Б.А.Дубровин
С.П.Новиков
А.Т.Фоменко
СОВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методы и приложения
Том I ♦ Геометрия поверхностей,
групп преобразований и полей
Издание четвертое,
исправленное и дополненное
Эдиториал УРСС
Москва ♦ 1998

Дубровин Б.А., Новиков СП., Фоменко А.Т.
СОВРЕМЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ: Методы и приложения.
Том I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей.
Издание четвертое, исправленное и дополненное. —
М.: Эдиториал УРСС, 1998, — 336 с.
Книга включает геометрию пространства Евклида и Минковского,
их группы преобразований, классическую геометрию кривых и
поверхностей, тензорный анализ и риманову геометрию, вариационное
исчисление и теорию поля, основы теории относительности.
Книга рассчитана на студентов — математиков, механиков, физиков-
теоретиков, начиная со 2-го курса университета, и обеспечивает курсы
геометрии, читаемые на 2—3 годах обучения. Более сложные разделы
книги будут полезны также студентам старших курсов, аспирантам и
научным работникам.
Группа подготовки издания:
Директор Доминго Марин Рикой
Зам. директора Наталья Финогенова
Макет Ирина Макеева,
Леонид Иосилевич
Технический редактор Марина Копылова,
Марина Круцко
Техническая поддержка Виктор Романов
Подписано к печати 20.10.97 г. Формат 70x100/16. Тираж 1000 экз.
Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Печ. л. 21. Зак. № 604Ь.
Лицензия ЛР .N«064418 от 24.01.96 г.
Издательство «Эдиториал УРСС»
113208, г. Москва, ул. Чертановская, д. 2/11, ком. прав.
Отпечатано в АООТ «Политех—4»
129110, г. Москва. Б. Переяславская, 46
BN 5-901006-01-1 (Полное произведение) © Дубровин Б. А.,
5-901006-02-Х (Том I) Новиков С. П.,
Фоменко А. Т., 1986.
© «Эдиториал УРСС»,

Оглавление
Предисловие к первому изданию 7
Предисловие ко второму изданию 10
Глава 1. Геометрия в области пространства. Основные понятия 11
§ 1. Системы координат 11
1. Декартовы координаты в пространстве (11). 2. Замена координат (12).
§ 2. Евклидово пространство 16
1. Кривая в евклидовом пространстве (16). 2. Квадратичные формы и
векторы (21).
§ 3. Римановы и псевдоримановы пространства 23
1. Риманова метрика (23). 2. Метрика Минковского (26).
§ 4. Простейшие группы преобразований 28
1. Группы преобразований области (28). 2. Преобразование
плоскости (29). 3. Движения трехмерного евклидова пространства (34). 4.
Другие примеры групп преобразований (37).
§ 5. Формулы Френе 39
1. Кривизна плоских кривых (39). 2. Пространственные кривые.
Кривизна и кручение (43). 3. Ортогональные преобразования, зависящие от
параметра (46).
§ 6. Псевдоевклидовы пространства 48
1. Простейшие понятия специальной теории относительности (48).
2. Преобразования Лоренца (50).
Глава 2. Теория поверхностей 56
§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве 56
1. Координаты на поверхности (56). 2. Касательная плоскость (58).
3. Метрика на поверхности (60). 4. Площадь поверхности (62).
§ 8. Вторая квадратичная форма 66
1. Кривизна кривых на поверхности в евклидовом пространстве (66).
2. Инварианты пары квадратичных форм (68). 3. Свойства второй
квадратичной формы (69).
§ 9. Метрика сферы 74
§ 10. Пространственноподобные поверхности 76
1. Псевдосфера (76). 2. Кривизна пространственноподобных
поверхностей в R] (78).
§ 11. Комплексный язык в геометрии 79
1. Комплексные и вещественные координаты (79). 2. Эрмитово
скалярное произведение (80). 3. Примеры групп комплексных
преобразований (82).
§ 12. Аналитические функции 83

4
Оглавление
1. Комплексная запись элемента длины и дифференциала функции (83).
2. Комплексные замены координат (85). 3. Поверхности в комплексном
пространстве (87).
§ 13. Конформный вид метрик поверхностей 89
1. Изотермические координаты. Гауссова кривизна в конформных
координатах (89). 2. Метрики сферы и плоскости Лобачевского в
конформном виде (93). 3. Поверхности постоянной кривизны (95).
§ 14. Группы преобразований как поверхности в ^-мерном пространстве . . 96
1. Координаты в окрестности единицы (96). 2. Экспонента от
матрицы (101). 3. Кватернионы (103).
§ 15. Конформные преобразования 107
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория 113
§ 16. Примеры тензоров 113
§ 17. Общее определение тензора 118
1. Закон преобразования компонент тензоров произвольного
ранга (118). 2. Алгебраические операции над тензорами (123).
§ 18. Тензоры типа (0, к) 125
1. Дифференциальная форма записи тензоров с нижними
индексами (125). 2. Кососимметрические тензоры типа (0,к) (127). 3. Внешнее
произведение дифференциальных форм. Внешняя алгебра (129). 4.
Кососимметрические тензоры типа (fc,0) (поливекторы). Интеграл от
антикоммутирующих переменных (130).
§ 19. Тензоры в римановом и псевдоримановом пространстве 132
1. Поднятие и опускание индексов (132). 2. Собственные значения
квадратичной формы (134). 3. Оператор * (135). 4. Тензоры в евклидовом
пространстве (135).
§ 20. Кристаллографические группы 136
§ 21. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве 151
1. Кососимметрические тензоры. Инварианты электромагнитного
поля (151). 2. Симметрические тензоры и собственные значения. Тензор
энергии-импульса электромагнитного поля (155).
§ 22. Поведение тензоров при отображениях 157
1. Общая операция ограничения тензоров с нижними индексами (157).
2. Отображение касательных пространств (158).
§ 23. Векторные поля 158
1. Однопараметрические группы диффеоморфизмов (158). 2.
Экспонента от векторного поля (160). 3. Производная Ли. Примеры (161).
§ 24.Алгебры Ли ? 164
1. Алгебры Ли и векторные поля (164). 2. Основные матричные алгебры
Ли (165). 3. Линейные векторные поля (170). 4. Левоинвариантные поля
на группах преобразований (171). 5. Метрика Киллинга (173). 6.
Классификация трехмерных алгебр Ли (174). 7. Алгебра Ли конформной
группы (175).

Оглавление 5
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров 179
§ 25. Дифференциальное исчисление кососимметрических тензоров 179
1. Градиент кососимметрического тензора (179). 2. Внешний
дифференциал формы (181).
§ 26. Кососимметрические тензоры и теория интегрирования 186
1. Интегрирование дифференциальных форм (186). 2. Примеры
дифференциальных форм (190). 3. Общая формула Стокса. Примеры (194).
. 4. Доказательство общей формулы Стокса для куба (200).
§ 27. Дифференциальные формы в комплексных пространствах 202
1. Операторы dl и d" (202). 2. Кэлерова метрика. Форма кривизны (204).
§ 28. Ковариантное дифференцирование 206
1. Евклидова связность (206). 2. Ковариантное дифференцирование
тензоров произвольного ранга (213).
§19. Ковариантное дифференцирование и метрика 216
1. Параллельный перенос векторных полей (216). 2. Геодезические (218).
3. Связности, согласованные с метрикой (218). 4. Связности,
согласованные с комплексной структурой (221).
§ 30. Тензор кривизны 224
1. Общий тензор кривизны (224). 2. Симметрии тензора кривизны.
Тензор кривизны, порожденный метрикой (227). 3. Примеры: тензор
кривизны двух- и трехмерных пространств, метрики Киллинга (228).
4. Уравнения Петерсона—Кодацци. Поверхности постоянной
отрицательной кривизны и уравнение «sin-gordon» (232).
Глава 5. Элементы вариационного исчисления 236
§ 31. Одномерные вариационные задачи 236
1. Уравнения Эйлера—Лагранжа (236). 2. Основные примеры
функционалов (239).
§ 32. Законы сохранения 242
1. Группы преобразований, сохраняющих вариационную задачу (242).
2. Некоторые примеры. Применение законов сохранения (243).
§ 33. Гамильтонов формализм 250
1. Преобразование Лежандра (250). 2. Движущиеся системы
координат (252). 3. Принципы Мопертюи и Ферма. Приложения (255).
§ 34. Геометрическая теория фазового пространства 256
1. Градиентные системы (256). 2. Скобка Пуассона (258). 3.
Канонические преобразования (262).
§ 35.Лагранжевы поверхности 265
1. Пучки траекторий и уравнение Гамильтона—Якоби (265). 2.
Случай гамильтонианов, являющихся однородными функциями первого
порядка от импульсов (268).
§36. Вторая вариация для уравнения геодезических 271
1. Формула второй вариации (271). 2. Сопряженные точки и условие
минимальности (273).

6 Оглавление
Глава 6. Многомерные вариационные задачи. Поля и их геометрические
инварианты 275
§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 275
1. Уравнения Эйлера—Лагранжа (275). 2. Тензор
энергии-импульса (277). 3. Уравнения электромагнитного поля (281). 4. Уравнения
гравитационного поля (285). 5. Мыльные пленки (290). 6. Уравнение
равновесия тонкой пластинки (294).
§ 38. Примеры лагранжианов 298
§ 39. Простейшие понятия общей теории относительности 300
§ 40. Спинорное представление групп SO(3) и 0(3,1) 310
1. Автоморфизмы алгебры матриц (310). 2. Спинорное представление
группы 50(3) (312). 3. Спинорное представление группы Лоренца (313).
4. Уравнение Дирака (316). 5. Уравнение Дирака в электромагнитном
поле. Оператор зарядового сопряжения (317).
§ 41. Ковариантное дифференцирование полей 317
1. Калибровочные преобразования. Калибровочно инвариантные
лагранжианы (317). 2. Форма кривизны (320). 3. Основные примеры (321).
§ 42. Калибровочно инвариантные функционалы 324
Список литературы 329
Предметный указатель 331

Предисловие к первому изданию
До последнего времени риманова геометрия и основы топологии не входили
в программы обязательного университетского математического образования даже для
математических факультетов. Раньше существовали (и до сих пор существуют кое где)
курсы классической дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, на которые
все постепенно стали смотреть как на анахронизм. Однако до сих пор нет единой
точки зрения на то, как именно эти курсы следует модернизировать, какую часть
современной геометрии следует считать общеобязательным элементом современной
математической культуры, сколь абстрактным должен быть язык ее изложения.
Модернизированный курс геометрии начал создаваться на отделении механики
механико-математического факультета МГУ в 1971 г. Здесь точка зрения на содержание
и уровень абстрактности изложения геометрического курса диктовались
соображения-ми необходимости: кроме геометрии кривых и теория тензоров, их ковариантное
дифференцирование, риманова кривизна, геодезические и вариационное исчисление,
включая законы сохранения и гамильтонов формализм, особый случай кососимметри-
ческих тензоров («форм»), операций над ними, многомерные формулы типа Стокса и
их инвариантная запись безусловно полезны в различных разделах механики, особенно
в механике сплошных сред, теории относительности и др. Многие ведущие механики
разделяли точку зрения математиков о полезности внедрения некоторых сведений из
теории многообразий, групп преобразований, алгебр Ли, а также изложения
простейших идей наглядной топологии. При этом язык изложения всех частей курса
должен был быть предельно простым, не абстрактным, терминология — общей с той,
которая используется физиками всюду, где это возможно. Этот материал и составил
первоначальный курс, записанный в МГУ в виде пособий:
Новиков С. П. Дифференциальная геометрия, части I и II. — Ротапринт НИИ
механики при МГУ, 1972.
В дальнейшем авторы видоизменяли разные части курса, добавляли новые. Эти
дополнения были изданы в МГУ.
Новиков С. П., Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия, часть III. —
Ротапринт НИИ механики при МГУ, 1974.
Эта книга написана авторами в результате обработки, упорядочения и
дальнейшего развития ротапринтных пособий по геометрии, о которых мы упоминали выше.
Она, как нам кажется, может служить учебным пособием, на базе которого без труда
формируется обязательный геометрический курс.
Идея создания пособия такого типа и план книги принадлежат С. П. Новикову.
Работа по согласованию материала упомянутых выше ротапринтных пособий с этим
планом была проведена Б. А. Дубровиным. Это составило более половины первой
части книги. Весь остальной материал пришлось писать целиком заново. Неоценимый
вклад при завершении работы над книгой внес редактор Д. Б. Фукс.
Содержание написанной нами книги значительно выходит за рамки
обязательного курса, который может быть прочитан студентам 2—3-го курсов университета.
Это сделано авторами преднамеренно: мы хотели, чтобы уже в части I ряд разделов
служил для дальнейшего самостоятельного ознакомления студентов и аспирантов с
более сложными геометрическими по своей сути понятиями и методами теории групп
преобразований и алгебр Ли, теории поля вариационного исчисления, в частности с
теми, которые играют фундаментальную роль в математическом формализме физики.
При этом мы старались минимизировать уровень абстрактности языка изложения и

8
Предисловие
системы обозначений, жертвуя часто так называемой «общностью» формулировок и
доказательств: нередко важный факт в узловых, определяющих всю суть дела
примерах может быть получен из элементарных соображений классического анализа и
геометрии, не использующих никакие современные «сверхинвариантные» понятия и
обозначения, но его формулировка и особенно доказательство «в общем виде» требуют
резкого усложнения уровня формализации абстрактности. В таких случаях мы излагали
вывод именно для этих важнейших примеров на том простейшем языке, который
для этого нужен, оставляя доказательство общего утверждения за рамками этой книги
или помещая его уже потом. При изложении геометрических вопросов, связанных
с современной физикой более тесно, мы анализировали физическую литературу:
довольно большие начальные части книг по квантовой теории поля (например [36],
[37]) содержат ряд полезных сведений о важных понятиях, связанных многомерным
вариационным исчислением и простейшими представлениями групп Ли в той форме,
в какой они используются физиками; книги [38], [39] посвящены теории полей,
геометрических по своему смыслу; например, существенная часть книги [38] является
изложением римановой геометрии в физическом аспекте и содержит много полезного
конкретного материала. Любопытно посмотреть также книги по механике
сплошных сред и теории твердого тела ([40]-[42]), чтобы составить себе представление о
некоторых применениях тензоров, теории групп и т.д.
При написании книги авторы не стремились к полному «самообслуживанию»; в
математическом образовании изучение геометрии является лишь одной из компонент;
ряд вопросов анализа, дифференциальных уравнений, алгебры, элементов общей
топологии и теории меры излагается в других курсах. Мы в данной книге не
занимались изложением этих вопросов, лишь в случае необходимости напоминая
формулировки.
Вторая часть книги, посвященная геометрии и топологии многообразий,
содержит гораздо больше материала, выходящего за рамки обязательного курса, чем
первая. Книг по топологии и геометрии многообразий было написано немало; однако
большинство их посвящено узким частям этой области и написано языком (как
правило, весьма абстрактным), специально приспособленным только для изложения
данного узкого раздела со всеми обоснованиями, являющимися зачастую основными
источниками сложности. По мере возможности мы и этой части соблюдали принципы
минимальной абстрактности изложения, предпочтения важнейших примеров обшим
теоремам и возможной независимости изложения разных глав, чтобы каждую из них
в отдельности было легче читать (если это вообще допускается сутью дела). Однако
следует иметь в виду такое обстоятельство: хотя ряд понятий топологии (например,
узлы зацепления, фундаментальная группа, гомотопические группы, расслоенные
пространства) вводится без особого труда, попытки серьезно использовать их простейших
примерах неизбежно требуют развития некоторого аппарата, не представленного
никакими аналогии в классической математике. В следствии этого сложность второй
части для читателя, даже хорошо владеющего аппаратом классической математики, но
впервые изучающего элементы топологии, существенно выше, чем в первой части, —
тут ничего не поделаешь. Внедрение этих методов в различные разделы самой
математики, начиная с 50-х годов, было весьма интенсивным. В последние годы возник ряд
«ростков» нетривиального применения методов топологии (иногда вместе с
комплексной алгебраической геометрией) в ряде современных математико-физических задач:
в квантовой теории конкретных полей, имеющих геометрическую природу, например
полей Янга— Миллса, киральных полей, в теории жидких кристаллов и сверхтекучести,
в общей теории относительности, в теории некоторых важных в физике нелинейных
волновых уравнений, например, Кортевега—де Фриза, sin-gordon и др., в статической

Предисловие
9
механике некоторых веществ с «длинными молекулами» (попытки применения узлов
и зацеплений). Мы не можем, к сожалению, изложить сами эти приложения в рамках
данной книги, так как их изложение в каждом случае потребовало бы большого
количества предварительных физических сведений, которые увели бы нас весьма далеко.
Однако при подборе материала мы считались с информацией о том, какие
топологические соображения и понятия имеются в этих приложениях, зная о необходимости
иметь по топологии книгу, которую мог бы (при сильном желании) прочесть молодой
физик-теоретик современной школы, и при этом с определенной пользой.
Развитие топологических и геометрических идей за последние 20 лет потребовало
существенного усложнения алгебраического аппарата, переплетающегося с
многомерной геометрической интуицией, глубокого использования функционального анализа и
теории уравнений в частных производных, комплексного анализа; все это не вошло
в данную книгу, претендующую на элементарность (многое из этого не изложено до
сих пор ни в одной книге учебного типа и изучается лишь по журнальным статьям
монографиям).
' Наглядным и общеполезным разделом классической геометрии поверхностей в
трехмерном пространстве является также геометрия в целом, в особенности теория
выпуклых фигур и ее приложения. Большой интерес также представляют глобальные
проблемы теории поверхностей отрицательной кривизны. Не будучи специалистами в
этих областях, авторы не смогли выделить из них достаточно простых и иллюстративных
«выжимок», которые могли бы быть помешены в элементарную книгу. С этими
разделами геометрии читатель может познакомиться по книгам [4]—[6].
По техническим соображениям третья часть книги, относящаяся к теории
гомологии, будет издана авторами отдельно.
Из книг по топологии и геометрии многообразий по самому подходу к
выбору материала авторам оказались наиболее близкими классические книги Зейферта и
Трельфалля «Топология» и «Вариационное исчисление в целом», а также более
современные прекрасные книги [11], [12], [17]. Материал этих книг и методика их авторов
активно пользовались и продумывались нами в процессе работы. Если говорить второй
части, мы хотели написать нечто вроде современного аналога книги типа «Топология»
Зейферта и Трефалля. однако гораздо более разносторонней по содержанию,
перестроенной по мере возможности на технику современной теории гладких многообразий
с упрощенным языком, обогащенную новым материалом, ориентированную на
сегодняшнее представление о значении топологических методов, о возможном читателе,
впервые изучающим топологическую книгу, но желающем узнать не слишком мало и
при этом минимально возможное время. Нам казалось разумным в то время, в которой
это вообще возможно в математической книге (особенно в первой части), пытаться
использовать методический опыт, накопленный физиками: как сделать математические
нетривиальные явления понятными с помощью минимальных общедоступных средств
(не отказываясь, разумеется, от характерного для математической литературы
выделения в тексте явных формулировок теорем и лемм). В любом случае, по нашему мнению,
понимание должно предшествовать формализации и обоснованию. Существует немало
фактов, использование которых в применениях никак не связано с тем, как именно
этот факт был доказан (лишь бы он был верен). Иногда в процессе разбора примеров
(особенно в более сложных разделах второй части) мы приводим такие факты без
доказательства и затем их используем. Нам этот прием кажется оправданным. Читатель,
наконец, сам сможет (если захочет) разобрать по другой литературе доказательство
факта, приложения которых он уже хорошо знает (для этого мы рекомендуем книгу [26]).
Впрочем, мы старались разбить доказательство таких фактов на вполне решаемые
задачи, помещенные в соответствующих параграфах в число упражнений.

10
Предисловие
В двух последних главах книги помещен ряд извлечений из современной
литературы по динамическим системам и слоениям, общей теорией относительности,
теорией Янга—Миллса и киральных полей. Излагаемые здесь идеи принадлежат
различным авторам. В данной книге, носящий чисто учебный характер, мы сочли
возможным не приводить соответствующего длинного списка цитирований. Читатель,
который будет изучать эти вопросы более глубоко по современной литературе, найдет
в ней и соответствующие цитирования.
В заключение авторы хотели бы выразить свою глубокую благодарность
коллегам по механико-математическому факультету МГУ, чья ценная поддержка сделана
возможной работу над новыми геометрическими курсами и их внедрением. Из числа
ведущих математиков факультета это относится в первую очередь к создателю школы
советских топологов П. С. Александрову и известным геометрам П. К. Рашевскому и
Н. В. Ефимову.
Авторы благодарны редактору книги Д. Б. Фуксу за большую работу по
усовершенствованию рукописи, а также рецензентам А. Д. Александрову, А. В. Погорелову,
Ю. Ф. Борисову, В. А. Топогонову, В. И. Кузьминову, сделавшим ряд полезных
замечаний.
Авторы выражают также особую благодарность ученым, способствовавшим
внесению в материал книги ряда нестандартных разделов. Например, доказательство
теоремы Лиувилля о конформных отображениях отсутствует в общедоступной
литературе и было сообщено авторам В. А. Зоричем. Редактор книги Д. Б. Фукс указал авторам
простые доказательства ряда теорем. Авторы благодарят также О. И.
Богоявленского, М. И. Монастырского, С. Г. Гиндикина, Э. Б. Винберга, Д. В. Алексеевского,
И. В. Грибкова. П. Г. Гриневича.
Предисловие ко второму изданию
При подготовке второго издания книги авторы учли многочисленные отзывы
и пожелания читателей — от студентов и аспирантов до крупных ученых,
математиков и физиков. Наиболее значительной методической перестройке подверглись
разделы, посвященные геометрической теории фазового пространства и гамильтонова
формализма. Дано также систематическое изложение бесконечномерного (теоретико-
полевого) обобщения гамильтонова формализма. Далее, в качестве одного из
приложений теории кососимметрических тензоров в § 18 включен формализм так называемого
интегрирования по антикоммутирующим переменным. Методически улучшены главы.
посвященные многомерному вариационному исчислению. Серьезно расширен текст
начала второй части с тем, чтобы более элементарно подвести читателю к понятию
многообразия. Ликвидированы некоторые ошибки в доказательстве теоремы Лиувилля
о вполне интегрируемых системах. Были устранены некоторые другие недочеты и
замеченные отпечатки и расширен список литературы.
Авторы благодарят Я. Б. Зельдовича, замечания которого позволили улучшить
изложение в ряде мест при подготовке английского и французского издания книги
(разумеется, эти улучшения сделаны в настоящем издании). Авторы благодарны
рецензентам переработанного варианта книги А. В. Погорелову и 10. Г. Решстняку за
ряд полезных замечаний.

Глава 1
Геометрия в области пространства.
Основные понятия
.§ 1. Системы координат
Мы начнем с обсуждения некоторых понятий, лежащих в основе геометрии.
Школьная, греческая геометрия изучала различные метрические свойства простейших
геометрических фигур. Основные задачи, решаемые в ней, — нахождение соотношений
между длинами и углами треугольников и многоугольников. Кроме того, на базе этого
были вычислены площади поверхностей и объемы некоторых тел. Центральные понятия
школьной геометрии, на основе которых она строилась, — это длина отрезка прямой
(или кривой для случая окружности), а также угол между двумя пересекающимися
линиями (прямыми или кривыми).
Основная цель аналитической геометрии — описание геометрических фигур
формулами в декартовой системе координат на плоскости или в трехмерном
пространстве. По сравнению со «школьной» геометрией здесь изменился лишь метод, но
предмет остался тем же самым. Равным образом и дифференциальная геометрия —
это тот же предмет, но дополнительно здесь будут глубоко использоваться средства
дифференциального исчисления и линейной алгебры. При этом дифференциальная
геометрия расширяет класс рассматриваемых объектов, вводя в рассмотрение общие
гладкие фигуры.
1. Декартовы координаты в пространстве. Итак, наши основные представления
о геометрии таковы:
1. Геометрия разворачивается в некотором пространстве, которое состоит из
точек Р, Q,...
2. Следуя методу аналитической геометрии, в это пространство можно ввести
декартовы координаты. Введение декартовых координат в пространство означает, что
каждой точке пространства поставлен в соответствие набор действительный чисел
ж',...,х", называемых ее координатами, причем требуется выполнение следующих
свойств:
а) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат; это
означает, что две точки Р и Q с координатами (х\...,хя), (у1,...,у") совпадают в
том и только в том случае, если ж' = уг, г — 1,2,...,и;
б) наоборот, каждому набору (х[ ,...,хп), где ж' — любые действительные
числа, должна соответствовать какая-то точка Р изучаемого пространства.
Определение 1. Пространство, в котором введены декартовы координаты (ж',...,х")
так, что выполняются перечисленные свойства, называется n-мерным декар-

12
Глава 1. Геометрия в области пространства
товым пространством !> и обозначается через
измерений или размерностью пространства.
Число п называется числом
Часто мы будем называть сами наборы (х\...,хп)
точками декартова пространства. Простейший пример декартова
пространства — это числовая прямая, которая является
одномерным декартовым пространством. Здесь имеется только
одна координата х1 (п — 1). Другие примеры, появляющиеся
в аналитической геометрии, — это декартовы координаты на
плоскости (двумерное декартово пространство) и в «обычном»,
т.е. трехмерном, пространстве (рис. 1). Этих примеров было
вполне достаточно для решения задач «школьной» геометрии.
Укажем менее привычный, но крайне важный пример
декартова пространства. Современные физические
представления не допускают разделения пространства и времени и сразу
апеллируют к четырехмерному пространственно-временному
континууму. Эта форма математического подхода к упорядочению явлений природы
является чрезвычайно удобной.
Точками пространственно-временного континуума являются события. Каждому
событию поставим в соответствие набор из четырех чисел (t,xl,x2,x ), где t —
«момент времени», когда произошло событие, х',х2,х3 — координаты «места
события». Величины (i,x',a;2,a;3) и будут декартовыми координатами в пространственно-
временном континууме. Таким образом, пространственно-временной континуум есть
четырехмерное декартово пространство. Теперь можно забыть
исходную интерпретацию координат (£,ж',х2,х3) как времени и
места события. Трехмерное пространство, в котором
разворачивается классическая геометрия, тогда будет просто поверхностью
уровня t — const. Процесс жизни каждого объекта, который
можно в любой момент времени считать одноточечным («точечной
частицы»), отождествляется с линией xa(t), а = 1,2,3, t\ ^ t ^ t2,
в четырехмерном пространстве. Эту линию мы назовем мировой
линией точечной частицы (рис. 2). Мы также будем рассматривать
трехмерный и даже двумерный пространственно-временной
континуум с координатами (t,х\х2) и (t,x]) соответственно, так как
в этих случаях легче рисовать.
2. Замена координат. Пусть в n-мерном декартовом пространстве задана
числовая функция /(Р), т.е. функция от положения точки Р в пространстве. Пользуясь
декартовыми координатами, мы можем представить функцию / как функцию от п
действительных переменных: если Р = (х1,... ,х"), то /(Р) = /(х1,... ,х"). Мы будем
рассматривать только непрерывные (и даже непрерывно дифференцируемые) функции
f(xl,...,x"). Функции / могут быть определены не на всем пространстве М.", а только
на его части — на области пространства.
Определение 2. Область или область без границы (открытое множество) — это
совокупность D точек в Ш.п такая, что вместе с любой точкой из этой совокупности
ей принадлежат также все достаточно близкие к ней точки пространства.
Более точно, если Pq = (х^,...,zj) лежит в области D, то найдется такое е > О,
Рис. 2.
Возможно, такая терминология не является общеупотребительной. Мы надеемся, что это не смутит
читателя.

§ !. Системы координат 13
что если для точки Р = (х .... , х") выполняются неравенства
|хг - XqI < г, i = 1,...,71,
то Р лежит в области D.
Определение 3. Область с границей получается из области без фаницы добавлением ее
предельных точек. Граница области состоит из добавленных точек.
Простейший пример области без границы — это все пространство R". Другой
простой пример области без границы: область состоит из таких точек плоскости (ж^хт),
что х2 + х\ < р (открытый круг). Соответствующая область с границей состоит из
таких точек (хьх2), что х, + х\ < р2. Этот пример является в определенном смысле
типичным. Имеет место простая теорема.
Теорема 1. Пусть в пространстве К" задан набор непрерывных функций f\(P),...,
fm(P), Р = (s1,..., х"). Рассмотрим совокупность D точек Р, удовлетворяющих
неравенствам
/,(Р)<0, /2(Р)<0,...,/т(Р)<0.
Тогда D — область без границы.
Аохазательстзо. Пусть Р() = (х,1,,... ,х") лежит в D, т.е. /|(Ро) < 0,..., /т(Ро) < 0.
Тогда из теоремы о сохранении знака непрерывной функции следует, что при
каждом j найдется такое e.j > 0, что неравенства la;1 - zdl < £у, i = 1,2,...,«,
влекут за собой неравенство /,-(Р) < 0. Беря е - min(e1,... ,em), мы видим, что
D содержит все точки {х{... ,хп), у которых \х' - х^\ < е. Таким образом, D —
область без границы. Я
Замечание. Двигаясь по кривым изнутри области D : /,(Р) < 0, j = 1,...,m, можно
достичь, в силу непрерывности функций /,■, лишь тех точек Р, где /,-(Я) ^ 0. Если
выполняются простые аналитические ограничения на функции /i,-.-,/m (мы укажем
их в томе II), то любая точка Р такая, что fj(P) = 0 при любом j, достижима. Эти
ограничения выполнены во всех встречающихся ниже примерах. Таким образом, при
этих ограничениях решения неравенств /,(Р) ^ 0, j = 1,.. .,тп, дают область с границей.
Очень важным и часто встречающимся является понятие ограниченной области
в пространстве, т. е. такой, что все достаточно далекие от начала координат точки ей
не принадлежат.
Декартовы координаты (х',...,х") во всем пространстве R" дают, очевидно,
координаты и в любой области D, но они принимают не все значения. Для
функций fix'—,:ся), определенных в области, можно говорить о непрерывности и
дифференцирусмости так же; как и для функций во всем пространстве Ш.".
Пусть заданы какие-либо другие координаты (г1, ... ,z") в той же области. Мы
можем написать
xl-xl(z\...,zn), г = 1,2,...,п,
z'=3V,...,*"), J = 1,2,...,11. { ]
Написанные равенства означают просто, что каждой точке области можно
сопоставить как набор декартовых координат (ж1,..., хп), так и набор новых координат
(z1,... ,zn), — поэтому декартовы координаты можно выразить через новые и наоборот.
Разберем первоначально линейные замены координат в пространстве:
п
х1 = ^а}У, г = 1,...,п (2)

14
Глава 1. Геометрия в области пространства
(более краткая запись: ж' = a)z\ где подразумевается суммирование по повторяющимся
индексам). Как известно из линейной алгебры, для того, чтобы можно было выразить
z через ж, необходимо и достаточно, чтобы матрица A = (aj) имела обратную
В = А~] = (b'j). Обратная матрица определяется так: Ь}а{ = S'k, где
,• _ Г 1 при i = к,
"к ~ \ 0 при г" ф к.
(символ Кронекера), суммирование по j подразумевается. Итак, декартовы координаты
х],..., ж" точки Р выражаются через новый набор чисел zx,..., zn с помощью матрицы
A = (dj). Равенство (2) можно кратко записать так:
X = AZ, X = (х\...,хп), Z={z\...,zn).
Равенство (2) означает, что если точка Р соответствовала набору координат ж1,...,
ж", то в новых координатах ей соответствует набор z',...,zn такой, что х' = а'^.
Мы видели, что матрица А должна быть обратимой и, значит, иметь отличный от
нуля определитель (быть невырожденной). Тогда можно выразить и новые координаты
через старые:
Z = ВХ, zj = b{xk (3)
(суммирование по &).
Рассмотрим теперь произвольные новые координаты ж1 = x'(z\... ,zn), i =
1,...,п, где функции x'(z\... ,zn) предполагаются непрерывно дифференцируемыми
(гладкими).
Мы предполагаем, что новые координаты изображают каждую точку изучаемой
области пространства, — это значит, что любому набору чисел (Xq, ..., х") в изучаемой
области соответствует хотя бы один набор (zq,...,Zq) такой, что х'9 = x'(zg,... ,zj),
i= 1,...,71.
Определение 4. Точка Р — (жд,... ,жд) называется неособой точкой системы координат
(г1,... ,zn), если матрица
(дх{ , .
где Zq,...,Zq таковы, что ж!(г0',... ,zj) = ж0, i — 1,..., тг имеет ненулевой
определитель (не вырождена).
Матрица А называется матрицей Якоби данной замены и обозначается через
J — ||. Определитель матрицы Якоби называется якобианом и обозначается
дг ■
через J:
. дх\ —
3 - det — = det J.
dz
Из курса математического анализа известна следующая теорема об обратном
преобразовании (частный случай общей теоремы о неявных функциях).
Если задан переход к новым координатам х' — x'(z), i — 1,...,п, причем
x'(z^,... ,zq) и J — det (|f) Ф 0 при zl = z0',... ,z" = z", то в достаточно
х.
малой окрестности точки (xl,...,x") можно выразить координаты zl,...,z" через

§ 1. Системы координат 15
ж1,..., ж" так, что z' — z'(x), причем zlQ = z'(xl0,... , xJJ), i — 1,..., п. При этом
матрица (bj) = (§^)> т.е. матрица Якоби обратного преобразования, будет обратной
матрицей по отношению к матрице (о*) = (|р-), т.е.
dzi дх> i
M^=Sk (5)
Для п = 1 это утверждение выглядит так: если х = x(z), x(zu) = ж0 и ^ ф О
при z = z0, то можно выразить г через ж, г = z(x), так, что га = z(xQ) и ^ ^ = 1 в
достаточно малой окрестности точки х0.
В разобранном выше случае линейных замен координат X = AZ, т. е. х' = ajzj.
В этом случае матрица Якоби -£ совпадает с матрицей А, так как а\ — -^ и эти
числа постоянны. При этом если detj4 Ф 0, то замена обратима во всем пространстве
и Z = ВХ, где В — матрица, обратная к А.
Разберем другие примеры координат на плоскости и в пространстве, известные
из аналитической геометрии.
1. На плоскости рассматриваются полярные координаты г, >р, для которых
ж =rcosip, х~ = rs\n<p. (6)
Здесь всегда г > 0.
Далее, пары (г,<р) и (г, <р + 2ктт) при целом к изображают одну и ту же точку
Р = (ж1,ж2). Поэтому ip является однозначной координатой, лишь если потребовать,
чтобы 0 ^ ip < 2ж. При г = 0 дополнительно надо сказать, что все пары (0,(р)
изображают одну и ту же точку (начало координат), так что в начале координат
происходит нечто еще худшее. Убедимся, что начало координат есть особая точка
полярной системы координат. Составим матрицу Якоби:
(Ох1 Ох1 \
э, av \ _ fcosp -rsm<p\
id. <>£. ) Ksimp rcostpj' K '
dr dip I
Мы имеем для якобиана
J - det A = r > 0.
Итак, якобиан равен нулю лишь в точке г = 0. Если выразить г через ж1, ж2, то
г = \/(х])2 + (ж2)2. Эта функция не дифференцируема при ж1 = 0 , ж2 = 0. В области
{г > 0, 0 < <р < 2тг} новые координаты полностью однозначны и не имеют особых
точек.
2. Цилиндрические координаты zl —г, z2 = <р, гъ = z в трехмерном декартовом
пространстве с декартовыми координатами ж1,ж2,ж3, где
x*=rcostp, х =rsin<p, х — z. (8)
Здесь г = 0 задает прямую, ось z, вдоль которой координатная система «портится».
Действительно, матрица Якоби здесь имеет вид
COSip
sin 93
0
-г sin ip
+ COS(p
0
0
0
1
A= [ simp + cos ip 0 , (9)

16 Глава 1. Геометрия в области пространства
и якобиан равен нулю только при г = 0. В области г > 0 система координат ire имеет
особых точек. Как и выше, координата <р однозначна в области 0 < <р < 2тг.
3. Сферические координаты z — г, z — в, z^ = ip в
трехмерном пространстве (рис. 3). Имеем
х' = г cos <z> sin в, ж2 = г sin <р sinfl, хъ = гсо%в,
(10)
г > 0, 0 < 9 < ж, 0^<р^2ж.
Для сферических координат матрица Якоби имеет следующий
вид:
/ cos <р sin 9 г cos ip cos 9 -г sin ^ sin 0 \
A = ( sinipsin# r sin <p cos в rcostpsin9 . (11)
\ cos 9 -rsir\9 0 /
Якобиан J = detA имеет вид
J = r'sir\9.
Мы видим, что в области г > 0, в Ф 0, тг этот якобиан не обращается в нуль.
Сферическая система координат однозначна и не имеет особых точек в области
г > 0, 0 < # < jt, 0 < уз < 2тг. Точки г = 0 (любые 9, (р) или 5 = 0, ж (любые г, <р) —
это особые точки.
§ 2. Евклидово пространство
Кроме перечисленных в предыдущем параграфе понятий, в основе наших
представлений о геометрии лежит понятие длины линии в пространстве и понятие угла
между двумя пересекающимися линиями, измеренного в точке их пересечения. Эти
наши представления основаны на том, что (в некотором приближении) мы живем в
евклидовом трехмерном пространстве, в котором существуют декартовы координаты
со специальными свойствами.
1. Кривая в евклидовом пространстве. Пусть декартовы координаты в
трехмерном пространстве таковы, что если точке Р соответствуют три ее координаты (х',х2,
х3), а точке Q — координаты (у*,у1,у2), то квадрат длины прямолинейного отрезка,
соединяющего точки Р и Q, равен I1 — (х1 - у1)2 + (х2 - у2)1 + (xJ - у')2. Тогда
пространство называется евклидовым, а декартовы координаты с такими свойствами
называются евклидовыми координатами.
Из курса линейной алгебры известно, что с точками евклидова пространства
удобно связывать векторы. У нас имеется начало координат — точка О; назовем
вектор, ведущий из точки О в изучаемую точку Р, радиус-вектором этой точки.
Декартовы координаты (ж',х ,х ) точки Р мы будем называть координатами вектора.
Два вектора £ = (х\х2,х2), т\ — (y\y2,yJ), ведущих из точки О в точки Р и
Q соответственно, можно складывать покоординатно и получить вектор £ + ?/ с
координатами (ж1 + у , х2 + у2, х + у2). Можно также умножить вектор па число.
Единичные векторы е|,е2,ез с координатами е\ = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1)
имеют длину, равную 1. Далее будет видно, что они вдобавок взаимно перпендикулярны.
Любой вектор £ с координатами (ж1,ж2,ж3) имеет вид £ = х'е; +х2е2 + xJe3. Здесь все
пространство трехмерно ип = 3. Для любых п, разумеется, все аналогично. Поэтому
евклидово пространство зачастую рассматривается как линейное (или векторное)
пространство, в котором квадрат расстояния между точками (концами радиус-векторов)
Р = (х\ х1,

§2. Евклидово пространство 17
£ = (х',...,х') и 7; = (у ,... ,уп) измеряется как t - J2(x' -у')'. В трехмерном
i=i
евклидовом пространстве мы имеем п = 3, для плоскости п = 2, а случай п > 3
является их простым обобщением.
В евклидовом пространстве имеется важная операция, называемая скалярным
произведением векторов.
Определение 1. Если заданы вектор £ = (х\...,хя) и вектор т? = (у1,... ,у"), то их
евклидовым скалярным произведением называется число
<Ы = Х>у. (О
Это скалярное произведение обладает следующими важными свойствами:
a) (£,i?) = {i?,£);
• 6){A,^+A26,i7)=A,{f,Ii7)+A2(ft,ij),
где А| и А2 — любые действительные числа;
в) {£,£)> 0, если^О.
Декартовы координаты ж ,...,хп, в которых это скалярное произведение имеет
вид (1), называются евклидовыми.
Используя понятие скалярного произведения, можно сказать, что квадрат длины
прямолинейного отрезка, ведущего из точки Р с радиус-вектором £ = (х1,..., х") в
точку Q с радиус-вектором т? = (у\...,уп), есть скалярный квадрат вектора f - 77,
а длина любого вектора С = (г1,... ,г") равна \/\С>0- Часто длину вектора £
обозначают через |£| = \АС>С)• Свойство в) означает, что все ненулевые векторы (
имеют положительную длину.
Из аналитической геометрии известно, что для двух векторов £ = (ж1,..., ж"),
т) = (т/1,..., уп) угол между ними тоже выражается через скалярное произведение:
cosw = — — = . (2)
Таким образом, длины и углы тесно связаны с понятием скалярного произведения
между векторами. В дальнейшем именно скалярное произведение будет взято за
основное, первичное понятие, на котором строится геометрия.
Пусть теперь имеется кривая линия в евклидовом пространстве, заданная в
параметрической форме:
х] =f\t),...,xn = f\t), (3)
где параметр t пробегает отрезок от а до Ь и /'(i) — гладкие функции параметра
i, г = 1,...,п. Касательным вектором или вектором скорости кривой в момент t
называется вектор
fdf dfn\
"w = (-5---ij- (4)
Определение 2. Длиной линии называется число
ь ъ
I = J y/(v(t),v(t)) dt = J \v{t)\ dt. (5)

18
Глава 1. Геометрия в области пространства
Иначе говоря, длиной линии называется интеграл от длины ее вектора скорости2'.
Если есть линия х' = f'(t), i — 1,... ,п, и другая линия х = g'(t), г = 1,... , га,
пересекающиеся при t = tn (т. е. /'(*о) = g\t0), * = 1,..., п), то можно говорить об угле
между этими линиями в точке пересечения. Обозначим касательные векторы скорости
к линиям при i = t0 соответственно через
df dfn
~dt'""~d7
w
dg] dgn
(6)
t=k
Определение 3. Углом между линиями в точке их пересечения при t = <() называется
такой угол <р (0 ^ (р < ж), что имеет место равенство
cosp= ——-. 7)
\v\\wi
Два последних определения можно рассматривать как важные факты, которые
должны доказываться в курсе математического анализа. Но в действительности их
можно рассматривать и как первичные определения. Нужно только проверить соответствие
этих определений наглядным понятиям о длинах и углах между кривыми в евклидовом
пространстве. Из школьного курса геометрии известно, что длина окружности радиуса
R равна 2itR. Далее, из аналитической геометрии известно, что длина прямолинейного
отрезка — вектора f с координатами у\...,уп — равна \/(у1)2 +... + (уп)2 (по
теореме Пифагора). Проведем вычисление для отрезка и окружности и убедимся, что
наше определение длины дает те же числа.
1) Отрезок. Для простоты пусть он выходит из начала координат. Тогда он
задается формулой х' = ylt, где г = 1,...,п, 0 ^ t ^ 1. При t = 0 все координаты
х' — 0, а при t — 1 все координаты х' = у\ т.е. мы попадаем в конец вектора £. Длина
нашего отрезка прямой равна
/=/v(^)2+-+(?)di=v/(,y)2+-+(2/n)2'
т. е. мы получили известную формулу для длины отрезка.
2) Окружность. Она задается формулой (на плоско
где 0 ^ t :¾ 2ж. Вектор скорости здесь имеет вид v(t) = (-Rsint,Rcost), и длина равна
2) Окружность. Она задается формулой (на плоскости) х] = R cost, х1 = Rsint,
МЛ
I = J Vr2 sin2 t + R2 cos21 dt = 2%R. (8)
о
Для окружности мы также имеем нужный ответ.
Кроме того, наше определение длины удовлетворяет тому требованию, что длина
кривой, составленной из двух кусков, равна сумме длин этих кусков.
Авторы не претендуют на аксиоматическое изложение понятия длины. Мы не пытаемся выводить
единственность этого определения из каких-либо аксиом. Это определение само есть аксиома.

