БИЛЕТЫ
ПИСЬМЕННЫХ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ
ЭКЗАМЕНОВ В МФТИ A998г.)
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Москва
Издательство МФТИ
1999

УДК 53@75)
ББК 22.3
Б61
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A998 г.) — М.: Издатель-
Издательство МФТИ, 1999. 36 с. ISBN 5-89155-042-3.
В сборнике приведены задания, предлагавшиеся на вступительных экзаменах абиту-
абитуриентам Московского физико-технического института в 1998 г. Все задачи снабжены
ответами, часть — подробными решениями, некоторые основными указаниями к ре-
решению. На выполнение каждой экзаменационной работы давалось 4,5 часа.
Для абитуриентов МФТИ и других физических вузов, а также для преподавателей
школ с углубленным изучением физики и математики.
Билеты письменных вступительных экзаменов в МФТИ A998 г.)
Авторы задач
по физике: доценты Можаев В. В., Чешев Ю. В., Чивилев В. И., Шеронов А. А.
по математике: проф. Шабунин М. И., проф. Сидоров Ю. В.,
доценты' Трушин В. Б., Ко}Ювалов С. П., Иванов Г. Е., асе. Карлов М. И.
Компьютерный набор. Сдано в производство 10.12.98.
Подписано в печать с оригинал-макета 01.02.99. Формат 60x84/16.
Бумага офсетная. Гарнитура тип «Тайме». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,1. Уч. изд. л. 2,1.
Оператор верстки А. К. Розанов
Художник М. В. Ивановский
Корректоры Д. В. Бойцов, Н. В. Болотина
Доп. тираж 1500. Заказ №
Издательство МФТИ. ЛР № 064290 от 14.11.95
141700. г. Долгопрудный Московской обл.. Институтский пер., 9.
Тел. @95) 408-76-81.
Отпечатано предприятием «Шанс».
127412, Москва, Ижорская ул., 13/19.
Тел. @95) 485-93-09.
© Коллектив авторов, 1999
ISBN 5-891554L2-3 © Издательство МФТИ, оформление, 1999

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
i
к задаче 1
БИЛЕТ 1
1. Человеку массой т требуется подтянуть к стене ящик массой
М = Ът с помощью каната, перекинутого через блок. Если человек
стоит на горизонтальном полу, то для достижения цели ему надо тянуть
канат с минимальной силой Fl = 600 Н. С ка-
какой минимальной силой F2 придется тянуть
этому человеку канат, если он упрется в
ящик ногами? Части каната, не соприкасаю-
соприкасающиеся с блоком, горизонтальны. Массами
блока и каната пренебречь.
2. «Тройник» с двумя открытыми в атмос-
атмосферу вертикальными трубками и одной за-
закрытой горизонтальной, полностью запол-
заполнен водой (см. рис.) После того, как «трой-
«тройник» стали двигать по горизонтали (в пло-
плоскости рисунка влево) с некоторым посто-
постоянным ускорением, из него вылилось 1/16
массы всей воды. Чему при этом равно дав-
давление в жидкости у закрытого конца (точка
О) горизонтальной трубки? Трубки имеют
одинаковое внутреннее сечение и длину /.
3. Найти величину работы А, которую совершает моль гелия в зам-
замкнутом цикле, состоящем из адиабатического процесса 1-2, изобары
2-3 и изохоры 3-1. В адиабатическом процессе разность максимальной
и минимальной температур газа равна Д7\ В изобарическом процессе
от газа отвели количество тепла Q.
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке,
в начальный момент ключи Кх и К2 разомкнуты. Сначала замыкают
ключ Kv и когда напряжение на конденсаторе достигает значения
UQ = <?I2, замыкают ключ К2. Определить: 1) напряжение на катушке
индуктивности сразу после замыкания ключа Кг\ 2) напряжение на
О
I
I
к задаче 2
к задаче 3
к задаче 4

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
конденсаторе в установившемся режиме. Внутреннее сопротивление ба-
батареи не учитывать.
5. Изображение точечного источника, расположенного на главной
оптической оси собирающей линзы на расстоянии а = 60 см от нее, по-
получено на экране. Между линзой и источником вставили шюскопарал-
лельную прозрачную пластинку толщиной d = 3 см перпендикулярно
главной оптической оси линзы. Чтобы снова получить изображение ис-
источника, экран пришлось передвинуть вдоль оптической оси на рассто-
расстояние А = 1 см. Определить показатель преломления пластинки, если
фокусное расстояние линзы F = 30 см.
м
БИЛЕТ 2
1. К концам троса, перекинутого через блок, привязаны бруски с
массами т и М — Ат, находящиеся на гладкой наклонной плоскости с
углом наклона а = 30° (см. рис.). При каком
минимальном значении коэффициента тре-
трения к между брусками они будут покоиться?
2. «Тройник» из трех вертикальных от-
открытых в атмосферу трубок полностью запол-
заполнен водой (см. рис.). После того, как «трой-
«тройник» стали двигать в горизонтальном направ-
направлении (в плоскости рисунка) с некоторым ус-
ускорением а, из него вылилось 9/32 всей массы содер-
содержавшейся в нем воды. Чему равна величина ускоре-
ускорения а? Внутреннее сечение трубок одинаково, длины
трубок равны /.
3. Моль гелия совершает работу величиной А в
замкнутом цикле (см. рис.), состоящем из адиабаты
1-2, изотермы 2-3, изобары 3-1. Найти величину ра-
работы, совершенной в изотермическом процессе, если
к задаче I
к задаче 2

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
разность максимальной и минимальной температуры газа в цикле равна
AT градусов.
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке, в
начальный момент ключи Кх и К2 разомкнуты. Вначале замыкают ключ
Kv Когда ток через катушку индуктивности
достигает значения /0, замыкают ключ К2.
Определить: 1) напряжение на катушке ин-
индуктивности сразу после замыкания ключа
Кг; 2) напряжение на конденсаторе в устано-
установившемся режиме. Внутреннее сопротивле-
сопротивление батарей не учитывать.
5. Два луча симметрично пересекают к задаче 5
главную оптическую ось собирающей линзы
на расстоянии а = 7,5 см от линзы под углом а = 4° (см. рис.). Опре-
Определить угол между этими лучами после прохождения ими линзы, если
фокусное расстояние линзы F= 10 см.
к задаче 1
БИЛЕТ 3
1. Человек массой т, упираясь ногами в ящик массой М, подтягивает
его с помощью каната, перекинутого через блок, по наклонной плоскости
с углом наклона а. С какой минимальной си-
силой надо тянуть канат человеку, чтобы подтя-
подтянуть ящик к блоку? Коэффициент трения
скольжения между ящиком и наклонной плог-
костью — к. Части каната, не соприкасающи-
соприкасающиеся с блоком, параллельны наклонной плоско-
плоскости. Массами блока и каната пренебречь.
2. «Тройник» с двумя открытыми в ат-
атмосферу вертикальными трубками и одной
закрытой горизонтальной, полностью за-
заполнен водой (см. рис.). После того как
«тройник» стали двигать по горизонтали (в g
плоскости рисунка направо) с некоторым I
ускорением, из «тройника» вылилось 1/8
массы всей содержавшейся в нем воды. Че-
му при этом равно давление Р в жидкости
у закрытого конца (точка О) горизонтальной трубки? Внутреннее
сечение всех трубок одинаково, длина трубок равна L.
3. Моль гелия совершает работу величиной А в замкнутом цикле, со-
состоящем из изобары 1-2, изохоры 2-3 и адиабатического процесса 3-1
к задаче 2

