Tags: физика вступительные экзамены задачи по физике
Year: 2008
Text
4
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 1
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся неза-
креплённые горки массами 4m и 5m. На вершине горки массой
4m на высоте h лежит монета массой т. От незначительного
толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки.
1) Найдите скорость монеты на столе.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на
горке массой 5m?
Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к
поверхности стола. Монета не отрывается от поверхности горок,
а поступательно движущиеся горки — от стола. Направления
всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.
О V
Рис. к задаче 2
2. С газообразным гелием проводится циклический процесс, состо-
ящий из процесса 1—2 с линейной зависимостью давления от
объёма, изобарического сжатия 2—3 и изохорического нагрева-
ния 3—1. Известно, что объём в состоянии 2 в три раза боль-
ше, чем в состоянии 1. Найдите отношение работы газа в цикле
1—2—3—1 к количеству теплоты, подведённой к газу в изохориче-
ском процессе 3— 1.
3. В цепи, показанной на рисунке, ёмкость каждого конденсатора
равна С. Левый конденсатор заряжен до напряжения Uq, пра-
вый — до напряжения 2Uq. У обоих конденсаторов положитель-
ный заряд находится на верхней обкладке. Какое количество теп-
лоты выделится в резисторе после замыкания ключа?
ФИЗИКА * ЗАДАЧИ ♦ Билет 2
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на
некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что после раз-
мыкания ключа через катушку протёк заряд до-
1) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.
2) Какой заряд протёк через источник за время, пока ключ был
замкнут?
5. По столу катится шарик со скоро-
стью V. В противоположном на-
правлении со скоростью 2v переме-
щают поступательно плоское зерка-
ло АВ. Поверхность зеркала со- А^\а <__________________о
ставляет угол а = 60° с поверхно- ш...
стью стола. Скорости шарика и зер- Рис- к заДаче 5
кала перпендикулярны ребру двугранного угла, образованного
поверхностями зеркала и стола.
1) Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите
её направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола переме-
щается изображение шарика в зеркале?
БИЛЕТ 2
1. Горка массой 5т с покоящейся на её вершине шайбой массой т
скользит со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности
стола в направлении покоящейся незакреплённой горки массой
• 7т. От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка
6
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет2
останавливается, а шайба движется по столу в направлении гор-
ки массой 7т.
1) Найдите высоту горки массой 5m.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на
горке массой 7m?
Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к
поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхности горок,
а поступательно движущиеся горки — от стола. Направления
всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.
Рис. к задаче 1
Рис. к задаче 2
2. С газообразным гелием проводится циклический процесс, состо-
ящий из процессов 1—2 и 2—3 с линейной зависимостью давления
от объёма и изохоры 3—1. В состояниях 1 и 2 объёмы отличают-
ся в 4 раза. Найдите отношение работы газа в цикле 1—2—3—1 к
количеству теплоты, подведённой к газу в изохорическом процес-
се 3—1.
3. В цепи, показанной на рисунке, ёмкости конденсаторов равны С
и 2С. Конденсатор ёмкостью С заряжен до напряжения Uq, кон-
денсатор ёмкостью 2С не заряжен. Какое количество теплоты
выделится в резисторе после замыкания ключа?
2С
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
7
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на
некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что после раз-
мыкания ключа через резистор протёк заряд qo.
1) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.
2) Какой заряд протёк через катушку за время, пока ключ был
замкнут?
5. Поверхность плоского зеркала
MN составляет угол /3 = 60°
с поверхностью стола. Зеркало \
перемещают поступательно со
скоростью v вдоль стола. По столу м р
катится в противоположном на- ’AiS"
правлении шарик со скоростью 2v. Рис- к задаче 5
Скорости шарика и зеркала перпендикулярны ребру двугранного
угла, образованного поверхностями зеркала и стола.
1) Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите
её направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола переме-
щается изображение шарика в зеркале?
БИЛЕТ 3
1. На гладкой горизонтальной поверхности стола покоятся неза-
креплённые горки массами 3m и 6m. На вершине горки массой
3m на высоте h лежит монета массой т. От незначительного
толчка монета съезжает с горки в направлении другой горки.
1) Найдите скорость монеты на столе.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться монета на
горке массой 6m?
Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к
поверхности стола. Монета не отрывается от поверхности горок,
а поступательно движущиеся горки — от стола. Направления
• всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.
8
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
Рис. к задаче 2
2. С газообразным гелием проводится циклический процесс, состо-
ящий из изобарического процесса 1—2, изохоры 2—3 и процесса
3— 1 с линейной зависимостью давления от объёма. Найдите от-
ношение объёмов в состояниях 2 и 1, если в цикле 1—2—3—1 газ
совершил работу А = 200 Дж, а в изохорическом процессе 2—3
от газа отвели количество теплоты Q = 900 Дж.
3. В цепи, показанной на рисунке, ёмкость каждого конденсатора
равна С. Левый конденсатор заряжен до напряжения Uq, пра-
вый — до напряжения ЗСТо- У обоих конденсаторов положитель-
ный заряд находится на верхней обкладке. Найдите Uq, если из-
вестно, что в резисторе после замыкания ключа выделилось ко-
личество теплоты Q.
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на
некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что за время,
пока ключ был замкнут, через источник протёк заряд до-
1) На какое время замкнули ключ?
2) Какой заряд протёк через резистор после размыкания ключа?
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 4
9
5. Поверхность плоского зеркала АВ
составляет угол а = 30° с поверх- v
ностью стола. Зеркало перемета-
ют поступательно со скоростью v
„ Рис. к задаче 5
вдоль стола. По столу катится в
противоположном направлении шарик со скоростью 3v. Скоро-
сти шарика и зеркала перпендикулярны ребру двугранного угла,
образованного поверхностями зеркала и стола.
1) Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите
её направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола переме-
щается изображение шарика в зеркале?
БИЛЕТ 4
1. Горка массой 7т с покоящейся на её вершине шайбой массой т
скользит со скоростью v по гладкой горизонтальной поверхности
стола в направлении покоящейся незакреплённой горки массой
11m. От незначительного толчка шайба съезжает с горки, горка
останавливается, а шайба движется по столу в направлении гор-
ки массой 1,1m.
1) Найдите высоту горки массой 7т.
2) На какую максимальную высоту сможет подняться шайба на
горке массой 11m?
Поверхности горок гладкие. Горки имеют плавный переход к
поверхности стола. Шайба не отрывается от поверхности горок,
а поступательно движущиеся горки — от стола. Направления
всех движений находятся в одной вертикальной плоскости.
Рис. к задаче 1
Рис. к задаче 2
10 ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 4
2. С газообразным гелием проводится циклический процесс, состо-
ящий из процессов 1—2 и 2—3 с линейной зависимостью давле-
ния от объёма и изохоры 3—1. Найдите отношение объёмов в
состояниях 1 и 2, если в цикле 1—2—3—1 газ совершил работу
А = 400 Дж, а в изохорическом процессе 3—1 от газа отвели ко-
личество теплоты Q = 1800 Дж.
3. В цепи, показанной на рисунке, ёмкости конденсаторов равны С
и ЗС. Конденсатор ёмкости ЗС не заряжен. До какого напря-
жения был заряжен конденсатор ёмкостью С, если в резисторе
после замыкания ключа выделилось количество теплоты Q?
ЗС
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. В схеме, показанной на рисунке, все элементы можно считать
идеальными. Параметры элементов указаны на рисунке. До за-
мыкания ключа К ток в цепи отсутствовал. Ключ замыкают на
некоторое время, а затем размыкают. Оказалось, что за время,
пока ключ был замкнут, через катушку протёк заряд до-
1) Найдите ток в катушке непосредственно перед размыканием
ключа.
2) Какой заряд протёк через резистор после размыкания ключа?
5. По столу катится шарик со скоростью v. В противоположном на-
правлении со скоростью 4v перемещают поступательно плоское
N зеркало MN. Поверхность зер-
4 кала составляет Угол & ~ 30°
*-------v с поверхностью стола. Скорости
шарика и зеркала перпендикуляр-
Рис. к задаче 5 ны РебРУ ДвУгРанного Угла- обра-
зованного поверхностями зеркала
и стола.
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 5
И
1) Найдите скорость шарика относительно зеркала и покажите
её направление, нарисовав рисунок.
2) С какой скоростью (по модулю) относительно стола переме-
щается изображение шарика в зеркале?
БИЛЕТ 5
1. Шарик, движущийся со скоростью v по гладкой горизонтальной
поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверх-
ности кубик. После неупругого удара шарик остановился, а ку-
бик стал двигаться поступательно со скоростью v/З. Какая часть
первоначальной кинетической энергии шарика перешла в тепло-
ту?
2. С v молями идеального газа про-
водится циклический процесс,
состоящий из двух изохор 1—2 и
3—4 и двух процессов 2—3 и 4—1
с линейной зависимостью давле-
ния от объёма. Температура газа
в состояниях 1 и 4 равна Г, а в
состояниях 2 и 3 равна 2Т. Най-
Рис. к задаче 2
дите работу, совершаемую газом
в цикле 1—2—3—4—1, если давления в состояниях 1 и 3 равны.
3. Четыре одинаковых маленьких шарика с массой т и зарядом q
каждый удерживают в вершинах правильного тетраэдра с реб-
ром а. Один шарик отпускают, продолжая удерживать осталь-
ные неподвижно. Какую скорость наберёт освобождённый ша-
рик, удалившись на большое расстояние?
4. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L, ре-
зистора сопротивлением R, батарейки с ЭДС £ и неизвестным
внутренним сопротивлением. Ключ К на некоторое время замы-
кают, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, в це-
пи выделилось количество теплоты Qi, а после размыкания клю-
ча в цепи выделилось количество теплоты Q2.
• 1) Найдите ток через катушку в момент размыкания ключа.
12
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
2) Найдите заряд, протекший через катушку за время, пока ключ
был замкнут.
2v ф
Рис. к задаче 4
Ь
v
Рис. к задаче 5
5. Мошка S ползёт перпендикулярно главной оптической оси со-
бирающей линзы с фокусным расстоянием F, находясь вблизи
главной оптической оси на расстоянии 4F/3 от линзы. Линза
перемещается поступательно в противоположном направлении
перпендикулярно главной оптической оси. Скорость линзы v =
= 1 мм/с, скорость мошки 2v. Мошка и главная оптическая ось
линзы всегда находятся в плоскости рисунка.
1) Найдите скорость мошки относительно линзы.
2) С какой скоростью движется изображение мошки относитель-
но неподвижного экрана?
БИЛЕТ 6
1. Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности со
скоростью v, налетает на лежащий неподвижно на той же поверх-
ности брусок. В результате неупругого удара шарик остановился
и 60% его первоначальной кинетической энергии перешли в теп-
лоту, а брусок стал двигаться поступательно. Какова скорость
Р
бруска после удара?
С и молями идеального газа про-
водится циклический процесс, со-
стоящий из двух изохор 2—3 и 4—1
и двух процессов 1—2 и 3—4 с ли-
нейной зависимостью давления от
объёма. Температура газа в состо-
яниях 1 и 2 равна Ti, в состоянии
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
13
3 — Т2, а прямая 3—4 проходит через начало координат. Найди-
те работу, совершаемую газом в цикле 1—2—3—4—1, если объём
в состоянии 2 в 3 раза больше объёма в состоянии 1.
3. Четыре одинаковых маленьких шарика с массой т и зарядом q
каждый удерживают в вершинах квадрата со стороной а. Один
шарик отпускают, продолжая удерживать остальные неподвиж-
но. Какую скорость наберёт освобождённый шарик, удалившись
на большое расстояние?
4. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L, ре-
зистора сопротивлением R, батарейки с ЭДС 8 и неизвестным
внутренним сопротивлением. Ключ К на некоторое время замы-
кают, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, че-
рез источник протёк заряду, а в катушке запаслась энергия W.
1) Найдите количество теплоты, выделившейся в цепи, пока ключ
был замкнут.
2) Какой заряд протёк через катушку при замкнутом ключе?
Рис. к задаче 4
ь
V
6«
Рис. к задаче 5
5. Собирающую линзу с фокусным расстоянием F перемещают по-
ступательно со скоростью v = 3 мм/с перпендикулярно её глав-
ной оптической оси. Муравей S ползёт в том же направлении
перпендикулярно главной оптической оси со скоростью 6v, нахо-
дясь вблизи главной оптической оси на расстоянии 8F/3 от лин-
зы. Муравей и главная оптическая ось линзы всегда находятся в
плоскости рисунка.
1) Найдите скорость муравья относительно линзы.
2) С какой скоростью движется изображение муравья относи-
• тельно неподвижного экрана?
14
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 7
БИЛЕТ 7
1. Шарик, движущийся по гладкой горизонтальной поверхности,
налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик.
В результате неупругого удара шарик остановился, а кубик начал
двигаться поступательно со скоростью v. При этом 75% перво-
начальной кинетической энергии шарика перешли в теплоту. Ка-
кова была скорость шарика до удара?
2. С г молями идеального газа проводится циклический процесс,
Рис. к задаче 2
состоящий из двух изохор 1—2 и
3—4 и двух процессов 2—3 и 4—1
с линейной зависимостью давления
от объёма. Температура газа в со-
стояниях 1 и 4 равна Т, а в состо-
яниях 2 и 3 равна 4Т. Точки 1 и 3
на Р — V диаграмме лежат на пря-
мой, проходящей через начало ко-
ординат. Найдите работу, соверша-
емую газом в цикле 1—2—3—4—1.
3. Четыре одинаковых маленьких шарика с массой m и зарядом q
каждый удерживают в вершинах правильного тетраэдра с реб-
ром а. Один шарик отпускают, продолжая удерживать осталь-
ные неподвижно. При каком а шарик наберёт на большом рас-
стоянии скорость V?
4. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L, ре-
зистора сопротивлением R, батарейки с ЭДС и неизвестным
внутренним сопротивлением. Ключ К на некоторое время замы-
кают, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, че-
рез катушку протёк заряд q и в ней запаслась энергия W.
1) Найдите количество теплоты, выделившейся в цепи после раз-
мыкания ключа.,
2) Найдите количество теплоты, выделившейся в цепи пока ключ
был замкнут... ,, - -
5. Муха S ползёт перпендикулярно главной оптической'оси соби-
рающей линзы с фокусным расстоянием F, .находясь вблизи
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
15
Рис. к задаче 4
Рис. к задаче 5
главной оптической оси на расстоянии 5F/3 от линзы. Линза
перемещается поступательно в противоположном направлении
перпендикулярно главной оптической оси. Скорость линзы v =
= 1,5 мм/с, скорость мухи Згл Муха и главная оптическая ось
линзы всегда находятся в плоскости рисунка.
1) Найдите скорость мухи относительно линзы.
2) С какой скоростью движется изображение мухи относительно
неподвижного экрана?
БИЛЕТ 8
1. Шарик массой т, движущийся по гладкой горизонтальной по-
верхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверх-
ности брусок. В результате неупругого удара шарик останавли-
вается и 80% его первоначальной кинетической энергии перехо-
дит в теплоту, а брусок движется поступательно. Какова масса
бруска?
2. С v молями идеального газа про-
водится циклический процесс,
состоящий из двух изохор 1—2 и
3—4 и двух процессов 2—3 и 4—1
с линейной зависимостью давле-
ния от объёма, причём прямая
4—1 проходит через начало коор-
динат. Температура газа в состо-
янии 1 равна Ti, а температура
* ва и равна Т%. Найдите работу,
з состояниях 2 и 3 одинако-
совершаемую газом в цикле
16
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 8
1—2—3—4—1, если отношение объёмов в состояниях 3 и 2 рав-
но 2.
3. Четыре одинаковых маленьких шарика с массой т и зарядом q
каждый удерживают в вершинах квадрата со стороной а. Один
шарик отпускают, продолжая удерживать остальные неподвиж-
но. При каком а шарик наберёт на большом расстоянии ско-
рость и?
4. Электрическая цепь состоит из катушки индуктивностью L, ре-
зистора сопротивлением R, батарейки с ЭДС S и неизвестным
внутренним сопротивлением. Ключ К на некоторое время замы-
кают, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, че-
рез источник протёк заряд q, а в цепи выделилось количество теп-
лоты Qi.
1) Найдите количество теплоты, выделившейся в цепи после раз-
мыкания ключа.
2) Какой заряд протёк через катушку за время, пока ключ был
замкнут?
Рис. к задаче 4
Рис. к задаче 5
5. Собирающую линзу с фокусным расстоянием F перемещают по-
ступательно со скоростью v = 2 мм/с перпендикулярно её глав-
ной оптической оси. Жук S ползёт в том же направлении пер-
пендикулярно главной оптической оси со скоростью 5v, находясь
вблизи главной оптической оси на расстоянии 1F/3 от линзы.
Жук и главная оптическая ось линзы всегда находятся в плос-
кости рисунка.
1) Найдите скорость жука относительно линзы.
2) С какой скоростью движется изображение жука относительно
неподвижного экрана?
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 9
17
БИЛЕТ 9
1. Дифференциальный ворот представ- .
ляет собой два скреплённых соосных /----"Х
цилиндра радиусами R — 10 см и г = / г
= 8 см, на которые намотан трос. Трос р I )
перекинут через подвижный блок и JJ
его концы закреплены на цилиндрах. ----z
При вращении рукоятки ОА длиной
L = 20 см вокруг неподвижной го-
ризонтальной оси цилиндров О трос
наматывается на больший цилиндр и \ J
сматывается с меньшего, а груз, под- ----'
вешенный к подвижному блоку, подни-
мается. ----—----
1) Найдите минимальную силу F, ко- Рис' к задаче 1
торую необходимо приложить к рукоятке ворота, чтобы подни-
мать груз массой т = 140 кг.
2) Какой скорости достигнет этот груз за t = 2 с, начав движение
из состояния покоя, если силу F увеличить на 0,4%?
Массами цилиндров, рукоятки, троса, подвижного блока и тре-
нием в осях пренебречь.
Ускорение свободного падения принять равным g — 10 м/с2.
2. Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими стен-
ками делится не проводящим теплоту поршнем на два объёма, в
которых находятся по одному молю гелия при температуре Tq =
= 300 К. В левой части цилиндра на некоторое время включается
нагреватель. В результате поршень перемещается, и объём пра-
вой части цилиндра уменьшается в 2 раза. Найти количество теп-
лоты Q, переданной газу нагревателем. Известно, что давление
Р и объём V газа в правой части цилиндра связаны соотношени-
ем P3V5 = const (адиабатический процесс).
3. Шарик массой т с зарядом q находится на расстоянии R от вто-
рого одноимённо заряженного шарика массой 3m. Неподвиж-
ные вначале шарики одновременно отпускают, и они разлетают-
18
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10
ся. В момент, когда расстояние между шариками стало 47?, ско-
рость шарика массой т достигла v.
1) Найдите скорость второго шарика в этот момент.
2) Найдите заряд второго шарика.
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации
не учитывать.
Рис. к задаче 4
4. Электрическая цепь состоит из батарейки с ЭДС S и внутренним
сопротивлением г, конденсатора ёмко-
стью С и резистора сопротивлением
R = 2г. Ключ К замыкают, а затем раз-
мыкают в момент, когда источник разви-
вает мгновенную мощность Р.
1) Найдите ток, текущий через конден-
сатор непосредственно перед размыка-
нием ключа.
2) Какое количество теплоты выделится в схеме после размыка-
ния ключа?
5. Вертолёт фотографируют с расстояния di = 36 м с помощью
объектива с фокусным расстоянием F\ = 45 мм. Модель вер-
толёта, выполненную в масштабе 1 : 200, фотографируют с помо-
щью объектива с фокусным расстоянием 7*2 = 90 мм. На плёнке
размеры изображений вертолёта и модели одинаковы. На каком
расстоянии <?2 от объектива находилась модель вертолёта? Объ-
ектив считать тонкой линзой, от которой отсчитываются все рас-
стояния.
БИЛЕТ 10
1. Дифференциальный блок состоит из двух скреплённых между со-
бой и насаженных на общую горизонтальную ось О барабанов
с радиусами п = 9 см и гг = 13 см. На барабаны намотан
замкнутый трос (цепь), перекинутый через подвижный блок. В
устройстве обеспечены условия непроскальзывания троса по ба-
рабанам.
1) Найдите минимальную силу F, которую необходимо прило-
жить к тросу, чтобы поднимать груз массой т = 65 кг.
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10
19
2) За какое время этот груз достигнет ско-
рости v = 10 см/с из состояния покоя, ес-
ли силу F увеличить на 0,2%?
Массами барабанов, троса, подвижно-
го блока и трением в осях пренебречь.
Ускорение свободного падения принять
равным g = 10 м/с2.
2. Теплоизолированный горизонтальный ци-
линдр с гладкими стенками делится не про-
водящим теплоту поршнем на два объёма,
в которых находятся по одному молю ге-
лия при температуре То = 300 К. В левой
Рис. к задаче 1
части цилиндра на некоторое время включается нагреватель. В
результате поршень перемещается, и температура газа в левой
части цилиндра становится в 2 раза больше температуры газа в
правой части. Найти работу, которую совершил газ, находящий-
ся в левой части цилиндра. Известно, что давление Р и объём
V газа в правой части цилиндра связаны соотношением P3V5 =
= const(адиабатический процесс).
3. Шарик массой т с положительным зарядом q находится на рас-
стоянии R от шарика массой 7т с отрицательным зарядом —8q.
Неподвижные вначале шарики одновременно отпускают, и они
сближаются. В некоторый момент расстояние между шариками
стало R/8. Найдите в этот момент:
1) отношение скоростей шариков массами т и 7m;
2) скорость шарика массой т.
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации
не учитывать.
4. Электрическая цепь состоит из бата-
рейки с ЭДС S и внутренним сопро-
тивлением г, конденсатора ёмкостью
С и резистора сопротивлением R =
= Зг. Ключ К замыкают, а затем
размыкают в момент, когда ток через
• конденсатор достигает величины Iq.
Рис. к задаче 4
20
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
1) Какой ток течёт через источник непосредственно перед размы-
канием ключа?
2) Какое количество теплоты выделится в схеме после размыка-
ния ключа?
5. Яхту фотографируют с расстояния di = 52 м с помощью объек-
тива с фокусным расстоянием F\ = 40 мм. Модель яхты фотогра-
фируют с расстояния d% = 60 см с помощью объектива с фокус-
ным расстоянием F% — 80 мм. На плёнке размеры изображений
яхты и модели одинаковы. Во сколько раз отличаются линейные
размеры яхты и её модели? Объектив считать тонкой линзой, от
которой отсчитываются все расстояния.
БИЛЕТ 11
1. Дифференциальный ворот представляет собой два скреплённых
Рис. к задаче 1
соосных цилиндра радиусами R\ = 10 см
и Й2 = 6 см, на которые намотан трос.
Трос перекинут через подвижный блок, и
его концы закреплены на цилиндрах. При
вращении рукоятки ОВ длиной Д = 30 см
вокруг неподвижной горизонтальной оси
О цилиндров трос наматывается на боль-
ший цилиндр и сматывается с меньшего,
а груз, подвешенный к подвижному блоку,
поднимается.
1) Какую минимальную силу F необходи-
мо приложить к рукоятке ворота, чтобы
поднимать груз массой т = 90 кг?
2) На какую высоту поднимется этот груз
за время t = 1 с, начав движение из состояния покоя, если силу
F увеличить на 1 %?
Массами цилиндров, рукоятки, троса, подвижного блока и тре-
нием в осях пренебречь.
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.
2. Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими стен-
ками делится не проводящим теплоту поршнем на два объёма, в
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
21
которых находятся по одному молю гелия при температуре То —
= 200 К. В левой части цилиндра включается на некоторое вре-
мя нагреватель. Поршень перемещается. В конечном состоянии
температуры в левой и правой частях цилиндра отличаются в три
раза. Найдите количество теплоты Q, переданной нагревателем
газу. Известно, что давление Р и объём V газа в правой части ци-
линдра связаны соотношением P3V5 = const (адиабатический
процесс).
3. Шарик массой т с зарядом q находится на расстоянии R от вто-
рого одноимённо заряженного шарика. Неподвижные вначале
шарики одновременно отпускают, и они разлетаются. В момент,
когда расстояние между шариками стало 3R, скорость шарика
массой т достигла v, а скорость второго шарика достигла 5и.
1) Найдите массу второго шарика.
2) Найдите заряд второго шарика.
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации
не учитывать.
4. Электрическая цепь состоит из бата-
рейки с ЭДС S и внутренним сопро-
тивлением г, конденсатора ёмкостью
С и резистора сопротивлением R =
= 4г. Ключ К на некоторое время
замыкают, а затем размыкают. По-
сле размыкания ключа в схеме выде-
Рис. к задаче 4
лилось количество теплоты Q.
1) Найдите ток, текущий через источник непосредственно перед
размыканием ключа.
2) Найдите ток, текущий через конденсатор в этот же момент.
5. Катер фотографируют с расстояния d\ = 40 м с помощью объ-
ектива с фокусным расстоянием Fi = 50 мм. Модель катера,
выполненную в масштабе 1 : 300, фотографируют с расстояния
с?2 = 55 см с помощью объектива с фокусным расстоянием Ег-
Найдите F^, если на плёнке размеры изображений катера и мо-
дели одинаковы. Объектив считать тонкой линзой, от которой
• отсчитываются все расстояния.
22
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 12
БИЛЕТ 12
1. Дифференциальный блок состоит из двух скреплённых между со-
бой и насаженных на общую горизонтальную ось О барабанов
с радиусами R = 15 см и г = 12 см. На бара-
баны намотан замкнутый трос (цепь), переки-
нутый через подвижный блок. В устройстве
обеспечены условия непроскальзывания тро-
са по барабанам.
1) Какую минимальную силу F необходимо
приложить к тросу, чтобы поднимать груз
массой т = 80 кг?
2) За какое время этот груз поднимется на
высоту Н = 24 см из состояния покоя, ес-
ли силу F увеличить на 0,3%?
Массами барабанов, троса, подвижного
Рис. к задаче 1 блока и трением в осях пренебречь.
Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2.
2. Теплоизолированный горизонтальный цилиндр с гладкими стен-
ками делится не проводящим теплоту поршнем на два объёма, в
которых находятся по одному молю гелия при температуре То =
= 300 К. В левой части цилиндра включается на некоторое вре-
мя нагреватель. В результате поршень перемещается, и газ, со-
держащийся в левой части цилиндра, совершает работу А =
= 1245 Дж. Найти отношение конечных объёмов газа в левой
и в правой частях цилиндра. Известно, что давление Р и объём
V газа в правой части цилиндра связаны соотношением P3V5 =
= const (адиабатический процесс).
3. Шарик массой т с положительным зарядом q находится на рас-
стоянии R от шарика массой 2т с отрицательным зарядом —3q.
Неподвижные вначале шарики одновременно отпускают, и они
сближаются. В некоторый момент скорость шарика массой т
достигла V. Найдите в этот момент:
1) скорость шарика массой 2m;
2) расстояние между шариками.
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 13
Размеры шариков малы по сравнению с R. Силы гравитации
не учитывать.
