/
Author: Волкова И.А.
Tags: физика вступительные экзамены задачи по физике для абитуриентов олимпиады методические разработки
Year: 2007
Text
БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ (2007 г.)
И ОЛИМПИАДЫ «ФИЗТЕХ-2007»
(Методические разработки по физике и математике)
Редактор И.А. Волкова. Корректор О.П. Котова
Компьютерная верстка А.В. Полозов
Подписано в печать 10.12.2007. Формат 60 х 84У1в. Бумага офсетная. Печать
офсетная. Усл. печ. л. 5,2. Уч.-изд. л. 5,0. Тираж 3000 экз. Заказ №ф-402
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
4
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 1
/Г
Рис.
к задаче 1
2. Однородный
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1. Два груза висят на нитях в воздухе. Сила натяжения верхней
нити в два раза больше силы натяжения ниж-
ней нити. Когда оба груза полностью погрузили
в воду, то их взаимное положение не изменилось
и сила натяжения верхней нити уменьшилась на
20%, а нижней — на 30%. Найдите плотности
нижнего и верхнего грузов. Плотность воды р =
= 1 г/см .
канат длиной I и массой т с прикреплённым к од-
ному концу грузом массой т/3 находятся на гладкой горизон-
тальной поверхности стола и вращаются с угловой скоростью ш
вокруг вертикальной оси, проходящей через другой конец каната.
Размер груза мал по сравнению с длиной каната.
1) Найдите силу, действующую на груз со стороны каната.
2) Найдите силу натяжения каната на расстоянии 1/3 от оси
вращения.
3. Тепловая машина работает по замкнутому циклу, состоящему
из процесса адиабатического расширения 1—2, изотермическо-
го процесса 2—3 и изохорического процесса 3—1. Рабочее веще-
ство — и молей идеального одноатомного газа. В процессе, где
тепло к газу подводится, давление газа увеличивается в а = 3
раза. В процессе сжатия от газа отводится количество теплоты
Q (Q > 0). Во всём цикле 1—2—3—1 машина совершает работу
А. Найдите максимальную температуру газа в цикле.
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т
и размыкают на время 2т, причём время т достаточно мало и
напряжение на конденсаторе за это время изменяется незначи-
тельно. Через достаточно большое число повторений напряже-
ние на конденсаторе становится практически постоянным, со-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 2
5
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
резисторе 2R в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено увеличенное изоб-
ражение предмета, расположенного перпендикулярно главной
оптической оси линзы. Расстояние между предметом и экраном
в 4,5 раза больше фокусного расстояния линзы. С каким увели-
чением изображается предмет?
БИЛЕТ 2
Рис.
к задаче 1
, з
см .
1. В воздухе на нитях висят два шара. Сила натяже-
ния верхней нити на 40% больше силы натяжения
нижней нити. Когда оба шара полностью погру-
зили в воду, то их взаимное положение не измени-
лось и сила натяжения верхней нити уменьшилась
в 7 раз, а нижней — на 20%. Найдите плотности
нижнего и верхнего шаров. Плотность воды р ~ 1 г/<
2. Шайба массой т прикреплена к концу однородной верёвки мас-
сой 2т и длиной I. Другой конец верёвки прикреплён к верти-
кальной оси. Шайба с веревкой вращаются вокруг оси с по-
стоянной угловой скоростью, скользя по гладкой горизонталь-
6
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 2
ной поверхности стола. Размер шайбы мал по сравнению с дли-
ной верёвки. Скорость шайбы v.
1) Найдите силу натяжения верёвки вблизи шайбы.
2) Найдите силу натяжения верёвки на расстоянии 3Z/4 от оси.
3. Тепловая машина работает по замкнутому циклу (см. рис.). Про-
цесс 1—2 — изобарический, 2—3 — адиабатический, 3—1 — изо-
термический. Рабочее вещество — г/ молей идеального одно-
атомного газа. В процессе 1—2 объём газа увеличивается в/? = 5
раз. В процессе изотермического сжатия от газа отводится ко-
личество теплоты Q (Q > 0). Во всём цикле 1—2—3—1 машина
совершает работу А. Найдите максимальную температуру газа в
цикле.
Рис. к задаче 4
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т
и размыкают на время 2т, причём время т достаточно мало и
напряжение на конденсаторе за это время изменяется незначи-
тельно. Через достаточно большое число повторений напряже-
ние на конденсаторе становится практически постоянным, со-
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
резисторе 2R в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
7
5. С помощью тонкой линзы на экране получено увеличенное в 3
раза изображение предмета, расположенного перпендикулярно
главной оптической оси линзы. Во сколько раз расстояние между
предметом и экраном больше фокусного расстояния линзы?
БИЛЕТ 3
1.Два предмета висят на нитях в воздухе. Сила на-
тяжения верхней нити в четыре раза больше силы JL
натяжения нижней нити. Когда оба предмета пол- <C/z
ностью погрузили в воду, то их взаимное положе- I
ние не изменилось и сила натяжения верхней нити z-Ч
уменьшилась на 60%, а нижней — на 40%. Найди-
п Рис.
те плотности нижнего и верхнего предметов. 11лот- .
3 r г к задаче 1
ность воды р = 1 г/см .
2. Однородный канат длиной I и массой т с прикреплённым к од-
ному концу грузом массой т/4 находятся на гладкой горизон-
тальной поверхности стола и вращаются с угловой скоростью ш
вокруг вертикальной оси, проходящей через другой конец каната.
Размер груза мал по сравнению с длиной каната.
1) Найдите силу, действующую на груз со стороны каната.
2) Найдите силу натяжения каната на расстоянии 1/4 от оси
вращения.
3. Тепловая машина работает по замкнутому циклу (см. рис.). Про-
цесс 1—2 — изотермический, 2—3 — изохорический, 3—1 —
адиабатический. Рабочее вещество — и молей идеального од-
ноатомного газа. В процессе расширения к газу подводят коли-
чество теплоты Q. В процессе, где тепло от газа отводится, дав-
ление газа уменьшается в а. = 3 раза. Во всём цикле 1—2—3—1
машина совершает работу А. Найдите минимальную температу-
ру газа в цикле.
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время
2т и размыкают на время т, причём время т достаточно мало
и напряжение на конденсаторе за это время изменяется незна-
чительно. Через достаточно большое число повторений напря-
8
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 4
Рис. к задаче 4
жение на конденсаторе становится практически постоянным, со-
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
резисторе R в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное
изображение предмета, расположенного перпендикулярно глав-
ной оптической оси линзы. Расстояние между предметом и экра-
ном в 4,5 раза больше фокусного расстояния линзы. С каким
увеличением изображается предмет?
- БИЛЕТ 4
1. В воздухе на нитях висят два бруска. Сила натяжения
5J верхней нити на 80% больше силы натяжения ниж-
ней нити. Когда оба бруска полностью погрузили в
воду, то их взаимное положение не изменилось и сила
Рис- натяжения верхней нити уменьшилась в 9 раз, а ниж-
к задаче 1 „ спо/ гт »
ней — на Ь0%. Найдите плотности нижнего и верх-
него брусков. Плотность воды р — 1 г/см3.
2. Брусок массой т прикреплён к концу однородной верёвки мас-
сой 5т и длиной I. Другой конец верёвки прикреплён к верти-
кальной оси. Брусок с веревкой вращаются вокруг оси с по-
стоянной угловой скоростью, скользя по гладкой горизонталь-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 4 9
ной поверхности стола. Размер бруска мал по сравнению с дли-
ной верёвки. Скорость бруска v.
1) Найдите силу натяжения верёвки вблизи бруска.
2) Найдите силу натяжения верёвки на расстоянии 3Z/5 от оси.
3. Тепловая машина работает по замкнутому циклу (см. рис.). Про-
цесс 1—2 — изотермический, 2—3 — изобарический, 3—1 —
адиабатический. Рабочее вещество — и молей идеального од-
ноатомного газа. В процессе расширения к газу подводят коли-
чество теплоты Q. В изобарическом процессе объём газа умень-
шается в (3 = 4 раза. Во всём цикле 1—2—3—1 машина совершает
работу А. Найдите минимальную температуру газа в цикле.
О V
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время
2т и размыкают на время т, причём время т достаточно мало
и напряжение на конденсаторе за это время изменяется незна-
чительно. Через достаточно большое число повторений напря-
жение на конденсаторе становится практически постоянным, со-
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
резисторе R в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное в 3
раза изображение предмета, расположенного перпендикулярно
10
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 5
главной оптической оси линзы. Во сколько раз расстояние между
предметом и экраном больше фокусного расстояния линзы?
БИЛЕТ 5
1. На достаточно длинной невесомой нити, перекинутой через блок,
подвешены два груза. Грузам сообщили некоторую начальную
скорость, и систему предоставили самой себе. В некоторый мо-
мент скорость левого груза массой т = 1 кг направлена вверх и
равна 6 м/с. Через время t = 2 с после этого груз остановился.
Определите силу натяжения нити. Ускорение свободного паде-
ния примите равным g = 10 м/с2 3.
Й 1—1
Рис. к задаче 1
Рис. к задаче 4
2. Брусок массой т колеблется с амплитудой Ло вдоль прямой на
гладкой горизонтальной поверхности стола под действием упру-
гой пружины. В момент, когда смещение бруска от положения
равновесия было Ло/3, на него упал и прилип кусок пластили-
на массой т/3, двигавшийся перед ударом вертикально. Время
соударения значительно меньше периода колебаний и при соуда-
рении брусок не отрывается от стола.
1) Как и во сколько раз изменился период колебаний?
2) Найдите амплитуду колебаний бруска после прилипания
пластилина.
3. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс,
состоящий из адиабатического расширения, изобарического
расширения и изотермического сжатия. Какую работу совершил
газ в адиабатическом процессе, если при изобарическом процес-
се была совершена работа 10 Дж?
ФИЗИКА < ЗАДАЧИ < Билет 6 Н
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т
и размыкают на время 2т, причём время т достаточно мало и
напряжение на конденсаторе за это время изменяется незначи-
тельно. Через достаточно большое число повторений напряже-
ние на конденсаторе становится практически постоянным, со-
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
цепи в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение пред-
мета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между предметом и экраном в 9 раз боль-
ше расстояния от предмета до ближайшего к нему фокуса линзы.
С каким увеличением изображается предмет?
БИЛЕТ 6
1. Груз массой т = 2 кг соединён достаточно длинной невесомой
перекинутой через блок нитью со вторым грузом, находящимся
на закреплённой наклонной плоскости. Грузам сообщили неко-
торую начальную скорость, и систему предоставили самой себе.
В некоторый момент скорость груза т направлена вверх и равна
8 м/с. Через время t = 2 с груз остановился. Найдите силу на-
тяжения нити. Ускорение свободного падения примите равным
g = 10 м/с .
Рис. к задаче 1
Рис. к задаче 4
12
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
2. На гладкой горизонтальной поверхности стола колеблется вдоль
прямой под действием упругой пружины брусок массой т, имея
максимальную скорость и0. В момент, когда скорость брус-
ка равна «о/2, его нагоняет другой брусок массой т/2, имею-
щий скорость 2«о, сонаправленную со скоростью колеблюще-
гося бруска. В результате неупругого удара бруски слипаются.
Время соударения значительно меньше периода колебаний.
1) Как и во сколько раз изменился период колебаний?
2) Найдите максимальную скорость слипшихся брусков.
3. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс,
состоящий из адиабатического расширения, изобарического
расширения и изотермического сжатия. Какую работу совершил
газ в адиабатическом процессе, если в изобарическом процессе
газ получил 50 Дж тепла?
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время т
и размыкают на время 2т, причём время т достаточно мало и
напряжение на конденсаторе за это время изменяется незначи-
тельно. Через достаточно большое число повторений напряже-
ние на конденсаторе становится практически постоянным, со-
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
цепи в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение пред-
мета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между линзой и экраном в 12 раз больше рас-
стояния от предмета до ближайшего к нему фокуса линзы. С ка-
ким увеличением изображается предмет?
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 7
13
БИЛЕТ 7
1. На достаточно длинной невесомой нити, перекинутой через блок,
подвешены два груза. Грузам сообщили некоторую начальную
скорость, и систему предоставили самой себе. В некоторый мо-
мент скорость левого груза массой т = 1 кг направлена вниз и
равна 4 м/с. Через время t = 2 с после этого груз остановился.
Определите силу натяжения нити. Ускорение свободного паде-
ния примите равным g — 10 м/с .
Рис. к задаче I Рис. к задаче 4
2. Брусок массой т колеблется с амплитудой А() вдоль прямой на
гладкой горизонтальной поверхности стола под действием упру-
гой пружины. В момент, когда смещение бруска от положения
равновесия было 2А0/3, на него упал и прилип кусок пластили-
на массой 2т, двигавшийся перед ударом вертикально. Время
соударения значительно меньше периода колебаний и при соуда-
рении брусок не отрывается от стола.
I) Как и во сколько раз изменился период колебаний?
2) Найдите амплитуду колебаний бруска после прилипания
пластилина.
3. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс,
состоящий из изобарического расширения, адиабатического
расширения и изотермического сжатия. Какую работу совершил
газ в адиабатическом процессе, если при изобарическом процес-
се была совершена работа 20 Дж?
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время
2т и размыкают на время т, причём время т достаточно мало
14
ФИЗИКА ★ ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
и напряжение на конденсаторе за это время изменяется незна-
чительно. Через достаточно большое число повторений напря-
жение на конденсаторе становится практически постоянным, со-
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
цепи в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение пред-
мета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между предметом и экраном в 9 раз больше
расстояния от экрана до ближайшего к нему фокуса линзы. С ка-
ким увеличением изображается предмет?
БИЛЕТ 8
1. Груз массой т = 2 кг соединён достаточно длинной невесомой
перекинутой через блок нитью со вторым грузом, находящимся
на закреплённой наклонной плоскости. Грузам сообщили неко-
торую начальную скорость, и систему предоставили самой себе.
В некоторый момент скорость груза т направлена вниз и равна
9 м/с. Через время t = 3 с груз остановился. Найдите силу на-
тяжения нити. Ускорение свободного падения примите равным
g = 10 м/с2.
Рис. к задаче 1 Рис. к задаче 4
2. Брусок массой т совершает колебания под действием упругой
пружины вдоль прямой на гладкой горизонтальной поверхности
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 9
15
стола, имея максимальную скорость vq. В момент, когда ско-
рость бруска равна г>о/3, его нагоняет другой брусок массой т/3,
имеющий скорость Зг>о, сонаправленную со скоростью колеблю-
щегося бруска. В результате неупругого удара бруски слипают-
ся. Время соударения значительно меньше периода колебаний.
1) Как и во сколько раз изменился период колебаний?
2) Найдите максимальную скорость слипшихся брусков.
3. Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс,
состоящий из изобарического расширения, адиабатического
расширения и изотермического сжатия. Какую работу совершил
газ в адиабатическом процессе, если в изобарическом процессе
газ получил 100 Дж тепла?