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
к задаче 3
(см. рис.). Сколько тепла Q было подведено к
газу в изобарическом процессе, если разность
максимальной и минимальной температур
гелия в цикле равна ДГ?
4. В электрической схеме, параметры ко-
которой указаны на рисунке, в начальный мо-
момент ключи К1 и К2 разомкнуты. Сначала
замыкают ключ Kv Когда напряжение на
конденсаторе достигает величины UQ = <f/2,
замыкают ключ Кг. Определить: 1) на-
напряжение на катушке индуктивности
сразу после замыкания ключа К2] 2)
напряжение на конденсаторе в устано-
2 вившемся режиме. Внутреннее сопро-
сопротивление батарей не учитывать.
5. Сходящийся пучок света, падаю-
падающий на рассеивающую линзу симмет-
симметрично относительно главной оптиче-
оптической оси, собирается в точку на экра-
экране, находящемся на расстоянии Ъ = 90 см от линзы. Если перед линзой
перпендикулярно главной оптической оси, разместить плоскопараллель-
плоскопараллельную оптически прозрачную пластинку, то из линзы будет выходить па-
параллельный пучок света. Чему равна толщина пластинки d, если ее
показатель преломления п — 1,5? Фокусное расстояние линзы F = 10 см.
к задаче 4
БИЛЕТ 4
1. Бруски с массами т и М = 1т привязаны к концам нити, пере-
перекинутой через блок. Система находится на наклонной плоскости с уг-
углом наклона а = 60°. При ка-
каком минимальном значении
коэффициента трения к между
нижним бруском и наклонной
плоскостью бруски будут поко-
покоиться? Трением между бруска-
брусками пренебречь.
2. «Тройник», с двумя откры-
открытыми в атмосферу вертикаль-
вертикальными трубками и одной закры-
закрытой целиком заполнен водой
(см. рис.). Когда «тройник»
т
О
к задаче 1
к задаче 2

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
стали двигать по горизонтали с некоторым ускорением (в плоскости ри-
рисунка), то из него вылилось 1/8 всей массы содержавшейся в нем воды.
Чему равно давление в жидкости в нижней час-
части (точка О) закрытой трубки? Внутреннее р>
сечение всех трубок одинаково, длина трубок
равна L.
3. Моль гелия расширяется в изотермиче-
изотермическом процессе 1—2, совершая работу величи-
величиной А12. Затем газ охлаждается в изобариче-
изобарическом процессе 2-3 и, наконец, в адиабатиче-
адиабатическом процессе 3-1 возвращается в исходное
состояние. Какую работу совершил газ в замк-
замкнутом цикле, если разность максимальной и
минимальной температур газа в нем составила величину Д71 градусов?
4. В электрической схеме, параметры которой указаны на рисунке,
в начальный момент ключи К1 и К2 разомкнуты. Сначала замыкают
ключ Kv Когда ток через катушку индуктивности достигает значения
к задаче 3
К-,
\Л,
к задаче 4
к задаче 5
/0, замыкают ключ К2. Определить: 1) напряжение на катушке индук-
индуктивности сразу после замыкания ключа Кг\ 2) напряжение на конден-
конденсаторе в установившемся режиме. Внутреннее сопротивление батарей
не учитывать.
5. Два луча симметрично пересекают главную оптическую ось рас-
рассеивающей линзы на расстоянии а = 24 см от линзы под углом а = 6°
(см. рис.). Определить угол между этими лучами после прохождения
ими линзы, если фокусное расстояние линзы F = 12 см.
БИЛЕТ 5
1. На доске, наклоненной под углом а = 30° к горизонту, удерживают
в покое однородную гибкую веревку длиной / = 40 см так, что на доске
лежит 4/7 длины веревки, а 3/7 висит вертикально (см. рис.). Трение

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
к задаче
К
, d
2
3
. d .
4-
к задаче 3
веревки о доску и направляющий желоб Р пренебрежи-
пренебрежимо мало. Веревку отпускают, и она движется, остава-
оставаясь в одной и той же вертикальной плоскости. 1) Найти
ускорение веревки в начальный момент движения. 2)
Найти скорость веревки в момент, когда она соскольз-
соскользнет с доски и примет вертикальное положение.
2. Чему равна масса т азота, который содержится в
воздухе комнаты объема V = 15 м3? Средняя квадратич-
квадратичная скорость молекул азота v = 500 м/с. Считать, что
воздух состоит из азота и кислорода. Концентрация мо-
молекул азота в р = 4 раза больше концентрации молекул
кислорода. Атмосферное давление Р — 105 Па.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
пластины площадью S каждая расположены на расстояниях d
друг от друга, причем d много меньше размеров пла-
пластин. К пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС
% (см. рис.). Пластине / сообщили заряд qQ и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
пластине / заряда qQ. 2) Определить
заряд пластины 3 после замыкания клю-
ключа К.
4. В схеме, изображенной на рис., ка-
тушки Lj и L2 закорочены через идеаль-
идеальный диод D. В начальный момент ключ
К разомкнут, а конденсатор емкости С
заряжен до напряжения UQ. Через неко-
некоторое время после замыкания ключа К
напряжение на конденсаторе станет рав-
равным нулю. 1) Найти ток через катушку
Lj в этот момент времени. Затем конден-
конденсатор перезарядится до некоторого мак-
максимального напряжения. 2) Чему будут
равны в этот момент токи в катушках?
5. В комнате на столе лежит плоское
зеркало, на котором находится тонкая
плоско-выпуклая линза с фокусным
расстоянием F = 40 см. По потолку АВ ползет муха со скоростью
v — 2 см/с. Расстояние от потолка до зеркала А = 220 см. 1) На каком
расстоянии от зеркала находится изображение мухи в данной оптической
системе? 2) Чему равна скорость изображения мухи в тот ¦момент, когда
она пересекает главную оптическую ось линзы (точка С)?
к задаче 4
'.В
к задаче 5

