 310—311.
И. О ядерных реакциях в сверхплотном холодном водороде.— Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1957, т. 33, с. 991—993.
12. Образование мезомолекул водорода.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1958, т. 35,
с. 649—654. Совм. с С. С. Герштейном.
13. Хранение холодных нейтронов.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1958, т. 36,
с. 1952-1953.
14. Квазистабильные состояния с большим изотопическим спином у легких ядер.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 38, с. 278—280.
15. О существовании новых изотопов легких ядер и уравнении состояния нейтронов.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 38, с. 1123—1131.
16. Уравнение состояния при сверхвысокой плотности и релятивистские ограничения.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 41, с. 1609—1615 *.
17. Систематика легчайших ядер.— Успехи физ. наук, 1965, т. 85, с. 445—483. Совм .
с В. И. Базем, В. И. Гольданским.
18. Вихревые изомеры ядер.— Письма в журн. эксперим. и теорет. физики, 1966, т. 4Г
с. 78—80.
19. Столкновения нейтронов в термоядерной плазме.— Письма в журн. эксперим. и
теорет. физики, 1977, т. 25, с. 29—30. См. также монографию [12].
II
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
1. К теории элементарных частиц. Сохранение ядерного заряда и возможный новый тип
F-частиц.— Докл. АН СССР, 1952, т. 86, с. 505—508.
2. Изобар нуклона как промежуточное состояние β-процесса.— Докл. АН СССР, 1953,
т. 89, с. 33—36.
3. О нейтринном заряде элементарных частиц.— Докл. АН СССР, 1953, т. 91 с. 1317.
4. К теории π-мезонов.—Докл. АН СССР, 1954, т. 97, с. 225.
5. О распаде заряженных π-мезонов.— Докл. АН СССР, 1954, т. 97, с. 421—424.
6. Свойства нейтрино и двойной бета-распад.— Успехи физ. наук, 1954, с. 361—404. Совм^
с СЮ. Лукьяновым, Я. А. Смородинским.
7. О мезонных поправках в теории β-распада.— Журн. эксперим. и теорет. физикиг
1955, т. 29, с. 698—699. Совм. с С. С. Герштейном.
8. Об определении границ применимости квантовой электродинамики путем измерения
магнитного момента электрона.— Докл. АН СССР, 1955, т. 105, с. 445—447. Совм,
с. Г. М. Гандельманом.
9. О распаде и разности масс тяжелых нейтральных мезонов.— Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1956, т. 30, с. 1168—1169.
10. Вариант теории гиперонов.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 829—
831.
11. Соотношение между асимметрией распада и дипольным моментом элементарных
частиц.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1957, т. 33, с. 1488—1496.
12. Электромагнитное взаимодействие при нарушении четности.— Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1957, т. 33, с. 1531—1533.
13. Тяжелый нейтральный мезон: распад и способ обнаружения.— Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1958, т. 34, с. 1644—1646.
14. Универсальное ферми-взаимодействие и захват μ-мезона протонами.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1958, т. 35, с. 821—823. Совм. с С. С. Герштейном.

450
Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
15. Об аннигиляции μ+μ~ и распаде нейтральных мезонов.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1959, т. 36, с. 646—647.
16. Несохранение четности первого порядка по константе слабого взаимодействия при
рассеянии электронов и других эффектах.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1959,
т. 36, с. 964—966.
17. Число элементарных барионов и гипотеза универсального отталкивания барионов.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1959, с. 569—570.
48. Превращение К^ — К^ на электронах.— Журн. эксперим. и теорет физики, 1959,
т. 36, с. 1381—1386.
19. О массе μ-мезона и электрона.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1959, т. 37,
с. 1817—1819.
20. Влияние слабого взаимодействия на электромагнитные свойства частиц.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 39, с. 1115—1125. Совм. с А. М. Переломовым.
21. Дипольный момент нестабильных элементарных частиц.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1960, т. 39, с. 1483—1485.
22. Формфактор К 3- и Кез-распада.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 39,
с. 1766—1769.
23. Симметричная составная модель сильновзаимодействующих частиц.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 40, с. 319—323.
24. Нестабильная частица в модели Ли.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 40,
с. 1155—1159.
25. К теории массы фермионов.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 40, с. 637—
640.
26. Корреляция поляризации электрона и позитрона в релятивистских парах.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 41, с. 912—913.
27. О максимальном значении заряда при заданной массе связанного состояния.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1963, т. 40, с. 1190—1198. Совм. с В. Н. Грибовым,
А. М. Переломовым.
28. Классификация элементарных частиц и кварки в изложении для пешеходов.—
Успехи физ. наук, 1965, т. 86, с. 303—310.
29. Нестабильные кварки и их обнаружение.— Письма в Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1965, т. I, с. 1—3.
30. О массах частиц (резонансов) со странностью S = —4 и S = +1.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1965, т. 2, с. 340—344.
31. Кварковая структура и массы сильновзаимодействующих частиц.— Ядер, физика,
1966, т. 4, с. 395—406. Совм. с А. Д. Сахаровым.
32. Отказ от SU (3) симметрии в сильном взаимодействии.— Письма в Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1966, т. 4, с. 381—384.
33. Интерпретация электродинамики как следствия квантовой теории.— Письма в
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 6, с. 922—925.
34. Эксперименты по поискам дробных зарядов.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1967,
т. 52, с. 29—39. Совм. с В. Б. Брагинским, В. К. Мартыновым, В. В. Мигулиным.
35. Верхний предел числа кварков в некоторых твердых телах.— Журн. Эксперим. и
теорет. физики, 1968, т. 54, с. 91—95. Совм. с В. Б. Брагинским, В. К.
Мартыновым, В. В. Мигулиным.
36. Рождение позитронов при сближениях тяжелых ядер и поляризация вакуума.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1970, т. 57, с. 654—659. Совм. с С. С. Герштейном.
37. The critical charge of the nucleus and vacuum polarization.— Lett, nuovo cim., 1970,
vol. 1, p. 835—836. With S. S. Gerstein.
38. Электронная структура сверхтяжелых атомов.— Успехи физ. наук, 1971, т. 105,
с. 403—440. Совм. с В. С. Поповым.
39. Spontaneous processes in vacuum.— Phys. Lett. B, 1974, vol. 52, p. 341—343.
40. Paradoxes of unstable electron.— Phys. Lett. В., 1978, vol. 78, p. 597—600. With L. B.
Okun.
Ill
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, ИЗЛУЧЕНИЕ И ПЛАЗМА
1. Теория взаимодействия атома и металла.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1935,
т. 5, с. 22—27.
2. О поляризации гамма-квантов при комптоновском рассеянии на 180°.— Докл. АН
СССР, 1953, т. 83, с. 63—66.

Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
451
3. Теория возмущений для одномерной задачи квантовой механики и метод Лагранжа.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 1101—1103.
4. Об условиях применимости статистических формул к вырожденному ферми-газу.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1959, т. 37, с. 1296—1302. Совм. с. Е.М.
Рабиновичем.
5. Уровни энергии в искаженном Кулоновском поле.— ФТТ, 1959, т. I, с. 1637—1641.
6. Рассеяние сингулярным потенциалом в теории возмущений и в импульсном
представлении.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 38, с. 819—824.
7. К теории нестабильных состояний.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1960, т. 39,
с. 776-780.
8. Число квантов как инвариант классического электромагнитного поля.— Докл. АН
СССР, 1965, т. 163, с. 1359—1360.
9. Квазиэнергия квантовой системы, подвергающейся периодическому воздействию.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1966, т. 51, с. 1492—1495.
10. Интерференция разных частот при тормозном излучении.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1966, т. 4, с. 426—429.
11. Самофокусировка света. Роль эффекта Керра в стрикции.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1966, т. 3, с. 137—141. Совм с Ю. П. Райзером.
12. Доплер-эффект при перемещении изображения.— Успехи физ. наук, 1966, т. 88,
с. 585—586 (опубликовано под псевдонимом П. Парадоксов).
13. Как квантовая механика помогает понять выводы классической механики.— Успехи
физ. наук, 1966, т. 89, с. 707—709 (опубликовано под псевдонимом П. Парадоксов).
14. О циркулярной поляризации фотонов в процессе е+е~ — 2γ при больших энергиях.—
Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 6, с. 818—820. Совм. с
М. В. Терентьевым.
45. Бозе-конденсация и ударные волны в спектре фотонов.— Журц. эксперим. и теорет.
физики, 1968, т. 55, с. 2424—2429. Совм. с Е. В. Левичем.
16. Стационарное состояние электронов, находящихся в неравновесном поле излучения.—
Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1970, т. 11, с. 57—60. Совм. с Е. В.
Левичем.
17. Равновесная концентрация позитронов в оптически тонкой релятивистской плазме.—
Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1970, т. 12, с. 64—66. Совм. с Г. С.Бисно-
ватым-Коганом, Р. В. Сюняевым.
18. Нагрев плазмы встречными пучками когерентного излучения.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1970, т. И, с. 497—500. Совм. с Е. В. Левичем.
19. Рассеяние сильной волны электроном в магнитном поле.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1971, т. 61, с. 880—885. Совм. с А. Ф. Илларионовым.
20. Физические процессы в релятивистской плазме малой плотности.— Астрон. журн.
1971, т. 46, с. 24—31. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом, Р. А. Сюняевым.^
21. Перенаселенность высоковозбужденных колебательных уровней в холодной
решетке.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971, т. 13, с. 636—639. Совм,
с А. А. Овчинниковым *.
22. Генерация волн вращающимся телом.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физикиу
1971, т. 14, с. 270—272.
23. Структура ударной волны в спектре излучения при бозе-конденсации фотонов.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 62, с. 153—160. Совм. с Р. А. Сюняевым.
24. Индуцированное комптоновское взаимодействие максвелловских электронов со-
спектрально узким излучением.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 62,
с. 1392—1408. Совм. с Е. В. Левичем, Р. А. Сюняевым.
25. Усиление цилиндрических электромагнитных волн при отражении от вращающегося
тела.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 62, с. 2076—2081.
26. Высоковозбужденные электронные уровни молекулы Н2 в астрофизике.— Письма в
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 15, с. 283—285. Совм. с Т. В. Рузмайки-
ной.
27. Электромагнитный ток и заряд от взаимодействия гравитационного и свободного
электромагнитного поля.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 16,
с. 425-427.
28. Структура ударной волны в плазме с доминирующей ролью излучения.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1973, т. 65, с. 1294—1302. Совм. с А. Ф. Илларионовым *.
29. Электромагнитные и гравитационные волны в постоянном магнитном поле.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1973, с. 65, с. 1311 — 1315.
30. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной волне.—
Успехи физ. наук, 1973, т. 110, с. 139—151.

452
Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
31. Охлаждение с помощью высокочастотной энергии.— Письма в Журн. эксперим. и тео-
рет. физики, 1974, т. 19, с. 120—123.
32. Взаимодействие свободных электронов с электромагнитным излучением.— Успехи
физ. наук, 1975, т. 115, с. 161—197.
33. Об устойчивости изотропии хаотического волнового электромагнитного поля при
индуцированном рассеянии.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1975, т. 68, с. 786—790.
Совм. с Р. А. Сюняевым.
34. Квазиэнергия системы, подвергающейся периодическому внешнему воздействию.—
Успехи физ. наук, 1975, т. 117, с. 563—565. Совм. с Н. Л. Манаковым, Л. ГГ.
Рапопортом.
35. Рассеяние в крыльях резонансных линий и возбуждение уровней сверхтонкой
структуры.— Письма в Астрон. журн., 1977, т. 3, с. 142—144. Совм. с И. И. Собельманом *.
36. Асимметрия разбивания оптически активных молекул продольно поляризованными
релятивистскими электронами.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1980, т. 78,
с. 2233—2237. Совм. с Д. Б. Саакяном *.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АСТРОФИЗИКА И КОСМОЛОГИЯ
ОБЗОРЫ
1. Теория расширяющейся Вселенной, созданная А. А. Фридманом.— Успехи физ.
наук, 1963, т. 80, с. 357—390.
2. Начальные стадии эволюции Вселенной.— Атом, энергия, 1963, т. 14, с. 92—99.
3. Современная физика и астрономия.— В кн.: Вопросы космогонии. М.: Изд-во АН СССР,
1963, т. 9, с. 5—59.
4. Релятивистская астрофизика. Ч. I — Успехи физ. наук, 1964, т. 84, с. 377—417. Совм.
с И. Д. Новиковым.
5. Релятивистская астрофизика. Ч. II — Успехи физ. наук, 1965, т. 86, с. 447—536.
Совм. с И. Д. Новиковым.
6. Горячая модель Вселенной.— Успехи физ. наук, 1966, т. 89, с. 647—668.
7. Survey of modern cosmology.— In: Advances in astronomy and astrophysics. N. Y.,
1965, vol. 3, p. 241—379.
8. Cosmology.— Annu. Rev. Astron. and Astrophys., 1967, vol. 5, p. 627—648. With I. D.
Novikov.
9. «Черные дыры» во Вселенной.— Природа, 1972, № 4, с. 28—31. Совм. с И. Д.
Новиковым.
40. Physical processes near cosmologicalsingularities.— Annu. Rev. Astron. and Astrophys.,
1979, vol. 11, p. 387—412. With J. D. Novikov.
И. Теория вакуума, быть может, решает загадку космологии.— Успехи физ. наук. 1981,
т. 133, с. 479—503.
42. Cosmology and elementary particles.— Rev. of Mod. Phys., 1981, vol. 53, p. 3—42.
With A. D. Dolgov.
Космология и элементарные частицы.— Успехи физ. наук., 1980, т. 130, с. 559—614.
Совм. с А. Д. Долговым.
13. Modern cosmology.— In: Highlights of astronomy. Dordreht, 1982, vol. 6, p. 29.
14. Современная космология.— Природа, 1983, № 9, с. И—24.
15. Вещество и антивещество во Вселенной.— Природа, 1982, № 8, с. 33—45. Совм.
с А. Д. Долговым.
16. The large scale structure of the Universe.— Sci. Amer., 1983, vol. 249, p. 72—80. With
J. Silk, A. S. Szalay.
17. Почему расширяется Вселенная.—Природа, 1984, № 2, с. 66—71.
IV
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И КОСМОЛОГИЯ
1. О верхнем пределе плотности нейтрино, гравитонов и барионов во Вселенной.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1961, т. 41, с. 1190—1198. Совм. с Я. А. Смородин-
ским.
2. Кварки: астрофизический и физико-химический аспекты.— Успехи физ. наук, 1965,
т. 87, с. ИЗ—124. Совм. с Л. Б. Окунем, С. Б. Пикельнером.
3. Quarks, astrophysical and physicochemical aspects.— Phys. Lett., 1965, vol. 17,
p. 164—166. With L. B. Okun, S. B. Pikelner.