4. Электрическая цепь состоит из бата-
рейки с ЭДС S и внутренним сопро-
тивлением г, конденсатора ёмкостью И
С и резистора сопротивлением R = |
= 5г. Ключ К замыкают, а затем
Рис. к задаче 4
размыкают в момент, когда токи че-
рез конденсатор и резистор сравниваются по величине.
1) Какую мгновенную мощность развивает источник непосред-
ственно перед размыканием ключа?
2) Какое количество теплоты выделится в схеме после размыка-
ния ключа?
5. Самолёт и его модель, выполненную в масштабе 1 : 375, необ-
ходимо сфотографировать так, чтобы размеры изображений са-
молёта и модели на плёнке были одинаковы. С какого расстоя-
ния di следует фотографировать самолёт с помощью объектива
с фокусным расстоянием Fi = 50 мм, если модель была сфото-
графирована с расстояния d% — 50 см с помощью объектива с
фокусным расстоянием F2 = 100 мм? Объектив считать тонкой
линзой, от которой отсчитываются все расстояния.
БИЛЕТ 13
1. С балкона вертикально вверх бросают мяч. Через время т ско-
рость летящего вверх мяча уменьшается на 20%. С какой высо-
ты был произведён бросок, если в момент удара о землю скорость
мяча в два раза превышала начальную? Сопротивление воздуха
не учитывать.
2. Смесь гелия = 4 г/моль) и кислорода (^к = 32 г/моль) имеет
при давлении Р = 105 Па и температуре Т = 300 К плотность
р = 1 кг/м3.
1) Найдите отношение числа молекул кислорода к числу молекул
гелия.
2) Какой станет при том же объёме плотность смеси, если из неё
• удалить две трети молекул кислорода?
24
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14
3. Параллельно соединённые резисторы с сопротивлениями R =
— 25 Ом и 7R соединены последовательно с другими параллель-
но соединёнными резисторами с сопротивлениями 37? и 4/?. Цепь
подключена к сети с постоянным напряжением. На резисторе с
сопротивлением R выделяется мощность Р = 49 Вт.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением 2R.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением
4R?
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС S,
катушки индуктивностью L, конденсатора ёмкостью С и резисто-
ра с неизвестным сопротивлением. Ключ К замыкают на время
т, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, через
источник протёк заряд q.
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока
ключ был замкнут?
2) Какое количество теплоты выделилось в цепи после размыка-
ния ключа?
5. Сторона АВ квадрата ABCD расположена на оптической оси
собирающей линзы, причём расстояние от линзы До точки А в
два раза больше фокусного расстояния линзы. Линза создаёт
действительное изображение квадрата. Площадь изображения
составляет 3/8 площади квадрата ABCD. С каким увеличением
изображается сторона ВС?
БИЛЕТ 14
1. Мяч, брошенный с поверхности земли почти вертикально вверх,
через некоторое время упал на балкон Со скоростью, вдвое мень-
шей начальной. На какой высоте над землёй находилась точка
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14 25
падения, если за время т после броска скорость летящего вверх
мяча уменьшается на 25%. Сопротивление воздуха не учиты-
вать.
2. Смесь гелия (дг = 4 г/моль) и азота (//а = 28 г/молг) имеет при
давлении Р = 105 Па и температуре Т = 300 К плотность р =
= 0,32 кг/м3.
1) Найдите отношение числа молекул гелия к числу молекул азо-
та.
2) Какую часть гелия нужно удалить из смеси, чтобы её плот-
ность при том же объёме уменьшилась на 1/3?
3. Параллельно соединённые резистор с сопротивлением R =
= 50 Ом и конденсатор ёмкостью (7 = 15 мкФ соединены после-
довательно с параллельно соединёнными резисторами с сопро-
тивлениями 2R и 3/?. Цепь подключена к сети с постоянным на-
пряжением. В установившемся режиме заряд конденсатора q =
= 0,75 мКл.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением R.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением
2Я?
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС <S,
катушки индуктивностью L, конденсатора ёмкостью С и резисто-
ра с неизвестным сопротивлением. Ключ К на некоторое время
замыкают, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут,
через резистор протёк заряд q = CS. После размыкания клю-
ча в цепи выделилось количество теплоты Q.
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока
• ключ был замкнут?
26
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 15
2) Сколько времени был замкнут ключ?
5. Сторона АС прямоугольного треугольника АВС (угол С — пря-
мой) расположена на оптической оси собирающей линзы, причём
расстояние от линзы до точки А в два раза больше фокусного
расстояния линзы. Линза создаёт действительное изображение
треугольника. Площадь изображения составляет 1/4 площади
треугольника АВС. С каким увеличением изображается сторона
ВС?
БИЛЕТ 15
1. С балкона вертикально вверх бросают камень. Через время т
скорость летящего вверх камня уменьшается на 10%. С какой
высоты был произведён бросок, если максимальная высота подъ-
ёма камня над поверхностью земли вдвое больше начальной? Со-
противление воздуха не учитывать.
2. Смесь гелия (/zr = 4 г/моль) и кислорода (/zK = 32 г/моль) имеет
при давлении Р = 105 Па и температуре Т = 300 К плотность
р = 0,3 кг/м3.
1) Найдите отношение числа молекул гелия к числу молекул кис-
лорода.
2) Какой станет при том же объёме плотность смеси, если из неё
удалить половину молекул гелия?
3. Параллельно соединённые резисторы с сопротивлениями R =
= 36 Ом и ЗЯ соединены последовательно с другими параллель-
но соединёнными резисторами с сопротивлениями 2R и 4Я. Цепь
подключена к сети с постоянным напряжением. На резисторе с
сопротивлением R выделяется мощность Р = 81 Вт.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением ЗЯ.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением
4Я?
4. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС <?,
катушки индуктивностью L, конденсатора ёмкостью С и резисто-
ра с неизвестным сопротивлением. Ключ К замыкают на время
т, а затем размыкают. За время, пока ключ был замкнут, через
резистор протёк заряд q.
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
27
R 2R
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока
ключ был замкнут?
2) Какое количество теплоты выделилось в цепи после размыка-
ния ключа?
5. Сторона АВ квадрата ABCD расположена на оптической оси
собирающей линзы, причём расстояние от линзы до точки А в
два раза больше фокусного расстояния линзы. Линза создаёт
действительное изображение квадрата. Площадь изображения
в 3 раза больше площади квадрата ABCD. С каким увеличени-
ем изображается сторона ВС?
БИЛЕТ 16
1. Камень, брошенный с поверхности земли почти вертикально
вверх, через некоторое время упал на балкон. За время т после
броска скорость летящего вверх камня уменьшается на 25%. На
какой высоте над землёй находилась точка падения, если макси-
мальная высота подъёма камня над поверхностью земли вдвое
больше? Сопротивление воздуха не учитывать.
2. Смесь гелия (/zr = 4 г/моль) и азота (^а = 28 г/моль) имеет при
давлении Р = 105 Па и температуре Т = 300 К плотность р =
= 0,64 кг/м3.
1) Найдите отношение числа молекул азота к числу молекул ге-
лия.
2) Какую часть азота нужно удалить из смеси, чтобы её плотность
при том же объёме уменьшилась вдвое?
3. Параллельно соединённые резистор с сопротивлением R =
• = 32 Ом и конденсатор ёмкостью С = 25 мкФ соединены после-
28
ФИЗИКА ♦ ЗАДАЧИ * Билет 16
довательно с параллельно соединёнными резисторами с сопро-
тивлениями 37? и 5R. Цепь подключена к сети с постоянным на-
пряжением. В установившемся режиме заряд конденсатора q =
= 0,32 мКл.
1) Найдите ток через резистор с сопротивлением R.
2) Какая мощность выделяется на резисторе с сопротивлением
37??
Рис. к задаче 3
Рис. к задаче 4
4. Электрическая цепь состоит из идеальной батарейки с ЭДС S,
катушки индуктивностью L, конденсатора ёмкостью С и резисто-
ра с неизвестным сопротивлением. Ключ К на некоторое вре-
мя замыкают, а затем размыкают. Непосредственно перед раз-
мыканием ключа напряжение на резисторе равнялось S/2. Сум-
марное количество теплоты, выделившейся в цепи при замкнутом
ключе и после размыкания ключа, равно Q.
1) Какое количество теплоты выделилось в цепи за время, пока
ключ был замкнут?
2) Сколько времени был замкнут ключ?
5. Сторона АС прямоугс льного треугольника АВС (угол С — пря-
мой ) расположена на оптической оси собирающей линзы, причём
расстояние от линзы до точки А в два раза больше фокусного
расстояния линзы. Линза создаёт действительное изображение
треугольника. Площадь изображения в 4 раза больше площади
треугольника АВС. С каким увеличением изображается сторона
ВС?
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 2
29
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1. Решить неравенство
I 1 > 1
V ж2 + 2ж — 3^4 — х '
2. Решить уравнение
4 cos2 2х cos 4ж + 3 cos 2х + cos 6ж _
cos Зж
3. Найти действительные решения системы уравнений
' 2у2 = ж4 + х,
< 2ж _ о
у =-------------------------5ж<
I У
4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 4. Окружность с цен-
тром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрез-
ков АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответствен-
но. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма
ABCD, если Ж = 3.
D1V1
5. Найти все пары вещественных чисел (ж,у), удовлетворяющие
неравенству
(Зу\
3 - cos4ж + sin — 1 < logjcos||+|8inю(|sinЗжcos2y|).
6. На основании ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD рас-
положена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых
SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Известно,
что АВ = KL = 2%/5, AL = 2, ВК = 6, а отрезок SO состав-
ляет с плоскостью ABCD угол arccos Найти длины отрезков
АК, OS и SD.
БИЛЕТ 2
1. Решить неравенство
/ 1 1
уж2 — 6ж + 5 2 + ж ’
/
30
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 3
2. Решить уравнение
4 sin2 2х sin 4ж — sin 6ж + 3 sin 2х
sin 2х
3. Найти действительные решения системы уравнений
' Зж2 = у4 + у,
^х = ^+у2.
4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 6. Окружность с цен-
тром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрез-
ков АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответствен-
но. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма
ABCD, если = 5.
5. Найти все пары вещественных чисел (ж,у), удовлетворяющие
неравенству
(Эх'
4 —2cosy —sin —
&
• а
sm — cos 6ж
4
6. На основании ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD рас-
положена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых
SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Известно,
что АВ = KL = 5\/2, AL — 6, ВК = 8, а отрезок SO составля-
ет с плоскостью ABCD угол arccos-^. Найти длины отрезков
АК, OS и SD.
БИЛЕТ 3
1. Решить неравенство
/ 3 1
V Зж2 — 2ж — 1 2 — х '
2. Решить уравнение
4 cos 4ж cos2 2ж — 3 cos 2ж — cos 6ж _
2 sin2 ж — 1
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 4
31
3. Найти действительные решения системы уравнений
' 4у2 = х4 + х,
Зх о
Юу = у - %
4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 5. Окружность с цен-
тром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрез-
ков АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответствен-
но. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма
ABCD, если = 4.
ijivL
5. Найти все пары вещественных чисел (ж,у), удовлетворяющие
неравенству
l°g2*+5-* (5 — 2 cos 2ж + 2 sin Зу)
(Зж \
sin-cos^ J .
6. На основании ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD рас-
положена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых
SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Известно,
что АВ = KL = 10^, AL = 16, ВК = 12, а отрезок SO состав-
ляет с плоскостью ABCD угол arccos Найти длины отрезков
АК, OS и SD.
БИЛЕТ4
1. Решить неравенство
/ 1 2
V ж2 — 4ж + 3 1 + 2ж ’
2. Решить уравнение
64 sin3 ж cos5 ж + sin 6ж — 3 sin 2ж _
sin ж cos ж
3. Найти действительные решения системы уравнений
' Зж2 = у4 - у,.
11ж = Зу2 — .
32
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 5
4. Параллелограмм ABCD имеет площадь 7. Окружность с цен-
тром в точке О, расположенной на отрезке AD, касается отрез-
ков АВ, ВС и прямой CD в точках М, N и К соответствен-
но. Найти радиус этой окружности и стороны параллелограмма
ABCD, если = 6.
5. Найти все пары вещественных чисел (х,у), удовлетворяющие
неравенству
log|cos ^|+|sinfe|(6 ~ cos -4sin6xj^ log(6w+4-y)(|sinycos8a:|).
6. На основании ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD рас-
положена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых
SA, SB, SC, SD в точках А, В, К, L соответственно. Известно,
что АВ = KL = 2\/13, AL = 6>/2, ВК = 4\/2, а отрезок SO
составляет с плоскостью ABCD угол arccos
отрезков АК, OS и SD.
д
. Найти длины
БИЛЕТ5
1. Решить неравенство
2—а: ) (4 х) 2.
2. Решить уравнение
sin3 х cos Зх + cos3 х sin Зх _ 3
| sin 2ж| 4 ’
3. Решить систему уравнений
4- / х = 42
* х \/ х + у х + у ’
ху — X = 16.
4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 2, угол АВМ равен
2 1
arctg к, угол СВМ равен arctg ?. Найти стороны АВ, ВС и бис-
О о
сектрису BE треугольника АВС.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 6
33
5. Решить систему уравнений
(х + у4 5 6 — 2у2 = In х,
[ 2 arctg х + arcsin у = 0.
6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD.
15
Сфера ш радиуса с центром О касается рёбер AS, BS, AD,
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пе-
ресекает ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Из-
вестно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пе-
ресекает её в точке Н, — |. Найти Z.SAB,
Z.SBH, высоту пирамиды и её объём.
БИЛЕТ 6
1. Решить неравенство
2. Решить уравнение
sin3 х cos Зх — cos3 х sin Зх + | sin 6х
= 4 '
| sinx|
3. Решить систему уравнений
{, / X 42
х + х ------ = ------ ,
у х — у х — у ’
ху — 4х = 9.