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
БИЛЕТ 6
1. Однородный гибкий канат массой m и длиной L = 75 см прикреп-
прикреплен к бруску массой 2т, находящемуся на горизонтальной поверхности
стола (см. рис.). Со стола свешивается половина длины
каната. Коэффициент трения скольжения бруска о стол
(а = 0,15. Трением каната о стол и направляющий же-
желоб Р пренебречь. Брусок удерживают в покое, а затем
отпускают. 1) Найти ускорение бруска в начале движе-
движения. 2) Найти скорость бруска в момент, когда канат к задаче 1
соскользнет со стола.
2. Воздух состоит в основном из азота и кислорода. Концентрация мо-
молекул азота при этом в а = 4 раза больше концентрации молекул кисло-
кислорода. Чему равна суммарная кинетическая энергия вра-
вращения всех молекул азота, содержащегося в комнате объ-
объемом V = 60 м3? Атмосферное давление Р = 105 Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного
газа равна 5/2 RT (R — газовая постоянная, Т — темпе-
температура), она возрастает по сравнению с энергией одно-
одноатомного газа за счет кинетической энергии вращения
молекул. | d A - d
3. Три тонкие незаряженные металлические пластины
площадью S каждая расположены на расстояниях d друг
от друга, причем d много меньше размеров пластин. К "I
пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС <f к задаче 3
(см. рис.). Пластины / и 2 через ключ К можно подсое-
подсоединить к батарее с ЭДС <f. Пластине / сообщили заряд qQ и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения пластине /
заряда qQ. 2) Определить заряд пластины 3 после замыкания ключа К.
4. В схеме, изображенной на рис., сверхпроводящие катушки с
индуктивностями L, и L2 соединены последо-
последовательно с конденсатором емкости С. В на-
начальный момент ключи Kt и К2 разомкнуты, а
конденсатор заряжен до напряжения Uo. Сна- Нг /к,
чала замыкают ключ Kt, а после того, как на-
напряжение на конденсаторе станет равным ну-
нулю, замыкают ключ К2. Через некоторое вре-
время после замыкания ключа К2 конденсатор
перезарядится до некоторого максимального
напряжения Um. 1) Найти ток через катушки к задаче 4
Un:

10
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
индуктивности непосредственно перед замыканием ключа К2. 2) Найти
напряжение Um.
5. Маленький грузик массой т на пружине
жесткости К совершает гармонические колебания
относительно главной оптической оси тонкой
плоско-вогнутой линзы с фокусным расстоянием
—F(F>0). Линза плотно прижата к вертикаль-
вертикально расположенному плоскому зеркалу (см. рис.).
Расстояние от грузика до зеркала L = 4,5F.
1) На каком расстоянии от зеркала находится
изображение грузика в приведенной оптической
системе? 2) С какой скоростью изображение
пересекает главную оптическую ось линзы, если амплитуда
равна А!
I
L
к задаче 5
грузика
его колебаний
БИЛЕТ 7
1. Цепочку длиной / = 20 см удерживают в покое на клине так, что
на наклоненной под углом a (sin а = 3/5) к горизонту поверхности кли-
клина лежит 2/3 цепочки, а 1/3 висит (см. рис.). Тре-
Трение цепочки о клин и направляющий желоб Р пре-
пренебрежимо мало. Цепочку отпускают, и она «запол-
«заползает» на клин, оставаясь в одной и той же верти-
вертикальной плоскости. 1) Найти ускорение цепочки в
начальный момент движения. 2) Найти скорость це-
цепочки в момент, когда она полностью окажется на
клине.
2. В воздухе комнаты объемом V = 75 м3 находится т = 20 кг
кислорода. Найти величину средней квадратичной скорости молекул
кислорода. Воздух в комнате состоит из кислорода и азо-
азота. Концентрация молекул кислорода в р = 4 раза мень-
меньше концентрации молекул азота. Атмосферное давление
Р = 105 Па.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
пластины площадью S каждая расположены на расстояниях d
друг от друга, причем d много меньше размеров пла-
пластин. К пластинам 2 и 3 подсоединили батарею с ЭДС
Ж (см. рис.). Пластине / сообщили заряд д0 и замкнули
ключ К. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
пластине / заряда qQ. 2) Определить заряд пластины 3
к задаче 3 после замыкания ключа К.
к задаче 1
К

ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
11
4. В схеме, изображенной на рисун-
рисунке, катушки с ивдуктивностями L, и
L2 и пренебрежимо малыми сопротив-
сопротивлениями закорочены через идеальный
диод D. В начальный момент ключ
К разомкнут, а конденсатор емкости
С заряжен до неизвестного напряже-
напряжения U . Через некоторое время т по-
к задаче 4
еле замыкания ключа напряжение на
конденсаторе станет равным нулю, а затем конденсатор перезарядит-
перезарядится до некоторого максимального напряжения и в этот момент через
диод D будет течь ток, равный /0.
1) Определить т. 2) Определить начальное
напряжение Ux.
5. На столе лежит плоское зеркало, к
которому плотно прилегает тонкая плоско-
плосковогнутая линза с фокусным расстоянием
F = 45 см. Над оптической системой па-
параллельно плоскости зеркала на высоте
h = 4F пролетает комар со скоростью
v = 9 см/с. 1) На каком расстоянии от
зеркала находится изображение комара в данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения комара в тот момент, когда
комар будет пересекать главную оптическую ось линзы?
¦Jt/////////////////.
к задаче 5
БИЛЕТ 8
1. Однородный гибкий канат длиной L—lu и массой т=1кг
удерживают в покое за верхний конец так, что 1/3 каната находится
на столе, а 2/3 свисает (см. рис.). В некоторый момент канат пере-
перестают удерживать и начинают втаскивать на стол, прикладывая силу
F = 8 Н вдоль горизонтальной поверхности стола пер-
перпендикулярно кромке стола. Трением каната о стол и
направляющий желоб Р пренебречь. 1) Найти ускоре-
ускорение каната в начальный момент его движения. 2) Най-
Найти скорость каната в момент, когда он полностью ока-
окажется на столе.
2. Воздух состоит в основном из кислорода и азота.
Концентрация молекул кислорода при этом в а = 4 ра-
раза меньше концентрации молекул азота. Чему равна суммарная
кинетическая энергия вращения всех молекул кислорода, который
к задаче 1

12
ФИЗИКА • ЗАДАЧИ
. d .
. d ,
К
к задаче 3
содержится в воздухе комнаты объемом V = 60 м3? Атмосферное дав-
давление Р= 105Па.
Указание: внутренняя энергия моля двухатомного газа равна
5/2 RT (R — газовая постоянная, Г — температура), она возрастает по
сравнению с энергией одноатомного газа за счет кинети-
кинетической энергии вращения молекул.
3. Три тонкие незаряженные металлические пласти-
пластины площадью S каждая расположены на расстояниях
d друг от друга, причем d много меньше размеров
пластин. К пластинам / и 3 подсоединили батарею с
ЭДС <f. Пластине 2 сообщили заряд q0 и замкнули
ключ /С. 1) Определить заряд пластины 3 до сообщения
пластине 2 заряда q0. 2) Определить заряд пластины
3 после замыкания ключа К.
4. В схеме, изображенной на рисунке, сверхпрово-
сверхпроводящие катушки с индуктивностями L, и L2 соединены
последовательно с конденсатором емкостью С через
ключ Кг В начальный момент ключи К{ и
К2 разомкнуты, а конденсатор заряжен до
некоторого неизвестного напряжения Ux.
Сначала замыкают ключ Кх. Через время
т напряжение на конденсаторе равно нулю
и в этот момент замыкают ключ К2. Через
некоторое время после замыкания ключа
К2 конденсатор перезарядится до макси-
максимального напряжения Um. 1) Определить т.
2) Определить начальное напряжение Ux.
5. Маленький шарик массой т на пружине
жесткостью к совершает гармонические колеба-
колебания с амплитудой А относительно главной опти-
оптической оси тонкой плоско-выпуклой линзы с фо-
\А кусным расстоянием F. Линза плотно прилегает
к плоскому вертикально расположенному зерка-
зеркалу. Расстояние от шарика до зеркала L — 3F.
1) На каком расстоянии от зеркала находится
изображение шарика в приведенной оптической
системе? 2) С какой скоростью изображение ша-
шарика пересекает главную оптическую ось линзы?
к задаче 4
L
к задаче 5