§2. Евклидово иространство
19
Заметим, однако, что формула (5) для длины кривой относится к
параметризованным кривым х' = f'(t), i = 1,..., n, а ^ t :¾ Ь. Попросту говоря, мы
бежим вдоль линии вместе с параметром t, меняющимся между а и Ь со скоростью
v(t) = ("^",---!"^г)> и эта скорость v(t) бега по кривой явным образом входит в нашу
формулу
ь
= J \v(t)\
dt.
(9)
Что будет, если мы побежим по той же самой кривой с другой скоростью? Мы
движемся от точки Р = (/'(о),... ,/"(о)) до точки Q = (/'(Ь),... ,f"(b)). Получим ли
мы то же самое число, если будем двигаться по той же самой линии от точки Р к
точке Q, но с другой скоростью?
Точная постановка этого вопроса такова. Пусть задан новый параметр г,
меняющийся от а' до b' (а ^ г ^ Ь1), и параметр t представлен в виде функции от г,
t = t(r), t(a') = a, t(b') = b, причем ^ > 0. Последнее неравенство означает просто,
что мы бежим по параметру г в ту же сторону по кривой, что и по параметру t. Тогда
наша кривая представлена в виде
х{ = 1\1) = /(Цт))=д\т), i =1,...,п.
Скорость движения по параметру г имеет вид
dr
а < т < Ь'.
Длина кривой в новой параметризации равна
ъ'
I' = J \w(t)\ dr.
(10)
(И)
(12)
Покажем, что
6' ь
i = f\w(T)\dT = l= j \v(t)\dt.
Вычислим длину вектора ю(т):
Ыт)\ =
— 'dg^2 _
М
^ \ dr
;~Ь
2-f \dt dr)
так как т- > 0. Поэтому
" /df'\2 dt , ,
0 0 s
I' = f \id(t)\ dr = J \v(t(r))\ ^ dr = J \v(t)\ dt,
что и требовалось доказать.

20
Глава I. Геометрия в области пространства
Вывол. Hjiuho отрезка на кривой не зависит от скорости пробегаиия этого отрезка
кривой.
Таким образом, наше определение длины удовлетворяет всем необходимым
требованиям для обслуживания наших интуитивных представлений об этой величине.
Пример. Пусть кривая на плоскости задана как фафик функции х1 = /(г'). Тогда в качестве
параметра { можно взять просто х1 : х' = t, х2 = f(t). Вектор скорости имеет вид
v = (], g^r) , и длина кривой равна
•1«-1Н£)
2
dx. (13)
На любой гладкой кривой (такой кривой, что параметр скорости v не обращается
в нуль) можно выбрать параметр I (размерности длины) так, чтобы вектор скорости
был единичным: \v\ — I. Такой параметр I называется натуральным. Для него
ь
J \v\ dl = Ь - а. Следовательно, натуральный параметр имеет простой геометрический
смысл — он равен длине отрезка кривой, который мы пробежали.
Пусть теперь в евклидовом пространстве с евклидовыми координатами (х1,.--,
х") задана другая система координат (z1,... ,zn), так что х' = x'(z\... ,zn), i = 1,... ,п.
Пусть кривая задается параметрически в новых координатах z' = z'{t), г = 1,....,п.
Тогда в исходных, евклидовых координатах та же самая кривая имеет вид
X3 =Xj(z(t)) = hJ(t), j =1,...,71.
Назовем вектором скорости кривой в координатах (г1,..., г") вектор vz(t) =
(vl,...,v"), где
, dzj
Щ = -г-. 3 = 1,..-, п. (14)
at
В исходных координатах (х\...,х") вектор скорости v = vx = (У^-,...,~). Это —
вектор, взятый в точке Р - (h](t),... ,hn{t)), тот же самый вектор, что и vz, но
взятый а точке Р — (z'(£),... ,za(t)). Точка Р одна и та же, вектор один и тот же, но
записанный в двух разных системах координат (z) и (х). Выясним, как преобразуются
координаты скорости при замене координат. Имеем
: dij Эх1 dzj дх1 ,
Щ= — = -^-7- =-T-^vl С5)
dt dz> dt dz>
(напоминаем: суммирование по j). Квадрат длины вектора скорости имеет вид
где введено обозначение
■А 9х! дх{
Ы = Ъё2д*- (1?)

§2. Евклидово пространство 21
Вывод. В произвольных координатах (г1,..., z"), где х = x(z), скалярный квадрат
вектора v, = {'-jf,..., -^-) скорости кривой задается формулой
, , dzj dzk
М =fel =*»-*-*' (18)
где
Едхг дх'
dzld?-
г—]
2. Квадратичные формы и векторы. Мы видели в предыдущем пункте, что
координаты вектора скорости кривой при замене координат ж = x(z) преобразуются
по правилу
i дх{ ,
*.= М* (,9)
или, кратко,
vx = Av2,
где А = (||) — определенная в предыдущем параграфе матрица Якоби замены, причем
мы даже не пользовались здесь тем, что координаты (ж1,...,ж") евклидовы. Закон
преобразования (19) можно положить в основу общего определения вектора.
Определение 4. Вектором в точке Р = (х]0,...,x[j) называется набор чисел (£',... ,£"),
отнесенный к системе координат (ж1,...,г"). Если две системы координат
(ж1,... ,ж") и (г',...,2™) связаны заменой ж = а;(г), причем ж!(~о,-.. ,z(") - х\ь
i = 1,..., re, то для новой системы координат г этот же вектор в точке г,1,,..., г,"
задается другим набором чисел (',..., с,"", который связан с исходным формулой
;_ дх'
(j. (20)
Следует обратить внимание, что главным в определении вектора является вид
закона преобразования (20).
Рассмотрим другой часто встречающийся геометрический объект — градиент
функции. Мы привыкли говорить, что градиент числовой функции /(ж1,... , ж")
(например, для случая п = 3) в декартовых координатах (ж1,... ,ж") — это вектор с
компонентами
grad/=(S— £)■ (21)
Положим (j = g^j, j = 1,..., п. Посмотрим, как выглядит градиент той же функции в
других координатах z',...,z", где x = x(z). Имеем
grad/<xW-, *"<*))= (^-,-.., |£
df _ df dxj

22 Глава 1. Геометрия в области пространства
Обозначив через щ компоненты -^ градиента в новой системе координат, получим
dxj
* = 57fc- (22)
Мы видим, что градиент функции при заменах координат преобразуется иначе,
чем вектор. Такая величина будет ниже называться ковектором.
Пусть теперь система координат х',...,хп евклидова, а ^ = (fi\... ,£") и
6 = (di-••>£?) — Два вектора, которые выходят из одной точки Р = {x\,...,xl).
В системе координат (z\...,zn) такой, что х = x(z), x{zn) — жо, эти же векторы
имеют соответственно координаты (т}\,... ,rj") и (%',... ,»?")< связанные с прежними
координатами формулами
где (aj) — матрица Якоби, вычисленная при zk — zq, к — 1,...,п. Скалярное
произведение векторов £\ и £2 в исходной системе координат имеет вид
п
<f.,6) = £&2 = *yd& (23)
В новой системе координат оно равно
п
(£ь6) = ]£>Ы><а*Ч2> = sW%*, (24)
где матрица
71
£j* = 2Z а5'а* = 5>«aiet (25)
i-l
— та самая матрица, которая появилась в предыдущем пункте при решении задачи о
вычислении длины кривой в произвольных координатах. Поэтому скалярное
произведение векторов в новых координатах определяется той же самой матрицей G = (д^).
Формула (25) на алгебраическом языке означает, что
G = А1 А, (26)
где т обозначает транспонирование матрицы. Выясним, как преобразуются компоненты
д^ матрицы G при переходе к новым координатам. Пусть заданы новые координаты
у1;...,у" в той же области, и zj = z?(y1.... ,у"), j = 1,... , та. Положим В = (¾) = |^.
Мы знаем, что тогда векторы fi, ¢4 в координатах у*,...,уп имеют компоненты
((1---,С"), (С:,---,С"), причем
4i'=bki. >й = *кг- (27)
Пусть матрица, дающая выражение для скалярного произведения в координатах (у),
равна h{j. Это означает, что
{£i,h) = hkiti(,i = 9ij4W2- (28)
Используя равенство (27), получаем
Лы<?<2 = (*tft,-u/)«f<2), (29)

§ 3. Римановы и псевдоримановы пространства
23
откуда
Лы = ЬдцЪ(. (30)
Итак, Я = BrGB.
Определение 5. Квадратичной формой (на векторах) в точке х\,..., Хд называется
набор чисел <?у, г,;' = 1,...,а, с <fc,- = <^,-, отнесенный к системе координат
(ж1,.- • ,£")• Если две системы координат (х1,...,хп) и (г1,..., г") связаны
заменой х = х(г), причем x\zl,..., zg) = х0, t = 1,... ,п, то для новой системы
координат (z\...,z") эта же квадратичная форма задается набором чисел
Ли, fc, / = 1,..., а, с ftjH = Лц, который связан с исходным набором формулой
дхк
9ii = ^
дх]
h-ы—■
dzl
(31)
В матричной форме это означает, что
G = А7 НА.
Если в точке Р задана квадратичная форма gtj, преобразующаяся при заменах
координат по закону (31), то на касательных векторах в точке Р можно определить
квадратичную (или билинейную) функцию {£,£} (или {£,»?}), полагая
Из закона преобразования (31) следует, что так определенные функции не зависят от
выбора системы координат, а зависят только от точки Р и вектора £ (или векторов (
И Г]).
§ 3. Римановы и псевдоримановы пространства
1. Риманова метрика. Понятие длины или, как говорят, метрики в пространстве
или области пространства уже обсуждалось нами. Длина гладкой кривой х1 — x'(t) в
n-мсрном пространстве с координатами (х1,... ,х") задается, по определению,
формулой (2.5)3)
ь
1= f\x(t)\dt, x = v=-£. (1)
II
и требует предварительного определения понятия длины вектора скорости кривой в
каждой точке пространства.
Риманова метрика предполагает задание длин векторов £ = (£',.••,£") в виде
м\2=gi3ee (2)
в данной системе координат. Это означает, что |£|2 есть квадратичная функция от
вектора £ в смысле предыдущего параграфа. Длина вектора должна не зависеть от

24
Глава I. Геометрия в области пространства
выбора системы координат, поэтому величины (¾ при замене координат должны
преобразовываться как компоненты квадратичной формы, т.е. по формуле (2.31).
Исходя из этого, введем понятие римановой метрики.
Определение 1. Римановой метрикой в области пространства К™ называется
положительная квадратичная форма, заданная на касательных векторах в каждой точке
и гладко зависящая от точки.
Используя данное в предыдущем параграфе определение квадратичной формы,
можно переформулировать определение римановой метрики в таком виде:
Определение 2. Римановой метрикой в области пространства с произвольными
координатами (г',... ,zn) называется набор функций 5ij — gji{zl,... ,zn), г, j = 1,..., тг,
причем матрица (<jjj) положительна определена.
Если заданы новые координаты (у1,...,у") в той же области и z' = z'(y\... ,уп),
i — I,... ,тг, то в новых координатах риманова метрика определяется набором функций
9ц = д'ц(у\---<у"), i,j = !,•••,», причем
dzk dzl
W9k'dyJ
& = -£J&4Z3- (3)
Положительная определенность матрицы ((¾) означает, что <7,j£'£J > 0, если вектор £
отличен от пулевого.
Если задана риманова метрика, то длина кривой z' ~ z'{t) равна
Г / dz' dzJ
(4)
Если заданы две кривые z' = f'(t), z' = h'(t), причем они пересекаются при
t — to, то углом между ними называется такое число tp (О ^ ip < тг), что
cosip — , ,, ,;
l£lM
здесь (£,7?) = giji'rf, |£| = \/{£,£)■ где £, rj — векторы скорости в точке пересечения
Определение 3. Пусть £ = (£', ...,£*) и Т] = (rj1,... ,77") — два вектора в точке
Р = (Zq, ... ,zj). Тогда их скалярным произведением называется число (£,7/),
равное
«,»/)=0у(*!,.. ■,-*?) IV- (5)
Законы преобразования (3), (2.20) величин (<?,;) и координат векторов (£')
обеспечивают независимость скалярного произведения двух векторов, исходящих из
одной точки, от выбора системы координат.
Скалярное произведение двух векторов, исходящих из разных точек, не
инвариантно при заменах координат.

§ 3. Римаповы и псевдоримановы пространства
Пример. Евклидова метрика.
а) п = 2. В евклидовых координатах ж1 = х, х1 = у
_ , _ / 1 при i=j, _ ( \ 0 \
ЗЧ ~ °<) - \ о при i Ф j; 3i' ~ V 0 1 ) ■
В полярных координатах г, ip
х =rcosip, х = rsinp (см.§1),
0 г2
25
r = z , <р = г~, д
Это означает, что для кривой г = r(t), р = <p(t), a^t ^.b
2
-/i/®45
<й.
6) n = 3. В евклидовых координатах x',x2,a:3 имеем дц = <5,->. В цилиндрических
координатах (у' = г, у2 = <р, у1 = z, см. § 1)
1 0 0
9ц = | 0 г2 0
О 0 1
I
■Ш
' .'(^\\('4\Л.
+ г2
dt
dt
В сферических координатах (у] = г, у2 = в, уъ = <р, см. § 1)
1 0 0
Я'ц = | 0 г2 О
О 0 г2 sin2
■/v(S)+-(SV+hW4U
(ft
<tt
Часто также пишут формулы для дифференциала dl или <й2:
dl2 = gijdz'dz'.
Для разобранных примеров получаем:
(6)
71
для декартовых координат dl = ^2(dx')2,
для полярных <#2 = (dr2) 4- г2(dtp)2, У (7)
для цилиндрических dl2 = (dr)2 + r2(dip)2 + (dz)2,
для сферических dl2 = (dr)2 + г2[(<20)2 4- sin2 e(dip)2].
Определение 4. Говорят, что метрика д^ = gji(z) евклидова, если найдутся координаты
х\...,хп, xi -x\z), с
det
дхк дх"
г-л ох ох
*=1

26
Глава ]. Геометрия в области пространства
Тогда в координатах х ,..., х"
7,-,- - оц - <; ^ i7tj
Координаты х1,..., х" называются евклидовыми координатами.
Все разобранные выше примеры метрик — это евклидовы метрики в разных
координатах. В следующей главе мы рассмотрим другие примеры римановых метрик.
2. Метрика Минковского. Пусть величины g^ = gji(z), i,j = 1,...,п.,
таковы, что матрица д^ невырождена, der. (<?;.,■) Ф О, но форма gi£i] неположительна
(индефинитна). Тогда мы говорим, что имеется псевдориманова метрика.
Мы говорим, что gij — псевдориманова метрика типа (p,q), где p + q = п, если
р и q — положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы
Нетрудно видеть (см. задачу в конце параграфа), что числа р и q определены
корректно, т. е. индексы инерции не зависят от системы координат.
Если д^ — псевдориманова метрика типа (р,q) и #у = gij(zl,... ,zj), то
квадратичную форму <7y£'f заменой £' = X^rf можно привести к виду
2..22 2
7/1 +••• +Щ~Г]р+Х -... -Т]п.
В окрестности точки такое приведение уже, вообще говоря, невозможно.
Определение 5. Говорят, что метрика gij = gji(z) псевдоевклидова, если найдутся новые
координаты xl,.i.,xn, хг — x'(z), det (Jfr) 7^ 0, такие, что
_дх^дх^_ дз? дз? дхр+1 дхр+[ дхп дхп
9ь ~ dzi dz~i '" Ijz7 ~dz~i ~~ ~dzT ~dzT ~ "' ~~ Hz7 Hz1'
В этих новых координатах
g'ij = 0 при t^ j,
g'u = 1 при i^p,
g'u = -1 при i^p+\.
Координаты (x',...,x") называются псевдоевклидовыми координатами типа
(p,q), где § = п - р. В пространстве М" можно ввести псевдоевклидову метрику
типа (р,д), определив «скалярное произведение» векторов £ = (£',.•■,£") и
Т] — (771,..., т)п) формулой
«, »/)„ = tW + • • ■ + iW - е+V+1 - - • • - fV.- (8)
при этом псевдоевклидовыми будут обычные координаты х',...,х";
пространство Ж™ с этой метрикой также называется псевдоевклидовым и обозначается
Можно считать, что р ^ [га/2], поскольку возможна замена д^ -» -д^.
Особенно важен случай пространства K?i3. Это — пространство
специальной теории относительности («пространство Минковского»). В специальной теории
относительности постулируется, что пространственно-временной континуум,
определенный в §1, является пространством Минковского М|3. Напомним, что точка в

§ 3. Римановы и псевдоримаяовы пространства 27
пространственно-временном континууме задается своими декартовыми координатами
(t,x],x ,х ). Здесь первая координата t имеет размерность времени, а координа-
размерность длины. Соответствующие псевдоевклидовы координаты
где с — постоянная, имеющая размерность скорости
(длина/время) и являющаяся скоростью света в пустоте.
ты (х',х2,х3)
таковы: х° = d,х'.х2,х3
Квадрат элемента длины dl имеет вид
dl2 = (dx0)2 - {dx)1 - (dx2)2 - (dx3)2.
(9)
Если есть две точки (события) Р, = (х",..., х3), Р2 = (х°ъ..., х3,), то величина
|Р, - Рг\1 = (хЧ - хУ - (х\ - х\)1 - (х2 - х\)2 - (х\ - х\)2
(10)
называется пространственно-временным интервалом между событиями Р\ и Р2.
Величина \Р] - Р2\2 может быть как положительной, так и отрицательной, а также нулем
(при несовпадающих точках Р, и Р2) (см. §6).
В заключение этого параграфа рассмотрим полезный пример координат в
пространстве S3 2 — псевдосферические координаты. Пусть псевдоевклидовы координаты
в jRji2 суть х°,х',х2. Определим псевдосферические координаты
(P,X,V), полагая
Тогда
х =pchx,
х1 = /jshxcos^,
х2 = pshxsinp,
(xV-(x')2
-co < p < CO,
0 < x < °o,
0 ^ V ^ 2x.
(x2)2 = p1 > 0.
(И)
0\2
Следовательно, координаты p, x, V заданы лишь в области (х )
(х1) - (х ) > 0. В пространстве М]2 эта область — внутренность „ .
конуса (х0)2 = (х1)2 + (х2)2 (рис. 4). Все точки этой области (кроме
точек оси х°) — неособые для псевдосферических координат. Квадрат элемента длины
dl2 в этой области имеет вид
dl2 = dp2-p2[(dX)2+sh1x(d<p)2\.
(12)
Нетрудно ввести псевдосферические координаты и во внешности конуса, задавая их
формулами
z0 = pshx, 1
х1 = pchxcosip,
х1 = pchx sin <p,
Этот случай менее важен для приложений.
р>0.
13)
Задача. Доказать, что тип псевдоримановой метрики не зависит от выбора системы
координат.

28
Глава 1. Геометрия в области пространства
§4. Простейшие группы преобразований
евклидова пространства
1. Группы преобразований области. Предположим, что в «.-мерном пространстве
заданы две области: область flx с координатами х1,..., х" и область Qz с координатами
z',..., z". Предположим далее, что каждой точке области Q: поставлена в соответствие
точка области Пх, так что х' - x'(z\...,z"), i= 1,...,71. Если координаты z\...,z"
можно выразить обратно через х',...,х", т.е. z] = zJ(x',... ,х"), j = 1,...,га, то
говорят, что задано преобразование области Пг в область Qx. При этом мы, конечно,
требуем, чтобы функции x'(zl,... ,z") и обратные им функции zJ(x',... ,х") были
гладкими. Тогда якобианы det (^) и det (j|) нигде не обращаются в нуль.
Если области Qx и Qz совпадают, т.е. Qx = Ог = Q, то говорят, что задано
преобразование области П. Таким образом, преобразование области Q — это введение
новых координат в этой области такое, что новые координаты можно всюду в области
выразить через старые и наоборот:
х —x(z ,..., z ), zJ - zJ (x , . . . , X ).
Напомним, что совокупность элементов G называется группой, если в этой
совокупности заданы две операции: каждой паре д, h элементов из G ставится в
соответствие их произведение д oh из G и каждому элементу д из G ставится в
соответствие элемент д~1 из G. При этом должны иметь место следующие свойства:
1) (fog)oh = fo(goh);
2) существует такой элемент 1 6 G что 1 о д = д о I = д;
3)ffo(0-')= I.
Все преобразования данной области П образуют группу. Операция произведения
двух преобразований определяется так: если tp — преобразование
x = x(z), (1)
и -ф — преобразование
z = z(y), (2)
то ip о ty — суперпозиция этих преобразований
х = x(z(y)). (3)
Обратное преобразование ip~] определяется так:
z = z(x) (4)
(т.е. координаты z] из равенства (I) выражаем обратно через х',...,х"). Роль
элемента I играет тождественное преобразование
х = z , г = 1,...,71. (5)
Свойства 1), 2), 3) проверяются без труда.
В дальнейшем мы из группы G всех преобразований будем выделять некоторые
подгруппы, важные для геометрии. Пусть в области П имеется некоторая метрика
(риманова или псевдориманова), задаваемая в координатах х',...,х" симметрической
невырожденной матрицей (¾ = д^(х\...,х"). Если задано преобразование х' =

§4. Простейшие группы преобразований 29
г'(г',...,г"), то в координатах z\...,z" эта же метрика задается матрицей g[j =
^(z\...X), гае
, дхк Эх'
9ii = ^79ktdli- (6)
Определение 1. Преобразование х' — x'(zl,... ,z") называется движением данной
метрики4', если
g'ij(z],...,zn)-gij[x,(z),...,xn(z)J. (7)
Таким образом, движение метрики точно сохраняет вид скалярного произведения (<?1;).
Имеет место следующее простое утверждение.
Лемма 1. Все движения данной метрики образуют группу.
Действительно, если два преобразования ip и -ф сохраняют вид метрики, то и
их суперпозиция будет сохранять вид метрики, обратное преобразование <p~l также
сохраняет вид метрики. Кроме того, тождественное преобразование сохраняет вид
метрики по определению.
Эта группа называется группой движений данной метрики.
2. Преобразование плоскости, а) Пусть х1, х2 — декартовы координаты в
плоскости. Простейшим примером преобразования плоскости является сдвиг (или
транашция) плоскости как целого вдоль какого-либо вектора £ = (£',£"). В координатах
это преобразование имеет вид
х'=^+^, x2 = z2 + £2. (8)
Произведение двух таких сдвигов на векторы ^hij имеет вид
X^z'+tf'+l/'), X2 = Z1 + (i1+Tf),
т.е. опять есть сдвиг на вектор £ + ч]. Преобразование, обратное преобразованию (8),
имеет вид
г'=х'-£', г2 = х:-£2. (9)
Это также есть сдвиг па вектор -£. Тождественное преобразование есть сдвиг на
нулевой вектор. Таким образом, сдвиги плоскости образуют группу. Каждому сдвигу
соответствует вектор £ в плоскости, причем произведению сдвигов соответствует сумма
векторов, а обратному сдвигу — вектор -£. Это означает, что группа всех сдвигов
плоскости изоморфна группе векторов в плоскости. Эта группа коммутативна (абелева),
так как £ + Т) = т? + f.
б) Следующий пример — растяжения (гомотетии) плоскости, не являющиеся,
вообще говоря, движениями. В координатах растяжение определяется формулами
xl = Az\ x2 = Az2, (10)
где А — произвольное вещественное число, отличное от нуля. Произведение двух
растяжений — в А раз и в fi раз — имеет вид
х1 = А/пД х2 = А/м/2. (11)
4) Мы часто будем так говорить, подразумевая под этим движение пространства, сохраняющее данную
метрику.

30 Глава I. Геометрия в области пространства
Растяжение, обратное к (10), имеет вид
I Л 2
X'
*-т Z~T (12).
Таким образом, растяжения плоскости образуют группу. Эта группа также абелева и
изоморфна группе отличных от нуля действительных чисел по умножению.
в) Сдвиги вместе с растяжениями. Речь идет о преобразованиях, задаваемых
формулами
x] = \zl+£l, x2 = Xz2 + (,2, A ^0. (13)
Если zl = цу1 +ц1, z2 = цу2 + г)2 — другое такое преобразование, то суперпозиция
этих двух преобразований имеет вид
s'^A/ifo'+tf' + Ai/1),
2 2 2 2 (!4)
х2 = (\ц)у2 + (Г + W).
Таким образом, первое преобразование определялось парой (А,£), где А — отличное
от нуля вещественное число, f — вектор на плоскости, второе — парой (p.,rj), а их
суперпозиция (А,£)°(/Л??) — парой (A/t,f + А77). Таким образом, если мы отождествим
преобразование (13) с парой (А,£) (где А — отличное от нуля вещественное число, а
£ — вектор на плоскости), то суперпозиция (\,0°(P>V) определяется формулой
(A,Oo(/i>J7) = (A/i,f + Aij). (15)
Преобразование, обратное к преобразованию (А,О, запишется в виде (x,-}f)-
Следовательно, сдвиги вместе с растяжениями образуют группу. Эта группа неабелева.
Действительно, из формулы (15) следует, что суперпозиция (p., rf) о (А,£) равна
(ц, V) ° (А, 'О = (А/4, ?7 + цО ф (А, О о (ц, tj).
Замечание. Группа сдвигов и растяжений плоскости имеет нормальный делитель (сдвиги),
причем факторгруппа изоморфна группе растяжений. Формула (15) является
определением полупрямого произведения группы сдвигов плоскости и группы ненулевых
Действительных чисел по умножению, состоящей из растяжений.
г) Линейные преобразования плоскости. Эти преобразования имеют вид
х1 = azl + bz2,
х2 = czl + dz
>._..- »» &)-(: i)со-
Такое преобразование определяется матрицей ( " . J. Чтобы преобразование (16) было
обратимым, т.е. чтобы из уравнений (16) можно было выразить z',z2 через i',x2,
нужно, чтобы определитель Д = ad - be был отличен от нуля, т.е. чтобы матрица
( " Л была невырожденной. Если имеется другая невырожденная матрица ( ", / ) и
1 /1,,(2
z = ay + by,
(17)
z2 = c'yl+d'y \
— соответствующее линейное преобразование, то суперпозиция преобразований (16) и
(17) имеет вид
х — (аа + Ьс)у + (ab' + bd!)y~:
х' = (со! + dc)y + (cb1 + dd')y~.

§ 4. Простейшие группы преобразований 31
Это преобразование также линейно и оно отвечает произведению матриц (а * ),
(", j J. Таким образом, группа линейных преобразований плоскости изоморфна
группе невырожденных матриц второго порядка. Эта группа также неабелева.
д) Аффинная группа получается из линейной добавлением трансляций. Каждое
преобразование из этой группы определяется парой (А,О* гДе А — невырожденная
матрица, £ — вектор в плоскости. Вид аффинного преобразования таков:
xl = az1 + bz2 + t\
2 1 , 2 л шш х = Az + £, (19)
xl = czl +dzl +С
где
Д = ad - be Ф 0.
Закон суперпозиции в аффинной группе имеет следующий вид:
(А,0°(В,т}) = (АВ,£ + Ат,). (20)
Аффинная группа является полупрямым произведением группы невырожденных матриц
второго порядка и группы векторов на плоскости.
е) Пусть на плоскости задана евклидова метрика, и х\х2 — евклидовы
координаты на плоскости. Метрика #у в координатах имеет вид
Выясним, какие из аффинных преобразований (19) являются движениями евклидовой
метрики. В координатах (z , z ) метрика задается матрицей g[j, где
, дхк дх{ _ Д, дхк дхк
9ij-JF6klJzJ-^J7JzJ- (21)
Матрица Якоби I -т-? 1 аффинного преобразования совпадает с матрицей А =
I" ъ,). Если аффинное преобразование (19) есть движение, то g[j = tfy и это равенство
превращается в систему трех уравнений
а2 + с2=1, ab + cd = 0, b2 + d2 = 1 (22)
или в матричное уравнение
АТА = 1.
Это означает, что матрица А ортогональная.
Таким образом, (19) есть движение евклидовой метрики тогда и только тогда,
когда матрица А ортогональна. Уравнение (22) можно решить явно. Так как а2 + с2 = 1,
то можно выбрать такой угол ip, что а = cos<р, с = simp. Тогда
d = costp, 6= -sin <р или d =- cos ip, b = sin^.
При каждом ip получаем два типа ортогональных матриц:
А=( mstp Sinv) (23)
V - sin ip cos ip ) '
I cos*, sinpwl OX
V - sin tp cos <p 1 \ 0 -1 /

32
Глава 1. Геометрия в области пространства
Матрицы первого типа задают поворот плоскости как целого на угол <р вокруг начала
координат. Определитель такой матрицы равен единице. Преобразование второго типа
сводится к суперпозиции поворота на угол ip и отражения в оси абсцисс:
*' = у\
,2 = V.
Определитель матрицы А в этом случае равен — 1. Движения первого типа, где
определитель матрицы равен +1, образуют подгруппу в группе всех движений. Такие
движения (т.е. движения без отражений) мы будем называть собственными.
Лемма 2. а) Любое собственное движение тюскости есть вращение вокруг некоторой
точки или сдвиг.
б) Любое движение вида z ь-» Az + £, где определитель матрицы А равен -1,
есть суперпозиция отражения в некоторой прямой и сдвига вдоль оси отражения
(скользящее отражение).
Аоказательство. Пусть движение имеет вид
x = Az+t, А=( С°^ 8*ПП, (25)
4 V — sin ^5 cos <р J
т.е. zh> Az+(,. Если ip = О, то A = 1, и мы получаем чистый сдвиг. Пусть Аф \.
Найдем центр вращения для этого движения. Этот центр будет неподвижной
точкой преобразования (25), т.е. такой точкой za, что
z0 = Az0 + £. (26)
Из равенства (26) получаем
(\-А)го=£. (27)
Если матрица А вида (25) отлична от 1, то матрица 1 - А не вырождена, поэтому
из уравнения (27) однозначно определяется центр вращения z0. Утверждение а)
доказано.
Рассмотрим теперь полную группу движений плоскости. Пусть det А — -1.
Тогда поворотом осей можно добиться (см. формулу (24)), что
А={1 _J), (28)
т. е. А есть матрица отражения в оси абсцисс. Преобразование z >—► Az + £ имеет
вид
&
Сделаем перенос начала координат, полагая
zl=y\ z2 = y2 + -f. (30)
После сдвига наше движение примет вид
£W»,+/i.

§ 4. Простейшие группы преобразований. 33
Это и есть скользящее отражение. В частности, при f' = 0 получаем чистое
отражение. Лемма доказана. ■
Мы получаем, таким образом, три типа движений плоскости: сдвиги, вращения
и скользящие отражения (в частности, отражения).
ж) В заключение этого пункта рассмотрим группу движений и растяжений.
Выясним, что происходит с евклидовой метрикой при преобразованиях
x = \Bz + £, где ВтВ-—1. (32)
Здесь матрица Якоби А = (||-)' имеет вид А = ХВ, где В, — ортогональная матрица.
Тогда в координатах (z\z2) евклидова метрика примет вид
g'ij = >^gii-^2Sij. (33)
Таким образом, при этих преобразованиях метрика дц умножается на число. Такие
аффинные преобразования называются конформньши. Выясним, какие из аффинных
преобразований (19) конформны. Рассуждая, как в предыдущем пункте, получаем для
матрицы А условие конформности
Следовательно, матрица В — -^А ортогональна. Таким образом, конформная подгруппа
состоит из аффинных преобразований вида
х = XBz + £, (35)
где матрица В ортогональна.
Пусть определитель матрицы В равен +1, т. е. В имеет вид
„ _ I cos ip sin
— V. — sin <р cos
Введем комплексные переменные v — z + iz , w — x + ix2. Тогда из равенства (35)
получаем
w = (х] + ix2) = A(cos ip - i sin <p)(zl + iz2) + (£l + if),
т.е.
w = av + /3, (36)
где комплексные числа а и /3 имеют вид
a = \e~i9, р = £1+%2. (37)
Формула (37) означает, что собственные (detS = 1) конформные преобразования
плоскости суть комплексно линейные преобразования комплексной плоскости С = С1
v~z +iz I-* vi = х +ix .
Пусть определитель матрицы В равен — 1. Мы видели (см. в примере выше), что такие
преобразования получаются из вращений добавлением отражения в оси абсцисс:
2 _ _ 2
2 Зас. 8(1% X — Z .

