Text
                    Т. П. Бебенина
ГИДРАВЛИКА
Техническая гидромеханика
Екатеринбург
2006
Г

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный горный университет» Т. П. Бебенина ГИДРАВЛИКА Техническая гидромеханика . Конспект лекций Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Издание УГГУ Екатеринбург - 2006
Б35 Бебенина Т. П. Б35 Гидравлика. Техническая гидромеханика: Конспект лекций. - Екате- ринбург: Изд-во У1ТУ, 2006. - 180 с.: ил. ISBN 5-8019-0103-5 Содержание учебного пособия «Гидравлика. Техническая гидромеха- ника» отражает опыт чтения лекций по дисциплинам «Гидравлика», «Гидро- механика» и «Основы гидравлики, гидрометрии и гидрологии» в Уральском государственном горном университете. Материал учебного пособия составлен в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания дисциплин, установленному ГОС ВПО по направлению 651600 (№333 тех/дс утв. 14.04.00), 656500 (№156 тех/дс утв. 17.03.00), 650600 (№349 тех/дс утв. 14.04.00). Пособие включает кроме теоретических положений курса примеры решения задач, связанных с вопросами горного производства. Приведены справочные материалы для выполнения расчетов по различным разделам дисциплины. Пособие рассмотрено на заседании кафедры технической механики 30 января 2005 года (протокол № 6 (57)) и рекомендовано для издания в УГГУ. Рецензент - И. Е. Лаптева, кандидат технических наук, доцент кафедры гидравлики Уральского государственного технического университета. Утверждено Редакционно-издательским советом Уральского государственного горного университета © Уральский государственный горный университет, 2006 ISBN 5-8019-0103-5 © Бебенина Т. 11, 2006
ВВЕДЕНИЕ Известно, что без воды жизнь на Земле немыслима. Вода во всех ее со- стояниях и все процессы - физические, механические, химические и др., в которых она участвует, изучается большим спектром наук, которые в свое время известный гидролог проф. В. Г. Глушков классифицировал примерно следующим образом (табл. 1). Таблица 1 Классификация наук, изучающих воду Виды воды Науки, изучающие воду Объект изучения Вода в атмосфере Воды на поверхности земли: Жидкие потоки Ледники Озера Моря и океаны Подземная вода Почвенная вод а Гидрофизика Гидрохимия Гидромеханика (гидравли- ка)* Гидрология и гидрогра- фия: Гидрометеорология Потамология Гляциология Лимнология Океанология Гидрогеология Гидрометрия Строение воды как физиче- ского вещества Состав воды Законы равновесия и дви- жения воды Типичные явления в жизни вод ы, их связь и взаимодей- ствие с внешними условия- ми с учетом изменения во времени и пространстве, их качественная и количест- венная характеристика Круговорот воды в природе Воды рек Вода в твердом состоянии Воды озер Воды морей и океанов Воды подземные и почвенные Методики получения и обра- ботки материалов, связанных с количественными характе- ристиками режима водного объекта * Основы наук, выделенные курсивом, изучаются в курсах «Гидравлика», «Гидромехани- ка» и «Основы гидравлики, гидрометрии и гидрологии» Надо отметить, что так подробно, выделяя простейшие процессы в водной среде, в настоящее время науки не подразделяют, так как при нали- чии характерных особенностей в течение схожих процессов, где бы они не происходили, имеются общие черты. Однако, глядя на таблицу, можно хо- рошо представить себе, насколько тесно изучение воды связано со всеми другими научными дисциплинами. 3
Краткая историческая справка История наук о воде начинается с глубокой древности. За несколько тысяч лет до нашей эры в Египте, в стра- нах Ближнего и Среднего Востока, в Индии и Китае люди уже умели строить плотины и каналы. Примерно в то же время появились первые гидравличе- ские двигатели - водяные колеса. Однако подобные достижения были воз- можны только благодаря искусству и практическому опыту строителей. Первые научные труды в области гидравлики, дошедшие до нас, при- надлежат древнегреческим ученым. Великий математик и механик Архимед (287-212 до н.э.) оставил после себя десятки рукописей и среди них двухтом- ный трактат ”О плавающих телах”, посвященный анализу вопросов гидроста- тики и плавания. Греческий ученый Ктезибий изобрел пожарный насос, во- дяные часы и некоторые другие гидравлические устройства. Герои Александ- рийский оставил описание сифона, водяного органа, автомата для дозировки воды. У треков многое было заимствовано римлянами, которые строили сложные гидротехнические сооружения: акведуки, системы водоснабжения и т. п. Так, римский инженер-строитель Фронтин (40-103 г.г. н.э.) в своих со- чинениях указывает, что во времена императора Траяна в Риме было 9 водо- проводов, общая длина линий которых составляла 436 км. В эпоху Возрождения, когда общая механика - теоретическая основа гидравлики, постепенно освобождается от метафизических представлений и превращается в физическую науку, появляются значительные работы по мно- гим гидромеханическим вопросам. Первым среди ученых этого периода не- обходимо назвать гениального Леонардо да Винчи (1452-1519). Он по праву мог бы считаться основоположником гидравлической науки, если бы его труды были известны современникам. В сохранившихся и расшифрованных 7 тысячах страниц его рукописных записных книжек отражены некоторые вопросы из области механики жидкости, которыми он занимался. Сюда отно- сятся принцип работы гидравлического пресса и плавание тел, принцип не- 4
разрывности движения жидкости и гидравлические сопротивления. Его ин- тересовала аэродинамика летательных аппаратов и образование водоворот- ных областей, отражение и интерференция волн на воде, гидравлический прыжок, неустановившееся движение жидкости, распределение скоростей по живому сечению потока, свободные струи, истечение через отверстия и во- досливы. Он серьезно занимался вопросами подводного плавания (подвод- ные лодки), мельницами и другими гидравлическими машинами. Он изобрел центробежный насос, парашют, анемометр. Однако его рукописи были рас- шифрованы и опубликованы лишь через 307 лет после его смерти и не оказа- ли влияния на развитие современной ему науки. К периоду Возрождения относятся работы нидерландского математика и инженера Симона Стевина (1548-1620) в области гидростатики. Великий итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642) также занимался вопроса- ми гидростатики, один из первых пытался дать понятие вакуума. Кроме того, он показал, что гидравлические сопротивления возрастают с увеличением ско- рости движущегося в воде тела и с возрастанием плотности жидкой среды. Среди ученых периода XVII и начала XVIII веков заметные работы в области гидравлики принадлежат итальянцу К Кастелли (1577-1644), изло- жившему принцип неразрывности движения жидкости (1628), итальянскому физику и математику Э. Торричелли (1608-1647), рассматривающему вопро- сы истечения жидкости из отверстия и изобретшему ртутный барометр. Французы Э. Мариотт (1620-1684) и Б. Паскаль(\623-1662) занимались определением величины атмосферного давления, его изменением с измене- нием высоты местности. И. Ньютон (1643-1727) дал приближенное описа- ние законов внутреннего трения жидкости, изучал приливно-отливные явле- ния, форму свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде, а также открыл явление сжатия струи при истечении из отверстия, К середине XVIII века трудами ряда ученых были сформулированы основные положения механики и создан математический аппарат, с помощью 5
которого можно было кратко и точно излагать соответствующие соотноше- ния. После этого сравнительно быстро стали создаваться современные теоре- тические основы механики жидкости. В 1738 г. Д. Бернулли (1700-1782) бы- ла опубликована работа «Гидродинамика или записки о силах движения жидкости». В 1755-56 гг. появились работы Л. Эйлера (1707-1783), в которых впервые была выведена полная система уравнений движения идеальной жид- кости. Дальнейшему развитию механики жидкости способствовали работы выдающихся математиков: Даламбера (1717-1783), Лагранжа (1736-1813), Лапласа (1749-1827). Л. Эйлер и Д. Бернулли - академики Российской Академии наук - были основоположниками науки «Гидромеханика» (или «Гидродинамика»), на ба- зе которой и развилась в дальнейшем, как самостоятельная наука - дисцип- лина «Гидравлика», в настоящее время называемая «Технической гидроме- ханикой». Она родилась из нужд практики, приняв основные положения «Гидродинамики», но опираясь на большой практический опыт. Поэтому многие расчетные формулы гидравлики имеют эмпирическое происхожде- ние. Развитию науки как технической дисциплины способствовали работы ученых - инженеров. Особенно большой вклад в формирование гидравлики в этот период сделан французской технической школой, благодаря работам Пито (1695-1771), который изобрел прибор для определения скоростей в живых сечениях потока; Шези (1718-1798), сформулировавшему параметры подо- бия и выведшему формулу средней скорости равномерного движения; Борда (1733-1799), выпустившему работу «Опыт по сопротивлению жидкостей»; Дюбуа (1734-1809), написавшему труд «Принципы гидравлики», и многих других ученых. Значительный вклад в развитие технической механики жидкости в пе- риод конца XVHI начала XX веков был внесен русскими учеными. М, В. Ломоносов (1711-1765) в 1741-1748 гг. открыл закон сохранения веще- 6
ства, выпустил труды «Попытка теории упругой силы воздуха» (1742), "Пер- вые основы металлургии или рудных дел” (3754) и другие. Он также предло- жил упрощенный расчет гидравлических лотков и прибор для измерения скорости и направления ветра - анемометр. В Петербургском институте инженеров путей сообщения проводились работы, развивавшие прикладное направление механики жидкости, зародив- шееся в работах М. В. Ломоносова. В стенах этого института долгое время существовала единственная в России гидравлическая школа. 77. П. Мельни- ков (1804-1880) - профессор прикладной механики, создал первый на рус- ском языке труд «Основания практической гидравлики». В 1884 г в институ- те открыта первая в России кафедра гидравлики, которую возглавлял про- фессор Ф. Е. Максименко, проводивший значительные исследования, осо- бенно в области истечения жидкости из отверстий. В 1855 г. там была созда- на первая в России учебная гидравлическая лаборатория. Профессор инсти- тута Г. К. Мерчинг дал оригинальные формулы для определения потерь на- пора в трубах и разработал метод определения наивыгоднейших размеров водоводов. В 1883 г. выдающийся русский ученый и инженер Н. П. Петров (1836- 1920) опубликовал работу «Трение в машинах и влияние на него смазываю- щей жидкости», где впервые сформулировал законы трения при наличии смазки и теоретически обосновал гипотезу Ньютона о величине силы внут- реннего трения. Я. Е. Жуковский (1847-1921) - великий русский ученый - создал ряд основополагающих трудов по механике жидкости, среди которых теоретические исследования о движении подпочвенных вод, теория гидрав- лического удара, теоремы о подъемной силе и тяговом усилии, действующем на цилиндр в поле безвихревого течения, и т. д. Профессором Казанского университета И. С. Громекой (1851 -1889) создана теория капиллярных явлений, дано доказательство теоремы о плава- нии твердых тел на границе двух жидкостей с учетом капиллярных сил, ко- 7
торая имеет большое значение для флотационных процессов. Им в 1882 году были заложены основы теории винтовых потоков и потоков с поперечной циркуляцией и рассмотрен ряд других вопросов механики жидкости. Начало XX века знаменуется сближением теоретического и экспери- ментального направлений науки благодаря работам Рейнольдса, Петрова, Жуковского, Прандтля и многих других ученых. Современная гидравлика (техническая гидромеханика) представляет собой вполне оформившуюся от- расль науки, в которой математические методы описания гидравлических яв- лений и процессов сочетаются с результатами экспериментальных исследо- ваний: опыт успешно обобщается теорией, а теория уточняется и дополняет- ся экспериментом. В нашей стране была создана обширная сеть гидравлических и аэроди- намических институтов и лабораторий (ЦАГИ, Водгео, ВНИИГ и др.); созда- ли школы ученые, чей вклад в науку является очень значительным: Л. С. Лейбензон, Н. Н. Павловский, Н. М. Вернадский, С. А. Христианович, Л. И. Седов и многие другие. В развитии таких наук, как гидрология и гидрометрия, необходимо от- метить большую роль Государственного гидрологического института Гос- комгидромета, а также отдельных русских ученых гидрологов: Б. А. Аполло- ва, Е. В. Близняка, М. А. Великанова, А. М. Воейкова, В. Г. Глушкова, Г. В. Железнякова, Г. П. Калинина, В. Д. Комарова, Б. Т. Куделина, А. И. Чебота- рева, В. А. Урываева и др. 8
Глава 1 ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КУРСА 1.L Определение курса Гидравликой (или технической механикой жидкости, технической гид- ромеханикой) называется прикладной раздел механики сплошной среды, изучающий законы равновесия и движения жидкостей. Решаемые гидравли- кой задачи касаются главным образом потоков жидкости, ограниченных твердыми стенками, т. е. потоков в трубах, элементах различных машин и устройств, каналах, реках. 1.2. Предмет изучения Известно, что практически любое вещество может встречаться в твер- дом, жидком, газообразном состоянии или в виде плазмы. Эго - фазовые со- стояния вещества. Фазовое состояние вещества в момент наблюдения опре- деляется температурой / и давлением р, при которых оно находится. Фазовое состояние вещества зависит от уровня внутренней энергии молекул, или, точнее, от уровня энергии теплового движения молекул. До тех пор пока эта энергия не превышает энергию связей между отдельными моле- кулами вещества, тело будет твердым. Для того чтобы сместить одну моле- кулу относительно другой, необходимо совершить работу деформации инди- видуальных межмолекулярных связей. Внешне работа связей проявляется в виде касательных напряжений сдвига. В жидкости касательные напряжения стремятся к нулю при скорости деформации объема жидкости, также стремящейся к нулю, т. е. в состоянии покоя касательные напряжения в жидкостях отсутствуют. Если же скорость потока возрастает, то возрастают и касательные напряжения в жидкости, по- является вязкое сопротивление жидкости. Большое разнообразие веществ и систем, обладающих свойством теку- чести, изучается наукой, которая называется реологией (рво [рео] - течь, 9
Хоуос [логос] - учение). Объединены они под одним общим названием - «жидкости» и классифицируются по различным признакам. 1. По количественному составу сред, входящих в изучаемую систему жидкости подразделяют на однофазные, состоящие из однородных по со- ставу частиц, и многофазные, представляющие механическую смесь не- скольких сред (например, пульпы, суспензии). 2. По характеру действующих в состоянии покоя напряжений жидко- сти делят на нормальные и аномальные. В нормальных жидкостях, как уже отмечалось, в равновесном состоянии отсутствуют касательные напряжения. В аномальных жидкостях (таких, как лаки, краски, битум) имеется начальное касательное напряжение - напряжение сдвига. 3. В соответствии с законом распределения касательных напряжений в сечениях потока различают ньютоновские, неньютоновские жидкости, жидкости Бингама-Шведова (глинистые и цементирующие растворы), Ост- вальда-Вейля (смолы, нефтепродукты, растворы полимеров). 4. Однородные жидкости подразделяют на капельные и газообразные (т.е. газы при небольших давлениях, когда сжимаемостью можно пренеб- речь). В предлагаемом курсе рассматриваются однородные нормальные ка- пельные и газообразные жидкости - вещества, которые находятся в жидком и газообразном состоянии в обычных условиях без учета большого изменения температур. Они объединены под одним названием «жидкости» и рассмат- риваются на основе гипотезы сплошности, как сплошная среда (контину- ум), занимающая все пространство, в котором она находится, без разрывов и пустот. Это значит, что все бесконечно малые объемы жидкости имеют размеры несоизмеримо большие, чем межмолекулярныс расстояния и разме- ры самих молекул. Данная модель позволяет представлять все механические характеристики жидкости как функции координат точки в пространстве и времени. 10
13. Методы изучения Гипотеза сплошности позволяет широко использовать аналитический метод, заключающийся в применении аппарата бесконечно малых величин. Составляются дифференциальные уравнения, которые затем интегрируются с учетом конкретных условий явления, т. е. объектом изучения является мате- матическая модель со всеми ее недостатками, появляющимися вследствие упрощения того или иного процесса. У Леонардо да Винчи есть образное выражение: «Всякий раз, когда имеешь дело с водой, прежде всего, обратись к опыту, а потом уже рассуж- дай». В экспериментальном методе, широко используемом в гидравлике, изучение явлений выполняется как на натурных объектах, так и на физиче- ских моделях. При разработке гидравлических моделей широко используют- ся законы гидродинамического подобия и теория размерностей. Результа- ты эксперимента, полученные на модели, переносятся на натурный объект с учетом масштабов параметров. Моделирование применяется на стадии про- ектирования крупных гидротехнических и водозаборных сооружений, осу- шительных и оросительных систем, разведки, оценки эксплуатационных за- пасов подземных вод, прогнозирования процессов поверхностного стока и пр. Как разновидность экспериментального метода при моделировании гидравлических явлений нашел развитие метод аналогий. Установлено, что процессы фильтрации воды и движения электрического тока в проводящей среде могут быть выражены сходными дифференциальными уравнениями. На этой основе создан метод электрогидродинамических аналогий (ЭГДА), который нашел широкое применение при изучении гидравлических явлений. Метод гидрологической аналогии применяется для приближенной оценки гидрологических характеристик неизученного водного объекта и ос- нован на подборе изученного объекта - аналога, находящегося в близких фи- зико-географических условиях. Использование закона сохранения материи выражается с помощью 11
метода водного баланса в форме уравнения водного баланса для исследова- ния закономерностей, существующих между приходом и расходом влаги за какой-либо период времени на рассматриваемом водосборе. Статистический метод основан на применении аппарата математиче- ской статистики и теории вероятностей, позволяющих выполнять количест- венный анализ в исследованиях массовых явлений при изучении жидкостей. Экспедиционный метод ~ это комплексное обследование гидрологи- ческих и гидрогеологических объектов, проводимое по специальным про- граммам. Этот метод дает возможность исследовать те явления, которые, различаясь в пространстве, медленно меняются во времени. 1.4. Механические основы гидравлики Основные принципы механики, которые используются в гидравлике при различных выводах и теоретических решениях, следующие: • закон инерции; • определение силы по Ньютону; • закон равенства действия и противодействия; • принцип независимости действия сил, т. е. основные законы движе- ния, известные из механики твердых тел, а также следствия из этих законов (закон сохранения количества движения, закон сохранения энергии; принцип Даламбера, позволяющий решать проблемы ди- намики с помощью методов статики). 1.5. Силы, действующие в жидкости. Напряженное состояние в точке сплошной среды При составлении уравнений равновесия и движения жидкостей и выво- де различных гидравлических зависимостей требуется принимать во внима- ние и включать в уравнение вес силы, действующие на жидкости. 12
В общем случае силы, действующие на жидкость, подразделяются на две категории: внутренние и внешние. Внутренние силы - это силы межмо- лекулярного взаимодействия, которые в гидравлических расчетах не учиты- ваются. Внешние силы - силы, приложенные к точкам рассматриваемого объема жид- кости со стороны других вещественных тел или физических полей, в частности со стороны жидкости, окружающей данный ее объем (рис. 1.1). Они разделяются на массовые dQ и поверхностные dP. Пол- ' Рнс и. Силы, действующие пая массовая сила dQ приложена к массе dm в ее в жи^кости ется по формуле dQ - - a*dm, (1.1) где а - ускорение, действующее на элементарную массу. Знак « - » указывает, что эти силы являются силами инерции и направ- лены противоположно ускорению. Массовая сила, приходящаяся на единицу массы q (напряжение массо- вой силы), называется единичной массовой силой и в общем случае опреде- ляется соотношением q-dQ/dm^-a, (1.2) т. е. численно равна ускорению. На каждую из граней, окружающих данный объем, со стороны отбро- шенной жидкости действует поверхностная сила dP (на чертеже не показана), которую обычно раскладывают на две составляющие: нормальную к поверх- ности силу давления dR и касательную к ней - силу вязкого трения dT (силы показаны только для одной грани). Давлением в точкер называется нормальное напряжение в жидкости dR p=hm — (13) ^dA ' 7 13
Напряженность касательных сил называется касательным напряже- нием или напряжением трения т в точке dT т = Нт — В общем случае в механике сплошной среды напряженное состоя- ние в точке вещества оценивается с по- мощью тензора напряжений, включаю- щего 3 нормальных напряжения и 6 ка- сательных напряжений (рис. 1. 2), по три на каждой из взаимно перпендику- лярных сторон бесконечно малого ку- бика. Первый индекс у напряжений по- (1.4) казывает, какой оси параллельна нормаль к площадке, на которой напряже- ние действует, второй - ось, которой параллельно напряжение. В гидромеха- нике нормальное напряжение называют давлением и обозначают обычно р. Тензор напряжений выражает числовую характеристику напряженного со- стояния и может быть представлен матрицей вида Рхх f= Хух Руу Ъуг (1-5) Pzz J Как уже отмечалось, в нормальных жидкостях в состоянии равновесия касательные напряжения отсутствуют, и тензор напряжений принимает вид р« 0 0 ' г= 0 р„ 0 (1.6) 1 0 0 pai Причем, в твердых телах в точке вещества (рис. 1.3, а) концы всех воз- можных положений вектора напряжений f при мысленном повороте малой площадки dA лежат на криволинейной поверхности второго порядка, назы- ваемой эллипсоидом напряжений Ламе. В жидкости в состоянии покоя дав- 14
ления по любому направлению одинаковы (далее будет приведен вывод) и эллипсоид вырождается в шаровую поверхность (рис. 13, б): Рхх =Руу Р* У Рис. 1.3. Распределение напряжений в точке твердого тела (а) и в жидкости (б) При движении жидкостей давление в точке определяют в соответствии С выражением р=(L7) Надо подчеркнуть, что давление в жидкости является сжимающим нормальным напряжением, так как в жидкой среде во избежание разрывов сплошности растягивающие напряжения считаются недопустимыми. 1.6. Физические свойства жидкостей Плотность р является основной механической характеристикой жидкости. Для однородной жидкости плотность определяется отношением ее массы т к занимаемому объему W Р = ^-. (18) Для неоднородной жидкости плотность в некоторой точке А определя- ется соотношением 15
Am рл = lim ------ (1.9) где Am- масса жидкости в объеме АИИ; AIF - элементарный объем, содержащий точку А. Иногда пользуются относительной плотностью, т. е. отношением плот- ности жидкости к плотности воды 8 = —. (1.10) Р Значения относительной плотности для воды при разной температуре и для некоторых жидкостей приведены в табл.1 и 2 ПРИЛОЖЕНИЯ. Удельный вес однородной жидкости у - сила тяжести ее единицы объема G (111) Связь между удельным весом и плотностью выражается зависимостью: У = Р£- (1.12) Сжимаемость - это свойство жидкостей изменять объем, следовательно, и плотность, при изменении давления или температуры. Для количественной оценки происходящих изменений используются коэффициенты • объемного сжатия <113> л АЖ • температурного расширения РГ“*Ы/АТ9 (1.14) гга.1 которые показывают относительное изменение AFP первоначального объема W при изменении давления Ар (на одну единицу) или изменении температу- ры АГ (на одну единицу), или, что бывает достаточно часто, при одновре- менном изменении давления и температуры. Тогда относительное изменение объема можно определить следующим образом: 16
—- = Р,Др+РгАТ. Fr (1-15) Коэффициент объемного сжатия величина, обратная модулю упругости жидкости Е: (1-16) Для воды при нормальных условиях модуль упругости составляет Е~2’109Г1а. Величина плотности при новом давлении может быть определена по зависимости Вязкость - это свойство жидкости оказывать сопротивление относительному смещению слоев. Сила сопротивления сдвигу называется силой у н внутреннего (или вязкого) трения Г. При прямолинейном слоистом -1— /г движении жидкости (рис. 1.4) сила внутреннего трения между ”=f(y) ...u±du dy смещающимися один относительно другого слоями выражается законом Рис-1Л КопРе^е1^си™'1Ре1ЦЫПРи гппмгтптыг ттютютпиа -штгтпгпг*га слоистом движении жидкости Ньютона.- _ . < du т = ±М— dy (1.18) где р - динамический коэффициент вязкости жидкости; А - площадь поверхности трущихся слоев; du поперечный градиент скорости, выражающий скорость угловой “У деформации при сдвиге. Касательные напряжения (119) 17
как и сила Г, характеризуются коэффициентами вязкости - динамическим ц или связанным с ним кинематическим коэффициентом вязкости v: ц-ур, (1.20) Единица измерения динамического коэффициента вязкости Ц в системе СИ - Паскаль-секунда [Пах]. Допускаемая внесистемная (историческая) еди- ница - пуаз [IT}: III = 0,1 Пах. Кинематический коэффициент вязкости в системе СИ имеет размер- ность - квадратный метр в секунду - м2/с, внесистемная единица (историче- ская)-стокс [Ст]: ? Ст= 1 см2/с = 10^м2/с. Кинематический коэффициент вязкости воды при обычных условиях (T^ZO^y-lO^/c. Динамический и кинематический коэффициенты вязкости жидкостей определяются на специальных приборах, называемых вискозиметрами. Существует несколько типов вискозиметров, различных по принципу действия. В капиллярных вискозиметрах ц определяют путем наблюдения за протеканием жидкости через капиллярную трубку. Один из капиллярных вискозиметров (рис. 1.5) представляет собой U - образную трубку 7, в одно из колен которой впаян капилляр 2. Исследуемая жидкость заливается в колено 1 до половины высоты капилляра. Создавая незначительное разрежение в капилляре, поднимают уровень жидкости несколько выше отметки а-а. Затем измеряют время, в течение которого уровень жидкости опустится между отметками а-а и б-б. Динамический коэффициент вязкости определяют по зависимости ^)Pi (1.21) где ро, Го, ро - динамический коэффициент вязкости, время протекания Рис. 1.5. Капиллярный вискозиметр 18
через капилляр и плотность жидкости, для которой известно значение коэффициента вязкости; Pi - то же для исследуемой жидкости. Вискозиметр Энглера (рис. 1.6) состоит из двух концентрически расположенных резервуаров из ла- туни (7 и 2). Принцип определения вязкости основан на методе сравне- ния вязкости исследуемой жидкости с вязкостью дистиллированной во- ды при 20 °C. Измеряется время t истечения той и другой жидкостей, взятых в объеме 200 см3, из резер- вуара 1 через калиброванную труб- ку 3, которая перед опытом пере- крывается стержнем 4. Резервуар 2 служит термостатом, поддерживающим постоянную температуру во время опыта, для наблюдения за которой применяется термометр 5. С помощью вискозиметра определяется так называемая условная вязкость в градусах Энглера, °Е\ УВ-Л£3-О£, (1-22) ^ДВ Для перевода УВ в кинематический коэффициент вязкости (м2/с) может быть применена формула Уббелоде: (1.23) Е Существует еще много всевозможных конструкций вискозиметров, в том числе и автоматических, на которых может быть определен тот или иной коэффициент вязкости в большом диапазоне температур. Капиллярность - способность жидкостей к подъему или опусканию 19
уровня в трубках малого диаметра (или порах грунта) по сравнению с уровнем ее в сосуде (рис. 1.7). На границе между жидкостью и твер- дым телом возникают силы взаимо- действия между молекулами этих двух сред, которые создают искрив- ление свободной поверхности жид- Рис. 1.7. Капиллярный подъем и опускание жидкости кости вблизи твердых стенок. В трубке малого диаметра (капилляра) поверх- ность может быть вогнутой (смачивание, см. рис. 1.7, а) или выпуклой (не- смачивание, см. рис. 1.7, б). Искривление свободной поверхности сопровож- дается появлением дополнительного давления, которое создает подъем или понижение уровня в таких трубках. Высота капиллярного подъема жидкости определяется формулой . 2g • cos0 А = ——(1.24) где о - коэффициент поверхностного натяжения; 0 - краевой угол: г - радиус трубки . При малых значениях г подъе^м может быть значительным. Испарение, кипение жидкостей, кавитация. Переход молекул жид- кости в газообразное состояние - пар - называется испарением, обратный переход - конденсацией. Как уже отмечалось, жидкость может находиться в равновесии со своим паром. Это равновесие наступает само собой, если жид- кость длительное время находится в закрытом сосуде. Тогда с течением вре- мени достигается такое состояние, при котором количество молекул, перехо- дящих в пар, равняется количеству молекул, совершающих обратный пере- ход. В этом случае пар называется насыщенным, в нем создается определен- ное давление, называемое упругостью насыщенного пара, величина его воз- 20
растает с повышением температуры. Образование насыщенных паров приво- дит к тому, что давление на поверхности жидкости не может быть ниже упру- гости насыщенного пара, соответствующей данной температуре. Жидкость может испаряться не только со свободной поверхности, но и внутрь пузырей, образующихся при ее кипении. Кипение - процесс образо- вания и роста пузырьков пара внутри жидкости с последующим прорывом их в окружающую среду через свободную поверхность. Жидкость может кипеть при повышении температуры до температуры кипения или при понижении давления до упругости насыщенных паров. Кипение жидкости приводит к нарушению сплошности среды. Значения параметров, при которых оно на- ступает, определяет границу применимости всех выводов, основанных на ги- потезе сплошности. В движущейся жидкости вследствие местных понижений давления до давления насыщенных паров появляются пузырьки пара, которые не выходят из нее, а закрываются (захлопываются) внутри жидкости. Такое явление на- зывается кавитацией. Захлопывание пузырьков пара сопровождается силь- ными ударами, способствующими постепенному разрушению поверхности твердых стенок, ограничивающих поток. 1.7. Модели жидкой среды Математическое описание движения жидкой среды общими дифферен- циальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой среде, оказывается весьма сложной задачей. Поэтому в гидравлике широ- ко используются различные упрощенные модели среды и отдельных явлений. Под моделью жидкой среды понимают такую гипотетическую текучую среду, в которой учтены только некоторые из физических свойств, сущест- венных для определенного круга явлений и технических задач. Одной из основных в гидравлике является модель идеальной жидкости. Это сплошная условная среда, обладающая текучестью, которая харак- 21
теризуетсяг • абсолютной неизменяемостью объема (р » const ); • полным отсутствием вязкости (р ~ 0). С помощью этой модели с большой точностью решаются задачи гидростати- ки и выполняются многие теоретические выводы. Кроме того, эта модель яв- ляется базой для других моделей, более полно учитывающих свойства реаль- ных жидкостей. Модель вязкой несжимаемой среды, обладающей текучестью и вязко- стью, но абсолютно несжимаемой, является достаточно широко применяемой в гидродинамике. Она позволяет получить точные решения полных уравне- ний движения лишь в ограниченном числе случаев с простейшими гранич- ными условиями. Поэтому большое значение при использовании этой моде- ли имеют приближенные решения уравнений. Кроме упомянутых моделей находят применение модели сжимаемой вязкой жидкости при расчете гидравлическою удара или сжимаемой не- вязкой жидкости в некоторых расчетах газов и т. д. 1.8. Примеры решения задач Задача 1.1 Трубопровод диаметром d = 300 мм, длиной / == 50 м, подготовленный к гидравлическому испытанию, заполнен водой при атмосферном давлении. Какое количество воды необходимо дополнительно подать в трубопровод, чтобы давление в нем поднялось до 50 ат (1 ат = 9,8-104Па) по манометру? Деформацией трубопровода пренебречь. Решение. Полная емкость трубопровода т 4 4 Чтобы давление в трубопроводе поднялось на величину Др первоначальный объем воды Wдолжен быть больше объема трубопровода на величину ДЖ. 22
Изменение объема, определяемое как W- IFT- (И^4- AH') — AFT отрицательно и находится из (1.13) -ДИ7 РрИ'тАр В ~------------,* — ----; Нр (Жт+АИК)Др 1-РрАр A>F=^_j?l±f-^-^i;Lo>oo867 мэ 1-0,5-10~9-50-9,8-104 Ответ: &W- 8,67 л. Задача 1.2. В вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром d - 4 м хранит- ся G 5‘ 105 Н нефти, плотность которой р = 850 кг/м3 при 0 °C. Определить колебания уровня нефти в резервуаре при колебании температуры от 0 до 30 °C. Расширение резервуара не учитывать. Коэффициент температурного расширения нефти р - 0,00072 1/град. Решение: Объем, занимаемый нефтью в резервуаре при температуре 0 °C, составляет W - - ; W = -10- = 60,02 м3 pg 850-9,8 Изменение объема &Wпри изменении температуры на ДТ = 30 °C определя- ется по (1.14) АИ7 =РГИ/АТ; AH'=0,00072-60,02-30 = 1,30 м3. Размах колебаний уровня нефти в резервуаре составит t AH' АИг-4 Л 1,30-4 А = =----- . й = =0,103 м. A ти!2 3,14-16 Ответ: 10,3 см. Контрольные вопросы 1- Что является предметом изучения в гидравлике? 2. Что заложено в определение понятия нормальная жидкость? 3. В чем состоит различие между плотностью, удельным весом, относи- 23
тельной плотностью? 4. Как изменяется плотность при изменении давления? 5. Что представляет собой коэффициент температурного расширения? б. Что такое массовые силы? Как они определяются? 7. Как подразделяются поверхностные силы? 8. Что такое гидромеханическое давление, тензор напряжений? 9. Как связаны между собой динамический и кинематический коэффици- енты вязкости? 10. Какие приборы используются для определения коэффициентов вязко- сти? 11. Чем отличается идеальная жидкость от реальной? В каких случаях при практических расчетах жидкость можно считать идеальной? 24
Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Рис. 2.1. К выводу уравнений Эйлера 2.1. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Напряженное состояние жидкости, находящейся в равновесии под дей- ствием массовых и поверхностных сил, характеризуется давлением в точках жид- кости. Для установления связи давления р -fix, у, z\ с массовыми силами в жид- кости выделяется элементарный объем в виде кубика с бесконечно малыми ребра- ми dx, dy, dz (рис. 2.1). Окружающая объ- ем жидкость отбрасывается, а ее действие заменяется силами давления: силы dR*9 и dRx действуют в направлении оси х на правую и левую боковые грани; dR* и dR? - по оси у на переднюю и заднюю стенки; усилия dR* и dR? - по оси z на нижнюю и верхнюю грани. Рассматривается идеальная жидкость. Равнодействующая массовых сил dQ приложена в центре выделенного объема в точке С, ее проекции на оси координат могут быть выражены через проекции ускорения массовых сил а; dQx = pdxdydzax. < dQy P'dxdydzay; dQz = pdxdydzaz, где frdxdydz -масса объема. В данном выводе принимается, что все проек- ции положительны. Условие равновесия выделенного объема выразится в виде: Г dQx + dRx'-dR**^ dQy I dR?- dR*^ dQz + dR?-dR? = Q. 25
