Введение в теорию вероятностей - Колмогоров А.Н., Прохоров А.В., Журбенко И.Г.

Author: Колмогоров А.Н. Прохоров А.В. Журбенко И.Г.

Tags: медицинские науки теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов математика

Year: 1982

Similar

Введение в теорию вероятностей.

Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т.1

Теория вероятностей

Text

БИБЛИОТЕЧКА -КВАНТ
выпуск 23
А.Н. КОЛМОГОРОВ
И. Г. ЖУРБЕНКО
А. В. ПРОХОРОВ
ВЕДЕН Е
ТЕОР Ю
ЕР ТН Т
ч

БИБЛИОТЕЧКА-КВАНТ*
выпуск 23
А.Н. КОЛМОГОРОВ
И. Г. ЖУРБЕНКО
А.В. ПРОХОРОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
книг
'/¦ЕСНОГО
КОЯЛЕДЯА НМУ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ^ЛИТЕРАТУРЫ
1882

22.17
К 60
УДК 619.2
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Академик И. К. Кикоин (председатель), академик А. Н. Кол*
могорон (заместитель председателя), доктор физ.-матем. наук
Л. Г. Асламазов (ученый секретарь), член-корреспонден*
АН СССР А. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайнштейн, за-
заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик
|в. М. Глушков|, академик П. Л. Капица, профессор С. П. Ка-
Капица, академик С. П. Новиков, академик Ю. А. Осипьян,
академик АПН РСФСР В. Г. Разумовский, академик
Р. 3. Сагдеев, кандидат хим. наук М. Л. Смолянский, профес-
профессор Я. А. Смородинский, академик С. Л. Соболев, член-кор-
член-корреспондент АН СССР Д. К. Фаддеев, член-корреспондент АН
СССР И. С. Шкловский.
Колмогоров А. Н., Журбенко И. Г., Прохоров А. В.
К'60 Введение в теорию вероятностей.—М.: Наука. Глав-
Главная редакция физико-математической литературы,
1982, 160 с,— (Библиотечка «Квант». Вып. 23) —
25 коп.
В книге на простых примерах вводятся основные понятия тео-
теории вероятностей. Наряду с комбинаторным определением вероят-
вероятности рассматривается статистическое определение. Подробно
анализируется случайное блуждание на прямой, описывающее
физические процессы одномерного броуновского движения час-
частиц, а также ряд других примеров.
Для школьников, студентов, преподавателей, лиц, занимающих-
занимающихся самообразованием.
17020600б0—106 ББК 22.17
053@2)-82 191'82 517.8
, © Издательство «Наука»,
1702060000—106 Главная редакция
191-82 физико-математической
литературы, 1982

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие В
Глава 1. КОМБИНАТОРНЫЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ
ВЕРОЯТНОСТИ 7
§ 1. Перестановки 7
§ 2, Вероятность 9
§ 3, Равновозможные случаи 10
§ 4. Броуновское движение и вадачв о блуждании на
плоскости 11
§ 5. Блуждание по прямой8 Треугольник Паскаля 17
§ 6, Бином Ньютона 21
§ 7. Биномиальные коэффициенты и число сочетаний 22
§ 8. Формула, выражающая биномиальные коэф-
коэффициенты через факториалы, и ее примене-
применение к вычислению вероятностей 23
§ 9. Формула Стерлинга 25
Г л а в а 2. ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА 27
Глава 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ 34
§ 1. Определение вероятности 34
§ 2. Операции с событиями: теорема сложения вероят-
вероятностей 36
§ 3. Элементы комбинаторики и применения к вада-
чам теории вероятностей 44
§ 4. Условные вероятности и независимость 52
§ 5, Последовательность независимых испытаний. Фор-
Формула Бернулли 62
§ 6. Теорема Бернулли 69
Г л а в а 4. СИММЕТРИЧНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖ-
БЛУЖДАНИЕ 74
§ 1. Введение 74
§ 2. Комбинаторные основы 76
§ 3. Задача о возвращении частицы в начало координат 81
§ 4. Задача О числе возвращений в начало координат 86
§ 5. Закон арксинуса 91
§ 6. О симметричном случайном блуждании на пло-
плоскости и в пространстве - 67
Глава 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕ-
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 102
§ 1. Понятие случайной величины 102
§ 2, Математическое ожидание и дисперсия 106
1* 3

§ 3. Закон больших чисел в форме Чебышевв И4
§ 4. Производящие функции И'
Г л а в а 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ ББР-
НУЛЛИ: СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ И СТАТИСТИ-
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ 120
§ 1. Испытания Бернулли 120
§ 2. Случайное блуждание на прямой, соответствующее
схеме Бернулли 122
§ 8; Задача о разорении 127
§ 4. Статистические еыводы 132
Г л а в а 7. ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ 142
§ 1. Общая постановка задачи 142
§ 2. Производящая функция величины zn 144
§ 3. Математическое ожидание и дисперсия случайной""
величины zn 145
§ 4. Вероятность вырождения 145
§ 5. Предельное поведение zn 150
Заключение 155

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга рассчитана на читателя, по-
пожелавшего на элементарном уровне ознакомиться с ос-
основными понятиями теории вероятностей и составить себе
некоторое впечатление о возможных применениях этой
области математики, бурное развитие которой приходит-
приходится на последние десятилетия. Широкое распространение
вероятностных методов в самых различных областях нау-
науки и техники было связано с тем, что с помощью этих
методов удалось получить ответы на многие естественно -
научные задачи, долгое время не поддающиеся решению.
Книга не ставит перед собой цели охватить все возможные
применения теории вероятностей, тем более что на элемен-
элементарном уровне это сделать вообще невозможно. В то же
самое время привести интересные примеры использова-
использования вероятностных методов в простейших практических
ситуациях являлось одной ' из главных целей книги.
В качестве таких примеров достаточно подробно изучаются
основные закономерности броуновского движения, про-
проводится исследование процессов гибели и размножения,
приводятся некоторые другие примеры. Естественно, что
приведенные результаты являются лишь элементарным
введением в указанные области науки, позволяющим, тем
не менее, составить у читателя чувство близости к совре-
современным естественнонаучным проблемам.
Глава 1 служит общим введением в комбинаторные
начала теории вероятностей, все идеи и иллюстрации
этой главы получают дальнейшее развитие в следующих
главах.
Главы 3, 5 посвящены определениям и доказатель-
доказательствам основных закономерностей теории вероятностей га
основе классической вероятностной модели. В этих гла-
главах подготавливается почва для перехода к произвольным
дискретным вероятностным моделям, потребность в кото-
5

рых продиктована конкретными естественнонаучными за-
задачами, разобранными в главах 4, 6 п 7.
Проблема отношения основных вероятностных поня-
понятий к опыту затрагивается в главе 2. Здесь обсуждается
происхождение классического определения вероятности,
дается ее статистическое определение, намечается аксиома-
аксиоматический подход.
В главе 4 рассматривается простейшая модель сим-
симметричного случайного блуждания частицы на прямой
и на плоскости. Простыми комбинаторными методами
решаются трудные задачи, имеющие занимательную фор-
формулировку и неожиданные ответы. Это задачи о возвра-
возвращении частицы в исходное положение, о достижении не-
некоторого уровня, о времени пребывания" частицы в неко-
некоторых границах.
В главе 6 большая часть этих проблем развивается в
несимметричном случае. Решается классическая задача о
разорении. В последнем параграфе приведены примеры
самых простых задач математической статистики с реше-
решениями.
Вопросам неограниченного роста популяций или их
вымирания посвящена глава 7.
В основу данной книги легли курсы лекций и семина-
семинаров авторов, неоднократно на протяжении последних
лет читавшиеся в Московском государственном уни-
университете и Физико-математической школе при МГУ.
Главы 1, 3 и 5 близки по содержанию к статьям
А. Н. Колмогорова и Б. В. Гнеденко, И. Г. Журбенко,
опубликованным в журнале «Математика в школе» в
1968 году.
Весь текст книги постоянно сопровождается большим
количеством примеров и задач, часть которых в зависи-
зависимости от трудности решается полностью, на остальные
даются только ответы.
Книга будет доступна школьникам старших классов,
проявляющим интерес к математике и ее применениям.
Она может также оказаться полезной студентам младших
курсов самых различных специальностей, интересующим-
интересующимся примрнениями теории вероятностей в своих областях,
А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенко, А. В. Прохоров

ГЛАВА 1
КОМБИНАТОРНЫЙ ПОДХОД
К ПОНЯТИЮ ВЕРОЯТНОСТИ
§ 1. Перестановки
Две буквы А и Б можно расположить одну
8а другой двумя способами:
АБ, Б А
Три буквы А, Б и В можно расположить в виде после-
последовательности уже шестью способами:
АБВ, АВБ
БАВ, БВА
ВАБ, ВБА
Для четырех букв получим 24 разных способа их рас-
расположения в виде последовательности:
АБВГ,
АВБГ,
АГБВ,
ВАБГ,
ВБАГ,
ВГАБ,
АБГВ,
АБГБ,
АГВБ,
ВАГБ,
ВБГА,
ВГБА,
БАВГ, БАГВ
БВАГ, БВГА
БГАВ, БГВА
ГАБВ, ГАВБ
ГБАВ, ГБВА
ГВАБ, ГВБА
Сколькими способами можно расположить десять букв
в виде последовательности? Перебрать все способы рас-
расположения здесь было бы трудно. Для ответа на вопрос
желательно общее правило, формула, которая позволяла
бы сразу вычислить число способов расположения п букв
в виде последовательности. Число этих способов обозна-
обозначают п\ (п с восклицательным знаком) и называют
«n-факториал». Найдем это число. Мы уже видели, что
2! = 2, 3! = 6, 4! = 24.

Ка'кдый способ расположения данного числа букв в по-
последовательности называется перестановкой- Очевидно,
что вместо букв можно взять цифры или любые другие
предметы. Число перестановок четырех предметов равно
4! = 24. Вообще п\ есть число перестановок п предметов.
Заметим еще. что полагают
1! = 1
(один предмет не с чем «переставлять», из одного предмета
можно сформировать только одну «последовательность»,
в которой этот предмет стоит на первом месте).
1! = 1,
2! =-1-2 = 2,
3! = 1.2-3 = 6,
4! = 1-2-3-4 = 24.
Напрашивается гипотеза: число перестановок п предме-
предметов равно произведению первых п натуральных чисел!
п\ = 1-2-3-. . .- п. ' A)
Гипотеза эта верна.
Для доказательства заметим, что в случае п предметов
на первое место можно поставить любой ив п предметов.
В каждом из этих п случаев остающиеся п — 1 предметов
можно расположить (п — 1)! способами. Поэтому полу-
получим всего (п — \)\п способов расположения п предметов»
п) = (п — 1)\п. B)
].ри помощи формулы B) получаем последовательно:
2! = 1!.2 = 1-2,
3! =г 2!-3 = 1-2-3,
4! =*3!-4 = 1-2-3-4,
5! = 4!-5 = 1-2-3-4-5 == 120 и т. д.
Знакомые с принципом математической индукции мо-
могут заметить, что вывод формулы A) из формулы B)
использует этот принцип, и провести строго формальное
рассуждение.
Теперь уже нетрудно вычислить число перестановок
десяти букв:
10! «=* 1-2-3-4.5.6-7-8.9-10 = 3 628 800.

§ 2. Вероятность
Семь букв разрезной азбуки А, А, Б, Б,
К, У, HI положены в мешок, откуда их вынимают науда-
наудачу и располагают одну за другой в порядке, в котором
они появляются. В результате получается слово БАБУШ-
БАБУШКА.
В какой мере такой факт надо считать удивительным,
быть может, заставляющим предполагать, что мы при-
присутствуем при нарочно подстроенном фокусе? Занумеру-
Занумеруем наши семь карточек с буквами:
12 3 4 5 6 7
А А Б Б К У Ш
Их можно расположить по порядку
7! = 5040
способами. Из втих 5040 случаев слово БАБУШКА по-
получится в четырех:
3146752 4136752
БАБУШКА БАБУШКА
3246751 4236 751
БАБУШКА БАБУШКА
Говорят, что из общего числа случаев E040) четыре
случая благоприятствуют появлению занимающего нас
события (заключающегося в том, что из вынутых букв
сложилось слово БАБУШКА). Отношение числа благо-
благоприятствующих случаев к общему числу случаев в подоб-
подобных задачах называют вероятностью события. В нашем
примере вероятность появления слова БАБУШКА есть
р- 4 _ 1
~~ 5040 ~ 1260 '
Вероятность эта очень мала, и наше событие действи-
действительно очень «маловероятно». Позднее мы узнаем, что
подсчитанная нами вероятность имеет такой практический
смысл: если много раз производить описанный опыт с бук-
буквами, то примерно один раз на 1260 испытаний произойдет
наше событие (само собою сложится слово БАБУШКА).
Аналогичный расчет для четырех букв А, А, М, М
приводит к результату, что ив них случайно будет
9

складываться слово МАМА с вероятностью
_4 1_
41 6 *
С такой же вероятностью х/в будет получаться еще каж-
каждое ив пяти «слов»:
ААММ, АМАМ, АММА, МААМ, ММАА.
Если производить этот опыт с четырьмя буквами, то
каждый ив описанных шести возможных результатов1
будет появляться примерно в Ve доле случаев.
§ 3. Равновозможные случав
Игральная кость — это кубик, на гранях
которого обозначено число очков от 1 до 6. Бросив две
кости, можно получить сумму очков (на верхних гранях
двух костей) от 2 до 12. Можно было бы думать, что в
задаче имеется 11 возможных случаев и вероятность появ-
появления каждого ив них равна г/ц. Но ато не так. Опыт
показывает, что, например, сумма 7 появляется много
чаще, чем сумма 12. Это и понятно, так как 12 можно
получить только в виде:
6 + 6 = 12,
а 7 — многими способами:
1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 4 + 3 = 5 + 2 = 6 + 1=7.
При этом мы записываем первым слагаемым число очков
на первой кости, а вторым — на второй. Поэтому записи
1 + 6 и 6 + 1 указывают на две равличные возможности
получения суммы 7.
Для подсчета вероятностей здесь приходится рассма-
рассматривать тридцать шесть случаев, каждый ив которых
характеризуется определенным числом очков, выпавших '
на первой кости, и определенным числом очков, выпавших
на второй кости:
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
3,1 ...
4,1 ...
5,1 ...
6,1 ...,
10

Естественно считать эти тридцать шесть случаев райно*
возможными. Опыт показывает, что в случав достаточно
правильных (кубических) костей, сделанных из однород-
однородного материала, и надлежащих приемов бросания (напри-
(например, после встряхивания в стаканчике) эти 36 случаев
появляются при большом числе повторений примерно оди-
одинаково часто.
Для суммы очков на двух костях получаем такие ре-
результаты (проверьте):
Сумма 2 8 4 5 6 7 8 9 10 И 12
Число благо- 12 3 4 5654321
приятствую-
щих случаев
111 15151111
Вероятность 36 18 12 Т 36 ТГ 36" 9 12 18 6
Уточним определение: вероятностью называется отно-
отношение числа благоприятствующих случаев к общему чис-
числу равновозможных. На вопрос, какие случаи можно
считать равновозможными, математика не дает ответа.
При бросании костей условия выпадения любой из шести
граней представляются нам одинаковыми. Кроме того,
представляется естественным считать, что различные ком-
комбинации верхних граней двух костей тоже одинаково
правдоподобны.
Разделение всех возможных исходов испытания на
исключающие друг друга равновозможные случаи доста-
достаточно деликатно. Часто вместо изложенного сейчас «клас-
«классического» определения вероятности приходится прибе-
прибегать к другому — статистическому». Но на первых по-
порах знакомства с теорией вероятностей разумно отнестись
с доверием к «классическому» определению. С точки зре-
зрения чистой математики тут нет никакой «нестрогости».
Подробнее об этом будет сказано в главе 2.
§ 4. Броуновское движение
и задача о блуждании на плоскости
Вычислять вероятности приходится отнюдь
не только при решении шуточных задач или задач об
игре в кости и карты. На теории вероятностей основаны,
в частности, кинетическая теория газов, теория диффу-
диффузии растворенных в жидкости веществ и взвешенных
частиц.
11

Теория вероятностей объясняет, почему хаотическое,
беспорядочное движение отдельных молекул приводит к
четким, простым закономерностям движения их больших
совокупностей.
Первая возможность экспериментального исследования
такого рода соотношений между беспорядочным движени-
движением отдельных частиц и закономерным движением их боль-
больших совокупностей появилась, когда в 1827 году ботаник
Р. Броуы открыл явление, которое по его имени названо
броуновским движением. Броун наблюдал под микроскопом
взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивле-
удивлению, он обнаружил, что взвешенные в воде частицы пыльцы
находятся в непрерывном беспорядочном движении, кото-
которое не удается прекратить при самом тщательном старании
устранить внешние воздействия, способные зто движение
поддерживать (например, движение воды под влиянием
неравномерности температуры и т. п.). Вскоре было об-
обнаружено, что это движение — общее свойство любых
достаточно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Его
интенсивность зависит только от температуры и вязкости
жидкости и от размеров частиц (движение тем интенсив-
интенсивнее, чем температура выше, вязкость меньше, а частицы
мельче). Каждая частица движется по своей собственной
траектории, не похожей на траектории соседних частиц,
так что близкие вначале частицы очень быстро становятся
удаленными (хотя могут иногда случайно вновь встре-
встретиться).
На рис. 1 точками отмечены последовательные поло-
положения частицы (гуммигута в воде по классическим опы-
опытам Перрена) с промежутками в 30 с. Эти последователь-
последовательные положения соединены прямолинейными отрезками.
В действительности траектория частицы еще запутаннее.
На рис. 2 схематически показано, что траект рия трех
частиц, которые в начальный момент были очень близки
друг к другу, совершенно различны.
Броуновское движение большого числа частиц можно
наблюдать, выпустив в тонкий слой воды на плоском
стеклышке каплю чернил. При наблюдении простым гла-
глазом траектории отдельных чернильных частиц увидеть
нельзя. Чернильное пятно будет постепенно расплывать-
расплываться, сохраняя округлую форму. Его окраска будет более
интенсивной в центре, н краям же будет ослабевать.
Схематически расположение большого числа частиц, под-
подверженных броуновскому движению, через некоторый
12

промежуток времени после того, как все они вышли ия
ближайшей окрестности начальной точки, отмеченнои
крестиком, изображено на рис. 3.
Обозначим через t промежуток времени, прошедший
от выхода наших частиц из начальной точки, и через
d — диаметр окружности с центром в начальной точке
Рис. 1, Блуждание частицы гуммигута с промежутками 30 с,
внутри которой находится половина частиц (см. рис. 3)*
Наблюдение показывает, что этот диаметр растет при-
приблизительно пропорционально квадратному корню из
промежутка времени t, т. е. изменяется примерно по за-
закону
I = k\Tt. A)
Эта закономерность может быть обоснована теоретически
средствами теории вероятностей. Сам ее вывод остается
за пределами нашей книги, но в причинах того, что диа-
диаметр d растет не пропорционально времени (как было бы,
если бы частицы разбегались из начальной точки
с постоянной скоростью, не меняя направления), а не-
несравненно медленнее, мы вскоре сможем разобраться.
Основные черты броуновского движения частицы мож-
можно наблюдать уже на упрощенной модели блуждания
частицы по плоскости, разделенной на квадратики. К та-
таким упрощенным моделям при изучении более сложных
явлений прибегают и в серьезных научных исследова-
исследованиях.
13

Будем считать, что наша частица перемещается из
квадратика, в котором она находится вначале, в один
из четырех соседних квадратиков. Ее путь за восемь ша-
шагов может, например, иметь такой вид, как указано на
рис. 4.
Из начального положения (рис. 5, а) частица может
попасть в один из четырех смежных квадратиков, в каж-
каждый одним-единственным спосо-
способом (рис. 5, б). За два шага ча-
частица может попасть в началь-
начальное положение четырьмя спосо-
способами (выходя в сторону в
одном из четырех возможных
направлений и возвращаясь
обратно), еще в четыре клетки
частица может попасть двумя
Рис. 2. Траектории блужда- Рис. 3. Положение частиц, вы-
ния трех частин.1 шедшие из нуля, через не-
некоторый промежуток времени,
способами в каждую и в четыре клетки — одним способом
в каждую (рис. 5, б). Всего частица может двигаться
в течение первых, двух шагов шестнадцатью различны-
различными способами.
На рис. 5, г указан результат аналогичного подсчета
для трех шагов. Здесь число различных путей равно уже
4 + 4-9 + 8-3 - 64.
На рис. 5, д и е указано число способов попадания в
различные клетки после четырех и после пяти шагов.
14

1
>
1
Рис. 4. Блуждание частицы по двумерной решетке,
а)
ш
б)
Ш
ш
ж
ж
е)
ш
9
Ж
ж
1
1
ш
256
ш
I
ш
16
Ш
16
Ж
36
W
Ж
16
Рис. 5, Числа различных путей по двумерной решетке за различные
промежутки времени.
15

Легко понять, что число различных путей с ростом числа
шагов t растет как 4':
Число
Число
Ш8ГОВ
путей
0
1
1
4
2
16
3
64
4
256
5
1024
Если считать, что частица всегда помещается в центре зани-
занимаемого ею квадратика, то за t шагов она может удалиться
от начального положения не более чем на расстояние
th, где h — длина стороны квадратиков. Но для этого
опа должна двигаться прямолинейно. При t = 5 это будет
только в четырех случаях из 1024. В большинстве же случа-
случаев частица окажется в конце пути значительно ближе к
своему начальному положению. Например, при t — 5 в
400 случаях (почти 40%) расстояние конечного положе-
положения от начального будет равно единице, а еще в 400 слу-
случаях это расстояние равно
УЪ = 1,73. . .
Лишь в остающихся немного более чем 20% случаях
частица уйдет дальше.
Допустим теперь, что при любом t все пути равно-
возможны. Тогда числа, проставленные на рис. 5, после
их деления на 4' дадут вероятности попадания в соответ-
соответствующие клетки после t шагов. Обозначив через г рас-
расстояние от начального положения, получим при t = 2
такую табличку:
При t= 5
ra
г
Число случаев
Вероятность
г2
г
Число случаев
Вероятность
таблица
1
1
400
400
1024
0
0
4
1
т
приобретает
5
УЪ
400
400
1024
9
3
100
100
1024
2
1/2
8
1
т
4
2
4
1
Т
следующий вид:
13
80 4
80
1024
17 25
" УП 5
* 40 4i
40 4
1024 1024
Интересно подсчитать среднее значение квадрата
расстояния (чертой обозначен переход к среднему
16

значению):
== 8-2 + 4-4
при t = 5 fa = 5.
Можно доказать, что при любом t в нашей задаче
г2 = ?. Корень квадратный из среднего значения квадрата
(называемый в статистике средним квадратическим) ра-
равен ут. .
На этом мы закончим исследование нашей задачи. За-
Заметим только, что рис. 5, е уже обнаруживает большое
сходство с рис. 3. Оказывается, что наша модель случай-
случайного блуждания отдельной частицы хорошо соответствует
наблюдениям, если предположить, что частицы блуждают
независимо друг от друга (с точным смыслом выражения
«независимые испытания» вы познакомитесь позднее)
§ 5. Блуждание по прямой.
Треугольник Паскаля
Рассмотрим еще более простую задачу блуж-
блуждания по прямой. За один шаг частица продвинется на
расстояние h вверх или на то же расстояние вниз. Го-
Горизонтальную ось теперь удобно использовать для того,
3h
i 6. Развертка во времени одномерного дискретного блуждания.
чтобы на ней откладывать число шагов. На рис. 6 изобра-
изображен возможный график движения частицы.
Легко понять, что в этой задаче число всех возможных
способов перемещения частицы за t шагов будет равно
17

2'. На рис. 7 подсчитано число способов, которыми
можно попасть через t шагов в то или иное положение
(на ту или иную высоту).
Блуждание такого рода осуществляется в специальном
приборе, который называют доской Гальтона. На рис. 8
изображена схема возможного устройства этого прибора.
Металлические шарики один за другим попадают в самый
верхний канал. Наткнувшись на первое острие, они долж-
должны выбрать путь направо или налево. Затем происходит
второй такой выбор и т. д. При тщательной подгонке
Рис. 7. Подсчет чи-
числа траекторий одно-
одномерного блуждания.
1 _s ю ю s. л.
1г зг зг зг зг зг
Рис. 8. Доска Галь-
Гальтона.
деталей выбор пути оказывается вполне случайным: лю-
любой из 2г способов (в нашем случае t = 5) равновозможен.
Пропустив через прибор большое число шариков, обна-
обнаруживают, что доля шариков, попавших в каждое из деле-
делений внизу, примерно соответствует рассчитанным вероят-
вероятностям.
Оставим теперь приборы, иллюстрирующие физиче-
физический механизм случайности, и займемся математикой.
18

Выпишем числа из рис. 7 в виде таблицы:
012345678 Сумма ¦
1 0
" 1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
1
2
4
8
16
32
64
128
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
256
Закон образования таблицы ясен: в каждой клетке
стоит сумма числа, стоящего непосредственно сверху,
и числа, стоящего сверху слева. Например,
56 = 21 + 35.
Отдельно приходится оговорить, что в нулевом столбце
и по диагонали стоят единицы. Можно поступить иначе,
считать, что таблица продолжается неограниченно влево
и вправо, но заполнена там нулями. Ее начало будет тог-
тогда иметь вид:
I 0
" 1
—>т
—2—101234
0 0 10 0 0 0
0 0 110 0 0
0 0 12 10 0
Теперь указанное основное правило заполнения таб-
таблицы будет действовать без всяких исключений, начиная
с первой строки.
Обозначив через С™ число, стоящее в таблице на пере-
пересечении m-го столбца и n-й строки, можно записать пра-
правило заполнения таблицы в виде формулы
Особо надо задать числа нулевой строки:
1 при т = О,
[О при остальных значениях т.
Наша таблица (без заполнения клеток, где все равно стоят
нули) называется треугольником Паскаля.
19

Вернемся к задаче о блуждании по прямой, но изменим
ее постановку. Пусть частица двигается по горизонталь-
горизонтальной прямой и каждую секунду либо делает один шаг впра-
вправо (на какое-то фиксированное расстояние /г), либо оста-
остается на месте. За п секунд частица сдвинется не более чем
0,5-
9,25
п=Т
; о
сз
0,2
0,1
-
" 1
/7=4
I .,1
п-3
i .
О 1
0,3
0,2
0,1
-
_,
I I I "=#
.II.
lllllll,,..
,,. n=3Z
ll It
.llllllllll
О 2 4 6 8 ID 12 П 16 0 4 В 12 16 20 242832
Рис. 9. Графики функций Pn(m).
на п шагов. Возникает вопрос о том, какое число шагов
за п секунд будет наиболее вероятным, если считать все
варианты движения равновозмоншыми. Ясно, что крайние
случаи @ шагов и п шагов) при большом числе п появятся
лишь в виде очень редких исключений.
Учитывая все сказанное выше, вы без труда докажете,
что вероятность сделать m шагов за первые п секунд в
•20

этой задаче равна
Ст
Рп{т) = -ф- B)
На рис. 9 даны графики функций Рп (т) при п = 1, 2, 4,
8, 16, 32. Масштаб по горизонтальной оси выбран посте-
постепенно уменьшающимся, так что максимальный возмож-
возможный пробег частицы все время изображается отрезком од-
одной и той же длины. Масштаб по вертикальной оси (гдо
откладываются вероятности) сохраняется неизменным.
Мы видим, что наиболее вероятным все время является
среднее значение пробега
Большие же отклонения от этого среднего с возрастанием
п делаются все более редкими. Можно доказать, что сред-
среднее квадратическое отклонение от среднего пробега в этой
задаче равно
Например, за 10 000 секунд средний пробег будет
5000 шагов, а среднее квадратическое отклонение от этого
среднего будет лишь 50 шагов. Здесь мы соприкасаемся
с одним из фундаментальных предложений теории вероят-
вероятностей — законом больших чисел, о котором речь будет
идти в главах 3 и 5.
§ 6. Бином Ньютона
Числа С™ называются биномиальными коэф-
коэффициентами. При этом имеют в виду их обычное употреб-
употребление в алгебре, не связанное с теорией вероятностей и за-
задачами о блужданиях. Вам известны формулы:
(а + bf - 1,
(а + ЬI . а + Ь,
(а + bf » а2 + lab + Ъ2,
(а + bf = а3 + За2Ь + За&2 + Ь*.
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что число-
числовые коэффициенты взяты из соответствующих строк тре-
треугольника Паскаля.
21

Вычислим еще:
(а + ЪУ = {а + b)s (a + Ь);
для этого надо умножить
на а и на b и результаты сложить:
62 + 4fl63 + 6*
Мы видим, что коэффициенты суммы получаются точно по
тому же правилу, по какому формировался треугольник
Паскаля.
Возникает гипотеза, что всегда
(а -|- Ь)п = ап + С1пап-1Ь+... + (%а™ЧГ + . .. + Ьп. A)
Гипотеза верна. Знакомые с методом математической ин-
индукции могут провести строгое доказательство формулы
бинома Ньютона A), опираясь на равенство A) из § 5.
§ 7. Биномиальные коэффициенты
и число сочетаний
Числом сочетаний из п по т называется
число способов выделения из множества, состоящего из
п предметов, подмножества, состоящего из т предметов.
Например, из множества, состоящего из четырех букв
А, Б, В, Г,
можно выделить шесть различных подмножеств, состоя-
состоящих каждое из двух букв:
{А, Б}, {А, В}, {А, Г}, {Б, В}, {Б, Г}, {В, Г}.
Оказывается, что число сочетаний из п по т равно соот-
соответствующему элементу треугольника Паскаля С™.
Этот факт легко понять, если обратиться к последней
задаче о блуждании из § 5. Например, чтобы определить
в этой задаче число различных способов, которым эта час_
тица может сделать два шага направо за 4 с, надо пере*,
брать все способы выделения из четырех секундных про.
22

межутков двух промежутков. Таких способов шесть:
12 3 4
1 + +
2 + +
3 + +
4 + +
5 + +
6 + +
Знакомые с методом математической индукции могут
провести общее доказательство, опираясь на равенство
A) ив § 5.
§ 8. Формула, выражающая
биномиальные коэффициенты
через факториалы, и ее применение
к вычислению вероятностей
Эта замечательная формула имеет вид:
Ьп ~ т\(п-т)\ * ^ '
Ее тоже можно доказать при помощи метода матема-
математической индукции. Дадим другое, более непосредствск-
ное доказательство.
Если ив п предметов отобраны т, то можно т\ спосо-
способами занумеровать отобранные предметы числами:
1, 2, 3, . . ., ш.
Оставшиеся п — m предметов можно занумеровать чис-
числами:
тп + li m + 2, . . ., п
(п — тп)\ способами. Таким образом, получим
ш\ (п — т)!
нумераций всего множества из п предметов числами:
1, 2, . . ., п.
Но сам отбор m элементов из п можно произвести С™ спо-
способами. Таким образом, всего мы получим:
Сп_ ml {п — т)!
23

Таблица логарифмов факторвалов
п
1
2
3
4
5
6
7
6
G
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Ign!
0,0000
0,3010
0,7782
1,3802
2,0792
2,8573
8,7024
4,6055
5,5598
6,5598
7,6012
8,6803
9,7943
10,9404
12,1165
13,3206
14,5511
15,8063
17,0851
18,3861
19,7083
21,0508
22,4125
23,7927
25,1906
п
26
27
28
29
80
81
82
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Ign!
26,6056
28,0370
29,4841
30,9465
32,4237
33,9150
35,4202
36,9387
38,4702
40,0142
41,5705
43,1387
44,7185
46,3006
47,9116
40,5244
51,1477
52,7811
54,4246
56,0778
57,7406
59,4127
61,0939
62,7841
64,4831
п
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
Ign!
66,1906
67,9066
69,6309
71,3633
73,1037
74,8519
76,6077
78,3712
80,1420
81,9202
83,7055
85,4979
87,2972
89,1034
90,9163
02,7359
94,5619
06,3945
08,2333
100,0784
101,9297
103,7870
105,6503
107,5196
109,3946
п
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
07
98
99
100
te«i
111,2754
113,1619
115,0540
116,9516
118,8547
120,7632
122,6770
124,5961
126,5204
128,4498
130,3843
132,3238
134,2683
136,2177
138,1719
140,1310
142,0948
144,0632
146,0364
148,0141
149,9964
151,9831
153,9744
155,9700
157,9700
нумераций полного множества ив п элементов. Каждую
нумерацию этого множества мы получили ровно один раз.
Всего же их п\. Поэтому:
(п — т)\ = п\,
п]
что и требовалось доказать.
Чтобы формула A) была верна и при п = 0, и при
т = 0, надо положить:
0! = 1
Z4

Формула A) позволяет вычислять с-Я" в случае боль-
больших п и т с помощью таблицы логарифмов факториалов
(см. таблицу или формулу Стирлпнга).
§ 9. Формула Стпрлинга
Дж. Стирлинг A730 г.) предложил разло~
жение натурального логарифма п\ в бесконечный ряд:
In п\ = п In п — п -f- -5- In n -f- In у 2л -f-
где числа V: могут быть выписаны в явном виде, напри-
например,
5Х = 1/12, sa == 1/360.
Ряд этот расходится, однако при любом натуральном m
верно равенство:
In п\ = nln п — п + — In п + In ]^2л +
«„е
?!
( l\m+l
где 0 < 6 < 1.
Для нас представляют интерес такие следствия по-
последней формулы:
In n\ ~ nln п, (i)
In n! = п In n — n + О (In n), B)
ln«!=:n]nn— n+ In 1/2яй-f--j|^-, 0<G<l, C)
п!~/21шппе-п. D)
Здесь, как всегда, / — g обозначает fig -*• 1, / ^g +
+ О (Л) обозначает, что —Т8 ограничено. Формула A)
плоха и приводится лишь как простейшее асимптотиче-
асимптотическое выражение для п\. Мы дадим простое наглядное до-
доказательство формулы B). В процессе доказательства по-
получится оценка остатка О (In n).
Так как
- In п\ = In 2 + In 3 -f . . . + In n
25

и функция In х выпукла вверх, из рис. 10 видно, что раз~
п
ность между In nl и \ In x dx положительна и меньше
1
In*
Ы -
W
У
¦ -т' ¦
IJJIIIliM1""
».j. 7x
Рис, 10. Схема вычисления интеграла от In x,
суммарной площади заштрихованных треугольников, ко-
которая равна Valn п. Подсчитав
1п х dx
получим, что
nln п — п + 1
nl <. п\п п — п + V2ln п
i iv хх± iv - iv —у— j. ^ч^, ххх 1Ы '-ч*, ffr j.ij Iff IV ~J~ lax
Вычислим, например, в задаче ив конца § 5 вероят-
вероятность сделать за 100 секунд ровно 50 шагов. Эта вероят-
вероятность равна
^юо E0)
-2мо~= 2И0E0!J '
Логарифмические вычисления не сложны:
lg 100! = 157,9700,
lg 2 = 0,3010300,
lg 2100 = 30,1030,
lg 50! = 64,4831,
lg E0!J = 128,9662,
lg Pm E0) = 2,9008,
Рш E0) - 0,0796 « 0,08.