34 Глава 1. Геометрия в области пространства
На языке комплексных переменных v и w преобразование устроено так:
w = v ~ z - iz . (38)
Таким образом, общий вид конформного аффинного преобразования евклидовой
метрики на плоскости таков:
w = av + /3 или w = av 4- /3, (39)
где а и /3 — произвольные комплексные числа, а ф 0. Если |а| = 1, то преобразования
(39) являются движениями евклидовой метрики. Если а — вещественное число, то мы
получаем разобранные в примере в) сдвиги с растяжениями.
3. Движения трехмерного евклидова пространства. Рассмотрим сначала
движение, являющееся линейным преобразованием и оставляющее неподвижным начало
координат. Оно задается матрицей A = (a'j) третьего порядка:
х = Az,
i i i (4°)
X — CljZJ.
В координатах хг,х2,х метрика является евклидовой, т.е. имеет вид <fc, = 5у. Здесь
матрица Якоби |^ = а} совпадает с матрицей А. Поэтому в координатах z',z2,z3
метрика имеет вид g-j, где
з
9ij = ai оыо-j - 2_j <Ч a.j •
»=]
Если g'ij = 6ij, т.е. преобразование (40) есть движение, то имеем
з
^о-о* = йу. (41)
к=\
Равенство (41) попросту означает, что если базисные векторы е\ =(1,0,0), е2 = (0,1,0),
е3 = (0,0,1) были ортонормированы, т.е. (ei, е,) = tfy, то векторы Ае{ = afe* тоже
ортонормированы.
Матричная запись равенства (41) такова:
АТА=\. (42)
Стало быть, матрица А ортогональна. Так как detAT = detA, то определитель
матрицы А равен ±1:
det4 = ±l. (43)
Группа ортогональных матриц совпадает с группой преобразований, оставляющих
инвариантной форму (я1)2 + (ж2)2 + (xJ)2, т. е. таких матриц А, что
(х,х) = {Ах, Ах). (44)
При этих условиях имеет место
Лемма 3. Преобразование А имеет инвариантную прямую, на которой А либо неподвижно,
либо является отражением.
Аоказательсгво. Если v — направляющий вектор такой прямой, то мы должны иметь
Av = Xv, (45)

§4. Простейшие группы преобразований 35
где А — действительное число. Поэтому v — собственный вектор с собственным
значением А. Здесь А есть корень характеристического многочлена матрицы А:
det(4-A-l) = 0. (46)
Уравнение (46) является кубическим относительно А с вещественными
коэффициентами. Поэтому оно имеет хотя бы один вещественный корень А0. Корню
А0 отвечает хотя бы один собственный вектор v0. Тогда
("o,i>o) = {Ащ,Аи0) = Ao(v0,^o).
Значит, Ао = ± 1. Лемма доказана. ■
Пусть вектор w ортогонален собственному вектору 1¾ : {w, v0) = 0. Тогда вектор
Aw тоже ортогонален v0:
{v0, Aw) = ±{Av0, Aw) = ±(i>0, to) = 0. (47)
Вывод. Плоскость, ортогональная вектору vo и проходящая через начало координат,
инвариантна относительно преобразования А.
Выберем в пространстве евклидовы координаты (х\х2,х}) так, что ось х3 идет
вдоль вектора v0. Тогда в этих координатах матрица А будет иметь вид
a b
с d
0 0
0
0
±1
А = [с d 0 . (48)
V0 0 ±1/
Из уравнения (42) вытекает, что матрица (а Л ортогональна. Поэтому она имеет вид
/а Ь\/ cosp sinpN или / cosp -sin^\
V с dj \ - sin ip cos ip 1 \ - sin <p - cos <p I '
В зависимости от знаков А0 и ad - be получаем следующие типы движений.
а) Вращение вокруг некоторой оси. Матрица этого преобразования такова (х3 —
ось вращения):
(cos ip simp 0 \
-simp costp 0 I, det A = Xa(ad - be) = 1. (50)
0 0 \)
В случае A0 = -1, ad - be = -1, выбором координат (x\x2) можно добиться,
чтобы матрица {" А приняла вид f " Л = ( Q _Л. Тогда А- ( О -1 О есть
матрица вращения на угол ж вокруг оси х .
б) Зеркальное вращение. Это преобразование есть результат двух
последовательных преобразований: вращения вокруг некоторой оси и отражения в плоскости,
ортогональной этой оси. Матрица здесь приводится к виду
cos <р simp 0 \
-simp cosip 0 , det A = -1. (51)
0 0 -1/
Мы видим, что если det А — +1, то соответствующее ортогональное
преобразование всегда есть вращение вокруг некоторой оси. Ортогональные матрицы А образуют
2*

36
Глава 1. Геометрия в области пространства
группу, которая обозначается 0(3). Ортогональные матрицы с определителем +1
образуют подгруппу в 0(3), которая обозначается 50(3). Всякая матрица из S0(3) имеет
хотя бы одно собственное значение 1. В силу проведенных рассуждений группа S0(3)
состоит из вращений относительно всевозможных прямых, проходящих через начало
координат.
Разберем теперь случай произвольных движений трехмерного пространства. Эти
движения являются аффинными преобразованиями
z-^Az+t. (52)
Так же, как и для случая плоскости, убеждаемся в том, что матрица А ортогональна.
Сделаем сдвиг начала координат: пусть z = у + уо- Тогда после сдвига движение
запишется так:
у^Ау + (А-\)у0+£. (53)
Пусть А имеет вид (5L), т.е. задает зеркальное вращение. Тогда матрица А - 1
невырождена. Можно найти вектор т/о такой, что
(1-А)у0=£, 2/0 = (1-ЛГ'£. (54)
Тогда в координатах у отображение будет просто зеркальным вращением:
/ cos ip simp 0 \
у -» Ay, А = I - sin ip cos ip О I . (55)
V 0 0-1/
Пусть теперь матрица А Ф I имеет вид (50) и задает вращение относительно некоторой
оси. Тогда матрица А - 1 вырождена. Уравнение (54) для вектора уи запишется так:
(1-Л)!Л = Г
(1 -cosip)yl -sinipyo-^1,
sin<pyb + (l- cosip)yl - f-, (56)
Эта система решений не имеет (если fJ ф 0). Но из первых двух уравнений однозначно
находятся уо и yl (если <р ф 0, т. е. преобразование (52) не есть чистый сдвиг). Тогда
при произвольном выборе третьей координаты у\, движение (52) будет иметь вид
costp
sin ^
0
sin 93
cosip
0
0
0
1
■Ау + (0,0,£3), A=\ -simp costp 0 1, (57)
где 77 = (0,0,£3) направлен вдоль оси вращения A, Arj — 17. Следовательно, это
движение винтовое.
Вывод. Собственные движения (det А — +1) трехмерного пространства — это винтовые
движения (в частности, сдвиги и вращения).
Полная группа движений получается добавлением зеркальных вращений и
скользящих отражений.

§ 4. Простейшие группы преобразований
37
4. Другие примеры групп преобразований, а) По аналогии с п. 3 рассмотрим
группу движений гс-мерного евклидова пространства, сохраняющих начало координат.
Эта группа обозначается 0(п). Каждый элемент из 0(п) задается ортогональной
матрицей А гс-го порядка
х — Az,
АТА
det А ■
(58)
Преобразования вида (58), где det А = 1, образуют подгруппу SO(n) С О(п). Эта группа
также называется группой га-мерных вращений. Название это, однако, условно, так
как гс-мерное вращение при га ^ 3 не является, вообще говоря, плоским вращением.
Группа SO(n) связна. Это означает следующее: если А0 и А] — любые два
вращения, А0, А\ £ SO(n), то в SO(n) найдется кривая A(t),0 ^ t ^ 1 (т. е. непрерывное
семейство ортогональных матриц с определителем 1), такая, что А(0) — А0, А(\) = А\.
Достаточно доказать это утверждение для случая, когда А0 — единичная матрица
1 е sow.
Из линейной алгебры известно, что любую ортогональную матрицу можно
привести к ящичному виду:
(U
\
и
\
(59)
±1 /
□=(-:
<pi)
(60)
где i-ый ящик имеет вид
COS ifii sin
■ sin ipi cos
(мы получили такое приведение в случае п = 2,3 в предыдущих пунктах).
Рассмотрим семейство матриц A(t), заменяя в каждом ящике (60) угол fi на
tipi. Тогда при t = \ мы имеем исходную матрицу А, а при t = 0 получаем матрицу, на
диагонали которой стоят только ±1. Так как det 4 = 1, то количество минус единиц
четно. Перенумеровав координаты, приведем матрицу к такому виду:
А(0)
Ш
\
□
(61)
I /
где каждый ящик имеет вид
□ -(-J -!)■
(62)
Такую матрицу можно уже связать кривой с единичной матрицей: заменим каждый
ящик (62) на такой:
( C0Stf *intt). (63)
\ - sin t cost J

38
Глава 1. Геометрия в области простраяства
При t = 7Г мы получаем исходную матрицу, при t = 0 — единичную.
Ясно, что группа 0(п) несвязна: если матрицы А0 и А\ таковы, что det AQ = 1,
detAi =—1, то в группе 0(п) эти матрицы нельзя связать кривой. Действительно,
если такая кривая A(t) существует, то detA(i) — непрерывная функция t. ' Но
detJlo = detjl(O) = 1, detA(l) = -1.
б) Группа Галилея. Известный из классической
механики принцип относительности Галилея состоит в
следующем утверждении: если покоящуюся систему отсчета
(х\х2, ж3) заменить на любую другую систему отсчета
(ха,ха,х'2), которая движется относительно первой
прямолинейно и равномерно, то все законы классической
механики сохранят свой вид. Это означает, что законы
классической механики инвариантны относительно
преобразований Галилея:
х, х
Рис. 5. Система (xl,x2,.x:s)
покоится, система (г", х'2,
х'3) движется с постоянной
скоростью v вдоль первой
оси
х"=х]
■ vt.
f=t.
(64)
Здесь v есть скорость движущейся системы относительно
покоящейся (рис. 5). Системы отсчета, получающейся из покоящейся преобразованием
(64), называются инерциальными. Сделаем важное замечание: в классической механике
время t (как и вмещающее пространство Ш. ) носит абсолютный характер, т. е.
величина промежутка времени At между событиями А и В не зависит от того, в
какой инерциальной системе отсчета этот промежуток измеряется. Иными словами,
время течет одинаково для всей Вселенной; в каждой точке пространства находятся
синхронизированные часы. С чисто геометрической точки зрения преобразования
Галилея являются просто формулами перехода от одной системы координат (£, х', ж2, ж3)
к другой (t',ac''s х'2, ж'3), где t' = t. Общий вид преобразований из группы Галилея,
сохраняющей вид законов классической механики, таков:
t' = t,
х = Ах + хп — vt,
(65)
где А — матрица вращения.
Определение 2. Группой Галилея называется группа преобразований вида (65).
Менее очевидный пример группы преобразований, возникающей в механике:
а5 = р*
(66)
■ ах;
Группа преобразований (66) связана с третьим законом Кеплера. Этот закон утверждает,
что квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их расстояний от
Солнца (в перигелиях). Фактически третий закон Кеплера следует из того, что
эта механическая система — движение частицы в ньютоновом поле тяготения с
потенциалом <р = const/r — инвариантна относительно преобразований (66): эти
преобразования переводят траекторию движения в траекторию движения.

§ 5. Формулы Френе
39
Задачи. 1. Пусть Q(x) = b^x'x1, где Ь1; = Ь;1- — квадратичная форма, В(х,у) = Ь^х'у3 —
соответствующая билинейная форма. Доказать, что линейное преобразование .4* сохраняет
билинейную форму В(Ах, Ay) = В(х, у) в том и только в том случае, если оно сохраняет
квадратичную форму Q(Ax) = Q(x) (векторы х и у любые)..
2.. Любое движение евклидова пространства задается аффинным преобразованием'
(доказать).
3. Аффинная группа в n-мерном пространстве изоморфна группе матриц порядка п + 1
вида
(if).
где А есть невырожденная п х п-матрица, £ есть n-мерный-вектор-столбец.
4. Найти матричную реализацию группы Галилея.
§ 5. Формулы Френе
1. Кривизна плоских кривых. Рассмотрим: евклидову плоскость с евклидовыми
координатами (х,у) и базисными ортами е\, е2. Любая точка Р с координатами
(х, у) изображается радиус-вектором г = хе\ + уе2, идущим из начала координат О в
точку Р. Длина вектора г дается евклидовой формулой
И = V(r,r) = \/хг + у1. (1)
Пусть задана гладкая кривая
г = r(t), х = x(t), у = y(t), (2)
где радиус-векторы точек кривой имеют вид x(t)e\ + y(t)e2. Длина кривой имеет вид
о а
I = J \/(£)2 + (У)2 dt = J dl, где х
dx . dy
у =■-£;■ (3)
<й' dt'
здесь дифференциал длины имеет вид dl = \v\ dt, \v\ = y/(v,v), v = xe\ +ye2 — вектор
скорости. Мы будем писать щ = ^, явно отмечая внизу значком t, что вектор скорости
отнесен к параметру t. Нам часто будет удобно рассматривать кривую, заданную через
натуральный параметр — длину I (см. §2, конец п. 1):
х = х(1), у = у(1). (4)
Тогда v = vi = '-^е\ + -$сг, \v\= 1. Если на кривой был задан произвольный параметр
t, х - x(t), у — y(t), то мы имеем связь: dl = v^2 + У1 dt. Существенную роль будут
играть два вектора — скорости и ускорения —
dr d2r
Tt=Vt> -¥ = щ- (5)
Если параметр натурален, t — I, то \vi\ = 1. Имеет место простая, но часто используемая
Лемма 1. Если задан зависящий от времени вектор v = v(t) и \v\ = l, то векторы v и v
ортогональны.
Локазательство. Так как v = vlej + уге2 и |г>|2 = (и')2 + (и2)2, то
d d 2
— (v,v) = (i),v) + (v,v) = 2(v,v) = — \v\ = 0;
dt dt
поэтому (v,v) — 0. Лемма доказана. ■

40
Глава 1. Геометрия в области пространства
Замечание. Если имеются два любых вектора v(t) и w(t), то в евклидовой геометрии имеет
место формула j-t(v,w) = (v,w) + (и, ш).
Применяя нашу лемму к кривой, наделенной натуральным параметром I =i,
г — r(t) = x(t)et +y(t)e2, и полагая v = 37, получаем
Следствие. Векторы скорости v(t) и ускорения w(t) = ^ ортогональны, если параметр
натурален.
Определение 1. Кривизной кривой r(t) называется величина вектора ускорения k =
\w(t)\, если t = I (натуральный параметр). Ориентированной кривизной называется
величина k = ±к, где знак совпадает со знаком определителя, составленного из
координат векторов v и w (знаком ориентации репера (v,w)).
Вывод.
dv d2r
и = кп = ^ (6)
где п — единичный вектор, нормальный к кривой:
'-ei + -^e7\. (7)
w 1 / d2x d2y
Радиусом кривизны R называется число \/к.
Соответствует ли это понятие кривизны нашим наглядным представлениям?
Свойства кривизны:
1) Кривизна прямой равна нулю.
Локазательство. Пусть х = х0 + al, у — у0 + Ы (прямая), причем параметр / натурален;
это значит, что
Тогда № = 2ff=0 и i = 0, Д = 00. ■
2) Кривизна окружности радиуса R постоянна и равна R~].
Локазательство. Пусть
х = хо + R cos ( — ) , у = Уо + В. sin
V R ) \R
где R = const; тогда
dlx cos (l/R) d2y sin (l/R)
dl2 R ' dl2 R
и |w| = i = k.
Имеет место важная

§ 5. Формулы Френе
41
Теорема 1. Если кривая г = г(1) с нигде не обращающейся в нуль кривизной задана через
натуральный параметр I, то имеют место формулы Френе
dl
dn
т
=.
=
w =
~kv
kn
(8)
где га = щ — единичный вектор нормали.
Доказательство. Так как п — единичный вектор и векторы п и v ортогональны, мы
имеем:
а) (га, ^)=0 (из леммы 1);
б) ^ = av (га _L v, и размерность пространства равна 2).
Так как \v\ — 1, то \a\ = |^|. Чему равно а? Так как (v,п) = 0, мы имеем
d I dv \ I dn\
Итак, a = — k. Теорема доказана. ■
Замечание. Если кривизна кривой в некоторых ее точках обращается в нуль, то можно
определить вектор нормали п к кривой, так что п X. V, и репер (v,n) положительно
ориентирован. В этом случае формулы Френе (8) остаются справедливыми с заменой
кривизны к на ориентированную кривизну к (проверьте!).
Каков геометрический смысл формул Френе? Так как -щ = kn, ^ = -kv, и
(v,n) —единичный ортонормированный репер, то
dv 7 ,
v + Av = v + (ДО— + 0(ДГ) = v + к(А1)п + О(ДГ),
dl
dn -, -,
я + Дга = я + (А1)—- + 0(ДГ) - п - k(Al)v + О(АГ).
dl
Положим к(А1) = А<р. Тогда
и мы можем написать
ссв(Д^) = 1 + 0(Aip2),
sin(Aip) = Aip + 0(Aip2),
v + Av = cc&(Aip)v + s\n(A(p)n,
n + An = - s'm(Aip)v + cos(Aip)n,
(9)
(10)
(П)
т.е. переход от репера (v,n) к реперу (v + Av, n + An) состоит в повороте на малый
угол Aip.
Итак, формулы Френе описывают вращение репера (и, га) при переходе от точки
I к близкой точке I + А1 с точностью до малых второго порядка. Иногда это выражают
формулами.
dip
~dl
где f — угол поворота вектора v (или га) при движении вдоль кривой. Параметр здесь
все время считался натуральным.
к =
fc=—, (12)
dl'

42
Глава 1. Геометрия в области пространства
Поставим теперь следующий естественный вопрос: как вычислить кривизну
плоской кривой r(t) = (x(i),y(t)), если параметр t не является натуральным.
В этом случае vt = (х,у) и \vt\ Ф 1. Поэтому векторы и( и щ = wt (скорость и
ускорение) не перпендикулярны.
Пусть £ = £(£) = £'й| + £2е2 — любой вектор. Для нашей кривой мы имели
Для любого вектора £(t) имеем
dl = \vt\dt = \f\dt.
d£ _ 1 d£ _ dt, dt
Ti ~ ~ыИ~ ~dl7v
(13)
(14)
где \vt\ — \r\ и скорость определена по отношению к параметру t пробегания вдоль
кривой.
Пусть r](t) — щ — %', V(£) — единичный вектор касательной (он совпадает с
вектором скорости v, если параметр натуральный).
По определению кривизны имеем
к =
dzr
dl2
£ ( "'
dl \\v,\
(15)
(длина ускорения в натуральном параметре равна кривизне). Из формулы (14) вытекает,
dl \\vj ~ hi dt \\vt\) ~ \vt\2 \ dt \v,\ dt J
M2
V
W\
d\r\
~dT
Итак, получаем (считая, что |г| Ф 0)
к
d2r
dl2
Отсюда для кривизны имеем
dl{w
(г, г)
к =
dl2
rto-K,»?>£l.
где 7=f,{=f = ^ = ¾.
Компоненты вектора w = -nf имеют вид
1
хх ->- уу
. хх + уу
Далее,
х2 + у2 )6[ + \г\2 \У У х2 + у2
л ,2 (*У - Р)
w\ = к =
(х2 + у2)3
Итак, мы доказали важную формулу для кривизны. -
е2.
Ш = |г|.
(16)
(17)
(18)
(19)

§ 5. Формулы Френе
43
Теорема 2. При любом выборе параметра t для кривой х = x{t), у = y(t), имеет' место*
формула
\ху - ух\
к =
d2r
dl2
где предполагается, что х2 + у
' (х2 + у2)^2'
|г|2/0.
(20)
Заметим, что в числителе стоит модуль определителя матрицы ( - ?)..
2. Пространственные кривые. Кривизна и кручение. Для любой кривой х = x(t),
у = y(t), z = z(t), т.е. г = r(t), заданной в евклидовых координатах в трехмерном
пространстве, имеем
dl = \f\dt = \vt\ dt = л/хг + уг + z2 dt.
(21)
Для удобства основных определений мы, как и в случае плоских кривых, рассмотрим
•первоначально лишь натуральный параметр I, г = г(1), х - х(1), у = y(l), z = z(l).
По определению v — г = хв\ + уе2 + ie3 и ад = v = f = же, + уе2 + ze3 (точка здесь
означает производную по I, так как t — V). Как и в плоском случае, вводим
Определение 2. Кривизной пространственной кривой называется модуль ускорения в
параметре I: к — |ад| = \f\. Радиусом кривизны называется величина, обратная
кривизне: R = k'1.
Мы знаем из леммы 1, что векторы скорости и ускорения ортогональны: v ± ад,
так как \v\ — 1. Однако в трехмерном случае векторов и и ад не хватает, чтобы составить
полный репер пространства, даже если ад Ф 0. Кроме того, наглядно очевидно, что
одной кривизны в трехмерном пространстве не хватает для того, чтобы охарактеризовать
геометрические свойства кривой. Представьте себе, например, кривую, намотанную на
цилиндр:
x = Rcost, у = Rsint, z = t
(винтовую линию). Кроме кривизны, она еще закручивается по третьему направлению
(рис. 6). Третий вектор базиса можно взять ортогональным к v и ад.
Напомним, что в линейной алгебре трехмерного евклидова
пространства имеется важная операция векторного произведения z "
векторов. Если £, ц — векторы в трехмерном пространстве,
i = £4, V = lei,
(22)
где е,- — базисные орты (е; J. е;, |е;| = 1), то мы можем построить
вектор 7 = [£,?/]> 7 = 7*ei. положив у[ = £273_£372> 72 = iV ~£V>
73 = £V -£V- Другими словами, ±7' равно определителю части
матрицы р, S
I i > 1 ). остающейся после вычеркивания г'-го столбца.
Мы видим, что
[Ш = -Ш], [(i+b,V\ = Ki,»?) + [6,7b
[M,i?] = AKIi?|.
Верно также тождество Якоби
(23)
Рис. 6.
[K,4U] + [K.fl,i?l + [fo,<Ul = o.
(24)

44
Глава 1. Геометрия в области пространства
Далее, из аналитической геометрии известны такие свойства векторного произведения:
вектор [£,??] направлен перпендикулярно к плоскости, натянутой на векторы (£, т)),
т.е. к плоскости векторов вида Af + р,т), а длина его равна
1К,Ч]| = 1Шяпр,
где ip — угол между £ и т),
2 , . 2 {¢, »?>2 ,.,,,
cos р = 1 - sin р = ^jj. (25)
За/иечанне. Если векторы £ и т; лежат в плоскости (х,у), то их векторное произведение
ортогонально к этой плоскости (т.е. направлено по оси z), и [£,r]\ = (£1ц2 -£V)e3-
Тогда длина [[^,т?Ц равна |£V - Vfl = IflMs'np-
Полученную в предыдущем пункте формулу (20) для кривизны плоской кривой
можно теперь переписать так:
_ [ху - ух| _ |[г,г][
(x2+y2)V2- |f|3 ^
для произвольного параметра t.
Таким образом, общая формула кривизны плоской кривой выражает кривизну
через длину векторного произведения [г,г]. Так как кривизна связана с вращением
репера (v,n) по формулам Френе, то с кривизной естественно связывается вектор
угловой скорости вращения репера (и,я), направленный ортогонально к плоскости
(х,у). Вернемся к пространственной кривой г - r(l), г = (x,y,z), х — х(1), у = у(1),
z = z(l). Для нее
dv d'r
v{l) = Ti> *{1) = ж (27)
Мы считаем, что |го| ф 0 и |г>| Ф О (такие точки называются невырожденными
точками кривой). Предположим, что |г»| = 1; тогда (w,v) = 0, т. е. w 1 v. Рассмотрим
вектор b = [и,я], где п — щ. Вектор я называется главной нормалью кривой, вектор
Ь — бинормалью. Мы видим \b\ = \v\\n\sin<p — 1, b _L v, b L п. Мы получаем
ортоиормированный репер (и, я, ft) в точке кривой, где w ф 0 (в невырожденной
точке).
Как и для случая скалярного произведения, нам будет полезно следующее
утверждение.
Лемма 2. Если заданы два вектора f(£), r](t) в трехмерном пространстве, то имеет
место формула типа Лейбница
d
dr]
^'~dl
(28)
Это непосредственно следует из обычной формулы Лейбница для
дифференцирования произведения функций: (fg)' — fg + fg. Следует обратить внимание на
порядок сомножителей в правой части формулы (28).

§ 5. Формулы Френе
45
0 к
к 0
0 к
0
-К
0
Теорема 3. Для любой пространственной кривой г— г(1), где I — натуральный параметр,
имеют место следующие формулы Френе:
dv
dn
— = -xb- kv, (29)
al
db
Здесь первая строчка есть просто определение числа к, а \х\ = 1^1; число х
называется кручением пространственной кривой (оно не обязательно положительно).
В плоском случае b = const, и поэтому \к\ = |^| =0.
Формулы Френе можно переписать в матричном виде в репере (v,n,b).
Обозначив v= в], п = б2, Ь — ез, имеем
dt{ ,
— = 4fo (»,7=1,2,3), (30)
причем матрица В - (b]) имеет вид
В= I -к 0 -к|. (31)
\ 0 к 0/
Мы видим, что эта матрица, как и подобная матрица в двумерном случае, кососимме-
трична.
Перейдем к доказательству формул Френе для пространственных кривых.
Выведем сначала формулу J — кп. Так как b = [v,га], то [v,п] = b = [i>,n] + [»,А] в силу
леммы 2. Так как [v| = 1 и |п| = 1, v i_ и и п _1_ га. Поэтому v — кп, п = av + /ЗЬ, где
а и /3 — какие-то неизвестные числа. Так как [га, п] = 0 и [и, и] = 0, то [и, я] = 0 и
[v, п] = /3|w,&] = -/Зга. Поэтому
db d
"77 = 77f"'-ral = "Z3™ = *я' <32)
at a/
где к определяется из этого равенства.
Итак, b = кп. Вычислим п. Так как я = [b, v], то
d
— [b,v\ = [b, v\ + [b, v] = xb- kv.
dl
Теорема доказана. ■
В заключение следует отметить, что кривизна и кручение — полный набор
геометрических инвариантов кривой в евклидовом пространстве. Более точно:
1) Если для плоской кривой известна зависимость k = к(1), то эта кривая
однозначно восстанавливается с точностью до движения плоскости. Уравнение к = к(1)
называется натуральным уравнением кривой.
2) Если для пространственной кривой известны функции к = к(1), х — х(1), то
можно восстановить кривую с точностью до движения всего пространства. Эта пара
уравнений называется натуральным уравнением пространственной кривой.
Доказательства этих теорем можно прочесть в учебнике П. К. Ращевского [2].

46 Глава 1. Геометрия в области пространства
3. Ортогональные преобразования, зависящие от параметра. Пусть А = (аф,
i,j = 1,..., п — ортогональная матрица (см. §4), т. е.
п
АТА=1&"}Г ^(мь = 6jk, (33)
причем все ay — функции параметра t. Пусть, далее, ау(0) = <5у, т.е. Л(0) = 1. Имеет
место
Лемма 3. Матрица В = (^f)|i=0 кососимметрична, если Л(0) = 1.
Аоказательсгво. Продифференцируем обе части равенства (33) по t. Получим
d ^-\
° ~ dl S'k ~ Zv^y*»* + аУ<*«*)-
Положим теперь I — 0. Так как ау(0) = <5у, то мы получим
п
0 = ^(.OijSik + 6ца{к) = btj + bjk,
«=i
что и требовалось доказать. ■
Из этой леммы можно сразу получить новое доказательство формул Френе.
Пусть ei(0 = v(l), ei(l) = п{1), е3(0 = b(l) — зависящий от натурального параметра I
репер, связанный с данной пространственной кривой. Тогда репер e{(l + Al), ег(1 + А1),
ез(/ +AZ) получается из репера et(l), е^Ц), е3(0 ортогональным преобразованием, так
как оба эти репера ортонормированы:
(34)
з
ei(l + Al) =]Г оу(/, Д1)е,-(1) (i = 1,2,3),
з
Y^, <hj(l, АО aik(l, АО = 6jk.
Диффередцируя равенство (34) no Al и полагая Al = 0, мы получаем
з
ei(D = X>iei№' (35)
j=i
где матрица (by) кососимметрична в силу леммы 3. Поэтому матрица В — (Ьу) имеет
вид
/ 0 Ьи Ьи\
В = -Ъи 0 Ьи , kj = -Ьц. (36)
\-Ьп -Ь23 0 /
По определению
dex dv
ё] = —- =. — = kn = ke2,
al al

§ 5. Формулы Френе
47
поэтому Ьц = к, Ь|3 = 0. Значит, Ьг\ = -к, Ьз! = 0, и матрица В имеет такой вид:
/ 0 к О \
В = I -к О -Ь32 .
V О Ь32 О 7
Обозначив здесь « = Ьз2. мы получаем формулы Френе (29).
Для плоского случая доказательство проводится аналогично.
Задачи. 1. Для винтовой линии г = {acost,asint, Ы}, а > 0, 6 ^ 0, найти репер Френе,
кривизну и кручение.
2. Найти кривизну и кручение кривых:
а) г = e'{sin<,cosi, 1};
б) r = a{cht,sht,t}.
3. Найти кривизну эллипса в вершинах, если его полуоси равны а и 6.
4. Найти кривизну и кручение кривых:
а) г = {*2Л/2,2-«,«3},
б) r = {2t-t\3t2,3t + t3}.
5. Доказать, что если у кривой кривизна k(l) = 0, то кривая является прямой линией.
6. Доказать, что если кручение кривой х{1) = 0, то кривая лежит в плоскости. Найти
уравнение этой плоскости.
7. Описать класс кривых с постоянной кривизной и кручением: k(l) = const, x(l) = const.
8. Описать класс кривых с постоянным кручением: x(l) = const.
9. Доказать, что кривая г = r(t) плоская тогда и только тогда, когда смешанное
произведение (г,г, г) = 0.
10. Пусть S — площадь между плоской кривой и секущей на расстоянии Л от касательной
ч2
(и параллельной касательной). Выразить lim fj через кривизну кривой.
Л—о Л
11. Доказать, что для гладкой замкнутой кривой
(rdk-xbdl)=0.
12. Доказать, что формулы Френе можно представить в виде
* = 1С,»1, А = IC.nl, i>=K,bl
Найти вектор С (вектор Дарбу).
13. Решить уравнение г' = [ш,г], ь> = const.
14. Доказать, что кривизна и кручение пропорциональны: к = с ■ х (к ^ 0), где с —
константа, в том и только том случае, если найдется такой постоянный вектор и, что
(и, г) = const.
15. Пусть нормальные плоскости к кривой, натянутые на векторы п, Ь, проходят через
фиксированную точку i0. Показать, что кривая лежит на сфере с центром в этой точке.
16. Доказать, что кривая лежит на сфере радиуса г в том и только том случае, если
справедливо соотношение
17. Доказать, что х = —

48
Глава 1.. Геометрия в области пространства
18. Для гладкой кривой г = г(1) рассмотрим кривую п(1) (п — вектор нормали в данной
точке), Г — натуральный параметр на этой кривой. Доказать, что
(Ц
= Jp+K1
19. Пусть
л = а® = -k(i) о -»ю = (.;«).
\ 0 «</) 0 /
Определим векторы Tj = г,(1) как решения системы уравнений
■а)п, J = 1.2,3,
где 1^(0),^(0),^(0) — заданный ортонормированный репер.
а) Доказать, что репер г,(/),Г2(/),гз(/) ортонормирован при любом I.
i
б) Пусть г(/) = r0 + fr,(l)dl. Доказать, что тогда г,(/) = »(/), г2</) = п(1), г3(/) = (>(/),
о
где v,п,Ь — касательная, нормаль и бинормаль кривой г(/), причем кривизна и кручение
этой кривой равны &(/), х(1).
20. Пусть кривая лежит на сфере и имеет постоянную кривизну. Доказать, что кривая —
окружность.
§ 6. Псевдоевклидовы пространства
1. Простейшие понятия специальной теории относительности. Напомним, что
псевдоевклидово пространство Щ,я, р + q = п, определяется как пространство с
.,х", в которых «квадрат длины» вектора £ = (£',••-,£") задается
формулой
координатами х1,
1У=о
|^!2 = ^о = Ё«{)2-Е^)2
(1)
(см. § 3, п. 2). При п — 4, р — 1 получаем пространство-время
специальной теории относительности (пространство Минковско-
^ го К|3 = К?) с координатами х°,х[,х2,х ; обычно полагают
х° = с£, где постоянная с — скорость света в пустоте.
Пространства К"„_| = R" мы также будем называть пространствами
Минковского (размерности п).
Квадрат длины вектора f = (£°,£\£2,£3) в пространстве
щ задается формулой
,0Ч2
,2Л2
,3Ч2
КГ = «,0 = (Г) -(О -(Г Г-(О
(2)
Рис. 7. Изотропный
конус в пространстве Величина (£,£) может быть и положительной, и отрицательной,
R, : (i) - (х ) - и даже нулем. Векторы £, для которых |£] = 0, образуют в
'х ' = пространстве R( конус, называемый изотропным или световым
конусом (см. рис. 7 для пространства Rj). Векторы, лежащие внутри конуса, имеют
положительный квадрат длины, |£|2 > 0, и называются времениподобными. Векторы,
лежащие вне конуса, имеют отрицательный квадрат длины, |£|2 < 0, и называются

§ 6. Псевдоевклидовы пространства
49
пространственноподобными. На рис. 7 £+ — времениподобный вектор, £_ — простран-
ственноподобный; вектор £0 лежит на изотропном конусе и имеет нулевую длину —
такие векторы также называются изотропными или световыми.
Рассмотрим мировую линию какой-нибудь материальной частицы (см. § 1, п. J).
Эта мировая линия имеет вид
x0 = ct, х'-x'(t), х =х(<), x=x3(t) (3)
в пространстве R*. Здесь кривая xlif),x2(t),x3-(t) есть обычная траектория точки в
трехмерном пространстве R . Вектор £, касательный к мировой линии (3), имеет вид
( = (с,х[,х\х\
(4)
Заметим, что {х[,х ,х3) — координаты вектора скорости v для пространственного
движения точки. В специальной теории относительности принимается постулат, что
материальные частицы не могут двигаться со скоростью, большей скорости света с,
т.е. М ^ с. Это означает, что
с2 - (х1)2 - (х2)2 - (х3)2 £ О,
т.е. вектор f или времениподобный, или изотропный. В
частности, если наша мировая линия есть мировая линия
луча света, то вектор £ изотропный, т.е. \v\ = с. По этой
причине изотропный конус и называется также световым.
В действительности изотропные касательные векторы могут
иметь только мировые линии безмассовых частиц (таких
как, например, фотоны). Мировые линии массивных
частиц имеют всегда времениподобные касательные векторы.
В частности, мировая линия массивной частицы целиком
распространяется строго внутри светового конуса (рис. 8;
заметим, что изотропный конус имеется во всех точках
пространства). Для времениподобных кривых (т.е. для таких
кривых, у которых касательный вектор всегда временипо-
добен) можно определить понятие длины аналогично тому,
как это было в евклидовой геометрии. Если кривая задана
в виде х" = х°(т), х1 - х'(т), хг = х2(т), ж3 = я3(т),
£ = (х°,х1,хг, ж3), |£|2 > 0, то длина I имеет вид
(5)
Такой мировой
линии быть
не может
Рис. 8. Мировые линии
массивных и безмассивных
частиц
а о
\
(х°)2 - J2(x")2 dT-
(6)
В специальной теории относительности величина l/с называется собственным
временем, прожитым частицей. Параметр I является натуральным параметром на
мировой линии.
Если точка движется в трехмерном пространстве с постоянной скоростью
v - (v\v2,v}), т.е.
(7)
(8)
то имеем
О I I 2 2 3 3
х = А, х — v t х = v t, х = v t,
dl=\f<?-v1dt=Ji\-V— dx\ l = x'\j[-V—,
где мы используем сокращенное обозначение v2 = \v\2.

50
Глава I. Геометрия в области пространства
В частности, ха/с есть собственное время покоящейся частицы (в исходной
системе координат).
2. Преобразования Лоренца. Мы видели выше (см. §4, п. 4), что в классической
(ньютоновской) механике время носит абсолютный характер, т. е. величина промежутка
времени At между событиями не зависит от того, в какой инерциальной системе отсчета
этот промежуток измеряется. Инерциальные системы отсчета классической механики
получались одна из другой преобразованием Галилея (4.64).
В специальной теории относительности преобразования Галилея заменяются
преобразованиями Лоренца. Переход к другой системе отсчета — это выбор новых
координат в пространстве Щ, т. е. некоторое преобразование пространства Минковского.
Преобразование Лоренца сохраняет начало координат и пространственновременной
интервал, т.е. квадратичную форму dl2 = <?(dt)2 - (dx])2 - {dx1)2 - (dx1)2. Переход
к другой инерциальной системе отсчета осуществляется движением псевдоевклидова
пространства WL*. Полная группа этих движений называется группой Пуанкаре.
Начнем с изучения группы движений псевдоевклидовой плоскости R2. Пусть
сперва движение оставляет неподвижным начало координат. Тогда оно задается
матрицей А:
х^гх^ + Ьх'1,
x^cx^ + dx'1. (9)
Если координаты х°,х1 псевдоевклидовы, то метрика имеет в них вид дар = {gw — U
<7п = -1, 9п — 921 — 0}- Так как преобразование (9) является движением, то
(дар) = G = ATGA. (10)
Так как detj4T = dstA и определитель произведения матриц равен произведению
определителей, то
(det^)2 = 1, detA = ±l.
Из (10) вытекает система из трех уравнений для элементов матрицы А:
а2-с2=1, ab-cd = 0, b2-d2 = -l. (11)
Ясно, что а ф 0. Положим /3 = с/а. Прямое вычисление дает
1/3/5 1
а = ± . с = ± . , b = ± . ■ ., d = ± . ■ (12)
УП^' ^1-^- yrr^i' ^xzji
Здесь знак а совпадает со знаком с, а знак b — со знаком d. Итак, группа всех
преобразований А, являющихся движениями псевдоевклидовой метрики в пространстве
Ri, состоит из следующих матриц:
А*. ±- "
А = ±[ %-"" ±v"-"1 |. (И)
Введем угол гиперболического поворота ■ф, положив /3 = th ф. Тогда
/chV, ±shV>\ П4)

§ 6. Псевдоеврлидовы пространства
51
т. е. мы получаем группу гиперболических поворотов.
Любой гиперболический поворот переводит изотропный
конус |f|2 = 0 в себя. Кроме того, если |f|2 = 1, то
\А£\2 = 1. Векторы, имеющие единичную длину, образуют
в Ш\ «псевдосферу единичного радиуса». Эта псевдосфера
задается в К2 уравнением (ж0)2 - (ж1)2 = 1 и является
гиперболой (рис. 9).
Напомним, что группа ортогональных
преобразований евклидовой плоскости состояла из двух связных
компонент: собственных и несобственных
преобразований. Группа движений псевдоевклидовой плоскости R2
устроена более сложно: она состоит из четырех связных
компонент (из четырех кусков):
-^sh^ ch^y' \sh.i> -ch-ф) ' \-shi> ch-ф)' y-shi/i -ch^y" *15'
Преобразования из первой связной компоненты можно соединить кривой с
единичным (т.е. тождественным) преобразованием. Матрицы преобразований 1,Р,Т,РТ,
принадлежащих четырем различным связным компонентам, имеют вид
-о. '-(i-?). и-гп> «-(-i .чу
Преобразования из первой и второй связных компонент не меняют направления
времени t. Такие преобразования называются ортохронными. Таким образом, связная
компонента единицы состоит из собственных (с определителем +1) ортохронных
преобразований.
Рассмотренная нами группа движений псевдоевклидовой плоскости R2,
сохраняющих начало координат, обозначается через 0(1,1). Это частный случай группы
0(p,q), p + q = n, псевдоортогональных преобразований пространства Щ<ч. Таким
образом, 0(p,q) есть группа матриц А, сохраняющих скалярное произведение (1):
{M,Av) = (i,V) = ^W + -+f^---fv'- (16)
Особо важны группы 0(1, га- 1) — движения n-мерного пространства Мин-
ковского R", сохраняющие начало координат. Мы видели, что группа 0(1,1) состоит
из четырех кусков (четырех компонент связности). В действительности из четырех
кусков состоит и группа 0(1, га - 1); мы не доказываем здесь этого утверждения и
ограничиваемся более слабым его вариантом.
Лемма 1. Существует гомоморфизм ' <р группы 0(1, га - 1) на группу Z2 х Z2. Здесь
Z2 х Z2 - прямая сумма циклических групп второго порядка Ъ2 = {+1, -1}.
Аоказательсгво. Пусть ео — единичный вектор вдоль оси х°. Если матрица А £
0(1,га - 1), то положим
Ч>(А) = (det4,sgn(e0,4eo)). (17)
Напомним, что гомоморфизм ip группы G\ в группу G? — это отображение ip: G] — G? такое, что
р(1) = 1, <р(д\дг) = 4>(3i) <р(Я2) и tp(g~\) = 4>(д)~{. Часто гомоморфизм ip называют «представлением»
группы G| в группе G}.
Рис.9.