Библиография трубдов Я. Б. Зельдовича
453
4. Масса покоя мюонного нейтрино и космология.— Письма в Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1966, т. 4, с. 174—177. Совм. с С. С. Герштейном.
5. Нейтрино и гравитоны в анизотропной модели Вселенной.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1967, т. 5, с. 119—121. Совм. с А. Г. Дорошкевичем,
И. Д. Новиковым.
6. Космологическая постоянная и элементарные частицы.— Письма в Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1967, т. 6, с. 883—884.
7. Слабовзаимодействующие частицы в анизотропной модели.— Журн. эксперим. и
теорет. физики, 1967, т. 53, с. 644—653. Совм. с А. Г. Дорошкевичем, И. Д.
Новиковым.
8. Нейтрино в анизотропных космологических решениях.— Письма в Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1968, т. 8, с. 95—99. Совм. с А. Г. Дорошкевичем, И. Д.
Новиковым.
9. Кинетическая теория нейтрино в анизотропных космологических моделях.—
Астрофизика, 1968, т. 5, с. 539—553. Совм. с А. Г. Дорошкевичем, И. Д. Новиковым.
10. Космологическая постоянная и теория элементарных частиц.— Успехи физ. наук,
1968, т. 95, с. 209-230.
И. Кинетическая теория нейтрино в анизотропных космологических моделях.— В кн.:
Проблемы теоретической физики. М.: Наука, 1969, с. 15—25. Совм. с А. Г.
Дорошкевичем, И. Д. Новиковым.
12. Космологические следствия спонтанного нарушения дискретной симметрии.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1974, т. 67, с. 3—11. Совм. с И. Ю. Кобзаревым,
Л. Б. Окунем.
13. Spontaneous CP-violation and cosmology.— Phys. Lett. B, 1974, vol. 50, p. 340—342.
With I. Yu. Kobzarev, L. B. Okun.
14. Черные и белые дыры.— Природа, 1976, № 1, с. 34—42. Совм. с И. Д. Новиковым,
А. А. Старобинским.
15. Зарядовая несимметрия Вселенной как следствие испарения черных дыр и
несимметрии слабого взаимодействия.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1976,
т. 24, с. 29—32.
16. Космологические ограничения на массы нейтральных лептонов.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1977, т. 26, с. 200—202. Совм. с М. И. Высоцким,
A. Д. Долговым.
17. Тяготение, заряды, космология и когерентность.— Успехи физ. наук, 1977, т. 123,
с. 487—503.
18. Космологические ограничения на массы нейтральных лептонов.— Успехи физ. наук,
1977, т. 123, с. 703—709. Совм. с А. Д. Долговым.
19. Некоторые астрофизические ограничения на массу аксиона.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1978, т. 27, с. 553—536. Совм. с М. И. Высоцким,
М. Ю. Хлоповым, В. М. Чечеткиным.
20. On the concentration of relic magnetic monopoles in the Universe.— Phys. Lett. B,
1978, vol. 78, p. 239—243. With M. Yu. Khlopov.
21. Астрофизические ограничения на массу тяжелых стабильных нейтральных
лептонов.— Ядер, физика, 1980, т. 31, с. 1286—1294. Совм. с А. А. Клыпиным, М. Ю.
Хлоповым, В. М. Чечеткиным.
22. Cosmological fluctuations produced near a singularity.— Month. Notic. Roy. Astron.
Soc, 1980, vol. 192, p. 663—667.
23. Масса нейтрино в физике элементарных частиц и космологии ранней Вселенной.—
Успехи физ. наук, 1981, т. 45—77. Совм. с М. Ю. Хлоповым.
24. О возможности регистрации реликтовых массивных нейтрино.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1982, т. 36, с. 224—226. Совм. с В. Ф. Шварцманом,
B. Б. Брагинским, С. С. Герштейном, М. Ю. Хлоповым.
25. Neutrino mass in astrophysics and cosmology.— In: Proc. Intern, conf. «Neutrino 82»,
14—19. June, Hungary, 1982, p. 257—266. With A. S. Szalay.
V
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ, АСТРОФИЗИКА
И КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ
1. Коллапс малой массы в общей теории относительности.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1962, т. 42, с. 641—642.
2. Полузамкнутые миры в общей теории относительности.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1962, т. 43, с. 1037—1043.

