/
Author: Амиантов И.Н.
Tags: общее машиностроение технология машиностроения радиотехника радиолокация теория связи
Year: 1971
Text
и. н. амиантов « ТЕОРИЯ СВЯЗИ
И. Н. АМИАНТОВ
ИЗБРАННЫЕ
ВОПРОСЫ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ СВЯЗИ
И. Н. АМИАНТОВ
ИЗБРАННЫЕ
ВОПРОСЫ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ СВЯЗИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО»
МОСКВА —1971
УДК 621. 37: 621. 391. 519. 27
Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. М. Изд-во
«Советское радио», 1971, 416 стр,
Книга содержит основные результаты применения статисти-
ческой теории передачи сообщений к радиолокации и системам
связи. Изложены способы, которыми в радиолокации и системах
связи выделяется полезная информация, обсуждаются схемы со-
ответствующих устройств и проанализированы ошибки их работы.
Книга рассчитана на радиоинженеров, студентов, аспиран-
тов и научных работников, специализирующихся по радиолока-
ции и системам связи.
Т* 8500 экз., ц. 1 р. 75 к. 32 табл., 170 рис., библ. 69 назв.
ИЛЬЯ НИКОЛАЕВИЧ АМИАНТОВ
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ СВЯЗИ
Редактор К. И. Ку чумо в а
Художественный редактор В. Т. Сидоренко
Технический редактор А. А. Белоус
Корректоры: Е. П. Озерецкая, Н. М. Давыдова
Сдано в набор 25/Ш 1971 г. Подписано в печать 29/XI 1971 г. Т— 19244
Формат 60 X 90*/1в Бумага типографская № 2.
Объем 26 усл. п. л., Уч.-изд. л. 26,478. Тираж 8 500 экз. Зак. 213
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, п/я 693.
Цена 1 р. 75 к.
Московская типография № 4 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Б. Переяславская, 46.
3-4-4
49 — 70
ПРЕДИСЛОВИЕ
Статистическая теория связи интенсивно развивалась последние
25 лет и к настоящему времени оформилась в самостоятельное науч-
ное направление, играющее важную роль при проектировании радио-
технических систем и устройств. К числу весьма существенных до-
стижений теории, оказавших заметное влияние на развитие техники
радиолокации и связи, можно отнести, например, возможность оты-
скания оптимальных схем обработки сигналов с заданной статисти-
кой изменения параметров, создание основ теории сигналов, обладаю-
щих желаемыми свойствами, нахождение оценок предельных точ-
ностей выделения полезных сообщений. Изложение этих основных на-
правлений составляет содержание данной книги.
В гл. 1,2 изложены сведения о функционалах плотностей вероят-
ностей некоторых видов случайных процессов и о предельных точно-
стях измерения параметров сигналов, принимаемых в гауссовских шу-
мах. В гл. 3, 4, 5 и 6 излагается теория синтеза дискретных и непре-
рывных систем связи и обсуждены некоторые оптимальные системы
выделения сигналов из шумов. В гл. 7 приведены характеристики об-
наружения релеевски федингующих сигналов при произвольной ско-
рости фединга. В гл. 8 синтезируются моноимпульсные измерители
координат источников регулярных и шумоподобных сигналов. В гл.
9, 10, 11 рассмотрены вопросы использования сигналов с внутриим-
пульсной модуляцией.
Результаты, приведенные в гл. 1, служат теоретической основой
для синтеза различных радиотехнических устройств. Назначение
гл. 3, 4, 5, 6 состоит в том, чтобы создать представление об оптималь-
ных системах фильтрации, их структуре, основных особенностях и
ошибках работы. Сведения гл. 7, 9, 10, 11 могут быть использованы
при проектировании радиолокационных и связных систем.
В большей части книги речь идет о синтезе оптимальных
устройств. При этом критерии оптимальности выбираются исходя
из целей синтеза.
Ограничиваясь задачей рассмотрения особенностей работы согла-
сованных фильтров и корреляторов для приема сигналов «сложной»
формы, достаточно использовать в качестве критерия оптимальности —
требование выделения апостериорной вероятности задержки.
з
При формировании «единичного» замера координат моноимпульс-
ным пеленгатором удобно пользоваться оценками (например, по мак-
симуму) функции правдоподобия. Структура измерителя получается
в результате решений уравнений правдоподобия.
Синтез оптимальной дискретной системы в целом удобно произ-
водить на основе выделения моментов финальной апостериорной ве-
роятности.
Выражаю благодарность проф. Б. Н. Митяшеву и проф.
С. Е. Фальковичу, сделавшим ряд ценных замечаний при рецензи-
ровании рукописи книги, проф.В. И. Тихонову, совместно с кото-
рым написана гл. 6, и коллективу кафедры радиоприемных уст-
ройств МЭИ, благодаря поддержке которого был реализован замысел
этой книги.
Замечания и пожелания просьба направлять в издательство
«Советское радио» по адресу: Москва, Главпочтамт, п/я 693.
Глава 1
ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ
ПРИ ПРИЕМЕ В ГАУССОВЫХ ШУМАХ
1.1. ФУНКЦИОНАЛЫ ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Полное описание случайного процесса £(/) может быть достиг-
нуто заданием совокупности многомерных плотностей вероятностей.
Выберем п произвольных значений аргумента tlt tn из интервала
наблюдения /н < tH — tK = Т и рассмотрим значения про-
цесса |(/) в эти моменты времени, обозначив
Переменные £1( являются случайными величинами. Любое
конкретное значение xh случайной величины часто называют вы-
борочным значением; все п выборочных значений образуют п-мерную
выборку X = (xi....хп), являющуюся точкой в n-мерном простран-
стве выборок. В матричных обозначениях X является вектором (столб-
цом) с координатами х1г ..., хп.
Зададим следующую систему вероятностей:
P(x1)dx1—вероятность того, что
Р (xj, х2) dxxdx2—вероятность того, что
хх< £1<x1 + dx1,
х2 5а х2 “J- dx2,
Р (х1( ..., xn)dXi... dx2—вероятность того, что
Xj < <Xj + dXj,
Xn 5n < %n “Ь ^'71-
ФуНКЦИЯ P(xlt ..., xm) называется m-мерной плотностью вероятности.
Совокупность Р(хъ ..., хт) при любом т образует систему многомер-
ных плотностей вероятностей.
5
В общем случае одномерная плотность вероятности явно зависит
от момента tlt двумерная — от моментов 4> 4 и т. д. В частном слу-
чае стационарного случайного процесса, который в основном рас-
сматривается далее, одномерная плотность вероятности не зависит от
4, двумерная плотность вероятности зависит только от разности 4 —
—4 и т. д.
При изучении дискретных систем плотности вероятностей явля-
ются удобным средством исследования. В некоторых задачах, однако,
полезнее «непрерывное» описание случайных процессов и, в частно-
сти, продуктивно используется функционал плотности вероятности
случайного процесса [1.1].
Выберем моменты времени 4<4< ...<4 так, чт0
—4,-1 =Д; т = 2, 3, .... п;
Т
А = —; t1 = tn = tK
n—\
и рассмотрим предел, к которому стремится
сти в случае, если
п-я плотность вероятно-
Д->0,
оо.
Характеристика случайного процесса, получаемая в результате
подобного предельного перехода, учитывает все статистические свой-
ства случайного процесса |(/) и называется функционалом плотности
вероятности
F [%(/)]= lim P(xlt хп).
Д->0
П->оо
(1-1)
Величина плотности вероятности Р(хъ ..., хп) зависит от значе-
ний хъ ..., хп, принимаемых случайными переменными ........ |п.
Аналогично этому величина функционала плотности вероятности за-
висит от того, какая именно реализация x(f) выбрана из множества
реализаций процесса |(/).
Определение функционала (1.1) требует дополнительных пояс-
нений. Как будет видно из дальнейших примеров, не существует от-
личного от 0 или оо предела, определяемого соотношением (1.1); пра-
вая часть (1.1) содержит в качестве множителя величину /г(Д),'не за-
висящую от хъ ..., хп, но зависящую от Д так, что при Д О /г(Д)
стремится либо к нулю, либо к бесконечности. Вместе с тем, то об-
стоятельство,что /г(Д) не зависит от xlt ..., хп, позволяет вычислить ко-
нечный предел
F.1*1(01 Р&. -.4)
f[x2(01 дТоР
п->оо
(1-2)
где x'i, ..., х'п — значения реализации ^(Z); Xi, ...,х„— значения
реализации x2(t) в выбранные моменты времени. Отношение функ-
ционалов плотностей вероятностей (1.2) показывает, насколько реа-
лизация хг(1) «более (или менее) вероятна», чем реализация x2(i). При
6
использовании функционалов для синтеза оптимальных устройств
оказывается важным именно это обстоятельство. Поэтому обычно
используется определение (1.1), причем, условно считается, что функ-
ционал плотности вероятности определен с точностью до неизвестного
множителя h, исчезающего при практическом использовании функ-
ционала.
1.2. ФУНКЦИОНАЛ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
ГАУССОВСКОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Рассмотрим стационарный гауссовский процесс с нулевым сред-
ним значением, дисперсией о2 и корреляционной функцией
(1-3)
Совокупность значений корреляционной функции Кц (i, j = 1,
..., п) образует матрицу порядка пХпК = [Kij], называемую кор-
реляционной матрицей. Пусть X = (хи хп) — вектор-столбец,
представляющий n-мерную выборку. Обозначим операцию транс-
понирования символом * так, что X* — вектор-строка.
Найдем матрицу С, обратную корреляционной
С=К~1, КК-'=К~1К = 1, (1.4)
где / — единичная матрица. Корреляционная матрица и матрица,
ей обратная, симметричны.
Плотность вероятности n-го порядка гауссовского процесса
определена соотношением
Р(Х)=—-^==гехр(-4х*К->х]. (1.5)
(/2л)" К Det К I 2 1
где DetK — определитель матрицы К-
В показателе экспоненты (1.5) стоит квадратичная форма вида
---Y^iXixiCH' (1.6)
причем коэффициенты формы удовлетворяют системе уравнений (1.4)
Кip Сpj = 6J7 = j 0, . . (1.7)
Для гауссовского процесса знание корреляционной функции
позволяет построить систему многомерных плотностей вероятностей.
Рассмотрим два важных примера.
Предположим, что спектральная плотность мощности Ф(/) гаус-
совского процесса £(/) имеет вид прямоугольной функции, представ-
ленной на рис. 1.1. В этом случае дисперсия процесса о2 = 2F • N.
7
Корреляционная функция К(т) является преобразованием Фурье от
спектральной плотности мощности
К(т)= $ Ф(/)ехр(/2лт/)# (1.8)
— 00
и в данном случае равна
K(t) = 2/4V (1-9)
Корреляционная функция имеет нуль в точках
Рис. 1.1. Спектральная плотность мощности (а) и корреляционная функция (б)
случайного процесса.
Таким образом, если выборки делаются в равноотстоящие момен-
ты времени, разделенные интервалами
О-'»)
то корреляционная матрица
K = 2FN-I, D&tK = (2FN)n,
где / — единичная матрица. Матрица, обратная корреляционной,
равна
Из (1.11) следует, что n-мерная плотность вероятности при выбо-
ре интервала дискретности (1.10) имеет вид
1 1 / 1 V»
-----------ехр-----------------> х,
(}/2л)п (Y2FN)n у 4FN £
(М2)
В качестве следующего примера рассмотрим экспоненциально-
корреляционный гауссовский случайный процесс, имеющий кор-
реляционную функцию
К (т) = о2 ехр (—а|т|). (1-13)
8
Корреляционная матрица здесь имеет вид
К = о2 1. У, У» 1, У2, V. у2, • у> •• 1, • • .» у"”1 ' уп~2 уп"~3 (1-14)
где у = ехр(—аД). -У"”1» у"~2> уп-"3, • ... 1
Можно показать, что определитель матрицы К и обратная ей
матрица соответственно равны
DetK = o2n(l—у2)"-1,
—! (1—у2) а2 _ 1, —У. 0, —у, 1+у2, —у, 0, 0, .. —у» о, 1 +у2, —у, • о" 0 ..,0 • (1.15)
_ о, о, о, о, .. ., 1
В матрице, обратной экспоненциальной, отличны от нуля только
главная и две соседние диагонали.
Из соотношений (1.15) следует, что выражение для л-мерной
плотности вероятности в данном случае имеет вид
(/2Й)"
х ехр {~2а2'(1 —у2) 0-V2)+(x2-^i)2 +
+ (х3— тх2)2+ ... + (хп—УХп-1)2] }. (1.16)
Корреляционная функция и спектральная плотность мощности
процесса (1.16) представлены на рис. 1.2, причем сектральная плот-
ность вычислена в соответствии с обратным преобразованием Фурье:
Ф(/)= $ К(г)ехр(-/2л/т) dr= (1-17)
— оо
Для того чтобы найти функционал плотности вероятности гаус-
совского случайного процесса с произвольной корреляционной мат-
рицей, необходимо перейти в (1.5) к пределу при Д -> 0. Пусть
т
tt = А/ =---f, tj = kj.
п— 1
Предел показателя экспоненты (1.6) можно вычислить, если ввести
матрицу
©=[^1
9
Тогда, из (1.6), (1.7) следует, что
_А.Х*/<-‘Х=-4-Ухгх>&г;Д2,
2 i.l
2^9р'д=т- (1-18)
р
В соотношение (1.18) входят интегральные суммы, превращающиеся
при АО, п-^оо в определенные интегралы. Правая часть 6^/Д
Рис. 1.2. Корреляционная функция (а) и спектральная плотность мощности (б)
экспоненциально-коррелированного процесса.
в пределе дает 6-функцию. Таким образом,
lim----- X*#-1*-
д->о 2
= —t^dt^dt^, (1.19)
т
где
$ К (G, о 0 (Л t2) dt = & (Zi-/2). (1.20)
т
Предел множителя
— 1 1 — = lim h (Д)
у (2я)л V Det К Д-+0
может быть равен нулю или бесконечности. Например, для случай-
ного процесса с равномерной спектральной плотностью мощности
lim h (Д) = lim —------1 - =0.
Д-0 (У 2я)" V(2FN)n
Для случайного процесса с экспоненциальной корреляцией
lim h (Д) = lim —------------!--------!-—г = оо.
Д-о д-о ал (/2^)«
п->«э (2аД) 2
10
С учетом вышеизложенного, можно условиться, что функционал плот-
ности вероятности гауссовского случайного процесса определяется
соотношениями
F [х (01 = h ехр Г—1- х (4) х (/2) & (4, /2)
L т
/2)^ = 6(/х—/2).
Т
dtidt2, (1.21)
(1.22)
Иногда удобно использовать другую форму функционала плотно-
сти, введя функцию
&(/,)= $6^, t2)x(t2)dt2.
т
Тогда
F [х (/)] = ft ехр----------— х (/) 9- (/) dtl •
L г J
(1.23)
(1-24)
Умножая (1.22) слева и справа на х(/2) и интегрируя по интервалу Т,
получим, что функция ft (/) удовлетворяет следующему интеграль-
ному уравнению Фредгольма 1-го рода:
$/C(/,X)^(X)dl=x(O, (1.25)
т
Соотношения (1.24), (1.25) получены в [1.1].
Прежде чем перейти к использованию ^соотношений (1.24), (1.25)
в некоторых конкретных случаях, рассмотрим примеры непосредст-
венного вычисления функционалов плотности вероятности.
В случае процесса с равномерной плотностью и при условии
Д = -^р из (1.12) следует, что
(1 " \
— — х*д 1 =
1=1 /
= ft ехрГ----— § х2 (f) dt
L
(1.26)
Случайный процесс с равномерной в бесконечном диапазоне ча-
стот спектральной плотностью, бесконечной дисперсией, но конечной
мощностью на единицу полосы частот N называется белым шумом.
Соотношение (1.26) определяет функционал плотности вероятности
белого шума и введено в теорию Вудвордом [1.2].
В случае экспоненциально-коррелированного гауссовского про-
цесса при малых Д
у=ехр( — аД)с^ 1—аД,
1—2а Д.
11
Показатель экспоненты в соотношении (1.16) может быть приведен
к виду
2 п~ 1
—ГТТ 2 1(х<+1— *i)+ аЛ*/]2 =
2а2 4а2 аД
1 = 1
2а2
1
4 ап2
Таким образом, функционал плотности вероятности экспонен-
циально-коррелированного гауссовского процесса имеет вид
/ \
F [х (/)] = h exp I ——J х
^-+«х(оГ
dt v ]
X ехр (-----Ц-
I 4аа2 J
\ т
Дискуссия соотношений (1.26), (1.27) приведена в следующих
разделах.
dt.
(1.27)
1.3. ФУНКЦИОНАЛЫ ПЛОТНОСТЕЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕКОТОРЫХ
ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
В качестве первого примера использования соотношений (1.24),
(1.25) получим функционал плотности вероятности белого шума.
Как уже было упомянуто, под белым шумом понимается случайный
процесс с равномерной во всем диапазоне частот спектральной плот-
ностью мощности. Мощность шума на единицу полосы частот равна
N. Корреляционная функция такого процесса должна быть записана
в виде
К(/1-/2) = Л16(/1-/2). (1.28)
Следует помнить, что при этом спектральная плотность мощности
определена как для положительных, так и для отрицательных частот.
Реальная мощность шума на единицу полосы равна Л/о = 2N.
Подставляя (1.28) в (1.25), получим = x(t)/N и, следова-
тельно,
F ]х (/)] = Л ехр Г—J x2(f)dt , z (1.29)
L Т J
что совпадает с (1.26).
Соотношение (1.29) показывает, что для белого шума «вероят-
ность реализации» зависит только от «энергии реализации» за время
наблюдения f x\t)dt. При этом наиболее вероятны реализации с ма-
т
лыми энергиями.
12
В ряде случаев представление случайного процесса в виде бе-
лого шума со спектральной плотностью, равномерной в бесконечной
полосе частот, может оказаться недостаточным.
Предположим, что спектральная плотность мощности может быть
аппроксимирована полиномом по четным степеням f с максимальной
степенью 2п:
Ф(/) = 5 f2Pa2j)(2n)2P, (1-30)
Р = 0
так что корреляционная функция
К(т) = J Ф (/) ехр (/2л/т) df =
— оо
v d2p 1 7 1 /•
ехр (/(ОТ) do =
р=0 —оо V
= (1.31)
/7=0
Последнее равенство написано на основании интегрального пред-
ставления б-функции:
6(т)== — С ехр (/сот) dco.
2л J
Функционал плотности вероятности гауссовского процесса оп-
ределен соотношениями (1.24), (1.25). Подставляя (1.31) в (1.25) и
учитывая
Г <*(й) X/ < ,xkdkf^
J 7^7^ б(х-х»)/(х) dx =(-0
получим, что в случае спектральной плотности (1.30) функция &(/)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
(1.32)
р=0
Чтобы найти функционал плотности вероятности экспоненци-
ально-коррелированного гауссовского случайного процесса, необ-
ходимо решить интегральное уравнение
ст2 J ехр[ — а|/—-%|O'(X)dX] (1.33)
Метод решения состоит в том, что интервал интегрирования (0, Т) разби*
вается на два интервала: в каждом из которых можно
13
отбросить знак модуля в показателе экспоненты. Полученное соотношение диф-
ференцируется несколько раз по t с промежуточным умножением слева и справа
на целесообразно выбранные множители.
Уравнение (1.33) эквивалентно уравнению
а2
е-а< | еаХ а + eat j е-аИ а Л
О t
Умножая (1.34) на eat и дифференцируя по /, получим
т
a2 2а e2af J е~аХ Я (X) dl = [х' (/) + ах (/) ] еа<.
t
(1-34)
(1.35)
Умножая (1.35) на е 2<х/ и дифференцируя по /, получим
»<0=^-2[х(0
_х" (0 I
a2 J
(1.36)
Таким образом, понадобилось всего два дифференцирования.
Интуитивно ясно, что так как x(t) и ее производные могут не обращаться
в нуль на концах интервала интегрирования, то к решению (1.36) необходимо
добавить еще d-функции и их производные с особенностями в точках t = 0 и
t = Т. Необходимость этого становится очевидной при подстановке (1.36) об-
ратно в (1.32) с целью проверки решения. Из такой подстановки видно, что
в данном случае достаточно добавить только d-функции. Таким образом, общее
решение можно написать в виде
а Г х" (к} 1
& (*) = —21X (X) - I + /Сх а (X)+/с2 6 (X—Т), (1.37)
где коэффициенты и определяются при подстановке (1.37) в (1.34). В ре-
зультате подстановки мы найдем, что должно выполняться равенство
-J-e-0< CL(X)-^-^le°xdX+-^-ea< f Гх(X) —^^1 е~аЧА.+
2 JL а2 J 2 J L
о t
+ у- Ki e~at + -у к2 еа/-°г = х (0 • (1.38)
Произведя в членах вида J х" (X) ea^ dk и J х" (X) e*“a^ d'h интегрирование
по частям, получим, что (1.38) справедливо, если равны нулю следующие коэф-
фициенты при членах e~at и еа/*
/<1О2+— х'(0)—-х (0) = 0,
a
К2о2 — — х’(Т)—х(Т)=0. (1-39)
a .
Из (1.39) следует, что]
14
Таким образом, решение (1.33) имеет вид
хк + — Хк1 6(/ — tK).
а
(1.41)
Здесь 6-функции имеют особенности в начале t = ta и в конце
t = tK интервала наблюдения и использованы обозначения
хи—x(tK)—Хк,
Хн=х'(/Я), Хк=х'(/К).
Подставляя (1.31) в (1.24) и производя интегрирование по частям
в интеграле х (f)x"(t) dt, получим окончательно
т
F [%(/)] = /гехр
—[f*2(0 dt
2 (2о* LJr ;
хл (Q dt
а2
[*« + х«] I •
(1-42)
Легко видеть, что ранее полученное соотношение (1.27) может быть
приведено к виду (1.24).
Таким образом, «вероятность реализации» экспоненциально-кор-
релированного гауссовского процесса зависит от значений, которые
процесс принимает на концах интервала наблюдения, «энергии», со-
держащейся в реализации за время наблюдения J x\t)dt и «энергии»,
’ т
содержащейся в производной от реализации \x'2(t)dt за время наблю-
т
дения.
Рассмотрим теперь гауссовский случайный процесс с корреля-
ционной функцией вида
/2) = <т2ехр( —/2|) х
X cos а»! (/х—/2) + — sin (Oj | 121 , (1.43)
L “i J
спектральная плотность мощности которого имеет вид
где
Ф(Л
__________2аст2________
(2я)‘(/-/0)2 + (2л)2Р ’
(1-44)
ci £ 2 2 I 2
2nf0 = (t)0, ®0=®14-а.
Корреляционная функция и спектральная плотность этого про-
цесса, называемого далее для краткости узкополосным, представлены
на рис. 1.3 для случая ш0 >а.
15
Интегральное уравнение (1.25) для ядра (1.43) при
ta t С имеет вид
ск Г “1
о2 \ е-а1/~А'1 coso)(/—Х) + —sin со 11—X 11 =x(t). (1.45)
t *- ° J
JH
Решение уравнения (1.45) может быть проведено тем же способом, как и
решение уравнения (1.33). Соответствующие вычисления проведены в [1.1].
Рис. 1.3. Корреляционная функция (а) и спектральная плотность мощности (б)
узкополосного процесса.
В результате
8 (<) = -□---- [xIV(0 + (2®g-o$x'(O + «>ox(O] + 2 1 2 X
2cr а0 cog J а а0о>5
X {' + (®о - ао) хн + «о “о *н] 6 (< - W + [-4'' - (о>о - а§) хв +
+ аошохк] б(*~М+рн—«охн + “охн] 6'(*—Q +
+ [ — х"к— «охк — ®0хк] *к)}. (1-46)
Здесь, как и ранее, ta и /к— начало и конец интервала наблюдения,
а0 = 2а,
хн =х"' (Q- Хн = Х"((в),
xB=x'(iH), ха=х(1н),
х'к"=Х"' (tB), xk=x''(Zk).
ХК = Х' (М> xK = x(tK).
Подставляя (1.46) в (1.24), производя интегрировайие с 6-функциями
и с б'-функциями и беря по частям интегралы вида JxVI(0x(0df, J х" (0 х (0 dt,
Т т
получим окончательное выражение для функционала плотности узкополосного
гауссовского процесса:
F [x(f)] = Лехр
. 2 ;-;2 \ х"2 (t) dt+ аЦ х'2 (0 dt + <4 \ х2 (t) dt+
40 «0 ? У £
+ 2<о§ f X" (О X (0 dt + [а0 <0д х2 + а0 х'2] + [а0 cog х2+ а0 хв
(1.47)
16
«Вероятность реализации» узкополосного процесса зависит от краевых
значений процесса и его производной, энергии, содержащейся в самом процессе
за время наблюдения Г, энергии, содержащейся в первой производной процесса,
энергии, содержащейся во второй производной процесса, и от величины корре-
ляции между процессом и его второй производной.
Предположим, что случайный процесс, функционал плотности
вероятности которого нужно найти, равен сумме белого шума с мощ-
ностью на единицу полосы частот N и гауссовского шума с корреля-
ционной функцией Ks(ti — /2)> так что корреляционная функция про-
цесса
К {ti-h) — N 6 +KS (G-4).
Из соотношения (1.25) тогда следует, что для данного процесса
весовая функция &(/) в соотношении (1.24) удовлетворяет интеграль-
ному уравнению
$ /<s (t, %) & (X) а + Nft (0=х (0.
т
(1-48)
1.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ
В ФУНКЦИОНАЛЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
Предположим, что случайный процесс £(/) определен дифферен-
циальным уравнением
+ 0.-! “71®-+-(1-49)
где ай, ..., ап — заданные коэффициенты; — гауссовский случай-
ный процесс с известным функционалом плотности вероятности
Fg(z(/)). Соотношение (1.49) можно использовать для построения функ-
ционала плотности вероятности процесса £(/). Для этого случая, как
показано в [1.1],
^[х(0]=Р(хй, х'а.(1.50)
где Р (хн, х’н, ...,Хн"-1))—совместная плотность вероятности случай-
ных величин (tB), ..., (/н)-
С помощью (1.50), в частности, могут быть найдены функционалы
экспоненциально-коррелированного и узкополосного гауссовских про-
цессов.
Пусть £(/) определяется уравнением
AIO+ag(0 = SW, (1.51)
где t,(f) — белый шум с мощностью на единицу полосы частот N.
17
Тогда t,(t) — экспоненциально-коррелированный гауссовский слу-
чайный процесс с корреляционной функцией
/С(т) = о2ехр(—а|т|), = # = 2ао2. (1-52)
2а
Поэтому, одномерная плотность
1 / х2 \
Р(хн) = -^-ехр-------
V н' /2ла F \ 2о2 /
и функционал плотности вероятности в соответствии с (1.50) имеет
вид
/ X2 \
F6[x(0]=/iexp (^—X
X exp J lx' (t) + ах(012 dt ], (1.53)
' т '
что совпадает с (1.27). Раскрывая квадрат суммы, функционал плот-
ности можно привести к стандартной форме (1.42). При этом необхо-
димо использовать равенство
2 =Хк—-4
т
Интерпретация (1.53) очевидна. В соответствии с (1.51) оператор
г=(4+а>) <Е54)
указывает те операции, которые нужно произвести над случайным
процессом £(/) для того, чтобы получить белый шум £(/). В этом смысле
оператор L и соответствующий ему фильтр можно назвать «обеляю-
щими». В данном примере операция «обеления» заключается в диф-
ференцировании и сложении с умноженным на а исходным процес-
сом.
Узкополосный гауссовский процесс определен уравнением
+ “0 ? (0 = S (0, (1.55)
ai2 dt
причем £(/) — белый шум. В соответствии с (1.55), |(0 — гауссовский
шум, имеющий корреляционную функцию (1.43), причем о2 =
= N/2a2(i>2. Отметим также, что в любой момент времени гауссов-
ские случайные величины £,(/) и £'(0 независимы, имеют нулевые сред-
ние и дисперсии о2 и о2®02. Таким образом,
/ х% \ ( А
Р (хн, Хн) = —— ехр \---) ехр ( — о-^н-п- . (1.56)
v н 7 2лаа <о0 \ 2аа / н 2аа J v 7
18
Подставляя (1.55), (1.56) в (1.50) и учитывая, что N = 2ао<йо<т2,
получим окончательное выражение для функционала плотности ве-
роятности узкополосного гауссовского процесса:
F Щ/)1 = Лехр-----
2 '2
хн , хн
а2 а2 cog*
(1-57)
Здесь, как и в случае экспоненциально-коррелированного про-
цесса, оператор
£ = + (1.58)
at* at
производит на процесс |(/) «обеляющее» действие,
Раскрывая сумму квадратов в показателе экспоненты и пользу-
ясь соотношениями
х' (t) х (t) dt = Хк —
т
С ,2,2
2 х" (/) х' (/) dt = хк — хн ,
т
х? (f)x(f)dt=x'KxK—ХнХн — x,2(t)dt,
т т
можно привести (1.57) к виду (1.47).
Изложенный способ построения функционалов плотности охва-
тывает достаточно широкий класс случайных процессов и не требует
решения интегральных уравнений.
1.5. ФУНКЦИОНАЛЫ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
Рассмотрим последовательность случайных величин
= ^^М(т ^=5(0-
Пусть dxmP(xm\x1, ..., X/n-i) — условная вероятность того, что
xm<%m<xm + dxm ПРИ УСЛОВИИ
Bl=Xj, ..., Вт—i 7Хт—li
dxmP(xm|xm_j)—условная вероятность того, что xm<im<xm + dxm
при условии Bm-i=xm-i. Если для любого пг справедливо условие
Р (xm I xli • • • > Хт— 1) = Р (хт / хт — 1 )>
19
то последовательность случайных величин называется цепью Мар-
кова, а случайный процесс £(/) — марковским процессом первого
порядка.
Условная плотность вероятности Р (xm| Xm-i) играет в теории
марковских процессов фундаментальную роль и называется плот-
ностью вероятности перехода из состояния xm-i в момент в со-
стояние хт в момент tm. В дальнейшем плотность вероятности перехо-
да обозначается F(xm_i, хт).
Плотность вероятности перехода вместе с одномерной плотностью
вероятности P(xx) определяет марковский процесс, так как позво-
ляет построить систему многомерных плотностей вероятностей.
Действительно, для любого т
Р(хг....Xm)=P(Xm|xx, .... Хт-1)Х
X Р (Хх, Хщ— 1) — W (хт— 1, Хт) Р (х^, Хт — 1).
Используя это рекуррентное правило, получим
т
Р (X!...хт) = р (хх) П г (Х/_ !, Ху). (1.59)
/•=2
Соотношение (1.59) в простых случаях может быть непосредствен-
но использовано для построения функционала плотности вероятно-
сти марковского случайного процесса.
Белый шум, в частности, можно рассматривать как процесс Мар-
кова. С этой целью можно рассматривать не мгновенные значения
Xj, а средние значения за небольшие интервалы Д [1.31
_ *'+1
Xj= — § x(t)dt.
Случайные величины х7- являются независимыми, имеют нулевые
средние и дисперсию о2 = М/Д, и распределены по гауссовскому за-
кону. Поэтому
WCx,-„ |/' f ехр
, 1 \п [ п \
Р (х1( ..., Х„) = уЛдТд ) ехр 2N Х‘ А/
При переходе к пределу
F[x(/)]=/iexp f i f x\(t)dtY
' t /
Хорошо известно [1.4], что экспоненциально-коррелированный
гауссовский процесс является марковским.
20
Плотность вероятности перехода может быть найдена делением
двумерной плотности, вероятности на одномерную:
1 1 ( 1 12]
t 77= exp--------------[xj — ух/-112 ,
/2ла]/1-Т2 I 2а2 (1— у2) 7 J
у =ехр (—а | А |).
(1.60)
В соответствиии с (1.59), (1.60)
(У 2л)п а" (У 1 —у2)"-1
(2 \ ( п
----- ) ехр 1------- 5 [X; — ух, -1]2> ,
2а2/ 2ст2(1 —т3) /=2
что совпадает с (1.16). Переход к пределу при > । проделан ранее
при выводе соотношения (1.27).
Рассмотрим теперь марковский процесс £(/), каждая реализация
которого x(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
(1-61)
где y(t) — белый шум с мощностью на единицу полосы частот АО / —
произвольная функция.
Марковский процесс £(/) — первого порядка и полностью опре-
деляется заданием двух коэффициентов:
Xi [х,-] = lim <Х/+' Х/>,
д-о А
/Са[ху] = Пт <(х/+1~х/)2> >
д-о А
(1-62)
причем усреднение производится при фиксированном значении Ху.
В частном случае (1.61) коэффициенты и легко могут быть вы-
числены. Действительно, интегрируя (1.61) слева и справа на инте-
рвале t/+i — tj = А и учитывая, что x(t) мало меняется на этом ин-
тервале при малом А, получим
* . 0+д
х/ + 1— Xj~ — f(Xj) д+ 5 yWdt> (1.63)
о
21
откуда следует, что
t j + д
K2 = lim4 й {У(.^У^Л^ = Ы. (1.64)
д-> о Д p
j
Из соотношения (1.63) следует, что вероятность перехода из фик-
сированного значения Xj в за время Д имеет вид нормального
закона; среднее значение и дисперсия соответственно равны
tn=Xj—o2=N&. (1.65)
Таким образом,
w (х}, x/+I) = J - ехр |—-Ц- [x/+1 —(xj+Kx(Xj) A)]2} =
у Z3bz\2 ZX z Д 2 « J
=VSarexp(-^|x'+,“(Xj-f(x')A,4 (L66)
Отметим также, что одномерная плотность вероятности процесса
(1.61) удовлетворяет стационарному уравнению Фоккера—Планка
(см., например, [1.5])
-±К1(х)Р(х)+±/(2^^- =
UX £ СХЛ
= ^-f(x)P(x) + -Ljv^LW=o. (1.67)
dx 2 dx2
Решение уравнения (1.67) имеет вид
Р(х) = Сехр(—- f/(x)dx) = Cexp(—(1.68)
( N J J ( N J
где U (x) = J f (x) dx— потенциальная функция; С — нормировочная
постоянная, определяемая из условия
оо
J P(x)dx = l.
— оо
Многомерная плотность вероятности марковского процесса опре
деляется соотношениями (1.59), (1.66), (1.68)
, ч 1 \П—1 Г 2 ,, , х!
р (х,....хп) = С г-----------ехр-----------------и (х,) х
Г \ 1> П/ у- 2згЛГд / f L N '
X ехр
j П-1 1
2 1л/+1 (xi f(Xj)A)]2
{п \ ( 1 Гх __________х • "1^
j^(*i)[exp 2 [-^4—'-fMj д
I 7 = 1
(1.69)
22
Для удобства использования в соотношении (1.69) необходимо
заменить N = N(g2), где о2 — дисперсия процесса x(t). Зависимость
о2 = о2(Л/) может быть найдена из (1.68). Соотношение (1.69) получе-
но в [1.1].
Переход к пределу при Д -> 0 в показателе (1.69) требует акку-
ратности и выполнен в [1.3].
В результате
F [х (/)] = ex р ( — -J- [U (хя) + U(хк)Й X
X ехр( — -|-[f (х'2(/)+/2[х(0]Л)хехр Ц- f %-dt\. (1.70)
I 2N J I I 2 J ах )
\ Lj. > \ т !
Рассмотрим три примера.
Пусть процесс £(/) определяется уравнением
Ap.+ax(0 = t/(0.
Тогда
/ к (0] = ах (/), V = ах2 (0/2,
df/dx=a, о2 = Л//2а
и из (1.70) следует (1.42).
Пусть процесс определяется уравнением
dx/dt = у (/)
и, следовательно,
/ = 0, /7 = 0.
Тогда функционал плотности вероятности определен соотно-
шением
F[x(/)] = expf — ± $x'3d/Y (1.71)
Пусть процесс х(/) определяется уравнением
-^-4-ах(0-----— = (1.72)
v ' 2х (/) v 7
где y(t) — белый шум с мощностью на единицу полосы частот jV.
В данном случае
1ы=ах-—,
с/« = у + у1"-е. (1-73)
Р(х) = ^ехр{' — х>0,
аа \ 2аа/
<3*=N/2a.
23
Таким образом, уравнение^!.72) определяет релеевский случайный
процесс [1.5].
Подставляя (1.73) в (1.70), получим выражение для функциона-
ла плотности вероятности релеевского марковского случайного про-
цесса
Р[х(0] =Л/хяхкехр[—^-(хн+4)] х
( 4а2 J
хехр|—i f [х'2(0Да2х2(01 dt + ^ C-^-|.
( 4аа2 J 4 J х2 (/) J
т т
(1-74)
Специфической особенностью (1.75) является наличие последне-
го члена в показателе экспоненты.
1.6. ФУНКЦИОНАЛ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ
РЕГУЛЯРНОГО ПРОЦЕССА
Пусть x(t) полностью известный процесс, любая реализация
которого равна s(t). Одномерная плотность вероятности такого про-
цесса является 6-функцией
Р(Ху)=6(Ху — Sj),
где Sj=s(tj). Многомерная плотность вероятности
п
Р(х1,...,хп) = П 6(x,-s;). (1.75)
/=1
Функционал плотности вероятности получается из (1.75) перехо-
дом к пределу при Д 0. Для того чтобы поцедура перехода к пре-
делу имела вычислительную ценность, удобно заменить 6-функцию
ее предельным выражением, в частности выражением вида
6(х) = lim — exp I— — V (1.76)
а-0 /2Л a г \ 2а2У .
В этом случае
7^ГехрГиЗ11'-5'1’4 =
Д-0 /=1
П->оо
—h lim exp! — е2$ [х(/)—s (/)]2 dtI. (1.77)
8s-oo 1 T J
Соотношение (1.77) представляет функционал плотности вероят-
ности регулярного процесса s(t).
В тех случаях, когда сигнал зависит от нескольких случайных
параметров ..., Хто, совместная плотность вероятности которых
24
Р(%ь ...,%m) известна, выражение для функционала плотности вероят-
ности имеет вид
F[x(t)]=h lim \ ехр| — е2$[х(/)—s(/,Xb ... Am)]2dt
8«-оо Х 1 Т
— h lim [..Adki ... dKmP(Kv
ea-*oo J J
X exp I — e2J) [x(0~s(Z, ••• >
l т
» \n) X
(1.78)
1.7. ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
ПРИ ПРИЕМЕ В ГАУССОВОМ ШУМЕ
В большом числе задач возникает следующая типичная ситуация.
На вход приемного устройства поступает сумма гауссова шума n(f)
и сигнала s(t, Л), зависящего от нескольких параметров:
Л= [%1;..., Хк], x(t)=n(t)+s(t, Л).
Необходимо определить функцию правдоподобия параметров Л.
Функция правдоподобия вычисляется следующим образом.
Как было показано, функционал плотности вероятности гаус-
сова шума имеет вид (1.21)
Л«(0] = &ехр|— S n (/J п (^2) © Gi, t^dtidt^
( 2 т
где
т
Если х (/) = n(f) + s(t, Л), где Л = [Х1,..., кк], то функция прав-
доподобия вектора параметров Л
£(Л)=Р[х(/)|Л] =
= 6 ехр $ s (1Ь Л) х (i2)0 (llt t2) dtt dt2 ,
_ T _
причем предполагается, что
й S (4, Л) s (4, Л) 0(4,4) dtr dt2
т
не зависит от величины Л. Это последнее предположение означает,
что параметры Хх, ..., не влияют на величины энергий, содержа-
щихся в сигнале и в производных сигнала.
25
Вводя функцию
0(f,A) = Js^.A)©^,/)^,
T
удовлетворяющую интегральному уравнению
$ К (t, т) Ф (т, Л) dx — s (t, Л),
т
получим для функции правдоподобия выражение
L(A)=Z>exp \$(t,\)x(t)dt .
Lt
(1.79)
(1.80)
Ниже приведена таблица весовых функций $(t, Л) для случай-
ных процессов некоторых видов (табл. 1.1).
Таблица 1.1
K(t)
О(/)
Белый шум
JV6 (т)
Низкочастотный шум
о2ехр(—а|т|)
N s (0
«Г S"(i) 1 1 Г 1 /1. ,
2q2 [s( 0 — aa j + a2 s° ~ a soJ ® W+
+ '52’ ST + st —7)
Узкополосный шум
о2ехр (—а | т |) х
[а
cos sin | т |
где
©2 = 0)2 —а2, а = а0/2
2aW [ sIV + (2 ®o —ao) s" (0 +
+<°osw]+^{5(o[s;"+
+ (®o— ao) so+a0®0s»] +
-J-6 (/—T) [—sr —(a>o —<Xq) sr+
+®O®0 sr] (0 [ S0—aOSo + “oSo] “b
+ 6' (/ — T) [—s"T — aos'j- — a>Q sr])
Здесь 6-функции и их производные учитывают краевые условия
в точках t = 0 и t = Т\ s0, So, So, $о, St, s"t, s’t — краевые значения
сигнала и его производных. В случаях, когда сигнал при всех воз-
можных значениях параметров Л «затухает» к краям интервала на-
блюдения Т коэффициенты при 6-функциях и производных от 6-функ-
ций обращаются в нуль.
26
Предположим, что в действительности
x(t)=n(t) + s(t,A0),
где Ло = [110,—вектор истинных значений параметров при-
нимаемого сигнала.
Тогда показатель экспоненты является суммой «шумовой» и
«сигнальной» функций:
In £(Л) 4- С = N (Л) + s (Л, Ло) =
= $ fl (t, Л) s (Л Ло) dt + $ О (t, A)n(f) dt,
т т
(1.81)
где постоянная С не зависит от Л.
Сигнальные функции 3(Л, Ло) для шумов различного вида пред-
ставлены в табл. 1.2.
Таблица 1.2
Белый шум
-у Js(/,A)s(<.Ao) dt.
т
Низкочастотный шум
Lt т
Узкополосный шум
—2 f S' (*. A)s" (*. Ao) dt — (2<»§ — «2) f s'(t, Л) s'(t, Ao) dt 4-
2o a0 ш0 J J
Lt t
р(/, A)s(<, A0)d< .,
т
Выходной шум N(K) имеет следующие статистические характе-
ристики:
<ЛГ(Л)>=0, <№(Л)> = ^(t,A)s(t,A)dt,
т
< (Ах) У (Л2)> = (л Лх) s (Л Л2) dt. (1.82)
т
Таким образом, выходной шум имеет корреляционную функцию,
повторяющую по форме выходной сигнал 3(Л, Ло).
27
Отношение сигнал/шум в максимуме выходного сигнала равно
yS^Ao.A.) р
Р2= <Af2(A)> = ®(i>A)s(ttA)dt. (1.83)
Например, для белого шума с мощностью на единицу полосы ча-
стот N
Р2=^, E=Es=\s*(t,A)dt.
Для экспоненциально коррелированного шума
Es. = J s'2 (t. Л) dt.
т
1.8. ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
ПРИ ПРИЕМЕ В ГАУССОВОМ ШУМЕ
При приеме сигнала со случайной начальной фазой <р, имеющего
вид
s (t, Л, <р) = A (t, Л) cos (Ф (t, Л) 4- со/ + <р), (1.84)
в гауссовом шуме n(t) = x(t) — s(t, Л, ср) функция правдоподобия
равна
$$(/,Л,ф)х(/)Л \ , (1.85)
т Уф
где (/, Л, ф) удовлетворяет уравнению
§ К (t, т)О(т,Л, ф) dx = s(t, Л, ф). (1.86)
т
L (Л) = k / ехр
Для сигналов (1.84) весовую функцию можно представить в виде
(/, Л) cos ф—©J (/, Л) sin ф,
$ У (/, т) (т, Л) dx = А (т, Л) cos (со/ + Ф (/, Л)),
т
§/<(/,т)‘&s(x,A)dx = A(t, A)sin(co/4-®(/, Л)),
т
28
таким образом,
L(A)=/0
(1-87)
т
где комплексная функция ft(t, Л) является решением уравнения
$ К (I, тН (т, Л) dr = A (t, Л) exp [/ (W + Ф (t, Л))] = v(/, Л). (1.88)
т
При достаточно большом отношении сигнал/шум логарифм функ-
ции правдоподобия равен
ln£(A)~ ^$(t,A.)x(t)dt 4-С,
т
(1.89)
где постоянная С не зависит от Л.
Если, как и ранее, на вход системы поступает
то
x(t)=s(t, Л0,фо)+п(0,
1п£(Л) =
— § О (/, Л)о* (/, Ло) dt exp (/<p0) + § & (t, Л) п (t) dt
2 у у
При исчезающе малом шуме
ln£(A)=S(A,A0) =- \$(t,A)v (t,Aa)dt
2 у
(1.90)
Комплексная функция & удовлетворяет интегральному уравне-
нию (1.88). Для белого шума, низкочастотного и узкополосного шума
О'определяется табл. 1.3.
Таблица 1.3
Белый шум
Экспоненциально-коррелированный низкочастотный шум
(ЛЛ)Ь
Узкополосный шум
9 9^ ,,2 [»’V (£ Л) + (2®S-<»2) V" (t, Л) -f <о$ о (/, Л)].
Предполагается, что граничные условия равны нулю. Сигнал
на выходе оптимальной системы (1.90) может быть найден, если ввести
комплексную модуляцию
s (/, Л) = A (Z, Л) exp j Ф (Z, Л), v (t, Л) = s (Z, Л) ехр /соЛ (1.91)
29
Выходные сигналы сведены в табл. 1.4.
Таблица 1.4
Белый шум
5(Л,Ло) =
Экспоненциально-коррелированный шум
5(Л, Ло) =
J V (t, Л) V* (л Ло) л+ “Г J °' (<•л) ° *' ('• л«) dt
-Т т
а I р- - / со2 \ If-
— | Js (<, Л) s* (t. A.)dt +- + — J s'(t, A) s*' (t, Ao)dt+
T T
У s (/, A) s*' (f, Ao) dt
T
Узкополосный шум
S(A, Ло) =
1
4o2a0<a2
J v"(t, Л) о*" (/, A0)d<—
T
- (2®2 - a2) J v' (t, A) v*’(t, Ao) dt + a* [ v (t, A) v* (t, Ao)
T T
1
4G2a0®2
j s (t, A) s* (f, Ao) dt [(co2—®o)2+ ao +
- T
+ J s'(t, A) s*' (/, Ao) dt [a®2—2g>q+ + J s’(t, A) s*’
T T
(t,A0)dt +
+ / 4®
co2— “o+у’) У«(<. A)s*(f,A0)di +
/ T
+ 4® J?(f, A)s*"(t, A0)dd
т
Рассмотрим несколько частных случаев.
Предположим, что в экспоненциально коррелированном шуме
принимается узкополосный сигнал с центральной частотой ® и по-
лосой Д со со. Полоса шума а порядка или больше, чем со. Посколь-
ку по порядку величины
| s'(t, Л) | ~ Дсо | s (t, Л) |
(1.92)
можно отбросить, как малые, члены вида
s’{t, (t,X0)dt~
(^У$8(/,Л) s’ (ЛЛ0)Л.
\ J T
т
30
$ s(U) s" (Л Ло)dt~ 5 5 Л) s’ Л»)dt
аа
т р
и, таким оброзом,
а (< . со2 \
S(A,AO)~^(1+-^ j
§ s (*, Л) s*(/,A0)^
т
(1.93)
Интересно отметить, что в данных условиях сигнальная функция
совпадает с сигнальной функцией для случая белого шума, чего и
следовало ожидать, поскольку здесь полоса шума значительно шире
полосы сигнала.
Предположим, что в узкополосном гауссовом шуме с полосой
а0 < fi)0 принимается узкополосный сигнал с полосой 0 и централь-
ной частотой со(0 <в). Расстройка центральных частот со — <о0 =
= Дсо может быть сравнима с а и 0. Полосы а и 0 по порядку вели-
чины одинаковы.
Легко видеть, что в этом случае некоторые члены оказываются
малыми. Тогда, отбрасывая эти члены, найдем
S(A,A0)
1
4аа а0 cog
$ s (t, A) s* (t, Ло) со2 (4Асо2+ао) +
т
-|-4(о2§ s' (ЛА) s* (t, Ло) dt + 8/со2 Асо § s(/,A) s’ (t, A.0)dt .
т т
.(1-94)
Если в условиях предыдущего примера считать расстройку А® =
= 0, то
S(A, Ло) = ——
V 07 4а2 а0
ао § s (/, Л) s* (t, Ло) dt + 4 § s' (t, Л) s*' (/, A0)d/ .
т т
(1.95)
Сигнальная функция в этом примере получается в результате
суммирования «автокорреляционных функций» сигнала и его про-
изводной.
1.9. СОВМЕСТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ РАДИАЛЬНОЙ ДАЛЬНОСТИ
И РАДИАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ ЦЕЛИ
В РАДИОЛОКАЦИИ
Измерение параметров сигналов, не меняющихся за время на-
блюдения Т при приеме в белом шуме, подробно рассмотрено в ряде
работ, среди которых первоисточником является монография Вуд-
ворда [1.2].
Предположим, что принимаемый сигнал имеет вид
S (t, р, v, ф) = аА (t, р, v) cos (со/ 4- Ф (ц, v, /) + ф), (1.96)
31
где а — амплитуда сигнала; A(f) —амплитудная модуляция, имеющая
вид импульса с максимальным значением, равным единице, и эффек-
оо
тивной длительностью 0 = f A\t)dt; Ф(/) — фазовая модуляция;
© — несущая круговая частота; <р — случайная начальная фаза,
значения которой несущественны; р, v — полезные параметры, зна-
Радиолокатор Цель
Рис. 1.4. Взаимное расположе-
ние цели и радиолокатора.
чения которых подлежат опреде-
лению.
Сигнал s(f) принимается на фоне
собственных шумов приемника n(f).
На интервале (Т) наблюдается реа-
лизация
х(/) = з(/, р, v, <р)4-п (/). (1.97)
Необходимо сформировать функцию правдоподобия параметров р, v.
Функция правдоподобия параметров р, v может быть найдена с ис-
пользованием (1.26) следующим образом:
L (р, v) = (L (р, v, ф)> = <Fn [х(0—s (/, р, v, <р)]>ф =
|----— § [х(/)— аА (t, р, v) cos (®/+ Ф (/, р, v)-|-<p)]* 2 * * 5d/l \ =
Т J
а
~N
о
§ х (/) A (t, р, v) exp [/ (о)/ -|- Ф (t, р, v))] dt
т
(1.98)
где /0(z) — функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргумента.
При выводе (1.98) предполагалось, что энергия сигнала за время
наблюдения
Е=-\ A2(t,ii,v)dt= — &
2 (П 2
(1.99)
не зависит от параметров р, v.
Таким образом, оптимальный приемник формирует величину,
пропорциональную
z(p, v) =
5 х (t) A (t, р, v) exp [/ (art + Ф (t, p, v))] dt
(Г)
(1.100)
Предположим теперь, что в радиолокационной задаче измерения
радиальной дальности до цели г и скорости изменения радиальной
дальности dr/dt = v цель и фазовый центр всенаправленной антенной
системы радиолокатора расположены в соответствии с рис. 1.4.
Зондирующий сигнал имеет вид
Л (0 cos (©/+ Ф (/)). (1.101)
Если модуляции Л и Ф достаточно медленны, так что ширина
спектра сигнала значительно меньше несущей частоты, то принимае-
мый сигнал имеет вид
аА (t—т) cos (со/ -f- A®t -f- Ф (t—т) -J- <p), (1.102^
32
где а — амплитуда принимаемого сигнала; т = — — задержка при-
. 2о
нимаемого сигнала относительно зондирующего; Дсо = — © — доппле-
ровский сдвиг частоты; с — скорость света; <р — случайная начальная
фаза.
Обозначив т = р, Дсо = v, получим, что оптимальный приемник
формирует величину
г(т, v) -
§ x(t)A(t—т)ехр [/(со/ + vt + Ф(I—x))]dt
(П
(1.103)
Операции (1.103) можно выполнить с помощью согласованных
фильтров, несколько канальных корреляторов, либо устройств сме-
шанного типа ([1.6], [1.7]).
Рассмотрим структуру согласованных фильтров.
Предположим, что интервал интегрирования в (1.103) определен
огибающей A(t), так что пределы интегрирования можно считать
бесконечными.
Пусть имеется фильтр с импульсным откликом вида
ft(0 = #(0cos(M4-¥(0+x), (1.Ю4)
причем Н, Т — медленные по сравнению с периодом высокой частоты
2лА функции.
Если на вход фильтра подан сигнал х(/), то его выход можно за-
писать в виде
сю оо
x(u)h.(t—u)du = x(u)H(t—и) cos(%« — ЧЦ/—ы)х
—оо —оо
оо
Xcos(W-|-%)d«-|- § x(u)H(t—и) х
—00
Xsin(A.u—Чг (t—и)) sin (kt -]- x) du. (1.105)
Огибающая колебаний на выходе фильтра в соответствии с (1.105)
имеет вид
г(/Д) =
оо
x(u)H(t—и)ехр/[Хи—W (t—и)] du
—оо
(1.106)
Сравнивая (1.103) и (1.106), нетрудно убедиться, что операция
(1.103) может быть выполнена с помощью фильтра со специально по-
добранными огибающей Н и фазой Т импульсного отклика h.
Огибающая Н должна быть симметричным отражением огибаю-
щей сигнала А относительно произвольной точки t0. Фаза 4е должна
быть антисимметричным отражением фазы Ф относительно произволь-
ной точки t0 (рис. 1.5):
2 Зак. 213
H(t)=A(t9-t), Т(О=-Ф(/о-О.
(1.107)
33
Тогда
г(/-/0Д) =
оо
х(й) A [zz — (/—/0)] х
—оо
X ехр{ / [%zz Н-Ф [и— (/ — /0)]]} du
= z(t,v),
x = t—10, X=fi>4-v.
Таким образом, выход фильтра (1.107), настроенного на централь-
ную частоту о + v, в момент t — t0, формирует требуемую величину
Z (т, v).
Рис. 1.5. Огибающая и фаза сигнала и импульсного отклика согласованного
фильтра.
Отметим, что начальная фаза % импульсного отклика фильтра
может быть произвольной. Поэтому фильтр (1.107) согласован с зон-
дирующим сигналом по форме комплексной огибающей.
Из соотношений (1.107) следует, что комплексный коэффициент
передачи согласованного фильтра с точностью до амплитудного мно-
жителя и постоянной задержки равен комплексно-сопряженному
спектру зондирующего сигнала.
Действительно, комплексный коэффициент передачи является
преобразованием Фурье от импульсного отклика
К (V) = § /г(/)ехр( — /А.' t)dt =
— оо
= $ Я (/) cos (Л«+¥(/)+%) ехр (—jKt)dt =
34
= Л(/о—/)cos(M—Ф(/о — О + х)ехр(—jX t)dt =
—оо
оо
= 5 Л(т)со8(Хт4-Ф(т) + х')ехр(/Л'т)с{техр( — /Х'/о).
—оо
С другой стороны, спектр сигнала
оо
f(X') = 5 Л (т) cos (Хт + Ф (т) + <р)ехр (—Д' т) dr,
—оо
и поэтому
К (V) = / (- V) exp (- A' t0) = f* (V) ехр (- /%' /0). (1.108)
Рис. 1.6. Система согласованных фильтров с разными центральными часто-
тами.
Для того чтобы измерять значения задержки в некотором диа-
пазоне, необходимо открыть выход согласованного фильтра на соот-
ветствующий интервал времени.Для того чтобы измерять значения
сдвига частоты в некотором диапазоне, необходимо иметь несколько
согласованных фильтров, центральные частоты полос которых пере-
крывают заданный интервал частот.
Выбор расстройки по центральным частотам между соседними
фильтрами полностью определяется видом функции неопределенности
зондирующего сигнала, рассмотренной ниже. Таким образом, схема
совместного измерения параметров имеет вид (рис. 1.6).
Корреляционная обработка заключается в том, что формирование
(1.103) осуществляется «по точкам». Канал коррелятора с номером
i «настроен» на прием сигнала с параметрами ть V/ и имеет вид
рис. 1.7. Канал состоит из генератора опорного сигнала, имеющего
несущую vt и фазовую модуляцию Ф(/ — Tf), интегрирующего фильт-
ра, имеющего центральную частоту со и согласованного по огибающей
с амплитудной модуляцией Л(/), детектора и селектора, осуществляю-
щего выборку в момент + /0 (^о — точка сопряжения импульсного
отклика). Расстановка каналов определяется видом функции неопре-
деленности.
Предположим, что на вход схемы обработки (1.103) поступает
сигнал
аА (t—т0) cos (со/ + v01 + Ф (t—т0) + ср)
2*
35
и шумы отсутствуют. Тогда
z(t,t0,v, v0) =
у $ A(t— x)A(t —T0)exp[/(v — v0)/]X
Xexp { / [Ф (/—т)—Ф (Z—t0)] } dt,
причем отброшен интеграл от члена с двойной частотой 2®.
Функция
оо *
J s (г) s (г + Дт) ехр (/Avz) dz
R(^,kv) = —-----------------------------, (1.109)
J s (z) s* (г)
—oo
где s(z) = Л(г)ехр[/Ф(г)] — комплексная огибающая сигнала; Дт —
— х — т0; Av = v — v0, называется к функцией неопределенности зон-
Рис. 1.7. Канал коррелятора.
дирующего сигнала. Эта функция играет в теории и практике радио-
локации важную роль. В терминах функции неопределенности мо-
гут быть выражены некоторые общие свойства зондирующих сигна-
лов, такие, как точность измерений параметров, неоднозначность
измерений, разрешающая способность и обнаруживаемость сигналов.
Соответствующая дискуссия впервые проведена в работе [1.8]. Под-
робное рассмотрение этих вопросов сделано в гл. 9. Остановимся здесь
кратко на общих свойствах функции неопределенности.
Рассмотрим объем, занимаемый «телом» неопределенности
до
J— dkxd AvR (Дт, Дт) R* (Дт, Ду) х
X 7^—!-----г8 = f f dZi dz2 X
J A2(z)dz]
oo
p — - —*
X ) dAxs(z1)s (zx + Дт) s (z2) s (г2-|-Дт)х
—oo
X f exp [/Дт (zx— z2)] dAV ——J----------------2 =
-oo ( J A2 (z)dz\
36
во во
- 7^——у-2 f f dzj. dz2 С 6 (zx— z2)s (zx) x
( J A*(z)dz] Ц Л
X s* (Zx+ At)s (z2) s (z2 + At) =
I
oo
= ——<2 f f dAx dzA2 (2)A2 (z + Ат) = 2л. (1.110)
I f X2(z)dz]
При выводе (1.110) использовано интегральное представление
6-функции:
оо
6(zx—z2) = 77- f ехр [ju (zx—
2л J
—00
z2)] du.
Таким образом, объем под квадратом модуля функции неопреде-
ленности равен 2л.
Соотношение (1.100) накладывает ограничение на характер из-
менения функции неопределенности при изменении зондирующего
сигнала.
Важную роль при измерениях задержки играет сечение функ-
ции неопределенности при Av = 0, называемое автокорреляцион-
ной функцией сигнала
J s (z) s* (z-f-Дт) dz
R (Дт) = --
J 7(г) s* (?) dz
—оо
оо оо
J dz Jj J©! dco2 P (®i) F* (®г) exp (jcoi z) exp (— jco2 z—ja)2
—oo —oo
J dz J J JcOi d(d2 F (cox) F* (co2) exp (j©i z— j(d2 z)
-oo —oo
J F (co) F* (co) exp (— /соДт) da)
J F (co) F* (co) d®
—00
J I F (co) |2 exp (— /соДт) dco
. (1.111)
J |F(co)|2dco
—00
37
Здесь
F(a>) = -^~ Js(z)exp(—j<nz)dz
—oo
— спектр комплексной огибающей s(z). При выводе (1.111) исполь-
зовано интегральное представление S-функции.
Соотношение (1.111) показывает, что автокорреляционная функ-
ция зондирующего сигнала является преобразованием Фурье от квад-
рата модуля спектра зондирующего сигнала. Протяженность авто-
корреляционной функции по оси задержек определяется шириной
модуля спектра зондирующего сигнала. Например, если | F(co) | име-
ет вид прямоугольника в полосе от —Q/2 до Q/2, то 7?(Ат) =
= sin л/Ат/пЕАт, F = Q/2 л, ширина главного максимума равна 1/F.
Протяженность функции 7?(Ат) определяется полосой сигнала.
Важную роль при измерении допплеровского сдвига играет се-
чение функции неопределенности при Ат = О
сю сю
J s (г) s* (г) ехр (/Avz) dz J А2 (г) ехр (JzAv) dz
7?(Av)==^—----------------- = ‘ <1Л12)
J s (z) s* (z) dz J A2 (z) dz
—oo —oo
Сечение функции неопределенности вдоль оси частот Av явля-
ется преобразованием Фурье от квадрата амплитудной модуляции.
Если, например, А2(г) имеет вид прямоугольника на интервале от
—772 до 772, то сечение функции неопределенности при Ат — О
^(Av) = sinnTAy;
лТ Av
ширина главного максимума равна ИТ.
Протяженность функции 7?(Av) определяется длительностью
амплитудной модуляции.
1.10. СОВМЕСТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ЗАДЕРЖКИ
И УГЛА ПРИХОДА
Рассмотрим линейную активную приемную решетку, состоящую
из М элементов, расположенных вдоль прямой линии (рис. 1.8),
на которую падает линейный фронт волны под углом а к линии рас-
положения элементов.
Сигнал на входе k-ro элемента вместе с шумом приемника этого
элемента имеет вид
(хь sin а\ / со
t—т------ cos со/-xftsina —
с / \ с
(х. sin а \ \
t — Т---) +Ф).
с / /
(1.113)
38
Здесь nh(t) — белый шум k-ro приемного элемента с мощностью
на единицу полосы частот N\s — амплитуда сигнала, попадающего в
&-й канал; 4(/), Ф(/) — амплитудная И фазовая модуляции принимае-
мого сигнала; причем f A\t)dt = @; т — задержка сигнала в нулевом
(Г)
Хь .
элементе относительно некоторого начала отсчета; — sina — допол-
нительная задержка сигнала в k-м элементе относительно сигнала в
нулевом элементе решетки; ф — произвольная начальная фаза; ak —
коэффициенты, характеризующие амплитудное распределение поля
по раскрыву решетки; причем Saft2= 1, k= — Q, ..., О, Р, Р +
+ Q+J>AL
Рис. 1.8. Падение фронта волны на линейную решетку.
Необходимо найти функцию правдоподобия задержки т и угла
падения а при условии, что приняты реализации
z_q(0......zp(t).
В соответствии с обычной процедурой
k “°0 '
х. sina\ /со / x,sina\ \
--- --- cos со/------xfesina—Ф t — т---------- + ф dt\ ;
с J \ с V с J J }/^
и, следовательно, для формирования функции правдоподобия необ-
ходимо образовать
г (т, а) =
Vi 7 л / sin а\
т—*------)х
k —оо \ С /
X ехр j
со /
со/--xh sina—Фц—т
с \
(1.Н4)
Устройство, осуществляющее операции (1.114), может быть пред-
ставлено в виде рис. 1.9. Здесь линия задержки осуществляет задержку
на величину а фильтр имеет импульсный отклик
h(f)=H (/) cos (<о/ + Т (/) + %)
с амплитудной и фазовой модуляциями И и Т соответственно.
39
Сигнал на выходе фильтра может быть записан в виде
оо
ак zh (и—ftfe) Н (t—и) cos (at—о)«4-Чг(/—и)-(-%) du.
—oo
Если детектор выделяет огибающую г выходного сигнала сум-
матора, то
оо
H(t—u) ехр [j (соы—Т (/—«))] du
—оо
оо
= ^k(v)H(t—v+xk—Т)ехр[—i(av+a(T—хк)—
_T(/-o + Tft-T))]tfo|, (1.115)
где
Л ™ т xbsina
«=© + #Л, 9к = Т—хк = Т-*-.
С
Рис. 1.9. Оптимальные операции при измерении угла прихода’волны и задержки.
Если потребовать, чтобы фильтр в схеме (рис. 1.9) был согласо-
ван, т. е. чтобы его импульсный отклик удовлетворял условию
A(t0—f)=H(t), -Ф (t0-t) = 4(f), (1.116)
где t0 — произвольный момент времени, то на выходе схемы (рис. 1.9)
в действительности выделяется г(т, а).
Линия задержки, обеспечивающая задержку входного сигнала
на Т — хк, где хк = хк sin a/c, служит для компенсации задержки,
которую при данном а приобретает сигнал на входе k-ro элемента от-
носительно нулевого. Благодаря наличию этих линий задержки сиг-
налы, попадающие на сумматор со всех элементов антенны, для фор-
мирования значения функции правдоподобия при данном а, точно
совмещены во времени.
Практически ширина полосы, занимаемая сигналом F, обычно
значительно меньше, чем несущая частота f — со/2 л: F<^J.
Поэтому на линии задержки с максимальной задержкой d может
укладываться небольшая доля укороченного импульса, имеющего
протяженность порядка HF и, вместе с тем, большое число периодов
несущей частоты f. В подобных случаях удобно разделить функции
40
компенсирующих линий задержки, выполняя их с помощью двух
устройств:
— линии задержки, обеспечивающей компенсацию группового
запаздывания укороченного импульса тй;
— фазовращателя, обеспечивающего поворот фазы несущей час-
тоты на необходимый угол.
Дискретность задержки в линии задержки может составлять доли
от длительности укороченного импульса. Необходимо отметить, кроме
того, что в силу линейности схемы согласованные фильтры могут стоять
как до сумматора, так и после него.
Таким образом, схема формирования функции правдоподобия
£(т, а) может иметь вид рис. 1.10. Здесь функция правдоподобия вос-
станавливается по точкам, причем ее значения на выходе существуют
во времени практически «одновременно». Данная схема соответствует
наличию нескольких лучей антенной системы и обеспечивает «парал-
лельный» просмотр пространства.
При «последовательном» просмотре одним лучом производится
коммутация линий задержки и фазовращателей и различные точки
функции правдоподобия восстанавливаются во времени «последова-
тельно». На рис. 1.10 формируется три значения функции правдопо-
добия в точках А(т, а), £(т, 0), L (т, —а).
Рассмотрим теперь сигнал на выходе оптимального устройства,
для чего предположим, что
/ , со . 7 . XfeSina0 \ . ।
Xcos со/----xftsina0—Ф /—т0---------------1 + %
\ С \ С )
Тогда выходной сигнал равен
|5(т, т0, а, а0)1=^-
%bsinan \ л {, XbsinaX . Г со . со . ,
—----- I A t—т—----I ехр / — хк sin а0-xh sin а 4-
с / \ с/ L с с
4-ф//—т0—-*ftSina°Л_ф (t—x
\ с J \
Нормированный выходной сигнал равен
|S(Ax, Аи)| = 2°*ехР ( i~ xh ) R ( Д'1 + — Аи ) ,
\ С ) \ с /
где
u = sin a, u0 = sina0, Au=u—и0, Ат=т—т0,
(1.117)
J А (г) А (г-|-Дт) ехр {/ [Ф (г) —Ф (г+Дт)]} dz
R (Ат) = —-----------------------------------------------------
J А2 (г) dz
— автокорреляционная функция принимаемого сигнала.
Функция S(At, Aii) является функцией неопределенности задерж-
ки и угловой координаты.
В случае, если полоса частот F принимаемого сигнала
хъ Au „ 1
достаточно мала, максимальное значение задержки —— < — и
с F
R (Ат-|-— AiA q^R(Ax).
\ с )
Поскольку
5<4exp (j— xhAu\=fa(Au) (1.118)
* \ с /
есть диаграмма направленности антенной решетки на частоте со, соот-
ветствующая распределению поля по раскрыву, описываемому коэф-
фициентами функция неопределенности параметров т (задержка)
и а (угол) для узкополосных сигналов пропорциональна произведе-
42
нию диаграммы направленности на частоте со и автокорреляционной
функции зондирующего сигнала
5(Дт, Ди) = (Ди) Я (Дт). (1.119)
Для широкополосных сигналов функция неопределенности иска-
жается.
Рассмотрим сечения функции неопределенности
5(Дт, 0) = 5(Дт), 5(0, Ди) = 5 (Ди).
При Ди = 0
5(Дт) = 7?(Дт) (1.120)
и, таким образом, для точно известного угла прихода сигнал как функ-
ция времени не искажается, повторяя автокорреляционную функцию
зондирующего сигнала. При Дт = 0
(1.121)
направ-
5(Ди)= 2 и! ехр (i
k \
Наличие коэффициентов R(xK \ulc) искажает диаграмму
ленности.
В соответствии с (1.111)
оо
• *hл
/со- асо
с /
j IF (со) |2 dco
и, следовательно,
С | F (со') |2 2 al ехР I i(®—со')—Au da'
J k L c .
5 (Ди)=—---------------------------
J | F (со) I2 da
1
— J |F(co—й>')|2^, (Au)dco'
(1.122)
j IF (со) |2 d<o
—оо
где F(a) — спектр комплексной огибающей сигнала; /ш(Ди) — диа-
грамма направленности решетки на частоте и при распределении поля
по раскрыву в соответствии с коэффициентами al.
43
Рассмотрим в качестве примера двухэлементный интерферометр
с параметрами
а1 = а2 = 1/2, x1 = d, х2 = —d,
так что
| S (Дт, Ди) | =
1 п / ж > dku \ [ • (ad л \ । 1 п
— R Дт Ч-------ехр / — Ди Н--------/<
2 V с J \ с J 2
( . cod а \
X ехр —/ —Да )
\ с )
(1.123)
Рис. 1.11. Диаграмма направленности двухэлементного интерферометра.
Сечение Ди = 0 равно
|$(Дт, 0) | = | 7?(Дт) |.
Сечение Дт=0 равно
|S(0, Да)| = R
®d А
cos — Да
с
(1.124)
Рис. 1.12. Топографическая
проекция 15(Дт, Ди) |.
Таким образом, диаграмма направ-
ленности двухэлементного интерферо-
(dd *
метра на частоте со, равная | cos — Да |,
умножается на коэффициент 7? (,
\ с /
обеспечивающий дополнительную угло-
вую направленность.
На рис. 1.11 изображена диаграм-
ма направленности | S(0, Ди)| двухэле-
ментного интерферометра при работе с
прямоугольным импульсом длитель-
ности Т.
Дополнительная направленность,
однако, может быть использована толь-
ко в одноцелевых случаях, так как топо-
графическая проекция функции (1.119),
44
представленная на рис. 1.12, имеет помимо области главного макси-
мума в начале координат два «валика» половинной амплитуды
вдоль осей
Дт
I d&U А А
1---=0 и Дт
0,
dku
с
ухудшающие разрешающую способность интерферометра.
Литература
1.1. Амиантов И. Н. Применение теории решений к задачам обнару-
жения сигналов и выделения сигналов из шумов. Изд. ВВИА им. Н. Е. Жу-
ковского, 1958.
1.2. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с
применениями в радиолокации. Пер. с англ., под ред. Г. С. Горелика. Изд-во
«Советское радио», 1955.
1.3. С т р а т о н о в и ч Р. Л. Оптимальные нелинейные системы для
выделения сигнала с постоянными параметрами из шумов. «Известия вузов».
Радиофизика, 1959, т. 2, № 6.
1.4. Ming Chen Wang, UhlenbeckG. E. On the theory of
Brownian Motion Reviews of Modern Physics, 1945, № 2—3.
1.5. С т p а т о н о в и ч P. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций
в радиотехнике. Изд-во «Советское радио», 1961.
1.6. Т у р и н Г. Л. Согласованные фильтры. «Зарубежная радиоэлект-
роника», 1961, №3.
1.7. Ш и р м а н Я. Д-, Голиков В. Н. Основы теории обнаруже-
ния радиолокационных сигналов и измерения их параметров. Изд-во «Совет-
ское радио», 1963.
1.8. 3 и б е р т В. Общие закономерности обнаружения целей при по-
мощи радиолокации. «Вопросы радиолокационной техники», 1957, № 4.
Г л а в a 2
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ МЕТОДОМ
МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
2.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ РЕШАЮЩИХ ФУНКЦИИ
В ЗАДАЧЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА [2.1]
Предположим, что сигнал зависит от нескольких параметров,
часть из которых подлежит определению, т. е. являются существен-
ными, а остальные несущественны. К первым относятся параметры
Л = [^1> ••• > ^й]>
возможные значения которых образуют область L. Ко вторым отно-
сятся параметры
Ф = [Ф1, , <Рг1,
возможные значения которых образуют область F. Сигнал может быть
записан в виде
s (/, А, Ф).
Сигнал s(t) комбинируется с шумом n(t), образуя случайный процесс
x(t). Процесс x(t) наблюдается в моменты времени 1г, ..., tn. Выбороч-
ные значения X = Lq = х^), ..., хп = x(tn)] образуют простран-
ство входов решающего устройства Г.
Предполагается известными статистика шума’п(/) и статистика
параметров А, Ф. По наблюдаемой.выборке хъ ...,хп'необходимо ре-
шить, какие значения имеют параметры ...,
Решающее устройство формирует на выходе решения
D = (dlt ..., dh),
образующие область возможных решений G.
Будем считать, что, когда принимается]решение D, а параметры
сигнала имеют значение А, решающее устройство терпит ущерб, ве-
личина которого описывается заданной функцией потери
W(D, А).
Введем решающую функцию (решающее правило)
46
Д(£>|Х)
как условную плотность вероятности случайной величины D при усло-
вии, что наблюдаются выборочные данные X. В обычно используемом
варианте неслучайной решающей функции
Д(Ь|Х)=б [D—Л(Х)] =
=6 [rfx—Хх(Х)] 6 [d2—%2(Х)]... 6 [4-%ft(X)],
Л=[£1(... Д*]. (2.1)
Компоненты ..., хп),.... %h(x1(..., хп) называют обычно
оценками параметров .... ift.
Мерой качества оценки Л является так называемый средний
риск, который строится следующим образом.
Образуем условную плотность вероятности случайной величины
D при условии, что параметра сигнала имеют значение Л:
P(D\A) = ^A(D\X)P(X\A.)dX,
г
где Р (X | Л) — функция правдоподобия вектора Л.
Совместная плотность вероятности D и Л
P(D, A)=P(D|A)P(A),
где Р(Л) = Рлр(А) — априорная вероятность вектора параметров Л
Средний риск, по определению, равен средним потерям, прису-
щим выбранному решающему правилу, т. е.
Р(Д) = §dDdAW(D, A)P(D, Л) =
GL
= $dXdDdAW(D, Л)Д(П|Х)Р(Х|Л)Рар(Л). (2.2)
ГОЬ
Байесово решение задачи оценки параметров состоит в том, что.
бы при заданной функции потерь W(D, Л) минимизировать средний
риск выбором решающей функции Д(£> | X).
Задавая различные весовые функции, можно получать различ-
ные правила построения оценок параметров сигнала. Однако, какой
бы вид не имели эти правила, все они будут основаны на операциях
с апостериорной вероятностью
Рас (Л) = &Р (X | Л) Рар (Л)
вектора параметров Л. При этом функция правдоподобия сущест-
венных параметров Р(Х | Л) получается усреднением по несущест-
венным параметрам
P(X|A) = JP(X|A, Ф)Рар(Ф)аФ, (2.3)
F
где Р(Х | Л, Ф) — плотность вероятности X при условии, что заданы
АиФ; Рар(Ф) — плотность вероятности вектора Ф.
47
В теории наиболее часто используются так называемые простая
и квадратная функции потерь, имеющие вид, соответственно
W(D, Л) = 1 —б (D—Л) = 1 — б (4 — ... б (4—4),
W(D, A) = |D-Ap = (4-V + -+(4-^)2- (2.-4)
Минимизируем средний риск для простой функции потери
R (Д) = l—J dX $ dDk (D | X) P (X | D) Pap (D). (2.5)
Г G
Минимальный средний риск соответствует максимуму интеграла
$ dDA (D | X) Р (X | D) Pav (D) = Р (X | Л) Рар (Л),
G
который достигается, если в качестве А выбирать то значение Л(Х),
которое при любом значении X максимизирует апостериорную ве-
роятность Рас(Л).
В соответствии с изложенным, средний риск для простой функции
потери минимизируется следующим правилом построения оценки па-
раметров Л: в качестве оценок
£i= Xi(xx....хп),... ХЛ = 4(х!,..., хп)
выбираются значения, обращающие в максимум апостериорную ве-
роятность:
Рас(Ч..., Ч)=^аР(Ч..., ^)P(X|Xi, ..., Xft).
В случае, если априорная вероятность вектора параметров почти
постоянна на интервале существенного изменения функции правдо-
подобия, максимум апостериорной вероятности соответствует макси-
муму функции правдоподобия Р(Х|Х1, ..., 4)-
Оценки по максимуму правдоподобия удобно искать как решение
системы уравнений правдоподобия:
1пР(Х | Хь ..., 4) = 0,
? (2-6)
AlnP(X|Xi,..., 4) = 0.
В уравнениях (2.6) можно от дискретного наблюдения перейти к
непрерывному.
В выражении для среднего риска при использовании простой
функции потери (2.5) интеграл в правой части представляет среднюю
по априорной вероятности вероятность правильного решения, т. е.
усредненную с весом Рар (Л) вероятность события, заключающегося
в том, что для любого значения вектора параметров сигнала Л = D
будет принято решение D.
48
Минимальный средний риск равен в этом случае минимально воз*
можной средней вероятности неправильного решения.
Построим Байесово решение для квадратичной функции потери.
Выражение для среднего риска с использованием квадратичной функ-
ции потери имеет вид
7?(A) = $dA$dD$dXA(D|X)P(X|A)|D—Л|2Р(Л). (2.7)
£ О Г
Для неслучайных решающих функций
R(k) = ^d'k1...d'kh^dxl... dxn х
£ г
хР(х1г..., хп|%1(..., ... Ч)[(М-\)2 +
+ ••• +(Xft—Aft)2].
Для того чтобы выбором Л(Х) минимизировать средний риск,
необходимо при любом X минимизировать
J — • • • dXk Р (-Vl> • • • ’ %п I ^1’ • • • » X
£
ХР(%х..... bi)2+ ... + (Aft-М2]. (2.8)
Условие экстремума
— = 0, j =
приводит к соотношению
J dXj... dkk 'kj Р (xi,..., хп | %k) P (%i,..., %k)
J P (xi,..., xn | X/J P (klf..., Xfc)
или, в векторной форме
A = $dAAPac(A).
£
Таким образом, минимум среднего риска для квадратичной функ-
ции потери получается, если в качестве оценки выбрать среднее зна-
чение апостериорной вероятности.
Средний риск для квадратичной функции потери является сред-
ним значением квадрата модуля вектора разности между оценкой и
вектором параметров:
₽ = <[Х1(Х)-Х1]2 + ... +[Ш)-Ч|2>х.л (2.10)
и оценка по апостериорному среднему (2.9) минимизирует эту величину.
В ряде случаев оценки по максимуму апостериорной вероятности
и по среднему значению апостериорной вероятности асимптотически
совпадают. Это имеет место при стремлении к нулю уровня шумов
n(t), искажающих результаты изменений вектора параметров Л.
49
2.2. ОЦЕНКА НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ
РЕГУЛЯРНОГО СИГНАЛА ПРИ ПРИЕМЕ В ГАУССОВОМ ШУМЕ
Предположим, что на интервале времени Т наблюдается сумма
гауссового шума n(t) и регулярного сигнала
s(t, A) = s(t, Ч).
x(t)—s(t, A)+n(i). { ’
Необходимо оценить значения параметров Xj, .... kh.
Логарифм функции правдоподобия параметров при ус-
ловии, что ни один из параметров не влияет на значение функции:
jjs (t, A) A)dt,
т
имеет вид
In L (A) = §&(/, A)x(t)dt,
т
где функция &(/, А) удовлетворяет интегральному уравнению (1.79)
J k(t, ?)&(!:, A)dx—s(t, A).
т
При исчезающе малом шуме функция правдоподобия имеет вид
£(А)=Сехр A)s(£ АО)Л1 ,
т
где Ло—вектор истинных значений параметров.
В окрестности точки Ло, являющейся максимумом L(A),
k
L(A)=Cvq> Т J (<’ A)S(/’ Ло)]л0^(^-^о)(^-Ч-о)-
i, j=i т
(2.12)
Из (2.12) следует, что функция правдоподобия имеет вид нормального
закона, причем апостериорное среднее оценки при исчезающе малом
шуме
>ас ^гО
и апостериорные моменты <(%f — %/0)(%j—\/о)> образуют матрицу,
обратную матрице
_-^-S(A, Ло)1 . (2.13)
OAj ОЛу _]Л=Л0
В данном разделе этот результат получен в результате рассмот-
рения статистических характеристик оценок максимального правдо-
подобия.
50
Воспользуемся методом оценки по максимуму функции правдо-
подобия, в соответствии с которым в качестве оценки Л выбираются
значения обращающие в максимум функцию правдоподобия
Л(%1, %/г).
Эти оценки удовлетворяют системе уравнений правдоподобия
— lnL(%x,..., Xft) = 0, i = (2.14)
Для отыскания статистических характеристик оценок Xf, ...,
воспользуемся методом малого параметра.
Предположим, что на самом деле на входе присутствует сигнал,
параметры которого имеют значения Ло,
Ао = [Х10,
и шум мал по сравнению с сигналом, так что
%(/) = $(/, Л0) + 8П(/),
где е—малый параметр. Тогда
In L (Л) (Л, Л0) + 8#(Л),
где
5(Л, Л0)=$й(/, A)s(/, Л0)Л
т
— сигнальная функция на выходе оптимальной системы,
А(Л) = A.)dt.
т
— шумовая функция на выходе оптимальной системы.
В отсутствии шумов максимум функции правдоподобия соответ-
ствует максимуму сигнальной функции и, следовательно,
Л=Л0.
При малых шумах максимум функции правдоподобия смещается
относительно истинного значения Ло, причем можно считать, что
А = Aq -р вЛ1 -р 82Л2 +..., (2.15)
где векторы Ль Л2, ... соответствуют поправкам первого, второго
и т. д. порядков малости.
Левую часть уравнений правдоподобия (2.14) удобно разложить
в ряд Тейлора в окрестности точки Ло.
Если ограничиться первым приближением, то
k
Р5 1 । V1 Г d2S I л . п /о
hr + Z м еХл+е тг . =0- (2-16)
i=l
51
Поскольку
f-1 =0,
dA'iJA.
из уравнения (2.16) получается система уравнений для поправок в пер-
вом приближении:
*
2 Г Я % =_ВД i==i
L dlt dlj Ja. 11 L^Ja. '
J=1
или, в матричном виде,
ЛЛ^—М,
где
d2S I
d^i Jaq
Решение системы (2.18) имеет вид
Л1=Д-1М, Д-i^fa}}1],
^1 = 2^'
/=1
~dN_-
_dhj. л,
(2-17)
(2.18)
(2-19)
(2.20)
1 = 1,..., k.
Из соотношения (2.20) можно определить статистические харак-
теристики оценок:
<Ха> = 0, <M = XZ0,
— 2 2 ^рг
г I
Поскольку
то
<W(A')#(A")> =
= JJ<n(/i)n(/2)>fl(/i, Л')й(/2, Л")^1Л2 =
т
= $s(/, Л')Ш A')dt = S(A', Л"),
т
=22ар^а<1'
—5(Л', Л")
дкг
— 1 —1 л
fpr Gql ^rli
Ло
А = [аи]
i
52
причем используется соотношение
d2S(Az, А")'
"d2S(Az, Az/)~
_ d^k д^1 _ л0
dhk
Поскольку
то
ft P=h
^apr art =6pi = |0,
~ —dqp >
(2.21)
что и составляет основной результат рассмотрения. Согласно (2.21)
корреляционная матрица оценок совпадает со взятой со знаком минус
матрицей, обратной матрице частных производных:
~d2S(A, Ло)~[
d^i dXj _|Дв
Из соотношения (2.30) следует также, что в первом приближении
оценки распределены по нормальному закону.
Рассмотрим частные случаи. Если сигнал зависит только от одного
параметра X, то матрица А состоит из одного элемента
Fd2S(A., Ло)1
L Ы* ]х,
и обратная матрица есть
ra2S(X, л0) 1-1
. <^2 JA.0
Таким образом, в этом случае
Гд25(%, Хо)~
[ <П2
(2.22)
В случае двух параметров матрица А имеет вид
-d2S (Л, Ар)
А =
d2S(A,Ap)
Элементы обратной матрицы
\2
-1 Л2
«и =-----------г- >
д23(Л, Ло)~
d2S(A, Ар)
д%2 _
—1
021
S п S л Si ь
S 2
1
а22 --------------—
S\ S"2-S"K к
Л1 л2
53
Таким образом,
(2.23)
Соотношения (2.23) определяют корреляционную матрицу оценок в пер-
вом приближении. Рассмотрим приближения более высокого порядка для част-
ного случая одного параметра. ’
Оценку X можно искать в виде ряда по степеням 8:
X = Xq -j- 8^1 Т- ^2 4~ • • •*>
где в качестве нулевого приближения выбирается Хо, а следующие приближения
^i, Х2 нужно определить.
Для нахождения Х2 разложим правую часть уравнения (2.14) в ряд
Тейлора в окрестности точки Хо и учтем, что
dS (X) dAT(X)l
dX dX J5t
Тогда
' dS (X) dW(X)1
dX ~r6 dX . a.
