Text
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ
Факультет довузовской подготовки
А.А.Быков
ПО МАТЕМАТИКЕ
для поступающих в вузы
В двух частях
Часть 2
н
Издательский дом ГУ ВШЭ Москва 2006
УДК 51(076.3)
ББК22.1
Б95
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор Г. Г. Канторович
Быков, А. А. Сборник задач по математике для поступающих в вузы Б95 [Текст] : в 2 ч. / А. А. Быков ; Гос. ун-т — Высшая школа экономики. — М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. - 3000 экз. - ISBN 5-7598-0394-8 (в пер.).
Ч. 2. - 316 с. - ISBN 5-7598-0397-2.
Сборник содержит варианты вступительных испытаний по математике, предлагавшиеся в Государственном университете — Высшей школе экономики в 2001—2006 гт Каждый вариант включает 30 задач по всем разделам школьной программы, кроме стереометрии, и рассчитан на 90 минут. В части 2 представлены варианты третьего (с) уровня сложности Для каждой задачи предлагается пять вариантов ответа В конце сборника приведены правильные ответы.
Для школьников и абитуриентов, готовящихся к ЕГЭ по математике.
УДК 51(076.3)
ББК22.1
Учебное издание
Быков Алексей Александрович
Сборник задач по математике для поступающих в вузы
В двух частях
Часть 2
Зав. редакцией О.А. Шестопалова Редактор Е.Н. Ростиславская Художественный редактор А.М. Павлов Корректор Е.Е. Андреева Компьютерная верстка и графика: А.А. Быков
ЛР № 020832 от 15 октября 1993 г Подписано в печать 31 07.2006. Формат 60х88'/1б. Усл. печ. л 18,36 Уч.-изд. л 13,27. Тираж 3000 экз Заказ № 555 Изд №581
ГУ ВШЭ. 125319, Москва, Кочновский проезд, д 3
Тел /факс: (495) 772-95-71
Издательство ООО «МАКС Пресс»
105066, г Москва, Елоховский пр , д 3 стр 2
Тел 939-38-90,939-38-91 Тел/факс 939-38-91
ISBN 5-7598-0397-2 (ч. 2) © Быков А.А., 2006
ISBN 5-7598-0394-8 © Оформление. Издательский дом
ГУ ВШЭ, 2006
Содержание
Предисловие.......................................... 5
Вариант 1-с11........................................ 6
Вариант 1-с12....................................... 11
Вариант 1-с13....................................... 15
Вариант 1-с14....................................... 20
Вариант 1-с21....................................... 25
Вариант 1-с22....................................... 30
Вариант 1-с23....................................... 34
Вариант 1-с24....................................... 39
Вариант 2-с11....................................... 43
Вариант 2-с12....................................... 48
Вариант 2-с13....................................... 53
Вариант 2-с14....................................... 58
Вариант 2-с21....................................... 63
Вариант 2-с22....................................... 68
Вариант 2-с23....................................... 73
Вариант 2-с24....................................... 77
Вариант 2-с31....................................... 82
Вариант 2-с32....................................... 87
Вариант 2-сЗЗ....................................... 92
Вариант 2-с34....................................... 97
Вариант 3-с11.......................................102
Вариант 3-с12.......................................107
Вариант 3-с13.......................................112
Вариант 3-с14.......................................117
Вариант 3-с21.......................................123
Вариант 3-с22.......................................128
Вариант 3-с23.......................................133
Вариант 3-с24.......................................138
Вариант 3-с31.......................................144
Вариант 3-с32.......................................149
3
Содержание
Вариант З-сЗЗ........................................154
Вариант 3-с34.......................................159
Вариант 4-с11.......................................164
Вариант 4-с12.......................................169
Вариант 4-с13.......................................174
Вариант 4-с14.......................................179
Вариант 4-с21.......................................184
Вариант 4-с22.......................................189
Вариант 4-с23.......................................194
Вариант 4-с24.......................................199
Вариант 4-с31.......................................204
Вариант 4-с32.......................................209
Вариант 4-сЗЗ.......................................214
Вариант 4-с34.......................................219
Вариант 4-с41.......................................225
Вариант 4-с42.......................................230
Вариант 4-с43.......................................236
Вариант 4-с44.......................................241
Вариант 5-с11.......................................246
Вариант 5-с12.......................................251
Вариант 5-с13.......................................257
Вариант 5-с14.......................................262
Вариант 5-с21.......................................267
Вариант 5-с22.......................................272
Вариант 5-с23.......................................277
Вариант 5-с24.......................................282
Вариант 6-с11.......................................287
Вариант 6-с12.......................................292
Вариант 6-с13.......................................296
Вариант 6-с14.......................................301
Ответы...............................................307
Предисловие
Сборник содержит варианты вступительных испытаний по математике, предлагавшиеся в Государственном университете — Высшей школе экономики в 2001—2006 гг. Каждый вариант включает 30 задач по всем разделам школьной программы, кроме стереометрии, и рассчитан на 90 минут. Использование калькулятора не предполагается.
Варианты первого уровня сложности (простые) помечены буквой а, второго уровня (средней сложности) — буквой Ь, третьего уровня (сложные) — буквой с. Во второй части представлены варианты третьего уровня сложности. Для каждой задачи предлагается 5 вариантов ответа, один из которых — верный. В конце сборника приведены правильные ответы.
Книга будет полезна всем школьникам и абитуриентам, готовящимся к ЕГЭ по математике.
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 1-с11
1. Рестораны расположены на 1-м, 8-м, 15-м, 22-м (и далее с шагом 7) этажах 130-этажного здания. Бары расположены на 1-м, 15-м, 29-м, 43-м (и далее с шагом 14) этажах того же здания. Сколько в этом здании этажей, на которых имеется ресторан, но нет бара?
0 8 или меньше 8 0 9 0 10 0 11 0 12 или больше 12
2. Цена товара изменялась три раза, первый раз повысилась на 40%, второй раз повысилась на 25%, а в результате трехкратного изменения повысилась всего на 96%. На сколько процентов изменилась цена в третий раз?
0 понизилась на 12% 0 понизилась на 2%
0 повысилась на 24% 0 повысилась на 12%
0 повысилась на 2%
3. Какую концентрацию должен иметь раствор кислоты, чтобы при смешивании 1 л этого раствора и 4 л раствора с концентрацией 27% получился раствор кислоты с концентрацией 39%? 0 87% 0 40% 0 44% 0 95% 0 83%
4. 14 автобусов и 12 трамваев перевозят 1054 пассажира. 9 автобусов и 17 трамваев перевозят 984 пассажира. На сколько пассажиров отличается вместимость автобуса от вместимости трамвая? 01109019016014
б
Вариант 1-cll
5. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой 7 т — Зу — 11 образует угол 90°.
[Т| Зх - 7у = 5 0 7т + Зу = 2 0 Зх + 7у = -11
0 Ют + 10г/ = 22 [I] 7 т - Зу = 2
1 ( Га Гь\
6. Если х = - I \ — + \ - \ , о > 0, а > о, то выражение 2 1 у о V а /
л/т2 — 1
—==^=-----тождественно равно
V т2 — 1 + т
Sab г—1 а — b г—-| b — а г—i b — а г—i а — b
7. Множество всех значений параметра к, при которых уравнение 4 — |т — 6| = кх имеет ровно два различных корня, представляет собой промежуток, длина которого L удовлетворяет условию 0 0 < L 1 0 1 < L 1,3 01,3 1,5 0 1,5 < L 1,7
[б] 1,7 < L < 2,1
8. Расстояние между прямыми на плоскости Зу — 4т = 0 и Зу — 4т = 20 равно
02 0| 01 020 04 О
9. Пусть Ti и Т2 — корни уравнения Зт2 + 7т + 2 = 0. Укажите квадратное уравнение, корнями которого являются числа т^1 и т^1
0 2т2 + 7т + 3 = 0 0 |т2 + |т + | = 0 0 2т2 - 7т + 3 = 0 А (о
0 -т2 + -т + " = 0 0 Зт2 — 7т + 2 = 0
—1 3 7 2 1—1
10. Укажите множество всех значений параметра р, при которых функция у(т) — (3 — р)т + р — 5 является строго возрастающей на всей числовой прямой.
0 Р е (—оо; 5) 0 р € (3; +оо) 0 р € (—оо; 3) 0 р € (5; +оо) 0Р€(3; 5)
7
Варианты вступительных экзаменов
11. Укажите множество всех значений параметра а, при которых все значения т, принадлежащие промежутку [—1; 1], являются решениями неравенства х2 — 5х + (а + 1)(4 — а) <0.
0 (-оо; —2) (J (5; +оо) 0 (-2; 0) |J (3; 5) 0 (-2; 5)
0(-оо; 0) J (3; +оо) 0(0; 3)
12. Произведение всех различных корней уравнения \/2т2 — т + 13 — ^/2т2 — ж + 1 — 2 равно
a-i 010-5
тт 2 2 (1
13. Числовое значение выражения ctg х + ctg I —— х I при
1 Li J
условии tg х — ctg х = 3 равно
х Зя
14. Вычислите tg —, если cos т = 0,6 и — < х < 2я.
I-|01010-|0-4
Z о Z о уо
15. Множество значений функции у = -- представляет
2 + sin х
собой отрезок, длина которого равна 0102030406
16. Наименьший положительный корень уравнения 4 sin ж = sin 2т принадлежит промежутку
0(0; 1] 0(1; 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3] 0(3; 7)
17. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения * 1
л/—3sin® + cos® = VsinT — 3 cos т.
0 — 0 — 0~0 — 0 отрицательных корней нет
1 1
18. Укажите множество всех решений неравенства------- < —.
х — 1 т
0 (-оо; 0) 0 (-оо; 0) |J (1; +оо) 0 (0; 1) 0 0 0 (-оо; +оо)
8
Вариант 1-cll
19. Отрезок арифметической прогрессии содержит 18 членов с номерами от 1 до 18. Сумма членов с четными номерами равна 24, а сумма членов с нечетными номерами равна —12. Число, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку 0 (—999; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 999)
20. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 14, произведение третьего и четвертого членов равно 63. Число, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку 0 (-99; 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5] 0(4,5; 99)
21. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма всех членов прогрессии равна 12, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 6.
0701050309
log162 3 • logi 3
22. Числовое значение выражения ---—-— равно
log162 3 + logi 3 F
2
01 00,5 00,(3) 00,25 00,2
23. Число, равное среднему арифметическому всех корней уравнения log5 (ж2 — 2х — 3) =1, принадлежит промежутку 0 (-99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
24. Наибольший корень уравнения 25ж — 9 • 5х + 14 = 0 принадлежит промежутку
0 (-99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
9
Варианты вступительных экзаменов
25. Вершинами выпуклого многоугольника являются все точки на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе уравнений Число, равное площади многоугольника, при-
надлежит промежутку
0 (0; 16) 0 [16; 32) 0 [32; 40) 0 [40; 48) 0 [48; 999)
26. В равнобедренном треугольнике АВС длина боковой стороны АВ равна 7, длина основания АС равна 4. На стороне АВ взята точка D так, что треугольник ACD подобен треугольнику АВС и D не совпадает с А и не совпадает с В. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном отношению площади треугольника АВС к площади треугольника ACD.
00 02 09 07 05
27. Произведение всех корней уравнения . 2 / . / . т\\ 1
sin ^3 sin ^arcsin -J J = - равно
9л4 16-16
28. Найдите отношение радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника с острым углом 60°, к радиусу вписанной в этот треугольник окружности.
29. Сколько имеется целых положительных значений парамет-„ f х2 + г/2 = 9,
ра р, при которых система уравнении <. | — р имеет ровно
четыре различных решения?
0 меньше трех 0 три 0 четыре 0 пять 0 больше пяти
30. Если солнце находится на 45° выше горизонта, длина тени вертикального столба равна 10 м. Какую длину будет иметь
10
Вариант 1-с12
тень к тому моменту, когда солнце будет находиться на 30° выше
горизонта?
1 30 м
2] 10л/3 м Гз110 м
4] 5д/3 м 03,(3)
м
Вариант 1-с12
1. Рестораны расположены на 1-м, 12-м, 23-м, 34-м (и далее с шагом 11) этажах 200-этажного здания. Бары расположены на 1-м, 23-м, 45-м, 67-м (и далее с шагом 22) этажах того же здания.
Сколько в этом здании этажей, на которых имеется ресторан, но
нет бара?
1 5 или меньше 526374859 или больше 9
2. Цена товара изменялась три раза, первый раз понизилась на 28%, второй раз повысилась на 60%, а в результате трехкратного изменения повысилась всего на 44%. На сколько процентов
повысилась цена в третий раз?
Т| 32% Ы 25% [з] 64% [Ц 24% Гб! 48%
3. Какую концентрацию должен иметь раствор кислоты, чтобы при смешивании 3 л этого раствора и 1 л раствора с концентрацией 37% получился раствор кислоты с концентрацией 58% ? Т| 38% Ы 42% [з] 72% ГЦ 65% [К] 44%
4. 13 автобусов и 7 трамваев перевозят 1016 пассажиров. 9 автобусов и 11 трамваев перевозят 968 пассажиров. На сколько пассажиров отличается вместимость автобуса от вместимости трамвая?
012 011 013 07 09
5. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой 2х + 11г/ = 5 образует угол 90°.
Т| Ил + 2у = 2 0 2л - 11у = 5 0 13л + 13у = 10
U Пл - 2у = 2 0 2л + 11у = -5
11
Варианты вступительных экзаменов
6. Если
X —
с > 0, d > с, то выражение
тождественно равно
с~ d ~2dT
с — d
2с~
d — с 2с~
2
5
d — с d
\/х2 — 1
л/ж2 — 1 — X г—I d — с □ ~2d~
7. Множество всех значений параметра к, при которых урав-
нение |ж — 4| + 2 = кх имеет ровно два различных корня, представляет собой промежуток, длина которого L удовлетворяет условию Т| О < L £ 1 Ы 1 < L < 1,3 Гз11,3 < L С 1,5 ГЛ 1,5 < L < 1,7
I —- -------- -111 1
8. Расстояние между прямыми на плоскости Ьу + 12ж = 0 и 5у + 12ж = 13 равно — 11 —। — — —
1 — 2J5 3 1 4 17 5 13
13
9. Пусть Xi и Х2 — корни уравнения 2х2 — 15ж + 9 = 0. Укажите квадратное уравнение, корнями которого являются числа и х?1.
15 2
L--J 2 15 9 *—
10. Укажите множество всех значений параметра р, при которых функция у(х) = (5 — р)х + 3 — р является строго возрастающей на всей числовой прямой.
Т| р е (3; 5) [2] р Е (-оо; 5) [з] р G (3; +оо) Щ р € (-оо; 3)
5 р 6 (5; +оо)
11. Укажите множество всех значений параметра а, при которых все значения ж, принадлежащие промежутку [1; 3], являются решениями неравенства х2 — х + (а — 2)(3 — а) > 0.
3 (0; 2) □ (3; 5) @ (-оо; 2) |J (3; +оо) [з] (2; 3)
4] (-оо; 0) (J (5; +оо) @ (0; 5)
12
Вариант 1-с12
12. Произведение всех различных корней уравнения \/2я2 + Зж 4-14 — у/ъ? + Зж 4-2 = 2 равно
г—, 1 г-| г- 2 г— Г—
1 -- 2 -1 3 -- 4 1 5 7
— 3 L-J L—J 3 L—J l—J
13. Числовое значение выражения
условии tg х — ctg х = 7 равно
при
1] 74 ЦТ] л/47 49 [з
344
4 49 5 51
если cos х = —0,8 и 7г
2тг.
14.
Вычислите cos —,
7
х
12
15. Множество значений функции у = --------:— представляет
5 + sm х
собой отрезок, длина которого равна
16. Наименьший положительный корень уравнения
sin х 4- sin2x = 0 принадлежит промежутку
17. Укажите наименьший положительный корень уравнения \/—2 sin а? + cos ж = л/sina? — 2 cos ж.
5тг
— — —
3 положительных корней нет 4 — 5
18. Укажите множество всех решений неравенства — <--------.
X X + 1
1](-1; 0) @(-оо; —1) (J (0; +оо) [з] (-оо; -1) [7] 0
5[ (—оо; +оо)
19. Отрезок арифметической прогрессии содержит 16 членов с номерами от 1 до 16. Сумма членов с четными номерами равна 42,
13
Варианты вступительных экзаменов
а сумма членов с нечетными номерами равна 18. Число, равное
разности прогрессии, принадлежит промежутку
20. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 12, произведение третьего и четвертого членов равно 66. Число, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку XI (—99; 1,5] @(1,5; 2,5] @(2,5; 3,5] @(3,5; 4,5]
51(4,5; 99)
21. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма всех членов прогрессии равна 3, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 6.
17213243 55
22. Числовое значение выражения
log54 3 • log 1 3
2
:--— :—равно
log54 3 + logi 3
2
1 1 2 0,5 |3 0, (3) 4| 0,25 [51 0,2
23. Число, равное среднему арифметическому всех корней уравнения log2 (х2 — 8х + 7) — 4, принадлежит промежутку Т] (-99; 3] @ (3; 4] @ (4; 5] @ (5; 6] @ (6; 99)
24. Наибольший корень уравнения 9х — 10 • 3х 4-16 = 0 принадлежит промежутку
25. Вершинами выпуклого многоугольника являются все точки на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе урав-
нений < у ’ Число, равное площади многоугольника, при-I I *
надлежит промежутку
X (0;6) @ [6; 12) @[12; 16) @[16; 20) @[20; 999)
14
Вариант 1-С13
26. В равнобедренном треугольнике АВС длина боковой стороны АВ равна 9, длина основания АС равна 4. На стороне АВ взята точка D так, что треугольник ACD подобен треугольнику АВС и D не совпадает с А и не совпадает с В. Укажите целую часть числа, равного отношению площади треугольника АВС к площади треугольника ACD.
Т11 Гг] 2 [з] 4 [41 5 ГК] 6
27. Произведение всех корней уравнения
. о л . / . \ 3
sin ^2 sin ^arcsin— J j = - равно
28. Найдите отношение радиуса окружности, описанной около прямоугольного треугольника с острым углом 30°, к радиусу вписанной в этот треугольник окружности.
ра р, при которых система уравнений
29. Сколько имеется целых положительных значений парамет-я2 + У2 ~ 18, . . имеет ровно
к+ у| = р
четыре различных решения?
[Т меньше пяти 2 пять 3 шесть 4 семь 5 больше семи
30. Если солнце находится на 30° выше горизонта, длина те-
ни вертикального столба равна 15 м. Какую длину будет иметь тень к тому моменту, когда солнце будет находиться на 45° выше
горизонта?
TIlOV^M
2] 15л/3 м [З] 5 м [41 30 м [К] 5^/3 м
Вариант 1-с13
1. Рестораны расположены на 1-м, 7-м, 13-м, 19-м (и далее с шагом 6) этажах 100-этажного здания. Бары расположены на 1-м, 13-м, 25-м, 37-м (и далее с шагом 12) этажах того же здания.
15
Варианты вступительных экзаменов
Сколько в этом здании этажей, на которых имеется ресторан, но нет бара?
Н8 или меньше 8 [2] 9 [З] 10 Щ 11 Щ 12 или больше 12
2. Цена товара изменялась три раза, первый раз понизилась на 28%, второй раз повысилась на 25%, а в результате трехкратного изменения повысилась всего на 44%. На сколько процентов повысилась цена в третий раз?
|Т| 62, 5% [2] 75% [з] 60% [Л 64% [б] 48%
3. Какую концентрацию должен иметь раствор кислоты, что бы при смешивании 1 л этого раствора и 5 л раствора с концентрацией 13% получился раствор кислоты с концентрацией 25%? |Т| 87% [2] 85% [з] 27% Щ 83% [б] 33%
4. 15 автобусов и 12 трамваев перевозят 807 пассажиров. 10 автобусов и 17 трамваев перевозят 727 пассажиров. На сколько пассажиров отличается вместимость автобуса от вместимости трамвая?
|Т| 8 [2] 10 [з] 11 Щ 16 [б] 18
5. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой 11т — 2у — 5 образует угол 90°.
|Т| 11а: + 2у = 2 @ 2х - Пу = 5 0 13® - 13у = 10
Щ 11® - 2у = 2 [б] 2® + Пу = 5
6. Если
d>0’ c>d'
тождественно равно
с 4- d nri с — d r—\c — d rzn d — с
то выражение
16
Вариант 1-с13
7. Множество всех значений параметра к, при которых уравнение |т — 6| — 2 = кх имеет ровно два различных корня, представляет собой промежуток, длина которого L удовлетворяет условию 0O<L$101<L^1,301,3<L^1,501,5<L^1,7 01,7 <£<2,1
8. Расстояние между прямыми на плоскости Sy 4- 6т = 0 и Sy 4- 6х — 10 равно
0 2 @ 1 [3] 5 0 7 [f] 14
9. Пусть xi и Х2 — корни уравнения 7т2 — 13т 4-3 = 0. Укажите квадратное уравнение, корнями которого являются числа х^1 и
|Т| 7ж2 + 13® + 3 = 0 Ы З.г2 + 13® + 7 = 0 0 ‘-х2 + ±-х + i = 0 i—i —12 11 7
0 Зх2 - 13® + 7 = 0 Щ + ^-х + | = 0
10. Укажите множество всех значений параметра р, при которых функция у(х) = 3(т — р) 4- 5 — р является строго возрастающей на всей числовой прямой.
|Т|Р £ оо; 3) [2~| р € (3; 4-оо) |~3~| р 6 (—оо; 5) |~4]р Е (5; 4-оо) |~5~|р 6 (—оо; 4-оо)
11. Укажите множество всех значений параметра а, при которых все значения х, принадлежащие промежутку [1; 2], являются решениями неравенства т2 — 6т 4- (а 4- 2) (4 — а) > 0.
Е (-1; 3) @(-оо; 0) |J(2; +оо) 0 (-оо; -1) (J (3; +оо)
0(0; 2) 0(-1; 0) |J (2; 3)
12. Произведение всех различных корней уравнения \/Зт2 4- 2т 4-15 4- \/Зт2 4- 2т 4- 8 = 7 равно
17
Варианты вступительных экзаменов
13. Числовое значение выражения условии tg х + ctg х = 5 равно 0 23 0 х/2”3 • 27 0 27 0 0 25
О
X
14. Вычислите tg —, если cos х = 0,8
] i s Ц s 4 н i ®
2 о 2 О уо
tg2 X + tg2
при
Зл
~2<Х
< 2л.
и
15. Множество значений функции у = -— -представляет
4 4- Ззша:
собой отрезок, длина которого равна 0102030406
16. Наименьший положительный корень уравнения sin 2х 4- sin 4х = О принадлежит промежутку 0(0; 1] 0(1; 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3] 0 (3; 7)
17. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения УЗзшж + cost = Vsin x + 3 cos x.
0-^-0 отрицательных корней нет 0 — — 0 ~ “ 0
18. Укажите множество всех решений неравенства — <--------.
х х — 1
0 (0; 1) 0 (-оо; 0) 0 0 0 (-оо; 0) |J (1; +оо) 0 (—оо; +оо)
19. Отрезок арифметической прогрессии содержит 14 членов с номерами от 1 до 14. Сумма членов с четными номерами равна 37, а сумма членов с нечетными номерами равна 23. Число, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку
0 (-999; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 999)
18
Вариант 1-с13
20. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 12, произведение третьего и четвертого членов равно 60. Число, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку 0 (-99; 1,5] [%] (1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5] 0(4,5; 99)
21. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма всех членов прогрессии равна 3, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 1.
0108090302
1о§250 5 • logl 5
22. Числовое значение выражения ---——- равно
log25o 5 + logi 5
2 00,(3) 0 1,3 00,2 00,25 00,5
23. Число, равное среднему арифметическому всех корней уравнения 2 • log9 (ж2 — 4ж — 5) = 3, принадлежит промежутку 0 (-99; -2] 0 (-2; -1] 0 (-1; 0] 0 (0; 1] 0 (1; 99)
24. Наибольший корень уравнения 9® — 13 • 3® + 22 — 0 принадлежит промежутку
0 (-99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
25. Вершинами выпуклого многоугольника являются все точки
на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе урав-
f |ж + у| = 8, нений < 1 к Число, равное площади многоугольника, при-
I ху = 15.
надлежит промежутку
0(°; 31) 0 [31; 33) 0 [33; 37) 0[37;41) 0 [41; 999)
26. В равнобедренном треугольнике АВС длина боковой стороны АВ равна 8, длина основания АС равна 5. На стороне АВ взята
19
Варианты вступительных экзаменов
точка D так, что треугольник ACD подобен треугольнику АВС и D не совпадает с А и не совпадает с В. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном отношению площади треугольника АВС к площади треугольника ACD.
02 @6 03 09 05
27. Произведение всех корней уравнения
. 2 Л, . 7 . х \ \ 1
sin sin (^arcsm— jj = - равно
ы 16 и 36 LJ 36 36 ш 36 ш 216
28. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с острым углом 45°, к радиусу описанной около этого треугольника окружности.
0V^+10V/3-101--^0V^-10~-l V " у о
29. Сколько имеется целых положительных значений парамет-( х2 + у2 = 8,
ра р, при которых система уравнений < . . имеет ровно
I |ж 4- г/| = р
четыре различных решения?
0 меньше четырех 0 четыре 0 пять 0 шесть
0 больше шести
30. Если солнце находится на 60° выше горизонта, длина тени вертикального столба равна 30 м. Какую длину будет иметь тень к тому моменту, когда солнце будет находиться на 45° выше горизонта?
0 10 м 0 90 м 0 ЗОх/З м 0 60 м 0 10л/3 м
Вариант 1-с14
1. Рестораны расположены на 1-м, 9-м, 17-м, 25-м (и далее с шагом 8) этажах 100-этажного здания. Бары расположены на 1-м, 17-м, 33-м, 49-м (и далее с шагом 16) этажах того же здания.
20
Вариант 1-с14
Сколько в этом здании этажей, на которых имеется ресторан, но нет бара?
|~1] 4 или меньше 4 |~2~| 5 |~3~| 6 |~4~| 7 [К] 8 или больше 8
2. Цена товара изменялась три раза, первый раз понизилась на 40%, второй раз повысилась на 50%, а в результате трехкратного изменения повысилась всего на 44%. На сколько процентов повысилась цена в третий раз?
|Т] 60% [2] 24% [3] 64% Щ 72,5% Щ 48%
3. Какую концентрацию должен иметь раствор кислоты, чтобы при смешивании 5 л этого раствора и 1 л раствора с концентрацией 23% получился раствор кислоты с концентрацией 68%? [Т| 32% [2] 41% [З] 66% Щ 44% [К] 77%
4. 9 автобусов и 12 трамваев перевозят 966 пассажиров. 4 автобуса и 17 трамваев перевозят 931 пассажира. На сколько пассажиров отличается вместимость автобуса от вместимости трамвая? Щ6@5[3]7 011®8
5. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой 7х + Зу = 11 образует угол 90°.
|Т] 7х + Зу = 2 [2} Зх - 7у = 5 [з] 10х + Юу = 22
Щ За: + 7у = -11 [К] 7х - Зу = 2
„ „ 1 / [а Гь\ Л ,
6. Если x = + 1 , а > 0, о > а, то выражение
2 у у о V а /
\/х2 — 1
... ---тождественно равно
V х2 — 1 4- х
а + о 2а 2о 2о 2а
7. Множество всех значений параметра к, при которых уравнение |х — 3| — 5 = кх имеет ровно два различных корня, представляет собой промежуток, длина которого L удовлетворяет условию Що < L 1 [2] 1 < L 1,3 [з] 1,3 < L 1,5 Щ 1,5 < L 1,7 [б| 1,7 <L <2,1
21
Варианты вступительных экзаменов
8. Расстояние между прямыми на плоскости Зу + 4т = О и Зу + 4х = 10 равно
S20501S7010
9. Пусть Ti и Х2 — корни уравнения 2х2 + 19т + 7 = 0. Укажите квадратное уравнение, корнями которого являются числа т^1 и т^1.
ПП 2т2 - 19т + 7 = 0 Ы ^т2 + -^т + J = 0 0 7т2 + 19т + 2 = 0
1—1 1—1 2 19 7 —1
Щ 7т2 - 19т + 2 = 0 0 ~х2 + ~х + | = 0
10. Укажите множество всех значений параметра р, при которых функция у(т) = 3(р — т) + 5 — р является строго убывающей на всей числовой прямой.
0 Р € (—оо; 3) [2] р е (3; +оо) 0 р € (—оо; 5)
[Tip Е (-оо; +оо) 0р € (5; +оо)
11. Укажите множество всех значений параметра а, при которых все значения т, принадлежащие промежутку [1; 3], являются решениями неравенства х2 — х + (а — 2)(3 — а) <0.
0 (0; 2) J (3; 5) 0 (-оо; 0) J (5; +оо) [з] (2; 3)
[4] (-оо; 2) U (3; +оо) 0(0; 5)
12. Произведение всех различных корней уравнения \/2т2 — 7т + 12 — \/2х2 — 7х + 4 = 2 равно
,13. Числовое значение выражения ctg2 х + ctg2 условии tg х — ctg х = 5 равно
при
0 23 0 V23 • 27 0 27 Щ 0 25 О
22
Вариант ]ус14
15. Множество значений функции у = -:— представляет
3 + sin х
собой отрезок, длина которого равна 0102030406
16. Наименьший положительный корень уравнения
2 sin 2 ж = sin 4х принадлежит промежутку
0(0; 0,5] 0 (0,5; 1] 0 (1; 1,5] И (1,5; 2] 0(2; 7)
17. Укажите наименьший положительный корень уравнения x/Ssina? — cos ж = \/2sinT — 2 cos ж.
0 0 положительных корней нет 0 0 0
„ 11
18. Укажите множество всех решении неравенства-< —.
х + 1 х
0 (-1; 0) 0 (-оо; -1) J(0; +оо) 0 (-оо; -1) 00
0 (—оо; +оо)
19. Отрезок арифметической прогрессии содержит 12 членов с номерами от 1 до 12. Сумма членов с четными номерами равна 53, а сумма членов с нечетными номерами равна 47. Число, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку 0 (-999; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 999)
20. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 14, произведение третьего и четвертого членов равно 56. Число, равное разности прогрессии, принадлежит промежутку 0 (-99; 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5] 0 (4,5; 99)
23
Варианты вступительных экзаменов
21. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма всех членов прогрессии равна 2, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 1.
06 01 09 03 02
log63 3 • logi 3
22. Числовое значение выражения ------—-— равно
log63 3 + logi 3
01 00,5 00,(3) 00,25 00,2
23. Число, равное среднему арифметическому всех корней уравнения log3 (ж2 — 12х + 27) = 3, принадлежит промежутку 0 (-99; 2] 0 (2; 4] 0 (4; 6] 0 (6; 8] 0 (8; 99)
24. Наибольший корень уравнения 4х — 19 • 2х + 34 = 0 принадлежит промежутку
0 (—99; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
25. Вершинами выпуклого многоугольника являются все точки
на плоскости, координаты которых удовлетворяют системе урав
нений
|ж| + у = 5, |х| • у = 6.
Число, равное площади многоугольника, при-
надлежит промежутку
0(0; 5] 0(5; 6] 0(6; 7] 0 (7; 8] 0(8; 999)
26. В равнобедренном треугольнике АВС длина боковой стороны АВ равна 7, длина основания АС равна 5. На стороне АВ взята точка D так, что треугольник ACD подобен треугольнику АВС и D не совпадает с А и не совпадает с В. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном отношению площади треугольника АВС к площади треугольника ACD.
00 02 09 03 05
24
Вариант 1-с21
27. Произведение всех корней уравнения sin2 ^3sin (arcsin^)) = - равно
।—। 5тг3 г—। 25тг4 г—। 25тг2 г—л тг2 ।—, 25тг3
0 зГб ® 36 • 36 □ Зб" □ ~36 ® — 36 - 6
28. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с острым углом 30°, к радиусу описанной около этого треугольника окружности.
29. Сколько имеется целых положительных значений парамет-„ ( X2 + у2 = 16,
ра р, при которых система уравнении <. । _ имеет ровно
четыре различных решения?
|Т] меньше трех |~2~| три [з] четыре [4~| пять |~5~| больше пяти
30. Если солнце находится на 60° выше горизонта, длина тени вертикального столба равна 30 м. Какую длину будет иметь тень к тому моменту, когда солнце будет находиться на 30° выше горизонта?
0 10>/3 м @ 30л/з м @ 30 м [3 90 м [б] 10 м
Вариант 1-с21
1. Если затраты на покупку апельсинов возросли на 76%, а цена килограмма апельсинов увеличилась на 10%, то вес купленных апельсинов возрос на
0 68% [г] 66% 0 64% S 60% В 72%
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой Зт + 4у = 6 и отрезками координатных осей, равна 01 @1,5 @3 04@2
3. Расстояние между нулями функции у = х2 + л/ЗЗх + 2 равно
01 @2 @3 @ 4 0 5
25
Варианты вступительных экзаменов
4. Значение выражения (1Уб — v^4) • (v^36 + v^24 + а/16) равно
|~1] - ^4 [2] 10 [з] 2 Щ 24 [5] 52
5.
На рисунке изображен график функции у =
Г Ы [3] —° |4
-1 ж - 2 L—1 а? 4- 2 L-J ж + 3 L~
2ж г—। 2ж ж - 3 '—' ж - 2
6. Если сумма седьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 15, то сумма всех членов начиная с пятого до тринадцатого включительно равна
Щ 60 [2] 67,5 0 75 Щ 135 [5] 120
7. Все значения параметра а, при которых парабола у = ж2 — 2ах + а целиком расположена выше прямой у — —6, образуют множество
|Т| -3 < а < 2 [2] -1 < а < 2 [з] -3 < а < -2 Щ -2 < а < 3
[б] 2 < а < 3
8. Все решения неравенства --------< —— образуют множе-
ж — 1 ж 4- 3
ство
И (-5; -3) U (1; +оо) @ (-оо; -5) J (-3; +оо)
[3] (-оо; -3) □ (1; +сх>) Щ (-5; 1) @ (-оо; -5) |J (-3; 1)
(Зтг \ \ . / 7Г
— х I — cos I ж — л I + sm I ж — —
тождественно равно
[Т] — 3sinT [2] sin ж [з~| — sin ж [Т] cos ж |~5~| — cos ж
26
Вариант 1-с21
10. Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше корней уравнения х2 — Зт + 1 = 0.
fl] X2 -6т + 4 = 0 0 X2 - Зт + 2 = 0 [з] X2 -6т + 2 = 0
0 х2 - 1,5т + 0,25 = 0 0 т2 - 6т + 1 = 0
11. Множество всех корней уравнения т • cos а + sin а = 1 совпадает с множеством (—оо; +оо) при
0 а = 2тгт 0 а = + 2тгт 0 а = л + 2тгт 0 а = + 2тгт
12. Если второй член геометрической прогрессии равен —2, а седьмой член равен 64, то пятый член этой прогрессии равен 0 -32 0 -16 0 16 0 -8 0 8
13. Все решения неравенства log2(sinT) < log2(cosT), принадлежащие промежутку 0 т 2%, образуют множество
0 (°- Э и (г т)
, . „ logs 27 + log2 9
14. Выражение --------------- равно
log2 21 — log2 7 к
15. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и углом при вершине а = arccos(0,9) расстояние между основаниями медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той же вершины основания, равно
00,1 -а 00,2 • а 00,3 • а 0 0,4 • а 00,5 • а
16. Сумма всех целых чисел, которые являются решениями неравенства уЗ — х < 3 + х, равна
0 2 или меньше 2 03 0 4 05 06 или больше 6
27
Варианты вступительных экзаменов
17. Если при смешивании первого раствора с концентрацией 40% и второго раствора с концентрацией 48% получился раствор с концентрацией 42%, то количество первого раствора относится к количеству второго раствора как
[Т] 3 : 2 02:3 01:4 @3:1 [б] 1 : 3
18. Разность наибольшего и наименьшего значений функции у = cos2 х — За/sin2 х равна
03 01 04 02 05
19. Укажите все значения параметра Ь, при которых система „ ( 2х — by b, уравнении < _ , имеет бесконечно много решении.
0 6 = — 6 06 = 6 0 таких значений параметра не существует
0 b е (-оо; -6) U (-6; +оо) 0 b е (-оо; 6) (6; +оо)
20. Сколько различных корней имеет уравнение | а/#2 + 6т + 9 — 1| = кх при к 6 (0; 1)?
0 один 0 два 0 три 0 четыре 0 корней нет
ХуГх + 1 1
21. Выражение 1--—-=---г Ч— при х = 0,04 равно
Х[у/Х + 1) х
0 5 0 0,5 0 0, 2 0 -5 0 25
22. Пароход проходит 84 км против течения реки на 1 ч дольше, чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешествие в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
017ч012ч08ч015ч013ч
23. Множество значений функции у = (т — 1) • |т — 3| на промежутке х € [1; 4] совпадает с множеством
0 [-1; 4] 0 [1; 3] 0 [-3; 3] 0 [0; 3] 0 [-1; 3]
28
Вариант 1-с21
24. Если в описанной около круга равнобедренной трапеции расстояние от центра этого круга до дальней вершины в 4 раза больше радиуса круга, то косинус острого угла трапеции равен 0 0,96 g] 0,875 0 0,92 Щ 0,25 [б] 0,75
25. Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно условиям |®| + |у| 4 и |у| 2, равна
|Т] 24 g] 16 0 18 [7| 32 [б] 12
26. Все решения неравенства log i (12а: — 24) > —1 образу-11+а:5 ют множество
0(-оо; 2) J (5; 7) g] (—оо; 5) J (7; +оо) g] (2; 5) (J (7; +оо) S (2; +оо) [б] (5; 7)
ТТ 14 / 7Г\
27. Числовое значение выражения — arccos I sm — I равно тг \ 7/
0103050709
28. Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-„ ( у — х2 + Ь, рых система уравнении < " _ имеет ровно четыре различных решения.
s (-»; ь а (о; 1) а ф +») н (о; а <о; ь
29. Значение выражения log3
равно
01 01-log32 01og32- 1 @-log32 0 log3 2
30. Сумма всех корней уравнения 51 • 73\ х' = 417 принадлежит промежутку
0 (-999; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 6) 0 [6; 999)
11111
— -|- — -
2 4 816 32
29
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 1-с22
1. Если затраты на покупку помидоров возросли на 82%, а цена килограмма помидоров увеличилась на 30%, то вес купленных помидоров возрос на
0 48% 0 40% [З] 52% [7| 36% 0 32%
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой 2я; + 3у = 18и отрезками координатных осей, равна
0 16 0 24 0 27 0 18 0 12
3. Расстояние между нулями функции у — х2 + 2\/бж + 5 равно
01 @2 @304 @5
4. Значение выражения (-^7 — v^2) • (1У49 + \/14 + -\/4) равно 0 а/7 - х/2 0 14 0 53 0 9 0 5
1
2х г—1 2х
х-3 х — 2
На рисунке изображен график функции у =
6. Если сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 7, то сумма всех членов начиная со второго до двенадцатого включительно равна
0 38,5 0 42 0 70 0 35 0 77
30
Вариант 1-с22
7. Все значения параметра а, при которых парабола у = т2 — 2ах — За целиком расположена выше прямой у = 2, образуют множество
0 -1 < а < 1 0 —2 < а < 1 0 - 2 < а < -1 Щ 1 < а < 2
[5] -1 < а < 2
1 2
8. Все решения неравенства ------- <----- образуют множе-
х “I- 2» х ы
ство
0 (-2; 2) □ (6; +ОО) 0 (-оо; -2) J (2; 6)
0 (-оо; -6) J (-2; 2) @ (-6; -2) |J (2; +оо) 0 (-2; 6)
_ _ ( тг\ . /5тг \ ( Зтг\
9. Выражение cos I х + — I — sin I — + х I + sin I х —-тождественно равно
0 — 3sinT 0 cosх 0— cost 0 sinT 0 — sinx
10. Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше корней уравнения т2 — 4т + 2 = 0.
0 т2 - 2т + 1 = 0 0 т2 - 8т + 8 = 0 0 2т2 - 4т + 1 = 0
0 т2 + 4т + 2 = О 0 т2 — 8т + 4 = 0
11. Множество всех корней уравнения т • cos а + sin а = — х совпадает с множеством (—оо; +оо) при
0 а = 2тгт 0 а = у- + 2тгт 0 а = тг + 2тгт 0 а = — + 2тгт Л л
0 а = — 4- тгтп, т € Z
12. Если третий член геометрической прогрессии равен 2, а восьмой член равен —64, то шестой член этой прогрессии равен 0-32 0-16 016 0-8 08
31
Варианты вступительных экзаменов
13. Все решения неравенства log4(— sina:) > log4(— cosx), принадлежащие промежутку 0 х 2тг, образуют множество
В (у i) 0 (0; й ® S & %)
® (°; j) и (?; ?)
1 л п 1оё2 3 + 1о§4 9
14. Выражение ;-------равно
log4 18 - log4 6 р 0^020^0^04
15. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и углом при вершине а = arccos(0,2) расстояние между основаниями медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той же вершины основания, равно
[1] 0,1 • а @0,2 - в @0,3 • в 00,4 • а ® 0,5 • в
16. Сколько положительных целых чисел являются решениями неравенства у/х + 1 < 5 — х ?
0 два или меньше двух 0 три 0 четыре 0 пять
5 шесть или больше шести
17. Если при смешивании первого раствора с концентрацией 30% и второго раствора с концентрацией 40% получился раствор с концентрацией 36%, то количество первого раствора относится к количеству второго раствора как 03 : 2 0 2 : 3 0 3 : 4 04 : 3 0 3 : 5
18. Разность наибольшего и наименьшего значений функции у = sin2 х — 2v cos2 х равна
Щ104 02 03 05
32
Вариант 1-с22
19. Укажите все значения параметра Ь, при которых система „ ( 8х 4- by — Ь - 4, уравнении < 9 — Ь имеет бесконечно много решении.
0 Ь = 12 0 Ь е (-оо; -12) U (-12; +оо)
0 b е (—оо; 12) (12; +оо)
0 таких значений параметра не существует 0 b = —12
20. Сколько различных корней имеет уравнение
| у/я2 + бя + 9 — 1| = кх при к € (—2; —1)?
0 один 0 два 0 три 0 четыре [К] корней нет
1 — йу/а /—
21. Выражение —-=----=г — 1 — у/а при а = 25 равно
Vа(1 - у/а)
0-0,2 05 00,2 Щ0,04 0-2,2
22. Пароход проходит 112 км против течения реки на 1 ч дольше, чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешествие в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
0 15 ч 0 17 ч 0 12 ч 0 18 ч 0 13 ч
23. Множество значений функции у = (ж — 3) • |т — 1| на промежутке х € [0; 2] совпадает с множеством
0 [-3; 0] 0 [-3; 1] 0 [-3; -1] 0 [-1; 1] 0 [-3; 3]
24. Если в описанной около круга равнобедренной трапеции расстояние от центра этого круга до дальней вершины в 10 раз больше радиуса круга, то косинус острого угла трапеции равен 00,96 00,99 00,92 00,98 00,84
25. Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно условиям |я + |у| С 4 и j/| 1, равна
0 16 0 24 0 14 0 18 0 12
33
Варианты вступительных экзаменов
26. Все решения неравенства log 1 (9т — 9) > —1 образуют 5+i2 множество
0(-оо; 2) (J (7; +оо) 0 (1; 2) (J (7; +оо) 0 (2; 7)
0(-оо; 1) (J (2; 7) 0(1; +оо)
тт 22 / . 7Г \
27. Числовое значение выражения — arccos sm — 1 равно % \ 11/ 0103050709
28. Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-„ ( у — х2 + Ь,
рых система уравнении < . . имеет ровно четыре различ-
( у — 4|т|
пых решения.
0 (0; 2) 0 (0; 4) 0 (2; 4) 0 (2; +оо) 0 (-оо; 4)
29. Значение выражения
0 1 - log3 2 01og32- 2 0 log3 2 — 1 01 —21og32
021og32-l
30. Сумма всех корней уравнения 2х • 19( = 117 принадле-
жит промежутку
0 (-999; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 6) 0 [6; 999)
Вариант 1-с23
1. Если затраты на покупку бананов возросли на 56%, а цена килограмма бананов увеличилась на 20%, то вес купленных бананов возрос на
0 30% 0 36% 0 24% 0 48% 0 32%
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой 2х + Зу = 12 и отрезками координатных осей, равна 08 024 018 012 016
34
Вариант 1-с23
3. Расстояние между нулями функции у = х2 + у/21х + 3 равно
01 @2 03 04 05
4. Значение выражения (\/б + (^У36 — ^У24 + ^16) равно
0^6-^010 02024 052
1
2х г—1 2х
х - 3 '—' х - 2
На рисунке изображен график функции у=
6. Если сумма пятого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 15, то сумма всех членов начиная с третьего до тринадцатого включительно равна
0 75 0 165 0 90 0 82,5 0 150
7. Все значения параметра а, при которых парабола у = х2 + 2ах — 5а целиком расположена выше прямой у = 6, образуют множество
02 < а < 3 0 —3 < а < —2 0-2<а<3 0-3<а<2
0-1 < а < 2
2 1
—- >------ образуют множе-
~2 х 2
8. Все решения неравенства
0 (-2; 2) (J (6; +оо) 0 (-оо; -2) J (2; 6)
0(-оо; -6) (J (-2; 2) 0 (-6; -2) J (2; +оо) 0 (-2; 6)
35
Варианты вступительных экзаменов
_ Т-. / ТГ
9. Выражение cosl — — х тождественно равно
+ sin I х — тг
4- sin
0 — cos х |~2~| cos х 0 — 3 sin х 0 sin х 0 — sin х
10. Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше корней уравнения х2 — ба? + 1 = 0.
0 х2 - За: + 0,25 = 0 0 х2 - 6а: + 2 = 0 0 х2 - 12а: + 8 = 0
0 х2 - 6а: + 8 = 0 [б] х2 - 12а: + 4 = 0
11. Множество всех корней уравнения х sin а + cos а — —х совпадает с множеством (—оо; +оо) при
Зтг 0 а = 2тгтп 0 а — — + 2тгт 0 а — тг + 2тгт 0 а = — + 2тгт и
ГбГ] а = — + тгтп, т G Z
1—' 4
12. Если третий член геометрической прогрессии равен 64, а восьмой член равен —2, то пятый член этой прогрессии равен 016 0-16 032 0 -8 08
13. Все решения неравенства log3(— sina:) < log3(— cos а:), принадлежащие промежутку 0 х 2тг, образуют множество а/тг тг\ г—I / тг \ г—I / 5тг\ г—1 /5тг Зтг \ Г—-I /тг 5тг\
(<; j) 0 (°; j) 0 т) 0 (г- т) ® (г т)
14. Выражение 2 рми0
log4 27 - log2 3
02 03 [3]1 01 01 £ о
15. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и углом при вершине а = arccos(0,7) расстояние между основаниями медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той же вершины основания, равно
00,1 • а 00,2 • а 0 0,3 • а 0 0,4 - а 00,5 • а
36
Вариант 1-с23
16. Все решения неравенства у/х 4- 3 > х 4-1 образуют промежуток, длина которого равна
01 @2 03 04 05
17. Если при смешивании первого раствора с концентрацией 70% и второго раствора с концентрацией 80% получился раствор с концентрацией 74%, то количество первого раствора относится к количеству второго раствора как 03:4 04:3 03:2 05:3 02:3
18. Разность наибольшего и наименьшего значений функции у = 2 cos2 х — V sin2 х равна 05 03 04 0102
19. Укажите все значения параметра Ь, при которых система „ / Зх - бу = 2 - Ь, уравнении < , о имеет бесконечно много решении.
( ох + оу = 2о
0 Ъ е (—оо; —4) (—4; +оо) 0 b G (—оо; 4) (4; +оо)
0 таких значений параметра не существует 0 6 = — 4 06 = 4
20. Сколько различных корней имеет уравнение \/т2 — 6т 4- 9 — 1 = кх при к € I -; 1 ) ?
0 один 0 два 0 три 0 четыре 0 корней нет
21. Выражение — 14—F при b = 0,25 равно
6(1 4- v6) v6
0 0,5 0 0,25 0 2 0 4 0 12,5
22. Пароход проходит 35 км против течения реки на 2 ч дольше, чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешествие в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
0 17 ч 0 10 ч 0 12 ч 0 15 ч 0 13 ч
37
Варианты вступительных экзаменов
23. Множество значений функции у = (ж — 1) • |ж — 3| на промежутке х £ [2; 4] совпадает с множеством
[Б [0; 1] 0 [1; з] ® [-1; 3] 0 [-3; 1] [Б] [0; 3]
24. Если в описанной около круга равнобедренной трапеции расстояние от центра этого круга до дальней вершины в 5 раз больше радиуса круга, то косинус острого угла трапеции равен [Т] 0,96 00,875 [Б] 0,92 00,25 00,75
25. Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно условиям |ж + |у| 4 и |ж| 3, равна
032 0 30 0 28 0 15 0 24
26. Все решения неравенства log i (4ж + 8) > —1 образуют 3 । д.2 множество
0(-2; -1) (J (5; +оо) 0 (-2;+оо) 0 (-оо; -2) (J (-1; 5)
0(-оо; -1) U (5; +оо) 0 (-1; 5)
п„ тт 22 / . 2тг\
27. Числовое значение выражения — arccos sm — ) равно
7Г \ 11/
01 @3 05 07 09
28. Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-„ ( у = ж2 + Ь, рых система уравнении < . имеет ровно четыре различ-
ат/ = 6|ж| ных решения.
0 (0; 3) ® (0; Зч/2) 0 (Зч/2; +оо) 0 (-оо; Зл/2) 0 (0; 9)
29. Значение выражения
, /11111 \
62 \ 3 9 27 81 243 J
0 2 - log2 3 0 log2 3 - 2 0 1 — log2 3 01og23 —1 0 log2 3
38
Вариант 1-с24
30. Сумма всех корней уравнения 7Ж • 61Д х> = 37 принадлежит промежутку
0 (—999; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) [0 [5; 999)
Вариант 1-с24
1. Если затраты на покупку огурцов возросли на 92%, а цена килограмма огурцов увеличилась на 60%, то вес купленных огурцов возрос на
g 18% 0 24% 0 20% Щ 36% 0 32%
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой 2х + Зу = 6 и отрезками координатных осей, равна 03 0106 04 01,5
3. Расстояние между нулями функции у = х2 + 2\/бж + 2 равно
0102030405
4. Значение выражения — \/3) • (\/16 + д/12 + \^9) равно
Зж х — 2
Зж ж + 2
3
2ж
ж 3
4
На рисунке изображен график функции у =
5
2ж
ж — 2
6. Если сумма третьего и тринадцатого членов арифметической прогрессии равна 13, то сумма всех членов начиная с четвертого до двенадцатого включительно равна
0 52 0 117 0 65 0 104 0 58,5
39
Варианты вступительных экзаменов
7. Все значения параметра а, при которых парабола у — ж2 + 2ах — а + 6 целиком расположена выше прямой у = 0, образуют множество
0 -3 < а < -2 [2] -2 < а < 3 0 2 < а < 3 0 -1 < а < 2
0 -3 < а < 2
1 2
8. Все решения неравенства --- > ------ образуют множе-
ство
0 (-2; 2) {J (6; +оо) 0 (-оо; -2) J (2; 6)
0 (-оо; -6) {J (-2; 2) 0 (-6; -2) J (2; +оо) 0 (-2; 6)
9. Выражение cos
5л \ \ / Зл
—— х I — cos I л — х I + sm I —— х
тождественно равно
0 — sinх [2] sinх |~з] cos х 0 — cosх |~5~| —Ззтж
10. Укажите квадратное уравнение, корни которого в 2 раза больше корней уравнения х2 — 5х + 2 — 0.