4. В схеме, изображённой на рисунке, периодически (с периодом
Зт) повторяют следующий процесс: ключ замыкают на время
2т и размыкают на время т, причём время т достаточно мало
и напряжение на конденсаторе за это время изменяется незна-
чительно. Через достаточно большое число повторений напря-
жение на конденсаторе становится практически постоянным, со-
вершая лишь незначительные колебания около своего среднего
значения.
1) Найдите это среднее значение.
2) Найдите среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в
цепи в установившемся режиме.
Все элементы можно считать идеальными, их параметры ука-
заны на рисунке.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение пред-
мета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси
линзы. Расстояние между предметом и линзой в 12 раз больше
расстояния от экрана до ближайшего к нему фокуса линзы. С ка-
ким увеличением изображается предмет?
БИЛЕТ 9
1. Массивная плита поднимается с постоянной скоростью верти-
кально вверх. По направлению к плите движется шарик, имею-
щий непосредственно перед ударом скорость vq, направленную
16
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 9
под углом a (sin а = 2/3) к вертикали. После абсолютно упру-
гого удара о гладкую горизонтальную поверхность плиты шарик
Рис. к задаче 1
отскакивает со скоростью, составляющей
угол 7 (sin 7 = 1/3) с вертикалью.
1) Найдите скорость отскочившего ша-
рика.
2) Найдите скорость плиты.
Ответ достаточно выразить через корни
из целых чисел.
2. Тепловая машина работает по циклу Карно, состоящему из двух
изотерм 1—2 и 3—4 и двух адиабат 2—3 и 4—1. Работа сжатия
в изотермическом процессе 3—4 равна А34 (А34 > 0), а рабо-
та сжатия в адиабатическом процессе 4—1 равна А44 (Ац > 0).
Найдите работу, совершённую машиной в процессе изотермиче-
ского расширения 1—2, если температура в нём равна Т. Рабочее
вещество — v молей идеального одноатомного газа.
3. В центре закреплённого кольца радиусом R с равномерно рас-
пределённым по кольцу положительным зарядом Q удерживают
небольшой по размерам шарик массой m с зарядом 2Q. Шарик
отпускают, и он движется вдоль оси кольца. Найдите скорость
шарика на расстоянии 4R/3 от центра кольца.
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 4
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на
некоторое время т, а затем размыкают. Оказалось, что за всё
время опыта (т.е. за время, пока ключ был замкнут, и за время,
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10 17
пока ключ был разомкнут) в схеме выделилось количество теп-
лоты Q. Найдите время т.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение пред-
мета с двукратным увеличением. Предмет расположен перпенди-
кулярно главной оптической оси линзы.
1) Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше
фокусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, что-
бы, не меняя положения экрана, получить на нём изображение с
пятикратным увеличением.
2) На сколько передвинули предмет, если линзу переместили
на 30 см?
БИЛЕТ 10
1. По гладкой горизонтальной поверхности стола скользит брусок
и ударяет своей гладкой вертикальной гранью АВ по шарику,
скользящему по столу навстречу брус- v
ку (на рисунке показан вид сверху). ________В /
Скорость бруска составляет угол а = \ - /
= 60° с гранью АВ. После абсолют- X •
но упругого удара шарик отскочил со ____________\ *---•
скоростью v под углом (3 = 45° к на- А
правлению движения бруска. Масса Рис. к задаче!
шарика намного меньше массы брус-
ка.
1) Найдите скорость шарика перед ударом.
2) Найдите скорость бруска.
Ответ достаточно выразить через корни из целых чисел.
2. Тепловая машина работает по циклу Карно, состоящему из двух
изотерм 1—2 и 3—4 и двух адиабат 2—3 и 4—1. Работа сжатия
в изотермическом процессе 3—4 равна А34 (А34 > 0), а рабо-
та сжатия в адиабатическом процессе 4—1 равна Ац (Ац > 0).
Какую работу совершает машина за весь цикл 1—2—3—4—1? Ра-
бочее вещество — г/ молей идеального одноатомного газа. Изо-
термическое сжатие происходило при температуре Т.
18
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10
3. Кольцо радиусом R с равномерно распределённым по нему заря-
дом закреплено. На оси кольца на расстоянии 3R/4 от его центра
удерживают небольшой по размерам шарик массой т с отрица-
тельным зарядом q. Заряд кольца равен 3q. Шарик отпускают,
и он движется вдоль оси кольца. Найдите скорость шарика на
расстоянии 4Д/3 от центра кольца.
0 V
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 4
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на
некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что за время,
пока ключ был замкнут, и за время, пока ключ был разомкнут, в
схеме выделились равные количества теплоты. Какой заряд про-
тёк через источник за время, пока ключ был замкнут?
5. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное в два
раза изображение предмета. Предмет расположен перпендику-
лярно главной оптической оси линзы.
1) Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше
фокусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, что-
бы, не меняя положения экрана, получить на нём изображение,
уменьшенное в три раза.
2) На сколько передвинули линзу, если предмет переместили
на 30 см?
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
БИЛЕТ 11
1.Массивная плита поднимается вертикально
вверх с постоянной скоростью. Плиту дого-
няет шарик, имеющий непосредственно перед
ударом скорость, направленную под углом /3 /д
(cos/З = 1/3) к горизонту. После абсолютно v
упругого удара о гладкую горизонтальную по- Рис.
верхность плиты шарик отскакивает со скоро- к задаче 1
стью v, составляющей угол ф (cos ф = 3/4) с горизонтом, как по-
казано на рисунке.
1) Найдите скорость шарика перед ударом о плиту.
2) Найдите скорость плиты.
Ответ достаточно выразить через корни из целых чисел.
2. Тепловая машина работает по циклу Карно, состоящему из двух
изотерм 1—2 и 3—4 и двух адиабат 2—3 и 4—1. Рабочее ве-
щество — и молей идеального одноатомного газа. В процессе
изотермического расширения машина совершает работу Д12, а в
процессе адиабатического расширения — работу Н2з- Какая ра-
бота совершается над газом в изотермическом процессе 3—4, ес-
ли температура в нём равна Т.
3. Бусинка массой m с положительным зарядом q может двигаться
без трения вдоль натянутой диэлектрической нити, совпадающей
с осью кольца радиусом R. Кольцо с равномерно распределён-
ным по нему зарядом —6</ закреплено. Вначале бусинку удер-
живали на расстоянии 3R/4 от центра кольца, затем отпустили.
Найдите скорость бусинки при прохождении центра кольца.
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 4
20
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 12
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на
некоторое время т, а затем размыкают. Оказалось, что за время,
пока ключ был замкнут, через источник протёк заряд q. Найдите
время т.
5. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение пред-
мета с трёхкратным увеличением. Предмет расположен перпен-
дикулярно главной оптической оси линзы.
1) Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше
фокусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, что-
бы, не меняя положения экрана, получить на нём изображение с
двукратным увеличением.
2) На сколько передвинули линзу, если предмет переместили
на 30 см?
БИЛЕТ 12
V
Рис. к задаче 1
1. Шарик скользит по гладкой горизонтальной поверхности сто-
ла, нагоняет скользящий по столу в том же направлении бру-
сок, ударяется абсолютно упруго о гладкую вертикальную грань
CD бруска и отскакивает со скоростью v
под углом (3 = 45° к направлению движе-
ния бруска (на рисунке показан вид свер-
ху). Скорость бруска составляет угол 7 =
= 30° с гранью CD. Масса шарика намно-
го меньше массы бруска.
1) Найдите скорость шарика перед уда-
ром.
2) Найдите скорость бруска.
Ответ достаточно выразить через корни из целых чисел.
2. Тепловая машина работает по циклу Карно, состоящему из двух
изотерм 1—2 и 3-4 и двух адиабат 2—3 и 4—1. В процессе изо-
термического расширения с температурой Т машина совершает
работу А12, а в процессе адиабатического расширения — работу
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 12
21
Агз- Какую работу совершает машина за цикл 1—2—3—4—1? Ра-
бочее вещество — v молей идеального одноатомного газа.
3. Бусинка массой т может двигаться без трения вдоль натянутой
диэлектрической нити, совпадающей с осью кольца радиусом R.
Кольцо с равномерно распределённым по нему положительным
зарядом Q закреплено. Бусинка имеет заряд противоположного
знака —Q/4 и удерживается на расстоянии 4Д/3 от центра коль-
ца. Бусинку отпускают. Найдите скорость бусинки на расстоя-
нии 3R/4 от центра кольца.
Рис. к задаче 2
Рис. к задаче 4
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ К замыкают на
некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что за время,
пока ключ был замкнут, и за время, пока ключ был разомкнут,
в схеме выделились равные количества теплоты. Какое количе-
ство теплоты выделилось в схеме за всё время опыта?
5. С помощью тонкой линзы на экране получено уменьшенное в три
раза изображение предмета. Предмет расположен перпендику-
лярно главной оптической оси линзы.
1) Во сколько раз расстояние между линзой и экраном больше
фокусного расстояния линзы?
Линзу и предмет передвинули вдоль оптической оси так, что-
бы, не меняя положения экрана, получить на нём изображение,
уменьшенное в пять раз.
2) На сколько передвинули линзу, если предмет переместили
на 28 см?
22
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 13
БИЛЕТ 13
1. Два мальчика бегут к неподвижной тележке, находящейся на го-
ризонтальной поверхности. Мальчик массой т запрыгивает на
тележку. Второй мальчик массой 1,2m нагоняет уже движущу-
юся тележку и тоже запрыгивает на неё. Скорость тележки уве-
личивается на 80%. Найдите массу тележки. Горизонтальные
составляющие скоростей мальчиков относительно поверхности
Земли перед попаданием на тележку одинаковы. Сопротивлени-
ем движению тележки пренебречь. Направления всех движений
находятся в одной вертикальной плоскости.
2. Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герметич-
ный цилиндр на две части. С одной стороны от поршня нахо-
дится т = 1 г воды, с другой стороны — воздух под давлением
Р = 0,28 атм. Начальная температура в цилиндре ti = 7 °C.
При медленном нагревании поршень в некоторый момент начи-
нает двигаться, при температуре^ = 100 °C останавливается и
при дальнейшем нагревании остаётся неподвижным.
1) Какая масса воды находится в начальный момент в газооб-
разном состоянии?
2) Найдите объём цилиндра.
Объёмом жидкости можно пренебречь по сравнению с объё-
мом цилиндра. Давление насыщенных паров воды при темпера-
туре 200 С равно Р20 = 0,023 атм. Силу тяжести и трение поршня
о цилиндр не учитывать.
3. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и пер-
воначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после
соединения процессы перезарядки закончились. Все элементы
можно считать идеальными, их параметры указаны на рисунке.
1) Найдите разность потенциалов фд — фр в установившемся
режиме при разомкнутом ключе К.
2) Найдитеток(с указанием направления) через резистор с со-
противлением R сразу после замыкания ключа К.
4. По длинным вертикальным проводящим штангам, находящим-
ся на расстоянии I друг от друга, может без трения скользить,
не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикулярной
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 13
23
Рис. к задаче 3
рельсам, проводящая перемычка массой т. Штанги соединены
через резистор с сопротивлением г и идеальную батарею с ЭДС
S (см. рис.). Сопротивлением остальных участков цепи можно
пренебречь. Система находится в горизонтальном постоянном
однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном
плоскости рисунка.
1) Найдите массу перемычки т, если после подвешивания к
ней на нити груза такой же массы т перемычка оказалась непо-
движной.
2) После обрыва нити через некоторое время устанавливается
равномерное движение перемычки. Найдите величину и направ-
ление скорости v этого движения.
Считайте заданными S, г, В, I, g.
5. В круглое отверстие листа фанеры вставлена собирающая лин-
за с фокусным расстоянием F = 20 см и диаметром D = 69 мм.
Точечный источник света находится на главной оптической оси
линзы на расстоянии а = 40 см от линзы. На экране, располо-
женном перпендикулярно главной оптической оси линзы, полу-
чено резкое изображение этого источника. Линзу при неподвиж-
ных источнике и экране передвигают на х = 20 см вдоль главной
оптической оси в сторону экрана.
1) На каком расстоянии от экрана получилось новое изобра-
жение источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране.
24
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14
БИЛЕТ 14
1. На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной по-
верхности, сидят кошка массой т и собака массой 4т. Кош-
ка спрыгивает с тележки. Затем с уже движущейся тележки по
направлению к кошке спрыгивает собака, и скорость тележки
возрастает в 7 раз. Найдите массу тележки. Горизонтальные
составляющие скоростей кошки и собаки относительно поверх-
ности Земли перед приземлением одинаковы. Сопротивлением
движению тележки пренебречь. Направления всех движений на-
ходятся в одной вертикальной плоскости.
2. Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герметич-
ный цилиндр постоянного объёма на две части. В одной части
находится т = 1 г воды, в другой — воздух. Начальная темпе-
ратура в цилиндре to = 120 °C. При медленном охлаждении ци-
линдра поршень некоторое время остаётся неподвижным, а затем
при температуре ti = 100 °C начинает перемещаться. В конеч-
ном состоянии при температуре £2 = 27 °C давление воздуха в
цилиндре равно Р = 0,5 атм.
1) Какая масса воды находится в конечный момент в газооб-
разном состоянии?
2) Найдите объём цилиндра.
Объёмом образовавшейся жидкости можно пренебречь по
сравнению с объёмом цилиндра. Давление насыщенных паров
воды при температуре 30 °C равно F30 = 0,04 атм. Силу тяжести
и трение поршня о цилиндр не учитывать.
3. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и пер-
воначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после
соединения процессы перезарядки закончились. Все элементы
можно считать идеальными, их параметры указаны на рисунке.
1) Найдите разность потенциалов Фд — фв в установившемся
режиме при разомкнутом ключе К.
2) 11айдитеток(с указанием направления) через резистор с со-
противлением 2R сразу после замыкания ключа К.
4. По длинным параллельным горизонтальным проводящим рель-
сам, находящимся на расстоянии I друг от друга, может без тре-
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14
25
2С
__2<f
t
2R
1__
4С
Рис. к задаче 3
ния скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь
перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка (на рисунке
изображён вид сверху). Рельсы соединены через резистор с со-
противлением г и идеальную батарею с ЭДС <£. Сопротивлени-
ем остальных участков цепи можно пренебречь. Система нахо-
дится в вертикальном постоянном однородном магнитном поле с
индукцией В, перпендикулярном плоскости рисунка. Если к пе-
ремычке приложить параллельно рельсам силу F, то перемычка
будет оставаться неподвижной, а при вдвое большей силе (в том
же направлении) через некоторое время устанавливается равно-
мерное движение перемычки со скоростью v.
1) Найдите величину силы F.
2) Найдите величину и направление скорости v.
Считайте заданными , г, В, I.
5. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 20 см и диа-
метром D — 63 мм вставлена в круглое отверстие листа фане-
ры. Точечный источник света находится на главной оптической
оси линзы на расстоянии а = 28 см от линзы. На экране, распо-
ложенном перпендикулярно главной оптической оси линзы, по-
лучено резкое изображение этого источника. При неподвижных
линзе и экране источник передвигают на х = 8 см вдоль главной
оптической оси в направлении от линзы.
1) На каком расстоянии от экрана получилось новое изобра-
жение источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране.
26
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 15
БИЛЕТ 15
1. К неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной по-
верхности, бегут мальчик массой т и девочка массой 0,8m.
Мальчик запрыгивает на тележку. Девочка нагоняет уже дви-
жущуюся тележку и тоже запрыгивает на неё. Скорость тележки
увеличивается на 60%. Во сколько раз масса тележки больше
суммарной массы мальчика и девочки? Горизонтальные состав-
ляющие скоростей мальчика и девочки относительно поверхно-
сти Земли перед попаданием на тележку одинаковы. Сопротив-
лением движению тележки пренебречь. Направления всех дви-
жений находятся в одной вертикальной плоскости.
2. Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герметич-
ный цилиндр объёмом V = 3,7 л на две части. В одной части на-
ходится вода, в другой — воздух при давлении Р = 0,32 атм. На-
чальная температура в цилиндре Д = 7 °C. При медленном на-
гревании поршень в некоторый момент начинает двигаться, при
температуре = Ю0 °C останавливается и при дальнейшем на-
гревании остаётся неподвижным.
1) Какая масса воды находится в начальный момент в газооб-
разном состоянии?
2) Найдите полную массу воды в цилиндре.
Объёмом жидкости можно пренебречь по сравнению с объё-
мом цилиндра. Давление насыщенных паров воды при темпера-
туре 20 °C равно F20 = 0,023 атм. Силу тяжести и трение поршня
о цилиндр не учитывать.
3. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и пер-
воначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после
соединения процессы перезарядки закончились. Все элементы
можно считать идеальными, их параметры указаны на рисунке.
1) Найдите разность потенциалов Фа — фв в установившемся
режиме при разомкнутом ключе К.
2) Найдите ток (с указанием направления) через резистор с со-
противлением 3R сразу после замыкания ключа К.
4. По длинным вертикальным проводящим штангам, находящим-
ся на расстоянии I друг от друга, может без трения скользить,
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 15
27
3R
J ЗС
Рис. к задаче 3
не теряя электрического контакта и оставаясь перпендикуляр-
ной рельсам, проводящая перемычка массой тп. Штанги соеди-
нены через два резистора с сопротивлением г и идеальную бата-
рею с ЭДС (см. рис.). Сопротивлением остальных участков
цепи можно пренебречь. Система находится в горизонтальном
постоянном однородном магнитном поле с индукцией В, перпен-
дикулярном плоскости рисунка.
1) Найдите массу перемычки тп, если при разомкнутом ключе
она оказывается неподвижной.
2) После замыкания ключа через некоторое время устанавли-
вается равномерное движение перемычки. Найдите величину и
направление скорости v этого движения.
Считайте заданными г, В, I, g.
5. В круглое отверстие листа фанеры вставлена собирающая лин-
за с фокусным расстоянием F = 30 см и диаметром D = 72 мм.
Точечный источник света находится на главной оптической оси
линзы на расстоянии а = 60 см от линзы. На экране, располо-
женном перпендикулярно главной оптической оси линзы, полу-
чено резкое изображение этого источника. Линзу при неподвиж-
ных источнике и экране передвигают на х = 15 см вдоль главной
оптической оси в направлении от экрана.
1) На каком расстоянии от экрана получилось новое изобра-
жение источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране.
28 ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
БИЛЕТ 16
1. На неподвижной тележке, находящейся на горизонтальной по-
верхности, сидят собака массой тп и щенок массой 0,2m. Собака
спрыгивает с тележки. Затем с уже движущейся тележки по на-
правлению к собаке спрыгивает щенок, и скорость тележки воз-
растает на 30%. Во сколько раз масса тележки больше суммар-
ной массы собаки и щенка? Горизонтальные составляющие ско-
ростей собаки и щенка относительно поверхности Земли перед
приземлением одинаковы. Сопротивлением движению тележки
пренебречь. Направления всех движений находятся в одной вер-
тикальной плоскости.
2. Тонкий подвижный теплопроводящий поршень делит герметич-
ный цилиндр объёмом V = 8,3 л на две части. В одной части на-
ходится вода, в другой — воздух. Начальная температура в ци-
линдре to = 110 °C. При медленном охлаждении цилиндра пор-
шень некоторое время остаётся неподвижным, а затем при тем-
пературе И = 100 °C начинает перемещаться. В конечном со-
стоянии при температуре t% = 27 °C давление воздуха в цилин-
дре равно Р = 0,45 атм.
1) Какая масса воды находится в конечный момент в газооб-
разном состоянии?
2) Найдите полную массу воды в цилиндре.
Объёмом образовавшейся жидкости можно пренебречь по
сравнению с объёмом цилиндра. Давление насыщенных паров
воды при температуре 30 °C равно Р30 = 0,04 атм. Силу тяжести
и трение поршня о цилиндр не учитывать.
3. В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и пер-
воначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после
соединения процессы перезарядки закончились. Все элементы
можно считать идеальными, их параметры указаны на рисунке.
1) Найдите разность потенциалов ф,\ — фв в установившемся
режиме при разомкнутом ключе К.
2) Найдите ток(с указанием направления) через резистор с со-
противлением 4Д сразу после замыкания ключа К.
ФИЗИКА * ЗАДАЧИ * Билет 16
29
К
A С
В
Рис. к задаче 3 Рис. к задаче 4
4. По длинным параллельным горизонтальным проводящим рель-
сам, находящимся на расстоянии I друг от друга, может без тре-
ния скользить, не теряя электрического контакта и оставаясь
перпендикулярной рельсам, проводящая перемычка (на рисунке
изображён вид сверху). Рельсы соединены через два резистора с
сопротивлением г и идеальную батарею с ЭДС <S. Сопротивле-
нием остальных участков цепи можно пренебречь. Система на-
ходится в вертикальном постоянном однородном магнитном по-
ле с индукцией В, перпендикулярном плоскости рисунка. Если к
перемычке приложить параллельно рельсам силу F, то при разо-
мкнутом ключе перемычка будет оставаться неподвижной, а при
замкнутом через некоторое время устанавливается равномерное
движение перемычки со скоростью v.
1) Найдите величину силы F.
2) Найдите величину и направление скорости v.
Считайте заданными £, г, В, I.
5. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 30 см и диа-
метром D = 60 мм вставлена в круглое отверстие листа фане-
ры. Точечный источник света находится на главной оптической
оси линзы на расстоянии а = 55 см от линзы. На экране, распо-
ложенном перпендикулярно главной оптической оси линзы, по-
лучено резкое изображение этого источника. При неподвижных
линзе и экране источник передвигают па х = 15 см вдоль главной
оптической оси по направлению к линзе.
1) На каком расстоянии от экрана получилось новое изобра-
жение источника?
2) Найдите диаметр светлого пятна на экране.
30
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 1
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1. Решить уравнение
logll^2(2" - 6 + 3 22-ж) = к^_х(2ж - 6 + 3 22
2. Решить уравнение
эт2ж = 2 sin3 |ж| + эт2ж cos х.
3. Решить неравенство
3 — 2х \/1 + 2х
------1---, ----= > 0.
1 + 2х 2V3 - 2х - д/2
4. Окружности шх и ш-2 лежат внутри треугольника АВС, в котором
АВ = ВС = I, АС = 2, а радиус шх в два раза больше радиуса
ш2- Окружности о>1 и ш2 касаются внешним образом, причём шх
касается сторон АВ и АС, а ш2 — сторон ВС и АС треугольника
АВС. Найти радиус окружности шх, если I = 6. Найти все зна-
чения I, при которых существуют указанные окружности.
5. Найти все значения параметра а, при которых наибольшее зна-
О и
чение величины х + у на множестве пар действительных чи-
сел (ж; у), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам
у < \/1 — ж2 и у + |ж — а| < 1, будет максимально возможным.
Найти это максимально возможное значение.
6. В прямоугольном параллелепипеде ДВС'РАХВХС'ХРХ четыре
числа — длины рёбер и диагонали ACi — образуют арифметиче-
скую прогрессию с положительной разностью d, причём AAi <
< АВ < ВС. Две внешне касающиеся друг друга сферы одина-
кового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры
лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается
граней АВВХДХ, ADD^A^, ABCD, а вторая — граней BCCiB[,
CDDiCi, A\B\C{D\. Найти: а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми CDi и ACi, в) радиус R.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3 31
БИЛЕТ 2
1. Решить уравнение
1оё7_ж2(2 Зж+2 - 10 + 3-ж) = logs+1(2 • Зж+2 - 10 + 3-ж).
2. Решить уравнение
sin 2а? = 2 sin3 х + sin |2а?| cos х.
3. Решить неравенство
3 — 4а? Д5 + 4а? >
5 + 4а? + 2^3 - 4а? - 2
4. Окружности wi и W2 лежат внутри треугольника АВС, в котором
АВ = ВС = I, АС = 3, а радиус в три раза больше радиуса
W2- Окружности W1 и W2 касаются внешним образом, причём сщ
касается сторон АВ и AC, а — сторон ВС и АС треугольника
АВС. Найти радиус окружности ш2, если I = 9. Найти все зна-
чения I, при которых существуют указанные окружности.
5. Найти все значения параметра а, при которых наименьшее зна-
9 «
чение величины у — х на множестве пар действительных чисел
(а?; у), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам у +
+ д/4 - х1 0 и у + 2 |а? — а|, будет минимально возможным.
Найти это минимально возможное значение.
6. В прямоугольном параллелепипеде ABC D А \ В \ С\ D\ четыре
числа — длины рёбер и диагонали ACi — образуют арифмети-
ческую прогрессию с положительной разностью d, причём АВ <
< АА^ < AD. Две внешне касающиеся друг друга сферы одина-
кового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры
лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается
граней АВВ^А^, ADD^Ai, ABCD, а вторая — граней ВСС^В^,
CDD]Ci, A\B\C\D\. Найти: а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми CD\ и АС[, в) радиус R.
БИЛЕТ 3
1. Решить уравнение
log19_x2(3" - 12 + 4 • 32 Д = 1о&ж_ДЗж - 12 + 4 • 32~Д
32 МАТЕМАТИКА * ЗАДАЧИ ♦ Билет 4
2. Решить уравнение
2 cos 2а; — 2 sin3 |ж| + sin 2х cos х.
3. Решить неравенство
/5 — 4а; \/3 + 4а; >
V 3 + 4а; + 2х/5 - 4а; - 2
4. Окружности wi и W2 лежат внутри треугольника АВС, в котором
АВ = ВС = I, АС = 4, а радиус wi в полтора раза больше ради-
уса ш2- Окружности и W2 касаются внешним образом, причём
wi касается сторон АВ и АС, а ш2 — сторон ВС и АС треуголь-
ника АВС. Найти радиус окружности сщ, если I = 8. Найти все
значения I, при которых существуют указанные окружности.
5. Найти все значения параметра а, при которых наибольшее зна-
чение величины х2 + 2у на множестве пар действительных чи-
сел (ж; у), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам
у \/9 — ж2 и у + |2ж — а| С 3, будет максимально возмож-
ным. Найти это максимально возможное значение.
6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDАуВуСуВВ четыре
числа — длины рёбер и диагонали ACi — образуют арифмети-
ческую прогрессию с положительной разностью d, причём AD <
< АВ < АА±. Две внешне касающиеся друг друга сферы одина-
кового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры
лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается
граней АВВ^А^, ADDiAi, ABCD, а вторая — граней ВСС^В^,
CDDiCi, AiBiCiDi. Найти: а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми CDi и ACi, в) радиус R.
БИЛЕТ4
1. Решить уравнение
log13„a.2(3 • 4*+2 - 18 + 4-) = loga;+1(3 • 4*+2 - 18 + 4^).
2. Решить уравнение
2 cos 2х = 2 cos3 х + sin 2х sin |ж|.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 5 33
3. Решить неравенство
/1 — 2а; л/3 + 2а;
\--------1---7==---------7= 0.
V з + 2х 2л/1 - 2а; - а/2
4. Окружности сщ и W2 лежат внутри треугольника АВС, в котором
АВ = ВС = I, АС — 6, а радиус сщ в четыре раза больше ради-
уса ш2- Окружности и W2 касаются внешним образом, причём
сщ касается сторон АВ и АС, а ы2 — сторон ВС и АС треуголь-
ника АВС. Найти радиус окружности ш2, если I = 15. Найти все
значения I, при которых существуют указанные окружности.
5. Найти все значения параметра а, при которых наименьшее зна-
х2
чение величины у —на множестве пар действительных чисел
(а;; у), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам у +
+ л/16 — х2 0 и у+ 4 |4ж — а|, будет минимально возможным.
Найти это минимально возможное значение.
6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA]B]C]D\ четыре
числа — длины рёбер и диагонали ACi — образуют арифметиче-
скую прогрессию с положительной разностью d, причём AAi <
< AD < АВ. Две внешне касающиеся друг друга сферы одина-
кового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры
лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается
граней ABBiAi, ADDiAi, ABCD, а вторая — граней BCCiBi,
CDDiCi, AiBiCiD-^. Найти: а) длины рёбер параллелепипеда,
б) угол между прямыми CDi и ACi, в) радиус R.
БИЛЕТ 5
1. Решить уравнение
21og3(a;2 - 4) + 3yiog3(x + 2)2 - log3(a; - 2)2 = 4.
2. Решить уравнение
cos 9а; — 2 cos 6х + 1 . _ .
------------------= cos За; .
cos За; — 1
3. Решить неравенство
(л/х + 3 + х — 3)(v/4aT+~5 + х - 4) <
хА + 4а; — а;2 — а;3
34 МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
4. Окружность ш с центром в точке О на стороне АС треугольника
АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и Е соответственно.
Известно, что AD = 2СЕ, а угол DOE равен arcctg Най-
ти углы треугольника АВС и отношение его площади к площади
круга, ограниченного окружностью ш.
5. Найти все значения параметра а, при которых существует ровно
две пары действительных чисел (ж; у), удовлетворяющих системе
уравнений
Г (ж + у2 - 1)(у - \/б|ж|) = О,
( 2ау + х — 1 + а2.
6. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDAiB^CiDi
расположены два шара сщ и ш2, касающиеся друг друга внешним
образом; кроме того, шар оц касается граней ABCD, АВВ\А\,
ADD]A\, а шар ш2 касается граней AiByCyDi, BCCiBi,
CDD^Ci. Известно, что АВ = 6 - у/2, ArDr = 6 + у/2, ССХ =
= 6. Найти расстояние между центрами шаров од и ш2- Найти
наибольший и наименьший суммарный объём шаров.
БИЛЕТ 6
1. Решить уравнение
21og2(ж2 - 1) + 2л/^2(ж - I)2 - log2(x + I)2 = 3.