Г d8S (X)
^1 dX8 dX8
r d2S (X) d-W(X)’
L dX2 dX2 К
d8yV(X)l 1
(eXj + e2 X2 + e8 X3)2 -f-
J A. 4
(e^i 4“ 82 в® А^з) 4“
d4S(X) d*N(K)l 1
= 0.
Приравнивая членй с e, в одинаковой степени, получим:
^(Х) d*S(k) -1 dX2 = 0,
dX + A-o
Frd27V(X) [ dX2 d2S(X) M+ Л- + -y d3S(X) 21 dX8 %I] = 0, A.
I'd2 N (X) 1 dX2 1,+^ 2 T dX2 " ^3 + ~2' d3N&) .2 dX8 +
6
a S (X)
xf =0.
К
54
Решая эту систему уравнений относительно Х1( Х2, Х3, имеем:
, dK к
d2 S (X)1
dV к
(2.24)
d2N(l) d3N(k) X? d4AZ(X) Xf
-------X2 4-------------4~ —------- —
d№___________d№ 2 dl* 6 J A
Vd2 S (X) I
L dl\ к
В этих выражениях учтено, что в силу четного характера S (X) относи-
тельно Хо
[rf3S(X)l
. dX3 к
Полагая е = .1, статистические характеристики случайной величины ДХ =
= Х—Хо, характеризующей ошибку измерения, можно записать в виде:
<ДХ> = <Xj> 4- <Х2> + <Х3>,
<ДХ2> = <Х,) 4-2 <Xj Х2> 4~ 4"2 (Xi Х3>.
Используя (2.24), можно показать, что
<ДХ>=0,
Соотношения (2.25) справедливы с точностью до в4.
2.3. ОЦЕНКА НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ ПРИ ПРИЕМЕ
В НОРМАЛЬНОМ ШУМЕ
Предположим, что на интервале Т наблюдается сумма нормаль-
ного шума «(/) и сигнала со случайной фазой
s(t, А, <р)=А(/, A) cos (со/4~ Ф (Л Л)4-ф),
х(/)=п(/)4-з(/, Л, <р).
55
Необходимо оценить значения параметров Х,г. Логарифм
функции правдоподобия параметров имеет вид
1п£(Л)= Л)dt ,
т
где комплексная функция & удовлетворяет интегральному уравнению
j* k(t, т)^(т, A)tfr= s(t. Л) ехр (jut) = V (t, Л),
т
Оценки параметров Хх, ...Д* удовлетворяют системе уравнений
правдоподобия, которую, в данном случае, удобнее записать в виде
Xft)=0,
(/Aj
i = l,..., k.
Для отыскания статистических характеристик оценок удобно вос-
пользоваться методом малого параметра. С этой целью представим
In L в виде
ln£=|S(A, Ao)4-eexp(-j\po)A(A)|, (2.26)
где
S(A, Ло)= Л) V* (t, K0)dt\
т
N § n(t\&(t, A)dt-,
т
Ло, Фо — истинные значения параметров сигнала; 8 — малый пара-
метр.
Легко показать, что с точностью до 8а
1па£ = | S (Л, Ло) |а + 28 Re [S (Л, Ао) ехр (/<р0) А* (Л)]. (2.27)
Разложим теперь левые части уравнений в ряды в окрестности
точки Ло:
Л = Ло еЛх
и ограничимся малыми первого порядка относительно в:
k
[^|S(A, Л0)|а1 +вУ кгтг15<л> ло)12]д +
4-8 [А2 Re (S (Л, Л0)ехр(/ф0) А* (Л))]д =0.
56
[д
—-|8(Л, Л0)|2 =0, компоненты вектора Aj удов-
]л0
летворяют системе уравнений
ВЛХ = — М.
Откуда
k
Лх = — В~1М, = — 2 Ьц1 т}. (2.28)
/=1
Здесь матрица В имеет вид
В = 1М = рт(Л, ,.<1
17 L dUdlj Ja.
A 2 Re (8 (A, A0)exp(/<p0)A*(A))'
2 Re (8 (Л, Ло) exp (/Фо) N* (A))"
(2.29)
Из соотношений (2.28) можно найти статистические характе-
ристики оценок. Оценки являются нормально распределенными слу-
чайными величинами, причем
<£,>=4 + <*я>=4.
<М?1> =22 bpr1 bj (2-30)
Корреляционный момент <mrmz>, как можно показать, равен
</пгтг> = — 28 (Ло, Ло) bri. (2.31)
Подставляя (2.31) в (2.30), получим
<ЧЛ1>= -2S(A0, Ло)^’. (2.32)
Заметим, что
[15(Л, Ло)|21 = 2S(Ло, Ло)Гда|5(Л,л°)Г
PMV V 0/IJa, V 0 0 L dKrdKt Ja,
и, таким образом,
<Ч1\1> = -С7Д (2.33)
где C^q—элемент матрицы, обратной матрице
с=[С"1=[жЛг15(Л-л“)П. (2-34)
L JA0
В частном случае одного параметра
С = [-^-|8(Х,\)|1 ,
- <*?> - ---------!---— • (2-3S)
57
Если оцениваются два параметра, то корреляционная матрица
оценок определяется соотношениями
2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА ПРИ ПРИЕМЕ
В БЕЛОМ ШУМЕ [2.2.—2.4]
Под предельными точностями измерения параметров подразу-
меваются дисперсии оценок этих параметров. В качестве таковых в
этом разделе рассматриваются дисперсии оценок по максимуму функ-
ции правдоподобия в первом приближении.
Рассмотрим несколько примеров оценки параметров регулярного
сигнала при приеме в белом шуме. В соответствии с (2.22) в этом слу-
чае
d2 р
— S(t X)s(t, Ao) dt
d№ J
(2.37)
Оценка фазы высокочастотного заполнения
Сигнал, сигнальная функция и дисперсия оценки определены
соотношениями:
$ (/) = А (/) cos (<»£-]- ф)> <р = А.,
5 (Ф—<Ро) = cos (<р - Фо), Е = 1J (/) dt, (2.38)
т
2 1
=-----•
ф E/N
Найдем теперь поправку к (2.38), учитывающую следующие при-
ближения. В соответствии с (2.25) эта поправка равна
' d'S I г d2 S \ з-i _ 1
. / I dV I lKt~(E/N)2’
58
Таким образом, с точностью до 84
2 1 1
О'2 __------------
ф E/N (E/N)2
Совместная оценка частоты и фазы
Сигнал и сигнальная функция определены соотношениями:
s(t)= Л(/)соз((о/ +<р), со = \, ф=%2,
5(ф—Фо> ®o) =~ f 42(/)cos [((О—(ОО)ЖФ —Фо)] dt- (2-39)
T
Корреляционная матрица оценок определена соотношениями (2.23),
в которых
Г<325
d2S '
дф2
[/2Л2(П dt
_Е_т__________
N J А2 (/) dt
т
_Е_
N ’
——</2>,
N
(2.40)
. d®2 JA,
~d2S 1
_d(dd<pjA(
——</>.
N 4 Z
J tA2 (0 dt
Е т_________
N $A2(t)dt
т
Здесь E = —^A2(t)dt — энергия сигнала за время наблюдения; </>
т
и </2>— моменты плотности распределения
a(t) = -A2V
( ' f А2 (t) dt '
т
Поскольку среднее значение </> выбором начала отсчета всегда
можно сделать равным нулю, оценки частоты и фазы некоррелирова-
ны и предельные точности измерения этих параметров равны
2 1 2 1
а2 =--------, а2 =-------
“ EIN(t2y ф E/N
Рассмотрим теперь оценки параметров сигнала со случайной на-
чальной фазой при приеме в белом шуме.
В этом случае в соответствии с (2.35)
2 1
о? =-------------------
к г d2 1
Нт 1S(%, Ml.
L d/s Jz,
(2.41)
Г d2
2
d№
s(t, X)s*(t %0)dt
JAo
(2.42)
59
Измерение задёржкй импульсных сигналов
В задаче измерения задержки сигнала A(t)cos (соо
|S(X,%O)I=-^- J s(z)s*(z + Ar)dz ,
— оо
s(z) = X (z)exp [jO(z)l,
Ar = r—r0= X—Xo.
Введем комплексный спектр F(co) комплексной огибающей s(z):
оо
s(z)= J F(co)exp(/coz)dco.
— oo
Тогда в соответствии с (1.111)
15(1.41=-^-
J | F (co) |2 exp (jcoAt) da .
Если | F (co) |—четная функция, то
9 1
а2 —.-----------------------------
T oo
f co2 | F (co) |2dco
E -Joo_____________________
N °°
J I F (co) |Mco
!<»>
(2.43)
Здесь
—энергия сигнала;
<co2>—дисперсия распределения
J | F (CD) I2 dco
— oo
Таким образом, дисперсия оценки задержки обратно пропорцио-
нальна отношению сигнал/шум по мощности и дисперсии спектра сиг-
нала.
Оценка задержки гауссовского импульса. В этом случае сигнал,
энергия сигнала, сигнальная функция и спектр модуляции соответст-
венно равны:
s(t)=A (/) cos (ю0 / + ф)= А ехр (—(2/T2)cos (ю0 ( + ф),
60
do
J 4!(0Л = Л!Г
— oo
/2л
4 ’
5(Дт) = ехр
(Дт)2~
2Т2
(2.44)
г/ \ АТ Г со2 Т2 "I
F(fi,)==rj7Hexp[-----—]•
Дисперсия оценки равна
(2.45)
Дисперсия оценки прямо пропорциональна квадрату длитель-
ности сигнала и обратно пропорциональна отношению сигнал/шум по
мощности. В целом дисперсия оценки пропорциональна первой степе-
ни длительности сигнала.
Оценка задержки импульса с линейной частотной модуляцией.
В этом случае сигнал имеет вид
s (/) = А (/) cos (®01Н-Ф (/) + <р),
причем при произвольной амплитудной модуляции Л(/) сигнал имеет
фазовую модуляцию параболического вида, так что
Ф(0=л^«, Ф'(/) = 2л«. (2.46)
Следовательно, мгновенная частота изменяется во времени по
линейному закону
^=kt.
2л
Сигнальная функция может быть записана в виде
оо
J A (i) A (t + Дт) ехр (—/2л£Дт) dt
—оо
(2.47)
Обычно амплитуда меняется значительно медленнее, чем фаза,
и поэтому
оо
J А2 (t) ехр (— j2nktДт) dt
оо
т. е. сигнальная функция пропорциональна преобразованию Фурье
от квадрата амплитуды сигнала, причем роль «круговой частоты» пре-
образования Фурье играет 2л£Дт. Для симметричной модуляции это
преобразование является действительной функцией.
61
Например, для прямоугольной огибающей (длительность импуль-
са Т)
j ехр(—/2л£Дт/) dt =Т
(2.48)
где F = kT — максимальная дивиация частоты.
Таким образом, сигнальная функция ЛЧМ импульса с прямо-
угольной огибающей имеет вид
Е sinnFAx
nFAx
(2.49)
Е — энергия в импульсе.
Соответствующее значение дисперсии ошибки
Ошибка обратно пропорциональна квадрату максимальной де-
виации F и отношению сигнал/шум по мощности.
Измерение частоты
В этом случае s(/)=X(/)cos(<o/ + cp), со=Х и сигнальная функ-
ция
5(Д(о) = -^- J Л2(/)ехр
(2.51)
Для импульса симметричной формы
(dAto)2 Ja(d=o
22V J
a2 =-----i,
® E!N<fiy
(2.52)
где
</2> = {t2A2(t)dt / f A2(t)dt
—дисперсия распределения
- -с©
62
Таким образом, ошибка измерения частоты обратно пропорцио-
нальна отношению сигнал/шум по мощности и дисперсии длительнос-
ти сигнала.
Оценка частоты заполнения прямоугольного импульса. Для пря-
моугольного импульса длительности Т и амплитуды А сигнальная
функция (2.51) имеет вид
S(Aco)
ЛаГ sin (Д<оГ/2)
2W Д<вТ/2
Дисперсия оценки круговой частоты равна
„2 12
(Jz =----------.
® (E/N) Тг
(2.53)
(2.54)
Оценка частоты заполнения гауссовского импульса. Для гаус-
совского импульса А ехр [—Z2/T2]cos(coZ + <р) сигнальная функция
равна
е/л \ Е / Д«аТа\ ~ Л2Т/2л /о СС\
5(Д®) = —ехр (-------—\,Е=---------. (2.55)
Дисперсия оценки
ц2=-----------------------------------. (2.56)
“ (E/N) Т2 v ’
Дисперсия оценки обратно пропорциональна отношению сигнал/шум
по мощности и квадрату длительности сигнала.
В целом ошибка обратно пропорциональна третьей степени дли-
тельности сигнала.
Измерение угловой координаты
При использовании немодулированного сигнала в целях измере-
ния угловой координаты а, как было показано, оптимальное устройство
с антенной системой в виде линейной решетки из М элементов выпол-
няет операцию
1п£(а) =
f 2fl4Zft(Oexp Р (
v *=1 Т L '
. (О
со/--------xha
с
Здесь s — амплитуда падающей волны; ak — коэффициент, характе-
ризующий распределение поля по апертуре решетки, причем = /И;
k
zK(t) колебание на входе k-ro элемента; xh — координата k-ro эле-
мента.
Предположим, что колебание, принимаемое k-м. элементом решет-
ки, не содержит шумов и равно
zft(/) = saftcos ( ©/—— хАа0 + ф0 ),
63
где а0 — истинное значение угла. Тогда сигнальная функция равна
8(а— а0)= ^2а^ехр /~х*(а-ао) |-
k
Дисперсия оценки
Г d2 S2T о / <0 Д \ 1
------- z я? ехр It — xk Да I
L(dAa)2 2W-k \ с / ]да=о
(2.57)
Для симметричной решетки вторая производная от сигнальной
функции и дисперсия ошибки равны соответственно
2 2
V U / N X J 2а*
k
о2 = (2л)а — f —У, (2.58)
“ V ' E/N \ D ) ’ v ’
где D2—дисперсия распределения а2 / E = ^a2s2T/2 — энер-
гия сигнала; 1—длина волны.
Оценка угловой координаты при использовании эквидистантной
решетки. Для эквидистантной решетки xk = kd, k=0, ±1,...,±Р,
М = 2Р + 1
D^ = d*2k*a*
—р I —р
При равномерном распределении поля a2k = 1
Д2=^-Р(Р+1),
<т2 = (2л)2 —------------. (2.59)
“ ' E/N d.2P(P-\-l) ’
Оценка угловой координаты при непрерывном распределении по-
ля. Если используется антенна с непрерывным распределением, то
в соотношении (2.58)
D* = J х2 /2 (х) dx / J f2 (х) dx, (2.60)
—00 / —00
где f*(x) — распределение мощности по раскрыву антенны.
Например, при равномерном распределении по апертуре
2 2 12
(2'61)
64
Измерение амплитуды [2.5]
Поскольку энергия сигнала зависит от амплитуды, оценка ампли-
туды должна быть рассмотрена особо.
Предположим, что сигнал имеет вид
s (/) = аА (t) cos (at <р)
и оценивается амплитуда а при случайной фазе <р.
Логарифм функции правдоподобия при большом отношении сиг-
нал/шум имеет вид
а2т . а '
IaF, лГ
lnL(a) =
J х (t) A (f) exp(jaf) dt ,
т
где
т = ]>(/) dt.
Решение уравнения правдоподобия
а = — J х (t) А (0 ехр (jat) dt .
(2.62)
(2.63)
Предположим, что на самом деле
х (/) = а0 А (/) cos {(dt ф0) + еп (/)
и найдем статистические характеристики оценки, разложив а в ряд
по малому параметру е:
~ I 2е Г
а = а0 1 + — I n(t)A(t) ехр (jat) ехр (jq>0) dt =
I «от J
т
= а0 + — Cn (t) А (/) cos (at + <р0) dt.
Т J
т
Статистические характеристики оценки имеют вид
<a>=a0, <(a—a0)2> = —.
Таким образом,
a2 E/N
(2.64)
Относительная погрешность измерения амплитуды равна отношению
шум/сигнал.
Вместе с тем дисперсия оценки амплитуды не зависит от величины
амплитуды.
3 Зар. 213 Q5
2.5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
СИГНАЛА ПРИ ПРИЕМЕ В ГАУССОВЫХ
КОРРЕЛИРОВАННЫХ ШУМАХ
Узкополосные сигналы со случайной начальной
фазой в экспоненциально-коррелированном шуме
В соответствии с соотношением (1.93) сигнальная функция в этом
случае равна
С s (/, A) s* (/, До) d/
4а2 \ a2 J J
т
и, следовательно, при измерении одного параметра
а/ со2 \ Г d2 С - - 1
т
Соотношение (2.65) совпадает с (2.42), причем роль мощности шу-
ма на единицу полосы частот играет параметр
/Ь ----------- , 1 X/ • W f
а/2 (1 + о2/а2) v '
где о2—мощность шума, в котором производится прием;
оо
-|-= J ехр(—а | т |) dr—время корреляции шума, в котором про-
—оо
изводится прием; <в—центральная частота сигнала.
Таким образом, все результаты, приведенные в предыдущем раз-
деле, распространяются на данный случай при замене N на п.
Узкополосные сигналы со случайной начальной
фазой в узкополосном шуме
В этом случае точность измерения параметра X определяется соот-
ношением
dX2
ох = 4о2а0 ®о Г^- со2 (ао +4Д<о2) Cs(Z, %)s* (/, %0)Л-]-4(о2 х
_dA2 J
т
X У s'(t, X) ?' (/, Хо) dt + /8<в2 А(0 у s (t, X) s*' (t, Xo)
T T
Измерение задержки гауссовского импульса в узкополосном
шуме. Предположим, что
. (2.67)
s(/) = Aexp(—t2/T2), (о = (о0, Д®=0,
66
Тогда
s (t, %) s* (t, Xo) dt = 2E exp
т
At2 \
2Л J ’
w~*r fj. \ \ ^4. or* ( T2--At2 \ (
\s'(/A)8*' (t,l0)dt = 8El—-— exp ——
T \ •* / \ OI
2 T2 («0 T2)
°A = 7 ~~p------
——(124-a;
2a2/a0 v (
(2.68)
Здесь («qT1)2 — отношение полосы шума к полосе сигнала; 2о2/а0 —
эквивалентная мощность шума на единицу полосы. Если полоса шума
много шире полосы сигнала а0Т 1, то
Т2
= (2-69)
Е /------
/ ао
Если, наоборот, полоса шума много уже полосы сигнала а0Т1,
то
2 т2 (а° Л2
(2.70)
В первом случае шум эквивалентен белому с мощностью на единицу
полосы частот
N = 2a2/a0,
где о2 — полная мощность узкополосного шума; а0/2 — полоса шума.
Во втором случае ошибка измерения уменьшается по отношению
к первому на величину, равную отношению полос шума и сигнала.
Литература
2.1. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Пер. с
англ., под ред. Левина Б. Р. Изд-во «Советское радио», 1962.
2.2. S 1 е р i а n D. Estimation of signals parameters in the presence of noi-
se. Trans. IRE, IT-3, 1954.
2.3. Ill и р^м а н Я. Д., Голиков В. H. Основы обнаружения ра-
диолокационных’сигналов и измерения их параметров. Изд-во «Советское ра-
дио», 1963.
2.4. Фалькович С. Е. Прием радиолокационных сигналов на фоне
флуктуационных помех. Изд-во «Советское радио», Г961.
2.5. Амиантов И. Н. Применение теории решений к задачам обна-
ружения сигналов и выделения сигналов из шумов. Йзд. ВВИА им. Н. Е. Жу-
ковского, 1958.
3*
Глава 3
СИНТЕЗ ОДНОМЕРНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
3.1. ЗАДАЧА СИНТЕЗА
Рассмотрим систему связи, представляемую блок-схемой рис. 3.1.
Назначение элементов схемы системы связи следующее. Блок 1
обеспечивает формирование случайного процесса р,(/), в дальнейшем
подлежащего выделению в приемном устройстве. На вход блока по-
ступает белый шум y(f) с мощностью на единицу полосы частот L.
Предполагается, что информационный процесс является марковским
и удовлетворяет дифференциальному уравнению
^+/^(0]=у(0. (3.1)
at
где Др) — известная функция.
Блок 2 производит дискретизацию процесса р. (/), формируя вы-
борочные значения
tk+l-th=T, (3.2)
где Т — такт работы системы связи.
Блок 3 производит модуляцию радиочастотного сигнала s(Z) в каж-
дом такте работы. Вид модуляции определен заранее. Параметр моду-
ляции в каждом такте постоянен и равен .
В канале связи радиосигнал подвержен искажениям, в том числе
из-за наличия собственных шумов приемного устройства — блок 4.
В результате на вход приемного устройства в k-м такте поступает сигнал
х<*>(/), отличный от переданного сигнала s(*>(/). В большом числе слу-
чаев
x<*)(0 = s<*>(0 + «(ft)(0. (3.3)
где «<*>(/) — белый шум с мощностью на единицу полосы частот N.
Наконец, блок 5 обеспечивает оптимальное выделение параметра
модуляции в каждом такте работы системы, формируя оценку пара-
метра р<*),
Задача синтеза состоит в определении оптимальных операций,
которые должно производить приемное устройство 5 над входными дан-
ными для формирования оценки в каждом такте работы системы.
68
В этой главе рассмотрены задачи выделения одного случайного
процесса р(/) при передаче по каналу связи с дискретным временем.
Система, осуществляющая выделение р(/), называется одномерной
оптимальной дискретной системой.
В виде блок-схемы рис. 3.1 могут быть представлены многие кон-
кретные системы связи. Например, в задаче измерения дальности до
цели с помощью радиолокатора процесс p.(t) представляет априорные
данные о характере изменения дальности; выборки соответствуют
дальности до цели в моменты измерения; s<A>(/) представляет задержан-
ный сигнал в (k-ы) такте работы; х(А)(/) является суммой этого сигнала
Рис. 3.1. Блок-схема системы связи.
и собственного шума радиолокационного приемника; блок 5 представ-
ляет приемное устройство, формирующее на выходе замеры даль-
ности.
В результате решения задачи синтеза находятся математические
операции над входными данными, которые можно интерпретировать
в терминах радиотехнических операций.
Например, в задаче измерения дальности выявляется оптималь-
ная характеристика радиочастотной части приемника, необходимость
нормировки с целью исключения зависимости от амплитуды принимае-
мого сигнала, определяется структура дискриминатора задержки,
структура инерционной части дальномера — «сглаживающих» сигнал
ошибки цепей, — определяются их параметры.
В результате решения задачи синтеза находится также минималь-
но-возможная ошибка измерения выделяемого параметра в каждом
такте работы системы.
3.2. ОДНОМЕРНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И НЕПРЕРЫВНЫМ
ПРОСТРАНСТВОМ СОСТОЯНИЙ
Дальнейшее изложение основано на свойствах одномерных мар-
ковских процессов, рассмотренных в этом разделе.
Многомерная плотность вероятности марковского процесса пол-
ностью определяется заданием одномерной плотности вероятности
Р(ц) и условной плотности вероятности 1Г(р, рг) для случайной вели-
чины pr — p(t + Т) в момент t + Т при условии, что фиксировано
значение р = р(/) в момент t, называемой плотностью вероятности пе-
рехода из состояния р в состояние рг за время Т. В частности для мо-
69
ментов времени’ tu t2..... tm (4+i —= Л и выборочных значе-
ний p(>), ц<2), р<т> совместная плотность вероятности равна
Р(р(1> ...,и("<))=Р(р(1)) П Г(р(А’,р(А+1)). (3.4)
k=2
Вероятность перехода может быть в ряде случаев
вычислена точно.
Рассмотрим два важных примера.
Предположим, что процесс р(/) определен уравнением
^+аИ = у(/), (3.5)
at
где а — известная постоянная; y(t) — белый шум с мощностью на
единицу полосы частот L. Тогда р.(/) является гауссовским марковс-
ким процессом.
Решение уравнения (3.5) имеет вид
h+r
p,(*+i) =р,(*) ехр (—аТ)+ z/(x)exp{—a(th-\-T—т)}б!т, (3.6)
fk
откуда следует, что при фиксированном среднее значение и
дисперсия нормально-распределенной случайной величины оп-
ределены соотношениями
<р(*+1)> = р(*)(1— а),
< [р<*+* > - <и<*+ » >Р> = Ь = <%Ь, (3.7)
где
а — 1—ехр(—аТ); 6 = 1—ехр(—2аТ); (3.8)
о^ = ——дисперсия процесса р(/). (3.9)
Плотность вероятности перехода, таким образом, определяется
соотношением
W (p(ft),p(ft+1>) =-----—--------------ехр
/2л
[и(б+1)_(1_а)и(*)р'
2О2&
(3.10)
Одномерная плотность вероятности имеет вид
Рассмотрим теперь уравнение
i + ₽|i_A=i,(/), (3.11)
где р — заданная постоянная; y(f) — белый шум с мощностью на еди-
ницу полосы частот L.
70
Как показано в [3.1] в этом случае р(/) — марковский релеевский
процесс с одномерной плотностью
Р(р) = Ji-exp -
% I
и вероятностью перехода
Н2 1
.,(*+1) /ГИ<А>
w ^+O)=L— /op-A—
%b \ bo*
(3.12)
(3.13)
^+»!+г2и(6Н I
2b°l I ’
(3.14)
где
r = exp(—0T), 6 = 1— exp(—20T). (3.15)
Рассмотрим эволюцию плотности вероятности перехода при
небольших Т -> 0.
Пусть одномерный марковский процесс задан уравнением
£+№)=&(*), (3.16)
at
где y(t)—белый шум с мощностью на единицу полосы частот L.
Для того чтобы учесть малость интервала Т, введем формаль-
ный малый параметр е:
^=е{_/(и) + !/(0} = еФ(р,/)
at
и будем искать решение в виде
где
н(t, рw)=гНу_(t, н<*>)+е2 н2(t, ц<*>) +...
Используя метод последовательных приближений по малому
параметру 8, нетрудно получить следующее выражение для значе-
ния процесса р в момент
tk+T
p(*+D = p(ft)_ е77(р<*))+8 f у (t) dtе2 — f(p(*))^-(pW)— .
J 2 dp,
'k
K
~^а^г J dK (3-17)
справедливое с точностью до членов третьего порядка малости
относительно
71
Из соотношения (3.17) следует, что вероятность перехода из фик-
сированного значения за небольшое время Т имеет вид гауссовского
закона с параметрами
<и<ж)> = р(*) - еГ/ (р<*>) + е3 f (р<*>) (pft), (3.18)
2 ар,
<р(*+1)‘> _<р(*+1)>2 = g3 LT,
(3.19)
p.(*+D —p,<*) 4-e77(P-(fe)) —
(3.20)
W (р<*>, р<*+>>) = п._ 1 ._ехр (---1—
’ V^nel/LT I 2е2£Г
_^е2ЛНр(*))^(|Л<*))'|}.
2 dp JJ
Соотношения (3.18), (3.19), (3.20) справедливы с точностью до е3. При
использовании (3.18), (3.19), (3.20) необходимо положить формальный
малый параметр 8=1.
При Т->0 плотность вероятности перехода (3.20) имеет вид
6-функции
1 im W (p(fe), p<*+D) = lim _1 __ exp —
т-*о т-*о у 2л у LT
= 6(p(*+D —р(*)).
При малых, но конечных величинах Т можно найти поправки к
6-функции. С этой целью введем характеристическую функцию плот-
ности (3.20)
0 (ы) = <ехр[/ы(р<*+1) — р<*>)]> = jj W (р<Ч1х(*+1))Х
_1_(р(Ж)_р(*>)2
X exp Ци (p<*+1 >— p(ft>)] d(p(*+* >—p(ft)) = exp j — ju
_е2Г2/(и(4))^(и(А))Ъ
ар,
(Р)2
2
Разлагая правую часть (3.21) в ряд по степеням е и вычисляя об-
ратное преобразование Фурье с помощью правила
(3-21)
(-/“)’ехр
(3.22)
получим соотношение, характеризующее эволюцию плотности вероят-
ности перехода при малых Т с точностью до малых порядка е3
№(р(*>, p(ft+1>)=6(p<ft+I>_p(ft))4-
+ 6' (р<*+!>—р(*>)(е77(р<*)) — /(р(*))_^ (р(*))1 +
I 2 dp, J
+ 6" (р<*+> >—р W) Ге2 — 4- е3 Т’2 /2 (Н^)
(3.23)
Таким образом, при небольшом Т эволюция плотности вероятности
перехода происходит в соответствии с рис. 3.2. Плотность вероятности
перехода, сохраняя гауссовский вид, «сдвигается» и «расплывается».
Величина «сдвига» равна
-W‘>) +т Т2 • (3-24)
Величина «расплывания» пропорциональна ]/Т. Рассмотрим не-
сколько частных случаев.
Рис. 3.2. Эволюция плотности вероятности перехода.
Гауссовский марковский процесс. В соответствии с (3.5)
f(ji)=ap, L = 2a<jg,F(p(&), p<ft+>)) = 6 (jx<*+> > — p<*>) +
+ 6' (И(Ж)_ и(*>) («ту*)_ _|_ б" (И(*-Н)—И(*)) х
+ (3.25)
Релеевский марковский процесс. В соответствии с (3.11)
/(р) = рр—£ = 20о2, lF(p<4p(ft+1))=6(H(ft+1) —Р(А>) +
+б"(^+»_ +г ^>_ . (з.2б)
Регулярные сигналы. В этом случае уравнение, определяющее
случайный процесс, имеет вид
^+f(R) = O.
at
(3.27)
73
Решение (3.27) при заданном начальном условии является йё-
случайной функцией времени.
Процесс fi(/) является марковским.
В соответствии с (3.27) здесь
L = Q,
W (р<4 >) = 6 (р^+>> — р<*>) + 6' (р.<*+1 > — ц(*>) ГTf (р<*>) —
72f(n(ft))
2
— II f (И(А)) IL (^(4)) ‘ 6"(р(*+о — р<*>)
(3.28)
3.3. РЕКУРРЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФИНАЛЬНОЙ
АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Предположим, что за первые (k + 1) такта на вход приемного
устройства поступили данные вида
х<2> (/),..., x<k+"(t), (3.29)
и на основании этих данных необходимо построить оценку параметра
р.(*+О в (k + 1)-м такте. С этой целью оптимальное устройство должно
сформировать апостериорную вероятность параметров
|л('),'и(2). и(4+1),
Pac(jl(,).. р(*>,Ц(*+1)) (3.30)
и так называемую финальную апостериорную вероятность
^ас(Н(Й+1)) =$...^ас(Н(1)> - . Ц<*>,Н(4+1>)Ф<1>...^(А)- (3-31)
—оо
В качестве оценок выделяются какие-либо характеристики фи-
нальной апостериорной вероятности, например среднее значение или
максимальное значение финальной апостериорной вероятности.
Рассмотрим задачу отыскания устройств для выделения процесса
р(/) в следующих условиях.
1. Механизм взаимодействия сигналов и шумов известен и по-
зволяет вычислить в /-м такте логарифм функции правдоподобия па-
раметра :
lnL(p(/))=F(p(/)). (3.32)
2. Собственные шумы независимы от такта к такту и, следова-
тельно,
М-1
InL(pU),..., p(H-i))= (3.33)
/=1
74
3. Процесс ц(/) является марковским и полностью описывается
заданием дифференциального уравнения (3.1) или одномерной плот-
ности вероятности и плотности вероятности перехода
Р(р), Ц7(р</))И(/+1)).
Апостериорная вероятность параметров р(1),опреде-
ляется формулой, обратной вероятности
Раа (Ц<1 >,.... Ц<*+’)) =hk+i L(p(1).|x(ft+1))Pap(H(1), - - H(A+I)). (3.34)
где Pap—известная априори многомерная плотность вероятности
фильтруемого процесса.
Поскольку процесс р(/)—марковский,
^ар(Н(1)>"-.Н<А+1>) = ^(Н<1)) п №(р('),Н(/+1))- (3-35)
/=1
Используя определение финальной апостериорной вероятности
(3.31) и соотношение (3.35), получим
fe+i
Рас(Н(*+,))=Л*+1$...$ехр 2F(p(/)) х
х Р(Н(1)) п Г(рО))И(/+1))^(1)...б/и(4)
(3.36)
L /=1 J
Из (3.36) следует очевидное рекуррентное правило построения
финальной апостериорной вероятности [3.2, 3.3]
И*+1) (и)=Яй+1 ехр [P<*+D (ц)] $ Р^ (X) W (X, р) dX, (3.37)
—оо
где Р'с+1) (р) = Рас (р<*+1 >)—финальная апостериор ная вероят-
ность в (&-(- 1)-м такте; IJ7 (X, p) = U7(p(fe), p(*+D)—плотность вероят-
ности перехода из состояния X в состояние р за время Т;
F<*+1> (р) = F(p(ft+1>) = логарифмы функции правдоподобия в
(&4-1)-м такте; Hk+i =hk+i/hk—постоянная нормировки.
Соотношение (3.37) является рекуррентным уравнением для апо-
стериорной вероятности в интегральной форме. В соответствии с этим
уравнением апостериорная вероятность в (k + 1)-м такте пропорцио-
нальна функции правдоподобия в (k + 1)-м такте и интегралу от апос-
териорной вероятности в k-м такте с плотностью вероятности перехода
фильтруемого процесса.
Рекуррентное уравнение (3.37) является основой для синтеза
устройств, выделяющих процесс р(/).
В ряде случаев удобнее заменить уравнение (3.37) системой ре-
куррентных уравнений для апостериорных моментов. При этом в ка-
честве оценки значений параметра в каждом такте используется апос-
териорное среднее в этом такте.
Апостериорная дисперсия в каждом такте характеризует неточ-
ность измерений параметра.
75
3.4. УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В СЛУЧАЕ
ГАУССОВСКОГО МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА [3.4]
Если параметр сигнала не меняется за время наблюдения, то при
большом отношении сигнал/шум апостериорная вероятность имеет
форму нормального закона. Можно предположить, что и в случае па-
раметров, меняющихся от такта к такту при малом уровне собствен-
ного шума, финальную вероятность целесообразно искать в виде
Pic’ (и)
1/ 2л/П4 I 2
(3.38)
где Mh—апостериорное среднее р, в &-м такте;
об
мА = $ цРас’ООФ;
—оо
2 1
nik—апостериорная дисперсия в я-м такте;
оо
(р Рас (Р’МН*
—оо
(3.39)
(3.40)
Гауссовское приближение (3.38) является продуктивным методом
решения задачи, имеющим, однако, определенную область примени-
мости. Область применимости гауссовского приближения недостаточно
изучена.
Рассмотрим случай фильтрации гауссовского марковского про-
цесса (3.5), для которого плотность вероятности перехода определена
соотношением (3.10)
Г (%, H) = -=L^exp
у 2ло£b
[p-(i-<W|
)
(3.41)
Подставляя (3.41), (3.38) в (3.37) и производя интегрирование
в правой части (3.37), получим
Р1с+1) (р) = -ехр [—0L_^±lL21 =Hk+l ехр [Я+D (и)] х
v^mk+i L 2 OT*+i
X -7=-7=- =r ex p 1----
7/2л (1—a)2 I 2
Afft (1 —- a)]8 1
Ьа1+тк^—a)2] J
(3.42)
Исходя из (3.42), можно получить систему рекуррентных уравне-
ний для апостериорных моментов. Логарифмируем левую и правую
части (3.42) и разложим входящие в уравнение функции в ряды около
некоторой точки М.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях (р — М),
получим следующую систему уравнений:
Mk+i-М =m2k+l [ -]M 4
/1 м2 w2 1 Агг2 >
(1—a)
76
2
=
(3.43)
Системе (3.43) соответствует система уравнений для нормиро-
ванных переменных [3.4]
№+1 —М = щ+1 zk+l (М)+ • (3.44)
(1— a)2xft + p24-l
X — (1—a)2Xft + p2
4+1 (1 - а)2 + р2 + 1 ’
где
МТ]. <ЗЛ5>
являются безразмерными коэффициентами;
, _ 'df(fe+1) /d^F^+'П ,q.R.
*+1 L du / dp2 Jm (3-46)
представляет нормированный дискриминатор.
В рассматриваемых далее примерах можно считать, что вторая
производная от логарифма функции правдоподобия не содержит слу-
чайных составляющих и не зависит от значения М. Поэтому второе
уравнение (3.44) можно решать независимо от первого. Это уравнение
позволяет найти зависимость параметра ик от номера такта k.
Как видно из первого уравнения (3.44), параметр пк является
коэффициентом усиления, на который умножается выход нормирован-
ного дискриминатора.
Интерпретация уравнений (3.44) зависит от выбора значения М.
Если разложение производится в точке предыдущей оценки
М=Мк, (3.47)
то
=«•+ -«.=*.+, »-,+||,+М_д),„, • 0.48)
Дискретную систему, описываемую уравнением (3.48), будем назы-
вать «следящим измерителем». Блок-схема следящего измерителя пред-
ставлена на рис. 3.3, а.
Элементами этой схемы являются следующие блоки:
— нормированный дискриминатор, осуществляющий операцию
(Л4л)>
— вычислитель коэффициента усиления Х44-1,
— умножитель на коэффициент x^i,
— умножитель на коэффициент—а/1 + р2 + (1— a)2xft,
— «дискретный интегратор», роль которого играют сумматоры,
— устройство задержки на такт Т.
77
В схеме следящего измерителя вычисление сигнала ошибки про-
изводится в точке Мк, т. е. в точке оценки на предыдущем такте.
Если в качестве точки разложения выбрать значение экстраполи-
рованной на один такт оценки
Л4=Д=(1— a)'Mk = Mkexp—аТ, (3.49)
Рис. 3.3. Оптимальные измерители первого порядка:
а — следящий измеритель; б—следящий измеритель с экстраполяцией; в—неследящий
измеритель.
то уравнение фильтрации имеет вид
Mk+i—Mk = Kfe+i Zk + i №). (3.50)
Уравнение (3.50) описывает работу «следящего измерителя с экст-
раполяцией». Блок-схема следящего измерителя с экстраполяцией
представлена на рис. 3.3, б. •
78
Здесь блок экстраполяции вычисляет экстраполированную оцен-
ку Mk в соответствии с (3.49). Интересно отметить, что экстраполи-
рованная оценка при положительных а может быть только меньше
оценки на предыдущем такте.
Схема содержит также:
— устройство для вычисления коэффициента x*+i,
— умножитель на коэффициент xA+i ,
— дискретный интегратор, роль которого играет сумматор,
— устройство задержки на такт.
Если точка разложения М — заранее известная фиксирован-
ная точка, то уравнение (3.44) соответствует случаю «неследящего»
измерителя. Блок-схема неследящего измерителя представлена
на рис. 3.3, в.
Неследящий измеритель содержит следующие устройства:
— нормированный дискриминатор,
— устройство вычисления коэффициента ,
— сумматор с выбранным значением М,
— сумматор с выбранным значением М, умноженным на
1
(l-а)* нй + р2+1
— сумматор с предыдущей оценкой Мк, умноженной на
(1+«)
(1- а)*хд + р2 + 1 *
Все измерители рис. 3.3 являются нелинейными инерционными си-
стемами с переменным коэффициентом усиления.
Нелинейными элементами являются дискриминаторы; перемен-
ность коэффициентов обусловливается тем, что коэффициент усиле-
ния меняется от такта к такту; инерционность возникает из-за
наличия элемента памяти (линии задержки на такт). Для вычисления
оценки в данном такте требуется знание оценки и коэффициента усиле-
ния предыдущего такта.
3.5. РЕКУРРЕНТНОЕ УРАВНЕНИЕ
В РАЗНОСТНОЙ ФОРМЕ [3.5]
Вместо (3.37) удобнее иметь дело с рекуррентным уравнением в
разностной форме. Для того чтобы получить подобное уравнение, не-
обходимо конкретизировать вид вероятности перехода W(K, ц). Будем
считать, что период работы Т достаточно мал по сравнению с характер-
ным временем изменения процесса ц(/). В этом случае, подставляя
(3.23) в (3.37), получим
79
РЙ+1,(р) = Ял+1ехр[^+,)(ц)]
Plc’W 6(p-%) +
+ [ STf (%)- | 82 T2 f (%) ^1 6' (H-%) +
z ал*
ГП0 2 p 2 ~| ~i")
L. LT + -T2P(X) б"(ц—X) A (3.51)
где производные взяты по разности аргументов.
Интегрирование в правой части (3.51) легко выполнить, если вос-
пользоваться свойствами 6-функции и ее производных
r° dnf (хп)
$ f(x)^(xQ~x)dx (3.52)
— оо “Х0
Тогда
Р1с+1) (И) = Hk+1 ехр [F(ft+1) (р)] [f (и)Р<*>(и)]-
I яр,
_ Le2 Т2 А р (|Л) (|Л) ЭД +1 е2 Г A. [Z2 (и) Pw ( )] +
2 dp |_ dp J 2 dp2
i d2 I
+А7'-#А (3'53)
Соотношение (3.53) является искомым рекуррентным уравнением
для финальной апостериорной вероятности.
Иногда удобнее использовать в качестве переменной логарифм
финальной вероятности
«(4)(ц) = 1пР1с)(р). (3.54)
Логарифмируя (3.53) слева и справа, получим после несложных
преобразований
«<*+1 > (и)—и<*> (и) = In Hk+j + +1 > (и) +
+|"(1+гТ^)+^»Аа+т'!Л[тгГ+
+ Vs r A"l 4(rt '44 А0 [-VйГ+
+4 8* Т2 /2 (И) i 82 LT Рц(**(и) ]2 + LT (3.55)
Если считать, что задача оптимального приемного устройства
состоит в выделении логарифма финальной вероятности, то структура
оптимального приемника определена уравнением (3.55).
Непосредственное моделирование уравнения (3.55) может быть,
однако, затруднено-наличием производных по р, в правой части этого
80
уравнения. Целесообразно поэтому вместо уравнения (3.55) использо-
вать систему уравнений для моментов финальной вероятности.
Используем гауссовское приближение для апостериорной вероят-
ности
(и/ \ г 1 (М'-Ж)2
Ц(*)(И) = С—- , (3.56)
z zv
где v — формальный малый параметр, символизирующий узость апос-
териорного распределения.
Следующий шаг связан с дополнительным предположением о ма-
лости величины
LT
— «1. (3.57)
mk
Это существенное предположение ограничивает область использова-
ния полученных ниже уравнений.
Как было показано [соотношение (3.18)], величина LT равна
дисперсии плотности вероятности перехода из состояния в сос-
тояние за небольшое время Т. Величина mk характеризует ши-
рину апостериорного распределения.
Условие (3.57) означает, таким образом, что апостериорное рас-
пределение значительно шире плотности вероятности перехода. Этот
случай в дальнейшем будем называть случаем «большой» апостериорной
дисперсии.
Соотношение (3.57) означает, что формальные малые параметры
е и v удовлетворяют неравенству
8«v. (3.58)
Учитывая (3.56), (3.57), можно разложить логарифм в (3.55) в ряд
In (1+2) ~ 2-^.
Разлагая далее входящие в (3.55) функции в ряды по степеням
(р. — Л4), приравнивая члены при одинаковых степенях (р — М) и
учитывая различные приближения по степеням малых параметров
е, v, можно получить следующие результаты [3.5].
Уравнение фильтрации имеет вид
М(:+1 —= %*+1 2k +1 {Mk},
(3.59)
где
2
ХА-J- 1 = —1
М =Mk--экстраполированная на такт оценка;
—~ —нормированный коэффициент усиле-
(М&) = —
"dF<*+D
ф
d2F^+1)j
Ф2
— нормированный дискриминатор.
81
Выражение для экстраполированной оценки, учитывающее члены
первого порядка малости относительно и и второго — относительно
8, имеет вид /
Мь=Мк-ТЦМк)ЦтЩмАмк). (3.60)
2 dfi
Смысл соотношения (3.60) очевиден. Экстраполяция на один такт,
исходящая из значения оценки на предыдущем такте Mk, производит-
ся в соответствии с априорным соотношением (3.18).
Структура следящего измерителя с экстраполяцией, соответст-
вующая соотношению (3.59), представлена на рис. 3.3, б.
Уравнение, определяющее изменение апостериорной дисперсии,
может быть записано в виде
/^+i=/ + l, (3.61)
где lk+i=l/nk+i.
Значение I можно найти последовательным приближением по сте-
пеням малых параметров 8, v, e/v.
В нулевом приближении
I — th — ^/Hh-
В первом приближении по е и v
l = lk\l+2T^(Mk) .
L ац
В первом приближении по е и втором по e/v
/ = ZJ1+2T-^(MA)-/Ap2l,
dp J
(3.62)
(3.63)
(3.64)
где
р2= — LT
& р(*+ О 1
dp2 J
Таким образом, в нулевом приближении уравнение для норми-
рованного коэффициента усиления имеет вид
%л+1=—(3.65)
Следующие приближения дают уравнение вида
хА+1 =-----------Ч------------. (3.66)
i+Xft+2T^(Mft)-p2/xft
Уравнения (3.59), (3.60), (3.66) полностью описывают работу дис-
кретной системы, выделяющей процесс р,(/), если условия синтеза та-
ковы, что удовлетворяются требования медленности процесса |х(/)
и большой величины апостериорной дисперсии по сравнению с шири-
ной плотности вероятности перехода.
82
Рассмотрим случай большой апостериорной дисперсии в задаче
фильтрации гауссовского марковского процесса.
Работа оптимального фильтра описывается здесь соотношениями
(3.44), (3.50), справедливыми при любых значениях входящих пара-
метров.
Для медленного гауссовского процесса
1 — 1 — аТ, Ь~2а,Т. (3.67)
Условие большой апостериорной дисперсии (3.57) с учетом соот-
ношений (3.45), (3.67) имеет вид
Р2 « «л (3.68)
и поэтому правая часть соотношения (3.44) может быть преобразована
следующим образом:
(i— a)2xft+p2 %k
Ха»4-i =---------------. (3.69)
+ (l-a)2Xft + p2 + i i + Xfe + 2aT-(p2/xft)
Поскольку в этом случае dfld\\ = а, соотношения (3.66) и (3.69) сов-
падают.
Уравнение вида (3.27) определяет регулярный сигнал, фильтра-
ция которого описывается соотношением
* —Mk = Х£-|-1 ^_|-1 (Л4&),
1 / df \
Mk=Mk-Tf(Mk) + -T^f Mk-L(Mk)]t (3.70)
2 у ар, /
.....
l+x +2T-i-(Mft)
n /711
3.6. «БОЛЬШАЯ» И «МАЛАЯ» АПОСТЕРИОРНЫЕ ДИСПЕРСИИ
Ширина плотности вероятности перехода определяется величиной
LT. Ширина апостериорной плотности определяется величиной /и* .
Возможны два крайних случая соотношений между плотностью
перехода и апостериорной плотностью, представленных на рис. 3.4.
В первом случае апостериорная дисперсия велика
1
— > 1.
LT
Этот вариант большой апостериорной дисперсии рассмотрен в преды-
дущем разделе.
Во втором варианте апостериорная дисперсия мала
21 «1. (3.71)
LT
Будем.называть этот случай случаем малой апостериорной дисперсии.
83
Для гауссовского марковского процесса соотношение (3.71) эк-
вивалентно соотношению '
Р2» *k- (3.72)
Из (3.72) следует рекуррентное уравнение для коэффициента уси-
ления
Р2 , (>—a)2nh
Zft+‘~(1+р2) (1+р2)2 • ^-73)
В общем случае условие малости апостериорной дисперсии означает,
что в уравнении (3.37) апостериорную вероятность P(aC\ty можно за-
менить на 6-функцию. В гауссовском приближении
ис. 3.4. Соотношения между финальной вероятностью и плотностью вероят»
ности перехода.
Подставляя (3.74) в (3.37), получим
— (p-Mfe +1 ).2 = с + +1) + ln r
М+1
Разлагая левую и правую части этого соотношения в ряды в ок-
рестности точки 7И, получим систему уравнений для моментов апосте-
риорной вероятности
d »
Mk+l=M+.nk+l^+^M)-Kk+l
dM2
x* j_ I =-----------------------. (3.75)
hl In W /f(*+l )(Л1)
ф dM2 / dM2
В зависимости от выбора М в (3.75) получается следящий измери-
тель (М = Mh), неследящий измеритель (М — произвольная фикси-
84
рованная точка) или следящий измеритель с экстраполяцией. В по-
следнем случае точка М = Mh выбирается из условия
Например, если фильтруется гауссовский марковский процесс,
то с учетом (3.10) экстраполяция производится в точке
Mfe = (l-a)Mfe.
Второе соотношение (3.75) определяет установившееся значение
коэффициента усиления в случае малой апостериорной дисперсии.
Приближение, рассмотренное в настоящем разделе, играет осо-
бую роль в задачах фильтрации существенно негауссовских случай-
ных процессов. Как видно из вышеизложенного, нелинейность апри-
орного уравнения отражается на характере операций, выполняемых
для формирования экстраполированной оценки. Вторая характерная
особенность состоит в зависимости установившегося значения х от
текущих значений Mh и Mh.
3.7. ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Предположим, что в k-м такте наблюдаемое значение образуется
как сумма сигнала и шума
Х(А) =и(*) +«(*), (3.76)
где |x(A) = p.(/ft)—выборочное значение гауссовского марковского
процесса, определяемого уравнением
^+ац=^(0.
at
Случайный процесс у(1) является белым шумом с мощностью на еди-
ницу полосы L. Дисперсия р есть — Выборки шума рас-
пределены по нормальному закону с дисперсией Ч и нулевым сред-
ним значением. Шумы от такта к такту независимы.
Необходимо выделить значения сигнала р<А>, k — 1, 2, ...
Поставленная задача может быть решена в рамках теории линей-
ной фильтрации. Оптимальный линейный фильтр, выбранный так, что-
бы средний квадрат разницы его выхода и сигнальной части входа
был минимален, является наилучшим устройством для выделения
гауссовского случайного процесса из гауссовских шумов.
Рассмотрим здесь решение с помощью уравнений (3.44). Функция
правдоподобия в данном случае имеет вид
ехр [/=’<*+ >> (р)] =ехр |-(х<*+ О — р.)2|, (3.77)
I I
85
Г rfF(fe+1)
L
|’d8F<*+1>'
R
d[i2
£
.2
I
n
К
M-
Введем
2 d2F^
Hk = — mk ——
dp2
2 ,2^’
P2= -Ч-ТГ
dp2
Тогда, для следящего измерителя
ml
an ’
4.
°n
a*k+1 Mh
(l-a)2 X/l + p2+l
Для следящего измерителя с экстраполяцией
Л4й=(1-а)Мь
P2 + xh(l-a)2
**+1 -l + p2 + xft(l-a)2'
(3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
Уравнение (3.81) не зависит от входного воздействия и от апосте-
риорного среднего.
Найдем установившееся значение х, соответствующее условию
Xfe+1 =х*.
Из (3.81) следует, что установившееся значение удовлетворяет
квадратному уравнению
х2 ехр (—2а71) 4- х [ро (1 — ехр(—2аТ)) 4-1 — ехр (—2аТ)] —
— ро (1—ехр (—2аТ)) =0,
Ро= °г|х/°'л> (3.82)
решение которого имеет вид
_ — [1 —ехр (—2аТ)] (р^+1)4-
Х — 2ехр(—2аТ) "*
+V[1 -ехр (—2аТ)]2 (1 +р2)2 + 4р2 ехр (-2аТ) [1 — ехр (-2аТ)]
~ (3.83)
Здесь параметр ро имеет смысл отношения мощности информа-
ционного процесса к мощности шума в единичном замере, причем
р2 = ро[1 — ехр(—2аТ)]. (3.84)
88
Зависимость коэффициента к от параметра р‘^ при различных ве-
личинах аТ представлена на рис. 3.5.
Уравнения для средних значений можно использовать в любом
из трех видов измерителей (следящий измеритель, следящий измери-
тель с экстраполяцией, неследящий измеритель).
В частности, для следящего измерителя с экстраполяцией блок-
схема устройства соответствует рис. 3.3, б. Экстраполяция произво-
дится в соответствии с соотношением (3.49)
Рис, 3.5. Зависимость установившегося значения коэффициента усиления от
отношения сигнал/шум.
Рассмотрим возможные упрощения схемы следящего измерителя
(3.79) в крайних случаях «большой» и «малой» апостериорных диспер-
сий и в предположении
аТ<1.
Если
аТро«1, (3.85)
ТО ____
% = ]/2аТр0, т2 ~]/г2аТо)1оп. (3.86)
Из (3.85), (3,86) следует
m2}2aT(rfi,
что соответствует случаю «большой» апостериорной дисперсии.
Уравнения фильтрации имеют вид
1 =------------------от— • (3-87)
l+Hft+2aT-2aTp§/xft ’
87
Приближение «большой» апостериорной дисперсии рассмотрено
В работах [3.4, 3.5, 3.6].
Если
аТрЬ1> (3.88)
ТО
X = 1------—5 ,
2аТрЗ
т2 = -4-Л. (3.89)
\ 2а W
Рис. 3.6. Структура следящего измерителя в случае «малой» апостериорной
дисперсии.
Из (3.88), (3.89) следует
т2{2аТс>£,
что соответствует случаю «малой» апостериорной дисперсии.
Уравнения фильтрации имеют вид
AMft = xft+1(x<*+>>-Mft),
А. __ 1____1 / 1___
*+1~ 2аТрЦ 2аТрд/’
Структура оптимального фильтра при больших Рц допускает две
интерпретации — фильтр в виде 7?С-цепочки с постоянной времени
77х и следящая система (рис. 3.6).
При ро->оо, «->1, A4^+i =x<fe+1>система становится безынер-
ционной.
При малых отношениях сигнал/шум структура оптимального
фильтра имеет вид рис. 3.7.
Из сопоставления рис. 3.6 и 3.7 следует, что при малых отношениях
сигнал/шум начинает играть роль дополнительная обратная связь
с коэффициентом усиления аДх^ /хй). В случае очень малых ро
система отключается от входных данных и оценка формируется в соот-
ветствии с априорным уравнением
Л4а+1 =Mft(l-aT).
88
Представляет интерес процесс установления апостериорной дис-
персии. В общем случае (произвольное ро) переходный процесс можно
найти непосредственным решением рекуррентного уравнения (3.81)
Рис< 3.7. Структура следящего измерителя в случае «большой» апостериорной
дисперсии.
для номеров тактов k = 1,2,... при начальном условии х = 1, что
соответствует начальной апостериорной дисперсии
/и2 = о2«
Рис. 3.8. Процесс установления апостериорной дисперсии.
Вид переходного процесса при аТ = 0,01 и р2=1,10 показан на
рис. 3.8. Время установления зависит от параметра р2; при больших
р2 время установления
т = Т Н
1 '
Sa^Po.
При малых ро переходный процесс ограничен кривой 1/k.
3.8. ФИЛЬТРАЦИЯ РАДИОСИГНАЛОВ
С АМПЛИТУДНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
И НЕКОГЕРЕНТНОЙ НЕСУЩЕЙ
Предположим, что сигнал, поступающий на вход приемника, имеет
вид, представленный на рис. 3.9.
Импульсы длительности т возникают в дискретные моменты вре-
мени 4, /2> •••, разделенные интервалом Т (в частном случае т = Т).
Каждый импульс может быть записан в виде
(v + р<*>) s (/—tk) cos (со/ + <рА), (3.90)
Рис. 3.9. Радиосигналы с амплитудно-импульсной модуляцией и некогерент-
ной несущей.
где s(t) — прямоугольный импульс длительности т и единичной ампли-
туды; v + р(*> — амплитуда импульса в k-м. такте; <pft — фаза несу-
щей; со — несущая частота.
В настоящем примере независимые от такта к такту фазы <pfe рав-
номерно распределены на интервале (—л, л). Полезная амплитудная
модуляция представлена выборками случайного процесса р(/), являю-
щегося гауссовским случайным процессом с экспоненциальным коэф-
фициентом корреляции и дисперсией а£. Процесс р(/) задан уравнением
^4-ар = с/(/), £ = 2а£а,
at
где y(t) — белый шум с мощностью на единицу полосы L.
Описанный сигнал является удобной моделью импульсно-ампли-
тудно-модулированного сигнала с некогерентной от посылки к посылке
несущей.
Функция правдоподобия р в (£-м) такте при приеме сигнала (3.90)
в белом шуме с мощностью на единицу полосы частот N имеет вид
ехр( -^(v+^)),po[(v + p(A>)-J-^-l. (3.91)
\ J| 2V 4 J
90
РДё
*л+*
9 р
— I х (/) ехр (ja>t) dt ;
T J
'л
x(/)—реализация суммы сигнала и шума на входе приемника.
При большом отношении сигнал/шум
(V + Н) . (3.92)
dF х , . ч . т d2 F т
~dp ~ ~ +~2Nrk’ "dtf~ 2N '
Уравнения фильтрации (3.49) для следящего измерителя
вид
ДМЙ =Kk+l (rk+i —v—Mh) — ——2^+1 1. , . >
(1—а) %й+р0&+1
_ бРо+М1 —а)2
%6+1 1+Ьр$ + хА(1— а)2 ’
2 2
РО =—5” > °п —- >
°л Т
имеют
(3.93)
причем о2 — мощность шума на выходе фильтра, согласованного с
прямоугольным импульсом длительности т.
Поскольку уравнения (3.93) по форме совпадают с уравнениями
линейной фильтрации (3.79), (3.80), (3.81), в данной задаче справед-
ливы основные выводы разд. 3.6.
Блок-схема следящего измерителя представлена на рис. 3.3, б.
Существует установившийся коэффициент усиления, определяемый
соотношением (3.83).
В крайнем случае «большой» апостериорной дисперсии
«Тро(1
и при условии аТ {1 уравнение, определяющее работу оптималь-
ного приемника, имеет вид
= к (/-,+!- v—Mh)—aTMk, (3.94)
х =/2аТро.
91
Ошибка фильтраций
т2 = У 2аТо^оп, ап = У N/т.
(3.95)
В другом крайнем случае—«малой» апостериорной дисперсии
2аТро>1,
ДМд = х (г*+1 — v—Мк),
(3.96)
Рис. 3.10. Демодулятор ДМ импульсных сигналов. Случай «малой» апостери-
орной дисперсии.
Пунктиром показана связь, возникающая в случае «большой» апостериорной дисперсии.
Приемное устройство, осуществляющее демодуляцию амплитуд-
но-модулированных импульсных сигналов с некогерентной несущей
в случае «малой» апостериорной дисперсии, представлено на рис. 3.10.
Основные элементы оптимального приемника импульсных AM
колебаний следующие:
— фильтр с импульсным откликом, согласованным с формой им-
пульса;
— линейный детектор огибающей;
— устройство, осуществляющее выборку в момент tk + т;
— устройство для вычитания постоянной составляющей v;
— дискриминатор в виде вычитающего устройства;
— умножитель сигнала ошибки на коэффициент усиления х;
— сумматор.
Устройство рис. 3.10 осуществляет наилучшую демодуляцию при-
нимаемых колебаний.
92
Приём импульсной амплитудной модуляции.
КОГЕРЕНТНАЯ НЕСУЩАЯ
В случае когерентной от такта к такту несущей все фазы <pft = <р
и функция правдоподобия имеет вид
ехр {~ S7 т (v +P<A))2+(v+и W) Ч ’ (3'97)
где
xk = — J x(/)cos (со/ + ф) dt.
*k
Поскольку логарифм функции правдоподобия по форме совпадает
с (3.92), где вместо rk необходимо формировать выборку xk9 уравнения
оптимальной фильтрации и их интерпретация с помощью фильтров
без обратной связи и с обратной связью остаются без изменений. Од-
нако замена rk на xk приводит к тому, что оптимальный приемник в
части до дискриминатора должен быть изменен (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Демодулятор импульсных ДМ колебаний с когерентной несущей.
Выделение информационного процесса осуществляется с помощью
синхронного приемника, являющегося фазовым детектором, фильтра,
согласованного с прямоугольным импульсом, селектора, производя-
щего выборку выхода фильтра в момент времени, соответствующий
концу посылки в (k + 1)-м такте, устройства вычитания постоянной
составляющей v.
Ошибка измерения р,(/) определяется соотношениями (3.95), (3.96).
Отсутствие разницы в величине ошибки для случаев когерентной и не-
когерентной несущей объясняется тем, что исследуемые схемы полу-
чены для большого отношения сигнал/шум.
3.10. АВТОМАТИЧЕСКАЯ РЕГУЛИРОВКА УСИЛЕНИЯ
Во многих прикладных задачах необходимо поддерживать вы-
ходную величину постоянной в условиях, когда входное воздействие
меняется в широких пределах. Так, например, автоматическая регу-
лировка усиления поддерживает постоянной амплитуду выходного
сигнала при изменяющемся входном.
Устройство, обеспечивающее постоянство выходной величины,
можно считать состоящим из двух основных блоков (рис. 3.12).
93
Ёлок измерения воздействия обеспечивает наилучшее измерение
воздействия при наличии дополнительных, искажающих результаты
измерения, шумов. В соответствии с вышеизложенным, измеритель
воздействия может быть построен таким образом, чтобы формировать
на выходе апостериорное среднее значение измеряемого параметра.
В отсутствие шумов апостериорная вероятность имеет вид 6-функции
и апостериорное среднее совпадает с истинным значением входа.
В случае автоматической регулировки усиления, работающей по
сигналу, амплитуда которого является гауссовским процессом со сред-
ним значением v, регулятор можно описать уравнением
^=-7ПГ> (3-98)
где Mk — апостериорное среднее амплитуды воздействия в А-м такте;
gk — коэффициент усиления регулятора; С — уровень стабилизации
выхода.
выход* con st
Рис. 3.12. Устройство для обеспечения постоянства выходной "величины.
В реальных случаях неудобно сначала оценивать амплитуду, а
потом регулировать вход в соответствии с соотношением (3.98). Целе-
сообразно поэтому преобразовать схему рис. 3.12, сведя ее к следящей
системе [3.4].
Предположим, что входной сигнал приемника имеет вид рис. 3.9.
Импульсы длительности т возникают в дискретные моменты времени
tz, .... разделенные интервалом Т. Каждый импульс может быть
записан в виде
(v + р<*>) s cos (<о/ + <pft), (3.99)
где s(t) — прямоугольный импульс длительности т; q>ft — случайная
фаза, значения которой независимы от такта к такту и равномерно рас-
пределены в интервале (—л, л); v + — амплитуда в (А)-м такте.
Случайный процесс р(0 удовлетворяет дифференциальному урав-
нению
^ + ap = z/(Z),
где y(t) — белый шум с мощностью на единицу полосы L.
В стационарном случае уравнение фильтрации для случая «ма-
лой» апостериорной дисперсии имеет вид
АМЛ = и (r*+i — V—МА).
(3.100)
94
Используя (3.98), уравнение (3.100) можно привести к виду
— П+1-----
&k \ )
или
= (3.101)
Будем рассматривать g в виде функции от некоторой перемен-
ной и регулирующего воздействия
gk=g^k).
Рис. 3.13. Схема оптимальной регулировки коэффициента усиления.
В этом случае
[Д^ = -^-(«й)Дад.
du
и уравнение (3.101) можно записать в виде
^(«л) Д«л =77-2 К) (С—sr(Wfe) ''*4-1]-
du С
Окончательно,
buk = ±-£^[C-g(uk)rk+i]. (3.102)
с gu (Uk)
Соотношение (3.102) может быть интерпретировано в виде схемы
рис. 3.13. В этой схеме сигнал проходит через регулируемый видео-
усилитель с коэффициентом усиления g(Uk), зависящим от регулирую-
щего напряжения сравнивается с напряжением задержки С и по-
дается на нелинейный элемент. Коэффициент передачи нелинейного
элемента зависит как от отношения сигнал/шум, так и от вида регули-
ровочной характеристики усилителя. В частном случае экспоненциаль-
ной регулировочной характеристики коэффициент передачи обратной
связи не зависит от напряжения регулирования ик. Инерционные свой-
ства обеспечиваются наличием интегратора в цепи обратной связи.
Учитывая, что операции умножения на коэффициент усиления
и детектирования переставимы, можно считать, что регулирование
в схеме происходит по радиочастоте.
95
Структура схемы рис. 3.13 соответствует обычно применяемым
схемам задержанной АРУ, за исключением линейного элемента в цепи
обратной связи, обеспечивающего независимость быстродействия АРУ
от вида регулировочной характеристики.
3.11. ИМПУЛЬСНАЯ ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
В случае импульсной фазовой модуляции каждый импульс вход-
ного сигнала может быть записан в виде
As (I — tk) cos (со/ +
где А — амплитуда импульса; s(t — tk) — прямоугольный импульс
единичной амплитуды и длительности т, начинающийся в момент tk\
(о — несущая частота; — выборочные значения случайного про-
цесса р,(/), который предполагается гауссовским, марковским, удовлет-
воряющим уравнению
~^+ар = */(0.
где y(t) — белый шум с мощностью на единицу полосы частот L.
Дисперсия р(/) есть = Ll2<x.
При приеме в белом шуме с мощностью на единицу полосы частот
N функция правдоподобия р в k-м такте определяется соотношением
ехр
/л+т
J х (0 cos (со/ + Ji) dt .
'л
В соответствии с (3.103)
fW(p)=-^- j* х (t) cos (со/ + р) dt,
‘k
(3.103)
(3.104)
-^-F<*)(p) = —-A J x (/) sin (co/+ p) d/,
A-F<*)(p) = —f x(/)cos(co/ + p)d/.
ар/ N J
‘k
Рассмотрим более внимательно структуру второй производной
F"(p). Предположим, что на вход оптимальной системы поступает сиг-
нал с параметром р0 и шум
х (/) = Xs (/ —/ft) cos (со/ + Ро) + «(/).
Тогда
2
F"(r) = — ~ cos(p—p0)—J n(/)cos((o/ + p)d/. (3.105)
Дисперсия второго члена (1.105) равна A2r/2N и поэтому (3.105)
можно записать в символической форме
Р" (И) = [cos(p —р0) + ev(p)], (3.106)
27V
где е = 1/<7 — малый параметр; q2 = A2x/2N 1 — отношение сиг-
нал/шум на выходе фильтра, согласованного с формой импульса;
v (р) —случайная величина с нулевым средним значением и диспер-
сией, равной единице.
Отметим, что нормированная сигнальная часть логарифма функ-
ции правдоподобия в данном случае имеет вид
cos (р —р0) ~ 1 — фг, (3.107)
где ф = 1 характеризует ширину сигнальной функции.
Считая, что апостериорное среднее в (&)-м такте близко к истин-
ному значению параметра р и учитывая, что отношение сигнал/шум
велико, будем полагать в дальнейшем
Уравнения фильтрации совпадают по форме с уравнениями (3.79)
(3.81)
(3.109)
= хА+1 zk+i (Afft)---------^k+iMk-------
k м-i м 1 + p2 + %ft(1_a)2>
% P2 + xfe(l—a)2
*+1 l + p2 + %ft(l-a)*’
где
zk+l (Mh) = -%- f x(t) sin (at + Mft) dt\
Ax J
2 2.
nh=mkq ,
2 i 2 2 i 2 2 22
P = b'l^q = bp0,pQ = (j^q •
Таким образом, все выводы, касающиеся структуры
(3.110)
(3.111)
(3.112)
приемника
и коэффициента усиления к, сделанные в разделе «линейная фильтра-
ция», остаются справедливыми и в данном случае. Параметр р2 имеет
значение (3.112). Необходимо отметить, что все величины в соотноше-
ниях (3.111), (3.112) — безразмерные. Зависимость установившегося
4 Зак. 213 97
значения х от р2 представлена на рис. 3.5. Блок-схема следящего из-
мерителя соответствует рис. 3.3, б.
В крайних случаях имеем следующие результаты (аТ1).
«Большая» апостериорная дисперсия:
kMk==nzk+\ (Mk)—aTMK,
х=/2аТо^, (3.113)
---- а
т2 = У 2аТ *
Рис. 3.14. Оптимальный демодулятор ФМ импульсных колебаний. Случай
«малой» апостериорной дисперсии.
Пунктиром показана связь, возникающая в случае «большой» апостериорной дисперсии.
«Малая» апостериорная дисперсия:
= Г(З.Н4)
2аТд2 а‘
Единственная операция над входными данными, входящая в урав-
нения (3.109), заключается в формировании величины 2*4.1 (Mft),
определяемой соотношением (3.110). Отметим, что если шумы во вход-
ных данных отсутствуют, то
г*+1(Л4) = ^+1)-М*, (3.115)
гдецо*+1) — истинное значение р в(& + 1)-м такте.
Оптимальная дискретная система, демодулирующая фазо-моду-
лированный импульсный сигнал в случае «малой» апостериорной
дисперсии, представлена на рис. 3.14.
Оптимальная система содержит следующие элементы:
— фазовый детектор с опорным напряжением
—sin (со/ + Mh)t
где Mk — оценка фазы входного сигнала в k-м такте;
— фильтр, согласованный с формой импульса;
98
— селектор, осуществляющий выборку выхода фильтра в конце
импульса;
— устройство деления на амплитуду А, функции которого мо-
жет осуществлять регулировка усиления;
— регулятор коэффициента усиления в петле обратной связи,
устанавливающий коэффициент усиления х в соответствии с уравне-
нием (3.83) при ро = <72<Тц. В частных случаях х определяется уравне-
ниями (3.113), (3.114). Коэффициент х регулирует эквивалентную по-
лосу следящей системы в зависимости от уровня шума на выходе со-
гласованного фильтра, количества замеров в полосе изменения вход-
« 2
ного воздействия и дисперсии
— сглаживающую цепь, состоящую из сумматора;
— устройство управления фазой колебаний опорного гене-
ратора.
Таким образом, типовая схема слежения за фазой (схема подстрой-
ки фазы колебаний опорного генератора под фазу входного колебания)
при правильно выбранном коэффициенте усиления является оптималь-
ной схемой демодуляции.
Рассмотрим, в заключение, каким образом получается ошибка
фильтрации (3.113).
Оптимальный дискриминатор рис. 3.14 в отсутствие шумов дает
нормированный сигнал ошибки
где — известное значение фазы опорного колебания в (k + 1)-м
такте.
Вместе с тем, уровень шума на выходе дискриминатора с учетом
операции деления на амплитуду А равен
2 _ q *т 1 __ 1 2 Т
---= —, а2 =--------.
тЛ2 я2 2N
Таким образом, на выходе дискриминатора имеется дискретный
гауссовский процесс с дисперсией о2 и экспоненциальным коэф-
фициентом корреляции и дискретный шум с дисперсией а2.
Фильтрующая система, выполненная в виде следяющей системы,
должна иметь коэффициент усиления, определяемый в случае «боль-
шой» апостериорной дисперсии соотношением (3.86) и равный
/2aT_Zt.
Таким образом, коэффициент усиления должен быть записан в
виде
У^аТо^А р/
что совпадает с (3.113).
4* 99
Ё основе выбора коэффициента усиления лежит, следовательно,
зависимость эквивалентной полосы оптимального линейного фильтра
от отношения сигнал/шум.
Система замыкается, если положить d*+i = Mh. Эффективная
полоса системы равна половине коэффициента усиления, поделенного
на время такта:
С другой стороны, величина о2п = llq2 характеризует ошибку еди-
ничного замера, которую в дискретной системе можно представить в
виде меандров длительности Т, имеющих случайные амплитуды, рас-
пределенные по нормальному закону с нулевым средним значением
и дисперсией Спектральная плотность мощности в районе нулевых
частот такого сигнала равна в2пТ = Tlq2. Поскольку сглаживающая
единичные замеры часть следящей системы имеет узкую полосу по
сравнению со спектром меандров сигнала ошибки, величина выход-
ной ошибки равна произведению спектральной плотности на нулевой
частоте, умноженной на эффективную полосу
Т г----- 1 а,. г---
= -г /2а Т ар. q /2аТ,
Ч 1 ч
что совпадает с (3.113).
3.12. ИЗМЕРЕНИЕ ЗАДЕРЖКИ НЕКОГЕРЕНТНЫХ ИМПУЛЬСОВ
Предположим, что принимаемый сигнал состоит из повторяющих-
ся импульсов, каждый из которых задержан относительно своего сред-
него положения на величину р, так что в (£)-м такте сигнал имеет вид
Лз (/—р<*>) cos [со/ + f (t - - р<*>) + <pft], (3.116)
где А — амплитуда сигнала; со — несущая частота; <pft — случайная
начальная фаза; s(t), f(t) — полезные амплитудная и фазовая модуля-
ции; р<*>—выборочное значение случайного процесса р(/), представ-
ляющего изменение задержки в зависимости от времени.
Процесс р(/) предполагается гауссовским и марковским и опреде-
ляется уравнением
^ + ар = г/(/),
где y(t) — белый шум с мощностью на единицу полосы частот L.
Дисперсия р равна <Тц = Lila.
100
Логарифм функции правдоподобия в (k + 1)-м такте вычисляется
по обычным правилам
F(*+D(p) = ln 10
lk+l+r
J х (/) s (t—р) ехр (jcof) di ~
(k+\
где
'А+1+Г
J х (/) s (t — р) ехр (/со/) dt
s(t—p) = s(/ —p)exp jf(t — p)
(3.117)
(3.118)
—комплексная огибающая сигнала.
Рассмотрим структуру логарифма функции правдоподобия. Если
в (& + 1)-м такте
х(/)=п(/)+ у [s(Z—р0) ехр (/со/+/ср) + s*(/—р0)ехр(—/со/ —/ср)],
ТО
F(*+1) (р) = Q21R (р—Ро) + ev (р) |,
(3.119)
где
1 _ Л2т
е2 — 2У
— отношение сигнал/шум по мощности;
т = § s2 (I) dt,
R(p — Ио) =у Js(/—p)s*(/—n0)dt
— нормированная автокорреляционная функция сигнала;
'a+i+t
J n(/)s(/—р)ехр [/(со/+ ср)] d/
— гауссовский процесс с нулевым средним и единичной дисперсией.
Учитывая малость е, можно представить (3.119) в виде
Я+1(и)=^|Р(и_Ио)||1+^)|~
[|R(p,_ ро) | + е Re v(p)]. (3.120)
Предположим, что в окрестности р0 нормированная автокорре-
ляционная функция может быть представлена в виде
|R(p-Po| = l—^(р-ро)2, (3.121)
где у—полоса зондирующего сигнала.
101
Тогда
[_T8(H—Ho) + eRe'v(n)b
a+n (3-122)
= <?2 [—Y2 + 6 Re"v (ц)].
Из (3.122) следует, что шумовой член во второй производной ло-
гарифма функции правдоподобия мал по сравнению с сигнальным
членом. Поэтому можно приблизительно считать, что
ф2 (М) ~—q* Y2. (3.123)
Аналогичное пренебрежение в первой производной невозможно,
так как сигнальная часть там пропорциональна разности (ц — |х0)
и сама мала.
Уравнения фильтрации для случая следящего измерения по форме
совпадают с (3.109), причем
Zft+i (Afft) = -y
т2
d 2
dp At
tk+i+т
J x (t) s (t—p) ex p (/co/) dt
4Z*4-1
Xk=m2kq2y2, (3.124)
2 2 . 2 2 2 .
p = pQb=q ap.y b.
Установившееся значение x определено соотношением (3.83).
Блок-схема измерителя соответствует рис. 3.3, б.
Имеют место следующие крайние случаи.
Если
2а7Уа*у2<1 W).
то возникает вариант «большой» апостериорной дисперсии, для кото-
рого
х = 1 2аТ(?сгм,'у, /п2 = |Л2а7'—, (3.125)
AMft -=xzA+i (Mh)—aTMh.
Если 2aTq2 Оцу2^ 1, то возникает вариант «малой» апостериор-
ной дисперсии, для которого
1
2аТ<72 а2 у2
//I. ——----------- ,
2а Tq2 у2
ДЛ4й = хг&+1 (Л4Й).
(3.126)
102
Соотношения (3.125), (3.126) представляют крайние варианты схе-
мы следящего измерителя задержки.
В частности соотношение (3.126) может быть моделировано с по-
мощью простой дискретной следящей системы, представленной на
рис. 3.15.
Следящая система содержит следующие основные элементы:
— устройство, вычисляющее нормированный сигнал ошибки в
(k + 1)-м такте, называемый иногда единичным замером.
Рис. 3.15. Система, следящая за^задержкой импульсов. Случай «малой» апо-
стериорной дисперсии.
Пунктиром показана связь, возникающая в случае «большой» апостериорной дисперсии.
В отсутствие шумов выход этого устройства равен
Д/Г
РО —
где р^+1)—значение задержки в + такте;
— умножитель на коэффициент х;
— сумматор;
— линия задержки на такт.
В общем случае блок-схемы измерителей соответствуют рис. 3.3.
при определении параметров х и р2с помощью соотношений (3.124).
3.13. ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРИМИНАТОРЫ ИЗМЕРИТЕЛЯ
ЗАДЕРЖКИ
Рассмотрим подробнее структуру дискриминатора задержки.
Оптимальный дискриминатор в измерителе задержки осуществля-
ет операцию (3.124).
^4-1 =
2 d
у2 Дт dp
J х (t) s (t — р) ехр (/со/) dt
^4-1
Радиотехническая интерпретация соотношения (3.124) может быть
сделана двумя способами.
В первом случае модуль интеграла вычисляется с помощью согла-
сованного фильтра и линейного детектора. Выход детектора затем диф-
103
ференцируется. Эту последнюю операцию можно осуществить с по-
мощью двух узких стробов, задержанных на небольшое время относи-
тельно друг друга.
Деление на амплитуду сигнала А осуществляет быстродействую-
щая схема регулировки усиления приемника. Операция деления на
амплитуду А называется обычно нормировкой.
Узкие селекторные
Рис. 3.16. Дискриминатор задержки с согласованным фильтром.
Выход следящей системы управляет в этом случае положением
6-стробов. Описанная схема представлена на рис. 3.16.
Другой способ осуществления операций (3.124) связан с построе-
нием двухканального коррелятора. В каждом канале коррелятора
производится демодуляция принимаемого сигнала с помощью умноже-
ния на задержанный образец и узкополосной фильтрации (на проме-
Рис. 3.17. Корреляционный дискриминатор задержки.
жуточной частоте). ‘Регулировка усиления обеспечивает деление на
амплитуду сигнала. Выходы фильтров детектируются линейными де-
текторами, селектируются и вычитаются. Опорные напряжения в ка-
налах сдвинуты относительно друг друга на небольшой сдвиг по вре-
мени Д. Управление моментами появления опорного напряжения осу-
ществляется с выхода следящей системы. Корреляционный дискри-
минатор представлен на рис. 3.17.
104
Практические схемы дискриминаторов весьма разнообразны. По-
вторяя в основе описанные два типа, они отличаются в большом коли-
честве деталей, связанных с выбором задержки Д, способом нормиров-
ки, способом получения опорных сигналов и т. д. Эти вопросы здесь не
рассматриваются.
3.14. ИМПУЛЬСНАЯ ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ.
НЕКОГЕРЕНТНАЯ НЕСУЩАЯ
Предположим, что несущая частота периодической последователь-
ности импульсов меняется от импульса к импульсу, причем ее значения
образуют выборки из гауссовского марковского процесса р(/), опреде-
ляемого дифференциальным уравнением
^ + ар=^(0,
где y(i) — белый шум с мощностью на единицу полосы частот L, так
что Оц = £/2а.
В (£)-м такте принимаемый сигнал может быть записан в виде
Xs (i—tk) cos (<i>t 4- Ц(t + Ф&),
где A — известная амплитуда; s(t — tk) — прямоугольный импульс
с единичной амплитудой длительности т, начинающийся в момент th;
со — центральная круговая частота; <pfe — начальная фаза.
Необходимо различать случаи когерентной и некогерентной не-
сущей. Для некогерентной несущей начальные фазы независимы от
такта к такту.
В случае некогерентной несущей при приеме в белом шуме с мощ-
ностью на единицу полосы частот N функция правдоподобия в 1)-м
такте определяется соотношением
^4-1+т
J x(t)s(t—tk+i) ехр(ja>t + /р(*+1)0dt
*А-Н
При большом отношении сигнал/шум логарифм функции правдо-
подобия имеет вид
F(*+D(u) = A
N
**4-1+’
J S (/—/A+i)x(Z)exp(jW + jpO^
^+1
(3.127)
Если, как и в других задачах, пренебречь шумовым членом во вто-
рой производной от логарифма функции правдоподобия, то
= -^. (3.128)
105
Нормированная сигнальная функция имеет вид
I s*n (М'~~Но) т/2
I (р — р0) т/2
В2
~1_(и_Цо)2±_,
(3.129;
№ = т2/12.
Уравнения фильтрации определены соотношениями
в которых
гА+, (Л4) =
d 2
dp ft2 Ar
f x (/) exp [/ (co 4- p) /] dt
J
z*+i
(3.44),
(3.131)
Kh=m.kq2 b, p2 = p2b—q2 o2^2 b.
x(t)
Mk
Вычисление
- нормированного сигнала
оидивки 8 (к+1)-м такте
Задержка}
на такт I
Рис. 3.18. Система, следящая за несущей частотой импульсов.
Установившееся значение х определено соотношением (3.83). В
крайних случаях «большой» и «малой» апостериорной дисперсии
х = ]/2а7доц ft, т2, = ]Л2аТ-у .
=1________, ,____________\ <3-132’
Х ZaTq2o2$2 ’ 2аTq* № *
Соотношение (3.131) определяет способ получения нормирован-
ного сигнала ошибки. В отсутствие шумов
2й+1=р^+1)-мй.
В стационарном случае и для «малой» апостериорной дисперсии
оптимальный фильтр имеет вид следящей системы, представленной на
рис. 3.18,
Система выделения среднего апостериорного значения несущей
частоты импульсов содержит следующие основные элементы:
— устройство, выделяющее нормированный сигнал ошибки в
(k + 1)-м такте, управляемое выходом Mk\
— умножитель на коэффициент х, обеспечивающий правильный
выбор полосы фильтрации;
— сумматор.
106
Рассмотрим подробнее устройство формирования нормирован-
ного сигнала ошибки, которое должно осуществлять над входными
данными операцию (3.131).
Одна из возможных интерпретаций соотношений (3.131) состоит
в том, чтобы сформировать дискриминатор с помощью двух расстроен-
ных на интервал частот Д приемников; один канал настроен на часто-
ту со + Д/2, другой — на частоту со — Д/2. Каждый канал состоит
из согласованного с прямоугольным импульсом фильтра, линейного
детектора, селектора, осуществляющего временную выборку в конце
импульса, устройства деления на амплитуду сигнала А.
Рис. 3.19. Оптимальный частотный дискриминатор.
Выходы каналов вычитаются. Описанное устройство изображе-
но на рис. 3.19.
Существует большое число различных вариантов двухканального
частотного дискриминатора, различающихся важными техническими
деталями. Эти варианты здесь не рассматриваются.
3.15. ИЗМЕНЕНИЕ УГЛОВОЙ КООРДИНАТЫ
С ПОМОЩЬЮ АКТИВНОЙ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ
Рассмотрим задачу измерения угловой координаты цели, находящейся
в одной плоскости с линейной решеткой.
Геометрические соотношения представлены на рис. 3.20. Координаты
элементов антенной решетки равны d_p, d0, d1}. ..,dp при общем числе
элементов 2р + 1
Падающая волна модулирована прямоугольными импульсами длительно-
сти т, причем т значительно больше задержки на апертуре решетки, так что мож-
но считать, что в (^)-м такте все импульсы одновременно приходят на элементы
решетки. Вместе с тем, фаза высокочастотного колебания, принимаемого /-м
элементом, равна
2л
ф+^ у sin -ф,
где ф — угол падения волны; (р — фаза колебания элемента с координатой
d0 = 0, которая в дальнейшем считается случайной.
Каждый элемент решетки содержит антенну и приемник, собственные шумы
которого складываются с принимаемым сигналом.
107
В силу независимости шумов элементен логарифм функции правдоподобия
в (k)-M такте имеет вид
2 j xi ех₽ о® о ех₽
l=-p fk
(3.133)
где А — амплитуда импульса; N — мощность шума на единицу полосы в каждом
приемнике; со — несущая частота; X — длина волны; xi(f) — сумма сигнала и
шума в Z-м элементе решетки.
Рис. 3.20. Линейная решетка и линейный фронт падающей волны.
Соотношение (3.133) справедливо для большого отношения сигнал/шум
Л2т(2р+1)
4JV *
Сигнальная часть логарифма функции правдоподобия равна
А2 т
2N
Р
2 ехР
i=-p
i dl (н—Цо)
(3.134)
и пропорциональна диаграмме направленности решетки. В
для равномерной решетки di = Id сигнальная функция равна
частности,
Д. 2л
где
А2 т
2W
1+2 2cos у (и “’ Но)
= 2<?2
sinfe(p,—р,0)
k (Ц—Но)
(3.135)
А2 т
92=-^Г(2р+,);
nd jt
k = — (2p + \)= —D;
(3.136)
D — апертура решетки.
Таким образом, для 1
функции правдоподобия имеет вид
равномерной решетки сигнальная часть
логарифма
1 / лЩ2 (И—Ио)2 1
3 \ М 2 J
(3.137)
Пренебрегая, как и раньше, шумовой частью во второй производной ло-
гарифма функции правдоподобия, получим
Г d2 F^k+1 2 ( лР\2 1
L dp2 _м \ A, j 3
(3.138)
108
Предположим теперь, что — выборка из гауссовского марковского
случайного процесса, удовлетворяющего уравнению
-7- + аи = ^/(0,
at
аи = L/2a.