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 13
БИЛЕТ 1
1. Решить уравнение
sin 3* . 3 sin x
I sin x | sin 3*
2. Решить неравенство
V2xz - 7л: - 4 > -х - ±
3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Найти расстояние между центрами окружнос-
окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, если ВС = 4, а радиус
окружности, описанной около треугольника ABC, равен -=.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = Зеах и у = 7 — 2е~ах и имеет единственную общую точку с прямой
у = 9х + 3. Найти а и площадь фигуры М.
5. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы
ABCAlBlCl равна 6, а высота равна -*?. На ребрах AC, A{Ct и Ш?,
расположены соответственно точки Р, F и К так, что ЛР = 1, AtF = 3
и ВК = КВГ Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки Р, F и К. Найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3-6х2-ху+ 13х + Зу + 7 = 0.
БИЛЕТ 2
1. Решить уравнение
cos 3* . 2 cos x j
| cos x | cos 3*
2. Решить неравенство
3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. В треугольник ACD вписана окружность, а око-
около треугольника BCD описана окружность. Найти расстояние между
центрами этих окружностей, если ВС = 3, а радиус описанной около
треугольника ABC окружности равен -=.

14 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 9е~ах и у = 15 — 4еах и имеет единственную общую точку с прямой
у = — 18х + 9. Найти а и площадь фигуры М.
5. Правильная треугольная призма ABCAlBlCl пересечена плос-
плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, AtCt, BBV Построить
сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плос-
плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сторона основания
равна 2, а высота призмы равна —.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 - ху - 1х + 2у + 23 = 0.
БИЛЕТ 3
1. Решить уравнение
sin 3* , 31 sin jc I -,
+ -
sin x sin 3*
2. Решить неравенство
1х - 4 >x-j.
3. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Найти
расстояние между центрами окружностей, вписанными в треугольники
АОВ и БОС, если ВС = 8, BD = 10.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 2еах и у = 7 — Зе~ах и имеет единственную общую точку с прямой
у = 4х + 2. Найти а и площадь фигуры М.
5. Сторона основания ABC правильной треугольной призмы
ABCAlBlCl равна 12, а высота равна -т-г-. На ребрах АС, Л,С, и АВ
расположены соответственно точки Р, F и Е так, что АР = 2, А^ = 6
и АЕ = 6. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через
точки Р, F и Е, найти площадь сечения и угол между плоскостью
основания призмы и плоскостью сечения.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 - х2 - ху - Пх - Зу + 8 = 0.

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 15
БИЛЕТ 4
1. Решить уравнение
cos3x . 21 cos лс | ,
cos д: cos 3jc
2. Решить неравенство
V3P + 8х - 3 >
1+2*
3 *
3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С
проведена медиана CD. Около треугольника ACD описана окружность,
а в треугольник BCD вписана окружность. Найти расстояние между
центрами этих окружностей, если ВС — 3, а радиус описанной около
треугольника ABC окружности равен -.
4. Фигура М на плоскости (х, у) ограничена графиками функций
у = 4е~ах и у = 12 — 5еах и имеет единственную общую точку с прямой
у = —12х + 4. Найти а и площадь фигуры М.
5- Правильная треугольная призма ABCAlBlCI пересечена плос-
плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, AtClt BBV Построить
сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плос-
плоскостью основания ABC и плоскостью сечения, если сторона основания
равна 4, а высота призмы равна —^-.
6. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным
равенство
х3 - Зх2 - ху - 8х - 2у + 27 = 0.
БИЛЕТ 5
1. Решить систему уравнений
log2 (х2у + 2ху2) - log. (| + i) = 4,
log
= 0.
2. Решить неравенство
* I 8
3. Сторона ромба ABCD равна 6. Расстояние между центрами ок-
окружностей, описанных около треугольников ABC и BCD, равно 8. Най-
тч радиусы этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение sin х — Dа — 2J
1—4в
имеет корни, а числа j- являются целыми.
27а

16 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
5. Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды
SABCD перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна VJ. В
основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция ABCD
(AD = BC), описанная около окружности и такая, что АВ = 6,
A BAD = ^~. Найти расстояние от точки D до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани
SAB. Найти объем конуса.
6. График функции у = х3 + ах2 + Ьх + с ,с < О пересекает ось орди-
ординат в точке А и имеет ровно две общие точки Ми N с осью абсцисс. Пря-
Прямая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку А. Най-
Найти а, Ь, с если площадь треугольника AMN равна 1.
БИЛЕТ 6
1. Решить систему уравнений
Iog2\x
2. Решить неравенство
г— cos 4jc ^ п
> —2 cos х.
2
3. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около тре-
треугольников ABD и ACD, равны 3 и 4. Найти расстояние между цент-
центрами этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение cos х = Fа — 2J
1— 6а
имеет корни, а числа =- являются целыми.
32а3
5. В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобед-
равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что
KN = LM = 4, MN > KL и угол между прямыми /C/V и LM равен ^. Две
противоположные боковые грани этой пирамиды перпендикулярны осно-
основанию и SM = 12. Найти расстояние от точки М до плоскости SKL.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SMN, а вершина принадлежит грани
SKL. Вычислить высоту конуса.
6. График функции у = —х3 + ах2 + Ьх + с, с < 0 пересекает ось ор-
ординат в точке М и имеет ровно две общие точки Аи В с осью абсцисс.

МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ 17
Прямая, касающаяся этого графика в точке А, проходит через точку
М. Найти а, Ь, с если площадь треугольника АВМ равна 1.
БИЛЕТ 7
1. Решить систему уравнений
2. Решить неравенство
3. Сторона ромба ABCD равна 4. Расстояние между центрами ок-
окружностей, описанных около треугольников ACD и ABD, равно 3. Най-
Найти радиусы этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение sin х = Bа — 2J
16A— 2а)
имеет корни, а числа ^— являются целыми.
27а
5. В четырехугольной пирамиде SABCD две противоположные боко-
боковые грани перпендикулярны основанию, расстояние от вершины S до
прямой ЛВ равно 4V2". В основании пирамиды лежит равнобедренная
трапеция ABCD (AD = ВС), описанная около окружности и такая, что
CD = 2, LADC = -у. Найти расстояние от точки С до плоскости SAB.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SCD, а вершина принадлежит грани
SAB. Найти объем конуса.
6. График функции у = х3 + ах2 + Ьх + с, о 0 пересекает ось орди-
ординат в точке А и имеет ровно две общие точки Ми Nc осью абсцисс. Пря-
Прямая, касающаяся этого графика в точке М, проходит через точку А. Най-
Найти а, Ь, с если площадь треугольника AMN равна 1.
БИЛЕТ 8
1. Решить систему уравнений
g3 (y-*j +l°gi [У-^\ =2,
l°g2 |*-.У| = 1-

18 МАТЕМАТИКА • ЗАДАЧИ
2. Решить неравенство
5 + 3 cos Ax ^
5 > —COS X.
о
3. Дан ромб ABCD. Радиусы окружностей, описанных около тре-
треугольников ABC и BCD, равны 1 и 2. Найти расстояние между цент-
центрами этих окружностей.
4. Найти все значения а, при которых уравнение cos x = (За — 4J
27A-а)
имеет корни, а числа =— являются целыми.
4а
5. В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобед-
равнобедренная трапеция KLMN (LM = KN), описанная около окружности ра-
радиуса VJ, LMLK = -jp Две противоположные боковые грани этой пи-
пирамиды перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна 6VJ.
Найти расстояние от точки N до плоскости SKL.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его осно-
основания вписана в треугольник SMN, а вершина принадлежит грани
SKL. Вычислить высоту конуса.
6. График функции у = — хг + ах2 + Ьх + с, О 0 пересекает ось ор-
ординат в точке D и имеет ровно две общие точки А и В с осью абсцисс.
Прямая, касающаяся этого графика в точке В, проходит через точку
D. Найти а, Ь, с, если площадь треугольника ABD равна 1.

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 19
БИЛЕТ 1
I *. = !*.= А
гм
i v М + т тр 2 „ Ann it
!• F2 = -*ZTF\-4 -Fi-400H.
ЗА — _ D AT1 О
• -** — ^ S *^*
4* »г OOP гг _ QP О гг ^_
. 1. Ui, =¦ lo — Uq — ~2& , I. Vq —
5. rt = T= 1.48.
БИЛЕТ 2
1. Решение.
Пусть нижний брусок с массой М движется вниз вдоль наклонной
плоскости с ускорением а. Введем систему координат: ось X направим
вдоль наклонной плоскости, ось Y перпендикулярно ей. Рассмотрим си-
силы, действующие на нижний брусок. Это сила тяжести Mg, сала реак-
реакции N, сила натяжения нити Т, сила давления со стороны верхнего брус-
бруска/и сила трения, действующая со стороны верхнего бруска. Уравнение
движения бруска по оси X имеет вид:
Ma = Mg sin a — FTPi — Т.
Вдоль оси У сумма всех сил, действую-
действующих на нижний брусок, равна нулю. Сле-
Следовательно:
N = Mg cos a + /. к задаче 1
В силу того, что трос нерастяжим, вер-
верхний брусок движется с тем же ускорением а вверх по наклонной пло-
плоскости под действием силы веса mg, силы реакции Nlt силы натяжения
Т и силы трения со стороны нижнего бруска Ртрг. Уравнение движения
для него по оси X имеет вид:
та = Т — mg sin а — FTp2 (F^ = FTp2 = F).
По оси У имеем:
Ni = mg cos a (A^j = /).
Поскольку система двух брусков покоится, то их ускорения равны ну-
нулю, и система написанных уравнений примет вид:
Т = Mg sin a — kmg cos а и Т = kmg cos а + mg sin а.

20 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Решая систему полученных уравнений для искомого коэффициента
трения, получаем:
, М-т. 3. V3
2. Решение.
Очевидно, что при движении «тройника» с ускорением а вправо вода
будет выливаться из левой трубки. Уровни воды, оставшейся в средней
и правой трубках, обозначим через X и У. Из условия задачи следует
что:
L-X+L-Y=9/32-4L.
Следовательно,
X+Y = l/iL. A)
Давление жидкости у дна левой трубки равно Pi = Po + pgL, где Ро —
атмосферное давление. Давление у дна средней трубки равно Р2 —
= ро+ Pgx> а у дна правой трубки Р3 = Р0 + pgY.
Запишем уравнение движения горизонтальной части жидкости, за-
заключенной между левой и правой трубками:
pgLS - pgYS = pLSa. B)
Для горизонтальной части жидкости, заключенной между средней и
правой трубками, уравнение движения имеет вид:
pgXS-pgYS=pSLa/2. C)
Совместное решение уравнений A), B), C) дает искомое ускорение:
а = 3/4 g.
3. Решение.
Пусть температура гелия на диаграмме Р, V в точке / равна Т\. Так
как точки 2 и 3 лежат на изотерме, то Т2 = Т3. Точка / лежит выше то-
точек 2 и 3. Следовательно AT = Ту — Тг. Запишем уравнение первого на-
начала термодинамики для адиабатического процесса 1-2:
0 = Ai2-CvAT. A)
Соответствующее уравнение для изотермы (участок 2—3):
Q23 = ^23- B)
Наконец для изобары 3-1 имеем:
RAT = A3l. ¦ C)

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
21
В силу того, что работа газа в замкнутом цикле 1-2-3-1 равна А =
= А12 + Ахз + А3[, из уравнений A), B), C) получим:
Аа = А - 5/2 R AT.
4. Решение.
Сразу после замыкания ключа К2 ток через катушку индуктивности
сохраняется и равен /0. Напряжение на конденсаторе сразу после замы-
замыкания ключа К2 равно нулю. Обозна-
Обозначим через /j ток, протекающий через 2_
резистор Rit а ток через резистор
R2 — соответсвенно 12. Согласно пер-
первому закону Кирхгофа
3
Запишем закон Ома для замкну-
замкнутой цепи 3-4-5-6-3 1
% = -/,Д, + 12R2.
4
к задаче 4
Из совместного решения приведенных уравнений находим ток 1и ко-
который равен
Для нахождения напряжения на катушке индуктивности запишем за-
закон Ома для замкнутой цепи 1-2-3-4-1
Отсюда
к задаче 5
В установившемся режиме напряжение на катушке равно нулю, ток
через резистор R2 равен нулю. Рассмотрим контур 1-2-3-6-5-4—1. От-
Откуда U с = 2&\

22 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
5. Решение.
Через оптический центр линзы проведем вспомогательный луч ОС
параллельно лучу АВ. Преломленный луч ВС пересекается с лучом
ОС в точке С, принадлежащей фокальной плоскости линзы. Продолжим
луч ВС влево до пересечения с главной оптической осью линзы в точке
А'. Угол СА'О является половиной искомого угла В. Проведем линию
BD параллельно OF. Угол CBD равен В/2. Из треугольника CBD
f> =(FC-OB) ^(f-">tgf
g 2
IF F
Отсюда
В =1,7-КГ2 рад.
БИЛЕТ 3
1. F = —y^. g(? cos a + sin а).
2. Ро = -Ратм +1 Р^-
3. Q = A +1 W? ДГ, где v = 1 моль.
5- <<=/._ш^и = 0,03м.
БИЛЕТ 4
2. Pn = P +¦
3. ^4 = Al2 — -z\>R AT, где v = 1 моль.
5. tgf = ^tgf = 3tgf. B = 2arctg
БИЛЕТ 5
1. 1. a = |C-4sina)=^=l,4M/c2;
2. v = | V2g/E - 2 sin a) = 1,6 м/с.