2. Решить уравнение
зшЗж — 2 cos 2ж — 1 . . .
------------------ = sin ж .
1 — sin ж
3. Решить неравенство
(\/ж + 4 + ж — 2)(\/4ж + 9 + ж — 3) Q
\/б — ж — 4ж2 — ж3
4. Окружность ш с центром в точке О на стороне АС треугольника
АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и Е соответственно.
Известно, что AD — ЗСЕ, а угол DOE равен arcctg^- Най-
ти углы треугольника АВС и отношение его площади к площади
круга, ограниченного окружностью ш.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 7 35
5. Найти все значения параметра а, при которых существует ровно
две пары действительных чисел у), удовлетворяющих системе
уравнений
f (у + 8 - ж2)(2х + |у|) = 0,
[ 2ах — у = 8 + а2.
6. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABC D A-.BiCiD
расположены два шара сщ и ц>2, касающиеся друг друга внешним
образом; кроме того, шар wi касается граней ABCD, АВВуА^,
ВССуВу, а шар касается граней AyByCyDy, ADDyAy,
CDDyCy. Известно, что АуВу = 14 - у/З, ВС = 14, CCi =
= 14 + у/З. Найти расстояние между центрами шаров сщ и шг-
Найти наибольший и наименьший суммарный объём шаров.
БИЛЕТ 7
1. Решить уравнение
2 log5(s2 - 4) + 4v/log5(;z; - 2)2 - log5(s + 2)2 = 5.
2. Решить уравнение
sin 9.'/; + 4 sin2 Зх — 3
1 — sin Зх
3. Решить неравенство
(у/З — х — х — 3)(\/5 — 4ж — х — 4) < а
\/.т3 — .'z;2 — 4.т; + 4
4. Окружность ш с центром в точке О на стороне АС треугольника
АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и Е соответственно.
з
Известно, что AD = 4СЕ, а угол DOE равен arcctg^- Най-
ти углы треугольника АВС и отношение его площади к площади
круга, ограниченного окружностью ш.
5. Найти все значения параметра а, при которых существует ровно
две пары действительных чисел (ж; у), удовлетворяющих системе
уравнений
f (х - у2 + 4)(у + \/3|ж|) = 0,
( 2ау — х = 4 + а2.
sin 3.'z;|.
36 МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
6. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCD
расположены два шара оц и ш2, касающиеся друг друга внешним
образом; кроме того, шар сщ касается граней ABCD, CDD]C\,
ВСС]В\, а шар касается граней AiBiCiDi, ADD^A^,
АВВ^Ау. Известно, что C^Di = 20 — д/11, AD = 20, BBi =
= 20 + \/1Т. Найти расстояние между центрами шаров оц и
Найти наибольший и наименьший суммарный объём шаров.
БИЛЕТ 8
1. Решить уравнение
21og3(rr2 - 1) + 5x/log3(a; + I)2 - log3(rr - I)2 = 6.
2. Решить уравнение
cos Зх + 4 sin2 х — 1 . .
------------------= cos я .
cos x — 1
3. Решить неравенство
(х/4 — х — х — 2) (V9 — 4ж — х — 3)
узА — 4ж2 + х + 6
4. Окружность ш с центром в точке О на стороне АС треугольника
АВС касается сторон АВ и ВС в точках D и Е соответственно.
2
Известно, что AD = 5СЕ, а угол DOE равен arcctg Най-
О
ти углы треугольника АВС и отношение его площади к площади
круга, ограниченного окружностью ш.
5. Найти все значения параметра а, при которых существует ровно
две пары действительных чисел (ж; у), удовлетворяющих системе
уравнений
Г (У + х2 - 9)(2ж - х/7|у|) = 0,
( 2ах + у = 9 + а2.
6. Внутри прямоугольного параллелепипеда ABCDA^ByCiDj
расположены два шара оц и си2, касающиеся друг друга внешним
образом; кроме того, шар сщ касается граней ABCD, CDD^Ci,
ADDiAi, а шар касается граней А^В^С^О^, BCC^Bi,
АВВуАу. Известно, что C'lDi = 22 — у/2, ВС = 22, АА^ =
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 9
37
= 22 + -/2. Найти расстояние между центрами шаров сщ и ш2-
Найти наибольший и наименьший суммарный объём шаров.
БИЛЕТ 9
1. Решить систему уравнений
ху + 2х + Зу = 2,
2х2у + Зжу2 + 12ж + 18у = 16.
2. Решить неравенство
log(x-i)44 - ®)2 + log(1_a.)2(a; + 1) 1.
3. Решить уравнение
2?Г COS2 X + 7г\ ( 7Г 7Г
------------ I _|_ ctsr | — J-
4 cos6 х + 1 / \ 6 4 cos6 х + 1
4. Окружность касается стороны AD четырёхугольника ABCD в
точке D, а стороны ВС — в её середине М. Диагональ АС пе-
ресекает окружность в точках К и L (АК < AL). Известно, что
АК = 5, KL = 4, LC = 1. Лучи AD и ВС пересекаются в точке
S, причём AASB = 120°. Найти радиус окружности и площадь
ABCD.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
tg
имеет единственное решение на отрезке |0,
6. В пирамиде ABCD грани АВС и ADC являются равнобедрен-
ными треугольниками с общим основанием АС. Сфера ради-
уса R с центром в точке О, лежащей на грани АВС, касается
всех рёбер пирамиды ABCD. Найти длины отрезков, на которые
точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды
ABCD, если угол АВС равен 2а. Найти значение угла АВС,
при котором объём пирамиды ABCD будет наименьшим. Найти
это наименьшее значение объёма пирамиды ABCD.
38
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
БИЛЕТ 10
1. Решить систему уравнений
ху + х + Зу = 1,
х2у + Зху2 + Зх + 9у = 4.
2. Решить неравенство
1°g(4-;r)4 (1 - ж)2 + log(T -ту2 (6 - ж) 1.
3. Решить уравнение
(7Г 2тг sin2 X + 7Г \ / 7Г
6 4 sin6 х + 1 ) \ 4 sin6 х + 1
4. Окружность касается стороны AD четырёхугольника ABCD в
точке D, а стороны ВС — в её середине М. Диагональ АС пе-
ресекает окружность в точках К и L (АК < AL). Известно, что
АК — 3, KL = 5, LC = 1. Лучи AD и ВС пересекаются в точке
S, причём A AS В = 60°. Найти радиус окружности и площадь
ABCD.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
(cos х) s +2(sins)5 =а
имеет единственное решение на отрезке о] •
6. В пирамиде ABCD грани АВС и ADC являются равнобедрен-
ными треугольниками с общим основанием АС. Сфера ради-
уса R с центром в точке О, лежащей на грани АВС, касается
всех рёбер пирамиды ABCD. Найти длины отрезков, на которые
точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды
ABCD, если угол С АВ равен /3. Найти значение угла С АВ, при
котором объём пирамиды ABCD будет наименьшим. Найти это
наименьшее значение объёма пирамиды ABCD.
БИЛЕТ 11
1. Решить систему уравнений
2ху + 4х + Зу = 2,
4ж2у + Зху2 + 12ж + 9у = 8.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 12
39
2. Решить неравенство
1оё(г-з)Лб - ж)2 + log^-^a: - 1) 1.
3. Решить уравнение
/ ЗТГ 2ТГ COS2 X + 7Г \ / 7Г 7Г \
®\4 + 4 cos6 ж+ 1 ) у 4 cos6 х + 1 12/
4. Окружность касается стороны AD четырёхугольника ABCD в
точке D, а стороны ВС — в её середине М. Диагональ АС пе-
ресекает окружность в точках К и L (АК < AL). Известно, что
АК = 5, KL = 3, LC = 2. Лучи AD и ВС пересекаются в точке
S, причём AASB — 2arctg Найти радиус окружности и пло-
щадь ABCD.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
4 4
4(cosar)3 + (sin.rp = а
Г 7Г 1
имеет единственное решение на отрезке л .
6. В пирамиде ABCD грани АВС и ADC являются равнобедрен-
ными треугольниками с общим основанием АС. Сфера ради-
уса R с центром в точке О, лежащей на грани АВС, касается
всех рёбер пирамиды ABCD. Найти длины отрезков, на которые
точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды
ABCD, если угол OBD равен а. Найти значение угла OBD, при
котором объём пирамиды ABCD будет наименьшим. Найти это
наименьшее значение объёма пирамиды ABCD.
БИЛЕТ 12
1. Решить систему уравнений
( ху + 2ж — -Зу + 2 = О,
[ 2ж2у — Зху2 — 12х + 18у = 16.
2. Решить неравенство
1оё(2-г)4 (1 + ж)2 + 1оё(г-2)2 (4 - х) 1.
3. Решить уравнение
/ 2 Л sin2 X + 7Г 7г\ / 7Г 7Г \
tg ------а--------— — Ctg —----------д------ = 0.
\4sm6j; + l 3/ \6 4sin6s + l/
40
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 13
4. Окружность касается стороны AD четырёхугольника ABCD в
точке D, а стороны ВС — в её середине М. Диагональ АС пе-
ресекает окружность в точках К и L (АК < AL). Известно, что
АК = 8, KL = 6, LC = 1. Лучи AD и ВС пересекаются в точ-
т/З
ке S, причём AASB = 2arctg Найти радиус окружности и
площадь ABCD.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
4 1 4
(cos х) 5 + - (sin х) з = а
имеет единственное решение на отрезке тг, — .
6. В пирамиде ABCD грани АВС и ADC являются равнобедрен-
ными треугольниками с общим основанием АС. Сфера ради-
уса R с центром в точке О, лежащей на грани АВС, касается
всех рёбер пирамиды ABCD. Найти длины отрезков, на которые
точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды
ABCD, если угол OCD равен (3. Найти значение угла OCD, при
котором объём пирамиды ABCD будет наименьшим. Найти это
наименьшее значение объёма пирамиды ABCD.
БИЛЕТ 13
1. Решить уравнение
50 + |.т2 - 1| = 3 + |3 - 5ж|.
2. Решить уравнение
„ „ „sin3.7; л 9 „
3 + cos 6.7; = 2----4 tg2 4ж.
cos 4ж
3. Решить неравенство
3 х + 1
ьвл+гЧ - + 4' 06(1+1)2'
4. В треугольнике АВС периметра 40 и площади 60 сторона ВС
равна 16. Внутри треугольника АВС взята точка D, удалённая
на расстояние 1 от прямой АВ и на расстояние 2 от прямой АС.
Найти угол ВАС и расстояние от D до центра вписанной окруж-
ности треугольника АВС.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14 41
5. Найти все пары целых чисел (ж;у), удовлетворяющие системе
уравнений
Г Зх2 — 8ху — у2 = 18,
\ х2 + у2 — 2х 4- 8у 4- 16 = 0.
6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ребро осно-
/i
вания ABCD равно 1, а боковое ребро равно < / На ребре SB
выбрана точка К так, что ВК = 3KS. Сфера ш с центром на
отрезке DK проходит через точки S и С. Найти, в каком отно-
шении центр сферы ш делит отрезок DK, радиус сферы ш и длину
отрезка, который ш отсекает от прямой CD.
БИЛЕТ 14
1. Решить уравнение
^25 + |16х2 - 25| = 4 + 4|х + 1|.
2. Решить уравнение
cos6x „ 9
9 + cos 12х = 10—----8 ctg2 5х.
sin 5х
3. Решить неравенство
3 14-х
log(1+rc)2(l-x) + l Og^ (ГЛр •
4. В треугольнике АВС площади 132 и периметра 66 сторона АС
равна 30. Внутри треугольника АВС взята точка D, удалённая
на расстояние 2 от прямой АВ и на расстояние 3 от прямой ВС.
Найти угол АВС и расстояние от D до центра вписанной окруж-
ности треугольника АВС.
5. Найти все пары целых чисел (ж;у), удовлетворяющие системе
уравнений
х2 + ху — у2 — 4,
х2 + у2 — 4х — 2у 4- 4 = 0.
6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ребро осно-
вания ABCD и высота равны 2. На ребре SA выбрана точка К
так, что SA = <DKS. Сфера ш с центром на отрезке СК прохо-
дит через точки S' и В. Найти, в каком отношении центр сферы ш
42
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
делит отрезок СК, радиус сферы щ и длину отрезка, который щ
отсекает от прямой ВС.
БИЛЕТ 15
1. Решить уравнение
5д/1 + |^2 - 1| = 3 + |5ж + 3|.
2. Решить уравнение
11 + cos 8х = — 12C°S — lOctg2 3®.
sm 3®
3. Решить неравенство
3 \/1 - ж
1°8угд;(1+ '-') +4 1 + ж
4. В треугольнике АВС с периметром 50 и площадью 75 сторона
ВС равна 20. Внутри треугольника АВС взята точка D, удалён-
ная на расстояние 2 от прямой АВ и на расстояние 1 от прямой
АС. Найти угол ВАС и расстояние от D до центра вписанной
окружности треугольника АВС.
5. Найти все пары целых чисел удовлетворяющие системе
уравнений
( х2 + 8ху — у2 + 16 = 0,
[ х2 + у2 + 8х — 2у + 16 = 0.
6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ребро осно-
вания ABCD равно 3, а угол между боковым ребром и плоско-
стью основания равен arctg \/2. На ребре SC выбрана точка К
з
так, что СК = SC. Сфера щ с центром на отрезке АК прохо-
дит через точки S и D. Найти, в каком отношении центр сферы
ш делит отрезок АК, радиус сферы щ и длину отрезка, который ш
отсекает от прямой AD.
БИЛЕТ 16
1. Решить уравнение
л/25 + |16ж2 — 25| = 4 + 4|1 - ж|.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
43
2. Решить уравнение
11 + cos Юж = —10——— — 12 tg2 бх.
cos бх
3. Решить неравенство
9 > \/1 — ж
log 3/j77j:(l + 2?) + 6 1 + X
4. В треугольнике АВС площадью 200 и с периметром 80 сторона
АС равна 36. Внутри треугольника АВС взята точка D, удалён-
ная на расстояние 3 от прямой АВ и на расстояние 4 от прямой
ВС. Найти угол АВС и расстояние от D до центра вписанной
окружности треугольника АВС.
5. Найти все пары целых чисел (ж; у), удовлетворяющие системе
уравнений
( 2х2 — ху — у2 = 8,
[ х2 + у2 + 4ж — 2у + 4 = 0.
6. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ребро осно-
вания ABCD равно 4, а угол между боковой гранью и плоско-
стью основания равен arctg2. На ребре SD выбрана точка К
так, что SK = | SD. Сфера ш с центром на отрезке ВК прохо-
дит через точки S и А. Найти, в каком отношении центр сферы ш
делит отрезок ВК, радиус сферы ш и длину отрезка, который ш
отсекает от прямой АВ.
44
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1.1 — нижний груз, 2 — верхний.
