СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
для втузов
2
Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова
Москва
Издательство
Физико-математической литературы
2001

ББК 22.1
С 23
УДК 51@75.8)
Коллектив авторов:
А.В.ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, С.М.КОГАН,
А. С. ПОСПЕЛОВ, Р. Я. ШОСТАК
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 2: Учеб-
Учебное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспе-
Поспелова. — 4-е изд. перераб. и доп. —М.: Издательство Физико-мате-
Физико-математической литературы, 2001.— 432 с—-ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2).
Содержит задачи по основам математического анализа, а также дифферен-
дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких пе-
переменных, дифференциальным уравнениям и кратным интегралам. Крат-
Краткие теоретические сведения, снабженные большим количеством разобран-
разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех видов обучения.
Для студентов высших технических учебных заведений.
Учебное издание
ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анатолий Федорович,
КОГАН Сергей Михайлович, ПОСПЕЛОВ Алексей Сегеевич,
ШОСТАК Родион Яковлевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ
Часть 2
Редактор Л. А. Панюшкина
Корректор Т. С. Вайсберг
Компьютерная графика М. В. Ивановский
Компьютерный набор и верстка Г. М. Красникова
ИД № 01389 от 30.03.2000
Гигиеническое заключение № 77.99.02.953.Д.003724.07.01
от 05.07.2001
Подписано в печать 05.11.2001. Формат 60x88/16.
Печать офсетная с готовых диапозитивов.
Усл. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 30,5. Тираж 7000 экз.
Заказ № 486
Издательство Физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в типографии ОАО «Внешторгиздат»
127576 Москва, Илимская улица, 7
ISBN 5-94052-035-9 (Ч. 2) © Коллектив авторов, 2001
ISBN 5-94052-033-2 © Физматлит, оформление, 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ б
Глава 5. Введение в анализ 7
§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 7
1. Понятие действительного числа. 2. Множества и операции над
ними. 3. Верхние и нижние грани. 4. Логическая символика
§2. Функции действительной переменной 17
1. Понятие функции. 2. Элементарные функции и их графики
§3. Предел последовательности действительных чисел .... 25
1. Понятие последовательности. 2. Предел последовательности
§4. Предел функции. Непрерывность 28
1. Предел функции. 2. Бесконечно малые и бесконечно боль-
большие. 3. Непрерывность функции в точке. Классификация точек
разрыва. 4. Непрерывность на множестве. Равномерная непре-
непрерывность
§ 5. Комплексные числа 39
1. Алгебраические операции над комплексными числами.
2. Многочлены и алгебраические уравнения. 3. Предел после-
последовательности комплексных чисел
Глава 6. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной 51
§ 1. Производная 51
1. Определение производной. Дифференцирование явно задан-
заданных функций. 2. Дифференцирование функций, заданных не-
неявно или параметрически. 3. Производные высших порядков.
4. Геометрические и механические приложения производной
§2. Дифференциал 72
1. Дифференциал 1-го порядка. 2. Дифференциалы высших
порядков
§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тей-
Тейлора 77
1. Теоремы о среднем. 2. Правило Лопиталя-Бернулли. 3. Фор-
Формула Тейлора
§ 4. Исследование функций и построение графиков 86
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. 2. Направле-
Направление выпуклости. Точки перегиба. 3. Асимптомы. 4. Построение
графиков функций
§ 5. Векторные и комплексные функции действительной
переменной 99
1. Определение вектор-функции действительной переменной.
2. Дифференцирование вектор-функции. 3. Касательная к про-
пространственной кривой и нормальная плоскость. 4. Дифферен-
Дифференциальные характеристики плоских кривых. 5. Дифференциаль-
Дифференциальные характеристики пространственных кривых, б. Комплекс-
Комплексные функции действительной переменной

Оглавление
Глава 7. Интегральное исчисление функций одной переменной 115
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 115
1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод замены
переменной. 3. Метод интегрирования по частям
§ 2. Интегрирование основных классов элементарных
функций 126
1. Интегрирование рациональных дробей. 2. Интегрирование
тригонометрических и гиперболический функций. 3. Интегри-
Интегрирование некоторых иррациональных функций
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование 142
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления .... 144
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы
Ньютона-Лейбница. 3. Свойства определенного интеграла.
4. Замена переменной в определенном интеграле. 5. Интегри-
Интегрирование по частям
§ 5. Несобственные интегралы 156
1. Интегралы с бесконечными пределами. 2. Интегралы от не-
неограниченных функций
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла . . 162
1. Площадь плоской фигуры. 2. Длина дуги кривой. 3. Площадь
поверхности вращения. 4. Объем тела
§ 7. Приложения определенного интеграла к решению неко-
некоторых задач механики и физики 177
1. Моменты и центры масс плоских кривых. 2. Физические
задачи
Глава 8. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных 185
§ 1. Основные понятия 185
1. Понятия функции нескольких переменных. 2. Предел и не-
непрерывность функции. 3. Частные производные. 4. Дифферен-
Дифференциал функции и его применение
§2. Дифференцирование сложных и неявных функций .... 199
1. Сложные функции одной и нескольких независимых перемен-
переменных. 2. Неявные функции одной и нескольких независимых
переменных. 3. Системы неявных и параметрически заданных
функций. 4. Замена переменных в дифференциальных выраже-
выражениях
§ 3. Приложения частных производных 214
1. Формула Тейлора. 2. Экстремум функции. 3. Условный
экстремум. 4. Наибольшее и наименьшее значения функции.
5. Геометрические приложения частных производных
§ 4. Приближенные числа и действия над ними 230
1. Абсолютная и относительная погрешности. 2. Действия над
приближенными числами

Оглавление
Глава 9. Кратные интегралы 236
§ 1. Двойной интеграл 236
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых
прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в двойном
интеграле. 3. Приложения двойных интегралов
§ 2. Тройной интеграл 254
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямо-
прямоугольных координатах. 2. Замена переменных в тройном инте-
интеграле. 3. Приложения тройных интегралов
§ 3. Несобственные кратные интегралы 263
1. Интеграл по бесконечной области. 2. Интеграл от разрывной
функции
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра .... 267
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. 2. Несоб-
Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 10. Дифференциальные уравнения 276
§ 1. Уравнения 1-го порядка 276
1. Основные понятия. 2. Графический метод построения инте-
интегральных кривых (метод изоклин). 3. Уравнения с разделяю-
разделяющимися переменными. 4. Однородные уравнения. 5. Линейные
уравнения, б. Уравнение Бернулли. 7. Уравнения в полных
дифференциалах. 8. Теорема о существовании и единственно-
единственности решения. Особые решения. 9. Уравнения, не разрешен-
разрешенные относительно производной. 10. Смешанные задачи на диф-
дифференциальные уравнения 1-го порядка. 11. Геометрические и
физические задачи, приводящие к решению дифференциальных
уравнений 1-го порядка
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 304
1. Основные понятия. Теорема Коши. 2. Уравнения, допускаю-
допускающие понижение порядка. 3. Линейные однородные уравнения.
4. Линейные неоднородные уравнения. 5. Линейные однородные
уравнения с постоянными коэффициентами, б. Линейные неод-
неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. 7. Диф-
Дифференциальные уравнения Эйлера. 8. Краевые задачи в случае
линейных дифференциальных уравнений. 9. Задачи физиче-
физического характера
§ 3. Системы дифференциальных уравнений 331
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнени-
уравнениями п-го порядка. 2. Методы интегрирования нормальных си-
систем. 3. Физический смысл нормальной системы. 4. Линейные
однородные системы. 5. Линейные неоднородные системы
§ 4. Элементы теории устойчивости 349
1. Основные понятия. 2. Простейшие типы точек покоя. 3. Ме-
Метод функций Ляпунова. 4. Устойчивость по первому приближе-
приближению
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 358

ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ
Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов»
подверглось значительной перестановке глав и их распределению
по томам. В результате первый том содержит алгебраические раз-
разделы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и
аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы ли-
линейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую
алгебру.
Второй том полностью посвящен изложению основ математи-
математического анализа, дифференциальному и интегральному исчисле-
исчислениям функций одной и нескольких переменных, а также диффе-
дифференциальным уравнениям.
В третьем томе собраны специальные разделы математиче-
математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются
в технических вузах и университетах. Сюда относятся такие раз-
разделы, как векторный анализ, элементы теории функций комплекс-
комплексной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление,
методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также
интегральные уравнения.
Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, ти-
типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и матема-
математической статистике.
Указанные выше изменения составляют лишь структурную пе-
переработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположе-
расположения материала внутри соответствующей главы, ни последователь-
последовательности нумерации примеров и задач.
В смысловом отношении авторы внесли только следующие из-
изменения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические
введения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело
в том, что в настоящее время существует целый ряд программных
оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор
стандартных методов приближенного решения задач, а основные
навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе.
Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раз-
раздел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной
алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический»
том Сборника. Это связано с тем, что круг идей и методов общей
алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышлен-
промышленности и, следовательно, становится необходимой частью образова-
образования и подготовки специалистов по инженерным специальностям.
Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная
техническая работа по исправлению ошибок, описок и других не-
неточностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе
работы с предыдущими изданиями Сборника.
А. В. Ефимов, А. С. Поспелов

Глава 5
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Действительные числа.
Множества. Логическая символика
1. Понятие действительного числа. Из курса математики средней
школы известно, что всякое неотрицательное действительное число
х представляется бесконечной десятичной дробью
[x],xix2... , A)
где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее х и называемое
целой частью числа .т, хп 6 {0, 1, 2, ..., 9} для любого п £ N.
При этом дроби, у которых хп = 9 для всех п ^ щ (щ — некото-
некоторое натуральное число), обычно исключаются из рассмотрения в силу
следующих равенств:
.(а:П0_1 + 1) (п0 > 1, жПо-1 /9).
Действительное число х рационально, т. е. представимо в виде от-
777,
ношения —, 771, п € Z, в том и только в том случае, когда дробь A)
периодическая. В противном случае число х иррационально.
Абсолютной величиной или модулем действительного числа х на-
называется неотрицательное число
I, Г я, ее.
\х\ = <
1 ' \ -ж, ее,
если х ^ О,
если ж < 0.
Предполагается, что правила сравнения действительных чисел, а
также арифметические операции над ними известны из курса матема-
математики средней школы.
5.1. Доказать, что число
0,1010010001... 10... 01...
иррационально. Выписать по три первых члена из последователь-
последовательностей конечных десятичных дробей, приближающих это число с
недостатком и с избытком.

Гл. 5. Введение в анализ
5.2. Следующие числа представить в виде правильных рацио-
рациональных дробей:
а) 1,B); б) 3,00C); в) 0,110B5).
5.3. Доказать, что число lg 5 иррационально.
< Предположим, что lg5 — рациональное число, т.е.
lg 5 = —; га, n 6 Z.
п
Тогда:
1От/п = ^ 1Ош = ^ 2т . дт = дп^
Но последнее равенство невозможно: число 2 входит в разложение левой
части на простые множители, но не входит в аналогичное разложение
для правой части, что противоречит единственности разложения целых
чисел на простые множители. Поэтому исходное предположение неверно,
и, следовательно, число lg 5 иррационально. >
Доказать, что следующие числа иррациональны:
5.4. \/3. 5.5. ^j/p, р — простое число, п > 1.
5.6. 2 + л/З. 5.7. \/2 + л/3.
5.8. log3p, p — простое число.
7Г
5.9. —Ь тгп, тг G Z, если известно, что тт иррационально.
В задачах 5.10-5.13 сравнить указанные числа.
5.10. уД-уД и л/3-2.
< Предположим, что верно неравенство
>/2->/5<>/3-2. B)
Тогда:
л/2 + 2 < У5 + УЗ,
б 4- 4л/2 < 8 + 2л/15,
< 1 + л/15,
8 < 16 4-
Так как последнее неравенство верно, то в силу обратимости выполнен-
выполненных преобразований верно и исходное неравенство B). t>
5.11. log1/2 - и log1/3 -.

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 9
Не пользуясь таблицами, доказать следующие числовые нера-
неравенства:
5.14. log, 10 + 4 lg 3 > 4. 5.15. —— + —— > 2.
l0g2 7Г l0g5 7Г
5.16. log426>log617.
5.17. Доказать, что модуль действительного числа обладает сле-
следующими свойствами:
а) |.т| = тах{.т, —х}]
х \х\
б) \х-у\ = \х\.\у\и - =щ;
в) \х + у\ ^ \х\ + \у\ и\х-у\^ \\х\ - \у\\
(неравенства треугольника)]
г) Vr = \х\.
Решить уравнения:
5.18. |3ж - 4| = 1/2. 5.19. Vx* + Г3 - 0.
2.т - 1
5.20. | -ж2 + 2ж-3| = 1. 5.21.
х+ 1
= 1.
5.22. у/(х - 2J - -ж+ 2.
Решить неравенства:
5.23. \х - 2| ^ 1. 5.24. |ж2 - 7ж + 12| > х2 - 7х + 12.
1
5.25. х2 + 2J{x + 3J - 10 < 0. 5.26. , < 4 -
|т - 1|
5.27. л/(ж + IJ < -х - 1.
2. Множества и операции над ними. Под множеством понимается
любая совокупность объектов, называемых элементами множества.
Запись а Е А означает, что объект а есть элемент множества А (при-
(принадлежит множеству А)] в противном случае пишут а (£ А. Множество,
не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается
символом 0. Запись А С В (А содерлштся в D) означает, что каждый
элемент множества А является элементом множества В\ в этом случае
множество А называется подмножеством множества В. Множества А
и В называют равными (А — В), если А С В и В С А.
Существуют два основных способа описания множеств.
а) Множество А определяется непосредственным перечислением всех
своих элементов а\, а-2, ..., аП) т.е. записывается в виде
А = '{ai, a2, ... , ап}.
б) Множество А определяется как совокупность тех и только тех эле-
элементов из некоторого основного множества Т, которые обладают общим

Н) Гл. 5. Введение в анализ
свойством а. В этом случае используется обозначение
А={хеТ\а(х)},
где запись а(х) означает, что элемент х обладает свойством а.
Пример 1. Описать перечислением элементов множество
А = {х е Ъ | (х - 3)(х2 -1)=0иО0}.
< А есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения
(х - 3)(х2 - 1) = 0. Следовательно, А = {1, 3}. D>
Объединением множеств А и В называется множество
Аи В = {х\х £ А или ж 6 Б}.
Пересечением множеств А и В называется множество
ЛПБ-{д:|хеЛ и же В}.
Разностью множеств А и В называется множество
А\В = {х|х е Л и ж £ Б}.
Если, в частности, А — подмножество некоторого универсального мно-
множества Т, то разность Т\А обозначается символом А и называется (?о-
полнением множества А (до множества Г).
5.28. Установить, какая из двух записей верна:
а) {1, 2} € {1, 2, {1, 2, 3}} или {1, 2} С {l, 2, {1, 2, 3}};
б) {1, 2} G {1, 2, {1, 2}} или {1, 2} С {1, 2, {1, 2}}.
В задачах 5.29-5.34 указанные множества задать перечисле-
перечислением всех своих элементов.
5.29. А = {х G К| х3 - Зж2 + 2х = 0}.
5.30. Л = |ж бК|.-с + - < 2 и а: >о}.
5.31. Л = {х е N | х2 - Зх - 4 < 0}.
5.32. А = |х G Z
i < 2х < б}.
log1/2i <2J>.
5.33. Л= { | g1/2
5.34. Л = {х G К | cos2 2х = 1 и 0 < ж < 2тг}.
Изобразить на координатной плоскости следующие множества:
5.35. {(х, у) еШ2\х + у-2 = 0).
5.36. {(ж, у) еМ2|х2-у2 >0}.
5.37. {(я, у) е R2 | (ж2 - 1)(у + 2) = 0}.

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 11
5.38. {(ж, у) eR2\y> \/2х + 1 и 2ж + 1 ^ 0}.
5.39. {(ж, у) <ЕМ2|у2 >2x + l}.
5.40. {(ж, у) е Ш2 | 2Х+1 - у2 + 4 и 2х ^ у}.
5.41. {(ж, у) е R2 | cos2x = cos2y}.
5.42. |(ж, у) е Ш2 | ^ > -, х ф О, у ф О}.
5.43. Описать перечислением всех элементов множества AUJ3,
АП Б, А\В и В\А, если
А = {х еЩх2 +х-20 = 0], В = {хеШ\х2 -х + 12 = 0}.
Запись 7п | п, где m, n G Z, означает, что число га есть дели-
делитель числа п. Описать следующие множества:
5.44. {х е N | х | 8 и х ф 1}. 5.45. {ж G Z | 8 | ж}.
5.46. {х е N | х 112} П {ж G N | х \ 8}.
5.47. {х е N 112 | х) П {ж G N | 8 | х).
5.48. Доказать, что:
а) равенство А Г) В = 5 верно в том и только том случае, когда
Б С А;
б) равенство Аи В — В верно в том и только том случае, когда
А С В.
5.49. Пусть А = (-1, 2] и В = [1, 4). Найти множества A U Б,
А П Б, А\Б, Б\А и изобразить их на числовой оси.
Приняв отрезок Т = [0, 1] за универсальное множество, найти
и изобразить на числовой оси дополнения следующих множеств:
5.50. {0, 1}. 5.51. A/4, 1/2). 5.52. @, 1/2].
5.53. {1/4} U [3/4, 1).
5.54. Доказать, что операция взятия дополнения обладает свой-
свойством рефлексивности:
а также связана с отношением включения С и операциями U и П
следующими законами двойственности:
если Ас В, то ^Аэ~В\
AU В = АП В и АП В = A U В.
5.55. Доказать, что операции U и П связаны законами дистри-
дистрибутивности:
(A U В) П С = (А П С) U {В П С),
(А П В) U С = (A U С) П [В U С).

]L2 Гл. 5. Введение в анализ
Используя результаты задач 5.54 и 5.55, доказать следующие
равенства:
5.56. А\В ПAиВ)=1
< Так как A U В = АГ\ В, то левая часть доказываемого равенства
принимает вид
(А\В) Г){АГ\В) = (А\В) U {A U В) = А. >
5.57. А\В = АП В. 5.58. А\В = АиВ.
5.59. АП{А\В) =АПВ.
Операции U и П естественным образом обобщаются на случай произ-
произвольного (конечного или бесконечного) семейства множеств. Пусть, на-
например, задано семейство множеств Ап, п 6 N. Объединение множеств
этого семейства обозначается символом (J Ап и определяется как мно-
жество всех тех элементов, каждый из которых принадлежит по мень-
меньшей мере одному из множеств Ап. Пересечение f] An определяется как
neN
множество всех элементов, принадлежащих каждому из множеств Ап.
Для заданных семейств множеств АП) п Е N, найти (J Ап и
П Ап:
пеп
5.60. Ап = {х е Z| -п^х^п}.
5.61. Ап = {Зп - 2, Зп - 1}. б.62.Л„ = {1, 11..,!}.
5.63. Пусть А — множество всех точек плоскости, образующих
стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окруж-
окружность. Описать (словесно) объединение и пересечение всех таких
множеств, если:
а) треугольники произвольные;
б) треугольники правильные;
в) треугольники прямоугольные.
Множество X называется счетным, если может быть установлено
взаимно однозначное соответствие между элементами этого множества и
элементами множества N всех натуральных чисел.
Пример 2. Показать, что множество Z всех целых чисел счетно.
< Установим взаимно однозначное соответствие между элементами этого
множества и натуральными числами, например, упорядочив множество
Ъ следующим образом:
0, 1, -1,2, -2,3, -3
а затем всякому целому числу поставив в соответствие его порядковый
номер в этой последовательности. >

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 13
Доказать, что следующие множества счетны:
5.64. {neN\n = 2k, keN}.
5.65. {nGN|n- к2, кеЩ.
5.66. {neN|n = 2*, кеЩ.
5.67. Доказать, что если множество X счетно и А С X — его
бесконечное подмножество, то множество А также счетно. Исполь-
Используя этот результат, доказать, что множество
{п е Z|n = к2 - fc + 1, к еЩ
счетно.
5.68. Пусть Х\, Х2, ..., -Х"п, ... — счетные множества. Дока-
Доказать, что их объединение (J Хп — счетное множество.
Указание. Пусть Хп = [хп,i, £n,2> • • •> ^п,ь • • •}• Тогда элементы
множества (J Хп можно записать в виде следующей таблицы:
^1,1, ^1,2, • •• , ^1,/, • • • j
Для того чтобы доказать счетность множества (J Хп, достаточно теперь
nGN
занумеровать каким-либо образом все элементы этой таблицы.
Используя результат задачи 5.68, доказать, что следующие
множества счетны:
5.69. Q=^a;E'lR|# = — для некоторых га, п Ф 0 из Z \ —
множество всех рациональных чисел.
5.70. Множество всех точек плоскости с рациональными коор-
координатами.
5.71. Множество всех многочленов с рациональными коэффи-
коэффициентами.
3. Верхние и нижние грани. Пусть X — произвольное непустое мно-
множество действительных чисел. Число М — тахХ называется наиболь-
наибольшим {максимальным) элементом множества X, если М Е X и для
всякого х Е X выполняется неравенство х ^ М. Аналогично опре-
определяется понятие наименьшего {минимального) элемента га = minX
множества X.
Множество X называется ограниченным сверху, если существует
действительное число а такое, что х $С а для всех х Е X. Всякое число,
обладающее этим свойством, называется верхней гранью множества X.
Для заданного ограниченного сверху множества X множество всех его

14 Гл. 5. Введение в анализ
верхних граней имеет наименьший элемент, который называется точ-
точной верхней гранью множества X и обозначается символом supX. Оче-
Очевидно, supX = maxX тогда и только тогда, когда supX £ X.
Аналогично определяются понятия ограниченного снизу множества,
нижней грани и точной нижней грани множества X] последняя обо-
обозначается символом inf X.
Множество X, ограниченное сверху и снизу, называется ограни-
ограниченным.
Пример 3. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множества
[О, 1).
< Это множество не имеет наибольшего элемента, так как для всякого
х € [О, 1) найдется у € [О, 1) такое, что у > х. Множество верхних
граней для полуинтервала [0, 1) — это множество [1, Н-оо) с наименьшим
элементом, равным 1. Поэтому
sup[0,l) = l,
причем 1 ^ [0, 1).
С другой стороны, наименьший элемент для рассматриваемого мно-
множества [0, 1) существует и равен 0. Множество нижних граней — это
множество (—оо, 0] с наибольшим элементом, равным нулю, который и
является точной нижней гранью полуинтервала [О, 1). Таким образом,
min [0, 1) = inf [О, 1) =0. >
5.72. Доказать, что приведенное выше определение точной
верхней грани эквивалентно следующему:
Число М есть точная верхняя грань множества X в том и
только том случае, если:
1) х ^ М для всех х Е Х\
2) для всякого е > 0 найдется элемент iGl такой, что х >
> М-е.
а) Указать наименьший и наибольший элементы этого множе-
множества, если они существуют.
б) Каковы множества верхних и нижних граней для множе-
множества X? Найти supX и inf X.
Для следующих множеств найти maxX, minX, supX и inf X,
если они существуют:
5.74. x = txeR\x = -^,neNy 5.75. X = [-1, 1].
5.76. X = {х GZ| -5^х<0}. 5.77. X = {х е Ш\х < 0}.
5.78. X = ix е Ш\х = —; m, n G N и т <п\.
5.79. Пусть X — множество всех рациональных чисел, удовле-
удовлетворяющих условию г2 ^ 2. Показать, что множество X не имеет
наибольшего элемента. Найти supX.

§ 1. Действительные числа. Множества. Логическая символика 15
5.80. Пусть IcK — произвольное ограниченное множество.
Доказать, что множество —X = {х \ — х Е X} также ограничено
и справедливы равенства
sup(-X) = -infX, inf {-X) = -supX
5.81. Пусть 1,У СИ — произвольные ограниченные сверху
множества. Доказать, что множество
x + Y = {zeR\z = x + y, xeX,yeY}
ограничено сверху и
sup (X + Y) = sup X + sup У
5.82. Пусть IcK — ограниченное сверху и У С R — огра-
ограниченное снизу множества. Доказать, что множество
X-Y = {zeR\z = x-y, xex, yeY}
ограничено сверху и
sup {X - У) =supX-infy.
4. Логическая символика. При записи математических рассуждений
целесообразно применять экономную символику, используемую в логике.
Мы укажем здесь лишь несколько наиболее простых и употребительных
символов.
Пусть а, /?,... — некоторые высказыванья или утверждения,
т.е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых
можно сказать истинно оно или ложно.
Запись а означает «не а», т.е. отрицание утверждения а.
Запись а => C означает: «из утвержденрш а следует утвержде-
утверждение /3» (=> — символ импликации).
Запись а <& C означает: «утверждение а эквивалентно утвержде-
утверждению /3», т. е. из а следует C и из /3 следует а (<£► — символ эквивалент-
эквивалентности).
Запись а Л /3 означает «а и /3» (Л — символ конъюнкции).
Запись а V /3 означает «а или /?» (V — символ дизъюнкции).
Запись
\/х е X а(х)
означает: «для всякого элемента х Е X истинно утверждение а(х)» (V —
квантор всеобщности).
Запись
ЗхеХ а(х)
означает: «существует элемент х Е X такой, что для него истинно утвер-
утверждение а(х)» C — квантор существования).
Если элемент х Е X, для которого истинно утверждение а(х), не
только существует, но и единствен, то пишут:
3\х еХ а{х).

16 Гл. 5. Введение в анализ
Пример 4. Используя логическую символику, записать утвержде-
утверждение: «число М есть точная верхняя грань множества X».
< Утверждение М = sup я; означает, что выполнены условия:
а) Vх £ X (х ^ М) (т.е. М — верхняя грань множества X);
б) V А £ Е (\/х £ X (х ^ А) => А ^ М) (т.е. М — наименьшая из
верхних граней множества X).
Условие б) может быть записано также в следующей эквивалентной
форме (см. задачу 5.72):
\/е>0 Зх£Х (х> М -е). >
Пример 5. Используя логическую символику, сформулировать
принцип математической индукции.
< Пусть a — некоторое утверждение, имеющее смысл для всех п £ N.
Введем множество
A = {neN\a{n)},
т. е. множество всех тех натуральных чисел, для которых утверждение
а истинно. Тогда принцип математической индукции можно сформули-
сформулировать следующим образом:
({1еА)л(пеА=>{п + 1)еА))=>А = к C)
Так как запись а(п) означает, что утверждение а истинно для числа
п £ N, то утверждение C) можно записать и иначе:
(аA) Л (а(п) => а(п + 1))) => Vn £ N а(п). >
Пример 6. Записать отрицания высказываний: Vx Е X а(х) и
ЗхеХа(х).
< Отрицание высказывания Ух £ X а(х) имеет вид Зх £ X а(х) (су-
(существует элемент х е X такой, для которого утверждение а(х) ложно).
Иначе говоря, для любого утверждения а истинно следующее высказы-
высказывание:
\/х е X а(х) & Зх е X а(х).
Аналогично
Зх £ X а(х) <=> Ух е X а(х). >
Пример 7. Используя логические символы, записать утверждение:
«функция /: X —> Е, X С Е, непрерывна в точке а £ X», а также его
отрицание.
< Исходное утверждение:
\/е > 0 36 > 0 \/х £ X (\х-а\<6=> \f(x) - f(a)\ < e)
(для любого е > 0 найдется S > 0 такое, что для любого числа х £ X,
удовлетворяющего, условию |х—а| < $, выполняется неравенство |/(.т) —
- f{a)\ < e). Отрицание этого утверждения:
Зе>0 \/6>0 ЗхеХ (\х-а\ < 6Л \f(x) - f{a)\ ^ e)
(существует е > 0 такое, что для любого 8 > 0 найдется число х £ X,
удовлетворяющее условиям |х — а| < 6 и \f(x) — /(а)| ^ е). >

§ 2. Функции действительной переменной Г7
Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их
смысл и установить, истинны они или ложны (символами ж, у,
z, а, Ь, с всюду, где это специально не оговаривается, обозначены
действительные числа).
5.83. а) УхЗу{х + у = 3); б) ЗуУя(ж + у = 3);
в) Зж, у (х + у = 3); г) Vz, у {х + у = 3).
5.84. 3 ж, у (ж > у > О Л ж + у = 0).
5.85. Уж, у (ж < у) Ф> 3z(x < z < у).
5.86.V.T, у(ж2^2у2).
5.87. Уж (х2 > х 4Ф х > 1 V х < 0).
5.88. Ух (ж > 2 Л х > 3 Ф> 2 < х < 3).
5.89. Зх{у/а?<х).
5.90. а) Уа, Ь, сCх (ах2 + Ьх + с = 0) Ф> Ь2 - 4ас ^ 0);
б) Уа, Ь, с (Ух (ах2 + Ьх + с > 0) Ф> Ь2 - 4ас < 0 Л а > 0).
5.91. а) УЬЗаУх (х2 + ах + b > 0);
б) 2
в)
Установить точный смысл приведенных ниже высказываний и
записать их с использованием логической символики, сформули-
сформулировать и записать их отрицания.
5.92. а) Число хо есть решение уравнения /(ж) = 0.
б) Число хо есть единственное решение уравнения /(ж) = 0.
в) Уравнение /(ж) = 0 имеет единственное действительное ре-
решение.
5.93. а) Множество IcK ограничено сверху.
б) Число m есть наименьший элемент множества -X".
в) Множество X имеет наименьший элемент.
5.94. а) Число ?n G Z является делителем числа n G Z, или в
краткой записи: га | п.
б) Если число n E Z делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
в) Число р G N простое.
§ 2. Функции действительной переменной
1. Понятие функции. Пусть D — произвольное множество действи-
действительных чисел. Если каждому числу х £ D поставлено в соответствие
некоторое вполне определенное действительное число /(ж), то говорят,
что на множестве D определена числовая функция /. Множество D на-
называется областью определения, а множество
— множеством значений числовой функции /. Символически функция
записывается в виде f:D->E или у = f(x).

18 Гл. 5. Введение в анализ
Наиболее распространенным является аналитический способ зада-
задания функции. Он состоит в том, что с помощью формулы конкретно
устанавливается алгоритм вычисления значений функции у = f(x) для
каждого из значений аргумента х. В этом случае область определения
функции обычно не указывают, понимая под нею то множество значений
аргумента х, для которого данная формула имеет смысл (естественная
область определения функции).
Пример 1. Найти область определения и множество значений функ-
функции f(x) = l/\/l — х2.
< Естественной областью определения этой функции является множество
D — {х\ \х\ < 1} = (-1, 1), а множеством значений — множество Е =
{|} [)
Пусть функция /: D -> Е такова, что для любых х\, х2 Е D из
условия х\ ф Х'2 следует f{x\) ф f{x2). В этом случае всякому числу
у Е Е может быть поставлено в соответствие некоторое вполне опреде-
определенное число х Е D такое, что f(x) = у; тем самым определена новая
функция f"~l: Е -> D, называемая обратной к заданной функции /.
Пусть заданы функции /: X -> Y и g: Y -> Z. Их композицией
(или сложной функцией, полученной последовательным применением
функций fug) называется функция h = д о /: X -> Z, определяемая
равенством
5.95. Найти функциональную зависимость радиуса R цилиндра
от его высоты Н при данном объеме V — 1.
5.96. Написать выражение для объема V конуса как функции
его боковой поверхности S при данной образующей / = 2.
5.97. Написать выражение для площади S равнобочной тра-
трапеции с основаниями а = 2 и b = 1 как функции угла а при
основании а.
5.98. С момента покоя £о тело движется с постоянным ускоре-
ускорением а. Найти зависимость скорости и пройденного пути от време-
ни движения. Как связаны между
собой пройденный путь и скорость
в момент времени £?
5.99. В равнобедренной трапе-
трапеции ABCD (рис. 1) с основаниями
а и b и высотой h проведена пря-
л м d мая MN', перпендикулярная осно-
р - ваниям и отстоящая от вершины А
на расстояние \АМ\ = х. Выразить
площадь S фигуры ABNM как функцию переменной х.
5.100. В шар радиуса R вписан цилиндр. Написать функцио-
функциональную зависимость объема V цилиндра от его высоты Н. Найти
область определения ятой функции.

§ 2. Функции действительной переменной 19
5.101. В шар радиуса R вписан прямой круговой конус. Напи-
Написать функциональную зависимость площади боковой поверхности
S конуса:
а) от его образующей Z;
б) от угла а при вершине конуса в его осевом сечении;
в) от угла /3 при основании конуса.
Найти области определения каждой из полученных функций.
5.102. Найти /(-1), /(-0,001), /A00),'если f{x) = lgx2.
5.103. Найти /(-2), /(-1), /@), /A), /B), если
1 +£, -ОО < X ^ 0,
2*, 0< j:
5.104. Найти /A), /(а), /(а + 1), /(а-1), 2/Bа), если /(ж) =
х*-1.
5.105. Найти /@), /(-я), /(х + 1), /(х) + 1, / QY у^у, если
Найти естественную область определения D и множество зна-
значений Е каждой из следующих функций:
5.106. у = In (х + 3). 5.107. у - V5 - 2х.
1 — 2х
5.108. у = ysin у/х, 5.109. у = arccos
5.110. у = ln(l -2cosx). 5.111. у= у/l - \х\.
5.112. у = lg Eх - х2 - 6). 5.113. у = arcsin
5.114. у = 2&rccos^-xl 5.115. у = ех2~2.
Найти множество G, на которое данная функция отображает
множество F:
5.116. у = х2, F = [-l, 2].
5.117. у = |ж|, F = {х 11 ^ |ж| < 21-
5.118. у =^-т, F = @, 1).
5.119. у = \/ж - ж2, F = @, 1).
5.120. y = log3x, F = C, 27).
7ГХ
5.121. у = sin у, F = [0,1/2).

20 Гл. 5. Введение в анализ
Найти множество нулей Do = {x\f(x) = 0}, область поло-
жителъности D+ = {х \ f(x) > 0} и область отрицательности
£)_ = [х | /(х) < 0} для каждой из заданных функций:
5.122. /(х) = l+x. 5.123. f{x) = 2 + х - х2.
5.124. fix) = sin -. 5.125. fix) = 1 - el/x~l.
x
Показать, что функция у = /(х) удовлетворяет соответствую-
соответствующему функциональному уравнению:
5.126. f(x + 2) - 2/(х + 1) + f{x) = 0, f{x) = &х + Ь.
5.127. f(x) + /(х + 1) - f{x(x + 1)), /(ж) - logflх.
5.128. /(xi)/(x2) - /(xi + х2), /(х) = ах.
()
5.129. /(xi) + /(x2) =.
В задачах 5.130-5.133 определить функцию у = /(х), удовле-
удовлетворяющую заданному условию.
5.130. /(х + 1) = х2 - Зх + 2.
< Пусть х + 1 = t. Тогда х — t - 1 и х2 - Зх + 2 = t2 - 5t + 6. Поэтому
= /(х + 1) = х2 - Зх + 2 = t2 - 5t + 6. >
5.131.
5.132. / - = х + VI + х2, х > 0.
5.133. /(xi + Х2) = sinxi COSX2 + cosxi sinx2-
Функция f(x) называется четной (нечетной), если ее область
определения симметрична относительно точки х = 0 и f(—x) = f(x)
Какие из указанных в задачах 5.134-5.139 функций четные,
какие нечетные, а какие не являются ни четными, ни нечетными?
5.134. /(х) = х4 + 5х2. 5.135. /(х) = х2 + х.
5.138. /(х) -sinx-cosx. 5.139. /(х) = lgi^.
5.140. Доказать, что произведение двух четных или двух не-
нечетных функций есть функция четная, а произведение четной и
нечетной — нечетная функция.

§2. Функции действительной переменной 21
Функция /(ж) называется периодической, если существует положи-
положительное число Т (период функции) такое, что VxE О (/(ж + Т) = /(ж)).
Выяснить, какие из заданных функций являются периодиче-
периодическими, и определить их наименьший период Т:
5.141. /(ж) = 5 cos 7х. 5.142. /(ж) = cos2 2ж.
5.143. /(ж) = ж sin ж. 5.144. /(ж) = cosx + sin (>/Зж).
5.145. /(ж) -sin.T2. 5.146. /(ж) = tg^-2tg-.
Установить, какие из указанных ниже функций имеют обрат-
обратные, найти соответствующие обратные функции и их области опре-
определения:
5.147. у = ах + Ь. 5.148. у = (ж - IK. 5.149. у = cos2x\
5.150. у = 1п2ж. 5.151. у - 2х/2. 5.152. у - ^—^.
5.153. у - х2 + 1.
< Для функции у = ж2 + 1 естественная область определения есть вся
числовая прямая D = (—оо, +оо), а множество значений — луч Е =
= [1, +оо). Так как для любого а € Е уравнение ж2 + 1 = о имеет два
различных решения х\(а) = у/а— 1 и жг(а) = — \/а ~~ 1? то данная
функция не имеет обратной. Однако каждая из функций
у1==ж2 + 1, Dx = [0, +оо), и y.i = ж2 +-1, J9 = (-oo, 0],
имеет обратную, равную соответственно
ziO/) = у/у - 1 и ж2(у) = -у/у -1. >
Найти обратную функцию и область ее определения, если ис-
исходная функция задана на указанном промежутке:
5.154. у = ж2 - 1: а) ж G (-ос; -1/2); б) ж G [1/2, +оо).
5.155. у = sin ж: а) ж G [-тг/2, тг/2]; б) ж G [тг/2, Зтг/2].
ж, ж Е (—ос, 0],
ж, х G @, +ос).
5.157. у = cos2 ж:
а) х е [0; тг/2]; б) х G [тг/2; тг]; в) ж G [тг; Зтг/2].
Найти композиции / о g и g о f следующих функций:
5.158. f{x) = х2, д{
< Имеем:

22 Гл. 5. Введение в анализ
5.159. /(х) = 1-х, д(х) = х2.
5.160. f(x) = ех, д(х) = Ых.
5.161. f(x) = sinx, x G [—тг, тг], д(х) = arcsina:.
чип f( \ /0, ^е(-сх), 0], /0, хе(-оо,0],
м ; \ж, же@, +оо), ^v ; \-ж2, 16@, +оо).
5.163. Найти / о / о /, если:
а) f(x) = ~, б) f(x) = Х
2. Элементарные функции и их графики. Следующие функции назы-
называются основными элементарными.
1. Степенная функция: у = ха, а Е К.
2. Показательная функция: у = о>х, а>0, а ф \.
3. Логарифмическая функция: у = bgaa;, а > 0, а ^ 1.
4. Тригонометрические функции: у = sinx, у = cosx, у = tgx,
I!/ = CtgX.
5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsina:, у =
= arccos ж, у = arctgx, у = arcctgx.
Элементарной называется всякая функция, которая может быть по-
получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью
арифметических операций и операции композиции.
Графиком функции у = /(ж) называется множество
Г={(х, y)eR2\xeD, y = f(x)},
где R2 — множество всех точек плоскости.
На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной систе-
системой координат Оху график функции представляется множеством точек
М(ж, у), координаты которых удовлетворяют соотношению у = /(ж)
(графическое изображение функции).
При построении графиков часто используются следующие простые
геометрические рассуждения. Если Г — график функции у = /(ж), то:
1) график функции у\ — —}{х) есть зеркальное отображение Г отно-
относительно оси Ох\
2) график функции у2 = f(~x) — зеркальное отображение Г отно-
относительно оси Оу\
3) график функции уз = f(x — а) — смещение Г вдоль оси Ох на
величину а;
4) график функции у4 = b + f(x) — смещение Г вдоль оси Оу на
величину 6;
5) график функции у5 = /(ая), а > 0, а ^ 1, — сжатие в а раз (при
а > 1) или растяжение в 1/о раз (при а < 1) Г вдоль оси Ож;
б) график функции уе = 6/(ж), 6 > 0, 6^1, — растяжение в 6 раз
(при b > 1) или сжатие в 1/6 раз (при b < 1) Г вдоль оси Оу.
В некоторых случаях при построении графика функции целесооб-
целесообразно разбить ее область определения на несколько непересекающихся
промежутков и последовательно строить график на каждом из них.

§ 2. Функции действительной переменной
23
V
Y-
i
i
i
i
-i
5
1
-i °
^_
1
у
V
i
i
i
i
1 .V
Пример 2. Построить график функции у — \х\ 4- |х2 - 1|.
< Раскрывая модули, можем записать:
' х2 - х - 1, х G (-оо, -1],
-х2 -Х4- 1, х G (-1, 0],
-х2 4-х 4-1, же @,1],
, х2 4- х - 1, х G A, 4-оо).
График заданной функции есть объеди-
объединение графиков (парабол), представля-
представляющих эту функцию на каждом из че-
четырех промежутков (рис. 2). t> Рис. 2
Следующие элементарные функции записать в виде компози-
композиции основных элементарных функций:
5.164. f(x) = \x\. 5.165. f(x) = sin (cos y/x).
5.166. f(x) = 2s'mx\ 5.167. f(x) = arcsin(e^).
5.168. f(x) -sin {2X'2). 5.169. f{x) - 1/^/tg2 log3o;.
Для каждой из следующих функций найти ее график:
5.170. у — x/lnsinx.
<\ Естественная область определения заданной функции есть множество
Поэтому
D = {х | sin х = 1} = | ~ 4- 2тгк
Г= {(|
к G
5.171. у = ж 4- а/1 - |c
coseca;|. 5.172. у = а/~|^2 - 1| + 2.
5.173. у = ^cosх - 1 4- г-
5.174. у = 1 + \/sina; 4- \J— sin ж.
Построить графики следующих элементарных функций:
5.175. у = кх 4-6, если:
а) /с = 2, 6-0; б) А; = 0, 6 - -2; в) А: = -1, b - -1/3.
5.176. у = уо + а (я — жоJ, если:
а) а = 1, ж0 = 0, уо = -1;
б) а = 2, х'о = 1, уо = 0;
в) а = -1/2, жо = -2, Уо-3/2.

24 Гл. 5. Введение в анализ
к
5.177. у — V{) H , если:
X - Xq
а) к - 1, х{) = 1, уо = -1; б) к = -2, .т0 - -1, у0 = -1/2.
5.178. у =-- asm (kx + а), если:
а) а = 1, fc = 2, а = тг/3; б) а = -2, fc = 1/2, а = -тг/3.
5.179. у = a tg (/еж + а), если:
a) a = 3, fc = 1/3, а = тг/4; б) а = -1/2, А; = 2, « = Зтг/2.
5.180. у — р arcsin (x + д), если:
а)р = 4, 9=-1; б)р = -2/3, д = 1/2.
5.181. у = р arctg (ж + д), если:
а) р = -3, д - 5/2; б) р = 2/5, q = -6.
5.182. у = а*я+ь, если:
а) а = 2, к = -1, 6 = 1; б) а = 1/2, jfc = 2, Ь = -2.
5.183. у = loga (kx + 6), если:
a) a = 10, к = 10, 6 = -1; б) a = 1/10, к = 1/2, 6 = 2.
5.184. у = \2 - х\ + \2 + х\. 5.185. у = х2 + х - |ж|.
5.186. у = х2 - 6\х\ + 9. 5.187. у = \6х2 +х\-1.
х _
5.188. у = (ж2 + 2х)~—J-. 5.189. у = х - 1 - у/{х - IJ.
5.190. у = 2Ж ~ 3 . 5.191. у =
+ 2\'
1, .т > О,
О, я = 0,
-1, .х < 0.
5.193. ;// — [.г1], где [х] — целая часть х.
5.194. у — {:/;}, где {х} — х — [.г] — дробная часть х.
5.195. у - 21*1 - 1. 5.196. у - A/3Iж+11 + 2.
5.197. у = logJ/2 \х - 3|. 5.198. у = \ log2 (ж + 1)|.
5.199. у = arcsin (sin (x + - J J.
5.200. у — arccos (cos Зх).
5.201. у = cos ж + | sin ж |. 5.202. у = | arctg (x - 1)|.
5.203. у = ж sgn (cos x). 5.204. у = ctg (ж + т
., ж / ж + 2
5.205. у — sin2 ~. 5.206. у = sin I arcsin —-—
2 V 5

§ 3. Предел последовательности действительных чисел 25
На плоскости Оху изобразить множества точек, координаты
которых удовлетворяют заданным условиям:
5.207. ху = 0. 5.208. \у\ = \х2 - 2\х\ - 3|.
5.209. \х\ + \у\ = 1. 5.210. |ж + у\ + \х- у\ = 1.
5.211. |Ы-Ы| = 1.
5.212. |2j/ - 1| + \2у + 1| + 4=N - 4.
§3. Предел последовательности действительных чискл
1. Понятие последовательности. Последовательностью действитель-
действительных чисел называется функция /: N —> IR, определенная на множестве
всех натуральных чисел. Число f(n) называется п-м членом последова-
последовательности и обозначается символом хп, а формула хп — f(ii) называется
формулой общего члена последовательности (
Написать первые пять членов последовательности:
5.213. хп - 1 + (-1)п-. 5.214. хп = пA - (~1)п)-
п
3?7 + 5 \/3
5.215. хп = —: . 5.216. хп = {-1)п arcsin \- тгп.
Написать формулу общего члена последовательности:
5.217. -|, \-\\--- 5.218.0,2,0,2,...
5.219. 2, |, |, I"-'
5.220. 1, 0, -3, 0, 5, 0, -7, 0, ...
5 221 -3 5 -7 9 -^
Zil' J'3' 5' 7' 9'"-
5222 0 ^ 1 ^ 0 ^ 1 ^0
В задачах 5.223 5.228 требуется найти наибольший (наи-
(наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности
5.223. хп - 6п - п2 - 5. 5.224. хп - е10л-п2-24.
5.225. хп - ——. 5.226. хп - Зп2 - Юп - 14.
9 + п
5.227. х„ = 2п + -т. 5.228. ж„ = -—•

26 Гл. 5. Введение в анализ
2. Предел последовательности. Число а называется пределом после-
последовательности (хп)пещ, т. е. lim хп — а, если для любого е > 0 сущест-
п—>оо
вует номер N(e) такой, что при п > N(e) выполняется неравенство
\х„ — а\ < е. При этом сама последовательность называется сходящейся.
Критерий Коши. Для того чтобы последовательность (хп)пещ
имела предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого в > 0 су-
существовал номер N(e) такой, что при п > N(e) выполняется нера-
неравенство \хп+р — хп\ < е для любого р Е N.
Последовательность (хп)п^ называется бесконечно малой, если
lim .?> = 0.
Писледовательность (хп)п^ называется бесконечно большой (схо-
(сходящейся к бесконечности), что формально записывается в виде lim xn =
п—>оо
~ оо, если для любого числа Е > 0 существует номер N(E) такой, что
при п > N(E) выполняется неравенство \хп\ > Е. Если при этом, начи-
начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительны
(отрицательны), то используем запись
lim хп = +оо ( lim хп = —оо).
П—¥ОО П—>ОО
Число а называется предельной точкой последовательности {xn)neN,
если для любого е > 0 найдется бесконечное число членов этой последо-
последовательности, удовлетворяющих условию \хп — а\ < е.
Принцип Больцано-Вейерштрасса. Всякая ограниченная
последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.
Наибольшая (наименьшая) из предельных точек последовательности
(хп)П£щ называется верхним (нижним) пределом этой последовательно-
последовательности и обозначается символом lim хп ( lim xn).
п-юо
5.229. Используя логическую символику, записать следующие
высказывания, а также их отрицания:
а) последовательность ограничена;
б) последовательность монотонно возрастает;
в) число а есть предел последовательности;
г) последовательность {хп)П£щ бесконечно большая;
д) число а есть предельная точка последовательности.
5.230. Найти а — lim xn и определить номер N(e) такой, что
п->оо
\хп — а\ < е при всех п > N(e), если:
а) хп = 0,33.. .3, с = 0,001; б) хп = - , е = 0,005;
П
1 ттп 5п^ 4- 1
в) хп = - sin —, е = 0,001; г) хп = —-—-, е = 0,005.
п 2 7п2 — 3

§ 3. Предел последовательности действительных чисел 27
Вычислить пределы:
5.231. lim —-. 5.232. lim ^H±l,
п—>оо Зп п—>оо 7 — 9fi
5.m lim Mil!. 5.234. Вт f;7" + 1
n—>оо Z7T,0 n—>oo 2 — 071 — 071
5.235. ,i (n + 2f-{n-2f
5.236. lim
39n
3/4 I Q i -|
5.237. lim " . 5.238. lim {y/W+2-y/n).
5.239. lim n3/2(\/n3 + 1 - \/n3 - 2). 5.240. lim .
n—>oo n—>-oo 2n — 3n
1 2 77,-1
5.241. lim [ — + -^ + ... + —ТГ
L 77,z 77,z
5.242. lim ' ', 5.243. lim JLZ_^n:
n—>oo 77, n—>oo 77,-1
5.244. lim [ —- + —-- + ... +
2-3 ' ••' ' n(n+l)j-
5.245. lim -- — + ... + (-l)n~1-
n->oo у 5 25 £
5.246. Доказать, что если последовательность {хп)п^щ беско-
бесконечно малая и Vn Е N (хп Ф 0), то последовательность {1/хп)п^щ
бесконечно большая.
Установить, какие из заданных последовательностей являются
бесконечно большими:
5.247. хп = 2^. 5.248. хп = п^1^.
7ГТ1
5.249. xn = nsin—. 5.250. жп = lg(lgn), n ^ 2.
Найти все предельные точки последовательности:
9 4- (—1)п тгп
5.251. хп = - , ■ 5.252. xn = cos —.
^ — { — I) 4
(-1)"
5.253. xn = arcsin .

28 Гл. 5. Введение в анализ
5.254. Доказать:
а) Нт хп + lim уп ^ Шп (хп + уп) ^ Km хп + lim уп\
п—>оо 7i->oo п—>оо п-»оо п—>оо
б) Ит хп + lim yn < lim (хп + уп) < lim xn + lirn уд.
П—>ОО 71—>ОС 71->ОО П->ОО П->ОО
Для каждой из следующих последовательностей {хп)пещ найти
inf {xn}, sup{o;n}, lim xn и lim xn\
5.255. жп = 1 + -. 5.256. хп = cos2 —.
п п 4
5.257. жп = (-1)пBп + 1).
5.258. хп = ^ sin ^, n ^ 2. 5.259. *п - ^Ltil^ _ I.
п - 2 3 2 п
5.260. Доказать, что равенство Ит хп — lim xn является не-
п,>оо п->оо
обходимым и достаточным условием существования предела по-
последовательности [Хп)п^.
§ 4. Предел функции. Непрерывность
1. Предел функции. Пусть функция у — /(ж) ипределена на множестве
D. Число а называют пределом функции у = f(x) в точке хо и пишут
lim f(x) = а, если для любого е > 0 существует число J(e) > 0 такое,
X—>Xq
что для любого х £ D из условия 0 < |ж — xq\ < S(e) следует неравенство
\f(x) ~a\<e.
Критерий Кош и. Для того чтобы функция у = }{х) имела
предел в точке хо, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
существовало 5(е) > 0 такое, что \f(xf) - f{x")\ < e, как только
\х! - хо| < 6(е) и \х" - жо| < S(e).
Говорят, что число а есть предел функции у ~ f(x) при х, стре-
стремящемся к бесконечно с тщ и пишут lim /(ж) = а, если для любого
х—юо
е > 0 существует число Л (г) > 0 такое, что \f(x) — а\ < г, как только
|ж| > А(е).
В дальнейшем используются следующие замечательные пре-
пределы:
lim «™ = 1, A)
lim ( 1 + - = lim (I + хI/х = е, B)
ж-юо ^ X'/ а:->0
где е = 2,71828... — основание натуральных логарифмов.

§ 4. Предел функции. Непрерывность
29
Наряду с введенным выше понятием предела функции используют
также следующее понятие одностороннего предела. Число а назы-
называют пределом функции у = f(x) в точке хо справа (слева) и пи-
пишут lim f(x) = а ( lim f(x) — а), если для любого в > О су-
ж-».то+О х—>хо — О
ществует число <5(£) > 0 такое, что из условия 0 < х — хо < 6(е)
{—S{s) < х-хо < 0) следует \f(x)~a\ < e. Аналогично вводится понятие
одностороннего предела на бесконечности ( lim f(x) и lim f(x)).
х—»-}-оо х—> — ос
В задачах 5.261-5.263, пользуясь только определением предела
функции, доказать, что lim f(x) = а, и заполнить следующую
таблицу:
X—>XQ
6(е)
ОД
0,01
0,001
5.261. f(x) = ж2, х0 = 2, а = 4.
5.262. /(ж) = 1/ж, ж0 = 1, а = 1.
5.263. f(x) = lgx, д?о = 1, а = 0.
Используя логическую символику, записать следующие утвер-
утверждения:
5.264. lim /(ж) = ос.
х—>0
5.265. lim f(x) = -ос.
х—>1—0
5.266. lim /(ж) = 0.
.т->+оо
5.267. lim /(ж) = +oo.
5.268. lim /(ж) = 0. 5.269. lim f{x) = 2.
X—>OO
5.270. lim f{x) = -oc. 5.271. lim /(ж) = ос.
z->-oo z->-oo
Вычислить пределы следующих рациональных выражений:
ж2-2
5.272. lim
х->о Зх2 - Ъх + 1'
5.274. lim
5.276. lim
-з |ж + 3|
1
i->2±o V 2 - х
5.273. lim -
5.275. lim
5.277. lim-
5.278. lim
я-н х" - 1
5.280. lim
1->1/2 6ж2 - 5ж + 1 '
3 „.2
; т, п G N. 5.279. lim
5.281. lim
!-3'
ж2-2
г4 + ж2 + 1 ■
1 - 2х + 1
(ж + /iK - х3
ж2 — (а + 1)ж + а
- а3
5.282. lim
х^о V 2Ж2
X
5.283. lim
I—>OO ;
— 3^ + 1

30
Гл. 5. Введение в анализ
5.284. lim
П?
, п Е N.
5.285. lim
х + 2
х- А
5.286. lim
z->oo \2x + 1
5.287. Доказать, что если Рп(х) = a^x71 + ... + an, Qm(x) =
" + ... + bm, то
lim
J П
О при n < га,
ao/Ьо при n = ra,
ос при n > ттг.
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения,
часто используются следующие приемы: а) введение новой переменной
для получения рационального выражения; б) перевод иррациональности
из знаменателя в числитель или наоборот.
Пример 1. Вычислить lim
я->81 9 -
< Пусть t — yfx* Тогда
lim —£
.. 1 1
— lim = -. t>
t-*3 3 + t 6
Пример 2. Вычислить lira (у/х2 + 7 — у/х2 — 7).
<3 lim
х—юо
= lim
7- Vx2 -7) =
(\/х2~Т7 - Vx2 -7){y/x2 + 7 + x/a:2 - 7)
Лт2 + 7 + Vz2 - 7
— lim
14
Вычислить пределы:
Qr _i_ 1
5.288. lim ,„
i-« 5 +
5.290. lim
5.291. lim
5.289. lim
fx2 Л- 7 Л- V
/S^T-з
х -10 '
-7
= 0. >
— 1

§ 4. Предел функции. Непрерывность
31
5.292. lim
5.294. lim
X
5.295. lim
х->0
5.297. lim
5.299. lim
5.300. lim
5.301. lim
5.302. lim x3/2(VxT+2-
XУОО
X—УОО
Используя замечательный предел A), вычислить:
5.303. lim
5.305. lim x ctg тг.т.
5.307. lim —
5.304. lim ^
х->тг tg ОХ
5.306. lim
x-
5.308. lim
3 arcsin x
Ax "
, а ^ /3.
(
( \ 7ГХ IT — CV
ctg х . 5.310. lim tg —: sin --—.
smx J x->a 2a 2
5.311. lim
х-»7г/4 7Г — Ax
5.312. lim (-
х-ч-тг/2
5.313. lim ~~^~; n, m G Z.
5.314. lim 51п2а:^.
a3
5.315. lim
5.316. lim
lim 4^
a->o tgz a — sin a
Доказать следующие соотношения:
— cos
5.31ГMim
x->0
e.

32 Гл. 5. Введение в анализ
ах — 1 A4- х)а - 1
5,318*. lim = In а. 5.319*. lim v ; = а.
.т->0 X £->0 X
При вычислении пределов вида lim u{x)v^x\ где lim u(x) = 1,
lim ?;(x) = оо, используется замечательный предел B).
х - -> £ о
Пример 3. Вычислить lim [
1 р хюо
<3 Имеем
х Vх / -2 Vх ( -2
_(Л j±\_f
TO
2+х) V 2+хУ V 2+х
Так как
/ -2 \ -2
lim 1 + = lim (
lim • Зх = —6,
х-^схэ 2 -{■ X
lim
ar->oo
(здесь использована непрерывность композиции непрерывных функ-
функций). р>
Используя замечательный предел B), а также результаты за-
задач 5.317-5.319, вычислить пределы:
Х+
5.320. lim (^П . 5.321. lim
ж-»оо \х — 2/ ж->с»
5.322. lim (cosжI/1". 5.323. lim (I + tg2
5.324. lim x(\n{2 +x)-lux). 5.325. lim - In
t>oo x->0 д;
=
5.326. lim x{allx - 1). 5.327. lim
5.328. lim^^—-. 5.329. lim
x->a X — a x->0 X
5.330. lim (cos xI/81111. 5.331. lim ^—.
5.332. lim^osx + sinxI/1. 5.333. lim
0
i->0 у Ж

§ 4. Предел функции. Непрерывность 33
5.334. Доказать, что lim fix) = а в том и только том случае,
х->хо
когда для любой последовательности аргументов (хп)пещ, сходя-
сходящейся к жо, соответствующая последовательность {fixn))nG^ зна-
значений функции сходится к а.
Используя результат задачи 5.334, доказать, что для следую-
следующих функций не существует lim f(x):
x-ixo
5.335. f(x) = cos,t, xQ = oo. 5.336. f(x) = sinl/rr, x0 = 0.
5.337. f(x) =x- [x], xQ = oo.
Найти односторонние пределы:
4 2 + X
5.338. lim - г. 5.339. lim л
ж->3±0 \Х - 3| х->2±0 4 - X2
1
5.340. lim (г + д;I^. 5.341. lim 72-х.
~ ' п х->2±0
5.342. lim arctgrr. 5.343. lim [1/x].
T»±O0 X—>±OO
5.344. lim 1^-DЖ,:I. 5.345. lim
XJ.JJ.J. . • \-T • ^^ .Л.^^» Л. Л Л. Л. А. •
х->тг/4±0 2ж - 7Г/2 х->2тг±0 COS Ж - 1
5.346. Доказать, что предел функции у = f(x) во внутренней
точке .то области ее определения существует тогда и только тогда,
когда в этой точке существуют левый и правый пределы и они
совпадают.
2. Бесконечно малые и бесконечно большие. Функция а(х) называ-
называется бесконечно малой при х —> xq, если lim а(х) — 0.
якт
Бесконечно малые а(х) и /3(х) называются сравнимыми, если сущест-
Г Pi?) у Ф)
вует хотя бы один из пределов lim ——т или lim _. . .
х->хо а{Х) х-+хо Р(Х)
Пусть а(х) и р(х) — сравнимые бесконечно малые при х —> Хо и
(%.(х}
пусть, для определенности, существует lim = С. Тогда:
х->хо р[Х)
а) Если С ф 0, то а(х) и C(х) называют бесконечно малыми од-
одного порядка. В частности, при С — 1 бесконечно малые а (ж) и C(х)
называют эквивалентными и пишут а ~ ^.
б) Если С = 0, то «(ж) называют бесконечно малой более высокого
порядка, чем fl(x), и пишут а = о(/9). Если при этом существует дей-
с\.( х}
ствительное число г > 0 такое, что lim ^ 0, то а(х) называют
х-+х0 ф(х)г)
бесконечно малой порядка г относительно C(х).

34 Гл. 5. Введение в анализ
Функция а(х) называется бесконечно большой при х -> хо, если
lim a(x) = оо. Подобно тому как это сделано выше для бесконечно
х*х
малых, вводится понятие сравнимых бесконечно больших и их класси-
классификация.
ot(x\
5.347. Доказать, что если lim = С ф О, то найдется
х+ р[х)
)
такое число 6 > О и константы С\ и С^-, что
\х - хо\ < S =
5.348. Доказать, что а ~ /3 в том и только том случае, когда
а — C — о(а) или а - C — о(C).
Определить порядок малости а(х) относительно /3(х) = х при
ж-> 0:
5.349. а(ж) = f^. 5.350. а(ж) = v^ - Vx*.
1 COS X
5.351. a(x) = . 5.352. а(ж) = tgx - sinx.
x
5.353. а(ж)
5.354. а(ж) =
5.355. а(ж) =
5.356. a(x) =
5.357. а(ж) = 3^-1. 5.358. а(ж) - 2х - cos я.
5.359. Доказать, что а(х) — /3(х) имеет 2-й порядок малости
относительно х при х -> 0, если:
j
б) а(ж) = л/а2 + ж, /3(х) = а + —х (а ф 0);
2а
в) а(ж) = A + х)п, C{х) = 1 + ш; (n£ N).
Приближенно вычислить следующие выражения:
5.360. 1/1,03. 5.361. у/Щ.
5.362. A,03M. 5.363. @,97L.
5.364. Доказать, что если а(х) ~ ol\(x) и C(х) ~ Р\(х) при
х -> жо, то
а(д;) _ ах (ж)
C(х) P() '

§ 4. Предел функции. Непрерывность 35
Используя результат задачи 5.364, вычислить пределы:
5.365. lim =1П(Ж/УГГ^}
Ж «у
<\ Так как arcsin . ~ , и In A - ж) ~ (-ж) при х -> 0, то
arcsin (x/y/i — х2) , ж/vl — ж2
lim \; L = lim -^ = -1. >
ж->0 In (I - Ж) х-*0 ~Х
5.366. lim- -. 5.367. lim
ж->1 lgx x->0
4ж2 - 1
5.368. lim -,. „ ч. 5.369. lim
5.370. lim
. 5.367. lim
lgx z-*o 1 —cosx
4z2-l c o/?n arctgx2
i/2 arcsin A - 2x)' ' # x->o arcsin 3x • sin (ж/2)'
1 — cos 4ж
5.371. lim
2 sin2 x + х tg 7x'
— (cos ж + sin ж)
Определить порядок роста бесконечно большой А(х) относи-
относительно В(х) = х при ж -> оо:
5.372. А(х) - ж3 + 150ж + 10.
Э.о/о. uxyXJ -— \ X | оЖ ~т О ~т~ Ж .
5.374. А{х) = у/х + у/х. 5.375. Л(ж) = \/х2 - х +
г f\ t\ /О
5.376. А(ж) - —j з—^' 5'377- А(ж) =
3. Непрерьшность функции в точке. Классификация точек разрыва.
Функция у = /(ж) с областью определения D называется непрерывной
в точке жо, если выполнены следующие три условия:
а) функция у — f(x) определена в точке жо, т.е. Жо G D\
б) существует lim /(ж);
в) \ш\ /(ж) = /(ж0).
Если условие а) выполнено, то условия б) и в) эквивалентны следую-
следующему:
lim Д/(ж0, Аж) = 0,
где
Д/(ж0, Дж) = /(жо + Дж) - /(ж0)
— приращение функции у = /(ж) в точке Жо, соответствующее прира-
приращению аргумента Дж = ж — жо-

36 Гл. 5. Введение в анализ
Если в точке х0 нарушено хотя бы одно из условий а)-в), то х0
называется точкой разрыва функции у — f(x). При этом различают
следующие случаи:
а) lim f(x) существует, но функция не определена в точке х0 или на-
х—>жо
рушено условие lim f(x) — f(xo). В этом случае хо называется точкой
х—>жо
устранимого разрыва функции.
б) lim f(x) не существует. Если при этом существуют оба одно-
X—>Хо
сторонних предела lim f(x) и lim f(x) (очевидно, не равные друг
х—>жо+О х—>хо—О
другу), то Хо называется точкой разрыва 1-го рода.
в) В остальных случаях xq называется точкой разрыва 2-го рода.
5.378. Используя логическую символику, записать на языке
«е-5» следующие утверждения:
а) функция у = f(x) с областью определения D непрерывна в
точке xq E D;
б) функция у = f(x) не является непрерывной в точке х$ G D.
Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке
их естественной области определения:
5.379. f(x) - хп, п е К
<3 Используя формулу бинома Ньютона, получаем
Д/(х0, Ах) - (хо + Дх)п-я# - С№1
Отсюда lim Д/(ж0, Дх) = 0. >
Д>0
5.380. f(x) = а, а е К.
5.381. f(x) = logax; a > 0, аф\.
5.382. f(x) = sinx. 5.383. /(ж) = arcsinrr.
Задана функция f(x). При каком выборе параметров, входя-
входящих в ее определение, f(x) будет непрерывной?
5.384.
, х > тг/2.

§4. Предел функции. Непрерывность 37
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в слу-
случае устранимого разрыва доопределить функцию «по непрерыв-
непрерывности»:
5.389. fix) = (l+x>~1 n e N. 5#390> f(x\ = Isjnx.
x x
5.391. f(x) = 1 -жsin-. 5.392. f(x) = 3x/D-*
x
5.393. /(*) = (x + 1) arctg I. 5.394. /(*) = J
5-395- /W = уТ^гп- 5.396./w
5.398. /(,) =
О < а; < 1,
5.401. f(x) = {А-2х, 1<х< 2,5,
2х -7, 2,5^x^4.
cos я:, —тг/2 ^ я < 7г/4,
I
5.402. „
—, 7г/4<д;^7г.
16
5.403. Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотон-
монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.
4. Непрерывность на множестве. Равномерная непрерывность. Функ-
Функция у — /(.т) называется непрерывной на множестве D, если она
непрерывна в каждой точке х 6 D. Она называется равномерно не-
непрерывной на множестве D, если для любого е > 0 существует число
8(е) > 0 такое, что для любых х!, х" G D из неравенства |.т' -.т"| < ($(е)
следует |/(.т') — f(xn)\ < £.
Теорема Кантора. Если функция у — /(х) непрерывна на от-
отрезке [а, Ь], то ока равномерно непрерывна на этом отрезке.

38 Гл. 5. Введение в анализ
5.404. Доказать, что если у — f(x) — непрерывная на [а, Ь]
функция, то она:
а) ограничена на [а, &];
б) достигает на [а, Ь] своих верхней и нижней граней (теоре-
(теорема Вейерштрасса);
в) принимает на любом интервале (a', bf) С [а, Ь] все промежу-
промежуточные значения между f{af) и f(bf) (теорема Кош и).
5.405. Доказать, что если функция у — f(x) непрерывна на
[а, +оо) и существует конечный lira /(я), то эта функция огра-
х»4оо
ничена на [а, +оо).
5.406. Показать, что функция
О, х = 0,
принимает на любом отрезке [0, а] все промежуточные значения
между /@) и /(а), однако не является непрерывной на [0, а].
5.407. Доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет
по меньшей мере один действительный корень.
5.408. На языке «е-5» сформулировать утверждение: функция
у — f(x) непрерывна на множестве D, но не является равномерно
непрерывной на этом множестве. В качестве примера рассмотреть
следующие функции:
а) /Or) = 1/x, D = @, 1];
6)/(*) = lg*, I> = @, 10];
в) /(я) = sin ^, £> = @,1].
5.409. Доказать, что если функция у = f(x) непрерывна на
[а, +оо) и существует конечный lim /(я), то эта функция рав-
Х-+ + ОО
номерно непрерывна на [а, +оо).
5.410. Показать, что неограниченная функция f(x) = x + sinx
равномерно непрерывна на всей оси —оо < х < +оо.
Следующие функции исследовать на равномерную непрерыв-
непрерывность на заданных множествах:
5.411. /(*) = —^, D = [-l, 1].
5.412. f(x) = lnx, D = @, 1].
5.413. f(x) = ^, D = @, 4
5.414. f(x) = ex cos -, D = @, 1].

§ 5. Комплексные числа, 39
5.415. f(x) ^arctgz, D = R.
5.416. f(x) = y/E, D = [0, +oo).
5.417. f(x) ^xsrnx, D = [0, +oo).
§ 5. Комплексные числа
1. Алгебраические операции над комплексными числами. Комплекс-
Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары z ~(х,у)
действительных чисел, для которых следующим образом определены
операции сложения и умножения:
(xi, 2/i) + (х2, 2/2) = (zi + z2, 2/i 4-2/2), A)
(xi, 2/0(^2, 2/2) = (xix2 - yi2/2, Z12/2 4-Х22/1). B)
Множество всех комплексных чисел обозначается символом С.
Действительные числа хну называются действительной и мнимой
частями комплексного числа z — (х, у) и обозначаются символами Re г
и Imz соответственно.
Два комплексных числа z\ — [хЛ, г/г) и г2 = (хг, 2/2) называются
равными только в том случае, когда Xi = Х2 и 2/1 = 2/2-
Из определений A) и B) следует, что всякое комплексное число
(х, у) может быть записано следующим образом:
(х, у) = (х, 0) + @, 1)Q/, 0). C)
Если теперь комплексные числа вида (х, 0) отождествить1) с действи-
действительными числами х, а число @, 1) обозначить символом г, то равенство
C) принимает вид
z = х + iy
и называется алгебраической формой комплексного числа z = (x, у).
5.418. Доказать, что операции сложения и умножения ком-
комплексных чисел обладают следующими свойствами:
а) Z{ 4- Z2 = Z2 4- z\ (коммутативность сложения);
б) {zi + Z2) + z% = z\ 4- (z2 4-23) {ассоциативность сложения);
в) z\Z2 = Z2Z1 (коммутативность умножения);
г) (z\Z2)z^ — z\(ziZz) (ассоциативность умножения);
д) ^1 (^2 4- 23) — z\Z2 4- 21Z3 (закон дистрибутивности).
1) То есть установить взаимно однозначное соответствие (х, 0) «-> а; между
множествами {(х, 0) | .т G R} и R. Из A) и B) следует, что это соответствие
«сохраняет операции»:
(Ж1, О) + (Ж2, 0) = (Ж1+Ж2, 0)<->.Т1 +Ж2,
(«1, 0) • (Ж2, 0) =: (Ж1Я2, 0) <-> Ж1Х2.

40 Гл. 5. Введение в анализ
5.419. Доказать что:
a) Vzi, z2 ф 0 3z(z2z = z\)
(число z называется частным от деления z\ на z2 и обозначается
символом —
б) если z\ — ,Т| + гу\ и z2 — х2 + iy2) то
/12/2 , .2/1^2 -
z Х2 , 2 ' ° 2 , 2 •
^ 2 t/2 2 iJ'2,
В задачах 5.420-5.429 выполнить указанные операции, пред-
представив результат в алгебраической форме.
5.420. A-2г)B-НJ + 5г.
<\ Задача состоит в том, чтобы заданное комплексное число представить
в форме х -f iy. Для этого можно воспользоваться непосредственно фор-
формулами A) и B), однако этот же результат можно получить следующим
образом. Как показывают свойства операций, перечисленные в задаче
5.418, при сложении и умножении комплексных чисел, представленных
в алгебраической форме, с ними можно обращаться как с биномами вида
а -Ь ib, учитывая дополнительно, что г2 — @, 1) @, 1) = (—1, 0) = — 1.
Поэтому
B + г*J = 4 + 4г + г2 = 3 + 4г,
A - 2г)B + г'J = A - 2г)C + 4г) = 3 - 2г - 8г'2 = 11 - 2г,
откуда окончательно получаем
A - 2г)B + г'J + 5г = 11 - 2г + 5г = 11 + Зг. >
5.421. B + Зг)C - i). 5.422. A + 2гJ.
5.423. A - гK - A+ гK- 5.424. Bi - г2J + A - ЗгK.
2 — г
5.425. :.
1+г
<3 Результат может быть получен непосредственно по формуле из задачи
5.419. Заметим, однако, что A +г)A — г) — 2 есть действительное число.
Поэтому, умножая числитель и знаменатель заданной дроби на 1 — г,
находим:
2-г B-г)A-г) 1 - Зг 1 3.
1
1
A +
+ г
и '
0C
(Ц
1
4-t
+ 0
-0A
A
-0
-0C
2
-0
5.426. + :. 5.427.
5.428. - -. 5.429.
3 - г 3 + г

§ 5. Комплексные числа 41
Найти действительные решения следующих уравнений:
5.430. A + г)х + (-2 + Ы)у = -4 + 17г.
5.431. 12(B.т + г)A + г) + [х + у)C - 2г)) = 17 + 6г.
Решить следующие системы линейных уравнений:
5.432. C - i)zi + D + 2ф2 = 1 + Зг.
D + 2i)z\ - B + 3i)z2 = 7.
5.433. B + г)^ + B - i)z2 = 6.
C + 2i)^i + C - 2i)z2 = 8.
5.434. Z2i + ^2 = i-
{i + l)z\ + A -i)z2 = 1 + г.
Если на плоскости введена декартова прямоугольная система коор-
координат Оху, то всякому комплексному числу z — х Н- гу мол^ет быть
поставлена в соответствие некоторая точка А/(х, у) с абсциссой х и
ординатой у. При этом говорят, что точка М(.т, у) изображает ком-
комплексное число z — х + iy.
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется
комплексной плоскостью, ось Ох — действительной осью, а ось Оу --
мнимой осью.
Число г = у/х2 + у2 называется модулем комплексного числа z =
— x + iy и обозначается символом \z\. Модуль числа z равен расстоянию
точки М, изображающей это число, от начала координат.
Всякое решение ц> системы уравнений
X У
C0S^ = ~7T==fl sin<P==f=f ^
а/Ж2 + у2 уГХ2 + у2
называется аргументом комплексного числа z — х + iy ф 0. Все ар-
аргументы числа z различаются на целые кратные 2тг и обозначаются
единым символом Argz. Кал^дое значение аргумента совпадает с ве-
величиной (р некоторого угла, на который следует повернуть ось Ох до
совпадения с радиус-вектором Ом точки М (при этом ip > 0, если пово-
поворот совершается против часовой стрелки, и tp < 0 в противном случае).
Значение Argz, удовлетворяющее условию 0 ^ Argz < 2тг, называется
главным значением аргумента и обозначается символом argz.
В некоторых случаях главным значением аргумента называется зна-
значение Arg2, удовлетворяющее условию —тг < Arg2 ^ тг.
Из соотношений D) следует, что для всякого комплексного числа z
справедливо равенство
z = |2
называемое тригонометрической формой числа z.
Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплексное
число z = —2 + 2г\/3-
< Имеем
|г| = л/(-2J + B\/3J - 4, 1 ' ^3

42 Гл. 5. Введение в анализ
поэтому главное значение аргумента равно argz = 2тг/3 и, следова-
f / 2тг . . 2тг\
тельно, z — 4 I cos — + г sin — 1. >
\ 3 3 /
Следующие комплексные числа представить в тригонометри-
тригонометрической форме и изобразить точками на комплексной плоскости:
1 \/3
5.435. -г. 5.436. 1 - i\f%. 5.437. -- + i~~.
5.438. —^4. 5.439*. -cos^ + zsin-.
5.440. sin — + i cos —. 5.441. 1 + cos — + г sin —.
Комплексное число х — iy называется сопряженным комплексному
числу z — х + iy и обозначается символом ~z.
Доказать следующие равенства:
5.442. z + z = 2 Re г и z-z = 2ilmz.
5.443. (z) = г. 5.444. |г| = |г|. 5.445. zi+z2 = z\+ z2.
5.446. J[^2 = ^1^2 и (—) = —. 5.447. ^г = Ы2.
V
\ Z2 ' Z<i
5.448. Вычислить:
а) z{z<i и ( —) , если z\ = 1 — гуЗ, z2 = у/3 + г;
^ ^2 *
~z2
б) ^i?2 и —, если Z{ — 3 + 2г, ^2 = 2 + 2г.
2
5.449. Пусть p(z) — произвольный многочлен с действитель-
действительными коэффициентами. Доказать, что для любого z E С верно
равенство p(z) = p{z).
Решить следующие уравнения:
5.450. \z\ - z = 1 + 2г. 5.451. \z\ + z = 2 + г.
5.452. Доказать равенства и выяснить их геометрический
смысл:
^1
Z2
N
б) Arg^i + Arg^2 = Arg(^^2), Arg^i - Argz2 = Arg ( —)
\z2/
(равенства б) понимаются в смысле равенства множеств — см.
с. 9).

§ 5. Комплексные числа 43
Выяснить геометрический смысл следующих преобразований
комплексной плоскости:
5.453. * -> * - 2. 5.454. z -> * + C - г). 5.455. * -> iz.
5.456. * -> —A - г)*. 5.457. z -> -*. 5.458. * -> 2z.
5.459. * -> —^—. 5.460. *-->*.
1 — г
5.461. Доказать, что:
а) величина |*i — *2| равна расстоянию на комплексной плоско-
плоскости между точками М\ и М2, изображающими комплексные числа
Z\ И Z2',
б) |*1 + *2| ^ |*l| + |*2| И |*х - *2| ^ ||^i| - |*2||
(неравенства треугольника). Каков геометрический смысл
этих неравенств?
5.462. Доказать тождества:
a) \z\ + *2|2 + |*1 ~~ *г|2 — 2(|^i|2 + |*2|2)
(каков его геометрический смысл?);
б)*
+Z2
+ x/z\Z2
Z2
~ \/*1*2
2
В задачах 5.463-5.473 дать геометрическое описание множеств
всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим
условиям:
5.463. Rez^O. 5.464. 0 ^ Im* < 1. 5.465. |Im*| ^ 2.
5.466. |*| < 1. 5.467. |* + t| = 2.
5.468. К I* + 2| ^ 2. 5.469. |*| > 1 - Re *.
5.470. \z-i\ = |* + 2|. 5.471. 0<arg^<?r/4.
5.472. |7Г - arg^| < тг/4. 5.473. * = *.
*- 1
5.474. Пусть * т^ —1. Доказать, что Re = 0 <3> |*| — 1.
Пусть <£ — произвольное действительное число. Символом ег</? обо-
обозначается комплексное число cosc^ + г sin у?. С помощью этого обозначе-
обозначения всякое комплексное число z = |^|(cos(/?+2 sinc^) может быть записано
в показательной форме
Представить в показательной форме следующие комплексные
числа:
7 -I- 24г
5.475. — . 5.476. 5 - 12г. 5.477. -3 - 4г.
о
5.478. -2 + г. 5.479. sin a - i cos а.
5.480. sina + гA - cos а).

44 Гл. 5. Введение в ана.пиз
5.481. Доказать, что символ ег(/? обладает следующими свой-
свойствами:
a) ei2nn = 1 (VnG Z); б) ё& = е"^;
в) ei(px • ei(f2 = е^1+^ ^)
5.482. Данные числа z\ и z<i представить в показательной форме
и выполнить указанные действия над ними:
z2
а) 2i22, ~i если 2i = 2\/3 — 2г, 22 = 3 — 3\/3г;
б) 2^22, —, если 2i = — \/2 + г\/2, 22 = у/% — г\/8.
21
5.483. Доказать формулы Эйлера,
ещ + e-i<p ещ _ e-itp
, simp.
2 Li
5.484. Доказать формулу Муавра: если z — гег(/?, то
zn = гпеггир^
или, в тригонометрической форме,
zn = rn (cos n(/? + г sin mp).
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
5.485. A + iI0. 5.486. (/ + ^
A-гK
/14-' /5\ 20
5.487. ( *Л )
5.489. Доказать равенства:
а) A + t)n = 2"/2 (cos ^ + * sin ~) ■
6)(л/3-гГ = 2»(сов—-isin—V
V G 6 /
5.490. Используя формулы Эйлера, выразить через косинусы и
синусы кратных дуг функции:
a) cos3 cp; б) sin3 ср.
Используя формулу Муавра, выразить через coscp и s'mcp сле-
следующие функции:
5.491. сояЗср. 5.492. sin3<p.
5.493. cosAcp. 5.494. si

§ 5. Комплексные числа 45
Пусть a — гег</?, а ф 0, — фиксированное комплексное число. Тогда
уравнение zn = a, n £ N, имеет в точности п различных решений ,го5
zi, ..., 2n_i, причем эти решения даются формулой
Л = у г е V n n ) - yr cos г _1_ г sm r
п п )
*; = 0, 1, ... , п- 1
(здесь <Ут — действительное положительное число). Числа zj., A; —
= 0, 1, .... п — 1, называются корнями n-й степени из комплексного
числа а и обозначаются символом ^/а.
Пример 2. Найти все корни 3-й степени из числа a — — 2 + 2г'\/3.
,2тг / 27Г 2тЛ
< Так как а = 4е з = 4 I cos — + г sm — 1, то
\ з з у
где А: = 0, 1, 2.
ПриА;=:О: (^H - v^ [cos у + г sin —
При А: = 1: (\/а)\ — \/4 f cos — + г sin — j.
\ 9 9 /
При к = 2: (^/аJ = ^4 (cos—- + г sin —- ). >
\ 9 9 )
5.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корн*
2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Найти все значения корней:
5.496. >Д. 5.497. У=Т. 5.498. ^9.
5.499. л/—1 Ч- гл/3. 5.500.
5.501. ty-1-i. 5.502. у/Г+Т^Д-
5.503. {/B - 2гL.
5.504. Доказать, что квадратные корни из комплексного числ
могут быть найдены по формуле

46 Гл. 5. Введение в анализ
Использование показательной формы комплексных чисел во многих
случаях значительно упрощает вычисления.
Пример 3. Привести к виду, удобному для логарифмирования:
S(ip) = sin ip -f- sin 2tp -f- ... -f- sin тир, (р ф 2тгт, m £ Z.
< Так как sine/? — Ime7</?, to, используя формулу суммы геометрической
прогрессии, получаем:
S{ip) = Im ei<p + Im ei2* + ... + Im ein</? = Im {eitp + ei2</? + ... + ein</?) =
= Im = Im —^—^
1 lp
sin (ny/2) Im cin±l^ = sin (ny/2) sin ((n
sin (</?/2)
Привести к виду, удобному для логарифмирования:
5.505. cos (p + cos 2(p + cos 3^ + ... + cos тр.
5.506. cos cp + cos 3(/? + cos 5(/? + ... + cos Bn — 1)</?.
5.507. sin tp + sin 3(/? + sin 5cp + ... + sin Bn — l)cp.
2. Многочлены и алгебраические уравнения. Многочленом (полино-
(полиномом или целой рациональной функцией) n-й степени называется функ-
функция вида
pn(z) = an*n + а,,.^71-1 + ... + aiz + а0, E)
где 2 G С, а0, ai, ..., ап — коэффициенты (вообще говоря, комплекс-
комплексные), причем ап ^ 0, п G N. Уравнение
апгп + an-i^'1 + . • • + axz + а0 = 0, ап ^ 0, F)
называется алгебраическим уравнением n-й степени. Число 2о, для ко-
которого Рп(^о) — 05 называется корнем многочлена E) или уравнения F).
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий много-
многочлен ненулевой степени имеет по крайней мере один корень (вообще
говоря, комплексный).
Число zq является корнем многочлена pn(z) в том и только в том
случае, когда pn{z) делится без остатка на бином z — zo, т. е.
Pn{z) = {z - zo)qn-i(z),
где q71-i(z) — многочлен (n — 1)-й степени. Если pn(z) делится без
остатка на (z — zo)k, k^ 1, но не делится на (z — zo)k+l, то z$ называется
корнем кратности к многочлена pn(z)\ при этом
Pn(z) = {z- zo)kqn-k{z),
где qn~k{zo) ф 0.

§ 5. Комплексные числа 47
Теорема Гаусса может быть уточнена следующим образом: много-
многочлен п-й степени имеет ровно п корней, если каждый корень счи-
считать столько раз, какова его кратность.
Если коэффициенты многочлена E) — действительные числа и zo =
= хо + iyo — его комплексный корень, то сопряженное число ~zq = хо —
— iyo — также корень этого многочлена, причем корни zq и го имеют
одинаковую кратность (см. задачу 5.449).
Пусть многочлен pn(z) имеет корни z\, z2, •.., zm (га ^ п) кратно-
стей соответственно fci, fc2, ..., km (k\ + k2 + ... + km = n). Тогда его
можно разложить на линейные множители, т. е. справедливо тождество
Pn(z) =an(z- zx)k^(z - z2)k* ...(z- zm)k-.
Если при этом коэффициенты многочлена — действительные числа,
то, объединяя скобки, соответствующие комплексно сопряженным кор-
корням, можно разложить этот многочлен в произведение линейных и ква-
квадратичных множителей с действительными коэффициентами.
Пример 4. Найти корни многочлена z6 + 2z3 + 1 и разложить его
на множители.
<3 Так как zQ + 2z3 + l = (z3 + lJ, то корнями этого многочлена являются
корни 3-й степени из -1:
Л =-1;
7Г . . 7Г 1 .л/3
7Г . . 7Г 1 .л/3
*3 = СОв--18Ш- = --1Т.
При этом каждый корень имеет кратность к = 2. Разложение этого
многочлена на линейные множители имеет вид
z6 + 2z3 + 1 = (z
Объединяя последние две скобки в один сомножитель, получим разложе-
разложение на множители с действительными коэффициентами
2e + 2*3 + l = (* + l)V-* + lJ. >
Решить квадратные уравнения:
5.508. z2 + 2z + 5 = 0. 5.509. Az2 - 2z + 1 = 0.
5.510. z2 + E - 2i)z + 5A - t) = 0.
5.511. z2 + Bi - 3)z + 5 - i = 0.
Решить двучленные уравнения:
5.512. 23 - 1 - 0. 5.513. 23 + 1 = 0.
5.514. (z + IL - 16 = 0. 5.515. B + IL + 16 = 0.

48 Гл. 5. Введение в анализ
Решить биквадратные уравнения:
5.516. z4 + Ш2 + 81 = 0. 5.517. г4 + 4г2 4- 3 = 0.
5.518. z4 + 9z2 + 20 = 0.
5.519. z4 - A + i)z2 + 2A +1) = 0.
Решить трехчленные уравнения:
5.520. z6 + Az3 + 3 = 0. 5.521. г8 + 15г4 - 16 = 0.
5.522*. Показать, что все корни уравнения
(ee
- ъх J A - га)
действительны и различны.
Следующие многочлены разложить на линейные и квадратич-
квадратичные множители с действительными коэффициентами:
5.523. z4 - 1. 5.524. z4 + 1. 5.525. zA + z2 + 1.
5.526. £4+4z3 + ll£2+14£+10; известен один корень 2i = -1-В.
5.527. z^ + z4 + z3 — z2 — z — 1; известен двукратный корень
1 .\/3
5.528. z4 + 6zs + 9z2 + 100; известен корень zx = 1 + 2г.
3. Предел последовательности комплексных чисел. Число а назы-
называют пределом последовательности комплексных чисел (z7l)neN и пишут
lim zn = а, если для любого е > 0 существует номер iV(e) такой, что
п—»оо
при п > ЛГ(е) выполняется неравенство |^п - а\ < е.
Последовательность (zn)n^ называют сходящейся к бесконечности
и пишут lim zn — оо, если для любого Е > 0 существует номер N(E)
п-ъоо
такой, что при п > N(E) выполняется неравенство \zn\ > Е.
5.529. Пусть хп = Kezn и уп = Im^n. Доказать, что lim zn =
п—юо
— а ф оо тогда и только тогда, когда lim xn = Re а и lim yn =
п—>оо ' п—>оо '
— Ima.
5.530. Пусть lim zn — а Ф оо и lim wn — Ъ ф оо. Доказать,
п—юо п—>оо
что:
a) lim (zn + wn) = а + 6; б) lim znwn = ab.
n>oo n->oo
5.531. Пусть lim zn = а ф оо и lim wn — b Ф Q. Доказать,
?г->оо п-^-оо
что lim — = -.
n-^oo wn О

§ 5. Комплексные числа 49
Вычислить пределы:
5.532. lim ( 2 — г Н—A + г) V 5.533. lim —~—~.
п—>оо у п ) га—юо 1 + in
5.534. Ш-^—^—.Ь.Ш. lim
З + 2 1 + 4
Ш^.Ь.Ш. lim ,
П-+ОО Зп + 2 п1 + п - 4г п->оо B - г)пг
5.536. lim И + — ). 5.537. lim -еш4 .
)
га—юо \ п I га—юо т<
5.538. lim {2i)n. 5.539. lim [2n+i(l--
72—»OO П-КУЭ у \ П
5.540. щ,,,!_! + ...+ '
n ,-fc / 1 / 1\п\
5.541. lim f" -г. 5.542. lim n sin - + t 1 + - ) I.
n-^oo ^,__q 3 n—>oo у n \ Ti J J
n i / з i 2i \n
5.543. lim T -r. 5.544. lim ( 1 + -1— .
Доказать, что следующие последовательности ограничены, но
расходятся:
5.545. zn = г11. 5.546. zn - (-1)г
2 + n
( 1\ .шг 1
5.547. г„ = 1 + - e1 2 . 5.548. гп - -(гп + (-l)n).
\ n) 2
Показать, что следующие последовательности неограничены,
но не сходятся к бесконечности:
•7ГП
5.549. гп - пA +гп). 5.550. гп - (ег 2 -г) In п.
5.551. Пусть тп — \zn\ и юп — arg^n. Доказать, что lim zn — a
@ < \a\ < oo) тогда и только тогда, когда lim rn = \a\ и lim G97; =
П~>00 7i-^OO
— arga (при надлежащем выборе области главных значений аргу-
аргументов).
Результат задачи 5.551 часто используется при вычислении пределов
комплексных последовательностей.
Пример 5. Пусть </? — действительное число (</? ф 0). Доказать, что
/ iip\n
lim I H — cos ш + г sin ip — ещ.

50 Гл. 5. Введение в анализ
< Рассмотрим две действительные последовательности:
Гп =
71
?n = arg ( 1 + — J = narg ( 1 + — J = narctg -.
Вычислим их пределы:
lim rn = lim I
Ч> i. arctg (cp/n)
hm tpn — hm n arctg — = y? lim ; = </?.
n—>oo n—№o U n—>oo У/'П'
Отсюда получаем
/ • \ n
lim [l + —) = 1 • (costp + isimp) = ei(p. >
пчоо у n /
5.552. Пусть 2 = x + iy. Доказать (см. пример 5), что
lim (l + -) = ex(cosy + isiny) = ex+iy = e*.
n>oo \ n/
Доказать сходимость следующих последовательностей и найти
их пределы:
5.553. гп = zn, \z\ < 1. 5.554. zn - n^n, |^| < 1.
5.555. zn = 1+ z + ... + zn, \z\<l.
5-556- ^ -
5.557. Вычислить lim — -, если \z\\ < 1 и bo I < 1.
n-+ool+Z2 + +Z$' ' ' ' '
5.558. Пусть lim zn — a^oo. Доказать, что
71—ЮО
r Zi+Z2 + ... + Zn
lim = a.
71—ЮО П

Глава 6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная
1. Определение производной. Дифференцирование явно заданных
функций. Пусть Д/(хо, Ах) = /(#о + Дх) — f(xo) — приращение функ-
функции у = /(х) в точке #о, соответствующее приращению аргумента Дх.
Производной 1-го порядка (или первой производной) функции у = /(х)
в точке хо называется предел
^ A)
Аа;-»0 Дх
Числа
/_(жо) = lim
Д(*„)= lim
называются соответственно левой и правой производными функции у =
= /(х) в точке Хо- Для существования производной f'(xo) функции f(x)
в точке хо необходимо и достаточно, чтобы ее левая и правая производ-
производные в этой точке существовали и совпадали, т. е.
Пример 1. Найти /!_@) и Д@) для функции /(х) = |х|.
< Имеем по определению
Г(о)= И \М Д£
А
= lim
-0 Дх Аж->-0 Дх
Д@)= lim 1^1= lim ^ = 1.
+ Ах>+0 Дх Аж->4-0 Дх *
Заметим, что функция /(х) = |х| не имеет производной в точке хо = 0. t>

52 Гл. б. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Производная функции /(х), рассматриваемая на множестве тех то-
точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения
производной называют также дифференцированием.
Таблица производных основных элементарных функций:
1. {хаУ = аха-\ а^О.
2. {ахУ = ах In а, а > 0; (е*)' = ех.
3. (logaz)' = logae--, а > 0, а ф\; (Inж)' = -.
х х
4. (sin ж)' = cosx.
5. (cost)' = - sinx.
6.
) V
COS2 X
7. (ctgar)' = —7-2-.
sin x
8. (arcsinx)' = -(arccosx)' =
1-х2
9. (arctgx)' = -(arcctgx)' = -.
x. ~t~ X
Правила дифференцирования функций:
I. Пусть С — постоянная и /(х), д(х) — дифференцируемые функ-
функции. Тогда:
2- (/ + *)' = /' + •• ^(f)^^^'^0-
з. (Cfy = cf.
П. Пусть функция у = f(x) имеет производную в точке х0, а функция
z = д(у) имеет производную в точке уо = /(#о)- Тогда сложная функция
z = #(/(х)) в точке х0 имеет производную, равную
*'Ы =^'Ы/Чяо) B)
(правило дифференцирования сложной функции).
Пример 2. Найти производную функции z = log3 (arcsinx).
О Полагая z — log3 у и у = arcsinx, имеем
z'(y) =1og3e
Отсюда, согласно B), получаем
arcsin х л/1 - х2

§ 1. Производная 53
Найти Д/(жо, Дж), если:
6.1. /(ж) = г3, ж0 = 1, Ах = 0,1.
6.2. /(ж) = v^, ж0 = 0, Ах = 0,25.
6.3. /(ж) - lg:r, ж0 - 100, Дж - -90.
Найти Д/(жо, Аж) как функцию Дж, если:
6.4. /(ж) = sin ж, ж0 = -.
< Имеем
^ V2 ' / = 8Ш \2 + ) ~ Sm 2 =
Л . Дж /тг ДаЛ л . о Дж
= 2sin —cos(--+ —J --2sin2-—. D>
6.5. /(ж) = ж2, ж0 = -1.
6.6. /(ж) - е\ жо = 1.
6.7. /(ж) = log2(a;), ж0 - 1.
Пользуясь только определением производной, найти f'(x)\
6.8. /(ж) =ctga;.
< Имеем:
, ctg(x + Д.т) -ctgx
(ctgx) = hm ~ = hm
Аа;>0 Лж Аж>
hm = hm :. , г
Аа;->0 Лж Аж->0 Ах Sin X Sill (ж -f /АХ)
= — Hm
Аж->о sin ж sin (ж 4- Дж) sin2 ж
6.9. /(ж) - —. 6.10. /(ж) -
6.11. /(ж) = 2х. 6.12. /(ж) = log2 ж.
/(я)
6.13. Известно, что /@) — 0 и существует предел Hm .
х->0 Ж
Доказать, что этот предел равен /'@).
6.14*. Доказать, что если /(ж) имеет производную в точке жо,
ж/(ж0) -жо/(ж)
то hm — — = /(ж0) - ж0/ (ж0).
х->хо Ж — Жо
Для заданной /(ж) найти /1_(жо) и Д(жо):
6.15. /(ж) = \х - 1| 4- |ж + 1|, ж0 = ±1.
ж, ж ^ 1,

54 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
< Имеем
/'A)= Иш
ш
-0 X-l
(
6.18. /(ж) = \/l - e-^2, ж0 = 0.
@, x = 0,
6.19. /(x) = <^ x
6.20*. Показать, что функция
О т — О
^ и, х — и,
непрерывна при х = 0, но не имеет в этой точке ни левой, ни
правой производной.
Найти производные следующих функций:
6.21. у = 3 - 2ж + -хА. 6.22. у = -
3 и~
_1 j_ 1 _ х-1
6.25. у = Ж„ +1. 6.26. у = (ж2 - 1)(х2 - 4)(х2 + 9).
хл — х
6.27. у = Ц^-. 6.28. у =
/2
3/—о , L
6.33. у = (л/i-l) (-т= + 1 ) • 6.34. у =

§ 1. Производная
6.35. у
6.37. у
6.39. у
6.41. у
6.43. у
6.45. у
Ж3 Ctg\T.
COS Ж
1 + sin ж
ж
6.36. у =
6.38. у =
6.40. у =
1пж-Зх). 6.42. у = Зж3 log2 ж + —.
2 sin ж — Зtgж.
sin ж — cos ж
6.44. у = - .
sin х + cos ж
+ а.
6.46. у =
Зж
81Пу.
2ж
6.48. у — 6 cos —.
о
6.50. у =
6.47. у
6.49. у = A+4.т2K.
6.51. у = sin2 -. 6.52. у = \/l + sin Ах - \/1 — sin4:r.
6.53. у
6.55. у
6.57. у
6.58. j/
ж arcsin In ж. 6.54. у = cos2 ( ).
sin2^K. 6.56. у = ж2ея.
е ' cos --.
о
ж / 0 а г-г.
-уж2 + а + - In (ж + уж- + а).
6.59. 2/ =
6.60. у = In
i±£
arcctg-.
г
= COS2
6.61. у
6.63. у
6.65. у = arctg (ж - \/l + ж2). 6.66. у = arccos
6.67. у
6.69. у
ox/ lnx
6.71. у = 32'.
6.62. у= 43/l
6.64. у =
6.68. у =
6.70. у =
+ tg[x+-].
6 + а cos х
а + b cos ж
6.72. у = In х • lg ж — In а • logft ж

56 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.73. у = log2 In 2x. 6.74. у =
6.75. у = lnarctg y/l + х2. 6.76. у = In (х + \/а2 +х2).
Найти производные гиперболических функций:
сх — с~х
6.77. sh.x = (гиперболический синус),
6.78. chx — (гиперболический косинус),
sh x
6.79. thx — —— (гиперболический тангенс),
ch.T
СП Ж
6.80. cthrr = —— (гиперболический котангенс).
slu;
Логарифмической производной функции у — f(x) называется про-
производная от логарифма этой функции, т.е.
Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычи-
вычисление производной.
1х(х — 1)
Пример 3. Найти производную функции у — \ •
V х — 2
< Так как функция определена при х G [0, 1] U B, -Ьоо), то
\пу = -Aп£-Мп|х- 1| -1п|х-2|).
Отсюда (см. пример 6.117)
т. е.
/ /1 ч/ х2-4х + 2
V =(lnv) *V= , t>
; 2/A)BK
Пример 4. Найти производную сложно-показательной функции
-н:
О Логарифмируя, получим (так как 1 Н— > 0)
V х /
1 н— ).
ж/

§ 1. Производная 57
Отсюда находим производные левой и правой частей
Следовательно,
Используя предварительное логарифмирование, найти произ-
производные следующих функций:
6-83.У=
(ж + 1K
6.85. у = ж*. 6.86. у = я2*.
6.87. у = VaT^. 6.88. у = (InжI/*.
6.89. у = (sina:)arcsinx. 6.90. у = ж**.
Вводя промежуточные переменные, вычислить производные
заданных функций:
6.93*. у = In (cos2 x + \/1 + cos2.t).
6.94. у — (arccosxJ In (arccosx).
e~x arcsin (e~x ) Л 1 — a2x
6.95. у = 2 —. 6.96. у = — arctga~x.
6.97*. Пусть
_i_ От* т* <Г П
ж + Ь, ж > 0.
Найти коэффициенты а и b так, чтобы функция /(ж) была непре-
непрерывна и дифференцируема в любой точке.
6.98. Пусть
—
ах2 + Ь, |ж| < 1.
Найти коэффициенты а и Ъ так, чтобы функция f(x) была непре-
непрерывна и дифференцируема в любой точке.