Рассматривается уравнение относительно оси х Через точку С прове- дена линия, параллельная оси. Она пересекается с боковыми гранями в точ- ках 1 и 2. Давление в точках храни в силу ее малости, как элементарной пло- щадки, можно считать одинаковым, и силы давления на соответствующие грани, имеющие площадь dydz, выразятся dRxn =pfdydz dRxnp ~ pz'dydz. Если в точке С давление равно р, то величину давлений в точках 7 и 2 можно представить, используя понятие градиента давления который по- дх называет изменение давления на единице длины в данном направлении. Тогда, учитывая расположение точек, направление осей, расстояние между точками, равное ’Л dx, и принимая изменение давления линейным, для точек 7 и 2 давление можно выразить в следующем виде: Рг др dx Р'~р-&Г2- > др dx дх~2 ’ При подстановке значений сил уравнение равновесия примет вид Л 4 , dpdx., , pdxdydzax + (p-^--)dydz-(p+~ ~)dydz = Q, дх 2 дх 2 При открытии скобок pdxdydzax 4- pdydz -—-—dxdydz - pdydz -——dxdydz - 0 2 dx 2 ox и выполнении преобразований уравнение приобретает вид ах—~==0. рдх Относительно остальных осей получаются аналогичные уравнения. Окончательно система трех дифференциальных уравнений равновесия жид- кости выглядит следующим образом: 26
(2-1) Уравнения, называемые уравнениями Эйлера, являются общими диф- ференциальными уравнениями гидростатики и выражают условие равенст- ва нулю суммы проекций на оси координат массовых и поверхностных сил, действующих на единицу массы жидкости. 2.2. Дифференциальные уравнения движения жидкости Если принять, что элементарный объем выделен в движущейся жид- кости и действительная мгновенная скорость в точке С равняется и, то урав- нения движения мохут быть записаны на основании принципа Даламбера при использовании уравнений равновесия. Для этого к силам, входящим в урав- нения равновесия, необходимо добавить проекции сил инерции на оси коор- динат: + dR* - - </4= 0; < dQy + dR3 - dRy11 - dly= 0; dQz + dR* dR*-dIz = Q. k Проекции сил инерции определятся как произведение массы объема на про- екции ускорения, с которым передвигается жидкий объем: dlx = pdxifydz-^-; du dlf = pdxdydz-^; du dlz - pdxdydz—-• dt При делении проекций сил на произведение p*dxdydz получится, что на еди- ницу массы действует сила инерции, численно равная ускорению: 27
dlx _ dux pdxdydz dt dly duy .. .... = • pdxdydz dt dlz _ du. pdxdydz dt Чтобы записать дифференциальные уравнения движения жидкости, на- до к силам в уравнении (2.1) добавить полученные выражения: 1 dp dux . ax— ^-=0; p dx dt 1 do duv ay я = (2'2) p dy dt p & dt Необходимо помнить, что данные дифференциальные уравнения дви- жения (уравнения Эйлера) записаны для идеальной жидкости без учета сил вязкости. Выведенные уравнения используются в дальнейших разделах для по- лучения расчетных зависимостей. Контрольные вопросы 1. Для какой модели жидкости записаны уравнения Эйлера? 2. Какие силы учитываются при записи дифференциальных уравнений? 3. Как определены массовые силы? 4. Как определяются силы давления на параллельных гранях? 5, Чему равна сила инерции для единицы массы движущейся жидкости? 28
Глава 3 ГИДРОСТАТИКА Гидростатика - раздел гидравлики, изучающий законы равновесия жидкости. В нем рассматриваются жидкости, покоящиеся относительно сис- темы координат, жестко связанной с Землей (абсолютный покой), или, в бо- лее общем случае, движущейся с ускорением относительно последней (от- носительный покой). В обоих случаях жидкость неподвижна относительно стенок резервуара, в который она заключена, скорости взаимного перемеще- ния жидких частиц равны нулю. Покоящаяся под действием массовых и поверхностных сил жидкость находится в напряженном состоянии, которое в каждой точке характеризует- ся гидростатическим давлением р. ЗЛ. Гидростатическое давление Понятие гидростатического давления является в гидростатике основ- ным. Находящийся в состоянии покоя элементарный объем жидкости разде- лен произвольной поверхностью площадью dA на две части I и II (рис. 3.1). Через каждую точку данной поверхности в силу гипотезы сплошности пере- дается давление верхней части на нижнюю - р. При отбрасывании верхней части действие ее на нижнюю заменяется силой dR, которая направлена по нормали к поверхности и называется силой гидростатического давления. Эта сила является равнодействующей распределенной по поверхности нагруз- ки интенсивности р. тического давления 29
Отношение силы dR к площади dA называется средним гидростатиче- ским давлением Р: Р=^_ dA Оно представляет собой ту силу, которая в среднем приходится на еди- ницу рассматриваемой площади. При стремлении площадки к нулю величина Р стремится к определенному пределу, который выражает давление в точке поверхности и называется гидростатическим давлением в точке жидкости: dR р = lim —. F <^dA Давление обладает двумя основными свойствами. 1. Давление всегда направлено по внутренней нормали к поверх- ности, на которую оно действует. Рис. 3.2. К пояснению 1-го свойства давления Это свойство может быть доказано методом от противного. По поверхности раздела объема (между /и II) находятся три площадки действия давления площадью dA (рис. 3.2). Если предположить, что давление направлено под углом к площадке с норма- лью Л]ЛЬ то его можно разложить на 2 со- ставляющие: нормальную рп и касательную Рг Появление касательного напряжения противоречит условию покоя жидкости; следовательно, предположение о направлении давления не по нормали неверно. Далее, если принять направление р по внешней нормали л2Л2» это при- ведет к появлению растягивающих усилий, т. е. к нарушению сплошности жидкой среды, так как жидкости в технических условиях почти не выдержи- вают растяжения. Следовательно, верным является направление давления по нормали л3лз - к площадке действия, т. е. давление - это сжимающее нор- мальное напряжение в жидкости. 30
2. Величина давления в данной точке не зависит от ориенти- ровки площадки действия. В точке покоящейся жидкости помещено начало координат и по- строена треугольная призма со сторо- нами dx, dy, dz (рис. 33). Жидкость в объеме этой призмы находится в рав- новесии под действием массовых и поверхностных сил. Массовая сила - сила тяжести dG, соответственно Рис. 3.3. К пояснению 2-го свойства гидростатического давления dG =~pg*dxdydz. Поверхностные силы - силы давле- ния, действующие на все трани приз- мы dRx, dRy, dR'y, dRz и dRn, которые определяются как произведение сред- него гидростатического давления на соответствующей грани на ее площадь: dRx =Px-dydz, dRz ~PZ -dxdy, dRy=Py^dxdz, dR'y=P'y^dxdz, dR„ =Pndydn. Условие равновесия выделенного объема £Х = 0; £У = 0; dRx~ dR„cos а = 0; dR'y- Ry = 0; dRz - dR„ sin а - dG = 0. При подстановке значений уравнения принимают вид 31
Pxdydz - Pn-dydn* cos a = 0; J P\ - dxdz - Py ~ dxdz = 0; ] y2 2 Pzdxdy - Pndydrv sin a - — pgdxdydz ~ 0. Из 2-го уравнения следует Pfy = Ру, и, так как давление в этом направ- лении не связано с давлением по остальным направлениям, из рассмотрения его можно исключить. Массовая сила является величиной 3-го порядка мало- сти, в то время как силы давления имеют 2-й порядок малости. Поэтому ею можно пренебречь. С учетом того, что ifrrcos а ~ dz и ifrrsin а = dx, из 1-го и 3-го уравне- ний следует: Рх - Ри и Pz - Р„, т. е. Рх Pz - Рн. При стремлении dx, dy, dz к нулю среднее гидростатическое давление стремится к давлению в точке Px^Pz^Pn, т. е. давление в точке жидкости по всем направлениям одинаково. 3.2. Дифференциальное уравнение давления Для приведения к виду удобному для интегрирования дифференциаль- ных уравнений равновесия первое уравнение умножается на dx, второе - на dy, третье - на dz, затем уравнения почленно складываются и преобразуются z f . ч др , др , др , p(axdx + avdy+a~dz)-~ dx + -~dy + —dz. * “ дх ду dz 32
Выражение в правой части представляет собой полный дифференциал давления dp dp = р(д Xdx + avdy + azdz). (3-1) Это - дифференциальное уравнение давления, дальше оно будет про- интегрировано для различных случаев равновесного состояния жидкости. Надо отметить, что выражение в скобке также должно представлять собой полный дифференциал некоторой функции Ф. Такие функции называ- ются силовыми. Они действуют в силовом поле и значения их зависят только от координат точки в поле. Силовое поле является векторным, которое при изучении заменяется особым скалярным полем, представляемым линиями равного значения силовой функции. Силовая функция называется потенци- альной функцией или просто потегщиалом. Частные производные такой функции по координатам равны ее проекциям на соответствующие оси и то- гда справедливо _ ,ЭФ _ ЭФ , ЭФ , . Ф = дх оу oz или dp - р^Ф. При интегрировании полученного выражения определяется давление в точке для самого общего случая, когда на жидкость действует любая система мас- совых сил, имеющих потенциал: р = fdp + C = pjd<& + С = рФ + С. Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий для точки, в которой известны значения р и Ф: Ф = Фо, т.е. окончательно Р = Ро +Р<Ф-ФОЛ (3.2)
33. Поверхности равного давления Поверхности, во всех точках которых давление одинаково, называются поверхностями равного давления. Очевидно, что для такой поверхности dp - 0. Тогда из уравнения (3.1) с учетом того, что р для каждой жидкости имеег конкретную величину, отлич- ную от нуля, следует axdx + avdy + azdz = 0. (3.3) Нулю равняется дифференциал силовой функции Ф. Следовательно, поверхность равною давления является поверхностью равного потенциала, также такие поверхности называют поверхностями уровня. Для практического использования в расчетах уравнения (3.1), (3.2) и (3.3) неудобны. Поэтому их применяют после интегрирования для некоторых частных случаев. 3.4. Абсолютный покой жидкости В этом случае жидкость находится в покое относительно Земли и на нее действует только одна система массовых сил - система сил тяжести. Проекции ускорений массовых сил на оси координат будут соответственно О (у) Плоскость сравнения Рис. 3.4. Гидростатический закон распределен! я давления равны «х=0; =о> at=-g, т. е. для элемента с единичной мас- сой сила тяжести равна ускорению свободного падения. Рассматривается закрытый неподвижный резервуар с жидко- стью (рис. 3.4), в котором для точек на поверхности координата z = Zo, давление р =pQ. 34
3.4Л. Гидростатический закон распределения давления Полный дифференциал давления dp - p(<*xdx + aydy + azdz) после подстановки значений принимает вид dp = -pgdz. После интегрирования давление в любой произвольной точке p = -pgz + C (3.4) или —- + z = const. (3.5) Pg Выражение (3.5) является гидростатическим законом распределения давления. Все слагаемые в уравнении имеют размерность длины, и каждое может быть представлено в виде высоты и измерено соответствующим при- бором. К параметру, представленному в виде высоты, в гидравлике часто применяют термин - «напор». Уравнение (3.5) может быть представлено в виде —+ 2 = ЯСТ = const, РА' Р / - ч где пьезометрическая высота (пьезометрический напор), соответст- вующая давлению в точке жидкости; Z - геометрическая (или, на местности, геодезическая) высота (напор), т. е. расстояние по вертикали от плоскости сравнения до точки в жидкости; Яст- гидростатический (или просто статический) напор. Плоскость, совпадающая в данном случае с координатной плоскостью хОу (см. рис. 3.4), называется плоскостью сравнения. В общем случае это произвольная горизонтальная плоскость, служащая для определения высот- ного положения точек в жидкости. Итак, в соответствии с (3.5) гидростатический напор для всех точек жидкости, находящейся в равновесии, есть величина постоянная. 35
3.4.2. Основное уравнение гидростатики В выражении (3.4), полученном при интегрировании, постоянную С можно определив», учитывая граничные условия: для точек на поверхности жидкости z to, р Тогда с • Л + Р£*о и после подстановки значения С в (3.4), уравнение примет вид Р = Po+Pg^-Z). Для каждой точки в жидкости разность координат Zo “ Z = h соответст- вует глубине погружения точки в жидкость. Окончательно уравнение записы- вается в виде p = pv+pgb (3.6) и называется основным уравнением гидростатики, по которому давление в точке жидкости определяется как сумма давления внешней среды на по- верхности жидкости ро и давления, создаваемого силой тяжести столба жидкости с единичным основанием и высотой, равной глубине погруже- ния точки в жидкость. 3.43. Плоскость уровня Подстановка в уравнение поверхностей равного давления (3.3) axdx + aYdy + azdz = О значений проекций ускорений массовых сил при абсолютном покое =0; ау =0; a.=-g, приводит уравнение к следующему виду - gdz = 0; g jdz = const и окончательно gz- const. (3.7) Это уравнений любой плоской горизонтальной поверхности, взятой на расстоянии z от плоскости хОу. Для жидкости находящейся в абсолютном покое во всех точках, взятых на одном уровне, давление одинаково. Отсю- 36
да название ~ плоскость уровня. Это положение широко используется при решении задач гидростатики. Рис. 3.5. Случай относительного покоя 3.5. Относительный покой жидкости Жидкость заполняет часть объема цилиндра, вращающегося с постоян- ной угловой скоростью о (рис. 3.5). До начала движения свободная поверх- ность жидкости имеет форму горизонталь- ной поверхности, т. к. находится под дейст- вием только силы тяжести. В первоначаль- ный момент движения форма свободной поверхности изменяется до тех пор, пока не установится равновесие жидкости относи- тельно стенок сосуда. Каждая частица жид- кости находится теперь под действием сле- дующих массовых сил: центробежной и тяжести. Полное ускорение массовых сил а - это геометрическая сумма центростреми- тельного ускорения и ускорения свободного падения. На чертеже показаны силы, действующие на единицу массы и численно равные соответствующим ускорениям. Их проекции на оси координат равны: ах - <jj2rcos a; a^<o2rsina; или «Л = ю2х; e>=<o2j; ez=-g. После подстановки этих значений в дифференциальное уравнение давления dp = p(axdx + aydy+azdz) оно принимает вид dp = р<в2хА: + рш2 ydy - pgdz. При интегрировании давление в произвольной точке будет определяться по зависимости 37
p = p<o2(JjMte+ fydy)-f^jdz‘, P » ~^{x2 + /) - pgz + c. Значение постоянной интегрирования С может быть найдено из усло- вия, что для точки К на поверхности жидкости Рк~Р(и = 0 № = 0 zic-Zo, тогда значение С будет равно С = Ро + Р^о- Окончательно давление может быть найдено по формуле рю2г2 Р = + р£(% - Z). (3.8) Поверхности равного давления имеют форму параболоидов вращения, что видно из решения уравнения (3.3): axdx + aydy + azdz = 0; <b2xdx + ш 2 ydy - gdz = 0; Ф2( fxdr + f дф)-£ Jdz = const; ^2 (D 2 2 ч —(x + j)-^z = const; 2 2 (О Г -~-gz = const. (3.9) З.б. Понятия абсолютного, манометрического давлений и вакуума. Гидростатическое давление в точке, определяемое по основному урав- нению гидростатики от абсолютного нуля, ^ = /»о+Р?* называется абсолютным (или полным) давлением. Это действительное дав- ление в жидкости, параметр ее состояния. Давление р0 - давление внешнее поверхностное, т. с. давление в точках, 38
находящихся на поверхности жидкости, и обусловленное давлением на нее газа (воздуха, паров) или твердою тела, поверхность которого соприкасается с поверхностью жидкости. Чтобы по основному уравнению гидростатики по- лучить абсолютное давление, pf} должно быть учтено от абсолютного нуля. В случае открытого сосуда, наполненного жидкостью, поверхностное давление равняется атмосферному давлению рЯ9 под которым понимается гидростатическое давление со стороны слоя атмосферы, действующее в дан- ный момент в точках поверхности Земли. | РОабс<Ра РабС*^ Ра Рабс~ Ра О ’мял 1 Р*Ъ>Р. Величина pg/r часто называется весовым давлением, так как представ- ляет собой ту часть абсолютного давления, которая обусловлена силой тяже- сти самой жидкости. Абсолютное давление в герметич- ных закрытых объемах жидкости по ве- личине может быть больше или меньше атмосферного. Например, если в закры- том резервуаре давление рОабс меньше ат- мосферного, то при достаточной глубине на некотором расстоянии от поверхности величина давления в точках жидкости рабс окажется равной рЛ (рис. 3.6). В точках р ниже этою уровня - рабс>Ра- Рис. 3.6. К понятию манометрического давления и вакуума Поэтому абсолютное давление мо- жет быть выражено уравнением Рабс^Ра±Р, (3.10) где давление р - величина, на которую абсолютное давление отличается от атмосферною. Здесь может быть два случая. 1. Абсолютное давление больше атмосферного'. рЛ&> рЛ. (например, в точке 1). Тогда давление р показывает величину превышения абсолютного давления над атмосферным и называется манометрическим (или избыточ- 39
ним) давлением - рман (ризб). Также иногда это давление называют положи- тельным по знаку в уравнении (3.10). Итак, Рчан Ра • (3.11) Манометрическое давление иногда обозначают просто р (без индекса), так как этим давлением чаще всего оперируют в расчетах (особенно в объем- ном гидроприводе, где это давление - рабочее). Если подставить в уравнение (3.11) значениеря^, то Pgh-Pa. Для открытых резервуаров при р$ ~ рл избыточное давление будет равно давлению самой жидкости Pgk- Манометрическое давление может изменяться в пределах 0 < Риан < °0- 2. Абсолютное давление меньше атмосферного'. ря6с< ря (во всех точках выше плоскости О-О, в том числе и в точке 2). В уравнении (3.10) «-р» показывает недостаток абсолютного давления до атмосферного и называется вакуумом или вакуумметрическим давлением (а также отрицательным давле- нием или разрежением) и обозначается рвяк рвлк “ Ра “ Рабе- (3.12) 0 < ряак <Ра ~~ряас.пар P*' На уровне 0-0 величинарман и рллк равна нулю. 3.7. Приборы для измерения давления Приборы для измерения давления весьма разнообразны. Они классифи- цируются по различным признакам: по характеру измеряемой величины давления • приборы для измерения атмосферного давления (барометры); • приборы для измерения разности абсолютного и атмосферного дав- лений (манометры, вакуумметры, мановакуумметры); 40
лютного давления); • приборы для измерения разности давлений (дифференциальные ма- нометры); • приборы для измерения малых избыточных и вакуумметрических давлений (микроманометры); по принципу действия • жидкостные • механические (пружинные и мембранные) • грузопоршневые • электрические • комбинированные по классу точности от 0,005 до 6,0 классов точности (приборы, имею- щие классы точности 0,5 + 6,0 используются как рабочие). Основными характеристиками приборов являются класс точности, диа- пазон измеряемых давлений, чувствительность, линейность характеристик и быстродействие. Наиболее часто в промышленных и лабораторных условиях использу- ются жидкостные и механические приборы. 3.7Л. Жидкостные приборы Принцип действия жидкостных приборов основан на гидростатиче- ском равновесии жидкости, заключающемся в том, что измеряемое давле- ние уравновешивается давлением, создаваемым силой тяжести столба жидко- сти, высота которого служит мерой давления. Пьезометр (рис. 3.7) представляет собой стеклянную вертикально уста- новленную трубку, снабженную шкалой, и диаметром не менее 5 мм. При ис- пользовании трубок меньших диаметров необходимо в показания приборов вносить поправку на капиллярность (для воды ДА = - ЗОЛ/ мм). Пьезометры бывают двух видов: I - для измерения абсолютного давления - верхний конец 41
1рубки запаян; 2 - для измерения избыточного давления - верхний конец от- крыт в атмосферу. Оба пьезометра (см. рис.3.7) установлены на уровне горизонтальной плоскости 0-0, т. е. в резервуаре и в обеих трубках давление на этом уровне одинаково и равно />абс. 1. Под действием давления жидкость ио трубке 7, из которой удален воздух, поднимается на высоту h Рябс^Ро + р#*' Уравнение выражает условие равновесия жидкости в резервуаре и трубке L На поверхности жидкости в этой трубке давление р0 равно давлению насы- щенных паров жидкости Ро ~~ Рнас.пар.? которым часто вследствие малости можно пренебречь , т. е. р0 ~ 0 и тогда Рйбс=Р^; откуда = Рабе Pg Высота h' является пьезометрической высотой, соответствующей абсолют- ному давлению на уровне точки К, Такие трубки используются в качестве ртутных барометров (рис. 3.8). При равенстве давлений на плоскости уровня 0-0 в чашке и в трубке можно записать Ра~Рнас.пяр Ррт g (h Л j"4" Д Л2), где Д поправка на капиллярность, для ртути Д Л(= Ю/rf мм; Д й2- поправка на опускание уровня жидкости в чашке: 2. Пьезометрической трубкой второго типа 2 (см. рис. 3.7) измеряется манометрическое давление на уровне точки К. 42
Действительно, из условия гидростатического равновесия следует РмсгР* + Pgh, Ра^ Рл ~ Рман" Pgh 5 ft ~ ^ман Pg где h - пьезометрическая высота, соответствующая избыточному давлению на уровне точки К (на схеме рис. 3.7 индекс "мая" при давлении не проставлен). Если начало шкалы не совпадает с точкой измерения, то давление рас- считывают, учитывая поправку на положение прибора. Рис. 3.7. Пьезометры Диапазон измеряемых пьезометрами давлений ограничивается высотой трубок и их прочностью. Максимальное измеряемое давление не превышает 0,04 МПа (0,4 ат). Прибор имеет значительную инерцию и применяется для измерения практически постоянных осредненных во времени давлений. U-образный манометр (рис. 3.9) представляет собой U-образную трубку, заполненную до некоторого уровня рабочей жидкостью. Жидкость, ис- пользуемая в качестве рабочей, должна быть маловязкой и иметь малый коэф- фициент теплового расширения. Обычно в качестве рабочих жидкостей исполь- 43
зуют воду (р = 999 кг/м3), спирт (рсп“ 789 кг/м3), ртуть (ррт= 13600 кг/м3), тет- рабромэтав (р^= 3430 кг/м3), бромистый этил (рбэ^ 1430 кг/м3). Приведенные значения плотности соответствуют температуре Т= 0 °C. Рис. 3.9. U-образный манометр Рис. 3.10. Чашечный манометр Конец одной ветви манометра со- единяется с местом измерения, другой - открыт в атмосферу. Разность высот уров- ней жидкости в ветвях является показани- ем прибора. Нуль шкалы расположен в ее центре. Через линию раздела жидкостей проводится плоскость уровня 0-0 и по ус- ловию 1идростатического равновесия при- равниваются давления в точках 1 и 2: PrfkV=Pafa2 или в развернутом виде РабсА + + Ррт РабЫ ~Р» ~ РманА ~ Ррт#^ ” Р£Г^Ь где pgh\ ~ поправка на установку прибора. Недостатком прибора является необ- ходимость наблюдения за двумя уровнями жидкости и определения переменной по- правки, связанной с уровнем Макси- мальное измеряемое давление - не более 0,4 МПа (4 ат). Чашечный манометр (рис. 3.10) яв- ляется разновидностью U-образного, одна из ветвей которого заменена чаш- кой. Нуль шкалы, прибора помещен на уровне мениска рабочей жидкости в трубке при атмосферном давлении. 44
Условие гидростатического равновесия для точек 1 и 2, расположенных на нулевой плоскости в чашке и трубке Рабе!-Рабс2> или в развернутом виде РабС/4 “Ра РмаиЛ “ Рр где рр - плотность рабочей жидкости. Поправка прибора на колебание уровня ртути в чашке обычно не учи- тывается, так как диаметр чашки настолько велик по сравнению с диаметром трубки, что колебания уровня АЛ очень незначительны. Чашечный манометр имеет постоянный нуль и не требует двух отсчетов для определения давле- длина / столбика жидкости в трубке. Избыточное давление с помощью такого прибора определится по формуле AH»H = Pp£,sin а. В качестве рабочих жидкостей в микроманометрах обычно применяют легкие жидкости, например, спирт. Диапазон измеряемых давлений 25-5-150 мм вод. ст. Точность измерения жидкостных приборов определяется погрешно- стью определения плотности жидкости, неточностями установки и градуи- ровки шкалы прибора и погрешностями при отсчете показаний. Благодаря 45
простоте устройства, стабильности показаний и легко достижимой высокой точности измерений жидкостные приборы широко применяются в лабора- торной практике, а также как образцовые для градуировки шкалы и поверки других приборов. Недостатками жидкостных приборов являются хрупкость трубок, громоздкость при измерении больших давлений, а также применение жидкостей, пары которых ядовиты (например, ртути). 3.7.2. Механические приборы Действие механических приборов основано на применении закона Гу- ка: деформация упругого элемента, происходящая под действием давле- ния, пропорциональна силе давления и служит мерой измеряемого давле- ния. Примером механического прибора является пружинный манометр (рис. 3.12). Основной деталью его является полая, овальная в сечении, трубка 7, согнутая по дуге окружности. Один конец трубки запаян. Измеряемое давле- ние передается через второй открытый конец, присоединяемый к месту изме- рения. Стрелка прибора, связанная посредством передаточного механизма со свободным концом трубки, под действием давления поворачивается на угол, пропорциональный давлению. В зависимости от материала, формы и размеров трубки пружинные при- боры имеют шкалы от 0,5 до 10000 ат (0,05-4000 МПа). Для измерения давле- ний до 250 ат трубки изготовляют из медных сплавов, свыше 250 ат - из стали. В качестве рабочего элемента в приборах применяются также мембра- ны, представляющие собой гофрированную металлическую пластинку, за- крепленную между фланцами корпуса. На мембрану 7 (рис. 3.13) через канал штуцера передается давление, под действием которого она деформируется. На стрелку, связанную передаточным механизмом с мембраной, передается прогиб последней, и она передвигается по шкале. Мембранные приборы применяют для измерения вакуума и избыточного давления, нс превышаю- щего 2,5 МПа (25 ат). 46
1 Рис. 3.13. Мембранный манометр Преимуществами механических приборов являются портативность, уни- версальность, простота устройства и применения, огромный диапазон изме- ряемых давлений. Основным недостатком этих приборов является нестабиль- ность их показаний, которая может быть вызвана следующими причинами: упругим последействием деформируемого элемента; постепенным изменени- ем упругих свойств элемента, возможным износом передаточного механизма. Указанный недостаток вынуждает периодически проводить поверку приборов. Рис. 3.12. Пружинный манометр 3.73. Электрические приборы Принцип действия приборов основан на свойстве проводников, у кото- рых при деформации под действием давления изменяется электрическое со- противление. Электрический проволочный датчик давления представляет собой тон- кую проволоку 1 (рис. 3.14), изютовленную из сплава с высоким омическим сопротивлением, которая помещена между двумя слоями изоляционной пленки 2. Датчик наклеивают на упругий элемент и включают в одно из плеч моста Уитстона (сопротивление КГ). Три другие плеча моста подбирают так, чтобы при разгруженном датчике мост был сбалансирован. К узлам А и В 47
подводят напряжение от Рис. 3.14. Датчик давления и измерительный мост источника питания. Под действием давления на датчик между узлами С и D появляется разность по- тенциалов, которая про- порциональна давлению и фиксируется регистри- рующим прибором. Электрические датчики используют для измерения давлений, перемен- ных во времени. Погрешности прибора обусловлены гистерезисом деформи- руемых элементов, температурными влияниями и похрешностями электриче- ских схем. Их преимуществами являются малые размеры и масса, возмож- ность измерять малые и быстропеременные давления, доступность дистанци- онных измерений. Кроме проволочных датчиков в электрических схемах используют кри- сталлы диэлектриков, на поверхности которых под действием давления по- являются электрические заряды. Величина последних пропорциональна дей- ствующему давлению. Это свойство используют при измерении быстропере- менных давлений. К комбинированным приборам относятся приборы, принцип действия которых носит смешанный характер, например, электромеханические. Такие приборы часто используют в схемах авторегулирования. 3.8. Единицы измерения давления Существует три основных способа выражения величины давления, с которыми связаны различные единицы измерения. 1. Давление может быть задано отношением единиц силы к единицам площади. Примерами единиц в таком выражении является паскаль [Па-Н/м2] 48
в системе СИ, а также устаревшие единицы [кгс/м2] и [кгс/см2] (кгс - кило- граммсила, на приборах часто обозначается kgf). 2. При измерении давления жидкостными приборами величина давления чаще всего выражается в единицах длины и вместо термина ’’давление” в этом случае применяется термин ’’напор". Связь между давлением и напором выражается из зависимости Р =Р£*, где h - высота столба жидкости, сила тяжести которою создает соответст- вующее давление. В качестве единиц измерения давления применяются: • метр водного столба [м вод. ст.]; • миллиметр водного столба [мм вод. ст.]; • миллиметр ртутною столба [мм рт. ст.]. 3. В технике часто используется единица измерения - атмосфера (техниче- ская). Обозначается - [ат], иногда с добавлением в конце первой буквы изме- ряемого давления: • абсолютное - [аза]; • избыточное - [ати]; • вакуумметрическое - [атв]. 1 ат =1 кгс/м2, что соответствует давлению, создаваемому столбом воды высотой 10 м при температуре 0 °C. Не следует путать единицу' измерения - "атмосферу" с понятием атмосферного давления. При гидравлических расче- тах, например, при определении вакуума или избыточного давления, необхо- димо использовать истинную величину атмосферного давления (в данном месте и в данный момент времени). И только в тех случаях, когда эта вели- чина неизвестна, допустимо принимать атмосферное давление равным 1 ат. В физике используется внесистемная единица измерения давления - физическая атмосфера - [атм], равная среднему атмосферному давлению на уровне моря. Различие между физической и технической атмосферой видно 49
при выражении их в единицах длины 1 (физ) атм 10,33 м вод. ст. =760 мм рт. ст, 1 (техн) ат = 10 м вод. ст. = 735,6 мм рт. ст. Кроме перечисленных единиц в метеорологии для измерения атмо- сферного давления еше применяется внесистемная единица бар - [6apJ (чаще ее производная- миллибар): 1 бар = 105 Па. Соотношение между единицами давления приведены в табл. 4 ПРИ- ЛОЖЕНИЯ. 3.9. Эпюры гидростатического давления Эпюрой гидростатического давления называется графическое изобра- жение распределения давления вдоль какой-либо поверхности. Обращаясь к основному уравнению гидростатики (3.6) можно видеть, что оно является уравнением прямой линии типа у ~ а + Ах, где давление ро, действующее на поверхность жидкости, соответствует сво- бодному члену, а плотность жидкости - угловому коэффициенту А. Для избы- точного давления в случае />0 = Рл уравнение выражает прямую линию, прохо- дящую через начало координат. Так как изменение гидростатического давле- ния по глубине подчиняется линейному закону, то для построения эпюры дав- ления, действующего на плоскую фигуру, достаточно определить давление в двух точках, по которым можно построить прямую линию. Эпюра строится с учетом свойств гидростатического давления, т. е. строится со стороны жидко- сти и штриховка ее выполняется по направлению действия давления. Для построен ия эпюры абсолютного и избыточного давления, дейст- вующего на вертикальную плоскую прямоугольную стенку АВ (рис. 3.15, а) определяется давление в характерных точках: в точке Л, расположенной на 50
поверхности жидкости, и в точке В - у дна: Л/4 ” О? РабсЛ“ ? РманЛ Ра О, hB^H, Абсв=Ро + р^Я; РмнвГРв^мН. Рис. 3.15. Примеры построения эпюр гидростатического давления 51
За начало координат принимается точка О, в которой пересекается уро- вень поверхности жидкости со стенкой АН. По горизонтальной оси, совпа- дающей с направлением давления, откладываются в выбранном масштабе величины давления, а по вертикальной - соответствующие глубины. Эпюра абсолютного давления представляет собой нагрузку, распреде- ленную по закону трапеции; эпюра избыточного давления - нагрузка, распре- деленная по закону треугольника. Различные случаи построения эпюр изображены на рис. 3.15, б, в, г и д. Когда жидкость расположена с двух сторон, для решения практических за- дач удобнее построить суммарную эпюру, которая выражает действие парал- лельных сил гидростатического давления, направленных в противоположные стороны (см. рис. 3.15, г). В случае сложной поверхности, состоящей из нескольких плоских час- тей (см. рис. 3.15, д), к характерным точкам добавляются точки перегиба по- верхности Си/). Эпюра строится отдельно для каждой части поверхности. 3.10. Закон сообщающихся сосудов Рис. 3.16. Сообщающиеся сосуды Основное уравнение гидроста- тики можно применить для установ- ления условий равновесия жидко- стей, находящихся в сообщающихся сосудах. Для получения решения за- дачи в общем виде рассматриваются закрытые сообщающиеся сосуды, наполненные различными несмеши- вающимися жидкостями (рис. 3.16). Давления на поверхностях жидкостей различны: poi и pQ2- Плоскость уровня 0-0 проводится по линии раздела жидкостей в сосудах. Записывается усло- вие равновесия жидкостей 52
Poi + PU?A1 =P<a + P2ff*2 • (3.13) Полученная общая зависимость является законом сообщающихся сосудов и позволяет рассмотреть ряд частных случаев. 1. Жидкость в сосудах одинакова, но давления на поверхности различны Pl= Р2 = Р, тогда />01-Р02 = РЯ(А2-Л1). 2. Жидкость в сосудах и давления на поверхности одинаковы Р\~ Ръ Ры~РиЪ откуда *h=h2. 3.11. Закон Паскаля Изменение внешнего давления в покоящейся жидкости передается во все ее точки одинаково. В этом заключается известный закон Паскаля. Пусть на граничную поверхность жид- кости действует давление создаваемое поршнем. Тогда величина абсолютного дав- ления в трех точках на различной глубине (рис. 3.17) Р«бс1=Ро +Pl^i; Ржбс2 =Ро + р2^2; ЛбсЗ=Ро + Рз£Лз* Рис. 3.17. К выводу закона Паскаля Если давление на поверхности изменить на величину Ар0, не нарушая равновесия жидкости, то давление в точках /, 2,3 тоже изменится соответственно на ве- личину Дрь 2^2? ДРз и новое давление Рабс1+ ДР1 =Ро + Д?о+ Pigb}; P.fic2 + Д₽2 =Ро + AfM р&Ь2\ Ржз + Дрз =/>о + Дро+ P3gh3. При вычитании из нового давления первоначального получается Api^Apo; Дрз^Аро, 53
или окончательно ДР1 =4Р2 = ДРз = ДРо, (3.14) т. е. на сколько увеличивается поверхностное давление, на столько же увели- чивается абсолютное давление во всех точках жидкости. 3.12. Сила давления жидкости на плоские поверхности На практике часто требуется знать величину силы, с которой жид- кость действует на поверхности различных резервуаров, деталей машин, гид- ротехнических сооружений, а также определять ее точку приложения. Сила давления - сосредоточенная сила, которая является результи- рующей распределенной нагрузки - давления, действующего во всех точках поверхности. Точка приложения силы давления называется центром давления. 3.12.1. Определение величины силы давления Рассматривается плоская стенка NB (рис. 3.18) площадью Л, наклонен- ная под углом а к горизонту. С левой стороны стенка испытывает воздейст- вие жидкости, сила давления ко- Рис. 3.18. К определению силы давления жидкости на плоскость торой определяется в данной за- даче. Для удобства рассуждений поверхность NB поворачивается вокруг оси у и совмещается с плоскостью чертежа. На поверх- ности выделяется элементарная площадка dA. В силу малости площадки давление в ее пределах считается постоянным и рабс~ />о + pgh, а сила давления, действующая на нее, dRafc — ptte'dA. 54