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 23
4. 1. 11 = Uoi-f-\ 2. /j = /2 = -j—ту
5. 1. Л'= 2^7 = 22 см; 2. ы = v^- = 0,2 cm/c.
БИЛЕТ 6
1. 1. a = | A - 4(a) = ^ = 0,65 м/с2; 2. V = -\Ц^ gL ^ 1 м/с.
4. l. /max = t/oif=|=; 2. i/m =
5- 1.*—
БИЛЕТ 7
1. 1. Уравнение движения цепочки в начальный момент имеет вид:
j mg sin
Отсюда с учетом значения sin a
j mg sin a — ^ mg = та.
2. За нулевой уровень потенциальной энергии в поле тяжести возь-
возьмем уровень расположения вершины клина. Тогда потенциальная энер-
энергия висящей части цепочки равна
Потенциальная энергия части цепочки, расположенной на клине,
2 11
Е. = — -г mg -r sin a. Полная энергия цепочки в момент, когда она
* О О
полностью находится на клине, равна
Е = —mg -г sin a + ^г-.
Из закона сохранения энергии имеем:
/ . , mv2 1 11 I .
—mg у sin a + -^- = — т wg ^ — ¦=¦ mg -r sin a.

24
ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Откуда v = -z VE sin a— l)gl « 0,66 м/с.
2. Атмосферное давление в комнате равно
или Р = POj + $Рог- Откуда парциальное давление кислорода РОг =
= y+z- С другой стороны, РОг = ^ nOimOlv2, где пОг — концентрация, а
— масса молекулы кислорода.
1 т г р
Э2 3 V
Теперь для v получим
v =
1+р-
= 474 м/с.
2. Пусть заряды на пластинах после замыкания ключа К равны
Яи Яг и Яг- По закону сохранения заряда
Яо = Я1+Яг + Яг- О)
Заряды каждой пластины создают между пластинами однородные
электрические поля с напряженностями
Между пластинами 2 и 3 поддерживается по-
постоянная разность потенциалов, равная <?:
~Qi ~ Яг + <7з) = %• B)
Условие эквипотенциальное™ пластин 1 и 3:
4т(я1~Яг) = 0. C)
к задаче 3
Совместно решая систему уравнений A), B),
C), получим, что:
Чо
4. 1. После замыкания ключа К конденсатор начинает разряжаться
и отдавать свою энергию катушке L2, так как диод D закрыт. Имеем

ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
25
колебательный контур, состоящий из
катушки индуктивности L2 и кон-
конденсатора С. Период колебаний
Ti = 2jtVL2C. Полный разряд конден-
сатора произойдет через четверть
периода; Следовательно, х =
= л/2 уГЦС.
2. Когда конденсатор начинает пере-
перезаряжаться, открывается диод D и через
катушку индуктивности Lx начинает протекать ток It. При этом через
L{ течет ток /2. Согласно закону Ома
к задаче 4
или Ц10 + L2(Io — luo) = 0. где /го — ток через катушку L2 в момент
начала перезарядки конденсатора. Из закона сохранения энергии
= -^-. Решая систему, получим ток /0
/п =
Отсюда
5. Положение изображения комара, даваемое линзой и равное а,
cl Kv 1а
определяется из формулы линзы
Г a F'
При учете зеркала оно снова является
предметом для линзы, которая дает новое
изображение на расстоянии Ь, так что
а ^ Ь F'
Складывая эти уравнения, получаем
h ^ Ъ F'
hF 4
Откуда b = — 2h+F = ~ ~9 ^ = ~0»2 м> Изображение ниже зеркала
на 0,2 м.
к задаче 5

26 ФИЗИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Из подобия треугольников ABC и А\ВС\ —-гт = -г и u = v-r-
= 1 см/с.
БИЛЕТ 8
F
2» -Cnn ^
• 1-« = — !«<* 1.5м/с2; 2. v = yj?,(?-§) -2,5м/с.
4. 1. x = fV(A + i2)C; 2.Us=U
'x-^maxy Li •

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 27
БИЛЕТ 1
1. x = -j + 2nn, nGZ.
_ ^, 15-V290 ..
2. х < ^ , х > 4.
**• 12 •
- ,, 7 In 6-10
4. 3, з •
39 я
6. D; 27),"B; -17), B2; 423), (-16; 307).
БИЛЕТ 2
1.
2.
3.
4.
э.
х =
X <
85
48'
2,
13
12'
= ±-т- + 2л/
. 34-ЗОУТ
23 ' Х
15 In 2 - 9.
я
6"
г, nGZ.
>3.
6. C; 29), A; -17), A3; 397), (-15; 191).
БИЛЕТ 3
1. х = - J + 2л«, х = -% + 2пп, nGZ.
-. 5/ТТ
J. 6 .
4 7 ^-^-
5. -j-, arccos ^-.
6. (-2; 30), (-4; 4), B0; 316), (-26; 774).
БИЛЕТ 4
1. x = ±^j- + 2лп, х = л + 2лп, п G Z.
Решение.
cos Ъх

28
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
а) Если cos х > О, то t +1 = — 1 или t2 + t + 2 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней.
б) Если cos х < 0, то t — - = — 1 или *2 + * — 2 = 0, откуда t{ = —2,
=1.
,-г . ~ cos Зх п 4 cos3 х — 3 cos х о
Пусть * = -2, тогда -^^ = -2 или2
4 cos2 х —3 = 1, cos2x=l, cosx=—1,
х = л; + 2nn.
Так как cos x =*= 0, то 4 cos2 х — 3 = 2, cos2 х = 1/4, cos л: = —1/2,
Пусть t = 1, тогда
Решение.
^^о$. Так как уравнение
.„^ь Зх2 + 8х — 3 = 0 имеет корни xj = —3,
^ х2 = т, то область Е допустимых зна-
х чений неравенства — совокупность
интервалов Et = (—<», —3),
Решить данное неравенство — это значит найти все значения х G Е,
при которых график функции у = V3x2 + 8х — 3 лежит выше прямой
у = —g— (рис. 1). Значения х G Et является решением неравенства,
так как V3x2 + 8 — 3.^ О при х < —3, а +3 х < 0 при х «? — 3 (рис. 1).
Пусть х Ss -L тогда V3x2 + 8х — 3 ^ 0, "t х > 0 и исходное неравен-
О О
' 1 2 I о о А+2х\2
ство равносильно каждому из неравенств Зх* + ах — 6 > —=— >
V /
23л:2 + 68л: — 28 > 0. Уравнение 23л:2 + 68л: — 28 = 0 имеет корни х, и
л:2, где xi = 7, < 0, л:2 = —7, (рис. 1), л:2 > т.
Поэтому решениями исходного неравенства на множестве Е2 являют-
являются все точки интервала (х2, +<»).
**• 12 *
Решение.
Пусть Oi — центр окружности радиуса R, описанной около тре-
треугольника ACD; О2 — центр окружности радиуса г, вписанной в