58 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти производные следующих функций:
/14- х /—
6.99. у=\- Цг. 6.100. у = \ х + у/х + у/х.
6.101. у = ш+у{1 - х)т{1 + х)п.
6.102. у = sin (cos2 x) cos (sin2 x). 6.103. у =
cosn rnx
6.105. у = In Aпи тх). 6.106. у = —^ In Ж \ ~
х
6.107. у = log2 sin f 2тга: + - j. 6.108. у = arctg (tg2 ж).
6.109. у = logx e. 6.110. у - (sinx)C0StT.
6.111. v = x/xs'm2x. 6.112. v= /^^--v^^
6.113. у = ln(sha:) + ——. 6.114. у = arctg (thx).
zsna:
6.115. у = e~x shax. 6.116. у = arccos ( —— j
6.117. у = 1п|ж|.
О Функция 2/ = In |ж| определена Vx G М, ж / 0, и
lnx, x > 0,
lnlxl = n . ( .
In (—ж), х < 0.
Отсюда
{-, х>0, j
^ т.е. Aп|х|)' = -, х / 0. >
ж1
6.118. у = arcsin т—г. 6.119. у — \ sinxl.
6.120. у = | arctg ж|.
6.121. у = [ж]ж, где [ж] — целая часть числа ж.
О Функция ?у = [ж]ж определена Vx G IK. Если к G Z, то у = &х при
ж G [fc, /с -Ь 1). Поэтому
а в точках ж = к, к G Z:
f'_(k)=k-l, /+(*:) = fc. t>

§ 1. Производная 59
ж < О,
6.124. у =
6.125. у =
6.126. у =
6.127. у - ах". 6.128. у - (logxa)x.
6.129. у = sin (sin (sin ж)). 6.130. у = f - J
\х J
In 3 • sin x + cos ж
6.131. у = .
у 3х
sin ax 1 sin3 а£
6.132. у = 3cos6x и —-.
3 COS*3 OX
6.133. Доказать, что производная четной функции — функция
нечетная, а производная нечетной функции — функция четная.
6.134. Доказать, что производная периодической функции есть
функция также периодическая.
6.135*. Найти /'(жо), если f(x) = (х — хо)<р{х), где функция
(р(х) непрерывна в точке жо-
Пусть (р(х) и ф(х) — дифференцируемые функции. Найти про-
производные следующих сложных функций:
6.136. у = J(p2{x) + ip2{x). 6.137. у = arctg ^Щ.
<ф{х)
6.138. у^ф(х)^х\ ф{х) >0.
6.139. у - logv(x) ф{х), ф) > 0, ф{х) > 0, (^(ж) / 1.
О Перейдем к натуральным логарифмам:
Отсюда находим
In2 ф)
-•«*■*

60 Гл. б. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Пусть f(x) — произвольная дифференцируемая функция.
Найти у:
6.140. у = /(Inж). 6.141. у = In (/(ж)).
6.142. j/ = /(e*)e'(x).
<\ Имеем
у' = f'(ex)exef{x) + f(ex)ef{x)f'{x) = e/(x)(e'/V) + f'(x)f{ex)). >
6.143.J, = /(/(*)).
2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметри-
параметрически. Говорят, что функция у = /(х), х € (а, 6), неявно задана урав-
уравнением F(x, 2/) = 0, если для всех .т Е (а, Ъ)
F{x, /(z)) - 0. C)
Для вычисления производной функции у = /(х) следует тождество C)
продифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную
функцию х), а затем полученное уравнение разрешить относительно f'(x).
Пример 5. Уравнение х2 + у2 — 1 неявно определяет на интервале
(-1, 1) две функции:
2/1 (ж) = Vl-x2,
ш{х) = _^~^ D)
Найти их производные, не используя явных выражений D).
О Пусть у(х) — любая из этих функций. Тогда, дифференцируя по х
тождество
х2+2/2(х)-1,
получим
2х + 2у{х)у'{х) -0.
Отсюда
*" у(хУ
т. е.
Пример б. Вывести правило дифференцирования обратной функ-
функции.
О Если х = f~l(y), у G Е, — функция, обратная к у = /(х), х € Л, то
для всех у £ Е выполнено равенство

§ 1. Производная 61
Иначе говоря, обратная функция х = / 1(у) есть функция, заданная
неявно уравнением
f(x) -y = 0. E)
Для вычисления производной функции х — f~l(y) дифференцируем E)
по у:
откуда
При неявном задании функций, а также для сложных функций бу-
будем для производной использовать также обозначения типа у'х там, где
необходимо уточнить, по какой переменной ведется дифференцирование.
6.144. Найти значение ух в точке х — 1, если
х3 - 2х2у2 + Ъх + у - 5 = 0, у(\) = 1.
6.145. Найти ух в точке @, 1), если еу + ху = е.
Найти ух для следующих функций, заданных неявно:
х2 v2
6.146. — + У— = 1. 6.147. хА + уА - х2у2.
6.148. у/х + у/у = у/а, а > 0. 6.149. 2у In у = ж.
6.150. ех sin у — еу cos а; = 0. 6.151. sin (ху) + cos (ху) = 0.
6.152. 2х + 2у = 2х+?/. 6.153. х-у = arcsinx - arcsiny.
6.154. arctg — = In Jx2 + у2. 6.155. ху — arctg —.
6.156. ^ = 17х. 6.157. ах'у = ( -
6.158. Доказать, что функция у, определенная уравнением
ху — \пу — 1, удовлетворяет также уравнению у2 + (од — 1)у' = 0.
Найти производные функций, обратных к заданным:
6.159. у = shx.
сх — с~х сх -\- с~х
< Имеем по определению sh:r= . Так как (sha:)'= >0
для всех х G М, то функция sha: монотонно возрастает на всей действи-
действительной оси и, следовательно, имеет обратную, обозначаемую arsha:. По

62 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
правилу дифференцирования обратной функции получаем
х' = (arshtyV — — = — —— = —. - — —,
У1 ех + е~х chx л i и2 /\ \ у2
Следовательно, переходя к обычным обозначениям, имеем
(arsho;O — . >
6.160*. у = dix. 6.161. у = arcsin2x.
6.162. у = 2х2 - х, х е ( -, +оо ).
Пусть у = а(а;) — функция, обратная к заданной у = f(x).
Выразить af(x) через х и а(х)? если:
6.163. у - гт.
< Учитывая, что
получаем:
ху ~ i,i~ ~
так как а: = а(у). В обычных обозначениях
Q(a) = x(lna(x) + l)' >
6.164. у = х + ех. 6.165. у = -.т + х3.
6.166. у = х + log2 ж. 6.167. у = х In ж.
Пусть заданы функции
te(a,0). F)
Если при этом х — ip(t) на интервале (а, /3) имеет обратную t — (р~1(х))
то определена новая функция
у(х) = г/,{<р-1(х)), G)
называемая функцией, заданной параметрически соотношениями F).
Дифференцируя G) по х и используя правило дифференцирования обрат-
обратной функции (пример 6), получаем

§ 1. Производная
63
Пример 7. Найти у'х, если
х — cos2 t, y = sint,
[О, — J .
] Так как ip[ = -2 cost sin t, ф'ь — cost, то по формуле (8) находим
, 1_
х 2 sin t
Для функций, заданных параметрически, найти ух:
6.168. х = 2*, у = 3t2 - 5t, t G (-oo, +oo).
6.169. s = t3 + 2, у = 0,5t2, t E (-oo, +oo).
t
6.170. x =
У =
6.171. x = 2"*, у = 22*, t e (-oo, +oo).
6.172. x — acos<p, у — bsin^, cp E @, тг).
6.173. x = tgt, у = sin2* + 2cos2*, t <E f--, -V
1 . *
6.174. x = arccos
у — arcsin
, t e @, +oo).
6.175. ж = InA + t2), у = t- arctgt, t E @, +oo).
6.176. x = 3 log2 ctg t, у = tg * + ctg t, t e
6.177. ж = arcsin (t2 - 1), у = arccos -, t E @, >/2).
6.178. ж - y/l-y/i, у = \/l- y/i, t e A, +oo).
6.179. x = ash*, у = bch*, * E @, +oo).
Найти у^, в указанных точках:
lnt
6.180. x = tint, у = —, t = 1.
7Г
6.181. a; — t(tcost - 2sint), у = t(tsint + 2cost), t = —.
. . тг
6.182. a; = el cos t, у — e} smt, t — —.
о

64 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
3. Производные высших порядков. Производной 2-го порядка от
функции у = f(x) называется производная от ее первой производной, т. е.
у"(х) =
Вообще производной п-го порядка (или п-й производной) называется
производная от производной порядка п — 1, т.е.
dny
Для производной п-го порядка используется также обозначение
ахп
Пример 8. Найти у11', если у — In (х + \/\ + х2).
<] Имеем у7 = , Следовательно,
. >
Найти производные 2-го порядка от следующих функций:
6.184. у — cos2 х. 6.185. у = arctga;2.
6Л86. у - log2 \/l-x2. 6.187. у = е"х2.
V 1 -
6.190. Найти у'@), ?/@), у;//@), если у(х) = e2xsin3rz;.
6.191. Найти ?/"B), если у = In (x - 1).
6.192. Найти £/IV(l), если у = ж31пж.
6.193. Найти ?/@), у'@), у"@), если у = 2sinxcos (sinж).
Пусть /(гг) — дважды дифференцируемая функция. Найти у'
и у", если:
6.194. у = / Г^ . 6.195. у - 1п/(е*).
Пусть и(х) и т;(ж) — дважды дифференцируемые функции.
Найти у1\ у", если:
6.196. y = uv (u> 0).
<3 Имеем \пу — flnu. Отсюда находим
^ =v/lnu+—и',
У и

§ 1. Производная 65
т.е.
у' = у (V In u + -и') - uv (V In и + -и1) ,
(
... v1 ,
v In и Н u H
и
v1 , v'u'u + vu"u - vu'
и' м \2 ии" -и'2 2иЧ /м
v h v In it +v + + v In и
6.197. у = у/и2 + v2. 6.198. у = In -.
v
Найти формулу для n-й производной заданных функций:
6.199. у - хт, т £ N. 6.200. у = а*ж, кеШ.
6.201*. у = sin .т. 6.202. у = In я.
6.203*. у = cos2 a;. 6.204. у = -.
Разлагая в линейную комбинацию более простых функций,
найти указанные производные от заданных функций:
2х
6.205. у = -i: , найти г/п\
х1 - 1
<3 Преобразуем выражение к виду
2х 1 1
2/
дг2 - 1 а; + 1
Так как
G1)
(докажите!), то
+ l)n+1 (ж - 1)
71+1
. >
6.206. у - -т2———-, найти уE°).
X оХ ~т~ Л
6.207*. у - -^=L, найти уB°).
V 1 — X

66 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пусть и(х) и v(x) имеют производные до п-го порядка включительно.
Тогда для производной п-го порядка их произведения u(x)v(x) справед-
справедлива формула Лейбница
1 V
= V И
к=0
п(п — 1).. .(п — к + 1) п!
()
биномиальные коэффициенты (по определению 0! = 1).
Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных
порядков от заданных функций:
6.208. у = (х2 + х + 1) sin я, найти у^1Ъ\
6.209. у = (х2 - х)ех, найти т/20).
6.210. у — sin ж • е~ж, найти уE).
6.211. у = £log2£, найти уA0).
6.212. у = xsha;, найти уA00).
6.213*. Показать, что (еах cosbrc)(n) = гпеах cos (Ьх + пер), где
Г9 Г9 b • Ь
г = уаг + Ь2, tgcp — -, smep = -.
а г
6.214. Доказать, что (xn~lel/x)M = {-l)n—^-
6.215. Вычислить значение п-й производной функции у —
З.т + 2
в Точке х — U.
ж2 - 2.x + 5
< По условию имеем
л I | /у» ^ ( ПС J ПС I ^ч | —— Ч. Т» 1 О
у\х)\х — zx ~г uj — ох -г z.
Продифференцируем это тождество п раз, применяя формулу Лейбница.
Тогда (для п ^ 2) получим
2
откуда при а: = О
5у(п)@) - 2ш/(п~~1)@) + п{п - 1)?/(п)@) = О,
или
2

§ 1. Производная 67
Мы получили рекуррентную формулу для определения ?г-й производ-
производной в точке х = 0 (п ^ 2). Значения у@) и у @) найдем непосред-
непосредственно:
2 ., ч -Зж2 -4.Т + 19
«@)=5' g@)= (.x2-2x + 5j^
Затем, полагая последовательно п = 2, 3, 4, ..., с помощью рекуррент-
рекуррентной формулы получим значения производных высших порядков.
Например,
L1..
25 " 5 5 ~125'
56 3-2 19 234
Применяя метод, описанный в задаче 6.215, найти производ-
производную 4-го порядка в точке х = 0 от заданной функции:
6.216. у = ?£±ь _, 0.
У + d
6.218. Показать, что функция у — arcsinx удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению A — х2)у" = ху'.
6.219. Показать, что функция у — С\в2х + С2хе2х + ех удовле-
удовлетворяет дифференциальному уравнению у" — 4у' + 4у — ех.
6.220. Показать, что функция у = е~х cos а; удовлетворяет диф-
дифференциальному уравнению ?/IV) + 4г/ = 0.
6.221. Показать, что функция у = #n(cos (ln#) +sin(ln.T)) удо-
удовлетворяет дифференциальному уравнению х2уп + A — 2п)ху' +
+ A + ^)у — 0.
В задачах 6.222-6.226 найти производные 2-го порядка от
функций, заданных неявно:
6.222. у/х2 + у2 - aearctg *, а > 0.
<3 Дифференцируя уравнение, определяющее функцию у(х)) получаем
уу = аеа с 6 * • - — —
/г-2 _1_
Отсюда
х + уу' = я?/ - j/ (9)

68 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
и, следовательно,
у' - ^- (Ю)
х-у
Дифференцируя (9) и используя найденное для у' выражение A0), по-
„ 2(х'2+у2)
лучаем у = -- —. >
{х - уK
6.223. у2 = 2рх. 6.224. у = 1 + хеу.
6.225. у = tg (ж + у). 6.226. е*-^ = яу.
6.227. Вывести формулу для второй производной функции,
обратной к заданной функции у — f(x).
6.228. Доказать, что если (a + bx)ey/x — х, то х3у" — (xyf — уJ.
Найти производные 2-го порядка следующих функций, задан-
заданных параметрически:
6.229. х = lnt, у = t3, te @, +оо).
<3 Имеем
/ _ У± _ 3 з // _ / / у _ / / у .1 _ (y'x)'t _ 9^_ _ 9 з
xt xt i/r
Заметим, что в данном случае параметр t легко исключить из задан-
заданных уравнений, полагая L = ех. Следовательно, выражение для y'J.x как
функции от х имеет вид у'х'х = 9е3х. >
В общем случае, если х = ip(t), у = ip(t), то ухх вычисляется по
формуле
6.230. ж - sect, у = tgt, t G fo, ^V
6.231. x = arcsint, у = ln(l - t2), t G (-1, 1).
6.232. x = arctg t, у = In A + t2), t G (-oo, +oo).
6.233. x = acos3t, у = asin3t, t G (o, -V
6.234. Показать, что функция у (ж), заданная параметрически
уравнениями х — sint, у = ае^2 4- Ье~^2, £ G (—тг/2, тг/2),
при любых постоянных а и Ь удовлетворяет дифференциальному
уравнению A - ж2)у"х - ху'х = 2у.

§ 1. Производная
69
4. Геометрические и механические приложения производной. Зна-
Значение производной /'(х0) функции у = f(x) в точке хо равно угловому
коэффициенту к = tgy? касательной ТТ' к
графику этой функции, проведенной через
точку М0(х0, 2/о), где у0 = /(х0) (рис. 3)
(геометрический смысл произ-
производной).
Уравнение касательной ТТ1 к графи-
графику функции у — /(х) в его точке Мо(хо, уо)
име^т вид
Рис. 3
У ~Уо = f'M(x -х0).
Прямая NN', проходящая через точку
касания Л/о перпендикулярно к касатель-
касательной, называется нормалью к графику функции ?/ = /(х) в этой точке.
Уравнение нормали
• Vo) - 0.
Написать уравнения касательной и нормали к графику функ-
функции у — f(x) в данной точке, если:
2.
6.235. у
6.236. у
\8.237. у
..358. у
6.239. у
6.240. г/
= х — Ъх
= ж3 + 2ж:
— у^^ хо
= tg2x, ж
= lna;, жо
+ 4, хо
1 - 4х -
— 4.
= 1.
;п = —1.
1
3, Xq =
6.241. Написать уравнения касательной и нормали в точке
МоB, 2) к кривой х = -^-, у = — + —, Ьф 0.
6.242. Написать уравнения касательных к кривой
x = tcost, y = tsint, t € (—оо, +оо),
в начале координат и в точке t = тг/4.
6.243. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
х3 + у2 + 2а; — 6 = 0 в точке с ординатой у о — 3.
6.244. Написать уравнение касательной к кривой хъ+уъ—2ху —
— О в точке МоA, 1).
6.245. Под каким углом график функции у — ех'2 пересекает
прямую х = 2?
6.246. В какой точке Мо кривой у2 = 2х3 касательная перпен-
перпендикулярна к прямой 4х — Зу + 2 = О?
6.247. Найти коэффициенты !)исв уравнении параболы у =
= х2 + foe + с, касающейся прямой у = ,т в точке MqA, 1).

70 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
ж-4
6.248. Показать, что касательные к гиперболе у = в точ-
X Z
ках ее пересечения с осями координат параллельны между собой.
6.249. Составить уравнение нормали к графику функции у —
= — у/х + 2 в точке пересечения с биссектрисой первого коорди-
координатного угла.
6.250. Составить уравнение такой нормали к параболе у = х2 —
— 6а;+ 6, которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало
координат с вершиной параболы.
6.251. В точках пересечения прямой х — у + 1 = 0 и параболы
у = х2 — 4х + 5 проведены нормали к параболе. Найти площадь
треугольника, образованного нормалями и хордой, стягивающей
указанные точки пересечения.
6.252. Показать, что нормали к развертке окружности х =
= a(cost + isini), у = a(sin£ — tcost) являются касательными к
окружности х2 + у2 = а2.
Углом и между кривыми у = fi{x) и у — /г(ж) в их общей точке
Mq(xo, у о) называется угол между касательными к этим кривым в
точке Мо.
6.253. Доказать, что tga; =
Найти углы, под которыми пересекаются заданные кривые:
6.254. у — х2 и у = ж3.
6.255. у = (ж - 2J и у = Ах - х2 + 4.
6.256. у — smx и у — cos ж, ж G [0, 2тг].
6.257. ж2 + у2 = 8ах и у2 = —-—.
2а - ж
6.258. Доказать, что сумма отрезков, отсекаемых касательной
к кривой ж1/2 + 2/1//2 = а1/2 на осях координат, для всех ее точек
равна а.
6.259. Показать, что отрезок касательной к астроиде х2^ +
+ у2/3 = а2/3, заключенный между осями координат, имеет по-
постоянную длину, равную а.
6.260. Найти расстояние от начала координат до нормали к
линии у — е2х + ж2, проведенной в точке с абсциссой х = 0.
6.261. Доказать, что отрезок касательной к трактрисе
9 Н
I а- Vа2
заключенный между осью ординат и точкой касания, имеет посто-
постоянную длину.

§ 1. Производная 71
Если кривая задана в полярных координатах уравнением т = г(^)>
то угол #, образованный касательной TV и радиус-вектором ОМ точки
касания М (рис. 4), определяется соот-
соотношением
6.262**. Вывести формулу A1).
6.263. Найти угол 0 между ка-
касательной и радиус-вектором точки
касания для логарифмической спи- т
рали г = аек*. Рис 4
6.264. Найти угол 9 между каса-
касательной и радиус-вектором точки касания для лемнискаты г2 =
= a2 cos2cp.
Если х = x(t) — функция, описывающая закон движения матери-
dx
альной точки, то первая производная — = х есть скорость, а вторая
сРх
производная -— = х —- ускорение этой точки в момент времени t
at-
(механический смысл первой и второй производных).
6.265. Закон движения матерп^шй точки по прямой имеет
вид х- (l/4)t4 -4f.3 -bl6t2.
а) В какие моменты времени точка находится в начале коор-
координат?
б) В какие моменты времени направление ее движения совпа-
совпадает с положительным направлением оси 0x1
в) В какие моменты времени се ускорение равно нулю?
6.266. Найти скорость гармонического колебания с амплитудой
а, частотой и и начальной фазой ср — 0.
6.267. Тело массой 4 движется прямолинейно по закону х =
— t2 + t -t- 1. Определить кинетическую энергию тела в момент
времени t — 5.
6.268. В какой момент t E [0, 2тг] надо устранить действие сил,
чтобы точка, участвующая в гармоническом колебании х — cos3£,
продолжала двигаться равномерно со скоростью v = 3/2.
6.269. Точка движется по логарифмической спирали г = еа{р'.
Найти скорость изменения полярного радиуса, если известно, что
он вращается с постоянной скоростью ал
6.270. Точка движется по окружности г = 2а cos ср. Найти ско-
скорости изменения абсциссы и ординаты точки, если полярный ра-
радиус вращается с угловой скоростью и.

72 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.271. В какой точке эллипса 16ж2+9у2 = 400 ордината убывает
с той же скоростью, с какой абсцисса возрастает?
6.272. Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоро-
скоростью изменяются объем и поверхность шара?
6.273. Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален
квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за время
Т — 8с. Найти угловую скорость ш в момент времени t — 32с
после начала движения.
§ 2. Дифференциал
1. Дифференциал 1-го порядка. Функция у — /(.т) называется диф-
дифференцируемой в точке х0, если ее приращение Ау(хо, Ах) может быть
представлено в виде
Ау{х0, Ах) = ААх + о{Ах). A)
Главная линейная часть ААх приращения Ау называется дифференци-
дифференциалом этой функции в точке хо, соответствующим приращению Ах, и
обозначается символом dy(xQ, Ax).
Для того чтобы функция у = fix) была дифференцируемой в точке
х0, необходимо и достаточно, чтобы существовала производная /;(х0);
при этом справедливо равенство А — f'(xo).
Это утверждение позволяет называть дифференцируемой всякую
функцию, имеющую производную. Именно в таком смысле мы и упо-
употребляли это выражение в § 1.
Выражение для дифференциала имеет вид
dy{x0, dx) = f'(xo)dx,
где принято обозначение dx — Ах. Из формулы A) следует, что если
/'(х'о) ф 0, то при Ах —> 0 приращение функции и ее дифференциал dy
в фиксированной точке являются эквивалентными бесконечно малыми,
что позволяет записать приближенное равенство:
Ay^dy при |Даг| <<С 1. B)
Пример 1. Найти приближенно значение объеАма V шара радиуса
г = 1,02 м.
О Так как V(r) — -ят*, то, полагая го = 1, Аг = 0,02 и используя
о
формулу B), получаем:
V'(l,02) - V(l) + AVA, 0,02) и Vr(l) + V'{1) • 0,02 -
4
= -тг + 4тг ■ 0,02 ^4,43 м3. >
о

§ 2. Дифференциал
73
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал
dy(xo, Ах) равен приращению ординаты касательной ТТ1 к графику
функции у — f(x) в точке А/о(.то, у о)
при приращении аргумента, равном
Ах (рис. 5).
6.274. Используя формулу
dy — y'dx и правила вычисле-
вычисления производных (см. §1, п. 1),
доказать следующие свойства
дифференциала:
а) d(C) = 0, где С — посто-
постоянная;
б) d{Ciu + C2v) = Cxdu +
+ C2dv;
(и \
— J =
Рис. 5
v du — udv
6.275. Пусть z(x) = z(y(.x)) — сложная функция, образованная
композицией функций у = у(х) и z = z(y). Доказать, что
dz{x, dx) = ^(у) dy(.T, dx),
т.е. выраняение для дифференциала сложной функции через диф-
дифференциал промежуточного аргумента имеет такую же форму, что
и основное определение dz(x, dx) = zfx(x) dx (это утверждение на-
называется инвариантностью формы 1-го дифференциала).
6.276. Доказать, что для линейной функции у = ах + b прира-
приращение Ду и дифференциал dy совпадают.
6.277. Найти приращение Ау и дифференциал dy функции
у = ж3, соответствующие значению аргумента .то — 2 и двум раз-
различным приращениям аргумента {Ах)\ = 0,1 и (АхJ = 0,01.
6.278. Найти приращение AS и дифференциал dS площади
S квадрата, соответствующие приращению Да; стороны х. С по-
помощью рисунка геометрически истолковать AS, dS и разность
AS - dS.
6.279. Материальная точка М движется прямолинейно по за-
закону s — /(<), где t —- момент времени, a s — пройденный путь за
промежуток времени от 0 до £. Дать механическое истолкование
дифференциала пути ds, соответствующего промежутку времени
At = t2-ti.
6.280. Используя результат предыдущей задачи и формулу B),
найти приближенно путь Дз, пройденный точкой М за промежу-
промежуток времени от t\ = 3 до t2 = 4, если закон движения точки М
задан формулой 5 = 1 + arctg t. Сопоставить ответ с точным зна-
значением As.

74 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.281. Для функций: а) /(.?;) — хп и б) tp(x) — sin.x найти
значения аргумента .т, при которых дифференциалы этих функций
не являются эквивалентными их приращениям при Ах —t 0.
6.282. Дан отрезок [.то, xq + Ах] изменения аргумента х функ-
функции у = /(ж); Ау и dy — соответствующие приращение и диф-
3
ференциал функции у. Возможны ли равенства: a) dy — -Ay;
б) dy = Ay; в) dy = -Дт/ на всем этом отрезке?
6.283. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал
dV объема V куба оказался равным 12 см3. Найти первоначальную
длину ребер.
6.284. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади
круга оказался при этом равным бтгем2. Найти первоначальную
величину радиуса.
Найти дифференциалы указанных функций при произволь-
произвольных значениях аргумента х и при произвольном его приращении
Да; = dx:
/1"
6.285. xVa2 - х2 + a2 arcsin 5.
а
6.286. sin x - х cos x + 4.
6.287. x arctg x - In y/l + x2.
6.288. ж In ж -x + 1.
6.289. x arcsin x + \/l - x2 ~ 3.
При вычислении дифференциалов неявно заданных функций удобно
использовать основные свойства дифференциала, перечисленные в зада-
задачах 6.274 и 6.275.
Пример 2. Найти dy, если функция у = у(х) задана неявно урав-
уравнением
In ^ = яУ. C)
< Перепишем C) в виде тождества
и вычислим дифференциалы левой и правой части. Используя свойства
дифференциала, находим
j(\ У\ 1 ^ (У\ xxdy-ydx 1 1
d(ln-) = -т--d (-) = т~— = ~dV о dx'
V ж/ ?//я; \х/ у х1 у х/
d(x2y2) - я-2 ф2) + у2 с1(х2) - 2х-2?/ г/т/ + 2ху2 dx.

§2. Дифференциал 75
Приравнивая полученные выражения, получаем
— dy dx = 2х2у dy + 2ху2 dx.
У %
Из этого уравнения, линейного относительно dy, находим окончательное
выражение для dy через х, у и dx:
у 1 + 2гУ J
dV=dx
Отсюда, в частности, может быть получено и выражение для произ-
производной неявной функции:
У
x2l-2xh/'
Найти дифференциалы следующих неявно заданных функций
У = У{х)-
6.290. у5 + у - х2 = 1. 6.291. х4 + у4 = ж2у2.
6.292. ж2/3 + у2/3 = а2/3. 6.293. е^ - ж + у.
6.294. у = х + arctg у. 6.295. у — cos (ж + у).
6.296. arctg - = In Jx2 + у2. 6.297. cos (xy) = ж.
В задачах 6.298-6.302 произвести указанные приближенные
вычисления, используя замену приращения Ду подходящей функ-
функции у — /(.т) дифференциалом dy этой функции при малой абсо-
абсолютной величине приращения Да; аргумента х.
6.298. Вычислить приближенно: a) arcsin0,05; б) arctg 1,04;
в) In 1,2.
6.2^9. Обосновать приближенную формулу
и вычислить по этой формуле \/2Ь.
су
6.300. Найти приближенное значение функции f(x) = ех~~х
при а; = 1,2.
6.301*. Найти приближенное выражение для приращения AV
объема V прямого кругового цилиндра с высотой h при изменении
радиуса основания г на величину Аг.
6.302*. По закону Клапейрона объем V, занимаемый газом,
давление газа р и абсолютная температура Т связаны формулой
pV = ДТ, где Я — газовая постоянная. Найти приближенное вы-
выражение для приращения AV объема V при изменении давления
р на величину Др, считая неизменной температуру Т.

76 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
2. Дифференциалы высших порядков. Рассмотрим дифференциал
dy{x< А\х) — f'(x)Aix как функцию х при фиксированном Д.т = Аух.
Предполагая, что функция у = f(x) дважды дифференцируема в точке
.т, найдем дифференциал от dy(x, Ai#) при Ах — А2Х':
d(dy(x, bix))\x>Ax=b2X= f"(x)AlXA2x.
Значение полученного выражения при А\х — Аг-х = dx называется
вторым дифференциалом или дифференциалом 2-го порядка функции
у — f(x) и обозначается символом d2y(x, dx).
Таким образом,
d2y = f"(x)dx2.
Аналогично
2
Найти дифференциалы 2-го порядка указанных функций:
6.303. у = asin{bx + с), 6.304. у = 3~х2.
sm or
6.305. у = -. 6.306. у - а.т2 + to; + с.
1 .
6.307. у = — -. 6.308. у = VI ~ х2 arcsina;.
х1 — З.т + 2
6.309. у = In {х + >/1 +ж2). 6.310. у = arcsin (а sin ж).
6.311. Доказать, что второй дифференциал сложной функции
z(x) = г(у(х*)) выражается формулой
<3 Для первого дифференциала имеем (см. задачу 6.275) dz — z'ydy, от-
откуда, дифференцируя еще раз (по ж, но используя инвариантность формы
первого дифференциала), получим:
#z = d{dz) = d(z'y dy) = z'y d(dy) + dy ■ d(z'y) = z'y d2y + z'y\ dy2. >
Этот пример показывает, что дифференциалы 2-го порядка (и более
высоких порядков) не обладают инвариантностью формы, свойственной
дифференциалам 1-го порядка (см. задачу 6.275).
Найти дифференциалы 2-го порядка следующих неявно задан-
заданных функций у — у(х):
6.312. ху + у2 = 1. 6.313. {х - аJ + (у - bJ - R2.
6.314. х3 + у3 = у. 6.315. х = у - a sin у.

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 77
§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях.
Формула Тейлора
1. Теоремы о среднем
Теорема Ролл я. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь], дифференг^ируема при х £ (а, Ь) и /(а) = fib), то существует
по крайней мере одна точка £ £ (а, Ь) такая, что /'(С) — 0.
Точки, в которых f'(x) — 0, называются стационарными точками
функции f(x).
Теорема Лаг ран ж а. Если функция f(x) непрерывна на от-
отрезке [а, Ь] и дифференцируема при х Е (а, Ь), то существует по
крайней мере одна точка £ £ (а, Ь) такая, что
f(b) — /(а) = /'(£) • (Ь — а) (формула Лагранжа).
Теорема Кош и. £Ъш функции f(x) и д(х) непрерывны на от-
отрезке [а, 6], дифференцируемы при х е (а, 6) w #'(:r) ^ 0 ^лл всех
х G (а, 6), то существует по крайней мере одна тючка £ G (а, Ь)
такая, что
5 — х^
6.316. Функция f{x) — ^— имеет на концах отрезка [—1, 1]
равные значения (проверьте!). Ее производная f'{x) равна нулю
только в двух точках х — ±vH) (проверьте!), расположенных за
пределами этого отрезка. Какова причина нарушения заключения
теоремы Ролля?
6.317. Показать, что функция fix) — х2 — 1 на отрезке [—1, 1]
удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти все стационарные
точки этой функции.
6.318. Пусть f{x) — х(х — 1)(х — 2)(х — 3). Доказать, что все
три корня уравнения f'{x) — 0 действительны.
6.319*. Доказать, что уравнение 16ж4 — 64х + 31 = 0 не мо-
может иметь двух различных действительных корней на интервале
@, 1).
6.320*. Доказать, что уравнение ех 1 + х — 2 = 0, имеющее ко-
корень х = 1 (проверьте!), не имеет других действительных корней.
6.321*. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на от-
отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а, Ь), то функция
F(x) - (fix) - f(a))ib - а) - (/(ft) - Да)) (х - а) имеет по край-
крайней мере одну стационарную точку на интервале (а, Ь).
6.322. Записав формулу Лагранжа для функции f(x) = \/За;3 -Ь
+ Зж на отрезке [0, 1], найти на интервале @, 1) соответствующее
значение £.

78 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.323. Доказать, что если производная f'(x) тождественно рав-
равна нулю на интервале (а, 6), то функция f(x) постоянна на этом
интервале.
6.324. Доказать, что если ff(x) > 0 {ff{x) < 0) на интервале
(а, Ь), то функция f(x) монотонно возрастает (монотонно убывает)
на этом интервале.
Функция /(х) удовлетворяет условию Липшица на интервале
(а, Ь), если существует такое К е Ш, К > 0, что
для любых х\, х-2 £ (а, Ь).
6.325. Доказать, что если sup ff(x) = М, то функция f(x) на
а<ж<6
интервале (а, Ь) удовлетворяет условию Липшица с константой К,
равной М.
6.326*. Пусть f(x) и (р(х) дважды дифференцируемы на интер-
интервале (а, Ь). Доказать, что если fff(x) = ipn(x) на (а, 6), то f(x) и
ip(x) отличаются на линейное слагаемое.
6.327. Доказать, что если функция f(x) удовлетворяет усло-
условиям теоремы Лагранжа на [а, Ь], то [f(b) — /(а)] ^ т(Ь — а), где
т = inf f'(x).
6.328. Записав формулу Коши для f(x) — 2х3 4- Ъх + 1 и д(х) —
= х2 Л- 4 на отрезке [0, 2], найти значение £.
2. Правило Лопиталя-Бернулли. Раскрытие неопределеннос-
неопределенностей типа - и —. Пусть при х -> а функции f(x) и ip(x) обе беско-
0 оо
нечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не опре-
определено в точке х = а, и в этом случае говорят, что оно представляет собой
0 оо
неопределенность типа - или соответственно —. Однако это отношение
0 оо
может иметь предел в точке х — а, конечный или бесконечный. Нахо-
Нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности. Одним
из способов раскрытия неопределенностей типа - и — является пра-
0 оо
вило Лопиталя-Бернулли, основанное на следующей теореме, носящей
их имя.
Теорема. Пусть в некоторой окрестности U тонких — а функ-
функции f(x) и <р{х) дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой
точки х = а, и пусть <р'(х) Ф 0 в U. Если функции f(x) и (р(х) явля-
являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно боль-
шими при х ~> а и при этом существует предел отношения ——
у'(х)

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 79
их производных при х ~> а, то тогда существует также и предел
отношения —— самих функции, причем
Правило применимо и в случае, когда а = оо.
е2х _ 2 /
Пример 1. Найти lim —- (т.е. раскрыть неопределенность
z->oarctg5x V
-).
<3 Используя формулу A), получаем:
типа
е2х - .
lim = lim
2е2х
*->о arctgЪх х->о A/A + 25х2)) -5 5'
поскольку е2х ~> 1 и —-— -> 1 при ж -> 0. >
1 -Ь 25ж^
0 оо
Б некоторых случаях раскрытие неопределенностей типа - или —
О оо
может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя-Бер-
нулли.
Пример 2. Найти lim —— (т.е. раскрыть неопределенность
ж->+оо х6 \
00\
типа — .
оо/
<] Применяя дважды формулу A), получаем:
In2 х , 2 In x/x 2 .. In ж 2 ,. 1/ж
lim —— = lim ——-— = - lim —r- = - lim —z = 0. >
+ 5 3xiJ 3 ж->+оо ж*5 3 х->+оо Зж^
На каждом этапе применения правила Лопиталя-Бернулли следует
пользоваться упрощающими отношение толщественными преобразова-
преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами
вычисления пределов.
\ с х sin т /
Пример 3. Найти lim (т.е. раскрыть неопределен-
х->0 X6 \
ность типа - ).
<3 Используем формулу A):
.. tgx — sin ж . A/ cos2 х) — cosx* 1 1 — cos3 х
lim = lim — = - lim — —
x->o x6 з-»о 3xz 3

80 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Освободим знаменатель дроби от множителя cos2 ж, поскольку он имеет
предел 1 при х —» 0. Развернем стоящую в числителе разность кубов и
освободим числитель от сомнояштеля 1 -f cos x4 cos2 x, имеющего предел
3 при х —» 0. После этих упрощений получаем
tg х — sin х Л 1 — cos x
hm = hm .
ж->0 X6 .т-»0 х/
Применяем снова A):
tg х — sin x 1 — cos x sin x
hm - = hm = hm -—■—.
x->0 X6 x->0 X2 .r->0 2x
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный от-
ответ 1/2, уже не прибегая вновь к правилу Лопиталя-Бернулли. D>
D 0 ОС
Раскрыть неопределенности типа - или —:
0 ос
In cos 2x ,. х — ar
6330 li
6.329. lira
Sin2.T
6.330. lira
х
6.331. lim
х—>а x
n — CLn
, тфп,
6.332. lim -, афЬ, с
сх — ах
nsmax
6.333. lim
lnsinte
6.334. lim
aicsin3.7;
6.335. lim
6.336. lim
6.337. lim
6.339. lim
ж->0 X — Sin Ж
'; — sin a;
6.338. lim
ж—> + оо ^З/д; __ |
lim
.x->0 X — tg X
6.341. Um ^-f
iz5
6.340. lim — .
ж->0 111 A + X)
6.342. lim ^top
4
6.343. lim
6 —
^7* 2 In'/'
. 6.344. lim —~, m > 0.
(X — 3
6.345. lim
x->+o 1 +
л At9 .. cos x • In (x - 3)
6.347. lim v „. ;,
1(х3)
6.346. lim
lim ЩЩ.
.t->i-o In A — x)
6.348. lim

§3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 81
Раскрытие неопределенностей типа 0-оо и оо —оо. Для
вычисления lim f(x)tp(x), где f(x) — бесконечно малая, а кр{х) - - бос-
х-)а
конечно большая при х —> а (раскрытие неопределенности типа 0 - сю),
следует преобразовать произведение к виду -~~~т (неопределенность
l/ip(x) V
0\ ц>(х) ( оо \
типа - или к виду . ,, ч неопределенность типа — и далее ис-
0/ 1//(х) ^ °°'
0 /)
пользовать правило Лопиталя-Бернулли.
7ГХ*
Пример 4. Найти lim sin(x — 1) • tg — (раскрыть неопределен-
ж->1 2
ность типа 0 • оо).
<] Имеем:
. , ч тгх sin(x-l) .. cos(x--l)
lim sin (x — 1) • tg — — lim ; г— = lim ; <-> г =
*-н ; 2 ^->ictgGrx/2) x->i -Gr/2)(l/sin2Grx/2))
2 , 9 7гх 2
= — lim cos [x — 1) sin" — — —. D>
Для вычисления lim (/(ж) — (^(x)), где /(х) и </?(х) — бесконечно
x—>a
большие при л: —» а (раскрытие неопределенности типа оо — оо), следует
преобразовать разность к виду f(x) ( 1 ——:—- I, затем раскрыть неопре-
неопределенность тт-т типа —• Если lim -—— ф 1, то lim (fix) - ip(x)) =
f(x) 00 x-*a f[x) x->a v '
— оо. Если же lim ! = 1, то получаем неопределенность типа ос • 0.
х~>а f(x)
рассмотренную выше.
Пример 5. Найти lim (х — In3 x) (раскрыть неопределенность
типа оо — оо).
<\ Имеем:
lim (х - In3 х) = lim х ( 1 - -^-
>+оо х>+оо V X
х~>
Так как
1п3.т , 31п2х-A/х) о Л \п2х
lim = lim ——- — 3 lim
1
21nx(l/x) ,. In ж n , \lx n Л 1
= 3 lim ^-^ =6 lim =6 lim -^~ = 6 lim - = 0.
ж—>+oo 1 ж->+оо л: x—>+oo 1
TO
lim (x - In ж) = +oo.
x>+oo

82 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Раскрыть неопределенности типа 0 • оо или оо — оо:
6.349. lim x{ellx - 1).
ж>оо
6.351. lim xne~x.
ж-»оо
6.353. limGr-a:)tg|.
6.355.
ж->0
6.357. lim ж sin-.
ж->оо
6.350. lim ( ctgz - - V
ж->0 \ X)
6.352. lim x In3 x.
ж->оо
6.354. lim (ex + e'x - 2) ctgx.
Ж—>0
6.356. lim (x - I)ctg7r(a; - 1).
ж->1
6.358. lim In ж • In (ж - 1).
ж>1+0
6.359. lim
In x In x
1
6.360. lim
1
x
lim
6-363. lirn ( Дг - ctg2 ж
\ctga; 2 cos ж /
Раскрытие неопределенностей типа 0°, оо°, 1°°. Во всех
трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения (/(ж))^ х ,
где /(ж) есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае —
бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел,
равный единице. Функция же <р(х) в первых двух случаях является
бесконечно малой, а в третьем случае — бесконечно большой.
Поступаем следующим образом. Логарифмируя предварительно у =
= (/(х))^ х , получаем равенство
1п2/ = ^Iп/(х) B)
и находим предел In i/, после чего находится и предел у. Во всех трех слу-
случаях lni/ в силу B) является неопределенностью типа 0-оо (проверьте!),
метод раскрытия которой изложен выше.
(
Пример 6. Найти lim 1H—
ж->+оо у X
(раскрыть неопределенность
2х
типа 1°°).
< Введем
\ j \ )
ется неопределенностью типа оо • 0. Преобразуя выражение In j/ к виду
( \\2х ( 1\
Введем обозначение у — [I + - ) . Тогда \пу = 2х\п [ 1 -\— явля-
\ xj \ х)

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 83
находим по правилу Лопиталя-Бернулли
A/A + 1/х))A/.х) 1
lim In у = 2 lim -^ L~Ji—— = 2 lim = 2.
>+oo ,т->+оо —\JX1 x->+oo 1 -f 1/X
Следовательно,
/ j 4 2.F
lim у = lim 1-f - ) = e2. t>
£-»+oo ' ж—>+оо у x J
Раскрыть неопределенности типа 0°, oc°, I00:
6.364. lim ^sinx. 6.365. lim (
0
6.366. lim (тг-2д:)СО8Х. 6.367. lim
/20 >+
6.368. lim ж1^. 6.369. lim {x + 2x)l/x.
x—>+oo ж—»-foo
6.370. lim (ctgrrI/1. 6.371. lim (tgzJa;-\
x->+0 x->tt/2-0
1 Z
6.372. limx1/^-1). 6.373. lim I 1 +-x
6.374. Iim(cos2zK/x2. 6.375. lim {e
6.376. lim B - ^tg^. 6.377. lim
6.378.
V ж /
3. Формула Тейлора. Если функция у — }{х) имеет производные
до (n -f 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности Us (a) —
= {х | \х — а\ < 6} точки а, то для всякого х £ Us(a) справедлива
ф-ормула Тейлора (порядка п)
где
(остаточный член в форме Лагранжа). Таким образом, формула
Тейлора порядка п позволяет представить функцию у — f(x) в виде
суммы многочлена п-й степени и остаточного члена.

84 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
В частности, при a = 0 имеем
О<0<1 (формула Маклорена).
6.379. Многочлен 2х3 — Зх2 + 5х + 1 разложить по степеням
двучлена х + 1.
6.380. Для многочлена х4 4- 4х2 — х 4- 3 написать формулу Тей-
Тейлора 2-го порядка в точке a = 1. Записать остаточный член в
форме Лагранжа и найти значение 0, соответствующее следующим
значениям аргумента: а) х = 0; б) х = 1; в) ж = 2.
6.381. Пусть Р(х) — многочлен 4-й степени, РB) = -1, Р'B) =
- О, Р"B) - 2, Р'"B) - -12, P(IV>B) - 24. Вычислить Р(-1),
Р'@) и Р"A).
Для заданных функций написать формулу Маклорена n-го по-
порядка:
6.382. у = ех. 6.383. у = sin ж.
6.384. у = cos х. 6.385. у = In A + х).
6.386*. у = arctgx. 6.387. у - A + х)а.
Используя формулы Маклорена, полученные в задачах 6.382-
6.387, написать первые п членов формулы Маклорена (без оста-
остаточного члена) для следующих функций:
6.388*. у = е-*2!2. 6.389*. у = sin2 x. 6.390. у - sin у.
6.391. у = In D + х2). 6.392. у = ^8 + х2.
6.393. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
у = х/(х — 1) в точке a = 2. Построить графики данной функции
и ее многочлена Тейлора 3-й степени.
6.394. Написать формулу Тейлора 2-го порядка для функции
у = tgx в точке a — 0. Построить графики данной функцией ее
многочлена Тейлора 2-й степени.
6.395. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
у = arcsinx в точке a = 0. Построить графики данной функции и
ее многочлена Тейлора 3-й степени.
6.396. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
у = 1/у/х в точке a = 1. Построить графики данной функции и ее
многочлена Тейлора 3-й степени.
Формула Тейлора широко используется при вычислении значений
функции с заданной степенью точности. Пусть, например, требуется вы-
вычислить значение функции f(x) в точке xq с абсолютной погрешностью,
не превосходящей е, если известно значение этой функции и ее произ-

§ 3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора 85
водных в точке а. Из формулы Тейлора следует, что
f'(n) f(n°Un)
/(.то) « Да) + Ш(хо -п) + ... + ^-^Г1^ ~ а)п°,
где по — минимальный из номеров п, для которых
\Rn+l{x0)\ <£.
Пример 7. Вычислить число е с абсолютной погрешностью, не
превосходящей 0,001.
<3 Применяя формулу Маклореиа к функции f(x) = eT, получаем
е°
е
Наименьшее значение п, удовлетворяющее условию -г < 0,001,
(п -f 1)!
где 0 < в < 1, равно п0 = 6. Следовательно,
l ^ + l
6.397. Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходя-
превосходящей 0,001, приближенные значения следующих чисел:
a) sinl; б) у/е\ в) In 1,05; г) ^33.
6.398. Выяснить происхождение приближенных равенств:
а) Ч/ГТ^ « 1 + -х - -х2, \х\ < 1;
Z о
б) s/TT^ ~ 1 + хж - -х2, \х\ < 1,
о У
и найти их предельные абсолютные погрешности.
Остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в форме
Пеано
Rn+l(x)=o(\x-a\n),
использование которой полезно при вычислении пределов.
]^ COS X
Пример 8. Найти lim ■—:——г.
У у х->о Ъх2 + 7х3
< Так как 1 — cos3 х = A — cos.t)A + cos x + cos2 х), а Ъх2 + 7х3 ~ 5х2, то
1 - cos3 х 1# 3A - cost)
lim ————-^ — lim —: .
ж->о Ъх^ -f 7X .т->о bxz

86 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
х2
Заменяя cos х его разложением по формуле Маклорена cosx = 1 -f
-f о(х2), получаем
,. l-cos3x 3,, х2/2 + о(х2) 3 ,. х2/2
hm ——— = - hm - = - hm ——,
ж->о Ъх2 + 7х3 5 х->о х2 5 х->о х1
х2 х2
поскольку — -f о(х2) ~ — при х —> 0. Окончательно
,. l~cos3x 3
г, тт ,. х - 1 -sinBx - 2)
Пример 9. Найти hm ; -.
У У .x->ix-l+sinCx-3)
< По формуле Тейлора
2(х — 1) , v
sin Bх - 2) - sir
1!
sin (Зд: - 3) = 3(ДГ1, 1Ко{\х-1\).
Следовательно,
т — 1 — sin Bт — 2^ — (г — Л — пПт — 1h
х-+\ х — 1 -f sin (Зх — 3) ж-»1 4(х — 1) + о(|х — 1|) '
Отбрасывая бесконечно малые высших порядков, т. е. переходя в числи-
числителе и в знаменателе к эквивалентным бесконечно малым при х —> 0,
получаем
.. х- 1 - sin BZ - 2) г -(ж-1) 1
• I _J_ о 1 ri ( Ч т л 1 т > 1 ДI 'V I 1 4
6.399. Показать, что разложение по формуле Маклорена для
функций sin ж, tga;, arcsinx, arctgx, ex — 1 и 1пA + ж) можно
записать в виде х + о(\х\) и что при х -> 0 все эти функции экви-
эквивалентны бесконечно малой <у(х) = х (и, следовательно, эквива-
эквивалентны между собой).
6.400. Используя разложение по формуле Маклорена, вычи-
вычислить пределы:
ч ,. \/1 + х — у/\ — х 1 —cosx tg.x —sina;
a) lim ; б) hm —т т~; в) lim = ^—•
ж->0 X ж~>0 X'2 + Ж3 ж->0 Ж3 4- Ж4
§ 4. Исследование функций и построение графиков
1. Возрастание и убывание функции. Экстремум. Функция у = /(.т)
называется возрастающей [убывающей) в интервале (а, 6), если из не-
неравенства Х\ < Х2, где a?i, x2 G (а, 6), следует неравенство /(zi) <
(соответственно f{x\) >

§ 4. Исследование функций и построение графиков S7
Если функция /(х) дифференцируема на интервале (а, Ь) и /'(х) > О
при всех х G (а, Ь), то функция /(л;) возрастает на (а, Ь): если же /;(.т) <
< 0 при всех х G (а, Ь), то /(.?:) убывает на этом интервале.
В простейших случаях область определения функции у = f(x) можно
разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из ин-
интервалов монотонности ограничен критическими точками, р которых
f'(x) — 0 или /'(.т) не существует.
Если существует такая окрестность Uo(xq) точки .то, что для вся-
всякой точки х ф .То этой окрестности выполняется неравенство f(x) >
> /(.то) (или f(x) < /(.то)), то точка .tq называется точкой мини-
минимума (максимума) функции у = /(х), а число J(xq) -- минимумом
(максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции
называются ее точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если xq -- точка экс-
экстремума функции /(.т), то /'(.то) = 0 или /'(.то) не существует, т.е.
.то — критическая точка этой функции.
Обратное, вообще говоря, неверно.
Достаточные условия экстремума непрерывной
ф у н к ц и и. 1) Пусть функция }(х) дифференцируема в некоторой окрест-
окрестности (хо — 5, .То+5) критической точки хо, за исключением, быть может,
самой этой точки. Если при этом в интервалах (хо — <5, хо) и (xq, xq + S)
производная f'(x) имеет противоположные знаки, то xq -- точка экс-
экстремума, причем, если f'(x) > 0 при х G (.т0 - 6, х0) и f'(x) < О
при ,т G (хо, хо + 5), то хо — точка максимума, а если }'(х) < 0 при
х G (хо — 5, хо) и /'(х) > 0 при х G (хо, хо + S), то хо — точка мини-
минимума. Если же /'(т) при х G (хо — 5, хо + 5), х ф хо, сохраняет знак,
то точка хо не является точкой экстремума.
2) Пусть функция /(х) дважды дифференцируема в критической точ-
точке хо и в некоторой ее окрестности. Если /"(хо) < 0, то xq — точка
максимума функции /(х), если /"(хо) > 0, то хо — точка минимума.
Если же /"(хо) = 0, то требуются дополнительные исследования.
Пример 1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума
функции fix) — }—-—.
х/
< Находим производную:
х - 2
—- при х£ (-оо, 0)U@, 1),
2-х
—— при х G A, +ос).
Приравнивая ее нулю, получаем х = 2. Таким образом, критическими
точками (с учетом тех точек, где производная не существует) являются:
Xi =0, Х2 = 1, Хз = 2. Они разбивают область определения /(х) на
четыре интервала монотонности: (—оо, 0), (О, 1), A, 2) и B, Н-оо). Так
как f'(x) > 0 при х е (-оо, 0) U A. 2) и f'\x) < 0 при х G @, 1) U
U B, 4-сс). то f[x) возрастает нл интервалах (-ос, 0) и A, 2), убывает

88 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
на интервалах (О, 1) и B, -foo), в точке атз = 2 достигает максимума
(/B) = 1/4), а в точке хч = 1 — минимума (/A) = 0). Полученные
результаты удобно свести в следующую таблицу:
Таблица 4.1
X
fix)
fix)
(-
-oo
>
,0)
0
0
+ OO
не сущ.
@,1)
\
<0
1
0
не сущ.
(i,
>
2)
Л
0
2
1
4
0
B
, +oo)
\
<0
Заметим, что в рассматриваемом примере первое достаточное усло-
условие позволяет определить характер каждой из критических точек данной
функции. В то же время второе достаточное условие неприменимо в точке
,г*2, так как в этой точке не существует первая производная. \>
6.401*. Доказать следующее обобщение второго достаточного
условия экстремума. Пусть хо — критическая точка функции /(ж),
и первая из не равных нулю производных этой функции в точке xq
имеет порядок к. Если к — четное число, то xq является точкой
экстремума, причем точкой максимума, если /^(жо) < 0, и точ-
точкой минимума, если /^(xq) > 0. Если же к — нечетное число,
то экстремума в точке хо нет.
6.402. Исследовать на экстремум в точке xq функцию f(x) =
— (х — хо)/с</?(х), гДе к Е N и (р(х) непрерывна в точке хо, причем
ф,0) ф 0.
6.403*. Пусть
/(*) =
О,
О,
х = О,
х = 0.
Доказать, что функция f(x) имеет в точке xq — 0 минимум, а
функция д(х) не имеет в точке Хо экстремума, хотя
Для указанных функций найти интервалы возрастания и убы-
убывания и точки экстремума:
6.404. у = жVI
6.405. у =
2х2 -
6.406. у=-—.
тх
6.407. у = х - 2 sin ж. 6.408. у = х-2Ых.

§ 4. Исследование функции и построение графиков 89
6.409. у — In я; — arctgx. 6.410. у = ех cos .т.
6.411. ?/ - хх. 6.412. у = ch3 ж + 1.
Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной функции f(x) на
данном отрезке [а, Ь] достигается или в критических точках, или на кон-
концах этого отрезка.
Определить наибольшее М и наименьшее m значения следу-
следующих функций на указанных отрезках (а если отрезок но указан.
то во всей области определения):
6.413. у = -Зж4 + 6х2; [-2, 2]. 6.414. у = х + 2у/х; [0, 4].
1; р. 4]. в.416. у = f^f^; in. И-
6.417. у = Ух~+1 - \УяП; [0, 1].
6.418. y = arctg—^; [0, 1].
х2 - 1
6.419. у = -= . 6.420. у = хе~х /2.
хА + 1
Доказать следующие неравенства:
х2
х
6.421*. е* > 1 + х, х ф 0. 6.422. cos а; > 1 - —, ж ф 0.
6.423.
6.424. sinx + tgx > 2ж, ж Е @, тг/2).
6.425. Два тела двил^утся с постоянными скоростями v\ м/с
и V2 м/с. Двил^ение происходит по двум прямым, образующим
угол тг/2, в направлении к вершине этого угла, от которой в на-
начале движения первое тело находилось на расстоянии ам, а вто-
второе — на расстоянии b м. Через
сколько секунд после начала дви-
движения расстояние между телами
будет наименьшим?
6.426. Для доставки продук-
продукции завода N в город А (рис. 6)
строится шоссе 7VP, соединяю- Рис. 6
щее завод с железной дорогой А Б,
проходящей через город А. Стоимость перевозок по шоссе вдвое
больше, чем по железной дороге. К какому пункту Р нужно про-
провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода
N в город А по шоссе и по л^елезной дороге была наименьшей?

90 Гл. б. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Рис. 7
6.427. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного по-
полукругом (рис. 7). Задан периметр р этой фигуры. При каких
размерах х и у окно будет пропускать наибольшее
количество света?
6.428. Из трех досок одинаковой ширины скола-
сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле а
наклона боковых стенок к днищу желоба площадь
поперечного сечения желоба будет наибольшей?
6.429. В треугольник с основанием а и высотой
h вписан прямоугольник, основание которого лежит
на основании треугольника, а две вершины — на
боковых сторонах. Найти наибольшую площадь
вписанного прямоугольника.
6.430. Периметр осевого сечения цилиндра равен 6а. Найти
наибольший объем такого цилиндра.
6.431. Цилиндр вписан в конус с высотой h и радиусом основа-
основания г. Найти наибольший объем вписанного цилиндра.
6.432. Найти наименьший объем конуса, описанного около ша-
шара радиуса г.
6.433. Найти наибольший объем конуса при заданной длине /
его образующей.
6.434. Определить наибольшую площадь прямоугольника, впи-
вписанного в круг радиуса г.
6.435. На параболе у — х2 найти точку Л/', наименее удаленную
от прямой у — 2х — 4.
6.436. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник с наиболь-
наибольшей площадью. Определить его основание х и высоту у.
6.437. Отрезок длины а разделить на две части так, чтобы
сумма площадей квадратов, построенных на этих частях, была
наименьшей.
6.438. Коническая воронка, радиус основания ко-
которой i?, а высота Я", наполнена водой. В воронку
погружается шар. Каким должен быть радиус шара
7-, чтобы объем воды, вытесненный из воронки по-
погруженной частью шара, был наибольшим?
6.439. Определить наименьшую высоту h — \OB\
двери вертикальной башни ABCD, чтобы через^эту
дверь в башню можно было внести жесткий стер-
Рис. 8 жень МN длины /, конец которого N скользит
вдоль горизонтальной прямой АВ. Ширина башни \АВ\ = d < I
(рис. 8).
2. Направление выпуклости. Точки перегиба. График дифференци-
дифференцируемой функции у — f(x) называется выпуклым вниз (или вогнутым
вверх) на интервале (а, 6), если дуга кривой на этом промежутке расио-
D
О
А В

§ 4. Исследование функций и построение графиков
91
ложена выше касательной, проведенной к графику функции у — f(x) в
любой точке х Е (а, Ь).
Если же на интервале (а, Ь) всякая касательная располагается выше
дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале
называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) (на рис. 9 график
функции у = f(x) является выпуклым вниз на интервале (а, ж0) и вы-
выпуклым вверх на интервале (ж0, Ь)).
Если функция дважды дифференцируема на (а, Ъ) и f"(x) > О
(f"{x) < 0), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на этом
интервале.
В простейших случаях область определения функции f(x) можно
разбить на конечное число интервалов с постоянным направлением вы-
выпуклости. Каждый из этих интервалов ограничен точками, в которых
0 a
Рис. 9
f"{x) = 0, либо f"{x) не существует. Точка (ж0, /(ж0)), в которой на-
направление выпуклости графика функции меняется на противоположное,
называется точкой перегиба (см. рис. 9).
Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция
f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности Uq(xq) точки
ж0, в которой f"(xo) = О или f"{xo) не существует. Если при этом в
интервалах (ж0 - <S5 xq) и (ж0, хо + S) производная f"{x) имеет противо-
противоположные знаки, то xq — точка перегиба.
Пример 2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика
|ж-1|
функции у = J—т-1.
X1
< Находим вторую производную:
2C - х)
2(х - 3)
хе (-оо, о)и(о, 1),
х G A, +оо).
Следовательно, критическими точками первой производной являются
точки х\ — О, Х2 = 1, #з — 3. При этом в точках х\ и Х2 вторая
производная не существует (в частности, f'l{l) = 4, а /^A) = —4), а в
точке ж3 она равна нулю.

92 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Получаем четыре интервала выпуклости: (-оо, 0), @, 1), A, 3),
C, +оо). Исследуя знак второй производной в каждом из этих интерва-
интервалов, выводим, что график функции является выпуклым вниз на интерва-
интервалах (—оо, 0), @, 1), C, +оо) и выпуклым вверх на интервале A, 3). Сле-
Следовательно, точки х>2 и хз являются точками перегиба графика функции,
а х\ не является. Полученные результаты удобно свести в следующую
таблицу:
Таблица 4.2
X
/"(х-)
(-оо, 0)
ВЫП.
вниз
>0
0
-Ьоо
не сущ.
@,1)
ВЫП.
вниз
>0
1
0
не сущ.
A,3)
ВЫП.
вверх
<0
3
2
9
0
C, +оо)
вып.
вниз
>0
Найти интервалы выпуклости графика функции у = /(.т), точ-
точки перегиба и угловые коэффициенты к касательных в точках
перегиба:
6.440. у = х7 + 7х + 1. 6.441. у = хА + 6ж2.
6.442. у - $/(х - 2M + 3. 6.443. у = ^х~П ~ tyx^T.
6.444. у = У(ж + 1J + $/(х - IM. 6.445. у - хе2х + 1.
6.446. у = ж1п|ж|. 6.447. у = х3\пх + 1.
6.448. При каких значениях а и 6 тока A,3) является точкой
перегиба кривой у = ах3 + Ьх2?
6.449. При каком выборе параметра h кривая вероятности
h
У = —e
h > О,
имеет точки перегиба с абсциссами х — ±6?
х + 1
6.450. Показать, что кривая у — ^ имеет три точки пере-
х1 -\- 1
гиба, лежащие на одной прямой.
6.451*. Показать, что точки перегиба кривой у — a; sin ж лежат
на кривой у2{4: + х2) = Ах2.
3. Асимптоты. Пусть для функции у — f(x) существует такая прямая,
что расстояние от точки М(ж, f{x)) графика функции до этой прямой
стремится к нулю при бесконечном удалении точки А/ от начала коор-
координат. Тогда такая прямая называется асимптотой графика функции.
Если при этом координата х точки М стремится к конечному числу
а, то полупрямая х — а (у > 0 либо у < 0) является вертикальной
асимптотой. Для существования вертикальной асимптоты в точке х = а

§ 4. Исследование функций и построение графиков 93
необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из пределов lim f(x)
ж-»а±0
был равен бесконечности.
Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.
Если же координата х точки М стремится к -f оо или — оо, то имеем
наклонную асимптоту у = kx-\-b, для существования которой необходимо
и достаточно существование двух пределов
lim 1^1 = к и lim (/(ж) - кх) = Ь.
х -» оо X х ~> оо
При этом указанные пределы могут быть различными при х —> + оо (для
правой наклонной асимптоты) и при х —> —оо (для левой наклонной
асимптоты).
\х - II
Пример 3. Найти асимптоты графика функции у = —.
<] Так как функция непрерывна на всей оси, кроме точки х = 0, то
вертикальная асимптота может существовать лишь в этой точке.
Имеем:
lim J—г—1 = +оо,
и, следовательно, прямая х = 0 — вертикальная асимптота.
Найдем наклонные асимптоты. Так как
lim |Х|/Х'2 =0 = А; и lim (^Ц^ - 0 • х] = 0 =
± ±
то прямая у = 0 • х + 0 =■ 0 является одновременно и правой, и левой
наклонной (в данном случае горизонтальной) асимптотой. >
Найти асимптоты графиков указанных функций:
/ т*
6.452. у = у -. 6.453. у = Ух3 - х2.
X Lj
6.454. у = -^ L. 6.455. j/ = Зж + arctg 5ж.
6.456. у = Х^^ + 2*. 6.457. у =
6.458. j/ = ж In ( е + — ). 6.459. у — х arcsec x.
6.460. Доказать, что график целой рациональной функции у =
= ao£n + aia:71 + ... + an-\x + an, n ^ 2, не имеет никаких
асимптот.
4. Построение графиков функций. Для построения графика функции
у — f(x) с непрерывной второй производной (всюду в области определе-
определения функции кроме, быть может, конечного числа точек) сначала про-
проводим элементарное исследование, выясняющее некоторые особенности

94 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
функции (если они имеются): симметрия, периодичность, постоянство
знака, нули, точки пересечения с осью Оу, точки разрыва и т. п. Затем,
используя первую и вторую производные, находим точки экстремума и
перегиба, интервалы монотонности и выпуклости, а также асимптоты.
\х - II
Пример 4. Построить график функции у = —.
xz
<3 Функция определена и непрерывна всюду, кроме точки х — О, всюду
неотрицательна и равна нулю лишь в точке х — 1. Ее исследование про-
проведено в примерах 1-3. Результат этого исследования полезно свести в
одну таблицу — объединение таблиц 4.1 и 4.2. При этом следует вычи-
вычислить и записать в соответствующую клетку таблицы /'C) = -1/27 —
угловой коэффициент касательной к графику функции в точке перегиба.
Рис. 10
Рекомендуется также вычислить /i(l) = —1 и /+A) = 1 — угловые
коэффициенты левой и правой касательных в точке A, 0) графика. Эти
данные помогают точнее построить график функции, приведенный на
рис. 10. О
Пример 5. Построить график функции у — ух{х — IJ.
<3 Функция определена и непрерывна на всей действительной оси и обра-
обращается в нуль в точках х = 0 и х = 1.
Находим первую производную
У =:
Зх2 - 4х + 1 х - 1/3
Приравнивая ее нулю, получаем х = 1/3. Таким образом, критическими
точками функции являются: х\ =0, Х2 = 1/3, х^ = 1 (в точках х\ = 0 и
жз = 1 производная не существует). Эти точки разбивают область опре-
определения на четыре интервала монотонности (—оо, 0), @, 1/3), A/3, 1),

§ 4. Исследование функции и построение графиков
95
A, +оо). Так как у'(х) > 0 при х G (-оо, 0) U @, 1/3) U A, -f оо), то
у(х) возрастает на интервалах (-оо, 1/3) и A, -Ьоо). Аналогично рассу-
рассуждая, находим, что у'(х) < 0 при х Е A/3, 1) и, следовательно, функция
на этом интервале убывает. В точке Х2 = 1/3 функция достигает мак-
максимума (г/тахA/3) = ~л/4 и 0,529 J, а в точке хз = 1 — минимума
(y«nin(l)=0).
2
Находим теперь вторую производную у" = , =. Крити-
9^/ж5(х - IL
ческими точками первой производной являются х\ — 0 и хз — 1 (вторая
производная в этих точках не существует). Получаем три интервала вы-
выпуклости исходной функции: (—оо, 0), @, 1) и A, -f оо). В первом ин-
интервале функция выпукла вниз (так как у" > 0 при х < 0), а во втором
и третьем — выпукла вверх {у" < 0 при х > 0, кроме точки х = 1).
Следовательно, @, 0) является точкой перегиба графика функции (с вер-
вертикальной касательной).
Результаты проведенных исследований сводим в таблицу:
Таблица 4.3
X
у'
у"
У
(-оо, 0)
>0
>0
г
вып.
вниз
0
не сущ.
не сущ.
0
@, 1/3)
>0
1/3
0
A/3, 1)
<0
<0
3
\
вып. вверх
1
не сущ.
не сущ.
0
A, +оо)
> 0
<0
/
вып.
вверх
Для уточнения поведения функции в окрестности точки х — 1 за-
заметим, что /!_A) — -оо, ДA) = +оо, т.е. в точке A, 0) графика
функции левая и правая касательные совпадают, образуя вертикальную
касательную.
Наконец, определим асимптоты. Так как функция непрерывна на
всей оси, то вертикальные асимптоты отсутствуют. Для определения
наклонных асимптот находим сначала
х-+±оо X
а затем
lim (у(х) - х) — lim
= lim
~2х2
=«> </x2{x-V)x f xffix -

96 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Следовательно, правая и левая наклонные асимптоты совпадают и опре-
2
деляются уравнением у — х — -.
3
График функции приведен на
рис. 11. >
Построить графики следующих
функций:
Рис. 11
6.484. у =
6.466. у =
2(ж-1J'
ж3 — Зге
125
6.462. у = ^ж2(ж2 - ЗJ.
6.463. у = ^ж3(ж2 - 5).
6.465. у = -£—
6.468. у = тз
ж3+ 2
6.470. у =
6.472. у =
6.474. у =
6.476. у =
6.477. у =
6.478. у =
6.479. у =
6.481. у =
6.482. у =
6.483. у =
ж2-3'
ж2-1
6.469. у =
6.471. у =
6.473. у =
6.475. у =
ж
ж2-4'
ж
2-ж3'
ж3
ж3 + Г
1 -
- 2ж.
+ ^/(ж-1J.
1
. 6.480. у =
- ж3.
+ v/ж- 1.
+ ^ж3 - 1.
6.484. у =

4. Исследование функции и построение графиков
6.485. у =
6.487. у = —r
6.489. у
6.495. у — sin a; + cos .т.
6.497. у — xarctgsc.
6.499. у = е2х-х2.
6.501. у - -сГ[/х.
х
6.503. у = хсх1х.
6.505. у = (.т-2)е/х.
6.507. у = (ж2 + 1)е"х2/2.
6.509. у = ж3е"х'2/2.
6.511. V = ^.
ж
6.513. у = ж2 In ж.
6.515. у = ж2 Ы2 х.
6.486. у =
6.488. у =
6.490. у =
6.492. у =
6.494. у =
6.496. у
6.498. у
6.500. у
6.502. у
sin ж + cos ж
—h arcctg ж.
же
J_
ж^
1
-X2/2
ж
6.504. у
6.506. у = Bж - 1)е2/
6.508. у = ж2е2/х.
6.510. у
6.512. у
In (ж + л/ж2 + 1).
1
6.517. у
6.519. у
6.521*. у
= ж In2 |ж'
1 .
*. II = X
ж>0.
6.514. у -.
6.516. у
6.518. у
6.520. у
6.522. у
ж In ж
In ж
In |ж|
хх, х > 0.
A+жI/*, ж> -1.
6.523*. у
;*. 1/ =
sin ж
х

98 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Построить кривые, заданные параметрически:
6.524. х = te\ у = te~\ t G R.
<3 Проведем вспомогательные вычисления:
Ух =
y't't = (t-2)e
-t
Так как х[ = 0 при t = — 1 и x't't( — 1) = 1/e > 0, то xm\n = — 1/e.
Так как ?yj = 0 при £ = 1 и y't't{l) — —- < 0, то ymSiX = -. Отсюда
следует, что кривая расположена в области {(ж, у) | х G [—1/е, +оо), у G
G (—оо, 1/е]}. Из выражения для производной у'х определяем критиче-
критические точки £i = 1 (у'хA) = 0) и £2 — — 1 B/Jc(~l) не существует). Кри-
Критические точки первой производной находим из выражения для второй
производной уЧх: t3 = у/2 {у'х'х{^2) = 0), U = -у/2 №х(-у/2) = 0) и
^5 = — 1 (у'х'х(—1) не существует). Следовательно, А{—у/2/е^2^ —у/2ё^2)
и В(у/2е^, у/2/е^) — точки перегиба.
Наконец, находим асимптоты. Если t —> —оо, то х —> 0, а у —У —оо,
т.е. х = 0 — вертикальная асимптота. Отметим, что при приближении
Рис. 12
точек кривой к этой асимптоте их координата по х остается отрицатель-
отрицательной. Если t -» +оо, то х -> +00, а у -> 0, т.е. у = 0 — горизонтальная
асимптота. Точки кривой при приближении к ней имеют положительную
координату по у.
Результаты исследования сводим в таблицу (табл. 4.4) и делаем все
необходимые выводы в правой ее колонке. Кривая приведена на рис. 12. >

. Векторные и комплексные функции действит. переменной 99
Таблица 4.4
t
(-00, -х/2)
-у/2
(->/2, -1)
-1
(-1,1)
1
A, л/2)
(\/2, Ч-оо)
.X
<0
<0
1
е
е
> 0
> 0
У
<0
<0
—е
1
е
>0
х/2
>0
<0
<0
не
сущ.
>0
0
<0
<0
II
У XX
<0
>0
>0
НС
сущ.
<0
<0
0
>0
Поведение кривой
Выпукла вверх, убывает,
х = 0 — вертикальная
асимптота
Точка перегиба
Выпукла вниз, убывает
Точка возврата
Выпукла вверх, возрас-
возрастает, точка @, 0) лежит
на кривой
Максимум
Выпукла вверх, убывает
Точка перегиба
Выпукла вниз, убывает,
у — 0 — горизонтальная
асимптота
6.525. х = t2 - 2t, у = f + 2t, t e R.
6.526. x = t + e"S у = 2* + e~2S £ G M.
6.527. x = acos3t, у = a sin3*, t G [0, 2тг).
6.528. x = t3 - Зтг, у - t3 - Garctgt, t G M.
Построить следующие кривые, заданные в полярной системе
координат:
6.529. г = asin3</?. 6.530. ?• — a(l + cosy?).
6.531. г = л/тг/V. 6.532. г2 = 2a2 cos 2ip.
§ 5. Векторные и комплексные функции
действительной переменной
1. Определение вектор-функции действительной переменной. Если
каждому значению действительной переменной t G D С Ш поставлен в
соответствие вектор а(£) G Уз, то говорят, что на множестве D задана
вектор-функция а = а(£) действительной переменной t.

100 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Задание вектор-функции а = а(£) равносильно заданию трех число-
числовых функций ax(t), ay(t), az(t) — координат вектора а:
или, кратко, а = (а;с(£), ay{t)i az{t))- Если вектор а является радиус-
вектором точки М(ж, у, z), то соответствующую вектор-функцию при-
принято обозначать:
Годографом вектор-функции г = r(t) называется линия, описыва-
описываемая в пространстве концом вектора г. Всякую линию в пространстве
можно рассматривать как годограф некоторой вектор-функции. Параме-
Параметрические уравнения годографа:
x = x(t), y = y{t), z = z(t).
Пример 1. Найти годограф вектор-функции
Имеем параметрические уравнения годографа
_ i-t2 it
Исключая параметр £, получим
Следовательно, годографом вектор-функции r(t) является окружность
ж2+у2 = 1, z = l,
из которой исключена точка ( —Г, 0, 1), получающаяся в пределе при t ->
-» ± 00. >
Найти годографы вектор-функций:
6.533. г = B< - l)i + (-3< + 2)j + 4tk, t e R.
6.534. г = л/1 - ^2i + \/l+^2j, < Е [0, 1].
6.535. г = 4 ch < • i - j + 3 sh t- k, tGi
6.536. r = M + Bt-t2)), teR.
6.537. r = cos t - i + sin t • j + £k, feK.
6.538. r = 2 cos3 i ■ i + 2 sin3 i • j, i E [0, 2тг].
6.539. r = ti + t2) + t3k, t E K.

-§5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 101
6.540. г = cos2t • i + sin t cost j -fsint • k, t G [0, 2тг].
6.541. r = 5cost ■ i + 4sint • j + 2k, t e [0, 2тг].
6.542. r = (sht- l)i + ch2t-j + 3k, t G R.
2. Дифференцирование вектор-функции. Производной вектор-функ-
вектор-функции а = a(t) по аргументу £ называется новая вектор-функция
da ,. Да ,. a(t + At) - aft)
— = lim — = lim — -~ —.
dt At~+o At At->o At
Если a(t) = (ax(t), ay(t), az(t)), то
da /dax(t) day{t) daz(t)
~di = V dt ' dt ' dt
dr
Если r = r(£) = (x(t), y(t), 2;(t)M то производная — есть вектор,
направленный по касательной к годографу вектор-функции г(£) в сторону
возрастания аргумента t.
dr
Если £ — время, то — — v есть вектор скорости конца вектора г.
Правила дифференцирования вектор-функции (а —
dc
1) — = 0, где с — постоянный вектор.
о\ d . ч da
2) -—(cva) = a —, где а: — постоянный скаляр.
пЧ d , , ч da db
3)(±Ь)±
*\ d , . dip da , ч
4) -r-(v?a) — —а Ч- ^~т~? гДе ^ = (p(t) — скалярная функция от t.
кхЪ (Хь (Хь
r. d. LN /da
5)A(a'b)=U'
da Ll Г db
7) -—a(</?(£)) = — • —, где <^ = </?(t) — скалярная функция от t.
6.543. Доказать, что I a, — 1 = 0, если |а| = const.
V dt J
6.544. Дано уравнение движения г ~ 3ti — 4tj. Определить
траекторию и скорость движения.

102 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
6.545. Дано уравнение движения г = 3^i+Dt—t2)j. Определить
траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости
для моментов t — 0, t — 1, t — 2, t = 3.
6.546. Дано уравнение движения г — 2(t — sin£)i + 2(l — cos t)j.
Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы
скорости для моментов t =■ тг/2, t — тг.
6.547. Найти единичный касательный вектор годографа вектор-
функции г = e2ti - (t + 8L/3j при t = 0.
6.548. Найти единичный касательный вектор годографа вектор-
функции г = (£3 + t)i + t2} при t — — 1.
6.549. Найти производные вектор-функций:
а) г = sin t • i + cos2 t • j + sin t cos £ • k;
б) r = t cos t • i + £ sin £ • j + £k;
в) r = (t + cos i)i + ij + sini • k.
6.550. Найти производные вектор-функций:
а) r = eli + cos t • j + (t2 + l)k в точке A, 1, 1);
б) г = t3i + (t + lJj + Vt2 + Ik при * = -2.
6.551. Найти —(a, b), если
CLv
a = ii - t2j + t3k, b = i + £j + t2k.
6.552. Найти —[a, b], если a = i + *j + t2k, b = t\ + j +
at
da
6.553. Найти —, если а = ui + u2j + n3k, где u = sin^.
d2Y dv
Если t — время, то —— — — = w — вектор ускорения конца вектора г.
(IT CLv
6.554. Найти вторые производные вектор-функций:
а) г = cos t • i + e*j + {t2 + l)k,
б) r = ti + t cos t • j + t sin t - k
при произвольном £ и при £ — 0.
6.555. Дано уравнение движения: г = 2(£ —sin£)i + 2(l — cos£)j.
Определить ускорение движения. Построить векторы ускорения
для моментов t = тг/2, t = тг.

§ 5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 103
6.556*. Дано уравнение движения: г = Зй+ D£ — £2)j. Опреде-
Определить ускорение w движения и его тангенциальную wT и нормаль-
нормальную wn составляющие в любой момент t и при /, — 0.
6.557. Дано уравнение движения: г = -t2i H—Bt + lK//2j.
z о
Определить ускорение движения и его тангенциальную и нормаль-
нормальную составляющие в любой момент t и при 4 = 0.
3. Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость.
Уравнения касательной к пространственной кривой х = x(t), у = y(t),
z = z(t) в точке Л/о (.то, 2Ль -о)? которой соответствует значение параме-
параметра to, имеют вид
х - х
2/-2/0
dx/«ft|/=lo
dz/dt\l=fo'
где х, т/. ^ — текущие координаты точки касательной. Уравнение нор-
нормальной плоскости в той же точке:
dx
)-
+ {У ~ К/о)
t=t0
Пример 2. Доказать, что касательная к винтовой линии
г = (acosi, ttsin£, 6ifc) образует постоянный угол с осью Oz.
< Найдем вектор, касательный к годографу вектора г:
dv
dt
= (—asmt, «cost, 6).
Отсюда
cos 7 —
\dr/dt\ "
т. е. 7 — const. D>
Пример З. Написать уравнения касательной и нормальной плос-
плоскости к кривой х = /J2 — 1, ?/ = /j -f 1, z — t3 в точке Mo@, 2, 1).
<3 Данной точке соответствует значение параметра t = 1. Имеем
dx* d// <iz 2
бЙ ~ ' Л ~ ' ~di ~
Подставляя значение t — 1, получаем
t-\
~1? dt
-3.
t-\
Уравнения касательной:
а: у - 2 _ 2 - 1
2 "^ "Т~ ~ ~3~'

104 Гл.6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Уравнение нормальной плоскости:
или
2х + у + Zz - 5 = 0. >
Для каждой из следующих кривых написать уравнения каса-
касательной и уравнение нормальной плоскости в данной точке:
6.558. х — 4 sin2 £, у = 4 sin t cos £, г = 2 cos2 t при i ~ тт/4.
6.559. x = -£2, у = -f\ 2: = -£4 при t = 2.
Z О т:
6.560. ж = ach£, у — asht, z — at при £ = 0.
6.561. ж2 + у2 - 10, у2 + z1 = 25 в точке МоA, 3, 4).
6.562. 2ж2 + Зу2 + 2:2 = 9, 3x2 + y2-z2 = 0 в точке МоA, -1, 2).
4. Дифференциальные характеристики плоских кривых. Пусть кри-
кривая в плоскости Оху является годографом вектор-функции г = r(s) =
= (x(s), y(s)), где s — длина дуги кривой.
Кривизной кривой в точке Мо называется число
К =
lim -f
Здесь </? — угол поворота касательной, соответствующий дуге
(рис. 13) данной кривой, a As — длина этой дуги.
Величина R = 1/К называется ради-
радиусом кривизны.
Кривизна К определяется соотно-
соотношением
ds2
Рис. 13
Приведем ряд формул для вычисления
кривизны кривых:
1) если кривая задана уравнением в явной форме у — f(x), то
ТУ1
У"

§ 5. Векторные и комплексные функции деиствит. переменной 105
2) если кривая задана уравнением в неявной формеl) F(x, у) = 0, то
1 ту
к
F"
F"
У У
F'
У
+ F'
К
0
уK/2
3) если кривая задана параметрическими уравнениями х = ж(£),
), то
х1 у1
х" у"
К =
4) если кривая задана в полярных координатах уравнением г =
г(</?), то
г2 + 2г'2 - гг"
Окружностью кривизны (соприкасающейся окруэюностъю) кривой
в ее точке М называется предельное положение окружности, проведенной
через точку М и две другие точки кривой Р и Q, когда Р -Л М и Q -Л М.
Радиус окружности кривизны равен радиусу кривизны в соответству-
соответствующей точке М, а центр окру?кности кривизны (центр кривизны) нахо-
находится на нормали к кривой, проведенной в точке М в сторону вогнутости
кривой.
Координаты X и У центра кривизны равны
X = х -
У"
Г =
1 +
/2
У"
Эволютой кривой называется линия, описываемая центром кри-
кривизны при движении точки по кривой. Формулы для координат центра
кривизны определяют параметрические уравнения эволюты.
Пример 4. Найти уравнение эволюты параболы у2 = 2(х + 1).
<\ Имеем 2уу' = 2, т.е. у1 = -. После повторного дифференцирования
У
получаем у' -f уу" = 0, откуда у" = = —-. Находим координаты
У У3
1) Здесь используются частные производные функции двух переменных; опре-
определение см. в п. 3 § 1 гл. 8.

106 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
центра кривизны:
-lly ) 3 9
~ ' У" ~ 2 -l/y3 ~ 2У '
, 1+y'2 , 1 + 1/У з
тем самым найдены параметрические уравнения эволюты:
Ркключив параметр г/, найдем уравнение эволюты в виде
Вычислить кривизну данной кривой:
6.563. у ~ х2 в начале координат и в точке МA, 1).
6.564. х2 + 9у2 = 9 в вершинах эллипса ЛC, 0) и В@, 1).
6.565. х2 — ху + у2 — 1 в точке МA, 1).
6.566. ж = t2, 2/ = * *3 при J = 1.
6.567. х = ^2, у = it3 в точке МA/2. 1/3).
6.568. г = аA — cos (/9) в любой точке и при </? = тг.
6.569. г2 = а2 sin2(/? при (/? = тг/4.
Найти радиусы кривизны (в любой точке) данных кривых:
2 2
6.570. а) у = ^х; б) ^ - ^ - 1.
6.571. а) х-2/3 + у2/3 - а2/3; б) ж = acos£, у =
6.572. х = а(£- sin^), y = a(l-cosf).
6.573. а) г2 = a2 cos 2<р; б) г = at/?.
6.574*. Вершиной кривой называется такая ее точка, в которой
кривизна имеет максимум или минимум. Найти вершину кривой
у = е'х.
6.575. Найти вершину кривой у — In ж.

§ 5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 107
Вычислить координаты центров кривизны и написать уравне-
уравнения окружностей кривизны данных кривых в указанных точках:
з
6.576. у = -г; о в точке М@, а).
а2 + ж2
6.577. у = е~х2 в точке М@, 1).
6.578. у = жех в точке М(-1, -1/е).
6.579. у = sin ж в точке М(тг/2, 1).
6.580. х = а(£ - sini), у = аA — cost) в точке М(тга, 2а).
Найти эволюты кривых:
6.581. а) у = х3; б) я2 - у2 = а2; в) ж2/3 + у2/3 - а2/3.
6.582. ж = a In
У
6.583. ж = 2£, у = f - 2.
5. Дифференциальные характеристики пространственных кривых.
Во всякой неособой точке М(ж, t/, 2) пространственной кривой г — r(t)
можно построить три взаимно перпендикулярных вектора:
Т = — (направляющий вектор касательной),
at
[dr d2rl
-г-, ~гт (направляющий вектор бинормали),
at at1 \
N = [В, Т] (направляющий вектор главной нормали) или соответ-
соответствующие им основные единичные векторы.
N
которые молено вычислить также по формулам:
dr dr/ds
Трехгранник с вершиной в точке Mq, ребрами которого служат касатель-
касательная, главная нормаль и бинормаль, называется естественным трех-
трехгранником [триэдром) пространственной кривой. Гранями его явля-
являются плоскости: соприкасающаяся (проходит через векторы Т и N),
нормальная (проходит через векторы N и В), спрямляющая (проходит
через векторы В и Т).
Уравнения главной нормали имеют вид
х - хр _■ у -уо _ z - z0
Nx ~ Ny ~ Nz '
где х,у, z — текущие координаты точки главной нормали, Nx, Ny, Nz —
координаты вектора N.

108 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Уравнения бинормали:
х -
_ у - уо _ z - z0
В'х Ву Bz
Уравнение соприкасающейся плоскости:
Вх{х - х0) + Ву{у - ус) + Bz(z- z0) = 0.
Уравнение спрямляющей плоскости:
Nx(x - х0) + iVy(j/ - уо) + iV*(* - г0) = 0.
Пример 5. Найти основные единичные векторы г, v и /3 кривой
х = 1 - sin£, у = cost, z — t в точке М, которой соответствует значение
параметра t = 0. Написать уравнения касательной, главной нормали и
бинормали в этой точке.
О Имеем
г = A - sin t)i -f cos £ • j 1- £k,
dr
— — ~ cos t • i - sin t • j -f k,
at
При £ = 0 получим
—r- = sin ^ • i — cos t - j.
dv
N = [В, Т] =
i J к
-1 0 1
0-10
= i + k,
i J k
1 0 1
--1 0 1
Следовательно,
-i + k
i + k
Так как при t ~ 0 имеем .т = 1, у — 1, z = 0, то:
ж - 1 у - 1
— 1
х — 1 у — 1
=
= - — уравнения касательной;
и 1
= - — уравнения главной нормали;
х - 1 у - 1
уравнения бинормали. t>

§ 5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 109
Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверх-
поверхностей
F(x, у, z) = 0,
(z, у, г) = 0,
dr d2r
то удобнее вместо векторов — и —г рассматривать векторы dr =
= (da;, dy, dz) и d2r = (d2x, d2y, d2z), причем можно считать одну из пе-
переменных #, у, z независимой и ее второй дифференциал равным нулю.
Пример 6. Написать уравнения соприкасающейся, нормальной и
спрямляющей плоскостей кривой
\ х2 - у2 + z2 = 4
в ее точке МA, 1, 2).
< Дифференцируя данные уравнения и считая ж независимой перемен-
переменной, получим:
х dx + у dy + z dz =■ 0,
х dx — у dy + z dz — 0
+dy2 +y d2y + dz2 + z d2z = 0,
-dy2 -yd2y + dz2 + 2d2z = 0.
При я; = 1, у = 1, ^ = 2 имеем:
1
dy = 0, dz = --dx
2
Следовательно, dr = ( do:, 0, -- dx ), d2r = ( 0, 0, --- dx2 ). Заме-
V l ) V 8 /
ним эти векторы векторами, им коллинеарными, B, 0, —1) и @, 0, —1),
откуда
ТЭ
i
2
0
j
0
0
к
-1
-1
T=B,
= 2j, N -
0,
-1),
i J
0 2
2 0
к
0
-1
= 2(-i-2k).
Отсюда находим:
у — 1 = 0 — уравнение соприкасающейся плоскости;
2х — z = 0 — уравнение нормальной плоскости;
х + 2z — 5 = 0 — уравнение спрямляющей плоскости. >

110 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Найти основные единичные векторы т, v^ /3 и составить урав-
уравнения касательной, главной нормали и бинормали данных кри-
кривых:
6.584. х = с1, у — e~~l: z — t при t = 0.
t
6.585. х — t - sint, у — 1 - cost, z — 4sin- при t — n.
6.586. x = 2i, у = lni, 2: = i2 при i = 1.
6.587. у — ж, 2: — 2ж2 в точке ж = 1.
6.588. Написать уравнения плоскостей, образующих естествен-
естественный трехгранник кривой х — t2 + 1, у — cost, z — ег в точке
а, 1, !)•
6.589. Написать уравнения плоскостей, образующих естествен-
естественный трехгранник кривой х — t/\/2, у = t/\/2, 2: = In sin t при
t = тг/2.
6.590. Найти векторы т, i^, /3 и написать уравнения всех ребер
и плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой х —
= (t + IJ, у = t3, г = \А2 + 1 в точке A, 0, 1).
6.591. Найти векторы т, v, /3 и написать уравнения всех ре-
ребер и плоскостей, образующих естественный трехгранник кривой
' 2 + у2 + z2 = 14, , .
+ 2у, = 2 - точке A, 2, 3).
Кривизна пространственной кривой определяется аналогично кри-
кривизне плоской кривой. Если кривая задана уравнением г — r(s), то
ds2
В случае общего параметрического задания кривой имеем
\[dv/dt, d2v/de\\
I =
R
\dr/dt\3
Кручением {второй кривизной) пространственной кривой в точке
М называется число
1 ,. в
а — - — hm ——,
р n-*m As
где 0 — угол поворота бинормали, соответствующий дуге МАГ. Величина
р называется радиусом кручения или радиусом второй кривизны.
Если г = r(s), то
о = Т
ds
{dr/ds){d2r/ds2){d3r/ds3)
\d2r/ds2\2

§5. Векторные и комплексные функции действит. переменной 111
где знак минус берется в том случае, когда векторы — и v имеют оди-
ds
наковое направление, и знак плюс — в противоположном случае.
Если г = r(t), где t — произвольный параметр, то
_ jdr/dt){d2r/dt2){d3r/dt3)
° ~ \[dr/dt, d2r/dt2}\2
Пример 7. Найти кривизну и кручение кривой х — e*cost, у =
= е* sint, z — еь в любой точке.
4 < Имеем
г = (е* cost, е* sint, ef),
— = (eb(cost — sint), ef(sint + cost), ef),
at
d2r
— - (-2ef sint, 2efc cost, el),
dtz
It?
), 2ef(cost - sint), efc).
Отсюда
Idr <Py_
dt' dt2
ef(cost — sin t) e^(sin t + cost) e*
-2etsint 2e*cost el
= e2f(sint - cost, -(sint + cost), 2),
<ir d2r d3r
it'Jfi 'It*
Следовательно,
el(cost - sint) e*(sin£ +cost) el
-2efsint
2ef cos t
-2e*(sint + cost) 2e^(cost - sint) ef
= 2eu.
_
f \/(sin * ~ cos 02 + (sin *
cos
- cos^J + (sint + costJ + IK
a —
e4*((sint-costJ + (sint + costJ +4) ~ 3 '
Вычислить кривизну и кручение кривых:
6.592. х = е*, у = e-t, 0 = tv2 в любой точке и при t = 0.
6.593. a; = £, у — i?^ z — t3 в любой точке и при t = 0.

112 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
6.594. х = 3t - t3, у = 3£2, z = 3t + t3 в любой точке и при
* = 1.
6.595. х = 2i, у = lni, ^ = £2 в любой точке и при £ = 1.
ж2 х3
6.596. у = —, z = — при а; = 1.
6.597. 2ж = у2, г = ж2 в любой точке и при у = 1.
2
6.598*. Дано уравнение движения г = t\ + t2j + -t3k. Опреде-
о
лить ускорение w движения, тангенциальную wT и нормальную
wv составляющие ускорения в любой момент t и при t = 1.
6. Комплексные функции действительной переменной. Если каждому
значению действительной переменной t Е D С Ш поставлено в соответ-
соответствие определенное комплексное число z — х + iy, то г(^) называется
комплексной функцией действительной переменной t с областью опре-
определения D:
z = z(t)=x(t)+iy(t).
Задание комплексной функции z — z(t) равносильно заданию двух дей-
действительных функций х = x(t), у = y(t)i или заданию вектор-функции
v(t)={x(t),y(t)).
Пример 8. Построить кривую, заданную уравнением z(t)= е^а+г^1,
-00 < t < +00.
<j Так как z(t) = eat{cosf5t + isin^t), то |z(t)| = eQt и arg^(i) = /3t.
Полагая ц> = /Й, находим, если ^ ^ 0, t = -г. Следовательно, г = |^@1 —
— е^^ (—ос < (р < +оо), и мы получили уравнение логарифмической
спирали (т. 1, гл. 1, §3, п. 5, а также рис. 11 слева), если а/3 ф 0. При
а — 0 — окружность г = 1, при /3 — 0 — луч ц> — 0. >
Производной комплексной функции z(£) называется комплексная
функция zf(t) = lim ^ = x'(t) + iy'{t). На комплексные функ-
Afc*O Lit
ции действительной переменной распространяются обычные правила
дифференцирования (см. п. 1 §1).
Пример 9. Доказать, что (ext)' — \ext, где Л = а + i@ — произ-
произвольное комплексное число.
<3 Пусть z(t) = ext = e(a+i^)f, тогда x(i) = ea1cosfit и
ea<sin/?L Отсюда находим:
x'(t) = aeaf cos/3t - /?eQ/ sin/3i,
j/'@ = aeat sin Ct + /?eQi cos^.