52
Глава 1. Геометрия в области пространства
Заметим, что скалярное произведение <е0,Ле()) не равно нулю, так как вектор
Лео времениподобен:
(Ае0,Ае0) - (е0,е0) = 1. (18)'
Предоставляем читателю проверить гомоморфность отображения <р. ■
Преобразования А такие, что <р(А) = (1, I), называются собственными.
Преобразования, у которых sgn(e0, Аед) = +1, называются, как и прежде, ортохронными (они
не меняют направления времени £). Ядро гомоморфизма <р состоит из собственных
преобразований и является связной компонентой единицы группы 0(\Тп- 1). Этого
мы здесь не доказываем; из доказанной леммы следует только, что в группе не меньше
четырех компонент связности.
Полная группа движений псевдоевклидова пространства Е" получается из
группы 0(1, п - 1) добавлением трансляций (сдвигов).
Переформулируем теперь полученные результаты о движениях псевдоевклидова
пространства на языке специальной теории относительности. Как уже было сказано,
переход от одной инерциальной системы отсчета (ct',x'\x'2,x'3) кдругой (ct, ж1,ж2,ж3)
осуществляется преобразованием, сохраняющим квадратичную форму (ct)2 - (ж1)2 -
(ж )2 - (ж3) . Пусть система (ж') движется относительно (ж) вдоль оси ж1 со скоростью v.
Это означает, что х2 = ж'2, ж3 = ж'3 и преобразование координат имеет вид
х° = (ct) = a(ct') + bxn,
(19)
ж' = c(d') + cte", ж'2 = ж2, ж'3 = а:3.
Матрица А —(* jj J лежит в 0(1,1).
Если скорость v уменьшить до нуля, то преобразование (19) станет
тождественным, поэтому матрица А лежит в связной компоненте единицы группы 0(1,1) и имеет
вид
А
(chip ship
) • (20)
V sh ip chip
Итак, имеем
ct = ct'chip + x'[ ship,
(21)
x1 = ct'ship + xa chip.
Рассмотрим движение в системе K(ct,x') начала координат О1 штрихованной
системы. Тогда х'] = 0 и формулы (21) принимают вид
ct — ct1 ch ■ф,
х = ct sh rp
или, разделив одно на другое, х jet = th V- Но х1 ft есть, очевидно, скорость v системы
К' относительно К. Таким образом,
thV=-. (22)
с
Ядром гомоморфизма tp группы G\ в группу Gi называется совокупность всех таких элементов д
группы G'], что tp(g) - 1.

§ 6. Псевдоевклидовы пространства
53
Отсюда
и/с 1
Sh^= л ТШ' С^ = г. тут (23>
Подставив это в (20), найдем
х = (х +vt)
(24)
л/1 -v2/<?'
Эти преобразования и называются преобразованиями Лоренца.
Пусть скорость и мала по сравнению со скоростью света с, т. е. и/с <С 1; из (24)
вытекает, что если и/с —> 0, то преобразования Лоренца переходят в преобразования
Галилея (4.64): t = £', ж1 — ж'1 +vt. Иными словами, при малых взаимных скоростях
систем отсчета формулы теории относительности переходят в формулы классической
механики. Однако в области больших скоростей (сравнимых со скоростью света)
начинаются глубокие расхождения этих двух теорий. Эти принципиальные расхождения
мы проиллюстрируем на следующих популярных эффектах теории относительности:
сокращение линейных размеров в направлении вектора скорости и отставание часов
(связанное с тем, что одновременные в одной системе отсчета события в другой системе
становятся разновременными).
Пусть в системе К покоится твердый стержень длины I, параллельный оси ж1;
пусть координаты его концов в К равны ж},ж], т.е. I = х\ - х\. Найдем теперь длину
этого стержня7' в системе К'. Для этого найдем координаты его концов х\1 и г,1 в
системе К'\ имеем в момент времени f
i x'i + vt' , ж',' + vt'
Ж| = —. , ж2 = —. *_... (25)
y/\-v2/c2' y/l-v*/<?
Длина стержня I' в системе К' равна I' — х'2] - x\l. Вычитая х\ из х\, получаем
I'
I = - (26)
Таким образом, самую большую длину стержень имеет в той системе отсчета, где он
покоится. Длина его в системе, в которой он движется со скоростью и, уменьшится в
отношении у'1 - v2/c2 (лоренцево сокращение).
Перейдем к изучению временной координаты t. Пусть в системе К произошли
два одновременных события А\ и А2 (т.е. t(A\) = t(A{) в системе К), причем
пусть событие А\ произошло в точке с координатами (ж[,ж^ х\), а А2 — в точке с
координатами {х\,х], х\), х\ Ф х\. Что происходит в движущейся системе отсчета К'
с точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К1 Из формул преобразования
Лоренца (24) имеем
t'UP + fo/cVi' ./i(4 t\A2) + (vl<?)x'l
v/l -v2/<? у/1 -v2/c2
'' Предостережем читателя, что длиной стержня является не четырехмерная инвариантная величина, а
длина трехмерной проекции.

54 Глава 1. Геометрия в области пространства
т.е. t'{A{) - t'Ui) = ?i/l - £ (х'2 - г',1) ^ 0. Поэтому t'(A\) ф t'(A2), т.е. два события
Ai и Л.2, одновременные в К, оказываются не одновременными в К'.
Заметим, что если t(A\) > t(A2) и х2 - ж'/ не мало, то мы получим, что
t'(A\) < £'(.42), т-е- на первый взгляд кажется, что следствие предшествует причине.
Предлагаем читателю разобраться в этом мнимом парадоксе самостоятельно.
Пусть в системе К' покоятся часы. Возьмем в качестве событий А\ и А2 два
события, происшедших в одном месте хп,ха, х'ъ пространства в системе К'. Время в
системе К' между этими событиями есть временной интервал At' = t'2 - t\. Найдем
теперь время At, которое прошло между теми же событиями в системе К. Из (24)
имеем
t\ + (u/cV1 t2 + (v/cV
или, вычитая одно из другого,
At'
t7~t]=At= , ■ (27)
Мы получили, что At > At'. Другими словами, движущиеся часы идут медленнее
неподвижных, т. е. часы в системе К' с точки зрения наблюдателя в системе К отстают
по сравнению с его часами.
Разберем важный вопрос о сложении параллельных скоростей. Пусть точка Р
в системе К' движется относительно этой системы вдоль оси хп со скоростью и/.
Какова скорость точки Р относительно системы К1 Ясно, что w' = —; w = —■,
dt' + (v/c2)dxn , vdt' + dx'1 dxx v + w'
dt
v/l-^/c2 ' y/l-v2/^ dt 1 +
<?
Если г», to' -С с, то w w vi' + v, и мы получаем обычную формулу для сложения
скоростей в классической механике. Отметим, что если го' = с, то для любой скорости
v < с скорость го точки Р в системе К имеет вид -,+«7? = с' т,е' Д°бавление к
скорости света с любой скорости v не меняет скорости света.
Задачи.
1. Определим «векторное произведение» в пространстве R]i2, полагая
«x, = «y-«V, «V-cV, «У-fV),
гае £ = «V,^),* = (^,41.i»2).
а) Проверить, что для базисных векторов ео,вье2 (ео времениподобен) попарные
векторные произведения имеют вид
е0 X е| = -е2, е0 х е2 = е,, е, х е2 = е0.
б) Доказать, что х — билинейная антисимметричная операция, причем справедливо
тождество Якоби
/ £. х(6х£3) + 6х«, x{2) + {2xfex£,) = 0.
в) Доказать, что так определенное векторное произведение инвариантно относительно
собственных преобразований Лоренца.

§6. Псевдоевклидовы пространства 55
2. Пусть г = г(1) — времениподобная кривая в R]2, причем (r(i))2=(r°)2-(r')2-(r2)2 = 1,
и г° > 0. Введем векторы v,n, Ь, полагая v = г, v = кп, b = п х v. Доказать
псевдоевклидов аналог формул Френе:
v = кп, h = kv - xb, b = кп.
3. Вывести аналог леммы (5.3) о производной лоренцева преобразования (в Rjj),
зависящего от параметра.
4. Решить в Rij уравнение: r = wxr,w — постоянный вектор.
5. Доказать, что ортогональное дополнение времениподобного вектора в R"*' есть
пространствен ноподобная гиперплоскость. Каким может быть ортогональное'дополнение
пространственноподобного вектора? светового?

Глава 2
Теория поверхностей
§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве
1. Координаты на поверхности. Поверхности в трехмерном пространстве — это
простейший объект, на котором возникает, как говорят, внутренняя геометрия. Что
это значит?
Мы изучали линии и их метрические инварианты на плоскости и в
пространстве. Но эти инварианты (кривизна и кручение) являются инвариантами расположения
линии — это понятия внешней геометрии. Никаких внутренних метрических
инвариантов на линии не бывает. Это означает, что вдоль линии можно выбрать натуральный
параметр, в котором длина отрезка (по линии) между точками измеряется так же, как
на прямой:
4ivt
1= / \vt\dt, vi~r = {x,y,z).
и
Для поверхностей это уже не так: никаким образом нельзя задать координаты на
сфере (даже на куске сферы) так, чтобы формулы длин в этих координатах были такими
же, как формулы длины в декартовых координатах (я, у) на евклидовой плоскости.
Каким образом задаются поверхности? Есть три способа задания поверхностей
в трехмерном пространстве:
1) Простейший — это определить ее как график функции
z = f(x,y).
2) Более общий — уравнением
F(x,y,z) = 0.
3) Параметрический (по аналогии с кривыми): г = r(u,v), или, подробнее,
х — x{u,v), у = y(u,v), z = z(u,v), где и, v — параметры, пробегающие какую-либо
область в плоскости (u,v).
Определение 1. Мы будем говорить, что уравнение F{x, у, z) — 0 задает поверхность,
неособую в точке Р = (a;o,yo,zo), где Р(хо,Уо,я>) — 0, если градиент функции F
в точке Р отличен от нуля:
dF dF dF
Т- е' + ~3~~ е2 + "3~~ ез ^ ° ПРИ х = хо, У-Уа, z~ го.
ах ду oz
Согласно теореме о неявных функциях, если, скажем, 2£ |1019ал ф 0, то можно
решить уравнение F(x,y,z) — 0 около точки Р = (хо>Уо>2о) относительно z, т.е.

§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве 57
найти функцию z - f(x,y), для которой f(xn,yn) = za и F(x,y,f(x,y)) = 0 в
некоторой области плоскости (х,у), окружающей точку (хо,уа). Дифференцируя
равенство F(x,y,z) = 0, получим
dF dF dF
— dx+ — dy + —dz = 0,
ox ay dz
и, значит,
dj_ __ dF/дх df _ dF/dy
dx~~~ dF/dz' dy~~ dF/dz'
Следовательно, поверхность, заданную уравнением F(x,y,z) — 0, в окрестности
неособой точки можно задать в виде графика. Поэтому локально, около неособой
точки, всегда можно задать поверхность параметрически: z = f(u,v), х = и, у — v
(около точки хо — щ, уо = 1>о)- Иначе говорят так: около неособой точки можно задать
локальные координаты («,«).
Наоборот, пусть поверхность г = г(и, и) задана параметрически:
х = x(u,v), у = y(u,v), z — z{u,v).
Определение 2. Точка Р = (жо,ЗЛ>,2о) = (z(t«o,»o), У(«о,«о), г(«о,«0)) называется
неособой, если матрица
А =
имеет ранг два.
Вх дц_ dz_
ди ди ди
эх aj dz
dv dv dv
Теорема 1. Если поверхность задана параметрически и точка Р — («о, "о) неособа,
то около этой точки поверхность можно задать уравнением F(x,y,z) — 0Г где
F(x0,ya,z0) = 0 и gradF|I(,iWi2o ф 0.
Локазательство. По определению неособой точки ранг матрицы А равен двум. Пусть
для определенности детерминант
дх ду дх ду
ф 0.
ди dv dv ди
Напомним теорему об обратном отображении. Пусть х = x(u,v), у = у(и, v),
якобиан в точке (ио,ио) не равен нулю, и г0 = ж(и0,и0), Уо = У{Щ,щ)- Тогда в
некоторой окрестности точки (ж0) j/o) можно найти обратное отображение
и = и(х, у), щ, = и(х0,у0), v = v(x, у), vQ = v(x0, т/0),
причем матрица ( "х "* ) обратна матрице ( ** f" ). Пользуясь этой теоремой,
\ У У / \xv Vv /
мы найдем выражения и(х, у), v(x,y); затем, подставив их в выражение для z,
мы получим функцию z{u(x,y), v(x,y)), для которой zo = z(«o,i>o) = z(u(xa,yg),
v(x0,y0)). Получаем локальное представление поверхности в виде графика
z = f(x,y), zo = f(xo, J/o), около неособой точки xu,yo,zo. Теорема доказана. ■
Вывод состоит в том, что локально, около неособой точки Р = (хп, уц, zo) на
поверхности, все три способа задания поверхностей (гладкими функциями)
эквивалентны.

58
Глава 2. Теория поверхностей
Примеры. !) fj + fr + fr = 1 (эллипсоид); а) особых точек нет, б) в целом графиком Нельзя
задать (локально можно), в) в целом нельзя задать параметрически (так, чтобы все точки
были неособыми).
2) у + Jr ~ ? = ' (однополостный гиперболоид); а) в целом нельзя задать в виде
графика, б) в целом можно задать параметрически, выбирая в качестве параметров
u = z, v = у, где у — полярный угол.
3) -fi-fr + jr = l (двуполостный гиперболоид); одну половину можно задать как
в виде графика z — f(x,y), так и параметрически, так что все точки будут неособыми.
4) Конус ^ + ^-£^=о. Точка (0,0,0) — особая.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть поверхность задана системой уравнений в
области n-мерного пространства:
Мх\...,х") = оу...,/п.к(х\...,хл) = а. (1)
Определение 3. Точка (xq,...,Xq) поверхности (1) называется неособой, если ранг
матрицы (0)li=I,-, t — 1,...,га - к, j = 1,..., п, равен ровно п - к.
Имеет место следующее простое утверждение.
Лемма 1. Около неособой точки (ж0,... ,х$) поверхности (1) можно ввести локальные
координаты (z',... ,zk).
доказательство. Пусть минор порядка п - к, не равный нулю, есть (§£)x,--xi,
j = к+ 1,...,и. Тогда мы в окрестности точки (х1,...,х%) на поверхности
примем за локальные координаты недостающие переменные (х1,...,хк). Решим
систему уравнений (1) в окрестности этой точки, пользуясь теоремой о неявных
функциях:
xk+l=xk+\z\...,zk),
x"=x"(zl,...,zk),
z,=x\...,zk = xk.
В переменных (z',...,z*) мы получаем параметрическое представление
поверхности в окрестности изучаемой точки. ■
Важный частный случай — это гиперповерхности в га-мерном пространстве.
Они задаются одним уравнением
f(x\...,xn) = 0. (2)
Точка (х0,...,Xq), лежащая на гиперповерхности (2), т.е. такая, что }(х\,...,zj) = 0,
будет неособой, если
/ at at \
(3)
-'-(&--J?L/°-
2. Касательная плоскость. Пусть поверхность в К3 задана параметрически:
т — r(u,v), г — (x,y,z), где и, v — координаты на поверхности. Кривая и — u(t),
v = v(t), заданная в координатах u,v, определяет кривую r(£) = r(u(t), «(<)), лежащую
на нашей поверхности в R3. Ее вектор скорости f(t) имеет вид
дт дг
т(Ь) = тий + rvv, тч = —, г, = —. (4)
ди dv

§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве 59
Если изучаемая точка неособая, то векторы ти = (xu,yu,zu) и т, = (xv,yv,zv)
линейно независимы. Из (4) следует, что любой касательный вектор к поверхности
есть линейная комбинация векторов ти, rv. Следовательно, векторы, касающиеся
поверхности в данной неособой точке, образуют двумерное пространство с базисом
г„, т„, которое и называется касательной плоскостью в данной точке. Координатами
вектора скорости г в этом базисе служат величины й, и.
Пусть поверхность задана уравнением F(x,y,z) = 0 и кривая т = r(t) =
(x(t),y(t),z(t)) лежит на поверхности, т.е. F(x(t),y(t),z(t)) = 0. Тогда 0 = ^F(x(t),
y(t),z(t)). Отсюда имеем
0 = Fxx + Fyy + Fzz. (5)
Если в данной точке gradF = (Fx,Fy,Fz) Ф 0, то уравнение (5) относительно координат
(х, у, z) касательного вектора задает касательную плоскость.
Пусть теперь в и-мерном пространстве R" с координатами (х[,...,хп) задана
ife-мерная поверхность (в параметрической форме):
(6)
xn = x"(zl,...,zk).
Тогда вектор скорости кривой z3 = z3(t), j = 1,...,к, лежащей на
поверхности (6), имеет вид
v = {x\...,xn) = zlfl+...-¥zkfk>
где векторы /i,..., Д имеют вид
/ах1 дхп\
f>= [!&>■■■'!&)' ' = 1-'fc- (7)
Векторы fj образуют базис А;-мерной плоскости, касающейся поверхности в данной
(неособой) точке. Мы видим, что если кривая задана в координатах zl,...,zk, то ее
касательный вектор имеет в базисе (/,■) координаты (i',...,zk).
Если fc-мерная поверхность задана системой из га - fc уравнений
^(ж',...,х») = 0,
(8)
Fn-k(xl,...,a?) = 0,
то для координат (х1,...хп) вектора, касающегося этой поверхности, будем иметь
систему линейных уравнений:
Dw^=0- (9)
В неособой точке ранг системы (9) равен п - fc, поэтому система (9) определяет
fc-мерную плоскость в R". Это и есть касательная плоскость к поверхности в данной
точке.
Замечание. Мы видим, что в любом случае геометрический смысл условия неособости таков:
плоскость, касательная к поверхности в данной точке, имеет размерность, равную
размерности поверхности, т.е. числу параметров к для параметрического задания
поверхности. Если поверхность задана системой уравнений, это число равно размерности
пространства минус количество уравнений.

60
Глава 2. Теория поверхностей
3. Метрика на поверхности. Пусть поверхность (или ее кусок) задана
параметрически: г = r(u,v), г = (x,y,z), где и, и — координаты на поверхности. Изучаемую
точку мы всегда далее будем считать неособой: ранг матрицы А = ( х" Уи г* ) равен
/ Si Эх \ V1' у" г" /
двум (где хи - jj , xv - jj-, ...).
Как мы определили выше понятие римановой метрики?
Пусть задана кривая и — u(t), v = v(t). Ее длина имеет вид I — J\vt\dt,
vt — (u,v). Здесь vt = (u,v) — вектор скорости в координатах (u,v) и М2 = д^хЧ?,
х] — и, х2 — v, gij — gij(u,v). Мы называли набор функций <?у (в координатах u,v)
римановой метрикой. Этот набор определяет длину кривой, а также углы между двумя
кривыми в точке их пересечения.
Как определить длину кривой? Чему равны дц(и, v) (и = хх, v — ж2)?
Мы заметим, что кривая и — u(t), v = v(t) записана через координаты (u,v)
на поверхности, но сама поверхность лежит в трехмерном евклидовом пространстве
(x,y,z), где г = r(u,v), т - (x,y,z).
Естественно, что длиной кривой u(t), v(t) на поверхности мы называем длину
этой кривой в трехмерном евклидовом пространстве.
Кривую мы запишем в виде
х = x(u(t),v(t)) = x(t),
у = y(u(t),v(t)) = y(t), (10)
z = z(u{t),v(t)) = z(t).
Для длины кривой в трехмерном евклидовом пространстве мы имеем по определению
I = / у/х2 + y2 + z2 dt.
(11)
Так как ж = хий+ xvv и т.д., то мы получаем
х
i2 , ..-.2 , il _ с .2
+ у + z2 - Ей + 2Fuv + Gv = giji^x',
где Е = ди, F - дп =g2i, G = д22, и-х\ v = х2 и
дИ ~ Е ~ хихи + уиуи + zuzu,
gi2 = F -xuxv +yuyv +zuzv, (12)
922 = G- xvxv + y„y„ -\- zvzv.
Если
т„ = x„ei + yne2+zue3, r„ = x„e, + y„e2 + z„e3,
то
ft; = ('V.'*'). x =u, x = v. (13)
При этом функции g,-j(u, v) определены в координатах на поверхности.
Выражение gtjdx' dx> = E(du)2 4- 2F(dudv) + G(dv)2 называют обычно первой
квадратичной формой (или римановой метрикой) на поверхности.
Если поверхность задана в виде F(x,y,z) = 0, то риманова метрика на
поверхности (первая квадратичная форма) — это просто квадратичная форма dx2 +
dy + dz2 при условии F(x,y,z) = 0, из которого следует, что
Fx dx + Fydy + Fz dz = 0.

§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве
61
Если Fz Ф О в изучаемой точке поверхности, то dz — — (jf)dx - (jr)<fy. Поэтому
поверхности F(x, у, z) = О, х = и, у = v имеем
/ F F
dx2 + dy1 + dz1 -dx1 + dy1+[—dx + — dy
Таким образом,
F2
Здесь и = ж' — х, v = х2 = у.
922 = G -
:,4
9n = F =
FxFy
' F}
(14)
Если поверхность имеет вид z = f(x,y), то
9и = 1+ Л2, 9п = fxfy, 922 = 1 + /»■ (15)
Итак, риманова метрика на поверхности появляется здесь как способ вычисления длин
кривых в координатах (и, v) на самой поверхности. Сама поверхность расположена в
трехмерном евклидовом пространстве, и речь идет просто о длине этой же кривой в
трехмерном евклидовом смысле.
Евклидовы координаты (х,у, z) заданы в виде функций на поверхности: х —
x(u,v), у = y(u,v), z — z(u,v). По определению имеем
dx Л-dy Л-dz =gijdx'dxJ, х = и, х = v;
(16)
9и = Е, дп = F, 522 = G.
В некоторых случаях бывает, что метрика gij(x\ х2) самой поверхности двумерно
евклидова (см. §3). Это означает, что на поверхности найдется пара функций й(х\х2),
Цх\х2) таких, что
(du)2 + (dvf = gij dx1 dx>. (17)
Пример. Метрика цилиндра евклидова: уравнение цилиндра f(x, у) - с (z не входит).
Евклидовы координаты — это z и натуральный параметр I плоской кривой f(x,y) = с: й = z,
v = I. Имеем
dx1 + dy2 + dz2 |/(IJ,)=C = dz1 + dl\
Пусть поверхность задана в виде F(x,y,z) = 0 и grad F Ф 0. Тогда на
поверхности имеем dF = Fx dx + Fy dy + Fz dz = 0. Если £ — касательный вектор к
поверхности, £ = £'е, +£2е2 + £3е3, то Fx£l + Fy£2 + Fz£3 = 0 или £ 1 gradF. Отсюда
получаем вывод: вектор gradF нормален к поверхности F(x,y,z) = 0.
При параметрическом способе задания поверхности: г = г (и, v), г = (x,y,z),
имеем два вектора
£ = г„ = jv = xut\ + у»е2 + zaeit
т\ = г„ = jv = х„е, 4- у„е2 + z„e3.
Оба эти вектора касательны к поверхности. Если они линейно независимы (т. е.
точка неособая), то их векторное произведение [£, г?] = [ru,rv] ортогонально плоскости
(ru, rv) и тем самым к поверхности.
Имея риманову метрику, мы можем измерять на поверхности длину любой
кривой и = «(<), v = v(t) и угол между двумя кривыми в точке их пересечения.

62 Глава 2. Теория поверхностей
Скалярное произведение векторов скорости щ — (uuv\) и % = (йъ^т.) в точке
пересечения («о,•"о) кривых (Ui(t),v\(t)) и (u2(t),Vi(t)) задается формулой
(V\, %) = 9ijvW2 (Щ - Щ, Vk = h, к = 1, 2),
а угол ^ между ними — формулой
cos^ = i n i (Ы2 = (m,m), Ы2 = (%>%))•
Приведем теперь формулы для общего случая А:-мерной поверхности в и-мерном
евклидовом пространстве. Сказанное в п. 1 позволяет нам ограничиться случаем
параметрически заданной поверхности: х' — x'(z\...,zk), i— 1,...,п. Длины кривых
z1 — z3{t), j = I,...,к, лежащих в пространстве на поверхности
X\t) = x\z\t),...,Zk(t)), .= 1,...,71, (18)
вычисляются по формуле
Ь Ь I ~ 6 . 6
l = J\x\dt = f £>У dt=UYl(^J^j) ^ dt = J \[<hi^jdt, (19)
а а N 1=| а * к а
1 к X—i Эх дх
Очевидно, (dl)1 = gtj dz' dz3.
Таким образом, метрика пространства определяет метрику на любой лежащей
в нем поверхности, оказывающуюся, вообще говоря, неевклидовой. Метрика (20)
называется индуцированной метрикой на поверхности.
Для случая гиперповерхности F(x\...,xn) = 0, gradF Ф 0 (пусть §§; # 0),
метрика (20) имеет вид
9ij = °ij + -ёГ~'
где ^, = 0.
4. Площадь поверхности. Если бы мы имели евклидову плоскость с
координатами (х, у) и область U на плоскости, то площадь области U измерялась бы двукратным
интегралом cr(U):
*(U) = ffc
dxdy.
и
Если мы сделаем замену переменных (взаимно однозначную)
x-xiu,v), y = y(u,v), (21)
то мы будем иметь формулу
<r(U) - II \xuyv - xvyu\ dudv, (22)

§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве 63
*m = Jf\
где V — область в (и, 1;)-плоскости, соответствующая области U в (х,у)-плоскости.
Таким образом, имеем
г г
\J\dudv,
v
где J — якобиан замены переменных (21), J = xuyv -~ yuxv. Возникает вопрос: как
вычислять площадь области на поверхности г = r(u,v), г — r(x,y,z) в пространстве,
если известна риманова метрика на самой поверхности
dl =gijdx'dxJ, хх = и, x2 = v. (23)
Рассмотрим детерминант матрицы (д^):
д = det {д^) = дид22 - gj2 = EG - F2 > 0. (24)
Определение 4. Площадью области U на поверхности г — r(u,v), г — (x,y,z),
называется величина
cr(V) = J J y/gdudv, (25)
и
где U — область на поверхности, заданная параметрически как область в
плоскости (u,v).
Выражение ,/gdudv называется дифференциалом (элементом) площади на
поверхности с римановой метрикой (gij).
Каково основание для такого определения площади области на поверхности?
Почему элемент площади должен браться в виде ^/gdudv, если скалярное произведение
касательных векторов в точке (и, v) задано матрицей (ft,-)?
Рассмотрим для понимания этого вопроса пару векторов £, т) евклидовой
плоскости и параллелограмм А£ + /^, 0 < А < 1, 0</г< 1. Площадь параллелограмма равна
<*■ = l£V ~£Vl = |det.4|, где А = [ \ % ), т. е. матрица А образована из компонент
\П V /
векторов £ = £'ei + £ге2 и tj — 771 еs + tj е2 по отношению к ортонормированному
базису еие2.
Поставим теперь другую задачу: пусть задана плоскость с базисными векторами
ё\,ё2. Пусть скалярное произведение базисных векторов задается матрицей
{ei,ej)=gij, i = 1,2, j =1,2, (26)
Чему равна площадь параллелограмма, натянутого на векторы ё\ и г21 Точки
параллелограмма — это Аё[ + jJ.e2, где0^А<1,0</1^1. Мы считаем, что матрица
д^ — матрица положительной квадратичной формы:
9ц№ > 0-
Лемма 2. Площадь параллелограмма, натянутого на векторы ё\ и г2, равна у/g, где
g = det (g^) = gug22 - д}2.
Доказательство. Квадратичную форму д^ можно привести к диагональному виду
g'ij = 6ij линейным преобразованием А. Точно это значит следующее: найдутся
векторы е\,е2:
ei =auei +апе2, ё2 = a2let + а22е2, (27)

64
Глава 2. Теория поверхностей
такие, что (е,-,е_,) = g'ij = (¾ (т.е. |е*| = 1, ei i. e2). Из формул (27) вытекает,
что
д\\ = (ё|,ё,) = <*ц +а,2,
5i2 = 521 = (ё\,ёг) = аца21 + а22<*!2,
522
На матричном языке
522 = {ег, ё2) = a2t 4- a22.
to«) = C = A4 А=(2| J). (28)
Какова площадь параллелограмма, натянутого на векторы ё), ё2 ? Так как
базис {ei,e2) ортонормирован и векторы ei,e2 имеют вид (27), то площадь
параллелограмма, натянутого на 5i,e2, равна |det.A|. Но detAr — detA, поэтому
из (28) получаем
0 = det(sy) = (detA)2,
jdetvlj = V5-
Лемма доказана; ■
Напомним без доказательства извлечения из основных идей, лежащих в основе
понятия двукратного интеграла и связанного с ним понятия площади области.
Рассмотрим область U на плоскости с координатами х' = и, х1 = v,
ограниченную некоторой кусочно гладкой кривой Г. Разобьем плоскость на малые
прямоугольники со сторонами Ди, Av (мы считаем, что Ди и Av стремятся к нулю).
Очевидно, площадь области U больше (или равна ей) суммы площадей всех внутренних
для этой области прямоугольников.
Определение 5. Площадью области U называется предел сумм площадей всех
внутренних прямоугольников при Ди —»■ 0 и Av —► 0, если этот предел существует.
Пусть теперь дополнительно задана непрерывная функция /(и, v) двух
переменных. Определим понятие интеграла функции по области U.
Рассмотрим все внутренние для области прямоугольники со сторонами Ди и Ди
для прямоугольной сетки. Для прямоугольника Sa мы рассмотрим значение f{ua,va)
нашей функции в центре прямоугольника. Рассмотрим интегральную сумму
S(f,U) = ^2^u"'v")AuAv'
где сумма берется по всем внутренним прямоугольникам.
Определение 6. Предел сумм S(f,U) при Ди -» 0, Av —► 0, если он существует,
называется двукратным интегралом от функции /(u, v) по области и обозначается
// f(u,v)dudv.
и
В частности, если f(u,v) = 1 и (и,v) — евклидовы координаты, то интеграл
J J dudv совпадает с площадью области U.
и
Напомним, что выше мы определили площадь области U на плоскости с
координатами и = ж1, v — х1, в которых метрика имеет вид dl2 = д\ \ du1 + 2д\г du dv 4-
gudv2, как интеграл
&(U) = // y/gdudv.
и

§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве 65
Почему? Если Аи и Av малы, то площадь малого параллелограмма с центром в
точке (ua,va) и со сторонами Аи и Av равна примерно Sa ~ AuAv^fg согласно дока-
' занному выше утверждению. Здесь у[д = J дидгг - д\г, причем числа (¾ вычисляются
в точке (uan,va)... Мы имеем при: малых Аи, Av
YlSa ~S V9(ua,va)AuAv.
a a
Предел этих сумм при Аи —> 0, Av —► 0 и есть интеграл cr(U) — fj ^/gdudv.
и
В заключение приведем формулы для площади поверхности в различных
заданиях.
Теорема 2.. 1. Пусть поверхность задана в виде графика z — f(x,y), и пусть задана
область U на поверхности, которая проектируется в область V на плоскости
(ж, у). Тогда имеет место равенство
<r(U) = J J y/l + fi + fidxdy. (30)
v
2. Если поверхность задана уравнением F(x,y,z) — 0 и область U на
поверхности взаимно однозначно проектируется в область V на плоскости (х,у),
то имеет место формула
|gradF|
'-j^dxdy, (31)
°m4f
где Fz = §f Ф 0 при (x,y,z), лежащих в области U.
3. Если поверхность задана в параметрической форме: г = r(u,v), то имеет
место формула
a{U)= [f\[ru,rv]\dudv, (32)
v
где V — область на плоскости (u,v), [ra,rv] — векторное произведение.
Аоказательсгво. 1. Напомним, что для поверхности z = f(x,y) имеем
011=1+/2. 9\2 = fxfy, #22=l+/j, U = X, V-y.
Тогда Jg = J gugn - <7?2 = \/l + /* + /»• Из определения 4 площади
поверхности получаем нужное утверждение.
2. Для поверхности F(x,y,z) — 0 при Fz ф 0 имеем х' = и = х, х~ = v = у,
Эи = 1 + jft, 9п - -jf, 9n = 1 + jk ■ Как и в n. 1, убеждаемся, что
Fi Fj IgradFI
3. Напомним, что если т — r(u,v), хх = и, х2 = v, то д^ — (гх<,гх,).
Поэтому для площади параллелограмма, натянутого на векторы ru,rv, равной
|[г„,г,]|, имеем
зз...»» 9 = 94971-9212 = \1т.,тш]\г.