454
Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
3. Излучение гравитационных волн телами, движущимися в поле коллапсирующеи
звезды.— Докл. АН СССР, 1964, т. 155, с. 1033—1036.
4. Оценка массы сверхзвезд.— Докл. АН СССР, 1964, т. 158, с. 811—814. Совм.
с И. Д. Новиковым.
5. Ньютоновское и Эйнштейновское движение однородного вещества.— Астрон. журн.г
1964, т. 41, с. 873—883.
6. Аналог Зееман-эффекта в гравитационном поле вращающейся звезды.— Письма в
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1965, т. 1, с. 40—43.
7. Гравитационный коллапс несимметричных и вращающихся масс— Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1965, т. 49, с. 170—181. Совм. с А. Г. Дорошкевичем, И. Д.
Новиковым.
8. Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс.— Астрон.
журн., 1965, т. 42, с. 963—973. Совм. с М. А. Подурцом.
9. Физические ограничения топологии Вселенной.— Письма в Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1967, т. 6, с. 772—774. Совм. с И. Д. Новиковым.
10. Модели скоплений точечных масс с большим красным смещением в центре.—
Астрофизика, 1969, т. 5, с. 223—234. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
11. О приеме гравитационного излучения внеземного происхождения.— Письма в Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1969, т. 10, с. 437—441. Совм. с В. Б. Брагинским,
В. И. Руденко.
12. «Перемешанный мир» и «холодный» вариант.— Письма в Журн. эксперим. и теорет»
физики, 1970, т. И, с. 300—303.
13. Рождение частиц в космологии.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1970,
т. 12, с. 443-445.
14. On the possibility of the creation of particles by a classical gravitational field.— Com-
muns. Math. Phys., 1971, vol. 23, p. 185—188. With L. P. Pitaevski.
15. Рождение частиц и поляризация вакуума в гравитационном поле.— Журн. эксперим-
и теорет. физики, 1971, т. 61, с. 2161—2175. Совм. с А. А. Старобинским.
16. Particles creation by gravitational fields in collapse and singularity.— Astron. and
Astrophys., 1971, vol. 3, p. 179—184.
17. Рождение пар в поле тяжелых ядер в гравитационном поле.— Успехи физ. наукг
1971, т. 105, с. 780—781. Совм. с Л. П. Питаевским, В. С. Поповым, А. А.
Старобинским.
18. The creation of particles and antiparticles in electric and gravitational fields.— In:
Magic without magic. San Francisco, 1972, p. 277—288.
19. Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропном гравитационном поле.—
В кн.: Тез. докл. III Сов. гравитационной конф. Ереван, 1972, с. 314—315. Совм. с
А. А. Старобинским.
20. Электромагнитные детекторы гравитационных волн.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1973, т. 65, с. 1729—1731. Совм. с В. Б. Брагинским, Л. П. Грищуком,
А. Г. Дорошкевичем, И. Д. Новиковым, В. М. Сажиным.
21. Квантовые эффекты в белых дырах.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1974, т. 66г
с. 1729—1731. Совм. с И. Д. Новиковым.
22. Излучение гравитационных волн скоплением сверхплотных звезд.— Астрон. журн.,
1974, т. 51, с. 30—40. Совм. с А. Г. Полнаревым.
23. Creation of particles in cosmology.— In: Confrontation of cosmological theories with
observational data. Dordrecht, 1974, p. 329—333. IAU Symp. N 63.
24. Electromagnetic detectors of gravitational waves.— In: Gravitation and cosmology.
Dordrecht, 1974, p. 54—58. IAU Symp. N 64. With I. D. Novikov, M. V. Sazhin.
25. Рождение частиц в гравитационных полях.— В кн.: Проблемы ядерной физики и
физики элементарных частиц. М.: Наука, 1975, с. 141 — 147. Совм. с А. А. Старобинским.
26. Particle creation in cosmology.— Europhys. conf. Abstr., 1976, vol. IB, p. 17—18.
With I. D. Novikov, A. A. Starobinsky.
27. Сверхотражение и квантовое рождение частиц.— В кн.: Вопросы математической
физики. Л.: Наука, 1976, с. 35—48. Совм. с А. А. Старобинским.
28. О сингулярности в общей теории относительности.— В кн.: Релятивистская
астрофизика. Космология. Гравитационный эксперимент. Минск: Ин-т физики АН БССР,
1976, с. 54—55. Совм. с Д. Д. Соколовым, А. А. Старобинским.
29. О возможности холодной космологической сингулярности и спектре первичных
черных дыр.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1976, т. 24, с. 616—618.
Совм. с А. А. Старобинским.
30. Quantum effects and evolution of cosmological models.— Nuovo cim. В., 1976, vol. 35y
p. 293—307. With V. N. Lucash, I. D. Novikov, A. A. Starobinsky.

Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
455
31. О скорости рождения частиц в гравитационных полях.— Письма в Журн. эксперим
и теорет. физики, 1977, т. 26, с. 373—377. Совм. с А. А. Старобинским.
32. Первичные черные дыры и проблемы дейтерия.— Письма в Астрон. журн., 1977,
т. 3, с. 209—211. Совм. с А. А. Старобинским, М. Ю. Хлоповым, В. М. Чечеткиным.
33. Некоторые вопросы геометрии в целом в общей теории относительности.— В кн.:
Всесоюз. науч. конф. по неевклидовой геометрии. Пленарные доклады. М.: ВИНИТИ,
1977, с. 122—133. Совм. с Д. Д. Соколовым, А. А. Старобинским.
34. Gravitation, the mass of particles and instantons.— Phys. Lett. В., 1978, vol.73, p. 423.
35. Primordial black holes.— Astron. and Astrophys., 1979, vol. 20, p. 104—109. With
I. D. Novikov, A. G. Polnarev, A. A. Starobinsky.
36. Самосогласованные решения уравнений Эйнштейна с квантовыми поправками.—
Изв. АН ЭССР, Физика, математика, 1983, т. 32, с. 300—332. Совм. с Л. А. Кофма-
ном, А. А. Старобинским, В. А. Унтом.
37. Вселенная с нетривиальной топологией и возможность ее квантового рождения.—
Письма в Астрон. журн., 1984, т. 10, с. 323—328. Совм. с А. А. Старобинским.
38. Рождение закрытой Вселенной и антропогенный принцип.— Письма в Астрон.
журн., 1981, т. 7, с. 579—581.
VI
ЗВЕЗДЫ, КОМПАКТНЫЕ ОБЪЕКТЫ, КОЛЛАПС И АККРЕЦИЯ,
СКОПЛЕНИЯ ЗВЕЗД
1. Гидродинамическая устойчивость звезд.— В кн.: Вопросы космогонии. М.: Изд-во
АН СССР, 1963, т. 9, с. 157—170.
2. О потере массы сверхтяжелых звезд за счет нейтринного излучения.— Астрон.
циркуляр. 1963, № 250, с. 1—3.
3. Судьба звезды и выделение гравитационной энергии при аккреции.— Докл. АН
СССР, 1964, т. 155, с. 67—69.
4. Нейтринная светимость звезды при гравитационном коллапсе в общей теории
относительности.— Докл. АН СССР, 1964, т. 156, с. 57—60. Совм. с М. А. Подурцом.
5. Нейтронизация Не4.— Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1965, т. 1,
с. 11—17. Совм. с О. X. Гусейновым.
6. Нейтронизация вещества при коллапсе и спектр нейтрино.— Докл. АН СССР, 1965,
т. 162, с. 791—793. Совм. с О. X. Гусейновым.
7. Physics of relativistic collapse.— Nuovo cim. Suppl., 1966, vol. 4, p. 810—827. With
I. D. Novikov.
8. О вероятности рождения сверхзвезд.— Астрон. журн., 1965, т. 42, с. 283—286.
9. Коллапсировавшие звезды в составе двойных.— Астрон. журн., 1966, т. 43,
с. 313—315. Совм. с О. X. Гусейновым.
10. Адиабатическое истечение и равновесные состояния с избытком энергии.— Астрон.
журн., 1966, т. 43, с. 1200—1206. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
11. Эволюция сверхмассивных звезд, стабилизированных крупномасштабными
движениями.— Астрон. журн., 1967, т. 44, с. 525—536. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
12. Истечение вещества из звезд под действием большой непрозрачности «в атмосфере».—
Астрон. журн., 1968, т. 45, с. 241—250. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
13. Корона пульсара, его колебания и излучение.— Астрон. журн., 1968, т. 45,
с. 913—918.
14. Об устойчивости тел вращения относительно радиальных возмущений.— Докл. АН
СССР, 1968, т. 182, с. 794—796. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом, А. М. Фридманом.
15. Вращение и пульсации гравитирующего облака газа.— Астрофизика, 1968, т. 4,
с. 159—180. Совм. с В. Ф. Дьяченко, В. С. Имшенником, В. В. Палейчик.
16. О равновесных состояниях системы гравитирующих частиц.— Астрофизика, 1969,
т. 5, с. 425—432. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
17. Теория гравитационной устойчивости вращающегося цилиндра.— Прикл. механика
и техн. физика, 1969, т. 3, с. 3. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
18. Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду.— Астрон. журн.
1969, т. 46, с. 225—236. Совм. с Н. И. Шакурой.
19. Взаимодействие низкочастотного радиального и высокочастотного колебания звезд.—
Астрофизика, 1969, т. 5, с. 235—242. Совм. с Ю. В. Вандакуровым.
20. К вопросу об устойчивости оболочек звезд.— Астрофизика, 1970, т. 7, с. 617—624.
Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом, Н. И. Шакурой.
21. Физика катастрофической стадии сжатия звезды.— В кн.: Проблемы астрономии и
геофизики. М.: Наука, 1970, с. 240. Совм. с И. Д. Новиковым.