' Т = p^g,
2Т = Т + p2V2g,
* 0,7Т = (pi - p)Vlg,
0,8 • 2Т = 0,7Т + (р2 - p)V2g,
( Т = piVig,
I т = p2V2g,
] 0,7Т = (pi - p)Vlg,
I 0,9Т = (р2 - p)V2g.
—Р = 0,7, ——- = 0,9,
Pi Р2
10 г г
Pi = ~^~Р = 3,3 —о , р2 = Юр = 10 —J .
3 см3 см3
2. l)Fi = ^w2Z.
О
2) Центр масс движущейся по окружности под действием ис-
комой силы массы („ m + -я- = т) находится на расстоянии
4 О о
2 2 , , m ,
3m' 3 + “3
Х ~ ™
3m+ 3
от оси вращения. По теореме о движении центра масс
2 7 2
F2 = тпш х = I-
7
9
3. Пусть Т2 = Т3 = Т, тогда Т\ = Т = ЗТ. А = Ai2 + А23 + A3i,
где
А12 = -АП = 1/сЦТ! - Т2) = 31/ЯТ, Ц23 = -Q, А31 = 0.
А = 3vRT - Q,
Ттах = Т1 = ЗТ = ----.
4. Пусть в установившемся режиме напряжение на конденсаторе
равно U, по условию его можно считать практически постоян-
ным. Тогда при разомкнутом ключе конденсатор заряжается то-
, ^-U т U
ком /1 = „„ , а при замкнутом — разряжается током 12 =
0-/с Z_rt
В стационарном состоянии приходящий заряд должен быть ра-
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 4
45
вен уходящему:
&-Un U гг 4
~Д/Г2т = адт' откуда U = F
g _ и
Через резистор 2R в течение времени 2т идёт ток Д = „ „ =
о It
S и *1$
= уд, а в течение времени т ток 22 = уд = уд • Средняя тепло-
вая мощность равна
„ 2? 22? 2т+ 2? 22? т 2^2 Г/1\2 о /2\21 4 <Г2
Зт 32? \7 J \7 ] 49 2?
5. Изображение действительное, b > 0. Из системы уравнений
1 1 1
—I- - = — , Ь = Га, а + b = 4,52?
а о F
находим: Г2 — 2,5Г + 1 = 0, Гх = 2, Г2 = у По условию изоб-
ражение увеличенное, поэтому
Г = 2.
БИЛЕТ 2
1 г г Г 2 „ . г
1. = 5р = 5 О , Р2 = ё Р ~ 0,4 —q-.
' ' см3' 5' ’ CM3
о 1 \ т~! v* л, 23 и
2. 1)FX = т-р 2) F2 = Уб т-р
9 гр ____ А + Q д ________ 3 п, р_ 4 А’3 г 16
°* Jmax - 2рД • Ч. О - 7 6 - 49 д . Э. 3 .
БИЛЕТ 3
1 .Р! = 2,5р = 2,5 -^з,р2 = 1,5р= 1,5
г ’ см3 г ’ г ’ см3
2 . 1) Fi = j mo;2/. 2) F2 = тЛ
9 гр . _ Q — А д 11__ 1 ip р_ 2 S’ 2 г р 1
Зр2? ' и - 7d- г - 49 2? ' -б. 1-2-
БИЛЕТ 4
1-',‘ = Ь = 1'6 ^.Й = О.8Р = О.8
2. l)F1=mp.2)F2 = pm^.
46
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
о гр ____ 2 Q — А
о. imin - 15 • vR .
4 тт — - р — — I®
4. U - 7 & . Р - 49 R . о. 3 .
БИЛЕТ 5
1. Ускорение левого груза направлено вниз и равно а = v/t =
= 3 м/с2. Из второго закона Ньютона mg — Т — та находим
Т = m(g — а) = 7 Н.
2. 1) Т = 27г< /Д, у = ч = ./| = А
’ У к То у т0 уз Уз
2) Скорость v бруска перед ударом находим из ЗСЭ:
кА2 mv2 2 8 2
—- =----------1-----, mv = -kAZ.
2 2 2 ’ 9 0
тгь 3
Скорость после удара находим из ЗСИ: mv = (m+y )и, и = ^v.
кА2
Новую амплитуду А находим из ЗСЭ: -у- = —-------1----2----’
2 кАц 3 2 3 8 2 7 2 л л
кА = — + -mv = — + -~кА0 = -кА0, А = —Ао.
3. Л23 = Р2(И3 - У2) = Р3У3 - Р2 У2 = vR(T3 - Т2) = yR{Tr - Т2).
3 3
Л12 = -АН = - Т2) = ^R^ - Т2) = -Л23 = 15 Дж.
4. Пусть в установившемся режиме напряжение на конденсаторе
равно U. Тогда независимо от положения ключа через резистор
А — U
R течёт ток = —R— и, кроме того, при замкнутом ключе через
2R течёт ток 12 — В стационарном состоянии приходящий
на конденсатор заряд должен быть равен уходящему:
S - U U 6
—— Зт = — т, откуда U = -S.
it Zit (
__ jj g
За период через резистор R идёт ток R = в течение
U
времени Зт, а через резистор 2R — ток /2 = ур = уь в течение
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
47
времени т. Средняя тепловая мощность равна
р_ IIR3t + I$2Rt _ Р2
- з7 “ 3R
fl
7R ‘
Второе решение. Мощность источника постоянна и, следова-
тельно, равна средней тепловой мощности:
5. Изображение действительное, линза собирающая, b > О, Г > 0.
Из системы
—1-7 = — , а + b = 9(а — F), Ь = Га
а о г
получаем уравнение Г2 + 2Г — 8 = 0, из корней которого Г1 = 2
и Г2 = —4 подходит только положительный.
БИЛЕТ 6
1.Т=12Н. 2. 1)^ = \Д.2)» = чу|.
3. Д12 = = 30 Дж. 4. и = |р, Р = 5. Г = 3.
БИЛЕТ 7
1.Т = 12Н. 2.1)^ = У3.2)А=У^АО.
3. Д2з = | Д12 = 30 Дж. 4. U=^S. Р = ^- 5. Г = |.
БИЛЕТ 8
1.Т = 26Н. 2. 1)^ = -^. 2)77 = 7,0^1.
3. Д23 = | Q = 60 Дж. 4. Р=|р. P=g. 5.r = j.
БИЛЕТ 9
1.1) Проекция скорости шарика на плиту не изменяется:
sin а 2/3
7?0 Sina = V 8Ш7, 77=7,0- = 7,0—— =2t,q.
8Ш7 1/3
48
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
2) В системе отсчёта, связанной с пли-
той, модуль скорости шарика при ударе не
изменяется и угол падения равен углу отра-
жения (см. рис.). В проекции на нормаль к
плоскости имеем
v cos 7 = 2и + «о cos о;,
и = - (и cos 7 — «о cos а) =
Рис. 1 откуда получаем
4V2- у/Ь
---ъ---«о
О,57ио.
Вместо этого можно записать теорему синусов
2и vo
sin(o! — 7) sin 7
и после раскрытия синуса суммы получить тот же ответ.
2. Для машины Карно г/ = 1 — '234' = 1 — р-, откуда
У12 Л 13 J-1
Кроме того, Д12 = Q12, An = IQ341 и Д41 = ^СГДТ. Объединяя
эти соотношения, получаем
Ап = Ам = АМ—А-д- =
uCv
vCvT _ 3vRT
34 vCvT - A41 ~ 3vRT - 2A41 Л34'
3. Потенциальная энергия взаимодействия кольца и шарика равна
W = к Q—2Q-, где I = у/R2 + ж2. Вначале х = О, I = R, в
конце х = д R,l = Jr2 + (t R)2 = I R- Из закона сохранения
О у О О
энергии
2Q2 mv2 2Q2
~^ = ^+
3 R
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 10
49
находим
mv2 _ ^4Q2 _ l8kQ2 _ I 2Q2
2 5R ' у 5mR \ biveomR
4. После замыкания ключа через резистор будет течь постоянный
ток = д, а ток в катушке линейно нарастает со временем
Ib(t) = -j-1. К моменту размыкания ключа в резисторе выде-
лится тепло IrRt, а в катушке будет запасена энергия —,
которая полностью перейдёт в тепло после размыкания ключа.
По условию
„ (ЗУ2 n L (S \2 ^2 9
Q=\r) Rt+2 \LT) =-RT+2LT-
Решая квадратное уравнение т2 + 2 т = находим т
-t£ о
If L\2 2LQ L . .
= а/ I ~ д (второй корень отрицателен).
- = Г,
5. Изображение получено на экране, поэтому оно действительное и
линза собирающая. Решая систему
1 1 _ 1
а + b ~ F ’
при Г1 = 2 получаем ах = 1,5F, 6Х = 3F, /х = ах + 6Х = 4,5F;
при Г2 = 5: а2 = 1,2F, b2 = 6F, l2 = 7,2F.
Линзу передвинули на расстояние хл = b2 - 6Х = 6F - 3F =
= 3F,
предмет: хп = 12 - /х = 7,2F - 4,5F = 2,7F. Таким образом,
27
Жп = = 27 см’
ои
V 3 - 1
1 • 1)«° = -.v
БИЛЕТ 10
0,52v, 2) и = v ~ 0,30v.
2 А _ 2А34А41
3vRT '
3.v =
72 4 4S"L
omR- 4-q~ R2 '
50
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
5. 6] — 1,5Д, хл = I жп = 6 см.
О
БИЛЕТ И
1. 1) v0 = ?v. 2)и = 6v^8 ^7. ^ 0,737..
о л лит , Q _ /
Д '"'4 ” 3vRT + 2А23 Л12' <5. г> - у 57Г£оТОд-
4. т = +^7^ - 4. 5. 61 = 4F, хл = | жп = 36 см.
у \ lx J 6 ix О
БИЛЕТ 12
1. 1 ) 77р = 1 V » 1,12г;, 2) и = 77 у- 1 ~ 0,30т7.
V6 Vo
9 А - 2^12^23 3 ?7 — / Q2
WIT' °'У ~ у 4ОтгеотЯ’
5. bi = | F, жл = жп = 2 см.
4.Q =
4^2L
~7F~
БИЛЕТ 13
1 [ mv = (то + ^М = 44т.
[ 1,2тт7 + (m + М)и = (2,2m + М) 1,8и ’
2 . 1) Давление насыщенного пара при температуре 7 °C меньше
давления при температуре 20 °C и тем более меньше начали
го давления воздуха. Поэтому в начальный момент вода прижат
поршнем к стенке цилиндра и количество пара равно нулю.
2) Давления и температуры по обе стороны от поршня одина-
ковы. В этих условиях отношение объёмов равно отношению ко-
личеств вещества, поэтому поршень движется только тогда, ко-
гда испаряется вода, и то, что он остановился при 100 °C, озна-
чает, что при этой температуре вся вода (z?nap = 1/18) уже ис-
парилась, но пар ещё насыщенный (Pz = 1 атм). В начальный
момент весь объём цилиндра занимает воздух. Из системы
PV = ивозцРТ,
P1V — (^возд +
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 15
51
находим
P2V PV _
ВТ2 ~ вт ~1/пар’
^4 «2.75Я
£2. _
т2 т
3. 1) Второе правило Кирхгофа по замкнутому контуру:
2) Чтобы не связываться с током через другой резистор, за-
пишем второе правило Кирхгофа для контура из левой и средней
ветвей схемы. Сразу после замыкания ключа (заряды всех кон-
денсаторов не успели измениться):
4KJ - ZS = + IR, I = (вверх).
4 47?
/I 1 \ Г) о г»/ $ В<£1
4. 1) Равновесие: 2m# = Bl т = -х—.
f - Bvl = Ir, S S , ,
2)|mg=B71 ^S»'=2. в = 5^ (вверх).
5. До передвигания: a = 2F, => b = 2F = 40 см. После: a =
= 3F. => b = 1,5F = 30 см, изображение находится на 10 см за
экраном. Диаметр пятна ~ • 69 мм = 23 мм.
БИЛЕТ 14
1. М = 10m.
2. 1)0. 2)К= рРпДр «4,6 л.
Г1 г
Т\~Т2
з. 1)Фа-Фв = |<Г.2)1 = (вверх).
4. 1) F = В12) v = (вправо).
5. 1)25 см, 2) 35 мм.
БИЛЕТ 15
1.3.
2. 1) 0. 2)т = у
« 1,2 г.
J-1 /
52_________ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 16
3. 1)<^-<^ = |<?.2)Т=^ (вверх).
4. 1) m = 2) V = 2^7 вверх.
5. 1) 15 см, 2) 12 мм.
БИЛЕТ 16
1.2.
2. 1)0. = к 2,1 г.
3. 1)Фа-Фв = т^-2)/ = ^(вниз).
4. 1) F = Bl ^-.2)v — Фуг; (влево).
7 2г 7 2В1 v 7
5. 1) 54 см, 2) 27 мм.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1 53
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1. Ж1 = log2 3, Ж2 = 3.
Решение. Область допустимых значений х данного уравнения
определяется условиями
|ж| < х/11, |ж| / У10, ж > 1, х 2, (1)
/г(ж) = 2х - 6 + 3 • 22-х > 0. (2)
1) Если h(x) = 1, то
(2х)2 - 7 • 2х + 12 = (2х - 3)(2Х - 4) = 0,
откуда х = log2 3, х = 2.
Число х = log2 3 удовлетворяет условиям (1) и является кор-
нем исходного уравнения, а число х — 2 не удовлетворяет усло-
виям ( 1).
2) Если h(x) Ф 1 и выполняются условия (Г) —(2), то исходное
уравнение равносильно уравнению
11 — х2 = х — 1 или х2 + х — 12 = 0,
откуда х = —4, х = 3.
Число х = —4 не удовлетворяет условиям (1), а число х = 3
удовлетворяет условиям (1)—(2), /г(3) 1и поэтому х = 3 —
корень исходного уравнения.
2. х = 7гп, n е Z,s = у + 2тгп, п 6 Z, п — 1;
2тг
х = —= + 2тгп, п 6 Z, п 0.
О
Решение. 1) Пусть х 0, тогда уравнение примет вид
sin 2х = 2 sin3 х + sin 2х cos х или
2 8тж(зт2 х + cos2 х — cos ж) = 0, 8шж(1 — cos ж) = 0.
Если sin ж = 0, то ж = тгп, п 6 Z, п 0.
Если cos ж = 1, то ж = 2тгп, п 0.
Итак, при ж 0 уравнение имеет корни
Ж = 7ГП, п 0. (3)
2) Пусть ж < 0, тогда 2зшж(со82 ж — sin2 ж — cos ж) = 0,
8Шж(сО8 2ж — СО8ж) = 0, 8ШЖ(2СО82 Ж — СО8 Ж — 1) = 0,
8ШЖ(СО8 ж — 1)(2 cos ж + 1) = 0.
54
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
Если sin х = 0, то
Если cos х —
серию (4).
Если cos х
1,
х — ттп, п G Z, п < 0. (4)
то х = 2тгп, п G Z, п < 0. Эти корни входят в
п,
-1,
(5)
1
— то условию х < 0 удовлетворяют следую-
щие две серии корней:
2тг „
х =------1- 2тгп,
3
2тт
х = —— + 2тгп, п G Z, п 0.