И
Уравнения фильтрации совпадают
с соотношениями (3.44), в которых
3 / % \2 1
гк+1 (М)= Я2 у D ) (2Р +1)
,(*+!)
г1
(3.139)
2 '* + 1+Т
г(А+1)_ С яг (<) ехр (/®0 Л.
' Ат J
Рис. 3.21. Оптимальный угловой дискриминатор.
Вычисление производной в (3.139) может быть приближенно выполнено
с помощью соотношения
_1_
Д
2л
X
Р г
2ехР i
—р L
(3.140)
Устройство, осуществляющее операцию (3.140), представлено на рис. 3.21.
Дискриминатор состоит из (2р + 1) каналов. Каждый канал (например,
канал с номером Z) содержит:
— фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом длительности т;
109
— фазовращатель с управляемым сдвигом фазы на величину
dl
%
— фазовращатели с фиксированными сдвигами фаз
dl Ь dl Д
2л —------, — 2л —----.
X 2 X 2
Кроме того, в дискриминаторе имеются:
— сумматоры колебаний с выходов фазовращателей во всех каналах;
— детекторы огибающих;
— селекторы в момент окончания импульса в (k + 1)-м такте;
— устройство вычитания.
Рис. 3.22. Схема измерителя угловой координаты.
На выходах двух детекторов формируются две диаграммы направленно-
сти, раздвинутые на угол Д.
Управляемые фазовращатели обеспечивают поворот пары диаграмм на ве-
личину М.
Полная схема измерителя угловой координаты представлена на рис. 3.22
для случая «малой» апостериорной дисперсии и содержит: дискриминатор, блок
нормировки, умножитель на коэффициент х ^идеальный сумматор.
На выходе устройства нормировки формируется гь+1(Л4ь). В отсутствие
шумов
где
Установившийся коэффициент усиления определен соотношением (3.83),
9 2 9 9 / nD \2
ро = Тст^ (т
(3.141)
В случае «большой» апостериорной дисперсии
/аТ D
_______________ 1 о.. / X
щ2 = / ЗаТ-------------- —
л q \ D
В случае «малой» апостериорной дисперсии
2 2 9 9 / D \2
тя (т)2аГ
з 1 J/jLV
2 ла q3 \ D J ’
ПО
3.16. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ СИНТЕЗА
ОДНОМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
В разд. 3.7 — 3.15 рассмотрены примеры синтеза дискретных одно-
мерных систем в случае гауссовского марковского процесса р(/) при
различных видах модуляции, основанные на общих соотношениях
разд. 3.4. Основные результаты можно суммировать следующим об-
разом.
1. Оптимальный измеритель можно представить в одном из трех
вариантов — неслядящий измеритель, следящий измеритель, следя-
щий измеритель с экстраполяцией. В варианте неследящего измерите-
ля сигнал ошибки вычисляется относительно некоторой заранее вы-
бранной фиксированной точки М. В следящем измерителе вычисление
сигнала ошибки производится относительно предыдущего замера вы-
деляемого процесса Мк. В следящем измерителе с экстраполяцией
сигнал ошибки вычисляется относительно экстраполированной оценки
Мк.
2. Вычисление экстраполированной оценки производится в соот-
ветствии с соотношением
Mk=Mk ехр (—аТ),
т. е. таким же образом, как связано среднее значение априорного про-
цесса |i(/) в момент tk^i < >, вычисленное при фиксированном
|х<*), с величиной Физический смысл экстраполяции очевиден;
располагая упомянутым априорным соотношением, система произ-
водит предсказание, выбрав в качестве экстраполированной оценки
условное среднее <рЛ+1 >, причем вместо начального условия p(ft)
берется апостериорное среднее в предыдущем такте Mk.
3. Блок-схема измерителей включает дискриминатор — единствен-
ный элемент, зависящий от вида модуляции в канале связи. Опти-
мальный нормированный дискриминатор выполняет операцию
_ dF^k+l)(n) / d2 (р) 1
du / dfi2 ]м ’
4. Коэффициент усиления хй, на который умножается сигнал ошиб-
ки с выхода дискриминатора, зависит от номера такта k и может быть
вычислен в соответствии с найденным рекуррентным уравнением.
5. В отсутствии априорных сведений на первом такте работы си-
стемы = 1 и исходя из этого начального условия коэффициент уси-
ления стремится к установившемуся значению х с некоторой постоян-
ной времени.
6. Величина х определена кривыми рис. 3.5 в зависимости от пара-
метра аТ и обобщенного параметра
р2 = Ро (1 — ехр(—2аТ)).
Параметр ро имеет следующее значение: Оц/оп — отношение мощ-
ности информационного процесса к мощности входного шума в зада-
111
че линейной фильтрации, о^Лг2 (о2 = 2Л77т) — отношение мощности
информационного процесса к мощности на выходе радиочастотной час-
ти приемника в задаче фильтрации ИАМ колебаний, о^2%2 — в за-
дачах фильтрации ИФМ, ИЧМ колебаний и колебаний с модуляцией
импульсов по положению. В этих задачах:
Оц — мощность информационного процесса, q2 — отношение сиг-
нал/шум по мощности на выходе радиочастотной части схемы, % —
величина, обратная ширине пика автокорреляционной функции сиг-
нала с соответствующей модуляцией, причем % = 1 для ИФМ, % =
= x/j/12 (т — длительность импульса) для ИЧМ, % — полоса, зани-
маемая импульсным сигналом в системе с модуляцией импульсов по
положению.
7. Следует выделять два кр айних случая фильтрации.
Если ширина плотности вероятности перехода Оц(1 — ехр(—2а7'))
„ 2
значительно меньше ширины апостериорной вероятности т. е.
если
р2< Xfc.
то имеет место случай «большой» апостериорной дисперсии. Для мед-
ленных информационных процессов, для которых аТ<^1’(т. е. изме-
нение процесса за такт Т мало), область «большой» апостериорной дис-
персии определяется неравенством
2aTpg<l.
Таким образом, в зависимости от медленности процесса р,(/) слу-
чай «большой» апостериорной дисперсии может получаться при доволь-
но больших значениях параметраро.
Установившийся коэффициент усиления определен здесь соотно-
шением
х = /2аТр0<1.
При малых значениях параметра р0 коэффициент усиления стре-
мится к нулю.
8. Противоположный случай «малой» апостериорной дисперсии
возникает, если ширина плотности вероятность перехода значительно
больше ширины апостериорного распределения
Для медленных информационных процессов область «малой» апос-
териорной дисперсии определена неравенством
2аТ р02 у 1.
Таким образом, условием «малой» апостериорной дисперсии яв-
ляется требование очень больших значений ро.
112
Установившийся коэффициент усиления определен здесь соотно-
шением
™ А---------7)
2а7'р0
При очень больших значениях ро коэффициент усиления х стре-
мится к единице.
9. Уравнение фильтрации в крайних случаях «большой» и «малой»
апостериорных дисперсий упрощается.
В случае «большой» апостериорной дисперсии уравнение следя-
щего измерителя имеет вид
=Mh -|-xZfej_i (Mh)— аТМ^.
При очень малых значениях ро 1 система отключается от вход-
ных данных и оценка формируется в соответствии с априорным урав-
нением
Мн-i = /W*=Mft(l—аТ).
Для «малой» апостериорной дисперсии при больших ро
Жн =Л1й + хг*+1 (Mk).
При очень больших ро коэффициент усиления равен единице и
входные данные не фильтруются. Например, для линейной фильтра-
ции
Mk+i =X*4-i.
10. Ошибка измерения параметра определена соотношениями:
/и2 = хог„ — для линейной фильтрации;
/и2 = хо„ — для фильтрации НАМ колебаний (<т„ = 2Nh);
m2 = я/<?2%2— для фильтрации ИФМ, ИЧМ колебаний и при
модуляции импульсов по положению.
В крайних случаях «большой» и «малой» апостериорных диспер-
сий соответственно
t___о 1
т2=]^2аТ — , т2=-^.
41 Я2 X2
Зависимость дисперсии ошибки от отношения сигнал/шум q2 и
величины, обратной ширине автокорреляционной функции сигнала
%, в варианте «малой» апостериорной дисперсии повторяет формулу
Вудворда. Этот результат очевиден, поскольку здесь х = 1, система
осуществляет «безынерционную» передачу данных и ошибка «фильт-
рации» равна ошибке единичного замера.
Зависимость ошибки от параметров аТ, ом, q, х в варианте «ма-
лой» апостериорной дисперсии более сложная и возникает в резуль-
тате прохождения единичных ошибок с выхода дискриминатора через
линейный фильтр с полосой, выбранной в зависимости от отношения
сигнал/шум, как это объяснено в разд. 3.11.
из
3.17. ФИЛЬТРАЦИЯ РЕГУЛЯРНЫХ СИГНАЛОВ
Предположим, что наблюдаемое значение xk является суммой сиг-
нала и шума
xk = (3.142)
где nk — выборки гауссовского шума с нулевым средним и дисперсией
о2.
Выборочные значения сигнала удовлетворяют рекуррентному
соотношению
=фь + (3.143)
<pft, фй — заданные последовательности.
Рис. 3.23. Оптимальный фильтр для выделения регулярного сигнала.
В соответствии с (3.143)' плотность вероятности перехода имеет
вид
№(ц<*),н(*+1)) = 8[Н(А+1)—ф*Р(А) —(3.144)
Пользуясь (3.144), можно получить рекуррентные уравнения для
апостериорных моментов
44*4-1 =x*4-i [х*4-1—ф&44*—ф*] +<р*Мк + ф*, (3.145)
где xfc=m*/on—нормированная апостериорная дисперсия.
Уравнению (3.145) соответствует уравнение следящего измерите-
ля с экстраполяцией
44*+i = х*+, [x*+i —Л4*] + А4*,
Л4А=Ф*Л4*+фл. (3.147)
Экстраполяция производится в соответствии с априорным соот-
ношением (3.143).
Блок-схема фильтра представлена на рис. 3.23. Алгоритм работы
схемы следующий. В соответствии с (3.146) в каждом такте вычисля-
ется нормированный коэффициент усиления x*-f.i и экстраполирован-
114
ная оценка Мк. Для вычисления оценки на (k + 1)-м такте сигнал
ошибки (ха+1 — ЛД) умножается на коэффициент усиления и резуль-
тат складывается с Mk.
Из формулы экстраполяции следует, что нормированная диспер-
сия экстраполированной оценки равна
Рис. 3.24. Измерение постоянного параметра.
Рассмотрим несколько примеров.
В случае постоянного параметра
MA+1 =X44-i (хк—МА)+МА.
Mh = Мк,
nk+i = xft/(l-|-xft).
Заменой ий = 1/хй последнее уравнение сводится к линейному
Uk+l = 1 + uh, uh = u0 + k,
откуда
*fe = Xo/(i +^ok), н0 = 1/и0.
В отсутствии априорных данных решение ^методом максималь-
ного правдоподобия имеет вид
что формально соответствует условию ы0 = 0, х0 = оо.
На рис. 3.24 представлена блок-схема устройства измерения по-
стоянного параметра по зависимости коэффициента усиления от коли-
чества тактов работы при различных априорных дисперсиях.
115
Отметим, что ошибка измерения постоянного параметра стремится
к нулю при увеличении числа замеров.
Предположим, что априорное уравнение имеет вид
р(*+1) = и(*)ехр(аТ). (3.150)
Тогда =х*+! (x*+i—Мк)~1-Мк, Mh = Mkexp(aT), (3.151) ехр (2аТ) т 1 +xft ехр (2аТ)
Экстраполяция производится в соответствии с априорными соот-
ношениями.
Уравнение для коэффициента усиления подстановкой uh — \/кк
приводится к виду
j = uk ехр (2аТ) ± 1. (3.152)
Решение (3.152) при начальном условии и0 = 1/х0 имеет вид
1 к~1
uh = ехр (— 2аТ) I У, ехр [2аТ (у ± 1)] ± и0
I v=o
откуда
xft =---------------.
, , 1—ехр (—2aTk)
ехр (-2.ТЦ+,. ,_.4',_м.[1
В отсутствии априорных данных х0 = оо и
х 1—ехр(—2«Т)
h 1—ехр (—2aTk)
(3.153)
(3.154)
Поведение коэффициента усиления xft с увеличением номера такта
К зависит от знака параметра а.
Если а > 0, то экстраполяция производится с возрастающей экс-
понентой и коэффициент усиления стремится к конечному пределу
limxft = l—ехр(—2аТ). (3.155)
k-+OO
Если а < 0, то экстраполяция производится с убывающей экспо-
нентой и коэффициент усиления стремится к нулю
limxfe = 0. (3.156)
&->оо
Зависимость коэффициента усиления от числа замеров для слу-
чаев убывающей и возрастающей экспонент (аТ = ±0,1) представле-
на на рис. 3.25.
Различное асимптотическое поведение коэффициента усиления
(ошибки фильтрации) можно объяснить следующим образом.
116'
Ошибка экстраполяции и соответствующий «экстраполированный»
коэффициент усиления определены соотношением (3.148). В зависимос-
ти от вида функции <р2 «экстраполированный» коэффициент усиления
х*+1 может быть больше, меньше или равен коэффициенту усиления
xft в предыдущем такте. Если «экстраполированный» коэффициент уси-
ления вычислен, то коэффициент усиления в (k + 1)-м такте опреде-
ляется из соотношения (3.149). Из (3.149) следует, что
1 <Z Kk-
Рис. 3.25. Зависимость коэффициента усиления от числа замеров для сигнала
^<*+0 = р*ехр (аТ).
Уменьшение коэффициента усиления объясняется использова-
нием дополнительной информации о параметре р(/), полученной в
(k + 1)-м такте.
В зависимости от вида функции <р2 изменение коэффициента уси-
ления за счет экстраполяции может быть компенсировано уменьше-
нием коэффициента усиления при получении информации. Типовые
случаи представлены на рис. 3.26. Рис. 3.26, а соответствует случаю
постоянного параметра р, для которого «экстраполированный» коэф-
фициент усиления равен коэффициенту усиления в предыдущем такте
ф2 = 1, xft=xft.
В результате
xA+i=xft/(l+xft)
и изменение коэффициента усиления происходит в соответствии с фор-
мулой
xft = l/^.
На рис. 3.26, б представлен случай, когда экстраполяция произ-
водится по формуле (3.151) с возрастающей экспонентой (а>0). При
этом хй > xft.
В пределе (при больших k) увеличение xft компенсируется умень-
шением за счет операции xft/(l + хй). Таким образом появляется от-
117
личное от нуля предельное значение установившегося коэффициента
усиления
и — 1—ехр(—2а7’).
Нетрудно видеть, что для убывающей экспоненты (а < 0) оба
фактора действуют в сторону уменьшения и, следовательно, предель-
ное значение равно нулю (рис. 3.26, в).
Рис. 3.26. Процесс установления коэффициента усиления:
а — постоянный параметр; б — возрастающая экспонента; в—убывающая экспонента.
Исходя из вышеизложенного, можно считать, что ошибка фильтра-
ции регулярного сигнала не убывает до нуля в случае, если
Если
Птф|>1.
&->оо
!Итф2 < ь
&~>ОО
то ошибка фильтрации стремится к нулю.
3.18. ФИЛЬТРАЦИЯ РЕЛЕЕВСКОГО ПРОЦЕССА [3.7]
Рассмотрим работу дискретных систем, осуществляющих фильт-
рацию !релеевского, марковского процесса, удовлетворяющего урав-
нению (3.11).
Финальная апостериорная вероятность удовлетворяет рекуррент-
ному уравнению (3.37), в котором плотность вероятности перехода
имеет вид (3.14).
Для того чтобы найти рекуррентные уравнения для апостериор-
ных моментов, предположим, что апостериорное распределение можно
представить в виде распределения Райса:
Qk ' ak
(..2 t ~2’
(3.157)
В случае 1 представление (3.157) соответствует гауссовс-
кой аппроксимации апостериорного распределения,
118
Подставляя (3.14), (3.157) в (3.11), производя интегрирование,
пользуясь условием > 1, логарифмируя полученное соотноше-
ние и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях разности
(р —Мк) в разложении логарифма в ряд Тейлора, получим следую-
щую систему уравнений:
Mfe-f-1 =X*4-1 Zk+l (Mt) -j-М/г,
M,=rakA(r-^] + ^,
\ а2 / Мк
* _ J _|___{____।_1 Q / г Як Як
**+1 Ьр2+ гхк 'Щ (6p2+r2xft
(3.158)
(3.159)
(3.160)
Здесь Мк—апостериорное среднее; Мк—экстраполированное среднее;
2 [ d2 Ftfe)'
Хь = —nik —j-»— -
1. dp2 jMfe
2
Ш/г—апостериорная дисперсия;
— нормированный коэффициент усиления;
„2 „2
Р —
' d2 Fw 1
dp2 jAffe ’
2*4-1 (М/г)
' dFw
dp
dp2 jAffe
d2 ’
—нормированный дискриминатор,
F(fe) (ц)—логарифм функции правдоподобия;
Og=L/2p—параметр фильтруемого процесса;
г = ехр(—₽Т); 6 = 1—ехр(—2рТ);
о2 = 6стц = /-2 ml;
ql = -M2k
ql = -M2k
'd2 F^k+1^
dp2
ак — Мк(\—т2к/'2М‘ку,
А(.х) = 11(х)Цй{х);
В (%) = 1 — AW. _ AW + [{iW. % 12
/.W ZoW UoW J
/o> h, 11—функции Бесселя от мнимого аргумента.
Зависимости А(х), В(х) представлены на рис. 3.27.
Блок-схема следящего измерителя с экстраполяцией изображена
на рис. 3.28. Работа этого измерителя осуществляется следующим
образом.
119
Вычислитель коэффициента усиления х^+1 формирует значение
x*+i. Для этого на вход вычислителя поступают величины xft, Mk,
Mh. Зависимость алгоритма вычисления x^i от величин оценок Мк,
Mh является характерной особенностью данного измерителя. Сигнал
ошибки с выхода дискриминатора умножается на коэффициент
Рис. 3.27. Функции А и В.
x*4-i и складывается с экстраполированной оценкой Mk, образуя
оценку Mk+i. Последняя задерживается на такт и поступает на
экстраполятор, формирующий Mk.
Наибольший интерес представляет алгоритм экстраполяции и по-
ведение установившегося коэффициента усиления х в зависимости от
Рис. 3.28. Следящий измеритель с экстраполяцией для выделения релеевского
процесса.
различных параметров. Если такт работы системы мал по сравнению
с временем корреляции процесса р.(/) и отношение сигнал/шум доста-
точно велико, аргумент функций А и В достаточно велик
и поэтому
raA Mk
'2 mk+ba^.
_____1_
2 4х‘
120
Полагая 1/х малым параметром и удерживая по нему лишь пер-
вое приближение, получим следующий алгоритм экстраполяции:
Mk=rMk 1 4
bo2 \
р- )
2г2 M2k)
(3.161)
Экстраполированная оценка получается в соответствии с зави-
симостью условного среднего при условии, что фиксиро-
вано р.<4), усредненного с апостериорным распределением в (&)-м так-
те от Mh.
Рис. 3.29. Зависимость установившегося коэффициента усиления от парамет-
ров <р, р2.
Если эквивалентная постоянная времени соотношения (3.160)
существенно меньше времени корреляции процесса ц(/), то соотноше-
ние (3.160) допускает установившееся решение, зависящее, однако,
от текущего отношения сигнал/шум:
4k^Qk-
Соответствующие зависимости, найденные численным решением
трансцендентного уравнения, представлены на рис. 3.29.
При очень больших значениях р2 коэффициент хне зависит от р2.
Его асимптотическое значение (р2-> оо) определяется величиной q2.
121
Литература
3.1. СтратоновичР. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций
в радиофизике. Изд-во «Советское радио», 1961.
3.2. СтратоновичР. Л. Условные процессы Маркова. «Теория
вероятностей и ее применения», 1960, № 2.
3.3. СтратоновичР. Л. Применение теории процессов Маркова
для оптимальной фильтрации сигналов. «Радиотехника и электроника», 1960,
№ 11.
3.4. Амиантов И. Н., Груздев В. В. Оптимальные дискрет-
ные системы фильтрации нескольких параметров. «Радиотехника и электрони-
ка», 1971, № 2.
3.5. Амиантов И. Н., Заболотских В. Г. Синтез много-
мерных .дискретных систем. МЭИ. Докл. НТК, секция радиотехническая,
1969.
3.6. Кульман Н. К. Помехоустойчивость импульсных систем пере-
дачи марковского случайного процесса. «Вестник МГУ», 1966, № 2.
3.7. Амиантов И. Н., Заболотских В. Г. Оптимальные
дискретные системы для выделения сигналов с релеевским параметром. МЭИ.
Докл. НТК, секция радиотехническая, 1969.
Глава 4
СИНТЕЗ МНОГОМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ
4.1. ЗАДАЧА СИНТЕЗА
Рассмотрим дискретную систему связи, осуществляющую пере-
дачу сообщения с помощью радиосигналов с тактом Т. Полезное сооб-
щение является непрерывным /n-компонентным марковским процес-
сом
Н(0 = {Н1(0. > Нт (01-
Модуляция радиосигнала осуществляется по известному закону
выборочным значением вектора р(/) в момент tk:
Ий = Н (^*)>
где th—момент времени внутри k-ro такта работы системы связи и
0^+1—tk = T.
В канале связи сигнал подвергается искажениям, в том числе
из-за наличия собственных шумов приемного устройства.
Предполагается, что сигнал на входе приемника xft(/) представ-
ляет аддитивную смесь полезного сигнала sk(t, pft) и «белого» шума
nft(/) со спектральной плотностью М:
xft(0 = sft(Z, (4.1)
Задача состоит в выделении на приемном конце линии связи по-
лезного сообщения с помощью устройства, называемого оптималь-
ным измерителем.
Сформулированная задача может быть решена методами, разви-
тыми в гл. 3 для случая одномерных марковских процессов.
В соответствии с (3.37) здесь существует интегральное рекуррент-
ное соотношение для апостериорной вероятности, имеющее вид
Р1с+1) (Й) =Сехр !f(A+1) (й)} / (й), (4.2)
где
7(й)=$Р1с’(Х)^(1,й)^,
й=йА+1=И+,)..........^+1)) (
123
— компоненты m-мерного гауссовского марковского процесса (£-|-1)-м
такте;
Г_77 _(,,<*) „<*>)•
л — Ил — 1Рт > •••> Hm )>
W (А, р.)—плотность вероятности перехода из состояния к в состоя-
ние р за такт Т;(р)—логарифм функции правдоподобия
в (k + 1)-м такте; С—нормировочная постоянная.
Соотношение (4.2) можно конкретизировать в зависимости от спо-
соба задания процесса р(/).
Как и в одномерном случае, желательно заменить соотношение
для апостериорных вероятностей рекуррентными соотношениями для
их моментов. При этом в качестве выходных величин оптимального
измерителя используются апостериорные средние значения компонент
процесса, а в качестве характеристик качества фильтрации исполь-
зуются апостериорные кумулянты компонент процесса.
4.2. ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС [4.1]
В случае, если р(/) — m-компонентный гауссовский марковский
процесс, плотность вероятности перехода при любом времени перехо-
да Т имеет вид m-мерного нормального закона
— — 1 (.mm _ _ ]
и)=(^2|^|'"2ехр{~[И/—ф/(^)] [н-фД^К/}»
(4.4
где <рг (А)— линейные формы относительно компонент А;
Фг(А)=2 = <[*«>;
“=1 (4.5)
R = [ro]—корреляционная матрица;
Гц = < [иг — Фг (Ь)] [ь—<Р> (Ь)] >;
<2 = [<7о] = ₽“1—матрица, обратная корреляционной.
В предположении малой апостериорной неточности измерений
можно считать, что апостериорная плотность вероятности имеет вид
нормального закона
1 (mm )
р"’га ех» Н с!П
(ZJT/ I Д I L ( Z I = 1 J == 1 J
(4-6)
где Л1Р>=<Аг>;
К = [Kz/*]—корреляционная матрица;
124
/<(.*> =<(Хг-<>) (к^-М^));
С =[(?}/’] =/<"*
—матрица, обратная корреляционной.
Подставляя (4.4) и (4.6) в (4.3), получим
7(И)=С' fdXexpf-
Иг d-i Н/ 2^/Э^Р
a J L р
-d.l q..) exp (-13 2 (*i-<>) (b/-<’) Ф] . (4.7)
J ) I i j )
Интеграл (4.7) имеет смысл плотности вероятности случайного
вектора р,, компоненты которого определены соотношением
Hi +2 diaha (4.8)
a
где вектор п — {пь ..., пт} имеет нормальное распределение в со-
ответствии с (4.4)
Р = (2n)m/2 |7? | 1/2 еХр ~2 '%^ni П} Qij\ • <4,9>
Распределение вектора Л определено соотношением (4.6). Векторы
п и к независимы.
Таким образом, согласно (4.8) 7 (ц) имеет вид нормального за-
кона
1 = (2л)'”/2|Р||/2 еХр{~2~?^ (И/”<4Л0)
со средним значением
<Н<> = <2 dia ка + dt\ = 2 dia + dt (4.11)
\ a /а
и корреляционной матрицей
a 3
Обозначим G — P~l = [gr$/)] матрицу, обратную корреляционной.
Подставляя (4.6), (4.10) в (4.2), разлагая логарифм левой и
правой частей в ряд около некоторой точки М —
и приравнивая члены при одинаковых степенях р,г—Мъ получим
систему уравнений
2 *> W+1 ’ -м{) = af(*+1)(^ +
+ 2 2 ( dia MaA)—+ df) g(ip, (4.13)
125
C(fe+1) = _d2F<k+"(M) (4.14)
dp,, dii j
Система (4.13), (4.14) определяет структуру оптимального измерителя.
Иногда выгоднее перейти от элементов обратной матрицы С*/+1)
к элементам прямой матрицы Д’*/+ °.
Умножая (4.13) на К{£+'\ (4.14) на Д^+1)Pft и пользуясь
соотношениями
2
2гЙ’РЙ>-би. (4JS)
S
найдем
(А+1)дГ<*+1> (Л4) ,
'• ъ, +
4-22/Sd/aM^ +dt- Mt\gtf Д}*+,), (4.16)
2И'*+1)—Ms = y
r jr+2 ^ia
> a В
= Gr+SSdsodrpK^. (4.17)
a 3
Уравнения (4.16), (4.17) полностью определяют структуру оптималь-
ного измерителя.
Уравнения (4.16), (4.17) допускают различную интерпретацию
в зависимости от выбора точки разложения М.
Если М = Mk—оценка в предыдущем такте, то уравнение (4.16)
имеет вид
АМ»| = У<+'> afl>+l>W +
I *;
+ 2 2 / 2 м'" + d, - Ml1 ) g!» кй+11, (4.18)
i i \ а )
что соответствует случаю следящего измерителя.
Если производить разложение в точке экстрополированной
оценки
<= 2ЙЛ= {М<Л .... Л4Г<?>} =[Sdla<)+d1................+
la a J
(4.19)
126
то
Л4<?+1)-Л4_?>='У/<(?+|>^+1)Ш , (4.20)
/
что соответствует случаю следящего измерителя с экстраполяцией.
Если М — известная фиксированная точка, то реализуется не-
следящий измеритель.
Пусть марковский процесс задан системой уравнений вида
^Н1+а1 Н1=1/1(0>
at
(4.21)
“Ь ат Нт = Ут (0>
at
в которых yt(t)—независимые «белые» шумы со спектральными плот-
ностями Lt. Тогда
dia—il (4.22)
rii=^i^jVbibj8ib (4-23)
причем
^ = 1—ехр( —Т),
л (4 24)
а?^=^[(1-ехр(-2агТ)].
i
Уравнения фильтрации в этом случае имеют вид
I ‘’Hj
+2 [(1-
i i
i анг <4
-2 ZX+I w (i -a,) и -a,» =
l j dV-idVj
= Os Or /bs br 6sr + (1 — as) (1 — ar)
Выбором M можно получить различные структурные схемы изме-
рителя. В частности, следящий измеритель с экстраполяцией полу-
чается, если выбрать значение экстраполированной оценки в виде
(4.25)
M = Mk= {(1- аг)М<*>}.
В этом случае
м<А+,>-<> =У^+‘)^+1)Ш.
i dV4
(4.26)
(4.27)
127
4.3. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА
МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА, ОПРЕДЕЛЯЕМОГО
ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Предположим, что процесс р.(/) удовлетворяет уравнению
Й + 2т) й + Ь2 р, = у (/), (4.28)
где y(t) — «белый» шум с мощностью на единицу полосы L.
Дифференциальное уравнение (4.28) эквивалентно системе двух
уравнений первого порядка:
1 о
Hi——H2==0-
p2 + 2r)p2 + T62pi==Ti/(0, (4.29)
Pi = p(0-
Плотность вероятности перехода двухкомпонентного гауссовского
процесса Маркова имеет вид двумерного нормального закона. Найдем
корреляционные моменты Гц процессов р,х и р,214.2].
Полное решение уравнения (2.28) имеет вид
t
Н(0 = D $у(т)[ехр [pi(/—Т)]—ехр [р2(г—T)]]dr +
Pl — Р2 у
1 о
Ч----— (Йо~РгНо) ехр (P1G—/о)] —
Pi— Р2,
---- — (Йо — Pi Но) ехр [p2(t—/0)], (4.30)
Р1— Р2
t
Й (0 = —-— $ У (*) [pl ехр [pl (i—т)1—р2 ехр [р2 (t—т)]] dx +
Р1—Р2 t„
Ч----— (Йо—Р2Н0) ехр [рД/—/0)] —
Р1— Р2
----— (Йо—Pi Но) ехр [р2 (t—10)],
Pl —Р2
где pi,2 = —т] ± W—Ъ2—корни характеристического уравнения;
Но = И (0 !/=/<,« Йо = ЙЮ1*=Л>-
Принимая t0 = th, a t — th-\-T, с учетом (4.29), найдем:
Ф1 = <Н1*+1)> = —!— ( Н(2А) 7— Рг H(iA>) ехр (рх Т)—
Pi—Pi \ z Т J
----— f Н^’ — Pi Н(|А) 'j ехр (р2 Т),
Р1—Р2 \ 1 J
128
Ф2 = +1 *> = 7^-7- (7 — Р2 ) ехр (рх Т)—
Pl—Р2 \ 1 /
----Р-^Г (eXP <4-31)
P1—P2 \ T /
r1 = <Wft+1)-<P?+1>>)2> = .—f--t(l-exp[2P1Tj) +
(Pi — P2)2 I 2p!
2 1 \
——(1— exp[(P1 + p2)T])——(1 — exp [2p2 T])|, (4.32)
P1 + P2 2pa J
r22 = <(p(2fe+ ° - <14*+ * >>)2> = —{—(1 -exp [2P1TJ) +
(Pi —P2)2 I 2
+ -^-(1 -exp [(P1+ P2) T])-A (1 - exp [2Рг T])|,
Pi + P2 2 J
= —y-J-7<l-exp|2p1TI) +
(Pi — Рг)2 I 2
+ (1 —exp [(Pi+P2) Л)—у (1 —exp [2P2 Tj)}.
При малых T экспоненты в (4.31), (4.32) можно разложить
в ряды, тогда:
Ф1=М‘,+14И.
ф!=^-2чр^’-г’2^|1в.
ru=|LT3, г12=Л1Т2, г22 = £Р.
О Z
Таким образом, при малых Т матрицы D и R в соотношениях (4.4),
(4.5) имеют вид
1 ,
b2Tz,
3 ’
2 ’
D =
R=£T3
1 ’
1—2т]Т] ’
_1_“
2
1
(4.33)
5 Ззк. 213
129
4.4. ФИЛЬТРАЦИЯ ПАРАМЕТРА, УДОВЛЕТВОРЯЮЩЕГО
ЛИНЕЙНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
ВТОРОГО ПОРЯДКА [4.1]
В случае, если фильтруемый процесс удовлетворяет системе урав-
нений (4.29) и такт работы системы Т мал, так что для матриц D и jR
справедливы соотношения (4.33), из общих соотношений (4.16), (4.17)
получаются следующие уравнения фильтрации:
<+'»_<> = х<*+ и 2<*+ » «)),
<+1 > - М(2к) = Х(Д+ 1 > 2?+ * ’ «>), (4<34)
1 > + +1 > р2 + + 2х<Л> + х£>) = 1 р2 + х<,? +
+ 2х*2^ + ^22,
Х<*+ о +1 х(*+1) (1 p2_fc2 Т2 xW + (l-2tlT-&2T2) х$ +
+ (1 - 2т]Т) ) + 4 х(Д+1 ’ (1 р2 + х)? + 2хП> + х£>) =
= 1р2-Ь2Т2 х)? + (1 — 2х]Т—Ь2 Т2) +(1 — 2т)Т) х$, (4.35)
х22+'’ + x(iA2+ ‘ Р2 — b2 Т2 xl? + (1 — 2т]Т— Ь2 Т2) ->$ +
+(1 -2i]T) х(Л> j=р2 + Ь2 Т2^ — 2(1— 2т]Т) Ь2Т2и^ + (1 — 2пТ)2х^,
где
M^=M\k)+M{2k)-
M{2k) =M(2k)—2ijTM(2ft) — b2 T2 ( J
--дг/ , (4.37)
p2 = — LT3----------2 V 1 ’ ; (4.38)
dF{k+ ’> (m)A))
^+0 (m<*)) = . (4 39)
d2F(*+D(MW) * ’
В отсутствие шумов
2<1А+1>«))~р(1Аи+,)-<>, (4.40)
Р1Аи^1)—истинное значение параметра щ в (& + 1)-м такте.
130
В полученных уравнениях — экстраполированные оцен-
ки в k-м такте; х(/р—нормированные коэффициенты усиления в (&)-м
такте; z*—нормированный выход дискриминатора. Вид модуляции —
произвольный, однако функция правдоподобия зависит только от па-
раметра р,х.
Система уравнений (4.34), (4.35) описывает работу следящего из-
мерителя с экстраполяцией.
Система (4.35) является нелинейной системой рекуррентных урав-
нений и ее решения как функции номера такта могут быть найдены
численными методами при задании начальных условий.
Зависимость установившихся значений хц = lim х**’ от пара-
/г-OO
метров р2, Тт], ТЬ2 представлена на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Зависимости установившихся значений xu, Xi2, х22 от параметра р2.
Структура измерителя, описываемого уравнениями (4.34), пока-
зана на рис. 4.2. Работа схемы рис. 4.2 осуществляется следующим об-
разом. Входной сигнал Xk+i (/) поступает на оптимальный дискрими-
натор, который управляется экстраполированным значением коор-
динаты 714 j**. На выходе дискриминатора образуется сигнал ошибки,
который с весом x*f* складывается с экстраполированным значением
Полученная сумма является оценкой фильтруемого параметра.
Экстраполяция производится по формуле
M\k) =M\k)
соответствующей зависимости условного среднего <р(*+|)> от значе-
ний и p,W на предыдущем такте.
Фильтрация параметра р2, пропорционального скорости процес-
са р.х, необходима для экстраполяции М и осуществляется второй
частью схемы.
5* 131
Экстраполяция скорости производится по формуле
=М2—2т]ША) —62 Т2 M\k).
Смысл этой формулы становится понятен, если учесть, что изме-
ление скорости в среднем (при небольших Т) равно
- 2т]7р^-Ь2Т2^.
Таким образом, формулы экстраполяции можно получить из си-
стемы уравнений для фильтруемого процесса в предположении, что
Рис. 4.2. Структура оптимального измерителя двумерного гауссовского мар-
ковского процесса.
в k-м такте работы известны апостериорные средние значения Afi*
и и в качестве экстраполируемых значений выбираются условные
средние в (k + 1)-м такте.
Напротив, зависимости коэффициентов усиления схемы измери-
теля в установившемся режиме от параметров сигналов и переходные
процессы для коэффициентов усиления носят нетривиальный харак-
тер.
Необходимо различать крайние случаи «больших» и «малых»
апостериорных кумулянтов.
Если параметр р2 велик, так что
*11 < Р2. *12 < Р2> *22 < Р2,
то получается случай «малых» апостериорных кумулянтов. При этом
разброс апостериорной вероятности около средних значений значи-
тельно меньше разброса плотности вероятности перехода за такт Т.
132
Уравнения (4.35) для установившихся значений хи, х22, «12 имеют
вид
хи + хи Р2
/ , 1 \ ,
«12! х + у ) = 1>
причем предполагалось, что х22 = «Р2.
Установившиеся значения равны
Ра (х + 1/3)
x12~(3-]/W 1-л-----------?-----1
\ ур2(1/3 + х)/
х22 = хр2, (4.41)
1
и — ---7=г .
2/3
Случай малого р2 соответствует малости разброса плотности ве-
роятности перехода за такт Т по сравнению с апостериорным разбро-
сом, т. е. случаю «больших» апостериорных кумулянтов.
Установившиеся значения можно найти с помощью следующего
приема. Отбросим в уравнениях (4.35) все члены, содержащие т]7',
ЬТ. Предположим, что р2 = у4, где v < 1. Будем искать установив-
шиеся значения в виде рядов
xu = v(a0 + a1v + ...)>
«12 = v2(60 + &xv+ ...), (4.42)
*22 = v3 (с0 + ct v + ...).
Подставляя (4.42) в (4.35) и приравнивая члены, при одинаковых
степенях v, получим из третьего, первого и второго уравнений
^0 = 1, ао=2йо=2, с0 = а060 = /2.
Таким образом,
хп~/2/р, х12 ~ р, с0 = ]/2(/р)3. (4.43)
При уменьшении р быстрее всего убывает х22, медленнее всего хи.
При увеличении р быстрее всего растет х22 (пропорционально р2).
Коэффициент хи стремится к единице.
Различные виды модуляции рассматриваются в рамках соотно-
шений (4.34) — (4.43).
133
Линейная фильтрация
Если наблюдаемые значения являются суммой шума и фильтри-
руемого процесса, то возникает случай линейной фильтрации.
Здесь
Л*+О(И) = ——L- (х(*+1) —И)2.
(|Л) = р), (4.44)
2 LT3 Л
где <т£—дисперсия фильтруемого процесса р.(<);
ег=т)7’; е2 = 62Т2. - (4.45)
Дискриминатор схемы рис. 4.2 формирует разность х(*+|) — Л4(А).
Коэффициенты усиления и ошибки фильтрации определены кри-
выми рис. 4.1. В крайних случаях «больших» и «малых» апостериор-
ных кумулянтов имеем
Хц — Ф^2р, П j 2 |/ 82 1 / ~ Од»
г
1 I 2 2
х1Х ~ I — р-------j-y , mi ~ о„.
( з + 2/3 г
(4.46)
Амплитудная модуляция
Здесь
т Г(&*М
f(6+D (и) = __(v + [x)2+t(v+m,)---------
/•(*+!)= —
Т
<*4-1 +х
J х (t) ехр (jW) dt
<*-1-1
т — длительность прямоугольного импульса; N — мощность белого
шума на единицу полосы частот; v — среднее значение амплитудной
модуляции; x(t) — принимаемые данные.
Таким образом,
„ 4<J2
Р2=—= —ge182,
а а2
п
(4-47)
134
On = 2N/x — мощность шума на выходе согласованного с прямоуголь-
ным импульсом фильтра.
Точность измерения амплитуды определена (в крайних случаях)
соотношением (4.46).
Частотная модуляция, фазовая модуляция
и модуляция импульсов по положению
Рассмотрим дискретные системы связи, использующие следующие
виды модуляции:
а) частотную модуляцию с некогерентной несущей;
б) фазовую модуляцию с когерентной несущей,
в) модуляцию импульсов по положению с некогерентной несу-
щей.
Частотно-модулированный сигнал в k-м такте может быть записан
as(t—th) cos (at + p<*> / + q>A),
где a — известная амплитуда сигнала; s(t) — прямоугольный импульс
длительности т; о — известная центральная частота; р(А> — информа-
ционный сдвиг частоты в k-м такте; <pft — случайная начальная фаза.
Фазо-манипулированный сигнал имеет вид
as (t—th) cos (at + p(A>),
где — полезная фазовая модуляция в k-м такте.
Если производится модуляция импульсов по положению, то сиг-
нал в k-м такте есть
as(t—p.(*>)cos [at-\-f (t—p(A)) + <pft],
где s(f) и f(f) — известные функции, представляющие амплитудную
и фазовую модуляции; р,<*> — временная задержка, с помощью кото-
рой передается информация.
При независимых от такта к такту фазах <рА получается случай
некогерентной несущей.
Логарифм функции правдоподобия при приеме в белом шуме со
спектральной плотностью N может быть вычислен для каждого из рас-
сматриваемых случаев с помощью обычных приемов. Для рассмат-
риваемых трех случаев соответственно
(р) = 4, С x(t)exp [j(a + p)t]dt
N J
^4-1
) (|л) = J х (/) cos (со/ + |i) dt,
(И) = Д
«*+1+г
J x(t)s(t — р.) ехр [;/(/—pi)] ехр (/со/) dt
135
Предположим, что во всех рассматриваемых случаях сигнальная
часть логарифма функции правдоподобия может быть представлена
в виде
<72
(И —Ио)3 ^2 ~|
2 Л J ’
(4.48)
1
где
q2 = a2xl2N — отношение сигнал/шум по мощности;
т = \S2(t)dt — эффективная длительность импульсов;
т
% — величина, обратная ширине сигнальной части логарифма функции
правдоподобия.
В частности, для случая ЧМ
X2 =т2/12,
для случая ФМ
Х2 = 1»
для случая модуляции импульсов по положению % зависит от вида
фазовой модуляции и пропорциональна ширине полосы сигнала.
С учетом (4.48) логарифм функции правдоподобия в общем слу-
чае целесообразно представить в виде
F<*+D (р) x2z(A+I) (р), (4.49)
где
<6+1 +т
Г х(/)ехр[/ (ю + р)/] dt ,
Х2ат J
'6+1
<*+i+'t
«<*+*) (р) =—-— С x(/)cos(cd/-|-p)d/,
х2«т J
(*+1
2(*+1)(и) = _А_
%2 от
<6+1+Г
J х (/) s (/—р) ехр [ jf (t — р)] ехр (jco/) dt
**+1
(4.50)
для трех рассматриваемых случаев модуляции соответственно.
Если шумы отсутствуют, то во всех случаях
</?(*+») (р)
----— = -(р_ро).
Будем считать, наконец, что
$2 )
~ ?2 Х2.
(4.51)
136
Таким образом, для рассматриваемых видов модуляции параметр
р2 оказывается равным
р2 = ГГ3(?2Х2 = 4а£е1е2 <?2х2. (4.52)
где Og —дисперсия фильтруемого процесса; ег = х\Т; е2 = Ь2Т2-,
q2 — отношение сигнал/шум по мощности; х — величина, обратная
ширине пика сигнальной части логарифма функции правдоподобия.
Структурная схема следящего измерителя с экстраполяцией для
всех случаев изображена на рис. 4.2. Нормированные дискриминаторы
определены соотношением (4.52). Соответствующие им радиотехничес-
кие операции обсуждены в гл. 3. Ошибки фильтрации и коэффициенты
усиления определены кривыми рис. 4.1.
В крайних случаях «больших» и «малых» апостериорных куму-
лянтов ошибка измерения процесса р(/) определяется следующими
соотношениями:
m? ~ 23/4 (<7Х)-3/2 (пи е2).'/4., пг\ ~ Wx2- (4.53)
Второе соотношение (4.53) совпадает с формулой ошибки еди-
ничного замера, полученной Вудвордом. Это совершенно естественно,
так как для малых апостериорных кумулянтов xu = 1, система раз-
мыкается и ошибка измерения равна ошибке единичного замера.
4.$. ФИЛЬТРАЦИЯ ПОЛИНОМОВ [4.3]
Предположим, что принимается сумма гауссового шума nW и
сигнала
%(*) = «(*)
причем —выборочное значение полинома m-го порядка
p(/) = a0+a1/ + ... + aro/m,
Необходимо выделить полином р(/).
В задаче фильтрации полинома удобно ввести следующие без-
размерные переменные:
Pi=p(Z),
(4.54)
Ц _ 'pm И (О
137
Тогда
Hl =H1 ?!+h2 -+... + IWH-,
H2 H2 0| +... + (lm+l
(4.55)
H/n+1----
(k) 1
Hm+I 0| •
Учитывая (4.55), можно воспользоваться представлением плотности
вероятности перехода (4.4), если положить там вес и взять
матрицу D в виде
"1, 1, 1/2,..., 1/т!
О, 1, 1, .... 1/(т— 1)!
О, 0, 1, ..., 1/(т—2)!
1/2
О 1
1
Переход к пределу можно осуществить непосредственно в (4.12).
Поскольку при А->0 (4.12) переходит в соотношение
P = DKWDT,
где DT—транспонированная матрица D, то
G — P~l =(DT)~' Kw~l D~* = (DT)-'C(k) D-i. (4.56)
Подставляя (4.56) в (4.14), получим
C(ft+1)= ]+ (РГ)~‘ C(ft) D-1, (4.57)
где
>F(M0) '
—матрица, составленная из вторых производных
логарифма функции правдоподобия.
Обозначив E = D~l = [ео], получим следующую систему линей-
ных уравнений относительно элементов обратной матрицы С:
^+,’=-2^ + 22е.-^>- («8)
В рассматриваемой задаче логарифм функции правдоподобия
имеет вид
F(pb щ,..., |Ат+1) =-_L_(X—И1)2,
где (5п—дисперсия шума.
138
Вводя нормированные матрицы
% = 4К. Л = о*С,
x = [xj, Л=[ап],
из (4.58) и (4.20) можно получить следующие уравнения фильтрации:
(4.59)
мГ0=х(Л+1) Um-i — M\k)) +мГ,
Рис. 4.3. Дискретный измеритель с экстраполяцией для выделения полиноми-
ального сигнала и его производных.
/и+1-i
«!•>= 2 ума,,,
/=0
(4.60)
р— 1 <7-1
^+1> = 22 «<₽-'). (W> -Ь(-1)<‘+/> +бРАь (4-6i)
(=0 /=0 "
где 8и — символ Кронекера.
Уравнения (4.59)—(4.61) описывают следящий измеритель с экст-
раполяцией, блок-схема которого представлена на рис. 4.3.
Фильтр включает в себя: дискриминатор в виде вычитающего
устройства, формирующий на выходе сигнал ошибки, умножители
сигнала ошибки на переменные коэффициенты х(*,\ сумматоры, блски
139
задержки на такт, экстраполятор и блок вычисления коэффициентов
усиления.
Алгоритм работы экстраполятора задан соотношением (4.60),
имеющим очевидный физический смысл — экстраполяция осуществля-
ется в соответствии с априорными соотношениями (4.55), выражающими
зависимости значений, выбранных координат в (k + 1)-м такте от их
значений в (&)-м такте.
Для работы фильтра необходимо задать начальные условия для
первых т тактов.
С этой целью рассмотрим несколько примеров.
Фильтрация полинома первого порядка с неизвестным начальным
значением и скоростью. Здесь
at
Матрица D и обратная ей имеют вид
Уравнения (4.59) — (4.61) переходят в следующие:
Он —1+ Он »
012 = —0Ц +012 > z/*-H )__„(*) С)М , (k). &22 = 0Ц —2012 +^22, (4.62)
=M(2k}\ (4.63)
<+1 >=' > U+I4- M\k\ = x^1» U+I - M^) + * (4.64)
Блок-схема следящего измерителя с экстраполяцией представлена
на рис. 4.4.
Наибольший интерес представляют зависимости коэффициентов
усиления Иц от номера такта и ввода начальных условий в схему
рис. 4.4.
Линейной системе (4.62) соответствует нелинейная система для хг/
(*+!)_ ХИ) + Х22> + 2и<12)
11 1 + х<*> + х<*> + 2х<*>’
<*+!)_ +
22 1+хИ>+х<*> + 2< ’
(А+1) _ Х(2 2* + и\ 2*
12
(4.65)
140
При реализации оптимального алгоритма можно либо моделиро-
вать систему (4.62) и затем обращать матрицу А = [агД либо модели-
ровать непосредственно (4.65). Можно, кроме того, заранее решить
систему (4.62).
Асимптотическое поведение (при больших k) матриц А и % не
зависит от выбора начальных условий. При больших k
Г k — k2/2 '
А~\—&!2 As/3 I ’
Aik 6/k*
6/k2 \2/k3
Рис. 4.4. Измеритель с экстраполяцией, выделяющий полином первого порядка
и его производную.
Ошибки измерения и коэффициенты усиления стремятся к нулю
при увеличении k, причем быстрее всего к нулю стремятся ошибки из-
мерения скорости.
Начальные условия можно ввести следующим образом.
Будем полагать, что априорное распределение параметров цх,
является «бесконечно-широким» гауссовским законом с параметра-
ми
М\0> - М{20) = 0,
х^х^х^оо.
При этом
Л(0)_ Л(0) л
6Z1 1 #12 —#22 = v.
Решая систему уравнений (4.62) с нулевыми начальными усло-
виями и обращая матрицу А, можно получить следующие значения
коэффициентов усиления
„(*) _ 2 (2fe—1) (А)_ 6
X j 1 =------- , X1 2 —---:--- .
М*+1) k(.k+\) ’
, М 12
22 —
(4.66)
141
Соотношения (4.66) справедливы начиная с k = 2, так как по
одному замеру (k = 1) нельзя определить скорость,
На первом такте работы дисперсия оценки параметра равна
дисперсии шума о„ и, следовательно, х*’! = 1. Таким образом, началь-
ные условия имеют вид
М(10) = Л!^0)=0, x^l, xV^O.
Рассматриваемую задачу можно решить методом максимального
правдоподобия [4.41. Оценки, полученные для k 2, совпадают
с (4.64). Весовые коэффициенты (4.66) также совпадают.
Фильтрация полинома второго порядка с неизвестными началь-
ным значением,^скоростью и ускорением. Здесь
p(/) = ao + ai(O+«2*2-^ ,
И1=И,
Уравнения (4.61) имеют вид:
Оц =1 -j-fln ,
012------«11+012,
+*+>)_!„.(*) : I4-”')
013 —~0ц —012+013,
„(*+«)__(*) ол<‘)хя<‘)
#22 ~#11 — Z6Z12 ~Г#22 >
„(Ж) 1 j_ 3 J*) „(*) „(*)
023 = — — Оц + —012 —«13 +®23 —022 ,
+(*+1) 1 л<*> л(*)| 9л<*> _l_zv<*> _!_+*>•
Озз . = —и11 —012 + 013-^023 +022 + O33
4
Уравнения фильтрации и формулы экстраполяции определены
соотношениями (4.59), (4.60):
м(1*+’> = <>+хИ+1) U+i - <>),
> = М(2*> + х(Д+‘ >(хА+1 — Л4(1А>),
<)=м(1А)+<>+ (4,68)
м^=м^.
Блок-схема следящего измерителя с экстраполяцией представлена
на рис. 4.5. Считая, как и в предыдущем примере, что априорное рас-
142
йределёнйё Параметров р1( р2, р3 имеет вйд «бесконечнб-шйроКОго»
гауссовского закона, примем в качестве начальных условий
= =0.
Рис. 4.5. Измеритель с экстраполяцией, выделяющий полином второго порядка
и его первую и вторую производные.
Решая систему (4.67) при нулевых начальных условиях и обращая
матрицу А, получим:
(А) . 3(3fe*-3fe + 2) X11 — > fe(fe+l)(ft+2) (k) 18(2fe—1) X12 = « H*+D(fe + 2) „(*) _ 12(2fe—l)(8fe—11) 22 l)(fe2 —4) ’ (4.69) H(k)_ 60 13 k(k+l)(k + 2) ’ . Ik) 360 X23 = , fe (fe + 1) (fe2—4) ,.(k) 720 k(k*— l.)(fe«—4)
Решения (4.69) справедливы при k 3, так как для оценки ус-
корения необходимо не меньше чем три замера.
При больших k коэффициенты усиления и ошибки стремятся
к нулю: „(*) ~ 9 „(*) ~ 36 x12 _ —,
143
(*)~192
22
.<*> ~ 60
'13 — — ,
k3
v(*> ~360
«23 —— i
fe4
VU)
X33
720
fe*
Анализ работы фильтра на начальных тактах показывает, что не-
обходимо выбрать следующие начальные условия:
<» = = <> = 0, xW = x(i V = x(i V = 1,
, х?2> = х<11з)=х(12з)=0:
В общем случае полинома т-го порядка необходимо использо-
вать следующий порядок включения фильтра. Выбираются нулевые
начальные условия работы экстраполятора = 0. Коэффициенты
усиления хп' при k^tn определяются из табл. 1.
Таблица 4.1
у(£) k 1 2 3 . . . tn — 1 tn
1 1 1 . . . 1 1
0 1 1 . . . 1 1
х13 0 0 1 . . . 1 I
0 0 0 . . . 1 1
хНт-Н) 0 0 0 . . . 1 1
Коэффициенты усиления x(mti5 определяются решением системы урав-
нений (4.61) при нулевых начальных условиях с последующим обра-
щением матрицы
Такой порядок включения фильтра соответствует постепенному
накоплению входных данных до тех пор, пока их будет достаточно для
оценки параметра pOT+i.
Отметим в заключение, что выбором системы переменных р.х, р.2,
..., р.т+1 можно обеспечить более простой вид матрицы D, чем (4.56),
например,
rl, 1, 0, ..., 0, On
0, 1, 1, ..., о, о
V, V, V, 1 , I
L 0, 0, 0,..., 0, 1 J
144
При этом упрощается алгоритм экстраполяции, имеющий вид
4.6. ФИЛЬТРАЦИЯ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПАРАМЕТРОВ.
СОВМЕСТНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ АМПЛИТУДЫ И ЗАДЕРЖКИ
Предположим, что принимается сигнал
Xk(t) = Sk(t, +
где nk(t)—«белый» шум со спектральной плотностью /V;
sh(t, P-fe) = (v + P-i*’) s (*—P2ft>)c°s [orf+f 0—P2ft))+<Pfe];
$(/), /(0 — амплитудная и фазовая модуляции; со — несущая частота ;
<рй — случайная фаза; v — известное среднее значение амплитуды;
р,х(/) — процесс изменения амплитуды; ц2(0 — процесс изменения за-
держки.
Процессы рх(0 и р2(0 удовлетворяют дифференциальным урав-
нениям
Й1 + = i/i (0.
|i2 + a2 p2 = y2(/),
где y2(t) — случайные процессы типа «белого» шума со спектраль-
ными плотностями Li и L2.
При большом отношении сигнал/шум логарифм функции правдо-
подобия параметров рхр2 имеет вид
F'*+ " (|Ч, ft) = +^’ " ,,+ '> Ш (4-71)
2
^+1)(Р2) = Т
^+1+г
J x(t)u(t—р2)е/ш< dt
'*+1
оо
т = J s2 (/) dt,
— ОС
(4.72)
u(t— y,2) = s(t— p2)e,f ((-И2>
— комплексная огибающая сигнала.
Вычисляя производные логарифма функции правдоподобия (4.71)
и пользуясь соотношением
cP F<*+1) (М<*>) _(v+<))(v + ti^+1))x
дц% ~ 2#
(4.73)
145
Где х — средиекиадратическая ширина спектра комплексной оги*
бающей сигнала; p.i?—истинное значение амплитуды сигнала в k-м
такте, можно записать уравнения фильтрации (4.25) — (4.27) в виде:
+««+'| (»+й+‘>) хг4*+11 («’),
=#(*+•> Ц_ +
+ К& 11 ^4^-(v+ .u!‘+") х!4*+'W). (4.74)
Gn
K\^"+K\V»irbl-K'k+' Z2 4*+' W) +
G G
n n,
+ K\\+1 ’ Ki? (1 - «1)2 Ц- - MV1 > K(A) (1 - «1) (1 - a2) X
an
X У + иа2и+ x2*2*+,) (M£*))-K(*+1) Ki? (1 -On)2 X
X x2 2?+" (Mp) + K(ft+n K(ft) (1 - Oi) (1 —a2) x
G n
(, + М<»)(,+ иУ)
x ---------~2-------X — Q1 &1 + U— al) An,
°n
2
K'A+1 ’ + КЙ+'> b. (v+Mi*’) (v + /,* +'>) x!-
П2
_K<k+vL2_h (v4- LL(f+1)^ v2^+1)
A 2 ^2 v ТГ 1и / X ^2
Gn
(M^) +
+ K(A+,>K(ft)(1-«1)(1-«2)-!2- —K<*+1)K22)(1 —a2)2 x
Qn
V_L ..(«+D
x +и'2. x!4‘+“ x
an
X (1 - a2)--Ц5---Д*+1 > (M^>) 4- K(22+1) (1 - a2)2 X
Gn
(v+#«)(v+h« + '>)
X --------- __Q2C>2“rU—#2/ A 22> (4./O)
146
-2K(k) (1 -at) (1 - a2) x2 2<*+1 > (<>) +
n
Ь-4-^+^u -Vd-ai)2
an °n
+ _L /(<*+•)
-4 *1(v + lx,.*»+'’) x’*'£+,> («•’)-
°n
-KW (1 - <h)2 ^X1--— X2 2*2 + ° (#) +
°n
+v/<u+1) k(ft)
2 o„
„2
G
n
—K22 (1 - a2)2 — %2 1 ’ (M(2ft)) = (1 - «1) (1 - a2) К'
G
n J
Здесь
к=к12=к21>
zi‘+" (litf') =
*«+”(*<«)
-----;-----— ^2и — /и! 2
dp,2
— нормированный дискриминатор задержки:
2(ft+i) =r(*+i>(M^)—V—М(1Л) ~ n(1*+1> —
— нормированный дискриминатор амплитуды;
az = 1 —е-“г г;
b. = l-e~2atr;
ог=1г/2аг-,
|л(ги+ °—истинное значение задержки в такте.
По смыслу решаемой задачи следует ожидать малости смешанного
момента К. апостериорной вероятности.
Действительно, исходные процессы рДО и р2(0 независимы. Кор-
реляционные связи появляются в результате кодирования. Степень
корреляции определяется относительной величиной смешанной час-
тной производной второго порядка от логарифма функции правдопо-
добия, которая, как это следует из (4.71), пропорциональна величине
~ /-<*+' > (р2). Сигнальная часть этой производной пропорциональна
U|12
разности (р2 — р2и) и, следовательно, мала. С учетом этого обстоя-
тельства систему уравнений (4.75) можно упростить, взяв нулевое
приближение по величине К.
Вводя обозначения:
z« +'> = ,+ »/о=, „« +'> _ 2Й*2+ " Й +. X2.
X2. (4.76)
P^+1,2 = 2^,2+,z2.
где
2 (v+Al<‘>)(v+^+,)) (v+^+1))2
-qk+1 =------—
—мгновенное отношение сигнал/шум в (& + 1)-м такте, получим
в нулевом приближении по малости /<, систему уравнений филь-
трации
x'u+" (1 +Р?»,) +xfi+" (1 — «1)2 =р?61 + «п (I -о,)2, (4.77)
(1 +рГ"Ч) +41+"
= Р?+,Ч+®(1-Ра)2.
Л«+п_М)‘’=х)‘Л1,г)‘+|>(<1,Л4?’) +
+ K't+" x2«2+1^+'W). (4.78)
"-Л4?1 = «Й+ ”г<2‘ + " (Л4?).
Рассмотрим случай медленных флуктуаций амплитуды сигнала
по сравнению с быстродействием измерителя задержки. При этом
можно считать, что р2*+1)—постоянный параметр х22’ = х22\
Уравнения (4.77) в этом предположении совпадают со вторым
уравнением (3.44) для апостериорной дисперсии при измерении гаус-
совского процесса первого порядка.
Зависимость установившегося коэффициента усиления хи от па-
раметра pffcj при различных величинах агТ представлена на рис. 3.4.
Зависимость установившегося коэффициента х22 от параметра
p2fc2 при различных величинах а2Т представлена на рис. 3.4;
148
Понятие «установившийся коэффициент усиления» в цепи фильт-
рации задержки имеет «квазистатический смысл» и может использо-
ваться, если постоянная времени установления коэффициента усиления
х22 значительно меньше времени корреляции амплитуды 1/аР
В этом случае коэффициент х22 в соответствии с рис. 3.4 зависит
от текущего отношения сигнал/шум по мощности qI+i.
В частном случае малой апостериорной дисперсии
Р^Ч»1, 62«1,
____1___= 1 1 (4.79)
Рис. 4.6. Измеритель амплитуды и задержки.
В случае большой апостериорной дисперсии
2 ь2« 1,
х22 =/b2 p(2k) = /2^ <12 %дк.
(4.80)
Из соотношений (4.78) следует, что измерение амплитуды и за-
держки сводится к раздельному измерению. Коэффициент х22 измери-
теля задержки зависит, однако, от оценки амплитуды в каждом такте.
Структура измерителя амплитуды и задержки показана на рис. 4.6.
Схема работает следующим образом. Входной радиочастотный
сигнал X£+i(/) проходит через согласованный фильтр, детектирует-
ся и поступает на дискриминаторы амплитуды и задержки. В дискри-
минаторе задержки осуществляется нормировка — деление на оцен-
ку амплитуды. Нормировка может быть выполнена с помощью системы
149
автоматической регулировки условия (АРУ), меняющей коэффициент
усиления приемника в соответствии с соотношением
__ С
gk ~ v + AI**’ ‘
Сигналы ошибки в каждом канале умножаются на соответствую-
щие коэффициенты усиления хи и х22, причем коэффициент х22 зави-
сит от текущего значения отношения сигнал/шум ql+i- Таким обра*
зом, происходит взвешивание сигнала ошибки с коэффициентом, завися-
щим от текущего отношения сигнал/шум. Подобную обработку можно
назвать весовой.
Взвешенные сигналы ошибки складываются с экстраполирован-
ными на такт Т значениями параметров и принимаются в качестве
оценок в (k + 1)-м такте.
При быстрых флуктуациях амплитуды сигнала параметр рг*+1>
в уравнении (4.77) нельзя считать постоянным и приходится искать
непосредственное решение рекуррентного уравнения.
В качестве иллюстрации рассмотрим случай фильтрации постоян-
ной задержки при произвольных амплитудных флуктуациях сигнала,
что соответствует системе уравнений
Pi + aiPi= «/1(0, р2=0, (4.81)
где y^t) — «белый» шум со спектральной плотностью L.
Легко видеть, что структура фильтра остается прежней, однако
характер весовой обработки изменяется. Учитывая, что в соответст-
вии с (4.81)
р<*>=0, а2 = 0,
получим из второго уравнения (4.77)
1) =______________^22______________
,+ Jf«, (’+«'.*’) ("+Й+1’)
1 Т Л22 ------_--2---------X
°П
^22
~ (k) (v + A1<ft+1>)2 (4,82)
1 + ^2* —X2
решение которого при начальном условии
2
(4-83)
имеет вид
2
А 22 ~---1--------------•
2 (v + ^)2X2
150
Таким образом, весовой коэффициент в дискрим инаторе задерж-
ки второго уравнения (4.78) равен
«<*+>- (v + ^ + 'y
«22 -Т+Т----------
(4.84)
2
При постоянной амплитуде соотношение (4.84) соответствует ре-
шению вида
(4.85)
л 2 2 —------•
(fe+l)
Результат (4.85) можно получить непосредственно методом мак-
симального правдоподобия.
4.7. МЕТОДЫ СИНТЕЗА МНОГОМЕРНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ
НЕГАУССОВСКИХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ
(4.М)
Синтез многомерного измерителя сводится к отысканию системы рекур-
рентных уравнений для моментов апостериорной вероятности
й={цг
удовлетворяющей соотношению
Р<Ас+1)(й)=Сехр [F(*+1)(p)] J (X) IF (X, р)Д,
где — логарифм функции правдоподобия параметров р; р) —
плотность вероятности перехода из состояния X в состояние р за такт Т.
Рассмотрим здесь несколько способов решения задачи синтеза.
Предположим, что процесс Маркова определен системой дифференциальных
уравнений:
+ fl (р-1» •••♦ М-тп) — У1 (0*
+ Aj (р-1» • • • * Pm) = У2 (0>
(4.87)
№ fm (pi > • • • , Рти) — Ут
где fl, ...» fm — заданные функции; ух (/), у2 (/), , ут (/) — гауссовские
случайные процессы с нулевыми средними значениями и корреляционными
функциями >
(Ур (^1) Ур (G)> = Lp 6 (ti — ti),
(4.88)
<Ур (*1) Уд (<г)> =0. Р =f= Я-
Из (4.87), (4.88) следует, что при небольшом Т совместное распределение
случайных величин
- = ..... ri.‘+”l
151
при условии, что фиксированы величины
*={\..........................М = .....
имеет вид
т
Г й - П “р
Р=1
1 [рр “ + Tfp (^)]
~2 Т^Г
(4.89)
Аналогично выводу соотношения (3.23) можно показать, что при малом Т
т
w (К й) = П Ь (HP - М + Tfp 8' (HP ~ М +
Р=1
8 (p-р-^p)j-
(4.90)
Подставляя (4.90) в (4.86) и производя интегрирование с 8-функциями и их
производными, получим
?<*+•’ (й) = С ехр [F<*+ *> (й)] (р<*> (й) +
т
р?!
2 рТ.
Уравнение (4.91) для апостериорной вероятности можно заменить системой
уравнений для ее моментов. В предположении малой апостериорной неточно-
сти можно считать, что апостериорная вероятность имеет вид /n-мерного нормаль-
ного закона
{ т т
~ Т 2 2 с‘7> (h-^) Gb—
i=lj=l
(4.92)
где — апостериорное среднее значение параметра р. в k-м такте; cffl —
коэффициенты квадратичной формы, удовлетворяющие условиям
т л
2«й’^’“«и= 0
S= 1 V
при i = j,
при i =/= /,
(4.93)
Р‘*’(н). (4.91)
Kks}— элементы корреляционной матрицы, характеризующие апостериорную ве-
роятность в k-м такте. • 1
Логарифмируя далее (4.91), заменяя
1п(1+г)~г, (4.94)
пользуясь представлением (4.92), разлагая все входящие функции’ р в ряды в
окрестности точки ... , Мт] и приравнивая коэффициенты при сте-
пенях (рг — Mi), (рг — Л4г-) (ру — Mj), получим следующие системы уравнений
Р=1 L др/
tn in
+ 2 ‘p? (Mpk) 2 (^) c<(p’- l = 1 m, (4.95)
P=1 P=1
152
m
_l Ak) _ T V L c(k) (k)
Ь + CH 1 LP CiP CiP
p=l
cjp
dfp (и)
м
cip
tn.
(4.96)
. «> / = i
Важно отметить, что системы (4.95),
(4.94), которое эквивалентно условиям
(4.96) получены в предположении
(4.97)
rAk>
срр
« 1.
Первое из этих условий означает достаточную медленность изменения всех
компонент процесса р,(/) по сравнению с тактом Т. Второе условие эквивалентно
требованию малости дисперсии плотности вероятности перехода по каждой ком-
поненте по сравнению с апостериорными дисперсиями и является аналогом ус-
ловия «большой» апостериорной дисперсии в одномерном случае.
Таким образом, в излагаемом методе нужно, чтобы плотность вероятно-
сти перехода была значительно «уже» в многомерном пространстве, чем апосте-
риорная плотность вероятности.
Указанное ограничение существенно сужает область применения уравне-
ний (4.95), (4.96).
Другая форма уравнений фильтрации получается, если положить в урав-
нениях (4.95)
(4.98)
а в уравнениях (4.96) считать, что
<У+° - cw 2 2 тйг (4,99)
р q d^pq
Условие (4.99) ограничивает применение уравнений фильтрации на первых
нескольких тактах.
Используя (4.98), умножая (4.95) слева и справа на суммируя по /
и учитывая (4.93), получим
Л1<*+1)-Ms = 2
I = 1
'dF(*+1)(n)
(4.100)
м
В зависимости от выбора точки М система (4.100) описывает работу изме-
рителей трех типов: _ _
— следящего измерителя (Л4 = Mk), _
— следящего измерителя с экстраполяцией (М = Mk)t
— неследящего измерителя (Л4 — известная фиксированная точка).
Уравнение, определяющее работу следящего измерителя с экстраполя-
цией, имеет вид
m
=<ч 2
i=i
'dF^+l>(^y
dpi
(4.101)
153
причем компоненты вектора экстраполированных оценок определены системой
уравнений
—77s(^(*>) = 0, S=1.......т. (4.102)
В соответствии с (4.101) следящий измеритель с экстраполяцией содержит
т ненормированных дискриминаторов, осуществляющих операции
' df(fe+D (и)~|
fyz J Й(‘> ’
/=1, ... , т
в экстраполированной точке. Выходы дискриминаторов суммируются с весами
K\k8 - Общий сигнал ошибки в каждом канале (с номером s) суммируется
с экстраполированной оценкой в предыдущем такте. Компоненты экстра-
полированной оценки определены, как функции от системой урав-
нений (4.102), решение которого при малой величине Tfs(M^) имеет вид
= Мр)-Tfs(M<k>). (4.103)
Вычисление весовых коэффициентов можно производить, решая
систему (4.96) для элементов обратной матрицы (Xff и обращая матрицу Св каж-
дом такте.
С учетом (4.99) можно составить рекуррентные уравнения непосредствен-
но для элементов матрицы К.
С этой целью умножим (4.96) слева и справа на просуммируем по
i и j и воспользуемся (4.93).
В результате
ДК<*) = -7’ У Г dfr^ 1 £<*>_
ёХ Ь s‘
т т
(4.104)
В частном случае т=2 имеются два фильтруемых процесса j.iT (/), р,2 (/) и
система уравнений фильтрации имеется вид:
+ ' ан," M-) KIW + и',"1 -л}- И,(и„ и,), «-iOS)
+ а№+'аА^“ 'И;> кй’ + - ?f, (Ml. MJ.
*‘ дМх 11
154
2t^^>kU, + TLl+ АЦ-к'/Г +
d2F(i+1) (M1( m2) w ,k) d2f(fe+1)(M1, M2) k}t
дМ.дМ- K + дм2 * ’
12 <*
df2(Mlt M2)
dMi
K{k}-
_2T + 7ti + + -"> K.»-+
dAfg
d2/?<*+') (Мь M2)
dM2
дМл дМ9
1 A
л Л22 dM2
= —Tdfl (Л11’ K{k) —
дМ±
а^^'ЧМьМ.) Kl„._ (4I06)
ДК$ =— 2T
^fi(Mi, Л42) (jfe) df2(Mlt M2) ,k}
K22 -T Kl 1
df2(Mt, M2) a2 F(*+1) (Mx, M2)
dM2 K + dM\
d2F(ft+1) (Mt, M2)
dMt dM2
KU^ + KW} + — К®
om2
где
K<ft2> = -^K{k\
При выборе
М1=М(*>, м2=м^>
система уравнений (4.105), (4.106) описывает работу следящего измерителя.
Следует отметить, что в этом случае уравнения (4.105), (4.106) являются диск-
ретным аналогом непрерывных уравнений фильтрации, полученных Р. Л. Стра-
тоновичем [4.5, 4.6].
Следящий измеритель с экстраполяцией получается, если положить
мJ = M\k} = М<А> — Tf J (М(!*>, мр>) ^м\к} — Tfx (Mj*’, м^>),
(4.107)
м2 = = М$,А) — Tf2 (M\k), М^>) — Tf2 (М(!*>, м^>).
При этом уравнения фильтрации имеют вид
0F(*+’> (M(.ft), МИ>)
M\k +1 > = м(*> + к<*>---------^4----------- +
дМ\к}
+ Л(*) ^(Й+1)(^)- <*)
дМ<£}
(4.108)
155
ЛГ^ + 1) = M(2k}K<k)
dF{li + *> (M{k), М^)
ЙМ^
dfffc+D (M<*\ м!,*))
dM(2k)
Блок-схема двумерного следящего измерителя с экстраполяцией представ-
лена на рис. 4.7.
Рис. 4.7. Следящий измеритель с экстраполяцией для выделения двух мар-
ковских процессов.
Выходы двух дискриминаторов взвешиваются с весовой матрицей [Д/Д
При этом для формирования оценки сигнал ошибки «своего» дискриминатора
умножается на вес Ka(i — 1,2). Сигнал ошибки «чужого» дискриминатора умно-
жается на вес Д12 = Д.
В тех случаях, когда апостериорные «перекрестные» связи малы, выходы
«чужих» дискриминаторов не используются.
Литература
4.1. Амиантов И. Н., Груздев В. В. Оптимальные дискретные
системы фильтрации нескольких параметров. «Радиотехника и электроника»,
1971, №2.
4.2. Ming Chen Wang,Uhlenbeck G. E. On the Theory of
the Brownian Motion. Reviews of Modern Physics, 1945, № 2—3.
4.3. Амиантов И. H., Груздев В. В., Заболотских В. Г.
Оптимальная дискретная фильтрация полиномиальных сигналов. МЭИ. Докл.
НТК, секция радиотехническая, 1969.
4.4. Кузьмин С. 3. Цифровая обработка радиолокационной инфор-
мации. Изд-во «Советское радио», 1967.
4.5. Стратонович Р. Л. Применение теории процессов Маркова
для оптимальной фильтрации сигналов. «Радиотехника и электроника», 1960,
№ 11.
4.6. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советс-
кое радио», 1966.
Глава 5
СИНТЕЗ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ
5.1. УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРА,
ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ ЦЕПЬЮ МАРКОВА
Предположим, что подлежащий выделению параметр р/*) может
принимать в каждом такте работы системы (k) одно из нескольких
возможных значений
Мь М2, Мп (5.1)
с вероятностями
Pi. Р2....Рп (5.2)
соответственно.
Пусть случайный процесс р<^ является цепью Маркова.
Если задана матрица вероятностей переходов из состояния р/
в (&)-м такте в состояние р7- в (k + 1)-м такте и предполагается, что
эта матрица не зависит от номера такта
р (р(*) р(*+1) =Mj)=P(Mt, Mj) =
=р=1рц]= ;
Pll.....Pin
(5.3)
_Pnl> • • • > Pnn_
то априорная вероятность р<*> может быть записана в виде
Рар(р(1), р(*>) =Р(р(1))Р(р(1), р(2))Х.,.хР(р<Ч р^+1)). (5.4)
Элементы матрицы перехода рц положительны и удовлетворяют
условию нормировки
п
2Ро- = 1, i = (5.5)
/=1
Для стационарной цепи Маркова вектор вероятностей состояний
[рь ..., рп] удовлетворяет соотношению
Pi
LPn
Pin Pnl Pl
_Р1П’ ••> Pnn J L Pn_
(5.6)
157
где матрица
>п. •••> Pml Три.......................Р1п‘
_Pln’ •••> РпП- -РпЬ •••> Рпп _
— транспонированная матрица вероятностей переходов.
Таким образом,
Pi = %PnPb i = (5.7)
/=1
Предположим, что на основании знания сигналов, с помощью
которых передается информация по линии связи, и свойств шумов
приемного устройства удалось вычислить функцию правдоподобия
в (&)-м такте
£(^)) = ехр[Г(н(Л>)]. (5.8)
Если шумы независимы от такта к такту, то
k 1
н(Л))=ехр 2 F(|i(m)) .
_т = 1
Уравнение фильтрации в общем случае записывается в виде
Р<*с+1>(р<й + 1)) =
= Cexp[F(p(ft+1))] f P‘4c)(P(*))^(P(ft).P(ft+1))^(ft)- (5.9)
С учетом (5.1)
= 2p^6(p^-^),
(5.10)
где p\k) —апостериорная вероятность состояния Mt на (&)-м такте.
Плотность вероятности перехода согласно (5.3) можно записать
в виде
W(р<*), p<ft+I>) = S/’(P(ft). Mj)6(p<ft+1)—Mj). (5.11)
/
Подставляя (5.10), (5.11) в (5.9), получим
Sp(*+1)6(p(ft+1>—Mt) =
i
=Cvip[F (p<‘+1 >)] s s p<‘> P (Mf, Mi) 6 (ji<*+1) -Mj). (5.12)
i f 1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых 6-функциях и
пользуясь ее фильтрующим свойством, получим
р\к+° = с ехр [F(ft+ ° (Мг)] 2 р^ Р (Mj, Mi). (5.13)
158
Рассмотрим изменение матрицы вероятностей переходов в зависи-
мости от времени Т.
Введем матрицу Q = [(?;;], элементы которой определены следую-
щим образом:
—<7г/=?г = Ит—
(5Л4)
= i=/=j.
т ->о Т
Величины qit qi} определяются на основании того факта, что
с точностью до малых второго порядка pij=qijT — вероятность
перехода за малое время Т из состояния М; в состояние Mf, Ри =
= 1 — qt Т — вероятность того, что за малое время Т не произойдет
перехода из состояния Mt в другое состояние.
Таким образом, из условия нормировки (5.5) и условия стацио-
нарности (5.7) следует
п
2 <7»=0,
/ = 1
п
2 qnPj=O, i = п.
/ = 1
(5.15)
Различные модели цепи Маркова получаются при конкретном за-
дании матрицы Q.
Элементы матрицы вероятности перехода как функции интервала
квантования Т удовлетворяют следующей системе уравнений [5.11:
-^Д = -?гр^(Л+ 2'<7оРа(П = l...п, (5.16)
“7 / = I
причем суммирование производится по всем j Ф I.
Начальные условия решений системы (5.16) задаются равенствами
Система (5.16) и условие (5.17) в матричном виде записываются
следующим образом:
Ap(T) = QP(T), Р(0) = /. (5.18)
аТ
Если коэффициенты qit qa системы (5.16) удовлетворяют условию
(5.15), то элементы pik удовлетворяют необходимым условиям норми-
ровки и положительны.
Решение системы (5.16) имеет вид
Р (Т) = I ехр (QT), (5.19)
159
где матричная функция exp(QT’) определяется рядом
exp(QT) = I + QT + ^-+ ... (5.20)
Для небольших интервалов квантования Т
PtT^ + QT.
В общем случае
Ри(Т) = 8и+11}(Т, Q), (5.22)
где ftj — функция интервала квантования и элементов матрицы Q.
Рассмотрим частный случай однородной цепи Маркова с двумя
состояниями и М2. Здесь
Р(Т) =
1-^Т,
.Qu Т,
Qli Т
i-Q.T
Из (5.15) следует, что
Qi — Qn> Qu— Qi
так, что для небольших Т
—Qi> Qi
Qi’ —Qi.
Для стационарной цепи из (5.15)
—PiQi + pi Qi=0.
С учетом условия нормировки
, 2 — •
<71 +<72 <71+ <7г
(5.23)
(5.24)
В частном случае равновероятных состояний
р1=р2=1/2, д1=д2=д
так, что
(5.25)
Преобразуем теперь рекуррентные уравнения (5.13), введя мат-
рицу Q. Подставляя соотношение (5.22) в (5.13) и разделив все урав-
160
нения при i = 1, п — 1 на уравнение при i = и, получим следую-
щую систему уравнений:
= ехр[Л*-Н)(Мг)-Г<*+» (Мп)] х
Рп
Обозначим
= (5.27)
Тогда
А«<-*> = F(k+ ° (Мг)—F{k+ ° (Мп) 4-
1 + S hi ехР (U/A) — “Р’)
+ In-----, г = 1..........................п— 1. (5.28)
1+ S f/n ехр (ajA))
/=1
Соотношение (5.28) определяет структуру оптимального устрой-
ства.
S.2. УРАВНЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ЦЕПИ МАРКОВА
С ДВУМЯ СОСТОЯНИЯМИ ПРИ МАЛЫХ qT
Рассмотрим сначала случай марковской цепи с двумя состояниями.
В этом случае имеется только одно уравнение (5.28)
Ди <*> = F(k+1 ’ (Мх)—F(k+1} (М2) +
(~»Н)
l + (fi2exP(“(ift))+U
(5.29)
Для небольших интервалов дискретности Т и произвольных веро-
ятностей р! и р2
/и = — Т, /12 “ Я1Т,
fzi Т, ^22 = ^2
Г) <71
Р1 41 + Г2 — ^1+ ^2
6 Зак. 213
161
(5.30)
Уравнение (5.28) при этом имеет вид
\u\k) = F<*+1 > (MJ—F(k+1 ’ (MJ +
। 1—<71Г+<72Техр (—ц(!&))
1—<72T+<7i Texp (u}ft>)
В частном случае системы, для которой
p(ft) р<*)
р2 Р\
т. е. при условии, что вероятности p\k} и р^ не слишком близки
к единице, можно разложить в ряды логарифмы соотношения (5.30).
(MJ-F{k+i} (MJ + T(q2-qJ +
+ Т (<?2ехр (— u(iA)) — ft ехр (ц*?’)). (5.31)
Иногда удобнее записать уравнение (5.31) относительно пере-
менной
П7<*> — n(ft) п<*> In 1 + tt7(*>
U/ _pi — p2 , Ui = ln
(5.32)
Учитывая, что
l—w{k)
/ (A)\ 1—Г<*>
exp (—«i ') =-----------rrr-,
r ' 7 1 _|_yz(«) ’
получим
&W(k) = [F(*+1) (MJ — F{k+i) (M2)] -1~^(ft>
+ T(q2-qJ-T(q2 + qJW{k>.
(5.33)
Соотношение (5.33) является дискретным аналогом непрерывного
уравнения фильтрации, полученного в [5.2].
В случае равных априорных вероятностей
<71 = <7г=<7
и уравнение фильтрации имеет вид
ДГ<А) = [F(ft+1) (MJ—F(A+1) (Afa)J 2qTW(k\ (5.34)
Оптимальное устройство, осуществляющее фильтрацию парамет-
ра, образующего однородную стационарную цепь Маркова с двумя
состояниями, формирует на выходе разность апостериорных вероят-
162
ностей и моделирует уравнение (5.34). Это устройство представ-
лено на рис. 5.1.
Оптимальное устройство содержит блок дискриминатора, форми-
рующий разность логарифмов функции правдоподобия состояний
Л41 и /И2. Это единственный блок, зависящий от вида манипуляции
радиочастотного сигнала, используемой при передаче состояний Мъ
М2 по каналу связи.
Инерционность последующей части схемы обеспечивается нали-
чием линии задержки и сумматора. Вместе с тем фильтр, сглаживаю-
щий единичные замеры, поступающие с выхода дискриминатора,
из-за наличия операции является существенно нелинейным
устройством.
Рис. 5.1, Нелинейный фильтр'для выделения цепи Маркова с двумя состояния-
ми при малом qT.
Ограничения, сделанные при выводе соотношения (5.34), значи-
тельно сужают сферу его применимости и эквивалентны требованию
малого отношения сигнал/шум на выходе дискриминатора. Действи-
тельно, как будет показано ниже, в случае фазовой телеграфии, на-
пример в отсутствии шумов
F(* +1 > _ р(k +1 > = 4р2 k+1 >,
где р2—отношение сигнал/шум по мощности,
n(fe+D = J 1
lM2 = -1.
Ограничиваясь этой сигнальной частью и исключая из рассмот-
рения шумы, получим, что
Д^(*>=2р2р(А+1)(1—Г(АИ) — 2qTW(k}. (5.35)
Последовательность по условию является цепью Маркова.
Вероятность события, которое заключается в том, что серия из п
тактов содержит только состояния Мг — 1, равна
р(п) = Р1Р1"Г1)-
6* 163
Среднее значение количества тактов, состоящих из одних единиц,
есть
~ Pi
<п) = ^пр(п)=-^^-2.
Для равновероятных состояний
<п> =—!—. (5.36)
2(9Т)2 v ’
Среднее значение количества тактов в последовательности, со-
стоящей из одних состояний Л42 = —1, выражается также соотноше-
нием (5.36).
Рис. 5.2. Типичная реализация цепи Маркова с двумя состояниями.
Поскольку предполагается, что qT 1, то <n> 1 и типич-
ные реализации последовательности [|ы(Л!>] имеют вид меандров со
значительной по сравнению с Т средней длительностью (рис. 5.2).
Таким образом, можно интересоваться существованием стацио-
нарных состояний уравнений (5.35) в отсутствие шумов в случаях,
когда последовательность состоит из одних 1 или —1.
Уравнения, определяющие эти состояния, имеют вид
Wl±-^№± —1=0. (5.37)
Р2
Стационарные значения равны приблизительно
~ ± 1 Т —
± 2р2
± 1 +е
и условие правильности уравнения (5.35) есть
^«1, р2«1.
8
В связи с этим обстоятельством основную роль играет точное
уравнение (5.29), справедливое для любых отношений сигнал/шум.
Рассмотрим уравнение (5.29) для частного случая однородной
стационарной цепи Маркова с двумя равновероятными состояниями
при любом Т.
164
5.3. УРАВНЕНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЦЕПИ МАРКОВА С ДВУМЯ
СОСТОЯНИЯМИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ?Т[5.3]
В случае стационарной однородной цепи Маркова с двумя равно-
вероятными состояниями можно получить удобное представление для
матрицы вероятностей переходов.
Правая часть соотношения (5.19) может быть представлена рядом
(5.20), справедливым для любой матрицы Q:
P(T) = I + QT + ^ + ...
Выберем матрицу Q в виде (5.25)
(5.38)
Тогда
Q*=( — l)*-i 2*-< qk
P(T) = I + ±- [1- ехр (- 2qT)]
f(qT) ’ — 1, 1
. 2 [ 1, —1
(5.39)
f(qT) = 1 —ехр (—2qT).
Соотношение (5.39) справедливо для любых значений qT.