Поскольку все элементарные силы давления dR*&. параллельны друг Другу, их результирующую силу 7?Ябс можно определить простым суммиро- ванием, причем, очевидно, она, как и ее составляющие, будет направлена по внутренней нормали к площади Л: ^абс = !^^абс * А Глубины Л, на которых расположены точки, связаны с координатами у соотношениями Л = у sin а. Учитывая данную зависимость, формула для опре- деления величины силы давления после решения интеграла приобретает сле- дующий вид: Л.0с = ffPo +pgy-sin a)dA= Jp0A4+pg-sin afjd4=p0X+pff-sin a-ycA. A A A Здесь принято постоянным вследствие действия закона Паскаля, а выра- жение Jy • dA = Sx = усА - статический момент плоской фигуры, где ус - ко- л ордината центра тяжести фигуры (т. С) (см. рис. 3.18). Итак, окончательно ^абс“РабсС^> (3.15) где Рабсс55 Ро + - абсолютное давление на уровне центра тяжести плоской стенки. Силу абсолютного давления можно представить как сумму двух сил давления R® + ^ж> (3.16) где R$~ РоА- сила поверхностного давления; R„= PghcA - сила давления самой жидкости. В соответствии с этим формулу (3.15) молено представить в более универсаль- ном виде: R=pcA. (3.17) 55
Сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведе- нию гидростатического давления в центре тяжести смоченной площади на раз- мер этой площади. Направлена она по внутренней нормали к плоской стенке. Эта формулировка справедлива для определения значения равнодейст- вующей силы давления независимо от того, какая принята система отсчета - абсолютная или избыточная. 3,12.2. Определение положения центра давления Чтобы найти точку приложения силы Яабс, надо вначале найти точки приложения ее составляющих: 7?о и /?ж. Для пояснения определения соответ- ствующих точек на рис 3.19 представлены эпюры поверхностного(а) и из- быточного давления самой жидкости pg/i (б), эпюра полного давления на (в) не показана. а) б) центра давления Сила поверхностного давления как равнодействующая равномерно распределенной нагрузки приложена в центре тяжести стенки (т. С). Величина давления самой жидкости pgh изменяется с изменением глу- бины, значит, точка приложения равнодействующей этой нагрузки будет сме- щена относительно центра тяжести фигуры на некоторую величину е, называе- 56
мую эксцентриситетом давления, в сторону большего давления. Точка при- ложения силы Яж - центр давления - обозначается буквой D (рис. 3.19, б). Ко- ординату уп центра давления можно определить, используя известное поло- жение механики: момент равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих ее сил относительно той же оси: М, = \dM. (3.18) А В данном случае составляющими будут элементарные силы dR^. dR,* “ pghdA — pgysin wdA. Плечом силы dR* является ее координата у: \dM = Jpgp • sina • dA • у = pg • sina Jy2dA. A A A Выражение Jy2dA = Ix представляет собой осевой момент инерции. А Из курса сопротивления материалов известно, что момент инерции относи- тельно произвольной оси, например оси х, равен сумме момента инерции от- носительно центральной оси, проходящей параллельно оси х через центр тяжести С фигуры, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния 2 между ее центром тяжести и осью х, которое равняется ус : /х == /<7 + УсА • Момент силы Яж = R^d = f>gh?A ул = pgyrsinaA yD. Тогда, при подстановке значений моментов в (3.18) pgy^sina^yD-pgsinaVc^ у*А), координата центра давления определяется следующим образом: У»=Ус+-^> (3-19) Ус* 1С где второе слагаемое выражает эксцентриситет давления е =——. Ус* 57
В ПРИЛОЖЕНИИ (табл. 5) для некоторых плоских фигур приведены формулы для определения координат центров тяжести, площадей и цен- тральных моментов инерции. Если учесть соотношение между глубинами и координатами, то для глубины погружения центра давления лд=ас+^^. <3-20) Анализируя формулы (3.19) и (3.20) можно отметить, что для вертикаль- ной плоскости (а ~ 90°, sin 90° ~ 1) hD = yD\ для горизонтальной плоской по- верхности (sin 0° == 0) hD = hc- Для нахождения точки приложения (Z>i) равнодействующей + Д*, нужно вновь применить теорему о ее моменте (см. рис. 3.19, в): (3.21) При определении силы давления на стенки резервуаров, крышки и кла- паны, детали машин надо четко представлять, какое давление при решении должно быть учтено. Так как такие стенки с наружной стороны часто нахо- дятся под действием атмосферного давления, то очевидно в решении требу- ется учитывать разность абсолютного и атмосферного давлений. Так, к при- Рис. 3.20. Анализ учитываемого давления меру, слева на стенку NBE открытого резер- вуара с уровня точки В действует заполняю- щая резервуар жидкость (рис. 3.20), справа ~ атмосферное давление. На участке BE слева эпюра рл6с будет иметь форму трапеции с верхним основанием в точке В, равным рл и нижним в точке К, равным рл + Условие ря = const позволяет эту эпюру разбить на прямоугольник со сторонами ря и йь показы- 58
вающий влияние окружающей резервуар атмосферы, и прямоугольный тре- угольник с основанием pgh 1 от избыточного давления самой жидкости. Дей- ствующие на стенку с разных сторон одинаковые по значению давления рл взаимно уничтожаются, и стенку резервуара надо рассчитывать только на действие давления р#Ль т. е. определять силу Лж. 3.12.3. Графоаналитический метод Кроме рассмотренного аналитического метода для определения силы давления на плоские поверхности можно применить метод, основанный на использовании эпюр давления. Этот метод применяется для плоских поверх- ностей только прямоугольной формы, так как при других формах фигур осе- вая эпюра давления отличается от эпюр, построенных на других вертикалях, и только для прямоугольной плоскости объемная эпюра призматична (рис. 3.21, б), что позволяет судить о расположении ее характерных точек и объеме по плоскому сечению эпюры. Графические построения с некоторыми: анали- тическими вычислениями упрощают технику расчетов. Итак, требуется пока- зать, что величина силы давления R равна объему пространственной эпюры давления. Рис. 3.21. Графоаналитический метод определения силы давления на прямоугольные плоскости Сила давления Rx рассчитывается как произведение площади эпюры гидростатического давления /?эп на длину (ширину) стенки I (см. рис. 3.21): 59
(3.22) Глубина погружения центра давления совпадает с глубиной погруже- ния центра тяжести эпюры давления: *Л = АП.«п. (3.23) Действительно, сила давления жидкости, являясь равнодействующей распределенной нагрузки в виде призматической эпюры, должна проходить через центр тяжести объема эпюры (рис. 3.21), т. е. через центр тяжести призмы. Для плоской прямоугольной стенки длиной Z, удерживающей напор жидкости Н (см. рис. 3.21), сила давления R^pgh^pg-H^R^l. В этом выражении /?эп, численно равная площади эпюры, является си- лой давления, действующей на единице ширины стенки. Глубина погружения центра давления: Центр тяжести треугольной эпюры также расположен на расстоянии ¥зН от вершины. Итак, при графоаналитическом методе определения силы давления не- обходимо: • построить эпюры давления; • определить силу давления по формуле (3.22); • найти центр давления как точку пересечения перпендикуляра, прове- денного через центр тяжести эпюры, со стенкой. ЗЛЗ. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности Криволинейные поверхности, применяемые в технике и испытываю- щие действие жидкости - это сферические и цилиндрические крышки резер- вуаров, клапаны насосов, внутренние поверхности трубопроводов, стенки 60
резервуаров, цистерн и многие дру- гие. Сложность определения силы давления на криволинейную стенку, заключается в том, что силы dR, действующие на элементы поверх- ности (рис. 3.22), направлены под углом друг к другу. Рис. 3.22. К определению силы давления на криволинейную поверхность При расчетах придется интегрировать зависимость для dR по криволи- нейной поверхности, что математически затруднительно. Поэтому равнодей- ствующая давления на криволинейную поверхность определяется как гео- метрическая сумма ее проекций по двум или трем выбранным направлениям. Так как применяемые в технике криволинейные поверхности чаще всего яв- ляются поверхностями вращения, достаточно выбрать два направления и оп- ределять две составляющие: горизонтальную Rx и вертикальную Ry. При этом ось х проводится по свободной поверхности жидкости при открытых резервуарах и по пьезометрической плоскости, если давление на поверхности жидкости в сосуде отличается от атмосферного. 3.13.L Определение составляющих силы давления Па криволинейной поверхности 7VB, перпендикулярной к плоскости чер- тежа (рис. 3.23), выделяется элемент поверхности высотой dy с площадью dA. При определении силы давления вывод строится на двух допущениях, связанных с малостью площадки: • площадка считается плоской, как она изображена на увеличенном фраг- менте; • давление в ее пределах постоянно. Тогда сила давления, действующая на элементарную площадку, будет равна dR = pgh'dA - pgpdA. Здесь j = Л, т. е. координата соответствует глубине погружения. 61
Проекции элементарной силы давления на оси координат найдутся по следующим зависимостям: dRx~ dR cos а = pgpdA cos dRy= dR sin а - pgy'dA sin a. Рис. 3.23. Определение составляющих силы давления на криволинейную поверхность Из чертежа можно видеть, что dA cos a = dAy, dA sin a — dAx. При подстановке значений и интегрировании полученных выражений проек- ции силы давления на оси координат определятся следующим образом. Ях= \dRx = pg \y dAy, jy-dAy = SX = ycAy- статический момент плоской вертикальной проекции криволинейной поверхности площадью Ау. Тогда Rx = МУсАу=рсАу, (3.24) горизонтальная составляющая силы давления на криволинейную поверх- ность определяется как сила давления на плоскую вертикальную проекцию криволинейной поверхности^ Другими словами, чтобы найти горизонтальную составляющую, нужно криволинейную поверхность спроектировать внутрь жидкости на вертикаль- ную плоскость и найти силу давления на полученную вертикальную проек- цию. Глубина погружения точки приложения горизонтальной составляющей, 62
т. е. центра давления, определяется по известной формуле для вертикальной плоской поверхности и равна координате центра давления: yD=^=hc+-^- (3.25) Вертикальная составляющая силы давления Здесь dAx - проекция площадки dA на горизонт свободной поверхности жид- кости, а произведение y*dAx выражает элементарный объем жидкости dW, расположенный над площадкой dA: Ry=jdRy=pg$dW, (3.26) Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости равна силе тяжести жидкости, заключенной в объеме тела давления. Точка приложения вертикальной составляющей расположена в центре тяжести тела давления. Итак, равнодействующая сила давления жидкости на криволинейную поверхность Я = Rx + Ry, (3.27) модуль ее R = Jr2 + R2, (3.28) угол наклона равнодействующей к горизонту а найдется из соотношения: a = arctgCRx/^). (3.29) ЗЛЗ.2, Понятие тела давления Тело давления (рис. 3.24) представляет собой объем жидкости (дейст- вительный или условный), который ограничен: • самой криволинейной поверхностью; 63
• ее проекцией на горизонт свободной поверхности жидкости (см. рис. 3.24, а, в) или его продолжение (см. рис. 3.24, б), или на условную пьезомет- рическую плоскость (см. рис. 3.24, г, д, е); • поверхностями, образованными вертикальными проектирующими ли- ниями при проектировании контура криволинейной поверхности (с боков). Различают следующие варианты тел давления: 1. Реальное (или положительное) тело давления строится на смоченной стороне криволинейной поверхности и реально заполнено жидкостью (см. рис. 3.24, а, д). Вертикальная составляющая Ry считается положительной и направлена вниз. 2. Фиктивное (или отрицательное) тело давления строится на несмочен- ной стороне криволинейной поверхности. В фиктивном теле давления жид- кость отсутствует и для определения ее силы тяжести (т.е. объем запол- няется жидкостью условно, в воображении. Вертикальная составляющая Ry считается отрицательной и направлена вверх (см. рис. 3.24, б, в, г, е). Итак, если жидкость действует на криволинейную поверхность сверху вниз, надо искать реальное тело давления, снизу вверх- фиктивное. Но встречаются криволинейные поверхности (симметричные отно- сительно горизонтальной оси), части которых имеют по вертикали разное направление действия жидкости. 3. Суммарное (или смешанное) тело давления определяется как суммар- ный результат действия жидкости на отдельных участках с учетом направле- ния (см. рис. 3.24, в). Точкой приложения вертикальной составляющей силы давления Ry яв- ляется центр тяжести (ц.т.) тела давления. Для построения тела давления поступают следующим образом: точки криволинейной поверхности проектируют на свободную поверхность жидко- сти или ее продолжение. Анализируют, если в полученном объеме жидкость реально существует, собственной силой тяжести давит на криволинейную по- 64
верхность, при этом тело давления построено на смоченной части криволи- нейной поверхности, то оно считается положительным, заштриховывается вертикальными линиями со стрелками вниз. Таким образом, получают как бы эпюру тела давления. Вертикальную составляющую из центра тяжести тела давления направляют вниз (рис. 3.24, а, д). Когда тело давления строится с несмоченной стороны криволинейной поверхности, т. е. жидкостью не заполнено, оно заштриховывается стрелками вверх (объем вытеснен). Тело давления считается отрицательным в соответ- ствии с направлением оси у. Вертикальную составляющую направляют вверх (рис. 3.24, б, в, г, е). Когда криволинейная поверхность состоит из двух частей (см. рис 3.24, в) - верхней части ВК и нижней части KN, каждую часть вначале анали- зируют отдельно. На верхнюю часть ВК жидкость реально оказывает давле- ние своей тяжестью, здесь тело давления реально (заштриховано пунктир- ными линиями). Для нижней части сечение тела давления представлено фи- гурой NKK'N\ где жидкости нет. Тело давления - фиктивное. В верхней час- ти криволинейной поверхности происходит наложение тел давления: реаль- ного и фиктивного, они взаимно уничтожаются, и в результате суммарное тело давления - фиктивное и имеет объем, равный объему, ограниченному криволинейной поверхностью. Многие задачи при определении силы давления для закрытых ре- зервуаров значительно упрощаются, если при нахождении вертикальной составляющей проектирование криволинейной поверхности выполняется на пьезометрическую плоскость. Положение этой плоскости зависит от величины давления. При манометрическом давлении пьезометрическая высота h = — откла- Pg дывается вверх от места установки прибора (см. рис.3.24., г) или от поверхности жидкости (см. рис. 3.24, д), при вакууме h ~ — - вниз. Pg 65
6) x Продолжение свободной поверхносси Рис. 3.24. Примеры тел давления 66
При большом значении вакуума тело давления может оказаться снизу криволи- нейной поверхности (см. рис. 3.24, е). Надо помнить, что плоский чертеж не дает полной информации об объе- ме тела давления и надо внимательно отнесл ись к описанию криволинейной по- верхности. Так, например, если поверхность цилиндрическая (см. рис.3.24, д), объем тела давления будет определяться как сумма объема полуцилиндра (дно) и расположенного над ним параллелепипеда. В случае полусферического дна к объему полусферы надо будет добавить объем цилиндра. 3.13.3. Определение силы давления на цилиндрическую поверхность Цилиндрическая поверхность NB (рис. 3.25) является частью стенки гидротехнического сооружения. Ее размеры характеризуются радиусом г и длиной в поперечном направлении /. Задача определения силы давления на криволинейную поверхность всегда включает 3 этапа: • определение горизонтальной составляющей Rx; • определение вертикальной составляющей R; ♦ определение равнодействующей силы R = Rx + Ry. Прежде всего, проводятся оси координат. Ось х проведена по свобод- ной поверхности жидкости, ее направление совпадает с направлением дейст- вия жидкости по горизонтали. Ось / направлена вниз. Для определения горизонтальной составляющей Rx по (3.24) нужно ци- линдрическую поверхность NB, которая является % боковой поверхности цилиндра, спроектировать на вертикальную плоскость внутрь жидкости. Для этого через точки контура проводятся горизонтальные проектирующие линии до пересечения с выбранной вертикальной плоскостью. Плоская вер- 67
текальная проекция - прямоугольник N9B9 (см. рис. 3.25, а - пунктиром, б ~ прямая N'B'). Для прямоугольника положение центра тяжести Сна середине высоты, которая в данном случае равна радиусу г. Поэтому глубина погружения центра тяжести С площадь проекции hc^yc~a + г/2, Ау = г/, и горизонтальная составляющая Лх - pghcAy= pg(a + r/2) г I. Точка приложения Rx определяется формуле (3.25). В ней момент инерции для прямоугольника выразится зависимостью 1С //12 и при под- становке в формулу глубина погружения точки приложения Rx составит hD = hc + 1с hc А у -hc I г г г2 4------— (в + ~ ) 4-----• 12^'Г 2 12(,+ ') На рис. 3.25, б представлено использование графоаналитического метода для определения горизонтальной составляющей Rx. В точках N9 и В9 определено давление Лдг =л; PN=pga\ hB=a + r, pB=pg(a+r) и построена эпюра давления в виде трапеции. В данном методе для определе- ния силы используется формула (3.22) Rx = Rl, где Лэп равняется площади эпюры - площади трапеции £ £ Как можно видеть, результат по обоим методам одинаковый. 68
69
Определение hD в графоаналитическом методе выполняется графиче- ски, Для этого выполняется построение, представленное на рис. 3.25, г. Най- денное положение центра тяжести эпюры отмечается на N'B' и через точку D проводится линия действия Rx. Вертикальная составляющая Ry находится по зависимости (3.26): Яу= pgwrJl. При анализе действия жидкости на цилиндрическую поверхность в вертикальном направлении, можно отметить, что ее действие направлено вверх, следовательно, тело давления будет фиктивное. Для его построения точки цилиндрической стенки вертикальными проектирующими линиями переносятся на продолжение свободной поверхности жидкости. Получен- ная горизонтальная проекция - прямоугольник Вг7¥'гО1раничивает фиктивное тело давление сверху. На плоском чертеже (см. 3.25,6) тело давления пред- ставлено сечением BBrWrW, площадь его можно определить как сумму пло- щадей 1А рута и прямоугольника. Тогда =pg(~ + ar)l = №Г1(^-+ а). 4 4 Так как Ry определена как сила тяжести, точкой приложения данной со- ставляющей будет центр тяжести тела давления. Положение центра тяжести определяется с помощью понятия статического момента. При определении координат центра тяжести сложной фигуры используются следующие фор- мулы, изучаемые в теоретической механике или сопротивлении материалов, где tsxl хс = —---; ус - —---- с А *с А = ЖС|А> $х) ~ Ус,Л (3.30) (331) - статические моменты простейших фигур, составляющих сложную; Ха, Уа - координаты центра тяжести простейшей фигуры; А,- площадь простейшей фигуры, А = Е4, - площадь всей фигуры. 70
Для того, чтобы применить эти зависимости в данном примере, ис- пользуются уже принятые оси координат. Простейшие фигуры, составляю- щие сечение тела давления - это четверть круга и прямоугольник. Геометри- ческое положение центров тяжести этих фшур величины известные, поэтому выражения, по которым определятся координаты, примут вид , 4/\лг2 т , Ьт.-кт1 а (г---)—+;«Г (fl + —)---+„аг .. _ Зя 4 2 . _ Зя 4 2 х _------- * у таг пГ t ---+д г _ +а г 4--4 В точке с этими координатами находится центр тяжести тела давления. Здесь приложена направленная вверх вертикальная составляющая Ry. Векто- ры сил должны быть отложены в масштабе сил. Модуль равнодействующей, определяемый по 3.28, примет вид Г Т2 + р#^(“+«) 4 R Jf = Pgr^(a+-) +( — + а) . Для геометрического сложения составляющих построен прямоуголь- ник сил (см. рис. 3.25, в), диагональ его - равнодействующая R. Чтобы опре- делить точку ее приложения, Rx и Ry продолжены до взаимного пересечения (тJQ. Затем R из прямоугольника сложения переносится параллельно линии действия так, чтобы она прошла через т. К и пересекла криволинейную по- верхность в точке Dj. Это ее центр давления, положение которою можно найти и аналитически, определив угол наклона равнодействующей R к гори- зонту: a-arctg(l?y/?x). Линия действия R кроме т. К проходит также через центр кривизны (т. О). 71
ЗЛЗ.4. Закон Архимеда Если криволинейная поверхность симметрична относительно верти- кальной оси и погружена в жидкость (рис. 3.26), то воздействие жидкости на нее сводится к одной вертикальной составляющей силы давления. Действи- тельно, по горизонтали криволинейная поверхность воспринимает действие жидкости по двум направлениям: справа налево и слева направо. Значит, для такой поверхности надо искать два горизонтальных усилия. Так как симмет- ричная кривая стенка и слева и справа будет иметь одинаковые плоские вер- тикальные проекции, то и усилия по горизонтали будут одинаковы по вели- чине, но противоположно направлены, т. е. их действие будет уравновешено. Чтобы найти вертикальную составляющую, необходимо найти тело давления. Для этого нужно спроектировать кривую стенку на горизонт сво- бодной поверхности. Как видно, объем тела давления равен объему, ограни- ченному криволинейной поверхностью. Тело давления - фиктивное, верти- кальная составляющая направлена вверх. Таким образом, сила давления жидкости на погруженное в нее тело направлена вверх и равна силе тя- жести, вытесненной им жидкости. Этот результат составляет содержание известного закона Архимеда. В данном случае R выражает так называемую архимедову силу или гидростатическую подъемную силу. Ее соотношение с силой тяжести определяет плавучесть тела. При этом возможны три случая: 72
1. G > R- тело тонет; 2. G = J? - тело находится в состоянии безразличного равновесия; 3. G < R - тело всплывает. Тело всплывает до тех пор, пока выталкивающая сила не станет равной силе тяжести жидкости. Следует иметь в виду, что линии действия сил G и R могут не совпа- дать, так как линия действия G проходит через центр тяжести тела, а силы R через центр тяжести его подводной части. При этом может появиться мо- мент, способствующий опрокидыванию тела. 3.14, Сила давления на дно сосуда Сила давления, действующая на дно сосудов, определяется по формуле R=pA, где р - давление в точках дна; А - площадь дна. Интересно следующее явление. В сосудах различной формы (рис. 3.27), но с одинаковой площадью дна и одинаковой глубиной заполнения сосудов, величина силы давления на дно сосудов будет одинаковой: R = pghA. Рис. 3.27. Сила давления на дно сосуда Это явление носит название гидростатического парадокса, впервые оно описано Даламбером. Однако не надо путать силу давления жидкости на дно сосуда с силой давления сосуда на опору, которая будет равна силе тяже- сти жидкости с сосудом. 73
Контрольные вопросы 1. Что называется гидростатическим давлением? 2. В каких единицах измеряется гидростатическое давление? 3. Каковы основные свойства гидростатического давления? 4. Как выражается основное уравнение гидростатики? 5. Что такое гидростатический напор? Как он определяется? 6. Что называется абсолютным давлением, манометрическим давлением, вакуумом? Какова возможная наибольшая величина вакуума и чем она ограничивается? 7. В чем заключается разница между напором и давлением? 8. Почему при определении силы давления жидкости на стенки чаще опери- руют не абсолютным, а манометрическим давлением или величиной ва- куума? 9. В чем заключается закон Паскаля? 10. Как определить силу давления жидкости на плоскую поверхность? 11. Что такое центр давления? Когда центр давления плоской фигуры совпадает с ее центром тяжести? 12. Как определяется положение пьезометрической плоскости при нали- чии манометрического давления или вакуума? 13. Какие правила следует соблюдать при вычерчивании тел давления? 14. Какие бывают виды тел давления? С чем связано наличие различных тел давления? Примечание: Поцробный разбор и примеры решения задач на данную тему приве- дены в работе «Методическое пособие по гидромеханике и контрольные задания для за- очников» авт. Бебенина Т. П., Часе С. И. Часть I. Гидростатика. Екатеринбург: УГГУ, 2003, 74
Глава 4 ГИДРОДИНАМИКА Гидродинамика - раздел технической механики, в котором изучаются законы движения жидкости. В начале раздела рассматриваются понятия ки- нематики жидкости, на которых базируются дальнейшие выводы. Задачи, связанные с движением жидкости, делятся на два типа: ♦ заданы параметры потока, требуется найти силы, приложенные со сто- роны потока к твердым телам; • заданы силы, в поле действия которых происходит движение, требует- ся найти параметры гидродинамической характеристики потока. К числу элементов гидродинамической характеристики потока отно- сятся действительная скорость движения жидких частиц - и и гидродинами- ческое давление в точке жидкости - р. В случае идеальной жидкости гидро- динамическое давление имеет тот же смысл, что и гидростатическое. Для ре- альной (вязкой) жидкости нормальные напряжения в точке по трем взаимно ортогональным направлениям будут различны и, как уже упоминалось, они определяются в соответствии с гипотезой, по которой P^V^tpXX^Pyy^Pzziy где вычисленное подобным образом р принимается за гидродинамическое давление в точке, т. е. это не реальная величина напряжения, а некоторое осредненное значение. В общем случае для разных точек жидкости и и р имеют различную ве- личину, т. е. зависят от координат точки, а также они могут изменяться с те- чением времени. 4.1. Аналитические методы исследования движения жидкости Вследствие текучести жидкой среды отсутствуют жесткие связи между ее частицами, и характер движения оказывается более сложным, чем в случае 75
твердого тела. Понятие скорости применительно к движению жидкости тре- бует известной конкретизации. Под скоростью жидкой частицы принимают скорость некоторой ее точки, условно выбираемой и называемой полюсом. Наблюдать движение жидких частиц и измерять их скорость можно различ- ными методами. Простейшим является наблюдение за поведением подкра- шенных частиц. Аналитическое описание движения жидкости производится двумя ме- тодами: Лагранжа и Эйлера. Метод Лагранжа основан на описании траекторий движения частиц жидкости (рис. 4.1, а) зависимостями типа: *=/.«, y-f2(6, Z=fAt). Рис. 4.1. К пояснению методов Лагранжа и Эйлера Для выделения конкретной частицы из бесконечного множества других вводятся параметры, характеризующие ее положение в начальный момент времени /0 - значения координат а9 Ь и с, которые называются переменными Лагранжа. Тогда положение отдельной частицы определяется зависимостями х =f\(t9 а9 Ь9с)9 у =/>(/, а, Ь9 с )), z =f3(t, а9 b9 с), и выражения для скорости и ускорения, а также уравнения движения, значи- тельно усложняются за счет введения этих переменных. По методу Эйлера, точки /, 2 и 3 - неподвижные фиксированные точки 76
пространства, занятого жидкостью. Движение жидкости описывается с по- мощью так называемого поля скоростей (рис. 4.1, б). Для точки в данный момент времени имеющей координаты х, у и z (переменные Эйлера), ско- рость представлена вектором «ХО, в момент времени Г2 - йх(12) и т. д. Сле- довательно, для момента времени Zj поток жидкости представлен векторным полем скоростей й//,), ЙД^), й3(Г,) и т. д. Для изучения изменения потока во времени необходимо сопоставить векторные поля, соответствующие раз- личным моментам времени. Для выражения ускорения а жидких частиц по методу Эйлера приме- няется полная производная вектора по времени: d — du/dt. Проекции скоро- сти будут сложными функциями времени: »xs/iWO, МО, МО); = flinty, МО, z(0); (4.1) «г=Л(МО, МО, z(0)- Для получения проекций ускорений необходимо применить правило диффе- ренцирования сложной функции: dur dur durdx ЭиЛу dudz dt dt Ок dt Оу dt dz dt duv Ou Ou dx duvdy Ouvdz a ~ —Z — —Z. ----Z— -I--Z_Z_4--У —. y dt dt Ox dt dy dt dz dt9 du, Ou, 0u,dx Ou,dy dutdz dt dt Ox dt dy dt dz dt или «A y dt (4.2) & az Ускорение называется субстанциональным. Ею проекции слагаются 77
из двух частей: локального ускорения (первое слагаемое в уравнениях), ко- торое показывает изменение скорости во времени, и конвективного, выра- жающего изменение скорости в пространстве в данный момент времени по направлениям всех осей координат. 4.2. Линия тока. Элементарная струнка. Модель потока жидкости Рис. 4.2. Поле линий тока Неподвижные точки пространства при использовании метода Эйлера можно вы- брать так, чтобы каждая последующая нахо- дилась на векторе скорости для предыдущей на расстоянии ds (рис. 4.2, /).В результате для данного момента времени будем иметь ломаную линию 123...п. При стремлении отрезков ds к нулю ломаная линия будет стремиться к кривой, называемой линией тока, проходящей через точку 7. Можно построить такие же линии и для остальных точек 77, Ш и т. д. Совокупность этих линий представляет мгновенную картину движения жидкости для данного момента времени. В самом общем случае движения картина для следующего момента времени будет иметь другой вид. Итак, линия тока - это условная линия, проведенная внутри жидко- сти таким образом, что в каждой ее точке в данный момент времени вектор скорости направлен по касательной к ней. Линии тока - это век- торные линии поля скоростей, дающие о нем наглядное представление. Рис. 4.3. Элементарная струйка жидкости Если через точки линии тока М и N нормально к ней провести бесконечно малые площадки dm и для каждой точки контура этих площадок в свою очередь построить линии тока, то образуется замкнутая боковая поверхность, называе- 78
мая элементарной трубкой тока (рис. 4.3). Совокупность жидких частиц, ограниченная поверхностью элементарной трубки тока и перемещающаяся внутри нее, называется элементарной струйкой жидкости. Для элемен- тарных струек приняты два основных допущения: 1. В пределах поперечного сечения струйки скорость жидкости и счи- тается постоянной вследствие малости его площади dto. 2. Приток жидкости извне в элементарную струйку через боковую по- верхность трубки тока отсутствует, эта поверхность, образованная из линий тока, считается непроницаемой для частиц, движущихся в соседних струйках. При решении многих практических задач гидромеханики применяется так называемая струйная модель потока, по которой поток жидкости ко- нечных размеров рассматривается как совокупность бесчисленного множества элементарных струек. Используя установленные допущения для элементарных струек, устанавливаются закономерности движения, кото- рые затем распространяются на весь поток. 43. Виды движения жидкости Движение жидкости в отличие от движения твердых тел кроме посту- пательного и вращательного движений, характеризуется еще наличием осо- бого вида движения, которое обусловлено деформацией объема жидкости. При рассмотрении перемещения элементарного объема жидкости, ог- раниченного на чертеже окружностью (рис. 4.4), из положения I в положение П на расстояние dl за время dt его движение можно представить состоящим из 3 видов: 1. Поступательного, при котором центр О переместится в центр О’; диаметры АС и BD остаются параллельны самим себе. 2. Вращательного, благодаря которому объем жидкости в положении П оказывается повернутым на угол (/О, диаметры Л’С'и B'Df сохраняют первона- чальную длину. 79
3. Движения, связанного с деформацией жидкого объема, вследствие которого каждый из намеченных диаметров поворачивается на угол rfB' и уд- линяется или укорачивается. Подобное представление трех видов движения жидкости впервые было предложено Гельмгольцем. Вращательное движение элементарных объемов жидкости относи гель- Рис. 4.4. Движение элементарного объема жидкости но своих мгновенных осей со средней угловой скоростью £1 называется вихревым движением жидкости. Поступательное и деформационное движе- ния происходят под дей- ствием сил, имеющих по- тенциал. В гидравлике чаще всего рассматрива- ется поступательное дви- жение жидкости. В общем случае движение жидкости является неустановившимся, т. е. как уже отмечалось, параметры характеристики движения и и р зависят не только от местонахож- дения точки, но и от времени. Примерами неустановившеюся движения являются опорожнение ре- зервуаров, водохранилищ, движение воды в реках при переменном уровне (при паводках, сбросах воды через плотину) и т. д. При установившемся (стационарном) движении жидкости элементы гидродинамической характеристики от времени не зависят и являются только функциями координат точки: u=f}{x,y,z), Р=Я.х,У,д- 80
При установившемся движении линии тока являются траекториями движения частиц жидкости, а элементарная струйка приобретает свойство неизменности формы. Установившееся движение подразделяется на равномерное и неравно- мерное. Равномерное движение характеризуется постоянством параметров по длине потока. Примерами такого движения являются движения в трубах постоянного сечения и в каналах правильной формы. Поле линий тока рав- номерного движения - семейство параллельных прямых. При неравномерном движении скорость, глубина, площади сечений по- тока изменяются по его длине. Из неравномерных движений можно выделить так называемое плавно изменяющееся движение, которое характеризуется малой кривизной линий тока (рис. 4.5, а) и малым углом расхождения линий тока (рис. 4.5, б). В зависимости от причин, вызывающих движение, и условий, в кото- рых оно происходит, различают напорное и безнапорное движение. Напорное движение происходит в потоке, со всех сторон ограничен- ном твердыми стенками. Давление во всех точках потока отлично от атмо- сферного и может быть как больше, так и меньше последнего. Движение проис- ходит под действием разности давлений по длине потока, которая может быть создана водонапорной башней, питаю- щим баком, насосной установкой. Безнапорное движение происхо- дит под действием силы тяжести при наличии свободной поверхности жидко- сти. Примерами безнапорною движения является движение в реках, каналах и зрубах, когда сечение последних не полностью заполнено жидкостью. Рис. 4.5. Линии тока неравномерного плавно изменяющегося движения 81
4.4. Гидравлическая характеристика сечения потока. К элементам гидравлической характеристики потока относятся пло- щадь живого сечения со, смоченный периметр х и гидравлический радиус R. Живым сечением потока называется поверхность, во всех точках нор- мальная к линиям тока. Плоским живое сечение является только при равно- мерном движении жидкости (рис. 4.6, а). живое сечение Рис. 4.6. Живое сечение потока При решении практических задач допускают считать плоским живое сечение плавно изме- няющегося потока (рис, 4.6, б). Смоченный периметр — длина контура живого сечения по твердой смоченной грани- це потока. При напорном движении смочен- ный периметр совпадает с геометрическим. Гидравлический радиус - отношение площади живого сечения к смоченному пе- риметру: Л = <о/х. (4-3) Ниже приведены примеры определения элементов гидравлической ха- рактеристики для потоков с разными видами движения и формами сечения, представленных на рис. 4.7. Рис. 4.7. Разновидности сечений потоков В случае напорного движения в круглой трубе параметры характери- стики имеют вид: 82