4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 3, угол АВМ равен
5 1 л
arctg угол CBM равен arctg g. Найти стороны АВ, ВС и бис-
сектрису BE треугольника АВС.
5. Решить систему уравнений
( х + 2у2 — у4 = ех,
( arccos х + 2 arctg у = 0.
6. В основании пирамида SABCD лежит параллелограмм ABCD.
77
• Сфера ш радиуса с центром О касается рёбер AS,BS, AD,
34
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 7
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пе-
ресекает ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Из-
вестно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пе-
.. IT PQ 123 АК 1 тт - /С ЛТ>
ресекает ее в точке Н, «/^, -рд = Наити Z.SAB,
Z.BSH, высоту пирамиды и её объём.
БИЛЕТ 7
1. Решить неравенство
2. Решить уравнение
sin3 х cos Зя: + cos3 х sin Зж
|cos2rr|
3. Решить систему уравнений
_ 3
" 4 '
У
42
у у х + у х + у
ху — х = 16.
4, угол АВМ равен
4. В треугольнике АВС медиана ВМ =
1 3
arctg угол СВМ равен arctg Найти стороны АВ, ВС и бис-
сектрису BE треугольника АВС.
5. Решить систему уравнений
{4ж4 — 4ж2 + у = In у,
arcsin ж + arctg у = 0.
6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD.
28
Сфера ш радиуса с центром О касается рёбер AS, BS, AD,
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пе-
ресекает ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Из-
вестно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пе-
•• тт АВ 133 BL 1 тт v /сп л
ресекает ее в точке Н, -рд = а/jy, = 4- Наити Z.SBA,
Z.SAH, высоту пирамиды и её объём.
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 9
35
БИЛЕТ8
1. Решить неравенство
д+5^ (ж + 25) 2.
2. Решить уравнение
sin3 х cos Зж — cos3 ж sin Зж + | sin бж g
|cosж| 4 ’
3. Решить систему уравнений
{. / У 42
У + 4 / -2- = --- ,
" у у — ж у — X '
ху — 4у — 9.
4. В треугольнике АВС медиана ВМ = 5, угол АВМ равен
arctg угол СВМ равен arctg Найти стороны АВ, ВС и бис-
сектрису БЕ треугольника АВС.
5. Решить систему уравнений "
Г 4ж2 — 4ж4 + у = еу,
\ 2 arcsin ж + arccos у — 0.
6. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD.
15
Сфера ш радиуса с центром О касается рёбер AS, BS, AD,
ВС пирамиды SABCD соответственно в точках К, L, М, N, пе-
ресекает ребро АВ в точках Р и Q и касается грани CDS. Из-
вестно, что прямая SO перпендикулярна плоскости ABCD и пе-
ресекает её в точке Н, Найти Z.SBA,
/.ASH, высоту пирамиды и её объём.
БИЛЕТ 9
1. Решить уравнение
у 7 — у/б tg ж + VTcos ж = 0.
2. Решить систему уравнений
Г ж2 + ху — 2у2 4- 8ж + 10у + 12 = 0,
\ ж2 — у2 — 7 = 0.
36
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 10
3. Решить неравенство
У1оё(х+10) (я2 - 2ж - 8) + У1оё(ж2_2ж_8)(а; + 10)2 ^1 + ^2.
4. Высота равнобедренной трапеции ABCD равна 16, а её диаго-
нали пересекаются в точке О. Окружность радиуса 3 с центром
в точке О касается меньшего основания ВС и боковой стороны
CD трапеции. Найти основания трапеции.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
\ах2 + 3| = |2аж| + |3а|
имеет хотя бы одно действительное решение.
6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD,
причём АВ = 1, ВС = 2. Пусть N — середина SB, М — се-
редина SC, причём BN = МС = 3MN. Каким может быть ми-
нимальный радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD?
Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу (мини-
мального радиуса).
БИЛЕТ 10
1. Решить уравнение
^/4 + л/З ctg х + 2 sin х = 0.
2. Решить систему уравнений
Г х2 — Зху + 2у2 + 5х — 9у + 4 = 0,
( х2 — у2 — 5 = 0.
3. Решить неравенство
i/1og(i2-3a;)(9a:2 - 6ж - 8) + yiog(9a.2_fe_8)(12 - Зж)2 1 + \/2.
4. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точ-
ке О, а её меньшее основаниё ВС равно 2. Окружность радиуса
3
2 с центром в точке О касается основания ВС и боковой сторо-
ны CD трапеции. Найти основание AD и боковую сторону тра-
пеции.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
\ах2 — 5| = |3аж| + |2а|
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 11
37
имеет хотя бы одно действительное решение.
6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD,
причём АВ = 3, SC = 8. Пусть N середина SB, М — сере-
дина SC, причём BN = МС = iMN. Каким может быть ми-
нимальный радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD?
Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу (мини-
мального радиуса).
БИЛЕТ 11
1. Решить уравнение
\/э + V8 tg х + 3 cos х = 0.
2. Решить систему уравнений
Г ху + у2 — 2х2 + 10т + 8у + 12 = 0,
( х2 — у2 + 7 = 0.
3. Решить неравенство
У1оё(13+2гС)(4ж2 + 8т-5) + У^(4ж2+8ж_5)(13-|-2т)2 С1 + >/2.
4. Диагонали равнобедренной трапеции ABCD пересекаются вточ-
ке О, а её высота равна 4. Окружность радиуса с центром в точ-
ке О касается меньшего основания ВС и боковой стороны CD
трапеции. Найти основание ВС и диагональ трапеции.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
\ах2 + 4| = |3шс| + |а|
имеет хотя бы одно действительное решение.
6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD,
причём АВ = 3, ВС = 2. Пусть N — середина SB, М — се-
редина SC, причём BN = МС = 3MN. Каким может быть ми-
нимальный радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD?
Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу (мини-
мального радиуса).
38
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 13
БИЛЕТ 12
1. Решить уравнение
^/11 —л/10 ctg ж + л/П sin х = 0.
2. Решить систему уравнений
Г 2ж2 — Зжу + у2 — 9х + 5у + 4 = 0,
( х2 — у2 + 5 = 0.
3. Решить неравенство
^^(б-х)^2 + Юж + 16) + yiog(l2+10a.+16)(6 - ж)2 < 1 + а/2.
4. Меньшее основание ВС равнобедренной трапеции ABCD равно
8, а её диагонали пересекаются в точке О. Окружность радиуса 6
с центром в точке О касается основания ВС и боковой стороны
CD трапеции. Найти основание AD и высоту трапеции.
5. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
\ах2 — 6| — |2аж| + |3а|
имеет хотя бы одно действительное решение.
6. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD,
причём АВ = 1, SC = 8. Пусть N — середина SB, М — сере-
дина SC, причём BN — МС = 4MN. Каким может быть ми-
нимальный радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD?
Найти объём пирамиды SABCD, вписанной в эту сферу (мини-
мального радиуса).
БИЛЕТ 13
1. Решить уравнение
2. Решить неравенство
\ 2 — -
V 4
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 14
39
3. Решить уравнение
2 sins sin За? 2
4. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны а и Ь соответ-
ственно, угол BCD равен а. Окружность, проходящая через точ-
ки В, С и D, касается прямой АВ. Найти радиус этой окружно-
сти.
5. Решить систему уравнений
т/а?2 + у2 — 16а? + 64 + у/х2 + у2 + 12у + 36 = 10,
5а?2 - 8у2 = 8.
6. Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны и являются
равными равнобедренными треугольниками с общим основанием
АВ. Известно, что АВ — 1, CD = 2. Найти угол между прямыми
АС и BD, расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы,
описанной вокруг пирамиды ABCD.
БИЛЕТ 14
1. Решить уравнение
, ( з , ( 2\ л
10g(—1) I,-1 " з) + 06У=«Н \ " з) =4-
2. Решить неравенство
3 + | х
3 + 6а?
3. Решить уравнение
1 1
tg2a? - -— = -------------------------ctgx.
sma? sin За? .
4. В трапеции ABCD основание ВС равно Ь, угол ABD равен а.
Окружность диаметра d, проходящая через точки В, С и D, ка-
сается прямой АВ. Найти основанйе трапеции AD.
5. Решить систему уравнений
Г \А'2 + У2'+ ба? + 9 + Уа?2 + у2 - 8у + 16 = 5,
1 4а?2 — у2 = 5.
40
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
6. Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны и являются
равными равнобедренными треугольниками с общим основанием
АВ. Известно, что АВ = 2, CD = 1. Найти угол между прямыми
АС и BD, расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы,
описанной вокруг пирамиды ABCD.
БИЛЕТ 15
1. Решить уравнение
2. Решить неравенство
3. Решить уравнение
1 1
tga: - — = ctgх - .
sin х sin Зж
4. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны а и b соответ-
ственно. Окружность, проходящая через точки В, С и D, касает-
ся прямой АВ. Найти диагональ трапеции BD.
5. Решить систему уравнений
Г т/ж2 + у2 + 12ж + 36 + i/z2 + У2 — 16у + 64 = 10,
1 5у2 - 8ж2 = 8.
6. Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны и являются
равными равнобедренными треугольниками с общим основанием
АВ. Известно, что АВ = 3, CD = 2. Найти угол между прямыми
АС и BD, расстояние между прямыми АС и BD и радиус сферы,
описанной вокруг пирамиды ABCD.
БИЛЕТ 16
1. Решить уравнение
, /1 Л л Л \ 4
МАТЕМАТИКА ♦ ЗАДАЧИ ♦ Билет 16
41
2. Решить неравенство
1 + 5х
1 + 2х
3. Решить уравнение
1 1
tg х + . о = -------ctg 2х.
sin Зж sin х г
4. В трапеции ABCD основание AD равно а, угол ABD равен а.
Окружность диаметра d, проходящая через точки В, С и D, ка-
сается прямой АВ. Найти основание трапеции ВС.
5. Решить систему уравнений
Г + У ~ 8^ + 16 + \/ж2 + у2 + 6у + 9 = 5,
( 4у2 — х2 = 5.
6. Грани АВС и ABD пирамиды ABCD ортогональны и являются
равными равнобедренными треугольниками с общим основанием
АВ. Известно, что АВ = 2, CD — Найти угол между пря-
мыми АС и BD, расстояние между прямыми АС и BD и радиус
сферы, описанной вокруг пирамиды ABCD.
42
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Билет 1
ФИЗИКА
БИЛЕТ 1
1. При движении монеты и горок сохраняются механическая энер-
гия и горизонтальная проекция импульса. Пусть импульс моне-
ты после съезда с первой горки р, тогда такой же по величине им-
пульс будет у первой горки, а также у второй горки, когда монета
на неё заедет. Из закона сохранения энергии
, Р2 Р2
mSh=2^ + 2^i
находим р и скорость монеты на столе
2 8 2 К Р
р = -т gh, v = —
5 т
Из ЗСЭ для заезда монеты на вторую горку
р2 ____ р2
2т
найдём
5р2
mgx = ——
12m
— = mgx +
2m 26m
2 2
= -mgh, х = -h.
М 0
2. Работа газа за цикл равна площади цикла:
1 1
А = tj(Pi - Р3)(И2 - И) = -(Pi - P3)2Vi = (Pi - Рз)И1.
Z Z
Тепло в процессе 3—1 равно изменению внутренней энергии, т.к.
работа в этом процессе не совершается:
Q = ^-vRT\ - \rt3 = - ?-P3V3 = |(Pi - Р3)И.
z z z z z
л _ (Pl - P3)V1 2
Q |(Р1-Рз)И 3
3. В конечном состоянии имеем параллельное соединение конден-
саторов общей ёмкостью 2С и зарядом CUq + C2Uq = ЗСС^о- По
ЗСЭ
о _ w w _ cut C(2U0)2 (3CU0)2 cut
4. После замыкания ключа напряжение на резисторе и катушке по-
стоянно и равно (S’, поэтому, пока ключ замкнут, через резистор
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 2 43
ё
течёт постоянный ток Ir = д, а ток в катушке определяется
условием LI = S и, следовательно, увеличивается по закону
Il — j-t. За время т через резистор и катушку протекут заря-
ды
S 4S 2
При размыкании ключа ток через катушку не изменяется. Ток
в цепи после размыкания определяется уравнением LI + IR = О,
из которого для малого времени Af находим
LiAt + IAtR — О, LAI -|- RAq — 0.
Просуммировав последнее соотношение за всё время, найдём
связь протекшего заряда с током в момент размыкания:
£(0 — То) + Rqo = 0, /о = 9оу •
XJ
Вспомнив, что 10 = -^т, находим время т, на которое был за-
мкнут ключ: т = qoR/<o, и заряд, протекший за это время через
источник:
q^R2
д = чь + qr = до + •
5. Скорость шарика относительно зеркала равна 3v и направлена
влево. Скорость изображения относительно зеркала также рав-
на Зи и направлена под углом 2а к поверхности стола. Скорость
изображения относительно стола
и2 = (3v)2 -I- (2v)2 — 2 3v 2v cos 2a = 9v2 -I- 4v2 + 6v2 = 19v2,
и = \/19v « 4,4v.
БИЛЕТ 2
< , n _ v2 63 v2
1. h = 15 —,x = ---.
S 4 g
2 .A = Q.
3 .Q = ^.
4 . h
44
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
5 . 3v вправо, и = x/13v « 3,6v.
БИЛЕТ3
l.v= y/|g/i,rr =
2.3.
З.с/„ = Д
д_____/ / i \ . 2Lq0 L __ <S / / L \ 2Lq§ &L
\\RJ + S R- qR ~ R \ \RJ + S
5. 4v влево, и = \/13v « 3,6v.
БИЛЕТ 4
i , OQ v2 88 v2
1. h = 28 —, x = -5--.