0 х2 - Юж + 2 = 0 [2] ж2 - 2, 5ж + 0,5 = 0 0 х2 - 20ж + 32 = 0
0 ж2 - Юж + 8 = 0 0 ж2 - 5ж + 4 = 0
11. Множество всех корней уравнения ж • cos а + sin а = ж совпадает с множеством (—оо; +оо) при
0 а = 2лт 0 а = + 2лт 0 а = л + 2лт 0 а = + 2тгт
М Li
12. Если третий член геометрической прогрессии равен 64, а восьмой член равен —2, то шестой член этой прогрессии равен Щ16 [2]-16 032 08 0-8
40
Вариант 1-с24
13. Все решения неравенства log3(— sin®) > log3(cos®), принадлежащие промежутку 0 х 2тг, образуют множество
0 (?; 2^) 0 & ?) S (*: a (i;
® & т)
log2 15 — log2 5
14. Выражение -------— равно
log4 9 + log2 9
03[2]2[0^[4]^®1 О £»
15. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и углом при вершине а — arccos(0,1) расстояние между основаниями медианы и высоты, опущенных на боковую сторону из одной и той же вершины основания, равно
0 0,1 а 0 0,2 а [з] 0, 25 • а 0 0, 3 а 0 0,4 • а
16. Все решения неравенства у/3 — х > 1 — х образуют промежуток, длина которого равна
06 05 04 03 02
17. Если при смешивании первого раствора с концентрацией 60% и второго раствора с концентрацией 68% получился раствор с концентрацией 66%, то количество первого раствора относится к количеству второго раствора как 03-202:301:403:1 01:3
18. Разность наибольшего и наименьшего значений функции у = 2 cos2 х — А.\/sin2 х равна 0605040302
19. Укажите все значения параметра Ь, при которых система „ f ж — by — Ь + 2, уравнении < „ п п, п имеет бесконечно много решении.
Зх — 9у = 2Ь + 9
0 6 = — 3 06 = 3 0 таких значений параметра не существует 0бе ( —оо; —3) (—3; +оо) 0 6 € (—оо; 3) (3; +оо)
41
Варианты вступительных экзаменов
20. Сколько различных корней имеет уравнение
| \/^2 + 6т + 9 — 2| = кх при к Е (—0,5; 0)?
0 один |~2~| два 0 три 0 четыре [~5~| корней нет
21. Выражение ЛС-- — 1-— при х = 0,04 равно
х(у/х — 1) у/X
0 5 0 25 0 0,5 0 0, 008 0 125
22. Пароход проходит 60 км против течения реки на 1 ч дольше, чем тот же путь по течению. Сколько времени займет путешествие в оба конца, если скорость течения реки 1 км/ч?
08ч011ч012ч015ч013ч
23. Множество значений функции у = (ж — 3) • |т — 1| на промежутке х G [I; 4] совпадает с множеством
0 [0; 3] ® [0; 4] 0 [-1; 3] 0 [-1; 4] 0 [-3; 3]
24. Если в описанной около круга равнобедренной трапеции радиус этого круга составляет 40% расстояния от центра этого круга до дальней вершины, то косинус острого угла трапеции равен 00,96 00,92 00,84 00,72 00,68
25. Площадь фигуры, состоящей из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют одновременно условиям |т| + |у| 5 и |ж| 2, равна
024 048 036 032 050
26. Все решения неравенства log i (7х — 7) > —1 образуют З+ж2 множество
0(1; +оо) 0(-оо; 2) и (5; +оо) 0 (-°о; 1) U (2; 5)
0(2; 5) 0(1; 2) |J (5; +оо)
14 ( Зл\
27. Числовое значение выражения — arccos sm — равно
7Г \ 7 /
0103050709
42
Вариант 2-cll
28. Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-„ ( у = х2 + Ь,
рых система уравнении < _ . , имеет ровно четыре различ-
г у — ОIXI
ных решения.
[0 (0; 4) 0 (0; 8) 0 (0; 16) 0 (8; +оо) 0 (-оо; 8)
29. Значение выражения /11111 \
log2 + з + д + + si + 243 + ’ • 'J раВН°
01og23-l 01og23-2 0 2 — log2 3 0 1 — log2 3 0 log2 3
/_1\
30. Сумма всех корней уравнения 3Е • 61' х' = 217 принадлежит промежутку
[0 (-999; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 6) 0 [6; 999)
Вариант 2-с11
1. Если число А равно 517% от 5,19, а число В равно 518% от 5,18, то
0 А - В = 0,001 0 А - В = -0,001 0 А - В
0 А - В = -0,0001 0 А - В = 0,0001
2. За 6 лет Билл стал старше на 30%, так что его возраст, выраженный в годах, стал равен
0 36 0 32 0 26 0 20 0 24
3. Выражение ^/24- \/3 + \/2 — V3 равно
0 V3 0 \/б 0 2V2 0 2 0 V2
4. Сумма S всех различных корней уравнения
зт(2т) = — cost, расположенных на промежутке х £ (0; 2л), удовлетворяет условию
0 Зл < S 999
43
Варианты вступительных экзаменов
5. Все значения параметра а, при которых хотя бы одно число х € [1; 6] является решением неравенства х + а 4, образуют множество
111 a £ [—2; 3] 121 а € [3; +оо) [ 31 а € [—2; 4~оо) 141 а € (—оо; —2] |~5~| a G (—оо; 3]
6. Выплатив работнику заработную плату, фирма обязана дополнительно перечислить в социальные фонды сумму, равную 40% выплаченной зарплаты. Если вместе эти расходы составили 336 руб., то сумма, перечисленная в социальные фонды, составила (в руб.)
@ 98 [2]96 @102 @ 134,4 @112
7. Сумма четвертого и тринадцатого членов арифметической прогрессии равна 6. Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.
0 96 @72 @48 @24 @22
8.
Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
которого являются решениями неравенства sin я;
Уз
V’
точки равна
Bis
9.___Укажите все значения параметра р, при которых система (р-х + 2- у = р + 7, л <____ , имеет бесконечное множество решении.
[32-я:+р-у = 4
@р = 8 @0 @р = ±8 @р = -8 @р = 2
1.
£
4
5
10. Уравнение х = 2 + Ух имеет единственный корень х Е (1; 5) единственный корень х € (6; 12) ровно два корня единственный корень х € [5; 6] единственный корень х Е (—оо; 1] || [12; +оо)
44
Вариант 2-cll
11. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном произведению всех различных значений параметра к, при которых уравнение ||т — 5| — 2| — 4, — кх имеет ровно три различных корня.
01 @2 03 04 05
12. Сумма всех различных значений параметра Ь, при которых уравнение (5 — 3)т2 + 13® + 5 + 2 = 0 имеет единственный корень, равна
0102 03 04 05
13. Решите уравнение \/6 • sin ж + л/1 + sin х = 0.
0 (—l)n+1 arcsin + 7гп; (—+ тгп О о
0 (-l)n+1 arcsin + 7гп; (—1)"^ + тгп 0 (-1)п^ + тгп
0 (—l)n+1 arcsin + тгп 0 (—l)n+1~- + тгп, п Е Z О о
14. Произведение всех различных корней уравнения
2 !6
х — бгг + 10 -f—5—— = 0 равно натуральному числу, остаток от х£ — 6х
деления которого на 5 равен
01 02 @304 0о
15. Сумма всех различных значений параметра к, при которых
2т — 5 графики функций у =-----—
и у = кх имеют ровно одну общую
точку, равна
0102 03 04 05
16. Если Билл увеличит производительность своего труда на 60%, а Джек уменьшит на 60% по сравнению с планом, то они вместе выполнят всю работу за 3 дня. Если Билл уменьшит производительность на 50%, а Джек увеличит на 50% по сравнению с планом, то они выполнят работу за 4 дня. Отношение плановой
45
Варианты вступительных экзаменов
производительности Билла к плановой производительности Джека равно
0 15 • 7 [2] 9 : 5 0 12 : 7 0 3 : 5 0 12 • 5
17. Укажите наибольшее значение параметра р, при котором уравнение sm2 х + cos х = р имеет хотя бы один корень.
[Т] 1,125 0 1,25 0 1,75 0 1,5 0 2
18. Если знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами увеличить на 10%, не изменив первый член, то сумма прогрессии возрастет на 900%. Первоначальное значение знаменателя прогрессии равно 0 0,6 0 0,7 0 0, 75 0 0,8 0 0,9
19. Функцию у = /(ж), график которой симметричен графику функции у = 3-5:Е относительно прямой у = х, можно задать уравнением
И У = -г logs х 0 У ~ -3 logs X 0 у ~ - log3(-ar) D О
0y = -|log5a: 0у = —51og3(—ж)
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у = х2 — 2х — 3, проведенных через точки пересечения этой параболы с осью абсцисс, то
0 0 < S б, 1 0 6,1 < S < 8,1 0 8,1 < S 10,1
0 10,1 < S 12,5 0 12,5 < S < 999
21. Все решения неравенства arcsin(4rr — 3) arcsin(3f'-:- 4ж) образуют промежуток, длина которого равна
46
Вариант 2-cll
22. Число А, равное значению выражения-------——
log^ 4 log24 4 принадлежит промежутку
0 А £ (-999; 0] 0 А £ (0; 1] 0 А £ (1; 2] 0 А £ (2; 3]
0 А £ (3; 999)
23. Наименьшее значение функции у = 9Ж + З3~2ж равно 0 27 0 4у/3 0 6^2 0 бу^ 0 18
24. Все решения неравенства ж0,5 log5 х —= образуют проме-жуток, длина которого, записанная в виде десятичной дроби, содержит на первом месте после запятой цифру 04 06 03 09 07
25. Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых удовлетворяют условию
х — 4 у у 8т — х2 , равна
0 Зл + 4 0 6л 0 6л + 8 0 8л 0 4л + 6
26. Сумма вклада за третий год увеличилась на 54 руб., а за шестой год — на 128 руб. Какова была величина вклада в начале четвертого года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
0216 0144 0224 0196 0256
27. В равнобедренном треугольнике АВС, АВ — ВС, проведена биссектриса AD угла ВАС, точка D лежит на ВС, длины отрезков АС = 6 и BD = 8. Величина периметра треугольника АВС выражается целым числом, сумма цифр которого равна 04 012 08 010 03
28. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями координаты х, для которых касательная к графику функции у = 2т3 — 15т2 + 24т — 3, проведенная в точке (т; у(т)), горизонтальна.
0102030405
47
Варианты вступительных экзаменов
29. Пусть N — количество различных целочисленных значений
параметра р, при которых система
'у = kl,
< 4у+р = 4а:2, имеет ровно
Jt| 2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
01 02 03 04 00
30. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 25log3:c • 7~log:c3 = 125, принадлежит промежутку 0 (0; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 6) 0 [6; 999)
Вариант 2-с12
1. Если число А равно 736% от 73,4, а число В равно 735% от 73,5, то
0 А - В = 0,001 0 А - В = -0,001 0Л = В0Л-В = 0,01
0 А - В = -0,01
2. За 4 года Билл стал старше на 25%, так что его возраст, выраженный в годах, стал равен
0 20 0 12 0 16 0 18 0 24
3. Выражение у 3 + V5 + у 3 — Уб равно
0 710 0 у/2 0 Уб 0 2 0У2О
4. Сумма S всех различных корней уравнения sin(2a:) = —УЗзшт, расположенных на промежутке х € (0; 2тг),
удовлетворяет условию
0 Зтг < S 999
48
Вариант 2-с12
5. Все значения параметра а, при которых хотя бы одно число х Е [2; 5] является решением неравенства х + а 6, образуют множество
0 а Е [1; 4] 0 а Е [1; +оо) 0 а Е [4; +оо) 0 а Е (—оо; 4]
0 а Е (—сю; 1]
6. Выплатив работнику заработную плату, фирма обязана дополнительно перечислить в социальные фонды сумму, равную 20% выплаченной зарплаты. Если вместе эти расходы составили 336 руб., то сумма, перечисленная в социальные фонды, составила (в руб.)
0 67,2 0 64 0 72 0 48 0 56
7. Сумма третьего и десятого членов арифметической прогрессии равна 12. Найдите сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.
0 78 0 72 0 144 0 24 0 88
8. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
1 точки которого являются решениями неравенства cos х —, рав-
на
9. Укажите все значения параметра р, при которых система (рх + 16-у = р-2, < . „ имеет бесконечное множество решении.
(4 • х + р- у = 3
0 р = 16 0 0 0 р = 8 0 р = ±8 0р = -8
1_ £
Д 4
10. Уравнение х = 2 — > /х имеет
единственный корень х Е (1; 5)
единственный корень х Е (6; 12)
ровно два корня
единственный корень х £ [5; 6]
единственный корень х Е (—оо;
I] U [12; +оо)
49
Варианты вступительных экзаменов
11. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном произведению всех различных значений параметра к, при которых уравнение ||т — 4| — 1| + 1 = кх имеет ровно три различных корня.
0102030405
12. Сумма всех различных значений параметра Ь, при которых уравнение (Ь + 1)т2 + 7т + 5 — 3 = 0 имеет единственный корень, равна
0102 03 04 05
13. Решите уравнение л/б • cos х = л/1 ~ cos х.
0 ± arccos | + 2тгп; О
7Г |——1 1
± —F 2тт 2 ± arccos - + 2тт
3 |—1 3
2л Т
2л
3
0 ±— + 2тт, п Е Z О
14. Произведение всех различных корней уравнения
2 7
х — 10т + 21-1—------ — 0 равно натуральному числу,
х2 — Ют + 13
остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
15. Укажите первую цифру после запятой в десятичном пред-
ставлении числа, равного произведению всех ненулевых т - 12 параметра fc, при которых графики функций у =---—
значений и у — кх
имеют ровно одну общую точку.
01 02 03 05 09
16. Если Билл увеличит производительность своего труда на 20%, а Джек уменьшит на 20% по сравнению с планом, то они вместе выполнят всю работу за 5 дней. Если Билл уменьшит производительность на 40%, а Джек увеличит на 40% по сравнению с планом, то они выполнят работу за б дней. Отношение плановой
50
Вариант 2-с12
производительности Билла к плановой производительности Джека равно
0 11 : 7 0 7 : 5 0 6 : 7 0 11 : 6 0 12 : 7
17. Укажите наименьшее значение параметра р, при котором уравнение cos2 х + cos х = р имеет хотя бы один корень.
0 0 0 -0,75 0 -0,25 0 -0,5 0 -1
18. Если знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами увеличить на 20%, не изменив первый член, то сумма прогрессии возрастет на 25%. Первоначальное значение знаменателя прогрессии равно 00,2 00,4 00,5 00,6 00,7
19. Функцию у — f(x), график которой симметричен графику функции у = 5~°'2х относительно прямой у = х, можно задать уравнением
0т/ = |1оё5ж 0у = -|log5(-T) 0у = —21og0>8(—ж) О Z
0Р = — |log2(—ж) 0 у =-5 logs Ж
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у = х2 — 8ж + 12, проведенных через точки пересечения этой параболы с осью абсцисс, то
0 0 < S 10,1 0 10,1 < S 12,1 0 12,1 < S 14,1
0 14,1 < S 16,5 0 16,5 < S < 999
21. Все решения неравенства агсзт(2ж — 3) arcsin(5 — 5ж) образуют промежуток, длина которого равна
51
Варианты вступительных экзаменов
22. Число А, равное значению выражения ---------------
logi2 3 log108 3 принадлежит промежутку
[I] А е (-999; 0] g] А е (0; 1] g] А е (1; 2] g] А 6 (2; 3]
g] А е (3; 999)
23. Наименьшее значение функции у = 8х + 22~3х равно
g] 8 g] 2V2 g] 2Уз g] 4х/2 g] 4
2
24. Все решения неравенства д;0,51082® __ образуют проме-
у/х
жуток, длина которого, записанная в виде десятичной дроби, содержит на первом месте после запятой цифру
g] 4 g] 6 g] 3 g] 9 g] 7
25. Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых удовлетворяют условию
х — 1 у у2т — ж2, равна
26. Сумма вклада за третий год увеличилась на 64 руб., а за шестой год — на 216 руб. Какова была величина вклада в начале четвертого года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
g] 144 g] 196 g| 168 g] 192 g] 216
27. В равнобедренном треугольнике ABC, АВ — ВС, проведена биссектриса AD угла ВАС, точка D лежит на ВС, длины отрезков АС = 10 и BD = 9. Величина периметра треугольника АВС выражается целым числом, сумма цифр которого равна 04g]6g]3g|14g]8
28. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями координаты х, для которых касательная к графику функции у = ж3 — Зт2 — 9т — 5 в точке (т; у(х)) горизонтальна.
В 1 g] 2 g] 3 g] 4 g] 5
52
Вариант 2-с13
29. Пусть 2V — количество различных целочисленных значений (у = kl,
параметра р, при которых система < 4у + р = 4а:2, имеет ровно
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
01 @2 03 04 00
30. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 36log** • 7~logl 4 5 = 216, принадлежит промежутку
Щ (0; 11) 0 [11; 12) 0 [12; 13) 0 [13; 14) 0 [14; 999)
Вариант 2-с13
1. Если число А равно 647% от 6,47, а число В равно 648% от 6,46, то
04 = В0Л-В = 0,001 0 А - В = 0,0001
0 А - В = -0,0001 0 А - В = -0,001
2. За 7 лет Билл стал старше на 25%, так что его возраст, выраженный в годах, стал равен
0 28 0 48 0 42 0 35 0 30
3. Выражение у 2 + л/З — у 2 — х/З равно
0 а/З 0 ч/б 0 2\/2 0 2 0 \/2
4. Сумма S всех различных корней уравнения sin(2a?) = \/3cosa: на промежутке х € (0; 2тг) удовлетворяет усло-
вию
0O<S^[2]^<S!S2.02t<S^[4]^<S<3i
0 Зтг < S 999
53
Варианты вступительных экзаменов
5. Все значения параметра а, при которых хотя бы одно число х G [2; 5] является решением неравенства х + а 6, образуют множество
[~1] а € [1; 4] |~2~| а € (—оо; 1] [ 31 й € [1; +оо) [ 41 й € [4; +оо)
[К] а е (—оо; 4]
6. Выплатив работнику заработную плату, фирма обязана дополнительно перечислить в социальные фонды сумму, равную 25% выплаченной зарплаты. Если вместе эти расходы составили 350 руб., то сумма, перечисленная в социальные фонды, составила (в руб.)
Щ 72 [2] 87,5 [з] 80 Щ 70 ® 64
7. Сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 12. Найдите сумму первых тринадцати членов этой прогрессии.
Щ 78 [2] 170 [з] 156 [7] 25 [К] 88
8. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
точки которого являются решениями неравенства sin х
на
1
- 2> Рав"
9. Укажите все значения параметра р, при которых система ( р х + 3 у = 4, < , „ „ имеет бесконечное множество решении.
(12-т+р-у=р + 2 р
[Т] р = 3 р = 6 [з] 0 Щ р = ±6 [б] р = —6
10. Уравнение х + 12 — 7\[х имеет
1
£ Д 4
5
единственный корень единственный корень ровно два корня единственный корень единственный корень
х € (1; 10)
х € (15; 24)
х 6 [10; 15]
х € (—оо; 1] (J t24; +°°)
54
Вариант 2-с13
11. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном произведению всех различных значений параметра к, при которых уравнение ||х — 4| — 1| — 2 ~ кх имеет ровно три различных корня.
0102030405
12. Сумма всех различных значений параметра Ь, при которых уравнение (6 + 1)х2 + 9x4-6 — 5 = 0 имеет единственный корень, равна
02 03 04 05
13. Решите уравнение \/б • sin ж + \/1 — sinx = 0.
/ТГ
0 (-1)” arcsin- +тгп; (—l)n+1—+тгп о О
0 (-l)n arcsin | + 7гп; (-1)”^ + тгп 0 (-1)п+1^ + тгп о О О
0 1)”+ + 7ГП 0 (—1)” arcsin + 7гп, n € Z О о
14. Произведение всех различных корней уравнения
2 о 5
х — 8х + 12 = —z— -- равно натуральному числу, остаток от
хл — Зх + 8
деления которого на 5 равен 0102030400
15. Сумма всех различных значений параметра к, при которых ___________________ 2
графики функций у — --- и у = кх имеют ровно одну общую
точку, равна
0102 03 04 05
16. Если Билл увеличит производительность своего труда на 30%, а Джек уменьшит на 30% по сравнению с планом, то они вместе выполнят всю работу за 4 дня. Если Билл уменьшит производительность на 40%, а Джек увеличит на 40% по сравнению с планом, то они выполнят работу за 3 дня. Отношение плановой
55
Варианты вступительных экзаменов
производительности Билла к плановой производительности Джека равно
0 9 : 17 0 9 : 13 0 6 : 13 0 5 : 11 0 7 : 17
17. Укажите наибольшее значение параметра р, при котором уравнение 2 sin2 х + cos х = р имеет хотя бы один корень 02,125 03 02,5 02 02,25
18. Если знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами увеличить на 90%, не изменив первый член, то сумма прогрессии возрастет на 150%. Первоначальное значение знаменателя прогрессии равно 00,2 00,4 00,5 00,6 00,7
19. Функцию у = /(ж), график которой симметричен графику функции у = — (0, 5)~3а: относительно прямой у = х, можно задать уравнением
0У = |log2z 0у = 31og2z 0у = 51og2(—ж)
0 У = I log2(-aO 0 у = log2(-ж) О о
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у — ж2 — 5ж + 4, проведенных через точки пересечения этой параболы с осью абсцисс, то
0 0 < S < 7,5 0 7,5 < S < 9 0 9 < S < 10,5 0 10,5 < 5 12 0 12 < S < 999
21. Все решения неравенства агсзт(4ж — 3) arcsin(3 — 5ж) образуют промежуток, длина которого равна
56
Вариант 2-с13
22. Число А, равное значению выражения -— -----——,
°§20 2 log80 2 принадлежит промежутку
0Аё(-999; 0] 0 А € (0; 1,5] 0Аё(1,5; 2,5]
0 А G (2,5; 5] @Лё(5; 999)
23. Наименьшее значение функции у = 4х + 23~2х равно
[1] 4\/2 0 4 0 2^2 0 8 0 3\/2
24. Все решения неравенства ж21°5зХ 81т2 образуют проме-
жуток, длина которого, записанная в виде десятичной дроби, содержит на первом месте после запятой цифру
04 06 g]3 09 07
25. Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых удовлетворяют условию
2 — л v 4а? — ж2 , равна
0 1,5тг + 2 0 2л 0 2, 5тг + 4 0 Зтг 0 2л + 1,5
26. Сумма вклада за третий год увеличилась на 96 руб., а за шестой год — на 324 руб. Какова была величина вклада в начале четвертого года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
0 296 0 324 0 256 0 308 0 288
27. В равнобедренном треугольнике АВС, АВ = ВС, проведена биссектриса AD угла ВАС, точка D лежит на ВС, длины отрезков АС = 15 и BD = 4. Величина периметра треугольника АВС выражается целым числом, сумма цифр которого равна 0 7 0 6 0 12 0 8 0 10
28. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями координаты х, для которых касательная к графику функции у = 2а?3 — За?2 — 12а? — 7, проведенная в точке (а;; у(а?)), горизонтальна
0102 03 04 05
57
Варианты вступительных экзаменов
29. Пусть N — количество различных целочисленных значений (у = 2|ж|,
параметра р, при которых система 4у + р = 16ж2, имеет ровно
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
30. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 7log3a: • 5-logl3 = 49, принадлежит промежутку
[1] (0; 9) [2] [9; 16) [з] [16; 24) @ [24; 36) 0 [36; 999)
Вариант 2-с14
1. Если число А равно 568% от 56,8, а число В равно 567% от 56,9, то
[1] а - в = 0,001 [г] а - в = -0,001 0а = вЩа-в = 0,01
0 А-В = -0,01
2. За 5 лет Билл стал старше на 20%, так что его возраст, выраженный в годах, стал равен
0 48 [г] 30 0 36 0 32 0 25
3. Выражение у 4 + Vi 4- у 4 — а/7 равно
0 2л/7 0 7^2 0х/14 0л/7+ 20^7
4. Сумма S всех различных корней уравнения зт(2ж) = — а/Зсозж, расположенных на промежутке х € (0; 2л),
удовлетворяет условию
0 3л < S 999
58
Вариант 2-с14
5. Все значения параметра а, при которых хотя бы одно число г G [1; 3] является решением неравенства х + а 5, образуют множество
|Т| а 6 (-оо; 4] [г]а 6 [2; +оо) [з] а £ (-оо; 2] [4] а 6 [4; +оо) [б]в 6 [2; 4]
6. Выплатив работнику заработную плату, фирма обязана дополнительно перечислить в социальные фонды сумму, равную 40% выплаченной зарплаты. Если вместе эти расходы составили 378 руб-, то сумма, перечисленная в социальные фонды, составила (в руб-)
|Т] 108 [г] 151,2 |з] 270 Щ 112 [б] 132
7. Сумма шестого и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найдите сумму первых четырнадцати членов этой прогрессии.
Щ 96 [2] 112 |з] 48 Щ 56 0 22
8. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
1 точки которого являются решениями неравенства зтж рав-
на
9. Укажите все значения параметра р, при которых система р - х — 3 • у = р + 2, . п „ имеет бесконечное множество решении.
12 ж — р у = 8
Щ р = —6 [2] р = 3 [з] 0 [4] р = 6 [б] р — ±6
10. Уравнение х — 12 + единственный корень единственный корень ровно два корня
4J единственный корень
5] единственный корень
у/х имеет
е (1; 8)
£ (12; 24)
е [8; 12]
£ (-00; 1] (J [24; +оо)
х
х
X
X
59
Варианты вступительных экзаменов
11. Укажите первую цифру после запятой в десятичном числе, равном произведению всех различных значений параметра к, при которых уравнение ||ж — 3| — 1| + 1 = А:ж имеет ровно три различных корня.
010203 04 05
12. Сумма всех различных значений параметра Ь, при которых уравнение (Ь — 2)ж2 4- 6ж 4- 5 — 1 = 0 имеет единственный корень, равна
0102030405
13. Решите уравнение v6 • cosх = л/1 4- cosх.
0 + 2тгп 0 ± (тг — arccos 4- 2тгп; 4- 2лп
3 — \ 3/ 3
@1 2л I—। 2тг
± arccos - 4- 2лп; ±— 4- 2лп 14 ±— 4- 2тгп
3 з — 3
,n е z
14. Произведение всех различных корней уравнения
2 Ю
х — 6ж 4-1 4—2—с-о ~ 0 равно натуральному числу, остаток
X ~“ О Ж О
от деления которого на 5 равен
0102030400
15. Произведение всех ненулевых значений параметра к, при 2х — 3
которых графики функций у = -----— и у = кх тшекух ровно одну
х — 1
общую точку, равно
01 @2 03 04 05
16. Если Билл увеличит производительность своего труда на 20%, а Джек уменьшит на 20% по сравнению с планом, то они вместе выполнят всю работу за 3 дня. Если Билл уменьшит производительность на 30%, а Джек увеличит на 30% по сравнению с планом, то они выполнят работу за 4 дня. Отношение плановой
60
Вариант 2-с14
производительности Билла к плановой производительности Джека равно
Щ5;3 07:2 07:3 03:7 03:5
17. Укажите наименьшее значение параметра р, при котором уравнение 2 cos2 х 4- 3 cos х = р имеет хотя бы один корень.
g] —3 0 -1,5 0 -1,25 0 -1,125 0 -1,0625
18. Если знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами увеличить на 80%, не изменив первый член, то сумма прогрессии возрастет на 25%. Первоначальное значение знаменателя прогрессии равно
[Г]0,2 00,4 00,5 00,6 00,7
19. Функцию у = /(ж), график которой симметричен графику функции у = —20,2‘а: относительно прямой у = х, можно задать уравнением
0У = -|bg2a: 0у = ^log2(—ж) 0у = 51og2(-a:) О э
0У = -51og2T 0у = -|log2(-a:)
О
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у — ж2 — Зх — 4, проведенных через точки пересечения этой параболы с осью абсцисс, то
0O<S4 24 024<S4 28 028<S4 32 032<S^36
0 36 < S' < 999
21. Все решения неравенства агсзт(4ж — 2) arcsin(3 — 4ж) образуют промежуток, длина которого равна
61
Варианты вступительных экзаменов
22. Число А, равное значению выражения ------ — -----,
logi2 2 log24 2 принадлежит промежутку
0 А е (-999; 0] 0 А € (0; 1] 0 А е (1; 2] @ А е (2; 3]
0 А е (3; 999)
23. Наименьшее значение функции у — 4ж+1 + 21 2х равно Щ Зл/2 04 0 4л/2 @80 2л/2
24.
Все решения неравенства ж21°83 х
81 образуют промежу-
ток, длина которого, записанная в виде десятичной дроби, содер-
жит на первом месте после запятой цифру
03 09 06 08 07
25. Площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек,
координаты которых удовлетворяют условиям
f х + у 2,
< равна
(у \/4ж — ж21,
0 Зтг 02,5тг + 4 02тг + 1,5 @1,5тг + 2 0 2тг
26. Сумма вклада за третий год увеличилась на 48 руб., а за шестой год — на 162 руб. Какова была величина вклада в начале четвертого года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
0 196 0 168 0 144 @ 128 @ 192
27. В равнобедренном треугольнике АВС, АВ = ВС, проведена биссектриса AD угла ВАС, точка D лежит на ВС, длины отрезков АС — 5 и BD = 16. Величина периметра треугольника АВС выражается целым числом, сумма цифр которого равна @7 09 08 @12 010
28. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями координаты ж, для которых касательная к графику функции у = ж3 — 6ж2 + 9ж — 11, проведенная в точке (ж; у(ж)), горизонтальна.
@102030405
62
Вариант 2-с21
29. Пусть N — количество различных целочисленных значений {У = И,
4у + р — 4ж2, имеет ровно
|ж| 3
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
01 0203 @400
30. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 9log2 х 5”loga; 2 = 243, принадлежит промежутку
Щ (0; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 6) 0 [6; 999)
Вариант 2-с21
1. Укажите уравнение прямой, которая параллельна прямой у = —0,75ж + 1,25.
Щ Зх - 4у = 1,25 [2] Зж + 4у = 1,25 0 4ж - Зу = 1,25
0 4ж + Зу = 1,25 0 у = 1,25а: - 0,75
2. В мешок добавили 36 кг сахарного песка, в результате чего он стал тяжелее на 15%. Первоначальный вес мешка был равен 0 41, (6) кг |~2~| 360 кг [з~| 120 кг [0 300 кг [К] 240 кг
3. Сумма всех различных корней уравнения
ж3 — 13ж2 + 14ж = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
4. Укажите все значения параметра а, при которых все действительные числа из промежутка ж 6 [1; 2] являются решениями неравенства ж > а.
0 а G (1; +оо) 0 a G (—оо; 1) 0 a £ (2; +оо) 0 a £ (0; 1)
0 a £ (—оо; 2)
63
Варианты вступительных экзаменов
5. Если ап — арифметическая прогрессия, в которой а\ = 2 и аи — 52, то йб — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
6. Если х = 3 и у = 2, то значение выражения х3 4- у3 х3 — у3
~ + -5---« равно
х* — ху + у х£ + ху + ул
0604080200
7. Сумма всех различных корней уравнения
Л 1 2
cos 2х 4- - — cos х, расположенных на промежутке х G
7Г 37Г
2; Т
равна
0 б7Г 0 Зтг 0 7Г 0 2тг 0 47Г
8. Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х — 5\/х + 6 = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
9. Телевизор А, стоивший 103 тыс. руб., стал дороже на 3%, а телевизор В, стоивший 102 тыс. руб., стал дороже на 4%. После этого цена телевизора А
0 равна цене В 0 больше цены В на 1 руб.
0 больше цены В на 10 руб. 0 меньше цены В на 1 руб.
0 меньше цены В на 10 руб.
10. Если Билл проработает 4 дня, а Джек — 5 дней, то будет выполнено 37% работы. Если Билл проработает 5 дней, а Джек — 4 дня, то будет выполнено 45% работы. Какая доля работы будет выполнена, если Билл и Джек проработают совместно 9 дней? 0 88% 0 90% 0 79% 0 82% 0 80%
64
Вариант 2-с21
+ 2тгп;
11. Решите неравенство sin ж > - (в ответах п Е Z).
7Г 5% п \
- + 2тгп; — 4- 2тт I о о /
/7Г 11тг „ \
I - 4- 2тгп; 4- 2тт \б 6 /
4тг
— + 2тгп;
О
7Г 7Г
— + 2тгп: — + 2тгп
б б
12. Укажите множество всех значений параметра р, при кото-„ (рх + 27у ~ 30, ,
рых система уравнении 1 _|_ ру _ у j имеет бесконечно много
решений.
0р = 90р = ±9 0р = -9
0рб(-оо; — 9) (J (—9; 9) (J (9; +оо)
0 таких значений параметра не существует
13. Наибольшее значение параметра Ь, при котором уравнение
26 „
х 4---= 8 имеет единственный корень, равно натуральному чис-
х
лу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
14. Множество всех значений параметра Ь, при которых урав-
8
нение--------= о имеет хотя бы один корень, представляет про-
5 4-3 sin х
межуток, длина которого равна
03 08 05 02 04
15. Сумма квадратов всех различных значений параметра Ь,
5
при которых графики функций у — — иу = Ь- 2х имеют ровно х
одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
Bl @2 03 04 @0
65
Варианты вступительных экзаменов
16. Наименьшее значение функции 16® — 4ж+1 + 17 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
17. Укажите наибольшее значение параметра р, при котором уравнение sin2 х — 3 sin х = р имеет хотя бы один корень.
S 710 @5 04 0 0 у
18. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 7, сумма квадратов всех членов этой прогрессии также равна 7, то первая цифра после запятой в представлении знаменателя прогрессии в виде десятичной дроби равна 0103020705
19. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства 1о§2(6ж) ^6 и укажите остаток от деления полученного числа на 5. __________
01 02 03 04 @0
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе у = х2 — 5х + 6, проведенной через точку этой параболы с абсциссой х = 3, то
[Т] О < S 5,1 0 5,1 < S 7,1 0 7,1 < S 9,1
0 9,1 < S 12,5 0 12,5 < S < 999
4л
21. Решите уравнение 2 arccos ж + arcsmz = — О
22. Значение выражения 221og412+log>/2(2) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
66
Вариант 2-с21
23. Найдите площадь S фигуры, образованной всеми точками плоскости (ж; у), для которых — тг у V 16 — х1. Укажите оста-
S
ток от деления числа — на 5.
02 (3]3 @4 00
24. Найдите периметр прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 3, а длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна 1.
03+ /12 @ 3 + /15 0703 + /1403 + /18
16
25. Функция х2 4-на промежутке (0; +оо) принимает наи-
х
меньшее значение при
0 х = /2 @ х = 4 0 х = Л @ х = 2 0 х = /8
26. Если Билл повысит производительность труда на 60% по сравнению с плановой, а Джек понизит на 60% по сравнению с плановой, то их производительности сравняются и они вместе выполнят работу за 25 мин. Укажите плановое время совместного выполнения работы в минутах.
021 @18 @13,5 @20 016
27. Сколько имеется целочисленных значений параметра Ь, при которых окружность х2 + у2 = 7?2 радиуса R = 6 и парабола 2у = х2 — b имеют ровно четыре общих точки? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 @30400
28. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 200 у. е. Какова годовая процентная ставка, если за второй год хранения величина вклада возросла на 22 у. е., годовая процентная ставка не менялась, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу?
@ 10,5% [г] 10% 0 20% @ 11% 0 12,5%
67
Варианты вступительных экзаменов
29. Если xi и Х2 — наименьшее и наибольшее решения неравенства ю6 • х3, то значение величины lg(sci • Х2) равно
01 @2 03 04 05
30. Найдите значение параметра Ь, при котором уравнение ||т - 2| — 1| + 3 = 5 имеет ровно три различных корня. 0102030405
Вариант 2-с22
1. Укажите уравнение прямой, которая параллельна прямой 0,75г/ = х + 1,25.
Щ Зт - 4г/ = 1,25 0 Зт + 4г/ = 1,25 0 4т - Зг/ = 1,25
0 4т + Зг/ = 1,25 0 у = 1,25т + 0,75
2. В мешок добавили 15 кг сахарного песка, в результате чего он стал тяжелее на 30%. Первоначальный вес мешка был равен 0 200 кг 0 50 кг 0 125 кг 0 30 кг 0 500 кг
3. Сумма всех различных корней уравнения
т3 — 15т2 + 8т = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
4. Укажите все значения параметра а, при которых все действительные числа из промежутка т 6 [1; 2] являются решениями неравенства т < а.
0 а е (2; +оо) 0 а е (1; +оо) 0 а е (0; 1) 0 а е (-00; 1)
0 а Е (—оо; 2)
5. Если ап — арифметическая прогрессия, в которой aj = 3 и ат = 21, то 0,5 — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
68
Вариант 2-с22
6. Если ж = 2и?/ = 4, то значение выражения х3 + у3 у3 - х3
х2 — ху + у2 х2 + ху 4- у2 Равно
02 @4 06 08 [5]0
7. Сумма всех различных корней уравнения
cos 2т — - — sin2 х, расположенных на промежутке х 6 [тг; 2тг], равна 4
0^йу03.021@. л» О
8. Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х — 6\/х + 5 = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
9. Телевизор А, стоивший 10 300 руб., стал дороже на 3%, а телевизор В, стоивший 10400 руб., стал дороже на 2%. После этого цена телевизора А
0 больше цены В на 10 руб. 0 больше цены В на 1 руб.
0 равна цене В 0 меньше цены В на 10 руб.
0 меньше цены В на 1 руб.
10. Если Билл проработает 5 дней, а Джек — 4 дня, то будет выполнено 27% работы. Если Билл проработает 4 дня, а Джек — 5 дней, то будет выполнено 24% работы. Какая доля работы будет выполнена, если Билл и Джек проработают совместно 6 дней? 0 34% 0 32% 0 30% 0 36% 0 28%
11. Решите неравенство cos ж > (в ответах п 6 Z).
1/5тг Л \ г—1 / 4л „ л „ \
— + 2тгп; — + 2тгп) 2 + 2тгп; - + 2тгп)
\ 6 6 / —\ 3 3 /
1/7Г „ 11?Г Л \ г—1 / 7Г 7Г Л \
( т + 2тгп; ——I- 2тгп) 4 ( — — + 2тгп; — + 2тгп)
\ 6 6 ) —\ 3 3 /
0 + 2тгп; + 2тгп
69
Варианты вступительных экзаменов
12. Укажите множество всех значений параметра р, при кото-„ ( -Зж + ру = р - 3, рых система уравнении < _ не имеет решении.
[рж — 21 у = — 1о
0Р = 9 0р = ±9 0р = -9
0р е (-00; -9) (J (-9; 9) (J (9; +оо)
[б] таких значений параметра не существует
13. Наибольшее значение параметра Ь, при котором уравнение b
ж 4— = 14 имеет единственный корень, равно натуральному чис-ж
лу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
14. Множество всех значений параметра Ь, при которых урав-
36 нение --------= о имеет хотя бы один корень, представляет
11 — 7зшж
промежуток, длина которого равна
014 018 08 09 07
15. Сумма квадратов всех различных значений параметра 6, при которых графики функций у — — и у = 6 — 2ж имеют ровно ж
одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
16. Наименьшее значение функции 9® — 2 • Зх+1 + 21 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
17. Укажите наибольшее значение параметра р, при котором уравнение 3sin2 ж — 4 sin ж = р имеет хотя бы один корень. 050^040^07
70
Вариант 2-с22
18. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, сумма квадратов всех членов этой прогрессии также равна 4, то первая цифра после запятой в представлении знаменателя прогрессии в виде десятичной дроби равна 01 @6 07 00 03
19. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства log3(62;) ^3 и укажите остаток от деления полученного числа на 5.
01 02 030400
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе у = х2 — Их + 30, проведенной через точку этой параболы с абсциссой х — 5, то
0 0 < S 8,1 0 8,1 < S 10,1 0 10,1 < S 12,1
0 12,1 < S 16,5 0 16,5 < S < 999
21. Решите уравнение 2arccosx + 5 arcsin я; = —. л»
Ех = ®х = | ®х 6 {--у; 0а; = --у 0^ = -^
22. Значение выражения 32 log9 45+log'/a ( з ) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
23. Найдите площадь S фигуры, образованной всеми точками плоскости (ж; у), для которых — 1 у д/4 — ж2. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении числа S-0102030405
24. Найдите периметр прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 4, а длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна 1.
04 + У/2О 04 + ^30 04 + ^4 09 04 + ^32
71
Варианты вступительных экзаменов
О t
25. Функция хл Н---на промежутке (0; +оо) принимает наи
меньшее значение при
JT] ж = \/б 0 х = У12 0 х - у/з 0 х = 3 0ж = 6
26. Если Билл повысит производительность труда на 20% по сравнению с плановой, а Джек понизит на 20% по сравнению с плановой, то их производительности сравняются и они вместе выполнят работу за 200 мин. Укажите плановое время совместного выполнения работы в минутах.
0 192 0 196 0 198 0 184 0 172
27. Сколько имеется целочисленных значений параметра Ь, при которых окружность х2 4- у2 = R2 радиуса R = - и парабола А
2у = х2 — b имеют ровно четыре общих точки? Укажите остаток
от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
28. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 200 у. е. Какова годовая процентная ставка, если за второй год хранения величина вклада возросла на 78 у. е., годовая процентная ставка не менялась, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу?
0 39% 0 19,5% 0 30% 0 27% 0 13%
29. Если ху и Х2 — наименьшее и наибольшее решения неравенства ж1+1§(10 х) ЮО • х3, то значение величины lg(a?i • Т2) равно 0102 03 04 05
30. Найдите значение параметра Ь, при котором уравнение ||ж — 1| — 3| — 1 = Ь имеет ровно три различных корня.
01 а 2 а з н«0 5
72
Вариант 2-с23
Вариант 2-с23
1. Укажите уравнение прямой, которая параллельна прямой 0,75?/ = -х + 1,25.
0 Зж - iy = 1,25 0 3® + 4у = 1,25 0 4т - Зу = 1,25
0 4т + Зу = 1,25 0 у = 1,25т + 0,75
2. В мешок добавили 30 кг сахарного песка, в результате чего он стал тяжелее на 12%. Первоначальный вес мешка был равен 0 40 кг 0 120 кг 0 250 кг 0 30 кг 0 500 кг
3. Сумма всех различных корней уравнения
т3 — 12т2 + 8т = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
4. Укажите все значения параметра а, при которых все действительные числа из промежутка т 6 [1; 3] являются решениями неравенства т > а.
111 а € (1; +оо) 121 а, £ (1; 3) 131 a € (3; +00) 14 [ a £ (—00; 1)
0 a £ (—00; 3)
5. Если ап — арифметическая прогрессия, в которой ai = 4 и П12 = 37, то as — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
6.----Если т = 0,3 и у = 0,2, то значение выражения т2 - ху + у2 х2 + ху + у2 ------5 5--1----5---5 равно
Xй + уй хл — ул
7. Сумма всех различных корней уравнения
cos2т + sin2 т = -, расположенных на промежутке т £ [0; л], равна
73
Варианты вступительных экзаменов
8. Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х — 7\/х + 10 = О равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
9. Телевизор А, стоивший 10 200 руб., стал дороже на 2%, а телевизор В, стоивший 10 300 руб., стал дороже на 1%. После этого цена телевизора А
[Г] больше цены В на 1 руб. 0 больше цены В на 10 руб.
0 равна цене В 0 меньше цены В на 1 руб.
0 меньше цены В на 10 руб.
10. Если Билл проработает 6 дней, а Джек — 5 дней, то будет выполнено 37% работы. Если Билл проработает 5 дней, а Джек — 6 дней, то будет выполнено 40% работы. Какая доля работы будет выполнена, если Билл и Джек проработают совместно 9 дней? 0 64% 0 72% 0 71% 0 58% 0 63%
v3
11. Решите неравенство cost > —- (в ответах п Е Z).
тг Л 2тг п \
— + 2тгп; + 2тгп )
«5 Э /
4тг 7Г „ \
— — + 2тгп; — + 2тгп I о /
— + 2тгп; — + 2тгп о о
3| ( — — + 2тгп; — + 2тгп )
— \ 6 6 /
0/ 5тг 5тг „
(-----1- 2тгп; — + 2тгп
\ 6 6
12. Укажите множество всех значений параметра р, при кото-
„ ( рх + 8у = р, _
рых система уравнении < _ имеет бесконечно много ре-
I 2х -|“ ру — 21
шений.
0 р 6 (-оо; -4) [J (-4; 4) [J (4; +оо)
таких значений параметра не существует
74
Вариант 2-с23
13. Наибольшее значение параметра Ь, при котором уравнение 26
х — = 16 имеет единственный корень, равно натуральному чис-х
лу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 @4 00
14. Множество всех значений параметра 6, при которых урав-16
пение-----:--= о имеет хотя бы один корень, представляет про-
9 + 7sma;
межуток, длина которого равна
Й5 0 15 |3]8 07
15. Сумма квадратов всех различных значений параметра Ь,
2
при которых графики функций у = — и. у = b — 2х имеют ровно одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
16. Наименьшее значение функции 4х — 2х+2 + 15 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
17. Укажите наибольшее значение параметра р, при котором уравнение 3 sin2 х — 2 sin ж = р имеет хотя бы один корень.
0\/13 04 0у 05 0у
18. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 8, сумма квадратов всех членов этой прогрессии также равна 8, то первая цифра после запятой в представлении знаменателя прогрессии в виде десятичной дроби равна 0103 02 05 07
19. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства log2(5:r) ^6 и укажите остаток от деления полученного числа на 5.
0102 03 04 00
75
Варианты вступительных экзаменов
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе у — х2 — 9т + 20, проведенной через точку этой параболы с абсциссой х = 5, то
0 0 < S4 10,1 0 10,1 < S4 12,1 0 12,1 < S 14,1
0 14,1 < S 16,5 0 16,5 < S < 999
2тг
21. Решите уравнение 2 arccos ж + 3 arcsin х = —.
0а: = --у 0 х = 0 х = | 0 х = -1
22. Значение выражения 321og918+log'/5( 3 ) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
23. Найдите площадь S фигуры, образованной всеми точками плоскости (ж; у), для которых — 2 < у < -\/1 — я?2. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении числа S. 01 @2 03 04 05
24. Найдите периметр прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 6, а длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна 1.
0 6 + VbO 0 6 + \/42 0 15 06 + ^4806 + \/54
9 128 ,
25. Функция х -|----на промежутке (0; +оо) принимает Han-
fl;
меньшее значение при
0 л; = \/2 0 л; = 4 0 л; = \/8 0 л; = 8 0 л; = 2
26. Если Билл повысит производительность труда на 50% по сравнению с плановой, а Джек понизит на 50% по сравнению с
76
Вариант 2-с24
плановой, то их производительности сравняются и они вместе выполнят работу за 20 мин. Укажите плановое время совместного выполнения работы в минутах.
017,5 а 17 018 015 018,5
27. Сколько имеется целочисленных значений параметра Ь, при которых окружность т2 + у2 — R2 радиуса R = 3 и парабола 2у = х2 — Ь имеют ровно четыре общих точки? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
28. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 100 у. е. Какова годовая процентная ставка, если за второй год хранения величина вклада возросла на 56 у. е., годовая процентная ставка не менялась, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу?
[1] 56% 0 28% 0 27,5% 0 40% 0 156%
29. Если Xi и Х2 — наименьшее и наибольшее решения неравенства a?g(10 < 104 • х4, то значение величины lg(a;i • тг) равно
01 @2 03 04 05
30. Найдите значение параметра Ь, при котором уравнение ||т — 4| — 3| — 2 = b имеет ровно три различных корня.
01 02 03 04 05
Вариант 2-с24
1. Укажите уравнение прямой, которая параллельна прямой У = 0,75т + 1,25.
0 Зт - 4у = 1,25 0 Зж + 4у = 1,25 0 4т - Зу = 1,25
0 4т + Зу = 1,25 0 у = 1,25т + 0,75
2. В мешок добавили 12 кг сахарного песка, в результате чего он стал тяжелее на 30%. Первоначальный вес мешка был равен 0 120 кг 0 30 кг 0 250 кг 0 40 кг 0 500 кг
77
Варианты вступительных экзаменов
3. Сумма всех различных корней уравнения
х3 — 21т2 + 14л = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 [3] 3 04 00
4. Укажите все значения параметра а, при которых все действительные числа из промежутка х £ [—1; 1] являются решениями неравенства х < а.
0 а е (—1; 1) 0 а £ (—1; +оо) 0 а £ (—оо; 1)
0 а £ (—оо; —1) 0 а £ (1; +оо)
5. Если ап — арифметическая прогрессия, в которой а± = 2 и а13 — 38, то а$ — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
6. Если х = 2 и у = 3, то значение выражения
х3 +у3 у3 — х3
------у-----5------у равно
хл — ху + у хл + ху + у
06 04 08 02 00
7. Сумма всех различных корней уравнения
2 3 г
cos 2х + sin х = -, расположенных на промежутке х £ [0; 2 л],
равна
02л 0^ 03л 0^ 04л о о
8. Разность наибольшего и наименьшего корней уравнения х — 4у/х + 3 = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
78
Вариант 2-с24
9. Телевизор А, стоивший 10 300 руб., стал дороже на 1%, а телевизор В, стоивший 10 200 руб., стал дороже на 2%. После этого цена телевизора А
Щ равна цене В [2~| больше цены В на 10 руб.
[3] больше цены В на 1 руб. |~4~] меньше цены В на 10 руб.
JK] меньше цены В на 1 руб.
10. Если Билл проработает 3 дня, а Джек — 5 дней, то будет выполнено 36% работы. Если Билл проработает 5 дней, а Джек — 3 дня, то будет выполнено 43% работы. Какая доля работы будет выполнена, если Билл и Джек проработают совместно 8 дней?
|Т| 80% [2] 82% [з] 79% Щ 81% [б] 88%
11. Решите неравенство sin х > — - (в ответах п 6 Z).