Таким образом,
Pii = Р22 = 1 —(1 — ехр (— 2qT)),
/11-/22 = —ft
(5.40)
Pi2=Pn = — (1— exp(—2qT)),
/12 =/21 ~ f-
Уравнение (5.29) в этом случае имеет вид
ди(*) =F(fe+D (Мх) —F<fe+1) (М2) +
l-f/2+f!2 ехр ( — „(*>)
П 1-/72+ f/2 ехр («<*>) ’ ( )
165
Особое значение для формирования u\k+ ° имеет преобразо-
вание
(5.42)
l-f/2+f/2exp («<*>)
В случае статистической независимости состояний от такта
параметр f имеет максимально возможное значение, равное
к такту
единице
qT = оо, f = 1,
7___
L = — U i ,
Рис. 5.3. Семейство характеристик нелинейного устройства в цепи обратной
связи оптимального фильтра.
Для сильно зависимых состояний
f = 2qT « 1.
Семейство преобразований Z для различных значений f представ-
лено на рис. 5.3.
Уравнение (5.41) моделируется с помощью системы, изображен-
ной на рис. 5.4.
Устройство рис. 5.4 состоит из дискриминатора, осуществляюще-
го формирование разности логарифмов функций правдоподобия,
двух сумматоров, линии задержки на такт и преобразователя в цепи
обратной связи Z(u\k} , qT), осуществляющего нелинейное преобразо-
вание выхода в соответствии с рис. 5.3. Точный вид преобразования
соответствует заданному значению
О < < оо.
Интересно рассмотреть случай независимых состояний, получаю-
щийся при qT = оо. Здесь Z = —и^, Таким образом,
ы(й+1) =/7(*+ о (MJ—F<ft+1) (М2), (5.43)
166
т. е. величина «(*+1) формируется только в зависимости от разно-
сти логарифмов функций правдоподобия в (k + 1)-м такте и не зави-
сит от u(i \ как это и должно быть для независимых состояний.
В целом сигнал, поступающий с выхода нелинейного преобразо-
вания, всегда меньше, чем u[k} по абсолютной величине, и противо-
положен по знаку. Величина |Z(u(ift>)| приближается к | и\к) | в слу-
чае «очень достоверной» фильтрации (| | -> оо) или в случае не-
зависимых от такта к такту состояний. При этом прибли-
зительно равняется разности логарифмов функций правдоподобия
состояний.
Рис. 5.4. Нелинейный фильтр для выделения цепи Маркова с двумя сос-
тояниями.
Если состояния от такта к такту сильно зависимы и достовер-
ность фильтрации умеренная, то преобразование
Z ~ о
и схема рис. 5.4 осуществляет идеальное накопление разностей ло-
гарифмов.
5.4. ТИПОВЫЕ ТЕЛЕГРАФНЫЕ СИГНАЛЫ
Рассмотрим подробнее структуру блока дискриминатора для слу-
чая типовых дискретных сигналов.
Амплитудная манипуляция
При амплитудной манипуляции с некогерентной несущей по ка-
налу связи либо передается сигнал
as (t—tk) cos (©/ + Фй)>
где s (t — th) — прямоугольный импульс длительностью т; а —
известная амплитуда; <о — известная несущая круговая частота;
— случайная начальная фаза, либо сигнал равен нулю =
167
При приеме сигналов в белом шуме с мощностью на единицу по-
лосы N, вычисляя функцию правдоподобия обычным образом, легко
видеть, что при большом отношении сигнал/шум
F<A+1)(Mi)-F(*+1)(M2) = 2p2 (rft+J -4Л
где р2 =------отношение сигнал/шум по мощности;
4N
th+t
2 (•
rk+i=— \ х (/) ехр dt
ат У
‘к
(5.44)
(5.45)
— нормированный выход оптимального приемника, изображенного
на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Оптимальный дискриминатор амплитудно-манипулированных сиг-
налов.
Приемник состоит из фильтра, согласованного с прямоугольным
импульсом длительности т, линейного детектора, устройства деления
на а (быстродействующая регулировка усиления) и селектора.
Выход приемника в отсутствие шумов равен
[1, если передается Mlf
Г k-{-1 = {
(О, если передается Л12.
Таким образом, в отсутствие шумов
F<ft+I>(M1)-F(ft+1) (М2)= ( р2’ если пеРеДается
1 2 I —р2, если передается М2.
Если обозначить Mj = l, /И2 =— 1, то в отсутствие шумов
F<a+I)(M2)= p2p(ft+I). (5.46)
Частотная манипуляция
При частотной манипуляции с некогерентной несущей по каналу
связи передается либо радиочастотный импульс длительностью т
на частоте 04
as(t — th) cos (сщ/4- <pft), ц(А) = /и1,
либо радиочастотный импульс длительностью т на частоте <о2
as(t—Zft)cos(®2/+4)ft), р<*>=/И2.
168
В данном случае, при приеме в белом шуме с мощностью на еди-
ницу полосы N и для больших отношений сигнал/шум
(5.47)
где
'й+1+т
J х (t) ехр (ja^t) dt ,
(5.48)
о
rk+l 0*2) = —
^+i+T
J x (t) exp dt .
lk+i
Дискриминатор частотно-манипулированных сигналов
ставлен на рис. 5.6.
пред-
Рис. 5.6. Оптимальный дискриминатор частотно-манипулированных сигналов.
Приемник состоит из фильтров, согласованных по полосе с прямо-
угольным импульсом длительности т, настроенных на частоты и
®2 соответственно, линейных детекторов, делителей на амплитуду,
селекторов и вычитающего устройства.
Если шумы отсутствуют и обеспечена хорошая «развязка» ка-
налов дискриминатора (®х —®2 1/т), то при передаче сигнала М
'•»+, («) = !.
при передаче сигнала УИ2
r*+i (^i) ~0» rk+\ (^2) ~
Таким образом, в отсутствии шумов
E(ft + 1)(Af1)—F(fe+I)(M2)= 2р2р(А+1)
[ 1.
и(*+1) = _ ’
(5.49)
169
Фазовая манипуляция
При использовании фазо-манипулированных сигналов по каналу
связи передается либо радиочастотный импульс длительностью т на
частоте <в
as(t—th) cos (<в/ + ф),
либо сигнал
—as(t—/ft)cos(<o/ +ф), р.**) — М2.
Рис. 5.7. Оптимальный дискриминатор фазо-манипулированных сигналов.
В данном случае
^(*+I) (Hi)- ^(А+П (На) = 4p2xft+1( (5.50)
где
2 С
хк+.=— | x(f)cos(at + q)dt.
QT J
*k
Если шумы отсутствуют, то
Г 1, если р<*+п =7И1 = 1,
Xft + 1 (— 1, если р<*+1> — М2 = — I
так, что в отсутствие шумов
xft+1=W*+1). (5-51)
Дискриминатор фазо-манипулированных сигналов представлен
на рис. 5.7. Он состоит из фазового детектора, согласованного фильт-
ра, делителя на амплитуду а, селектора и умножителя на 4р2.
Временная манипуляция
В случае временной манипуляции по каналу связи передается
либо сигнал
as (t—th) cos (at + фй),
либо сигнал
as (t + т— th) cos (at -f- фй),
где s(t) — прямоугольный импульс длительности т = Т/2.
170
При приеме в белом шуме с мощностью на единицу частот N
и большой величине отношения сигнал/шум
^+1>(M1)-F(ft+1)(M2) = p44+i-a+1), (5.52)
где
о а т
р2 =-----,
4N
(5.53)
г*+1 “
,ft+l+T
4 С
= — | х (/) ехр (/со/) dt ,
та J
е*+1
(5.54)
" —Л-
*+1 та
4-т
х (0 ехр (jW) dt
+ X
При подаче на вход сигнала без шумов
( 1, если передается состояние Л4Х = 1,
rk-i-i rk+i~ I—1( если передается состояние М2 = — 1.
Таким образом, во всех случаях уравнение фильтрации имеет
вид
Ьи[к) = %2ук+1 +Z («<?>), (5.55)
где функция Z определена соотношением (5.42);
Х2 =
' Р2
2р2
4р2
для амплитудной и временной манипуляции,
для частотной манипуляции,
для фазовой манипуляции;
уь+i определяется соотношениями (5.44), (5.52), (5.47), (5.50) соот-
ветственно. При таких определениях уь+i в отсутствие шумов
1/а+1=Р<а+1)= I j’
во всех случаях.
5.5. ПРОЦЕССЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СОСТОЯНИЯМИ
Для того чтобы исследовать структуру оптимального устройства при
фильтрации процесса с несколькими состояниями, необходимо конкретизировать
вид матрицы Q.
171
Рассмотрим цепь Маркова, в которой матрица Q задана соотношением
— 1, 1, о, 0, .. 0-
0, — 1, 1, 0, .. о
о, о, — 1, 1, .. о
<о II
- 1, о, о, 0„ .. — 1-
(5.56)
так, что при небольших Т возможны только переходы из любого состояния в се-
бя и в одно соседнее (из f-ro состояния в i + 1-е состояние), причем соседним с
Мп считается Матрица (5.56) удовлетворяет условию нормировки (5.15)
и условию стационарности в случае, если все одномерные вероятности равны и
равны Цп, т. е. все состояния равновероятны.
Зависимость элементов матрицы вероятностей переходов от Т может быть
найдена наиболее просто, если используется система уравнений (5.16), которая
в данном случае может быть записана в виде
d
-^Pik = -(lpik+clpi+l,k, (5-57)
причем р1+П' k = Pik. Введем
rtk = ехр (qT) pik,
удовлетворяющие уравнению
drik __ _
dp У?i -J- 1> kt k rik*
Дифференцируя последовательно по T, получим
d2rik dri+l,k г
ДТ2 ДТ Г‘ + 2, k,
Решение уравнения (5.59) необходимо искать в виде
r(ik=h(ik ехР(<7% г).
Характеристическое уравнение для (5.60)
a"=l, av = ехр j=/— 1-
Таким образом,
rih = ij h{ik ехР (?av т)-
v = 1
(5.58)
(5.59)
(5.60)
(5.61)
(5.62)
Подставляя (5.62) в (5.58), получим
172
откуда следует, что постоянную h можно искать в виде
Поскольку начальное условие для системы (5.57)
Pik^^ik,
то
rik(°)=sik
и, следовательно,
rzft(0)= 2 4v)«v = ««-
v= 1
Непосредственной подстановкой с учетом соотношения
п . г-х (п, 1 = 6,
v = l lo, i^k
получим
4V) = —
к tl v
Таким образом,
1 п
Pik = — ехр (- qT) 2 ехр (?av Т),
п м— 1
(5.63)
(5.64)
(5.65)
(V \
2л/ — ,
n J
1 =
Соотношение (5.65) решает поставленную задачу.
Рассмотрим частный случай четырех равновероятных состояний. Здесь
«1 = ехр = /. а2 = ехр (/л) = — 1,
(5.66)
/ Зя \
а3 = ехр (/—)= —Ь «4 = ехр (/2л) = 1,
Ри = Р22 = Рзз = Р44 = 1 + fa = — ехр (— дТ) (ch дТ + cos дТ),
Р21 =Рз2 = Рц = Ь+\,1=-^ ехР (- qT) (- sin дТ + sh дТ),
Р31 = Рц = Л-+2, < = Y ехр (- qТ) (ch qT — cos qT),
„ 1
P41 = fi+з, 1 = -J-exp (— gT) (sin gT + sh gT),
P13 = P24 = fi-2,1 = exP (- qT) (- cos gT + ch gT),
Pu^fi.i + 3— exp (—gT) (—sin gT + sh gT). (5.67)
173
При небольших
порядка)
qT матрица Р имеет вид
(с точностью до малых второго
i-qT,
О,
О,
qT, О, О
1-qT, qT, О
О, 1 — qT, qT
О, 0, 1 — qT
Схема приемника, осуществляющего операции (5.28), представлена
на рис. 5.8.
Рис. 5.8. Нелинейный фильтр для выделения цепи Маркова с четырьмя состоя-
ниями.
Устройство состоит из четырех блоков, осуществляющих выделение лога-
рифмов функций правдоподобия, схем вычитания, идеальных сумматоров и трех
блоков, осуществляющих нелинейные преобразования Z19 Z2, Z3 в цепях обрат-
ных связей.
Указанные преобразования определены соотношениями:
Zi=1п Ф+^п+ехР {u2k)—4i + exP («з*’— “ift))f3i + exP (— f4i] X
X [1 + exp («<,*>) f14 + exp (i4*))f24+exp (4*>)f34 + f44]-1},
Z2 = In {[1+exp («</=>-uW)f12+f22+exp f32 + exp (-d?) f4J x
X [1 + exp f14+exp (MW) f24 + exp f34 + f44]-1},
23= In {[1 + exp f13 + exp f23 + f33 + exp (f4J X
X [1 +exp («[*>)f14+exp (4fe))f24+exp (4A))f34 + f44 ]“'}. (5.68)
Для небольших qT < 1
z = ln 1+?^ [-1+exp (--tA*))]
\+qT [-1+exp («[*>)]
7 l + ?T[exp(M(ift>-u[,ft))-l] (5’69)
1 + 9Г [ — 1+exp
174
7 _l^l+?7’[eXp(U2A)-“3A))-1]
3 * *• г V \ \ l *
1+<?Г[_1+ехр (uW)j
Наконец, если qT exp (± < 1, to
^i — qT [exp ( —exp (4*0]’
Z2~qT exp (г//^—4*0—ex₽(4*0] ’
Z2 = qT [exp (4*) — 4*0 "“exp (M3*0] ’
(5.70)
Блоки формирования логарифмов функций правдоподобия содержат
фильтры, согласованные с каждым из сигналов, с помощью которых передаются
по каналу связи состояния Mj. Конкретный вид этих фильтров зависит от спо-
собов кодирования информации.
5.6. СОВМЕСТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ
И ДИСКРЕТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Предположим, что сигнал зависит от нескольких параметров,
подлежащих выделению. Один из них р представляет марковский про-
цесс с двумя дискретными состояниями, описываемый матрицей ве-
роятности состояний и матрицей вероятностей перехода
Pl Р11, Р12
_ Р2 J L Ри> Р22 _
(5.71)
Остальные параметры р.ь .... являются независимыми Марков*
сними процессами с непрерывным пространством изменения и удов-
летворяют уравнениям
Pi+«1Р1
............................ (5.72)
Йп+«пНп = г/п(0.
где у}(1)—«белый» шум с мощностью на единицу полосы Lt.
Уравнение фильтрации в общем случае записывается в виде
Р1с+1)(|Х, fb ••.. Hn) = Cexp[F<*+1>(b Р1, .ГИп)] х
X^.-JP^X, *i. .... ХП)№(Х, ц)Х
п
(5.73)
1=1
где
Ш — р^ , — р/ .
Вероятности переходов для параметров %, ..., Хп равны соот-
ветственно
2
Г (X, |1) = 3 р (X, Mt) 6 (и—Mt), (5.74)
175
W (Xf, Hi) = z—1 /- exp f------- 1 (5 75)
v l’ ™ /2л Oi /6 | 2 o?t>. j ’
где
a( = l—exp(—az T); &z = l—exp(—2af T); a2 =Lz/2az.
При определенных видах кодирования в канале связи можно
представить апостериорную плотность вероятности в виде
2 1
Ра? (Л> ^1, • • •» ^п) = Р/ 1 5 Mj) (2л)"/2 m(ft> . . /п(&)
( п (х.-лН*))2)
X ехр - V —— *-I. (5
( 2m\k^2 j
Подставляя (5.74)—(5.76) в (5.73) и вычисляя интегралы, по-
лучим
2 ft
2 р'1+ " 8 (И-М,) П «Р “
/ = 1 х=1 mi [ 2m\k+i}2
2 2
= Сехр S р'ПрнХ
L i«l/=l
X 6 (|1 —M;) П-г 1 _
J=1 /POPP *
x exD |_1 [hz-O-^XT
I 2 m(k) 2(1 _aj2 + a2^
(5.77)
Приравнивая коэффициенты при 6(p—M}) в (5.77), получим
( « /„ _Л4(й+1)\2) 2
рРРхр -2 (И; (^,)а) =Сехр[Р+‘>] 2 рр’р.-х
I "г"1'4 I -'
/ — 1 i 1
j___i_ У
( 2 p)2(1_aj)2 + a2^
(5.78)
Найдем рекуррентное уравнение для апостериорных вероятностей
р1к+1\ p2k+l) путем усреднения (5.78) по р,ъ ..., рп:
2
₽<-* + ' _С' 2 р!й РИ$ • • ... <Wxp [F<‘+ "] х
i
xexD|__L v [^-(1~az)X]2]
2 Z = 1P)2(1 —«02 + <P)
j = l, 2.
(5.79)
176
Предположим, что функция правдоподобия может быть записа-
на в виде
п
exp[F(*+1)] =ехр 2 Ф'М"Я ц„) •
L?=i
(5.80)
Разлагая функцию Ф в точке М(к) =(1 —ад)М{к) и перегруп-
пировывая члены в показателе экспоненты (5.79), получим, что
интеграл в правой части (5.79) распадается на произведение интег-
ралов вида
1р{~т <’) +
-I- "Ф/" (м,. <’) (|»,-«!*’) +
I- даф"2+" («>• <’) +<’)2| -
= С"ехр Ф(*+1> МГ) +
Ml*’)
12
„(*) 2
ei
‘-«i*12
(5.81)
где
e«"=ra«“(l_a/+o?6,.
Таким образом,
2
рГ»
= С"' 2 р<*>рг;ехр F(*+1)(M;, <>, ...,М<*>) +
(Ф')У)г
1 — ер)2Ф"
Mj, м<*>
(5.82)
Из (5.82) операциями, аналогичными выполняемым при выводе
(5.29), получим
ы(?+1>— u(ik) = F(k+i) (Мъ M\k\ ..., —
— F(k+i)(M2, M\k\ ..., M(nk)) +
4-2 [ф (Мь М(?))-Ф(7Иа> <>)] +
! ln > + ^11 + 41ехр("-цН)
1 + f22 + f12 exp («<*>)
(5.83)
177
где
ф'2^’2
1 _8(*)2ф"
Mj,
Найдем уравнения фильтрации параметров р,х, ..., рп. Для этого
проинтегрируем (5.77)
no pi:
__L у (h/-<+1))2 L
2 m\k+^2
+^M1’ M2’ ^)|> (5-84)
_ „(«) 2
I = 1 el )
ф(Л4х, M2, px, ..., pn) = ln [p(i&) exp F(ft+1) (Л4Х, Их.pn) +
+ p^exp^+I)(M2, Нь-.Нп)],
ехр
п
1
= Сехр —- V
(5.85)
2
Я‘> - 2 ₽!*’ Р„.
Х=1
Логарифмируя (5.84), разлагая в ряд в точке Л4*й> и приравни-
вая коэффициенты при одинаковых степенях разностей (pz—М^),
получим уравнения фильтрации
^(M1’ М2' , (5.86)
fyz
(й+1)» o2 6z + m<ft’2(l-a)2
—--------------------------------------------
4v(Mr M2, M\k\ .
(5.87)
.м
+ piexp(2F2)-^-)x
М J
d2Ft , cPF^
где
д2ф С~'2 /о z? \ d2Fi . ~ ~ ,с , с \
—%- = Pl ехр (2FX) —J- + Pi р2 ехр (Fx + F2)
дц, ( dp.z
/ dFj dF2 \2
\ д^1 д^1 J
X {pxexpFx + p2expF2j-2,
Ft = F{k+1) (Mh M(ik\ ..., M™).
В (5.86) имеется член Эаф/5р;5рг, который должен быть прирав-
нен нулю, так как в левой части нет члена (pz — М^) (рг — Л4***).
Однако из вида функции правдоподобия (5.80) равенства нулю не
следует. Объяснение состоит в следующем.
178
В (5.76) было предположено, что апостериорная плотность вероят-
ности равна произведению одномерных плотностей. Вообще говоря,
нужно было бы записать ее в виде многомерного закона. Однако при
независимых априорных процессах и соответствующем способе ко-
дирования смешанные моменты многомерной апостериорной плотно-
сти вероятности малы и ими можно пренебречь.
Поэтому все сделанные выкладки в первом приближении можно
считать справедливыми, а член д2ф/дргдрг можно опустить.
Рис. 5.9. Нелинейный фильтр для выделения вероятностей plt р2 в системе
совместного измерения цепи Маркова и непрерывного параметра.
Окончательно уравнения (5.86) можно записать следующим об-
разом
dFi
dlil
1___________
ехр (F2 - Fx) ]«<*>
Pi
+
, лг<*>
п
+ /np+i)d_^----------—!----------
1 + А- ехр (Fx - F2) /лг<*>.лН*>
Р2
(5.88)
Рассмотрим особенности уравнений фильтрации (5.83), (5.87),
(5.88).
Система, моделирующая уравнение (5.83), представлена на
рис. 5.9.
Основные особенности схемы состоят в том, что при формировании
логарифмов функции правдоподобия состояний Л4Х и М2 использу-
ются экстраполированные апостериорные средние процессов ТЙ'6',
..., предыдущего такта; кроме того, «сигнал ошибки»
/?(А+1)(М1)—Fl*+1)(M2)
179
исправляется на величину
2 {ф(л11, ф(м2) АО-
/
Смысл исправления разности логарифмов функций правдопо-
добия можно объяснить следующим образом. Если бы значения непре-
рывных параметров были известны точно, то логарифм
функции правдоподобия формировался бы идеально. При неточном
знании параметров р,ь ..., логарифмы функций правдоподобия в
состояниях Mlf М2 отличаются от идеальных, вообще говоря, на раз-
ные величины. Вводимая поправка исправляет эти отличия.
Рис. 5.10. Нелинейный фильтр для выделения непрерывного параметра в си-
стеме совместного измерения цепи Маркова и непрерывного параметра.
Поскольку ср пропорциональна квадрату первой производной
дФ/др,г, эта поправка может быть малой.
Выход схемы рис. 5.9, в свою очередь, используется для фильт-
рации процессов ..., рп(/).
Уравнение фильтрации для апостериорного среднего моделиру-
ется с помощью устройства рис. 5.10.
Фильтр непрерывного процесса содержит два дискриминатора,
осуществляющие операции
^(М2)
в одном и втором состояниях цепи Маркова, причем производные вы-
числяются в экстраполированных точках 7Й(Г, ..., М{п. Сигналы
ошибок умножаются на вес m\k+1)2, определяемый уравнением
(5.87).
Основная особенность состоит в том, что сигнал ошибки каж-
дого дискриминатора умножается на свой вес, формируемый в зави-
симости от предыдущих значений (u(i}), и текущего «сигнала
ошибки» F2 — /*1.
180
В типичных условиях большого отношения сигнал/шум веса в
каналах либо близки к единице, либо близки к нулю, что соответствует
простой коммутации выходов дискриминаторов. Для «независимых
цепей Маркова» Z(u^) = —и веса зависят только от текущего
«сигнала ошибки».
Литература
5.1. Дуб Д. Л. Стохастические процессы. Изд-во иностранной литера-
туры, 1956.
5.2. Кульман Н. К., СтратоновичР. Л. Нелинейный фильтр
для фильтрации телеграфного сигнала. «Радиотехника и электроника», 1961,
№ 9..
5.3. Амиантов И. Н., Груздев В. В., Петров Е. П. Оп-
тимальное выделение дискретного марковского параметра сигнала из шума. Сб.
статей по материалам II Всесоюзного симпозиума по вопросам помехоустойчи-
вости систем связи с частотной и фазовой модуляцией, 1970.
Глава 6
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
6.1. УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ
НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ
Дискретные системы связи, рассмотренные в гл. 3, 4, 5, исполь-
зуются наиболее часто. Вместе с тем, достаточно широкое распростра-
нение имеют и непрерывные системы.
Теория непрерывных систем связи получается более компактной,
если предположить, что выделяемые процессы являются компонен-
тами многомерного марковского процесса с непрерывным временем.
Уравнения фильтрации можно получить путем предельного перехода
в соответствующих выражениях для процессов с дискретным време-
нем при стремлении к нулю интервала дискретности Т.
В данной главе рассматриваются частные случаи двумерных
непрерывных систем связи, в которых подлежащий выделению про-
цесс р(/) модулирует непрерывный сигнал по амплитуде, фазе или
частоте и, кроме того, имеется фазовая модуляция <р(/), возникающая
в процессе передачи сигнала и не несущая «полезной» информации.
В этих случаях приемное устройство выделяет два случайных
процесса Afg(/) и Л4Ф(/), являющихся апостериорными средними про-
цессов рД) и <р(/), и вычисляет апостериорные кумулянты Agg,
Афф, используя их значения для фильтрации р, <р.
Уравнения фильтрации имеют вид [6.1, 6.2]:
dt
dMg,
dt
dt pq
dF '
ИФ dtp Afg t Af<p ,
Г dF dFl
+ /ф(Мц, А4Ф)= А’фц'^+Кфф
dfp , v, dfg
р' dMt
(6.1)
d2F
lq dMidMj ’
(6.2)
P, q, i, j
' *=N N —N N =0
pp IV pf qq q> pq
182
В дальнейшем предполагается, что фильтруемые процессы опре-
делены системой уравнений
-^ + ан = Уи(0 (/и=ар.),
(6.3)
^- = №(0 (/ф = 0),
at
в которой г/|х(/) и г/ф(/) — независимые белые шумы с мощностью на
единицу полосы частот N^, соответственно (имеется в виду дву-
сторонняя спектральная плотность мощности).
В соотношениях (6.1), (6.2) логарифм функции правдоподобия
имеет вид
P(t, р, Ф) =[2s (/, р, ф)х(/)—s2(f, р,ф)], (6.4)
где х(/) — наблюдаемая сумма сигнала s(t, р, ф) и собственного шума
приемника с мощностью на единицу полосы частот N.
6.2. ОБЫЧНАЯ АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ.
СРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
При амплитудной модуляции (AM) полезный радиосигнал можно
записать в виде
s(/, р, ф)=(А0 + р(0)соз[со0/+ф(01. (6.5)
Здесь Ао и со0 — априорно известные значения амплитуды и частоты;
р — информационный параметр; <р — случайная фаза, рассматривае-
мая как несущественный (неинформационный) параметр; информа-
ционный процесс р(/) получается при пропускании белого шума с
мощностью на единицу полосы N* = Мц/а2 через интегрирующий
7?С-фильтр (7? С = 1/а).
Если учесть узкополосный характер рассматриваемого радио-
сигнала, то в результате вычислений получим следующее выражение
для одностороннего энергетического спектра:
$ам (ю) ~ а
/и2
1 + Рф/2
______£ф/2_______
_ /(0 — (00 \2
<“»)+
<б.б)
где DI(I — Njp/a — дисперсия случайного набега фазы высокочастот-
ного колебания за время корреляции тк информационного сооб-
183
щения |х(/). Параметр т* = /А% характеризует глубину амплитуд-
ной модуляции.
При D<p =f= 0 энергетический спектр AM радиосигнала является
сплошным, в отличие от частного случая £)ф = 0, когда спектр ока-
зывается дискретно-сплошным.
Применительно к сигналу (6.5) уравнения оптимальной нелиней-
ной фильтрации (6.1), (6.2) принимают вид
—“ 4“а^ц Рц 4~ Л\хф Рф,
at
dMm
=/Сфф Рф +Кцф Рц,
= N» - 2aKgg + К2^ +
+ 2/Cjlljll Кулр Рц(р 4" ^С|Хф ^фф>
(6.7)
(6.8)
(6.9)
— ^Кцф + Кцц, ^Ц|х4“
4“ ^Сцф Кфф ^фф 4~ К^цф Р цф 4~ К^цКфф F цф,
= Л/ф 4~ Кфф^7фф 4~ 2/Сфф К[1ц>Рцф 4~ Кцф .
Функция F определяется формулой (6.4) и равна
F = ~2N {2Х [Л° +11 C°S [<°° * + ф ---2" +
Индексы при функции F означают производные по параметрам. Имея
в виду дальнейший переход к стационарному состоянию, принима-
лось, что = Дфц.
Для упрощения вычисления ошибок фильтрации подставим
в уравнения (6.9) вместо функций Fw, Fw, F^ их значения, усред-
ненные по времени, которые обозначим чертой сверху. Они равны
— F^ — O, Fw = —(Ao + cfy,
a.
2 _
g 2a 2
Кроме того, ограничимся рассмотрением стационарного состоя-
^^фф ^^Цф г\ гр
ния, т. е. положим = —^- = 0. -Тогда вместо систе-
at at at
мы уравнений (6.9) получим систему
Kjxp, F цц — 2а/Сцц Н“/Сцц/?фф-|-Л^р(=О,
^|1ф (-^CjLLJLL Р|1|1 Н“^Сфф РФФ а) :=::0,
^фф ^фф + ^Сцф^ gjLl+^ф —0.
184
Решение этой системы уравнений имеет вид
(6.10)
2^ф
(ло + ац) ’
— о.
Будем характеризовать помехоустойчивость приема непрерыв-
ных сигналов величиной относительной ошибки фильтрации инфор-
мационного сообщения. Квадрат этой ошибки определяется формулой
о К„„ 4N Л N* \
U 2Vjbl \ /
или соотношением
61М =---------Ц^(1/ (6.12)
о « т \ Г 1 + т /
2<? 'll 2 '
1 + т2
где 92 = s2/2aN — отношение сигнал/шум по мощности.
Характерно, что в рассмотренном приближении относительная
ошибка оптимальной фильтрации амплитудно-модулированных сиг-
налов не зависит от величины фазовых флуктуаций сигнала, т. е.
помехоустойчивость когерентного (А/ф = 0) и квазикогерентного
(А/ф 0) приема оказывается одинаковой. Этот вывод справедлив
лишь в рамках гауссовского приближения для апостериорной вероят-
ности, т. е. при большом отношении сигнал/шум.
Подставив в уравнения (6.7) найденные средние значения куму-
лянтов, получим уравнения фильтрации
_ Гх (/) cos (<о0/ +А4ф)——
W L 2
(6.13)
хфф X (0 sin (со0/ + Мф).
Эти уравнения моделируются оптимальным приемником, один
из вариантов структурной схемы которого приведен на рис. 6.1. При-
емник осуществляет квазикогерентный прием сигналов. Он имеет
основной, информационный канал, на выходе которого получается
оценочное значение А4|Х(/), и фазовую автоподстройку частоты, выра-
батывающую опорный сигнал для синхронного детектора.
Рассмотрим подробнее структуру основного канала оптимального
приемника. С учетом (6.10) и при малой интенсивности собственного
шума приемника N ошибка фильтрации определяется соотношением
(6.14)
аУNN» .
Рис. 6.1. Структурная схема оптимального приемника амплитудно-модули
рованных радиосигналов.
При этом уравнение фильтрации имеет вид
= р [2х (0 cos (®01 + Мф ) - Ло],
(6.15)
а
схема состоит из синхронного де-
данные на напряжение когерент-
дискриминатора, убирающего по-
’’ у 2 V N '
Таким образом, оптимальная
тектора, умножающего принятые
ного гетеродина cos (<о0/ + Л4Ф),
стоянную составляющую Ао, и интегрирующего Т^С-фильтра с посто-
1/2"
янной времени 1 / (рис. 6.2). Коэффициент 2 учитывает
уменьшение амплитуды полезного сигнала при выделении постоянной
составляющей в два раза. Полоса 7?С-фильтра выбирается из компро-
мисса между стремлением пропустить как можно меньше шумов и
1?6
искажениями демодулированного сообщения за счет конечной поло-
сы пропускания фильтра и, в результате, прямо пропорциональна
отношению сигнал/шум N^/N. Суммарная ошибка объединяет обе
составляющие ошибок, минимальна и определена соотношением (6.14).
Как видно из рассмотренного примера, приемные устройства не-
прерывных и дискретных систем связи имеют одинаковую структуру.
Имеются, однако, и существенные различия.
Приемные устройства в дискретных системах содержат фильтры
первичной обработки, согласованные с формой импульсного сигнала,
с помощью которого осуществляется передача сообщений в каждом
такте. Эти фильтры максимизируют отношение сигнал/шум в каждом
Рис. 6.2. Вариант структурной схемы оптимального приемника амплитудно-
модулированных радиосигналов с сглаживающим 7?С-фильтром.
такте рабох ы приемного устройства. Последующая фильтрация (вто-
ричная обработка) осуществляется цепями, сглаживающими сигналы
ошибки. В непрерывных системах связи первичная обработка отсут-
ствует; фильтрация осуществляется только лишь цепями, сглаживаю-
щими сигналы ошибки дискриминатора.
Второе различие связано с поведением весового коэффициента.
В непрерывных системах при уменьшении уровня мешающего шума N
весовой коэффициент неограниченно возрастает. Например, для AM
системы
а »/ N*
₽ = —=-!/ —— —>оо. (6.16)
г /2 r N ' '
Это объясняется тем, что непрерывная система устойчива при сколь
угодно широкой полосе, так что при уменьшении уровня шума можно
для лучшего воспроизведения сообщения неограниченно расширять
полосу пропускания системы.
Напротив, если коэффициент усиления х в приемных устройствах
дискретных систем станет больше единицы, то устройство потеряет
устойчивость. Поэтому в оптимальной дискретной системе весовой
коэффициент увеличивается до определенных пределов х 1. При
х = 1 система перестает фильтровать сигнал ошибки и шумовая
ошибка выделения сообщения равна ошибке единичного замера, ко-
торая стремится к нулю как первая степень уровня шума N. В непре-
187
рывной системе при неограниченном расширении полосы ошибка
стремится к нулю как У N.
Таким образом, при малом уровне шума в отношении ошибок
фильтрации дискретные системы имеют безусловное преимущество
по сравнению с системами непрерывными. Необходимо, однако, иметь
в виду, что помимо учитываемых в теории фильтрации ошибок дискрет-
ной системе свойственны ошибки из-за временного квантования пере-
даваемых сообщений.
6.3. ДВУХПОЛОСНАЯ МОДУЛЯЦИЯ БЕЗ НЕСУЩЕЙ
Запишем двухполосный сигнал без несущей (ДМ) в виде
s (t, р, <р) = р (/) cos (со01 + <р (/)). (6.17)
Функция корреляции и спектральная плотность такого радио-
сигнала соответственно равны
а*
А'дм (т) = -£-ехр
е < 1+D<₽/2
а (1 + Рф/2)2 + [(о)-соо)/а]2 •
(6.18)
Из сравнения вида полезных сигналов (6.17) и (6.5) непосредст-
венно следует, что для рассматриваемого сигнала справедливы все
полученные выше выражения, нужно лишь в них положить Ао = 0.
В частности, нетрудно убедиться, что теперь будут справедливы сле-
дующие соотношения:
г» = [2х (/) cos (со0/ + Мф)—Мц ],
7’ф = —^-Мцх(/)8т(<о0/+Мф),
Кфф = ~— У 2NNф, /Ср,ф — 0*
и
Для квадрата относительной ошибки фильтрации сообщения при
двухполосной модуляции без несущей получим формулу
i _____ q2
8»=-^(Kn-V-D. (6.19)
188
Рис. 6.3. Структурная схема оптимального приемника двухпо-
лосного радиосигнала без колебания несущей частоты при ам-
плитудной модуляции.
Рис. 6.4. Зависимость квадрата относительной ошибки фильтра-
ции сообщения от отношения сигнал/шум при разных видах ам-
плитудной модуляции.
Применительно к сигналу (6.17) уравнения (6.13) принимают вид
dM I N* \|/2 К
~7Г + а
К ' (6.20)
dMm М„ —
~~ =-------х (t) sin (aot + Mq>).
at /V
Структурная схема оптимального приемника, построенная в соот-
ветствии с уравнениями (6.20), изображена на рис. 6.3.
Результаты расчета ошибок фильтрации для случаев простой
амплитудной модуляции и двухполосной амлитудной модуляции без
несущей приведены на рис. 6.4. Там же приведены ошибки для случая
однополосной модуляции с пилот-сигналом, которые подсчитаны на
основании соотношения
т2 / т2 \->/2 \
+ <72---41+2^----------2— -1 , (6.21)
i+.^o \ l+mo J J
О2 l+m0
где —2 отношение сигнал/шум; т2й—коэффициент деле-
ния мощности между информационным сигналом и пилот-сигналом.
Соотношение (6.21) получено методом, аналогичным использо-
ванному в разд. 6.2, 6.3, причем используется представление однопо-
лосного колебания в виде суммы AM колебания и преобразования
Гильберта от AM колебания.
Сравнение результатов рис. 6.4 выявляет преимущество двух-
полосных AM систем в помехозащищенности.
6.4. ФАЗОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Пусть полезный принимаемый радиосигнал при фазовой модуля-
ции (ФМ) имеет вид
s(/, р, ф) = Ао cos (со0 / + ©(/)), ©(/) = р (/) + <р(0, (б-22)
причем характер изменения случайной фазы ©(/) описывается сле-
дующими априорными стохастическими уравнениями:
dQ , . du, ,
—+ар=Пц + /гф, -^+ар=Пц.
at at
Здесь р(/) — информационное сообщение; шумы и пф независимы.
190
Функция корреляции и односторонняя спектральная плотность
радиосигнала (6.21) соответственно равны
Л2
Кфм (т) = -^ехр
—о£(1—ехр(—а|т|))— у|т|
cos со0 т =
А2 ~ G2n
= -%хр(—Оц)2 -у ехр
2 til
п=0
(6.23)
А2
5ФМ (®) = -^ ехр (— о£) х
При Dtp =/= 0 энергетический спектр ФМ сигнала оказывается
сплошным, в отличие от случая £>ф = 0, когда спектр является диск-
ретно-сплошным.
Применительно к сигналу (6.22) уравнения фильтрации, опреде-
ляющие структурную схему оптимального приемника, имеют вид
at
dM~ . я —
—+аМц=КееРе, (6.24)
Fe = — 4г, Ао х (0 sin (®01 + Мв).
В результате решения нелинейной системы уравнений для оши-
бок фильтрации получим формулы
К ini = —- (1 + у 2gzDq,) х
2q2
X [/(1+/2Ж)2+^2о^-(1 + /VDq,)],
Кее = [У + 1] . (6.25)
Кце = ^-2 У(1+/2^Рф)2+4<72^-(1 +/2^Щ)] .
Здесь использованы следующие обозначения:
А2
2
q ~ —
£><р = —
а
(6.26)
191
Вариант структурной схемы оптимального (квазикогерентного)
приемника, моделирующего уравнения (6.24), приведен на рис. 6.5.
Приемник, по существу, представляет собой следящее устройство
типа фазовой автоподстройки частоты, которая осуществляет слеже-
ние за полной фазой принимаемого сигнала. Приведенная схема фа-
зовой автоподстройки частоты отличается от обычно используемых
тем, что регулировка фазы подстраиваемого генератора (ПГ) через
посредство управляющего элемента осуществляется по двум каналам.
Рис. 6.5. Структурная схема оптимального приемника фазо-модулированных
радиосигналов.
Из первой формулы (6.25) находим квадрат относительной ошиб-
ки фильтрации информационного сообщения при фазовой модуляции
6фм = = -41- (1 + V2cl2Dv) X
X [К(1 +K2^<p)2 + V^-(1 +]/%2Цр)] . (6.27)
Результаты вычислений по этой формуле для нескольких зна-
чений Оц и D(p представлены графически на рис. 6.6, а, б, в. Из графи-
ков видно, что для заданных значений q2 и ошибка фильтрации ми-
нимальна при = 0 и увеличивается с ростом Dtp. Поэтому даже при
фазовой модуляции целесообразно повышать стабильность частоты
генератора.
При фиксированных значениях q2 и £>ф ошибка фильтрации су-
щественно зависит от Оц, причем с увеличением ошибка уменьша-
192
ется. Однако следует иметь в виду, что при увеличении Оц расширя
ется спектр радиосигнала. Применительно к конкретным условиям,
когда отношение сигнал/шум на входе задано, величину сгц следует
$
выбирать на основании компромисса между двумя противоречивыми
требованиями: получения возможно меньшей ошибки при минималь-
но допустимой ширине спектра сигнала.
6.5. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ
Рассмотрим пример частотной модуляции (ЧМ), когда полезный
радиосигнал имеет вид
$(/, р, ф) = Ло cos (со01 + яр (/)),
t
гр (/) = ф (/) + § р (т) dx, (6.28)
о
at
7 зак. ?|з
193
Корреляционная функция рассматриваемого сигнала имеет вид
А*
Кчм(т)=-у еХР
Хехр(—Рчме a,Tl)cos®0r =
п\
п=0
(6.29)
Такой функции корреляции соответствует односторонняя спект-
ральная плотность
5чм(®) = -ечм2--------------
п=0
2
Л + 0чм+-^"
(6.30)
где Рчм — «индекс» частотной модуляции
РчМ =Огц/<Х.
Для радиосигнала (6.28) получим следующие уравнения опти-
мальной фильтрации, в соответствии с которыми должна быть пост-
роена схема приемника,
.J* 4">
at
(6.31)
at
x(t) sin (<o01 + Мц,).
194
Йе выписывая саму систему нелинейных уравнений для оши-
бок фильтрации, приведем результаты ее решения
- у 1+2^Ф + 4 |/
X 1 4-2<72£>ф-]-4 р/ <72 ^Рчм+-^-
(6.32)
Здесь <?2 = Ло/4аЛ/ — отношение сиг-
нал/шум на входе.
Структурная схема оптимально-
го фильтрующего устройства, со-
ставленная по уравнениям (6.31),
повторяет рис. 6.5. По существу она
представляет фазовую автоподстрой-
ку частоты и реализует квазикоге-
рентную обработку принятого коле-
бания.
Рис. 6.7. Зависимость квадрата относи-
тельной ошибки фильтрации сообщения
от отношения сигнал/шум при частотной
модуляции.
Из выражения (6.32) получаем формулу для квадрата относитель-
ной ошибки фильтрации
(6.33)
На рис. 6.7 представлены результаты вычислений по этой фор-
муле для нескольких значений Рчм и £>ф. Из графиков видно, что при
фиксированных значениях q2 и |3ЧМ ошибка фильтрации минимальна,
когда Dtp — 0. При заданных q2 и £)ф ошибка уменьшается с увеличе-
нием «индекса» модуляции Рчм- Однако при этом^расширяется спектр
радиосигнала. Поэтому в каждом конкретном практическом случае
7* 195
следует выбирать компромиссные значения 0Чм, исходя из требуемой
точности воспроизведения сообщения и допустимой полосы частот ка-
нала радиосвязи.
Если приравнять выражения (6.27) и (6.38), то можно найти соот-
ношение между Оц и рЧм, при выполнении которого помехоустойчи-
вость оптимального приема фазо-и частотно-модулированных сигна-
лов одинакова. В частности, при 7)ф = 0 получим
_2_ Рчм
(Ji I —-------
' 1 + 4₽чм<?2
При этом условии энергетический спектр частотно-модулирован-
ного радиосигнала шире, чем фазо-модулированного сигнала. Поэтому
фазовая модуляция имеет преимущество перед частотной модуляцией.
(6.34)
Литература
6.1. Стратанович Р. Л. Применение теории процессов Маркова
для оптимальной фильтрации сигналов. «Радиотехника и электроника», 1960,
№ 11.
6.2. Тихонов В. И. «Статистическая радиотехника». Изд-во «Совет-
ское радио», 1966.
Глава 7
ОБНАРУЖЕНИЕ ФЕДИНГУЮЩИХ СИГНАЛОВ
7.1. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ
С РЕЛЕЕВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ АМПЛИТУДЫ
Многие радиосистемы решают задачу обнаружения некогерент-
ных флуктуирующих импульсных сигналов в шумах.
Одной из типовых моделей флуктуаций амплитуды является при
этом модель в виде коррелированного релеевского случайного про-
цесса.
Типовой приемник обнаружения состоит из согласованного
фильтра, детектора, селектора, накопителя и схемы сравнения с по-
рогом (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Приемник обнаружения.
Естественно, что оптимальный приемник должен использовать
частичную когерентность принимаемых сигналов, возникающих в слу-
чае когерентного зондирующего сигнала и достаточно медленных по
сравнению с периодом повторения флуктуаций амплитуды.
Для некогерентного зондирующего сигнала оптимальный прием-
ник должен использовать статистические связи между флуктуациями
амплитуды отдельных импульсов.
Вместе с тем, отсутствие априорных данных о скорости фединга,
сравнительная простота приемника обнаружения (рис. 7.1) и опти-
мальный характер операций, совершаемых этим приемником в слу-
чае сигналов с нефлуктуирующей или быстрофлуктуирующей ампли-
тудой делают весьма актуальной задачу исследования его характе-
ристик в условиях сигналов с произвольной скоростью фединга.
Пусть оп — мощность шума на входе детектора; At — амплитуда
сигнала на входе детектора в Z-м такте; xt = А2/2о2п — отношение
сигнал/шум по мощности на входе детектора в z-м такте; Rt — оги-
бающая сигнала и шума на выходе согласованного фильтра в Z-м так-
те; = Rt/вп — нормированная огибающая.
197
Характеристики обнаружения в определенной степени зависят от
вида детекторной характеристики. Имея в виду, в основном, вычис-
лительные преимущества, предположим, что детектор выделяет квад-
рат огибающей выхода согласованного фильтра и на выходе накопи-
теля
п
(7Л)
(=1
где п — число суммируемых сигналов.
Случайные величины rt распределены по закону Релея:
/’оехр (—r?/2), rf>0, (7.2)
если сигнал отсутствует, и по закону Райса
Р(п) = ггехр(—rl/2—x/)Z0(/2^r<), гг>0, (7.3)
если отношение сигнал/шум по мощности в г-м такте равно х;.
В практических случаях отношение сигнал/шум является слу-
чайной величиной, описываемой распределением вероятностей, за-
висящим от вида цели и характера радиолокационного сигнала.
Предположим, что хг можно представить в виде
N
(i = l,...,«), (7.4)
k=\
где компоненты Uk, i при любом фиксированном i независимы по k
и имеют гауссовское распределение с нулевым средним значением и
дисперсией р. Из (7.4) следует, что распределение отношения сигнал/
шум Xi является %2 — распределением с N степенями свободы
Р(Х/) = —?-----!—хГ2"1 ехр(——х>0. (7.5)
(2Р)"/2 Г(А72) *4 2рГ v 7
Экспериментальные данные показывают, что отношение мощности
сигнала, отраженного от достаточно сложной цели, к мощности шума
распределено по экспоненциальному закону
P(xt) = ± ехр (-, х>0, (7.6)
где 2р — среднее отношение сигнал/шум по мощности; этот случай
соответствует релеевскому распределению амплитуд отраженного сиг-
нала и значению N = 2 в соотношении (7.5).
Для определения характеристик обнаружения необходимо знать
плотность вероятности у при наличии и в отсутствии сигнала W(y)
И W0(y).
С этой целью введем систему векторов
.... «.,»). * = '.... (”)
198
имеющую многомерное гауссовское распределение
<«ь ;«> I > = 0> k — 1,..., N,
z k-1 hi . (7.8)
Характеристическая функция распределения W(y) при условии,
что фиксированы значения хх, хп, имеет вид
(7.9)
Усредняя (7.9) с вероятностью распределения Ut,..., Un, по-
лучим
[оо / П ' \ 1
Jexp ’ (7Л°)
— ОО \ Z=1 /
Для несингулярной матрицы Ф
dp(U)
---------!---------ехр ( —L и+Ф~'и} dU,
(2л)"/2 (Det Ф)1/2-\ 2 /
(7.П)
где Det®—определитель матрицы Ф, Ф-1—матрица, обратная Ф;
U+—транспонированный вектор U.
Тогда
п
__________1_______
(2n)n/2(Det Ф)1/2
—?—ичи—- и+Ф-'и
1+р 2
dU
N/2
Det<D
Пользуясь выражением
п
Det(Z + fc®)= П (1+&М,
»=|
(7-12)
(7.13)
199
где —собственные значения матрицы Ф, получим при N — 2
&(.Р) =
1
(1+р)"
п
П (ч
1=1
2р
1+Р
(7.14)
откуда, выполняя обратное преобразование Фурье, можно найти
W(y). Этот способ связан, однако, с определенными вычислительными
трудностями.
Выход накопителя у является суммой п случайных величин.
Если бы дискреты г] были независимы (как, например, при накоп-
лении быстрофлуктуирующего сигнала), то распределение у с увели-
чением п приближалось бы к нормальному закону. В этих условиях
для подсчета вероятности W(y) можно воспользоваться рядом Эдж-
ворта. Если дискреты И сильно коррелированы, то распределение
W(y) далеко от нормального и аппроксимация рядом Эджворта при-
водит к большим ошибкам. При расчетах характеристик обнаруже-
ния, выполненных в данном разделе, случай частично коррелиро-
ванных сигналов исследован с помощью ряда Эджворта, состоящего
из семи членов.
Для представления W(y) в виде ряда Эджворта необходимо знать
семиинварианты искомого распределения.
Воспользовавшись разложением
Det (7 + кФ) = ехр f ктТт'\ ,
\ ш=1 /
где Тт—след матрицы Ф"1, представим характеристическую функ-
цию (7.12) в виде
0 (р) = ехр
2( — 1)тРт
т
т=\
( — iyn2m / р yi
т U+Р/ т
(7.15)
Поскольку семиинварианты распределения являются коэффици-
ентами Lm разложения характеристической функции в виде
0(р) = ехр
2
т\
т=\
и так как
77-=Р—Р2 + Р3—Р4 + -.
1 + р
то из (7.15) можно получить выражение для семиинвариантов.
20Q
В случае Af = 2 (релеевский фединг):
L1 = n + 2T1,
Z-2 — п + 47\ 4- 4Т 2,
Ls =2! [п + 67\+ 12Т2 + 8Т3], (7.16)
Л4 = 3! [п + 87\ + 24Т2 + 32Т3 + 16TJ,
L6 = 4! [п + ЮЛ + 40Та + 80Т3 + 80Т4 + 32TJ.
Из теории матриц известно, что
(7.17)
1=1
и поэтому задача сводится к вычислению собственных значений кор-
реляционных матриц Ф.
Рассмотрим случай экспоненциальной корреляции компонент:
1, V, 72. ... . у"-1
т» 1, у, , уп 3
ф = р V2, т, 1. . , у"-3 , у = ехр(—Т/Д), (7.18)
уп \ у"-3, ... >1
где Т — период повторения сигналов; Д — время корреляции компонент фе-
динга.
Функция корреляции компоненты фединга, соответствующая (7.18), имеет
вид
К (т)=<«а (0 uk (t + т)> =р ехр
6 = 1,2. (7.19)
Матрица, обратная Ф, имеет вид
“ 1, —у, 0, ..., О “
Ф~‘ 1 —i+y2, —т» о 0, — у, 1-|-у2, ...» 0 1 л
— Р(1 —т2) р(1—V2) ’
(7.20)
0, 0, 0, 1
причем собственные значения Pi матрицы А связаны с собственными значениями
матрицы Ф соотношением
A.=p(l-Y*)MZ-'. (7.21)
Пусть
У=(1>ь .... Vn)
— собственный вектор матрицы Л, удовлетворяющий соотношению
AV—pV=0
201
или, в развернутом виде, системе
(1 — ц) Vi—уи2 = 0,
—+ (1 -ь Т2—R)t»2—Т»з = °>
......................................... (7.22)
—уо„_2 НЧ1+?2 — Н) «п-1 - Fn == °.
-Гп-1+(1-Н)% = °-
Из (7.22) следует, что соседние координаты i-го собственного вектора свя-
заны соотношением
— ^*_1+(1+Т2-(хг)уА — fe=l,...,n. (7.23)
Первое и последнее уравнения (7.22) совпадают с (7.23), если удовлетворяются
граничные условия
v0 = yvi, Уп+1=ууп. (7.24)
Общее решение уравнения в конечных разностях (7.23) можно записать
в виде
Vk — В sin k &i + C cos fc&i, i = l,...,n,
1 +v2 — LA.
cos».= JTJL.. (7.25)
Решение (7.25) удовлетворяет граничным условиям (7.24), если & удовлетво-
ряет уравнению
у2 sin (п — 1) —2у sin sin («+ 1) Я = 0.
Уравнение (7.25) преобразуется к виду
p.c°s(na.—1|>г)=°,
р, — {[(1 +у2) cos & .—2y]2 + [sin ft. (1 — у2)}2} 1/2,
(1+у2) cos Я.—2у
гЬ. = arctg ------1----!. ,
(1 —у2) sin ft.
причем при у rfs 1, pi(&) =# 0.
Следовательно, все определяются уравнением
(1+Y2)cos$.—2у
"s‘—rcte (1—,*) sin fl,—<’26>
1 = 1, ..., n.
Из (7.21) и (7.25) следует окончательный результат
___Р(1~У2) ,7 271
Ai“14-Y2—2ycos&. ’
где определено трансцендентным уравнением (7.26).
202
После того как найдены собственные значения %г и следы (7.17),
семиинварианты распределения W(y) подсчитываются по формулам
(7.16), а само распределение аппроксимируется рядом Эджворта:
г = у-^,
/ц
^(г) = Ф(2)—4Г-4тБ<Р(3><г> +
3! LZ'2
4- _L Ь. ф(4) (г) + _L £з (16) ( ч
41 £2 т '^72 Lf ’
ЦтЛ(7)(г) +
5! L^2 144L72/2
L3
+^72ч>(9)(г) + ->
362L|/2
1 / *2 \ z/v
<₽(z) = -Uexp ( — —), <p<v)(z) = ^-<p(z).
/гл \ 2 / dzv
Вероятность правильного обнаружения равна
оо оо
D = ^W(y)dy = f W(z)dz,
h h-Li
VT2
(7.28)
(7.29)
где h — порог, с которым сравнивается величина у.
7.2. ВЕРОЯТНОСТЬ ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ
Если сигнал отсутствует, то случайная величина у распределена
по закону
^о(У)=е-^"-1^г. (7.30)
Вероятность ложной тревоги равна
F = ^Wo(y)dy = iO-P. (7.31)
h
Зависимость Л(р, п) представлена в табл. 7.1.
203
Таблица 7.1
и 1 2 3 4 5 6
1 2,3026 4,6052 6,9078 9 2103 11,5129 13,8155
2 3,8897 6,6384 9,2334 11 7564 14,2366 16,6884
3 5,3223 8,4059 11,2289 13’9282 16,5535 19,1292
4 6,6808 10,0451 13,0622 15’9138 18,6658 21,3505
5 7,9936 11,6046 14,7941 17’7820 20,6481 23,4315
6 9,2747 13,1085 16,4547 19’5672 22,5381 25,4126
7 10,5321 14,5706 18,0616 21’2896 24,3580 27,3177
8 11,7709 16,0000 19,6262 22’9624 26,1225 29,1622
9 12,9947 17,4027 21,1562 24 5947 27,8415 30,9571
10 14,2060 18 7831 22,6574 26 1930 29,5223 32,7103
11 15,4077 20 1447 24,1340 27 7623 31,1705 34,4279
12 16,5981 21,4899 25,5893 29 3065 32,7904 36,1144
13 17,7816 22,8208 27,0260 30’8286 34,3855 37,7737
14 18,9580 24,1391 28,4461 32’3312 35,9585 39,4087
15 20,1280 25 4461 29,8515 33,8163 37,5117 41,0221
16 21,2924 26,7429 31,2436 35 2856 39,0471 42,6158
17 22,4516 28,0305 32,6236 36 7406 40,5663 44,1916
18 23,6061 29,3096 33,9926 38,1825 42,0706 45,7512
19 24,7563 30,5810 35,3514 39 6124 43,5614 47,2958
20 25,9025 31,8454 36,7010 41 0311 45,0395 48,8265
21 27,0451 33,1031 38,0419 42,4397 46,5061 50,3444
22 28,1843 34,3548 39,3748 43,8386 47,9618 51,8503
23 29,3203 35,6007 40,7002 45,2287 49,4074 53,3451
24 30,4533 36,8413 42,0186 46 6105 50,8436 54,8295
25 31,5836 38,0769 43,3304 47,9844 52,2708 56,3040
26 32,7112 39,3079 44,6361 49,3509 53,6898 57,7694
27 33,7364 40,5344 45,9359 50,7106 55,1008 59,2260
28 34,9593 41,7567 47,2303 52,0636 56,5044 60,6744
29 36,0799 42,9751 48,5194 53,4105 57,9009 62,1150
30 37,1985 44,1897 49,8036 54,7515 59,2907 63,5482
31 38,3151 45,4008 51,0831 56,0868 60,6742 64,9743
32 39,4298 46,6084 52,3582 57,4169 62,0516 66,3937
33 40,5427 47,8129 53,6289 58,7418 63,4232 67,8068
34 41,6540 49,0142 54,8956 60,0619 64,7892 69,2137
35 42,7635 50,2126 56,1585 61,3773 66,1500 70,6147
36 43,8715 51,4082 57,4176 62,6883 67,5057 72,0102
37 44,9780 52,6010 58,6731 63,9950 68,8566 73,4002
38 46,0831 53,7913 59,9252 65,2977 70,2027 74,7851
39 47,1868 54,9790 61,1740 66,5964 71,5444 76,1651
40 48,2891 56,1644 62,4196 67,8913 72,8818 77,5403
41 49,3902 57,3474 63,6622 69,1825 74,2151 78,9108
42 50,4900 58,5283 64,9018 70,4703 75,5443 80,2770
43 51,5886 59,7069 66,1387 71,7546 76,8697 81,6388
44 52,6861 60,8836 67,3727 73,0357 78,1913 82,9965
45 53,7825 62,0582 68,6042 74,3136 79,5094 84,3503
46 54,8778 63,2308 69,7331 75,5885 80,8239 85,7001
47 55,9721 64,4016 71,0595 76,8604 82,1351 87,0463
48 57,0653 65,5706 72,2835 78,1295 83,4430 88,3888
49 58,1576 66,7378 73,5052 79,3957 84,7478 89,7278
50 59,2490 67,9034 74,7246 80,6593 86,0495 91,0634
51 60,3394 69,0672 75,9419 81,9203 87,3482 92,3957
52 61,4290 70,2295 77,1570 83,1787 88,6440 83,7248
53 62,5177 71,3902 78,3701 84,4347 89,9370 95,0508
54 63,6055 72,5494 79,5812 85,6883 91,2273 96,3737
204
Продолжение табл. 7Л
р п 1 2 3 4 5 6
55 64,6926 73,7071 80,7904 86,9395 92,5149 97,6937
56 65,7789 74,8634 81,9976 88,1885 93,7999 99,0108
57 66,8643 76,0184 83,2030 89,4353 95,0824 100,3252
58 67,9490 77,1719 84,4067 90,6799 96,3625 101,6368
59 69,0330 78,3241 85,6085 91,9225 97,6402 102,9458
60 70,1163 79,4751 86,8087 93,1630 98,9155 104,2522
61 71,1989 80,6248 88,0072 94,4015 100,1886 105,5561
62 72,2808 81,7732 89,2041 95,6381 101,4595 106,8575
63 73,3620 82,9205 90,3994 96,8728 102,7282 108,1565
64 74,4426 84,0666 91,5932 98,1056 103,9948 109,4532
65 75,5226 85,2116 92,7855 99,3366 105,2593 110,7476
66 76,6020 86,3554 93,9763 100,5659 106,5219 112,0397
67 77,6807 87,4982 95,1656 101,7935 107,7824 113,3297
68 78,7889 88,6399 96,3536 103,0193 109,0410 114,6175
69 79,8365 89,7805 97,5402 104,2435 110,2978 115,9033
70 80,9135 90,9202 98,7254 105,4661 111,5527 117,1870
71 81,9900 92,0588 99,9093 106,6871 112,8058 118,4687
72 83,0659 93,1965 101,0919 107,9066 114,0571 119,7484
73 84,1413 94,3332 102,2733 109,1246 115,3067 121,0262
74 85,2162 95,4690 103,4534 110,3410 116,5546 122,3022
75 86,2906 96,6038 104,6323 111,5560 117,8009 123,5763
76 87,3645 97,7378 105,8100 112,7696 119,0455 124,8486
77 88,4379 98,8709 106,9866 113,9818 120,2885 126,1191
78 79,5108 100,0031 108,1620 115,1927 121,5300 127,3879
79 90,5833 101,1345 109,3363 116,4022 122,7699 128,6549
80 91,6553 102,2651 110,5095 117,6103 124,0084 129,9203
81 92,7268 103,3948 111,6816 118,8172 125,2453 131,1841
82 93,7979 104,5237 112,8527 120,0228 126,4808 132,4463
83 94,8686 105,6519 114,0227 121,2272 127,7149 133,7068
84 95,9389 106,7793 115,1917 122,4303 128,9475 134,9658
85 97,0087 107,9059 116,3597 123,6323 130,1788 136,2233
86 98,0781 109,0317 117,5267 124,8330 131,4088 137,4793
87 99,1472 110,1569 118,6927 126,0326 132,6374 138,7338
88 100,2158 111,2813 119,8578 127,2311 133,8647 139,9869
89 101,2840 112,4050 121,0220 128,4284 135,0908 141,2386
90 102,3519 113,5281 122,1852 129,6246 136,3156 142,4888
91 103,4193 114,6504 123,3476 130,8198 137,5391 143,7377
92 104,4864 115,7721 124,5090 132,0139 138,7614 144,9852
93 105,5532 116,8931 125,6696 133,2069 139,9826 146,2314
94 106,6195 118,0135 126,8293 134,3989 141,2025 147,4762
95 107,6855 119,1332 127,9882 135,5899 142,4213 148,7198
96 108,7512 120,2523 129,1462 136,7799 143,6389 149,9621
97 109,8165 121,3708 130,3034 137,9689 144,8554 151,2032
98 110,8815 122,4886 131,4598 139,1569 146,0708 152,4430
99 111,9462 123,6059 132,6154 140,3440 147,2851 153,6816
100 113,0105 124,7226 133,7703 141,5301 148,4984 154,9190
101 114,0745 125,8387 134,9243 142,7153 149,7106 156,1553
102 115,1382 126,9542 136,0776 143,8996 150,9217 157,3904
103 116,2016 128,0691 137,2302 145,0830 152,1318 158,6243
104 117,2647 129,1835 138,3820 146,2655 153,3409 159,8571
105 118,3275 130,2974 139,5331 147,4472 154,5490 161,0889
106 119,3899 131,4107 140,6834 148,6280 155,7561 162,3195
107 120,4521 132,5234 141,8331 149,8079 156,9623 163,5490
108 121,5140 133,6357 142,9820 150,9870 158,1674 164,7775
205
Продолжение табл. 7.1
р П 12 3 4 5 6
109 122,5756 134,7474 144,1303 152,1653 159.3717 166,0049
110 123,6369 135,8586 145,2779 153,3427 160,5750 167,2313
111 124,6980 136,9693 146,4248 154,5194 161,7774 168,4566
112 125,7588 138,0796 147,5711 155,6952 162,9789 169,6810
ИЗ 126,8192 139,1893 148,7167 156,8703 164,1795 170,9044
114 127,8795 140,2985 149,8617 158,0446 165,3792 172,1268
115 128,9394 141,4072 151,0060 159,2182 166,5780 173,3482
116 129,9991 142,5155 152,1497 160,3910 167,7760 174,5686
117 131,0585 143,6233 153,2928 161,5630 168,9731 175,7882
118 132,1177 144,7307 154,4353 162,7344 170,1694 177,0067
119 133,1767 145,8376 155,5772 163,9050 171,3649 178,2244
120 134,2354 146,9440 156,7185 165,0749 172,5595 179,4412
121 135,2939 148,0500 157,8592 166,2440 173,7534 180,6570
122 136,3521 149,1556 158,9993 167,4125 174,9464 181,8720
123 137,4100 150,2608 160,1388 168,5803 176,1387 183,0861
124 138,4677 151,3655 161,2778 169,7474 177,3302 184,2994
125 139,5252 152,4698 162,4162 170,9139 178,5209 185,5117
126 140,5825 153,5736 163,5541 172,0797 179,7109 186,7233
127 141,6395 154,6771 164,6914 173,2448 180,9001 187,9340
128 142,6963 155,7802 165,8282 174,4093 182,0885 189,1439
129 143,7529 156,8828 166,9645 175,5731 183,2763 190,3530
130 144,8093 157,9851 168,1002 176,7363 184,4633 191,5612
131 145,8654 159,0870 169,2354 177,8989 185,6496 192,7687
132 146,9214 160,1884 170,3701 179,0609 186,8352 193,9754
133 147,9771 161,2895 171,5043 180,2222 188,0201 195,1813
134 149,0326 162,3902 172,6379 181,3830 189,2043 196,3865
135 150,0879 163,4906 173,7711 182,5431 190,3878 197,5908
136 151,1431 164,5906 174,9038 183,7027 191,5706 198,7945
137 152,1980 165,6901 176,0360 184,8617 192,7528 199,9974
138 153,2527 166,7894 177,1677 186,0201 193,9343 201,1995
139 154,3072 167,8883 178,2990 187,1779 195,1152 202,4009
140 155,3615 168,9868 179,4297 188,3352 196,2954 203,6016
141 156,4156 170,0849 180,5600 189,4919 197,4750 204,8016
142 157,4696 171,1828 181,6899 190,6480 198,6539 206,0009
143 158,5233 172,2802 182,8193 191,8036 199,8322 207,1995
144 159,5769 173,3774 183,9482 192,9587 201,0099 208,3974
145 160,6302 174,4741 185,0767 194,1132 202,1870 209,5946
146 161,6834 175,5706 186,2047 195,2672 203,3635 210,7912
147 162,7364 176,6668 187,3324 196,4207 204,5393 211,9870
148 163,7892 177,7626 188,4595 197,5736 205,7146 213,1822
149 164,8418 178,8580 189,5863 198,7261 206,8893 214,3768
150 165,8943 179,9532 190,7126 199,8780 208,0634 215,5707
р п 7 8 9 10 11 12
1 16,1181 18,4207 20,7233 23,0259 25,3284 27,6310
2 19,1198 21,5358 23,9397 26,3340 28,7203 31,0999
3 21,6689 24,1813 26,6723 29,1459 31,6052 34,0524
4 23,9862 26,5847 29,1538 31,6990 34,2244 36,7330
5 26,1548 28,8320 31,4727 34,0838 36,6702 39,2358
6 28,2168 30,9671 33,6746 36,3472 38,9907 41,6097
7 30,1976 33,0165 35,7867 38,5173 41,2148 43,8842
206
Продолжение табл. 7.1
р п 7 8 9 10 11 12
8 32,1137 34,9974 37,8271 40,6126 43,3613 46,0788
9 33,9766 36,9219 39,8083 42,6463 45,4439 48,2073
10 35,7947 38,7990 41,7396 44,6279 47,4725 50,2799
11 37,5744 40,6353 43,6280 46,5646 49,4544 52,3043
12 39,3207 42,4362 45,4790 48,4623 51,3957 54,2867
13 41,0377 44,2058 47.2972 50,3255 53,3012 56,2318
14 42,7286 45,9476 49,0859 52,1581 55,1746 58,1439
15 44,3960 47,6644 50,8484 53,9629 57,0193 60,0260
16 46,0422 49,3587 52,5870 55,7428 58,8379 61,8811
17 47,6692 51,0323 54,3038 57,4999 60,6327 63,7116
18 49,2785 52,6872 56,0008 59,2362 62,4058 65,5194
19 50,8717 54,3248 57,6795 60,9532 64,1588 67,3064
20 52,4498 55,9464 59,3412 62,6524 65,8933 69,0740
21 54,0141 57,5531 60,9873 64,3352 67,6105 70,8238
22 55,5654 59,1460 62,6187 66,0025 69,3116 72,5569
23 57,1047 60,7260 64,2365 67,6555 70,9978 74,2743
24 58,6326 62,2939 65,8414 69,2950 72,6698 75,9771
25 60,1499 63,8505 67,4343 70,9219 74,3286 77,6661
26 61,6572 65,3963 69,0158 72,5368 75,9749 79,3421
27 63,1551 66,9320 70,5867 74,1405 77,6094 81,0058
28 64,6441 68,4582 72,1474 75,7334 79,2328 82,6579
29 66,1246 69,9753 73,6984 77,3163 80,8455 84,2989
30 67,5970 71,4838 75,2404 78,8895 82,4482 85,9295
31 69,0618 72,9841 76,7736 80,4536 84,0413 87,5501
32 70,5193 74,4766 78,2986 82,0090 85,6253 89,1611
33 71,9699 75,9616 79,8157 83,5560 87,2005 90,7631
34 73,4138 77,4396 81,3252 85,0950 88,7674 92,3564
35 74,8513 78,9107 82,8274 86,6265 90,3264 93,9413
36 76,2828 80,3753 84,3228 88,1506 91,8776 95,5183
37 77,7084 81,8336 85,8114 89,6677 93,4215 97,0876
38 79,1284 83,2859 87,2937 91,1781 94,9584 98,6495
39 80,5431 84,7324 88,7699 92,6820 ’ 96,4884 100,2043
40 81,9525 86,1733 90,2401 94,1796 98,0119 101,7524
41 83,3569 87,6089 91,7046 95,6713 99,5291 103,2938
42 84,7565 89,0393 93,1636 97,1571 101,0403 104,8289
43 86,1515 90,4647 94,6173 98,6371 102,5455 106,3579
44 87,5419 91,8853 96,0659 100,1122 104,0451 107,8809
45 88,9281 93,3012 97,5096 101,5818 105,5393 109,3983
46 90,3100 94,7126 98,9484 103,0464 107,0281 110,9101
47 91,6878 96,1197 100,3826 104,5060 108,5117 112,4165
48 93,0617 97,5225 101,8123 105,9609 109,9904 113,9178
49 94,4318 98,9212 103,2377 107,4113 111,4643 115,4140
50 95,7982 100,3160 104,6588 108,8571 112,9335 116,9053
51 97,1610 101,7068 106,0758 110,2986 114,3981 118-3919
52 98,5204 103,0940 107,4888 111,7359 115,8583 119,8738
53 99,8763 104,4775 108,8980 113,1691 117,3143 121,3513
54 101,2289 105,8574 110,3034 114,5984 118,7660 122,8244
55 102,5783 107,2339 111,7051 116,0238 120,2137 124,2933
56 103,9246 108,6071 113,1033 117,4454 121,6575 125,7580
57 105,2679 109,9770 114,4979 118,8633 123,0973 127,2187
58 106,6082 111,3437 115,8892 120,2777 124,5335 128,6756
59 107,9456 112,7073 117,2772 121,6885 125,9660 130,1285
60 109,2802 114,0679 118,6620 123,0960 127,6949 131,5778
61 110,6120 115,4256 120,0437 124,5002 128,8203 133,0234
207
Продолж ение табл. 7.1
П 7 8 9 10 и 12
62 111,9412 116,7803 121,4223 125,9011 130,2424 134,4655
63 113,2678 118,1323 122,7979 127,2989 131,6511 135,9041
64 114,5918 119,4815 124,1706 128,6936 133,0766 137,3394
65 115,9134 120,8281 125,5404 130,0853 134,4889 138,7713
66 117,2325 122,1720 126,9074 131,4741 135,8982 140,2000
67 118,5492 123,5133 128,2717 132,8599 137,3044 141,6255
68 119,8636 124,8522 129,6334 134,2430 138,7076 143,0480
69 121,1757 126,1886 130,9924 135,6233 140,1080 144,4674
70 122,4856 127,5226 132,3489 137,0009 141,5055 145,8838
71 123,7933 128,8543 133,7029 138,3758 142,9003 147,2874
72 125,0988 130,1837 135,0545 139,7482 144,2923 148,7081
73 126,4023 131,5108 136,4036 141,1180 145,6817 150,1161
74 127,7037 132,8357 137,7505 142,4854 147,0685 151,5213
75 129,0031 134,1585 139,0950 143,8503 148,4527 152,9238
76 130,3006 135,4791 140,4372 145,2129 149,8344 154,3238
77 131,5961 136,7977 141,7772 146,5731 151,2137 155,7211
78 132,8897 138,1142 143,1151 147,9310 152,5906 157,1160
79 134,1815 139,4287 144,4509 149,2867 153,9651 158,5084
80 135,4714 140,7413 145,7845 150,6401 155,3372 159,8983
81 136,7596 142,0520 147,1161 151,9914 156,7071 161,2859
82 138,0460 143,3607 148,4457 153,3406 158,0748 162,6711
83 139,3306 144,6676 149,7733 154,6876 159,4403 164,0540
84 140,6136 145,9727 151,0990 156,0327 160,8036 165,4347
85 141,8949 147,2760 152,4228 157,3757 162,1648 166,8132
86 143,1746 148,5775 153,7447 158,7167 163,5239 168,1895
87 144,4527 149,8773 155,0647 160,0558 164,8809 169,5636
88 145,7292 151,1754 156,3830 161,3930 166,2360 170,9357
89 147,0041 152,4719 157,6995 162,7282 167,5891 172,3056
90 148,2775 153,7667 159,0142 164,0617 168,9402 173,6736
91 149,5494 155,0598 160,3272 165,3933 170,2894 175,0395
92 150,8199 156,3514 161,6385 166,7231 171,6367 176,4035
93 152,0889 157,6415 162,9481 168,0512 172,9822 177,7655
94 153,3564 158,9299 164,2561 169,3775 174,3259 179,1256
95 154,6226 160,2169 165,5625 170,7021 175,6677 180,4839
96 155,8873 161,5024 166,8673 172,0250 177,0078 181,8403
97 157,1507 162,7864 168,1705 173,3436 178,3462 183,1949
98 158,4128 164,0690 169,4722 174,6660 179,6828 184,5476
99 159,6735 165,3501 170,7724 175,9840 181,0178 185,8987
100 160,9330 166,6299 172,0710 177,3005 182,3511 187,2480
101 162,1911 167,9082 173,3682 178,6154 183,6827 188,5955
102 163,4480 169,1852 174,6640 179,9288 185,0128 189,9414
103 164,7036 170,4609 175,9583 181,2407 186,3412 191,2856
104 165,9580 171,7352 177,2512 182,5510 187,6681 192,6282
105 167,2112 173,0082 178,5428 183,8599 188,9934 193,9692
106 168,4632 174,2800 179,8329 185,1674 190,3173 195,3086
107 169,7141 175,5505 181,1217 186,4734 191,6396 196,6464
108 170,9637 176,8197 182,4092 187,7781 192,9604 197,9826
109 172,2123 178,0877 183,6954 189,0813 194,2798 199,3173
ПО 173,4596 179,3545 184,9802 190,3831 195,5977 200,6505
111 174,7059 180,6201 186,2638 191,6837 196,9142 201,9823
112 175,9511 181,8845 187,5461 192,9828 198,2294 203,3125
ИЗ 177,1952 183,1477 188,8272 194,2807 199,5431 204,6413
114 178,4382 184,4098 190,1071 195,5772 200,8554 205,9687
115 179,6802 185,6707 191,3857 196,8725 202,1665 207,2947
208
Продолжение табл. 7.1
р п 7 8 9 10 11 12
116 180,9211 186,9306 192,6632 198,1665 203,4761 208,6193
117 182,1610 188,1893 193,9394 199,4593 204,7845 209,9424
118 183,3999 189,4469 195,2145 200,7508 206,0916 211,2643
119 184,6378 190,7035 196,4885 202,0411 207,3974 212,5848
120 185,8747 191,9589 197,7613 203,3303 208,7019 213,9040
121 187,1106 193,2134 199,0330 204,6182 210,0051 215,2218
122 188,3456 194,4667 200,3036 205,9049 211,3072 216,5384
123 189,5796 ‘195,7191 201,5731 207,1905 212,6080 217,8537
124 190,8126 196,9704 202,8415 208,4749 213,9076 219,1677
125 192,0447 198,2208 204,1088 209,7582 215,2060 220,4805
126 193,2759 199,4701 205,3751 211,0404 216,5033 221,7921
127 194,5062 200,7185 206,6403 212,3215 217,7993 '223,1024
128 195,7356 201,9659 207,9045 213,6015 219,0943 224,4116
129 196,9641 203,2123 209,1677 214,8804 220,3881 225,7195
130 198,1918 204,4578 210,4298 216,1583 221,6807 227,0263
131 199,4185 205,7024 211,6910 217,4350 222,9723 228,3319
132 200,6444 206,9460 212,9512 218,7108 224,2628 229,6364
133 201,8695 208,1888 214,2104 219,9855 225,5522 230,9397
134 203,0937 209,4306 215,4687 221,2592 226,8405 232,2419
135 204,3171 210,6715 216,7260 222,5319 228,1277 233,5430
136 205,5396 211,9116 217,9823 223,8036 229,4139 234,8430
137 206,7614 213,1507 219,2377 225,0743 230,6991 236,1419
138 207,9823 214,3890 220,4922 226,3440 231,9832 237,4398
139 209,2025 215,6265 221,7458 227,6128 233,2663 238,7365
140 210,4218 216,8631 222,9985 228,8806 234,5484 240,0322
141 211,6404 218,0988 224,2503 230,1474 235,8295 241,3269
142 212,8582 219,3338 225,5017 231,4133 237,1097 242,6206
143 214,0753 220,5679 226,7512 232,6783 238,3888 243,9132
144 215,2916 221,8012 228,0004 233,9424 339,6670 245,2048
145 216,5072 223,0337 229,2487 235,2056 240,9443 246,4954
146 217,7220 224,2654 230,4962 236,4679 242,2206 247,7851
147 218,9361 225,4963 231,7428 237,7293 243,4960 249,0737
148 220,1494 226,7265 232,9886 238,9898 244,7704 250,3614
149 221,3621 227,9558 234,2336 240,2494 246,0439 251,6482
150 222,5740 229,1845 235,4777 241,5082 247,3165 252,9339
7.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБНАРУЖЕНИЯ ФЕДИНГУЮЩИХ
СИГНАЛОВ ПРИ РЕЛЕЕВСКОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
АМПЛИТУД
Зависимости вероятности правильного обнаружения
D = D(p, п, F)
при различных значениях отношения А/71 приведены на рис. 7.2—
7.19. Обозначения кривых соответствуют табл. 7.2. По оси абсцисс
отложен двоичный логарифм параметра р, равного половине сред-
него отношения сигнал/шум по мощности. Если р— некоторый по-
рог и — вероятность события х > р, то
Р =-----Р-32)
2
209
Рис. 7.3. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.2. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.4. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.5. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
210
Рис. 7.6. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.7. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.8. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.9. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
211
Рис. 7.10. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.11. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.12. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.13. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
212
Рис. 7.14. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.15. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.16. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.17. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
213
Рис. 7.18. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Рис. 7.19. Характеристики обнару-
жения федингующих сигналов.
Таблица 7.2.
Обозначения кривых д/т V = ехр ( — Г/Д)
1 0 0
2 8 0,88
3 16 0,94
4 32 0,97
5 64 0,98
6 128 0,99
7 оо 1
7.4. БЫСТРЫЙ И МЕДЛЕННЫЙ РЕЛЕЕВСКИЙ ФЕДИНГ
Если флуктуации амплитуды независимы от импульса к импуль-
су, то А = 0, у = 0. Этот случай называется случаем быстрого фе-
динга. Для быстрого фединга
*г = Р, Тт = ^п, Lm = (m-l)!n(2p + l). (7.33)
Вероятность правильного обнаружения быстрофлуктуирующих
сигналов можно определить, не прибегая к аппроксимации распре-
деления W(y) рядом Эджворта. Действительно, в этом случае напря-
жение на выходе детектора представляет сумму двух узкополосных
случайных процессов (шума приемника и сигнала от цели), причем
214
Время корреляций огибающих обоих процессов значительно меньше
периода повторения. Мощность суммарного процесса равна сумме мощ-
ностей сигнала и шума и огибающая суммарного процесса распреде-
лена по закону Релея. Поскольку в накопителе происходит сложение
независимых дискретов, вероятность/) является неполной у-функцией:
оо
D== J ( -В! eXP(~#W (7-34)
й/(1+2р) ’
Характеристики, представленные на рис. 7.2—7.19 для быстрого
фединга, подсчитаны с помощью (7.34) и таблиц [7.1]. Сравнение ре-
зультатов точного расчета и приближения рядом Эджворта показы-
вает, что ошибка определения D во втором случае не превышает 10-4.
Если флуктуации амплитуды полностью зависимы, то А = оо,
у = 1. Этот случай называется случаем медленного (или дружного)
фединга.
При у = 1 нельзя пользоваться общими соотношениями, так как
матрица Ф сингулярна. Можно, однако, преобразовать выражение
(7.12) к виду
e(p) = {Det [7 + 2р (ф + -А-Т) 1Г* 1 ,
откуда при у — 1 получается выражение для семиинвариантов
Lm = (m-1)! [(1+2рпГ+(п-1)]. (7.35)
В случае медленного фединга распределение W(y) далеко от
нормального и аппроксимация рядом Эджворта приводит к большим
ошибкам подсчета D.
Точное выражение для D в случае медленного фединга получено
в [7.2]
D
1
2"—2(п—2)1
ехр
ехр [-/»/(!+ 2np)] f 2п_з
I £/ СА р
[2ftp/(l-|-2пр)]п—1 2П—2 (п—2)! J
(7.36)
Характеристики обнаружения для медленного фединга, представлен-
ные на рис. 7.2—7.19, подсчитаны в соответствии с (7.36) с помощью
таблиц [7.1].
Литература
7.1. Слуцкий Е. Н. Таблицы для вычисления неполной гамма-функ-
ции и функции вероятности %2. Изд-во АН. СССР, 1950.
7.2. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на
фоне случайных помех. Изд-во «Советское радио», 1960.
Глава 8
СИНТЕЗ МОНОИМПУЛЬСНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ
УГЛОВЫХ КООРДИНАТ
ИСТОЧНИКОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО
И ШУМОПОДОБНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
8.1. АМПЛИТУДНЫЕ МОНОИМПУЛЬСНЫЕ ИЗМЕРИТЕЛИ
КООРДИНАТ
При амплитудном методе пеленгации источника излучения в
пространстве используется зависимость амплитуд сигналов, принятых
по четырем парциальным диаграммам, от углового положения источ-
ника относительно равносигнального направления.
Рис. 8.1. Сечения парциальных диаграмм направленности картинной плоско-
стью.
Парциальные диаграммы связаны каждая со своим облучателем
и приемником, образующим парциальный приемный канал.
Можно выделить два типовых случая расположения облучателей
(парциальных диаграмм) относительно осей- координат, в которых
производится измерение углов. Эти случаи представлены на рис. 8.1.
Здесь диаграммы представлены своими сечениями в картинной
плоскости по некоторому уровню сигнала (например, по уровню по-
216
ловинной мощности от максимального значения). Центры диаграмм
(т. е. направления максимального излучения и приема) для первого
расположения лежат на биссектрисах координатных углов; центры
диаграмм для второго расположения лежат на осях координат. Ди-
аграммы расположений повернуты друг относительно друга на л/4.
Первое расположение соответствует моноимпульсной схеме Пэйджа
[8.1]. Второе расположение будем называть схемой с повернутыми из-
лучателями.
Рис. 8.2. Сечение парциальной диаграммы направленности.
Если цель находится в начале координат, то амплитуды сигна-
лов, принятых по парциальным каналам, равны. Если цель смеща-
ется относительно этого равносигнального направления, то амплитуды
сигналов в парциальных каналах изменяются. Расстояния между
облучателями подобраны таким образом, что для цели, находящейся
не на равносигнальном направлении, фазы высокочастотных колеба-
ний в парциальных каналах можно считать одинаковыми.
Для небольших значений координат цели а, р амплитуды сигналов
в парциальных каналах схемы Пэйджа определяются соотношениями:
S1=f1S = S(l + ka + £0),
s2 = f2s=s(l+fea—Аф),
s3=/3s = s(l —ka—kp),
s4=f4s = s(l—fea-|-feP).
Здесь s — амплитуда сигнала, принимаемого по каждому пар-
циальному каналу в случае, если источник находится на равносиг-
нальном направлении; k — модуль крутизны сечения парциальной
диаграммы координатной плоскостью в начале координат (рис. 8.2).
217
Для схемы с повернутыми облучателями амплитуды сигналов:
sx = s(l+A:₽),
Sg = s (1 М, /я
s8=s(l—fcp),
s4 = s(l— kd).
Можно составлять различные комбинации амплитуд сигналов
для выделения сигнала, пропорционального угловому рассогласова-
нию. Например, в случае (8.1) для формирования сигнала ошибки,
пропорционального углу а, удобно произвести операцию
(si + s2)—(s3+s4) = 4ska.
Рис. 8.3. Характерные размеры фокального пятна и парциальные излучатели.
Аналогично для случая (8.2) s2—si — 2ska.
Некоторые из подобных операций являются в известном смысле
наилучшими.
Формирование парциальных диаграмм осуществляется обычно
на одном антенном зеркале с помощью разнесенных в пространстве
облучателей. Зеркало антенны создает в месте расположения облу-
чателей фокальное пятно. Облучатели помещаются в фокальном пят-
не антенной системы (рис. 8.3).
Если суммировать выходы четырех облучателей по высокой ча-
стоте, то получается выход, соответствующий некоторой суммарной
диаграмме.
Моноимпульсный облучатель должен удовлетворять ряду тре-
бований.
С точки зрения максимальной дальности действия по каналам об-
наружения необходимо иметь максимальный коэффициент направлен-
ного действия суммарной диаграммы на равносигнальном направле-
нии. Для уменьшения влияния аппаратурных ошибок необходимо
увеличивать крутизну сечений парциальных диаграмм на равносиг-
нальном направлении. Флуктуационные ошибки обратно пропорцио-
нальны отношению сигнал/шум по мощности и квадрату крутизны
218
сечения парциальных диаграмм на равносигнальном направлений.