ф = (4.4) 4 X = nd; (4.5) Я =—. (4.6) При безнапорном движении в канале трапециевидного сечения для оп- ределения параметров вводится коэффициент откоса русла т “ ctg а: © = + (4.7) Х = Л+2Л>/1 + »»2 ; (4.8) (b+mh)h <4-9> Как можно видеть, понятие гидравлического радиуса физического смысла не имеет, но служит для характеристики формы сечения и степени заполнения его жидкостью. 4.5. Расход и средняя скорость При решении гидравлических задач часто используется понятие рас- хода жидкости. Расход - это количество жидкости, протекающее через живое сече- ние в единицу времени. Различают объемный Q и массовый М расходы: е = у; (4.10) Л^ = 7> (4.П) I де W- объем жидкости в м3 (или л), протекающий через живое сечение за время t (с ); т - масса жидкости, кг. Связь между массовым и объёмным расходами выражается зависимостью: (4.12) 83
При рассмотрении движения частиц жидкости со скоростью и в эле- ментарной струйке с площадью сечения dm (рис. 4.8) можно отметить, что за время Л через живое сечение струйки проходит объём жидкости dW, который можно определить как объём, заключён- ный между сечениями 1 и 2: dW = dsd&. Тогда по определению величина расхода в сечении струйки dW ds dm ds и, принимая во внимание, что — = ", окончательно можно записать dQ = uda>. (4.13) Расход жидкости через живое сечение <в целого потока выражается: Q- JdQ=Juda>' о m (4.14) Применение формулы (4.14) для определения расхода в расчётах за- труднительно, т. к. скорость и для элементарных струек в живом сечении по- тока различна и для решения интеграла необходимо знать закон распределе- ния скорости по живому сечению, который не всегда известен или довольно сложен. Поэтому в практических расчётах применяют понятие средней ско- рости. Средняя скорость о - условная, одинаковая для всех точек живого сече- ния потока скорость, при которой расход остаётся равным фактическому: <2 = Judm = vo • (4.15) ,=2^ ш <в (4.16) 84
4.6. Уравнение неразрывности потока. Если при движении жидкость заполняет пространство без пустот и не происходит притока массы извне или её оттока, то её скорости по длине по- тока связаны зависимостью, называемой уравнением неразрывности. Для элементарной струйки это уравнение можно записать, используя её свойства. За время Л через площадь живого сечения струйки d&{ (рис. 4.9, а) в отсек 1-2, втекает жидкость в количестве щ d<$i dt. За то же время из отсе- ка 1-2 вытечет объём жидкости и2 dto2 dt. Так как с течением времени форма струйки не меняется и боковая поверхность трубки тока непро- ницаема для частиц жидкости, движущихся в соседних струй- ках, то количество жидкости, втекающее в отсек и вытекаю- щее из него, остаётся постоян- ным при условии несжимаемо- сти жидкости, т. е. Ю1 0)2 0)3 0)4 U\ ddi dt ~ и2 d(a2 dt Рис. 4.9, к выводу уравнения неразрывности или «1 doty = и2 d(O2. Аналогичные соотношения можно записать и для остальных сечений. Следовательно, уравнение неразрывности можно записать в виде Uid&i ~ u2da^2 = const. т. е. расход жидкости во всех сечениях элементарной струйки одинаков. Надо отметить, что при умножении уравнения на плотность жидкости pu\d<&i ~pu2d&2 =...= pundb)n = const, его можно рассматривать как выражение закона сохранения массы: масса жид- кости, проходящая через сечение струйки в единицу времени, постоянна. При переходе к потоку жидкости расход в его сечениях может быть полу- чен как сумма расходов в элементарных струйках, входящих в сечение потока: 85
J uxdoy - ju2da>2 ~ Iй» Л», = c°nst ©1 ©2 ©u или, выражая расход через среднюю скорость и t)]<»i = V2&2 =...= Vn&n = const. (4.17) Уравнение (4.17) является уравнением неразрывности для целого потока жидкости при установившемся и плавно изменяющемся движении, на осно- вании которого могут быть установлены соотношения между скоростью движения v и площадью живого сечения со: 4.7. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости Для определения связи между скоростью и давлением в элементарной струйке идеальной жидкости можно воспользоваться уравнениями Эйлера (2.2): \др dux 3 рву di p dz dt Для приведения уравнений к виду удобному для итерирования пер- вое уравнение системы умножается на dx, второе на dy , третье - на dz, затем уравнения почленно складываются , . . 1ГФ- ф. (аихх аиу^ Л л (axdx+aydy+azdz)— л ^++^* Г° р^ак qy uz ) \dt at at J Далее скобки преобразуются в соответствии с условиями и допущениями. Принимается, что движение жидкости, происходит в поле действия сил тя- жести. Тогда проекции единичных массовых сил, численно равные ускоре- ниям, принимают значения ях = 0; ау = 0; az=-g, 86
и первая скобка приобретает вид: - g'dz. Во второй скобке - полный дифференциал давления: dp. Слагаемые третьей скобки могут быть преобразованы к следующему виду: du dx и2 —-dx = —du = uxdu = d—. dt dt 2 Остальные слагаемые преобразуются аналогично, и тогда выражение в скоб- ке может быть приведено к виду м2 и2 и2 и2 и2 и2 и2 d- + d-*-+d~ = d(-x-+-^-+—) = d—, 2 2 2 2 2 2 2 где и - ^и2 + и2 + и2 - полная скорость движения. После выполнения всех преобразований уравнение выглядит следую- dp и2 щим образом: -gdz--------= 0 р 2 dp и2 или после деления на -1 gdz +—+</— = 0. Р 2 Следует помнить, что уравнения Эйлера для движущейся жидкости были по- лучены, во-первых, без учета сил вязкого трения, т. е. для идеальной жидко- сти; во-вторых, для единицы массы бесконечно малого объема. После деле- ния на g и интегрирования, уравнение принимает вид Р Z + — + — = const. (4.19) Pg 2g Оно носит название уравнения Д. Бернулли. Уравнение получено интегрированием дифференциальных уравнений движения для бесконечно малого объема жидкости. Если рассматривать его движение в элементарной струйке, то для двух живых сечений (рис. 4.10), взятых по ее длине, уравнение (4.19) может быть представлено в разверну- том виде: 87
Pl + aL. P£ 2g 21 + ^+ + Pg ul _ 2g~Z2 + (420) Рис. 4.10. К выводу уравнения Бернулли Это уравнение позволяет решать многие практические задачи и прежде всего является базовым при переходе к вязкой жидкости. 4.8. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли Для уяснения физической сути этого уравнения может быть рассмот- рен его вывод с помощью теоремы об изменении кинетической энергии: из- менение кинетической энергии рассматриваемого тела на некотором пе- ремещении равно сумме работ всех сил, приложенных к данному телу, на там же перемещении. В элементарной струйке сечениями 1-1 и 2-2. выделяется отсек жидкости АВ. Площади живых сечений соответственно равны d<&\ и расстояние от плоскости сравнения 0-0 до центров сечений - Zi и z?, «1 и - скорости в се- чениях. За время dt отсек АВ переместится в положение А 'В' ds\ = Uidt, ds2 - u2dt. Так как поверхность трубки тока непроницаема для частиц из соседних стру- ек, то объем жидкости 88
dWAA^dW^^dQdt. Изменение кинетической энергии отсека АВ при перемещении в положение Л'В'составит Г7КНН flCHH _/1?кмн . / р КИН , 17КИН\__ + ^Bff )~ \£lAAt + ЬА’В)~ Z7KHH . р КИН in КИН 17ККН _ рКММ гпКНН = + Л2МГ ~ £,AAt ~ ^A’B ~ ^ВВ' “ ^ЛЛ’ * Выражая массу движущейся жидкости через расход dm^^ dm^R - pdW= pdQdt, для кинетической энергии можно записать и2 и2 E^-E^=pdQdt^-^. Из внешних по отношению к отсеку сил будут учтены массовые - здесь силы тяжести, и поверхностные силы, из которых учитываются только силы давления (силы трения не учитываются - жидкость идеальная). Работа сил давления определится как сумма работ сил давления в сече- ниях 7-7 и 2-2: P\d&\dsi -p2d^2dS2 =p\dtbxu\dt - р2Л*>2 u2di =p\dQ dt ~p?dQ dt - = (Pr~P2)dQ dt. Работа сил тяжести определится как работа по переносу отсека ААГ в положение ВВ\ так как отсек А 'В остается как бы неподвижным: pgrfgtft Zi - pgdQdt z2 = P^6^i - х2). Таким образом, согласно с теоремой 2 2 PdQdt(^---~) = PgdQdi(z} - z2)+dQdt^Px ~p2). Полученное выражение можно разделить на силу тяжести жидкости, проходящей в живом сечении струйки pgdQdt, тогда уравнение примет сле- дующий вид: или 2g 2g pg z +Ei_+»t_= +_Pz+^ pg 2g Pg 2g 89
Все слагаемые уравнения Бернулли выражают энергетические характе- ристики жидкости, а именно удельные энергии (т. е. соответствующие еди- нице силы тяжести жидкости): и2 — = екин " удельная кинетическая энергия движущейся жидкости; 2g Р Z + — == епот - удельная потенциальная энергия, состоящая из удельной по- Pg тенциальной энергии положения и удельной потенциальной энергии давления; р н2 Z + — + — = е _ удельная механическая (полная) энергия. Pg S Уравнение Бернулли для идеальной жидкости выражает закон сохранения энергии: удельная механическая энергия остается постоянной во всех сече- ниях одной и той же элементарной струйки, взятых по ее длине, т. е. ei = e2. (4.21) 4.9. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли Все слагаемые, входящие в уравнение Бернулли, имеют размерность длины и характеризуют следующие высоты (или напоры) (рис. 4.11): • Z - геометрическая высота (геометрический напор) - высота по** ложения центра сечения, которая отсчитывается по вертикали от выбранной горизонтальной плоскости сравнения', р • ~ - пьезометрическая высота (пьезометрический напор), опре- деляется с помощью пьезометра, установленного в рассматриваемом сече- нии; и2 - z • — = Нск - скоростной напор (или высота скоростного напора). 2g Как известно, сумма геометрического и пьезометрического напоров на- зывается гидростатическим напором'. 90
z+-^=#„. PS Статический и скоростной напоры в сумме составляют полный напор: Р W2 Я = Я„ + Яв=г + £ +—. (4.22) Pg 2g Рис. 4.11. Диаграмма уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости Геометрическая интерпретация слагаемых уравнения Бернулли позво- ляет построить диаграмму уравнения, которая показывает распределение и изменение напоров по длине струйки. Линия, соединяющая уровни пьезометрических высот в живых сечени- ях, называется пьезометрической. Она показывает распределение давления по длине струйки. Линия, соединяющая вершины отрезков, соответствующих полному напору, называется линией полного напора и представляет собой след на- порной плоскости на чертеже. Для идеальной жидкости напорная плос- кость горизонтальна. 91
4.10. Уравнение Бернулли для элементарной струнки вязкой жидкости Объектом исследования в гидродинамике является модель несжимае- мой вязкой жидкости, с помощью которой более полно учитываются свой- ства реальных жидкостей. Итак, пренебрегая свойствами сжимаемости и расширяемости жидкости, будем учитывать свойство вязкости, которое про- является при движении нормальных (ньютоновских) жидкостей. Выражается данное свойство в наличии сил трения, которые препятствуют относитель- ному сдвигу слоев жидкости, т. е. при исследовании движения кроме нор- мальных поверхностных сил - сил давления, необходимо учитывать каса- тельные поверхностные силы - силы трения. Вследствие работы сил трения в потоке жидкости, состоящем из мно- жества элементарных струек, механическая энергия жидкости преобразуется в тепловую, которая рассеивается по всему объёму жидкости (происходит диссипация энергии). Кроме того, действие сил трения способствует обмену механической энергией между соседними элементарными струйками. Учитывая действие сил трения для двух живых сечений элементарной струйки вязкой жидкости, нужно отметить что е.феъ Н}*Н2; H,-H2 = h'„ т. е. полная энергия или полный напор жидкости во втором сечении будет отличаться от напора в первом сечении на величину h которая носит назва- ние потери напора и соответствует величине потери удельной энергии, вы- званной действием сил трения при движении жидкости между двумя живыми сечениями. Уравнение Бернулли для двух сечений струйки вязкой жидкости будет иметь вид: 2 2 г, + Л+^=г! + Л+Ь + »; (4.23) ' те 2« и 2г “ Диаграмма этого уравнения представлена на рис. 4.12. Как можно видеть, напорная линия снижается по направлению движения. Поведение основных линий на диаграмме можно охарактеризовать с помощью понятия уклонов. 92
Рис. 4.12. Диаграмма уравнения Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости Геометрическим уклоном называется падение линии, соединяющей геометрические высоты сечений, на единице длины: (4-24) Геометрический уклон может быть положительным, отрицательным и рав- ным нулю. Пьезометрическим уклоном называется падение пьезометрической линии на единице длины: д( г + -£-) *, = —(4-25) Пьезометрический уклон может быть положительным и отрицательным. Гидравлическим уклоном называется падение напорной линии на еди- нице длины: 93
Как уже отмечалось, гидравлический уклон всегда положителен. Если струй- ка имеет постоянное сечение , то (4.27) 4.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости получают, используя его струйную модель. Можно показать, что при установившемся равномерном, а также не- равномерном, но плавно изменяющемся движении жидкости, распределение давления в живом сечении происходит по гидростатическому закону, кото- рый получен из дифференциальных уравнений равновесия: Если обратиться к потоку жидкости, представленному семейством ли- ний тока на рис. 4.13, то при установившемся движении жидкости в направ- лении оси Ох можно считать, что 0; wz = 0. Проекции сил внутреннего трения на оси Оу и Oz также будут равны нулю. Уравнения движения относительно этих осей примут вид: Как можно видеть, они соответствуют уравнениям статики. Это значит, что в плоскости VOZ, перпендикулярной направлению движения, давление распределяется по гидростатическому закону, выраженному в форме уравнс- 94
ний Эйлера. Следовательно, удельная потенциальная энергия для всех час- тиц в одном живом сечении потока есть величина по- стоянная: р Z + —= const, pg но постоянная только для данного сечения. Теперь переход к уравнению Бернулли для целого потока можно осу- ществить следующим обра- зом. Члены уравнения, от- носящиеся к живому сече- нию струйки, суммируются Рис. 4.13. Гидростатический закон распределения давления в сечении потока при установившемся движении для всех элементарных струек, заполняющих сечение потока. Для этого не- обходимо перейти от удельной энергии к энергии всей жидкости в живом се- чении струйки, т. е. члены уравнения надо умножить на силу тяжести жидко- сти, проходящей через сечение струйки в единицу времени: pgdQ . Тогда, чтобы перейти к потоку, надо решить три интеграла: 2 f(z + — )pgdQ‘, J^-pgdQ; fopgdQ- ® pg <D 2g (D Первый интеграл представляет потенциальную энергию жидкости в живом сечении потока и на основании вышеизложенного равен: ^пот = л г+—|p^e=fz+—|р#Ре=| z+~]p^e, •I PgJ К Pg) • k Pg) где pgQ- сила тяжести всей жидкости в сечении потока в единицу времени. Тогда удельная потенциальная энергия потока: 95
е = -4SI-. = (z + .£-) . pgQ PS Эта величина постоянна для всех точек одного и того же сечения пото- ка и называется, как и раньше, гидростатическим напором Н^. Второй интеграл - кинетическая энергия жидкости в сечении, вычис- ленная по действительным скоростям и: 2 п в) со Чаще всего в практических расчётах оперируют средней скоростью движения, определяемой из соотношения » = 0/<о. Так как средняя скорость для всех точек сечения величина постоянная, то кинетическая энергия, вы- численная по средней скорости определится следующим образом: о2 о2 “ ^8dQ=Р8 )« №• б) © Рис. 4.14. Эпюра скорости безна- порного потока Расход в сечении потока Q = pg = иш и окончательно ’Тш' Проанализируем, как вычисленная по средней скорости кинетическая энергия, соответствует действительной. Па рис. 4.14 показаны эпюры дейст- вительной и средней скорости потока. С некоторым приближением можно выразить: Подставляя это значение в выражение действительной кинетической энергии и решая интеграл, можно видеть, что в последних двух слагаемых положи- тельные и отрицательные значения компенсируют друг друга: 96
Е™ = - J(о ± a)3 dm=? Jf»J + W ± 3v2a ±a3)dm. 2 «в 2 а Е™ ~ ? J°3rf® + I f»®2<to = 1Р» f«2rf® 2 © 2 в 2 а Второе слагаемое в полученном выражении всегда положительно, т. е. действительная кинетическая энершя всегда больше определённой по сред- ней скорости. Для учёта этого обстоятельства вводится поправочный коэф- фициент а - коэффициент Кориолиса (коэффициент корреляции кинетиче- ской энергии), учитывающий неравномерность распределения скорости по живому сечению и зависящий от режима движения жидкости: v кин а=^- (4-28) При ламинарном течении жидкости а “ 2, при турбулентном режиме а = 1,05-4,15 (для практических расчётов турбулентного режима а часто принимают равным 1). Удельная кинетическая энергия или скоростной напор определится ₽ кии з 2 _ <х12г(Ю; _ аро ш _ ао _ em~~pg^~^PgQ~^g~ Последнее слагаемое в уравнении Бернулли вводится через понятие средних потерь напора: I^Pg dQ ь _ ©______ * pgQ ’ т. е. это удельная механическая энергия, теряемая в среднем единицей веса жидкости на пути от первого до второго сечения. После всех выполненных преобразований уравнение Бернулли для це- лого потока жидкости будет выглядеть следующим образом: r . Pi . ai”l_g . Рг a21>2 . А Pg 2g pg 2g (4-29) 97
Диаграмма уравнения для нескольких сечений потока представлена на рис. 4.15. Показаны пьезометрическая и напорная линии. Линия полного на- пора представляет собой ломаную линию, которая понижается по течению, причём величина снижения на каждом участке соответствует величине по- терь напора. Можно отметить, что гидравлический уклон равен отношению потерь напора к длине, на которой они происходят. Рис. 4.15. Диаграмма уравнения Бернулли для потока Пьезометрическая линия проводится по горизонтам жидкости в пье- зометрах. Пьезометрический уклон связан с потерей потенциальной энергии. Если сечения не изменяются, то пьезометрический уклон снижается по дви- жению, а если происходит увеличение сечения, то в результате перехода час- ти кинетической энергии в потенциальную наблюдается подъём пьезометри- ческой линии (рис. 4.15, участок 2-3). Если же поток имеет постоянное сече- ние, то гидравлический и пьезометрический уклоны одинаковы по величине и по направлению, а пьезометрическая линия и линия полного напора на диа- грамме будут параллельны. 98
4.12. Условия применимости и существования уравнения Бернулли Уравнение Бернулли часто применяется в различных разделах гидрав- лики. С его помощью выводится много расчётных формул и решаются мно- гие практические задачи. Но применять уравнение Бернулли следует с со- блюдением определённых условий. • Уравнение было получено для потока вязкой жидкости при установив- шемся движении, и применено оно может быть только для сечений, в кото- рых удовлетворяются все признаки этого движения. • Движение в сечениях 1-1 и 2-2, соединяемых уравнением Бернулли, должно быть параллельноструйным или плавно изменяющимся. В проме- жутке между ними движение может быть и резкоизменяющимся (рис. 4.16). Это условие вытекает из постоянства статического напора для точек живого сечения, что не соблюдается в сечениях с большой кривизной линии тока. В примере на рис. 4.16 уравнением Бернулли можно, очевидно, соединять сече- ния 1-1 и 3-3,1-1 и 6-6,3-3 и 6-6, но нельзя 1-1 и 2-2,3-3 и 4-4,4-4 и 5-5 и т. д. • Существование для како- го-либо потока жидкости урав- нения Бернулли ставит извест- ный предел для величии скоро- сти потока, превзойти который движущаяся жидкость не может без разрыва сплошности. Пусть в некоторой точке одного из се- чений известны значения Zo, Ро и Рис. 4.16. К условию применимости урав- нения 1>о- Тогда для другого сечения в соответствии с уравнением Бернулли 7 + Zo + + — Z Pg 2g р а v ь —+ + Ai PS 2g P _,±Pt ~ Z$ z + pg pg 2 r. ao»o“« » . ---------+ * 2g 99
Из этого соотношения видно, что скорость v потока не может быть чрезвычайно большой, так как давление/? не может быть отрицательным. При решении уравнения относительно скорости получается: v = J^-(z0 - z)+ vl - , (4.30) у а ар а т. е., максимальное значение скорости будет иметь место при р — 0 (или точ- нее р =р\ где р' - давление упругости насыщенных паров, т. к. меньшего аб- солютного давления при наличии жидкости получить нельзя). Если скорость превысит максимальное значение, наступает разрыв сплошности. Возникает явление кавитации. На практике необходимо предупреждать возникновение кавитации. 4.13. Приборы, основанные на применении уравнения Бернулли 4.13.1. Трубка для замера полного давления (трубка Пито) Если трубку с концом, изогнутым на 90°, поставить против течения от- верстием навстречу потоку, то жидкость в трубке поднимается на некоторую высоту (рис. 4.17, а). Рассматриваются живые сечения: 7-7 - для области не- Рис. 4.17. Трубки Пито возмущённого потока и 2-2 - перед трубкой. Применяется уравнение Бер- нулли для элементарной струйки, потерями напора между сечениями можно пренебречь, так как они расположены вблизи друг от друга: 100
„ . Рх . «i2 _ г .Рг"1 z +—+ —= z2 +—+ Pg 2g pg 2g Плоскость сравнения проведена через ось трубки, ось элементарной струйки проходит здесь же. Скорость на носике трубки равна нулю (поток затормо- жен). Тодда: zr 0; Z2=O; U] -и; и2- 0, и после подстановки в уравнение Бернулли, будет получено: А + «I2 = Р2 pg 2g pg ’ т. е. высота подъёма жидкости в трубке, называемой трубкой Пито, соответ- ствует полному напору невозмущённого потока. Это происходит вследствие того, что вся энергия набегающего потока обращается в энергию давления. 4*13.2. Прибор для измерения скоростного напора Трубка Пито в сочетании с пьезометром (рис. 4.17, б) служит для изме- рения скоростного напора. Действительно, если провести два живых сечения в непосредственной близости друг от друга, и, пренебрегая потерями напора между ними, записать для них уравнение Бернулли: А А2 Рг и2 Z1 + -’ + =z2 + - + , Pg 2g pg 2g то после подстановки значений: Zi=0; Z2=0; Mi = u; u2 = 0; Pi и pt измеряется по приборам, „2 А + “. = Л Pg 2g pg’ для скоростного напора можно записать 101
** СК ~~ ~ 2g pg pg Откуда может быть определена скорость: U^2gH'K. (4.31) Для учёта влияния вязкости в формулу вводится поправочный коэффи- циент <р = (0,97^-0,98), который определяется опытным путём. Тогда скорость в точке, где установлена трубка: u = (py/2gHCK. (4.32) На рис. 4.17, в изображена трубка Пито-Прандтля, в которой пьезометр и трубка полного напора соединены в одной конструкции. Пьезометром здесь является трубка, соединённая с прорезью на горизонтальной части, ко- торая выполнена там, где скоростной напор равен нулю. 4.133. Расходомер Вентури Рис. 4.18 Труба Вентури Этот прибор применя- ется для измерения расхода жидкости, протекающей по трубопроводу. Схему его можно видеть на рис. 4.18. При расчёте потерями напо- ра можно пренебречь, они невелики. Тогда уравнение Бернулли для сечений пото- ка 1-1 и 2-2 выглядит сле- дующим образом: .+А+а».^жг2 + А+^ pg 2g pg 2g ’ Zj=O; Z2-O. Если принять a = 1, то разность показаний пьезометров составит 102
Pi Pl _ t>2~P? _ A Pg Pg 2S При выражении значений скоростей через расход Q формула для его определения принимает вид = Е5Е? (4,33) Обычно эту формулу записывают в виде Q = mk^h, (4.34) 1^2 ^4^4 где к = —а коэффициент т учитывает потери и определяется V^i -d2) тарировкой. 4.14. Потери напора в гидравлических сопротивлениях Слагаемое hw введено в уравнении Бернулли для потока вязкой жидко- сти с тем, чтобы можно было учесть потери напора в гидравлических сопро- тивлениях. Величина - это полные (общие) потери напора, т. е. мера ме- ханической энергии жидкости, вследствие работы сил трения переходящая в тепло и безвозвратно теряемая потоком. Определение hw - одна из главных задач гидравлических расчётов. Все внешние факторы движения жидкости, которые обуславливают по- тери её механической энергии, называют гидравлическими сопротивления- ми. Гидравлические сопротивления, подразделяют на два вида. 1. Основным гидравлическим сопротивлением при движении потока жидкости является вся длина внутренней поверхности твердой границы по- тока. Иногда это сопротивление называют линейным. 103
2. На рис. 4.19 представлена схема карьерной водоотливной установ- ки. Как можно видеть, трубопровод кроме прямых участков имеет различные отводы, повороты потока. На нём установлены задвижки, клапаны и т. д. Это местные сопротивления - всевозможные устройства, особенности конст- рукции твердой границы, в которых происходит деформация потока, связан- ная с изменением скорости или направления движения. Например, это имеет место при резком сопряжении труб (6), при различных поворотах потока (2, 4), в местах соединения кранов, вентилей, задвижек (7), клапанов (1) и т. д. Насос 1 - всасывающий клапан; 2 ~ отвод (колено) «==90°; 3 - тройник; 4 - отвод (колено) <г=115°; 5 - отвод (колено) а==180°; 6 - врезка в трубу другого диаметра (тройник); 7 - задвижка Рис. 4.19. К понятию гидравлических сопротивлений 104
В зависимости от вида гидравлических сопротивлений различают и два вида потерь напора: 1. Потери напора по длине (или линейные), т. е. распределенные по всей длине, вдоль которой происходит движение. 2. Местные потери напора, т. е. сосредоточенные в конкретном месте, где происходит переформирование потока. Полные потери напора hw определяют по формуле: (4.35) Это - метод наложения потерь. В каждом местном сопротивлении опреде- ляется величина потерь напора, которые потом учитываются простым сум- мированием. При этом полагают, что местные сопротивления удалены друг от друга настолько, что не оказывают взаимного влияния. Для этого они должны на- ходиться друг от друга на расстоянии не менее 20 диаметров трубы. Если они расположены вблизи друг от друга, то их выделяют в отдель- ное местное сопротивление. На практике часто это расстояние принимают равным около трех линейных размеров поперечного сечения потока. Надо помнить, что с физической точки зрения потери напора неразделимы и деле- ние их на «потери по длине» и «местные потери» производится условно для удобства расчёта. 4.15. Местные потери напора При прохождении жидкости через участки с местными сопротивле- ниями энергия её теряется на трение, сопровождающее изменение и перерас- пределение скоростей, вихреобразование и т. д. Для движения жидкости че- рез местное сопротивление характерно неравномерное движение с бурным перемешиванием частиц, с интенсивным обменом количеством движения между ними. Местные потери напора определяются по формуле Всйсбаха: 105
»2 *r=Cr-, (4.36) где Q - коэффициент местного сопротивления, который показывает величи- ну удельной кинетической энергии, выраженной скоростным напо- ром »2/(2g), затраченную на преодоление данного сопротивления. Течение через местные сопротивления - очень сложное явление и тео- ретические значения коэффициентов £ получены лишь для немногих мест- ных сопротивлений. Для большинства местных сопротивлений значения С получены из многочисленных экспериментов и приводятся в различных справочниках. На ве личину коэффициента С влияют многие факторы и в пер- вую очередь геометрические параметры сопротивления, режим течения и шероховатость стенок. Для экспериментального определения коэффициента С пользуются формулой: С = (4.37) о при этом местные потери напора hr находятся из уравнения Бернулли. Рис. 4.20. Местные сопротивления 106
Если рассмотреть движение потока через задвижку, то уравнение будет написано для сечений 1-1 и 2-2, проведённых в местах, где движение в потоке установившееся (рис.4.20, а). Труба, на которой установлена задвижка, имеет постоянное сечение и расположена горизонтально. Для данных сечений уравнение Бернулли преобразуется следующим образом: A+«l»L = Z2 + ^+a2t>l+A Pg 2g Pg 2g Zi~0, Z2=0, = V2, h„ = ht, b.^P2+h„ pg pg h =P1_P1. (4.38) Pg Pg Следовательно, на участках, где поперечные размеры сечений не ме- няются, местные потери напора опытным путем можно определять как разность пьезометрических высот в сечениях, взятых до и после местно- го сопротивления. Если сечение изменяется (рис. 4.20, 6), то hr будет определяться как разность полных напоров в сечениях: 2 2 hr=Hx-H2 = (z, + + ®».) - (z2 + ^ + ^). (4.39) PS pg 2g Кроме того, нужно отметить, что в местных сопротивлениях типа за- движек, вентилей и другой запорной аппаратуры, значения коэффициента С зависят от степени открытия последних, т. е. от размера проходного отвер- стия, и меняются в больших диапазонах. 4.16. Потери напора по длине. Уравнение равномерного движения При равномерном движении жидкости потери напора по длине й/ рас- пределяются по всей длине потока равномерно и определяются по формуле 107
/ v2 (4.40) « 2g где- X - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси); /, d- длина и диаметр рассматриваемого участка. Потери по длине также пропорциональны скоростному напору, как и местные потери, и формула имеет ту же структуру, где = Ц (4.41) а часто называют коэффициентом сопротивления длины. Приведенная форму- ла справедлива для потоков круглого сечения, например, для трубопроводов при напорном движении. Для русел с любой формой сечения применяют бо- лее общую разновидность формулы . . I о2 ‘'=х4«2? ««> где R - гидравлический радиус. Коэффициент X в общем случае зависит от режима течения жидкости и от шероховатости стенок. Прежде чем привести формулы для его определе- ния, необходимо получить общую зависимость, связывающую параметры равномерного движения. Пусть жидкость движется равномерно в трубе постоянного сечения вдоль оси х, совпадающей с осью трубы. На выделенный отсек жидкости, располо- женный между сечениями 7-7 и 2-2 действуют следующие силы: сила тяжести G = pgco/; силы давленияисила трения смоченный пери- метр, т - касательное напряжение на стенках). Сила инерции выделенного объ- ёма будет равна нулю, т. к. при равномерном движении du/dt =0. Тогда уравне- ние движения отсека жидкости в проекциях на ось х запишется pgoZ-sin а + тх/ = 0. Из рисунка (4.21) видно, что Z-sin а = Zi - Z2- Если теперь разделить уравнение на произведение pg<o, то оно примет вид 108
Р\~Рг = ТХ* Pg Р£“ Далее преобразование пойдет в следующем направлении: PS PS РР» Учитывая, что из уравнения Бернулли (при i>i= v2 - ») разность стати- ческих напоров даст величину потерь напора по длине, так как на участке нет местных сопротивлений, можно записать *,.м fig® D ® Далее применяется определение гидравлического радиуса л=- и X гидравлического уклона I = hi/I. Окончательно получается т / =---- pgR (4.43) Уравнение 4.43 называется основным уравнением равномерного движе- ния, Оно устанавливает связь потерь напора на единице длины с касатель- ними напряжениями. Рис. 4.21. К выводу уравнения равномерного движения 109
4Л7. Режимы движения жидкости. Опыт Рейнольдса Ещё в первой половине XIX столетия рядом учёных было замечено, что движение жидкости может быть разделено на два принципиально различных вида (Хаген, Дарси, Менделеев). В 1883 году наиболее полно - теоретически и экспериментально - исследовал этот вопрос английский физик Осборн Рейнольдс. Он изучал зависимость потерь напора в движущейся жидкости от скорости движения, вязкости жидкости и от размеров трубопровода. Оказа- лось, что результаты исследований, сведённые в график зависимости однотипны для всех жидкостей (рис. 4.22). По этому графику зависимость можно представить в виде (4.44) где коэффициент а и показатель степени п зависят от вида движения жидкости. Как можно видеть, в некоторой области изме- 'k натгый (Гувбулент- нения скоростей (до точки Л) потери энергии парный режим зависят от скорости в первой степени (п = 1). Затем следует область с беспорядочным раз- мещением экспериментальных точек, где нет определённой зависимости /-/(«). При даль- нейшем увеличении v потери напора вновь Рис. 4.22. Зависимость гидравли- ческого уклона от скорости пропорциональны скорости (после точки В)9 но уже зависимость здесь другая: п изменяется в пределах от 1,75 (в окрестно- сти точки В) до 2 (точка и после нее). Такое поведение зависимости I = Дв) Рейнольдс объяснял наличием двух режимов движения жидкости, что было наглядно продемонстрировано им на следующем опыте (рис. 4.23). Из резервуара 1, в котором поддерживается постоянный уровень, вода поступает в стеклянную трубу 2. Вход в трубу выполнен в виде плавной во- ронки. Скорость движения жидкости по трубе изменяется при помощи крана 3, установленного за уравнительным баком 4, назначение последнего - ПО
снижение влияния на движение гидравлического удара, происходящего при открытии и закрытии крана. Величина скорости определяется из соотношения °"ltd2 ’ Рис. 4.23. Установка для изучения режимов движения: 1 - напорный бак, 2 - стеклянная труба, 3 - пробковый кран, 4 - уравнительный резервуар, 5 - мерная емкость, 6 - термометр, 7 - емкость с красителем, 8 ~ трубка малого диаметра Здесь расход определяется экспериментально с помощью мерной ёмко- сти 5, как отношение определённого объёма ко времени его заполнения: *7- Чтобы наблюдать за характером движения воды, производится подкра- шивание её краской, поступающей из сосуда 7 по трубке малого диаметра 8. При медленном и незначительном открытии 1фана вода в трубе прихо- дит в движение, скорость которого невелика. Краска, поступающая в трубу, окрашивает струйку жидкости. Движение окрашенной струйки прямолиней- но, краска не смешивается с окружающей её водой. Постепенно и плавно увеличивая открытие крана, можно уловить момент, когда картина движения изменится: окрашенная струйка начинает колебаться, двигаться волнообраз- 111
но. При последующем увеличении скорости в струйке наблюдаются сильные пульсации, а затем наступает такой момент, когда краска полностью размы- вается, окрашивая воду в трубе по всему сечению, в цвет более слабый, чем сама краска. Постепенно закрывая кран, можно повторить опыт в обратном порядке. Но при этом прямолинейное движение струйки наступает при значениях ско- рости меньше, чем в первом опыте. Спокойное, параллельноструйное движение жидкости носит название ламинарного режима движения (от слова “lamina” - слой). Режим движения жидкости, характеризующийся бурным перемешива- нием частиц, называется турбулентным (“turbulentus” - беспорядочный). Главной особенностью турбулентного движения является наличие попереч- ных к направлению движения пульсационных составляющих скорости. Скорость, при которой происходит смена одного режима движения другим, называется критической. Как уже отмечалось, существуют два зна- чения критической скорости: верхняя »кр (ламинарный режим переходит в турбулентный) и нижняя (турбулентный переходит в ламинарный). Если обратиться к рис. 4.22, то можно отметить, что ламинарное дви- жение будет устойчивым до значения скорости, соответствующею т. А. Тур- булентный режим окончательно устанавливается при скорости, наблюдаемой в т. В, Между этими скоростями движение жидкости неустойчиво; здесь воз- можны оба режима, но оба легко разрушаются под влиянием любых незначи- тельных причин. Особенно неустойчив в этой области ламинарный режим. На отдельных участках возникают очаги турбулентности, которые разраста- ются, исчезают и появляются вновь. Поэтому эту область называют иногда областью перемежающейся турбулентности, или переходной областью. Отметим, что ламинарный режим наблюдается преимущественно при движении вязких жидкостей (нефти, смазочных масел, мазута и т. д.), а также при движении в трубках малого диаметра (капиллярах). 112