]/7г „ 2л ~ \ г—I (к ~ 5л „ \
I — + 2лп; —+ 2лп1 |2| I — + 2лп; —+ 2лп)
\ <5 О / \ О О /
11л \
+ 2лп; ——I- 2лп I
6 /
[3~| + 2лп; ~ + 2лп)
0/ л 7л
+ 2лп; — + 2лп
12. Укажите множество всех значений параметра р, при ко-„ f — 2х +ру = р + 6, -
торых система уравнении < „ имеет бесконечное
[ рх — йу = р
множество решений.
|~4~| таких значений параметра не существует
13. Наибольшее значение параметра Ь, при котором уравнение b
х 4— = 12 имеет единственный корень, равно натуральному чис-х
лу, остаток от деления которого на 5 равен
а 2 а за 4® о
79
Варианты вступительных экзаменов
14. Множество всех значений параметра Ь, при которых урав-20
нение--------= о имеет хотя бы один корень, представляет про-
7 + 3 sin х
межуток, длина которого равна
05 03 08 07 04
15. Сумма квадратов всех различных значений параметра Ь, 3
при которых графики функций у = — и у = Ь — х имеют ровно х
одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
16. Наименьшее значение функции 81s — 2 • 32a:+1 + 24 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
17. Укажите наибольшее значение параметра р, при котором уравнение 2 sin2 х — 5 sin ж = р имеет хотя бы один корень.
[и 7 в ч/й а в и “ н
18. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 5, сумма квадратов всех членов этой прогрессии также равна 5, то первая цифра после запятой в представлении знаменателя прогрессии в виде десятичной дроби равна 07 03 06 05 02
19. Найдите наименьшее целочисленное решение неравенства log3(5rr) 4 и укажите остаток от деления полученного числа на 5.
01 02 03 04 00
20. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
80
Вариант 2-с24
У ~ х2 — 9х + 20, проведенной через точку этой параболы с абсциссой х = 4, то
Щ 0 < S 7,1 0 7,1 < S 9,1 0 9,1 < S < 11,1
0 П, 1 < S 16,5 0 16,5 < S < 999
4тг
21. Решите уравнение 2 arccos х + 3 arcsin х = —.
О
0х = = = 0X = ~
22. Значение выражения з21о§з6 равно натурально-
му числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 03 04 00
23. Найдите площадь S фигуры, образованной всеми точками плоскости (ж; у), для которых — Зтг у + \/36 — х2. Укажите
S остаток от деления числа — на 5.
7Г
0102 03 04 00
24. Найдите периметр прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 5, а длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна 2.
0 5 + а/45 0 5 + а/35 0 12 0 5 + а/48 0 5 + а/32
12
25. Функция х3 -|-на промежутке (0; +оо) принимает наи-
х
меньшее значение при
0т = 780ж = 30ж = 7б0х = 202; = 72
26. Если Билл повысит производительность труда на 40% по сравнению с плановой, а Джек понизит на 40% по сравнению с плановой, то их производительности сравняются и они вместе выполнят работу за 50 мин. Укажите плановое время совместного выполнения работы в минутах.
0 36 0 52 0 42 0 46 0 38
81
Варианты вступительных экзаменов
27. Сколько имеется целочисленных значений параметра Ъ, при которых окружность х2 + у2 ~ R2 радиуса R = 5 и парабола 2у = х2 — b имеют ровно четыре общих точки? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 [3]3 04 00
28. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 100 у. е. Какова годовая процентная ставка, если за второй год хранения величина вклада возросла на 24 у. е., годовая процентная ставка не менялась, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу?
0 20% 0 22% 0 22,5% 0 24% 0 10%
29. Если и Х2 — наименьшее и наибольшее решения неравенства .-r1+lg(0,1 1000 х2, то значение величины lg(o?i • ж2) равно
01 @2 03 04 05
30. Найдите значение параметра Ъ, при котором уравнение ||т — 4| — 2| + 1 = b имеет ровно три различных корня.
0102 03 04 05
Вариант 2-с31
1. Если точки Mi, М2, Мз на плоскости (т; у) с координатами (0; 0), (1; 2), (2t — 6; 3t — 7) лежат на одной прямой, то
0 t = 1 0i = 2 0Z = 3 0£ = 4 0i = 5
2. Сосна на 25% выше елки. Если каждое дерево подрастет на 18 м, то сосна будет на 10% выше елки. Первоначальная высота елки (в метрах) равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
ага 2 а за 4 0о
3.
3 _ х3
Сумма всех различных корней уравнения
36 4
~ + — = 0 равна натуральному числу, остаток от деле-xz х
ния которого на 5 равен
0102030400
82
Вариант 2-с31
4. Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, координаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств ?|т-1|^5, [ |т — 4| 8.
01 @2 @3 04 06
5. Если ап — арифметическая прогрессия, 02+05 + ^11 — 24, то значение выражения <27 + <25 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 go
6.---Если х = 9 и у = 4, то число, равное значению выражения х + у/ху + У х-у/ху + у ----- — -I---7=---в десятичном представлении содер-Ху/х - Уу/У Ху/х + Уу/у
жит на первом месте после запятой цифру 0302050801
7. Наименьший положительный корень уравнения cos 2а: — 4 cos х + 4 sin x расположен на промежутке 0 (о, j] 0 (j 7] а (7; 0 & -] 0 (я; 2.]
8. Один из корней уравнения х — 5 — у/х + 7 равен натуральному числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
0! 02 03 04 00
23
9. Если число — преобразовать в бесконечную периодиче-ОО
скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после запятой будет равна
0120601501709
10. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
точки которого являются решениями неравенства ----= tga; 1, равна
83
Варианты вступительных экзаменов
11. Найдите все значения параметра т, при которых система „ [ Зж + (т + 1)у — 3, -
уравнении < , ,. ' л имеет бесконечно много ре-
Цт — + 5у = т — 1
шений Укажите верное утверждение
1 существует ровно одно такое значение т, причем т < О существует ровно одно такое значение т, причем т > О таких значений т бесконечно много существует ровно два таких значения т таких значений т не существует
2
3
4
5
12. Все значения параметра а, при которых система уравнений ( ж2 + у2 = 16,
< _ _ _ имеет ровно два различных решения, образуют
[ у = (J, 75ж — а
множество
0 а € (—л/20; л/20) (-5; 5) 0 а е (—>/б; л/б)
0 a G (-10; 10) 0 а е (->/10, у/10)
Если гипербола у = —, 4х
13.
Ь 0, и прямая у = 6 — 4х имеют
единственную общую точку, то b — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
14. Наименьшее значение функции у = log3(a;2) + logj. 81 на промежутке ж € (1; +оо) лежит в пределах
11 | < J/min 4, 5 |~2~| 4, 5 < Утт 5 [ 3 | 5 < Ухпщ 5,5
05, 5 < Утт 6 0 6 < ут1П 999
15. Разность наибольшего и наименьшего значений функции у = 3sin2ж — 2vcos2ж равна
Щ102 03 04 05
Вариант 2-с31
16. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении наименьшего возможного значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, второй член которой относится к сумме всех членов как 6 : 25.
03 05 04 0 1 02
17. Сколько целых чисел не являются решениями неравенства log2(x2 - Юж + 17) > О?
0 ни одного или одно |~2~| два [3~] три 0 четыре
0 пять или больше пяти
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе у =
ж2 Т’
проведенной через точку этой параболы с абсциссой ж = 2, то
0 0 < S' 1 0 1 < S' 1,2 0 1,2 < S' 1,4 0 1,4 < S 1,6
0 1,6 < S < 999
19. Множество всех решений неравенства
/ • \ тг Л
arcsm(arcsin£) + — 0 является промежутком, длина которого
6
равна
0 sin(l) — sin(0,5) 0 1 + sin(0,5) 0 1,5 0 1 — sin(0,5)
0 sin(l) + sin(0,5)
20. Значение выражения (log2 27) • (log3 125) • (log5 4) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
21. Площадь фигуры |ж — 1| + |ж + 1| < у 4 равна
08 06 010 04 012
85
Варианты вступительных экзаменов
22. В треугольнике АВС известны длины сторон АС = 5, ВС — а/65 и угол ZA = arccos(—0,6). Найдите длину стороны АВ и укажите верное утверждение.
0AB е (0; 2,5] 0 АВ е (2,5; 3] 0 АВ е (3; 3,5]
0 АВ е (3,5; 4] 0 АВ е (4; 999)
23. Основания трапеции равны AD = 9 и ВС = 4. Боковые стороны трапеции отсекают от прямой, параллельной основанию, отрезок MN, длина которого равна 6. Найдите отношение площади трапеции AMND к площади трапеции MBCN.
02,4 02,25 02,5 02,75 02,69
24. Если П — произведение всех различных корней уравнения х2 — 8т + 11 = 6\/ж2 — 8т + 3, то П — натуральное число и остаток от деления числа П на 5 равен 01 02 03 04 00
25. Если значение параметра к таково, что уравнение х = кх5 + 6 имеет ровно два различных корня, то больший из корней равен
0 12,5 0 10 0 7,5 0 6 0 12
26. За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 11 домов. Если Билл повысит свою производительность на 25%, то за 12 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят они за 48 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 25%?
0 22 0 23 0 24 0 25 0 21
27. Найдите значение параметра Ь, при котором парабола у = 7х2 и линия у = 2 • л/b • |®| — 3 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от деления целой части значения b на 5. 0102030400
28. Три положительных числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее
86
Вариант 2-с32
из них увеличить в 2 раза, то они станут последовательными членами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку 0 g € (1; 4) 0 g € [4; 5) 0 g G [5; 6) 0 g € [6; 7)
0 q G [7; 999)
29. Множество всех решений неравенства
10 • 3 (log3 ж3 + ж1о§3 х представляет собой промежуток, длина которого равна
01 @2 04 06 08
30. Сколько различных корней имеет уравнение |ж • (3 — |ж )| = 3?
0три 0 четыре [3 корней нет 0 шесть 0 два
Вариант 2-с32
1. Если точки Mi, Мг, Мз на плоскости (ж; у) с координатами (0; 0), (1; 2), (3£ — 4; 5t — 6) лежат на одной прямой, то 0t = l 0f = 2 0t = 3 0t = 4 0« = 5
2. Сосна на 50% выше елки. Если каждое дерево подрастет на 6 м, то сосна будет на 30% выше елки. Первоначальная высота елки (в метрах) равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
3. Сумма всех различных корней уравнения
9 36 2
— — + — = 0 равна натуральному числу, остаток от дележа ж2 ж
ния которого на 5 равен
0102 03 04 00
87
Варианты вступительных экзаменов
4. Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, координаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств ? |ж — 2| >4, (|т — 4| 6.
01 02 03 04 @5
5. Если ап — арифметическая прогрессия, ai + а< + аю — 12, то значение выражения аз + а? равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 [03 04 00
6.---Если х — 9 и у = 4, то число, равное значению выражения х + \/ху + У х — у/ху + у -----7= —----в десятичном представлении содер-Ху/х - Уу/y Xyjx + Уу/у
жит на первом месте после запятой цифру
02 05 08 01 03
7. Наименьший положительный корень уравнения cos 2х = 3 cos х — 3 sin х расположен на промежутке 0/ Я] СП /ТГ 7Г1 I-1 /7Г 7Г1 г—I /тг 2тг1 ।—। /2тг „ 1
(°- ё] а з] ® (г d S (? Т1 ® (г 2’]
8. Один из корней уравнения х — 7 = уя?-р5 равен натуральному числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5. 0102030400
25
9. Если число — преобразовать в бесконечную периодиче-о <5
скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после
запятой будет равна
015 0!7 09 012 06
10. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
88
Вариант 2-с32
11. Найдите все значения параметра т, при которых система „ ( 2т + (т - 1)у = 3, уравнении < , ' . . „ имеет бесконечно много реше-
J ((m + 1)т + 4у = 2т г
ний. Укажите верное утверждение.
существует ровно одно такое значение т, причем т < О
2 существует ровно одно такое значение т, причем т > О таких значений т бесконечно много существует ровно два таких значения т таких значений т не существует
1
£
4
5
12. Все значения параметра а, при которых система уравнений ( х2 + у2 = 4,
1 _ п имеет ровно два различных решения, образуют
I у — 0} । иХ — CL
множество
0 а е (->/20; >/20) 0 а 6 (->/5; >/5) 0 а 6 (-2,5; 2,5)
0 a € (-5; 5) @а е (-У10; У10)
13. Если гипербола у = —, Ъ 0, и прямая у = 12 — 8т имеют 4т
единственную общую точку, то Ь — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен 0 1 02 03 04 00
14. Наименьшее значение функции у = log3(T2) + log^O на промежутке т 6 (1; +оо) лежит в пределах
111 —оо < t/min 4 121 4 < ymjn 4, 5 131 4,5 < ymjn 5
141 5 < i/niin 5,5 151 5,5 < ymjn 999
15. Разность наибольшего и наименьшего значений функции у = 2 cos2 т — 4V sin2 т равна
06 05 04 03 ®2
89
Варианты вступительных экзаменов
16. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении наименьшего возможного значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, второй член которой относится к сумме всех членов как 2 : 9
07 @3 ®5 01 @2
17. Сколько целых чисел не являются решениями неравенства log02(x2 — 9т -Ь 15) О?
|~1] ни одного или одно [2] два |~з] три [7] четыре
5 пять или больше пяти
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками ж2 осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе у — —, проведенной через точку этой параболы с абсциссой х = 6, то fl] 0 < S 15 [2] 15 < S 20 Гз] 20 < S 25 |7] 25 < S < 30
@ 30 < S < 999
19. Множество всех решений неравенства arcsin(arcsin.a:) ——
является промежутком, длина которого равна
[~1~| sin(l) — sm(0, 5) [2] 1 — sin(0,5) [7] sin(l) 4- sin(0,5)
g] l + sin(0,5) [5] 1,5
20. Значение выражения (log2 9) • (log3 121) • (logn 32) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 @3 04 @0
21. Площадь фигуры \х — 1| + \х -Ь 1| у 6 равна
[1] 16 [Л 14 @ 17 [Л 12 [5] 18
90
Вариант 2-с32
22. В треугольнике АВС известны длины сторон АС = 5, ВС = д/41 и угол ZA = arccos(—0, б). Найдите длину стороны АВ и укажите верное утверждение.
Щ АВ е (0, 1,5] 0 АВ е (1,5; 2] [з] АВ G (2; 2,5]
Щ АВ е (2,5; 3] @ АВ 6 (3; 999)
23. Основания трапеции равны AD = 5 и ВС = 2. Боковые стороны трапеции отсекают от прямой, параллельной основанию, отрезок MN, длина которого равна 3. Найдите отношение площади трапеции AMND к площади трапеции MBCN.
0 4,8 02,4 @3,6 @4,2 @3,2
24. Если П — произведение всех различных корней уравнения ж2 — Зж 4- 9 = 5\/ж2 — Зж 4- 3, то П — натуральное число и остаток от деления числа П на 5 равен 0102@3@4@О
25. Если значение параметра к таково, что уравнение ж = кх7 + 9 имеет ровно два различных корня, то больший из корней равен
0 12 0 14,5 @ 13,5 0 16 0 10, 5
26. За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 61 дом. Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 30 дней совместной работы они построят 66 домов. Сколько домов построят они за 30 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 20% ?
0 68 0 70 @ 76 @ 73 @ 72
27. Найдите значение параметра Ь, при котором парабола у = 4ж2 и линия у — 2 • Vb |ж| — 3 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от деления целой части значения b на 5.
01 @2 @3 @4 @0
28. Три положительных числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее
91
Варианты вступительных экзаменов
из них увеличить в 4 раза, то они станут последовательными членами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку Щде(1; 3) 6 [3; 6) 0</€[6; 8) 0 q 6 [8; 10)
0 q е [10; 999)
29. Множество всех решений неравенства
9.2(log2x) х4 + Tlog2a: представляет собой промежуток, длина которого равна
Щ1 02 04 08 06
30. Сколько различных корней имеет уравнение
|Ж • (2 - |ж|)| = 1?
[~1~| четыре 0 три 0 корней нет 0 шесть 0 два
Вариант 2-сЗЗ
1. Если точки Mi, М2, М3 на плоскости (ж; у) с координатами (0; 0), (1; 3), (3t — 5; 5t — 3) лежат на одной прямой, то 0t = 10t = 2 0t = 3 0t = 4 0t = 5
2. Сосна на 40% выше елки. Если каждое дерево подрастет на 11 м, то сосна будет на 30% выше елки. Первоначальная высота елки (в метрах) равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Щ1 02 03 04 00
3.
3 _ ж3
Сумма всех различных корней уравнения
48 4
—у + — = 0 равна натуральному числу, остаток от дележа ж
ния которого на 5 равен
01 02 03 04 00
92
Вариант 2-сЗЗ
4. Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, координаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств
Г [ж — 3| > 5,
[ — 4| 6.
02 04 05 03 01
5. Если ап — арифметическая прогрессия, аг + щ -Ь а$ = 18, то значение выражения а< + а$ равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 02 @3 04 00
6. Если х = 25
и у = 16, то число, равное значению выраже-
ния
х + у/ху + у Ху/Х-Уу/У
х — у/ху + у ху/х + уу/у'
в десятичном представлении со-
держит на первом месте после запятой цифру @2 @508 0103
7. Наименьший положительный корень уравнения cos 2х + 7 cos х — 7 sin х = 0 расположен на промежутке
8. Один из корней уравнения 8 — х = \Jx + 4 равен натуральному числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5. 0102030400
19
9. Если число — преобразовать в бесконечную периодиче-об
скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после запятой будет равна
0 6 0 12 @ 15 0 17 0 9
10. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
93
Варианты вступительных экзаменов
11. Найдите все значения параметра т, при которых система „ ( 2х 4- (1 - т)у = 2, уравнении < , имеет бесконечно много ре-
((1+ т)ж+ 4у = т + 1 н
шений. Укажите верное утверждение.
1 существует ровно одно такое значение т, причем т < О
2 существует ровно одно такое значение т, причем т > О
3 таких значений т бесконечно много
4 существует ровно два таких значения т
5 таких значений т не существует
12. Все значения параметра а, при которых система уравнений f х2 + у2 = 10,
< _ имеет ровно два различных решения, образуют
I у — оХ CL
множество
Щ а е (—/20; /20) 0 а Е (-5; 5) [з] a € (-/б; /5)
[Л а 6 (-10; 10) (—>/10; /10)
Если гипербола у — —, 4х
13.
b 0, и прямая у = 18 — 27ж имеют
единственную общую точку, то b — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен
[1] 1 [^] 2 [з] 3 Щ 4 [б] 0
14. Наименьшее значение функции у — log8(a;2) + Slog^ 2 на промежутке х Е (1; +оо) лежит в пределах
11 | —ОО < Упип ^1,5 | 2 | 1, 5 < ymin 2 | 3 | 2 < J/min 2,5
0 2,5 < Ушт 3 [б]3 < ymin 999
15. Разность наибольшего у = 2 cos2 х — у/sin2 х равна 05@3[3]4[4|1®2
и наименьшего значений функции
94
Вариант 2-сЗЗ
16. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении наименьшего возможного значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, второй член которой относится к сумме всех членов как 3 : 16.
0205010703
17. Сколько целых чисел не являются решениями неравенства logo,5 0 - 9т + 19) О?
0 ни одного или одно 0 два [з~| три 0 четыре
[К] пять или больше пяти
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками х2 Т’
проведенной через точку этой параболы с абсциссой х = 4, то 0O<S<505<5^707<5^9069<5^12
0 12 < S < 999
7Г
19. Множество всех решений неравенства arcsin(arcsinT) —
6 является промежутком, длина которого равна
0 sin(l) — sin(0,5) 0 1 — sin(0, 5) 0 1,5 [0 sin(l) + sin(0,5) 01 + sin(0, 5)
20. Значение выражения (log2 81) • (log3 25) • (log5 16) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе
21. Площадь фигуры |т — 2| + \х + 2] у 8 равна
0 32 0 28 0 20 0 24 0 30
95
Варианты вступительных экзаменов
22. В треугольнике АВС известны длины сторон АС = 5, ВС = \/52 и угол ZA = arccos(—О,6). Найдите длину стороны АВ и укажите верное утверждение.
0 АВ е (0; 2] [2] АВ е (2; 2,5] 0 АВ 6 (2,5; 3]
0 АВ е (3; 3,5] 0 АВ е (3,5; 999)
23. Основания трапеции равны AD = 9и ВС = 3. Боковые стороны трапеции отсекают от прямой, параллельной основанию, отрезок MN, длина которого равна 7. Найдите отношение площади трапеции AMND к площади трапеции MBCN.
0 0,8 00,9 0 1,1 01,15 0 1,(1)
24. Если П — произведение всех различных корней уравнения х2 — 4ж + 1 = 4\/ х2 — 4ж — 2, то П — натуральное число и остаток от деления числа П на 5 равен Щ102 03 04 00
25. Если значение параметра к таково, что уравнение х = кх3 -Ь 5 имеет ровно два различных корня, то больший из корней равен
07,5 05 05,5 08 012,5
26. За 60 дней совместной работы Билл и Джек строят 22 дома. Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 60 дней совместной работы они построят 24 дома. Сколько домов построят они за 25 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 20%?
0 11 0 12 0 14 0 10 0 15
27. Найдите значение параметра Ь, при котором парабола у = Зж2 и линия у = 2 y/b • |я?| — 5 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от деления целой части значения b на 5. 0102030400
28. Три положительных числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее
96
Вариант 2-с34
из них увеличить в 5 раз, то они станут последовательными членами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку gge(l; 3) @<7 е [3; 6) 0 q е [6; 8) 0 q & [8; 10)
@ q Е [Ю; 999)
29. Множество всех решений неравенства
5 • 2(log23:) х3 + ж1082* представляет собой промежуток, длина которого равна
0 1 0 2 0 4 0 8 0 6
30. Сколько различных корней имеет уравнение |т.(3-И)1 = 1?
[~1~| три 0 четыре 0 шесть 0 два 0 корней нет
Вариант 2-с34
1. Если точки Mi, М2, М3 на плоскости (ж; у) с координатами (0; 0), (1; 4), (34 — 7; 64 — 4) лежат на одной прямой, то 04 = 1 04 = 2 04 = 3 04 = 4 04 = 5
2. Сосна на 36% выше елки. Если каждое дерево подрастет на 8 м, то сосна будет на 20% выше елки. Первоначальная высота елки (в метрах) равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0! 02 03 04 00
3. Сумма всех различных корней уравнения
3 105 7
—о — —5- -Ь — = 0 равна натуральному числу, остаток от деле-
ж х1 х
ния которого на 5 равен
0102030400
97
Варианты вступительных экзаменов
4. Найдите наибольшую длину отрезка числовой оси, координаты всех точек которого удовлетворяют системе неравенств Пг-2| >5, (Js —4|^7.
0305040201
5. Если ап — арифметическая прогрессия, а% + а,у + ад = 21, то значение выражения а< + а% равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
6.---Если х = 16 и у — 9, то число, равное значению выражения х + у/ху + У х — у/ху + у ----- —------------, в десятичном представлении содер-ху/х~Уу/У Ху/х + уу/у
жит на первом месте после запятой цифру
Е» 01 @2 @9 @3
7. Наименьший положительный корень уравнения cos 2s — 2 cos х — 2 sin x = 0 расположен на промежутке а Я а (0 i] ® (0 Я а (в т] ® (т;2’]
8. Один из корней уравнения х — 2 = 2\Лг В 1 равен натуральному числу. Найдите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
17
9. Если число — преобразовать в бесконечную периодиче-скую десятичную дробь, то сумма первой и второй цифры после
запятой будет равна
0 6 0 12 0 15 0 17 0 9
10. Наибольшая возможная длина отрезка числовой оси, все
точки которого являются решениями неравенства 1 < tg х < х/З, равна
98
Вариант 2-с34
11. Найдите все значения параметра т, при которых система
„ ( Зх + (т — 1)у = т + 2, ,
уравнении < , имеет бесконечно много ре-
[ (т + 1)а? + 5у — 10
шений. Укажите верное утверждение.
1 существует ровно два таких значения т
2 таких значений т не существует
3
4
существует ровно одно такое значение т, причем т > О
таких значений т бесконечно много
5 существует ровно одно такое значение т, причем т < 0
12. Все значения параметра а, при которых система уравне-( х2 + у2 = 4,
нии < _ имеет ровно два различных решения, образуют
I у л/Х i- 0>
множество
Щ а е (-у/20-, ^20) [2] a G (-у^; у^) Щ a G (-10; 10)
Щ а е (-5; 5) [б] a G (-у/10; У^О)
Если гипербола у = —-, 4а?
13.
b ф 0, и прямая у = 10 — 4а? имеют
единственную общую точку, то b — натуральное число, остаток от
деления которого на 5 равен S1 @2 @3 04 @0
14. Наименьшее значение функции у ~ log5(a?2) + 21oga.125 на. промежутке х G (1; +оо) лежит в пределах
[Т] -оо < утт 6,5 [¥] 6, 5 < ymm 7 [з] 7 < ymin 7, 5
S 7,5 < ymm 8 [5] 8 < уЮ1П 999
15. Разность наибольшего и наименьшего значений функции у = sin2 х — 2\/cos2 а? равна 0104 @2 03 @5
16. Укажите первую цифру после запятой в десятичном представлении наименьшего возможного значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными
99
Варианты вступительных экзаменов
членами, второй член которой составляет 9% от суммы всех членов.
09 02 @5 03 @1
17. Сколько целых чисел не являются решениями неравенства log3(rc2 — 8а? + 16) О?
0 ни одного или одно 0 два [з] три 0 четыре
|~5~| пять или больше пяти
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к параболе у = а?2, проведенной черёз точку этой параболы с абсциссой х — 2, то 0 0 < 54 1,501,5<5^202<5^2,5 02,5 < 5 3 0 3 < S < 999
7Г
19. Множество всех решений неравенства arcsin(arcsin х) — является промежутком, длина которого равна 0 sin(l) + sin(0,5) 0 1 + sin(0,5) 0 sin(l) — sin(0,5) 0 1 - sin(0,5) 01,5
20. Значение выражения (log2 27) • (log3 49) • (log7 64) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
21. Площадь фигуры |а? — 1| + |а? + 1| у 10 равна
0 50 0 64 0 52 0 45 0 48
22. В треугольнике АВС известны длины сторон АС = 5, ВС = л/73 и угол ZA = arccos(—0,8). Найдите длину стороны АВ и укажите верное утверждение.
0 АВ е (0; 2] 0 АВ 6 (2; 2,5] 0 АВ 6 (2, 5; 3]
0 АВ 6 (3; 3,5] 0 АВ 6 (3,5; 999)
100
Вариант 2-с34
23. Основания трапеции равны AD = 7 и ВС = 4. Боковые стороны трапеции отсекают от прямой, параллельной основанию, отрезок MN, длина которого равна 6. Найдите отношение площади трапеции AMND к площади трапеции MBCN.
@ 0,9 @0,64 @ 0,65 @0,75 @0,8
24. Если П — произведение всех различных корней уравнения х2 — 4т + 8 = 5v х2 — 4т + 2, то П — натуральное число и остаток от деления числа П на 5 равен
@ 1 @2 @3 @4 ® 0
25. Если значение параметра к таково, что уравнение х = кх5 + 8 имеет ровно два различных корня, то больший из корней равен
® 12,5 @ 10 @ 8 @ 12 @ 7,5
26. За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 7 домов. Если Билл повысит свою производительность на 100%, то за 6 дней совместной работы они построят 5 домов. Сколько домов построят они за 12 дней совместной работы, если Билл еще раз повысит свою производительность на 100%?
® 18 @ 20 @ 16 @ 14 @ 15
27. Найдите значение параметра Ь, при котором парабола у = Зх2 и линия у = 2 • д/Ь • |т| — 3 имеют ровно две общих точки, и укажите остаток от деления целой части значения b на 5.
® 1 ® 2 @3 @4 @0
28. Три положительных числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если среднее из них увеличить в 3 раза, то они станут последовательными членами арифметической прогрессии. Число q, равное знаменателю исходной геометрической прогресиии, принадлежит промежутку @9 е (1; 5) [5; 6) @96 [6; 7) @ q 6 [7; 8)
@ q 6 [8; 999)
101
Варианты вступительных экзаменов
29. Множество всех решений неравенства
g . 2(1°82а:)
к
х 1о„ „
+ х 62 представляет собой промежуток, длина
которого равна 0102040806
30. Сколько различных корней имеет уравнение
|г • (4 — |т )| = 4?
0 три 0 четыре 0 корней нет
Вариант 3-с11
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой 12т + 8у = 48 и отрезками координатных осей, — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
2. Если 1 куб. м газа на 50% дороже 1 кг угля и дает тепла на 20% больше, то при переходе с угля на газ расходы на топливо при прочих равных условиях возрастут на
0 30% 0 100% 0 50% 0 25% 0 70%
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения /тгт\ \/2 cos — = —.
\ 12 7 2
0102 03 04 05
4. Укажите все положительные значения параметра Ь, при которых наименьшее значение функции у = т2 — 10Ьт + 29b2 больше
0| b € (1; -|-оо) 121 b € (2; 4-оо) 131 b € (3; +оо) 141 b G (4; +оо) 0be (5; +оо)
5. Значение выражения ^8 +/55 — 8 — л/б! равно 0 у/2 0\/8 006 0>/1О 02
102
Вариант 3-cll
6. Если Билл увеличит производительность труда на 80%, а Джек увеличит на 70% по сравнению с планом, то они вместе за 30 дней изготовят 1200 деталей. Если же Билл увеличит производительность на 100%, а Джек на 200% по сравнению с планом, то они вместе за 20 дней изготовят то же количество деталей. Сколько полных деталей Билл и Джек вместе изготовят за один день, работая с плановой производительностью? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 @0
7. Значение выражения (log3 32) • (log^ 125) • (log25 81) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
8. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 21, а произведение второго и четвертого членов той же прогрессии равно 48, то разность про
грессии равна
0^0^03 04 0У^
9. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-
2 / 1
рого являются решениями неравенства cos х -, равна
10. При каких значениях параметра а система уравнений
(а + 1)х 4- 2у = а -|- 4, Зт 4- (а — 4)у = 2а — 2
имеет бесконечное множество решений?
1_ 2 £
4
при одном значении а € (—оо; —2] при одном значении а Е (—2; 2) при одном значении а Е [2; 4-оо) при двух значениях а
5 таких значений а не существует
103
Варианты вступительных экзаменов
11 ы „ Г х2 + у2 — 3,
11. Вели система уравнении < _ имеет единствен-
I х + оу — у/р
ное решение, то значение параметра р равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 @0
12. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 2, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 5.
13. Сумма всех различных корней уравнения
бут2 — 12т + 5 = т2 — 12т+ 13 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
14. Укажите наибольшее значение параметра к, при котором уравнение ||т — 6| — 2| = А:т — 1 имеет ровно три различных корня.
15. Из города А в город Б (оба находятся на берегу реки) отправляются одновременно вниз по течению плот и пароход. Пароход совершил рейс по маршруту АБАБАБАБ (4 раза вниз и 3 раза вверх по реке) и прибыл в пункт Б одновременно с плотом, который плыл вместе с течением со скоростью 2 км/ч. Найдите скорость парохода в неподвижной воде (в км/ч).
0 16 0 12 0 13 0 14 0 15
16. Все решения неравенства 9® — 28 • 3® + 75 0 образуют
промежуток, длина которого L удовлетворяет условиям 0 L £ [0; 1,5) 0 L е [1, 5; 2) 0 L 6 [2; 2,5) 0 L 6 [2, 5; 3) 0 L 6 [3; 999)
104
Вариант 3-cll
17. Первая прямая касается графика функции у —-- в точ-
ке с абсциссой xi = 3. Другая прямая, параллельная первой, касается графика указанной функции в точке, абсцисса которой х^ — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 @0
18. Если число р равно наименьшему положительному корню уравнения зт(16т) 4- 2sin(19rc) + shi(22t) = 0, то значение выра-7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого Р
на 5 равен
0102 03 04 00
19. Стороны треугольника АВ = 3, ВС = 5 и АС = 6. Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно
20. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 6р + 1)т2 + 5т + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
21. Сумма всех различных целочисленных решений неравенства 5 — х у 6т — х2 — 5 равна
06 010 08 011 015
, 24
22. Укажите множество значений функции у = ——тт—;--
у 7з1п(2т) - 5
0 [-2; 12] 0 (-оо; -12] |J [2; +оо) 0 (-оо; 12] 0 [-2; +оо) 0 (-оо; -2] (J [12; +оо)
23. В начале 1977 г. Билл положил 1 млн. руб. в пустой сейф. В начале каждого последующего года он вынимает из сейфа т%
105
Варианты вступительных экзаменов
имеющихся там рублей. При каком значении т он вынет из сейфа в начале 1982 г. максимальную сумму (инфляция и девальвация не учитываются)?
050 05 020 01° 025
24. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
Л . | .XI
у = 2 sin arcsin — , Л
< I 21 имеет ровно два различных решения. Оста-
4у + р = 4а;2
ток от деления N на 5 равен
01 02 Из 04 @0
25. Наименьшее значение функции — log4 cos х — logcosa.
16 на
промежутке х 6
лежит в пределах
111 °° < Ушш ^2,5 12 [ 2, 5 < Ушщ 5% 3 [ 3 [ 3 < ymin 3,5
|4I 3,5 < Ушш 4 151 4 < УпнП 5? 999
26. Точка Р находится на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, ВР = 2 • АВ. Точка Q находится на продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С, CQ = 3 • ВС. Точка R находится на продолжении стороны АС треугольника АВС за точку A, AR = 4 • АС. Отношение площадей треугольников Spqr : Sabc равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
27. Найдите наименьшее натуральное число а, при котором 250
уравнение х -|—-= = а имеет по крайней мере один положительна;
ный корень, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
106
Вариант 3-с12
28. Вычислите площадь фигуры S на плоскости, образованной всеми точками, координаты которых (я; у) удовлетворяют системе неравенств \/з — ж2 у \/4 — т2.
073 + 10^4
л/1 — 25т2
29. Уравнение sin
= х V3 имеет ко-
2
рень, принадлежащий промежутку
0 х Е [0,3; 0,35) 0 х Е [0, 35; 999)
30. Если числа х и у выбраны так, что
(log3 у) • (13 log3 у — 5 2а:+1 + 2) + 2 • 4х + 5 = 2Х~1~1, то значение выражения х 4- у равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 @0
Вариант 3-с12
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой 7х + 21у — 42 и отрезками координатных осей, — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
2. Если 1 куб. м газа на 80% дороже 1 кг угля и дает тепла на 50% больше, то при переходе с угля на газ расходы на топливо при прочих равных условиях возрастут на
0 20% 0 30% 0 50% 0 120% 0 130%
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения ( тсх\ \/3 cos — = —-.
\12/ 2
0102030405
107
Варианты вступительных экзаменов
4. Укажите все положительные значения параметра б, при которых наименьшее значение функции у = ж2 — 2bx + 9Ь2 больше числа 32
0 b е (1, +оо) 0 b € (2, +оо) 0 b е (3, +оо) 0 Ь е (4; +оо)
0 Ь € (5, +оо)
5. Значение выражения у 9 + \/17 — у 9 — \/17 равно 0'/20V/80y/60v/iO02
6. Если Билл увеличит производительность труда на 60%, а Джек увеличит на 70% по сравнению с планом, то они вместе за 40 дней изготовят 396 деталей Если же Билл увеличит производительность на 170%, а Джек на 70% по сравнению с планом, то они вместе за 30 дней изготовят то же количество деталей Сколько полных деталей Билл и Джек вместе изготовят за один день, работая с плановой производительностью7 Укажите остаток от деления этого числа на 5
01 02 03 04®О
7. Значение выражения (log9256) (log \/1Т) • (log12i 81) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0 1 0 2 0 3 04 0°
8. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 17, а произведение второго и четвертого членов той же прогрессии равно 32, то разность прогрессии равна
0^03 0^040^
9. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-2 / 3
рого являются решениями неравенства cos х —, равна
108
Вариант 3-с12
10. При каких значениях параметра а система уравнений
Зх + (а + 5)у = а + 5, (а - 6)х — бу = 3 — а
имеет бесконечное множество решений?
£ 2
3
7 К
при одном значении а € (—оо; —2] при одном значении а € (—2; 2) при одном значении a G [2, +оо) при двух значениях а таких значений а не существует
11 т? - + у2 ~
11. Если система уравнении < имеет единствен-
[ х + by — у/р
ное решение, то значение параметра р равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 [5]0
12. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 2, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 8.
13. Сумма всех различных корней уравнения
7\/ х2 — 15х + 7 = х2 — 15х + 17 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 ЙЗ 04 ЙО
14. Укажите наибольшее значение параметра к, при котором уравнение ||х + 7| — 3| = кх + 1 имеет ровно три различных корня.
15. Из города А в город Б (оба находятся на берегу реки) отправляются одновременно вниз по течению плот и пароход. Пароход совершил рейс по маршруту АБАБАБАБАБАБАБАБ (8 раз вниз и 7 раз вверх по реке) и прибыл в пункт Б одновременно с
109
Варианты вступительных экзаменов
плотом, который плыл вместе с течением со скоростью 1 км/ч. Найдите скорость парохода в неподвижной воде (в км/ч).
016 012 013 014 й15
16. Все решения неравенства 9х — 13 • 3х + 30 О образуют промежуток, длина которого L удовлетворяет условиям 0 L е [0; 1,5) е [1,5; 2) 0 L е [2; 2,5) 0 L G [2, 5; 3) 0 L 6 [3, 999)
17.
Первая прямая касается графика функции у =
2
---—- в точ-х — 4
ке с абсциссой xi = 1. Другая прямая, параллельная первой, каса
ется графика указанной функции в точке, абсцисса которой а?2 — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
S1 02 03 04 0°
18. Если число р равно наименьшему положительному корню уравнения sin(llm) + 2sin(18a:) + sin(25a;) = 0, то значение выра-7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого Р
на 5 равен
0102030400
19. Стороны треугольника АВ = 4, ВС = 5 и АС = 6. Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно
® 16 ® 80 ® 16 ® 35 ® 40
20. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 5р + 2)ж2 + За; + 1 = О имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
21. Сумма всех различных целочисленных решений неравенства 7 — х у/8х — х2 — 7 равна 010 09 011 017 016
110
Вариант 3-с12
22. Укажите множество значений функции у =
5 sin(2a;) — 3
0 (-оо; -1] J [4; +оо) 0 [-1; 4] 0 (-оо; 4] 0 [-1; +оо)
0 (-оо; -4] (J [1; +оо)
23. В начале 1968 г. Билл положил 1 млн. руб. в пустой сейф. В начале каждого последующего года он вынимает из сейфа т% имеющихся там рублей. При каком значении т он вынет из сейфа в начале 1993 г. максимальную сумму (инфляция и девальвация не учитываются)?
0 4 0 20 0 5 0 10 0 25
24. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
е • I • Ж1
у = 5 sin arcsin — , „
< I 51 имеет ровно два различных решения. Оста-
41/ + р = 4х2
ток от деления N на 5 равен
0102 03 04 00
25. Наименьшее значение функции — log8(sin2 х) — 31ogsina.2
11 | °° < 3/min ^1,5 | 2 [ 1, 5 < l/min 2 | 3 | 2 < J/min 2, 5
0 2,5 < ymm 3 0 3 < Ую1П 999
26. Точка Р находится на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, ВР = 2 • АВ. Точка Q находится на продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С, CQ = 4 • ВС. Точка R находится на продолжении стороны АС треугольника АВС за точку А, АВ. = 4 • АС. Отношение площадей треугольников Spqr : Sabc равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
111
Варианты вступительных экзаменов
27. Найдите наименьшее натуральное число а, при котором 432
уравнение х Ч--= а имеет по крайней мере один положитель-
на:
ный корень, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
28. Вычислите площадь фигуры S на плоскости, образованной всеми точками, координаты которых (л; у) удовлетворяют системе неравенств \/12 — ж2 у И \/16 — х2.
03^+^ 03^~ 02^02^3 + ^ 04^-^ Z Z 0 0
arcsin] у/1 — 36ж2
29. Уравнение sin
= x • д/ - имеет ко-
2
рень, принадлежащий промежутку
30. Если числа х и у выбраны так, что
13(log3 у)2 - 2х (log3 у10) + log3 у2 = 2ж+1 - 2te+1 - 5, то значение выражения х у равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Вариант 3-с13
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой бж + 9у = 36 и отрезками координатных осей, — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 @0
2. Если 1 куб. м газа на 80% дороже 1 кг угля и дает тепла на 20% больше, то при переходе с угля на газ расходы на топливо при прочих равных условиях возрастут на
0 60% 0 40% 0 50% 0 100% 0 160%
112
Вариант 3-с13
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения
(тгт\ /3 —- = -----•
12/ 2
0102 03 04 05
4. Укажите все положительные значения параметра Ь, при которых наименьшее значение функции у = х2 — 4bx + 7Ь2 больше числа 12.
111 b € (1; +оо) 12 [ b € (2; +оо) 131 Ь € (3; -Ьоо) 141 b € (4; +оо)
0 Ь G (5; +оо)
5. Значение выражения у 8 + /39 — 0/2 0/8 0/6 0710 02
^/8 - /39 равно
6. Если Билл увеличит производительность труда на 30%, а Джек увеличит на 40% по сравнению с планом, то они вместе за 30 дней изготовят 936 деталей. Если же Билл увеличит производительность на 160%, а Джек на 60% по сравнению с планом, то они вместе за 20 дней изготовят то же количество деталей. Сколько полных деталей Билл и Джек вместе изготовят за один день, работая с плановой производительностью7 8 Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
7. Значение выражения (log2 27) • (log 49) • (log7 16) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
8. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 16, а произведение второго и четвертого членов той же прогрессии равно 19, то разность прогрессии равна
0 1 0 V2 0 0,5 •/3 0 6/5 0 0,5 • 72
113
Варианты вступительных экзаменов
9. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-2 / 1
рого являются решениями неравенства cos х -, равна
si ai0т0т
10. При каких значениях параметра а система уравнений Зж - (а 4-4)j/=-а - 1,
. \ „ имеет бесконечное множество решении !
(а - 6)ж + Зу = а - 3
1_ 2
Д 7
при одном значении а при одном значении а при одном значении а при двух значениях а
е (-оо; -2] е (-2; 2) € [2; +оо)
5 таких значений а не существует
„ „ ( х2 + у2 = 2,
11. Если система уравнении < _ имеет единствен-
ж 4* яу — \/Р
ное решение, то значение параметра р равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
12. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 3, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 11.
13. Сумма всех различных корней уравнения
— 13ж 4- 3 = ж2 — 13ж 4- 15 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
14. Укажите наибольшее значение параметра к, при котором уравнение ||ж - 5| — 4| = кх 4- 2 имеет ровно три различных корня.
114
Вариант 3-с13
15. Из города А в город Б (оба находятся на берегу реки) отправляются одновременно вниз по течению плот и пароход. Пароход совершил рейс по маршруту АБАБАБАБАБАБ (б раз вниз и 5 раз вверх по реке) и прибыл в пункт Б одновременно с плотом, который плыл вместе с течением со скоростью 2 км/ч. Найдите скорость парохода в неподвижной воде (в км/ч).
0 21 [г] 22 0 23 0 24 0 20
16. Все решения неравенства 9® — 33 • З1 + 90 0 образуют
промежуток, длина которого L удовлетворяет условиям 0 L е [0; 1,5) 0 L е [1,5; 2) 0 L G [2; 2,5) 0 L G [2,5; 3) 0 L е [3; 999)
4
17. Первая прямая касается графика функции у =----в точ-
х — 9
ке с абсциссой х± = 3. Другая прямая, параллельная первой, касается графика указанной функции в точке, абсцисса которой х% — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
18. Если число р равно наименьшему положительному корню уравнения sin(llx) + 2sin(15x) + sin(19x) = 0, то значение выра-7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого Р
на 5 равен
Щ102 03 04 00
19. Стороны треугольника АВ = 4, ВС = 5 и АС = 7. Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно
m Г7П 21 гтз 7 г—] 12 г—1 9
® 16 ® 80 ® 16 ® 35 ® 40
20. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 8р + 1)х2 + Зх + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
115
Варианты вступительных экзаменов
21. Сумма всех различных целочисленных решений неравенства \/8т — х2 — 7 + 1 х равна
0 22 0 25 0 11 0 17 0 23
33
22. Укажите множество значений функции у = ———г-----.
7sm(2z)-4
0Н; И] 0(-оо; -3] □ [11; +оо) 0 (-оо; 11] 0 [-3; +оо) [К] (—сю; -11] U [3; +оо)
23. В начале 1973 г. Билл положил 1 млн. руб. в пустой сейф. В начале каждого последующего года он вынимает из сейфа т% имеющихся тали рублей. При каком значении т он вынет из сейфа в начале 1998 г. максимальную сумму (инфляция и девальвация не учитываются)?
10 20 [г] 5 0 10 Щ 25 0 4
24. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
_ . | . х I
у — 3 sin arcsm — , „
I 31 имеет ровно два различных решения. Оста-4у + р = 4т2
ток от деления N на 5 равен
0102 03 04 00
25. Наименьшее значение функции —21og5(cosx) — logcosa.
625
на промежутке х €
лежит в пределах
111 °° < Утт 5% 4 | 2 [ 4 < ymin 4,5 | 3 | 4, 5 < Утт 5
14 [ 5 < у min ^5,5 [ 51 5,5 < ymin 999
26. Точка Р находится на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, ВР = 2 • АВ. Точка Q находится на продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С, CQ = 2 • ВС. Точка R находится на продолжении стороны АС треугольника
116
Вариант 3-С14
АВС за точку A, AR = 3 • АС. Отношение площадей треугольников Spqr : Sabc равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Е!@2[3]ЗЙ4[5]О
27. Найдите наименьшее натуральное число а, при котором 768
уравнение х + -77= = а имеет по крайней мере один положительна;
ный корень, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
28. Вычислите площадь фигуры S на плоскости, образованной всеми точками, координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе неравенств v9 — х2 у \/12 — х2.
а а з^+f н зтз - в зтз 4 ® зтз+
arcsin | л/1 — 81ж2 ]
29. Уравнение sin
= х v5 имеет ко-
2
рень, принадлежащий промежутку
Щ х е (0,15; 0,2] [5] X G (0,2; 999)
30. Если числа х и у выбраны так, что
(1оё2ж) • (2 • log2 X - 10 • 2У -ь 4) 4-13 • 4У ~ 7 • 2у+1 4-10 = О,
то значение выражения х 4- у равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Е1@2[3]ЗЙ4[5]О
Вариант 3-с14
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой 12ж 4- 18у = 144 и отрезками координатных осей, — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
117
Варианты вступительных экзаменов
2. Если 1 куб м газа на 75% дороже 1 кг угля и дает тепла на 25% больше, то при переходе с угля на газ расходы на топливо при прочих равных условиях возрастут на 0 50% 0 40% [з] 30% 0 100% 0 60%
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения / 7ГХ\ 1 sin — = -.
\ 12 / 2
01 02 03 04 05
4. Укажите все положительные значения параметра Ь, при которых наименьшее значение функции у = х2 — 8bx + 22b2 больше числа 54
111 b 6 (1; +оо) [ 2 [ b 6 (2, +оо) 13 [ b 6 (3, +оо) 141 b 6 (4; +оо)
0 b 6 (5, +оо)
5. Значение выражения у 7 + х/24 — у 7 — х/24 равно 0^0v/8 0a/6 0x^0 02
6. Если Билл увеличит производительность труда на 60%, а Джек увеличит на 70% по сравнению с планом, то они вместе за 40 дней изготовят 528 деталей. Если же Билл увеличит производительность на 170%, а Джек на 70% по сравнению с планом, то они вместе за 30 дней изготовят то же количество деталей. Сколько полных деталей Билл и Джек вместе изготовят за один день, работая с плановой производительностью? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
7. Значение выражения (log^y^ 81) • (log з/? 125) (log27 49) равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
8. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 11, а произведение второго и
118
Вариант 3-с14
четвертого членов той же прогрессии равно 59, то разность прогрессии равна
ЩУЗ @2 03 04 0^5
9. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото-. 2 1 рого являются решениями неравенства sm х -, равна
[J1ZL 0-
ш 3 ш 6 L-1 3 ш 2 *—1 4
2 з
К
10. При каких значениях параметра а система уравнений
(а + 2)х - Зу = а + 3, „
' , „ имеет бесконечное множество решении/
2х + (а - 5)у = 2 - 2а н
при одном значении а £ (—оо; —2]
при одном значении а £ (—2; 2)
при одном значении а £ [2; +оо)
при двух значениях а
таких значений а не существует
„ f х2 + у2 = 2,
11. Если система уравнении ~ \Jp имеет еДинствен"
ное решение, то значение параметра р равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
12. Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов прогрессии равна 3, а сумма квадратов всех членов этой прогрессии равна 12.
0 4 @4 вниЦ
13. Сумма всех различных корней уравнения
8\/х2 — 16ж + 3 = х2 — 16ж + 18 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
119
Варианты вступительных экзаменов
14. Укажите наибольшее значение параметра к, при котором уравнение ||® — 7| — 3| = fc® + 2 имеет ровно три различных корня. 0^ 0-| 0^ 0-|
15. Из города А в город Б (оба находятся на берегу реки) отправляются одновременно вниз по течению плот и пароход. Пароход совершил рейс по маршруту АБАБАБАБАБАБАБ (7 раз вниз и 6 раз вверх по реке) и прибыл в пункт Б одновременно с плотом, который плыл вместе с течением со скоростью 2 км/ч. Найдите скорость парохода в неподвижной воде (в км/ч).
[Т] 26 [2] 19 0 27 0 28 0 25
16. Все решения неравенства 4х — 21 • 2х + 68 О образуют промежуток, длина которого L удовлетворяет условиям 0 L G [0; 1,5) 0 L е [1, 5; 2) 0 L G [2; 2,5) 0 L G [2,5; 3) 0 L е [3; 999)
3
17. Первая прямая касается графика функции у =-в точ-
х — 5
ке с абсциссой xi = 2. Другая прямая, параллельная первой, касается графика указанной функции в точке, абсцисса которой ж2 — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
18. Если число р равно наименьшему положительному корню уравнения вт(8т) + 2sin(llT) + sin(14a;) = 0, то значение выраже-7Г
ния — равно натуральному числу, остаток от деления которого Р
на 5 равен
0102 03 04 00
19. Стороны треугольника АВ — 2, ВС — 5 и АС = 6. Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно
г—। 5 г—1 21 г—1 7 г-] 12 г—1 9
□1б®8о'—' 16 ® 35 ® 40
120
Вариант 3-с14
20. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 9р + 1)т2 + lx + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @304 00
21. Сумма всех различных целочисленных решений неравенства v 4т — ж2+ 5 — 1^2? равна
014 07 013 08 011
55
22. Укажите множество значений функции у = „ . . .-
8 sm(2a;) — 3
0 [-5; 11] 0 (-оо; И] 0 (-оо; -5] |J [11; +<ю) 0 [-5; +оо) 0 (-оо; -И] [5; +оо)
23. В начале 1976 г. Билл положил 1 млн. руб. в пустой сейф. В начале каждого последующего года он вынимает из сейфа т% имеющихся там рублей. При каком значении т он вынет из сейфа в начале 1996 г. максимальную сумму (инфляция и девальвация не учитываются)?