456
Библиография трудов Я, Б. Зельдовича
22. О моделях скоплений точечных масс с квадратичным гравитационным потенциалом.—
Астрофизика, 1970, т. 6, с. 387—396. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
23. Гравитационное сжатие сферического облака.— Астрофизика, 1970, т. 6, с. 109—122.
Совм. с Я. М. Кажданом.
24. Автомодельное решение для нестационарной гидродинамической аккреции.— Астрон.
журн., 1972, т. 49, с. 483—488. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом, Д. К. Надежиным.
25. Нейтронные звезды и черные дыры.— Успехи физ. наук, 1973, т. 110, с. 441—443.
26. Определение масс компонентов и наклона двойной системы, содержащей пульсар πσ
релятивистским эффектам.— Письма в Астрон. журн., 1975, т. 1, с. 5—9. Совм. с
В. А. Брумбергом, И. Д. Новиковым, Н. И. Шакурой.
27. Релятивистский эффект неравномерности вращения пульсара на эллиптической
орбите.— Письма в Астрон. журн., 1975, т. 1, с. 19—22. Совм. с Н. И. Шакурой.
28. Простейшие равновесные модели скопления точечных масс.— В кн.: Динамика и
эволюция звездных систем. Проблемы исследования Вселенной. Вып. 4. М.; Л.:
Наука, 1975, с. 138—157. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
29. Нестационарная гидродинамическая аккреция на нейтронную звезду.— Астрон.
журн., 1977, т. 49, с. 253—264. Совм. с Л. Н. Ивановой, Д. К. Надежиным.
30. On the friction of fluids between rotating cylinders. Proc. Roy. Soc. Lond., 1981, voL
A374, p. 299—312. О трении в жидкостях между вращающимися цилиндрами. Препр.
ИПМ № 5568, М., 1979.
VII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ИЗЛУЧЕНИЯ ВО ВСЕЛЕННОЙ
1. Дозвездное состояние вещества.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1962, т. 43г
с. 1561—1562.
2. Звездообразование в расширяющейся Вселенной.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1962, т. 43, с. 1982—1984.
3. Дозвездная эволюция вещества.— В кн.: Вопросы космогонии. М.: Изд-во АН СССРГ
1963, т. 9, с. 232—239.
4. Гипотеза задержавшихся в расширении ядер и горячая космологическая модель.—
Астрон. журн., 1966, т. 43, с. 758—760. Совм. с И. Д. Новиковым.
5. Зарядовая несимметрия и энтропия горячей Вселенной.— Письма в Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1966, т. 4, с. 117—120. Совм. с И. Д. Новиковым.
6. Об однозначности интерпретации изотропного космологического излучения с Τ =
= 3 К.— Астрон. журн., 1967, т. 44, с. 663—665. Совм. с И. Д. Новиковым.
7. Методы исследования и космологическое значение гелия в межгалактической среде.—
Астрон. циркуляр, 1968, № 371, с. 1—3. Совм. с И. Д. Новиковым, Р. А. Сюняевым.
8. Рекомбинация водорода в горячей модели Вселенной.— Журн. эксперим. и теорет.
физики, 1968, т. 55, с. 278—287. Совм. с В. Г. Куртом, Р. А. Сюняевым.
9. The interaction of matter and radiation in a hot-model Universe. I.— Astrophys. and
Space Sci., 1969, vol. 4, p. 301—316. With R. A. Sunyaev.
10. The interactionn of matter and radiation in a hot-model Universe. II.— Astrophys.
and Space Sci., 1970, vol. 7, p. 20—29. With Sunyaev R. A.
11. Helium production in the different cosmological models.— Highlights of Astronomy,
1971, vol. 2, p. 318—327. With A. G. Doroshkevich, I. D. Novikov, R. A. Sunyaev.
12. The spectrum of primordial radiation, its distortions and their significance.—
Comments Astrophys. and Space Phys. 1970, vol. 2, p. 66—73. With R. A. Sunyaev
13. Влияние выделения энергии на спектр излучения в горячей Вселенной.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1972, т. 62, с. 1217—1227. Совм. с А. Ф. Илларионовым,
Р. А. Сюняевым.
14. The induced light pressure under astrophysical conditions.— Astron. and Astrophys., 1972r
vol. 19, p. 135—139. With E. V. Levich, R. A. Sunyaev.
15. Дейтерий космологического происхождения и средняя плотность во Вселенной.—
Письма в Астрон. журн. 1975, т. 1, с. 8—13.
16. Microwave background radiation as a probe of the contemporary structure and nistoJ*y
of the Universe.— Annu. Rev. Astron. and Astrophys., 1980, vol. 18, p. 537—560.
With R. A. Sunyaev
VIII
СТРУКТУРА ВСЕЛЕННОЙ
1. Образование звезд и галактик в расширяющейся Вселенной.— В кн.: Вопросы
космогонии. М.: Изд-во АН СССР, 1963, т. 9, с. 240—253.
2. Энергия случайного движения с расширяющейся Вселенной.— Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1963, т. 45, с. 1150—1155. Совм. с Н. А. Дмитриевым.