66 Глава 2. Теория поверхностей
Поэтому по определению 4 имеем
<т(СГ)= / / \\ru,rv]\dudv.
v
Теорема доказана. Ш
Итак, мы убедились в том, что площадь определяется, как и длина, заданием
скалярного произведения ((¾) касательных векторов в каждой точке.
Задачи. 1. Тор Т1 в трехмерном евклидовом пространстве задается в виде поверхности
вращения окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности. Написать
параметрические уравнения тора и индуцированную метрику на торе.
2. Вычислить первую квадратичную форму на эллипсоиде вращения
о
V2 + z2
3. Найти метрику, индуцированную на поверхности вращения
r(u,tp) = {p{y)costp, p(u)sinip, z(u)}.
Проверить, что ее меридианы {р = consl} и параллели {« = consl} образуют
ортогональную сеть. Найти линии, которые делят пополам угол между меридианами и
параллелями.
4. Найти на сфере линии, пересекающие меридианы под заданным углом or (локсодромы).
Найти длину локсодромы.
5. Пусть F(x,y,z) — гладкая однородная функция (т.е. F(cx,cy,cz) — c*F(x, y,z)).
Доказать, что метрика на конической поверхности F(x, у, z) = 0 евклидова вне начала
координат.
§ 8. Вторая квадратичная форма
1. Кривизна кривых на поверхности в евклидовом пространстве. Пусть задана
поверхность в трехмерном евклидовом пространстве и (x0,y0,z0) — неособая точка на
ней. Предположим сначала, что ось z нормальна к касательной плоскости к поверхности
в точке (хо, yd *<%), в этом случае оси х и у ей параллельны. Тогда поверхность локально
около точки (xo,2/o,zo) задается уравнением z — f(x,y), z0 = /(хо>Уо) с
д±
дх
ду
:0, т.е. grad /|~<, =0. (1)
Рассмотрим второй дифференциал функции z = /(х,у), т. е. d f = fxx dx +2fxy dx dy+
fyydy1, и составим матрицу (¾ = Л'г>, где х' = х, х2 ~ у (эта матрица называется
гессианом). Рассмотрим эту матрицу квадратичной формы в точке (x0,yoizo)! в которой
grad/ = 0.
Определение 1. Главными кривизнами поверхности z = fix,у) в точке (хо,уо, z0), в
которой grad/ = 0, называются собственные значения матрицы (аф. Гауссовой
кривизной называется детерминант матрицы (сц,) в этой точке, а средней кривизной

§ 8. Вторая квадратичная форма 67
называется след матрицы в этой точке: след an + a2i = к\ + к2, к\ и к2 —
собственные значения, гауссова кривизна К = к\к2 — det(ay) = аиа22 - ап&1\-
Как мы увидим в гл. 4, гауссова кривизна поверхности зависит только от
внутренних метрических свойств этой поверхности.
Мы определили пока понятие кривизны в специальных координатах, связанных
с изучаемой точкой: ось z нормальна к поверхности, а оси х, у касательны к ней в
этой точке или, локально, z = fix,у) и grad/ = 0 в точке (z<>, уй). Для определения
этих величин в произвольных координатах обратимся к теории кривизны линий на
поверхности.
Пусть поверхность задана в параметрической форме
г — r(u,v). (2)
Тогда [гЯ)7-„] = |[7"Ulr„]|m, где т — единичный вектор нормали к поверхности,
|тп| = 1. Рассмотрим кривую г = r(u(t),v(t)) на поверхности. Имеем г = ruu + rvi>,
■ г = (г„„и2 4- 2ruvui> + r„i)2) + (гий + tvv). Так как г„ _L m и r„ ± т, получаем
{г,т) = {гии,т)й2 + 2{ruv,m)uv + {rvv, т)Ьг = 6,,й2 + 26,2^ + ½¾)2. (3)
Вывод. Нормальная проекция ускорения {г,т) — это квадратичная форма от вектора
скорости (й, i>) в локальных координатах и = х , v = хг.
Положим 6,, = L, Ьп = М, &и = N. Имеем
(г, т) dt2 = btj dx dx> = Ldu + 2M dudv + N dv2.
Определение 2. Выражение (г, m) dt называется второй квадратичной формой
поверхности (2).
Пусть линия u(t), v(t) отнесена к натуральному параметру t = I. Согласно
формулам Френе для кривой г — r(t) = r(u(t), v(t)) имеем
d2r
где n — главная нормаль к кривой, к — кривизна кривой. Поэтому (r,m) = к{п, т) —
ксовв, где в — угол между тип. Отсюда получаем
к cos в dl2 = {f,m) dl1 = Ldu2 + 2M dudv + N dv2 = 6;j dx* dxj,
1 2
X = U, X = V,
где dl2 = gij dx' dx> = Edvr + IF dudv + G dv2.
Вывод.
bit dx1 dx1 , ,
fcCOS0= : -, X = U, X = V. (4)
gtj dx' dx1
Тем самым доказана
з*

68
Глава 2. Теория поверхностей
Теорема 1. Кривизна кривой на поверхности в трехмерном пространстве, умноженная на
косинус угла между нормалью к поверхности и главной нормалью кривой, совпадает
с отношением значений второй и первой квадратичных форм на касательном
векторе к кривой.
Следствие. Если кривая является сечением поверхности с помощью нормальной плоскости,
то cos в — 1 и
Ьц dx' dx3
fc= — : 7. (5)
gij dx1 dx1
2. Инварианты пары квадратичных форм. Итак, в каждой точке поверхности
задана пара квадратичных форм:
1) dl = g^ dx1 dx1, (6)
2) {?, m) dt2 = bij dx* dx3. (7)
При этом форма dl2 положительно определена.
Какие инварианты пары квадратичных форм нам известны из алгебры?
Рассмотрим на плоскости пару квадратичных форм, из которых одна
положительно определена. Пусть матрицы квадратичных форм имеют вид
G=(9» 9п\ Q=(bu Ьп\ g)
(#21 = <7i2i &2i = *12)- Составим уравнение
det(Q-AG) = 0, (9)
или
(Ьп - M\\)ihi - Цп) - (*>12 - А<7п)2 = 0.
Корни А|, Х2 этого уравнения называются собственными значениями пары квадратичных
форм.
Решим линейные уравнения
№п - А#„)4 + (½ - Atf12)£? = 0,1
(Ъп - A,ft2)6' + (hi - Ьдп)*} = 0, J
где £,', £2 — неизвестные, i = 1,2.
Если Аь А2 — собственные значения, то система (10) имеет нетривиальные
решения
Направления векторов f\, /2 называются главными направлениями пары
квадратичных форм; f\ соответствует At и /2 соответствует А2.
Как и прежде, скалярные произведения (<2j,ej) базисных векторов плоскости
обозначаются через gij,i,j =1,2 (при этом риманова метрика задается формой </у).
Лемма 1. Если собственные значения пары квадратичных форм различны, то главные
направления ортогональны.
Мы имеем два главных направления f\, /2,
/1 =£|Ч +fr2e2, /2 = 6^1+^2-

§ 8. Вторая квадратичная форма
69
Их ортогональность означает по определению, что
(fi,h)=9ijtki = 0-
доказательство. Выберем пару плоских векторов d\,d^ таких, что (i,-,ij) = <5у. Это
можно сделать в силу положительной определенности квадратичной формы с
матрицей д^, так как ее можно привести линейным преобразованием к сумме
квадратов. Вторую квадратичную форму мы рассмотрим теперь в новом базисе
di,d2, считая, что
ei = a{dj, A = (4)- (11)
В новом базисе d\,di для матриц G и Q первой и второй квадратичных форм
имеем
1) G = ({di,dj)) = (6{j) или G = ^ °) и, значит, G = А7А;
2) Q = ArQA. _
Так как G = А7А и Q - ATQA, то
Q-\G = AT(Q-\- \)А,
det (Q - AG) = (det A)1 det (Q - A • 1).
(12)
Заметим, что det Л = det.AT = y/g = ^/detG Ф 0. Поэтому уравнение (9)
эквивалентно уравнению
det (Q - А ■ I) = 0. (13)
В базисе d\,di скалярное произведение евклидово. Оно задается единичной
матрицей G = 1 = (¾). Из курса алгебры известно, что квадратичную форму
Q можно вращением привести к форме, задаваемой диагональной матрицей,
а собственные векторы flt fi последней ортогональны в обычном евклидовом
смысле. Лемма доказана. ■
Эта лемма представляет собой вариант теоремы о приведении квадратичной
формы в евклидовой плоскости к диагональному виду с помощью вращения.
3. Свойства второй квадратичной формы. Вернемся теперь к первой и второй
квадратичным формам поверхности в трехмерном евклидовом пространстве:
gijdrfds? =dl2, (14)
bjj dx dx3, x =: и, x = v. (15)
Отношение этих квадратичных форм есть кривизна нормального сечения.
Опрелеление 3. Собственные значения этой пары квадратичных форм называются
главными кривизнами поверхности в изучаемой точке. Произведение главных
кривизн называется гауссовой кривизной поверхности, а сумма их — средней
кривизной поверхности1'.
Пример. Пусть поверхность задана в виде z = f(x,y), и пусть в изучаемой точке (х0,уо) имеем
fx = /„ = 0 (ось z нормальна к касательной плоскости к поверхности в этой точке).
Часто средней кривизной называют полусумму главных кривизн.

70 Глава 2. Теория поверхностей
Пусть х = и, у = и, г = f(u,v). Для первой и второй квадратичных форм получаец
(в изучаемой точке (ха,у0))
(D Зн = 1, 9п = >> 3i2 = £»21 = 0 Cfir.j = *,,■>.
(И) £ = &,, = (r,«,m) = /„(г0,Уо),
Af = 6|2 = (r„,m> = Ду(г0,уо),
N - Ь22 = (r„„m) = fyy(xo,y0).
(16),
Злесь вектор m совпадает с единичным вектором вдоль оси z.
Итак, в исследуемой точке вторая квадратичная форма имеет вид
btj dx' dx1 - fxixJ dx' dx1 = d2f. (17)"
Гауссова кривизна в этом случае совпадает с детерминантом det ( у* уу ). Собственные
\ Ixy Jyy /
значения получаются из уравнения (fxx - X)(fyy - А) - (fxv)2 -■ 0, так как <?,■; = <5^.
Касательная плоскость к поверхности в этой точке параллельна плоскости (х,у).
Главные направления в этой точке можно получить, решая уравнения
(fx<x>---M.jKf = 0. *, J = 1, 2 для /ь (18)
(fx<xi - Wij)ii = 0, U=l,2 да /2. (19)
Так как /| J. /2, мы можем взять единичные векторы главных направлений за новые
оси координат х\у' — совершить вращение в плоскости (х,у). Необходимо лишь,
чтобы было А| ф Д2.
В новых координатах (z,x',у') имеем
z = f(x(x',y'),y(x',y')),
где х = х' cos >р + у' sin <р, у = —х' sin <р + у' cos ip, р — угол вращения.
В новых координатах вторая квадратичная форма имеет вид (только в
рассматриваемой точке)
A,(dx')2 + A2(dy')2. (20)
Для кривизны нормального сечения в данной точке получаем формулу
Mdx'f + Xjidy1)1
fc= г г—. (21)
(dx')1 + (dy1)2
Касательный вектор е к нормальному сечению поверхности имеет в данной точке вид
е = (х',у'), где
dx = х dt, dy' ~ ij dt.
Поэтому имеем
(dx1)2 . 2 (dy1)2
sin a = ——r 7~r^, l22)
(dx'Y + idy'Y (dx'y- + (dy'Y
где a — угол между осью x и касательным вектором е к нормальному сечению.
Итак, мы установили, что при нашем специальном выборе системы координат
к — A| cos" a + А2 sin а. Эта формула называется формулой Эйлера. Оказывается, что
она имеет место в любой системе координат.

§ 8. Вторая квадратичная форма
71
^орема 2. Кривизна нормального сечения дается формулой
к — Л| cos a + А2 sin" а,
где Л|, Ат — главные кривизны, а — угол на поверхности между касательным
вектором к нормальному сечению и соответствующим главным направлением.
Доказательство. Мы вывели формулу Эйлера для случая, когда поверхность задана в
виде z = f(x,y) и /, = /, = 0 в изучаемой точке (хи,уп). Однако, поскольку
сам результат не зависит от выбора координат, то мы всегда можем для
изучаемой точки выбрать связанные с ней координаты так, что ось z нормальна
к поверхности в этой точке, а оси ж, у касательны к поверхности и взаимно
ортогональны (и даже являются главными направлениями). Тогда поверхность в
окрестности изучаемой точки задается в виде
Z = f(X, У), fx = fy= 0.
Более того, в этой точке fxy — fyx = О, если оси являются главными
направлениями. Тогда Ai = fxx, А2 = fyy в этой точке. Поскольку в таких координатах
мы уже вывели формулу Эйлера, теорема доказана. ■
Замечание. При изменении направления оси z на противоположное знак главных кривизн
также меняется.
Отметим следствие из формулы Эйлера: если А| > Аг, то А| и Аг суть
максимальная и минимальная кривизны нормальных сечений в данной точке (с учетом
знака).
Укажем полезные формулы для второй квадратичной формы.
Если поверхность задана в виде z — f(x,y), то для коэффициентов второй
квадратичной формы имеем (здесь х — и, у = v)
^ = (1,0,^), г, = (0,1, /у), [г„,г„] = (-/^,-/,,1),
г*и = (0,0, fxx), ruv = (0,0, fxy), rvv - (0,0, fyy),
[r*,rv] (-/1,-/5,1) f~~
тп = — — = — =, L = On =
V« + /i + /f yji + fi + fi
М = Ъ,2 = Ъг,= , fxy N = b,2= fyy
(23)
y/l+fl + fi ' yj\+fl + fi
Отсюда получаем
bij dxl dx3 = = (fxix, dx' dx3), (24)
y/i + ti + fh
1 2
X = U— X, X = v = y.
Напомним, что для коэффициентов </;> мы имели формулы (7.15):
$11 = 1+ /*, 9м = 9г\ = fxfy\ 9п = 1 + fl,
g = 9u9ii-9n= 1 + fl + /»•
(25)
Имеет место следующая

72
Глава 2. Теория поверхностей
Теорема 3. Гауссова кривизна поверхности равна отношению детерминантов второй и
первой квадратичных форм:
ьиь22~ь2а ■
к = г. (26)
9ll922~ 9]2
В частности, если поверхность задана в виде графика z = f(x, у), то имеет место
формула
К. f.... - л
К =
J хх fyy fxy
(i + н + ю
?\2"
Локазательсгво. Собственные значения А| и А2 определялись из уравнения (9)
det(Q-AG) = 0,
где Q = (б,-,-) — \lf # ) — матРВДа второй квадратичной формы, G = (&;).
Заметим, что Q -XG = (Ьу - А^у) и det (Q - AG) = (6ц -Xgu)(bn ~ >>9гг) - (hi -
А<?и)2. Матрица G — (дф положительно определена и потому невырождена
Следовательно,
det(Q-AG) = detGdet(G_IQ-A- 1),
где detG ф 0. Собственные значения А[ и Аг можно определить, решая
уравнение det (G~*Q - А • 1) = 0. Напомним факт из алгебры: произведение всех
собственных значений матрицы равно ее детерминанту, в частности, det А = А| \2
для матриц второго порядка. Полагая А = G~'Q, видим, что
, det О
А,А2 = det (G-'Q)=—-i= К. (27)
detG
Отсюда следует, что гауссова кривизна равна отношению детерминантов матриц
второй и первой квадратичных форм.
Далее, если поверхность задана в виде z = f(x,y), то коэффициенты
0ij,9ij даются формулами (23), (7.15). Вычисляя детерминанты и составляя их
отношения, получаем формулу для гауссовой кривизны. ■
Следствие. Если поверхность задана в виде графика z = f(x,y), то знак гауссовой
кривизны К совпадает со знаком детерминанта fxx.fyy ~ fxy, так как
тг J хх Jyy ~ fxy
~0 + /i + /2)2'
Пример. Пусть поверхность задана в виде z = f(x,y), где функция f(x,y) удовлетворяет
уравнению Лапласа f„ + /„ = 0. Тогда /„/„ - Д, ^ 0, так как /„ = -/„. Поэтому
гауссова кривизна К < 0 всюду, где хотя бы одна из двух производных Д*, fxv отлична
от нуля.
Укажем геометрический смысл гауссовой кривизны. Выберем для данной точки
поверхности ортонормированный репер (x,y,z), где ось г нормальна к поверхности.
Тогда локально поверхность запишется в виде z = f(x, у), где /, = /,= 0 в этой точке.
В данной точке мы получим </у = tfy, так как </п = 1 +/»> 9п — fxfy,
9п = I + fy- Далее, L = bu= fxx, М = Ьп = fxy, N - Ьп = fyy.

§ 8. Вторая квадратичная форма 73
Разберем три случая.
1. К > О, Л| > 0, Аг > 0 (минимум функции f(x,y) при ж = ж0, у = у0, рис. 10, а).
2. К > О, А, < О, А2 < 0 (максимум функции f(x,y) при ж = ж0, у = Уо рис. 10,6).
3. К < 0, поэтому А| > 0, Аг < 0 или наоборот — это седло или «перевал»
рис. 10, в).
б в
Рис. 10.
Вывод. При К > 0 локально поверхность лежит по одну сторону от касательной
плоскости около изучаемой точки. При К < 0 поверхность обязательно пересекает
касательную плоскость сколь угодно близко от точки касания.
Если гауссова кривизна всюду положительна, то это — строго выпуклая
поверхность.
Задачи. 1. Найти поверхность, у которой все нормали пересекаются в одной точке.
2. Вычислить вторую квадратичную форму на поверхности вращения
Ф, 9) = W"). Р(")cos У> Р(«) sin <р), р(и) > 0.
3. Вычислить гауссову и среднюю кривизну на поверхности, задаваемой уравнением
z- f(x)+g(y).
4. Доказать, что если у поверхности, вложенной в трехмерное евклидово пространство,
гауссова и средняя кривизна тождественно равны нулю, то поверхность является
плоскостью.
5. Доказать, что на поверхности z - f(x, у) средняя кривизна Н равна
g = divf ,*«' Л.
\,/l + |grad7lV
6. Пусть поверхность S образована касательными прямыми к данной кривой с кривизной
k(l). Доказать, что если кривая изгибается с сохранением k(l), то и поверхность S
сохраняет метрику.
7. Если метрика поверхности имеет вид
dl2 = A2du + B2dv\ A = А(и, v), В = B(u, v),

74
Глава 2. Теория поверхностей
то гауссова кривизна имеет вид
К =
1
ав
8. Доказать, что единственными поверхностями вращения, имеющими нулевую среднюю
кривизну, являются плоскость и катеноид, где катеноид получается вращением кривой
t ch (<U+b) Л
§ 9. Метрика сферы
Сфера S2 С Е'1 радиуса R с центром в начале координат задается уравнением
х2 + у2 + z2 ■■
R1
(1)
В сферических координатах т, 9,<р эта сфера задается уравнением т = R, 9, <р любые.
Поэтому параметры (9,<р) могут служить локальными координатами на сфере, за
исключением ее северного и южного полюсов (где 9 = 0, 9 = 7г; это — особые точки
сферической системы координат — см. § 1). Известно (§3, п. 1), что евклидова метрика
dx2 + dy2 + dz2 в сферических координатах принимает следующий вид:
dx2 + dy2 + dz2 = dr2 + r2(d92 + sin2 9 dtp2).
(2)
На поверхности r = R дифференциал dr обращается в нуль, и для мгтрики сферы в
координатах (9,<р) мы получаем вид
dl2 = R2(d92 + sin2 9 dtp2).
в)
Здесь 0 :% ip :% 2ir, О ^ 9 ^ 7г (рис. 11). В малой окрестности точки 0 имеем sin# ~ 9.
Тем самым ^ приближенно равно евклидовой метрике d92 + 92dtp2 (в полярных
координатах 9,ip). Рассмотрим стереографическую проекцию сферы на плоскость (см.
рис. 12, на котором изображено плоское сечение сферы). Здесь (в,ш) — координаты
С
к.
t
\@,9)
J (г. <р)
0=л
Рис. 11. Расстояние между точками А и Рис. 12. Стереографическая проекция.
В, измеренное вдоль окружности радиуса (в,у) ~*(г,<р)
$ — тг, равно нулю, т.е. вся граница
круга склеивается в одну точку, что и дает
двумерную сферу
на сфере, а (г,<р) — полярные координаты на плоскости. Из рис. 12 вкдне, '■■•:■•- /; г: ч>-
т = JJctg|. Используя эти формулы перехода, мы можем переписать метрику (3) в
координатах (г, ip) (или в координатах х, у):
dl2 =
4Д"
(Л2 + г2)2
2 ^2
(dr + r~ dip ) =
4Я4
(R2 + x2 + у2)2
{dx -t- dy').
(4)

§ 9. Метрика сферы
75
Ясно, что метрика сферы получается из метрики евклидовой плоскости умножением
на функцию (Д2+дЧ!,у, т. е.
dl,
4R"
сфера
(R1 + х2 + у2)2
dl
плоскость-
(5)
Пример. Найдем длину окружности и площадь круга радиуса р на сфере. Пусть центр
окружности расположен в северном полюсе ЛГ (точка в = 0; рис. 13). Тогда радиус р
окружности равен р = Rda. Следовательно, уравнение окружности имеет вид в = p/R,
0 ^ (р ^ 2-х. Круг радиуса р — это область в ^ p/R, О :% <р ^ 2ж. На кривой
в = p/R = const имеем "
dl2 = flW + sin2 edip1) = Я2 sin2 -dip1,
R
поэтому длина lf равна
2»
/,,= Rsm~d(p = 2irRiin(^\.
(6)
Мы видим, что при р = Rtt/2 длина максимальна
(экватор); при р = тг длина равна нулю (южный
полюс). Из формулы (6) вытекает, что отношение длины
окружности lf к радиусу р на сфере всегда меньше 2ж:
I, sin(p/R)
— = 2т —— < 2т при о > 0.
р p/R
Найдем теперь площадь <т„ круга радиуса р. Из Р"с- 13- КРУГ Р^иУ^ /> на
вида (3) для dl2 вытекает, что ^/д = fl2|sin^|. Поэтому
площадь равна
<тр= R2\sine\dedip = R2 sin в d9 dip = 2irR2(l-coi ^), p ^ -.
(7)
0<»</>/Д
При p = itR наш круг совпадает со всей сферой и мы получаем, что площадь сферы
равна 4л-Я2.
Если радиус /э мал, то sin | и 4 и 1 - cos ^ и ^j. Получаем
Z,, = 2;rflsin — ~ 2тгр,
Я
<(.-»$)
о-, = 2тгЯ2 ( 1 - cos £
;ТР ;
т.е. при малых радиусах мы имеем для длин и площадей примерно те же формулы, что
и в евклидовой геометрии.
Найдем теперь гауссову и среднюю кривизну сферы радиуса R. Заметим, что
нормальные сечения сферы — это окружности радиуса R (так называемые большие
круги на сфере). Поэтому кривизна любого нормального сечения постоянна и равна
Я"1 (см. §5, п. 1). Таким образом, оба собственных значения второй квадратичной
формы равны друг другу и равны Я"1. Значит, гауссова кривизна сферы равна 1/R2,
средняя кривизна сферы равна 2/R.

76
Глава 2. Теория поверхностей
Перейдем к группе движений метрики сферы. Всякое вращение пространства
вокруг начала координат переводит сферу радиуса R в себя. Это вращение, задаваемое
ортогональной матрицей, сохраняет риманову метрику на сфере. Таким образом,
.движения сферы S2 определяются ортогональными матрицами. Напомним (см. §4, п. 3),
что группа ортогональных матриц обозначается 0(3) и называется полной
ортогональной группой. Каждое вращение описывается тремя параметрами. Итак, метрика сферы
имеет по меньшей мере трехмерную совокупность движений.
Важное замечание. Мы видели, что всевозможные преобразования сферы, задаваемые
ортогональными матрицами, являются движениями. Поэтому группа 0(3) содержится в
группе всех движений сферы S2. Однако пока мы еще не доказали, что группа 0(3)
действительно совпадает с группой всех движений. Это совпадение имеет место. Любое
преобразование, сохраняющее метрику на 5 , является линейным и ортогональным
преобразованием в R3. Однако строгое доказательство этого факта требует привлечения
понятия геодезической линии. Мы вернемся к этому вопросу в гл. 4.
§ 10. Пространственноподобные поверхности в
псевдоевклидовом пространстве
1. Псевдосфера. Рассмотрим трехмерное псевдоевклидово пространство с
координатами (t,x,y), в которых псевдоевклидова метрика имеет вид
dl2 = dt2-dx2 -dy2. (1)
Псевдосфера радиуса R в пространстве R\ задается уравнением
t2-x2-y2 = R2. (2)
Это — двуполостный гиперболоид в трехмерном пространстве
(рис. 14). Псевдосфера лежит целиком внутри светового
конуса t - х -у = 0 и в псевдосферических координатах р, х, Ч>
(см. (3.11), (3.12)) задается уравнениями
р = R (верхняя половина),
р ~ -R (нижняя половина).
Мы будем в дальнейшем рассматривать только верхнюю половину
гиперболоида, где p — R. Напомним, что метрика dt2 - dx2 — dy
в псевдосферических координатах р,х,ф имеет вид (3.12):
dl2 = -p2(dx1+sh2xd<p2) + dp2. (3)
Поэтому на гиперболоиде, где dp = 0, имеем
-d^RW+sh2*^2). (4)
Таким образом, метрика, индуцированная псевдоевклидовой
(т.е. индефинитной) метрикой на поверхности псевдосферы,
отрицательно определена.
Это эквивалентно тому, что псевдосфера t2 - х2 - у1 = R2 в ij — простран-
ственноподобная гиперповерхность: касательные векторы к этой поверхности всегда
пространственноподобны (на них dl2 < 0).
Рис. 14.

§ 10. Пространственноподобные поверхности
Определение 1. Метрика (4) называется метрикой Лобачевского.
По аналогии с предыдущим параграфом можно
построить стереографическую проекцию псевдосферы на
плоскость (х,у). Центром псевдосферы является начало
координат О, северный полюс — это точка с
координатами (R, 0,0), южный — точка с координатами (-Д, 0,0).
Образом верхней половины псевдосферы будет открытый
круг х2 + у < R2 (рис. 15). Пусть t,x,у — координаты
точки Р на псевдосфере (где t > 0), и пусть u, v —
координаты точки f(P), где / — стереографическая
проекция. Вычислим связь между этими координатами в
явном виде. Из рис. 15 видно, что
77
v t
\ у
/х^
/Х(-к,о,о)
у
(K,0,0)J/
/УДх)''
/ч х,у
г \.
X
и
t + R
t + R
~R~'
Рис. 15.
откуда х = u(l +t/R), у = v(l +t/R). Подставляя x и у в уравнение поверхности
t2 - х1 - уг = 0, получим
t=-R\ 1 +
2R2
u2 + v2- R?
(5)
откуда
2Rlu
R2-u2-v2'
2Rlv
R2-u2- v2
(6)
Формулы (5) и (6) — искомые формулы для стереографической проекции. Теперь
можно найти вид метрики (4) на псевдосфере в координатах (u,v). Непосредственное
вычисление показывает, что
-dl2 = -(dt2 - dx2 - dy2) =
4Я"
-{du2 + dv2).
(7)
[и2 + v2- R2)2 y
Опять (как и для сферы S2) метрика псевдосферы в координатах u,v
пропорциональна метрике евклидовой плоскости. Метрика (7) на круге и2 + v2 < R2, взятая со
знаком минус, называется метрикой модели Пуанкаре геометрии Лобачевского. Если
ввести на круге и2 + v1 < R2 полярные координаты (г, <р), то метрика Лобачевского
запишется в виде
dl2 =
4Д4
(R2 - г2)2
(drz + г' d(pz)
(8)
Очевидна аналогия с метрикой сферы S (см. (9.4)).
Соберем различные виды метрик сферы S2 и плоскости Лобачевского L2 в одну
таблицу (R — 1):

78
Глава 2. Теория поверхностей
S2
de1 + sin2 e(dip)2
dx2 + dy1
(l+x2 + y2)2
L2
dX2 4- sh2xW2
dx2 + dy2 2 2
(1 -ж2-2/2)2
и
^
i
^
/1 a
Рассмотрим еще одну форму
записи метрики Лобачевского. Из
теории функций комплексного
переменного хорошо известно, что
существует дробно-линейное преобразование
комплексной плоскости, переводящее
верхнюю полуплоскость в единичный круг.
Укажем одно из таких преобразований:
z = (1 + rw)/(l - iw) (рис. 16). Если мы
положим z — и + iv, w = х + iy, то тем
самым мы введем на единичном круге новые координаты (ж,у), где у > 0.
Непосредственное вычисление показывает, что метрика Лобачевского в координатах (х, у)
принимает вид
Рис. 16.
dt
dx2 + dy2
У2 '
2/>0.
(9)
Метрика (9) называется метрикой модели Клейна геометрии Лобачевского.
Найдем группу движений плоскости Лобачевского. Любое псевдоортогональное
преобразование пространства Ш.\ (см. §6, п. 2) сохраняет форму t2 - х2 -у2 и поэтому
переводит псевдосферу t2 - х2 - у2 — R2 в себя. Но преобразование из 0(1,2) может
менять местами верхнюю и нижнюю половину псевдосферы. Следовательно, группа
движений плоскости Лобачевского содержит группу ортохронных преобразований из
0(1,2). В гл. 4 будет показано, что эти группы совпадают. Таким образом, плоскость
Лобачевского, так же как сфера и евклидова плоскость, имеет трех параметрическую
совокупность движений.
2. Кривизна пространственноподобных поверхностей в Е.]. Будем говорить, что
поверхность в Ш\ пространственноподобна, если любой касательный к ней вектор
пространственноподобен. Другими словами, метрика Минковского dl1 = dt2 - dx2 - dy2
индуцирует на поверхности отрицательно определенную метрику.
Для случая, когда поверхность задана как график функции t = f(x,y), метрика
на поверхности имеет вид
-dt
(dt2 - dx1- dy2) = (1- fi)dxz - 2fxfy dxdy +(1- f2)dy2 = gijdx' dx>,
1 2
X = X, x = y.
Имеем: detftj — 1 - fl - fy; условие пространственноподобности имеет вид det</,-7- =
I - /i - /у > 0. Единичный вектор нормали к поверхности имеет вид m = ( -
у^ТГН

§11. Комплексный язык в геометрии 79
(времениподобен). Вторая квадратичная форма поверхности определена равенством
Введем гауссову кривизну К пространственноподобной поверхности, полагая
det Ьц
к = —л—-• (Ю)
Для поверхностей, заданных уравнением t = f(x,y), 1 - /i - /у > 0, по аналогии с §8
будем иметь
Ixy ~ Jxxji
j ху j хх j уу
В частности, для гиперболоида t1 - х2 - у2 = 1 (геометрия Лобачевского) получаем
К=-\.
Замечания. 1. В гл. 4 будет вычислена кривизна плоскости Лобачевского, исходя из внутренней
геометрии. Мы снова получим К = -1; это объясняет выбор знака в определении (10).
2. Как и в §8, получаем: пространственноподобные поверхности отрицательной
гауссовой кривизны К < 0 в пространстве R] являются выпуклыми.
§ 11. Комплексный язык в геометрии
1. Комплексные и вещественные координаты. Во многих задачах геометрии
удобно пользоваться комплексным языком. В связи с этим мы изложим здесь нужные
нам простейшие факты.
Пусть задано n-мерное линейное пространство С" над полем комплексных
чисел С с базисом е\,... ,еп. Любой вектор f G С" имеет вид
{ = z ek, z =х +гу , (I)
где zk — комплексные координаты. Пространство С" можно рассматривать как
2№-мерное линейное пространство М2" над полем вещественных чисел, где базис в R2"
задается так:
е\,...,еп, ге,,...,ге„. (2)
Тогда имеем
f = zkek=xkek + yk(iek), (3)
где (х],. ..,хп, у1,... ,уп) — вещественные координаты вектора <J. Описанная операция
называется овеществлением.
Комплексно линейные невырожденные преобразования пространства V."
образуют группу GL(n, С). Это — группа комплексных матриц размером п х га с
определителем, не равным нулю. При овеществлении каждое такое преобразование дает
некоторое линейное преобразование вещественного пространства К . Получаем таким
образом отображение овеществления
GL(n,C)^GL(2n,W)-
(4)

80
Глава 2. Теория поверхностей
Пример. Пусть га = 1. Мы имеем тогда одномерное комплексное пространство с координатой
z = x + iy. Линейные преобразования пространства С — это умножения на комплексные
числа А # 0:
z >-* \z. (5)
Если А = о + ib, а1 + Ь1 Ф 0, то получим
z — х + iy t-* (a + ib)(x + iy) — (ах - by) + i(bx + ay).
Таким образом, соответствующее преобразование пространства R2 задается матрицей
вида
(Д a)=r(A)' »2+*V0. (6)
Видно, что заведомо не любое линейное преобразование пространства М2
получается из комплексно линейных преобразований пространства С.
Аналогично нетрудно показать, что если в n-мерном случае Л — матрица,
из <jZ(», С), причем Л = A + iB, где А и В — вещественные матрицы, то при
отображении г: GL(n, С) —> GL(2n, R) получается матрица
г(Л)=(_^ ВА). (7)
Задача. Докажите, что определитель матрицы г(А) имеет вид det(r(A)) = |det А|2.
Замечание. Укажем другое описание образа отображения г : GL(n,C) — <JL(2n,R). Если
Л € GL(n,C) — комплексно линейное преобразование, то для любого вектора £ имеем
Л(ф = ;Л«). (8)
При овеществлении умножение на i делается линейным преобразованием / в 2я-мерном
вещественном пространстве. Имеем
r(,')=(-°i о)' где 1= •. • <9)
Матрица оператора / = r(i) умножения на i в базисе (2) имеет вид (9), так как
i(e4) = iet, i(iet) = -et.
Из (8) вытекает, что матрица / коммутирует с матрицей г(Л). Это и означает
комплексность оператора.
В GL(n,С) есть подгруппа матриц с определителем 1, обозначаемая SL(n,C).
2. Эрмитово скалярное произведение. Скалярное произведение в пространстве
С" задается на комплексном языке следующим образом:
п п
<e>,6>c = £zf4 <«)c = X>Y. (Ю)
Оно обладает следующими свойствами:
№,v)c = W,vk,
{f,4}c = {ij,f)c. }и)
(6 + 6, п)с = (f 1, n)c + (h,v)c,
«,0c >0 при £5*0.

§ 11. Комплексный язык в геометрии 81
Любое скалярное произведение со свойствами (11) называется эрмитовым.
В овеществленном пространстве М2" можно также ввести евклидово скалярное
произведение: если & = (s],... ,i", y\,...,rft), 6 = (х12, ■ ■ ■ ,х", Уъ---,у"), то
П
«i,6)r = £(****+»*»£)■ (12)
Покажем, что эрмитово скалярное произведение связано с евклидовым следующим
образом:
Re(£b6)c = (6,6)R, (13)
где Re означает действительную часть комплексного числа. Действительно, имеем
п п
Re <£,,6)с = Re £>* + iy*)(xk2 ~ u£) = £>?** + У?»&
В частности, из формулы (10) вытекает, что эрмитов скалярный квадрат вектора
совпадает с евклидовым:
«,*>с = «,0ц. (14)
Пусть Л 6 GL(n, С) — комплексное невырожденное линейное преобразование.
Определение 1. Л называется унитарным, если
<Л£ьЛ6>с = «ь6)с (15)
Пусть в базисе е],...,е„, в котором эрмитово скалярное произведение имеет
вид (10), Л задается матрицей Л = (At). Тогда из условия унитарности имеем
I>U=5"' (16)
или, в матричной форме
ЛТЛ = 1 «-» ЛТ = Л-1 (17)
(т означает транспонирование). Унитарные матрицы Л образуют группу, которая
обозначается через U(n) и называется унитарной группой. Из (17) вытекает, что
det(A Л) = (detA)(detA) = |det Af = 1.
Таким образом, унитарные матрицы имеют детерминант, по модулю равный единице.
В группе U(ri) есть подгруппа SU(n) унитарных матриц с определителем единица.
Замечание. Можно заметить, по аналогии с §4, что U(n) есть группа движений эрмитовой
метрики в С".
Рассмотрим образ r(U(n)) в группе GL(2n,R). Из формулы (13) вытекает, что
если Л 6 U(n), т. е. А сохраняет эрмитов скалярный квадрат, то матрица г(А) сохраняет
евклидов скалярный квадрат в М ". Таким образом, образ r(U(n)) унитарной группы в
GL(2n, М) имеет вид
r([7(n)) = SO(2n)nr(GL(n,C)). (18)

82 Глава 2. Теория поверхностей
Аналогично псевдоевклидовым пространствам можно рассмотреть
псевдоэрмитовы пространства Cp]g, р + q = п, где квадрат длины вектора £ с координатами
(z1,..., z") задается формулой
tf,0M = !*'f + ...+H2-...-Unl2. (19)
Группа комплексных линейных преобразований, сохраняющих форму (19),
обозначается U(p,q), а ее подгруппа, составленная из матриц с определителем единица, —
SU(p,q).
3. Примеры групп комплексных преобразований. Мы видели выше, что группа
GL(\,С) — это группа ненулевых комплексных чисел (по умножению). Группа (7(1)
состоит из всех комплексных чисел, по модулю равных единице: (7(1) = {е1!°}. Заметим,
что r(el,f) = ( _5°s|? j'0"^ ) , так что отображение г определяет изоморфизм групп (7(1)
и 50(2).
Рассмотрим теперь группу .91(2,С). Пусть А = (" *) 6 5Ь(2,С), т.е.
ad - be = I. Поставим в соответствие матрице А дробно-линейное преобразование
(расширенной) комплексной плоскости С:
, az + b
z' = ——-. (20)
cz + d
Если A' = ( ac, A — другая матрица с определителем единица, то имеем
„ _ a'z' + Ь' _ (а'а + b'c)z + а'Ь + b'd
~ dz' + dt~ (da 4- d'c)z + db + d'd'
т. е. построенное отображение представляет собой гомоморфизм
tp:SL(2,C)"L, (21)
где L — группа дробно-линейных преобразований. Нетрудно видеть, что ядро
гомоморфизма <р состоит из двух матриц: (I ?) и ( ~q -1 ) • пРичем V отображает
5L(2,C) на всю группу L («эпиморфно»). Поэтому
I -5Z(2,C)/±1. (22)
теперь груш.1, 0(2). Если матрица f" ^1 принадлежит (7(2), то
[.осмотрим те
|а|2 + !6!2-!, \c\2 + \d\2 = 1, ac+bd = 0. (23)
Ее подгруппа 5(7(2) выделяется дополнительным условием ad-bc= !. Таким образом,
группа 5(7(2) состоит из матриц вида
Другой пример — фуппа 5(7(1,1). Она состоит из матриц вида
(| J), |с|2-Н2=1. (25)
Заметим, что с Ф О (так как \с\ ^ 1).

§12. Аналитические функции 83
Существует отображение SU(\, 1) —> SU(2), определяемое формулой
\Jc d/c\ _ ( а Ь^
(с d\ / \Jc d/c\ _ ( а Ь\
U с) " \-d/c \/с) -\-Ъ а)
(26)
Обратное отображение определено при а Ф 0. Это отображение не является групповым
гомоморфизмом.
§ 12. Аналитические функции
1. Комплексная запись элемента длины и дифференциала функции. Пусть задана
кривая в пространстве С" в комплексных координатах (zk), имеющая вид
z* = z*(t) = **(*)+ »»*(*)■
(1)
Тогда в вещественных координатах (хк,ук) мы получаем кривую xl(t),...,xn(t),
y](t),.. ■ ,y"(t). Ее длина имеет вид
(2)
В пространстве М2" удобно перейти от координат (хк:ук) к комплексным координатам
zk,zk, к— 1,...,п, полагая
* к , . к -к к ■ к
z = х + гу , z — х — ху ,
к ',*,_*, „ к 1 . к -к.
х = -(z + z ), у = — (z -z ).
2 2i
Тогда элемент длины в комплексной форме запишется так:
п
dl = 22 dz dz ,
к=\
где положено
dz = dx -ridy , dz — dx - idy .
Введем операторы в пространстве комплекснозначных функций на С"
д _ 1 /_£_ , д \
Э?~ 2 удх^"1^) '
~д¥~7 \дхк+%дук~) '
(3)
(4)
(5)
(6)
Очевидно, имеем
д д
+
дхк dzk dzk'
д ./ д д
ду1
'к ' V dzk dzk
(7)

84 Глава 2. Теория поверхностей
Отметим, что имеют место следующие тождества:
dzk dzk
(8)
^-(/) = ^)=1.
Из формул (6), (7) вытекает следующее утверждение.
Лемма 1. Дифференциал любой комплекснозначной функции /(ж1, ..., х", у1, ..., у")
имеет вид:
' dzl dzn dz> dz71
Рассмотрим теперь произвольный многочлен с комплексными коэффициентами
Р(х' ,у1 ,...,хп,у") от переменных i',...,i", у1,...,у". Совершив замену
переменных (3), мы получим из многочлена Р(х\... ,хп, у1,... ,уп) многочлен Q(z\... ,zn,
z',..., z"). Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Многочлен Q(z,z) = Р(х,у) тогда и только тогда зависит от переменных
z',...,zn и не зависит от z\... ,zn, когда выполнены тождества
дР
—£.=<), *=1,...,п. (10)
Доказательство. Операторы ■£$ и ^ обладают следующим очевидным свойством
(формула Лейбница):
д df дд
9?(f9)=9?9 + f9?'
d df дд { '
Далее, используя формулы (8), отсюда получаем, что
^ ,, *чТП, п &
—r[(z ) ] = 0, —
dzk u J ' dz
- *\ml _ n u r/^s"1! _,/-fc\m-I
3[(Л"1 = 0, —ft(?sr] = m(^r-'. (12)
Отсюда сразу получаем, что если Р(х,у) = Q(z,z) не зависит от z*, то Ц? н 0.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть многочлен Р зависит от zk,
причем максимальная степень, с которой z входит в Р, равна т. Покажем,
что |£ 9*0.
Многочлен Р имеет вид
где Ао,...,Ат — многочлены от всех переменных z',...,zn и всех z', кроме
zk. Поэтому Щ = 0, г = 0,... ,т (At не зависят от zk). Следовательно,
~Р= A0m(zk)m-] +А{(т- \)(zk)m~2 + ...
Так как Ап ~± 0, то %jL £0. Теорема доказана. ■

§12. Аналитические функции
85
Замечание. Теорема применима не только к многочленам, но и к сходящимся степенным
рядам: независимость от переменных zk эквивалентна условиям й- s 0.
Определение 1. Комплексно аналитической называется функция /(х',у',..., ж",у"),
для которой выполнены тождества
df
—k=Q, £=1,...,71. (13)
Для функций двух вещественных переменных /(х,у) = f(z,z), где z = х 4- iy,
z = х - iy, условие аналитичности (независимости от z) имеет вид
df df df
2-^- = ~+г — = 0. (14)
dz дх ду
Если f(x,y) — и(х,у) + iv(x,y), то условие (14) запишется в виде
ди dv ди dv
дх ду1 ду дх
Уравнения (15) называются уравнениями Коши—Римана. Из (15), очевидно, следует, что
д2и д2и d2v d2v
^ + ^ = °' дх-^ду-^°- (16)
Следовательно, вещественная и мнимая части комплексно аналитической
функции суть решения уравнения Лапласа (т.е. гармонические функции): Ди = 0, Дг> = 0,
гдеД=^+^1 = 4^= — оператор Лапласа.
2. Комплексные замены координат. Пусть в некоторой области п-мерного
комплексного пространства С" заданы два набора комплексных координат
1 1 , • 1 п п . - п
z ~ х +гу ,... ,z = х +iy ,
w = и + iv ,...,w" - и" + iv".
Тогда координаты wk — uk +ivk задаются в виде функций от координат z* = xk + г yk:
w = w (x , у ,... ,x",y"), £,/ = 1,...,71. (18)
Определение 2. Замена координат (18) называется комплексно аналитической, если
dwk
— =0, k,l = l,...,n. (19)
Для комплексно аналитической замены координат (18) можно ввести матрицу
Якоби (ак), положив
af = —, k,l =1,...,71. (20)
dz'
Определитель матрицы (af) называется комплексным якобианом замены (18):
Jc = det(of). (21)

86 Глава 2. Теория поверхностей
Замена (18) в овеществленном пространстве R " дает замену
k к, 1 1 п п. к к,1 ' л «л
и = и (х ,у ,...,х ,у ), v =v (х ,у ,...,х ,у ),
Пусть
к = \,...,п.
д(и, v)
J*
(22)
(23)
д(х, у)
— (вещественный) якобиан замены (22).
Оказывается, комплексный и вещественный якобианы связаны весьма просто.
Лемма 2. Для комплексно аналитической замены координат имеет место следующее
равенство:
А = ш2.
Локазательство. Пусть А = (af) = (ffr) — (комплексная) матрица Якоби, Jc = det А.
Найдем вещественную матрицу Якоби для перехода от координат zl,...,z",
z\...,z" в пространстве М2" к координатам wl,...,wa, w\...,w". Из условия
комплексной аналитичности имеем
dwk _ k dwk dwk . dwk
^-=0, w=ii.
Поэтому искомая матрица Якоби имеет вид (q -j J. Ее определитель равен
det (^ ^)=!detif = |Jc|2.
Заметим теперь, что переход от координат х1,..., ж", у',..., у" к координатам
,*",*'.
в
., zn или от (и, v) к координатам (ш, ш) задается матрицей
, detB = (-2i)n.
/ !
0
1
V о
0
1
0
]
г
0
—i
0
0 \
г
0
' -J
Тогда
JR=det (В'1 (£ j)b)=\Jc\
1ледствие. Если (комплексный) якобиан замены (18) отличен от нуля, то локально можно
выразить обратно z через w:
к к i \ п. 1 ,
z = z (w ,... ,w ), к = 1,
.,71,
причем обратные функции z (w) комплексно аполитичны.