ГЛАВА 2
ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА
Численное значение вероятностей в приме-
примерах главы 1 получается из классического
определения, в соответствии с которым вероятность ка-
какого-либо события равна отношению числа исходов, благо-
благоприятствующих этому событию, к общему числу равно-
возможных исходов. Вычисление вероятностей при этом
сводится к подсчету элементов того или иного множества
и оказывается чисто комбинаторной задачей (иногда весь-
весьма трудной). Классическое определение оправдано тогда,
когда существует возможность предсказания вероятности
на основании симметрии условий, при которых происхо-
происходит испытание, и, вследствие этого, симметрии исходов
испытания, что и приводит к представлению о «равповоз-
можности». Например, если сделанная из однородного
материала геометрически правильная игральная кость
подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно
большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпаде-
выпадение любой из ее граней мы считаем равновозможными ис-
исходами. По тем же соображениям симметрии мы считаем
равновозможными исходы такого эксперимента: из сосу-
сосуда, в который помещены одинаковые по размеру и массе,
тщательно перемешанные и неотличимые на ощупь „белые
и черные шары, «наудачу» вынимается шар за шаром так,
что после регистрации цвета каждый шар возвращается
обратно в сосуд и после тщательного перемешивания про-
производится извлечение следующего шара. Таким образом,
классическое определение лишь сводит понятие «вероят-
«вероятности» к понятию «равновозможности». «Равновозмож-
ность» представляет собой объективное свойство испыта-
испытаний, определяемое условиями их проведения, но, как
всякое конкретное свойство, может быть установлено
только с известной степенью точности. Наше представле-
представление о «симметричных» костях, монетах и т. п. было бы
27

только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали
правоту сделанных предположений. Существует мно-
множество примеров испытаний со случайными исходами, ко-
которые могут быть повторены большое число раз в одина-
одинаковых условиях. При рассмотрении результатов отдельных
испытаний очень трудно найти какие-либо закономер-
закономерности. Однако в последовательности одинаковых испыта-
испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних
характеристик. Назовем частотой какого-либо случай-
случайного события А в данной серии из п испытаний отношени
т/п числа т тех испытаний, в которых событие А насту-
наступило, к общему их числу. Наличие у события А при оп-
определенных условиях вероятности, равной р, проявляется
в том, что почти в каждой достаточно длинной серии
испытаний частота события А приблизительно равна р.
Устойчивость значений частоты неоднократно подтверж-
подтверждалась специальными экспериментами. В качестве иллюст-
иллюстрации рассмотрим данные по проверке симметричности
монеты. Пусть т — число выпадений герба в п испыта-
испытаниях, так что т/п — частота выпадения герба. В следующей
табличке помещены результаты, экспериментально полу-
полученные разными исследователями, начиная с XVIII века
(их фамилии помещены в левом столбце таблички);
Бюффон
Де Морган
Джевоно
Романов-
Романовский
Пирсон К.
Феллер
п
4040
4092
20480
80640
24000
10000
т/п
0,507
0,5005
0,5068
0,4923
0,5005
0,4979
Данные проверки в совокупности показывают, что пред-
предположение о равновозможности герба и решки, т. е. о том,
что с вероятностью 0,5 появляется любая сторона монеты,
находится в согласии с опытом. Это согласие по данным
таблички кажется вполне удовлетворительным, однако,
если для исследования применить специальные вероят-
вероятностные методы, то вполне возможен вывод, что выпадение
герба и решки в отдельных случаях не одинаково вероят-1
ио. Это будет проявлением того факта, что любая реаль-
реальная монета не является идеально симметричной. И тем
не менее, представление об абсолютно симметричной моне-
монете очень полезно, так как во многих приложениях теории
28

вероятностей такая модель с двумя равновозможными ис-
исходами достаточно точно описывает случайные явления,
и даже точнее, чем эксперимент с подбрасыванием монеты.
Статистические закономерности такого рода были впер-
впервые обнаружены на примере азартных игр, таких как игра
в кости, игра в «орел — решку», карточные игры и т. п.,
т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуют-
характеризуются равновозможностью исходов. Эти наблюдения открыли
путь для статистического подхода к численно-
численному определению вероятности, который особенно важен
тогда, когда из теоретических соображений, подобных
соображениям симметрии, значение вероятности заранее
установить нельзя. Например, если некий стрелок при
100 попытках попал в цель 39 раз, то можно думать, что
для него вероятность попадания в цель при одном выстре-
выстреле и при неизменных условиях стрельбы близка к 39/100 =*
= 0,39. Однако, так как у нас заранее нет никаких пред-
представлений о том, какова эта вероятность, нам нужно быть
уверенным в том, что результаты стрелка устойчивы на
протяжении достаточно большого числа попыток пора-
поразить цель.
Рассмотрим несколько серий испытаний, проходящих
в неизменных условиях, и пусть щ, пг, . . ., л, — числа
испытаний в каждой серии. Предположим, что в каждом
испытании происходит или не происходит событие А,
и пусть ml5 m2, . . ., ms — соответственно числа испыта-
испытаний, которые завершаются появлением события в каждой
серии. Тогда mjri]., т^/щ, . . ., ms/ns образуют ряд соот-
соответственных частот. Явление статистической устойчивос-
устойчивости состоит в том, что частоты, полученные при достаточно
больших значениях п1г п2, . . ., nsl обнаруживают незна-
незначительные отклонения друг от друга или от некоторой
средней величины. Например, еще в XVIII веке было за-
замечено, что среди обычной корреспонденции письма без
Год
1906
1907
1908
1909
1910
Все письма
983000000
1076000000
1214000000
1357000000
1507000000
Письма без адреса
26112
26977
33515
33643
40101

адреса обладают определенной устойчивостью, Данпые
таблички на с, 29, собранные по материалам русской
почтовой статистики, свидетельствуют о том, что на про-
протяжении нескольких лет на каждый миллион писем при-
приходилось в среднем 25—27 писем без адреса.
Приведем также данные о рождаемости в Швеции за
1935 год по материалам Г. Крамера (и — число рождений,
т/п — частота рождения мальчика):
Месяцы
п
т/п
I
7280
0,514
Месяцы
п
т/п
VII
7585
0,523
11
6957
0,510
VIII
7393
0,514
Ш
С
IX
7203
0,515
7883
,510
X
6903
0,509
IV
7884
0,529
XI
6552
0,518
V
7892
0,522
XII
7182,
0,527
VI
7609
0,518
За год
88273
0,517
Несмотря на то что общее число рождений меняется в
течение года, частота рождения мальчика довольно ус-
устойчиво колеблется около среднего значения 0,517. Тако-
Такого рода статистические закономерности были открыты
довольно давно, еще в XVIII веке, в демографических ма-
материалах — при изучении статистики рождаемости, смерт-
смертности, несчастных случаев и т. д. и ее использовании, на-
например, в страховом деле. Позже, в конце XIX и начале
XX века были обнаружены новые статистические законо-
закономерности в физике, химии, биологии, экономике и других
науках. При вероятностном анализе этих данных основа-
основанием для количественных оценок вероятности обычно мо-
могут служить только сами эти статистические данные.
Итак, по поводу связи вероятности с частотой нужно
иметь в виду следующее. При конечном числе п испытаний
при неизменных условиях доля числа испытаний т, в ко-
которых данное событие появится, т. е. частота события
т/п, как правило, мало отличается от вероятности р.
И чем больше число испытаний, тем реже встречаются
сколь-нибудь значительные отклонения частоты т/п от
вероятности р — частота отклонений стано->
30

рится все меньше. Это утверждение о близости частоты
и вероятности математически уточняется законом боль-
больших чисел в форме теоремы Бернулли, о которой будет
рассказано в главе 3. Проводя большое число наблюдений,
мы принимаем частоту за приближенное значение вероят-
вероятности, существование которой и постулируется на основа-
основании результатов наблюдений. Способы оценок неизвест-
неизвестной вероятности по результатам наблюдений будут про-
продемонстрированы на примере задач § 4 главы 6.
При третьем подходе к определению вероятности —
аксиоматическом — вероятности задаются пе-
перечислением их свойств. Простейшие свойства вероятнос-
вероятности определяются естественными свойствами частоты т/п:
1) 0 < т!п < 1;
2) если событие появляется при каждом испытании,
т. е. оно достоверно при любом п, то т = п и
m/n = 1;
3) если mi из п испытаний привели к осуществлению
события А, а пг2 — к осуществлению события В, и при
этом ни в одном из п испытаний события А и В не появи-
появились одновременно, то частота т события, состоящего в
появлении либо А, либо В, равна
mln = m^ln + гщ,1п.
При изложении теории вероятностей свойства вероятнос-
вероятности формулируются в виде аксиом. Ныне принятое аксио-
аксиоматическое определение вероятности было введено в
1933 году А. Н. Колмогоровым. Для случаев, которые
рассматриваются в книге, вероятность задается как чис-
числовая функция Р (А) на множестве всех событий, опре-
определяемых данным -экспериментом, которая удовлетворяет
следующим аксиомам:
1) 0 < Р (Л)< 1;
2) Р (А) = 1, если А — достоверное событие;
3) Р (A U В) = Р (А) + Р (В), где событие A \J •В
означает осуществление или события А, или события В,
причем А и В не могут произойти одновременно. Эти ак-
аксиомы в простейших случаях проверяются (см. подробнее
в главе 3), в более сложных случаях служат единственным
способом задания вероятностей.
Однако ни аксиомы, ни классический и статистический
подходы к определению вероятности не дают исчерпываю-
исчерпывающего определения реального содержания понятия «вероят-
«вероятность», а являются лишь приближениями ко все более
ai

полному его раскрытию. Предположение 'о том, что при
данных условиях для данного события существует вероят- i
ность, является гипотезой, которая в каждой отдельной ]
задаче требует проверки и обоснования. Например, имеет ,
смысл говорить о вероятности попадания в цель заданных i
размеров с заданного расстояния из оружия известного
образца стрелком, выбранным «наудачу» из определенно-
определенного подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить
о вероятности попадания в цель вообще, если об условиях
стрельбы ничего неизвестно.
По численным значениям вероятностей, определенным
классическим или статистическим способом, могут быть
вычислены по правилам теории вероятностей новые вероят-
вероятности. Например, если вероятность выпадения герба при
одном бросании монеты равна Чъ, то вероятность того,
что при четырех «независимых» бросаниях монеты хотя
бы раз выпадет герб, может быть вычислена следующим
образом. Вероятность события, состоящего в том, что герб
не выпадет вовсе при четырех бросаниях, равна 1/24, так
как этому событию благоприятствует лишь один исход
из общего числа 24 равновозможных (в силу симметрии
монеты) исходов. Так как оба рассматриваемых события
взаимно исключают и взаимно дополняют друг друга, то
сумма их вероятностей (это следует из свойств 2 и 3) рав-
равна 1. Поэтому искомая вероятность равна 1 — (V2L =
=з 1ъ/1в = 0,9375. Заметим, что частота этого события в
эксперименте из 20160 бросаний четырех монет, проделан-
проделанном В. И. Романовским A912 г.), приняла значение 0,9305.
Подробно о правилах вычисления вероятностей мы рас-
расскажем в следующей главе.
Очевидно, что утверждение, что вероятность какого-
либо события весьма близка к единице, имеет гораздо
большую практическую ценность, чем утверждение о том,
что событие наступает с вероятностью, равной, например,
V2. Это объясняется тем, что мы интересуемся практиче-
практически достоверными выводами и стремимся к ним.К примеру,
при 10 бросаниях симметричной монеты появление десяти
гербов или десяти решек очень маловероятно; гёероят-
ность этого события равна 1/2" = 1/1Q2i = 0,00098. Но и
утверждение, что герб выпадет ровно пять раз, не имеет
достаточных оснований, хотя эта вероятность в 252 раза
больше предыдущей: С\й12ы = 2S2/loa4 = 0,24609. Более
того, утверждая, что герб выпадет 4, 5 или 6 раз, мы
еще довольно сильно рискуем ошибиться; вероятность
32

' этого события равна < С'о+ ffi + С" ^'-Ц- = 0,65625.
Наиболее достоверный прогнов возможен лишь в отноше-
отношении события, заключающегося в появлении герба хотя
бы раз, но особой практической ценности утверждение об
осуществлении этого события не имеет, так как это собы-
событие противоположно очень маловероятному событию,
которое состоит в невыпадении герба вовсе. Однако увели-
увеличение числа испытаний делает прогноз более содержатель-
содержательным и надежным. При 100 бросаниях симметричной моне-
монеты уже без практически ощутимого риска можно заранее
утверждать, что число выпавших гербов будет лежать
между 39 и 61; вероятность зтого события равна
61
2 сш
-^^ = 0,97876;
следовательно, мы можем считать это событие практиче-
практически достоверным, но при этом отдавать себе отчет в том,
что если, например, данный эксперимент производится
¦100 раз, то в среднем приблизительно в двух случаях мы
будем встречаться с событием', противоположным данному,
,так как вероятность противоположного события равна
0,02124. Для сравнения укажем, что вероятность того,
что число гербов заключено между 35 и 65, равна 0,99822.
Решение вопроса о практической достоверности, к ко-
которому приводит описанный выше расчет, непосредствен-
непосредственно связано с вопросом о том, какими вероятностями можно
пренебрегать на практике. Этот последний вопрос ре-
решается в каждом отдельном случае по-разному и, как пра-
правило, за рамками теории вероятностей. В большинстве
случаев пренебрегают уже вероятностями 0,05. Если ус-
условия практической задачи допускают такую долю оши-
ошибок (в среднем 5 случаев на каждые 100 экспериментов),
то мы считаем событие, происходящее с вероятностью
0,95, практически достоверным. В других, более деликат-
деликатных случаях принято пренебрегать лишь вероятностями
0,001, а иногда требовать и еще большего приближения
вероятности отсутствия ошибки к единице. Эти рассуж-
рассуждения основаны на практической уверенности в том, что
если вероятность события очень мала, то при однократном
испытании это событие не осуществится. Примеры подоб-
подобных рассуждений о практической достоверности будут
обсуждаться в главе 6.
2 А, Н. Колмогоров в др. 33

ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
О ВЕРОЯТНОСТЯХ
§ 1. Определение вероятности
Рассмотрим испытания со случайными ис
ходами. Пусть при каждом испытании может появитьс i
любой из п равновероятных исходов, и только они. Обо
значим их символами Е±, Е2, . . ., Еп. При бросании моне
ты могут появиться только два исхода: Е± — герб и Е2 —
решка. При бросании игральной кости могут произойти
6 исходов: Ег, Е2, Е3, Eit Еъ, Е6, соответствующие выпаде-
выпадению одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков. Ес-
Если в лотерее имеется 1000 билетов, то при вынимании одно-
одного билета имеются 1000 равновероятных исходов. ]
Любое возможное множество исходов мы будем назы-
называть случайным событием. Так, например, при бросании
игральной кости выпадение четного числа очков, т. е.
появление либо грани с двумя очками, либо с четырьмя,
либо с шестью, является случайным событием. Точно так
же выпадение грани с тремя очками является случайным
событием. Появление любого из событий Ех, Е2, Е3, i?4,
Еъ, Ев, т. е. появление какого-либо числа очков, также
является случайным событием. Это случайное событие
обладает одной особенностью, оно обязательно наступает
и поэтому называется достоверным событием.
Пусть А — некоторое случайное событие и оно на-
наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы
один из т различных определенных исходов из общего
числа п возможных. Вероятностью события А называет-
называется отношение mln,— как говорят, отношение числа
благоприятствующих событию А исходов к числу всех
возможных. Вероятность события А обозначают символом
Р (А). Таким образом,
Р (А) = mln. A)
S4
J

В частности, при любом i A <^ i <^ п)
Р (Et) = i/n, n
а для события U, происходящего каждый раз, когда насту-
наступает какое-то из событий Et, которому благоприятствуют
все возможные исходы,
Р (U) = 1.
Событие U и в общем случае называется достоверным.
Пример 1. Лотерея состоит из 1000 билетов, сре-
среди них 150 выигрышных. Вынимается произвольный
(обычно говорят «наугад») билет из 1000. Чему равна ве-
вероятность того, что этот билет выигрышный?
Различных исходов в этом примере 1000 (п = 1000).
В интересующее нас событие А входят 150 исходов, сле-
следовательно, т — 150. Таким образом, согласно опреде-
определению:
J- Ё_
1000 ~~ 20 '
Пример 2. В полученной партии деталей оказа-
оказалось 200 деталей первого сорта, 100 деталей — второго
сорта и 50 деталей — третьего сорта. Наудачу вынимает-
вынимается одна из деталей. Чему равны вероятности получить
деталь первого, второго или третьего сорта?
В нашем примере п = 350. Обозначим соответственно
через А, В, С случайные события, состоящие, соответст-
соответственно, в получении детали первого, второго или третьего
сорта. Легко видеть, что
Пример 3. Бросается игральная кость. Чему рав-
равны вероятности следующих событий: А — выпадет грань
с 6 очками, В — выпадет грань с четным числом очков,
С — выпадет грань с числом очков, делящимся на 3?
В нашем примере п = 6. Событию А благоприятствует
только один исход, событию В — три исхода, событию
С — два исхода. Таким образом,
Пример 4. Известно, что в школе с 900 учащимися
имеется 60 учеников, которые по всем предметам имеют
2* 35

отличные оценки, 180 учеников только по одному пред-
предмету имеют хорошую или удовлетворительную оценку,
а по остальным отличные, 150 учащихся не имеют ни одной
отличной оценки, а 20 учащихся имеют отличные оценки
по всем предметам, кроме одного, по которому у них оцен-
оценка неудовлетворительная. Чему равны вероятности, встре-
встретив учащегося этой школы, (А) — увидеть отличника,
(Щ — учащегося, у которого хотя бы по одному предмету
имеется отличная оценка, (С) — учащегося, у которого
только по одному предмету нет отличной оценки?
В нашем примере п — 900. Вероятность первого со-
события находится просто, она равна
900 15
Событию В благоприятствуют все учащиеся, за исклю-
исключением 150. Таким образом,
Событию С благоприятствуют, во-первых, 180 учащих-
учащихся, у которых оценки по всем предметам «положительные»
и только по одному нет отличной оценки, а также 20 уча-
учащихся, имеющих по одному предмету неудовлетворитель-
неудовлетворительную оценку и по остальным отличные. Следовательно,
р/П—Г200 — 2
I ' ТОО <) •
§ 2. Операции с сооытиями:
теорема сложения вероятностей
Для дальнейшего нам полезно ввести неко-
некоторые понятия.
Суммой или объединением событий А и В назовем со-
событие, состоящее как из исходов, составляющих А, так
и кз исходов, составляющих В. Те исходы, которые вхо-
входят и в Л, и в Б, считаются только один раз. Сумму собы-
событий А и В мы будем обозначать символом A \J В.
Пусть А ж В обозначают выпадение при бросании иг-
игральной кости соответственно четного числа очков и чис-
числа очков, кратного трем. Событие А состоит из исходов
Е2, Et, Ев; событие В — из исходов Е3, Е6. Событие A (J
(J В состоит из исходов Е2, Е3, Et, E6. Исход Е6 у нас
встречался как в событии А, так и в событии В. Заметим.

что событие В мы можем записать также в виде суммы
событий Е3 и Е6.
Понятие суммы распространяется естественным путем
на любое число событий А, В, ..., N. Событие A\JB\J...
. . . (J N состоит из тех и только тех исходов, которые
входят в состав хотя бы одного из событий А, В, . . ., N.
Теперь и событие А, приведенное нами только что для
иллюстрации понятия суммы двух событий, мы можем за-
записать в виде суммы А = Ег \J Ei (J E6.
Пересечением двух событий А и В назовем событие,
состоящее из тех и только тех исходов, которые входят как
в А, так и в Б. Такое событие будем обозначать А (~) В
или АВ.
В примере с бросанием игральной кости пересечение
событий А ж В состоит из одного-единственного исхода
Ев. Таким образом, АВ — Е6.
Понятие пересечения событий естественно распростра-
распространяется на любое число событий А, В, . . ., N. Пересече-
Пересечением событий А, В, . . ., N назовем событие АВ . . . N,
состоящее из тех и только тех исходов, которые входят в
состав каждого из событий А, В, . . ., N.
Противоположным событием или дополнением собы-
события А назовем событие А, состоящее из всех тех исходов,
которые не входят в состав А.
В иллюстративном примере с игральной костью собы-
событие А = Ех (J E3 (J Еъ состоит в выпадении нечетного
числа очков; событие В = Ег \J Ea [J Et \J Еъ, т. е. со-
состоит в выпадении числа очков, не делящегося на 3.
Очень наглядна и часто бывает полезной геометриче-
геометрическая иллюстрация понятия события и только что опреде-
определенных понятий. Представим себе, что каждый исход изо-
изображается точкой на плоскости. Событие мы будем обо-
обозначать, взяв определенные точки в рамки и заштрихо-
заштриховав полученную область. На рис. 11 приведены события
А, В, А, В, Л U В, АВ.
Для приведенной на рис. 11 иллюстрации общее число
исходов равно 36. Подсчитав число точек, находящихся в
соответствующих заштрихованных областях, находим, что
37

•
•
•
I
ш
« •
* •
* •
•
•
и
¦ •
1
AVB АВ
Рис. 11. Иллюстрация суммы и пересечения событий.
Говорят, что событие А влечет за собою событие В (гово-
(говорят также, что В содержит, является следствием, вклю-
включает А), и обозначают это символом А О. В (или В ZD А),
если все исходы, составляющие А, входят и в В.
Очевидно, что всегда A d A (J В, АВ d А (конечно)
" В с A U В, АВ d ВЧ
ЗР

Для операций над событиями часто используют скоб-
скобки, чтобы показать, в какой последовательности следует
производить действия. Например, (A (J В) (В (J С) оз-
означает, что сначала нужно найти сумму событий А ж В,
а также В и С, а затем взять пересечение получившихся
событий.
Обратим внимание на то, что в том множестве случай-
случайных событий, которое мы ввели, операции пересечения со-
событий и нахождения противоположного события выпол-
выполнимы не всегда. Действительно, если события А и В не
содержат общих исходов, то их пересечение не является
событием при данном нами определении (оно не состоит
из каких-нибудь исходов). Точно так ше, если событие А
является достоверным, то противоположное ему событие
* А в определенном нами классе случайных событий не су-
существует. Чтобы исключить такие возможности, мы попол-
пополним класс случайных событий невозможным событием, в
которое не входит ни один из исходов. Иными словами,
невозможное событие состоит из пустого множества исхо-
исходов. Обозначим невозможное событие символом V. Те-
Теперь мы уже свободны от возможных исключений и можем
говорить, что операции пересечения событий и нахожде-
нахождения противоположного события всегда выполнимы.
'В частности, D = V. Очевидно, что мы должны положить
Р (V) = 0.
Про события А и В говорят, что они несовместны,
если их пересечение является невозможным событием.
Если А и В несовместны, то Р (АВ) = 0.
Сформулируем теперь несколько свойств вероятности.
1. Для каждого случайного события А определена его
вероятность Р (А), причем 0 <^ Р (А) <! 1.
2. Для достоверного события U имеет место равенство
Р (U) = 1.
3. Если события А и В несовместны, то (теорема сле-
слежения вероятностей):
P(A{JB) = P(A) + P (В).
4. Для противоположных событий А и А имеет место
равенство:
Р (Ж) -. 1 - Р (А).
Первые два свойства очевидны и следуют из самого
определения вероятности случайного события (включая,
естественно, и невозможное).
S9

Докажем свойство 3. Пусть событие А содержит щ
исходов, а событие В — к исходов. Поскольку, по пред-
предположению, события А и В несовместны, то событие
A U В состоит ровно из т + к исходов. Теперь, по
определению,
+
п
Но Р (А) = т/п, Р (В) = kin. Это и доказывает свой-
свойство 3 — теорему сложения вероятностей.
По определению противоположных событий А и Л
имеем: 1) A (J Ж = U и 2) А я А несовместны. Поэтому
в силу свойства 2
Р (A U А) = 1,
а в силу свойства 3:
P(A{JI) = P(A) + P (A).
Свойство 4, таким образом, доказано.
Докажем теперь одно обобщение свойства 3. Пусть
события Аг, А2, . . ., Ак попарно несовместны, т. е. для
каждой пары событий At и Aj при i Ф j имеет место ра-
равенство AtAj= V. Тогда:
'(Л, U А2[] ... U 4*-, \JAh) =
- Р (А,) + Р (А2) + ... + Р (Л_,) + Р (А„).
Действительно, события At (J A2 (J . . . (J А^_г и ЛЛ
несовместны и в сумме дают Аг (J Л2 U ... l; А^г (J
U ^4ft. Поэтому в силу теоремы сложения
* (Аг U Л2 U • • • U А^ U Аь) =
= ^ (^1 U A2 U • • • U Ак_х) + Р (Ан).
По теперь снова события Аг [j A2 \J . . . {J Ah-2 и A^-i
несовместны и в сумме дают Аг (J A2 (J . . . (J ^^.ц
поэтому в силу теоремы сложения
р (^4i U а2 и •.. U Л-2 U ^м) =
= Р (A, U A2 U • • • U Л-2) + Z3 (^fc-i).
Таким образом,
Р {A, U A2 U . . . U Ак) =
- Р (Л, U ^2 U • • • U Ак-2) + Р (Л-,) + Р (Ак).

Повторив проведенные рассуждения еще к — 3 раз,
мы завершим доказательство обобщенной теоремы сложе-
сложения.
Пример 1. В зрительном зале кинотеатра имеются
9 рядов, пронумерованных подряд числами от 1 до 9,
а в каждом [ряду по 9 кресел, также пронумерованных
Номера
пест 1
Рис. 12. Иллюстрация к задаче о кинотеатре.
числами от 1 до 9. орвдель наудачу занимает место. Что
вероятнее: сумма номеров ряда и места в ряду окажется
четной или нечетной?
Пусть А — событие, состоящее в том, что указанная
сумма будет четной. Тогда А распадается на сумму попар-
попарно несовместных событий А2, Л4, Ав, . . ., Aia, где Ак
означает событие, состоящее в том, что сумма номеров
ряда и места оказалась равной к. По теореме сложения:
Р (А) = Р (Л2) + Р (Л4) + . . . + Р {Аи)-
Из рис. 12 непосредственным подсчетом получаем:

Отсюда:
Р (А) = 41/81.
-0-
Поскольку событие, состоящее в том, что интересующая
нас сумма будет нечетной, противоположно событию А,
то его веройтность равна:
Р (А) = 1 — Р (А) = 40/81.
Мы видим, таким образом, что Р (А) ^> Р (А).
Пример 2. Имеются три электрические схемы,
состоящие каждая из 4 выключателей. Каждый из выклю-
выключателей с вероятностью 0,5 может быть включен и выклю-
выключен. Выяснить, для какой из схем, изображенных на
рис. 13, вероятность того,
что ток будет проходить от
точки А к точке В, будет
наибольшей.
Под исходом здесь сле-
следует понимать состояние
всех выключателей. На-
Например, возможен такой
исход: первый выключа-
выключатель включен, второй вы-
выключен, третий включен,
четвертый выключен. По-
Поскольку выключателей че-
четыре и каждый из них
может находиться только
в одном из двух допусти-
допустимых состояний, то всего
исходов 24 = 16.
Пусть А обозначает
событие, состоящее в том, что схема проводит ток.
1. Найдем Р (А) для схемы I. Чтобы схема I проводи-
проводила ток, необходимо, чтобы все выключатели были вклю-
включены. Такая возможность только одна. Следовательно,
Р (А) = 1/16.
2. Для схемы II рассмотрим событие А, состоящее
в том, что схема II ток не проводит. Для этого необходи-
необходимо, чтобы ни один из выключателей не проводил ток.
42
Рис. 13. Электрические схемы к
примеру 2.

Событие А _состоит из единственного исхода. Таким об-
образом, Р (А) = 1/16 и, значит,
Р (А) = 1 - Р (А) = 15/16.
3. Найдем, наконец, Р (А) для третьей схемы. Собы-
Событие А мы можем здесь представить в виде суммы попарно
несовместных событий А±, Л2, As. Событие А^ состоит
в том, что участок «1—2» ток проводит, а участок «3—4»
ток не проводит. Событие Аг состоит в том, что участок
«3—4» ток проводит, а участок «1—2» ток не проводит.
Событие Ад состоит в том, что оба участка проводят ток.
Очевидно, что события Аг и А2 содержат по три исхода,
а событие А3 — только один исход. Отсюда
Итак, самой выгодной схемой, которая с максимальной
вероятностью проводит ток, является схема II.
Упражнения
1, Возможны всею че-хыре исхода alt a2, а3, а4.
Перечислить все события. Каково их число?
Ответ: 16.
2. Каков смысл равенств ABC = A; A [j В [j С — А?
Ответ: А С ВС; А рДЦС.
3. Доказать, что A (J В =
= АБ; ~АВС = Л U В U С,
4. Упростить (A U В) (A U Б).
Ответ: А.
5. Доказать, что из A ZD В
следует неравенство Р(А)^
> Р(В).
6. Какой ответ в примере 1,
если в зале 8 рядов, а в каждом
ряду 8 мест?
Ответ: искомые вероятности
равны.
7. Игральная кость бросается
два раза. Чему равна вероятность
того, что сумма очков бу-
будет делиться на 3; будет боль-
больше 7? Какая из возможных
сумм B,3, ,.., 12) имеет наи-
наибольшую вероятность появления при двух бросаниях?
Ответ: 1/3; 5/12; б/36 -^- вероятность, что сумма равна 7.
8. Какая из двух изображенных на рис. 14 цепей с большей ве-
вероятностью проводит электрический ток?
Ответ: II — вероятность для нее равна 21/64.
9. Что вероятнее: при двух бросаниях монеты получить хотя
бы раз герб или получить подряд два раза решку?
Ответ: хотя бы раз герб, вероятность этого события равна 3/4»
Рис. 14. Электрические схемы
к задаче 8.