В технике чаще приходится иметь дело с турбулентным режимом: в водопроводных трубах, в каналах, реках, различных аппаратах. С помощью некоторых теоретических соображений (анализа размерно- стей) и основываясь на результатах опытов, Рейнольдс установил, что име- ются общие условия для потоков, когда в них возможно существование того или иного режима. Эти условия можно характеризовать безразмерным чис- лом - комплексом, учитывающим основные факторы движения: среднюю скорость », диаметр трубы d и вязкость жидкости. Это число называется чис- лом Рейнольдса и обозначается Re. Число Рейнольдса для трубопроводов определяется по формуле Re =—, (4.45) v где v - кинематический коэффициент вязкости. Более общая формула для определения числа Рейнольдса включает ха- рактерный геометрический размер / Re = —, (4.46) V в качестве которого может быть использован гидравлический радиус, размер частиц, диаметр насоса и др. Значение числа Рейнольдса, при котором происходит переход от одно- го режима к другому, носит название критического числа Рейнольдса. Так же, как и критическая скорость, число Re«p имеет два значения: верхнее и нижнее. Не вдаваясь в подробности, отметим, что для технических расчётов принято нижнее критическое число toKp~2300. (4.47) Бели Re<Re^ , в потоке происходит устойчивое ламинарное движение. При Re>ReKp движение является турбулентным. Область неустойчивого движения (до Re ~ 4000) при расчётах относят к турбулентному течению. Используя Лекр, для любого потока можно установить критическую скорость ИЗ
_ ^„V »xp (4.48) 4.18. Основы теории подобия и метода размерностей Вследствие огромной сложности гидромеханических явлений большое значение имеет гидравлический эксперимент, основой кото|юго является теория моделирования. Научная база теории моделирования ~ теория гидро- механического подобия. Однако этим её роль не ограничивается. Она дает также методы рационального построения теоретических зависимостей, об- легчает анализ и получение обобщённых выводов из теоретических решений. Основные положения теории подобия заключаются в следующем. Два потока с различными жидкостями могут быть геометрически, кинематически и динамически подобны (рис. 4.24). Рис. 4.24. Геометрическое и кинематическое подобие потоков Геометрическое подо- бие предполагает пропорцио- нальность сходственных разме- ров обоих потоков. Линейный масштаб в,=А (4.49) должен бьпъ одинаковым для всех линейных размеров. При выполнении этого условия по- токи геометрически подобны, а сходственные площади и объёмы будут связаны соотношениями: ~~ = а^ ®2 ^2 ' Геометрически подобные потоки будут кинематически подобны, если отношение скоростей в сходственных точках потоков будет одинаковым для 114
(4.50) любой пары сходственных точек (т. е. безразмерные поля скоростей одинако- вы для обоих потоков). Значит, должно выполняться условие — масштаб мо- делирования времени должен быть постоянным для всех сходственных точек: -л а. = ~ = idem *2 Тогда масштаб скоростей и и ускорений w в точках потока выразится: ц = _Л/. 25l = = 5л «2 Vl Я. ’ W1 ‘ Динамическое подобие будет иметь место при одинаковом соотноше- нии сил, действующих в геометрически и кинематически подобных потоках. Одним из условий динамического подобия является постоянство соотноше- ний между плотностями жидкости в движущих потоках, которое выражается масштабом плотности: а =£ь * Р2 Тогда должно выполнятся при моделирования масс «и. - -=в® 4 - - —X- - ^2 M2W2 P2^2^1 Р2?2^2*1 Рг^А P2^2**2 Выражение Ne = - —= idem (4.51) (4-52) представляет собой основной закон динамического подобия, открытый Ньютоном в 1686г. и носящий его имя. В зависимости от того, преимущественному действию каких сил под- вергаются подобные потоки, получаются те или иные условия, которым они должны удовлетворять. 115
1. В безнапорных потоках движение происходит под действием силы тяжести. Только эти силы будут учитываться при составлении комплекса, характеризующего подобные потоки: ^- = №; G2 Pi£iA. _ PiA wi . PzftA PzA4 g2l2 «2 ’ или 2 2 "1_ = -."I- g,ll glh ‘ и2 Комплекс = Fr gl (4.53) называется критерием Фруда, который выражает закон гравитационного по- добия. При £i == g2 критерий Фруда имеет вид и2 и, = (4.54) *1 *2 2. При рассмотрении подобных потоков жидкости с преимуществен- ным действием сил трения будет получен другой критерий. Для его нахож- дения отношение сил трения в двух потоках приравнивается к критерию Ньютона: _ Л du Т = \ьА - -, где А — площадь поверхности трения с размерностью [ Z2 ]; ц - динамический коэффициент вязкости |i = vp. ri = Ne. = р/Х . Н1/12“Л = рЛЧ2 . Т2 ’ V^2A2d^i РгАЧ’ thfyhb Р&4’ = (Г = ? “*'*; = V1“* '*; ^2*2 P1W2 Pl Pl «|А _«2Z2 . 'v. "V’ 116
Rei = Re2. Следовательно, одинаковость чисел Рейнольдса для двух потоков, в ко- торых большое значение имеют силы трения, представляет собой условие комического подобия. В этом заключается физический смысл числа Re. Метод размерностей также позволяет выполнять анализ и теоретиче- ский расчет подобных явлений. Ниже приводится его краткий разбор. Все физические величины измеряются путём сравнения с единицами той или иной размерной категории. Выбор таких единиц произволен, но чаще всего пользуются метрическими единицами. В механике все величины могут быть выражены той или иной комби- нацией длины £, времени Т и массы М. Например, в уравнении скорости w = <р J2gh обязательно надо иметь эквивалентность размерностей. Действи- тельно, при анализе размерности выражения ^2gh, получается размерность скорости: (£Г2£):/2 = LT}. Размерность любой физической величины можно выразить в виде про- изведения (4.55) где а, р, у - отвлечённые числа, свои для каждой величины; для скорости а =1, р =-1, у =0. Отсюда следует, что все механические соотношения можно свести к безразмерной форме. Например, скорость по формуле и = ф;2#й будет характеризоваться безразмерной величиной <р - коэффициентом скорости: Для ф при анализе размерностей: а+р+у =0. Для любого явления, которое описывается некоторыми размерными физическими величинами, можно подобрать такую безразмерную величину, 117
являющуюся комбинацией размерных параметров, что она будет служить ха- рактеристикой явления. Для этого пользуются п - теоремой. Её можно сформулировать так: математическая зависимость между некоторыми физи- ческими размерными величинами всегда может быть преобразована в урав- нение, в которое войдут безразмерные комбинации тех же физических вели- чин (так называемые числа п\ причём число этих комбинаций всегда мень- ше, чем число исходных физических величин. Пусть А1} А2, Аз, ...,Ап-п размерных физических величин, участвую- щих в каком-либо явлении; т - число всех первичных единиц (£, Г, М), с по- мощью которых может быть представлена размерность всех п физических величин. Функциональная зависимость между величинами А/ может быть за- писана в виде /1 (-4 > -^2^3 ) = 0» (4.56) В соответствии с я -теоремой это уравнение будет выглядеть /2(я1,л2л3...л№.)И) = 0, (4.57) где каждое число я - независимое безразмерное произведение нескольких Л. Число членов уравнения сократилось на т членов. Так как в задачах механики жидкости т =3, то максимальное число не- зависимых комбинаций можно получить, выражая числа я в виде: Kj = Л) 1А£1Л31 Л4; я2 — Л1 2 А22А^2А5; (4 58) В каждом числе будет (т+1) переменных, одно из них меняется от чис- ла к числу, и три неизвестных показателя степени. Складывая показатели степени при каждой из первичных размерностей (L, Т,М)м приравнивая их к нулю, получают три уравнения, решение которых дает численное значение трёх показателей. 118
Этот метод может быть применен для определения потерь напора по длине при равномерном движении жидкости по трубе постоянного сечения. Величина потерь напора h/ зависит: от диаметра трубы rf, её длины /, физических свойств жидкости - плотности р и вязкости р, средней скорости течения в трубе v и от высоты выступов шероховатости на стенке трубы А. Выражая потери напора через потери давления prpghi, можно записать за- висимость (4.56) в виде/1(рЛ d, I, р, ц, А, в) или /1(Р//А^Р,Р,А,»)-О. (4.59) Вид функции устанавливается с помощью я -теоремы. С учётом (4.59) он будет следующим: Л(«ь***з)==О- (4.60) Для определения чисел я из физических величин выбирается из всех переменных три, так чтобы они включали все первичные величины (£, Г, М), например, в, </, р. По (4.59) составляются уравнения размерностей, объединяющие вы- бранные с остальными по очереди Kl =(/Ж1вЛрг1ц; < я2=</Л2»Лрг=^;. (4.61) = </ХзвЛргз А. Теперь размерности подбираются так, чтобы я было безразмерным. Например, для первой строки: размерность диаметра - м (£), скорости - м/с (L Г1), плотности - кг/м3 (М £'3) и динамического коэффициента вязкости - Па*с (паскаль-секунда). Последнюю размерность надо преобразовать, чтобы добраться до первичных величин: Па-с=Н-с /м2=кг-м-с/(с2 м2)=кг/(с*м), т. е. (МL'x Т*). Посмотрим как сгруппировать безразмерное я из этих пара- метров: (£)х1 (ГГ1/1 (М£’У при £ *1+j] - 3zj - 1 - 0 119
при Т -Ji - 1 - 0; откуда = при М Zi + 1 = 0; в ti=-l. При подстановке значений в уравнение при L получается Х| —1. Тогда для Я] _ _ И _ * л. =-----= —— rf»p dv или, сохраняя безразмерность: /?е =—, v т. е. Л1 представляет собой известное число Рейнольдса, характеризующее режим движения жидкости. Нетрудно показать (проверив размерность), что зс2 и я3 соответственно равны ”2 !?р ° Теперь уравнение (4.60) может быть представлено в виде i£L л Можно решить его относительно я2: .Pi d~T »2Р = f(Re~). Я A X При обозначении “ — где X - безразмерное число, будет получено 120
d гЛ Pi _^1 v\ v2p 2* p d 2 При делении на g получается на основании теоретических выводов уже знакомая формула Дарси-Вейсбаха, которая была получена в XIX в. эмпири- ческим путем ЛвА X1JL2. Pg d 2g И при этом без рассмотрения физического смысла коэффициента X, по- лучена важная зависимость А. = /(/?*, у), (4.62) т. е. в общем случае, коэффициент гидравлического трения зависит от числа Re и шероховатости стенок. Далее рассматривается, как определяется данный коэффициент при различных режимах движения. 4.19. Ламинарный режим движения Ламинарный поток имеет слоистый, параллельноструйный характер: частицы жидкости в слоях движутся с различными скоростями без переме- шивания. Происходит ламинарное движение в вязких жидкостях, при тече- ниях с достаточно малыми скоростями, при обтекании малых тел с малыми скоростями, а также в каналах с малыми размерами: в капиллярах, в кольце- вых и торцевых зазорах. Метод решения задач ламинарного течения постро- ен на составлении дифференциальных уравнений движения элемента жидко- сти. При ламинарном движении распределение касательных напряжений подчиняется закону Ньютона. Поэтому в дифференциальные уравнения под- ставляются параметры, определенные из закона Ньютона, затем выполняется интегрирование уравнений при заданных граничных условиях. Применение 121
данного метода рассматривается для ламинарного движения жидкости в тру- бе круглого сечения (рис, 4.25). Рис. 4.25. Ламинарное течение в круглой трубе 4.19.1. Распределение скорости по живому сечению при ламинарном режиме Основное уравнение равномерного движения имеет вид: т 7 =---- pgR Для преобразования этой зависимости в расчётную для ламинарного течения в нее необходимо подставить зависимость для касательных напря- жений по закону Ньютона dr где р - динамический коэффициент вязкости; du - поперечный градиент скорости, который имеет отрицательный знак, так как с увеличением расстояния от оси скорость уменьшается. В качестве элементарной струйки берется кольцевой слой толщиной dr на расстоянии г от оси трубы, гидравлический радиус для него R^r/2. После подстановки значения формула гидравлического уклона 1 примет вид: 122
2p du _ 2v du P g r dr g r dr Отсюда получается дифференциальное уравнение, определяющее скорость как функцию радиуса г du--—г dr. 2v В результате интегрирования получится Постоянная интегрирования С определяется из граничных условий: г=г0; и = о. Тогда закон распределения скорости по живому сечению выглядит следую- щим образом: « = ^(г02-г2). (4.63) 4v Как можно видеть, закон - параболический. Максимальная скорость имеет место на оси трубы при г = 0: 1 S 2 *0. (4.64) Тогда выражение (4.63) можно представить в виде г1 *=^(1“). (4.65) 'о Распределение скоростей не зависит от числа Re, следовательно, в слу- чае равномерного ламинарного движения при всех значениях числа Re со- храняется кинематическое подобие потоков (ламинарная автомодель- ность). 4.19.2. Расход и средняя скорость ламинарного режима Расход определяется суммированием элементарных расходов через кольцевые слои: 123
»ь «ь Q = p6=J“ a°>, 0 0 где dm = 2nr-dr - площадь кольцевого слоя. При подстановке значений и интегрировании формула для определения расхода при ламинарном течении примет вид: J— (г2 -r2)zitr-dr-—[г2 ; * o4v'° 2v(°0J 0 J 2v^2 4/’ в = £*го (466) oV Зависимость для средней скорости получается при делении расхода на площадь живого сечения ш « я г02 » = ~'b2- (4.67) OV При сравнении полученного значения v с нюях можно отметить v = 0,5 итп. (4.68) 4.19.3. Закон сопротивления и коэффициент Дарси при ламинарном режиме Закон сопротивления может быть получен из зависимости (4.67) _ 8v /=—г». (4.69) «'О На основании общего закона сопротивления I = avn для ламинарного течения можно записать л 8v Л =--у, Л-1, «То т. е. получено теоретическое подтверждение экспериментальных данных, рассмотренных ранее (см. рис. 4.22). Если в формулу (4.69) подставить значение радиуса, выраженного через диаметр, то потери напора по длине hr2! I будут определяться по формуле 124
, 32v I v A,=------5-, (4.70) gd которая называется формулой Пуазейля. При выражении v из формулы Ке = — и подстановке в формулу по- терь напора для ламинарного режима будет получено 32t> d / о 32 / о2 _ 64 / е2 1 Re g rf2 Re g d He d 2g Сравнение данной зависимости с формулой Дарси-Вейсбаха d2g ’ позволяет сделать важный вывод: при ламинарном режиме движения жидко-* сти в трубах круглого сечения коэффициент Дарси 1 определяется по фор- муле Пуазейля 64 1-,-. (4.71) т. е. при ламинарном режиме коэффициент гидравлического трения не зависит от шероховатости стенок трубы и является функцией только числа Re. Теоретические результаты хорошо согласуются с опытными дан- ными для изотермических ламинарных потоков, у которых отсутствует теп- лообмен с окружающей средой. Благодаря большим силам вязкостного тре- ния обтекание бугорков шероховатости на стенках происходит плавно без отрывов потока, поэтому шероховатость не влияет на потери напора. Приведённые соотношения справедливы для стабилизированного ла- минарного потока, когда параболический закон скоростей уже установился. Если жидкость поступает в трубу с плавным входом из большого резервуара, то во всех точках входного сечения скорость одинакова (рис. 4.26). По мере движения слои у стенки оказываются заторможенными действиями сил тре- ния, и у стенок образуется пристенный пограничный слой; толщина его 125
возрастает по длине трубы. На начальном участке трубы влияние вязкости распространяется постепенно на все сечения потока. На этом участке в каж- дом сечении сохраняется ядро потока, где скорости постоянны, и на которое вязкость ещё не влияет. После того как пограничный слой займёт все сечение потока, течение стабилизируется. Длину начального участка приближенно можно определить так: ZM4=0,03</lte. (4.72) Рис. 4.26. Начальный участок ламинарного течения 4.20. Турбулентный режим движения Турбулентность - явление, которое встречается в чрезвычайно разно- образных условиях (например, кроме гидравлики и аэродинамики, в химиче- ском производстве, военно-морском деле и в метеорологии и океанографии, в астрофизике и т. д.). Поэтому во всем мире учеными прикладываются огром- ные усилия для фундаментальных исследований турбулентности. Но несмот- ря на это, вопросы механизма турбулентного режима движения до сих пор не получили своею решения. Поэтому в гидравлике до сих пор расчеты турбу- лентного потока выполняются в соответствии с двуслойной моделью, пред- ложенной Прандтлем и дополненной Буссинеском и Рейнольдсом. 126
4.20.1. Скорости и структура турбулентного потока Турбулентный поток характеризуется беспорядочным, хаотичным движением. Наряду с основным поступательным перемещением наблюдают- ся незакономерные поперечные перемещения и вращательные движения час- тиц. Действительную скорость жидкой частицы в данный момент времени и в данной точке пространства называют мгновенной местной или актуаль- ной скоростью. Эта скорость в общем случае изменяется и по величине и по направлению в каждый момент времени. Составляющие этой скорости по осям - продольная и поперечная, характеризуются следующим: • величина составляющих изменяется во времени; • но, в отличие от их равнодействующей, они имеют постоянное на- правление. Изменение продольной составляющей во времени для данной точки пространства может быть представлено графиком (рис. 4.27), который назы- вается трафиком пульсации продольной составляющей. Если выделить на графике, построенном по результатам измерений скорости чувствительными самопишущими приборами (например, термоанемомет- ром с осциллографической записью) достаточно боль- шой отрезок времени Г, то можно видеть, что колебания скорости происходят около некоторого среднего значе- ния, которое называется ос- реднённой местной скоро- стью*. Рис. 4.27. График пульсации скорости турбулентного потока 127
*2 ]u-dt (4-73) с учетом которой продольная составляющая « =«м ±и' X М Л 7 где и'х ~ продольная пульсационная скорость или просто пульсация. Усреднённое значение пульсации равно нулю. Если осреднённая местная ско- рость (продольная) остаётся постоянной во времени, то турбулентное течение условно называют установившимся. Для такого движения осреднённая попе- речная составляющая будет равна нулю и о ней дальше не упоминается. Ха- рактеризуется движение в точке осреднённой продольной составляющей wM. Как показывает опыт, пульсации скоростей сопровождаются также и пульсациями давлений и касательных напряжений. Для расчёта турбулентного потока пользуются моделью, представляющей собой условный поток жидко- сти, частицы которой движутся с осреднёнными (продольными) местными скоростями, а давления в точках равны осреднённым местным давлениям (мо- дель Буссинеска-Рейнольдса). Применение такой модели облегчает изучение турбулентного потока, сохраняя вместе с тем его главные закономерности. Итак, первое осреднение скорости выполняется по времени. Измерения скоростей показывают, что при турбулентном режиме у стенок сохраняется тонкий слой жидкости, в котором частицы, подтормо- женные и направленные стенками, сохраняют в основном слоистый, лами- нарный (как считали ранее) характер. Это позволило создать для расчёта турбулентного течения так называемую двухслойную модель, состоящую из ламинарного пограничного слоя и турбулентного ядра. Дальнейшие исследо- вания показали, что в пограничном слое очень часто может наблюдаться тур- булентное течение. Но характер изменения градиентов скорости в пристен- ном слое такой же, как и при ламинарном режиме. Поэтому чаще всего дан- ный слой в последнее время называют вязким слоем. 128
Итак, структура турбулентного потока представлена состоящей из сле- дующих зон (рис. 4.28): вязкого слоя толщиной турбулентного ядра и рас- положенного между ними тонкого переход- ного участка, в котором по мере приближения к слою резко уменьшают- ся турбулентные пуль- сации (некоторые ис- следователи этот слой не рассматривают). Толщина вязкого слоя чрезвычайно мала и может быть определена по формуле то Вязкий слой Рис. 4.28. Структура турбулентного потока В представленной на рис. 4.28 эпюре осреднении* местных скоростей выделенные зоны характеризуются своим распределением скорости. В тур- булентном ядре, вследствие интенсивного перемешивания частиц, значения скоростей выравниваются. В пределах вязкого слоя происходит весьма рез- кое падение скоростей до нулевого значения на стенке. Переход потока в турбулентное состояние приводит к сильному воз- растанию сопротивления, что связано с увеличением напряжений трения. Ка- сательные напряжения при турбулентном течении рассматривают состоящи- ми из двух видов Т = Тв + тт, где тв - вязкие касательные напряжения, определяются по закону Ньютона; тт - турбулентные касательные напряжения (по формуле Прандтля) аи аи 1 ,А т = р-+рГ — , (4.75) ф Xjty ) 129
здесь / - длина пути перемешивания (А - / j; У " расстояние от стенки грубы до рассматриваемого слоя; х « 0,4 - константа турбулентности). Используя уравнение равномерного движения (4.43) и формулы для определения касательных напряжений, можно получить формулы для опре- деления осреднённых скоростей, коэффициента гидравлического трения, ос- новываясь на тех или иных допущениях, что было сделано многими исследо- вателями. Впервые это было сделано Прандтлем в ею теории пограничного слоя. Не вдаваясь в подробности расчётов, отметим, что средняя скорость турбулентного потока » ~ 0,87 йм , т. е. второе осреднение скорости турбулентного потока надо проводить по живому сечению. После такого усреднения турбулентных характеристик по- тока движение его считают квазистационарным и для расчётов его приме- няют уравнение Бернулли. 4.20.2. Понятие гидравлически гладких и шероховатых стенок Для определения коэффициента гидравлического трения, который, как уже отмечалось, зависит от числа Re и шероховатости трубы, при турбулент- ном режиме вводят понятие гидравлически гладких и шероховатых сте- нок.Характеристикой шероховатости трубы является высота выступов шеро- ховатости А- абсолютная шероховатость. Отношение A/J (или Д/г) назы- вают относительной шероховатостью, а обратную величину ///А - относи- тельной гладкостью. Если толщина вязкого слоя 3 больше абсолютной шеро- ховатости А, то трубы считаются гидравлически гладкими (рис. 4.29, а), при 6<А - гидравлически шероховатыми (рис. 4.29, б). Одна и та же труба в за- висимости от скорости движения (или Re) может быть гидравлически глад- кой или шероховатой. Коэффициент к в этих случаях определяется по раз- личным формулам. Надо отметить, что для определения 1 различными ис- 130
следователями для разных диапазонов чисел Re предложено огромное ко- личество эмпирических и полуэмпирических зависимостей. турбулентное турбулентное ядро потока ядро потока ЩШш а) б) в) Рис. 4.29. К определению понятий гидравлически «гладких» и «шероховатых» стенок: а - «гладкая» стенка; б - «шероховатая» стенка; в - эквивалентная шероховатость Наиболее распространённой в настоящее время методикой определе- ния зон турбулентного режима и зависимостей для определения коэффици- ента Дарси является методика, построенная на основании работ, выполнен- ных в МИСИ под руководством проф. Д. А. Альтшуля. Для турбулентного режима в общем законе сопротивления I ~ av” отмечалось, что показатель степени п изменяется в пределах от 1,75 до 2. Разная степень турбулентности характеризуется своим значением л. Движение вдоль «гладких» стенок со- провождается потерями напора пропорциональными в1,75. Движение вдоль шероховатых стенок подразделяют на две зоны: зона доквадратичного со- противления (1,75<и<2 ) и зона квадратичного сопротивления (л=2). Критерием для определения зоны турбулентности по Альтшулю считается (4.76) и где Аэ - эквивалентная шероховатость. Так как естественная шероховатость имеет многообразные нерегуляр- ные формы (см. рис. 4.29, а), установить её осреднёшюе значение, влияющее на величину потерь напора, невозможно. Поэтому параметр шероховатости вводится как условная величина, определяемая по специальной шкале искус- ственной однородной шероховатости (рис. 4.29, в). Значения её приводятся в справочной литературе в зависимости от материала поверхности, способа из- 131
готовления, периода и условий эксплуатации (приведены в ПРИЛОЖЕНИИ, табл. 9). 4.203. Расчетные зависимости для коэффициента Дарси при турбулентном режиме Коэффициент X определяется по следующим формулам: 1. Зона гидравлически гладких стенок d 4000 Re <20 — Дэ 9 (4.77) формула Блазиуса 1 - °*316 Re0,25' 2. Зона доквадратичного сопротивления шероховатых труб 20— < Re <500- А» А, формула Альтшуля Х = 0,П(+^>)°’25 Re d 3. Зона квадратичного сопротивления шероховатых труб Re £500 — Аэ формула Никурадзе 1= - , (1,74 + 21g—-)2 д формула Шифринсона 1 = О,11(^-)0’25 d (4.78) (4-79) (4.80) (4.81) (4-82) (4.83) Можно видеть, что 1 для гидравлически «гладких» стенок зависит толь- ко от числа Re. Здесь толщина вязкого слоя значительна. Перекрывая все выступы шероховатости, вязкий слой как бы гасит все возникающие у стенки пульсации, они быстро затухают, и поэтому шероховатость не оказывает влияния на потери напора: движение турбулентного ядра происходит как бы в гладкой трубе. В зоне квадратичного сопротивления вязкий слой практиче- 132
ски разрушен и шероховатость стенок вносит дополнительные возмущения в движение турбулентного ядра. Характеристики потока оказываются незави- сящими от числа Re (зона турбулентной автомодельности). Надо отметить, что формула Альтшуля (4.80) универсальна: при малых числах Re она близка к (4.78), при больших Re переходит в (4.83). 4.20.4. Опытные данные по коэффициенту гидравлического трения Коэффициент к можно найти по результатам экспериментов, пользуясь формулой Дарси-Вейсбаха °” /»2 ’ если определить среднюю скорость v и потери напора А/. Такие исследования привлекают внимание учёных на протяжении уже более двух столетий. Важные систематические исследования с последующей теоретической обработкой результатов впервые были проведены И. Никурадзе (1933г.) в ла- боратории Геттингенского университета. Шероховатость в опытах Никурадзе создавалась искусственно при наклеивании на внутреннюю поверхность тру- бы калиброванных песчинок. Такая шероховатость получается равнозерни- стой, что отличает её от естественной шероховатости технических труб. Ре- зультаты опытов, показывающие зависимость и представлены на рис. 4.30. График построен в логарифмической зависимо- сти, что делает его более компактным. График охватывает большой диапазон чисел Яе, и на нём можно выделить следующие зоны: 1. Зона ламинарного режима, изображаемая прямой Z. Все точки ложатся на эту прямую, соответствующую уравнению границей её служит 1g 2300 =3,36. 133
В диапазоне чисел Re =2300^4000 движение неустойчиво, происходит переход от ламинарного режима к турбулентному, здесь возможны оба вида движения. Рис. 4.30. График Никурадзе 2. Зона гладкостенного течения, представлена прямой //, здесь X также не зависит от шероховатости. Границы: Re = 4000 + 20—. Л, 3. Зона доквадратичного сопротивления Л, которая ограничивается пря- мой II и пунктирной линией /V-7V. Каждая кривая соответствует определён- ному значению относительной шероховатости. Границы: d d Л? = 20—+ 500-“-. А, Аэ 4. Зона квадратичного сопротивления В, которая представлена горизон- тальными прямыми графика, т. к. здесь 1 от числа Ле не зависит. Граница - Ле i 500—. Дэ Многочисленные более поздние исследования в трубах с естественной шероховатостью обнаружили некоторые отличия в виде экспериментальных кривых, касающиеся области доквадратичного сопротивления. Похожие гра- фики были предложены Кольбруком, Г. А. Муриным и другими. Позднее та- кой график строился но ф. (4.80) А. Д. Альтшуля. 134
На графике Мурина (рис. 431) вид кривых отличается от графика Ни- курадзе (в зоне Л). Это объясняют неравномерностью шероховатости техни- ческих труб. При увеличении числа Re в соприкосновение с турбулентным ядром вступают вначале более высокие выступы, а потом постепенно осталь- ные, чем, как считают, обусловлено плавное снижение ординат в зоне Л. >.хЮ‘3 10’xrf/A Число Рейнольдса Ле Рис. 4.31. График Мурина 135
4.20.5. Средняя скорость равномерного движения. Коэффициент Шези Для определения скорости равномерного движения часто используют формулу, полученную из формулы Дарси-Вейсбаха ' 4Л 2g N х i где R - гидравлический радиус. г После преобразования с учетом тою, что — = /- гидравлический ук- лон, и ввода обозначения формула примет вид ю = С^№. (4.84) Данная формула носит название формулы Шези, а коэффициент С - коэффициента Шези. Для определения величины С, так же как и для X, бы- ло предложено много формул, в основном эмпирических. Для предваритель- ных расчетов часто используют формулу Маннинга 1 1 C = ~Rt- (4-85) Кроме того, имеется универсальная формула Н. Н. Павловского С = (4.86) В этих формулах: п - коэффициент шероховатости, определяемый по справочным данным; у - переменный показатель степени: у = 2,5-7» - 0,13 - 0,75д/g(у/п - 0,1). (4.87) По формуле Павловского для значения С составлены обширные таблицы для разных значений п и Л, которые значительно облегчают расчёты. Коэффициент X может быть определён из связи с коэффициентом С 136
Х=(*. (488) где С можно определить по одной из формул, или взять его значения из спра- вочных таблиц (см. ПРИЛОЖЕНИЕ., табл.13, 15). Итак, в разделе «Гидродинамика» были рассмотрены основные уравне- ния, связывающие параметры характеристики движения. Приведены форму- лы и зависимости для определения потерь напора, что позволяет решать мно- гие практические задачи. Контрольные вопросы 1. По каким признакам отличается установившееся движение от неуста- новившегося, равномерное от неравномерного, напорное от безнапорного? 2. Чем отличается траектория движения частицы от линии тока? Когда они совпадают? 3. Что такое струйная модель потока? 4. Что такое расход жидкости? Может ли меняться расход вдоль потока жидкости при установившемся движении? 5. Что такое местная и средняя скорость? 6. Можно ли измерить скорость в сечении струйки? 7. Что такое смоченный периметр, гидравлический радиус? 8. Как объяснить физический смысл уравнения неразрывности элемен- тарной струйки и для потока жидкости? 9. Как изменяется средняя скорость в сечениях установившегося потока при постоянной площади живого сечения, при ее увеличении или уменьше- нии? 10. Какой закон механики выражает уравнение неразрывности? 11. Какое свойство элементарной струйки использовано при обосновании уравнения неразрывности? 12. Что означают члены уравнения Бернулли в геометрической интерпре- 137
тации? В энергетической? 13. Раскройте смысл коэффициента Кориолиса, Какие значения он может принимать? 14. Чем отличается уравнение Бернулли для элементарной струйки иде- альной жидкости от соответствующего уравнения для сгруйки вязкой жидко- сти? 15. Какой вид имеет уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости при установившемся движении жидкости? 16. Какой физический закон выражает уравнение Бернулли? 17. Что такое удельная энергия? 18. Что такое пьезометрическая и напорная линии; пьезометрический и гидравлический уклоны? Как могут меняться уклоны? 19. На каких участках и почему пьезометрическая и напорная линии сбли- жаются, расходятся, идут параллельно? Каковы при этом соотношения между гидравлическим и пьезометрическим уклонами? 20. Какая удельная энергия всегда только убывает вдоль потока вязкой жидкости? 21. Что происходит с потерей энергии вдоль потока вязкой жидкости? 22. Каковы основные особенности механизма движения при ламинарном и турбулентном режимах? 23. Как зависят потери напора при ламинарном и турбулентном режимах от средней скорости? 24. Что такое нижнее и верхнее число Рейнольдса? При каких его значени- ях возможен ламинарный режим? 25. Какие бывают гидравлические сопротивления? По каким формулам определяются потери напора: местные и по длине? 26. От каких факторов зависят потери напора по длине? 27. Функцией каких параметров является коэффициент сопротивления X ? 28. Как определяется коэффициент Дарси при ламинарном режиме? 138
29. Какова структура турбулентного потока? 30. Какой смысл вкладывается в понятия «гидравлически гладкие» и «гид- равлически шероховатые» трубы? 31. Что такое «эквивалентная шероховатость», как ее можно определить? 32. Какие имеются рекомендации для определения границ зон турбулент- ного режима? 33. Какие показатели степени у скорости в общем законе сопротивления при различных режимах и в разных зонах сопротивления турбулентного ре- жима? 34. Как экспериментально определяются потери напора по длине? 35. Какие зоны можно выделить на графике Никурадзе? Мурина? 139
Глава 5 НАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДАХ При напорном движении трубопровод работает полным сечением, при постоянном напоре движение жидкости является установившимся. Живое сечение потока равно поперечному сечению трубопровода. 5.1. Классификация трубопроводов • Прежде всего, трубопроводы мо- — iyr быть подразделены в соответствии с на- . >- значением: хозяйственно-питьевые, произ- водственные, противопожарные водопроводы, маслопроводы гидроприводов машин и т. д. В О» основном состав таких систем, соединения труб однотипны, а следовательно, и принци- Рис. 5.1. Простой трубопровод пы, положенные в основу расчета, одинаковы. • Трубопроводы различаются по характеру питания: самотечные, питающиеся от водонапорной башни или питающего бака, и с принуди- тельным питанием - при подаче жидкости насосом. • Трубопроводы могут быть простыми и сложными. Простым трубопроводом называют трубопровод, составленный из труб одинакового поперечного сечения, не имеющий ответвлений, через ко- торый подается некоторый постоянный расход жидкости Q (рис. 5.1). Сложный трубопровод представляет собой систему, состояп^ую из некоторого количества простых трубопроводов, соединенных между собой каким либо способом. Сложные системы могут быть разомкнутые с последовательным со- единением трубопроводов (рис. 5.2, а) и тупиковые (рис. 5.2, б), или кольце- вые (рис. 5.2, в), которые также еще называются системами с параллельным соединением труб. 140
Если количество участков в системах велико, то они относятся к слож- ным распределительным сетям, которые в данном курсе не рассматриваются. Простой трубопровод и участки сложного характеризуются внутрен- ним диаметром труб d и длиной /. • При небольшой длине (примерно до 200 метров), а главное, при значи- тельной величине местных потерь напора, которая может превышать 1045% от потерь по длине, простой трубопровод считают коротким. В противном случае трубопровод является длинным. При этом имеется некоторое отличие в методи- ке расчета, хотя уравнения, положенные в основу расчета, одни и те же: о уравнение неразрывности (уравнение баланса расхода) (4.17); о уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости (уравнение баланса удельной энергии) (4.29); о формулы для определения потерь напора (435,436,4.40 ). 5.2. Методика применения уравнения Бернулли для расчета трубопроводов Использование методики рассматривается для определения входящих в уравнение Бернулли параметров на примере двух простых коротких трубо- проводов, составляющих сеть насосной установки (рис. 53). 141