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
29
треугольник BCD, E — середина ВС. Тогда
OiDLAC, DELBC, АВ=5,
АС = 4, sin A = |, R = ¦
-Щ-о*.
Щ
Пусть 5 — площадь треугольника BCD, p — его
полупериметр. Тогда S = -^AC-BC = 3, p = 4,
S = гр, откуда г = - = О2Е, DE = — = 2,
DO2 = DE — О2Е = -т. Искомое расстояние
5/ЗТ
12 *
4. 4 In 5-у.
Решение.
Точка А@; 4) при любом а является общей точкой прямой
у = — 12х + 4 и фигуры М. Поэтому эта прямая должна быть касатель-
касательной к графику функции yt = 4е~ах в точке х = 0. Так как у\ @) = —4а,
то —12 = —4а, откуда а = 3.
Найдем общие точки кривых yt = 4е~3х и у2 = 12 — 5е3х, решив урав-
нение -=12 — 5t, где t = е3х. Это уравнение имеет корни tt = ¦=, t2 = 2.
Если t = -=,TO e3x = -?, откуда х{ = -z In -=, а если t = 2, то е3х = 2, откуда
х2 = -z In 2. Искомая площадь
S =
= J A2 - 5е3х - 4е~3х) dx =
= [ Пх -1
и
13/2"
5. arccos ^,
Решение.
а) Построение сечения. Пусть Е, FnK — середина ребер АВ, AtC[ и
В1 соответственно. Проведем:
а) прямые КЕ и АА\ пересекающиеся в точке М;
б) прямую FM, пересекающую отрезок АС в точке Р;
в) прямую A^i, пересекающую прямую КЕ в точке L;
г) прямую FL, пересекающую ребро BtCi в точке N (рис. 3).

30
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
м
Рис.3
Тогда EPFNK — пятиугольник,
получаемый в сечении призмы плос-
плоскостью, проходящей через точки Е,
FnK.
б) Вычисление угла между плос-
*L костью основания и плоскостью
сечения а.
Пусть Fi — середина AC, G —
основание перпендикуляра опущен-
опущенного из точки Fi на РЕ. Так FFt —
перпендикуляр к плоскости ABC, a
прямая РЕ перпендикулярна проек-
проекции FtG наклонной FG, то FGLPE
(теорема о трех перпендикулярах).
Итак, прямые GF и GFU лежащие в плоскостях а и ABC соответствен-
соответственно, перпендикулярные РЕ — линия пересечения этих плоскостей. По-
Поэтому Z.FGF\ = ф — линейный угол двугранного угла между плоскостя-
плоскостями а и ABC, a tg ф = j-±.
Найдем FiG.
Пусть АВ = a, BBi = h. Тогда из равенства треугольников АМЕ и
КВЕ следует, что AM = ~-. а из подобия треугольников MAP и
находим: -j-^ = ¦^г- = ^, откуда АР = -г AiF = ~.
Из треугольника АРЕ, в котором АР = ^~, АЕ = j, /.РАЕ = j, по тео-
теореме косинусов получаем
„„ ay/f 2vT
откуда РЕ = — = —.
36
6 2 2'
Пусть 5, Si и S2 — площадь треугольников ABC, AEFi и PEFt соот-
соответственно. Так как EFt — средняя линия в треугольнике ABC, то
' = tAFi). С другой стороны,
St. — "^ .
с _2 с _ • с
?, откуда
V4T
= А=ПГ=4 cos ч> = ft ч> = arccos #

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 31
в) Вычисление площади сечения.
Пусть с и с, — площади соответственно сечения и его проекции на
плоскости ABC. Тогда а = ^-.
Заметим, что проекцией сечения на плоскость ABC является пятиу-
пятиугольник PF1N1BE (Nt — проекция точки N на плоскость ABC), в кото-
котором FiNi\\PE, так как Ffl^FN, a FN\\PE.
Если Q — середина PFU то PQ = QF{ = АР = ^,РЕ — средняя линия
в треугольнике ABQ и поэтому PE\\BQ, откуда следует, что FtNi\\BQ,
так как FiNi\\PE.
Из подобия треугольников CFtNi и CQB следует, что
откуда находим CN{ = -? а.
Пусть 53 и S4 — площади треугольников АРЕ и CFtNi соответственно.
Тогда
с _ 1 с _ ! с 'с _3 S 3„
Л3-зЛ1-Т2Л> i4~4 ~8Л>
с гс-исл 13 с 13aV3"
or, = 5- E3 + 54) = 24 S= 24~4~
[3
откуда от = ог^^ = 4
6. (-1; 31), (-3; 3), B1; 339), (-25; 751).
Решение.
Выразим у через х, получим:
Выделим целую часть, преобразовав дробь:
23
л -г *л —^\л -г *л/ п~ *\л т*/ т- ьэ 2 С _1_ О
Целые значения у примет при целых х тогда и только тогда, когда
23
——г примет целые значения, т. е. в следующих случаях: х + 2 = 1,
X ~Т L
х + 2 = — 1, х + 2 = 23, х + 2 = —23. Отсюда находим*, = — 1, х2 = —3,
х3 = 21, х4 = —25, а затем соответствующие значения у.

32 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
БИЛЕТ 5
1. B; -3), (-6; 1).
Решение.
Первые уравнения системы можно записать в виде
log2 [xy(x + 2y)]+ log2
а множество допустимых значений х, у определяется условием
ху(х + 2H > 0. A)
При выполнении условия A) исходная система равносильна системе
а система A)—B) равносильна совокупности двух систем
4,
ху = о
х + 2у = -4, -j,
ху = -6. к
Исключая х из системы C), получаем уравнение у2 — 2у + 3 = 0, не
имеющее действительных корней. Поэтому система C) не имеет дейст-
действительных решений.
Из системы D) получаем уравнение у2 + 2у — 3 = 0, имеющее корни
У1 = —3, Уг= 1-
Поэтому исходная система имеет два решения: B; —3) и (—6; 1).
2. - -| + 2лп < х < Щ- + 2лп, п S Z.
Решение.
Найдем решения неравенства на отрезке длиной 2л. Все значения х
из интервала @, л) — решения неравенства, так как sin x > О при
О < х < л, а левая часть неравенства определена и неотрицательна при
всех х.
Пусть sin х < 0, тогда исходное неравенство равносильно каждому из
неравенств
5+3gOs4* > sin4 x, 5 + 3i cos Ax > 2A - 2 cos 2x + cos2 2x),
cos 2x A + cos 2x) > 0, cos 2x > 0, sin2 x < -=, \ sin x \ < -p?.