§5. Векторные и комплексные функции деиствит. переменной 113
Следовательно,
Z'(t):--X'(t)+Iy'(t) =
= {aeat cos fit - Ccat sin fit) + i (acat sin /ft + Eса1 cos /3t) =
= aeat (cos /ft + г sin /ft) + i/3eat (cos /ft + г sin /ft) =
= ae(a+W + ij3c<e+f73U = (a + i/3)e(a+w' - AeAi. >
Построить кривые, заданные уравнениями г = z(t), и найти
6.599. z = t2 + it, te (-oo, +oc).
6.600. z = 1 - г + *е*4 , i е (~оо, +оо).
6.601. z=:2e2S t G [0, тг].
6.602. z - 3eu + e~'l\ t G (-сю, +оо).
6.603. z = {2 + i)eJ + B - i)e"*, * G (-oo, -f oo).
6.604. z = t2 + it4, i G (-oo, -foe).
6.605. z = t + г - ie-{t, t G [0, 2тг].
6.606. z - ae^(l - it), а£Ш, te (-oo, +oo).
6.607*. Известно, что z — z(t) определяет закон движения
точки на плоскости. Найти компоненты скорости pi ускорения по
направлению касательной к кривой z — z(t) и перпендикулярному
к нему.
6.608*. Точка z пробегает окружность \z\ — Re постоянной
угловой скоростью, равной единице. Найти вектор скорости точки
w, движущейся вместе cz по закону w = f{z).
Пусть D — оператор дифференцирования, т.е. Dz(t) = z'{t).
(IT
Линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициен-
коэффициентами p(D) = anDn + ... + a\D + clq определяется следующим образом:
p{D)z(t) = anz^n){t) + ... + aiz'(t) + aoz(t).
6.609*. Доказать следующие свойства линейного дифференци-
дифференциального оператора с постоянными коэффициентами:
а) p(D)ext = p(A)eAi;
б) p(D)(extz(t)) = extp(D + \)z(t), где z(t) — произвольная
комплекснозначная функция, п раз дифференцируемая при любом
t G (-ос, +оо).
Для заданных функций вычислить указанные линейные ком-
комбинации производных:
6.610. x"(t) + 3x'(t) + x(t), если x{t) = te~l cos t.

114 Гл. 6. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
< Заметим, что x(t) = Re(teS~1+i)t)). Поэтому x"(t) + Zx'(t) + x{t) =
= (D2 + W + l)x(t) = Re (D2 +3D + l)te(-]+i>'. Используя результат
задачи 6.6096), находим:
(D2 +3D + l)te(-1+i)t = e(-1+'-u((D + i - IJ + 3(D + i - 1) + l)t =
= e(-1+<)
)'(£>2 + 2(i - 1)D + (i - IJ + 3D + 3(i - 1) + l)t =
>2 + A + 2i)D + (-2 + i))t = e^1+i)t({l - 2t) + iB + t)) =
= e~'(((l -2t)cost- B + t)smt) + i((l-2t)smt+ B + t)cost)).
Отсюда получаем:
x"(t) + 3x'(t) + x(t) = Re {D2 +W + \)te{~l+i)l =
6.611. x"'{t) + 46x{t); x{t) = e2t cos 3t.
6.612*. x"(t) - x'(t) f E/4).T(i); ж(<) = e'/2sint.
6.613. ж"(«) + 2x'(t) + 2x(t); x(t) = e' sin 2t + e~l cos t.
6.614. x'"(f) -x(t); x(t) = fismt.
6.615. x"(t) - 2x'(t) + 5x(t); x(t) = elsin2tVl + t2.
6.616. (l/2)x"(t) - x'(t) +x(t)\ x(t) = A + t2)etcost.

Глава 7
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Основные методы вычисления
неопределенного интеграла
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Функция F(x) назы-
называется первообразной функции /(ж), заданной на некотором множестве
X, если F'(x) = f(x) для всех х Е X. Если F(x) — первообразная
функции /(ж), то Ф(х) является первообразной той же функции в том
и только в том случае, когда Ф(.т) = F(x) + С, где С — некоторая по-
постоянная. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется
неопределенным интегралом от этой функции pi обозначается символом
f(x)dx. Таким образом, по определению
+ C}, A)
где F(x) — одна из первообразных функции f{x), а постоянная С при-
принимает действительные значения.
В силу установившейся традиции равенство A) записывается без
явного обозначения множества справа, т.е. в виде
при этом С называют произвольной постоянной.
Свойства неопределенного интеграла:
f(x)dx) =f(x).
2. f f'{x)dx = f(x) + C.
3. / af(x) dx = a I f(x) dx, а Ф 0.
4- f {fi(x) + f2{x)) dx = I fi(x)dx+ [Mx)dx.

116 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменно!
Таблица основных неопределенных интегралов:
1. J x dx n + l
2. f— =
' J In о
■7si
In |a:I + C.
3lxi *~" /"t /
. /a ax = ; ho (a >
4. / sin x dx = - cos x + C.
>;/,
ех dx = ех + С.
6.
tg"
+ С = In | coseccc - ctg ж| + С.
tg f^ + 7
\z 4
10
11
12
13
14
X
a
ж + a
x - a
+ С (a ^ 0 .
7. / T-f— = -ctgx + C.
У sm x
8. /^- = ln
У smx
9. /^ = ln
У cosx
/" dx 1
' / 2,2= "a
У x2 + a2 a
f dx ^ 1
J a2 — x2 2a
/dx x
. = arcsin —h C, |x| < \a\.
Va2 - x2 a
■/
■/
/
16. / ch x dx — sh x + C.
f dx
1/. I ^ == 111 X -г О .
У ch x
С
= In
= In \x +
/ж2 + a2
15. / sh x dx = ch x + C.
18.
dx
sh2 x
= — cth x

§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 117
Найти первообразные следующих функций:
7.1. 2х7. 7.2.
7.3. 3- + -I.
ж
7.5.
. 7.6.1-2sin'*.
2
7.7.
7.10.
1
/а + Ьх
1
7.8. е2-3х.
E
7.9.
1
ж3 4- 1
7.11. : . 7.12. l-8sin2 2.x cos2 2x.
х - 1
cos2 Ax
_„„/ 9 ж „.ж ж .9ж\2
7.13. ( cos —h 2 sin - cos sirr - 1 .
V & Zj Zj Zi f
7.14. cos (a + x) cos (a — x) + sin (a + x) sin (a — x).
Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы основ-
основных интегралов и тождественных преобразований называют непосред-
непосредственным интегрированием.
/dx
_ -^
X X
Г dx Г dx Г1-Х2+
.1 i= - хА - J хЦ1 - х2) ~ У .г-2A _ Х2
/dx f dx 11
^ + У Г^ = ~х + 2
ах -
In
1 + X
1-х
+ С. О
Используя таблицу основных интегралов, найти следующие
интегралы:
7.15. I C.x2 + 2х + - J dx. 7.16. / 2ж ^ 3 dx.
7.17.
7.19.
7.21.
mxdx.
1 ж + 1
7.18.
dx. 7.20.
■ dx.
7.22. / 2xexdx.
7.23. / 2TA + 3.x2 • 2~x) dx. 7.24. / B.x + 3 cos ж) dx.

118 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
.25. Г-
J si
7
7.27.
1 2 — sin x
dx.
sm2 x
cos 2x
cos2 x sin2 x
Г.26. /
3-2 ctg2 x
cos2 a;
dx.
7.28. / sin2 - dx.
7.29*. a) ftg2xdx; 6) fth2xdx.
.30. / : 5—. 7.31. / (arcsina; + arccosa;)dT.
У cos 2x + sin'' ж J
7
7.32.
7.
7
7.38.
7
7
7.
a)(x + b)dx.
% cos2 a; + 3 cos a; - 2
cos2 ж
.40. /
.41. a) I ctg2xdx; б) А
da;.
7.4
-9
2. Метод замены переменной. Существуют следующие два варианта
этого метода.
а) Метод подведения под знак дифференциала. Пусть
требуется вычислить интеграл / f(x) dx. Предположим, что существуют
дифференцируемая функция и = (р(х) и функция д(и) такие, что подын-
подынтегральное выражение f(x)dx может быть записано в виде
f(x) dx = д(<р{х))<р'(х) dx = д{и) du
(указанное преобразование называется подведением и — ц>(х) под знак
дифференциала). Тогда
/ f{x)dx = / g((p(x))(p'(x)dx = / д(и) du
u=ip{x)

§1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 119
т.е. вычисление интеграла / fix) dx сводится к вычислению интеграла
/ g(u) du (который может оказаться проще исходного) и последующей
подстановке u = ip(x).
Пример 2. Вычислить интеграл / sin3 xcosxdx.
j sin3 x cos xdx — / sin3 x d(sm x) =
= / u3 du = —
./ 4
sin4 .t _,
+ С = —-— + С. о
4
u=sin x
Пример 3. Вычислить интеграл / —^ -dx.
J X" ■+■ X — о
<] Имеем:
У х-2 + а; - 3 "' ./ .т2 + х - 3 "У «
Операция подведения функции <^(.т) пол знак дифференциала экви-
эквивалентна замене переменной х на новую переменную и = у?(.т)-
Пример 4. Вычислить интеграл / —j
J vC.r 4- IJ
< Произведем замену переменной по формуле
Тогда du ~ 3 dx, т. е.
dx — -
о
/f/x 1 [ du wo,
. = - / -т~г = w1/3 ,
С.
Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак диффе-
дифференциала функции W-3.X + 1. >

120 Гл. 7. Интсгрсыьное исчисление функции одной перемснь
Вычислить интегралы с помощью подходящей замены:
/г
л/3 + xdx. 7.45. (i-As'mxI^ cosxdx.
C
Ml./.
7.46. / chxshxdx.
7.48.
7.50.
7
x
sec2 x
tg4a;
Г.49. /"-
У а
dx. 7.51.
bx'
cos (x/\/2)
2-3sin(a;/>/2)
7.53. / 34x dx.
a — b tg ж
.52. / ctgxdx.
7.54. / cos (аж + b) dx. 7.55. / sin (In ж) —.
У Уж
sinv/i--p. 7.57. /
7.58. / -$-. 7.59. / ~ dx.
dx.
dx
sh23x
cos (x - тг/4)'
ж
Ix1 -1
7.60.
7.62.
7.64.
7.66.
7.68.
7.70.
7.72.
7.74.
/
/
/
/
/
/
/
/
x • 5 x dx.
e-ax
1 + e~2ax X'
dx
V9x2 - 1'
x* dx
xs + Г
dx
a2 + b2x
ch2 xshxdx.
tgxdx.
x2 dX'
7.61.
7.63.
7.65.
7.67.
7.69.
7.71.
7.73.
7.75.
/
/
/
/
/
/
/
/
dx
1-Ax2'
dx
v5 — 3x2
sin x dx
л/cos2 x + 4
sin ax ^
r, (IX .
cosJ ax
'X
G - e*J
cth 4x с?ж.
xdx
ch2 (ж2 + 1)

I-
§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 121
dx
г
'./ (о - 6)z2 -
.77. f dx .
/x2 dr
x ax
(О < Ъ< а).
x dx
7.80.
■■ dx.
/a2x - 1
Применяя различные приемы, найти неопределенные инте-
интегралы.
7
7
7.86.
.82. / T^dx.
Г xdx
У а2х* - Ь2 "
х
5 + Ъх -
■ dx.
7.88. У (з - j==
dx
I «О27»
7 Q1
7
7
7
7
7
l -
Г.И. /
ex\/A + exdx.
'е2х + 4
Darcsin a:
■937
/^arcsin ж | ^. I 1
.97. [ y/3-cbxshxdx. 7.98. /"—^=
J J xVl—
.100*. / sin2
clixshxdx.
.99. / dX
У xVl -4 In2 я;
.101*. / cos2xdx.
7.103. I {sin ax + cos axJ dx. 7.104. /"
7.96.
7
7
7.102.
: dX'.
4 In ж
sin(a;/\/2)
cos (a;3)

122 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
/* A+ cos2.tK f sin2x
7.105. / -dx. 7.106. / dx.
7.107. / -, Sln Z —dx. 7.108*. I —
./ \/cos4.t + 3 ./ sir
sin ж cos
7.109. / ^=-. 7.110. / thaxdx.
J ctgV3.x J
7.111. I t,g2 (ож + b) dx. 7.112. / x2 ctg2 (ж3 - 3) dx.
7.113. I esccxtgxsccxdx.
б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл
/ f(x) dx, где функция /(ж) определена на некотором множестве А'. Вве-
Введем новую переменную и формулой
где функция tp(u) дифференцируема на некотором множестве U и осу-
осуществляет взаимно однозначное отображение U на X, т.е. имеет об-
обратную
u = ip-l{x): X-+U.
Подставив х = ц>{и) в исходное подынтегральное выражение, получаем
}(х) dx = f((p{u))sp'(u) du = g(u) du.
Далее, справедливо равенство
[f(x)dx= [ f{ip{u))ip'(u)du =[g(u)du
J J u=<p~l{x) J
u--<p irx
т. е. вычисление интеграла / f(x) dx сводится к вычислению интеграла
j
/ g(u) du (который может оказаться проще исходного) и последующей
подстановке u = tp~l(x).
Г 1 + х
Пример 5. Вычислр1ть интеграл / y=dx.
< В рассматриваемом случае область определения подынтегральной
функции X — [0, +оо). Произведем подстановку
х -— tp(u) — и2, и G [0, +оо).

§ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 123
Тогда dx — 2udu, u = tp~] (x) = y/x, откуда
J
U +
U +
. t>
Применяя указанные подстановки, найти интегралы:
dx
С е2х
7.117. / dx, ж = Ы.
J ex + 1
Применяя подходящие подстановки, найти интегралы:
7.118. [x{bx-l)l9dx. 7.119. [ ,в dx.
J J V1 - ex
7.120. I Ж + dx. 7.121. / ^ dg.
7.123. / —
3. Метод интегрирования по частям. Если и(х) и v(x) — дифферен-
дифференцируемые функции, то справедлива следующая формула интегрирования
по частям:
/ u(x)v'(x)dx —u(x)v(x) - / v(x)u'(x)dx,
или в краткой записи
udv = uv - / vdu. B)
Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выра-
выражение f(x) dx можно так представить в виде udv, что стоящий в правой
части B) интеграл при надлежащем выборе выражений и и dv может

124 Гл.7. Интегральное исчисление функций одной переменной
оказаться проще исходного интеграла. При этом за и удобно принимать
множитель, который упрощается при дифференцировании. Например,
если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригоно-
тригонометрическую или показательную функцию, то к и следует отнести мно-
многочлен, а оставшееся выражение — к dv. При этом формула B) может
применяться неоднократно.
Пример 6. Найти / х2 cos xdx.
<\ Полагаем и = х2 и dv = cos x dx. Тогда du = 2x dx и v = / cos x dx —
— sinx (постоянную С здесь полагаем равной нулю, т.е. в качестве v
берем одну из первообразных). По формуле B) имеем
/ х2 cos х dx = х2 sinx - I 2x sin x dx.
К стоящему справа интегралу снова применяем формулу интегрирования
по частям, причем к и снова относим многочлен (т.е. 2х). Имеем: и =
— 2х, dv — s'mxdx. Отсюда
du — 2dx и v = s'mxdx = — cos £.
Применяя формулу B), получаем окончательно:
х2 cos xdx — х2 sinx — ( — 2х cosx — I (— cosxJ dx I =
\ J J
— х2 sin x + 2x cos x - 2 sin x + C. >
Если подынтегральная функция содержит сомнолштелем логариф-
логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует
принимать за гг, так как в результате дифференцирования эти функции
упрощаются.
Пример 7. Найти / \nxdx.
dx [
< Полагаем и = lnx\ dv — dx. Тогда du = — и v = dx = х. Подста-
х J
вив в формулу B), находим
/Inxdx — хInх — х— = хInx — x + С. >
J x
Иногда после двукратного применения формулы интегрирования по
частям приходим в правой части к выражению, содержащему исходный
интеграл, т.е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве
неизвестного.

f 8 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла 125
Пример 8. Найти / eax sinbxdx.
О Полагаем и = eax, dv — smbxdx. Тогда du = аеах dx, v — -- cosbx.
b
Подставив в B), имеем
/еах sin bx dx = --eax cos bx + т / еат
6 6J
Теперь полагаем и = еах, dv = cos bxdx. Тогда dn = аеах dx, v =
= 7 sin Ьх и
/enx sin bxdx — - Teax cos bx + 7 ( -7- sin bx — - eax sin bx dx ) .
ь ь V ь ь j )
В итоге получено уравнение относительно неизвестного интеграла
/ еах smbxdx. Решая это уравнение, находим
(о?\ Г п f 7 nrasinbx — fecosbx _,
l + ¥jJeSmbxdx = e + Clt
ИЛИ
/eax(asmbx - bcosbx) _
eax sin bx dx —— + C. >
a2 4- b1
Применяя формулу интегрирования по частям, найти инте-
интегралы:
7.124. / arccos^dx. 7.125. / х cos x dx.
7.126. fxlnxdx. 7.127. f ■
7.128. / (ж2 - х + l)\nxdx. 7.129. /ж2sinжdж.
7.130. I x2e~xdx. 7.131. j x3ex dx.
Г.132*. f,
7.132*. fx3e-x2dx. 7.133.
ж sin ж
— drc.
Ж
//* ж si
zarctgzcfo. 7.135. /
J COS
7.136. f eaxcosbxdx. 7.137. f e*TCC0SX dx.

126 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
7.138. \n(x+ \/l+x2)dx. 7.139. x3\nxdx.
7.140. fx3xdx. 7.141. f {x2 - 2x + 3) cosxdx.
/x dx f
——. 7.143. / cos (In x) dx.
cos2 x J
Применяя различные методы, найти интегралы:
7.144*. e^dx. 7.145. /x(arctgxJ dx.
»+ A* f arcsinx »+ A» [ 2 7
7.146. / ^—ax. 7.147. / xctg жаж.
J % J
r C0S2 f x2
7.148. / -dx. 7.149*. / 7-r —■ dx.
J ex J {x2 + 1J
7.150**. Вывести рекуррентную формулу для интеграла In —
— тг—. Найти /2 и /з.
xz + az)n
Найти интегралы:
y/x2 + adx. 7.152**. / .
х1
7.153. / xarcsin xdx. 7.154. / dx.
J J x
7.155. / x2 axctgxdx. 7.156. / —j=
J J V1 - x
7.157*.
§ 2. Интегрирование основных классов
элементарных функций
1. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование произ-
Рт(ж) bmxm + ... + bix + b0
вольной рациональной дроби = с деистви-
Qn(^) anxn 4-... 4- aix 4- a0
тельными коэффициентами в общем случае производится следующим
образом.
рт(х)
Если т ^ п, т. е. исходная дробь *; ■. неправильная, то следует
<Эп(ж)
предварительно выделить в этой дроби целую часть, т. е. представить

S2. Интегрирование основных классов элементарных функций 127
ее в виде
м (х) + m
Qn(x) - Mm~n{x) + Qn{x)' A)
где Mm-n(x) и Rr(x) — многочлены степеней т-пHиг соответ-
, Rr{x)
ственно, причем г < п, т. е. дробь _ . —• правильная.
Qn(x)
Выделение целой части в дроби производится делением чи-
Qn(x)
слителя на знаменатель «уголком».
Пример 1. Выделить целую часть дроби
Qn(x) х(х2~2х + 1)'
<] Дробь неправильная, так как т — б > п = 3. Для выделения целой
части записываем числитель и знаменатель в каноническом виде:
х(х2 - 2х + 1) = х3 - 2х2 -f х,
и далее, выполняя деление «уголком» первого многочлена на второй,
получаем в частном ж3 -f 2х2 + бх + 10, а в остатке 17х2 — 10х + 1.
Следовательно,
и выделение целой части закончено. D>
Как показывает формула A), операция выделения целой части сводит
интегрирование произвольной рациональной дроби к интегрированию
многочлена и правильной рациональной дроби.
Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь
Рт{х)
, т < п, следует предварительно разложить ее в сумму так на-
Qn(x)
зываемых простейших дробей. Это разложение осуществляется следую-
следующим образом. Пусть знаменатель Qn(%) — о,пхп + -.. + Q\.x + clq имеет
действительные корни ai, ..., а/ кратностей si, ..., st и комплексно-
сопряженные пары корней ft, Дь . ., /3*, /Зк кратностей t\, ..., tk соот-
соответственно (si-f.. . + 6ii+2^i + .. .-f 2tk = ^), т.е. справедливо разложение
Qn{x) - an(x - ai)ei ... (ж - a/)s' (ж2 -г Pix + qi)tl ... (x2 + рлж + qk)ik,
где

128 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Логда разложение дроби в сумму простейших имеет вид
Qn(x) х - ol\ (x-ai)
2+ + '"
,.,., 4 , ,,
(х - ai)Sl x2+p\x + qi '" (х
2
*£* + <«
. . . ~\- - ~ — . { I}
[x2 +PX + q)tk
Коэффициенты Af , B\ и С\ в этом разло?кении определяются пу-
путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х у мно-
многочлена Р1П(х) и многочлена, который получается в числителе правой
части B) после приведения ее к общему знаменателю (метод неопреде-
неопределенных коэффициентов). Можно также определять эти коэффициенты,
полагая в равенстве B) или ему эквивалентном х равным подходяще по-
подобранным числам (в первую очередь значениям действительных корней
знаменателя Qn(x)).
(х + 2J
Пример 2. Дробь —. гтг разложить в сумму простейших.
х(х - II
<\ Искомое разложение имеет вид
(х + 2J А В С
— —|1
х{х-1J х х- 1 {х- IJ'
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем тождественное
равенство
х2 + 4х + 4 = А(х - IJ + Вх(х - 1) + Сх. C)
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях х дает систему
уравнений:
Л + В = 1, -2Л-Б + С = 4, А = 4,
откуда получаем А = 4, В = —3, С = 9. Следовательно, искомое разло-
разложение имеет вид:
х2 + 4х + 4 4 3 9
х(х-1J х х-1 (х-1J'
Можно определить коэффрщиенты Л, Б, С другим способом, полагая
последовательно в тождестве C) х — 0, ж = 1 и, например, х — — 1: при
,т = 0 находим Л = 4, при х = 1 получаем С = 9, а при х = — 1 имеем
1Л + 2В-С = 1, т.е. £ = -3.

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 129
При решении этого примера лучше всего было бы комбинировать оба
способа, т.е. найти А = 4 при х = О, С = 9 при х = 1, а Б определить
из равенства коэффициентов при х2 в C), т.е. из равенства А-\-В — 1. О
Формула B) показывает, что интегрирование произвольной рацио-
рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей следую-
следующих четырех типов:
A f 4
Aln\x-a\ + C.
х - a
[А
/ —-— dx =
J х - а
+ р + q
Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим на примере.
г х — 1
Пример 3. Найти / -т dx.
J х2 + х + 1
< В рассматриваемом случае дискриминант квадратного трехчлена, сто-
стоящего в знаменателе, отрицателен: р2 — Aq = 1 — 4 = —3 < 0, т. е. имеем
дробь третьего типа. Так как (х2 + х + IO = 2х + 1, то числитель дроби
преобразуем следующим образом:
(это преобразование называется выделением в числителе производной
квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе). Поэтому
х- 1 _ 1 Г (х2 + х + 1)' И dx __
Оставшийся интеграл находится выделением полного квадрата в ква-
квадратном трехчлене:
Г dx _
J х2 + х + 1 ~
dx
(х + 1/2J + 3/4 3
2
:/г
\/3./ 1+B(х + 1/2)/>/зJ \/3*
В результате заданный интеграл равен
f х-1 , 1, , 2 , ч г- 2^ + 1 ^
/ _^ fix = - In (x + х + 1) - V 3 arctg —тг— + С. О

130 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
4т 4- R
4) . 2Л* + " ,fc, Р2-4,/<0, * = 2,3,...
Метод интегрирования дробей этого типа рассмотрим также на при-
примере.
Пример 4. Найти
J ^
< Здесь р2 — 4g = 4 — 12 = —8 < 0, т.е. имеем простейшую дробь че-
четвертого типа. Сначала выделяем в числителе производную квадратного
трехчлена:
- [ (l/2)(* + 2z + 3) + l
} B 2 3J
1 Г dx
J (х2
2{х2 + 2х + 3) 7 {х2 + 2х + ЗJ'
Для вычисления оставшегося интеграла предварительно приведем
его к стандартному виду, выделяя полный квадрат в квадратном трех-
трехчлене:
Г dx _ Г dx _ 1 Г dx
У (х2 + 2х + ЗJ " J ({х + 1J + 2J " 4 J (х + ((а. + 1
1_ Г d((x + l)/V2) 1_ Г du
~2y/2j (I + ((х + 1)/ч/2JJ ~ 2v^7 (l + u2
Далее используем метод интегрирования по частям:
du _[^+u2~u2i_[ du f u2 du _
A + n2J У A+г/2J У 1+n2 ~У (Т+W
1 /• _ / 1 \ 1
yd^Jt
1 _ 1 / г/ \ ^
-- arctgn + С = - I arctgn + 4- С
Окончательно получаем:
а; 4-2 7 1
■ dx = — -
(х2 4- 2х 4- ЗJ 2(х2 4- 2х 4- 3)
Н parctg—7=~ + т"~^—^ ^ + С- О
4\/2 л/2 4 х2 + 2х 4- 3
В общем случае к > 2 рассмотренный в примере 4 прием позволяет
свести вычисление интеграла / A 4- и2)~к du к вычислению интеграла

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 131
/ A 4-ii2)~fr+1 (iu, т.е. дает рекуррентный метод вычисления интегра-
интегралов этого типа.
Проиллюстрируем метод интегрирования рациональных дробей в це-
целом на следующем примере.
/dx
х(х2 + IJ
< Дробь 2 — правильная, ее разложение в сумму простейших
х[х -т i.)
дробей имеет вид
1 _ А Вх + С Dx + E
Имеем
1 = А(х2 + IJ + Вх2(х2 + 1) + Сх{х2 + 1) + Dx2 + Ex.
Полагая х = 0, находим Л = 1. Приравнивая коэффициенты при оди-
одинаковых степенях ж, получаем 0 = Л + Б, 0 = С, 0 = 2Л + В + Z},
0 = С + Е, т. е.
Следовательно,
dx Г A ж ж
dx =
Заметим, что разложение дроби — на простейшие можно по-
х{х1 + \у
лучить и не применяя метода неопределенных коэффициентов, а именно:
1 {1 + х2)-х2 1 х
х{х2 + IJ х(х2 + IJ х(х2 + 1) {х2 + IJ
A + ж2) -ж2 ж _ 1 ж
=
х{х2 + 1) (х2 + IJ = ж ж2 + 1 (х2 + IJ '
Найти интегралы:
7.158. / 2 dXA ^. 7.159.
J х2 + 4х - 5
7.160. /т^-. 7.161.
J 544

132 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
7.162. / -=-^—. 7.163. \ -тг^ТГ 7dx-
/
7.165.
7.169.
7.168. / ^- dx. 7.169. /
J х3 -Ах J х3 + Зж2 +
У (ж-1J(ж + 2) у
7.Ш. /-г|Чт. 7.173.
У B 2)
174* [(x
У (х
- У
dx 7 77 f x2 - x + 4
-. 7.179.
7.180. f^r^dx. 7.181. /т
J xA-l J х4
+ 2x2 + 1
Найти интегралы, не применяя метода неопределенных коэф-
коэффициентов:
7.182*. / . *""„ о. 7.183*.
х4 + а2х2' "У х4-а4"
7.184. / , &. „■ 7.185*.
. 7.185. Гг^Ш
х4- Ах2 + 3 У х(х6 + I)
7.186. / -^ .. 7.187*. /"—j ^—
У х7 + х5 У (х4 + 1)(х
—-
-2)
f+?
7.188. f^—£-dx. 7.189. / f+?\dx.
У (х + 1)9 У х9 4-х3-2
2. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функ-
функций, а) Интегралы вида / sin a; cos" xdx.
Если хотя бы одно из чисел m или п — нечетное положительное целое
число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функции 133
помощью формулы sin2 х + cos2 х = 1 оставшуюся четную степень через
, дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.
Пример б. Найти / , dx.
J yxos х
< Имеем:
/sin3 x . /* sin2 x . , A- cos2 .т .
. ax = / t sm x ax — — / —, — a cos x —
v^cosx ,/ ^cosx У vcos;r
/d cos x /* cos2 x , 4 4/—:r~ 4 4/—-— _
, 4- / . / a cos x — - - V cos13 x -i—-vcos1^^-^. t>
v/cosx 7 Vcosx 3 11
Если же тип — четные неотрицательные числа, то степени пони-
понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью триго-
тригонометрических формул:
9 1 + cos 2х о 1 — cos 2х 1
cos х — , sin х — , sin х cos x = - sin 2x.
Пример 7. Найти / sin2 xcos4 xdx.
<J Имеем:
f . 2 4 j ft- \2 •? 7 /" sin2 2x 1 + cos 2x
/ sin xcos xdx — / (smxcosx) cos" xdx — I — dx —
\ f \ f 1/*1 cos 4x
= - / sin2 2x dx + - / sin 2x • cos 2x dx = - / dx+
8 7 8 7 8 7 2
Л / sin2 2xdsi
16 7
x sin 4x sin3 2x _
2xdsin2x-—--^- + -^—+ C. t>
Если m + n — —2A:, A: G N, т. e. m + n является целым четным отри-
отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановки tgx = t
и ctgx = t.
Пример 8. Найти /sin1/3xcos 13/3xdx.
1 13
< Так как = — 4, то вычисление интеграла сводится к интегри-
о о
рованию степеней тангенса:
dx
/sin1/3xcos3/3xdx = /tg1/3x
COS4 X

134 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Для вычисления интегралов вида / tgm xdx, / ctgm xdx, где m ~
— 2, 3, ..., используются тригонометрические формулы
tg2 x = sec2 x - 1, ctg2 x = cosec2 ж — 1.
Пример 9. Вычислить / ctg4 x dx.
<\ Имеем:
/ ctg4 x dx = / ctg2 ^(cosec2 .x - 1) dx —
— — ctg2 x d ctg x — (cosec2 x — 1) dx =
ctg3 x
ctgx
В общем случае интегралы вида / sinm;rcosn
x dx, где тип
целые числа, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые
выводятся путем интегрирования по частям.
Пример 10. Вывести рекуррентную формулу для / —-г—.— и с
J COS2/C+1 X
. dx
ее помощью найти
О Имеем:
Г dx f sin2 x + cos2 x .
/2*+! = / 2/И-1 = / ^Ш dx =
J COS X J COS X
2 x f dx Г sin x
/sin2 x . f dx Г
— dx 4- / —2. , = / sin ж
C0S2^+i x у cos2^-1 ж у
cos2A;+1 x
тт • Sin Ж
Полагаем u = sin ж, ш; = —гт—:—аж. Гогда аи = cosxax, г? =
C0S x
— ——, и интегрированием по частям получаем
Lk cos х
sin x 1 f dx
in x 1 f
^~x ~2kJ
ИЛИ
^2Jfc+i — 7Г, ^7 Ь ( 1 — 777" ) hk-i
2ксо^гкх \ 2к;
(рекуррентная формула).

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 135
В частности, при к = 1 имеем
/dx sin x 1 Г dx
cos3 ж 2 cos2 .х 2j cos x
sin ж 1
cos x* 2 cos2 x 2
seca;
Найти интегралы:
7.190. / sin3 xdx.
/• 3
7.192. I cos7xdx. 7.193. / cos4 - dx.
7.194. / sin2 x cos2 xdx. 7.195. /cos
2xsin4
7.196. / -—.
7.198.
sinJ x cos0 x
7.200.
sin a; cos ж
7.197.
7.199.
7.201.
•x
dx
sin4 x cos2 x
cos& ж
7.202. У tg3 x dx. 7.203. J (ctg3 | + ctg4 |) dx.
7.204. / — ^-==. 7.205. I cos5 xdx.
J v cos x sin x У
/' sin3x f
7.206. / -; dx. 7.207. /sin62xdx.
7 v cos x 7
7.208. /"-^-.
7 cos4 ж
7.210. /-4-.
У sirrx
7 209 /" dx
7 cos (ж/3) sin3 (ж/3)
7.211. / cosxcos22xdx.
7
б) Для интегрирования произведений синусов и косинусов различ-
различных аргументов применяются следующие тригонометрические формулы:
cos a cos p — -(cos (a - /?) -f cos (а -f /3)),
sin a sin C = -(cos (a - /3) - cos (a -f /3)),
sin a cos [1 — - (sin (a -/?)+• sin (a + /?)).

136 Гл. 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
Пример 11. Найти / cosQxcosbxdx.
< Имеем
/cos9xcosЪхdx — - / (cos4x+cos 14ж) dx — - sin4ж+ — sin Ux+C. >
2 у 8 28
Найти интегралы:
7.212. / sin3xcos5xdx. 7.213. / sml0a;sinl5x<ix.
/x x /* т, 2х
cos - cos - dx. 7.215. / sin - cos — dx.
2 3 У 3 3
7.216. / cos x cos2 3xdx. 7.217. / sinxsin2xsin3xdx.
в) Интегралы вида
/ i?(sin;r, cosx)dx,
где R(u, v) — рациональная функция двух переменных, приводятся к
интегралам от рациональной функции нового аргумента t подстановкой
X
tg х — t- При этом используются формулы
2t 1-t2 _ 2dt
: i 7~±o i ^Х — - ""To"-
dx
Пример 12. Найти /
J 4 cos x
x
<\ Полагаем tg — — t. Тогда
+ 3 sin x + 5
da;
4 cos x -f 3 sin x + 5
dt
2 У
DA - «2)/(l + <2) + 3 ■ 2*/(l + t2) + 5)A
dt 2
= 2|__|__ = 2|
t(/2)+3 +
3J t + 3 tg(x/2)+3

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 137
Если под интегралом sin x и cos x содержатся только в четных сте-
степенях, то удобнее использовать подстановку tgx = t.
Пример 13. Найти
Г dx
J 1-5 sin2 x
Разделив числитель и знаменатель на cos2 x и используя подстановку
£ = £, получим:
Г dx _ Г dtgx _ Г dt
J 1 - 5 sin2 х ~ J 1 + tg2 х - 5 tg2 x ~~ J 1 - 4
= 41П
l+2t
— 2*
1
+ С = - In
2tgz
l-2tgx
. D>
Найти интегралы:
dx f dx
3 — 2 sin x + cos x
dx
7.218. /-———-. 7.219. f
J 3cosx + 2 J
7.220*. / 8ШЖ da;. 7.221. /— .
j 1 + sinx У 4 siir a; — 7 cos2 ж
7.222. /' 2 "Г" -cfa. 7.223. f ^2 dx.
J cosz x — 2 cos x + 5 7 1 + 4 cosz x
7.224. f -*?—.
J 2 —sin ж
7.225*. f
У (s
7.226.
f
J
7.226. /
smx + 4j(smx — lj J 1 —ctgx
sin2x + 8 sin x cos x + 12 cos2 x
г) Интегрирование гиперболических функций производится анало-
аналогично интегрированию тригонометрических функций, причем использу-
используются следующие формулы:
ch2 х — sh2 x — 1, sh x ch x — - sh 2ж,
ch2a;= i(cli2i + l), sh2x = ^(ch2a; - 1),
1 - th2 ж = то-, cth2 ж - 1 =
ch x sh ж

138 Гл. 7. Интегргтьное исчисление функций одной переменной
Найти интегралы:
7.228. / ch2 Зх dx. 7.229. / sh3 2х dx.
7.230. / sh2 x ch2 x dx. 7.231. / ch4 x dx.
.232. /
J
* 7.23Г.
sh2 x ch2 x J sh2 x — 4 ch2 x
dx
7.235. / \/chx + ldx.
j
7.236. f cttfxdx. 7.237. fth4xdx.
3. Интегрирование некоторых иррациональных функций, а) Инте-
Интегралы вида
\сх + d
\
где i?(x, ?/, z, ...) — рациональная функция своих аргументов, mi, ni,
Ш2, П2, ... — целые числа, вычисляются с помощью подстановки
аХ -f Ь „ 7П\ 7712
= г, где s — оощий знаменатель дробей —-, —, ...
СХ + d П\ П2
Г dx
Пример 14. Найти / ,
<3 Производим подстановку х + 3 = tA. Тогда dx — 4t3 dt, и, следова-
следовательно,
Г dx -л Г ^dt -
1 (^T-i)v^T3 " I (t -1)*2 "
= Ц</х + 3 + In |^ТЗ - 1|) + C. >
Найти интегралы:
7.238. /- %=. 7.239. /"-^Й=.
7.240. Г -JL^. 7.241. / / </^f~a;' dx.
J y/x-tyx J (x + a)(l + j/x + a)

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 139
7.242. [?[Щ-±-ш 7.243.
/ Vl(lK
б) Вычисление интегралов вида
/ R(x, у ах1 Л-Ьх -\- с) dx,
где R — рациональная функция двух аргументов, производится с по-
помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выделе-
Выделением полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей заменой
b
переменной и — х + — исходный интеграл приводится к интегралу
одного из следующих трех типов:
/l2-u2)du,
Последние интегралы тригонометрической или гиперболической подста-
подстановкой соответственно
1) и — I sin t или и — I th £,
2)u = ltgt или u = lsht,
3) и — /sect или u = lcht
приводятся к интегралам вида / i?(sin£, cost)dt или / R(sht, cht)dt.
Пример 15. Найти
О Производим подстановку х — acht. Тогда dx — ashtdt, y/x* — ас =
= asht, и далее
f \/x2 -a2dx = a2 f sh2tdt= — f{ch2t- l)dt =

140 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Пример 1G. Найти / —.
У /{х2 + 4.x + 7K
< Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, имеем
/dx [
—. = / —,
vV + 4ж + 7K У У(м
du
где и — х -f 2.
K J У(п2 + 3K'
Производя теперь подстановку и = л/3 tg ^, d
= v3sec£, получаем:
/ dx f уД . 1 f
/ у = / 7= ctt = - / cos t dt =
I //l/1 i n\Q I 2 4- / Q 3 3-/- л I
1 1 ?/. 1 rr -4- 5
= - sin i •
о о у и1 +3 о уж2 + 4.x + 7
При вычислении интегралов вида
тж + п
I
\Jax2 -f bx + с
dx
следует предварительно выделить в числителе производную квадратного
трехчлена.
/х — 1
. dx.
V1 - 4ж - ж2
Имеем
x~l dx= ft
- 4.x - x2 J
2У Vl - 4
y/\ - 4.x - x2
"
/5 - {х + 2)
2
= — у 1 — 4х — х2 — 3 arcsin ——- -f С.
V5
Заметим, что в этом примере нет необходимости производить триго-
тригонометрическую подстановку, так как выделение полного квадрата сразу
приводит к табличному интегралу. >
/dx
—г ===== (г = 1, 2) сво-
(тх 4- nyy/ax2 + bx + с
дятся к рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки
mx + n = -.

§ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций 141
Г dx
Пример 18. Найти / —, .
J ху/х2 - 2.т - 1
dt
<1 Полагаем х =■ -. Тогда dx = —-, \/х2 — 2х — 1 = a/~j 1 =
с с V с г
/L - 2* - t2
t
xy/x
dx f
- 2x - 1 У
t2(l/t)(y/l-2t-t2/t) J y/2 - (t + IJ
rfi
£ -+- 1 1/х + 1 х + 1
= — arcsin —?=- + С — — arcsin 7= \- С — — arcsin —7=" + С. >
Найти интегралы:
dx
.246. f — dx 7.247. I —
dx
7.248.
7 250
7,
di.
dx
.252. /"-==
- x2
dx
7.
7.251.
- тт2
: d,X.
бх — За;2
yjx2 +px + q
/x + 4
-7= dx.
V2 - x - x2
. Ж~ =da;. 7.255. / . ' dx.
Vx2 - 6z + 1 J Vx2 + x + 1
.256. A—. X 7.257. A
J xVx2 + 8x + 1 У (ж -
d3: =. 7.259. A
7.
7.258.
7.260. A \/l - 2ж - x2 dx. 7.261. А уЖ~- 2х --x2Kdx.
J J
7.262. f -j=L==. 7.263. A 2~ 1 da;.
Г.264. А Уа;2-2а; + 10«Ьв. 7.265. A

142 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
7.266. f 2+ dx. 7.267. I * 2 cte.
7.268.
7.269. / v/(o;2 - IK tte.
У vv '
§ 3. Смешанные задачи на интегрирование
Найти интегралы:
х + 3
7.270.
7.272.
7.274.
7
7
7,
7
ж2 + 2ж + 4
cte.
7.271. / -5 -<*с.
7 ж2 — х — 1
7 273 I dX
J (х3 ~ IJ
7.279.
7
7.283.
I 111 «АУ (XtjU I
У ж\/б + 41пж-1п2х У
.278. /х\/ж
.280. /VS
.282. /
dx
+ 8x + 4
.281. /
9)л/16 -
do:
4K
7.284. / - ** Л. 7.285. f-±-J\±
j v^-^+1 У A+жJ V 1-
7.286. f-^—dx. 7.287. /" -
,/ l — sm ж 7 1
7.288. / C0SX «fa. 7.289. /
У A-sinzL У
dx.
xdx
cosx
Г.290. /"—^
У 3-4si
4 siir ж
Г.291. /
2 + cos x
2- ^/tgx
COS2 X

§ 3. Смешанные задачи на интегрирование
143
/cpr» rp fry rp Г Г*ПЧ Т
secxtgx ^ 7.293. / dx.
V5 - sec2 ж У sin a; + 5
Г.294. / , d:E . . 7.295. Г
У sm x cos0 а: У
sm° x
7.296.
7.300. fth5xdx.
7.302. /^.
J СП X
.304. f xe2xdx.
/ex dx
e2x + 4ex
.308. fearcsinida
cos6
.297. / xsinx
.299. /
a;sina;cos2:r cte.
dx
sh2 x + ch2 x
ch v/1 + x
+ a:
dx.
.303. / sin2 (In ж) da;.
7.305. I xe~x2 dx.
f (ax - bxJ
.307. / * г-*-dx
J a*№
Ida:.
.309. / v/i^7
-«,« /"arcsinx 1 + ж2 , _„, /"arcsine1
7.310. / ^ . da:. 7.311. / dx.
7 a:2 v7]"^2 J ex
7.312. I VCtg0X dx. 7.313. /x(l + x2)arctgxda:.
7 1 + ж2 У
7.314. /ln(| + 3:|
J A + ж)
dx. 7.315.
7.316. fx\/x2 + l\n
7.317. / . Ж In . ^ da.
i Vl-i2 v 1 — ж2
^(H-Ins) da;. 7.319. / —
У е1
arete e1
dx.

144 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Если
функция f(x) определена на отрезке a $J x ^ b и a — xq < x\ <
< х2 < •.. < жп-1 < хп = Ь — произвольное разбиение этого отрезка
на п частей (рис. 14), то интегральной суммой функции f(x) на [а, Ь]
называется сумма вида
где хк-\ ^ £,к ^ %к, ^хк — хк — #А:-ь к = 1, 2, 3, ..., п. Геометриче-
ски Sn есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих
основания Ах к и высоты /(£&).
Если определенная на отрезке
[а, Ь] функция /(.т) такова, что су-
существует конечный предел после-
последовательности интегральных сумм
Sn при условии, что наибольшая
из разностей Дж/. стремится к ну-
нулю, причем этот предел не зависит
ни от способа разбиения отрезка
[а, Ь] на отрезки [ж^-ь %к], ни от
выбора точек £& на этих отрезках,
то функция /(.т) называется инте-
интегрируемой на отрезке [а, Ь], а сам
предел называется определенным
интегралом от функции /(,т) в
Рис. 14 ъ
пределах от а до b и обозначается символом / f(x) dx. Таким образом,
Г
f(x)dx= lim
max Да;/,.
A)
Непрерывная на отрезке [а, Ь] функция /(ж) интегрируема на этом
отрезке.
Геометрически определенный интеграл A) представляет собой алге-
алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции
у — /(ж), осью Ох и прямыми х = а и ж — 6, причем площади, располо-
расположенные выше оси Ож, входят в эту сумму со знаком плюс, а площади,
расположенные ниже оси Ох, — со знаком минус.
2
Пример 1. Вычислить
/ х2 dx,
рассматривая определенный инте-
интеграл как предел интегральных сумм.

§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления 145
<] 1-й способ. Разделим отрезок интегрирования [1, 2] на п равных
частей длины Ах — —. Точки деления:
п
х0 = 1, хх = 1 + -, ж2 = 1 + -, -.., xn_i = 14- , ж„ = 2.
n n 7г
В качестве точек £*. выберем, например, левые концы каждого частичного
отрезка. Тогда
2\2 .. ч Л п-Г2
-),..., /(Х„_х) =
Следовательно,
п
= -^ (п2 + (п + IJ + (П + 2J + ... + Bп ~ IJ) =
1 /2п-1
п° .
\А;=1 к =
Применяя формулу суммы квадратов целых чисел
V^ u2 n{n + l)Bn+l)
h = ё '
находим
Bn - lJnDn - 1) (n - l)nBn - 1) \ 14n2 - 9n
б б J бп2
откуда
2 , , 14n2 - 9n + 1 7
о
2-й способ. Разобьем отрезок [1, 2] на части так, чтобы абсциссы
точек деления образовали геометрическую прогрессию:
Xq — 1, Х\ — ^, х — q 1 • • • , xn_i — ^ , хп — q — z,

146 Гл. 7, Интегральное исчисление функций одной переменной
где q = 21/71. Точку £* выберем на левом конце А:-го отрезка. Тогда
Дхо) = 1, /(^i)=92, /(*2)=<Л ..., /(xn-i)=(/2(n-1),
Axi =^-1, Дж2 -q2 ~q- q(q ~ 1),
Az3 = tf2(<7-1), .-., Дж„ = 9п-Ч9-
5. - i • (^ - i) + ?3(</ -1) + g6(q -1) + • • • + q3{n~1](q -1) =
23-l
22/тг + 2V" + 1 22/n + 2V« + 1'
Следовательно,
2
? 2j 7 7
/ ж ax = Inn -7Г, 7T = «• I>
У n^oo 22/n + 2Vn + 1 3
l
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как
пределы соответствующих интегральных сумм:
5 тг/2
7.320*. f{l + x)dx. 7.321*. j cosxdx.
о о
10 3
ежЛс. 7.323*. / -j.
О 1
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Нью-
Ньютона-Лейбница. Если F(x) — одна из первообразных непрерывной на
[а, Ь] функции /(х), то справедлива следующая формула Ньютона-
Лейбница:
б
f(x)dx = F(x)\ba=F{b)-F{a).
Г dx
Пример 2. Вычислить / —-—.
J х\пх
е
3 Имеем
сЬ = Г d^nx)_ = ^ | Ых^~^ 1п Aпе2) _ 1п (Ье) = 1п2 » о,69.
х
е

§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления 147
Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:
2 8
7.324. I x3dx. 7.325. / -^L
7.326. f{3x2 -2x + l)dx. 7.327.
7.332. f exdx.
1
7.334. /^.
Уж
2
7.340.
4
Г.342. / —-
J x-
7.344.
7.328. /* 2 + У^ cto. 7.329. f tyx-ld
1 2
7Г 0
/л Т
sina;cte. 7.331. / —f-.
7 cos a;
тг/2 -тг/4
2 3
.332. f exdx. 7.333. /*2жйж.
7.335.
2 /
7.336. / -—^. 7.337. [ sin2 (p dtp.
о о
тг/3 2
7.338. f tg4xdx. 7.339. fstfxdx.
7.341.
-1
Г.343. /4^2
J x6 — xl
-2
dx.
7.345.
x

148 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
е
/
x{
1
1/3
\n2x)
тг/2
.347. / cos3
J
О
7.348. [ ch23xdx. 7.349. Г _ **У -.
./ J у2-2у-8
О 2
2
.350. /
J
dX
- 2x2
2
7.351. f^^dx.
J 2x + l
3/4
7.352. f—lLl
J {x + l){x2
С помощью определенных интегралов найти пределы сумм:
7.353**. lim
7.354. lim — A + cos — + cos2— + ... + cos (n - I)—).
n->oo2nV 2n 2n v }2nJ
7.355. lim - ( J1 + - + Jl + - + ... + J1 + - ).
n->oo n V у П V ^ V n/
Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
7.356. у = -.т2, у = 0, х = 2, а; = 3.
7.357. у=^х, у = 0, я; = 1, ж = 8.
7.358. у = б - х - 2х2, у = я; + 2.
х2
7.359. у = —, у = 2у/х.
7.360. у = cosx, у = 0, х — --, х = - —.
Z т:
7.361. у = е~х, у = 0, х = 1, а; = 2.
2
7.362. у = -, у = 0, а; = 2, ж = 3.
3
7.363. у = -, х + у = 4.
а;

§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления 149
3. Свойства определенного интеграла. 1) Если f(x) ^ 0 на отрезке
ь
[а, Ь], то / }{x)dx ^0.
Ъ Ь
2) Если f(x) ^ #(.т) на [а, 6], то / f(x)dx ^ / g(x)dx.
а а
6 6
3) |/ f(x)dx\^ J\f{x)\dx.
a
4) Если f(x) непрерывна на [а, 6], m — наименьшее, М — наиболь-
наибольшее значения f(x) на [а, Ь], то
га(Ь - а) ^ / /(ж) rfx ^ М(Ь - а)
а
(теорема об оценке определенного интеграла).
Пример 3. Оценить интеграл
1
Г dx
о
< Имеем: 1 ^ 1 + .х4 ^ 2 при 0 ^ х ^ 1;
1 1
т. е. m = —т=, М = 1, 6 — a = 1. Следовательно, —^= ^ / ^ 1. >
5) Если f(x) непрерывна, а д(х) интегрируема на [а, Ь], р(ж) ^ 0, га
и М — наименьшее и наибольшее значения f(x) на [а, Ь], то
6 ь 6
771
а
/ G(ж) rfx ^ / f(x)g(x) dx ^ M g(x) di
(обобщенная теорема об оценке определенного инте-
интеграла).
б) Если f(x) непрерывна на [а, Ь], то существует такая точка с G
G (а, 6), что справедливо равенство
f(x)dx = f(c)(b-a)
(теорема о среднем значении).

150 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Число
о- a J
называется средним значением функции f(x) на отрезке [а, Ъ].
7) Если f(x) непрерывна, а д(х) интегрируема на [а, Ъ] и д(х) ^ 0,
то существует такая точка с Е (а, 6), что справедливо равенство
о о
/ f{x)g{x) dx = /(с) / д(х) dx
(обобщенная теорема о среднем).
8) Если /2(.т) и д2(х) интегрируемы на [а, Ь], то
о
\Jf(x)g(x)dx
\
6 b
P{x)dx I g2{x)dx
(неравенство Коши-Буняковского).
9) Интегрирование четных и нечетных функций в симметрич-
а а
ных пределах. Если функция f(x) четная, то / f(x)dx — % f(x)dx.
-а О
а
Если функция f(x) нечетная, то / f(x) dx — 0.
— а
10) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], то интеграл с
переменным верхним пределом
X
Ф(х) = I f(t)dt
является первообразной для функции /(ж), т.е.
11) Если функции tp(x) и ф(х) дифференцируемы в точке х € (а, Ь)
и /(£) непрерывна при ip(a) ^ t ^ ф{Ъ), то
<р(х)

§ 4. Определенный интегрпл и методы его вычисления Ш.
-I
Пример 4. 1(х) = / е"' dt. Найти /'(х).
о
<3 Используя свойство 11) и учитывая, что <р(х) — 0, т.е. tp'(x) = О,
имеем
7.364. Определить знаки интегралов, не вычисляя их:
1 1 1
а)* / \fxdx\ б) / х3ех dx\ в) / xlnxdx.
-2 -1 1/3
7.365. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегралов
больше:
2 2 2 2
Г dx f dx f dx f dx
a / Гл 9 или / ~; б / ~2 или / ~з;
./ Vl + x2 J x J x2 J x3
l ill
i l
в) / e~x cos2 x dx или / e~x cos2xdx.
о о
7.366. Найти среднее значение функции на данном отрезке:
а) х3, 0 ^ х ^ 1; в) cosx, 0 ^ х ^ —;
б) ffi, 0 ^ х ^ 1; г) cos3 ж, 0 ^ ж ^ ^.
7.367. Сила переменного тока меняется по закону
где Т — период. Найти среднее значение силы тока за полупериод.
1
7.368. Оценить интеграл / у 8 Н- ж3 eta;.
-1
2тг
/dx
о

152 Гл. 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
1
7.370. Оценить интеграл / уA + х)A Н- ж3) dx, пользуясь:
о
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла;
б) неравенством Коши-Буняковского.
1
7.371. Оценить интеграл / д/D + x3)xdx, пользуясь:
о
а) обобщенной теоремой об оценке интеграла;
б) неравенством Коши-Буняковского.
0
dl dl С ех
7.372. Найти: а) —, б) —, если / = / — dx @ < a < C).
dp da J x
a
7.373. Найти точки экстремума функции
х
т , ч /' COS t , / П \
ф(х) = / dt (ж > 0, 0 < a < -} .
a
Найти производные следующих функций:
1 у/х
7.374. Ф(х) - ( — dt. 7.375. Ф{х) = f sin {t2) dt.
0 \/x
0 x3
7.376. Ф(х) = А з. 7.377. Ф(ж) = / р" (ж > 0).
7.378. Доказать, что / j- с?ж = 0.
,/ 1 "г X
-3
4. Замена переменной в определенном интеграле. Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, 6], а функция х = <p(t) непрерывно дифферен-
дифференцируема на отрезке [^i, t2], причем a = <p{ti), b — tpfa), то
J f(x)dx = J f{<p(t))<p'(t)dt.

§ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления L53
Пример 5. Вычислить
J X* dX-
\/2/2
4 Применим подстановку х = sint. Тогда dx = costdt, t — arcsinx,
. \/2 7Г . 7Г
h = arcsin — = — и ti = arcsml = —. Следовательно,
v/2/2 7Г/4
\/l - sin2 t
cos £ eft
7Г/2
/• cos2 t J
J sin2 *
7Г/4
sin2 t
/-j _ • ^ «
Sin £ ' Z 4 4
тг/4
7.379. Можно ли интеграл / xyl — х2 dx вычислить с помо-
о
щью подстановки х = sin tl
Вычислить интегралы с помощью указанных подстановок:
6
dx о
7.380. ! -
4- \/Зж - 2
7.381. \ ,dX ,
1пЗ
shl
7.382. / У^
о
7.383. /"
с?ж х
2COS2;' tg2 ~
о
тг/4
/
l
о
1
7.385. /
+2sin2:r'
2х -x2dx, x + l = 2sin«.
i

154 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Вычислить интегралы с помощью замены переменной:
2 О
dx
7.386. / dx . 7.387.
J ху/х2 — 1
2/4/З
4/v/3
\/3/3
5
Г vx2 - 4 Г
7.388. / dx. 7.389. / -
2 у/%1
2 5
7.390. / ^ 7.391. /
У D +ж2J У
— 2
7.392. / -^
7 ж\/1 -
+
7.393.
1/4
In G
.394. f
J
3
7.395. [
J
5 - 4.x
x2\/9-x2dx.
In 2
} dx Г ех
7.396. Показать, что / -— = / — dx.
J In х J х
e 1
1 тг/2
/dx f (
: = / "
arcsin x J
dx.
1/V2
/За*
—
-2
За-7 - 2хъ + ж3 - х
с4 + Зж2 + 1
cte = 0.
5. Интегрирование по частям. Если функции и — и(х), v — v(x)
их производные и'(х) и v'(x) непрерывны на отрезке [а, 6], то
ь ь
/udv — uv\ - I vdu
\a J
a a
(формула интегрирования по частям).

§ 4. Определенный интеграла и методы его вычисления 155
е
Пример 6. Вычислить / \nxdx.
1
dx
О Положим и ~ lnx, di> = с/.т, тогда du = —-, v — х. Имеем
е е
/ln.Tdx = .xlnxl^- x • — = е- х\е= е — е + 1 = 1. О
11 У х п
1 1
Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:
1 1
7.399. [xexdx. 7.400. f^^dx.
J J х/П7^
о о
тг/3 е
//V» У-У /V» /
=-. 7.402. / \n2xdx.
cos2 ж 7
7Г/6 1
тг/4 2\/3
7.403. f e3xsm4xdx. 7.404. /*
0 2
е 1
7.405. / xlnxdx. 7.406. /
1 о
тг/4 тг/2
7.407. / x2cos2xdx. 7.408. / ex
о о
7.409. Показать, что для интеграла
тг/2 тг/2
In = smnxdx= / cosna;da;, n G N,
о о
n- 1
верна рекуррентная формула In = Лг-2- Вычислить Ij и /g-
7.410. Показать, что для интеграла
1
In = f xne~xdx, neN,
о
верна рекуррентная формула 1П — — +n/n_i. Вычислить Ц.
е
2

156 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
§ 5. Несобственные интегралы
1. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция f(x) не-
непрерывна при a ^ х < +оо, то по определению
+ OG Ь
[ f(x)dx= lim [ f(x)dx.
J 6-> + oo J
A)
Если существует конечный предел в правой части формулы A), то
несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не
существует, то — расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл A) в случае f(x) > 0 есть
площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — /(ж), прямой
х — а и осью Ох (асимптотой).
ь
Аналогично определяется интеграл / f(x) dx. Далее, по опреде-
— оо
лению
+оо с +оо
j f(x)dx= I f(x)dx+ I f(x)dx,
B)
— oo —oo
где с, — oo < с < +оо, — произвольно, причем интеграл в левой
части равенства B) считается сходящимся, если сходятся оба интеграла
в правой части.
Признаки сходимости и расходимости приведем только
для интегралов вида A).
1) Если F(x) — первообразная для f(x) и существует конечный пре-
предел lim F(x) = F(+oo), то интеграл A) сходится и равен
+ ОО
p(a;)da; = F(+oo)-F(a);
а
если же lim F(x) не существует,.то интеграл A) расходится.
+ 00
схо-
2) Пусть при а ^ х < +оо 0 ^ f(x) ^ д{х). Если / д(х) dx cxc
а
-f-oo +схэ +оо
ся, то сходится и / f(x) dx, причем / f(x)dx^ / g(x)dx. Если
а
+оо
/ f(x) dx расходится, то расходится и / ^(х)й (признаки срав-
а а
нения).

§ 5. Несобственные интегралы 157
3) Если при а ^ х < +оо f(x) > О, д(х) > О и существует конеч-
+ оо +оо
ный предел lim ——— ф О, то интегралы / f(x)dx и / g(x)dx
z-*+oo g(x) J J
а а
сходятся или расходятся одновременно (предельный признак
сравнения).
-f-oo -f-oo
4) Если сходится / \f(x)\dx, то сходится и / f(x)dx (последний
а а
интеграл называется в этом случае абсолютно сходящимся).
+оо
Пример 1. Вычислить / е~Ъх dx.
о
< Имеем:
+оо b
e~3xdx= lim / е~3х dx = lim \--e~3x
I 6—>--foo / 6-^-foo V о
J ■ J \
о о
= - lim A-е-36) = -. >
3 6-*+oo 3
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне-
ниет обычно используются интегралы вида
+оо
— dx, а > 0, а > О,
а
которые сходятся при а > 1 и расходятся при а ^ 1.
+оо
/X + 1
У /— dx.
vx3
< При х -> +оо имеем
—77- расходится (а — 1/2 < 1), то и заданный
д.1/2
1
интеграл также расходится. D>

158 Гл. 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
Вычислить несобственные интегралы (или установить их рас
ходимость):
7.411.
dx
х In х
+ ОО
Г.412. f -
J a
dx
e
+oo
Г.413. / -2
dx
e
+oo
7.414. / e 2xcosxdx.
— oo
+ OO
Г.41Б. f 4^
J x2+
о
+ OO
0
+ OO
Г.417. \ -^t=
I Г( 9i
J \/(Xz + .
2
+00
f
7.419. / xcosxdx.
о
7.416. f \*2X .dx.
J x2(l+x)
1
+0O
7.418. /
0
+oc
7.420. I
xe x dx.
о
+ OO
7.421. !X-±ldX. 7.422. f Д^_.
J ^ J y/TTx^
1
+CX)
0
+00
7.423. I * . 7.424. f
j \ x j. j
2 0
Исследовать на сходимость интегралы:
+оо +оо
7.425. /. ^ _ ,. 7,
e x dx.
Г.425. /
dx
3 + 2х2 Н
1
+оо
1ЛЖI ^
3 + Зх + 1
+ ОО
7.427.
7.429.
+ 1
3 + sin х
dx.
+00
dx
+ ОО
7.430.

§ 5. Несобственные интегралы 159
+ ОО +ОО
dx
.431. [ -—^-_ 7.432. [ -
J yJX + COSZ X J X
In In x
2. Интегралы от неограниченных функций. Если функция f(x) не-
непрерывна при а ^ х < Ъ и lim f(x) — ею, то по определению
х-^Ь-0
Ь 6-7
[ f(x)dx^- lim / f(x)dx. C)
У 7->+0 У
Если существует конечный предел в правой части формулы C), то
несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не
существует, то — расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл C) в случае f(x) > 0 есть
площадь фигуры, ограниченной графиком функции у — /(ж), прямой
х = а и вертикальной асимптотой х — Ь.
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае
lira fix) — ею.
В случае, когда с G (а, Ь) — точка разрыва и функция f(x) неогра-
ничена в любой окрестности точки с,
с-71 6
[ f(x)dx= lim f /(z)dz+ lim [ f{x)dx. D)
У 7i->+0 J 72->+0 у
c+72
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от
неограниченных функций аналогичны признакам из п. 1.
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравне-
сравнение, обычно используются интегралы вида
ь ь
С dx С dx
E)
которые сходятся при а < 1 и расходятся при а ^ 1 (сравните с анало-
аналогичными интегралами в случае бесконечных пределов интегрирования),
2
Г dx
рал / -—.
J \пх
Пример 3. Исследовать на сходимость интеграл
J
1
< При х -> 1 -— ~ —— (эквивалентные бесконечно большие),
\пх х — 1
так как
J/bHL = Um ±zl = lim i = L
) я->1 lair x-*i l/j

160 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
2
/dx
—- расходится как интеграл типа E) при a — 1. Следо-
2
/dx
] • >
In ж
1
2
вательно, расходится
1
Пример 4. Исследовать на сходимость интеграл
1
tgar-ж
О Задача состоит в том, чтобы установить характер поведения подынте-
подынтегральной функции при х -» +0. В числителе при х -» +0 имеем
В знаменателе воспользуемся формулой Маклорена для функции tgx:
tgx ~х = (х + -х3 +о(х3)) -х= -х3 +о(х3) - -х3.
у о у о о
Следовательно, при х -)• +0
2х2 + у/Б х1'2 1
= з-
tgx — х х3/3 ж5/2
} dx
1ак как интеграл / _ /о расходится, то расходится и заданный инте-
о
грал. >
Вычислить несобственные интегралы (или установить их рас-
расходимость):
е
7.433. /-/^. 7.434. /т^Ьг. 7.435.
У ж2 + ж4 У (ж2 - IL/5
О 0
4 2/3
7.436. [ , dX0 ■ 7.437. /-
О 0 1
4 2/3
^2-Т
1/3

§ 5. Несобственные интегралы
161
7.438.
>3 dx
\/4 - х2
Г.439. /
dx
/2/тг
7,440, / cos— -~.
X1 X6
7.441.
dx
0 о
Исследовать на сходимость интегралы:
1 1
(х{1 - х)
cos(l/x)
dx.
шЧт^
: dx.
1 1
Г.444. / —. 7.445. /
./ tg х - х J
ln(l + V^2)
ex - 1
dx.
7.446.
ex — cos x
Г.447. /
y/x
{l-x)'<
= dx.
7.448. / *
7 v ж - 1
7.449.
7.450.
о
U
Г.451. f^-dx.
J •ь
-1
7-452. Доказать, что при а > 0 определяющий гамма-функцию
Г (а) интеграл Эйлера Г (а) = / е~хха~ dx сходится, и устано-
о
вить следующие соотношения:
а) если а = п - - целое число, то Г(п + 1) — п\]
б) Г(а+ 1) = аГ(а) для любого а > 0;
д) Г f п + ^ ) = 1 • 3 • 5... Bн - 1)^, п — целое.

162 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
§ 6. Геометрические приложения определенного интеграле
1. Площадь плоской фигуры. Площадь фигуры, ограниченной гра-
графиком непрерывной функции у — f(x) (f(x) ^ 0), двумя прямым1.
х = аих = Ьи осью Ох, или площадь кри-
j волинейной трапеции, ограниченной дуго£
/ графика функции у = f(x), а ^ х ^ г
(рис. 15), вычисляется по формуле
= Jf(x)dx.
A
b x
Площадь фигуры, ограниченной графи-
графиками непрерывных функций у — /] (х) \.
У = /г(ж), /i(x) ^ f2(x) и двумя прямыми.
х — а, х — Ь (рис. 16), определяется по формуле
Рис. 15
S = I(f2(x) - Мх)) dx.
B
Простейшие задачи на применение формул A) и B) были
§4 (задачи 7.356-7.363).
y-f\(x)
Рис. 16
Рис. 17
Пример 1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоско-
ти и ограниченной окружностью х2 -f у2 = 8 и параболой у2 ~ 2х.
3 Найдем точки пересечения кривых (рис. 17), решив систему урав-
уравнений
х2 + у2 = 8,
г/2 - 2л.

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла 163
Получим точки B, 2) и B, -2). Используя симметрию относительно оси
Ох, найдем искомую площадь 5 как удвоенную сумму площадей кри-
криволинейных трапеций, ограниченных соответственно дугами параболы
у = \/2ж, 0 ^ х ^ 2, и окружности у = л/8 - ж2, 2 ^ х ^ л/8-
Иногда удобно использовать формулы, аналогичные A) и B), но по
переменной у (считая х функцией от у), в частности,
a
= j{h{y)-h{y))dy.
C)
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
(у — 2J = х — 1, касательной к ней в точке с ординатой уо=3и осью Ох.
<J Форма фигуры (рис. 18) не позволяет непосредственно применить фор-
формулы A) или B). Однако если рассматривать фигуру относительно оси
-4
Рис. 18
Оу, то можно применить формулу C). Итак, пусть у — независимая пе-
переменная. Уравнение параболы запишем в виде х = у2 - \у -f 5. Найдем
уравнение касательной к параболе. Оно имеет вид х — хо = х'0(у — уо).
Так как х'у — 2(г/ — 2), то х'о = х'\у=$ = 2. Найдя, далее, абсциссу точки
касания хо — 2, получаем уравнение касательной
ж-2 = 2(у-3), или х = 2г/-4.

164 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
Полагая в C) f\ (у) = 2у - 4, /2(?у) = у2 - 4у + 5, имеем:
з з
5 = У ((у2 - 4j/ + 5) - B?/ - 4)) dy = J(y2 -6у + 9) dy =
= J{y-
3Jdy= \(у-
= 9. D>
Заметим, что применение формул A) и B) при решении примера 2
потребовало бы вычисления суммы трех интегралов:
-4
- B
dx+
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у — 1/х2,
осью Ох и прямой х = 1 и лежащей правее этой прямой.
< Искомая площадь (рис. 19) выражается
несобственным интегралом
О
оо
~ J ^~ ~х
= 1. О
Y Если фигура ограничена кривой, имею-
имеющей параметрические уравнения х = #(£),
Рис. 19 у = y(t), прямыми х — а, ж = /; и осью О.т,
то площадь ее вычисляется по формуле
= Jy(t)x'(t)dt = Jy(t)dx(t),
D)
где пределы интегрирования находятся из уравнений а — x(£i), b =
= x(t2) (y(t) ^ 0 на отрезке [tu t2}).
Формула D) применима также для вычисления площади фигуры,
ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от t\ до t2
должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла 165
Пример 4. Найти площадь петли кривой
2 t3) (a>0, 6 > 0).
< Найдем точки пересечения кривой с координатными осями. Имеем:
х — 0 при t — ±1; у = 0 при £ = 0, £ — ±2. Следовательно, получаем
следующие точки: @, ЗЬ) при £ = 1; @, -36) при £ = -1; (-а, 0) при
t — 0; (За, 0) при £ = ±2. Точка (За, 0) является точкой самопересечения
кривой. При 0 < * ^ 2 у ^ 0; при -2 ^ £ <$ 0 j/ ^ 0 (рис. 20).
Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее поло-
половины:
За
S = 2 I у dx = 2 f y{t)x'(t) dt = 2 /
= 4a6 f(
- D) dt -
256 ,
= — «6. О
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции г =
= г{ф) и двумя лучами <р = а, ^ = /3, где (/9 и г — полярные координаты,
У-
2а
г e 2a si
2а cos <p
Рис. 20
2а
Рис. 21
или площадь криволинейного сектора, огранргченного дугой графика
функции г —- r((f)i а ^ (р ^ /3, вычисляется по формуле
s= -
E)
Пример 5. Найти площадь лунки, ограниченной дугами окружно-
окружностей г = 2acos9, г = 2asin<p, 0 ^ <р ^ тг/2, а > 0.
< Окружности пересекаются при <р = тг/4; рассматриваемая фигура
(рис. 21) симметрична относительно луча (р = тт/4. Следовательно, ее

166 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
площадь можно вычислять так:
тг/4 тг/4
S = 2 • - / 4a2 sin2 tp dtp = 2а2 / A - cos2(p)d(p =
о о
= 2а2 l(p- -sin2(^1 = (— — l) а2. D>
\ 2 / 0 \2 /
7.453. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = \пх
и прямыми а; = е, ж = е2, у = 0.
7.454. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом — +
а1
У2
гг2
а1
(У
7.455. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
у2 = 4х и х2 = 4у.
7.456. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у =
= х2 -\-2х и прямой у = х + 2.
7.457. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у =
27 _^
7.458. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 =
= 2рх и у2 = -(х - рK (р > 0).
7.459. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностями
х2 4- у2 = а2, ж2 4- у2 — 2ау = а2 и прямой у = а.
7.460. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у =
а3 а2х
у = -^ 5" и осью "У-
а~ tr flr 4- дг
7.461. Найти площадь фигуры, ограниченной осью 0у, пара-
параболой (х — аJ = 2р(у — Ь) и касательной к ней в точке с абсциссой
х = с {с > а > 0, р > 0).
7.462. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у =
= ех — 1 ?/ = е2х — 3 ж = 0
7.463. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у —
= 3 4- 2х — х2 и осью Ох.
7.464. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у =
= arcsinrr и прямыми х — 0, у = 7г/2.
7.465. Найти площадь верхней лунки, ограниченной окружно-
окружностями х2 4- у2 = а2 и х2 4- у2 4- 2ау = а2.

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла 167
7.466. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (x — l) x
7.467. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = In ж,
касательной к ней в точке х = еи осью Ох.
7.468. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у —
= In (ж+ 2), у = 2 In ж, у = 0.
7.469. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг
х2 + у2 ^ 2ах разделен параболой у2 — 2а.т; — а2.
7.470. Найти площадь лунки, ограниченной гиперболой х2 —
— у* — а2 и параболой у2 — -ах.
7.471. Найти площадь гиперболического сегмента с высотой h
и основанием 2г (действительная полуось гиперболы равна а).
7.472. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой а2у2 —
= и ее асимптотой.
2а - х
7.473. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х2 —
— у2 = а2, (х2 - а2K?/2 = а8 и осью Ох (х > 0).
7.474. Найти площади каждой из двух частей, на которые круг
х? + у2 ^ 2ах разделен гиперболой Ах2 — Зу2 — а2.
7.475. Найти площадь эллиптического сегмента с высотой h
и основанием 2г (большая полуось эллипса равна а, основание
сегмента параллельно малой оси).
7.476. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у =
= —г, тт. у — -т. о и осью Ох.
а1 Л- х1' и, -\- х/
7.477. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у2 —
х'1
— — ~ и ее асимптотами.
а1 — ./,
7.478. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х —
= a cos3 t, у — a sin"* t.
7.479. Найти площадь петли кривой х — -1C — i2): у — t2.
7.480. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой ци-
циклоиды х ~~ 2(t — sint), у — 2A — cost) и осью Ох.
7.481. Найти площадь петли кривой х — a(£2-f 1), у = /;(/,3~3£).
7.482. Найти плопдадь петли кривой х — 2/. — i2, у ~ 2t2 — t3.
7.483. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой г =
7.484. Найти площадь одного лепестка кривой г = asm2(p.
7.485. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 7* ~
— a sin Ь<р.

168 Гл. 7. Интсгрсыьнос исчисление функции одной переменной
7.486. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г ~~
= a tg (p sec ip. r = 2а cos Lp и полярной осью.
7.487. Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти,
а
ограниченной кривыми г — atg(/?, г = и полярной осью.
COS if
7.488. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя последова-
последовательными витками логарифмической спирали г = е'^, начиная с
<р = 0.
7.489. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г2 —
— 2cos2с/л г =-_ 1 (у ^ 1 j.
7.490. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой г —
= acos3(p.
7.491. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бер-
нулли г = a sin 2(p.
7.492. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью г —
= Vosinc/? и кардиоидой ?* = 1 — cose/? (вне кардиоиды).
2. Длина дуги кривой. Если гладкая кривая задана уравнением у —
— /(.х), то длина / ее дуги равна
где а и b — абсциссы концов дуги.
Если же кривая задана параметрическими уравнениями х = x(t),
t2
I
t
i
= j vW
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной
параметрическими уравнениями х = x(t), у — y(t), z — z(t), t\ ^
7
Если задано полярное уравнение гладкой кривой 7* — r((p), a
о ^ /3, то
0
= I \/г2 + (г'J

§ 6. Геометрические приложения определенного интегрсна 169
Пример б. Найти длину дуги полукубической параболы у2 — х3 от
начала координат до точки D, 8).
<3 Имеем:
/ —
о
4 ' 9 \ 3/2 4
07v- !)• ^
о z/
Пример 7. Найти длину астроиды :/; = a cos31, у = а sin3 t.
<3 Имеем:
.xj = - За cos2 f sin /,, y[ = За sin2 t cos f,
7Г/2
-/ = / y/da2 cos41 sin2 f + 9a2 sin4 f cos2 ^ Л =
тг/2
тг/2
За
. . sin t
= За / sin £ cos £ a£ = За—-—
откуда I — Ca. >
Пример 8. Найти длину кардиоиды 7* = a(l — cosy?) (a > 0).
<3 Имеем:
r' = a simp,
-/ = / \/a2(l - cosy?J + a2 sin2 фdip =
о
= a / у2A — cosy?) aV — 2a / sin — rfy? = 4a,
о о
откуда / — 8a. t>
7.493. Найти длину дуги параболы у = х2 от х — 0 до .т = 1.
7.494. Найти длину дуги кривой у — ~C — х)у/х между точками
о
ее пересечения с осью Ох.
9 8
7.495. Найти длину дуги полукубической параболы у1 — ~— х
х (х — рJ, лежащей внутри параболы у2 — 2рх.
7.496. Найти длину дуги кривой у = a In (а2—ж2) (а > 1),
лежащей выше оси Ох.

170 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
7.497. Найти длину замкнутой кривой 8а'2у2 — х2(а2 — х2).
7.498*. Найти периметр лунки, образованной окружностями:
х2 + у2 = 2ах и х2 4- у2 = 2Ьу (a >b> 0).
7.499. Найти длину дуги цепной линии у = - ch2x от х — 0 до
7.500. Найти длину дуги кривой у = —Insin— от х = -
3 тг 2 2
до*=-.
5
7.501. Найти длину дуги полукубической параболы у ~ --- х
V
х (х — рK; отсекаемой прямой ж = 2р (р > 0).
7.502. Найти длину дуги кривой х — aCcost - cos3£), у ™
= аC sin i — sin3^) от t = 0 до i = — (а > 0).
7.503. Найти длину дуги кривой а; = eJ cost, у — с1 s\nt от
t = 0 до t = 1.
7.504. Найти длину петли кривой д; = t2, у ~ t { i? J.
\3 /
t6 i4
7.505. Найти длину дуги кривой х — —, у = 2 между
G " 4
точками ее пересечения с осями координат.
7.506. Найти длину петли кривой х ~ a(t" -f J), у -•= ;-(// — 3£)
(а > 0).
7.507. На циклоиде х — a(t - sint), у = a(l -~ cos l) найти
точку, которая делит длину первой арки циклоиды в отношении
1:3, считая от начала координат (а > 0).
7.508. Найти длину дуги логарифмической спирали г = са'+\
находящейся внутри окружности г — 1 (а > 0).
7.509. Найти длину дуги кардиоиды г = 2A — cosy?), находя-
находящейся внутри окружности г = 1.
7.510*. Найти длину всей кривой г -- a cos3 *- (а > 0).
о
7.511. Найти длину дуги спирали Архимеда ?' = 5у>. находя-
находящейся Внутри ОКРУЖНОСТИ V — 107Г.
7.512. Найти длину всей кривой г — a sin4 — (а > 0).
Найти длины дуг пространственных кривых:
7.513. х = at2, у = a(t+ -t3Y z =• а ( t - -^>ч J от t = 0 до
* = л/3 (а>0).

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла 171
7.514. х — е*cost, у — еьsint, z — е1 между плоскостями z — 0
и z — a (a > 0).
7.515. х2 = 4у, 9z2 = 16ху между плоскостями х = 0 и а; = 4.
7.516. ж = a\/£cos£, у = a\/tsin£, 2: = at от £ = 0 до произ-
произвольного t > 0 (а > 0).
7.517. х = t — sint, у = 1 — cost, z = 4cos- между двумя
точками пересечения кривой с плоскостью Oxz.
3. Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образован-
образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой, заданной функцией у — /(х),
о ^ х ^ 6, вычисляется по формуле
Если дуга задана параметрическими уравнениями ж = ж(£), у =
*i ^ * < t2, то
Qx = 2ir jy{t)^{x'{t)f-
Если дуга задана в полярных координатах г — г (if), а ^ </? ^ /3, то
Qx = 2тг / rsin</?>/r2 + (r'J dtp.
а
Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то площадь
поверхности вращения выражается интегралом
Б
= 2n f
Rdl,
где R — расстояние от точки на кривой до оси вращения, dl — диф-
дифференциал дуги, А и В — пределы интегрирования, соответствующие
концам дуги. При этом Rndl должны быть выражены через переменную
интегрирования.
Пример 9. Найти площадь поверхности, образованной вращением
астроиды х2/3 -f у2/3 — а2/3 вокруг оси Ох.

172 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
< Имеем:
/ _ 3/ 2/з _ 2/зи/2 Л 2 -i/зЛ _ _(q2/3~x2/3I/2
~2(а *" j V 3 У .tV3
а/ 2/ а1/3
14-
Следовательно,
а
|(а2/3 -
3 (а2/3 - х
5/2
О
12 2
= — 7га2. >
5
Пример 10. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды х = а(£ — sin£), ?/ = &A — cos^) вокруг оси Ох.
< Имеем:
xj = аA - cos^), 2/J = а sin £,
V(x'tJ + ЫJ = \/а2(х - cos*J 4-а2 sin2* = а>/2A- cos^) = 2asin-.
Отсюда
2тг
Qx —2тх I а{1 - cos *) • 2а sin -dt —
о
2тг
= 8тга2 / sin3 - dt = 8тга2 / f 1 - .
cos~ - 1 sin - at —
— -1бтга2 I cos ~ -
cos3(*/2)\
2 ЗУ
2л-
64 ,
2
Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды г = 2аA 4- cos^) вокруг полярной оси.
<3 Имеем:
г' — —2а sin у?,
\/г2 4- {г1J = \/4а2A 4- cos (у?J 4- 4а2 sin2 <р = 4а cos —,

§6. Геометрические приложения определенного интеграла 173
и, далее,
/' ч>
Qx = 2тг / 2аA -Ь cos(p) sin c^ • 4а cos — dip —
9 f л Ф <Р 128 о
= 64тга / cos — sin ~ dip = тга . t>
J A Z О
7-
о
7.518. Найти площадь поверхности (называемой катеноидом),
образованной вращением дуги цепной линии у = - ch2x, 0 ^ х ^
^ 3, вокруг оси Ох.
7.519. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного
вращением эллипса Ах'2 + у2 = 4 вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу.
7.520. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги кривой у = -х'^ от х = —1 до х = 1.
7.521. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Ох дуги кривой у — -у/х(х — 12) между точками ее
С
пересечения с осью Ох.
7.522. Найти площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси Оу дуги полукубической параболы 9ау2 = 4х3, отсекае-
отсекаемой прямой х = а.
7.523. Найти площадь поверхности, образованной вращением
петли кривой 9ау2 = хCа — хJ вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу.
7.524. Найти площадь поверхности, образованной вращением
дуги кривой у = е~~х12, 0 < х < -Ьоо, вокруг оси Ох.
7.525. Найти площадь поверхности, образованной вращением
дуги кривой х = аC cost -cos 3*), у = aCsini —sin3t), 0 ^ t < —,
вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу*
7.526. Найти площадь поверхности, образованной вращением
петли кривой х — a(t2 + 1), у — —C — t2) вокруг оси Ох.
о
7.527. Найти площадь поверхности, образованной вращением
одной арки циклоиды х — a(t — sint). у = аA — cost) вокруг ее
оси симметрии.
7.528. Найти площадь поверхности, образованной вращением
дуги эвольвенты окружности х — a(tsint + cos£), у — а х
x(sint — tcost), 0 ^ t ^ 7Г, вокруг оси Ох.
7.529. Найти площадь поверхности, образованной вращением
окружности г = 2а simp вокруг полярной оси.

174 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
7.530. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды г = аA + cosip) вокруг касательной в ее вершине
Bа, 0).
7.531. Доказать, что площадь поверхности, образованной вра-
вращением лемнискаты г2 = a2sin2(p вокруг полярной оси, равна
площади поверхности сферы радиуса а.
7.532. Найти площадь поверхности, образованной вращением
дуги кривой г = a sec2 —, 0 ^ (р ^ —, вокруг полярной оси.
Zt Zi
4. Объем тела. Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпен-
перпендикулярной оси Ох, является непрерывной функцией на отрезке [а, Ь],
то объем тела вычисляется по формуле
о
= IS(x)dx.
F)
Пример 12. Найти объем тела, основание которого — круг ради-
радиуса а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаме-
диаметру круга, есть равнобедренный треуголь-
треугольник высоты h.
<J Выберем систему координат так, чтобы
плоскость Оху совпадала с плоскостью кру-
круга, начало координат — с его центром, а
ось Ох содержала фиксированный диаметр
(рис. 22). Получим уравнение окружности
в виде
Рис. 22
Сечение тела плоскостью, перпендику-
лярной оси Ох, есть равнобедренный треугольник с основанием 2у =
= 2\/а2 — х2 и высотой ft. Имеем:
V
а а
= h f \/а2 - х2 dx = 2ft f \/a2 - x2 dx =
г. >

§ 6. Геометрические приложения определенного интеграла 175
Выражение для функции S(x) достаточно просто получается в случае
тел вращения. Так, если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
у = /(я), a ^ х ^ Ь, вращается вокруг оси Ох или оси Оу, то объемы
тел вращения вычисляются соответственно по формулам:
7Г
Vx=*Jf2(x)dx,
a
b
Vy = 2тг I x\f(x)\dx, o^O.
G)
(8)
Если криволинейный сектор, ограниченный кривой г = г((/?) и лу-
лучами (^ — а, (р =. [3, врашается вокруг полярной оси, то объем тела
вращения равен
v = l
г3 sin if d<p.
Вычисление объемов тел значительно проще производится с помо-
помощью кратных интегралов. Поэтому мы ограничимся здесь только при-
стейшими задачами.
Пример 13. Фигура, ограниченная кривыми у — у/2рх и у —
2
= —(х-рK/2. врашается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.
у/Р
<\ Найдем точки пересечения кривых:
2 ,
/2рх=
р{х
у/Р
х = 4(х~~рK:
или
очевидно, уравнению удовлетворяет значе-
значение х = 2р, и тогда у = 2р, т. е. имеем
точку пересечения Bр, 2р), — рис. 23. Ис-
Искомый объем есть разность двух объемов:
объема \\. полученного вращением криволинейной трапеции, ограни-
ограниченной параболой
у - у/2рх @ ^ х <: 2р),
и объема Vg, полученного вращением криволинейной трапеции, ограни-
2
ченной полу кубической параболой у = ——{х -рK/2 (р ^ д; ^ 2р).
у/Р

176 Гл. 7. Интегральное исчисление функции одной переменной
Используя формулу G), получаем:
2р 2р
0 p
2p 2p
= 7Г • 2p / x dx — 7Г • - / (x — pK dx —
J Pi
2р
4тг (x - p)A
p 4
2р
= 4тгр3 ~ -кр3 — Зтгр3. D>
Пример 14. Фигура, ограниченная кривой х = acos£, т/ = a sin 2^
(О ^ t ^ тг/2) и осью Ох, вращается вокруг оси Оу. Найти объем тела
вращения.
< Очевидно, что 0 ^ i ^ о и 0 ^ |/ ^ о, а также, что у — 0 при £ = О
и при £ = тг/2, т.е. рассматриваемая фигура является криволинейной
трапецией. Далее, при t = 0 х = а, при £ = тг/2 х = 0. Следовательно,
искомый объем выражается формулой (8). Имеем:
а О
Vy = 2тт x(t)y(t)dx — 2тт / acos£ • osin2t(-asint) d£ =
тг/2
Я-/2 тг/2
sin2 2t dt / A - cos At) dt =
2 J { J
а3
тг/2 9 3
7Г(Г
Пример 15. Кардиоида г = a(l — cos(p) вращается вокруг полярной
оси. Найти объем тела вращения.
< V = -7Г / a (I - cos у?K sin у? dy? = -тгаЛ5
= -тга-\ О
о ^
и
7.533. Найти объем тела, основание которого —- область плос-
плоскости Ожу, ограниченная астроидой х — acos3£, у — asin3^, а
сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть квадрат.
7.534. Найти объем клина, отсеченного от прямого кругового
цилиндра радиуса а плоскостью, проходящей через диаметр осно-
основания под углом а к плоскости основания.
7.535. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями 2у = х2 и 2х + 2у -1- 3 = 0.

§ 7. Приложения определенного интегра/га 177
7.536. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной линиями у = е~2х — 1, у ™ с ~'г ! 1.
х - 0.
7.537. Найти объем тела, образованного вращением вокруг ися
Оу фигуры, ограниченной линиями у — х, у — х + sin2 x @ ^
^С X ^ 7Г).
7.538. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
х2
Оу фигуры, ограниченной линиями у — Ь 2х + 2 и ?/ — 2.
7.539. Найти объем тела, образованного вращением параболи-
параболического сегмента с основанием 2а и высотой h вокруг высоты.
7.540. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры,
ограниченной кривой х = at2, у = a\nt (a > 0) и осями коорди-
координат, вокруг: а) оси Ох\ б) оси Оу.
7.541. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной кривой х = a cost, у = а sin 2i и осью
Ох @ < х < а).
7.542. Найти объем тела, образованного вращением астроиды
х — a cos3 t, у = а sin3 t вокруг прямой х ~ а.
7.543. Найти объем тела, образованного вращением кривой г —-
— a sin2 {p вокруг полярной оси.
7.544. Найти объем тела, образованного вращением лемнис-
лемнискаты г2 = a2 cos 2<p вокруг полярной оси.
7.545*. Найтр! объем тела, образованного вращением вокруг оси
sin х
Ох фигуры, ограниченной кривой у — и осью Ох.
X
§ 7. Приложения определенного интеграла
к решению некоторых задач механики и физики
1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана
уравнением у — /(ж), а ^ х ^ 6, и имеет плотность1) р ~~ р(х), то
статические моменты этой дуги Мх и Му относительно координатных
осей Ох и Оу соответственно равны
Мх= fp(x)f(x)yjl+{f'(x)Jdx,
Му
1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что
однородна ир= 1.

178 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
моменты инерции 1Х и 1У относительно тех же осей Ох и Оу вычисля-
вычисляются по формулам
о
ь
а координаты центра масс х и у — по формулам
ь
Ь
где / — масса дуги, т. с. I = / р(х)у 1 + (f'(x))~ dx.
a
Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции отно-
относительно осей Ох и Оу дуги цепной линии у = chx при 0 ^ ж ^ 1.
<3 Имеем: у' — shx, ^Д^Ту')^ ~ v 1 + ^h2 ж = d\x. Следовательно,
lo
/• 2 1 /•
= У Ch xdX=-J(l+dl2T)dx=;
О О
= х ch xdx — I x tZ(sh x) = j; sh x|0 — / sh:
1
|sh2хЛ I =
= sh 1 - ch.t|q= sh 1 - ch 1 + 1,
shV 1
0 о
1 1
/' f л f \
- sh 1 - 2 / x d(ch rr) = sh 1 - 2 ( x ch x - / ch .т dx =
J \ J /
0
shl = 3shl-2chl.

§ 7. Приложения определенного интеграла 179
Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности х =
= a cost, у = asint, расположенной в первой четверти.
<3 Имеем: / = —, 0 ^ t ^ —, х[ = -asin£, у[ = acost,
_w _w
yj{x[J + (y[J = v a2 sin2 t + a2 cos2 £ = a.
Отсюда получаем:
тг/2
Mx = a2 I costdt = a2 sint|^ = a2,
о
7Г/2
My = a2 / sintdi = —a2costly = a2,
о
__ _ My __ a2 __ 2a _ __ a2 _ 2a
/ тга/2 тг ' тга/2 тг
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вра-
вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и
ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окруж-
окружности, описываемой ее центром масс.
Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности у =
= л/a2 — х2.
< Вследствие симметрии х = 0. При вращении полуокружности вокруг
оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна 4тга2, а
длина полуокружности равна тга. По теореме Гульдена имеем
4тга2 = тга • 2тгу.
Отсюда у — —, т.е. центр масс С имеет координаты С ( 0, — 1. >
тг V * )
7.546. Найти статический момент синусоиды у — sinx @ ^
^ х ^ тг) относительно оси Ох.
7.547. Найти статический момент и момент инерции относи-
относительно оси Ох дуги кривой у — ех @ ^ х ^ 1).
7.548. Найти статический момент и момент инерции отно-
относительно оси Ох одной арки циклоиды х — a(t - sint), у =
= a(l — cost).
7.549. Найти статический момент и момент инерции полу-
полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.
7.550. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу
всей дуги окружности г = 2acostp, лежащей выше полярной оси.

180 Гл, 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
X
7.551. Найти центр масс дуги цепной линии у = ach — @ ^
а
7.552. Найти центр масс всей дуги астроиды х = acos3£, у =
= asin3t, расположенной выше оси Ох.
7.553. Найти декартовы координаты центра масс дуги кардио-
кардиоиды г — a(l + cos ф) @ ^ (р ^ 7г).
7.554. Пользуясь теоремой Гульдена, найти центр масс дуги
астроиды х = a cos3 £, у = a sin3 t, лежащей в первой четверти.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенного инте-
интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в приме-
примерах 4-7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается
формулой v = It + 3t2 (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5с от
начала движения.
<3 Так как путь, пройденный телом со скоростью v(t) за отрезок времени
[^b-^Jj выражается интегралом
t2
= Jv{t)dt,
то имеем:
3t2)dt = (t2 + t3)\= 150 м.
S= f(
Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы
тело массы ю поднять с поверхности Земли, радиус которой Л, на высоту
/г? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
< Работа переменной силы /(х), действующей вдоль оси Ох на отрезке
[а, 6], выражается интегралом
A = / f{x) dx.
Согласно закону всемирного тяготения сила F, действующая на тело
массы т, равна
где М — масса Земли, г — расстояние массы m от центра Земли, А: —
гравитационная постоянная. Так как на поверхности Земли, т.е. при
г — /?, имеем F = т.д. то можем записать тд — к . Отсюда находим

§ 7. Приложения определенного интеграла
181
кМ = #Я , а потому
R2
F = mg—.
Следовательно, искомая работа равна
R+h R+h
A4Fdr=!
R *Я
Отсюда при ft —> +00 имеем
,dr
г2
R+h
— mgR
R + h'
В
lim A — mgR. \>
h—>+оо
Пример 6. Вычислить кинетическую энергию однородного круго-
кругового конуса, вращающегося с угловой ско-
скоростью си вокруг своей оси, если заданы
радиус основания конуса Л, высота Н и
плотность 7-
<] Кинетическая энергия тела, вращающе-
вращающегося вокруг некоторой оси с угловой скоро-
скоростью ш, равна -/о;2, где / — момент инер-
инерции тела относительно оси вращения. За
элементарную массу dm примем массу
полого цилиндра высоты ft с внутренним
радиусом г и толщиной стенок dr (рис. 24).
J
н
h
W
\
- \
-*-
\
А
С
V
R >
/
/о
7
Рис. 24
Тогда dm = 2-nrh^dr @ ^ г ^ R). Из подобия треугольников OCD и
ОАВ имеем
г _ Я -h ,_u( г\
Следовательно,
dm — 2-K^U (I ) г dr,
\ Rl
и элементарный момент инерции dl равен
dl = dm • г2 - 2тг7# (l - -^) г3 dr.
Таким образом, момент инерции всего конуса есть
R я
/ г \ (RA R4\ I
r = _7

182 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
и кинетическая энергия конуса равна
К = — 7
Пример 7. С какой силой жидкость плотности 7 давит на верти-
вертикальную треугольную пластину с основанием а и высотой /г, погружен-
погруженную в жидкость вершиной вниз так,
что основание находится на ее поверх-
поверхности?
< Согласно закону Паскаля сила Р, с
которой жидкость плотности 7 давит
на площадку S при глубине погруже-
погружения Н, равна
Р = jgHS.
рис 25
Вводя систему координат, пока-
показанную на рис. 25, рассмотрим эле-
элементарную прямоугольную площадку,
находящуюся на глубине х и имеющую основание Ь и высоту dx. Из
подобия треугольников CAB и CDE имеем
Ь
-
h-x
a
т.е. b=-(h-x),
следовательно,
dS = bdx = ^(h- x) dx, dP = >ygxdS =
h h
- x) dx.
Таким образом, сила давления жидкости на всю пластину равна
h h
. D>
7.555. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с началь-
начальной скоростью г>о, без учета сопротивления воздуха равна v =
— ^0 — 3^ Г#е ^ — протекшее время, g — ускорение свободного
падения. На какую максимальную высоту поднимается тело?
7.556. Точка оси Ох совершает гармонические колебания около
начала координат со скоростью v = vq cos (cot + <p), где t — время,
г>0, w, ip — постоянные. Найти закон колебания точки и среднее
значение абсолютной величины скорости за период колебаний.
7.557. Два тела движутся по одной и той же прямой: первое
СО СКОРОСТЬЮ V\ — 3t2 — At (м/с), ВТОрое СО СКОРОСТЬЮ V2 —
= 4(^ + 3) (м/с). Если в начальный момент они были вместе, то

§ 7. Приложения определенного интеграла 183
в какой момент и на каком расстоянии от начала движения они
опять будут вместе?
7.558. Скорость двшкения точки v = 0,Нс~°'02/ (м/с). Найти
путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки
М*2)=0).
7.559*. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пру-
пружину на 5 см, если сила в 1 Н растягивает ее на 1 см?
7.560. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы на-
насыпать кучу песка конической формы с радиусом основания R и
высотой Н. Плотность песка j.
7.561. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы вы-
выкачать жидкость плотности 7 из котла, имеющего форму парабо-
параболоида вращения, обращенного вершиной вверх. Радиус основания
i?,? высота Н.
7.562. Вычислить работу, которую надо затратить при построй-
постройке пирамиды с квадратным основанием, если высота пирамиды /У,
сторона основания а, плотность материала 7-
7.563. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы вы-
выкачать ?кидкость плотности 7 из резервуара, имеющего форму
конуса, обращенного вершиной вверх. Радиус основания Л, вы-
высота Н.
7.564. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы вы-
выкачать жидкость плотности 7 из цистерны, ограниченной поверх-
поверхностями: у2 = 2pz. х = ±а, z — р (р > 0).
7.565*. Электрический заряд во, сосредоточенный в начале
координат, отталкивает заряд с из точки (а, 0) в точку (Ь, 0).
Определить работу А силы отталкивания F. Чему равна работа
при удалении заряда е в бесконечность?
7.566*. Цилиндр с подвижным поршнем заполнен паром объ-
объема Vq = 0,2 м3 с упругостью р$ — 10 330Н/м2. Какую работу
надо затратить, чтобы при постоянной температуре (изотермиче-
(изотермический процесс) объем пара уменьшить в 2 раза?
7.567*. Определить работу, произведенную при адиабатическом
с?катии воздуха, имеющего начальные объем Vo ~ 8м3 и давление
ро = ЮОООН/м2 до объема V] = 2м3.
7.568. Найти кинетическую энергию однородного шара радиуса
R и плотности 7, вращающегося с угловой скоростью ио вокруг
своего диаметра.
7.569. Найти кинетическую энергию пластинки, имеющей фор-
форму параболического сегмента и вращающейся вокруг оси параболы
с постоянной угловой скоростью и. Основание сегмента а, высота
/а, толщина пластинки (L плотность материала 7-
7.570. Найти кинетическую энергию треугольной пластинки,
врашающейся вокруг основания с угловой скоростью и. Основание
пластинки а, высота /?,, толщина /, плотность j.