1. Выбираются два сечения, которые будут соединяться уравнением Бернулли, например, 7-7 и 2-2, 3-3 и 4-4 (хотя в этом примере нельзя соеди- нять уравнением сечения 2-2 и 3-3, так как между ними находится насос - на- поросоздающий аппарат). Рис. 5.3. К пояснению методики применения уравнения Бернулли Сечения назначаются такие, в которых известно наибольшее число па- раметров, входящих в уравнение, или те, для которых параметры надо опре- делить. В качестве таких сечений принимаются поперечные сечения трубо- провода, где установлены приборы для измерения давления 2-2,3-3 или сво- бодная поверхность жидкости в резервуарах 1-7,4-4. 2. Сечения нумеруются по направлению движения жидкости. Это обусловлено тем, что потери напора в гидравлических сопротивлениях уве- личиваются по ходу движения и дополнительный член уравнения hw, учиты- вающий эти потери, должен получиться со знаком плюс. 3. Проводится горизонтальная плоскость сравнения (0-0) таким образом, чтобы было удобно определять геометрический напор. Ее лучше всего проводить через нижнее из сечений. Тогда для этого сечения z = 0 (так, z2 “ 0 и z3 == 0), а для сечений, расположенных выше, z положительно (zi - z* = h\+ Л). Следует помнить, что отсчеты 1еометрической высоты сечения Z от плоскости сравнения вверх считаются положительными, вниз - отрицатель- ными. 4. Записывается в общем виде уравнение Бернулли, как правило, для потока вязкой жидкости. 5. Затем определяются все параметры для сечений. 142
• В уравнение Бернулли рекомендуется подставлять абсолютное давленые в выбранных сечениях. Это позволит избежать ошибок в расчетах. Так, для сечений на рис. 5.3. Р\=Р», Р2=РгРъ РЗ=РЛ+Рм; Р4=А> где и рм ~ показания вакуумметра и манометра. • Для сечений, которые проведены по поверхности жидкости (1-1, 4-4) и имеют большую площадь, скорость принимается равной нулю (i)i " 0 и щ = 0). В сечениях трубопровода средняя скорость определяется по формуле __ 40 ® nd2 * 6. Значения всех входящих величин в буквенных обозначениях под- ставляются в уравнение, и оно решается относительно неизвестного пара- метра. Затем выполняется числовой расчет. 53. Расчет простых коротких трубопроводов При расчете простых трубопроводов в зависимости от известных и оп- ределяемых параметров меняется порядок расчета. Поэтому в решении задач часто выделяют три характерных типа. I. Заданы схема трубопровода, место питания, его длина и диаметр, а также величина расхода. Требуется определить напор, необходимый для преодоления сил сопротивления при движении жидкости по трубопроводу. II. Заданы схема трубопровода, место питания, его длина и диаметр, а также действующий напор высотой установки питающего бака или давлени- ем в начале трубопровода. Требуется определить расход. Ш. Заданы схема трубопровода (его плановое с известной длиной и вы- сотное положение), расход и действующий напор. Требуется подобрать его диаметр. Это наиболее трудоемкая задача, которая решается перебором ва- риантов диаметров. 143
53.1. Истечение жидкости под уровень Рассматривается случаи истечения жидкости под уровень по короткому простому трубопроводу диаметром d и длиной / (рис. 5.4). Движение жидко- сти - установившееся: скорость » в трубопроводе не изменяется во времени; равномерное - скорость по длине трубопровода постоянна. Разность Н уров- ней в сосудах, соединяемых трубопроводом, постоянна. Требуется опреде- лить величину расхода Q в сечениях трубопровода, т. е. в такой постановке задача относится к 1 типу. Рис. 5.4. Истечение подуровень через простой короткий трубопровод: .......—пьезометрическая линия;------ линия полного напора Предлагается следующий ход решения. 1. Намечаются два сечения по свободным поверхностям жидкости. Выбор сечений обусловлен известным давлением: для открытых резервуаров на поверхности давление атмосферное. Известна также скорость, как поясня- лось в методике, для резервуаров она мала и в расчетах ею пренебрегают. 2. Сечения нумеруются по направлению движения воды. 3. Через нижнее сечение проводится плоскость сравнения 0-0. 4. Записывается уравнение Бернулли в общем виде: Z^+^ Pg 2g 2 Pg 2g 144
5. Определяются все слагаемые в буквенном выражении: zi=H; р\ рг =а; t>i =0; «2 - 0. К =S Лг+Л/ =*гвх+АГ1ад» + 2*г|ми|+*гВЫх+Л/^ где ^вх’Ллгадв’Лгкш1’ЛгВЫх_ местные потери напора на входе в трубопровод, при прохождении через задвижку, при повороте потока в коленах и при вы- ходе потока из трубы в резервуар. Полные потери напора после подстановки в соответствии с формулами (4.36 и 4.40) определяются по формуле: , г °2 г or °2 г И2 1 f р2 /V'r 1 ~ ?вх у“ + Смшв + + £вых ~ “СЕХ + 9 * 2g 2g 2g 2g a 2g a 2g 6. При подстановке значений слш'аемых уравнение принимает вид и = Ли, (5.1) 2 * ИЛИ Я = + (5.2) 2g а Как можно видеть, весь действующий напор, равный разности уров- ней жидкости в резервуарах, тратится на потери напора в трубопроводе. Далее должен быть выполнен числовой расчет, который предполага- ет следующий порядок. 1. , По заданному расходу Q определяется средняя скорость в трубо- проводе по формуле: ° ж/2 2. Определяется режим течения жидкости в трубопроводе, для этого рассчитывается число Рейнольдса: 145
3. По справочным таблицам определяются коэффициенты местных со- противлений g и при необходимости поправки на ламинарное движение жид- кости (ПРИЛОЖЕНИЕ, табл. 6 и 7). В соответствии с режимом или областью сопротивления турбулентного режима выбирается расчетная формула для определения коэффициента Дарси (рис. 5.5 ). 4. После подстановки всех значений в формулу (5.2) может быть рассчи- тан потребный напор Я. Рис. 5.5. Блок-схема для определения потерь напора по длине 146
При решении задач II типа для нахождения расхода Q из уравнения (5.2) определяется скорость I 2gH о= (5.3) I и Тогда расход будет равен С— Г?*- ;. (5.4) Величина, часто называемая коэффициентом расхода, 14“ I------------------------------Ц- (5.5) V а остается постоянной для данного трубопровода при турбулентном режиме в квадратичной области сопротивления. Формула расхода принимает вид (5.6) Для данного типа задач ход числового расчета может быть выполнен в следующей последовательности. 1. Так как неизвестна скорость и, следовательно, нельзя определить режим течения, расчет начинают, считая в первом приближении, что режим - турбулентный, область сопротивления - квадратичная. Коэффициент Дар- си, приняв шероховатость в соответствии с описанием труб по таблице (см. ПРИЛОЖЕНИЕ, табл.9), определяют по формуле Шифринсона \0»25 Х = 0,11 . {d ) 2. По справочным таблицам определяются коэффициенты местных со- противлений С, (ПРИЛОЖЕНИЕ, табл.6) 3. По формуле 5.3 определяют среднюю скорость ». 4. Затем выполняется проверка режима, т. е. по вычисленной скорости рассчитывается число Рейнольдса и определяется режим течения. Если режим турбулентный, уточняется область сопротивления в соответствии с границами 147
зон турбулентности: d d Яе<20—, Яе>500—. Лэ Лэ Если получена квадратичная область сопротивления, можно считать ве- личину расхода В противном случае надо выполнить второе приближение^ т. е. по полу- ченному числу Рейнольдса, выбирается расчетная формула для коэффициента Дарси и вновь рассчитывается скорость и выполняется проверка. Как правило, второе приближение оказывается достаточным. На схеме трубопровода (см. рис. 5.4) представлена диаграмма уравне- ния, построена пьезометрическая линия и линия полного напора, которые параллельны между собой, так как скоростной напор по длине трубопровода одинаков. Заштрихованная область на диаграмме - эпюра потерь напора: , Л/2, А/з - потери напора по длине прямых участков трубопровода. 5.3.2. Определение высоты установки центробежного насоса Всасывающей трубой (линией) центробежного насоса называется тру- бопровод, по которому в насос поступает жидкость из питающего бассейна. Чтобы лопастной насос при включении электродвигателя запустился и начал подавать жидкость в напорный трубопровод, необходимо обеспечить заполнение жидкостью всей его всасывающей линии и камеры рабочего ко- леса. Все режимы работы и различные способы запуска лопастных насосов сводятся к осуществлению этого основного требования. •Насос может быть установлен «под заливом», т. е. ниже уровня жидко- сти в источнике питания (см. рис. 5.3.). Это - так называемая отрицательная высота всасывания. При этом всасывающая линия и камера рабочего колеса всегда заполнены водой и никаких трудностей при запуске насоса не возни- кает. 148
•Очень часто насос устанавливается выше отметки уровня жидкости в нижнем бассейне (рис. 5.6). Тогда для запуска насоса его приходится предва- рительно заливать жидкостью или создавать вакуум во всасывающей трубе с помощью специального вакуум-насоса. Рис. 5.6. Всасывающая труба центробежною насоса Величина вакуума рв и высота установки насоса Н„ - связанные между собой параметры. Связь между ними можно установить с помощью уравне- ния Бернулли. 1. Намечаются два сечения: /-/ - по свободной поверхности жидкости в бассейне и 2-2 - по трубопроводу в месте установки вакуумметра. 2. Сечения пронумерованы по направлению движения жидкости. 3. Через нижнее сечение проводится плоскость сравнения 0-0. 4. Записывается уравнение Бернулли в общем виде: _ 2 _ 2 _ . Pl , <Xi»i _ , , Рг , <Х2»2 , * Z1 Ч----l----- = z24 + ---1-Л . Pg 2g pg 2g 5. Определяются все слагаемые: Zi=0; г2 = Я„; Pl =Ра> Р2 =Ра~Рв1 »1 = 0; 02 = о. 149
Потери напора при движении жидкости между рассматриваемыми се- чениями = ZA, + A, =hrta +л,эд,+Л,тя+Л1> где ^гсет^гмдв^псоя" местные потери напора во всасывающем клапане с сеткой, при прохождении через задвижку, при повороте потока в колене. Полные потери напора определяются по формуле »2 г о2 r v2 - I о2 — r I v2 Л = С-»,-----ь Сия»--н Сипл--ь А-----= (У С + А - )- —. г Ьст2^ ьМДв2^ ^2g d 2g <T2g 6. При подстановке значений слагаемых уравнение принимает вид 2 2 » ------+ ~— + С +А-~) Pg Pg 2g 2g d А Pg или Яи = /’й._£2_(а+5:с+х1). (5.7) Pg 2g d Фактором, ограничивающим высоту установки насоса, является до- пустимая величина вакуума, обеспечивающая безопасную (без возникнове- ния кавитации) работу агрегата. Его значения приводятся в техническом пас- порте машины. Если в рассмотренной задаче предположить, что рв, Яи и расход Q из- вестны, а требуется подобрать диаметр трубы, то по постановке задача будет Рис. 5.7. Определение диаметра трубопровода отнесена к Ш типу. Тогда на основании (5.7) можно определить затраченный в гидравли- ческих сопротивлениях напор В формуле скорость выражена через расход. Чтобы решить задачу определения диаметра можно применить графический метод (рис. 5.7). Задаваясь значениями диа- метров в соответствии с заданным расходом, 150
несколько раз решается задача первого типа, определяется Н. Затем строится график зависимости по которому, проведя линию, соответствующую заданному Я, до пересечения с кривой, находят расчетный диаметр 5.33. Понятие эквивалентной длины. Обобщенные параметры При расчете трубопроводов полные потери напора могут рассчитывать- ся как потери по длине. Для этого местные сопротивления условно заменяют- ся прямолинейными участками эквивалентной длины. Эквивалентной длиной /экв называется такая длина прямой трубы, для которой потери напора равны (эквивалентны) потерям напора в данном ме- стном сопротивлении при одних и тех же условиях. На основании определения получается: йг~~ й/ЗКЛ откуда (5.8) Л Полные потери напора в гидравлических сопротивлениях с учетом эк- вивалентной длины определятся по зависимости I п2 hw = hr + h^k-^~-, (5.9) « 2g где расчетная длина трубопровода определяется как сумма действитель- ной длины трубопровода / и эквивалентной длины 23/экв, получаемой при за- мене местных сопротивлений прямыми участками: ^расч= / + Часто при расчете труб (а также для русел любой формы) в формуле определения потерь по длине или полных потерь в соответствии с (5.9) удоб- нее использовать вместо скорости расход жидкости, а именно 151
Q 40 Тогда » = - (D kJ2’ л -x1 °2 Я1~Л —%-Л2/. d2g K2gd5^ Коэффициент Л 8Х nW’ (5-Ю) называется удельным сопротивлением трубопровода (сопротивлением еди- ницы длины), и потери по длине рассчитываются по формуле hr^A&L (5.11) Произведение = 7- это гидравлический уклон, т. е. потери напора на единице длины. Коэффициент Дарси X связан с коэффициентом Шези С по формуле , 8g (4.88): Л. = Т;Г. Используя эту связь, можно получить еще один параметр для опреде- ления потерь по длине. При этом диаметр трубы d выражается через гидрав- лический радиус Л: d ~ 4 R. Тогда потери по длине *' d2g C24Ru*2g* ИЛИ 02Z (5.12) л где К = Co)4r называется расходной характеристикой русла, или мо- дулем расхода. Итак, параметры А и К называются обобщенными параметрами^ так как в них включены основные факторы, влияющие на величину потерь напо- ра в трубе постоянного сечения. Кроме того, в квадратичной области сопро- тивления турбулентного режима их значения будут оставаться постоянными. 152
Параметры связаны между собой зависимостью /1 = 7?. (5.13) л Значения их приводятся в таблицах для некоторых видов труб в зави- симости от диаметра и шероховатости (ПРИЛОЖЕНИЕ, табл. 11). Кроме рассмотренных обобщенных параметров используется параметр, называемый полным сопротивлением трубопровода а-А I, (5.14) который удобно использовать при анализе работы трубопровода. Так, опре- деляя потери напора по формуле А/“«б2, (5.15) можно построить 1рафическую зависимость* условно называемую характе- ристикой сети. Условно, так как известно, что при небольших скоростях за- висимость эта более сложная и соответствует общему закону сопротивления. Движение воды в трубах чаще всего турбулентное, область сопротив- ления - квадратичная или близка к квадратичной. Начальные скорости квад- ратичной области сопротивления могут быть для трубопроводов приняты по ПРИЛОЖЕНИЮ, табл. 8. В случае доквадратичной области в формулу мо- жет быть легко введена поправка, значение которой также приводится в справочной литературе (ПРИЛОЖЕНИЕ, табл. 12). 5.3.4. Определение рабочего режима насосной установки Всякая насосная установка состоит из насоса и сети, включающей, по крайней мере, два трубопровода (см. рис. 5.3), и ее работа определяется как самим насосом, так и сетью. Насосом называется машина, предназначенная для перекачивания жидкости. Механическую энергию приводного двигателя насос преобразует в гидравлическую энергию движущейся жидкости. Насосы поднимают жид- кость на определенную высоту, а также перемещают ее на необходимое рас- стояние. Насосы применяют для перекачивания холодной, горячей и перегре- 153
той воды, нефти, нефтепродуктов, глинистых растворов, пульпы и т. д. Насо- сы применяют при осушении месторождении, бурении скважин, вскрыше месторождений при разработке их открытым способом, разработке месторо- ждений полезных ископаемых гидравлическими способами и др. Основными параметрами насосов, характеризующими их работу, яв- ляются: напор Н9 подача Q, мощность N и коэффициент полезного действия Ч(КПД). Обычно насос или группа насосов подбираются по максимальной ве- личине требуемой подачи насоса - расхода Q. Однако в условиях эксплуата- ции часто оказывается необходимым изменять, регулировать подачу насоса в довольно широких пределах. Для установившегося режима работы насосной установки необходимо соблюдение баланса - материального и энергетического. Условие материально- го баланса определяется равенством подачи насоса с расходом сети gH - gTp; условие энергетического баланса определяется равенством напоров насоса и сети, т. е.Ян = Ятр. Напор, создаваемый насосом, определяется как разность полных напо- ров в сечениях на выходе из насоса(3-3, см. рис. 5.3) и на входе в него (2 -2). ЯН = Я3-Я2. (5.16) Полные напоры Н2 и Н3 выражаются с помощью уравнения Бернулли при учете движения жидкости в трубопроводах сети: тогда Ня = Н^ = Н^+к ll ”3—4 "1—2 (5.17) т. е. потребный для данной сети напор при подаче Q определяется разностью удельных энергий в конце и в начале сети и величиной потерь энергии на преодоление сопротивлений на всем пути движения жидкости от места забо- ра на поверхности питающего резервуара (сечение 1-1) до места приема ее на 154
поверхности в потребляющем резервуаре (4 -4). При подстановке значений Н4 , Н\ и Л общее уравнение (5.17) пре- образуется в формулу для конкретного примера на рис. 5.3: я4 = а + Л1+^; pg Pg (скорости в резервуарах не учитываются вследствие малости), и окончательно Ян=Ятр=Л + Й„4 = Л + аб2, (5.18) ГДе а /4 /расч* Фактическая подача насоса и создаваемый при этом напор в данной се- ти (рабочий режим) определяются точкой пересечения напорно-расходной характеристики насоса с характеристикой сети. Данные для построения ха- рактеристики насоса берутся из его технического паспорта. Характеристикой сети называется графическая зависимость потреб- ного для работы сети напора от расхода Она строится по уравнению (5.18). После построения данной кри- вой на этом же графике (рис. 5.8) строится кривая НИ для насоса. Точка пересечения характеристик се- ти и насоса является рабочей точкой С, которая соответствует условию ра- венства потребного напора, распола- Рис. 5.8. Характеристики насоса и сети гаемому и, следовательно, устано- вившемуся режиму работы насоса. После определения напора и подачи насоса может быть определена по- лезная и потребляемая мощность насоса: N^pQ^pgHQ, (5.19) 155
^потр=—— • (5.20) Рекомендуемые режимы работы насосов соответствуют области наибо- лее высоких коэффициентов полезного действия. 5.4. Основы гидравлического расчета сложных трубопроводных систем В сложных системах трубопроводы на отдельных участках чаще всего бывают длинными. В этих случаях основными являются потери напора по длине. Местные потери напора при этом могут не учитываться, или могут быть заданы, как часть потерь по длине. Например, ЕАг-(10-15)%А6 тогда К = », + >/ = (1,1-1,15) Л,. (5.21) Причем, как правило, для определения потерь по длине используют обобщенные параметры, например - удельное сопротивление А: ht=A&l. При расчете сложных трубопроводов, так же, как и простых коротких, встречаются следующие типы задач. 1. Заданы плановое начертание сети, места питания, длина и диаметры отдельных участков, а также распределение расхода по узлам. Требуется оп- ределить напор, необходимый для преодоления сил сопротивления при движении жидкости по сети. 2. Заданы плановое начертание сети, места питания, длина и диаметры отдельных участков и требуемые напоры. Расчетом определяется расход, по- ступающий в сеть и его распределение по отдельным участкам. 3. Заданы плановое и высотное положение сети, а также желательное распределение расходов. Требуется подобрать диаметры отдельных участ- ков. Это наиболее трудоемкая задача, которая решается перебором вариантов диаметров, если задан напор и расход. Для предварительных расчетов часто используются рекомендации технико-экономического расчета. Если требует- 156
ся определять диаметр трубопровода и необходимый напор (выбор насоса, обеспечивающего величину напора, или нахождения высоты водонапорной башни) по заданным значениям расхода и расстояния, на которое транспор- тируется жидкость, решение задачи становится неопределенным, так как не- известных уже две величины: напор и потери напора. В этом случае вво- дится дополнительное условие, которым является экономичность трубопро- вода, т. е. минимум приведенных затрат на сооружение трубопровода и его эксплуатацию. Здесь варьируют строительной стоимостью трубопровода, которая тем больше, чем больше диаметр трубы, и эксплуатационными затратами, вклю- чающими стоимость электроэнергии, а также затратами на текущее обслужи- вание насосной установки, возрастающими с ростом мощности. При этом, чем меньше диаметр трубы (больше ее удельное сопротивление А), тем боль- ший напор должен создавать насос и тем большую мощность потребляет его двигатель. Следовательно, пропорционально мощности увеличатся экс- плуатационные затраты. При этом можно отметить, что вопросы технико- экономического расчета исследованы достаточно давно, на основании чего при ориентировочных расчетах используют так называемые экономические скорости: значения оптимальных скоростей потоков. Так, например, для шахтных водоотливных трубопроводов, проложенных в вертикальных ство- лах глубиной 400-700 м, принимают v3K — 2+2,5 м/с. Для ориентировочного определения наивыгоднейшего диаметра трубо- провода d можно пользоваться табл. 5.1, а также формулой В. Г. Лобачева </ = (0,8-1,2)2 °’42, (5.22) где Q - расход жидкости в м3/с. Таблица 5.1 Значения экономичной скорости для некоторых диаметров труб d, м 0,10 0,20 0,25 0,30 Сэю М/С 0,75 0,90 1,10 1,25 157
5.4.1. Системы с последовательным соединением труб При последовательном соединении нескольких простых трубопроводов возможны две следующие схемы: • расход на всех участках системы постоянен (рис. 5.9); • в системе имеются промежуточные потребители, т. е. в конце каж- дого участка производится отбор жидкости с некоторым расходом (рис. 5.10). Рис. 5.9. Трубопровод с последовательным соединением труб с постоянным расходом Из резервуара А в резервуар В поступает расход Q по трем последова- тельно соединенным трубам с известными геометрическими характеристи- ками участков: dh /j; d2, d^ h (рис. 5.9). Разность уровней жидкости в ре- зервуарах Н известна. Местные потери напора могут быть учтены, как со- ставляющие 10 % от потерь напора по длине. Требуется определить величину расхода Q. Для связи указанных на схеме сечений I-I и П-П снова воспользуемся уравнением Бернулли для потока жидкости. Так как участки трубопроводной системы пронумерованы арабскими цифрами, нумерация сечений выполнена римскими. 158
, +А+М pg 2g =2u+^+^+Aw Pg 2g *-" zi=tf; Zu- 0; Pl-Pn Pll ~Pv t>i-0; »n = 0. При последовательном соединении потери напора во всей системе оп- ределяются сложением потерь напора на отдельных участках. ^WCHCT ~~ • При подстановке значений и преобразовании уравнение приобретает вид Я = Л ==£* (5.23) И’сист 9VJ \ ' Сравнивая полученный результат с результатом для примера расчета простого трубопровода, можно отметить, что при истечении под уровень как бы не соединялись резервуары, всегда действующий напор, выраженный разностью уровней жидкости в резервуарах, полностью тратится на потери напора в гидравлических сопротивлениях. На каждом участке в соответствии с поставленной задачей потери на- пора определятся следующим образом: =£hri +hlt =0,1Л/( +hti = 1,1^ =1ДЛеЧ- Здесь Q без индекса, так как расход на участках сети постоянен. При подстановке этих значений формула (5.23) приобретает вид: -хмдеч откуда Л I и Q= ~з----------- (5-24) 11,1 V 159
В более общем случае коэффициент 1,1 может принять другое значе- ние в зависимости от заданного значения S hri. Диаграмма уравнения Бернулли строится на схеме системы. Для этого проводятся вертикальные границы участков. Затем в конце каждого участка от линии начального напора (верхняя горизонтальная линия) вниз отклады- вается величина потерь напора на данном участке с учетом потерь напора на предыдущих участках. Затем точку начала движения соединяют с полу- ченными точками. Данная линия - напорная, но ее чаще называют пьезо- метрической, так как в длинных трубопроводах скоростной напор невелик (порядка нескольких сотых метра) и его, как правило, не учитывают. Следо- вательно, напорная и пьезометрическая линия совпадают. Заштрихованные треугольники - эпюры потерь напора на каждом участке. (Возможны вариан- ты штриховки потерь напора от начала движения). Если имеются промежуточные потребители при движении потока (рис. 5.10), т. е. часть подаваемой в систему жидкости выводится из нее по мере движения к концу системы, то совместно с уравнением Бернулли необ- ходимо использовать уравнения баланса расхода, которые отразят величину расхода на участках в соответствии с заданным расходом у потребителей. Так, для схемы на рис. 5.10 величина расхода на участках S1 - бл+ g*+ go бз - g«+ Qc, Q1 = go И потери напора на каждом участке определяются по величине расхода в его сечениях Пусть требуется для системы (см. рис. 5.10) определить величину избы- точного давления в начале напорной линии насосной установки, которая представляет Собой систему трех последовательно соединенных участков с различной геометрической характеристикой: </], d2, /2; /з* Также извес- тен напор в конечной точке системы необходимый для работы потреби- ло
геля в данной точке. Как один из возможных вариантов, местные потери в Р» . ап°п . JL pg 2g Для указанных на схеме сечений I-I и П-П и плоскости сравнения 0-0 слагаемые в уравнении Бернулли Pl **+~ +Ч7-=г" Pg 2g определятся следующим образом: Zi^O; Ру=Р»+Рм, 2п = 0; Рп =P»+Pgkc, (5.25) Скоростной напор в расчетах длинных трубопроводов вследствие мало- сти по сравнению с другими слагаемыми не учитывается. Из уравнения Бер- нулли следует л=3 + ЕАйЧ. i=J А_ + £м = А , Pg*c Р? Pg Р? pg 16]
и я=3 + (5-26) РАГ Итак, действующий напор, который соответствует избыточному дав- лению в начале нагнетательной линии, расходуется на создание остаточного потенциального (статического) напора в конечной точке и на потери напора в гидравлических сопротивлениях всей системы. Тогда показание манометра составит л=3 Рм = pg( hc + ЕД ft h ) (5-27) Рм При построении пьезометрической линии вначале определяется —. Пьезометрическая высота откладывается вверх от плоскости сравнения в се- чении I-I. На этом уровне проводится горизонтальная линия - линия началь- ного напора. Далее построение выполняется так же, как в предыдущем при- мере. В конце каждого участка от линии начального напора вниз откладыва- ется величина потерь напора с учетом потерь напора на предыдущих участ- ках. Затем точку начала движения соединяют с полученными точками. 5.4.2. Системы с параллельным соединением труб В следующем примере один из участков нагнетательной линии насос- ной установки имеет не одну, а три ветви (рис. 5.11). Так как начало и конец данной системы совершенно такие же, как в предыдущем примере, то и вы- вод из уравнения Бернулли будет таким же, что и ранее: ^- = hc+hw . pg Однако определение потерь напора для данной системы будет иметь свои особенности, которые касаются параллельных ветвей. Параллельными ветвями называются участки трубопровода, соеди- няющие две узловые точки А и В9 имеющие одно начало (т. А) и один конец (т. В). Если в эти точки для наглядности установить пьезометры, то можно 162
хорошо видеть, что потери напора для всего закольцованного соединения труб и для каждой ветви в отдельности одинаковы: Каг hA~hs~ hW2 = hW3 = или, если перейти к потерям по длине Йд = Йд = Й/д. (5.28) Совершенно очевидно, что при расчете потерь напора в системе, потери на- пора в кольце должны быть учтены только один раз: й +й . (5.29) жевет wi«wi w5 x 7 Выполнить расчет й^^ можно по любой из ветвей, но сделать это возможно только после определения расхода на участках в кольце. Для этого используются записанные на основании (5.28) зависимости и уравнение баланса расхода в кольце: расход, подводимый к кольцу, делится на расходы по ветвям кольца (в данном примере на три расхода). Итак, имеются три неизвестных и три уравнения ^262^2 = Л3е32/3; <4в?/3-44£/4; (5.зо) епод, =6^+60=62+63+64- 163
Из первых двух уравнений получаются соотношения: (5.31) При подстановке этих значений в 3 уравнение а»=а+е * а. # =а а+ V Л3*3 V Л4*4 определяется расход в одной из ветвей: (5.32) Для решения уравнений в первом приближении значения принимают, полагая наличие в трубах турбулентного течения с квадратичным сопротив- лением. Как уже отмечалось ранее, решив уравнения в соответствии с приня- тыми удельными сопротивлениями А (по ПРИЛОЖЕНИЮ, табл. 11) и опре- делив расходы, выполняют решение во втором приближении, внося поправку в Л на неквадратичность сопротивления (при необходимости). Окончательно Рм = + ^101 А + ^202^2 + ^505 где в соответствии со схемой Qi = 0<+ 0»+ 0с5 Qs ~ (2с* Построение пьезометрической линии аналогично построению ее в ра- зобранном выше примере, 5.43. Трубопровод с переменным по длине трубы расходом В предыдущих примерах рассматривались случаи, когда расход на отдельно взятом участке оставался постоянным, а в трубопроводной системе или оста- вался постоянным или отбор жидкости выполнялся в конце участка. Однако в практике имеются трубопроводы, в которых происходит изменение расхода по длине (рис. 5.12). На схеме изображен трубопровод, в котором два участка со- 164
единены последовательно. Однако по длине второго участка происходит так называемая путевая раздача, общий расход которой в конце участка состав- ляет 2пуТ. Расход жидкости, присутствующий в трубе постоянно и выводимый из нее в конце трубы, называют транзитным расходом. Общий расход, под- водимый ко второму участку (равный расходу на первом участке), Q ~ впут • На схеме (см. рис. 5.12) изображена эпюра расхода. Величина расхода на втором участке в сечениях по его длине переменна. бпут Рис. 5Д2. Трубопровод с участком путевой раздачи расхода Для сечения, взятого на расстоянии х от начала участка, в случае рав- номерного изменения расхода gnyT по длине 4, расход составит Для бесконечно малого участка длиной dx, расход на котором можно считать постоянным и равным Qx, потери напора определятся: </Л/=Л2 Qx2dx. Интегрированием выражения находятся потери напора по длине всего участка h о 165
После интегрирования, подстановки пределов и выполнения преобра- зований потери напора по длине данного участка будут рассчитываться по формуле: О2 + (5.33) Если транзитный расход отсутствует, то величина потерь напора (534) т. е. при путевом отборе жидкости из трубопровода потери напора в три раза меньше, чем при движении такого же транзитного расхода. Выражение в скобке в формуле (5.33) часто представляют в виде О2 (% + +-f-=(Qr„+о^е^)2, и вводят понятие расчетного расхода 6^+0*556^, (5.35) значение которого подставляется в формулу определения потерь напора: Лд = Лг Q2 5.4.4. Тупиковые системы Распределительные сети, кроме замкнутых кольцевых, рассмотренных в 5.4.2., могут быть разомкнутыми - тупиковыми (рис. 5.13). Они состоят из ма- гистрали и отдельных ветвей, заканчивающихся непосредственно у потреби- теля. Исходными данными для расчета тупиковой системы являются: длины отдельных участков //, расходы у потребителей Q: отделяемые в каждом узле магистральной линии (ухтовые расходы) и непосредственно в конце участка (возможная путевая раздача на каждом или некоторых участках системы в дан- ном примере не рассматривается). Кроме этого, могут быть заданы высотные привязки (геодезические, строительные или монтажшяе) в узловых точках сис- 166
темы и у потребителей и так называемые допускаемые остаточные статиче- ские (потенциальные) напоры, равные разности отметок пьезометрической ли- нии и отметок трубопровода в узловых точках системы. (В литературе часто эти напоры называют свободными). Величина необходимого остаточного напора зависит от объекта, который обеспечивается водой и устанавливается соот- ветствующими техническими условиями. При расчете обязательным явля- ется условие, чтобы фактические остаточные напоры у потребителей (Ло //£, см. рис. 5.13) были больше или равнялись заданным по технологическим Как уже известно, из анализа систем в предыдущих примерах с помо- щью уравнения Бернулли, напор, созданный в начале системы, при движении жидкости тратится на создание необходимого остаточного напора и на потери напора в гидравлических сопротивлениях. Поэтому, не рассматривая приме- нение уравнения Бернулли для каждого участка системы отдельно, для не- сложных тупиковых систем (см. рис. 5.13) может быть предложена следующая схема расчета. 1. Определяются расходы в сечениях участков через заданные расхо- 167
ды у потребителей: Q^Q^Qd + QfA Qi^Qd + Qe, 0з = 0с> 04 = &; Й5 = Qe> При незаданных диаметрах участков они предварительно определяют- ся, исходя из значения заданной или принятой экономически наивыгодней- шей скорости (см. табл.5.1) 4=-^ (5.36) Полученные при расчете значения диаметров округляются до ближай- шего значения из стандартного ряда нормальных условных проходов (ПРИ- ЛОЖЕНИЕ, табл.11, 14). Как правило, берется большее значение, чтобы не превышать назначенную величину скорости. Но при больших расхождениях с большим диаметром можно принять ближайшее меньшее значение. 2. Рассчитываются полные потери напора на каждом участке hvi = (1,05-1,15)Аи = (1,05-1,15) A, Q?lh где 1,05^-1,15 - поправочный коэффициент на местные сопротивления, при- нимаемый в соответствии с условием задания. 3. Находится напор, потребный для подачи жидкости каждому потре- бителю по любому из направлений из условия последовательного соединения труб и создания у потребителя заданного остаточного напора. Для рассмат- риваемой схемы до потребителя С Ис “ ^задэ до потребителя D Hj) до потребителя Е Не = 4- hW2 4* hW5 + Азяд. (При выходе в атмосферу не учитывается). 168
4. Потребный действующий напор в начале системы или высота водо- напорной башни Н ( см. рис. 5.13) принимается по максимальной величине из полученных напоров. Пьезометрическая линия для рассмотренной схемы, где потребители расположены на одном уровне, построена в аксонометрии (примерно). Здесь линия начального напора для каждого участка проведена параллельно начер- танию участка. Затем от нее вниз в конце участка отложена величина потерь напора на участке. Минимальный остаточный напор у потребителя (в приме- ре hD) равен заданному по условию задачи Лзад. Если рассчитываются системы для водоснабжения, очень важно учи- тывать геодезические отметки местности. Вначале рассчитывается магист- ральная линия, в качестве которой принимается наиболее нагруженная расхо- дами, наиболее длинная и с наибольшими высотными отметками местности. Расчет участков магистрали аналогичен приведенному выше. Кроме рассмот- ренных остаточных напоров при расчете ответвлений требуется дополни- тельно учитывать высоты, на которые возможна подача жидкости. Потери по длине для труб водоснабжения в соответствии со СНиП 2.04.02-84 (с изм. 1986 г., попр. 2000 г.) определяются по гидравлическому уклону Z, который следует рассчитывать с учетом гидравлического сопро- тивления стыковых соединений I d 2g где (5.37) Значения показателя степени т и коэффициентов Ао, At и С\ для сталь- ных, чугунных, железобетонных, асбестоцементных, пластмассовых и стек- лянных труб должны приниматься по СНиП 2.04.02-84 (с изм. 1986 г., попр. 2000 г.) (ПРИЛОЖЕНИЕ, табл. 10). 169
5.4.5. Гидравлический удар в напорном трубопроводе Гидравлический удар - явление резкого изменения давления в жидко- сти, движущейся в напорном трубопроводе, при значительном мгновенном изменении ее скорости. Это один из примеров неустановившегося движения жидкости. Гидрав- лический удар возникает при внезапной остановке или быстром начале дви- жения потока жидкости в напорных трубопроводах, например, при резком закрытии или открытии задвижки на его конце, при внезапной остановке на- соса, при внезапном снятии нагрузки с турбины и т. д. Повышение давления при этом может оказаться значительным и привести к авариям в системе. Теоретические и экспериментальные исследования гидравлического удара в трубах впервые были выполнены профессором Н. Е. Жуковским (1899 г.), доказавшим в работе «О гидравлическом ударе в водопроводных трубах», что гидравлический удар - быстропротекающий волновой процесс. Различают положительный и отрицательный удар. Положительный удар возникает перед задвижкой и начинается с повышения давления, отри- цательный - связан с понижением давления. Физика явления может быть представлена следующим образом. В мо- мент перекрытия трубы задвижкой ближайший к ней слой жидкости плотно- стью р останавливается. Вслед за ним останавливаются все остальные слои жидкости в трубопроводе вплоть до последнего в точке М у резервуара. Ки- нетическая энергия жидкости переходит в работу деформации жидкости и стенок трубы, т. е. в трубопроводе находится сжатая жидкость под давлением значительно большим, чем давление в резервуаре. Повышение давления при- водит к деформации трубопровода (рис. 5.14, а). Под действием этого давле- ния жидкость приходит в движение по направлению к резервуару. При этом потенциальная энергия деформации стенок преобразуется в кинетическую 170