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 33
Так как sin х < 0, то — -т^ < sin x < О,
откуда — ^ < х < 0, л^х < -^.
Итак, на отрезке — ~, -у решениями
исходного неравенства являются все чис-
числа из интервала
(—1 **\
{ 4' 4J- А*
3. /ГО, 3/ГО.
Решение.
Пусть К — середина ВС, О — точка пересечения AC nBD, Oj и О2 —
центры окружностей, описанных около треугольников BCD и ABC соот-
соответственно (рис. 4).
Тогда Oi и О2 — точки пересечения перпендикуляра к ВС в точке К
с прямыми СО и ВО соответственно.
Пусть Ли г — радиусы окружностей, описанных около треугольников
ABC и BCD соответственно, /.ВАС = Z.CAD = а, тогда Z.BO2K=a,
О,С = г = -^—, ОС = 6 cos a, R = -^— = -?—, ОО{ = 8 sin а.
1 cos a 2 sin а sin а
Так как ОС = OOi + О{С, то 6 cos а = 8 sin а + -^—,
COS СЕ
8 sin а cos а + 3 = 6 cos2 а, 3 sin2 а — 3 cos2 а + 8 sin а cos а = 0.
Полагая tg a = t, получаем 3t2 + 8< — 3 = 0, откуда tt = -т. h = —3.
1 О 1
Так как 0 < а < у, то tg а = ^, cos а = -^, sin а = -j^r, r = VTO,
4- 41 3-
Решение.
Уравнение sin х = Dа — 2J имеет корни тогда и только тогда, когда
1 1 „ ^,3
¦т, откуда -г < а < 2*
Задача сводится к нахождению всех значений а, при которых функ-
функция /(а) = ?¦ принимает целые значения на отрезке rj. т •
Уравнение /'(а) = ^ (—4а~5 + 12а~4) = ^ а~5Cа - 1) = 0 имеет на
отрезке U, - единственный корень а = -^, причем f'(a) < 0 при а<-и
а Е |-, -А и возрастает при йб (р ^ ¦
Dа-2J<1,т. е. - ' -1 J 3
/'(а) > 0 при а > -z. Следовательно, функция /(а) убывает при

34
МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Так
как
3\
—1 < / —-г =
чисел 7 и -т.
т = и и
/Ы=—1 — целые числа,
i искомое множество значений а состоит из
5.
у/Ш W30
4 ' 28 •
Решение.
ПустьЕ — точка пересечения ВС и AD, Ми N — середина отрезков
CD и АВ соответственно (рис. 5).
Тогда ABE — правильный треугольник, NE = -^- AB = 3V3\
MN = -г NE = 2VJ, М? = V3\ так как MN — диаметр вписанной в тре-
треугольник ABE окружности, радиус которой равен -z NE.
Заметим, что перпендикулярными основанию пирамиды являются
грани SBC и SAD, а линия их пересечения (прямая SE) — перпендику-
перпендикуляр к основанию и SE = V5.
Пусть МК — высота в треугольнике
SMN, тогда МК — перпендикуляр к
плоскости ABS (KM±SN и KM LAB,
так как АВ — перпендикуляр к плоско-
плоскости SNE). Прямая CD параллельна пло-
скости SAB и поэтому расстояние от точ-
точки D до плоскости SAB равно МК.
Если Z.SNM = ф, то КМ = MN sin ф,
SE V5 . V5
где tg <р = ш = 3^, откуда sin <p = -
Рис.5
2) Пусть О — центр окружности, впи-
вписанной в треугольник SCD, P — точка
пересечения отрезка SNc перпендикуля-
перпендикуляром к стороне SM треугольника SMN, проведенным через точку О.
Радиус г этой окружности равен радиусу основания конуса, высота
Н конуса равна ОР, а его объем V = -z жггН.
Если а — площадь треугольника SCD, p — его полупериметр, то
где CD = | АВ = 2,
" =3,
P=SD+<f,
SM = VSE2 + ME2 = vT+~3" = 2VI , SD =
р = 4, а = 2-/I и поэтому г = — = -=-, SO =
р *•
+ MDL =

МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
35
Пусть Z.NSM = а, тогда Я = SO tg a = -у- tg а. Найдем cos а, при-
применив теорему косинусов к треугольнику SMN. Получим MN2 =
= SN2 + SM2-2SN-SM cos а, где SN = \/SE2 + NE* = V5 + 27 =
л /пг о ж л- 1 /т 7 . у15 гг 3v2 у 15 ЗуЗО
= 4V2, SM = 2V2, откуда cos а = т, tg а = -=-, Я = -~—г- = . .
6. а = —4, Ъ — 5, с = —2.
Решение.
Пусть ху и х2 — абсциссы точек, в которых график функции
у = f(x) = х3 + ах2 + Ъх + с, где с < 0, пересекает ось Ох. Тогда ху и
х2 — корни многочлена f(x), a f(x) делится на (х — х{)(х — х2), откуда
следует, что f(x) = (х — х{)(х — х2)(х — а), где
а — одно из чисел хи х2 (уравнение f(x) = 0 по
условию имеет ровно два различных корня). Та-
Таким образом, многочлен f(x) имеет вид
f(x) = (х — хуJ(х — х2), откуда находим
f'(xi) = 0 и касательная к графику функции в
точке (xi, 0) совпадает с осью Ох.
По условию ордината точки А равна с, где
с < 0, а касательная к графику функции у = f(x)
в точке М проходит через точку А. Поэтому абс-
абсцисса точки М равна х2, а абсцисса точки N равна
ху (рис. 6). Задача сводится к нахождению чисел
ху и х2. Так как f'(x2) = = (х2 — хуJ = к, то
уравнение прямой, касающейся в точке М графика функции у = f(x),
имеет вид у = к(х — х2). Эта прямая проходит через точку Л@, с), где
с = —кх2 и х2х\ = х2(х2 — х{J, откуда х2 = 2хх (х2 & 0) и с = —2х\.
Пусть 5 — площадь треугольника AMN, тогда 5=1 =
= —с- (х2 — xi) = —^ схи откуда с = — — = — 2х\, х{ = 1, х2 = 2,
f(x) = (x- 1J(х -2) = х3- 4х2 + 5х-2.
Рис.6
БИЛЕТ 6
1. (|;^),(-3;1).
2. - ^ + 2лп <х<^- + 2лп, п ? Z.
4 4
1\
4' 4' 6-

36 МАТЕМАТИКА • ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
12УПТ 48VTS
Э' 37 ' 65 *
6. а = —4, Ъ = —5, с = —2.
БИЛЕТ 7
1. A; -6), (-3; 2).
2. — -т + 2лл < х < —г + 2лл, л S Z.
3. 2V5, V5.
4. д, 2-
_ у/Ш W30"
Э' 4 ' 28 •
6. а = 4, ? = 5, с = 2.
БИЛЕТ 8
2. - ^ + 2лл < х < Щ- + 2лп, п € Z.
4 4
3. ^.
4. |, 1.
12\ШТ 48ЛЗ"
Э* 37 ' 65 *
6. а = 4, Ъ = —5, с = 2.
ИЗДАТЕЛЬСТВО МФТИ
¦>—1 высылает книги наложенным платежом
Интернет-магазин Издательства www.fizmatlit.ru