Поэтому для уменьшения флуктуационных ошибок необходимо мак-
симизировать произведение коэффициента направленного действия
суммарной диаграммы на равносигнальном направлении на крутиз-
ну сечения парциальных диаграмм. Максимизировать все эти величины
в четырехрупорном облучателе невозможно.
Для того чтобы максимизировать коэффициент направленного
действия суммарной диаграммы, необходимо, чтобы диаграмма направ-
ленности суммарного облучателя повторяла по форме распределение
поля в фокальном пятне. Грубо говоря, согласование достигается
в случае, когда суммарная поверхность четырех облучателей пере-
крывает площадь, занимаемую «главным лепестком» фокального пятна.
Относительное расположение парциальных диаграмм теперь
зафиксировано. Оказывается, что по обоим оставшимся критериям
получаются хорошие результаты, близкие к оптимальным.
Парциальные диаграммы пересекаются приблизительно по уров^
ню половинной мощности. Поскольку мощность делится на четыре
равные части, это означает, что коэффициент направленного действия
в максимуме суммарной диаграммы приблизительно в два раза больше
коэффициента направленного действия в максимуме парциальной
диаграммы.
Предположим теперь, что на выходе приемника парциального
канала имеется как полезный сигнал, так и собственный шум прием-
ника. Для небольшого отрезка времени наблюдения t, t — Т как
сигнал, так и шум являются гармоническими сигналами с постоянны-
ми амплитудой и фазой:
xt (/) = s4 cos (со/ + ф) + «1 cos (со/ + vj,
Х2 (/) = S2 COS (со/ + ф) + n2 COS (со/ + v2),
Xs (/) = S3 COS (со/ + Ф) + ns cos (со/ + v3),
x4 (/) = s4 cos (co/ + Ф) + rt4 COS (co/ + v4).
(8.3)
где ф, v4, v2, v3, v4 — случайные, равномерно распределенные
на интервале (—л, л)-фазы; $ъ s2, s3, s4 — амплитуды сигналов
sk =s (1 +/iofta + /ipA 0),
причем матрица коэффициентов [han, hp/J для случаев (8.1) и (8.2)
имеет вид соответственно
£-]
Г °>
k,
— k,
-—k,
k_
k,
o,
k-
0
- — k,
— k
0_
(8-4)
— k
— k
nlt n2, n3, — независимые релеевски распределенные амплитуды
шумов с известным параметром распределения о2.
Необходимо построить измеритель угловых координат а, 0 и
амплитуды сигнала s, который формировал бы оценочные значения
219
a, p, s по наблюдениям процессов x-^f), x2(Z), x3(f), x^t) на интервале
времени t, t — T.
Синтез измерителя удобно произвести методом максимального
правдоподобия.
Считая параметры sh, ф, nh, vh полностью известными, можно
записать функционал плотности вероятности регулярного сигнала
(1.77)
I 1 р 1
limexpl—е2 *— I [xft(/)—sfe cos (со/ф)—nftcos(co/+vfe)]2d/L (8.5)
е-.оо Т J I
t—T J
Производя усреднение по случайным параметрам и учитывая
независимость шумов в каналах, получим, что функция правдопо-
добия определяемых параметров имеет вид
/4 .
L(s, a, p)=<^n£ft(s, a, р, ф)/ =
/ 4
= \П<£й(5, a, р, ф, nk, vft)>„ Vft/ =
t 4
= lim /ехр(—е2Х С У[х»(/)-
8->оо\ I 1 J
t—T Л=1
— sk cos (со/ + ф)—nk cos (&>t + vft)]2 dt X
J / nk, vh, ♦
Далее производится усреднение по случайным параметрам в сле-
дующем порядке: сначала по vlt..., v4, затем по п1г..., п4 и, нако-
нец, по ф
/ ( Г S1 п&
Lk(s, a, p, ф) = 1йп 'exp —e2 -y+— —
—2sfe (xkc cos ф—xks sin ф)—2nk (xhc cos vfe—xhc sin vft) +
/ij; (cos ф cos Vft + sn^sinVfc)])4) =
vk
1- 1 Г f/ n 1
= llm ГТ^еХР 9/, I 2^24 ( —2%fec +
8-*ool+e2a2 [2(l+e2a2)
+ sh cos Ф)2 + (2xfts + sh sin Ф)2) x
/ sk I
X exp I — e2 — I exp [—2sft (xftc cos ф—xhs sin ф)] =
= 1 im —— exp ( 2a e< (xlc + x*s) —
e^ool+e2a2 Н(1-|-е2О2
2 2
St 9.^ ₽2
-----------1---------(xkc cos Ф—xfts sin Ф) ,
2(1+е2<т2) l+e2a2 v ftc fts T'j
220
Xkc гр
t
I Xk (t) COS (dt dt,
t-T
J xh (0 sin (dt dt.
t--T
Усредняя теперь по ф, получим окончательно
£(а, р, Js-J4 X
8-*оо \ 1 -р в2сг2 /
Хехр|^-У (xt+xt)+-^- —У fl
F 1+е2а2^ 7 1 + е2а2 2^
k=i k=i
(8.6)
( 9о2с Г/ 4 \2 / 4 \211/21
X /о 2 - I S fhXhc) +( 2 fkXks) f • (8-7)
U+82a2 L \л=1 / u=i / J J
Переходя к пределу при 82->оо, получим, что
4
lnL(a, р, s) = -£ ?f2k(a, Р) +
2а2
1
+ 1п /о
(8.8)
причем члены, не зависящие от а, р, s, опущены и
fh(^ Р) = 1 +ЛаА>а+^р.
Заметим здесь, что
2 fl (а, р) = 4 + ^(а2 + р^,
k=\
(8-9)
где р,2=4£2—для схемы Пейджа, р,2=2&2—для схемы с поверну-
тыми облучателями.
Обозначим
2/fe(o> 6)%ftc~
i . i
2/&(о, 0)xkS~l£xks=xs,
i i
]/~x2c+x2s^r,
Г 4 1
P)xfic =U(
- 1 Ja=0
3=o
221
г 4
о а
L 1
%ks U S >
- а=0
3=0
4
2айЛ(а’ ₽)xhc
др .
=VC,
а=0
3=0
(8.10)
у^шрм*, =у‘-
др
1 J а=о
Система уравнений правдоподобия имеет вид
d In L q dlnL __ q д In L __д
ds ’да ’ д(3
Решения системы
s=s(xlc, ..., х4с, xls, ...,X4s),
a=:a(xic, ...,х4с, xls, ...,x4s),
Р Р(-^1с> •••> ^4с> -^ls> •••» ^4s)
являются оценками амплитуды сигнала и угловых координат источ-
ника; зависимости от х1с, ...» x4s можно интерпретировать как
операции, осуществляемые радиотехническими устройствами.
Рассмотрим здесь крайний случай большого отношения сигнал/
шум s2/o2^> 1. При этом условии можно воспользоваться представ-
лением
1п/0 (z)~z.
Считая, что смещения цели относительно равносигнального направ-
ления малы, можно разложить аргумент функции Бесселя z в ряд
по а, р в окрестности начала координат
lnL=-^(4+n2a2 + H2P2) + 4/?+^(Xct7c + Xst7s)a +
2a2 a2 a2 R
+Д +x- aI+
+ 2v.fi(X. U.-X, Uc) (Xe V,-X, VJ + (X, V,~X, V,f И +... (8.11)
Рассмотрим смысл операций, появляющихся при составлении ло-
гарифма функции правдоподобия.
Величины Xc(t) и Xs(t) являются, очевидно, ортогональными
компонентами суммарного колебания
х (t)=X1(t) + Х2 (0+х3 (0+х4(0 (8.12)
и R — огибающая суммарного колебания.
222
Действительно, если
x(/) = Fcos (со/-|-ф),
то
F F F
Хг = — cos ср, Xs =-------sin ф, R = —
с 2 2 2
и величина R равна половине амплитуды гармонического сигнала;
поэтому
F=2]/ X2C + X2S.
Компоненты Uc, Us, Vc, Vs образуются следующим образом.
Для схемы Пейджа:
k 1 2 3 4
k k —k — k
да
dJk k —k -k k,
и, следовательно,
Ulc + *2c ^3c ^4c)>
Us — k (%is %2s %3s %4s)>
Vc = k (*lc —*2c —*3c + *4c)>
Vs == k (Xjs %2s %3s ^4s)*
Таким образом, t/c, Us являются компонентами разностного
колебания
«(/) = & (*1(0 +*2 (0— ^з(0— x4(t)). (8.13)
Аналогично Vc, Vs являются компонентами разностного коле-
бания
1/(0-^(*1(/)-*2(0-*з(0 +*4(0)- (8.14)
Для схемы с повернутыми облучателями:
k 1 2 3 4
о k 0 —k
да
k О — k о,
6₽
и, следовательно,
f/c~^(*2c *4с)> U a — k(X2S *4s)>
(*1с *3с)> Vs — k (X}s *3S),
u(t) = k(x2(t) — x4(0), (8.15)
v(t)=
223
Заметим теперь, что для двух колебаний x(t), y(f)
XCYC + XSYS =
= ± {[(Xc + Ycy + (Xs + Ysy]~[(Xc-Yey + (Xs-Ysy]} (8.16)
4
и поэтому операция XCYC + XSYS может быть выполнена, если обра-
зовать колебания x(f) + y(t), x(t) — y(f), выделить квадрат огибаю-
щих этих колебаний и вычесть их друг из друга.
Для гармонических колебаний
х (t) = Лх cos (at + фх),
с/(/) = Л2соз (со/ + ф2),
Хс
Xs
с л i j. 1 , cos со/ Дх созфх
\ A, cos (at + wx) dt — —1 ,
sin at 2 —sincpx
Yc 1 с л / , . x cos «>/ a2 cos q>2
“=— \ 42cos(<b/ + <p2) . dt = -^ /2 ,
Fs T t-т sin at 2 —зшф2
(8-17)
XCYC+XSYS=-^соз(фх-ф2)=- iReXr
4 4
где
Х = Аг exp (/фх), Y = Л2 exp (/ф2).
Аналогичным образом
Хс Ys—Xs Yc = sin (фх-ф2) = - -L Im ХУ*. (8.18)
Если шумы отсутствуют, то сигналы x(t), u(f), v(f) относительно
друг друга находятся либо в фазе, либо в противофазе. Поэтому «сиг-
нальные части» преобразований
xcuc+xsus, XCVC+XSVS
пропорциональны амплитудам соответствующих сигналов, в то время
как сигнальные части преобразований
XCUS—XSUC, XCVS—XSVC
равны нулю. Исходя из этого, в выражении для логарифма функции
правдоподобия можно пренебречь членами а2, р2, ар.
В результате
1п1 = -^(4+|х2а2 + И2р2) +
+ ^+^(Xct/c + Xs^)a + ^(XcKc + XslZs)P- (8Л9)
324
Уравнения правдоподобия имеют вид
— s(4 + p2a2+p2p2) + 2/? +
+ А а (ХС Uc + Xs U,) + 0 (Хс Vc + Xs V.) = О,
-sya+-i(xct/c+xe{/g)=o,
-sV₽ + 4<XelZc+X*l/’)=0-
К
Если предположить, что оценка сигнала s" представлена в виде
s = s0 + $aa + spp,
то можно составить укороченные уравнения правдоподобия в нулевом
приближении, решения которых
s = #/2,
a = —(*е + *s У») = 4 ,
у? Rs ' С С S 8/ ^£2 (8.20)
₽ = (Хс Ус + Х8 V,) = .
Рассмотрим радиотехническую интерпретацию соотношений (8.20).
Схема Пейджа
- 14
В соответствии с соотношением (8.16) 2 ,№ (8.21) Р 1(г3е + | г. /)],
где z1=x1 + xi; 22 ~ Х3 "Ь Х41 го 9Q\ z3=xt+ х4; (8‘22) ^4 == Х% “I*" Xg.
Таким образом, в оптимальном угломере необходимо сформиро-
вать колебания
~z1~i rl, 1, 0, От Г*1“1
z, 0, 0, 1, 1 х„
= 1 о п 1 • (8-23) г3 1, 0, 0, 1 х3 v 7
_z4J Lo, 1, 1, OJ Lx4_
8 Зак. 213
225
Колебания zlt г2, z3, г4 и суммарное колебание х детектируются
квадратичными детекторами и ненормированный сигнал ошибки по
углам а, 0 равен разностям
ОГ2(г1)—ОГ2 (г2),
ОГ2(г3)—ОГ2 (г4).
Поскольку преобразование (8.23) осуществляется над выходами
парциальных усилителей, его можно осуществить без потери отно-
шения сигнал/шум.
Рис. 8.4. Схема Пейджа (амплитудный вариант).
Оптимальное преобразование (8.23) показывает, что не существу-
ет «чисто амплитудного» метода обработки угловой информации, по-
ставляемой парциальными каналами; для осуществления этого ме-
тода необходимо преобразовать парциальные каналы в другие каналы,
формируемые попарным суммированием соседних каналов (рис. 8.4).
Схема, являясь оптимальной с точки зрения минимума шумовых
ошибок (при большом отношении сигнал/шум), имеет повышенный
уровень аппаратурных ошибок. Поскольку на детекторы подаются
суммы колебаний по высокой частоте, выходы детектора будут зави-
сеть как от амплитудной, так и от фазовой разноканальности уси-
лителей.
226
Другие интерпретации соотношений (8.20) могут привести к по-
строению схем менее чувствительных к аппаратурным неточностям.
Можно исходить непосредственно из соотношений (8.20).
Для того чтобы сформировать оценку угла а, необходимо обра-
зовать суммарное колебание
х (0 = %! (0 + х2 (t) + х3 (I) + х4 (t)
fi
ОС
Рис. 8.5. Измеритель угловых координат схемы Пейджа (амплитудно-фазовый
вариант).
и разностное колебание
^=Х1(0+х2(0-х8(0-х4(/).
Для оценки угла |3 образуется еще
= *i (t) — х2 (0 — х3 (0 + (0.
к
Колебания х, и, v формируются с помощью системы двойных
тройников (рис. 8.5). Множитель 1/]/'2 обеспечивает сохранение мощ-
ности до и после тройника.
8* 227
Суммарное колебание x(t) и разностное колебание u(t)/k подаются
на схему, обеспечивающую преобразование
±(XcUe + XgUs).
к
В соответствии с соотношением (8.16) в этом устройстве образу-
ются сигналы x(t) + u(t), x(t) — u(t), эти сигналы детектируются
квадратичными детекторами и квадраты огибающих вычитаются.
Аналогичные преобразования осуществляются над колебаниями
x(t) + v(t) и x(t) — v(t).
Устройства подобного типа дают выход, пропорциональный про-
изведению амплитуд входных сигналов и косинусу разности фаз этих
сигналов, и называются поэтому амплитудно-фазовыми детекторами
(АФД).
Для исключения зависимости от амплитуды входного сигнала
выходы АФД делятся на квадрат огибающей суммарного канала. Этот
процесс называется нормировкой.
Характерная особенность схемы (рис. 8.5) состоит в том, что эта
схема не имеет разветвлений выходов приемников парциальных ка-
налов. Единственное деление на три части происходит после усилителя
суммарного сигнала. Это означает, что парциальные приемники не
являются необходимыми. Исключение парциальных приемников при-
водит, однако, к логическому противоречию, поскольку схема оп-
тимальна в предположении, что независимые шумы добавляются
к сигналам именно в парциальных каналах. Можно, однако, показать,
что:
1) шумовые ошибки в схеме рис. 8.5 и в схеме с исключенными
парциальными приемниками одинаковы при равном уровне шумов
парциальных и суммарно-разностных усилителей;
2) решение оптимальной задачи, поставленной для выходов сум-
марно-разностных усилителей, приводит к последующей части схе-
мы (рис. 8.5).
С учетом этих обстоятельств схему (рис. 8.5) и исключенными
парциальными усилителями можно считать вытекающей из соотно-
шений (8.20). Эта схема называется иногда амплитудно-фазовым ва-
риантом амплитудного моноимпульсного измерителя.
Схема с повернутыми облучателями (ц. = 2k2)
В соответствии с соотношениями (8.15) и (8.16)
(Хс t/c + Xs U„) = А [ [(%1с + 2х2с + х3с)2 + (х18 + 2x2s + x3s)2] -
— I(xac + x3c + 2x4c)2 + (x18 + x38 + 2x4s)2] },
(Xc Vc + Xs V8) = у {[(2xlc + x2c + x4c)2 4- (2x18 + x2$ + x48)2] —
— [(^2c + 2*3c + *4c)2 + (x2s + 2x3s + X4s)2]}
228
и поэтому
S = -у = {(*1 с + *2с + *3с + Х4с)2 +
+ (Х13 + X2s + X3s + X4s)2)
s=^i(^+4.)-(H«+z;.)).
(8.24)
где
г1 = 2х1+ x2 + x4,
z2 — x4 -f- 2x2 “Ь x3,
*3 =
X2 + 2x3 +
(8.25)
x4,
z4 — X} -f* Xg -J- 2x4 ,
Квадраты огибающих колебаний zlt z2, z3, z4, x используются для фор-
мирования оценок, причем для оценки угла а используется ОГ2г2 —
ОГ2г4, а для оценки 0 вычисляется ОГ2гх — ОГ%. (
Преобразование (8.25) показывает, что на квадратичный детектор
подается сумма трех колебаний: колебание с выхода «своего» парци-
ального канала с удвоенным весом и колебания с выходов парциаль-
ных каналов другой плоскости с единичными весами. Таким образом,
за счет суммирования трех когерентных сигналов увеличивается от-
ношение сигнал/шум на входе детектора.
Матрица (8.25) вместе с суммарным каналом хг + х2 + х3 + х4
реализуется после парциальных приемников на высокой или проме-
жуточной частоте (рис. 8.6).
Другая интерпретация следует из соотношений (8.15). Здесь
сначала образуются суммарный и два разностных сигнала, которые
усиливаются и подаются на две схемы АФД. С учетом приведенной
выше дискуссии парциальные приемники могут быть исключены. Со-
ответствующая схема представлена на рис. 8.7.
22 9
Рис. 8.6. Измеритель угловых координат (амплитудный вариант)
Рис. 8.7. Измеритель угловых координат (амплитудно-фазовый мето
230
8.2. АНАЛИЗ ШУМОВЫХ И АППАРАТУРНЫХ ОШИБОК
Шумовые ошибки схемы измерения углов (рис. 8.7) могут быть
найдены следующим образом.
Если
$! = s (1 + kfi) cos (со/ + ф),
s2 = s(l + &a)cos ((o/4-<p),
s3 =s(l —&0)cos (®/ + ф),
s4 = s (1 — ka) cos (at + Ф)
— сигналы на выходах парциальных антенн, то сигналы на выхо-
дах усилителей суммарного и разностного каналов при соответствую-
щем выборе коэффициентов усиления есть
4s cos (at + ф) + ns cos (at + vs),
2ska cos (at + ф) + Пд cos (at + vA),
где ns, —релеевски распределенные амплитуды; vs, vд — равно-
мерные фазы. Оценка угла а имеет вид 2 г kR2 (8.26) R2 =Х2с +
причем rt v Xzc = 2s COS Ф + — cos v2, x2s = — 2s sin ср sin v2, L «д (8-27) хдс — ska cos ф -| cos v&, 2 , . «Д . x&s = — ska sin ф — sin д>д.
Подставляя (8.27) в (8.26) и пренебрегая членами второго по-
рядка малости относительно ns/s, n&/s, а, получим
а = а+-^7соз(ф—vA). (8.28)
Таким образом, статистические характеристики^оценки имеют
ВИД <[a—a]> = 0, «“-al2) =^54=4-? (8.29) 4fc2 s2 k2 q2
где q2 = 4s2/а2 — отношение сигнал/шум по мощности в суммарном
канале.
231
Дисперсия ошибки измерения угловой координаты обратно про-
порциональна квадрату крутизны пеленгационной характеристики
и отношению сигнал/шум по мощности в суммарном канале.
Основные аппаратурные ошибки углового измерителя происхо-
дят из-за следующих искажений.
1. Амплитудные и. фазовые искажения парциальных диаграмм,
приводящие к тому, что колебания, поступающие с облучателей,
имеют вид
sft = s(l+/ft)cos (<о/ + <р„),
где коэффициенты Д, <рй учитывают амплитудные и фазовые иска-
жения соответственно.
2. Амплитудные и фазовые искажения в усилителях суммарных
и разностных сигналов, приводящие к тому, что колебания с выхода
суммарного канала изменяются по амплитуде в 1 + ps раз и по фазе
на фа радиан; колебания с выхода разностного канала изменяются
по амплитуде в 1 + рд раз и по фазе на фд радиан.
Анализ влияния искажения упрощается, если считать, что вели-
чины fh, фй, р2, рд, ф2, фд малы по сравнению с единицей.
Амплитудно-фазовый детектор для колебаний
X = A cos (со/ + а), X = А ехр /а,
У = В cos (со/4-0), У = Вехр/0
имеет выход
г=— АВ cos (а— 6) = — Re ХУ*.
4 4
В разностном канале сигнал равен
У = s (1 + лд) (2 Аф + Фх - Ф3 + 2kfi) (Фх + Ф3),
/ фд \
ЛД= 1рд-----— 1 + /(фд + рдфд),
/ <р? \
— —-) + KWkA-fk Фь).
В суммарном канале сигнал равен
X =-- s (1 + М (4 + 2 Фь + ka (Ф2 - Ф4) + Ц (Фх - Ф3)),
l|)v
я2 = -----— + j № + рх W
Выход АФД равен
Z = —— Re X Y* = s2 (1 4~ 4~ яд 4~ лд) f 1 4- — 2 4~
4 \ 4
+' (ф,-ф4)+(Фх—ф3)") (2^р+ф; -ф;+2kp (ф;+ф;>).
4 4 /
232
Если ограничиться членами не выше второго порядка малости
(считая аир малыми первого порядка), то
z = s2 (a-f-&₽),
где
а = Re (Ф1 —Ф3) + Re (its-)- Лд) (Ф1 —Фз) -|—— Re2Фл (Ф1 — Фз),
4
b = 2&[1 + Re(p2 + pA) + /;1+/:34- .
L 4
Подставляя значения для комплексных ошибок и беря реальные
части, получим
а = Л—/3 + (Фх ~ Фз) fl’s—+ -г (—<Р1 + Фг — Фз + Ф<)
L 4
b = 2k 1 +(рг+ Рд) + Л + /зН—•
4
Нормировка ведется на квадрат огибающей суммарного канала,
т. е. на величину -^-Х X *, которая в нулевом приближении равна 4s2.
Таким образом,
Р= i [(А-/з) + (Ф1—Фз) pl’s—Фд + 4" ( — Ф1 + Ф2—Фз + Ф4)]| +
2-rv L * J J
+ 0 1+(Ps + Pa)+/1 + )з+~7
4
(8.30)
В соответствии с (8.30) амплитудные и фазовые разноканальности
смещают нуль дискриминаторной характеристики и изменяют ее
крутизну.
Смещение нуля означает наличие систематической ошибки из-
мерения. Эта систематическая ошибка зависит от разницы амплитуд-
ных разноканальностей в парциальных каналах Д — fs.
Если одновременно существуют фазовые разноканальности в пар-
циальных каналах и фазовые разноканальности в суммарном и раз-
ностном каналах, то появляется смещение нуля
(Ф1—Фз)(Ф2—’I’a)-
Наконец, особую роль играет расфазировка одной плоскости фр =
= (<₽! + ф3)/2 относительно другой фа = (фх + ф4)/2, приводящая к
сдвигу нуля на величину у (фх — ф3) (—фр + фа).
8.3. ФАЗОВЫЕ МЕТОДЫ УГЛОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Фазовые методы измерения углов основаны на сравнении фаз ко-
лебаний, принимаемых несколькими антеннами.
На рис. 8.8 представлен двумерный интерферометр, состоящий
из N элементов, расположенных на плоскости. Элемент с номером k
имеет декартовы координаты (xk, yk). Каждый элемент интерферометра
состоит из антенны и приемника.
На выходе приемника k-ro элемента имеются сигнал и собствен-
ный шум
= + (О-
Для небольшого интервала t, t — Т сигнал и шум можно считать
отрезками гармонических колебаний с некоторыми фазами и ампли-
тудами:
sft(/) = scos((o/ + (pft + ^), (831
nh(/)=rtftcos(Mi + vfe).
Предположим, что от пеленгуемой цели на интерферометр падает
волна с плоским фронтом, фаза которой в точке (0, 0) в момент t = 0
равна ф. Произвольный плоский фронт можно считать суммой двух
плоских фронтов, из которых один проходит через ось у и наклонен
к оси х под углом а, а второй проходит через ось х и наклонен к оси у
под углом 0. Поэтому фаза колебаний, принимаемых элементом с ко-
ординатами (xfe, yh), равна
Отт
Ф + <Рй = Ф +v (xfcsina+^sinP), (8-32)
Л
где А — длина волны.
Оптимальный измеритель углов аир осуществляет оценку углов
а, 0 и амплитуды колебаний s методом максимального правдоподобия.
В ^ответствии с вышеизложенным функция правдоподобия па-
раметров а, 0, s равна
L (а, 0, s) = / П Lk (а, 0, s, ф)') =
/ ф
/ N к
= С п <Lft(a, 0, s, Ф, nk, Vh)yn v у ,
234
где
Lft(a, 0, s, ф, nk, vh) =
= lim exp j —e2 —
E->OC T
J lzs(O—scos ((o/+<jpft+i|?)—nh cos (®f4-vft)]8dn =
S2 82
2o2 e4 /2 । 2 \)
~ I ~ \Zkc + zks) I exp ч
+ e2a2 J ( 2(l + e2o2)
= lim----!---exi
e-*oo 1 + e2 a2
X ex₽ ( , J5e3\ t2*c COS (<pft +H0—Zhs £
I 1 + e3 o2
1 I
Zkc= — \ Zk (0 C0S
zhs — — zh (t) sin at dt.
T t-T
Усредняя no ip и удерживая только члены, зависящие от а, 0, s,
имеем
Ns2 82
j 2se3
X/ob+ea аг
L(a, 0, s) = limexp
e-х» \ 2(1+ e2a2) /
. __ , _
22 (Zhc cos <pfe— zks sin <ph)+22 (zftc sin <pft + zftscos
1 1
Для большого отношения сигнал/шум
In I. (a, p, s)=—^- +
+ ^7 |2j2 cos <Pfe—zfes sin <pft) + 22 (zkc sin q>fe + zhs cos <pft)| . (8.33)
Уравнения правдоподобия имеют вид
dL (О, О, s) 0
ds
д ( N N )
,!„*)+ ?(^in^.eoS(p»))=0,
д ( W N )
77 IS2 (2feccos Фл— zks sin q>ft) + У2 (zkc sin <pft + zhs cos q>h) = 0,
I i i J
причем оценка сигнала вычисляется при нулевых значениях а, 0 и
система уравнений для оценок угловых координат не зависит от оцен-
ки амплитуды.
235
Производя дифференцирование и учитывая, что для малых углов
cosq>ft~l, sinq>ft~<pA = -y (х^а + ^Р),
получим
2 [г*с — гйз Y а + i/h Р)
AZ
2
1
— гкс— (,xha+yh p)xfe
— Zks У к | +
+ 2pfec (xfe а + Уй P) + Zhs X
1 L J
AZ Г 2л D
х2{гЛсХЛ— Zfes-J (xfea + yhP)Xfe I =0,
t \ L J/
az 2jT N r 2л
у(^а + Ук₽) 2l| ~^с^^+Ук^Ук — ZfeSf/fe} +
1 L J 1 4 J
+ 2 [гАс Y (хк <*+Ук P) + Zhs] 2 [г*с Ук~гкз у (xk a + У к P) У к = 0.
Удобно ввести следующ-ие колебания:
N
1
x(Z) = Sxft?ft(Z),
1
У^) = ^Ук Zk (Z),
1
AZ
«Ю=5л:*гй (z),
1
v(Z)-2yhft(Z),
1
N
w(t) = ^ixhyhzh(t),
(8.34)
причем суммирование распространяется на все элементы интерферо-
метра.
Колебания ?(/)...w(t) имеют синусную и косинусную состав-
ляющие. Например,
N N
2e=2^fec» zt — ^4zks‘
1 1
236
С учетом этих обозначений уравнения правдоподобия имеют вид:
(—гс xs + zs хс) + а [(х1 2 * * * * * + х2) — (zc uc + zs us) ] +
+ Y ₽ I Uc Ус. + xs У») ~ (Л> WC + zs ays)l = o,
2л <8’35)
(—zc ys + Zs yc) + — a [(xc yc + Xs ys)—(zc wc + zs ws)] +
Л
+ ~T ₽ [G/s +f/c) — (zc Vc +zs Vs)] =0.
Третьи члены в уравнениях (8.35) имеют второй порядок малости
и поэтому в первом приближении уравнения системы (8.35) независимы
( ^8 *^с) “I Г” [C^S "Т^с) (^с ue)] — 0,
Л
( — 2C«/S + Zsl/C) + ^P [Gs2+f/C2) — (2cyc+Zsrs)] =0.
Л
Таким образом, угловые координаты измеряются независимо друг
от друга и рассмотрение одномерного случая исчерпывает задачу.
Рассмотрим частный случай одномерного интерферометра, эле-
менты которого расположены, например, вдоль оси х (все yh = 0).
Тогда измерить угловую координату 0, естественно, невозможно.
Оценка угла а имеет вид
Для оптимального измерения угла прихода необходимо сформи-
ровать три колебания:
z (0 = 2 МО,
1
= (8.37)
1
1
соответствующие трем различным способам возбуждения апертуры.
Сложение колебаний, принимаемых элементами интерферометра, про*
изводится в одном случае с единичными весами, в другом — с весами,
равными координатам элементов, в третьем — с весами, равными
квадратам координат элементов. Каждому способу сложения соот-
237
ветствует своя диаграмма направленности. Несмотря на то, что соот-
ношение (8.36) справедливо только для малых а, таких, что
I 2л -
"Гхла « h
I “
молено, конечно, рассматривать диаграммы направленности (8.37) при
любых а.
Если пренебречь собственными шумами приемников, то
zft(O = s
хк а -|- (at 4- ф
?(/) = $ Re
Г N
2/ . 2л
j ехр(уухйа
ехр [/ (со/+ф)]=s Re f (а) ехр [/ (ю/+ -ф)].
Легко видеть, что
х(')-!£Ке£ехр[/(ш/+’|’~т)]'
... I Ь Vr> dlf ч,1
u(t) = s I — Re —exp[/(со/4-ф — л)] .
В частном случае действительной функции
N
f(a)=-x2exp(/а) >
z (/) = sf (а) cos (со/ + Ф),
х (/) = —— s — sin (со/ + ф),
2 л t/oc
,,, / А. \2rf2f . , ,
«(0 = 5—1 —- cos (со/Ц-ф).
у 2л / dot
(8.38)
(8.39)
Функцию /(а) можно трактовать как диаграмму направленности
интерферометра, которая соответствует простому суммированию сиг-
налов с элементов интерферометра.
Рис. 8.9. Двухэлементный интерферометр.
Из соотношений (8.39) следует, что диаграммы наравленности по
полю, которым соответствуют сигналы х, и, пропорциональны произ-
водным от диаграммы направленности Да).
Рассмотрим, например, двухэлементный интерферометр, пред-
ставленный на рис. 8.9,
238
Здесь
f (а) = 2 cos — da,
Л
г (t) — 2s cos — da cos (со/ + -ф),
X 91T (8.40)
x{t) = —2 sd sin — da sin (co/ + ф),
и (/) = 2sd2 cos — da cos (co/ 4- ip).
Диаграммы направленности f, f, f" имеют вид рис. 8.10, причем
А = h/4d.
Рис. 8.10. Суммарная (а) и разностная (б) диаграммы двухэлементного интер-
ферометра.
В случае линейной равномерной решетки, представленной на
рис. 8.11, диаграммы направленности имеют вид
f(a) = (2W + l) —, <p = 4L(2W + l)da=— Da,
Ф Л X
если a < Л/d,
z (t) = s ^2-5- cos (со/ + гр),
Ф
x(0~—s— sin (со/ 4~гр),
2 \ <p /
... D2 / sin ф V' \
и (t) = s — —— cos (co/ + ^)-
4 \ ф /
Диаграммы направленности Д Д, f представлены на рис. 8.12.
В соответствии со способом получения, диаграммы направлен-
ности, связанные с сигналами z(t) и x(t), удобно называть (так же как
и сами сигналы) суммарной и разностной диаграммами; сигнал u(t)
и соответствующую ему диаграмму условимся называть нормирую-
щими.
239
Таким образом, для оценки угла а необходимо прежде всего сфор-
мировать суммарный, разностный и нормирующий сигналы. Каждому
из этих сигналов соответствует пара координат
Рис. 8.11. «Линейная равномерная решетка
Рассмотрим радиотехнические интерпретации соотношения (8.36).
Ранее было показано, что операция
Xs+X2c
производится с помощью квадратичного детектирования сигнала
х(/). Операция
zcuc+zs us
Рис. 8.12. Диаграммы направленности линейной равномерной решетки.
производится амплитудно-фазовым детектором, на вход которого по-
даются сигналы z(t) и u(t). Операция
производится с помощью амплитудно-фазового детектора, на вход
которого поданы сигналы z(t) и х(/), причем сигнал x(t) повернут по
фазе на л/2.
Таким образом, схема измерителя угла а может быть выполнена
в соответствии с рис. 8.13.
Ненормированный сигнал ошибки получается на выходе ампли-
тудно-фазового детектора, на вход которого подается сигнал, приня-
240
тый по «суммарной диаграмме», и сигнал, принятый по «разностной
диаграмме», пропорциональной производной от «суммарной диаг-
раммы».
Для нормировки сигнала ошибки, т. е. исключения зависимости
величины сигнала ошибки от амплитуды падающего сигнала, ненорми-
рованный сигнал делится на сигнал с выхода АФД, на вход которого
поданы сигналы, принятые «суммарной» и «нормирующей» диаграм-
мами. Шумы приемников смещают выход АФД и для их компенсации
(в среднем) производится вычитание выхода квадратичного детектора,
на вход которого подан сигнал, принятый «разностной» диаграммой.
Приближенно, нормирующий сигнал можно сформировать, взяв
квадрат огибающей суммарной диаграммы. В этом случае фазовый
измеритель угловой координаты имеет вид рис. 8.14.
241
6.4. ИЗМЕРЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ШУМОПОДОБНОГО СИГНАЛА
Измерение параметров шумоподобного сигнала является одной
из актуальных задач. В частности подобные задачи возникают в связи
с необходимостью юстировки и снятия диаграмм направленности
антенн с использованием излучения космических радиоисточников.
Устройства измерения интенсйвности внешних шумов антенной
системы обычно называются радиометрами. Если интенсивность внеш-
них шумов известна заранее, то эти шумы можно использовать для
определения коэффициента усиления антенной системы. Если поло-
жение внешних дискретных источников радиоизлучения также за-
ранее известно с большой точностью, то результаты измерения угловых
координат источников можно использовать для юстировки измери-
тельных систем [8.2].
Далее рассматривается построение оптимальных радиометров
для решения обеих упомянутых задач.
Предположим сначала, что на выходе усилителя промежуточной
частоты (УПЧ), которым заканчивается радиоканал, имеется узко-
полосный нормальный шум s(t) с нулевым средним значением и неиз-
вестной мощностью о2, которую и нужно оценить. Наблюдения про-
изводятся в дискретные моменты времени 4, t2, ..., tn, отстоящие на
интервал Д/ > 1/Д/, где Д/ — полоса УПЧ, так что наблюдаемые
значения х2........ хп можно считать независимыми. Логарифмы
функции правдоподобия имеют вид
/-- VI 2
—п1п]/2л—nlno—2jXk~^
и оценка мощности, сделанная по максимуму функции правдоподобия,
1 п
ст2 = —24- (8.41)
п 1
Для большого числа замеров п о2 распределена по нормальному
закону, причем статистические характеристики оценки имеют вид
<ст2>=ого, <[ст21г> —<ст2>2=-оо, (8.42)
п
2
где Оо — истинное значение оцениваемой мощности.
Легко увидеть, однако, что можно построить оценку мощности
шума s(t), лучшую, чем оценка (8.41).
Предположим, что наблюдаются значения
Г1, г2..гп
огибающей процесса s(t). Тогда, поскольку огибающая распределена
по релеевскому закону, логарифм функции правдоподобия есть
п п
—nlno2+S lnr„ — 7^24-
i 2а2 1
242
Оценка максимального правдоподобия
1 п
(8.43)
2п 1
имеет статистические характеристики
<&2>=о02, <[&212>- <э2>2 = -LoJ. (8.44)
п
Таким образом, оценка мощности по временному среднему от
половины квадрата огибающей, являясь несмещенной, имеет в два раза
меньшую дисперсию, чем оценка мощности по среднему значению
квадрата выхода УПЧ. Это преимущество объясняется тем, что квад-
рат выхода УПЧ имеет нулевые значения, следующие в среднем с
частотой, равной центральной частоте фильтра приемника, и некото-
рые из моментов выборки могут попасть в районы этих значений.
Для того чтобы огибающая шума s(t) появлялась в теории естест-
венным образом, необходимо вместо дискретных моментов времени
..., tn рассматривать небольшие интервалы наблюдения
tfi, Zx-T),...,^, tn—T),
причем
На каждом из таких интервалон наблюдения нормальный шум
с выхода УПЧ является отрезком гармонического колебания частоты
f0 со случайной начальной фазой и случайной амплитудой, причем
фаза распределена равномерно на интервале 2л, амплитуда распреде-
лена по релеевскому закону, и фаза и амплитуда независимы.
Введение интервалов наблюдения приводит к необходимости ис-
пользования функционалов вероятности регулярных процессов (1.77)
F [%(/)] = lim ехр
е2-*оо
— е2 [х (/) — s (Z)]2 dt
‘k-r
(8.45)
где s (/) = ak cos (со/ + cph) — отрезок гармонического колебания со
случайными и независимыми фазой и амплитудой. Плотности вероят-
ности фазы и амплитуды имеют вид
Р(Фй) =4-> 0<Фй<2л,
Ж) = ^ехр
ак>0.
243
Функция правдоподобия мощности о2 при наблюдении в интер-
вале th, th~T есть
/ехр { — &1Т [у — 2aft (xfec cos <pft —xftg sin <pft)] }\ ,
где
lk Ч
xh~=— § x (t) cos tdt, xhs = — § x (i) sin co/ dt.
T T ‘h~T
Усреднение no cpft с равномерным законом дает
<exp (-e2T-y) /0 [2afte2 TRk]} , (8.46)
Rk ~ Xkc + xks>
где 70 — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка от
мнимого аргумента.
Усреднение по ah с релеевским законом дает окончательное вы-
ражение для функции правдоподобия
L (Ст2) =-!— ехр ( 2е*TlR^1) . (8.47)
’ 1+82,Та2 н \ 1 + 82Та2 /
При использовании всех п интервалов наблюдения в силу незави-
симости шума s(t) на этих интервалах
z.(ga) = —2—— ехр (2e‘raqa Ъ/ <8.48)
(1-|-82 То2) \1 + 82Tg2-Y /
Уравнение правдоподобия имеет вид
п
---п&7—------28* Т2 у R2 = Q (8 49)
1 + е2Та2 (1 + 827о2)2
Устремляя здесь е2->оо, имеем
а2 = -(8.50)
« k=i 2п I
где, как и ранее, rk — огибающая шума s(t) в момент tk.
Справедливость соотношения Rk = у обсуждается далее [см.
(8.56)].
Рассмотрим теперь задачу измерения мощности шумоподобного
сигнала s(t) в близкой к практике радиометрии постановке.
244
На практике измерение мощности сигнала, пришедшего от косми-
ческого источника, происходит, как правило, при наличии собствен-
ного шума приемника, причем мощность собственного шума в полосе
приемника часто значительно превышает мощность сигнала. Кроме
того, вход приемного устройства переключается периодически с вы-
хода измерительной антенны на эквивалент измерительной антенны
для измерения уровня собственных шумов приемной системы [8.3].
Поэтому в дальнейшем предполагается, что за время наблюдения де-
лается 2п замеров; п замеров за первую половину интервала наблю-
дения производится при работе по космическому источнику, когда
на выходе УПЧ радиоканала имеются собственный шум и внешний
шум; следующие п замеров производятся при работе на эквивалент,
когда на выходе УПЧ присутствует только собственный шум приемни-
ка и шум эквивалента. Мощность собственного шума во всех замерах
считается одинаковой. Каждый замер производится в результате
наблюдения на интервале tk, tk — Т, где Т удовлетворяет сформу-
лированным выше требованиям. Все замеры считаются независимыми.
На небольшом интервале наблюдения Т сигнал и шум являются
отрезками гармонических колебаний
sk cos (со/ + фй), nh cos (со/ 4- Vft),
так что функционал плотности при фиксированных sk, пк, vh
пропорционален величине
limexp
Е2->оо
2 1
--62----
т
§ [х (/) — Sh COS (со/ + —
h-T
— nkcos (co/4-vfe)]jz
4
limexp —e2 — \ Гх(/)—tnl cos (со/ 4- p д 12 di
ег-*оо T z__j. L
I — fl 4~ 1, ..., 2fl.
Случайные величины vk, pz распределены равномерно, слу-
чайные величины sh, nk, tnl распределены по релеевскому закону
p(sfe) = 4exp(—
84S
2 2
Функция правдоподобия параметров ас и стш равна
” / ( е2
Ь(ос, 0Гщ)= П\ехР(—V $ [х(/) —SftCOS(co/ + l|)ft) —
Й=1 tk-T
— nfecos(<o/ + vft)]2d/|\ X
J / sk' nk‘ ^k’ vk
2n Tt
П /expf —5 k(0—mzcos(co/. (8.51)
/=„+1 4 I T tf-т ]/^ P-z
Вычисляя средние значения в (8.51), можно получить следующее
выражение для функции правдоподобия:
/ 2 2 \ 1 1
+ е^,у (1 + е’(а.Ч«Ь)" Х
где
п
X П ехР
А=1
Г 2е4/?|(0щ+а2) 1 Г
1+е2(о2+о2с)]еХР[
2s4*i+n
1 + е2«ш
(8.52)
Rk —Xkc 4"Xas,
xhc = — § х (/) cos со/ dt,
Т h-T
lk
xks = — § x (^)sin со/ dt.
T ik-T
(8.53)
(8.54)
Оценки Ощ, о2 являются решением уравнений правдоподобия,
которые получаются после дифференцирования (8.52) по Стщ, о2 и
перехода к пределу при е2->-оо:
ае2=— 2^-—2
« А = 1 « А = 1
2.2
а2 1 /?а2+„-
п А= 1
(8.55)
Легко видеть, что операция 7? = |Лхс 4-х2 при Т >2л/со(или Т,
равном целому числу периодов 2л/со) выделяет половину огибающей
процесса х (/).
Действительно, если, например, х (/) = г cos (со/+ Р), то хс =
(r/2)cosp, xe =(r/2)sin р, /?=г/2.
246
Поэтому, оценка мощности сигнала
~2 1/1 2 1 -гч 2 |
(Тс = - -У г*--------Угя + 4 .
2 I Л Л п I
(8.56)
Таким образом, для образования оценки мощности необходимо
взять среднее значение за п замеров первого полуинтервала наблю-
дения выхода квадратичного детектора, вычесть из него среднее зна-
чение за п замеров второго полуинтервала наблюдения выхода квад-
ратичного детектора и разницу разделить на два.
Нетравиальной особенностью решения (8.55) является то обстоя-
тельство, что для оценки мощности собственного шума (даже при сла-
бом входном сигнале) используются только данные второго полуинтер-
вала наблюдения.
Оценка сигнала (8.56) имеет следующие статистические характе-
ристики:
<3с>=огсо (8.57)
(осо—истинное значение мощности сигнала),
< - <ас2 > ]2> »1 [(а* 0 + ос20)2 4-aio], (8.58)
(ошо — истинная мощность собственного шума).
Если Стшо Ссо, то дисперсия оценки мощности равна Стщо.
Таким образом, относительная ошибка измерения мощности сигнала
<Р2-<ОС2>]2> 2 ,
< о2 >2 «9*
(8.59)
где ^2 = Осо/огшо—отношение сигнал/шум по мощности.
Относительная ошибка обратно пропорциональна числу замеров
п и квадрату отношения сигнал/шум по мощности. Соотношение (8.59)
совпадает с выражением для точности измерения мощности, принятым
в радиометрии [8.3].
8.5. ПЕЛЕНГАЦИЯ ИСТОЧНИКОВ ШУМОПОДОБНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрим задачу определения угловой координаты источника
шумоподобного излучения в следующей постановке.
Антенное устройство имеет два выхода, с каждым из которых свя-
зана парциальная диаграмма направленности. Парциальные диа-
граммы расставлены на некоторый угол так, что равносигнальное
направление соответствует точкам достаточной крутизны. Сигналы
с выходов антенного устройства находятся в фазе, но их амплитуды
зависят от положения источника относительно равносигнального на»
247
правления. К выходу каждой парциальной диаграммы подключен
приемник, осуществляющий фильтрацию сигналов на частоте /0 в не-
которой полосе Д/. Каждый приемник создает свои шумы; шумы в
приемниках считаются независимыми. Выходы приемников наблю-
даются в интервалы наблюдения
&Л-П; (tn, tn—T),
причем 1//о<С Т 1/Д/,
tk—tk_i » 1/Д/, k =
Сигнал источника радиоизлучения, прошедший через приемное
устройство, является узкополосным нормальным случайным процес-
сом с нулевым средним значением. Мощность сигнала на выходе каж-
дого канала в случае, если источник находится на равносигнальном
„ 2
направлении, предполагается равной стс.
С учетом всего вышеизложенного можно считать, что на неболь-
шом интервале Т выходы парциальных каналов могут быть представ-
лены в виде гармонических сигналов
Х1к (/) = s (1 + X) cos (со/ 4- Фй) + Пк cos (со/ + vft),
x2ft(/) = s(l—%)cos(co/4-i|)ft)4-mftcos((o/ + p,ft), k = \, n,
где X = Др; f — крутизна нормированной пеленгационной ха-
рактеристики в точке пересечения парциальных диаграмм; ср — коор-
дината источника относительно равносигнального направления; sk —
релеевски распределенная огибающая сигнала с параметром Ос1«й —
релеевски распределенная огибающая в первом канале с параметром
аШ1; mk — релеевски распределенная огибающая шума во втором кана-
ле с параметром Стшг; ф&; vft и р,й — случайные начальные фазы ко-
лебаний, равномерно распределенные на интервале 2л.
Функция правдоподобия параметров
1 „2 ~2 „2
Л, СГс, СТШ2
пропорциональна следующему выражению:
(%, ос, стш ], (Тщг) =
= П\ехР{~ е2у J Sfe(l +Ь)соз(со/4-фй) —
*=1 ^~т
— nftcos(co/+ vfe)]M/}exp { —е2у J fx2ft(/) —
‘k~T
— sk (1 — X) cos (co/ + — mh cos (w/ + pft)]2 dt\
J /sk> 4
nk> vk
mh>
248
Выполняя усреднение сигнала по vk, щ, затем по nh, mh и,
наконец, по sh, можно получить для функции правдоподобия
выражение вида
L(X, Ос, Ош1, Ошг) — lim П {(1+е2 Ош1) (1+е2 Ошг)+
в’-»00 А=1
+ е2(1Н-Х)2Ос (1+е2<Тш2) + е2(1—%)2о2(1+е2Ош1)) 1 X
2е4 Ощ1 #2д 2е4 Ощ2^2й
1+е2с2, 1 + е2 о22 .
28*0?
X ехр
1+е20щ2
(1+*)2< , „ 2
1+е2 о2!
;i+82 а2,) (1+82 а^2) +82 (1 -%)2 а2 (1+82 а2
1 “I-
+(i-%)2/?2fe-—TV- + 2(l-X)2XlftX2A
___________1+е2 <2__________________J
+ е2 (1+Х)2 а2 (1+е2 Ощ2)
(8.60)
где
k
1 Р /,ч cos (dt J.
х^с = — I . dt,
xks T J sinco/
*к~т
fk
Y -A f v (f\COS<Ot/if
X2kC~~T I %2fe ein гч/ ’
i J sin cor
Rlk —Xlkc R<2k==X2kc-]~X2ks*
(8.61)
Скалярное произведение XlhX2h определено соотношением
Xik ^2kc Xiks* (8.62)
Переход к пределу при в2 -> оо удобнее осуществлять в уравне-
ниях правдоподобия.
При составлении уравнения правдоподобия и их решения будем
предполагать, что уровни собственных шумов парциальных каналов
одинаковы:
2 2 2
0"ш1 —(7ш2 —СУш*
Предположим, кроме того, что смещение источника относительно
равносигнального направления невелико и флуктуационная ошибка
измерения пеленга достаточно мала, так что оценка %:
Х«1.
249
В этих условиях система уравнений правдоподобия для оценок
1 Л2 ~2
А, О с, Ош
имеет вид
- (а* + 2пс) + (Я? + $ + 2Х?Х2) + 2% = О,
(si-si) (ai+2ас2) +х [-as, (а2 +2ас2)+
+№+£1 - 2адо (at, + 2а2) - (я?+~rI + 2хГх2 ) 2а2 ] = о,
- (а2 +2ас2) (а2 )2-а2 (а2 +2а2) +2 (яТ+яЬ (а2 +2а2)2 -
- 2а2 (2а2 + 2а2) (+2%Г^) -
—2ц я!+я!) 2а2 (2а2 + 2а2)=о, (8.вз)
где прямая черта сверху означает временное усреднение
_______ > "
^ik^zk — — V
=
п п
*=' (8.64)
44-
А=1
Совместное решение уравнений (8.63) дает следующие выражения
для оценок:
а2 =
ac2 = |[tfl-fli], (8.65)
п2 п2 п2 п2
2 °? r2s-rI
причем
Rl = tf+Rl+2XrX2, (8.66)
Соотношения (8.65) указывают, каким образом должен быть по-
строен пеленгатор источника шумоподобного излучения.
Рассмотрим операции, входящие в (8.65):
— одна четверть от временного среднего квадрата огибающей выхода
первого парциального канала:
250
— одна четверть от временного среднего квадрата огибающей выхода
второго парциального канала.
Поскольку
(8.67)
Rz = --- 2 (/?!k + R^k + 2Xlft X2h) —
n
~— 2 Kxlfic+x2fic)2 + (xlhs+x2fts)2]>
П *=1
to равно четверти временного среднего от квадрата огибающей
ri* суммарного колебания
X-£k (О = X\k (О ~^~Х2Л (О’
Рис. 8.15. Амплитудный
пеленгатор источника шумоподобного излучения.
Аналогично — одна четверть временного среднего от квадрата
огибающей /д* разностного колебания
(О =Х1А (О Х2А (О’
Необходимо отметить, что разность квадратов равна
Rsk—Rlk = 4Х1 k Аг k
и, следовательно, формируется с помощью амплитудно-фазового де-
тектора (АФД).
Радиотехническая интерпретация соотношений (8.65) представ-
лена на рис. 8.15.
Каждый парциальный канал имеет два выхода. Один выход по-
дается на квадратичный детектор, второй — на схему АФД. Схема
АФД производит следующие операции над выходами парциальных
каналов: формирование суммарного и разностного сигналов, квадра-
251
тичное детектирование суммарного и разностного сигналов, вычита-
ние выходов квадратичных детекторов.
Усредненный выход квадратичного детектора разностного сигна-
ла оценивает собственный шум приемника. Усредненный выход квад-
ратичного детектора суммарного сигнала оценивает мощность сигнала
и шума. Усредненный сигнал разности выходов, квадратичных детек-
торов суммарного и разностного сигналов (усредненный выход АФД)
оценивает мощность сигнала.
Ненормированный сигнал ошибки образуется в- результате вычи-
тания выходов квадратичных детекторов парциальных каналов и ус-
реднения этой разности. Нормировка заключается в делении ненорми-
рованного сигнала ошибки на оценку мощности сигнала (на усреднен-
ный выход АФД).
Таким образом, схема АФД на рис. 8.15 служит для формирова-
ния нормирующего сигнала, а ненормированный сигнал ошибки полу-
чается непосредственно с выходов парциальных каналов.
Необходимо иметь в виду, что схемы усреднения на рис. 8.15 про-
изводят операции выборки выходов в моменты 4, ..., tn и формирова-
ния временного среднего от выборочных значений.
В некоторых случаях сигналы с двух выходов антенного устрой-
ства, соответствующих парциальным диаграммам, складываются и
вычитаются, после чего суммарный и разностный сигналы подвер-
гаются усилению и фильтрации. Выходы усилителей необходимо
использовать для формирования цепей пеленгатора источника шумо-
подобного излучения. Подобная схема пеленгатора называется ампли-
тудно-фазовой.
Как и раньше, выходы приемников наблюдаются в интервалы
tr-T), ..., (tn, tn—T).
Сигнал источника радиоизлучения, прошедший через приемные
устройства, является узкополосным нормальным процессом с нуле-
вым средним значением. На небольшом интервале наблюдения Т сиг-
налы в суммарном и разностном каналах с учетом собственных шумов
имеют вид
xsk (0 = skcos +Ф*) + «* cos (at + vft),
хд* (0 = ^sk cos +“Ф*) + mkcos (®z + M»
где sh — релеевски распределенная огибающая сигнала с параметром
рс2*>; пк — релеевски распределенная огибающая шума в суммарном
канале с параметром <тШ1; tnk —релеевски распределенная огибающая
шума в разностном каналес параметром сгШ2; фА, vft, pft —случай-
ные начальные фазы, равномерно распределенные на интервале 2л.
*) Параметр (>% равен мощности сигнала на выходе усилителя суммар-
ного канала на равносигнальном направлении и равен удвоенной мощности
сигнала в парциальном канале.
252
Таким образом, функция правдоподобия параметров Л, р2,
аш1> °ш2 пропорциональна выражению
П\ехР{—е2у J [МО—SftCos^+tO —
*k
—ntcos(<o/ + vft)]2d/}exp {-Еау- С [М0-
'fe-r
— XsA(co/+ фА) —cos (<о/+ РА)]2 d/1 . (8.68)
J 7 +•
"*• vfe
mh’»h
Усреднение производится последовательно: сначала по vk и щ,
затем по пк и mh и, наконец, по и sft.
В результате
In L (X, Ре, Ош1, (7)="= lim
Е8—>оо
— [(1 +°rnii fi2) (1 +<7ш2 е2) +
9_4_2 n2 п 4 _2 п2
+ е2р? (1 + Ег) + Р.! (1 + 01, в!)] + + °"" +
!+<1е 1+аш2е
где
2е4 р2
— 1+е2а22 —. 1+е2а2. _____
.7-2'2 +Х 77 2 2 +
1+в %. l+e2<2
. (8.69)
(1+н2, е2) (1+М2)МРс2 (1+0*2 О+е2^)
(8.70)
253
Как и раньше, уравнения правдоподобия будут составлены для
частного случая tfmi =0^2 и в предположении, что Х<<1.
Переход к пределу при в2->оо осуществляется в самих уравне-
ниях правдоподобия. Решая совместно уравнения правдоподобия,
найдем'
Pc =2(Rl-Rl), (8.71)
Й = 2 Rl.
Радиотехническая интерпретация соотношений (8.71) представ-
лена на рис. 8.16.
Рис. 8.16. Амплитудно-фазовый пеленгатор источника шумоподобного излу-
чения.
Амплитудно-фазовый детектор из суммарного и разностного сиг-
налов формирует парциальные сигналы; ненормированный сигнал
ошибки получается после вычитания квадратичных детекторов пар-
циальных сигналов. Таким образом, в амплитудно-фазовом пеленга-
торе АФД служит для формирования ненормированного сигнала ошиб-
ки. Сигнал нормировки получается в результате квадратичного детек-
тирования суммарного и разностного сигналов и их вычитания.
8.6. ФЛУКТУАЦИОННАЯ ОШИБКА ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВОЙ
КООРДИНАТЫ ИСТОЧНИКА ШУМОПОДОБНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Из-за наличия собственных шумов приемников, а также из-за
случайного характера принимаемого сигнала при изменении угловой
координаты источника возникают флуктуационные ошибки изменения.
Определим флуктуационные ошибки для случая амплитудно-фазово-
254
го пеленгатора (рис. 8.16). Оценка угловой координаты в этом случае
строится в соответствии с соотношениями (8.70), (8.71). Подставляя
в эти соотношения значения суммарного и разностного сигналов в виде
xZk (0 = Sk COS (tot + 4>й) + tnk COS (tot + pft),
*ДЙ (0 = X0 Sk C0S (®Z + %) + nk cos (“* + va) ,
где Xo— истинное значение пеленга, получим значение оценки
Х = 5^о+_Лй , (8.72)
sl +
где возмущающие величины Ак и Bk равны
4 = mh nh cos (pft—vft) + sh nh cos (фй—vft) + Xo sft mk cos (ipft—pft),
2 2
Bk = mk—nk + 2sh tnh cos (фЛ—pfe)—2X0 sk nk cos (ipft—vft)
и черта сверху означает временное усреднение.
Если Ak — Bk = Q, то 1 = 10.
При наличии шумов оценка отличается от истинного значения на
величину
ДЛ = Х—Х0~ЛА/1. (8.74)
При выводе соотношения (8.74) используется тот факт, что вели-
чину Bh можно в статистическом смысле считать малой по сравнению
с si.
Усредняя соотношения (8.73), (8.74) по случайным величинам т*,
Рй, nh, vft, Sk, фй, можно найти статистические характеристики ошибки
Д%. В частности,
<ДХ>=0,
<(д%)2> в + /1\ , (8.75)
п х £2 / п X g /
Случайная величина g при большом числе слагаемых п распреде-
лена по нормальному закону, причем
m = <g> = 2pc2, о2 =<g2> —<g>2 =4рс/п.
Поэтому
оо
/_L\~ f i
\Д2 / J (? + /п)2
— оо
1 /•
г_ ехр
у2ла г \
____г2_\
2оа J
dz,
255
oo
1
(z + m)
1 ’ I z2 X ,
-- exp----------az.
У 2л о \ 2a2 /
При увеличении n
lim -—L— exp [----z— =6 (z).
0->o /2л a \ 2a2 )
Поэтому для достаточно больших п
/ 2pf
Рис. 8.17. Амплитудно-фазовый пеленгатор источника шумоподобного излу-
чения. Цифровая обработка.
Подставляя (8.76) в (8.75), получим
<(w> =i-L Ч
где g2 = a2/a^ — отношение сигнал/шум по мощности в парциальном
канале и о2 = р2/2.
При малых отношениях сигнал/шум ошибка обратна (<?2)2, при
больших отношениях сигнал/шум — обратна q2. Промежуточные слу-
чаи описываются соотношением
Поскольку X = ftp, где / — крутизна нормированной пеленга-
ционной характеристики, то дисперсия флуктуационной ошибки изме-
рения угла имеет вид
<(Д<р)2> = —— f—+ —V (8.77)
Рассмотрим теперь влияние характеристик детекторов на величину
флуктуационных ошибок измерения угла амплитудно-фазовым пе-
ленгатором. Блок-схема амплитудно-фазового пеленгатора представ-
лена на рис. 8.17. В этой схеме опущены усилители парциальных ка-
налов.
256
Операции нормировки производятся в вычислительном устройстве,
для чего выборочные значения выходов детекторов превращаются
в цифровой вид. Сигналы от парциальных диаграмм попадают на
двойной тройник, где образуется суммарный и разностный сигналы,
подвергающиеся усилению и фильтрации:
‘ [S1(0+S2(/)], * [Si(0 —S2<01-
у 2 У 2
Суммарный сигнал вместе с шумом приемника детектируется, строби-
руется и оцифровывается. Число в £-м стробе r^k (для квадратичного
детектора) или r^k (для линейного детектора) поступает в вычисли-
тельное устройство. Разностный сигнал вместе с суммарным поступает
на второй двойной тройник (или его аналог на промежуточной частоте),
после чего образуются сигналы sx(/), s2(Z). Эти сигналы детектируются,
вычитаются и оцифровываются. В k-ы. стробе на выходе вычитающего
устройства получается число rlh — r2h или и* — rlk для линейных и
квадратичных детекторов соответственно.
Алгоритм для вычисления пеленга источника состоит из следую-
щих операций:
1
для квадратичного и линейного детекторов соответственно.
Здесь f — крутизна нормированной пеленгационной характерис-
тики; хКЕ, хл, скв, сл — константы, величины которых подбираются
для получения нужного результата.
Квадратичный детектор. Накопленные суммы в числителе и знаме-
нателе оценки угла имеют средние значения и отклонения от среднего
6гкв, бг2, причем при большом числе накоплений можно считать, что
дисперсия случайной части значительно меньше среднего значения.
Поэтому вблизи равносигнального направления
<('~Е-Тф+Чв
I \4й/ —скв + 5г2
(8.79)
9 Зак. 213
257
Для квадратичного детектора:
г?*—квадрат огибающей узкополосного нормального процесса
с мощностью о? (1 +10)2 + Ош»
г2*—квадрат огибающей узкополосного нормального процесса
с мощностью о2 (1 — Л0)2 Ош5
rsk—квадрат, огибающей узкополосного нормального процесса
с МОЩНОСТЬЮ 2о2 + Ош-
Поэтому первый член в соотношении (8.79) оказывается равным
истинному значению пеленга <р0 = у, если выбрать
скв=2ош, хкв = —> (8.80)
хкв _ хкв 8рс2*о .
f <4*>-‘кв f 4ас + 2а2-скв
Дополнительный случайный член
1 кв
8 /о2 ’
вызываает случайную ошибку Д<р измерения угловой координаты.
Дисперсия флуктуационной ошибки равна
<Дф2>=^-^^-- (8.81)
64 a4 f2
Если интенсивность пеленгуемого сигнала мала по сравнению с
собственным шумом приемника о2 то высокочастотные сигналы
на входах детекторов в «плечах» АФД слабо коррелированы. В этих
условиях
8а4
<62гкв>~—2. . (8.82)
п
Подставляя (8.82) в (8.81), имеем
«А(Р)2> = ТТГТ- (8’83)
8nf2 q*
что совпадает с (8.77) для слабых сигналов q2<^ 1.
Линейный детектор. В случае линейного детектирования во всех
каналах
Ф
хл
( r\k ~~r2k
ЗГл
( rZk — Сд
(8.84)
258
причем
Поэтому, если
хл = 1/2, сл=]/я/2аш,
то
Ф =----------------Н
/•2 /л/2(а2/аш)
Для малых ^2 = <Ус/Ош С 1
___4—Л 2
<62гл>~----ош,
п
(8.85)
(8.86)
Из (8.83), (8.86) следует, что флуктуационная ошибка при исполь-
зовании линейных детекторов возрастает в -^(4 —л) раз.
Литература
8.1. «Сканирующие антенные системы СВЧ». Пер. с англ., под ред. Чап-
лина А. Ф., Маркова Г. Т. Изд-во «Советское радио», 1966.
8.2. Цейтлин Н. М. Применение методов радиоастрономии в измери-
тельной технике. Изд-во «Советское радио», 1966.
8.3. Кузьмин А. Д., Соломонович А. Е. Радиоастрономи-
ческие методы измерения параметров антенн. Изд-во «Советское радио», 1964.
9*
Глава 9
ФОРМИРОВАНИЕ И ПРИЕМ СИГНАЛОВ
СПЕЦИАЛЬНОЙ формы
9.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗОНДИРУЮЩИХ СИГНАЛОВ
Наиболее важными являются следующие характеристики зонди-
1ующего сигнала:
1. Энергия сигнала. Энергия сигнала Е определяет максимально
достижимое отношение сигнал/шум на выходе радиотракта РЛС, рав-
ное E/No (/Vo — мощность входного шума на единицу полосы частот).
2. Ширина спектра зондирующего сигнала. Ширина спектра зон-
дирующего сигнала А/ определяет разрешающую способность по даль-
ности. При правильно выбранной форме спектра зондирующего сигна-
ла временная длительность сигнала на выходе радиотракта прибли-
женно равна 1/АД причем максимальное отношение сигнал/шум в пике
‘равно E/No.
3. Длительность сигнала. Длительность сигнала Т определяет
разрешающую способность по скорости. При правильно выбранной
форме огибающей сигнала «протяженность» сигнала в зависимости от
допплеровского сдвига частоты равна 1/7.
Напомним основные результаты теории, относящиеся к зондирую-
щим радиолокационным сигналам [9.1].
Теория оптимального приема устанавливает, что при оценке не-
известных параметров сигнала, отраженного от цели, таких, как вре-
менная задержка т и сдвиг v несущей круговой частоты со, приемное
устройство должно произвести операцию взвешивания принимаемых
данных с весом s(/, т, v), где s(t) — зондирующий радиосигнал:
s (/) = А (/) ехр [/ (со/ + Ф (/))],
s(/, т, v) = 4(/—т)ехр [/(со/4-v/ + O (/—т))]_
Указанная операция может быть выполнена с помощью согласо-
ванных фильтров или многоканальных корреляторов, либо устройств
смешанного типа. Сигнал на выходе оптимального устройства, норми-
рованный так, чтобы его максимальное значение равнялось единице,
имеет вид
260
| R (Дт, Av)|==
1
J s (/) s* (/) dt
—oo
oo
s (/) s* (t + Ar) exp (j&vt) dt
—oo
(9-2)
где $(/)=Л(/)ехр [/Ф(/)] — комплексная огибающая зондирующего
сигнала.
Функция R(At, Av) называется функцией неопределенности зон-
дирующего сигнала.
Сечение функции неопределенности при Av — О
J s (t) s* (/-|-Дт) dt
R (Ат, 0) = R (Ат) = . (9.3)
J s (0 s* (0 dt
—оо
называется автокорреляционной функцией зондирующего сигнала.
Функция неопределенности позволяет узнать все характеристики
сигнала, определяющие его выбор.
Совместная разрешающая способность по задержке т и сдвигу
несущей v определяется формой поверхности | R(At, Av) |, конкретнее,
формой главного максимума (в окрестности точки Ат = 0, Av = 0),
величиной и расположением побочных максимумов (так называемых
боковых лепестков).
Неоднозначность измерений определяется количеством и распо-
ложением побочных максимумов, сравнимых с главным. Обнаружи-
ваемость сигнала зависит главным образом от величины отношения
сигнал/шум и в меньшей степени от вида функции неопределенности.
Точность измерений зависит от скорости спадания главного лепестка
функции неопределенности и отношения сигнал/шум.
В настоящей главе содержится краткий обзор функций неопреде-
ленности некоторых зондирующих сигналов, используемых в радио-
локации. Более подробно рассмотрены два вида сигналов: импульсы
с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ импульсы) и импульсы с фа-
зовой манипуляцией (ФМ импульсы).
Перечисленные выше характеристики зондирующих сигналов не
определены количественно; используется только интуитивное пред-
ставление, базирующееся, в основном, на следующих положениях:
1) разрешающая способность увеличивается, если протяженность
функции неопределенности по соответствующей координате умень-
шается;
2) разрешающая способность увеличивается, если боковые ле-
пестки функции неопределенности по соответствующей координате
уменьшаются;
3) точность измерения координаты возрастает, если протяжен-
ность основного лепестка функции неопределенности уменьшается;
261
4) неоднозначность измерений уменьшается, если растет расстоя-
ние по соответствующей координате между конкурирующими выбро-
сами функции неопределенности;
5) ширина главного максимума функции неопределенности вдоль
оси задержек имеет порядок 1/А/;
6) ширина главного максимума функции неопределенности вдоль
оси частотных сигналов имеет порядок ИТ.
Функция неопределенности, как это видно из приведенных выше
соображений, играет в радиолокации фундаментальную роль. Следует,
однако, заметить, что область применений функции неопределенности
ограничена. Среди ограничений особо важными являются следующие:
1) время Т когерентного накопления сигнала должно быть зна-
чительно меньше, чем время корреляции фединга цели. В противном
случае части сигнала, расположенные друг от друга на временных ин-
тервалах, превышающих это время корреляции, будут суммироваться
в произвольной фазе и выход оптимального устройства существенно
исказится;
2) спектр сигнала значительно меньше его несущей центральной
частоты, вследствие чего можно считать, что все составляющие спектра
имеют одинаковый сдвиг частот за счет эффекта Допплера. Другими
словами, ширина главного лепестка функции неопределенности по оси
задержек должна быть такой, чтобы за время накопления Т задержка
принимаемого сигнала за счет движения цели была бы значительно
меньше, чем временная протяженность выходного сигнала;
3) движение цели за время Т является равномерным и радиаль-
ное ускорение цели не учитывается.
• Необходимо различать функции неопределенности, построенные
в следующих двух случаях. Функции неопределенности импульсных
сигналов, называемые в дальнейшем «импульсными» функциями не-
определенности, получаются в том случае, когда огибающая Л(/)
радиосигнала s(f) занимает во времени конечный отрезок; это может
быть, например, одиночный импульс или имеющая начало и конец
серия импульсов, следующих с определенным периодом (так называе-
мая «пачка» импульсов), или серия «случайно» расположенных им-
пульсов различной формы, имеющая, однако, начало и конец. При этом
бесконечные пределы интегрирования в (9.2) имеют символическое
значение, фактически интегрирование распространяется только на
области, где произведение Л(/)Л(/ + Ат) отлично от нуля. Соответст-
венно приемное устройство имеет «память», равную длительности Т
огибающей Л(/).
Другой случай имеет место, если используется периодический
сигнал с периодом То и выбрано время усреднения, равное периоду То.
Функция неопределенности, построенная в этих условиях, называется
далее «непрерывной» функцией неопределенности. Конкретные при-
меры импульсных и непрерывных функций неопределенности приве-
дены ниже.
Общее ограничение, накладываемое на функцию неопределеннос-
ти зондирующего сигнала, известно под названием «принципа неопре-
деленности»: объем под квадратом функции неопределенности равен
262
2л. Таким образом, при любом преобразовании зондирующего сигна-
ла «тело неопределенности» деформируется так, что
ОО
. | R (Дт, Av) |2dAT-dAv= const.
—со
9.2. ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ
Рассмотрим функции неопределенности некоторых видов конечных
импульсных последовательностей, т. е. имеющих начало и конец по-
следовательностей одинаковых импульсов, расположенных друг отно-
сительно друга различным образом [9.2].
Рис. 9.1. Равномерная последовательность импульсов (а) и ее автокорреляцион-
ная функция (б).
Равномерная импульсная последовательность. Предположим, что
высокочастотное заполнение импульсов получается «вырубкой» из од-
ного колебания и импульсы расположены на одинаковых расстояниях
друг от друга (рис. 9.1, а). При условии, что длительность ти отдель-
ного импульса меньше половины периода повторения То, функция не-
определенности в сечении по оси Ат при Av = 0 состоит из неперекры-
вающихся треугольников, высота которых линейно уменьшается по
закону 1—| m | IN (рис. 9.1, б), где N—число импульсов, | т \ —це-
лое число периодов повторения импульсов, укладывающихся на вели-
чине запаздывания Дт. За единицу принята высота центрального пика
263
при Дт = 0. Высоты остальных пиков уменьшаются вследствие того,
что при увеличении Дт все меньшее число импульсов входит в произ-
ведение A(t)A(t + Дт).
Рассмотрим теперь сечение поверхности неопределенности пло-
скостью Дт = 0. Функция | /?(0, Av) | представляет собой спектральное
преобразование Л2(/), являющееся последовательностью прямоуголь-
ных видеоимпульсов.
Рис. 9.2. Сечение функции неопределенности равномерной последовательности
импульсов плоскостью Дт = 0.
Спектр последовательности N прямоугольных видеоимпульсов
(при условии, что суммарная площадь N импульсов равна единице)
имеет вид
I /?(0, Av) | =
sin лДути sin ti&vNTq
лДути sin лДуТ0
(9.4)
Вид функции 17?(0, Av) | представлен на рис. 9.2.
В сечении поверхности неопределенности плоскостью Ат = тТ0
получается кривая, определяемая выражением
|Я(/пТ0, Av)|
sin лДуТи sin лДу(2У—| tn |) То
лДути sinnAvTo
(9-5)
I "И \
n 7
Размеры пунктирной кривой (или «огибающей») по оси ординат
сокращаются с ростом /и, оставаясь такими же по оси абцисс, ширина
же внутренних .пиков увеличивается и становится равной
[(TV — | т \ )TQ I"1. Это происходит потому, что произведение A(t)A(t +
+Ат) представляется не N прямоугольными импульсами, как при Ат =
= 0, a JV — | т \ импульсами, т. е. длительность последовательнос-
ти прямоугольных импульсов A(t)A(t + tnTQ) сокращается на | т | им-
пульсов.
264
Теперь рассмотрим сечение поверхности неопределенности плос-
костью Дт = тТ0 + Д, где | Д | < ти. В этом случае произведение
A(f)A(t + Ат) представляет собой последовательность N — \т\ пря-
моугольных импульсов, каждый из которых имеет длительность ти —
— Д. В данном случае «огибающая» как бы расплывается по оси аб-
сцисс. Ширина первого лепестка «огибающей» становится равной
(ти —А)"1, амплитуда «огибающей» уменьшается вследствие уменьше-
ния площади каждого импульса произведения. При ти | Д| То
произведение A(t)A(t + Ат) = 0 и его спектр равен нулю.
t
Рис. 9.3. Приемник равномерной последовательности когерентных импульсов.
Таким образом, функция неопределенности равномерной после-
довательности импульсов, заполненных одной несущей частотой, имеет
несколько выбросов, величина которых конкурирует с главным мак-
симумом (Ат = 0, Av = 0), причем эти выбросы расположены вдоль
линий с координатами Ат = рТ0 и Av = q/T0) где р, q — целые числа.
Происхождение этих побочных максимумов легко понять, если
рассмотреть поведение последовательности в приемном устройстве
(рис. 9.3).
Описываемое приемное устройство состоит из набора линий задер-
жек с отводами, сделанными через период последовательности То. На
каждом отводе расположен фазовращатель, поворачивающий фазу
несущей на некоторый угол. Каждый канал устройства настроен на
прием последовательности, несущая которой сдвинута на опреде-
ленную величину v. При большой скважности допплеровское
265
смещение частоты проявляется как сдвиг начальной фазы высокочас-
тотного заполнения: у первого импульса — на величину <Pi = 0, у
второго — на <р2 = vT0, у третьего — на <р3 = 2vT0, у четвертого —
на <р4 = 3vT0, у пятого — на величину <р6 = 4vT0.
Если вся последовательность вошла в линию задержки первого
канала, настроенную на данный сдвиг частоты v, то все дополнитель-
ные сдвиги фаз компенсируются и пять импульсов суммируются в фа-
зе. При этом на выходе канала появляется главный максимум функции
неопределенности. Если последовательность с допплеровским сдви-
гом попадает в канал, настроенный на другой допплеровский сдвиг,
то фазовращатели не компенсируют фазовых сдвигов полностью, им-
пульсы складываются не в фазе и максимума не получается. Этот слу-
чай соответствует одному из небольших лепестков (см. рис. 9.2), рас-
положенных между большими боковыми лепестками1. При некоторых
допплеровских сдвигах vx и v2 может оказаться, что набеги фаз несу-
щих за период находятся в соотношении
vtT0—viT0 = 2nk, k = l, 2,...
При этом условии каналы приемника, настроенные на сдвиги vx и v2,
дадут почти одинаковые максимумы в моменты, когда последователь-
ность с фактическим сдвигом, например vx, полностью войдет в линию.
Это и будут главный максимум и большой ложный максимум. Величи-
на выхода канала в момент полного входа в линию, изображенная
как функция допплеровского сдвига (или номера канала), представ-
ляет сечение функции неопределенности при Дт = 0.
Формирование сечения функции неопределенности при Av = 0
можно проследить таким же образом. Большие боковые лепестки соот-
ветствуют случаям, когда в линию вошла только часть последователь-
ности, состоящая из 1, 2, 3 и 4 импульсов соответственно.
Наличие конкурирующих максимумов приводит к потере разре-
шающей способности в соответствующих точках (Дт, Ду) и к неодно-
значности измерения координат. В ряде случаев, однако, рабочий диа-
пазон сдвигов тмакс < То и vMaKC < 1/Т0, вследствие чего равномер-
ную последовательность импульсов можно использовать без всяких
ограничений характеристик радиолокатора.
Последовательность с линейно нарастающим расстоянием между
импульсами. Рассмотрим последовательность с линейно нарастающими
расстояниями между импульсами (рис. 9.4, а). При правильно выбран-
ных параметрах такой последовательности можно обеспечить следую-
щее важное свойство: при любом временном сдвиге сигнала Л(/) отно-
сительно себя по времени произойдет не более чем одно совпадение им-
пульсов основной и сдвинутой последовательности. Это свойство, оче-
видно, обеспечивает небольшие боковые лепестки сечения функции не-
определенности плоскостью Av = 0. На рис. 9.4, б представлена также
корреляционная функция рассматриваемой последовательности. От-
ношение главного максимума к максимальному боковому лепестку
здесь равно 1/N, где N — число импульсов последовательности. Ана-
266
логичным образом, в сечении Ат = 0 будут отсутствовать ярко вы-
раженные максимумы, характерные для периодической последователь-
ности импульсов. Действительно, функция /?(0, Av) пропорциональна
спектру F(Q) последовательности А (7), причем
F (й) = Fo (Q) 2* ехр (jQtn), tn = пТ0 + АТ0, (9.6)
п=0
где F0(Q) — спектр одиночного прямоугольного импульса длитель-
ности ти; А То — приращение периода по сравнению с предыдущим пе-
риодом; То — время между нулевым и первым импульсом.
Рис. 9.4. Последовательность с линейно нарастающим расстоянием между им
пульсами (а) и ее автокорреляционная функция (б).
Геометрическая интерпретация этого соотношения приведена на
рис. 9.5. Здесь угол а = Той — поворот вектора за счет периода по-
вторения импульсов, угол р = АТОЙ — поворот за счет приращения
к периоду повторения. Таким образом, углы аир зависят от величины
допплеровского смещения. Модуль каждого вектора определяется ве-
личиной спектральной составляющей отдельного импульса F0(Q) при
данном й. Спектральная составляющая всей последовательности им-
пульсов определяется как сумма всех векторов.
Нетрудно убедиться, что там, где для периодической последова-
тельности были максимумы (АТ0 = О, QT0 = 2nk, k — целое), теперь
за счет дополнительных набегов фаз не происходит синфазного сложе-
ния импульсов. Сечение функции неопределенности плоскостью Ат =
= 0, полученное непосредственным расчетом для последовательности
рис. 9.4, представлено на рис. 9.6.
267
Последовательность импульсов с минимальным числом совпаде-
ний. Последовательность с линейно нарастающим расстоянием между
импульсами является частным случаем последовательности с мини-
мальным числом совпадений. Другой частный случай получается, если
потребовать сохранения свойства «не более чем одного совпадения»
и ограничиться последовательностью с минимально возможной дли-
Рис. 9.5. Геометрическое построение сечения функции неопределенности.
ной (при заданном числе импульсов N). Такие последовательности
рассмотрены Шерманом [9.3]. «Оптимальные» сигналы найдены для
случаев М = 3,4, ... , 10 (М — число единиц в сигнале) и пред-
ставлены в табл. 9.1 посредством расстояний между последовательными
единицами сигнала.
Таблица 9.1
Сигналы Шермана
Расстояние между единицами
4
7
12
18
26
35
46
62
3
4
5
6
7
8
9
10
1, 2
1, 3, 2
1, 3, 5, 2
1, 3, 6, 2, 5
1, 3, 6, 8, 5, 2
1, 3, 5, 6, 7, 10, 2
1, 3, 9, 11, 6, 8, 2, 5
1, 6, 4, 15, 13, 8, 9, 3, 2
268
Зависимость log N от M имеет вид прямой линии. Экстраполируя
значения М, можно найти, что для М = 30 ожидается N 1000.
Таким образом, сигналы Шермана при значительной длительности пач-
ки Т обеспечиваюгсравнительно небольшую энергию в пачке импуль-
сов.
Требование не более чем одного совпадения при сдвиге на любое
Дт означает, что все боковые лепестки автокорреляционной функции
не превышают относительного уровня 1 /N. На рис. 9.7, а представлена
последовательность Шермана для N = 4, а на рис. 9,7, б — ее авто-
корреляционная функция. Боковые лепестки автокорреляционной
функции имеют постоянный уровень. Указанная особенность боко-
Рис. 9.6. Сечение функции неопределенности последовательности с линейно
нарастающим расстоянием между импульсами плоскостью Дт = 0.
вых лепестков позволяет достаточно просто рассчитать сечение функ-
ции неопределенности при Дт = 0. Результаты такого расчета для
указанного примера приведены на рис. 9.8.
«Псевдохаотическая» расстановка импульсов позволяет, таким об-
разом, ликвидировать регулярно повторяющиеся боковые лепестки
в сечении Дт = 0 по сравнению с регулярным случаем.
В сечении Дт = тти, где m — целое число, функция неопределен-
ности представляет собой спектр прямоугольного импульса (свойство
одного совпадения) длительностью ти и высотой 1/N (с учетом норми-
ровки центрального пика к единице). Поэтому высота боковых ле-
пестков в этих сечениях меньше 1/N. Это тем более справедливо для
сдвигов, не кратных ти, но больших чем ти. Следовательно, во всех
точках плоскости (Дт, Av), за исключением узкой полосы — ти <
Дт ти, — оо < Av < оо, функция неопределенности меньше,
чем 1/N. Внутри указанной полосы боковые лепестки вне области
----< Av < где Т — общая длительность последовательно-
сти, также достаточно малы.
269
Aft)
Рис. 9.7. Последовательность Шермана из четырех импульсов (а) и ее авто кор
реляционная функция (б).
Рис. 9.8. Сечение функции неопределенности последовательности Шермана
из четырех импульсов плоскостью Дт = 0.
270
9.3. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ
С ВНУТРИИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Среди сигналов, имеющих функции неопределенности подходяще-
го вида, наибольшее распространение на практике получили сигналы
с линейным изменением частоты внутри импульса (ЛЧМ импульсы)
и сигналы с фазовой манипуляцией внутри импульса (ФМ импульсы).
В последнем случае производится специальное внутриимпульсное
кодирование (дискретное изменение фазы колебаний в зависимости от
времени по определенному закону), причем закон подбирается так,
чтобы получить желаемый вид функции неопределенности.
Во многих случаях длительность импульса такова, что за время
импульса изменение фазы несущей вследствие движения цели (эффект
Первая
позиция
Вторая
позиций
Четвертая
позиция
Третья Пятая
позиция позиция
Рис. 9.9. Колебания, составляющие пятипозиционный ФМ импульс.
Допплера) незначительно. При этом вид функции неопределенности
на всей плоскости (Дт, Av) уже несуществен, важен лишь вид корре-
ляционной функции (9.3) сигнала.
Корреляционная функция сигнала обычно имеет протяженность
порядка 1/Д/, где Д/— полоса сигнала. Таким образом, исходный
сигнал длительностью Т преобразуется в приемном устройстве
в сигнал, имеющий длительность 1/А/. При Д/Т^> 1 выходной сигнал
значительно короче входного.
Основная цель внутриимпульсного кодирования состоит в том,
чтобы получить на выходе радиотракта сигнал, длительность которо-
го меньше, чем длительность огибающей Л(/) исходного импульса s(/).
Желательно, чтобы при таком «укорочении» не происходило уменьше-
ния отношения сигнал/шум в пике выходного сигнала по сравнению
со случаем использования немодулированного по фазе зондирующего
импульса. Рассмотрим кратко физику укорочения.
Предположим, что зондирующий импульс длительностью Т раз-
делен на пять одинаковых частей (позиций), причем фазы колебаний,
посылаемых на каждой позиции, могут иметь два значения: 0 или л
(рис. 9.9). В качестве приемника используем устройство (рис. 9.10),
состоящее из широкополосной линии задержки с отводами, фазовраща-
теля на втором отводе линии, сумматора колебания и фильтра, согла-
сованного с элементарным прямоугольным радиоимпульсом длитель-
ностью Д = 775. Все устройство реализуется на высокой или проме-
жуточной частоте.
271
Входной шум, задерживаясь в линии, складывается в сумматоре,
что приводит к увеличению мощности на единицу полосы частот в пять
раз. Входной сигнал, проходя через устройство, претерпевает более
существенные изменения. Сначала колебание первой позиции по пер-
вому отводу линии передается на вход сумматора. Выходное колебание
при этом имеет амплитуду А и длится А секунд. Далее в сумматоре
складываются колебания двух позиций (первой и второй), причем пер-
вое колебание, будучи повернуто по фазе на л, компенсирует второе и
в течение следующих А секунд выход сумматора равен нулю. В дальней-
шем в сумматоре будут складываться три колебания (два в фазе и одно
в противофазе, так что выход имеет амплитуду Л) и четыре колебания
Рис. 9.10. Согласованный фильтр для ФМ импульса.
(два синфазных’и два противофазных, так что выход равен нулю). На-
конец, когда колебание первой позиции достигает последнего отвода,
на выходе будут складываться пять колебаний, при этом все пять со-
ставляющих оказываются синфазными, поскольку единственное про-
тивофазное колебание в зондирующем импульсе как раз проходит че-
рез фазовращатель, который восстанавливает фазу 0. По мере «выхода»
сигнала из линии задержки описанный процесс повторяется в обрат-
ном порядке. Таким образом, огибающая U(t) сигнала и(1) на выходе
сумматора имеет вид, показанный на рис. 9.11, а.