§12. Аналитические функции
87
Локазательство. Функции zk(w,w) существуют в силу вещественной теоремы об
обратном отображении (см. §1). Матрица Якоби для замены (в К2")(№,'ш) —
(z, z) имеет вид
(А ° \
{ О А-Ч>
что и доказывает следствие. ■
Пример. При n = 1 замена (18) имеет вид
dw
™ = и>(г), —г=0. (24)
OZ
Эта замена обратима всюду, где -£ Ф 0.
Под преобразованием в комплексном случае всегда будем понимать взаимно
однозначное отображение одной области пространства С на другую, задаваемое
комплексно аналитическими функциями.
Примеры преобразований при п = 1. 1) Комплексные аффинные преобразования
w(z) = az + b, афО. (25)
При таком преобразовании -£ — а Ф 0.
Напомним (§4, п. 2), что с вещественной точки зрения преобразования (25) дают
движения плоскости вместе с растяжениями, сохраняющие ориентацию.
2) Дробно-линейные преобразования
az + b
w(z)= -, ad-ЬсфО (26)
cz + d
(можно считать, что ad - be = 1). В этом случае
dw 1
dz (cz + d)'
Ф 0. (27)
Строго говоря, преобразование (26) не определено при z = -~с. Можно считать (пока
чисто формально), что отображение (26) задано в расширенной комплексной плоскости,
где комплексная прямая С дополнена одной бесконечно удаленной точкой оо, причем
d а
-- н-> оо, оо к+ -. (28)
с с
Например, преобразование
!+12
w = (29)
1 — iz
!1ерей(.,дкг верхнюю полуплоскость Imz > 0 в единичный круг |ш| < I. Мы использовали
}"• отображение в § 10 при построении модели Клейна 'еометрии Лобачевского.
'•■ Поиеохноети в комплексном пространстве. Мы рассмотрим простейший
случай одномерных поверхностей (комплексных кривых) в двумерном комплексном
пространстве С". Такая кривая задается в пространстве С2 с координатами (w,z)
уравнением
/(w,z) = 0, (30)
где f(w,z) — комплексно аналитическая функция переменных w, z. Уравнение (30)
есть система двух вещественных уравнений и = 0, v = 0, где / = и + iv, и поэтому

88 Глава 2. Теория поверхностей
задает двумерную поверхность в С2 = R . Введем комплексный градиент gradc/,
полагая
gradc/4S-^)- <з,)
Точка (wo,го) на кривой (30) называется неособой, если gradc/l^a,, Ф 0. Имеет место
следующий комплексный аналог теоремы о неявных функциях (который мы приводим
без доказательства).
Теорема 2. Пусть f(w,z) — комплексно аналитическая функция переменных то, г,
причем в точке wq, Zq с f(Wfj,z0) ~ 0 градиент grade/ отличен от нуля. Пусть,
например, д~ Ф 0. Тогда в достаточно малой окрестности точки (то0, z0) уравнение
/(■ш, z) = 0 имеет единственное и при этом комплексно аналитическое решение
w — w{z), так что f(w(z),z) = 0, v>o = w(zq), || = 0.
Пример. Пусть f(w,z) — многочлен от двух переменных. Тогда полная совокупность решений
уравнения f(w,z) = 0 вида w = w(z) называется многозначной алгебраической функцией, а
сама поверхность (комплексная кривая) f(w,z) = 0 называется графиком или римановой
поверхностью этой многозначной функции2*.
Важный частный случай — гиперэмиптические кривые, т. е. римановы поверхности,
задаваемые уравнением
f(w,z) = w1-P„{z) = 0, (32)
где P„(z) — многочлен n-ой степени. Это — график алгебраической функции w =
л/PJz)-
Лемма 3. Поверхность (32) неособа тогда и только тогда, когда Pn(z) не имеет кратных
корней.
Аоказательство. Вычислим градиент функции /:
Если grade/ обращается в нуль на поверхности (32), то
dP„(z) 1
2то = 0, —— =0, w2 - P„(z) = 0.
dz
Отсюда вытекает, что особая точка имеет координаты (0, го), где zq — общий
корень многочлена Pn(z) и его производной ^-. Отсутствие таких общих
корней и эквивалентно отсутствию кратных корней у многочлена P„(z). Лемма
доказана. ■
На поверхности (32) на основании комплексной теоремы о неявной функции
можно ввести локальную координату z в тех точках, где -^ = 2w ф 0, т. е. где Pn(z) Ф 0.
Если P„{z) = 0, то |£ = -¾^ Ф 0. В окрестности таких точек можно в качестве
локальной координаты взять ш.
Вернемся к случаю произвольной неособой комплексно аналитической кривой
f(w,z) = 0. Пусть |£ |(и„Л) ф 0 в некоторой точке (wa,z0). Тогда w - w(z), || = 0.
Эрмитова метрика dl2 в С2
dl = dwdw + dz dz (33)
' Это — упрощенный вариант общепринятого определения римановой поверхности (см.,
например, |161). Наше определение равносильно общепринятому в случае, если поверхность f(w,z) = 0
не имеет особых точек и самопересечений.

§ 13. Конформный вид метрик поверхностей
на поверхности f(w,z) = О превращается в
dl = dwdw 4- dzdz = I I +
dw
dz
dzdz.
(34)
Если z ~ x + iy, то на поверхности f(w, z) = О квадрат элемента длины примет вид
dl = g(z, z) dz dz = g(x, y)(dx2 + dy2),
(35)
где g(z, z) = 1 + | ■£ | в разобранном случае.
Определение 3. Координаты (х,у), в которых метрика на поверхности имеет- вид
dl2 = g(x,y)(dx2 + dy2), называются конформными.
Имеет место простая
Лемма 4. Конформный вид метрики инвариантен (только) относительно комплексно
аналитических замен координат и их суперпозиций с комплексным сопряжением.
Доказательство. Пусть для координаты z метрика имеет вид
dl = g(z,z)dzdz.
Пусть z = z(w), Щ: = 0. Тогда
( dz\ , ( dz\
dz= \ — ] dw, dz = — J dw
\dw/ \dw/
dl — g(z,z)dz dz — g(z(w, w),z(w, w))
dz
dw
dwdw.
Если Ц = 0, то доказательство полностью аналогично. Если же z = z(w, w)
dw
dz Ф 0, ^ Ф 0, то легко видеть, что метрика dl2 в переменных w,w будет иметь
dw
вид
dl = gdzdz — g
dz dz
— dw H 3 dw
dw dw
g(au(dx') + 2a,2dx dy' + a22(dy')2)
где w = x' + iy'; очевидно, здесь a)2 Ф 0. Лемма доказана.
§ 13. Конформный вид метрик поверхностей
1. Изотермические коордипаты. Гауссова кривизна в конформных координатах.
Пусть двумерная поверхность в К задана параметрически:
x = x(p,q), y = y(p,q), z=z(p,q), (1)
где p,q изменяются в некоторой области пространства М2. Тогда на поверхности
возникает индуцированная метрика
dx2 + dy2 + dz2 = E(dp)2 + 2Fdpdq + G(dqf,
(2)
g — EG - F > 0. Заменами локальных координат (p, q) на поверхности метрику dl
можно привести к конформному виду. Именно, имеет место ([1])

90 Глава 2. Теория поверхностей
Теорема 1. Пусть B,F,G — (вещественно) аналитические функции переменных (p,q).
Тогда можно ввести новые локальные координаты u,v такие, что в этих
координатах метрика dl1 примет следующий вид:
dl1 = f(u,v)(du + dv2). (3)
Замечание. Такие координаты называются изотермическими или конформными. Таким образом,
в изотермических координатах метрика имеет конформный вид в смысле предыдущего
параграфа.
Локазательство. Разложим квадратичную форму dl2 = gu dp2 + 2g^dpdq + 522 ^<?2 на
множители
5п= Е, gl2 = F, g2i = G, g^EG-F2.
Мы ищем новые координаты (и, v) как функции от р, q: и — u(p,q),
v = v(p, q). Мы хотим представить dl2 в виде
dl2 = /(и, v)(du2 + dv2);
Этого можно добиться, если нам удастся подобрать интегрирующий множитель,
т.е. такую комплекснозначную функцию Л = \(р, q), что будут выполнены два
тождества
(г- F + iJg \
A I VE dp Н -=.— dq I = du + i dv,
-//- F -iJg \
A I VE dp H -r=— dq I = du - i dv
(отметим, что второе из этих тождеств получается из первого комплексным
сопряжением). Действительно, если такая функция А(р, q) найдена, то,
перемножая два тождества, получим
|Л|2<М2 = du2 + dv2, то есть, dl2 = \\\~2(dv? + dv2),
и можно положить f{u, v) = |А|-2. Итак, неизвестными функциями являются
и(р, q), v{p, q), \(р, q). Эти функции должны удовлетворять уравнению
/ F + i^g \ (du dv\ (du dv\
4/S*+"^' dq)=dU + ld^{^ + Tp)dP+{Tq+i3-q)dq-
Отсюда
г- ди dv F + i^/g ди dv
XVE= — + i—, А -^- = - +t—. (*)
dp dp VE dq dq
Исключение А дает
f du dv\ ( du dv
{F + i^{Vp+Tp)=E{-8-q + id-q
или
ди dv ди ди dv dv
dp dp dq' dp dp dq

§13. Конформный вид метрик поверхностей 91
Отсюда
а) *>_F%-E% dv G%-F%
dp s[9 dq Jg
б) 9u = Eg-q-F^ Qu = Fy4-G^
dp т/9 ' dq y/9 '
Поскольку Эр, = d2^, то из (**.a) и (**.б) мы получаем следующие уравнения:
Lu = О, Lv = 0, где дифференциальный оператор Ь имеет вид
д
Ff -Я-f
up а?
v'tfG - i?2
9
dp
FT'GV
dq dp
y/EG - F1
Уравнение Lf = 0 называется уравнением Бельтрами, а оператор L —
оператором Бельтрами. Итак, мы выяснили, что исходные функции и и v должны
. удовлетворять уравнению Бельтрами. Из теории дифференциальных уравнений
известно (мы, конечно, не будем здесь это доказывать), что если функции Е,
F, G аналитические, то уравнение Lf = 0 всегда имеет решение. Отсюда и из
равенств (*), (**) определяются функции и, v, А. Если мы положим w = u + iv,
гй = и - iv, то метрика поверхности запишется в виде
2 _ —
dl = g(w, w)dwdw.
Таким образом, нашу поверхность (локально) можно считать комплексно
аналитичной. ■
Изотермические координаты определяются неоднозначно, как было выяснено в
лемме 12.4. Рассмотрим две системы изотермических координат (р, q) и (и, v), и пусть
и = и(р, q), v = v(p, q).
Мы знаем, что если замена сохраняет конформный вид метрики, то
функция w(z,z) является комплексно аналитической функцией переменной z или z.
Таким образом, полная совокупность преобразований, сохраняющих конформный вид
метрики в изотермических координатах, получается добавлением ко всевозможным
комплексно аналитическим преобразованиям w(z) комплексного сопряжения z ь+ 2".
Пример. Рассмотрим плоскость С с комплексной координатой z = х + iy. Евклидова метрика
dl1 = dx2 + dy2 имеет конформный вид, т. е.
dl2 = dz dz. (4)
Рассмотрим произвольное дробно-линейное преобразование
az 4- Ь
cz + d
Тогда имеем
ad-bc= \. (5)
dl2 = dzdz = \cz + df dw dw, (6)
т. е. дробно-линейные преобразования сохраняют конформный вид евклидовой метрики
плоскости.
Пусть поверхность в трехмерном евклидовом пространстве задана в конформных
координатах u, v так, что метрика на поверхности имеет вид
dl' = g(u, v)(du +dv). (7)
Выведем формулу для гауссовой кривизны в конформных координатах.

92
Глава 2. Теория поверхностей
Теорема 2. Гауссова кривизна поверхности в Ш3 с метрикой (7) имеет вид
*** = & + &
К = ~— Д1п<л
оператор Лапласа.
(8)
(10)
Доказательство. Пусть поверхность задана в параметрическом- виде: г — r(u,v), г —
(x,y,z). Тогда условие (7) означает, что
(ru,ru) = {rv,rv)=g, (г«,г,)=0. (9)
Дифференцируя эти равенства по и, v, будем иметь
1 дд
2 3«
2 3d
<»•««,»■.) + (^,^) = 0 = {ruv,rv) + (гв,г„).
Введем единичные векторы е\,е2,п, полагая
1 1
е\ = —ги, е2 = —~г„, п = [еие2]. (11)
V9 V9
Репер (ei,e2,n) в каждой точке поверхности ортонормирован, и при этом
вектор п нормален поверхности, а векторы е\, е2 ее касаются. По определению
коэффициенты второй квадратичной формы имеют вид
bu=L = {rm,n), bn = M = {rm,n), b22-{r„v,n)=N. (12)
Из формул (10) и (12) следует, что векторы тии, ruv,rvv в базисе еие2,п имеют
координаты
- / _Li?£ L^£ Л
V2V5^' 2v5 3u' /'
(13)
1 9g 1 gg
2^ du 2yfg dv'
Следовательно, имеет место формула
N
(ruu,rvv) - {ruv,ruv) = LN - M
1
27
2-,
(14)
Из формул (10), (14) получаем:
1 а2о ,i
ию
Отсюда, согласно (8.26), для гауссовой кривизны будем иметь
£iV-M2 detftj) 1 Д1
Л — г = — =: — -— А 1
det (дф lg
.lnj.
Теорема доказана.

§13. Конформный вид метрик поверхностей 93
Если метрика (7) записана в комплексном виде:
dl = g(z,z)dzdz,
то формула (8) для гауссовой кривизны примет вид
К = — ^-—\ад. (15)
д azaz
2. Метрики сферы и плоскости Лобачевского в конформном виде. В
действительности конформные координаты для сферы уже бьши найдены в §9. Рассмотрим
сферу радиуса Я = 1 и ее стереографическую проекцию на экваториальную плоскость
с координатами (х,у). Напомним, что в координатах (х,у) метрика сферы dl2 имела
вид (формула 9.4) ^ 2
dl = 4,|4_ 2/2x2- <16)
(1 + xl + у2У
Если z = х + гу, г = х — гу, то формула (16) примет вид
где z — координата на комплексной плоскости С.
Для плоскости Лобачевского мы имели формулу для dl1 в координатах (х, у)
стереографической проекции (формула (10.7) при Я = 1):
Д=„ 1-12x2 dzd^ N<1' (19)
„2_ ** tJ_l , .,..2,
(l-(x2 + i/2))2
В комплексной записи формула (18) примет вид
„2= 4
(1 - N2)2
где z — комплексная координата в единичном круге (метрика модели Пуанкаре). Если
мы отобразим единичный круг на верхнюю полуплоскость Imiu > 0, полагая z = \ц^,
то метрика плоскости Лобачевского примет вид
2 4
dl = -- —г dw dw, Imw > 0 (20)
(w - wy
(метрика модели Клейна).
Выясним, как устроены группы движений этих метрик в комплексной
реализации. Мы видели в предыдущем пункте, что дробно-линейные преобразования заведомо
сохраняют конформный вид метрики. Будем искать движения наших метрик среди
дробно-линейных преобразований (мы докажем в гл. 4, что других движений нет)
aw 4- 6
2= , ad-bc=l. (21)
cw + d
Для метрики сферы будем иметь
, Adzdz 4-dwdw
dl2 =
(1 + N2)2 [|aw + b\2 + |cw + d\2f
Adwdw
= = = (22)
[\b\2+\d\2+w(.ab + cd) + w(ab + cd) + (\a\2 + \c\2)\w\2]2'
Чтобы преобразование (21) было движением метрики сферы (17), должны выполняться,
стало быть, такие равенства:
|ft|2 + |d|2= 1, a6 + cj=0, la|2 + |c|2 = l, (23)

94
Глава 2. Теория поверхностей
причем мы считаем, что ad - be = 1.
Таким образом, матрица (" ,) лежит в SU(2). Напомним (§ 11, п. 3), что при
отождествлении группы 5L(2,C) с группой всех дробно-линейных преобразований мы
должны перейти к факторгруппе по подгруппе (±1). Таким образом, мы доказали
следующее утверждение.
Теорема 3. Дробно-линейная группа (собственных) движений метрики сферы S2
изоморфна факторгруппе 5(7(2)/ ± 1.
Следствие. Имеет место изоморфизм групп 5(7(2)/± 1 « 50(3). (Проверьте с помощью
стереографической проекции!)
Замечание. Чтобы получить полную совокупность движений сферы, мы должны добавить к
вращениям еше и отражения. Это соответствует присоединению к дробно-линейным
преобразованиям z = ^jj, где I " .) 6 517(2), комплексного сопряжения ihJ.
Перейдем к плоскости Лобачевского. Начнем с модели Пуанкаре. Вычисление,
аналогичное предыдущему, показывает, что после преобразования (21) будем иметь
, 4 dz dz Adw dw
~ (1 - |z|2)2 ~ [\d\2 - \b\2 + (cd - ab)w + (ab - cd)w + (\c\2 - |а|2)|ш|2]2'
Следовательно, должны выполняться условия
|d|2 - |6|2 = 1, |с|2-|а|2 = -1, cd-ab = 0, (24)
причем ad-bc= 1. Таким образом, мы получаем, что матрица (а Л лежит в группе
5(7(1,1). Заметим, что выполнение условий (24) гарантирует, что при дробно-линейном
преобразовании z = ^| единичный круг переходит в себя, так как его граничная
окружность \z\ — 1 переходит в окружность \w\ = 1.
Рассмотрим теперь модель Клейна. Отыщем прежде всего преобразования
вида (21), переводяшие верхнюю полуплоскость Imz > 0 в себя. Для этого должно
выполняться условие:
если 1тад = 0, то Imz = 0. (25)
Нетрудно видеть, что если ш вещественно и z = ^Jj, то мнимая часть Im z имеет вид
Im z — TV2 Im (ас) + w Im (be + ad) + Im (bd).
В силу произвольности w должны выполняться равенства
Im ас = Im (be + ad) = lm (bd) = 0.
Тем самым из требования (25) уже вытекает, что a, b,c,d — вещественные числа.
Все преобразования (21) с вещественными a,b,c, d оказываются движениями метрики
Лобачевского в модели Клейна: dl2 = zrjrer- Вычисления, аналогичные разобранным
выше случаям, мы приводить не будем. Замечательно, что все дробно-линейные
преобразования, сохраняющие область определения метрики Лобачевского, автоматически
оказываются движениями. Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 4. Дробно-линейная группа (собственных) движений метрики Лобачевского
изоморфна:
а) группе 5(7(1,1)/ ± 1 в модели Пуанкаре,
б) группе SL(2, R)/ ± 1 в модели Клейна,
в) группе SO( 1, 2) (точнее, ее связной компоненте).

§13. Конформный вид метрик поверхностей 95
Следствие. Группы SU(\, 1)/ ± 1, SL(2,R)/ ± 1 и связная компонента группы SO( 1,2)
изоморфны. (Проверьте заменой координат!)
' Замечание. Чтобы получить полную группу движений в модели Пуанкаре, нужно присоединить
к дробно-линейным преобразованиям комплексное сопряжение z >-> z (очевидно, оно
переводит единичный круг в себя и дает движение метрики (19)).
В модели Клейна следует добавить преобразование z >-> -z, переводящее в себя
верхнюю полуплоскость и дающее движение метрики (20).
3. Поверхности постоянной кривизны. Пусть метрика поверхности записана в
комплексном виде: dl = g{z, z) dz dz. Полагая g = ev, будем иметь для гауссовой
кривизны (формулы (8), (15))
ЛГ =--е-'Др, к = -ЪГ*-^. (26)
Если кривизна К постоянна, то для функций <р получаем уравнение (Лиувилля)
*>=-"*• ЙЧ"- <*!
Теорема 5. Поверхность с метрикой dl = g(z, z) dz dz постоянной кривизны К = const
(локально) изометрична: а) сфере при К > 0; б) евклидовой плоскости при К = 0;
в) плоскости Лобачевского при К < 0.
Доказательство. Из (26) будем иметь
dz V 2 I dz \ dzdz
д*<р dip д2<р \ d ( d2<p 1 fdip^2
dz2dz dzdzdzj dz \dz2 2\dz
откуда jjp - 5(-57) = i>(z), где ■ф(г) — аналитическая функция. Сделав
комплексно аналитическую замену z = f(w), получим
g(z,z)->g
d£_
dw
2 df df
, ip-^ ip(w,w) = <p(z,z) +In — + ln—.
dz dz
В новых переменных мы также будем иметь ^ - j(fjj) = i>(v>), где ip(w) —
аналитическая функция от ад, для которой получаем выражение
fi з / f" \ 2
Здесь /' = Jj. Можно выбрать функцию / так, чтобы функция т/>(ад) обратилась
в нуль. Для этого нужно решить уравнение
fi з / f" \ 2
/Г "2 (/5"J =-^<ш»^')2 (28)

96 Глава 2. Теория поверхностей
(левая часть этого уравнения в теории функций комплексного переменного
называется «производная Шварца») 3>.
После сделанной замены получим
dw2 2 \dw2 2 \dw
Из вещественности е-1"'2 получаем также
д2е-*'2
-:К" iz?-; if: =о- (29)
dw1
Из (29) и (30) следует
: 0. (30)
e~v = aww + bw -\-bw + с,
где о, с — вещественные константы, 6 — комплексная. Получим метрику вида
7 dw dw
dl2=g(z,z)dzdz= (31)
(aww + bw + bw+ с)1
Кривизна этой метрики равна К — 4(ас - 66). Форму (31) дробно-линейными
преобразованиями w = ^^ можно привести к виду:
AR2dzdz _ _,
а) оТй¥' ^ = 4<вс-й) = л >°;
б) dz dz, К = 4(ас - 66) = 0;
4Д2 dz dz _ _,
в> (]-|*Р)2' ^ = *(аС-66) = -Д2<0.
Получаем метрики сферы, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского.
Теорема доказана. ■
Задача. Пусть метрика имеет вид
Л1 = dx2 + J(x) dy\ 0 < f(x) < oo.
Доказать, что метрика приводится к конформному виду
dl2 = g(u, v)(du2 + dv2).
§ 14. Группы преобразований как поверхности
в N -мерном пространстве
1. Координаты в окрестности единицы. Рассмотрим группу матриц GL(n, Ж) с
детерминантом, не равным нулю:
А = (а)), det(aj-)/0. (1)
3' Разрешимость этого уравнения в рамках данной книги постулируется.

§ 14. Группы преобразований как: поверхности в N -мерном пространстве 97
Условие (1) задает область в пространстве всех матриц, обозначаемом через М{п, Е).
Это — линейное пространство размерности га2. Таким образом, полная линейная
группа есть область в линейном пространстве Е" . Координатами в пространстве
М(п, Ш) служат матричные элементы а}. Если А'= (а}), В = (6J) — две матрицы тг-го
порядка,,то их: произведение С = АВ имеет вид С = (cj),
с) = <4&*, i,j= 1,2,...,п. (2)
Из формулы (2) вытекает, что координаты произведения двух матриц выражаются через
координаты сомножителей при помощи, гладких функций (которые даже являются
многочленами от координат). Другими словами, закон умножения определяет гладкое
отображение прямого произведения:
GL{n,R) х GL(n,R) -» GL(n,R),
где (Дй)м АВ.
Введем в пространстве iR" всех матриц тг-го порядка евклидову метрику, полагая
H2 = £>il2> А = (а)). (3)
Очевидно, будем иметь
\А + В\^\А\ + \В\. (4)
По отношению к произведению матриц метрика (3) обладает следующим свойством.
Лемма 1. Имеет место неравенство
\АВ\<\А\\В\. (5)
Доказательство. Это вытекает из следующего неравенства:
[вывод.неравенства (6): (£ х-) (]Гу}) - (Е*»!&') - \ S(«.% - ^jVi)21- Лемма
доказана. ■
Построим другую удобную систему координат в окрестности единичной матрицы
1 6 GL(n,M.). Рассмотрим в пространстве всех матриц единичный шар (без границы)
1Л<1. !■ = (*}).
Лемма 2. Если \Х\ < 1, то матрица А = \ + X обратима,
А = 1+ X 6 GL(n, R).
Доказательство. Рассмотрим ряд из матриц вида
В= 1 - Х + Х2-Х3 + ... (7)
Покажем, что этот ряд сходится. Используя неравенства (4) и (5), будем
иметь
\хт - хт+' + хт+2 -... ±хт+к-'\ sc \хт\ • 11 + \х\ +... + |хГ'| = [хГ14*1 .
1 — \Х I
4 Зап. 8098

98 Глава 2. Теория поверхностей
Поэтому последовательность частичных сумм ряда (7) фундаментальна при
|Х| < 1 и этот ряд сходится. Но в то же время
АВ = (\ -\-Х)(1-Х + Х2-Х3 + ...) = 1, В = А'\
Лемма доказана. ■
Введем координаты на окрестности единицы в группе GL(n, R), задаваемой
условиями
|А-1|<1. (8)
Если А — (а)), то координата ж} матрицы А равна
х)(А) = а} - 6}, *}(1) = 0, (9)
,; _ Г 1 при г = j,
i [О при г Ф j.
Замечание. Аналогично можно ввести координаты в окрестности с центром в произвольной
точке .Во, Д> € Gi(n,R). Действительно, если мы все матрицы в этой окрестности
умножим на 5,j"', то окрестность переедет в окрестность единицы, где координаты уже
построены. Формально эта процедура задается так: если С = В^1 = (cj), то положим
у)(А) = с\а) - 6),
yjm = О-
Координаты y'j пригодны для таких матриц А, что
\А-В0\<\Ва\. (11)
Таким образом, мы построили для группы GL(n,M.) локальные координаты в окрестности
произвольной точки.
Касательное пространство в единице к группе GL(n, R) естественно
отождествляется с пространством всех матриц га-го порядка. Рассмотрим кривую A(t) Е GL(n,R),
Т: е. семейство матриц .А(<), зависящих от параметра t. Пусть эта кривая проходит через
единицу при t — 0, т.е. Л(0) — 1. Тогда касательный вектор (вектор скорости) этой
кривой при t = 0 — это матрица A(t)\t=Q. Наоборот, пусть X — любая матрица. Тогда
кривая A(t) = 1 + tX при t, достаточно близких к нулю, лежит в GL(n, Ж). Очевидно,
что
А(0) = 1, i(0) = X;
тем самым доказано совпадение совокупности всех векторов, касательных в единице к
группе GL(n,R), и совокупности всех матриц га-го порядка.
Рассмотренные в §§4 и 6 группы преобразований задавались уравнениями в
пространстве всех матриц. Так, группа SL(n, К) матриц га-го порядка с определителем 1
задается одним уравнением
detA=l. (12)
Это — гиперповерхность в пространстве всех матриц, целиком лежащая в GL(n, Ж).
Теорема 1. 5L(ra, Ж) — неособая поверхность в пространстве всех матриц.
Аоказательство. Докажем сначала, что I 6 SL(n, Ж) — неособая точка этой
гиперповерхности. Для этого достаточно доказать (см. § 7, п. 2), что касательное

§ 14. Группы преобразований как поверхности в ЛГ-мерном пространстве 99
пространство к SL(n,R) в этой точке имеет размерность точно п2 - 1.
Действительно, пусть det A(t) — I, причем А(0) = 1 и j;A(t)\ = X. По правилу
дифференцирования определителя имеем
0= -(dtt A(t))
at
= TrX,
(=0
где Tr обозначает след. Поэтому ТгХ = 0 — уравнение касательного
пространства к SL(n, Е) в точке 1 (напомним, что коэффициентами этого уравнения
служат элементы матрицы Якоби ddetA/da'j, А = (а}), при А = 1). Итак, мы
доказали, что касательное пространство в единице к группе SL(n, Е) совпадает
с совокупностью матриц со следом 0. Размерность пространства таких матриц
равна п1 - 1. Поэтому точка 1 на группе — это неособая точка в SL(n,R).
Далее, пусть В — любая точка группы SL(n, R) — произвольная унимодулярная
матрица. Умножим все матрицы, лежащие в окрестности матрицы В, на В~].
Тогда В перейдет в 1, и эта окрестность сдвинется в окрестность единицы. Это
отображение — гладкое и невырожденное; поэтому точка В является неособой.
Теорема доказана. Ш
Использованный здесь метод, основанный на исследовании касательного
пространства в единице группы, мы применим и для других матричных групп. При этом
мы всегда будем доказывать только неособость соответствующей поверхности в точке 1.
(Из доказательства теоремы 1 видно, что этого достаточно.)
Рассмотрим теперь группу 0(п) ортогональных матриц n-го порядка.
Соответствующая поверхность в Ш" задается системой уравнений
£<
a'kai = 6,J, AlA=\, А = (а)). (13)
Среди уравнений (13) есть, очевидно, совпадающие, которые получаются при
перестановке индексов i и j. Остается "("2 уравнений. Мы должны показать, что ранг этой
системы уравнений равен п - " "2+ = " ~ . Это означает, что размерность
касательного пространства к группе 0(п) равна " 2~ . Докажем, что касательное пространство
к 0(п) в единице совпадает с пространством всех кососимметрических матриц. Если
A(t) 6 0(п), А(0) = 1 — семейство ортогональных матриц, X = jtMt)\t_0, то
О = ^ (ЛТ(0Л(*))(=0 = Хт + X = 0 (ср. §5, п. 3). Это и есть уравнение касательного
пространства в единице группы 0(п), совпадающего с пространством
кососимметрических матриц. Ясно, что размерность пространства всех кососимметрических матриц
равна "("~'- (в качестве декартовых координат в этом пространстве можно взять
матричные элементы xj с г < j). Отсюда следует неособость поверхности 0{п).
В частности, группа SO(n), которая есть связная компонента группы 0(п),
также есть неособая поверхность в пространстве матриц Rn".
Пример. Рассмотрим группу 50(3) вращений трехмерного пространства. В качестве локальных
координат на этой неособой поверхности можно взять известные из аналитической
геометрии углы Эйлера. Если вращение переводит систему координат (x,y,z) в (x',y',z')
(рис. 17), то такое вращение можно представить в виде последовательного выполнения
трех:
а) Вращение на угол ц> вокруг оси г. При этом ось х перейдет в линию узлов.
б) Вращение на угол 9 вокруг линии узлов. Ось z переходит в ось z .
в) Вращение на угол ф вокруг оси z . Линия узлов переходит в ось х .