184 Гл. 7. Интегральное исчисление функций одной переменной
7.571. Найти кинетическую энергию однородного кругового ци-
цилиндра плотности 7 с радиусом основания В, и высотой Н: враща-
вращающегося с угловой скоростью и вокруг своей оси.
7.572. С какой силой жидкость плотности j давит на верти-
вертикальную треугольную пластинку с основанием а и высотой Л.,
погруженную в нее так, что вершина находится на поверхности, а
основание параллельно поверхности?
7.573. Конец трубы, погруженной в жидкость плотности 7, за-
закрыт круглой заслонкой. Определить силу давления на заслонку,
если ее радиус i?, а центр находится на глубине Н.
7.574. Найти силу, с которой жидкость плотности 7 давит на
вертикальную стенку, имеющую форму полуэллипса, большая ось
которого находится на поверхности жидкости. Большая полуось
эллипса а, малая Ь.
7.575. Найти силу давления жидкости плотности 7, заполняю-
заполняющей круговой цилиндр, на боковые стенки цилиндра, если радиус
основания 7?,, высота Н.
7.576. Найти массу стержня длины / = 5 м, если линейная
плотность стержня меняется по закону 7 = 1 + 0,1.т3 (кг/м), где
х — расстояние от одного из концов стержня.
7.577*. Найти количество тепла, выделяемое переменным то-
током / — /о cos ut в течение периода 2тг/и в проводнике с сопроти-
сопротивлением R.
7.578*. За какое время вода, наполняющая цилиндрический
сосуд с площадью основания S = 100 см2 и высотой Н — 20 см,
вытечет через отверстие на дне площадью So = 1 см2?
7.579**. При установившемся ламинарном (струйном) течении
жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость тече-
течения v в точке, находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается
формулой v = —-(а2 — г2), р — разность давлений жидкости на
i LJLb
концах трубы, \i — вязкость жидкости, / — длина трубы. Опре-
Определить расход жидкости Q, т.е. объем жидкости, протекающей
через поперечное сечение трубы в единицу времени.
7.580*. С какой силой полукольцо радиуса R и массы М при-
притягивает материальную точку т, находящуюся в его центре?
7.581. За какое время вода вытечет из конической воронки,
имеющей высоту Н = 50 см, радиус верхнего основания R — 5 см,
радиус нижнего основания г = 0,2 см?
7.582. Определить расход жидкости через водослив прямоу-
прямоугольного сечения. Высота водослива /г, ширина а, вязкость жид-
жидкости \i.

Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
1. Понятия функции нескольких переменных. Всякий упорядо-
упорядоченный набор из п действительных чисел х\, ..., хп обозначается
(#1, .... хп) или Р(.ть ..., хп) и называется точкой д-мерного арифме-
арифметического пространства W1, числа х\, ..., хп называются координатами
точки Р — Р{х\, ..., хп). Расстояние между точками P(xi, ..., хп) и
Р'(х'и ..., х'п) определяется формулой
Р(Р, П =
Пусть D С IRn — произвольное множество точек n-мерного арифме-
арифметического пространства. Если каждой точке Р(х\, ..., хп) G i^
поставлено в соответствие некоторое впелне определенное действи-
действительное число }{Р) — /(.xi, ..., жп), то говорят, что на множестве D
задана числовая функция /: Еп —> R от п переменных .x'i, ..., хп.
Множество D называется областью определения, а множество Е —
— {и G Е| и = /(Р), Р G 25} — областью значений функции u ~ /(P)-
В частном случае п = 2 функция двух переменных 2 = /(.т, ^/) мо-
л^ет рассматриваться как функция точек плоскости в трехмерном гео-
геометрическом пространстве с фиксированной системой координат Oxyz.
Графиком этой функции называется множество точек
Г= {(.х, у, z) eR3\z = f{x,y)},
представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в 1R3.
Пример 1. Найти область определения функции
. У
z — arcsm —.
х
<\ Функция определена при

186 Гл. 8. Диффсрснц. исчисление функций нескольких переменных
Следовательно, —х ^ у ^ х при х > 0 и х ^ у ^ —х при х < 0.
Область определения функции изображена на рис. 26 (содержит границы,
за исключением начала координат). >
Пример 2.
Найти /C
< Имеем:
/C,
,-2),
-2) =
Пусть f(x.
/(г/,
з2-
з
- (-2)
, у) =
\
'2
.т2 — у2
ху
1}
5
"б'
Рис. 26
A/х)'2
У2 - х2
ху
ху
= ~f{x, у). >
8.1. Выразить площадь 5 треугольника как функцию длин двух
его сторон х и у, если его периметр равен 2р. Найти область
определения этой функции.
8.2. Выразить объем V кругового конуса как функцию площади
S его боковой поверхности и длины / образующей. Найти область
определения этой функции.
8.3. Выразить площадь 5 равнобочной трапеции как функцию
длин ее сторон, если х и у — длины оснований, z — длина боковой
стороны. Найти область определения этой функции.
Найти области определения функций двух переменных (R —
— const):
8.4. z - ^/В? - х2 - у2. 8.5. z = у/х2 + у2 - В2.
8.6. z =
1
8.8. z =
'К2 - х2 - у2
2х + Зу - 1
х - у
8.10. z = \п(-х -у).
8.12. z = v
8Л4. г — arccos —
- + У

§ 1. Основные понятия 187
8.15. z = ^9-х2- у2 + у/х2 + у2 - 4.
X
8.16. z — arcsin — -f arcsin A - у).
yz
8.17. /(г, (р) = гу/шпр. 8.18. /(г, </>) = r^cos2у>.
Найти области определения функций трех переменных:
8.19. и = >/ж2 + у2 + z2 - R2 {R = const).
/ 9 \ 9~
у х 4* у
8.20. u = arcsin ~ .
z
8.21. п = 222
Найти области определения функций п переменных:
8.22. и = v/l -rcf -f v^l ~^i + • • ■ + V1 "*" жп-
8.2J. U — 4 / 1 « 2 ~ '" 2'
V 2 <
a2
О/г Зт/
8.24. Дана функция f(x, у) = f. Найти /B, 1), /A, 2),
6х- 2у
/C, 2), /(а, а), /(а, -а).
8.25. Дана функция /(ж, у) = — г. Найти /(—3, 4) и
8.26. Найти /(я), если / ()
\х/ х
8.27. Пусть z~xJryJrf{x — у). Найти функции /иг, если
z = х2 при у — 0.
8.28**. Найти f(x, у), если / (х + у, -) = х2 - у2.
^ х *
8.29. Даны функции: f(x, у) - х2 -\- у2, ip(x, у) = ж2 - у2.
Найти: а) f((p{x, у), у2); б) cp(f{x, у), ср{х, у)).
8.30. Даны функции: ср(х, у) — excosy, ф(х, у) = c^siny.
Доказать:
а) (^2(ж, у) - г/;2(ж, у) = tpBx, 2y);
бJ(^(х, у)^(д;, у)=ф{2х, 2у).
8.31. Даны функции: /(ж, у) = ж2 - у2, tp(x) — cos а;, ^(ж) =
= sin ж. Найти: а) /(<р(ж), ^(ж)); б) у? (/(ж, у)).
2. Предел и непрерывность функции. Число А называется преде-
пределом функции и — f(P) при стремлении точки Р(жь ^2, ..., хп) к точке
Ро(^ь a2j • • •» яп), если для любого £ > 0 существует такое S > 0, что из

188 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
условия
О < р(Р, Ро) =
следует
х2, ... , хп) - А\
При этом пишут:
А= lim f(P)= Hm /(хь
Пример 3. Выяснить, имеет ли функция — предел при х -> О,
< Пусть точка Р(х, у) стремится к точке Ро(О, 0). Рассмотрим измене-
изменение хну вдоль прямой у = кх. Получаем
lim — = Hm — г^-тг = lim — = т^-
х^о х-л-у х->и х-■
Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного А;, и
поэтому функция предела не имеет. >
Функция и — /(Р) называется непрерывной в точке Ро, если вы-
выполнены следующие три условия:
1) функция /(Р) определена в точке Ро;
2) существует lim /(P);
Р->Р0
3) lim f(P) = /(Ро).
м —М о
Функция называется непрерывной в области, если она непрерывна
в каждой точке этой области. Если в точке Ро хотя бы одно из условий
1)-3) нарушено, то Ро называется точкой разрыва функции /(Р). Точки
разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, по-
поверхности разрыва и т. д.
Пример 4. Найти точки разрыва функции
< Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается
в нуль. Поэтому она имеет поверхность разрыва — плоскость 2х + Зу —
- z + 4 = 0, >
Найти пределы:
8.32. lim %=. 8.33. lim ^
3 / 9

§ 1. Основные понятия 189
8.34. Ню ^^. 8.35. lim A + х2 + y*)W**+v2).
х->0 У
0
8.36. lim (x2 + y2)s
+ y)sm .
Ж~»ОО % 'У
2/->оо
8.37. Показать, что при ж -> 0 и у -) 0 функция z =
у - ж
может стремиться к любому пределу. Привести примеры такого
приближения точки (ж, у) к точке @, 0), при котором lim z = 3,
lim 2 — 2, limz = 1, lim z = —2.
8.38. Показать, что для функции /(#, у) = не существует
ж + у
lim /(x, у), вычислив повторные пределы
lim/(rr, y)j, lim (lim/(ж, у)).
9 9
8.39. Показать, что для функции /(х, у) —
Jy2 + (х -уJ
существуют и равны между собой повторные пределы
lim ( lim /(ж, у) 1 — lim ( lim f(x, у)) = О,
тем не менее lim /(ж, у) не существует.
8.40. Выяснить, имеет ли функция sin In (ж4 Л-у2) предел при
х -» 0, у -> О?
х2 + у4
8.41. Выяснить, имеет ли функция — предел при х -> оо,
х1 -\- уг
у -> оо?
8.42*. Показать, что функция
{2
-^, если я' + у^О,
О, если х = у = О
в точке @, 0) непрерывна вдоль каждого луча ж = icosa,
у = tfsina @ ^ 4 < +сю), проходящего через эту точку, т.е.
lim/(t cos a, tsina) — /@. 0), однако эта функция не является
непрерывной в точке @, 0).

190 Гл. 8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
8.43. Показать, что в точке @, 0) следующие функции непре-
непрерывны по каждой из переменных ж и у, но разрывны по совокуп-
совокупности переменных:
\ *?* если х2 + У2Ф 0,
а) /(ж, у) = < {х2 + у2J
[ 0, если х = у = 0;
/Т» О/
если х2 + у2 ^ о,
б) /(ж, У) = { (х + уK
0, если х — у = 0.
Найти точки разрыва функций двух переменных:
8.44. z — -. -^ ; -т:. 8.45. z =
(ж - IJ + (у + IJ " # sin2 тгж + sin2 ти/
8.46. z = ~7—^-.—. 8.47. z = \n{l-x2- y2).
sin ж sin у
9 . 9
X + У
8.48. z =
8.49. 2 =
(х + у){у2-х)'
1
(х2+у2-1)(а;2-у2-1)'
Найти точки разрыва функций трех переменных:
1
xyz
8.50. и = . 8.51. и = г „ t ON
8.52. u - -= я ^. 8.53. u =
х2 + у2 — z2' # # ж2 + у2 — z2 — 1"
8.54. и = —2 2l_z2 + i
3. Частные производные. Пусть (xi, ..., х^, ..., хп) — произвольная
фиксированная точка из области определения функции и = f{x\, ..., хп).
Придавая значению переменной х^ (к = 1, 2, ..., п) приращение
рассмотрим предел
г /(^ь •»• , ^Jb + Ахь ... , хп) - /(хь ... , х^, ... , хп)
Этот предел называется частной производной {1-го порядка) данной
функции по переменной Xk в точке (хь ..., х„) и обозначается —— или
OXk

§ 1. Основные понятия 191
Частные производные вычисляются по обычным правилам и форму-
формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме х^, рассма-
рассматриваются как постоянные).
Пример 5. Найти частные производные функции
V
z = arctg -.
х
< Считая у постоянной, получим
dz 1 / у \ у
~дх = 1 + {у/хJ \И?) ^ "zMV '
Считая .т постоянной, получим
dz 1 1 j;
9у 1 + {у/хJ х х2 + у2'
Функция u = f(x\, X2, . •., хп) называется однородной функцией
степени т, если для любого действительного числа t / 0 справедливо
равенство
Если однородная степени m функция и = /(^i, Ж2, ..., жп) имеет
частные производные по каждой из переменных, то выполняется соот-
соотношение (теорема Эйлера)
xu x2, ... , xn)-i-x2/i20rb х2, ... , хп) + ...
... + х-?г/^п(хь .т2, ... , хЛ) =m/(a;i, х2, ... , ж„).
Пример 6. Проверить теорему Эйлера, если
/(л, у) = Ах2 + 2В.Т2/ + Сг/2. :
< Имеем
/(*ж, *?у) = A{txf + 2B{tx){ty) н- C(tj/)'2 - ^2/(а:, у).
Следовательно, m — 2;
/i(a;, у) = 2(Лх 4- Ду), /J(r, у) = 2(В.т + С?;),
*£(*, У) + !//;(!, ») = МАх + Бу) + 2у{Вх + Су) - 2/(ж, у). >
Частными производными2 го порядка функции w — f(x\, „со- • - •» ^»г)
пазываютсл частные поошнодные от ее м^сгных производных пер-
dofo порядка. Производиьл} :.т;.»]ю,ч) nopmtta иб означаю ее я следующим

192 Гл.8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
образом:
__0__ ( du\ d2u
с? / ;
;, \Ле*/ dxkdxi ХкХ1У
ч т. д.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные по
рядна выше второго.
Результат многократного дифференцирования функции по различ-
различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при
условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производ-
производные непрерывны.
Пример 7. Найти частные производные 2-го порядка функции z ■-
У
= arctg-.
х
< Имеем (см. пример 5)
dz у dz х
— и —
дх х2 + у2 ду х2 + у2
Дифференцируем вторично:
&lz д ( у \ 2ху
Ох2 дх \ х2 + у2
/ 9 9 \ л 9 9
2/ \ 1 • (ж + у ) — 2у • у у — х
дх ду ду \ х2 + у2) (х2 + у2J (ж2 +
д2г д ( х \ 1.(х2+у2)-2х-х у2 - х2
дудх дх\х2+у2; (х2+у2J {х'2+у2J
( r d2z d2z \
мы здесь убедились в том, что -—— = -—— ,
\ t охау дудх у
d2z д ( х \ 2ху
ду2 ду \x2+y2j ' (х2+у2J
Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных
функций:
8.55. z = х5 + у5 - 5rrV- 8.56. z = xy + -.
х
8.57. z - —7М=. 8.58. z - хе'хУ.
fa 2
8.59. z - ^-. 8.60. z = ух.
х

§ 1. Основные понятия
193
8.61. z =
8.62. z = arcsin -
8.63. и =
, 8.64. u=(V
! \
+ у2 +
8.65. г* = xyVi'1 + Зж - 4y + 2z - t + 1.
8.66. Найти /iC, 2), /£C, 2), /^C, 2), ДДЗ, 2), /£,C, 2),
если /(.т, y) = ж3 у + жу2 — 2x + 3y — 1.
8.67. Найти /£A, 2), /J(l, 2), /^A, 2), /^A, 2), /^A, 2),
X2+1J2
если
x,y)= f eldt
82z 82z
8.68. Показать, что ——— = ———, если z — xsin (ax + by).
ox oy oy ox
д z д z и и
8.69. Показать, что ——тг~ = т:—тг^ если z = cos — arccos —.
OX UlJ UlJ OX X X
8.70. Найти /£x@, 1), /^@, 1), /^@, 1), /^„@, 1), если
2,
dAu
дх
, если и = In ■
1
№,у)=е*У.
8.71. Найти
8.72. Найти . », если п = х° sin у + у° sinx.
ах ду
QP+QU
8.73. Найти -——-, если и = (х - .то)р(у - уо)9-
а.тр ау9
В задачах 8.74-8.77 проверить теорему Эйлера об однородных
функциях.
8.74. z - .т3 + х2у - у3. 8.75. z = 3 У з'
8.76. г = arctg-.
х
8.78. Вычислить
8.77. и =
X + у +
+ у2 +
дх дх дх
~дг ~ду ~д
ду ду ду
дг dip дб
dz dz dz
дг дер дв
если х = г cos в cos ср, у = г cos в sin <р, 2 = г sin 0.

194 Гл. 8. Дифферснц. исчисление функций нескольких переменных
(dz\2 dz
8.79. Показать, что 1 — I + тг + ж + ^ — 0, если z — iey +
\oxj dy
+ Bx + 4y - Ъ)е~у -x-1.
_ du du du 3
8.80. Показать, что -—\- -—(- — = , если и =
ox oy oz x + у + z
= In (x3 + у3 + ^3
( y)
_ du du du du x — у
8.81. Показать, что — + — + — + тг~0, если u = +
от dy dz ot z — t
t-x
~\- .
y-z
8.82. Показать, что функция и = AsinA.xcosaAf удовлетворяет
уравнению колебаний струны
д2и __ 2д2и
т* ~ а
1 ()
8.83. Показать, что функция и = т^^6" 4fl2^ удовлетво-
2/t
ряет уравнению теплопроводности
du 2^2
~dt=a ~
8.84. Показать, что функция и —
д2и д2и Э2и А
dy2 dz2
удовлетворяет уравнению Лапласа
ох1 оуг
8.85*. Показать, что функция
у ^ с/
О, если х — у = О,
имеет частные производные /^.(ж, у) и f'y{x^ у) в точке @, 0), хотя
и разрывна в этой точке.
8.86*. Показать, что для функции
{х2 -у2
гу*л i f-\ f\ ТТТ/Г о* I '> /"" —У^- II
х2 + у2
0, если х = у = 0,
значение второй смешанной производной в точке @, 0) зависит
от порядка дифференцирования, г именно: /"^@, 0) = —1,
fyX{0, 0) - 1.

§ 1. Основные понятия 195
4. Дифференциал функции и его применение. Полным приращением
функции и = f(x\, х2, ..., хп) в точке P(xi, х2, • • ■, х/г), соответствую-
соответствующим приращениям аргументов Дх1, Дх2, ..., А.тп, называется разность
Дгг = f(xi + Дхь х-2 + Дх2, ... , хп + Дхп) - /(хь х2, ... , хд).
Функция и — f(P) называется дифференцируемой в точке (х\, х2, • •., хн),
если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение
функции может быть представлено в виде
Ди = А\ Д.Т1 + А2Дж2 + • • • + АпДжп + о(р),
где р — а/Дх^ + Д^2 + ... + Дх^, Ai, А2, ..., Ап — числа, не завися-
зависящие от Дх 1, Д.Х2, ..., Дхп.
Дифференциалом 1-го порядка du функции и — /(xi, x2, ..., хп)
в точке (xi, X2, . •., хп) называется главная часть полного приращения
этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно Дх1,
Дх2, ..., Дхп, т.е.
du = А\ Дх1 + А2Дх2 + ... + АпАхп.
Дифференциалы независимых переменных по определению принима-
принимаются равными их приращениям:
dx\ — Дхь dx2 = Дх2, ... , dxn — Дхп.
Для дифференциала функции и = /(хь х2, ..., хп) справедлива фор-
формула
7 ди ди ди
du = -— dx\ + -— dx2 + •.. + -— dxn. A)
OX\ OX2 OXn
Функции гг, v нескольких переменных подчиняются обычным пра-
правилам дифференцирования:
d(u + v) = du + dv,
d(uv) = vdu + udv,
vdu - и dv
«0 =
Пример 8. Найти полное приращение и дифференциал функции
/(х, у) = х2у в точке (х, у).
< /(х + Дх, у + Д?/) = (х + ДхJ0/ + Ду),
Д/(х, у) = (х + ДхJB/ + Дт/) - х22/ =
= 2хуАх + х2 Дт/ + 2хАхАу + т/Д.?;2 + Дх2 Д?/,
х2Дт/. >

196 Гл.8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
Пример 9. Найти дифференциал функции
х-> У-> z) ~~ г—г2 2 •
О 1 -й способ. Имеем
df xz df yz df
1
dx (x2 + i
По формуле A) получаем
xz
dx —
•dy
{х2+у2)У2
(ж2 -f у2J dz — z(x dx + у dy)
~ (X2 _|_ y2\3/2 '
2-й способ. Применяя правила дифференцирования, имеем:
1х2 + у2 dz — z • d\Jx2 + у2
df(x, у, z) =
х2+у2
/х2 +у2 dz - z(xdx + ydy)/(y/x2 + у2) _
2 1 2
(х2 +y'2)dz - z(xdx
При достаточно малом р ~ уДж2 + Дх^ ■+-... + Д.т2 для дифферен-
дифференцируемой функции u — /(xii, х<2, • •., £п) имеют место приближенные
равенства
Дг^ « с/г/,
, х2, ... , а:п).
4- C,07J.
<3 Искомое число будем рассматривать как значение функции /(ж, у) =
= \А2 + У2 ПРИ х — хо + Ах, у — уо + Д?/, если х0 = 4, т/0 = 3,
Дж = 0,05, Ду = 0,07. Имеем:
/D, 3) = л/РТз2 - 5,
ж dx + у dy
Пример 10. Вычислить приближенно

§ 1. Основные понятия 197
Следовательно,
\/D,05J + C,07J « 5 + 0,08 = 5,08. >
Дифференциалом 2-го порядка d2u функции и = f(x\, х2, ..., хп)
называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассма-
рассматриваемого как функция переменных х\, х2, ..., хп при фиксированных
значениях dx\, dx2, • •., dxn:
d2u = d{du).
Аналогично определяется дифференциал 3-го порядка:
Вообще,
dmu = d{dm-lu).
Дифференциал m-го порядка функции ?/ = /(xi, х2? ..., х„) где xi,
^2, • •., жп — независимые переменные, выражается символической фор-
формулой
/Я Я Я \ m
dmu = ( — dxi + — dx2 + •.. + тг- dxn ] w, B)
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
Например, в случае функции z — f(x, у) двух независимых пере-
переменных х и у для дифференциалов 2-го и 3-го порядков справедливы
формулы
do; dy2 + J| drf. D)
2 дг/
Пример 11. Найти d2z, если z = еЖ2/.
< Имеем (по правилам дифференцирования)
dz = exy d(xy) ~ exy{y dx + x dy).
Дифференцируем вторично, учитывая, что dx и dy не зависят от х и /у
(т.е. считая dx и d?/ постоянными):
d2z = е<ту d(a;2/) • (</ dx + x d?/) + е'ту d(?/ do; + re dy) =
= ежг/B/ dx- + x d?/J + ежг/2 dx dy = e<cy ((y dx H- x dyJ + 2 dx d?/). t>

198 Гл. 8. Диффсренц. исчисление функций нескольких переменных^
8.87. Найти полное приращение и дифференциал функции z =
= х2 — ху + у2, если ж изменяется от 2 до 2,1, а у — ох 1 до 1,2.
8.88. Найти полное приращение и дифференциал функции z =
= lg (ж2 + у2), если ж изменяется от 2 до 2,1, а у — от 1 до 0,9.
Найти дифференциалы функций:
8.89. z = In (у + ^х2 + у2). 8.90. z = tg —.
8.91. z = In cos -. 8.92. u =
8.93. /(жь ж2, ж3, ж4) = хт{2~хз
8.94. Найти d/(l, 2, 1), если /(ж, у, z) = — -.
хг + yz
Вычислить приближенно:
8.95. B,01K'03. 8.96. УA,02K + A,97K.
8.97. sin28o-cos61°.
8.98. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: ра-
радиус основания R = 2,5 м, высоту Н = 4 м и толщину стенок
/ = 1 дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на
изготовление стакана.
8.99. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: а =
= 2 м, b = 3 м, с = 6 м. Найти приближенно величину изменения
длины диагонали параллелепипеда, если а увеличится на 2 см, b —
на 1 см, а с уменьшится на 3 см.
8.100. В усеченном конусе радиусы оснований R = 20 см, г =
= 10 см, высота h — 30 см. Как приближенно изменится объем
конуса, если R увеличить на 2 мм, г — на Змм и h уменьшить
на 1 мм?
Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функ-
функций (ж, у, z — независимые переменные):
8.101. z - ж3 + Зж2у - у3. 8.102. z = - - -.
ж у
8.103.
8.105.
8.107.
8.109.
z
z
Z
и
- л/ж2 -
f 2жу.
= (х + у)е*У.
— arctg
= exyz.
ж
ж + у
8
8
8
.104. z
.106. г
.108. и
\Jx
= ж In
ху
и
ж
f yz + гж.

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 199
8.110. Найти d3z, если z — e^siiLX'.
8.111. Найти d3u, если и = х3 + у3 + гъ - 3xyz.
8.112. Найти d6u, если г/ = In (x + y + z).
8.113. Найти dm7/, если и = е«*+^+«.
§2. Дифференцирование сложных и неявных функций
1. Сложные функции одной и нескольких независимых переменных.
Если и = /(.^i, х2, ..., хп) — дифференцируемая функция переменных
Xi, ж-2, • •., хп, которые сами являются дифференцируемыми функциями
независимой переменной t:
то производная сложной функции и = f(ipi(t), ^(O^ • • •» ^п(^)) вычи-
вычисляется по формуле
du 9u dxi 3u dx-2 ди dxn
dt dx\ dt dx-2 dt dxn dt
В частности, если t совпадает, например, с переменной Х{, то «пол-
«полная» производная функции и по х\ равна
du _ ди ди dx2 ди dxn
dx\ дх\ дх2 dx\ ''' дхп dxi '
du
Пример 1. Найти —, если и = xyz, где х = t2 + 1, у = In i,
5Г = tg *.
О По формуле A) имеем
dlt Л 1 о
— = yz - 2t + xz- + ху • sec t =
= 2t]nttgt+ (^ + 1)tg^ + (t2 + 1) In*sec2 i >
9^ c/c
Пример 2. Найти ~~ и —-, если z — yx, где ?/ =
аж ах
Имеем -^ — yx \ny. По формуле B) получим
(JJC
). t>

200 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
Пусть u = f(xu х2, ..., жп), где xi =
= ^2(^1, *2j • • • ? £771), • • -3 #n — iPnih) t-2, • - -, tm) (t\, t2, ..., im — не-
независимые переменные). Частные производные функции к по fi, f2, ...
..., tm выражаются следующим образом:
du _ du dx\ du dx2 du dxn
du _ du dx\ du dx2 du dxn
~dt2 ~ ~dx~['dt2~ + '~"~ + + ^lji
du _ du 9xi du dx2 du dxn
dtm dxi dtm dx2 dtm ''' dxn dtm'
При этом выражение A) из § 1 для дифференциала 1-го порядка сохра-
сохраняет свой вид (свойство инвариантности формы первого дифферен-
дифференциала)
, du du du
du — -— axi + -— dx2 + ... -f -— axn.
dxi dx2 dxn
Выражения для дифференциалов высших порядков сложной функ-
функции, вообще говоря, отличаются от выражения вида B) из § 1.
Например, дифференциал 2-го порядка выражается формулой
д , д , д V
d + d + +
( д , д , д i V
dru - -— dx\ + -— dx2 + ... + -— dxn u+
\dxi dx2 dxn )
du l9 du .-> du ,9
+ — d2xx + — d2x2 + ... + — d2xn. 4
OX\ OX2 OXn
Пример 3. Найти dz и d2z, если z = /(u, v), где и — (x2 — з/2)/2,
v = xy.
< Имеем dz = /4^ + }'vdv, где du = xda; - ydy, dv — у dx -\- xdy.
Следовательно,
dz = /i(x cfe -ydy)+ fl(y dx + x dy) = (x/i + y/i) dx + (x/^ - yf'u) dy.
Дифференцируем вторично:
d2z = d(fi) ■ du + f'u • d{du) + d{fv) -dv + fl- d(dv) =
= (fun du + f'L dv) du + fi- d\ + (C du + С dv) dv + ft- d2v,

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функции 201
где (Pu = dx2 - dy2, d2v = 2dxdy. Следовательно,
d2* - (C(x «fcr -1/ dy) + /1B/ d* + ж dy)) (x dx - у dy) + ru{dx2 - dy2) +
+ (C (x dx - у dy) + fa (y dx + x dy)) (y dx + x dy) + f'v ■ 2 dx dy =
= fllu(x dx - у dyJ + Cv(y dx + x dy)(x dx -ydy)+ f'u(dx2 - dy2) +
+ /;'„(xdx-ydy)(ydx + x dy) + fiv (у dx + x dyJ + 2f'v dx dy =
= f:u(x2 dx2 - 2xy dx dy + y2dy2) + 2f:'w(xy(dx2 - dy2) +
+ (x2 - y2) dx dy) + C(y2 dx2 + 2xy dx dy + x2 dy2) + fi(dx2 - dy2) +
+ 2fl,dxdy = (x2f:;u + 2xyfl+y2f"v + flu)dx2 + 2(xyKv + (x2-y2)f':v-
- xyfL + fv)dxdy + B/2/l " 2*2/C + x2C - fi) dy2. >
8.114. Найти -^, если z = е2х~3У, где x = tgt, у = t2 - t.
dt
8.115. Найти —, если z = xy, где x = lni, у = sint.
dt
8.116. Найти —-, если z = arctg -, где x = e2t + 1, у = e2t — 1.
dt x'
f\'\ I 11Z
8.117. Найти —, если и — —, где х = е4, у = hit, z — t2 — 1.
at x
8.118. Найти —- и —, если г = In (ex + е?/), где у — -ж3 + ж.
ох их о
dz dz x + 1 Гг4-П2
8.119. Найти — и —■, если z = arctg , где у = e^^i; .
ox ax у
8.120. Найти — и ■—, если z = гг21п^, где г/ = -, г> = х2 + у2.
ох ду х
8Л21. Найти dz, если z = u2v — v2u, где и = я sin у, г; = у cos x,
8Л22.
= х2- Зу.
8.123. Найти — и тт"? если z ~ f(ui ?;)' где и ~ ^nix2 ~~ У2)->
ох ду
у = ху2.
8.124. Найти dz, если г = f(u, г>), где г/ = cos (жу), г; = хъ — 7у.
% I х
8.125. Найти dz, если z — f(u, v), где it = sin—, и = ,/ —.
У У У
8Л22. Найти — и -—, если z = /(n, и), где г/ = , v —
дх ду х Л- у

202 Гл.8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
8.126. Найти du, если и = /(.т, у, z), где х = s2 + i2, у — s2~t2,
z = 2s*.
8.127. Найти -— и -—? если и = f(x\, х<2, жз, Ж4), где ^з =
= g(xu x2), хА = (
8.128. Показать, что функция z = у • </?(cos (.7; — у)) удовлетво-
dz dz z
ряет уравнению ——Ь — = -.
аж ay у
8.129. Показать, что функция z = xf ( — ) — х2 — у2 удовлетво-
\х/
dz dz 99
ряет уравнению х— + у-г- = z — х — у .
а.т ay
У
8.130. Показать, что функция z — р( о ^Г удовлетворяет
f{x/ -у2)
1 dz I dz z
уравнению -— + -— = —
ж аж у оу yz
8.131. Показать, что функция и — —ж4 — -.т3(у+ z) + -x2yz +
1Z и Z
-\- f{y — х, z — х) удовлетворяет уравнению
9z 92z d2z
8.132. Найти -^-^-, ^-^-, -r-^, если г = /(u, v), где u =
dxz dx dy dy
cb ay
. Найти -^-^-
dxz
v — x/y.
d2u
8.133. Найти ——7—, если и = /(ж, ?у, z), где z = ср(ж, у).
аж ау
8.134. Найти все частные производные 2-го порядка от функции
и — /(ж, ху. ху^).
8.135. Показать, что функция и = ;г^(.г' + у) + уф(х + у) удо-
92?j n d2u d2u
влетворяет уравнению —-тг — 2,——г—(- —-т- = 0.
dx2 dxdy dy2
/х\
8.136. Показать, что функция и = (р(ху)+ф ( — I удовлетворяет
\ У /
од2и 9d2u du ди
уравнению х—-у—+х--у- = 0.
8.137. Найти d2u, если и = /(«), где t = ж2 + у2 + £2.
8.138. Найти d2u, если u = f(ax, by, cz).
8.139. Найти d2^, если z ~ /(г/, ?;), где и = ж sin у, г? — у cos x.

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 203
2. Неявные функции одной и нескольких независимых переменных.
Пусть уравнение f(x, у) = 0, где / — дифференцируемая функция пере-
переменных х и ?/, определяет у как функцию х. Первая производная этой
неявной функции у = у(х) в точке xq выражается по формуле
' Ш) E)
dx x_xq fy{xo, У о)
при условии, что /^(жо, 2/о) т^ 0> где ?/0 = 2/(жо), Джо, 2/о) = 0.
Производные высших порядков вычисляются последовательным
дифференцированием формулы E).
dv d у
Пример 4. Найти — и -гт:? если
l + xy- In (е'гу + е""гг/) = 0.
О Обозначим левую часть данного уравнения через Д.х, у). Тогда
11рху up У /up ^У
у(х, у) =х-
рху _j_ p-xy pxy _j_ е~ху '
хе^ - хе~ху
рху _)_ e~a>y exlJ + е~жу
По формуле E) получаем
dy 2ye~xy у
dx 2xe~xy х
Дифференщ1руем вторично, учитывая, что у есть функция х:
d2y d / y\ x(dy/dx) — y y — x(—y/x) 2y
dx'2 dx V х/ х2 х2 х2
Пусть уравнение F(x\, Х2, ..., жп, и) — 0, где F — дифференцируе-
дифференцируемая функция переменных х\, Х2, ..., хп, и, определяет и как функцию
независимых переменных х\, Х2: ••-, хп. Частные производные этой
неявной функции и = и(х\, Х2, - -•> %п) в точке М°(ж5, .т^, ..., ж°) вы-
вычисляются по формулам
Fin F' (rQ Т° Г° 7/QNi
аа _ __ жь ^ ^' 2' ' * * ' п' ^ ГА* — 1 2 ^ ffi^i
при условии, что F^x®, 2*2, ..., .т°, и0) ^ 0, где и0 — гг(М°) и
F{M0,u°) =0.

204 Гл. 8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
Можно также найти частные производные функции и следующим
образом. Вычисляем полный дифференциал функции F(x\, a?2, • •., жп, и),
приравниваем его нулю:
3F J OF 1 OF , №, п
— cfoi + -r— dx2 + •. • + ~— dxn + — du = 0
axi ax2 aa;n au
и выражаем отсюда du.
Пример 5. Найти — и —, если
ох оу
х3 + 2г/ + z3 - Sxijz -2y + 3 = 0.
<3 1-й способ. Обозначим левую часть данного уравнения через
F(x, у, z). Тогда
F'x(x, у, z) = Zx2
По формулам F) получаем:
dz_ _ F'x{x, у, z) _ Зх2 - 3yz _x2 -yz
dx F'z(x, у, z) 3z2 - Зху ху - z2'1
ch _ F'y(x, y, z) _ 6y2 ~3xz-2 _ 6ij2 -3xz~2
dy~~ F'z{x,y,z)~~ 3z2-3xy 3(xy-z2)
2-й способ. Дифференцируем данное уравнение:
Зх2 dx + 6y2 dy + 3z2 dz - 3yz dx - 3xz dy - Зху dz - 2 dy = 0.
Отсюда выражаем dz:
_ 3(x2 - yz) dx + F?/ - 3xz - 2) dy
3(xy-z2)
Сравнивая с формулой dz = -г— dx + — dy, получаем
ox dy
dz _ x2 - yz dz _ 6y2 - 3xz - 2
~dx~ xy- z2' dy ~~ 3{xy - z2) ' >
8.140. Найти -р, если х2е2у - y2e2x = 0.
ax
du
8.141. Найти —, если у sin ж — cos (x — у) = 0.
iXX

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 205
8.142. Найти -^, —~, если ж + у = е*"*.
dx; dxz
d?y d и
8.143. Найти —, —-, если х — у + arctg?; — 0.
dx dx1
8.144. Найти
dy
x=i ' dx2
x=l ' dx;3
, если ж
2
dx
v=i
+ у2 - 4x + 2y - 2 = 0.
8.145. Найти —- и — в точке A, -2, 2), если z3 — 4ху +
дх ду
+у2 -4 = 0.
dz dz Til
8.146. Найти —- и —, если zlnix + z) - — = 0.
дх ду • z
8.147. Найти -^и-^, если F(x + y + z, x2 + у2 + z2) = 0.
дх ду
dz dz
8.148. Найти —- и —, если
8.149. Найти dz^ если yz = arctg (xz).
8.150. Найти dz, если xz - ezly + x3 + у3 = 0.
8.151. Найти —, —, —, если х2 — 2y2-\-z2 — 4x + 2z — 5 = 0.
дх ду дхду
д2 z д2 z d2z
8.152. Найти ——, -——, —=, если х + у + z = ez.
дхг дх ду ду1
х2 у2 z2
8.153. Найти d2z, если —- + — — ^~ — 1.
а2 б2 с1
8.154. Показать, что функция z, определяемая уравнением
ср(сх — az, су — bz) = 0, где ср — произвольная дифференцируемая
функция двух переменных, удовлетворяет уравнению
dz dz
а— Л- Ъ— = с.
дх ду
8.155. Показать, что функция z, определяемая уравнением
/ \9 / • ч? /z - а\2
(x—acosa)+{y—asma) = , где а, а, га — постоянные,
V га у
удовлетворяет уравнению
2
7Г + Б" =

206 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
8.156. Показать, что функция z, определяемая уравнением у =
= xip(z) + ij)(z), удовлетворяет уравнению
S^fdzV _ dzdz d2z 32z fdz\2 _
dx2 \dy ) dx dy dx dy dy2 \dx)
-0.
3. Системы неявных и параметрически заданных функций. Ограни-
Ограничимся рассмотрением функций двух независимых переменных. Пусть
система двух уравнений
F(x, у, щ v) = 0,
G(x, у, u,v) = 0
G)
имеет решение х — .то, у = уо, и — Щ и v = г>о, причем функции F
и G имеют в окрестности точки Ро(хо, 2Ль ио, vo) непрерывные частные
производные первого порядка и якобиан
G)
D(u, v)
ди
ас
ди
д£
dv
dG_
dv
отличен от нуля в точке Pq. Тогда в некоторой окрестности точки Ро си-
система G) определяет единственную пару непрерывных функций и(х, у)
и г>(.т, у), имеющих непрерывные частные производные и удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям
и(х0, 2/о) = uo, v{xQ, 2/o) = ^о-
Дифференциалы этих функций du и dv (а значит, и частные произ-
производные) можно найти из системы уравнений
dF , dF , OF J dF ,
—- da: + -7Г- d2/ + —- rfu + —- dv = 0,
от c/i/ aw c/f
8G ^ 8G . dG , 8G
—- dx + — dy + — du + -^-
от ai/ au av
= 0.
Пример б. Функции и та v независимых переменных х иу заданы
неявно системой уравнений
и -Ь v = ж, 1/ — 2/t? = 0.
Найти du, dv,
<] Якобиан системы
, d2v.
D(F, G)
(M)
1
1
1 -У
= — у — 1 отличен от нуля при
у ф — 1. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие
дифференциалы всех четырех переменных:
du -\- dv — dx, du — у dv — v dy — 0.

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 207
Решая эту систему относительно du и dv при у ф — 1, получим
^ + ^ d ^
du —
1+2/
dv —
Дифференцируем повторно:
2 {dx dy -f dv dy)(l -h y) — с^Дт/ г/ж -f г>dy)
2/J
_ (dxdy + (dx-v
y)dy)(l+y)- dy(y dx + vdy) _
A + УJ
A 4- y) dx dy -h dxdy — i? dy2 — ?7 dx dy — v dy2 2(dx dy — v dy2)
— di; dy(l Л-у) - dy(dx - v dy)
_ -(dx - ч;dxj)/{l + y) dy(l + y) - dxdy + vdy2
(i + yJ
—dxdy -f vdy2 — dxdy -h v dy2 2(vdy2—dxdy)
Пусть функция z независимых переменных х и у задана параметри-
параметрически уравнениями
D{x, у)
D(u, v)
dx
~du
dy
du
dx
Ifo
dy
dv
в окрестности точки Р(щ, vq). Тогда дифференциал dz этой функции
(а значит, и ее частные производные) в окрестности точки Р можно
найти из системы уравнений
dx 1 дх ,
ах — — du + тг~ аи,
du ov
dy = —du+ — dv,
du dv
, dz dz
dz - — du -f — dv.
du ov

208 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
т, _ ,, dz dz
Пример 7. Найти — и—, если
ох оу
x = ucosv, у —u sin v, z — cv.
<\ Имеем
Д(а, У)
D(u, v)
cost» — us'mv
ucosv
= и ф 0 при и фО.
Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифферен-
дифференциалы всех пяти переменных:
dx = cos v du — u sin v dv, dy = sin vdu -f u cos v dv, dz — с rit>.
Из первых двух уравнений найдем dv:
cos vdy ~ sin
Подставим найденное значение dt> в третье уравнение:
dz — — (cos v dy — sin г> dx).
ex
Отсюда
9г csint» dz с cost»
dx u ^ dy u
8.157. Функции у и z независимой переменной х заданы систе-
системой уравнений
7х2 + у2 - 3z2 = -1, 4х2 + 2у2 - 3z2 - 0.
dy dz d2y cPz
8.158. Функции уиг независимой переменной ж заданы систе-
системой уравнений
х2 + у2 - z2 = 0, х2 + 2у2 + Зг2 = 1.
Найти dy, dz, d2y, d2z.
8.159. Функции и и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений
xu + yv = 1, х + у + и + v = 0.
Найти du, dt?, d2u, d2f.
9u du du
8.160. Показать, что x—+y —+z— = 0, еслигш = Зж~
v2 = x2 Л-у2 + z2.
dx udy dz

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 209
8.161. Найти —— и —, если j; = u + v, у = и — v, z = и v .
ох ду
8.162. Найти —— и —, если х — a cos well г;, у ~ bsmudiu,
дх ду
z = cshv.
8.163. Найти dz, если х ~ с11 cost;, у = еи sin?;, z = иг;.
8.164. Найти бк, если ж = и + ?;, у = и2 + г;2, г = г/,3 + г;3
(^)
4. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Часто в
дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним
переменным необходимо выразить через производные по новым пере-
переменным.
Пример 8. Преобразовать уравнение
полагая ж = cost.
<3 Выразим производные от у по ж через производные от у по t:
dy^ dy/dt
dx dx/dt — sin*;
_ (d/dt)(dy/dx) _
dx2 dx \dx) dx/dt
_ - sin* • (d2y/dt2) 4- cos* • (dy/dt) __ 1 d2y cos* dy
sin2 * • (- sin *) sin2 t dt2 sin3 * dt'
Подставим полученные выражения производных в данное уравнение
и заменим х на cos*:
/ 9 ч / 1 d2y cos* dy\ ( 1 dy\
A - cosJ *) -7-2- • —r - —y- • — - cos* -—г • — = 0,
\sin * dt- sin * dt J \
d2y
или —у = 0. >
Пример 9. Преобразовать уравнение
4dx7
приняв ж за функцию, а т/ за аргумент.

210 Гл.8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
< Выразим производные от у по х через производные от х по у:
dy 1 d2y d ( 1 \ d ( 1 \ dy
dx dx/dy' dx2 dx \dxjdy) dy \dx/dyj dx
d2x/dy2 1 d2x/dy2
{dx/dyJ ' dx/dy ~ {dx/dyK'
Подставим эти выражения производных в данное уравнение:
d2x/dy2 1 _
~Tdx~/dyf+ V ' (dx/dyJ ~ '
ИЛИ
cPx dx
— -2y— =0. >
dy2 dy
Пример 10. Перейти к полярным координатам в выражении
А^ х Ч- уу'
ху1 - у'
< Имеем
х — г cos (/?, |/ = г sin (/),
б/х — cos (p dr — г sin ^ dip, dy — sin tpdr -{■ r cos <£ dip,
откуда
, g?i/ sin ip dr -f ?* cos if df
dx cos <£> dr — r sin yp dip'
Подставим выражения х, у, у' в А:
sin ipdr -f r cos о? dc>
j. cos ipdr - r sin ip dip _ d_r[a(p^
sin ipdr + r cos tpdip r '
Г COS 09 • Г Sill (Z>
cos ipdr - r sm ^«V9
Пример 11. Преобразовать )равнение
перейдя к новым независимым переменным и и г>, если г/ — :гг/. v — —.
< ВыразР1М частные производные or z по л: и ?/ через частные производ-
производные от z по и и v.
Имеем
ди <9г> 1 да dv х

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций 211
По формулам C) получим
dz _ dz du Oz 01 _ dz Oz 1
дх du дх dv дх du dv у'
дН
дх2
d2z
dy2
\
d
~ dx
д
ду
'd2z
^ди2
г(д2
(dz\
\дх)
(d2z
\du-
(dz\
\ду)
du
dy '
z
\du2^
d
du
/dz
d2z
! du dv
dz
ду ~
~~ X \
d2z
dudv
d2z
dudv
\ du d (dz\ dv
) dx dv \Ux) dx
\\ ( d2z d2z r
i 11 _i_ i a j_
у) \auav ovz у
У du2+2
dz du dz dv dz dz x
du dy dv dy du dv y2'
f) /
I
dy\
dv
dy
X
У2
dz\ d /dz\ 1 + dz
du) dy \dvJ y2 dv
( d2z du d2z dv\
\ du dv dy Г dv2 dy J
( d2z d2z x \ 1
\dudv^ dv2 y2) y2
2d2z 2x2 d2z x2
du2 y2 dudv ' y4
\ i
) У
d2z
l
du dv y2
'y3J
1
У2
dz
1
1 dv
d2z
dv2
dz i
dv у
2\
У2)
2.x
У3
d2z
dv2'
3)
dz
dv'
Подставим найденные выражения производных в данное уравнение:
2 ( 2#2 о d2z
У du2+
du2+ dudv + y2dv2
2 / 2d2z 2x2 d2z . x2d2z . 2xdz
\ du2 y2 dudv yA dv2 y3 dv J
После упрощений при х ф 0 и у ф 0 получим
d2z I dz d2z 1 dz
или
du dv 2xy dv' du dv 2u dv
Пример 12. Преобразовать уравнение i/ — —х-— = (у—х)z, приняв
за новые независимые переменные величины и — х2 + у2, v — —Ь - и
х у
за новую функцию w = Inz — (х + у).

212 Гл. 8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
< Выразим частные производные от z по х и у через частные производ-
производные от w no u и v. Для этого продифференцируем данные соотношения:
du — 2{xdx -f ydy),
(dx dy
dv = - \ — + —
Kx* у
dw — [dx -f dy).
z
Учитывая формулу A) § 1, имеем
dw dw dz
_ ClU ~t~ — CLV — ~~~~" I (XX ~\ Chi)
ov ov z
или
Лdw, , ч dw I dx dy\ dz
2 — [xdx + ydy)-— — ' y x ~
du dv \x2
откуда
dw 1 <9iu
Следовательно,
^£ - (о—-—— Л — - (о—-—— \
dx \ du x2 dv J ^ dy \ du y2 dv J
Подставим эти выражения — и т— в данное уравнение:
ох оу
I' dw I dw Л I' dw I dw \ ,
yz 2x- -— + 1 - xz[ 2y- -■— + 1 = (j/ - x)z,
\ du x2 dv J \ du у2 dv J
dw
или -^— = 0. >
dv
8.165. Преобразовать уравнение
2 x3^- «-0
'X dx У~'
полагая х = 1/t.
8.166. Преобразовать уравнение
d2y 2x dy у =
l + x2dx (l + ж2J '
полагая х — tg ^.

§ 2. Дифференцирование сложных и неявных функции 213
8.167. Преобразовать уравнение
^y\_dyd^_fy(dy\ =
dx2) dxdx3 dx2 \dx)
приняв у за аргумент.
8.168. Преобразовать уравнение
перейдя к полярным координатам.
ди ди
8.169. Преобразовать выражение w = х——h у — , перейдя к
ох оу
полярным координатам.
8.170. Преобразовать уравнение
перейдя к новым независимым переменным и и г?, если и
. у
= In д/х2 + у2, v = arctg —.
2
9^ 9^
8.171. Преобразовать уравнение х—— Л-у——^— = 0, перейдя к
дх2 дхду
новым независимым переменным uhd, если и = у, г? = у/ж.
2 2
8.172. Преобразовать выражение гс; — ттт + тт^т? перейдя к
ох1 оуг
полярным координатам.
8.173. Преобразовать выра?кение
д2и 1 д2и д2и 1 ди
дг2 г2 д(р2 dz2 r Or'
перейдя от цилиндрических координат к сферическим (г = psin#,
(р = <^? ^ = pcosd).
8.174. Преобразовать уравнение
/ \9z 1Л 2,dz
(ху + z)— + A - у )— = х + yz:
приняв за новые независимые переменные u — yz — x^ v = xz — у
и за новую функцию w = ху — 2.
8.175. Преобразовать уравнение
<Э£ 1 Э2^ _ 1
9у 2 9у2 ж'
ж
приняв за новые независимые переменные и = —, v = х и за
У
новую функцию w = xz — у.

214 Гл.8. Дифферснц. исчисление функции нескольких переменных
8.176. Преобразовать уравнение
dx2 dxdy dx
х+у х-у
приняв за новые независимые переменные и — —-—, v —
и за новую функцию w — zey.
§ 3. Приложения частных производных
1. Формула Тейлора. Если функция f(P) дифференцируема т + 1
раз в некоторой окрестности U(Pq) точки Ро(#?? • • • , #п)» то для всякой
точки Р(хв1, ..., xn) 6 U(Po) справедлива формула Тейлора
bxu-..,Axn) + d2f(P0,AXl,...,Axn) +
+
1. /L.
сГ/(Р0, Asi, ... , Axn) dm+1f(P, Ажь ... , Aa:w)
'••+ m! (m + 1)! ' Uj
где A.xj = xi — ж?, ..., Джп = жп — ж^, а Р — некоторая точка указанной
OKpCCTHOCTPI.
В случае, например, функции /(я, ?/) двух переменных х иу формула
Тейлора в развернутом виде записывается следующим образом:
/(ж, у) = Джо, 2/о) + YJ(^(-х
2J (/^(жо, 2/о)(ж - х0J + 2f%y(xo, уо)(х - хо)(у - уо)
+/уУЫ, Уо)(у ~ УоJ) + • • • + ^ ((х - *о)£ + B/ -
1 / Q Я
х/(хо' ^} + га ((ж ">то)^ + (?/ - Уо)аЦ
x/(xo+l91(x-.To),2/o+l92B/-2/o)), 0<вьв2 < 1. B)
Последнее слагаемое в формуле B) (остаточный член) можно короче
записать в виде
о(рт), где р = у/(х - х0У2 + (у - уоJ
(ф орма Пеан о).
В частном случае, при хо — уо = 0, формула B) называется форму-
формулой Мак лор сна.
Пример 1. Функцию /(ж, у) — х3 — Ъх2 — ху -Ь у2 + 10ж + by — A
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки B, -1).

§ 3. Приложения частных производных 215
< Имеем /B, — 1) — 2. Вычислим последовательно частные производ-
производные данной функции и их значения в точке B, —1):
f'x(x, у) = За;2 -10х-у + 10, fxB, -1) = 3;
/£(*,!,) = -а: + 2у +5, /;B, -1) = 1;
/£(*,!,) = 6*-10, /£B,-1) = 2;
/£„(*, I/) = -l, /"„B, -1) =-1;
/^ 2/) = 2, /£,B, -1) = 2;
/£,(*, у) = 6, fx"xxB, -1) = 6.
Все последующие производные тождественно равны нулю. По формуле
B) получаем искомое разложение
f{x, у) = 2 + Цх -2) + {у + 1) + {х - 2J -
- (х -2H/ +1) + (у + IJ + {х -2K. о
Пример 2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A, 1) до членов 2-го порядка включительно функцию
/(я, У) =УХ-
< Имеем /A, 1) = 1. Вычислим частные производные 1-го и 2-го по-
порядка данной функции и их значения в точке A, 1):
fx(x,y)=y*\ny, fx(l, l) = 0;
Гу{х,у)=ху'-\ /£A,1) = 1;
fx'x(x,y)=y*\nzy, /£A,1) = 0;
Г'у(х, y)=y*-l(x\ny + l), /»уA, 1) = 1;
f'v{x, У) = х(х - \)у*-\ /;'уA, 1) = 0.
По формуле B) получим
f(x. y) = l + (y-l) + (x 2
где р = У(х - IJ + (у - IJ. >
8.177. Разложить /(.т + /i, у + fc) по целым полсшительным
степеням h и А;, если /(ж, у) = ху2.
8.178. Найти приращение, получаемое функцией /(ж, у) =
= —х2 + 2ху + Зу2 — 6х — 2у — 4 при переходе от значений х = —2,
у = 1 к значениям жх — —2 + /i, yi — 1 + /с.
8.179. Функцию /(ж, у) = ж3 — 2у3 + 3.ту разложить по формуле
Тейлора в окрестности точки B, 1).

216 Гл.8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
8.180. Разложить /(ж + Л, y+A;, z-\-l) по целым положительным
степеням /г, к, /, если /(ж, у, г) = я2 4- 2у2 + 3z2 -\-xy — 2yz + Зж -
- у — 4z + 1.
8.181. Функцию /(ж, у, г) = х2 + у2 + z2 - 2(ху + xz 4- yz)
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки A, -1, 2).
8.182. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го порядка
включительно функцию /(ж, у) = eycosx.
8.183. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка
включительно функцию /(ж, у) = smxshy.
8.184. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A, 1) до членов 3-го порядка включительно функцию /(ж, у) =
= у/х.
8.185. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A,1,0) до членов 2-го порядка включительно функцию /(ж, у, z) =
= 1п(жу + z2).
8.186. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
A,1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию
z(x, у), определяемую уравнением z2 + 3yz — 4ж = 0, если
z(l, 1) = 1.
2. Экстремум функции. Функция u — /(Р) имеет максимум (мини-
(минимум) в точке Ро(ж?, • • •» ж°), если существует такая окрестность точки
Ро, Для всех точек Р(жх, ..., хп) которой, отличных от точки Рсь вы-
выполняется неравенство f{Po) > f(P) (соответственно f{Po) < f{P))-
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Необходимое условие экстремума. Если дифференциру-
дифференцируемая функция f(P) достигает экстремума в точке Ро, то в этой точке
f'Xk (ро) = 0 для всех к = 1, 2, ... , п, C)
или rf/(Po, Аж1,..., Ахп) = 0 толшественно относительно Джх, ..., Джп.
Точки, в которых выполняются условия C), называются стацио-
стационарными'точками функции и = /(Р). Таким образом, если Ро — точка
экстремума функции и — /(Р), то либо Ро — стационарная точка, либо
в этой точке функция недифференцируема.
Достаточные условия экстремума. Пусть Po(xJ,.. .,ж°) —
стационарная точка функции и = /(Р), причем эта функция дважды
дифференцируема в некоторой окрестности точки Ро и все ее вторые
частные производные непрерывны в точке Ро. Тогда:
1) если второй дифференциал d2u(Po, Axi, ..., Джп) как функ-
функция Дж1, ..., Ахп имеет постоянный знак при всевозможных наборах
значений Джх, ..., Джп, не равных одновременно нулю, то функция
и — f(P) имеет в точке Ро экстремум, а именно — максимум при
сРи(Р0, Джь ..., Ахп) < 0 и минимум при сРи(Ро, Дж1, ..., Ахп) > 0;

§3. Приложения частных производных 217
2) если d2u(Po, Ах\, ..., Ахп) является знакопеременной функцией
\, . -., Джп, т. е. принимает как положительные, так и отрицательные
значения, то точка Лэ не является точкой экстремума функции u = /(Р);
3) если d2u(Po, Д.Т1, ..., Axn) ^ 0 или d2u(P0i Дж1, ..., Джп) ^ О,
причем существуют такие наборы значений Джх, ..., Джп, не равных
одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обра-
обращается в нуль, то функция и = f(P) в точке Р$ может иметь экстремум,
но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется
дополнительное исследование).
В частном случае функции двух переменных достаточные усло-
условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть
Ро(^О) У о) — стационарная точка функции z = /(ж, у), причем эта функ-
функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Ро и все
ее вторые частные производные непрерывны в точке Ро- Введем обозна-
обозначения:
А = f'Jx{x0, j/o), В = /^(хо, г/о), С = /^(жо, Уо) '
D = AC-B2.
Тогда:
1) если D > 0, то функция z — /(ж, у) имеет в точке -Ро(жо> Уо)
экстремум, а именно — максимум при А < О (С < 0) и минимум при
А > 0 (О 0);
2) если D < 0, то экстремум в точке Ро(^о? Уо) отсутствует;
3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
z = ж3 + у3 - Зал/.
< Найдем частные производные 1-го порядка и составим систему урав-
уравнений вида C):
ИЛИ
я2 - У = 0, у2 - х = 0.
Решая систему, найдем две стационарные точки:
Л @,0) и Р2A, 1).
Найдем частные производные 2-го порядка:
= -3,
у1
бх, = 3,
ох оу оу
Затем составим дискриминант D — АС — В2 для каждой стационарной
точки.

218 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
Для точки Pi
А =
дх2
= 0, В =
= 0,
82z
дхду
Л
= -9<0.
Следовательно, экстремума в точке Pi нет.
Для точки Р-2
А =
С =
Эх2
d2z
= 6, В =
82z
дхду
Р-2
= 6, D = 36-9>0, A>0.
Следовательно, в точке Р-г функция имеет минимум, равный
= 1 + 1-3= -1.
х=1
Для того чтобы установить тип стационарной точки, нет необходимо-
необходимости использовать изложенный выше признак, связанный с определением
знаков D и А. Достаточно непосредственно исследовать знак второго
дифференциала как квадратичной формы dx и г/у, используя метод вы-
выделения полного квадрата. Так, например, для стационарной точки Р^
имеем:
d2z(P2\ dx, dy) = 6dx2 -3dxdy
2 = 6 (dx - -dyj + ~^
откуда сразу видно, что при любых dx и dy, не равных одновременно
нулю, d2z > 0 и, следовательно, F2 — точка минимума. >
Найти экстремумы функций двух переменных:
8.187. z = х2 + ху + у2 - За; - 6у.
8.188. z = ху2{1 -х-у) {х > 0, у > 0).
8.189. z = Зх2 - ж3 + Зу2 + 4у.
8.190. z = xy+ — + — (х > 0, у > 0).
а; у
8.191. z = а;2 + у2 -2 in ж- 18 In у (х > 0, у > 0).
8.192. z = х3 + Зжу2 - 15ж - 12у.
8.193. z = 2ж3 -
8.194. г =
+ 5ж2 + у2.
8.195. z = 2-

§3. Приложения частных производных 219
Найти экстремумы функций трех переменных:
8.196. и = х2 + у2 + £2 -- 4ж + 6?у - 2z.
8.197. гх - xy2z*(l - х - 2?у - Зг) (ж > 0, jy > О, ^ > О).
?/ z 2
8.198. гл = ж + - + - + -.
ж у z
Найти экстремумы функций z, заданных неявно:
8.199*. х2 + у2 + z2 + Ах - 2у - Az - 7 = О.
8.200. 2я2 + 2у2 + z2 + 8yz - z + 8 - 0.
3. Условный экстремум. Функция и, — f{P) — /(^ь • • •, ^/г) имеет
условный максимум [условный минимум) в точке Ро(х®, ..., .г^г), если
существует такая окрестность точки Pq5 для всех точек Р которой
(Р ф РоM удовлетворяющих уравнениям связи
= ^а-(жь • • • » Яп) =0 (fc = 1, 2, ... , ?/г; r/i < ?i),
выполняется неравенство /(Ро) > /(^) (соответственно /(Ро) < /(Р))-
Задача нахо?кдения условного экстремума сводится к исследова-
исследованию на обычный экстремум функции Лагранэюа
m
L(xi. ... , жп, Аь ... , Am) = /(xi, ... , xn) + ^A/c(^A.(.Ti, ... , xrt);
A;=l
Afc (fc = 1, 2, ..., m) называются множителями Лаграижа.
Необходимые условия условного экстремума выражаются системой
n + m уравнений
^ = ° «-'.» "»• ,4,
tpk{P) = O {к = 1,2, ... ,ш),
из которой могут быть найдены неизвестные
т° ,-° Л° Л°
где .х?, ..., х° — координаты точки, в которой возможен условный экс-
экстремум.
Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением
знака 2-го дифференциала функции Лагранжа
<PL{x\, ...,x°, A?,..., A^.dx!,..., dxn)
для каждой системы значений х?, ..., х°, А?, ..., А"п, полученной из D)
при условии, что dxi, dx-2, . •., <ixn удовлетворяют уравнениям

220 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
при dx\ + dx\ + ... + dx2n Ф 0. А именно, функция f(P) имеет услов-
условный максимум в точке Ро{х\, ..., ж^), если для всевозможных значений
dxi, ..., cfon, удовлетворяющих условиям E) и не равных одновременно
нулю, выполняется неравенство
x?, ..., х°п, А°, ..., Л°„, dxlt ..., dxn) < 0
и условный минимум, если при этих условиях
сРЦх^ .. , х°п, А?, ..., А^, dxu..., dxn) > 0.
В случае функции z = /(ж, у) при уравнении связи
функция Лагранжа имеет вид
у) — 0
L(z, у, А) = /(ж, у)
Система D) состоит из трех уравнений:
ж, у).
§£
=0, g = 0,
Пусть Ро(^о, 2/о)? Ао — любое из решений этой системы и
0 ^(Ро) <p'v{P0)
А = -
ЦЯ(РО, Ао) L£y(P0, Ао)
Li'v(P0, Ао) Ь;'у(Ро, Ао)
Если Д < 0, то функция z = /(ж, ?/) имеет в точке Ро(хо, у о) услов-
условный максимум; если Д > 0, — то условный минимум.
Пример 4. Найти условный экстремум функции z = х + 2у при
2
х2 +
- 5.
< Составим функцию Лагранжа:
L(z, у, А) = ж + 2у + \{х2 +у2 - 5).
Имеем -^ = 1 + 2Аж, ^ = 2 +
аж at/
Система уравнений D) принимает вид
1 + 2Хх = 0,
2 + 2Ау = 0,
Система имеет два решения: х\ — — 1, yi = —2, Ai = -; Ж2 — 1,
1 92L 92L
У2 = 2, А2 = --• Так как ~—^~ = 0, —■ = 2А, то
2 ох оу оу2
= 2\{dx2+dy2).

§ 3. Приложения частных производных
221
При Л = - d2L > 0. Поэтому функция имеет условный минимум в
точке -Pi(-1, -2) и zm\n = -5. При Л = — cPL < 0. Поэтому функция
имеет условный максимум в точке Р-2A, 2) и гтах = 5.
Или иначе:
<р(ж, у) = ж2 + у2 - 5,
• ^=2ж, ^ = 2i/, ^(-1,-2) = -2, ^,(-1,-2) = -4,
следовательно,
Д = -
0 -2 -4
-2 1 0
-4
0
1
= 20 > 0,
т. е. функция имеет условный минимум в точке Р\(—1, —2). Аналогично
для точки РгA» 2)
Д = -
0 2
2 -1
0
0 -1
- -20 < 0,
т.е. РгA, 2) — точка условного максимума. >
Найти условные экстремумы функций:
8.201. z — х2 + у2 — ху + х + у - А при ж + у + 3 = 0.
= - + - при х + у = 2.
ж у
ж - у - 4
8.202.
8.203. z =
при .т2 + у2 = 1.
8.204. z = ху2 при ж + 2у = 1.
8.205. z = 2ж + у при ж2 + у2 = 1.
8.206. г/ = 2х + у - 2z при х2 + у2 + z2 = 36.
2 2 2
8.207. и = ж2 + у2 + z2 при |- + ^- + ^- = 1.
8.208. и = xy2z3 при ж + 2у + 3z = 12 (ж > 0, у > 0, г > 0).
8.209. и — xyz при ж + у + г = 4, жу + yz + гж = 5.
8.210*. Доказать неравенство
х3 + у3 + z3
если ж ^ 0, у ^ 0,
3
0.
x + y + z

222 Гл.8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
4. Наибольшее и наименьшее значения функции. Если функция f(P)
дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает
своего наибольшего (наименьшего) Значения или в стационарной точке,
или в граничной точке области.
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = х3 + у3 — З.ту в области
(К я ^2, -1<:у^2.
< Данная область — прямоугольник.
1) Найдем стационарные точки (см. пример 3): Pi @, 0) и РгA? 1)-
Значения функции в этих точках: 2;i=0, z2 = — 1.
2) Исследуем функцию на границах области.
а) При х = 0 имеем z = у3. Эта функция монотонно возрастает и на
концах отрезка [—1, 2] принимает значения: z\y=-i = — 1, z\y-2 = 8.
б) При х = 2 имеем z = 8 + у3 — 6у. Найдем значения этой функции
в стационарной точке и на концах отрезка [—1, 2]. Имеем z' = 2>у2 — б;
z1 — 0 при у2 = 2, или, в данной области, при у = у/2; г\у=уд —
-8 + 2\/2-б\/2 = 8- 4л/2; J2r|1#=_1 - 13; г|у=-2 = 4.
в) При ?/ = — 1 имеем 2 = х3 — 1 + Зх и zr = Зж2 + 3 > 0. Функция
монотонно возрастает от z\x=o = — 1 до ^^ = 13.
г) При у = 2 имеем 2 = ж3 + 8 — баг, zr = Зж2 — б; z' = 0 при ж = \/2;
^L=V2 = 8 - 4^' г|я=0 = 8; z\x=2 = б.
3) Сравнивая все найденные значения функции, заключаем, что
^наиб = 13 в точке B, -1); zH^M = -1 в точках A, 1) и @, -1). >
Пример б. При каких размерах открытая прямоугольная ванна
данной вместимости V имеет наименьшую площадь поверхности. Найти
эту площадь.
< Ванна имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Пусть его изме-
V
рения равны ж, у, z. Так как объем V = xyz задан, то z = —. Площадь
ху
поверхности ванны равна
5 = S(x, у) = 2{xz + yz) +xy = 2(z + y)—+xy = 2V (- + -)+ ху.
ху \у х)
Задача сводится к нахождению минимума функции 5(ж, у), причем по
смыслу задачи х > 0, у > 0.
Решая систему уравнений
2V
S'x(x,y) = j- + Z/ = O,
х*
2V
S'() 0

§3. Приложения частных производных 223
находим стационарную точку х0 = у о = \/%V. Проверим выполнение
достаточных условий минимума:
4V AV
, У) = —, S';y(x, у) = 1, S'y'y(x, у) = —.
3; у
Следовательно,
yy2, D = AC-B2=4-l>0, A > 0.
Итак, функция S(x, у) имеет минимум при х — у - \/2V; тогда z =
V \/2V
* = 3/4V2. О
8.211. Найти наибольшее значение функции z = х — 2у + 5 в
областях:
а)я>0, y>0, z + j/sU;
б) х ^ 0, у > 0, у - а; < 1.
8.212. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
2 = х2 + у2 — ху — х — у в области х ^ 0, у ^ 0, х + у ^ 3.
8.213. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = ху в области х2 -Ь у2 ^ 1.
8.214. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = .ту2 в области х2 + у2 ^ 1.
8.215. Представить положительное число а в виде произведе-
произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их
обратных величин была наименьшей.
8.216. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих
данную сумму длин ребер 12а, найти параллелепипед с наиболь-
наибольшим объемом.
8.217. Найти прямоугольный параллелепипед с длиной диаго-
диагонали d, имеющий наибольший объем.
8.218. Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов
расстояний которой от вершин была бы наименьшей.
8.219. В полушар радиуса R вписать прямоугольный паралле-
параллелепипед наибольшего объема.
8.220. В прямой круговой конус с радиусом основания В, и
высотой Н вписать прямоугильиый параллелепипед наибольшего
объема.
8.221. Из нсех треугольников с основанием а и углом а при
вершине найти треугольник с наибольшей площадью.

224 Гл.8. Дифференц. исчисление функции нескольких переменных
8.222*. На эллипсе х2 + 9у2 = 9 найти точки, наиболее и наи-
наименее удаленные от прямой 4.x + 9у = 16.
8.223*. На эллипсе х2 + Ау2 — А даны две точки А(-\/3, 0,5)
и ВA, у/З/2). На том же эллипсе найти такую третью точку С.
чтобы треугольник ABC имел наибольшую площадь.
8.224. Определить наружные размеры закрытого ящика с за-
заданной толщиной стенок S и емкостью (внутренней) V так, чтобы
на его изготовление было затрачено наименьшее количество мате-
материала.
8.225. На плоскости даны п материальных точек Pj(.x"i, y\)
Р2(я;2? 2/2)? • • •? -PnC^nj Уп) с массами, соответственно равными т\,
?Д25 • • •? inn- При каком положении точки Р(ж, у) момент инерции
системы относительно точки Р будет наименьшим?
8.226*. Точки А и В расположены в различных оптических
средах, отделенных одна от другой плоскостью А\В\ (рис. 27).
Скорость распространения света в первой среде равна v\, во
второй — V2- Пользуясь принципом Ферма, согласно которому
световой луч распространяется вдоль той линии АМВ, для прохо-
прохождения которой требуется минимум времени, вывести закон пре-
преломления светового луча.
Рис. 27
Рис. 28
8.227. Пользуясь принципом Ферма, вывести закон отражения
светового луча от плоскости в однородной среде (рис. 28).
8.228*. Если в электрической цепи, имеющей сопротивление Д,
течет ток 7, то количество тепла, выделяющегося в единицу вре-
времени, пропорционально I2R. Определить, как следует разветвить
ток I на токи /i, /2, ..., In при помощи п проводов, сопротивле-
сопротивления которых i?i, i?2, ••-, Rni чтобы выделение тепла было наи-
наименьшим.
5. Геометрические приложения частных производных. Касательной
плоскостью к поверхности в ее точке М$ (точка касания) называется
плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным
из поверхности через эту точку.

§ 3. Приложения частных производных 225
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к
касательной плоскости и проходящая через точку касания.
Если уравнение поверхности имеет вид
F{x, у, г) = О,
то уравнение касательной плоскости в точке Мо(жо, Уо, ^о) есть
i^(x-0, Уо, zo){x - х0) + F'y{x0, у0, zo)(y - 2/о) +
+ F'z(x0, yo, zo){z - z0) = 0. F)
Уравнения нормали:
х -хр _ У -Уо _ z- zp
F^(x0, i/o, ^о) ^у(жо, Уо, ^о) ^(яо, 2/о, ^о)'
В случае задания поверхности в явной форме
z = /(^, У)
уравнение касательной плоскости в точке Мо(жо, уо, ^о) имеет вид
z - z0 = /i(x0, 2/0)(ж - жо) + /у(^о, 2/о)B/ ~ Уо),
а уравнения нормали —
х- х0 __ у-уо _ z - z0
fx(xo,Vo) /у(ж0, 2/о) -1
Пример 7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности х2 + 2у2 - 3z2 + ху + yz - 2ж2 + 16 = 0 в точке МA, 2, 3).
< Обозначив через F(x, у, z) левую часть уравнения поверхности, най-
найдем частные производные и их значения в точке М:
F'x{x, у, z) = 2x + y-2z, Fi(l, 2, 3) =-2;
F^(x,y,z)=4y + x + z, F^(l, 2, 3) = 12;
F^(i, y, z) = -62 + у - 2x, Fl(l, 2, 3) = -18.
По формулам (б) и G) имеем
-2{х - 1) + 12B/ ~ 2) - 18(z - 3) = 0, или х - 6у + 9z - 16 = О
— уравнение касательной плоскости,
х-1 __у-2 _ z-З х-1 _у-2 _ z-3
""=2" ~ ЧГ - ^18 ' ИЛИ
— уравнения нормали. >

226 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
Особой точкой плоской кривой Да;, у) = 0 называется точка
, 2/о)? координаты которой удовлетворяют системе трех уравнений:
Джо, Уо) - 0,
о, 2/о) = 0,
- 0.
(8)
Пусть выполнены условия (8), числа
A = f'Jx(xo,yo), B = f'Jy(xOt
С =
0, Уо)
не все равны нулю и Д — АС — В2. Тогда:
а) если Д > 0; то М -- изолированная точка (рис. 29);
б) если Д < 0, то М — узел (двойная точка) (рис. 30);
в) если Д = 0, то М — либо точка возврата 1-го рода (рис. 31)
или 2-го рода (рис. 32), либо изолированная точка, либо точка само-
самоприкосновения (рис. 33).
•М
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
Угловой коэффициент к = у1 касательной к кривой в особой точке
находится из уравнения
А + 2Вк + Ск2 = 0.
В случае изолированной точки касательной нет, в узле — две различные
касательные; в точке возврата и точке самоприкосновения — одна общая
касательная к двум ветвям кривой.
М
Рис. 32
Рис. 33
Если Д — 0, то для решения вопроса о типе особой точки нулшо изу-
изучить расположение точек кривой в некоторой окрестности особой точки.
В случае трансцендентной кривой могут быть и иные типы особых
точек: угловые точки, точки прекращения и т.д.

§ 3. Приложения частных производных
227
Пример 8. Исследовать особые точки конхоиды
{x2+y2){x~aJ-b2x2=0 (а>0, Ь > 0).
<3 Обозначив левую часть уравнения через /(ж, ?/), найдем частные про-
производные и приравняем их нулю:
/£(ж, 2/) = 2х(х - аJ + 2(ж - а)(х2 + у2) - 2Ь2х = 0,
/£(*, 2/) = 22/(х - аJ - 0.
Система уравнений имеет единственное решение жо = 2/о = 0, т.е. кри-
кривая имеет одну особую точку 0@, 0).
Найдем вторые производные:
xx(x> У) = 2((ж ~ °02
i'y(^, 2/) =42/(ж-а),
" а) ~
Вычислив их значения в точке О, получаем
А = 2(а2~Ь2), В = 0, С -2а2,
Если а > Ь, то Д > 0, и точка О — изолированная (рис. 34). Если
a < b, то Д < 0, и точка О — узел (рис. 35). Если а = Ь, то Д = 0.
Рис. 34 Рис. 35
Найдем угловой коэффициент касательной:
2(а2 - Ь2) + 2а2к2 = 0, к=
т. е. касательная совпадает с осью Ох.
Рис. 36
= 0,

228 Гл. 8. Диффсрснц. исчисление функций нескольких переменных
Из уравнения кривой получаем (при а — Ь) у — ±— ~— л/2ах~~ .г2,
х а
и, следовательно, кривая симметрична относительно оси Ох (О $С х < а;
а < х ^ 2а). Поэтому при а — b О — точка возврата 1-го рода
(рис. 36). >
Огибающей семейства плоских кривых называется линия (или со-
совокупность нескольких линий), которая касается всех кривых данного
семейства, причем каждая ее точка является точкой касания.
Если одноиараметрическое семейство кривых /(:/;, т/, а) — 0 имеет
огибающую, то ее уравнение можно получить из системы уравнений
f(x,y,a)=0, /;(ам/, «) = (). (9)
Исключая из системы (9) параметр а, получим уравнение вида J9(x, у) =
— 0. Кривая, определенная этим уравнением, называется дискрими-
наптиой кривой. Дискриминантпая кривая состоит из огибающей и
множества особых точек данного семейства.
Пример 9. Уравнение траектории движения снаряда, выпущенного
из точки О с начальной скоростью vo под углом а к горизонту (без учета
сопротивления воздуха), есть
дх2
Принимая угол а за параметр, найти огибающую всех траекторий сна-
снаряда, расположенных в одной и той же вертикальной плоскости.
<3 Имеем
х дх2 sin a x ( дх
JcXX-> У' °Ч ~ 9 "> ^ ~ 9 ( * 2 ^ёа
cos2 a Vq cosij о; cos2 а \ Vq
Составим систему вида (9)
дх2 х ( дх \
у - х tg а - —т 7""^ —Т~~ [ * ~ '—ign } ~ О-
2vq cos- a cos2 а \ /^ /
v2 1
Из второго уравнения получим: tga — — и cos2 а = г,— =
дх 1 4- tg- a
2 2
= о' о г- Подставляя в первое уравнение, найдем уравнение оги-
^2.г- + ^
бающей (парабола безопасности):
i^o .У у ' о о ../
?У ги — — - ? ПЛИ 7у — ~ ^. U>
!/ 2'^о.гУ 1 2.9 2г>2

§3. Приложения частных производных 229
8.229. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
следующим поверхностям в указанных точках:
v /?Г 7Г Г
а) z = sin ж cos у в точке I —, —, -
б) z = excosy в точке ( 1, тг, -
V е
8.230. Найти расстояние от начала координат до касательной
х (на \
плоскости к поверхности z — ytg — в точке —, а, а
а V 4 )
8.231. Найти углы, которые образует нормаль к поверхности
х / тг\
z — arclg — в точке 1, 1, — I с осями координат.
У V 4/
8.232. Для поверхности z — Ах — ху 4- у1 найти уравнение ка-
касательной плоскости, параллельной плоскости Ах + у 4 2z 4- 9 — 0.
8.233. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
следующим поверхностям в указанных точках:
а) х(у 4- z)(xy - z) 4- 8 = 0 в точке B, 1,3);
б) 2X>Z 4- 2У/* - 8 в точке B, 2, 1);
в) z2 4- Az 4- х2 = 0 в точках пересечения с осью Oz.
8.234. Для поверхности х2 — z2 — 2х 4- 6у = 4 найти уравнения
х 4- 2 у z + 1
нормали, параллельной прямой — - — .
1 О тс
8.235. На поверхности х2 4- 2г/ + 3z2 4 2ху 4- 2xz 4- Ayz = 8
найти точки, в которых касательные плоскости параллельны ко-
координатным плоско стям.
8.236. Показать, что касательные плоскости к поверхности
х2'^ 4- у2'с> 4- z2'^ = а2'3 отсекают на осях координат отрезки,
сумма квадратов которых постоянна и равна а2.
8.237. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к
следующим поверхностям, заданным параметрически, в указан-
указанных точках:
а) х = rcos(f) у = 7*siu<£>, z — rctga в точке (/'о, v^o);
б) х — moos?;, у — wsinv, z — av в точке (no, ^q).
8.238*. Под каким углом пересекаются цилиндр х2 4- у2 — а2 и
гиперболический параболоид bz — ху в общей точке (xq, yo, zq)?
8.239*. Показать, что следующие поверхности попарно ортого-
ортогональны:
а) х2 4- у2 4- z2 = Чах и х2 4- у2 4- z2 = 2Ьу;
б) .ху^ = а3 и 2^2 - х2 4 у2 4- /(ж2 -~ у2);
в) ху = а^2, х2 4- у2 4 z2 = Ь и г2 4- 2х2 = с(^2 4- 2?/).

8.244.
8.246.
8.248.
8.250*
(У
У2
у2
■ У
-2х2)
= ах2
= 1 —
= хх.
2 = X
4-х3.
230 Гл. 8. Диффсренц. исчисление функции нескольких переменных
Исследовать особые точки кривых:
8.240. х2 + у2 = хА + у4.
8.241. у2{а2 + х2) = х2{а2 - х2). 8.242. х2 + у4 = х6.
8.243. у2 = {х - IK.
8.245. 4j/2 - х5 4- 5х4.
8.247. у2 = 1 - е-*2.
8.249*. y=—?L—.
1 + е]/^
8.251. Найти огибающую семейства прямых у — ах + а2.
8.252. Найти огибающую семейства прямых .х cos а+у sin а = р
(р — const, p > 0).
8.253. Найти огибающую семейства окружностей х2 + (у—СJ =
= R2 {R = const).
8.254. Найти огибающую семейства парабол у2 = 2рж 4-р2.
8.255. Найти огибающую семейства парабол у — За2-\-2ах — х2.
9 9
ж у
8.256. Найти огибающую семейства эллипсов —г + ~ — = 1
а2 (I — аJ
(I = const).
8.257. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих
через начало координат и имеющих центр на параболе у2 = iax.
8.258. Исследовать характер дискриминантных кривых семей-
семейства следующих линий (С — переменный параметр):
а) кубических парабол у — 1 = (х — СK;
б) полукубических парабол (у — СJ — (х - СK;
в) парабол Нейля (у — IK = (х — СJ;
г) строфоид (а — х)(у — СJ = х2(а + х).
§ 4. Приближенные числа и действия над ними
1. Абсолютная и относительная погрешности. Пусть число а есть
приближение числа А. Например, А — у/3 и а — 1,7. При а > А число а
называется приближением по избытку, при а < А — по недостатку.
Так, число 1,73 есть приближение у/3 по недостатку, а число 1,74 —
по избытку. Абсолютная погрешность приближения (приближенного
числа) а определяется равенством
Д = \а-А\.
Поскольку точное число А во многих случаях неизвестно, то неиз-
неизвестна и абсолютная погрешность Д, однако при этом может быть ука-
указана верхняя грань абсолютной погрешности. Наименьшая из верхних

§ 4. Приближенные числа и действия над ними 231
граней Да абсолютной погрешности называется предельной абсолют-
абсолютной погрешностью. На практике часто за предельную абсолютную
погрешность Да принимают одну из верхних граней. Имеет место вклю-
включение
А е [ft-Да, а + Да],
которое принято записывать в виде А = а ± Да. Например, \/3 —
= 1,7321 ±0,0001.
Относительная погрешность числа а определяется равенством
Аналогично определяется предельная, относительная погрешность
Например, для А - \Д и а = 1,7321 имеем 6а = ——— = 0,0000G.
1, /oZI
В десятичной записи числа значащей цифрой или знаком называ-
называется любая цифра, отличная от нуля. Нуль считается значащей цифрой в
том случае, когда он расположен между значащими цифрами или стоит
правее всех значащих цифр.
Округлением числа называется замена его числом с меньшим ко-
количеством значащих цифр. При округлении соблюдаются следующие
правила:
1) если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые
знаки оставляют без изменения;
2) если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последний из
сохраняемых знаков увеличивают на 1;
3) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а среди следующих
за ней цифр есть отличные от нуля, то последний из сохраняемых знаков
увеличивают на 1;
4) если первая из отбрасываемых цифр равна 5, а все следующие за
ней являются нулями, то последний из сохраняемых десятичных знаков
увеличивают на 1, когда он нечетный, и сохраняют неизменным, когда
он четный.
Если абсолютная погрешность приближенного числа а не превышает
единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой в десятичной за-
записи этого числа, то а называется числом, им,еюш,им п верных знаков
в ш.ироком смысле. Если же абсолютная погрешность не превышает
половины единицы указанного выше разряда, то приближенное число а
называется числом, имеющим п верных знаков в узком смысле. При
этом для предельной относительной погрешности 5п справедливы нера-
неравенства
) и 6"< п{То

232 Гл. 8. Дифферснц. исчисление функций нескольких переменных
соответственно в первом и во втором случаях; в обоих неравенствах к
означает первую значащую цифру числа а. Обратно, если предельная
относительная погрешность удовлетворяет неравенству
а^2(к + 1) Ю-1'
то соответствующее приближенное число а с первой значащей цифрой к
имеет п верных знаков в узком смысле.
8.259. Найти предельную абсолютную и относительную погреш-
погрешности следующих приближенных чисел, полученных при измере-
измерении: а) 23,015кг; б) 84,5 см; в) 25°15'.
8.260. При измерении длины пути получен результат 25,2 км
с точностью до 2 м, а при измерении площади (аэрофотосъемка)
получен результат 1500м2 с точностью до 30м2. Вычислить пре-
предельную абсолютную и предельную относительную погрешности
обоих результатов.
8.261. При измерении длины участка пути в 10 км допущена
ошибка в 10 м, а при измерении диаметра гайки в 4 см допущена
ошибка в 1 мм. Какое из этих двух измерений более точное?
8.262. Каковы предельные абсолютная и относительная погреш-
погрешности приближенных чисел, полученных при округлении: а) 36,1;
б) 0,08.
8.263. Округлить числа 29,15 и 3,25 до первого десятичного
знака после запятой.
8.264. Округлить число 5,3726 до тысячных, до сотых и до
десятых долей. Найти абсолютную и относительную погрешности
каждого из этих трех округлений.
8.265. Округлить до трех значащих цифр следующие числа:
0,02025, 1876672, 599983.
8.266. Определить число верных знаков в узком смысле и дать
соответствующую запись приближенных чисел:
а) 413287,51, если предельная относительная погрешность не
превышает 1%;
б) 0,0794, если предельная относительная погрешность не пре-
превышает 2%.
8.267. Со сколькими знаками нужно взять число \/2Т, чтобы
предельная относительная погрешность не превышала 1%?
8.268. Со сколькими знаками нужно взять числа In 40 и arctg 2,
чтобы их предельная относительная погрешность не превышала
0,1%?
2. Действия над приближенными числами. Пусть и — f(x\, X2, ...
..., хп) — дифференцируемая в рассматриваемой области функция. То-
Тогда предельная абсолютная погрешность Аи значения функции опреде-

§ 4. Приближенные числа и действия над ними
233
ляется соотношением
К.
дхк
A)
где AXk — предельные абсолютные погрешности значений соответствую-
соответствующих аргументов. Для предельной относительной погрешности имеет
место равенство
к—\
IEL
B)
Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную по-
погрешности объема конуса радиуса г и высоты /г, если г = 15 ± 0,02 см,
h= 19,1 ± 0,05 см и тг = 3,14.
< Имеем v — -irr2h = 4498,1см3. "Учитывая, что г — 15, h — 19,1,
о
тг = 3,14, Дг = 0,02, Д/г = 0,05 и Дя = 0,0016, найдем -^ = -г2Д =
air 3
= 1432,5, -^ = -тгг/г = 599,74 и -^ = -тгг2 = 235,5. Применяя фор-
дг 3 ah 3
мулу A), получаем предельную абсолютную погрешность
д„ =
А,+
dv
дг
Дг +
dv
dh.
Ah = 26,06 см3.
Предельная относительная погрешность может быть определена из ра-
равенства
fg- 0,006.
Таким образом, v = 4498 ± 26,1 см3. >
Доказать следующие утверждения:
8.269*. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сум-
сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
8.270*. Предельная относительная погрешность произведения
равна сумме предельных относительных погрешностей сомножи-
сомножителей.
8.271*. Предельная относительная погрешность п-й степени в
п раз больше предельной относительной погрешности основания.
8.272*. Предельная относительная погрешность частного равна
сумме предельных относительных погрешностей делимого и дели-
делителя.
8.273*. Предельная абсолютная погрешность Auv произведе-
произведения uv удовлетворяет соотношению Auv — Auv + Avu.

234 Гл. 8. Дифференц. исчисление функций нескольких переменных
Произвести указанные действия над приближенными числа-
числами, в которых все десятичные знаки являются верными в узком
смысле:
8.274. 130,6 + 0,255 4- 1,15224 + 41,84 4- 11,8216.
8.275. 17,83 + 1,07 4- 1,1 • 102. 8.276. 153,21 -81,329.
8.277. 61,32 - 61,31. 8.278. 35,2 • 1,748.
8.279. 65,3 • 78,5. 8.280. 7,6:2,314.
8.281. 170:5. 8.282. 40,53. 8.283. у/ЕЩ.
8.284. При изменении радиуса круга с точностью до 0,5 см по-
получилось число 12 см. Найти абсолютную и относительную по-
погрешности площади круга.
8.285. Определить абсолютную погрешность десятичного лога-
логарифма положительного приближенного числа ж, вычисленного с
относительной погрешностью 5.
8.286. С какой предельной абсолютной погрешностью следует
измерить стороны прямоугольника а ^ 4м и Ь ^ 5м, чтобы его
площадь S можно было вычислить с точностью до 0,1 м2?
< Имеем S = ab и AS = 0,1. Предполагая равными слагаемые в формуле
A), получим
AXl = —, откуда АХг -
n n\du/dxi\
(принцип равных влияний). Поэтому, вычисляя частные произ-
dS , r dS
водные -г— — о = 5 и —- = а — 4, найдем, что
да до
Аа = y~^ = 0,01, Д, = -—^ = 0,0125.
Распределяя число 0,1 в формуле для As между двумя слагаемыми не по-
поровну, а как-нибудь иначе, получим другие значения для Аа и Д&, обес-
обеспечивающие, однако, все ту же предельную абсолютную погрешность. >
8.287. С какой абсолютной погрешностью следует измерить сто-
сторону х квадрата, чтобы определить площадь этого квадрата с точ-
точностью до 0.001 м2, если 2м <х< Зм?
8.288. Вычислить плотность алюминия, если алюминиевый
цилиндр диаметром 2 см и высотой 11см имеет массу 93,4 г. От-
Относительная погрешность измерения длин равна 0,01, а относи-
относительная погрешность определения массы равна 0,001.
8.289. С какой точностью следует определить радиус основа-
основания R и высоту Н цилиндрической банки, чтобы ее вместимость
можно было определить с точностью до 1%?

§ 4. Приближенные числа и действия над ними 235
8.290. С какой точностью следует взять приближенное значение
угла х « 25°, чтобы найти значение sinx с четырьмя верными
знаками в узком смысле?
8.291. С каким числом верных знаков в широком смысле сле-
следует взять значение аргумента х « 2, чтобы получить значение
функции у = ех с точностью до 0,001?
8.292. С каким числом верных знаков должен быть известен
свободный член уравнения ж2 — 2x+lg2 = 0, чтобы получить корни
этого уравнения с четырьмя верными знаками в узком смысле?
8.293. Требуется измерить с точностью в 1% площадь боковой
поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого «2м
и^ 1м, а образующая « 5 м. С какой точностью нужно для этого
измерить радиусы и образующую и со сколькими знаками нужно
ВЗЯТЬ ЧИСЛО 7Г?

Глава 9
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойной интеграл
1. Свойства двойного интеграла и его вычисление в декартовых пря-
прямоугольных координатах. Пусть функция /(.х, у) — /(Р) определена
и непрерывна на замкнутой ограниченной области G плоскости Оху,
а — {A<7i, Л<72, • • • » До"п} — некоторое разбиение области G на элемен-
элементарные подобласти &<Jk, площади которых также обозначим через Да*.,
а диаметры — через db. Зафиксируем точки Рь 6 A<7/t, к = 1, ..., п.
Выражение
к=\
называется интегральной суммой для функции /(Р) по области G.
Если существует предел последовательности интегральных сумм Sn при
max db ~> 0 (при этом п —>• оо) и если этот предел не зависит ни
от способа разбиения области G на элементарные подобласти До>, ни
от выбора точек Рд. € Дсгд-, то он называется двойным интегралом от
функции /(а;, у) по области G и обозначается через / / /(х, y)dxdy.
G
Таким образом.
// /(х, y)dxdy - lim
J J max t/jb—>0
a kz~~l
Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивно-
аддитивности (см. задачу 9.1).
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных
интегралов следующим способом. Пусть область G (рис. 37) ограничена
кривыми у = (р\(х), у — <р2{х), х = а, х = 6, причем всюду на [а, 6]
функции (/?] (х) и у>2(#) непрерывны и ip\(x) $C (^2(^)- Тогда
JJf(x,y)dxdy = Jdx J f(x,y)dy, A)
G a ui.M

§ 1. Двойной интеграл
237
причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной у (х - -
параметр), а полученный результат интегрируется по х. Заметим при
а ^*_^ b х
Рис. 37
.v
(I
0
с
\
\
\
•
Рис. 38
этом, что если кривая <fi(x) (или кривая ^{х)) в промежутке а ^ х ^ Ь
задается разными аналитическими выражениями, например,
J (р[ (х) при а ^ х ^ с,
[ <^j ' (:г) при с < т ^. Ь,
то интеграл справа записывается в виде суммы двух интегралов
/ d.x / f{x, у) dy = / dx / /(.т, j/) dy + / dx / /(x, т/) dj/.
Аналогично, если область G ограничена кривыми х = Ф\{у)-> х =
— ^2B/)? У — с-> У ~ d, причем всюду на [с, d] функции г^\(у) и Фч{у)
непрерывны и V'i(?/) ^ V;2(?/) (рис. 38), то
/ / /(я, //) dx dy ^ I dy I /(x, //) dx.
с Мл)
B)
6'
Двойной интеграл, представленный в виде A) или B), называется
также повторным интегралом.
Пример 1. Расставить пределы интегрирования двумя способами
f f :/;2
и вычислить двойной интеграл / = / / — dxdy, если область интегри-
/ / V
G
ровьния G ограничена линиями у — .т, у — —, .г = 2.

238
Гл. 9. Кратные интегралы
<3 Форма области G- (рис. 39) позволяет применить формулу A) при
(fi(x) = -, ф2(х) = ж, a = 1, Ь = 2:
G
Если же для вычисления данного интеграла применить формулу B), то
следует положить
при
с = —, d = 2. Тогда
G 1/2 1/у 1 У
Очевидно, что первый способ вычисления в данном примере целесообраз-
целесообразнее второго. О
1
1/2
/Toi2х
Рис. 39
-1 О
= 1
Рис. 40
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном инте-
интеграле
1 1-у
I dy I /(ж, у) dx.
< Строим область интегрирования G по пределам интегрирования:
ФЛу) = -а/1 -У2, Ф2(у). = 1-2/, У = 0, у = 1 (рис. 40). Сверху

§ 1. Двойной интеграл 239
область G ограничена кривой
^l - х2 при -1 ^ х ^ О,
1-х при 0<ж^1,
а снизу — прямой у — 0. Поэтому имеем
ll-у О \Л-.т2 1 1-х
/ фу / /(.т, y)dy= dx / /(ж, y)dy+ dx / /(ж
о __ ДГ~7 -1 о о о
9.1. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать сле-
следующие его свойства:
а) линейность:
// (/(я, у)±д{х, у)) dxdy = f(x, y)dxdy± / / д(х, y)dxdy
G G
и
If A/(x, y) dxdy = \ff f{x, y) dxdy (A G R);
G G
б) аддитивность: если G — G\ U G2, то
ff ff • ff
// f(x,y)dxdy = // f(x,y)dxdy+ // f(x,y)dxdy.
JJ JJ JJ
G Gi G2
Вычислить повторные интегралы:
1 2 2 .т\/з
9.2. / dx / (о:2 + у) dy. 9.3. dx
00 ox
3 5 я"/2 a(l+cos</?)
9.4. I dy I , dX 49. 9.5. /"dy? / rdr.
12
7г/2 2 rose/?
9.6. A dtp I r*dr.
1 2 0 acosv?
7г/2 2 rose/?
-7г/2 О

240 Гл. 9. Кратные интегралы
Для данных повторных интегралов написать уравнения кри-
кривых, ограничивающих области интегрирования, и построить эти
области:
2 х+3 1 2-х2
9.7. dx f{x,y)dy. 9.8. dx f{x,y)dy.
1 X -1 X2
2 \/4-2/2 1 V/2Z2?
9.9. I dy I f{x,y)dx. 9.10. I dx I f{x,y)dy.
0 2-y 0 ^
Для указанных ниже областей G записать двойной интеграл
//
, y)dxdy
в виде повторных, взятых в различных порядках:
9.11. G — прямоугольник с вершинами АA, 2), Z?E, 2),
СE, 4), ЯA, 4).
9.12. G — параллелограмм, ограниченный прямыми у = ж,
?/ = ж - 3, ?/ = 2, ?/ = 4.
9.13. G — область, ограниченная кривыми х2 + у2 — 2а2, .т2 =
= ay (а > 0, ?/ > 0).
9.14. G — область, ограниченная кривыми у2 — ах, х2 + у2 =
= 2az, ?/ = 0 (а > 0, у > 0).
9.15. G — область, ограниченная кривыми х2 + у2 = аж, ж2 +
+ 2/2 = 2ах, у = 0 (а>0, у>0).
9.16. По какой переменной взят внешний интеграл в повторном
интеграле
2 3
/ / /(ж, y)dydx
1 -v
и какова область интегрирования?
Изменить порядок интегрирования в следующих повторных
интегралах:
б
9.17. dx / f{x, y)dy.
j j
-2 -3-Vl2+4x-x2

§ 1. Двойной интеграл 24JL
1 l-y2 4 Vl6~x2
9.18. j dy I /(х, y)dx. 9.19. j dx j /(ж, y)dy.
-1 2/2-l ° v/4?^?
1 У 3 1
9.20. dy f(x,y)dx+ dy / f{x,y)dx.
0 7/2/9 1 ^2/g
2 (x+2)/2 10/3 (a?+2)/2
9.21. Jdx J f(x,y)dy+ J dx J f{x,y)dy.
-2 0
a a-\-y/a2—x2
9.22. fdx f f{x,y)dy.
0 V2ax~x2
л/2 2/2/2
9.23. У dy У f(x,y)dx.
-v/2 2/2~l
7 3 9 10-ж
9.24. I dx j f{x, y)dy+ I dx I f{x, y) dy.
3 9/x 7 9/x
ax a a
9.25. Показать, что dx f(x, y)dy = j dy j f(x, y)dx, и,
0 0 От/
пользуясь этой формулой, доказать формулу Дирихле
t х
j dx j f{y) dy = у (t - y)f(y) dy.
0 0 0
Вычислить следующие интегралы:
9.26. (x2 + у2) dxdy, где область G ограничена кривыми
G
у — х, х + у = 2а, ж = 0.
9.27. // yxy — y2dxdy) где G — трапеция с вершинами
АA, 1), ВE, 1), СA0, 2), Z)B, 2).