Фильтр, стоящий после сумматора, должен быть согласован с пря-
моугольным импульсом длительностью А. Все прямоугольные импуль-
сы в этом случае растягиваются по длительности в два раза, так что
огибающая V(t) сигнала v(t) на выходе фильтра имеет вид, изображен-
ный на рис. 9.11, б.
Характерные особенности выходного сигнала v(f) состоят в сле-
дующем:
1. Максимальное значение отношения сигнал/шум по мощности
равно E/Nq.
2. Главный максимум сигнала по амплитуде в пять раз превышает
максимальный «боковой лепесток».
3. Боковые лепестки занимают вместе с главным максимумом вре-
мя, равное удвоенной длительности и Т зондирующего импульса.
272
Описанный способ приема фазо-манипулированного зондирующе-
го импульса не является единственным. Рассмотрим работу устройства,
изображенного на рис. 9.12.
Принимаемый сигнал поступает на вход пяти каналов. Каждый
канал состоит из смесителя (См), фильтра на промежуточной частоте
(Ф), детектора (Д) и селектора (С). Опорные напряжения, подавае-
мые на смесители в каналах, отличаются сдвигом по времени на одну
а)
6)
Рис. 9.И/Огибающие сигналов на выходе согласованного фильтра.
позицию и по форме повторяют зондирующий сигнал, отличаясь толь-
ко несущей частотой. Символически опорные сигналы можно записать
в следующем виде:
«!=!, 1, 1, —1, 1
u2 = 1, 1> 1, —1. 1
ы3= 1, 1, 1, —1, 1
«4= 1, 1, 1, —1, 1
«5= 1, 1, К —К 1.
Здесь через «1» обозначен элементарный радиоимпульс с фазой 0, а
через «—1» — с фазой л. , „тэд ,
Предположим, что принимаемый сигнал совпадает, например,
с опорным напряжением и5(/). Фаза колебаний на выходе пятого смеси-
273
Тёля на всех позициях остается постоянной, поскольку фазы входного
и опорного сигнала меняются все время одинаково. На выходе пятого
смесителя получается, таким образом, немодулированный по фазе пря-
моугольный радиоимпульс длительностью Т — 5Д. Проходя через со-
гласованный фильтр, этот импульс растягивается по длительности
в два раза, причем амплитуда импульса достигает максимума в момент
окончания входного сигнала. В этот момент и должна осуществляться
выборка напряжения с выхода детектора. Принимая коэффициент
передачи фильтра равным единице, получим, что и в этом случае от-
ношение сигнал/шум по мощности в максимуме равно E/No.
Рис. 9.12. Корреляционный приемник для приема ФМ импульсов.
Следует обратить внимание, что способы получения одного и того
же отношения сигнал/шум в рассмотренных устройствах различны.
В первом приемном устройстве (см. рис. 9.10) полоса пропускания со-
гласованного фильтра в пять раз больше, чем полоса пропускания со-
гласованного фильтра во втором приемнике (рис. 9.12). Поэтому дис-
персия шума на выходе фильтра в первом случае в пять раз больше,
чем дисперсия шума во втором случае. Однако в первом приемнике
имеет место когерентное суммирование колебаний элементарных ра-
диоимпульсов длительностью Д, в результате чего пиковое значение
сигнала в пять раз превышает пиковое значение сигнала во втором
случае.
Сигнал, совпадающий с опорным напряжением и6 (t), проходя на
входы других каналов, дает на их выходах мешающие колебания.
Легко видеть, что на выходе фильтра четвертого канала складывают-
ся два синфазных и два противофазных колебания; в результате в мо-
мент стробирования (которое производится в конце импульсного сиг-
нала и4(/)) на выходе четвертого канала сигнал отсутствует. В целом,
амплитуды выходных сигналов каналов (расположенные в порядке от
5-го к 1-му каналу) находятся в соотношениях 5; 0; 1; 0; 1.
274
Описанное выше устройство является примером корреляционного
приемника. Исследуемый интервал дальностей разбивается здесь на
несколько отрезков, причем каждый канал коррелятора обеспечи-
вает наилучший прием сигнала, отраженного от цели, находящейся
в середине определенного отрезка рабочего интервала дальности. За-
держка между серединами соседних отрезков в данном примере равна
длительности позиции Д. Каждый канал коррелятора оптимален, если
импульсный отклик его фильтра согласован с огибающей зондирую-
щего импульса (в рассматриваемом примере импульсный отклик каж-
дого канала должен быть прямоугольным с длительностью Т). В этом
случае, если дискретные выходы каналов линейно интерполировать,
приняв задержку между дискретами равной задержке между опорными
Рис. 9.13. Блок-схема РЛС с кодированными зондирующими сигналами.
сигналами, то при дискретном зондирующем сигнале выходной сигнал
коррелятора совпадает с импульсной автокорреляционной функцией
сигнала. Если задержка принимаемого сигнала находится между за-
держками, на которые настроены соседние каналы коррелятора, то
амплитуда сигнала на выходе соответствующего канала уменьшается
в соответствии с главным лепестком корреляционной функции.
Для того чтобы перекрыть дискретными каналами интервал за-
держки, равный длительности импульса, необходимо иметь число ка-
налов, равное числу позиций в импульсе. Задержки, лежащие вне этого
интервала, можно перекрыть теми же физическими каналами. С этой
целью опорные сигналы коррелятора делаются периодическими с со-
хранением сдвига между ними. Стробирующие импульсы также пов-
торяются периодически с сохранением задержки между ними. Импульс-
ные отклики в каждом канале являются прямоугольными.
Такая система позволяет измерять задержки в единицах длитель-
ности импульса по номеру периода селектирующего строба («грубая
шкала»), а в единицах позиций по номеру канала («точная шкала»).
Типовая схема радиолокатора, использующего импульсы с внут-
риимпульсной модуляцией, приведена на рис. 9.13. В ее состав входят:
кодирующее устройство (КУ), формирующее код для внутриимпульс-
ной модуляции; устройство, формирующее радиочастотный сигнал на
низком уровне мощности (УФ); усилитель мощности (УМ), усиливаю-
щий входной модулированный импульс низкого уровня до нужной
пиковой мощности; переключатель прием — передача (П); усилитель
высокой частоты (УВЧ); преобразователь частоты и усилитель проме-
жуточной частоты (УПЧ); декодирующее устройство (ДУ).
275
Декодирующее устройство может быть выполнено в виде согласо-
ванного фильтра. В этом случае на его выходе от каждой цели появля-
ется отраженный укороченный импульс длительностью порядка 1/ДД
Если декодирующее устройство выполнено в виде коррелятора, то оно
имеет много выходов, причем на любом их них могут появиться отра-
женные сигналы, имеющие длительности порядка Т. Каждый канал
«настроен» на определенную точку дальности и расстояние между ка-
налами по задержке равно 1/Д/.
В кодирующем устройстве для формирования ЛЧМ импульсов
можно использовать линейное видеонапряжение, а для формирования
ФМ импульсов — набор видеоимпульсов, соответствующих используе-
мому коду. Формирование ЛЧМ импульсов может быть выполнено
«пассивным» или «активным» способом.
При «пассивном» способе для формирования ЛЧМ импульсов ис-
пользуется основное свойство согласованного фильтра: импульсный
отклик согласованного фильтра является зеркальным отражением фор-
мы сигнала, с которым этот фильтр согласован. Поэтому при подаче
на вход согласованного с ЛЧМ импульсом достаточно короткого им-
пульса на выходе фильтра получается ЛЧМ импульс с законом изме-
нения частоты от начала к концу импульса, противоположным нужно-
му. Для формирования нужного закона с помощью преобразователя
частоты производят зеркальное отражение закона модуляции.
При «активном» способе формирования ЛЧМ импульсов исполь-
зуется задающий генератор, частота которого зависит от величины уп-
равляющего напряжения на одном из электродов. Подбором формы
управляющего напряжения можно добиться изменения частоты задаю-
щего генератора с нужной крутизной. Для обеспечения требуемой точ-
ности формирования в «активном» способе иногда используется авто-
подстройка частоты.
Формирование ФМ импульсов име^т специфические особенности
и часто основано на использовании специальных генераторов после-
довательностей символов, подробнее описываемых далее.
9.4. ИМПУЛЬСЫ С ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ
Импульсные сигналы с линейным изменением частоты внутри им-
пульса используются в радиолокации чаще всего. Это объясняется
тем, что функция неопределенности ЛЧМ импульсов имеет достаточно
хорошие свойства и прием ЛЧМ импульсов может производиться с по-
мощью компактных согласованных фильтров, имеющих нужные дис-
персионные свойства.
Зондирующий импульс с ЛЧМ имеет постоянную амплитуду А
(рис. 9.14), а его мгновенная частота меняется по линейному закону
с наклоном k\
= (9.7)
где fo — центральная частота. Соответственно круговая частота
со—со0 = 2nkt,
276
а фаза внутри импульса изменяется по параболическому закону
Ф = nkt2 + со01 + фо- (9.8)
Максимальная девиация частоты от начала до конца импульса равна
F = kT.
Набег фазы за время длительности импульса обычно значительно
превышает л. Так, например, если F — 10 Мгц, Т = 10 мксек, то
квадратичная часть набега фазы за время импульса составляет 100 л.
Возможности импульсных ЛЧМ сигналов хорошо иллюстрируют-
ся их функцией неопределенности, аналитическое выражение ко-
торой имеет вид
|₽(Дт, Av)| = ±
Г-1 ДТ |
ехр [j[nkt2— nk (t-\- At) + Av/]} dt
о
(Av + nfcAT)T
sin (Av +л/гДт)
|Дт|^7\
(9.9)
При достаточно больших коэффициентах TF 1 можно пренеб-
речь |Ат|/Т по сравнению с единицей и приблизительно считать
| /?(Ат, Av)| =
sin (7Av + JiFAr)
TAv + jiFAt
(9.10)
На рис. 9.15 изображено сечение поверхности неопределенности
(9.10) плоскостью, параллельной координатной плоскости задержка —
частота на уровне приблизительно 3 дб от максимального значения.
Особенность функции неопределенности ЛЧМ импульса состоит
в том, что в направлении Av = £Дт функция неопределенности вытя-
нута, а в перпендикулярном к нему направлении — сжата.
В тех частных случаях, когда значение центральной частоты при-
нимаемого сигнала отличается от частоты гетеродина приемника точ-
но на промежуточную частоту (Дт = 0) или когда стробирование вы-
ходов приемника производится в момент, соответствующий приходу
отраженного сигнала (Дт — 0), на выходе приемного устройства по-
лучаются сечения функции неопределенности, имеющие вполне прием-
277
лемый вид, представленный на рис. 9.16. Как следует из (9.9), сечение
функции неопределенности ЛЧМ импульса плоскостью Дт — 0 пред-
ставляет собой спектр прямоугольного видеоимпульса (рис. 9.16, а)
)₽(0, Av)| =
sin I
Av772 I ’
(9.U)
а сечение ее плоскостью Av = 0 (рис. 9.16, б) имеет вид
|^(Дт, 0)| =
sin л/гТДт
л/гДтТ
(9.12)
Таким образом, длительность корреляционной функции вдоль
оси задержек, совпадающая с временной протяженностью выходного
Рис. 9.15. Функция неопределенности ЛЧМ импульса.
сигнала, имеет порядок 1/F. Эта величина не зависит от длительности
огибающей импульса Т и определяется только максимальной девиа-
цией частоты F.
Входной сигнал, имеющий длительность Т в оптимальном прием-
нике, укорачивается; выходной сигнал имеет длительность порядка
1/F. Коэффициент FT называется иногда коэффициентом укорочения.
Вытянутость функции неопределенности вдоль оси Av=£At при-
водит к тому, что разрешающая способность, например, для двух це-
лей, координаты которых (допплеровский сдвиг и задержка по вре-
мени) неизвестны, значительно ухудшается. Если однако Дт = 0 или
Рис. 9.16. Сечения функции неопределенности ЛЧМ импульса.
278
Av = 0, то разрешающая способность по другой координате достаточ-
но высока.
При работе по одиночной цели, движущейся с неизвестной ра-
диальной скоростью, возникает неизвестный сдвиг максимума выход-
ного сигнала во времени относительно истинного положения. Если
скорость цели известна, то указанный сдвиг можно учесть в дальней-
шем. Этот эффект является в некоторых случаях неприятной особен-
ностью ЛЧМ импульса. Однако вытянутость функции неопределен-
ности может играть и положительную роль. Например, на выходе со-
гласованного фильтра (подробнее согласованные фильтры для ЛЧМ
импульсов описаны ниже), настроенного на Av = 0, при появлении
допплеровского сдвига в пределах < A v < вид сигнала на
выходе фильтра меняется мало и отношение сигнал/шум в пике почти
не уменьшается. Это обстоятельство выгодно для работы систем обна-
ружения. Сдвиг Av можно рассматривать и как результат различных
частотных нестабильностей, поэтому РЛС, использующие ЛЧМ им-
пульсы, оказываются малочувствительными к нестабильностям час-
тоты, если они не превышают указанных выше пределов.
Рассмотрим корреляционную функцию ЛЧМ импульса при про-
извольной амплитудной модуляции. В общем случае, при большом ко-
эффициенте укорочения
/00
Д2 (/) dt т
—00
J A2 (t) ехр (/2л&Дт) dt J А2 (<) ехр (jut) dt
~ —-------------------= R (— ) = —----------------, (9.13)
«> \2jife/ 00
J А2 (0 dt J А2 (0 dt
—00 —00
где и = 2л£Дт.
Соотношение (9.13) показывает, что при большом коэффициенте
укорочения корреляционная функция ЛЧМ импульса является пре-
образованием Фурье от квадрата амплитудной модуляции, причем
в качестве переменной преобразования выступает и = 2лАДт.
Например, для прямоугольной огибающей
п г * ._sin (Ти/2) _ sin itFkx
' ' ~ Ти/2 iiFAx '
Для гауссовской огибающей корреляционная функция имеет
вид колокольного импульса.
Для треугольной огибающей с длительностью импульса по осно-
ванию Т корреляционная функция имеет вид
sin (jtFAx/2 \2
nFAxj2
279
В ряде технических приложений самостоятельное значение имеет
спектр комплексной огибающей ЛЧМ импульса
F (со) = — f $ (г) ехр (/coz) dz.
2л J
Амплитудный спектр можно вычислить на основе соотношений
сю
7? (Дт) = § IР (со) I2 ехР (/соДт) dco,
—оо
|f(co)|= — С R (Дт) ехр (/соДт) d Дт
2л J
1/2
(9.14)
Рис. 9.17. Амплитудный (а) и фазовый спектр ЛЧМ импульса (б).
Подставляя (9.13) в (9.14) и пользуясь интегральным представле-
нием б-функции, получим
| F(co)| =сЛ ) , (9.15)
\ 2 л/г /
где с — некоторая постоянная.
Таким образом, амплитудный спектр огибающей ЛЧМ импульса
при произвольной форме импульса Л(/) повторяет форму импульса
как функцию от a/2nk.
Например, для прямоугольной огибающей длительностью Т ам-
плитудный спектр комплексной огибающей ЛЧМ импульса имеет вид
прямоугольника в полосе частот —nF со nF, при этом амплитуд-
ный спектр сигнала имеет вид прямоугольника с протяженностью по
оси круговых частот со0 — nF, со0 + nF (рис. 9.17, а). Точное выраже-
ние для спектра достаточно сложно [9.4]. Фазовый спектр ЛЧМ сиг-
280
нала Ф(<о) имеет параболический характер и определяется соотноше-
нием (рис. 9.17, б)
ф(й)=Фо + <^
(9.16)
Интересно отметить, что амплитудно-фазовый спектр ЛЧМ импульса
по форме повторяет зависимости амплитуды и фазы от времени, при-
чем переход от временных соотношений к частотным совершается ум-
ножением времени на коэффициент k наклона «ЧМ пилы». Это обстоя-
тельство часто используется в теории устройств, работающих с ЛЧМ
импульсами.
Рис. 9.18. Корреляционный приемник ЛЧМ импульса.
Рассмотрим некоторые схемы приемников ЛЧМ импульсов.
Применительно к импульсным ЛЧМ сигналам корреляционный
приемник может иметь специфические особенности. Рассмотрим, в ча-
стности, приемник, позволяющий обрабатывать сигналы, приходящие
лишь с некоторого участка дальности (рис. 9.18). Такого рода устрой-
ства используются в радиолокационных станциях сопровождения це-
лей [9.5].
Отраженные от целей сигналы после усиления широкополосным
усилителем высокой частоты (УВЧ) поступают на вход смесителя (См).
Сигнал гетеродина является также ЛЧМ импульсом, причем крутизна
изменения его частоты во времени совпадает с крутизной зондирую-
щего импульса, а длительность 0 превышает длительность Т зонди-
рующего импульса на величину интервала возможных задержек
т отраженных импульсов.
На рис. 9.19 представлены временные зависимости частоты и оги-
бающей для зондирующего импульса и импульса гетеродина. Середина
импульса гетеродина соответствует моменту /0, являющемуся середи-
ной интервала возможных задержек отраженных сигналов относитель-
но зондирующего. Очевидно, что полный интервал возможных задер-
жек равен 0 — Т и лежит в области
е—г
2
<т<М
е—т
2
(9.17)
281
Если отраженный сигнал находится в середине этого интервала,
то на выходе смесителя имеет место импульсный сигнал длительностью
Т, заполненный номинальной промежуточной частотой /пр = /0 —
— /г. Отраженным импульсом, имеющим минимальную тмин и мак-
симальную тмакс задержки/на выходе смесителя соответствуют им-
пульсы с частотами заполнения /пр — -Q~T k и /пр + Q~T k. Проме-
жуточная частота произвольно расположенного импульса, имеюще-
го'задержку т, будет равна /пр(т) = fnp + (т — t0)k.
Зондирующий
Рис. 9.19. Взаимное расположение импульсов сигнала и гетеродина.
Таким образом, ЧМ гетеродин превращает различия в задержках
отраженных сигналов в различия в промежуточных частотах /пр(т).
Частота заполнения /пр(т) импульсов на выходе смесителя опре-
деляется с помощью гребенки согласованных с ними фильтров (Ф),
настроенных на различные центральные частоты и перекрывающих
весь диапазон (0 — T)k возможных изменений /пр(т).
Поскольку определенная частота соответствует определенной за-
держке, продетектированные детекторами (Д) выходы фильтров долж-
ны стробироваться в селекторах (С) в различные моменты времени,
принадлежащие области (9.17), сдвинутой на Т/2. Так, к примеру,
фильтр, настроенный на частоту Д = /Пр(ч), стробируется в момент
t = 4 + Т/2. Отметим, что работа устройства слабо зависит от шири-
ны стробирующих импульсов.
Таким образом, каждый выход устройства (рис. 9.18) соответст-
вует определенной точке дальности. В этом смысле устройство подобно
многоканальному коррелятору. Отличие состоит в том, что различ-
ные опорные сигналы объединены здесь в один сигнал импульсного
282
ЧМ гетеродина, вследствие чего каждый канал по необходимости на-
строен на свою промежуточную частоту. Так же как в многоканальном
корреляторе, отношение сигнал/шум равно E/No и достигается здесь
за счет фильтрации шума в фильтре, согласованном с огибающей ЧМ
импульса.
Частотный масштаб на выходе рассматриваемого приемника легко
пересчитывается в задержку или дальность. Два фильтра, отстоящие
по центральным частотам на 6/пр, анализируют точки, отстоящие по
оси задержек на 6т — 8fnp/k. Так, например, для ЛЧМ импульса с па-
Рис. 9.20. ЛЧМ импульс и импульсный отклик согласованного фильтра.
раметрами Т = 10 мксек, F = 10 Мгц величине 6/пр = 100 кгц соот-
ветствует интервал 6т — 0,1 мксек, равный половине ширины (по ну-
лям) автокорреляционной функции. Если фильтры расставлены на
МТ Мгц, то это означает, что временные отсчеты берутся через
MF мксек и корреляционная функция передается этими дискретными
отсчетами. Выбор расстановки фильтров определяется, конечно, мно-
гими обстоятельствами.
Рассматриваемая схема может быть легко получена при радио-
технических интерпретациях оптимальных операций над входными дан-
ными, которые предписываются выражением логарифма функции прав-
доподобия задержки, измеряемой в белом шуме с помощью зондирую-
щего ЛЧМ импульса.
На примере многоканального коррелятора легко понять роль
неизвестного частотного сдвига в формировании выходного сигнала
приемника. В этом случае, если принимаемый сигнал сдвинут по несу-
щей частоте на Av из-за движения цели в радиальном направлении
и если этот сдвиг заранее нескомпенсирован в гетеродинном напряже-
нии, промежуточная частота отличается от своего значения на величи-
НУ ^/пр ~ 4^ и> следовательно, максимум сигнала будет зарегистри-
рован в фильтре, соответствующем другой задержке; ошибка в опреде-
лении задержки составит Av/62n.
Как отмечалось в гл. 1, согласованным фильтром называется ли-
нейное устройство, импульсный отклик h(t) которого является зер-
кальным отражением (относительно произвольного момента времени)
сопряженной комплексной огибающей сигнала s(t). При этом началь-
ная фаза высокочастотного заполнения импульсного отклика произ-
вольна. Для ЛЧМ импульсов примерный вид сигнала и отклика фильт-
ра представлен на рис. 9.20.
283
Зеркальное отображение импульсного отклика согласованного
фильтра по сравнению с формой сопряженной комплексной огибающей
зондирующего сигнала означает, что амплитудно-частотная характе-
ристика фильтра совпадает с амплитудным спектром сигнала, а его
фазо-частотная характеристика обратна по закону с фазовым спектром
сигнала; таким образом, согласованный с ЛЧМ импульсом фильтр
имеет прямоугольную в полосе F амплитудно-частотную характери-
стику и параболическую фазо-частотную характеристику.
Изготовление согласованных фильтров для ЛЧМ сигнала явля-
ется трудной задачей, поскольку необходимо обеспечить очень свое-
образный импульсный отклик (или частотную характеристику). Как
Рис. 9.21. Согласованный фильтр в виде ЛЗ с дискретными отводами.
правило, для синтеза требуемого импульсного отклика ЛЧМ импульса
с законом модуляции, обратным исходному сигналу, используются схе-
мы, содержащие линии задержки (ЛЗ). Поскольку реальный фильтр
всегда отличается от идеально согласованного, более правильно такие
схемы называть укорачивающими устройствами (или фильтрами).
Рассмотрим несколько типовых схем построения укорачивающих
устройств и покажем, как формируется требуемый импульсный отклик
или частотная характеристика.
ЛЗ с дискретными отводами (рис. 9.21). Сигналы с отводов ЛЗ
после прохождения делителей с заданным коэффициентом ослабления
складываются вместе. При подаче на вход б-импульса на выходе по-
явится набор сдвинутых во времени б-импульсов с амплитудами, опре-
деляемыми ослаблением в соответствующих отводах. Правильным под-
бором коэффициентов ослабления можно добиться, чтобы огибающая
этих б-импульсов давала требуемый отклик. Дискретность устраняет-
ся фильтром с полосой 1/Д, где Д — задержка между соседними отво-
дами.
ЛЗ с непрерывным съемом (рис. 9.22). Принцип работы аналогичен
предыдущему случаю, но вместо дискретных отводов применяется
284
непрерывный съем, например, в виде куска фольги, наложенной на
линию. Связь осуществляется через емкость «ЛЗ — съем», фигурная
форма последнего обеспечивает изменение этой связи в зависимости от
времени задержки и соответственно требуемую форму отклика.
Диспергирующая ЛЗ. Этот вид укорачивающих устройств ис-
пользует элементы, имеющие равномерную амплитудно-частотную ха-
рактеристику и существенно нелинейную фазо-частотную характери-
Рис. 9.22. Согласованный фильтр на ЛЗ с непрерывным съемом.
стику, аналогичную приведенной на рис. 9.23. Конструктивно ЛЗ та-
кого типа состоит из некоторого числа последовательно соединенных
мостиковых фильтров, количество и параметры которых подбираются
с целью получения максимального приближения к требуемой парабо-
лической форме фазовой характеристики в заданной полосе частот.
В последнее время большое распространение получили ультра-
звуковые дисперсионные ЛЗ, использующие в качестве звуков провода
Рис. 9.23. Нелинейная фазо-частотная характеристика диспергирующей ЛЗ.
металлическую ленту. Для рабочего участка выбираются области час-
тот, в которых наиболее сильно выражена нелинейность фазовой ха-
рактеристики (рис. 9.23). Рабочую .'полосу такого устройства можно
значительно расширить, делая толщину звукопровода переменной.
При приеме очень широкополосных ЛЧМ импульсов с большим
произведением FT находят применение комбинированные методы при-
ема. В этих случаях «полная свертка» сигнала с помощью согласо-
ванного фильтра становится затруднительной из-за отсутствия линий
задержки с соответствующими свойствами. С другой стороны для пе-
285
рекрытия заданного интервала дальности пришлось бы использовать
коррелятор с очень большим числом каналов. Одна из схем комбини-
рованной обработки, описанная Тором [9.6], приведена на рис. 9.24.
Схема состоит из N идентичных каналов, образованных входными сме-
сителями (Cmi) и гетеродинами (Гх), фильтрами (Ф), линиями задержки
(ЛЗ), диспергирующими линиями задержки (ДЛЗ) и выходными сме-
сителями (См2) и гетеродинами (Г2). Выходы всех каналов подключе-
ны к сумматору.
С помощью входных преобразователей и фильтров спектр вход-
ного широкополосного ЛЧМ импульса разбивается на N примыкаю-
щих друг к другу «подспектров». На выходе каждого фильтра имеет
спектру». Поскольку для входного ЛЧМ импульса каждому «подспект-
ру» соответствует определенный временной интервал, ЧМ колебания
на выходе фильтров оказываются сдвинутыми во времени. Эти вре-
менные сдвиги выравниваются канальными линиями задержки.
Следующие за ними диспергирующие ЛЗ осуществляют свертку
ЧМ колебаний с данным подспектром, а выходные преобразователи
сдвигают несущие частоты и фазируют колебания укороченных ЧМ
колебаний. При сложении этих колебаний в сумматоре происходит
окончательное укорочение входного ЛЧМ импульса до величины 1/F.
Таким образом, основная идея такой схемы обработки широко-
полосных ЛЧМ импульсов состоит в том, что здесь диспергирующие
ЛЗ каналов обеспечивают свертку лишь в части частотного диапазона,
в N раз более узкой, чем спектр входного сигнала. Недостатком такой
схемы является необходимость жесткой фазировки колебаний входных
и выходных гетеродинов.
Как отмечалось выше, фильтр, согласованный с ЛЧМ импульсом,
при FT 1 дает на выходе сигнал
|к(Дх)|-| ,
I лгДт
боковые лепестки которого весьма велики (максимальное значение пер-
вого и бокового лепестков составляет 21%, а второго — 13% от мак-
симального значения главного лепестка). Уже упоминалось о том, что
286
боковые лепестки сигнала по дальности оказывают вредное влияние,
снижая возможности РЛС. В частности, ухудшается разрешающая
способность по дальности в режимах обнаружения целей и сопровож-
дения целей в многоцелевых РЛС. Желательно поэтому по возможно-
сти уменьшить уровень боковых лепестков.
Форма выходного сигнала (в частности ширина главного лепестка
и уровень боковых лепестков) чувствительна к изменению частотной
характеристики укорачивающего фильтра. Согласованный с ЛЧМ
импульсом фильтр имеет параболическую фазо-частотную и прямо-
угольную амплитудную характеристики. Если, однако, сгладить ам-
плитудно-частотную характеристику | /((со) | фильтра, допустив спада-
Рис. 9.25. Амплитудно-частотная характеристика Тейлора.
ние к краям спектра сигнала, то боковые лепестки существенно умень-
шаются; главный лепесток при этом расширяется. Одновременно не-
сколько уменьшается отношение сигнал/шум на выходе фильтра. Мож-
но показать, что существует оптимальная, но физически нереализуе-
мая амплитудно-частотная характеристика Дольфа—Чебышева, обес-
печивающая минимальные боковые лепестки при заданном расширении
главного лепестка. Реализуемой аппроксимацией характеристики
Дольфа—Чебышева является характеристика Тейлора, примерный вид
которой представлен на рис. 9.25.
Хорошие результаты получаются также в случае, когда амплитуд-
но-частотная характеристика фильтра аппроксимируется функцией
|K(®)I=P+(1—P)cos»^-, р<1, (9.18)
2F
где р и q имеют различные значения. Ниже приведена табл. 2, содер-
жащая данные по подавлению боковых лепестков с помощью различных
фильтров, имеющих амплитудно-частотные характеристики вида (9.18).
Вид сигнала на выходе фильтра для случая р = 0,08, ^=2(фильтр
с характеристикой Хэмминга) представлен на рис. 9.26 [9.7].
Таким образом, с помощью подходящей амплитудно-частотной
характеристики приемного устройства можно значительно уменьшить
боковые лепестки выходного сигнала по сравнению с согласованным
28
Подавление боковых лепестков
Таблица 9.2.
р Q Уровень макси- мального бокового лепестка относи- тельно главного, дб Расширение глав- ного лепестка Потери в отношении сигнал/шум, дб
0,08 2 —42,8 1,47 —1,34
0 2 —32,2 1,62 -1,76
0 3 —39,1 1,87 —2,38
0,04 1 —23,0 —1,31 —0,82
0,16 2 —34,0 1,41 —1,01
0,02 3 —40,8 1,79 —2,23
фильтром. Подавление боковых лепестков сопровождается расшире-
нием главного лепестка и уменьшением отношения сигнал/шум в мак-
симуме.
Рис. 9.26. Сигнал на выходе фильтра Хэмминга.
Другие способы уменьшения боковых лепестков состоят в специ-
альном подборе отклонений от линейного закона изменения частоты
или формы огибающей импульса с тем, чтобы автокорреляционная
функция получающегося сигнала имела бы желаемый вид. Так, на-
пример, при достаточно большом коэффициенте укорочения в соот-
ветствии с (9.13) корреляционная функция ЛЧМ импульса определя-
ется формой импульса Д(/):
оо
7?(Дт)= § A2 (t) ехр (j2hkSrt) dt (9.19)
—ос
288
и, следовательно, подбором формы импульса А(/) всегда можно син-
тезировать нужный сигнал 7?(Дт). Этот путь, однако, трудно осущест-
вить на практике.
9.5. ИСКАЖЕНИЯ ЛЧМ ИМПУЛЬСОВ В РАДИОТРАКТЕ РЛС
Применение описанных выше принципов формирования и приема
ЛЧМ импульсов ограничивается искажениями сигнала, которые воз-
никают в различных элементах радиотракта РЛС. Существует много
источников искажений. Главные из них следующие.
Даже при идеальном модулирующем импульсе частотные харак-
теристики усилителя мощности не являются идеальными. Амплитудно-
частотная характеристика в пределах рабочей полосы имеет «коле-
Рис. 9.27. Амплитудно-частотная характеристика усилителя мощности.
бания» и «скосы» и может выглядеть так, как это представлено на
рис. 9.27. Соответственно и реальная фазо-частотная характеристика
отличается от линейной.
Модулирующий импульс, подаваемый на усилитель мощности,
не является идеальным и имеет фронты, скос и осцилляции на верши-
не. Этим амплитудно-временным искажением из-за электронного сме-
щения фазы в приборе соответствуют также фазо-временные искаже-
ния.
Существенный вклад в искажения ЛЧМ импульсов вносят дис-
персионные свойства волноводного тракта. Фазо-частотная характе-
ристика волновода нелинейна и может быть разложена в окрестности
центральной частоты Д в ряд Тейлора, коэффициенты которого зави-
сят от отношения несущей к критической частоте. Линейный член при-
водит к постоянной задержке выходного сигнала, квадратичный —
к изменению наклона ЧМ в импульсе, а кубический член приводит
к несимметричному искажению формы укороченного импульса и к уве-
личению боковых лепестков (если изменение наклона не будет компен-
сировано, то это также приводит к увеличению боковых лепестков).
Несогласованные неоднородности в волноводном тракте за счет
двойного отражения сигнала (сначала в направлении, противополож-
10 Зак. 21 3 289
ному основному, а затем при отражении обратной волны от другой
неоднородности в прямом направлении) также приводят к увеличению
боковых лепестков.
Специфические искажения типа отклонения от линейности изме-
нения частоты в зависимости от времени возникают при формировании
«частотной пилы». В реальных устройствах на идеальную «пилу» на-
кладываются гармонические и полиномиальные составляющие раз-
личной скорости.
Наконец, частотные характеристики приемного устройства, вклю-
чая укорачивающий фильтр, также отличаются от идеальных, что при-
водит к появлению дополнительных лепестков.
Перечисленные выше основные искажения могут иногда в значи-
тельной степени изменить укороченный импульс, расширяя его глав-
ный лепесток и увеличивая боковые лепестки.
Рассмотрим кратко некоторые типовые искажения и их влияние
на форму выходного сигнала.
Как уже упоминалось, амплитудный и фазовый спектры ЛЧМ
импульса по форме повторяют зависимость амплитуды и фазы от вре-
мени. Поэтому одинаковые по форме и величине искажения частот-
ной характеристики радиотракта и временные отклонения самого сиг-
нала будут приводить к одинаковым результатам. Этот принцип экви-
валентности частоты и времени используется в теории искажений.
Поэтому, в частности, на рис. 9.28 — 9.30 и 9.32 ось абсцисс, соответ-
ствующая оси времени для временных искажений, для частотных иска-
жений соответствует оси частот. Вследствие этого на этих рисунках
точка Т на временной оси совпадает с точкой F на частотной оси.
Рассмотрим влияние наиболее типичных искажений на форму уко-
роченного импульса.
Периодические искажения амплитуды величиной а и фазы вели-
чиной Дф вызывают появление пары ложных импульсов для каждой
«гармоники» с амплитудами, равными соответственно а/2 и Дф/2. Эти
ложные импульсы симметрично сдвинуты относительно основного
лепестка на величину, зависящую от числа периодов искажений, ук-
ладывающихся на длительности импульса (или на ширине спектра).
Указанный сдвиг равен m/F для временных и tn.IT для частотных иска-
жений, где m — число периодов, укладывающихся на длительности
Т или на ширине спектра F соответственно.
На рис. 9.28 изображена идеальная форма огибающей импульса
или амплитуды и фазы и форма выходного сигнала.
Если принять ширину неискаженного импульса равной единице,
то скос зондирующего сигнала величиной ас приводит к уменьшению
амплитуды на величину ас/2 и симметричному расширению укоро-
ченного импульса на уровне 0,7 на величину ~0,02 (рис. 9.29). Умень-
шение амплитуды символизирует уменьшение отношения сигнал/шум
в пике сигнала.
Параболические искажения фазовой характеристики [дополни-
тельный набег Дф фазы на краю спектра^сигнала относитально оп-
ределяемого соотношением (9.8) значения] также приводят к умень-
шению амплитуды укороченного импульса на величину 0,025 (Дф)2,
290
Амплитудные
и с неимения
Фазобые
искажения
Рис. 9.28. Периодические искажения и форма выходного сигнала
Скос верииины
импульса
или спектра
Пар а бол и чес кие
искажения
О t
Рис. 9.29. Скос и форма выходного
Рис. 9.30. Параболические искаже-
ния фазы и форма выходного сиг-
нала.
сигнала.
10*
291
Что ухудшает отношение сигнал/шум, и обусловливают расширение
импульса 0,05 (Аф)2 (рис. 9.30).
Вследствие допплеровского сдвига и неточности привязки закона
модуляции частоты может возникнуть сдвиг закона модуляции на ве-
личину А/; это приводит к сдвигу укороченного импульса во времени
на 6/ = Af/k (рис. 9.31).
Рис. 9.31. Сдвиг частоты и форма выходного сигнала.
Случайные искажения. Во многих случаях точный вид искажений
неизвестен. Тогда удобно считать искажение случайной функцией с ну-
левым средним значением, дисперсией о2 и временем (частотой) кор-
реляции тк.
Амплитудные
искажения
Фазовые
искажения
выходной
сигнал '
Рис. 9.32. Случайные искажения и форма выходного сигнала.
Такие искажения приводят к появлению случайных боковых лепест-
ков с среднеквадратичным значением отк/7\ расположенных во вре-
менном интервале 1/&тк около основного импульса (рис. 9.32).
Теория искажений развита в нескольких работах [9.8, 9.9].
292
9.6. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
Важный класс сигналов образуют так называемые дискретные
сигналы, состоящие из набора колебаний, существующих на опреде-
ленных интервалах времени и меняющих скачком амплитуду и фазу
от интервала к интервалу.
Предположим, что период @ разбит на р временных позиций дли-
тельностью А = в/p каждая. На позиции с номером k формируется
колебание
Q cos (at + <pft),
где ah — амплитуда сигнала, могущая принимать значения из области
A; <pft — фаза сигнала, могущая принимать значения из области Ф;
f(f) — стандартный (прямоугольный) импульс, отличный от нуля при
0</<А; th = (k— 1)А.
Зондирующий сигнал записывается в виде
s (/) = 2 ah f (t — tk) cos (со/ + <pft), (9.20)
k
причем первый период содержит позиции с индексом k = 1, ..., р.
Сигнал вида (9.20) называется в дальнейшем дискретным сигна-
лом. Можно условиться разбить класс дискретных сигналов на три
части.
Импульсные дискретные сигналы. Сигнал называется импульсным
дискретным сигналом, если для Q р!2
flQ+l =ае+2 = ••• =ар =0.
Групповые импульсные дискретные сигналы. Предположим, что
период р разделен на т групп, состоящих каждая из М — р/т пози-
ций. В (/-й) группе находятся позиции с номерами
k = (l — 1)44+1, (/—1)44+2,..., (/ — 1)44+44 = 1М.
Сигнал называется групповым импульсным сигналом, /если для
Q 44/2
й(1-1) M+Q+1 M+Q+2 = •” ~а1М
Непрерывные дискретные сигналы. Все остальные дискретные
сигналы, не являющиеся импульсными или групповыми импульсными
сигналами, называются непрерывными дискретными сигналами.
На рис. 9.33 представлены зависимости амплитуды колебаний от
времени для трех видов сигналов.
Рассмотрим сечение функции неопределенности импульсного дис-
кретного сигнала (9.20) плоскостью Av = 0:
293
—00
где s"ft = ak exp (/<pft), s* --= at exp (—/<р,).
(9.2
Рис. 9.33. Импульсный (а), групповой импульсный (б) и непрерывный (в) сиг-
налы.
Если Дт=тД + ^, О^Ф^Д, то, учитывая форму функции f, из
(9.21) нетрудно получить соотношение
Л(тД + 8)_^Г(1_±^_ш + ±? 1, я=|, 2...... Q,
2“»
6=1
(9.22)
где ... , — компоненты вектора
R = (rlt..., rQ), ro = O,
определяемые соотношением
Гт = 2 Si s*_m+/, т = 1,,.., Q (9.23)
294
или, в развернутом виде, системой
f'l^SQ,
Г2 ~ 51 SQ— 1 “Ь s2 >
/3 = SiSq_2+s2sq_i +s3sq, (9.24)
f'Q— 1 = S2 + S2 S3 + ... + Sq— 1 Sq,
rQ — si si + s2 s2 + • • • + sq SQ-
Вектор R иногда называют вектором ненормированной автокорреля-
ции.
Рис. 9.34. Сечение функции неопределенности импульсного дискретного сиг-
нала плоскостью Дт = 0.
Соотношение (9.22), по существу, является интерполяционной
формулой, позволяющей восстановить выходной сигнал 7?(Дт) в лю-
бой точке Дт, если известны компоненты вектора R.
Рассмотрим в качестве примера дискретный сигнал, последова-
тельность комплексных амплитуд которого имеет вид
sk = 1, 1, 1, —1, —1, 1, —1, Q = 7.
Компоненты вектора автокорреляции есть
7т = — 1, 0, —1, 0, — 1, 0, 7.
Выходной сигнал /?(Дт), построенный в соответствии с (9.22), пред-
ставлен на рис. 9.34.
Автокорреляционная функция дискретного сигнала симметрична
относительно начала координат.
Соотношение вида (9.22) справедливо и для непрерывных дискрет-
ных сигналов, для которых
R (тЛ + &) = -±_ [(1 —Рр_т + А Рр_т+11,
2 «Г
6=1
(9.25)
295
где
_ р_________*
Pm ~ $1 ~ $1—pi I P ~F 1,
4=1
m = 1,..., p (9.26)
или, в развернутом виде,
— — —* — —# — —* — —*
Pi = SX Sp +«2 Si +s3 «2 + ••• 4-SpSp-i,
p2 = S1 Sp— 1 + S2 Sp + s3 S1 + ... + Sp Sp—2>
............................................ (9.27)
Pp— 1 = Si $2 + S2 S3 + S3 S4 + • • • + Sp S1,
Pp =Si Si +s2 S2 4-s3 S3 4- ••• 4-SpSp.
Если, например, сигнал имеет вид
1, 1, 1, —1, —1, 1, —1, 1, 1, 1, _ 1, —1, 1, —1,..., (р = 7),
то компоненты рт есть
— 1, —1, —1, —1, —1, —1, 7.
Вектор /?ц = (рь рр) называют иногда ненормированным век-
тором циклической корреляции.
В соответствии с определениями (9.23), (9.26) каждому Af-компо-
нентному вектору сигнала
S = (sx,..., 5дг)
можно сопоставить TV-компонентные векторы корреляции и цикличе-
ской корреляции
= = (р!> • • • > Рдо)’
Легко видеть, что
Pm=/'m+''W-mr m=l,..., TV— 1. (9.28)
Действительно,
N _ т __ N
Pm ~ 2 Sf SN+i—m = 2 S/ SN-f_i_m~|- 2 Sf S//_f_f_w
4 = 1 4=1 4=m+l
Вторая сумма преобразуется следующим образом:
N N N—rn
2 S/ — 2 S; Sj_m = 2 Sj_|_m Sj =
Z=m4~ 1 Z=m+1 /= 1
fN—m_ _ 1 * _
2 Sj |
296
В случае группового импульсного дискретного сигнала можно оп-
ределить автокорреляционные векторы для каждого импульса группы.
Для сигнала в /-й группе
•5/ = (s(/_i) jw-i-i’ ••• > s(j— i > m+q) > / = , т
вектор автокорреляции
................................... «>).
Вектор Г = (у, yQ) с компонентами
£ = 1.. Q
/=1
(9.29)
представляет ненормированный выходной сигнал в точках
At = (Q — k)k, &= 1,, Q.
Выходной сигнал в промежуточных точках восстанавливается
с помощью линейной интерполяции.
Выражение для функции неопределенности импульсного дискрет-
ного сигнала
S = (s1)..., s„)
имеет вид
4-0, р) =
. мА &
. sin---—
। г • М-Д1 / а \ 2 А
+ еХР 2 ] ^-т+1 (ИЛ)------------
т
где р = Av, 0 ft А, т — 1,..., N и компоненты гт(рА) вектора
/?(рА) определены отношениями
_ т _
rm(HA)= S s(s^_m+,exp(/pA)(i— 1), /н = 1,..., N;
4=1
Го =0;
2N-m _
rm(pA) = exp(jpA)(m —N) 2 s* si+m-N exp [/pA (i— 1)],
1
(9.31)
— 1.
Вектор /?(рА) называется ненормированным вектором неопреде-
ленности.
297
Соотношение (9.30) позволяет вычислить функцию неопределен-
ности дискретного сигнала в любой точке плоскости (Дт, Av), если
найден вектор неопределенности.
Сечение Av = 0 функции (9.30) имеет вид (9.22).
Сечение Дт = 0 (т = 0, 0 = 0)
N
2 sisi ех₽ (/нд о—0)
ROT=exp(|-^-)^^J----------------------, и -Av. (9.32)
2*/
1
2Я О 2а Ду
Г Т
Рис. 9.35. Сечение функции неопределенности импульсного дис-
кретного сигнала плоскостью Av — 0.
В частности, для st = 1, рЛ<л;
R (р) ~ ехр (/ 'j sinP'VAZ2_ . (9.33)
V 2 J ИЛГД/2 ’
Зависимость (9.33) представлена на рис. 9.35.
Представляет интерес вид функции неопределенности дискрет-
ного сигнала, формируемого с помощью какого-либо случайного ме-
ханизма.
Предположим, что все = 1 и фаза <рг- может принимать одно из
р значений вида
— I, 1=0,1, ..., Р— 1 (9.34)
р
с равной вероятностью 1/р. Такого рода случайный сигнал имеет слу-
чайный вектор неопределенности.
Среднее значение квадрата модуля компоненты ненормированно-
го вектора неопределенности равно
<гт (рД) г* (рД)> =22 s*N_m+i s* sN_m+i> ехр [/р.д (/ — /)] =
1
= m+iSN — m+iy> =ГП^
1
298
Поэтому, за исключением области, примыкающей к оси Av, функция
неопределенности ограничена в среднеквадратичном смысле неравен-
ством
(9.35)
Рис. 9.36. Функция неопределенности случайного импульс-
ного дискретного сигнала.
Модуль функции неопределенности случайного дискретного сигна-
ла при достаточно большом числе позиций N имеет почти идеальный
вид, представленный на рис. 9.36. На этом рисунке около нуля распо-
ложен главный максимум функции неопределенности, сосредоточен-
ный в области
—Д < Дт< Д,
треугольников
Рис. 9.37. Ненормированные автокорреляционные функции сигналов Баркера
Вне этой области боковые лепестки имеют уровень, значительно мень-
ший единицы. За исключением области вдоль оси Дт = 0, боковые
лепестки имеют уровень N.
В некоторых приложениях самостоятельное значение имеет спектр
дискретного сигнала.
Амплитудный спектр можно вычислить на основе соотношения
(9.14), если известна автокорреляционная функция сигнала. Этот
способ особенно хорош для сигналов, чьи автокорреляционные
функции имеют регулярный вид.
299
Так, например, для сигналов Баркера (см. разд. 9.7 ) автокорре-
ляционные функции состоят из треугольников, представленных на
рис. 9.37. Амплитудный спектр является алгебраической суммой ам-
плитудных спектров треугольного импульса, соответствующего глав-
ному лепестку, и гребенки треугольных импульсов, соответствующих
боковым лепесткам.
Рис. 9.38. Амплитудный и фазовый спектры 13-компонентного сигнала Баркера.
Вычисляя соответствующие спектры, пользуясь (9.14), получим
\P&)\=h
sin (g>A/2)
соА/2
W-l
1 sin((D71) ]l/2
N sin (<oA)
W = 5,13;
sin (<oA/2)
(oA/2
W+ 1
N
1 sin (шТ) p/2
W sin(<oA) ]
(9.36)
2V=3,7, 11,
где h — некоторая номировочная постоянная. Фазовый спектр может
быть подсчитан непосредственным вычислением от точки к точке.
На рис. 9.38 представлен амплитудный и фазовый спектры сиг-
налов Баркера при N = 13.
300-
Характерная особенность амплитудного спектра сигналов Бар-
кера состоит в наличии для N = 5,13 выбросов или провалов для
N = 3, 7, 11 следующих';^ частотой оз/2 л = МТ. Фазовый спектр
имеет очень регулярный" характер.
9.7. КЛАССЫ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
В зависимости от ограничений на области изменения амплитуды
и фазы А и Ф способов получения и корреляционных свойств можно
выделить несколько классов дискретных сигналов.
Перечислим кратко основные классы дискретных сигналов.
Сигналы Баркера [9.10]. Среди сигналов с двоичными компонен-
тами S, = ±1 особое место занимают сигналы, имеющие минимально
возможный при данном N уровень боковых лепестков корреляционных
функций, равный 1. Такие сигналы существуют только для определен-
ных значений N = 2, 3, 4, 5, 7, 11,13 и называются сигналами Барке-
ра. Сигналы Баркера при различных N и соответствующие им корре-
ляционные функции приведены в табл. 9.3.
Таблица 9.3.
Сигнал Баркера
Корреляционная функция
3
4
5
7
11
13
1,1,—1,1
1,1,1,—1,1
1,1,1,-1,-1,1,-1
1,1,1,—1,—1,1,1,—1,-1,1,-1
1,1,1,1,1,-1,—1,1,1,—1,1,—1,1,
—1,0,3
—1,0,1,4
1,0,—1,4
1,0,1,0,5
—1,0,—1,0—1,0,7
—1,0,—1,0,—1,0,—1,0,—1,0,11
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,13
Сигналы Баркера являются уникальными сигналами, имеющими
регулярные автокорреляционные функции.
Сигналы Хаффмена [9.11]. Сигналы Хаффмена с двоичными ком-
понентами Sj = +1 формируются на основе линейных рекуррентных
последовательностей максимального периода (см. разд. 10.1) и имеют
N — 2п — 1 компонент (п — целое число). Функции неопределенно-
сти имеют боковые лепестки порядка По своей структуре и кор-
реляционным свойствам сигналы Хаффмена близки к случайным сиг-
налам, формируемым с помощью какого-либо «случайного механиз-
ма». Наличие простого алгоритма формирования вместе с рядом дру-
гих полезных свойств предопределяет широкое употребление сигналов
Хаффмена.
Циклические корреляции сигналов Хаффмена имеют боковые ком-
поненты по модулю, равные единице.
зог
Сигналы Цирлера [9.12]. Компоненты сигналов Цирлера могут
принимать значения
/ . 2л .
ехр j-----1
где р — простое число; i — целое число, меньшее р.
Таким образом, фаза колебаний на каждой позиции может иметь
одно из р значений.
Число компонент сигналов Цирлера
N=pn — 1.
ра.
Сигналы Хаффмена являются частным случаем сигналов Цирле-
Циклические корреляции имеют боковые компоненты по модулю,
равные единице. Функции неопределенности имеют боковые лепестки
порядка У N. Сигналы Цирлера формируются с помощью простых ал-
горитмов.
Сигналы с компонентами из символов Лежандра [9.13]. Этот класс
сигналов с троичными компонентами s}- = 0 получается на основе
—1
сигналов Цирлера.
Число компонент N = (рп — 1)/(р — 1), где р — простое число,
п. — целое число.
Циклические корреляции имеют боковые компоненты, равные
нулю. Функции неопределенности при больших N имеют боковые ком-
поненты порядка У N.
Корреляционные функции при сравнительно небольших N имеют
боковые лепестки, значительно меньшие чем У N. Сигналы Баркера
с нечетным числом компонент входят в класс этих сигналов.
Сигналы Пэли—Плоткина [9.14], [9.15]. Сигналы Пэли—Плотки-
на состоят из двоичных компонент Sj — ±1, являются особым случаем
предыдущего класса и имеют число компонент N = р = 4k — 1, k —
целое число.
Циклические корреляции имеют боковые компоненты по модулю,
равные единице. Функции неопределенности имеют боковые лепест-
ки порядка У N.
Сигналы Фрэнка [9.16]. Компоненты сигналов Фрэнка имеют фа-
зы, могущие принимать N возможных значений. Сигналы состоят из
№ компонент.
Циклические корреляции имеют нулевые боковые компоненты.
Компоненты корреляции значительно меньше чем УN.
Все перечисленные классы сигналов подробно рассмотрены в гл /10,
302
9.8. ЦИФРОВЫЕ СПОСОБЫ «СВЕРТКИ»
ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Дискретные сигналы в большинстве случаев имеют алгоритмы
построения, что позволяет использовать для их формирования некото-
рые специализированные устройства цифровой техники.
Это же обстоятельство используется при конструировании кор-
реляционных приемников дискретных сигналов.
Согласованные фильтры для приема дискретных сигналов состоят
из линий задержки с отводами, комплексные коэффициенты передачи
которых согласованы с компонентами сигнала, сумматора и фильтра.
Рис. 9.39. Цифровой корреляционный накопитель.
В настоящем разделе описан способ приема дискретных сигналов,
использующих цифровую вычислительную машину специализирован-
ного или универсального типа. Цифровой способ «свертки» применим,
конечно, и к ЛЧМ импульсам и другим видам зондирующих сигналов.
Более того, цифровые вычислительные машины могут осуществлять и
другие, характерные для аналоговой техники функции, такие, как
преддетекторная фильтрация, детектирование, формирование диаграм-
мы направленности в активной фазированной решетке, сканирование
диаграммой и т. д.
Применение цифровой техники связано с возможностью исполь-
зования устройства (рис. 9.39), в дальнейшем называемого цифровым
корреляционным накопителем двоично-квантованных видеосигналов
[9.17].
303
Устройство состоит из усилителя высокой частоты (УВЧ), двух
смесителей (С), амплитудных квантователей на два уровня (АК), вре-
менных квантователей (ВК) и цифровой вычислительной машины
(ЦВМ). Усилитель высокой частоты имеет эффективную полосу А/.
Сигналы гетеродинов, подаваемые на смесители, когерентны и от-
личаются по фазе высокой частоты на л/2. Частота гетеродина равна
несущей частоте входного сигнала.
Временной квантователь осуществляет временные выборки вход-
ных сигналов. Если на вход временного квантователя поступает сиг-
нал х(/), то на выходе в момент tj появляется дискрет
где Т — интервал временного квантования, tj^ — tj = Т. Анало-
гично, во втором канале
1 ?
*j+T
Амплитудный квантователь является ограничителем с жестким
ограничением (рис. 9.39):
W = £(^)-
В типичных случаях ЦВМ осуществляет суммирование поступаю-
щих данных с заданными весами р0, ..., ри-i,; • ••» Qn-i в первом и
втором каналах соответственно, образуя величины и vk:
14= 2 Ik-ipi, Vh= 2 'Ik-iQi- (9-37)
1=0 1=0
Далее вычислены статистические характеристики и vk.
Величины Uj и Vj на входах ограничителей распределены нор-
2 2
мально со средними значениями ти. и mv.. и дисперсиями аИ/иа^.-
Поэтому
1 / U2 \ 1
—=------exp /------jt— du =
/2лаиу I 2q2 )
= /i — F
=h sign mUj
®Uj /
(mo.
®Uj
(9.38)
— 1 .
304
Аналогично
<fr}>=h sign mVj
где
F(z)
z
=?W J
— oo
Дисперсия %] равна
/ mu. \ j
\ %• / \
(9.39)
Рис. 9.40. Среднее значение и дисперсия на выходе ограничителя.
Аналогично
/ mVj \
d^wfI^ f
\ /
mvj
Зависимость средних значений и дисперсий выхода ограничителя
от величины т/о представлена на рис. 9.40.
Интересны частные случаи больших и малых входных отношений
сигнал/шум т/о.
Малые отношения т/с < 1. Поскольку для малых z< 1,
1 1 / Z3 \
F(г) =_*_-]— 1 (г—то
2 Ул - V2 \ 6 )
(9.40)
— mv;
Л J
305
•
J
(9-41)
/ 9 vi
Щт^А2 i-A '
\ ui
Таким образом, при малых входных отношениях сигнал/шум,
среднее значение на выходе ограничителя пропорционально сред-
нему значению на его входе; дисперсия выхода ограничителя постоян-
на и равна /г2.
Большие отношения /и/о > 1. При большом z » 1
F(2) = l
-Lt- ехр
У2л
Z£_( 1
2 \ г
и, следовательно,
<£;> ~ h sign mUj
<ту> ~ h sign tnv
(9.42)
lim D (£;) = lim D (т]у) = 0,
mUj/aUj->oo,
m0j/GVj->oo.
Статистические характеристики случайных величин р,й и vk,
формируемых в ЦВМ, могут быть найдены следующим образом. Слу-
чайные величины uj, vt при i =£ j некоррелированы, если Т.
Аналогично, некоррелированы vJt Vt(i =f= j). Некоррелированы также
Ui(i =/= j). Величины Uj, Vj некоррелированы в силу ортогональ-
ности опорных сигналов, сдвинутых по фазе на л/2.
Поскольку сами величины щ, vt распределены нормально, их
некоррелированность означает некоррелированность выходов ампли-
тудных квантователей. Таким образом,
<&-<?;>] [^ — <^i>]>= 0, i + j,
< И; —<П/>][1Ъ —0Ъ>]>=О, i=f=i,
< (Ь——<Пг>]> =0 при любых I, i,
/= о
(9.43)
п— 1
< vft> = 2
/-О
306
П~1 9
D(ph)= s
1 = 0
(9.44)
Аналогично
^(vft)= 2* D{y\k_i)q],
1=0
(9.45)
<H№> —<|xfe> <vm>=0.
При большом числе слагаемых п и не слишком отличающихся
весах рь qt выполнены условия центральной предельной теоремы.
Таким образом, и vk являются нормальными, независимыми
случайными величинами со средними значениями и дисперсиями, оп-
ределяемыми соотношениями (9.43) — (9.45).
Рассмотрим теперь некоторые применения схемы обработки
(рис. 9.39).
Формирование полосы и детектирование
Предположим, что РЛС работает с прямоугольным зондирующим
импульсом длительностью т и интервал временного квантования Т
выбран таким, что
т/Т —
Принятый сигнал s rectf 'j cos (at -{-'ll)), «почти не искажаясь»
\ Т /
в предварительном усилителе, попадает на вход двух смесителей, и
после гетеродинирования в первом канале образуется сигнал
-у- rect (—<0 ) cos ip, а во втором rect ( * sin ip.
Выбором весов pt = qt (I = 0, ..., п— 1) можно сформировать
любую требуемую полосу.
Если, например, п = m и pt = qt = 1, то получается фильтр,
согласованный по форме импульсного отклика с зондирующим сигна-
лом. В этом случае, для малых отношений сигнал/шум на входах ам-
плитудных квантователей
<£;> = — 1/ — — cos ip rect (-——
а у л 2 \ п
(9.46)
<ТЬ‘> — ~ \/ — — sin ip rect
’ о у л 2
307
где а1 2 = No — мощность шума на единицу полосы частот на вы-
ходе временного квантователя. В (9.46) для простоты сделано предпо-
ложение, что t0 = Tj0. Следовательно,
<pfe> = иI f—scos^/f-—-'j,
™ k л \ n J
(9-47)
Дисперсии величин и т),- для малых отношений сигнал/шум на
входах амплитудных квантователей равны /г2 и
Wfe) = £(vft)=/i2n.
(9.48)
Принятые условные обозначения пояснены на рис. 9.41. Как было по-
казано выше, и vh — нормально-распределенные независимые слу-
чайные величины со средними значениями и дисперсиями, определяе-
мыми соотношениями (9.47) и (9.48).
Сигнал .. . ,
I 7...............
0 ]0Л (Jo'W *
Рис. 9.41. Квантованные сйгналы.
С целью исключения зависимости от случайной начальной фазы
удобно образовать величину
rk = V ,
(9.49)
являющуюся аналогом огибающей некоторого узкополосного нормаль-
ного случайного процесса. Операция (9.49) заменяет линейное детек-
тирование.
Аналогом «додетекторного» отношения сигнал/шум является здесь
величина
1/2[W2 + <vfe>2]^ t о
D 4
(9.50)
308
В максимуме сигнала (k = j0 + га), используя (9.47), (9.48), по-
лучим
(9.51)
где Е — энергия в импульсе; No — мощность на единицу полосы час-
тот; q0 = E/No — максимально возможное отношение сигнал/шум по
мощности.
Множитель 2/л характеризует предельные потери из-за наличия
нелинейного элемента на малом уровне сигнал/шум.
При большом отношении сигнал/шум
Д2 » 1
“ ВЫХ р
(9.52)
и среднее значение сигнала на выходе схемы обработки
(9.53)
\ п )
Динамический диапазон. Среднее значение сигнала на выходе
амплитудного квантователя линейно зависит от среднего значения
сигнала на его входе, если входное отношение сигнал/шум меньше не-
которого порогового значения
а2 2^
ч вх макс
(9.54)
Соотношение (9.54) определяет максимальное входное отношение
сигнал/шум, при котором среднее значение сигнала на выходе пропор-
ционально среднему значению на входе. При малых входных отно-
шениях сигнал/шум будет сказываться нелинейность цифрового де-
тектирования. Поскольку выходное отношение сигнал/шум прибли-
зительно в п раз больше входного, считая, что
Q2 ~ 1,
“ вых.ми н ’
получим
п2 1/п.
Таким образом, динамический диапазон работы устройства ока-
зывается равным
д
2
^вх макс
2
Явх мин
(9.55)
309
Цифровая свертка сигналов
с внутриимпульсной модуляцией
Цифровую свертку сигналов для простоты рассмотрим на конкрет-
ном примере. Пусть зондирующий сигнал имеет вид прямоугольного
импульса длительностью т с фазовой манипуляцией (ФМ) по высокой
частоте
п
и (О = 2 “сcos ® direct
i=l
7 —(t —1)Д'
Д
(9.56)
где п — число позиций ФМ; Д = т/п — длительность позиций; 0г в соот-
ветствии с заданным кодом принимает значения 0 или л и
, /л Г 1 ПРИ 0=0,
/»=СО3 0а=( г
I — 1 при 0=л.
Сигнал
(j0*W
Рис. 9.42. Квантование 7-компонентного сигнала Баркера.
В этом случае среднее значение сигнала с выхода смесителя представ-
ляет собой последовательность прямоугольных двуполярных импуль-
сов равной амплитуды
/I
(X (1)У = -у 2 Sf i C0S Ф rect f * ~ ~ д A ~ *°
(9.57)
<y (0> = -y 2 sin Фrect ~~~
где s — амплитуда сигнала на выходе усилителя высокой частоты;
ф — случайная начальная фаза высокочастотного сигнала.
При временном квантовании в соответствии с рис. 9.42 произ-
водится разбиение каждой i-й позиции на т квантов, причем т 1.
Тогда, аналогично (9.46), среднее значение сигнала после кван-
тования
_ (9.58)
/ \ 1 i /~ 2 • । г1
Ob->=Ysvl/
4 и Г ’’v
310
где
предполагается, что t0 = Tj0.
Для того чтобы осуществить свертку принятого сигнала, необхо-
димо выбрать весовые коэффициенты
Pi = qi = FN-h
где
N = -=п-т.
т
При этом согласно (9.37)
2 а у л
(9.59)
2 а у л
где
п п
-“Ч т J
Учитывая, что для каждого k
только при одном определенном значении ak = (i — j) можно запи-
сать
n A k — (N + jQ) — ahm
l\k— (W + /o) ftlSfL t -
n L m
(9.60)
n
где se — 2 ftfi-a. — компоненты вектора корреляции огибающей
R z=i *
зондирующего сигнала, a Rk-^+M —дискретная функция корреля-
ции того же сигнала (дискретность равна периоду квантования Т),
сдвинутая во времени на j0T.
Как и в случае с прямоугольным зондирующим импульсом при
соблюдении" условий (9.52) и (9.54)
<^> = f<Hft>2 + <vft>2 =^-sA_ 1/ (9.61)
2 о у л
и динамический диапазон
U=N = n-m. (9.62)
311
Прием зондирующего сигнала с амплитудно-фазовой модуляцией
любого вида может быть осуществлен аналогичным образом. При
этом, если ширина спектра зондирующего сигнала равна А/, то мак-
симальная длительность временного дискрета Т должна быть выбрана
приблизительно равной 1/А/.
9.9. ИСКАЖЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
В РАДИОТРАКТЕ РЛС [9.13]
Дискретные сигналы, проходя по тракту РЛС, претерпевают
искажения, ограничивающие практическое использование таких сиг-
налов. Некоторые искажения ФМ импульсов и ЛЧМ импульсов имеют
общую природу. К их числу следует отнести, в частности, перечислен-
ные в разд. 9.5 искажения, вызываемые неидеальностью амплитудно-
частотной характеристики усилителя мощности и укорачивающего
фильтра; дисперсионными свойствами волноводов антенно-фидерного
тракта; отличием формы модулирующего импульса, подаваемого на
усилитель мощности, от прямоугольной, наличием несогласованных
неоднородностей в антенно-фидерном тракте и т. п.
Кроме того, имеются искажения, связанные с дискретной струк-
турой зондирующего сигнала и соответственно с дискретностью фор-
мирователя и дискретностью в приемном устройстве. Эти искажения
можно разделить на две группы:
1) искажения, связанные с неточностями установки фазы мани-
пуляции сигнала и с неточностями весов отводов линии задержки по
амплитуде и фазе (амплитудно-фазовые неточности);
2) искажения, связанные с неточностями временной структуры
сигнала и фильтра, в частности с неточностями моментов манипуля-
ции фазы сигнала и неточностями в расположении отводов на линии
задержки (временные неточности).
Рассмотрим влияние некоторых видов искажений на форму вы-
ходного сигнала. Характер этого влияния в определенной степени за-
висит от конкретного видащискретного сигнала. Хорошие оценки мож-
но получить, если воспользоваться процедурой усреднения по значе-
ниям сигнала, считая, что значения сигнала от позиции к позиции не-
зависимы и значения фазы (например, Ойл при р = 2) равновероят-
ны. Оценки, полученные таким образом, очевидно, соответствуют слу-
чаю использования псевдослучайного сигнала с большим числом по-
зиций N.
Влияние искажений сказывается не только на уровне боковых
лепестков выходного сигнала, но также на форме главного лепестка
и на отношении сигнал/шум в главном лепестке. Проигрыш в отно-
шении сигнал/шум удобно оценивать параметром р2, который равен
фактическому отношению сигнал/шум по мощности при наличии ис-
кажений, отнесенному к отношению сигнал/шум на выходе согласо-
ванного фильтра.
Амплитудно-фазовые неточности. Пусть Оф —дисперсия фазовых
неточностей сигнала; о2а— дисперсия амплитудных неточностей весов
312
отводов ЛЗ; о| — дисперсия фазовых неточностей весов отводов ЛЗ.
Сами неточности предполагаются нормальными случайными величина-
ми с нулевым средним значением. Тогда дисперсия значений выходного
сигнала имеет вид рис. 9.43. Здесь %2 — дисперсия дополнительных
боковых лепестков, отнесенная к квадрату центрального пика, равная
при t = О
+а«+4]- <9-63)
Характерные особенности этих искажений заключаются в том,
что наибольшие дополнительные лепестки возникают в окрестности
главного максимума и линейно уменьшаются к краям корреляцион-
ной функции. Величина дополнительных боковых лепестков обратно
Рис. 9.43. Относительная дисперсия боковых лепестков, возникающих из-за
амплитудно-фазовых неточностей.
пропорциональна числу позиций N. Таким образом, эти искажения
можно уменьшить, выбрав псевдослучайный код с большим числом по-
зиций.
Отношение сигнал/шум при наличии такого рода искажений опре-
деляется формулой
Р2 = 1-О2 (1-— =1~AW. (9.64)
Неточности времени коммутации фазы сигнала. Пусть а? — дис-
персия неточности момента коммутации фазы, причем сама неточность
распределена по равномерному закону в пределах длительности по-
зиции с нулевым средним значением. Относительная дисперсия боко-
вых лепестков имеет вид (рис. 9.43), причем величина дисперсии в рай-
оне главного максимума равна
X2 = U25(9 65)
Проигрыш в отношении сигнал/шум по мощности при наличии
искажений такого вида определяется формулой
/ i/Т п \2
Р2 = И — . (9.66)
313
Таким образом, этот вид искажений также зависит от числа позиций N.
Неточности установки отводов ЛЗ по задержке. Пусть о? — дис-
персия неточности установки отводов ЛЗ по задержке. Предполагается,
что набег фазы, возникающий из-за указанной неточности, выбран при
настройке фазовращателей в отводах линии. Сама неточность распре-
Рис. 9.44. Среднее значение главного лепестка при временных искажениях.
делена равномерно на интервале А с нулевым средним значением. От-
носительная дисперсия боковых лепестков имеет вид рис. 9.43, при-
чем справедливы соотношения
(9.67)
(9.68)
Данные искажения также могут быть ослаблены выбором боль-
шого N.
Помимо появления дополнительных лепестков и уменьшения от-
ношения сигнал/шум временные неточности приводят также к иска-
жению формы главного максимума. Средний главный максимум отли-
чается от треугольника и имеет вид, изображенный на рис. 9.44. Здесь
о может быть <st или от в зависимости от того, какая неточность рас-
сматривается. Средний главный максимум расширяется и уменьшает-
ся по амплитуде. Последнее символизирует проигрыш в отношении
сигнал/шум по напряжению.
Рассмотрим теперь сигнальные искажения непрерывного харак-
тера, такие, как непрерывная модуляция сигнала по фазе и по ампли-
туде. Анализ этих искажений приводит к следующим результатам.
Синусоидальная фазовая или амплитудная модуляция. Этот тип
искажений представлен на рис. 9.45. Количественно искажения вы-
ходного сигнала характеризуются дисперсией, причем усреднение
производится по ансамблю зондирующих сигналов так же, как и при
анализе дискретных искажений. Относительная дисперсия имеет вид
314
рис. 9.43, причем максимальное значение для фазовых искажений рав-
но ^2I2N, а для амплитудных искажений — a?!2N. При больших
TF<p = zn<p 1, TFa = та^>> 1 проигрыш в отношении сигнал/шум
не зависит от та и /пф и равен
р2 = 1—р» = (1—а)2
[(9.69)
для амплитудных и фазовых искажений соответственно.
Искажения типа «скос». Наличие скоса у огибающей импульса
(см. рис. 9.29) приводит к появлению несимметричных относительно
нуля дополнительных боковых лепестков. Наибольшее значение таких
лепестков достигается при t = А и равно .
Фазовые
искажения
Рис. 9.45. Амплитудно-фазовые
Анп/гиту&ные
искажения
непрерывные искажения.
Приведенные результаты по регулярным искажениям дискретных
сигналов показывают, что их влияние на выходной сигнал ослабля-
ется в зависимости от числа позиций N. Формально это является след-
ствием усреднения по сигналу, который считается случайным. По
существу дела, уменьшение искажений объясняется тем, что регу-
лярные искажения, проходя по отводам ЛЗ согласованного фильтра,
приобретают случайный характер и затем суммируются уже как слу-
чайные величины.
Важным видом искажений является частотный сдвиг несущей
частоты относительно центральной, на которую настроен согласован-
ный фильтр. Анализ влияния этого сдвига на боковые лепестки и фор-
му главного лепестка для случайных сигналов показывает, что уро-
вень боковых лепестков не зависит от частотного сдвига, в то время
как отношение сигнал/шум по мощности в главном пике уменьшается
в соответствии с квадратом модуля функции неопределенности
I Я(0, Av) |2.
Сравнивая результаты влияния однотипных искажений ЧМ и ФМ
импульсов на форму выходного сигнала, можно заменить, что псевдо-
случайные ФМ сигналы проявляют значительно большую устойчи-
вость к большинству типовых искажений, чем ЛЧМ импульсы. Отно-
сительная дисперсия боковых лепестков ФМ сигналов в этих случаях
обратно пропорциональна числу позиций, что позволяет эффективно
подавлять «технические» боковые лепестки.
315
Преимущество ЛЧМ сигнала проявляется в отношении искаже-
ний, связанных с расстройкой частот фильтра и сигнала на его входе.
В этом случае укороченный ЛЧМ импульс сдвигается по времени почти
без потерь в отношении сигнал/шум. Сигнал/шум для ФМ импульсов
значительно уменьшается и форма укороченного импульса сильно
искажается.
Литература
9.1. Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с при-
менениями в радиолокации. Пер. с англ., под ред. Горелика Г. С. Изд-во «Советс-
кое радио», 1955.
92. Р и х а ч е к А. В. Разрешающие свойства импульсных последова-
тельностей. Пер. с англ. Труды института инженеров по электротехнике и радио-
электронике, 1964, № 2.
9.3. Sherman Н. Some optimal signals for time measurement. Trans.
IRE. IT-2, 1956, № 1.
9.4. Co о k С. E. Pulse compression key to more efficient radar transmis-
sion. Proc. IRE, 1960, № 3.
9.5. T и м и с Ц. Л., Сайтрин А., Лэвиол a M. А. Блок сжа-
тия импульсов для РЛС сопровождения. «Зарубежная радиоэлектроника», 1964,
№ 11.
9.6. Тор Р. К. Техника сжатия импульса с большим произведением
длительности на ширину спектра. «Зарубежная радиоэлектроника», 1961, № 1.
9.7. Т е m е s С. L. Sidelobe suppression in range channel pulse-compres-
sion radar. Trans. IRE, MiL, 1962, № 2.
9.8. Клаудер Д. P. и др. Теория и расчет импульсных радиолока-
ционных станций с частотной модуляцией. «Зарубежная радиоэлектроника», 1961,
№ 1.
9.9. Д и ф р а н к о Ж. В., Рубин В. Л. Анализ искажений при об-
работке радиолокационного сигнала. «Зарубежная радиоэлектроника», 1963,
№ 9.
9.10. В u г k е г R. Н. Group synchronizing of binary digital systems. Com-
munication theory, Academic Press, 1953.
9.11. Хаффмен Д. Синтез линейных цепей последовательного деко-
дирования. «Теория передачи сообщений». Изд-во иностранной литературы, 1957.
9.12. Ц и р л е р Н. Линейные рекуррентные последовательности. «Ки-
бернетический сборник», 1963, вып. 6.
9.13. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советское
радио», 1966.
9.14. Плоткин М. Двоичные коды с заданным минимальным расстоя-
нием. «Кибернетический сборник», 1963, вып. 7.
9.15. Джоши. О верхних границах для кодов с минимальным расстоя-
нием. «Кибернетический сборник», 1960, вып. 1.
9.16. Фрэнк Р. Многофазовые коды с хорошими непериодическими кор-
реляционными свойствами. «Зарубежная радиоэлектроника», 1963, № 12.
9.17. Амиантов И. Н., Брызгалов А. П. Характеристики
цифровых приемников радиолокационных сигналов. Известия вузов, Радио-
электроника, 1969, № 2.
Глава 10
ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ
ВРЕМЕННОГО СДВИГА
10.1. ЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В настоящем разделе систематически изучается специальный
класс последовательностей р-ичных символов, а именно класс линей-
ных рекуррентных последовательностей (ЛРП). Эти последователь-
ности исследованы многими авторами [10.1, 10.2]. Основная причина
рассмотрения ЛРП состоит в том, что эти последовательности могут
быть использованы для формирования импульсных, групповых им-
пульсных и непрерывных зондирующих сигналов с подходящими
корреляционными свойствами.
Линейной рекуррентной последовательностью называется после-
довательность символов
[s^] == Sj, Sq, S3, ..., Sj, ...,
каждый из которых может принимать значения из области
G = (0, 1, ..., р — 1),
удовлетворяющая рекуррентному правилу
a0s/=a+a1s/_I4-...+a„s/_„=L(s/_I, ..., s/_„), (10.1)
причем а, £ G, а £ G и операции сложения и умножения производят-
ся по модулю р. Далее предполагается, что модуль р является простым
числом.
Соотношение (10.1) называется правилом кодирования, число
р — основанием последовательности, п — памятью последователь-
ности.
ЛРП удобно строить, задав произвольную «начальную» комби-
нацию из п символов
(sb - , sn)
и применяя затем правило кодирования (10.1).
Пример 1. Если р = 5, п — 2, Sj = Sj_x + 3s;_2, начальная ком-
бинация (0, 1), то ЛРП имеет вид 0, 1, 1, 4, 2, 4, 0, 2, 2, 3, 4, 3, 0,
4, 4, 1, 3, 1, 0, 3, 3, 2, 1, 2, 0, 1.
317
Пример 2. Если р = 2, п = 3, Sj = Sj^ + Sj_3, начальная комби-
нация (О, О, 1), то ЛРП имеет вид
О, 0, 1, 1, 1, О, 1, О, О, 1, ...
Пример 3. Если р = 13, п — 1, s} = s>—i + 1, начальная ком-
бинация (0), то ЛРП имеет вид
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 0.
В дальнейшем основное внимание уделяется частному случаю
(10.1) а = 0.
Соотношение (10.1) можно записать в матричном виде. Если
Sk + «— 1
— вектор-столбец, характеризующий состояние, в
котором последовательность находится на k-м шаге
и определена «производящая» матрица
то
s*+i =Ash = Aks1.
(10.3)
Пример 4. В условиях примера 2
'1,0, 1 "
1, 0, 0
.0, 1, 0 _
Рассмотрим некоторые свойства ЛРП.
ЛРП является периодической последовательностью с периодом
N = р* — 1.
(Ю.4)
Действительно, имеется всего рп различных состояний последова-
тельности к;]. Состояние
" 0“
0= •
о
318
является особым, так как
Л* 0 = 0.
За исключением этого состояния, имеется всего рп — 1 возмож-
ностей. Если при построении последовательности пробегаются все
возможные состояния, то ЛРП имеет максимальный период. Последо-
вательности максимального периода называются максимальными ли-
нейными рекуррентными последовательностями (МЛРП).
В примерах 1 и 2 построены МЛРП с периодами N = 52 — 1 =
= 24, N = 23 — 1=7 соответственно.
При построении МЛРП могут быть использованы различные на-
чальные состояния. Если построена МЛРП, основанная на опреде-
ленном правиле кодирования и некотором начальном состоянии Si(l),.
то МЛРП, основанные на том же правиле кодирования, но начинаю»
щиеся с других состояний Sx(2), s1(3), можно, очевидно, получить сдви-
гами данной последовательности на некоторое число символов.
Пример 5. Если р = 5, п = 2, Sj = 2$;_х + Sj_2, то последова-
тельности, соответствующие различным начальным состояниям, по-
лучаются из исходной последовательности, соответствующей началь-
ному состоянию
’ 1 '
0 ’
сдвигом влево на один
: 1'
_ о
2]
1.
‘ 2'
2
’ О'
2
' 2'
_ 0
1 '
2
' 1 '
_ 1 .
Г 0]
два, ..., символа:
0,1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, ...
1,2, 2, 0, 2, 1, 1,0, 1,2, ...
2, 2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, ...
2, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, ...
0, 2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 2, ...
2, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 1, ...
1, 1, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, ...
1, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, 0, ...
319
Изучим структуру МЛРП более детально. Поскольку такая по-
следовательность состоит из р" — 1 различных состояний и так как
единственным запрещанным состоянием является 0, то период МЛРП
содержит одинаковое число символом 1, 2, 3, р — 1, равное рп~1
и р"-1 — 1 нулевых символов.
Так, в примере 1 максимальный период (5./^последовательности
содержит пять единиц, пять двоек, пять троек, пять четверок и четы-
ре нуля.
Пусть $ь ..., sn, (N — рп — 1) период [р, п] МЛРП с произволь-
ным начальным состоянием Разделим период на (р — 1) цугов сим-
волов длительностью
р —1 р —1
каждый и обозначим
S1,1“SP Sl,2~ S2> •" >
S2,l~SM+l’ • • •> S2,
.....................Sp— 1, M = SN‘
Рассмотрим матрицу порядка (p—1) x M:
si,i ’ ••• > si, м
(10.5)
- sp-i,p ’ Sp—l, M-
Любые две строки матрицы (10.5) пропорциональны, причем каж-
дая последующая строка получается из предыдущей умножением на
некоторый коэффициент k.
Действительно, при построении (р, ^-последовательности мак-
симального периода встречаются все состояния Sj и, следовательно,
встретится состояние ks^ Как только такое состояние появилось, мож-
но считать, что дальнейший ход последовательности управляется пра-
вилом кодирования с коэффициентами
kalt...,kan,
но начальное состояние равно sx и т. д. до тех пор, пока окажется, что
^=1, (10.6)
где q — число цугов. Из теории чисел известно, что q называется пе-
риодом k. Максимальный период равен р — 1 и число k, имеющее мак-
симальный период, называется первообразным корнем единицы моду-
ля р.
Таким образом, коэффициент пропорциональности k между со-
седними цугами является первообразным корнем единицы модуля р.
320
Пример 6. В примере 1 матрица (10.5) имеет вид
"0, 1,1,4,2,4"
0,2, 2,3,4,3
0,4,4, 1,3, 1
0, 3,3, 2, 1,2
Пример 7. В примере 5
[«/. /] =
0,1,2,2
0,2,1,1
k=2.
Из теории чисел известно [10, 3], что если найден хотя бы один
первообразный корень модуля р, klf то остальные первообразные кор-
ни могут быть найдены по формуле
где I — число взаимно простое ср — 1. Таким образом, общее число
первообразных корней равно <р(р—1)*>, где <р — функция Эйлера
в теории чисел. Для отыскания хоты бы одного первообразного корня
используется метод простого перебора. Первообразные корни несколь-
ких первых р приведены в табл. 10.1.
Таблица 10.1
р k <р(р-1)
3 2 1
5 2,3 2
7 3,5 2
11 2,6,7,8 4
13 2,6,7,11 4
МЛРП имеют примечательные корреляционные свойства.
Рассмотрим пары вида (s7-, s/+m), встречающиеся на перио-
де МЛРП. Пусть [sj, [s/^]—МЛРП с одним правилом кодиро-
вания и разными начальными состояниями sx, s/n+i, сдвинутые друг
относительно друга на т символов. Тогда
[Sj]± = [Sj] ± [s/+m] (mod р) (10.7)
является МЛРП с тем же правилом кодирования и начальным сос-
тоянием
Si (±) = $1 ± Sm+l-
*) Функция Эйлера <р(Л) равна количеству целых чисел, меньших h (вклю—
чая 1), взаимно простых с h.
Если а, р, у, ... —различные простые множители Л, то cp(/i) = h(\ — 1/а)Х
Х(1 - 1/Р) (1 - 1/?)' ...
и Здк. 210 321
Действительно, начиная с первого состояния,
s/*} = ах s/_1 +... + ап Sj-n ± (ах s/+m_ 1 +... + an s/+m-„) =
= a1(s(/±)) + ... + an (s^),
где =s;- ± s!+m.
Другое утверждение, ограничивающее состав пар (sj, Sj±m) фор-
мулируется следующим образом.
Пусть (sj, Sj4-m)—символы (р,п) МЛРП при п=^=1, т^О
(mod М = р 'j .
к р— 1 /
Тогда пары вида (0, 0) встречаются на периоде (рп~2—1) раз,
пары любого другого вида встречаются
рп~2 раза’. (10.8)
Пример 8. В условиях примера 1 пусть /п = 3. Тогда
[Sj]=O, 1,1,4, 2,4, 0,2, 2, 3,4,3,0,4,4, 1,3, 1,0,3, 3, 2, 1,2,
[s/+.3] =4,2,4,0,2, 2,3,4,3,0,4,4, 1,3, 1,0,3, 3, 2, 1,2, 0, 1, 1,
[s/* ] =4,3,0, 4,4,1,3,1, 0, 3,3,2,1,2,0,1, 1, 4, 2,4,0, 2, 2,3.
Число различных пар определено таблицей
s/+3 si
° 1 1 2 3 1 4
0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1
.3 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1
причем рп~2 = 1.
10.2. СПОСОБЫ ОТЫСКАНИЯ ПРАВИЛ
КОДИРОВАНИЯ МЛРП
Совокупность р элементов {az}, над которыми определены опе-
рации сложения и умножения, удовлетворяющие законам коммута-
тивности, ассоциативности и дистрибутивности, и операции, обратные
сложению и умножению, называются конечным полем.
Для целей построения МЛРП особое значение имеют следующие
поля:
а) поле целых чисел 0, 1, 2, р — 1, где р — простое число, обоз-
начаемое далее G(p). Операции сложения и умножения определены по
модулю р;
б) поле многочленов от А степени, не большей (п — 1), коэффи-
циенты которых являются элементами G(p)
P = aA+a*_i А-f-o^A*-1, k^n.. (10.9)
322
Это поле содержит Р — рп элементов. Операция сложения произво-
дится по правилам сложения полиномов, причем коэффициенты при
одинаковых степенях X складываются по модулю р. Операция умно-
жения определяется относительно некоторого основного полинома
т(Х), не разложимого на множители в данном поле; умножение про-
изводится по правилам полиномов, причем коэффициенты умножаются
и складываются по модулю р; произведением называется остаток от
деления результата умножения на т(Х). Это поле обозначается G(pn,
/п(Х)).
Пример 9. Пусть р — 3. Элементы 0, 1, 2 образуют конечное поле.
Полином /п(Х) = X2 + X + 2 не разложим на множители. Элементы
0о = О + ОХ, р1 = 1 + 0Х,р2 = 2 + 0Х,
₽3 = O-F-1X, ₽4=0+2Х, р5 = 1 + IX,
рв = 1 + 2Х, р7 = 2+ IX, р8 =2 + 2Х
образуют конечное поле G(9, Х24- Х-|-2). Вычислим, например, про-
изведение
R R _ (1+2Х) (2 + Х)
PeP?~ V+X+2
Х+ 1 =ps.
Символ X, участвующий в формировании конечного поля, может
быть квадратной матрицей Л. В частности, если характеристический
многочлен М(х) матрицы Л неразложим на множители, то элементы
В Л+ .• + «!А*-1
образуют конечное поле.
Пример 10. Пусть Л =
’2, 1
1, 0
р= 3,М(х) = (2—х)(—х)— 1 =х24-Х4-2.
Характеристический многочлен не разложим на множители и, следо-
вательно, элементы
Во = О./ + О-Л, В1 = 1 ./ + 0-А, В2 = 2-7+ОЛ, В3=0-7+1-Л,
В4 = 0/ + 2Л, В8=1 /+1Л, Вв = 1-7 + 2Л,
В7 = 2.7 + ЬЛ, В8=27+2Л
образуют конечное поле G(9, 7И(Л)).