энергию жидкости и происходит понижение давления от слоя к слою в обратном направлении: от точки М до задвижки. Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими, по- этому они возвращаются к прежнему состоянию, соответ- ствующему давлению р^ Работа деформаций переходит обратно в кинетическую энергию жид- кости, и она приобретает перво- а) б) начальную скорость в, но на- правленную в противополож- Рис. 5.14. К понятию гидравлического удара ную сторону. С этой скоростью колонна жидкости стремится оторваться от клапана, в связи с чем возникает отрицательная ударная волна с давлением меньше движущаяся к резервуару со скоростью с. Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного зна- ка. Жидкость расширяется, а труба сжимается. Процесс повторяется вновь и вновь, т. е. в трубопроводе происходит затухающее колебательное движение. Затухающее, как можно видеть на ин- дикаторной диаграмме (рис. 5.14, б), так как при движении теряется энергия на преодоление гидравлических сопротивлений. На диаграмме - рабочее давление. Рассмотрены два периода, в течение которых произошло распростра- нение в виде волны повышения давления - прямая волна, и в виде волны понижения давления - обратная волна. Если скорость распространения волны принять равной с, тогда время прохождения прямой и обратной волн называется длительностью фазы или 171
просто фазой гидравлического удара и находят по формуле: 2/ /!= с • (538) Если время закрытия задвижки /мк меньше фазы удара, то гидравличе- ский удар называется прямым, В этом случае, когда ударная волна, отражен- ная от напорного бака, вернется к задвижке, она уже будет закрыта. В про- тивном случае При /зак> t\ , гидравлический удар называется непрямым. Та- кой удар бывает при медленном закрытии задвижки или при коротком тру- бопроводе. Для определения величины повышения давления Др при гидравличе- ском ударе используют закон изменения количества движения: изменение количества движения пропорционально приложенной силе. При закрытии задвижки в трубопроводе за момент времени dt на участ- ке между сечениями 1 и 2 длиной dl произошло изменение скорости от зна- чения v до нуля и произошло сжатие жидкости под действием импульса силы давления F= Др<в. По закону Выражая массу жидкости через объем и плотность и учитывая значение ско- ростей: th = »; о2 ~ 0, можно записать р ф dl о dl Так как ~ - с у окончательно величину повышения давления при гидроуда- ре определяют в виде Др^рс». (539) Скорость распространения ударной волны с (формула Н. Е. Жуковско- го) получена с учетом упругих свойств материала стенок и жидкой среды, т. е. 172
с учетом свойства сжимаемости жидкости: ГК где Еж и Е - модули упругости жидкости и материала стенок труб; б - толщина стенок тубы. Выражение а - — является скоростью звука в жидкой среде. Для во- V Р ды она равна 1425 м/с. Тогда с для стальных трубопроводов 1050-4350 м/с. Формула (5.40) справедлива, если задвижка полностью перекрывает тру- бу. При неполном закрытии в формуле учитывают разность скоростей между7 начальной и соответствующей степени закрытия задвижки. При непрямом ударе в формулу вводят следующее соотношение bp=pcv-^-, (5.41) *1 откуда следует, что, чем медленнее закрывать задвижку, тем меньше повы- шается давление в трубопроводе. Это является одним из способов борьбы с гидравлическим ударом. Также для борьбы с таким опасным явлением, как гидроудар, применяют воздушные колпаки, противоударные сбрасывающие клапаны, устанавливаемые вблизи задвижки, и другие противоударные уст- ройства. В технике применяются механизмы, позволяющие использовать энер- гию гидравлического удара. Например, гидравлический таран - водоподъ- емник, который без подвода к потоку механической энергии поднимает жид- кость на заданную высоту; гидроимпульсатор, импульсно повышающий за счет искусственно создаваемых гидравлических ударов (автоколебаний дав- ления) давление в стволе гидромонитора, обеспечивающего разрушение мас- сивов горных пород при гидромониторном способе добычи полезных иско- паемых пульсирующей струей воды. 173
Контрольные вопросы I. Что такое простой трубопровод? 2. Какими бывают сложные системы в зависимости от соединения участ- ков? 3. Какие имеются рекомендации при выборе сечений для расчета трубо- проводов? 4. Что означает определение - короткий трубопровод? Длинный трубо- провод? Как это сказывается на методике расчета? 5. Что такое эквивалентная длина? Расчетная длина? 6. Как определяются потери напора с помощью обобщенных параметров? 7. Как определяется напор, создаваемый насосом? 8. Что такое напорная характеристика трубопровода? 9. Как определить рабочий режим насосной установки? 10. Что такое гидравлический удар? Какие имеются способы его предотвращения? 174
Глава 6 ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ ВОДОСЛИВЫ В инженерной практике часто приходится встречаться с явлениями не- учения жидкости через отверстия различной формы и через насадки - корот- кие патрубки разной конфигурации длиной (3^5)JOTH (диаметров отверстий), к которым они присоединены. Через отверстия и насадки происходит перете- кание жидкости из одного резервуара в другой, опорожнение резервуаров. Насадки и их комбинации являются конструктивными элементами различ- ных аппаратов и устройств. 6.1. Классификация истечений • Истечение может происходить при постоянном или переменном напо- ре. В первом случае движение жидкости является установившимся и под- черкивается на схемах постоянством уровня жидкости в резервуаре (V const) или напора (Н =- const). • Истечение может происходить в атмосферу. Это - свободное истече- ние. Истечение жидкости в соседний резервуар называется истечением под уровень и происходит через затопленное отверстие (насадок). • Отверстие считается малым, если его вертикальный размер, равный разности напоров, действующих по верх- ней и нижней кромкам (d = Н\ — Н2), не превышает 10 % от напора действующе- го по оси: </>0,1Я. (6.1) В противном случае отверстие считается большим, и при его расчете необходимо учитывать напоры, дейст- вующие по его кромкам. 6 Рис. 6. L К классификации истечений 175
• Отверстие может располагаться в тонкой или толстой стенке. Стенка считается тонкой в том случае, если ее толщина не превышает трех размеров отверстия; 6<3d. (6.2) Если условие не выполняется, стенка считается толстой. Обычно этот термин не употребляют, так как характер истечения меняется и становится аналогичным истечению через насадок. • Насадок - это короткий патрубок, присоединенный к отверстию того же диаметра. 6.2. Свободное истечение через малое отверстие в тонкой стенке При выходе из отверстия (рис. 6.2) частицы жидкости движутся по инер- ции: те частицы, которые двигались сверху, продолжают движение вниз, ниж- ние стремятся кверху, то же наблюдается у частиц по всему периметру, т. е. частицы стремятся навстречу друг другу, уменьшая при этом сечение струи. Самое маленькое сечение расположено примерно на половине размера от- верстия. Оно называется сжатым сечением (2-2). Явление сжатия струи весьма сложно: форма поперечного сечения струи изменяется по сравнению с фор- мой сечения струи в самом от- верстии. Это явление называется инверсией струи. Так, при выте- кании жидкости через круглое отверстие, струя имеет в сжатом сечении форму эллипса; через квадратное - форму креста; через треугольное - форму буквы у. Движение жидкости в струе после сжатого сечения считается устано- вившимся и для расчета течения можно применять уравнение Бернулли. 176
Сечение 1-1 взято на поверхности жидкости в сосуде, через центр сжа- того сечения проведена плоскость сравнения 0-0: z + A+a^= № 2g PS 2g i-2 Zi^H; Z2^0; Pi P2 =pa; »i= 0; »2= »c; 2g Давление в сжатом сечении принято равным давлению окружающей среды. Скорость на поверхности жидкости принята равной нулю, но надо от- метить, что при Ю]/ <»2< 4, скорость в первом сечении учитывают и она назы- вается в таких случаях скоростью подхода. Потери напора - это местные по- тери, £отв - коэффициент сопротивления отверстия. После подстановки значений скорость в сжатом сечении I 7 » I2gf Н + ^- (63) Выражение в скобке можно назвать приведенным напором ту ___ ЖТ I Р* Рц "прив~ ** ----• де Вид формулы зависит от конкретных условии; так, при истечении из откры- того резервуара, когда в сечении 1-1 давление равно атмосферному, ^прив~ Н Кроме того, вводится понятие коэффициента скорости <р 1 Ф= I----- V«+c«. (6.4) 177
Тогда формулу скорости истечения можно представить в виде »с = Фл/2^Я»Р“ • (65) Формула называется формулой Торричелли, для идеальной жидкости она имеет вид При определении расхода скорость vc умножается на площадь сжатого сечения <ос. Так как оперировать площадью сжатого сечения в расчетах не- удобно, то для этого используют площадь отверстия ш, а для учета уменьше- ния сечения вводится коэффициент сжатия е: £ = —. (6.6) (О Итак, расход жидкости при истечении через отверстие определяется по фор- муле Q = ос©е = . Произведение = ц (6.7) называют коэффициентом расхода. И, окончательно, расход определяется по формуле Q = (6.8) Коэффициенты истечений £, £, <р, р зависят от формы отверстий, ха- рактера обработки кромок отверстия, от полноты и совершенства сжатия струи, а также от числа Рейнольдса. 6.2.1. Типы сжатия струи На степень сжатия струи влияет место расположения отверстия относи- тельно боковых стенок и дна сосуда. Если сжатие происходит по всему пе- риметру отверстия, оно называется полным. В отверстиях 7, 2, 3 (рис. 6.3.) 178
сжатие неполное. Это хорошо видно для отверстия 2 на виде сбоку: снизу поджатия нет. Рис. 63. Тины сжатия струи Когда сжатие неполное, коэффициент ц увеличивается и может быть приближенно определен по формуле НнП=РпМн(1 + <Му). (6.9) В формуле Р ~ периметр отверстия; Р - часть периметра отверстия, где сжа- тия не происходит. Если отверстие расположено достаточно далеко от боковых стенок, от границ жидкости сжатие считается совершенным, при этом должно выпол- няться условие: расстояние от кромок отверстия до границ жидкости по всем направлениям должно превышать три размера отверстия. При совершенном сжатии для круглых и квадратных отверстий опыт- ные значения коэффициентов в квадратичной области турбулентного истече- ния могут быть приняты £==0,63+0,64; Q = 0,06; <р-0,97; р-0,62. Для круглых отверстий коэффициенты истечения зависят от числа Рей- нольдса, которое рекомендуется определять по зависимости: 179
Рис. 6.4. Зависимость коэффициентов истечения из отверстия в тонкой стенке от числа Рейнольдса Тогда значения коэффициентов можно определять по графику, предложен- ному А. Д. Альтшулем (см. рис.6.4) В то же время можно отметить, что при увеличении чисел Re все кри- вые асимптотически приближаются к значениям, приведенным выше. 6.3. Истечение под уровень При истечении под уровень для случая, представленного на рис. 6.5, на основании уравнения Бернулли можно получить г +---+ ---= г +---+ ---- pg 2g Pg 2g zt=Hf, Z2 = 0; P\ =P»l P2 =P» + PgHl\ »f= 0; «2= A» = hr = 2g Pg № № 2g 2g 180
Рис. 6.5. Истечение через затопленное отверстие Откуда скорость истечения определится о = /2у(Я|~-^2) • V <*+t» ’ или, учитывая что 771-Я2 = АЯ, окончательно or=q>V2gAH, (6.11) а расход найдется по формуле, аналогичной (6.8), только расчет ведется по разности уровней в резервуарах Q = lUB^2g&H. (6.12) 6.4. Расчет большого отверстия На рис. 6.6 изображено прямоугольное отверстие, расположенное в передней стенке резервуара, отмечен уровень жидкости в нем. Напоры Н\ и Н2, действующие по верхней и нижней кромкам отверстия, различаются на- столько, что скорости верхних и нижних частиц вытекающей жидкости име- ют существенную разницу. Чтобы это учесть при определении расхода, в от- верстии выделяют бесконечно тонкую полоску высотой 4Я, которую рас- 181
Рис. 6.6. Большое прямоугольное отверстие сматривают как малое отверстие. Тогда вели- чина расхода через такое отверстие может быть определена по формуле (6.8): dQ = ji dw^2gH . Площадь такого отверстия будет равна d<» = bdH. Расход через все отверстие найдется как сумма расходов, происходящих через малые отверстия по всей его высоте: я, я, 1 Яз 1 2-1 Q = ]dQ = f g b dH(2gH)2 =4,43g b f H2dH =4,43g b _ H2 £ . я, я, я, 3 1 Окончательно после подстановки пределов интегрирования формула для определения расхода через большое прямоугольное отверстие принимает вид 2 = 2,95g b (»22 -Ht). (6.13) Однако после ряда преобразовании, которые здесь не приводятся фор- мула может быть приближенно приведена к виду 6.8 Q = W^2gHc, (6.14) где Нс - напор на уровне центра тяжести отверстия, Цб - коэффициент расхода большого отверстия. Значения коэффициентов определяются опытным путем. Ориентиро- вочные данные для отверстий в вертикальной стенке могут быть рекомендо- ваны в следующем виде: • с совершенным сжатием Ив = 0,65; • с несовершенным сжатием Ив = 0,70; • донные с боковым сжатием Ив = 0,65- 0,75; • донные с плавными подходами Ив = 0,800,85. Формула (6.14) и значения могут быть применены для отверстий лю- бой формы. 182
6.5. Истечение жидкости через насадки Короткий патрубок, присоединенный к отверстию в тонкой стенке, а так же короткая труба в толстой стенке, длина которых не превышает (3-^-7d), называются насадками. Присоединение насадка к отверстию того же диаметра изменяет харак- тер течения. Это хорошо можно показать, применяя уравнение Бернулли к се- чениям 7-7 и 2-2, а затем 7-7 и 3-3. Как можно видеть (рис. 6.7), течение жидкости в насадке можно разделить на две зоны. Основная часть - это собственно струя. Течение в области сжатого сечения (2- 2), нсустановившееся. Оно возникает вслед- ствие того, что при удалении воздуха из этой области в начале движения, здесь образуется зона разрежения. Величину вакуума легко измеряют с помощью вакуумметра любой конструкции. Наличие вакуума внутри на- садка, присоединенного к отверстию, спо- собствует дополнительному подсосу жидко- сти и увеличению пропускной способности отверстия, что определяется по уравнениюБернулли для сечений 7-7 и 2-2 2 2 1 PS 2S ’ PS 2s ' Zy=H; Z2 = 0; P\=P», P2’=p.-pghMK; »i= 0; vf= vt; 2g 183
После подстановки значений определяется величина скорости истечения че- рез отверстие при наличии насадка: 1 pg pg ft? (6.15) Как можно видеть, происходит увеличение действующего напора на величину вакуума в области сжатого сечения. Если подставить значение ва- куума для рассматриваемого внешнего цилиндрическою насадка О,75Я, то величина скорости истечения, а, следовательно, и расхода увеличится в Vb75 = 132 раза, т. е. на 32 %. При рассмотрении сечений 1-1 и 3-3 (вывод не приводится) будут полу- чены формулы, аналогичные формулам (6.5) и (6.8), но соответственно со своими коэффициентами. Так, на рис. 6.7 видно, что струя на выходе из насад- ка занимает все сечение патрубка, т. е. сжатие на выходе отсутствует и коэф- фициент сжатия ен - 1. В том случае, если струя не доходит до стенок пат- рубка, вакуум в сжатом сечении не образуется, насадок не работает, истече- ние происходит через отверстие, и увеличения расхода нет. Для создания ус- ловий работы насадка его длина должна быть не менее трех размеров отверстия. Итак, расчетные формулы для насадков имеют следующий вид: »и=Фнл/2^Я, (6.16) Й.=Ц„<»1172^Н, (6.17) где фи- коэффициент скорости для насадка, Iht - коэффициент расхода для насадка. Так как е„ = 1, то коэффициенты <рн и рн равны между собой фн ~ Нн- 184
Значения коэффициентов зависят от вида на- садков. 6.5.1. Виды насадков и области их применения Насадки (рис. 6.8) по форме патрубка могут быть цилиндрические внешние (а) и внутренние (б), конические сходяпщеся (в) и расходящиеся (г) и коноидальные, выполненные по форме выходя- щей струи (д). Внешний цилиндрический насадок (насадок Вентури) применяется для увеличения пропускной способности отверстия в качестве водосбросных и дренажных труб: Нн = Фн ~ 0,82. Внутренний цилиндрический насадок (наса- док Борда) используется для опорожнения резер- вуаров, когда по конструктивным соображениям нельзя установить насадок Вентури: Рн = Фи = 0,71. Конически сходящийся насадок (конфузор) Рис. 6.8. Виды насадков дает возможность получать компактную струю, обладающую большой кине- тической энергией. Применяется в соплах гидравлических турбин, водоструй- ных и пароструйных насосах, гидромониторах, брандспойтах и т. д. Коэффи- циенты истечения для этих насадков зависят от угла конусности. Оптималь- ным является угол конусности, равный 13°24’: ем ~ 0,982; фн = 0,97; рн = 0,95. Конически расходящийся насадок (диффузор) применяется в эжектор- ных установках, в дымоходах, в аэродинамических трубах, дождевальных 185
машинах, в каналах направляющего аппарата насосов, во всасывающих тру- бах насосов и турбин и т. д. Расширение в области сжатого сечения струи, выходящей из отверстия, позволяет увеличить так называемую вакуумную полость. Это дает увеличение расхода до 45^50 % . Значения коэффициен- тов при угле конусности 5°-^7°, отнесенные к выходному сечению насадка: ен=1; |>н Я>м = 0,5. Коноидальный насадок имеет вход, выполненный по очертаниям выхо- дящей из отверстия струи, поэтому потери при движении жидкости мини- мальны. Он позволяет почти в полтора раза увеличивать расход через отвер- стие, и выходящая струя обладает большой кинетической энергией. Он имеет большое применение в соплах гидравлических турбин, в аэродинамических трубах, в гидромониторах, в мерных устройствах. Также используется для дробления и резания горных пород. Значения коэффициентов составляют рн “ 4>н ~ 0,97-Н),99. 6.6. Опытное определение коэффициентов истечения Для вывода формул опытного определения коэффициентов истечения рассматривается свободное исте- чение струи через малое отвер- стие в тонкой стенке бака 1 с полным совершенным сжатием. Траектория струи имеет форму параболы (рис. 6.9). Координаты траектории струи рассчитывают- ся при допущении, что каждая частица струи движется, как сво- бодная материальная точка, на которую действует только сила тяжести. Пере- мещение частицы определяется по известным формулам физики: о горизонтальное перемещение - х - vt, 186
gt2 о вертикальное - перемещение - j . Исключая время Z, скорость v можно выразить через координаты х и у v = xjg/(2y). (6.18) Если приравнять полученное выражение к скорости по формуле (6.5), то для коэффициента скорости будет получено <6Л9> Координаты измеряются с помощью координатника 2, а с помощью мерной емкости 3 можно определить расход, засекая по секундомеру время заполнения некоторого фиксированного объема: Тогда коэффициент расхода можно определить <‘2'” Коэффициент сжатия для отверстия определяется после измерения диаметра сжатого сечения d^ штангенциркулем z = d^!d\ (6.21) 6.7. Истечение при переменном напоре До сих пор рассматривалось истечение жидкости из резервуаров и со- судов при постоянном напоре. На практике достаточно часто может проис- ходить опорожнение резервуаров или перетекание жидкости из одного ре- зервуара в другой при переменном напоре, т. е. не будет происходить попол- нение резервуара до постоянного уровня. Один из примеров расчета может заключаться в определении времени опускания уровня до определенной от- метки (например, Н2) или времени полного опорожнения резервуара. 187
Рис. 6.10. Истечение при переменном напоре Если сечение резервуара принять равным <ор, а площадь отверстия (%, то объем жидко- сти, вытекающей через отверстие ^ = еЛ = цвФвЛ/2^НЛ, где И - напор, действующий на уровне полоски dH, на высоту которой изменится уровень жид- кости в резервуаре за время Л. Так как напор в резервуаре уменьшается, объ- ем вытекает (тоже уменьшается), для dW принимается отрицательный знак: -dW^v^dH. Из равенства объемов следует dt = (o.tUl 0,226®, ----р -^.2------2dH ^e^2gH Ц.®в Для определения времени достижения уровня Н2 полученное выраже- ние должно быть проинтегрировано в пределах от Н\ до И2. 0,226® 2-0,226® 1._ t=—!------L ] я 2ан=------------г-н2\"г. Но®. в, Н.®о 1 ' Для учета знака нужно поменять местами пределы интегрирования и тогда формула примет вид Но®. При полном опорожнении резервуара Н2 ~ 0 0,452® ,— t=~---------------------------iJh- Н.®о (6.22) (6.23) 188
6.8. Водосливы 6.8.1. Классификация водосливов Водослив - это явление перелива воды через преграду, установлен- ную на ее пути. Происходить такой перелив может или через водосливную стенку 1 или через водосливное отверстие в ней 2, вырез сделанный в стенке (рис. 6.11). Рис. 6.11. Водослив с тонкой стенкой Область потока перед водосливом называется верхним бьефом (УВБ - уровень верхнего бьефа), а за ним - нижним бьефом (УЫБ). Верхняя кромка водослива именуется гребнем, а превышение уровня воды в верхнем бьефе над гребнем - геометрическим напором Н. Он обычно фиксируется перед водосливом на расстоянии приблизительно (3+5)Н от гребня. Глубина воды в нижнем бьефе называется бытовой глубиной Лб. Если изменение уровня воды в нижнем бьефе не влияет на величину напора Н, водослив называется свободным (неподтопленным). При увеличе- нии Лб до йбп происходит подтопление водослива. При этом повышается уро- вень в верхнем бьефе, свободная поверхность занимает положение, показан- ное пунктиром. Такой водослив называют подтопленным. Условие подтоп- ления имеет вид h^x>zK, z/Zc <(z SzJkq- 0,75; где z - геометрический перепад уровней на водосливе, т. е. превышение уровня в верхнем бьефе над уровнем 189
в нижнем бьефе; zc - высота водослива. Превышение уровня в нижнем бьефе над гребнем водослива называется глубиной подтопления - йп В зависимости от толщины стенки различают водосливы с тонкой стенкой (рис. 6.11), с широким порогом (рис. 6.12) и практического профиля (рис. 6.13). Водослив с тонкой стенкой (рис. 6.11) обычно служит для измерения расходов и стабилизации уровня жидкости в резервуарах. Стенка называется тонкой, если толщина стенки 6<0,5Я или стенка имеет острую входную кромку, как на приведенной схеме. При этом струя касается только её вход- ной кромки. Водосливом с широким порогом называют водослив, у которого тол- Рис. 6.12. Подтопленный водослив с широким порогом щина стенки (длина гори- зонтального порога) 5>2Н. Т акие водосливы наиболее часто применяют в гидротехнической прак- тике для водозаборных и водосбросных сооружений. Водосливы практического профиля имеют толщину стенки обычно в Рис. 6.13. Водослив практического профиля пределах &=(О,5-г2)Я. Водосливы практиче- ского профиля приме- няются как водопропу- скные сооружения при малых расходах воды и как гасители энергии, служат водосливными плотинами в гидроуз- 190
лах. Такие водосливы имеют различные очертания. В зависимости от очерта- ния они могут быть вакуумными и безвакуумными. Безвакуумные водосливы (рис. 6.13) имеют вертикальную (верховую) напорную грань, а сливная (низовая) грань очерчена по форме нижней по- верхности струи, переливающейся через неподтопленный водослив с тонкой стенкой. Водосливы также классифицируются в зависимости от геометрической формы водосливного отверстия. Различают водосливы прямоугольные, тре- угольные, трапецеидальные, круговые, параболические, с наклонным греб- нем. Если ширина отверстия b (см. рис. 6.11) меньше ширины водосливной стенки В, то при движении потока происходит сжатие струи. 6.8.2. Гидравлический расчет водослива Расход воды Q через неподтопленные водосливы любого типа опреде- ляется по общей формуле: ___ з Q~mbJ2gIQ9 (6.24) где b - ширина водослива; т - коэффициент расхода, зависящий от типа и геометрии водослива, от степени бокового сжатия, от режима работы; Яо - полный напор на водосливе, определяемый с учетом скорости подхода потока 2 Н0=Я+~, (6.25) а - коэффициент Кориолиса (корректив кинетической энергии); v - скорость потока в верхнем бьефе О = е/(МЯ+2е)> При Я<0,5гс скоростным напором можно пренебречь и считать Я0=Я. В случае подтопленных водосливов в формулу расхода вводится коэффи- циент подтопления оп <1, который вычисляется по эмпирическим формулам. 191
И расход определяется формулой з Q = <j„mby/2gH$. (6.26) Прямоугольные водосливы с тонкой стенкой широко применяются в лабораторной практике, в полевых условиях при измерении расхода на ма- лых. водотоках. Это объясняется устойчивыми значениями коэффициентов, почти независящими от конструктивного оформления кромки гребня. Для незатопленного прямоугольного водослива с подводящим руслом прямоугольной формы при В>Ъ, zc>055 м и Я>0,1 м коэффициент расхода во- дослива можно определять по зависимости, рекомендованной Р. Р. Чугаевым: л 0,054-Я т = 0,402 +------------------------------ (6-27) Значение коэффициента т для прямоугольного водослива без боковою сжатия колеблется в пределах 0,4-4),5. Для малых водотоков при определении расхода также достаточно часто используют треугольные во- досливы (рис. 6.14), представляющие собой щит с ”777-----------------------------------------------------777--777^ треугольным отверстием, устанавливаемый в русле. Рис. 6.14 Треугольный При свободном доступе воздуха под струю имеются водослив следующие эмпирические формулы для определения расхода: о угол О равен 90° 5 б = 1,4Я2; (6.28) о при значениях 22°< 0 < 118° 6 = 1,33191^-1 Я2*47 . (6.29) Эмпирические формулы существуют для водосливов различных форм и приводятся в гидравлических справочниках. 192
Контрольные вопросы 1. Какие отверстия считаются малыми? Большими? X Какой должна быть толщина стенки, чтобы она считалась тонкой? 3. Как определяется скорость истечения? 4. Как связаны между собой коэффициенты истечения? От чего они зави- сят? 5. Что называется насадком? 6. Как влияет наличие насадка на характер истечения ? 7. Какие виды насадков бывают? 8. Назовите области применения насадков. 9. Что такое водосливы? Каковы области их применения? 193
Глава 7 БЕЗНАПОРНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ Безнапорным движением является движение жидкости со свободной поверхностью в открытых руслах, а также в трубопроводах с частичным за- полнением сечения, происходящее под действием силы тяжести. Характер и скорости движения жидкости, уклон и форма свободной поверхности, глубина потока зависят от формы сечения русла, его размеров и уклона дна. Уклоны дна таких потоков обычно невелики, поэтому живые се- чения в открытых руслах условно принимаются вертикальными и глубина потока измеряется по вертикали. 7Л. Типы открытых русел Все открытые русла подразделяются на естественные и искусственные водотоки. К естественным руслам относятся реки, ручьи, сбросы по тальве- гам и балкам и др. Искусственные русла - это каналы, лотки, туннели, дре- нажные и другие трубы, т. е. большинство сооружений, применяемых в гид- ротехнической и гидромелиоративной практике. Для открытых русел используют следующие классификации. 1. Русла подразделяют по параметрам, определяющим изменение пло- щади живого сечения по длине потока, на непризматические и призматиче- ские (и цилиндрические). У непризматических русел форма и (или) геомет- рические размеры поперечного профиля меняются по длине русла. Поэтому площадь живого сечения потока является функцией длины русла и функци- ей глубины потока вдоль русла. В таком русле движение неравномерное. В призматических руслах форма и размеры элементов поперечного профиля по длине сохраняются неизменными. Площадь живого сечения потока мо- жет изменяться только в связи с изменением глубины потока. 2. По форме профиля поперечного сечения русла могут быть правиль- ной и неправильной формы. Призматические русла имеют правильную фор- му. Они могут быть прямоугольные, треугольные, трапецеидальные (рис. 7.1, 194
а, б, в). Если поперечный профиль русла правильной формы очерчен кривой линией, окружностью (рис. 7.1, д) или параболой (рис. 7.1, г), определяемой по всей длине русла одним уравнением, то такое русло называется цилинд- рическим (рис. 7.1, г, д). Правильную форму чаще всего имеют искусствен- ные русла. К руслам неправильной формы относятся полигональные (состав- ные) русла (рис. 7.1, ж) и русла естественных потоков (рис. 7.1, е). 3. Открытые русла в зависимости от продольного уклона дна делятся на русла с положительным (прямым) геометрическим уклоном i >0, когда дно русла понижается в направлении движения потока; горизонтальные рус- ла при i = 0 и русла с отрицательным (обратным) уклоном дна i <0, когда дно русла повышается в направлении движения жидкости. Рис. 7.1. Типы открытых русел 195
7.2. Условия равномерного движения в открытом русле Равномерное движение жидкости характеризуется прямыми парал дельными линиями токов (траекториями), а также постоянством местной ос- редненной во времени скорости вдоль каждой линии тока. Следовательно, для существования равномерного движения необходимо выполнение ряда условий. На свободной поверхности безнапорных потоков устанавливается по- стоянное, как правило, атмосферное давление. Поэтому пьезометрический уклон 1р для таких потоков соответствует уклону свободной поверхности Ze> т. е. 1Р ~ 1С. Ранее было установлено, что для равномерных потоков пьезомет- рический уклон равняется гидравлическому, т. е. Ip = I. Значит, равномерное безнапорное движение возможно при соблюдении равенства Для этого (рис. 7.2) необходимо, чтобы величина скоростного напора по длине потока также оставалась бы постоянной. Этим диктуется соблюде- ние следующих условий: • русло ~ призматическое; • расход воды постоянен (Q = const); • глубина потока h постоянна по длине русла; • линия дна не имеет перелома, т. е. i ~ sin а = const, при этом 7 >0; ♦ шероховатость дна и стенок русла постоянна по длине (л e const); ♦ местные сопротивления в русле отсутствуют. Из этих условий следует, что для равномерных потоков в открытых руслах соблюдаются равенства <о = const; x“constj 7? - со /X“Const; Ic- i, так как при h = const линии свободной поверхности и дна параллельны меж- ду собой (рис. 7.2). Полностью удовлетворить всем условиям возможно толь- ко в искусственных руслах. 196
Искусственные водотоки в горной промышленности объединяют 1руппы каналов следующего назначения: 1) водопроводящие для транспортирования воды из источника водоснаб- жения к месту потребления рудниками, обогатительными фабриками, насе- ленными пунктами и др.; 2) водоотводящие для переброски рек из одного бассейна в другой с це- лью предотвращения обводнения горных выработок в трещиноватых поро- дах, карстах; 3) нагорные или ограждающие, служащие для отвода поверхностных вод с внешних водосборов от месторождений полезных ископаемых. Особенностью водопроводящих каналов первой группы, служащих для водоснабжения горных предприятий, является постоянство расчетных расхо- дов воды в них (Q = const). В каналах второй и третьей групп расходы могут быть непостоянными в зависимости от режима рек внешнего водосбора. Естественные русла почти всегда непризматические, равномерное движение в них в чистом виде существовать не может, какие-либо отклоне- ния всегда имеют место. Поэтому практически на отдельных участках при небольших изменениях формы и размеров поперечных сечений, уклона и шероховатости дна и откосов, в периоды, когда расход остается постоянным, рассматривают «условное» равномерное движение, заменяя истинные значе- ния параметров некоторыми средними значениями на данном участке. 7.3. Основное уравнение безнапорного равномерного движения Уравнение Бернулли для двух проведенных вертикально сечений (/-/ и 2-2) открытого потока при равномерном движении (рис. 7.2) будет выгля- деть следующим образом: + А+а««1 = г +Л + с^ А ' Pg 2g 2 pg 2g (значения параметров записаны для центров живых сечений потока) 197
zi; Zz; ©I = t>2 ~ Л1 = a = Pi = p. + ps*; , I »2 ^~l,i-K4g2g'> . I V1 , I »2 Zl-Z2_a 1 p2 Z1-Z2+*4jR2g; ZJ-Z2 4/t2g; / 4R2g’ Рис. 7.2. Диаграмма уравнения Бернулли для безнапорного равномерного движения потока Итак, для определения средней скорости безнапорного равномерного потока вновь получена формула Шези, в которой в качестве расчетного бе- рется геометрический уклон: n = CjiR, (7.1) где коэффициент Шези, рассчитываемый по уже приводимым формулам Маннинга 1 - С = -/?6; п 198
Н. Н. Павловского C = -Ry п и многим другим (Гангилье-Кутгера, И. И. Агроскина и пр.). В этих форму- лах: п - коэффициент шероховатости, определяемый по справочным данным (например, ПРИЛОЖЕНИЕ, табл. 13); у - переменный показатель степени: у = 2,5->/л - 0,13 - 0,757л (х/л - 0,1). Расход в сечении русла определяется по формуле Q = V ф = со C-JiR ; е = *77, (7.2) где К - модуль расхода или расходная характеристика, уже известный обобщенный параметр: К - со C-Jr . 7.4. Гидравлически наивыгоднейшее сечение канала Из формулы 7.2 следует, что при равных условиях <о = const, / = const расход в сечении будет возрастать при увеличении гидравлического радиуса, т. е. канал будет пропускать тем больший расход, чем будет меньше смочен- ный периметр/. Гидравлически наивыгоднейшим сечением канала является сечение, способное при заданной площади обеспечить максимальную пропускную способность. Как известно из геометрии, наименьшим периметром (из всех возмож- ных) обладает круг, и гидравлически наивыгоднейшим сечением для откры- тых каналов было бы сечение, имеющее форму полукруга. Далее при данной площади меньшими периметрами обладают правильные многоугольники, причем длина их периметра будет тем меньше, чем больше число сторон. Следовательно, далее по выгодности идут различные сечения в форме поло- вин правильных многоугольников, например половина шестиугольника, т. е. 199
равнобочная трапеция с углом наклона боковых сторон а = 60°. Из прямо- угольных профилей наивыгоднейшим является сечение в виде половины квадрата. Величина гидравлического радиуса для всех этих сечений равняет- ся половине наибольшей глубины наполнения. На практике наиболее употребительны каналы трапецеидального се- чения (рис. 7.1, в) со следующими элементами гидравлической характери- стики: Х = Л+2Лл/1 + 1И2 ; (b+mh)h b + 2h^\-¥n^ 9 где т = ctg а - коэффициент откоса русла. Полукруглые или многогранные сечения применяются значительно реже, ввиду трудности их выполнения и значительной стоимости. Однако в наиболее часто встречающихся случаях земляных стенок трапецеидальные сечения редко получают форму наивыгоднейшего профиля в виде половины правильного шестиугольника с утлом а — 60°, так как при этом требуется крепление боковых стенок канала. Обычно этот угол выбирается в соответст- вии с углом естественного откоса грунта, и задача сводится к определению при заданных площади сечения и угле откоса соотношения между шириной и глубиной, при котором смоченный периметр будет наименьшим. Из формулы площади о = (b + mh)h следует . <в , b = — - mh. Л При подстановке значения b в формулу и взятии производной, значение которой при минимальном х будет равно нулю, для соотношения b/h будет по- лучено = — (— - mh + 2йл/1 + ш2) = 0; dh dnh 200