100
Глава 2. Теория поверхностей
У
Можно ввести и другие локальные координаты
на 30(3). Каждое вращение можно задать, указав ось
вращения и угол вращения tp, О ^ <р ^ ж. Ось можно'
считать направленной: мы считаем, что вращение вокруг
оси на угол р происходит против часовой стрелки.
Каждое вращение можно задать, таким образом, вектором
(р: направление вектора <р задает ось вращения, модуль
\<р\ — угол вращения. Таким образом, любой точке
группы 50(3) соответствует точка из шара радиуса ж в
у трехмерном пространстве — конец вектора <р. Поскольку
вращения на угол г и на угол -т совпадают, то на
поверхности этого шара — двумерной сфере радиуса ж *—
пары диаметрально противоположных точек изображают
одно и то же вращение из группы 50(3).
В такой системе координат единица группы совпадает с началом координат,
а касательное пространство в единице совпадает с самим трехмерным векторным
пространством.
Рассмотрим теперь комплексный случай. Группа GL(n, С) — область в
пространстве М(п,С) всех матриц. М(п, С) — это комплексное пространство С
размерности га . С вещественной точки зрения это — область в пространстве R .
Группа SL(n, С) — это комплексная поверхность размерности п2 - 1 (вещественная
размерность равна In1 — 2). Касательное пространство группы SL(n,C) в точке 1 также
совпадает с пространством комплексных матриц со следом нуль.
Рассмотрим теперь унитарную группу U(n). Она задается в пространстве всех
комплексных матриц га-го порядка уравнениями
Линия узлов
Рис. 17.
АА) = У>и{ = «*',
*=i
А = (а)), или АА :
(14)
Мы видим, что функции f'3(A) не являются комплексно аналитическими:
-jjjj- 7^ 0. Поэтому группа U(n) не является комплексной поверхностью. Докажем ее
неособость. Каждое уравнение f'3 - б'1 в вещественном смысле задает два уравнения
Re/';'=:<5ij', lmfij = 0.
Заметим, что имеют место тождества
Г = г,
поэтому уравнения f'3 =0 и f ■= 0 при i Ф j эквивалентны. Кроме того,
Im/" = 0. Поэтому уравнение /" = 1 дает только одно вещественное условие
"(п-1) _
= п различных вещественных
на матрицу А. Получаем таким образом п + 2
уравнений. Нужно доказать, что касательное пространство в единице к группе U(n)
имеет (вещественную) размерность 2п2 - п2 — п1. Это пространство совпадает с
совокупностью всех косоэрмитовых матриц га-го порядка:
Г=-Х.
(15)
Действительно, если A(t) 6 U(n), 4(0) = 1, то
A(t)-AT(t)=l,
dA
m
= *,

§ 14. Группы преобразований как поверхности в JV-мерном пространстве 101
..1(.Г)
= х + хт.
Размерность пространства всех косоэрмитовых матриц равна п2. Декартовы координаты
в нем таковы: \х\, к = \,...,п, Rex], ImxJ при i < j.
Группа SU(n) унитарных матриц с определителем 1 также представляет собой
неособую вещественную поверхность размерности п1 - 1. Ее касательное пространство
в единице совпадает с пространством всех косоэрмитовых матриц со следом нуль.
Пример. Рассмотрим группу SU(2). Мы видели (§11, п. 3), что матрицы из SU(2) имеют вид
Если a = x + iy, b = u + iv, то уравнение \а\2 + \b\2 = 1 задает трехмерную сферу радиуса
1 в четырехмерном пространстве с координатами х,у,и,v.
2. Экспонента от матрицы. Пусть Т — касательное пространство в единице к
группе GL(n,W). Построим отображение касательного пространства на саму группу:
ехр : Г -► GL(n, К), exp (0)=1, (16)
полагая
expJf = l + ^ + ^- + ... (17)
Лемма 3.
1) Ряд (17) сходится для всех матриц X.
2) Если матрицы X uY коммутируют, XY = Y X, то
exp(X + Y) = (expX)(expY). (18)
3) Матрица А = ехр X обратима и
А '=ехр(-Х). (19)
4) exp(XT) = (expX)J.
Локазательство. Используя неравенства (4) и (5), для ряда (17) будем иметь
Хт X
т+1
■+Z 7ГЛ
т\ (m+1)! (m + fc-1)!
\Х\т \X\m+k'i
(m + k- 1)!
Но ряд е|х| сходится при всех значениях \Х\. Поэтому последовательность
частичных сумм ряда (17) фундаментальна при всех \Х\ и этот ряд сходится.
Докажем формулу (18). Используя перестановочность матриц X и У, получим
хк\ /Аг'
оо . / . \ оо t
L-'m\\,/—' kill I ^-' m
m=0 \k+l=m I m=0
Формула (19) вытекает из (18), так как матрицы X и Y = -X коммутируют
и ехр (0) = 1. Утверждение 4) очевидно.
Лемма доказана. ■

102 Глава 2. Теория поверхностей
Пусть G — одна из рассмотренных выше матричных групп (G — GL(n, Ш), 0(п),
U(n) и т.д.). Пусть Т — касательное пространство к группе G в единице. Покажем,
что отображение ехр переводит Т в G.
Лемма 4.
1) Если G = SL(n,&) и X еТ, т.е. Тг X - 0, то A = expJC G SL(n,M), т.е.
detA = \.
2) Если G = 0(п) и X £ Т, т.е. матрица X кососимметрична, то А — ехрX €
0(п), т.е. матрица А ортогональна.
3) Если G = U(n) и X £ Т, т.е. матрица X косоэрмитова, то А- ехр X £ U(n),
т. е. матрица А унитарна.
Локазательство. Пусть Тт X = 0. Рассмотрим семейство матриц вида
A(t) = exp(tX),
t — параметр. В силу леммы 3 имеем
A(t1+tJ) = A(ti)A(t1)
(матрицы tiX и t2X коммутируют). Если f(t) = detj4(*) = detexp(iJf), то
f(t\ +Ь) = f(i\)l'(h)- Следовательно, fit) = eci, где с — константа. Покажем,
что с = 0. Имеем: f(t) = det exp(fX) = det (I +tX + o(t)) - tTxX + o(t). Если
' * 1(=0
Пусть матрица X кососимметрична:
ТтХ = 0, то с= ±\ =0. Утверждение I) доказано.
"* 1*=о
ХТ = -X.
Тогда матрицы X и Хт коммутируют между собой. Пусть А = ехрХ. Тогда в
силу леммы 3 будем иметь
АтА = (ехрХ)т(ырХ) = ехр(Хт + Х)= 1, A G 0(п).
Утверждение 2) доказано.
Пусть теперь матрица X косоэрмитова:
Хт = -х
(черта означает комплексное сопряжение). Пусть А = ехр X. Тогда опять в силу
леммы 3 будем иметь
А А = ехр X ехр X = ехр X ехр X = ехр (X + X ) = 1, A G V(п).
Лемма доказана. ■
Из леммы 4 вытекает, что для групп G = SO(n), SU(n) экспонента ехр X также
лежит в G, если матрица X лежит в Т.
Лемма 5. В некоторой окрестности начала координат отображение ехр X взаимно
однозначно.
Локазательство. Достаточно проверить, что якобиан отображения ехр отличен от нуля
в точке 0 (в начале координат). Пусть A = (а)) = ехрX, X = (х*). Имеем
да! у ,•
4 = *«+"-

§ 14. Группы преобразований как поверхности в N -мерном пространстве
103
где многоточием обозначены члены, обращающиеся в нуль при X = 0. Таким
образом, матрица Якоби отображения ехр имеет вид: (-^- ) = <5,*<5/ Это —
\dx, I ll=0
единичная матрица порядка w, что и доказывает лемму. ■
Отображение ехр позволяет ввести удобные локальные координаты в окрестности
единицы группы: координатами здесь служат декартовы координаты (х]) в
окрестности нуля в касательном пространстве Т. Явная формула для координат х) такова: если
А лежит в окрестности единицы группы G, то
х)(А) = {1пА)) =
(A-if (A-if
(.4-1)- + - -
' 2 3
(20)
В целом отображение ехр может не быть взаимно однозначным (даже не быть
отображением на всю группу G — см. ниже задачу 3).
Замечание. Рассмотрим в пространстве Т прямую, проходящую через начало координат, т. е:
семейство матриц вида tX, t — параметр. Тогда семейство матриц A(t) = exp(tX)
образует однопараметрическую подгруппу
A(s)A(t) = A(s + t), 4(0)=1,
A(-t) = A-\t).
(21)
Пример. В группе 50(3) для произвольной оси имеется очевидная однопараметрическая
подгруппа вращений вокруг этой оси. Заметим, что A(t + 2зг) = A(t). Для вращений
вокруг оси z имеем
cos t sin t 0
.4(0= [ -sint cos* 0 ] = exp
0 0 1
0 1 0
-10 0
0 0 0
3. Кватернионы. Множество кватернионов — это совокупность Н линейных
комбинаций с вещественными коэффициентами вида
q € Я, q- а + Ы + cj + dk, (22)
где i.j,k — некоторые линейно независимые символы. Введем билинейное умножение
в Н, положив
ij = k= -ji, jk — i — —kj, ki = j = -ik,
,2 ,2_,2 . (23)
= ;-' = *'
-1
и кватернионы, у которых 6 = с = d = 0, коммутируют со всеми остальными. Легко
проверить, что И с так определенным умножением превращается в ассоциативную,
но не коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Эту алгебру можно
представить в матричном виде.
Лемма 6. Сопоставим каждому кватерниону q = a+bi+cj+dk матрицу A(q) £ М(2,С),
полагая
,-c + di
(здесь i — мнимая единица.'). Тогда
A(q\q2) = A(q\)A(q2).
(25)

104 Глава 2. Теория поверхностей
Замечание. Формула (25) означает, что отображение q >-* A(q) я&1яется гомоморфизмом.
Локазательство. Достаточно проверить (25) при q — i,j, к. Имеем
Теперь нетрудно проверить, что
A(i)A(j) = A(k),
и т. д. ■
Замечание. Матрицы
<rx = -iA(k), <rv = -iA(j), <rz = -iA(i) (27)
часто называются матрицами Паули. Эти матрицы таковы, что
а\ = а\ = o-j = 1, 0-,0-,, = -0-,,0-, = i<rz,... (28)
Введем операцию сопряжения в Н, полагая
q = a-bi -cj -dk для q = а + Ы + cj + dk. (29)
Лемма 7. Отображение q —* q — антиавтоморфизм алгебры Н, т. е.
?i+?2 = ?i+?2, q\qi-qiqi- (30)
Доказательство. Это сразу следует из того, что
A(q) = 1Т(?), (31)
—т
а отображение А <-* А — антиавтоморфизм алгебры матриц Mil, С). И
Определим норму кватерниона \q\2, полагая
\Ч\2 = qq = а2 + Ь2 + c2 + d2 для g = а + Ы + cj + dk. (32)
Прямое вычисление показывает, что
\q\2 = tetA(q); (33)
поэтому норма обладает свойством
I?. <Ы2 = Ы2 Id2- (34)
Следствие. Совокупность кватернионов Н образует «тело». Это означает, что для
каждого отличного от нуля кватерниона q, где \q\2 ф 0, определен обратный
кватернион q~l такой, что
qq~{ = 1.
Доказательство. Можно положить
тогда qq = qq/\q\ - 1-
?"' = ^; (35)

§ 14. Группы преобразований как поверхности в ЛГ-мериом пространстве 105
Совокупность кватернионов с нормой 1 обозначим через И). В силу (34) это
группа по умножению, а из (35) следует, что если q G И), то g-' = q.
В четырехмерном пространстве К4 с координатами (а, Ъ, с, d) Hi — это
гиперповерхность, задаваемая уравнением
а2 + Ъ2 + с2 + d2 = \q\2 = 1. (36)
Поэтому И, совпадает с единичной трехмерной сферой в М4. Заметим, что если
q = а+Ы + cj + dk, 1 = \q\2 и х = а + Ы, у = c + di, то \х\2 + \у\2 = 1 и матрица
A(q) имеет вид
... / а + Ы c + di\ ( х у\ ,„_.
AM={-c+di а-ы) = (-у I)' W
Поэтому (см. § 11, п. 3) группа Hi изоморфна группе SU(2).
Мы видели (§ 13, п. 2), что группа 50(3) вращений сферы изоморфна
факторгруппе 50(3) я SU(2)/ ± 1. Укажем еще один способ доказать этот факт.
Пусть Но — трехмерное пространство кватернионов ж, удовлетворяющих
условию х = -х. Метрика в этом пространстве задается формулой |х|2 = хх =
-х2. Очевидно, это пространство евклидово. ■
Лемма 8. Если |<?|2 = 1, то преобразование
aq: х ь-+ qxt
есть вращение трехмерного евклидова пространства Но = Ш5
aq: х !-+ qxq , х € Но, (38)
Локазательство. Так как х = -х, q = q~ , то qxq ' = q 'xq = -qxq '. Поэтому
трехмерное пространство Но при преобразовании а, переходит в себя. Кроме
того, |?хд~'| = |х|, т.е. длина вектора в Но сохраняется. Лемма доказана. ■
Таким образом, отображение ?!->«, есть гомоморфизм группы Hi = SU(2)
в группу вращений трехмерного пространства К3. Легко показать, что образом этого
гомоморфизма служит вся группа вращений, что а_? = aq и что если aqi = а^, то
qi — ±q2. Из этого и вытекает, что 50(3) w SU{2)/ ± 1.
Другой пример. Построим изоморфизм групп 5{/(2)х SU(2)/± 1 я 50(4). Пусть
р, ? G Hi и SU(2). Тогда отображение
ам ixi-pxg"1, х€НяМ4, (39)
сохраняет квадрат нормы кватерниона х и является ортогональным преобразованием
четырехмерного пространства Н. Ясно, что a_p_g = аы. Образ отображения (p,q) >-+
aPi, лежит в группе 50(4) в силу связности группы St/(2) х SU(2)/ ± 1.
Рассмотрим теперь n-мерное кватернионное пространство Н" с базисом
е]г...,е„ и кватернионными координатами (?',...,q"). Имеет место важное
замечание: любой кватернион q = а + Ы + cj + dk можно представить в виде
q = x + yj = х + jy, х = а + Ы, у = с + di, (40)
где х и у можно считать просто комплексными числами. Если и + vj — другой
кватернион, то имеет место следующее тождество:
(х + yj)(u + vj) = (х + yj)(u + jv) = (хм - yv) + (xv + yv.)j. (41)

106 Глава 2. Теория поверхностей
Теперь пространство Н" можно рассматривать как 2тг-мерное комплексное
пространство С2п с базисом в],..., е„, jelt..., jen и с комплексными координатами х\...,хп,
у],..., уп, где qk = х* + у*j. Действительно, используя представление (40), получаем
?*е» = хкек + ykjek = хкек + yk(jek). (42)
Пусть GL(n, Н) — группа обратимых кватернионно линейных преобразований
пространства HP. Каждое преобразование Л G GL(n,M) задается матрицей Af G Н,
k,l = 1,....,71, причем кватернионные координаты q\...,q" преобразуются по закону
(?*) - (?'Af) = (q'k) (43)
(порядок сомножителей существен). Используя тождество (41), мы получим, что
комплексные координаты в С2" преобразуются по закону
к ilk 1тк\ /1к\
х -+ (х а, - у Ь,) = (ж ),
ук->(.х1Ък + у1ак) = (у'\ (44)
A? = ак + bkj.
Таким образом, каждое Н-линейное преобразование пространства Ы" дает
комплексно линейное преобразование соответствующего пространства С2". Мы получаем
гомоморфизм групп:
GL(n, Н) Д GL(2n, С), (45)
причем из (44) вытекает, что если Л = A-h Bj, то
с<лН-1 !)• <46)
Замечание. По аналогии с §11, п. 1 образ гомоморфизма с можно было определить как
совокупность комплексных матриц, коммутирующих с оператором J умножения на j,
J = c(j).
Определим теперь в Н" квадратичную форму |£|2, полагая
Если q = х + yj, то \q\2 — \х\2 + |i/|2, поэтому в комплексных координатах (хк,ук),
qk = хк + ykj, квадратичная форма (47) совпадает со стандартным квадратом модуля
вектора:
£l<7Af = £l*Y + £h/T. (48)
Соответствующий аналог эрмитовой формы в Н71 имеет вид
л
«ь«2)н = ХУ5?' 6 =(«*), 6 = (?*)• (49)
к-\
Определение 1. Группой Sp(n) называется совокупность всех кватернионных
преобразований, сохраняющих форму (49).
В комплексных координатах форма (,)ц выражается так:
«ь6)н = ][>? + y\j)(x\ +ykj) = ]T(xfx? + укук) + £(уМ - xkyk)j. (50)
к=]

§ 15. Конформные преобразования С07
Пусть Л £ Sp(n). Из формулы (50) вытекает, что Л сохраняет эрмитову форму
53(xfж* + У\У2> = {£ь6)с и, кроме того, кососимметрическую форму Syfx* — xfy*.
.Таким образом, c(Sp(n)) содержится в £/(2п) и состоит из унитарных преобразований
пространства С2", сохраняющих кососимметрическую форму 5-)(#is'* ~ х?з/*)-
к
Пример. Группа Sp(\) изоморфна SU(2). Действительно, c(S,p(\)) С 17(2), причем матрицы
из c(Sp(l)) сохраняют форму у\хг ~xiVi> те- сохраняют «площадь» комплексного
параллелограмма, натянутого на векторы (xuyv) и (Х2,уг). Поэтому все преобразования,
из с(5р(1)) унимодулярны. Этот же результат мы получили выше, поскольку матрицы из
с(5р(1)) имеют вид ( £ Ь.) с \а\2 + \Ь\2 = 1.
Задачи.
1. Доказать связность (см. §4) групп GL(n,C), U(n), Sp(n).
2.. Доказать, что для любой матрицы X справедлива формула: det (ехр X) = еТгХ.
3. Проверить, что для группы ££(2,11) образ экспоненциального отображения не
покрывает всей группы.
4. Описать структуру касательных пространств в единице групп U(,n), SU(n), SO(p,q),
SU(p,q).
5. Найти все однопараметрические подгруппы в SL(2,R).
§ 15. Конформные преобразования многомерных
евклидовых и псевдоевклидовых пространств
Пусть заданы две метрики дар и д'ар в области U пространства М" с координатами
х',...,хп. Мы скажем, что эти две метрики определяют одну и ту же конформную
структуру, если д'а1}(х) = Цх)дар(х), А(ж) ф 0. Более общо, метрика, конформно
эквивалентная данной метрике дав, получается из нее заменами координат ж = х(у) и
умножениями на числовую функцию А(х).
Определение 1. Отображение f.U-^U области U с метрикой дар в себя называется
конформным, если метрика gaf} = ^ ди дцр пропорциональна исходной:
д'ар = Ьдар, А = А(х).
Рассмотрим далее псевдоевклидовы метрики типа (р, q) в R" = R^q с метрикой
9«в — даа^ар и даа = ±1. Нас будут особо интересовать пространства Евклида R" с
положительной метрикой и пространства Минковского R" = R"„_i.
Среди конформных преобразований этих пространств имеются линейные.
Очевидно, линейные конформные преобразования сводятся к следующим:
а) движения — группа 0(p,q), А(х) = 1;
б) растяжения (дилатации)
х н-* Ах, A = const;
в) суперпозиции движений и дилатации
х н-» \А(х), A € 0(p,q), A = const.

108 Глава 2. Теория поверхностей
Кроме того, имеются сдвиги (также движения)
X '—* X ~г Xq.
Это — «очевидные» конформные преобразования. Кроме них, имеются еще так
называемые инверсии
п X ~~ Хп
(1)
(ж — Хо, X — Хо)
где (,) — скалярное произведение
(х-х0, х-хй) = (ха-х1)(зР - х^)да15(х).
Для инверсий имеем
А(ж) = const (ж - Хо, х- Хо)~ . (2)
При п = 1 все преобразования конформны.
При п — 2 имеется большое количество конформных преобразований,
определяющихся одной произвольной комплексно аналитической функцией (см.§ 12).
Для п > 2 положение меняется. Имеет место
Теорема 1 (Лиувилля). Всякое гладкое (требуется не менее четырех непрерывных
производных у функций, задающих отображение 4') конформное преобразование области
евклидова (псевдоевклидова) пространства размерности п ^ 3 является
суперпозицией движения, дилатации и инверсии.
Дадим доказательство для п = 3.
Евклидов и псевдоевклидов случай в доказательстве, по существу, не
различаются. Поэтому мы будем работать с обычной евклидовой метрикой.
Пусть у" = уа(х\...,х") есть отображение области U С М." в область V С К".
Без ограничения общности можно считать, что точка О = (0,...,0) лежит
в обеих областях U и V, причем у"(О) = О. Конформность означает, что
А = (а,р) = (зЬО есть матрица линейного конформного преобразования во
всех точках х € U. Иначе говоря, для векторов dx = (dxa) и dy = Adx,
dya = a,ap dxP, имеем
\dy\ = \(x)\dx\. (3)
Пусть г/ьт;2,т;з — три вектора, которые все попарно ортогональны: {77,,7¾) = 0,
г Ф j. Имеем
0- (77.-,¾) = {AVi,AVj) (4)
для всех точек х £ U, А- А(х) = (^). Дифференцируя (4) по направлению
третьего вектора щ, г Ф k, j ф к, получим
vl~{AVhAVj) = (vlgg^rg, AVjj + <Ч, Vl-^rt) - (5)
Переставляя циклически индексы (i,j,k), получим из (5) три тождества.
Складывая два из них и вычитая третье, имеем
9У ч№,Аъ)=0 (6)
дП дхР
(возможны перестановки индексов 1,2,3).
4) В действительности теорема справедлива и при меньшей гладкости, но мы не будем этим заниматься.

§ 15. Конформные преобразования
109
Таким образом, вектор 0xJ vQxll тЦщ ортогонален вектору Ащ, если вектор %
был ортогонален к обоим векторам iji, 772.
Поскольку п = 3, отсюда имеем
д у у я
дх1 дх^\Ъ = 11(х)(Агц) + v(x)(Ai]2).
(7)
Коэффициенты ft и v по определению имеют вид
1
\АЩ
д2у
dxi Эх?
42 . Mi
vWi
д2У и* А
Далее,
/* =
А2Ы2
1/ = —=2—
А(ж)
|^т?2|2 \ dxi дхР
1 - д /Л Л S
(8)
»,« ЗА
А(ж)
(9)
Обозначим 1/А(ж) через /?(ж); \Ащ^ = A(x)|t?i|2. Разделив (9) на А(ж) и
используя (8), получаем
91
Apyvlfy
д2Р
-Лъ У
dxi дх?v" " п \dxidxP
Дифференцируя (10) по направлению третьего вектора щ, получим
д3(ру)
дх"> дхР дх6
V"M = [дхТЬ^) АЩ + (
д'р
дх1 dxi дх?
vl4vt I У-
(Ю)
(И)
Крайние члены этого равенства симметричны относительно перестановок
(771,%,1?з)- Поэтому и средний член должен быть симметричен:
a'\«U-v
9жт дхР'" '"■ I V дх6 т ) \ дх-r Эх?
д2р
rg) 2т*
dJLj
дх6"
Так как Ацз ф 0, Ащ ^0 и Ащ ф 0, получаем
„1 J. = i
д2Р
дхТм71^ s °-
(12)
(13)
Итак, билинейная форма (13) обращается в нуль на любой паре ортогональных
векторов. Поэтому ее матрица пропорциональна метрике g7g с некоторым
множителем а(х):
д2р
дхТз^ = (Т{Х)9^ (14)

!10 Глава 2. Теория поверхностей
Покажем, что <г(х) = const. Пусть £ — любые векторы. Дифференцируя (14),
имеем
дхТдхТдх1^^2 = \J£%)(6, ьу (15)
Переставляя £j и £> и вычитая полученные равенства друг из друга, получаем
Из этого равенства для всех векторов & следует и = const. Окончательно имеем
(17)
дхТ^Р ~ "**"
1 2
с = const, р = — = а.\\х — хо| +Ь), а,-, 6,-= const.
Л
Для обратного отображения х = х(у) получаем
Х(х) = -i- = a2|j/ - yol2 + Ь2. (18)
р(ж)
Условие Ар = 1 приобретает вид
(а,|х - х0|2 + Ь,)(а2|у - у0\2 + 62) = 1. (19)
Так как у(0) = 0, то хо = з/о — 0. Из этого следует, что конформное отображение
преобразует любую сферу в сферу.
Рассмотрим семейство сфер |х| = R. Так как у(0) — 0, радиальный луч (0,т/)
переходит в радиальный луч (0,х). Далее,
х х \х\
\y\ = J\dy\ = jx(x)\dx\ = J-^-i. (20)
0 0 о
Этот интеграл дает трансцендентную функцию от верхнего предела, если а Ф 0
и Ь/0. Это противоречит (19). Значит, либо а = 0, либо 6 = 0.
Случай а = 0. Тогда р — A = const. Это — линейное отображение.
Случай 6 = 0, а ф 0. Применив инверсию х* = x/|xj", мы сведем этот
случай к предыдущему, так как ]х*| = 1/|х|.
Для евклидовых метрик и п = 3 теорема доказана. Заметим, что евклидовость
метрики не играла роли в доказательстве. Поэтому теорема верна и для
псевдоевклидовых метрик при п ~ 3.
Видоизменения доказательства для п > 3 не очень значительны. Размерность
использовалась только при выводе равенства (7) с тройкой ортогональных
векторов ())1,1/2,%). ■
Задача. Докажите (7) для любой размерности п ^ 3.
После этого теорема автоматически будет следовать из дальнейших выкладок,
которые не зависят от п.
Конформные преобразования определялись нами для областей в
пространстве — евклидовом или псевдоевклидовом. Действительно, инверсии имеют особую

§ 15. Конформные преобразования 111
точку х ■=■ i(), которая переходит в оо при отображении (метрика евклидова). В
псевдоевклидовом случае особое множество, как видно из уравнений (2), имеет вид
{х -х0,х- х0) - О,
т.е. световой конус, проходящий через точку ха.
Заметим, что группа конформных преобразований одинакова у всех метрик дар,
отличающихся множителем \{х). Поэтому конформные преобразования можно
моделировать на любом пространстве с римановой метрикой, конформно эквивалентной
евклидовой метрике дар = \(х)6ар в «евклидовых» координатах. В частности, метрика
я-мерной сферы 5", заданной уравнением
£(*a)2 = i>
а=0
конформно эквивалентна евклидовой метрике в некоторых других координатах. При
я = 2 такие координаты уже указывались в §9. В пространстве любой размерности
конформно евклидовы координаты на сфере (без верхнего полюса) вводятся, как и при
я = 2, стереографической проекцией на плоскость (х\...,хп) и обозначаются через
ж1,... ,х". Метрика имеет вид (см. §9 для п = 2)
R4
дар=д(х)бар, д(*)=(д2 + г2)2,
г2 = (х1)2 + ... +(х")2, R= const.
(21)
В координатах (х ,...,х") мы можем рассмотреть все конформные преобразования,
полученные в теореме Лиувилля: это — преобразования из группы 0(п), трансляции
R" —> R", дилатации и инверсии, а также их суперпозиции.
С другой стороны, на сфере 5" имеется группа ее движений 0(я + 1). Кроме
того, сферу можно считать границей единичного шара S" = dD"+l, |х| ^ R, на
котором в координатах (х ,..., х") определена метрика Лобачевского (см. § 10)
Я4 "
~9*ь = (Д2 _ Г2)2 *«», г2 = J>'')2 < Я2- (22)
Группа преобразований метрики Лобачевского на шаре Dn+> есть 0(п +1,1) — эта
группа шире, чем группа 0{п + 1) С 0(п + 1,1). Можно представлять себе
пространство Лобачевского реализованным как квадратичная поверхность в пространстве
Минковского R"+2 с координатами (z0,... ,z"+1) и метрикой
и+1
dl2 = (dz{))2 - ^(dza)2. (23)
a=l
Пространство Лобачевского выделяется уравнением
п+[
(2°)2-]>>а)2=1. (24)
а=|

112 Глава 2. Теория поверхностей
Между координатами (z1,... ,z"+l) и (.ж0,.... ,ж") имеется связь (см. (10.6), где
х° = и, х[ = v, z1 = х, z1 = у):
»+i (25)
г = 2_,(х ) ■
ог=1
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 2. Группа Лоренца 0(п + 1,1), действуя на пространстве Лобачевского Ln+l,
порождает действие на сфере S" (например, если Ln+> реализовано как шар
Dn+1 с границей S" и метрикой (22)). Все эти преобразования конформны на
сфере Sn в стандартной метрике, не имеют особенностей и содержат базисные
преобразования, а значит, и всю группу конформных преобразований Sn (или Ж"),
которая тем самым совпадает с 0(п + 1,1).
Необходимо сопоставить трансляции, дилатацию и инверсию в Ж" с
преобразованиями из группы 0(п + 1,1). Все эти преобразования представлены уже для п = 1,
где вычисления совсем просты;
трансляция (Ji->x + e)w а 1 -а €0(2,1)
дилатация (х >-* ±Хх, А > 0) <-+ о ±1 0 €0(2,1),
инверсия
Эти преобразования конформны на сфере S" и вместе с фуппой 0(п) порождают всю
фуппу 0(п + 1,1).
Задача. Докажите, что группа конформных преобразований пространства R"
аналогичным образом изоморфна группе 0(п,2). Вообще, конформные преобразования в
пространстве К£, составляют группу 0(р+\, q+ 1). В частности, для пространства
Минковского R* группа конформных преобразований изоморфна 0(4,2).
Замечание. Кроме того, группа 0(4,2) оказывается локально изоморфной группе SU(2,2). Мы
этот изоморфизм строить не будем.

Глава 3
Тензоры. Алгебраическая теория
§ 16. Примеры тензоров
Как мы уже привыкли, многие величины, например расстояние от точки до
некоторого фиксированного центра и другие, задаются в виде числовых функций от
точки в пространстве. Если у нас имеется несколько таких величин, то мы уже имеем
несколько функций точки (или, как говорят, вектор-функцию точки). В трехмерном
пространстве для полной характеризации положения точки в пространстве необходимо
знать значение не менее трех числовых функций, именуемых координатами точки
(х',х2,х3); каждая из координат х' есть функция точки, а совокупность (я1,я2,я3)
полностью определяет эту точку. Мы встречались с разными типами координат —
например, на плоскости имеются декартовы координаты (ж',х2) и полярные, где
х1 — г cos ^, х = г sin ip; в пространстве — декартовы, цилиндрические (г, z,tp) или
сферические (г, в, (р).
Таким образом, координаты — это набор числовых функций точки, которые
полностью определяют положение этой точки в пространстве. Точно так же
координатами любой фюической системы называется такой набор числовых функций от
состояния этой системы, которые полностью его определяют (состояние системы —
это точка «пространства всех возможных состояний» системы). Например, состояние
движущейся материальной точки определяется шестью числами: тремя
координатами и тремя компонентами вектора скорости; здесь мы имеем дело с шестимерным
пространством состояний.
Оказывается, тем не менее, что понятие числовой функции точки или
совокупности таких функций недостаточно. Дело в том, что многие геометрические и
физические величины могут быть описаны в виде набора числовых функций только
после того, как в пространстве уже задан какой-либо набор координат (х',х2,а:3);
числовая запись этих величин может сильно измениться, если мы зададим другие
координаты z\z2,z2,
х = x'(z ,z ,z ), 1=1,2,3.
Чтобы уяснить себе эту возможность, мы рассмотрим понятие вектора, например
вектора скорости при движении вдоль некоторой кривой
zJW(<), j = 1,2,3;
х*' = x'(z'(t), z\t), z\t)) = *'(*); » = 1,2,3.
В координатах (z^z1^1) мы имеем компоненты вектора скорости в виде
(dzx dz dz3\ , 2 з
Л-'*"' Л"J =^^-
/ t=t„

£,№
114 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
При записи этой же кривой в других координатах х , х , х3 мы получим другие
компоненты того же вектора
dx1 dx2 dx1
dt dt dt
и при этом
dx' г-^ dx' dz3
— = > —^—; t= 1,2,3.
dt ^ dz> dt
Таким образом, для компонент вектора мы имеем формулу преобразования их
числовой записи при замене координат
f' = YV—г, t=l,2,3;
U dzl <»>
xW(z',Z\Z3),
(£х, (?,(?) — компоненты вектора в координатах х\х2,х3 в заданной точке, (i)1 ,т}2 ,i?) —
компоненты вектора в координатах zK ,z2 ^ в той же точке.
Тензоры — это важнейший из классов величин, числовая запись которых
меняется при изменении координат. Вектор — это простейший и наиболее наглядный
пример тензора. Разумеется, тривиальным примером тензора является скаляр, который
не меняется при замене координат.
Прежде чем вводить математически точное понятие тензора, мы рассмотрим
другие примеры, с которыми нам уже приходилось многократно встречаться.
1. Градиент числовой функции. Как мы привыкли говорить и думать, градиент
числовой функции f(x\x2,x3) в декартовых координатах х1,х2,х3 — это вектор с
компонентами
Посмотрим, как выглядит градиент той же функции в других координатах z',z ,z , где
х' - x\z\ z2, z3) = x\z)\ * = 1,2,3.
Имеем
1 , з (д} df df\
grad/Cs (z),x (z),x (z)) = ( —, —, — I = (^,,772,^3);
df_ _,-U df_dx>_
Qzi ~ 2-j qxi gzi' г - ' ' ■
Итак, мы имеем ответ:
Едх3
7Ы^; (2)
,=. dz'
(£ь6,£з) ~ компоненты градиента в координатах (х\х2,х3),
(?7|>>72,>7з) — компоненты градиента в координатах (zl,z2, zJ).

§ 16. Примеры тензоров
115
Сравним теперь две формулы преобразования числовой записи для вектора
скорости кривой и градиента функции.
Вектор скорости : £ = > if—:.
Градиент :¾ = ^^-.
Это — разные формулы!
Я "УТИХ (tlOriMVTT RRPJTPM МЯТПИПУ Hlfnfil* Л = 1п1Л ГПГР />'. —
dzi
Для сопоставления этих формул введем матрицу Якоби А = (а'), где а) = |^>
и транспонированную матрицу А1 — (&£), где bj[ = а*.
Для векторов ( и i; мы перепишем формулы (1) и (2) в виде
£ = Ат] (вектор скорости), (1')
Ч = Ат£ (градиент). (2')
Если матрица Ат имеет обратную (AT)~l, то мы можем переписать формулу (2):
(AT)-lv = uJ)-lArt = t;,
т -1 ( ^ дгЛ (3)
В каком случае законы преобразования векторов скорости и фадиентов функций при
переходе от системы координат х к системе z совпадут?
Из формул (1), (2) и (3) мы получаем
£ = Ат) (вектор скорости),
£ = (Ат)~>т] (фадиент функции).
Окончательный вывод состоит в том, что для совпадения формул преобразования (1)
и (3) необходимо иметь равенство матриц
4 = (4T)~' или АГА=\,
т.е. А — (а]) = (^-) — ортогональная матрица (см. §4). (Заметим в скобках, что
замена координат х = x(z) такая, что в каждой точке матрица Якоби -4 = (ffr)
ортогональна, является линейным ортогональным преобразованием А — const.)
Итак, фадиент функции при заменах координат преобразуется иначе, чем
вектор скорости. Это — другой вид тензора, который иногда называют «ковектором»,
в отличие от векторов скорости.
2. Риманова метрика. Как уже говорилось, в n-мерном пространстве
метрические понятия (такие, как длины и углы) задаются с помощью набора функций gij{x),
i — 1,... ,n, j — 1,. ..,71, если заданы координаты (ж1,.-- ,х"). Для длины кривой мы
имели, по определению, формулу
№
^gijixWx'x'dt, (4)

116
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
где х = ^ и квадратичная форма 53 «faff положительна. Это — квадратичная
форма, определенная на векторах типа «векторов скорости» в каждой данной точке
(х) = (х',...,х") и зависящая от точки. Мы называли д^ римановой метрикой. При
замене координат
X = X (z ,. .. , Z ), I = 1,... ,я,
формула длины кривой приобретает вид
ь
где т'(0 = ^'(-г1^):••■ :z"(i)), причем закон преобразования компонент метрики имеет
вид
^ 8хк Эх1
^) = 2-^)^-- • <5>
Итак, квадратичные формы на векторах преобразуются по закону (5). Это еще один
вид тензора (называемый тензором 2-го ранга).
Итак, у нас имеются уже несколько типов тензоров:
а) скаляр (не преобразуется),
б) вектор (преобразуется по закону (1)),
в) ковектор (преобразуется по закону (2)),
г) риманова метрика (преобразуется по закону (5)).
Напомним, что риманова метрика (<?у) в данных координатах (х',...,хп) была
нужна для того, чтобы определить понятие длины вектора в данной точке: если
задан вектор £ = (£',-.-,£") в точке х — (х',...,хп), то квадрат длины |£|2 равен
Tl9ij(x)£'& ■ В частности, это применялось к векторам скорости параметризованных
кривых для определения длины кривой как интеграла от длины вектора скорости.
Закон преобразования (5) для компонент метрики при замене координат
однозначно вытекает из закона (1) для компонент вектора и очевидного требования,
чтобы длина кривой не зависела от того, в каких координатах производится ее
вычисление. Фактически длина кривой есть интеграл по времени от длины вектора
скорости. Следовательно, необходимо, чтобы квадрат длины вектора скорости
не зависел от выбора координат. Из этого требования и из формул (I) для компонент
вектора вытекает закон преобразования (5) для компонент метрики (д1}).
3. Если мы хотим определить инвариантное понятие квадрата длины ковектора,
преобразующегося по закону (2) (или (3)), то мы должны ввести компоненты (д'](х))
и положить
If!2 = ^2 в1 (а5)&'& (в точке х)'
£ = (6.---,6.)-

§ 15. Примеры тензоров 117
При замене х' = x'(z), г — 1,...,п, мы получим закон преобразования
дх1
w = £fce7-
(6)
и длина не будет зависеть от выбора координат:
Здесь £ = (£i, •..,&.) — запись ковектора в координатах (х\...,хп) в точке (х).
г] — (т]Ь. ..,г]п) — запись того же ковектора в той же точке, но в координатах
(z\...,z").
. Закон преобразования (6) дает еще один тип тензора (2-го ранга).
4. Наконец, следует разобрать еще один недостающий тип тензоров 2-го ранга —
линейные операторы на векторах.
Предположим, что в каждой точке пространства с координатами х',...,х"
задана матрица (а}(х)) = А(х), которая определяет линейное преобразование векторов
в каждой точке х — (ж1,... ,х"). Это линейное преобразование А(х) имеет вид т) = А£,
где
п
Ч* = £ а} (!)£'', (7)
у=1
здесь £ = (£',. ..,£") — вектор в точке х.
Та же самая матрица определяет линейное преобразование ковекторов по
формуле т) — А(, где
п
%=£>&• (8)
При замене координат х' = x'(zl,... ,z"), из формул (1), (7) можно вывести, что
компоненты матрицы 4 преобразуются по закону А—>'А = ('а)):
i i sr~* dz' к дх
где х' = x'(z), z3 = zJ(x) и z'(x(z)) = z'; при этом
(9)
V — — = 5; = /
4^ fa* azJ J \
dz' Эх _ xi _ J 1 при г = j,
О при г / j-
к=[
Для ковектора мы можем переписать формулу (2) в виде
так как

118 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Соберем теперь в таблицу законы преобразования для вектора, ковектора и всех
трех видов тензоров 2-го ранга.
Законы преобразования:
1. Скаляр (тензор 0-го ранга) не преобразуется.
Тензоры 1-го ранга:
2. Вектор £ = (£') (типа вектора скорости) преобразуется по формуле
4-i дх1 q
3. Ковектор £ = (£,) (типа градиента функции) преобразуется по формуле
*=i
Тензоры 2-го ранга:
4. Скалярное произведение векторов (¾ преобразуется по формуле
9ij = Y19ы
дхк дх'
~dz*dzi'
k,l
5. Скалярное произведение ковекторов g'3 преобразуется по формуле
,dz' dzj
9"
k,l
-i}' _ V^ Ы "*
9 ~ 2-j9 dxk Qxf
6. Линейный оператор на векторах (ковекторах) A = (a'j) преобразуется по
формуле
.i sr *dxl dzi
dzi dxk
k.l
Здесь x' = x'(zl,.. .,z"), z1 = zJ(x\ .. .,xn), причем
zJ"(xy,---,A...,zV,...,*")) = ^;
V — — - ё
^ dxk dzi ~ j'
k=\
§ 17. Общее определение тензора
1. Закон преобразования компонент тензоров произвольного ранга. Итак, в
предыдущем параграфе были разобраны тензоры 1-го ранга (векторы и ковекторы) и
тензоры 2-го ранга (квадратичные формы на векторах <fcj, квадратичные формы на
ковекторах д'1 и линейные преобразования — операторы агА.
Теперь мы можем дать определение тензоров общего вида.
Определение 1. Тензором (тензорным полем) типа (j>, q) ранга р + q называется объект,
задаваемый набором чисел Г,'1'"!' в произвольной системе координат (ж1,..., х"),

§17. Общее определение тензора 119
числовая запись которого зависит от системы координат по следующему закону:
если х' = x'(z\...,z"), zi = z3(x],... ,х")\ z(x(z)) = г, то имеет место формула
Е, jt. k Эх'1 дх{? dzh dz1*
'l-', Qzk, ■■■ Qzkr Qxj, ■• ■ Qxj, ' ([>
здесь 'T, *"j * — числовая запись тензора в координатах (z) и Т-'"'-' — числовая
запись тензора в координатах (х).
Индексы (i|,... ,ip; ji,.. ■ ,jq) и (k\,... ,k?; l\,...,lq) меняются от 1 до га
(тензоры в га-мерном пространстве).
Таким образом:
вектор скорости — тензор типа (1,0),
ковектор — тензор типа (0,1),
квадратичная форма на векторах — тензор типа (0,2),
квадратичная форма на ковекторах — тензор типа (2,0),
линейный оператор на векторах или ковекторах — тензор типа (1,1).
Теорема 1. Компоненты 'T,]"j ' можно выразить через Т'*""'■' по формуле
'Т*-л = W'"''— ?*??- ^- (ъ
(,.../,; 2~, Jl-J» dxi, ■ ■ ■ dxir Qzh ■ ■ ■ QZ1, ■ ( '
(00)
Аоказательсгво. Используем соотношения
^p&^cJz^; ^р dZk дХ> _ k
3 J
вытекающие из того факта, что преобразования х = x(z) и z = z(x) обратны
друг другу:
x'(z(x)) — х1; zq(x(z)) = zq.
Рассмотрим соотношение (1) как линейное уравнение с правыми частями
Т^''"'•' и неизвестными 'Т,,'"] '■ Решая это уравнение, нужно получить (2).
В силу (1) имеет место формула
,--^ idz*' dzk' dxj' дх}1> _
^ J ix^ ''' Эх1* dz!> ''' dz'1'
',j
dxi] dx'? dzs> dzs" \ dzk< dzk' дх?' dx>*
=e £'*
dzT^ ''' dzrp dxJ* ''' dxh \ d& ''' dxlr dz^ ''' dzl-<
_ V- :Trdx' dz$ 9zk dxi _ ^, k _ , k
здесь
* = (»i,■•-,«'?); j = 0'i,••-,;'»);
l = (lx,...,lq); s = (su...,sq);
k = (ku...,kp); r = (ru...,rp).
Таким образом, приходим к соотношениям (2). Теорема доказана.