Конечные поля имеют следующие важные свойства:
а) для любого Р =^= 0 существует t такое, что
7 = 1,2,... (10.10)
Наименьшее Т = t, для которого справедливо соотношение
(10.10), называется периодом элемента р. Период элемента зависит
от выбранного /п(Х);
б) период элемента является делителем р — 1. Если период ра-
вен р— 1, то р называется примитивным элементом поля. Степени
11* 323
примитивного элемента пробегают все элементы конечного поля, за
исключением нулевого;
в) число элементов с периодом Т равно <р(7’), где ср — функция
Эйлера. Если найден один элемент с периодом Т, то все остальные
получаются как степени данного, взаимно простые с Т;‘
г) выбором /п(Х) можно любой элемент поля 0 сделать имеющим
любой возможный период.
Пример 11. В условиях примера 10 рассмотрим степени элемен-
та X
Рз = Х, Рз = Х2 = 2Х+1 = Рв,
Рз = 2Х2 + Х = 2Х + 2 = р8, Рз = 2Х2 4-2Х = 2 = 02,
Рз=2Х = ₽1, р! = 2Л2 = Х + 2 = р7,
0з =Х2 + 2Х=Х+ 1 = р8.
Таким образом, период р3 равен 8 и р3 — примитивный элемент.
Другие примитивные элементы являются степенями р3 — взаимно
простыми с 8, т. е. р3, р3, р3, и равны соответственно 2% + 2, 2Х, X +
4- 1. Все остальные элементы имеют периоды, являющиеся делите-
лями 8. Так, элемент X + 2 имеет период Т = 4:
Р7=Х + 2, р? = Х2 + Х + 1, р73=2Х + 1=рв,
Р7=2Х2 + 2X4-2 = 1 = РР
Период 4 имеет также элемент 07 = 2Х 4~ 1. Элемент Р2 = 2 имеет
период Т = 2 и элемент рх = 1 — период Т = 1.
Теория конечных полей может быть следующим образом исполь-
зована для построения МЛРП [10.4, 10.5].
Пусть выбрано правило кодирования L и соответствующая про-
изводящая матрица А. Легко видеть, что характеристический поли-
ном А есть
М(х) = (—1)п(хп—а^х"-1 —а2хп~2—...—ап_\Х—ап). (10.11)
Действительно, раскрывая определитель
Дп=|Л-х/|
по последнему столбцу, получим
Dn = — xDn—i 4-( —1)"+1 ап Ал-1,
где Дп-1 — определитель квадратной матрицы (п — 1)-го порядка
1, —х
1, —х 0
0 1, —х '
1_
равной единице.
Поскольку Di — О] — х, то D2 = х2 — агх — а2 и т. д.
324
Если характеристический полином (10.11) не разложим на мно-
жители, то можно образовать конечное поле G(pn, М (Л)) матричных
полиномов от А степени, не большей п — 1. В этом поле элемент А
будет иметь некоторый период. В соответствии с (10.3), если Т — пе-
риод последовательности, то
Ат = 1.
Таким образом, период последовательности равен периоду, который
имеет элемент А в поле G(pn, М(А)). Все утверждения, связанные с пе-
риодом элемента А, переносятся теперь на период последовательности
[s,l.
В частности:
а) период Т ЛРП при п =/= 1 является делителем числа рп — 1;
б) период Т (р, п) ЛРП равен рп — 1, если «производящая» мат-
рица А является примитивным элементом в поле G(pn, Al(Л));
в) если найдена матрица Л с периодом Т, то матрица А1, где I —
взаимно простое с Т, также производит последовательность периода
Т. Всего таких матриц имеется ч>(Т).
Для того чтобы найти правило кодирования, соответствующее
матрице Л, можно построить характеристический полином Л и вос-
пользоваться (10.11). При этом оказывается, что для некоторых мат-
риц вида А1 характеристические полиномы совпадают. В теории ко-
нечных полей показано, что число различных характеристических
полиномов равно
(10.12)
п
Пример 12. В примере 10 элемент А =|д q имеет максималь-
ный период. Прэтому максимальные периоды имеют также элементы
с характеристическими полиномами
х2+х + 2 х24-2х+2, х2+2х + 2.
В соответствии с формулой <р(32 — 1)/2 = 2 имеется два разных ха-
рактеристических полинома, каждый из которых производит свою
МЛРП.
Изложенная теория не дает возможности найти хотя бы одно пра-
вило кодирования МЛРП. Если, однако, такое правило найдено, то
можно определить все остальные максимальные правила.
Из теории конечных полей следует, что характеристический по-
лином М(х) матрицы А, производящей МЛРП, неразложим на мно-
жители в поле G(p). Этот результат можно получить другим путем.
Пусть d — оператор сдвига на один символ так, что
dsy — Sj—i, dnSj — Sj—п
325
Правило кодирования (10.1) можно записать в виде
(and"4-... + aid—ao)s, = O. (10.13)
Полином
P(d)=andn+... 4-a/d + aJ, ao=p—а0 (10.14)
называется производящим полиномом (р, п) ЛРП.
Соотношение (10.13) можно записать в операторной форме
P(s)=0,
где Р — производящий полином; s — ЛРП; 0 — последовательность,
состоящая из нулей.
Пусть производящий полином разложим на множители
Pn=PhPi> n = k + l,
где Pt — полином вида (10.14) порядка i. Если Рк производит ЛРП s
Pk(s) = 0,
то Рп производит ту же последовательность
Pn(s)=Pz(Pfts)=0.
Поскольку периодер* — 1 < р" — 1, то полином, производящий
МЛРП, должен быть неразложим на множители. Условие неразло-
жимости производящего полинома является необходимым, но недоста-
точным условием максимальности периода.
Пример 13. Полином 5d2 + 6(р = 7) соответствует правилу ко-
дирования s} = 5s;_2 и неразложим на множители. Производимая
последовательность °
0, 1, 0, 5, 0, 4, 0, 6, 0, 2, 0, 3, 0, 1, ...
имеет период Т = 12 < 72 — 1 = 48.
Если два полинома P(d) и Q(d) связаны соотношениями
P(d)=gQ(d), <7 = 2,3...р— 1,
то они производят одинаковые последовательности.
Назовем полиномы вида
P(d)=andn+ ... +aj, Q(d) = bndn +...+b*0,
an = b*0, an-i=b1...... a*0 = bn
зеркальными.
Если построена последовательность максимального периода, про-
долженная в обе стороны от начального состояния
... , S—j , ... f $2’ • • • » • • • >
то последовательность
••• ••• f —2» ••• , S—у, •••
(10.15)
(10.16)
326
называется зеркальной к первой. Зеркальные полиномы производят
зеркальные последовательности.
Таким образом, если правило кодирования L производит МЛРП
и характеристический и производящий полиномы имеют вид соответ-
ственно
Л4(х)=(—1)" {xn—a1xn-t — ...—an-iX—an},
P(d)=andn + ... + a1d— 1,
то полином Q(d) = M(d) производит МЛРП, «зеркальную исходной.
Поэтому при перечислении производящих полиномов можно вместо
них перечислять характеристические полиномы.
10.3. НЕКОТОРЫЕ МАКСИМАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА КОДИРОВАНИЯ
Класс ЛРП (р = 2, п — любое) изучен первоначально Хаффме-
ном [10.1]. Последовательности этого класса состоят из двоичных сим-
волов
0
1 '
Максимальный период N = 2Л — 1. Число различных максималь-
ных полиномов определяется табл. 10.2.
Таблица 10.2
п Ф(^)/м п <p(N)/rt
2 2 5 6
3 2 6 18
4 2 7 16
Максимальные правила кодирования сведены в табл. 10.3.
Обширные таблицы полиномов содержатся в [10.6], где приведены
результаты до п — 16 включительно.
Некоторые максимальные правила кодирования для р #= 2 при-
ведены в табл. 10.4.
Более полные таблицы приведены в работе Черча [10.7].
Рассмотрим правило кодирования вида
Sj = a1s!-1 + a2s/_2 (modp), (10.17)
которому соответствуют характеристический и производящий поли-
номы
M(x)^x2~a1x—a2=x2+iix + v.
p(d) = a?d2H-a1d—I.
327
Таблица 10.3
Символом * отмечены правила кодирования для сигналов с лучшими корреляцион-
ными свойствами. Для этих сигналов указаны начальные комбинации.
Число всех многочленов вида (10.18), соответствующих МЛРП,
равно
Можно утверждать, что для МЛРП этого класса коэффициент
v является первообразным корнем единицы модуля р. Число перво-
образных корней равно <р(р — 1). Каждому первообразному корню
соответствует одинаковое число характеристических полиномов
<р(р2 — 1)/2<р(р — 1).
Максимальный полином неразложим на множители. Найдем все
разложимые полиномы с коэффициентом v, равным одному из перво-
образных корней, следующим образом:
X2 + Нразл X 4- V = (х + Сх) (х + с2) = X2 4- (Сх + С2) X + СХ С2,
Нразл—с1 + с2> V—CXC2.
Поскольку
рой степенью
v— первообразный корень, сх является его некото-
Cy—Vn, c^=vP~n,
??8
Таблица 10.4
р п ав а3 а2 ах * а0 ф(А/)/м Начальная комбинация
3 3 26 2 0 1 2* 4 1 0 2
2 2 1 2
3 4 80 1 0 0 1 2 8
1 0 0 2 2
1 1 1 2 2* 0 2 2 1
1 2 1 1 2
3 5 242 2 0 0 0 1 2 24
2 0 0 1 2 2
2 0 2 0 2 2
2 0 2 1 0 2
2 0 2 1 1 2* 2 0 0 1 1
2 0 1 1 2 2
2 2 0 0 1 2
2 2 0 2 2 2
2 2 2 2 1 2
2 2 2 1 2 2
2 1 0 1 1 2
5 2 24 2 2 4* 4 3 1
3 1 4* 1 1
5 3 124 2 0 1 4 20
3 0 4 4
2 0 3 4
3 0 2 4
3 3 3 4
3 3 2 4
3 1 3 4* 3 4 0
3 1 1 4
2 1 2 4
3 4 1 4 8
7 2 48 2 2 6
2 4 6
4 1 6
2 3 6* 5 6
7 3 342 3 0 2 6 36
3 0 1 6
3 0 4 6
3 3 3 6
5 5 3 6
3 3 1 6
5 5 4 6
5 3 5 6
3 6 4 6 10 5
5 3 2 6
5 1 1 6
3 2 1 6
3 2 4 6
3 5 2 6
5 6 1 6
5 4 1 6
3 1 1 6
Символом ♦ отмечены правила кодирований для сигналов с лучшими корреляцион-
ными свойствами. Для этих сигналов указаны начальные комбинации.
329
Если п пробегает все значения от 1 до р — 1, сг заполняет весь
модуль р и находятся все коэффициенты
Нразл=С1+с2='?Г' + '’₽-П-
Все остальные числа р из модуля р будут коэффициентами не-
разложимых полиномов с заданным v, соответствующих последова-
тельностям максимального периода.
Если известны все характеристические полиномы, соответствую-
щие первообразному корню, т. е. полиномы с разными р, но одним v,
то можно получить все другие полиномы, соответствующие другим
первообразным корням.
Если полином x2 + px + v максимальный, то полином х2 + (р—р)+
4-v также максимальный. Среди максимальных полиномов с ко-
эффициентами vx и v2 «найдутся пары:
x2 + p1x + v2, Х2 + (р —рх)х+ vx,
x2+p2x + v2, х2 + (р —p2)x+v2
такие, что
Hl (Р~ Р1)2_У1
Нг (Р—Pa)2 Уа ’
Из этого следует, что если известен максимальный полином х2 + рхх +
4- vx, то находится максимальный полином х2 + (р — рх)х + vx и
еще пара максимальных полиномов для каждого заданного v2.
Таким образом, максимальные правила кодирования
Sj = (p—p)s/_i + (p—v)s/_2 (10.19)
могут быть найдены с помощью следующих методов.
Выбирается коэффициент v, равный одному из первообразных кор-
ней единицы модуля р, и находятся максимальные р. Соотношение
Щ = ± У^2/ух рх (10.20)
позволяет найти все другие максимальные правила кодирования.
Пример 14. Пусть р = 31 и известен первообразный корень 17.
Остальные первообразные корни являются степенью данного с пока-
зателем, взаимно простым ср — 1 = 30 и равны
17’= 12; 17и = 22; 17i»=3; 17^=21; 17i® =24; 1723 = 13; 1729 = 11.
Пусть известны все коэффициенты р максимальных полиномов
с v = 17 общим числом ф(312 — 1)/2<р(30) = 16
1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 11, 20, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30.
Теперь по формуле (10.20) при v = 17 можно найти все другие р,
соответствующие другим v =j= vx.
Результаты вычисления максимальных правил кодирования
(10.19) сведены в табл. 10.5.
330
Таблица 10.5
р = 5 V LL 2 1,4 3 2,3 V 3 5 р = 7 И 1,2,5,6 2,3,4,5
р=11 р= 13
V |Л v Н
2 4,5,6,7 2 1,4,6,7, 9,12
6 2,3,8,9 6 2,3,4,9,10,11
7 1,4,7,10 7 2,3,6,7,10,11
8 1,3,8,10 11 4,5,6,7,8,9
р«17 р= 19
V р V р
3 1,6,7,10,11,16 2 1,4,7,8,11,12,15,18
5 3,5,8,9,12,14 3 1,7,8,9,10,11,12,18
6 2,6,8,9,11,15 10 2,4,6,9,10,13,15,17
7 1,4,5,12,13,16 13 3,4,6,9,10,13,15,16
10 1,3,4,13,14,16 14 1,6,7,8,11,12,13,18
11 2,7,8,9,10,15 15 4,5,6,9,10,13,14,15
12 2,3,5,12,14,15
14 4,6,7,10,11,13
р = 23 р = 29
V |Л v р
5 2,4,5,8,15,18,19,21 2 5,7,11,14,15,18,22,24
7 1,2,4,9,14,19,21,22 3 1,2,9,14,15,20,27,28
10 2,3,6,10,13,17,20,21 8 1,7,10,14,15,19,22,28
11 3,7,8,9,14,15,16,20 10 3,5,9,10,19,20,24,26
14 1,3,5,10,13,18,20,22 11 6,9,10,11,18,19,20,23
15 5,9,10,11,12,13,14,18 14 1,3,8,13,16,21,26,28
17 3,4,6,11,12,17,19,20 15 7,9,11,12,17,18,20,22
19 1,2,7,11,12,16,21,22 18 4,8,13,14,15,16,21,25
20 4,7,8,10,13,15,16,19 19 2,4,7,8,21,22,25,27
21 5,6,7,9,14,16,17,18 21 3,4,6,12,17,23,25,26
26 5,6,8,12,17,21,23,24
27 2,3,6,13,16,23,26,27
v р р = 31
3 2,5,6,7,8,10,14,15,16,17,21,23,24,25,26,29
11 2,3,4,5,6,9,11,15,16,20,22,25,26,27,28,29
12 1,3,4,10,11,12,14,15,16,17,19,20,21,27,28,30
13 1,4,6,8,9,10,12,13,18,19,21,22,23,25,27,30
17 1,2,3,6,7,8,9,11,20,22,23,24,25,28,29,30
21 2,5,7,8,11,12,13,15,16,18,19,20,23,24,26,29
22 1,4,5,7,9,10,14,15,16,17,21,22,24,26,27,30
24 1,3,4,5,7,8,12,13,18,19,23,24,26,27,28,30______________
р = 37
v р
2 4,5,8,10,11,13,15,17,18,19,20,22,24,26,27,29,32,33
5 1,5,7,9,10,12,15,16,18,19,21,22,25,27,28,30,32,36
13 1,3,9,11,12,13,16,17,18,19,20,21,24,25,26,28,34,36
15 1,2,3,5,6,11,13,15,18,19,22,24,26,31,32,34,35,36
17 3,4,5,6,7,9,10,12,14,23,25,27,28,30,31,32,33,34
18 2,4,7,8,12,13,14,15,17,20,22,23,24,25,29,30,33,35
19 2,4,5,9,10,11,12,13,16,21,24,25,26,27,28,32,33,35
331
Продолжение табл. 5
v р
20 1,2,5,7,10,13,14,17,18,19,20,23,24,27,30,32,35,36
22 1,3,4,6,7,8,12,16,18,19,21,25,29,30,31,33,34,36
24 2,3,4,6,8,9,15,17,18,19,20,22,28,29,31,33,34,35
32 2,3,5,6,7,14,15,16,17,20,21,22,23,30,31,32,34,35
35 3,4,7,8,9,11,13,14,16,21,23,24,26,28,29,30,33,34
р = 41
v р
6 3,11,12,13,17,20,21,24,28,29,30,38
7 2,4,5,9,17,20,21,24,32,36,37,39
11 3,4,10,16,18,20,21,23,25,31,37,38
12 1,2,10,12,16,18,23,25,29,31,39,40
13 2,5,8,9,10,19,22,31,32,33,36,39
15 4,6,13,14,17,19,22,24,27,28,35,37
17 7,9,11,12,13,19,22,28,29,30,32,34
19 3,7,8,12,13,15,26,28,29,33,34,38
22 6,10,12,14,15,19,22,26,27,29,31,35
24 1,6,7,15,17,19,22,24,26,34,35,40
26 3,5,6,7,11,13,28,30,34,35,36,38
28 1,4,7,8,10,18,23,31,33,34,37,40
29 2,8,9,15,18,20,21,23,26,32,33,39
30 2,5,8,14,16,20,21,25,27,33,36,39
34 1,4,5,11,16,18,23,25,30,36,37,40
35 6,11,14,15,16,17,24,25,26,27,30,35
Рассмотрим в заключение правила кодирования вида
Sj = p-|-vs/_ i, v^O (modp). (10.21)
Если начальное состояние равно $х, то
sft = р (1 + + v*-2) 4-v*-* 1 $!. (10.22)
Если на k-м шаге в первый раз повторяется начальное состояние и
v = 1, то (k — 1) = Т и рТ = 0, так что при любом р=/= 0 Т = р.
В случае р = 0 Sj — sj-! и период равен единице. Пусть v =/= 1. Усло-
вие периодичности имеет вид
1—V*-1
l-v
-L(l-v^) = S1(l-vO.
1 —V
(10.23)
Если =/= р/( 1 — v), то vr = 1 и Т является периодом числа. Отсю-
да следует, что Т может быть только делителем числа (р — 1) и мак-
симальный период равен р — 1 и достигается, если v — первообраз-
ный корень единицы модуля р.
Если р/(1 — v) = slt то получается особый случай. При этом
условии
так что период равен единице.
332
Таким образом, периодические свойства ЛРП с правилом коди-
рования (10.21) определяются табл. 10.6.
_____________________________________________Таблица 10.6
Правило кодирования Период
+ ++ II II | о оо о о <2 <2 4ММММ II II ь- о — о — — о со со + ^1 1 1 1 1 Р 1 Период числа v
Пример 15. Рассмотрим случай р = 5. Если, например, sj =
= 3 + sy-x.To [s^J = 0, 3, 1, 4, 2, 0; Т = р = 5(v = 1). Если sj =
= 1 +3s>_i (v = 3 — первообразный корень), то [sj] = 0, 1, 4, 3,
3, ...; Т = р — 1 =4. Если Sj = 1 + 3$;-!, sx = р/(1 —v) = 2, то
Is,] =2, 2, 2, ... ;Т= 1.
Последний случай табл. 10.6 при v, равном первообразному кор-
ню единицы, соответствует МЛРП. Период такой МЛРП содержит по
одному разу все символы, кроме символа р/(1 — v), который не встре-
чается ни разу. Всего таких МЛРП имеется (р — 1)<р(р — 1).
В случае v = 1, р #= 0 период последовательности содержит по
одному разу все символы и равен р.
10.4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СИГНАЛОВ,
ОСНОВАННЫХ НА МЛРП
Пусть
Si, s2..sN, N =рп-— 1
— период МЛРП. Дискретный сигнал
S = [ Si, s2, ..., »
основанный на МЛРП, формируется в соответствии с правилом
s9 =ехр ( —/-у = ехр(—-/ips?), ф = -^. (10.24)
В соответствии с (10.24) амплитуда колебаний на р-й позиции равна
1, а фаза колебаний равна — sq.
Возможные значения вектора sq представлены на рис. 10.1.
В частном случае р = 2 возможные значения фазы колебаний от-
личаются на л.
333
Рассмотрим совокупность векторов
б==ехр(/0), Т = ехр(рр),..., р— 1 =ехр [/(р— 1)ф], (10.25)
изображенную на рис. 10.1.
Существует соответствие между векторами (10.25) и элементом ко-
нечного поля G(p), состоящего из чисел 0, 1,..., р — 1, а именно:
а) если 7 = ехр (/ip/), то
7*=ехр(—/1р/) = ехр [Jip(p —/)] =р—1 = —7 (modp);
Рис. 10.1. Возможные значе-
ния вектора sq.
б) если / = exp(/ip/), k =ехр (jtyk), то
7 k = ехр [/ip (/ -f- 6)] — (/ -j- k) (mod р).
Таким образом, операция умножения векторов и операция ком-
плексного сопряжения эквивалентны операциям сложения по модулю
р и умножения на (—1) по модулю р, производимым над числами, из-
меряющими аргументы векторов в единицах ip.
Согласно определению циклической корреляции (9.26)
_ N________ N
Р? = 2 sl sl+N-q = 2 (sl — Sl+N-q)- (10.26)
В соответствии с соотношением (10.7)
Sj Sl+N—q —
является МЛРП, основанным на том же правиле кодирования, и, сле-
довательно, сумма (10.26) содержит р"-1 полных набора векторов 0,
1, ..., р — 1, за вычетом одного вектора 0, т. е.
р9= — 0 = —ехр(/0) = — 1. (10.27)
Этот результат получен в [10.2]. Аналогичное соотношение справедли-
во и для последнего случая табл. 10.6.
При N = q
Pn = N.
(10.28)
334
Боковые компоненты вектора циклической корреляции могут
быть сделаны равными нулю. Рассмотрим, например, случай [2, п]
МЛРП. В соответствии с (10.8) на периоде N — 2" — 1 пары вида (1,
0), (0, 1), (1, 1) встречаются 2п~2 раза, а пара (0, 0) встречается
2п~2 — 1 раз.
Предположим, что
- (ехр(/0),
S<7~ |ехр(/Ф),
Sq =0,
=== 1 •
(10.29)
Правая часть (10.26) теперь равна
2п~2 -j-2n~2 — 1-J-2"-2 [ехр (/Ф) -|-ехр(—/Ф)].
Если
С05ф=_1+_1_) (10.30)
то
Р<7 = 0-
Предположим теперь, что
la, sq = 0,
Sq~ j —ka, Sq= 1,
(10.31)
(10.32)
где величина а выбрана из условия нормировки
рл, = (2п~1 — 1)a2 -\-2п~1 k2a2 =N.
Если k удовлетворяет уравнению
2«-2 k2—2п~1 k + (2п~2 — 1) = 0, (10.33)
fc = l± —,
п~2
2 2
ТО
р9 = 0. (10.34)
Пример 16. (2, 3) МЛРП имеют вид ..., 1, 1, 1, 0, 0, 1,0, ... (N =
= 7). Если сигнал имеет вид
...,е'ф, е/ф,е/ф, 1,1,е/ф, 1,...,
cos Ф = —3/4,
то боковые компоненты равны нулю.
Если сигнал имеет вид
...,-(Ц-1//2),-(1 + V/2), - (1 1,1.-(1 + 7г) ’ 1
то боковые компоненты равны нулю.
335
Дискретный сигнал (10.24) может быть использован в импульс-
ном режиме работы, причем корреляционные функции таких сигналов
имеют приемлемые свойства, связанные с «псевдослучайным» харак-
тером зондирующего сигнала.
«Псевдослучайность» сигналов (10.24) проявляется в том, что
отдельные значения компонент и группы отдельных значений компо-
нент векторов сигналов встречаются почти одинаково часто. Так, от-
личные от единицы компоненты сигнала встречаются рп~1 раз, еди-
ничная компонента встречается рп~1 — 1 раз, почти одинаковое чис-
ло раз встречаются различные пары подряд стоящих компонент и т. д.
Пример 17. Если р = 2, и = 4, sj = sj_i — s;_4, то
[sj =0, 0,0,1,1, 1,1,0,1, 0,1,1, 0,0,1,... (N= 15).
Частота комбинаций определяется табл. 10.7.
Таблица 10.7
Комбинации символов Число комбинаций Комбинации символов Число комбинаций
0 7 0000 0
1 8 000 1 1
00 3 00 1 0 1
01 4 00 1 1 1
10 4 0 100 1
11 4 010 1 1
000 1 01 1 0 1
001 2 0 111 1
0 1 0 2 1000 1
0 1 1 2 1001 1
100 2 1010 1
101 2 1011 1
1 10 2 1 100 1
111 2 1110 1
110 1 1
1111 1
Таким образом, структура сигнала такова, что его приближенно
можно считать сформированным с помощью случайного механизма,
определяющего появление компоненты:
s9 = ехр (/i|>sg), sq = 0,1.р — 1
с вероятностью 1/р, причем случайные величины sf, Sj — незави-
симы. Боковые компоненты корреляционной функции этого сигнала
имеют нулевое среднее значение и дисперсию, пропорциональную
VN (9.35).
Закон «корня из ТУ» является, конечно, приближенным'.
336
Отметим также, что в соответствии с (9.28), (10.27)
rq-\-rN-q =р?= — 1, q = 1,...,N — 1, (10.35)
что накладывает ограничения на возможный уровень боковых ком-
понент, примыкающих к главной:
|7w_2\<з,... (10.36)
В качестве зондирующего сигнала может быть использован любой
период любой МЛРП с выбранными рип. Выбор лучших сигналов мо-
жет быть сделан на основе минимаксного критерия.
Предположим, что класс Cq состоит из Q jV-компонентных сиг-
налов, построенных в соответствии с каким-либо правилом, пронуме-
рованных в произвольном порядке
S^ = (s(%... ,s^r)), г =1.2,.., Й
и имеющих корреляционные векторы
для каждого из сигналов.
Пусть
r<r> = max {I г(!Г) |.1^-11)
— максимум из модулей боковых компонент.
Если
= {Г(’>.....Г<°)} ,
то вектор s(ft) называется минимаксным сигналом класса Cq. Таким
образом, минимаксный вектор s(ft) удовлетворяет условию
r(*> = minmax{|4r)|)> НО 37)
г=1,...,Й; <7=1,...Л—1. v ‘ ’
Величина гтт называется минимаксным уровнем.
В данном классе может быть несколько минимаксных векторов.
В случае МЛРП удобно считать класс Cq состоящим из сигналов
(10.24), соответствующих всем максимальным правилам кодирования
и всем возможным начальным комбинациям (s1( ..., sn) при выбранных
р и п, так что
Q=(pn-I)i(plz2). (10.38)
Результаты расчета минимаксных уровней и выбора минимаксных
сигналов для различных р и п приведены в табл. 10.8 и на рис. 10.2.
337
Таблица 10.6
р п N гтт Vn гтпг!^ l/VN
2 3 7 1 2,6 0,14 0,39
2 4 15 3 3,9 0,20 0,26
5 2 24 3,2 4,9 0,13
3 3 26 3,5 5,1 0,13
2 5 31 4 5,6 0,13 0,17
7 2 48 4,2 6,9 0,10
2 6 63 6 7,9 0,10 0,13
3 4 80 5,6 8,9 0,07
5 3 124 7,3 11,1 0,06
2 7 127 8 11,3 0,06 0,09
3 5 242 11,3 15,6 0,05
2 8 255 13 16,0 0,05 0,06
7 В 3 342 12,3 18,5 0,04 0,05
Табл. 10.8 уточняет «закон корня из N». В частности, из табл. 10.8
следует, что при увеличении N минимаксный уровень стремится
к У N и уже при N порядка сотен близок к УN.
Рис. 10.2. Корреляционные свойства импульсных сигналов, основанных на
(р, л) МЛРП.
Эффективность выбора минимаксных сигналов иллюстрируется
следующими данными. Для одного из правил кодирования (2.7) МРП
построены сигналы, соответствующие всем возможным начальным ком-
бинациям (sx, ..., s7) и найдены уровни
/-(г) =тах {| Иг) |,..., | rwli |}, г— 1,..., 127.
Распределение г<г> по ансамблю сигналов представлено на
рис. 10.3.
338
Наиболее вероятное значение равно 13, в то время как минимакс-
ный уровень для всех 127-компонентных сигналов равен 8.
В табл. 10.3 и 10.4 правила кодирования для минимаксных сиг-
налов помечены символом (*); там же указаны начальные комбинации
для минимаксных сигналов.
вероятность уровня
Рис. 10.3. Распределение максимальной боковой компоненты вектора корре-
ляции по ансамблю сигналов, j
Пример 18. В классе (2, 5) имеется три минимаксных сигнала.
Один из них вместе с модулем корреляционной функции имеет вид
~&q 1,1,-1, 1,1,1,-1,1, —1,1, —1, —1, —1,1,-1, —1,1,1,1,
— 1, —1, —1, —1, —1, 1,1, -1,-1,1,-1,
| г, 11, 0,1,4,1, 2,3,2, 3, 2,3, 0,4, 2, 3, 2,1,0,1, 2, 3, 2,1,2, 3,2, 3, 2,
1,0,31.
10.5. МЛРП И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СИМВОЛОВ
ЛЕЖАНДРА
Предположим, что каждому символу s;- МЛРП [sj ставится в соот-
ветствие символ
где
(10.39)
Последовательность [vj является периодической последователь-
ностью с периодом Q, меньшим или равным периоду N МЛРП.
Рассмотрим корреляционный вектор
Q
Xm(Q)= 2 иУи/+т,
i=i
(10.40)
339
Из соотношения (10.8) для (р #= 2, п 1) следует, что если
нулевой символ последовательности [s7-l заменить нулем, любые (р —
—1)/2 символов заменить +1, оставшиеся (р— 1)/2 символов заме-
нить —1, то
/ р"-1\
Хт(Л^) = О, modAf = ------- . (10.41)
\ Р— 1 /
Действительно, если ао = О, аь ... ,ap_i—элементы поля G(p),
то среди пар s,-, s/+m пары вида а( ctj (i 0, / 0) встречаются р"-2
раза. Поэтому
р—1
Хт(Ю = Рп~2 2 F(ai)F(aj)= 0-
i,i=i
Значения %m(N) при т = 0 (mod М) зависят от того, какие именно
(р — 1)/2 символов заменить на +1.
Пример 19. При р = 1, п = 2, Sj= 4s,_i + 2s;-_2, s1 = 0, s2= 1
последовательность [sj имеет вид
0, 1, 4, 4, 3, 6, 2, 6, 0, 5, 6, 6, 1, 2, 3, 2, 0, 4, 2, 2, 5, 3,1,3, 0,6, 3, 3, 4,1,
5,1,0,1,2,1,1, 6, 5, 4, 5, 0, 3, 5,‘5, 2, 4, 6, 4,... (N =48).
Возможные разбиения символов на группы и соответствующие
значения хто при т = М приведены ниже.
Возможные разбиения на группы
А Б в
1 2 5 1 2 6 1 3 4 1 4 6 1 5 6 +1 3 4 6 3 4 5 2 5 6 2 3 5 2 3 4 —1 1 2 3 1 3 5 1 4 5 +1 4 5 6 2 4 6 2 3 6 —1 1 2 4 +1 3 5 6 —1
Значения |Хт| (ЛО1
т 0 м 2М зм 4М 5М
А 42 14 14 14 14 14
Б 42 14 14 42 14 14
В 42 42 42 42 42 42
Предположим теперь, что
(10.42
340
где ( -| — символ Лежандра числа s, равный +1, если число $ явля-
ется квадратичным вычетом модуля р, и равный —1, если число s
является квадратичным невычетом модуля р*>.
Символ Лежандра нуля принимается равным нулю.
В соответствии с (10.6)
s i+M = kSj,
где k — первообразный корень единицы модуля р. Поскольку
Vj+M =
Таким образом, последовательность Vj распадается на (р — 1)/2
периодов, причем каждый период состоит из двух полупериодов, соот-
ветствующие символы которых отличаются только знаком. Подобная
структура последовательности [uj] приводит к следующим корреля-
ционным свойствам:
n 0, т Ф 0, mod М,
Xm(W) = V vjvl+m =. рп-Цр—Ц' т=0, mod2Af,
/-1 —Р"-1 (р—1). mod2M;
(10.44)
AM 0,
Xm (kM) = V V} vi+m = kpn-l,
/=1 —kpn~l,
т^О, mod М,
т = 0, mod2M,
/п+Л4=0, mod2M.
(10.45)
Пример 20. В условиях примера 19 квадратичными вычетами
являются 1, 2, 4 и невычетами 3, 5, 6. Последовательность символов
Лежандра соответствует замене В примера 19 и имеет вид
[О/]=0, 1, 1,1,-1, -1,1, —1,0,-1,_1,_1, 1,1,-1,1,0, 1,1,1, —1,
— 1, 1, —1,0, ....
М=^ = 8.
7—1
Легко убедиться непосредственной проверкой в справедливости
Рассмотрим теперь МЛРП с N = р, имеющие правило кодиро-
вания
S7-=p+S/_i (|Х =# 0). (10.46)
*) Число s называется квадратичным вычетом модуля р, если оно является
квадратом какого-либо из чисел 1, 2, , р — 1.
341
При ц = 1 (10.46) формирует натуральный ряд чисел, взятых по мо-
дулю р. Пэли и Плоткиным [10.8, 10.9] показано, что если
нулевой символ заменяется на +1 или —1 (безразлично) и k = 1,
2, 3, .... то
(—1, /п=#0, mod р,
1т (р) — vj vi+m — | /71 = 0, mod р. (10.47)
Этот результат справедлив для любого р, причем последователь-
ность [у,] имеет один вид.
Пример 21. Если р = 7 = 4-2—1, k = 2, Sj = p-|-s/_i,
то
[уД = 1,1, 1, —1, 1, —1, —1,1,1,1, —1,1, -1,-1,...,
%т=-1,-1,-1,-1,-1,-1,7,...
Последовательности Пэли—Плоткина обладают тем свойством,
что среди пар (у;, Vj+m) / = 1.р пары вида (1,1), (1, —1), (—1, 1)
встречаются k раз, пары вида (—1, —1) встречаются k — 1 раз.
Последовательности символов Лежандра могут быть использо-
ваны для формирования зондирующих сигналов в соответствии с пра-
вилом
0=0,
1 = 1ехр(/0), (Ю.48)
— 1 =Ьехр(/л),
так что в этом случае применяется амплитудная манипуляция (ампли-
туда 0 или 1) и фазовая манипуляция (фаза 0 или л).
При работе в непрерывном режиме циклическая корреляция оп-
ределяется соотношением (10.45)
0, т 0, mod,
рп~1, т =0, Р"-1
—Р"~1’ т +М = 0, moci2^—р,
р —1
либо соотношением (10.47)
( —1, т =7^0,
Pm =1 a niodp,
гт I р, т = 0,
(10.49)
(10.50)
если используются последовательности Пэли—Плоткина. В послед-
нем случае уровень боковых компонент можно сделать равным нулю,
выбрав соответствующий «раздвиг» фаз или коэффициент амплитудной
модуляции.
342
Сигналы Пэли—Плоткина можно использовать в импульсном ре-
жиме, выбрав для этого период, начинающийся в любой начальной
комбинации sx. При данном р имеется Q — р таких сигналов, обра-
зующих класс Са. Целесообразно применять минимаксные сигналы
классов Cq.
На рис. 10.4 представлены зависимость относительного мини-
максного уровня сигналов Пэли—Плоткина гтт1р от р, найденная
перебором с помощью ЦВМ. Для сравнения там же приведена зави-
симость l/^N. Исследованы значения р = 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67,
71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211,
223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, 307, 311, 331, 347, 359.
Рис. 10.4. Корреляционные свойства сигналов Пэли—Плоткина.
Рисунок 10.4 показывает, что сигналы Пэли—Плоткина имеют
приемлемые корреляционные свойства.
Рассмотрим теперь корреляционные свойства последовательно-
стей символов Лежандра, связанных с (р, 2) МЛРП.
Пусть [syl — (р, 2) МЛРП с периодом р2 — 1 и Vj — соответствую-
щая ей последовательность символов Лежандра с полупериодом
Р2 — 1 t 1 D л
р __ у = р + 1. В качестве сигнала целесообразно использовать
любой полупериод последовательности [и;].
Число различных полупериодов равно р + 1 и соответствующие
им сигналы имеют вид
==sx, s2,..., sjM_1, sM)
S<2>=s2,s3, ... ,sM,— sx. (10.51)
S<Af>=sAf, sb..., sM_2 sM_t,
Из соотношений (10.49), (9.28) следует, что боковые компоненты
вектора корреляции сигналов (10.51) удовлетворяют условию
-rJZ) + ^U=°. <7 = 1,-, М-1 (10.52)
343
и, таким образом,
ldlL,/=ci.
г"’
'М-2
Перечислим основные свойства сигналов (10.51):
а) число компонент сигнала М = р + 1,
б) среди М компонент только одна нулевая,
в) среди боковых компонент вектора корреляции /?<*> компонента
с номером является центральной. Остальные компоненты удов-
летворяют соотношению (10.52)
__ ,<о 1 о Р—1
ГР~Н । ; -ГР+1 ’ 1 -- 1, 2, ..., ,
2 2 2
(10.53)
г) множество векторов S<Z) разбивается на пары, такие, что ком-
поненты векторов корреляции сигналов одной пары S(Z1), S(Z2> удо-
влетворяют соотношению
r<z‘> =(—1)’г"г\ <7=1,..., М. (10.54)
Пример 22. Если n = 2, р=5, s; — sj—t + 3s/_2, (sx, s2) = (0, 1), то
[S;] =.... 0, 1, 1, 4, 2, 4, 0, 2, 2, 3, 4, 3, 0, 4, 4, 1, 3, 1, 0, 3, 3, 2, 1, 2,...
[v>] = 0, 1, 1, 1, —1, 1, 0, -1, — 1, —1, , 1, —1, 0,...
s<i) = 0, 1, 1, 1, —1, 1 /?(» = o, 1, o, 1, o, 5
S<2> = 1, 1, 1, —1, 1, 0 /?<2> = 0, 1, o, 1, o, 5
s<3> = 1, 1, —1, 1, 0, —1 7?<3)=- -1, —1, 2, —1, —1, 5
s<4> = 1, — 1, 1, 0, —1, — 1 £<4>=- -1, o, o, o, —1, 5
s<5> = —1, 1, 0, —1, —1, —1 R^ = 1, o, o, o, 1, 5
s<6) = 1, o, —1, —1, —1, 1 £Z6> = 1, —1, - -2, —1, 1, 5.
Легко проверить справедливость утверждений п. п. а, б, в, г.
Число различных последовательностей максимального периода
в соответствии с (10.12) равно <р(р2 — 1)/2. Каждой последовательно-
сти соответствует характеристический полином М(х) = х2 + рх +v,
причем v — первообразный корень единицы модуля р. Некоторые
максимальные р, однако, приводят к одинаковым последовательностям
символов Лежандра. Число различных сигналов данного класса опре-
деляется соотношением
Q = P-H Ф(Р2-1). (10 55)
8 <р(р- 1)
и приведено в табл. 10.9.
Таблица 10.9
р 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41
й 8 12 21 27 40 48 60 128 171 126
344
Минимаксные правила кодирования и начальные комбинации
вместе с относительным минимаксным уровнем представлены
в табл. 10.10.
Таблица 10.10
р sts2 гтт гтт!р
3 2,1 0,1 1 0,333
5 4,3 0,1 1 0,200
7 5,4 0,1 1 0,143
11 7,4 0,1 1 0,091
13 7,6 0,1 1 0,077
17 8,12 7,12 2 0,118
19 10,9 8,12 2 0,105
23 14,8 22,20 2 0,087
29 14,11 6,16 3 0,104
14,11 21,14 3 0,104
16,11 0,1 3 0,104*
16,11 и,о 3 0,104
16,11 28,24 3 0,104
31 6,28 5,2 3 0,097
6,28 24,5 3 0,097
37 17,19 3,28 3 0,081
41 21,34 37,17 3 0,073
41 21,34 29,2 3 0,073
Рис. 10.5 показывает, что сигналы рассматриваемого класса обнару-
живают выдающиеся корреляционные свойства.
Рис. 10.5. Корреляционные свойства сигналов, состоящих из символов Лежандра
(р, 2) МЛРП.
В частности, первая ветвь зависимости гтт1р при р = 3, 5, 7, 11,
13 ведет себя как Минимаксные сигналы этой ветви являются сиг-
345
налами Баркера. Таким образом, сигналы Баркера с нечетным числом
компонент принадлежат данному классу.
Отметим также сигнал (*) в табл. 10.10. Этот сигнал начинается
с нулевой компоненты, и фактически имеет р = 29 (а не р + 1) ком-
понент. Сигнал и его вектор корреляции имеют вид
S = l, —1, 1, 1, —1, —1, 1, —1, —1, 1, —1, 1, —1, 1, —1,
— 1, —1, —1, —1, —1, —1, 1, 1, 1, —1, —1, 1, 1, 1,
Я = 1, 0, 1, 0, 1, 0, —3, 0, 1, 0, —3, О, —3, О, —3, 0, —3, О, 1, ( '
0, —3, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 29.
В заключение данного раздела приведем некоторые сигналы дру-
гих классов (п У= 2) последовательностей символов Лежандра. Эти
сигналы являются минимаксными в классе, состоящем из нескольких
выбранных наугад правил кодирования табл. 10.4 при некоторых
р и п.
Например, для нескольких правил кодирования ^р = 5, /1 = 3,
53__1 52_1 \
М =-----= 31, число нулевых символов ----=6 максимальный
5—1 J 5—1 J
уровень rmm=2.
Минимаксный сигнал и вектор корреляции имеют вид
Sg —1, —1, —1, 0, 1, 1, —1, —1, —1, 0, 1, —1, I, 0, 1, 1, — 1
1, 0, 1, 0, 0, —1, 1, —1, —1, 1, 1, —1, 1, 1,
|г,| 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2
1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 25,
гтт/М =0,08.
10.6. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
ПО ЗАДАННЫМ КОРРЕЛЯЦИОННЫМ СВОЙСТВАМ
Рассмотрим основную систему уравнений, определяющую компо-
ненты вектора корреляции сигнала:
5 = ($,..., sN),
_ (10.57)
rQ~^lSlSN+l-q> q=i,...N,
ri = s1s*Nt
Г % ~ I ^2 Sjy,
(10.58)
rN—\ ~S1 S2 "Ь •" 1 SN ,
^W=S1S| + "• +SWStf-
346
Предположим, что компонента sq может находиться в одном из
р состояний
о1(..., ор (10.59)
и потребуем выполнения условий
|rg|<r, <7 = 1... N — 1. (10.60)
В этих условиях система (10.58) допускает решение методом под-
становки.
Предположим, что каким-либо образом найдено решение первых
(q — 1)-х неравенств (10.60)
Обозначим 5! = %!, ... S^=l/1. ... 7 7 II t Q? । (10.61)
z?2 sz s*N+l_q <7-1 = 5 = Fq— 1 • /=2 (10.62)
Теперь g-е неравенство (10.60) имеет вид
\x1yq + Fq^l + z/iXj < г.
(10.63)
Поскольку xlt уь F„_t — известные величины и так как х„, уа
могут принимать только дискретные значения оь ..., ар, oj,..., ор,
неравенство (10.63) можно решить простым перебором. В общем
случае имеется несколько пар решений (хд, yq).
Таким образом, построен рекуррентный процесс «размножения»
решений. Этот процесс можно начать, задав начальные условия, удо-
влетворяющие неравенству
Pi| = Сг. (10.64)
Процесс «размножения» решений символически изображен на
рис. 10.6. Здесь запись
Хд Уд
символизирует одно из решений неравенства (10.63). Стрелки указы-
вают, какие именно предыдущие решения использовались для пост-
роения данного решения.
Используем другую систему записи для наглядного пояснения
алгоритма решения. В соответствии с (10.61) одно из возможных
решений первых (q—1)-х неравенств (10.60) можно записать в виде
X Xi X>2 Xg-X хч HO 651
Уч Vq-l Уч. У1 Y
347
Тогда Л?-! подсчитывается следующим образом: векторы X и V (10.65)
сдвигаются на один разряд и подсчитывается векторная сумма по^
разрядных произведений
Рис. 10.6. Процесс «размножения» решений.
Предположим, что при помощи описанной процедуры построены
все возможные решения первых s неравенств
q<s
(10.67)
и пара векторов X = (хъ ..., xs), ¥ = (уъ ...,ys) представляет любое
из этих решений.
Вектор S размерности N s + 1, боковые компоненты корреля-
ции которого удовлетворяют условию (10.67), должен иметь пер-
вые s компонент, совпадающими с xz:
S/ = Х;, 1=1,..., s
и последние s компонент, совпадающими с у}
sN-i—\~y*' 1 = 1,..., s.
348
Если < 2s — 1, то для того чтобы пару X, Y можно было ис-
пользовать для образования S компоненты X и Y должны быть свя-
заны дополнительным условием
* *
= =Z/s-(2s-^4-l,
XS_1 =y^_s+2, (10.68)
XJV-s+l — XS-(2S-W)+1 yS,
содержащим N — s связей.
При выполнении условий (10.68) вектор S можно записать в виде
S = (sj =Xj, ... , Ss=Xs, Ss-]-l=yN—s> Ss^-2 “ ••• , 8#~У1)‘
(10.69)
Если, в частности, условия (10.68) выполнены для N = s + 1,
т. е.
xs = yl,
Xs-1=^3, (10.70)
~ У s>
ТО
S = (xi = Si. Ss = xs, Ss+1 = у*) (10.71)
имеет боковые компоненты корреляции, удовлетворяющие условиям
(10.60) и главную компоненту
rs4-l =rN =S1 S1 +•" +Ss+lSs+l-
Проверка выполнимости условий (10.68) для компонент s-размер-
ных векторов X, Y при 2s — 1 N s + 1 с целью образования сиг-
налов S называется далее процессом «продолжения» решений.
TV-компонентный вектор S, найденный в процессе «продолжения»
решений, имеет произвольные боковые компоненты корреляции
rs+l’ •" ’ ГЫ-1
и необходим отбор векторов S, для которых
Ps+> I ...... |^-1|<Г-
Таким образом, процесс отыскания векторов S, удовлетворяющих
условиям (10.60), состоит в разумном комбинировании и выполнении
процессов «размножения» и «продолжения».
Описанный алгоритм решения задачи синтеза сигнала по задан-
ным корреляционным свойствам, по существу, является алгоритмом
«перебора возможностей». Этот перебор, однако, существенно сокра-
щен по сравнению с полным «перебором всех возможностей».
349
Пример 23. Пусть ох = 1, о2 = —1, г = 2 — начальные условия
= 1, у = 1 (другие начальные условия приводят к аналогичным
результатам). Соотношение (10.63) имеет вид
|yg+^-i +Х,|<2 (10.72)
и так как Fq_\ является целым числом, решения (10.72) можно пред-
ставить в виде табл. 10.11.
Таблица 10.11
F
Q—
Х<1,УЯ
-5
—4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
5
Решений нет
(1.1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1, -1), (-1,1)
(1, -1), (-1,1)
(-1, -1), (1, -
-1), (-1,1), (1,
-1), (-1,1), (1,
-1)
. . -1)
Решений нет
-1), (1, -1) (-1,1)
.......... 1)
1)
С помощью описанного выше алгоритма для данного случая на
ЦВМ произведен поиск сигналов с максимальным значением N = 32.
Лучший сигнал и его вектор корреляций имеют вид
S = l, 1, 1, 1, 1, 1, —1, 1, —1, —1, —1, 1, —1, 1, 1,
-1, —1, —1, 1, 1, —1,
R = l, 0, 1, 0, —1, —2, 1, —2, —1, 2, —1, —2, —1, (10.73)
0, —1, —2, 1, 0, 1, 2, 21,
М = 21.
Рассмотрим теперь результаты решения задачи синтеза для случая
Oi = 1, о2 = 0, о8 = —1, г = 1 при начальных условиях
Хх= 1, Х2 = 1, У1 = 1, 1/2 = 1,
%!= 1, х2 — 1, 1/1 = 1, 1/2 = 0,
хх= 1, х2 = 1, Di = l, 1/2=0,
Хх= 1, х2 — 0, 1/1 = 1, £/2=0.
Неравенство (10.63) решается с помощью табл. 10.12.
При использовании дополнительных ограничений на число нуле-
вых компонент сигнала показано, что сигналы с одной нулевой ком-
понентой и корреляционными векторами |rg| 1 существуют для
чисел N — 3, 4, 5, 6, 7, 8. Сигналы с двумя нулевыми компонентами
существуют для чисел N = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
350
Таблица 10.12
7-1
—4 Решений нет
—3 (1,1)
—2 (1,1), (1,0), (0,1)
—1 (0,0), (0,1), (1,0), (1, -1), (-1 ,1)
0 (0,0), (0, -1), (-1,0). (0,1), (1,0), (1, -1), (-1,1)
1 (0,0) (0, -1), (-1,0), (1, -1), (-1, 1)
2 (-1, -1), (0, -1), (-1,0)
3 (-1, -1)
4 Решений нет
Результаты синтеза сигналов сведены в табл. 10.13 и 10.14*> со-
ответственно.
Таблица 10.13
№ Сигналы с одной нулевой компонентой Корреляционные векторы
3 4 5 6 7 8 1, 0, 1 1, —1, 0, —1 1, 1, —1, 0, —1 1, 1, 1, о, —1, 1 1,-1, 1, 1, 0, —1, —1 1, 1, 1, о, 1, —1, —1, 1 1, 1, 1, -1, о, —1, 1, 1 1, о, 2 -1, 1,-1, з —1, —1, 0, 0, 4 1, 0, 0, 0, 1, 5 1, 0, 0, 1, 1, 0, 6 1, 0, —1, — 1, 1, 0, 1, 7 1, о, 1, —1, —1, 0, —1, 7
Пример 24. Рассмотренный алгоритм был использован для реше-
ния нескольких вариантов задачи синтеза многофазовых сигналов,
корреляционные вектора которых удовлетворяют условию
1,
9 = 1....
N— 1.
’ Ниже приведены примеры таких сигналов:
а) р = 3, ог-=ехр , sx = 0, s2 = l, s3=2
w s
4
5
7
9
0,0,2,0
2,1,2,0,0
0,1,1,2,1,1,0
0,2,2,1,2,1,2,2,0
0,0,0,2,1,0,1,2,0
*) Перечислены отдельные сигналы данных классов. Максимальное зна
чение N = 31.
35!
ЙКЛ Табл ица 10.14
Сигналы с двуми нулевыми компонентами Корреляционные вектора
4 1, 0, 0, 1 1, 0, 0, 2
5 1, 0, 1, 0,-1 —1, 0, 0, 0, 3
6 1,-1, 0,-1, 0, 1 1,—1,—1, 0,-1, 4
7 1,-1, 0,— 1,— 1, 0, 1 1,—1,—1,- -1, 0, 0, 5
8 1,-1, 0, 1, 0,- -1,—1,—1 —1, о, 0, 0, 0,-1, 1, 6
9 1,— 1,—1, 1, 0, 0,-1,—1,-1 —1, о, 1, 1, 0, 0,-1, 1, 7
ао 1,-1,— 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1 1, 0,—1,- -1, 1, 1, 1, 1, 1, 8
1,-1,—1, 1,-1,- -1,-1, о, 0, 1 1,—1,—1, 0,-1, 0, 1, 1, 0, 8
11 1,-1, 1 о, 1, 1, о, 1, 1, -1,-1 —1, 0,-1,- -1,-1, о, 0, 1, 1, 0, 9
1,—1,—1, 1, 0 1,-1,—1,-1, 0,-1 —1, 0,-1,- -1,-1, 1, о, 1,- -1,-1, 9
12 1,-1, 1,—1,—1, 0,—1,—1, 1, 1, 0,-1 —1, 1, о, 1, 0,—1,—1, о, 0,-1, —1 10
1, 1, 1, 1,-1, 0,-1, 1, 1, -1, о, 1 1, о, 1, 0, 0, 1, 1, о, 0,-1, 1 10
13 1, 1, 0,-1, 1, 1, 1,-1, 1, -1,-1, о,- -1 —1,—1,—1,_ -1,-1, 0,-1, о, 1, 0, 0, 0, 11
14 1, 0,-1, 1,-1, 1, о,—1,—1, 1, 1, 1, 1, 1 1 1, 1, о, 1, 0,—1,—1, 1,- -1,-1, о, 1, 1,12
1, 1, о, 1, 1, 1,-1,—1,-1, 1,-1, 1, 0,-1 —1,—1, 1,- -1, 1, 0,-1, 0,- -1, 0,-1, 1, 1,12
1,-1, 1,-1, 1, 1,-1, о, 1, 1, 1, 1, 0,-1 —1, 1, 0, 1, 0,-1, 1, 1, 1,-1, о, 1,—1,12
1,-1, 0,-1, 1, 1, 1, 1,-1, 1, 1,-1, о, 1 1,—1,—1, 1, 1, о, 1, о, 1, 0, 1,- -1,—1,12
1,-1, 1,-1, 1, 1,-1, о, 1, 0,—1,—1,- -1,-1 -1, 0,-1, 0, 0,^-1,—1, -1, 0, 0, 1, 1,—1,12
1,-1, 1,-1, о, 1, о,—1,—1, 1, 1, 1, 1, 1 1, о, 1, 0, 0,-1, 1,- -1, 0, 0,-1, 1, 1,12
15 1,-1,-1,-1, 1, .1, 1, 1, 1,- • -1, 1,-1, 0, 0,-1 —1,—1, 1, 0,-1, ' 0,-1, о, 1, 0,-1, 0, 0, 1,13
б) р = 4, oz=exphst.y
s1=0, s2 = 1, s3 = 2,
s4 = 3
N I S
4
5
7
11
13
1,3,0,0
0,3,2,3,0
0,3,2,3,2,3,0
0,1,2,1,2,3,2,1,2,1,0
0,3,2,1,0,1,0,1,0,1,2,3,0
в) p = 5, a. = exp [ js. , sx=0, s2 = l, s3 =2, s4 = 3, s5 =4
\ о /
N S
4 4,3,3,0
5 1,1,0,3,0
r) p — 6, oz=exp ( is. —), s1 = 0, s2 = l, s3 = 2, s4 = 3, s5=4
\ 6 /
N S
4
5
6
7
8
5,1,0,0
1,5,3,4,0
3,0,1,4,3,0
2,4,2,3,3,0,0
3,5,2,1,5,5,0,0
10.7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕКУРРЕНТНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
МЛРП имеют правила кодирования
где L — линейная форма от переменных S;_x.....s^_n. Последова-
тельности максимального периода с периодами рп и рп — 1 могут быть
сформированы с помощью нелинейных правил кодирования
Si=F(Si-l..... Si-n\
Рассмотрим последовательность состояний
sh = (sh..Sk+n^)^zk^(z<ik\..., z^), k = l, 2,... (10.74)
Компоненты векторов zk и Zk+i удовлетворяют условию
1 = 2,..., п. (10.75)
Соотношение (10.75) связывает два соседних состояния последо-
вательности [S;].
12 Зак. 213 353
Пусть р = 2 и Sj = {О и будем записывать состояние десятичным
числом, соответствующим двоичному числу:
..Л-
Условие (10.75) означает, что вслед за данным состоянием может
идти одно из двух возможных состояний с числами, отличающимися
на единицу.
Пример 25. Если п = 3, то возможные переходы имеют вид
6
(10.76]
В общем случае, если Uj — десятичное число, представляющее /-е
состояние, то
<0
mod 2 п
(10. 77)
Исходя из любого начального состояния и пользуясь правилом
перехода (10.77), можно строить «дерево» последовательностей состоя-
ний. При этом каждое состояние должно появиться на периоде только
один раз.
Пример 26. При п = 3, их = 0 «дерево» последовательностей
состояний имеет вид (рис. 10.7). Из рис. 10.7 видно, что имеется две
последовательности периода 23 = 8 и соответственно две последова-
тельности периода 23 — 1 =7, получающиеся из первых «выкиды-
ванием» состояния 0:
0, 1,
1,
0, 1,
1,
2,
2,
3,
3,
5, 3,
5, 3,
7, 6,
7, 6,
7,
7,
5,
5,
6,
6,
2,
2,
4
4,
4,
4,
0, 0,
0,
0, 0,
0,
0, 1,
0, 1,
0, 1,
0, 1,
0, 1,
0, 1,
1, 1,
1, 1,
1, 1
1, 1
0, 1.
0, 1
(10.78)
Последовательности (10.78) являются зеркальными и совпадают
с (2, 3) МЛРП.
В случае п = 4 имеется 8 различных максимальных последова-
тельностей периода 24 = 16 (24 — 1 = 15):
354
1 О, О, О, 1, 1, 1, 1, О, 1, О, 1, 1, О, О, 1
2 О, О, О, 1, 1, 1, 1, О, 1, 1, О, О, 1, О, 1
3 О, О, О, 1, О, О, 1, 1, 1, 1, О, 1, О, 1, 1
4 О, О, О, 1, О, 1, О, О, 1, 1, 1, 1, О, 1, 1
5 О, О, О, 1, О, 1, 1, О, О, 1, 1, 1, 1, О, 1 (10-79)
6 О, О, О, 1, О, 1, 1, О, 1, О, О, 1, 1, 1, 1
7 О, О, О, 1, 1, 1, I, 1, 1, о, 1, О, О, 1, 1
8 О, О, О, 1, 1, О, 1, О, О, 1, О, 1, 1, 1, 1
Рис. 10.7. «Дерево» последовательностей состояний.
Циклические корреляции этих последовательностей имеют вид:
1 —1, —1, —1, —1, —1, —1, —1, —1, —1, —1, —1, —1, —1, 15
2 ‘ —1, —1, —1, —1, —1, 3, —5, —5, 3, —1, —1, —1, —1, 15
3 —1, —1, —1, —1, 3, —5, —1, —1, —5, 3, —1, —1, —1, 15
4 —1, —1, —1, —1, 3, —1, —5, —5, —1, 3, —1, —1, —1, 15
5 —1, —1, —1, —1, —5, 3, —1, —1, 3, —5, —1, —1, —1, 15
6 —1, —1, —1, —9, —1, 3, 3, 3, 3, —1, —9, —1, —1, 15
7 —1, —1, —1, —1, —1, —5, 3, 3, —5, —1, —1, —1, —1, 15
8 —1, —1, —1, —9, 3, —1, 3, 3, —1, 3, —9, —1, —1, 15.
Боковые компоненты циклической корреляции симметричны
12*
355
Среди последовательностей (10.79) первая является (2,4) МЛРП,
остальные имеют нелинейные правила кодирования.
Одно из возможных представлений правила кодирования имеет
следующий общий вид:
п п п
5>=°о+ 2 +//-/. + 2 2 +./2s/-Hs/-/.+
/1—1 /1—1 /2—1
+•••+22 ••• 2а, j sj_j , (io.8o)
причем суммирование производится по несовпадающим индексам
/1 /г • • • +1 /п>
так что в первой сумме содержится Сп = п слагаемых с коэффициен-
тами а}1; во второй Сп слагаемых, ..., в последней Ch — 1 слагаемых.
Общее число коэффициентов равно 2". Коэффициенты а принимают
значение 0 или 1 и суммирование производится по модулю 2.
Пример 27. Правила кодирования для пятой последовательности
(10.79) и соответствующей ей последовательности с периодом 16 имеют
вид
si = S7-2 + S/-4 + si-1 S/-3 + S/-2 S/-3 , (10 81)
S; = 1 + SH1 +s._3 +S/_4 +sS._2 +$Ь1 S._2 S;._3. 1
Правила (10.81) могут быть найдены следующим образом.
Используя (10.80) последовательно для рассматриваемых слу-
чаев, получим системы из 15 и 16 уравнений относительно 15 и 16 не-
известных, которыми являются коэффициенты а соотношения (10.80).
Решение систем приводит к (10.81).
Отметим в заключение, что сами последовательности и их цикли-
ческие корреляции имеют вид
о, о, о, 1, о, 1, 1, о, о, 1, 1, 1, 1, о, 1, —1, —1, —1, —1, —5, з,
—1, -1, 3, —5, -1, —1, —1, —1, 15,
О, О, О, О, 1, О, 1, 1, О, О, 1, 1, 1, 1, О, 1, О, О, О, О, —4, О, —4, 0,
О, —4, 0, —4, 0, 0, 0, 16.
10.8. СИНТЕЗ СИГНАЛОВ
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ
Предположим, что S = (sb ..., sn) — вектор сигнала, каждая
компонента которого является действительным числом, и — вектор
корреляции сигнала
ч
= 2^ s/sjv+/_9, <7 = 1» •••» N,
имеющий действительные компоненты.
356
Зондирующий сигнал с действительными компонентами является
амплитудно-фазо-манипулированным, причем допускается манипуля-
ция фазы с двумя состояниями 0, л.
Обозначим
г = тах {|гх|,..., I rN_{ |),
II (10.82)
s = max { |sx|,..., |sN|}.'
Зондирующий сигнал должен удовлетворять следующим усло-
виям:
и=т;<<1' (10-83)
которые означают требования малости боковых лепестков корреля-
ционной функции и возможно лучшее использование передающего
устройства.
Рассмотрим здесь возможности синтеза сигналов, удовлетворяю-
щих условиям:
SN=r>
sw-i+s2sw = 0> (10.84)
s2 + sas3 + ... +SJV—1 Sw = 8>
где, без потери общности, принято sx = 1.
?V = 3
83=Г, S2 + S2S3 = 0. (10.85)
Если s2 0, то s3 = — 1 и s2 принимает любое значение, так что
Sx = l, S2=p, 83 = —1,
Ц=—1— с 2+р2 (10-86)
Р 2 + р2 ’ Зшах2(1,р)"
Если, например, р = 2, то р. = 1/6, е = 1/2.
st=r, s3+s2s4 = O, s2 + s2s3 + s3s4 = 0. (10.87)
Если s2 Ф 0, то, взяв в качестве параметра s4 = р, легко опреде-
лить остальные компоненты вектора S. С этой целью необходимо под-
ставить решение второго уравнения (10.87) s3 = —ps2 в третье урав-
нение и найти s2. Тогда
sx = l, s2~l~~p , s3 = p2—1, s4=p. (10.88)
357
Зависимости р(р), е(Р) представлены На рис. 10.8.
?/ = 5
s5 = ''>
s4 + s2s5 = 0, (1089)
s3 + s2s4 + s3ss = 0,
S2 +S2 S3 + S3 S4 “FS4 S5“0*
Взяв в качестве параметра s5 = р последовательной подстановкой
s4 из второго уравнения в третье, s3 из третьего в четвертое, можно
Рис. 10.8. Относительный уровень боковых лепестков и коэффициент исполь-
зования передатчика для сигнала с действительными компонентами (W = 4).
получить квадратное уравнение относительно s2 и затем определить
s2, s3, s4, как функции р:
Si = l, s2 = ±-^±£;, s8 = — (1+p),
> -Р (10.90)
s4 = ±/zzp(l—р), s5 = p,
причем |р| =+ 1, s2 =/= 0. В случае р = —1, s2 = 0 сигналы имеют
плохие характеристики.
Зависимости р(р), е(р) представлены на рис. 10.9.
Интересен случай р = 1, при котором решение имеет вид
зг = 1, s2 = q, s3 = q2/2, si = —q, s5 = l. (10.91)
Пример 28. При q = 2 (10.91) приводит к сигналу 1, 2, 2, —2, 1,
вектор корреляции которого 1, 0, 0, 0, 14 (ц = 0,07; е = 0, 64).
Допуская ненулевые компоненты R, можно улучшить сигнал
S = (l, 1 +V2,1+/2, — 1— /2", 1),
/? = (1; 0; 1; 0; 19,5),
р=0,05, е=0,7.
Увеличение числа компонент N приводит к необходимости решать
уравнения высокого порядка. Например, при N = 6 возникает урав-
нение пятого порядка.
358
Введем дополнительные ограничения на компоненты сигнала:
sq = -^N(-^rN_4+l, <? = 1,..., N; |%„| = 1. (10.92)
При наличии (10.92) нетривиальные решения существуют только
для нечетных N = 7, 9, 11, причем
х7 ——1, х9 — 1, хи =— 1. (10.93)
Рис. 10.9. Относительный уровень боковых лепестков и коэффициент исполь-
зования передатчика для сигнала с 'действительными компонентами = 5)
Рассмотрим четные компоненты вектора корреляции
r2<? = Sl SN+l-2q + /=2 f SN+l-2q Sl + 2 S | SN4-(_2(j +
2? q
H-2q Sl— l+N~ 2 [Sl SN+l-2q + ( Sl SN+l—2?] =^’
N—нечетно. (10.94)
Здесь при написании второго равенства использовано соотноше-
ние (10.92); при написании третьего равенства сделана замена
N + l — 2q=k.
Таким образом, число уравнений системы (10.84) сокращается
почти вдвое.
Ж-7
С учетом (10.94) система (10.84) имеет вид
— 2s3-f-S2=0, 2s3 + 2s2s4—8з = 0. (10.95)
Взяв в качестве параметра s2 = р и подставляя s3 из первого урав-
нения (10.95) во второе, получим решение
Si = —S7 = 1, S2=SB=p, S» = —Sr, = p3/2,
S. = 1/2(-P + p./4). <10-96>
359
Зависимости р(р), е(р) представлены на рис. 10.10.
Пример 29. Если р = 2, то сигнал имеет вид 1, 2,2, 0, —2,2, —1
(р = 0,0555; 8 = 0,65).
Если р = 4, то сигнал имеет вид 1, 4, 8, 6, —8, 4, —1 (р = 0,005;
в = 0,43).
Допуская ненулевые компоненты, получим
S = (l, 1+V2~, 1+/Т, 0, — 1— J/T, 1+/2". —О,
/? = (—!, 0, 1, 0, —1, 0, 25) (р = 0,04, е=0,6).
jV = 9
2s3—s2 =0,
2s5—2s2s4+si=0, (10.97)
2s3 “j- 2sa s4 -J- 2s3 s5— S4 = 0.
Рис. 10.10. Относительный уровень боковых лепестков и коэффициент исполь-
зования передатчика для сигнала с действительными компонентами (N = 7).
(10.98)
Взяв в качестве параметра р = sa последовательной подстановкой
s3 из первого уравнения во второе, s5 из второго в третье, можно полу-
чить квадратное уравнение относительно s4.
Решение имеет вид
s1 = s9 = l, s2 = — ss=p, s3 = s7 = p2/2,
s4 = — se = X(p), s5 = pX(p)—p*/3,
где X(p) = X1>2(p) = —P— [p2(/2 ± 1) ± (2 |/2”± 4)]. (10.99)
2/2
Лучшие сигналы получаются, если использовать второй корень
(10.99). Зависимости р(р) и 8(р) для этого случая представлены на
рис. 10.11.
Пример 30. При р = 4 сигнал имеет вид
1; 4; 8; 7,6; —1,6; —7,6; 8; —4,1 (р = 0,003; 8 = 0,48).
360
Допуская ненулевые компоненты, найдем сигнал 1, 4, 8, 8, —1,
—8, —8, —4, 1, имеющий вектор корреляции 1, 0, 0, 0, —2, О, О, О,
291 (р = 0,0145; е = 0,5).
7V=11
--2S3 §2 - О,
—2s5 + 2s2s4— 8з = 0,
2s3 + 2s2 se—2s3 s5 + = 0,
2s3 j 2s2 s4 I 2s3 -f- 2s4 Sg ss == 0.
(10.100)
Рис. 10.11. Относительный уровень боковых лепестков и коэффициент исполь-
зования передатчика для сигнала с действительными компонентами (N = 9).
Положив s2 = р, последовательной подстановкой s3 во второе,
s5 — в третье и s6 — в четвертое уравнения, можно получить кубиче-
ское уравнение относительно х = s4
х3 + 2рха—ра(2 + - Ра +-р4>)х— р3( 1—------рЛ =0. (10.101)
\ 4 8 / \ 8 64 /
Решение системы (10.100) связано с корнями х = х123(р) урав-
нения (10.101) соотношениями
р2 i \
Sz=P, s3 = y> s4=x(p),
р4 р3 рб / р2 \ X2 (р)
86=рх(р)--se = -g — -g- + х(р)[т — 1)-----2У • (10-102)
В нужном интервале значений р уравнение (10.101) имеет три
действительных различных корня и соответственно необходимо рас-
сматривать три решения (10.102).
Ниже приведены результаты в трех случаях:
а) если р = 1, то сигнал имеет вид
1; 1; —0,5; —3; 0; —3; 15; 3; 0; 3; 15; 3; 0; —0,5; 1; —1 (ц = 0,02;
е = 0,47).
361
Небольшие изменения приводят к сигналу
1; 1; 0,5; —3; —3; —3; 3; —3; —0,5; 1; —1, имеющему корреляцию
—1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 50 (ц = 0,02; е = 0,5);
б) при р = 1,2 сигналы имеют вид
1; 1; 0,5; 1,5; 1,4; 1,8; —1,4; 1,5; —0,5; 1; —1 (р, = 0,06; е = 0,45),
1; 2; 2; 4; 6; —1; —6; 4; —2; 2; —1 (р = 0,01; е = 0,30);
в) зависимости р(р), е(р) представлены на рис. 10.12.
Рис. 10.12. Относительный уровень боковых лепестков и коэффициент исполь-
зования передатчика для сигнала с действительными компонентами (N = 11).
Если при р = 4 допускать ненулевые компоненты корреляции,
то можно найти сигнал
1,4, 8, 8, 1, —6, —1, 8, —8, 4, —1, имеющий корреляцию
—1, 0, 0, 0, —2, 0, 2, 0, —1, 0, 330 (р = 0,0015; 8 = 0,45).
В случае N = 13 (%13 = 1) получается уравнение пятого порядка,
коэффициенты которого зависят от параметра.
10.9. ГРУППОВЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИГНАЛЫ
Рассмотрим групповые импульсные сигналы, состоящие из N
Аппозиционных импульсов
S<') = (si°..Sn1))- (10.103)
Два вектора S(k> hS<z> называются ортогональными, если их ска-
лярное произведение равно нулю
W N _
s(*)S<')’ = S(*)*S<z)= 2 s^sP*= 2 s/ft)*sp=o. (10.104)
Матрица, состоящая из комплексных элементов порядка N X N,
называется обобщенной матрицей Адамара, если любые ее две строки
ортогональны*).
*) Любые два столбца обобщенной матрицы Адамара также ортогональны.
362
Пусть
.в»]
— обобщенная матрица Адамара.
Если групповой сигнал построен по одному из двух правил
5<‘>=Дг-; (10.105)
то компоненты вектора корреляции Г [соотношение (9.29)] удовлет-
воряют соотношению
Т1 =Т2 = ... = Tjv-i =0. (10.106)
Действительно, пусть, например,
S<» = Bh ац=~з\п. (10.107)
Используя (9.29), найдем
N N N
Г, — У 7(/> — У У с</>* —
У N—p— 2i Гр — 2л 2л $1 Si+N—p —
/=1 г=1
N N
— JEj aij ai+N—p.ji p = l,...,N.
/=1 i=l
Изменяя порядок суммирования, получим
_ N / N \ N
УМ—р jZj I fyi ai+N—p, / ) ~ 2 Д/4-W—p = 0,
»=1'/=1 / » = 1
N=^p.
Задача построения группового импульсного сигнала, состоящего
из N Аппозиционных импульсов, сведена таким образом к задаче по-
строения обобщенной матрицы Адамара.
Рассмотрим способы построения обобщенной матрицы Адамара.
Предположим, что Ах = (аъ ..., а^) — вектор-строка и Л2. •••>
— циклические перестановки Лх:
Лг=(а,-,..., aN, aN+l,..., a,v+/_i) (mod N).
Легко видеть, что скалярное произведение
AhA*i = pN_4, q = l— k (modAQ, (10.108)
где Pg —компоненты циклической корреляции вектора Д.
Таким образом, если найден вектор, циклическая корреля-
ция которого имеет боковые компоненты, равные нулю, то этот
вектор вместе со своими циклическими перестановками образует
обобщенную матрицу Адамара.
363
Пример 31. Вектор 1, 1, —1, —1 имеет циклическую корреляцию
О, 0, 0, 4 и матрица
1, 1, —1, 1
1, —1, 1, 1
— 1, 1, 1, 1
1, 1, 1, —1
является матрицей Адамара.
На основании (10.108) в качестве строк матрицы Адамара можно
использовать циклические перестановки вектора (s1( ..., s#), соответ-
ствующего периоду (2, п) МЛРП (N = 2п — 1) или периоду последо-
вательности Пэли—Плоткина (N = р = 4к — 1), причем соответствие
между sq и sq должно быть установлено таким образом, чтобы боковые
компоненты вектора циклической корреляции равнялись нулю. Это
можно сделать, подбирая «раздвиг фаз» или вводя амплитудную мани-
пуляцию [см. (10.30), (10.33) для N = 2п — 1)].
Легко видеть также, что в качестве строк матрицы Адамара мож-
но использовать «циклические» перестановки полупериода последо-
вательности символов Лежандра, связанных с (р, п) МЛРП:
(10.109)
Ортогональность строк матрицы (10.109) следует из (10.45). Элементы
матрицы (10.109) являются троичными числами, принимающими зна-
чения — 1, 0, 1.
Пример 32. При р = 11, правиле кодирования s7- = 7sj-± -f-
+ 4s;_2 и начальном состоянии (0,1) МЛРП имеет вид
sq 0,1, 7,9,3, 2,4,3,4, 7, 10, 10......
vq 0,1, —1,1,1, —1,1,1,1,-1,— 1,— 1,....
Для построения обобщенной матрицы Адамара могут быть ис-
пользованы циклические перестановки периода (р, п) МЛРП (Т =
=Рп - 1).
С этой целью каждому символу периода последовательности ста-
вится в соответствие компонента сигнала
s? =ехр (/ipsQ), ф= —
р
и образуются циклические перестановки
Ci = ($х, ..., Sr),
(10.110)
Ст — (st> ••• > Sr—1)«
364
Обобщенная матрица Адамара имеет порядок N — Т — 1 и строится
следующим образом:
О, 0, 0, ..., О, О
О» Sj, Sj, ..., St—i St
О, Sg, Sg, ..., Sti Sj
(10.111)
0, St, slt ... , St—2, St—i
Действительно, из (10.108) и (10.27) следует, что
CkC' = — 1, k=£l,
Ak А/ Ci+i — 0, k-=£l, &#=1, 1^=1.
Кроме того,
AiA; = 0,
поскольку это скалярное произведение является суммой всех компо-
нент периода (р, п) МЛРП с добавлением одной компоненты 0.
В случае, если элементы матрицы А принимают значения +1,
—1 и строки матрицы ортогональны, матрица А называется матрицей
Адамара. Матрицы Адамара изучены во многих работах, в том числе
в основополагающей работе Пэли [10.8]. Обзор результатов для раз-
личных N дан в [10.10]. Пэли высказал предположение, что матрица
Адамара существует для всех N = 4k, k = 1, 2, ... Указанное
правило подтверждено до значений N 88.
Соотношение (10.111) при р = 2 указывает один из способов пост-
роения матрицы Адамара для N = 2п.
Пэли показал, что аналогичным образом, используя последова-
тельности Пэли—Плоткина, можно построить матрицы Адамара с N =
= 4k, р = 4k — 1, причем р — простое число.
Рассмотрим теперь групповые импульсные сигналы, состоящие
из двух М-позиционных импульсов [10.11].
В это», случае
VN-q= 41> + 42), q = l,...,N,
л'11 = = ....s«’).
rS” = s' sP' . S<” > Й21..........S').
Предположим, что
+ 1
— 1
s(i2} - ( +1
S/ 1-1
(10.112)
(10.113)
365
и потребуем
(10.114)
два вектора с двоичными компонентами (10.113), такие, что их векторы
корреляции удовлетворяют соотношению
-Mcv). ч=1.........я-1.
Тогда сигналы
B2N~ (^1’ • •• ’ ^N'
^2N ~ (^1’ • • • ’ ^N’ Cl> > Cn)
(10.115)
(10.116)
имеют корреляционные векторы, удовлетворяющие тому же соотно-
шению (10.115)
гЛВ2ы) = -^Ы’ <7=1,...,2^-1. (10.117)
Действительно,
rq (B2n) ~
Гд (C2Az) ~
N—q
blCN+l-q>
N—q N—q N—q
;2 ^N+l-q Cl ^N+l-q "i" ;2 cl CN+l-q =
= rABN) + 2 cibN+l_q+rq(cN)t
27V><7>#4-1,
N—q
blCN+l-q,
rq (Bn) ;2 ci bN+i_q + rq (CN) y
q^N,
2N^q^N + \.
Учитывая (10.115), получим
rq (B2n) ~
' N-q
2 blcN+l_q>
N-q
Cj b tr 11
1 N+l—qi
q^N,
— r(Cq2N)-
Поскольку при N = 2 существует пара сигналов:
В2 = (1,1), С2=(1,—1),
удовлетворяющая (10.115), применяя последовательно изложенный
способ, можно построить семейство пар сигналов с числом компонент
366
N = 2й, удовлетворяющих условию (10.115) и, следовательно, имею-
щих корреляционные свойства (10.114).
Пример 33. Пары сигналов имеют вид
(М), (1,-1);
(1,1,1,-1),(1,1,-1,1);
(1,1,1, —1,1,1, —1,1),(1,1,1,-1,-1,1,-1);
(1,1,1, —1,1,1, —1,1,1,1,1,-1, —1,-1,1,-1)
(1,1,1, —1,1,1, —1,1, —1, —1,-1,1,-1).
В работе [10.11] показано, что сигналы, удовлетворяющие усло-
виям (10.113), (10.114), могут существовать только при N, равных
2,4,8,10,16,18,20,26,32,34,36,40,50, (ЛГ^50). (10.118)
10.10. МНОГОФАЗОВЫЕ СИГНАЛЫ ФРЭНКА [10.12]
Естественный путь построения фазо-манипулированного импульс-
ного сигнала с фазовой манипуляцией на несколько уровней состоит
в передаче дискретными уровнями параболической зависимости
фазы от времени, свойственной ЛЧМ сигналам. Подобного рода сигна-
лы, построенные Фрэнком, имеют также хорошие циклические корреля-
ции.
Пусть р и т — взаимно простые целые числа и единица фазового
угла
ф=2лр//и. (10.119)
Значения фаз компонент сигнала, измеренные в единицах фазового
угла ф для сигналов Фрэнка, удобно изобразить в виде матрицы
’0, 0, 0, ... 0, 0
о, 1, 2, ... , (т—2), (tn — 1)
С = о, 2, 4, ... , 2(т—2), 2 (т— 1) . (10.120)
0, (т— 2), 2(/п—2),... , (т — 2)2, (т— 1) (т—2)
0. (т— 1), 2(m—1),... ., (т— 1) (т—2), (т — I)2
Элементы матрицы С взяты по модулю т.
Сигнал Фрэнка строится выписыванием строки за строкой матри-
цы (10.120) (sg = ехр(/фвд), число компонент N = /и2).
Пример 34. При т = 4
ГО 0 0 0”
г_ ° 1 2 3
0 2 0 2
0 3 2 1
367
и сигнал Фрэнка имеет вид
[sg] = 0,0,0,0,0,1,2,3,0,2,0,2,0,3,2,1,
И = 1,1,1,1,1,/,-1,- i,l,-1,1,-1,1,-j,-1,/,
TV = /zz2 = 16.
В работе [10.12] показано, что вектор циклической корреляции
сигнала Фрэнка имеет вид
(0, q^=trf = N,
р = 2 2 м (10.121)
9 \т\ q~m2-~N.
Рис. 10.13. Относительный уровень боковых лепестков для сигналов Фрэнка.
В качестве сигнала может быть использована любая циклическая
перестановка основного периода [матрица (10.120)]. Лучшие результа-
ты получаются, однако, при использовании основного состояния и при
р=1.
На рис. 10.13 приведена зависимость относительного уровня
максимальной по модулю боковой компоненты сигналов Фрэнка от
числа компонент N, заимствованная из [10.12].
Из рис. 10.13 следует, что сигналы Фрэнка имеют минимаксные
уровни, значительно лучшие, чем l/j/Af.
10.11. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ ФОРМИРОВАНИЯ
И ПРИЕМА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Многие дискретные сигналы, имеющие примечательные корре-
ляционные свойства, связаны с линейными рекуррентными (р, п) по-
следовательностями максимального периода [sy] или с последователь-
ностями символов
Лежандра
368
В обоих случаях наличие правила кодирования последовательно-
сти [sy] позволяет сформировать дискретный сигнал с помощью сдви-
гающего регистра, охваченного петлей обратной связи [10.5].
Пусть к;] ЛРП с правилом кодирования
Sy = a1s/_i -f-... 4-an Sj_n-
Рассмотрим работу устройства (рис. 10.14).
Устройство состоит из сдвигающего регистра, имеющего п разря-
дов, причем каждый разряд может находиться в одном из р состоя-
ний, умножителей на коэффициенты at по модулю р, сумматора по
Рис. 10.14. Формирование ЛРП с помощью сдвигающего регистра.
модулю р и цепи обратной связи. Устройство работает от внешних
запускающих импульсов, следующих с периодом, равным длительности
позиции А.
В каждом такте в разрядах регистра хранятся р-ичные числа;
s/_i —хранятся в первом разряде, ..., Sj_n — в n-м разряде. При
этом на выходе сумматора образовано число sj, определяемое правилом
кодирования.
При приходе очередного запускающего импульса происходит
сдвиг содержимого регистра на один разряд в направлении, указан-
ном на рис. 10.14. При этом в первый разряд записывается число s3,
хранившееся на выходе сумматора в предыдущем такте, во второй раз-
ряд записывается число Sy— j, хранившееся в первом разряде в преды-
дущем такте и т. д.
Начиная с первого такта, в регистре хранится последовательность
состояний
8п-|-1
$п—1
81
Если правило кодирования выбрано максимальным, то всего бу-
дет рп — 1 различных состояний. С n-го разряда регистра снимается
последовательность s1( s2, ...
Пример 35. Пусть р = 3, п = 2, sy = 2s/_i+s/-2-
369
Генератор последовательности 0, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, ... изображен па
рис. 10.15.
Прямое решение задачи формирования последовательности сим-
волов с периодом N потребовало бы применения устройства, имеюще-
го «память» N, например, линии задержки с максимальной задержкой
2VA. Сдвигающие регистры, охваченные петлей обратной связи, име-
ют память
п ~ logp N.
В ряде случаев необходимо формировать периодическую после-
довательность двоичных символов, не являющуюся ЛРП. Возможный
способ формирования таких последовательностей связан с использо-
ванием сдвигающего регистра, над раз-
рядами которого производятся логи-
ческие операции, нелинейные относи-
тельно содержимого разрядов. Эти
операции можно найти при помощи
правил булевой алгебры.
Рассмотрим совокупность Кп, со-
стоящую из N = 2п n-разрядных двоич-
ных кодов. Любое отображение
называется булевой функцией. Назовем
Выход
Рис. 10.15. Генератор после-
довательности с правилом ко-
дирования.
элементарными булевы функции, осуществляющие отображения /С2
в Ki и Ki в В алгебре высказываний доказывается, что любую
булеву функцию можно выразить через элементарные. Пользуясь
правилами булевой алгебры, можно придать такому представлению
различные формы.
Пусть у, xlf ..., хп—двоичные символы, могущие принимать
значения 0, 1, и F — некоторая булева функция, такая, что
y = F(x1,... ,хп).
Пусть введены элементарные булевы функции: сложение по мо-
дулю 2 (у= хг + х2)> определяемое соотношениями
0 + 0 = 0,
0+1 = 1,
1+0 = 1,
1 + 1=0;
(10.122а)
обычное умножение (у = xxx2)> определяемое соотношением
0.0=0,
0-1 = 0,
1.0=0, (10.1226)
1-1 = 1’
370
Тогда
у = F (хь ,xn) = a0+'Zajlxh+ 22 а к h xit х/г +... +
/1
...2 а. , х/...х. , (10.123)
где неизвестные коэффициенты ац, ... могут быть найдены.
Представление (10.123), в частности, использовано в разд. 10.7.
Высокочастотный зондирующий сигнал формируется с помощью
устройства рис. 10.16.
Рис. 10.16. Формирование зондирующего ФМ сигнала.
На вход коммутатора подаются сигналы sin (со/ + s/ф). Блок
коммутатора подключает к усилителю мощности колебание с фазой,
соответствующей значению символа Sj. Последовательность sj можно
представлять в виде последовательности стандартных импульсов,
квантованных по амплитуде на р уровней.
Для формирования импульсных и групповых импульсных сигналов
в некоторых случаях достаточно применить стробирование непрерыв-
ного сигнала в нужные интервалы времени.
Пример 36. Групповые импульсные сигналы (10.109) формиру-
ются следующим образом.
Пусть необходимо сформировать сигнал, состоящий из 4,4-компо-
нентных'импульсов:
(0,1 — 1, — 1), 0,0,0,0,0, (1, — 1, — 1,0), 0,0,0,0,0,
(-1,-1,0,-1), 0,0,0,0,0, (—1,0, —1,1).
Блок-схема формирования представлена на рис. 10.17.
Последовательности [s;], [иД расположены следующим об-
разом:
0„.1, 2, 2,0, 2,1,1,0,1, 2, 2,0, 2,1,1,0,1, 2, 2,0, 2,1,1,0,1, 2, 2,0, 2,1,1;
0,1, —1 , —1,0, —1 , 1 , 1,0, 1, —1 ,-1,0, —1, 1,1,0, 1,-1,—1,0, —1,1,1,0,1,-1, —1 0,-1,1,1;
1.1» 1. 1.0, 0,0,0,0,1, 1, 1,1, 0,0,0,0,0, 1, 1,1, 1,0,0,0,0, О, 1,1, 1,1,0;
371
Сдвигающий регистр формирует (3,2) МЛРП.