Библиография трудов #. Б. Зельдовича
457
3. Развитие возмущений произвольной формы в однородной среде с малым давлением.—
Астрон. журн., 1963, т. 40, с. 807—811. Совм. с А. Г. Дорошкевичем.
4. Магнитная модель Вселенной.— Журн. эксперим. и теорет. физики, т. 48, с. 986—988.
5. Возникновение галактик в расширяющейся Вселенной.— Астрон. журн., 1967,
т. 44, с. 295—303. Совм. с А. Г. Дорошкевичем, И. Д. Новиковым.
6. Распад однородного вещества на части под действием тяготения.— Астрофизика,
1969, т. 6, с. 319—336.
Gravitational instability: An approximate theory for large density perturbations.—
Astron. and Astrophys., 1970, vol. 5, p. 84—89.
7. Гипотеза магнитной космологической неоднородности.— Астрон. журн., 1969, т. 46,
с. 775—778.
8. Гипотеза о начальном спектре возмущений в модели Фридмана.— Астрон. журн.,
1969, т. 46, с. 960—964. Совм. с И. Д. Новиковым.
9. Энтропийные и адиабатические возмущения плотности малого масштаба —
антивещество во Вселенной.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 9, p. 353—382. Совм.
с Р. А. Сюняевым.
10. Gravitational instability of two component fluid: matter and radiation.— Astron.
and Astrophys., 1970, vol. 9, p. 227—231. With M. Guyot.
11. Вращательные возмущения во фридмановской космологической модели —
Астрофизика, 1970, т. 6, с. 379—386. Совм. с И. Д. Новиковым.
12. Развитие возмущений в расширяющейся Вселенной из свободных частиц.— Астрон.
журн., 1970, т. 47, с. 942—947. Совм. с Г. С. Бисноватым-Коганом.
13. Возмущения в анизотропной Вселенной.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1971,
т. 60, с. 3—8. Совм. с А. Г. Дорошкевичем, И. Д. Новиковым.
14. Formation of clusters of galaxies, protocluster fragmentation and intergalactic gas
heating.— Astron. and Astrophys., 1972, vol. 20, p. 189—200. Совместно с Р. А.
Сюняевым.
15. Hypothesis, unifying the structure and the entropy of the Universe.— Month. Notic.
Roy. Astron. Soc, 1972, vol. 160, p. lp—3p.
16. Гипотеза, связывающая энтропию с неоднородностью Вселенной.— Журн. эксперим.
и теорет. физики, 1973, т. 64, с. 58—66.
17. Structure (topology) of the Universe.— Comments Astrophys. and Space Phys., 1973,
vol. 5, p. 169—1*74.
18. Formation of galaxies in the expanding Universe.— Astrophys. and Space Sci., 1975,
vol. 35, p. 55—65. With A. G. Doroshkevich.
19. Structure of the Universe.— Comments Astrophys. and Space Phys., 1976, vol. 6,
p. 157-164.
20. Адиабатическая теория образования галактик.— В кн.: Происхождение и эволюция
галактик и звезд. М.: Наука, 1976, с. 65—104. Совм. с А. Г. Дорошкевичем,
Р. А. Сюняевым.
21. Hydrodynamics of the Universe.— Annu. Rev. Fluid Mech., 1977, vol. 9, p. 215—228.
22. Образование галактик во фридмановских моделях Вселенной.— В кн.: Космология.
Теория и наблюдения. М.: Мир, 1978, с. 277—292. Совм. с А. Г. Дорошкевичем,
Р. А. Сюняевым.
23. Длинноволновые возмущения фридмановского мира и анизотропия реликтового
излучения.— Астрон. журн., 1978, т. 55, с. 209—215. Совм. с Л. П. Грищуком.
24. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. I. Вселенная. — Письма в Астрон.
журн., 1980, т. 6, с. 451—456. Совм. с Р. А. Сюняевым.
25. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. II. Спектр возмущений плотности
и флуктуации микроволнового фона.— Письма в Астрон. журн., 1980, т. 6, с. 457—464.
Совм. с А. Г. Дорошкевичем, Р. А. Сюняевым, М. Ю. Хлоповым.
26. Астрономические следствия массы покоя нейтрино. III. Нелинейная стадия развития
возмущений и скрытая масса.— Письма в Астрон. журн., 1980, т. 6, с. 466—469.
Совм. с А. Г. Дорошкевичем, Р. А. Сюняевым, М. Ю. Хлоповым.
27. Контакт горячего и холодного газов и эволюция холодных облаков в
межгалактической среде.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1981, с. 801—815. Совм. с А. Г.
Дорошкевичем.
28. Гравитационная неустойчивость в многокомпонентной среде.—Астрон. журн., 1981,
т. 58, с. 472—481. Совм. с Л. II. Грищуком.
29. Теория крупномасштабной структуры Вселенной.— В кн.: Крупномасштабная
структура Вселенной. М.: Мир., 1981, с. 452—464.
30. Cosmological impact of neutrino rest mass.— In: Xth Texas, symp. relativ. astrophys.
N. Y., 1981, p. 32—42. With A. G. Doroshkevich, M. Yu. Khlopov, R. A. Sunyaev,
A. S. Szalay.

458
Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
31. The large scale structure of the Universe.— General properties: One- and two-dimensio.
nal model.— Geophys. and Astrophys. Fluid Dyn., 1982, vol. 20, p. 111—130. With V. I
Arnold, S. F. Shandarin.
32. Giant voids in the Universe.— Nature, 1982, N 5891, p. 407—413. With J. Einasto,
S. F. Shandarin.
33. «Черные» области во Вселенной.— Письма в Астрон. журн., 1982, т. 8, с. 131 — 135.
Совм. с С. Ф. Шандариным.
34. Происхождение ячеистой крупномасштабной структуры Вселенной.— Письма в
Астрон. журн., 1982, т. 8, с. 195—197.
35. Максимальная плотность тяжелых нейтрино.— Письма в Астрон. журн., 1982, т. 8,
с. 259—262. Совм. с С. Ф. Шандариным.
36. Topological and percolation properties of potential mapping with glueing.— Proc.
Nat. Acad. Sci., USA. Ser. Math., 1983, vol. 80, p. 2410—2411.
37. Гравитационная неустойчивость: второе приближение линейной теории длинных.
волн.— Астрон. журн., 1982, т. 59, с. 636—638.
38. Структура Вселенной.— В кн.: Итоги науки и техники. Астрономия, 1983, т. 22г
с. 4—32; Astrophys. and Space Phys. revs., 1984, vol. 3. p. 1—34.
39. Крупномасштабная структура Вселенной.— Успехи физ. наук, 1983, т. 139, с. 83—
134. Совм. с А. Г. Дорошкевичем, С. Ф. Шандариным.
40. Лабораторные наблюдения каустик, оптическое моделирование движения частиц;
и космология.— Успехи физ. наук, 1983, т. 139, с. 153—156. Совм. с А. В. Мамаевым,
С. Ф. Шандариным.
41. The theory of large scale structure of the Universe: Local properties and global
topology.— In: Early evolution of the Universe and its present structure. Dordrecht, 1983,
p. 387—391. With A. G. Doroshkevich, S. F. Shandarin.
42. Complete cosmological theories.— In: Quantum structure of Space and time/Ed. M.
Duff., С Isham. Cambridge University Press, 1982, p. 409—422. With L. P. Gri-
shchuk.
Полные космологические теории.— В кн.: Квантовая гравитация. Труды второго
семинара «Квантовая теория гравитации». М.: Ин-т ядер, исслед. 1982, с. 39—47.
Совм. с Л. ГГ. Грищуком
43. Structure and future of the «new» Universe.— Month. Notic Roy. Astron. Soc, 1984,
vol. 207, p. 23—28. With L. P. Grishchuk.
44. Topological mappings properties of collisionless potential and vortex motion.— Phys.
Rev. Lett., 1984, vol. 25, p. 1488—1491. With S. F. Shandarin.
IX
НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В КОСМОЛОГИИ
1. Наблюдения во Вселенной, однородной в среднем.— Астрон. журн., 1964, т. 41, с. 19—
24.
2. Распространение света в неоднородной неплрской Вселенной.— Астрон. журн.г
1964, т. 41, с. 1071—1074. Совм. с В. М. Дашевским.
3. Изучение космологии по наблюдениям квазизвездных источников.— Астрон. журн.г
1967, т. 44, с. 67—76. Совм. с В. М. Дашевским.
4. Анизотропия реликтового излучения.— Астрон. циркуляр, 1967, № 442, с. 1—3.
Совм. с А. Г. Дорошкевичем, И. Д. Новиковым.
5. Small scale fluctuations of relic radiation.— Astrophys. and Space Sci., 1970, vol. 7r
p. 3—19. With R. A. Sunyaev.
6. Counts of radiosources.— Month. Notic Roy. Astron. Soc, 1970, vol. 147, p. 139. With
A. G. Doroshkevich, M. S. Longair.
7. The observation of relic radiation as a test of the nature of X-ray radiation from the
clusters of galaxies.— Commun. astrophys. Space Phys., 1972, vol. 4, p. 173—178. With
R. A. Sunyaev.
8. Наблюдение флуктуации реликтового радиоизлучения как способ отличать
адиабатические от других видов возмущений плотности вещества во Вселенной, ведущих
к образованию галактик.— Изв. вузов. Радиофизика, 1972, т. 15, с. 161—171. Совм.
с А. X. Рахматулиной, Р. А. Сюняевым.
9. On the possibility of radioastronomical investigations of the birth of galaxies.— Month.
Notic Roy. Astron. Soc, 1974, vol. 168, p. 375—379. With R. A. Sunyaev.
10. Флуктуации реликтового излучения в адиабатической и энтропийной теориях
образования галактик.— Астрон. журн., 1978, т. 55, с. 913—921. Совм. с А. Г.
Дорошкевичем, Р. А. Сюняевым.