§ 5. Элементы комбинаторики
и применения к задачам
теории вероятностей
Мы ограничимся здесь изложением элемен-
элементов комбинаторики, предварительное ознакомление
о которыми было начато в главе 1.
Пусть имеется п элементов (предметов), отличающих-
отличающихся друг от друга какими-то признаками, например, номе-
номерами или индексами. Размещением из п элементов по к
называется совокупность к элементов из этих п, размещен-
размещенных в определенном порядке. Различными считаются
размещения, в которых или имеются различные элементы,
или, если все элементы одни и те же, то различны поряд-
порядки их расположения.
Пусть для примера: в портфеле имеются такие пред-
предметы — ручка (р), карандаш (к), линейка (л), резинка
(ре) и очки (о). Мы просим одного из учащихся достать
по очереди два предмета. При этом могут представиться
следующие случаи: (р, к), (р, л), (р, ре), (р, о), (к, о),
(к, р), (к, ре), (к, л), (л, р), (л, к), (л, ре), (л, о), (ре, р),
(ре, к), (ре, л), (ре, о), (о, р), (о, к), (о, л), (о, ре). На пер-
первом месте в скобках выписан предмет, извлеченный из
портфеля первым, на втором — извлеченный вторым. Мы
выписали все возможные размещения из 5 предметов по
2, их оказалось 20. Часть из этих размещений отличается
только порядком элементов, например, первая пара и
шестая, вторая и девятая. Некоторые же из них отличают-
отличаются и элементами — первая пара и вторая, первая и один-
одиннадцатая.
В приведенном примере было несложно подсчитать
число всех возможных размещений путем непосредствен-
непосредственного их выписывания. Однако в ряде случаев такое пере-
перечисление всех возможных размещений оказывается или
технически затруднительным, или же практически невоз-
невозможным из-за огромного времени, которое необходимо на
эту работу. Естественно поставить вопрос о разыскании
общей формулы для числа различных размещений из п
элементов по к. Это число обозначается символом Ап-
Докажем, что
Al = п (п — 1) (п — 2) . . . (п — к + 1).
С этой целью разобьем все размещения на п непересекаю-
непересекающихся между собой групп. В первую группу включим
44

все размещения, начинающиеся с первого элемента, во
вторую — начинающиеся со второго и т. д. Теперь, по-
поскольку в первой группе первый элемент уже фиксирован,
мы можем эту группу разбить на и — 1 новых подгрупп:
в первую подгруппу первой группы мы отнесем те и толь-
только те элементы первой группы, у которых второй по поряд-
порядку элемент будет иметь номер 2. Во второй подгруппе
вторым элементом будет элемент с номером 3 и т. д. Эту
операцию мы проделаем для каждой группы. В резуль-
результате мы получим п (п — 1) различных подгрупп. Продол-
Продолжив этот процесс разбиения далее, мы убедимся, что всех
размещений будет п (п — 1) . . . (п — к -f- 1).
Размещения из п элементов по п называют перестанов-
перестановками. Мы видим, что число различных перестановок равно
Ап=п{п—1)... 2-1.
Это число обозначается символом п\ (гг-факториал).
Очевидно, что и-факториал при п ^ 2 обладает следую-
следующим свойством:
п\ — (п — 1)! п.
Чтобы это равенство имело место при любых целых поло-
положительных значениях п, положим по определению 01 — 1.
Функция п\ растет с ростом п очень быстро. Приведем
несколько первых ее значений:
О! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24,
5! = 120, 6! = 720, . . .
Теперь формула для An может быть записана и в иной
форме:
А* — "!
Сочетанием из п различных элементов по к называется
произвольный набор к предметов из этих п. Различными
считаются сочетания, различающиеся между собой хотя
бы одним элементом.
Найдем формулу для числа сочетаний, которое мы
будем обозначать символом С*.
Рассмотрим все размещения из п элементов по к.
Разобьем их на различные группы, в каждой из которых
размещения различаются только порядком элементов, но
не составом, а две различные группы отличаются хотя бы

одним элементом. Очевидно, что число различных групп
совпадает с числом сочетаний из п элементов по к. Но
внутри каждой из групп содержится столько размещений,
сколькими способами можно переставить к различных
предметов, т. е. А^. Таким образом,
K l п\
По определению положим
С°п - 1.
Рассмотрим теперь несколько примеров использова-
использования формул комбинаторики для разыскания вероятностей
случайных событий.
П р и м е р 1. Пять друзей живут вместе. Они решили,
что утром, когда нужно пойти в магазин купить к зав-
завтраку свежего хлеба, они будут тянуть жребий: из пяти
бумажек на одной будет стоять буква «х». Кто вытянет
бумажку с этой буквой, тот и должен идти за покупкой.
Для какого из друзей, вытягивающего бумажку первым,
вторым, третьим, четвертым или пятым, вероятность вы-
вынуть жребий «х» будет наименьшей?
Исходом здесь следует назвать любую из 5! переста-
перестановок 5 билетов. Найдем вероятность того, что билет «х»
достанется к-му по счету другу. Это событие содержит
все исходы, в которых билет «х» занимает к-е место, а ос-
остальные 4 билета могут занимать любые из оставшихся
4 мест. Это может произойти 4! способами. Таким обра-
образом, вероятность вытянуть билет «х» к-му по счету дру-
другу равна
р _ 41 _ *
ft~~5p~ 5 '
Эта вероятность не зависит от того, каким по порядку оче-
очередности вытягивать жребий, так что последний в очере-
очереди имеет такую же вероятность вытянуть жребий, как и
первый.
Очевидно, что этой задаче можно придать большое
число различных интересных в прикладном отношении
формулировок.
Пример 2. В ящике имеются 10 белых и 5 черных
шаров. Наудачу вынимают 3 из них. Какой состав шаров
по цвету извлечь наиболее вероятно?

Обозначим через 4i>3_j событие, состоящее в том,
что среди трех извлеченных шаров i окажутся белыми,
а 3 — i — черными. Очевидно, что могут осуществиться
такие события: А3л, Л2Л, Л1>2, Л0,3. Так как порядок
извлеченных шаров нас не интересует, то под исходом сле-
следует понимать любое сочетание трех элементов из 15.
Тогда событие Aafi состоит из С*о исходов (вынимаются
какие-то 3 белых шара из 10 белых), событие Л2>1 состоит
из С\йС\ исходов, событие А1л — из С\0С% исходов и
Л0,з — из С* исходов. Вероятности интересующих нас
событий будут:
0,494,
20
Таким образом, наиболее вероятно появление двух
белых и одного черного шара.
Пример 3. В группе из М + N предметов имеются
М предметов, обладающих некоторым свойством А, и N
предметов, которые им не обладают. Из этой группы пред-
предметов вынимаются наудачу к предметов. Спрашивается:
чему равна вероятность того, что будут извлечены т
предметов со свойством Лии предметов, не обладающих
этим свойством (т + п = к)?
Эта задача играет большую роль в ряде областей прак-
практических применений математики в демографии, статисти-
статистике населения, статистическом контроле качества промыш-
промышленной продукции.
Под исходом здесь следует понимать появление любых
к предметов из имеющихся М + N. Поскольку нас не ин-
интересует порядок появления этих элементов, то общее
число различных исходов равно Cm+n- Очевидно, что в за-
задаче следует считать 0<^m<^Mn0^n«^./V, посколь-
поскольку, если эти условия не выполняются, то вероятность по-
появления интересущего нас события будет равна 0. Из-

влечь т предметов со свойством А можно См различными
способами. Но каждый способ извлечения т предметов со
свойством А может сочетаться с любым способом извле-
извлечения п предметов, не обладающих этим свойством. Сле-
Следовательно, общее число исходов, благоприятствующих
интересующему нас событию, равно См-С^, а тем самым
искомая вероятность равна
р_
Пример 4. Имеются N ячеек и п частиц. Частицы
наудачу размещаются по ячейкам. Найти вероятность
каждого из возможных размещений.
Эта задача представляет значительный интерес для
ряда основных вопросов физики, химии, биологии, инже-
инженерного дела и пр. В зависимости от физической сущно-
сущности задачи в слово «наудачу» вкладывается различный
смысл. Мы приведем три различных подхода, выработан-
выработанных в физике и получивших соответственно наименование
статистик Максвелла — Больцмана, Бозе — Эйнштейна
и Ферми — Дирака.
Статистика Максвелла — Больцма-
н а. Каждая из всех п различных частиц с вероятностью
1IN может попасть в каждую из ячеек, независимо от по-
положения других частиц. Число всех возможных различ-
различных расположений частиц по ячейкам, как легко понять,-
равно iV". Найдем теперь вероятность того, что в первой
ячейке окажутся щ частиц, во второй — щ, в N-тз. — /ijy.
Понятно, что некоторые из чисел nv nz, . . ., nN могут
оказаться нулями. На формулу для числа сочетаний из
п элементов по т можно смотреть как на размещение п
элементов по двум ячейкам (N = 2), причем щ = т и
щ = п — т. Повторив почти дословно рассуждения, про-
проведенные нами при выводе формулы для числа сочетаний,
мы получаем, что число всех возможных различных спо-
способов размещения п элементов по N ячейкам, при котором
в первую из них попадает nt элементов, во вторую — п2
элементов и, наконец, в N-ю — п^ элементов (и# = п —
— /гх — п2 — . . . — wjv-i), равно
п\
111 Па1 . . . Пдо1
'48

Теперь ясно, что искомая вероятность указанного раз-
размещения равна
В качестве частного случая рассмотрим эту задачу при
п ^ N. Чему равна вероятность того, что в определенных
(ячейках окажется по одной частице, а в остальных по
О частиц? Искомая вероятность, как это вытекает из фор-
формулы, равна
Если бы нас интересовала вероятность того, что по одной
частице окажется в каких-то ячейках, то вероятность ока-
эалась бы иной, больше в Сдг раз. Таким образом, эта ве-
вероятность равна
п -/V!
Pz == CnPi == п .
A (N — пI
Статистика Бозе — Эйнштейна. Ча-
Частицы неразличимы между собой, и тождественными слу-
случаями считаются те, в которых в данные ячейки попадает
данное число частиц, но какие именно частицы, не имеет
значения. Число всех равновозможных исходов в стати-
статистике Бозе — Эйнштейна, как мы сейчас покажем, равно
Ся+п-1- В современной физике эта статистика исполь-
используется при изучении ряда явлений ядерной физики.
Расположим на прямой N + 1 вертикальную черточку.
Каждую ячейку станем рассматривать как промежуток
между двумя соседними черточками. Две крайние черточ-
черточки оставим неподвижными и между ними поместим п
точек. Станем теперь переставлять всеми возможными
способами N — 1 внутреннюю черточку и п точек. Число
возможных перестановок черточек и точек равно (N +
+ п — 1)!. Среди них, однако, имеются тождественные.
Действительно, за различные перестановки мы, во-первых,
считали те, в которых поменялись местами черточки, т. е.
стенки ячеек. Таким образом, каждое распределение мы
считали (N — 1)! раз. Во-вторых, мы считали различны-
различными точки, и тем самым каждое распределение мы снова
считали п\ раз. Отсюда число различных в смысле ста-
статистики Бозе — Эйнштейна распределений частиц по

ячейкам равно
(ЛГ + и —1I
(N-iy.nl
Рассмотрим теперь вероятности рх и рг для статистики"
Бозе — Эйнштейна. Вероятность попадания по одной
частице в заданные п ячеек (п < N) равна
_ 1 _ n!(JV-l)!
Pl C»+n_x ~ (N + n-1I •
Вероятность попадания в какие-то п ячеек по одной ча-
частице равна
_ cn _ ¦ Nl(N — 1)!
PZ~ CN+n-i~ (/V+n-l)l(/V-n)! '
Статистика Ферми — Дирака. В этой
статистике не только уничтожена индивидуальность ча-
частиц, но и предполагается, что в каждой ячейке может
находиться либо 0 частиц, либо 1 частица. Общее число
распределений п частиц по N ячейкам (п <! N) равно С?-
Действительно, первая частица может быть расположена
N способами, вторая — (N — 1) способами, п-я — (iV —
— п + 1) способами. Общее число различных способов
равно, таким образом, N (N — \) . . . ( N — п + 1).
При этом подсчете, однако, мы учитывали индивидуаль-
индивидуальность частиц. Для того чтобы исключить ее, нужно это
произведение разделить на п\, т. е. на общее число пере-
перестановок п частиц. Итак, общее число различных и рав-
равновероятных распределений в статистике Ферми — Дира-
Дирака равно
Интересовавшие нас вероятности рх и рг в статистике
Ферми — Дирака равны
1 п](ЛГ — и)! ,
й = -с*-=—т—' * = *•
Упражнения
1. Чему равна вероятность того, что два лица А
и В окажутся рядом, если они рассаживаются вместе с 15 остальными
произвольным образом в ряд из 17 мест?
2! 16!
Ответ: —щ-= 2/17.
50

2, п девочек и п мальчиков рассаживаются произвольным об-
образом в ряду из 2п мест. Какова вероятность того, что никакие
две девочки не окажутся рядом? Чему равна вероятность того, что
все девочки будут сидеть рядом?
Ответ:
3. На шахматную доску произвольным образом поставили две
ладьи (белую и черную), каждую в свою клетку. Что вероятнее:
побьют эти люди друг друга или нет?
Ответ: вероятнее, что не побьют; вероятность этого
64-49
4. Построить таблицы и графики вероятностей выпадения гер-
герба при числе бросании монеты п = 5, 10, 15. Отложить ц/п (ц —
число появлений герба) по оси Ох, а по оси Оу — вероятности
соответствующего значения \х. Что можно сказать о том, как ме-
меняются вероятности при увеличении п?
Ответ: см. рис. 15.
Р\
0,3-
Рис. 15, Вероятности успеха при бросании монеты.
5. Частица поглощается экраном с вероятностью 0,5. Какое
минимальное число таких экранов надо поставить на пути частицы,
чтобы они поглотили эту частицу с вероятностью не меньшей, чем
0,999?
Ответ: 1О-B-1О<ТоО(Г-)
51

§ 4. Условные вероятности
и независимость
При решении вероятностных задач часто
бывает важно определить вероятность события, когда
о нем имеются некоторые дополнительные сведения. Обыч-
Обычная ситуация при этом такова: нужно найти вероятность
события А после того, как стало известно, что некоторое
событие В произошло, т. е. нам уже известно, что произо-
произошел некоторый исход, благоприятствующий событию В.
Так, если мы ищем вероятность того, что при бросании
игральной кости выпадет четное число очков, а нам стало
известно, что выпало число очков, меньшее 4, то это оз-
означает, что из трех возможностей только одна благопри-
благоприятствует наступлению интересующего нас события.
Предположим, что всех возможных исходов имеется N
и из них т благоприятствуют наступлению события В.
Пусть событие В наступило. Это означает, что наступил
один из исходов, благоприятствующих В.
Условной вероятностью события А при условии, что
наступило событие В, называется отношение числа тех
исходов, благоприятствующих А, которые благоприятст-
благоприятствуют и В, к числу всех исходов, благоприятствующих В.
Уту вероятность будем обозначать символом Р (AIB).
Если В — невозможное событие, то будем считать
Р (A IB) — 0. Пусть событию А В благоприятствуют к
исходов, тогда по определению
Р (А/В) = к/т.
• ;.: 1ИМ, ЧТО
Мы получили важное равенство, позволяющее вычис-
вычислять условную вероятность по вероятностям Р (АВ) и
Р (В), или, как говорят, по безусловным вероятностям.
Полученная формула обычно используется для подсчета
условных вероятностей.
Пример 1. Трое ваших приятелей живут в одном из
50 домов с номерами от 1 до 50. В каждом из этих домов
по 100 квартир с номерами от 1 до 100. Где живет каждый
из ваших приятелей, вы точно не знаете. Вам известно
лишь, что а) номер квартиры первого оканчивается на 3;
б) номер дома второго делится на 5, а номер его кварти-
52

ры — на 2; в) сумма номеров квартиры и дома третьего
равна 100.
В каком из этих случаев вероятность попасть в нужную
вам квартиру с первого раза наибольшая?
Обозначим черев А событие: номер квартиры оканчи-
оканчивается на 3. Ясно, что всевозможных исходов, благоприят-
благоприятствующих А, будет 50-10 = 500.
Пусть В — событие, состоящее в том, что номер дома
делится на 5, а номер квартиры — на 2. Очевидно, что
и В состоит из 10-50 = 500 исходов.
Далее, С — событие, для которого сумма номера дома
и номера квартиры равна 100. Для.С имеется 50 исходов.
Наконец, D — событие, состоящее в том, что с первого
вахода удается попасть в нужную квартиру.
Искомые вероятности равны
Для сравнения приведем безусловную вероятность
события D:
Подобно тому, как мы выписали в § 2 несколько
свойств безусловных вероятностей, мы выпишем здесь
подобные же свойства для условных вероятностей.
, 1. Всегда 0 < Р (А/В) < 1, причем Р (А/В) =. 0, если
'АВ — невозможное событие, и Р (А/В) ¦=¦ 1, если А Ц) В.
2. Если С = A U В и АВ = V, то для любого собы-
события D
Р (AID) + P (BID) = P (CID).
Теорема сложения вероятностей распространяется
и на случай, когда А = Ах (J A% (J . . .\jAk, A{Aj «=
¦с V при i ф j, i, j = 1, 2, . . . , к:
Р (AID) - Р (AJD) + Р (AJD) + ... + P (AJD).
3. Если А — событие, противоположное А. о
Р (А/В) = 1 — Р (А/В).
Приведенные свойства доказываются точно так же,
как и подобные свойства для безусловных вероятностей,
поэтому мы не станем проводить необходимых рассуждений.
Пример 2. Электрические схемы, о которых речь
пойдет дальше, собраны иа элементов, которые могут
в момент включения с вероятностью 0,5 проводить ток и
БЗ

с вероятностью 0,5 не проводить ток. Состояние каждого
из элементов не влияет на состояние других.
а) Известно, что цеш. (рис. 16)
проводит ток. Какова вероятность
того, что элемент 1 проводит ток?
Какова вероятность того, что эле-
элемент 2 проводит ток? Какая из ве-
вероятностей больше?
б) Известно, что цепь (рис. 17)
проводит ток. Чему равны веро-
вероятности того, что ток проводят
участки I, II и III?
в) Известно, что цепь (рис. 18) не проводит ток. Каковы
вероятности того,что ток не проводят участки I, II иIII?
Решение, а) Поскольку в цепи имеются 5 элемен-
элементов и каждый из пих может находиться в одном из двух
Рис. 16. Электрическая
схема к примеру 2,
Ш
Рис. 17. Электрическая схе- Рис.18. Электрическая схема к при-
прима к примеру 2. меру 2,
состояний, то цепь может находиться в 2Б = 32 состоя-
состояниях. Введем обозначения: Аг — событие, состоящее
в том, что элемент 1 проводит ток; А2 — событие, состоя-
состоящее в том, что элемент 2 проводит ток; В — вся цепь про-
проводит ток.
Из всех 32 возможных состояний элементов цепи в 16
она проводит ток. В зтом легко убедиться, выписав все
возможные состояния:
ппппп -\- A+)
С одной буквой к все проводят E+)
нппмп —, ппнпн — B—)
Все остальные с двумя буквами к проводят (8+)
пнпнн-\-, нннпп-\- B+)
Все остальные с тремя буквами н не проводят (8—)
С четырьмя буквами н все не проводят E—)
ннннн — A—)
54

В этой табличке буква п обозначает слово «проводит»,
н — «не проводит», место буквы означает номер элемента,
знак «+» означает, что цепь проводит, а знак «—>> — что
цепь не проводит ток.
Таким образом, Р (В) = 0,5. Далее находим, что
Р (А^) = 11/32 и Р (А2В) = 9/32. Отсюда находим, что
б) Введем следующие обозначения событий: Аг —
участок I проводит ток, А% — участок II проводит ток,
Аз — участок III проводит ток, В — цепь проводит ток.
Легко подсчитать Р (В), т. е. вероятность того, что цепь
не проводит ток. Для этого нужно, чтобы ни один из
участков не проводил ток. Из 64 возможных исходов
21 благоприятствует этому событию. Таким образом,
Р (В) = 43/64.
Так как Ах влечет за собой В, то АХВ = Av Но At
содержит ровно 8 исходов — элементы 1, 2, 3 проводят
ток, а элементы 4, 5, 6 могут находиться в любых со-
состояниях (а таких состояний всего 8). Таким образом,
Р (AtB) = 8/64. Подобным же способом убеждаемся
в том, что Р (А^В) = 16/64 и Р (А^В) = 32/64.
Следовательно,
~ 43 '
Р(В) = 43 '
Решение задачи в) ничем не отличается от решения
задачи б), только повсюду следует заменить слово «про-
«проводит» на слово «не проводит». Искомые вероятности ока-
оказываются равными соответственно 8/43, 16/43, 32/43.
В теории вероятностей и ее применениях играет очень
важную роль понятие независимости двух и нескольких
событий.
Событие А называется независимым от события В, если
имеет место равенство Р (AIB) = Р (А). Иными словами,
событие А независимо от события В, если условная вероят-
55

ность события А при условии, что событие В р
совпадает с безусловной вероятностью события А.
Приведем некоторые примеры.
Из колоды карт вынимают наудачу карту. Чему равна
вероятность того, что эта карта окажется тузом? Если
в колоде 36 карт, то легко видеть, что искомая вероятность
равна 4/36 = 1/9. Итак, вероятность события А равна '
1/9. Предположим теперь, что произошло событие В, со-
состоящее в том, что вынутая карта оказалась черной. Чему
равна условная вероятность вынуть туз при этом допол- '
нательном условии? Легко видеть, что теперь у нас имеет-
имеется только 18 возможностей и из них 2 благоприятствуют
событию А. Таким образом, условная вероятность собы-
события А при условии, что В наступило, равна безусловной '¦
вероятности. Событие А не зависит от события В. >
В классе 4 ученика, имеющих недовлетворительные
оценки по предметам А, В и С. Первый ученик имеет не-
неудовлетворительную оценку по предмету А, второй —
по предмету В, третий — по предмету С, а четвертый —
по всем втим трем предметам. Директор школы знает, что
у этих четырех учеников неудовлетворительные оценки
по предметам А, В и С, но не знает, у какого ученика по
какому предмету. Во время перемены он встречает одного
пз учеников и говорит ему: «Когда же ты исправишься по
предмету АЪ Ясно, что какой бы предмет он ни назвал,
он скажет правильно только с вероятностью 0,5:
Р (А) = Р (В) = Р(С) = 0,5.
Пусть теперь нам стало известно, что директор угадал,
действительно, у зтого ученика имеется неудовлетвори-
неудовлетворительная оценка по предмету А. Тогда директор добавляет:
«Тебе нужно исправить твои оценки и по предмету В».
С какой вероятностью директор не ошибается и на этот
раз? Легко подсчитать, что
Р (В/А) = Р (С/А) = Р (AIB) = Р (А;С) - Р {В 1С) =
= 0,5.
А1ы видим, что и в этом примере события А, В, С, состоя-
состоящие в том, что наудачу спрошенный из этих четырех уче-
учеников имеет неудовлетворительную оценку по предмету А
(соответственно по предмету В и С), таковы, что каждая
пара из этих событий является независимой.
Пусть вероятность события В больше 0, т. е. событие
В не является невозможным. Докажем, что в зтом случае
56

пе только событие А не зависит от В, но и событие В
не зависит от А. Иными словами, докажем, что свойство
независимости случайных событий является взаимным.
Пусть известно, что Р (А/Б) = Р (А) и что Р (В) ]> 0.
Мы имеем в силу определения независимости и сделанного
условия следующие равенства:
откуда Р (АВ) = Р (А) Р (В). Но по определению
Р (В/А) = Р (АВ)/Р (А), если Р (А) > 0, и Р (В/А) - 0,
если Р (А) = 0. Этот последний случай можно отбросить,
поскольку для него всегда Р (В/А) = Р (А) =^ 0. Пусть
поэтому Р (А) ]> 0. Мы уже знаем, что h P (ЛБ) ¦*
= Р (А) Р (В), поэтому
Требуемое доказано. Легко видеть, что свойство взаим-
взаимности независимости имеет место и в случае, если
Р (В) = 0. Докажите это.
Из проведенного доказательства вытекает важное
следствие: для независимых событий А и В имеет место
теорема умножения вероятностей
Р (АВ) = Р (А) Р (В).
докажите обратное предложение: если Р (АН) =¦
= Р (А) Р (В) ]> 0, то события А и В независимы.
Если события А та В произвольны, то теорема умноже-
умножения имеет вид:
Р (АВ) = Р(А)Р (В/А) = Р (В)-Р (А/В).
Обобщим понятие независимости на любое число собы-
событий. События Alt А2, . . ., Ап называются независимыми
в совокупности, если для любого события Ar(l^.r^k)
и произвольного набора событий. Ait, Ai2, . . ., Aist
где г не совпадает ни с одним из чисел гх, i2, . . ., is,
a s может быть любым между 1 и к — 1, события АТ и
(AtlAit. . . Ais) независимы.
Заметим, что в примере с учениками события А, В л С
в совокупности уже не являются независимыми.
Пример 3. Дважды бросается игральная кость.
Доказать, что события А (при первом бросании выпала
Б7

шестерка) и В (при втором бросании выпало нечетное чис-1
йо очков) независимы. 1
В нашей задаче имеется 36 различных исходов. Из них
шесть следующих благоприятствуют событию А: F,1), F,2),
F,3), F,4), F,5), F,6).
Событие В содержит 18 исходов, поскольку каждое вы-
выпадение нечетного числа очков при втором бросании может
Сочетаться с любым из шести возможных исходов первого
бросания. Событие А В будет содержать только следую-
следующие три исхода: F,1), F,3), F,5). Таким образом,
.Требуемое доказано.
Нетрудно показать, что при п бросаниях игральной
кости события, формулируемые относительно отдельных!
бросаний, будут независимы в сококупности. Доказатель-
Доказательство этого факта проводится аналогично только что при-
приведенным рассуждениям. '
Мы перейдем теперь к выводу важной формулы, нося-
носящей наименование формулы полной вероятности. \
Пусть для событий А, Вг, В2, . . ., Вк известны сле-1
дующие вероятности: Р (Бх), Р (В2), . . ., Р (Bh) и!
\Р (А/В,), Р (А/В2), . . ., Р (А/Вк). Пусть далее нам из-
известно, что A CZ Вг (J . . . (J Въ и события Bt попарно
'еесовместны. Можно ли только по этим данным найти]
«вероятность события А, и если можно, то как? На этот,'
вопрос исчерпывающий ответ и дает формула полной
(Вероятности. 1
i Прежде всего заметим, что имеет место следующее ра-
венство:
А = А {Вг U Вг U . . . U Вк) = АВХ U АВг U . . .
J
Это равенство хорошо иллюстрируется рис. 19.
Из несовместности событий Bt вытекает несовмесшос; ь
событий АВг. Следовательно, можно воспользоваться
теоремой сложения вероятностей:
Р(А) = Р (ADJ + Р {4В2) + ... + Р (ABh).
58

Но при Любом i (I ^ i ^ к)
Р (ABt) = Р (Вг) Р (А/БД,
поэтому
Р (А) *= Р (В,) Р (А/В,) + Р (В2) Р (А/В2) + . . .
... + Р(В1[)Р (А/Вк).
Это и есть формула полной вероятности.
< П р и м е р 4. Партия деталей содержит 20 % деталей,
изготовленных заводом I, 30% — заводом 11,50% —
я •
•
в,
•
. ш
шгм.
I
Щ
• ¦
Рис. 19. К выводу формулы полной вероятности.
заводом III. Для завода I вероятность выпуска брако-
бракованной детали равна 0,05, для завода II — 0,01, для за-
завода III — 0,06. Чему равна вероятность того, что на-
наудачу взятая из партии деталь окажется бракованной?
Обозначим через А, Вх, В21 В3 следующие события:
деталь бракованная, деталь изготовлена соответственно
заводом I, II, III. Нам известны следующие вероятности:
\Р (AfBJ = 0,05, Р (А/В2) = 0,01, Р (А/Вя) =0,06.
По формуле полной вероятности находим, что
, Р (А) - 0,2-0,05 + 0,3-0,01 + 0,5-0,06 = 0,043.
Простым следствием формулы полной вероятности яв-
является так называемая теорема Байеса:
Пусть события Bt попарно несовместны и A d BX\J...
тогда
Р(В.)Р(А/Вг)
Р(Вг/А)=-
3=1
59

В^амом деле, из формул
Р (АВ) = Р (В1А)-Р (А),
Р (АВ) = Р (А1В)-Р (В)
следует формула Байеса
Р
Подставим сюда выражение для Р (А) по формуле полной'
вероятности: положив В = Bj, получим утверждение
теоремы Байева. Эта теорема находит нам значения «апо-
«апостериорных» вероятностей Р (Bj/A) события В} после на-
наступления события A (a posteriori — после опыта) через
значения «априорных» вероятностей Р (Bt) (a priori — до
опыта). Проиллюстрируем теорему Байеса на материале
примера 4.
Пример 5. Пусть выполнены условия примера 4.
Наудачу выбранная деталь из партии оказалась брако-
бракованной. Чему равна вероятность, что она была изготов-
изготовлена заводом I, заводом II, заводом III?
Будем придерживаться обозначений примера 4. Нам
необходимо найти вероятности Р (BXIA), P (BJA),
Р (Вд/А). По теореме Байеса
Р (Bl) P (Л1В^ 0,2-0,05 _
=
2 Р(В.)Р(А1В})
^ 0,070,
0,698.
Итак, вероятность того, что бракованная деталь принад-1
. лежит третьему заводу, в десять раз больше, чем та же
Вероятность для второго завода, и в три раза больше, чем
та яке вероятность для первого завода.
Упражнения
1. Когда вероятнее угадать результат: если изве-
Гно, что сумма очков при бросании двух игральных костей равна
или если она равна 10?
Ответ: вероятнее, если сумма равна 10, тогда вероятность
равна 1/3.
2. Может ли быть верна формула
Р {(At U AJ/B} = Р {AJB} + Р {AJB},
если АгА2 — не пустое событие?
Ответ: Может. Например, если В = АхАг.
60

3. Имеется 4 урны со следующим составом шаров: 1-я урна =•
5 белых и 5 черных; 2-я урна — 1 белый п 2 черных; 3-я урна —•
2 белых и 5 черных; 4-я урна — 3 белых и 7 черных. Наудачу выби-
выбирается урна и из нее один шар. Чему равна вероятность того, что
он окажется черным?
Ответ: 1/4 A/2 + 2/3 + 5/7 + 7/10) = 271/420.
4. Имеются три схемы с ненадежными элементами (рис, 20%
Наудачу выбирается произвольная из них»
Какова вероятность того, что она проводит
ток?
Ответ: 1/3 A/8 + 5/8 + 7/8) = 13/24е
5. За некоторый промежуток времени
амеба может погибнуть с вероятностью 1/4,
выжить с вероятностью 1/4, разделиться
на две с вероятностью 1/2. В следующий
промежуток времени с каждой амебой
происходит то же самое. Сколько амеб
и с какими вероятностями будут существо-
существовать к концу второго промежутка времени
(см. главу 7)?
Ответ: если при t = 0 число амеб
равнялось 1, то число амеб к концу второ-
второго промежутка будет 0, 1, 2, 3, 4 с веро-
вероятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32.
Указание. Сравните вычисления
требуемых вероятностей с вычислением
суперпозиции
и
32
2 Рис. 20. Электриче-
-' • ские схемы к зада*
че 4.
где
Легко доказать, что вероятности в к-й момент времени совпадают
с коэффициентами /с-кратной суперпозиции функции F(t), а койф-
фициент при t° (вероятность вырождения) стремится к меньшему
(неотрицательному) корню уравнения F (t) = t.
6. Игрок А называет число 0 или 1 с вероятностью рх и 1 — Pi
соответственно. Игрок В, независимо от Л, называет те же числа,
но с вероятностью р2 и 1 — р2. Выигрывает А, если сумма четйая,
если же сумма нечетная, то выигрывает В, Каковы вероятности-
выигрыша для каждого из игроков? Если А внает;>2, то как ему еле-"
дует выбрать plt чтобы добиться максимальной вероятности вы-
выигрыша?
Ответ: вероятности выигрыша: для игрока А — pip2 + 5i92»
для игрока В — pxq2 + .p29il Pi "^ 1» еслп Рг > 0,5; р1 = 0, если
р2 < 0,5, и безразлично при р2 = 0,5.
7. У мальчика в левом кармане 3 конфеты «Белочка» и 1 конфе-
конфета «Маска», а в правом — две «Белочки» и две «Маски». Он достал
две конфеты из одного кармана, и оказалось, что одна из них «Бе-
«Белочка», а другая «Маска». Чему равны вероятности того, что он
достал конфеты из левого кармана, ив правого кармана?
Ответ: 3/7, 4/7.
61