050 05 010 020 04
24. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
у = 4 sm arcsin — , _
I 41 имеет ровно два различных решения. Остапу + р = 4.x2
ток от деления N на 5 равен
0102 03 04 00
25. Наименьшее значение функции — log3(sin2 х) — logsina. 81 / 7Г \
на промежутке х £ 10; — I лежит в пределах ' и '
11 | —ОО < Утш 4, 5 [ 2 [ 4, 5 < ymin 5 | 3 I 5 < Утт 5,5
0 5,5 < Упип 6 0| 6 < ymin 999
121
Варианты вступительных экзаменов
26. Точка Р находится на продолжении стороны АВ треугольника АВС за точку В, ВР = 2 АВ. Точка Q находится на продолжении стороны ВС треугольника АВС за точку С, CQ = 3 • ВС. Точка R находится на продолжении стороны АС треугольника АВС за точку A, AR = 5 АС. Отношение площадей треугольников Spqr : Здвс равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
27. Найдите наименьшее натуральное число а, при котором 1024
уравнение х Ч--= а имеет по крайней мере один положитель-
\JX
ный корень, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
28. Вычислите площадь фигуры S на плоскости, образованной всеми точками, координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе неравенств д/1 — т2 у у/ 4 — х2.
29. Уравнение sin
\ /
рень, принадлежащий промежутку
0 х е [0; 0,05) 0 х G [0,05; 0,075) 0 х G [0,075; 0,1)
0 х е [0,1; 0,125) 0 х е [0,125; 999)
30. Если числа х и у выбраны так, что
(log2 т) • (2 • log2 х — 10 • Зу — 2) + 13 • 9У + 2 • Зу + 5 = 0, то значение выражения х + у равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
122
Вариант 3-с21
Вариант 3-с21
1. Абрикосы подешевели на 37,5%. Сколько килограммов абрикосов можно купить теперь на деньги, на которые прежде продавали 42 кг?
0 70 кг 0 64 кг 0 68 кг 0 67,2 кг [б] 72 кг
2. Множество значений функции у = 8 х — 5 на отрезке х £ [2; 4] представляет собой отрезок, длина которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 010203 04 00
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения / 7гх\
cos — cos — .
\ 6 J \ 6 )
01 08 09 04 05
4. Укажите значение выражения
[0 5 0—5 03 0-3 0 не существует
5. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции 4рх — х2 больше 36.
0 р е (3; 6) 0 р £ (6; +оо) 0 р £ (0; 6) 0 р £ (3; +оо)
0PG(O, 3)
6. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 16, а произведение второго и четвертого членов той же прогрессии равно 19, то разность прогрессии равна
[0 1 0 \/2 0 0,5 • \/3 0 6/5 0 0,5 V2
logi6o 2 • logi 2
7. Числовое значение выражения -----—-— равно
log160 2 + logi2 F
5
01 00,5 00,(3) 00,25 00,2
123
Варианты вступительных экзаменов
8. Все решения неравенства cos2
при-
надлежащие промежутку х 6 [—тг; тг], образуют промежуток, дли-
на которого равна
_1
£
4
б"
„ „ f тх + бу = 3,
9. Система < о „ не имеет решении при
( зтх + 2ту = т
одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4] одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4) одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо)
ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
10. Сколько имеется целых положительных значений парамет-„ ( т2 + у2 = 8,
ра р, при которых система уравнении < ? имеет ровно
четыре различных решения?
[1~| меньше четырех 0 четыре [з~| пять Щ шесть
[~5~| больше шести
11. Сумма всех различных корней уравнения
Юг/ж2 — 9т — 5 = т2 — 9т + 20 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
12. Если выбросить из бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами все члены с четными номерами, то сумма прогрессии уменьшится на 25%. Знаменатель прогрессии q удовлетворяет условию
09 е (0; 0,2] 0 q е (0,2; 0,3] 0 q G (0,3; 0,4]
09 е (0,4; 0,5] 0 g е (0,5; 1)
124
Вариант 3-с21
13. Сколько различных решений имеет система уравнений (у = ||® - 5| - 1| - 2, [ 2® + 5у = 0 ?
g] одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 ни одного
14. Сколько целых чисел являются решениями неравенства 6*~2 + б4"* < 37?
[Т| одно или ни одного [~2~] два |~3~| три 0 четыре
0 пять или больше пяти
10
15. К графику функции у =------ проведены две параллель-
х — 5
ные касательные, одна из которых проходит через точку графика функции с абсциссой ®о = 7. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика указанной функции.
0 -1 0 -5 0 5 0 -7 0 3
16. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(®) + sin(13®) + sin(25®) = 0, то значение выражения
7Г
X
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
01 @2 @3 04 00
17. Сумма вклада за второй год увеличилась на 54 руб., а за пятый год — на 128 руб. Какова была величина вклада в начале третьего года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
0 256 0 216 0 144 0 224 0 196
18. В треугольнике АВС известны длины сторон ВС = 13 и АС — 10, а также угол а = 60°, лежащий против стороны ВС. Пусть с — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение. 0О<с^12 012<с^13 013<с^14 014<с^15 0 15 < с 26
125
Варианты вступительных экзаменов
19. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 2)ж2 + 4х + р — 0 имеет единственный корень, равна
0102 03 04 05
20. Найдите наименьшее положительное значение параметра 6, 24
при котором уравнение--------= о имеет по крайней мере один
7 sin х + 1
корень.
01 @2 03 04 05
21. Наибольший (или единственный) корень уравнения у/5х — 5 — л/т + 3 = 2 принадлежит промежутку
0 (-оо; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 4) 0 [4; 7) 0 [7; +<ю)
22. Если производительность труда повысить на 40% и увеличить время работы на 3 ч против плана, то можно изготовить на 18 деталей больше плана. Если производительность труда повысить на 50% и увеличить время работы на 5 ч против плана, то можно изготовить на 27 деталей больше плана. Число деталей, изготавливаемых по плану, равно
0 24 0 25 0 27 0 28 0 32
23. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
f у = 2sin |arcsina;|, Л
< имеет ровно два различных решения. Оста-
ток от деления N на 5 равен
0102 03 04 00
24. Число М, равное наименьшему значению функции
10 — 8 sin2 х ( 7г\
у =----------- на промежутке х € 0; — I, удовлетворяет усло-
cos х \ 2 J
0 М G (-999; 6] 0 М € (6; 8] 0 М е (8; 10] 0 М G (10; 12] 0М е (12, 999)
126
Вариант 3-с21
25. В треугольнике АВС длины сторон АВ = 2, ВС = 6, АС = 7, проведены биссектрисы AN и ВМ, причем N € ВС и Мб АС. Найдите отношение площадей треугольников Sabc : Sbmn-
06:107:1 03:1 04:1 @5:1
26. Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором уравнение tg3 х + 243 ctg х = а имеет по крайней ме-
/ 7Г \
ре один корень х G ^0; —J, и укажите остаток от деления этого числа а на 5.
01 02 03 04 00
27. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (х; у) удовлетворяют системе нера-
kl + М 2, х2 + у2 4ж.
венств
0 2л - 2 0 л 0 2л 0 4л - 8 0 8 - л
arcsm
Ч _ А9_г2
1 100
2
28. Уравнение cos
= 2х имеет корень,
принадлежащий промежутку
0 т е [0; 0,2) 0 т G [0,2; 0,3) 0 ж G [0,3; 0,4)
0 т G [0,4; 0,5) 0т G [0,5; 999)
29. Укажите промежуток, которому принадлежит число X, равное сумме наибольшего положительного и наибольшего отри-дательного решений неравенства 2 • 8765 х 501.
0 [-999; 8) @ [8; 8,5) 0 [8,5; 9) 0 [9; 9,5) 0 [9,5; 999]
30. Города А и Б расположены на берегах реки. Из А в Б и одновременно из Б в А отправляются пароходы, скорость каждого в стоячей воде равна 21 км/ч. Достигнув второго города, каждый из них немедленно поворачивает обратно и возвращается в пункт
127
Варианты вступительных экзаменов
отправления через 18 ч после старта. Время между встречами пароходов на реке равно 13 ч. Скорость течения, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 [3|О
Вариант 3-с22
1. Абрикосы подешевели на 20%. Сколько килограммов абрикосов можно купить теперь на деньги, на которые прежде продавали 56 кг?
[1Г| 70 кг 0 64 кг [з~| 68 кг 0 72 кг [К] 67,2 кг
2. Множество значений функции у = 4т — 1 на отрезке х G [7, 10] представляет собой отрезок, длина которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 0102030400
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения . / тгх \ . /5тг \
8,П(112]+ЗШЫ=0-
02 010 014 03 022
4. Укажите значение выражения
л/(=5р+ V(=6?+
0 не существует 0 —9 0 18 0 —3 0 6
5. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции брх — х2 меньше 144.
0 р G (3; 4) 0 р G (4; +оо) 0 р € (0; 3) 0 р € (3; +оо)
0pG(O; 4)
6. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 21, а произведение второго и четвертого членов той же прогрессии равно 48, то разность прогрессии равна
0 Уб 0 У7 0 3 0 4 0 Уб
128
Вариант 3-с22
log63 3 • logi 3
7. Числовое значение выражения -----------—-— равно
log63 3 + logi 3 F
7
0 1 0 0,5 0 0, (3) 0 0,25 0 0,2
8. Все решения неравенства cos2
при-
надлежащие промежутку х € [—тг; тг], образуют промежуток, дли-
на которого равна
I —|— 3?/ — 3
9. Система < п ’не имеет решений при
I 2тх — ту = т
1 одном значении тп, расположенном на промежутке (—оо; —4] 2 одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4)
одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо) ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
Д 7
5
10. Сколько имеется целых положительных значений парамет-f ж2 + w2 = 18
ра р, при которых система уравнений S ’ имеет ровно
четыре различных решения?
0 меньше пяти 0 пять 0 шесть |~4~| семь [К] больше семи
11. Сумма всех различных корней уравнения
8\/ж2 — 8т — 7 = х2 — 8х + 9 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
Е 1 02 [3]3 04 00
12. Если выбросить из бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами все члены с четными номерами, то сумма прогрессии уменьшится на 20%. Знаменатель прогрессии q удовлетворяет условию
09 6 (0; 0,2] 0 q G (0, 2; 0,3] 0 q G (0, 3; 0,4]
0gG(O,4; 0,5] 0 q G (0, 5; 1)
129
Варианты вступительных экзаменов
13. Сколько различных решений имеет система уравнений ( у = Ц® — 6| — 1| — 4,
( 2х + Зу = 0 ?
0 четыре или больше четырех 0 три 0 одно |~4~| ни одного
0 Два
14. Сколько целых чисел являются решениями неравенства Зж + З3~ж 28?
0 одно или ни одного 0 два [~3~] три |~4~| четыре
0 пять или больше пяти
2
х — 3
15.
К графику функции у =
проведены две параллель-
ные касательные, одна из которых проходит через точку графика
функции с абсциссой xq = 2. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика указанной функции.
04 0-3 [3] 5 03 0-2
16. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(;r) + sin(lla:) 4- sin(21a:) — 0, то значение выражения
7Г
X
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
0102 03 04 00
17. Сумма вклада за второй год увеличилась на 108 руб., а за пятый год — на 256 руб. Какова была величина вклада в начале третьего года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
0 364 0 386 0 432 0 396 0 476
18. В остроугольном треугольнике АВС известны длины сторон ВС = 11 и АС — 8, а также угол а = 60°, лежащий против
130
Вариант 3-с22
стороны ВС. Пусть с — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0О<с^1О01О<с^11 0 11 < с 12 0 12 < с 13
0 13 < с 19
19. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 4)ж2 + 4ж + р + 3 = О имеет единственный корень, равна
01 @2 [з] 3 04 @5
20. Найдите наименьшее положительное значение параметра Ь,
40
при котором уравнение —----- = о имеет по крайней мере один
9 sm х I 1
корень.
0102030405
21. Наибольший (или единственный) корень уравнения \/'5х — 15 — у/х + 1 = 2 принадлежит промежутку
Щ (-оо; 1) g [1; 2) 0 [2; 4) 0 [4; 7) 0 [7; +оо)
22. Если производительность труда повысить на 10% и увеличить время работы на 3 ч против плана, то можно изготовить на 18 деталей больше плана. Если производительность труда повысить на 50% и увеличить время работы на 1 ч против плана, то можно изготовить на 30 деталей больше плана. Число деталей, изготавливаемых по плану, равно 0 32 0 56 0 48 0 36 0 42
23. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
у = 4 sin arcsin - , „
< I 41 имеет ровно два различных решения. Оста-
пу 4- р = 4т2
ток от деления N на 5 равен
[1] 10 2 03 04 00
131
Варианты вступительных экзаменов
24. Число М, равное наименьшему значению функции
34 — 32 sin2 х ( тг \
у =-------------на промежутке х € 0; — , удовлетворяет усло-
cos х \ 2 /
вию
0 М € (-999; 6] 0 М G (6; 8] 0 М G (8; 10] 0 М G (10; 12]
0М € (12; 999)
25. В треугольнике PQR длины сторон PQ = 6, QR = 3, PR — 8, проведены биссектрисы РМ и QN, причем М € QR и N G PR. Найдите отношение площадей треугольников Spqr : Sqnm-
06:107:103:104:105:1
26. Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором уравнение tg3 х + 768 ctg х = а имеет по крайней ме-
ре один корень х Е числа а на 5.
и укажите остаток от деления этого
01 02 03 04 @0
27. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе нера-
kl + |у| 4, т2 + у2 8т.
венств
0 16 - 2л 0 4л 0 8л - 8 0 32 - 4л 0 4л + 8
28. Уравнение cos
5т
= — имеет корень,
принадлежащий промежутку
0 т 6 [0; 0,2) 0т G [0,2; 0,3) 0 т G [0, 3; 0,4)
0т G [0,4; 0,5) 0т G [0,5; 999)
132
Вариант 3-с23
29. Укажите промежуток, которому принадлежит число X, равное сумме наибольшего положительного и наибольшего отрицательного решений неравенства 5х • 117 600.
0 [-999; 2) 0 [2; 2,5) 0 [2,5; 3) 0 [3; 3,5) 0 [3,5; 999]
30. Города А и Б расположены на берегах реки. Из А в Б и одновременно из Б в А отправляются пароходы, скорость каждого в стоячей воде равна 27 км/ч. Достигнув второго города, каждый из них немедленно поворачивает обратно и возвращается в пункт отправления через 162 ч после старта. Время между встречами пароходов на реке равно 97 ч. Скорость течения, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
Вариант 3-с23
1. Абрикосы подешевели на 25%. Сколько килограммов абрикосов можно купить теперь на деньги, на которые прежде продавали 54 кг?
0 70 кг 0 64 кг 0 72 кг 0 68 кг 0 67,2 кг
2. Множество значений функции у = 6ж — 5 на отрезке х G [7; 11] представляет собой отрезок, длина которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. S1 @2 03 04 00
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения (ттх \ . / 5тг
Т) =smvT
070809010011
4. Укажите значение выражения vW+^Fep+x/bs)1-
S-s 0 6 040—4 0не существует
133
Варианты вступительных экзаменов
5. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции 2рх — х2 больше 4.
0 р G (0; 2) 0 р G (2; +оо) 0 р G (0; 4) 0 р G (4; 4-оо)
0pG(2; 4)
6. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 11, а произведение второго и четвертого членов той же прогрессии равно 59, то разность прогрессии равна
0^0203040^5
log54 3 • logi 3
7. Числовое значение выражения --— равно
1О§54 3 + logi 3
2
0 1 00,5 00,(3) 00,25 00,2
ат* 2 ( • 2 (\ У
8. Все решения неравенства cos ( — ) sm I — I-—, при-
\ Ai J \ & J ы
надлежащие промежутку х € [—тг; тг], образуют промежуток, длина которого равна
£ Д д 5
„ „ ( тх + 2у = 2,
9. Система < „ „ не имеет решении при
( Зтх 4- ту = т + б
1 одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4] одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4) одном значении т, расположенном на промежутке [4; 4-оо) ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
10. Сколько имеется целых положительных значений парамет-„ ( х2 + у2 = 25,
ра р, при которых система уравнении । _ имеет ровно
четыре различных решения?
0 меньше четырех 0 четыре 0 пять 0 шесть
0 больше шести
134
Вариант 3-с23
11. Сумма всех различных корней уравнения
4д/ж2 — 12® + 5 = х2 — 12® + 9 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
[3102 03 04 @0
12. Если выбросить из бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами все члены с четными номерами, то сумма прогрессии уменьшится на 30%. Знаменатель прогрессии q удовлетворяет условию
09 € (0; 0,2] (0,2; 0,3] 0 q& (0,3; 0,4]
Щде (0,4; 0,5] Ulg е (0,5; 1)
13. Сколько различных решений имеет система уравнений Гу = ||®-7|-2|-3,
( 3® + Ьу = 0 ?
|Т| одно f2~| два |~3~] три [4~| четыре или больше четырех
[К] ни одного
14. Сколько целых чисел являются решениями неравенства 5Ж-1 4- 53-ж 26?
|Т] одно или ни одного |~2~| два |~3~] три |~4~| четыре
[К] пять или больше пяти
3
15. К графику функции у =------- проведены две параллель-
ные касательные, одна из которых проходит через точку графика функции с абсциссой ®о = 3. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика указанной функции.
16. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(®) + sin(9®) + sin(17®) = 0, то значение выражения
135
Варианты вступительных экзаменов
7Г
— равно натуральному числу, остаток от деления которого на
5
равен
0102030400
17. Сумма вклада за второй год увеличилась на 64 руб., а за пятый год — на 216 руб. Какова была величина вклада в начале третьего года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
0216 0144 0196 0168 0 192
18. В треугольнике АВС известны длины сторон ВС = 13 и АС = 6, а также угол а — 60°, лежащий против стороны ВС. Пусть с — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0 0 < с 14 0 14 < с 15 0 15 < с < 16 0 16 < с 17
0 17 < с 19
19. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 2)т2 + 4т+р+1 = 0 имеет единственный корень, равна
0102030405
20. Найдите наименьшее положительное значение параметра , 60
о, при котором уравнение ——---= о имеет по крайней мере
11 sin ж + 1
один корень.
06 02 03 04 05
21. Наибольший (или единственный) корень уравнения \/Зт + 3 4- т/2ж + 3 = 1 принадлежит промежутку
0 (-оо; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 4] 0 (4; 7] 0 (7; +оо)
22. Если производительность труда повысить на 30% и увеличить время работы на 4 ч против плана, то можно изготовить на 14 деталей больше плана. Если производительность труда повысить на 50% и увеличить время работы на 3 ч против плана, то
136
Вариант 3-с23
можно изготовить на 15 деталей больше плава. Число деталей, изготавливаемых по плану, равно
0 15 0 18 0 16 0 12 0 10
23. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
о-1 • х\
у = 2 sin arcsin — , ~
< I 2 I имеет ровно два различных решения. Оста-
41/ + р — 4ж2
ток от деления N на 5 равен
01 02 03 04 00
24. Число М, равное наименьшему значению функции 20- 18 cos2 х
у =------;-----на промежутке х G
sin ж
вию
0 М G (-999; 6] 0 М G (6; 8] 0 М G (8; 10] 0 М G (10; 12]
0 М G (12; 999)
удовлетворяет усло-
25. В треугольнике АВС длины сторон АВ — 3, ВС — 6, АС — 7, проведены биссектрисы АК и BL, причем К G ВС и L G АС. Найдите отношение площадей треугольников Sabc : Sblk-06:1 07:103:104:1 05:1
26. Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором уравнение tg2 х + 1024 ctg х = а имеет по крайней ме
ре один корень х G
и укажите остаток от деления этого
числа а на 5.
0102 03 04 00
27. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе нера
|®| + |у| 4, ж2 + у2 8х.
венств
0 2тг + 4 0 4л 0 4тг + 2 0 2л + 2 0 4л — 2
137
варианты вступительных экзаменов
/ arcsin Ml\
28. Уравнение cos I ----- = 2х имеет корень,
1^1
принадлежащий промежутку
0ж € [0; 0,2) [2] ж €[0,2; 0,3) 0 х € [0,3; 0,4)
0ж € [0,4; 0,5) 0 х € [0,5; 999)
29. Укажите промежуток, которому принадлежит число X, равное сумме наибольшего положительного и наибольшего отрицательного решений неравенства 4х • 174 260.
|Т] [-999; 4,5) 0 [4,5; 5) 0 [5; 5,5) 0 [5,5; 6) 0 [6; 999]
30. Города А и В расположены на берегах реки. Из А в В и одновременно из Б в А отправляются пароходы, скорость каждого в стоячей воде равна 14 км/ч. Достигнув второго города, каждый из них немедленно поворачивает обратно и возвращается в пункт отправления через 49 ч после старта. Время между встречами пароходов на реке равно 29 ч. Скорость течения, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 03 04 @0
Вариант 3-с24
1. Абрикосы подешевели на 25%. Сколько килограммов абрикосов можно купить теперь на деньги, на которые прежде продавали 72 кг?
0 108 кг 0 81 кг 0 112 кг 0 98 кг [К] 96 кг
2. Множество значений функции у — Зж — 4 на отрезке х € [4; 9] представляет собой отрезок, длина которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 0102 03 04 00
138
Вариант 3-с24
3. Укажите наименьший положительный корень уравнения . (тгаЛ . / 11тг sin\T ) “ Sy-iF
070809010011
4. Укажите значение выражения
vW+ \/09?+ Уйй1-
[Т| —19 [2~| — 5 [з| 5 |~4~| 1 |~б] не существует
5. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции 4рх — х2 меньше 36.
[1] р € (0; 6) [2] р & (6; +оо) [з] р € (0; 3) Щ р € (3; +оо)
0Р € (3; 6)
6. Если произведение первого и пятого членов возрастающей арифметической прогрессии равно 19, а произведение второго и четвертого членов той же прогрессии равно 31, то разность про
грессии равна
0^3@2[з|здУб @У5
log162 3 • logi 3
7. Числовое значение выражения ———-—-——- равно log162 3 + logi 3 F
2
S1 @°>5 S°,(3) H°>25 0°>2
8. Все решения неравенства cos
при-
надлежащие промежутку x € [—тг; тг], образуют промежуток, дли-
на которого равна
f тх + 2у = 3,
9. Система < „ не имеет решении при
I Зтх + ту — т
1 одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4]
2 одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4)
139
Варианты вступительных экзаменов
3 одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо)
4 ровно двух значениях параметра т
5 таких значений параметра т не существует
10. Сколько имеется целых положительных значений парамет-„ f х2 + у2 = 16,
ра р, при которых система уравнении < . . имеет ровно
(+ у| — р
четыре различных решения?
0 меньше трех 0 три [з~| четыре [4~| пять [К] больше пяти
11. Сумма всех различных корней уравнения
6-\/х2 — 16ж +5 = х2 — 16s + 14 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 @0
12. Если выбросить из бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами все члены с четными номерами, то сумма прогрессии уменьшится на 40%. Знаменатель прогрессии q удовлетворяет условию
0д€(О; 0,2] 0g G (0,2; 0,3] 0g €(0,3; 0,4]
0g G (0,4; 0,5] 0g G (0,5; 1)
13. Сколько различных решений имеет система уравнений (у = ||s— 4| - 1| - 2,
( 2х + 5у = 0 ?
0 одно 0 два [~3] три 0 четыре или больше четырех
0 ни одного
14. Сколько целых чисел являются решениями неравенства 3z-l + 35-х 82?
0 одно или ни одного 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
140
Вариант 3-с24
15. К графику функции у =---- проведены две параллель-
х — 4
ные касательные, одна из которых проходит через точку графика функции с абсциссой а?о = 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика указанной функции.
0-4 @0 07 04 0 -1
16. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(a?) + sin(15a?) + sin(29a?) = 0, то значение выражения
— равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
0102030400
17. Сумма вклада за второй год увеличилась на 48 руб., а за пятый год — на 162 руб. Какова была величина вклада в начале третьего года, если доход начисляется в конце каждого года хранения вклада и процентная ставка не менялась?
0 192 0 196 0 168 0 144 0 128
18. В треугольнике АВС известны длины сторон ВС = 11 и АС — 4, а также угол а = 60°, лежащий против стороны ВС. Пусть с — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0 0 < с < 11 0 11 < с < 12 0 12 < с < 13 0 13 < с 14
0 14 < с < 15
19. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 3)а?2 + 4а? + р + 2 = 0 имеет единственный корень, равна
0102030405
20. Найдите наименьшее положительное значение параметра Ъ, 24 к
при котором уравнение --= о имеет по крайней мере один
7 sin х + 1
корень.
0102030405
141
Варианты вступительных экзаменов
21. Наибольший (или единственный) корень уравнения %/За? — 5 + у/х — 2 = 3 принадлежит промежутку
0 (-оо; 2) 0 [2; 4) 0 [4; 6) 0 [б; 9) 0 [9; +оо)
22. Если производительность труда повысить на 20% и увеличить время работы на 1 ч против плана, то можно изготовить на 18 деталей больше плана. Если производительность труда повысить на 30% и увеличить время работы на 2 ч против плана, то можно изготовить на 31 деталь больше плана. Число деталей, изготавливаемых по плану, равно 0 64 0 60 0 72 0 56 0 81
23. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых система уравнений
„ . I . XI
у = 3 sm arcsm — , _
< I 31 имеет ровно два различных решения. Оста-
4у + р = 4ж2
ток от деления на 5 равен
0102 03 04 00
24. Число М, равное наименьшему значению функции
10 — 9 sin2 х ( тг \
у =---------- на промежутке х G (0; — ), удовлетворяет усло-
cos х \ 2)
вию
0 М € (-999; 6] 0 М G (6; 8] 0 М € (8; 10] 0 М € (10; 12] 0 М е (12; 999)
25. В треугольнике PQR длины сторон PQ = 3, QR = 6, PR — 5, проведены биссектрисы PL и QK, причем L € QR и Kg PR. Найдите отношение площадей треугольников Spqr . Sqkl-
06:107:103:104:105:1
142
Вариант 3-с24
26. Найдите наименьшее натуральное значение параметра а, при котором уравнение tg2 х + 54ctga? = а имеет по крайней ме-
ре один корень х G числа а на 5.
и укажите остаток от деления этого
0102030400
27. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе нера-( |я?| + |у| < 2, венств < , _
[ х* + у 2а?.
[1]0,57г + 2 @7Г [з]0,57г + 1 Щтг + 1 [б]4-0,57г
/ arcsin I w 1 — jga;
28. Уравнение cos I --------—-------
= имеет корень,
принадлежащий промежутку
[Т] х Е [0; 0,2) @ х Е [0,2; 0,3) Щ х Е [0,3; 0,4)
Щ X Е [0,4; 0,5) [б] х Е [0,5; 999)
29. Укажите промежуток, которому принадлежит число X, равное сумме наибольшего положительного и наибольшего отрицательного решений неравенства 3х • 2003 ~х ^79.
[1] [-999; 3,5) g [3,5; 4) Щ [4; 4,5) Щ [4,5; 5) [б] [5; 999]
30. Города А и Б расположены на берегах реки. Из А в Б и одновременно из Б в А отправляются пароходы, скорость каждого в стоячей воде равна 14 км/ч. Достигнув второго города, каждый из них немедленно поворачивает обратно и возвращается в пункт отправления через 98 ч после старта. Время между встречами пароходов на реке равно 65 ч. Скорость течения, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
143
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 3-с31
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой тх + у = 18 и отрезками координатных осей, равна 81 при положительном значении параметра т, равном
01 @2 03 04 05
2. Расход на аренду помещения составляет 90% общих расходов фирмы. Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в 6 раз при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход на аренду помещения составит от общих расходов фирмы 0 15% 0 84% 0 24% 0 60% 0 64%
3. Найдите сумму двух наименьших положительных корней (7гж\ . (13л \
— + sin —= 0.
6 / \ 6 )
018 06 0 12 09 0 15
4. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции 2рх — х2 больше 4.
0 р Е (0; 2) 0 р Е (2; +оо) 0 р Е (0; 4) 0 р Е (4; +оо)
0р€(2; 4)
1 о 1
5. Если х -|— = 5, то значение выражения х 4—j принадле-х хл
жит промежутку
0 (0; 96] 0 (96; 100] 0 (100; 110] 0 (110; 125] 0 (125; 999)
6. Если Билл повысит свою производительность труда на 20%, а Джек повысит свою производительность труда на 110% против плана, то время совместного выполнения работы уменьшится на 20%. Плановая производительность труда Билла относится к плановой производительности Джека как
0 16 . 1 0 17 : 1 0 12 : 1 0 11 : 1 0 10 : 1
7.
Если А =
log9 8 + log3 32
log9 7 + log3 49
• log2 49, то
0 A 1 0 A E (1; 2] 0 A E (2; 3] 0 A E (3; 4] 0 A > 4
144
Вариант 3-с31
8. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-26
сии равна —, произведение третьего и четвертого членов равно О
65
3 ’
Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи
разности прогрессии.
06 @20503 07
9. Пусть a?i и Х2 — различные корни уравнения
х2 — 67ж + 1 = 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального
Х1 х2
числа, равного значению выражения--1--.
Х2 Xi
01 02 @3 04 00
10. Сколько целых чисел х g [0; 6] являются решениями нера-
sin(7ra;/3) венства ——--------—-
sin(7ra?/6)
> 1 ?
Tj одно или ни одного 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
.. гл J тх + бу = 3, 11. Система < _ имеет
[ Зтх + 2ту = т при
1 одном значении т, расположенном на
2 одном значении т, расположенном на
3 одном значении т, расположенном на
больше одного решения
промежутке (—оо; —4] промежутке (—4; 4) промежутке [4; +оо)
4 таких значений параметра т не существует
5 ровно двух значениях параметра т
12. Сколько имеется целых положительных значений парамет-х2 + У2 — 25,
ра р, при которых система уравнений < х + У _ имеет ровно . Р
два различных решения?
0 меньше четырех 0 четыре 0
0 больше шести
145
Варианты вступительных экзаменов
13. Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 48, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 4, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0 q G (0; 0,3] 0 q € (0,3; 0,4] 0 q € (0,4; 0, 5]
0^(0,5; 0,7] 0 q Е (0,7; 1)
14. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \/х1 — 172ж + 173 = у/х2 — 172ж + 125 + 2, то 0Л^1 0Аб(1; 2] 0 A G (2; 3] 0 А € (3; 4] 0 А >4
15. Множество всех значений параметра р, при которых урав-4|ж| — 15
нение -г----= р имеет не более одного корня, представляет со-
р| -з
бой промежуток числовой оси, длина которого равна 0102 03 04 05
16. Города А и Б расположены на берегу реки со скоростью течения 2 км/ч. Пароход проходит маршрут АБА за 28 ч. Если скорость парохода в неподвижной воде увеличить в 3 раза, то маршрут АБА займет 9 ч. Первоначальная скорость парохода в неподвижной воде, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 @ 2 И 3 0 4 @ 0
17. Число, равное разности наибольшего и наименьшего решений неравенства 49х — 10 21х + 21 • 9х 0, принадлежит промежутку
0 (-99; 1] 0(1; 1,5] 0(1,5; 2] 0(2; 2,5] 0(2,5; 99)
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функции у = х3, проведенной через точку этого графика с абсциссой х = 3, то
0O<5^3O03O<S^35 035<5^4O04O<5^5O
0 50 < S < 9999
146
Вариант 3-с31
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(16a?) + sin(18a?) = sin(20a?) + sin(22a:), то значе-
7Г
ние выражения — равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
01 @2 03 0400
20. В треугольнике АВС длина стороны АВ = 8, углы л 2 2
ZA = arctg-, ZB = arctg-. Площадь треугольника АВС равна 5 3
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 а 2 а з а 4 щ о
21. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 8)ж2 + (2р — 4)ж + р — 5 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 00
22. Множество значений функции у = 5 sin2 х + б sin ж представляет собой промежуток, длина которого равна
ШЦ @ 12| 0п| 012^ 013
23. В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, который начисляет 0,4% каждые 4 месяца, а Вася положил 1 млн. руб. в банк Б, который начисляет 0,6% каждые б месяцев. Проценты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте. В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите ближайшее к точному значению целое число рублей)
0 24 0 9 0 6 0 18 0 12
24. Сколько имеется различных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение 196 • sin ^arcsin ~
имеет единственный корень?
0 54 или меньше 0 55 0 56 0 57 0 58 или больше
147
варианты вступительных экзаменов
мере один корень на промежутке х €
25. Найдите количество различных целочисленных значений 2 16
параметра р, при которых уравнение х Н-= р имеет по крайней
х
Г-; 41.
4
|~1~| 52 или меньше |~2~| 53 [3~] 54 Щ 55 [К] 56 или больше
26. В треугольнике АВС длины сторон АВ = 4, ВС = 2, АС = 3, проведены биссектрисы АР, BQ, CR, причем Р € ВС, Q € AC, R € АВ. В каком отношении делит биссектриса CR отрезок PQ (считая от точки Р)?
[Т] 8 : 9 [^] 4 : 5 [з] 5 : 6 Щ 6 : 7 [б] 2 : 3
27. Площадь фигуры на плоскости (х; у), определяемой систе-Г х2 + у2 4,
мой неравенств । д.2 _|_ 2 < Равна
а - 2,/з а s в +2л/з а
— 3 з з — з — 3
(1 2\
-arccos — ) = \ — имеет корень, принадле-
2 х J у х
жащий промежутку
0 х е [2, 7) [2] х € [7; 13) [з] х € [13; 16) Щ X G [16; 19)
[б] х е [19; 999)
29. Число S, равное сумме всех различных корней уравнения 3(61) • 85(6-а:) = 28356, удовлетворяет условиям
Щ S е (-999; 0) [2] S е [0; 1) [з] S е [1; 2) Щ S G [2; 3)
[б] S е [3; 999)
148
Вариант 3-с32
30. Функция у =------------ на промежутке х € ( 0; — )
cos х \ 2 J
принимает свое наименьшее значение в точке х, которая принадлежит промежутку
0 х е (°; j] 0 х е (|; 0 х е 1] 0 х е (i; |]
0/ 5 7Г\
х s (г 2)
Вариант 3-с32
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой х + ру = 12 и отрезками координатных осей, равна 24 при положительном значении параметра р, равном
0 1 @2 03 04 05
2. Расход на аренду помещения составляет 25% общих расходов фирмы. Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в 8 раз при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход на аренду помещения составит от общих расходов фирмы 0 5% 0 3,125% 0 12% Щ 6% 0 4%
3. Найдите сумму двух наименьших положительных корней (7гх\
— + cos I — = 0.
6 J \ 3 j
0 6 0 18 0 9 0 12 0 15
4. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции брх — х2 меньше 144. 0ре(3; 4) 0р € (4; +оо) 0р € (0; 3) 0р€(3; +оо)
0р€(О; 4)
1 з 1
5. Если х Н— = 4, то значение выражения х Н—=• принадле-х хл
жит промежутку
0 (0; 50] 0 (50; 54] 0 (54; 60] 0 (60; 63] 0 (64; 999)
149
Варианты вступительных экзаменов
6. Если Билл повысит свою производительность труда на 70%, а Джек повысит свою производительность труда на 20% против плана, то время совместного выполнения работы уменьшится на 40%. Плановая производительность труда Билла относится к плановой производительности Джека как
|Т] 8 : 1 0 16 : 1 0 12 : 1 0 14 : 1 0 10 : 1
7.
Если А =
log25 3 + log5 3
log25 8 + log5 2
bg3 2, то
0^1 [2] Л e (1; 2] ®4e(2; 3] 04e(3; 4] 04
> 4
8. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
6 21
сии равна -, произведение третьего и четвертого членов равно —.
5 25
Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи разно
сти прогрессии.
06 @2 08 07 04
9. Пусть Xi и х2 — различные корни уравнения
х2 — 89т + 1 = 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального,
®1 х2
числа, равного значению выражения-1-.
х2 Х1
0102030400
10. Сколько целых чисел х € [0; 6] являются решениями нера-
8т(тгт/3) венства---------—
Sin(7TT/6)
+ 1^0?
0 одно или ни одного |~2~| два |~3~] три 0 четыре
|~5~| пять или больше пяти
| ттьзс 3?/ — 3
11. Система < „ ’ имеет больше одного решения
I 2тх — ту = т
при
1 одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4)
2 одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4]
3 одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо)
150
Вариант 3-с32
4| ровно двух значениях параметра т
5 таких значений параметра т не существует
12. Сколько имеется целых положительных значений парамет-( х2 + у2 — 18,
ра р, при которых система уравнений < % + У _ имеет ровно I Р
два различных решения?
[1~| меньше пяти |~2~| пять |~3~| шесть [4] семь [К] больше семи
13. Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 45, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 6, то значение знаменателя q удовлетворяет условию {Т]д е (0; 0,3] 0 де (0,3; 0,4] 0 q G (0,4; 0,5] 0 де (0,5; 0,7] [б] де (0,7; 1)
14. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \Лг2 — 83ж + 124 = \/ х2 — 83т + 52 + 4, то
|Т] А 1 0 А е (1; 2] 0 А е (2; 3] 0 А е (3; 4] 0 А > 4
15. Множество всех значений параметра р, при которых урав-4|ж1 _ 24
нение ——-----= р имеет не более одного корня представляет со-
— 4
бой промежуток числовой оси, длина которого равна 01 @2 03 04 05
16. Города А и В расположены на берегу реки со скоростью течения 3 км/ч. Пароход проходит маршрут АБА за 51 ч. Если скорость парохода в неподвижной воде увеличить в 5 раз, то маршрут АБА займет 10 ч. Первоначальная скорость парохода в неподвижной воде, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
(2 1 [2] 2 [з] 3 0 4 @ 0
151 >
Варианты вступительных экзаменов
17. Число, равное разности наибольшего и наименьшего решений неравенства 49z — 12 • 35х + 35 25® 0, принадлежит проме-
жутку
0 (-99; 0,5] 0 (0,5; 1] 0 (1; 1,5] 0(1,5; 2] 0(2; 99)
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функции у = 24л4, проведенной через точку этого графика с абсциссой х = 1, то
0О<5^3О03О<5^35 0 35 < S 40 0 40 < S 50
0 50 < S < 9999
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(14s) + sin(20x) = sin(19x) + sin(25x), то значе-7Г
ние выражения — равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102030400
20. В треугольнике АВС длина стороны АВ = 22, углы 3 1
ZA — arctg-, ZB = arctg -. Площадь треугольника АВС равна 2 3
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
21. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 5)х2 + (2р — 4) л + р — 8 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
22. Множество значений функции у — 9 sin2 х + 4 sin ж представляет собой промежуток, длина которого равна
01з1 01310131 @1з|
152
Вариант 3-с32
23. В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, который начисляет 0,3% каждые б месяцев, а Вася положил 1 млн. руб. в банк В, который начисляет 0,2% каждые 4 месяца. Проценты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте. В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите ближайшее к точному значению целое число рублей) @3@б[з]9@12[5]18
24. Сколько имеется различных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение 144 • sin ^arcsin имеет единственный корень?
[1~| 46 или меньше [У] 47 [3~] 48 @ 49 [К] 50 или больше
25. Найдите количество различных целочисленных значений , 128
параметра р, при которых уравнение х Н---- — р имеет по край-
не
ней мере один корень на промежутке х € [2; 8].
[Т| 32 или меньше |~2~| 33 [3~] 34 @ 35 [К] 36 или больше
26. В треугольнике MNK длины сторон MN = 4, NK = 3, МК = 5, проведены биссектрисы MP, NQ, KR, причем Р € NK, Q € МК, R € MN. В каком отношении делит биссектриса KR отрезок PQ (считая от точки Р)?
08:9 @7:9 [з] 5 : 6 04:5 @2:3
27. Площадь фигуры на плоскости (ж; у), определяемой систе-f х2 + у2 4, мои неравенств < 2 , 2 л равна
I X "Т" у ^хХ
О о О О О
. /1 3\ /2
28. Уравнение sm I -arccos — I = \ — имеет корень, принадле-к X j у X
жащий промежутку
@ X е [3; 8) @ х € [8; 11) @ х е [И; 13) @ х е [13; 17)
[б] х е [17; 999)
153
^Варианты вступительных экзаменов
29. Число S, равное сумме всех различных корней уравнения 3(21) • 191(2“-Ж) = 38652, удовлетворяет условиям
[Т] S е (-999; 0) 0 S е [0; 1) 0 S е [1; 2) 0 S € [2; 3)
0 S е [3; 999)
_ , 5 — 4 sin2 х ( 7г\
30. Функция у —----------- на промежутке х € 0; —
cos х \ 2 j
принимает свое наименьшее значение в точке т, которая принадлежит промежутку
(0; |] 0x6 |] 0 х Е (|; 1] 0 х Е (1; |]
04? D
Вариант З-сЗЗ
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой тх + у = 12 и отрезками координатных осей, равна 18 при положительном значении параметра т, равном
01 02 03 04 [5] 5
2. Расход на аренду помещения составляет 80% общих расходов фирмы. Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в 12 раз при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход на аренду помещения составит от общих расходов фирмы 0 6, (6)% 0 6% 0 25% 0 36% 0 68%
3. Найдите сумму двух наименьших положительных корней (ттх\ . (7тг\ Л уравнения sin — + sml — = 0.
\ 6 / \ 3 /
0 15 0 6 0 18 0 9 0 12
4. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции Арх — х2 больше 36.
0 Р е (3; 6) 0 р е (6; +оо) 0 р € (0; 6) 0 р е (3; +оо)
0Р€(О; 3)
154
Вариант З-сЗЗ
1 о 1
5. Если х Н— = 3, то значение выражения х Н—? принадле-х хл
жит промежутку
0 (0; 18] @ (18; 21] 0 (21; 24] @ (24; 27] 0 (27; 999)
6. Если Билл повысит свою производительность труда на 20%, а Джек повысит свою производительность труда на 100% против плана, то время совместного выполнения работы уменьшится на 20%. Плановая производительность труда Билла относится к плановой производительности Джека как 010:1 @11:1 0 12:1 @9:1 0 15:1
7.
Если л = Ье.»125 +1°8^25
log16 9 + log4 27
• log5 9, то
@ А 1 @ А е (1; 2] 0 A е (2; 3] @ А е (3; 4] 0 А > 4
8. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес-
4 16
сии равна -, произведение третьего и четвертого членов равно —.
5 25
Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи разно
сти прогрессии.
@6 @4 05 @8 02
9. Пусть Ж1 и х2 — различные корни уравнения
х2 — 21х + 1 = 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального
Х1 , х2 числа, равного значению выражения-1-.
Х2 я?1
0102 @3 04 00
10. Сколько целых чисел х € [0; 6] являются решениями нера-sin(7rx/3) R венства —-----—- + v3 0 !
sm(7nE/6)
0 одно или ни одного 0 два 0 три @ четыре
0 пять или больше пяти
155
Варианты вступительных экзаменов
-11 n J тх + 2у = 2,
11. Система < _ „ имеет больше одного реше-
I 3ms + ту = т + 6
ния при
J.
2
4
одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4] одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4) одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо) таких значений параметра т не существует
5 ровно двух значениях параметра т
12. Сколько имеется целых положительных значений парамет-( х2 + у2 - 9,
ра р, при которых система уравнений < х + у _ имеет ровно ( Р
два различных решения?
|~1~| меньше трех |~2~| три [~3~| четыре 0 пять [б] больше пяти
13. Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 72, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 3, то значение знаменателя q удовлетворяет условию 0 q е (0; 0,3] 0g € (0,3; 0,4] 0 д е (0,4; 0,5] 0 де (0,5; 0,7] 0 де (0,7; 1)
14. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \/х2 — 191s + 149 = \/х2 — 191ж + 69 + 4, то
0 А 1 0 А е (1; 2] 0 А е (2; 3] 0 А е (3; 4] 0 А > 4
15. Множество всех значений параметра р, при которых урав-3|s| - 30
нение —г—;----— Р имеет не более одного корня, представляет со-
|т| -5
бой промежуток числовой оси, длина которого равна 0102030405
16. Города А и Б расположены на берегу реки со скоростью течения 6 км/ч. Пароход проходит маршрут АБА за 21 ч. Если скорость парохода в неподвижной воде увеличить в 4 раза, то
156
Вариант З-сЗЗ
маршрут АБА займет 4 ч. Первоначальная скорость парохода в неподвижной воде, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
17. Число, равное разности наибольшего и наименьшего решений неравенства 9х — 13 • б1 + 36 • 41 0, принадлежит промежут-
ку
0 (-99; 0, 5] 0(0,5; 1] 0(1; 1,5] 0 (1,5; 2] 0(2; 99)
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функции у = Зх3, проведенной через точку этого графика с абсциссой х = 2, то
0O<S^3O03O<S^35 035<S^4O04O<S^5O
0 50 < S < 9999
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(17x) + sin(19s) = sin(21x) + sin(23x), то значе-7Г
ние выражения — равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен
0102 03 04 00
20. В треугольнике АВС длина стороны АВ = 14, углы ZA = arctg |, ZB = arctg . Площадь треугольника АВС равна
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
21. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 9)х2 + (2р — 8)ж + р — 4 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
157
Варианты вступительных экзаменов
22. Множество значений функции у = 5 sin2 х — Ssinx представляет собой промежуток, длина которого равна Щ1б| 01б| [3] 1б| 0 1б| 017
23. В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, который начисляет 0,6% каждые 6 месяцев, а Вася положил 1 млн. руб. в банк Б, который начисляет 0,4% каждые 4 месяца. Проценты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте. В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите ближайшее к точному значению целое число рублей) 024 012 06 09 018
24. Сколько имеется различных целочисленных значений па-
раметра р, при которых уравнение 36 • sin имеет единственный корень7
х А arcsm —
36 J
(х ~ Р)2 4
0 24 или меньше 0 25 0 26 0 27 0 28 или больше
25. Найдите количество различных целочисленных значений 2 54
параметра р, при которых уравнение х -— р имеет по крайней
х
мере один корень на промежутке х 6 [1; 9].
058 или меньше 0 59 0 60 0 61 0 62 или больше
26. В треугольнике PQR длины сторон PQ = 6, QR = 4, PR= 5, проведены биссектрисы PM, QN, RK, причем М G QR, N 6 PR, К 6 PQ. В каком отношении делит биссектриса RK отрезок MN (считая от точки М)?
08 904-5010 11 09-1107:9
27. Площадь фигуры на плоскости (ж; у), определяемой систе-J х2 + у2 1, мои неравенств < 2 2 равна
I з? • У ZiX у
158
Вариант 3-с34
28. Уравнение sm ( -arccos — | = \1— имеет корень, принадле-\2 хJ V х
жащий промежутку
[0 X G [6; 8) 0 X Е [8; И) 0 х G [11; 13) 0 т 6 [13; 17)
0 х G [17; 999)
29. Число S, равное сумме всех различных корней уравнения 4(3®). 19(3“®) = 94873, удовлетворяет условиям
(Т] S G (-999, 0) [г] S е [0; 1) 0 S е [1; 2) 0 S G [2; 3)
0 S G [3; 999)
3 — 2 sin2 х f 7г \
30. Функция у =----------- на промежутке х G 0; —
cost \ 2/
принимает свое наименьшее значение в точке х, которая принадлежит промежутку
0TG (0; |] (|; |] 0xG 1] 0 z G (1; |]
i)
Вариант 3-с34
1. Величина площади треугольника, образованного отрезком прямой х + ру = 10 и отрезками координатных осей, равна 50 при положительном значении параметра р, равном 0102 03 04 @5
2. Расход на аренду помещения составляет 45% общих расходов фирмы. Если стоимость аренды (в рублях) уменьшить в б раз при неизменных прочих расходах (в рублях), то после этого расход на аренду помещения составит от общих расходов фирмы 0 12% 0 9% 0 7% 0 7,5% 0 39%
159
Варианты вступительных экзаменов
3. Найдите сумму двух наименьших положительных корней (тгаЛ (13тг \
уравнения cos I — I + cos I —— J = О-
0 6 0 12 [з] 9 0 18 ® 15
4. Укажите все положительные значения параметра р, при которых наибольшее значение функции 4рх — х2 меньше 36.
0 Р е (0; 6) 0 р е (6; +оо) 0 р е (0; 3) 0 р 6 (3; +оо)
0Р£(3; 6)
5. Если х Н— = 4, то значение выражения х3 Н—г принадле-х хл
жит промежутку
Щ (0; 50] 0 (50; 54] 0 (54; 60] 0 (60; 63] 0 (64; 999)
6. Если Билл повысит свою производительность труда на 70%, а Джек повысит свою производительность труда на 30% против плана, то время совместного выполнения работы уменьшится на 40%. Плановая производительность труда Билла относится к плановой производительности Джека как
0 11 • 1 0 12 : 1 0 7 : 1 0 8 : 1 0 10 : 1
7.
Если А =
log3 4 + log9 4 log8i 5 + log3 25
log2 125, то
0л^1 0Ле(1; 2] 0Ле(2; 3] 046(3; 4] 0Л>
4
8. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрес
сии равна 6, произведение третьего и четвертого членов равно
21
2 ’
Найдите первую цифру после запятой в десятичной записи разно
сти прогрессии.
0205080307
9. Пусть X} и Х2 — различные корни уравнения
х2 — 45т + 1 = 0. Укажите остаток от деления на 5 натурального
Xl Х2 числа, равного значению выражения-1-.
Х2 Х1
0102030400
160
Вариант 3-с34
10. Сколько целых чисел х 6 [0; 6] являются решениями нера-зт(тгт/3)
венства 1 ?
8ПЦ7ГТ/6)
|Т] одно или ни одного [2] два [з~| три 0 четыре
5 пять или больше пяти
,, гч J тх + Зу = т - 2,
11. Система < „ „ имеет больше одного реше-
( 2тх + ту = т + 2 н
1.
2
ния при
одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4] одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо)
3 одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4) ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
4
5
12. Сколько имеется целых положительных значений парамет-( хI 2 + у2 = 8,
ра р, при которых система уравнений < х + у _ имеет ровно
I Р
два различных решения?
[Г| меньше четырех [~2] четыре [з~| пять 0 шесть
0 больше шести
13. Если сумма квадратов всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами равна 112, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 12, то значение знаменателя q удовлетворяет условию [10G (0; 0,3] 0у G (0,3; 0,4] 0у€ (0,4; 0,5]
0 Я € (0,5; 0,7] 0 q G (0, 7; 1)
14. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \/ х2 — 132т + 146 = \/ х2 — 132т + 123 + 1, то 0 А <: 1 0 A G (1; 2] 0 А е (2; 3] Щ A G (3; 4] 0 А > 4
161
Варианты вступительных экзаменов
15. Множество всех значений параметра р, при которых урав-3|т| — 42
нение -т—---= р имеет не более одного корня, представляет со-
|т|-б
бой промежуток числовой оси, длина которого равна
01 @2 04 05
16. Города А и Б расположены на берегу реки со скоростью течения 2 км/ч. Пароход проходит маршрут АБА за 55 ч. Если скорость парохода в неподвижной воде увеличить в 3 раза, то маршрут АБА займет 18 ч. Первоначальная скорость парохода в неподвижной воде, выраженная в км/ч, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
17. Число, равное разности наибольшего и наименьшего решений неравенства 161 — 25 • 121 + 144 • 91 0, принадлежит проме-
жутку
0 (-99; 0, 5) 0 [0,5; 1) 0 [1; 1,5) 0 [1,5; 2) 0 [2; 99)
18. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезками осей абсцисс и ординат и отрезком касательной к графику функции у = х\ проведенной через точку этого графика с абсциссой х = 2, то
0O<5^3O03O<S^35 035<S^4O04O<5^5O
0 50 < S < 9999
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(15x) + sin(19a;) = sin(18a;) + sin(22a;), то значе
7Г
ние выражения — равно натуральному числу, остаток от деления
которого на 5 равен 0102030400
162
Вариант 3-с34
20. В треугольнике АВС длина стороны АВ = 17, углы
3 4
ZA = arctg-, ZB = arctg-. Площадь треугольника АВС равна Л м
натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
21. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 7)т2 + (2р — 2)х + р — 4 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
22. Множество значений функции у = 7 sin2 х — 6 sin ж представляет собой промежуток, длина которого равна 014 а»? 014 a 1Z® 14
23. В начале года Петя положил 1 млн. руб. в банк А, который начисляет 0,9% каждые 6 месяцев, а Вася положил 1 млн. руб. в банк Б, который начисляет 0,6% каждые 4 месяца. Проценты прибавляются к вкладу и участвуют в последующем приросте. В конце года разница их вкладов в рублях составит (укажите ближайшее к точному значению целое число рублей)
0 54 0 18 0 27 0 36 0 72
24. Сколько имеется различных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение 100 • sin ^arcsin имеет единственный корень?