Так как серии корней (3) и (4) можно объединить в одну
х = 7ГП, п G Z,
(6)
(7)
то все решения исходного уравнения определяются формулами
(5)-(7).
2 4'
Решение. Область Е допустимых значений х данного нера-
венства, определяемая условиями
3 - 2ж > 0, 1 + 2х > 0, 2/3 - 2х / /2,
представляет из себя объединение интервалов
/ 1 5\ /5 3\
\ 2’4/ \4 2/
На множестве Е исходное нераве.
ство равносильно каждому из нера-
венств
/3 — 2ж(2/3 — 2х — /2) + 1 + 2х
(8)
2/3 - 2х - /2
7 — 2х — /6 — 4ж
_______, ---> °-
2/3 - 2ж - /2
-------------2
Так как 7 — 2ж > /6 — 4ж при всех х (см. Рис- 1 )> то нера-
венство (8) равносильно на множестве Е каждому из неравенств
2/3 - 2х > /2, л/2(3 - 2х) > 1, 6 - 4х > 1,
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
55
„ 5
откуда ж < 4
Таким образом, множество Ei решений исходного неравенства
/ 5\
— пересечение множества Е с множеством I — оо; т.е. Е± —
( 1
интервал I — « ; т)•
л е> _. _____20____ , > 9
1 Зх/35 + Юл/2 ’ г
Решение. Пусть Oi и О2 — центры
окружностей и ш2 (см. рис. 2), 2R и
R — их радиусы, Di и Л2 — проекции
точек Oi и О2 на АС, Е — проекция
точки О2 на OiDi,
ABAC = ААСВ = 2а.
Тогда | АС = АВ cos 2а, т.е. 2 =
= АС = 21 cos 2а, откуда cos 2а =
Если I = 6, то cos 2а = или
о
9 7
2 cosz а = g, откуда
cosa = sina = ctga =
Чтобы найти R, выразим АС через R.
Так как AOiADi = AO2CD2 = а, то
ADi = 2/?ctga = 2/?y/|, C7T2 =
= /?ctga = Учитывая, что
D1D2 = 0%Е, найдём О2Е из прямо-
угольного треугольника О1ЕО2, в ко-
тором O1O2 = ЗЯ, О1Е = O1D1 —
— O2D2 = R. Тогда
DiD2 = О2Е = y/9R2 - R2
= 2RV2,
56
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
откуда R = —,—1 -----т=, а радиус R\ окружности сщ равен 2R.
Зу35+10у2
Наименьшее значение Zm;n, при котором существуют окружно-
сти о>1 и W2. реализуется в случае, когда окружность сщ является
вписанной в треугольник АВС. В этом случае точка !)[ — се-
редина отрезка АС, а прямая O1O2 — биссектриса угла АСВ и
АО\ОЕ = а. Тогда si ria- = = т?? = |, cos 2а = АВ =
С/1 U2 dii, о У
AD \ 9 7 m Л \ 7
= ---у- = = = Zmin- 1аким образом, при I Zmin окружности CJ1
COS (
и OJ2 существуют.
г х/3 - 1 . | . х/3 + 1. 5
5. —2~ < Ы < —2~, 5.
Решение. На множестве пар, удовлетворяющих только одно-
му неравенству
у < \/1 — ж2,
величина у + ж2 принимает наибольшее значение, равное Со, в
случае, когда парабола у = Со — ж2 касается полуокружности в
двух точках (ж0; Уо) и (—т-'о! Уо), где 0 < xq < 1.
Условия касания можно записать в виде
Со ~ жо = У1 ~жо = Уо, - 2.7,'о =-, Ж° 2 •
V 1 _ хо
Первое из этих условий означает равенство координат парабо-
лы и полуокружности, а второе означает равенство угловых к -
эффициентов.
гл л/3 1^1,35
Отсюда получаем х0 = -у-, у0 = Со = 5 + 4 = 4-
На множестве М(а) пар (ж; у), удовлетворяющих одновремен-
но двум неравенствам у < >/1 — ж2 и у + |ж — a| < 1, величина
у 4- ж2 не может принимать значение, большее С$.
Следовательно, когда одна из точек (жо;уо), (—жо,Уо) принад-
лежит множеству М(а), наибольшее значение величины у + ж2
равно Со и будет максимально возможным.
Выясним, при каких значениях параметра а одна из точек
(^о;Уо), (—хо,уо) принадлежит множеству М(а). Для этого пуж-
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
57
1 ,
но решить неравенство % +
< 1, т.е. неравенство
л/3 1
М(а), если ------
Отсюда следует, что точка ^“2“ ; 2J пРИ1ШДлежит множеству
1 + ^3
2^2
-2-; 2 при-
надлежит М(а) при а 6
2
2
6. a) AAt = dy/2, АВ = d(V2 + 1); б) arccos -71 + 2V2 ;
V 79 + 52\/2
»)Л = ^(3 + 3^-/5 + 6^).
Решение, а) Пусть ААх = х, тогда АВ = х + d, ВС = х + 2d,
ACi — х + 3d. Получаем АА2 + АВ2 + ВС2 = АС2, т.е.
х2 + (ж + d)2 + (ж + 2d)2 = (ж + 3d)2 => х2 = 2d2, х = dV2.
АА] = dy/2, АВ = d(l + у/2), ВС = d(2 + V2).
б) Проведём через середину Е ребра А^! плоскость П, пер-
пендикулярную AiDi (см. рис. 3). Пусть О — точка пересече-
ния диагоналей прямоугольника, полученного при пересечении
параллелепипеда плоскостью П.
Так как ОЕ || CD] , то угол АОЕ равен углу ip между прямы-
58 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 2
ми CD\ и АС1- Для нахождения угла р воспользуемся теоремой
косинусов в треугольнике АОЕ. Получим
АЕ2 = АО2 + ЕО2 - 2АО ЕО cos ср,
где АЕ = ^АА2 + | ВС2 = Е0 = \ CDi =
= | у/АВ2 + АА2 = а/5 + 2V2, АО = ±АСГ =
= у/АА2 + АВ2 + ВС2 = х/11 4- 6л/2- Итак,
7 + 2у[2 11 + 6л/2 5 + 2х/2 1 / М
---2---=------1---+----1----2--у (11 + 6у2)(5 + 2V2) cos<^,
1 + 2л/2
откуда cos о? = —====.
V 79 + 52л/2
в) Рассмотрим систему координат, в которой Л(0; 0; 0), лучи
АВ, AD, и АА± — положительные координатные полуоси.
В этой системе точка Сд имеет координаты (cZ(\/2 + 1); cZ(\/2 +
+ 2); cZ\/2). Пусть R — радиус каждой из сфер. Тогда центр
первой сферы имеет координаты (R; R-, R), а центр второй сферы
— координаты (d(p/2 + 1) — R; d(y/2 + 2) — R; dy/2 — R). Так как
сферы касаются, то расстояние между их центрами равно 2R, т.е.
(d(\/2 + 1) - 2R)2 + (d(2 + V2) - 2R)2 + (dV2 - 2R)2 = 4R2.
Полагая 2R = t, получаем уравнение
2t2 - d(fiV2 + 6)t + (11 + бД2фД = 0,
откуда находим
o t (3 + 3x/2)d ± c/y/5 + 6x/2
“ 2 ~ 4 ’
По условию центры шаров лежат внутри параллелепипеда и по-
этому R у/2.
г о Аз + Зл/2 - y/b + 6\/2\ ,
Следовательно, R = I --------------— ) d.
БИЛЕТ 2
1. Si = - log3 2, х2 = 2.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 4 59
2. х = 7гп, п Е Z; х = + 2тгп, п G Z, п 7 —1; х = — + 2тгп,
п G Z, п 7 0.
3. 4 < X < 2-
4- Д2 = 4735 + 1073’1 3-
6. а) АВ = с/72, AAi = d(^2 + 1), AD = d(y/2 + 2);
б) агссоч 1 + 2^ в) В - d ( 3 + 372-75 + 672А
779 + 5272 \ 4 J
БИЛЕТ 3
1. жх = log34, х2 = 4.
2. х = 5 + 2тгп, п G Z; х — + 2тгп, п G Z; х = + 2тгп, п G Z,
6 6 2
п 0; х = п G Z, п —1; х = + 2тгп, п Е п —1.
3- <х< 1.
4 R - 36 , 50
1 “ 5715 + 676’ 23-
5. 472-2 |а| ^472 + 2; 10.
6. a) AD = dV2, AAt = d(\/2 + 2), АВ = d(72 + 1);
3 + 272 А D , (3 + 372 - 7б + б72\
б) arccos . ; в) R = с/ ------7------— .
7171 +12072 \ 4 /
БИЛЕТ 4
1. Ж] = - log4 3, Х2 = 3.
2. х = 2тгп, п Е Z; х — + 2тгп, nGZ, п 0; х — — ^г- + 2тгп,
О О
nGZ,n^ 1; х = j + G Z,n —1.
576 + 8 7
5. 873 - 2 |а| 7 873 + 2; -5.
60________МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5___________
6. a) AD = d(V2 + 1), AAr = dy/2, АВ = d(V2 + 2);
2 + 2^2 , г> , (З + За/2 - \/5 + 6х/2А
б) arccos г... = в) R = а -----------------— .
V34 + 23\/2 \ 4 J
БИЛЕТ 5
1. х = —2 - х/3-
Решение. Область допустимых значений уравнения определя-
ется условием |ж| > 2, при выполнении которого исходное урав-
нение равносильно каждому из уравнений
fr2 _ д') 2 ___________
log3 + 3И^з(ж + 2)2 = 4,
log3(x2 + 2)2 + \/^з(ж + 2)2 = 4.
Пусть t = y/\og3(x + 2)2, тогда t2 + t - 4 = 0, откуда Н = -4,
^2 = 1- Так как t > 0, то t = i/log3(x + 2)2 = 1, откуда log3(x +
+ 2)2 = 1, (ж + 2)2 = 3, Xi = —2 + л/З, Х2 = — 2 — л/З. Корень
Xi не удовлетворяет условию |ж| > 2, а корень х? удовлетворяет
этому условию и является корнем исходного уравнения. -•
q 7Г . 2тГ72 Г77
2. х = з Н—, п G
Решение. Пусть t = cos3x, тогда cos9.-z: = 4t3 — 3t, cosfi.z; =
= 2i2 — 1 и уравнение примет вид
4i3 - 4t2 - 3t + 3
t- 1 “
Так как 4i3 — 4i2 — 3t + 3 = (i — 1)(4i2 — 3) и t 1, то исходно,
уравнение равносильно уравнению
4/.2 — 3 = |i|, где t = cos 3x 1.
Если t 0, to 4i2 — t — 3 = 4(t — 1) = 0, откуда t =
3
= - 4 < 0. В этом случае исходное уравнение не имеет корней.
Если t < 0, то 4i2 +1 — 3 = 0, откуда ti — — 1 < 0. | > 0.
Итак, cos Зх = —1, откуда х = Т _|_ п G Z.
О о
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
61
Решение. Пусть f(x) = л/ж + 3 + х — 3, д(х) = \/4ж + 5 + х —
—4. Каждое из уравнений /(ж) = 0, д(х) = 0 имеет единственный
корень ж = 1.
Функции /(ж) и д(х) определены соответственно при ж > —3
К
и ж > — причём /(ж) < 0 при ж G [—3,1) и /(ж) > 0 при ж > 1,
д(х) < 0 при ж G [- | ,1] и д(х) > 0 при ж > 1.
Следовательно, неравенству /(ж)д(ж) К 0 удовлетворяет
только ж = 1.
Функция Л,(ж) = >/4 + 4ж - ж2 - ж3 определена при ж = 1 и
Ц1) = V6 > 0.
Поэтомуж = 1 — единственное решение неравенства.
4. ААВС = % - arctg 3, ААСВ = J, ABAC = arctg |,
S = 2л/Т0 + 7
7ГЛ2 67Г
Решение. Пусть ABAC = а, ААСВ = (3, ср = arcctg | =
= arctg 3, R — радиус окружности ш, ЕС — ж (см. рис. 4). Так
как сумма углов четырёхугольника ODBE равна 2тг, а углы при
вершинах D и Е — прямые, то ААВС = tv — arctg 3. По условию
AD = 2ЕС = 2ж. Тогда tga = tg/З = откуда tg/З =
= 2 tg а. Из рис. 4 следует, что ~ — a + p+ ^- (3 = Tv, откуда
62 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
а + /3 = (р,
. , . дх . Q tga + tg/3 3tga
tg(a + R) = tg <p, т.е. ----— = 3, ----- 2 = 3,
1—tgatgp 1—2tg2a
2 tg2 a + tg a — 1 = 0, tga=|, tg/8 = l.
Следовательно, ABAC = arctg AACB =
Найдём площадь S треугольника ABC. Так как BE = BD,
то ABOE = ABOD = %, и, значит, BD = BE = Rtg %, S =
Z Z
= i(BC+AB)B = § (2BD+EC+AD), где EC = Bctg/0 = R,
AD = Bctg a = 2R. Найдём tg из уравнения
2tg^
„ 9 a a a ylO — 1
3tg2 — + 2tg — — 3 = 0, tg- =-------------.
Z Z Z (j
Следовательно, S
ношение площади
7 + 2^/16
_ „2 f^io-i з\
- E -----3---+ 2 J
треугольника ABC и
7 + 2^/16 d2
= ----7Г— R , a ot-
6
площади круга равно
67Г
_ /2 _ /3 1^.1
a-V3’a V2’ ^Vq 2Vq'
Решение. Пусть П — парабола, задаваемая уравнением у2 =
= 1 — х, L — ломаная, задаваемая уравнением у = г/б|ж|, /х и
/2 — лучи, определяемые уравнениями у = —у/бх, у 0 и у =
= г/бж, у 0; I — прямая 2ау + х = 1 + а2 (см. рис. 5). Решая
систему уравнений
( у2 = 1 — X,
[ 2ау — а2 = 1 — х,
найдём общие точки прямой I и параболы П.
Из этой системы следует, что у2 — 2ау + а2 = (у — а)2 = 0,
у = а, х = 1 — а2, т.е. система имеет единственное решение при
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
63
любом a G R Это означает, что прямая I касается параболы П в
точке (7(1 — а2; а).
Рассмотрим три возможных случая а = 0, а > 0, а < 0.
а) Если а = 0, то прямая I задаётся уравнением х = 1. Эта
прямая касается параболы П в точке (1; 0), пересекает луч 1^, но
не пересекает луч 1у. Поэтому при а = 0 исходная система урав-
нений имеет ровно два решения.
б) Если а > 0, то прямая I пересекает ось Оу в точке с по-
ложительнои ординатой % а также пересекает лучи и 1^
(см. рис. 5).
Найдём сначала значения а > 0, при которых прямая I прохо-
дит через точки А и В, являющиеся точками пересечения лучей
/1 и ?2 с параболой.