§ 5. Последовательность
независимых испытаний
Формула Бернулли
В самом начале формирования основных по-
понятий теории вероятностей выяснилась фундаментальная
роль одной математической схемы, изученной известным
швейцарским математиком Я. Бернулли A654—1705).
Эта схема состоит в следующем: производится последова-
последовательность испытаний, в каждомиз которых вероятность на-
наступления определенного события А одна и та же и равна р.
Испытания предполагаются независимыми. В это вкла-
вкладывается следующий смысл: вероятность появления собы-
события А в каждом из испытаний не зависит от того, появи-
появилось или не появилось это событие в других испытаниях
(предшествующих или последующих). Последовательность
независимых испытаний с двумя исходами,^ впервые иссле-
исследованная Я. Бернулли, носит название последовательности
испытаний Бернулли.
Приведем несколько примеров. Два шахматиста усло-
условились сыграть 10 партий. Вероятность выигрыша каждой
отдельной партии первым игроком равна 2/3. В этом при-
примере мы каждую партию можем считать за отдельное ис-
испытание. Всего производится 10 испытаний. Предпола-
Предполагается, что результат каждой сыгранной партии не вли-
влияет на результаты остальных партий. Спрашивается,
чему равна вероятность того, что вся игра будет выиграна
первым игроком?
Известно, что в некотором городе в течение года роди-
родилось 400 детей. Вероятность рождения мальчика при каж-
каждом рождении равна 0,5. Под испытанием здесь мы будем
понимать рождение ребенка. Достаточно ясно, что испы-
испытания можно считать независимыми. Спрашивается, чему
равна вероятность того, что число родившихся мальчиков
окажется между 180 и 220?
Производятся независимые испытания партии изде-
изделий на длительность безотказной работы. Известно, что
вероятность того, что конденсатор откажет до истечения
10 000 часов непрерывной работы, равна 0,01. Чему рав-
равна вероятность того, что в течение 10 000 часов испытаний
откажут 0, 1, 2, 3 конденсатора?
Число важных в практическом отношении примеров
можно увеличивать неограниченно. Однако нам нужно
иное — получение общих математических результатов,
62

которые позволяли бы решать все подобные задачи еди-
единым способом. Необходимые для этой цели формулы были
найдены Я. Бернулли. К их выводу мы теперь и пере-
переходим.
Задача состоит в следующем: производится п незави-
независимых испытаний, в каждом из которых событие А мо-
может появиться с вероятностью р. Найти вероятность того,
что событие А наступит т раз в п испытаниях.
Заметим сначала, что в каждом испытании нас инте-
интересуют два исхода — наступление и ненаступление собы-
события А (по традиции «успех» и «неудача»). Вероятность
наступления события А в определенном испытании равна
д — I — р.
Вероятность того, что событие А наступит при опре-
определенных т испытаниях, а при остальных п — т (также
определенных) не наступит, в силу теоремы умножений
вероятностей равна
Но событие А может произойти при любых т из п
возможных испытаний. Число всех различных выборов т
элементов из п равно С™. Поэтому, в силу теоремы сло-
сложения вероятностей, искомая вероятность, которую мы
станем обозначать символом Рп (т), равна:
Pn(m) = CZpmtf"*. A)
Эта формула носит название формулы Бернулли.
Формула A) дает, в частности, вероятность того, что
событие А произойдет во всех п испытаниях,
Рп (п) = р";
вероятность того, что она не произойдет ни разу,
Рп @) = qn.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. В семье 10 детей. Считая для упрощения,
что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем
вероятность того, что в семье имеются 0, 1, 2, . . ., 10 маль-
мальчиков. Заметим, что в силу равенства С™ = Сп~т и пред-
предположения р = q = 0,5 имеют место равенства Рп (т) =
63

рп (п — то). Таким образом,
Рю @)« Рю (Ю) = С°о. i « ^'
¦Рю A) *= f ю (9) = Сю --gj5 = -JQ24"'
РЫ B) аз» i>10 (8) = C10 • -gio" = -^Щ-
¦PlO C) = i'lO G) = C10 • -gio" *= -|Щ"
Мы видим, таким образом, что почти с вероятностью
0,25 в многодетной семье с десятью детьми половина будет
.мальчиков и половина девочек. Вероятность же того, что
в семье будут только мальчики или только девочки, очень
мала — чуть меньше одной пятисотой. С вероятностью
- g^2 21 2
ГлтГ ==" "So" ~ -з- в столь многодетных семьях будет четыре
^Мальчика и шесть девочек, или пять мальчиков и пять де-
Ьочек, или шесть мальчиков и четыре девочки.
Пример 2. На испытательный стенд поставлены
100 конденсаторов. Известно, что вероятность пробоя кон-
конденсатора до истечения 10 000 часов равна 0,01. Чему
фавны вероятности того, что за 10 000 часов откажут
iu, 1, 2, 3 конденсатора?
Согласно формуле A) имеем
*\оо @) = 0,99100 "= 0,3660,
^юо A) = ЮО-0,01 .,99" = 0,3697,
i»iooB) = ~^- -0,01г.0,9998 = 0,1848,
р100 C) == ^^з98 • °.°13 • °'"97 = °.°185-
Вероятность того, что во время испытаний будут про"
бои более чем у трех конденсаторов, очень невелика —
о на равна:
1 - 1Лоо @) + Р100 A) + Р100 B) + Р1Оо C)] = 0,0185.
64

П р и м е р 3. Известно, что в некотором городе роди-
родилось 400 детей. Чему равна вероятность того, что число
родившихся мальчиков оказалось между 180 и 220, если
вероятность появления мальчика при каждом рождении
равна 0,5?
Нам нужно найти вероятность того, что число родив-
родившихся мальчиков будет равно или 181, или 182, или 183,...
. . ., или 219. Если граничные значения — 180 или 220 —
желательно включить в интересующую нас группу собы-
событий, то нужно к полученной сумме прибавить и вероят-
вероятности двух этих событий. Итак, искомая вероятность
равна или
219 219
Р == 2^ ¦^>4°° ^ == 2mJ ^*00 " 2400
«п=181 ¦ т=181
ИЛИ
220
Р — 2л *00' "I*5»"*
, т=180
Однако эти вероятности отличаются друг от друга очень
мало, поскольку
Лоо A80) = Р100 B20) « 0,005.
Пример 4. Два шахматиста условились сыграть
10 результативных партий. Вероятность выигрыша каж-
каждой отдельной партии первым игроком равна 2/3, вероят-
вероятность выигрыша каждой отдельной партии вторым игро-
игроком равна 1/3 (ничьи не считаются). Чему равны вероят-
вероятность выигрыша всей игры первым игроком, вторым игро-
игроком, общего ничейного результата?
Для того чтобы игру выиграл первый игрок, ему необ-
необходимо выиграть 6, 7, 8, 8 или 10 партий. Вероятность
втого в силу формулы Бернулли и формулы сложения ве-
вероятностей равна
Ло F) + Ры G) + Р10 (8) + Р10 (9) + Р10 A0) -
= J1 . [210 + 240 + 180 + 80 + 16] =-^|^- ж 0,7869.
Вероятность ничейного результата равна
„ «5
3 А. Н. Колмогоров и пр.

Вероятность выигрыша игры вторым игроком равна
Рю @) + Рю A) + Рю B) + Рт C) + Рю D) =
/ 1 \Ю „! 2 / 1 \9 2 / 2 \2 / 1 \8
= Гз"/ + С»Т ¦ Ш + 6iol~j \Т) +
2 \з/ 1 \7 _4 / 2 \4/ 1 \в 1507 п
Мы видим, что, хотя первый игрок выигрывает каж-
каждую отдельную партию с вероятностью вдвое большей,
чем второй игрок, всю игру он выигрывает с вероятно-
вероятностью, более чем в десять раз большей, чем вероятность
выигрыша всей игры вторым игроком. Для второго игрока
вероятность сведения игры вничью почти вдвое больше,
чем вероятность ее выигрыша.
Рассмотрим событие Ет, заключающееся в том, что
событие А появилось т раз в п независимых испытаниях.
Обратим внимание на то, что события Ет, т = 0,
1, 2, . . ., п, являются несовместными событиями и вдо-
вдобавок в сумме составляют достоверное событие. Следо-
Следовательно, так как Ет происходит с вероятностью Рп (т),
то
2 J>n(m)=l.
т=о
Заметим, что, с другой стороны, для каждого испытания
имеет место равенство р + q = 1, а при п испытаниях, на
основании теоремы умножения вероятностей,
(р + q)n = 1.
Таким образом, из сравнения левых частей двух только
что написанных равенств находим, что
(Р + 9)" = S Рп (т) = 2 ОТ™.
т=0 тп=0
Мы получили частный случай так называемой формулы
бинома Ньютона.
Рассуждения настоящего параграфа, как мог заме-
заметить внимательный читатель, по существу не связаны
с классическим определением вероятности: рассматри-
рассматриваются испытания с двумя взаимоисключающими исхо-
исходами, имеющими вероятности р, 0<^р«^1,и<7 = 1— р-
не обязательно равные друг другу. В данных здесь при-
примерах мы уже не можем находить вероятности по coo6paj
66

жениям симметрии, а должны прибегать к их статистиче-
статистическому определению. Даже в случае р — q = Va мы с по-
помощью формулы Бернулли приходим к испытаниям с ис-
исходами Ео, . . ., Еп, которым соответствуют различ-
различные вероятности Рп (т) = Сп A/а)п- Таким образом, под
вероятностью отдельного исхода понимается любое поло-
положительное число, не большее 1, которое удовлетворяет
требованиям, выделенным нами в качестве основных
свойств вероятности.
Изучим теперь вероятность Рп (т) как функцию
целочисленного аргумента т. Примеры 1 и 2 наводят
на мысль, что следует ожидать такого ее поведения:
сначала при возрастании аргумента т функция Рп (т)
возрастает, затем достигает максимального значения и
после этого начинает убывать. Докажем, что это действи-
действительно так. С этой целью рассмотрим отношение
Р (п -1-1) п!
«V п. х
(m + l)!(re-m — 1)!
Вероятность Рп (т -f-1) будет больше, равна или меньше
вероятности Рп (т) в зависимости от того, будет ли отно-
отношение П~^Пл • — больше, равно или меньше 1. Вчастности,
Рп (т + 1) больше, чем Рп (т), т. е. возрастает в точке т,
если
п—т р^ .
т+1 •~'> 1'
т. е. если
т <Znp — q.
Таким образом, Рп (т) возрастает при увеличении т
от 0 до пр — д.
Если
т. е. если т = пр — q (это равенство возможно в очень
редких случаях, а именно только тогда, когда пр — q
есть целое неотрицательное число), то
Рп (т) ^Рп{т + 1).
3* 67

Наконец, Рп (m + 1)< Рп (т), если
п — т р ^ .
и» + 1 " fl *
i. е. если т"^> пр — q.
Теперь поведение функции Рп (т) мы выяснили пол-
полностью: оно возрастает, пока т остается меньшим пр — q,
достигает максимума и для т, больших пр — q, убывает.
Если величина пр — q является целым, то имеется два
наибольших значения вероятности, а именно Рп {пр —
— q) = Рп {пр + р).
Если же пр — q — нецелое число, то имеется един-
единственное максимальное значение Рп {т) при т, большем
пр — q и меньшем пр + Р-
Пример 5. Вероятность события А равна 3/5.
Найти число появлений события А, имеющее наибольшую
вероятность, если число испытаний равно 19, 20.
При п = 19 находим
.np-q = 19-4 §-=11.
Таким образом, максимальная вероятность достигается
для двух значений т, равных 11 и 12. Эта вероятность
равна
Pi* (И) = Р» A2) = 0,1797.
При п = 20 максимальная вероятность достигается
только для одного значения т, поскольку пр — q =
=20 • -g =- = 12 —=- не является целым числом. Самое
вероятное начение т равно 12. Вероятность его появления
равна
Р20 A2) = 0,1797.
Совпадение чисел i5^ A2) и Р20 A2) вызвано лишь соче-
сочетанием значений п и р и не имеет общего характера.
Упражнения
1. Воспользовавшись рассуждениями, проведен-
проведенными при выводе формулы Бернулли, доказать формулу Ньютона
2. В урне 9 белых и 1 красный шар. Какова вероятность того,
что при 10 извлечениях (с возвращением каждого вынутого шара)
68

буДет извлечен хотя бы раз красный шар? Сколько раз нужно про-
производить извлечения, чтобы вероятность получить хотя бы раз крас-
красный шар была не меньше 0,9?
Ответ: I ~ (JqJ° X 0,6ЫЗ\ ]р
3. Нейтрино пролетает сквозь Землю с вероятностью
249 999/250 000. С какой вероятностью Нейтрино пролетит сквозь
250 000 земных шаров, сквозь 500 000 шаров?
Ответ: же'! ж 0,3679; же'2 х 0,1353.
§ 6. Теорема Бернулли
Мы можем теперь сформулировать и дока-
доказать одну из важнейших теорем теории вероятностей,
найденную Я. Бернулли и опубликованную уже после
его кончины в 1713 году.
Задача, которая привела Я. Бернулли к формулировке
теоремы, получившей наименование' закона больших чи-
чисел в форме Я. Бернулли, очень естественна и может
быть описана так.
В каждом из п независимых испытаний Бернулли с од-
одной и той же вероятностью р может появиться некоторое
событие А. В предыдущем параграфе мы установили, что
наиболее вероятное число появлений события А в п ис-
испытаниях близко к пр. Нельзя ли высказать несколько
более определенное суждение относительно числа появ-
появлений А во всей совокупности этих испытаний? Оказы-
Оказывается, можно. Обозначим с этой целью через (х число
появлений события А во всех п испытаниях и рассмотрим
разность [л/п — р между частотой ц/п события А и его
вероятностью р. Величина этой разности, естественно,
зависит от случая, поскольку [а может принять любое
целочисленное значение от 0 до п. Однако, как мы уви-
увидим, чем больше п, тем реже эта разность сможет значи-
значительно отклониться от 0. Более того, какое бы малое по-
положительное число е мы ни взяли, например, 0,0001 или
0,000001, при достаточно большом п разность \к1п — р
по абсолютной величине окажется с большой вероятно-
вероятностью меньше, чем е.
Дадим теперь точную формулировку этого утвержде-
утверждения Бернулли.
Закон больших чисел (теорема Бер-
Бернулли). Если вероятность наступления некоторого
случайного события А в последовательности п независи-
независимых испытаний постоянна и равна р, то, каково бы ни

было положительное число е, с вероятностью, сколь угодно
близкой к 1, при достаточно большом п разность ц/п — р
по абсолютной величине окажется меньше; чем е.
Это утверждение можно записать следующим образом:
каковы бы ни были е ^> 0 и f| )> 0, при достаточно боль-
большом п имеет место неравенство
Р{|ц/в-р|<е}>1-Г1. A)
Ррежде чем перейти к доказательству теоремы Бер-
нулли, вычислим следующие суммы!
п п п
S PnH, S mPn(m), S т*Рп{т).
т~0 m=o m=0
Значение первой суммы уже было вычислено в предыду-
предыдущем параграфе. Оказалось, что
Теперь
S Рп(т) = 1. B)
т=о
т=1
—
(го —1)!(и-т)!
т=1
т=1
пТ) \^ j-m-1 m_j эт_„1 —
т=1
п-1
Последнее равенство написано на основании равен-
равенства B) для значения п, равного п — 1. Итак,
S mPn(m) = np. C)
m=o
70

4,'еперь
21 т*Рп (т)= 2 т (т -, 1 + 1) />n
О 1
тРп (т) -Ь S 7?г (щ - 1) Pn
1
ш—1
Первая сумма правой части нам известна (равенство C)),
поэтому
, V m«Pn И = „р + ^ m (m - 1) д|(||'1
, Г
c= np + гг (n — i) p2 = n2p2 -J- ггр A — p) =
c= гггр2 -f-
Здесь равенство
написано на основании формулы B) для /г, равного п — 2.
Ташм образом,
О1=0
D)
Заметим, что случайные события I— р <Се и
>е противоположны, а потому
71

В силу теоремы сложения вероятностей
где сумма распространена на те значения т, для которых
—. рГ>е. Но для втих значений пг
п поэтому
где сумма по-прежнему распространена на те тп, для ко-
которых \~—р > е. Очевидно, что эта сумма может быть
только увеличена, если ее распространить на все значе-
значения m от 0 до п. Следовательно,
тп—0
n
- 2np ^ mPn (m) + и V ? Pn (m)]
m=0 m=o
При вычислениях мы воспользовались равенствами
B), C) и D). Теперь
Отсюда видно, что для любого положительного е мы можем
сделать вероятность Р i -^ р <[ ei сколь угодно близ-
близкой к 1. Теорема Бернулли доказана.
Пример 1. В примере 3 предыдущего параграфа
мы интересовались вероятностью того, что число родив-
родившихся мальчиков среди 400 родившихся детей отклонится
72

от 200 ¦¦ пр не более чем на 20. Эта'вероятность была пред-
представлена в виде суммы. Теперь мы можем оцепить »ту
сумму. Действительно, поскольку п *= 400, то
Согласно неравенству E)
ив» * 4-400-A/20)а 4 4 *
Более точный подсчет покавывает, что
Р ж 0,95.
Если число рождений п •=¦ 10 000, то вероятность того,
что число родившихся мальчиков отклонится от пр =
«= 5000 не более чем на 10%, согласно неравенству E) бу-
будет больше чем 0,99.
Упражнения
1* Пояснить графики упражнения 4 к § 8 о во
виций теоремы Вернуллм.
2. Велика ян вероятность того, что при 6С00 бросаниях
игральной кости «шестерка» выпадет не более 500 рае? Дать оценку
сверху втой вероятности.
4-тг
8, При каких pig оценка, используемая при докавательстве
(еоревя Вернуллм, при данных пне будет самой далекой от 1?
Ответ при р «= q — 0,5.
4. Пояьвуяоь вероятностными соображениями (упражнение 4
ж | 8), допевать формулу С* — CjJ"k.
Б, Слова «nanaxai и «письмо» наносятся на карточки и раврева-
ются иа отдельные буквы. Для каждого слова эти буквы перетасо-
перетасовываются ¦ наудачу располагаются одна ва другой. Чему равны
вероятности вновь получить те же слова?
Отлет'. 1/60, 1/720.
в, 5 человек пришли в гости и оставили свои шляпы в гарде-
гардеробе. Уходя, каждый ив гостей ввял шляпу наудачу. Чему равна
вероятность того, что каждый ив гостей надел чужую шляпу?
Опиет: 1/21-1/81 + 1/41 -1/5! -= 11/30,

ГЛАВА 4
СИММЕТРИЧНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ
§ 1. Введение
В этой главе мы более подробно рассмотрим
радачи, которые возникают в схеме случайного блужда-
блуждания. Как уже было отмечено в главе 1 (см. с. 17—21),
[вта математическая схема подсказана и оправдана физи-
физическими приложениями — она служит для простейшего,
приближенного описания одномерного физического про-
процесса броуновского движения и диффузии материальной
частицы, которая совершает случайные перемещения под
действием большого числа столкновений с молекулами.
Физический смысл имеет лишь предельный случай —
непрерывное движение, однако дискретная схема слу-
случайного блуждания нриводит к результатам, остающимся
справедливыми и в своей предельной форме.
Представим себе, что некоторая частица (нодвижпая
точка) перемещается в дискретные моменты времени по
целым точкам числовой прямой, расположенной верти-
вертикально. Будем считать, что в начальный момент времени
п = О частица находится в начале отсчета, а в каждый
следующий момепт времени п = 1, 2, 3, ... она совершает
перемещение на единицу вверх или на единицу вниз.
Так, например, в момент п = 1 частица оказывается в точ-
точках +1 или —1; если в момент времени п частица зани-
занимала положение у, то в следующий момент времени п + 1
сна оказыяается в точках с координатами у -J- 1 или у — 1
независимо от того, как осуществлялось ее движение до
момента п. Предположим, что движение частицы вверх
;и вниз на один шаг'равновозможно, т. е. происходит с ве-
вероятностями 1/2 каждое. Тогда говорят, что частица
соввршает простое симметричное случайное блуждание
на прямой. Рассмотрим график случайного блуждания
\ч пространственно-временной системе координат, где
ы

ось абсцисс выступает в роли оси времени, а ось ординат
по-прежнему служит для указания положения частицы.
Отметим точки, соответствующие положению частицы
в каждый момент времени, соединим ближайшие точки
прямолинейными отрезками. Тогда любой возможный
исход последовательных перемещений частицы будет гра-
графически изображаться ломаной с вершинами в точках
с абсциссами 1, 2, 3,... и целочисленными ординатами.
1 i i i i i I i i I i TV i j., ' ¦ i i i ,i j,j i iii
Рис. 21, Траектория движения частицы.
Полученный график и есть траектория движения части-
частицы. На рис. 21 изображена траектория движения частицы,
занимающей за время п = 41 последовательные поло-
положения: 0, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, —1, 0, —1,
-2, -1, -2, -3, -4, -5, -4, -3, -4, -3, -2, -1,
О, 1, 2,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 6, 7. При фиксированном времени
наблюдения п в качестве множества возможных со-
событий (исходов) естественно выбрать множество всех тра-
траекторий длины п, начинающихся в начале координат. Так
как их общее число равно 2п и все они равновозможны, то
каждой траектории приписывается вероятность 2Гп. Та-
Таким образом, в симметричном случайном блуждании лю-
любое событие, состоящее в достижении частицей некото-
некоторого множества точек на прямой, имеет вероятность, про-
пропорциональную числу траекторий, заканчивающихся
в точках этого множества. Поэтому при подсчете вероят-
вероятностей тех или иных событий мы будем пользоваться ком-
комбинаторными формулами § 5 главы 1.
В этой главе будут рассмотрены задачи, типичные для
случайных блужданий,— задача первого достижения ча-
частицей некоторого уровня, задача возвращения частицы
в начало координат, задача о времени пребывания ча-
частицы на положительной части прямой и т. п. На примере
75

симметричного одномерного случайного блуждания бу-
будут продемонстрированы совершенно неожиданные, про-
противоречащие, на первый взгляд, здравому смыслу свой-
свойства случайных блужданий. Эти закономерности случай-
случайных блужданий на прямой имеют чисто комбинаторную
природу и остаются справедливыми для случайных блуж-
блужданий гораздо более общего вида.
§ 2. Комбинаторные основы
Траектория частицы графически представ-
представляется ломаной с вершинами в точках с целочислен-
целочисленными координатами, при этом координатами своих вер-
вершин каждая траектория определяется однозначно. Такие
траектории мы будем называть путями из начала коор-
координат, и в этом параграфе будем заниматься подсчетом
числа путей, обладающих определенными свойствами.
Обозначим L (х, у) число всех путей, ведущих из начала
координат в точку (х, у). Очевидно,-в соответствии с вы-
вычислениями в § 5 главы 1, в случае, когда хну имеют
одинаковую четность и у <^ х,
Ь(х,у) = СГт ¦ A)
(в других случаях полагаем просто L (х, у) = 0). Оче-
Очевидно также, что число путей из точки (х0, у0) в точку
(х, у), где 0 < х0 < х, у0 < х0, у < х, х0 + у0 и х + у
четны, равно числу путей из начала координат в точку
(х — х0, у — у0)', т. е. равно L (х — х0, у — у0).
Все подсчеты в этом параграфе и вычисление вероят-
вероятностей в следующих параграфах будут основаны на одном
замечательном и чрезвычайно простом результате, но-
носящем название «принципа отражения».
Лемма 1 (принцип отражения). Пусть
А и В — точки с целочисленными координатами (х0, у0)
и (х, у), 0<жо<ж, i/o>O, i/>0, и А' — точка
(#о» —1/о)? симметричная точке А относительно оси
абсцисс. Тогда число тех путей из А в В, которые ка-
касаются или пересекают ось абсцисс, равно числу всех
путей, ведущих из точки А' в точку В.
Доказательство. Сопоставим каждому пути
иэ А в В, который касается или пересекает ось абсцисс,
путь из А' в В следующим образом (см. рис. 22): если путь
из А в В попадает на ось абсцисс впервые в точке С, то
участок А'С пути А 'В построим по симметрии как отра-
76

даение участка АС относительно оси абсцисс (на рисунке
новый участок пути изображен пунктиром) и сохраним
для пути А 'В без изменения участок СВ. Очевидно, что
указанное соответствие между путями из А в В, попа-
попадающими на ось абсцисс, и отраженными путями из А'
в В взаимно однозначно, что и доказывает лемму.
В
Рис. 22. Принцип отражения.
Эта лемма значительно облегчает вычисление числа
путей, обладающих некоторыми нужными свойствами.
Будем называть пути положительными, если их вершины
лежат строго выше оси абсцисс, и неотрицательными,
если их вершины не опускаются ниже оси абсцисс. Ана-
Аналогично определяются отрицательные и неположитель-
неположительные пути.
Лемма 2. Число положительных путей из начала
координат в точку (ж, у), О <; у ^ ж, равно -1— L(x, у),
где L (ж, у) — число всех путей из (О, 0) в (ж, у).
Доказательство. Все положительные пути
проходят через точку A, 1) (см. рис. 23). Поэтому иско-
искомое число совпадает с числом положительных путей из
A,1) в (ж, у), а это число равно разности между числом
всех путей из точки A, 1) в (ж, у) и числом путей из A, 1)
в (ж, у), касающихся или пересекающих ось абсцисс, или,
по лемме 1, разности между числом всех путей из A, 1)
в (х, у) и числом всех путей из A,-1) в (х, у), т. е. равно
L (ж — 1, у — 1) — L (х — 1, у + 1). Теперь легко про-
проверить, что
—1
77
а~ У\_ У rix+v)H _ J_

По симметрии заключаем, что число отрицательных
путей в точку (х, —у), у > О, также равно-|- L(x,y).
Пример 1. Лемма 2 известна как «теорема о бал-
баллотировке» в комбинаторном анализе. Исторически пер-
первое ее использование связано е именами Уайтворта
A878 г.) и Бертрана A881 г.), решивших так называемую
баллотировочную задачу. Если два кандидата R и S по-
получили на выборах соответственно г и s, r > s, голосов,
В(х,у)
1
Рис. 23. Подсчет числа положительных траекторий.
то каковы шансы, что кандидат R в течение всех выборов
был по количеству голосов впереди ?? Очевидно, что по-
постановка задачи предполагает выполненной следующую
несколько наивную процедуру подсчета голосов: каждый
выборщик отдает свой голос или кандидату Е, или S с ве-
вероятностью 1/2; последовательно опрашиваются все вы-
выборщики, и на каждом шаге подсчитывается разность
голосов, поданных за R и за S; после опроса (г + s)-ro вы-
выборщика эта разность должна быть равна г — s. Таким
образом, речь идет о подсчете числа положительных путей
из @, 0) в точку (r + s,r — s). По лемме 2 зто число равно
Г — S т . .
Тогда шансы на устойчивый перевес кандидата R над
S в течение выборов измеряются отношением этого числа
ь L (г + s, г — s), т. е. величиной r~~s .
7" —р* S
П р и м е р 2. Та же задача, но с более понятным нам
сюжетом звучит так. Два шахматиста, имея равные шан-
шансы на успешный результат в каждой партии (ничьи не
насчитываются), играют матч из 10 партий. Матч закав-
78

чивается победой определенного игрока со счетом 6 : 4.
Каковы шансы на то, что победитель матча после каждой
партии был впереди по числу очков? Очевидным образом
используя лемму 2 и рассуждения предыдущего примера,
получаем, что вероятность этого события равна ~ = 0,2.
Нам понадобится еще один важный результат, пред-
представляющий собой утверждение, двойственное утвержде-
утверждению леммы 2. Будем рассматривать все пути из @, 0)
в (х, у), обладающие тем свойством, что ординаты всех
промежуточных вершин меньше у, и будем называть та-
такие пути путями, впервые достигающими уровень (поло-
(положение) у в моментж (или путями первого достижения у).
Л е м м а 3. Число путей, выходящих из начала коор-
координат и впервые достигающих уровня у, у ^> 0, в мо-
момент х, равно —L (х, у).
Доказательство. Рассмотрим все пути, удов-
удовлетворяющие условию, и будем проходить каждый такой
путь в обратном направлении. Для этого выберем новую
систему координат с началом в точке (х, у) и осями, ко-
которые параллельны и противоположно направлены соот-
соответствующим осям исходной системы координат. Очевид-
Очевидно, что «обращенный» путь удовлетворяет условию леммы
2, т. е. является положительным путем из нового начала
в точку с координатами {х, у) в новой системе (см. рис. 23).
Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие
между двумя типами путей. Используя результат лемми 2,
получаем утверждение леммы.
По симметрии, число путей, впервые достигающих
Уровня — у, у > 0, равно -|- L (х, у).
Докажем в заключение одно простое следствие леммы 1,
которое будет полезно в последующих рассуждениях.
Лемма 4. Число положительных путей, выходя-
выходящих иа начала координат и заканчивающихся в точках
с абсциссой х ^> 1, равно C*J\ при х четном и равно C^-i
при х нечетном.
Доказательство. Мы должны найти число
всех путей, ведущих из @, 0) в множество М точек {х, у),
имеющих одинаковую абсциссу х и ординаты у ^> 0. Все
такие пути необходимо проходят через точку A, 1). Число
X
путей из A, 1) в М равно S L(x — 1,у— 1), а число
V=Vt
79

X—2
путей ив A, —1) в М равно 2 L(x—1,у-\-1), где
у0 = 2 при ж четном и [/„ = 1 при ж нечетном. Тогда по
Лемме 1 число путей из @, 0) в точки множества М равно
2 l(jf-i,0-i)-*2 ?(*-i,0 + i) =
2 L(a:-l,j/-l)_
^ ( Сх!\, х четно,
I d-1W/a. х нечетно.
Следствие. Общее число положительных и отри-
отрицательных путей, выходящих из начала координат и за-
заканчивающихся в точках с абсциссой х, равно 2С?,_л =
¦== Cji при х = 2п и равно 2С%п при х ~ 2и + 1.
Упражнения
1. Покажите, что число положительных путей ив
@,0) в BИ, 0) равно -^Сгп-2.
2, Покажите, что число неотрицательных путей из @, 0)
в Bв, 0) равно -jqrj- C?n.
3* Покажите, что число неотрицательных путей длины 2п
равно Cgn.
4, Используя лемму 1, докажите, что число путей первого до-
достижения точки у в момент 2л—у равно разности между числом пу-
пуки из @, 0) в B«—у, у) и удвоенным числом путей из @, 0) в
КЪь~у-\, y + i).
5, Докажите, что число путей из @, 0) в точку {х, рв), у0 > О,
которые лежат выше прямой у — —уи уг > 0, равно
¦Ь (ж, tfo) — ^ (ж, {fo + 2j/x)j
(Используйте принцип отражения применительно к прямой
V — —Й-)
6* Докажите, что число путей из @, 0) в (х, у0), у0 > 0, которые
лежат ниже прямой у = ys, y2 > у0, равно
L С*. Уо) — L (s, 2i/a — у0),
Используйте задачу 5,)
ВО