Преобразователь осуществляет операцию Vj —
В данном случае как исходная последовательность, так и последова-
тельность символов Лежандра v}—последовательности троичных
символов и поэтому в преобразователе нет необходимости.
Коммутатор пропускает к усилителю мощности колебание sin ®/,
если Vj = 1, —sin®/, если Vj = —1 и ничего не пропускает, если Vj =
= 0. Поэтому в данном случае, коммутатор осуществляет операцию
Vj sin ®/.
Сдвиг
Рис. 10.17. Формирование группового импульсного сигнала.
Селектор производит стробирование выхода коммутатора. Период
селектирующих импульсов равен (Q7V + 1)Д, где Q —целое чис-
ло (в данном примере Q = 2).
Если используется корреляционный приемник, то возникает за-
дача формирования опорных сигналов в каналах коррелятора.
В тех случаях, когда зондирующий сигнал связан с ЛРП, задер-
жанные опорные сигналы могут быть сформированы с помощью спе-
циальных приемов.
Пусть d — оператор сдвига последовательности на один символ и
рассмотрим оператор
i . D(c0,..., c„_i) = c0+c1’d+ ... -f-Cn-i dn~l, (10.124)
(0
где Ct = k
Последовательность
£>[s/] = [s/+m], l<m<N— 1
является последовательностью максимального периода, сдвинутой
относительно [s7] на некоторое число символов [см. (10.7)].
Имеется всего р2 — 1 = N различных операторов D, каждый из
которых соответствует некоторому т. Выбирая различные комбина-
ции с0, ..., с,,-!, можно получить все возможные сдвиги последов^-,
тельности kj].
372
С0'С1, С2
ао>а1
2 2
О 2
2 О
1 г
1 1
О 1
1 о
2 1
1,2,2,0,2,1,1,0
2,2,0,2,1,1,0,1
2,о,г,1.1,0.1, г
0,2,1,1,0.1,2,2
2,1,1,0,1,2,2,0
1,1t0,1,2,2,0.2
10,1,2,2,0,2,1
0,1,2,2 0,2,11
Рис. 10.19. Формирова-
ние опорных сигналов
коррелятора.
373
Если исходная последовательность сформирована при помощи
сдвигающего регистра, то операторы
d° = О0 = 0(1,0,... ,0),
di = ОХ = 0(0,1,..., 0),
(10.125)
dn-' = Dn_i = 0(0,0,... , 1)
легко реализуются. Для реализации DQ достаточно снимать последо-
вательность с n-го разряда регистра, ..., для реализации Dn_1 —
с первого разряда. Оператор Dq реализуется, таким образом, выбором
расположения «отвода» последовательности.
Любой оператор D определен соотношением
D = Dq с0 -j- Ci Di -j- ... + сп—1 Dn_ i
и реализуется поэтому как линейная комбинация «отводов» с раз-
рядов регистра.
Пример 37. Пусть р — 2, п = 3, s7- = Sj_ 2 + $/_3. Всевозмож-
ные задержки получаются с помощью устройства рис. 10.18.
Пример 38. Пусть р = 3, п = 2, N = 8, s7 = 2s + s7_2.
Задержанные последовательности формируются с помощью устройства
рис. 10.19. Таким образом, задержка последовательности осущест-
вляется с помощью логических операций над разрядами сдвигающего
регистра. Подобный принцип можно использовать и в случае нелиней-
ных правил кодирования (10.123).
Литература
10.1. Хаффмен Д. Синтез линейных цепей последовательного декоди-
ровани я. В сб. «Теория передачи сообщений». Изд-во иностранной литературы,
1957.
10.2. Ц и р л е р Н. Линейные рекуррентные последовательности. «Ки-
бернетический сборник», 1963, вып. 6.
10.3. С у ш к е в и ч А. К. Теория чисел. Изд-во Харьковского Универ-
ситета, 1956.
10.4. Э л с п а с. Теория линейных рекуррентных цепей. «Кибернетичес-
кий сборник», 1963, вып. 7.
10.5. F г i d 1 а п сГ В, S t е г п Т. Е. On Periodicity of States in Modu-
lar Sequential Circuits IRE Trans. I. T., 1959, № 3.
10.6. Петерсон У. Коды, исправляющие ошибки. Пер. с англ. Изд-
во «Мир», 1964.
10.7. Church R. Annals af Math., Second Series, v. 36, 1935, № 1.
10.8. P a 1 e u R. E. A. C. Ortogonal matrices. J. Tath. and Phys.,
1933, v. 3, № 12.
10.9. Плоткин M. Двоичные коды с заданным минимальным расстоя-
нием. «Кибернетический сборник», 1963, вып. 7.
10.10. Л е в е н ш т е й н. Применение теории матриц Адомара к одной за-
даче кодирования. «Проблемы кибернетики», 1961, № 5.
10.11. Go lay М. Complementary Series IRE Trans. I. T., 1961, №2.
10.12. Фрэнк P. Многофазовые коды с хорошими непериодическими
корреляционными свойствами. «Зарубежная радиоэлектроника», 1963, № 12.
10.13. Т и х о н о в В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Советс-
кое радио», 1966.
Глава 11
ПОДАВЛЕНИЕ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ
ПРИ НЕОПТИМАЛЬНОМ ПРИЕМЕ
11.1. ФИЛЬТРЫ ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ БОКОВЫХ
ЛЕПЕСТКОВ [11.1]
Оптимальные приемные устройства, выделяющие апостериорную
вероятность задержки и, вместе с тем, максимизирующие отношение
сигнал/шум в пике выходного сигнала, формируют на выходе корре-
ляционную функцию зондирующего сигнала. Дискретные сигналы
при сравнительно небольшом числе компонент и достаточно простой
форме (например, прямоугольная огибающая и фазовая манипуляция
на два уровня 0, л) имеют автокорреляционные функции с довольно
значительными боковыми лепестками. Для подавления боковых ле-
пестков следует использовать специальные (не согласованные) фильт-
ры, подобранные таким образом, чтобы выходной сигнал имел требуе-
мые боковые лепестки.
Подавление боковых лепестков сопровождается проигрышем
в отношении сигнал/шум в максимуме выходного сигнала по сравнению
с оптимальной величиной E/No.
В отличие от импульсов с линейной частотной модуляцией подав-
ление боковых лепестков дискретных сигналов не приводит к расши-
рению главного максимума. Вместо этого расширяется область боковых
лепестков выходного сигнала.
Фильтр, осуществляющий прием дискретного сигнала
S = ($i, ... , 5дг),
в общем случае имеет вид рис. 11.1.
Устройство состоит из идеальной линии задержки с максимальной
задержкой 0, большей длительности импульса Т. Линия имеет /С от-
водов, расположенных через длительность позиции А. Отвод с номером
q в общем случае имеет фазовращатель, поворачивающий фазу на
Фд, и аттенюатор, изменяющий амплитуду на коэффициент aq так, что
комплексный коэффициент передачи q-ro отвода
Л,= авехр(/<рд). (11.1)
Полезный эффект от использования неоптимальных фильтров по-
лучается, если максимальная задержка фильтра больше, чем длитель-
375
ность сигнала, т. е. если К > N. В этом случае компоненты вектора
выходного сигнала
А = (),....Км), Л1=А + К—1,
называемого далее вектором взаимной корреляции сигнала S и импуль
сного отклика Н, определены соотношениями
+ 1=41.
Si hl—/4-1 >
Z=1
N
2 Sihi-i+i,
1=1
N
2 si hi—i+i,
Z=l-H-K
Рис. 11.1. Приемник дискретных сигналов.
В частном случае согласованного фильтра
hj = SN-/+1,
_ i_________
X/ = 2 Si Sn—i+i — Гi,
i=\
(11.3)
/=!,... Л,
где rz — компоненты вектора корреляции сигнала.
Соотношения (11.2) в матричном виде записываются следующим
образом:
А=Я5,
где
%i
5л/
(П-4)
Л*.
376
Л1, h2, hi, . 0
• h2, Ai, . •
• •
н— • • * Af
• • • • • A2
• . . .
hK, ^K-l, . . . .
0, Ak-i, • • •
Для целей измерения задержки вектор Л должен иметь одну ком-
поненту, называемую главной, превосходящую по модулю все ос-
тальные компоненты, называемые боковыми.
Легко показать, что отношение сигнал/шум по мощности в пике
сигнала на выходе фильтра (рис. 11.1) имеет вид
2 _ В________I ^макс I I 2
Я — N N К
° 2 S/S* 2 hih]
(П-5)
где Е — энергия сигнала; No — мощность белого шума на единицу
полосы частот; |%макс| — модуль главной компоненты.
Целесообразно нормировать сигнал и фильтр. Удобная норми-
ровка сигнала имеет вид
N
^slS\=N. (11.6)
г = 1
Нормировка фильтра будет зависеть от используемого критерия
синтеза.
С учетом (11.6)
Р2 = -^-
Г E/No
I ^макс
(П-7)
к
Параметр р2 является одной из важных характеристик фильтра
и показывает, на сколько отличаются отношения сигнал/шум на выхо-
дах рассматриваемого и согласованного фильтров.
Выходные сигналы фильтра условимся характеризовать парамет-
рами
_ max (1^ | |)
Р
I ^макс I
- М______“11/2
2 i
(И.8)
v = —--------------,
I ^макс I
где выбор максимума и суммирование распространяются только на
боковые компоненты.
377
Параметры р и v характеризуют относительный уровень боко-
вых компонент вектора взаимной корреляции сигнала и фильтра.
Пример 1. Пусть S = (l, 1,-1) и Я = (1, —1, 2 -|-1,1). Матрица
Н имеет вид
1, О, О'
— 1, 1, О
2,-1, 1
1, 2,-1
1, 1, 2
О, 1, 1
О, 0, 1
— s4 — 1,
^2 = ^2 4“ S2 hl = О,
= si h3 4- s2 h2 4- s3 hx = 0,
A,4=Si/i44-s2 h3 4-s8 /i2=4,
h = Si hb 4- s2 ft4 4- s3 h3 = 0,
s2/i5 4"S3/i4 = 0,
Вектор взаимной корреляции Л =(1,0,0,4,0,0,— 1), р2 = 2/3,
р = 1/4, v = 0,35.
Среди множества фильтров желательно выбрать такие, которые
обладают по отношению к параметрам р и v некоторыми экстремаль-
ными свойствами.
Предположим, что форма сигнала S задана и выбрано число ком-
понент фильтра К.
Если веса hi выбраны таким образом, чтобы параметр v имел ми-
нимально возможное значение, то соответствующий фильтр называется
v-фильтром. Если веса hi выбраны таким образом, чтобы параметр р
имел минимальное значение, то соответствующий фильтр называется
р-фильтром.
Таким образом, синтез неоптимальных фильтров производится
в соответствии с двумя критериями.
.^-критерий
При заданных S, К и ограничениях на боковые компоненты вы-
ходного сигнала
|Х/|С1 01.9)
выбором// необходимо максимизировать главную компоненту |гмакс|.
Выбор единичного порога в (11.9) соответствует некоторой нор-
мировке фильтра Н.
v-критерий
При заданных S, /С и ограничении на боковые компоненты вы-
ходного сигнала
Af
(и.ю)
1=1
выбором// необходимо максимизировать главную компоненту |гмакс|,
378
Соотношение (11.10) производит нормировку фильтра.
В случае действительных компонент сигнала и фильтра использо-
вание р-критерия приводит к следующей задаче линейного програм-
мирования.
При наличии ограничений
— + / = /#=г (11.11)
необходимо экстремизировать форму
(Л1, •.. ,
где Li — линейные формы с известными коэффициентами от перемен-
ных hlf ..., Их.
Задача (11.11) может быть решена методами линейного програм-
мирования.
С вычислительной точки зрения, однако, удобнее формировать
экстремальную задачу (11.11) относительно неизвестных Хь а не hif
поскольку в этих переменных ограничения имеют простой вид
— 1 <XZ<1,/ = 1, ...,М, /=#г. (11.12)
С этой целью получим некоторые предварительные соотношения.
Пусть S = (sx, ..., Syy); Kr — главная компонента;
Xi,... Лг—1, 1
_ _ ? боковые компоненты.
Хм, ...» Хм—г, J
Систему уравнений (11.2) при заданных боковых компонентах корреляции
можно решать относительно hi методом подстановки, так что
7^. = p.(Xi, ... , f=l,..., г—1, (11.13)
=Qj(hM, ... , Км-/4-1), /=1, ... , М —г, (11-14)
где Pi, Qi — линейные формы своих переменных с известными коэффициента-
ми.
Например,
hj = Хх/ s х, Л2 = Х2/si— Xi s2/s p ...
— KMI s^; Лк—i = KM_J sN—KM sN_J s^t ...
Найденные таким образом компоненты hi, hK_ } образуют последова-
тельности
1 I r-(N-Z) r-fN-2)+1 p-2 p-1
*2 (N- 2) h/'-W-D+f 'hr-l hp.i
hp-{N-2)*1 hr*.! hp.f
(ri-p) (M-p)-1 * (M-p)-(N-2)*2 2 1
379
С учетом (11.13) — (11.15) имеем соотношения
ДГ 2 (Л^—2) [Х1, ... , Ау—(ДГ_2)] Q(M—r) [Хдр ••• >
равенства Рг_^ ... , Хг__,] = Q(A1_r)_(yv_2)+1 [X^, ... , Xr+(yv_2)].
(11.16)
Поскольку Pt, Qj — линейные формы, система (11.16) означает, что, если
сигнал S и размер фильтра К выбраны, то вектор-столбец боковых компонент
A' = (71(... ,\_1( (Ц.17)
(размерность Л4— 1)
удовлетворяет соотношению
ЛЛ' = 0, (11.18)
где А — матрица порядка (А — 2) X (М — 1), коэффициенты которой зависят
только от сигнала
(11.19)
О = (0, ... ,0) (размерность N—2).
При заданных S, К допустимы лишь векторы Л', удовлетворяющие соотно-
шению (11.18).
Главная компонента кг определена соотношением
si — 2 sz^r-Z-M (^1’ ••• ’ V/4-1 ) +
z=i Z=2
+ S1 Q(M-r)-(N-2) ••• ’ 4-hv-i) = ^(a')’ (11.20)
где P — линейная форма компонент A'.
Пример 2. Пусть S = (1, 1 —1), К = 5, г = 4. Решения Р/, Qi имеют
вид
Ах = Хх = Р± (Хх),
= —Хх4-Х2 = Р% (Xi, Х2),
Аз = 2Xj — Х2 4~ Х3 = Ps (Xi, Х2, Х3),
Л5=—X? =Q1(X7),
Aj, = Х7 Xg = Q2 (Х7, Xg),
A3 = —2X7 — Xg — X5= Q3 (X7, Хб, X5).
Система (11.16) состоит из одного уравнения
Р3 — Q3 = 0, 2X1—Х2 + Х3 + Х5 + Хв + 2Х7 = 0,
А=[2, —1, 1, 1, 1,2].
Уравнение (11.20) имеет вид
Р = s3P2 4~ S2P3 4~ SiQ = Хх — Х2 4~ 2X1 — Х2 4~ Х3 — Х7 — Хб = 3X1—2Х2 4- Х3 — Х7 — Xg.
Матрица А и форма Р могут быть более просто найдены с помощью сле-
дующих приемов.
380
Предположим что найдены «опорные» векторы
А0=(х1> , хр)> К0 = ('у1.уД
xa~hai ^р=АК-₽+1>
удовлетворяющие системе уравнений (11.2) при условиях
и 1 1 %2 — ••• — — 0> р (И.21) ^М-1 = \м-<7-1 —°'
Образуем «сдвинутые Х() = ( ^2» • • Х1=(о, %1, ... Xg — (о, 0, хр • опорные» векторы • > хр), Po = (l/v_f/2> , Хр-1), Й1 = (о, У!, ... , yq-\), • • , Хр-г). ?2 = (о, о, ~ylt ... , уч-2), (11.22)
Хр_1 = (0,0-----О, Xi), Fg-i=(0,0.....О, t/i)
и суммы векторов
р-1 _ q—\ _
Х(₽)=2 Л У(ч}= 2 Х^-рГр, (11.23)
о о
где %а, Хм—р —выбранные коэффициенты.
Вычисляя компоненты взаимной корреляции сигнала S и вектора
по формулам (11.2) для I < р, получим, что эти компоненты равны
^1 = Хо>--’ ^р = Хр-1 (11.24)
и, следовательно, при выборе (11.24)
^(P) = p.(Xi, %г), i=l, ... , р. (11.25)
Аналогичным образом, если
^Хлр ••• » = Хм-<7-н> (11.26)
то
.....^и-/+1), /=1......Ч
у(?) = (-(?);...,^)). (П-27>
Соотношения (11.23) — (11.27) позволяют найти линейные формы Pi и Qi
и затем в соответствии с (11.16), (11.20) — матрицу А и форму R.
Пример 3. Если S = (l,l, — 1), то Хо = (1, —1, 2, — 3, 5, ...), Уо=( —1,
— 1, —2, —3,-5, ...).
При выбранных Ль ^2, &з, ...
Х<2) == %! (1, - 1) + %2 (0,1) = (Xi, -Xi + %2),
х<3> = %1(11—1,2) + Л2 (0,1, —1) + %з (0,0, 1) =
= (^1>—^1 + ^2, 2%1 —
381
Р1 — ^1, Р% — (—^3 = 2^1—^24"^3, ••• >
у(1) —__х -1
У(2) = ЛЛ1(-11-1) + ХЛ1_1(01 -!)=(-%„
= -1, -2) + ^-! (0,-1,-1) + Лл,_2(0,0,-1) =
— (— ^М> ~ ^Л1 + \м-1>~2^Л1 — \ftf-1 —\м-2);
Qr——Км, Q2= — Хл] —XAf_1) <2з = —ХЛ1 —ХЛ(_1 —Хм_2.
Рассмотрим частные случаи.
Предположим, что сигнал, фильтр и выходной сигнал состоят из нечетно-
го числа компонент
# = 2п+1, К = 2/г+1, M = 2m + l=(k + n)+l (11.28)
и симметричны относительно своих центральных компонент с номерами
п+1, &+1, m+l=k + n+l. (11.29)
Главная компонента выходного сигнала имеет номер
r = /n+1 = fc + n+1. (11.30)
В силу симметрии выходного сигнала и фильтра решения системы (11.2)
удовлетворяют соотношению
Pi(Xi, .... Xf) = Qi(%i, .... %i) (11.31)
и, следовательно, из (N — 2) равенств (11.16) остается только
равенств, в качестве которых можно использовать первые (п — 1) уравнений
системы (11.16), имеющих вид
n —1
равенство
Р/г—(п, — 2) Pk+n,
Pk—Pk + 2-
(11.33)
В силу симметрии выходного сигнала, вектор боковых компонент содержит
только tn = k + п компонент
Л»=(%1, .... Хт). (11.34)
Таким образом, допустимые боковые компоненты выходного сигнала удов-
летворяют системе
АЛ" = 0,
(11.35)
где
1, k -}- п
(k + n = m)
(11.36)
_ап— 1,1» •••» an—l,k + n
— матрица порядка (п — 1, & + п);
0 = (0....0)
— вектор размерности (п—1).
382
Главная компонента определена соотношением
4=1
2п ~|~ 1
= ®„+1Лн-1 + 2 S ^Pn+k+2-^R^- (11-37)
< = п + 2
Пример 4. Пусть S = (1,1,1,1,1), К=17, N = 21, М= 11, г = 11.
Опорные векторы и их сдвиги
Хо= Ко=(1, —1,0,0,0,1,—1,0,0,0), m = k+n = 10,
X, =(0,1,—1,0,0,0,1,-1,0,0),
Х2 =(0,0,1,—1,0,0,0,1,—1,0),
Х3 =(0,0,0,1,-1,0,0,0,1,-1),
Х4 =(0,0,0,0,1,-1,0,0,0,1),
Хв =(0,0,0,0,0,1,-1,0,0,0),
Х6 = (0,0,0,0,0,0,1,-1,0,0),
х7 =(0,0,0,0,0,0,0,1,—1,0),
Х8 = (0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1),
Хв = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,1).
В соответствии с (11.25)
Pi = h
Р2 = —
Рз = —^г4~^з
Р 4 — —^з + ^4
Рб = —
Р6 — ^1 —^5 4“ ^6
Р ? = —A,i + %2 —Хб4-Х7
Ре ~ —^з + ^з —^7 4“ ^8
P# — — ^3,+ ^4 —^8 4“ ^9
Рю= —^4 4“ ^5 —^9 4~ ^io-
Система (11.33) состоит из одного уравнения
Р8==Р10> А — —Х2 4- ^3 4- ^4—^5 — ^7 4~ ^8 4“ ^9—^10-
Главная компонента
^ii = P94-2(P8 + P7).
Предположим теперь, что в случае (11.28) компоненты сигнала и фильтра
удовлетворяют условиям Sn 4- 1 - i При этом ^tn + 1 — iz В силу (11.38) М=‘ = eN(— l)lsn+l+i, »=1, .... n, j (L1.38) = еЛГ (—l)zftA_|_i + i, i= 1, ..., k. = ew(-l)%+1+(., 1 = 1 m. (11.39) >л8л(-1)Ч(^, S), eK = (-l)K+l (H.40) 383
и, следовательно, в (11.16) остается (п — 1) равенств, в качестве которых можно
использовать первые (п — 1) уравнений (11.16), имеющих вид
п — 1
равенство
^-(п-2) —+ П ek Pk + tv
Pk =(—-1)*+2 8k Pk_^2.
(11.41)
Вектор боковых компонент содержит tn = k + n независимых компонент
Л"=(Х1, ... , Xw). (11.42)
Из (11.41) следует, что допустимые боковые компоненты выходного сигнала
удовлетворяют системе
где
ДЛ"=0,
(11.43)
(11.44)
— матрица порядка (п— 1,
0 = (0, ..., 0)
— вектор размерности (n—1).
Главная компонента определена соотношением
п _ _
4j+1 + = S =sn+l Л&+1 +
i=l
2n+1 tn
+2 s 5Л+*+2-<=*(Л")= s <H-45)
Z = n-f-2 i=l
Пример 5. Пусть S = (l,l,l,—1,1), n = 2, W = 5, /г = 4, /С = 9, &N=l,
ек = 1, /n = Ze + n = 6.
Опорные векторы и их сдвиги имеют вид:
Хо = (1,—1,0,2,— 4,3),
Х1 = (0,11,0,2,—4),
Х2 = (0,0,1,—1,0,2),
Х3=(0,0,0,1-,—1,0),
Х4 = (0,0,0,0,11),
Х6 = (0,0,0,0,0,1).
При этом Р1 = Х1, Р2 = — Xi + X2, Р3 = — Х2 + Х3, Р4 = 2Хх — Х3 + Х4, Ръ =
= — 4Xj-|~2%2 — А/4-j-Х&, Pq = 3^1—4Х2 + 2Х3
Система (11.41) содержит одно уравнение
Р4 = -Рв,
Л = (5,—4,1,1,—1,1),
Р = Рб-2Р4 + 2Р3=—8Х! + 4Х3 —ЗХ4 + Хб.
Соотношению АЛ." = 0 удовлетворяет, в частности, вектор Л" — (—Ь
—1, 1, —1, 0, 1), которому соответствует фильтр
Pi^hi^-l,
p2==h2 = 0,
384
Pa = h3 = 2,
Pi = hi = —4,
Р8=Л8 = 3,
рв=йв=-Р4 = 4,
p7 = ft7 = ps=2,
P8 = ft8=-P2 = 0,
p9 = ft9 = P1=-l.
Легко проверить, что вектор взаимной корреляции сигнала и
фильтра
А = ( —1, —1, 1, —1, 0, 1, 15, —1, 0, 1, 1, 1,-1).
11.2. АЛГОРИТМ и-КРИТЕРИЯ
Построение р-фильтра в случае, когда компоненты сигнала и
фильтра являются действительными величинами, эквивалентно ре-
шению следующей задачи линейного программирования.
Пусть А =(Х1( ..., Хр); |Xj|^l, / = 1,...,р вектор боковых
компонент выходного сигнала. _
Выбором А, удовлетворяющего условию (11.18), АА — 0, необ-
ходимо максимизировать линейную форму
Хг = Я(А) = 2^Л. (11.46)
i=i
коэффициенты которой, так же как и коэффициенты матрицы А (по-
рядка q х р), заданы.
Алгоритм решения задачи линейного программирования с дву-
сторонними ограничениями на переменные заимствован из [11.2]. Этот
алгоритм описан здесь в общем виде. Чтобы подчеркнуть это обстоя-
тельство, далее обозначим
А=Х = (х1,...,хр). (11.47)
Переменные xs могут быть ограничены сверху и снизу
Удобно ввести у^О
xj — Lj + yj, L = (Llt..., Lp)
так, что
= L}. (11.48)
Выбором вектора
••• ,УР)
компонентами (11.48) необходимо максимизировать линейную форму
-Z = 7?(r)+J?(L) (11.49)
при условиях
лй+л1=о.
Максимизация —Z соответствует минимизации Z.
13 Зак. 213 385
Необходимо ввести несколько определений.
Допустимым решением называется решение с переменными у},
лежащими в границах
Базисом называют набор из q переменных, таких, что определи-
тель, составленный из коэффициентов при этих переменных в q огра-
ничениях, не равен нулю. Эти q переменных называются базисными,
остальные — небазисными. Если положить все небазисные перемен-
ные равными нулю или своим верхним границам и решить ограниче-
ния (11.49) относительно базисных переменных, то получается базис-
ное решение, связанное с данным базисом. В обычном симплекс-ме-
тоде (с односторонними ограничениями) все небазисные переменные
должны быть взяты равными нулю.
Симплекс-метод в случае верхних границ состоит из следующих
шагов.
Первоначально каким-либо способом необходимо найти допусти-
мое базисное решение.
Пусть уъ ..., yq составляют базис. Предположим, что из небазис-
ных переменных
yq+l,...,yh, k^p
достигают верхних границ, а остальные равны нулю.
Второй шаг состоит в нахождении канонической формы системы
(11.50), которая определяется через обе группы небазисных перемен-
ных:
У1~\~ 4*ai, ?-н Уя+^ +••• + а\.рУр = bi>
. +^2, <7+1 Уч+i + ••• + ^2, р Ур = ^2,
........................................... (11.50)
УЧ+аЯ, <7+1 #?+1 + ••• ~^аЯ,рУр =Ьд,
Гч+1 Уч+1 + • • • + Гр Ур = z — Zo.
Значения базисных переменных теперь выражаются в виде
k
yi = b\- 5 аци}. (11.51)
/=<7+1
Базис является допустимым решением, если
k
Q<b'i— 2 a’uUj^Ui, j = l...........q. (11.52)
/=?+!
Значение минимизируемой функции равно
Z = Z0+ 2
/=<?+1
Приближение к минимальному значению функции Z можно про-
изводить увеличением тех небазисных yj, при которых rj отрицатель-
386
ны и уменьшением тех небазисных у,, при которых г, положительны.
Возможность изменения переменных ограничена пределами О, U}.
Минимальное значение Z достигнуто, если небазисные перемен-
ные на верхних границах
ф = 1,..., k — q, (11.53)
или небазисные переменные равны нулю
0, ф=1,...,р— k.
Если (11.53) не выполняется, что следует найти другое допусти-
мое базисное решение. Кандидатами для ввода в новый базис являют-
ся те у} на верхних границах, коэффициенты г, при которых больше
нуля, и те yj на нижних границах, коэффициенты г/ при которых мень-
ше нуля. Если желательно уменьшить значение Z самым быстрым об-
разом, то переменная ys, которую необходимо ввести в базис, имеет
коэффициент
г'= ±min(—г'д+1,..., —га,г*+1, ... ,г'р). (11.54)
Знак «+» используется, если ys увеличивается от нуля, знак «—» ис-
пользуется, если ys уменьшается’от верхней границы.
Дальнейшая процедура зависит от того, была переменная на нуле
или на верхней границе.
Новый базис, если ys равна нулю
Значения базисных переменных есть
k
yt = b’t— 5 a'ijUj—a'is (11.55)
/=<7-Н
или, вводя
k
Bt = b'{ — 5 atiUj, y1 = Bi—aisys. (11.56)
/=<7+1
Если a'is > 0, то необходимо следить, чтобы ys не выросли так
сильно, что некоторые yt станут отрицательными.
Если ais < 0, то yt не должны превосходить своих верхних гра-
ниц.
Для тех /, при которых ais > 0, необходимо соблюдение неравен-
ства
Bi—aisys^Q,
откуда
ys <min^- =4^-. (11.57)
afQ
13*
387
С другой стороны, для тех i, при которых aiS<;0 необходимо
иметь
откуда
• Ui~
i/3<min -j-^
Уг2-ВГ2
I агг S I
(11.58)
Кроме того, ys^Us.
Если желательно сделать уа настолько большим, насколько воз-
можно при ограничениях (11.57), (11.58), следует придать уа значение
• / ^Г1 ^г2 &г2
шах у. = min | —А , -г-,—г-
\ а \а
\ Г1 S । Г9S I
(11.59)
Если max уа ограничен (11.57), то уа замещает yrt, yrt становится
небазисной переменной, равной нулю.
Если max уа ограничен (11.58), то уа замещает уГг и уГг становит-
ся небазисной переменной, равной своей верхней границе.
В этих случаях новая каноническая форма определяется соотно-
шениями
' (нов) _ ' arj ais
а-Ч =ац---------------------
ars
' (нов) _ arj
иг I -------- .
i фг, r = rltr2,
(11.60)
Если max ys ограничен неравенством ys Us, то сохраняется
старый базис, но небазисная переменная ys переходит с нуля на верх-
нюю границу.
Новый базис, если ys = Us
Значения базисных переменных есть
k'
yi = b'i— S’ aiiUj—a'isya, (11.61)
/=<7+1
где S' означает, что опущен член j = s.
Вводя
&
В\=Ь\ — S' ai}U}, (11.62)
/=<7+1
получим
yi=B'i—aisya.
Если ais > 0, то не следует уменьшать уа так сильно, чтобы yt
превосходили свои верхние границы. Необходимо иметь
В'(—aisys^Ut,
388
откуда
B\-Ui
у3 > max----—
ais>° a‘s
в,. —ur
7 3 3
a
r3s
(11.63)
С другой стороны, если a/s<0, не следует уменьшать ys так
чтобы yt становились отрицательными. Следовательно,
В i I is | Уз О,
откуда
—в'. ВГ
ys>max ‘ =_ * . (11.64)
a;s<o Ы М
Кроме того,
У,>0. (11.65)
Поскольку необходимо сделать у3 по возможности малым, то
min у3 = max
(11.66)
Если min у3 ограничен (11.63), то у3 замещает в базисе уГа и уГа
становится небазисной переменной на своей верхней границе иГа.
Если min у3 ограничен (11.64), то у3 замещается в базисе на уГа и уГа
становится нулевой базисной переменной. В обоих случаях канони-
ческая форма для нового базиса находится по обычным формулам
(11.60). Если min у3 ограничен (11.65), то сохраняется старый базис
и у3 принимает нулевое значение.
Таким образом, полностью описано правило построения нового
допустимого базисного решения.
Это правило последовательно применяется несколько раз до тех
пор, пока не будут выполнены условия (11.53).
Количество шагов случайно и зависит от выбора первого допусти-
мого базисного решения.
11.3. ц-ФИЛЬТРЫ ДЛЯ ПРИЕМА СИГНАЛОВ
БАРКЕРА [11.1]
Сигналы Баркера удовлетворяют условию (11.38), причем
е8 = 1, е7=+1, eu = —1, е18 = 1
Поэтому матрица Л, участвующая в определении допустимых боковых
компонент, имеет порядок
Цп —1), (т)]=(<7,р)
и может быть найдена в соответствии с методами разд. 11.1.
389
Для пятикомпонентного сигнала Баркера (1, 1, 1, —1, 1) п. = 2
и матрица А состоит из одной строки. Векторы Хо, Xlt имеют вид
Хо = (1, —1,0,2,—4,3,3, —12,16,—4, —27),
Х1 = (0,1, —1,0,2, —4,3,3, —12,16—4),
= (0,0,1, — 1,0,2, — 4,3,3, — 12,16),
Х3 = (0,0,0,1 — 1,0,2, — 4,3,3, — 12),
Х4 = (0,0,0,0,1,—1,0,2, —4,3,3),
Х5 = (0,0,0,0,0,1, — 1,0,2, — 4,3),
Хе = (0,0,0,0,0,0,1,-1,0,2,—4),
Х7 =(0,0,0,0,0,0,0,1 —1,0,2),
Xs = (0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1,0),
х9 = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,-1),
х1о = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1),
^макс=И> ^макс=9> Кмакс=
Уравнение (11.41) при выборе = —(— 1)* имеет вид
Pk+Pk+2 = 0. (11.67)
В соответствии с (11.67) образуем вектор U с компонентами
Uj+2 =(Xj+*i+2) J = —1,... ,/n—2, х_1=О,хо = 6> (11.68)
имеющий вид
t/ = (l, —1,1,1,—4,5, —1, —9,19, —16, —11).
Элементы матрицы А образуются по правилу
@j = Um— /4-1 • (11.69)
Пример 6. В условиях примера 5/п = 6 и в соответствии с (11.69)
Л =(5,—4,1,1, —1,1).
Коэффициенты формы R (11.45) определены соотношением
Р = РА+1-2Рй + 2Р*_,. (11.70)
В соответствии с (11.70) образуем вектор V с компонентами
у/+з =Л7+1 + 2x/_i, (11.71)
/= —1,0,1,... ,т—1; хо = 0,х_1 =0, х_2=0,
имеющий вид
У = (0, 1,-3, 4,0, —8, 15, —11, —12,46, —58).
Коэффициенты формы Р определены соотношением
rj = um_/+i. (11.72)
390
Основываясь на соотношениях (11.69), (11.72) и пользуясь ал-
горитмом разд. 11.2, можно найти ц-фильтры для пятикомпонентного
сигнала Баркера.
Результаты приведены в табл. 11.1 и на рис. 11.2.
Рис. 11.2. Параметры сигнала на выходе р-фильтра для пятикомпонентного
сигнала Баркера.
Таблица 11.1
m=4, fe = 2, tf=5
Д = (1, -1, +1, + 1,8, -1,1,1,1),
JY = (1, —2,2,4-2,1),
p=0,125,v = 0,25,p2 = 0,91;
т = 5, К = 6 совпадает с предыдущим случаем
Л = (—1,-1,1, —1,0,1,15, —1,0,1,1,1,-1),
# = (—1,0,2,—4,3,4,2,0, —1),
р = 0,067, v=0,15, р2 = 0,88;
m=7, k = 5, К=11
Л = (1,—1, —1,1, —1,1,1,29, — 1,1,1,1,1, —1,-1),
# = (1, — 2,0,4,— 8,5,8,4,0, —2, —1),
р = 0,034, v = 0,09, р2 = 0,087;
т=9, fe = 6 совпадает с предыдущим случаем
391
m = 10, A> = 8, к=17
Л = (1,1, —1,1,—1,1, —1, —1,1,1,68, —1,1,1, —1,-1, —1,-1,—1,-1,1),
// = (1,0,— 2,4,— 4,—1,10, —18,12,18,10,1,— 4,— 4,— 2,0,1),
|х = 0,015, v = 0,04, р2 = 0,87;
т=11, fe = 9, К=19
Л = ( —1,1,0, —1,1, о, 1,1,—1,0,1,139,— 1,0,1,1,—1,0,—1,-1,0,1,1),
// = ( —1,2,—1,—3,8,—8, —1,21,—37,23,37,21,1—8,—8,—3,1,2,1),
u = 0,008, v = 0,080, р2 = 0,88;
р. — фильтр для семикомпонентного сигнала Баркера (1, 1, 1, —1,
—1, 1, —1) найден с помощью методов разд. 11.2 при К = 19. Матри-
ца А имеет две строки. Результаты приведены в табл. 11.2.
656 _ 4848
Й1 = —977 ’ 977
688 3448
Л2 = “977’ 9“ 977
1509 f 1313
/l3 — 977 ’ /l] Л ° 977
_642. 3448
/ч= “977 ’ 11 977
__578. 4848
Л5 = “977’ 12 977
1248 3358
Лв = /ll3 —
977 ’ 3 977
_3358 1248
h7 — 977 ’ 977
Таблица 11.2
А“= — 977.
_ 642
Л1в=— 977’
1509
------- ------ j
17----977
688
/ll о-- I
8 977
656
19 ““977’
|x = 0,04;
p2 = 0,84.
В табл. 11.3 представлены результаты расчета р.-фильтра с числом
компонент К. = 33 для тринадцатикомпонентного сигнала Баркера
(1, 1, 1, 1, 1, —1, —1, 1, 1, —1, 1, —1, 1)
Таблица 11.3
Й1 = — 0,45644; /*13 = 6,14539; /*25 = — 1,40263;
= —0,72141; /114 = —8,46251; /*26 = —0,38295;
fts = — 1,26497; ^15 = 6,48711; ^27 — —0,55719;
й4 = 0,16842; /*16 = 7,96420; /*28 = —0,92149;
/15 = — 0,00279; /*17 = —9,90786; /*29 — —0,00279;
/16 = 0,92149; /*18 = —7,96420; /*30 = —0,16842;
h7 = — 0,55719; /119 = 6,48711; /*31 = —1,264р7;
Л8 = 0,38295; /*20 = 8,46251; hsz = —0,72141;
Л9 = — 1,40263; /*21 = 6,14539; ^зз — —0,45644;
^10“ —0,9187; /*22 — .7,93442; |Х~ 0,01;
— 5,86183; /*23 = 5,86183; Р2~ 0,96.
/112 = -7,99442; /*24 = 0,09187;
392
Приведенные данные показывают, что при правильном выборе
параметров фильтра можно достигнуть любого уровня подавления бо-
ковых лепестков выходного сигнала.
Параметр р, меняется в зависимости от числа компонент р-фильт-
ра К приблизительно экспоненциально.
Проигрыш в отношении сигнал/шум по мощности по сравнению
с согласованным фильтром незначителен и мало зависит от Д’. Послед-
нее объясняется тем, что импульсный отклик р,-фильтров имеет, как
правило, следующую структуру: центральная часть импульсного от-
клика почти согласована с используемым сигналом; начало и конец
импульсного отклика хотя и могут быть довольно длинными, по ам-
плитуде значительно меньше центральной части. Таким образом, на-
чало и конец импульсного отклика, выполняя корректирующую роль
в смысле подавления боковых лепестков, мало влияют на отношение
сигнал/шум.
11.4. СИНТЕЗ v-ФИЛЬТРОВ [11.1]
Соотношения (11.18) и (11.20) можно использовать при построе-
нии v-фильтров для подавления боковых лепестков по критерию ми-
нимума суммы квадратов боковых компонент.
Вариант теории в случае действительных компонент сигнала и
фильтра и для сигналов (11.38) изложен в данном разделе. Необходимо
отметить, что распространение теории на произвольный случай вы-
полняется без каких-либо затруднений.
Синтез v-фильтров производится в соответствии со следующим
критерием. Пусть
A=(Xb... Ар)
— вектор боковых лепестков. Выбором Л необходимо экстремизиро-
вать линейную форму
р
= 2 гЛ=Я(Л) (11.73)
4 = 1
при дополнительных ограничениях
р
АЛ=0, 2x1 = 1. (11.74)
i=i
В данной задаче 7?мин — —RwaKC> и поэтому можно не заботить-
ся о том, какой именно экстремум найден.
Воспользуемся методом неопределенных множителей, в соответ-
ствии с которым необходимо найти абсолютный экстремум функции
р ч р / р \
F = SrAi+ 2 Ъ 2 2^-1 . (11.75)
1=1 4=1 /=1 \4 = 1 /
где S = (gb ..., £р), t, — неопределенные множители.
393
Экстремальные значения Л, S, £ должны удовлетворять систе-
ме уравнений
£=/'“+2аг“^+2^и==0,
£ (U.76)
Fi1’-1-»- “=|........”•
v = 1,..., q.
Из первого уравнения
я
rujr 2aiu
х-=-----+— (1L77)
Подставляя (11.77) во второе уравнение (11.76), получим
Обозначим
р р я
5 +55 аца^1 =0.
/=1 /=1 /=1
р
^av}r} = bv, v — 1....q,
i=i
p
5 aujavj=yav, u,v = \,...,q,
i=l
B=(&1...bq), г ==
Ti.i--.Tm
(11.78)
(11.79)
Lt?, i. T?.d
Тогда
rs = — B, 3 = — r-'B.
(11.80)
Значение £ определяется из третьего уравнения (11.76)
(11.81)
Таким образом, синтез v-фильтра производится следующим об-
разом. После того, как при выбранных сигнале S и размере фильтра
К найдены матрица А и форма /?, составляются матрица Г и вектор В.
Вектор неопределенных множителей S получается решением систе-
мы (11.80) и вектор боковых компонент Л восстанавливается в соответ-
ствии с (11.77).
394
Характерная особенность данного алгоритма состоит в том, что
он основан на решении системы (11.80), состоящей из q — п — 1 урав-
нений с (п — 1) неизвестными. Как будет показано далее, решение за-
дачи синтеза v-фильтра, не связанное с соотношениями (11.18) и (11.20)
потребовало бы решения системы со значительно большим числом
(2m + 1) неизвестных.
Синтез v-фильтров для пятикомпонентного
сигнала Баркера
В этом случае q = 1, р = т. Найденные фильтры и соответст-
вующие им выходные сигналы приведены в табл. 11.4, параметры этих
сигналов представлены на рис. 11.3.
Таблица 11.4
К=9
// = (—0,482; 0; 1,145; —1,913; 1,265; 1,913; 1,145; 0; —0,482),
Д=(—0,482; —0,482; 0,663; —0,286; 0,015; 0,120; 7,381; —0,120; 0,015;
0,286, 0,663; 0,482; —0,482),
v = 0,135, р, = 0,091, р2 = 0,908;
К = 11
Н= (0,889; —1,019; —0,178; 2,421; —4,267; 2,674 , 4,267; 1,421; 0,178;
1,019; —0,889),
Л=(0,889; —0,130; —0,308; 0,335; —0,116; —0,013; 0,077; 16,052; —0,077
—0,013; 0,016; 0,335; 0,308; —0,130; —0,889),
v=0,063, р = 0,056, р2 = 0,873;
К=13
//=(—0,384; 1,134; —1,224; —0,226; 3,146; —5,441; 3,359; 5,441; 3,146;
0,226; — 1,224; —1,134; —0,384),
Д=(—0,384; 0,750; —0,474; +0,068; 0,178; —0,163; 0,066; —0,017; 20,529;
0,017; 0,066; 0,163; 0,178; —0,068; —0,474; —0,750; —0,384),
v = 0,049, р = 0,037, р2 = 0,876;
К=15
//=(—0,214; —0,423; 1,284; —1,346; —0,214; 3,461; —5,997; 3,696 ; 5,997
3,461; 0,214; —1,346; —1,284; —0,423; 0,214),
Л = (—0,214; —0,637; 0,647;—0,271; —0,067; 0,194; —0,120; 0,028; 0,017;
22,608; —0,017; —0,028; 0,120; 0,194; 0,067; —0,271; —0,647; —0,637;
0,214),
v = 0,044, р = 0,028, р2 = 0,874;
К=17
// = (0,664; —0,473; —0,852; 2,239; —2,470; —0,373; 6,067; —10,448; 6,472;
10,448; 6,067; 0,373; —2,470; —2,239; —0,852; 0,473; 0,664),
Л = (0,664; 0,291; —0,561; 0,350; —0,046; —0,125; 0,133; 0,045; —0,006;
0,031; 39,439; —0,031; —0,006; 0,045; 0,133; 0,125; —0,046; —0,350;
—0,561; —0,291; 0,664),
v=0,026, ц.=0,017, ра = 0,866;
395
К=19
#=(—0,803; 1,325; —0,602; —1,700; 4,616; —4,920; —0,804; 12,107; —20,878;
12,901; 20,878; 12,107; 0,804; —4,920; —4,616; —1,700; 0,602; 1,325;
0,803),
Л=(—0,803; 0,522; —0,080; —0,174; 0,186; —0,082; —0,015; 0,062; —0,034;
0,009; 0,004; 78,885; —0,004; 0,009; 0,034; 0,062; 0,015; —0,082;
— 0,186, —0,174; 0,080; 0,522; 0,803),
v = 0,013, р=0,010, р2 = 0,867.
Сравнение рис. 11.2 и 11.3 показывает, что характеристики
р-фильтров и v-фильтров достаточно близки.
Рис. 11.3. Параметры сигнала на выходе v-фильтра для пятикомпонентного
сигнала Баркера.
Синтез v-фильтров для тринадцатикомпонентного
сигнала Баркера
Матрица А и форма R, рассчитанные по правилам (11.41), (11.45),
служат основой для вычисления В и Г, причем матрица Г имеет по-
рядок (5x5). Результаты расчета v-фильтров по формулам (11.77)
и (11.80) приведены в табл. 11.5.
Сравнение характеристик v-фильтра с К = 33 и р-фильтра с К =
= 33 (табл. 11.3) показывает, что эти характеристики отличаются не
слишком сильно.
В заключение отметим, что в целом фильтры для сигналов Бар-
кера с числом компонент N = 5,13 имеют значительно лучшие ха-
рактеристики по сравнению с фильтрами для сигналов Баркера N =
= 7, 11, что объясняется различием в знаках боковых компонент ав-
токорреляционных функций этих двух сигналов.
396
Таблица 11.5
К=21
// = (—0,119; 0,073; —0,179; —0,006; 0,705; —0,949; 0,720; —0,943; 0,730;
0,943; —1,155; —0,943; 0,730; 0,943; 0,720; 0,949; 0,705; 0,006; —0,179;
—0,073; —0,119),
Л = (—0,1191; —0,0457; —0,2248; —0,2305; 0,4742; —0,2362; 0,3366;
—0,4859; 0,4017; —0,1851; 0,1603; —0,0688; —0,0835; 0,0427; —0,1214;
0,0192; 11,1; —0,0192; —0,1214; —0,0427; —0,0835; 0,0688; 0,1603;
0,1851; 0,4017; 0,4859; 0,3366; 0,2362; 0,4742; 0,2305; —0,2248; 0,0457;
—0,1191),
v=0,09, ц=0,043, р2=0,96;
/< = 27
// = (0,076; —0,068; 0,173; —0,143; 0,074; —0,217; —0,025; 0,870;
— 1,186; 0,887; —1,180; 0,899; 1,153; —1,411; —1,153; 0,899; 1,180;
0,887; 1,186; 0,870; 0,025; —0,217; —0,074; —0,143; —0,173; —0,068;
—0,076),
Л = (0,0763; 0,0081; 0,1807; 0,0376; 0,1116; —0,2579; —0,1467; 0,5309;
—0,5052; 0,4267; —0,3167; 0,1475; 0,0462; —0,0354; 0,0564; —0,0469;
0,0455; —0,0794; 0,0122; 13,8; —0,0122; —0,0794; —0,0455; —0,0469;
—0,0564; —0,0354; —0,0462; 0,1475; 0,3167; 0,4267; 0,5052; 0,5309;
0,1467; —0,2579; —0,1116; 0,0376; —0,1807; 0,0081; —0,0763);
v = 0,073, |л = 0,038, р2=0,96;
/< = 33
// = (0,234; —0,404; 0,419; —0,167; 0,127; —0,404; 0,312; —0,159;
0,497; 0,087; —2,177; 2,950; 2,219; —2,937; 2,226; 2,842 —3,511;
—2,842; 2,226; 2,937; 2,219; —2,950; —2,177; —0,087; 0,497; 0,159;
0,312; 0,404; 0,127; 0,167; 0,419; 0,404; 0,234),
Л = (0,2339; —0,1696; 0,2497; 0,0830; 0,2098; —0,6615; 0,4579; —0,0719;
—0,0484; 0,1560; —0,2729; 0,1930; —0,0684; 0,0324; —0,0486;
0,0207; —0,0256; 0,0293; —0,0042; —0,0231; 0,0397; —0,0130; 34,2;
0,0130; 0,0397; 0,0231; —0,0042; —0,0293; —0,0256; —0,0207; —0,0486;
—0,0324; 0,0684; —0,1930; —0,2729; —0,1560; —0,0484; 0,0719;
0,4578; 0,6615; 0,2098; —0,0830; 0,2497; 0,1696; 0,2339),
v = 0,029, |х=0,020, р2=0,95.
Приведенные результаты показывают, что с помощью ц- и v-
фильтров можно сформировать выходные сигналы с подходящими для
измерения задержки свойствами.
11.5. СИНТЕЗ v-ФИЛЬТРОВ. ВТОРОЙ МЕТОД
Синтез фильтров по критерию максимума параметра v можно осу-
ществить, не обращаясь к соотношениям (11.35) и (11.37). Получающие-
ся при этом системы уравнений с большим числом неизвестных М мож-
но решать с помощью специальных рекуррентных методов. В данном
разделе изложен такой метод синтеза в варианте действительных ком-
понент сигнала и фильтра. Обобщение на комплексные компоненты не
представляют затруднений.
397
Предположим, без ограничения общности, что N нечетно и глав-
ная компонента выходного сигнала имеет номер г = k + п + 1 =
= т + 1.
Формулируем задачу синтеза следующим образом:
при выбранных сигнале S и числе компонент фильтра К. необхо-
димо максимизировать
N
, (11.82)
i=i
при дополнительном ограничении
(11.83)
I
где X — выбирается из условия нормировки.
Пользуясь методом неопределенных множителей, получим систе-
му уравнений
+ P = (Н.84)
ohp ohp
Поскольку линейно зависит от hp, система (11.84) линейная и
имеет вид
%RH = S, (11.85)
где компоненты вектора S определены соотношениями
s =—=( Sr-₽+1’ p + l^N, (Ц.86)
dhp ( 0 , в других случаях,
R — некоторая матрица; £ — неопределенный множитель, величина
которого определена уравнением (11.83) и зависит от способа норми-
ровки. Элементы матрицы R определены соотношением
_ yi dki d%i
pq dhp dhq
(11.87)
Из определения вектора взаимной корреляции сигнала и фильтра (11.2)
следует, что ,
-^=0
dhp
Подставляя (11.88) в (11.87), получим
в других случаях.
ГРЧ rN — \p—q\’
rpq=®
\р — q\^N — 1,
в других случаях.
(11.88)
(11.89)
398
Действительно, например, при p^q
q-Y N — 1
ГРЯ= 2 S!-p+l S/-?+l = S SZ-p+l S«-<?+l =
P<Z<P4-ZV — 1 Z = p
N-{p-q) I
~ S szsz+(p-p) ~ Ssz sz+w+z =rz’ (11.90)
Z= 1 1
где l=N—(p—q).
Последнее равенство (11.90) написано на основании определения
г/ (Н.З).
Случай р q рассматривается аналогично.
Таким образом, вектор v-фильтра определен соотношением
// = ^->5, (11.91)
где
H=(hlt .... hK), К = М—1V + 1; (11.92)
R-* —матрица, обратная матрице R размерности (Д' х К)’.
М — компонентный вектор-столбец; £ = 1/£— нормирующий мно-
житель.
S = (0.............0, sp ..., sN, 0, .... 0;
(11.94)
2
-1- (M — N)
2
Обращение матрицы R в общем случае затруднительно.
Воспользуемся поэтому следующим специальным приемом, по-
зволяющим найти Н с помощью рекуррентных правил.
Пусть
/?=r„ [/+G], (11.95)
где I — единичная матрица; G получается из R заменой абсолютных
компонент на относительные г^гы, I = N — 1 и заменой эле-
ментов, стоящих на главной диагонали, на нули.
399
Относительные боковые компоненты, как правило, существенно
меньше единицы и поэтому собственные числа матрицы G могут ока-
заться по модулю меньше чем единица. В этом случае обратная мат-
рица 7?-1 может быть представлена сходящимся степенным рядом
1 00
/?-*=— У (— WG1. (11.96)
r N
1=0
Отсюда
Я = 1 2 нь (11.97)
N 1=0 N /=0
где
#,=(—(11.98)
• • • 9ы-1 • • • 0 • • • 0
• • • . (и hfl) hJ*l • • • ha) ha) • • • h(l) hk
Рис. 11.4. Расположение векторов g и Hi при вычислении компоненты
Векторы Ht связаны рекуррентным соотношением
(/>1) (11.99)
при начальном условии
H0 = S. (11.100)
Вектор Но соответствует согласованному фильтру; остальные век-
торы Ht являются поправками к согласованному фильтру.
Матрица —G строится на основе вектора
_ о _
rN
(11.101)
Первая строка матрицы —G является последовательностью ком-
понент вектора начиная с (Л/)-й; после последней компоненты g идут
нули. t
Вторая строка начинается с (Л/ — 1)-й компоненты и т. д.
Вектор Ht вычисляется как корреляция вектора g и предыдущего
приближения 77/-1 (рис. 11.4).
После вычисления компонент /-го приближения h^\ j =
1, ..., М вычисляют следующее приближение ит.д. Вычисления пре-
кращаются при достижении заданной точности и вектор Н подсчиты-
вается как сумма всех приближений
(11.102)
Гы z^o
400
Нормирующий множитель С удобно выбрать равным rN, так что
(Н.ЮЗ)
/= о
Заметим, что для сигналов Баркера с N 5 собственные числа
матрицы G по модулю меньше единицы. Действительно, по теореме
Гершгорна [11.3] максимальное по модулю собственное число матрицы
не превосходит максимальной суммы модулей элементов строки мат-
рицы, которая для сигналов Баркера с нечетным N не превосходит
и следовательно, обеспечена сходимость ряда (11.97).
Результаты синтеза v-фильтров для трех сигналов приведены
в табл. 11.6 и на рис. 11.5.
Таблица 11.6
N К K/N Р2 V""1 V, дб И-1 ц, дб
13 27 2,08 0,9600 13,77 22,80 25,95 28,28
31 2,38 0,9562 26,29 28,40 46,59 33,36
33 2,54 0,9551 34,24 30,69 51,72 34,28
35 2,69 0,9546 40,52 32,15 70,46 36,94
39 3,00 0,9541 44,90 33,04 83,87 38,46
43 3,31 0,9530 66,77 36,48 120,2 41,60
47 3,62 0,9524 105,5 40,46 208,3 46,38
51 3,92 0,9522 152,9 43,68 262,1 48,36
55 4,23 0,9521 219,9 46,84 405,0 52,16
21 43 2,04 0,8532 10,13 20,12 14,93 23,48
51 2,42 0,8441 13,86 22,84 21,47 26,64
55 2,62 0,8394 15,84 24,00 26,81 28,57
59 2,81 0,8340 18,91 25,56 34,96 30,88
63 3,00 0,8271 22,63 27,10 43,64 32,80
67 3,19 0,8270 23,26 27,34 49,56 33,92
71 3,38 0,8226 31,36 29,92 60,87 35,69
75 3,57 0,8199 34,93 30,86 49,45 33,88
79 3,76 0,8196 36,30 31,20 53,39 34,55
83 3,95 0,8168 46,52 33,36 81,81 38,24
87 4,14 0,8163 49,78 33,94 93,58 39,42
29 59 2,09 0,8742 10,66 20,55 28,08 28,96
67 2,31 0,8657 20,53 26,25 52,92 34,46
75 2,58 0,8635 21,39 26,60 55,60 34,90
83 2,86 0,8598 28,24 29,02 59,67 35,52
87 3,00 0,8575 36,18 31,16 77,66 37,80
91 3,14 0,8571 38,85 31,80 91,45 39,22
99 3,41 0,8563 45,62 33,18 92,39 39,30
107 3,70 0,8549 57,96 35,26 111,4 40,54
401
Использованы сигналы
N = 13(1,1,1,1,1,—1,—1,1,1,—1,1,—1,1)- сигнал Баркера,
(V =21 (1,1,1,1,1,1,—1,1,—1,-1,—1,1,—1,1,1,—1,-1,—1,1,1,—1)
[см. соотношение (10.73)],
Л( =29(1,—1,1,1,—1,—1,1,—1,1,—1,—1,1,—1,—1,1,—1,-1,—1,-1,
—1,—1,1,1,1,-1,-1,1,1,1)
[см. соотношение (10.56)],
3 качестве примера в табл. 11.7 приведен фильтр для сигнала N =
= 29 с числом компонент /С = 67 (р2 = 0,866; р-1 = 52,9) и сигнал
на выходе этого фильтра.
Таблица 11.7
/ hi / Л.
1 0,1609 —0,161 25 —0,7702 —0,018
2 —0,1982 —0,037 26 0,9589 —0,203
3 —0,1988 0,236 27 —1,2076 —0,038
4 0,3139 —0,244 28 —1,2262 0,082
5 —0,2897 0,137 29 1,0932 0,073
6 —0,1462 0,436 30 —0,9468 -0,136
7 0,0404 0,548 31 1,1365 —0,083
8 0,0922 —0,274 32 —1,3452 —0,029
9 —0,0955 -0,229 33 1,1026 0,052
10 —0,2060 —0,241 34 —0,3906 —0,084
11 0,2090 0,111 35 —0,064
12 0,0072 —0,460 36 0,014
13 —0,2665 —0,450 37 0,107
14 —0,2956 —0,163 38 0,072
15 0,2781 0,392 39 —0,003
16 0,5574 0,139 40 —0,066
17 0,0395 —0,257 41 0,008
18 —0,3565 —0,456 42 0,040
19 —0,0066 0,050 43 0,001
20 0,7026 0,229 44 —0,050
21 —1,2043 0,250 45 0,007
22 0,3926 —0,009 46 Q, 042
23 0,8300 0,116 47 0,005
24 —1,3880 0,079 48 29,000
h34-i~ ^34+Z (~ OS ^48-Z —^48+Z (~0Г-
Если какое-либо собственное число G по модулю больше единицы,
то ряд (11.96) расходится. Ряд сходится медленно, если какое-либо
собственно число близко к единице, хотя и по модулю меньше единицы.
В этих случаях целесообразно воспользоваться разложением (11.95)
в ряд по полиномам Чебышева [11.3].
402
Задача сводится к обращению матрицы / + G. Собственные чис-
ла этой матрицы положительны. Обозначим минимальное собственное
число Лмин и максимальное — Лмакс, выберем а и b такие, что
Собственные числа матрицы G лежат в интервале (—1 + а, b — 1).
Поскольку сходимость матричного ряда определяется сходимостью со-
ответствующего скалярного ряда на спектре собственных чисел матри-
цы, то разложение скалярной функции у — 1/(1 + х) должно быть
сходящимся в интервале (—1 + а, b — 1). Такая сходимость в ин-
403
тервале наилучшим образом обеспечивается разложением функции
у по смещённым полиномам Чебышева [11.31.
Преобразование
переводит интервал (—1 + а, b — 1) в интервал (0, 1). При этом [11.3]:
a + (b — a)z b~a —
b—а
= [1 То (г)+ рт? (г)+ Р2 7^(2)+ (11.106)
где
т£(г) = Ть(2г-1)
— смещенный полином Чебышева;
Tfe(z) — полином Чебышева
р^11- Уа . (11.107)
Ряд (11.106) сходится в интервале изменения х(—1 + а, 6 — 1).
Если этот ряд оборвать после п членов, то в соответствии с [11.3]
остаток ряда
<1U08>
что позволяет оценить требуемое число приближений.
Пользуясь рекуррентным соотношением для смещенных полино-
мов Чебышева
2 (2г-1) Т: (2) = T*k+, (2) + t;_j (2), (11.109)
нетрудно получить рекуррентное соотношение для полиномов
имеющее вид
где
Qk(x)=pkT*k(—^———\’
\ b—а )
Qk (х) =(—kxx-\- k2) Qk-i (x)~k3 Qk-2 (x),
k - 4 k9 - 2(&+a~2) k = >
1 (у-Ь + у-а?' 2 (/& + /a)2 ’ 3 P'
Qo(*) = l> Qi(x) = -^-x + ^-.
(11.110)
(11.111)
(11.112)
Искомая функция представляется рядом
У = у~ь у QoW + QiW+QaWH--"j >
сходящимся на интервале (—1 +а, b — 1).
404
(11.113)
Применяя (11.113), (11.111) к задаче (11.91), получим
н = Г1я;+я1+я2+
#z = Qz(G)S,
Hl = —kxGHl-.x+kiGHl-.x— kaGHi-2, (11.114)
H0 = S,
H1=-^GH0 + ^-S0,
причем процедура вычисления GHi-X описана раньше.
Изложенный рекуррентный метод отыскания v-фильтра позво-
ляет применять численные методы в случаях, когда степенной ряд
(11.97) расходится или сходится медленно.
Соотношение (11.108) оценивает требуемое число приближений.
Параметр р2 (табл. 11.6) при увеличении К/N стремится к некото-
рому пределу.
Поскольку при увеличении К/N параметры р и v стремятся к ну-
лю, предельный проигрыш в отношении сигнал/шум соответствует
выходному, сигналу, имеющему лишь главную компоненту и равные
нулю боковые компоненты.
Можно показать, что предельное значение параметра р2 опреде-
ляется соотношением
(11.115)
где гг — компоненты вектора корреляции сигнала, предполагающие-
ся действительными величинами.
Величины р2, подсчитанные для нескольких сигналов, сведены в
табл. 11.8.
Таблица 11.8
Сигнал
Сигнал Баркера . .
Сигнал (13.73) . . .
Сигнал (13.56) . . .
13
21
29
0,9520
0,8112
0,8526
Можно предполагать, что лучшие результаты дают р,- и v-фильт-
ры сигналов, для которых предельное значение р20 ближе к единице.
Этот критерий можно использовать для отбора сигналов, подлежа-
щих неоптимальной фильтрации.
405
11.6. ВОПРОСЫ «СВЕРХУКОРОЧЕНИЯ»
В настоящем разделе рассмотрена задача неоптимальной фильтра-
ции с целью укорочения сигнала в виде немодулированного прямо-
угольного импульса.
Пусть сигнал S = (1, 1, ..., 1) имеет N = 2п + 1 компонент.
Будем искать фильтр и выходной сигнал, симметричные относитель-
но своих центральных компонент.
Из соображений простоты количество неизвестных боковых ком-
понент выходного сигнала выбрано равным т — jN,
j = 1, 2, 3..
Число компонент фильтра К — (2J — V)N + 2.
Опорные векторы равны
Х0 = У0 = (1,—1,0, .... 0,1,—1,0, ..., 0, ...). (11.116)
N—2 N — 2
7Г,
В соответствии с (11.33) и (11.37) матрица А и вектор R имеют сле-
дующий вид:
0,-1, 1, 0,..., 0, 0,0,0, 0, 0,...,0, 1,-1,...
0, 0,-1,1,..., 0, 0,0,0, 0, 0, ...,1,-1, 0,...
6, 0, 0, 0,1,0,0,’ 1’, -1,6, ’О,’ 6,..’ -
0, 0,0,0,..., 0,-1, 1,1,-1, 0,..., 0, 0, 0,...
(11.117)
п — 1
п — 2
£ = (—2,0, ...,0,1,1,0, .... 0, ...).
п —1 п—1
N
(11.118)
Матрица содержит (п — 1) строк и jN столбцов. Каждая строка явля-
ется периодической с периодом N. Вектор R содержит jN компонент
и является периодическим с периодом N.
Построение р фильтра сводится теперь к решению следующей за-
дачи линейного программирования.
Необходимо найти вектор
A = (Xx, .... Xm), m=jN
с компонентами, удовлетворяющими условиям
—1<^<1, ЛЛ = 0,
406
максимизирующий форму
/?Г = /?(Л)= 2 (^л+1+w+^«+24-/w — 2Xi+Zjv).
1 — 0
Легко увидеть, что если
[ 1, /#=l+tW,
1 (—I, l=l+iN,
то Аг имеет максимальное значение, равное 4/ и все условия удовлет-
воряются.
Таким образом, искомый вектор Л имеет вид
Л = (—1,1, ..., 1,-1, ...). (11.119)
N— 1
Искомый фильтр Н симметричен и его компоненты могут быть най-
дены из соотношений (11.13).
Вектор импульсного отклика имеет вид
77 = (—1,2,0, ..., О,—3,4,0, ..., 0, ..., —(2/—1), 2/, 0, ..., 0,
N — 2 N — 2 N — 2
2/,—(2/—1),0, ..., 0,2,—1). (11.120)
N — 2
Параметры фильтра (11.120) следующие:
-------(П.121)
*4/’ 4 V j г yv(2/+i)(4j+l)
При достаточно хорошем подавлении боковых лепестков (/ 1)
(11.122)
При построении v-фильтра матрица Г и вектор В, определяемые
соотношениями (11.79) в соответствии с (11.117) и (11.118), имеют вид
-2/, 0 , ..., 0, 0
-2/, 4/, -2/, .... 0, 0
Г = 0, -2/, 4/, ..., 0, 0 (11.123)
о» 0, 0, ..., -2/, 4/|
407
Матрица Г имеет порядок (п — 1) X (п — 1)
(11.124)
Вектор В содержит п — 1 компонент.
Матрица Г является частным случаем матрицы Якоби порядка
(1 X /) н ее определитель
Dz = 2'(/ + 1)/Z.
Для того чтобы найти вектор S (11.80), достаточно вычислить эле-
менты последнего столбца матрицы Г-1, равного
(2/)* • Dn _ k—21 Dn — i
(2/)"-2 •£>(,/£)„_! -]
1
2/п
— (2/)0, —2/^я—1 -J
1
n — k— 1
n—1
(11.125)
Теперь S = — -k (1,2, ..., n— 1).
Вектор Л можно вычислить, используя соотношение (11.77)
Л = — (2, — — , ...,----,.-Л, (11.126)
2? \ n п nJ
N
где £ — нормирующий множитель.
Вектор Л является периодическим с периодом N.
Искомый фильтр Н симметричен и его компоненты могут быть най-
дены в соответствии с (11.13).
Вектор импульсного отклика Н имеет вид
Н=(— 2, 2 + — , 0, ..., 0,—2-2 ——, 2-2 + — , 0, ..., 0,
\ п п п
N— 2 N-2
—2-3 ——, 2-3—— , 2-3 + —, ..., —2/--^-, 2/ + — .
п п п п п
О, ..., 0, 2j + ±, — 2/— -i^-, ..., 2 + — , —2k (11.127)
. п п п
—2
408
Фильтр (11.127) имеет следующие параметры:
ц =------, v = ——....-.- .
2/ + /7п 2/2j+j/n
р2 =-----------------------------------
(4п2—2п+1) + 6/ (2п2+п) + 4j2 (4n2 + 4n+l)
При достаточно больших j и п
p~l/2j, p2~3//W.
(11.128)
(11.129)
Сравнивая (11.121), (11.122), и (11.129), можно заметить, что при
одинаковых потерях в отношении сигнал/шум, равных З/jN, сигналы
на выходе р-фильтра имеют вдвое меньший относительный уровень
максимального бокового лепестка по сравнению с сигналами на выхо-
де v-фильтра.
Предельное значение р2 = 3//W соответствует в три раза большему
отношению сигнал/шум по мощности в пике укороченного импульса
по сравнению с отношением сигнал/шум на выходе радиоканала, ра-
ботающего с N раз более коротким зондирующим импульсом.
Литература
11.1. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. Изд-во «Совет-
ское радио», 1966.
11.2. Garvin W.. W. Introduction to Linear Programming, New-York,
1960.
11.3. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Физ-
матгиз, 1961.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара матрица 364, 365
---обобщенная 362, 363, 365
Автоматическая регулировка уси-
ления 93, 94, 96
Алгоритм вычисления пеленга источ-
ника радиоизлучения 257
— построения дискретных сигналов
303
— решения задачи синтеза сигнала
351, 369
— — — линейного программирова-
ния 379, 385
Амплитуда сигнала в парциальном
канале приема 216, 217, 218
Амплитудный метод пеленгаций 216
Антенная решетка активная 107, 108
Базис 386, 387
Базисная переменная 386, 387, 388
Байесово решение задачи оценки
параметров 47, 49
Баркера сигналы 299, 301, 346
401
Белый шум 12, 13, 17, 26
— — как марковский процесс 20
Боковая компонента 261, 301, 335,
336, 337, 339, 357, 368
Булева алгебра 370
Вектор взаимной корреляции сиг-
нала и импульсного отклика фильт-
ра 376, 398
— выходного сигнала неоптималь-
ного фильтра 407, 408
— импульсного отклика 407
— корреляции сигнала 346
— минимаксный 337
— ненормированной авторкорреля-
ции 295
— неопределенности ненормирован-
ный 297, 298
— ортогональность 362
— параметров 25, 27
— циклической корреляции ненор-
мированный 296, 335
— сигналов Фрэнка 368
Вероятность апостериорная 3, 74,
76
— перехода из состояния в состоя-
ние 20, 61, 70
— правильного обнаружения быстро-
флюктуирующих сигналов 209—
215
410
— — — в случае медленного фе-
динга 209—215
Время когерентного накопления 295
Выборка 5, 46
— многомерная 5, 6, 7
Вычет квадратичный 341
Генератор последовательности сим-
волов 370
Гершгорна теорема 401
Девиация частоты ЛЧМ импульса
277
Декодирующее устройство 276
Дельта-функция 10, 13, 14, 84
Демодулятор AM импульсных сиг-
налов 92, 93
— ФМ импульсных колебаний 98
Дерево последовательностей состоя-
ний 354, 355
Детектор амплитудно-фазовый 228,
240, 251
Диаграмма направленности антенной
решетки 42, 43, 240
— — интерферометра 44, 238, 240
---нормирующая 239
— — парциальная 216, 248
— — разностная 239
— — суммарная 218, 239
Дискрет временной 312
Дискриминатор AM сигналов 92,
168
— задержки корреляционный 104
— — с согласованным фильтром 104
— нормированный 77
— частотный оптимальный 107
— угловой 109
— ЧМ сигналов 169
— ФМ сигналов 170
Дисперсия оценки параметра сиг-
нала 58—67
— ошибки измерения угловой коор-
динаты 232
Закон «корня из N» 336, 338
Зеркало антенны 218
Измерение мощности шумоподоб-
ного сигнала 244, 245
— радиальной скорости 32
Измеритель амплитуды сигнала 219,
220
— неследящий 69, 79, 84
— следящий 69, 78, 84, 88, 89,
— — с экстраполяцией 78, 79,
82, 83, 120, 137, 139—143
— угловой координаты НО, 219,
220, 225
--- оптимальный 234
— — фазовый 233, 241
Импульс зондирующий 282
— гетеродина 281, 282*
— модулирующий 289
— укороченный 290
Интегратор 95
Интерферометр двумерный 233, 234
— двухэлементный 44, 45
— одномерный 238
Канал приема парциальный 217
— связи 68
— — с дискретным временем 69
Квантователь амплитудный 304, 307,
309
— временной 304, 308
Кодирование внутриимпульсное 271
Комбинация начальная 328, 329
Корень первообразный 320, 321, 328
Коррелятор 33, 35
— двухканальный 104
— многоканальный 260
Корреляция циклическая 296, 301,
334, 342, 355
Корреляционная обработка 35
Корреляционные свойства сигналов
345
Критерий синтеза v-фильтра 378
Коэффициент весовой 305, 311
— использования передатчика 357—
362
— передачи согласованного фильтра
34
--- нелинейного элемента 95
— укорочения импульса 288
— усиления 77, 79, 94, 99
Лежандра последовательность сим-
волов 339, 341, 343, 345, 346: 364,
368
Линия задержки 39, 40, 41
— — диспергирующая 285
— — с дискретными отводами 284
—------непрерывным съемом 284
Матрица квадратная 323, 324
— корреляционная 7, 8, 53, 58
— производящая 318, 324
— экспоненциальная 9
Метод линейного программирования
379, 385
— максимального правдоподобия 51,
220, 234
— малого параметра 56
— неопределенных множителей 393
— простого перебора 321
Модуляция комплексная 30
|л-критерий 378
ц-фильтр 378, 385
Накопитель корреляционный двоич-
но-квантованных сигналов 303
Направление равносигнальное 217,
219
Неоднозначность измерения 261
Неоднородность несогласованная в
волноводном тракте 289
Нормировка сигнала 104, 228, 233,
241, 252, 377
v-критерий 378
v-фильтр 378, 393, 394, 403
«Обеление» 18, 19
Облучатель 216, 218
Обработка ЧМ сигнала комбиниро-
ванная 286
Основание последовательности 317
Отклик согласованного фильтра 33,
34, 40, 283
Ошибка измерения аппаратурная
231, 232
— — мощности сигнала 247
— — пеленга 249
--- систематическая 233
---шумовая 231
Оценка параметра сигнала 47, 48,
50, 51, 220, 225, 237
Память последовательности 317
Пейджа схема расположения центра
диаграммы направленности 217, 221,
225, 226
Пеленгатор источника шумоподоб-
ного сигнала 251, 252, 254
Период последовательности 318,
320, 325
— — максимальный 319
— — — двоичных символов 327
— элемента поля 323, 325
Плотность вероятности двумерная 6
— — многомерная 5, 7, 69
— — одномерная 6
— — перехода 20, 21, 69
— — процесса гауссовского 7
— — — марковского 69
— — условная 20
— мощности спектральная 8, 10
Подавление боковых лепестков 287,
288
Поле конечное 322, 323
— многочленов 322, 323
— целых чисел 322
Полином, производящий рекуррент-
ную последовательность 326, 327
— максимальный 327, 328
— характеристический 327, 330
411
Последовательность импульсов с ли-
нейно нарастающим расстоянием
между ними 266
— — с минимальным числом сов-
падений 268
— линейная рекуррентная 317
--------максимальная 301, 319, 321
— , состояние начальное 319,
320, 321
— , — особое 318, 320
— нелинейная рекуррентная 353
Правило кодирования 317, 324, 329
— — для минимаксных сигналов
324, 325, 330
---максимальное 327, 328, 330,
332, 333
---нелинейное 353, 356
— перехода 354
— построения базисного решения
389
Прием сигналов с использованием
ЦВМ 303—309
Приемник корреляционный дискрет-
ных сигналов 303, 375, 376
— — ЛЧМ импульсов 281
---ФМ импульсов 274, 275
— обнаружения 197
— оптимальный 32, 33, 80, 303
— — AM импульсов 186, 187, 189
— — ФМ импульсов 192
— парциальный 228 229
Процесс гауссовский 7, 8, 15, 16
— марковский 20, 22
— регулярный 24
— релеевский 23, 24
— узкополосный 15, 16, 17, 18
— —, аналог огибающей 308
Пэли — Плоткина последователь-
ность символов 302, 342, 343, 364,
365
Пятно фокальное антенной системы
218
Радиолокатор, использующий им-
пульсы с внутриимпульсной мо-
дуляцией 271
Радиометр 242
Регистр сдвигающий 369
«Свертка» цифровая сигнала 304,
310, 311
Сигнал дискретный 293, 295, 312—
315
— зондирующий 32, 260, 262
— импульсный групповой 293, 294,
363
— источника радиоизлучения 248,
252
— разностный 239
— суммарный 240
412
— на входе активной антенной ре-
шетки 38
— непрерывный 293, 294
— нормирующий 239
— опорный 273, 275
— регулярный 73
— шумоподобный 242, 244, 245, 247
Симплекс-метод 386
Система связи 69., 77, 123, 182
— согласованных фильтров 35
Сканирование электрическое 41
Средний риск 47, 48, 49
Спектр ЛЧМ импульса 280, 281
Тело неопределенности зондирующего
сигнала 263
Теория конечных полей 324, 325
— искажений 290, 292
— марковских процессов 20
— связи статистическая 3
Точность измерения предельная 58
Укорочение сигнала 271
Уравнение правдоподобия 222, 225
— фильтрации 78, 81, 91
— Фоккера — Планка 22
— Фредгольма I рода 11
Уровень минимаксный 337, 339, 343
Фединг быстрый 214, 215
— медленный (дружный) 215
Фильтр неоптимальный 375—377
— «обеляющий» 18
— согласованный 33, 35, 272, 288
— с характеристикой Дольфа —Че-
бышева 287
------- Тейлора 287
-------Хэмминга 287, 288
Формирование сигнала 218, 369—
373
Фрэнка сигналы 367, 368
Функционал плотности вероятно-
сти 6
-------белого шума 11, 12
— — —процесса гауссовского 9, 11,
12, 13, 17, 25
— — — — марковского 19
--------регулярного 24, 25
----релеевского марковско-
го 24
— — случайного 6
— — — — узкополосного 16, 17
— — — — экспоненциально-
корреляционного 10, 17
Функция автокорреляционная сиг-
нала 37, 38
-------БарКера 229 299, 300
-------зондирующего 37, 38, 261
-----Последовательности импуль-
сов 263
— весовая 26
— корреляционная 7, 8, 10, 12
-----белого шума 13
-----процесса узкополосного 15,
16
— неопределенности зондирующего
сигнала 35, 36, 261
-----импульсного дискретного сиг-
нала 262, 297
— — ЛЧМ импульса 277, 278
-----непрерывная 262
----- параметров 42
-----последовательности импуль-
сов 263
— потери 48, 49
— , байесово решение 49
— — квадратичная 49
— правдоподобия параметров сиг-
нала 4, 25, 234
— сигнальная 27, 31, 51, 66
Шермана сигналы 268—270
Шумы приемника 245, 247
Эджворта ряд 214, 215
Эйлера функция 321, 324
Экстраполяции блок 78, 79, 82, 120,
132, 137, 139, 141, 143, 149, 156,
180
Элемент поля 323, 324, 325, 334
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.....................................................
ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ ПРИ ПРИЕМЕ
В ГАУССОВЫХ ШУМАХ.........................• : : 5
1.1. Функционалы плотностей вероятностей................. • • 5
1.2. Функционал плотности вероятности гауссовского случайного
процесса.................................................... '
1.3. Функционалы плотностей вероятностей некоторых гауссовских
процессов..................................................
1.4. Замена переменной в функционале плотности вероятности . . 17
1.5. Функционалы марковских процессов......................
1.6. Функционал плотности вероятности регулярного процесса . 24
1.7. Функция правдоподобия параметров сигнала при приеме в гаус-
совом шуме............................................... • • 25
1.8. Функция правдоподобия параметров сигнала со случайной на-
чальной фазой при приеме в гауссовом шуме...................28
1.9. Совместное измерение радиальной дальности и радиальной ско-
рости движения цели в радиолокации..........................31
1.10. Совместное измерение задержки и угла прихода..........38
Литература.......................................................45
ГЛАВА 2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО
ПРАВДОПОДОБИЯ 46
2.1. Использование теории решающих функций в задаче оценки па-
раметров сигнала [2.1].......................................46
2.2. Оценка нескольких параметров регулярного сигнала при при-
еме в гауссовом шуме.........................................50
2.3. Оценка нескольких параметров сигнала со случайной началь-
ной фазой при приеме в нормальном шуме.......................55
2.4. Предельные точности измерения параметров сигнала при прие-
ме в белом шуме [2.2—2.4]....................................58
2.5. Предельные точности измерения параметров сигнала при при-
еме в гауссовых коррелированных шумах........................66
Литература........................................................67
ГЛАВА 3. СИНТЕЗ ОДНОМЕРНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ..........68
3.1. Задача синтеза.........................................68
3.2. Одномерные марковские процессы с непрерывным временем
и непрерывным пространством состояний.......................69
3.3. Рекуррентные уравнения для финальной апостериорной вероят-
ности ......................................................74
3.4. Уравнения фильтрации в случае гауссовского марковского про-
цесса [3.4].................................................76
3.5. Рекуррентное уравнение в разностной форме [3.5] ..... 79
3.6. «Большая» и «малая» апостериорные дисперсии . .. .... 83
3.7. Линейная фильтрация....................................85
3.8. Фильтрация радиосигналов с амплитудно-импульсной моду-
ляцией и некогерентной несущей..............................90
3.9. Прием импульсной амплитудной модуляции. Когерентная не-
сущая ......................................................93
3.10. Автоматическая регулировка усиления...................93
3.11. Импульсная фазовая модуляция..........................96
414
3.12. Измерение задержки некогерентных импульсов.........100
3.13. Оптимальные дискриминаторы измерителя задержки . . . 103
3.14. Импульсная частотная модуляция. Некогерентная несущая 105
3.15. Изменение угловой координаты с помощью активной антенной
решетки...................................................Ю?
3.16. Основные результаты синтеза одномерных дискретных систем 111
3.17. Фильтрация регулярных сигналов.....................114
3.18. Фильтрация релеевского процесса [3.7]..............118
Литература....................................................122
ГЛАВА 4. СИНТЕЗ МНОГОМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ ..........123
4.1. Задача синтеза......................................123
4.2. Гауссовский марковский процесс [4.1]................124
4.3. Плотность вероятности перехода марковского процесса, опре-
деляемого линейным дифференциальным уравнением второго
порядка................................................. 128
4.4. Фильтрация параметра, удовлетворяющего линейному диффе-
ренциальному уравнению второго порядка [4.1].............130
4.5. Фильтрация полиномов [4.3]..........................137
4.6. Фильтрация двух независимых параметров. Совместное изме-
рение амплитуды и задержки...............................145
4.7. Методы синтеза многомерных измерителей негауссовских мар-
ковских процессов........................................151
Литература...............................................156
ГЛАВА 5. СИНТЕЗ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ.......’ .... 157
5.1. Уравнения фильтрации параметра, являющегося цепью Мар-
кова .................;..................................157
5.2. Уравнение фильтрации для цепи Маркова с двумя состояния-
ми при малых qT..........................................161
5.3. Уравнение фильтрации цепи Маркова с двумя состояниями при
произвольном qT [5.3]....................................155
5.4. Типовые телеграфные сигналы.........................167
5.5. Процессы с несколькими состояниями..................171
5.6. Совместная фильтрация непрерывных и дискретных парамет-
ров 175
Литература....................................................181
ГЛАВА 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ ...............182
6.1. Уравнения фильтрации непрерывных сообщений..........182
6.2. Обычная амплитудная модуляция. Сравнение непрерывных и
дискретных систем........................................183
6.3. Двухполосная модуляция без несущей..................188
6.4. Фазовая модуляция.....................'.............190
6.5. Частотная модуляция.................................193
Литература....................................................196
ГЛАВА 7. ОБНАРУЖЕНИЕ ФЕДИНГУЮЩИХ СИГНАЛОВ.....................197
7.1. Вероятность обнаружения сигналов с релеевским распределе-
нием амплитуды...........................................197
7.2. Вероятность ложной тревоги..........................203
7.3. Характеристики обнаружения федингующих сигналов при ре-
леевском распределении амплитуд..........................209
7.4. Быстрый и медленный релеевский фединг...............214
Литература....................................................215
ГЛАВА 8. СИНТЕЗ МОНОИМПУЛЬСНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ УГЛОВЫХ КООРДИНАТ
ИСТОЧНИКОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО И ШУМОПОДОБНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ......216
8.1. Амплитудные моноимпульсные измерители координат . . . . 216
8.2. Анализ шумовых и аппаратурных ошибок................231
8.3. Фазовые методы угловых измерений....................233
415
8.4. Измерение интенсивности шумоподобного сигнала.......242
8.5. Пеленгация источников шумоподобного излучения.......247
8.6. Флуктуационная ошибка измерения угловой координаты источ-
ника шумоподобного излучения.............................254
Литература....................................................259
ГЛАВА 9. ФОРМИРОВАНИЕ И ПРИЕМ СИГНАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ......260
9.1. Характеристики зондирующих сигналов.................260
9.2. Функции неопределенности последовательности импульсов . 263
9.3. Оптимальный прием сигналов с внутриимпульсной модуля-
цией ................................................ .... 271
9.4. Импульсы с линейной частотной модуляцией............276
9.5. Искажения ЛЧМ импульсов в радиотракте РЛС...........289
9.6. Дискретные сигналы..................................293
9.7. Классы дискретных сигналов..........................301
9.8. Цифровые способы «свертки» дискретных сигналов......303
9.9. Искажения дискретных сигналов в радиотракте РЛС [9.13] 312
Литература....................................................316
ГЛАВА 10. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕННОГО СДВИГА..317
10.1. Линейные рекуррентные последовательности...........317
10.2. Способы отыскания правил кодирования МЛРП..........322
10.3. Некоторые максимальные правила кодирования.........327
10.4. Корреляционные свойства сигналов, основанных на МЛРП 333
10.5. МЛРП и последовательности символов Лежандра........339
10.6. Синтез дискретных сигналов по заданным корреляционным
свойствам................................................346
10.7. Нелинейные рекуррентные последовательности.........353
10.8. Синтез сигналов с действительными компонентами .... 356
10.9. Групповые импульсные сигналы.......................362
10.10. Многофазовые сигналы Фрэнка [10.12]...............367
10.11. Некоторые специальные способы формирования и приема дис-
кретных сигналов.........................................368
Литература....................................................374
ГЛАВА 11. ПОДАВЛЕНИЕ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ ПРИ НЕОПТИМАЛЬНОМ ПРИЕМЕ . . 375
11.1. Фильтры для подавления боковых лепестков [11.1]......375
11.2. Алгоритм ^.-критерия.................................385
11.3. jx-фильтры для приема сигналов Баркера [11.1]........389
11.4. Синтез v-фильтров [11.1].............................393
11.5. Синтез v-фильтров. Второй метод......................397
11.6. Вопросы «сверхукорочения»............................406
Литература......................................................409
Предметный указатель............................................410