Библиография трудов Я. Б. Зельдовича
459
11. О спектральных линиях дозвездного происхождения.— Письма в Астрон. журн
1978, т. 4, с. 165-166.
12. Угловое распределение микроволнового фона и его интенсивность в направлениях
на скопления галактик.— Письма в Астрон. журн., 1980, т. 6, с. 545—547. Совм..
с Р. А. Сюняевым.
13. Пекулярные скорости скоплений галактик и средняя плотность вещества во
Вселенной.— Письма в Астрон. журн., 1980, т. 6, с. 737—741. Совм. с Р. А. Сюняевым.
14. The velocity of clusters of galaxies to the microwave background: The possibility of
its measurements.— Month. Notic. Roy. Astron. Soc, 1980, vol. 190, p. 413—420.
With R. A. Sunyaev.
15. Межгалактический газ в скоплениях галактик, микроволновое фоновое излучение
и космология.— В кн.: Астрофизика и космическая физика. М.: Наука, 1982,
с. 9—65. Совм. с Р. А. Сюняевымв
X
МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В АСТРОФИЗИКЕ
4. Магнитное поле в проводящей турбулентной жидкости при двумерном движении.—
Журн. эксперим. и теорет. физики, 1956, т. 31, с. 154—155**.
2. О происхождении магнитных полей в астрофизике.— Успехи физ. наук, 1972, т. 106,
с. 431—457. Совм. с СИ. Вайнштейном *.
3. Disc dynamo.— Astrophys. and Space Sci., 1979, vol. 66, p. 369—384. With A. A. Ru-
zmaikin, D. D. Sokolov and V. I. Turchaninov *.
4. Магнитное поле в проводящей жидкости, движущейся в двух направлениях.— Журн.
эксперим. и теорет. физики, 1980, т. 78, с. 980—986. Совм. с А. А. Рузмайкиным **.
5. Магнитное поле в стационарном течении с растяжениями в римановском
пространстве.— Журн. эксперим. и теорет. физики, 1981, т. 81, с. 2052—2058. Совм. с
В. И. Арнольдом, А. А. Рузмайкиным и Д. Д. Соколовым *.
6. Стационарное магнитное поле в периодическом потоке.— Докл. АН СССР, 1982,
т. 266, с. 1357—1361. Совм. с В. И. Арнольдом, А. А. Рузмайкиным и Д. Д.
Соколовым *.
7. Магнитное динамо в стационарном потоке.— В кн.: Нелинейные волны/Под ред.
В. И. Гапонова и М. И. Рабиновича. М.: Наука, 1982, с. 166—181. Совм. с
А. А. Рузмайкиным, Д. Д. Соколовым.
8. Проблемы динамо в астрофизике.— Итоги науки и техники. Сер. Астрономия, т. 21.
Вспышки в звездах (Сверхновые, рентгеновские источники, Солнце). М.: ВИНИТИ,
1982, с. 151—183; Soviet Sci. Revs. Ser. E./Ed. R. A. Sunyaev. N. Y. L., 1983,
p. 333—385. Совм. с А. А. Рузмайкиным.*
9. Перколяционные свойства двумерного случайного стационарного магнитного поля.—
Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики, 1983, т. 38, с. 51—54.*
10. Kinematic dynamo problem in a linear velocity field.— J. Fluid Mech., 1984,
vol. 144, p. 1—11. With A. A. Ruzmaikin, S. A. Molchanov, D. D. Sokolov.* См.
также монографии [13, 14].
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ИСТОРИЯ ФИЗИКИ, ПЕРСОНАЛИЯ
1. Творчество великого физика и современная наука.— Вопр. философии, 1980, № 6,
с. 32—45.
2. Харитон Ю. Б.— В кн.: Герои вдохновенного труда. М. Политиздат. 1983, с. 246—
261. Совм. с Б. П. Коноваловым.
3. Замечательная книга по астрофизике (Рецензия на книгу С. А. Каплана и
С. Б. Пикельнера «Межзвездная среда»).— Природа, 1981, №5, с. 123—124. Совм.
с Р. А. Сюняевым.
4 Памяти друга, (о Б. П. Константинове).— Вопросы истории естествознания и техники,
1984, № 2, с. 71-75; Наука в СССР, 1984, № 5, с. 109-112.
5. Юлий Борисович Харитон и наука о взрыве.— Природа, 1983, № 6, с. 99—102.
6. Воспоминания о Я. И. Френкеле.— В кн.: Я. И. Френкель. Л.: Наука, 1976,
с. 98—100.

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЧАСТИЦЫ И ЯДРА
I
ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
1. К вопросу о цепном распаде основного изотопа урана (совместно с Ю. Б. Ха-
ритоном) 6
2. О цепном распаде урана под действием медленных нейтронов (совместно с
Ю. В. Харитоном) 9
3. Кинетика цепного распада урана (совместно с Ю. Б. Харитоном) .... 17
4. К теории развала ядер (совместно с Ю. А. Зысиным) 27
5. Хранение холодных нейтронов 32
6. Квазистабильные состояния с большим изотопическим спином у легких
ядер 34
7. О существовании новых изотопов легких ядер и уравнении состояния
нейтронов 36
8. Вихревые изомеры ядер 47
II
ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
9. К теории элементарных частиц. Сохранение ядерного заряда и возможный
новый тип F-частиц 49
10. О нейтринном заряде элементарных частиц 53
11. О распаде заряженных π-мезонов 58
12. О мезонных поправках в теории β-распада (совместно с С. С. Герштейном) 63
13. Об определении границы применимости квантовой электродинамики
путем измерения магнитного момента электрона (совместно с Г. М. Ганделъма-
ном) 66
14. Тяжелый нейтральный мезон: распад и способ обнаружения 70
15. Несохранение четности первого порядка по константе слабого
взаимодействия в рассеянии электронов и других эффектах 72
16. Соотношение между асимметрией распада и дипольным моментом
элементарных частиц 75
17. Интерпретация электродинамики как следствия квантовой теории ... 77
18. О максимальном значении заряда при заданной массе связанного
состояния (совместно с В. И. Грибовым, А. М. Переломовым) 78
19. Электромагнитное взаимодействие при нарушении четности ....'. 79