§ 3. Задача о возвращении частицы'
в начало координат
Этот и последующие параграфы посвящены
собственно симметричному случайному блужданию *на
прямой. Основываясь только на комбинаторных свой-
свойствах путей (фактически только на лемме 1), мы получим
некоторые глубокие и неожиданные закономерности пове-
поведения блуждающей частицы. Наши предсказания, в пер-
первую очередь, будут относиться к возвращению частицы
в исходное положение и достижению ею некоторого уров-
уровня. При решении задачи о возвращении будем рассмат-
рассматривать пути, соединяющие начало координат с точками
(х, 0), где х = 2/г, так как возвращение частицы в нуль
может происходить только в четные моменты времени.
Событие, состоящее в том, что возвращение в нуль про-
произошло на 2га-м шаге, связано лишь с первыми 2п пере-
перемещениями частицы. В силу симметрии все 22П возможные
траектории длины 2га оказываются равнововмояшыми.
Поэтому вероятности возвращения вычисляются подсче-
подсчетом соответствующих путей на отрезке от 0 до 2га.
Пусть usn — вероятность возвращения частицы в 0
в момент 2га. Так как число путей, соединяющих точки
@, 0) и Bга, 0), равно L Bга, 0) = С?„ (см. формулу A) § 2),
то и2п =* Сап2~ап. Пусть /а„ — вероятность первого воз-
возвращения в нуль в момент 2га. Для определения /2п мы
найдем соотношение, связывающее /2„ с вероятностью щп.
Лемма. При га ^ 1
Доказательство. Пусть событие Ain состо-
состоит в том, что путь до момента 2га включительно нигде не
обращается в нуль. По лемме 4 § 2 Р (Ain) =» uin. Пусть
событие В состоит в том, что в момент 2га имеет место воз-
возвращение в нуль. Тогда событие А2п-Л f) В означает, что
первое возвращение в нуль произошло в момент времени
2/г, и поэтому Р (^4г„_а (~1 В) ** /2п. Очевидно, что
(Лп-г Л в) U (Лп-г Л Б) = А„_2,
где В — дополнение события В. Так как события, стоящие
в скобках, несовместны и -*4Яп_а f) В =*> Ат, то
Р (Ап.2 Г\В) + Р (А2п) = Р (Лп-г).
что и приводит к соотношению A).
81

Следствие. При п !> 1
, 1 /пП «J-2JI+1
Jin — "ot; г*'
B)
Соотношение A) можно также доказать как простое
комбинаторное тождество, если вероятности /2п в виде B/
вычислить, непосредственно применяя лемму 2 § 2 (см.
упражнение 1).
Используя формулу B), нетрудно проверить, что ве-
вероятности первого возвращения в нуль, например, на
2-м, 4-м, 6-м шагах, равны соответственно
h = 0,5, U = 0,125, U = 0,0625.
Вычисление /2п для небольших значений п удобно произ-
производить, используя табличку значений вероятностей и2п:
п
игп
п
М2п
1
0,5
6
0,2265
0
0,
2
,375
7
2095
0,
0,
3
3125
8
1964
0,
0,
4
2734
9
1855
0,
0,
5
2461
10
1762
Для больших значений п можно вычислять /2п прибли-
приближенно, .пользуясь таблицами логарифмов (см. с. 24) пли
формулой Стирлинга. По формуле Стирлинга (см. с. 25)
при больших п
откуда
Поэтому
l>2?
2n-
JП
7^- И /2
/го. /2П 2VS«3/2"
Интересно узнать, каковы шансы на возвращение час-
тпцы в нуль эа некоторое конечное время.. Например, ве-
вероятность вернуться в нуль за 2 шага равна /2 = 0,5, за
82

4 шага /2 + U = 0,626, за 6 шагов /2 + /4 + /в =
= 0,6875 и т. д. Очевидно, что вероятность возвращения
частицы в нуль за время 2п равна
/, + h + ••¦+ hn-
По лемме получаем, что
h + • • • + hn = A — Щ) + . . • + (u2n_2 ~ и2п) =
C)
т. е. игп — вероятность противоположного события.
Пользуясь приближенным значением и2п при больших п,
можно вычислить, например, вероятность возвращения
за 100 шагов — 0,9202, за 1000 шагов — 0,9748, за 10 000
шагов — 0,9920. Заметно, что с ростом п вероятности и2п
и
стремятся к 0, а вероятности 2 hk возрастают и прибли-
жаются к 1. Какова же вероятность того, что частица
когда-либо вернется в начало координат? До сих пор мы
рассматривали вероятности в конечном множестве воз-
возможных событий, а для корректного определения инте-
интересующей нас вероятности необходимо рассматривать бес-
бесконечное множество траекторий. Для того чтобы не выхо-
выходить за рамки конечной схемы, мы упростим решение
задачи и предположим, что событие, заключающееся в том,
что частица рано или поздно вернется в нуль, имеет опре-
определенную вероятность, которую мы обозначим через /.
Тогда
/ = и + и + ¦ • • + hn +.. • D>
Теперь мы можем доказать замечательный результат о
возвратности симметричного случайного блуждания на
прямой.
Теорема. Возвращение частицы в нуль происходит
с вероятностью 1.
Доказательство. Из формул B), A) и D)
имеем
/ = A — щ) + (и2 — щ) + (и4 — щ) + . . . = 1.
Таким образом, возвращение частицы в нуль является
событием с вероятностью 1. Оказывается, однако, что мо-
момента возвращения приходится ждать слишком долго.
Для того чтобы в этом убедиться, найдем среднее значе-
вие периода времени до возвращения частицы в нуль. Так
83

как каждому значению 2п времени ожидания соответствует
вероятность /2„1 то среднее время ожидания возвращения
частицы, если время наблюдения не превосходит некото-
некоторого момента 2N, равно
S 2n/2n + 2Num. E)
Последнее слагаемое в этой сумме соответствует случаю,
когда за время 2N частица ни разу не вернется в нуль
( 2 /гп+ b2jv= 1, см. C)). Очевидно, что большим зна-
п=1
чениям N соответствуют довольно большие значения вы-
выражения E). Оценим значение выражения
/2П-
=1
1 Ъ,, 1
Так как при п -* оо /2п ~ и 2to/2n ~ -—-, то ряд
2 V л п '" у ли
оо
5J 2и/2„ расходится *) и, следовательно, среднее значе-
71=»1
ние времени возвращения бесконечно.
Итак, частица обязательно вернется в начало коор-
координат, и, стало быть, побывает там бесконечное число раз,
но (среднее) время ожидания даже первого возвращения
бесконечно. Можно ли утверждать, что начало коорди-
координат — единственная точка, которая обладает таким свой-
свойством? Ответ на поставленный вопрос дает решение за-
задачи о первом достижении некоторого уровня.
По лемме 3 § 2 вероятность того, что точка с ординатой
У > 0 будет впервые достигнута при абсциссе х, равна
gx — — Ьх • ^ » \Р)
О <; у <^ х. Так как х + у четно, положим х + у = 2п
и перепишем F), выразив х через 2п:
„Чу) У rn o-w+v /7\
gvn-y 2п — у ^n~v'с ' \Ч
Положим в G) у = 1 и получим ggU = 2ni_i Cin-i • 2~™+l —
•) Ряд расходится (сумма бесконечна), если расходится по-
последовательность конечных частичных сумм.

вероятность первого достижения прямой у = 1 в момент
2п — 1. Как следует из формулы B),
gtn-l = Un- (8)
Это соответствие между вероятностями первого достиже-
достижения точки с ординатой 1 и первого возвращения в нуль
позволяет применить доказанную теорему к решению за-
задачи о первом достижении.
Следствие. С вероятностью 1 частица достигает
уровня 1.
По симметрии, тот же вывод справедлив в отношении
первого достижения уровня —1.
Теперь интуиция подсказывает, что подобное утверж-
утверждение может быть сформулировано для любого уровня у\
план точного доказательства см. в задачах 5 и 6.
Общий итог параграфа таков: с вероятностью 1 блуж-
блуждающая частица бесконечное число раз пересекает любой
постоянный уровень, в частности, бесконечное число раз
возвращается в исходное положение, но среднее время
ожидания этих событий бесконечно.
Упражнения
1. Используя лемму 2 § 2 для подсчета числа по-
положительных и отрицательных путей, соединяющих точки @, 0)
и Bп, 0), найдите вероятность /ап.
2. В сберегательную кассу стоят в очереди 2гс человек. Каждый
из них с вероятностью 1/2 вносит 10 рублей или с вероятностью
1/2 берет 10 рублей. В начальный момент времени в кассе денег нет.
Найдите вероятность того, что ни один из тех, кто хочет взять
деньги, не будет ждать? Докажите, что эта вероятность равна ит,
и найдите ее точные и приближенные значения для п = 4, 5, 6.
3. Опираясь на упражнение 2 § 2, найдите, что
(V) —СП .2~2П+"_ СП
2п-у — ^гп-у * 2п-у-\
4. Покажите, что вероятность достижения точки Bп—го, го),
равная С^1_т-2-2п+т, может быть представлена в виде суммы
у=зп
5. Докажите формулу
Связывающую вероятности первого достижения уровней у и у + I-
85

6. В следствии из основной теоремы доказано, что g^1* =
оо
= V g&|_1 = l. Докажите, что частица с вероятностью 1 достигнет
71=1
оо
любого уровня;/, т. е. что g(l/)= ^j «in-j^1- [Доказательство про-
ведите методом математической индукция, используя формулу
A1) и формулу изменения порядка суммирования:
оо п—1 оо оо
2 2 = 2 S •]
П=у-{-1 Vc=y V=J/ П—V=l
7. Покажите, что частица, начинающая блуждание из любой
точки с ординатой у, с вероятностью 1 попадет в нуль.
8. Пусть в случайном блуждании на прямой участвуют две ча-
частицы, которые перемещаются независимо друг от друга и в одни
и те же моменты времени. Используя вывод о том, что частица с ве-
вероятностью 1 достигает любого положения на прямой, докажите,
что вероятность встречи частиц равна 1, если начальное расстоя-
расстояние между вими четно, и равна 0, если начальное расстояние не-
нечетно.
§ 4. Задача о числе возвращений
в начало координат
Мы доказали, что симметричное случайное
блуждание бесконечное число раз возвращается в исход-
исходное положение. После того как произошло первое возвра-
возвращение, мы проводим время в ожидании второго возвра-
возвращения, и, хотя оно достоверно, ждать нам приходится в
среднем столь же долго, как и первого возвращения. В этом
параграфе мы ответим на вопросы о том, как с увеличе-
увеличением продолжительности наблюдения растет число воз-
возвращений и как «тянется» время ожидания m-го возвра-
возвращения.
Теорема 1. Вероятность того, что в момент In
имеет место т-е возвращение в нуль, раенй
Am) m nn i)-in+m /л
'2п — 2п — т ^Ъп-т'Ь • \Ч
Сравнение A) с формулой G) из § 3 позволяет выска-
высказать утверждение теоремы иначе: вероятность т-хо воз-
возвращения в начало координат на 2гс-м шаге равна вероят-
вероятности первого достижения точки с ординатой т на
Bп — т)-и шаге, т. е.
Лт) (т) 12)
86

ото утверждение справедливо во всяком случае при т — 1
(см. (8) в § 3). Новая формулировка теоремы подсказывает
способ доказательства.
Доказательство. Установим взаимно одно-
однозначное соответствие между путями, впервые достигающи-
достигающими точки т в момент 2п — т, и всеми неположительными
путями, для которых точка Bп, 0) является точкой пос-
последнего пг-го возвращения в нуль. Для этого рассмотрим
Рис. 24. Иллюстрация к теореме 1.
произвольный путь первого достижения т и проведем
через точки первого достижения уровней 1, 2, .. ., т пря-
прямые с угловым коэффициентом —1 до пересечения с осью
абсцисс (см. рис. 24)-. Полученные т точек на оси абсцисс
будут вершинами некоторого неположительного пути дли-
длины 2га и будут указывать моменты возвращения этого пути
в начало координат. С помощью обратного построения
любой неположительный путь длины 2п, имеющий ровно
го вершин на оси абсцисс и последнюю в точке 2п, преоб-
преобразуется в некоторый путь, впервые достигающий точки
т в момент 2п — т. Из соответствия двух множеств путей
следует, что число неположительных путей с т-м возвра-
возвращением в нуль в момент 2п равно
т
2п — т
С 771
2П-7П !
22П-7П GТ1)
62
2 Л—771е
Каждый такой путь точками возвращения делится на т
участков. Отображая произвольным образом эти участки
относительно оси абсцисс, мы получим все пути с т вер-
вершинами на оси абсцисс. Число их будет, очевидно^в 2т
раз больше числа неположительных путей и поэтому бу-
будет равно 2^g^lm. Разделив это число на 2гп — общее
число путей длины 2и, — получим вероятность A).
87

Найдем теперь вероятность т возвращений в течение
всего промежутка времени от 0 до 2п. Рассмотрим все пу-
пути длины 2п, которые т раз возвращаются в нуль. Суще-
Существуют две возможности: последнее т-е возвращение про-
происходит или в момент 2п, или в некоторый момент 2v ¦<
< 2т. Во втором случае каждый путь точкой 2v послед-
последнего т-то возвращения делится па два участка, причем
на участке от 2v до 2га возвращений в нуль нет. По лемме
4 § 2 (см. следствие) участок пути от 2v до 2п можно вы-
выбрать числом способов, равным числу всех путей, соединяю-
соединяющих точки Bv, 0) и Bга, 0). Поэтому все участки от момен-
момента последнего возвращения можно без ущерба заменить
участками, которые имеют возвращение в нуль по край-
крайней мере в момент 2га. Следовательно, число путей длины
2га, имеющих ровно m возвращений, равно числу путей,
которые имеют самое меньшее m возвращений в нуль и
последнее — в момент 2га. Таким образом, мы свели за-
задачу к подсчету общего числа путей, имеющих m, m +
+ 1, . . ., в возвращений в нуль в момент 2п. Переходя
к вероятностям и используя теорему 1, получаем, что ве-
вероятность т возвращений равна
или
где слагаемые справа — это вероятности первого дости-
достижения точек т, т -f- 1, . . ., га в моменты 2га — т, 2га —
— т — 1, . . ., в соответственно. Так как при к «= т,
т + 1, . . ., га — 1
(к)
na++
-i • <s
С".2~" (см. упражнение 8 § 3), то
tftn)
"in ¦"" <
т. е. fcgn* равна вероятности достижения точки т в момент
2п — т (см. упражнение 4 § 8). Итак, доказана
Теорема 2. Вероятность того, что ва время 2»
произойдет ровно т возвращений в нуль, равна
C-cS,^.2-<sn-m>. C)
Заметим, что в теоремах 1 и 2 «новых» вероятностей не
появилось: найденные вероятности совпали со значения-
значениями вероятностей, полученных в предыдущих параграфах.-
88

Следствие. При т = 0 и т = 1 вероятности
/4т? равны игп; при т> 1 вероятности h^ строго убы-
убывают:
D)
Следствие доказывается простой проверкой. Для про-
проверки формулы D) достаточно показать, что h^? > /4n~W
при то> 1.
Неравенства D) неопровержимо свидетельствуют, что
каково бы ни было время случайного блуждания, наибо-
наиболее вероятно либо отсутствие возвращений, либо ровно
одно возвращение, чем любое другое их число. Обычно
ожидается, что число возвращений пропорционально вре-
времени блуждания. Но это представление опровергается
наблюдением и расчетом — число возвращений растет с
ростом Ъг как ~\fin. Пути возвращаются в начало коор-
координат очень редко, и чем продолжительнее время блуж-
блуждания, тем реже возвращается частица в исходное поло-
положение. Чтобы в этом убедиться, вычислим среднее число
возвращений за фиксированное время 2т
Используем соотношения
п 11—\
«1=0
Проведем выкладки по вычислению
и — ц= V (п — т)П\п'= V
0
п—1
2п — т , (m+l)
тп=0
Отсюда
\i = -^— н2п —

Гак как при больших значениях п
112п г— >
У пп
ТО
Таким образом, с увеличением продолжительности блуж-
блуждания относительное число возвращений убывает, а пе-
периоды между возвращениями возрастают по длине. Так,
например, за 10 000 шагов частица побывает в нуле в
среднем около 40 раз, за 1000000 шагов — около 400 раз,
а за 100 000 000 шагов — около 4000 раз. Соответственно,
среднее время между возвращениями будет меняться от
250 к 2500 и далее до 25 000. Мы уже говорили о том,
что рост среднего времени между соседними возвраще-
возвращениями не зависит от номера возвращения. Теперь, ис-
используя то, что число возвращений растет в среднем
как У^п, можно сделать вывод о том, что среднее время от
начала блуждания до m-го возвращения в начало коорди-
координат растет как /га2. Это заключение может быть уточне-
уточнено в форме «предельной» теоремы (см. упражнение 2).
Так как приблизительно в половине моментов возвра-
возвращения в пуль частица переходит с одной на другую по-
половину прямой, то полученные вдесь выводы непосредст-
непосредственно касаются продолжительности времени пребывания
частицы па положительной и отрицательной сторонах
прямой. К точной формулировке результата мы переходим
в следующем параграфе.
Упражнения
1. Показать, что
и» ¦=/» + /?+ .•¦ + ??
(см. следствие к теореме 2).
2. Используя асимптотически* соотношения
при I —> оо и /с — !-»оо (ею следствие формулы Стирлинга,
см, f 9 главы 1) и
о"
In A + оО ~ о — -j-
ео

при | а | < 1 (первые два члена разложения функции в ряд Тейлора),
докажите, что при п —> оо
e-mV2Bn-m)
*() ~ Л/ -
'2П У п Bп-т)''г
Тогда вероятность 21 /гп' того.чт0 т возвращений в начало коор-
динат произойдет за время от 2т до 2т -\- 2N, можно представить
как интегральную сумму для интеграла Римана от функции
в пределах от 0 до 2N/m2, Отсюда можно заключить, что
вероятность того, что т-е возвращение произойдет до момента am*
(a > 0 — произвольное действительное число), Стремится при
возрастании т к интегралу
т. е. время до т-го возвращения растет с ростом т как пга. (Для
вычисления последнего интеграла удобно использовать равенство
t
так как значения функции Ф (*) = ,— ¦ \ e~uS'2 du можно найти
* —оо
в любом учебнике по теории вероятностей в таблицах функции нор-
нормального распределения.)
§ 5. Закон арксинуса
Мы установили важнейшее свойство симмет-
симметричного случайного блуждания — периоды между по-
последовательными возвращениями частицы в нуль оказыва-
оказываются необычайно длинными. Мы убедились в этом, ис-
используя различные подходы, и теперь нам предстоит отве-
ответить на вопрос о том, как долго частица будет в течение
блужДания находиться выше или ниже оси абсцисс. Ес-
Естественное, с точки зрения здравого смысла, предположе-
предположение о том, что относительное время, которое частица про-
проводит выше оси абсцисс, близко к х/2, не подтверждается
экспериментом. Оказывается, что для этой доли времена
L значения, близкие к x/2l наименее вероятны, и значитель-
91

ную часть времени частица проводит в какой-либо одной
полуплоскости. Эти парадоксальные закономерности пе-
перехода частицы с положительной стороны прямой на
отрицательную и наоборот раскрываются теоремой, полу-
получившей название «закона арксинуса».
Докажем предварительно следующий простой резуль-
результат.
Лемма. При п ]> 1
2l k2H A)
k—l
•Для доказательства рассмотрим все пути длиной 2п,
которые возвращаются в момент 2и в нуль. Формула A) яв-
является вариантом формулы полной вероятности (см. с. 59).
В самом деле, пусть событие А2п соответствует любому
пути из @, 0) в Bп, 0), а событие В^ — пути с первым
возвращением в нуль в момент 2к, к = 1, . . ., щ при этом
п
события Z?2)t несовместны и AinCZ U В^- Тогда
2 2n/Bih) = S Р (В») Р (Л
fcl
в силу того, что Р (А2п/В21!) = Р (А2п-2/с)- Так как
Р Dъд "» Hw P (#**) =• /aki получаем A).
Обозначим через рцС12„ вероятность того, что в течение
времени от 0 до 2 п путь частицы неотрицателен 2& единиц
времени и неположителен 2п — 2к единиц времени. Удоб-
Удобно говорить, что частица проводит на положительной сто-
стороне время от п до п + 1, если соответствующий отрезок
пути лежит выше оси х.
Теорема 1. При и>1 иО^А^в
Pi}!, 2я = M2fcW2n_2fc. ( 2)
Доказательство. Пусть А^, zn — событие,
состоящее в том, что частица за период времени от 0 до 2п
проводит 2к единиц времени на положительной стороне и
2п — 2к — на отрицательной стороне. Пусть Z??r и В& —
события, состоящие в том, что частица впервые возвраща-
возвращается в нуль в момент 2г, оставаясь до этого соответственно
на положительной или отрицательной стороне. Очевидно,
что Р (Лй, 2П) = ря, 2п и Р (Btr) = Р (Bi) = 4" /«г- По
92

формуле полной вероятности
Р (Ал. 2п) = U P (Bt) Р (Ал.
так как
Р (A&t, Zn/Bzr) = Р (Aft-zr, 2п-2г)»
Р (А&, гп1В&) = Р D2ft, 2п-2г),
то
n-fc
P0t,2n:
~2" / | farPik-Vr, 2п-2г Н SjT / , firPOs, 2n-2r- C)
г<=1
В случае, когда к — 0 или к = п, равенство B) тривиаль-
тривиально, так как искомая вероятность равна и2п. Полученное
тождество рассматривается при всех пиО <fe<n — 1.
Выведем B) из C) методом математической индукции по
п. Легко видеть, что при и=1 соотношение тривиально.
Предположим, что при всех т ^ п — 1
Pik, 2m =
и, в частности,
Р$к-2г,
D)
Pik, 2П-2Г — W2fcHfc
Тогда из C) и D) получаем
ft n-fc
PiH, 2n = ~2~ Щп-Ht Д !
г=1
Пользуясь утверждением леммы, находим окончательно
1 1
Pik, 2n ~2~ MH Н
Соотношение B) определяет удивительное свойство,
присущее блужданию частицы. Интуиция подсказывает,
что доли времени, проводимые частицей выше и ниже оси
абсцисс, примерно одинаковы и близки к V2. Для провер-
проверки произведем подсчеты с помощью формулы B) для
случая п = 10. Вероятности р2к, гп даны в следующей
* Щ

табличке:
ft
Р&,2п
•
•
0
,1762
,.
0
•
,0927
9
0
2
,0736
•
•
0,0655
•
0,0617
•
0
s
,0606
6
Даже эти данные показывают, что значениям к = 0 и
к = п соответствуют наибольшие вероятности и, наобо-
наоборот, менее всего вероятно,
что доля времени к/п близка
к 1/2. В данном случае важ-
важны не абсолютные значения
вероятностей, а характер их
изменения в зависимости от
к. В общем случае эти веро-
вероятности обладают следующи-
следующими свойствами: Ра»,гп =
= Ряг-ок, am при к < (п + 1)/2
вероятности p2jt,2n убывают,
при к >(и + lj/2 — возрас-
возрастают; при п четном мини-
минимальное значение p2fc,2n Дос-
Достигается в точке к = п/2,
при п нечетном — в двух
точках к = (п — 1)/2 и
к = (п + 1)/2. Графически
зависимость p2S> 2n от к ука-
указана для п = 10 на рис.
25. Более выразительно
соотношение вероятностей
Рис. 25. Закон арксинуса. р&^ для больших значе-
значений п. Воспользуемся для
сравнения приближенным значением щп по формуле
Стерлинга:
Ро, аи = Pzn, гп = m2ii — .—. ,
у ЯП
Ра*. 2п = Иа„К2п-2* ~ -^уЩЩ ¦
В частности, если и четно, то минимальное значение
Pa», an приближенно равно
Рп.2П=В» ~.

Результаты подсчета для п = 100, 1000, 10 000, 100 000
сведены в следующую табличку:
2п
100
1000
10000
100000
И), 2п
0,07979
0,02523
0,00798
0,00252
Pi, 2п
0,04030
0,01263
0,00399
0,00126
Рп, 2п
0,01273
0,00127
0,00013
0,00001
Отношение максимальной вероятности к минимальной с
ростом п стремится к бесконечности:
2
Ро, гп + Ргп, гп ЛГ~кп -,/¦ —
яге
1
Введем в рассмотрение функцию f(x) =, ,
зх У х A — л;)
определенную для 0 <х <1. Эта функция имеет U-об-
разную форму, симметрична относительно прямой х = Va
и имеет минимум в точке х — V2, равный 2/л (см. рис. 25).
Легко убедиться в том, что *)
w=ix~ [4*
arcsin
или
/ (г/) <fy=4*arcsin
Пользуясь только формулой Стирлинга, можно утверж-
утверждать, что при больших п
с хорошим приближением, если только к не очень близко
к 0 или п. Зададимся некоторым а, 0 < а <С 1, и сравним
*) Для этого достаточно вспомнить, что производная сложной
функции у = / (ф (я)) находится по формуле: у' = /' (<р (х)) q/ (*)§
а производная функции у = \lf (x) — по формуле:
1
»'=•-
(/ <*))'
•/'(*)•

две величины
2 Put, 2п и J f(x)dx.
Обозначим хк ¦*= kin и Aa;fc «¦ а* — а^_1 в Vn, тогда
S Ря, an ~ 2 Aark/(ark).
Правая часть при га -> со или при Д<гк -> 0 отрвмится к
величине площади фигуры, ограниченной осью ж, кривой
/ (ш) и вертикальными прямыми as ¦¦ 0 ¦ в ¦¦ а. Эта пло-
площадь по определению выражается интегралом
\ / (я) da; =»¦ -г- arcsin ^5.
Таким образом, мы пришла и теореме, которая широко
иввеотна как «вакон арксинуса».
Теорема % (в а к о в а р и б и н j e i). Вероят-
Вероятность того, что доля времени, проводимо»» ча&тищй на
положительной части, щ превосходит а, О -<о <1,
стремится к B/я) arcsin |^о при п -*¦ оо.
Пользуясь таблицами синуса, можно вычислить,
например,
S Р«*.«п~0,05,
|Г/ПЧО,ОО61
*/«<0,02J«
Так, например, ва время п ¦« 1000 частица о вероятно-
вероятностью 0,1 остается на одной стороне более чей 008 момента
времени и с вероятностью 0,2 — больше чем 975 моментов
времени.
Пример. Представим себе, что два человека иг-
играют в «орла и решку», поочередно подбрасывая правиль-
правильную монету и выигрывая всякий рае при вьшаденвв
«орла» («герба»). Последовательность результатов отдель-
отдельных партий (последовательность выигрышей > проигры-
проигрышей) геометрически будет представляться графикой сим-
симметричного случайного блуждания. Положение графика
выше оси абсцисс соответствует ситуации, при которой
9в

один из игроков лидирует; достижение графиком оси абс-
абсцисс интерпретируется как суммарный ничейный резуль-
результат и т. п. Результаты §§ 4 и 5 применительно к описанной
ситуации говорят о том, что с ростом числа сыгранных
партий «ничьи» становятся все реже и реже, соответствен-
соответственно уменьшается относительное число смен лидерства и,
таким образом, большую часть времени лидирует один из
игроков. В игре, состоящей из 1000 партий, среднее чис-
число ничьих равно 12, из них приблизительно половина бу-
будет соответствовать действительной смене лидерства. Как
показывают предыдущие расчеты, по закону арксинуса
не реже чем в одном случае из десяти один игрок будет за
все время находиться в выигрыше более чем в 975 партиях
из 1000.
Упражнения
1. Доказать, что вероятность того, что последнее
возвращение в нуль для траектории длины 2га произойдет в момевт
2ft, к = 0, 1, 2,. . ., га, равна u2№n-2fc-
2. Найти число путей из начала координат в точку Bга, 0) та-
таких, что 1к вершин лежат не ниже оси х, а остальные — ниже
{к = 0, 1,» v ., п). Доказать, что это число не зависит
от к и равно -^гру С?п.
3. Говорят, что траектория длины га с ординатами уь — 0,
Ilia • •¦> Уп имеет первый максимум у^ в момент к, если ук > ув, у^ >
> I/i,. • -, Ук > Ук-i и ук > j/j+lf. . ., ук > уп. Доказать утвержде-
утверждение, носящее название «второй закон арксинуса»: вероятность того,
что траектория длины 2га имеет первый максимум в моменты 2к (к =
= 0, 1,. , ,, п) или 2к-\- 1 (к = 0,. . ., га — 1), равна p2j,-,an.
§ 6. О симметричном случайном
блуждании на плоскости
и в пространстве
В главе 1 на с. 11—17 было рассказано о
случайном блуждании на плоскости. Предполагалось,
что частица выходит из начала координат @, 0) п переме-
перемещается по точкам плоскости с целочисленными коорди-
координатами. При этом за один шаг частица перемещается из
точки (х,\ у) с вероятностями V4 в одну из четырех смеж-
смежных точек (х + 1, у), (х — 1, у), (х, у + I),- (я, У — 1)
независимо от того, где паходилась частица до точки
(х, у). Аналогично можно определить симметричное блуж-
блуждание в трехмерном пространстве! частица перемещается
из точки (ж, у, z) за один шаг в одну из шести точек (х + 1,
у, z), (х — 1, у, z), (ж, у + 1, z), (х, у — 1, z), (ж, у, z + 1),
4 A, Hi Колмогоров и др, 97

^ yt z — 1) с вероятностями 1/e. В § 3 мы разрешили воп-
вопрос о возвратности симметричного блуждания на прямой.
Рассмотрим эту же задачу на плоскости и в пространстве.
Покажем, что двумерное случайное блуждание возвратно,
а трехмерное, вообще говоря, невозвратно.
Введем снова вероятности и2п и /2п. Как и раньше,
щп — вероятность возвращения частицы в исходное по-
положение в момент 2п, а /2п — вероятность первого возвра-
возвращения в момент 2п. Оказывается, что в случае двух и трех
измерений остается справедливым соотношение
п
«2ц= 21 ккЩп-гЪ п^\, A)
между щп и /2п (это легко проверить, используя сообра-
соображения при выводе этой формулы в одномерном случае,
см. лемму в § 5 на с. 92).
Наша задача состоит в том, чтобы показать, что на
ОО OD
плоскости 2 /гп —1>а в пространстве 21 hn<C !• Вспом-
П=1
ним, что в одномерном случае в то время как ряд 21 /W»
оо
сходится к 1, ряд 21 и2п расходится. Это поведение рядов
п=о
есть проявление общей закономерности, которая будет
доказана в главе 6 (см. § 2) и состоит в том, что
оо оо
S /эп = 1 тогда и только тогда, когда 21 П = °°; иными
словами, вероятность возвращения в начало координат
равна 1 или меньше 1 в зависимости от того, расходится
оо оо
или сходится ряд 21 м2п. Например, если ряд 21 и2„ CXC-
оо
дится, т. е. 21 H2r, = s<C°°. то, суммируя обе части соот-
71=0
ношения A) по п ]> 1, получаем слева
оо оо оо
/\ ь*2у1 2^ ^2п— ^0== 2л ^2п— »
71«=1 Пс=0 П=0
так как и0 = 1, и справа
оо п оо оо
2) I 2j hku2n-2)t\ == 21 hh 2' «2n»

Таким образом,
ГО ОО
71=1 71=0
Si —I 1
/2„ —
B)
n=o
CO
/tn=l -<1.Если ряд 2 u2n расходит-
00
ся, то 2 /2n= !¦ В этом параграфе мы только воспользу-
п=1
емся этим утверждением, а доказательство отложим до
оо
§ 2 главы 6. Исследуем сходимость ряда 21 м2п в двумер-
ном и трехмерном случае и на этой основе сделаем заклю-
заключение о возвратности соответствующего блуждания.
Найдем uin в двумерном случае. Общее число путей
пз начала координат длины 2п равно 4й1. Для того чтобы
в момент In частица оказалась снова в начале координат,
число перемещений вверх должно быть равно числу пере-
перемещений вниз, а число перемещений вправо — числу пе-
перемещений влево. Поэтому, если к — число перемещений
вверх, то число перемещений вниз равно к, а число пере-
перемещений вправо, так же как и число перемещений влево,
равно п — к. Так как при этом последовательность пере-
перемещений вверх, вниз, вправо, влево произвольна, то ис-
искомое число путей равно
BиI f-in /у~*ч2 /9\
fclfcl (*-*)!(»-ft)! ~~ 2n W ' { '
Поскольку к может принимать значения от 0 до п, то об-
общее число путей, заканчивающихся в момент In в начале
координат, равно
п п
п п
Так как 2 {С\)г = 2 ClcV = Clw то это число равно
i=a fc=o
4* 69

(С"п)а- Таким образом,
E)
Еще раз воспользуемся приближенным представлением
С"„ при больших п по формуле Стирлинга. Получаем
» /-2П94П 1 1
пп пп
откуда следует, что ряд 2 мгп расходится. Поэтому, ис-
пользуя соображения, относящиеся к соотношению B),
ваключаем, что 21/2п —*• т- е- блуждание возвратно.
В трехмерном случае вероятность возвращения в на-
начало координат в момент 2п равна по аналогии с C) — E)
Выражения Сп(г,/) = f[ ¦,(n^_i_ -^ являются коэффи-
коэффициентами в так называемом триномиальном разложении
(а + Ь+сГ= 2 Cn(l,j)a*
Полагая в этом разложении а = Ъ = с = 1, получаем
з"= 2 cn(t,j),
ИЛИ
1= 2 з-ис„(*,/).
Поэтому
2 [3-
В
«2„<B-271С) max [3-Vn(*,/)]. G)
100

Вероятности 3 пСп (i, f) достигают сворго максимального
значения
при i = / = -5- , если п делится на 3,
О
при i = j = —g— , если п — 1 делится на 3,
при I = / = —-i— , если п -j- 1 делится на 3.
Во всех трех случаях, используя формулу Стирлинга, по-
получаем, что при больших п
max [3""Cn (i, /)] ~ (с — постоянная).
Так как2ПСгп т=г, то щп в F) по порядку не превос-
V пп
ходит 1/п'/«. Отсюда следует, что ряд 2 М2л сходится н
71=0
оо
конечному пределу, и, следовательно, ^/2п<^ 1, т.е.
симметричное блуждание в трехмерном пространстве не-
возвратно (вероятность / = 2 /гп вычислена и оказалась
близкой к 0,35). Таким образом, замечательное свойство
возвратности одномерного симметричного случайного'
блуждания сохраняется в двумерном Случае и утрачива-
утрачивается при большем числе измерений.