0 39 или меньше 0 40 041 0 42 0 43 или больше
25. Найдите количество различных целочисленных значений 2 2
параметра р, при которых уравнение х Н— = р имеет по край-
ней мере один корень на промежутке х 6
032 или меньше 0 33 0 34 0 35 0 36 или больше
И
163
Варианты вступительных экзаменов
26. В треугольнике АВС длины сторон АВ = 5, ВС = 3, АС — 4, проведены биссектрисы AM, BN, СК, причем М € ВС, N 6 АС, К G АВ. В каком отношении делит биссектриса СК отрезок MN (считая от точки М)?
[Т] 8 : 9 04:5 06:5 05:4 03:2
27. Площадь фигуры на плоскости (ж; у), определяемой систе-( х2 + у2 1, мои неравенств < 2 2 п равна
I ж 4“ у 2Ху
г—I 2тг \/3 [—I 2тг \/3 r~i 2тг \/3 г—i тг \/3 r—i тг \/3 Ет + т@у-т[з]у-тНз-тВз + ^
/1 4\ Гз
28. Уравнение sin | -arccos — ) = \ — имеет корень, принадле-\2 хJ V х
жащий промежутку
0 х е [4; 9) 0 х Е [9; 11) 0 х Е [11; 17) 0 х G [17; 21)
0 х Е [21; 999)
29. Число S, равное сумме всех различных корней уравнения 4(2*4.49(2-®) = 74713)
удовлетворяет условиям
0 S G (-999; 0) 0 S € [0; 1) 0 S 6 [1; 2) 0 S 6 [2; 3)
0 S 6 [3; 999)
7 — 4 cos^ х ( тг \
30. Функция у =----- на промежутке х Е ( 0; — )
sins \ 2/
принимает свое наименьшее значение в точке х, которая принадлежит промежутку
0я£ (О; У 0zG (|; |] 0zG (|; 1] 0x6 (1; |] X ДА \ Z Х^Х J х
0/5 7Г\
1е(г а)
Вариант 4-с11
1. Стиральная машина, стоившая 10 тыс. руб., стала дороже на 13%. Через год она стала дешевле на 23%. Теперь ее цена,
164
Вариант 4-cll
выраженная в рублях, является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 Щ4 00
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой 2т + Зу = 18 и отрезками координатных осей, равна 0 16 0 24 0 27 0 18 0 12
3. Если в арифметической прогрессии й27 — «21 = 9, то значение й2з — «7 равно
022 018 024 028 032
4. Сумма двух наименьших положительных корней уравнения \/3
зшж = —— равна
a. a О о
log63 3 • logi з
5. Числовое значение выражения --—;——- равно
log633 + logi 3 F
7
01 00,5 00,(3) 00,25 00,2
6. Уравнение касательной к графику функции
у = х2 — 5т + 4, проведенной через точку пересечения этого графика с осью ординат, имеет вид
0 у = —5т + 4 0 у = 5т + 4 0 у = 4т — 3 0у = —4т — 4
0 у = —4т + 4
7. Произведение всех различных корней уравнения
т2 + Зт — 5 = 0 равно
05 0-3 0-| 03 0-5
О
8. Произведение всех различных корней уравнения (т2 + 4т + 1)(т2 + 4т — 2) = 10 равно
0-10 0-12 012 0-8 04
165
Варианты вступительных экзаменов
9. Перекупщик купил колбасу с истекшим сроком реализации со скидкой 60% от номинальной цены и продал ее, получив прибыль в размере 30%. С какой скидкой от номинальной цены была продана колбаса?
0 30% 0 18% 0 45% 0 48% 0 38%
10. Наименьшее значение функции у = 41+tgI + 21-2tgI равно 0 3\/2 0 4 0 4\/2 0 8 0 2\/2
11. Выражение у 4т + 2\/4т2 — 9у2 — у 4т — 2 у/4т2 — 9у2 при —2т < Зу < 0 равно
0 2у/2т - Зу 0 у/2т + Зу — у/2т - Зу 0 у/2т + Зу + у/2т - Зу
0 2у/2т + Зу 0 не существует
12. В треугольнике АВС длины сторон АВ = 6, ВС = 3, АС = 4, проведены биссектрисы AQ и ВР, причем Q 6 ВС и Pg АС. Найдите отношение площадей треугольников 8двс : Sbpq-
[Т] 6 : 1 [2] 7 : 1 03: 104: 1 05:1
13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство
Зж + 81-3~ж 18?
0 одно или ни одного 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
14. Сколько имеется положительных целочисленных значений т2 + у2 — 6,
18 • х 4—= р \/б
параметра р, при которых система уравнений <
имеет ровно два различных решения?
0 шесть или меньше 0 семь 0 восемь 0 девять
0 десять или больше
15. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии bi, Ьг, &з> • равна 12, а сумма всех членов этой прогрессии
166
Вариант 4-cll
с четными номерами равна 4, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
(Т] q Е (0; 0,3] @ qE (0,3; 0,4] [з] g G (0,4; 0,5]
09 €(0,5; 0,7] @9 6(0,7; 1)
16. Все значения параметра р, при которых любое решение неравенства |т — 131 6 является также решением неравенства
|т — р| ^23, образуют отрезок, длина которого равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен @102030400
17. Сколько имеется различных целых значений параметра р, 3|т| — 4
при которых уравнение -j—।-— = р не имеет корней?
|~1] ни одного или одно 0 два [з~| три 0 четыре 0 пять или больше пяти
18. Значение выражения
1 Г- ( ( л/2\
log2 sm I arccos I —~ 1 — arccos
равно
00,5 @1 00 0-1 0-0,5
чп J тт + 3y = m — 2,
19. Система < „ „не имеет решении при
I 2тх + ту = т + 2
1^
2
3
4
одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4] одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4) одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо) ровно двух значениях параметра т
5 таких значений параметра т не существует
20. Если xi — наименьший положительный корень уравнения sin(27a;) + sin(231a;) = sin(33x) + sin(237a;), то значение выраже-
167
Варианты вступительных экзаменов
7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0102 03 04 @0
21. Билл продал партию холодильников, Джек продал партию пылесосов, и их выручка оказалась одинакова. "Если бы пылесос стоил бы столько же, сколько холодильник, я бы выручил 216 млн. руб.", — сказал Джек. "Если бы холодильник стоил бы столько же, сколько пылесос, я бы выручил 150 млн. руб.", — ответил Билл. На сколько холодильник дороже пылесоса?
0 на 10% 0 на 15% [з] на 20% 0 на 30% 0 на 50%
22. Число, равное разности наибольшего и наименьшего корней уравнения ух + 2 + 4\/ж — 2 + уж + 2 — 4 х — 2 = 4, принадлежит промежутку
[Г] [0; 1] 0 (1; 2] [з] (2; 3] 0 (3; 4] 0 (4; 99)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — Зр + 2)ж2 + 2(4р + 5)х + 17 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
24. Все решения неравенства 16sin4(ж) + 11 16соз2(ж), при-
надлежащие промежутку ж 6 [0; тг], образуют промежуток, длина которого равна
Syai®50|
25. Укажите наибольшее значение параметра к, при котором уравнение |ж2 — 8|ж| + 151 — кх имеет ровно три различных корня, и @8 + VW @ 08 - Vw 0 1,5
О 1Э
168
Вариант 4-с12
26. Найдите сумму всех положительных корней уравнения arcsin sin I Зтг cos { arccos ~ ) | = ? и укажите остаток от деле-ния ближайшего натурального числа на 5.
0102030400
27. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 43тг. Длина стороны АС = 5, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть х — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0 х е (0; 7,5) 0 х е [7,5; 8,5) 0 х е [8,5; 9,5)
0 х Е [9,5; 10,5) [0 х Е [10, 5; 999)
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения glogjX = 243.5logs2)
принадлежит промежутку
0 (0; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 6) 0 [6; 999)
29. Пусть N — количество различных целочисленных значений (М =
параметра р, при которых система < х2 + у2 128, имеет ровно ( 4у + р = 4ж2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
0102 03 04 00
30. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 81тб = 2т9 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
Вариант 4-с12
1. Стиральная машина, стоившая 10 тыс. руб., стала дороже на 13%. Через год она стала дешевле на 16%. Теперь ее цена, выраженная в рублях, является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
169
Варианты вступительных экзаменов
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой 2ж + Зу = 12 и отрезками координатных осей, равна
08 024 018 012 016
3. Если в арифметической прогрессии ап — <223 = 36, то значение Й35 — <217 равно
0 27 0 24 0 28 0 32 0 18
4. Сумма двух наименьших положительных корней уравнения \/3 sin х = равна
0я[2]| [З]2я[4]^03. О о
logi60 2 • logi 2
5. Числовое значение выражения ---—-— равно
log160 2 + logi 2 F
5
@1 @0,5 00,(3) 00,25 00,2
6. Уравнение касательной к графику функции
у = х2 — 6 т + 5, проведенной через точку пересечения этого графика с осью ординат, имеет вид
0 г/ = 5ж 4- 4 0у = —6т + 5 0 у = — 5х 4-6 0 у = 6т — 5
0 у = 6т + 5
7. Произведение всех различных корней уравнения х2 — 5х + 2 = 0 равно
02 0-5 0-| 0-2 05
8. Произведение всех различных корней уравнения (ж2 — 4т)(т2 — 4х — 2) = 15 равно
0-50-80 -15 0 -12 0 15
170
Вариант 4-с12
9. Перекупщик купил колбасу с истекшим сроком реализации со скидкой 40% от номинальной цены и продал ее, получив прибыль в размере 30%. С какой скидкой от номинальной цены была продана колбаса?
Щ 22% @ 10% [з] 12% Щ 70% [б] 16%
10. Наименьшее значение функции у = 8tg® 4- 22-3tga: равно
Щ 8 [а] 2х/2 [з] 2\/з Щ 4\/2 [К] 4
11. Выражение 4- 2\/9ж2 — у2 — -\/бж — 2\/9ж2 — у2 при
—Зж < у < 0 равно
[1] л/Зж 4- у - у/Зх ~у [г] 2>/Зж 4- у ® у/Зх - у - у/Зх 4- у
[4] 2^/Зж — у |~5~] не существует
12. В треугольнике PQR длины сторон PQ = 3, QR = 6, PR = 5, проведены биссектрисы PL и QK, причем L е QR и Кб PR. Найдите отношение площадей треугольников Spqr : Sqkl-
[I] 6 : 1 @ 7 •• 1 [З] 3 : 1 Щ 4 : 1 @5:1
13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 2х + 32 2~х <: 18?
[Т[ одно или ни одного |~2~| два [3~| три [Т] четыре
[б~[ пять или больше пяти
14. Сколько имеется положительных целочисленных значений ( ж2 4- у2 = 3, параметра р, при которых система уравнений < , У _
I \/3
имеет ровно два различных решения?
|~1] шесть или меньше |~2~| семь [3~| восемь [Т| девять
[б~[ десять или больше
15. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии Ь1,Ь2,Ьз,... равна 28, а сумма всех членов этой прогрессии
171
Варианты вступительных экзаменов
с четными номерами равна 12, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
Щд е (0; 0,3] 0 де (0,3; 0,4] 0 q е (0,4; 0,5]
0g е (0,5; 0,7] 096(0,7; 1)
16. Все значения параметра р, при которых любое решение неравенства |ж — 8| 12 является также решением неравенства
|ж—р| < 27, образуют отрезок, длина которого равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
17. Сколько имеется различных целых значений параметра р,
7|ж| — 6
——— = р не имеет корней? ж - 3
при которых уравнение
0 ни одного или одно 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
18. Значение выражения
, Г ( ( V3\
log2 cos I arccos I —— I — arcsin
равно
0-0,5 0-1 00 01 00,5
2 д
4
5
J mx + 2y = 2,
19. Система < „ „не имеет решении при
( Зтж 4- ту = т 4- о
1 одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4] одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4) одном значении т, расположенном на промежутке [4; 4-оо) ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
20. Если Ж1 — наименьший положительный корень уравнения sin(25z) 4- бш(237ж) = sin(37:r) 4- sin(249z), то значение выраже-
172
Вариант 4-с12
7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0102 0 3 04 00
21. Билл продал партию холодильников, Джек продал партию пылесосов, и их выручка оказалась одинакова. "Если бы пылесос стоил бы столько же, сколько холодильник, я бы выручил 108 млн. руб.", — сказал Джек. "Если бы холодильник стоил бы столько же, сколько пылесос, я бы выручил 75 млн. руб.", — ответил Билл. На сколько холодильник дороже пылесоса?
0 на 20% 0 на 15% 0 на 10% 0 на 30% 0 на 50%
22. Число, равное разности наибольшего и наименьшего корней уравнения + 1 + 4-\Лг — f + yjx + 1 — 4у/ж — 3" = 4, принадлежит промежутку
0 [0; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 99)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 7р + 3)ж2 + 2(3р + 4)х + 10 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
24. Все решения неравенства 16sin4(z) > 16cos2(x) + 5, принадлежащие промежутку х 6 [0; тг], образуют промежуток, длина которого равна
Si By 0у
25. Укажите наибольшее значение параметра fc, при котором уравнение |ж2 — 7|ж| + 101 = kx имеет ровно три различных корня. 0 10 + л/48 0 14 0 7 - V4O 0 10 - у"48 0 7 + ^40
173
Варианты вступительных экзаменов
arccos
26. Найдите сумму всех положительных корней уравнения Г 7 ' ' ' 1 2тг
= — и укажите остаток от де-
О
/ . . / Х
cos 4л sm arcsin — \ \ 24 ления ближайшего натурального числа на 5.
0102 03 04 00
27. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 91тг. Длина стороны АС = 8, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть х — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0 х € (0; 7,5) 0] х € [7,5; 8,5) 0] х € [8, 5; 9,5)
0 х е [9, 5; 10, 5) 0 х G [10, 5; 999)
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 25l°g3z = 125 -710^3, принадлежит промежутку
0 (0; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 6) 0 [6; 999)
29. Пусть N — количество различных целочисленных значений
параметра р, при которых система
' 1?/1 = kl,
< ж2 + у2 450, имеет ровно _ 4у 4- р — 4ж2
два различных решения. Остаток от деления А на 5 равен
0102030400
30. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 1О4ж10 = Юж13 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
Вариант 4-с13
1. Стиральная машина, стоившая 10 тыс. руб., стала дороже на 17%. Через год она стала дешевле на 18%. Теперь ее цена, выраженная в рублях, является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
174
Вариант 4-с13
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой Зт 4- 4у = 24 и отрезками координатных осей, равна
0 18 @ 12 0 36 0 48 0 24
3. Если в арифметической прогрессии aig — ац = 28, то значение азе — Я14 равно
0 72 @ 36 0 81 0 64 0 77
4. Сумма двух наименьших положительных корней уравнения 1
shit = — - равна
а„ ® 2. в Зя а и о о
!ogi62 3 • 8 * logl 3
5. Числовое значение выражения -----—-— равно
log162 3 + logi 3
2
01 @0,5 00,(3) 0 0,25 0 0,2
6. Уравнение касательной к графику функции
у — х2, — 8т 4- 4, проведенной через точку пересечения этого графика с осью ординат, имеет вид
0 у = 4х 4- 8 @у = 8т + 4 0 у = —8т 4-4 0 у = 6т — 4
0 у ~ -4т 4- 8
7. Произведение всех различных корней уравнения т2 — 8т 4- 2 - 0 равно
0-2 @8 0~ 02[0-8
8. Произведение всех различных корней уравнения
(т2 — 5т — 3)(т2 — 5т — 5) — 3 равно
0 -2 @ 8 0 -6 0 -12 0 12
175
’варианты вступительных экзаменов
9. Перекупщик купил колбасу с истекшим сроком реализации со скидкой 30% от номинальной цены и продал ее, получив прибыль в размере 20%. С какой скидкой от номинальной цены была продана колбаса?
Щ 10% @ 12% [3] 16% Щ 15% [б] 22%
10. Наименьшее значение функции у = 9tga: + з3-2^1 равно
[I] 27 [2] 4\/3 [3]6^2 Щ ® 18
11. Выражение Ьх + 2\/9ж2 — — &х — 2\/9ж2 — гр при
0 у Зж равно
|Т] 2-УЗж - у [2] х/Зт + у - л/Зж - у [з] у/Ъх - у - у/Зх + у
[Т| 2-^Зж + у [~б] не существует
12. В треугольнике АВС длины сторон АВ = 3, ВС = 6, АС = 7, проведены биссектрисы АК и BL, причем К 6 ВС и L 6 АС. Найдите отношение площадей треугольников Sabc Sblk-Щ 6 : 1 [2] 7 : 1 [з] 3 : 1 Щ 4 : 1 [б] 5 : 1
13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство
Зг + 81 • 3“* [Т| одно или
30?
ни одного [2] два [3~| три |~4~| четыре
[~б] пять или больше пяти
параметра р, при которых система уравнений <
14. Сколько имеется положительных целочисленных значений ' ж2 + у2 = 3,
•— V
18 • х Н—= р х/з
имеет ровно два различных решения? [Г] шесть или меньше [2] семь [3~| восс [~5~] десять или больше
15. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии bi, Ьг, Ьз,... равна 20, а сумма всех членов этой прогрессии
176
Вариант 4-с13
с четными номерами равна 4, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
Щде (0; 0,3] е (0, 3; 0,4] [з]д е (0,4; 0,5] @9 е (0,5; 0,7] @<7 6(0,7; 1)
16. Все значения параметра р, при которых любое решение неравенства \х — 7| 3 является также решением неравенства
|ж — р| 19, образуют отрезок, длина которого равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 @0
17. Сколько имеется различных целых значений параметра р, I I_______________________2
при которых уравнение —:---— = р не имеет корней?
I I
0 ни одного или одно 0 два [з~| три 0 четыре
15 I пять или больше пяти
18. Значение выражения
, Г. /
log2 sin I arccos I ) + arctg
равно
0-1 @-0,5 @0 00,5 @1
, _ „ f mx 4- 2y = 3,
19. Система < „ не имеет решении при
( imx 4- ту = т
1 2
3 Z
5
одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4] одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4) одном значении т, расположенном на промежутке [4; 4-оо) ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
20. Если Xi — наименьший положительный корень уравнения зт(27ж) 4- sin(233ai) = sin(33ai) 4- зт(239т), то значение выраже-
177
Варианты вступительных экзаменов
7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0 1 0 2 0 3 0 4 0 О
21. Билл продал партию компьютеров, Джек продал партию принтеров, и их выручка оказалась одинакова. "Если бы принтер стоил бы столько же, сколько компьютер, я бы выручил 192 млн. руб.", — сказал Джек. "Если бы компьютер стоил бы столько же, сколько принтер, я бы выручил 75 млн. руб.", — ответил Билл. На сколько компьютер дороже принтера?
0 на 50% 0 на 60% 0 на 70% 0 на 75% 0 на 80%
22. Число, равное разности наибольшего и наименьшего корней уравнения ^2х + 2 + 2х/2х + 1 + \^2х + 2 — 2\f2x + 1 = 2, принадлежит промежутку
0 [0; 0, 5] 0 (0, 5; 1] 0 (1; 2] 0 (2; 4] 0 (4; 99)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — Зр + 1)аг2 + 2(8р + 2)х + 65 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
24. Все решения неравенства 4sin4(x) > 4 cos2(ж) — 1, принадлежащие промежутку х 6 [0; тг], образуют промежуток, длина которого равна
25. Укажите наибольшее значение параметра к, при котором уравнение |х2 — 8|ж| + 12] = кх имеет ровно три различных корня. 08 + л/4806-\/3201,506 + \/3208-л/48
178
Вариант 4-с14
7Г
= — и укажите остаток от де-6
26. Найдите сумму всех положительных корней уравнения
(( х
2,5л cos I arccos — \ 15
ления ближайшего натурального числа на 5.
01 @2 03 04 @0
27. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 317Г. Длина стороны АС = 4, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть х — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
[Т] ш е (0; 7,5) [7,5; 8,5) 0x6 [8,5; 9,5)
0 х 6 [9, 5; 10,5) 0 х 6 [10, 5; 999)
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 361ое5® = 216• 7logl 5, принадлежит промежутку
0 (0; 11) 0 [11; 12) 0 [12; 13) 0 [13; 14) 0 [14; 999)
29. Пусть N — количество различных целочисленных значений
параметра р, при которых система х2 + у2 288, 4у + р = 4т2 два различных решения. Остаток от деления N на 5
имеет ровно
равен
0102 03 04 00
30. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 297т8 = х11 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
Вариант 4-с14
1. Стиральная машина, стоившая 10 тыс. руб., стала дороже на 17%. Через год она стала дешевле на 11%. Теперь ее цена, выраженная в рублях, является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
179
Варианты вступительных экзаменов
2. Площадь треугольника, образованного отрезком прямой 2х + Зу = б и отрезками координатных осей, равна 03 0106 04 01,5
3. Если в арифметической прогрессии 027 — «15 = 9, то значение азз — азу равно
0 11 0 18 0 24 0] 12 0 16
4. Сумма двух наименьших положительных корней уравнения 1
1оё250 5 • logi 5
5. Числовое значение выражения z----—;- равно
log250 5 + logi 5
2
00,(3) 01,3 00,2 00,25 00,5
6. Уравнение касательной к графику функции
у = —х2 — Зх + 4, проведенной через точку пересечения этого графика с осью ординат, имеет вид
0 у = — х + 4 [2] у = Зх + 4 0 у = 4ж — 3 0 у = 2а: — 4
0 у = —Зх + 4
7. Произведение всех различных корней уравнения х2 — 5х + 3 = 0 равно
0-5 03 0-| 0-3 05
8. Произведение всех различных корней уравнения (х2 + За:)(а:2 + За: — 1) = 6 равно
0-6 0-8 012 0-12 06
180
Вариант 4-с14
9. Перекупщик купил колбасу с истекшим сроком реализации со скидкой 80% от номинальной цены и продал ее, получив прибыль в размере 70%. С какой скидкой от номинальной цены была продана колбаса?
[Т] Ю% 0 66% 0 56% 0 50% 0 22%
10. Наименьшее значение функции у = 4iex + 23~2tg3: равно 0 4V2 0 4 0 2у/2 08 0 3\/2
11. Выражение \J4х + 2\/4ж2 — 9?/2 + у 4ж — 2\/4а?2 — 9?/2 при —2х < Зу < 0 равно
0 2-/2л + Зу 0 у/2х + Зу - у/2х - Зу 0 2у/2х - Зу
0 у/2х + Зу + \/2ж — Зу 0 не существует
12. В треугольнике АВС длины сторон АВ = 2, ВС = 6, АС = 7, проведены биссектрисы AN и ВМ, причем N 6 ВС и Mg АС. Найдите отношение площадей треугольников Sabc : Sbmn-
06:1 07:1 03:1 04:1 05:1
13. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 2х + 64 • 2~х 20?
0 одно или ни одного 0 два 0 три 0 четыре
5 пять или больше пяти
параметра р, при которых система уравнений <
14. Сколько имеется положительных целочисленных значений f х2 + у2 = 2,
21 • х + ~7= = р х/2
имеет ровно два различных решения?
0 шесть или меньше 0 семь 0 восемь 0 девять
51 десять или больше
15. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии bi, &2> &з> • • • равна 15, а сумма всех членов этой прогрессии
181
Варианты вступительных экзаменов
с четными номерами равна 6, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0g G (0; 0,3] 0g G (0,3; 0,4] 0 q G (0,4; 0,5]
0 q 6 (0,5; 0,7] 0 q G (0,7; 1)
16. Все значения параметра р, при которых любое решение неравенства — 111 7 является также решением неравенства
\х — р\ С 21, образуют отрезок, длина которого равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 03 04 00
17. Сколько имеется различных целых значений параметра р, 3(л| - 10 _
при которых уравнение —:—:—— = р не имеет корней!
0 ни одного или одно 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
18. Значение выражения
] L . ( г п .
logo о sin arccos I — - ) — arcsin —— \ \ 2 / \ 2
равно
0-0,5 00,5 01 01,5 02
1
19. Система < не имеет решений при
( Зтх + 2ту = т
одном значении т, расположенном на промежутке (—оо; —4]
2 одном значении т, расположенном на промежутке (—4; 4)
одном значении т, расположенном на промежутке [4; +оо) ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
£ 4 К
20. Если Xi — наименьший положительный корень уравнения sin(17ir) + sin(219ar) = sin(23ir) + sin(225x), то значение выраже-
182
Вариант 4-с14
7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
0102030400
21. Билл продал партию компьютеров, Джек продал партию принтеров, и их выручка оказалась одинакова. "Если бы принтер стоил бы столько же, сколько компьютер, я бы выручил 98 млн. руб.", — сказал Джек. "Если бы компьютер стоил бы столько же, сколько принтер, я бы выручил 32 млн. руб.", — ответил Билл. На сколько компьютер дороже принтера?
0 на 50% 0 на 60% 0 на 70% 0 на 75% 0 на 80%
22. Число, равное разности наибольшего и наименьшего корней уравнения + 3 + 2-/ж + I + + 3 — 2\/ж + 2 = 2, принад-
лежит промежутку
0 [0; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 99)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 4р + 3)х2 + 2(5р + 6)х + 26 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
24. Все решения неравенства 16 sin4(x) — 5 16 cos2(x), при-
надлежащие промежутку х € [0; тг], образуют промежуток, длина которого равна
25. Укажите наибольшее значение параметра к, при котором уравнение |т2 — 6|х| + 5| = кх имеет ровно три различных корня. 0 6 —-\/20 0 6 + \/20 0 0 0 0 О т:
183
Варианты вступительных экзаменов
arccos
26. Найдите сумму всех положительных корней уравнения 7Г
— — и укажите остаток от деле-
/ с • / Х
cos 5тг sm arcsin —
\ \ 30
ния ближайшего натурального числа на 5.
[Т]1 @2 03 04 @0
27. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 57тг. Длина стороны АС = 6, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть х — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0т 6 (0; 7,5) 0 хе [7,5; 8,5) 0 х € [8,5; 9,5)
0 X е [9,5, 10,5) 0 X е [10,5; 999)
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 9i°g5x = 243 . is’ogsA, принадлежит промежутку
0 (0, 12) 0 [12; 25) 0 [25; 50) 0 [50; 100) 0 [100; 999)
29. Пусть N — количество различных целочисленных значений (|у| = И,
параметра р, при которых система < х2 + у2 392, имеет ровно [ 4у + р = 4т2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен 0102 03 04 00
30. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 243т6 = 6т9 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
Вариант 4-с21
1. Накладные расходы составляют 25% общих расходов фирмы. Если накладные расходы увеличить в 12 раз, то после этого они будут составлять от общих расходов
0 82% 0 300% 0 96% 0 200% 0 80%
184
Вариант 4-с21
2. Составьте уравнение прямой, которая симметрична прямой Зт — 4у = — 5 относительно оси ординат.
0 4т + Зу = 5 0 Зх + 4у = 5 0 Зх — 4у — —5 [4] 4т + Зу = —5 @ Зт + 4у = —5
3. Укажите второй по величине положительный корень урав-/7ГТ\ /7тг\
нения sml — = cosl — I.
V j. 2 ✓ V о /
0 20 0 16 0 22 0 14 0 8
4. Если в арифметической прогрессии ац — ат — 33, то значение азэ — а21 равно
0 54 0 64 0 72 0 77 0 81
5. Отрезок прямой, которая касается параболы у = 2т2 — 6т в точке с абсциссой т = 3, вместе с отрезками осей координат образует треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
6. Если Ti — меньший корень, Т2 — больший корень уравнения Т2 — 67т + 49 — 0 и А = у/х2 + y/xi, то
0А е [0; 6,5) 0 А е [6,5; 7,5) 0 А е [7,5; 8,5)
0 А е [8,5; 9,5) 0 А £ [9,5; 999)
7. Найдите наибольшее значение параметра Ь, при котором хотя бы одно решение неравенства |т — 2| 5 не является решением
неравенства т — 3| < Ь.
06 07 08 04 05
а г, - Г У = т2 - 2|т| + 1,
8. Сколько решении имеет система < _|_ у2 _ j ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
185
Варианты вступительных экзаменов
9. Сколько целых чисел являются решениями неравенства х — Ьу/х + 6^0?
|~1~| шесть или меньше шести |~2~| семь 0 восемь 0 девять
0 десять или больше десяти
10. Функция у = х6 — 48г5 достигает своего минимального значения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
11. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 61, &2, Ьз, • • • равна 12, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 4, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0<Z 6 (0; 0,3] 0 q £ (0,3; 0,4] 0 g €(0,4; 0,5]
0 q G (0,5; 0,7] 0 q £ (0, 7; 1)
12. В начале первой недели в пруд запустили 7 инфузорий. В конце каждой недели каждая инфузория делится на 2 части, после чего карась съедает 3 инфузории. В начале 31-й недели число инфузорий в пруду будет равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
13. Все решения неравенства cos4 х — sin4 х
принадле-
жащие промежутку х £ которого равна
тг
2
ТГ
2
, образуют промежуток, длина
14. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 8)г2 + 4а: + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
186
Вариант 4-с21
15.
Если А = tog3 М +l°g» 62S log81125 - log27 5
TO
[T] A c 3 @ A e (3; 5] 0 A e (5; 10] 0 A G (10; 15] 0 A >
15
| -p (777 — 6)?/ — 771 _ 6
16. Система < , ’ имеет бесконечное мно-
( (т — + у = 2т — 3
жество решений при
£
3
4
5
ровно двух значениях параметра т таких значений параметра т не существует одном значении m G (-оо; —4]
одном значении т G (—4; 4)
одном значении т G [4; +оо)
17. Сумма всех различных корней уравнения
х2 — 12а: + 57 = 7v а:2 — 12а: + 45 равна натуральному числу, оста-
ток от деления которого на 5 равен
0102030400
18. Наименьшее значение функции у = 9® + 3log3^ 2х равно [Т] 4 [2] 2у/2 0 3V2 0 4V2 0 8
19. Число S, равное сумме всех различных целочисленных решений неравенства log15(a:2 — 8а: + 15) 1, принадлежит проме-
жутку
0 5 G (—999; 22] (22; 26] 0 S G (26; 34] 0 S 6 (34; 39]
0 S е (39; 999)
20. Пусть N — количество целочисленных значений парамет-
ра р, при которых система уравнений
х2 + у2 = 672, 1 у v 75 • х 4—
имеет
= Р
ровно четыре различных решения. Укажите остаток от деления N
на 5.
0 1 @2 03 04 @0
187
Варианты вступительных экзаменов
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 81ж6 = 2ж9 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 00
22. Если S — площадь фигуры, образованной всеми точками на плоскости, для которых |ж + 3| — 7 у \/8|ж| — ж2, то 0 S б (0; 90) 0 S б [90; 94) 0 S б [94; 97) 0 5 б [97; 101) 0 S Е [101; 999)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых ( х2 + 8рх + 15р2 < 0,
система < 288)2 > (21р)2 имеет единственное решение, рав-
на натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
24. Если после совместного выполнения половины работы Билл повысит свою производительность на 30%, а Джек повысит на 20%, то на выполнение всей работы понадобится 81 день. Если же указанное повышение произойдет после истечения половины времени, то на выполнение всей работы понадобится 80 дней. За сколько дней выполнят они работу с плановой производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102030400
25. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 57тг. Длина стороны АС = 6, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть х — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0ж б (0; 7,5) 0ж б [7,5; 8,5) 0ж б [8,5; 9,5)
0 ж б [9,5; 10,5) 0 ж б [10,5; 999)
188
Вариант 4-с22
26. Если xi — наименьший положительный корень уравнения йш(27ж) + 8ш(231ж) = sin(33a?) + sin(237s), то значение выраже-7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-Ж1
рого на 5 равен
01020304 [5]0
27. Сумма всех различных корней уравнения
2 / тгх \ 17 — х
— arcsin (sin — ) = —-— равна натуральному числу, остаток от л \ 2 / 3
деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 49log31 = 343 • 27432logl3, принадлежит промежутку
[Г] (0; 6) 0 [6; 7) 0 [7; 8) 0 [8; 9) 0 [9; 999)
29. Значение параметра р, при котором уравнение
2ж12 + Юж8 — 2д/рж7 — 128ж6 + 25ж4 — 10д/р х3 + рх2 + 4096 = 0 имеет хотя бы один корень, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
30. Предприниматель должен израсходовать 1584 у. е. на наем грузчиков (3 у. е. на каждого) и менеджеров (16 у. е. на каждого) причем ожидаемый доход (в у. е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход? Укажите остаток от деления этого натурального чисда на 5.
01 02 03 04 00
Вариант 4-с22
1. Накладные расходы составляют 40% общих расходов фирмы. Если накладные расходы увеличить в 6 раз, то после этого они будут составлять от общих расходов
0 80% 0 240% 0 88% 0 140% 0 96%
189
Варианты вступительных экзаменов
2. Составьте уравнение прямой, которая симметрична прямой Зж — 4у — 5 относительно оси ординат.
0 4ж + Чу = 5 0 Зж - 4у = 5 0 Зж - 4у = -5 0 4ж + Чу - -5
0 Зж + Ау — —5
3. Укажите второй по величине положительный корень урав-
. /7ГЖ\ /5л\
нения sin I — ) = cos I — I.
\ 12/ \ 6 /
0 8 0 20 0 16 0 22 0 14
4. Если в арифметической прогрессии «27 — a2i = 9, то значение «23 — а7 равно
0 22 0 18 0 24 0 28 0 32
5. Отрезок прямой, которая касается параболы у = 2х2 — 4жв точке с абсциссой ж — 2, вместе с отрезками осей координат образует треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 [3]3 0400
6. Если жх — меньший корень, ж2 — больший корень уравнения ж2 — 28ж + 16 = 0 и А — у/х2 + \/xi, то
0 A Е [0; 6,5) 0 А Е [6, 5; 7,5) 0 А Е [7,5; 8, 5)
0 А Е [8,5; 9,5) 0 А Е [9, 5; 999)
7. Найдите наибольшее значение параметра Ь, при котором хотя бы одно решение неравенства |ж — 3| 6 не является решением
неравенства ж — 21 < Ь.
06 07 08 04 05
О „ Г У = ж2 - 4|ж| + 4,
8. Сколько решении имеет система < 2 _|_ ^2 _ 4?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
190
Вариант 4-с22
9. Сколько целых чисел являются решениями неравенства z-4^ + 3 О?
0 шесть или меньше шести |~2~| семь |~3~| восемь 0 девять
0 десять или больше десяти
10. Функция у = х3 — 27ж2 достигает своего минимального значения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
11. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии i>i, &з> • • • равна 28, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 12, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0д6 (0; 0,3] 0д6 (0,3; 0,4] 0д6 (0,4; 0,5]
0? G (0,5; 0,7] 0g £ (0,7; 1)
12. В начале первой недели в пруд запустили 9 инфузорий. В конце каждой недели каждая инфузория делится на 3 части, после чего карась съедает 6 инфузорий. В начале 31-й недели число инфузорий в пруду будет равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
13. Все решения неравенства cos4 х + —- sin4 х, принадле-
жащие промежутку х 6 — которого равна
7Г 7Г 2’ 2
5тг т
, образуют промежуток, длина
14. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 3)ж2 + 8х + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
191
Варианты вступительных экзаменов
15.
Если А =
Iog3 16 + log9 2 log81 8 - log27 4
то
0 Л 3 0 А Е (3; 5] 0 А Е (5; 10] 0 А Е (10; 15] 0 А > 15
1
£ Д
4
~ f (т + 3)т + у - т + 4,
16. Система < , Л. „ имеет бесконечное
((1 — т)х + (т + 2)у — т + 8
множество решений при
одном значении т Е {—4; 4)
одном значении т Е (—оо; —4]
одном значении т £ [4; +оо)
ровно двух значениях параметра т
таких значений параметра т не существует
17. Сумма всех различных корней уравнения
т2 — 6х + 23 = 7\/т2 — 6т + 13 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 0400
18. Наименьшее значение функции у = 8® + 2log29~31 равно 0 2V3 06 0 Зл/2 @ 9 0 4V3
19. Число S, равное сумме всех различных целочисленных решений неравенства log14(T2 — 13т + 36) 1, принадлежит проме-
жутку
05 6 (-999; 19] 0 5 £ (19; 22] 0 5 £ (22; 24] 0 5 £ (24; 28]
0 S £ (28; 999)
ра р, при которых система уравнений <
20. Пусть N — количество целочисленных значений парамет-т2 + у2 = 240,
^7 • т + ~ =р >/3
ровно четыре различных решения. Укажите остаток от деления N
имеет
на 5.
0102030400
192
Вариант 4-с22
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 297ж8 = ж11 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 [3] 3 [04 00
22. Если S — площадь фигуры, образованной всеми точками на плоскости, для которых |ж — 5| — 9 у -\/8|ж| — ж2, то 05 6 (0; 95) 0 S б [95; 100) 0 S Е [100; 105)
0 S Е [105; ПО) 0 S Е [110; 999)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых f ж2 + 18рж + 77р2 0,
система < , „_..2 - \2 имеет единственное решение, рав-
Цж — 324) (29р)
на натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
24. Если после совместного выполнения половины работы Билл повысит свою производительность на 60%, а Джек повысит на 140%, то на выполнение всей работы понадобится 36 дней. Если же указанное повышение произойдет после истечения половины времени, то на выполнение всей работы понадобится 32 дня. За сколько дней выполнят они работу с плановой производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102030400
25. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 917Г. Длина стороны АС = 8, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть ж — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0жб(О; 7,5) 0же[7,5; 8,5) 0 ж Е [8,5; 9,5)
0 ж б [9,5; 10,5) 0 ж б [10,5; 999)
193
Варианты вступительных экзаменов
26. Если Xi — наименьший положительный корень уравнения sin(25x) + sin(237s) = sin(37s) 4- sin(249a;), то значение выраже-
7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
01 @2 [3]3 04 00
27. Сумма всех различных корней уравнения
2 / 7гж \ 9 — х
— arcsin sin — I = —-— равна натуральному числу, остаток от 7г \ 2 / 3
деления которого на 5 равен
0102030400
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 36log51 = 216 • 38521logl 5, принадлежит промежутку 0 (0; 11) 0 [11; 12) 0 [12; 13) 0 [13; 14) 0 [14; 999)
29. Значение параметра р, при котором уравнение
2х8 + 16ж6 — 2у/рх5 +46ж4 — 16-^/рх3 +рх2 + 81 = 0 имеет хотя бы один корень, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
30. Предприниматель должен израсходовать 1512 у. е. на наем грузчиков (4 у. е. на каждого) и менеджеров (14 у. е. на каждого) причем ожидаемый доход (в у. е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
01 02 03 04 00
Вариант 4-с23
1. Накладные расходы составляют 30% общих расходов фирмы. Если накладные расходы увеличить в 6 раз, то после этого они будут составлять от общих расходов
0 80% 0 180% 0 72% 0 360% 0 96%
194
Вариант 4-с23
2. Составьте уравнение прямой, которая симметрична прямой Зж — Ау = 5 относительно оси абсцисс.
0 4ж — Чу = 5 0 Зж — 4у = — 5 0 4ж + Чу — — 5 0 Зж + 4у = 5
0 Зж — 4у = 5
3. Укажите второй по величине положительный корень урав-. /7ГЖ\ /47Г\
нения ~ cos^—J.
0 20 0 16 0 22 0 14 0 8
4. Если в арифметической прогрессии «19 — ац = 28, то значение азе — Я14 равно
0 72 0 36 0 81 0 64 0 77
5. Отрезок прямой, которая касается параболы у = 2ж2 — 14ж в точке с абсциссой ж = 7, вместе с отрезками осей координат образует треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
6. Если Ж1 — меньший корень, жг — больший корень уравнения ж2 — 52ж + 36 = 0 и А — у/х2 + y/xi, то
0 А Е [0; 6,5) 0 А б [6,5; 7,5) 0 А Е [7,5; 8,5)
0 A G [8,5; 9,5) 0 А б [9,5; 999)
7. Найдите наибольшее значение параметра Ь, при котором хотя бы одно решение неравенства |ж — 4| 5 не является решением
неравенства ж — 3| < Ь.
04 05 08 06 07
о „ „ f у = ж2 — 4 ж + 4,
о. Сколько решении имеет система < 9 9 ' '
( ж2 + у = 1 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
195
Варианты вступительных экзаменов
9. Сколько целых чисел являются решениями неравенства х — 9\/х + 20 О?
0 девять или меньше девяти |~2~] десять [~3~| одиннадцать
0 двенадцать |~5~[ тринадцать или больше тринадцати
10. Функция у = х4 — 56ж3 достигает своего минимального значения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 [3] 3 04 00
11. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии bi, 62, Ьз, • • • равна 20, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 4, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0g б (0; 0,3] 0g б (0,3; 0,4] 0g б (0,4; 0,5]
09 G (0,5; 0,7] 0 q Е (0, 7; 1)
12. В начале первой недели в пруд запустили б инфузорий. В конце каждой недели каждая инфузория делится на 4 части, после чего карась съедает 9 инфузорий. В начале 31-й недели число инфузорий в пруду будет равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
13. Все решения неравенства cos4 х — sin4 х
принадле-
жащие промежутку х Е
которого равна
7Г
2
, образуют промежуток, длина
14. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 12)ж2 + 4ж + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5
равен
0102030400
196
Вариант 4-с23
15. Если А = +
logg 25 - log16 5
то
0 А 3 0 А Е (3; 5] 0 А Е (5; 10] 0 А Е (10; 15] 0 А > 15
16.
Система
ное множество решений при
(m — 2)х + (т + 1)у = 3m — 4, х 4- (m — 3)у — 2т — 1
имеет бесконеч-
1
2 3
£ К
одном значении т Е (—4; 4) одном значении m 6 (-оо; —4] одном значении т Е [4; +оо) ровно двух значениях параметра т таких значений параметра т не существует
17. Сумма всех различных корней уравнения
т2 — 16т + 74 = 5-\/х2 — 16т + 68 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
18. Наименьшее значение функции у = 27® + з10^24-3® равно 08 0 8\/2 0 6УЗ 0 4^6 0 12
19. Число S, равное сумме всех различных целочисленных решений неравенства log2i (т2 — 12т + 32) 1, принадлежит проме-
жутку
0 S Е (-999; 29] 0 S Е (29; 35] 0 S Е (35; 41] 0 S Е (41; 51] 05G (51; 999)
20. Пусть N — количество целочисленных значений парамет-т2 + у2 = 126,
/— у имеет
V32 • т 4—— = р
у/2
ровно четыре различных решения. Укажите остаток от деления N на 5.
01 02 03 04 00
ра р, при которых система уравнений
197
Варианты вступительных экзаменов
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 704а;8 = а;11 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 @0
22. Если S — площадь фигуры, образованной всеми точками! на плоскости, для которых |ж — 2| — 4 у \/4|ж| — а;2, то 0 S € (0; 24) 0 S € [24; 26) 0 S € [26; 28) 0 S € [28; 30) 0 S' € [30; 999)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых ( х2 + 12рх + 35р2 < 0,
система < 240)2 > (19р)2 имеет единственное решение, рав-
на натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2030400
24. Если после совместного выполнения половины работы Билл повысит свою производительность на 50%, а Джек повысит на 150%, то на выполнение всей работы понадобится 54 дня. Если же указанное повышение произойдет после истечения половины времени, то на выполнение всей работы понадобится 48 дней. За сколько дней выполнят они работу с плановой производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 01 @2 03 04 00
25. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 31тг. Длина стороны АС = 4, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть х — длина стороны АВ. Укажите верное утверждение.
0 X е (0; 7,5) 0 X е [7,5; 8,5) 0 х е [8,5; 9,5)
0 х е [9,5; 10,5) 0 х е [10,5; 999)
198
Вариант 4-с24
26. Если Xi — наименьший положительный корень уравнения sin(27a:) + sin(233;r) = sin(33a:) + sin(239a:), то значение выраже-7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
Щ 1 0 2 Щз 04 0 О
27. Сумма всех различных корней уравнения
2 . f . irx\ 10 — х
— arcsin (sm — I = —-— равна натуральному числу, остаток от тг \ 2 / 3
деления которого на 5 равен
0102030400
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения 91о^ж = 243 . I8652logi 5, принадлежит промежутку 0 (0; 40) 0 [40; 50) 0 [50; 60) 0 [60; 70) 0 [70; 999)
29. Значение параметра р, при котором уравнение
2ж8 + 22а;6 — 2у/рх^ + 71ж4 — 22^/рж3 + рх2 + 625 — 0 имеет хотя бы один корень, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
30. Предприниматель должен израсходовать 1440 у. е. на наем грузчиков (2 у. е. на каждого) и менеджеров (15 у. е. на каждого) причем ожидаемый доход (в у. е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102 03 04 00
Вариант 4-с24
1. Накладные расходы составляют 20% общих расходов фирмы. Если накладные расходы увеличить в 12 раз, то после этого они будут составлять от общих расходов
0 240% 0 72% 0 64% 0 75% 0 140%
199
Варианты вступительных экзаменов
2. Составьте уравнение прямой, которая симметрична прямой Зж + 4у = 5 относительно оси абсцисс.
0 Зж — 4у = 5 [2] Зж — 4у - —5 [з~| 4ж + Зу = — 5 0 4ж + Зу = 5 [К] Зж + 4у — —5
3. Укажите второй по величине положительный корень урав-/тгж\ . /2тг\ нения cos — — sm — .
V 12/ \ 3 /
0 14 0 8 0 20 0 16 0 22
4. Если в арифметической прогрессии а27 — «15 = 9, то значение азз — <217 равно
0 И 0 18 0 24 0 12 0 16
5. Отрезок прямой, которая касается параболы у = 2ж2 — 12ж в точке с абсциссой ж = 6, вместе с отрезками осей координат образует треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
S 1 @ 2 03 04 @0
6. Если жх — меньший корень, ж2 — больший корень уравнения ж2 — 41ж + 16 = 0 и А = т/жг + \/^i> то
0 А е [0; 6,5) 0 А G [6,5; 7,5) 0 А & [7,5; 8,5)
0 А 6 [8,5; 9,5) 0 А G [9,5; 999)
7. Найдите наибольшее значение параметра Ь, при котором хотя бы одно решение неравенства |ж — 1| 5 не является решением
неравенства ж — 4| < Ь.
03 07 08 04 02
„ „ f у = ж2 — 2|ж| — 1,
8. Сколько решении имеет система < ^2 у2 _ । 7
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
200
Вариант 4-с24
9. Сколько целых чисел являются решениями неравенства х -7^+12^ О?
Щ шесть или меньше шести 121 семь j3[ восемь [4 j девять
[б] десять или больше десяти
10. Функция у = х3 — 54ж2 достигает своего минимального значения на промежутке (0; +оо) в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
11. Если сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии bi, Ьг, Ьз,... равна 15, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 6, то значение знаменателя q удовлетворяет условию
0д£ (0; 0,3] [2] g е (0,3; 0,4] [з] g € (0,4; 0,5]
й q S (0,5; 0,7] [0 q € (0,7; 1)
12. В начале первой недели в пруд запустили 8 инфузорий. В конце каждой недели каждая инфузория делится на 3 части, после чего карась съедает 6 инфузорий. В начале 31-й недели число инфузорий в пруду будет равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
010203 04 00
13. Все решения неравенства cos4 ж — sin4 ж > принадлежа-Л
7Г
щие промежутку х 6 торого равна
5тг т
7Г
2
, образуют промежуток, длина ко-
14. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р — 2)х2 + Юж + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 Щ4 @0
201
Варианты вступительных экзаменов
15.
Если А =
log2 9 + log4 27 log8 81 — log16 3’
то
|T| А 3 0 А е (3; 5] 0 А 6 (5; 10] 0 А е (10; 15] 0 А > 15
д д д
1« о f (т + 3)х + 2у = 7 + 2т, 16. Система < ' , . имеет бесконечное мно-
[ 2х + (т + 6)у = 4 — m
жество решений при
1 ровно двух значениях параметра т
одном значении m 6 (-оо; —4]
одном значении т 6 (—4; 4)
одном значении т 6 [4; +оо)
таких значений параметра т не существует
17. Сумма всех различных корней уравнения
х2 — 14т + 76 = 9\/х2 — 14т + 58 равна натуральному числу, оста-
ток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
18. Наименьшее значение функции у — 25х + 5log5^12^ 2х равно 0 6 0 3^3 0 4л/3 0 6^2 0 8
19. Число S, равное сумме всех различных целочисленных решений неравенства log12(a:2 — 14т + 45) 1, принадлежит проме-
жутку
0 S е (-999; 22] 0 S G (22; 27] 0 S € (27; 31] 0 S' 6 (31; 53]
0 S € (53; 999)
20. Пусть N — количество целочисленных значений парамет-
ра р, при которых система уравнений
х2 + у2 = 1120, у--- У
v45 • х Н—= р
У5
имеет
ровно четыре различных решения. Укажите остаток от деления N
на 5.
0102030400
202
Вариант 4-с24
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение 243а;6 = 6ж9 + р имеет ровно два различных корня, то р — натуральное число, остаток от деления которого на 5 равен
@2 ЩЗ 04 @0
22. Если S — площадь фигуры, образованной всеми точками на плоскости, для которых |ж + 3|^у^5 + y/^xj — х2, то 0 S е (0; 25) 0 S е [25; 27) 0 S 6 [27; 29) 0 S 6 [29; 31) 0 S е [31; 999)
23. Сумма всех различных значений параметра р, при которых f х2 + 8рх + 15 и2 < 0, система < , п,г,ч2 - \2 имеет единственное решение, рав-
цж — 240) (17р)
на натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
24. Если после совместного выполнения половины работы Билл повысит свою производительность на 80%, а Джек повысит на 160%, то на выполнение всей работы понадобится 64 дня. Если же указанное повышение произойдет после истечения половины времени, то на выполнение всей работы понадобится 55 дней. За сколько дней выполнят они работу с плановой производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102 03 04 00
25. Треугольник АВС вписан в окружность, площадь которой равна 73тг. Длина стороны АС = 7, а угол, лежащий против стороны ВС, равен 120°. Пусть х — длина стороны АВ. Укажите верное' утверждение.