S 3 g
2.3.
3.t/„ = ^g.
4 т _ /2<7o<^ _ \/2go^L
• - у L 4- r
5. 5v вправо, и = \/21v « 4,6v.
БИЛЕТ5
1. Проще всего задача решается, если из трёх возможных формул
для кинетической энергии
2 2
Е _ mv _ Р _PV
2 2т 2
использовать последнюю. В этом случае закон сохранения энер-
гии принимает вид
ру _ Р(^/3) ,
2 2 '
откуда сразу находим
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
45
2. Так как
V1 Т\ ’ >4 A V1 ’
можно ввести удобные обозначения:
V1=V2 = V, V3 = v4 = 2V,
Р4 = р, Ру = р3 = 2Р, Р2 = 4Р
Тогда 2PV = vRT и
Л23 = ^(-P2 + P3)(V3-V2) = J(4P+2P)(2V-V) = 3PV = ^RT.
1 3 3
A^ = -{2P + P)V=-PV=-vRT.
£ TK
Q Q
A = A23 - Am = ^PV = -vRT.
3. Из закона сохранения энергии
g2 mv2 g2
6fc— =----+ 3k—
a 2 a
находим
mv2 g2 /бка2 I 3g2
2 a V ma у 2тгЕо’тга
4. При замкнутом ключе работа источника частично выделяется в
виде тепла на резисторе, а частично запасается в катушке. По-
сле размыкания ключа перейдёт в тепло запасённая в катушке
энергия. Отсюда
г т2 /о(0о
Q2 = —, I = \pr- ^qR + qL) = Qi+Q2.
£ V ХУ
Пока ключ замкнут, выполняется соотношение Ъ1^ = ддД, из
которого находим связь протекшего за это время через резистор
заряда с током в катушке перед размыканием ключа:
LI V2&L
qR~ R~ R ’
Заряд, протекший через катушку за время, пока ключ был за-
мкнут, равен
Qi + Q2 _ \/2Q2L
qL — Зобщ qR —
R
46
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 8
5. Расстояние от мощки до линзы а = | F, по формуле линзы на-
ходим расстояние от линзы до изображения b = 4F и увеличение
Г = | = 3. Скорость мошки относительно линзы v0TH = 2v +
+ v = 3v = 3 мм/с. Скорость изображения относительно линзы
Voth = Г^отн — Э'О- Скорость изображения относительно экрана
V = И>тн + v = 10v = 10 мм/с.
БИЛЕТ6
1. и = 0,4v.
2.A=^R(3T1-T2).
и
д2(4+у/2)
4тгЕоша
4. Q = <oq — W. qL
5. г>отн = 15 мм/с. V = 6 мм/с.
y/2LW
Q о
БИЛЕТ 7
1. vo = 4v.
2.A—^i/RT.
Q 3q2
О. a = г-2-т.
VirEoimr
4. Q2 = W. Qi = S (q +
\ к /
5. Voth = б мм/с. V = 10,5 mm/c.
БИЛЕТ8
1. M = 5m.
2. A = ^B(T2-2Ti).
3. a = £(lt41.
4. Q2 = £q - Q x. qL = q - .
5. «ста = 8 мм/с. V = 4 mm/c.
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
47
БИЛЕТ9
1. При неподвижном грузе сила натяжения нити равна Т =
а условие равновесия цилиндров состоит в равенстве нулю сум-
марного момента всех действующих на них сил: FL +, Tr = TR.
Отсюда
F=~mg^70H.
Приложим К рукоятке силу kF, где к = 1,004. При поворо-
те цилиндров на малый угол а работа всех сил над цилиндрами
равна нулю, т.к. из-за их нулевой массы они не обладают ни ки-
нетической, ни потенциальной энергией:
kF • La + Tj га — • Ra = 0.
Отсюда kFL + T\r — TjR = 0. С учётом выражения для F нахо-
дим Т{ = kmg/2. Ускорение груза
271 - mg
. а =----—- l)g.
Скорость через время t: v = at = — = 0,004gt ~ 8 см/с.
2. В начальном состоянии в двух объёмах равны. Р, Т, и, а следова-
тельно, и V. Конечный объём правой части равен V/2. Конечное
давление находим из уравнения адиабаты: Р = Pq25/3. По перво-
му началу тепло равно изменению внутренней энергии всего газа.
Т.к. давления в двух частях цилиндра всегда равны, можно запи-
сать:
Q = 417 = |(Р - Р0)Кбщ = |(25/3 - 1)адбщ =
: =3('У32-1)1/ЛТ0«16кДж.
3. Йз закона сохранения импульса находим: 3m«2 = mv, v% =
Теперь закон сохранения энергйи даёт
.992 ,992 mv2 3m(v/3)2 8mv2R 32irEomv2R
k~R = k4R+—+~2— = 9~кГ = ~9~~T~ •
4. Tok Iq через источник в момент размыкания находится из усло-
вия Р — SIq. Тогда напряжение на всех элементах цепи в этот
48
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 11
момент U = S — Iqt. Ток через1 конденсатор
Т =т-т _г и т ^-^г, г Л , П * _ s
Ic Io Ir Io r Io r Iq\1 +r) r 2<T 2r’
CU2
2
C<f2 /
2 \
Q =
Pr\2
<T2 J ‘
5. Из формулы линзы у - 1 = p, где Г — поперечное увеличение.
Пусть Н, H/k,h — размеры вертолёта, его модели, изображения
(к = 200). У нас
=Я d2 Н/к
Fi h' F2 h ’
Отсюда d2 = F2 |Y$- - 1) | + 1] « F2 [$-1 + 11 = 45 cm.
L\1*i / к j L-^1 к J
di
Заметим, что jr 3> 1, и это можно учитывать изначально.
БИЛЕТ 10
1. F = 100 Н. t = ,, v« 5 с, где к = 1,002.
2г2 6 (fc-l)g
2. А = | (yf - l^RTo » 1,2 кДж.
о _ 7 _ 7д
' v2 ' у/2тгeomR'
4.Т=Щ^,е=^С'(<Г-Тог)2.
5. к = 200.
БИЛЕТ 11
1. F = Д1 ~Д2 mg я 60 Н. Н = ~№2 = 0,05 м, где к = 1,01.
2. Q = 3(v/32 - 1)iaRT0 « 11 кДж.
о m ,о enmv2R
3. m2 =5 у. q2 = 18тг --.
А т S' 1 [2Q , S 5 [2Q
4-^ = 7-r\J-C-Ic = 7-fry-C-
5. F2 = 15 см.
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ' ♦ Билет 13
49
БИЛЕТ 12
1. F = ~ 80 Н. i = у ~ 4 с, где /с = 1,003.
2. 2.
о v г, Rq2
О. г>2 — о - R2 = ~г~,-То-
2 q + ireomv R
^p = ^Q=2Ac^-
5. di = 75 м.
БИЛЕТ 13
1•. 0,2v = gr, (2v)2 = v2 + 2gh. h= Zr gr2.
2. 1) Пусть в смеси и молей гелия и хи молей кислорода. Тогда мас-
са смеси т = р,ги + цкхи, объём V = — и плОтность
m _ Мг + жмк _Р_ и упявнения Мг + попучярм
Р — V — { л-т RT УРа“нения , , — —и- получаем
4 + 32* з_ 1’8,31-300 1 + 8* _ 25,
1U — - '**-* U.U^O, — — , X — и.
1 + ж 105 ’ 1 + х 4 ’
2) Первоначально в смеси на каждый моль гелия приходилось
3 моля кислорода. Если удалить 2/3 кислорода, то на каждый
моль гелия будет приходиться 1 моль кислорода. Поэтому если
первоначальную массу смеси принять за 4 + 3 • 32 = 100 услов-
ных единиц, то новая масса смеси составит 4 + 32 — 36 тех же
единиц, во столько же раз изменится и плотность: pi — 0,36р =
= 0,36 кг/м3.
3. Напряжение на резисторах R и 2R находим из условия U2/R =
= Р: U = VRP = х/25 • 49 = 35 В. Ток в резисторе 2R: I2 =
= ^> = Дом = 0,7 А. Ток в резисторе R вдвое больше (1,4 А),
общий ток равен 2,1 А. В резисторах 3R и 47? этот ток делится в
Q
отношении 4:3, поэтому ток в 47? равен у 2,1 = 0,9 А, а выделяю-
щаяся в нём мощность равна (0,9)2 • 100 = 81 Вт.
4. При замкнутом ключе напряжение на катушке постоянно и равно
S, ток через неё растёт линейного временем: I = t и за время
50
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 14
. • St2 о
т через катушку протечет заряд дд = Заряд конденсатора в
момент размыкания ключа qc = g — дд. Работа источника равна
<^д. Из ЗСЭ находим тепло, выделившееся до размыкания клю-
ча:
/ £т2 4 2
2С
Тепло, выделившееся после размыкания ключа:
(^т)2
2L
/ £т2\2
(<Гт)2
2С + 2L
ZC/ Z
5. Пусть точка В находится на расстоянии 2F + х от линзы (знак
х пока неизвестен, сторона квадрата равна I = |ж|). Из формул
-4-£ = уиГ= - находим b = a_F и Г = a_F (формула по-
перечного увеличения). Сторона AD изображается в натураль-
F
ную величину, а сторона ВС с увеличением Г = . Найдём
л *т Я/
увеличение стороны АВ. Расстояние А1 В' равно
(2F + x}F 2F2 + 2Fx - 2F2 — Fx Fx _
21*-----—------------------—-------------- —----= Гж,
F + x F + x F + x
т.е. увеличение стороны AB тоже равно Г. Изображение
A'B'C'D' является трапецией, площадь которой равна
|(A'D' + В'С'^А'В' = |(П + /)П = |(Г + 1)П2.
Z Z Z
1 3 1
Из уравнения % (Г + 1)Г = $ находим Г = второй корень
отрицателен и соответствует мнимому изображению отрезка ВС.
Решение будет совсем коротким, если воспользоваться из-
вестным фактом, что продольное увеличение отрезка равно про-
изведению поперечных увеличений на его концах.
БИЛЕТ 14
1. h = 6gr2.
2. 5. 0,8.
3. 1 А. 36 Вт.
ФИЗИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 16
51
4.Q1 = Ac#2.t=^L^
5.Г=‘.
БИЛЕТ 15
1. h — 50gr2.
2. 7. 0,23 кг/м3.
3. 0,5 А. 64 Вт.
«2 #2 «2
4. Qi = Sq - 2^-. Q2 - ~2l- + 2С'
5. Г = 2.
БИЛЕТ 16
l. h = 4gr2.
2. 1. 4/7.
3. 0,4 А. 6 Вт.
4. | С£2. т = - LC.
5. Г = 2.
52 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
МАТЕМАТИКА
БИЛЕТ 1
1. х < —3, 1 < х х > 4.
Решение. Область Е допустимых значений х данного неравен-
ства, определяемая условиями
ж2 + 2х — 3 = (х + 3)(ж — 1) > 0, х 7^ 4,
представляет из себя объединение промежутков
(—оо, — 3), (1,4), (4, + оо).
При х > 4 левая часть неравенства положительна, а правая —
отрицательна. Поэтому значения х > 4 — решения исходного
неравенства. Если х е Е и х < 4, то неравенство равносильно
каждому из неравенств
л/z2 + 2х — 3 sC 4 — х, ж2 + 2х — 3 х2 — 8ж + 16,
19
Юж ^19, х — .
10
В этом случае решениями исходного неравенства являются зна-
19
чения х е Е такие, что х < 4 и х < т.е.
, х ( 19’
х е (-оо, - 3) и же 11,— .
2. ж = J к е Z.
Решение. Так как cos За = 4 cos3 а — 3 cos а, то
3 cos 2ж + cos 6ж — 4 cos3 2ж,
и исходное уравнение равносильно каждому из уравнений
4 cos2 2ж cos 4ж + 4 cos3 2ж — О,
cos2 2ж(соз 4ж + cos 2ж) = О,
cos 2ж cos Зж cos ж = О
при условии, что cos Зж 7^ 0.
Но если cos ж = 0, то cos Зж = 0. Поэтому исходное уравнение
при условии cos Зж 0 равносильно уравнению cos 2ж = 0, отку-
7Г . 7Г к > —. гт?
да ж = к е Z.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
53
Найденные значения х удовлетворяют условию cos За? 0 и
являются решениями исходного уравнения.
/ 32/3 31/з\ / 1 2 \
I 71/З ’> 72/3 I ’ I 71/3 ’ 72/3 I
Решение. Вычитая из первого уравнения, умноженного на 2,
второе уравнение, умноженное на у, где у 0, получаем уравне-
ние
Зу2 = 2а?4 + 5а?2у, (1)
которое можно преобразовать к виду
(2а?2 — у)(а?2 + Зу) = 0. (2)
Уравнение (2) можно получить, решая уравнение (1) как квадрат-
ное относительно яг.
Система, состоящая из уравнения (2) и второго уравнения ис-
ходной системы, равносильна исходной системе.
Если 2а?2 — у = 0, то а?2 = | и из второго уравнения исходной
7i/ 2х Ч о
системы находим , откуда следует, что х — jy , х£ =
у 4
= уВ у4. Итак, а?2 = | = т|у4, откуда у3 = 4L Это уравнение
it) Z 10 ЧУ
2
имеет единственный действителыый корень yi = ^/з и т0ГДа
Х1 = \/l = 7173-
Если а?2 = —Зу, то из второго уравнения исходной системы
найдём у = ^ + 15у, т.е. а? = —7у2, откуда а?2 = 49у4. Итак,
а?2 = -Зу = 49у4, откуда у3 = - Это уравнение имеет
31А
единственный действительный корень У2 = — ^573 и Т0ГДа х2 =
„ 2 _ З2/3
— 7у2 — 71/3.