ГЛАВА 5
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ,
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. Понятие случайной величины
В обыденной жизни и в научных исследова-
исследованиях постоянно приходится встречаться с такими ситуа-
ситуациями, когда интересующая нас величина может при-
принимать различные значения в зависимости от случайных
обстоятельств. Сколько вызовов поступит на телефонную
станцию в течение ближайшего часа? На этот вопрос
нельзя дать строго определенного ответа, поскольку
число вызовов за определенный промежуток времени
подвержено случайным колебаниям ото дня ко дню.
Точно так же нет возможности указать точное число
уличных происшествий в течение предстоящих суток в
каком-либо населенном пункте.
В подобных ситуациях приходится иметь дело со слу-
случайными величинами, т. е. величинами, значения которых
могут быть различны в зависимости от случая.
Что нужно знать о случайной величине, чтобы иметь
о ней исчерпывающие сведения? В первую очередь, очевид-
очевидно, перечень тех значений, которые она может принимать.
Однако этого далеко не достаточно. Действительно, легко
представить себе величины, которые принимают в точ-
точности одни и те же значения, но с разными вероятностями.
Пусть для примера имеются два стрелка А и В, которые
могут при каждом выстреле по мишени выбить 0, 1 и 2
очка. Одних этих сведений, конечно, недостаточно, чтобы
охарактеризовать меткость стрелков. Если же допол-
дополнительно сообщить вероятности, с которыми каждый из
них выбивает то или иное число очков (см. таблицу),
то такая характеристика уже возможна. Нет сомнений, что
стрелок А лучше, поскольку он чаще выбивает наиболь-
наибольшее число очков и реже выбивает минимальное число оч-
очков. В данном примере сравнение случайных величин
102

А
В
0
0,01
0,05
1
0.19
0,25
2
0.80
0,70
несложно, но можно привести и другие примеры, в кото-
которых такое сравнение затруднено, *¦
Принято определять случайную величину как число-
числовую функцию, определенную на множестве исходов. Если
все возможные исходы исчерпываются множеством
Е1г Ег,- . ., Еп, то любая числовая функция ? {Et) является
случайной величиной. При таком определении на случай-
случайные величины распространяются все правила действий с
обычными функциями: их можно складывать, вычитать,
перемножать и т. д.
Пример 1. Пусть имеются шесть исходов Еь i =
«= 1, 2, 3, 4, 5, 6, вероятности которых равны между со-
собой. Определим на этом множестве следующие случайные
величины:
а) Ei A) = 1, Ei B) = 2, Ei C) = 3,
?х D) = 4, Ei E) = 5, Ei F) = 6;
б) U A) = 1, h B) = 4, g2 C) = 9, J
l2 D) = 1(J, g2 E) = 25, E2 F) = 36;
в) E3 A) = 1, Ев B) = О, U C) = 1, '
Ез D) = 0, ?3 E) = 1, Е8 F) = 0;
г) I, A) = 0, ?4 B) = 0, ?4 C) = 1,
Е4 D) = О, Е4 E) = О, U F) = 1;
д) ЕвA) = -1, ЕЛ2) = 1, ЕвC) = -1,
Сумма случайных величин ?х и ?2 дает новую случай-
случайную величину т], которая определяется из равенства
Следовательно,
г) A) = 2, я B) = 6, ц C) - 12,
т) D) = 20, л E) = 30, а F) = 42.
Из определения случайной величины с помощью ос-
основных свойств вероятностей мы можем найти вероягао-
103

сти, с которыми случайная величина принимает то или
иное из возможных своих значений. Обозначим через Вс
событие, состоящее из всех тех исходов Еи на кото-
которых \ {Et) принимает значение с, тогда вероятность того,
что | (Е,) примет значение с, равна Р {Вс}. В зависимости
от значений с событие Вс может оказаться невозможным,
состоять из одного исхода, из двух и даже из всего мно-
множества исходов.
В примере 1в) мы можем записать такие равенства:
= 1} = 0,5.
В примерах 1г) и 1д)
-!> = 0,5;
Совокупность значений, которые может принимать
случайная величина ?, и вероятностей, с которыми она их
принимает, называют распределением случайной величи-
величины %. В примерах 1а) и 16) уже сразу определены распреде-
распределения. Для примеров 1в), 1г) и 1д) распределения бы-
были только что выписаны.
Пример 2. Пусть случайная величина \ равна
числу выпадений герба при 10 бросаниях монеты. Какие
значения принимает случайная величина \ и с какими
вероятностями?
Очевидно, что \ может принимать любые целые значе-
значения от 0 до 10 включительно с вероятностями
'ю
Выделим один важный класс случайных величин,
Пусть В — некоторое случайное событие. Определим слу-
случайную величину Хв посредством равенств
О, если Ei i
, если Ei ?Е В.
104

Эту величину называют характеристической функцией]
или индикатором события В, поскольку по событию мож-
можно найти его характеристическую функцию, а по функ-
функции хв (Et) — породившее ее событие В.
Легко проверить, что случайные величины %А {Efl и
Хв {Et) удовлетворяют следующим свойствам!
%а (Д«) + Хв (Я«) - Хав {Ei) = хлив (Ег),
Рассмотрение характеристической функции события
полезно тем, что оно повволяет свести операции над собы-
событиями к собтветствующим действиям над характеристи-
характеристическими функциями событий.
Две случайные величины 1 и т] называются независи-
независимыми, если для любых а и Ъ имеют место равенства
Р{1~ а)-Р {ti = b}-P{| = fl,^ Ь).
Пример 8. Пусть случайная величина % равна
числу очков, выпавшему при первом бросании игральной
кости, а х\ — числу очков, выпавшему при втором ее бро-
бросании. Докажем, что случайные величины ? и т] независи-
независимы при условии, что все исходы двух бросаний кости рав-
вовозможны.
Действительно, всего при двух бросаниях кости воз-
возможны 36 исходов. Обозначим их через Ец, i, j — 1, 2,
S, 4, 5, 6, где i — число очкоз, выпавших при первом
бросании кости, а / — при втором. Очевидно, что | (i?jj) ¦=•
•» i при любом /, а т] (Etj) •= / при любом L Событие Ei} в
нашем случае совпадает с событием {% — t, r\ »= /}, и вероят-
вероятность его равна 1/36. Событие {% •= i) включает шесть
^равновероятных исходов Ец, / *= 1,..., 6. Поэтому вели-
величина 5 принимает каждое ив своих возможных вначений
,1, 2, 8, 4, Б, 6 с вероятностью 1/6. То же самое можно
сказать и о величине tj. Таким образом, при любых i в /
Упражнения
if Скольно всего существует различных характер
ристических АуйКцйй ДЛя даннего множества Bt, Ea,. . ., Jjn?
Ответ 2"»
2. На плоскости гсоу 8йданы 100 точек с целочисленвммп ко%
ординатами от 1 до 10, Можно ли с помощью комбинаций одни»

лишь функций от одной переменной (от х или у отдельно), опреде-
определенных в точках 1, 2,. . ., 10, задать характеристическую функцию
произвольного множества из этих точек?
Ответ: можно.
3. Доказать, что при двух бросаниях монеты с равновозмояшымн
исходами случайная величина, равная числу выпадений герба при
бросании в первый раз, не зависит от числа выпадений герба во
второй раз.
4, Доказать, что случайные величины, равные числу очков,
выпавших при бросании игральной кости в первый и третий раз,
независимы при условии равновозможности исходов.
5» Четыре станка расположены на одной прямой, расстояния
между каждыми двумя соседними станками одинаковы и равны а.
Рабочий обслуживает эти станки и переходит от того станка, на
котором им была закончена работа, к любому из четырех с равными
вероятностями. Спрашивается, какое распределение имеет длина
совершаемого им каждый раз перехода?
Ответ: Ро = 1/4, Ра = 3/8, Р2а = 1/4, Рза = 1/8.
§ 2. Математическое ожидание
и дисперсия
Полная характеристика случайной величи-
величины дается ее распределением вероятностей. Однако в
ряде случаев исключительно полезны бывают некоторые
постоянные числовые характеристики, дающие представ-
представление о ее свойствах. Среди таких характеристик особен-
особенно большую роль играют математическое ожидание и дис-
дисперсия. Они определяются однозначно по распределению
случайной величины.
Начнем изложение со следующего схематического
примера. Предположим, что некоторая школа решила
организовать автобусную прогулку для учащихся. За-
Заранее неизвестно, сколько учащихся согласится поехать
на эту прогулку, и поэтому неизвестно, сколько автобу-
автобусов следует заказать. Из некоторых общих соображений
нам известны вероятности того, что потребуются 1, 2, 3,...
. . ., п автобусов (заведомо достаточно п автобусов, по-
поскольку они вместят всех учащихся школы). Пусть эти
вероятности соответственно равны pt, р2, ¦ . . , рп, при
этом
Pi + Pi ¦+¦ • • • + Рп = I-
Сколько в среднем потребуется автобусов? Точнее:
если бы таких школ было много и автобусы забрали бы
всех учащихся, пожелавших принять участие в прогул-
прогулке, то в среднем сколько автобусов пришлось бы на одну
школу?
10G

Для ответа на поставленный вопрос будем рассуждать
так. Если таких школ очень много, то на основании тео-
теоремы Бернулли относительное число случаев, когда бу-
будет достаточен один автобус, приблизительно равно pv
Точно так же два автобуса потребуются приблизительно
для 100/?2% вс^х школ и т. д. Таким образом, в среднем
для прогулки] потребуется
\pt + 2р2 + ... + п-рп
автобусов.
Аналогичные задачи по подсчету среднего значения
случайной величины возникают в очень многих теорети-
теоретических и прикладных задачах.
Пусть случайная величина ? принимает значения
соответственно с вероятностями
Pi» Рг,- • •» Рт-
Сумма
значений случайной величины, умноженных на соответ-
соответствующие вероятности, называется математическим ожи-
ожиданием случайной величины | и обозначается символом М?.
Часто вместо термина «математическое ожидание»
используют термин «среднее значение случайной величины ?».
Пример 1. Вероятность появления события А
в испытании равна р. Спрашивается, чему равно матема-
математическое ожидание числа появлений события А в одном
испытании?
Рассмотрим случайную величину v, равную 1, если
событие А в испытании наступило, и равную 0, если оно
не наступило. Эта величина как раз равна числу насту-
наступлений события А в одном испытании, если только пред-
предположить, что JP{v =!} = /? и ,P{v =0} = 1 — Р — Ч-
Теперь ясно, что искомая величина равна
Мх = О-q -\- 1-р = р-
П р и м е р 2. Производится п независимых испытаний,
в каждом из которых событие А появляется с вероятно-
вероятностью р. Чему равно математическое ожидание числа по-
появлений события А в п испытаниях?
407

Обозначим через ц число появлений события в п ис-
испытаниях. Эта случайная величина принимает значения
О, 1, 2,. . ., п. Как мы знаем из § 5 главы 3,
Р fa = к) =» Clp* A - р)п-\ к = 0, 1, 2, . . ., и,
что называется биномиальным распределением. Согласно
определению, математическое ожидание ц равно
мр = s V ( Р) s V ( р)
ft=0 fc=l
В § 6 главы 3 (см. с. 70) при доказательстве теоремы
Бернулли было обнаружено, что
М\и = пр.
Чуть ниже (пример 4) мы выведем без вычислений это
равенство из общих свойств математических ожиданий.
П р и м е р 3. Станки расположены по кругу, рассто-
расстояние между соседними станками равно а, число станков
равно п. Рабочий обслуживает станки в порядке возник-
возникновения отказов, двигаясь по часовой стрелке по кругу.
Вероятность возникновения требования об обслуживании
на каждом из станков одна и та же и равна 1/п. Найти сред-
среднюю длину перехода, который должен сделать рабочий.
В начальный момент рабочий находится у станка с но-
номером 0.
Требование об обслуживании может возникнуть на
любом из станков, поэтому рабочему потребуется сделать
путь \, длина которого может равняться 0, а, 2а,. . .
..., (п — 1)а. Математическое ожидание длины перехода
равно
Очень часто встречается необходимость вычислять
среднее значение суммы двух случайных величин, когда
известны средние значения каждого из слагаемых.
Математическое ожидание суммы равно сумме мате-
математических ожиданий слагаемых:
+ Ч) = Щ + Mr).
108

Действительно,
Этот результат обобщается на сумму произвольного
числа слагаемых. Действительно,
м & -ь ... + ъп_г +1п)=М & + ... + g^) +
Пример 4. Продолжим вычисления примера 2.
Пусть |h обозначает число появлений события А в к-ы.
испытании. Тогда очевидно, что (j, = Si + ^2 + ••• + |п и
Но из примера 1 мы знаем, что M?h = p, поэтому
Мц = пр.
Пример 5. На двух столах положены по две короб-
коробки с фантами. Коробки внешне абсолютно одинаковы.
На первом столе в одной коробке имеется один фант, а в
другой — 7 фантов. На втором столе в одной коробке
имеются 2 фанта, а в другой — 5 фантов. Ребенок сначала
выбирает стол, а затем наудачу берет коробку с этого сто-
стола. После того как коробка выбрана, игра начинается
сначала и повторяется п раз. Какой стол лучше выбирать,
чтобы в среднем за п игр получить большее число фантов?
Пусть tk — число фантов, которое получит ребенок
в к-ш ра?, если он берет коробку с первого стола, а % —
число фантов, которое он получит, если возьмет коробну
со второго стола. Если ребенок будет систематически
брать коробки с первого стола, то он получит Ei + ?2 + •••
••• + ?п фантов, а если он станет каждый раз выбирать
КОробку СО ВТОРОГО СТОЛа, ТО ОН ПОЛУЧИТ fli + 112 + •••
•••"ЬЯп фантов. Подсчитаем математические ожидания
числа вынутых'фантов. Так как М?fc = 1 • -g- + 7 • -g- = 4,
а Мщ = 2- 4- + 5- 4- = 3,5, то за п раз в среднем ребенок
с первого стола получит 4и, а со второго — только 3,5п
фантов.

Вопрос, который мы только что разрешили для суммы
случайных величин, часто возникает и для произведений:
можно ли выразить среднее значение произведения двух
случайных величин через средние значения сомножителей?
Оказывается, что при дополнительном условии незави-
независимости сомножителей имеет место следующая простая
(георема.
Математическое ожидание произведения двух неза-
независимых случайных величин ? и ц равно произведению ма-
математических ожиданий сомножителей:
М%г\ = М\.Мх\.
Для независимых случайных величин ? и т] вероят-
вероятность того, что будут выполнены сразу два события {? =
= Xt) и {т] = у3), равна произведению вероятностей ка-
каждого из этих событий:
Р {? = xt, П = У}} = Р{1= *i}>P {Ц = У}}.
Очевидно, что мы можем написать следующую цепочку
равенств:
= 2 2 ЪУ>Р Й = *о Ч = У}} =
i з
=S 2 *а,Р И = *i) р in=у А =
г j
= S ЪР it = zd'lbViP {Ч = Vs) = Ml • Л/т,
i j
П р и м е р 6. По проводнику, сопротивление которого
вависит от случайных обстоятельств (изменения тепловых
условий, влажности, состояния окружающей среды и
в т. д.), течет электрический ток, сила которого также
вависит от случая. Известно, что среднее значение сопро-
аивления Я проводника равно 25 омам, а средняя сила
тока / — 6 амперам. Требуется подсчитать среднее зна-
значение электродвижущей силы Е, если известно, что со-
сопротивление и сила тока независимы.
Согласно вакону Ома
е = т.
Так как по условию задачи MR = 25 омам, Ml = 6 ампе-
амперам, то ME = 25-6 = 150 вольт.
Для общего представления о распределении случайной
величины важно значение не только ее математического
ожидания, по и разброса возможных ее значений. Типич-
Типично

цыи пример, который может пояснить положение дел,
представляет собой распределение случайных ошибок
измерения. Пусть со — величина ошибки, допущенной при
измерении. Если при измерении не допускаются система-
систематические ошибки, связанные с особенностями наблюда-
наблюдателя и измерительного прибора, то математическое ожи-
ожидание (среднее значение) ошибки измерения равно 0. ¦
Равенство Мсо = 0 позволяет нам утверждать, что ошибки
положительного и отрицательного знака в среднем урав-
уравновешивают друг друга, но не дает ответа на важный во-
вопрос: будут ли ошибки измерения малы по абсолютной
величине и, следовательно, результаты измерений будут
близки к измеряемой величине и на каждый из них можно
уверенно рассчитывать, или же довольно часто будут встре-
встречаться большие ошибки того или иного знака?
В теории вероятностей для измерения разброса зна-
значений случайной величины около среднего значения ис-
используют понятие дисперсии *) — математического ожи-
ожидания квадрата отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
DI = М & - М1)\
Из определения ясно, что дисперсия является неотри-
неотрицательной величиной и обращается в 0, если случайная
величина постоянна.
Дисперсии можно придать другую форму, а именно,
поскольку
Dl = M(\- Mlf = М [Ъ? - 2\МЪ + (Mm =
- М\* - 2 (Mlf + (Mlf = М\*
то
Из этой формулы мы делаем простой и полезный вивод|
математическое ожидание квадрата случайной величины
не меньше квадрата ее математического ожидания: М|2 >
> (Mlf.
Для дальнейшего нам важна следующая теорема.
Дисперсия сумхы независимых случайных величин раепа
сумме их дисперсий
D Aг + |2 + ... + У = Dlt + Dl2 + ... + Dln.
*) Дисперсия -= буквально в переводе с латыни «рассо-
яние».
111

Действительно,
+ Щ»
= 2 & - ВД + 2 (Ь - ВД (Ь -
Отсюда
я B Е») = 2 Щ* + 2 м в, - л?ь) (|7- - л/у.
Но, по предположению, при i Ф j величины |г и |^ не-
независимы. По свойству математического ожидания про-
произведения независимых случайных величин
м (it - Mh)(\i - ми » м (g, - м?г)м (|; - жу.
Но
¦л/(Е,-л/?,) =0,
поэтому окончательно
Теорема доказана.
Пример 7. Найти дисперсию числа [х появлений
события ^4 в п независимых испытаниях Бернулли, в ка-
каждом из которых А появляется с одной и той же вероят-
вероятностью р.
Мы знаем, что
Р {Ц = щ) = рп (т) = СЦ рт A - рГ~т.
По определению дисперсия [х может быть записана в виде
вц= 2 (т-пр
Гораздо проще вычислить дисперсию с помощью толь-
только что доказанной теоремы. В самом деле, ц = цг +
+ Уа ~Ь ••• ~Ь Цт где Ujf означает число появлений собы-
события А в испытании с номером к. Но Mgft = р и
= О-*? +!•/>= р. Поэтому
= р - ра = р A - р) = рд.
Таким образом,
Z?y = npq.
112

Упражнения
1. Пусть 1=5 (Eij) — случайная величина, рав-
вая числу очков при бросании первой кости, а г\ = т) (Еу) — слу-
случайная величина, равная числу очков, выпавших при бросании
второй кости. Доказать, что ЛЛ;т] = М%-Мч\.
2. Монета бросается наудачу 5 раз. Пусть § — число выпаде-
выпадений герба, а т] — длина максимальной серии (выпавших подряд)
гербов. Найти распределения величин § и t), а также их математи-
математические ожидания и дисперсии.
Ответ:
i
HS = 0
/>(T]=i)
0
1/32
1/32
1
5/32
12/32
2
10/32
11/32
3
10/32
5/32
4
5/32
2/32
5
1/32
1/32
Ml = 5/2; D\ = 5/4;
Mi] = 31/16; Dx\ = 303/253,
3. Бросаются две игральные кости. Пусть х •— число очков,
выпавших на первой кости, а у — число очков, выпавших на второй.
Найти распределения х и z = max (x, у), а также Мх, Dx, Mz
и Dz.
Ответ:
i
P(X=i)
P(z = i)
1/6
1/36
2
1/6
3/36
3
1/6
5/36
4
1/6
7/36
5
1/6
9/36
6
1/6
11/36
Мх = 7/2; Dx = 35/12;
Mz = 161/36; Dz = 2555/1296.
4. Бросается или кость с обычными числами очков @, 1, 2, 4,
5, 6) на гранях, или кость, на гранях которой обозначены числа
очков A, 1, 1, 4, 4, 4). Какой костью лучше играть, чтобы при трех
бросаниях вероятность набрать в сумме не меньше 9 очков была
большей?
Указание. Докажите, что распределения сумм St и 5а
для первой и второй кости симметричны — одно относительно 9-
другое — относительно 7,5. Полезно сравнить математические
ожидания. f
Ответ: первой, поскольку для нее /Ч^ ^ 9} > 0,5, тогда
как Р {S2 > 9} < 0,5,
5. Предлагается трижды бросить или игральную кость A, 2, 3,
4, 5, 6) или кость A,1,1,6,6,6). Какой костью лучше играть, чтобы
с большей вероятностью набрать в сумме не менее 15 очков? Найти
ИЗ

для обеих костей математические ожидания и дисперсии суммы
числа выпавших очков.
Ответ: второй. MSt = MS2 = 3-3,5 = 10,5; Я.^ = 3-35/12 =
= 8,75; DS2 = 3-6,25 = 18,75.
6. Пусть при игре в спортлото «5 из 36» вы заранее знаете, что
ври 5, 4, 3 угаданных вами номерах вы получаете выигрыш соответ-
соответственно 10 000, 175, 8 рублей. Аналогично пусть в спортлото «6
из 49» вам заранее известны выигрыши: 10 000, 2730, 42, 3 рубля.
Какая из этих игр оказывается более выгодной для игрока, если
он собирается играть достаточно много раз?
Ответ: «5 из 36»; математическое ожидание выигрыша в этом
случае при одной игре «20коп., в спортлото «6 из 49» это матема-
математическое ожидание ^14 коп. При большом количестве игр к ре-
результату выигрыша применим закон больших чисел (см. следующий
параграфу
§ 3. Закон больших чисел
в форме Чебышева
Мы возвращаемся теперь к идеям, которые
были изложены в § 6 гл. 3 в связи с теоремой Я. Бернулли.
Оказывается, что доказанный там важный предельный
результат, получивший наименование закона больших
чисел в форме Бернулли, допускает очень широкие обоб-
обобщения. Мы изложим здесь замечательное предложение,
принадлежащее одному из крупнейших математиков
прошлого века П. Л. Чебышеву A821—1894). Теорема
И. Л. Чебышева интересна не только широтой формули-
формулировки, но и исключительно простой идеей доказательства.
В основе последующих рассуждений лежит неравенство,
обнаруженное П. Л. Чебышевым и позднее нашедшее мно-
многочисленные применения как в теории вероятностей, так
и в других математических дисциплинах.
Лемма Чебышева. Если случайная ееличина ?
имеет конечную дисперсию, то при любом положитель-
положительном а имеет место неравенство
Доказательство. Пусть xt — возможные зна-
значения величины \ и Pi — их вероятности. По определе-
определению
ДБ = 2(*1- Ml?Pi-
i
Если в этой сумме мы выбросим все слагаемые, для
которых | Zj. — М\ | <^ а, и сохраним лишь те, для ко-
114

торых | xt — M\ I > а, то от этого сумма может только
уменьшиться. Следовательно,
где сумма распространяется на те значения i, для которых
Сумму, стоящую справа, мы уменьшим еще больше,
если все множители (xt — Л/|J заменим допустимым для
них минимумом а2:
D\>a? 2 Л-
|Я1-М||>а
Но
Последнее неравенство эквивалентно утверждению леммы.
Найденный нами результат носит название неравен-
неравенства Чебышева.
Закон больших чисел (теорема Чебы-
Чебышева). Пусть имеется последовательность попарно неза-
независимых случайных величин
с математическими ожиданиями ак = М^ и дисперсия-
дисперсиями Dlh, ограниченными одной и той же величиной с:
Я|*<с (к=1, 2, 3,...).
Тогда при любом a)>0un-»oo
Доказательство. Поскольку события
п
> ?;- 7 ^ > a
115

противоположны, то имеет место равенство
Нам будет проще проводить рассуждения, оперируя с ве-
вероятностью Qn. Согласно неравенству Чебышева
В силу независимости слагаемых |ft
А так как по условию теоремы Dlk <^ с, то
Но теперь очевидно, что (?п —> 0, когда и-* оо. Отсюда
Нами не только доказана теорема, но и выяснено, как бы-
быстро Рп приближается к 1 при возрастании п.
Следствие 1. Если в условиях теоремы Чебышева
дополнительно положить ah — а при всех к, то теорема
Чебышева приобретает особенно простую форму: при
п-* оо и любом а ^> О
Этому следствию можно придать такую интерпретацию.
Предположим, что п наблюдателей измеряют величину а
без систематической ошибки так, что допускаемые ими
погрешности сравнимы по величине; тогда при большом
числе измерений среднее арифметическое их результатов
с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, будет как угодно
мало отличаться от измеряемой величины. В этом след-
116

ствии мы можем видеть обоснование принципа среднего
арифметического, широко используемого в эксперимен-
экспериментальных науках.
Следствие 2 (теорема Бернулли). Если
случайные величины принимают только два значения 0 и 1
с вероятностями соответственно q = 1 — р up, то мы
получаем доказанный ранее закон больших чисел в форме
Бернулли.
Заметим, что теоремы о законе больших чисел содержат
исключительно важные факты, указывающие на то, что
при неизвестных условиях совместное воздействие боль-
большого числа случайных величин оказывается почти по-
постоянным. В этом заложено обоснование многих законов
физики, экономики и других явлений массового харак-
характера.
Упражнения
1. Монета кидается 1600 раз. Велики ли вероятно-
вероятности получить при этом выпадение герба а) более 1200 раз; б) более
900 раз?
Ответ: оценка по неравенству Чебышева дает а) менее 1/800;
б) менее 0,02.
2. Частица пролетает сквозь поглощающий экран с вероятно-
вероятностью 0,01. Чему равно математическое ожидание числа пролетев-
пролетевших сквозь него частиц, если их было выпущено 100? Велика ли
вероятность того, что сквозь экран пролетит более 11 частиц?
Ответ: математическое ожидание числа пролетевших частиц
равно 1. По неравенству Чебышева эта вероятность не превосходит
0,0099.
§ 4. Производящие функции
Будем рассматривать случайные величины
X, Y, принимающие только целочисленные неотрица-
неотрицательные значения. Определим производящую функцию
%( k).sk, s>0;
тут и далее мы не будем выписывать пределы суммирова-
суммирования, подразумевая, что суммирование производится по
всем к, для которых Р (X = к) ф 0. Приведем некоторые
очевидные свойства функции fx (s). Так, fx @) = Р (X =
= 0), и если эта величина меньше 1, то fx (s) — строго
возрастающая функция, выпуклая вниз, как сумма вы-
выпуклых вниз функций s*. В точке s = 1 выполняется
равенство fx A) = ^}Р(Х = к)— 1. Вычислим теперь
117

производную функции fx (s) при s = 1:
другими словами, первая производная производящей функ-
функции в точке s = 1 равна математическому ожиданию
случайной величины X. Вычислим
Учитывая
DX = MX2 - (MXJ,
получим
DX = fx A) - (/i (I)J + f'x A).
Вероятности Р (X = к) можно выразить через про-
производные производящей функции, вычисленные в точке
s = 0. В самом деле,
fx @) =*Р(Х = 0),
точно так же
fx @) = Р(Х = 1).
Вычисляя производную к-то порядка производящей функ-
функции при s = 0, получим
! /Л @) = к\Р (Х = к)
или
Таким образом, через производные производящей функ-
функции в точках s = 0 и s = 1 можно вычислить все основ-
основные характеристики случайной величины X.
Вычислим теперь производящую функцию суммы двух
независимых случайных величин X и У:
118

т. е. производящая функция суммы независимых случай-
случайных величин равна произведению производящих функ-
функций этих величин.
Производящие функции будут применены в дальнейшем
к решению комбинаторных задач и выводу «предельных»
теорем в главах 6 и 7.
Упражнения
1. Найти прошводлщую функцию для случайной
величины (г примера 2 § 1 данной главы.
Ответ: gio" A + sI0.
2. Найти производящую функцию случайной величины и при-
примера 2 § 2.
Ответ: (ps -\- д)п.