242 Гл. 9. Кратные интегралы
ху dx dy, где область G ограничена кривыми х+у = 2,
G
х2 +у2 --=2у (х> 0).
9.29. / / ydxdy, где G — треугольник с вершинами О@, 0),
, 1), В@, 1).
9.30. (x + 2y)dxdy, где область G ограничена кривыми
G
х2 и у = у/я;.
9.31. / / D — у) dx ch/, где область G ограничена кривыми х? —
у = х2 и у =
9.32. / / — -, где область G ограничена кривыми у —
J J х2 + у2
G
у — х, х = тг/8 (ж ^ тг/8).
9.33. / / у а2 + х1 dx dy, где область G ограничена кривыми
у2 - х2 = а2, .т = а, х = 0, у = 0 (у > 0, а > 0).
9.34. / / ех^у dx с/у, где область G ограничена кривыми у — ех,
G
х - 0, у = 2.
9.35*. // x2ydxdy, где область G лежит в первой четверти,
ограничена осями координат и дугой эллипса х = a cost, у =
= 6sin/ @ < t ^ тг/2).
9.36. / / xdxdy, где область G ограничена осью Ох и аркой
G
циклоиды х = a(t - sin t), у — аA - cos £) @ ^ t < 2тг).
9.37. / / ydxdy, где область G ограничена осями координат и
G
дугой астроиды £ — a cos £. у — а sin31 @ ^ t ^ тг/2).
9.38*. Найти среднее значение функции /(:г, у) — cos2 ж cos2?/
в области 6f -= {(:г. у)\0 < х < /г/2. О С: .v < .т/2}.

§ 1. Двойной интеграл 243
9.39*. Оценить величину интеграла
dx dy
J J
9 4- sin2 x + sin2 (re 4- y)
9.40. Найти среднее значенье фуныши /(./;, у) = Зх + 2у в
треугольнике с вершинами 0@, 0), ЛA, 0), В@, 1).
2. Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции
х = <p(u, v) и у = ^(w, v) C)
осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото-
отображение области Г плоскости O'uv на область G плоскости Оху. Это
означает, что существует обратное непрерывно дифференцируемое ото-
отображение и — г)(х, у) и v — х(х> 2/) области G на область Г и в области
Г отличен от нуля якобиан преобразования, т. е.
I(u,v)= ZU, Г, Ф0, (u,v)ET. D)
dip
du
дф
du
dip
dv
dili
dv
Величины и и v можно рассматривать как прямоугольные координаты
для точек области Г и в то же время как криволинейные коорди-
координаты точек области G.
Если в двойном интеграле
// /(ж, y)dxdy
'6
произвести замену переменных по формулам C), то областью интегри-
интегрирования полученного интеграла будет уже область Г, которая при надле-
надлежащем выборе функций у?(г/, v) и ф(и, v) может оказаться значительно
проще области G, и имеет место формула
// /(ж, y)dxdy = // f{ip(u, v), ф(и, v))\I(u, v)\dudv. E)
G Г
Для вычисления интеграла по области Г применяются изложенные
в п. 1 методы сведения двойного интеграла к повторным.
Пример 3. Вычислить / / y/xydxdy, если область G ограничена
G
кривыми у2 = ах, у2 = Ьж, ху = р, ху — q @ < а < Ь, 0 < р < q).

244
Гл. 9. Кратные интегралы
<\ Перейдем к новым переменным и и г) по формулам у2 — их, ху — ?;.
Тогда
ди
=
3
^ _ 1-2/3 1/3 вУ. - Ам1/3„-2/3
9«~3 ' до 3 '
{щ v) -
!u~i/V/3 -j
3 3
Iu-2/3vl/3 l
О О
( )l
^ ПРИ ^ > 0-
Уравнения линий принимают вид
и = a, w = 6, v = р, f = q.
Область G плоскости Оху преобразуется в прямоугольную область Г
О
х О'
Рис. 41
b и
плоскости O'w?; (рис. 41). Следовательно, применяя формулу E), по-
получаем
/ / sfxydx dy = - 11 y/v = - / — / y/vdv =
JJ 3 J J и 3 У и J
1
" 3
\пи
п
b
п
2
~'
3
V
гЗ/2
Наиболее употребительными из криволинейных координат являются
полярные координаты
.т = г cos у?, I/ — т sin v9'

§ 1. Двойной интеграл
245
для которых
_, ч cos(z> —r sin 09
/(г. ш) — .
4 ' SlllO? Г COSip
и формула E) записывается в виде
/ / fix, У) dx dy — / / f(r cos if, r sin ip)r dr dip.
F)
Пример 4. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной
интеграл
IJ(x2+y2)dxdy,
'g
где область G ограничена окружностью х2 4- у2 — 2ах.
< Положим х — rcos(p, у — г sirup и применим формулу (б). Так как
х2 4- у2 = г2, то
/ / (х2 + у2) dx dy = r3 dr dip.
а г
Уравнение окружности х2 Л- у2 = 2ах преобразуется к виду г = 2а cos ip.
Поэтому областью Г является область, ограниченная снизу осью г = О,
сверху косинусоидой г = 2а cos ip, причем кр G [—тг/2, тг/2].
Следовательно,
тг/2 2а cos v?
У
-тг/2
тг/2
= 4а4 / cos4 ipdtp — 8аА I
-7Г/2
О -тг/2
тг/2
COS
О
acosv?
3 1 7Г 3 4
4 ' 2' 2 = 2™ ' >
Перейти к полярным координатам и расставить пределы инте-
интегрирования по новым переменным в следующих интегралах:
За/4
9.41. / dx
1.41. / cte /"
0 aV/3/2-v/3a2/4-x2
a a-f \/a2—T
1 \/17
9.42. I dx I f(x,y)dy. 9.43. I dy f f(x,y)dx.
y/ax

246 Гл. 9. Кратные интегралы
9.44. / / f(x2 + у2) dxdy, где область G ограничена линиями
a
х2 + у2 = л/бя, {х2 + у2J = 9(.т2 - у2), у = 0 (у ^ О, .х ^ л/6).
Перейдя к полярным координатам, вычислить интегралы:
/7 \/П^—7*2
9.45. fdx I ex4y2dy.
b
О О
а
9.46. /dy / y/a2 ~x2-y2dx.
yjay-y2
9.47. / / уж2 + у2 —9dxdy, где область G — кольцо между
'g
двумя окружностями х2 + у2 = 9 и х2 + у2 = 25.
9.48. // уа2 — х2 — у2 dxdy, где область G — часть круга
радиуса а с центром в точке 0@, 0), лежащая в первой четверти.
9.49. (х2 + у2) dxdy, где область G ограничена кривыми
'G
х2 + у2 = аж, .т2 + у2 = 2а.т, у = 0 (у > 0).
9.50. / / d.T dy, где область G ограничена кривыми х2 = ay,
'a
.т2 + у2 - 2а2, у = 0 (х > 0, а > 0).
9.51. / / хух2 + у2 cfedy, где область G ограничена лепестком
G
лемнискаты (х2 + у2J — а2(ж2 - у2) (х > 0).
Перейти к новым переменным и и v и расставить пределы ин-
интегрирования в следующих интегралах:
9.52. / / /(.т, у) dx Ay, где область G определена неравенствами
'6
х ^0, у ^ 0, х + у ^ а. Положить и — х + у, ау = ш;.

§ 1. Двойной интеграл 247
f(x, у) dx dy, где область G ограничена кривыми х2 =
G
= ay, х2 — by, у2 — рх, у2 = qx @ < a < b, 0 < р < q). Положить
х2 = гху, у2 = vx.
3 3-х
9.54. I dx I }{х, у) dy. Положить и — х + у, v — х — у.
о 1-х
9.55. // f(x,y)dxdy, где область G ограничена кривыми
ху — р, ху — q, у — ах, у = Ьх @ < р < q, 0 < а < Ь).
Положить и — ху, у — vx.
Вычислить следующие двойные интегралы:
/' /* dx du
9.56. // , ' (с > 1), где область G огра-
II /9 / / \9 / /L\9
^^ \/с - (.т/аJ - (у/ЬJ
G
х2 у2
ничена эллипсом —- Н—- — 1 (перейти к обобщенным, полярным
Ь1
а
координатам г и ср по формулам х = ar cos ср, у —
9.57. // е^т+2/^ dxdy, где область G задана неравенствами
G
х ^ 0, у ^ 0, ж + у ^ 1 (произвести замену переменных .т =
= иA - V), у — uv).
9.58. / / ху dx dy, где область G ограничена линиями у = аж3,
у = Ьх3, у2 = рж, у2 — qx @ < а < 6, 0 < р < д) (выбрать
надлежащую замену переменных).
3. Приложения двойных интегралов. Геометрические прило-
приложения. Площадь S плоской области G выражается, в зависимости от
рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:
= JJdxdy G)
G
в декартовых прямоугольных координатах,
S
= [[\I\dudv (8)
г

248
Гл. 9. Кратные интегралы
в криволинейных координатах. Здесь предполагается, что
У1
COS(p)
т
дх
ди
?i
ди
дх
dv
ду
dv
0 в области Г.
В частности, в полярных координатах
х — г cos </?, у — г sin <p имеем
S = 11 r dr dip.
г
(9)
Рис. 42
Пример 5. Найти площадь фигуры,
ограниченной кривыми г = аA 4- cos</?) и г = acostp (а > 0).
< В плоскости Оху фигура показана на рис. 42. Вычислим по формуле
(9) площадь верхней части и удвоим:
7г/2 a(l+cosy?)
a(l+cosv?)
S = 2 [rdrd<p = 2 dtp / rdr + 2 d<p / rdr =
Г 0 acosip тг/2 О
тг/2
■Л-
О
тг/2
= а2 / A + 2 cos</?) d(/? + а2 (I + 2 cos ц? + cos2 <p) dip =
= a2((/? -f 2 si
тг/2
у+ 2sin(^+ -si
тг/2
= -7TGT. D>
4
Если гладкая поверхность имеет уравнение z = /(я, у), то площадь
части этой поверхности, проектирующейся в область G плоскости Оху,
равна
Q =
A0)
Пример 6. Найти площадь части поверхности параболоида у2 +
+ z2 = 2ах, заключенной между цилиндром у2 = ах и плоскостью х — а
(а > 0).

§ 1. Двойной интеграл
249
< Верхняя половина заданного параболоида описывается уравнением
z — \j2ax — у2. Имеем:
dz a dz
у
дх д/2ах - у2' ду
дх)
2ax — у2 2ax — у2 '
Так как рассматриваемая поверхность симметрична и относительно плос-
плоскости Oxz, то искомая площадь вычисляется как учетверенная площадь
части этой поверхности., лежащей в первом октанте:
уДах
) dx = 4 / \/2ах + а2 - dx =
О
= ^C^3 - 1). t>
Объем V цилиндра, ограниченного сверху непрерывной поверхно-
поверхностью z = /(ж, у), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндри-
Рис. 43
ческой поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G, выра-
выражается интегралом
= JJ
f(x,y)dxdy.
A1)
Пример 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями у =
= у/х, у = 2i/x, х 4- г = 4, z = 0.
< Данное тело является цилиндроидом, ограниченным сверху плоско-
плоскостью х + z = 4, снизу плоскостью г = 0ис боков прямыми цилиндрами
у = i/x и у = 2>/х (рис. 43а). Область интегрирования показана на рис. 436.

250 Гл. 9. Кратные интегралы
Имеем: z = 4 - х,
4 2^/х 4
V = /7D -x)dxdy= I dx / D - х) dy = И4 - х)Bх/х - х/х) dx =
G 0 ^ О
4
// 1х^' ^ 2х^' ^ \
V 3 5 У
128
9.59. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 =
— 4а# + 4а2 и ж + у — 2а (а > 0).
9.60. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ху = 4
и х + у = 5.
9.61. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у —
8а3
20@)
9.62*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми х2 -f
+ у2 = 2аж, ж2 + у2 = 2Ьж, у = ж, у = 0 @ < а < Ь).
9.63. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми г —
= аA — cosy?) и г = а (вне кардиоиды).
9.64*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми
(х2 + у2J = 2а2{х2 -у2) и х2 + у2 = 2ах.
9.65*. Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой
(х + уL = ах2у, лежащей в первой четверти (а > 0).
9.66*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
X у \ X
9.67*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 —
— ах, у2 — Ъх, ту2 — ж3, пу2 = ж3 @ < а < 6, 0 < т < п).
9.68*. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у2 =
= рж, у2 — qx, у — ах, у — Ъх @ < р < q, 0 < а < Ь).
9.69. Найти площадь части плоскости x+y+z — а, вырезаемой
цилиндром у2 = ах и плоскостью х — а.
9.70. Найти площадь части поверхности цилиндра x2 + z2 — a2,
вырезаемой цилиндром у2 = а(а — х).
9.71. Найти площадь части поверхности конуса х2 Л- z2 = у2,
вырезаемой цилиндром у2 = 2ря (р > 0).

§ 1. Двойной интегрсЫ 251
9.72. Найти полную поверхность тела, ограниченного цилинд-
цилиндрами х2 = ay, z2 — ау и плоскостью у = 2а (а > 0).
9.73. Найти площадь части поверхности конуса х2 + z2 = у2,
вырезаемой плоскостями х = 0, х + у — 2а, у = 0.
9.74. Найти площадь части поверхности цилиндра х2 + у2 —
= 2а.т, вырезаемой цилиндром z2 = 2аBа — х).
9.75. Найти площадь части сферы x2+y2 + z2 — 2а2, заключен-
заключенной внутри конуса х2 + у2 — z2.
9.76. Найти площадь части поверхности параболоида z — х? —
— у2, заключенной между параболоидами z — Ъх2 + у2 — 2 и z —
= Чх2 + у2 - 4.
9.77. Найти площадь части сферы x2+y2+z2 = а2, вырезаемой
цилиндром с образующими, параллельными оси Oz, направляю-
направляющей которого служит трехлепестковая роза г = asin3(/?.
У
9.78. Найти площадь части винтовой поверхности z =aarctg —,
х'
вырезаемой цилиндром х2 + у2 — а2.
9.79. Найти площадь части сферы х2 + у2 + z2 = 1, располо-
женной между плоскостями z = —z~y и z = у (z ^ 0, у ^ 0).
о
9.80. Найти площадь части поверхности конуса х2 + у2 = z2,
вырезаемой цилиндром с образующими, параллельными оси Oz,
направляющей которого служит кардиоида г = аA + coscp).
9.81. Найти площадь части сферы х2+ y2+z2 = а2, вырезаемой
из нее цилиндром (х2 + у2J = а2(х*2 — у2).
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
9 9 9 9
9.82. -2 + Z-2 = 1, Х- + У~ = 1 (а > 0).
az oz az 6^
9.83*. z2 - x2 - a2, z2 -у2 = a2, * - a>/2 (a > 0).
9.84. у — x2, z = у, г + у = 2.
9.85. x'2 - у2 — 2az, x2 + у2 — а2, г = 0 (внутри цилиндра;
a > 0).
9.86. х-2 + у2 - 2z2 - -a2, 2{x2 + у2) - z2 = a2 (a > 0).
2 2
9.87. z = ce-^/^+v2/*), ^ + 7^ = 1 (a > 0, 6 > 0, c> 0).
9.88. re2 + y2 = z2, x2 + y2 - 1z2 = -a2 (a > 0).

252
Гл. 9. Кратные интегралы
9 9 9 9 9 9
X У Z X У Z
9.89. — + — + — = 1, — + — = "Т (внутри конуса; a > О,
6>0, c>0).
9.90*. г = жу, жу — 1, .ту = 2, у'2 = х, у2 = Зж.
9.91*. г = ж2 + у2, ху — 1, .ту — 2, у = ж, у = 2ж, 2 — 0
(х- > 0, у > 0).
Механические приложения. Если пластинка занимает об-
область G плоскости Оху и имеет переменную поверхностную плотность
j = ^(ж, у), то масса М пластинки и ее статические моменты Мх и
My относительно осей Ох и Оу выражаются двойными интегралами
М = <y(s, y)dxdy, Mx= yy{x, y)dxdy,
G G
МУ = / / Ж7(Я,
A2)
y)dxdy.
Координаты центра масс хну пластинки определяются следующим
образом:
ffx'y(x,y)dxdy
ffyy(z,y)dxdy
М //7(х, y)dxdy ' У М
G G
Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу соответ-
соответственно равны
ау — л*2
(.т, y)dxdy,
x27(x, y)dxdy,
A4)
G
а момент инерции пластинки относительно
начала координат (полярный момент инер-
инерции) равен
-2a О
Рис. 44
h = I {x2 -f y2h{x, y) dx dy = Ix + /y.
A5)
Если пластинка однородна и плотность ее не указана, условимся счи-
считать 7(я, у) — 1-
Пример 8. Найти координаты центра масс однородной пластинки,
ограниченной кривыми ау = х2, х + у = 2а (а > 0).

§ 1. Двойной интеграл 253
<] Линии пересекаются в точках Mi(~2a, 4а), А'ГДа, а) (рис. 44). По-
Поэтому можно записать:
а 2 а — х
S= dx dy = dx / с/?/ = / Bа - х - — J dx =
2а х2/а -2а
а 2а — х1
2 '?
, X X
-{2аХ-~2~1а
-2а
9 2
2а '
Л/г —У dx dy = / rix / у dy = - / ( Bа — xJ J а'х =
'6 -2 а .т'2/а -2а
_ 1 / Bа - х)я х5
~ 2
а 2а — х
а 2а х а
My — xdx dy — / x dx / dy — / a: ( 2a - x — 1 dx —
-2а х'2/а -2а
х' i'M" 9
= '"-Т - SUL. = V-
Подставляя найденные значения в формулы A3), имеем
1 Мс 8
9.92. Найти массу круглой пластинки радиуса Я, если плот-
плотность ее пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и
равна 5 на краю пластинки.
9.93. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу
однородной фигуры, ограниченной кардиоидой г ~ аA + coscp),
О ^ ip ^ тг, и полярной осью.
9.94. Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра-
ограниченной кривыми у2 — ах, у = х.
9.95. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного
треугольника с катетами ОВ — а и О А — Ь, если плотность ее в
любой точке равна расстояшш точки от катета О А.
9.96. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу
однородной фигуры, ограниченной синусоидой у — шлх и пря-
прямой ОЛ, проходящей через начало координат и вершину А(тг/2, 1)
синусоиды (.т ^ 0).
9.97. Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра-
ограниченной кривыми ху = а2, у2 — 8ах1, х — 2а (а > 0).

254 Гл. 9. Кратные интегралы
9.98. Найти моменты инерции однородного треугольника, огра-
ограниченного прямыми х + у — 1, х + 2у — 2, у = 0, относительно
осей Ож и Оу.
9.99. Найти координаты центра масс однородной фигуры, огра-
ограниченной петлей кривой г = a sin 2</?, лежащей в первой четверти.
9.100. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограни-
ограниченной кардиоидой г = аA + cose/?), относительно осей Ож, Оу и
относительно полюса.
9.101. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограни-
2 2
ченной эллипсом —г + —7 = 1, относительно осей Ож, Оу и отно-
ог о1
сительно начала координат.
9.102. Найти моменты инерции однородной фигуры, ограни-
ограниченной кривыми у2 — аж, у — а, ж = 0:
а) относительно начала координат,
б)* относительно прямой х — —а.
9.103. Найти моменты инерции треугольника, ограниченного
прямыми х + у = а, ж = а, у — а, относительно осей Ож, Оу и
относительно начала координат, если плотность пропорциональна
ординате точки.
9.104. Найти момент инерции однородной фигуры, ограничен-
ограниченной лемнискатой г2 = a2cos2(/?, относительно полюса.
9.105. Найти моменты инерции однородного кругового сектора
радиуса а с углом а при вершине (совпадающей с началом коорди-
координат) относительно осей Ох и Оу) если сектор расположен в первой
четверти и одной из своих сторон лежит на оси Ох.
9.106*. Тонкая пластинка имеет форму кругового кольца с ра-
радиусами R\ и i?2 (-Ri < R-2)- Удельная теплоемкость пластинки
меняется по закону с = |жу|, плотность постоянна и равна 7-
Найти количество теплоты Q? полученной пластинкой при ее на-
нагревании от температуры t\ до температуры t^-
9.107*. На тонкой пластинке, имеющей форму параболического
сегмента, ограниченного осью Ох и параболой ах2 + h2y — /i3,
распределен электрический заряд с поверхностной плотностью а =
= 2х + у. Найти полный заряд Е пластинки.
§ 2. Тройной интеграл
1. Тройной интеграл и его вычисление в декартовых прямоугольных
координатах. Тройным интегралом от непрерывной функции /(х, у, z)
по ограниченной замкнутой пространственной области Т называется
предел последовательности соответствующих интегральных сумм при
стремлении к нулю наибольшего из диаметров dk элементарных обла-
областей Дг>&5 если этот предел не зависит ни от способа разбиения области Т

§ 2. Тройной интсгра,п 255
на элементарные подобласти Дг^, ни от выбора промежуточных точек:
71
/(ж, 2/, z)dxdydz = lim N /(•'£*? ?/ь -^)Дг>д-, A)
max
Т
где (жд., т/А;? %k)€ Д^А-- Через Д?^ обозначается как элементарная область,
так и ее объем. Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам
двойных интегралов.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится
к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного
интегралов или к вычислению трех однократных интегралов. Если,
например, область интегрирования Т ограничена снизу поверхностью
z = ip\{x, у), сверху поверхностью z — ^2(ж, у) (<Pi{x, у) ^ </?2(ж, у))
и с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, парал-
параллельной плоскости Оху, является область G, то тройной интеграл A)
вычисляется по формуле
JJj f{x.y,z)dxdydz= Jjdxdy j f(x,y,z)dz. B)
т' G Vi(-T.y)
Записывая двойной интеграл по области G через один из повторных,
получаем
/// Дя, У, z)dxdydz = dx dy / /(ж, ?/, 2)dz =
1/ J dx J f(x,y,z)dz. C)
Пример 1. Вычислить / / / zdxdydz, если область Т ограничена
jjj
т
плоскостями ж -f у + z — 1, 2 = 0, у — 0. ж — 0.
< Имеем:
0 0 0 0 0
оо
4

256 Гл. 9. Кратные интегралы
х
III
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле
для указанных областей Т:
/
т
9.108. Область Т — тетраэдр, ограниченный плоскостями 2х +
+ Зу + 4z = 12, z = 0, у = 0, а; = 0.
9 9 9
Т* 7/ ^
9.109. Область Т — внутренность эллипсоида —^ + тт + ~^" — 1-
а2 Ь2 с2
9.110. Область Т ограничена поверхностями у2 + 2z2 = 4т,
я; = 2.
9.111. Область Т ограничена поверхностями ж2+у2 = z2, z =1.
Вычислить интегралы:
9.112. f dx I dy I zdz. 9.113. I dx I dy f zdz.
0 0 0 0 0 0
a y/ax 2(a~x)
(
9.114. dx ydy /
0 0 a-x
9.115. (x + у + z)dxdy dz, где область Т— тетраэдр, огра-
т
ничейный плоскостями х + у + z = а, х = 0, у = 0, z = 0.
9.116. / / / xyzdxdydz, где область Т ограничена поверхно-
т
стями у = ге2, rz; = у2, г = жу, z = 0.
9.117. {х + у2) rfa; dy dz, где область Т ограничена поверх-
т
ностями z — у2 — х2, г = 0, у = 1.
2. Замена переменных в тройном интеграле. Если в тройном инте-
интеграле
///
(«, 2/, z)dxdydz
производится замена переменных по формулам х = x(w, it, w), у -
= у(г/, г;, гу), г = г(п, v, w), причем функции x(u, v, w), y(u, v, w),
z(u, v, w) осуществляют взаимно однозначное отображение области Т
пространства Oxyz на область 7\ пространства O\uvw и якобиан

§ 2. Тройной интеграл
257
преобразования не обращается в нуль в области 7\:
dx dx dx
du dv dw
dy dy dy
du dv dw
dz dz dz
du dv dw
то справедлива формула
/// /(я, У, z)dxdydz =
т
= /// f{x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))\I\dudvdw. D)
TX
Наиболее употребительными из криволинейных координат являются
цилиндрические координаты г, (р, z (рис. 45): х = rcostp, у — г simp,
z = г, якобиан которых / = г, и сферические г (длина радиус-вектора),
г, <р, z)
Рис. 45
Рис. 46
Рис. 47
у? (долгота), в (широта) (рис. 46): х — г cos (p cos в, у = г sirup cos 6,
z — rsin#, якобиан которых / = r2cos0. Формула D) принимает соот-
соответственно вид
/ / / f{x, у, z)dxdydz = / / / /(г cos </?, г sin </?, z)r dr dip dz E)

258 Гл. 9. Кратные интегралы
или
/// /(ж, у, z)dxdydz =
' т
~ \\\ f(r cos^cos^' rs*n^cos^' r s*n^f2 cos^^r ^^' №
Пример 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить
/ / / z\Jx2 -f у2 dx dy dz, где область Г задана неравенствами 0 ^ х < 2,
т
О^у^ \/2х~^х2, O^z ^а (рис. 47).
< Так как уравнение у = у/2х — х2 в цилиндрической системе координат
принимает вид г = 2 cos ip @ ^ у? ^ ^/2), то по формуле E)
/ / / y/xP+y^z dxdydz— r2zdr dip dz =
T T\
тг/2 2cosv? a
= Г dip j r2dr I
0 0 0
3 J
tt/2 2cosv? а тг/2 2 cos (^
0 0
тг/2
0
Пример З. Перейдя к сферическим координатам, вычислить
/// (я2 + у2) dxdydz, если область Т есть полушар, заданный нера-
неравенствами х2 + у2 + z2 ^ i?2, 2 ^ 0.
< Для области Т\ пределы изменения сферических координат суть:
О ^ ip ^ 2тг, 0^0^ тг/2, 0 ^ г ^ Л. Имеем по формуле F):
+ у2) dx dy dz = [и r2 cos2 0 • r2 cos 0 dr cfy? dO =
2тг 7г/2 Я
= dip cos3 в d6 / r^dr = — тгЛ5. >

§ 2. Тройной интеграл 259
Вычислить интегралы, перейдя к цилиндрическим коорди-
координатам:
9.118. /// \у\ dxdy dz, где область Т ограничена поверхно-
т
стями х2 + у2 — a2, z = О, z — h.
9.119. zdxdy dz, где область Т ограничена поверхностями
9.120. dx / dy \
о о
a/y/2 \A2-?/2 (x2-y2)/a
9.121. dy I dx / \J x2 + y2 dz.
о у о
a \/a2—x2 h
9.122. / dx I dy I \Jx2 + y2 dz.
-а _>/а2-х2 h{x2+y2)/a2
2 \/4-х2 2
9.123. I dx I dy I {x'2+y2)dz.
-2 -д/^2 (х2+у2)/2
Вычислить интегралы, перейдя к сферическим координатам:
9.124. / / / ух2 + у2 + z2 dx dy dz, где область Т — внутрен-
т
ность шарового сектора с центром в начале координат, радиусом а
и углом при вершине 2а @ < а < тг), если ось симметрии сектора
принять за ось Oz.
9.125. / / / xyz2 dx dy dz, где область Т ограничена частью сфе-
т'
ры х2 + у2 + z2 = 1 и координатными плоскостями (х > 0, у > 0,
f f f dxdydz
9.126. / / / —. =, где область Т — сферический слой
777 >Д2 + у2 + z2
между поверхностями х2 + у2 + z2 = а2, х2 + у2 + z2 = 4а2.

260 Гл. 9. Кратные интегралы
9.127. J dx f dy I
y I dz.
о о
(I у и,—X V y
9.128. / da; / dy I zdz.
0 0 0
9.129. f dx I dy I
-R -jR2_r2 0
3. Приложения тройных интегралов. Объем V пространственной
области Т равен
V=
T
Масса М тела с переменной плотностью ^(х, у, z), занимающего
область Т: /././.
М = / / / 7(ж) У? z) dxdydz.
т
Статические моменты тела относительно координатных плоско-
плоскостей:
Myz - 37(s, У, z)dxdydz,
т
Mzx = УУ{х> У, z)dxdydz,
т
Мху = *l{x, У, z)dxdydz.
т
„ А - Myz __ Mzx _ Мху
Координаты центра масс тела: х — , у = , z = -.
МММ
Моменты инерции тела относительно осей координат:
h = yyy (?/2 + 22h(z, 2/, г) dx dy dz,
г
Iy = / / / (^2 + ^2O(^, У, *) dx dy d*,
т
Iz= (x2 +y2)-y(x,y, z)dxdydz.

§ 2. Тройной интегра.п 261
Пример 4. Найти координаты центра масс полушара х2 -f у2 -f z2 ^
^ В2, 2 ^ 0, если плотность в каждой точке пропорциональна расстоя-
расстоянию от точки до центра.
< Имеем 7(^, У, z) — к\[х2 Л-у2 Л- z2 и, вследствие симметрии, х~ — j/ =
= 0. Вычисления проведем в сферических координатах:
Мху -kill zy/x2 +y2 + z2 dx dy dz = к I r4 sin в cos в dr dip dB =
T T\
2тг тг/2 R
= k I dip I sin в cos 0d0 /r4dr = -
0 0 0
M = к III y/x'2+y2 + z2dxdydz = к lllr3 cosOdrdipdO -
T Tx
2тг тг/2 Я
= fc /"dy? I cosOdO lr3dr= -
M
( 2
Таким образом, С I О, О, -Я
V ^
9.130. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z —
= х-2 + у2, z = 2(х2 + у2), у = ж, у2 = ж.
9.131*. При каком значении а объем тела, ограниченного по-
поверхностями х2 + у2 = аг, х2 + у2 = ax, z = 0, равен данному
числу 1/?
9.132*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхно-
поверхностью (х2 + у2 + z2J = 2axyz (a > 0).
9.133*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхно-
/9 9 9\2 9 9
/яг у2 г2\ х1 у1
стью -Т + 7Т + -Т =~Т + 1^-
\ а2 Ь2 с2 / а2 б2
9.134*. Найти объем тела, ограниченного сферой .т2 + у2 + ^2 =
= 4а2 и параболоидом х2 -V у2 — Zaz (внутри параболоида).
9.135*. Найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхно-
поверхностью {х2 + у2 + z2J = azz (a > 0).
9.136. Найти массу и среднюю плотность тела, ограниченного
поверхностями х2 + у2 — z2 = a2, z — 0, z — а > 0, если плотность

262 Гл. 9. Кратные интегралы
в каждой точке пропорциональна аппликате z и в плоскости z = a
равна 7о-
9.137. Найти массу и среднюю плотность кругового конуса с ра-
радиусом основания R и высотой f/, если плотность в каждой точке
пропорциональна квадрату расстояния от точки до плоскости, про-
проходящей через вершину конуса параллельно плоскости основания,
и в центре основания равна 70 •
9.138. Найти массу и среднюю плотность тела, ограниченного
поверхностями х2 — у2 — az, х2-\-у2 = a2, z — 0 (z > 0), если плот-
плотность в каждой точке пропорциональна аппликате z, а наибольшее
значение плотности 70 •
9.139. Найти массу и среднюю плотность сферического слоя
между поверхностями х2 + у2 + z2 = о2 и х2 + у2 + z2 = 4а2,
если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату рассто-
расстояния от точки до начала координат, а наибольшее значение плот-
плотности 7о-
9.140. Найти массу и среднюю плотность сегмента параболоида
вращения с радиусом основания R и высотой Н, если плотность в
каждой точке пропорциональна корню квадратному из расстояния
от точки до плоскости основания сегмента и в вершине сегмента
равна 7о-
9.141. Найти массу и среднюю плотность шара радиуса /?,
если плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от
точки до одного из диаметров шара и на окружности большого
круга, лежащего в плоскости, перпендикулярной к этому диаме-
диаметру, равна 7о-
9.142. Найти координаты центра масс однородного тела, огра-
ограниченного поверхностями z = —^{у2 — х2), z — 0, у — а, у — 0
(а > 0, h > 0).
9.143. Найти координаты центра масс однородного тела, огра-
ограниченного поверхностями у = -^-.т2, z — —(b — у), z = 0 (а > 0,
a1 b
b> 0, h >0).
9.144. Найти координаты центра масс однородного тела, огра-
ограниченного поверхностями z = ~^{^2 + У2)> z = Н.
9.145. Найти координаты центра масс однородного тела, огра-
тт
ничейного поверхностями z = — \Jx2 + у2, z — И (Н > 0,
Д >0).
9.146. Найти координаты центра масс полушара х2 + у2 + z2 ^
^ Л2, г ^ 0, если плотность в каждой точке пропорциональна
расстоянию от точки до начала координат.

§ 3. Несобственные кратные интегралы 263
9.147. Найти момент инерции относительно оси Oz однород-
b 2
ного тела плотности 7> ограниченного поверхностями у = —х ,
z = 0, * = 7(Ь - У) (а > °> ь > °> Л > 0).
о
9.148. Найти момент инерции однородного сегмента параболо-
параболоида вращения плотности 7 с радиусом основания R и высотой Н
относительно его оси вращения.
9.149. Найти момент инерции шара радиуса R относительно
его диаметра, если плотность в каждой точке пропорциональна рас-
расстоянию от точки до центра шара, а на поверхности шара равна 7о-
9.150**. Найти ньютонов потенциал U однородного тела плот-
х2 + у2 z2
ности 7, ограниченного эллипсоидом вращения 1—- = 1,
а1 Ъ1
в его центре (Ь > а).
9.151**. Найти силу притяжения, оказываемого однородным
конусом плотности 7? высоты Н и радиуса основания R на ма-
материальную точку, расположенную в его вершине и содержащую
единицу массы.
9.152. Найти момент инерции относительно оси Oz однород-
однородного тела плотности 7? ограниченного поверхностями z — —- х
а1
х(у2 -ж2), 2 = 0, у = ±а.
9.153. Найти момент инерции однородного кругового конуса
плотности 7 с радиусом основания R и высотой Н относительно
его оси.
§ 3, Несобственные кратные интегралы
1. Интеграл по бесконечной области. Если функция /(ж, у) непре-
непрерывна в бесконечной области G, то, по определению,
Ц
(*, у) dx dy = YimG II f(x, y) dx dy, A)
D
где D — конечная область, целиком лежащая в области G, причем D -> G
означает, что область D расширяется произвольным образом так, чтобы
в нее вошла и осталась в ней любая точка области G {исчерпывающее
расширение). Если существует конечный предел A), не зависящий от
выбора подобласти D и способа расширения D —> G, то несобствен-
несобственный интеграл // /(ж, y)dxdy называется сходящимся, в противном
G
случае — расходящимся.

264
Гл. 9. Кратные интегралы
Аналогично определяется тройной интеграл по бесконечной области.
Если /(я, у) ^ 0, то для сходимости несобственного интеграла
необходимо и достаточно, чтобы предел A) су-
существовал хотя бы для одного исчерпывающего
расширения области G.
Пример 1. Вычислить несобственный инте-
интеграл
1у = х'
Г Г dxdy
JJ *4+</2'
1 а
Рис.48
х ^ а, х2
= Km
где G — область, определяемая неравенствами
< Подобласть D (рис. 48) зададим неравенствами
Ь, где а -» +оо, h -» -foo. Тогда:
dxdy
х^Л-у2 d-*g J J х*
G D
аи а ,
= hm I dx I — = hm / — arctg — \dx -
a->+oo J J X*+y2 a->+oo J \ X2 X2 ^ /
= lim / — f lim f arctg — - -)) dx = - lim ~^ =
a-^+oo 7 X2 У&->+оо У X2 4// 4 a-++oo J X2
1 1
7Г ,. / 1
= - hm ( —
4 a—>+oo
7Г
4-
Вычислить несобственные интегралы:
dxdy
, где G — область, определяемая неравенства-
У» Л
9.154. / /
ми ж ^ 1,
/ /* 6tx dij
9.155. / / т~я ^77> гДе ^ — область, определяемая неравен-
77 (ж2 + у2K
1.
ством ж2 + у2 ^ 1 (внешность круга).
u567//p
dx d,y dz
-, где Т — область, определяемая
неравенством х2 + у2 + z2 ^ 1 (внешность шара).

§ 3. Несобственные кратные интегралы 265
+оо Н-оо Н-оо
9.157. [ dx f dy f е~^х+у+2) dz.
0 0 0
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
9.158. // sin (х2 + у2) dxdy, где G — область, определяемая
G
неравенствами х ^ 0, у ^ 0.
Г Г it
9.159. / / — ,, 9 , где G — область, определяемая не-
J J A + .7- + yz)a
G
равенством x2 + y2 ^ 1 (внешность круга).
2. Интеграл от разрывной функции. Пусть функция /(х, ?/) непре-
непрерывна в ограниченной замкнутой области G всюду, за исключением
точки Pq(xq, у о) (или линии L). Если существует конечный предел
{х, y)dxdy,
где G£ — область, получаемая из G путем удаления произвольной окрест-
окрестности точки Pq с диаметром, меньшим е (соответственно произвольной
окрестности линии L с «шириной», меньшей е), то этот предел называ-
называется несобственным интегралом от функции /(ж, у) по области G и
обозначается через / / /(ж, y)dxdy, т.е.
Г Г Г Г
/ / /(#> У) dx dy = lim / / fix, y) dx dy. B)
JJ ^°УУ
G G£
Интеграл B) в этом случае называется сходящимся. Если же
lim / / /(ж, y)dxdy не существует или равен оо, то / / /(ж, y)dxdy
G€ G
называется расходящимся.
Аналогично определяется тройной интеграл от разрывной функции.
Пример 2. Исследовать сходимость несобственного интеграла
-, а > 0, где G — круг х2 + у2 ^ 1.

266 Гл. 9. Кратные интегралы
<3 Начало координат является точкой разрыва функции 1/(х2 + у2)а.
Удалим из G £-окрестность начала координат (подынтегральная функ-
функция положительна). Тогда область Ge есть кольцо между окружностями
радиусов £ и 1. Перейдем к полярным координатам (Г — полярный
образ области G):
ff dxdy ff
JJ (x2+j/2)« JJ
При а ф 1 имеем
//
rdrdif
2тг 1
- 2тг lim
r
r£
2(l-a)
2A -a)
= 7Г lim = < 1 — a
при
+00 При
При a = 1 имеем:
2тг
/ / r = hm dip — -2n lim In 7'
l
= +00.
Г 0 5
Итак, при а < 1 интеграл сходится и равен тг/A — а). >
Вычислить несобственные интегралы:
9.160. // =^, где G — квадрат 0 < ж ^ 1, 0 < у < 1.
G
9.161. / / -~^=====, где G — круг ж2 + у2 ^ 1.
9.162. / / In —7=y== dx dV-> гДе G — круг х2 + у2 < 1.
G
Исследовать сходимость несобственных интегралов:
9.163*. // ~—, где G — треугольник 0 ^ х < 1,
G
О < у < ж.

§ 4. Вычисление интегра.пов, зависящих от параметра 267
§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Если функция
f(x, у) определена и непрерывна в прямоугольнике а $С х ^ /;, А ^ у ^
^ В, то интеграл
б
= J f(x,y)dx (I)
называется интегралом, зависящим от параметра,, и является непре-
непрерывной в промежутке [А, В] функцией.
Интеграл более общего вида
F(y)= J f(x,y)dx B)
ч>\у)
также называется интегралом, зависящим от параметра, и является
непрерывной функцией аргумента у в промежутке [А, В], если f(x, у)
непрерывна в прямоугольнике а ^ х ^ Ь, А ^ у ^ В, ip(y) и ф(у) не-
непрерывны при у G [А, В] и их значения содержатся в промежутке [а, Ь].
Пример 1. Вычислить предел
1 + 2/
.. Г dx
hm / - -.
?;->о J 1 + х2 + у2
-A+2/)
О Рассмотрим следующий интеграл, зависящий от параметра у:
1 + 2/
Так как пределы интегрирования, а также подынтегральная функция
непрерывны при любых значениях своих аргументов, то F(y) — непре-
непрерывная функция. Поэтому
1 + 2/ 1
ь / i+gt+ga=i!°0j'(y)=j'(o)=/r^=arotH!-i=f->
-A + 2/) -1
Если /(ж, ?/) и /^(я, 2/) непрерывны в прямоугольнике а ^ х ^ 6,
Л ^ I/ ^ Z?, то для интеграла A) справедлива формула дифференциро-
дифференцирования под знаком интеграла (формула Лейбница):
б 6
F'(y) = j- [ /(*, !/)<&=/ /;(^, У) dx. C)

268 Гл. 9. Кратные интегралы
Если в B) при тех же условиях на / и fy пределы интегрирования
и ip(y) дифференцируемы при у Е (А, 13), то верна формула:
№ У) dx. D)
<р(у)
Пример 2. Найти F'(y), если
cos у
F(y)= f e^^ dx.
sin у
<\ Так как подынтегральная функция еу^1~х", непрерывна в облас-
области определения вместе со своей частной производной по у, равной
у/1 — х'2еу^1~~х2 ? а пределы интегрирования являются также дифферен-
дифференцируемыми функциями, то можно воспользоваться формулой D):
cosy
/ /fZ^dx =
Если /(ж, 2/) непрерывна в прямоугольнике а ^ .т ^ 6, Л ^ i/ ^ Б, то
для интеграла A) справедлива формула интегрирования по параметру
у под знаком интеграла:
в в ь ь в
F(y) dy = JdyJ f(x, y)dx = JdxJ f(x, y) dy. E)
A A a a A
/xb _ xa
— dx (b > a > 0).
\nx
о
<\ Заметим, что
ь

§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра 269
Тогда искомый интеграл принимает вид
1 16
dx — I dx I xy dy.
lnx J J
0 a
Подынтегральная функция /(ж, у) = ху непрерывна в прямоугольнике
О ^ я ^ 1, а ^. у ^ Ь, поэтому можно воспользоваться формулой E)
16 6 1
[dx [xydy= [dy [ xydx = /-J—dj^ln^tl-
J J J J J У + 1 a+1
О a a 0
Вычислить следующие пределы:
2
9.165. lim / x^cosxydx. 9.166. lim / \/xA + y2dx.
1 0
xo
9.167. lim — / (f(x + h) — f{x)) dx, если f(x) непрерывна
/i—»o h J
о
отрезке [a, b] (a < 0 < xq < b) и /@) = 0.
Продифференцировать функции:
у y+i
/М!±М^. 9.169.F(y)=
на
X
0 y-l
У2 У
9.170. F{y) = I e~yx'2 dx. 9.171. F(y) = [{x-y)smxydx.
у о
9.172. Найти F£y, если F(z, у) = / {x - yt)f{t) <ft, где f(t) —
x/y
дифференцируемая функция.
9.173. Пусть f(x) — дважды дифференцируемая и F(x) — диф-
дифференцируемая функции. Доказать, что функция
x-\-at
I If
u{x,t) = -{f{x-at) + f(x + at)) + — / F(y)dy
x-at
д2и 9д2и
удовлетворяет уравнению колебания струны -r~o" ~ a тг~о-
otz ох1

270 Гл. 9. Кратные интегралы
9.174*. Найти производные от полных эллиптических инте-
интегралов
т/2
Е{к) - j \Jl - к2 sin2 ip dip,
1,2 @ < /с < 1)
= Н^
J 1 — к1 sirr (p
о
и выразить их через функции Е(к) и F{k).
Применяя интегрирование под знаком интеграла, вычислить
интегралы:
1
9.175. /sin (in- )-^-(x2 -l)dx.
J \ xJ\nxK
о
1
9.176. [cos(ln-)—(x-l)dx.
J \ xjlnx
0
9.177. Доказать формулы:
к
) f F{x)xdx = E{k) -(l-
к
О
А;
б) f E{x)xdx = h(l + k2)E(k)-{l-k2)F(k)),
о
где Е(к) и F(k) — полные эллиптические интегралы (см. задачу
9.174).
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобствен-
Несобственный интеграл, зависящий от параметра у, т. е.
+ ОО
= J f(x,y)dx, F)
a
где функция /(х, у) непрерывна в области а ^ х < -f оо, У\ ^ у ^
^ 2/2, называется равномерно сходящимся в промежутке [i/i, ^2], если
для любого е > 0 существует такое В = Z?(е), что при всяком Ь ^. В(е)
/я*,
при любом у G [уь 2/2] •

§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
271
Если интеграл F) сходится равномерно в промежутке [у\, у2], то он
представляет собой непрерывную функцию аргумента у в этом проме-
промежутке.
Аналогично определяется равномерная сходимость несобственного
интеграла от неограниченной функции, зависящего от параметра.
При исследовании равномерной сходимости интегралов, зависящих
от параметра, часто используется следующее утверждение:
Критерий Вейерштрасса. Для равномерной сходимости ин-
интеграла F) достаточно, чтобы существовала такая функция F(x))
не зависящая от параметра у, что:
а) | Дя, у)\ ^ F{x), если а ^ х < +оо,
+ ОС
б)
[ F{x) Л
dx < +оо.
Функция F(x) называется мажорантой для /(х, у).
Пример 4. Доказать равномерную сходимость следующего инте-
интеграла:
+ ОО
/
9
У -
■ dx, -oo < у < +00.
О Заметим, что
(я.2 + у2J
dx =
х2 + у2
С.
1
Пусть е > 0 — произвольное число. Полагая В(е) = -, находим (для
любого b > В):
Г у х
J (ж2+2/2J
lim
lim
./
b
A2
У2-
A
+ У2
x2
y2J
b2
dx
b
+ У
i2
lim (
b2 + y2
X
1
^ b
У2
<
)
6 /
1
В
что и доказывает, согласно определению, равномерную сходимость ука-
указанного интеграла по параметру у на всей оси. >
Пример 5. Установить равномерную сходимость интеграла
4-оо
е~ху cosxdx, 0 < уо ^ у < +оо.
О Покал^ем, что функцию F(x) = е Т2/о можно взять в качестве мажо-
мажоранты. Действительно, если у > уо, то

272 Гл. 9. Кратные интеграции
Кроме того,
e-*vodx= -—e
о
+оо
1
Следовательно, на основании критерия Вейерштрасса указанный инте-
интеграл равномерно сходится. >
Для несобственных интегралов с бесконечным пределом, зависящих
от параметра, при выполнении следующих условий:
а) функция /(х, у) непрерывна вместе со своей производной f'y(x, у)
в области а ^ х < 4-оо, у\ ^у ^ i/2>
+00
б) / /(х, у) dx сходится при любом у £ [2/1, 2/2],
а
+ оо
в) / /^(х, I/) dx сходится равномерно в промежутке [у\, 2/2], справед-
а
лива формула дифференцирования по параметру (формула Лейб-
Лейбница):
+ ОО +ОО
d
dy
f(x,y)dx= I fy{x,y)dx, G)
а
аналогичная соотношению C).
При выполнении соответствующих условий формула Лейбница оста-
остается верной и для интеграла от разрывной функции, зависящего от
параметра.
Пример 6. Вычислить интеграл
+ ОО
/е-ах _ е~Рх
cos mxdx (а ^ а0 > 0, /3 ^ /?0 > 0, т £ Z).
о
<3 Пусть
+ ОО
/ cos mxdx = F(a, /3).
о
+ ОО
Заметим, что интеграл / е~ах cos mxdx равномерно сходится при
о
Q.
а ^ с*о и равен —г (проверьте!). Исходный интеграл сходится при
ос1 4- тг

§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра 273
любых а ^ ао и /3 ^ /Зо, з подынтегральная функция непрерывна вместе
со своей частной производной по а, равной —e~ax cosmx. Следовательно,
условия а), б), в) выполнены, и можно воспользоваться соотноше-
соотношением G). Тогда
+ ОО
' e~ax cosmxdx =
-I
да J a1 + тпг
Отсюда
F{a, P) = -\ In (a2
Для нахождения С(/3) полагаем в последнем равенстве а = /3. Имеем
О = -1 In (/З2 + т2) + С(/3). Отсюда
F(a, /3) = ± (In (/З2 + m2) - In (a2 + m2)) = - In 2 2- >
9.178. Ha языке «е-5» сформулировать утверждение: интеграл
F(y) = / /(ж, у) dx сходится неравномерно на отрезке [yi, у^\.
а
Исследовать на равномерную сходимость в указанных проме-
промежутках следующие интегралы:
9.179. / e~axcosxdx @ < а0 < а < +оо).
о
9.180. / —~^~ A<а<+оо).
о
9.181. f X-^f~dx @<a< 1).
j
1
Г cos ах _ , .
9.182. / dx (-00 < а < +оо).
J 1 + хг
— оо

274 Гл.9. Кратные интегралы
+ ОО
О
9.184.
z
/1 dx
sin @<a<2).
xxa У }
о
l
9.186. / -^LSfL dx @ ^ a ^ 1).
7 v/|x~-a|
9.187. Доказать, что функция
+oo
t \ - f __5_Ж_
J ж2 + (у - <J
~OO
удовлетворяет уравнению Лапласа
%2 ~
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить
дующие интегралы:
+ О° 2 q 2
— dx (а > О, Р> 0).
о
9.189. / : sin mxdx (a > 0, /3 > 0, m ф 0).
о
-foo
9.190. /" е-ах--— dx (a > а0 > 0).
о
-foo
/1 _ e"OLX
dx (a> -1).
9
п

§ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
9.192*. I e~lx\os8xdx G > 0).
о
1
л ^лл f arctg ax . , ч
9.193. / — ь dx (-00 < о; < +оо).
i xv 1 — х2

Глава 10
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнения 1-го порядка
1. Основные понятия. Функциональное уравнение
F(x, у, у') = О A)
ИЛИ
у1 = fix, у), B)
связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию
у(х) и ее производную у'(х), называется дифференциальным уравнением
1-го порядка.
Решением [частным решением) уравнения A) или B) на интер-
интервале (а, Ь) называется любая функция у = <р(х), которая, будучи под-
подставлена в это уравнение вместе со своей производной <р'(а;), обращает
его в тождество относительно х € (а, Ь). Уравнение Ф(х, у) = 0, опре-
определяющее это решение как неявную функцию, называется интегралом
(частным интегралом) дифференциального уравнения. На плоскости
с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат урав-
уравнение Ф(х, у) = 0 определяет некоторую кривую, которая называется
интегральной кривой дифференциального уравнения.
Функция у = <р(х, С) называется общим решением уравнения A)
или B), если при любом допустимом значении параметра С она является
частным решением этого уравнения и, кроме того, любое его частное
решение может быть представлено в виде у = <р(х, Со) при некотором
значении Со параметра С. Уравнение Ф(х, у, С) = 0, определяющее
общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом
дифференциального уравнения.
sin х
Пример 1. Проверить подстановкой, что функция есть реше-
х
ние дифференциального уравнения ху' 4- у — cos а:.
__ sinx cos a: sinx л_ .
< Имеем у — , у = —. Умножив у и у соответственно
X XX1
на 1 и а: и сложив полученные выражения, получим ху' Л- у = cos а:. >
Пример 2. Показать, что функция у = Сх3, С € Е, является
решением дифференциального уравнения ху1 - Зу — 0. Найти частное
решение, удовлетворяющее условию уA) = 1. (Найти интегральную
кривую, проходящую через точку МоA, 1).)

§ 1. Уравнения 1-го порядка 277
О Найдя у' — ЗСх2 и подставив выражения у и у1 в дифференциальное
уравнение, при любом значении С получим тождество ЗСх3 — ЗСх3 = 0.
Это означает, что функция у — Сх3 является решением дифференци-
дифференциального уравнения. Положив х — 1, у = 1, найдем значение параметра
С — 1 и, таким образом, получим искомое частное решение у — х3.
Иначе говоря, интегральной кривой, проходящей через точку МоA, 1),
является кубическая парабола у = х3. >
Пусть задано уравнение
Ф(х, у, С) = 0,
определяющее на плоскости некоторое семейство кривых, зависящих от
значений параметра С. Если составить систему двух уравнений
Ф(х,»,С) = 0, Ф'х(х, у, С) = 0,
то, исключая из этой системы параметр С, получим, вообще говоря, диф-
дифференциальное уравнение заданного семейства кривых.
Пример 3. Найти дифференциальное уравнение семейства окруж-
окружностей х2 + у2 = 2ах.
<3 Имеем систему уравнений
х2 + у2 — 2ах,
2х + 2уу' = 2а.
Исключаем параметр а. Из второго уравнения находим а = х 4- уу1
и, подставляя это выражение в первое уравнение, получаем х2 -f у2 —
— 2х(х + уу1), т.е. у2 —х2 = 2хуу'. Это и есть искомое дифференциаль-
дифференциальное уравнение. О
Показать, что при любом действительном значении параметра
С заданные выражения определяют решения соответствующих
дифференциальных уравнений:
10.1. у = х(С — 1п|ж|), (х — у) dx + xdy = 0.
X
1 П *У о/ — rp I I —р^ Игр A fj j Til — 7/ — rpp%
\ / Т> J
о
В заданном семействе выделить уравнение кривой, удовлетво-
удовлетворяющей приведенному начальному условию.
10.4. уAп|х2 - 1| + С) = 1, у@) = 1.
10.5. у\\ - Сх) - 1, уA) = 0,5.
10.6. у = 2 + Ccosx, 7/@) - -1.
10.7. Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки
экстремума интегральных кривых дифференциального уравнения
у1 — /(х, у). Как отличить точки максршума от точек минимума?

278 Гл. 10. Дифферснци&пьныс уравнения
10.8. Написать уравнение, которому удовлетворяют все точки
перегиба интегральных кривых дифференциального уравнения
у1 — у(.<£, у) и, в частности, дифференциальных уравнений:
а) у' = у + xs] б) у' — еу — х.
Составить дифференциальное уравнение семейств кривых:
10.9. Парабол у = х2 + lax.
10.10. Гипербол у — а/х.
10.11. Цепных линий у = achx.
10.12. Гипербол х2 - у2 = 2ах.
10.13. Составить дифференциальное уравнение семейства кри-
кривых, у которых отрезок любой нормали, заключенный между
осями координат, делится пополам в точке касания.
10.14. Составить дифференциальное уравнение семейства кри-
кривых, у которых отрезок любой касательной, заключенный между
осями координат, делится точкой касания М(,т, у) в отношении
\АМ\ : \МВ\ = 2:1, где А — точка пересечения касательной с
осью Оу, В — с осью Ох.
10.15. Составить дифференциальное уравнение семейства кри-
кривых, у которых площадь, заключенная между осями координат,
этой кривой и переменной ординатой, пропорциональна четвертой
степени этой ординаты.
2. Графический метод построения интегральных кривых (метод изо-
изоклин). Дифференциальное уравнение у1 = /(х, у) в плоскости с фикси-
фиксированной декартовой прямоугольной системой координат Оху определяет
поле направлений равенством tga = /(.т, у).
Изоклиной уравнения (поля направлений) называется всякая кри-
кривая, определяемая уравнением
№ У) = к
при фиксированном к.
Для приближенного (графического) решения уравнения у1 = /(.т, у)
построим на плоскости изоклины для нескольких значений к. Пусть
Mq(xq, у о) — некоторая начальная точка. Изоклина Lo, проходящая че-
через эту точку, соответствует значению fc, равному &0 = /(#о> 2/о)« Прове-
Проведем отрезок М0М] с угловым коэффициентом к0 до пересечения в точке
All с ближайшей изоклиной L\ (тем самым мы заменим дугу инте-
интегральной кривой отрезком ее касательной). Далее, из точки Mi(xi, t/i)
проведем новый отрезок М\М>2 с угловым коэффициентом к\ — /(xi, y\)
до пересечения в точке Мъ со следующей изоклиной L<i и т. д.
В результате такого построения мы получим ломаную, являющуюся
приближенным изображением интегральной кривой, проходящей через
начальную точку М§. Чем гуиде взята сеть изоклин, тем более точно
можно изобразить интегральную кривую.
Изменяя поло?кение начальной точки Мо, аналогично можно постро-
построить прибли?кенно и другие интегральные кривые.

§ 1. Уравнения 1-го порядка
279
Пример 4. Методом изоклин построить интегральную кривую урав-
уравнения у1 = 2х, проходящую через начало координат.
О Изоклины данного уравнения — параллельные прямые 2х = к. По-
Полагая к — О, ±1, ±2, ±3, ..., получаем изоклины х = 0, х = ±1/2,
х = ±1, х = ±3/2 и т.д. Построим их (рис. 49).
Отправляясь из начала координат влево и вправо, строим ломаную
ММММММгМз. •., звенья которой имеют угловые коэффи-
М.п
-3
Л/,
-1 -I 0Мп i
Рис. 49
3
циенты соответственно ..., —2, —1, 0, 0, 1, 2, ... Эта ломаная и есть
приближенное изображение интегральной кривой.
Рекомендуем читателю построить график соответствующего частного
решения у = х2 и сравнить его с построенной ломаной. >
Методом изоклин построить приближенно семейство инте-
интегральных кривых следующих дифференциальных уравнений:
10.16. у' = х + у. 10.17. у' = 1 + у.
10.18. у' = --.
10.20. у' =
10.19. у' = у-х2.
10.21. у' = ^=^.
х + у
3. Уравнения с разделяющимися переменными. Пусть в уравнении
у1 = Пх, у)
функция /(х, у) мол^ет быть разложена на множители, каждый из кото-
которых зависит только от одной переменной: /(х, у) = /1(^/2B/), или в
уравнении
М(х, у) dx + iV(x, у) dy = 0
коэффициенты при dx и dy могут быть представлены в виде М(ж, 2/) =
= Mi(x)M2{y), N(x, у) = Ni(x)N2{y). Путем деления на /2(j/) и на

280 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Ni(x)M2(y) соответственно эти уравнения приводятся к виду
(уравнения с разделенными переменными). Интегрируя левые части
этих уравнений по х, а правые по 2/, приходим в каждом из них к общему
интегралу исходного дифференциального уравнения.
Пример 5. Решить уравнение
dy 2x
dx = 3w2 + Г
<3 Разделяем переменные:
(Зу2 + l)dy = 2xdx.
Интегрируем:
2/2 + 1) dy = / 2х dx + С,
или
y3+y-x2 = C
(общий интеграл уравнения). >
Если в уравнении с разделяющимися переменными у1 — fi(x)f2(y)
функция /2B/) имеет действительный корень 2/о> т.е. если /2B/0) — 0,
то функция у{х) = 2/о является решением уравнения (в чем легко убе-
убедиться непосредственной подстановкой). При делении обеих частей этого
уравнения на /2B/) (при разделении переменных) решение у(х) — 2/о
может быть потеряно.
Аналогично, при интегрировании уравнения М\(х)М2{у) dx +
+N\(x)N2(y) dy = 0 могут быть потеряны интегральные кривые х(у) =
= xq и у(х) — 2/о, гдеXq — действительный корень уравнения N\(x) = 0,
2/0 — действительный корень уравнения М2(у) = 0.
Поэтому, получив указанным выше методом разделения переменных
общий интеграл уравнения, надо проверить, входят ли в его состав (при
подходящих числовых значениях параметра С) упомянутые решения.
Если входят, то потери решений нет. Если не входят, то в окончательном
ответе кроме общего интеграла следует указать и эти решения.
Пример б. Решить уравнение
<3 Разделяем переменные:
— = tgxdx.
У

§ 1. Уравнения 1-го порядка 281
Интегрируем:
\n\y\ — - In | cos х\ + С\,
или
Для удобства потенцирования полученного равенства представим па-
параметр С\ в логарифмической форме, положив С\ = In |C21, Ci /0 (при
этом С\ принимает все значения от — оо до -foo). Тогда
In |2/cos.t| = In |C21
и, потенцируя, получаем общий интеграл в виде ycosx = С2, откуда
у = C2secx. C)
Заметим теперь, что исходное дифференциальное уравнение имеет, оче-
очевидно, еще решение у — О, которое не входит в запись C), так как
С2 ф 0. Введем новый параметр С, принимающий, в отличие от С2,
также и нулевое значение. Тогда решение у — 0 войдет в состав общего
решения
у = Csecx. >
С помощью подстановки и(х) = ах -f by(x) -f d к уравнениям с разде-
разделяющимися переменными приводятся и дифференциальные уравнения
вида
Решить дифференциальные уравнения:
10.22. у' - -. 10.23. у2у' + х2 = 1.
У
10.24. уу' + х = 0. 10.25. ху1 = 2у.
10.26. (х + 1)у' + ху = 0. 10.27. у Vl - х2 = 1 + у2.
10.28. у' - ех+У. 10.29. у' + ^^ = 0.
У cos у
10.30. A + у2)х dx + A + х2) Л/ = 0.
10.31. xydx + \/1 - х2 dy = 0.
10.32. уе2х dx-{l + e2x) dy = 0.
10.33. 2extgydx + {l + ex) sec2 ydy = O.
10.34. A + у)(еж dx - е2У dy) - A + у2) dy - 0.
10.35. A + х2) dy + yy/Wx1dx - xy dx = 0.
10.36. dy - 2^/ylnxdx = 0.
10.37. y' = cos {x + y). 10.38. y' = —-—.

282 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.39. у' = Dх + у + IJ. 10.40. у' = sin (у - ж - 1).
10.41. у' + 2у = 3х + 5. 10.42. у' = {/Dх - у + IJ.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указан-
указанным начальным условиям:
10.43. A + у2) dx - ху dy = 0; уA) = 0.
10.44. (ху2 + x)dy + (x2y — y)dx = 0;
10.45. yftgx = y) yfj) =1.
4. Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го по-
порядка называется однородным, если его можно привести к виду
E)
2/ = / I ~
или к виду
где М(х,у) и N(x,y) — однородные функции одного порядка, т.е.
существует такое к € Z, что M(tx, ty) = tkM(x, у) и JV(£x, ty) =
= tkN(x, у) тождественно относительно х, у и t ф 0.
С помощью подстановки 2//х = w(x) однородные уравнения D) и E)
преобразуются в уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 7. Решить уравнение
X X
тт У гтл / dU
< Положим - = и, или у = их. Тогда у' = и + ж—) чт0 после подста-
х ах
новки в исходное уравнение дает уравнение с разделяющимися перемен-
переменными
du
х— — cos it.
dx
Разделяем переменные:
du dx
cos it x
и интегрируем:
(U 7Г\ ^
tg (г + 4) = Gx.
Получаем общее решение:
и = 2 arctg Cx - - + 2тгп, n € Z.

§1. Уравнения 1-го порядка 283
Возвращаясь к функции у, находим:
у = х h arctg Сх - ^ + 2тт) , 7i G Z.
При делении на cos u могли быть потеряны решения у — х (—Ьтг/с),
k G Z. Но для fc = 2?i — 1 они входят в общее решение (при С — 0).
Следовательно, окончательно получаем:
у = .х ( 2 arctg Сх + ^ + 7гBп - 1)) и ?/ = ж (^ + 2тггЛ ; n G Z. >
Дифференциальные уравнения вида
2 , 2
в случае — ^ 7~ приводятся к однородным уравнениям с помощью
замены переменных
.х = гг + 771, ?/ = v + 71,
где 7П и п находятся из системы уравнений
bin + сл — О,
Поскольку здесь dx — du, dy = dv, то уравнение (G) преобразуется к
виду D) относительно функции v(u):
dv f (сци + h\v + ai7n + Ъ\п
62 n +
_ /aiix + bjiA __ , /«1 +bi(?;/7i)\ __ /v\
\ a2^ + &2^ / \ a2 + b~2 (v/u) J \U/
Если в уравнении F) — = -г1 = Л и, следовательно, а^х Л-
ai bi
= A(ai.T + &i?y), то оно примет вид
с-2
Подстановкой гг(х) = aix + Ь\у{х) это уравнение преобразуется к урав-
уравнению с разделяющимися переменными.
Решить дифференциальные уравнения:
10.46. у' = - + -. 10.47. г/ = - + sin -. 10.48. ^ - ——.
ж у хх х- + у

284 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.49. (ж2 + ху)у' = x\Jx2 — у2 + ху + у2.
10.50. (х - у) dx + х dy = 0. 10.51. у2 dx + x2 dy = ху dy.
10.52. х(г/ + еу/х) = у. 10.53. xdy-y cos ln-dx = 0.
.X/
1 = у + ж tg - 1055 xyf - у = Jx2 -у2
10.54. ху1 = у + ж tg -. 10.55. xyf - у = Jx2 -у
X
10.56. (х2 + у2) dy - 2ху dx = 0.
10.57. Зх4у2 dy = D.x6 - у6) dx.
10.58. B.x - у + 1) dx + Bу - х - 1) dy = 0.
10.59. (у + 2)dx- Bх + у - 4) dy = 0.
10.60. (,х + у + 1) cte + Bx + 2y-l)dy = 0.
10.61. (х + у - IJ dy - 2(у + 2J dx.
у-2х у + 2
10.62. у' - tg
х
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие данным
начальным условиям:
10.66. (у + хД2+У2) с?ж - ж dy = 0; уA) - 0.
5. Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка
называется линейным, если оно содержит у и у1 в первой степени, т. е.
имеет вид
y' = P(x)y + Q(x). G)
При Q(x) = 0 уравнение G) принимает вид
У' = Р(х)у
и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разде-
разделяющимися переменными, и его общее решение имеет вид
где С — произвольная постоянная, а / Р(х) dx — одна из первообраз-
первообразных функции Р(х).

§ 1. Уравнения 1-го порядка 285
Интегрирование линейного неоднородного уравнения G) можно про-
провести одним из следующих методов.
а) Метод вариации постоянной. Будем искать решение урав-
уравнения G) в виде
у = С{х)е*рЫ"х, (9)
который получается из (8), если заменить постоянную С на функцию
С(х). Подставляя выражение (9) в уравнение G), получим для неиз-
неизвестной функции С(х) уравнение с разделяющимися переменными:
Его общее решение:
С(х) = f Q{x)e~fp{x)dxdx + C,
где С — произвольная постоянная, а / Q(x)e~ f p^dxdx —
первообразных. Подставляя полученное выражение для С(х) в формулу
(9), находим общее решение уравнения G):
одна из
у = ef Р(х) dx(c+ Г Q(x)e- f Р(х) dx
Г
б) Метод подстановки. Положим у(х) = u(x)v(x). Тогда урав-
уравнение G) приводится к виду
Выберем функцию и(х) так, чтобы первая скобка в левой части уравне-
уравнения A1) обратилась в нуль. Для этого интегрируем уравнение с разде-
разделяющимися переменными
Р - Р(х)и = О
ах
и выбираем какое-либо частное его решение и = щ (х). Подставляя функ-
функцию ui(ж) вместо и в левую часть уравнения A1), получаем уравнение
с разделяющимися переменными относительно функции v(x):
Находим общее решение этого уравнения v = v(x, С). Перемножая най-
найденные функции и\ (х) и v(x, С), получаем общее решение уравнения G):
y = ui(x)v(x, С).

286 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Пример 8. Решить уравнение у1 = у ctg х + sin x.
< Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим сначала соответ-
соответствующее однородное линейное уравнение
у1 = yctgx.
Его общее решение у — С sin x. Следовательно, общее решение исходного
уравнения ищем в виде у = С(х) sin х. Подставляем у и у' = С'(х) sin x 4-
+ С(х) cosrr в данное уравнение:
С' (х) sin я; -f С(х) cos я; = ctg x • С (я) sin x + sin я,
откуда С" (ж) = 1, и тогда С (я) = х -f С. Следовательно, общее решение
уравнения есть у = (х + С) sin а;. >
Пример 9. Решить уравнение ?/ = .
2д;2/ + 3
< Перепишем уравнение в виде
dx 2x 3
dy у у2
dx n
и заметим, что оно линейно относительно х и —-. Решим его методом
dy
подстановки.
Положим х = uv и приведем уравнение к виду
/du 2u\ (dv 3 \ , ч
\d2/ ^// \Ф 2/2/
Найдем функцию щ(у), решая уравнение
da 2u __
dy у
и выбирая из его общего решения и — у2 + С одно частное решение,
например, и\(у) = у2. Подставляя щ(у) в уравнение A2), получим:
dv о 3 du 3
d2/ У d2/ 2/4
Общее решение этого уравнения:
Перемножая i/iB/) и г;(у, С), получаем общее решение данного урав-
уравнения:
х = С?/2 . >
Ж/

§ 1. Уравнения 1-го порядка 287
Решить дифференциальные уравнения:
10.67. у'
у у
3?/ 1
10.68. у' = — + ж. 10.69. у' + ytgx = .
х с cos ж
10.70. A + х2)у' = 2жу + A4- ж2J.
10.71. у' + 2у - е3х. 10.72. у' + - - 2 In ж + 1.
JL
10.73. у' - -^- + ех(ж + IJ. 10.74*. у' - —L.
ж + 1 ж + у3
10.75. A + у2) dx = (arctgy - ж) dy.
10.76. ху1 = у + х2 cos ж. 10.77. жу' = ех + ху.
10.78. жу' + ж2 + жу = у. 10.79. у + у; In2 у = (ж + 2 In г/)у;.
10.80. у - у1 - у2 + жу'. 10.81. (ж + 2у3)у' - у.
cosy
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие задан-
заданным начальным условиям:
10.83. y' + ytg.T = ; i/@) =0.
cos ж
10.84. у1 = 2у + ех - ж; у@) = -.
10.85. у'-— ^ ; уA) = 1.
2у In у + у — х
6. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется диффе-
дифференциальное уравнение 1-го порядка вида
у' = Р(х)у + Q(x)ym, A3)
где т ф 0, т ф 1 (при т = 0 уравнение A3) является линейным, а при
га — 1 — уравнением с разделяющимися переменными).
Так же как и линейное, уравнение Бернулли можно проинтегриро-
проинтегрировать с помощью подстановки у = uv или свести к линейному уравнению
с помощью подстановки z = yl~m- Следует учесть, что при т > 1 может
быть потеряно решение у — 0.
Пример 10. Решить уравнение
^+-
х у
< Полагая у — uv, приводим уравнение к виду
(du м\ (dv х2 \ . tч
v(- + —н--- -0. A4)
\dr xj \dx uv)

288 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Из общего решения и = Сх уравнения
du и
dx х
выбираем частное решение, например, щ = х.
dv
Подставляя щ в уравнение A4), получаем новое уравнение —х -
dx
х2 dv I 9
— — = 0, или -г- = -. Ьго общий интеграл v = 2х + С, откуда
xv dx v
v = ±>/2ж + С.
Перемножая щ и и, получаем, что все решения исходного уравнения
определяются формулой у = ±ху/2х + С. >
Пример 11. Решить уравнение
• = -^-±.
У 2а; 2у
< Это уравнение Бернулли cm = — 1. Поэтому полагаем z = у2 и
приводим уравнение к виду
Это уравнение является линейным. Решая однородное уравнение z' —
= z/.x, находим z — Сх. Отсюда методом вариации постоянной, т.е.
полагая z — хС(х)у получаем общее решение линейного уравнения в
виде
z = х\п —,
X
или, окончательно,
2 , С
у — х\п —. >
X
Решить дифференциальные уравнения:
10.86. у1 + 4ху = 2хе~х2 у/у. 10.87. dy = (у2еж - у) dx.
10.88. у1 = y(y3cosx + tg.T). 10.89. у; = yctga;+ -
bi
sin ж
10.90*. у1 = — —; . 10.91. у1 = Ж'Ж ,+оУ ~ К
хг cos у + sin 2у 2у{хг — 1)
10.92. ху1 + у = 2ж2у In у • у'. 10.93. у'х3 sin у + 2у = жу'.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие задан-
заданным начальным условиям:
10.94. Ыу = -A + 3yd)ysinxdx; у [ — ) = 1.

§ 1. Уравнения 1-го порядка 289
10.95. ydx + (х - ^х3у\ dy = 0; у Q j = 1.
7. Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное урав-
уравнение 1-го порядка вида
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = O A5)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть
является полным дифференциалом некоторой функции U(x, у), т.е.
Для того чтобы уравнение A5) было уравнением в полных диффе-
дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
дР - dQ
Если уравнение A5) есть уравнение в полных дифференциалах, то
оно может быть записано в виде
dU{x, у) = 0.
Общий интеграл этого уравнения:
U(x, у) = С,
где С — произвольная постоянная.
Функция Е/(.т, у) может быть найдена следующим образом. Инте-
dU
грируя равенство —— = Р(х, у) по х при фиксированном у и замечая,
CJjL
что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от у, имеем
U(x,y) = J P(x,y)dx + ip(y). A7)
Затем из равенства
находим функцию ip(y), подставив которую в A7), получим функцию
U(x, у).
Очевидно, что искомая функция U(x, у) определена с точностью до
произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего интеграла
исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций получаемого
семейства.

290 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Другой метод отыскания функции U(ж, у) состоит в вычислении кри-
криволинейного интеграла 2-го рода:
(х,у)
U(x, V)= J р(х> У) dx + Q(x, У) dy =
(а?о,2/о)
х у у х
= / Р(х, 2/о) dx + / Q(z, y)dy= Q(.x0, у) dy + Р(.х, у) dx,
Х0
где точки Мо{хо, г/о) и А/(#, у) и путь интегрирования лежат в области
непрерывности функций Р(х, у) и Q(x, у) и их частных производных,
причем Мо(хо, Уо) — некоторая фиксированная точка.
Пример 12. Решить уравнение
-dx + (y3 +\nx)dy = 0,
предварительно убедившись, что это есть уравнение в полных диффе-
дифференциалах.
< Проверим условие A6):
дР д /у\ 1 dQ 9 , з , х 1
— — I — 1 — — —— = —(у -4- In т) — —
ду ду \х) х' Эх дх(У+ >~х-
Условие A6) выполнено, следовательно, заданное уравнение есть урав-
уравнение в полных дифференциалах.
Найдем функцию U(x, у).
Первый способ. Интегрируя по х при постоянном у равенство
получим
U(x,y)= [-dx+ip{y)=y\nx + ip{y). A8)
J x
Заметим, что при вычислении первообразной мы здесь пишем lux, а не
1п|ж|, так как исходное уравнение содержит 1п:г и, следовательно, имеет
смысл лишь при х > 0.
Подставляя A8) в равенство
ОТ" Г
^~ ^Q(x, У) = г/
имеем

§ 1. Уравнения 1-го порядка 291
откуда
4>(у) = 72/4 + Ci- (Щ
Положив, например, С\ — 0, находим из A8) и A9)
U(x, у) = ylnx-f -?/.
Следовательно, общий интеграл заданного уравнения имеет вид
Второй способ:
U(x,y)= J ^(
Положим, например, хо — 1, уо = 0. Тогда Р(х, ?/о) = 0 и
(у3 +1пж) dy = -t/ +y\nx. >
о
Решить дифференциальные уравнения, предварительно убе-
убедившись, что они являются уравнениями в полных дифферен-
дифференциалах:
10.96. Bх + у) dx + (х + 2у) dy = 0.
10.97. (Южу - 8у + 1) dx + Eх2 - 8х + 3) dy = 0.
10.98. (Зг2 + бху - 2^/2) dx + (Зх2 - Аху - Зу2) dy = 0.
10.99. U+ -j J da;+ (x-—jdy = O.
' 10.100. 3a?2+V- 2,з + хуЧ-2уЗ
10.101.
10.102. Bж - уе~х) dx + е~ж dy = 0.
10.103. Bх + ех/у) dx + [ 1 - - ) еж/^ dy = 0.
V У/

292 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.104. 2х cos2 у dx + Bу - х2 sin 2y) dy = 0.
10.105. I sin у — у sin x -I- — I с/х- + (.т cos ?у + cos х - — ) dy — 0.
V ' х) \ У/ '
8. Теорема о существовании и единственности решения. Особые ре-
решения. Задачей Коши для дифференциального уравнения у' = /(х, ?/)
называется задача об отыскании частного решения этого уравнения, удо-
удовлетворяющего заданному начальному условию у(хо) = ?/о-
Теорема Коши. Если о дифференциальном уравнении у1 =
~ /(#> 2/) функция /(.т, ?/) непрерывна в некоторой области D плос-
плоскости Оху и имеет в этой области ограниченную частную про-
производную fy(x, у), то для любой точки (.то, у о) G D в некотором
интервале xq — h ^ х ^ хо + Л существует и притом единственное
решение у(х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
УЫ = ?/о-
Геометрически это означает, что через каждую точку М области
D проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения у' =
= /(*, ?/)•
Точки области D, в которых нарушается единственность решения
задачи Коши, называются особыми точками дифференциального урав-
уравнения.
Решение (интегральная кривая) уравнения у1 — /(х, у), в каждой
точке которого нарушается единственность решения задачи Коши, на-
называется особым решением (особой интегральной кривой) этого урав-
уравнения. Особое решение не может быть получено из общего ни при каких
значениях С (включая и С = ±оо).
Огибающая семейства интегральных кривых, определяемых общим
решением у = (/?(х, С) или общим интегралом Ф(х, у, С) — 0, является
особой интегральной кривой. Она находится путем исключения, если
это возможно, параметра С из системы двух уравнений
= ф,С), f Щх,у,С)=0,
= <р'с(х,С) ИЛИ \Ф>с(х,у,С)=0.
Найденную таким путем функцию следует подставить в данное диффе-
дифференциальное уравнение и убедиться, что она является его решением.
Пример 13. Найти область, в которой уравнение
у' = ху/l -у2
имеет единственное решение.
<J Здесь /(х, у) — xy/l — у2 —- функция, непрерывная при \у\ ^ 1;
XV
частная производная /?'Д.г\ у) = /ч ограничена при |х| ^ М
и \у\ ^ а < 1. Следовательно, данное уравнение имеет единственное
решение в любом прямоугольнике D = {(.г\ у) \ \х\ ^ Л/, \у\ ^ а < l}. D>

§ 1. Уравнения 1-го порядка 293
Пример Ы. Найти особые решения уравнения
у1 =
зная его общее решение у = sin (х + С), \х + С'\ ^ тг/2.
<] Составим систему уравнений
y = siu(x + C), ,,r|^w
О = cos (л + С), 1:Г + °1^2-
Исключая С, найдем две функции у = ±1, которые, очевидно, являются
решениями данного уравнения и не получаются из общего решения ни
при каких значениях С. Следовательно, у — ±1 -- особые решения. >
Найти области существования и единственности решения для
дифференциальных уравнений:
10.106. у1 - х2 - у2. 10.107. у' - —У—.
у-х
10.108. у' = 1 + tgy. 10.109. у' = х2 + у/х-у2.
Найти особые решения следующих дифференциальных урав-
уравнений, зная общие решения (там, где это указано).
10.110. у' -
х
10.111. у' - 4ж>/у"=гТ; у - (х-2 + СJ + 1.
10.112. жу/2 + 2ху' - у = 0; (у - СJ - АСх.
2 2
10.113. у = у'2 - ху' + у; у = Х- + С.х + С2.
9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Пусть
дифференциальное уравнение F(x, т/, у') — 0 разрешимо либо относи-
относительно искомой функции, т. е. имеет вид
У = f(x, у'), B0)
либо относительно аргумента, т.е. записывается в виде
•г- - /(}/, у'). B1)
Тогда оно интегрируется путем введения параметра р =■ у1. Уравнения
B0) и B1) переходят в алгебраические уравнения, дифференцируя ко-
которые соответственно по х или по у, получим системы уравнений
f(*,p), (x = /(?у, р).
d]_ d£ dp или I I _д£ df dp
Ox dp dx \ p dy dp dy%
Из этих систем находится соответственно общее решение уравнения
B0) или B1) в явном или параметрическом виде.

294 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Пример 15. Решить уравнение
у = у'2 + ху' - х.
<3 Введем параметр р — у'. Тогда
у = Р2+х(р-1). B2)
Дифференцируя это равенство по ж, получим
Л dp dp
р = 2р_+р_1+х_
или
dp 1
dx 2p -f x'
Запишем последнее уравнение в форме
dx
Т=х + 2р.
dp
Это линейное уравнение, его общее решение:
х = Сер -2{р+ 1). B3)
Подставляя выражение B3) в формулу B2), получим
1)-р* + 2. B4)
Система соотношений B3) и B4) определяет общее решение исходного
уравнения в параметрической форме:
х = Сер -2(р+1), у = Сер{р-1)-р2+2. О
Пример 16. Решить уравнение
< Полагая р — у1, имеем
р
Дифференцируем это равенство по у:
р dy p р2 dy
или

§ 1. Уравнения 1-го порядки 295
Отсюда
Pl = С и р2 = \1^у.
Подставляя поочередно оба результата в выражение для я, найдем общее
решение
у = Сх- С3
и решение
которое, как легко убедиться, является особым. t>
Решить дифференциальные уравнения:
10.114. у = у'2 + 4у'3. 10.115. у = у'^
,/2
10.116. у = (у' - l)ey'. 10.117. у = — + 2ху' + х2.
10.118. х = у'3 - у' + 2. 10.119. х = у'cosy'.
10.120. х = 2у' - In у'. 10.121. ж = — + —т.
У' у'2
Частным случаем уравнений вида B0) является так называемое
уравнение Лагранжа
B5)
которое при f(y') = т/' называют уравнением Клеро. Введением пара-
параметра р = у' уравнение B5) приводится к виду
в случае общего уравнения Лагранжа и к виду
у = .тр +
в случае уравнения Клеро.
Уравнение Лагранжа имеет особые решения
У = я/0?о)+ ¥>(#)),
где ро — любой из корней уравнения f(p) = р.
Уравнение Клеро имеет общее решение
у - Сх + v(C) B6)
и особое решение
х = -^'(р), у - V(P)P + ¥>(P),
являющееся огибающей семейства интегральных кривых B6).

296 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Таким образом, можно сформулировать следующее п р а к т и ч е с к о е
правило. Заменив в уравнении Клеро символ у' символом С, мы сразу
получаем общее решение B6). Дифференцируя его по С и исключая С
из системы двух уравнений (общего решения и результата дифференци-
дифференцирования), получаем особое решение B7).
IIример 17. Решить уравнение Лагранжа
у = ху'~ + у'.
< Полагая у1 — р, найдем
у - хр2 + р.
Дифференцируя это равенство по х, получим
dp dp
- + -,
ИЛИ
dx 2p 1
dp р-р2 р-р2'
Это линейное уравнение имеет общее решение
подставляя которое в формулу для у получаем общее решение исходного
уравнения в параметрической форме:
С + \п\р\-р _(С + 1п|р|-р)р2
AJ ' У" AJ
Кроме того, уравнение имеет особые решения у = 0иу = х + 1,
соответствующие корням р\ = 0 и ^2 — 1 уравнения р2 — р. \>
Пример 18. Решить уравнение
у = ху' -у'4.
< Данное уравнение имеет вид B5) при f(y') — у\ т.е. является урав-
уравнением Клеро. Следуя практическому правилу, получаем общее решение
Исключая, далее, параметр С из системы уравнений
у = Сх-С\
0 = х-4С\
получим особое решение

§ 1. Уравнения 1-го порядка 297
Решить дифференциальные уравнения:
1 , /2 1
10.122. у = х-^Г- Ю-123. у = 2ху' + -#.
10.124. у = ж/2 + I/'3- Ю.125. у = -(ху1 + у' Ыу').
10.126. у = жу' - —. 10.127. у = ху' 4- у' 4- у/у7.
У'
10.128. у = ху' - е^. 10.129. у = ху' + cosy'.
10. Смешанные задачи на дифференциальные уравнения 1-го
порядка.
Определить типы дифференциальных уравнений и указать в
общем виде методы их решения:
''-X
,2
2х2
10.130. sin./;3 = e у . 10.131.
у - Зх + ху'
10.132. 1 + ж + A + х2)(ех - e2V) = °-
10.133. 2у;A - х2) - жу - 2ху2 + 2х3у2 = 0.
10.134. ydx + Bх - у2) dy - 0.
10.135. (- -x +
10.136. ydx + (x- 2у/ху) dy = 0.
10.137. (х2 + у2 4- 1) dy + ху dx = 0.
10.138. у' = sin<y -x).
10.139. х - arccos . 10.140. Jy = J 0 l4^ -.
у v x2 4- 2x — 1
Решить дифференциальные уравнения:
10.141. у' + ху = х3. 10.142. (х - у) dy - у dx = 0.
10.143. (х cos 2y + l)dx- x1 sin 2y dy = 0.
1 — 2х
10.144. у7 = у tg х — у2 cos х. 10.145. у' =
10.146. 2ydx 4- (у2 - 6х) dy = 0.
10.147. (яуе*/* 4- у2) dx = x2exly dy.
10.148. (ху2 4- х) dx 4- (у - х2у) dy = 0.
10.149. Bх3 - ху2) dx 4- Bу3 - х2у) dy = 0.
10.150. ху'4-у = y2lnx.
10.151. Зх 4- у - 2 4- у'(х - 1) = 0.
У2

298
Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.152. у' =
х — у
10.153. у' cos х — у sin х — sin 2x.
х
ху
10.154. Bх + lny)dx+ - + sin у dy = 0.
\У )
10.155. у = ху' - \пу'. 10.156. у' -
( У\ У
10.157. [х — у sin — dx + ^ sin — dy = 0.
\ х/ а;
10.158*. .ту' = х2е"^ + 2. 10.159. Bхе^ + уА)у1 = уеу.
10.160*. A + у2) dx = (v/l + у2 cos у - жу) dy.
10.161.
- 1 da; -
10.162. y' + — -
sir x
■ dy = 0.
10.163. у - у'2 + 2rry' + ^-.
10.164*. (ж - 2y3) da: + Зу2Bж - у3) dy = 0.
11. Геометрические и физические задачи, приводящие к решению
дифференциальных уравнений 1-го порядка. В задачах геометрии, в ко-
которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее каса-
касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются
Рис. 50
геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент каса-
касательной) и интеграла с переменным пределом (площадь криволинейной
трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а также следующие
общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали
п, подкасательной st и поднормали sn (рис. 50):
t —
п =
У.
У'
Sn = \УУ'\

§ 1. Уравнения 1-го порядка 299
Пример 19. Найти уравнение кривой, проходящей через начало
координат, если в каждой ее точке М(.т, у) подкасательная st в к раз
меньше поднормали sn,
<3 Пусть у = f(x) — уравнение искомой кривой. Используя выражения
подкасательной st и поднормали sn, мы сразу получаем дифференциаль-
дифференциальное уравнение
\УУ'\ = к
У1
или
(у1? = к.
Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие у@) = 0, по-
получим искомые уравнения
у = ±vfc • х
(две прямые). D>
Пример 20. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A, 1), если для любого отрезка [1, х] площадь криволинейной трапеции,
ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2 больше удвоен-
удвоенного произведения координат точки М(х, у) кривой (х > 0, у > 0).
< Согласно условию задачи имеем
X
Jy(t)dt
= 2ху(х).
f Дифференцируя это равенство по х, получаем дифференциальное урав-
( нение у = 2(у + ху1), или
Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие уA) = 1, най-
^ дем уравнение искомой кривой:
1
10.165. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
(\/2, 0), если сумма длин ее касательной и подкасательной равна
произведению координат точки касания.
10.166. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A, 2), если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки ка-
касания.
10.167. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A/2, —1), если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее ка-
касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.
10.168. Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка
нормали постоянна и равна а.

300 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.169. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет
постоянную длину а.
10.170. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
@, 2), если площадь криволинейной трапеции, ограниченной ду-
дугой этой кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги.
10.171. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A, 1/2), если для любого отрезка [1, х] площадь криволинейной
трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, на 2
больше отношения абсциссы х концевой точки к ординате.
10.172. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
@, 3), если подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы
точки касания и расстояния от начала координат до точки касания
(ограничиться рассмотрением случая — > 0).
У
10.173. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A, 0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее нормалью,
на 2 больше абсциссы точки касания.
10Л74. Найти уравнение кривой, проходящей через начало ко-
координат, если для любого отрезка [а, х] площадь криволинейной
трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, рав-
равна кубу ординаты концевой точки дуги,
10.175. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с
полярными координатами г = 2, у> = 0, если угол а между ее
касательной и радиус-вектором точки касания есть постоянная ве-
величина: tgc* = a.
10.176. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A, 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее ка-
касательной, равна длине этой касательной.
10.177. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
C, 1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на
оси ординат, равна поднормали.
10.178. Найти уравнение кривой, проходящей через начало ко-
координат, если середина отрезка ее нормали от любой точки кривой
до оси Ох ле?кит на параболе 2у2 — х.
10.179. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A, 0), если площадь трапеции, образованной касательной, осями
координат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2.
10.180. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
@, 1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, ка-
касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.
10.181. Найти уравнение кривой, проходящей через точку
A, 2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу
точки пересечения нормали с осью Ох равно удвоенному квадрату
расстояния от начала координат до точки касания.

§ 1. Уравнения 1-го порядка 301
10.182. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с по-
полярными координатами г — 7Т, </? = тг/2, если площадь сектора,
ограниченного этой кривой, полярной осью и переменным поляр-
полярным радиусом, в шесть раз меньше куба полярного радиуса.
Ортогональными траекториями для однопараметрического семей-
семейства S\ линий у — Ф(:г, а) называется другое семейство S-2 линий, кото-
которые пересекают линии первого семейства иод прямым углом.
Пример 21. Найти ортогональные траектории семейства кубиче-
кубических парабол у =• ах3.
< Найдем дифференциальное уравнение данного семейства, исключая а
из системы уравнений
у - ах3,
у' = 3а.т2.
Получим у' = Зу/х. Дифференциальное уравнение семейства ортого-
ортогональных траекторий есть
У — -----.
Его общий интеграл
является уравнением семейства ортогональных траекторий (эллипсов). >
Найти ортогональные траектории данных семейств кривых
(а — параметр):
10.183. ау2 = х:К 10.184. у = ах2.
10.185. х2 - 2у2 = а2. 10.186. у = ае2х.
При составлении дифференциальных уравнений 1-го порядка в физи-
физических задачах часто применяется метод дифференциалов, по которому
приближенные соотношения между малыми приращениями величин за-
заменяются соотношениями между их дифференциалами. Такая замена
не отражается на результатах, так как дело сводится к отбрасыванию
бесконечно малых высших порядков. Другим методом составления диф-
дифференциальных уравнений является использование физического смысла
производной как скорости протекания процесса.
Пример 22. В резервуаре первоначально содержится А кг вещества,
растворенного в В литрах воды. Затем каждую минуту в резервуар по-
поступает М литров воды и вытекает N литров раствора (М ^ TV), причем
однородность раствора достигается путем перемешивания. Найти массу
вещества в резервуаре через Т минут после начала процесса.
< Обозначим через x(t) массу вещества в резервуаре в момент времени t
и через х + Ах — в момент времени t + At (время измеряется в минутах,
момент времени t — 0 соответствует началу процесса). Заметим, что
Ах < 0 при At > 0 (т.е. раствор «обедняется»).

302 Гл. 10, Дифференциальные уравнения
Пусть V(t) — объем смеси в момент t:
V(t) =B + Mt-Nt.
Концентрация вещества в момент времени t равняется, очевидно, x/V.
За бесконечно малый отрезок времени [£, t -f At] масса вещества из-
изменяется на бесконечно малую величину Да:, для которой справедливо
приближенное равенство
Nx
Заменяя приращения Ах и At дифференциалами dx и dt, получаем диф-
дифференциальное уравнение:
Nx
d dt
Интегрируя то уравнение с разделяющимися переменными и считая
М > ЛГ, найдем общее решение:
x(t) = - П
Используя начальное условие х = А при t = 0, найдем частное решение:
Полагая t = Т, получим ответ:
х^ = А
Случай М = N требует отдельного рассмотрения (см. задачу 10.195). >
10.187. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности
температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти
зависимость температуры Т от времени £, если тело, нагретое до
То градусов, внесено в помещение, температура которого посто-
постоянна и равна а градусам.
10.188. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100°С, понизится до 25°С, если температура помещения равна
20°С и за первые 10мин тело охладилось до 60°С?
10.189*. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся
в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти
зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что

§ 1. Уравнения 1-го порядка 303
диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух
минут вращается со скоростью Зоб/с. Через сколько времени он
будет иметь угловую скорость 1 об/с?
10.190. Скорость распада радия пропорциональна наличному
его количеству. В течение года из каждого грамма радия распада-
распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося
количества радия?
10.191*. Скорость истечения воды из сосуда через малое отвер-
отверстие определяется формулой v = O,6\/2g7i, где h — высота уровня
воды над отверстием, g — ускорение свободного падения (принять
g = 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического
бака диаметром 2R — 1м и высотой Н — 1,5 м через отверстие в
дне диаметром 2т — 0,05 м?
10.192*. Количество света, поглощаемого при прохождении че-
через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего
света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды
толщиной 2 м поглощается 1/3 первоначального светового потока,
найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м.
10.193. Лодка замедляет свое движение под действием сопроти-
сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Началь-
Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 секунды 1м/с.
Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка
до остановки?
10.194*. Пуля, двигаясь со скоростью vq — 400м/с, пробивает
стену толщиной // = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. По-
Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату ско-
скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену.
10.195. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг
соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин, и смесь вытекает
из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается
путем перемешивания. Сколько соли останется в баке через час?
10.196. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество
со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного веще-
вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и
9,7 г по истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в
начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса
останется лишь 1% первоначальной массы исходного вещества?
10.197*. В помещении цеха вместимостью 10 800м3 воздух со-
содержит 0,12% углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воз-
воздух, содержащий 0,04% углекислоты, со скоростью 15ООм/мин.
Предполагая, что углекислота распределяется по помещению рав-
равномерно в каждый момент времени, найти объемную долю угле-
углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.

304 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.198. Сила тока г в цепи с сопротивлением Л, индуктивностью
L и напряжением и удовлетворяет уравнению
L-}- + Ri = u.
at
Найти силу тока г в момент времени £, если и = Esinut и г = 0
при £ = 0 (L, Л, £7, и; — постоянные).
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков
1. Основные понятия. Теорема Боши. Дифференциальное уравнение
n-го порядка имеет вид
F(x,y,y',y",...,y^)=O A)
ИЛИ
yin) = f(x,y,y',...,y^^). B)
Задачей Коши для дифференциального уравнения B) называется
задача отыскания решения у (я), удовлетворяющего заданным началь-
начальным условиям
уЫ = уо, у'(хо) = у'0, .... у{п-1}Ы = у{оп~1}. C)
Общим решением уравнения A) или B) называется такая функция
у = (^(ж, Ci, ..., Сп), которая при любых допустимых значениях пара-
параметров Ci, ..., Сп является решением этого дифференциального урав-
уравнения и для любой задачи Коши с условиями C) найдутся постоянные
Ci, C2, ..., Сп, определяемые из системы уравнений:
и... ,С„),
Уравнение
Ф(а?,у,Сь ... ,С„) = 0, D)
определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим
интегралом дифференциального уравнения.
Теорема о существовании и единственности ре-
решения задачи Коши. Если дифференциальное уравнение B) та-
таково, что функция /(ж, у) у', ..., у^п~1^) в некоторой области D
изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные
частные производные —. -г—? •••» тп—7Т5 то для любой точки
ду оу' ду\п~~1'

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков Д(Г>
(.то, 2/о, 2/сь • • •» 2/п ~ ) G D существует такой интервал хц — h <
< :г < ^о + /г, ка котором существует и притом единственное реше-
решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям C).
Пример 1. Показать, что функция у — С\еС2Х, С\, С2 С Е, квля
ется решением дифференциального уравнения уу" = ?/~.
< Имеем:
1
Подставив выражения у) у1 и у" в данное уравнение, получим тождество
Сгес>х - dClec*£ = {C\C2ec*xJ.
Следовательно, функция у = С\еС2Х есть решение данного у1>авнения, [>
Пример 2. Найти область существования и единственности реше-
решения уравнения
^ <ь /v /ч ^v¥ df V?
<] Функция /(ж, у, 2/ ) = и ее частная производная — =
df у
непрерывны при х ф 0, у' > 0; частная производная -~- — т=
ду1 2х^/у(
непрерывна при х ф 0, у1 > 0.
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение при
х ф 0, у' > 0. >
Найти область существования и единственности решения урав-
уравнений:
10.199. у11 = х 4- yjx1 - у'. 10.200. у" = у1 In у'.
Показать, что данные выражения при любых .действительных
значениях входящих в них параметров определяют решения со-
соответствующих дифференциальных уравнений:
X
10.201. у = х '- dt + cos.t + С\х + С2\ ху" = sin .т.
о
10.202. у = х2 In ж + Ci*2 + С2.т + С3; жу//; = 2.
10.203. е* sin2 (С^ + С2) = 2СХ2; у" = еу.
10.204. Ciy - sin(Cia; + С2)\ уу" + 1 - у'2.
Показать, что данные функции являются частными решения-
решениями соответствующих дифференциальных уравнений:
10.205. у = ; 1 + у12 = 2уу".
10.206. у - ех; y2 + yf2 = 2yy".