4.Я= ^3, AB = -^,AD = -^.
Решение. Пусть R — радиус окружности, АВ = CD = а,
ВС = AD — b, Z.AOM — а (см. рис. 1), S — площадь парал-
лелограмма ABCD. Тогда ОМ — ON = ОК = R, ABAD =
54
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
= £ - а, ААВС - 7г - ABAD = £ + а, AM ВО = AN ВО =
А А
= | А АВС = ? + к (ЛОМВ = ДОМ5), AN СО = АКСО =
At 4 а
= i ABCD = i ABAD = J - J, AKOD = a (CD || AB, OK
— перпендикуляр к прямой CD). Из равенства прямоугольных
треугольников АОМ и DO К следует, что АО = OD = к.
А
По условию S = 4, где S =
= AD ON = bR. С другой стороны,
S = 4Si, где Si — площадь треуголь-
ника АОВ (О — середина AD), Si =
= i АВ ОМ = ^aRn поэтому S =
= 2aR. Итак, 4 = bR = 2aR, откуда
b - 2а.
Для нахождения R воспользуемся
СК
условием = 3. Из прямоугольных треугольников ВМО и
С КО находим
ОМ Я
ВМ " ВМ ~ tg
откуда
O/f _ R _ /7г ал
СК ~ СК ~ tg k4 ~ 2/ ’
L. / '• I
СК _ V4 + 2
ВМ х_ /тг _ а
gU 2
1+tg? . с
«е. ^4 - 2J - . а - \4 2 -
l-tg^
1 +tg 2 \
-----— I, откуда
/
Из треугольника АОМ находим АО — —
А
, . . а
1 + tS2
1-tg-g
3,
ОМ
а = ------отку-
cos a J
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
55
да а = ——. Тогда S = 4 = 2aR = —, R2 = 2 cos а =
cos а cos а
1 tg2 2 = 2 1 - (2 - У[)2 = 2 4ч/3-6 = 2V3-3
1 + tg2« 1 + (2 - Л)2 8 - 4х/3 2-у/З
г/3,
„ „ 4/5 2 2, о 4
откуда R= фЗ,а= р = Ъ = 2а = ^=.
у о
5. х = + тгк, у = 7г + 12тгз или у = 5тг + 12тгз, к € Z, s € Z.
Решение. Заметим, что 3* 4- 2~х > 1 при всех х, 3 - cos 4а: +
4-sin 1, причем равенство
А
Зу
3 — cos 4ж 4- sin — = 1
является верным только в том случае, когда
cos 4а:— 1, siny = —1. (1)
Далее, при всех х и у справедливо неравенство
| sin Зх • cos 2у| 1, а равенство^
| sin За: • cos2y| = 1
имеет место тогда и только тогда, когда
так как cos || > cos2 |, sin |
| sin Зж | = 1, | cos 2у| = 1.
Наконец, при всех у справедливо неравенство
sin^ >1,
и
> sin2 |, причём равенство
sin|| = l
О I
(2)
является верным только в том случае, когда либо cos = 0, либо
О
sin з=0, т.е. когда
sin у = 0. (3)
Отсюда следует, что левая часть неравенства неотрицательна
при всех х и у и равна нулю при выполнении условий (1).
Правая часть неположительна при всех хну, если выполни-
56
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1
ются условия
2-г/
sin — / 0, sin Зя; cos 2у 0, (4)
О
и равна нулю, если справедливы равенства (2) и выполняются
условия
sin у £ °- (5)
Итак, задача сводится к нахождению решений системы, содержа-
щей уравнения (1), (2), с учётом условия (5). Если cos 4я; = 1, то
__ 7T7Z гл 1*01 I • ЗтГ71 I 1
х ~ *2~’ п и равенство | sin3a;| — pm— — 1 имеет место,
если п = 2к + 1 и тогда х = (2к + 1) = + тгк, к е Z. Если
sin = -1, то = ^+2тгп, у = -тг+^р. Равенство | cos 2у| =
I /„ , 8тт\| d „ , 8тгп ,
= cos ( 2тг -|—g-I = 1 является верным, если 2тг 4—д— = тгк,
к е Z, откуда 8п = 3(& - 2), откуда п = 31, I е Z, у = тг + 4л7,
I е Z.
Остаётся выяснить, при каких I выполняется неравенство (5).
Если sin = 0, то = Зг, г е Z, у = и тогда Зг = 2 + 81
или 3(31 - г) + 2 = I.
Это равенство не выполняется, если I = 3s или I = 3s + 1,
s € Z. Итак, у = тг + 4ttZ = тг + 12-tts или у = -тг + 4tt(3s + 1) =
= 5тг + 12tts, s е Z.
6. АК = 4^2, OS = 7,SD =
Решение. 1) Так как касательные SA, SB, SK и SL
(см. рис. 2), проведённые к сфере из точки S, равны и перпен-
дикулярны радиусам, проведённым из центра сферы в точки А,
В, К, L, то SAO, SBO, SKO и SLO — равные прямоугольные
треугольники с общей гипотенузой SO. Точки А, В, К, L лежат
в плоскости, проведённой через некоторую точку М е SO и пер-
пендикулярной SO, они равноудалены от точки М и принадле-
жат окружности (см. рис. 3), описанной около четырёхугольника
ABKL (М — центр этой окружности).
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1 57
Так как хорды АВ н KL этой окружности равны, то БК || AL
и ABKL — равнобокая трапеция.
Пусть г — радиус описанной около трапеции окружности
(он равен радиусу окружности, описанной около треугольника
АВК), Е и F — середины AL и BK, h — высота трапеции.
Тогда
h = EF = хМ-В2 - (BF - АЕ)2 =
ВК-А1Л2
2 J
= V20-4 = 4,
. о (В К 4“ AL \ ---ттт л
АК = d h2 + I-------j = х/16 + 16 = 4v2,
V \ 2 /
ABBK AK
Г~ 45i
где Sq — площадь треугольника ABK. Так как So = | BK h =
1r> 2^5-6-4^2 /77;
= 12, to r = ——тг—— = V10.
4o
Пусть N — середина AB, di, d2, da, d± — расстояния от
точки M до сторон АВ, BK, KL и LA трапеции ABKL. То-
гда d1 = MN = X2- = \/10^5 = х/5, d2 =
58 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 1________
г2 - (^)2 = 710^9 = 1, d3 = dr = у/5, di =
r2 ~ (^r)2 = = 3-
2) Обратимся к рис. 2. Так как ОВ = О А = R, где R — радиус
сферы, a N — середина её хорды АВ, то ON ± АВ. Аналогично,
из равнобедренного треугольника ВМА (см. рис. 3) следует, что
MN ± АВ, и поэтому АВ — перпендикуляр к плоскости 0MN.
Прямая MN лежит в плоскости ABKL, которая перпендику-
лярна SO, откуда следует, что MN ± SO. Так как АВ — пер-
пендикуляр к плоскости 0MN, то ON — проекция ОМ на плос-
кость АОВ (т.е. на плоскость ABCD) и ON — ортогональная
проекция OS на плоскость ABCD.
По условию прямая SO образует с плоскостью ABCD угол,
2 2
равный arccoso, и поэтому /.N0M = arccosя = а, откуда
О о
2 . х/5
cos а = я, sma = -я-.
О о
Из прямоугольного треугольника ONM (/.OMN = в
котором MN =- у/5, находим ON — = 3, ОМ =
= \/ON2 — MN2 = 2, а из прямоугольного треугольника О AS
(ЛОAS — прямой), в котором ОМ = 2, AM ± SO, SA ± ОА,
О А = V ON2 + NA2 = V9 + 5 = >/14, находим SO = =
= у = 7. Тогда SA = VSO2 - АО2 = ^49 - 14 = ч/35.
Пусть Si — основания перпендикуляра, опущенного из точки
S на плоскость ABCD. Тогда SSi = SO sin а = 7 • .
о <5
3) Чтобы найти SD, вычислим расстояние от точки L до плос-
кости ABCD. Пусть Li и 1/2 — основания перпендикуляров,
опущенных из точки L на плоскость ABCD и прямую АВ. То-
2 9
гда Lb? = где S2 — площадь треугольника ABL, S2 =
= AL • h = 4 (см. рис. 3), и поэтому LL2 = -4=.
* V 5
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет3
59
Пусть /3 — угол между плоскостями ABCD и ABKL, тогда
/3 = — а = ALL2L1. Для вычисления SD воспользуемся тем,
что CSS\D ~ 7\LL]D (см. рис. 2). Тогда т , где
SSi = ЬЦ = LL2-cos a = 4? ’ I = Л?- SL = SA = \/35.
& v5 3v5
Следовательно, SD = \/35 —a = 35^^.
7^-4
V 5
БИЛЕТ 2
1. х < —2, х < 1, х > 5.
2. ± к + 7ГП, п € Z.
О
3. (2“2/3; 2"1/3), (—2 • II-2/3; 11~1/3).
4. R = №>, АВ = 3 • 5"1/4, ВС = 6 • 5"1/4.
5. (-у- + 4тгт; 2тг + 4тг/г), + 4тгт; 2тг + 4тгк
6. АК = 7у/2, OS = lb/|, SD = 137Д^.
у Z Аид
БИЛЕТ3
\.х < — 1,1<х^|^,х>2.
о 1U
2 7T7Z _ гт?
. -о-, п е z.
О
3. (3-V3;
2%/2
1
7г + 2тгА:;
7г + 2тг&; + бтгт), т G Z, к € Z.
6. АК = 14х/2, OS = ^,SD =
60
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
БИЛЕТ4
1 1 11 о
1.я:< — 2>20^®<1,ж>3.
2. J + ^.neZ.
3. (2~2/3; —2-1/3), (-4 • 47-2/3; -47”1/3).
4. Л=ЖЛВ = ^,ВС=^.
5. + Зтгт; + Зтг/с'), (+ Зтгт; + Зтг/с'), т G Z, к € Z.
\ тх “ / \ * “ /
_ 013/2
6. АК = 10, OS = 14^/2, SD = Цд-.
БИЛЕТ5
л, -г 1 о - Б I ^/5
0^х<1,2<ж< —.
Решение. Область Е допустимых значений х данного неравен-
ства определяется условиями
2 — х п 2 — ж.., .
1—~ > °’ 1---- Х’ 4 “ х > °’
1 — X 1 — X
откуда следует, что х < 1, 2 < х < 4, т.е<
Е = (—оо,1)0 (2,4).
а) Если х < 1, то । > 1 и исходаое неравенство равносильно
каждому из неравенств
/ж _ 2\ 2
4 — х < (----- ) , (х2 — 2х + 1)(ж — 4) —х4 + 4ж — 4,
— 1/
х3 — 5гг2 + 5х 0, х(х2 — 5х + 5) $ 0.
Последнее неравенство не имеет решений при х < 0 и является
верным при всех ж € [0,1).
2 ““ х
б) Пусть 2 < х < 4, тогда 0 < 1 < 1 и исходное неравенство
равносильно каждому из неравенств
х-2\2
----- I , х(х2 - 5х + 5) < 0, х2 — 5х + 5 < О,
х — 1 /
4 —
________МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5_______Ы
5 — л/б 5 4- л/б
откуда Xi х Х2, где xi = —а?2 = —. В этом случае
множество решений неравенства — пересечение интервала (2; 4)
и отрезка [ж1 ,жг], где xi < 2, 2 < Х2 < 4, а искомое множество
(5 _|_ 4/5
2, —
2.x=^ + h,keZ.
о 2
„ т, .3 3sinx — sin Зя?
Решение. Так как sm х =------,
cos3 ж = ^совя-Ь cos3z, т0 sjn3 х cOS Зд, _|_ cos3 a; sin Зж =
3 3
= (sin ж cos Зж 4- cos ж sin Зж) = sin 4ж, и исходное уравнение
равносильно уравнению
> sin4g_ = l (1)
|вт2ж|
а) Если зт2ж > 0, то из (1) следует, что cos 2ж = откуда ж =
= ± + 7гп, n G Z. Условию sin 2ж > 0 удовлетворяют следую-
щие значения:
ж = -^ + тт, n G Z. (2)
6
б) Если зш2ж < 0, то соз2ж = — %, ж = ± 4- тт, n G Z, а
условию 8ш2ж < 0 удовлетворяют значения
х=—^+тт, nEZ. (3)
О
Заметим, что серии корней (2) и (3) можно объединить в одну
серию:
х = I + ^к, ktZ. (4)
О 2
В самом деле, если к = 2п, то из (4) следует, что ж = 4- тт, а
если к = 2п - 1, то из (4) получаем
ж = —+ тт, nGZ.
Q ( 1 4- У133 41-8\/1ззА
3. (4; 5), I-2---- ,---зз---- I.
62
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
Решение, а) Пусть х > 0, х + у > 0, тогда первое уравнение
системы можно записать в виде
х(х + у) + у/х(х + у) = 42.
Полагая у/х(х + у) = t, получаем уравнение t2 + t — 42 = 0, име-
ющее корни Н = 6, <2 = —7. Так как t 0, то 42 — посторонний
корень. Следовательно, 4 = 6, т.е. у/х(х + у) = 6, откуда х(х +
+ у) = 36, т.е.
ху = х + 16. (1)
Из уравнения (1) и второго уравнения исходной системы получа-
ем х2 + х — 20 = 0, откуда х = 4 и х = —5. Так как х > 0, то
л /1 \ гг+16-
х = 4 и из уравнения (1) находим у = —-— = 5.