ГЛАВА 6
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ
БЕРНУЛЛИ: СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЙ
И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ
§ 1. Испытания Бернулли
Мы возвратимся в этой главе к одной иа
важнейших моделей теории вероятностей — схеме Бер-
Бернулли независимых испытаний с двумя исходами, которая
была введена в § 5 главы 3. Обычно один из исходов ус-
условно называют «успехом» (событие А), а другой — «не-
«неудачей» (событие Л). Предполагается, что в каждом испы-
испытании «успех» происходит с одной и той же вероятностью
р, О < р <[ 1, а «неудача» — с вероятностью q = 1 — р.
Используя понятие случайной величины (см. § 1 главы 5),
можнб дать равносильное определение схемы Бернулли
в терминах случайных величин. Именно, рассмотрим
последовательность случайных величин Хг, Х2,. . ., Xnt
каждая из которых принимает лишьдва значения 1 и О.-1
Пусть {Хк = 1} = А, {Хк =* 0} = .4, тогда
Таким образом, случайные величины Х% можно назвать
характеристическими функциями (индикаторами) события
А в каждом испытании с соответствующим номером k^f
= 1, . . ., п. Предположим также, что случайные величин
ны Xt,. . ., Хп взаимно независимы. Тогда говорят, что
последовательность Хг,. . ., Хп задает схему БернуллВ
независимых испытаний.
Число успехов в п испытаниях Бернулли выражается
случайной величиной Sn, равной сумме Xlt. ¦. ., Хп:
Sn = Хг + . . . + Хп.
n
Эта случайная величина имеет биномиальное распределе-
распределение, т. е,
Р {Sn = т) = С/'Г, т = U,. . ., щ
120

ее математическое ожидание — среднее число «успехов»-*^
равно MSn =ш» пр, а дисдерсия равна DSn = npq (см. § 2
главы 5).
Очевидно, что последовательность Ylt, . ., Yn, где
Ук взаимно независимы и принимают два значения +1
(«успех») и —1 («неудача») с вероятностями
также представляет собой схему Бернулли, притом
случайные величины Yk и Х^ связаны соотношением:
В этом случае сумма Sn — Yx + ... + Yn имеет смысл
разности между числом «успехов» и числом «неудач» в
п испытаниях: Sn = 2Sn — п — Sn — (п — Sn). Так как
{Sn = т) = {S'n = 2т — п}, то распределение случай-
случайной величины Sn находится по распределению Sn и опре-
определяется формулой (п ~\- к четно)
n+fc n+fc n-k
P{S'n = k} = c7~p~q~, к = 0,...,П. A)
Математическое ожидание и дисперсия ?„ равны соответ-
соответственно
MS'n = n(p-~ g), DS'n = 4/грд
(см. задачу 1).
Согласно закону Оодьших чисел при п —# оо
j>0 C)
для любого е ^> 0.
В последующих параграфах будут изучены представ-
представляющие несомненный практический интерес задачи,
которые ставятся в рамках схемы Бернулли. Параграфы
2 и 3 посвящены случайным блужданиям на прямой,
а параграф 4 — простейшим статистическим задачам,
возникающим в схеме Вернулли.
121

§ 2. Случайное блуждание на прямой,
соответствующее схеме Бернулли
Рассмотрим случайное блуждание, которое
порождается схемой испытаний Бернулли. Предположим,
чю частица выходит из начала координат и через единицу
времени перемещается на единицу вверх с вероятностью
Pi О <С Р <С 1» или на единицу вниз с веро-
вероятностью д = 1 — р (см. рис. 26). В каждый
последующий момент времени повторяется
та же история независимо от предыдущего
положения частицы. Таким образом, 8а вре-
время п частица проходит некоторый путь, ко-
который можно, так же как в главе 4 (см. § 1),
изобразить графически. Всего путей движе-
движения частицы ва время в будет 2П, однако
теперь зти пути нельвя считать равновоз-
26 Н можными.
симметрии-" Последовательность перемещений частицы
ное блужда- за время п может быть рассмотрена как по-
ниечастпцы. следовательность п независимых испытаний
1 с двумя исходами (движение вверх на еди-
единицу —«1», движение вниз на единицу —«—1»), т. е.
как схема Бернулли. Рассмотрим п взаимно независи-
независимых случайных величин Хг, . . ,, Хп, каждая из кото-
которых принимает значения +1 и >—1 о вероятностями р
и д = 1 — р соответственно. Тогда каждой последова-
последовательности значений зтих величин, например, 1, 1, —1,
1, 1, —1, 1, —1, —1, . . ., 1, будет соответствовать опре-
' деленная траектория движения частицы. Удобнее опи-
описывать путь частицы не самими A's, а их последовательно
вычисленными суммами:
So = 0, ,|v
Sk=X1 + ... + Xk, к = 1 , п.
Значение каждой суммы Sn будет характеризовать по-
положение частицы в момент времени п, так, например,
событие {Sn = у} означает, что частица в момент п на-
находится в точке с координатой у. Траектория движения
частицы за время п однозначно описывается набором
So, Si, . . ., Sn, и, наоборот, последовательность случай-
случайных величин So, Su . . ., Sn, определенных по формулам
A), интерпретируется как траектория некоторой блу-
блуждающей частицы.
122

Как следует из § 1, случайная величина 5„ имеет рас-
распределение
Р {Sn = к} = С
(пик должны иметь одинаковую четность). Эта формула
дает вероятность достижения блуждающей частицей точ-
точки с ординатой к в момент п. При р = q = 1/2
этот случай, соответствующий симметричному случайному
блужданию, был подробно рассмотрен в главе 4.
Перейдем непосредственно к решению задачи о воз-
возвращении частицы в начало координат в случайном блу-
блуждании, задаваемом схемой Бернулли. Интуитивно ясно,
что в силу несимметрии задачи начало координат уже не
будет играть ту роль, которую оно играло в симметричном
случае, и поведение частицы будет зависеть от соотноше-
соотношения вероятностей р и q.
Вновь введем вероятности w2n — вероятность воз-
возвращения в нуль в момент 2п и /2п — вероятность пер-
первого возвращения в нуль в момент 2п:
Щп = Р {S2n = 0},
hn = P{S*?*0,..., San_2 Ф 0, Sin = 0}.
со
Нам необходимо определить величину/= 2j /гп вероят-
п=1
ности вернуться когда-либо в начало координат. Так же
как и в симметричном случае (см. A) в § 5 главы 4), по
формуле полной вероятности
п п
W2n = ZJ /2kM2n-2fc = ZJ fin-2ku2kt W^l, C)
fc=o. fc=0
где щ — 1, /о = 0. Вероятности и2п легко находятся
из формулы B) при к = 0 и п, замененном на In:
(при р = q = 1/2 получаем знакомую величину щ^ =•
= С2„2П). Найдем вероятности /2п и / с помощью про-
производящих функций.
Замечание о производящих функциях. Для дальнейшего
нам будет полезно переформулировать более общим об-
образом одно важнейшее свойство производящих функции.
123

Рассмотрим две числовые последовательности fa:.} и
{bj\ и новую последовательность {сп\:
сп = афп + оД,! + ... + anb0, п =• 0, 1, 2,. . .
Пусть /i (z) и /2 (z) — производящие функции числовых
последовательностей {at} и {&,} соответственно. Тогда
производящая функция / (z) последовательности {сп}
выражается формулой
т. е. равна произведению производящих функций /t (z)
и /2 (z). Ясно, что это не что иное, как свойство произво-
производящих функций суммы независимых случайных величин
(см. с. 118). Однако в данном случае последовательности
{at}, {bj} не обязаны быть распределениями вероятностей
(напомним, что последовательность {at} тогда считается
распределением, когда аг > 0, 21 сц = !)•
Введем производящие функции числовых последова-
последовательностей и2п и /2п:
оо оо
U(z) = 21 u2nz№, F(z)=* 21 hnZ™, |z|<i.
71=0 П=1
Тогда между функциями U (z) ж F (z) в силу (З) можно об-
обнаружить следующую связь!
оо оо П
U (z) — 1 = ^j H2nz == ZA IZ i /2fcHan-2ft) и
П=1 71=1 fc=l
= (S /«**) ( S «
7l==0
Отсюда
Найдем производящую функцию U (z) no вероятностям
Щп. Удобно переписать uin в виде
124

Имеем
U <z) =
Обозначим через Bи — 1)!! произведение всех нечетных
чисел вплоть до In — 1. Тогда, так как
Bп)\ = Bп - 1)!! 2пп1,
то
B»:
1-3
И
• 5...
Bn — 1)!!
22n (ni;
. Bn —1)
2nn!
Vi
-+1
•3/8
,)(
B,
••/!¦
n —
n!
¦1)!!
Bn —1)/2
.)...D-+—)
Сравним эти коэффициенты с коэффициентами равложе-
ния функции A — х)~т по степеням х:
n!
71=0
при | а: | <[ 1 и любом m ^> 0. Получим
U (z) = ? ?jg
j
тг=о
при 4рдг2 <[ 1. Легко видеть, что
n=l x г-»1
Отсюда / = 1, если <7 (г) —» оо при г -> 1, что равносиль-
равносильно расходимости ряда ^и^п= оо, и / <[ 1, если
I/ (z) < оо, т. е. ряд 2j Игп сходится, Е/A)=2п<°°-
Таким образом, получено общее утверждение, верное
не только для случайного блуждания на прямой, но и
в евклидовых пространствах любой размерности (см. § 6
главы 4)~:
Вероятность, f меньше или равна 1 е зависимости от
того, сходится или расходится ряд 21н2п-
125

Из D) получаем, что
F{z) = 1 — A - 4pgz2)'/»
при | 2 | < 1. Поэтому / = 1 — A — ipqff: Так как
1 — 4pq — (р — д)г, то окончательно имеем
/ = 1- \р-д\
в приходим к выводу, что вероятность возвращения ког-
когда-либо в начало координат
/ = 1 при р = q = V2,
/ < 4 при р ф q.
Таким образом, случайное блуждание на прямой, соот-
соответствующее схеме Бернулли, возвратно тогда и только
тоща, когда р = q = 1/2, т. е. только в сиьшетричном слу-
случае.
Для того чтобы уяснить, что же происходит с траекто-
траекториями частицы при р ]> q или р <^ q, обратимся к вакону
Н о
Рис, 27. Траектория несимметричного блуждания,
больших чисел. Итак, траектория частицы задается
последовательностью величин So, 5Х,. . ., Sn. Перепишем
соотношение C) § 1 следующим образом:
Р {I Sn - п {р - д) | > е} -^ 0, п -^ оо. F)
Проведем для случая р ^> q на графике случайного блу-
недания двз прямые, п (р — q — е) и п (р — g-he)
(см. рис. 27). Тогда из соотношения F) можно сделать
вывод, что траектория частицы пролегает в среднем
126

вдоль прямой п (р — q) и для любого е ^> 0 и достаточ-
достаточно больших п точка с координатой Sn (положение ча-
частицы в момент п) будет с большой вероятностью лежать
в вертикальном интервале с концами п {р — q — е) и
п (Р — <7 + е)- Это утверждение можно уточнить: ока-
оказывается, что почти все траектории ведут себя подобным
образом, т. е. с вероятностью 1 ордината блуждающей
частицы в момент п будет находиться в указанных пре-
пределах. Кроме того, можно уточнить сами границы,
в которых с вероятностью 1 оказывается блуждающая
частица. Эти возможные уточнения следуют из двух заме-
замечательных теорем теории вероятностей — усиленного за-
закона больших чисел и закона повторного логарифма, ко-
которые для своего доказательства требуют более сложного
аппарата и позтому остаются за пределами нашей книги.
Таким образом, при р^> q существует постоянный снос
частицы вверх, при р <^q — вниз, и лишь в симметрич-
симметричном случае частица бесконечное число раз возвращается
в начальное положение.
§ 3. Задача о разорении
Рассмотрим еще одну задачу, естественным
образом возникающую в схеме случайного блуждания.
Предположим, что частица, выходящая из начала коор-
координат, блуждает на ограниченном интервале оси, а на
границах этого интервала исчезает и блуждание прекра-
прекращается. Пусть, например, при достижении частицей пря-
прямых у = —а или у = Ь, а, Ь ^> 0, она исчезает (говорят
обычно, что в точках у = —а, у = Ь находятся поглощаю-
поглощающие экраны). Какова вероятность того, что частица исчез-
исчезнет в точке у = —а раньше, чем она достигнет точки у =
= Ъ. Этот вопрос (или ему противоположный) представ-
представляется в сформулированной задаче наиболее интересным.
При а = оо или Ъ — оо мы уже рассматривали эту задачу
в симметричном случайном блуждании (задача первого
достижения). Мы увидим, что такое, на первый взгляд
несложное, видоизменение задачи приводит к новым со-
содержательным результатам. Очевидно, что описанное
нами блуждание равносильно блужданию, выходящему
из точки у = а и имеющему границы в точках у = О
и у = а + Ъ (см. рис. 28 и 29). Это последнее блужданио
с граничными точками 0 и а + Ъ мы и рассмотрим. Обо-
Обозначим через да вероятность того, что частица, выходящая
127

из точки у = а, достигнет прямой у => 0 ранее, чем пря-
прямой у = а + Ь. Однако корректно определить »ту ве-
вероятность можно лишь в множестве возможных
событий, которое образовано бесконечным множеством
траекторий, выходящих из точки а. Мы обойдем 8ту труд-
трудность так же, как в § 3 главы 4, а именно, ограничимся
-а
Рис. 28. Иллюстрация
к задаче о разорении.
Рис. 29. К вадаче о разо-
разорении.
рассмотрением множества возможных исходов, со-
соответствующего п испытаниям Бернулли или соответ-
соответственно п перемещениям частицы, и введем вероятность
9п,а достижения частицей точки 0 до момента времени п.
Вероятности qnia с ростом п убывают и имеют предел,
который мы и называем вероятностью qa. Аналогично
можно рассмотреть вероятность ра достижения частицей
прямой у = а + Ъ раньше, чем прямой у = 0. Будет по-
показано, что /)а + да= 1, тем самым исключается необхо-
необходимость рассмотрения бесконечного блуждания.
В результате первого испытания частица попадает
в точку а + 1 при Х1 = 1 с вероятностью р, 0 <^ р <[ 1,
или в точку а — 1 при Х1 = —1с вероятностью q = 1 — р.
Тогда по формуле полной вероятности
= Р'Ча+1 +
A)
Это. основное соотношение для нахождения вероятности
qa- При этом очевидно, что q0 = 1 и qa+b = 0. Перепишем
128

соотношение A) в более удобной форме
g (qa ~ qa-i) =• р (qa+i — qa) B)
и рассмотрим два случая в зависимости от вначений
р и q.
1) Пусть р = q = V2. Имеем при любом а
qa — qa-i = qa+i — qa~ A.
где Д — подлежащая определению постоянная. Ясно, что
величины qa образуют арифметическую прогрессию с раз-
разностью Д, так что
qa = go + «А.
В силу того, что до = 1, да+ь = 0, имеем 0 == 1 + (а +
+ 6)Д, откуда А = qjr-. Таким образом, искомая
вероятность равна
1а Ъ ,Оч
Аналогичным образом, составляя соотношение для ве-
вероятности ра, можно вывести, что она равна
и, следовательно, ра + да = 1.
2) Пусть р Ф д. Обозначим qlp = %. Имеем из B)
ga+i — qa = ь (qa — qa-i)
и поэтому
qa+i — qa = Xl (qt — go).
Суммируем обе части по а от 1 до произвольного aoi
%(qa+i~qa)= S^a(gi-go)
и после сокращения и подсчета суммы геометрической
прогрессии JJ %а получаем
gi — gao+i = (go — qi) —yz^i— • D)
5 A. H. Колмогоров и др. 129

Учитывая, что q0 — 1 и qa+b = 0, находим из D)
Я, —
и
-а . а+Ь
Л — Л
Окончательно
Заменяя в этой формуле р на д, q на р, а на 6, получаем
Снова ра + да = 1.
Мы проведем интерпретацию полученных результатов
в других терминах. Только что решенная задача имеет
широкую известность как классическая задача о разоре-
разорении игрока. Традиционная постановка этой задачи тако-
такова. Представим себе, что два игрока, имея начальные ка-
капиталы а и Ъ, играют в игру «орел и решка» или в какую-
нибудь ей подобную. При этом игрок с капиталом а выиг-
выигрывает в каждой партии с вероятностью р и проигрывает
с вероятностью q, р + g = 1 (предполагаем, что ничьи
исключены, см., впрочем, задачу 5). При выигрыше он
увеличивает свой капитал на 1, при проигрыше капитал
его становится на 1 меньше. После некоторого числа пар-
партий может оказаться, что игрок проиграет весь свой ка-
капитал а или на руках у зтого игрока будет вся сумма де-
пег а + Ъ. Эта ситуация и называется разорением либо
первого, либо второго игрока. Если частица, выходя из
точки й, достигает нуля, то разорен игрок с капиталом
а, если частица достигает точки а + Ъ, то разорен игрок
с капиталом Ъ. Поэтому вероятность qa называется вероят-
вероятностью разорения. Итак, как мы установили, вероятность
разорения] игрока с капиталом а в случае одинаковых
возможностей на выигрыш в каждой партии (р = q) рав-
на qa = , в случае неодинаковых возможностей (р Ф
уа . а+Ь
Ф q) равна qa = Щъ • Приводимая далее табличка
показывает, что в случае р = q = V2 большие шансы на
430

разорение имеет игрок с меньшим капиталом, и его шансы
на разорение тем более увеличиваются, если он менее ис-
искусен (или менее везуч) в игре.
р
0,5
0,5
0,45
0,6
<z
0,5
0,5
0,55
0,4
а
50
90
90
10
ь
50
10
10
90
Ча
0,5
0,1
0,866
0,017
Рассмотрим, однако, ситуацию, когда игрок, для ко-
которого результаты отдельных партий более благоприятны,
играет с более богатым противником (как, например,
в последней строке таблички). Разберем крайний случай,
когда у игрока с начальным капиталом а соперник «бес-
«бесконечно» богат, т. е. Ъ = оо, но при этом р ^> q. В форму-
формуле E) перейдем к пределу при b -> оо. Тогда, так как
.Ха= -?-
то
и вероятность выигрыша игрока с капиталом а стремится
к величине
1-М-
Таким образом, игрок с капиталом а имеет неплохие шан-
шансы на выигрыш, несмотря на то, что его соперник беско-
бесконечно богат. Напротив, при р <^ q pc
0.
Интересно дополнить наши выводы замечанием о сред-
средней продолжительности игры до разорения одного из со-
соперников. Понятно, что продолжительность игры пред-
представляет собой случайную величину, распределение
которой зависит как от соотношения pvi q, так и от соотно-
соотношения а и Ъ. Математическое ожидание продолжитель-
продолжительности игры вычисляется несколько более сложным обра-
образом, чем вероятность разорения, и поэтому мы лишь ука-
укажем, что оно равно при р= q — V2 произведению a-b,
а при рФ д оно равно
а
а
q — p
ia+Ь
5*
131

Подсчеты по этим формулам показывают, что продолжи-
продолжительность игры обычно гораздо больше, чем мы могли бы
предположить заранее. При равных шансах на выигрыш
в каждой партии длительность игры пропорциональна
капиталам игроков. Если игра более благоприятна для
одного из игроков, то длительность игры в среднем мо-
может уменьшиться. Так, например, для указанных в таб-
табличке случаев игра продолжается в среднем 2500, 900,
766, 441 партий соответственно. Игра более искусного
игрока (р ^> q) с бесконечно богатым соперником с поло-
положительной вероятностью может вообще не иметь конца.
§ 4. Статистические выводы
Все задачи, которые до сих пор нами реша-
решались, были отмечены тем общим характерным свойством,
что в них принималась некоторая вероятностная модель
и в рамках этой модели по вероятностям элементарных
исходов вычисляли вероятности других, более сложных
событий. Так, в схеме испытаний Бернулли мы по вероят-
вероятности «успеха» р предсказывали суммарное число успехов
в п испытаниях, т. е. находили для каждого значения т
числа успехов Sn соответствующую ему вероятность
Рп И = Срж A - Р)п~т. A)
Эта простая задача является типичной для теории вероят-
вероятностей. В данном параграфе мы будэм решать задачи, в оп-
определенном смысле обратные. Задачи, обратные задачам
теории вероятностей, очень важны для приложений, они
составляют содержание математической статистики. Ти-
Типичной для математической статистики применительно
к схеме Бернулли является следующая задача. Предпо-
Предположим, что вероятность «успеха» р заранее неизвестна
и нужно определить ее по наблюдениям за исходами ис-
испытаний, которые и представляют собой статистические
данные.
Пример. Рассмотрим стандартную схему «случай-
«случайного выбора с возвращением». Пусть имеется некоторый
сосуд (урна) с шарами двух цветов — белого и черного.
Шары в урне хорошо перемешаны и доля белых шаров
равна р, 0 < р < 1. Предположим, что значение р неиз-
неизвестно и мы должны поставить эксперимент по определе-
определению р. Будем последовательно выбирать шары из урны
«наудачу» по одному, каждый раз возвращая шар в урну
132

и перемешивая шары в урне перед новым извлечением.
Б результате получим случайную выборку некоторого
фиксированного объема. При втом результаты отдельных
извлечений будут взаимно независимы. При известном р
и указанных условиях эксперимента вероятность полу-
получить т белых шаров в выборке объема п равна вероятности
т успехов (извлечение белого шара из урны — успех)
г, п испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р. В рас-
рассматриваемом случае значение р неизвестно, но известно
соотношение белых и черныхшаров в выборке. Интуиция
подсказывает, что если выборка достаточно представитель-
представительна, то доля белых шаров в выборке должна быть близ-
близка к р.
Схема выбора с возвращением является частным слу-
случаем схемы Бернулли независимых испытаний. Частота
«успеха» в п испытаниях (в примере — доля белых шаров
в выборке) есть случайная величина SJn со значениями
т/п, где т = 0, 1, . . ., п. При этом из формулы A) сле-
следует, что
4г=it}
т=°' • • • -п-
Математическое ожидание случайной величины SJn
равно
MZ MS np p
MSn np = p, B)
а ее дисперсия равна
Следовательно, среднее значение частоты успеха есть
неизвестная вероятность успеха р, а дисперсия частоты,
т. е. мера рассеяния значений частоты около р, стре-
стремится к нулю при п -> то как 1/п. Таким образом, про-
производя многократно случайный выбор объема п с возвра-
возвращением из урны, мы можем рассчитывать, что частоты
белых шаров в выборках будут группироваться около р
и с ростом п отклонения т/п от р будут в среднем умень-
уменьшаться, т. е. доля белых шаров в выборке будет прибли-
приблизительно соответствовать доле белых шаров в урне:
(т/п)~р. Из закона больших чисел для схемы Берпуллп
133

следует, что при любом е ^> 0 и п —*¦ оо
(см. B) в § 1), иными словами, вероятности любых напе-
наперед заданных отклонений SJn от р с ростом п делаются
сколь угодно малыми. Из этих рассуждений естественно
сделать вывод, что частота SJn является достаточно
хорошей оценкой неизвестной вероятности р (в матема-
математической статистике оценки р со свойством B) называют-
называются несмещенными, а со свойством C) — состоятельными).
На практике, однако, редко удается осуществить слу-
случайный выбор с возвращением и приходится использовать
другой выборочный способ определения р — случайный
выбор без возвращения, см. по этому поводу задачу 9.
Доводы в пользу частоты Snln как оценки неизвестной
вероятности успеха можно дополнить следующим рассуж-
рассуждением. О значении р нам известно только то, что 0 <^ р ^
¦^ 1. Напротив, значение Snln известно по результатам п
испытаний, при этом ясно, что этому значению т/п соот-
соответствует вероятность С?рт A — р)п~т, зависящая от
неизвестного р. Рассмотрим при фиксированном т выра-
выражение Рп (р) = СпРт A — р)п~т как функцию от р,
О ^ р «С 1- Будем «перебирать» возможные значения р
и сравнивать соответствующие им значения Рп (р) по ве-
величине. Идея этой процедуры состоит^ в том, чтобы вы-
выбрать в качестве «истинного» то значение р, для которого
выражение Рп (р) принимает максимально возможное
яначение при фиксированном т. «Выбор» р можно осу-
осуществить следующим образом. Так как биномиальный
коэффициент С™ не зависит' от р, рассмотрим] вместо
Рп (р) функцию L (р) = рт A - р)п~т, 0 < р < 1. Эта
функция обращается в нуль в точках р = 0 и р = 1,
выпукла, неотрицательна и имеет максимум в точке
р* •= т/п, 0 < р* < 1 (в последнем легко убедиться,
приравнивая производную L (р) нулю и решая полу-
полученное уравнение). Итак, наибольшему значению
С%рт A — р)"~т отвечает значение р, равное т/п. Этот
простой, замечательный принцип, называемый принципом
максимального правдоподобия, восходит еще к К. Гауссу,
внаменитому немецкому математику XIX века, и оказы-
оказывается полезным в более сложных задачах.
134

Наши выводы имеют важное, но в большей степени
теоретическое, значение, так как вопрос о точности оцени-
оценивания неизвестной вероятности с помощью частоты решен
лишь принципиально, а в каждом конкретном случае от-
отклонения частоты от вероятности могут быть значитель-
значительными. Более практичен метод оценивания неизвестной
вероятности в схеме Берпулли, при котором указывается
не одно, а целый интервал подходящих значений р, на-
называемый доверительным интервалом. Мы ограничимся
для иллюстрации построением «грубого» доверительного
интервала для р на основе неравенства Чебышева.
По неравенству Чебышева
V)
1
так как р A — р) <^ 1/4. Зададимся числом а, 0 < а < 1,
и найдем е > О из уравнения
Заменяя е на 1/2]/^ па, получаем
1
или
ряЬ.-,
рпЬ.-,
2 V'na
1
D)
Итак, с вероятностью, превосходящей 1—а. выполняет-
выполняется неравенство
— р
или ему равносильное
¦*» 1_ < ^ ¦ п . 1
» 2 /па * » 2 /па
Интервал с границами р = — °, р==—— -}-
1
•\- 'г— называется доверительным интервалом для р
с уровнем значимости а. Смысл его применеппя заключает-
заключается в том, что, доверяясь проведенному расчету, мы
135

утверждаем, что неизвестная вероятность р принадлежит
интервалу 1р, р], а вероятность возможной ошибки, име-
имеющей место, если этот интервал не накрывает истинное
значение р, не превосходит ос. Другими словами, при ис-
использовании доверительного интервала уровня значимости
а для оценки р мы будем ошибаться в среднем в доле слу-
случаев, не превосходящей а (а задается заранее). Приведем
для примера доверительные интервалы для ос= 0,05 и
вначения частоты 0,6 при разных значениях п:
71
100
1000
10000
р
0,38
. 0,529
0,578
0,82
0,671
0,622
Мы видим, что с ростом п доверительный интервал су-
сужается. Если уменьшить а, например, взять ос = 0,01,
то для тех Ж( данных при п = 1000 получим доверитель-
доверительный интервал [0,442, 0,758]. Этот доверительный интервал
шире того, который соответствует уровню а = 0,05, что
является логичным следствием гарантированного умень-
уменьшения доли ошибочных решений.
Часто в этой же ситуации возникает проблема про-
проверки гипотезы о том, что неизвестная вероятность р
равна ваданному числу р0. Эту гипотезу, анализируя резуль-
результаты эксперимента, можно принять, т. е. посчитать не про-
противоречащей статистическим данным, или отклонить.
Можно указать такую процедуру проверки гипотезы
р = р0: если р0 €= [р, р], где [р, р] — доверительный инте-
интервал с уровнем значимости а, то гипотеза р = р0 прини-
принимается, если же р& ф. [р, р], то эта гипотеза отклоняется.
При этом можно отклонить верную гипотезу, слишком
полагаясь на «неудачные» в некотором смысле резуль-
результаты эксперимента. Вероятность такой ошибки нам
известна, вернее, нами задана заранее при построении
доверительного интервала, и она не превосходит а. Если,
например, п ¦« 1000, р0 = 0,5, а = 0,05, то, отвергая
гипотезу о том, что р = 0,5, на основании того, что
0,5 §Ё [0,529, 0,671] (см. табличку), мы ошибаемся в сред-
среднем менее чем в 5 случаях из 100.
Еще одна интересная задача возникает при необходи-
необходимости различения двух гипотез о неизвестной вероятно-
136

сти р. Пусть заранее известно, что или р — plt или р ~р2,
где р± и р2 — заданные числа, 0 <Р\'<.р2 <1.
Пример. Рассмотрим урновую схему и предполо-
предположим, что доля белых шаров в урне неизвестна. Пусть
рг = 0,2 ир2= 0,8. Необходимо экспериментальным путем
определить, какое из двух значений рх и р2 больше соответ-
соответствует р. Для наглядности договоримся называть урну с
Р ~ Pi урной I, а урну с р = р2 — урной II. Вытаскива-
Вытаскиваем из урны один шар и, если этот шар белый, то считаем,
что он вынут из урны И, если же черный, то из урны I.
При этом можно ошибиться в указании номера урны.
Версятность одной из ошибок равна вероятности вынуть
белый шар из урны I, т. е. равна 0,2. Вероятность другой
ошибки (вероятность извлечь черный шар из урны II)
также равна 0,2. Вероятности ошибок можно уменьшить.
Для этого извлечем из урны три шара с возвращением
так, чтобы результаты испытаний были независимы. Если
среди трех вынутых шаров белые шары составляют боль-
большинство, т. е. 2 или 3 белых шара, то будем считать, что
это урна II, в противоположном случае — урна I. Оче-
Очевидно, что вероятность ошибки при этом равна вероят-
вероятности вытащить 3 или 2 белых шара из урны I, т. е. равна
(I - Pl)° + Clpl A - Plf = 0,104.
По сравнению с первоначальной процедурой проверки
вероятность ошибки уменьшилась почти в два раза. При
увеличении объема выборки вероятности ошибок в разли-
различении двух гипотез продолжают уменьшаться. Если сре-
среди пяти выбранных шаров большинство белые, то мы,
принимаем гипотезу р = 0,8 (урна II) и убеждаемся в том,
что вероятность ошибки равна
Clpl + C$pt (I - ptf + Clpl A - Pxf = 0,058.
При объеме выборки 7 вероятность ошибки равна 0,033,
и мы различаем две гипотезы (две урны) с вероятностями
ошибок, которые во всяком случае меньше 0,05. Таким
образом, придерживаясь припятого правила пли, как го-
говорят статистики, критерия проверки, мы будем ошибать-
ошибаться в среднем меньше, чем в пяти случаях из ста.
Поясним мотивы наших действий следующим рассуж-
рассуждением. Рассмотрим случайное блуждание, соответствую-
соответствующее схеме случайного выбора: частица выходит из начала
координат и перемещается на единицу вверх при извлече-
437

нии белого шара и остается на том же уровне при извле-
извлечении черного. Траектория движения частицы описыва-
описывается величиной 6"п — числом белых шаров в выборке
объема п. Так как р = рх или р = р2, то в соответствии с
законом больших чисел траектория случайного блужда-
блуждания должна пролегать или г направлении прямой у = пръ
или в направлении прямой у = пр2, так что при больших
п отклонения Sn от пр± = MSn при р = pi или от пр2 —
= MSn при р = р2 в среднем малы. При фиксированном
п можно задать некоторое (критическое) значение уп,
npi <-Уп <С.пр2, такое, чтобы при Sn^yn принимать
гипотезу р — рц а при Sn ^> уп принимать гипотезу
р = р2. Значение уп должно быть назначено из соображе-
соображений минимальности ошибочных решений. Можно посту-
поступить иначе: задать два числа уп и уп (пр1 <Lyn <Zyn <C
<^ пр%) и последовательно для каждого п проверять, какое
из трех неравенств Sn < уп, Sn > уп, уп <zSn <yn име-
имеет место. В первом случае принимается гипотеза р = р1з
во втором — гипотеза р — р2, и на этом эксперимент по
определению р прекращается. В третьем же случае на-
наблюдения продолжаются. При таком подходе число шаров
в выборке не фиксируется заранее, а является случайным,
зависящим от значений Sn. Границы уп, уп также опре-
определяются ограничениями на возможные ошибки. В этом
случае задача проверки гипотез имеет непосредственное
отношение к задаче о разорении, но в более сложной по-
постановке, чем мы рассматривали в § 3.
На практике задачу различения двух гипотез о веро-
вероятности успеха в схеме Бернулли решают, например,
следующим образом. Пусть аир — два малых числа,
0<а<;1, 0<р-<1. Для проверки гипотез р — Pi
и Р — Рг-> Pi < p2i производится п независимых испыта-
нип и подсчитывается число успехов т. Тогда
если т ^> тп, то принимается гипотеза р = р2,
если т <^ тп, то принимается гипотеза р = рг.
Здесь тп — критическое значение т, подлежащее опреде-
определению. Вероятность ошибочного отклонения верной гипо-
гипотезы р = рх равна
Рп (*йп, pi) = | ОГ A - Pi)n'm>
138

а вероятность ошибочного принятия неверной гипотезы
Р~ Pi равна
Qn К, а) =
A - Р2)п~т.
Спрашивается, каково наименьшее число испытаний,
при котором возможно различение двух гипотез с вероят-
вероятностями ошибок, не превосходящими заданных чисел ос
и р. Наименьшее значение п и соответствующее ему зна-
значение тп удовлетворяют неравенствам
рп (тп, Pi) < ос, Qn (™п, Pi) < Р- E)
При решении практических задач использовать неравен-
неравенства E) для нахождения п и тп не представляется возмож-
возможным, но можно воспользоваться специальными таблица-
таблицами, в которых указываются пары (и, тп) для употреби-
употребительных значений рг, р2, а, р. В следующей табличке ука-
указаны результаты решения задачи о различении гипотез
для а = р = 0,05:
Vi
0,1
0,3
0,1
0,05
Pi
0,5
0,5
0,2
0,1
п
13
67
135
248
тп
3
26
19
21
Если число испытаний не фиксировать заранее, а опреде-
определять в ходе эксперимента, действуя по указанной выше
схеме: на каждом шаге или принимать одну из гипотез,
или продолжать наблюдения, то число испытаний при тех
же ограничениях на вероятности ошибок удается сокра-
сократить в среднем почти вдвое.
Упражнения
1. Покажите, что случайная величина У* с распре-
распределением Р {Yk = 1} = р, Р {Yk = —1} = д имеет математиче-
математическое ожидание MYk — р — q и дисперсию DY% == ipq. Пользуясь
свойствами математических ожиданий и дисперсий, докажите, что
М <УХ + ... + Yn) = п (р — q), D (Yt + .... + Yn) = 4nPQ'
2. Докажите, что в случайном блуждании, соответствующем
схеме Бернулли с вероятностями р и q, вероятность ипл того, что
139