-~-т + 2 71+т2 = 0; - (*+”*)* -т+2у!\+т2 =0; * Л2 -- -m-m+lVl+M2 =0; й (7.3) h 7.5. Расчетные скорости воды в канале Расчетная скорость соответствует максимальному расходу воды в ка- нале, по ней определяются размеры сечения. Расчетные скорости не должны быть больше допускаемых. В качестве допускаемых принимаются скорости, неразмывающие грунт или одежды (укрепления откосов и дна) каналов. Зна- чения их зависит от глубины и материала, из которого сложены стенки кана- лов. Для определения неразмывающей скорости может быть рекомендована формула Б. И. Студеничникова, полученная по данным лабораторных и натурных исследований в широком диапазоне крупностей частиц несвязного грунта 1 »..рз=и5л/^^У» (7-4) где глубина h и средневзвешенный диаметр частиц грунта d берутся в метрах. В ПРИЛОЖЕНИИ (табл.16) приведены значения неразмывающей скорости для некоторых видов грунтов. В то же время скорости не должны быть ниже критических значений скоростей, при которых начинается выпадение наносов и происходит заиление каналов, ведущее к их зарастанию. Эти скорости называются незаиляющими. Незаиляющие скорости в каналах могут быть ориентировочно опреде- лены по формуле Гиршкана »m^=kQ* (7.5) где к - коэффициент, изменяющийся от 0,33 до 0,55 в зависимости от гидрав 201
лической крупности частиц (1,5+3,5 мм/с). Гидравлическая крупность - это скорость равномерного падения частицы в неподвижной воде. Для предотвращения зарастания канала достаточно поддержать в нем среднюю скорость течения воды не ниже 0,5 м/с. В обычных водопроводя- щих каналах расчетные скорости находятся в пределах 0,5+3 м/с в зависимо- сти от типа грунтов или одежды канала. В условиях зимнего режима большой опасностью на каналах может стать глубинный лед - шуга. Основная причина появления в канале шуги - переохлаждение воды. После образования ледяного покрова дальнейшее по- нижение температуры воздуха вызывает лишь увеличение толщины льда, но не выделение шуги. Для быстрого образования поверхностного льда необхо- димо скорости течения воды в каналах на этот период уменьшить до 0,5 м/с. Во избежание размыва льда нормальные скорости под ним не должны пре- вышать 1,2-1,5 м/с. При скоростях, больших 2,25 м/с, поверхностный лед в каналах не образуется. Выбор допустимых скоростей имеет большое экономическое значение при проектировании и эксплуатации искусственных водотоков. Контрольные вопросы 1. Как различаются открытые русла в зависимости от сечения потока? 2. Каковы условия для существования равномерного движения в откры- тых руслах? 3. Основное уравнение безнапорного равномерного движения? 4. Что такое гидравлически наивыгоднейшее сечение канала? 5. Как определяется допускаемая скорость в канале? 202
Глава 8 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВМ В ЗАДАЧАХ ГИДРОМЕХАНИКИ Математическое моделирование с помощью ЭВМ применяется в гид- ромеханике достаточно давно. Особенно много расчетов проводилось при статистической обработке экспериментальных данных. Так, для выполнения гидрологических прогнозов используются протраммы для обработки боль- шого количества данных гидрометрических измерений параметров водных потоков. Для этой цели созданы специальные программы. Также составлялись программы для решения таких специальных задач, как расчеты разветвленных трубопроводных сетей, систем гидротранспорти- рования твердых частиц, где необходим перебор большого количества вари- антов. В большинстве таких расчетов использовались результаты исследова- ний многочисленных авторов, полученные при решении излагаемой в данном курсе одномерной задачи. На современном этапе разработанные алгоритмы для таких расчетов легко обрабатываются с помощью электронных таблиц, таких как Microsoft Excel. В то же время развитие вычислительной техники дает возможность пе- реходить от расчетов оценочного плана к детальному математическому мо- делированию, что позволяет во многих случаях сократить или полностью ис- ключить необходимость лабораторного моделирования. ЭВМ способны за- поминать, хранить и перерабатывать большие массивы информации, реали- зовать сложные вычисления без участия человека, представлять результаты в виде удобных таблиц, графиков, схем и т. д. При решении на ЭВМ должны быть составлены математические моде- ли. Математическое моделирование гидравлических процессов заключается в описании их с помощью системы уравнений, называемых математической моделью процесса. При использовании компьютерной техники для решения и исследования зависимости результатов решений от изменения исходных 203
параметров необходимо выполнить несколько этапов. • Первый этап заключается в глубокой проработке существа задачи, что требует от инженера специальных знаний по гидравлике, способности формировать необходимые условия, отбирать критерии, параметры, началъ ные и граничные условия и т. д. • На втором этапе осуществляют выбор математического описания задачи, в котором учитываются главные и опускаются второстепенные, мало влияющие на значения искомых величин факторы. • На третьем этапе разрабатывается алгоритм решения задачи, сво- дящей его к последовательности арифметических и логических действий. • На четвертом этапе выбранный алгоритм исследуют на устойчи- вость к погрешностям, заложенным в исходных данных или связанных с са- мими вычислениями, т. е. убеждаются в том, что их наличие не влияет замет- ным образом на окончательный результат. • Пятый этап состоит в написании программы на конкретном алго- ритмическом языке. • На шестом этапе производятся вычисления на компьютере, и, наконец, анализируются полученные результаты (в табличной или графиче- ской форме). Если решение задачи не противоречит физике явления и удовлетворяет контрольным экспериментальным лабораторным или натурным данным, то это свидетельствует о приемлемости выбранной математической модели. В противном случае ее необходимо усовершенствовать или даже заменить иной моделью. Гидравлические явления описываются чрезвычайно сложной системой дифференциальных уравнений. Аналитического решения их до настоящего времени не имеется, кроме узкого круга некоторых вопросов. Поэтому полу- чили развитие численные методы приближенных решений дифференциаль- ных уравнений с помощью ЭВМ, такие, как метод конечных разностей, ме- 204
тод конечных элементов и др. Эти методы основаны на замене дифференци- альных уравнений уравнениями в конечных разностях, которые решаются на ЭВМ как система алгебраических уравнений. Разработаны и успешно приме- нены к различным гидродинамическим задачам несколько численных мето- дов, причем в некоторых из них используются не только эйлеровы, но и ла- 1ранжевы переменные. Общая схема применения численного метода сеток к расчету плоского неустановившегося течения вязкой несжимаемой жидкости заключается в следующем. Для анализа движения использованы не уравнения Эйлера, рас- смотренные ранее, а уравнения Навье-Стокса, записанные с учетом вязких свойств несжимаемой жидкости а а. ау \ dp ,d2ux d2ux d2ux. dux dux p dx dx2 dy2 dz2 dt dx dux . t! _ . du. . J- U A 1 dy T U । Zdz _l^p+v(£4+£4+£4)=£ft+B p dy dx2 dy2 dz2 dt x dx du + U^~ dy du + «,—L 1 dz 1 др ,d2u, d2u. d2u,. du, du, du, p dz dx2 dy2 dz2 dt dx } dy dut “ldz * Уравнения могут быть истолкованы как специфическая для вязкой не- сжимаемой жидкости форма второго закона Ньютона: правые части уравнений представляют собой отнесенные к единице массы силы инерции (произведе- ния массы на ускорения), а левые - сумму отнесенных к единице массы массо- вых сил, сил давления и сил внутреннего трения. Выражение в скобке пред- ставляет собой оператор Лапласа и может быть заменено символом V2. Для плоского течения - uz - 0 и уравнения принимают вид: 1 др —2 I а х--— + v V их ) = — *- + и „ —- х рдх х' dt Хдх 1 8Р «2 дЫУ dUf av---— + vV uv -—- + ir. - — p dy y dt dx dux du? dx dy = 0. и 'dy duv 205
Дифференцируя первое уравнение по у, а второе - по л: и исключая из них давление, можно получить д диу ддиг д( ди, д( ди. ай,'} „2(ди, ЗиЛ дк & ду dt х дк 9 ду) х дк 9 ду) йх ду ) I т (дих 'l При наличии вращения частиц жидкости выражение! ^--—-1 до- казывают вихрем. Далее вводится функция тока, для которой й*Р ОТ и ==---.* и ~--------. х ду’ 9 дх После преобразований уравнения и добавления к нему на основании уравнения неразрывности второго уравнения, будет получена замкнутая сис- тема, которая может быть решена численным методом. OQ OTOQ OTOQ п2л __-----_-----— v V £2 dt ду дх дх ду (8.1) У2Т = -П (8.2) Область течения покрывают сеткой с шагами Ах и Ду по координат- ным направлениям (рис. 8.1). Расчетный интервал времени делят на отрезки Д/. Каждой узловой точке сетки приписывается пара индексов i, к, опреде- ляющих ее координатыxr=i Дх;у* ся временной координатой 1Л - лД/. Л+1 ( к. л к л к Ук t J"""™' "Il к- _ _ в к У 1— к - - Ду, к Л.Х у к Л Xt л J 4+1 Рис. 8.1. Участок сетки для численного расчета плоского течения А Ду. Момент времени 4 характеризует- Тогда значения искомых функ- ций в пространственно-временной точ- ке с координатами xf , yk9 t„ можно представить в форме: ^(х/, л, 4) = W Дх, А Ду, пДг) = Ч"*»; > Ль 4) = о (г Дх, к Др, лДг) = Q 206
Производные этих функций в соответствии с трехточечным вариантом формул численного дифференцирования представляются в виде dt At ’ дх 2Ах ’ ду 2Ау ’ аг2 (Аг)2 ’ ду2 ~ (Ар)2 И тогда система уравнений 8.1 и 8.2 в конечно-разностной форме запи- сывается в виде □И41 лл щл ш« Ои Шл СЪЯ ГЧп At 2Ay 2Ax 2Ax ' 2Ay = v ~2^Z* ! fy*-H ~2Д*д +^л-1 , , (M2 (Aj)2 (8.3) *ч|Т|Л41 I ц/я+l фЯ+1 ______9\i/n+l । К1/Я+1 --------------------------1---------------------------—iZ- . (Ar)2 (&У)1 * Первое уравнение содержит значения параметров для момента времени /Я: а второе - для момента /я+1. Если задача решается для некоторой области S с границей £, должны быть заданы начальные и граничные условия. Первые заключаются в задании (или предварительном расчете) функций Т и £1 во всей области S, включая границу L. Граничные условия состоят в задании значений этих функций и их производных на границе L для всего расчетного интервала времени. Имея эти данные, можно реализовать следующую схему расчета. При п = 0 (начальный момент времени), из первого уравнения (8.3) можно найти О?*1 поскольку все остальные величины будут' известны из начальных усло- вий. Так определится правая часть второго уравнения (8.3). Это уравнение записывается для всех внутренних узлов i, к сетки. Если узел i, к оказывается приграничным, то значение в этой точке берется равным значению функции ТГ',А в ближайшей точке границы L, т. е. в приграничные узлы сносятся значе- ния Ф из ближайших точек границы. Тогда для отыскания значений 'Р/д во 207
всех внутренних узлах сетки получается система алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Решение этой системы дает поле значений Ч* для момента » +1. После этого следует вернуться к пер- вому уравнению (8.3), найти £1** 2 т. д. Здесь приведена самая общая схема расчета; при ее реализации возни- кает ряд частных вопросов, которые определяются спецификой решаемой за- дачи. Первоочередными из этих вопросов являются способы задания гранич- ных значений для Т и Q. Успех применения численного метода во многом определяется тем, на- сколько надежно, удобно и точно заданы граничные условия. Кроме того, ввиду резко различной интенсивности изменения величины (например, ft) вблизи твердых поверхностей и вдали от них, необходимо преобразование исходных уравнений к безразмерному виду. На рис. 8.2 показана картина линий тока, полученная Дж. Фроммом численным методом для неустановившегося обтекания пластины вязкой Рис. 8.2. Пример плоского течения вязкой жидкости, рассчитанного методом сеток Большие возможности имеются в связи с успешно развивающимися системами инженерного анализа, содержащими программное обеспечение для решения широкого круга задач. С помощью программ, предоставляемых 208
такими системами, количество рассмотренных этапов может быть сокраще- но, а другая часть значительно упрощена. Но и при решении задач с помощью программ инженерного анализа процедура подготовки и ввода данных является наиболее важной. Она со- стоит из разработки ряда моделей, содержащих всю необходимую информа- цию. Создание моделей требует проведения специальных исследований: по выявлению наиболее значимых факторов и по обоснованию уровня сложно- сти модели. Из изложенного следует, что ЭВМ является лишь инструментом, вос- производящим в заданной инженером последовательное ги арифметические и логические операции. Использование компьютерной техники не освобождает инженера от тщательного обдумывания постановки задачи, поиска путей ре- шения, анализа полученных результатов. 209
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК • Альтшулъ А. Д., Животовский Л. С., Иванов Л. П. . Гидравлика и аэро- динамика. М.: Стройиздат, 1987.497 с. • Гейер В. Г., Дулин В. С., Заря А. Н. Гидравлика и гидропривод. 4-е изд.. М: Недра, 1991.331 с. • Гидравлика и гидропривод: Учеб, пособие /Н. С. Гудилин, Е. М. Кри- венко, Б. С. Маховиков, И. Л. Пастоев; Под ред. И. Л. Пастоева- 2-е изд., стереотип. М.: Изд-во МГУ, 2001. 520 с. • Емцев. Б. Т. Техническая гидромеханика. М.: Машиностроение, 1978. 463 с. • Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям Под ред. М. О. Штейяберга.3-е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1992. 672 с. • Константинов И. М. и др. Гидравлика, гидрология, гидрометрия: Учеб, для вузов: В 2 ч. Ч. 1. Общие законы/Константинов Н. М., Петров II. А., Высоцкий Л. И.; Под ред. Н. М. Константинова. М.: Высш, шк., 1987. 304 с. • Лабораторный курс гидравлики, насосов и гидропередач: Учеб, посо- бие. Под ред. С. С. Руднева и Л. Г. Подвидза.. 2-е изд.. М.: Машино- строение, 1974.415 с. • Лучшева А. А. Основы гидравлики и гидрометрии: Учеб, для технику- мов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1989.174 с. • Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и дина- мики жидкости/ Пер. с англ. М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с. • Чугаев Р. Р. Гидравлика (техническая механика жидкости). Л.: Энерго- издат, 1982. 552 с. • Шашин В. М. Гидромеханика: Учеб, для техн, вузов. М.: Высшая шко- ла, 1990. 384 с. 210
ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 1 Относительная плотность жидкостей Наименование жидкости 8 Г, °C Бензин 1 сорта 0,70-0,72 16 Бензин 2 сорта 0,74-0,75 - Вода (чистая, пресная) 1,00 4 Вода соленая 1,02-1,03 - Древесный спирт 0,80 - Керосин обыкновенный 0,82-0,83 - Мазут 0,89-0,94 - Нефть 0,88-0,90 - Ртуть 13,59593 0 Смазочные масла 0,89-0,92 15 Эфир этиловый 0,74 0 Таблица 2 Средние значения плотности и кинематического коэффициента вязкости некоторых жидкостей Жидкость Плотность р, кг/м3 при t °C Кинематический коэффициент вязкости v, 10*м2/с при/°C 20 50 20 60 Вода пресная 998 1,0 0,47 Нефть легкая 884 25,0 Бензин авиационный 745 0,73 0,49 Керосин Т-1 808 - 2,50 1,20 Ртуть 13550 0,16 0,1 Масло: трансформаторное 884 880 28,0 7,60 АМГ-10 884 850 17,0 8,50 индустриальное 12 884 883 48,0 9,80 индустриальное 20 884 891 85,0 14,0 турбинное 884 900 97,0 16,0 автотракторное i 884 898 500,0 45,0 211
Таблица 3 Значения коэффициента температурного расширения для воды Давление рг, КГ6]/град при температуре, t °C ат МПа 0-10 10-20 20-50 60-70 90-100 1 0,0981 14 150 422 556 719 100 9,81 43 165 422 548 * 200 19,62 72 183 426 539 - 500 49,05 149 236 429 523 661 900 88,29 229 289 437 514 661 Таблица 4 Соотношение между единицами давления Единица Па(Н/.м2) кгс/см2 (ат) ММ вод.ст. м вод.ст. мм рт.ст бар 1Па(Н/м2) 1 10Д10"6 0,102 102-Ю4 750-104 Ю'5 1 кгс/см2(ат) 9,81104 1 104 10 736 0.981 1 мм вод.ст. 9,81 ю4 1 10’3 73,56-Ю'3 98,1-Ю4 1 м вод.ст. 9,81-Ю3 0.1 103 1 73,56 98,1-10'3 1 мм рт.ст 133,3 1,3610-3 13,6 13,610'3 1 1,33-ю-3 1 бар 10s 1,02 10.2103 10,2 750 1 Таблица 5 Центральные моменты инерции, координаты центров тяжести и площади плоских фигур Форма фигуры Координаты центра тяжести Площадь Л Момент инерции Тс Прям j оугольник LL-1 ь хг= — с 2 It Ус 2 bh бй3 12 h — i |с._ i i 212
Продолжение табл. 5 Tl h >еугольник y| A1 b Xc 2 7c =|* —bh 2 bh3 36 h Грапеция ] jfrf xc =0 h(a + 2b) Ус 3(a + b) ft(g+ft) 2 Ь3^г + 4аЬ + Ьг) 36(a + b) Круг '/ i x d хс=Ус=- nd^ 4 nd4 Полукруг AJ i xc = 0 yc= 0,424 т KF2 2 9л2-64 4 72ж ' a У Т*-1 £Z< X f i 1 1 t xr =—b c 4 3 № = ю“ a J ft _... i J—► i / x !cJ i/ c 8 2 Ус-~5* 213
Таблица 6 Коэффициенты местных сопротивлений Вход в трубу С=0,5 Выход из трубы |zr-~ С=1,о -X» * — ----=-*-=? »2 Внезапное расширение »1 1 Внезапное сужение £=о,5(1-^) «1 л,=С-^- 2g Вентиль, полностью открытый, Re> 104 d9 мм 20 40 80 100 150 200 250 300 с 8,0 4,9 4,0 4,1 4,4 4,7 5,1 5,4 I, Яе>1(У а,° 5 10 20 30 40 50 55 с 0,05 0,31 1,84 6,15 20,7 95,3 275 Re> 10' в d?!<? 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 224 60,2 19,9 9,8 4,4 2,4 1,2 Л a/d 0,15 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 _ 1,0 С 77,0 11 4,7 2,4 1,23 0,67 0,31 0,05 214
Продолжение табл. 6 Всасывающий клапан с сеткой, 15^ </,мм 40 70 100 200 300 500 750 с 12 8,5 7,0 4,7 3,7 2,5 1,6 ltg&gig[ Для ориентировочных расчетов ” 10,0; при отсутствии обратного клапана £ет =5-5-6 Колена водопроводных труб при а = 90°, Re> 104 </,мм 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 600 700 800 900 0,76 0,39 0,37 0,37 0,40 0,45 0,45 0,42 0,42 0,46 0,47 0,48 0,48 0,49 При меньших значениях диаметров можно принять 4кол" 1,0 Таблица 7 Значения параметра к и С® для определения коэффициентов местных сопро- ___________________тивлений при малых числах Re____________ Вид устройства с® к Пробковый кран 0,4 150 Вентиль 6 3000 Колено 90° 0,2 130 Выход из трубы 1,0 30 Вход из бака в трубу 0,5 30 Задвижка при aid = 1,0 0,15 75 0,75 0,2 350 0,50 2,0 1300 0.25 20 3000 Диафрагма при <f02/ а = 0,64 1 70 0,4 7 120 0,16 70 500 0,05 800 3200 Примечание: коэффициент местного сопротивления определяется по формуле к ^ТГе^- Таблица 8 Начальные скорости квадратичной области сопротивления в трубах Вид труб Диаметр труб, мм 50 | 100 | 200 1 300 | 400 | 500 | 600 | 1000 11400 Скорость «кв м/с, при превышении которой наступает квадратичная область Новые стальные 2,8 3,2 3,5 3,7 3,8 3,9 4,0 4,2 4,4 Новые чугунные 2,5 2,8 3,1 3,3 3,4 3,5 3,6 3,8 4,0 Нормальные 0,8 0,9 1,0 _L. 1,1 L—! 1,1 1,2 1,3 1,3 215
Таблица 9 Значения эквивалентной абсолютной шероховатости А, в трубах (под чертой - средние значения) Материал и вид трубы Состояние трубы А* мм Тянутые трубы из стекла и цветных металлов Новые, технически гладкие 04-0,002 0,001 Бесшовные стальные трубы Новые и чистые, тщательно уложенные 0,014-0,02 0,014 После нескольких лет экс- плуатации 0Д5»03 ОД Стальные трубы сварные Новые и чистые 0,05 4-ОД 0,06 С незначительной коррозией после очистки ОД *0,2 0,15 Умеренно заржавевшие 034-0,7 0,5 Старые заржавевшие 0,8 * Ц 1 Сильно заржавевшие или с большими отложениями 1м w + Чугунные трубы Новые асфальтированные 0*0Д6 0,12 Новые без покрытия 0,24-0,5 оз Бывшие в употреблении 0,5*13 1 Очень старые 3 Бетонные трубы Пластмассовые Стеклянные Новые из предварительно на- пряженного бетона 0*0,05 0,03 Новые центробежные 0,15*03 0,2 Бывшие в употреблении 0,3-5-0,8 Из необработанного бетона 1*3 Незаглаженный торкрет или набрызг-бетон по бетонной поверхности 3,0*6,0 0,03 Из чистого стекла 0,00154-0,01 0,006 216
Таблица 10 Значения параметров для определения коэффициента X для водопроводных труб по (5-37) | № ' п!а Вид труб т Ло io4 юЧ 2г Cl 1 Новые стальные без внутреннего за- щитного покрытия или с битумным защитным покрытием 0,226 1 15,9 0,810 0,684 2 Новые чугунные без внутреннего за- щитного покрытия или с битумным защитным покрытием 0,284 0,30 1 14,4 0,734 2,360 3 Неновые стальные и нено- вые чугунные без внутреннего защитного покрытия или с битумным защитным покрытием .,<1,2 м/с 1 17,9 0,912 0,867 V > U м/с 0,30 1 21,0 1,070 0 4 Асбестоцементные 0,19 1 11,0 0,561 i 3,51 1 5 Железобетонные виброгидропрессо- ванные 0,19 1 15,74 । 0,802 1 ’ ; ! 3,51 6 Железобетонные центрифугарован- ные 0,19 1 13,85 0,706 3,51 7 Стальные и чугунные с внутренним пластмассовым или полимерцемент- ным покрытием, нанесенным методом центрифугирования 0,19 i 1 i i 11,0 0,561 3,51 ! 8 1 I Стальные и чугунные с внутренним цементно-песчаным покрытием, нане- сенным методом набрызш с после- дующим заглаживанием 0,19 j 1 j 15,74 0,802 3,51 9 1 Стальные и чугунные с внутренним цементно-песчаным покрытием, нане- сенным методом центрифугирования 0,19 1 1 13,85 0,706 3,51 10! п 1 Пластмассовые 0,226 0 ; 13,44 i 2 0,685 I Стеклянные 0,226 j 0 I 14,61 i 0,745 1 Значение Cj дано для v «1,3*1 О'6 м2/с (вода t -10° С). 217
Таблица 11 Значения обобщенных параметров К (м3/с) и А (с2/м6) для квадратичной области сопротивления 4 мм Новые стальные трубы Новые чугунные трубы Нормальные трубы к А К А К А 50 0,0101 9804 0,0099 10111 0,00987 10340 75 0,029 1133,7 0,0292 1167/2 0,0287 1214,0 100 0,063 246,24 0,0628 253,16 0,0614 265,0 125 0,115 75,48 0,1135 77,63 0,111 81,60 150 0,186 28,81 0,183 29,57 0,179 31,18 200 0,398 6,31 0,393 6,47 0,384 6,78 250 0,716 1,95 0,707 2,00 0,692 2,11 300 1,157 0,747 1,143 0,766 1,121 0,794 350 1,735 0,333 1,715 0,340 1,684 0,354 400 2,463 0,165 2,436 0,169 2,397 0,174 450 3,354 0,0889 3,316 0,091 4,259 0,0932 500 4,423 0,0511 4,374 0,052 4,324 0,0532 550 7,131 0,0197 7,053 0,020 6,999 0,0204 700 10,674 0,0088 10,560 0,009 10,517 0,00904 800 15,132 0,0044 14,973 0,0045 14,965 0,00495 900 20,587 0,0024 20,373 0,0024 20,430 0,00239 1000 27,111 0,0014 26,832 0,0014 26,485 0,00137 1100 34,769 0,0008 34,416 0,0008 30,709 0,00110 1200 43,650 0,0005 43 Д11 0,0005 38,601 0,00070 Таблица 12 Значение поправочного коэффициента 0 для расчетов в доквадратичной области сопротивления при различной скорости Вид трубы 0 при скорости ©, м/с 0,4 0,6 0,8 1,0 1Д 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0 Новые стальные 0,91 0,93 0,95 0,95 0,96 0,97 0,97 0,98 0,98 0,99 0,99 Новые чу- гунные 0,81 0,86 0,89 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 Нормаль- ные 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Примечание: при определении потерь напора в доквадратичной области турбулентного режима к удельному сопротивлению вводится поправка: й/~ вЛ^2/. 218
Таблица 13 Коэффициенты шероховатости п для формул Павловского и Маннинга Категория Характеристика поверхности п 1/л I Исключительно гладкие поверхности, покры- тые эмалью 0,09 111 II Весьма тщательно остроганные доски, хорошо пригнанные. Штукатурка из чистого цемента 0,010 100 III Лучшая цементная штукатурка. Чистые новые гончарные, чугунные и железные трубы, хоро- шо уложенные и соединенные 0,011 90,9 IV Неостроганные доски, хорошо пригнанные. Во- допроводные трубы в нормальных условиях; весьма чистые водопроводные трубы; весьма хорошая бетонировка 0,012 83,3 V Тесовая кладка, хорошая кирпичная кладка. Водосточные трубы в нормальных условиях. Несколько загрязненные водопроводные грубы 0,013 76,9 VI За1рязненные трубы (водопроводные и водо- сточные); средняя кирпичная кладка, бетони- ровка каналов в средних условиях 0,014 71,4 vn Средняя кирпичная кладка, облицовка из теса- ного камня в средних условиях. Значительно загрязненные водостоки. Брезент по деревян- ным рейкам 0,015 66,7 VIII Хорошая бутовая кладка, старая кирпичная кладка, сравнительно грубая бетонировка. Гладкая, весьма хорошо разработанная скала 0,017 58,8 Таблица14 Примеры сортамента стальных труб для водоснабжения Трубы «/у 8 Трубы dy 8 15 18 2,0 пзо 159* 4.0* 20 25 2,0 200 219 4,0 25 32 2,2 250 273* 4,0* 32 40 2,2 300 325* 4,0* 40 45 2,2 350 377* 5,0* 50 57 2,5 Стальные 15 21,3 2,5 :Стальные 65 76 2,8 водогазо- 1 20 26,8 2,5 электро- 80 89 2,8 ! 25 33,5 2,8 сварные 100 108 2,8 проводные ; 32 423 2,8 ;(ГОСТ 100 108 3,0 (ГОСТ i 40 4$ 3,0 10704-91) 100 114 2,8 3262—75i 1 ! 50 60 3,0 100 114* 3.0* ; 65 75,5 3,2 125 133 i,2 - 80 88,5 3,5 125 133* 3,5* 1 i 90 101 3,5 125 140 3,2 | 100 114 4,0 150 152 3,2 125 140 4,0 150 159 3,2 L 150 165 4,0 219
Таблица 15 Коэффициенты Шези С и Дарси 1 для нормальных водопроводных труб, подсчитанные по формуле И. Н. Павловского при п = 0,012. мм С X d9 мм С X 50 44,79 0,0391 400 60,31 0,0216 75 47,45 0,0349 450 61,28 0,0209 100 49,48 0,0321 500 62,28 0,0202 125 51,07 0,0301 600 63,91 0,0192 150 52,42 0,0286 700 6532 0,0184 200 54,62 0,0263 800 66,58 0,0177 250 56,40 0,0247 900 67,70 0,0170 300 57,90 0,0234 1000 68,72 0,0166 350 59,18 0,0224 Таблица 16 Допускаемые неразмывающие средние скорости потока (м/с) для песчаных и крупнообломочных грунтов Средний диаметр частиц, мм Глубина потока, м 0,5 1 3 5 0,25 0,37 0,39 0,41 0,45 0,50 0,41 0,44 0,50 0,52 0,75 0,47 031 0,57 0,59 1 0,51 0,55 0,62 0,65 3 0,73 0,80 0,91 0,96 5 0,87 0,96 1,10 1,17 10 1,10 1,23 1,42 1,01 15 1,26 1,42 1,65 1,76 20 137 1,55 1,85 1,96 25 1,48 1,65 1,98 2,12 40 1,68 1,93 232 2,50 75 2,01 235 2,89 3,14 100 245 234 3,14 3,46 300 2,90 3,32 4,40 4,94 220
Таблица 17 Допускаемые неразмывающие средние скорости потока для глинистых грунтов Глубина потока, м Расчетное 0,5 1 3 5 сцепление при содержании легкорастворимых солей (СаС12, MgCl2, NaCl, NajSO*, С, 1.105Па Na2CO3, NaHCO3), % no плотному остатку абсолютно сухого грунта <03 0,2-3 <03 ОЗ-з _ <03 оз-з <0^_ 0,2-3 0,01 0,44 0,39 0,48 0,43 0,55 0,49 0,58 0,52 1 0,03 0,59 0,43 0,64 0,48 0,74 0,55 0,78 0,59 1 0,05 0,71 0,48 0,77 0,53 0,89 0,61 0,98 0,65 0,075 0,83 0,51 0,91 0,56 1,04 0,64 1,10 0,69 0,125 1,03 0,60 1,13 0,67 1,30 0,76 1,37 0,81 0,15 1,21 0,65 1,33 0,72 1,52 0,82 1,60 0,88 0,20 1,28 0,75 1,40 0,82 1,60 0,93 1,69 1,00 0,25 1,42 0,82 1,55 0,91 1,78 1,04 1,88 1,10 0,30 1,54 0,90 1,69 0,99 1,94 1,12 2,04 1,20 0,35 1,67 0,97 1,83 1,06 2,09 1,22 231 1,30 0,40 1,79 1,03 1,96 1,15 2,25 1,31 2,38 1,40 0,50 1,99 1,26 2,17 138 2,50 1,46 2,63 1,56 0,60 2,16 137 2,38 1,38 2,72 1,60 2,88 1,70 Примечание. Средний диаметр частиц принимается как средневзвешенный по формуле d^ = £drPi/EPb Таблица 18 Допускаемые неразмывающие скорости потока (м/с) для закрепленных русел Вид крепи Проектная марка бетона или рас- твора по проч- ности на сжатие 0,5 Глубина потока, м 1 3 5 Бетонная облицовка (по- 100 12,5 13,8 16,0“ 17,0 ток не содержит песча- 150 14,0 15,6 18,0 19, Г ных и галечниковых на- 200 15,6 17,3 20,0 213 носов) 300 193 21,2 24,6 26,1 Облицовка из каменной 150-50 7,4 8,7 10,7 11,6 кладки (поток не содер- жит песчаных и галеч- 25 6,3 7,4 9,1 —9,8" никовых насосов) 10 ,3 5 6,2 . 6,7 Габионы (размером р,5x0,5 м и более) - 3 3,5 4 4,4 [Мощение одиночное при крупности камней, см: Г 15-20 ! 20-30 2,4-2,6 2,8-3,0 2,8-3,0 3,3-3,6 3,5-3,7 4,1-4,5 3,8-4,0 4,4-4,9 [Мощение двойное при крупности камней, см: Г 15-20 1 2СН30 3,0 3,1 3,5 ,_3^7 4,3 4,7 4,7 5Д. 221
ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ................................................... 3 Глава 1. ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КУРСА.............. 9 1.1. Определение курса.................................... 9 1.2. Предмет изучения..................................... 9 1.3. Методы изучения..................................... И 1 Л. Механические основы гидравлики..................... 12 1.5. Силы, действующие в жидкости. Напряженное состояние в точке сплошной среды..................................... 12 1.6. Физические свойства жидкостей...................... 15 1.7. Модели жидкой среды................................ 21 1.8. Примеры решения задач.............................. 22 Контрольные вопросы....................................... 23 Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ........................................ 25 2.1. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости...... 25 2.2. Дифференциальные уравнения движения жидкости........ 27 Контрольные вопросы....................................... 28 Глава 5. ГИДРОСТАТИКА..................................... 29 3.1. Гидростатическое давление........................... 29 3.2. Дифференциальное уравнение давления................ 32 3.3. Поверхности равного давления........................ 34 3.4. Абсолютный покой жидкости........................... 34 3.4.1. Гидростатический закон распределения давления. 35 3.4.2. Основное уравнение гидростатики........... 36 3.4.3. Плоскость уровня............................ 36 3.5. Относительный покой жидкости....................... 37 3.6 Понятия абсолютного, манометрического давлений и вакуума........................................... 38 3.7. Приборы для измерения давления...................... 40 3.7.1. Жидкостные приборы.......................... 41 3.7.2. Механические приборы........................ 46 3.7.3. Электрические приборы....................... 47 3.8. Единицы измерения давления......................... 48 3.9. Эпюры гидростатического давления................... 50 3.10. Закон сообщающихся сосудов....................... 52 3.11. Закон Паскаля...................................... 53 3.12. Сила давления жидкости на плоские поверхности...... 54 3.12.1. Определение величины силы давления.......... 54 3.12.2. Определение положения центра давления....... 56 3.12.3. Графоаналитический метод.................... 59 3.13. Сила давления жидкости на криволинейные поверхности.. 61 3.13.1 Определение составляющих силы давления...... 61 3.13.2. Понятие тела давления....................... 64 3.13.3. Определение силы давления на цилиндрическую noBq)XHocrb................................... 67 222
3.13.4 Закон Архимеда................................... 72 3.14. Сила давления на дно сосуда.............................. 73 Контрольные вопросы............................................ 74 Глава 4 ГИДРОДИ11АМИКЛ......................................... 75 4.1. Аналитические методы исследования движения жидкости......... 75 4.2. Линия тока. Элементарная струйка. Модель потока жидкости.... 78 4.3. Виды движения жидкости................................... 79 4.4. Гидравлическая характеристика сечения потока............. 82 4.5. Расход и средняя скорость................................ 83 4.6. Уравнение неразрывности потока........................... 85 4 7 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости................................................ 86 4.8. Энергетическая интерпретация уравнения Бернулли.......... 88 4.9. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли.......... 90 4.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости. 92 4.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости............ 94 4.12. Условия применимости и существования уравнения Бернулли..... 99 4.13. Приборы, основанные на применении уравнения Бернулли........ 100 4.13.1. Трубка для замера полного давления (трубка Пито)... 100 4.13.2. Прибор для измерения скоростного напора............ 101 4.13.3. Расходомер Вентури.............................. 102 . 4.14. Потери напора в гидравлических сопротивлениях............. 103 4.15. Местные потери напора.................................... 105 4.16. Потери напора по длине. Уравнение равномерного движения..... 107 4.17. Режимы движения жидкости. Опыт Рейнольдса................ ПО 4.18. Основы теории подобия и метода размерностей.............. 114 4.19. Ламинарный режим движения................................ 121 4 191 Распределение скорости по живому сечению при ламинарном режиме................................... 122 4.19.2. Расход и средняя скорость ламинарного режима....... 123 4 19 3 Закон сопротивления и коэффициент Дарси при ламинарном режиме........................... 124 4.20. Турбулентный режим движения................................. 126 4.20.1. Скорости и структура турбулентного потока.......... 127 4.20.2. Понятие гидравлически гладких и шероховатых стенок 130 4 20 3 Расчетные зависимости для коэффициента Дарси при турбулентном режиме............................... 132 4 20.4. Опытные данные по коэффициенту гидравлического трения.................................................. 133 4.20.5. Средняя скорость равномерного движения. Коэффициент Шези........................................ 136 Контрольные вопросы............................................ 137 Глава 5. НАПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДАХ............................................... 140 5.1. Классификация трубопроводов............................. 140 5 2. Методика применения уравнения Бернулли для расчета трубопроводов............................... 141 5.3. Расчет простых коротких трубопроводов.................... 143 223
53.1. Истечение жидкости под уровень................... 144 53.2. Определение высоты установки центробежного насоса... 148 533. Понятие эквивалентной длины. Обобщенные параметры 151 53.4. Определение рабочего режима насосной установки... 153 5 4. Основы гидравлического расчета сложных трубопроводных систем.................................................. 156 5.4.1. Системы с последовательным соединением труб..... 158 5.4.2. Системы с параллельным соединением труб......... 162 5.43. Трубопровод с переменным по длине трубы расходом.... 164 5.4.4. Тупиковые системы............................. 166 5.4.5. Гидравлический удар в напорном трубопроводе..... 170 Контрольные вопросы........................................... 174 Глава 6. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ. ВОДОСЛИВЫ........................... 6.1. Классификация истечений............................. 175 62. Свободное истечение через малое отверстие в тонкой стенке. 176 6.2.1. Типы сжатия струи........................... 179 63. Истечение под уровень..................................... 180 6.4. Расчет большого отверстия........................... 181 6.5. Истечение жидкости через насадки.......................... 183 6.5.1. Виды и области применения насадков.......... 185 6.6. Опытное определение коэффициентов истечения............... 186 6.7. Истечение при переменном напоре........................... 187 6.8 Водосливы........................................... 189 6.8.1. Классификация водосливов.......................... 189 6.8.2. Гидравлический расчет водослива............. 191 Контрольные вопросы...................................... 193 Глава 7. БЕЗНАПОРНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВОДЫ................. 194 7.1. Типы открытых русел................................. 195 7.2. Условия равномерного движения в открытом русле..... 196 73. Основное уравнение безнапорного равномерного движения..... 197 7.4. Гидравлически наивыгоднейшее сечение канала......... 199 7.5. Расчетные скорости воды в канале.................... 201 Контрольные вопросы...................................... 202 Главой ИСПОЛЬЮВАНИЕ ЭВМ В ЗАДАЧАХ ГИДРОМЕХАНИКИ................ 203 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 211 ПРИЛОЖЕНИЕ............................................... 21С 224
Учебное издание Татьяна Павловна Бебенина ГИДРАВЛИКА Техническая гидромеханика Конспект лекций Редактор Ж. И. Пионтик Верстка автора Подписано в печать 15.06.2006 г. Бумага писчая. Печать на ризографе. Формат 60x84 1/16 Псч. л. 14,125. Уч.-изд. л. 10,25. Тираж 200 экз. Заказ 81 Издательство УГГУ 620144, г Екатеринбург, ул Куйбышева, 30. Отпечатано с оригинал-макета в ООО «ИРА УТК», 620219, г Екатеринбург ул К Либкнехта, 42