306 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Путем исключения параметров вывести дифференциальные
уравнения семейств следующих линий:
10.207. Прямых на плоскости, не параллельных оси Оу.
10.208. Окружностей постоянного радиуса R.
10.209. Синусоид у — Л sin (о: + а), где А и a — параметры.
10.210. Парабол с осью, параллельной оси Оу.
2. Уравнения, допускающие понижение порядка. Ниже приводятся
некоторые виды дифференциальных уравнений n-го порядка, допускаю-
допускающих понижение порядка.
а) Уравнение вида у^ — f(x). Общее решение получается пу-
те\г п-кратного интегрирования у = / dx / dx... / f(x)dx~\- Pn_i(.x),
где Pn-i(x) — C\xn~'] -f C'2Xn~2 + •. • + Cn-\x -f- C;i, или по (формуле
x
У = -~Yy j f(t)(x - О" dt + Pn_, (x).
Пример 3. Найти общее решение уравнения у" = —— и его
cos2 х
In 2
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у ( 1
»■
/тг\ In 2
( — 1 = -—,
<3 Интегрируя первый раз, получаем у1 = tg:r -f Сь Повторное инте-
грированле дает у -- — In | cos.xj -f Cix 4- С2. Это и есть общее jjciueiine.
Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой
тг ' !м2
производной х -= -- и соответственно ;/у ~ ~о— и г/' -= 1. получим систему
двух уравнений с неизвестными С\ и С2. Решив эту систему, найдем
значения параметров С\ — 0 и С*2 - 0, соответствующие искомому част-
частному решению, которое, следовательно, имеет вид у = — In j cos xj. О
б) Уравнения вида F(x, у^к\ ..., у(п)) = 0, т.е. уравнения,
не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка
к — 1 включительно. С помощью замены у^ — р(х) порядок урав-
уравнения понижается на к единиц: F(x, р, р', ..., //"-*)) = 0. Предполо
жпм, что для полученного уравнения мы можем найти общее решение
/;(,r) = ip(x, 6\, .... С,,_/,.). Тогда искомая функция у(х) получается пу-
путем Ажратного интегрирования функции tp(x, С\, ..., Cn-k)-
Пример 4. Найти частное решение уравнения x4yin -f 2х3у" = 1,
удовлетворяющее начальным условиям 2/(Д) — -, '^'(l) -= -, ?у/;A) = ~ 1-
dj)
<1 Данное уравнение не содержит v и т/'. Положим у11 = р, тогда у/;/ = -—,
ах
,ф ч dp 2 1 _
e г,р1ЧН1м*^т шгт, х" --- -f 2x' ?> ~ 1, или — -\—р — —. Эю
dx dx и г4

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 307
линейное уравнение первого порядка. Его общее решение р = —- Н—-.
х6 х1
Используя начальное условие у"A) = рA) — — 1, получаем С\ = 0.
Следовательно, у" = -, откуда у1 = —— 4- С-2. Начальное условие
X ZiX
у'A) = 1/2 позволяет определить Сз = 0. Интегрируя еще раз, получаем
у = — — 4- Сз, а из условия /;(]) i/2 следус-г. чго С-$ = 1. Итак,
2х " ' 1 " '
искомое частное решение есть у = 1 — — (равносторонняя гипербола). >
2х
в) Уравнения вида F(y, у', ..., у^) = 0, не содержащие явно
независимой переменной. Подстановкой у' — р(г/), у" = р—, у'" =
dp
2
p I — I 4-p —7, и т.д. порядок уравнения понижается на единицу.
\dyj dij2
Пример 5. Найти общий интеграл уравнения у1 у — Зу" = 0.
тт \ dp ... ( dp\ 9 ар
<3 Положим у' = р(у), у = р—, у = Р ~r +P ТТ- J-Огда уравне-
dy \«2/У dy2
ние преобразуется к виду
Приведя подобные члены и сократив на р2 (при этом мы теряем решение
р — 0, или у — С)^ получим
- г»
— 2
* dyz
dp d2p dz
Положив здесь — = z, -—г — z — , придем к уравнению
dy dyz dp
pz^- ~ 2z2 = 0.
dp
dp
Сократив на z (при этом возможна также потеря решения z = — = 0,
т.е. р = С\ и у — С\х 4- С*2, в состав которого при Ci = 0 входит и
dz 2dp
прежнее потерянное решение), получим = 0, откуда In z —
z р
— lnp2 = ln|Ci|, или z = — — Cip2. Интегрируя последнее уравнение,
находим
1 _ _, dx
— — Gi у 4- С2, или —
р dy

308 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Окончательно получим общий интеграл х — С\у2 4- С2у 4- Сз, где С\ =
Q
= , С2 — ~Cf2, т.е. семейство парабол. Заметим, что последняя
запись содержит в себе и решения у — С\х 4- С2 (только при С\ Ф 0). О
г) Уравнения вида —-G(x> у, у', ..., у^11^) = 0, т.е. такие
уравнения, в которых левая часть может быть представлена как полная
производная по х от некоторой функции С?(ж, у, ?/', .... у^п~^). Инте-
Интегрируя по х, получим новое уравнение, порядок которого на единицу
ниже порядка исходного уравнения.
Пример 6. Найти общее решение уравнения
< Левая часть уравнения есть полная производная по х от функции
хЛ
A 4- я2)?/, а правая — от функции '—, т.е. уравнение можно пере-
писать так: (A 4- x2)yf) — ( — ) . Отсюда интегрированием получаем
А
хА Ci , х4 4-
4
9ч , хА Ci , х4 4- Ci , о
A 4- Iй)у — — 4- -—--, или ш/ = —; г- ах. Следовательно,
4 4 * 4A4 ж2)
и, окончательно,
у = —ж3 4- -ж 4 Ci arctgx 4 С2,
где Ci = —~-—. Это и есть общее решение. >
д) Уравнение F(x, у, у', ..., у^) = 0, однородное относи-
относительно функции и ее производных, т.е. такое, что
F(x, ty, ty\ ..., tyW) - tkF(x, у, у\ ..., yW), 1 ф 0.
Подстановкой у' — yz порядок уравнения понижается на единицу.
Пример 7. Найти общее решение уравнения хуу" — ху! — уу! — 0.
< Положим у' — yz. Тогда у" — y(z2 4 z1) и уравнение принимает вид
xy2{z2 4 z1) - xy2z2 - г/z = 0.
Сокращая на у2 (при этом получается решение у — 0), находим xz1 — z —
dz dx i/
= 0, или =0, откуда z = C\x. Так как z — —, то приходим к

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 309
dv C\ х2
уравнению у1 = С\ху, или — = C\xdx, откуда \w\y\ = — Ь In |C21,
или у = С<±ес'хХ (где С] = С] /2) — это и есть общее решение. Заметим,
что при С-2 — 0 в этой записи содержится и решение у = 0, которое было
нами потеряно при сокращении на у2. >
В некоторых случаях найти решение в виде явной или неявной функ-
функции затруднительно, однако удается получить решение в параметриче-
параметрической форме.
Пример 8. Найти общее решение уравнения у"A +2 In у1) = 1.
<3 Положим у' = р, у" — —. Уравнение примет вид — A -\-2lnp) = 1,
ах ах •
или dx — A + 21np)dp, откуда ж = -р + 2р In р + Сь Так как dy — pdx,
то находим dy — рA + 2Inp) dp, откуда у = /У2 lnp + Сг- Общее решение
получаем в параметрическом виде:
ж=р(-1 + 21пр)+ Ci, 2/ =p2lnp + C2. >
Решить дифференциальные уравнения, используя методы по-
понижения порядка:
10.211. у" = —^-77. 10.212. у/; = х + sinrr.
1 4- .т2
10.213. yIV - -. 10.214. ху'" - 2.т + 3.
х
10.215. .т2у" = у'2. 10.216. у;/ - 2уу' = 0.
10.217. у" + у'tgx = sin2x-. ' 10.218. ху11 - у1 = етж2.
10.219. 2уу;/ - 1 + у'2. 10.220. уу" + у'3 - у'2.
10.221. у/; + 2ху'2 - 0. 10.222. ху" - у' - х sin — = 0.
/ х
10.223. ху" - у'In-. 10.224. ж3у"+ ж2у;-1 = 0.
10.225. A - ж2)у" + ху' -2 = 0. 10.226. A + ех)у" + у; - 0.
10.227. у'" = 2(у" - 1) ctg .т. 10.228. х2ут = у.
10.229. у/;/ - у. 10.230. Bу + у')у" = у'2.
10.231. у" = ~. 10.232. у3у;/ + 1 = 0.
у/У
10.233. уу/; + у - у'2 = 0. 10.234. уу" - 2уу' In у - у'2 = 0.
10.235. у" tgy - 2у/2. 10.236. (у - 1)у;/ - 2у'2.
10.237. ху'" + у" ~ х - 1 = 0. 10.238. уу" + у'2 = х.
10.239. у" = У=^. 10.240. 1?-1р- = \.
х1 у11 х2

310 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.241*. х2уу" = (у -ху'J.
10.242. ху'(ууп - у'2) - уу12 = х4у3.
10.243. хуу" + ху'2 = 2уг/. 10.244. 2уу" - Зу'2 = 4у2.
Найти частные решения дифференциальных уравнений, удо-
удовлетворяющие заданным начальным условиям:
10.245. у" = хех, у@) = 1, у'@) = 0.
10.246. у'" = ^, уA) = 0, у'A) = 1, у"A) = 2.
/ 2
10.247. у" = У- + '—, уB) = 0, у'B) = 4.
j; У
10.248. A + х2)у" + у'2 + 1 = 0, у@) = у'@) = 1.
10.249. у" = е2*', у@) = 0, у'@) = 1.
10.250. y"cosy + y'2smy-y' = 0, y(-l) = J, у'(-1) = 2.
и /
I II А ^ I _—_. __________ 0/1 111 ' '■■- II О I I I I 1 ■■ — Л
у' i + у2
10.252. уу" - у'2 = у2, у@) = 1, у'@) = 0.
10.253. уу" = 2.ту'2, уB) - 2, у'B) = 0,5.
10.254. 2уу/; + у2 - у'2 = 0, у@) = у'@) = 1.
10.255. Найти интегральную кривую уравнения уу'у" — у' +
+ у" , касающуюся в начале координат прямой х + у = 0.
10.256. Найти интегральную кривую уравнения уу"+у' —1=0,
проходящую через точку Мо(О, 1) и касающуюся в этой точке пря-
прямой х + у — 1.
Найти общие решения дифференциальных уравнений в пара-
параметрической форме:
10.257. (х + 2у')у" = 1. 10.258. у - 2у'у" + 3 = 0.
10.259. B + у')еУу" = 1. 10.260. (Зу - 2у')у" - у/2 = 0.
10.261. Найти уравнение кривой, касающейся оси абсцисс в
начале координат, если ее кривизна в любой точке равна cosx
(-тг/2 <х <тг/2).'
10.262. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны
в любой точке равен длине отрезка нормали, заключенного между
этой точкой и осью абсцисс, если кривая:
а) вогнута вверх; б) вогнута вниз.
10.263*. Найти уравнения кривых, у которых радиус кривизны
в любой точке вдвое больше длины отрезка нормали, заключенного
между этой точкой и осью абсцисс, если известно, что кривая:
а) вогнута вверх; б) вогнута вниз.

§ 2. Дифференциальные уравнения выеших порядков 311
10.264. Найти форму гибкой однородной нерастялшмой нити
с закрепленными концами, находящуюся в равновесии под дей-
действием силы тяжести, если линейная плотность нити равна q (го-
(горизонтальная проекция силы натяжения нити // — const). Распо-
Расположить нить так, чтобы вершина кривой совпадала с точкой (а, 0),
где а = H/qg.
10.265. Гибкая тяжелая однородная нерастяжимая нить в поло-
положении равновесия подвергается натяжению, пропорциональному
переменной площади ее поперечного сечения. Найти форму нити,
если линейная плотность нити равна q (горизонтальная проекция
силы натяжения нити Н — const). Расположить нить так, чтобы
кривая проходила через начало координат и имела в ней горизон-
горизонтальную касательную.
10.266. Тело массы т движется прямолинейно под действием
постоянной силы F. Найти скорость движения тела и пройденный
им путь как функции времени, если в начальный момент они оба
равны нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату
скорости.
10.267*. Мяч массы 400 г падает с высоты 16,7 м без начальной
скорости. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату ско-
скорости мяча и равно 0,0048 Н при скорости 1 м/с. Вычислить время
падения и скорость мяча в конце падения. Принять g — 10м/с2.
10.268. Тело массы т поднимается вертикально вверх с началь-
начальной скоростью vq. Полагая сопротивление воздуха пропорциональ-
пропорциональным квадрату скорости тела (коэффициент пропорциональности
к > 0), найти высоту подъема тела и скорость, с которой оно вер-
вернется в исходное положение, а также время подъема и спуска тела.
10.269*. Мяч массы 400 г брошен вверх со скоростью 20 м/с.
Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема,
если сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости
мяча (коэффициент пропорциональности к > 0), причем оно равно
0,0048 Н при скорости 1м/с. Принять g = 10м/с2.
10.270. Найти закон прямолинейного движения материальной
точки массы т под действием отталкивающей силы, обратно про-
пропорциональной кубу расстояния от точки до неподвижного центра
(коэффициент пропорциональности к > 0). В начальный момент
точка находится в покое и отстоит от центра на расстояние хо-
10.271. Материальная точка массы т движется прямолинейно
к неподвижному центру, притягивающему ее с силой, обратно про-
пропорциональной кубу расстояния от центра (коэффициент пропор-
пропорциональности к > 0). Найти закон движения, если оно начинается
с состояния покоя, когда точка отстоит от центра на расстояние xq.
Определить время, по истечении которого точка достигнет центра.

312 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.272. Ракета движется вертикально вверх под действием силы
отдачи от истечения газов. Масса ракеты изменяется в зависимо-
зависимости от времени по закону т = тоу>(£), где mo = const (закон сго-
сгорания топлива). Относительная скорость истечения газов посто-
постоянна и равна щ. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли
равна нулю. Найти высоту подъема ракеты как функцию времени,
если сопротивление воздуха не учитывается. Рассмотреть также
частный случай, когда т = шоA — erf), и вычислить для этого
случая, на какую высоту поднимается ракета через 10 с, 30 с и 50 с
при щ — 2000м/с и a = 0,01 с. Положить д = 9,8 м/с2.
10.273. Определить, через сколько времени упадет на Землю
тело, притягиваемое Землей по закону Ньютона (с ускорением,
обратно пропорциональным квадрату расстояния между ними),
если в начальный момент скорость тела равна нулю, а расстоя-
расстояние его от центра Земли равно Н. Сопротивлением атмосферы
пренебречь. Ускорение свободного падения на поверхности Земли
постоянно и равно д.
10.274*. Тело, находящееся от центра Земли на расстоянии
хл = 60,27R3 (что соответствует расстоянию от Луны до Земли),
падает на Землю из состояния покоя под действием силы тяжести
с ускорением, обратно пропорциональным квадрату его расстояния
от центра Земли. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, опре-
определить, через сколько времени оно упадет на Землю. Принять
R3 = 6,377 • 106 м, g = 9,8 м/с2.
10.275. Определить скорость, с которой метеор ударяется о Зем-
Землю, если он падает с неограниченно большого расстояния из со-
состояния покоя и если при его движении к Земле ускорение при-
принимается обратно пропорциональным квадрату его расстояния от
центра Земли. Принять радиус Земли R3 — 6377 км, ускорение
свободного падения g — 9,8 м/с2.
10.276. По оси Оу в положительном направлении движется с по-
постоянной скоростью v точка А (цель). На плоскости Оху движется
точка М (преследователь) с постоянной скоростью и (и > v) так,
что вектор скорости всегда направлен в точку А. Найти траекто-
траекторию точки М (кривую погони), если в начальный момент времени
t — 0 точка А находилась в начале координат, а точка М — на
оси Ох на расстоянии a > 0 от цели.
10.277*. Балка длины /, лежащая концами на двух опорах,
находится под действием равномерно распределенной нагрузки ин-
интенсивности q. Найти уравнение изогнутой оси балки и ее мак-
максимальный прогиб, выбрав начало координат в середине ненагру-
женной балки.
10.278*. Балка длины /, заделанная правым концом в стену,
изгибается силой F, приложенной к левому концу, и равномерно

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 313
распределенной нагрузкой интенсивности q. Найти уравнение
изогнутой оси балки и ее максимальный прогиб.
10.279*. Балка длины / с заделанным левым концом изгибается
под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивно-
интенсивности q. Какова должна быть приложенная к правому концу балки
действующая вверх сила F, чтобы прогиб в правом конце балки
был равен нулю?
3. Линейные однородные уравнения. Уравнение вида
yW + aiWy^"^ + ... + an^(x)yf + an(x)y - 0 E)
называется линейным однородным дифференциальным уравнением
n-го порядка. Если известно какое-либо частное решение у\(х) урав-
уравнения E), то подстановка у(х) = y\(x)z(x) приводит это уравнение к
линейному уравнению относительно функции z(x), не содержащему явно
эту функцию. Поэтому, полагая z'(x) = u(x), получим линейное одно-
однородное уравнение порядка п — 1 относительно функции и(х).
Пример 9. Найти общее решение уравнения
(х2 + l)i/" - 2ху' + 2у = 0,
убедившись в том, что функция yi(x) = x есть одно из его частных
решений.
< Так как у[{х) — 1, а у"{х) = 0, то, подставив выражения у\{х),
у[{х)> у'{{х) в данное уравнение, убеждаемся в том, что функция у\{х) =
= х действительно является его частным решением. Положим у = жг,
найдем у' = xz' + z, л/" = xz" + 2z; и подставим выра?кения у, ?/' и 2/;/ в
уравнение. Получим
(<r -j— 1 ^(ту -j— 9у i От/ту -j— 'y^ -j— Оту — о
или
Теперь, полагая z1 = гг, ^/; = гг;, приходим к уравнению первого порядка
относительно и:
х(х2 + 1)?/ + 2и = 0.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение
имеет вид
откуда, учитывая и = z;, получаем уравнение первого порядка относи-
относительно z:
dz = Ci (l + -^^ dx.

314 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Интегрируя последнее уравнение, находим z = С\ [ х I -f C2, а так
XT*/
как у — xz, то окончательно получаем общее решение исходного урав-
уравнения
Изложенный выше метод обобщается на случай, когда известно к
частных линейно независимых решений уравнения E). В этом случае
путем надлежащих подстановок порядок уравнения может быть понижен
на к единиц.
10.280. Доказать теорему: если у\{х) есть частное решение
линейного однородного уравнения у" 4- р{х)у' + q{x)y — 0, то
функция У2{х) = У\{х) е~ J р^х' х 9 тоже является решением
J I/i (х)
этого уравнения, а функция у — у\ (х) (С\ + G<i \ е~ •* р^х'dx ■ 9 )
есть его общее решение.
10.281. Найти общее решение уравнения ?/' — 6у' + 5у = 0, если
функция ех есть его частное решение.
10.282. Найти общее решение уравнения у" ~2у' — Зу = 0, если
функция е~~х есть его частное решение.
10.283. Найти общее решение уравнения ху" + 2г/ + ху — 0,
i
sinx
если функция есть его частное решение.
10.284. Найти общее решение уравнения A—х2)у" — 2ху'+2у —
— 0, если функция х есть его частное решение.
10.285. Найти общее решение уравнения x3yftl + 5х2у" + 2ху' —
~ 2у = 0, если известны два его частных решения у\ — х и
У2 = 1/х.
Определителем Вронского {вронскианом) системы функций у\(х),
у2(х), ..., уп(х) называется определитель
Vi(x) 2/2 (х) ... уп{х)
Если система функций yi(x), 2/2(^*)? • • •> 2/п(ж) линейно зависима на
интервале (а, Ь), то ее вронскиан равен нулю всюду на этом интервале.
Если же хотя бы в одной точке х0 € (а, 6) имеем \V{x0) ф 0, то система
функций у\(ж), у2(ж), •.., ?Уп(#) линейно независима на (а, 6).

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков
315
Всякая система из п линейно независимых решений у\(х), уо(я), ...
..., уп{х) уравнения E) называется фундаментальной системой реше-
решений этого уравнения. Вронскиан фундаментальной системы решений
отличен от нуля на всем интервале, где эти решения определены (см.
задачу 10.304). Если известна фундаментальная система решений урав-
уравнения E), то общее решение этого уравнения имеет вид
у(х) = Ciyi(x) + ... + Cnyn(x),
где Ci, • • •» Cn — произвольные постоянные.
Пример 10. Дана система функций ж, cos ж, sin x. Найти вронскиан
системы W(x) и убедиться в том, что на некотором интервале система
линейно независима. Составить линейное однородное дифференциаль-
дифференциальное уравнение, для которого эта система функций является фундамен-
фундаментальной системой решений, и записать общее решение уравнения.
<3 Составим вронскиан
W(x) =
X COS X Sill X
1 - sin x cos x
0 — cos x — sin x
Так как W(x) = ж, то система линейно независима на всей оси Ож, за
исключением точки х = 0 и, следовательно, образует фундаментальную
систему решений некоторого линейного однородного уравнения 3-го по-
порядка в области Е\{0}, общим решением которого является функция
у = С\Х + С2 cosх4- Сз sinx. Для составления дифференциального урав-
ураву \ 2 з Д ффр ур
нения найдем производные у', у", у'" и исключим произвольные посто-
постоянные из выражений для у, у', у", уш. Имеем:
у = С\х 4- С2 cos ж 4- Сз sin ж,
1 С С С
у С\х 4 С2
у1 — С\ - С
у" =
у'" =
2 sin х 4- Сз cos ж,
Сч cos х - Сз sin .т,
С2 sin х — Сз cos .т.
Легко видеть, что, умножив первое и третье равенство на —1, а второе и
четвертое на ж и сложив все четыре равенства, получим
ху'" - у" 4- ху' - у = 0.
F)
Уравнение F) можно было получить и другим путем, если учесть, что
решение у искомого уравнения вместе с функциями .т, cosx, sin ж обра-
образует линейно зависимую систему и поэтому вронскиан системы функций
у, ж, cos ж, sin ж равен нулю:
= 0.
У
у1
у"
у'"
X
1
0
0
cos я;
— sin ж
-cos ж
sin ж
sin а;
cos ж
— sin х
— cos х

10.286. ж,
10.288. е"
10.290. ех
1пж.
х, же~х.
10.292. сЬж, йЬж.
10.294. ж,
0, ех.
316 Гл. 10. Дифференци&пьные уравнения
Раскрывая определитель, получим то же самое уравнение F) (прове-
(проверить!). Деля обе части уравнения F) на х, получаем
Уравнение G) и является искомым линейным однородным дифференци-
дифференциальным уравнением. >
Исследовать на линейную зависимость следующие системы
функций:
10.287. sin 2д:, sin .г, cos .т.
10.289. ж, 2ж, х2.
10.291. sin ж, cos ж, вт2ж.
10.293. ех, ех+1.
10.295.1, sin ж, соз2ж.
Зная фундаментальную систему решений линейного однород-
однородного дифференциального уравнения, составить это уравнение:
10.296. 1, е~х. 10.297. e2:rcos.T, е2х s'mx.
10.298. ж3, ж4. 10.299. 1, ж, ех.
10.300.1, sinx, cos ж. 10.301. 2ж, ж - 2, ет + 1.
10.302. е3х, е5*. 10.303. е2х, sins, cos ж.
10.304**. Доказать, что если у\{х). У2(ж), ..., уп{%) — решения
линейного однородного дифференциального уравнения порядка п
с непрерывными в некотором интервале (a, ft) коэффициентами
и вронскиан W(x) этой системы равен нулю при xq E (a, ft), то
W(x) = 0 при а < ж < ft.
10.305*. Дана система функций у\{х), уг(ж), ..., уп(ж), причем
на некотором интервале вронскиан И^(ж) этой системы отличен от
нуля. Составить линейное однородное дифференциальное уравне-
уравнение, для которого эта система является фундаментальной системой
решений.
10.306. Зная фундаментальную систему решений еа", cos ж, sin ж
линейного однородного дифференциального уравнения, найти его
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у@) =
= 3, у'@)=4, у"@) = -1.
10.307. Зная фундаментальную систему решений ет, е2х, е3х
линейного однородного дифференциального уравнения, найти его
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: у@) =
- 6, у'@) = 14, у"@) = 36.

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 317
4. Линейные неоднородные уравнения. Уравнение вида
!/<"> + а1(х)у<"» + ... + ап_!(а;У + an(x)y = f(x), (8)
в котором f(x) ^ 0, называется линейным неоднородным дифференци-
дифференциальным уравнением 7г-го порядка.
Общее решение уравнения (8) определяется формулой
у{х)=Уо{х)+у{х), (9)
где т/о(х) — общее решение соответствующего однородного уравнения
E), а у(х) — некоторое частное решение неоднородного уравнения (8).
Пример 11. Дано линейное неоднородное дифференциальное урав-
уравнение ху — у" + ху' — у — 2х3. Известно, что функция х3 есть его
частное решение. Требуется найти общее решение этого уравнения.
< Согласно формуле (9) общее решение неоднородного уравнения соста-
составляется как сумма общего решения уо(х) соответствующего однородного
уравнения и частного решения у(х) неоднородного уравнения. В нашем
случае уо(х) = С\х + C2cos# + C$s\i\x (см. пример 10), а у(х) = х3.
Следовательно, искомое общее решение есть у = С\х + C^cosz +
+C3sin:r -f x3. t>
Если известно общее решение уо(х) = С\у\(х) -f ... + Cnyn(x) со-
соответствующего уравнению (8) однородного уравнения E), то для опре-
определения частного решения у(х) уравнения (8) можно воспользоваться
методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
Именно, будем искать частное решение неоднородного уравнения (8)
в виде у(х) = C\(x)yi(x) + ... + Cn{x)yn(x), где от функций С\(х)у ...
..., Сп(х) дополнительно потребуем, чтобы они удовлетворяли условиям
£ yWdC"№ = 0 для всех к - 0, 1, ..., п - 2 (где ^0) - у„). Тогда
v-l иХ
для функций С„(.т), v — 1, 2, ..., п, получим систему уравнений
dd dC2 , , dCn
Vi~r~ +У2-7- + ■■■ + Уп—г- = 0.
dx dx dx
,dCi dC2 A ^ , dCn
« !h+yi dx- + - + yi dx~ = !{x)-
Определитель этой системы есть отличный от нуля вронскиан фунда-
фундаментальной системы решений у\(х), — Уп{х), поэтому система имеет
dCu . о
единственное решение относительно -~—, v — 1, 2, ..., п.
(XX
_ _ , ч cost sinx
Пример 12. Зная, что функции у\\х) = и 2/2(#) =
х 2Х
образуют фундаментальную систему решений уравнения у" + —у' + у = 0
х

318 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
(см. задачу 10.283), найти общее решение уравнения
ху" + 2у' + ху = х. A1)
< Общее решение соответствующего однородного уравнения записыва-
COS T SHI X
ется в виде уо(х) = С\ -f C2 . Считая С\ и Сг функциями
х х
х, для определения частного решения уравнения A1) составим систему
вида A0):
= 1
(уравнение A1) следует привести к виду (8), т.е. разделить все его
COS X
члены на х). Подставляя С!2(х) — —: С[(х) во второе уравнение,
sin ж
л, / ч (~ ж sin ж — cos ж cos ж xcosx —sinx\ _
получаем G (x) : • — 1. Отсюда
\ x2 sin ж x2 )
имеем С[ = —xsinx, C'2 — xcosx. После интегрирования получаем
C\ (x) = x cos x - sin x + С1,
C2 (x1) = x sin x + cos x + С 2 •
Положив, например, Ci = C2 = 0, получим частное решение уравне-
уравнения A1):
~/ ч / ч cos х , . ч sin х
2/(ж) = (xcosx - smx) + (ж sin ж + cosx) = 1.
х х
Следовательно, общее решение уравнения A1) имеет вид
/ ч / ч -/ ч ^ cosx _ sinx
2/(x) = 2/o(x)+2/(x) = Ci-^- + C2-^- + l. t>
Если правая часть линейного неоднородного уравнения (8) есть
сумма нескольких функций
и Уг(х) {i — 1? 2, ..., г) — некоторые частные решения уравнений
2/(")+о1(а,-)у<п-1» + ... + ап_1(тJ/' + ап(хJ/ = /;(х) (г = 1,2, ..., г)
соответственно, что сумма
У(х) = yi(^) + у2(ж) + • •. + уг(х)
есть некоторое частное решение уравнения (8) (принцип суперпо-
суперпозиции решений).

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 319
Пример 13. Проверип, что функция т/i = —eJ> является частным
решением уравнения у" — 2у' — Зу — сх, а функция у2 = --е2<г —
3
частным решением уравнения ?/' — 2yf — Зт/ = е , найти общее решение
уравнения
2,"-2j/'-32/ = e*+e2*.
<1 Согласно принципу суперпозиции частным решением последнего урав-
уравнения является функция у = ~-гх — -с2х. Общее решение соответствую -
'>
щего линейного однородного ураъксниь i-глъ функция ;i/o — (V] f: 4 (>ч<- ~ г
(см. задачу 10.282). По формуле (9) общее решение данного уравнения
имеет вид
у = Cie3x + С2е-Х - \а' - \е2'. О
10.308. Используя решение задачи 10.298, написать общее
решение уравнения х2у" — 6xyf ■+■ 12у — Зя:, предварительно убе-
убедившись в том, что функция ж/2 есть одно из решений этого урав-
уравнения.
10.309. Используя решение задачи 10.303, написать общее
решение уравнения ут — 2у" + г/ — 2у — 10е3т, предварительно
убедившись в том, что функция е?х есть одно из решений этого
уравнения.
10.310. Проверив, что функции у\_(х) ~ ех и У2{х) -- ж образуют
X
фундаментальную систему решений уравнения у" — у1 +
Н у — 0. найти общее решение уравнения (ж — \)у" -- ху1 f
х - 1
'+у = (х-1J.
10.311. Проверив, что функции у\{х) — cos л; и у<2{х) — ж cos ж
образуют фундаментальную систему решений уравнения у" \~
+2tgo; • у' + Btg2.T + \)у -- 0, найти общее решение уравнения
ctg х • у" + 2у' + B tg х + ctg x)y = cos2 ж.
10.312. Проверив, что функция у\(х) = Ъх Л- 6 является част-
частным решением уравнения у11 - 6^' + Ьу -- 25;/;, а функция f/2 (•'*') =
= —е2х — - частным решением уравнения у11 — (iyf + by — 3rrr.
найти общее решение уравнения у" — б?/ + 5у = 25ж + Зс'2ж (см,
задачу 10.281).
10.313. Проверив, что функция yi(x) — -еэ: янляется частным
решением уравг*ения у1" + у1 ™ в"\ а функция У2\^) ~- ■- sin2x —
частным решением уравнения у"' + ?/ — 6cos2a;, найти общее
решение уравнения :/" :-у "-сх" ' iiiO3 2:i (c>i. гадг>м' 10.300).

320 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка п с
постоянными коэффициентами
yW + aiy{n-l) + ... + an_l2/ + any = 0, A2)
гдо at (г = 1, 2, ..., п)— действительные постоянные.
Уравнение
Ап + (ц\п-1 + ... + an-iA + an = 0, A3)
полученное заменой производных 7/(fc) (А; = 0, 1, ..., п) искомой фунь-
шш степенями Ал, называется характеристическим уравнением для
уравнения A2). Каждому действительному корню А уравнения A3)
кратности г соответствуют г линейно независимых решений уравне-
уравнения A2):
еХх, хеХх, ... , хг~1еХх,
а каждой паре комплексных корней А = а±г/3 кратности s соответствуют
s пар линейно независмых решений:
eaxcosf3x, xeaxcosf3x, ..., xs~leax cos/Зх,
eaxsinf3x, xeaxsinCx, ..., xs~leax sin^x.
Таким образом, если характеристическое уравнение имеет А: действи-
действительных корней Ai, ..., Xk кратностей ri, ..., г^ и / пар комплексно
сопряженных корней а\ -f г'Д, аА - г/?1, ..., а; + г/3/, а/ - ifa кратностей
5i, ..., 6/ (ri -+-...-frjfc +2si +.. .4-25/ = n), то общее решение уравнения
A2) запишется в виде
у(х) - Pi(.r)eAi;r + ...
+ /?! (x) sin 0ix)eQlx + ... + {Qi{x) cosfitx + Д/(ж) sin 0ix)eaiX, A4)
гд() i^(x) — произвольный многочлен степени г„ - 1, i/ = 1, ..., А;, а
Q^(a-) и Лм(.х) — произвольные многочлены степени s^ — 1, \i — 1, ..., /.
Пример 14. Найти общее решение уравнения
у" + Зу' + 2у = 0.
< Характеристическое уравнение А2 + ЗА Ч- 2 — 0 имеет корни Ai = — 1,
Ао - -2. Зашшюм фундаментальную систему решений ух = е~х, у> =
— (Гж. Следовательно, общее решение имеет вид у = С\е~х + Сое~2х. t>
Пример 15, Найти общее решение уравнения
у" + 2у' + Ъу = 0.
< Характеристическое уравнение А2 + 2А -f 5 = 0 имеет корни \\i2 ~
-- -\±2г. Следовательно, функции у\ = e~a;cos2x, y2 = е~х ш\2х
составляют фундаментальную систему решений, а общее решение име-
имеет вид
у = е~х(С\ cos2.x -H Сг sin2x). t>

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 321
Пример 16. Найти частное решение уравнения
у'" - Зт/" + Зу' - у = О,
удовлетворяющее начальным условиям у@) = 1, у'@) = 2, 2/"@) = 3.
< Характеристическое уравнение Л3 — ЗА2 -Ь ЗА — 1 = 0 имеет единствен-
единственный корень А — 1 кратности г = 3. Поэтому фундаментальная система
решений имеет вид у\ — е*г, у2 = хех, ?/3 — ж2еж. Следовательно,
— общее решение уравнения.
Для определения произвольных постоянных найдем производные
ея + (С2 +
у" - (Ci + С2ж + Сгх2)ех + 2(С2
и используем начальные условия. Получаем: С\ = 1, Ci + С2 — 2,
Ci -f 2C2 + 2С3 = 3, откуда С2 = 1, С3 = 0. Следовательно, искомое
частное решение имеет вид у — A -f a:)ex. t>
Пример 17. Найти общее решение уравнения
4yIV + 4/ + у = 0.
< Характеристическое уравнение 4А4 4- 4А2 + 1 = 0, или BА2 -f IJ = 0,
имеет два комплексно сопряженных корня ±—у=г кратности 2. Следова-
v2
тельно, фундаментальная система решений имеет вид cos —^=, xcos —-р,
\/2 v2
sin ^т^- xsin -7=. Отсюда получаем общее решение:
т т
у ~ (С\ -f C2x) cos —р + (С3 -f C4a:) sin —p. t>
V2 V2
10.314. Известно частное решение у\ = efca; линейного одно-
однородного дифференциального уравнения второго порядка с посто-
постоянными коэффициентами. Соответствующее характеристическое
уравнение имеет дискриминант, равный нулю. Найти частное ре-
решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
у@) = у'@) = 1.
По данным корням характеристического уравнения линейного
однородного дифференциального уравнения с постоянными коэф-
коэффициентами составить дифференциальное уравнение и написать
его общее решение.
10.315. Ai - 3, А2 = -2. 10.316. Ai = А2 = 1.
10.317. Ai52 = 3 ± 2г. 10.318. Ai = А2 = А3 = 2.
10.319. а/= 0, А2 -Аз = А.

322 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.320. Показать, что общее решение уравнения
fx_ 2
может быть представлено в виде х = A sin (at + tp) или х ~
= Л cos (at + у), где А и <р — произвольные постоянные.
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
10.321. у" - 2у' - Чу = 0. 10.322. у" + 6у' + 13у = 0.
10.323. у" - 6у' + 9у = 0. 10.324. Зу" - 2у' - 8у = 0.
10.325. 4у" - 8у' + 5у - 0. 10.326. 4у" + 4у' + у = 0.
10.327. у'" - by" + 17у' - 13у = 0.
10.328. yIV + 4у" + Зу = 0. 10.329. yIV + 2у'" + у" = 0.
10.330. t/iv - у" = 0. 10.331. yIV + 2у" + у = 0.
10.332. yIV - 8у" + 16у = 0. 10.333. yv + 8у"' + 16у' = 0.
10.334. yv - 6yIV + V" = 0.
10.335. yVI - 2yv + 3yIV - Ay'" + 3y" - 2y' + у = 0.
10.336. yVI + 2yv + yIV = 0.
Найти частные решения уравнений по данным начальным
условиям:
10.337. у" - Ъу1 + 4у = 0; у@) = у'@) = 1.
10.338. у" - 2у; + у = 0; уB) = 1, у'B) = -2.
10.339. у'" - у' = 0; у@) - 3, у'@) = -1, у"@) - 1.
10.340*. Найти интегральную кривую дифференциального
уравнения у" — у = 0, касающуюся в точке 0@, 0) прямой у = х.
10.341. Найти интегральную кривую дифференциального урав-
уравнения у" — 4?/ -Ь Зу = 0, касающуюся в точке Мо(О, 2) прямой
х - у + 2 = 0.
6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами, т. е. уравнение вида
у{п) + aiyin"l) + a2y{n~2) + ... + an-ii/' -h апт/ = /(я), A5)
где а; (г = 1, 2, ..., п) — действительные постоянные, a f(x) ^ 0.
Согласно формуле (9) общее решение уравнения A5) записывается
в виде у(х) = Уо[х) -f ?7(жM гДе 2/о(^) — общее решение соответствую-
соответствующего однородного уравнения, а у(х) — любое частное решение уравне-
уравнения A5). Общее решение уо(х) дается формулой A4). Для отыскания
у(х) в общем случае можно воспользоваться методом Лагранжа вариации
произвольных постоянных (см. п. 4).

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 323
Пример 18. Найти общее решение уравнения
у'" + у' =tgx.
<\ Общее решение соответствующего однородного уравнения уо = С\ +
+ Сг cosx + Сз sinx, так как у\ = 1, т/2 = cosx, 2/3 = sinx. Для нахожде-
нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом
вариации постоянных. Система A0) в этом случае принимает вид
С[ + С2 cos х + С3 sin х = 0,
— С2 sin х + С3 cos х = 0,
- С2 cos х - С3 sin х = tg х.
Умножив обе части второго уравнения на sinx, третьего на cosx и сло-
сложив, получим С2 = —sinx. Тогда из второго уравнения следует С% —
sin2 х
. Сложив обе части первого и третьего уравнений, найдем
cosx
С[ =tgx. Интегрирование дает:
х
d = -In I cosx|, C2 = cosx, C3 = sinx-lntg ,
Следовательно, искомое общее решение неоднородного уравнения име-
имеет вид
у = С\ -f C2 cos x -f С3 sin x - In | cos x| - sin x • In tg
T + 77
t>
Методом вариации произвольных постоянных решить следую-
следующие уравнения:
10.342. у" + Зу' + 2у = -±—. 10.343. у" + 4у = -^
е*1- + 1 si
. 10.343. у + 4у ^.
е*1- + 1 sin х
10.344. у" - 2у' + у =
10.345. у" + V + 4у = е~2х In ж.
В частных случаях, когда функция /(х) в уравнении A5) имеет вид
/i(x) = {doxm + ... + dm)eA* или /2(х) = (F0^mi + ... + bmi) cos^a; +
+ (coxm2 -f ... + cm2) smCx)eOcX, частное решение у(х) можно найти
методом неопределенных коэффициентов. Именно, если Л или a±iC не
совпадают ни с одним из действительных или соответственно комплекс-
комплексных корней характеристического уравнения A3), то у(х) ищется в виде
у(х) = (Doxm + Dxxm-1 +... + Dm)eXx A6)

324 Гл. 10. Дифферснци&пъныс уравнения
для f(x) = f{(x) или в пиде
у(х) = {{Вох1Ъ + ... + Въ) cos/Зх + (Сохш + .. - + Cin) smpx)eax A7)
для f(x) = /2(ж). Здесь £>*,, В^ и С„ — неопределенные коэффициенты,
т = max (mi, 7n2).
Если же А или а±г/3 совпадают с некоторым корнем уравнения A3)
кратности г (случай резонанса), то выражения в правой части A6) или
A7) следует домножить на .тг, т.е. искать решение соответственно в
виде
у{х) = xr(Doxm + ... + Dm)eXx A8)
для f(x) = /i(x) или
у(х) = хг((Вох™ + ... + JB*) cos/Зх + (Сох"г + ... + СЛ) sin fix)eQX
A9)
для /(ж) = /2(.т).
Пример 19. Найти общее решение уравнения
< Характеристическое уравнение соответствующего однородного урав-
уравнения А2 - ЗА + 2 = 0 имеет корни Ai = 1, Аг = 2. Следовательно,
фундаментальная система решений имеет вид у у — ет, у2 = е2х, а об-
общее решение однородного уравнения есть уо{х) = С\ёх + С2е2х.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения вос-
воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Так как А = 3 не
является корнем характеристического уравнения, то частное решение бу-
будем искать в виде у = (Dqx2 4- D\x 4- D2)e3x. Найдя производные у', у"
и подставив у, у' и у" в исходное уравнение, получим (после сокращения
на е3х)
2Dox2 + {6D0 + 2D{)x + BL>0 4- ЗА + 2D2) = x2 + x.
Сравнивая коэффициенты обеих частей этого тождества, получим си-
систему уравнений для определения неизвестных Do, D\, D2:
2Do = 1,
2 Д) + 3I?i + 2D2 = 0,
откуда Do = 1/2, Dx = -1, D2 = 1.
Итак, у — ( -x2 — x 4- 1 1 e3x = -(x2 - 2x 4- 2)e3a:, и, следовательно,
общее решение уравнения имеет вид
~ /~i х /~ч 2х B о г)\ Зх

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 325
Пример 20. Найти частное решение уравнения
у" -f- 4y = 4(sin2.x + cos2.r),
удовлетворяющее начальным условиям у (it) — у'(тг) = 2тг.
<] Характеристическое уравнение Л2 4-4 = 0 имеет корни Ai,2 — 0 i
± 2г. Общее решение соответствующего однородного уравнения есть
yQ = C\ cos 2x + С2 sin 2ж. ^
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде у =
= x(Bcos2x 4- Csin2x), так как 0 i 2/ — корни характеристического
уравнения кратности 1. Найдя у1', у" и подставив у, у1, ?/" в исходное
уравнение, получим -4Z?sin2.x 4- 4Ccos2x = 4sin2x 4- 4cos2.t, откуда
В — — 1, G = 1 и, следовательно,
?/ — a: (sin 2x — cos 2x).
Общее решение будет у = уо+у = С\ cos2x+C2 sin2x4-.T(sin2;r-cos2x).
Для нахождения Ci и Сг воспользуемся начальными условиями,
предварительно продифференцировав общее решение:
у1 = -2Ci sin 2x + 2С2 cos 2x 4- жB cos 2x 4- 2 sin 2x) + (sin 2x - cos 2.x).
Имеем: 2тг = С\ - тг =Ф Сх = Зтг, 2тг = 2С2 + 2тг - 1 =ф С2 = 1/2.
Искомым частным решением является функция
у — Зтг cos 2х 4- - sin 2x 4- ж (sin 2x — cos 2.x). О
Пример 21. Найти общее решение уравнения
< Характеристическое уравнение Л2 — 4Л + 4 — 0 имеет двукратный
корень Л = 2. Общее решение соответствующего однородного уравнения
есть т/о = (Ci +C2x)e2x.
Частное решение данного уравнения будем искать в виде у =
— x2(Dqx + D\)e2xу так как показатель экспоненты в правой части урав-
уравнения совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения.
Методом неопределенных коэффициентов (т. е. найдя у', у"', подставив у,
у1 и у" в исходное уравнение, сократив на е2х и сравнив коэффициенты
при одинаковых степенях х) находим Do = 1/6, D\ = 0. Следовательно,
у = -х3е2а>, а общее решение принимает вид
6
6
- Гd + С2х + ^
2х
Для кал^дого из данных неоднородных дифференциальных
уравнений написать вид его частного решения с неопределенными
коэффициентами (числовых значений коэффициентов не нахо-
находить):
10.346. у" - 8у' + 16у = A - ж)е4ж.
10.347. т//; + 16у = sinDа- + сх) (a = const).

326 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
10.348. у" - Ау' = 2 cos2 4ж.
10.349. yiV + Ay" + Ay = ж sin 2ж.
10.350. у" - Ау' = же41. 10.351. у" - 7у' = (х - IJ.
10.352. у" + 2у' + Ъу = ех ((х + 1) cos 2x + 3 sin 2x).
10.353. у" - Ау' + 13у = е2х(ж2соз3ж - a; sin 3s).
Найти общие решения следующих уравнений:
10.354. у" -у = е~х. 10.355. у" - у = chx.
10.356. у" + Зу' - Ay = e~ix + хе~х.
10.357. у" - Ъу1 + 6у = 13sin3x.
10.358. у" - 2ту' + т2у = sin пх {тфп).
10.359. у" - 2ту' + т2у - sin тж.
10.360. у" + у = Ах cos ж. 10.361. у" + 4у = cos2 ж.
10.362. Ау" -у = х3- 2Ах.
10.363. у" + 5у' + 6у = е~х + е-2х.
10.364. у" - Зу' = е3х - 18я. 10.365. у'" + у" = 6х + е~х.
10.366. у'" - Зу" + Зу' - у = ех. 10.367. yIV + у" = ж2 + х.
10.368. ylv -у = хех + cos ж. 10.369. yv - yIV = же1 - 1.
Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие началь-
начальным условиям:
10.370. у" - 2у' = 2ех; уA) = -1, у'A) = 0.
10.371. у"' - у' = -2ж; у@) = 0, у'@) = 2, у"@) = 2.
10.372. у" + 4у = х- у@) = 1, у (|) = |.
10.373. у" + у = 46^; у@) = 4, у'@) = -3.
10.374. yiV-y = 8ех; у@) = 0, у'@) = 2, у"@) = 4, у'"@) = 6.
10.375. ylv-y = 8ех; у@)=-1, у'@)=0, у"@) = 1, у'"@)=0.
10.376. у" - 2у' + 2у = Аех cos ж; у(тг) = тге", у'(тг) = ew.
7. Дифференциальные уравнения Эйлера. Уравнение вида
arVn) + а^-У"» + • • • + On-ixy' + any = f(x), хфО,
где uj (i = 1,2,..., n) постоянные, есть частный случай линейного
дифференциального уравнения с переменными коэффициентами и на-
называется уравнением Эйлера. Введем новую независимую переменную
t с помощью подстановки х — еь (если х > 0) или подстановки х = -еь
(если х < 0). Пусть для определенности х > 0. Тогда у'х = е~ьу[,
Ухх = e-2t(y't't - i/J), !#£, = е~3%ш - Зу£ + 2у[) и т.д., и уравнение
Эйлера преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффици-
коэффициентами.

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 327
Уравнение вида
(ax + /;)Vn) + <ч(ах + бу-у") + ... + an-i(ax + Ь)у' + any = f(x),
где а, 6, п( (г — 1, 2, ..., п) — постоянные, приводится к линейному
уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой ох + b — е1
(в области ах + b > 0).
Решение однородного уравнения Эйлера
жV° + ai*n"" V" + ... + an_i;q/ + anj/ - 0
можно (при х > 0) искать в виде ?/ = хЛ.
Подставляя выражения для ?/, у", ..., г/п) в однородное уравнение
Эйлера, находим характеристическое уравнение для определения пока-
показателя степени Л. При этом, если Л — действительный корень харак-
характеристического уравнения кратности г, то ему соответствуют г линейно
независимых решений
Xх, хх\пх. £ЛAпа;J, ..., .хлAпа:)г~1,
а если а ± if3 — пара комплексных корней кратности s, то ей соответ-
соответствуют 8 пар линейно независимых решений
ха cos (уЗ In ж), ха In х cos (/? In ж), ... , xa(\nx)s~l cos (/3 In ж).
жа8ш(/?1пж), жа1пж8ш(у31пж), ... , xQ (In ж)' sin (р In ж).
Пример 22. Найти общее решение неоднородного уравнения Эй-
Эйлера х2у" - Зху1 4- Ъу — Зж2.
< Положим ж = е*, считая ж > 0. Тогда ?/^. = e~ly't, у"х — c~2t(y/fti — 2/J),
и наше уравнение примет вид e2t-e~2t(y"t—yft) — 3et-e~tytt + oy =■ Зе2', или
Общее решение уо соответствующего однородного уравнения есть т/о =
= e2t(dicost 4- C2sintf), а частное решение ^ неоднородного уравне-
уравнения будем искать в виде у — Ае21. Тогда у' = 2Ae2t, у" — 4Ae2t, и,
подставляя J', у7, jy" в неоднородное уравнение, приходим к тождеству
Ле2* = 3e2f. откуда А = 3. Следовательно, ?/ — 3e2i, и общее решение
неоднородного уравнения есть у = уо+У = e'2*(Gi cos t+Съ sin t+З). Воз-
Возвращаясь к первоначальной независимой переменной ж, получим окон-
окончательно
у = х2 (С\ cos In x + Со sin In ж 4- 3).
Если учитывать случай ж < 0, то общее решение можно записать в
виде, охватывающем оба случая:
у - х2(С\ соб1п|ж| + Cosinln^l -f 3). О

328 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Пример 23. Найти общее решение однородного уравнения Эйлера
[х + 2)У 4- 3(х + 2)у' - Зу = 0.
< Положим у — (х 4- 2)Л. Тогда имеем у' — \(х + 2)л~1, у" =
= Л(Л — 1)(#Н- 2)л~2. Подставляем выражения ?/, у', у" в заданное урав-
уравнение, получим характеристическое уравнение Л2 Н- 2Л — 3 = 0, корни
которого Ai = 1, А2 — -3. Следовательно, общее решение есть функция
2/ = C(a; + 2) + >
Найти общие решения уравнений Эйлера:
10.377. х2у" + ху1 + у = 0. 10.378. ж2/ + жу' + 4у = 10а;.
10.379. х2у"-6у = 12 In ж.
10.380. жУ" - Зху" + Зу' - 0. 10.381. х2ут - 2у' = 0.
10.382. Bх + 1)У - 2Bх + 1)у; + 4у - 0.
8. Краевые задачи в случае линейных дифференциальных уравне-
уравнений. Во многих физических задачах приходится искать решение диф-
дифференциальных уравнений не по заданным начальным условиям, а по
их значениям на концах интервала. Такие задачи получили название
краевых (граничных) задач. Общий вид краевых условий для интервала
(а, Ь) в случае уравнений 2-го порядка таков:
аоу(а) + М{а) = А, аху{Ъ) + 0гу'(Ь) = В, B0)
где а0, а.\, /50, /?i — одновременно не равные нулю заданные постоянные.
Краевые условия называются однородными, если из того, что функции
Уг(х) и 2/2 (#) удовлетворяют этим условиям, следует, что и их линейная
комбинация у(х) = Ciyi(x) н- Сг2/2(^) также удовлетворяет этим усло-
условиям. Краевые условия B0) при Л = Б = 0, очевидно, однородны.
Краевые задачи не всегда разрешимы. При решении краевой задачи
сначала находится общее решение данного дифференциального уравне-
уравнения, и из граничных условий получается система для определения зна-
значений постоянных Cq, C2, ..., Сп, при которых из общего решения
получается решение данной краевой задачи.
Пример 24. Найти решение уравнения у" + у — 1, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям з/'@) = у1 (тс) = 0.
< Исходное уравнение имеет общее решение вида
у = С\ cos х 4- С'2 sin х н- 1.
Из граничных условий получаем: ?/@) = C<i — 0 и у'(тг) — —Сч — 0,
так что функция у(х) = Ci cosxH-1 удовлетворяет граничным условиям
при любом Ci. >
Пример 25. Найти частное решение уравнения
у" - 2г/' + 2у = ех,

§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 329
удовлетворяющее краевым условиям
< Характеристическое уравнение Л2 — 2Л + 2 = 0 имеет корни \\^ —
= 1 ± г. Общее решение соответствующего однородного уравнения есть
у0 — ех(С\ cosx + C^sina;).
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде у —
— Аех. Подставив у1 = Аех и у" == Аех в данное уравнение, получим
Аех — ех, откуда Л = 1. Итак, у = ет, и общее решение исходного
уравнения имеет вид
у = ^^(Ci cos ж -f- C2 sin a: +1).
Найдя
у' — сх(С\ cos о: + C2sin.x + 1) + ех(—С\ sinx + С2 cosx),
используем краевые условия. Получим систему уравнений для определе-
определения С\ VI С2'-
(Ci + С2 + 1) + e^/'^-Ci + С2 + 1) = 1.
Решив эту систему, находим
етг _ 1 _ етг/2 1 _ OpW/2
т. е. искомым частным решением является функция
cos х н- — sin ж Н- 1 I . >
Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяю-
удовлетворяющие заданным краевым условиям:
10.383. у" - у = 0; у@) = 0, уBтг) = 1.
10.384. у" - у = 0; у@) = 0, 3/A) = 1.
10.385. у" + у = 0; y'@) = 0, у'A) = 1.
10.386. у" + у = 0; у'@) = 0, ^(тг) = 1.
10.387. уу" + у'2 + 1 = 0; у@) = 1, уA) = 2.
10.388. у" + у = 1; у@) = 0, 2/(^)=0.
10.389. уу' + у'2 + уу" = 0; у@) = 1, у(-1) = 0.
10.390. х2у"-2ху'+2у = а;2; у@)+2у'@) = 1, уA)-у'A) = 0.

330 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
9. Задачи физического характера.
10.391*. Материальная точка массы т движется прямолинейно
под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропор-
пропорциональной расстоянию от точки до центра (коэффициент пропор-
пропорциональности к > 0). Сила сопротивления среды пропорциональна
скорости (коэффициент пропорциональности А > 0). В началь-
начальный момент расстояние от точки до центра равно а, а скорость
направлена по прямой, соединяющей точку с центром, и равна vq.
Найти закон движения точки при условии, что А2 < Атк,
10.392*. Материальная точка массы т движется прямолинейно
под действием силы отталкивания от неподвижного центра, про-
пропорциональной расстоянию от точки до центра (коэффициент
пропорциональности к > 0). Сила сопротивления среды пропор-
пропорциональна скорости (коэффициент пропорциональности А > 0).
В начальный момент точка находится на расстоянии а от центра,
скорость равна v$ и направлена по прямой, соединяющей точку с
центром. Найти закон движения точки.
10.393*. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси.
Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней без трения.
Найти закон движения шарика относительно трубки, если:
а) в начальный момент шарик находился на расстоянии а от
оси вращения, начальная скорость шарика равна нулю;
б) в начальный момент шарик находился на оси вращения и
имел начальную скорость vq.
10.394. Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси.
Шарик, находящийся внутри трубки, скользит по ней с трением,
dr
величина которого it — 2mjiu)—, где /i — коэффициент трения
(Ль
скольжения. Найти закон движения шарикэ, если в начальный
момент шарик находился на расстоянии а от оси вращения и на-
начальная скорость его равна нулю.
10.395*. Тяжелая однородная цепь переброшена через гладкий
гвоздь так, что с одной стороны свисает часть ее длиной 8 м, а
с другой стороны — часть длиной 10 м. За какое время Т цепь
соскользнет с гвоздя?
10.396*. Груз массой 4 кг подвешен на пружине и увеличивает
ее длину на 1см. Найти закон движения груза, если верхний
конец пружины совершает вертикальное гармоническое колебание
у = 2 sin 30£ (см) и в начальный момент груз находился в состоя-
состоянии покоя (сопротивлением среды пренебречь).
10.397*. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди-
соединенных источника тока с э.д,с. e(t) — Еш\оЯ< индуктивности L,

§ 3. Системы дифференциальных уравнении 331
сопротивления R и емкости С, причем В?С — 4L < 0, ш Ф
' \/ 77^ ~~ 772' Найти ток г в цепи как функцию времени i, если
■ t=o =
= 0.
dt
10.398*. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди-
соединенных источника тока с э. д. с. e(t) = Es'moot, индуктивности L
и емкости С, причем и = . (случай резонанса). Найти ток г
у L/C/
в цепи как функцию времени t, если г|$=о = — =0.
10.399. Электрическая цепь состоит из последовательно соеди-
соединенных источника тока с э. д. с. e(t) = E cos (ojt + (/?), индуктив-
индуктивности L и емкости С, причем о; = . Найти ток г в цепи как
функцию времени с, если г|^=о — Т"
= 0.
i=0
§ 3. Системы дифференциальных уравнений
1. Основные понятия. Связь с дифференциальными уравнениями
п-го порядка. Если система к дифференциальных уравнений, связыва-
связывающая независимую переменную х и к функций у\(х), ..., Ук(%), раз-
разрешена относительно старших производных этих функций у[р (ж), ...
..., у£ (х), т.е. имеет вид
y[Pl\x) = fi{x,yu ... ,у[Р1-г\ ... ,ук, ... ,yl»-%
уЪ»\х) = /а(х, У1> ... , у!, ... , yki ... , у£--\ A)
У к \Х) — Jk{xi Vli • - - 1 У\ , - • • 1 Ук) • - • <> Ук )•)
то она называется канонической, причем число п = Р\ + Р2 + • • • + Ра
называется порядком системы. Каноническая система A) при р\ —
— р2 — ... — Рк = 1, т.е. система дифференциальных уравнений
1-го порядка
2/10*0 = /1(ж' Уь ••• » ^/п),
2/20*0 =/2(ж, Уь ... , Уп), /2ч
Уп0*0 =/n(^, 2/1, ... , J/n),
называется нормальной системой порядка п.

332 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Решением системы B) на интервале a < х < Ь называется сово-
совокупность функций у\ — ф\{х), ..., уп — ipn(x), непрерывно дифферен-
дифференцируемых на (а, Ь) и обращающих уравнения системы B) в тождества
относительно х Е (а, Ь).
Интегралом нормальной системы B) называется функция
Ф(х, 2/i, ..., 2/п), определенная и непрерывная вместе с частными про-
<9Ф <9Ф <9Ф с
изводными -т—5 т,— 5 • • •» т;— в некоторой области и изменения пере-
дх ду\ дуп
менных и принимающая при любых xG(fl, b) постоянное значение при
подстановке в нее произвольного решения системы.
Равенство
Ф(Х, 7/1, ... , уп) - С,
где Ф(х, 2/i, ..., j/n) — интеграл нормальной системы, а С — произволь-
произвольная постоянная, называется первым интегралом системы B).
Дифференциальное уравнение n-го порядка
можно свести к нормальной системе B). Обратно, системы A) или B)
в большинстве случаев сводятся к дифференциальному уравнению п-го
порядка, решая которое можно найти и решение исходной системы.
Пример 1. Привести каноническую систему дифференциальных
уравнений
2/Г = 2у1-Зу2,
3/2 = 2/1 - 22/2
к нормальному виду.
тт dyi dy2
< Положим -—• =у3и -г- = 2/4- 1огда данную систему можно записать
ах ах
в виде
У[ -"=2/3,
V'2
Уз
2/4
= 2/4,
= 22/!
= 2/1 -
-З2/2,
■22/2,
которая и является нормальной системой 4-го порядка. >
Пример 2. Привести к нормальной системе дифференциальное
уравнение у"{х) Н- к2у(х) = 0.
< Положим у' — z, тогда г/" = г', и уравнение приводится к нормальной
системе уравнений
V' = z,
z' = -k2y. >

§ 3. Системы дифференциальных уравнений 333
Пример 3. Свести систему уравнений
У1 = У ~ ?, ,
z' = -iy + z, C)
где у = у(х), z = 2(ж), к уравнению 2-го порядка и найти решение
системы.
< Найдем z(х) из первого уравнения: z = у — у'. Отсюда имеем z' —
— у1 - у". Подставив значения z и z1 во второе уравнение системы,
получим уравнение у" — 2у' — Зу = 0, общим решением которого является
функция
у(х) = С1е-' + С2е3х.
Отсюда, используя равенство z = у — у\ найдем
z(x) = de~x + C2e3a? 4- Cie"'1" - ЗС2е3ж = 2С1е"ж - 2С2е3х.
Таким образом, при любых постоянных С\ и С2 система функций
у = С1е-*+С2с3х,
z - 2Cie-x' - 2С2е3х [ }
является решением исходной системы C). >
Задача Коши для системы B) ставится следующим образом:
найти решение yi(x), ..., уп(х) системы B), удовлетворяющее началь-
начальным условиям
= I/
где у?, . •., 2/п — заданные числа.
Теорема Коши. Пусть правые части /i, /2, ..., /п нормаль-
нормальной системы B) определены в (п 4- 1)-л«ермой области D изменения
переменных х, yi, ..., yn. Е'слгг в некоторой окрестности Д точки
М0(х0, t/?, ..., 2/°) G I) функции fu непрерывны и имеют непрерывные
частные производные —— по переменным у\, ..., г/п, 7по существует
дУз
интервал х$ — h < х < хо + h изменения переменной х, в котором
существует и притом единственное решение системы B), удовле-
удовлетворяющее начальным условиям E).
Общим решением системы B) называется совокупность функций
2/„(я, С\, ... , С„), I/ = 1, 2, ... , п, F)
зависящих от п произвольных постоянных, которые при любых допусти-
допустимых значениях постоянных С\, ..., С„ обращают уравнения системы
B) в тождества, и в области, в которой выполнены условия теоремы
Коши, из совокупности функций (б) можно получить решение любой за-
задачи Коши.

334 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Пример 4. Показать, что определенная равенствами D) система
функций является общим решением системы C) (см. пример 3).
< В качестве области D для C) можно взять область —оо < х, у, z <
< н- оо; при этом для любых #о, Уо и zq из этой области выполнены
условия теоремы Коши. Подставив значения #о, 2/о> zo B систему D),
получим систему для определения С\ и С'2'
Zo — ZO16 — ZO2C .
Определитель этой системы
Д = 2е2хо
1 1
1 -1
= -4е2хо
отличен от нуля при любом Xq. Следовательно, при любых уо и zq числа
С\ и С2 определяются однозначно, т. е. из системы функций D) можно
получить любое решение задачи Коши для системы дифференциальных
уравнений C). >
Путем исключения параметров а и b найти систему диффе-
дифференциальных уравнений, определяющих семейства линий в про-
пространстве:
Г у == ах + 6, Г ах + z = b,
10.400. ^ 2 2 2 ol 10.401. < о о '2
| ж2 + у2 = г2 - 2bz. \ у2 + z2 = Ь2.
Дифференциальные уравнения или системы заменить нор-
нормальными системами дифференциальных уравнений (ж — неза-
независимая переменная):
10.402. у - хуу' + у/3 - 0.
10.403. yIV - у2 = 0.
10.404. у" -у' + *', 2// = 2/ + и/, u" = u' + y'-
10.405. 2" + 2 - 2j/ = 0, у'" + ^ - у = ж.
10.406. у" - 2 - и = 0, 2; + 112 = х2, и1" = -яу.
Проверить, что функции у(ж) и z(x) являются решениями си-
систем дифференциальных уравнений:
• --!,
10.407. «^ л* у = е"^2, 2 = 2ех/2.
! У ~ 1~ „> X 1 X 1
10.408.^ * ,_+,=,._
' = J/ + 2H 1;

§ 3. Системы дифференциальных уравнений * 335
Проверить, что функции Ф(ж, у, z) являются интегралами дан-
данных нормальных систем:
10.409. Ф(ж, у, z) = х + у + z\
10.410. Ф(ж, у, я) = х2 + у2 + z2\
10.411. Ф(я, у, 2) = I - I;
2. Методы интегрирования нормальных систем. Одним из методов
решения систем дифференциальных уравнений является метод исключе-
исключения неизвестных, который сводит систему уравнений к одному или не-
нескольким дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функ-
функцией в каждом. Поясним это на примерах (см. также пример 3).
Пример 5. Найти общее решение системы дифференциальных
уравнений
dy _ dz _ z2
dx *"* dx у
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у{\) = 1,
гA) = -1/2.
< Продифференцируем обе части первого уравнения по х, получим у" =
z2 z2
= — z1. Так как из второго уравнения z1 — —, то у" — , но из
У У
первого уравнения z2 — (у1J, поэтому система двух уравнений первого
(ту'J
порядка свелась к одному уравнению второго порядка у" = , т.е.
У
к уравнению уу" 4- {у1J — 0.
Левая часть полученного уравнения есть {уу'I, поэтому у у' = ~С\,
1 1 1 1
откуда у dy — -С\ dx и ~у = -С\х 4- -Сг, т.е. у — ±л/С\х 4- С2- Из
первого уравнения системы имеем: z = ~2/, т.е. г — =f —====.
2vGix -f 62
/^
Система функций у = ±у/С\х 4- С2, г = =р—, - образует общее
v
решение заданной системы дифференциальных уравнений.

336 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Для нахождения частного решения используем начальные условия
уA) — 1, z{\) = --. Имеем: 1 =
откуда С\ — 1, С2 = 0.
Итак, пара функций у — у/х, z — — — и есть искомое частное
решение системы. >
Не всякую систему дифференциальных уравнений можно свести к
одному уравнению.
Пример б. Показать, что систему уравнений
у' = ху, zf + yr = z + ху
нельзя свести к одному уравнению.
<3 Действительно, подставив во второе уравнение вместо у1 его значение
ху, получим два не связанных между собой дифференциальных уравне-
уравнения, каждое из которых содержит только одну функцию:
у1 = ху, z1 = z.
(Из этих уравнений находим у = С\ех /2 и z = С2вх.) \>
Другим методом интегрирования систем дифференциальных уравне-
уравнений является метод выделения интегрируемых комбина-
комбинаций, т.е. получения из системы B) такого уравнения, которое можно
проинтегрировать и получить первый интеграл системы. Если найдены
п независимых первых интегралов системы B), то их совокупность дает
общий интеграл этой системы.
Пример 7. Найти общий интеграл системы дифференциальных
уравнений
dy_ __ z + ey dz_ _ z2 - ех+У
dx z + ex' dx z + ex
<\ Умножим обе части второго уравнения системы на е~х и сложим их с
соответствующими частями первого уравнения и с тождеством — e~xz =
= — e~xz, получим (e~xz)' + у1 = 0, откуда e~xz + у = С\. Это первый
интеграл системы.
Теперь умножим обе части второго уравнения на е~у и сложим с
z + еу
равенствами -e~~yzyf = -e~yz иж'-1, получим (e~yz)' + x' ™ 0,
z + ех
откуда e~yz + х — С2. Это тоже первый интеграл системы. Так как
якобиан системы
отличен от нуля (проверьте!), то оба первых интеграла независимы
между собой, поэтому их совокупность неявно определяет общее решение
заданной системы уравнений. t>

§ 3. Системы дифференциальных уравнений 337
Для выделения интегрируемых комбинаций из системы B) послед-
последнюю удобнее записать в так называемой симметрической форме:
dy\ dy2 dyn dx
/i(z,yi,... ,yn) f2(x,yu... ,yn) '" /n(z,yi,... ,уп) !
GJ
и использовать следующее свойство равных дробей: если — = — = .,.
Vl V2
... — — — 7, то при любых ai, ..., ап имеет место соотношение
+a2u2 + ... + a
+a2v2
_
Числа ai, ..., an подбираются обычно таким образом, чтобы числитель
в (8) был полным дифференциалом знаменателя или же знаменатель
был равен нулю.
В соотношении G) независимая переменная и искомые функции рав-
равноправны.
Пример 8. Найти общее решение системы уравнений
, mz — lx , nx — my
ly - nz' * ly - nz
<\ Запишем систему в симметрической форме:
dx dy dz
ly — nz mz — lx nx — my
и воспользуемся соотношением (8). Выбираем а\ — m, Oi = п и оз = /,
тогда имеем
d(mx Л-пу + lz)
о =ъ
т. е. d(mx + пу + lz) = 0, откуда
mx + ny + lz = Ci. (9)
Аналогичным образом, выбирая а\ = 2ж, а2 = 2гу и а3 — 2г, приходим
к равенству d(x2 + у2 + г2) = 0, откуда
x2+y2 + z2=Cl A0)
Соотношения (9) и A0) образуют два первых интеграла системы, неявно
определяющих общее решение. t>
Найти общие решения систем дифференциальных уравнений:
10.412.^ = 1 ^ = 1. 10.413.^ = ^ = ^.
dt у dt х ху ty tx

338 Гл.10. Дифференциальные уравнения
10.414. 4U Z dZ~ У
dx (z — уJ' dx (z - уJ'
1ПЛК dx x - у dy x-y dz
10-415- Tt = 7Г? ^ = 7^7' Tt=x
2ху dz- 2xz
dx x2 — y2 — z2' dx x2 — y2 — z2
10.417. — = — =
10.418.
xt x2 txy - 2t2'
dx dy dz
yjz - x - у 1 ~ T"
Ю.419. ^ = У-, *L = <
dt x dt у
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений,
а также частное решение, удовлетворяющее заданным начальным
условиям:
10.420. ~У- - ~—, ^ - —!—; у@) - -1, *@) - 1.
dx z dx у - х
ю.421. -~- = —, -^ = 4; у(о) = ^(о) = !•
ах yz dx у1
dx
10.422*. Для системы дифференциальных уравнений — =
х2 — t dv
= -} -j- — —х и функций a) ipi = t2 + 2ху\ б) у>2 — х2 — ty
у dt
проверить, являются ли соотношения щ — С (г — 1, 2) первыми
интегралами этой системы.
3. Физический смысл нормальной системы. Для простоты ограни-
ограничимся рассмотрением системы двух дифференциальных уравнений, при-
причем будем считать, что независимая переменная t есть время:
х = /i(*, ж, у),
У = /г(*, ^, 2/)-
Решение ж = <£>(£), 2/ = i/'@ эт°й системы есть некоторая кривая
в плоскости Оху с фиксированной декартовой прямоугольной системой
координат. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью, а кривая
х — <p{t), у — yj(t) — фазовой траекторией системы A1). Сама си-
система A1) называется динамической системой. Динамическая система
называется автономной (стационарной), если в правые части уравне-
уравнений ,?той системы BrW^Tfi t иг вх^дгтт явпмч образом.

§ 3. Системы дифференциальных уравнений 339
Динамическая система определяет поле скоростей движущейся в
плоскости точки в любой момент времени t. Решение динамической
системы х = x{t), у = y(t) ■- это уравнение движения точки: они
определяют положение движущейся точки в любой момент времени t.
Начальные условия задают положение точки в начальный момент:
x(to) — £о, у (to) — уо- Уравнения движения определяют также и тра-
траекторию движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической
форме.
Пример 9. Найти фазовую траекторию автономной динамической
системы
dj , у X,
У
проходящую через точку МоB, 3).
< Продифференцируем второе уравнение по t и подставим выражение
(уJ
х = уих — ув первое уравнение. Получим у — , или уу - (уJ — О,
У
т.е. одно уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией у.
Разделим обе части последнего уравнения на у2 и перепишем его
так: — ( - ) =0. Отсюда следует, что - = С\, или — = С\ dt, откуда
dt \yj у у
Найдем у — C\C2eClt и подставим во второе уравнение системы; по-
получим х — C\C2eClt. Итак, система функций х — CiC^e^1*, у — C2eClt
есть общее решение нашей системы дифференциальных уравнений.
Исключая из общего решения время t (C2eClt — у), получим, что
фазовыми траекториями системы являются прямые х — Ciy, причем
3
через заданную точку МоB, 3) проходит прямая у = -х. t>
Для указанных систем найти фазовые траектории, проходящие
через заданные точки Mq:
10.423. х = 1 - х2 - у2, у = 2х\ МоA, 2).
10.424. х = 1 - х2 - у2, у = 2ху\ М0B, 1).
10.425. х = 2а;, у = ж + 2у; МоA, 1).
10.426. i = у - ж, у = у-2х] МоA, 1).
4. Линейные однородные системы. Нормальная линейная однородная
система n-го порядка имеет вид
х\ = an(t)xi + 012(^J:2 -f ... + ainW^nj
fln2@a;2 + • • • + a>nn{t)xn,

340 хЛ. 10. Дифференциальные уравнения
или, в матричной форг'е,
X(l) = A(l)X{t), A3)
где
В области непрерывности коэффициентов a{j(t), г, j = 1, ..., 7г, си-
система A2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единствен-
единственности решения задачи Коши.
Фундаментальной системой решений системы A2) называется
совокупность произвольных п линейно независимых решений Xk(t) =
= (x[k)(t), x{2k)(t), ■ ■ -, xik)(t))T, к = 1, 2, .. , п.
Если Х&(£), А; = 1, 2, ..., n, — фундаментальная система решений
п
системы A2), то общее решение имеет вид X{t) = Y2 CkXk{t), где С\.
(?2, ..., Сп — произвольные постоянные.
Интегрирование системы A2) обычно проводится методом исключе-
исключения (см. пример 3).
Решить системы линейных дифференциальных уравнений:
^ dy у dz 2y z
10.427. -f- = -2- + xz, — = —! + -.
ах х ах х6 х
10.428. х-У- = -у + zx, х2-?- = -2у + zx.
ах ах
10.429. х = --, у = --.
2 £ + 2
10.430. ж = --rz;, у = у + -—-ж.
В частном случае систем с постоянными коэффициента-
коэффициентами, когда матрица A(t) в правой части A3) не зависит от t, для отыс-
отыскания фундаментальной системы решений Xk(t), к — 1, 2, ..., п, могут
быть использованы методы линейной алгебры.
Из характеристического уравнения
det(i4-AE)=0 A4)
находятся различные корни Ai, A2, ..., As и для всякого корня А (с уче-
учетом его кратности) определяется соответствующее ему частное решение

§ 3. Системы дифференциальных уравнений
341
. Общее решение системы имеет вид
A5)
k=i
При этом возможны следующие случаи:
а) Л — действительный корень кратности 1. Тогда
где У^Л) — собственный вектор матрицы Л, соответствующий собствен-
собственному значению А (т.е. AY^ = АУ<А>, Y^ ф 0).
Пример 10. Найти частное решение однородной системы
Х\ — \Х\ + Ж2>
±2 — ЪХ\ + 2^2,
хз — 2х\ + 3x2 +4жз,
удовлетворяющее условиям х\@) = 6, ж2@) = -6, х*3@) = 24.
< Характеристическое уравнение A4) для этой системы имеет вид
det {А - ХЕ) =
4-А
1
2-А
0
0
4-А
= 0.
Его корни Ai = 1, А2 = 4, А3 = 5. Собственные векторы, например,
таковы:
Поэтому
Отсюда общее решение системы в соответствии с A5) имеет вид

342 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Для нахождения частного решения константы С\, С2, Сз определяем из
следующей системы:
7Ci + C2 + 5С3,
откуда С\ — 1, С2 — 2, Сз = 3. Окончательно для искомого частного
решения получаем
б) Л — комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характе-
характеристического уравнения A4) является также сопряженное с Л число Л.
Вместо комплексных частных решений X^(t) и X^(t) следует взять
действительные частные решения Х{ \t) = ReX(A)(£) и Х2 (t) —
Пример 11. Найти общее решение системы
X\(t) = Х\ + £2,
%2(f) — —2x1 + Зх2.
< Характеристическое уравнение
1-А 1
-2 3-А
имеет комплексно сопряженные корни Aij2 — 2±г. Для нахождения соб-
собственного вектора, соответствующего корню А = 2 + г, получаем систему
/ 1 л (А) , (А) п
(-1-02/1 + 2/2 =°>
Полагая у^Л^ = 1, находим ^ = 1 + i, т.е.

§ 3. Системы дифференциальных уравнений
343
Отсюда пара действительных частных решений имеет следующий вид:
рB+»)М_
e2t cos t
cost
e2t (cos t - sin t)J Vcos l ~ sin l
e2t sin t
Jit
Окончательно (см. формулу A5)) получаем общее решение
4 7 \ cos t — sin £ /
e2l =
2 I
\ cos t + sin ^
Ci cos t + C'2 sin t
t. о
в) A — корень кратности г ^ 2. Соответствующее этому корню ре-
решение системы A3) ищется в виде вектора
A6)
коэффициенты которого а? , г = 1, ..., n; j = 1, ..., г, определяются
из системы линейных уравнений, получающейся приравниванием коэф-
коэффициентов при одинаковых степенях t в результате подстановки вектора
A6) в исходную систему A3).
Пример 12. Найти общее решение системы
±2@='
Характеристическое уравнение
2-Л -1
4 6-A
- (Л - 4J = О
имеет корень Л = 4 кратности г = 2. Поэтому ищем решение системы в
виде

344 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Подставляем это выражение в исходную систему и сокращаем на е4*:
fo) \a2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, получаем:
01 + 2ax + a2 = 0,
/32 - 4а! - 2а2 = 0,
201 + ft = 0,
-2ft - 4ft = 0.
Полагая ai = С\ и ft = С2, имеем ft — —2С2 и а2 = —2Ci — C2. Таким
образом, общее решение системы имеет вид
Решить следующие системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Там, где даны на-
начальные условия, кроме общего решения, найти соответствующее
частное решение:
10.431. х = у, у = -2х + Зу.
10.432. х = х + Зу, у = -х + 5у; х{0) = 3, у@) = 1.
10.433. ж = Зх - 2у, у = 4х + 7у; х{0) = 1, у@) = 0.
10.434. i = 2х — 5у; у = 5ж - 6у.
10.435. i = х — 4у, у = х - Зу.
10.436. £ = -ж + 2у, у = -2х-5у; ж@) = 0, у@) = 1.
10.437. £ = у, y = z, i = x; x@) = у@) = z@) = 1.
10.438. х = у + z, у = z + x, z = х + у; ж@) = у@) = 2,
z@) = -1.
10.439. £ = ж — 2у — z, у = —ж + у + -г, i = ж — z.
10.440. £ = Ъх + 2у - 3z, у = 4ж + 5у - 4z, i = 6х + 4у - 4z.
5. Линейные неоднородные системы. Нормальная линейная неодно-
неоднородная система дифференциальных уравнений имеет вид
£i = aii(*)zi + ai2(*)z2 + ... + ain(t)a;n
х2 = a2i{t)xi +a22{t)x2 + ... + a2n{t)xn
/2W' A7)

§ 3. Системы дифференциальных уравнений 345
где по крайней мере одна из функций fk{t) не равна тождественно нулю.
В матричной форме система A7) имеет вид
X(t) = A(t)X(t) + F(t), A8)
где F(t) = (/i@j /2(^M • • •> fn{t)) • Интегрирование системы A7) моле-
молено проводить методом исключения (см. пример 3), однако иногда предпо-
предпочтительнее найти предварительно решение Xo(i) соответствующей A8)
однородной системы
X(t) = A(t)X(t) A9)
и какое-либо частное решение X(i) системы A8). Тогда общее решение
системы A8) имеет вид
X{t) = X0(t) + X(t). B0)
Если известна фундаментальная система Xk(t), к = 1, 2, ..., п, ре-
решений однородной системы A9), то общее решение X(i) можно найти
методом вариации произвольных постоянных. Именно, полагая
определяем функции Ck{i) подстановкой B1) в систему A8). Учитывая
при этом равенства
Xk(t)-A(t)Xk(t) = O, k=l,2,...,n,
приходим к системе уравнений относительно Ck{t):
*) = *"(*)• B2)
Из этой системы находим Ck(t) — Vk{t) и, интегрируя, получаем функ-
функции Ck{t) с точностью до произвольных постоянных. Подставляя их в
B1), получаем искомое общее решение неоднородной системы A8).
Пример 13. Зная фундаментальную систему решений
71, X2(t) =
W
однородной системы
Х\ = 6Х\ + Х2-,

346
Гл. 10. Дифференциальные уравнения
найти общее решение неоднородной системы
Х\ = б.Х'1 + Х2 + t,
±2 — Ъх\ + 2x2 + 1.
< Воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для
функций C\(t) и C2{t) составим систему вида B2)
Найдя
5*
C2{t) -
\-t
-t
и проинтегрировав, получим
n-7t
Таким образом, общее решение системы запишется в виде
= - —1 + —\ e~u + C
Если коэффициенты а^(£) системы A7) постоянны, т. е. aij(t) — а^-,
г, j = 1, ..., n, a функции /;(£) имеют вид произведений
(P(t) cos (it
B3)
где P(i) и Q(£) — многочлены, то частное решение X(t) можно найти
методом неопределенных коэффрщиентов, записав X(t) в виде, аналогич-
аналогичном B3), с учетом совпадения или несовпадения чисел а ± i/З с корнями
характеристического уравнения.
Следует иметь в виду, что если к — наибольшая степень многочленов
P(t) и Q(t) в B3) и Л = а + i/З — корень кратности г характеристиче-
характеристического уравнения, то частное решение X(t) ищется в виде
X{t) = Re \t
\
n\t

§ 3. Системы дифференциальных уравнений
347
Пример 14. Найти частное решение системы
3?! = — Х2 + t2,
Хо — Хл ~\~ в
= 0 имеет корни
-А -1
1 -Л
А^г = ±г, ищем частное решение системы в виде суммы многочлена
второй степени и функции вида Del:
<\ Так как характеристическое уравнение
xi = Axt2 4- Bit + Ci + Die1, x2 = A2t2 4- B2t 4- C2 +
Подставляя эти функции в заданную систему, получим равенства
= -A2t2 - B2t - C2 - D2el + t2,
Ci + D2el + e£.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t и при ef, полу-
получим систему
2Ai=-B2, Bi = -C2, Di=-D2, l-A2=0,
Отсюда Ai = S2 = Ci = 0, A2 = 1, Sj = 2, C2 = -2, £>2 = 1/2,
Di = -1/2, и искомое частное решение имеет вид
х2 =t2-
Пример 15. Найти общее решение системы
л - B -1'
где А - уг у »+— у 2t
<3 Характеристическое уравнение
n3t
2-Х -1
1 4-Л
= Л2 - 6Л + 8 + 1 = (Л - ЗJ = 0
имеет корень Л = 3 кратности 2. Общее решение однородной системы
fat + /Л з*
ищем в виде Xo(t) — I л ) ' п°Дставив которое в однородную

348 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
систему и сокращая на e3f, имеем
fat +
4/ \-yt + 8l '
Получим систему
3{at + /?)+/? = 2{at Л-13)- (yt + 6),
3(>yt + 5) + S = at + P + 4G* + 5),
из которой следуют два независимых соотношения а = —*у и Р + a = —E.
Полагая а = Ci и /3 = С2, имеем 7 = -С\ и 5 = -С\ — C<i-> т.е.
Oit - (Gi + O2J
Так как F(^) содержит множитель е3£, причем Л = 3 — корень характе-
характеристического уравнения кратности 2, то ищем частное решение в виде
\ f } 3t
A2t2 + B2t + D2J 6 \A2t* + B2t2 + D2t) 6
а не в виде rL
Подставив X(t) в заданную систему и сократив на е3£, получаем ма-
матричное равенство
D-it;+
2 -
A2t3 + B2t2 + D2t) + V 2t
которое можно записать в виде равенств
Ait3 Л-В it2 +ГМ + 3/М2 + 2Bit+Di = ~A2t3 -B2t2 -D2t + t+l,
-A2t3 -B2t2 -D2t + SA2t2 + 2B2t +D2 =
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £, получаем систему
уравнений
Ах + А2 = 0, Лх + Л2 = 0,
5г + 3Ai + Б2 = 0, Bi +B2- ЗА2 = 0,
Dx + 2ВХ + D2 = 1, Di + Д> - 2Б2 = -2,
Di = 1, D2 = 0.

§ 4. Элементы теории устойчивости 349
Находим Di = 1, D2 = 0, #i = 0, J52 = 3/2, ЛА = -1/2, Л2 = 1/2.
Следовательно,
и искомое общее решение запишется в виде
Найти решения следующих систем уравнений:
10.441. х = Зх - 2у + t, у = Зж - 4у.
10.442. х = х — у, у = х + у + е1.
10.443. i = 5ж - Зу + te2\ у = З.т - у + e3t.
10.444. i = ж + у — cos f, у = — 2х — у + sin t + cos t.
10.445. A = у + tg2 t - 1, у = -ж + tg t
10.446*. x = 2ж + Зу, у = 4ж - 2у.
10.447*. Вещество А разлагается на два вещества Р и Q. Ско-
Скорость образования каждого из них пропорциональна массе нераз-
ложившегося вещества А. Найти законы изменения масс х и у
веществ Р и Q в зависимости от времени t, если через час после
а За
начала процесса разложения ж = —, у— —, а — первоначальная
8 8
масса вещества А.
10.448*. Материальная точка массы m притягивается центром
О с силой, пропорциональной расстоянию. Движение начинается
из точки А на расстоянии а от центра с начальной скоростью г>о,
перпендикулярной к отрезку О А. Найти траекторию движения.
§ 4. Элементы теории устойчивости
1. Основные понятия. Пусть задана нормальная система дифферен-
дифференциальных уравнений
X\{t) = fi(t, Xi, Х2, ... , In),
±г(*) = htti 11,12,..., in), м\

350 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
с начальными условиями в точке to. Решение Xo{t) = (y*i{t), ..., <Лг@)
системы A) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
е > 0 найдется такое E(е) > 0, что для всякого решения X(t) =
= (zi(£), ..., xn(t)) той же системы, значения которого в точке t0 удо-
удовлетворяют неравенствам
Ык) - <Pi(to)\ <б(е), i = l, 2, ... ,п, B)
для всех £ > to справедливы неравенства
\xi(t)-iPl(t)\ <г, г = 1, 2, ... ,п. C)
Если же при сколь угодно малом 5 > 0 хотя бы для одного реше-
решения X(t) неравенства C) не выполняются, то решение Xo(t) называется
неустойчивым.
Если решение Хо@ не только устойчиво, но, кроме того, при условии
B) удовлетворяет соотношению
lim М0-¥>*(*I=0, i = l, 2, ... ,n,
t—> + оо
то это решение называется асимптотически устойчивым.
Пример 1. Исследовать на устойчивость решение дифференциаль-
дифференциального уравнения х — ах (а £ R), определяемое начальным условием
< Если а ф 0, то решение имеет вид
Пусть x(t) = Cea^~to^ — произвольное решение этого уравнения,
удовлетворяющее условию \С — Со\ < 5 = е. Тогда при a < 0 получаем
|х@ - хо(О1 - |Cea^-f°) - Coea(*-f°)| = ea<*-'°>|C - Со| < е,
откуда
lim |ж(«)-хо@1 = |С-СЫ Hm ea(i"£o) = 0,
т. е. решение асимптотически устойчиво.
При а > 0
может быть сколь угодно большим числом при достаточно больших t.
Значит, при а > 0 решение неустойчиво.
Если а = 0, то решение имеет вид жо(£) = Со-

§ 4. Элементы теории устойчивости 351
Для всякого решения x(t) — С с условием \С - Со\ < 5 = е имеем
|ж@ — аго(О1 = |С — Со| < е.
Но
lim \х{1)-хп(п\ = \С-Сп\ФЬ
а потому решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво. >
Исследование на устойчивость решения Xo(t) системы A) моя;ет
быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального (нулевого)
решения — точки покоя некоторой системы, аналогичной системе A)
(см. задачу 10.454).
Исследовать на устойчивость решения следующих уравнений
и систем уравнений:
10.449. i = i(z-1), х{0) = 1.
10.450. x = t- 1, х{0) = -1.
10.451. х = х + у, у = х-у; х{0) --= ?у@) = 0.
10.452. £ = -2х - Зу, у = ж + у; .т@) = у@) = 0.
10.453. х — ах — у, у = ау — z, z — az - х\ х@) — у@) =
= г@) ---0, а е R.
10.454*. Написать систему дифференциальных уравнений, ис-
исследование на устойчивость точки покоя которой равносильно
исследованию на устойчивость решения Xo(t) системы A).
10.455. Сформулировать определения устойчивости, асимпто-
асимптотической устойчивости и неустойчивости для точки покоя системы
дифференциальных уравнений.
2. Простейшие типы точек покоя. Для исследования на устойчивость
точки покоя системы двух линейных однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
У
надо составить характеристическое уравнение
«221
D)
1 Л пп . - А2 - (аи + а22)А 4- Д = О
«21 «22 ~ А
и найти его корни Ai и Аг- В табл. 4.1 привечена классификация точек
покоя системы D) в зависимости or корней Ai. Л-2
уравнения.

352
Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Таблица 4.1
Корни Ai, Л2
Характер точки покоя
Устойчивость
точки покоя
Действитель-
Действительные:
Ai ф А2
i ,
А2 <0
Ai > 0,
А2 >0
А2 <0
Устойчивый
узел
Неустойчивый
узел
Седло
Асимптотически
устойчива
Неустойчива
Неустойчива
Комплексные:
Ai = а + 10,
А2 = a - 10
a < 0,
0*0
а >0,
0*0
Устойчивый
фокус
Неустойчивый
фокус
Центр
Асимптотически
устойчива
Неустойчива
Устойчива
Действитель-
Действительный, кратнос-
кратности 2:
Ai — А2 := А
А<0
Устойчивый узел
А>0
Неустойчивый узел
\
Асимптотически
устойчива
Неустойчива

§ 4. Элементы теории устойчивости 353
Пример 2, Определить характер и исследовать на устойчивость
точку покоя системы
х — -2х + ш/,
2/ = ж + 2/
в зависимости от параметра а (а ф —2).
<] Характеристическое уравнение
1 1
имеет корни \\^ч — — - ± -у9 + 4а. Исследуя поведения корней Ai, A2
в зависимости от параметра а и используя табл. 4.1, получаем:
если о < -9/4 (корни комплексные, ReAi?2 < 0) — устойчивый
фокус;
если —9/4 ^ а < — 2 (корни действительные и отрицательные) —
устойчивый узел;
если -2 < а (корни действительные и разных знаков) — седло,
точка покоя неустойчива. >
Определить характер точек покоя следующих систем:
10.456. х = х + 2у, у = -З.т + у.
10.457. £ - -2.Т + -у, у - -2х + -у.
10.458. £ = -х + Зу, у = -х + 2у.
10.459. £ = -у, у = .х - 2у.
10.460. £ = -6х - 5у, у = -2х - 5у.
10.461. £ = -.х + 2у, у = -2х - by.
Определить, при каких значениях параметра а точка покоя
системы устойчива.
10.462. х — ах — у, у — х + 2у.
10.463. £ — -З.т + »у, у = — аж + у.
10.464*. Исследовать на устойчивость решение уравнения упру-
упругих колебаний х 4- 2а£ 4- /32х — 0 (а > 0).
10.465*. Пусть задана система п линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Uij.Lj^ I — ±, ^, . . . , П.
г=1
Доказать, что если все корни характеристического уравнения этой
системы имеют отрицательную действительную часть, то точка
покоя системы асимптотически устойчива. Если же хотя бы один

354 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
из корней характеристического уравнения имеет положительную
действительную часть, то точка покоя неустойчива.
Используя результат задачи 10.465, исследовать на устойчи-
устойчивость точку покоя каждой из следующих систем:
10.466. х = 2ж, у = Зх + 2у, z = -х -у - z.
10.467. х = -2.т - у, у = х - 2у, i = ж + Зу - г.
3. Метод функций Ляпунова. Этот метод в применении к автономной
системе
где /г@, ..., 0) = 0, г = 1, 2, ..., п, состоит в непосредственном иссле-
исследовании устойчивости ее точки покоя при помощи подходящим образом
подобранной функции Ляпунова V(x\, ..., хп).
Верны следующие теоремы Ляпунова:
Теорема 1 (об устойчивости). Если существует дифференцируе-
дифференцируемая функция V(xi, ..., хп), удовлетворяющая в окрестности начала
координат, следующим условиям:
а) V(x\, ..., хп) ^ 0, причем V = 0 лишь при х\ — ... = хп = 0;
dV n 8V
б) -J- = £ тт"/*(ж1' • • •' ^п) ^ 0,
ас j_^ c/Xi
mo точка покоя системы E) устойчива.
Теорема 2 (об асимптотической устойчивости). £слг/ существу-
существует, дифференцируемая функция V(x\, ..., хп), удовлетворяющая в
окрестности начала координат следующим условиям:
a) V(rci, ..., хп) ^ 0, причем V = 0 лг/шь npw Xi = ... = .тп = 0,
dV n dV dV
б) — = S TT"/i(^i, ..., жп) ^ 0, причем — = 0
xi = ... = xn = 0,
mo точка покоя системы E) асимптотически устойчива.
Теорема 3 (о неустойчивости). Если существует дифференциру-
дифференцируемая функция V(x\, ..., хп), удовлетворяющая в окрестности начала
координат условиям:
а) V@, ..., 0) = 0 и сколь угодно близко от начала координат
имеются точки, в которых V(#i, • •., хп) > 0;
(IV п gy dV
б) —- = Y, ir-fi{xi, ..., хп) ^ 0, причем —- - 0 лишь при
at i=i ax{ dt
xi = ... = ж„ = 0,
то точка покоя системы E) неустойчива.

§ 4. Элементы теории устойчивости 355
Пример 3. С помощью функции Ляпунова исследовать на устойчи-
устойчивость точку покоя системы
х- -х + у,
у = -2у3 - х.
dV
<\ В качестве функции Ляпунова возьмем V = х2 + у2. Тогда — =
at
— 2х(-х + |/) + 2у(-2у3 - х) — -2(х2 + 2у4), и функция V вместе с
dV
—— удовлетворяет условиям теоремы 2. оначит, точка покоя системы
at
асимптотически устойчива. >
Пример 4. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
х — хB + cos я),
У = -У-
< Возьмем функцию V(x, у) — х2 - у2. Тогда — = 2х2B + cosx) +
аъ
+ 2у2 = 2Bх2 + у2 + х2 cos я) = 2(х2 -\- 2х2 cos2 | + уЛ > 0 всюду,
кроме начала координат. Кроме того, сколь угодно близко к началу
координат найдутся точки, в которых V > 0 (например, вдоль прямой
у — О V — х2 > 0). Следовательно, выполнены условия теоремы 3, и
точка покоя неустойчива. \>
Общего метода построения функций Ляпунова не существует. В про-
простейших случаях ее следует искать в виде: V — ах2 +Ъу2, V — ах4 +Ьу4,
V = ах2 + Ъу4, подбирая надлежащим образом постоянные а > 0 и b > 0.
Пример 5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
3
х = -х + -у + Зху3,
У = -х- -у-2х2у2.
<] Функцию Ляпунова будем искать в виде V = ах2 + by2, а > 0, fr > 0.
Тогда имеем:
^ - 2ах (-х + р + Зху3^ + 2Ьу (-х - | -
^ ^) + (я?У + 2х2у3)Cа - 26).
Полагая Ь = -а, получим, что —— = -аBх2 + у2) ^0 при всяком
2 ас
а > 0. Из теоремы 2 вытекает, что точка покоя системы асимптотически
устойчива. >

356 Гл. 10. Дифференциальные уравнения
Исследовать на устойчивость точки покоя следующих систем:
10.468. х = —х — у - х* - у2, у = х - у + ху.
10.469. х = у + ,т3, у = -х + у3.
10.470. х — хуА, у = -х4у.
10.471. х = -у + гс5, у-х + г/.
10.472. х = у + х2у2 - -.т5, у = -2ж - 2.т3у г/.
10.473. £ = -2.т + 4ж?/2, у = у + 2х2у.
4. Устойчивость по первому приближению. Предположим, что правые
части системы E), т.е. функции fi{x\, ..., хп), г — 1, 2, ..., п, диффе-
дифференцируемы в начале координат достаточное число раз. Разложим их по
формуле Тейлора в окрестности начала координат:
a
, ..., Хп) =
dfj(O,...,O)
где uij = , n Г{ — члены второго порядка малости относи-
OXj
тельно X], ..., хп. Тогда исходная система E) может быть записана в
виде
±i =
Рассмотрим систему
n
Y!iJxJ> i = l,2, ... ,п, (б)
называемую системой уравнений первого приближения для системы E).
Справедливо следующее утверждение: если все корни характеристи-
характеристического уравнения системы (б) имеют отрицательные действительные
части, то точка покоя системы (G), а также исходной системы E) асимп-
асимптотически устойчива; если хотя бы один из корней характеристического
уравнения системы (б) имеет положительную действительную часть, то
точка покоя системы (б) (и системы E)) неустойчива.
Говорят, что в этих случаях возможно исследование системы E) на
устойчивость но первому приближению. В остальных случаях такое
исследование, вообще говоря, невозможно, так как начинает сказываться
влияние членов 2-го порядка малости.