б) Пусть х < 0, х + у < 0, тогда \/(х + у)2 = —(я + у), и первое
уравнение исходной системы можно записать в виде 42 — t = 42,
где t = у/х(х + у). Это уравнение имеет корни 7 и —6, из кото-
рых второй является посторонним (4 > 0). Итак, у/х(х + у) = 7,
х(х + у) = 49. Отсюда и из второго уравнения исходной системы
2 । оо п — 1 ± ^133
получаем уравнение хг + х — 33 = 0, имеющее корни--------->
1 + У133
из которых только корень xi =-----------удовлетворяет усло-
п г, хг Ч-16 1 32 1
вию х < 0. В этом случае yi = —----- = 1--------т= = 1 —
J ah 1 + уТзЗ
32(v/133- 1) 41 -8уТзЗ
132 “ 33
4. АВ = -4=, ВС = BE = 8^20 + 2^
л/13 V13 7-уТз
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
63
2
Решение. Пусть АВ = с, ВС = а, АС = b, а — arctg =
О
= /АВМ, /3 = arctg | = /.CBM (см. рис. 4). Тогда /В = а +
□
, о tg а + tg /3 3 5 d %
+ Л tsB = l-tgatgff = ГТX = Ъ 0ТКУда ЛВ = 7'
15
Обозначим у? = /В МА, ip = /ВМС, тогда ip = тг — ip.
а) Из треугольников АВМ и СВМ по теореме синусов нахо-
дим
с _ b а _ b . .
sin</? 2 sin а ’ sini/> 2sin/3 ’
1 3 2 „ 5 . Q
где cosa = , = -?=, sine = -?=, cos/3 = -7=, sin/3 =
yl + tg a vl3 vlo v2b
1
л/26'
Тогда из (1) следует, что = —=, откУда а = ^^с-
Пусть S, Si и S2 — площади треугольников АВС, АВМ и
ВСМ соответственно. Тогда S = Si + S%, где S' = асsin(a +
+ /3) = i с2 • 2x/2sin J = с2, Si = | с • ВМ • sin Д = -7=, S2 =
= a-BM-sm(3 - 2-\/2c-i= = Д2=. Следовательно, с2 =
2 V26 V13 v
откуда с = АВ = -4=, а = ВС = 2д/2с =
} V13 V13
б) Биссектрису 1в угла В вычислим по формуле 1в
о 13
2ассоэк о
2 В тг п 2 71" 1 ,
= а + с ’ где 2 = 8’ а 2cOS 8 = 1 + COS 4
7Г I1 + V2 32V2
откуда cos g = J , ас = -jg-
V2
'г ’
, а + с = -4=(1 +
V -А-О
। 9 /о\ / _ 16у2 /1 + у2 _
+ 2х/2Мв - + 2у/2 ~
= г7Тз\/(4 + ^’^-1)2 = ^Й2
ty/Lo V iy/16
х/13(1 + 2л/2)
64
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
Решение. Пусть /(ж) = х — Inх, тогда /'(ж) = 1 — откуда
следует, что функция /(ж) убывает на промежутке (0,1], возрас-
тает на промежутке [1,+оо), и поэтому f(x) /(1) при х > 0,
причём равенство /(ж) = х — Inх = 1 достигается только при
х = 1.
Из первого уравнения системы следует, что
/(ж) = х - Ina? = 2у2 - у4 = 1 - (у2 - I)2 1,
причём равенство 1 — (у2 — I)2 = 1 имеет место только в случае,
когда у2 = 1, т.е. при у = 1 и у = —1. Таким образом, пер-
вому уравнению системы удовлетворяют две пары чисел (1; 1) и
(1; —1), из которых только вторая пара чисел удовлетворяет вто-
рому уравнению системы.
Итак, система имеет единственное решение (1; —1).
п 4 5 1 q т г 64
о. arccos q, arccos h = 2, V = уг.
У У 1
Рис. 5
Решение. Пусть Е и
F — середины рёбер
АВ и CD соответствен-
но (СМ. рИС. 5), И Сх?2
— окружности, по ко-
торым сфера и пересе-
кается гранями ABCD
и ABS соответственно.
Тогда mi касается AD
и ВС в точках М и N,
а су2 касается отрезков
AS и BS в точках К и L
и пересекает АВ в точ-
ках Р и Q.
Так как SO — перпендикуляр к плоскости ABCD, то SH = h
— высота пирамиды, аН — центр окружности оц. Кроме того,
из условий AD || ВС, AD и ВС — касательные к окружности
цц, следует, что MN — диаметр этой окружности, перпендику-
лярный AD и ВС.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 5
65
Пусть О' и Е1 — проекции точек О и Н на плоскость ABS,
тогда О' — центр окружности о>2- Так как точка О' равноудале-
на от сторон AS и BS треугольника ABS, то точка О' принадле-
жит биссектрисе угла ASB, а точка Е' совпадает с серединой Е
отрезка АВ, AS = BS, РЕ = EQ, а грань ASB симметрична
относительно SE (на рис. 5 точка Р лежит между А и Q).
Из равенств AM = АК, SK = SL, AS = BS, BL = BN
следует, что AM = АК = BL = BN и поэтому АВ || MN, а
ABCD — прямоугольник (MN ± ВС и MN ± АВ).
1) Пусть АЕ = BE = t, AM = АК = BL = BN = а. Так
как AS = | LS = | KS = | {AS - a), to AS = За. По условию
PQ y/7 PE PQ
и тогда из равенства следует, что РЕ =
= QE = ^t.
Применяя к окружности теорему о касательной и секущей,
проведённых из точки А, получаем
АК = у/АР AQ = у/(АЕ - РЕ)(АЕ + EQ) =
= у/АЕ2 - РЕ2 = Jt2 - ^-t2 = - ,
V 16 4
3t /ело АЕ t 4
откуда находим а = -г, cos AS АВ = -т-р = ^- =
4 ми od У
АН
2) Пусть ASBH — а, тогда AS АН = a, cos а = где
AS = За, АН = V МН2 + AM2 = у/АЕ2 + а2 = Vt2 +а2 =
//4 \2 , о 5а 5
= л/1 о а ) + а = -о-, откуда находим cos а = 5.
у \ О / О У
3) Объём V пирамиды SABCD выражается формулой
V = ^AD • АВ • SH,
где SH = h = VAS2 - АН2 = ^(За)2 - (у)2 = а. Для
вычисления а воспользуемся тем, что NSOK ~ NSAH. Полу-
чим = 4тт, где ОК = й, SK = AS — АК = За — а = 2а,
on. D12 14
66
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 7
АН = Отсюда находим SH = 2а а2 — —а,
о о 1о 9 о
а = ^4’Д = 2-
Найдём стороны прямоугольника ABCD. Из равенства тре-
угольников S0K и SON следует, что A0SK = AOSN, и поэто-
му ASEH = ASNH. Тогда AD = ВС = ЕН + HF = AM +
, л тт „ , 5а 2а . /2 л „ о, 8а . [2 64
+ АЯ = а+т = у =4^7,AB = 2t = T=4^7,V=2i.
БИЛЕТ6
< 17 + ЗУ21^ и 1
1.-----2^— < х < —4, х > —1.
2. + 2тгп, — ? + 2тгп, n G Z.
О о
3. (9; 5), (2 - >/62, .
4. АВ = 6 Л. ВС = =
V 37 >/37 Т37(5 + >/2)
5. (0;-1).
6. AS АВ = arccos ABSH = arcsin h = 8, V =
( 21 О
БИЛЕТ 7
1.0<х<1,3<х^5 + 2>/3.
2. Y2 + 7ГП, + 7ГП, П е Z.
3.(5;4). - l+^g\
6. ASB А = arccos AS АН = arccos h = 3, V =
lo lb 2o
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9 67
БИЛЕТ8
1. -13 - 8л/2 х < -5,-1 < х < 0.
2. - + 27гп, + 2тт, n G Z.
О о
3. (5; 9), (214^89л/^ ,2 - л/62^.
4. АВ = 2^10, ВС - V20, BE = 2^10 • л/2 - ч/2.
s-H4
6. Z.SBA = arccos Z.ASH = arcsin h - 6, V = 28а/14.
15 5
БИЛЕТ 9
1 , п > ,г • 2>/б , „ , Зтг 1 . 2>/б ,
1. х = 7Г + 27ГК, х = 7г+ 2 arcsm —у+ 2тгк, х — у — % arcsm ~у~ +
+ 2тгА:, к G Z.
Решение. Каждое из уравнений
7 — Vetgx = 7 cos1 2 х, 7sin2 х = V6tgx
равносильно исходному при условии, что cos х < 0.
1) Если sin х = 0, то х = тт, п G Z. Так как cos х < 0, то
корнями исходного уравнения являются числа х = % 4-.27r.fc, к G
,£Z. ’ '? • . .
с -т • V® • п 2л/б
2) Если 7sm х = т0 sm %х = ~т~' откуда
1 . 2\/б im
х - о(~!) 81105111 “77 + 7Г >. neZ-
1 2л/б
Пусть п = 2р, р G Z, тогда значения х = arcsin + тгр, р €
€ Z удовлетворяют условию cos х < 0 при р = 2к + 1, т.е. в этом
случае корнями исходного уравнения являются числа
1 • 2\/б „ , ,
х = тг + arcsin—— +2тгА:, к € Z. '•
2 7 . ,,
Пусть п = 2р + 1, тогда числа
1 . 2>/б 7Г __
х = - - arcsm г— + - + яр,] р. £ Z
Zi (л '
68 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
удовлетворяют условию cos ж < 0 при р = 2к + 1, т.е. в этом
случае корнями исходного уравнения являются числа
3% 1 . 2х/б „ , ,
х = —— - arcsm —-—Ь 2тгк, к G Z.
2 2 7
Решение. Первое уравнение можно записать в виде
(ж - у + 6)(ж + 2у + 2) = 0.
Эту запись уравнения можно получить либо разложив левую
часть на множители (методом группировки слагаемых), либо ре-
шив первое уравнение как квадратное относительно ж.
Отсюда следует, что исходная система равносильна совокуп-
ности двух систем
С ж — у + 6 = 0, Г ж + 2у + 2 = 0,
[ ж2 — у2 = 7, [ ж2 — у2 = 7.
Первая из этих систем равносильна системе
' ж — у = —6,
, 7
х+У=-g,
43 29
имеющей решение ж = — У =
Из второй системы имеем ж = — 2у — 2, 4(у2 + 2у + 1) — у2 = 7
или Зу + 8у — 3 = 0, откуда у =---------, ух = -3, у2 = д,
. 8
и тогда Ж1 = 4, ж2 = — д.
О
( 43 29 \
— 12 ’ 12 г (4; —з),
3. — < ж < —3, ж 6.
Решение. Область допустимых значений ж неравенства опре-
деляется условиями
ж + 10 > 0, ж / -9, ж2 - 2ж - 8 > 0, (1)
* = togz+iofa2 - 2ж - 8) > 0.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет9
69
Исходное неравенство при условии t > 0 равносильно каждому
из неравенств
л/4+У| t-(l+^2)t+^2 0, О,
(Vt — l)(\/t — л/2) 0, откуда 1 \/t V2, 1 t 2.
Итак, исходное неравенство при условиях (1) равносильно нера-
венству
1 С 1оёж+10(ж2 - 2гс - 8) С 2, (2)
а из (1) следует, что х Е Е, где
Е = (-10, - 9) U (-9, - 2) U (4, + оо).
1) Если -10 < х < —9, тоО<ж + Ю<1и неравенство (2)
равносильно неравенству (ж + 10)2 х — 2ж — 8 х + 10, откуда
В этом случае исходное неравенство не имеет решений.
2) Если х G (—9, -2)и(4,+оо), то х +10 > 1 и неравенство (2)
равносильно неравенству х +10 ж2 — 2ж — 8 ж2 + 20ж + 100.
В этом случае множество решений неравенства (2) — Пересе-
[54 \
— YY , + оо 1 и (-оо,—3] U [6,+оо), т.е. объ-
Г 54 о! rz? I \
единение промежутков - уу , — 3 и [6,+оо).
4. ВС = 4, AD =
О
Решение. Пусть Е иЕ — середины сторон ВС и AD соответ-
ственно, AD = 2а, ВС = 2b, ACDA = а (см. рис. 6), М — точ-
ка касания окружности со стороной CD. Тогда EF = 16, ОЕ =
= ОМ = 3, OF = 13, А.ЕОС = АСОМ = %. Из подобия
треугольников ОЕС и OF А следует, что ~ = yTj-
Пусть N — проекция точки С на AD. Тогда ND = а — b =
= -5- о = CN ctg а = 16 ctg а, откуда о = -v- ctg а.
<5 О
Из треугольника СМО находим СМ = b — 3tg и поэтому
70 МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
24 /у /> 1
b = -v-ctga = 3tg -к. Пусть tgту = t, тогда ctga = -— =
О Z Z tg OL
_ 5 , а 1 -12 _ 5 , ,2 _ 4 , _ . а _ 2 , _ Q. а _ о
- 8 tg 2 ’ 2t - 8 ~ 9’ * tg 2 3,Ь 3tg 2 - 2,
13 , 26 . л n 52
а = у о = у, ВС = 4, AD = у.
Г" р. ~ 3 V >
Э. а < 0, а -г.
4
Решение. 1) Пусть а = 0, тогда уравнение не имеет решений.
2) Пусть а > 0, тогда уравнение примет вид
ах2 + 3 = 2а\х\ + За или
at2 — 2at + 3(1 - а) == 0, где t = |ж| >'0.
Нужно найти значения а > 0, при которых полученное квадрат-
ное уравнение имеет хотя бы один неотрицательный корень: Най-
дём его дискриминант:
D = 4(а2 - За(1 - а)) = 4а(4а - 3).
Если D 0, т.е. а то уравнение имеет действительные
корни, из которых один положителен, а другой отрицателен (их
3(1-а) ^3,
произведение, равное х а , отрицательно при а > ^).