Координаты точек А и В определяются из системы уравнений
( у2 = 1 — X,
I У = \/б|ж|.
Отсюда получаем уравнение 6х2 = 1 — х, имеющее корни х\ =
= — Х2 = Числа Xi и Ж2 — абсциссы точек А и В, а зна-
чения а, при которых прямая I проходит через точки А и В, —
64
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
корни уравнений 1 — а2 = — 1 — а2 = Так как a > 0, то
а1 - у 2> а2 - у 3’
При а = й1 и а = «2 прямая I пересекает ломаную L в двух
точках, одна из которых — общая точка ломаной L и параболы
П. Поэтому при а = ai и при а = исходная система уравнений
имеет ровно два решения.
или а
а
Если О
Если a G
/з ,
у то прямая I не проходит
через точки А и В и пересекает ломаную L в двух различных точ-
ках. Это означает, что система уравнений имеет три различных
решения.
Пусть к, ki и к<2 — угловые коэффициенты прямой I и лучей 1\
и /2 соответственно. Тогда
к = — — (а 0), к.\ = —Уб, к2 = Уб.
2а
то прямая I пересекает /2 и не будет пере-
секать /1 только в том случае, когда к = ki, т.е. — = —Уб,
1 п 1
откуда а = Поэтому при а = исходная система урав-
нений имеет ровно два решения.
то прямая I пересекает ломаную L в
двух точках, не лежащих на параболе П. В этом случае система
имеет три различных решения.
Пусть 0 < a < ^_, тогда ± > Уб, - X < -Уб, т.е. к <
< ki и поэтому прямая I не пересекает но пересекает /2. В
этом случае система имеет два различных решения.
в) Пусть а < 0, тогда прямая I пересекает ось Оу в точке с
отрицательной ординатой. Если — < a < 0, '.е. — < Уб,
то к < &2 и к > ki (к > 0, к\ < 0). В этом случае прямая I
пересекает луч /2 и не пересекает луч и по- ому система имеет
ровно два различных решения.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
65
Наконец, если а < — то прямая I не пересекает ломаную.
В этом случае система имеет единственное решение.
6. d — 4, Vmin — > '^max
- 16^2) .
Решение. Пусть п и гг — радиусы шаров (считаем, что
Г1 < Г2), а = АВ = 6 - V%, b = CCi = 6, с = А1В1 = 6 +
+ л/2, тогда а < Ъ < с.
Рассмотрим прямоугольную систему координат с центром в
точке А и осями Ох, Оу, Oz, направленными соответственно
вдоль лучей АВ, AAi и АВ. Если Ох и О2 — центры шаров,
то они имеют координаты (ri,ri,ri) и (а - г2,а — г2,а — г2). Из
условия касания шаров следует, что OiOf = (тт + г2)2, т.е. (гх 4-
4- г2 - а)2 + (n + r2 - b)2 + (ri + г2 - с)2 = (п + г2)2.
Полагая t = ri 4- r2, запишем полученное равенство в виде
2t2 — 2(а 4- b 4- c)t 4* (ft2 4* b2 4- с2) — 0, т.е.
t2 - 184 4-56 = 0. (1)
Так как шары принадлежат параллелепипеду, то
о < rt <, 5 = 3 - 4= , 1 = 1,2. (2)
Z Z х/ /,
При условиях (1), (2) можно вписать шары в трёхгранные углы
при вершинах А и Ci и будут выполняться условия задачи.
Уравнение (1) имеет корни ti = 4, t2 = 14. Hot = n 4
4- r2 а — 6 — з/2 и поэтому t = 4.
Сумма объёмов шаров равна
4тг ч 4тг
” = з- .
= ^"(16 -Зп(4- п)) =
О
откуда следует, что vmjn = v(rx = 2) =
(rx +Г2) = —(n 4-r2)((ri +r2)2 - 3rir2) =
1^(4 + 3(n — 2)2), (3)
64-тг
ПГ'
Так как 0<ri<S = 3------L, то из (3) следует, что
у/2
/ах 16тг [ / 1 \2\
^тах-Цз) -"J" |4 + 3(1--^ I-
66 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 8
О \ Zi 1 \ О J
БИЛЕТ 6
1. х = 1 + \/2.
2. х = + 2тгп, п 6 Z.
3. х = 0.
4. А АВ С = 7г - arctg 2, ЛАС В = J, ABAC = arctg
5. а = —4, а = —2, а 6 [—1; 1).
6. d = 9, wmax = (495 - 90х/3)тг, -cmin = 243тг.
БИЛЕТ 7
1. х = 2 + \/5.
О । 27Г7?/ _ гут
i, х — 2" Н- —2—’
3. х — — 1.
4. А АВС - тг - arctg |, А АС В = J, ABAC = arctg 2л/^+ 19
t- _ к _ 4 1.^1
5. а- д/3,а- 2л/з^а 2а/3'
й , 1О /4537 1ОО /7т\ _ 2197
О. б? — 13, Umax — ( 2 182у 11 ) 7Г, 1>тш — 7Г.
БИЛЕТ 8
1. х = -1-д/3.
2. х = 7г + 2-тт, n G Z.
3. х = 0.
4. ААВС = 7г - arctg |, AACB = ABAC = arctg
5. а = \/7, а = -~^=,-\= < а Д=.
V7 V7 V7
а , _ /5516 ОО/1 /к\ _ 2744
О. С? — 14, t>max — \ 3 224у 2 I 7Г, fmjn 7V.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9 67
БИЛЕТ9
1. (-1;2), (3; - §).
Решение. Пусть 2х + Зу = и, ху + 6 = v. Тогда левая часть
первого уравнения системы равна и+w — 6, а левую часть второго
уравнения можно преобразовать так
ху(2х + Зу) + 6(2ж + Зу) = (2ж + Зу)(ху + 6).
Получаем систему уравнений
( и + v = 8,
[ UV = 16,
откуда находим и = v = 4, т.е.
Г 2х + Зу — 4,
\ху = —2.
Исключая из системы х, получаем уравнение Зу2 — 4у — 4 = О,
2
имеющее корни щ = 2, т/2 = ~ о, а затем находим х\ = —1, —
о
= 3.
2. — 1 < х < — 0 < х < 1, 1 < х < 2, 3 < х < 4, х > 4.
Решение. Область Е допустимых значений неравенства опре-
деляется условиями х > —1, X 1, X 4,
|ж — 1| ^4 1 (х 0, х 2), т.е.
Е — промежуток (—1; +оо) с выброшенными из него точками О,
1,2,4.
Если х G Е, то исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств
log(x_i)2(|ж - 4|) + log(x_1)2(® + 1) < 1,
log(a;-i)2(k-4|(a: + l)) < 1. (1)
----------о—...о о----о---------------“о---*
-10-------------------------------------------12-4-X
Рис. 6
а) Пусть (х - I)2 > 1, т.е. |ж — 1| > 1. Этому неравенству
соответствует множество Ei точек, лежащих вне отрезка [0; 2].
На множестве Е-2 = Е П Ei, указанном штриховкой на рис. 6,
68
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
неравенство (1) равносильно неравенству
|ж - 4|(ж + 1) (ж - I)2. (2)
При х > 4 неравенство (2) примет вид
ж2 — Зж — 4 ж2 — 2ж + 1, т.е. ж + 5 0.
Поэтому все значения ж > 4 — решения исходного неравенства.
При ж G (—1; 0) U (2; 4) из (2) получаем неравенство
—ж2+Зж+4 ж2—2ж+1, т.е. 2ж2—5ж—3 = 2(ж—3) ^ж + 0.
Поэтому все значения ж G (—1; — U [3; 4] — решения исход-
ного неравенства.
б) Пусть (ж — I)2 < 1, т.е. ж Е (0; 2). Тогда на множестве Е$ =
= (0; 1) U (1; 2) неравенство (1) равносильно неравенству 2ж2 —
— 5ж —3 0, которое является верным при всех ж Е Ел. Поэтому
все значения ж Е Е-т> — решения исходного неравенства.
О 7Г . 7ГП Г77
<3. ж = 4 + п Е Е.
п Т т 2тг cos2 х + 7г о
Решение. Пусть а = ---я----—, р —
J 4 cos” х + 1
tg а = - ctg (д + /з) = tg + /з), откуда
7Г
4 cos6 ж + 1'
Тогда
а — /3 = — + ктг, к G Z. (3)
О
т т 2тг COS X 2 / гл
Но а — р = ------R----т, где cos2 ж Ф 0, так как значения ж,
4 cos” ж + 1
которых cos ж = 0, не удовлетворяют исходному уравнению.
Пусть cos2 ж = t, тогда
«-/з =-------------—— = (4)
2 COS4 Ж + А--2~ 2t2 + к;
Рассмотрим функцию
Ж = 2i2 + (5)
Так как /'(f) = 4t - X = 4 (t3 - то /'(t) = 0 при t = i
f'(t) < 0 при 0 < t < i и /'(t) > 0 при i < t 1. Поэтому
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
69
/(<) > f | ПРИ t е (°! 1]> t е откуда следует, что
о < -77Д при t е (0; 1]. (6)
J \Ч а
Тогда из (4) —(6) получаем
2тг
0 < а - /3 —
О
и поэтому равенство (3) выполняется только при к = 0, т.е.
2тг cos2 х 2тг
01 4 cos4 * 6 х + 1 3
откуда
4 cos6 х — 3 cos2 х + 1 = 0. (7)
Полагая t = cos2 х, получаем уравнение
4£3 - 3t + 1 = 0. (8)
Если <^(i) = 4£3 -32-1-1, то = 3(422 — 1).
Уравнение ip'(t) = 0 имеет на отрезке [0; 1] единственный ко-
рень to = < 0 при t е [о; > 0 при t е Q ; 1],
ip' = 0, </? Q) = 0. Следовательно, функция tp(t) убывает на
отрезке |о; и возрастает на отрезке [| 51] • Поэтому to = г> —
единственный корень уравнения (8) на отрезке [0; 1], a cos2 ж =
= i — единственное решение уравнения (7). Так как уравнение
cos2 х = i равносильно уравнению соз2ж = 0, то все корни ис-
ходного уравнения определяются формулой
тг тгп „
ж = — 4-----, п G Z.
4 2
4. Д — 4\/5 - УЁ5, S = °
Решение. Так как AD и СМ — касательные к окружности
(см. рис. 7), то по теореме о касательной и секущей AD2 =
= АК • AL = 5 9, СМ2 = СК • CL = 5 • 1, откуда AD =
= 3\/5, СМ = \/5, ВМ = у/5,ВС = 2\/5. Пусть SC = х, тогда
SM = SD = ж + \/5, AS = AD + SD = ж + 4\/5. По теореме
70
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
косинусов из треугольника ASC получаем
АС2 = AS2 + CS2 -AS-CS- cos 120°, т.е.
100 = (х + 4\/5)2 + х2 - 2(ж + 4г/5)ж ,
Зж2 + 12\/5ж - 20 = 0,
-буч ± 4л/15 т 4^15-6^5
откуда х = —-—о—~—• 1ак как х > 0, то х = —-———.
О о
1) Пусть О — центр окружности, R — её радиус. В четырёх-
угольнике ODSM углы при вершинах D и М прямые. Поэтому
ADSM + ADOM = 180°, откуда ADOM = 60° и ADSO = 60°.
Из треугольника DOS находим
DO = R = DS • tg 60° = х/3(ж + \/5) = 4\/5 - х/15.
2) Пусть S, S*i и 5*2 — площади четырёхугольника ABCD и
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
71
треугольников ASB и DSC соответственно. Тогда
S = Si - Si = |(AS • SB - DS SC) sinl20° =
= + 4л/5)(я; + 2\/б) — (x + \/5)я/| =
г- , 50-5^3
= — (5v5a; +40) =------------.
4 2
5.7т^а<1иа — ту f 1 + 2 2 'j
2 2 у /
,, гт cos2 X . 2 -г
Решение. Пусть и = —g—, v = sin х. 1огда
8и + v = 1, и 0, v 0, (9)
а исходное уравнение примет вид
из + из = а, и > 0, v > 0. (10)
Исходное уравнение имеет единственное решение на отрезке
|^0; тогда и только тогда, когда кривая Zi, заданная уравнением
(10), и отрезок 12, заданный уравнением (9), имеют единственную
общую точку.
Если а < 0, то
уравнение (10) не име-
ет решений. Изобра-
зим кривую Zi и отре-
зок Z2 при а > 0 на
координатной плоско-
сти (см. рис. 8). Если
„ . 1
0 + а < 2’ т0 кРивая
Zi и прямая 12 не имеют
общих точек.
Пусть a G ,1), тогда Zi и Z2 имеют единственную общую
точку.
При а 1 кривая Zi и отрезок 12 будут иметь единственную
общую точку в случае, когда графики функций щ(и) = 1 — 8и и
W2(u) = (а — из )3 касаются в точке (uq;vq).
72
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
Тогда должны выполняться равенства
wi(u0) = v2(uo) = «о, = -8-
Второе из этих равенств означает, что
1 1 _2 1 2
—8 = 3(а — Uq )2-и0 3 (—1), т.е. (а - u03)2 = 8и03,
О
а первое можно записать в виде (а — и^)2 = , откуда следует,
2 2 з 9 1
что 8«q = Vq ,v0 = 8?и0, v0 + 8uq = 1, u0(8 + 25) = 1, a = u3 +
+ 4 = 4(1 + 2i) = ± (1 + 25)1 > 1.
(О T d
Итак, исходное уравнение имеет на отрезке |j); единствен-
[1 \ | 32
2 ; 1 \ и при а — (1 + 25) з.
6 л х , R cos a R cos а
. а = R ctg a, b = 5--:--, с = 5---=---,
° 1 — sm а 2 — sin а
_ 2R3 (1 + sin a)2 .
V — 3 (2 — sin a) sin a ’ 3 ’
Решение. Пусть Ai, Ci, A2, А, C2 — точки, в которых
сфера касается рёбер ВС, AC, АВ, AD, BD и CD соответствен-
но (см. рис. 9). Тогда расстояние от центра сферы О до каждой из
этих точек равно R, а отрезки, соединяющие точку О с точками
касания, перпендикулярны соответствующим рёбрам. Обозна-
чим BCi = a, ACi = b, DDi = с. Тогда BAi = BD^ = а,
АА2 = ABi = СВ{ = С А! = СС2 = b, DA2 = DC2 = с.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
73
Из равенства прямоугольных треугольников ОВА\ и OBDV
следует, что ADiBO = а.
Так как BBi ± АС и DBi ± АС, то плоскость BDBi перпен-
дикулярна плоскости АВС. Поэтому высота h пирамиды, про-
ведённая из вершины D на основание АВС. равна высоте в тре-
угольнике BBBi, опущенной на сторону BBi, причём
h = BDsma. (11)
1) Найдём отрезки а, b и с.
Из треугольника OBDi находим BDr = R ctg а, т.е.
а = R ctg а.