0 х € (0; 7, 5) 0 х & [7,5; 8,5) 0 х 6 [8, 5; 9,5)
0 х € [9, 5; 10,5) 0 ж е [10, 5; 999)
203
Варианты вступительных экзаменов
26. Если Xi — наименьший положительный корень уравнения sin(17a:) + sin(219a:) = sin(23r) + sin(225a:), то значение выраже-7Г
ния — является натуральным числом, остаток от деления кото-
рого на 5 равен
01 @2 0304 00
27. Сумма всех различных корней уравнения
2 . ( . тгх\ 13 — ж
— arcsin I sm — i = —-— равна натуральному числу, остаток от я \ 2 / 3
деления которого на 5 равен 0102030400
28. Число, равное произведению всех различных корней уравнения Qi062® = 243 • 7328l10g*2, принадлежит промежутку 0 (0; 2) @ [2; 3) 0 [3; 4) 0 [4; 5) 0 [5; 999)
29. Значение параметра р, при котором уравнение
2ж8 + 26ж6 — 2^/рж5 + 161ж4 — 26^/рж3 + рх2 + 16 = 0 имеет хотя бы один корень, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
30. Предприниматель должен израсходовать 1944 у. е. на наем грузчиков (2 у. е. на каждого) и менеджеров (18 у. е. на каждого) причем ожидаемый доход (в у. е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102030400
Вариант 4-с31
1. Производительность труда возросла на 14%, поэтому работа была выполнена на 21 день быстрее плана. За сколько дней была выполнена работа?
0 180 0 160 0 132 0 120 0 150
204
Вариант 4-с31
2. Все значения параметра Ь, при которых прямая у — Ьх + 2 целиком расположена выше прямой у = b — Зх, определяются условием
06 = -3 @6> -3 @6< 2 Щ -3 < Ь< 2 [5]б < -3
3. Если сумма пятого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 15, то сумма третьего, седьмого, девятого и тринадцатого членов равна
[0 10 0 15 0 20 0 30 0 60
4. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у = х2 — 12т + 31, проведенных через точки этой параболы с абсциссами, равными х — 5 и х = 7, то [1]O<S^2O02O<S^25 025<5^3O03O<S^35 0 35 < S < 999
5. Если Xi — меньший корень, а?2 — больший корень уравнения т2 — 204х + 16 = 0 и Л = yjxy, — \fx{, то
[0Лб[О; 11,5) 0 А е [11,5; 12,5) 0Лб[12,5; 13,5)
0 А е [13,5; 14, 5) @ Л G [14, 5; 999)
6. Укажите наибольший корень уравнения /35тг\ V3 „ cos -|----= 0.
\ х } 2
7. Все значения параметра р, при которых все числа х G [8; 13] является решением неравенства |т — р| 7, образуют промежуток, Длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
205
Варианты вступительных экзаменов
8. Если коэффициенты уравнения х2 — 7 а; + 2 = 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 2, то сумма квадратов корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
S1 02 03 04 ЙО
Э. Сколько решений имеет система Р2 + ',^2
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
10. Все положительные решения неравенства
а;2 + 40а; 13 образуют промежуток, длина которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 01 @2 03 04 00
11. Если L = b — а — наибольшая возможная длина интервала (а; Ь), на котором функция у = 2а;3 — 27а;2 + 108а; убывает, то 0 L G (0; 1] 0 L е (1; 2] 0 L е (2; 3] 0 L & (3; 4]
0 L & (4, 999)
12. Все значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а сумма больше 8, образуют множество
а Я а (-1; о) и & 1) а (о; ^) Н & |)
В О
13. Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего корня уравнения а;2 — (\/7 + >/11) х + л/77 = 0 равна 0102030405
206
Вариант 4-с31
14. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 1000 у. е., процентная ставка составляет 30% в год, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. Ца сколько у. е. возрастет величина вклада за третий год хранения, если годовая процентная ставка за этот период не менялась? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0 1 Э 2 И 3 Н 4 ® 0
15. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
cos4 х — sin4 х < \/3 • sin 2х, равна
ЕНажау si
16. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (2р2 — 88р + 1)ж2 — 2(р — 9)ж + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
17. Сумма всех различных значений параметра р, при которых . 6х - 12
гипербола у =----— имеет единственную общую точку с прямой
х — 4
у = р — 2х, равна натуральному числу, остаток от деления которо
го на 5 равен
010 2 0 3 0 4 0 0
18. Укажите числовое значение выражения log2 (з1069^8) .
С -Р 'р'ц ~~ 2р | 3
19. Система < . „ Л ’ имеет больше одного решения
I 4ж - Зу = р + 0,5
при
одном значении параметра р 6 (—оо; 2]
2J одном значении параметра р 6 (2; 6]
207
Варианты вступительных экзаменов
0 одном значении параметра р G (6; +оо)
0 двух различных значениях параметра р
0 таких значений параметра р не существует
20. Число А, равное сумме наибольшего и наименьшего положительных корней уравнения (ж2 — 9) (ж2 — 14ж 4- 40) + 80 — 0, принадлежит промежутку
И А £ (0; 8] 0 А £ (8, 9] 0 А е (9; 10] 0 А £ (10; 11]
0 Л 6 (11; 999]
21. Сколько имеется целых чисел, которые не принадлежат множеству значений функции у = log(4a._a.2_1j 3?
[~1~] одно или ни одного 0 два [3~| три |~4~] четыре
0 пять или больше пяти
22. Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-f ж2 4- н2 = 2
рых система уравнений < . . ’ имеет ровно четыре различ-
[ у = |ж| — о
ных решения.
0 (1, 2) 0 (1; \/2) [З] (х/2; +оо) 0 (-оо; Л) 0 (\/2; 2)
23. Если значение параметра к таково, что уравнение кх = г<Ух — 48 имеет ровно два различных корня, то больший из корней является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 @0
24. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых удовлетворяют одновременно неравенствам ж2 4- у2 16 и ж 4- у 4.
0 4л- - 4 0 12л- 4-16 0 9л- + 12 0 12л- + 8 0 4л- - 8
25. Если Билл увеличит свою производительность труда на 80%, а Джек уменьшит на 30% по сравнению с планом, то время совместного выполнения работы не изменится по сравнению с
208
Вариант 4-с31
плановым, которое равно 36 дней. Биллу в одиночку на выполнение работы понадобится целое число дней. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
26. В треугольнике MNK проведены биссектриса NP и высота NQ, причем Р G МК и Q € МК, длины отрезков МР = 21, PQ = 2, QK = 1. При этих условиях квадрат высоты NQ равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
27. Наибольший из всех корней уравнения
2 sin2 х 4- 5 cos х 4- 1 = 0, лежащий на промежутке 0 С х С 2 л, при-
надлежит также промежутку
28. Если число N равно количеству различных корней уравне-2 . ( лж\ (х — 48)2
ния — arcsml sm — I =----—----, то остаток от деления N на 5
тг у 2 J 81
равен
01 @2 03 04 00
29. Сумма всех различных значений параметра Ь, при которых ( 2ж2 — 23ж 4- 71 С у С ж2 — Их 4- 39, система < , имеет не меньше
[у = х + Ь
одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен 0102 03 04 00
30. Уравнение
l°g4(56x — 1) • ^.Дббж — 1) = log4(56x — 1) 4- log4(x2) имеет корень, принадлежащий промежутку
0 х £ (0,1; 0,125] 0 х G (0,125; 0,2] 0 х G (0,2; 0,25]
0 х е (0,25; 0,334] 0 х е (0,334; 1)
209
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 4-с32
1. Производительность труда возросла на 12%, поэтому работа была выполнена на 6 дней быстрее плана. За сколько дней была выполнена работа?
Щ 42 Щ 48 [з] 50 Щ 60 [б] 72
2. Все значения параметра Ь, при которых прямая у — Ъх + 2 целиком расположена выше прямой у = b — Зж, определяются условием
[Т] Ъ = -3 [2] b > -3 [з] b < 2 Щ -3 < b < 2 [б] b < -3
3. Если сумма третьего и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 24, то сумма четвертого, пятого, девятого и десятого членов равна
Щ 6 0 12 [з] 24 Щ 36 [б] 48
4. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у = х2 — 12ж + 31, проведенных через точки этой параболы с абсциссами, равными х = 5 и х = 7, то [Т]0<>9^20[2]20<5^25 [з] 25 < S 30 Щ 30 < S 35 [б] 35 < S < 999
5. Если Xi — меньший корень, х% — больший корень уравнения х2 — 129ж + 16 - 0 и А = у/х2 — у/^i, то
[Т] А £ [0; 11,5) 0 А е [11, 5; 12, 5) [з] А е [12,5; 13,5)
Щ A е [13,5; 14,5) [б] А е [14,5; 999)
6. Укажите наибольший корень уравнения
[Т] 20 0 12 [з] 15 Щ 28 [б] 18
7. Все значения параметра р, при которых все числа х G [4; 9] является решением неравенства \х — р| 6, образуют промежуток,
210
Вариант 4-с32
длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 @3 04 @0
8. Если коэффициенты уравнения х2 — 12ж 4-7 = 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 4, то сумма квадратов корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
Г л — х2 — 4
9. Сколько решений имеет система < , 9 ’
[ж2 4-у =4?
0 одно [0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
10. Все положительные решения неравенства
х2 4- 15ж 8\/ж^ образуют промежуток, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 0102030400
11. Если L = b — а — наибольшая возможная длина интервала (а; &), на котором функция у = 2ж3 — 27х2 4- 84ж убывает, то 0LG(O; 1] 0LG(1; 2] 0 L G (2; 3] 0 L G (3; 4]
0 L G (4; 999)
12. Все значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 2, а сумма больше 6, образуют множество
1)@(^ +oo)S(-i;0)U(|; 1)0 (о; I) ®(Н)
211
Варианты вступительных экзаменов
13. Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего корня уравнения ж2 — (х/8 4- л/10)ж 4- л/80 = 0 равна 01 @2 03 04 @5
14. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 1000 у. е., процентная ставка составляет 60% в год, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько у. е. возрастет величина вклада за третий год хранения, если годовая процентная ставка за этот период не менялась? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0 1 02 03 04 00
15. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
4 -4^1 • п
cos х — sm х -/= • 31п2ж, равна
16. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (2р2 — 72р 4- 1)ж2 — 2(р — 4)ж 4-1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
17. Сумма всех различных значений параметра р, при которых 4ж — 3
гипербола у =---— имеет единственную общую точку с прямой
х — 3
у = р — х, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 10 2 0 3 0 4 0 0
18. Укажите числовое значение выражения log3 I 210g4'z5 ).
212
Вариант 4-с32
п (бх+ру = р-2, л
19. Система < „ , . _ имеет больше одного решения
( Зж + 4?/ = р — 5
при
1
2
3
4
К
одном значении параметра р G (—оо; 2] одном значении параметра р G (2; 6] одном значении параметра р G (6; 4-оо) двух различных значениях параметра р таких значений параметра р не существует
20. Число Л, равное сумме наибольшего и наименьшего положительных корней уравнения (ж2 — 1)(ж2 — 14ж + 48) = 72, принадлежит промежутку
[Т] А £ (0; 10] [2] A G (10; 11] [з] А е (11; 12] Щ А € (12; 13]
@ AG (13; 999]
21. Сколько имеется целых чисел, которые не принадлежат множеству значений функции у = log(8a._a.2_i3j 81 ?
|Т| одно или ни одного [2~| два [3~| три [Z] четыре
5 пять или больше пяти
рых система уравнений
22. Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-аг2 + у2 = 1,
. , , имеет ровно четыре различ-
у = |ж| — о
ных решения.
S (^ 2) [2] (1; %/2) [з] (-оо; %/2) Щ (1; 4-оо) [Ц (1; 2)
23. Если значение параметра k таково, что уравнение kx = — 48 имеет ровно два различных корня, то больший из
корней является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 @0
213
Варианты вступительных экзаменов
24. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых удовлетворяют одновременно неравенствам г2 + у2^4иж + у + 2^0.
[Г] 37Г Н- 4 Зтг 4- 2 [з] 2тг — 3 0тг- 2 0 я + 4
25. Если Билл увеличит свою производительность труда на 60%, а Джек уменьшит на 70% по сравнению с планом, то время совместного выполнения работы не изменится по сравнению с плановым, которое равно 56 дней. Биллу в одиночку на выполнение работы понадобится целое число дней. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
26. В треугольнике MNK проведены биссектриса NP и высота NQ, причем Р G МК и Q G МК, длины отрезков МР = 30, PQ = 3, QK = 2. При этих условиях квадрат высоты NQ равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
27. Наибольший из всех корней уравнения
2 cos2 х 4- д/З sin х 4-1 = 0, лежащий на промежутке 0 х 2тг, принадлежит также промежутку
28. Если число N равно количеству различных корней уравне-2 . ( . тгх\ (ж - 49)2 дг
ния — arcsin sin — I =-—---, то остаток от деления N на 5
7г \ 2 ) 64
равен
0102 03 04 00
29. Сумма всех различных значений параметра Ь, при кото-f 2ж2 — 19т 4- 55 у х2 — 9т 4- 34, рых система < , имеет не мень-
[у = х 4- о
ше одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен
01 02 03 04 00
214
Вариант 4-сЗЗ
30. Уравнение
log8(45x + 4) • log^Sz 4- 4) = log8(45a; 4- 4) 4- log8 (ж2) имеет корень, принадлежащий промежутку
[Т] X G (0,1; 0,125] 0 х е (0,125; 0, 2] [з] х G (0, 2; 0,25]
[4] х £ (0, 25; 0,334] [б] х G (0, 334; 1)
Вариант 4-сЗЗ
1. Производительность труда возросла на 14%, поэтому работа была выполнена на 21 день быстрее плана. За сколько дней была выполнена работа?
[Г] 180 0 160 [з] 132 Щ 120 [К] 150
2. Все значения параметра Ь, при которых прямая у = b — х целиком расположена выше прямой у = — bx — 1, определяются условием
[Т]г><1[2]ь>1[з]ь = — 1 [4] ь = 1 0 -1 < ь < 1
3. Если сумма седьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна 12, то сумма пятого, шестого, двенадцатого и тринадцатого членов равна
Щ 12 [2] 24 [з] 36 Щ 48 [К] 18
4. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у = —ж2 4- 12ж — 31, проведенных через точки этой параболы с абсциссами, равными х = 5 и х = 7, то
[1] 0 < S 10 [2] 10 < S 12, 25 [з] 12,25 < S 16
Й 16 < S 18 [б] 18 < S < 999
5. Если х± — меньший корень, жг — больший корень уравнения х2 — 231ж 4- 9 = 0 и А = у/х2 — y/xi, то
П Л G [0; 11,5) 0 А £ [11, 5; 12,5) [з] А € [12,5; 13,5)
Й Л G [13,5; 14, 5) [К] A G [14,5; 999)
215
Варианты вступительных экзаменов
6. Укажите наибольший корень уравнения . /70тг\ а/2 „
sin -- I + — = 0.
\ х ) 2
7. Все значения параметра р, при которых все числа х G [9; 14] является решением неравенства |ж — р| 8, образуют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
8. Если коэффициенты уравнения х2 — 7х + 2 — 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 2, то сумма квадратов корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
9. Сколько решений имеет система _^у2 — 0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех 0 решений нет
10. Все положительные решения неравенства
х2 + 28ж 11^ образуют промежуток, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 0102 03 04 00
11. Если L = Ь — а — наибольшая возможная длина интервала (а, Ь), на котором функция у = х3 — 12ж2 + 45ж убывает, то
0 L G (0; 1] 0L е (1; 2] 0 L € (2; 3] 0 L е (3; 4]
0 L £ (4; 999)
216
Вариант 4-сЗЗ
12. Все значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а сумма больше 8, образуют множество
0(|; 1)0(о; Z)B(L S)
0 & о
13. Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего корня уравнения х2 — (л/б 4- \/Т1) х 4- л/бб = 0 равна
Щ 1 0 2 [3] 3 0 4 0 5
14. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 1000 у. е., процентная ставка составляет 30% в год, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько у. е. возрастет величина вклада за третий год хранения, если годовая процентная ставка за этот период не менялась? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 01 @2 03 04 00
15. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
cos4 х — sin4 х 4- -/= • sin2x > 0, равна
16. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (2р2 — 44р 4- 1)ж2 — 2(р — 7)ж 4-1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
17. Сумма всех различных значений параметра р, при которых „ < 6я - 12
гипербола у =-----имеет единственную общую точку с прямой
х — 4
217
Варианты вступительных экзаменов
у = р — 2х, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 0 2 0 3 0 4 0 О
18. Укажите числовое значение выражения
log3 ^210g^9) .
1
J з
4 5
19. Система $6х+ру ^р, имеет больше одного решения при ( 4х + лу — 9
одном значении параметра р G (—оо; 2]
одном значении параметра р G (2; 6]
одном значении параметра р € (6; +оо) двух различных значениях параметра р таких значений параметра р не существует
20. Число А, равное сумме наибольшего и наименьшего положительных корней уравнения (х2 — 4)(х2 — 12х + 32) = 25, принадлежит промежутку
0 А Е (0; 9] 0 А Е (9; 10] 0 А Е (10; 11] 0 А Е (11; 12]
0 А Е (12; 999]
рых система уравнений
21. Сколько имеется целых чисел, которые не принадлежат множеству значений функции у = log^-a^-i) 3?
0 одно или ни одного 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
22. Укажите множество всех значений параметра Ъ, при кото-sc2 + у2 = 4,
. , , имеет ровно четыре различ-
у = |ж [ — о
ных решения.
0 (х/2; 2) 0 (0; 2^2) 0 (2; 2x0 0 (2>/2; +оо) 0 (-оо; 2)
23. Если значение параметра к таково, что уравнение кх = \Лс — 42 имеет ровно два различных корня, то больший из
218
Вариант 4-сЗЗ
корней является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
24. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых удовлетворяют одновременно неравенствам х2 + у2 4 и х + у 2.
037г + 2037г + 407г- 2 07г + 4 02тг — 3
25. Если Билл увеличит свою производительность труда на 80%, а Джек уменьшит на 30% по сравнению с планом, то время совместного выполнения работы не изменится по сравнению с плановым, которое равно 36 дней. Биллу в одиночку на выполнение работы понадобится целое число дней. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 0з S4 0°
26. В треугольнике MNK проведены биссектриса NP и высота NQ, причем Р G МК и Q G МК, длины отрезков МР = 25, PQ — 2, QK = 3. При этих условиях квадрат высоты NQ равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 03 @4 00
27. Наибольший из всех корней уравнения
2 sin2 х + ЗчЛ cos х + 4 = 0, лежащий на промежутке 0 х 2тг, принадлежит также промежутку
0 [°; 0 h В 0 0 2^]
28. Если число N равно количеству различных корней уравне-
2 . ( . тгх \ (х — 63)2
ния — arcsin sm— I =------, то остаток от деления 7V на 5
я \ 2 у 36
равен
01 02 03 04 00
219
Варианты вступительных экзаменов
29. Сумма всех различных значений параметра Ь, при кото-( 2х2 — 15х + 28 у х2 — 7х + 21,
рых система < . имеет не мень-
[ у — х + о
те одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен
01 02 03 04 00
30. Уравнение
logn(20z - 1) • log^O® - 1) = logu(20a; - 1) + logn (x2) имеет корень, принадлежащий промежутку
0 х G (0,1; 0,125] 0 х G (0,125; 0,2] 0x6 (0,2; 0,25]
0 х G (0, 25; 0,334] 0 х G (0,334; 1)
Вариант 4-с34
1. Производительность труда возросла на 30%, поэтому работа была выполнена на 12 дней быстрее плана. За сколько дней была выполнена работа?
0 40 0 36 0 52 0 24 0 64
2. Все значения параметра Ь, при которых прямая у = Ьх + 3 целиком расположена выше прямой у = 5х — Ь, определяются условием
0Ь>505 = —3 0Ь>—3 03<5<5 0Ь = 5
3. Если сумма пятого и девятого членов арифметической прогрессии равна 7, то сумма второго, четвертого, десятого и двенадцатого членов равна
0 14 0 21 0 28 0 56 0 10
4. Если S — площадь треугольника, ограниченного отрезком оси абсцисс и отрезками касательных к параболе у = —х2 + 10т — 16, проведенных через точки этой параболы с абсциссами, равными ж = 4 и i = 6, то
0 0 < S 25 0 25 < S 50 0 50 < S 60 0 60 < S 62,5
0 62,5 < S < 999
220
Вариант 4-с34
5. Если Xi — меньший корень, ®2 — больший корень уравнения
#2 — 154® + 25 = 0 и А = у/х2 — y/xi, то
0 А е [0; И, 5) 0 А е [11,5; 12,5) 0 А € [12,5; 13,5)
g А е [13,5; 14,5) 0 А е [14,5; 999)
6. Укажите наибольший корень уравнения /20тг\ 1 Л
cos -- + - = 0.
\ х ) 2
0 15 0 18 0 12 0 30 0 28
7. Все значения параметра р, при которых все числа х G [8; 13] является решением неравенства |® — р\ < 7, образуют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
8. Если коэффициенты уравнения ®2 — 8т + 2 = 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 2, то сумма квадратов корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
_ „ „ f у = ®2 — 2® — 3,
9. Сколько решений имеет система < 2 , о
( х* + у2 = 1 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
10. Все положительные решения неравенства
т2 + 40® 13а/®® образуют промежуток, длина которого равна на-
туральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 01 @2 @3 04 00
221
Варианты вступительных экзаменов
11. Если L = b — а — наибольшая возможная длина интервала (а; Ь), на котором функция у = 2т3 — 27х2 + 108ж убывает, то [Т] L & (0; 1] 0 L £ (1; 2] 0 L G (2; 3] 0 L G (3; 4]
0 L G (4; 999)
12. Все значения знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а сумма больше 6, образуют множество
а (-1. о) и & 0 а (|. Ч в (°; I) в & О
[s] + ’)
Ш \6’ 5/
13. Разность квадрата большего корня и квадрата меньшего корня уравнения х2 — (а/7 + ч/8)т + >/56 — 0 равна
01 @2 03 @4 [К] 5
14. В начале первого года в банк был внесен вклад величиной в 1000 у. е., процентная ставка составляет 40% в год, доход по вкладу начисляется в конце каждого года и прибавляется к вкладу. На сколько у. е. возрастет величина вклада за третий год хранения, если годовая процентная ставка за этот период не менялась? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. [1]1@2®3[4]4[5]0
15. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
cos4 х — sin4 х \/3 • sin2sc, равна
И? 0 j 0у Еу
16. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (2р2 — 62р + 1)ж2 — 2(р — 6)ж + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
[Т]1 @2 03 04 00
222
Вариант 4-с34
17. Сумма всех различных значений параметра р, при которых , Зж ~ 2
гипербола у =-----— имеет единственную общую точку с прямой
х — 2
у = р — 4т, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 а 2 0 3 0 4 0 О
18. Укажите числовое значение выражения log2 (з1о5э>/з8) .
,, Л „ ( 2х + ру = р,
19. Система < 4у — р + 4 имеет больше одного решения при 0 ровно двух различных значениях параметра р
0 таких значений параметра не существует
0 одном значении р € (6; +оо) [0 одном значении р € (2; 6]
0 одном значении р € (—оо; 2]
20. Число А, равное сумме наибольшего и наименьшего положительных корней уравнения (х2 — 1)(т2 — 12а; + 35) = 64, принадлежит промежутку
0 А е (0; 9] 0 А е (9; 10] 0 A G (10; И] 0 A G (11; 12]
0 A G (12; 999]
21. Сколько имеется целых чисел, которые не принадлежат множеству значений функции у — log(ea;-a;2_7) 32?
0 одно или ни одного 0 два 0 три 0 четыре
|5 пять или больше пяти
22. Укажите множество всех значений параметра Ь, при кото-„ [ х2 + у2 = 8,
Рых система уравнении < _ & । । имеет ровно четыре различ-
ных решения.
0 (2; 4) 0 (2; 2x0 0 (2^2; +оо) 0 (2х/2; 4) 0 (-оо; 2x0
223
варианты вступительных экзаменов
23. Если значение параметра к таково, что уравнение кх = - 72 имеет ровно два различных корня, то больший из
корней является натуральным числом, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
24. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых удовлетворяют одновременно неравенствам ж2 + у2 4 и х + у 2.
037Г + 2027Г + 3037Г + 407Г-207Г + 2
25. Если Билл увеличит свою производительность труда на 80%, а Джек уменьшит на 50% по сравнению с планом, то время совместного выполнения работы не изменится по сравнению с плановым, которое равно 30 дней. Биллу в одиночку на выполнение работы понадобится целое число дней. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
26. В треугольнике MNK проведены биссектриса NP и высота NQ, причем Р € МК и Q G МК, длины отрезков МР = 21, PQ = 2, QK = 1. При этих условиях квадрат высоты NQ равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
27. Наибольший из всех корней уравнения
2 cos2 х 4- 7 sin х + 2 = 0, лежащий на промежутке 0 С х 2л, принадлежит также промежутку
ИГ Л\ г—1 Г Л \ Г—-| Г Зл\ Г—I Г Зтг 7л\ г—-I Г 7л ]
[°: j) 0 [а'' ”) S Г; у) S [у: у) 0 [f - 2’]
28. Если число N равно количеству различных корней уравне-2 ( тгх \ (х — 49)2
ния — arcsinl sin — I =-—--, то остаток от деления N на 5
л \ 2 / 64
равен
01 @2 0304®О
224
Вариант 4-с41
29. Сумма всех различных значений параметра Ь, при которых ( 2х2 — 23х + 71 < у < х2 — 11® + 39, система < , имеет не меньше
(у = х + о
одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен
Щ1 @2 [з]з Щ4 00
30. Уравнение
log7(12® - 1) • loga.(12® - 1) = log7(12® - 1) + log7(®2) имеет корень, принадлежащий промежутку
[Г] х Е (0,1; 0,125] [2] х G (0,125; 0,2] [з] х € (0,2; 0,25]
Щ х G (0, 25; 0,334] [б] х G (0, 334; 1)
Вариант 4-с41
1. Билл купил автомобиль со скидкой 80% от рыночной цены и продал его, получив прибыль в размере 70%. С какой скидкой от рыночной цены был продан автомобиль?
[1] 10% 0 66% 0 56% Щ 50% [б] 22%
2. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой х — у = 0 образует острый угол 15°.
0 \/3 • ж + у = 0 f2~| 2 • х — \/3 • у = 0 [з] х + \/3 • у — 0
[4] л/3 • х - у = 0 [б] л/3 • х - 2 • у = 0
3. Укажите наибольший корень уравнения /35тг\ 1
sm --- + - = 0.
\ х ) 2
[1] 30 [2] 35 [з] 42 Щ 28 [б] 70
4. Корень уравнения 3~х = 5 равен
0 [%] З5 [3~| — log5 3 [4] — — [б] — log3 5
D
5. Если коэффициенты уравнения х2 — 12® + 7 = 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 4, то сумма квадратов
225
Варианты вступительных экзаменов
корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102030400
6. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 12, произведение третьего и четвертого членов равно 66. Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежутку
0 (—99; 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
0(4,5; 99)
7. Отрезки касательных к параболам у = ж2 — 6® — 6 и у = х2 + 6х — 6, касающихся парабол в точке х = 0, вместе с отрезком оси абсцисс образуют треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
8. Все значения параметра р, при которых хотя бы одно число х € [7; 16] является решением неравенства |ж — р| 13, образуют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
[ у — х2 — 2004,
9. Сколько решений имеет система < /—z-=
[ \J х1 + у* — 2004 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
10. Числовое значение выражения 8^log427 log^^ равно 01 02 03 04 05
226
Вариант 4-с41
11. Сколько целых чисел содержится во множестве всех решений неравенства Ъу/х---= < -\/7 ?
0 ни одного или одно f2~| два [з] три [0 четыре
0] пять или больше пяти
12. Если L = b — а — наибольшая возможная длина интервала (а; Ь), на котором функция у — х3 — 12т2 + 45т убывает, то
[Г] L Е (0; 1] 0 L е (1; 2] [?] L G (2; 3] Щ L € (3; 4]
0 L е (4; 999)
13. Если q — наименьшее возможное значение знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, квадрат второго члена которой относится к сумме квадратов всех членов этой прогрессии как 20 : 81, то 0g G (0; 0,4) 0 q е [0,4; 0,5) 0g G [0,5; 0,6)
Щ q G [0, 6; 0,7) 0 q G [0, 7; 999)
14. Первого января 2001 г. Вилл положил 1 млн. руб. в сейф и берет из него 1,5% от суммы в сейфе каждые 6 лет, а Джек положил в другой сейф 1 млн. руб. и берет из него 1% от суммы в сейфе каждые 4 года. В начале 2013 г. (после выемки денег из обоих сейфов) разница содержимого сейфов в рублях будет равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0 1 0 2 0 3 Щ 4 [0 0
15. Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола 1
У =------ имеет единственную общую точку с прямой у — р — Ух,
х — 4
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
227
Варианты вступительных экзаменов
16. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки кото
рого являются решениями неравенства
4 . 4 а/З
cos х — sin х -у • cos 2х, равна
17. При каких значениях параметра а система уравнений
( ах + 16у = Ь, „ _
< . „ имеет бесконечное множество решений хотя бы
[ 4х + ау = 2
для одного значения параметра Ы
J.
2
4
5
при одном значении параметра, a G [3; 9] при одном значении параметра, a Е (—3; 3) при двух различных значениях параметра а при одном значении параметра, а £ [-9; — 3] таких значений параметра а не существует
18. Произведение всех различных корней уравнения
(х2 — 6ж + 10)2 — 7х2 + 42т — 64 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 Щ4 @0
19. Наименьшее значение функции у — 144х — 12х+1 + 100 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
при котором система уравнений <
20. Найдите наибольшее целочисленное значение параметра R, х2 + у2 = R2,
^•т + = 24Уз не имеет
х/з
решений, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение , р
5х Н—= = 216 имеет единственный корень, то р — натуральное хь
число, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
228
Вариант 4-с41
рых система
22. Сумма всех различных значений параметра Ь, при кото-23;2 — 15а; + 28 у х2 — 7х + 21,
, имеет не мень-
у = х + о
те одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен 0102030400
23. Если после совместного выполнения 40% работы Билл повысит свою производительность труда на 30%, а Джек повысит на 80%, то на выполнение всей работы понадобится 30 дней. Если указанное повышение производительности произойдет после совместного выполнения 60% работы, то на выполнение всей работы понадобится 33 дня. За сколько дней они вместе выполнят работу с повышенной производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0102030400
24. В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота BN, причем М G АС и N G АС, длины отрезков AM = 12, MN = 1, NC = 3. При этих условиях квадрат высоты BN равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
25. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 6р 4- 1)а;2 4- 2(3р + 6)а; -4-12 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
26. Если число X равно наименьшему положительному корню Уравнения sin(281a;) 4- sin(219a;) 4- sin(500a;) — 0, то значение выра-7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
229
Варианты вступительных экзаменов
7-х
—— является положитель-40
27. Один из корней уравнения / / \ '
г. . / _ . / х А |
sin 2 arcsin 7 sin arcsin -—
I \ 140/ J
ным натуральным числом. Укажите остаток от деления этого на
турального числа на 5.
0102 03 04 00
28. Если число S равно сумме наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения
s(tga:) 1250000 ( ctgx) = 5Q; то ЧИСЛо Т — tg5 удовлетворяет условию
0 Т G (-999; 0,1) 0 Т G [0,1; 0,1667) 0 Т G [0,1667; 0,2)
0 Т £ [0,2; 0,25) 0 Т & [0, 25; 999)
29. Найдите площадь фигуры, образованной всеми точками плоскости (а;; у), для которых х2 + у2 бх и одновременно у 3 - |ж - 3|.
0 2,25л 0 2,25л + 4,5 0 4,5л + 9 0 4,5л - 9 0 4,5л
параметра р, при которых система <
30. Пусть N — количество различных целочисленных значений
У3 - х2У = 0,
х2 + у2 128, имеет ровно 4у + р = 4а;2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
Вариант 4-с42
1. Билл купил автомобиль со скидкой 60% от рыночной цены и продал его, получив прибыль в размере 30%. С какой скидкой от рыночной цены был продан автомобиль?
0 30% 0 18% 0 45% 0 48% 0 38%
230
Вариант 4-с42
2. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой х + у = 0 образует острый угол 15°.
0 д/З • х + у = 0 0 2 • х + х/З • у = 0 0 д/З • х — у = О
0 х — Уз • у = 0 @ л/З • х + 2 • у = О
3. Укажите наибольший корень уравнения
/35я-\ v/З п
cos -- I + — = 0.
\ х J
030 @42 035 070 @28
4. Корень уравнения 3х = 0,2 равен
0 5-1/3 0 3-V5 @ _ 10g3 5 0 - | 0 - log5 3 о
5. Если коэффициенты уравнения х2 — 8а; + 2 = 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 2, то сумма квадратов корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 @3 @4 @0
6. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 14, произведение третьего и четвертого членов равно 56. Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежутку
0 (—99, 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
@ (4,5, 99)
7. Отрезки касательных к параболам у = х2 — 16а; — 12 и У = х2 + 16а; — 12, касающихся парабол в точке х = 0, вместе с отрезком оси абсцисс образуют треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
231
Варианты вступительных экзаменов
8. Все значения параметра р, при которых хотя бы одно число х Е [3; 11] является решением неравенства |х — р| 9, образуют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 @3 04 ЙО
Q п - f kl + |!/| = 2003,
9. Сколько решении имеет система < 9 9
[ хл + у = 20042 ?
0 одно 0 два ]~3~] три |~4~| четыре или больше четырех
0 решений нет
10. Числовое значение выражения </log3 4+log равно 08 02 0 32^2 0 64 0 128
11. Сколько целых чисел содержится во множестве всех реше-
9 г
ний неравенства 4-\/т-7= < v 3 ?
у/х
0 ни одного или одно 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
12. Если L = b — а — наибольшая возможная длина интервала (а; Ь), на котором функция у = 2а;3 — 27а;2 + 84а; убывает, то 0 L G (0; 1] 0 L G (1; 2] 0 L G (2; 3] 0 L G (3; 4]
0 L G (4; 999)
13. Если q — наименьшее возможное значение знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, квадрат второго члена которой относится к сумме квадратов всех членов этой прогрессии как 8 : 81, то 0 q G (0; 0,3] 0 q G (0,3; 0,4] 0 G (0,4; 0,5]
0 g G (0,5; 0,75] 0 g G (0,75; 1)
14. Первого января 2001 г. Билл положил 1 млн. руб. в сейф и берет из него 4,5% от суммы в сейфе каждые 9 лет, а Джек
232
Вариант 4-с42
положил в другой сейф 1 млн. руб. и берет из него 3% от суммы в сейфе каждые 6 лет. В начале 2019 г. (после выемки денег из обоих сейфов) разница содержимого сейфов в рублях будет равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
15. Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола у — --- имеет единственную общую точку с прямой у — р — 64ж,
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
16. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
4 • 4 \ п
cos х — sm х - • cos 2х, равна
2 з £ ?
17. При каких значениях параметра а система уравнений Г ах + 2у - 2,
< „ , имеет бесконечное множество решении хотя бы для
[8х + ау = о
одного значения параметра Ь?
при одном значении параметра, a G [2; 5]
при одном значении параметра, а G (—2; 2)
при одном значении параметра, а G [—5; —2] при двух различных значениях параметра а таких значений параметра а не существует
18. Произведение всех различных корней уравнения
(х2 — 8х + 18)2 — 6ж2 + 48 х — 100 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
19. Наименьшее значение функции у = 256х — 16х+1 + 82 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
233
Варианты вступительных экзаменов
при котором система уравнений <
20. Найдите наибольшее целочисленное значение параметра х2 + у2 = 7Z2,
15 • ж +-^= = 66\/2 НеИМеет \/8
решений, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение
о р
5х Н—=• = 512 имеет единственный корень, то р — ж&
натуральное
число, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
22. Сумма всех различных значений параметра Ь, при кото-f 2ж2 — 15ж + 26 у < ж2 — 7ж + 19, рых система < , имеет не мень-
[у = х + b
ше одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен 0102030400
23. Если после совместного выполнения 20% работы Билл повысит свою производительность труда на 40%, а Джек повысит на 60%, то на выполнение всей работы понадобится 45 дней. Если указанное повышение производительности произойдет после совместного выполнения 30% работы, то на выполнение всей работы понадобится 47 дней. За сколько дней они вместе выполнят работу с повышенной производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0102030400
24. В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота BN, причем М G АС и N G АС, длины отрезков AM = 12, MN = 3, NC = 1. При этих условиях квадрат высоты BN равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
234
Вариант 4-с42
25. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — Зр + 1)ге2 + 2(8р + 2)х + 65 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 @3 04 00
26. Если число X равно наименьшему положительному корню
уравнения эш(362ж) + sin(238:r) + sin(600®) = 0, то значение выра
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого
на 5 равен
0102030400
27. Один из корней уравнения . / . / . х \ \
sin 2 arcsin I 3 sm I arcsin — I j =
59- x
—---- является положитель-
450
ным натуральным числом. Укажите остаток от деления этого на-
турального числа на 5. 0102030400
28. Если число S равно сумме наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения
3( g 5 • 8100000CtgX) = 30, то число Т — tg S удовлетворяет условию
0 Т G (-999; 0,2) 0 Т G [0,2; 0,25) 0 Т G [0,25; 0,334)
0 Т G [0,334; 0,5) 0 Т G [0, 5; 999)
29. Найдите площадь фигуры, образованной всеми точками плоскости (ж; у), для которых ж2 + у2 8ж и одновременно У 2 - \х - 2|.
0 бтг - 4 0 8тг + 16 0 87Г - 16 0 67Г + 12 0 бтг + 4
235
Варианты вступительных экзаменов
параметра р, при которых система <
30. Пусть N — количество различных целочисленных значений У3 - х2у = 0, я2 + у2 242, имеет ровно 4у + р = 4ят2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
Вариант 4-с43
1. Билл купил автомобиль со скидкой 40% от рыночной цены и продал его, получив прибыль в размере 30%. С какой скидкой от рыночной цены был продан автомобиль?
0 22% 0 Ю% 0 12% 0 70% 0 !6%
2. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой х — у — 0 образует острый угол 15°.
0 2х — х/З • у - 0 0 х/3 • х + у — 0 0 а; — х/З • у = 0
Щя + х/3-!/ = 0[5]^3-1-2-!/ = 0
3. Укажите наибольший корень уравнения
/20тг\ 1
cos -- + - = 0.
\ х J 2
0 15 0 18 0 12 0 30 0 28
4. Корень уравнения 5х = 3 равен
0 51/3 0 log5 3 0^0 З1/5 0 log3 5
5. Если коэффициенты уравнения х2 — 7х + 2 = 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 2, то сумма квадратов корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
6. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, произведение третьего и четвертого членов равно 88.
236
Вариант 4-с43
Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежутку
0 (-99; 1,5] @(1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
0(4,5; 99)
7. Отрезки касательных к параболам у = х2 — Зх — 9 и у = х2 + Зх — 9, касающихся парабол в точке х = 0, вместе с отрезком оси абсцисс образуют треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5
0102030400
8. Все значения параметра р, при которых хотя бы одно число х G. [3, 7] является решением неравенства — р| 9, образуют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
Г у ~
9. Сколько решений имеет система < 9 4
^х2 + у — 2004 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
, п тт /х0°8з 4+log 4^ V2)
10. Числовое значение выражения v3 V3 равно
01 02 03 04 09
11. Сколько целых чисел содержится во множестве всех реше-_ 15 г о
ний неравенства 4>/ж--= < v5 ?
у/х
0 ни одного или одно 0 два 0 три 0 четыре
|5| пять или больше пяти
237
Варианты вступительных экзаменов
12. Если L = b — а — наибольшая возможная длина интервала (а; 5), на котором функция у — 2ж3 — 21ж2 + 72ж убывает, то
Е L G (0; 1] 0 L G (1; 2] Щ L G (2; 3] Щ L G (3; 4]
IU L G (4; 999)
13. Если q — наименьшее возможное значение знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, квадрат второго члена которой относится к сумме квадратов всех членов этой прогрессии как 3 : 16, то Eq € (0; 0,2] Eq G (0,2; 0,3] EqG(0,3; 0,4]
0qG(O,4; 0,5] EqG(0,5; 1)
14. Первого января 2001 г. Билл положил 1 млн. руб. в сейф и берет из него 9% от суммы в сейфе каждые 3 года, а Джек положил в другой сейф 1 млн. руб. и берет из него 6% от суммы в сейфе каждые 2 года. В начале 2007 г. (после выемки денег из обоих сейфов) разница содержимого сейфов в рублях будет равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен Е1В2Е3040О
15. Наибольшее значение параметра;?, при котором гипербола
у =-----имеет единственную общую точку с прямой у = р — 16ж,
х — 5
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
16. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
cos4 х — sin4 х \/3 cos 2х, равна
17. При каких значениях параметра а система уравнений < 4’ имеет бесконечное множество решений хотя бы для
( 12ж — ay = b
одного значения параметра 6?
1 при одном значении параметра, a G (—5; 5)
2 при двух различных значениях параметра а
238
Вариант 4-с43
3 при одном значении параметра, а € [—7; —5]
4 таких значений параметра а не существует
5 при одном значении параметра, а € [5; 7]
18. Произведение всех различных корней уравнения
0 - 8ж -Ь 17)2 — 5ж2 + 40л — 81 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 @0
19. Наименьшее значение функции у = 64ж — 8ж+2 + 2004 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
при котором система уравнений <
20. Найдите наибольшее целочисленное значение параметра R, ' х2 + у2 — R2,
3. х + 4= = 56V7 не "Меет ре' ч/7
шений, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение
11а;3 +
= 112 имеет единственный корень, то р — натуральное
число, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
22. Сумма всех различных значений параметра Ь, при кото-( 2х2 — 19ж + 38 у х2 — 9ж + 29, рых система < , имеет не мень-
[у — х + о
ше одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен
0102 03 04 00
23. Если после совместного выполнения 20% работы Билл повысит свою производительность труда на 30%, а Джек повысит на 50%, то на выполнение всей работы понадобится 40 дней. Если
239
Варианты вступительных экзаменов
указанное повышение производительности произойдет после совместного выполнения 40% работы, то на выполнение всей работы понадобится 43 дня. За сколько дней они вместе выполнят работу с повышенной производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
01 02 03 04 @0
24. В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота BN, причем М G АС и N G АС, длины отрезков AM — 16, MN = 3, NC = 1. При этих условиях квадрат высоты BN равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
25. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — Зр + 2)ж2 + 2(4р + 5)ж + 17 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
26. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(647a;) + sin(1532;) + sin(800a;) = 0, то значение выра-7Г
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого лг
на 5 равен
19 • х
— является положитель-150
27. Один из корней уравнения
(( ® и
4 sin arcsin —— \ 120 7 у
ным натуральным числом. Укажите остаток от деления этого на
турального числа на 5.
0102 03 04 00
28. Если число S равно сумме наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения
240
Вариант 4-с44
2 (ts • 32000000 ctg:E) = 20, то число T = tgS удовлетворяет условию
0 Т G (—999; 0,1) @ Т Е [0,1; 0,1(6)) 0 Т Е [0,1(6); 0,2)
[4] Т Е [0, 2; 0, 25) 0 Т Е [0, 25; 999)
29. Найдите площадь фигуры, образованной всеми точками плоскости (ж; у), для которых х2 4- у2 4ж и одновременно у>|х-2|-2.
0 2тг - 4 @ 2л 4- 4 0 л 0 4 0 л 4- 2
30. Пусть N — количество различных целочисленных значений
параметра р, при которых система
' у3 - х2у = 0,
< х2 4- у2 162, имеет ровно 4у 4- р = 4ж2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
01 @2 03 04 @0
Вариант 4-с44
1. Билл купил автомобиль со скидкой 30% от рыночной цены и продал его, получив прибыль в размере 20%. С какой скидкой от рыночной цены был продан автомобиль?
0 10% @ 12% 0 16% 0 15% 0 22%
2. Укажите уравнение прямой на плоскости, которая при пересечении с прямой д/З • х 4- у = 0 образует острый угол 30°.
Щ 2 • х 4- д/З • у = 0 0ж4-у = О 0 \/3 • х — у — 0
0 л/З • ж 4- 2 • у = 0 0x4- у/З • у = 0
3. Укажите наибольший корень уравнения . /70л\ У2 п
sin -- 4-----— 0.
\ х ) 2
241
Варианты вступительных экзаменов
4. Корень уравнения Зж = 5 равен 01og35 0 51/3 01og53 031/5 [5] j О
5. Если коэффициенты уравнения ж2 — 11ж + 4 = 0 изменить так, что каждый из корней увеличится на 3, то сумма квадратов корней изменится на величину, равную натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0 1 0 2 0 3 04 0 О
6. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 14, произведение третьего и четвертого членов равно 63. Число, равное первому члену прогрессии, принадлежит промежутку
0 (-99; 1,5] 0(1,5; 2,5] 0(2,5; 3,5] 0(3,5; 4,5]
0 (4,5; 99)
7. Отрезки касательных к параболам у — х2 — 2х — 4 и у = х2 + 2х — 4, касающихся парабол в точке х = 0, вместе с отрезком оси абсцисс образуют треугольник, площадь которого равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
8. Все значения параметра р, при которых хотя бы одно число а; € [4; 15] является решением неравенства — р| 6, образуют промежуток, длина которого — натуральное число. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
у = 2004 • х2, х2 + у2 = 4?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
9. Сколько решений имеет система
242
Вариант 4-с44
10. Числовое значение выражения 4*'1о§8(9'/^) 21о§-/8''/з) равно Щ 8 0 2 0 32\/2 0 2а/3 0 3\/4
11. Сколько целых чисел содержится во множестве всех решений неравенства Зу/х-----=. < ?
у/х
Щ ни одного или одно [2] два [з] три 0 четыре
0 пять или больше пяти
12. Если L — Ь — а — наибольшая возможная длина интервала (а; 6), на котором функция у = 2ж3 — 27ж2 4- 108ж убывает, то 0] L G (0; 1] 0 L £ (1; 2] 0 L G (2; 3] 0 L G (3; 4]
[б] L G (4; 999)
13. Если q — наименьшее возможное значение знаменателя бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, квадрат второго члена которой относится к сумме квадратов всех членов этой прогрессии как 2 : 9, то
G (0; 0,2] 0 q G (0,2; 0,3] 0 q € (0,3; 0,4]
09 6(0,4; 0,5] 0qG (0,5; 1)
14. Первого января 2001 г. Билл положил 1 млн. руб. в сейф и берет из него 6% от суммы в сейфе каждые 3 года, а Джек положил в другой сейф 1 млн. руб. и берет из него 4% от суммы в сейфе каждые 2 года. В начале 2007 г. (после выемки денег из обоих сейфов) разница содержимого сейфов в рублях будет равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 03 04 00
15. Наибольшее значение параметра р, при котором гипербола
У ------имеет единственную общую точку с прямой у — р — Збж,
х — 3
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен а 1 @ 2 а з а 4 @ о
243
Варианты вступительных экзаменов
16. Наибольшая длина отрезка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства cos4 х — sin4 х cos 2ж, равна
17. При каких значениях параметра а система уравнений < ах 4у b имеет бесконечное множество решений хотя бы для [ 9т — ау = 9
одного значения параметра Ь?
1 при одном значении параметра, а € [3; 9] при одном значении параметра, а € (—3; 3) при одном значении параметра, а € [—9; —3] при двух различных значениях параметра а таких значений параметра а не существует
18. Произведение всех различных корней уравнения
(ж2 — 6х + 12)2 — 8т2 + 48т — 81 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
2
3
4
5
19. Наименьшее значение функции у = 36ж — 6ж+2 4- 400 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 [3]3 04 00
при котором система уравнений <
20. Найдите наибольшее целочисленное значение параметра R, (ж2 + у2 = 2?2,
^+4 = 184/7 неимеет V 7
решений, и укажите остаток от деления этого числа на 5.
21. Если значение параметра р таково, что р > 0 и уравнение , р
7х -I—= = 80 имеет единственный корень, то р — натуральное х1
число, остаток от деления которого на 5 равен
[Г| 1 @ 2 [3] 3 Щ 4 0 0
244
Вариант 4-с44
22. Сумма всех различных значений параметра Ь, при кото-( 2х2 — 15х 4- 30 у х2 — 7х 4-18, пых система < , имеет не мень-
1 [у = х + о
те одного и не больше трех решений, равна натуральному числу. Остаток от деления этого числа на 5 равен 0102 03 04 00
23. Если после совместного выполнения 60% работы Билл повысит свою производительность труда на 20%, а Джек повысит на 50%, то на выполнение всей работы понадобится 60 дней. Если указанное повышение производительности произойдет после совместного выполнения 70% работы, то на выполнение всей работы понадобится 62 дня. За сколько дней они вместе выполнят работу с повышенной производительностью? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0102 03 04 00
24. В треугольнике АВС проведены биссектриса ВМ и высота BN, причем М € АС и N £ АС, длины отрезков AM = 8, MN = 1, NC = 3. При этих условиях квадрат высоты BN равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
25. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение (р2 — 7р + 3)ж2 4- 2(3р 4- 4)ж 4- 10 — 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
26. Если число X равно наименьшему положительному корню Уравнения sin(539a;) + sin(361a;) 4- sin(900a;) = 0, то значение выра-тг
жения — равно натуральному числу, остаток от деления которого А
на 5 равен
245
Варианты вступительных экзаменов
27. Один из корней уравнения sin
II х 2 arcsin 3 sin arcsin —• \ \ 60
19 • х
----- является положитель-100
ным натуральным числом. Укажите остаток от деления этого на-
турального числа на 5.
01 02 03 04 @0
28. Если число S равно сумме наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения
. 343Q000 CtSX) = 70, то число Т = tgS удовлетворяет условию
0 Т G (—999; 0,2) 0 Т е [0, 2; 0,25) 0 Т е [0,25; 0, (3))
0 Т G [0, (3); 0,5) 0 Т G [0,5; 999)
29. Найдите площадь фигуры, образованной всеми точками плоскости (ж; у), для которых ж2 + у2 4х и одновременно у |ж - 2| - 2.
02л — 4 02тг + 4 07г04 0тг-|-2
30. Пусть N — количество различных целочисленных значений У3 - х2у = 0,
параметра р, при которых система ж2 + у2 98, имеет ровно 4у + р = 4ж2
два различных решения. Остаток от деления N на 5 равен
Вариант 5-с11
1. Если накладные расходы уменьшить в 2 раза, а прочие расходы увеличить в 11 раз, то общие расходы увеличатся в 9 раз. Первоначально прочие расходы были больше накладных на п%, где
0 п Е (0; 200) 0 п G [200; 300) 0 п G [300; 400)
0 п Е [400; 500) 0 п G [500; 9999)
246
Вариант 5-cll
2. При каком значении параметра р прямая
у = р — 2 — (р2 + р + 6)ж проходит через начало координат на плоскости (ж; р)?