§ 4. Элементы теории устойчивости 357
Пример G. Исследовать на устойчивость точку покоя системы
х = 2х + 8 sin?/,
у = 2-е* -Зу-cosy.
<1 Разлагая функции sin у, cosy, еж по формуле Тейлора и выделяя члены
1-го порядка малости, можем переписать исходную систему в виде
х = 2x- + 8y + Fi(x-, у),
У = -ж-Зу+ F2(.t, у),
где Fi, F2 — члены 2-го порядка малости относительно х и у. Соответ-
Соответствующая система уравнений первого приближения вида (б) запишется
следующим образом:
х = 2х + 8у,
у = -ж - Зу.
х -1±*У7
Корни ее характеристического уравнения Ai52 = имеют от-
отрицательные действительные части. Следовательно, точка покоя этой, а
также исходной систем устойчива. >
Исследовать на устойчивость по первому приближению точки
покоя следующих систем дифференциальных уравнений:
10.474. х = -(ех — 1) — 9у, у = -х - smy.
10.475. х = Ъх + у cos у, у = Зх + 2у — у3еу.
10.476. i = 7.т + 2siny, у = сх - Зу - 1.
3 1
10.477. х — —х + -sin2y, у = -у — 2х.
10.478. х = In Dу + е~3х), у = 2у - 1 + ^1 - 6ж.
10.479. х = ех+2у - cos Зх, у = у/А + 8х - 2еу.
10.480. Показать, что исследование на устойчивость по первому
приближению точки покоя системы
невозможно. Провести исследование методом функций Ляпунова.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава 5
5.1. Приближение с недостатком 0,1; 0,10; 0,101. Приближение с
11 901 2183 1
избытком: 0,2; 0,11; 0,102. 5.2. а) -> б) Щ\ в) ^Ь"- 5-11. log1/2 - >
I I I I
1 /l\g7 /l\g5 1 G 31
>log1/3-. 5.12. (-j =(-) . 5.13. loglog32i> 1.5.18. (-,-}.
5.19. {-1,0}. 5.20.0. 5.21. {0,2}. 5.22. (-oo, 2]. 5.23. (-oo, 1] U
U[3, H-oo). 5.24.C,4). 5.25. [1-
—00,
u
Рис. 51
2 / V 2 2
5.27. (loo, -1]. 5.28. a) {1, 2}C {l, 2, {1, 2, 3}};
б) обе записи верны. 5.29. A = {0, 1, 2}.
5.30. A = {1}. 5.31. A = {1, 2, 3, 4}. 5,32. A =
= {-2, -1, 0, 1, 2}. 5.33. A = {1, 2, 3}. 5.34. A =
= {тг/2, 7Г, Зтг/2, 2тг}. 5.35. См. рис. 51. 5.36. См.
рис. 52 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству).
5.37. См. рис. 53. 5.38. См. рис. 54 (штриховая линия не принадлежит
У*
-1
Рис. 52
-2
Рис. 53
1 х
множеству). 5.39. См. рис. 55 (граница заштрихованной области не при-
принадлежит множеству). 5.40. Точка B, 2). 5.41. См. рис. 56. 5.42. См.
рис. 57 (граница заштрихованной области не принадлежит множеству).

Ответы и указания
359
5.43. A U В = {-5, 3, 4}; А П В = {4}; А\В = {-5}; В\А = {3}.
5.44. {2, 4, 8}. 5.45. {8/с | k G Z}. 5.46. {1, 2, 4}. 5.47. {24/с | к <Е N}.
5.49. Л U В = (-1, 4); АПВ =
= [1,2]; Л\В = (-1,1); В\Л =
= A,4). 5.50. @,1). 5.51. [0,1/4] U
U [1/2, 1]. 5.52. {0} U A/2, 1).
5.53. [0, 1/4) U A/4, 3/4) U {1}.
Рис. 54
Рис. 55
5.60. Z; {-1, 0, 1}. 5.61. {п <Е N|n ф 3fc, к £ N}; 0. 5.62. {.т G Е|х =
= 1/п, п € N}, {1}. 5.63. а) Все точки данного круга; 0; б) все
точки кольца между данной окрулшостью и концентрической окружно-
окружностью вдвое меньшего радиуса; 0; в) все точки круга; центр круга.
Рис. 57
5.73. a) minX не существует; тахХ — 1; б) [1, +оо); ( — оо, 0]; supAr =
= 1; inf X = 0. 5.74. 1/2; не существует; 1/2; 0. 5.75. 1; -1; 1; -1.
5.76. Не существует; -5; 0; -5. 5.77. Не существует; не существует; 0; не

360
Ответы и указания
существует. 5.78. Не существует; не существует; 1; 0. 5.79. supX = v2.
5.83. а) Истинно; б) ложно; в) истинно; г) ложно. 5.84. Ложно. 5.85. Ис-
Истинно. 5.86. Ложно. 5.87. Истинно. 5.88. Истинно. 5.89. Ложно.
5.90. а) Истинно; б) истинно. 5.91. а) Истинно; б) истинно; в) ложно.
5.92. а) Дх0) = 0; Д.т0) Ф 0. б) f(x0) = О Л Ух(х ф х0 =» f(x0) ф 0);
/(.т0) ф О V (/(х0) = О Л Зх(х ф х0 Л f(x) = 0)). в) 3xo(f(xo) = 0) Л
л(Ух(х фхо=> Дх) ф 0)); Ух(Дх) ф 0) V (Зхь х2(хх ф х2 Л f(xi) =
= f(X2) = 0)). 5.93. а) ЗМ Ух е X (х ^ М)\ УМЗх El (x> M).
б) (m Е X) Л (Ух G X (т ^ ж)); (т £ X) V (Эх Е X (х < т)).
в) (Эт Е X) Л (Vx G X (т ^ х)); Va;' G ХЗх G X (х < х7)-
5.94. a) 3fc G Z (n = /cm); У/с G Z (n ^ fcm). б) B | п Л 3 | п) => б | п;
B | п Л 3 | п) Лб | п. (Замечание. Так как исходное высказывание
истинно, то его отрицание ложно.) в) Уп G N (п | р => (п = 1 V п = р));
Зп G N (п|рЛ (п ^ 1 Л п ^ р)). 5.95. Д = J-J7- 5.96. У =
24тг2
s = —, где t
2a
5.99. 5.
5.97. S = - tg a. 5.98. и = a(* - t0);
x2h
а-Ь'
a — b
(a - Ь)Л
b {a-xJh
— ti —
a-b
a-b
< x
< x
а.
1
7Г/2
5.100. V = -тг/гDД2 - Д2), 2? = [О, 2Д]. 5.101. а) 5 = т^л/4Д2 ~/2,
4 2/г
2? = [О, 2Й]; б) 5 = 4тт#2 sin - cos2 -, D - [0, тг]; в) 5 = 4тгД2 х
х cos/?sin2/?, D = [0, тг/2]. 5.102. О, -б, 4. 5.103. -1, 0, 1, 2, 4.
1
5.104.0, a3-l, a
x 2 x-1
a, a3-3a2 + 3a-2, 16a3-2. 5.105.1,
1 + x
2 + х' 1+*' х + 1' 1-
5.107.2? =(-00,5/2), £= [0,+оо).
= [О, 1].
( (
1-х'
5.106. D ^ (-3,+оо), Е = (-оо,+оо).
= U [4тг2/с2,тг2B^ + 1J],
A^€NU{O}
= [0, тг]. 5.110. D =
П-D = h1'1]'
5.109. 2) = [-3/2, 5/2],
) C* 1))Е = ("°°'1п3]'

Ответы и указания 361
Е = [О, 1]. 5.112. D = B, 3), Е = f-oo, lg ~\. 5.113. 25 - [-1, 1],
Е = [о, ^]. 5.114. 25 = [0, 2], Е = [1, 2*]. 5.115. 25 = (-оо, +оо),
Е = [1/е2, +оо). 5.116. G = [0, 4]. 5.117. G = [1, 2]. 5.118. G =
= (-оо, O)UA, +оо). 5.119. G = @, 1/2]. 5.120. G = A, 3]. 5.121. G =
= [0, \/2/2). 5.122. 25О = {-1}, 25+ = (-1, +оо), D. = (-оо, -1).
5.123. 25О - {-1, 2}, D+ = (-1, 2), D. = (-оо, -1) U B, +оо).
5.124. Do = {xeR x= -,nGZ\{0}}, D+= |J f^-3 ——-V
I n J nez\{o| \2n 2n + l/
nez\{o}
- 5Л25- Do = ^ь ^+ = (-°°' °)u
l,+oo), 25_=(O, 1). 5.1Sl./(a;) = a;2-2. 5.132. f(x)=
5.133. f(x) = sinx. 5.134. Четная. 5.135. Ни четная, ни нечетная.
5.136. Ни четная, ни нечетная. 5.137. Нечетная. 5.138. Ни четная,
ни нечетная. 5.139. Нечетная. 5.141. Т = 2тг/7. 5.142. Т = тг/2.
5.143. Непериодическая. 5.144. Непериодическая. 5.145. Непериодиче-
Непериодическая. 5.146. Т = бтг. 5.147. Если a = 0, то обратная функция не суще-
х — Ь
ствует; если а ф 0, то у = обратная функция и .D = (—оо, +оо).
a
5.148. Обратная у = \fx + 1, 25 = (—оо, +оо). 5.149. Обратная не су-
существует. 5.150. Обратная у = -ех, D = (—оо, +оо). 5.151. Обрат-
1 - х
ная у = 21og2:r, 25 = @, +оо). 5.152. Обратная у = , .х ^
[3 \
--, +ор 1; б) у = у/х + 1,
г з \
D= --, +оо 1. 5.155. а) у = arcsinx, 25 = [—1, 1]; б) г/ = тт-arcsinх,
D = [-1, 1]. 5.156. у = \ Х' Х^ ' 5.157. а) у = i arccosBx - 1),
[ .т/2, х > 0. 2
25 = [О, 1]; б) у = тг - -arccosBx- 1), 25 = [О, 1]; в) у = тг +
+ ^ arccos Bж - 1), 25 = [О, 1]. 5.159. / о д = 1 - х2, до f = A-хJ.
5.160. fog = x, х > 0; £ о / = 0. 5.161. / о д = х,
{X + 7Г, .X £ [-7Г, -7г/2),
х, х <Е [-тг/2, тг/2],
•X - 7Г, X € (тг/2, 7Г].

362 Ответы и указания
5.162. /00 = 0, gof = g. 5.163. а) х; б) .х/\Л + 3.х2. 5.164. /(м) = ^/п,
г/ = х2. 5.165. f(u) = sin г/, w = cos?;, и = yfc 5.166. f(u) = 2W,
w = sirif, ?; = я2. 5.167.- f(u) = arcsinw, w = ev, г> = ^/ж. 5.168. f(u) =
= sinu, w = 2V, v = z2. 5.169. f(u) = м/3, w = ?;2, г; = tg£,
* = log3:r. 5Л71.{(! + *тг, ! + fc7r)|fcez}. 5.172. {(-1, 2), A, 2)}.
5.173. {B/стг, Агтг) | k e Z}. 5.174. {(for, 1) | & € Z}. 5.175. а) Прямая,
проходящая через начало координат и через точку A, 2); б) прямая,
параллельная оси Ох, проходящая через точку @, —2); в) прямая, про-
проходящая через точку @, -1/3), параллельная биссектрисе 2-го и 4-го
координатных углов. 5.176. а) Парабола у — .т2, смещенная вдоль оси
Оу вниз на 1; б) парабола у — х2, растянутая в 2 раза вдоль оси Оу,
смещенная вдоль оси Ох вправо на 1; в) парабола у — х2, отраженная
относительно оси Ох, сжатая вдоль оси Оу в 2 раза, смещенная вдоль оси
Ох влево на 2 и вдоль оси Оу вверх на 3/2. 5.177. а) Гипербола у = 1/х,
смещенная вдоль оси Оу вниз на 1 и вдоль оси Ох вправо на 1; б) гипер-
гипербола у = 1/х, отраженная относительно оси Ох, растянутая вдоль оси Оу
в 2 раза, смещенная вдоль оси Оу вниз на 1/2 pi вдоль оси Ох влево на 1.
5.178. а) Синусоида у — sin x, с?катая в 2 раза вдоль оси Ох и смещенная
вдоль оси Ох влево на тг/б; б) синусоида у = sin.x, отраженная относи-
относительно оси Ох, растянутая вдоль оси Оу в 2 раза, растянутая вдоль оси
Ох в 2 раза и смещенная вдоль оси Ох вправо на 2тг/3. 5.179. а) Танген-
Тангенсоида у — tg£, растянутая вдоль оси Оу в 3 раза, растянутая вдоль оси
Ох в 3 раза и смещенная вдоль оси Ох влево на Зтг/4; б) тангенсоида
у — tgx, отраженная относительно оси Ох, сжатая вдоль оси Оу в 2 раза,
сжатая вдоль оси Ох в 2 раза и смещенная вдоль оси Ох влево на Зтг/4.
5.180. а) График обратной тригонометрической функции у = arcsin.x,
растянутый вдоль оси Оу в 4 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо
на 1; б) график функции у = arcsin.x, отраженный относительно оси Ох,
сжатый вдоль оси Оу в 3/2 раза и смещенный вдоль оси Ох влево на Д/2.
5.181. а) График обратной тригонометрической функции у = arctgx, от-
отраженный относительно оси Ох, растянутый вдоль оси Оу в 3 раза и
смещенный вдоль оси Ох влево на 5/2; б) график функции у = arctgrr,
сжатый вдоль оси Оу в 5/2 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо на 6.
5.182. а) График показательной функции у — 2х, отраженный относи-

Ответы и указания
363
тельно оси Оу и смещенный вдоль оси Ох вправо на 1; б) график функ-
функции у = 2Ж, отраженный относительно оси Оу, сжатый вдоль оси Ох в
2 раза и смещенный вдоль оси Ох вправо на 1. 5.183. а) График лога-
логарифмической функции у = lgx, смещенный вдоль оси Оу вверх на 1 и
вдоль оси Ох вправо на 1/10; б) график функции у = lgx, отраженный
относительно оси Ох, смещенный вдоль оси Оу вверх на lg 2 и вдоль оси
Ох влево на 4.
-2х, х <Е (-оо, -2],
5.184 *). у ={ 4,
5.185. у =
5.186. у =
5.187. у =
5.188. t/ =
5.189. t/ =
5.190. у =
5.191. v =
х е (-2, 2],
2х, х е B, +оо).
(х + 1J - 1, х е (-оо, 0],
х2, х € @, +оо).
(х + 3J, xG(-oo,0],
(х-3J, 16@, +оо).
-(хЧ-1J-Ы, же (-оо, 1],
(х + IJ - 1, х € A, +оо).
2(х-1), хЕ(-оо, 1],
О, х € A, +оо).
7
2-
х + 2'
7
(-oo, -2) U [3/2, +oo),
1-
1
-, же (-оо, -2),
1
~1 + хТ2' хЕ(~2'°]'
о
, ж е (о, +оо).
X + I
l) Здесь и далее ко всем аналогичным задачам этого параграфа в ответе фак-
фактически приводится тот вид исходной функции, из которого уже легко получить
ее график.

364
Ответы и указания
5.195. у =
5.192. При х е (-оо, 0) — прямая у = -1, при х £ @, 4-оо) — прямая
у = 1, при £ = 0 у = 0. 5.193. При а; € [п, п 4- 1), n € Z, — прямая
у — п. 5.194. При а; € [п, п 4- 1), п € Z, ■— прямая у — х — п.
2~*-1, же (-оо.О],
_ 2* - 1, же @, +оо).
|>+1+2, а: € (-00,-1],
5.196.?/= { /iV+1
Us) +2> «(-'•+->-
_/log1/2C-a:), a:€ (-oo,3),
1о0* it* —I— 1 I т* ^ I — I ОI
5.197. г/ =
5.198. у =
5.199. у =
5.200.?/-
5.201. 2/ -
5.202. у =
5.203. у =
Iog2(a;
0,+00).
^
х4---2А;7г, ^ 2/С7Г-—, 2/стг 4-Т , Л € Z,
4 4 4'
1)тг, a;
ч/оГло f ^ _ ZL ) ^ (Z [ОЪ-пт (9k- 4- 1 W1
Y ^ COS I jJ i* ~T I, «*vt ll<^A^ i* J- у 7Г, ^ I rC ■
V 4/
- arctg (ж - 1), x £ (~oo, 1],
arctg(a: - 1), x € A, 4-oo).
7Г
О, ж = - +
5.204. у-
-ж, а; е (Bк 4- 1)тг - ^, Bfc 4- 1)тг 4- -
( 7Г\ Г. 7Г . 7Г1
ctg hr+7 , a; G «7Г — T, А;тг 4- т >
V 4 / L 4 4 J

Ответы и указания 365
1 х 2
5.205. у = -A - cosz). 5.206. Отрезок прямой у - - + -, жЕ [-7, 3].
Z 0 0
5.207. Оси координат. 5.208. Кривая, симметричная относительно обеих
осей координат; в первой четверти — часть параболы у — — (х — IJ + 4
при х £ [0, 3] и часть параболы у = (х - IJ - 4 при ж £ C, +оо).
5.209. Квадрат с вершинами A, 0), @, 1), (-1, 0), @, -1). 5.210. Ква-
Квадрат со сторонами х = ±1/2, у = ±1/2. 5.211. Кривая, симметричная
относительно обеих осей координат и биссектрисы первого и третьего
квадрантов; в области G = {(х, у) \х ^ 0, у ^ 0, х ^ у} — луч у = х-1.
5.212. Кривая, симметричная относительно обеих осей координат; в пер-
1 л/3 1
вом квадранте при у ^ - — отрезок прямой х = —, при у > - —
х 3 2 5 4
отрезок прямой у — 1 - —т=. 5.213. О, -, -, -, -, ... 5.214. 2, 0, б, О,
V 3 2 о 4 о
10 5 211 8 11 14 1? 2° 5 216 2?Г ?7Г 8?Г Ш 14?Г
10, ... 5.215. -8, 11, -, -, у, ... 5.216. у, у, у, —,_,...
( — 1)П 277
5.217. а:п - ^-. 5.218. хп = 1 + (-1)-. 5.219. хп = ——-.
п + 1 2п - 1
5.220. хп = ncos-1^—Ч 5.221. хп = (-^Ут^^- 5-222- хп =
— sjn 1— 5.223. Наибольший член ж3 = 4. 5.224. Наибольший
член .т5 = е. 5.225. Наибольший член х$ — 1/6. 5.226. Наименьший
член Х2 = —22. 5.227. Наименьший член #8 — 24. 5.228. Наимень-
Наименьший член х3 = -9/8. 5.229. а) ЗЛ > 0 Vn G М(|жп| ^ Л); VA > О
Зп € М(|жп| > Л), б) VAr G N(in < xn+i)\ Зп е N(xn ^ хп+1).
в)Уе>0 3NeN VN eN(n> N ^\xn~a\<e); Зе > 0 V7V G N
Зп е N(n > N Л\хп-a\ ^ е). г) V£ > О ЗАГ G N VnGN(n>
> N =* |хп| > Е); 3J5 > О V7V е N Зп G N(n > N Л |жп| ^ Е).
д) Уе > 0 Зп G N(\xn - a\ < е)\ Зе > 0 Vn € N(\xn - a\ ^ e).
5.230. а) а = 1/3, 7V = 3; б) а = 1, N = 10; в) а = О, N = 999;
г) а = 5/7, ЛГ = 3. 5.231. 1/3. 5.232. -5/9. 5.233. 0. 5.234. -1/2.
5.235. 0. 5.236. 0. 5.237. +оо. 5.238. 0. 5.239. 3/2. 5.240. -1.
5.241. 1/2. 5.242. 1/3. 5.243. 0. 5.244. 1. 5.245. 1/6. 5.247. Является.
5.248. Не является. 5.249. Не является. 5.250. Является. 5.251. 1/3, 3.
5.252. О, \/2/2, 1, -\/2/2, -1. 5.253. тг/6, -тг/б. 5.255. inf {xn} =
= lim хп — lim хп — 1, sup{.Tn} = 2. 5.256. lim xn = inf {xn} = О,

366 Ответы и указания
lim хп = 1, sup{:rn} = 5/4. 5.257. Последовательность неограничена
сверху и снизу; lim хп — -f-oo, lim хп — — оо. 5.258. inf {хп} = — уЗ,
sup{.xn} =2>/3, lim хп = ——, lim zn = —. 5.259. inf {zn} =--,
n_>-OO Z U->-OO 2 ^
3 ]_ 3
sup{:rn} = -, Urn zn = -, lim xn = -. 5.264. V£ > 0 3J > 0
@ < \x\ < S =» |/(a;)| > JS). 5.265. VJ5 > 0 35 > 0 (-6 < x - 1 < 0 =>
=» |/(^)| < -JS). 5.266. Ve > О ЗЛ > 0 (|ж| > A =» |/(x)| < e).
5.267. VJ5 > О ЗЛ > 0 (ж > Л => |/(ж)| > E). 5.268. Ve > 0 35 > О
(О < х < S => |/(ж)| < е). 5.269. Ve > О ЗА > 0 (|ж| > Л =»
=» |/(ж) ~ 2| < е). 5.270. VJ5 > О ЗА > 0 (ж < ~Л =» f(x) < -Е).
5.271. VJS > О ЗЛ>0 (ж < ~Л =» \f(x)\ > Е). 5.272.-2. 5.273.2.
5.274. -оо. 5.275. 0. 5.276. тоо. 5.277. 0. 5.278. m/n. 5.279. Зж2.
5.280. 6. 5.281. (а - 1)/За2. 5.282. 1/4. 5.283. +оо. 5.284. п. 5.285. 0.
5.286. -1/2. 5.288. 3/5. 5.289. 1/6. 5.290. л/2/2. 5.291. 1/B^/5).
5.292. 3. 5.293. +оо. 5.294. у^. 5.295. 1/п. 5.296. гп/п. 5.297. 3/2.
5.298. 3v/2/2. 5.299. 0. 5.300. 1/2. 5.301. -7/4. 5.302. 2. 5.303. 3.
5.304.7/3. 5.305. 1/тг. 5.306.3/4. 5.307.2. 5.308. (а2-/?2)/2. 5.309.0.
5.310. -а/тг. 5.311. - л/2/4. 5.312. 1. 5.313. О при п > т, 1 при п = ?тг,
+оо при п < т. 5.314. 4. 5.315. 1/2. 5.316. 25/16. 5.317. < Заме-
Замечая, что — = loga A + х)х/х, и воспользовавшись непрерыв-
х
ностью функции f(x) = loga:r (см. задачу 5.381), можем записать:
loga A + xI/* = loga (lim A + x)llx) - loga e.
x>0
ga ( + ) ga (
x—>0 ГС ж—>0 x—>0
5.318. Указание. Сделать замену ax - 1 = у. 5.319. Указание. Сде-
Сделать замену A + х)а - 1 = у. Тогда a In A + х) — In A + у), Следова-
хельно, A + а:)а'1 = ^ = _SLb!(!±£). 5.320. е-. 5.321. е»
ж ж In A + у) ж
5.322. е/2. 5.323. е3. 5.324. 2. 5.325. 1. 5.326. In а. 5.327. a In а.
5.328. - loga е. 5.329. а-6. 5.330.1. 5.331.-1/2. 5.332. е. 5.333. 1/е.
5.338.+1, -1. 5.339.-OO, +оо. 5.340. +оо, 0. 5.341.0, +оо. 5.342. тг/2,
-тг/2. 5.343.0, -1. 5.344.2, -2. 5.345.-2, -2. 5.349.3/2. 5.350.2/3.
5.351. 1. 5.352. 3. 5.353. 1. 5.354. 3. 5.355. 1/3. 5.356. 1/2. 5.357. 1/2.
5.358.1/2. 5.360.0,97. 5.361.5,03. 5.362.1,15. 5.363.0,88. 5.366. - In 10.

Ответы и указания 367
5.367. 3. 5.368. -2. 5.369. 2/3. 5.370. 8/9. 5.371. 3>/2/2. 5.372. 3.
5.373. 1. 5.374. 1/2. 5.375. 2/3. 5.376. 2. 5.377. 1/6. 5.384. А = 3.
5.385. а — 2. 5.386. b = тга/2. 5.387. ^i = 0, ,т2 = 1 — точки разрыва
второго рода. 5.388. х — 5/3 — точка разрыва первого рода. 5.389. х —
= 0 — точка устранимого разрыва; /@) = п. 5.390. х = 0 — точка
устранимого разрыва; /@) = 1. 5.391. х — 0 — точка устранимого раз-
разрыва; /@) = 1. 5.392. х\ — 2, Х2 = —2 — точки разрыва второго
рода. 5.393. х — 0 — точка разрыва первого рода. 5.394. х = — 2 —
точка разрыва первого рода. 5.395. х — 2 — точка разрыва первого рода.
5.396. х = 0 — точка устранимого разрыва, /@) = 2; х = ±1 — точки
разрыва второго рода. 5.397. £] = 0 — точка устранимого разрыва,
/@) — — 1; .х2 = 1 — точка устранимого разрыва, /A) =0; х% = —1 —
точка разрыва второго рода. 5.398. х — 0 — точка устранимого разрыва;
/@) = 1/2. 5.399. х — 1 — точка разрыва первого рода. 5.400. х = 1 —
точка разрыва первого рода. 5.401. х — 2,5 — точка разрыва первого
рода. 5.402. х — тг/4 — точка разрыва первого рода. 5.408. (Ve > 0
V#o e D 36 > 0(\х-хо\ < 6 => |/(ж) -/(хо)| < е)) Л (Зе > 0 VJ > 0
За;', ж" 6 Z2 (|х/-.т//| < 6A\f(x')-f(x")\ > г)). 5.411. Равномерно непре-
непрерывна. 5.412. Не является равномерно непрерывной. 5.413. Равномерно
непрерывна. 5.414. Не является равномерно непрерывной. 5.415. Рав-
Равномерно непрерывна. 5.416. Не является равномерно непрерывной.
5.417. Не является равномерно непрерывной. 5.421. 9 + 7г. 5.422. -3+4г.
5.423. -4г. 5.424. -29 + 22г. 5.426. -^ - -^-г. 5.427. г. 5.428. ^г.
1 / 17 15
5.429. -2+^г. 5.430. х = 2, у = 3. 5.431. х = 1/3, у = 1/4. 5.432. ^ = 1,
z2 = г. 5.433. 2?! = 2 + г, г2 = 2 - г. 5.434. a?i = 1 +-it, z2 = t, t e Ш.
5.435. cos — + г sin —. 5.436. 2 ( cos — + i sin — ). 5.437. cos h
2 2 \ о ^ ) ^
. . 2тт ^ ^ОЛ Зтг . . Зтг ЛЛЛ бтг . . бтг ЛГ
+ г sin —. 5.438. cos — + г sin —. 5.439. cos — + г sm —. Указа-
о 2 2 ((
ние. Определить угол <р, удовлетворяющий условиям: ср Е [0, 2тг),
= —cos—, sin v? = sin—. 5.440. cos—+? sin-. 5.441. 2 cos— x
1 /o" 7 1 
►s—+isin—V 5.448. а) -4г, - + i~-; 6) 10 - 2г, -- - —i.
3 3
5.450. 2г. 5.451. - + г. 5.453. Сдвиг на вектор а = {-2, 0).

368 Ответы и указания
5.454. Сдвиг на вектор а = {3, —1}. 5.455. Поворот на угол тт/2 про-
против часовой стрелки. 5.456. Поворот на угол 7г/4 по часовой стрелке.
5.457. Симметрия относительно начала координат. 5.458. Гомотетия с
центром в начале координат и коэффициентом к— 2. 5.459. Поворот на
угол 7г/4 против часовой стрелки с последующей гомотетией с центром в
начале координат и коэффициентом 1/\/2. 5.460. Отражение относитель-
относительно действительной оси. 5.462. а) Сумма квадратов диагоналей параллело-
параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, б) Указание. Воспользо-
Воспользоваться тождеством а). 5.463. Полуплоскость х ^ 0. 5.464. Полоса 0 ^ у <
< 1. 5.465. Полоса \у\ ^ 2. 5.466. Внутренность круга радиуса 1 с центром
в начале координат. 5.467. Окружность х2 4- (у + IJ = 4. 5.468. Кольцо
между окружностями 7ь (ж + 2J + у2 = 1 и 72- (# + 2J + у2 — 4 G1 не
принадлежит кольцу). 5.469. D — {(х, у)\у2 > 1 - 2х}. 5.470. Прямая
3
2х + у + - = 0. 5.471. Сектор, ограниченный лучами 1у — {(.т, у) \ у —
= 0, ж ^ 0} и /2 = {(#, у) | у = ж, ж ^ 0} (ЛУЧ 'i не принадлежит сек-
сектору). 5.472. Сектор, ограниченный лучами 1\ — {(.т, у) \ у — х, х < 0}
и/2 = {(^, У)\У = -ж, ж ^ 0}. 5.473. Ось Ох. 5.475. 5eiarctsB4/7).
5.476. I3eiarctg(~12/5). 5.477. 5e^arctgD/3)+7r). 5.478. v/5eiGr~
5.479. е^а+37Г/2). 5.480. 2sin-e^Q/2) при sin- > 0, -2sin-eiGr+Qt/2)
о
при sin ^ <0. 5.482.аJ4е-*('г/2), -; б) 1бе^77Г/4), ге"*^/2). 5.485.32г.
5.486.2. 5.487. 512A -iy/S). 5.488.-. 5.490. a) iCcos(p + cos3(p);
6) -Csincp — sin3(p). 5.491. 4 cos3 ip - 3 cos cp. 5.492. 3 sin cp - 4 sin3 cp.
5.493. cos4 кр — б cos2 <p sin2 cp + sin4 cp. 5.494. 4 sin (p cos3 cp — 4 cos cp sin3 ip.
5.495. Корни 2-й степени из единицы: z\ — 1, z<i — — 1, корни 3-й степени
l , .л/5 1 .V5
из единицы: z\ = 1, z<i — ~о+гТ' 2з ~ ~о ~г~о~' КОРНИ 4-и степени
2 2 2 2 ^
из единицы: z\ = 1, ^2 — ^5 ^з — ~15 ^4 — ~г- 5.496. ±-—A + г).
5.497. ±f A+0, ±f A-0- 5-498. cos (^ + |fc)+isin (^ + |
/О
А = 0, 1, ..., 8. 5.499. ±-уA +
5.500. v^ (cos (^ + |fc) +isin (^ + |fe)), к = 0, 1, 2, 3.
5.501. '^(cos Q + yjfc) +isin Q + у*)), к = 0,1, 2, 3, 4.

Ответы и указания 369
5.502. У2 (cos (^ + |fe) + г sin (^ + |fc)), * = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
5.503. 2^2fcosBfe~1Or+^sinBfcOrY * = 0, 1, 2, 3, 4.
V 5 5 /
5.505.
_ 5jm ^^
sin [if 12) 2 шор sin c/p
1 \/3
5.508. -1 ± 2г. 5.509. - db -~-г. 5.510. -2 + г, -3 + г. 5.511. 1 + г,
4 4
2 - Зг. 5.512. 1, -^ ± i^y. 5.513. -1, ^ ± iy. 5.514. 1, -3,
-1 ± 2г. 5.515. (-1 + у/2) ± гл/2, (-1 - у/2) ± iy/2. 5.516. zi,2 =
= z3A = ±3г. 5.517. ±г, ±>/Зг. 5.518. ±2г, ±y/bi. 5.519. ±A + г),
iv^fcosJ-isinJY 5.520. J(l ±г\/3), -1, ~^A ± t\/3), ~^3.
V 8 8 / 2 2
5.521. ±1, ±г, ±y/2(l±i). 5.522. ж = tg Q + 7Г^, fe = 0, 1, ..., п-1, где
п
а = arctga. Указание. Положить a = tga, ж = tgy и воспользо-
воспользоваться тригонометрической формой комплексного числа. 5.523. (z — 1) х
2 + l). 5.524. (z2-zy/2 + l)(z2 + zV2 + l). 5.525. (^2 - z +1) х
l). 5.526. (z2 + 2z + 2)(z2 + 2z + 5). 5.527. (z- l)(z2 + z + IJ.
5.528. {z2 -2z + b)(z2 + 82 + 20). 5.532. 2 - i. 5.533.-1. 5.534. ^г.
5.535. -l + iri- 5.536.1. 5.537.0. 5.538. 00. 5.539. 00. 5.540. "ЛТ^-
5.541. -^-C + i). 5.542. 1 + ie. 5.543.^-^. 5.544. e3(cos2 + isin2).
5.553.0. 5.554.0. 5.555.—^-. 5.556.0. 5.557.^—^.
1 - z 1 - z\
Глава 6
6.1. 0,331. 6.2. 0,5. 6.3. -1. 6.5. (AxJ - 2Дж. 6.6. e(eAx - 1).
6.7. Iog2(l + Дж). 6.9. ~4 6.10.-^=. 6.11. 2Ж In 2. 6.12. - log2 e.
X tL\J X «C
6.14. Указание. Воспользоваться тождеством: ж/(жо) - xof(x) =
= (ж/(жо)-хо/(я:))-(жо/(я:)-жо/(я:о)). 6.15. /1(-1) = -2, Д(-1) =
- /-A) - 0, ДA) = 2. 6.17. /1@) - Д@) = 0. 6.18. /1@) - -1,
Д@) = 1. 6.19. /1@) = 1, /|@) = 0. 6.20. Указание. Функция
2/ = sin — не имеет предела при ж -> 0. 6.21. -2 + -х3. 6.22. —.
х 6 az

370
Ответы и указания
6.23.-4
4 4- 6-24ТТ1^
х6 х, [х + \у
-31). 6.27.
. 6.28. -
- 6-26- 2а; х
5 ^8
V
Ье-ad
(
1 -4а:
6.33. ^-^. 6.34. -4= ~ ^77=. 6.35. 2^x2C^+ 5). 6.36. -
2ху/х <ух 2\/х х
( 2 3 \ о 2 3 2
6.37. 3x2ctg.x
si
6.38.
xsinrc + v
6.42. z2 ^3 log2 x
sin2 x
6.39.
ъ
2 sin2 л;
1+sina;
5
6.41. -
- 31) +
. 6.40.
2 N
- - 3xln3 I.
x J
. 6.43.
2 cos3 x - 3
6.44. sin

-V 6.45.
9a)
cosz x
x5 +aJ
- -И
6.47. -cos—. 6.48. -4sin—. 6.49. 24жA + 4х2J. 6.50.
Z Z о
6.51.-sin.T. 6.52. 2c°s4a;(v/r=~il
2 |cos4a;|vv
. * 6.54. Jcosx.
VI -In2 x 2
4 VI + sin2 x
sin4z). 6.53. arcsin In x
. 6.56. 2
6.57. -e-/
cos2 т ~ sin
6.58.
^. 6.59.
^
. 6.60.
6.61.
. 6.62.
cos .x
T2 - 1
1 - x4
6.63. --cos I sinB sin ^). 6.64.
cos | sinBsin J
3 3V 3
6.66. ^— sgn(sinx). 6.67.
6.69. 2Ж/ln
x
In 2. 6.70. 2 v/^T^ In 2 • cos x • sgn (sin x).
6.71. З2' • 2х ln 3 • ln 2.
1 r2
6.72.ilg?-. 6.73.
a: 10'
U./t).
a; ln 2-In 2a:
- 6-74.
, v/ln(ax2-f6x4-c)
B + x2)ч/l -j- x2 arctg VI 4-
2>/ln (ax2 + ba: + c)(ax2 + bx + r)'
Dili • СЛ ГГ.

Ответы и указания 371
6.78. shx. 6.79. -i-. 6.80. -4-. 6.81. (*-3)A9*-17)_
ch2 x sh2 x (x +1L
ШО/г» 9т^ Ол.2 I CW _i_ i
« в„ ~~ LX ~ zx л q« ZL +JXtl
D.oZ. , =. u.oo. —
— V)^Bx 4- 1)^
6.84. —IT """- 7" ■ 6.85. x*(lnx - 1). 6.86. x2'2- x
' ' T '(x + 2K-C/(x-2M
x - + lnx-ln2 . 6.87. (v^)^ :Чт=- • 6.88. (Inx
1- In x -In In x , чо ^с„ / In sin x ,
6.89. (sin x)*rcsin x [ / + arcsin x • ctg ж .
6.92. жж( ) (
\х )
х > 0. Указание. Найти производную каждого слагаемого.
AftQ . о 1 + 2л/1 + cos2 ж
6.93. — sm2ж —. = j===-. Указание. В качестве
2у\ + cos2 х(cos2 ж 4-v 1 4- cos2 x)
промежуточной переменной взять u = cos2 x и далее воспользоваться
arccos х
правилом дифференцирования сложной функции. 6.94. . х
/Л 2
xB1narccosx + 1). 6.95. -L_
A-e-
6.96. — — v9 Dа~ж arctgQ"^ 4- а~2ж - 1). 6.97. a — 2, 6 = 0.
Указание. Условия непрерывности lim f(x) = lim /(ж) и диффе-
ренцируемости /!_@) = /+@) составляют в совокупности систему двух
1 3
уравнений относительно а и Ь. 6.98. а = --, Ь = -.
2т2
6.99. , 6.100. -
6.101. — \п[ ^—- -т
m + n ^ Vl+^У V-^-^У
6.102. -sin2zcos(cos2z). 6.103. ^шпьх mtg^^ 6.104. П%
cosn+i(ma;) cosn mx \b/
x -
" 3z2-2'
6.107. 27Г log2 e ctg f27гж + ^V 6.108. —— . g X).
3 \ 2/ 1 + te;1 ж

372
Ответы и указания
6.109.
2~. 6.110. (sinz)COST(ctg£COS£-sinzlnsin£). 6.111. - х
х In х 2
6.113. thdz [ 1 +
6.116
2sh.x
Sin2*l 6.112.-8Ш^
2 cos a;
6.114. . 6.115. e~x(achax - shax).
ch 2.x
6.120
6.122
6.126. у =
sgn(shrr)^ 6Л1^ l 6Л19> Cos(z-7rfc), если ж G
сЬж aVz2 - 1
, 7r(fc + 1)), если же х = 7г&, то y'__(irk) = —1, у'+(ттк) = 1, х е Z.
—Ц> ж > 0; -т-^, ж < 0; уЦО) = -1, ^@) = +1.
1
— , ж > 0. 6.124. 0,
-1, х ^ 0; -е-ж, ж > 0. 6.123. 1, ж ^ 0;
о
; 2хе~х {1-х2), \х\ < 1. 6.125.-
2/ = Е Т^"- 6Л27- ^ * ^а~1 * а1па' 6Л28' Aоёха)х х
+ 4х3 - Збж2 + 54 / 3-х
6.130. ( -
6.132.
6.135.
6.136.
- In log x ). 6.129. cos x cos (sin x) cos (sin (sin x)).
inx J
- 6Л31- -
sina:,
q cos qx cos bx + b sin аж sin bx / sin «^
3cos6
3cos6x ЬЗ +
3cos6x ЬЗ + ту
cos^ bx \ cosz bx
tp(xo). Указание. Воспользоваться определением производной.
. D.137.
x f(x) '
6.143. ff(f{x))f(x). 6.144. \. 6.145. --. 6.146. -^.
6.147.
6.150.
6.153.
-x2)'
ex sin у + ey sin x
ey cos x — ex cos у
1 -?/2 1 -y/1- x2
6.156. ^
6.148. -W-.
fi "* 51 — —
6.154.
6.149.
2A
х -у
6Л55. У-
х 1 + х2
6.157. -. 6.160. ±
Указание. Функ-
а; ?/ In х - ж ж у/х2 - 1
ция у = cha:, a: G (—оо, +оо), не имеет обратной, поэтому следует

Ответы и указания 373
рассматривать два промежутка (—оо, 0) и @, +оо), на каждом из ко-
которых заданная функция монотонна и, следовательно, имеет обратную.
6.161. log2e -ctgz. 6.162. , l 6.164. Ц—. 6.165. ^
6.166. , , 7 . 6.167. / , .. 6.168. St - -. 6.169. —.
а(ж) + log2 e 1 + In a(x) 2 St
6.170. —. 6.171. -23t+1. 6.172. --ctgy>. 6.173. 2cos2t x
^4-1 a
x(cos2t - 2sin2t). 6.174. 1. 6.175. -. 6.176. ?ln2ctg2^.
Z о
6.177. --4^L. 6.178. л6/ ^ " / . 6.179. -tht. 6.180.1. 6.181.-1.
V
6.182. 2 + \/3. 6.183. -^.6.184. -2cos2a;. 6.185. j—~^. 6.186.-—^—
x2 + l ^„„ л Г2/Л 9 ,ч л.лл Зж A + 2ж
x(?rij?'6Л87-2е"х Bх -1}-6Л88- (i^w+ (i
6.189.^-42 + In») (i
(
ни с. Воспользоваться логарифмической производной. 6.190. 2/'@) = 3,
1/"@) = 12, у'"@) = 9. 6.191. 2. 6.192. 6. 6.193. j/@) = 1, у'@) = In 2,
1 + to' (w2 + v2)(uu" + to") + (u'v -
^ ( )
v' „ ии" — и'2 то" - v'2 т\
, у" = . 6.199. гтжш-п, если п ^ т;
v и2 v2 (т - п)!
0, если п > т. 6.200. (k In аO2^*. 6.201. sin (х + п^ V У к а з а н и е. 2/' =
= cos ж = sin (х 4- --), 2/" = (sin (х + — J J = cos (х + — J = sin (ж + 7г)
f77 — 1 V / 777Г \
и т.д. 6.202. (-lO1-1^ n h. 6.203. 2n-x cos Bx + yJ. Указа-
2n!
ние. Воспользоваться формулой: cos2 a; = —:—-——. 6.204. — —
6.206. (ГГГ(';Г- 6.207. 1;o3;5-;27QG^). Указание. Вое-
(х2 - Зж + 2M1 220A - zJOv/r^lr
пользоваться равенством 1+а* — 2-A-ж). 6.208. cos ж -B09-х — х2) -
- 15sina:-Ba; + l). 6.209. ех(х2 + 39^ + 360). 6.210. 4а/2sin (ж - ^)е~ж.

374 Ответы и указания
6.211. ' °^26. 6.212. zshz+lOOchz. 6.213. Указание. Доказатель-
о о 24c3(ad-bc)
ство провести методом математической индукции. 6.216. — .
г? 2 — тру 9П -4- ?Л2
6.217.-48. 6.223.-^. 6.224. е2",, \,. 6.225. { + У)
A — хеуK ' т/5
6.226. 2П + \з~ • 6'227' ~гпз' 6-230' ~cte3f или
, +оо). 6.231. или -2 sec2 x, x (
(х2 - IK/2'
6.232. 2A + £2) или 2 sec2 ж, х £ (--, -V 6.233. или
v у V 2 2/ За cos41 sin £
2/3
G ж € @, а). 6.235. 7х + t/ - 3 = 0, ж - 72/ + 71 = 0.
2/f
6.236. j/ - 5 = 0, ж + 2 = 0. 6.237. x - Ay + 4 = 0, 4ж + у - 18 = 0.
6.238. у - 2ж = 0, 2у + ж = 0. 6.239. ж - 2/ - 1 = 0, ж + 2/ - 1 = 0.
6.240. 2х - у + 3 = 0, ж + 2у - 1 = 0. 6.241. 7z - Юз/ + б - 0,
10ж + 1у - 34 = 0. 6.242. 2/ = 0, (тг + 4)ж + (тг - 4J/ - тг2^ - 0.
2
6.243. 5ж+б?/-13 = 0, бж-5?/+21 = 0. 6.244. х+у-2 = 0. 6.245. arctg -.
6.246. МоA/8, -1/16). 6.247. у = ж2 - х + 1. 6.249. 2ж - т/ - 1 = 0.
6.250. 4ж - 42/ - 21 = 0. 6.251. 3,75. 6.254. В точке Mi @, 0) угол равен О
1 8
(параболы касаются) и в точке М2A, 1) угол arctg-. 6.255. arctg—.
6.256. arctg 2у/2. 6.257. тг/4 и тг/2. 6.260. 2/а/5.
6.262. < Если кривая задана уравнением г = г (у?), то декартовы коор-
координаты точек М этой кривой как функции угла ср даются выражениями
х — r{ip) cos <£>, у = r((p) sin у?.
Отсюда Ом = r(<£>) cos(p-i + r((p)sin^>-j, т.е. вектор рA, tgcp) коллине-
арен Ом. Вектор гA, ?/!,,) является направляющим вектором касатель-
касательной ТТ1, а так как
, _ Ур _ г1 sin кр + г cos у? _ г + г' tg ip
х х'р г1 cos ip — г sin у? г'—rtgy?'
то вектор е(г' - г tg</?, г + г' tgy?) коллинеарен г. Следовательно,
(р,е) _ г'
COS0 =
|р|.|е| y^TW:
г
откуда g^/s;?r

Ответы и указания 375
6.263. в = arctg -. 6.264. в = £ + 2<р. 6.265. а) ^ = 0, t2 = 8; б) * <Е
Ль ^!
G (О, 4)U(8, +оо); в) tr = -(З + л/З), *2 = -C->/3). 6.266. -аиsinart.
7
7
6.267. 242. 6.268. — тг. 6.269. awe**. 6.270. ?;.т = -2acjsin2<p, vy =
18
= -2acjcos2(^. 6.271. В точках C, 16/3) и (-3, -16/3). 6.272. 4nr2v и
8nrv. 6.273. 2тград/с. 6.277. (A?/)i = 1,261, (c/*/)i = 1,2, (AyJ =
= 0,120601, (d2/J = 0,12. 6.278. As = 2xAx + Дж2, c/s = 2х-Дх.
6.279. r/s = f'(ti)At есть путь, который был бы пройден точкой М за
промежуток времени At при равномерном движении со скоростью /;(/]).
6.280. ds = 0,1, As = 0,08. 6.281. а) 0; б) | + ктг. 6.282. Равенства
а) и в) невозможны; равенство б) возможно в случае линейной функ-
функции (см. задачу 6.276). 6.283.2 см. 6.284.3 см, 6.285. 2\Лг2 - х2 dx.
6.286. 2; sin ж da;. 6.287. arctg ж da;. 6.288. \nxdx. 6.289. arcsin^dx.
-2^. 6.291. ^"^If. *W2.-fidx. 8.29S. -^-.
6.294. y—lldx. 6.295. __sin^ + ^) dx. 6.296. ^1 ^
2/2 1 + sin (ж + у) х - у
6.297. _1 + ^sin(aW dx 6>298. a) 0,05; 6) 0,805; в) 0,2. 6.299. 2,93.
X" Sin (ж?/)
6.300. 1,2. 6.301. ДУ « 2тг71/?,Дг. Указание, Поскольку h постоянна,
то v является функцией одного аргумента г: v = ixhr2.
RT
6.302. AV « ^Д/^- Указание. При постоянном Т объем V явля-
р2
ется функцией только одного аргумента р: V = RT-.
6.303. -ab2sm(bx + c)dx2 = -h2ydx2. 6.304. 3~*21п9B.г2 In3 -
6.305.
^ax . 6.312. 7. b.313. ;
A + a2 sin2 xK/2 (x + 2yY (y -
6.314. 6*(,1 + У,У. 6.315. (^-У)^ 6.316. /(а;) разрывна при
A — о2/^)л A — a cos уN
x = О Е [—1, 1]. 6.317. 0. 6.319. Указание. Провести доказательство
методом от противного, предварительно установив, что производная ле-
левой части уравнения имеет единственный действительный корень х — 1.

376 Ответы и указания
6.320. Указание. Провести доказательство методом от противного, пред-
предварительно установив, что производная левой части уравнения не имеет
действительных корней. 6.321. Указание. F(b) = F(a). 6.322. £ =
= 1/\/3. 6.326. Указание. Воспользоваться результатом задачи 6.323.
6.328. & = 1/2, £2 = 5/3. 6.329. 0. 6.330. 1/3. 6.331. —aw~n.
6.332. l*a~}nbM. 6.333. 1. 6.334. 2/3. 6.335. -|т=. 6.336. a2/b2.
\nc-\nd ' 3^5
6.337. 2. 6.338. 2/3. 6.339. -1/2. 6.340. 2. 6.341. 9/50. 6.342. 1/2.
6.343. 1/2. 6.344. 0. 6.345. 1/2. 6.346. -оо. 6.347. cos3. 6.348. -2.
6.349. 1. 6.350. 0. 6.351. 0. 6.352. 0. 6.353. 2. 6.354. 0. 6.355. +оо.
6.356. 1/тг. 6.357. а. 6.358. 0. 6.359. -1. 6.360. 0. 6.361. 1/12.
6.362. -1. 6.363. 2/3. 6.364. 1. 6.365. 1. 6.366. 1. 6.367. е. 6.368. 1.
6.369.2. 6.370. 1/е. 6.371.1. 6.372.1/е. 6.373.1. 6.374. е. 6.375. е2.
6.376. е. 6.377. 1/у/ё. 6.378. 1/^ё. 6.379. -9 + 17(ж + 1) - 9(х + IJ +
а) в = 1/4; б) в — любое действительное число; в) в — 1/4. 2
6.381. Р(-1) = 143, Р'@) = -60, Р"A) = 26. 6.382. 1 + ~ + ^- + ...
... + — + — хп+1. 6.383.—- — + ^ . + Г-П^-1)/2— +
п\ (п + 1)! 1! 3! 5! К } п\
sin(fe + (n + l)Gr/2)) n+1 х_ х^ хъ /2
+ (n + i)! х ' пнечетн0' v~ з! + 5l~-'- + ^~ ^
хп~1 sin(fe +(п + 1)(тг/2))
х ^ ^жп+1, п четно.
+ +(l) +
2! + 4! •■•+( j (n-l)!+ (n
x2 xA
+
+ ¥... + A)+ (n + 1)! Д '
пчехно. 6-385. я- f + ... + (-!)»-> ^ + ( + ^ fa)n+1, я > -1,
6.386. a; - ^ + ^ - ... + (-l)(»-D/2^ + йп+1 (х), п нечетно; z - ^ +
хъ xn~l
+ — - .. . + (-l)n/2 - + Rn+i(x), n четно. У к а з а н и е. Остаточный
О 71 — J.
член записать в общем виде.
а а(а — 1) 9 а(а — 1).. .(а — п + 1) _
6.387. 1 + —ж + v ;ж2 + ... + -^ ^-^j ^a;n +
I а(а-1)---(а-гг)A + <?*)а-п-1 n+1
+ (n + 1)! x , x> 1.

Ответы и указания 377
. Указание. В разло-
х2
жении еи по формуле Маклорена (см. задачу 6.382) положить и = .
6.389. \ (Щ£- - ¥$- + ... + (-1)» {^Р) -Указание. Записать
2 \ 2. 4. [2п). )
sin2 х — -A - cos2#) и воспользоваться результатом задачи 6.384.
т4 т6 х2п
- 6-392.2
42-2 ' 43-3 v ' 4»-n V 2 8 22 • 2! 82
(ж - 2J - (ж - 2K + ^ L г. 6.394. ж +
A + ^-2)M 3
г) 2,012. 6.398. а) 1 ^^j; б) ^^Щ- 6.400. а) 1; б) 1/2;
в) 1/2. 6.401. Указание. Воспользоваться разложением функции по
формуле Тейлора в окрестности точки xq до члена порядка к включи-
включительно. 6.402. /(ж0) =0 — минимум, если у?(ж0) > 0 и п четное;
/(^о) — 0 — максимум, если (р(хо) < 0 и п четное; экстремума нет,
если п нечетное. 6.403. Указание. Воспользоваться первым достаточ-
достаточным условием экстремума. 6.404. На (-1, -1/\/2) и A/л/2, 1) убы-
убывает, на (-1/\/2, 1/\/2) возрастает; 7/min = 2/(-1/\/2) = — 1/л/2, 2/тах =
= у{1/\/2) = 1/2. 6.405. На (-оо, -1) и @, 1) возрастает, на (-1, 0)
и A, +оо) убывает; j/max = у(-1) = уA) = 1. 6.406. На @, 1) и
A, е) убывает, на (е, +оо) возрастает; ут\п — у(е) = е. 6.407. На
(|Ffe-l), |Ffe + l)) убывает, на (|Ffe +1), |Ffe +5)) возрас-
возрастает; ymin = ?/ B/С7Г + -J = 2/С7Г + (- - \/3j « 2for - 0,685, 2/max =
= у [2kiT + ^ ] = 2(fe + 1)тг - (| - \/з) « 2(fe + 1)тг + 0,685, fceZ.
6.408. Ha @, 2) убывает, на B, -hoo) возрастает; ymin — уB) —

378 Ответы и указания
= 2A - In 2) « 0,61. 6.409. Возрастает во всей области определения.
6.410. На Q(8fe - 3), j{Sk 4- 1)) возрастает, на Q(8fc -h 1), ^(8fc + 5))
убывает; 2/шах - у BА;тг + ^) = е2к* (е*'л-^\ « 1,55е2Аг1Г, 7/min -
/4^ « - 1,55е2Л1Г, jfc G Z. 6.411. На
(О, 1/е) убывает, на A/е, 4-оо) возрастает; ут\п = у{1/е) = A/еI/6 «
« 0,69. 6.412. На (-оо, 0) убывает, на @, 4-сю) возрастает; ут-ш —
= i/@) = 2. 6.413. М = 3, m = -24. 6.414. М = 8, m = 0.
6.415. М = 0,6, m = -1. 6.416. М = 1, т = 0,6. 6.417. М = 2,
?n = s/2 « 1,26. 6.418. М = тг/4, m = 0. 6.419. М = 1, m = -1.
6.420. Л/ = 1/у/ёъ 0,61, m = -1/^/е « -0,61. 6.421. Указание. Рас-
Рассмотреть функцию у — ех - A4-ж) и показать, что у нее существует един-
единственный минимум: 2/min = 2/@) = О- 6.425. —^ ^-с. 6.426. IAP1 =
= E00 - ^2 J км « 442,3 км. 6.427. х = -^-, у = - (р - а; - — Y
6.428. а = ^. 6.429. ^. 6.430. тга3. 6.431. ^-тгг2/г. 6.432. -тгг3.
6.433. -4=/3. 6.434. 2г2. 6.435. NA, 1). 6.436. х = Д>/2, i/ =
9v3
6.437. Разделить отрезок пополам.
/
6.438. г - _^— 6<439< л = (е2/з
{VR2 4- Я2 - R){VR2 + H2 4- 2Д)
6.440. На (-оо, 0) — выпуклость вверх, на @, 4-оо) — выпуклость вниз,
М@, 1) — точка перегиба, к = 7. 6.441. График всюду выпуклый вниз.
6.442. На (-оо, 2) — выпуклость вверх, на B, 4-оо) — выпуклость вниз,
МB, 0) — точка перегиба, к = 0. 6.443. На (~оо, -1) и A, 4-оо) —
выпуклость вниз, на (—1, 1) — выпуклость вверх, М\(—1, ^2) и
М2A, \/2) — точки перегиба, к[ — к2 — оо. 6.444. График всюду вы-
выпуклый вверх. 6.445. На ( —оо, —1) — выпуклость вверх, на ( — 1, 4-оо) —
выпуклость вниз, М(—1, 1 — е") — точка перегиба, к = —е~2 « —0,14.
6.446. На (—оо, 0) — выпуклость вверх, на @, 4-оо) — выпуклость вниз,
Л/@, 0) — точка перегиба, к = оо. 6.447. На @, е~~5/6) — выпуклость
вверх, на (е~~5/6, 4-оо) — выпуклость вниз, М (е~5/6, 1 е~5/6 ] —
V 6 )
3 3 9
точка перегиба, к - --е~5/3 « -0,28. 6.448. а = --, Ь = -.

Ответы и указания 379
6.449. —у=. 6.451. Указание. Если х$ — абсцисса точки перегиба,
62
4х2
то х0 tgx0 = 2. Тогда yl = у2{х0) = ^sin2 х0 = °2- 6.452. х = 2,
4 ■+- Xq
2/ = 1. 6.453. у — х — -. 6.454. я = 0, у = 1 (правая), у = -1 (ле-
о
вая). 6.455. 2/ = Зх + — (правая), у = Зх - — (левая). 6.456. х — О,
у = 2ж, ж = -1 (левая). 6.457. 2/ = 0. 6.458. ж = --, 2/ = ж + -.
е е
тг / 64 \
6.459. j/ - -х - 1. 6.461. j/min - j/@) = -1; ( ±1, - — J и
(±>/5, 0) — точки перегиба. 6.462. ?/тах = у(±1) = 1, 2/min =
., /б -Ьл/21 6+\/21/6+л/21 \\ г
|±\/ , ——— 1 31 — точки перегиба. 6.463. ут&х =
= л/3, ymin = уШ = -л/3; @, 0) и (±^,
27
точки перегиба. 6.464. ут\п — 2/C) = —; @, 0) — точка перегиба; х = 1
ж + 2
и у = — асимптоты. 6.465. 2/тах = 2/@) = 0, 2/min = 2/(v4) =
= -\/i] ( -v^2, —v^2 j — точка перегиба; ж = 1и2/ = # — асимп-
з V з у
тоты. 6.466. (О, 0) — точка перегиба; ж = ±1 и у = а; — асимптоты.
6.467. т/тах = у(Щ = ~з^' 2/min = 2/@) = 0; ( \/2, -^2J —
точка перегиба; а; = -1 и у = а; — асимптоты. 6.468. i/max =
= 2/A) = - ( ^/4, -v^4 ) — точка перегиба; х = -^2 и у = 0 —
з V 6 /
асимптоты. 6.469. (О, 0) — точка перегиба; ж = ±1 и у = 0 —
асимптоты. 6.470. 2/тах = 2/@) = 0, ут[п = у{-\/2) = —~;
^ 2 ' 9 +л/45 JH1^ V 2 ' 9
точки перегиба; ж = 1и?/ = 0 — асимптоты. 6.471. @, 0) — точка пере-
перегиба; х = -2, х = 2, 1/ = 0 — асимптоты. 6.472. i/max = у(~3) = -4,5,
2/min = 2/C) = 4,5; @, 0) — точка перегиба; х - -\/3, ж = \/3, у - х —

380 Ответы и указания
асимптоты. 6.473. ут-ш = у{—1) = -1/3; (-v^I, — v^4/6) — точка
перегиба; ж = v^h i/ = 0 — асимптоты. 6.474. ут-ш = 2/@) = -1,
(±\/3/3, -1/2) — точки перегиба; у = 1 — асимптота. 6.475. @, 0) и
(s/I/2, 1/3) — точки перегиба; х = — 1 и т/ = 1 — асимптоты.
6.476. утлх — у{0) = 2, (±1, \/2) - - точки перегиба; у — 0 — асимп-
асимптота. 6.477. 2/min = i/(l) = -1; @, 0) и B, 0) — точки перегиба.
6.478. 2/тах - 1/@) - 2, 7/min = 2/(±l) - S/4. 6.479. @, 0) - точка
перегиба; х — -1, х = 1, i/ = 0 — асимптоты. 6.480. @, 1) и A, 0) —
точки перегиба; у — —х — асимптота. 6.481. @, 0), (±1, ±\/2) —
точки перегиба. 6.482. @, 0), (±1, ±\/2) — точки перегиба; у — 2х —
асимптота. 6.483. @, 0), (±1, ±\/2) — точки перегиба; у = х — асимп-
асимптота. 6.484. @, 0) — точка перегиба; у = — 1 — левая асимптота,
у = 1 — правая асимптота. 6.485. ут\п = у(— \/3) = 1; @, 0) —
точка перегиба; х = — \/2 — асимптота. 6.486. 2/тах — 2/@) = 0,
2/min = 2/B) = >/Тб; (—v^4j -v^2) — точка перегиба; х = \^4 и у = x —
асимптоты. 6.487. ?/rnax = у{-Щ = -3/^2; @, 0) и (s/З, 3/^25) —
точки перегиба; х = — \/2 и у = х — асимптоты. 6.488.2/min — 2/@) — 0;
(±\/2, 2/\/3) — точки перегиба; у — х — правая асимптота, у — —х —
левая асимптота. 6.489. (~v^, 0) и (-1, -1) — точки перегиба; х = 0и
у = 1 — асимптоты. 6.490. i/max = 2/A) — l/s/4; (s/4? s/0,16) — точки
перегиба; х = -1, у = 0 — асимптоты. 6.491. i/max = 2/(—л/3) = 0,
2/min - 2/(\/3) - 0; (д/2, 1/\/2), (-А -1/л/2) — точки перегиба; ж -
= 0 — асимптота, у — 1 — правая асимптота, i/ = — 1 — левая асимптота.
6.492. 2/min = 2/@) = 05 2/тах = 2/(±1/2) = 2; х = ±1 — асимптоты,
2/ = х — правая асимптота, у — -х — левая асимптота. 6.493. 2/тах =
= 2/@) = 1, 2/min = 2/(±1) = 0. 6.494. 2/тах = 2/@) = 2>/2, 2/min -
= у(±у/2) = 0; (±1, 1) — точки перегиба. 6.495. утш = у (-^- + 2ктг) =
V4 /
= - л/2, 2/тах = 2/ (т + 2fc7rJ = уД] f — + /стг, 0 j — точки перегиба,
in - 2/ (J + 2/с7г) - -у, 2/тах = 2/ \~ + 2fc7rJ -
6.496. 2/mi
= —; х=—Ч-АOг — асимптоты, к е Z. 6.497. 2/min = 2/@) = 0,
7Г.Х 7ГХ
2/ = — 1 — левая асимптота, у — — 1 — правая асимптота.

Ответы и указания 381
6.498. 2/min = 2/A) = g + 4> 2/max = 2/(-l) = - 2 + Y' V' ) ~~ T04Ka
X T
перегиба; у = — -f- тг — левая асимптота, i/ = правая асимптота.
/2±>/2 1/9\
6.499. 2/тах = 2/A) = е, I —-—, ei/z J — точки перегиба; у = 0 —
1 1
асимптота. 6.500. утах = уA) = —F, 2/min = 2/(-l) = -=5 (°> °)»
— точки перегиба; у — 0 — асимптота. 6.501. i/max =
= 2/A) = -, ( 1 ± ^Г, B т \/2)е-Bт^М — точки перегиба; а; = 0 —
е V 2 /
левая асимптота, у = 0 — асимптота. 6.502. утах = ?/(=Ы) = -,
е
2/min = 2/@) = 0; ( ±-—, Зе~3 ) и (±>/2, -е/2 ) — точки перегиба;
V ^ / \ z /
у — 0 — асимптота. 6.503. ?/min — 2/A) — в; i/ = х + 1 — асимп-
асимптота, х = 0 — правая асимптота. 6.504. 2/тах = 2/(л/2) = —г=,
V2
Ут|п = y(-
= 0 — асимптота. 6.505. i/max = i/(-2) = -4>/е, 2/min = 2/A) = -1/е;
@,4, -1,бе~5/2) — точка перегиба; х = 0 — левая асимптота, i/ = х-3 —
асимптота. 6.506. A, е2) — точка перегиба, х — 0 — правая асимптота,
2/ = 2х + 3 — асимптота. 6.507. утях = i/(±l) = 2/>/е, 2/min = 2/@) = 1;
точки перегиба; у — 0 — асимптота. 6.508. ут\п = 2/A) — е2, ж = 0 —
правая асимптота. 6.509. ymSLX - у(у/3) = 3\/3е~3/2, 2/min = 2/(—л/3) =
= -Зл/Зе-3/2; @, 0), (±1, ie/2), (±\/б, ±л/бе~3) — точки перегиба;
2/ = 0 — асимптота. 6.510. (О, 0) — точка перегиба. 6.511.2/тах — 2/(е) —
1 ( 3 \
= -, (е^/ё, -р ) — точка перегиба; х = 0 и ?/ — 0— правые асимптоты.
е \ 2ey/eJ
6.512. i/max = 2/ ( - ) = —е; ж = 1 — асимптота, ж = 0 и 2/ = 0 — правые
W
/ 1 \ 1/1 3 \
асимптоты. 6.513.2/min = 2/ ~7= — ~^~5 —т=5 ~^~Т —точка пере-
\VeJ 2е \eVe 2е /

382 Ответы и указания
гиба. 6.514. i/max = у{у/е) = —; ( ve^, 3/— ) — точка перегиба, х = О
2е \ буе5/
и у = 0 — правые асимптоты. 6.515. i/max = у ( - ) = —, 2/min = уA) =
= 0;
точки перегиба. 6.516. утлх = 2/@) = 0, утш = у{±у/ё) = 2е; а; =
= ± 1 — асимптоты. 6.517. ?/max = y{l/e2) = 4/e2, i/max = i/(-l) =
= 0, T/min = y{-l/e2) = -4/e2] @, 0), [±—F, ±-7= ) — точки иере-
гиба. 6.518. I/max = 2/@) — 0; ж = =Ы — асимптоты. 6.519. утах —
( 5-ч/Тз /5-\/l3\2 5-ч/Гз
= 2/(±е) = 1/е , 2/min — 2/(=Ы) = 0; ( ±е б I 1 е 2
±е в 5 ( 1 е~ % ) — точки перегиба; х — 0 и у = 0 —
V 6 / У ,,
асимптоты. 6.520. утш = у I - I = [ - I « 0,69, выпукла вниз, i/ —> 1
Vе/ W
при х —> Ч-О, т.е. М@, 1) — точка прекращения. 6.521. i/max = у(е) =
= е1/6 « 1,44; @,58, 0,12) и D,35, 1,4) — точки перегиба; у -> 0 при
х —> Ч-О, т.е. М@, 0) — точка прекращения; у — \ — асимптота.
Указание. Точки перегиба удовлетворяют уравнению In — -+• 2хIn
е е
— х =0,их можно не находить. 6.522. х =0 — точка устранимого разрыва
(у~{0) = 2/+@) — еM функция убывающая, выпукла вниз, х = — 1 —
вертикальная асимптота, у = 1— асимптота. 6.523. х = 0— точка уст-
устранимого разрыва, 1/ = 0 — асимптота. Точки экстремумов удовлетворя-
удовлетворяют уравнению tgx — х. Точки перегиба удовлетворяют уравнению tgx =
2х
= 2 • Указание. Точки экстремумов и перегиба можно не находить.
6.525. a?min = -1 при t = 1 B/A) = 3), j/min = -1 при t = -1 (х(-1) = 3);
парабола с вершиной в начале координат, ось которой — прямая у = х
(х > 0, у > 0). 6.526. xmin = 2/min = 1 при £ = 0 (точка возврата);
у — 2х — асимптота при t —> Ч-оо. 6.527. Астроида (см. т. 1, гл. 1, §3,
рис. 18). 6.528. (-1-Зтг, -1 + -г- ) — максимум, A - Зтг, 1 ) —
2 / \ 2 /
\ / \ 2 /
минимум, (—Зтг, 0) — точка перегиба, у = х w у — х-Ьбтг — асимптоты.
6.529. Трехлепестковая роза; £> = [0, тг/3] U [2тг/3, тг] U [4тг/3, 5тг/3]; экс-
экстремумы при ip = тг/6, у? = 5тг/6, у? = Зтг/2. 6.530. Кардиоида, полюс —
точка возврата, rmax = г@) = 2а, rm\n = г(тг) = 0. 6.531. D — @, Ч-оо);

Ответы и указания 383
линия спирально завивается вокруг полюса, асимптотически к нему при-
приближаясь; (л/2тг, 1/2) — точка перегиба; полярная ось (</? = 0) — гори-
горизонтальная асимптота. 6.532. Лемниската Бернулли (см. т. 1, гл. 1,
§3, рис. 12). 6.533. Прямая ^— = ^Ц— = - 6.534. В плоско-
2 —3 4
сти Оху дуга окружности х2 + у2 = 2 между точками A, 1) и @, \/2),
пробегаемая против часовой стрелки. 6.535. Правая ветвь гиперболы
х2 z2
= 1, у — —1, пробегаемая снизу вверх, если смотреть от начала
16 9
координат. 6.536. В плоскости Оху парабола у — ~(бх - ж2), пробегае-
пробегаемая слева направо. 6.537. Винтовая линия х — cos£, у = sin f, z — t.
6.538. Астроида х2/3 + у2/3 - 22/3, г = 0. 6.539. Линия пересечения ци-
цилиндров у — х2, z — x[i, пробегаемая снизу вверх. 6.540. Кривая Вивп-
ани — линия пересечения сферы и кругового цилиндра: х2 -{-у2 -f z2 = 1,
х2 у2
х2 + у2 - х. 6.541. Эллипс — + ^- = 1, 2 = 2. 6.542. Дважды про-
zo lo
бегаемая парабола у = х2 -f ж, г = 3. 6.544. Прямая 4х -+• 3i/ = 0,
2 = 0, v = 3i - 4j. 6.545. Парабола (в плоскости Оху) у = ~A2х - х2);
v = 3i + D - 2t)j, v|t=0 = 3i + 4j, v|f=1 = 3i + 2j, v|^2 = 3i,
v|^=3 — 3i - 2j. 6.546. Циклоида (в плоскости Оху) х = 2(t — sin^),
2/ = 2A-cost); v = 2(l-cos£)i-f-2sin£-j, v\t=n/<2 = 2(i+j), v|t=n. = 4i.
6.547. 0,6i-0,8j. 6.548.-r=Bi-j). 6.549. a) cosM-sin2t-j + cos2*-k;
V5
6) (cost —tsini)i +(sini + icost)j+k; в) (l-sin^)i+j4-cos^-k. 6.550. a) i;
6) 12i - 2j - -^=k. 6.551. 1 + 3^2 + 5^4. 6.552. (Ы2 - 2t)i + CJ2
V5
9
- 2tk. 6.553. cos*(i + 2uj + 3u2k). 6.554. a) — =-cos* • i +e*j + 2k,
- -i + j + 2k; 6) -— = -Bsin t + tcos J)j + Bcos t - t sin i)k,
f=o at2
= 2k. 6.555. w = 2sinM + 2cos*-j; w|t==7r/2 = 2i;
6.556. w = -2j. wT =
—; при
^2 -Ш + 25
dv
dv /
= —1,6, шд = 1,2. Указание. wr = — -, wn — y/w2 -w2.
6.557. w = i -f —p.-=^z:j5 ibv = 1, wn — . -—; при t — 0 w — i + j,
y/2t + 1 v 2t + 1
wn — 1. 6.558. x -f 2z — 1, ][/ ~ 2 (касательная); 2x - z - 3 (нормальная

384 Ответы и указания
х _ 2 у - 8/3 2 - 4 ,
плоскость). 6.559. —-— = — — —-— (касательная); Зх 4- 6у 4-
4- 122 — 70 = 0 (нормальная плоскость). 6.560. у = 2, х — а (касатель-
ж ■— 1 1/ — 3 2 — 4
ная); 1/4-2 = 0 (нормальная плоскость). 6.561. = —— = —-—
а: — 1
(касательная); 12x-4y+3z = 12 (нормальная плоскость). 6.562. =
8
= = —7— (касательная); 8х 4- Юу -V lz — Y1 (нормальная
плоскость). 6.563. K\x=q = 2, К\х=1 = —р. 6.564. КА = 3, Кв =
= 1/9. 6.565. 3/\/2. 6.566. 1/2. 6.567. -^=. 6.568. X =
4a sin
I - 3 6569 3 6570 а)
|^=я _ -. 6.569. fl. 6.570. а)
4а' а' v бх1/3 ' J а4Ь4
6.571. а) У|аж2/|; б) ^
sin -
(а2+г2K/2
6.572. 4а ....
з а н и е. Составить выражение кривизны К и найти ее точку экстремума.
~0 =? 6-578. (-1, е-J); (х + IJ + (j, - е + |) = е2.
6.579. (^, о); (аг-|) + у2 = 1. 6.580. (тго, -2о); (ж - тгаJ +
+ (у + 2аJ = 16а2. 6.581. а) X = =—£=-, Y = . + ; б) X2/3 -
2 Ьх
- Г2/3 = BаJ/3; в) (X + FJ/3 + (X - ГJ/3 = 2а2/3. 6.582. Y =
= ach^. 6.583. X2 = ^Г3. 6.584. т = -^(i -j + k), »,= -L(i+j),
/9 — -7=(-i 4-j 4- 2k); ж — 1 = -(?/ - 1) = z (касательная); х — у,
V6
gr J 2/ 1 2
2 — 0 (главная нормаль); —— = —-— = ^ (бинормаль). 6.585. г = i,
^ = —T=(j + k), ^6 - —p(j-k); i/ = 2, 2 = 4 (касательная); y-z + 2 = 0,
V2 V2
;r — 7Г (главная нормаль); ?/ + 2 = 6, ж = тг (бинормаль). 6.586. г —
= |Bi -f-j 4- 2k), v = ^(-i - 2j 4- 2k), ^ = IBi - 2j - k); ^ -
i/2-l x-2 у г~ ! / \
— 7 — —7y— (касательная); —— = — = —-— (главная нормаль);

Ответы и указания 385
х — 2 у z — 1 1
= — = (бинормаль). 6.587. г = --p=(i+j + 4к), ^ =
1 1 z — 2
= - -Bi + 2j - к), /3 = -^(i - j); х - 1 = у - 1 = ~j- (касатель-
. ж - 1 j/ - 1 2-2 ж-1 у - 1 2-2
ная); —^— = —у- = —— (главная нормаль); -у- = —— = —^~
(бинормаль). 6.588. х+2у = 3 (соприкасающаяся плоскость); z — \ (нор-
(нормальная плоскость); 2х — у — 1 (спрямляющая плоскость). 6.589. у — х
(соприкасающаяся плоскость); х + у = тт/у/2 (нормальная плоскость);
z = 0 (спрямляющая плоскость). 6.590. г = i, v — k, /3 = —j, ?/ = 0,
г = 1 (касательная); х — 1, т/ = 0 (главная нормаль); х — 1, г = 1
(бинормаль); т/ = 0 (соприкасающаяся плоскость); х = 1 (нормальная
плоскость); z — 1 (спрямляющая плоскость). 6.591. г = — Bi-j),
. . х- 1 т/-2 г-3 х-1
(касательная); —-— = = (главная нормаль); =
12 5 1
у — 2 z — 3
= = (бинормаль); х + 2у — z — 2 = 0 (соприкасающаяся плос-
плоскость); 2х - у = 0 (нормальная плоскость); х -Ь 2?/ -Ь 5г - 20 = 0 (спрям-
у/2 лД
ляющая плоскость). 6.592. К — —, a = ~- -г; при t = 0
(х + ?/J (а: + 2/J
Т' а = Т- 6'593' ^ = 2V (9* +4*+ 1K'
1J
= ст = 1 6.595. А" = ^1M. ' = -(^TlI
при J = 0 if = 2, сг = 3. 6.594. К = сг = — —; при « = 1
)( + 1J
v+i'пр""=' к = ^'"= "^ 6'598'" = 2j+4'k>
dV v2
wT = 4^, it;^ = 2; гугu=i = 4. Указание. iur = -7-, wu — —.
at Я
6.599. Парабола ?/2 = x\ z'(t) = 2< + г. 6.600. Прямая а; - у = 2;
2;(i) = ег4 . 6.601. Верхняя полуокружность у = у4 - х2; 2;(^) = 2гег£.
6.602. Эллипс х = 4 cos £, у- 2sin£; г'(«) = гCе**-е~**)- 6.603. Правая

386 Ответы и указания
х2 v2
ветвь гиперболы — - ^— = 1; zf{t) = B + г)е* - B - i)e~f. 6.604. Два-
16 4
жды пробегаемая «правая» ветвь параболы у = х2; г'(£) = 2£ + 4г£3.
6.605. Арка циклоиды х = t — s'mt, у = 1 — cosi; z'(£) = 1 — e~lt.
6.606. Эвольвента окружности х — a(cost + tsint), у = a(sin£ - £cos£);
z'{t)=ateu. 6.607. r', r<p'; r"-r<//2, 2г'р'+г<р". Указание. Пред-
Представить закон движения в показательной форме z = гег(р и найти
производные z1 и z". Искомые величины суть коэффициенты при е%ч>
и гегч>. 6.608. Скорость v — izf'(z). Указание. Воспользоваться
показательной формой комплексного числа: z = Re7(p и найти произ-
dw dw dz Л ЛЛ ЛГ ч ту
водную —- = ———. 6.609. Указание, а) Используя результат при-
dt dz dt
мера 9, показать, что Dk{ext) = \keXt для любого k e N. б) Предва-
Предварительно доказать, что Dk(eXtz(t)) = eAi(D + А)/гг(^). Действительно,
несложной проверкой убеждаемся, что D(extz(t)) = eAi(D + А)г(£), и
далее, используя этот результат, что Dk (eXiz(ij) = jD(D/e~1(eAi2(<))) =
= D(eAt(D + A)fc-1^)) =eAi(D + A)fc2(i). 6.611. -9e2f sin3t 6.612.0.
Указание. et/2smt = ImeA/2+i)i. 6.613. e£(cos2< - 8sin2£).
^2)cos< + F-9<2-^3)sini. 6.615. e*(sin 2^+4^A +t2) cos 2t) x
2. 6.616. ^
Глава 7
7Л. ^-+C. 7.2. 3zs/J + C. 7.3. 31n|x| - - + C. 7.4. — + -x2 -
4 v ' x 3 2
2 2
- lnld+C. 7.5. ж+6л/^+31па;--р+С. 7.6. sinx+C. 7.7. -y/a + bx +
y/X 0
+ C. 7.8. -^e2~3x + С 7.9. --^- • б/3 + С. 7.10. 7 tg4a; + С.
3 In 5 4
ж3 ж2 1 1
7.11. —+ —+ж+21п|яг-1|+С. 7.12. -sin 8z+C. 7.13. x-~ cos2z+C.
3 2 8 2
7.14. - sin 2x + С. 7.15. ж3 + я2 + In \x\ + С. 7.16. - Дг - Дг + С.
2 х-2 ж°*
7.17. ^zv^+C. 7.18. —^Tx(n-1) + C. 7.19.3^^
3 п — 1 о
7.20. 2x^ + 20: + ^^+С. 7.21. ^- +21п|ж| + С. 7.22. _ 2'е' + С.
v 3 Vfl 3 !| In 2 + 1

Ответы и указания
387
7.23. — 2*+ж3+С. 7.24. я2+3 sin я + С. 7.25.-2ctgx-ln
In 2
7.26.
7. 7.27. -<^ж-^ж + С. 7.28. -(ж -sin ж) + С.
7.29. a) -ж + tg ж + С; 6) ж-thx+ С. Указание. Использовать тожде-
тождества: a) tg2 x = sec2 х-1; б) 1-th2 x = sch2 ж. 7.30. tgar+C. 7.31.-ж +
+ С. 7.32. ж + cos ж + С. 7.33. - arctg - + С. 7.34. —^ In
2 2 /
2\/5
V5-X-
+ С. 7.35. arcsin 4= + С- 7.36. In {х + л/ж2 + 3) - In |ж + \/ж2 - 3| + С.
v3
х3 х2
7.37. In |ж| + 2 arctg x + С. 7.38. — + (а + Ь) — + абя + С. 7.39. ах +
о 3 2
9 9 х
+ -а2/3х4/3 + -а1/3я5/3 + — + С. 7.40. ж + 3 In I tg x + sec ж I - 2 tg x + С.
4 5 2
7.41. a) - ctgz - х + С; б) х - cthz + С. 7.42. In |ж + у/х2 - 7| + С.
7.43. ж -
In
1 ж - 2\/2 2 / 3
+ С. 7.44. -л/C + жK + С. 7.45. -— х
о 15
хC-48тжL/3+С. 7.46. ^+С. 7.47. \-+С. 7.48. -^-+С.
v у 2 Зtg3ж In ж
1 1 /о
7.49. -1п|а + 6ж| + С. 7.50. --In |а - ^ж| + С. 7.51. -^г х
о о 3
х In
1
С. 7.52. ln|sina;| + С. 7.53.
41n3
+
7.54. - sin (ах + Ъ) + С. 7.55. - cos (In ж) + С. 7.56. -2 cos v/ж + С.
а
7.57. In
7.60. -
^ I о + о
1
С 7.58. -i
21п5
. 7.61. i
4
+ С. 7.59. ^У(ж2-1J + С.
+ С. 7.62. --arctg (е~ах) +
а
1 жл/З 1
+С. 7.63. -р arcsin —7=- + С. 7.64. - In |3ж + у/9х2 - 1| + С.
v3 л/5 3
7.65. - In (cosж + \/cos2 ж + 4) + С. 7.66. - arctg (ж4) + С. 7.67. - х
х In (ж2 + ч/^ТТ) + С. 7.68. -^ In |а2 + о2ж| + С. 7.69. 1—— + С.
о2 2асоз2аж
7.70.
сЬ3ж
+
7.71.
1
7-е*
7.73. Jln|sh4a;| + С. 7.74. -^ + С. 7.75. ^
+ С. 7.72. -ln|cosz| + С.
х2 + 1) + С.
7.76.
/а2 - о2
:Ь
/а — Ьх — \/а + о
/а - 6ж
+ С. 7.77.
1
2ж

388
Ответы и указания
1
1
7.78. - In (Ах2 4- 7) 4- С. 7.79. - In (г3 4- \Лг6 4- 1) 4- С. 7.80.
In a
x In (ax 4- \/a2x - 1) 4- C. 7.81. 1п|ж + 2|.+
x-1 (ж + 2) - 3 1 , 3
4-С. Указание.
(ж 4-2J
(ж+ 2J ж 4-2 {х 4- 2)
Я4-2
. 7.82. x - \/3arctg = 4- С.
7.83. х - \п\х2 - 4| 4- - In
7.85. l
4-2ж4
х-2
х + 2
4- С. 7.84. — In
Adb
ах2 - Ь
ах2 4-6
3-2:г4
1
4- С.
1
4- С. 7.86. - In \х5 4- Ъх - 8| 4- С. • 7.87. — х
о 25
х
- ЗM + С.
7.88.
7.89. -\yj\-\x2 4- - arcsin Bz) 4- С.
4 2
1) - -1п(ж2 + 1) + С.
7.90. %rctg— 4- 7 х
о а о
xln(ba;4-\/a24-b2z2L-C. 7.91.--7= 4-С. 7.92. -л {/D 4- е^L 4- С.
V аж In а 4
1
7.93. In (ex 4- л/е2ж 4- 4) 4- С. 7.94.x- -—In B* 4-1) 4-С. Указание.
In 2
1 (I 4- 2х) — 2х 2х
= v „ ; = 1-- -. 7.95. earcsin х - у/1 - х2 4- arcsin x 4-
2х 4-1 2* 4- 1 2* 4-1
+ С. 7.96.
. 7.98. -->/1 -
7.99. -arcsin B In х) 4-С. 7.100. | - ^-^ 4-С. Указание, sin2 x =
1 —cos 2а: ж sin 2а: _, „„ о l4-cos2a;
= . 7.101. - 4 Ь С. Указание, cos2 а; = .
7.102. \/21n tg
4- С. 7.103. х 4- - sin2 аж 4- С.
а
х3 тг
Т +4
7.104.-In tg( — 4-т I 4-С. 7.105.-а: 4-; In tg (а: 4-т ) 1 + ^ sin2a: 4-
sin 4т*
+ ——+С. 7.106. 2>/3-сов2а;+С. 7.107. - In (cos2 x + v^cos4 x + 3) +
О
2 -. 7.109.-4= х
4-С. 7.108. In |tga:|4-C. Указание.
sin х cos х sin 2ж Y c>
xln|cos\/3a;| 4-С. 7.110. -Inchaz4-C. 7.111. - tg (ax 4- b) - x 4-
1
1
4- С. 7.112. --ctg (аг3 - 3) - — 4- С. 7.113. esecx 4- С. 7.114. - х
х In
1\ - х3 - 1
a - ж3 4-1
4-С. 7.115. -In
2 4- V4 - х2
4-С.
7.116. 2 In (v/ж 4-1) 4- С. 7.117. ех - In (е* 4-1) 4- С.

Ответы и указания
389
2{shr - Hthy;+ a 7-122-т1п
7.123. In
л-с.
4- С.
+С. 7.124.a;arccosa;--\/l - х2+С. 7.125. a; sin x 4-
4- cos х 4- С. 7.126. —In ж-— 4-С. 7.127. -#? Ь ж - -^ж5" 4- С.
2 4 2 4
C 2 \ 3 2
\ -%- 4- ж) 1пж - \ 4- ^- - х Л-С. 7.129. B - х2) cosz 4-
о 2 J У 4
4-2zsin:r4-C. 7.130.-(ж24-2ж4-2)е-ж4-С. 7.131. {х3-Зх2+6х-6)ех+С.
е
7.132. — (х24-1L-С. Указание. Положить и = ж2, dv = же ж
1
1
7.133. (In2 а: 4- 2 In ж 4- 2) 4- С. 7.134. -(а:2 4- l)arctg:r - - 4- С.
х 2 2
х 1 еаж
7.135. tgx + С. 7.136. -z—— (Ьsin Ъх 4- а cos for) 4- С.
2 cos2 a: 2 а2 4- bz
+ C.
7.139. 2- in x - %- 4- C. 7.140. ~ (ж In 3 - 1) 4- С
4 16 In x
7.141. (a:2 - 2ж 4-1) sin ж 4- 2(ж - 1) cos ж 4- С. 7.142. ж tg x 4- In | cos ж| 4- С.
7.143. ^ (sin (In ж) 4- cos (In ж)) 4- С. 7.144. 2е^(^ - 1) 4- С. Указа-
ние. Сделать подстановку х = t2 и проинтегрировать по частям.
1 4- а:2
7.145.
1
(arctga:J - a:arctga:4- - In A 4-а:2) 4-С.
Z Z
arcsin x
7.146. 4-In
Л-С.
7.147. —ж ctg х 4- In I sin ж| —— 4- С
z
2 sin 2a; — cos 2a; — 5
7.148. e~x
10
+ C. 7.149. ~
Указание. Положить и — х, dv =
xdx
2(a;2
+ - arctg x 4- С.
Z
x2 + IJ"

390
Ответы и указания
Г dx 1 Г (а2 + х2) - х2 ,
7.150. < 1п= = -г / V ; da; =
У (ж2 + а2)" а2 у (ж2 + о2)"
_ 1 /" йж 1 [ arete _
= ^У (ars+o2)»-1 ~^У X(x2 + a2)n ~
X 1
4-
a2 n~L a2 V 2(n-l)(x24-a2)" 2(n - 1) n"
= о/ \ч 2 ( 71~Г^7Ч- + Bп ~ 3)In-i) •
2(n-l)a2 \{хг Л-аг)п~1 J
1 / х 1 х\
Отсюда 12 = — 1 ——- 4- - arctg - 4- С,
2а2 \х2 4- а2 а а/
\ ( х Ъх
7.151. <] Полагаем и = \Лг2 + a, dv = da;. Тогда dw =
xdx
Ix2 + а'
/9 ? /9 . / Х аХ /9
уг + аах = ху х1 Л- а\— \ , — = ху х1 -Ь а-
J \/х2 Л- а
f(x2+a)-aJ г-п Г /-z , Г dx
— / — — ах = ху х- + а — I у xz Л- аах Л- а \ .
J ух2 + a J J ух2 Л- а
/I х j а г~
ух2 4- adx = - ух2 4- а 4- - In \х 4- ух2 4- а\ 4- С. >
Отсюда
7.152. < Полагаем и — а:,
Имеем
da: =
xdx
_ rf.2
. Тогда du = dx, v —
А х dx ^-т\/а* - т2 + [ Va^^~a
J \Ja2 — а:2 7
/* а2 - х2 г— г 2 f dx f x2 dx
4- / — da: = -xya2 - x2 + a2 / —7== - / —,
J У a2 — a;2 7 v a2 — x2 J у a2 — a;2
/x x i a x
i = da: — — у a2 — x2 -\- — arcsin — 4- C. >
v a2 — x2 2 2 a
7.153. f — - - j arcsin x 4- - \/l - x2 4- С. 7.154. (In (In x) - 1) In x 4- C.
x3 x2 1
7.155. — arctg x - — 4- - In (x2 4-1) + С 7.156. -2v/l - x arcsin л/х 4-
O DO
о
4-2>/х4-С. 7.157. -\/a2 — x24- — arcsin -4-С. Указание. См. реше-
Zj Zt a
ние задачи 7.151. 7.158. -In
а: 4-5
+ С. 7.159. — arctg 2^x l"> + c.

Ответы и указания
391
7.160. -In
6
х - 4
х- 1
2x - 3
-h |ln \х2 - 5ж + 4| + С. 7.161. ^ In [х2 - Зж + 3) 4-
1
-h y/b arctg r 4-C. 7.162. - In
v3 6
ж-6
+ С. 7.163. 2 In (ж2 -2а; 4-6) 4-
+ -7=c
-1
4-С 7.166.1 In
-^4-C. 7.165. ~ In
21n3
ж-3
3X -3
3*-1
a; + 4
1
17
+C. 7.167. --In|x|~- In |ж - 2| + — In |ж - 3| +
b 2 6
4-C. 7.168. ж - | In |ж| - | In |ж Ч- 2| + | In |ж - 2| 4- С 7.169.—
1
9П
7.171.-
7.173.
3(x - 1) 9
1 1 x1
2(х*-5х + 4У+С- 7Л72-41П^Т2
■С.
4v^
7.174. --
i
In
+ Tarctgr^
+ C.
dx —
2 arctga:j + a
/x — 1
(x2 + I)
У (^2 + 1K У (ж2 +
Далее / —-^ г
,/ (х2 + I)
-h
dx
вычислить по рекуррентной формуле, выведенной в
задаче 7.150. 7.175. I In |* - 1| - 1 In (х2
лД 2х +
+ Tarctg~^r
Bx 4- С Dx + E
(r2 ^_ ж _|_ ^\2 ж2 4- x 4-
фициентов, получаем
1 x 4- 2
Ь С. Указание.
ж-1)(ж24-а:4-1J ж - 1
. Применяя метод неопределенных коэф-
х 1 1 ж - 1
(х - 1)(х2 +х 4-1I 9(ж—1) 3 (а:2 4- х 4-1J
f dx Г dx
для нахождения / /
f dx Г
/ — ——- = /
У (а:24-.т4-1J У ((^
рекомендуется подстановка х 4- - — t и затем использование рекуррент-
ной формулы, выведенной в задаче 7.150. 7.176.
a — Ь
In
х -
ж-Ь
4-С.
7.177. \\n\x 4- l|-2ln|x-2|-h|ln|.T-3|-hC. 7.178. l

392
Ответы и указания
1п
х-3
х-1
X + 1
-arctgz+C. 7.181.
-4
ж-2
arctg х
4 С 7.180. ж 4
1
2A +ж2) ■ 2
Указание. _. -
7.183. —г In
4а3
а: — а
4 а
1
arctg—hC. Указание.
2cr a
+С. 7.182.—— -
1 (а2+х2)-х2
'' .а2 х2(х2+а2) '
1
(z24a2)(z2-a2)
(х2 + о2) - (х2 - а2)
2о2 (ж2+а2)(х2-о2) "' 7Л84" 41"
х-1
4
1
In
Л-С. Указание.
1
+ С.
x{xQ 4 IJ
= {\+jlw ■ 7-186.-^4-^+1пИ-^1п(х2 + 1) + С.
1
7.187. —In ((ж4 4 1)(а:4 - 2J) 4 С. Указание. Положить х4 = t.
7Л88- ~6(z + l)« + 7(х + 1У ~ ф + 1)8 + °-
1 11 2т3 4- 1
7.189. --=-1п(ж6+ж3+2) 4- -1п|ж3-1| + —^ arctg jA + С.
12 о 6v7 v7
COS X 11
7.190. -cos x 4—т— 4 С. 7.191. г—4 С. 7.192. sin ж-
3 7cos^x 5 cos5 ж
q Зг 1.7 ^ Зж sin ж sin2x _,
- sin x 4 - sin5 x sin x Л- С. 7.193. — Н Н 4 С.
5 7 8 2 16
х sin 4а: _ ж sin 4ж sin3 2x
- -ctg3 х- -ctg5 а: 4 С. 7.197. - tg5 ж 4 - tg3 х 4 С. 7.198. =—+
о 5 о о 2 tg ж
4 31n|tgx| 4 ^tg2z4 -tg4a;4C. 7.199. —г\ — -
2 4 3 tg x tg ж
. ^r In
tg2
In
sin ж 3 sin ж
•4 7г- 4
" 4 cos4 x 8 cos2 ж
3 1
4 -ln|tga:4seca;| 4 С 7.202. - tg2 x 4 In | cosz| 4 С 7.203.Ж 4
о
X Z
4- 2ctg--ctg2---ctg3--21n
X
sm —
4 С. 7.204. -2v/ctg^ 4 С.
о sin т ?
7.205. sin x - - sin3 ж 4 —— 4 С. 7.206. -2v/cosa: 4 -\/cos5a; 4 С.
о О О
7.207. — х- - sin4ж4 — sin3 4ж4 —т sin8ж+С. 7.208. tgж4- tg3 ж + С
16 8 96 128 _ 3
о
7.209. 3ln
tg;
2tg2(x/3)
4 С 7.210. i
cos ж
2 sin2 ж
4 С.

Ответы и указания
393
~ л. 1 . 1 . « 1 . ^ ,-* ~ cos 8a; cos 2a: ^
7.211. - sin х + — sin За: 4- — sin 5а: 4- С. 7.212. —- 4- —-— 4- С.
2 12 20 16 4
16
. 7.218. 4= In
7.219. arctgftg- -l)+C. 7.220. tgx+x+C. У казание.Числи-
V 2 / cos x
тель и знаменатель подынтегральной функции умножить на A — sin x).
7.221.
1
4\/7
In
2tga;-v/7
4-С.
7.222. -l
+ С.
7.223. — In A 4- 4 cos2 x) 4- C. 7.224.
2 2
arctg f 2 tg (^} Г) +С.
7.225.
5(tg(a;/2)-l)
Указание.
л/15
1
_ (sin x 4- 4) - (sin x — 1)
(sinж 4- 4)(sina: —1) 5(sina: 4- 4)(sina: — 1)
7.226. In I sin x- cos x\ + C. 7.227. -In
tga:
tga:
+ C. 7.228.
sh6a:
-4-C. 7.229.
sh 2x sh 4a:
4 + 32
С 7.230.
- | + С 7.231. f
C. 7.232. -2cth2a:
7. 7.233. -In
4
tha: -2
th2
C.
Указание. Разделить числитель и знаменатель подынтегральной дро-
дроби на ch2 х. 7.234. —-— — ctg хЛ-С. Указание. Числитель и знамена-
sha:
тель подынтегральной дроби умножить на cha: 4-1. 7.235. 2\/2 sh —\- С.
7.236. In |shx| -
. 7.237. х-thx-
+С.
4-ж
7.238. arctg v ' ' ~ 4- C. 7.239. ^-^/Ba:-3M 4- ^Ba: - 3J 4- C.
20 8
х 4-1
7.240. 2^ + 3^4-6^ 4- 61n|#£-1| 4-C. 7.241. 6 arctg f/xTa -
rx~Va 4- 31n|l + $x~Va\ 4- C.
х 4-1
28
4- С. 7.243. In
7-242' TeVVx-i
-2arctgxyx4-C. 7.244.