Из треугольника АВВ^ имеем b = АВ\ = BBitga, где
BBi = OBt + ОВ = R+ тогда b = B(tgo +
т.е.
, „ 1 + sin а „ 1 — sin2 a R cos а
b R R — ; .
cos a cos а(1 — sin а) 1 — sma
Для нахождения DD\ — с выразим DBi из прямоугольного тре-
угольника ADBi и по теореме косинусов из треугольника ОВВ,.
Так как DB2 = AD2 — АВ2, где AD = L)A-> + АА-> = Ъ + с,
ABi = Ь, то
DB2 = (Ь + с)2 — Ь2 = с2 + 2Ьс. (12)
Из треугольника DBB^ находим
DBi = BD2 + ВВ% - 2ВВ • BBLcosa, (13)
где BD = BD[ + BBi = а + с. Обозначим d = BBi, тогда
равенство (13) примет вид
DB2 = (а + с)2 + d2 — 2(a + c)d cos a —
= a2 + d2 — 2ad, cos a + c(c + 2a — 2d, cos a),
где a2 + d2 - 2adcos a = B\D2, т.е.
DB^ = BiD2 + c2+2ac — 2ad cos a. (14)
Найдём отрезок BiD^ из треугольника OBiBi, в котором OB] -
— ODi = R, AD^OBi = ^- + а(это внешний угол в треугольнике
В10В).
Тогда BjBi = 2Bsin(j + ^), D^B2 = 4/?2
74________МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9__________
, (к , А
/ X 1 - cos Ну + а
= 4В2 sin2 f) = 4В2--------т.е.
£>1В? = 2В2(1+ sina). (15)
Из равенств (12), (14) и (15) следует, что
26с = 4В2 (1 + sin а) + 2ас — 2nd cos а,
где г/ = В Bi = r(1 + —Y а = Rctga, b = ^cosa . Отсюда
1 \ sin a J ° 1 — sin a
найдём,что
В cos a
c = 77--:---•
2 — sin a
2) Найдём объём v пирамиды ABCD по формуле
n = |s/i,
О
где S — площадь треугольника ABC, h определяется формулой
(11), где BD = с + а = ^CtgQ:,
v 7’ 2 — sm а
S = -AC BBl = bd = R2
2
(1 + sin a)2
(2 — sin a) sin a
4) Нахождение наименьшего значения объёма сводится к на-
хождению наименьшего значения функции f(t) =
тервале (0; 1); здесь t = sin а. Так как
(1 + Z)2
на ИН-
_ 2(1 + /)(2/ - it2) - 2(1 - /)(1 + /)2
J[> t2(2-t)2
_ 2(1+ t) _ 2(1 + t)2(2t — 1)
t2(2-t)21 + J t2(2 — t)2 ’
то уравнение f'(t) = 0 имеет на интервале единственный корень
t = причём f'(t) < 0 при t 6 ft); и /'(t) > 0 при t 6 Q ; 1Y
Отсюда следует, что наименьшее значение на интервале (0; 1)
функция /(t) принимает при t = Тогда соответствующее зна-
чение а равно ААВС = L а наименьший объём ?;mjn =
О о
= ?й7(1)=2Я3.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 12
75
БИЛЕТ 10
2. х < 1, 1 < ж 2, 3 < ж < 4, 4 < ж < 5, ж < 6.
3-ж = I + Z?’nGZ-
4. R = 3v^~ A S = 27.
5. 1 а < 2, а = + 2з) \
л „, П , r> х Р Rsm0 2R2 3 4 5 (l + cos/3)2
6. a = JRtg/3,6 = JRctg2,c= = -3- (2_cos/?yc^
д') ^min = 27?3.
БИЛЕТ 11
2. 1<ж^|,2<ж<3, 3<ж<4, 5^ж<6, ж>6.
q __ 7Г . 7Г ТЪ г~п
<5. х = -г + -5-, п G L.
4г £
4. R = 2ч/334 S = 8714.
5. 1 «С а < 4, а = (1 +26р.
6 „ , , R cos а
. а = Rets, а, о = —
° ’ 1 — sm с
7Г
g ? ^min
= 27?3.
7? cos а
2 — sin а
_ 2R3 (1 + sing)2 ,
— 3 (2 — sin а) sin ot!
БИЛЕТ 12
7
2. х < — 1, — 1 < х 0, 1 < х < 2, 2 < х < 3, 2 х < 4.
о 7Г 7ТП гл
о, х — + "2“? п
76 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
4. R = s = 30х/5 _ 10х/з
5. | а < 1, а = | (1 + 4§) 5.
6. а = Etg 2/3, Ь = Rctg/З, с =
_ 2Я3 (l + cos2/9)2 . тг _ооЗ
3 (2 - cos 2/3) cos 2/3 6
БИЛЕТ 13
1. X = — F, X > 1.
5
Решение. 1) Если х — 1, то уравнение примет вид
5 \/1 + ж2 — 1 = 6 — 5х, бх/ж2 = 6 — 5х, —5ж = 6 — 5х.
В этом случае уравнение не имеет решений.
2) Если -1 < х |, то 5\/2 - х2 = 6 - 5ж, 25(2 - х2) = 36 -
- 60ж + 25ж2, 25ж2 — ЗОж — 7 = (5ж + 1)(5ж - 7) = 0. Корень
1 z- ( л 31 7
Ж1 = - g удовлетворяет условию х G I -1; , а корень х% = §
не удовлетворяет этому условию.
3) Если | < х 1, то 5\/2 — х2 = 5ж, 25(2 — ж2) = 25ж2, ж2 =
= 1, Ж1 = 1, а?2 = — 1. Условию же (| > 1] удовлетворяет только
корень Ж1.
4) Если ж > 1, то бх/ж2 = 5ж. Этому уравнению удовлеъ
ряют все значения ж > 1.
2. ж = - ^ + 2тгп, п е Z.
Решение. Если cos 4ж 0, то исходное уравнение равносиль-
но каждому из уравнений
9 , , „ . зшЗж
4(1 + tg2 4ж) + cos 6ж — 1 = 2---,
cos 4ж
4 „ . 9 „ „ sin Зж
—z------2 sin2 Зж = 2------.
cos2 4ж cos 4ж
Полагая зшЗжсоз4ж = t, получаем уравнение t2 + t — 2 = 0,
имеющее корни Н = —2, = 1.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13 77
Так как |t| 1, то t = 1, т.е.
sin3rz; cos 4ж = 1. (1)
Уравнение (1) равносильно исходному, а уравнение
sin 4.7, • cos З.т, = 0 (2)
является следствием уравнения (1). Из (1) и (2) получаем
sin4.r • созЗ.т — sin3.r • cos4.r = — 1, т.е.
sins; = —1. (3)
Уравнение (3) является следствием уравнения (1) и имеет корни
х = —— + 2-тгп, п Е Z. (4)
Проверка показывает, что значения х. определяемые формулой
(4), являются корнями уравнения (1) и исходного уравнения.
Замечание. Стандартный способ решения уравнения
(1) основан на том, что уравнение (1) равносильно совокупности
двух систем уравнений
sin3rz; = 1, Г sin3rz; = —1,
cos4x = l; lcos4a;=—1.
о l-x/5 . п л/5-1 .
<5. —~< х < 0, —я— < х < 1.
Решение. Пусть выполнено условие
О < |.т| < 1.
Тогда полагая
t = log(i+a;)(l - ж),
запишем исходное неравенство в виде
3 1 2(t + l) (i + 5)
< t или -------- < О,
2t + 4-------------------------------2-t + 2
откуда следует, что либо t < —2, либо — 1 < I < —
а) Пусть х Е (0; 1).
Тогда неравенство t = log(1+a.)(l — х) < — 2 равносильно каж-
дому из неравенств
1 — х < -—-—, х3 + х2 — х > 0, х2 + х — 1 > 0,
(1 + ж)2
78
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
v5 — 1
откуда — < х < 1. Найденные значения х — решения ис-
ходного неравенства.
Неравенство -1 t при х Е (0; 1) равносильно двой-
ному неравенству
1 + X + X
откуда следует, что 1 1 — х2. Это неравенство не выполняется
при х Е (0; 1). В этом случае исходное неравенство не имеет
решений.
б) Пусть х Е (—1; 0).
Тогда неравенство t < —2 равносильно каждому из неравенств
1 — х > ~гл——vr, х2 + х — 1 > 0.
(1 + x)z
Решения последнего неравенства не удовлетворяют условию
х Е (—1; 0). В этом случае исходное неравенство не имеет реше-
ний.
Если х Е (—1; 0), то неравенство — 1 t равносильно
двойному неравенству
_L_
\/1 И- X 1 ~t~ X
которое равносильно системе неравенств
1 — х2 1,
(х2 - 2х + 1)(ж + 1) > 1.
Первое неравенство этой системы является верным при ,т
Е (—1; 0), а второе равносильно неравенству х2 — х — 1 < и,
откуда, с учётом условия х Е ( — 1; 0), находим множество реше-
ний исходного неравенства:
л /;> </ о , 3 .24 5л/17
4. ABAC = 2arctg -г = arcsm 5—.
° 4 25 8
Решение. 1) Пусть К, L и Р — точки касания окружности,
вписанной в треугольник АВС, со сторонами АВ, АС и ВС со-
ответственно (см. рис. 10), О — центр окружности, г — её ра-
диус, ABAC = a, CL = х, ВК = у. Тогда AL = АК, ОК =
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
79
= г = - = ~ = 3, ВР = у, СР = х, BP + PC = ВС = 16,
р 20
х + у = 16, 2АК + 2(х + у) = 40, АК = 4, tg ~
2 ) Пусть К1 и L' — проекции точки D на АВ и AC, аМ nN —
проекции точки D на ОК и OL. Тогда DK' = МК = 1, DL' =
= NL = 2,OM = 2, ON = 1.
Так как сумма углов четырёхугольника AKOL равна 2тг, а
ААКО = AALO — то AKOL = тг — а. По теореме коси-
нусов из AMON находим
MN2 = 4 + 1— 2 • 2 • 1 • соз(тг — а), где
2 а 1 — cos q 9 7 , о 153 Зх/17
6 2 1 + cosft 16 25 25 5
Заметим, что OD = 2R, где R — радиус окружности, описанной
Г-1ЛЛ-ДГ Т ЛП no MN 5\/17
около треугольника DMN. Тогда OD = 2R = = —g—, так
как sin а =
24
25'
5. (1; -5), (1; -3).
Решение. Запишем второе уравнение в виде (х — I)2 + (у +
+ 4)2 = 1, откуда (rr — I)2 1 и |гг - 1| < 1. Поэтому х может
принимать только значения 0, 1 и 2.
Если х = 0, то из второго уравнения получаем у = —4. Пара
чисел (0; —4) не удовлетворяет первому уравнению.
Если х = 1, то \у + 4| = 1, откуда ух = -5, у2 = — 3. Обе пары
чисел (1; —5) и (1; —3) удовлетворяют первому уравнению.
80
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
Если х = 2, то у = —4. Пара чисел (2; —4) не удовлетворяет
первому уравнению.
6. gg = 2,B =
\/2П . _ 19
12д/2’1 ~ 12’
Решение. Проведём через середину Е ребра SC плоскость П,
перпендикулярную SC (см. рис. 11).
Пусть L и N — точки пересечения плоскости П с рёбрами SD
и SB соответственно. Тогда центр О сферы является точкой пе-
ресечения прямых KD и LN. Пусть ADSC = <р, ASBD = a, Q,
Т — проекции точек К, S и О на плоскость ABCD.
т с т SE BS 1 /з" 1 у-,
1огда SL = ----- = н----- = о а / о----• Но теореме коси-
cos(/? 2 cos у? 2 у 2 cos</? г
нусов CD2 = 2SC2 — 2SC2 cos т.е. 1 = 3(1- cos откуда
cos р = | , SL = SN = = ^BS.
3 4\/2 4
Из F\BST находим cos а = где ВТ = BS =
/з 1
= у 2’ откУда cos а = уд
1) Найдём отношение длин отрезков КО и OD, а также дли-
ны отрезков KD и OD. Из подобия треугольников SNL и SBD
________МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 14_________81
следует, что где KN = SN — SK = SB — | SB =
(JU In D 4 4
= i SB, NB = i SB. Следовательно, = 2.
2 4 DO
По теореме косинусов KD2 = KB2 + BD2 — 2KB BD cos a,
т.е.
V/43 r\T\ 1 V TT \/43
откуда KD = OD = 5 KD =
2) Пусть R = OS — радиус сферы. Найдём R из треугольника
SNO по теореме косинусов:
SO2 = SN2 + NO2 - 2SN NO cos a,
где SN = т л/к, NO = | BD = | V2. Следовательно,
2 27 8 „ 3 /з 2 /- 1 27 8 , 211
32 9 4 V 2 3 УЗ 32 9 32 9 ’
г, а/211
0ТКуДа Я = 12?2-
3) Пусть М — основание перпендикуляра, опущенного из точ-
ки О на прямую CD, СМ = х. Тогда длина отрезка, отсекаемого
сферой от прямой CD, равна 2х.
Из треугольника ОСМ по теореме Пифагора имеем R2 =
= ОМ2 +х2. Так как OF — перпендикуляр к плоскости ABCD
и ОМ ± CD, то FM ± CD и FM = ^=-. Из треугольников
OFM и OFD по теореме Пифагора находим ОМ2 = OF2 +
+ FM2, FD2 = OD2 - OF2, где OD = J^=, OF = | ST,
12y/2 4
ST = VBS2 - ВТ2 = ./I - 1 = 1, OF = FD2 = ^2 -
\] Z Z 4 Z • 1Z
_ X _ _A_ FM2 - OM2 = (AV + X x2 =
16 ~ 12У2’ 2 242’ k24j + 16'
Z?2 OM2 — 25 1 361 19 o 19
- H UM - 122 2 122 • 4 16 242’^ 24’“- 12
82
1.
2.
з.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 16
БИЛЕТ 14
1
х =
5
4'
х = — + 2тгп, п 6 Z.
. / 1 -л/5 п л/5- 1
— 1 < х g’ и < х < —g—'
/ л о ± 4 5д/97
ЛАВ С = 2 arctg 3, ~24~ •
(2;0), (2;2).
КО _ 9 R _ л/2П , _ 19
СО - 2, К - А - 6 •
БИЛЕТ 15
1 ,
х = ё, х -1-
а
х = + 2тгп, п Е Z.
Т . . 1 - л/5 п / л/5-1
— 1 < х < —2—’ 0 < х —g—
/тзлг, о т 3 х/221
ABAC = 2 arctg g, —g—.
(-5;1), (-3; 1).
KO _ 9 R _ x/211 , _ 19
AO ~ П - 4д/2 ’ 4 •
БИЛЕТ 16
_ 1 .5
x ~ 4’ x 4-
x = + 2тгп, n E Z.
-—2^ < x < 0, ^2—“ x < 1-
ЛАВС =
(-2;0),(-2;2).
ко R_
BO - 2’ R-
x/211 , _ 19
3^ ’ 3 •