0 1 [Т| 2 0 3 |~4] 4 [К] ни при каком
3. Сумма всех различных корней уравнения
(ж - 1)(ж2 — Зх 4- 2) = 0 равна
01 @2 03 04 05
4. Если х — корень уравнения |х — 2| = |6 — ж|, то 0x6 (-999; 1,5) 0 х Е [1,5; 2,5) 0 х € [2,5; 3,5) 0 х Е [3, 5; 4, 5) 0x6 [4,5; 999)
f — у%
5. Сколько решений имеет система < □ ’
(У = хл2
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
|~5~[ решений нет
6. Площадь фигуры х — 2 ^.у х — |х| равна 03 0 1,5 02 04 02,5
7. Укажите множество всех корней уравнения V- sin ж = а/з • cos х.
0 - + 2тгп 0 + 2тт 0 + 7гп 0 + 2тт
3 3 3 3
0+ 2тгп
3
8. Если х — корень уравнения х • logu 3 = logn 71, то
0X 6 (-999; 1) 0 ж 6 [1; 2) 0 ж 6 [2; 3) 0 ж 6 [3; 4)
@ х Е [4; 999)
247
Варианты вступительных экзаменов
9. Сумма двенадцати первых членов арифметической прогрессии равна 48, а сумма шести членов с нечетными номерами равна 18. Найдите пятый член прогрессии.
0102 03 04 05
10. В треугольник с углом при вершине А, равном 60°, вписана окружность радиуса г = Зд/З, Р и Q — точки ее касания со сторонами угла. Длина отрезка PQ равна 0 4\/3 0 6\/3 09 0 8\/3 0 3
11. Касательная к графику функции у = х3, проведенная через точку этого графика с абсциссой х = 9, пересекает ось абсцисс в точке х = а, причем
0а G (-999; 5,5) 0а 6 [5,5; 6,5) 0аб[6,5; 7,5)
0 а G [7,5; 8,5) 0 а 6 [8,5; 999)
12. Найдите площадь фигуры на плоскости (х, у), определяема;2 — 5жw — 6н2 0,
мои системой неравенств < 9 . _ „
I у2 - 4у + 3 0.
0 21 0 18 0 42 0 84 0 28
13. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \/ х2 — 2004 х + 24 = х2 — 2004 а; + 17 + 1, то 0 А 6 (0; 5) 0 А 6 [5; 7) 0 A (= [7; 9) 0 A (= [9; 11)
0 А е [11; 999)
14. Функция / (а;) = х3 • (30 — х)2 достигает своего наибольшего значения на промежутке х G [0; 30] при
0 х = 18 0 х = 6 0 х = 24 0 х = 15 0 х = 12
arctg(3) -
равно
15.
Значение выражения sin
248
Вариант 5-cll
16. Найдите наибольшее возможное значение величины — Х2, если и а?2 — два различных натуральных числа, каждое из которых является решением неравенства х2 + 28® < llVx^, 0 укажите в ответе остаток от деления полученного значения на 5.
010203 04 00
17. Если q — знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, для которой куб суммы всех членов относится к сумме кубов всех членов этой прогрессии как 19 : 1, то
0 q е (0; 0,6) [2]^ е [0,6; 0,7) {¥] q 6 [0,7; 0,8)
[I] q 6 [0,8; 0,9) 0 q 6 [0,9; 999)
18. Сколько целочисленных решений имеет неравенство log5(®2 - 2® - 8) 3?
[Tj одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0| целочисленных решений нет
19. Число М, равное наибольшему значению функции у = 4 sin 2® — 2 cos2 ® , удовлетворяет условиям
0 М £ (-100; 2] 0 М 6 (2; 3] 0 М G (3; 4] 0 М 6 (4; 5]
@ М е (5; 100)
20. Пусть число N равно количеству различных целочисленных значений параметра р, при которых ни одно решение неравенства |® — Зр + 4|^17 не является решением неравенства |® — 4р + 6| 8. Найдите остаток от деления N на 5.
0102 03 04 00
21. Если число X равно наименьшему положительному корню Уравнения sin(41®) + sin(35®) = \/2 sin(76®) cos(3®), то значение
249
Варианты вступительных экзаменов
7Г
выражения — равно натуральному числу, остаток от деления ко-Л.
торого на 5 равен
01 @2 03 04 00
22. Наибольшая длина промежутка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
/ • 9 /7ГЯ?\ ~ 4 2 /ТГХ\
< 16 sm I — I + 5 4 cos I —— I , равна натуральному числу,
у \ 1Z / \ А-Л1 /
остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
23. Наименьшее положительное значение параметра р, при ко-
{ 7Гр ТГр
х 2 sin-у = cos —,
12 12 имеет бесконечное мно-
у/З • х + у = 0,5
жество решений, равно натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
24. Если Xi и Х2 — наименьший и наибольший корни уравнения
12Iх - 34 • 77х + 64 49ж = 0 и d = то
1®1|
0 d G (0; 1,5) 0 G [1,5; 2,5) 0 d € [2,5; 3,5)
0 d G [3,5; 4,5) 0 d G [4,5; 9999999999)
25. Если Билл выполнит 60% работы, а после этого Джек доделает остальное, то на это понадобится 54 дня. Ту же работу можно выполнить за 50 дней, если Билл проработает 40% этого времени, а остальное время проработает Джек (Джек работает быстрее Билла). Сколько дней (наименьшее натуральное число) достаточно для совместного выполнения работы? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
26. Сумма всех различных положительных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение
250
Вариант 5-с12
(р - 3) • 49® — 14 • 7® + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
В1 ®2 ®3 Н4 ®°
27. Сумма всех различных целочисленных значений парамет-
ра R, при котором система уравнений
имеет ровно восемь решений, равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
х2 + у2 = 2Д|а?| + 2Д|у|,
И + |г/| = 12
28. Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения а?1оёз4 = 16 • 12log*3.
В 81 0 256 0 64 Щ 144 0 9
29. Стоимость одного часа эксплуатации парохода, плывущего V2
со скоростью v км/ч, составляет 18 + (хи + —. С какой скоростью должен плыть пароход, чтобы стоимость поездки протяженностью
240 км была наименьшей?
0 12 км/ч 0 4 км/ч 0 6 км/ч 0 9 км/ч 0 3 км/ч
30. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 70 лье. В Париже квартируют 4000 мушкетеров, в Марселе — 9000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку Р тонн бургундского на расстояние L лье составляют Р L3 бурбонов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102030400
Вариант 5-с12
1. Если накладные расходы уменьшить в 4 раза, а прочие расходы увеличить в 7 раз, то общие расходы увеличатся в 2 раза.
251
Варианты вступительных экзаменов
Первоначально прочие расходы были меньше накладных на п%, где
[1] п G (0; 45) 0 П G [45; 50) 0 п G [50; 55) 0 п 6 [55; 60)
0 п 6 [60; 100)
2. При каком значении параметра р прямая
у — (р2 — р + 5)ж + 3 — р проходит через начало координат на плоскости (ж; р)?
010203040 ни при калом
3. Сумма всех различных корней уравнения (ж — 2)(ж2 — 5х + 6) = 0 равна
06 07 012 08 05
4. Если х — корень уравнения |ж — 1| = |5 — ж|, то 0;rG (-999; 1,5) 0 х G [1,5; 2,5) 0 х 6 [2,5; 3,5) 0 х Е [3,5; 4,5) 0 х G [4,5; 999)
„ „ „ f ху = 0,
5. Сколько решений имеет система < 2 9
( ar + i/ = 2 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
6. Площадь фигуры ж+|ж|^р^а? + 1 равна
0 2 0 1,5 0 1 0 0,75 0 1,25
7. Укажите множество всех корней уравнения уд/З • sin х = У — cos х.
m J + 2т Ы + 2тгп [з]-5 + 2»п Щ-^ + 2™ — 6 — 6 — 6 6
05л
— + 7ГП
6
252
Вариант 5-с12
8. Если х — корень уравнения х log17 2 = log17 29, то
[Г] х G (-999; 1) 0 ж 6 [1; 2) 0 ж G [2; 3) 0 ж G [3; 4)
0 х G [4; 999)
9. Сумма восемнадцати первых членов арифметической прогрессии равна 126, а сумма девяти членов с нечетными номерами равна 54. Найдите седьмой член прогрессии.
01 @2 03 04 05
10. В треугольник с углом при вершине А, равном 60°, вписана окружность радиуса г = 6, Р и Q — точки ее касания со сторонами угла. Длина отрезка PQ равна
0 12 0 4^3 0 2д/3 0 6УЗ 0 Зх/З
11. Касательная к графику функции у = ж4, проведенная через точку этого графика с абсциссой х = 8, пересекает ось абсцисс в точке х = а, причем
0 a G (-999; 4,5) 0 a G [4,5; 5,5) 0 a G [5,5; 6,5)
0 a G [6,5; 7,5) 0 а 6 [7,5; 999)
12. Найдите площадь фигуры на плоскости (ж, у), определяе-„ „ f у2 + ху — 6х2 < 0,
мои системой неравенств < 9 , „ , „ _
F ( ж2 + 10ж + 16 0.
0 16,5 0 75 0 150 0 37,5
0 для этой фигуры площадь определить нельзя
13. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \/х2 — 512 ж + 51 = \/х"1 — 512 ж + 31 + 2, то 0 A G (0; 8) 0 А € [8; 10) 0 A G [10; 12) 0 A G [12; 14) 0 A G [14; 999)
14. Функция /(ж) = ж3 • (35 — ж)2 достигает своего наибольшего значения на промежутке ж 6 [0; 35] при
0 ж = 17,5 0 ж = 21 0 ж = 14 0 ж = 28 0ж = 24
253
Варианты вступительных экзаменов
равно
15. Значение выражения sin^arctg(7) —
16. Найдите наибольшее возможное значение величины - Х2, если и а?2 — два различных натуральных числа, каждое из которых является решением неравенства х2 + 45т < 14Vt^, и укажите в ответе остаток от деления полученного значения на 5.
0102030400
17. Если q — знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, для которой куб суммы всех членов относится к сумме кубов всех членов этой прогрессии как 7 : 1, то
0 <7 £ (0; 0,6) 0 q 6 [0,6; 0,7) 0q 6 [0,7; 0,8)
0 q G [0,8; 0,9) 0 q G [0,9; 999)
18. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 1оёз(т2 - 12т+ 27) 3?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 целочисленных решений нет
19. Число М, равное наибольшему значению функции у = 3 sin 2т — 4 sin2 т , удовлетворяет условиям
0 М Е (-100; -1] 0 М е (-1; 0] 0 М 6 (0; 1] 0 М 6 (1; 2]
0 М G (2; 100)
20. Пусть число N равно количеству различных целочисленных значений параметра р, при которых ни одно решение неравенства |т — Зр + 9| 18 не является решением неравенства
|т — 4р + 8| 11. Найдите остаток от деления N на 5.
01 02 03 04 00
254
Вариант 5-с12
21. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(39x) + sin(55a?) = sin(94a?) • cos(8a?), то значение
7Г
выражения — равно натуральному числу, остаток от деления ко-Л.
торого на 5 равен
01 @2 S3 04 @0
22. Наибольшая длина промежутка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
Г , n / 7VX \ 1 f
J16 siir I — I + 5 4 cos ( — I , равна натуральному числу,
у х 1Z / \ л.Л /
остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
23. Наименьшее положительное значение параметра р, при ко-
2\/Зт — у • 2 sin —= —0,5,
тором система имеет бесконечное
г. /77 — 6а? — v Зу = cos —
множество решений, равно натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
24. Если а?1 и а?2 — наименьший и наибольший корни уравнения
25® - 18 • 15® + 32 • 9® = 0 и d = то
0 d G (0; 1,5) 0 d 6 [1,5; 2,5) 0 d Е [2,5; 3,5)
0 d 6 [3,5; 4,5) 0 d G [4,5; 9999999999)
25. Если Билл выполнит 60% работы, а после этого Джек доделает остальное, то на это понадобится 24 дня. Ту же работу можно выполнить за 25 дней, если Билл проработает 40% этого времени, а остальное время проработает Джек (Билл работает быстрее Джека). Сколько дней (наименьшее натуральное число)
255
Варианты вступительных экзаменов
достаточно для совместного выполнения работы? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 @2 03 04 00
26. Сумма всех различных положительных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение
(р — 4) • 4Ж — 8 2х + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
27. Сумма всех различных целочисленных значений парамет-п ( я2 + у2 = 27?Ы 4-27?Ы,
pa R, при котором система уравнении < . . . . _ 11
11®1 "I" |У| — I”
имеет ровно четыре решения, равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
28. Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения ®log4 7 = 49 • 8logx 4.
0 256 0 343 0 64 0 16 0 144
29. Стоимость одного часа эксплуатации парохода, плывущего v2
со скоростью v км/ч, составляет 32 + 14г> 4- —. С какой скоростью должен плыть пароход, чтобы стоимость поездки протяженностью
120 км была наименьшей?
0 8 км/ч 0 16 км/ч 0 4 км/ч 0 6 км/ч 0 12 км/ч
30. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 90 лье. В Париже квартируют 9000 мушкетеров, в Марселе — 4000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку Р тонн бургундского на расстояние L лье составляют Р Ls бурбонов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102 03 04 00
256
Вариант 5-с13
Вариант 5-с13
1. Если накладные расходы уменьшить в 4 раза, а прочие расходы увеличить в 8 раз, то общие расходы увеличатся в 3 раза. Первоначально прочие расходы были меньше накладных на п%, где
[Г] п G (0; 20) @ п € [20; 30) § п 6 [30; 40) [0 п G [40; 50)
@ п G [50; 100)
2. При каком значении параметра р прямая
у = (р — 3)ж +р2 — р + 1 проходит через начало координат на плоскости (ж; у)?
01[2]2[3] 3 [4~| 4 [~5~] ни при каком
3. Сумма всех различных корней уравнения (а? - 3)(а?2 — 4х + 3) = 0 равна
06 @7 @3 04 @9
4. Если х — корень уравнения |ж — 1| = |3 — я?|, то 0 х G (-999; 1,5) 0 х 6 [1,5; 2,5) 0 х 6 [2,5; 3,5) 0 х е [3,5; 4,5) [0 х 6 [4,5; 999)
„ „ „ f ху — 0,
5. Сколько решении имеет система < 9 , п
[у = Xz — 1!
0 одно |~2~[ два [з~| три [0 четыре или больше четырех
0 решений нет
6. Площадь фигуры х + |а?| у х + 4 равна
S9 016 ® 12>5 Н12 015
7. Укажите множество всех корней уравнения /Л • sin х = a/cos х.
а7Г I--1 5тГ I-1 ТГ Г—-| 5тГ _ ГТ—| 7Г
— 4- 2тгп 2 — + 2тт 3 — — + 2тгп 4 —— + 2тгп 5 — + тгп
6 1—'6 1—'6 —6 —6
257
варианты вступительных экзаменов
8. Если х — корень уравнения х log3 7 = log3 64, то 0 х G (-999; 1) 0 ж G [1; 2) 0 х G [2; 3) 0 х G [3; 4)
0 х G [4; 999)
9. Сумма шестнадцати первых членов арифметической прогрессии равна 136, а сумма восьми членов с нечетными номерами равна 56. Найдите седьмой член прогрессии.
0102 03 04 05
10. В треугольник с углом при вершине А, равном 120°, вписана окружность радиуса г = 4\/3, Р и Q — точки ее касания со сторонами угла. Длина отрезка PQ равна 02^ 04^ 0^08®^
11. Касательная к графику функции у = ж4, проведенная через точку этого графика с абсциссой х = 12, пересекает ось абсцисс в точке х = а, причем
0 a G (-999; 7,5) 0 a G [7,5; 8,5) 0 a G [8,5; 9,5)
Щ a G [9,5; 10,5) 0 а € [10,5; 999)
12. Найдите площадь фигуры на плоскости (ж, у), определяе-f у2 — бжу + 6ж2 0,
мои системой неравенств < , ,„ „„ „
(у — Пу + 28 0.
0^0^
0 для этой фигуры площадь определить нельзя
13. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \/ х2 — 472 ж + 41 = \/ж2 — 472 ж + 25 + 2, то
0 A G (0; И) 0 А € [11; 13) 0 A G [13; 15) Щ А € [15; 17)
0 A G [17; 999)
258
Вариант 5-с13
14. Функция /(ж) = ж3 • (20 — ж)2 достигает своего Наибольшего значения на промежутке ж G [0; 20] при
Ffl ж = 10 [21 ж = 6 [31 ж = 12 [4] ж = 16 [51 ж = 15
15. Значение выражения sin^arctg(2) — —равно
5 Ш /10 Ш /10 наибольшее возможное значение величины
и а?2 — два различных натуральных числа, каж-
16. Найдите
Ж1 - Х2, если a?i дое из которых является решением неравенства х2 + 21ж < 10/ж2, и укажите в ответе остаток от деления полученного значения на 5.
17. Если q — знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, для которой куб суммы всех членов относится к сумме кубов всех членов этой прогрессии как 13 : 3, то
[Г] q е (0; 0,15) |¥| q G [0,15; 0,25) [з] g € [0,25; 0,35)
Щ q G [0,35; 0,45) [б] q G [0,45; 999)
18. Сколько целочисленных решений имеет неравенство log3(a;2 — 6ж) 3 ?
[1] одно [~2~[ два [з] три [~4~] четыре или больше четырех
[б] целочисленных решений нет
19. Число М, равное наибольшему значению функции У = Зэш2ж — 8 cos2 ж , удовлетворяет условиям
Ц] М G (-100; 1] [2] М € (1; 2] [з] М € (2; 3] Щ М G (3; 4]
[б] М G (4; 100)
20. Пусть число N равно количеству различных целочисленных значений параметра р, при которых ни одно решение
259
Варианты вступительных экзаменов
неравенства — Зр + 7| > 16 не является решением неравенства |ж — 4р + 3 6. Найдите остаток от деления N на 5.
0102 03 04 00
21. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(27a;) + sin(37a;) — V2 sin(64rr) • cos(5a;), то значение 7Г
выражения — равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
22. Наибольшая длина промежутка числовой оси, все точки которого являются решениями неравенства
y6.6sin4 (ур + 11 4cos (у^) > Равна натуральному числу,
остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
23. Наименьшее положительное значение параметра р, при ко-' х + 2у — 1,
тором система
< . тгр тгр имеет бесконечное
х • V3 — 4р • sin — = tg —
* If ю О 1 Г>
множество решений, равно натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
24. Если Xi и а?2 — наименьший и наибольший корни уравнения
81х - 12 63х + 27 • 49х = 0 и d = -М, то
Ы
0de (0; 1,5) 0 de [1,5; 2,5) 0de [2,5; 3,5)
0 d e [3,5; 4,5) 0 d G [4,5; 9999999999)
25. Если Билл выполнит 60% работы, а после этого Джек доделает остальное, то на это понадобится 32 дня. Ту же работу можно выполнить за 25 дней, если Билл проработает 40% этого времени, а остальное время проработает Джек (Джек работает
260
Вариант 5-с13
быстрее Билла). Сколько дней (наименьшее натуральное число) достаточно для совместного выполнения работы? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 0304 00
26. Сумма всех различных положительных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение
(р — 2) • 36ж — 8 • 6х + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01@2 [3]3 04 00
27. Сумма всех различных целочисленных значений парамет-г> - (ж2 + у2 — 2/?|ж| + 2/?|у|,
pa R, при котором система уравнении < . . . . _ 11
I Fl + |У1 —
имеет ровно четыре решения, равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
28. Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения a?log2 3 = 27 • 7loga: 2.
08108 027 0144 064
29. Стоимость одного часа эксплуатации парохода, плывущего V2
со скоростью v км/ч, составляет 12 + 8г> + —. С какой скоростью должен плыть пароход, чтобы стоимость поездки протяженностью 270 км была наименьшей?
0 12 км/ч 0 8 км/ч 0 4 км/ч 0 6 км/ч 0 10 км/ч
30. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 90 лье. В Париже квартируют 2500 мушкетеров, в Марселе — 1600. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку Р тонн бургундского на расстояние L лье составляют Р L3 бурбонов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102 03 04 00
261
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 5-с14
1. Если накладные расходы уменьшить в 2 раза, а прочие расходы увеличить в 8 раз, то общие расходы увеличатся в 6 раз. Первоначально прочие расходы были больше накладных на п%, где
0 п е (0; 150) е [150; 200) 0 п G [200; 250)
0 п G [250; 300) 0 п € [300; 9999)
2. При каком значении параметра р прямая
у = (р2 — р + 9)ж + р — 1 проходит через начало координат на плоскости (ж, у)?
0102 03 040 ни при каком
3. Сумма всех различных корней уравнения (ж — 4) (ж2 — 6ж + 8) = 0 равна
0 6 0 10 0 24 0 12 0 32
4. Если ж — корень уравнения |ж — 3| = |5 — ж|, то
0 ж G (-999; 1,5) 0 ж € [1,5; 2, 5) 0 ж G [2,5; 3,5)
0 ж G [3,5; 4,5) 0 ж G [4, 5; 999)
Г
5. Сколько решений имеет система < _ ^2’?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 решений нет
6. Площадь фигуры ж — 3 у ж — |ж| равна 08 07,5 06 012 09
7. Укажите множество всех корней уравнения
-\/3 • sin ж = л/008 х.
0 7Г „ I-1 5тг „ г—1 7Г _ Г—I 5тг
—|- 2тгп 0---1- 2тт 3 — — + 2тгп 0 — — + 2тгп
6 — 6 — 6 6
0 “ +тт
о
262
Вариант 5-с14
8. Если х — корень уравнения х log2 8 = log2 5, то
0 х G (-999; 1) 0 х G [1; 2) 0 х Е [2; 3) 0 х G [3; 4)
0 х G [4; 999)
9. Сумма четырнадцати первых членов арифметической прогрессии равна 133, а сумма семи членов с нечетными номерами равна 63 Найдите третий член прогрессии.
01 а 2 s з а 4 в 5
10. В треугольник с углом при вершине А, равном 60°, вписана окружность радиуса г = 4ч/3, Р и Q — точки ее касания со сторонами угла. Длина отрезка PQ равна
0 12 0 6\/3 0 8\/3 0 12^3 0 8
11. Касательная к графику функции у — ж3, проведенная через точку этого графика с абсциссой х = 6, пересекает ось абсцисс в точке х = а, причем
0 a G (-999; 2, 5) 0 а € [2,5; 3,5) 0 а € [3,5; 4,5)
Щ a G [4, 5; 5,5) 0 a G [5, 5; 999)
12. Найдите площадь фигуры на плоскости (ж, у), определяе-f у2 — ху — 6ж2 О, мои системой неравенств < 2 6 + 5 < 0
060 010 0150
О
0 для этой фигуры площадь определить нельзя
13. Если число А равно произведению всех различных корней уравнения \/ х2 — 317 ж + 44 = \/ж2 — 317 ж + 33 + 1, то
0 А е (0; 7) 0 А Е [7; 9) 0 А е [9; 11) 0 А Е [11; 13)
0 А Е [13; 999)
14. Функция /(ж) = ж3 • (10 — ж)2 достигает своего наибольшего значения на промежутке ж Е [0; 10] при
0ж = 40ж = 5 0ж = 8 0ж = 6 0ж = 7
263
Варианты вступительных экзаменов
16. Найдите наибольшее возможное значение величины — а?2, если х± и х^ —- два различных натуральных числа, каждое из которых является решением неравенства ж2 + 15ж < 8л/ж^} и укажите в ответе остаток от деления полученного значения на 5.
0102030400
17. Если q — знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, для которой куб суммы всех членов относится к сумме кубов всех членов этой прогрессии как 37 : 1, то
09 е (0; 0,6) 0g G [0,6; 0,7) 09 G [0,7; 0,8)
0g 6 [0,8; 0,9) 0g G [0,9; 999)
18. Сколько целочисленных решений имеет неравенство 1о§2(ж2 — 4х — 5) 2 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 целочисленных решений нет
19. Число М, равное наибольшему значению функции у = 4 sin 2х + 6 cos2 х , удовлетворяет условиям
0 М € (-99; 4] 0 М € (4; 5] 0 М G (5; 6] 0 М е (6; 7]
0 М е (7; 99)
20. Пусть число N равно количеству различных целочисленных значений параметра р, при которых ни одно решение неравенства |ж — Зр + 2| > 19 не является решением неравенства х — 4р + 7| 13. Найдите остаток от деления N на 5.
01 02 0304 (00
264
Вариант 5-с14
21. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения sin(19a;) + sin(33rr) = л/2 • sin(52a;) • cos(7a;), то значение
7Г
выражения — равно натуральному числу, остаток от деления ко-Л.
торого на 5 равен
0102030400
22. Наибольшая длина промежутка числовой оси, все точки ко-
торого являются решениями неравенства
. . (лх \
16 cos4 +11 X /
равна натуральному числу,
остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
23. Наименьшее положительное значение параметра р, при ко-
тором система <
6х — Vty = cos —, •\/Зж + у sin —= —0,25
имеет бесконечное мно-
жество решений, равно натуральному числу. Укажите остаток от
деления этого числа на 5.
0102030400
24. Если xi и Х2 — наименьший и наибольший корни уравнения 169х - 12 • 26х + 32 • 4х = 0 и d = то
0 d € (0; 2) 0 d е [2; 3) 0 d G [3; 4) 0 d 6 [4; 5)
0 d G [5; 9999999999)
25. Если Билл выполнит 40% работы, а после этого Джек доделает остальное, то на это понадобится 49 дней. Ту же работу можно выполнить за 50 дней, если Билл проработает 60% этого времени, а остальное время проработает Джек (Джек один справится с работой за целое число дней). Сколько дней (наименьшее
265
Варианты вступительных экзаменов
натуральное число) достаточно для совместного выполнения работы? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
26. Сумма всех различных положительных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение
(р — 3) • 9х — 8 • 3х + 1 = 0 имеет единственный корень, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
27. Сумма всех различных целочисленных значений парамет-
D „ Г х2 + у2 — 2J?|a;| + 2J?|y|,
pa R, при котором система уравнении | |у| _ 24
имеет ровно четыре решения, равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого числа на 5. 0102030400
28. Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения ж1оёз2 = 16 • 5logl 3.
0 81 0 256 0 64 0 144 0 125
29. Стоимость одного часа эксплуатации парохода, плывущего V2
со скоростью v км/ч, составляет 72 + 18г + —. С какой скоростью должен плыть пароход, чтобы стоимость поездки протяженностью
320 км была наименьшей?
0 18 км/ч 0 16 км/ч 0 8 км/ч 0 9 км/ч 012 км/ч
30. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартируют 9000 мушкетеров, в Марселе — 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку Р тонн бургундского на расстояние L лье составляют Р L3 бурбонов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 01 02 [03 04
266
Вариант 5-с21
Вариант 5-с21
1. Раньше накладные расходы составляли 30% общих расходов. Накладные расходы (в рублях) возросли на 110%, а прочие расходы (в рублях) возросли на 60%, и теперь накладные расходы составляют от общих расходов
0 56,25% 0 84% 0 36% 0 80% 0 44%
2. Решите уравнение log36(16x) = log36 8.
S х = | 0 ® = | ® к°Рней нет 0^ = 1 0Ж = |
3. Если жх и а?2 — меньший и больший корни уравнения 26
х -I--= 15, то
х
ГГ] — е (-999; 2,1) 0 — 6 [2,1; 3,2) 0 — 6 [3,2; 4,3) — Xi
0 — 6 [4,3; 5,4) 0 — G [5,4; 999)
Х1 Х1
4. Сколько корней имеет уравнение log2 х = 2005 + х ?
0 один 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 корней нет
5. Если число S равно сумме всех различных корней уравнения х - 5у/х + 3 = 0, то
0 s Е (-999; 16,1)056 [16,1; 18,2) 0 S 6 [18,2; 20,3)
@ 5 6 [20,3; 22,4) 0 S 6 [22,4; 999)
6. Сколько корней имеет уравнение х(х — 1)(ж2 + 1) = 0 ?
0 один 0 два 0 три 0 четыре или больше четырех
0 корней нет
267
Варианты вступительных экзаменов
7. Если Х2 — второй по величине положительный корень урав-. 9(кх\ л
нения sm — = 0,25, то
\ 12 ) '
0 Х2 € (0; 8,1) 0 х2 & [8,1; 9,2) 0 х2 € [9,2; 10,3)
0ж2 € [10,3; 11,4) 0ж2 € [11,4; 999)
от? 1 /ц 2l°Si2i11 125\
8. Если х = log5 (11 ), то
0zG(-999; 3,1) 0т € [3,1; 5,2) 0т G [5,2; 7,3)
0т € [7,3; 9,4) 0т € [9,4; 999)
9. Если числа ai, аг, аз,... образуют арифметическую прогрессию, аз + 04 + а? = 7, ai + аг + 05 + а$ = 4, и d — разность прогрессии, то
0 d е (-999; 1,1) 0 d € [1,1; 2,2) 0 d € [2,2; 3,3)
0 d G [3,3; 4,4) 0 d € [4,4; 999)
„ a4-27ab3 ( „ 5\ ,
10. Значение выражения -=——: 1 — 3 - 1 + b a2 + 3at> + 9o2 \ a J
при a = \/2 — 1,5 = 2\/2 равно
07 05 0-2 03 04
11. Касательная к графику функции у = Ют2 — 4т5 — т — 4, касающаяся этого графика в точке с абсциссой xi = 1, пересекает ось ординат в точке, ордината которой равна у^. Укажите верное утверждение.
0 У1 € (-999; 1,1) 0 У1 € [1,1; 2,2) 0 У1 € [2,2; 3,3)
0 У1 Е [3, 3; 4,4) 02/1€[4,4; 999)
12. За 12 дней совместной работы Билл и Джек строят 14 домов Если Билл повысит свою производительность на 100%, то за 6 дней совместной работы они построят 10 домов. Сколько домов
268
Вариант 5-с21
построит один Билл за 60 дней работы с плановой производительностью?
0 28 0 32 0 30 0 36 [5] 24
13. Произведение всех различных корней уравнения
3 2
-г-------- = х — 4х + 5 равно
х2 - 4ж + 3
0 6 0 3 0 2 0 12 0 Ю
{1/ж2 + Зж + 2 — |у + 2| = 0, ______________ ______________ то \/у2 + 4у + 4 + л -\/ж2 — ж — 2 = 0,
IT] - € (-999; 1,1) [2] - € [1,1; 2,2) [з] - € [2,2; 3,3) -- Ж -- Ж -- ж
0 - G [3,3; 4,4) 0 - € [4,4; 999) — ж — ж
15. Наименьшее значение функции
у = 4х — 2^/log3 32 • 2х + log3 96 равно
|Т] 1 02 03 04 05
16. Сколько различных целых чисел являются решениями неравенства log/ \ ж > — 2?
|Т] ни одного или одно 0 два [~3~[ три 0 четыре
5 пять или больше пяти
17. Число, равное сумме всех различных корней уравнения ж2 — |2ж + 3| — 12 = 0, принадлежит промежутку
0 (-оо; 0) 0 [0; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; +оо)
18. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех
точек, координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе нера-
венств
ж2 + у2 36,
ж2 + у2 36 + 2ху.
0 18л + 24 0 36л 0 16л + 24 0 24л 4- 12 0 18л + 36
269
Варианты вступительных экзаменов
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения V^(sin(19a;) + sin(33a;)) = 2sin(52a;) соз(7ж), то значение выражения л X-1 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 @3 04 00
20. Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 60, острый угол при основании равен 60°. Боковая сторона трапеции равна
0 УбО 0 У80 0 ^1800 0 ^2400 0 ^4800
21. Вычислите значение выражения
: / .4 .5
65 • sm arcsin--arcsin —
\ 5 13
и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
01 02 0304 @0
22. Если Xi — наименьший корень уравнения
[log7(4х + 1)] log(5a._7) 7 + [log(4l+1) 49] • log7(5a; - 7) = 3, то 0Ж1 е (-999; 1,1) 0 ац £ [1,1; 1,6) 0 Х1 € [1,6; 2,1)
0 ац G [2,1; 2,6) 0 xi £ [2,6; 999)
23. Произведение всех различных значений параметра р, при „ -10
которых гипербола у =----и прямая
х
у = (р2 — Зр — 4)х + 2(3р — 1) имеют единственную общую точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
24. Числа 1; 6; с являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Если большее из них увеличить на 33, 33333 ... %, то они станут последовательными членами геометрической прогрессии. Укажите верное утверждение. 0b£ (1; 1,2) 0 Ь G [1,2; 1,4) 0 Ь е [1,4; 1,6) 0Ье [1,6; 1,8) 0б£ [1,8; 999)
270
Вариант 5-с21
25. Сумма всех различных целочисленных значений параметра f log12(a:(13 - ж)) 1,
р, при которых система неравенств <
( log6((a; -р)(7-ж+р)) 1
имеет единственное решение, равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102030400
26. Наименьшее значение функции у = 768 tg2 х + 625 cos6 х равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен [1]1 [2]2 |3]3 Щ4 [б]0
27. Укажите наименьшее положительное значение параметра f х 4sinp + у ctgp = 2, .
р, при котором система S /к. _ /5 имеет беско-
I X "у 3 tg р "I- у cos р — у 3 нечное множество решений.
28. Сумма всех различных корней уравнения \/25 + х — \/х = 5 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03Щ4 0О
29. В растворе X содержится 10% вещества А и 30% вещества В, в растворе Y 20% А и 30% В, в растворе Z 40% А и 20% В. В результате смешивания получился раствор Т, содержащий 30% А. Наибольшее возможное содержание вещества В в растворе Т равно п%, причем
Щ п е (0; 22,1) [г] п £ [22,1; 23,2) [з] п £ [23,2; 24,3)
[4] п £ [24,3; 25,4) [б] п G [25,4; 100)
30. Если Р — наименьшее положительное значение параметра
р, при котором система уравнений
/|Ы -8| = ^72 - (|ж| -9)2
(.У = х-р
имеет ровно пять различных решений, то
0Р 6 (0; 4] @Р £ (4; 5] @Р £ (5; 6] ЩР 6 (6; 7]
@Р 6 (7; 999)
271
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 5-с22
1. Раньше накладные расходы составляли 30% общих расходов. Накладные расходы (в рублях) возросли на 40%, а прочие расходы (в рублях) возросли на 90%, и теперь накладные расходы составляют от общих расходов
[1] 16% й 24% й 32% Щ 20% й 40%
2. Решите уравнение к^625(27г) = log625 81.
S х = 7 @ х = || @* = 7 S х = | ® корней нет А ( О £
3. Если Xi и Х2 — меньший и больший корни уравнения
8 п
х Н— = 6, то
х
S ~ G (-999; 1,5) [2] — € [1,5; 2,2) [з] — € [2,2; 3,3)
Х1 Х1
й G [3,3; 4,4) е [4,4; 999)
4. Сколько корней имеет уравнение log2 х = 2005(ж — 1) ? |Т| один |~2~| два [з~[ три [4~[ четыре или больше четырех й корней нет
5. Если число S равно сумме всех различных корней уравнения х — 8\/х + 5 = 0, то
[Г] S G (-999; 26,1) й S & [26,1; 28,2) й S G [28,2; 30,3)
й 5 G [30,3; 32,4) 05G [32,4; 999)
6. Сколько корней имеет уравнение х(х2 — l)(z2 + 4) = 0 ?
[Т] один [2] два [з~[ три й четыре или больше четырех й корней нет
272
Вариант 5-с22
7. Если хз — третий по величине положительный корень урав-2 (7ГЖ \
нения cos I — I = U,75, то
\ 1л j
fl] ж3 е (0; 10,1) [2] х3 £ [10,1; 12,2) 0 х3 € [12,2; 14, 3)
Щж3 е [14,3; 16,4) @ж3 € [16,4; 999)
/ 3 loffoy 32 \
8. Если х = log4 (9 ), то
Щж G (-999; 2,1) [0 х е [2,1; 4,2) 0 х е [4,2; 6,3)
Щж G [6,3; 8,4) [К] ж G [8,4; 999)
9. Если числа ai, яг, яз,... образуют арифметическую прогрессию, Я2 + а5 + “8 = 6, я3 + я4 + я/ 4- яд = 11, и d — разность прогрессии, то
[Т] d е (-999; 1,1) [2] d G [1,1; 2,2) [з] d G [2,2; 3,3)
[4] d£ [3,3; 4,4) [Б] d е [4,4; 999)
9 9
~ X — у х— у
10. Значение выражения ------: —5----t „ $ + 2ху
х + у (xz + улу — 4хлу£
при х = 2у/3 — 1, у = V3 + 2 равно
|Т] 15 [2] —7 [з] 3 Щ 5 [5] 20
11. Касательная к графику функции у = 21х3 — 9х7 4- х — 11, касающаяся этого графика в точке с абсциссой х± — 1, пересекает ось ординат в точке, ордината которой равна ух- Укажите верное утверждение.
0 У1 £ (-999; 1,1) [0 У1 G [1,1; 2,2) [з] У1 € [2,2; 3,3)
0J/X е [3,3; 4,4) @ У1 G [4,4; 999)
12. За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят И домов. Если Билл повысит свою производительность на 25%, то за 24 дня совместной работы они построят 10 домов. Сколько домов
273
Варианты вступительных экзаменов
построит один Билл за 60 дней работы с плановой производительностью?
0 И 0 12 0 12,5 0 14 0 13
13. Произведение всех различных корней уравнения
3 2
—------ = X - 6т 4- 7 равно
хл — 6т 4- 9
060 09 063 06 0 10
14.
Если <
у/т2 4- т — 6 — |3г/ + 2| = 0,
х/9у2 + 12у + 4 + 7Vr2 - Зт + 2 = 0,
то
0-6 (-999; 1,1) Ы - е [1,1; 2,2) 0 - € [2,2; 3,3) У У У
0 е [3,3; 4,4) 0 е [4,4; 999)
15. Наименьшее значение функции у = 25® — 2-\/1о§з • 5* х 4- log3 324 равно 01 @2 03 04 05
16. Сколько различных целых чисел являются решениями неравенства log0 25 х > — 2 ?
0 ни одного или одно [~2~| два [~3] три 0 четыре
0 пять или больше пяти
17. Число, равное сумме всех различных корней уравнения х2 — [2т 4- 4| — 12 = 0, принадлежит промежутку 0 (-оо; 0) 0 [0; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4-оо)
18. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых (т; у) удовлетворяют системе нера-f у < \/16 — т2, (т2 4- у* 2ху 4- 16.
0 87Г 4-16 0 47Г + 24 0 8тг 4- 12 0 4тг 4- 40 0 16тт
274
Вариант 5-с22
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения \/3(sin(27z) + sin(37a;)) = 2sin(64a;) соз(5ж), то значение выражения 7г • X-1 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 [з]з 04 0 О
20. Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 10, острый угол при основании равен 45°. Боковая сторона трапеции равна
21. Вычислите значение выражения
/4 5
195 sm arcsin - + arcsin — \ 5 13
и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
Щ10203040О
22. Если xi — наименьший корень уравнения [1оёз(2ж + 1)] log(3a;_i) 3 + [log(2a.+i) 9] • log3(3x - 1) = 3, то 0 Xi £ (-999; 0, 6) 0 X! е [0,6; 1,1) 0 € [1,1; 1,6)
0 е [1, 6; 2,1) 0 Xi G [2,1; 999)
23. Произведение всех различных значений параметра р, при „ -26
которых гипербола у =--- и прямая
у = (р2 — 8р + 12)т + 2(5р — 1) имеют единственную общую точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
24. Числа 1; 6; с являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Если большее из них увеличить на 6,666666 ... %, то они станут последовательными членами геометрической прогрессии. Укажите верное утверждение. 0&G (1; 1,2) 0Ье [1,2; 1,4) 0bG [1,4; 1,6) 0bG [1,6; 1,8) 0 be [1,8; 999)
275
Варианты вступительных экзаменов
25. Сумма всех различных целочисленных значений парамет
ра р, при которых система
logu(a;(12 - ж)) 1,
< имеет
log4((a;-p)(5-a; + p)) 1
единственное решение, равна натуральному числу. Укажите оста-
ток от деления этого натурального числа на 5.
02 @3 04 00
26. Наименьшее значение функции у = 243 tg2 х + 256 cos6 х равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
27. Укажите наименьшее положительное значение парамет-f х • ctgp + у — 2х/3,
ра р. при котором система < ° ч „ имеет
г н н [ж • (1 4- 2sin2р) +у sm(2p) = 3
бесконечное множество решений.
28. Сумма всех различных корней уравнения \/49 + х — \/х = 7 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
29. В растворе X содержится 20% вещества А и 70% вещества В, в растворе Y 50% А и 30% В, в растворе Z 70% А и 20% В. В результате смешивания получился раствор Т, содержащий 60% А. Наименьшее возможное содержание вещества В в растворе Т равно п%, причем
0 п £ (0; 24,1) 0 п & [24,1; 26,2) 0 п G [26,2; 29,3)
0 п £ [29,3; 31,4) 0 п G [31,4; 100)
30. Если Р — наименьшее положительное значение парамет-
ра р, при котором система
имеет
(.У = X -р
ровно пять различных решений, то
0Р G (0; 2,5] 0Р € (2,5; 3] 0Р G (3; 3,5] 0Р G (3,5; 4]
0 Р € (4; 999)
276
Вариант 5-с23
Вариант 5-с23
1. Раньше накладные расходы составляли 60% общих расходов. Накладные расходы (в рублях) возросли на 70%, а прочие расходы (в рублях) возросли на 20%, и теперь накладные расходы составляют от общих расходов
|Т] 74% [г] 99% [з] 110% Щ 84% 0 68%
2. Решите уравнение log81 (81) = log8116.
[Т| х = 2 [¥] х = | 0 ж = | 0 корней нет
3. Если ху и Х2 — меньший и больший корни уравнения
6 „
х -I— = 5, то
х
ITI — G (-999; 2,1) Ы — € [2,1; 3,2) Гз] — € [3,2; 4,3) -- Xi Xi Xl
age [4,3; 5,4) @ [5,4; 999)
4. Сколько корней имеет уравнение log2 х — 2005ж ? [Т| один [~2~| два [~3~[ три 0 четыре или больше четырех [б~| корней нет
5. Если число S равно сумме всех различных корней уравнения х — 6\/х 4- 6 = 0, то
0 S G (-999; 18,1) 0 S & [18,1; 20, 2) [з] S G [20,2; 22, 3)
0 S € [22,3; 24,4) 0 S £ [24,4; 999)
6. Сколько корней имеет уравнение х(х2 — l)(z2 — 4) = 0 ? а ни одного или один а Два 0 три 0 четыре
15 пять или больше пяти
277
Варианты вступительных экзаменов
7. Если жз — третий по величине положительный корень урав-2 /тгт\ „ нения cos — = 0,25, то
\ 12 /
[Т] т3 е (0; 10,1) [з] жз е [10,1; 12, 2) 0 т3 6 [12,2; 14, 3)
0 т3 е [14,3; 16, 4) 0 т3 £ [16, 4; 999)
о тр 1 61°8125 !21\
8. Если х = logn 15 j, то
0т 6 (-999; 3,1) 0т 6 [3,1; 5,2) 0 х е [5,2; 7,3)
0 х 6 [7,3; 9,4) 0 х 6 [9,4; 999)
9. Если числа ai, аг, а3,- образуют арифметическую прогрессию, аг + а-5 + аб = 7, ах + аз + (г? + ag = 16, и d — разность прогрессии, то
0 d G (-999; 1,1) 0 d 6 [1,1; 2,2) 0 d 6 [2, 2; 3,3)
0 d £ [3,3; 4,4) 0 d E [4,4; 999)
fx3 + 27y3 \ 1
10. Значение выражения —---------ху • —z——
\ 3т + 9y ) xl — 9j/z
при x = 7 + V3, у = - + равно
0 0,25 0 0,5 0 -1,25 0 2\/3 0 -\/3
11. Касательная к графику функции у = 14т4 — 8т7 + 2т — 2, касающаяся этого графика в точке с абсциссой Ti = 1, пересекает ось ординат в точке, ордината которой равна у±. Укажите верное утверждение.
0 У1 £ (-999; 1,1)02/16 [1,1; 2, 2) 0 У1 е [2,2; 3,3)
02/1 6 [3,3; 4,4) 02/1 6 [4,4; 999)
12. За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 61 дом. Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 15 дней
278
Вариант 5-с23
совместной работы они построят 33 дома. Сколько домов построит один Билл за 60 дней работы с плановой производительностью?
[I] 48 [2] 46 0 54 Щ 60 [б] 50
13. Произведение всех различных корней уравнения
, 3
х + бх + 13 ч—=--------- = 2 равно
х2 + бх + 7
[I] 8 [2] 2 0 -10 Щ 13 [б] 80
14.
Если <
х/т2 + 2т — 3 — |6г/ — 1| = 0,
тг-у/Збу2 — 12у + 1 + \/т2 — 4т + 3 = 0,
то
ГЛ - 6 (-999; 1,1) Ы - £ [1,1; 2,2) Гз] - G [2,2; 3,3) У У У
4] G [3,3; 4,4) [б] £ [4,4; 999)
15. Наименьшее значение функции у = 9х — 2>/log4 6 • 3х + log4 96 равно
01 @2 0304 05
16. Сколько различных целых чисел являются решениями неравенства log/xx х > — 1 ?
[Т[ ни одного или одно [~2~[ два |~3~| три [~4~| четыре
|~б] пять или больше пяти
17. Число, равное сумме всех различных корней уравнения х2 — |2т + 5| — 8 = 0, принадлежит промежутку
S (-оо; 0) [2] [0; 1) 0 [1; 2) Щ [2; 3) [б] [3; +оо)
18. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых (т; у) удовлетворяют системе нера-[ т2 + у2 4, ( т2 + у2 4 + 2ху.
И 2л + 4 [2] л + 10 0 4л + 2 Щ 2л + 2 [б] 4л - 2
279
Варианты вступительных экзаменов
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения \/3(sin(41a;) + sin(35x)) = 2sin(76x)cos(3a:), то значение выражения тг • X-1 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
20. Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 30, острый угол при основании равен 45°. Боковая сторона трапеции равна
21. Вычислите значение выражения
/3 5
260 sinl arcsin-arcsin —
\ 5 13
и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
0102030400
22. Если число S равно сумме всех различных корней уравнения [log6(ж + 1)] log(2x_4) 6 + [log(a;+i) 36] • log6(2a: - 4) = 3, то 0 S 6 (-999; 3) 0 S е [3; 6) 0 S 6 [6; 9) 0 S 6 [9; 12)
0 S £ [12; 999)
23. Произведение всех различных значений параметра р, при _ -5
которых гипербола у = — и прямая
х
у = (р2 — 5р + 6)т + 2(2р — 1) имеют единственную общую точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
24. Числа 1; Ь; с являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Если большее из них увеличить на 12,5%, то они станут последовательными членами геометрической прогрессии. Укажите верное утверждение.
0£>е (1; 1,2) 0 Ь е [1,2; 1,4) 06 £ [1,4; 1,6) 06 £ [1,6; 1,8) 06 £ [1,8; 999)
280
Вариант 5-с23
25. Сумма всех различных целочисленных значений парамет
ра р, при которых система
log12 (ж(13 - ж)) 1,
< имеет
log3((® -р)(4 - х +р)) 1
единственное решение, равна натуральному числу. Укажите оста
ток от деления этого натурального числа на 5. 0 1 а 2 а 3 0 4 J5] О
26. Наименьшее значение функции у = 48 tg2 х 4- 625 cos6 х равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
27. Укажите наименьшее положительное значение парамет-f х ctgn + у = 2, ра р, при котором система < /Л . э „. . . /-
г (ж • (2sin2p - 1) +у sin(2p) = V3
имеет бесконечное множество решений.
28. Сумма всех различных корней уравнения
х/121 + х — у/х = 11 равна натуральному числу, остаток от деле
ния которого на 5 равен 0102030400
29. В растворе X содержится 30% вещества А и 50% вещества В, в растворе Y 50% А и 40% В, в растворе Z 80% А и 10% В. В результате смешивания получился раствор Т, содержащий 60% А. Наименьшее возможное содержание вещества В в растворе Т равно п%, причем
0 п £ (0; 24,1) 0 п Е [24,1; 27,2) 0 п Е [27,2; 29,3)
0 п Е [29,3; 32,4) 0 п Е [32,4; 100)
281
Варианты вступительных экзаменов
30. Если Р — наименьшее положительное значение парамет-
ра р, при котором система
имеет
(У = х-р
ровно пять различных решений, то
[I] Р £ (0; 3] [I] Р £ (3; 4] 0 Р £ (4; 4,5] ЩР 6 (4,5; 5]
@Р6(5; 999)
Вариант 5-с24
1. Раньше накладные расходы составляли 40% общих расходов. Накладные расходы (в рублях) возросли на 80%, а прочие расходы (в рублях) возросли на 30%, и теперь накладные расходы составляют от общих расходов
0 48% 0 92% 0 72% Щ 64% 0 90%
2. Решите уравнение log2005(625x) = log2005 125.
- |~3~| корней нет
3. Если xi и я;2 — меньший и больший корни уравнения 12
х 4---= 8, то
х
[11 — £ (-999; 1,5) [21 — 6 [1,5; 2,2) Гз] — £ [2,2; 3,3)
-- Х1 Х\ Х1
Щ — £ [3, 3; 4,4) 0 — £ [4,4; 999)
X j X
4. Сколько корней имеет уравнение log2 х = 2005 — х ?
|Т| один [2~| два [~3~| три |~4~| четыре или больше четырех
[К] корней нет
5. Если число S равно сумме всех различных корней уравнения х — 7у/х + 3 = 0, то
0 S £ (-999; 42,1) 0 S £ [42,1; 44,2) 0 S £ [44,2; 46,3)
0 S £ [46,3; 48,4) 0 S £ [48,4; 999)
282
Вариант 5-с24
6. Сколько корней имеет уравнение х(х2 + 1)(ж2 + 4) = 0 ? 0 один 0 два |~3~| три |~4~] четыре или больше четырех 0 корней нет
7. Если Х2 — второй по величине положительный корень урав-. 2 / тгж\ „ нения sm -— = 0,75, то
\12/
0 х2 6 (0; 8,1) 0 х2 6 [8,1; 9, 2) 0 х2 6 [9,2; 10,3)
0«2 € [10,3; 11,4) 0«2 е [И,4; 999)
Q I? 1 /о41°81649\
8. Если х = log7 (8 ), то
0 х 6 (—999; 3,1) 0 х 6 [3,1; 4, 2) 0 х G [4, 2; 5,3)
0 х 6 [5,3; 6,4) @®е[6,4; 999)
9. Если числа а^, а,2, аз,... образуют арифметическую прогрессию, ах + аг + аб = 9, а2 + аз + аз + а7 — 37, и d — разность прогрессии, то
0 d 6 (-999; 1,1) 0 d G [1,1; 2,2) 0 d 6 [2,2; 3, 3)
0 d6 [3,3; 4,4) 0 de [4,4; 999)
ab(b2 — а2) + a4 — b4 b2 — a2
10. Значение выражения --.---5-5---5- : г—-
a4 + a2b2 - a3b a3b
при a = V2 — 1, b = V2 + 1 равно
0-1 01 02 0-2 07
11. Касательная к графику функции у = 18ж4 — 8х9 — Зж — 7, касающаяся этого графика в точке с абсциссой «1 = 1, пересекает ось ординат в точке, ордината которой равна уу. Укажите верное утверждение.