в момент п частица будет находиться в точке с ординатой у > О,
равна
Мп_ у
(п и у имеют одинаковую четность).
3. Докажите, что вероятность первого возвращения в начало
координат в момент 2и, введенная в § 2 (см. C)), равна
fan — ~^~ C-in-гР Я •
4. Рассмотрим симметричное случайное блуждание, начинаю-
начинающееся в точке с ординатой z > 0. Если частица исчезает (поглощает-
(поглощается) в точке 0, то докажите, что вероятность qn^v (z) достижения ча-
частицей точки с ординатой у d момент п равна
Qn, у (?) == Ип, у—г Ип, j/+zi
где ип>у определено в упражнении 2. Если частица исчезает в двух
точках 0 и а > 0, то
Чп, y(z)==2j (Mn, y-z-ika — М
к
где суммирование происходит по всем отрицательным и положитель-
положительным к. (Используйте принцип отражения, см. § 2 главы 4.)
5. В задаче о разорении (§ 3) предположим, что частица пере-
перемещается в положительном направлении, отрицательном направ-
направлении или остается на месте соответственно с вероятностями р,
д ж г, р -\- д~{- г — 1 (это обобщение на игровом языке означает,
что результатом отдельной партии с вероятностью г > 0 может быть
ничья). Докажите, что вероятность разорения да по-прежнему за-
задается формулой D), т. е.
где Я = qlp.
6. Покажите, что математическое ожидание и дисперсия ча-
sn sn
стоты «успеха» в схеме Бернулли равны М = р и D =
п
7. Докажите, что функция L (р) = pmqn~m достигает максиму-
максимума в точке р = т/п.
8. Рассмотрим урновую схему, введенную в примере § 4. Пусть
N — общее число шаров, М — число белых шаров, так что р =
•= MlN — доля белых шаров. Для оценки неизвестного значения
р производится «случайный выбор без возвращения». Докажите,
что вероятность получения т белых шаров в выборке объема п равна
140

9. В условиях упражнения 8 пусть случайная величина Sn есть"!
число белых шаров в выборке без возвращения. Частоту появле#
иия белого шара в выборке Sn/n можно использовать в качестве
оценки р = MlNt Докажите, что
10. При 100 бросаниях монеты «герб» появляется 70 раз. Про*
вгрьте, согласуются ли эти данные с представлением о симметрии
монеты (р = 0,5). Постройте для этого дои^шельылй интервал
с уровнем значимости 0,5/

ГЛАВА 7
ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ
§ I. Общая постановка задачи
Общепринято, что фамилия в семье сохра-
сохраняется по мужской линии. Пусть po,Pi, р2»--—вероятно-
р2»--—вероятности того, что отец имеет соответственное, 1, 2, ... сыновей,
пусть с теми же вероятностями каждый из них имеет своих
сыновей и т. д. Какова вероятность того, что мужская
линия выродится к r-му поколению. Эта задача решена
была Гальтоном и Ватсоном в 1874 году, которые по ее
поводу писали: «Исчезновение фамилий лиц, которые за-
занимали видное положение в истории,— это факт, неодно-
неоднократно отмечавшийся в прошлом; по этому поводу стро-
строились различные догадки... Слишком многочисленны были
примеры фамилий, которые, будучи распространенными,
становились редкими или даже совсем исчезали».
Аналогичная задача возникает при рассмотрении цеп-
цепной ядерной реакции. Нейтрон, находящийся в куске
«ядерного горючего», характеризуется своим положени-
положением, направлением движения и энергией. В любой момепт
он может столкнуться с атомным ядром. В результате та-
такого столкновения может произойти расщепление ядра.
В процессе расщепления могут появиться различные ча-
частицы, в том числе случайное число новых нейтронов со
случайными энергиями и направлениями движения. Оче-
Очевидно, вероятность столкновения нейтрона с ядром зави-
зависит от геометрических размеров данного куска «ядерного
горючего». Опять возникает задача, какова вероятность
для данного нейтрона на п-м шаге иметь N потомков.
Какова вероятность, что N будет с ростом п неограниченно
возрастать (ядерный взрыв), или N будет находиться в не-
некоторых фиксированных пределах (управляемая ядерная
реакция), или N = О (прекращение реакции).
Аналогичные задачи возникают при рассмотрении
вопросов размножения простейших одноклеточных ор-
142

ганизмов, при размножении вирусов и бактерий (задача
эпидемиологии), при изучении различных химических
реакций и т. д.
Часто рассматривают процессы гибели и размножения
частиц нескольких взаимосвязанных типов. Типичным
примером является изменение численности популяции
зайцев и волков в некоторой местности. Чрезмерное уве-
увеличение численности зайцев приводит к ускоренному
росту популяции волков, но заметное увеличение числен-
численности волков ведет к снижению численности зайцев.
Происходит в результате взаимосвязанный колебатель-
колебательный процесс численности зайцев и волков.
Абстрагируясь от описанных выше природных явле-
явлений, сформулируем следующую задачу. Пусть в началь-
начальный момент времени t = 0 имеется одна частица, кото-
которая к моменту t = 1 может произвести с определенными
вероятностями некоторое число частиц того же вида.
Каждая из образовавшихся частиц независимо с теми
же вероятностями за единицу времени опять может про-
произвести некоторое число частиц того же вида и т. д. Пусть
z0, Zj,... означает последовательность случайных вели-
величин, равных числу частиц в моменты времени t = 0, t =>
= 1,... Мы всегда будем полагать z0 = 1. Заметим, что
соответствующие свойства процесса при z0 ф 1 легко
получить, так как мы предположили, что процессы, на-
начинающиеся от различных первоначальных частиц, раз-
развиваются независимо.
Итак, мы будем, интерпретировать zn как число ча-
частиц популяции в п-м поколении: z0 = 1, распределение
вероятностей zx определяется числами Р {гх = к} = рк •<
<. 1, к = О, 1, 2, . . ., К, 2)Рк— 1, где рк — вероятность
того, что в следующем поколении одной фиксированной
частицы будет ровно к частиц. Мы предполагаем, что этот
же вероятностный закон размножения действует в любом
поколении для каждой из частиц независимым образом.
Другими словами, условное распределение zn+1 при ус-
условии, что zn = к, определяется из предположения, что
различные частицы размножаются независимо. Таким
образом, Zn+i распределена как сумма к независимых слу-
случайных величин, каждая из которых распределена так
же, как zv Если zn = 0, то с вероятностью 1 выполняется
Z»-|.i = 0.
Определив так процесс, мы хотим знать его свойство:
распределение вероятностей величины zn, ее математиче-
S43

ское ожидание, дисперсию; вероятность того, что случай-
случайная последовательность z0, га>... сходится к нулю; пове-
поведение этой последовательности в случае, когда она не
сходится к нулю. В процессе наших рассуждений мы будем
придерживаться определенной нами абстрактной модели,
хотя за ней могут стоять конкретные процессы в физике,
биологии, химии, генетике и других областях науки.
§ 2. Производящая функция величины хп
Воспользуемся определением и простейши-
простейшими свойствами производящих функций, введенных в гла-
ье 5, § 4.
В дальнейшем будем обозначать производящую
функцию случайной величины zn через /n (s), произво-
производящую функцию zt -рдя краткости будем обозначать / (s).
Между производящими функциями величин zn справед-
справедливо следующее соотношение:
= 2 S Р (*п = Щ Р (zn+1 = m/zn = к) =
т к
+1 = m/zn = ft) sm.
к т
Числа потомков от каждой из к частиц независимы друг
от друга по определению, поэтому при условии zn = к
распределение величины zn+1 является суммой незави-
независимых случайных величин, каждая из которых распре-
распределена как zx и, следовательно, имеет производящую
функцию [Д (s)\k, т. е.
2 Р (zn+1 = m/zn = k)sm = [h (*)]", к = 0, i, ...
т
Отсюда получаем
ft
что по определению производящей функции величины
гп равно
На основании последней формулы получим
U («) = / (/ (*)), /»(*) ==/(/(/ («))). .
144

вообще
U (*) = / (/.-. / (в)-), B)
т. е. производящая функция] /n (s) величины zn равна
n-кратной итерации производящей функции / (s) величи-
величины zv
§ 3, Математическое ожидание
и дисперсия случайной величины хп
Обозначим
Mzx =• /' A) = m, DZl = о2 = f A) + m - m2.
Дифференцируя A) из § 2 в точке s = 1, найдем математи-
математическое ожидание
откуда по индукции получаем
Mzn = /; A) = тп, п = 0, 1, ... A)
Продифференцировав еще раз, получим
Г„+1 A) = /; A) [/' (i)P + г„A) f A) =
= /Я A) »г2 + ™п (о2 + т2 - т),
откуда следует
/; A) = о2^ (т71 + тп + ... + 1) + т* - тп
или
Dzn = о2^ (т71 + т11 + ...+ 1). B)
Формулы A), B) дают нам явный вид математического
ожидания и дисперсии числа потомков n-го поколения
через известные математическое ожидание и дисперсию
числа потомков от одной частицы.
§ 4. Вероятность вырождения
Рассмотрим теперь задачу о вероятности
вырождения потомства одной первоначальной частицы,
например, вероятности вырождения фамилии, или ве-
вероятности затухания цепной ядерной реакции, порожден-
порожденной отдельным нейтроном, и т. д. На языке последова-
последовательности zn вырождение означает, что zn = 0, начиная
с некоторого номера п, при атом, если zn = V, то по
145

определению zm = 0 для всех и^вс вероятностью едини-
единица. Другими словами, мы имеем дело с последовательно-
последовательностью вложенных друг в друга событий
К = 0} с {zn+1 = 0} с {zn+2 = 0} С .-
Найдем предел
который и будем называть вероятностью вырождения
последовательности zn.
Теорема. Если т = Mzt <^ 1, то вероятность вы-
вырождения равна 1. .Если яг ^> 1, то вероятность вырож-
вырождения равна единственному неотрицательному решению
уравнения
меньшему единицы.
Доказательство. Очевидно, ввиду вложен-
вложенности событий {г„ = 0} СГ {zn+1 = 0} справедливо
О < Р К = 0} < Р {zn+1 = 0} < Р {zn+2 = 0}< ... < 1,
т. е. мы имеем неубывающую ограниченную последова-
последовательность Р \zn = 0}, следовательно, существует предел д.
Из определения производящей функции последователь-
последовательности zn следует
Р {zn = 0} = /„ @),
а также
Но так как
то справедливо
ff=/fe). A)
Если m = /' A) ^ 1, то в силу выпуклости вниз функции
/ (s) > s при 0 < s < 1.
Отсюда следует, что в этом случае единственным решением
уравнения A) будет g = 1.
Если т = /' A) j> 1, то в некоторой окрестности
точки s = 1 для s <; 1 будет выполняться /(s) <^ s, в то
146

же время / @) ^> 0, следовательно, уравнение A) и.,ь
решение в полуинтервале [0, 1). К тому же, lim /,,
п->оо
не может равняться единице, так как это означало бы,
что в некоторой окрестности точки 1 функция /п @) убы-
убывает ввиду /п+1 @) = / (/п @)), а это невозможно (см. на-
начало доказательства теоремы). Следовательно, искомое
q является единственным решением уравнения A) в по-
полуинтервале [0, 1). Теорема доказана.
Доказательство приведенной выше теоремы было осно-
основано на свойствах итераций функции / (s), оно наглядно
иллюстрируется следующими графиками (рис. 30, 31).
Значение / @) есть ордината пересечения графика
/ (s) с осью ординат. Значение /2 @) = / (/ @)) можно
получить, проведя горизонтальную прямую на высоте
/ @) до пересечения с диагональю квадрата с вершинами
в точках @, 0), @, 1), A, 0), A, 1) и восставив затем к ней
перпендикуляр из этой точки до пересечения с графиком
/ (s). Точно так же получаются последующие итерации
функции / («): /а @) = / (U @)) и т. д.
В виде небольшого отступления заметим, что приведен-
приведенная процедура дает очень удобный способ отыскания
приближенных значений решения уравнения / (s) = s.
Любое уравнение может быть сведено к такому виду, и
для приближенного отыскания корня после этого нужно
лишь многократное повторение вычислений функции
/ (s). Это довольно часто используется на практике при
отыскании численных решений уравнений. Читателю
полезно будет самому подробнее ознакомиться с предла-
предлагаемым методом и убедиться, что при решении таких урав-
уравнений могут быть «устойчивые» и «неустойчивые» решения.
К какому из корней приведут последовательные итера-
итерации, зависит от начального значения So или того, в об-
область притяжения какого из корней попадает начальное
приближение. Легко заметить, что в устойчивых корнях
!/'(?) I <С 1 (Рис- 32), в неустойчивых корнях | /' (д) | >
]> 1, хотя практически любой неустойчивый корень мо-
может быть переведен в устойчивый путем линейного пре-
преобразования.
В случае задачи о вырождении фамилий обычно счи-
считают, что вероятности ph= P {zx = к) рождения в
семье к мальчиков образуют геометрическую прогрессию
pk==b^~1, к = 1, 2,. . ., 0<6, 6<1-с, а р0 =
= 1 — р! — />2 — ... В таком случае производящая
147

fz@)
По)
О 1 s
Рис. 30. График функции /(«) при т<1 с изображением графи-
графического способа отыскания итераций
h @) = / (/ @)), и @) = / (h @)),.. •
1 1
Рис. 31. График функции / (s) прп m > 1 с изображением графи-
графического способа отыскания итераций
М0) = /(/@)), /3 @) = / (/2 (С)),. ..
148

Рис. 32. Графики функции / («), ее n-кратной итерации /„ («) и пре-
предельной функции q(s) в общем случае. киС- устройчивые корни,
В — неустойчивый. Начальные точки «х и «а попадают в область
притяжения корня А, точка s3 — область притяжения корня С,
функция / (s) вычисляется следующим образом;
Математическое ожидание числа мальчиков будет
Уравнение s = f (s) имеет неотрицательный корень
1 — 6 —с
Этот корень равен 1, если т = 1; если иг ^ 1, то это
единственный неотрицательный корень. Если т > 1,
то вероятность вырождения д = s0.
По данным А. Лотка вероятности вырождения потом-
потомства мужских линий хорошо приближаются геометриче-
геометрической прогрессией с Ъ = 0,2126, с = 0,5893, р0 = 0,4825.
В этом случае вероятность вырождения д — 0,819. Есте-
149

ственно, что величины Ъ, с подсчитываются статистически
по данным переписей населения и могут меняться для раз-
разных географических областей. Приведенные данные осно-
основывались на переписи 1920 года в Америке. Эти величины
даже для одной и той же местности могут со временем ме-
меняться. Изучением таких явлений занимается наука де-
демография.
§ 5. Предельное поведение хп
Мы уже выяснили в предыдущем параграфе,
что при п —¦> оо, т «^ 1
lim P (zn = 0) = 1,
П-»оо
т. е. с вероятностью единица в этом случае потомство од-
одной частицы вырождается, когда число поколений п —> оо.
При этом при т < 1 математическое ожидание числа по-
потомков
Mzn =mn~>0
и дисперсия
Dzn = а2тп-Цтп-1 + т«-2 + ... + !)= й*Яд1^"~1) ->0.
zn
В то же самое время при т = 1 математическое ожидание
и дисперсия числа потомков
Mzn - 1,
Dzn = па2
к нулю вообще не стремятся, несмотря на то, что zn вы-
вырождается с вероятностью единица. Это означает, что,
несмотря на достоверность вырождения, с ростом п исче-
зающе малые вероятности больших флуктуации все время
остаются. Другими словами, «типичная траектория» чи-
числа потомков при т = 1 довольно долго блуждает вне
нуля и может при этом подниматься достаточно высоко,
но, тем не менее, с вероятностью 1 рано или поздно обры-
обрывается в нуле.
Найдем оценку вероятности Р (г„ > 0) при т <С 1-
Очевидно,
P{Zn>O)=l-P(zn=O) = l-fn @).
Рассмотрим приближение функции / (s) (рис. 33)
f{s)=l+m(s- 1).
150

Функция/ (s) — линейная и она совпадает с / (s) в точке 1
точно так же, как и ее производная. Очевидно,
f (*)</(*), 0<*<1,
и п-п итерация функции f (s) будет меньше n-й итерацип
функции / (s):
f n @) < /„ @)
или
1 - /п @)< 1 - f „ @),
но из вида f (s) непосредственно
следует
l_f (Q) = m, I — fя @) = тп2,
Таким образом, в случае т
* (*» > 0) = 1 - /„ @) <
Рис. 33. Функция /(«) п
ее приближение /(«).
т. е. вероятность выживания убывает как геометрическая
прогрессия. В случае т = 1 эта вероятность убывает
значительно медленнее: можно показать, что в этом случае
Из рис. 30 для / (s) с т = 1 видно, что это убывание про-
происходит гораздо медленнее, но строгое доказательство
этого факта тут мы пе приводим.
В случае т ^> 1, как мы уже установили, вероятность
вырождения lim P (zn = 0) = q<^ 1, в то же самое время
71-»оо
при любом к ]> 0 вероятность фиксированного числа к
потомков стремится к нулю:
lim P (zn = к) = 0. A)
В самом деле, как видно из рис. 31, 32, при любом s <j I
lim /n (s) = q,
но это было бы невозможно при невыполнении равенства
A). Функция /n (s) является полиномом от s с неотрица-
неотрицательными коэффициентами, и невыполнение A) означало
бы, что /n (s) при достаточно больших п возрастает бы-
быyh < 1 H P ( /) > 0
стрее, чем
и досат ол р
0 < s < 1, где ph = Hm P (zn = /с) > 0,
151

и не могло бы в пределе совпадать с постоянной д. Мате-
Математическое ожидание zn при тп^> 1 Mzn = mn — оо,
n cW1-1^"— 1)
дисперсия хЛг„ i—- -—=> оо.
Таким образом, последовательность zn при т^>1 с ве-
вероятностью q обращается в нуль и с вероятностью 1 — q
№ • п
Рис. 34. Три реализации функции In zn при m > 1,
стремится к бесконечности. Типичная траектория после-
последовательности zn при ш^> 1 совершает при малых п ко-
колебания и может с вероятностью q обратиться в нуль, по
если она достигла достаточно больших значений, то она
гозрастает со скоростью mn (рис. 34).
Упражнения
1. Найти вероятность вырождения раньше 5-го
шага, если Р (zx = 0) = 0,5; Р (zx = 2) = 0,5.
Ответ:
1 / 1 / 1 / 1 \2\2\
P(z4 = 0)=/4@)=-2-(l + ^-(l+—(l + —JJJ = 0,7417.
, 2. Найти вероятность выживания до 100-го шага включительно,
если Р (zt = 0) = 0,5; Р (z2 = 2) = 0,5.
Ответ: Р (z100 > 0) ж 0,02.
3. Найти оценку вероятности выживания до 10-го шага вклю-
включительно, если Р (zx = 0) = 0,9; Р (z2 = 2) = 0,1.
Ответ: Р (z10 > 0) <^ 1,02-10-'.
4. Найти вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если Р (Zl = 0) = 0,9; Р (zx = 2) = 0,1.
Ответ: Р (z3 p> 0) = 0,0038.
152

5. Найти оценку для вероятности, отыскиваемой в предыдущем
упражнении.
Ответ: Р (z3 > 0) «^ 0,008.
6. Найти вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если Р (zj = 0) = 0,1; Р (z1 — 2) = 0,9. Найти предельную ве-
вероятность выживания.
Сравните численные ответы всех предыдущих задач.
Ответ: Р (z3 > 0) = 0,8893, lim P (zn > 0) = 0,8888.
7. Найти вероятность вырождения до 5-го шага, если в началь-
начальный момент было пять частиц, а каждая частица исчезает с вероят-
вероятностью Р = 0,5 и делится на две частицы с вероятностью Р = 0,5.
Ответ: Р (z4 = 0/z0 = 5) = i\ @) = 0,1096.
Указание: воспользоваться тем, что производящая функ-
функция суммы независимых случайных величин равна произведению
производящих функций.
8. Найти вероятность выживания до 100-го шага включительно,
если в начальный момент было 100 частиц, z0 = 100, а вероятность
исчезновения для каждой частицы Р = 0,5 ц деления на две ча-
частицы Р = 0,5.
Ответ:
I 2 \ioo
Р (zioo > О/*. = 100) = 1 - /™ @) ж 1 - [i - ш) = 0,8674.
9. Найти оценку вероятности выживания до 10-го шага включи-
включительно, если в начальный момент было 100 частиц, вероятность
исчезновения каждой частицы 0,9 и деления на две частицы 0,1,
Ответ: Р (z10 > 0 / z0 = 100) = 1 - /J°° @) < 1 — A —
_ /л10)№ = 1,024-Ю-5.
10. Найти вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если в начальный момент имеется 10 частиц A000 частиц), а веро-
вероятность исчезновения для одной частицы 0,9, деления на две части-
частицы 0,1.
Ответ: Р (z3 > 0/*0 = 10) = 0,037; Р (г„ > 0 / z0 = 1000) =
= 0,978.
11. То же, что в упражнении 9, но в начальный момент имеется
один миллион частиц (десять миллионов частиц).
Ответ: Р (z10 > 0 / z0 = 1 000 000) < 0,097; Р (z10 > 0 / z0 =
¦= 10 000 000) < 0,64.
12. Найти вероятность выживания до 3-го шага включительно,
если в начальный момент имеется 10 частиц A частица), а вероят-
вероятность исчезновения для каждойчастицыОД, деления на две частицы
0,9. Сравните численные ответы всех предыдущих задач. Дайте
«физическое» объяснение полученным результатам.
Ответ: Р (z3>0 / z0 = 10) = 1 — f\° @) = 1 — 2,76-10-1°;
Р (z3 > 0 / z0 = 1) = 1—0,1107 = 0,8893.
13. Найти, итерационный метод приближенного извлечения
квадратного корня из числа. Можно ли достигнуть в итерационном
процессе сходимости к искомому корню более быстрой, чем гео-
геометрическая прогрессия? 2
Указание: извлечение квадратного корня из числа^ с
равносильно численному решению уравнения (рис. 35) — х +
+ с1- = 0 или j?j- + ~ + x = x.

Последнее уравнение имер"/ корень с, при этом производная
функция в левой части в т4чке с равна нулю, что приводит к ско-
Рис, 35. Итерационный метод отыскания корня.
рости сходимости в итерационном процессе более быстрой, чем гео-
геометрическая протрессия. В качестве примера приведем несколько
итераций, последовательно приближающих с = 1,414213562...
для с2 = 2:
х0 =1; ъ= 1,25; х2 = 1,387;
xs = 1,413417; xi = 1,41421289; хъ = 1,414213563.
Естественно, что существуют и другие итерационные после-
последовательности, сходящиеся к с. Скорость сходимости в приведенном
примере та же, что и у итерационного процесса, приводящего к оты-
отысканию корня х = 0 уравнения ж2 = ж, к которому наше уравнение
сводится путем линейной замены. Для последнего же уравнения
скорость сходимости итерационного процесса, очевидно, будет
ап — #(? *i |го|<1, что превосходит скорость сходимости гео-
геометрической прогрессии.
14. Провести аналогично задаче 13 исследование итерационного
процесса
*я+1 — 2
известного как древневавилонский способ извлечения квадратного
корня из с2. Дать объяснение, почему итерационные методы особен-
особенно удобны для современных 9BMS

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы рассказали в этой небольшой книге об
основных понятиях и некоторых результатах теории ве-
вероятностей, стараясь выдержать по возможности более
простую форму, но в то же время сделать изложение
достаточно полным и строгим. Мы стремились при выводе
формул и доказательстве утверждений ограничиться ком-
комбинаторными методами, производящими функциями и
формулой Стирлинга. Основные понятия теории вероят-
вероятностей формировались, начиная с середины XVII века,
в трудах Паскаля, Ферма, Гюйгенса, Галилея и др., по-
посвященных решению многочисленных игровых задач. В те
времена были уже известны и использовались теоремы
сложения и умножения вероятностей, понятие условной
вероятности, формула полной вероятности, было введено
математическое ожидание. Вершиной этого периода яви-
явилось творчество Якова Бернулли. В его «Искусстве пред-
предположений», изданном посмертно в 1713 году, рассматрива-
рассматривалась последовательность независимых испытаний с двумя
исходами, было выведено биномиальное распределение,
появились производящие функции, решалась задача о
разорении игрока, но главное — была обоснована прин-
принципиальная возможность статистического подхода к ве-
вероятности. Знаменитая теорема Бернулли, установившая,
что при большом числе независимых испытаний частота
события, как правило, мало отличается от его вероятно-
вероятности, положила начало предельным теоремам теории ве-
вероятностей. Среди этих теорем первыми нужно назвать
теоремы Муавра — Лапласа о предельном распред&чении
отклонения частоты события от его вероятности.
Согласно формуле Бернулли вероятность т успехов
в п испытаниях Бернулли равна (см. § 5 гл. 3) при любом
I)
155

а в симметричной схеме Бернулли с р = 1/2
Рп (та)
Для не очень больших значений п можно непосредствен-
непосредственно вычислять факториалы и степени, входящие в правыо
части выписанных формул, или пользоваться специальны-
специальными таблицами (например, таблицей для логарифмов фак-
факториалов, помещенной на с. 24). При больших пит фор-
формулы Бернулли мало пригодны для непосредственного
вычисления. Так, если п = 100, т = 50, то для вычисле-
вычисления jP100 E0) необходимо найти С^о и 2~100. Еще более
затруднительно вычисление вероятностей вида
65
Подобные примеры показывают, что точные выражения
могут быть бесполезны для практического подсчета. При-
Приближенная формула для симметричного биномиального
распределения (с р = 1/2), которая позволяет сравни-
сравнительно легко находить Рп (т) при больших п, была до-
доказана Муавром в 1730 году. Было показано, что при
п -*• оо
Если п фиксировано, то справа в формуле стоят значения
(ь)
функции ае с (а, Ъ, с — постоянные) в точках х — тп.
(Если на рис. 9, помещенном на с. 20, провести кривые,
огибающие графики Рп (тп) сверху, то мы получим при
больших п приближенный график указанной функции.)
Основным средством доказательства была все та же фор-
формула Стирлинга, которую Муавр доказал независимо. Эту
формулу Муавра читатель может получить сам, исполь-
используя рекомендации и результаты упражнения 2 гл. 4 § 4.
В последующем Лапласом A812) была строго доказана
для общего случая 0 < р < 1 формула
(тп—пр)*
1-1»)
156

включающая в себя формулу Муавра. Если положить
. т — пр
то формула приобретает вид
Р
V2nnp(l-p)
Последнее соотношение известно как локальная предель-
предельная теорема Муавра — Лапласа. Используя локальную
формулу, можно получить приближение для сумм
миальных вероятностей 2j &п (т)> которые выражают
7П==7П1
вероятность того, что число успехов в п испытаниях Бер-
нулли лежит в пределах тх и т2 (т1 <] т2)- Это прибли-
приближение дает так называемая интегральная предельная тео-
теорема Муавра — Лапласа:
Разность между левой и правой частями стремится при
п -> оо к нулю равномерно относительно tlt t2 при по-
постоянном значении 0 <^ р < 1.
С подющью интегральной формулы (*) оценивается
вероятность отклонения частоты успеха S,Jn в п испыта-
испытаниях Бернулли от вероятности успеха-р:
8>0.
Отсюда вытекает, в частности, основной результат тео-
теоремы Бернулли. Если переписать последнюю формулу в
виде
- А
то отсюда можно сделать вывод о том, что, как правило,
отклонения частоты от вероятности р имеют порядок
\l\fn. Иптеграл, входящий в правые части асимптоти-
157,

теских формул, принято выражать через функцию
t
1
как разность Ф (f2) — Ф Aг). Функция Ф (t) называется
функцией нормального распределения, ее подробные таб-
таблицы имеются во многих учебниках и пособиях по тео-
теории вероятностей и математической статистике. Функция
Ф (t) непрерывна, ее значения при t~> — оо довольно
быстро приближаются к 0, а при f-voo приближаются
к 1. Значения Ф (t) для значений аргумента t и —t свя-
связаны равенством
Ф (t) + Ф (—t) = 1.
Приведем здесь несколько значений функции Ф (t):
t
ф
ю
0
0
,500
0,5
0,691
1
0,
,0
841
1
0,
,5
933
2,0
0,977
2,5
0,994
3,0
0,999
(Читатель может использовать эту табличку для вычис-
вычисления приближенных значений вероятностей в упражне-
упражнениях 4, 5 § 2 гл. 5 и упражнении 2 § 6 гл. 3.)
Укажем вероятностный смысл правой части Ф (t2) —
— Ф (tj) интегральной формулы (*). Существуют слу-
случайные величины, распределение вероятностей для ко-
которых задается с помощью неотрицательной функции
Ф (t), —оо<^?<^оо, следующим образом: для любого
интервала (tlt t2) на прямой вероятность того, что случай-
случайная величина примет значения из этого интервала, равна
и +°°
интегралу С<p.(t)dt, причем f <p(t)dt=l. Функция <р @
U — оо
с указанными свойствами называется плотностью ве-
вероятности, а распределение такой случайной величины
обычно называется непрерывным распределением. Рас-
Распределение с плотностью ф (t) = ¦ е~'2/2 называется нор-
у 2л
мольным распределением, и поэтому разность Ф (f2) —
— Ф (tj) есть вероятность случайной ватгичине с нор-
нормальным распределением принять значение из интервала
(tlf t2). Это распределение часто называют также гауссоеским
по имени Гаусса, который приблизительно в то же время,
158

что и Лаплас, получил его как распределение ошибок на-
наблюдения в задачах астрономии и геодезии. Работы Лап-
Лапласа и Гаусса по теории ошибок обнаружили, что рас-
распределение суммарной ошибки, полученной сложением
большого числа незначительных случайных ошибок, при
довольно общих условиях будет приближенно нормаль-
нормальным распределением. Таким образом, асимптотическая
формула Муавра — Лапласа оказалась следствием до-
достаточно универсального вероятностного закона. Роль,
которую нормальное распределение играет в теории ве-
вероятностей и ее приложениях, определяется центральной
предельной теоремой. Говорят, что случайные величины
Хг, Х2, . . ., Хп удовлетворяют центральной предельной
теореме, если при любых действительных числах а и Р
для суммы Sn = Хх + . . . + Хп при п~> оо справед-
справедливо асимптотическое равенство
Эта формула справедлива при очень широких условиях,
налагаемых на Х1г Х2, . . ., Хп.
Возвращаясь к теореме Муавра — Лапласа, отметим,
что при значениях р, близких к 0 пли 1, можно восполь-
воспользоваться другой приближенной формулой для биноми-
биномиальной вероятности, которая носит имя С. Пуассона,
открывшего и опубликовавшего ее в 1873 году. Если
в формуле Бернулли р близко к 0, а и велико, то Рп (т)
в иг , т
близко кг*- —г , где К = пр. Числа рт~е~х—у неотри-
неотрицательны и в сумме по всем т = 0, 1, 2, составляют 1.
Поэтому они могут быть взяты в качестве распределения
некоторой случайной величины, принимающей целые
неотрицательные значения 0, 1,2, ... Это распределение
называется распределением Пуассона (пример распределе-
распределения случайной величины, принимающей счетное число
значений). Оба предельных распределения — нормальное
и Пуассона выводят нас за пределы книги.

Андрей Николаевич Колмогоров \
Игорь Георгиевич Журбенко
Александр Владимирович Прохоров
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(Серия: библиотечка «Квант»)
Редактор В. В. Донченко
Теки, редактор Л. В. Лихачева
Корректор Mt Л» Медеевская
12102
Сдано в набор 17.04.82. Подписано к печати 13.07.82, Т-11133, Формат 84x108'/»!."
Бумага тип. Mi 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Уоловн. печ. л. 8,4, Уч.-изд. л. 8,19, Тираж 150000 экв. Заказ 1670. Цена 25 коп,,
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубивский пер., 10