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9 Л
3) Пусть а < 0. Если |ж| = t, Ь = — а = |а|, то b > 0 и
уравнение примет вид
|3-bt2| = b(2t + 3). (1)
Рассмотрим графики функций у = |3 - bt2\ ny = b(2t + 3). Из
рис. 7 видно, что прямая у = b(2t + 3) при t ^0 пересекает
график функции у — |3 - bt2\ в двух точках при b < 1 и в одной
точке при b > 1. Докажем, что если b > 1 и t > то уравнение
(1) имеет корень. В этом случае уравнение (1) примет вид
bt2 - 2bt - 3(1 + b) = 0. (2)
Дискриминант квадратного уравнения (2)
D = 4(4Ь2 + 3) > 0.
Кроме того, — < 0 при b > 1, и поэтому уравнение (2)
имеет один положительный корень. Итак, исходное уравнение
имеет хотя бы одно действительное решение при а < 0 и при
3
ftp - 18 v - 35 /1121
min ” ^35’ “ 51 у 35 •
Решение. 1) Так как MN — средняя линия в треугольнике
SBC (см. рис. 8), то MN = | ВС = 1, откуда следует, что
BN = МС - 3MN = 3, SB = SC = 6. Пусть Е — середина
ВС, Z.SCB = a, Ri — радиус окружности, описанной около тре-
угольника SBC, Qi — центр этой окружности. Тогда Ci е SE,
SE = ^SC2- Q ВС)2 = \/36^1 = л/35, sina = |^ =
SB 18
.
2 sm а у/35
Центром Ог окружности, описанной около прямоугольника
ABCD, является точка пересечения его диагоналей, а радиус Т?2
АС л/5
этой окружности равен —, т.е. R2 = -у. Около пирамиды
SABCD можно описать сферу, так как перпендикуляр к плоско-
сти ABCD в точке О2 и перпендикуляр к плоскости BSC в точке
72
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 9
О\ лежат в одной плоскости, проходящей через точку Е й перпен-
дикулярной ребру ВС. Точка пересечения этих перпендикуляров
является центром сферы, описанной около пирамиды SABCD.
Радиус /? этой сферн не меньше наи-
большего из чисел и /?2- Если плос-
кость SBC расположена так, что точка
01 лежит на перпендикуляре к плоско-
сти ABCD в точке О2, то точка 01 бу-
Рис. 8
дет равноудалена от всех вершин пирами-
ды SABCD, и, следовательно, в этом слу-
чае радиус R описанной около пирамиды
сферы будет наименьшим и равным Ri, так
как R Ri, R R2, Ri < 3 < R2
< 9 < ^). Итак, 7?min =
2) Пусть OiO2 — h,F—проекция точки
S на плоскость ABCD, тогда SF — Н, где
Н — высота пирамиды (см. рис. 8). Если
R = Rmin, то SF ± EF и 0102 ± EF. Из
подобия треугольников SEF и OiEO2 сле-
ДУет’ Что О&2 = О& где °1°2 = О'А~
17 т
= Тогда
VOO
= \/з5, О1Е = SE - R1 =
35 /1121 _ 35 /1121 '
”, 17V 140 “ 34 V 35 ’
Искомый объём пирамиды V = ^SiH, где Si = 2 — площадь
прямоугольника ABCD: Следовательно,
у = 2 35 /1121 _ 35 /1121
3 ‘ 34,V 35 ~ 51V 35
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 12
73
БИЛЕТ 10
1. + 2тгп, — + 2тгп, — + 2тт, nd.
/7 _ 2\ /21 11
\ 3 ’ 3/’ \ 8’8
4 5 .76
3' 3 Х 33’
4. AD = CD=
к . -20
о. а < — уу, а > 0.
ftp - 32 17-63 /3277
min ” х/63’ 31 у 63 •
БИЛЕТ 11
1. тг + 2тт, arctg 8 + (2n + 1 )тг, — arctg + (2n + 1 )тг, п € TL.
2.(-3;4), (1;
84 /29 _ 434
3/’\12; 12/’
Q 87 . . 3
о. 22 х < 3> ж 2’
4. ВС = 1,BD =
к л .16
о. а < 0, а уд.
БИЛЕТ 12
1. ^ + 2тт, arctg х/Тб + (2n + 1 )тг, arctg + (2n + 1 )тг, п G Z.
3. X < —10, — 1 X уу.
4. AD = h = 32.
О
5. а а > 0.
лр _ 32 т/ - 21 /3781
°- 2<min _ Т^з’ v ~ 31 V 63 •
74
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
БИЛЕТ 13
1 Л 1 1 ( /35 Л
1. X! = О, Х2 = 1, Х3 = g 1 4 / у - 1 I.
Решение. Область допустимых значений х уравнения опреде-
ляется условиями
z + |>0, z3 + |>0, ж + Z3 + |^1. (1)
О ООО
Полагая log(x+1 j (z3 + = t, получаем уравнение | —
4 о
= о или t2 — 4t + 3 = 0, откуда E = 1, t2 = 3.
О
а) Если t = 1, т.е. log(x+i) (z3 + = 1, to x3 + | = x + у
x3 = x. Корни этого уравнения xi = 0 и х2 = 1 удовлетворяют
условиям (1) и являются корнями исходного уравнения, а х3 =
= — 1 не удовлетворяет условиям (1).
б) Если t = 3, то (ж3 + |) = х3 + или 27ж2 + 9ж — 8 =
п -9 ± VQ2 + 32 • 27 1 , х/105 v ,, \
= 0, откуда х = -5—54---- = — g ± —. Условиям (1)
1 , \/105 1 ( /35 Л
удовлетворяет х = — g я—jg— = g I \/ ~з— 1 I •
0 16 z .20
2. -о- < х + -S-, х 72.
О о
Решение. Область Е допустимых значений х неравенства
8-|
определяется условием-------0, откуда следует, что
2 - -
4
Е = (—оо,8) U [72, + оо).
а) Пусть х е Е и х 2, тогда левая часть неравенства поло-
жительна, а правая меньше или равна нулю. Поэтому указанные
значения х не являются решениями неравенства.
б) Пусть х е Е и х > 2. Тогда исходное неравенство равносиль-
но каждому из неравенств
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13 75
Решая это неравенство методом интервалов на множестве Е при
х > 2, находим, что множество решений исходного неравенства
- Г16 201 \
— объединение промежутков -g- , -д- и [72, + оо).
I о о I
3. х = к ф 7т, к GZ,т 6 Z.
Решение. Область допустимых значений х уравнения опреде-
ляется условиями sin х 0, cos х 0, sin Зх 0, которые равно-
сильны условиям
cos х ф 0, sin Зя ^0, (1)
так как все корни уравнения sin х = 0 являются корнями уравне-
ния sin Зх = 0.
При выполнении условий (1) исходное уравнение равносильно
каждому из уравнений
1
sin х
sin Зх — sin х
1
sin Зх
1
+ i(tgx + ctgx) = 0,
£
= °’
sm 2х
1Х п
sm — = I),
2
2 cos 2х
, = 0,----------
sin х • sin Зх sin 2х sin Зх
sin 4х + sin 3rr . 7х х
--------------= 0, sm — cos — = 0,
sin 2х sin Зх-2 2
так как из равенств cos | = 0 следует равенство sin х = 0. Итак,
нужно найти корни уравнения
7х о
sm у = °’
удовлетворяющие условиям (1).
Уравнение (2) имеет корни
2тгАг , ~
х =-----, к €
7
(2)
(3)
2тг к
Из (3) следует, что равенство cosх = cos—у- = 0 выполня-
ется, если + тгт, т G Z, откуда 4k = 7 + 14m. Это
равенство не выполняется ни при каких целых к и т (в левой его
76
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
части чётное, а в правой — нечётное число). Итак, cos а; 0, ес-
ли х определяется формулой (3).
бтг к
Из (3) следует, что равенство sin Зж = sin = 0 выполняет-
бтг к
ся, если = тт, п 6 Z, откуда 6к = 7п, к = 7{к — п) = 7т,
m е Z. Итак, значения ж, определяемые формулой (3), удовлет-
воряют условиям (1), если к 7т, m 6 Z.
Решение. Так как окруж-
ность проходит через точку
В и касается прямой АВ, то
касание происходит в точке
В (см. рис. 9). По свой-
ству касательной и секущей
угол ABD измеряется по-
ловиной дуги BED и равен
а. Кроме того, ACBD =
= ABDA = (3.
BD ВС
Отсюда следует, что /AABD ~ &BCD, и поэтому -д-р = рр,
откуда BD2 = AD ВС = ab, BD = y/ab.
Пусть R — радиус окружности. Эта окружность описана око-
ло треугольника BCD, и поэтому
BD y/ab
В — ——;--- — ~.
2 sm а 2 sm а
5. (4; —3).
Решение. Запишем первое уравнение системы в виде
\/(ж - 8)2 + у2 + ^ж2 + (у + 6)2 = 10. (1)
Левая часть (1) — сумма расстояний от точки М(ж,у) до точек
А(8,0) и В(0,—6), а расстояние между точками А и В равно 10.
Отсюда следует, что если точка М не принадлежит прямой АВ,
то левая часть (1) больше 10 (неравенство треугольника), а ес-
ли точка М принадлежит этой прямой, то равенство (1) является
верным только для точек отрезка АВ.
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 13
77
Запишем уравнение прямой АВ в виде
= 1 или 4у = Зж — 24. (2)
8 —6
Тогда множество точек отрезка АВ задаётся уравнением (2) и
условием
О х 8. (3)
Из (2) и второго уравнения исходной системы получаем уравне-
ние
Юж2 - (Зж - 24)2 = 16 или
ж2 + 16 • 9ж - 16 • 37 = О,
откуда ж = -72 ± V722 + 16-37 = -72 ± 4 • 19.
Условию (3) удовлетворяет ж = 4, а из (2) находим у = —3.
6. 1) arccos gj 2) 3)
Решение. Пусть р — угол между прямыми АС и BD, i— рас
стояние между прямыми (см. рис. 10), R — радиус сферы, опи-
санной вокруг пирамиды ABCD, AD = BD = AC = ВС = a,
К — середина АВ, СК = DK = h.
Так как DK ± АВ, СК ± АВ, а плоскости АВС и ABD орто-
гональны, то СК ± DK и по теореме Пифагора DC2 = DK2 +
+ СК2, т.е. 4 = 2к2, откуда к
1) Пусть li — прямая, про-
ходящая через точку С и па-
раллельная АВ; 1ч — пря-
мая, проходящая через точку
В и параллельная АС; Е —
точка пересечения прямых li
и 12.
Тогда ADBE равен р или
7Г — ip.
Так как проекция КС на-
клонной CD перпендикуляр-
на прямой АВ, то по теореме
± АВ и тогда CD ± li (Zi || АВ), a ADCE = Из тре-
угольника CDE, в котором СЕ = АВ = 1, CD = 2, находим
78
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 14
DE = у/1 + 4 = Уб, а из треугольника DBK имеем BD =
= VDK2 + В К2 = J2 4-1 = %. Тогда BD = АС = BE =
а из равнобедренного треугольника DBE следует, что sin =
= cosp = 1 — 2 sin2 2 = “ Искомый угол между
прямыми АС и BD равен arccos
2) Пусть V — объём пирамиды ABCD, тогда V =
= i • к АВ • h • h, где АВ = 1, h — \/2, откуда V = С
О Z о
1 3
другой стороны, V = g АС BD rsin<p, где BD = АС = %,
Д Г 4у/5 1 гу/5 2
sincp = ^1 - gj = -д-, откуда з = —, г =
3) Пусть О — центр сферы, описанной около пирамиды
ABCD, 01 — центр окружности радиуса р, описанной около тре-
угольника АВС (см. рис. 10).
Тогда точка О лежит на перпендикуляре к плоскости АВС,
проходящем через точку 01, О А = 0D = R.
Пусть 001 = |яф Тогда если точка О лежит в той же полу-
плоскости, что и точка D, то х > 0 (в противном случае х < 0).
Найдём р из ДАВС. Если Z.CAB = Z.CBA = /?, то р = ,
r r 2smp
h AC2 9
где sin/? = до, откуда р — Из ДОАО1 находим
R2 = р2 + х2, а из треугольника D0F, где F € KD и OF ± KD,
получаем
/ Д Р\ 2 1
R2 = (h± И)2 + KOI, где KOl = p2- =Р2-7-
Отсюда получаем
h2±2\x\h + x2 + p2-^ = p2 + x2, Н = (И>0).
Тогла Р2 = „2 , |т|2 _ 81 + 49 _ 130 _ 65 ' _ V65
ЮгдаВ р +|ж| - (8v/2)2 - 2,64 - 64, К - 8 .
МАТЕМАТИКА ♦ ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ♦ Билет 16
79
БИЛЕТ 14
1. X! = -1, Х2 = - з fl +
п 9 1 п
2. ж < — < ж < 0.
5 6
3. + тг/с, к G Z; у (2п + 1), п 7т + 3, п е Z, т е Z.
4 AD = (dsing)2
О
5- Н4
6. 1) arccos В; 2) -у=\ 3)
о у 5 *
БИЛЕТ 15
, . , 1 + л/5
1. X! = 1, Х2 = -4--.
л 4 18 -х. 8
2. з X < уд, X д.
3. ? + к € Z; п / 5m, п G Z, т G Z.
4 2 о
4. BD = Vab.
5..(-3;4).
6. 1) arccos уу; 2) -у=; 3) —
БИЛЕТ 16
1 л 1 1 — 1/21
1. £1 — О, Х2 = -1, Хз = -g-•
2. ж < —1, — | < ж < 0.
О
3. у (2к + 1), к / 7п + 3, к 6 Z, п G Z.
4 вс= (dsina)2
а
5.
\ / __
6. 1) arccos 2) 3)