07/1 6 (-999; 1,1) 0 т/1 6 [1,1; 2,2) 0 ух Е [2,2; 3, 3)
07/1 6 [3,3; 4,4) 0 т/1 е [4,4; 999)
283
Варианты вступительных экзаменов
12. За 30 дней совместной работы Билл и Джек строят 11 домов. Если Билл повысит свою производительность на 20%, то за 60 дней совместной работы они построят 24 дома. Сколько домов построит один Билл за 48 дней работы с плановой производительностью?
08090 10 0607
13. Произведение всех различных корней уравнения
6 2
—-------= х + 2х 4-1 равно
х2 + 2х + 2 Р
0-4020-2060-1
{\Ле2 — я: — 2 — |2у — 1| = 0, ______________ ___________ то тгу4у2 — 4у 4-1 + у/х2 — 5х + 6 = 0,
ГТ] - 6 (-999; 1,1) 0 - 6 [1,1; 2,2) 0-6 [2,2; 3,3)
У У У
0-6 [3,3; 4,4) 0-6 [4,4; 999)
— У У
15. Наименьшее значение функции у = 49® — 2^/log6 2 • 7х 4- log6 432 равно 0102030405
16. Сколько различных целых чисел являются решениями неравенства log / х \ ® — 2 ?
0 ни одного или одно 0 два 0 три 0 четыре
0 пять или больше пяти
17. Число, равное сумме всех различных корней уравнения х2 — |2ж 4- 6| — 9 = 0, принадлежит промежутку 0 (-оо; 0) 0 [0; 1) 0 [1; 2) 0 [2; 3) 0 [3; 4-оо)
284
Вариант 5-с24
18. Найдите площадь фигуры на плоскости, состоящей из всех точек, координаты которых (ж; у) удовлетворяют системе нера-f у < д/4 — ж2, венств < 9 о „
( ж + у 2ху + 4.
02л + 402л + 20л + Ю0л + 12 04л
19. Если число X равно наименьшему положительному корню уравнения л/з(зт(35ж) 4-зт(43ж)) — 2зш(78ж)соз(4ж), то значение выражения 7г X-1 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 [з] 3 04 00
20. Площадь равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 20, острый угол при основании равен 30°. Боковая сторона трапеции равна
0 \/40 0 \/§0 0 v^OO 0 V60 0 ^1800
21. Вычислите значение выражения
12 . 4
arcsin — — arcsin -
13 5
130 • sin
и укажите остаток от деления бли-
жайшего натурального числа на 5.
0102030400
22. Если число S равно сумме всех различных корней уравнения [logu(x + 5)] • log(3a._9) 11 + [log(x+5) 121] • logu(3x - 9) = 3, то
0 S £ (-999; 6) 0 S £ [6; 8) 0 S £ [8; 10) 0 S £ [10; 12)
0 S £ [12; 999)
23. Произведение всех различных значений параметра р, при „ -5
которых гипербола у = — и прямая
ж
у ~ (р2, 4- 2р — 3)ж + 2(2р — 1) имеют единственную общую точку, равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
285
Варианты вступительных экзаменов
24. Числа 1, 6; с являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Если большее из них увеличить на 12,5%, то они станут последовательными членами геометрической прогрессии. Укажите верное утверждение.
0с£ (1, 1,2) 0с£ [1,2; 1,4) [в] с G [1,4; 1,6) 0 с £ [1,6; 1,8) 0 с € [1,8, 999)
25. Сумма всех различных целочисленных значений парамет-( log13[a:(14-;r)) 1,
ра р, при которых система < имеет
( 1оё5 ((® - Р)(6 - X + р)) 1
единственное решение, равна натуральному числу. Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0102 03 04 00
26. Наименьшее значение функции у = 48 tg2 х + 256 cos6 х равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
27. Укажите наименьшее положительное значение парамет-fa?-2sinp + w ctgp = —-\/3, _
ра р, при котором система < _ имеет бес-
конечное множество решений.
28. Сумма всех различных корней уравнения \/б4 + ж — \/х = 8 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
29. В растворе X содержится 30% вещества А и 60% вещества Б, в растворе Y 40% А и 40% В, в растворе Z 80% А и 20% В. В результате смешивания получился раствор Т, содержащий 70% А. Наибольшее возможное содержание вещества В в растворе Т равно п%, причем
0 п £ (0; 25,1) 0 п £ [25,1; 27,2) 0 п G [27,2; 29,3)
0 п £ [29,3; 31,4) 0 п £ [31,4; 100)
286
Вариант 6-cll
30. Если Р — наименьшее положительное значение парамет
ра р, при котором система
имеет
(у = х-р
ровно пять различных решений, то
0Р 6 (0; 3] @Р6(3; 3,5] @Ре(3,5; 4] 0 Р £ (4; 4,5]
0Р £ (4,5; 999)
Вариант 6-с11
~ ( у = т2 + 2006,
1. Сколько решений имеет система < 9 , „„„„„
( х2 + у2 = 2006 ?
0 одно 0 два [3~| три 0 четыре или больше [К] решений нет
2. Сумма всех различных корней уравнения (т2 — 7х + 6)(т2 — 5т + 4) --------------— 0 равна
х - 4
060 12 011 0705
3. Доллар по отношению к рублю стал дешевле на 18%. Сколько однодолларовых купюр можно теперь купить на ту же сумму в рублях, которой прежде хватало на покупку ровно 328 долларов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 0102 03 04 00
4. Сумма трех наименьших положительных корней уравнения cost = — 1 равна
015тг г—I 21тг ।—। г—। г—। 9л-
— 0— 0 12л 0 9тг 0-
& A
5. Решите неравенство
2т + 3 т + 3
< 1.
0 (-оо; -3) [J (-3; -2) 0 (-оо; -3) J (-2; +оо) 0 (-2; 0) 0 (-оо; -3) □ (-2; 0) 0 (-3; -2) |J (0; +00)
287
Варианты вступительных экзаменов
6. Угловой коэффициент касательной к графику функции у = Ют + х — х2 + х3 — ж4 + х5 — х6 + х7 в точке х = 1 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
7. Единственный корень уравнения х • З3 = 64 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
8. В геометрической прогрессии bi = 2, 62 = 8. В арифметической прогрессии ai = bi, = b%, ап = Ь$. Найдите сумму членов арифметической прогресии от ai до ап включительно и укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0102 03 04 00
9. Касательная к графику функции у = х4, пересекающая ось абсцисс в точке х = 12, касается графика в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
10. Наименьшее значение функции у — х — 10\/я + 25 на промежутке х е [4; 36] равно
0 4 0 0 0 —4 0 25 0 15
11. Значение выражения 27log8116 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
12. Найдите длину дуги, которая опирается на вписанный угол величиной 30° в окружности, радиус которой равен 6.
0 2л- 0 4л- 0 Зя 0 л 0 0, 57Г
Ж4/3 _ х
13. Если /(ж) =--—тт + ж-1/3 и А = /(0,008), то
х + ж1/3
0 А е (-999; 0,1) 0 А е [0,1; 0,21) 0 А е [0,21; 0,37)
0 А е [0,37; 0,51) 0 А е [0,51; 999)
288
Вариант 6-cll
14. Все решения неравенства 32а: — 12 • Зж + 27 О образуют промежуток, длина которого равна
S 1 @ 2 0 3 04 05
15. Производная функции 3 sin(7a:) — 2sin(4a:) в точке х = О равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 @2 03 04 00
16. Если число А равно наименьшему значению функции 256ж - 2ж+3 + 8, то
0 А G (-9999; 1,1) 0 А G [1,1; 2,2) 0 А G [2,2; 3,3)
0 А G [3,3; 4,4) 0 А 6 [4,4; 9999)
17. Сколько имеется различных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение 9 sin2 х — 6 sin х + 2 = р имеет по крайней мере один корень? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102 03 04 00
18. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение —х—------— = 0 имеет ровно один корень, равна на-
хг — 7х + 12
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
19. При каких значениях параметра р система уравнений [ 2-ж+1°82Р + log3 (у-6) = 2р + 3, \ . имеет бесконечно много
[2-ж + 1оёз(гГ5) =р
решений?
0 таких значений параметра не существует
0 таких значений не меньше двух
0 одно значение р 6 (—оо; 2,5] 0 одно значение р G (2,5; 4)
0 одно значение р G [4; +оо)
289
Варианты вступительных экзаменов
20. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых хотя бы одно решение неравенства |т —р + 9|^4 является также решением неравенства |ж — 2р + 8 7. Найдите остаток от деления N на 5.
[Т] 1 [2] 2 [з] 3 04 00
21. Произведение всех различных корней уравнения ((l°g3a:)2 - 41og3T + б) ^(log3 ж)2 - 41og3T + 1) + 4 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
22. Если число А равно сумме двух наибольших корней уравне-2тг 4л 8л 16л 32л 62л
ния 32 cos — cos — cos — cos--cos------cos----= 0, то оста-
Ж /у» /у» 'Т* 'Т* 'Т*
tLr UJ UJ UJ
ток от деления ближайшего к А натурального числа на 5 равен 0102 03 04 00
23. Функция 71og7 х + 5 log7(24 — х) достигает своего наибольшего значения при
0t = 1O0t = 80t = 14 0t = 16 0t = 12, 5
24. Сумма всех различных значений параметра р, при которых р — 11
графики функций у = (р — 7).т и у = 248-------имеют ровно
х
одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
25. Найдите наименьшую длину отрезка числовой оси с целочисленными координатами концов, содержащего все решения [(log2(log2z))2] (log2a:)5 , log2 (log2 x)
неравенства 9-2 ---------F (log2 x) , и
8
укажите остаток от деления длины этого отрезка на 5.
0102 03 04 00
290
Вариант 6-cll
26. Если число Р равно наибольшему значению параметра р, при котором система уравнений
( х2 + у2 = 4Ы,
< имеет ровно три решения, то
[х + у = р
0 Р £ (0; 0,91) 0 Р G [0, 91; 2,11) 0 Р G [2,11; 3,21)
0 Р £ [3, 21; 4,41) 0 Р 6 [4,41; 999)
27. Если число d равно дробной части числа, равного наиболь-
2 . ( . 7VX\ 1 / ж \
шему решению неравенства — arcsin (sm —J - sm ^arcsin —J , то
0 d 6 [0; 0,21) 0 d 6 [0,21; 0,27) 0 d £ [0,27; 0,37)
J] d 6 [0,37; 0,47) 0 d 6 [0,47; 1)
28. В треугольнике MNK биссектрисы MH, NS, KT пересекаются в точке О, H G NK, S 6 MK, T £ MN, отношение сторон NK : MK : MN = 9:8:7. Площадь треугольника МТО равна 120. Найдите площадь треугольника NHO и укажите в ответе остаток от деления ближайшего натурального числа на 5.
0102 03 04 00
29. Если число Р равно наименьшему значению параметра р, при котором уравнение
х4 — 10х3 + (29 + 2р)х2 — (Юр + 20)ж +р2 + 5р = 0 имеет ровно три различных корня, то
0 Р £ (-999; 1,27) 0 Р £ [1,27; 2,38) 0 Р £ [2,38; 3,63)
0 Р £ [3,63; 4,78) 0 Р £ [4,78; 999)
30. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится вЗу.е., одного добытчика — в 4 у. е. Если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем, то число t, равное отношению числа геологов х к числу добытчиков у, удовлетворяет условию 0 t £ (0; 0, 6) 0 t £ [0,6; 0, 7) 0 t £ [0,7; 0, 8)
0i€ [0,8; 0,9) 0f £ [0,9; 999)
291
Варианты вступительных экзаменов
Вариант 6-с12 f у =
1. Сколько решений имеет система < % „
г ( хл + у2 = 20062 ?
0 одно 0 два [~з] три 0 четыре или больше [б~| решений нет
2. Сумма всех различных корней уравнения (х2 — 4х + 3)(т2 — 5х + 4) ------------= 0 равна
0607090805
3. Доллар по отношению к рублю стал дешевле на 16%. Сколько однодолларовых купюр можно теперь купить на ту же сумму в рублях, которой прежде хватало на покупку ровно 252 долларов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0102 03 04 00
4. Сумма трех наименьших положительных корней уравнения cos х — 1
-----= 0 равна
х
х — 1
х + 1
5. Решите неравенство
> 1.
0(—оо;—1) 0 (—оо; — 1) |J (0;+оо) 0(-1;О) 0(-оо;О)
0(-oo;-l)|J(-l;O)
6. Угловой коэффициент касательной к графику функции у = 50х + х4 — х5 + хв — х7 + х8 — ж9 + ж10 в точке х = 1 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
7. Единственный корень уравнения х 43 = 124 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
292
Вариант 6-с12
8. В геометрической прогрессии bi = 3, 62 = 6. В арифметической прогрессии ay = bi, 0-2 = b%, ап = Ьз- Найдите сумму членов арифметической прогресии от ai до ап включительно и укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
01 @2 03 04 @0
9. Касательная к графику функции у — л3, пересекающая ось абсцисс в точке х = 8, касается графика в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
10. Наименьшее значение функции у = х — 8у/х + 12 на промежутке х е [1; 36] равно
0-4 00 0-1 012 04
11. Значение выражения 9logsl 625 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 01 02 03 04 00
12. Найдите длину дуги, которая опирается на вписанный угол величиной 60° в окружности, радиус которой равен 12.
0 2л 0 Зя 0 8л 0 16л 0 4л
13. Если fix'} — —-----ж2/3 и А = /(8), то
х1/л — 1
0 А 6 (-999; 1,1) 0 А е [1,1; 2,21) 0 А 6 [2,21; 3,37)
0 А 6 [3,37; 4,51) 0 А е [4,51; 999)
14. Все решения неравенства 52ж — 26 5х + 25 0 образуют
промежуток, длина которого равна 0102 03 04 05
15. Производная функции 6 sin(4a:) — 3 cos(4t) в точке х = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
293
Варианты вступительных экзаменов
16. Если число А равно наименьшему значению функции
16ж - 2Х+2 + 5, то
0 А Е (-9999; 1,1) 0 А Е [1,1; 2,2) 0 А Е [2,2; 3,3)
0 А Е [3,3; 4,4) 0 А Е [4,4; 9999)
17. Сколько имеется различных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение 25 cos2 х — 10 cos х + 7 — р имеет по крайней мере один корень? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0 1 @2 @3 04 @0
18. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение ^-5——-----— = 0 имеет ровно один корень, равна на-
xz — 10т + 21
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
19. При каких значениях параметра р система уравнений [ 4*+i°g4(p-i) + log5(z/~5) = 4р - 3, < имеет бесконечно много
|0 + log5(yP-7) = Зр — 1
решений?
0 таких значений параметра не существует
0 таких значений не меньше двух 0 одно значение р Е (—оо; 4]
0 одно значение р Е (4; 8) 0 одно значение р 6 [8; +оо)
20. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых хотя бы одно решение неравенства |т — р + 2|^6 является также решением неравенства х — 2р + 7 ^4. Найдите остаток от деления N на 5.
0102030400
21. Произведение всех различных корней уравнения
((log2 ж)2 - 51og2 х + l)((log2 ж)2 - 51og2 х + 7) = -9 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
294
Вариант 6-с12
22. Если число А равно сумме двух наибольших корней урав-л 2л 4л 8л 15л
нения 8 cos — cos — cos — cos---cos-----= 0, то остаток от де-
ту» ту* ту» /у» ту»
<Xz >Zz tLr
ления ближайшего к А натурального числа на 5 равен
01 @2 03 04 00
23. Функция 3 log5 х + 5 log5(16 — х) достигает своего наибольшего значения при
0 ж = 6 0 X = 10 0 ж = 8 0 х = 12,5 0 X = 7
24. Сумма всех различных значений параметра р, при которых р — 9
графики функций у = (р — 7)т и у — 324 -------имеют ровно
х
одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
0102 03 04 00
25. Найдите наименьшую длину отрезка числовой оси с целочисленными координатами концов, содержащего все решения
1Л о [(loS3 (1OS2 ^))2] , .3,7. ч 10g3 (log2ж)
неравенства 10-3 ^log2х) + (log2х)
и укажите остаток от деления длины этого отрезка на 5.
0102 03 04 00
26. Если число Р равно наибольшему значению параметра р, при котором система уравнений
f х2 + у2 + 4 = 4|т| + 4Ы,
< имеет ровно четыре решения, то
\х + у = р
0 Р 6 (0; 1,5) 0 Р Е [1, 5; 2) 0 Р Е [2; 2,5) 0 Р Е [2, 5; 3)
0 Р Е [3; 999)
27. Если число d равно дробной части числа, равного наиболь-2 / тгх\ 5 / ж \
шему решению неравенства — arccos ^cos — j — cos ^arccos — J ,
0 d E [0; 0,57) 0 d E [0,57; 0,62) 0 d E [0,62; 0,74)
0 d E [0,74; 0,83) 0 d E [0,83; 1)
295
Варианты вступительных экзаменов
28. В треугольнике АВС биссектрисы AM, BN, СК пересекаются в точке О, Мб ВС, N 6 АС, К € АВ, отношение сторон ВС : АС : АВ = 5:6:8. Площадь треугольника АКО равна 84. Найдите площадь треугольника ВМО и укажите в ответе остаток от деления ближайшего натурального числа на 5.
[Ц 1 0 2 0 3 0 4 0 О
29. Если число Р равно наименьшему значению параметра р, при котором уравнение
х4 - 2х3 + (2р — 5)т2 + (6 — 2р)т + р2 — 2р = 0 имеет ровно три различных корня, то
0 Р 6 (-999; 0,93) 0 Р G [0,93; 1,17) 0 Р 6 [1,17; 1,38)
0Ре [1,38; 1,68) 0 Ре [1,68; 999)
30. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 16 у. е., одного добытчика — в 9 у. е. Если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем, то число t, равное отношению числа геологов х к числу добытчиков у, удовлетворяет условию 0 t е (0; 0,35) 0£ е [0,35; 0,4) 0£е [0,4; 0,5)
Щ t е [0, 5; 0,75) 0 t е [0,75; 999)
Вариант 6-с13
у = х2 + 2006, т2 + у2 = 20062 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше 0 решений нет
2.----Сумма всех различных корней уравнения (т2 — Зт + 2)(т2 — 5т + 6) ------ —---------------= 0 равна
т — 3
06 @7 03 @8 @5
1. Сколько решений имеет система
296
Вариант 6-с13
х + 2
х + 4
3. Доллар по отношению к рублю стал дешевле на 14%. Сколько однодолларовых купюр можно теперь купить на ту же сумму в рублях, которой прежде хватало на покупку ровно 172 долларов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5. 01 @2 03 04 @0
4. Сумма трех наименьших положительных корней уравнения sin а; = — 1 равна
5. Решите неравенство
0 (-оо, -3) 0 (-оо; -4) U (-4; -3) 0 (-оо; -4) |J (-3; +<ю) 0(-3;+оо) 0 (-4; -3)
6. Угловой коэффициент касательной к графику функции у — 40т + х2 — х3 + ж4 — т5 + х6 — х7 + т8 в точке х = 1 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
7. Единственный корень уравнения х • 63 = 124 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
8. В геометрической прогрессии bi — 2, 62 = 4. В арифметической прогрессии <11 = bi, 0,2 = b%, ап = b%. Найдите сумму членов арифметической прогресии от а± до ап включительно и укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
0102 03 04 00
9. Касательная к графику функции у — х6, пересекающая ось абсцисс в точке х = 20, касается графика в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
297
Варианты вступительных экзаменов
10. Наименьшее значение функции у = х — (зу/х + 11 на промежутке х € [4; 25] равно
03 @11 @-405@2
11. Значение выражения 8Iogs481 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
@1 @2 @3 @4 @0
12. Найдите длину дуги, которая опирается на вписанный угол величиной 45° в окружности, радиус которой равен 6.
0 Я 0 37Г 0 1, 57Г 0 47Г 0 6л
4- х~~^/3
13. Если f(x) = X1'3 4-ту;--- и А — /(27), то
х 4/d — 1
0 A Е (-999; 1,1) 0 A G [1,1; 2,21) 0 A Е [2,21; 3,37)
0 A Е [3,37; 4,51) 0 A Е [4,51; 999)
14. Все решения неравенства 22х — 17 • 2х + 16 0 образуют
промежуток, длина которого равна 0102 03 04 05
15. Производная функции 9sin(3x) — 7соз(6л) в точке х = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
16. Если число А равно наименьшему значению функции 16г - 2г+5 + 52, то
0 A Е (-9999; 1,1) 0 A Е [1,1; 2,2) 0 A Е [2,2; 3,3)
0 A Е [3,3; 4,4) 0 А Е [4,4; 9999)
17. Сколько имеется различных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение 25 sin2 х + 30 sin х 4- 11 = р имеет по крайней мере один корень? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
0102030400
298
Вариант 6-с13
18. Сумма всех различных значений параметра р, при которых уравнение = р имеет ровно один корень, равна на-
х2, — 5х + 6
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 02 03 04 00
19. При каких значениях параметра р система уравнений r32^1og3P + lOg2(2/-5;)=4p+1) < . имеет бесконечно много
(32a;+log2(^-6) = 2р + 3
решений?
0 одно значение р G (—оо; 2] 0 одно значение р G (2; 7)
0 одно значение р G [7; +оо) 0 таких значений не меньше двух
0 таких значений параметра не существует
20. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых хотя бы одно решение неравенства — р + 4| + 5 является также решением неравенства |ж — 2р + 6 + 8. Найдите остаток от деления N на 5.
0102 03 04 00
21. Произведение всех различных корней уравнения
(log2 х)2 — 3 log2 х — 1) (log2 z) 2 — 3 log2 х — 7^ +9 = 0 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102030400
22. Если число А равно наибольшему корню уравнения л 2л 4л 8л 16л 31л
32 cos — cos — cos — cos — cos---cos---= 0, то остаток от
/у! /у» /у» zyt /у» zyt
*4/ dis dis dj dj d/
деления ближайшего к А натурального числа на 5 равен 0102 03 04 00
299
Варианты вступительных экзаменов
23. Функция 3 log3 х + 7 log3(30 — ж) достигает своего наибольшего значения при
0 х = 10 0 х = 21 0 х = 15 0 х = 9 0 х = 18
24. Сумма всех различных значений параметра р, при которых р-7
графики функций у = (р — 2)х и у = 144---------имеют ровно
X
одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @20304 @0
25. Найдите наименьшую длину отрезка числовой оси с целочисленными координатами концов, содержащего все решения [(log2(log2x))2] 3 log2(log2x)
неравенства 5-2 (l°g2 х) -I- (log2 х) , и
укажите остаток от деления длины этого отрезка на 5.
0 1 02 03 04 @0
26. Если число S равно сумме двух наибольших значений параметра р, при которых система уравнений ( х2 + у2 + 1 = 2]гг] + 2|у|, < имеет ровно четыре решения, то
( х + у = р 1 1
05G (-999; 1,3) 0 S е [1,3; 1,7) 0 S G [1,7; 2,1)
0SG [2,1; 2,4) 05G [2,4; 999)
27. Если число d равно дробной части числа, равного наиболь-
2 . / . 7ГХ\ 4: . f х \
шему решению неравенства — arcsin ^sin —J - sin ^arcsin —j , то
0 d G [0; 0,31) 0 d G [0,31; 0,37) 0 d G [0,37; 0,46)
0 d G [0,46; 0,58) 0 d G [0,58; 1)
300
Вариант 6-с14
28. В треугольнике EFG биссектрисы ЕА, FB, GC пересекаются в точке О, А € FG, В 6 EG, С 6 EF, отношение сторон FG : EG : EF = 3:5:6. Площадь треугольника ECO равна 55. Найдите площадь треугольника FAO и укажите в ответе остаток от деления ближайшего натурального числа на 5.
01 02 03 04 00
29. Если число Р равно наименьшему значению параметра р, при котором уравнение
х4 — Ют3 + (31 — 2р)х2 + (Юр — 30)х +р2 — 15р = 0 имеет ровно три различных корня, то
0 Р е (-999; 0,77) 0 Р G [0,77; 1,38) 0 Р G [1,38; 2,63)
0 Р Е [2,63; 3,78) 0 Р Е [3,78; 999)
30. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 16 у. е., одного добытчика — в 3 у. е. Если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем, то число t, равное отношению числа геологов х к числу добытчиков у, удовлетворяет условию
0 t G (0; 0, 2) 0 t Е [0, 2; 0, 3) 0 t G [0, 3; 0,5)
0 t Е [0,5; 0,8) 0 t Е [0,8; 999)
Вариант 6-с14
, - ( У — х2 ~ 2006,
1. Сколько решении имеет система < 2 _|_ ^2 _ 20062 ?
0 одно 0 два 0 три 0 четыре или больше 0 решений нет
2. Сумма всех различных корней уравнения (х2 — 6х + 8)(z2 — 5х + 4) — 0 равна
х — 1
0607090805
301
2х + 1
Варианты вступительных экзаменов
3. Доллар по отношению к рублю стал дешевле на 12%. Сколько однодолларовых купюр можно теперь купить на ту же сумму в рублях, которой прежде хватало на покупку ровно 264 долларов? Укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
01 02 03 Щ4 00
4. Сумма трех наименьших положительных корней уравнения cos х = 0 равна
и а s 12я hn @
5. Решите неравенство
0 (-оо; -|) 0 (-оо; -2) |J (-|; +оо) D О
0 (-оо;-2) (J (~1;+оо) 0(-^;+оо) 0 (-1; -
Э D
6. Угловой коэффициент касательной к графику функции у = 30а; — х2 + х4 — х6 + х8 — ж10 + я;12 в точке х = 1 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
7. Единственный корень уравнения х • З4 = б5 равен натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
8. В геометрической прогрессии bi = 1, Ьг = 3. В арифметической прогрессии aj — bi, 0,2 = Ъ2, ап = Ь±. Найдите сумму членов арифметической прогресии от ai до ап включительно и укажите остаток от деления этого натурального числа на 5.
01 02 03 04 00
9. Касательная к графику функции у — х7, пересекающая ось абсцисс в точке х — 24, касается графика в точке, абсцисса которой равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
302
Вариант 6-с14
10. Наименьшее значение функции у = х — 2\/х + 5 на промежутке х G [0; 25] равно
03 02 0-4 @4 00
11. Значение выражения 16logs27 равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
12. Найдите длину дуги, которая опирается на вписанный угол величиной 120° в окружности, радиус которой равен 6.
0 4л 0 л 0 16л 0 8л 0 2л
„4/3 - 1
13. Если /(ж) = -утг—- - х2'3 и А = /(27), то хл/л — 1
0 A G (-999; 1,1) 0 A G [1,1; 2,21) 0 А G [2,21; 3,37)
0 A G [3,37; 4,51) 0 A G [4,51; 999)
14. Все решения неравенства 22х — 33 • 2х + 32 < 0 образуют промежуток, длина которого равна 0102 03 04 05
15. Производная функции 7 sin(8z) + 9 cos(2®) в точке х = 0 равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен 0102 03 04 00
16. Если число А равно наименьшему значению функции 27г _ Зх+з + 57) т0
0 A G (-9999; 1,1) 0 A G [1,1; 2,2) 0 A G [2,2; 3,3)
0 A G [3,3; 4,4) 0 A G [4,4; 9999)
17. Сколько имеется различных целочисленных значений параметра р, при которых уравнение 9 cos2 х + 12 cos х + 8 = р имеет по крайней мере один корень? Укажите остаток от деления этого числа на 5.
01 02 03 04 00
303
Варианты вступительных экзаменов
18. Сумма всех различных значений параметра р, при которых Гх — — Т)}
уравнение —z—--------= 0 имеет ровно один корень, равна на-
я?2 — ох + 5
туральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 @4 00
19. При каких значениях параметра р система уравнений ( 34x+log3(p-2) + log4(y-2) = Зр - 2, < имеет бесконечно много
( 34ж + log4 (ур~5) = р + 1
решений?
0 одно значение р G (—оо; 3,5] 0 одно значение р Е (3,5; 5,5)
0 одно значение р Е [5,5; +оо)
0 таких значений не меньше двух
0 таких значений параметра не существует
20. Пусть N — количество различных целочисленных значений параметра р, при которых хотя бы одно решение неравенства — р + 7| 8 является также решением неравенства
|ж — 2р + 3 ^6. Найдите остаток от деления N на 5. 0102030400
21. Произведение всех различных корней уравнения ((logfl.125 х)2 + 1оёо,125 х - 2) ((logo,125 + log0,125 ® ~ ю) = -16
равно натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
22. Если число А равно сумме трех наибольших корней уравне-л 2л 4л 8 л 16 л 31л
ния 16 cos — cos — cos — cos — cos-----------cos-= 0, то остаток
л* zy>
ll/ U? VU Л/ dj
от деления ближайшего к А натурального числа на 5 равен 0102 03 04 00
304
Вариант 6-с14
23. Функция 7 log3 х + 3 log3(20 — х) достигает своего наибольшего значения при
0 х = 6 0 х = 12 0 х = 18 0 х = 11 0 х = 14
24. Сумма всех различных значений параметра р, при которых _____________________________________________ g
графики функций у = (р — 4)х и у = 256---------имеют ровно
х
одну общую точку, равна натуральному числу, остаток от деления которого на 5 равен
01 @2 03 04 00
25. Найдите наименьшую длину отрезка числовой оси с целочисленными координатами концов, содержащего все решения [(log2(log2x))2] , .4 log2(log2x)
неравенства 9-2 [log2a;) + [log2r) , и
укажите остаток от деления длины этого отрезка на 5.
0102 03 04 00
26. Если число S равно сумме всех различных значений параметра р, при которых система уравнений ( х2 + у2 + 16 = 8|г| + 8|у|, имеет ровно четыре решения, то
0 S G (0; 10) 0 S G [10; 16) 0 S G [16; 20) 0 5 е [20; 24)
0 S G [24; 999)
27. Если число d равно дробной части числа, равного наиболь-2 /7гж\4 / х\
шему решению неравенства — arccos [^cos —J - cos ^arccos —J > то
0 d E [0; 0,31) 0 d G [0,31; 0,37) 0 d G [0,37; 0,43)
0 d e [0,43; 0,54) 0 d G [0,54; 1)
28. В треугольнике PQR биссектрисы PM, QN, RK пересекаются в точке О, M G QR, N G PR, К G PQ, отношение сторон QR : PR : PQ = 6:7:8. Площадь треугольника PKO равна 70.
305
Варианты вступительных экзаменов
Найдите площадь треугольника QMO и укажите в ответе остаток от деления ближайшего натурального числа на 5.
01 @2 03 04 00
29. Если число Р равно наименьшему значению параметра р, при котором уравнение
х4 — 6ж3 + (13 — 2р)х2 + (6р — 10)z + р2 — 5р = 0 имеет ровно три различных корня, то
0 Р G (-999; 0,67) 0 Р G [0,67; 1,17) 0 Р G [1,17; 1,63)
0 Р G [1,63; 1,78) 0 Р G [1,78; 999)
30. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 4 у. е., одного добытчика — в 27 у. е. Если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем, то число t, равное отношению числа геологов х к числу добытчиков у, удовлетворяет условию
0 t G (0; 3) 0 t £ [3; 4) 0 t G [4; 5) 0 t G [5; 7)
0 t G [7; 999)
Ответы
Вариант 1-cll 1.121 2. ЦП 3.
9. 1 10. 3
17.
25.
4
4
18.
26.
3
I
11.
19.
27.
Вариант 1-с12
1.Гб] 2. Т] 3.
9. |5
17. [2
25. [5
10.
18.
26.
2 Т
4
11.
19.
27.
Вариант 1-с13
1. ГТ] 2. Гз] з.
9. 4 10. 5 11.
17. 3
18. 4
25. 2 26. 5
_1
1
4 ][
4 Т
£
4
19. |3
27. Т
Вариант 1-с14
1. Гз] 2. ГТ] 3. Гб
9. 3
17. Т
25. ГГ
10. [4
18.
26. Гз
11. |2
19. Т
27. 2
Вариант 1-с21
1. |4| 2. |2
э. Гз] 10. Т
3.
11.
17. 4 18. 3 19.
25. 1 26. 3 27.
£ 2 I
3
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
5
3
2
3
1
2
5 Т
4 Т
4
4
3 4 Т К
3
3
4
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
13.
3
4
3
4 ][
3
2
5 Т
21. [2
29. ГГ
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
6. [2
14. ГТ
22.
30.
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22.
30.
4
2
3
4
3
5
£ 2 I 3
7.
15.
23.
4
2 т
7.Ц.
15.
23. [2
7.[3
15. [5
23. Гб
8. |5
16. [б
24. [2
8.[3
16. [з
24. Т
8.
16.
24.
2
J2
3
2 3 Т 4
6.
4
14. [5
22. Т
30.
4
7.
15.
23.
5
3
3
8.
16.
24.
£ 4
5
_1 т I
5
6. 2
1.4. [2
22. [5
30. [2
7.
15.
23.
4
4
4
8.
16.
24.
5
К
2
307
Ответы
Вариант 1-с22 1.
9.
17.
25.
д д д
3
2.
10.
18.
26.
д д
4
2
3 11 19 27.
2
Д
Д
5
4 12 20 28.
Д Д д
2
5
13
21
29
д д д
7
6
14
22
30
д д д К
7.
15.
23.
8. [Д
16. [1
24. [4
Вариант 1-с23 1. 9.
17.
25.
Д т
д
~2
2.
10.
18.
26.
4
Д Д Т
3 11 19.
27.
Д Д
Д
7
4 12 20 28.
д д д К
5
13
21
29
Д Д 4 2
6
14
22
30
4
1
3 Т
7.
15.
23.
8. |Д
16. Д
24. [З
Вариант 1-с24 1 9 17.
25,
д д д
4
2 10 18.
26,
Д 4
Д К
3
11
19
27.
4
Д Д Т
4 12 20, 28.
д д
4
5
13
21
29
Д 2
Д Т
6
14
22
30
д д
2
3
7.
15.
23.
8.[Д
16. Д
24. Г5
Вариант 2-с11 1. 9. 17. 25.
Д д д
3
2 10 18 26.
Д Д
Д Т
3 11 19 27.
Вариант 2-с12
1. 9.
17.
25.
2
3
3
2
2
10 18, 26
Д Д
Д 4
3 11 19.
27.
Вариант 2-с13
1. ~
9.
17.
25.
3 д д Т
2.
10.
18.
26.
4 3 Д
3 11 19 27,
2 2
1
К
Д Д
Д
1
Д Д д
4
4
12
20
28
4
12
20
28
4 12 20 28.
д д д
3
Д Д
£ 4
4 3
1
5
13
21
29
Д 4
Д 4
6
14
22
30
2
Д Д
4
7.
15.
23.
8. [5
16. Д
24. Г4
5.
13.
21.
29.
5
13
21
29
Д Д д 4
Д 3
Д 4
6.
14.
22.
30.
6
14
22
30
5
Д д
2
Д
Д
Д
7.
15.
23.
7.
15.
23.
2
1
5
1
2
1
8. |3
16. [д
24. Гб
8. |4
16. [д
24. [2
308
Ответы
Вариант 2-с14
1. 1
2. 2
3. 3
4. 5
9. 1
17. |4
25. [Т
10. |2
18. ГТ
26. 3
11. 3
19. |3
27. [2
Вариант 2-с21
1.[2
9. ГЗ
17. |3
25. [Т
2.
10.
18.
26.
д] з.[д
3 И-[2
3 19- 3
3 27-3
Вариант 2-с22
1. 3
9. 2
17. [Д
25. [з
2. 2
10. [1
18. [2
26. 1
3.
11.
19.
27.
Д 4
Д
2
Вариант 2-с23
1.
4
2. 3
9. 1
17. [4
25. Т
10. [Д
is. Га
26. 4
12. [Д
20. IT
28. 2
4. 2
12. [1
20. ГТ
28. 2
4.
12.
20.
28.
Д Д Т
3
3.
11.
19.
27.
Вариант 2-с24
1. 1 2. 4
9. 5 10. 3
17. 1
25. 5
18. 3
26.
3
2
I
3
3
3. 1
11. |5
19. [2
27. 5
Вариант 2-с31
1. 5
9.[3
17. [5
25. [з
2.
10
18
26
2
Д Д
2
3
11.
19.
27.
Д Т
д
Т
5.
13.
21.
29.
5.
13.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
Д Д д т
Д 4
2
Т
Д д 3 Т
2 т Т И
2
3
21. [2
29. [Г
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
6.
14.
22.
30.
Д Д д Т
6. 1
14. 1
22. 2
30. 4
7.
15.
23.
7.
15.
23.
8. |2
16. Д
24. [Т
8. |5
16. [з
24. [2
Д 4
Д Т
Д
2
Д Т
Д Т
Д
2
Д
Т
Д т
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22.
30.
6
14
22
30
6.
14.
22.
30.
4
Д д 2
Д Т
Д Т
2
Д Д Т
Д Т т
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
8. Д:
16. [2
24. [Т
8.[Д
16. и
24.IT
8. {У
16. Д
24. [Т
8. [4
16. Д
24. [Т
309
Ответы
Вариант 2-с32
1. 2 2. 4 3. £ 4. £ 5. 3 6. 3 7. £ 8. £
1 а— “aR—R
9. 4 10. £ 11. 2 12. т 13. 3 14. £ 15. £ 16.
— —
17. 4 18. т 19. 1 20. £ 21. 1 22. 23. £ 24. Т
25. £ 26. £ 27. 2 28. _з 29. £ 30. т
Вариант 2-сЗЗ
1. £ 2. 2 3. 2 4. т 5. 2 6. £ 7. 1 8. £
9. £ 10. £ 11. 2 12. Z 13. 2 14. £ 15. £ 16. £
17. 2 18. £ 19. £ 20. 2 21. £ 22. £ 23. £ 24. £
25. 1 26. £ 27. £ 28. £ 29. 2 30. £
Вариант 2-с34
1. £ 2. 5 3. 5 4. 3 5. £ 6. 1 7. 5 8. £
9. 1 10. 1 11. 3 12. 1 13. 14. 2 15. 4 16. £
• I...—. r=S
17. т 18. 2 19. 3 20. £ 21. 5 22. 5 23. 3 24. £
——1 ; ,, -- —
25. 2 26. 3 27. 4 28. 2 29. 3 30. 2
Вариант 3-с11 £ 4. £ 5. £ 6. £ 7. 5 8. £
1. 2 2. 4 3.
9. £ 10. £ 11. £ 12. £ 13. £ 14. £ 15. £ 16. 2
17. £ 18. £ 19. 2 20. 2 21. £ 22. £ 23. £ 24. £
25. 2 26. £ 27. £ 28. 2 29. Т 30. £
Вариант 3-с12
1. £ 2. 1 3. 2 4. 2 5. 1 6. £ 7. 3 8. 5
1 ~ ""'
9. У 10. 5 11. 2 12. 4 13. 5 14. £ 15. 5 16. |1
1!_" 11 11 *
17. 2 18. 3 19. £ 20. т 21. £ 22. £ 23. 1 24. £
1——1 * ь—
25. 4 26. 3 27. 3 28. 5 29. 2 30. £
—
Вариант 3-с13
1. 2 2. 3 3. £ 4. 2 5. 3 6. 3 7. 2 8. £
—-! 1——1 ——
9. 2 10. 4 11. 12. 3 13. £ 14. 2 15. 2 16. £
’ 1 г—
17. £ 18. £ 19. £ 20. 1 21. 22. 2 23. 5 24. £
' — —
25. £ 26. £ 27. 1 28. 4 29. 1 30. 4
310
Ответы
Вариант 3-с14 1. 9. 17. 25.
3
£ д 7
2
10 18
26
2
Д т
2
3 11 19 27.
Д 4
Д 2
4
12
20
28
Д д д Т
5.
13.
21.
29.
5 2
Д 4
6 14 22. 30.
Д 4
Д 2
7.
15.
23.
1
Д
2
8.
16.
24.
4
Д 4
Вариант 3-с21 1. 9. 17. 25.
4
Д д
Т
2.
10.
18.
26.
д д
4
3
11
19
27.
5 4
Д
4.
12.
20.
28.
Д Д
Д 4
5
13
21
29
4
Д Д
6
14
22
30
Д 1
1 4
7.
15
23.
Д Д 4
8.
16.
24.
2
3
2
Вариант 3-с22
1.
9.
17.
25.
Д д д 2
2 10 18. 26.
2
Д Д Т
з.
11.
19.
27.
Д Д д 4
4 12 20. 28.
5
Д
4
3
5
13
21
29
Д д д К
6 14 22. 30.
д 4 д 2
7.
15
23.
Д д 4
8
16
24
4
Д К
Вариант 3-с23
1. ~
9.
17.
25.
3
4
5
2
10
18
26
4
Д Д
2
3.
11.
19.
27.
Д д д 2
4
12
20
28
2 ~4 Д
4
5
13
21
29
2 1
1 Т
6 14 22 30.
Д Д Д т
7.
15.
23.
Д д 4
8
16
24
Д Д 4
Вариант 3-с24
Вариант 3-с31
1.
9.
17.
25.
2
2
1
2
2.
10.
18.
26.
4
Д д
4
3
11.
19.
27.
Д Д д т
4.
12.
20.
28.
Д
Д
3 5
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
Д Д Д 2
Д Д
Д 2
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22.
30.
2
Д д
3
Д 4
4 2
7.
15.
23.
7.
15.
23.
Д Д К
Д Д
5
8.
16.
24.
3
Д I
8. 1
16.
24.
Д
4
311
Ответы
Вариант 3-с32
1 9
17
25
Д Д Д
2
2.
10.
18.
26.
д
Д т
2
3
11
19
27.
4
Д Д
4
12
20
28
Д Д 1 т
5
13
21
29
Д д 4 4
6.
14. _
22.0
ЗО.Щ
4
7.
15.
23.
8. [3
16. Д
24.0
Вариант З-сЗЗ
1. ~
9.
17.
25.
4 д Д 4
2.
10.
18.
26.
Д т
д
3.
11.
19.
27.
Д д д 2
4.
12
20
28
4
Д 4
4
5.
13.
21.
29.
д 2
Д 2
6
14
22
30
Д Д
Д
3
7.
15.
23.
8. [5
16. [2
24.0
Вариант 3-с34
1. 9.
17.
25.
Д Д Д
3
2 10 18. 26.
д 4
Д Т
3 11 19. 27.
Вариант 4-с11
1.
9.
17.
25.
Д Д
Д 7
2 10 18. 26.
Д Д д Т
3 11 19 27.
Вариант 4-с12
1. ~
9.
17.
25.
Д т
Д 3
2.
10.
18.
26.
4
Д Д
3.
11.
19.
27.
Вариант 4-с13
1 ~ 9
17.
25.
4
Д
4
2.
10.
18.
26.
Д д д 4
3
11
19
27.
Д Д
Д К
д д д
2
Д 2
Д
Д д д Т
4 12 20. 28.
4 12 20 28.
4
12
20
28
4.
12.
20.
28.
Д 1
Д 2
Д Д
4
4
Д Д 4 4
Д д д 2
5
13
21
29
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
д д д
2
Д Д 5
Д д д Т
4
Д Д 2
6 14 22. 30.
6
14
22
30.
6
14
22
30
6
14
22
30
д д д
4
Д
Д 4 "з
2 3 д Т
Д Д
Д Т
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
1
1
1
5
8.0
16- и
24. Гз
8.0
16.0
24. Г1
8.0
16- Z
24.0
8.0
16. Д
24.0
312
Ответы
Вариант 4-с14
1. [3
9. [2
17. |2
25. ГТ
2.
10.
18.
26.
£ Д 4
3.
11.
19.
27.
Д Д
Д
4. 4
12. |1
20. [2
28. 4
5.
13.
21.
29.
£
Д 4
6.
14.
22.
Д Д
2
30. 4
Вариант 4-с21
1. 5
9. 1
17. [Д
25. Гз
2.
10.
18.
26.
Д Д т
4
3.
11.
19.
27.
Д Д Д 4
4.
12.
20.
28.
Д Д
4
Т
5. 2
13. 1
21. [Д
29. [4
6.
14.
22.
30.
4
Д Д 2
Вариант 4-с22
1.Щ 2. 5
9. ПП ю. Гз
3.
11.
17. |4| 18. [Д
25. ПЛ 26. [4
19.
27.
2
Д
4
4.
12.
20.
28.
Д д д 2
5.
13.
21.
29.
Д Д Д
3
6.
14.
22.
30.
Д Д
4
3
Вариант 4-с23
1.
9.
17.
25.
3
2
4 т
2.
10.
18.
26.
4
Д 4 Т
3.
11.
19.
27.
Д Д Д
4
12
20
28
Д Д
Д
1Г
5.
13.
21.
29.
д д д
6. 3
14. 3
22. |2
30. [4
Вариант 4-с24
1.14
9. Гз
2.
10.
1
1
17.
25.
Д
4
18.
26.
3
2
3
11
19
27
Д Д
Д
2
4. 4
12. 3
20. [4
28. Гб
5.
13.
21.
29.
Д
2 4 5
6. 2
14. 4
22. [Д
30. Т
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.
15.
23.
8. |1
16. [д
24. Гб
8.[Д
16. [4
24. Гб
8.^
16. [д
24. ГЗ
8. [5
16. Д
24. [2
8. |1
16. [д
24. ГЗ
Вариант 4-с31
1. ” 9.
17.
25.
Д Д
3 2
2.
10.
18.
26.
Д 4 4
3
11
19.
27
4
Д Т
1Г
4
12
20
28
Д Д
Д
4
5.
13.
21.
29.
4
4
Д
I
6.
14.
22.
30.
2
2
Д
2
7.
15.
23.
8.|Д
16. [4
24. Гб
313
Ответы
Вариант 4-с32
1. £ 2. Д^ 3. 5^ 4. 1 5. Д
9. £ 10. 1 11. 12. Д 13. 2^
17. 4 18. 1[ 19. Д 20. £ 21. т
25. 4 26. 2 27. ~4 28. ][ 29. з"
6
14
22
30
Вариант 4-сЗЗ 1
9
17
25
д Д 3 2
2.
10.
18.
26.
Д
Д д Т
3. 2 4. Д 5
11. У 12. Т 13
19. д 20. Д 21
27. У 28. Т 29
5
Д
Д К
Вариант 4-с34
1. 9.
17.
25.
Д Д
Д
3
2
10
18
26
5
д д
И
3 11 19 27.
Вариант 4-с41 1 9 17 25
Д 3
3 2
2
10
18
26
4 1 Д Т
з
11
19
27
Вариант 4-с42
1.
9.
17.
25.
4
Д д
2.
10.
18.
26.
Д
Д Д
2
3
11
19
27.
Вариант 4-с43
1.
9.
17.
Д I
2
25.
4
2.
10.
18.
26.
Д Д 2 2
3.
11.
19.
27.
6.
14.
22.
30.
3 д д I
5 2
Д 3
7.
15.
23
7 15 23.
Д д 2
д
5
4
8.[3
16. и
24. [2
8.[1 16. [2 24. ГЗ
Д Д 5 К
1
5
Д
~5
Д Д д
4
4
4
5
2
4
12.
20.
28.
4
12.
20.
28.
4
12
20
28
4.
12.
20.
28.
2
Д
Д
У
д д
2
К
3 д д 2
Д Д д
5
13
21
29
2 т д т
6.
14.____
22. И
зо. И
и
7.
15.
23.
4
Д Т
8. [5
16. Д
24. Г1
5.
13.
21.
29.
5
13
21
29
5.
13.
21.
29.
Д 4
Д 3
6
14
22
30
Д Д
Д
7.
15.
23.
1
Д 4
8. [5
16. [4
24. ГГ
5
2
3
5
Д 4
Д 2
6
14
22
30
6.
14.
22.
30.
5
Д Д Т
2 4 Д 4
15. [д]
23.[1]
8. [1
16. 5
24. [2
7.
15.
23.
Д 3
2
8. |2
16. [Т
24. ГЗ
314
Ответы
Вариант 4-с44
1. 9.
17.
25.
Д 2
£ Т
2.
10.
18.
26.
2 2 Т
4
3.
11.
19.
27.
2 4 Т
3
4.
12.
20.
28.
2 2
2 з
5
13
21
29
4
2
2 Т
6
14
22
30
д Т
4
4
7.
15.
23.
8. |3
16. [2
24. Гб
Вариант 5-с11
1. 9.
17.
25.
2
£ 2 Т
2
10
18
26.
2 д
3
11
19
27
2
2
2
7
4
12
20
28.
4
2
2
К
5.
13.
21.
29.
2
2
2
в 14 22 30
4 Т
7
2
7.
15.
23.
8. [4
16. Т
24. [К
Вариант 5-с12 1. 9.
17.
25.
2
2 т
2
2
10
18
26
2
4
4
3
11
19
27
2
2
7
2
4
12
20
28.
2
2
2
4
5
13
21
29
4
2
2 Т
6 14 22.
30
2
2
2 Г
7.
15.
23.
8. |5
16. [4
24. [4
Вариант 5-с13 1. 9.
17.
25.
4
£ 4 ~4
2.
10.
18.
26.
2 2
4 Т
3. £ 4. 2 5. 2 6
11. 2 12. Т 13. 2 14
19. Т 20. т 21. 2 22
27. т 28. т 29. Т 30
2 д
2
5
7.
15.
23.
Вариант 5-с14
1. 2 2. £ 3. Т 4. Т 5. Т 6. 5 7.
9. 2 10. Т 11. £ 12. 2 13. 2 14. £ 15.
17. 2 18. £ 19. £ 20. Т 21. Т 22. £ 23.
25. Т 26. £ 27. 3 28. Т 29. 5 30. £
8. |1 16-U 24. [I
Вариант 5-с21 1
9
17
25
2 ~2 ~2_ т
2
10
18
26
4
2 2
2
3. 5 4. 5 5. £ 6. 2 7.
11. 2 12. 2 13. 14. 2 15.
19. Т 20. £ 21. £ 22. 2 23.
27. "з 28. 1 29. 30. 2
8.[1. !6. [3 24. Г5
8.[3
16.2
24. [2
315
Ответы
Вариант 5-с22
1.
9.
17.
25.
2 т з 2
2.
10.
18.
26.
£ У
4
4
3.
11.
19.
27.
Вариант 5-с23
1. Гб1 2. ГУ] 3.
9. 4 10. 1 11.
17.
25.
£ 4
18. Щ 19.
26. [У] 27.
Вариант 5-с24
1. ГЛ 2. [У] 3.
9. |5
17. [4
25. [У
10. |1
18. [У
26. 5
11.
19.
27.
2
I
У
I
£ У
У
4
£ У
£
У
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
4.
12.
20.
28.
2
2
4
У
£ £
У
2
£ Т
£ 4
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
5.
13.
21.
29.
£ 4
4
2
4 £ £ 2
2
У
У
У
6.
14.
22.
30.
6.
14.
22.
30.
6.
£ £
У 4
£ £ У
2
1
!4. |4 22. [4 зо. [Т
7.
15.
23.
7.
15.
23.
7.[1
15. [3
23. [З
8.[£
16. [У
24. [У
8. [£
16. £
24. [У
8. [4
16. [У
24. [У