Содержание
4&1
III
АТОМНАЯ ФИЗИКА И ИЗЛУЧЕНИЕ
20. Уровни энергии в искаженном кулоновском поле 83
21. К теории нестабильных состояний . . 88
22. Рассеяние и излучение квантовой системой в сильной электромагнитной
волне 93
23. Структура ударной волны в спектре излучения при бозе-конденсации
фотонов (совместно с Р. А. Сюняевым) 107
24. Равновесная концентрация позитронов в оптически тонкой релятивистской
плазме (совместно с Г. С. Бисноватым-Коганом, Р. А. Сюняевым) . . . 115
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АСТРОФИЗИКА И КОСМОЛОГИЯ
IV
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И КОСМОЛОГИЯ
25. Кварки: астрофизический и физико-химический аспекты (совместно с
Л. Б. Окунем и С. Б. Пикелънером) 120
26. Масса покоя мюонного нейтрино и космология (совместно с С. С. Герштей-
ном) . , 132
27. Космологическая постоянная и элементарные частицы 135
28. О концентрации магнитных монополей во Вселенной (совместно с М. Ю.
Хлоповым) 137"
V
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И АСТРОФИЗИКА
29. Коллапс малой массы в общей теории относительности 142
30. Аналог зееман-эффекта в гравитационном поле вращающейся звезды . . 145
31. Рождение частиц в космологии 147
32. О возможности рождения частиц классическим гравитационным полем
(совместно с Л. П. Питаевским) 151
33. Рождение частиц и поляризация вакуума в анизотропном гравитационном
поле (совместно с А. А. Старобинским) 154
34. Генерация волн вращающимся телом 169
35. О скорости рождения частиц в гравитационных полях (совместно с
А. А. Старобинским) 172
36. Гипотеза, единым образом объясняющая структуру и энтропию
Вселенной 176
37. Полные космологические теории (совместно с Л. П. Грищуком) .... 179
VI
НЕЙТРОННЫЕ ЗВЕЗДЫ И ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ, АККРЕЦИЯ
38. Судьба звезды и выделение гравитационной энергии при аккреции ... 192
39. О ядерных реакциях в сверхплотном холодном газе 196
40. Нейтронизация Не4 (совместно с О. X. Гусейновым) 199
41. Нейтринная светимость звезды при гравитационном коллапсе в общей
теории относительности (совместно с М. А. Подурцом) 202
42. Эволюция системы гравитационно-взаимодействующих точечных масс
(совместно с М. А. Подурцом) 20&·
43. Коллапсировавшие звезды в составе двойных (совместно с О. X. Гусейновым) 218

462
Содержание
44. Рентгеновское излучение при аккреции газа на нейтронную звезду
(совместно с Н. И. Шакурой) 221
45. Нейтронные звезды и «черные дыры» 233
VII
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВЕЩЕСТВА И ИЗЛУЧЕНИЯ ВО ВСЕЛЕННОЙ
46. «Горячая» модель Вселенной 237
47. Дозвездное состояние вещества 244
48. Рекомбинация водорода в горячей модели Вселенной (совместно с В. Г.
Куртом и Р. А. Сюняевым) 246
49. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. I
(совместно с Р. А. Сюняевым) 255
50. Взаимодействие вещества и излучения в горячей модели Вселенной. П.
Искажения реликтового спектра (совместно с Р. А. Сюняевым) 269
VIII
ОБРАЗОВАНИЕ КРУПНОМАСШТАБНОЙ СТРУКТУРЫ ВСЕЛЕННОЙ
51. Теория крупномасштабной структуры Вселенной 280
52. Энергия случайного движения в расширяющейся Вселенной (совместно
с Н. А. Дмитриевым) 290
53. Развитие возмущений произвольной формы в однородной среде с малым
давлением (совместно с А. Г. Дорошкевичем) 296
54. Возникновение галактик в расширяющейся Вселенной (совместно с А. Г.
Дорошкевичем, И. Д. Новиковым) 300
55. Распад однородного вещества на части под действием тяготения .... 309
56. Образование скоплений галактик: фрагментация протоскоплений и нагрев
межгалактического газа (совместно с Р. А. Сюняевым) 322
57. Развитие возмущений в расширяющейся Вселенной из свободных частиц
(совместно с Г. С. Бисноватым-Коганом) 340
58. Пекулярные скорости скоплений галактик и средняя плотность вещества во
Вселенной (совместно с Р. А. Сюняевым) 347
59. Астрономические следствия массы покоя нейтрино I. Вселенная (совместно
с Р. А. Сюняевым) 352
60. Астрономические следствия массы покоя нейтрино П. Спектр возмущений
плотности и флуктуации микроволнового фона (совместно с А. Г.
Дорошкевичем, Р. А. Сюняевым, М. Ю. Хлоповым) 358
61. Астрономические следствия массы покоя нейтрино III. Нелинейная стадия
развития возмущений и скрытая масса (совместно с А. Г. Дорошкевичем,
Р. А. Сюняевым, М. Ю. Хлоповым) 366
62. «Черные области» во Вселенной (совместно с С. Ф. Шандариным) .... 371
63. Происхождение ячеистой крупномасштабной структуры Вселенной . . . 376
64. Топологические и перколяционные свойства потенциального отображения
со склеиванием 379
IX
НАБЛЮДАТЕЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ В КОСМОЛОГИИ
65. Наблюдения во Вселенной, однородной в среднем 384
66. Мелкомасштабные флуктуации реликтового излучения (совместно
с Р. А. Сюняевым) 390
67. Наблюдения реликтового излучения как тест природы рентгеновского
излучения от скоплений галактик (совместно с Р. А. Сюняевым) .... 406
68. Определение скорости движения скоплений галактик относительно
реликтового излучения (совместно с Р. А. Сюняевым) 411

Содержание 463·
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИСТОРИЯ ФИЗИКИ. ПЕРСОНАЛИЯ
69. Творчество великого физика и современная наука (об Эйнштейне) .... 420
70. Главная книга Д. А. Франк-Каменецкого и ее автор 425
71. Памяти друга. Борис Павлович Константинов 431
Автобиографическое послесловие 435
БИБЛИОГРАФИЯ ТРУДОВ Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧА
ПО ТЕМЕ «ЧАСТИЦЫ, ЯДРА, ВСЕЛЕННАЯ»
Монографии, учебники 448
Часть первая. Частицы и ядра 448
Часть вторая. Астрофизика и космология 452
Часть третья. История физики, персоналия 459

Яков Борисович
ЗЕЛЬДОВИЧ
Избранные труды
ЧАСТИЦЫ, ЯДРА,
ВСЕЛЕННАЯ
Утверждено к печати
Отделением общей, физики и астрономии
Академии наук СССР
Редактор издательства Ю. А. Юдина
Художник Я. Г. Кобрин
Художественный редактор Я. Я. Власик
Технический редактор О. М. Гуськова
Корректоры Я. В. Письман, Я. И. Назарина
И Б № 29074
Сдано в набор 14.03.85.
Подписано к печати 27.06.85.
Т-10797. Формат 70x100Vm
Бумага книжно-журнальная. Импортная
Гарнитура обыкновенная
Печать вьсокая
Усл. печ. л. 37,86 Усл. кр. отт. 39,16 Уч. изд. л. 37,1
Тираж 4850 экз. Тип. зак. 1198
Цена 4 руб.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»,
417864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6