394
Ответы и указания
- 12arctg^- +C. 7.245. In
х - л/Зл/4 - х2
7.246.
2л/3
In
х 4- л/Зл/4 - х2
1
7.248. л/ж2 - 1 - arccos - 4- С. 7.249.
ж-4
7.250. arcsin ■'
7.252. — arcsin
+ С. 7.254.
7.255. л/ж2~ +
4- С.
7.251. In
77
£ 4- - 4- Vх2 + рх + q
с.
Y 2j; 4-1
/- -4- С. 7.253. -\/2 - х - х2 4- - arcsin—-—4-
л/7 2 3
- 6ж 4- 1 4- С.
-in.
7.256. In
1 + 4ж + л/ж2 4- 8ж + 1
4-С.
7.257. --
2 , 5
In
21
4-
2
>
|ж + 2|
+ С. 7.261. 6 arcsin
4-С. 7.260.
4-1
9(ж 4- 2)
л/1 - 2,т - х2 4-arcsin —7^ +
V ^
(х3 + З.т2 - 7х - 9) + С.
= 4- С. 7.263. In |ж + Vx2 - II 4- •
2; _ 2 д; — 2
7.265. —-—л/4ж- ж2 + 2arcsin-—- 4- С.
2 2
+ ^ In (ж - 1 + л/ж2 - 2ж 4-10) 4- С.
7.266. - —
+ In (ж + \/^Т^) + С. 7.267. ^\/z2 - а2 + \ In |ж +
7.268.
7.270. - In (х2 + 2ж + 4) + ~7= arctg ^—^- Л- С.
- 1) + С.
v3
\/3
7.271. '— + ж + In |ж2 - х - 1| + -г= In
2ж - 1 - л/5
2ж -
C.
7.272. -
1
5(ж-2) 25
ж + 3
ж-2
+ С. 7.273. --In-
4-
4
- ж3
4-

Ответы и указания
395
1.
+ С. 7.275. Vx2 4- х 4- 2 - - In f ж 4- - 4- y/x2 4- a: 4-2 ) 4- C.
1
7.276. -
7.277. --In
Z
41п.т -In2х 4- 2arcsin
2х + 2 + \Лг2 +8x4-4
\/10
+ С.
7.278.
. 7.279.
-f 9 In {х + 2 4- \/а:2 4- 4а: - 5) 4- С.
7.280.
1
Ъх
4-- In (х + 2 + \Лг2+4а7+ 5) + С. 7.281. — arctg —
^ 15 3vl6 - х2
f 5 4-
4- C.
1
7.282. 7 In (.т2 + у/х4 + 16) + С. 7.283.
7.285.-
4\A;2 4- 4
С. 7.284.
. 7.286. -a: + tga:
4- sec a: 4- C. 7.287. a:tg- 4- 2 In
4- C. 7.289. -f arctg
v3
cos --
4- C. 7.288.
1
C. 7.290.
In
3A-sin a:K
\/3 4-tga:
4-
\/3 - tgo;
4-С
7.291.2tgn;-§{/t?^ + C. 7.292. arcsin
. 7.293.-
^^
4- 5sina: - 24In (sinx 4- 5) 4- G. 7.294. ln|tga:| 4- tg2 x 4- —— 4- C.
2 о tg5 x cos a: 3 cos x 3 x _,
tg x-\ —4-C 7.296. —i -;—5—h-ln tg — 4-С
5 4 sin ж 8 sin x 8 2
.t cos 3a: sin Зж ж cos x sin a; _ ^
7.297. -— 4- -75- + —~z— ~ ~r- 4- C. 7.298. ln|tha;| 4- C.
th2r tb4r
7.299. arctg (th a:) -f C. 7.300. In (ch ж) — - -^-^ 4- С
7.301.
7.302. artha; - ln(cha:) 4- С 7.303. - -
10
4- С. 7.306. - In
о
1
ex 4-5
C. 7.307.
1
In a - In b
7.305.-^^
- 2a: 4- C.
7.308. ^aarcsinr(a: + VI - x2) 4- C. 7.309. 2ф^-1 - 2 arctg V^"" 1 +
z
\ZT~--x2 1
4- С. 7.310. arcsin a: 4- - (arcsin xJ 4- In \x\ 4- С 7.311. a: -
X Z

396 Ответы и указания
- e~a:arcsin(ea:) - In A + y/l - е2х) 4- С, х ^ 0. 7.312. -— -
/ х3\ 1 2 хх3
- [х I arctg£4- -(arctg .хJ 4- - In A 4- х2) 4- С. 7.313. -- - — 4-
V о ) 2 о 4 12
4- тA 4- z2) arctg .x 4- С 7.314. ^ L - In , ' = 4-
1 4.2ж ж2 a;2
+ \/3arctg—-^r- + С 7.315. -ж2 + у In D 4- x4) + 2arctg— + C.
+ С, \х\ > 1. 7.317. -у/ШРы Х - In l + v1—^! + С, 0 <
<я;<1. Г.Ш.х'+С, х>0. 7.319. х- In (I+ex)-2e~x/2 arctg е^2 -
35
- (arctgеж/2J 4- С. 7.320. —. Указание. Отрезок [0, 5] разделить
на п равных частей. 7.321. 1. Указание. Отрезок [0, тг/2] разде-
разделить на п равных частей. Применить формулу: cos a 4- cos 2а 4- ...
sin (па/2) cos ((п+1)/2)
...4-cosna = —/ У , ;^ч iI—L. 7.322. е10-1.Указание. Отре-
sin (a/2)
зок [0, 10] разделить на п равных частей. 7.323. 2/3. Указание. Отре-
Отрезок [1, 3] разделить на п частей так, чтобы абсциссы точек деления
образовали геометрическую прогрессию. 7.324. —. 7.325. -. 7.326. 5.
7.327. Щ. 7.328. 3§. 7.329. Ц-. 7.330. 1. 7.331. 1. 7.332. е2 - е.
15 64 4
7.333. Д-. 7.334.1п2,5. 7.335.^. 7.336.^-. 7.337.^-7- 7.338.%
ш 2 2 12 8 4 6
. 7.339. ^B-3ch24-ch32). 7.340. \ arctg %. 7.341. In 2 + Д
П _.1 .... .. 4 1 _„.4 1 7 .^ ...1+.^
7.342. — 4- 7In2. 7.343. 2In- - -. 7.344. -(е - #е). 7.345. sinl.
2* о Z Z
7.346. т. 7.347.?. 7.348. -^-sh2 4- \. 7.349. -In-. 7.350.
7.351.2-1п5. 7.352.7- 7.353. ^. < Сумму gn = „П,„+ ,"w+...
4 4 п2 4-12 n2 + 22
мояшо
п _ _1 / 1 1 1 \
"" +n24-n2 " n Vl4-(l/nJ + 14-B/пJ +*-*+ l4-(n/nJJ
рассматривать как интегральную для функции f(x) — на от-
1 1 4- хг
/dx 1 тг
г- = arctgхL= -. > 7.354. 1.
14- xz «и 4

Ответы и указания 397
7.355. ~B3/'2 - 1). 7.356. ^. 7.357. ^. 7.358. 7. 7.359. —.
3 6 4 3
/Ту -| -| о
7.360.1-^-. 7.361. -. 7.362. 2 In-. 7.363. 4-3 In 3. 7.364. а) Ми-
Zi С С Zi
нус. Указание. Разбить отрезок интегрирования на отрезки [—2, —1]
и [—1,1] и воспользоваться свойствами 1) и 9); б) плюс; в) минус.
13 2 4
7.365. а) Второй; б) первый; в) второй. 7.366. а) -; б) -; в) -; г) —.
4 4 7г Зтг
9 9тг 9тг 9
7.367. -J0cos<p. 7.368. 2V7 < / < 6. 7.369. -7= < / < -7=. 7.370. а) - х
тг д/7 v3 3
- 1); б) |/| < ^. 7.371. а) | < / < |>/5;
б) / < Л/2Д25. 7.372. а) ^ = ^-; б) ^ = - — • 7.373. х = ^Bfc + 1),
dp p da a 1
jfc = 0,1,2,... 7.374.—. 7.375. 25£ + -18т-^. 7.376.
/1 + х3
7.377. Х ~Х. 7.379. Нет. 7.380. - C + In-V 7.381. In-. 7.382. \ х
та: 3 \ о/ 2 4
х B + sh2). 7.383. -^axctg^p. 7.384. -^. 7.385. тг. 7.386. £.
V5 у5 ЗуЗ о
7.387. J. 7.388. \{2уД - тг). 7.389. ^3 ~ Х. 7.390. ^-(тг + 2).
6 3 2 32
1п2--|. 7.392. In V . 7.393.-. 7.394. 4-тг. 7.395.—тг.
4/2 6 16
7.399. 1. 7.400. -ку/2 - 4. 7.401. -^Eтп/3 - 91пЗ). 7.402. е - 2.
18
7.403. —(е37Г/4 + 1). 7.404. >/2-4=+ln 2 + ^Д. 7.405.^—^. 7.406.^-
25 л/Я 1 4- г/2 4 4
ж , 7Ч . 2-4-6...2А: , OJ i4 r 16
х - (» = 2fc); I2k+l = 3.5.7,,.Bfc + 1) (» - 2* + 1); ^ = з^;
/8 = — тг. 7.410. /4 = 24-—. 7.411.-. 7.412. Расходится. 7.413.-^=.
7.414. \. 7.415. Расходится. 7.416. 1 + In2. 7.417. \. 7.418. -.
7.419. Расходится. 7.420. —■;=. 7.421. Расходится. 7.422. Расходится.
ЗуЗ
7.423. Расходится. 7.424. 1. 7.425. Сходится. 7.426. Сходится.
7.427. Расходится. 7.428. Расходится. 7.429. Сходится. 7.430. Схо-
Сходится. 7.431. Расходится. 7.432. Расходится. 7.433. Расходится.

398
Ответы и указания
7.434. -(УЗ + 1). 7.435. Расходится. 7.436. тг. 7.437. \. 7.438. —.
2 о о
7.439. 2>/2. 7.440. Расходится. 7.441. тг. 7.442. Сходится. 7.443. Схо-
Сходится. 7.444. Расходится. 7.445. Сходится. 7.446. Расходится.
7.447. Сходится. 7.448. Расходится. 7.449. Сходится. 7.450. Расхо-
Расходится. 7.451. Расходится. 7.452. в) Указание. Воспользоваться ра-
+оо
~х2 dx = —-. 7.453. е2. 7.454. тгаЬ. 7.455. —. 7.456. ^.
2 о 2
венством / е
J
О
J
56
с3
7.457. ^(Зтг-2). 7.458. —р2. 7.459. а2. 7.460.—(тг-2In2). 7.461.—.
15
32
6р
7.462. 21п2 - 0,5. 7.463. —. 7.464. 1. 7.465. а2. 7.466. 1,5 - 2In2.
О
7.467. | - 1. 7.468.41п2-1. 7.469.^—\a2n'!^- + \a2. 7.470. а2 х
2 2 2
B \
-7= + In B + у/3) . 7.471. r(a + h) -
v3 /
7.472. 5тга2. 7.473. у C>/5 - 2 - ln(l + \/2)). 7.474. ^- + a2 -
4 ^ 4
7.475.
x arccos П. - - )-(a-h)r. 7.476. у(тг+21п2). 7.477. тга2. 7.478. K
7.479.
7.484.
8
7.480. 12тг. 7.481. ЦаЪуД. 7.482. -|. 7.483. ^т
5 15 2
7.485.
^
7.486. ^ (. +
4 V 3
7.487.
тга
7.488. -(e477 - IJ. 7.489. л/3- -, 7.490. —. 7.491. а2. 7.492. -\/3.
7.493. ^\/5"+ 7 In B + у/Ъ). 7.494. 2>/3. 7.495. 2рCл/3 - 1). 7.496. 4а х
2 4
х In (а + л/а2-1) - 2л/а2^:Т. 7.497. тгау/2. 7.498. тга - 2(а - Ъ) х
х arctg -. Указание. Перейти к полярным координатам. 7.499. - sh 6.
7.500. -lntg^ = ~ln(l -f у/2). 7.501. ^p. 7.502. 6a. 7.503. у/2 х
тг 8 7г 27
x(e-l). 7.504. ^. 7.505.^. 7.506. 4ауД. 7.507. x = af— - ~),
у = ^a. 7.508. \ 7.509. 8B - уД). 7.510. -тга; 0 ^ с/? ^ Зтг.
2 а 2

Ответы и указания
399
7.511. 5тг\/1 4- 4тг2 4- - In Bтг 4- лЛ + 4тг2). 7.512. —а. 7.513. 2ау/б.
1
7.514. а>/3. 7.515. 8. 7.516. -алДC 4- 2*). 7.517. 8л/2.
о
7.518. -(sb 12 4- 12). 7.519. а) 8тг 4- -f In B 4-л/3); б) 2тг 4- г.
о V3 Зл/3
2тг 16
7.520. — Bл/2 - 1). 7.521. 48тг. 7.522. — па2(у/2 4- 1). 7.523. а) Зтга2;
У 10
56 / 14 \/5\
б) — тга2л/3. 7.524. тг( л/5 4-4 In—-^-). 7.525. а) 9тг2а2; б) 24тга2.
7.526. Зт1-а2. 7.527. -тт2Cтг - 4). 7.528. 6тг2а2. 7.529. 4тг2а2.
7.530. ^тга2. 7.532. \жа2Bу/2 - 1). 7.533. т^а3. 7.534. \а? tga.
о о lUo о
979 11 тг^ f\A irn^h
7.535. —- тг. 7.536. —тг. 7.537. —. 7.538. — тг. 7.539. -—-.
10 4 Zi О L
тга3 тга3 8 Я 64
7.540. а) —; б) —. 7.541. — тга3. 7.542. -тг2а3. 7.543. -^гтга3-
7.544. ^-(Зл/2 In (л/2 4-1) -2). 7.545. тг2. Указание. [ —
12 у х
sm х _ тг
ах = —.
7.546. V2+ 1пA4-\/2). 7.547.
- л/2 4- In (л/2 - 1) х
, J. = J
-V§). 7.548. А/ж = fa2, /x - ^a3.
1о
з
"Ц
7.549. Мж = 2а2, 1Х = Ц-. 7.550. Мх = 2а2; Му = тга2. 7.551. х =
a(sh 1 - ch 1 + 1)
—
2 4 2
7.552. х = 0, у = 7а. 7.553. ж = г/ = -а. 7.554. ж = г/ = 7а-
0 0 0
7.555. ;-^. 7.556. х — —sin (u;£ 4-</?); v™ = ~^о- 7.557. t = 6 с, 5 =
2^ а; тг
= 144м. 7.558. 250м. 7.559. 0,125Дж. Указание. По закону Гука сила
пропорциональна растяжению пружины. 7.560. —gjnR2H2. 7.561.-х
±Z о
^ ^ Ц
xgy7rR2H2. 7.562. ^g~/a2H2. 7.563. ^7тгЯ2Я2. 7.564. Ц
7.565. вое ( 7 Ь —• Указание. По закону Кулона сила взаимо-
\а о) а
действия зарядов в пустоте равна г = —г-, где х — расстояние между
х1
зарядами. 7.566. 2066In2. Указание. При изотермическом процессе

400 Ответы и указания
V2
pv = po^o- Работа равна А — pdv, где v\ и v2 — начальное и конеч-
конечное значения объема. 7.567. I I — 1 — 11. Указание. При
k-l\\vxj )
адиабатическом процессе pvk — PoVq, где к « 1,4 (закон Пуассона). Ра-
к
бота равна А= f^-dv. 7.568. j- х тг^В5. 7.569. —uj2jdha3.
7.570. -Ua^V*. 7.571. \-кш2^Е. 7.572. ^^. 7.573. gjirR2H.
7.574. |(/7аЬ2. 7.575. gjnRH2. 7.576. 20,625кг. 7.577. °'24/оД7Г.
Указание. По закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяемой
С /г) тт
постоянным током за время t, равно Q = 0,24/2/Й. 7.578. —тг\/— ~
/^50 V ^
« 5,6мин. Указание. По закону Торричелли скорость истечения воды
из отверстия на расстоянии х от свободной поверхности равна v —
где /л « 0,6.
7.579.^. < Q= [v.2nrdr = ^ [(a2-r2)dr =
8/i/ ,/ 4/i/ у
о о
2/i/
(а2-г2)
2J
тгра4
8/i/
. О
7.580. —г—, где G — гравитационная постоянная. Указание. При-
R2 fH S
менить закон всемирного тяготения. 7.581. —-*!— « 11 мин.
9 V г/
7.582. -/
3
Глава 8
8.1. 5 = у/р(р - х)(р - у)(х + у-р)\ 0<х<р, 0 < у < р,
х 4- j/ < р. 8.2. У - —-rV^^-S2; 0 < 5 < тг/2. 8.3. 5 =
3nzl6
= £±»^4г2-(*-уJ; « > ^J1- 8.4.^+j/2 ^ Д2. 8.5. a:2+J/2 ^ Л2.
8.6. х2 + у2 < R2. 8.7. х2 + у2 > Д2. 8.8. а; ^ у. 8.9. -1 ^ х2 + у ^ 1.
8.10. ж + у < 0. 8.11. а; ^ ж2 + у2 < 2х. 8.12. Полосы -?- + 2ктг ^
^ х ^ - 4- 2/стг (к — целое число). 8.13. 0 < х2 + т/2 ^ 1 при 0 < а < 1,

Ответы и указания 401
х2 4- у2 ^ 1 при a > 1. 8.14. Два тупых вертикальных угла, образован-
образованных прямыми у = 0 и у — —2ж, включая границу без общей вершины
@, 0). 8.15. 4 $С х2 4- у2 ^ 9. 8.16. Криволинейный треугольник, обра-
образованный прямой 2/ = 2 и параболами у2 = ±х, исключая вершину
@, 0). 8.17. 0 ^ if ^ 7г. 8.18. Часть плоскости, заключенная между
7Г 7Г 37Г 57Г 9 9 9 9
лучами ср = -— и </?=—,</?= — и </? = —. 8.19. ж +f+г )Я'.
8.20. 0 ^ ж2 + т/2 ^ г2, г ^ 0. 8.21. х2 + у2 - z2 < 1. 8.22. гг-мер-
ный куб —1 <С Xk ^ 1 (к = 1, 2, ..., п). 8.23. n-мерный эллипсоид
4 + ^| + --- + 4^1- 8-24- /B- 1) = 1/4; /A, 2) = 4; /C, 2) = 0;
а1 а2 ап
f(a,a) = -1; /(а, -а) = 1. 8.25. /(-3,4) = -24/25; f{l,y/x) =
= /(ж, у). 8.26. VI + -т2. 8.27. f(x) = х2 - х; z = 2у + (х - уJ.
8.28. — -. < Обозначим и = х + у, v = -. Тогда х =
1 4у a;
. Тогда х = ,
у a; 1 + v
2 2 2 2/i \
uv _. . u гг ir гг A — v) _
у = ——-, /u, v) = -——— - = —— . Остается пе-
l + v (l+vy (l+vy l+v
реименовать переменные и и v в х и у. > 8.29. а) х4 — 2х2у2 4- 2т/4;
б) 4х2у2. 8.31. a) cos2x; б) cos{x2-y2). 8.32. -6. 8.33. 1. 8.34. 0.
8.35. е. 8.36. 1. 8.37. lim z — вдоль прямой у = кх\ Ншг = 3
ж-»о к — 1
3/->О
при А: = 4/3; lim z = 2 при А; = 3/2; lim г = 1 при А: = 2; lim z — —2 при
к — 1/2. 8.40. Не имеет. 8.41. Не имеет. 8.42. Указание. Рассмо-
Рассмотреть изменение х и у по параболе у = х2. 8.44. A, —1). 8.45. (ш, тг),
где m, n G Z. 8.46. Линии разрыва — прямые х = /стг и т/ = штг, где
А:, 7?1 G Z. 8.47. Линия разрыва — окружность х2 + т/2 = 1. 8.48. Линии
разрыва — прямая л; + у — 0 и парабола у2 = х. 8.49. Линии разрыва—
окруя?ность х2 4- у2 — 1 и гипербола ж2 — г/2 = 1. 8.50. Поверхности раз-
разрыва — координатные плоскости х — 0, у = 0, л = 0. 8.51. Поверхность
о о о
Т II Z
разрыва — эллипсоид — 4- тт + -т = 1. 8.52. Поверхность разрыва —
сг о2 cJ
конус х2 4- ?/2 - z2 = 0. 8.53. Поверхность разрыва — однополостный ги-
гиперболоид х2 +у2 - z2 — 1. 8.54. Поверхность разрыва — двуполостный
гиперболоид х2 +у2 — z2 = —1.
8.55. ^ = 5а;4 - 15rrV, ^ = 5у4 f|
<9т/2 дх х2 ду х

402 Ответы и указания
d2z 2j/ d2z . 1 a2z л „.„ dz у
3
= 1 - -7, ^-7=0.
ах2 х3' axaj/ х2' а?/2 ' ах (х2+2/2K/2'
dz х3 a2z зх2/3 a2z _ зх2у2 а2^ _
а» ~ (х2 + г/2K/2 ' ах2" ~ (х2 + г/2M/2 ' дхду~ (х2 + 2/2)V2 ' ду2 ~
i3
- х(хт/ - 2)е-^, ^ = *3е~ХУ' 8'59' 7Г =
ат/2 ах
у ' ' дхду " у ' ' ду2 " ах
COS2/2 3z _ 2j/sin I/2 a2z _ 2 cos?/2 a2z _ 2j/sinj/
9 ' О ' О 9
xz ду х дх1
2 sin у2 4- 4т/2 cos у2
л л ~ "• 8.60. — — у шу,
ат/^ х ах ду
— ух\п2у, = т/^'^хЬт/ 4- 1), ^-g- = x(x - 1)ух~2 (т/ > 0).
р\у Ут (шУ Qi/ F\ У yfil 1*1 /") "У
g «1 _ — — у — \У ' —
дх х2 4- у2' 9т/ х2 4- у2 ' <Эх2 (х2 4- т/2J ' дхду
4хт/ 92z 2(х2-т/2) 9z ysgnx 9z |x|
9z
;. 8.52. -г— = —
(х2 + у2J ' ду2 {х2 + у2J ' дх х2 + у2' ду х2 + у2'
_ 2\х\у d2z _ {у2-х2)щпх дЧ_ _ 2\х\у
~ (Х2 +2/2J' дхду ~ (Ж2 +,/2J > 9j/2 ~ ^2+^2J'
8.63. ?Н = __ х 92^ 2х' ^2 z2 a'u
2/2 + z2K/2 ' ^2 (^2 + ^2 + г2M/2 > Qx Qy ~
о 64 ди _ _z_ /у\~ ди. _ г /у\г ди _
(х2 + I/2 + z2M/2 ' ' ' 5х ~ х Vx/ ' % ~ у \х) ' 9z ~
д2 Ф 1) уу а2и ^ Ф-1) /у\* а2» _
х/ 9т/2 т/2 \х/ ' 9z2
х/ х'
(
ху Vх
- :, g = „, 0 .
axaz
8.66. £C, 2) - 56, /^C, 2) = 42, /£C, 2) - 36, £'уC, 2) - 31,
/;;C, 2) = 6. 8.67. /i(l, 2) - eBe4 - 1), /J(l, 2) = 4e5, /^A, 2) -

Ответы и указания 403
= е(бе4 - 1), Д,A, 2) = 8е5, /»уA, 2) = 18е5. 8.70. /™а@, 1) = 0,
/-„(о, 1) = 2, /»;у(о, 1) = о, /-у(о, 1) = о. 8.71. Jlu
_ _ J 8 72 д6и -
qp+qu
= -6(cosx + cosy). 8.73. —- =plq\. 8.78. r2 cos(9. 8.85-/^@,0) =
— /y@> 0) — 0- Указание. Проверить, что функция равна нулю во
всех точках осей Ох и От/, и использовать определение частных про-
производных. 8.86. Указание. Проверить, пользуясь правилами диф-
дифференцирования и определением частной производной, что f'x(x, у) —
/О О j О О \
= У [  о + 7~9 5Т7 ПРИ х2 +У2 Ф 0, /^@, 0) = 0, и, следова-
\xz-\-у [х Л-у) )
тельно, /^.@, у) = —у. Отсюда /^у@, у) = /£'у@, 0) = -1. Аналогично
находим, что /^@, 0) = 1. 8.87. Az = 0,33, dz = 0,3. 8.88. Az =
- 0,0187, dz = 0,0174. 8.89. dz = xdx dy
8.90. dz- — У Bxdy-ydx). 8.91. dz = — tg-(xdj/ - j/dx).
x2cos2{y2/x)y У2 У
8.92. du = (xt/J ( - dx + - dy + In (xy) dz ).
\x У )
8.93. df = {x2 -x3)xxl2~X3~l\nx4dxl -b xX2~X3\nxi\nxAdx2 -
- xX2~X3 In si lnx4 dx3 + xX2~X3—.
x4
8.94. d/(l, 2, 1) = 5dz2(dx + 2^) 8.95. 8^29. 8.96.2,95. 8.97.0,227.
8.98. 8,2 m3. 8.99. Уменьшится на 1,57 см. 8.100. Увеличится на
617,5 см3.
8.101. dz = Зх(х + 22/) dx + 3(х2 - у2) dy,
d2z = 6((x + 7/)dx2 -\-2xdxdy -ydy2).
8.102. dz=(xdy- уdx) ( — + — ),
\x У /
о a _ {x + yhte + xdy j2 - 'У2 dx2 + 2хУdx dy ~
. az — . = , a z — — —-rjz
Уж2 + 2xy (x2 + 2xyK/2

404 Ответы и указания
Й1П4 а х* dy " ху dx
8.104. dz - 7Г
4- у-)
2 2 ^ V ' " Зх2у dj/2).
8.105. dz = exy((y2 + xy + l)dx + (x2 + xy + l)dy), d2z =
- exy(y(y2 + xy + 2) dx2 + 2(ж + у)(хт/ 4 2) dxdt/ + x(x2 + xy + 2) dt/2).
(i/ \ x 12 .т
In - - 1 1 dx + - df/; d2z = -- dx2 + - dx dy - ^ dy2.
x ) у x у у1
1 1
8.107. dz = ——-——^(ydx -xdy), d2z = -75-7T^ 7~¥^ x
2x2 + 2xy + t/2 Bx2 + 2xy + ylY
x Bt/Bx + y)dx2 + 2(t/2 - 2x'2)dxdy - 2x(x + y)dt/2). 8.108. du =
— (t/ + z) dx + (>г + x) dt/ + (x + t/) d,z, d2u = 2(dx dy + dy dz + dz dx).
8.109. du - exyz (yz dx + zx dy + xy dz),
d2u — exyz ((yz dx + zxdy + x?y dzJ + 2B dx dy + xdydz + y dz dx)).
8.110. d3z = ey(- cosxdx3 - 3 sinxdx2 dy + 3 cosxdxdy2 + sinxdt/3).
8.111. d3u - 6(dx3 +d?/3 +dz3 -Sdxdydz).
8.112.
8.113. dmu = ea:E+b?/+C2(adx + hdy + .
8.114. ^ = e2x^B sec2 t - 3B* - 1)). 8.115. — = xy (— + In x cos t).
dt dt \xt /
dz 2e2t(x — y) ш du x(z + 2yt2) — yzte1 dz
8.116. — = ^ ■—-. 8.117. — = v y I— . 8.118. —- =
dt x2 + г/- dt tx* ox
ex dz ex+e*>(x2 + l) dz у dz
О.11У. —-— —
4- ey ' dx " еж 4 e^ ' " " 9x ~ t/2 4 (ж+ 1J' dx
1-2(x + 1J) 9г _ /ш; j/lnt;\ Зг _ /lnt;
8ЛЖ 2w^ 2uV
8.121. dz = (Bwv -v2)sint/ - (u2 - 2uv)ysmx) dx +
+ (Buv — v2)xcosy + (u2 - 2uv) cosx) dy.
8.122. | =
- ЗЛ(«, t,). 8.123. - = ^j/i(«, «) + y*f>{u, v), - =
= 2^/;Gi, w) - -^-zfiiu, v).
x — у
8.124. d« = Ez4/i(u, w) - y/i(u, v) sin (rrj/)) dx -
- (жsin (xy)f'u{u, v) + 7fl(u, v)) dy.

Ответы и указания 405
8.125. dz=~ (ms ^/>, v) + \\Jfj>, «)) Ы* - xdy).
8.126. du = B.s/;(.t, j/, z) + 2s/;(.t, j/, z) + 2tf'z(x, y, z)) ds +
+ {2tfx(x, j/, z) - 2tf'y(x, y, z) + 2sf'z(x, y, z)) dt.
8-127. ~ = f'xi(xi, x2, x3, Xi) + f'X3(xu x2, x3, xA)g'Xi(xu x2) +
f'Xi{xi, x2, хя, Xi)(tiXl(xu x2, x3)+h'X3(xi, x2, x3)g'Xi(xi, x2)),
ди £1 .
~* — fi2\X* > *T2' Хз' X^) + fx3\xli Ж2, #3, Ж4)^2(^1 , X2) +
4- /^4(хь x2, x3, ж4)(/42(х1, x2, x3) -f ^3(xi, x2, х3).^2Оть x2)).
8.132. ^4 = y2fZu(u, v) + 2C(u, и) 4- V">' v)' Й" =
yz ax ay
x 1 d2z
y3 v u y2 Qy2 uu
2*2 *„ t , x2 „ < ч 2xr// \
-— /4;v(u, v) + —/iv(w, vL- —/^(w, v). 8.133.
/«^i. + fy?.4>W*, + /r^',,. 8.134.
rj2
+ /^ + z& — -^ =
= ^Лз + ^2^з + *l/2*/3;3 + У/31 ^ - ^22/Л'з + х2у^Яз + ^/з-2)
8Л37. c/2n = 4f"(t)(xdx +ydy + zdzJ + 2f'(t)(dx2 -f с/т/2 + dz2).
8.138. d2u - a2f[\ dx2+b2ft2 dy2+c*fU3 dz2+2abf[2 dx dy+2acf['3 dx dz +
+ 2bc/£3 б?г/ йг. 8.139. d2^ = (sin2 у • /^t - 2y sin ж sin у • /^ 4- y2 sin2 x x
x /iv - 2/cos x' fv) dx2 -f (a; sin 2y • f^u -f 2(sin у cos x - ж?у sin x cos y)/,'^, -
- у sin 2x • /^ -f 2(cos у • fi - sin a; • f'v)) dx dy -f (x2 cos2 у • /^ -f 2x cos a; x
x cos 2/ • /£„ + cos2 a; • /^ - x sin j, • /;) dy2. 8.140. / - y ' ' ' .
dx xze.-'XJ — ye,
dy « у cos a: H- sin (a- - y) dy a; + у - 1 d2y
5.141. -— — —:— : . o.l4z. —— = ——- =
dx sin (a; - y) - sin x dx x -f у + 1 aar-
(x 4- у + IK dx y2 ' dx2 y5
") В ответах к задачам 8.134 и 8.138 через f[ и /," обозначены частные произ-
производные функции /((91C7, у. ^), ^2(^, у, z), ^з(ж, у, г)) по переменным (fi или

406
Ответы и указания
8.144. ^
d
х-1
92/
-°' dx2
8.146. |^ =
У=1
x=l
y=l
dx
dz _ xz(x + z)
8.147. |i = --
где гг = ж + ?/ + z, v = x2 -\-у2 -\- z2.
dx z3 -\-2xy(x + z)' dy z3 -\-2xy(x-\- z)'
„(u, v) 4- 2xFv(u, v) dz _ F'u(u, v) 4- 2yF'v(u, v)
8148 ?z_^
' d
^ЯУ^(Ц> t;)
dz
9a; j//i(w, v) 4- xexzf'v{u, v)' Sj/ 2//i(w, v) 4- xexzfl(u, v)'
где и — yz, v — exz. 8.149. dz =
2/A 4- x2z2) — x
y2(z 4- Зж2) dx 4- (Зц4 4- ze2/y) dy dz 2-х dz
]y4 + zez/y)dy 8151 dz_ = _
2/(e*/*/ -a?2/) " 9x 1 + 2?' 9j/
d2
z 2y(x - 2) d2z
' ' '
dxdy
8.153. d2z =
zK
_ d2z d2z
dx2 ~ dxdy ~ dy2
x + y + z
z-
a2b2z3
3 dz 5 d2y 3
2' S = 3' dx^ = "8
J 5У2)
((y2-b2)dx2-2xydxdy + (x2-a2)dy2). 8.157. ^ =
ax
5
18"
4x
8.159. du =
d2w = -d2u =
(t/ - u) dx 4- B/ - v) dy
x-y
dv =
(x — u) dx -\- (x - v) dy
у -x
~((y - u) dx2 -\-(y — v + u — x)dxdy-\-(v — x) dy2).
\x ~ У)
9 9 dz 9 9 n ^лл dz с . dz
2 + u2v) — =uv2-u2v. 8.162. ■—= -cosucthv, — =
9t/ dx a dy
n *„+ dz 9
8.161. 7— =uv2
9a;
— -smucih.v. 8.163. dz = e~u((?;cosw—ггsinv) dx+(ucos w+wsin v) dy).
. 8.165. ^-y = 0. 8.166. 4"T + 2/ = 0.
^ d3a; d2a; ,2
8.167. -— + — = 0. 8.168. r'2 =
о M dz dz o^ 9г
8.170. — = —. 8.171. — - u
ou ov
9u
. 8.169. w = r —.
ar
o nn d2u \ d2u \du
. 8.172. w = —- + — —^ + - —.
or1
r or
8.173. гу =
d2u
d2u
1 92ц 29гг ctg^fti 8174^;_n
Sp2"p2de2~rp2sin2edip2*pdp* p2 дв' dv
8.175.
du2
= 0. 8.176.
du2 du dv
= 2«7. 8.177. /(a; + Л, у + fc) =

Ответы и указания 407
2. 8.178. Д/(ж, у) = -
8.179. /(ж, у) = 12 4- 15(ж - 2) 4- 6(ж - 2J 4- 3(х - 2)(у - 1) - 6(у - IJ 4-
4- (х - 2K - 2(у - IK. 8.180. f(x + h,y + k,z + l) = /(ж, j/, г) +
8.181. /(ж, j/, г) - 8 - 8(г/ 4-1) + 4(* - 2) + (ж - IJ + (у + IJ + (z - 2J -
-2(х-1)B;-2)-2B/+1)^-2). 8.182. /(ж, ту) - 14-у 4-
^. 8.183. /(ж, у) =
O3 3) 4 (р4
= «2/ + ^jOq/3 - г3^) 4- о(р4), где р = х/^Ту2- 8.184. /(ж, у) =г 1 -
где р - v/(a; — IJ + (у — IJ. 8.185. /(ж, т/, г) = (ж - 1) 4- {у - 1) -
- \{х - IJ - *-(</ - IJ 4- z2 4- о(р2), где р - ^(ж - IJ 4- (у - IJ 4- z*.
8.186. 2 = 1 4- |(ж - 1) - \{у - 1) - 2-{х - 1J - 1(у - IJ 4- ^(р2),
где р = У(ж - IJ + (I/- IJ. 8.187. *min - -9 при ж = 0, у = 3.
8.188. гтах = 1/64 при х = 1/4, 2/ = 1/2. 8.189. 2min = -4/3 при
х = 0, т/ = —2/3. В стационарной точке B, —2/3) экстремума нет.
8.190. 2т-ш = 30 при ж = 5, 2/ = 2. 8.191. zmin = 10 — 18 In 3 при ж =• 1,
2/ = 3. 8.192. zmin - -28 при ж = 2, 2/ = 1; *тах - 28 при ж - -2,
2/ = — 1. В стационарных точках A, 2), ( — 1, —2) экстремумов нет.
8.193. zm-m = 0 при х — у = 0. В стационарных точках (—5/3, 0), A,4),
A, -4) экстремумов нет. 8.194. zm\n = 0 при гг = т/ = 0; 2тах = 2е-1
при ж = ±1, 2/ = 0. В стационарных точках @, ±1) экстремумов нет.
8.195. 2тах = 2 при ж = у = 0. 8.196. tzmin = -14 при ж = 2, у - -3,
z = 1. 8.197. umax = 1/77 при х = 2/ = г = 1/7. 8.198. ггт-т = 29/4 при
ж = 21/4, т/ = 21/2, г = 23/4. 8.199. Уравнение определяет две функции,
из которых одна имеет максимум (zmax — 6) при х = — 2, у — 1, дру-
другая — минимум (zm-m = —2) при х = — 2, г/ = 1; в точках окружности
(ж 4- 2J 4- {у — IJ = 16 каждая из этих функций имеет краевой экстре-
экстремум z — 2. Указание. Указанные функции определяются явно равен-
равенством z — 2 ± ^/16 — (х 4- 2J — (у - IJ и определены только внутри и
на окружности (ж 4- 2J 4- (у - IJ = 16, в точках которой обе функции
принимают значение 2 = 2. Это значение является наименьшим для
одной функции и наибольшим для другой. 8.200. Уравнение определяет
две функции, из которых одна имеет минимум (г1Л\п = 1) при ж = 0,

408 Ответы и указания
у = -2, а другая — максимум (zmax = -8/7) при х = 0, у = 16/7.
8.201. 2min = -19/4 при х = у = -3/2. 8.202. zmin = 2 при ж = у = 1.
8.203. *min = -1 - 2л/2 при х = -1/\/2, 2/ = 1/>/2; ^max = 1 ~ 2\/2 при
ж = 1/л/2, 2/ = -1/v^. 8.204. zm[n = 0 при ж = 1, у = 0; zmax = 1/27
при х = у = 1/3. 8.205. zmjn = -\/5 при а: = —2\/5, у = — 1/л/5;
^пах = \/5 при ж = 2/\/5, у = 1/у/Е. 8.206. umjn = -18 при ж = -4,
у = -2, г = 4; umax = 18 при ж = 4, у = 2, г = -4. 8.207. umln = 4
при а: = ?/ = 0, 2; = ±2; um&x = 16 при о: = ±4, у = z — 0; при
.х = z = 0, у = ±3 экстремума нет. 8.208. umax = 26 при х — у =■ z = 2.
8.209. umax = 2 в точках B, 1, 1), A, 2, 1), A, 1, 2); итш = 50/27 в
точках B/3, 5/3, 5/3), E/3, 2/3, 5/3), E/3, 5/3, 2/3). 8.210. Указа-
Указать л, X3 +у3 + Z3
ние. Искать минимум функции и = при х + у + z = s.
8.211. а) 2„аиб = б при ж = 1, у = 0; б) ^„аиб = 5 при ж = у = 0.
8.212. 2„аиб = б при ж = 3, у = 0 и при ж = 0, у = 3, ^„аим = -1 при
ж = у = 1. 8.213. 2наиб = - при ж = у = ±~=; гнаим = -- при
1 21/2"
ж = -у = ±-^=. 8.214. ^„аиб = —f при ж = -f, у = ±W-; 2:наим =
\ [2
ж = --^, у = ±W-. 8.215. а = tfa • tfa - tfa - tfa.
8.216. Куб с длиной ребра а. 8.217. Куб с длиной ребра d\/3. 8.218. Коор-
Координаты искомой точки равны средним арифметическим координат вер-
шин. 8.219. Длины сторон параллелепипеда—р, —f, ~т=. 8.220. Дли-
уЗ уЗ v3
9 /9 9 /9 w"
ны сторон параллелепипеда —r~R, R, — • 8.221. Равнобедренный
о о о
треугольник с длиной боковой стороны — —. 8.222. (-12/5, -3/5),
2 sin a/2
A2/5,3/5). Указание. Достаточные условия экстремума заменить
геометрическими соображениями. 8.223. С I —j=—, ^=- ). Ука-
Указание. Воспользоваться выражением площади треугольника через ко-
координаты его вершин. 8.224. х = у = z = \/V + 28.
при
_ 11ш2ж2 + ... + тпхп пыуг + ш2у2 + ... + тпуп
. X — , у — .
Ш1 + 77l2 + . . . + 7ПП 771] + Ш2 + . . . + 771П
8.226. ~—- = —. Указание. Очевидно, точка М, в которой луч пере-
sin/3 v2

Ответы и указания 409
ходит из одной среды в другую, должна находиться между А\ и Вь при-
причем AM = , ВЫ = -, А\М = atga, В\М = bigB. Продол-
cos a cos р
a b
жительность движения луча равна 1 -. оадача сводится
V\ cos a V2 cos p
к отысканию минимума функции /(a, C) = 1 при усло-
v\ cos a v2 cos p
вии, что atga + btgfi = с 8.227. a = C. 8.228. /i : /2 : ... : /„ =
= — : — : ... : -=r-. Указание. Найти минимум функции
? 2 + • • - + /^Дп При /х + /2 + . . . + Jn = /.
_2 = о, £ZI = ГИ. = £J^Z£. 8.2зо. ™ . 8.231. cos* = -^,
1 0 е 2л/б ч/б
1 2
—-р, cos7 = —/=• 8.232. Ах + у + 2z - 78 = 0. 8.233. а) 2х +
5,+ 4^ 0, ^ = У^± = ^-- 6)х + у- 4z = 0, ^ =
^ = £=Г; В) * = °' § = 0 = I (В
у z + 4 х-2 у - 10/3
q = —j— (в точке @, 0, -4)). 8.234. = *
1 3 4
8.235. В точках @, ±2у2, т2\/2) касательные плоскости параллельны
плоскости Oxz, в точках (±2, =р4, ±2) — плоскости Oxz, в точках
(±4, =р2, 0) — плоскости Oyz. 8.237. a) a; cos<^0 + ysinipo - ztga = 0,
х - r0 cos (f0 _ у - r0 sin </?0 _ z - r0 ctg а . _
8.238. coso? =
Указание. Углом между двумя поверхностями в точке
cos y?o sin фо — tg a
ж — uq cos fo У ~ Щ sin t>o -2Г — аг;о
их пересечения называется угол между касательными плоскостями, про-
проведенными к этим поверхностям в данной точке. 8.239. Указание. По-
Поверхности называются ортогональными, если они пересекаются под
прямым углом в каждой точке линии их пересечения. 8.240. Изолирован-
Изолированная точка @, 0). 8.241. Узел @, 0). 8.242. Изолированная точка @, 0).
8.243. Точка возврата 1-го рода A, 0). 8.244. Точка возврата 2-го рода
@, 0). 8.245. Точка самоприкосновения @, 0). 8.246. @, 0) — изолиро-
изолированная точка, если a < 0; узел, если a > 0; точка возврата 1-го рода,

410 Ответы и указания
если о = 0. 8.247. Узел @, 0). 8.248. Точка возврата 1-го рода @, 0).
8.249. Угловая точка @,0). Указание. Показать, что lim у1 = О,
lim у' = 1./ 8.250. Точка прекращения @, 1). Указание. Показать,
ж->-0 2
что lim у = 1. 8.251. у = - ^-. 8.252. ж2 + у2 = р2. 8.253. а; = ±R.
8.254. Огибающей нет. 8.255. у = --я2. 8.256. ж2/3 + у2/3 = /2/3.
х3
8.257. у2 = . 8.258. а) Дискриминантная кривая у = 1 является
х + 2а
огибающей и множеством точек перегиба данного семейства; б) дискри-
4
минантная кривая распадается на прямые: у = х - — (огибающая) и
у — х (множество точек возврата 1-го рода); в) дискриминантная кривая
у — 1 есть множество точек возврата 1-го рода и не является огибающей;
г) дискриминантная кривая распадается на прямые: х — —а (огибаю-
(огибающая) и х = 0 (множество узлов). 8.259. а) 1г, 0,0043%; б) 1мм, 0,12%;
в) 1', 0,066%. 8.260. 1) Д = 0,002км, S = 0,008%; 2) Д = 30м2, S =
= 2%. 8.261. Первое. 8.262. а) 0,05, 0,14%; б) 0,005, 6,25%. 8.263. 29,2
и 3,1 8.264. 1) 5,373, 0,0004, 0,0074%;' 2) 5,73, 0,0026, 0,048%; 3) 5,4,
0,0274, 0,51%. 8.265. 202 • 10~4, 188 • 104, 600 • 103. 8.266. а) Два,
41 • 104; б) один, 8 • 10~~2. 8.267. Не меньше, чем с двумя знаками.
8.268. Не меньше, чем с тремя знаками. 8.269-8.273. Указание. Вос-
Воспользоваться формулой A) §4. 8.274.185,7. 8.275. 1,3-102. 8.276.71,88.
8.277. Вычитание произвести нельзя. 8.278. 61,6. 8.279. 512 • 10.
8.280. 3,3. 8.281. 3 • 10. 8.282. 66 • 103. 8.283. 7,397. 8.284. ^ 12тгсм2,
^8,3%. 8.285.^0,48. 8.287. <$ 0,17мм. 8.288. 2,7±0,1 г/см3. 8.289. По
принципу равных влияний R измерить с относительной погрешностью
0,25%, а высоту Н с относительной погрешностью 0,5%. 8.290. 12".
8.291. 4. 8.292. 4. 8.293. По принципу равных влияний тг можно взять с
тремя верными знаками в узком смысле, радиусы измерить с точностью
до 0,8 см, а образующую — с точностью до 1,25 см.
Глава 9
94 |l^ 95
9.2. |. 9.3. ». 9.4. |ln^. 9.5. j(tt + 4). 9.6. ^
у = х + 3, х = 1, х = 2. 9,8. у = х2, у = 2 - ж2, х = ±1. 9.9. х + у = 2,
х = х/4-к/2, у = 0, у = 2. 9.10. у = у/х, у = у/

Ответы и указания
411
5 4
4 5
4 х
/f f f f f
dx I f{x, y)dy= dy f(x, y) dx. 9.12. I dx I f(x, y) dy +
J J J J J
12 2 1 2 2
5 4 7 4 4 2/+3
-f dx /(ж, у) dy -f / dж / /(ж, y)dy = dy /(ж, у) dx.
4 2 5 ж-3 2 у
a \/2a2-x2
9.13. J dx f f{x,y)dy =
-a x2/a
= dy /(ж, у^ж+ dy / /(ж)y)dж.
о -v
a \/a^ 2a
9.14. J dx f f(x,y)dy + j
о
/"л f fl u
— I fill I f m» ill /7T1
— / / J \xi У)ux'
0 y2/a
2a л/2ах — х2
9.15. У dж / /(ж, y)dy+ f dx f /(ж, у) dy =
о о
а \J2ax-x2
0 -V^V a -^2а2-у2
2a y/2ax—x2
dx / /(ж, у) dy =
a 0
а/2 (а-д/а2-42/2)/2
а О
а/2 а+у/а2-у2
= dy / f(x,y)dx+ dy / f(x,y)dx+
-y/a2-y2
a-y/a2-y
(a+v/a2-42/2)/2
a a+y/a2-y2
+ dy / /(ж, y)dж.
9.16. По переменной ж; область интегрирования ограничена линиями
у = -у^, У = х3, х = 1, ж = 2. 9.17. / dy / /(ж, y)dx.

2-у/7-6у-у2
О ч/ж+Т
9.18. У dж У /(ж, y)dy+ f dx f /(ж,
у) dy.
-1 -ч

412
Ответы и указания
9.19. I dy j f(x,y)dx+ fdy J f(x,y)dx+
00 ° 2+л/4^2
-f dy / f(x, y) dx.
2 0
1 3\/x 8/3 \A+2/2
9.20. j dx j f{x,y)dy. 9.21. f dy f f(x,y)dx.
Ox 0 2y-2
а а — уа2—у2 2а у/2ау — у2
9.22. I dy j f{x, y) dx+ dy / f(x, y) dx.
0 0 a 0
9.23. [dx [ f(x,y)dy+ [dx J f(x,y)dy+Jdx J f(x,y)dy.
-1 -
' 3 10-y
0 -
9.24. f dy J f(x,y)dx. 9.26. -a4. 9.27.112/9. 9.28.1/4. 9.29.1/3.
9.30. 9/20. 9.31. 68/15. 9.32. тг2/128. 9.33. -a3. 9.34. e. 9.35. —a3bi2.
3 n ^
Указание.
15
6 sin t
x2ydxdy = x2 dx / ydy— / a2 cos2 £(-asin£) d^ / ydi/, где
d 0 0 тг/2 О
последний интеграл получается из предыдущего путем замены х = a cos /,.
о
9.36. 37Г2B3. 9.37. а3. 9.38. 1/4. Указание. Средним значением
1C5
функции f(x, у) в области G называется число /ср — — / / /(ж, t/) dx dy,
G
где 5 — площадь области G. 9.39. 1,63 </< 2. У к а з а н и е. По теореме
об оценке двойного интеграла mS < f{x, y)dxdy < MS, где М —
G
наименьшее. М — наибольшее значения функции в области G, S — пло-
7г/6 aV^sincp 7Г/2 acosv?
щадь областиG. 9.40. 5/3. 9.41. / dip / f(r)r dr + dp / f(r)r dr.
о о
тг/6 0

Ответы и указания 413
тг/2
9.42. / d<p / r(r cos (/?, г sin ip)rdr.
7г/4 a cos y?/sin2 y?
тг/4 sin у?/cos2 y?
9.43. / dip I f (r cos ip, r sin Lp)rdr+
o о
Зтг/4 I/simp
+ dip / /(rcostp, rsin</?O'dr+
7Г sin y?/cos2 y?
/ dy? / f(r cos <p, r sin <p)r dr.
Itt/4 0
).44. /" dy? / f{r'2)rdr+ f d<p f f{r2)rdr. 9.45. ~(е - 1).
0 0 тг/6 О
9.46. ^a3. 9.47. ^-тг. 9.48.—. 9.49. ^тга4. 9.50. --(Зтг - 2).
9 3 6 64 12
Зтг/4
7г/6 %/6cos<p я/2
9.51. ?^a«. 9.52. 1 L// f^^, ™)udu.
15 a J J \ a a J
b ч ° ° 3 e-u
9.53. i fdu[f{tffr>, ifc?)dv. 9.54. i /"du /" /(^, ^
a p
t
4 - f
9.55. ~ t du I f(J~^ V^) -~- 9.56. 2тгаЬ(с-~ >/?^1). 9.57.
- 9.56. 2тгаЬ(с >/?1). 9.57.
p a
9.58. ^(a/5 - b-6/5)(g8/5 -p8/5). 9.59. ^a2. 9.60. JA5 - 161n2).
9.61. а2(тг -- 1). 9.62. -(b2 - а2)(тг + 2). Указание. Перейти к поляр-
полярным координатам. 9.63. -а2(8 — тг). 9.64. (тг — 1)а2. Указание. Пе-
4
рейти к полярным координатам. 9.65. а2/210. Указание. Сделать
замену переменных: х = г cos2 у?, у — г sin2 у? @^(^$С—J. 9.66. —-—.
Указание. Перейти к обобщенным полярным координатам.
8
9.67. —F5/4-a5/4)(n3/4-m3/4). Указание. Сделать замену перемеи-
(q2 „р2\/^з _ аз\
ных: у2 = ггя, г;у2 = х3. 9.68. -~^ -. Указание. Сделать
№6Ь6

414 Ответы и указания
замену переменных: у2 = их, у = vx. 9.69. —т=а2. 9.70. 8\/2а2.
v3
76 8
9.71. 2уДттр2. 9.72. —а2. 9.73. -\/2а2. 9.74. 16а2. 9.75. 4тга2B - уД).
О О
9.76.-B7-5%/5). 9.77. 2а2(тг-2). 9.78.7ra2(v/2+ln (I + v^)). 9.79. тг/6.
9.80. Зу^тга2. 9.81. 2а2(тг + 4 - 4\/5). 9.82. —аб2. 9.83. ^а3B - >/2).
О О
Указание. Интегрировать в плоскости Oyz. 9.84. 16/15. 9.85. a3/2.
9.86. -тга3C-\/2). 9.87.тгаЬс A - -). 9.88. -тга3B-\/2). 9.89. -тгабсх
3 \ е) 3 3
хB - \/2)- 9.90. -1пЗ. Указание. Сделать замену переменных и —
= жу, у2 = vx. 9.91. 9/8. Указание. Сделать замену переменных
и = ху, v = у/ж. 9.92. -7rSR2. 9.93. Мж = -а3, Му = -тга3.
2 3 8
9.94. х = |о, у = |. 9.95. ^. 9.96. М, = ^, Му = 1 - ^.
9-97-г = щ^тщ' у = щ^кгу9Ж т* =
9-99-'= *= ш- 9Л0°-4 = i^4'/y = i^4-/o = i
9.101. 4 = ^, Iy = ^, /о = ^(а2 + Ь2). 9.102. a) jj^a4;
61 Г Г Jen
б) г^гго4. Указание. 1х--а = {x + aJdxdy. 9.103. Ix = -—,
1C5 у у 5
G
3 ; 5 г 7 ; 5
/^ = — ка , io = 7^\^а •> где ^ — коэффициент пропорционально-
л . т 2а — sin 2a л 2a -f sin 2a л
сти. 9.104. тга4/8. 9.105. Ix = a4, Iy = а4.
16 „ л 16
9.106. -7(^2
-^i)- Указание. Q = 7(^2 -*i) //
4a/i2 Z1/1
9.107. . Указание.^ // Bx + y) dx dy.
6 A2-2ж)/3
9.108. I dx I dy I f(x, y,
a {b/a)VaZ=xZ с^1(х/а)(у/^)
9.109. I dx I dy I f(x, у,
-cv/l-(x2/a2)-(y2/62)

Ответы и указания 415
2 2v/£ уД4х-у*)/2
9.110. I dx I dy f f(x,y,z)dz.
0 -2v/i -y/Dx-y*)/2
9.111. /da: f dy f f{x,y,z)dz. 9.112.1/6. 9.113.81/4.
— 1 _*/i —t.2 /„2 . -.2
v/l-z2 y/x2+y2
9.114. a4/12. 9.115. a4/8. 9.116. 1/96. 9.117. 4/15. 9.118. \c?h.
о
9.119. ^-. 9.120. ^тг. 9.121. a4/10. 9.122. 4™3^. 9.123. ^тг.
9.124. 7ra4sin2-. 9.125. 1/105. 9.126. бтга2. 9.127. ^-B - >/2).
9.128. ^r. 9.129. ^-тгЯ7/2. 9.130. ^. 9.131. a/^-. Указание. Пе-
lo 21 oo V Зтг
рейти к цилиндрическим координатам. 9.132. а3/45. Указание.
Перейти к сферическим координатам. 9.133. тг2аЬс/4. Указание.
Перейти к обобщенным сферическим координатам по формулам: х =
= ar cos у? cos в, у = for sine/? cos б, г = cr sin 0. При этом / = abcr2 cos в
(г ^ 0, 0 ^ ^ 2тг, -~ ^в $; ^ ). 9.134. — тга3. Указание. Перей-
\ 2 2) 6
ти к цилиндрическим координатам. 9.135. тга3/3. Указание. Пе-
3 9
рейти к сферическим координатам. 9Л36. М = -7Г7оа3, 7сР = 7«^0*
9.137. М = -7Г7оД2#, 7сР = g7o- 9.138. М = ^loa\ 7сР - ^тг7о.
31 93 4
9.139. М = — тг7оа3, 7сР = тт^7о- 9.140. М = —^0R2H, 7cP =
О 14U 10
9.141. М = ^тг27оД3, 7сР = ^тг7о. 9.142.
9.143. (o,h,bi\ 9.144. (о, ОЛН\ 9Л45>
9.146. (О, 0, ^в). 9.147. ^-7ab/i(^ + ^-V 9.148. ^т
5 у 21 у 5 3 у Ь
< Ньютонов потенциал тела Т в точке Мо(жо, уо, ^о) — это инте-
/*//" / .dxdydz
грал U — 7(ж? 2/? ^) » гДе 7(Ж5 У? ^) — плотность, г =

416 Ответы и указания
dx dy dz
= V(x ~ xoJ + {У ~ УоJ + (z ~ zqJ. Имеем: t/= 7 ///
-Ilk
T
dx dy dz
======. Перейдем к цилиндрическим координатам:
2тг 6
27Г ЛЯ
9.151. , —(\/H2+R2—H), где А: — постоянная закона тяготения.
< Приняв вершину конуса за начало координат, а его ось — за ось Oz,
R2
получим уравнение конуса в виде х2+у2 = tt^z2- Вследствие симметрии
результирующая сила притяжения будет направлена вдоль оси Oz и вы-
Z7 ; fffzdxdydz [[[ zdxdydz
разится интегралом Fz = kj jj j = k7 jJJ (д;2+y2+g2K/2-
T T
Перейдем к цилиндрическим координатам:
9.152. ^7/io4- 9-153. ^-jttHR*. 9.154. 1/4. 9.155. тг/2. 9.156. 4тг.
15 1U
9.157. 1. 9.158. Расходится. 9.159. Сходится при а > 1. 9.160. 4.
9.161. ^тг. 9.162. тг/2.
9.163. Сходится при а < 1. Указание. Изолировать прямую у =
= а; узкой полоской и положить / / = hm dx ^-r-:
JJ {X~y)a e->0j J (x-y)«
G 0 0
9.164. Сходится при а < 3/2. 9.165. 15/4. 9.166. 3/7. 9.167. /(ж0).
9.168. -ln(l + 2/2). 9.169. ^iisiny(l + y) - %^~ sinj/(y - 1).
9.170. 2ye~2/3 - e"^2 - fx2e~yx2 dx. 9.171. f(i(i - y) cos xy - sin xy) dx.
9.172. xB - 3y2)f(xy) + 4/ (£) + ^22/(l " У2)Г(ху). 9.174. В' =
1 E F
= -(E—F), F1 = — 7^T~T- Указание. При вычислении F' пока-

Ответы и указания
417
зать, что
тг/z тг/z
(I-к2 sin2 <^)~3/2 dip = _ / A - k? sin2 <pI/2 dip,
о о
чего использовать следующее тождество: A — к2 sin2 <^)~3/2 — :
7- J
для
2 1
9.175. arctg-. 9.176. -In2. 9.178. F(y) сходится неравномерно на
[уь У2]5 если этот интеграл сходится при любом у € [ух, уг], но су-
существует е > 0 такое, что для любого В > а найдется у = у(В) G
£ Ьь 2/2], Для которого / /(ж, у) dx ^ е. 9.179. Сходится равномерно.
в
9.180. Сходится неравномерно. 9.181. Сходится равномерно. 9.182. Схо-
Сходится равномерно. 9.183. Сходится неравномерно. 9.184. Сходится рав-
равномерно. 9.185. Сходится неравномерно. 9.186. Сходится равномерно.
9.188 i In-. 9.189. arctg — -arctg —. 9.190. arctg ~. 9.191. In A ' ч
2 a mm C
+ q).
9.192. -4/— e~6
2 у 7
4/— e~6 /D^). Указание. Продифференцировать интеграл по
у 7
QF S тг
параметру 7 и решить уравнение — = —-F, 9.193. — In (a +v l-Ь a2).
00 27 2
^ 2
9.194. тг(\/Г^2-1). 9.195. тг In
1 + ^ 1 -
Глава 10
10.4. у(\п\1-х2\ + 1) = 1. 10.5. уA + х) = 1. 10.6. 2/ = 2-3cosx.
10.7. /(я:, 2/) - 0, |£ < 0-тах, ^ > 0-min. 10.8. j^
= 0;
а) 2/ + .т3 + Зх2 = 0; б) у = In (х + \Лс2 + 4) - In 2. 10.9. х2 + у =
= жу'. 10.10. ху1 + у = 0. 10.11. у' = у thz. 10.12. 2хуу' = х2 + у2.
10.13. щ/ = х. 10.14. жу' + 2у = 0. 10.15. у' = —Ц. 10.22. у2 - х2 =
4/гу^
= С. 10.23. у3 + х3 - Зх = С. 10.24. у2 + х2 = С. 10.25. у = Сх2.
10.26. у = С(х+1)е~х. 10.27. arctgy-arcsinx = С; х = ±1. 10.28. еж +
+ е~у = С. 10.29. у sin у + cos у - ж cos х + sin ж = С. 10.30. arctg у +

418
Ответы и указания
= С. 10.31. у =
. 10.33.
e*Jtgy = C. 10.34. еж -
10.35., =
+жA - In ж) = С, j/ = 0. 10.37. tg
ж+ 2/
10.32. у =
- 2 In 11 +2/| -
10.36. yy +
- x = С, ж + у = Bfc + 1)тг,
1
ж € Z. 10.38. 4х + 2у + 1 = Се22/. 10.39. - arctg -Dж + у + 1) - х = С.
10.40. (ж + С) ftg -(j/ - ж - 1) - 1J =2, у - х - 1 = | + 2А;тг, ж 6 Z.
10.41.4у-6ж-7=Се~2я\ 10.42.3In ^4х ~ у
4я;-у + 1~2
1 = 0, Ах - у - 7 = 0. 10.43. ж2 - у2 = 1. 10.44. - х
x (ж2 + у2) + In - = 1. 10.45. у = sinx. 10.46. у = rb^v^ln |x| + С.
10.47. j/ = 2z(arctgCz + Trfc), у = ^тгх, i € Z. 10.48. .т2 - 2rcj/ - y2 = C.
-!/2 — In|ж| = С, у = ±ж. 10.50. же»/* = С,
10.49. arcsin- - -
ж ж
ж = 0. 10.51. еУ/х = Cj/, у = 0. 10.52. ее'У/* = Сж. 10.53. In - =
х
= 2arcctg(ln|x| -I-С), у = же2**, k e Z. 10.54. у = жакятСж,
у = А:тгх, к G Ъ \ {0}. 10.55. у = ж sin (In |ж| -f С), у = ±ж. 10.56. у =
= С'(у2 - х2), у = ±х. 10.57. у3 = -4ж3 + Сх*(у* - 4ж3), у = -лУ4ж.
10.58. ж2 - ху + у2 + ж - у = С. 10.59. х + у - 1 = С (у 4- 2J, у = -2.
y-f-2
= Ce~2arctg *-з .
10.60. ж+2у+3In |ж + у - 2| = С. ж+у = 2. 10.61. у+2 = Ce
10.62. sin
_1_ J»
ж + 1
= же1"*. 10.65.
= С(х + 1). 10.63. In -—- - 1 =
v ' ж + 3
. 10.64. у =
= 2. 10.66. у = ^(ж2 - 1). 10.67. у =
2
y)' 10-68' У = Схг - х2. 10.69. у = sin ж + Ccosz.
+ ^е3*. 10.72. у =
5
~у3 у =
10.70. у = (ж+С)A+ж2). 10.71. у =
10.73. у = (х + 1J(ех
, у = 0. Указание. За-
dx х ~f~ v dx
писать уравнение в виде — — ; оно линейно относительно х и —-.
«У У «у
10.75. ж = arctg у - 1 + Се"агс^. 10.76. у = ж sin ж + Сх. 10.77. у =
). 10,78. [/ = я-(Се-я-1). 10.79. х = Су+1п2у. 10.80.* =

Ответы и указания 419
Уj/ = 0 у = 1 1081x = Cj/4j/3 у =
= 0, у = 1. 10.81.x = Cj/4-j/3, у = 0. 10.82. sin y = Ce~x
У - 1
4-х - 1. Указание. Положить sin у = г. 10.83. у = sinx. 10.84. у =
= е2х _еЖ + 1х+ 1ш lO.85.x = ylnt/ + -. 10.86. у = f ^%
е
2/ = 0. 10.87. t/ = — , У = 0- Ю.88.7/ = (cosх- ^С - Stgx), у = 0.
G - х
10.89. г/ = , у = 0. 10.90.x2 =Cesin*>-2(siiit/ + l).Указа-
l).Указать 2 cos x 4- С
dx x2 cos у + sin 2j/ 2 2
ние. «записать уравнение в виде — = . 10.91. у* = x —
ay 2x
- 1+Су/\х2 - 1|. 10.92. xt/(C-ln2 j/) = 1. 10.93. x2(C-cost/) = j/, j/ = 0.
ecos a; j
1094 ^ 1095 ^ 1096 ^ + + 2 C
10.97. 5x2t/ - 8xt/ + x + 3j/ = C. 10.98. x3 + 3x2t/ - 2xy2 - y3 = C.
10.99. xt/ - - + - = C. 10.100. - + ^ - 2j/ = C. 10.101.
x j/ J/ t/2
+ xt/ - - = C. 10.102. x2 + ye~x = С 10.103. x2 + yexlv = С
с/
10.104. ж2 cos2 j/ 4- 2/2 = С. 10.105. xsiny 4- t/cosx 4- ln|x/t/| = С
10.106. Вся плоскость Оху. 10.107. у Ф х. 10.108. j/ ^ -^-—тг.
10.109. x > t/2. 10.110. j/ = 0. 10.111. у = 1. 10.112. j/ = -x.
x2
10.113. у = —. 10.114. x = 2p + 6p2 + С, у = p2 + 4p3; t/ = 0
(особое решение). 10.115. x = 2>/p2 4-1 - In A 4- y/p2 4- 1) 4- lnp 4- C,
t/ = p>/l +p2; t/ = 0 (особое решение). 10.116. x = ep + C, t/ = (p-l)ep.
10.117. у = Cx 4- -(C2 - x2), j/ = -x2 (особое решение). 10.118. x =
3 p2
тР4~"Т7 + С Ю119 x = pcosp у p2
3 p
у — тР4~"Т7 + С- Ю.119. x = pcosp, у — p2 cosp-psinp —
- cosp + C. 10.120. x = 2p-lnp, у = p2-p + C. 10.121. x = Cy + C2,
х = ~jV2 (особое решение). 10.122. у = -Сх2 + —, у — ±х (особые ре-
s~i су О/^ Q 1 С^
шения). 10.123.x = —- — , t/= -. 10.124.x = -р-- + т; Т^>
pz рб р р1 2 A — р)^
I/ = —р2 4- jz —; у = 0, 2/ = ж + 1 (особые решения). 10.125. х —
= Ср - \пр - 2, j/ = -Ср2 - р. 10.126. у = Сх - —, у2 = -4х (особое
2 О
решение). 10.127. у = Сх 4- С 4- >/С, t/ = -77 тг (особое решение).
4(х 4-1)

420 Ответы и указания
10.128. у = Сх - ес, у = хAпх - 1) (особое решение). 10.129. у -
= Сх + cos С, г/ = х arcsin х -f \/l — ж2 (особое решение). 10.130. Линей-
Линейное; т/ = uv. 10.131. Однородное; у — их. 10.132. С разделяющимися
переменными. 10.133. Уравнение Бернулли; у = uv. 10.134. Линей-
Линейное относительно ж; х = uv. 10.135. Уравнение в полных дифферен-
дифференциалах. 10.136. Однородное; х — иу. 10.137. Уравнение Бернулли
относительно ж; х = uv. 10.138. Приводящееся к уравнению с раз-
разделяющимися переменными; и = у — х. 10.139. Линейное; у — uv.
10.140. Уравнение Бернулли; у = uv. 10.141. у — х2 - 2 -f Ce~x I2.
10.142. In \у| + - = С, у = 0. 10.143. -х2 cos 2y + x = C. 10.144. у =
, 2/ = 0. 10.145. у = Sft7 + Зх - Зх2. 10.146. х = -у2 +
2
= т7,7, 2/ = 0. 10.145. у = Sft7 + Зх Зх. 10.146. х =
(ж + С) cos ж 2
+ Сг/3, 2/ = 0. 10.147. In larl+e*/^ = С, ж = 0. 10.148.1+у2 = СA-~х2),
х = ±1. 10.149. х4 -- х2у2 +у4 = С. 10.150. у = г— тт~5
у = 0 (х > 0). 10.151. (Зх + 2у - 1)(ж - 1) = С. 10.152. arctg - =
х
= In y/x^+y2 + С. 10.153. 2у cos х -f cos 2x = С. 10.154. х2 + х In у -
— cost/ — С. 10.155. у ~ Сх — In С, г/ = 1 4- In ж (особое решение).
1 г/
10.156. х = т- . 10.157. In |х| - cos - = С. 10.158. су = х2 х
xlnCx. Указание. Положить z = е7. 10.159. х = Су2-у2(у + 1)е~у,
у — 0. 10.160. x\/l + 2/2 ~ sin у — С. У к а з а н и е. Записать уравнение в
виде ^ + -^г = -^Н=. 10.161. x+arctg ^ = С, а: = 0. 10.162. у =
dy l+У2 Д+2 х
XI ~t ^
(особоерешение). 10.164. (х+т/3K — C(?/3-x), x = у3. Указание. По-
Положить у = z1/3. 10.165. у = ±ln|x2 - 1|. 10.166. у2 = 4ж и х?;2 = 4.
10.167. у = ±-^—. 10.168. (а; + СJ+у2 = а2. 10.169. у2 = ±2а(х + С).
г т2
10.170-2/ = 2 ch-. 10.171. у2 = — . 10.172. у2 = бх+9. 10.173. у2 =
2 X"" 4* о
fx 4- IJ v2 2
= 4(ж-1)и^ ^- + ^- = 1. 10.174. у2 = -(х-а). 10.175. г =
4 8 3
10.176. х2 + у2 = 22/. 10.177. ж = уC ± In у). 10.178. ?/2 = 2ж -f 1 - е2ж.

Ответы и указания
421
10.182. г = if + -. 10.183. 2х2 + Зу2 = С2. 10.184. х2 + 2у2 = С2.
10.185. у = —. 10.186. х + у2 = С. 10.187. Г = а + (Го - а)е"и.
X"
10.188. Через 40мин. 10.189. а; = 5 • C/5)^120 (об/с); через 6мин 18с.
Указание. Уравнение имеет вид — = —ku. 10.190. Через 1575лет.
at
10.191. За 6мин 5с. Указание. Уравнение имеет вид wv(h)dt =
= —S(h)dh. где w — площадь отверстия, v(h) — скорость истечения
воды, h — уровень жидкости, S(li) — площадь поперечного сечения
сосуда, t -- время. 10.192. 0,0878. Указание. Уравнение имеет
вид dQ = -kQdh. 10.193. « 50 с; « 15 м. 10.194. * « 0,0011с.
Указание. Уравнение имеет вид га— = -/сг?2. 10Л95. 0,5кг.
ас
10.196. а) 56,5г; б) 7,84ч. 10.197.0,06%. Указание. Уравнение имеет
вид @,01а: - 0,0004I500^ = -10800 • 0,01 dx, где х — объемная доля
(в %) углекислоты в воздухе в момент времени t.
Е _ д.
10.198. г = — ^тг-;(Rsmut - Lucosut + Lve '« ).
я2
10.199. у' < х2. 10.200. у'>0. 10.207. у" =: 0. 10.208.
= 0. 10.210. у"' = 0. 10.211. у =
//2
arctgx)x -
sinx + С\х + <72. 10.213. у =
. 10.214.y- ^х2 In |
2
С3. 10.215.
10.216. у - dtgiCx + C:
у = С. 10.217. у = Ci sin x
+ ех(х-1). 1
- In
2dx + C2 = In
-у + С, У -
-х- --sin2x. 10.218. у =
2J. 10.220. у = x
4- C2
In
2C.
■In
у =
у = С. 10.221. у = Ci arctgCiX + С2, у =
С - -. 10.222. С2у = (С?х2 + 1) arctgCix - С{х Н- Г-., 2у = /стгх2 + С
^ 1 . , / 1 \
(JfcGZ). 10.223. у = —-еО1Ж+1 х- — М-С2; ?у = —+С. 10.224. у =
V /
= - + Cx In |x| + C2. 10.225. // = Ci(x\/x2 -I- In \x\fxr^\\) + x2 + C2,
x
хл/Ь1^2 + arcsinx) + x2 + C2- 10.226. у = Cx{x - e"*) + C2.
x
у =

422
Ответы и указания
10.227. 2у = d cos2z + A + 2Ci)x2 + С2х + С3. 10.228. 2у = Схх2 -
- 2Cf(x+Ci) In \х + Сх \+С2х+С3. 10.229. у = C3-(x+Ci) In |ж + Сг | +
+ C2z, j/ = Circ + С2. 10.230. ж = 2Cip - In |p| + С2, у = 2
у = Се~х- у = С. |
10.231. х = ±|
10.232.
= С2
?2/ - 1 = sin(Ciz+ С2),
+ С i -f C2.
10.233. C\y + 1 = ±ch(Cix + C2),
= (x + CJ, 2/ = 0. 10.234. In у =
, (С-я:Iп2/ = 1, у = С.
1
, у = С. 10.236. у = 1 +
= c.
10.235. ctgy =
Ю.237. „=-L(a
+ C2. 10.239. у = Сц + —. 10.240. у = C2xeClX - (C2/Ci)ec*x + C3.
х6
. 10.238. у2 = —
О
10.241. у =
Указание. Уравнение однородно относительно
r/,r/',j/". 10.242. j/=C2e
10.244.г/ =
, г/ = 0. 10.243. y2 =
, г/ = 0.
(a;
, у = 0. 10.245.у = (х-2)еж+х+3. 10.246.у =
= - £ In2 x + ^х2 - 2х + ^ 10.247. у = f
2 2 2 5
- Щ. 10.248. у =
5
= 21п|ж
1. 10.249. у = -1п|х-1|. 10.250. In
tg (| + |)| =
= 2(х + 1). 10.251. 2/ = tgx, ~ < х <
|10.252. 2/ = е^2/2.
10.253. C - х)у5 = 8(х + 2). 10.254. у = 1 + sinx. 10.255. у =
= 1-ех, у = -1 + е"ж. 10.256. у = 1 - ж. 10.257. х = Ciep - 2р - 2,
. 10.258.x- M + J^
10.259. ж = (р + 1)ер +
+ ln|p| + С2, 2/ =
10.262. а) у = ^-c
C2. 10.260. х = 3Cip2 +
У = С. 10.261. у = ± Ь cos x.
при у" > 0; б) (х + С2J + у2 = С2
при у" > 0; б) ж = — х
при у" < 0. 10.263. a) 4(Ci2/-l) = С?(
x(£-sin£)+C2, у = — A-cosi) при у" <0. Указание. / А— dy
2 J у ^i " У
t / т \
вычислить с помощью подстановки у = С\ sin2 -. 10.264. у = ach ( — ).
2 \а/

Ответы и указания 423
10.265. еу'а—Ц-, где а = —. 10.266. v = \ ~th(—~Ч,
cosx/a qg \ k \ m J
cosx/a qg у к \ m J
x— — Inch! 1). 10.267. 1,89c, 16,6м/с. Указание. Использо-
k \ m )
вать ответы к задаче 10.266, положив Р — тд. 10.268. Время подъема
т f™^ I к т ( kVn\
Тп = х — arctg^oW—; высота подъема /tmax = — In I 1 + ;
У kq V mQ 2& V ^9 /
скорость спуска Vcn — v$. —г; время спуска 1сп = -A/— x
x In— r cn. 10.269. 1,75c; 16,3м/с. Указание. Использо-
' - V ^К:п
вать ответы к задаче 10.268. 10.270. х = Jxl + ^i2. 10.271. х =
V о
-. 10.272. х = -V +и(
о
х = -^у- + —((l-af)ln(l-a^)-fai), xA0) = 0,54км, хC0) = 5,65км,
хE0) = 18,44 км.
7Г#
10.273. ^(v^l + f «*, (l £) + f
10.274. « 116ч. Указание. Использовать ответ к задаче 10.273.
а( 1 /:r\J+A; 1 /т\1~\
10.275. «11,18км/с. 10.276.j/=- -—(-] (-) +
EIym&x = --5Б7- Указание. E/t/" = ^ ( — - х2 ), где Е — мо-
оо4 z \ 4 /
дуль Юнга, / — момент инерции поперечного сечения балки относи-
/F/2 al3\ Fx3 ax4 Fl3 a/4
тельно оси Ох. 10.278. Ely = [^- + ^ J х - Ц- - ^. _ £L - ^_,
F/3 а/4 ох2
EIymAX = —. Указание. Е/т/'7 = ~Fx , где Е — модуль
о о 2
Юнга, / — момент инерции поперечного сечения балки относительно
оси Ох. 10.279. F = -ql. Указание. Ely" - F(/ - х) - ^V 2 ; ,

424
Ответы и указания
модуль Юнга, / — момент инерции поперечного сечения балки относи-
относительно оси Ох. 10.281. у = СхеЪх + С2ех. 10.282. у = СхеЪх + С2е~х.
cos ж Л sinx „ _ /1.
,2:
10.283. у =
Ю.284. у =
- 1 +С2х.
Г1 С1
10.285. у = С\х+ — + -|. 10.286. Линейно независима. 10.287. Ли-
Лиге х1
нейно зависима. 10.288. Линейно независима. 10.289. Линейно за-
зависима. 10.290. Линейно независима. 10.291. Линейно независима.
10.292. Линейно независима. 10.293. Линейно зависима. 10.294. Ли-
Линейно зависима. 10.295. Линейно независима. 10.296. у11 4- у1 = 0.
(л 19
10.297. у"-4у' + 5у = 0. 10.298.у"--у' + —у = 0. 10.299. у"'-у" = 0.
х х1
10.300. у1" + у1 = 0. 10.301. у'" - j/" = 0. 10.302. у" - 8у' + 15у = 0.
10.303. J/"' - 2t/" + у' - 2у = 0.
10.304. <] Из равенства VF(xo) = 0 следует, что однородная система ли-
линейных алгебраических уравнений с неизвестными ai, a2i ..., an
+ «22/2(^0) + ... + anyn(x0) = 0,
= 0,
(*)
OL\y\
(n—1)/
(n — 1)/
(
(n—1)
= 0
имеет такое решение a*, a^, ..., a*, что не все a* равны нулю. Функ-
Функция у(х) — a*2/i(ж) + а2?/2(^) + ... 4- a*t/n(z) является решением дан-
данного линейного однородного уравнения и, как это следует из равенств
(*), удовлетворяет начальным условиям у{х§) — 0, 2/'(жо) = 0, ...
..., уп~1(хо) — 0. Но таким же начальным условиям удовлетворяет и
функция у = 0, тоже являющаяся решением данного уравнения (функ-
(функция у = 0 есть решение любого линейного однородного дифференциаль-
дифференциального уравнения). Отсюда на основании теоремы Коши о существовании
и единственности решения заключаем, что а\у\{х) + ... 4- а*пуп{х) = 0
на (а, 6), т.е. система функций у\(х), ..., уп(х) линейно зависима на
(a, b). Но тогда вронскиан W(x) этой системы равен нулю всюду на
(a, fr), что и требовалось доказать. t>
у J/1 (ж) 2/2 (ж) ... уп(х)
У' У[(х) у'2{х) ... у'п(х)
10.305.
Л)
= 0. У к а зание. Всякое

Ответы и указания 425
решение искомого уравнения вместе с функциями yi(x), у2(ж), ..., уп(х)
образует линейно зависимую систему.
10.306. у = ех + 2 cos x 43 sin x. 10.307. у = еж + 2е2* + 3е3ж. 10.308.1/ =
= Cix3 4 С2ж4 4 -х. 10.309. у = Схе2х 4 С2 sinz + С3 cosz 4 е3*.
2
10.310. у = С\ех 4 С2я - ж2 - 1. 10.311. у = Ci cos ж 4
- sin ж cos ж. 10.312. у = Cie5* 4 С2еж 4 5ж + б - е2х. 10.313. у =
= Ci + С2 sin я: + Сз cosx + ^ех - sin2z. 10.314. у = екхA + A - fc)x).
10.315.у//-у/-6у = 0, 1/ = С1е3ж+С2е-2ж. 10.316. у"-2у'4у = 0, у =
= (Ci + С2х)ех. 10.317. у/; - 6у' + 13у = 0, у = {d cos 2ж + С2 sin 2х)е3ж.
10.318. у"' - 6у" + 12i/; - 8у = 0, у = (d + С2х + С3х2)е2х.
10.319. у'" - 8у" + 1бу; =0, у = d + (С2 + С3ж)е4ж. 10.321. у =
= Cxe^~^x + С2еA+ч/з)ж. 10.322. t/ = e~3a;(Ci cos2x + C2sin2x).
10.323. у = e3a;(Ci + С2ж). 10.324. у = Cie2a; + С2е~4ж/3. 10.325. у =
= ех (Ci cos | + С2 sin |). 10.326. у = e-*/2(d + C2x). 10.327. у =
= Сi ex + е2ж (C2 cos 3x + C3 sin 3x).
10.328. у — C\ cos ж + C2 sin ж 4- Сз cos V^x 4 C4 sin v^3^.
10.329. у = С14С2ж4(Сз4С4ж)е-ж. 10.330. у = Ci4C2x4C3ea;4C4e-a:.
10.331. у = Cicosz 4 C2sinx 4 x(C3cosa: 4 C4sina:). 10.332. у =
= (С14С2х)е2ж4(Сз4С4ж)е-2а:. 10.333. у = C1+C2 cos2x4C3 sin2x 4
4 x(C4 cos 2ж 4 C5 sin 2ж). 10.334. у = C\ 4 С2ж 4 С3ж2 4 е3ж(С4 4 Съх).
10.335. у = (Ci 4 С2ж)еж 4 (С3 4 С4ж) cosx 4 (С5 4 С6ж) sin ж.
10.336. у = Ci 4 С2х 4 С3ж2 4 С4х3 4 е-*(С5 4 С6ж). 10.337. у = еж.
10.338. у = G - Зж)е*-2. 10.339. у = 2 + е~ж. 10.340. у = shx. Ука-
5 1
з а н ие. Начальные условия: у@) =0, у'@) = 1. 10.341. у = -ех--е?х.
10.342. у = Схе~х 4 С2е~2ж 4 (е"* 4 е~2х) In (еж 4 1).
10.343. у = {С\ - In | sin x\) cos 2ж 4 ( С2 - ж - - ctg x J sin 2ж.
10.344. у = id 4 С2ж 4 л/4 - х2 4 xarcsin ^ ех.
е~2х.
/ 1 3 \
10.345. у = (Ci 4С2ж4-х21пж- -х2)
10.346. (Аж3 4 Вх2)е4х. 10.347. x(Acos4x 4 Bsin4a:). 10.348. Ах 4
4 Bcos&r 4 Csin&r. 10.349. (Ах 4 B)sin2a; 4 (Сж 4 D)cos2a:.
10.350. (Ах2 4 Бж)е4а;. 10.351. Ах3 4 £ж2 4 Сж.

426 Ответы и указания
10.352. ех ((Ах + В) cos 2х + (Сх + D) sin 2x).
10.353. хе2х ((Ах2 + Вх + С) cos Зх + (£>х2 + Ex + F) sin Зх).
10.354. у = Схех + (С2 - |) е~х. 10.355. у = ■" ' " ' XShx
lU.uDo. v ~ Oie 4- О2е е
10.357. у = de2* + С2е3ж + -Ecos3x - sin3x).
10.358. у = (С1+ С2х)е'"х + №
10.359. у = (С\ 4- С2х)етх + т-^т cos тж. 10.360. у = dcosx +
LVfl1
4- C2sin2a: + :r(zsina; + cos ж). 10.361. у — Cicos2x + C2sin2a: +
+ ^(l+zsin2z). 10.362. y = Ciex/2+C2e~x/2-x3. 10.363.1/ = Cxe~2x +
8
+ C2e-3a; + ie-x + ie-2a:. 10.364. i/ = d + C2e3x + |е3ж + 2a; + 3x2.
10.365. y = Ci+C2x + (C3 + x)e~x + x3 - 3z2.
10.366. у = fci + C2x + C3x2 + у J ex. 10.367. у = d + C2x +
x2
+C3 cos.x + C4 sinx + —(x2 + 2x - 12). 10.368. у - Cxex + C2e~x +
4- C3cosx 4- C4sinx 4- |(x - 3)ex - jsinx. 10.369. у = C\ 4- C2x 4-
Ж4 / 2 \
4- C3x2 + C4X3 + — + f — - Ax 4- C5 j еж. 10.370. у = e'2x~l -2ex + e-\.
x 7
10.371.1/ = ex-e~x+x2. 10.372. у - -r4-cos2x4- —тг sin2x. 10.373. у =
4 16
= 2 cos ж - 5sinz + 2e*. 10.374. t/ = 2xex. 10.375. t/ = cosx 4- 2 sin ж +
4- e~x 4- Зеж + 2хеж. 10.376. у = еж(Bх - тг - l)sinz - ttcosx).
10.377. у = Cicosln|x| +C2sinlR|x|. 10.378. j/ = Ci cosB1n|a:|) 4-
4-C2sinB1n|a;|) + 2a:. 10.379. у = Cix3 4- %- 21nx + ^. 10.380. j/=
= Ci 4- C2x2 4- C3x4. 10.381. j/ = Ci 4- С21п|ж| 4- С3ж3. 10.382. у =
= Bx + l)(Ci 4-С21п|2ж + 1|). 10.383. у = —^— shx. 10.384. j/ =
SI1 ^7T
sh х cos x
= ——-. 10.385. у = —:—- (единственное решение). 10.386. Нет реше-
shl sinl
ний. 10.387. (х-2J 4- у2 = 5. 10.388. у = 1-sinx-cosx. 10.389. t/ =
= \ l~e\ . 10.390. у = ^ - х2 + х2 In х.
V е - 1 2

Ответы и указания 427
где a = т^-, /3 = J- - a2.
2 V
10.391. x = e~atiacospt-t
d x dx
Указание. Уравнение имеет вид т—~-г 4- А— 4- кх = 0.
dt2 dt
a ch Bt 4- —- sh #£ ], где а = -—, /3
E J 2m
Указание. Уравнение имеет вид —г 4- А— - кх — 0.
а^ ас
10.393. а) г = a ch ыс; б) г = — sh ut. Указание. Уравнение имеет вид
— = tu2r. 10.394. г = ae~^ut [chtu^/l-]- fj2 t + y shu;\/l + /i2 t).
о
10.395. T = —i In (9 4- л/80) «Зс. Указание. Уравнение имеет вид
л/5
d2s а о
-j-j — —«=-, где s — путь, пройденный за время t концом опускаю-
(ХЪ У \у
in one 2#sin30*-60^/0sin д/ift
щейся части цепи. 10.396. ж = —*- *— (см). Указа-
ние. Если х отсчитывать от положения покоя груза, то 4—- — \д -
dt1
4- х -1/ - /), где хо — расстояние точки покоя груза от начальной
точки подвеса пружины, / — длина пружины в состоянии покоя, поэ-
d2x
тому к(хо - I) — 4д и, следовательно, 4—- = -к(х - у), где к — 4д,
д = 981 см/с2.
10.397. г = e~2lf 5 [ [Lcj- t7~) cos \/тт; ~ 7Т^^~
( J + В? VV ^У V LC 4L2
Л / 1 \ 1
2 + J
H г f f — Luj ) cosut + Rsinut) .
rd2i di 1. de
Указание. Дифференциальное уравнение цепи: L—- +it-— 4- ~г = —.
ас ai G ac
10.398. г = — ^sin 7 < Имеем — = Etvcosut. Дифференциаль-
2L y/LC dt
d2i 1
ное уравнение цепи: L— 4- ~г = Elj cos cot. Общее решение соответ-
соответствующего однородного уравнения: го = С\ cos —==t 4- С2 sin —==t.
y/LC yLC

428 Ответы и указания
Частное решение линейного неоднородного уравнения имеет вид г =
= t(A cosut +В smut). Тогда -~ = ^(-Ajsiiiu^+JStJCOstJ^ + Acosa;^ 4-
+ Bsinujt, —- = t(—AuJ cosut—BuJ smu>t) + (—2Au)smu)t+2BujcosLJt).
dt2
~ ^ T 2 1
Подставляя в уравнение выражения г и —■ и учитывая, что Ьи — — =
= 0, получим тождество L(-2Au;smu)t 4- 2J3o;cosa;£) = Eu> со? *jt,
Е Е t
откуда А — О, В = —-. Следовательно, г — —Jsin —p=. Общее
2Х/ 2iv у LC
1 . 1 j? 1
решение: г = С\ cos . £ 4- С2 sin , t 4- ~r £ sin >—= ^. Вычисляя
dz Ci' 1 C2 1 J5 1
: sin , t 4- t cos y t 4- f= ^ cos 7 t 4-
dt y/LC y/LC y/LC yrLC 2L\fbC
rp I
4-7— sin ~7== ^ и используя начальные условия, найдем С\ — Сз = 0.
2L у LC
Е 1
Искомое частное решение: г — —- £sin ^
2L
10.399. г = -: cosipsmut 4- —rt cos (ut-{-^). 10.400. x2 4- у2 =
= z2 - 2z(y - xy'), x + yy' = zz1 - z'(y' - xy'). 10.401. yy' + zz' = 0,
„» + 2xzz> = ,^'2. 10.402. ^ = ^ = £ = -*Ц. 10.403. ^ =
dy _ du _ dv dw dx __ dy dz _ du __ dv _
u v w y2 1 v w t v + w
dw dt in /4nc: dx dy dz du dv dw
__ 10.405. — = — — — —
1
10.405. .
W + t t + V 1 V U ly — Z W £ + у — Z
Ю.406. ^ = ^ = -£— = -*-=* = *= ^iL. Ю.412. 1
1 ( ж-1 - иг; г + u dv w -xy
= 2t + d, y1 = CiBt + Co). 10.413. x2 = i1 + C,, y2 = i2 + C->.
IMM. ^ = <
- lnlCsldi + Ca)!, У = ln|C3(CiH-C2)|-Ci, z - (C, 4- 1)/. 4- C2.
10.416. x2 4- j/2 4- z2 = Ciy, г = C22/. 10.417. x = Cjf, у = C2el 4- ^-.
10.418. г - 2j/ = Ci, 2^/z^lT^y^y = C\>. 10.419. .т2 = de2i 4-
у'2 = Cie2i - C2ef. 10.420. у = x + ~^-re~L'lX; z = C2eCl-T;
= х-еж, г = е Л. 10.421. г = G\y, у* — —

Ответы и указания 429
10.422. а) Да; б) нот. Указание. Соотношение ip(t, x,y) ~C является
первым интегралом системы х\ — /i(£, x, у), у[ — /2(£, x, у) тогда и
dip dip dip
только тогда, когда — + fi(t, Х->У)~^ + Ш, х, у) — = 0.
10.423. 2е2~У = х2 + (у-1J. 10.424. у3 + 3у(ж2 - 1)-10 = 0. 10.425. у -
= х{1 4- In у/\х\). 10.426. (у - жJ 4- х2 = 1. 10.427-2/ = С1Ж1+>/2 +
4- Сгж1-^, г = xV2~1C]B 4- >/2) + .х-^-1С2B - \/2). 10.428. у =
- Ci 4- C2z, z = 2С2 4- —. 10.429. ж - Сг* 4- % у = -Ci* 4-
х ъ
+ —. 10.430. х = Щ-, у = С2е1 - Щ-. 10.431. х = de* + C2e2t,
Ъ L Ъ
у = Cie* 4- 2C2e2i. 10.432. ж = 3Cie2' 4- C2e4i, у -
4-С2е4£; ж = Зе2', у = e2t. 10.433. ж = e5f(Ci cos2i 4- C2sin2*),
у = e5*((Ci - C2)sin2^ - (Ci 4- C2)cos2f); x = ebt{cos2t - sin 2*),
10.434. x = et(Ci cos3t 4- C2sin30,
у - \e~2t{{ACi - 3C2) cos3t 4- Cd 4- 4C2) sin3*).
10.435. ж = BCit + 2C2 + Ci)e-', i/ = {Cxt + &)е~1.
10.436. x = (Cit + C2)e-3t, у = (~Cit+Y - сЛ e~3t; x = 2te~3t,
у = A - 2i)e-3(. 10.437. x = Cxel + еГ1/2 (c2 cos ^t + C3 sin ^Л,
j/ = C,e' + |e-*/2 ((Csv^ - C2) cos ^f - (С2ч/3 + C3) sin ^Л, z =
/n" /77 \
72>/3 - C3) sin ^-* - (Сзл/3 4- C2) cos --N; ж =
= у = г- = el. 10.438. ж = Cie2t 4- С2е~', у = Схе21 + С3е""*,
г = C\e2t - (С2 4- Сз)е"£; ж - е2* 4- е~*, у = e2t 4- е~*, z = e2t -
- 2е"*. 10.439. ж = Ci + 3C2e2i, у - -2C2e2t 4- С3е~£, г = Сх 4-
4- С2е2* - 2С3е"^. 10.440. ж = de* 4- C2e2i 4- С3в3^, у = def 4- 2C3e3i,
2 5
г = 2de* 4- C2e2i 4- 2C3e3i. 10.441. ж = 2de2* + C?e~3i --*-—,
3 18
у = de2* + 3C2e~3i - ~ - j-. 10.442. ж = (C2 cosi 4- C2 sin* - l)eb,
у = (Cismt - C2 cos t)cK 10.443. x = ( d + C2* 4- — 4- — - ЗеЧ e2i,
V 2 3/

430 Ответы и указания
к VQ\fm . к х ку ^ ^г
10.448. х = a cos —т=£, 2/ = —;;— sm -7=^; ^7 Н о" — 1- Указа-
Vm A: /m az m^
10.444. х — С\ cos t 4- С2 sin t — t cos £,
у = (C2 - Ci)cos£ - (Ci 4- C^sint 4-£(cos£ 4-sint).
10.445. x = Ci cos f 4- C2 sin £ 4- tg £, t/ = -C\ sin /; 4- C2 cos £ 4- 2.
10.446. x = 3(Cie2t 4- C2e~2t) 4- C3 cos2£ 4- C4 sin 2*,
2/ = 2(Cie2t 4- C2e-2i) - 2(C3 cos 2* 4- C4 sin 2t).
Указание. Искать решение системы в виде х = Aekty у — Beht.
10.447. х — , у — . Указание. Система диф-
дифференциальных уравнений: х = к\{а - х - у), у = к2(а - х - у).
к VQ\fm . к х2 к2у2
£ 2/ = ;;sm ^; Н
V A: \/ Q
ние. Дифференциальные уравнения движения: тпх = —к2х, ту =
= -A:2t/. 10.449. Неустойчиво. 10.450. Устойчиво. 10.451. Неустойчиво.
10.452. Асимптотически устойчиво. 10.453. Асимптотически устойчиво,
если a < -1/2; устойчиво, если а = -1/2, и неустойчиво при а > —1/2.
10.454. ii = -<j>i + fi{i,zi +<pi(t), ..., Zn + ^nW) = F*(£, ^1, ..., ^n),
г = 1, 2, ..., п. Указание. Преобразовать систему A) к новым пере-
переменным, полагая Z{ — х\ — (pi, г — 1, 2, ..., п.
10.455. Точка покоя х\ = 0 (г = 1, 2, ..., п) системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений устойчива, если для любого е > 0 найдется S(e) > 0 та-
п п
кое, что из неравенства Y1 Х1 (^о) < ^2(^) следует ^ ^2@ < £" при всех
п
t ^ to. Если, кроме того, выполнено соотношение lim J^ x2(t) = 0,
то точка покоя системы асимптотически устойчива. Точка покоя не-
неустойчива, если найдутся £ > 0 и номер г такие, что при любом S > 0
из неравенства |x^(to)| < 5 следует |жг(£)| > £ Для некоторого t > to.
10.456. Неустойчивый фокус. 10.457. Седло. 10.458. Неустойчивый фо-
фокус. 10.459. Устойчивый узел. 10.460. Устойчивый узел. 10.461. Устой-
Устойчивый узел. 10.462. Ни при каких а. 10.463. \а\ ^ 2.
10.464. а < 0, \а\ ^ |/3| — случай большого «отрицательного трения»,
точка покоя — неустойчивый узел; a < 0, \а\ < \/3\ — случай «отри-
«отрицательного трения», точка покоя — неустойчивый фокус; a = 0, точка

Ответы и указания 431
покоя устойчива — центр; a > 0, \а\ < \C\, точка покоя — устойчивый
фокус; а > О, \а\ ^ |/3|, сопротивление среды велико, точка покоя —
устойчивый узел. Указание. Заменить уравнение эквивалентной
нормальной системой х = у, у = -2ау — C2х.
10.465. Указание. Использовать запись частного решения однород-
однородной системы при различных значениях характеристического корня.
10.466. Неустойчива. 10.467. Устойчива. 10.468. V = х2 + у2] устой-
устойчива. 10.469. V = я2 + у2; неустойчива. 10,470. V = .т4 f ?/4: устой-
устойчива. 10.471. У = х2Л-у2\ неустойчива. 10.472. V = 2x2-f у2; устойчива.
10.473. У = у2 - -ж2; неустойчива. 10.474. Устойчива. 10.475. Не-
Неустойчива. 10.476. Неустойчива. 10.477. Устойчива. 10.478. Устойчива.
10.479. Неустойчива. 10.480. V — Зх2 -f 4t/2; асимптотически устойчива.

СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
ькьдшиь В ЛЩЛНЭ
ДИФфКРЕМЦИЛЛМШЁ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ НШМЕ-ШШЙ
Д И»ФЬPEFI11И ЛIIЬII Ofc ИС Ч «С Л Г11H V.
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ill П Ml HIIIJ\
ИНТЕГРАЛЫ
ТРА1НШ1ИИ