120
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Перечислим простейшие свойства тензоров.
В любой заданной точке пространства тензоры образуют линейное пространство:
если Г = (2j,'.".j-') и S = (SjlZ'f) — тензоры типа (p,q), то их линейная комбинация
\Т+ aS = U с компонентами [/"'''" = ЛГ'1'"'' +■ uS'-''"'/ тоже есть тензор типа (р, д) в
той же самой точке. Важно отметить, что тензор — объект, прикрепленный к точке, и
не существует никакого правила сложения тензоров, прикрепленных к разным точкам.
Размерность линейного пространства тензоров типа (р, q) (в точке) га-мерном
пространстве равна га?+?. Если базисные координатные векторы в п.-мерном
пространстве с системой координат х\...,х" обозначить через ei,...,e„, а базисные
ковекторы — через е',...,е", то любой тензор формально удобно записать в таком
виде:
вектор £ - ^2 ?ei ( например, — = ^ — е{ \,
i ^ ^
ковектор £==^2 &е' (напРимеР> 2rad / = X) 7П е j '
квадратичная форма (д) = У^5це' ® е3 (Д™ векторов),
квадратичная форма (д) = YJ <7Уе; ® е3 (для ковекторов),
'J
линейный оператор A = Yj а}е,- ® eJ.
•J
Любой тензор Г= (т''"'') запишется так:
Т = ]Г Т^ е,-, ® ... ® ejp ® eJI ® ... ® е>\ (3)
U
Существенно отметить, что в этой записи порядок индексов важен — нельзя поменять
местами, вообще говоря, е,-, и е,2 и т. д.
Итак, базис в линейном пространстве тензоров типа (р, q) в данной точке
пространства (х) имеет вид
е,-, ® ... ® eif ® е*1 ® ... ® (?ч, (4)
где i,j независимо принимают значения 1,...,га; таким образом, базис состоит из
■п?*4 элементов. При замене координат х' = xl(z\...,z") мы переходим к другому
базису в линейном пространстве тензоров, прикрепленных к данной точке, — к базису,
связанному с координатными векторами системы z в данной точке.
Взаимное выражение в данной точке пространства этих базисов друг через друга
происходит согласно формулам
) е,-, ® е" ® ... <8> е7' =
дх'> " ' дх'г dzl\ ''' dz''i
^-^ dz*1 dzk' дх1' дх>- ( ( л
= > —-...—: 7Г---—тгек' ® ... ® ev ® е1 ® ... ® е'. (4)
(*>,«)

§ 17. Общее определение тензора 12.1
Разберем несколько примеров.
1. Тензор напряжений (трехмерный случай). В сплошной среде в каждой точке
х = (х',х2,х3) сила давления, действующая на малую площадку площади AS,
ортогональную единичному вектору га, вычисляется как (Д5)Р(га), где Р — линейный
з
оператор: Р = (Pj). Тензор Pj называется тензором напряжений. Если га = 52raJe3-, то
Р(га) = 12(12 nJPj)е' или {Р(п)У = 12n3Pj- Например, в случае применимости
i=i j=i j=i
закона Паскаля Pj = Щр, где р — число, называемое давлением в данной точке.
2. Тензор деформации. Если сплошная среда задана в координатах х',х2,х3 и
задано смещение каждой точки среды
X —* X + и (х),
то говорят, что среда подверглась деформации. Если первоначально расстояние между
близкими точками среды было, например, евклидово в координатах х',х2,х3:
(Д02 = £(Д^ = Х>;-'*)2,
то после деформации между теми же точками будет другое расстояние (ДО2
J2|V + и\х)) - 'х{ - и\'х)]2. Очевидно,
(ДО2 = (ДО2 + 2 ^2 Д^Ди + ^)(Ди')2,
i=i
3 ди'
Аи = и\х) - и(х) йГ — Дх'.
v £-1 дх>
Поэтому при Дх' —► О
- ■> ■> х-^ ■■ ; 9и' х-^ ди1 ди' и ,
(<й) = (dl)2 + 2> dx'dx1—г + > —-—7dx dx\
dxi ^-^ дх* дх1
При этом верно равенство
Х-^ ди' i , г-л / ди' duJ \ i ,
2> —dxdx'^y —- +—г \ dx* dx?,
^ dxi 4^ \ dxJ Эх' у
так как
Еди' ; хг^ 9и3 ■ ;
-—г dx dx7 = > —^ ах ах7.
9х^ ^ Эх'
■J »j
Определение 2. Разность (df)2 - (dO2 = 12 Щ <&' ^ + £ f? 1? rfz* dz' называется
тензором деформации среды. Здесь 7¾ = -^ + -^.
Если и' — малые смещения, то квадратичной частью по и' пренебрегают.

122
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Получается тензор малой деформации
_ ди' ди1
ПЦ ~ dxi + Эх7'
Согласно закону Гука, малая деформация среды вызывает напряжение, линейно
зависящее от деформации. Поэтому между тензорами напряжений и деформации
должна быть линейная связь:
Р = U(V).
Эта линейная связь является тензором 4-го ранга. В индексной записи: Р] = Y2 Щ 1Цы\
к I
здесь Р — (Pj), 7/ = (77Ы), U = (Uf). Тензор Uf 4-го ранга описывается 81
компонентной. Неужели действительно закон Гука в сплошной среде описывается
81 величиной?
Если координаты евклидовы, то мы можем (относительно ортогональных
преобразований) не различать векторов и ковекторов — и вообще верхних и нижних
индексов тензора — они преобразуются одинаково. Тензор U = Щы в евклидовых
координатах определяется 81 числом. Это число можно значительно уменьшить, введя
гипотезу изотропности среды по направлениям. Она означает, что тензор U в каждой
точке должен быть таким, что его числовая запись во всех координатах, отличающихся
на вращения вокруг этой точки (включая отражения), одинакова, т. е. не меняется при
ортогональных преобразованиях. Эта гипотеза выполнена в жидкостях, но в твердом
теле верна далеко не всегда.
При наличии изотропности можно воспользоваться следующей важной
теоремой, которую мы приводим без доказательства (поскольку речь идет об ортогональных
преобразованиях, мы можем не делать различия между верхними и нижними
индексами).
Теорема 2. Класс тензоров 4-го ранга, инвариантных относительно ортогональных
преобразований, определяется тремя параметрами \,ti,v; его составляют тензоры
Щы - X6ikSj, + p.b'ijb'ki + v6u6jk.
На языке переходов от двухиндексных тензоров щ к двухиндексным тензорам
Pij этот тензор описывается формулой
Pij = ^Щ + J« (ТГ Т}) Sij + ищи
где Tri) = Y^la- Если вспомнить, что рассматриваемые нами тензоры г/ п Р
симметричны, 773{ = щ и Р^ = Рц, то можно отбросить слагаемое с v. Окончательный
вывод: в изотропном веществе любой линейный закон связи между двумя физическими
(симметричными) тензорами 2-го ранга, описываемый тензором 4-го ранга, зависит
лишь от двух постоянных в каждой точке среды.
Естественно поставить вопрос, какими бывают изотропные тензоры 1-го, 2-го и
3-го ранга.
Очевидно, не бывает векторов и ковекторов, координаты которых не менялись
бы при вращениях.
Что касается тензоров 2-го ранга, то тензор (щ) переходит при преобразованиях
х — х, у -> -у в тензор (т^) с т/'п = Чп> 422 = ^22- Vn = -Ч12, Vit = -¾). а при
преобразовании х -* у, у -+ х в тензор (щ) с г)", = тщ, %2 = Ц\\, Vn = %i, %i = Ч12;

§ 17. Общее определение тензора
123
равенства щ = t?J; = 7/^ показывают, что ц\\ = туп, Vn = i?2i = 0, т.е. что щ = Л<5^.
Таким образом, Лй;_, — единственный изотропный тензор 2-го ранга.
Можно показать, что изотропных тензоров 3-го ранга не бывает.
Подчеркнем, что гипотеза изотропности предполагает наличие римановой
метрики (мы формулировали ее для евклидовой метрики), в то время как понятие тензора
не связано с метрикой — сама метрика есть разновидность тензора. Поэтому стоит
посмотреть, какие тензоры инвариантны не только относительно вращений, но вообще
относительно линейных преобразований. При этом уже важно различать верхние и
нижние индексы.
Прежде всего ясно, что ненулевой тензор ранга (р, q) может быть инвариантным
только при р = q: при подобном растяжении системы координат в Л ф 1 раз все
компоненты тензора умножаются на Л'~?, что равно 1 только при р - q — 0. В
частности, инвариантный тензор обязан иметь четный ранг. Среди тензоров 2-го
ранга инвариантен только тензор т/|- = Щ: это видно из того, что уже вращательно
инвариантных тензоров 2-го ранга больше нет. Оказывается, что инвариантных
. тензоров 4-го ранга имеется двухпараметрическое семейство: Ulk] — \6'кб1 + ji6\S3k.
2. Алгебраические операции над тензорами. Введем сначала следующие удобные
обозначения. Пусть в системе координат (х1,..., хп) заданы компоненты Т'[ "''•' тензора
типа (р,q). Пусть дана другая система координат (х ,...,х") (штрихи мы ставим у
индексов), причем
X —X (X ,...,ХП), fc' =1,...,71. (5)
Компоненты нашего тензора в штрихованной системе координат обозначим через
Т'! '"'■'. Тогда закон преобразования (1) примет вид
Jl—Зч
Е- ■ ,-, i дх'' дх'' дх" дх*
-. . . 3I-U г)а-}\ '" Яа-'r ЯтЛ '" Я^]'„ ^ '
ИЛИ
?:~л' = У т'г^ ^г... ^1 —... —. (?)
Ji-J, Z-^ J,-J, я^', Ят1, дт.1\ Ясг1ч
(•'),(Л
Кроме того, введем следующее правило обращения с тензорами: если в формулу
некоторый индекс входит дважды, то по этому индексу подразумевается суммирование
от 1 до га (га — размерность пространства), а знак суммы J2 можно не писать. Так, в
формуле (6) будет производиться суммирование по дважды повторяющимся — сверху
и снизу — индексам i\,...,ip; j\,.--,jq; в формуле (7) дважды повторяются индексы
i\...i'p; j\...j'q\ индексы i\ и г', ит.д. считаются независимыми.
Использование этого правила, а также использование штрихованных индексов
позволяет избежать ошибок при написании формул тензорного анализа.
Введем теперь три важнейшие алгебраические операции над тензорами.
Определим их сначала в некоторой фиксированной системе координат (г1,...,в").
1) Перестановка индексов. Пусть а — некоторая перестановка чисел (1,...,(/) :
а ~ \ <г('п <г(в)) • Перестановка а действует на наборах (j\,.. .,jq) по правилу
ffO'i.•••>;'«) = OV<i), ■■-.;'<*?))• (8)
Мы будем говорить, что тензор Г-' 7 получается из тензора Г-1'"' перестановкой
нижних индексов, если
■3, Qxi, ■
j;i дх1'' '
дх'' дх31
дх'' дх^
дх1' дх3''
дх'' дх^ '
dxj*
дх^ч
дх?'*
дх^ч

124 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Перестановка верхних индексов определяется аналогично. Нельзя переставлять между
собой нижний и верхний индексы — такая операция не инвариантна относительно
замены координат.
2) Свертка (след). Для тензора Т^'У типа (р, q) его сверткой по индексам (ik,ji)
будет тензор Т?,'..^' типа (р - 1,д- 1), определяемый формулой
j'i-j'7-1 ii-ii-iu'i-j,-! ^ '
(напомним, что по дважды входящему — сверху и снизу — индексу г производится
суммирование от 1 до га). Например, свертка тензора Tj типа (1,1) — это скаляр 2?
(след ТгГ линейного оператора Tj).
3) Умножение (тензорное). Если заданы два тензора Г,-,1.'",-' и Jy'"'j* типов (р, ¢)
и (fc, 0 соответственно, то их произведением будет тензор S = Т ® Р типа (р + к, q +1)
с компонентами ....
(порядок сомножителей существенен). Заметим, что тензорное умножение
ассоциативно.
Лемма 1. В результате операций 1), 2), 3) получается снова тензор, причем результаты
их применений не зависят от выбора системы координат.
Аоказзтельство. 1) Пусть <т переставляет между собой только индексы к и I:
(\...k...l ...q\
Тогда
При переходе к штрихованной системе координат будем иметь
~i. ,■ i. .,• ,-, ;' ftc'1 Эх*'" da^ Эаг1' Эх* Эг7'
y,..j, ji-ji-jt-J, >;...;,; gxi; ■ ■ • ах.; gzj, • • • gxj, ■ ■ ■ gxh • • • Qxh ■
Изменим обозначение индексов в правой части: j'k обозначим через ;'{, j\ — через
j'k. Это не изменит всего выражения, так как по этим индексам производится
суммирование. Тогда правая часть формулы (13) примет вид
u-i', дх"
ф 1 р
^■■■«■■•Лас", •
дх'г дх3'
дх'г дх3'1 '
дх3'
'Эх*'
дх3"
Эх*'
Эх*
~Т^д~х^-
dxif дх3*
дх'г dxi* '
dxii
т.е. мы доказали, что Т^"'? — компоненты тензора типа (р,q).
2) Для тензора, свернутого по индексам гк и jt, будем иметь (г* и ji
означает, что эти индексы пропущены)
1*"М=гН^С.
ь-1.-1, h-hdx'\
дх'' дх3'
дх{'т дх>*
дх1
дх^

§ 18. Тензоры типа (0, к)
i\...t, j;dxu дх" Эх'> dxf' дх3'
i'l-i't ■i.ax'i ''' dx''" ''' дх'г dxi* ''' дх»
_ ^\...i;...,;dx" Ы?1
h—h-J'i 9x*i дх'*
dxj'"
dx^i
дх'* dxj'i
' Эх'* Эх* '
дх
'' дх» '
125
dxj'i
dxh'
где мы воспользовались равенством -^- ~\- = 8h,. Тензорность произведения
(11) очевидна. Лемма доказана. ■
Рассмотрим теперь примеры применения построенных операций.
Примеры. 1. Пусть даны вектор £' и ковектор щ. Можно составить их произведение — тензор
Т] = i'r\j типа (1,1) и его след Т\ = £'г/,. Последний представляет собой скаляр —
скалярное произведение вектора и ковектора.
2. Если даны вектор (' и линейный оператор А\, то их произведение Г,'* = А\('
есть тензор типа (2,1). Свертка
г/* = Т* = А*(*
есть снова вектор — результат применения оператора А' к исходному вектору £'.
Замечание. Используя введенное скалярное произведение векторов и ковекторов, отнесем
каждому вектору £' линейный дифференциальный оператор первого порядка на функциях;
так как |£ — ковектор (градиент функции), то выражение
*</ = *в? (И)
будет скаляром (производная функции по направлению £). В частности, если еь...,
е„ — базис в пространстве векторов, где координаты вектора ек равны (et)' = 6к, то из
формулы (14) получаем, что
Поэтому при нашем соответствии базисные векторные поля переходят в операторы
»|г> • • • > 3J» ■ Таким образом, вектору £ соответствует дифференциальный оператор
*=<•'£• (1б)
Задачи.
1. Проверить, что перестановка верхнего и нижнего индексов 2"'j"" -» Г"",""' не есть
тензорная операция. (Привести пример.)
2. Тензор 2-го ранга называется невырожденным, если соответствующая матрица
невырождена. Показать, что для невырожденного тензора 2-го ранга обратная матрица также
будет тензором.
§ 18. Тензоры типа (0, к)
1. Дифференциальная форма записи тензоров с нижними индексами. Рассмотрим
для начала случай тензоров типа (0,1)-ковекторов. Выше мы имели пример ковектора —
градиент функции % = -^. Напомним, что в анализе дифференциалом функции
называлось выражение
df = -Ldxl. (1)
дх1

I 26 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Если задана замена х' = х'(х1 ,... ,х" ), то
■ № i-
dx = ft? dx ' (2)
df ; ( df дхЛ - df -
d/ = -Л <te* = -Л —7 dx' = -Л dx', (3)
dx' \ dx' dx' I dx'
т. е. выражение df инвариантно относительно замен координат. Аналогично, если мы
любому ковектору Г; поставим в соответствие выражение Г; dx' (дифференциальную
форму), то это выражение будет инвариантно относительно замены координат.
Что такое символы dx'? Базисные ковекторные поля е' преобразуются по закону
i дх{ - ,- -
*=0^*\ Т{е1 = Тге\ (4)
Последнее равенство означает просто, что Г,- (соответственно Tj.) — координаты
ковектора в базисе е',...,е™ (соответственно е',... ,еп ).
Мы видим, что базисные ковекторы е' преобразуются по тому же закону, что и
dx*:
' дх' '" -V '' ах" Л •'
е = —г- е ь+ dx = -—7 dx ,
дх' 0а:' ' (5)
е' <-> <fx', е <-+ dx1.
Можно сказать, что символы dx" — это базисные ковекторы е\ Дифференциальная
форма Tjdx' соответствует разложению Г,е' ковектора по базису. Мы видели в
предыдущем параграфе, что любой ковектор — это линейная форма на векторах. В
частности, значение линейной формы df = ^ dx' на векторе Д£ = Дх'е; равно по
определению
( ~ <*х\дЛ = ~ Дх\ (6)
\дх' V дх' У
Это выражение называется, как известно, главной линейной частью приращения
функции / при сдвиге вдоль вектора Д£.
Рассмотрим второй важный случай — тензоры типа (0,2). Базис в пространстве
таких тензоров составляют произведения
e;®ej. (7)
Разложение любого тензора Ту по базису (7) имеет вид
Гуе'оеЛ (8)
Тензор Tij — это билинейная форма на векторах. Действительно, если £, rf — два
вектора, то выражение
Tijfj (9)
есть скаляр — значение билинейной формы Т на векгорах £, 7/.
Любой тензор типа (0,2) распадается в сумму симметрического и кососимме-
трического (Tji = -Iy). Это очевидно из следующего тождества:
гр rpsym , rpaii
1 , I 0°)
T%m = -(Тц + Tji); T$ = -(Tij - Тц).

вид
§ 18. Тензоры типа (0, к) 127
Из формул (10) получаем базис в пространстве симметрических тензоров
е' ® е>' + е? ® е1
2 . J'^i. (И)
и в пространстве кососимметрических тензоров
е Л е*' = е ® е3' - е> ® е, i<j. (12)
Если тензор Г); симметрический, то его разложение по базису (11) имеет вид
Tijj ®е? =^2г./ ® <J + Yl TiJei ® ^ =
T«e* ® e* + X) 2¾ . (13)
>' icj \ /
Если тензор 2¾ кососимметрический, то его разложение по базису (12) имеет
TijJ ® е1' = ^2 Тце{ ®е> +J2 гче< ® ^ =2 X) Тче* Л ^- (14)
«<j »>j »<j
В дифференциальной форме базис (11) записывается в виде dx'dx3 = dxjdx',
базис (12) записывается в виде dx' Л dx3 = -dx3 Л dx',
Пример. Риманова метрика p,j — пример симметрического тензора типа (0,2). Его разложение
по базису dx'dx1 имеет вид
gijdx'dx1. (15)
Это — известная формула для квадрата элемента длины dl2.
2. Кососимметрические тепзоры типа (0, к).
Опрелеление 1. Кососимметрическим тензором (типа (0,к)) называется тензор Г;,...^
такой, что
Г„(,-„...,,Ч) = sgn(<T)Til...j,. (16)
Здесь sgn(<r) = ±1 — знак перестановки а действие перестановки на набор
(ii,...,:*) определено формулой (8) §17. Это определение не зависит от
выбора системы координат ввиду тензорного характера операции перестановки
индексов. Таким образом, тензор Ц",...и меняет знак при любой нечетной
перестановке индексов и сохраняет свое значение при четной перестановке
индексов.
Замечание. Если ранг к больше размерности пространства п, то кососимметрический тензор
Ii,...it тождественно равен нулю (обязательно будет пара совпадающих индексов).
Для кососимметрических тензоров мы будем в целях удобства использовать язык
дифференциальных форм. Базис в пространстве таких тензоров состоит из элементов
dxl] Л... Adxh, i, < ... < ik, (17)
где
dxu Л ... Л dxh = J2 sg" И e"(" ® ■ • ■ ® eh) (18)
o-es,

128 Глава 3. Тензоры.. Алгебраическая теория
(суммирование по всем перестановкам индексов). Как и в предыдущем пункте, мы
получим для кососимметрического тензора Т;,...^ соответствующую дифференциальную
форму
^...йе'1 ® ... (8) е" = J2 Ti^dx*' Л ... Л dxik. (19)
Выражение dx'1 Л... Л dx4 кососимметрично относительно перестановок
индексов:
dxa(i] Л ... Л dx"* = sgn (<т) <te" Л ... Л dxik. (20)
Пример. Рассмотрим кососимметрические тензоры типа (0, п) в п -мерном пространстве.
Каждый такой тензор Г,,.,,-, определяется одним числом Ti2...,.- Действительно,
Г„,1 „) = sgn(<T)r12...„,: (21)
а если среди индексов i\...in есть хотя бы два совпадающих, то компонента Г,,...,, равна
нулю. Таким образом, мы имеем единственный базисный тензор — это dxx Л ... Л dx*.
Компоненты этого тензора в физической, литературе обозначаются £;,._,■„. Ясно, что
компонента ■£,-,_.,•. отлична от нуля, лишь если среди индексов ii ...гп нет повторяющихся;
тогда
_Г+1 при sgn-(:,,. ..,:,)-+1, ,,,,
е.-|..Л ~ \ -1 при sgn (:,,...,:,) = -1. Vl>
Очевидно, Г;,_(. = Т,2...„ £;,._<„.
Как преобразуются кососимметрические тензоры п ранга при замене координат?
Теорема 1. Кососимметрические тензорыранга, равного размерности пространства, при
замене координат х' = х' (х\ ... ,х") преобразуются по закону
Г,2..., = Г,.у.я.У, (23)
где J = det (д|г) — якобиан замены.
Аоказательство. Проверим формулу (23) для базисного тензора е,-,...,-.. Имеем
дх'< да?- ^ Эх""' Эх'">
e,,..n=£,,...,;—...^-^^sgnH-^-p...^-.
ff€S,
Эта формула и есть определение детерминанта J. ■
Пример. Пусть тензор <;,■, типа (0,2) является невырожденной квадратичной формой и
g = det(3,j). При замене координат х' = х' (х',...,хп) матрица (¾ преобразуется по
закону
дх< дх'
Si'y-9iidFdx7
или, в матричной форме, G' = ArGA, где А = ( —^ 1 , G = (р,у), С = (#;>;>). Поэтому
определитель g = det G преобразуется по закону
з' = det G' = dzl{ATGA) = (det A)2 det G. (24)
Следовательно, %f\tf\ = ^/\g\\dttA\. Таким образом, доказано

§ 18: Тензоры типа (0, к) 129
Следствие. Выражение у/\д\ dx Л ... Л dx11 является тензором относительно таких
замен координат, что J = det A = det (tv) > 0.
Форма \J\g\ dx л ... Л dx" называется элементом объема, задаваемым
метрикой gij..
Комплексный случай. Если задано комплексное пространство с координатами
z\... ,z"; z\... ,zn, где г" = ха f- iya, г" = х" - гуа, то дифференциальные формы
можно записывать в виде
где слагаемые
Т(м) = ^ 71,...i,j....;,^' Л • • • Л ^" л <&' л • • • л d^* (25)
i|<...<:'p
называются «формами типа (p,q)»-
Например, пусть задана форма вида
П = Tapdza Л dz43,
где Т/за = -Тар. Тогда матрица (iTap) удовлетворяет условию
iTpa - %Тар
и является матрицей эрмитовой формы ^2iTapdzadzl}. Таким образом, в комплексном
случае эрмитова метрика задается формой типа (1,1).
3. Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешняя алгебра. В качестве
приложения введенных в § 17 алгебраических операций над тензорами определим
внешнее произведение двух кососимметрических тензоров типа (0, р) и типа (0, q)
(дифференциальных форм ранга р и q соответственно). Пусть
Ш\ - ]Р 2i,...ip dx1 Л ... Л dx'v,
t'l <-<i,
шг = ]Р S,-,...Jvdxjl Л ... Л dx?'1.
3\ <-<i,
(26)
Определим форму ш ранга р + q:
w = w, Л w2 = ]Г flt,..v, dx*' Л ... Л <te*'+", (27)
полагая
Esgn (<т)
"if 2V<*i...*,5W-W- (28)
Величины Rk,..^,, образуют тензор, получаемый из тензоров Г*,...,- , Sj,...;,
комбинацией операций тензорного произведения и перестановки индексов. Этот
тензор кососимметричен по построению, и определение (28) не зависит от выбора
координат.
5 Зак. 8093

130
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Лемма 1. Внешнее умножение дифференциальных форм — билинейная ассоциативная
операция, причем
ш2Лш] = (- \)РЯш] Л шъ (29)
если и>\ — форма ранга р, ш2 — форма ранга q.
Локазательство. Билинейность очевидна; ассоциативность проверяется
непосредственно из формулы (28). Формула (29) вытекает из того, что знак перестановки
/l ...q q+l...p + q
\р+ \ ... p + q 1 ... р
равен (—If4 (проверьте!). Лемма доказана. ■
Замечание. Нетрудно проверить, что для базисных форм u/| = dx', ш2 = dx1 внешнее
произведение (28) совпадает с определенным в п. 2 символом dx' Л dx1. Вообще, если
u/, = dx'' Л ... Л dx'T, иг = dx'' Л ... Л dx''1, то
и, Л иг = dx'' Л ... Л dx'' Л dx" Л ... Л dx1*. (30)
Внешнее произведение задает в пространстве форм в данной точке структуру «внешней
алгебры».
4. Кососимметрические тензоры типа (к, 0) (поливекторы). Интеграл от антиком-
мутирующих переменных. Кососимметрические тензоры с верхними индексами часто
называют поливекторами. Для их описания также удобно использовать язык внешней
алгебры. Если еь... ,е„ — стандартный базис векторов, то задается базис кососимме-
трических тензоров типа (fc,0)-поливекторов — аналогично (17), (18), е;. Л... Ле,-4,
i[ < ... < i/t, где свертка с базисными формами такова (е1 <—► dx3):
(ei, Л ... Л е,-„ е* Л ... Л «>) = е{1... «j, (31)
j} < ... < ji-. В полной аналогии с тензорами типа (0,к) поливекторы образуют
внешнюю алгебру, натянутую на символы еь...,е„. Аналогично теореме 1 устанавливается
следующая
Теорема 2. При замене координат верна формула
где J — det (^7) — якобиан замены.
Доказательство не отличается от доказательства теоремы 1.
Следуя современной литературе по квантовой теории поля, введем «интеграл от
антикоммутирующих переменных» 0t,...,Qn:
Г12~» = <7-1ГГ2*...»'1 (32)
J ... J !(вх,...,вп)(ШхА... Ad6n;
(33)
здесь считается, что f(6\,- ■ ■ ,вп) — полином во внешней алгебре с образующими
в\,..., вп, интеграл берется только по всему пространству (не по области!). При
линейных заменах в ^-пространстве величина <Ш\ Л ... л <Шп по определению преобразуется
так:
d0x Л ... Л йвп = J~]de\ Л ... Л d$'n, (34)

§18. Тензоры типа (0, к) 131
где 7 = det (|^г) — обычное число. Правила интегрирования по определению таковы:
Jejd9j = \} [М]=0,
(35)
R \R
/(0, )<Ю, Л / g(92)d92 (36)
(остальные правила самоочевидны), где в\,02,...,6п — произвольный набор внешних
образующих. Из формул (31), (32) вытекает вывод: после сопоставления dOj -» ej,0j —>
t? величина d0\ Л... Л d9„ сведется к базисному поливектору — тензору типа (п,0),
старший член коэффициента f(9\,...,9n) — к тензору типа (0,п), а «интеграл» — это
их обычная свертка. Таким образом, интеграл от антикоммутирующих переменных —
это обычная свертка тензоров, записанных в формализме Картана внешних алгебр
как для форм, так и для поливекторов. Полезность этой интерпретации определяется
следующим фактом.
Задача. Пусть /(0,,...,0,,) = exp (\а''й{ Л 0;), а'' = -в4'. Доказать формулу
/... / /(0,,..., 0n)d0, Л ... Л d9, = y/det (а% (37)
К"
Выражение (33) на пространстве К" дает тензор типа (п, п), кососимметрический
отдельно по нижним и отдельно по верхним индексам. Такой тензор есть скаляр в R".
Замена в(в') в интеграле (33) может быть и нелинейной. Требуется только,
чтобы она сохраняла, как говорят, Ъ2-градуировку, т.е. полиномы в(в') должны быть
линейной комбинацией выражений нечетной степени во внешней алгебре.
Пример. Пусть 0 = (0,,02,0з), 1(й) = й\- Тогда по определению имеем
/(0) d0, Л d92 Л d03 = 0.
/■
Рассмотрим такую замену:
0,=0^ + 0', Л ej Л 0з, 02 = 02, 03 = 0'з-
Напишем матрицу Якоби этой замены (точные определения см. ниже):
яй \ / 1 + «2 Л «з -0', Л 0з 0; Л 02
Яй<\ ( 02 10
Щ/ V 0 0 1
Якобиан J = det (|£-) имеет вид ./ = 1 + 02 Л 0¾; J-1 = 1 - 0'2 Л 03. Проверьте следующее
тождество:
/(0(0/))Jr"'d0, Л <*02 Л d0, = 0.
I'
Более общо, если
9, = ац{0и.. .,9), ...,0 + в] Л bij(e'u.. .,¾.... X),

132 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
то мы полагаем
Очевидно, при йг-градуированных заменах элементы матрицы Якоби коммутируют.
Задача. Докажите следующую формулу замены переменных:
(38)
где J = det
f(e(e'))r'd9\A... л<= //<в)<ю,л... /\аел,
Указание. Если /(#) — одночлен старшей степени, то формула (38) очевидна. Требует
отдельного анализа то, что младшие члены, содержащиеся в полиноме /(#),
дадут нулевой вклад после замены, как показывает пример выше.
Задачи. 1. Пусть и' = a'dx'. Доказать формулу
w" Л ... Л «/' = ./■'■•? dx11 Л ... Л Лг",
где J,'1'"!* — минор матрицы {а]), стоящий на пересечении строк с номерами »i,..., it
и столбцов с номерами ju..., j*. В частности,
и/1 Л ... Л ш" = det (а\) di1 Л ... Л dx".
2. Найти размерность пространства к -форм (в данной точке).
3. Доказать, что 53ei»e'i...й-ич-н •••■'. = е;,.-гДг (<»;)• где Tr(a^) = а\ — след матрицы.
§ 19. Тензоры в римановом и псевдоримановом
пространстве
1. Поднятие и опускание индексов. Пусть gtj — тензор типа (0,2), задающий
риманову или псевдориманову метрику. Напомним, что если заданы два вектора £',
rf, то можно определить их скалярное произведение, положив:
(Мы использовали здесь операцию тензорного произведения и свертки).
Аналогично, если д'3 — тензор типа (2,0), то он задает скалярное произведение
ковекторов f j, rji по формуле
(i,V)=9%Vi- (2)
В присутствии метрики ftj можно определить весьма важную операцию опус-
кания индексов. Если T^'"J — тензор типа (р, q), то можно построить тензор Г,'3,:|'
типа (р- \,q+ 1), полагая
Легко видеть, что это снова тензор (итерация операций умножения на тензор
gtj и свертки).

§ 19. Тензоры в римановом и псевдоримановом пространстве
133
Переход от тензора Tj'"'j' к тензору Т^'Д называется опусканием индекса i\ с
помощью метрики д^.
Пример. Если (,' — вектор, то после опускания индекса мы получим ковектор
& = <?.',£'- №
Таким образом, опускание индексов задает линейное отображение пространства
векторов в пространство ковекторов. Это соответствие можно описать следующим
образом: если (,) — соответствующее gtj скалярное произведение, то вектору щ
соответствует линейная форма (ковектор), принимающая на векторе f значение (£,т)).
Наоборот, для поднятия нижних индексов при наличии метрики gij необходимо
рассмотреть обратную метрику, т. е. такую матрицу д'3, что
дг19зк = 6\ (5)
(напомним, что det (^-) ф 0).
По определению имеем
Th-i„ -ЗГ Tkj2...j„- (6)
Лемма 1. Если мы опустим индекс, а потом поднимем, то получим исходный тензор.
Локазательсгво. Опустив у тензора T^'J индекс ц, получим тензор gi^T^"-''. Подняв
после этого индекс i\, получим тензор
совпадающий с исходным. Лемма доказана. ■
Матрица д'3 задает скалярное произведение ковекторов, как мы видели выше.
Таким образом, заданием метрики gtj мы определили и скалярное произведение
ковекторов д13. Это скалярное произведение на ковекторах однозначно определяется
требованием, чтобы после операции поднятия индексов мы получили то же скалярное
произведение, что и для векторов. Это вытекает из следующего утверждения.
Лемма 2. Верно следующее равенство: для пары векторов £ = (£')> V — (у') "
соответствующей пары ковекторов £ = (&) — (gtjiJ), Ц = (%) = (gijrf) их скалярные
произведения совпадают: {£,»)) = {£,г]).
Локазательсгво. Так как (£,т)) = 5ijfV и (£,т?) = g'J£jfji, то
(i,v) = 9'3ijfn = g'39jkfguv' = sltguv = £'#*>7* = (£> v)-
Лемма доказана. ■
Замечание. Нетрудно видеть, что пока мы использовали только невырожденность тензора (¾,
g = det(<7;;) Ф 0; положительная определенность (и даже симметричность) в предыдущих
утверждениях и формулах роли не играли. В гл. 5 мы будем проводить аналогичные
конструкции для кососимметрической метрики в связи с гамильтоновым формализмом.

134
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
2. Собственные значения квадратичной формы. Пусть задан линейный оператор
Т/ — тензор типа (I, I). Если нет метрики, то не имеет смысла говорить о
симметричности или косой симметричности этого тензора, так как нельзя переставлять
между собой индексы г и j.
Если же имеется метрика gij, то можно опустить индекс: 2¾ = д^Tj ; мы
получим при этом тензор типа (0,2), определяющий билинейную форму {,}т от двух
векторов. Если {,) — скалярное произведение, соответствующее метрике д^, то эта
билинейная форма имеет вид
Ыт = а,Тч)=£дцТ1т,к, (7)
{ = «*), 1? = (!?')•
Определение 1. Говорят, что линейный оператор if в пространстве с метрикой g,j
симметричен (кососимметричен), если билинейная форма Т,-у — fttT* симметрична,
Tji—Tij (кососимметрична, Тц = -Гц).
Теорема 1. Линейный оператор Т — (Tj) в пространстве с римановой или псевдоримановой
метрикой д^ симметричен или кососимметричен в том и только в том случае,
если для любых векторов £ = (£'), tj — (if) выполняется соотношение
(T£,rj) — {£,Тт)) (симметричность), (8)
{Т£,7}) ~ — {£,Ttf) (косая симметричность). (9)
Теорема является очевидным следствием формулы (7).
Пусть теперь в римановам или псевдоримановом пространстве задана
симметрическая билинейная форма Ту. Тогда, подняв индекс, можно рассмотреть оператор
T]=gikTki.
Определение 2. Собственные значения оператора Tj = glkTkj называются собственными
значениями квадратичной формы T,j в метрике g^.
Если А — собственное значение оператора Т], £' — соответствующий
собственный вектор, то по определению имеем
^=^^9^^ = ^- (Ю)
Тем самым собственный вектор (,' есть решение системы уравнений
Тц? = Хдиё, к =1,...,п (11)
(ср. систему (10)).
След TxTj и детерминант detTj линейного оператора Tj = g'kTkj являются
метрическими инвариантами формы T,j (т.е. инвариантами, зависящими от метрики).
В частности, след имеет вид
T\=gikTik. (12)
Пример. На поверхности г = r(u,v), г = (x,y,z), в пространстве RJ возникали две
квадратичные формы (х1 = и,х1 = и):
1) метрика д^ dx' dx' — тензор (¾;
2) вторая:квацратичная форма й,; da;' dx' — тензор (¾ (здесь суммирование проводится
по повторяющимся индексам от 1 до 2, так как поверхность двумерна).

§ 19. Тензоры в римаиовом и псевдоримановом пространстве 135
В § 8 были получены формулы:
det(6Sj)
гауссова кривизна К — - —,
det (gij)
средняя кривизна Н = b\ = д'3Ъ^.
Таким образом, средняя кривизна — это след двумерного тензора fey в
присутствии метрики <щ. Для гауссовой кривизны имеем
К = (<кХ{дц)ГхЛ&(ЪцУ = det(a%) ■= det(lj).
Тем самым гауссова кривизна также есть метрический инвариант второй квадратичной
формы.
3. Оператор *. В присутствии метрики д^ можно задать операцию *
отождествления косоеимметрических тензоров типа (0, fc) и (0, и — fc).
Определение 3. Если Г,,...^, — кососиммстричтакий тензор типа (0,к), то через *Т
будет обозначаться кососимметрический тензор типа (О,п - fc),. задаваемый
формулой
<*T)lW.,. = £У^,..ьГ'Л (13)
где Т'1"1' — соответствующий тензору 2*,...^ тензор типа (fc,0):
Т*'"*=^'...^ГЛ_Л. (14)
Мы видели в п. 2 § 18, что %/Ые»1-««. в n-мерном пространстве есть, тензор
относительно замен координат с положительным якобианом. Поэтому *Т будет
тензором относительно таких замен, а его косая симметричность очевидна;..
Замечание. Имеет место формула (проверьте)
*<*!") = (-l)'("~"sgn(<?) Т. (15)
4. Тензоры в евклидовом пространстве. В евклидовом пространстве метрика #о
в евклидовых координатах имеет вид gij = йу. Поэтому при опускании (поднятии)
индексов компоненты любого тензора не меняются:
1bh-U~0^i±k-i4 ~1u-il. • u°;
Таким образом, в евклидовых координатах нет различия между верхними'
и нижними индексами; все индексы, например, можно считать нижними. Такая,
запись будет инвариантна относительно замен, сохраняющих евклидову метрику, т. е.
относительно ортогональных преобразований и трансляций.
В частности, в евклидовых координатах матрица оператора и матрица
соответствующей ему квадратичной формы совпадают. Набор компонент градиента
преобразуется как вектор при движениях евклидова пространства и т. д..
Рассмотрим для случая трехмерного евклидова пространства с евклидовыми
координатами х,у, z действие оператора *:
*dx — dy Adz, *dy = -dx Adz,. *dz — dxAdy

1 36 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
(проверьте). Любая 1-форма (ковектор) имеет вид ш — Рdx + Qdy +- Rdz. Для такой
формы
*ш = Р dy л dz f Q dz A dx + Rdx л dy,
Если / — скаляр, то */ = f dx Ady Adz — форма 3-го ранга и * (/ dx A dy A dz) = f.
Задачи. 1. Пусть e0/j7 — рассматривавшийся выше (см. п. 2 § 18) кососимметрический
тензор в трехмерном евклидовом пространстве. Доказать следующие формулы
д<х\ йар 8а„
а) ZafaS\iu/ — SP\ hit <V
S-,x 57/1 <5,„
б) еа^г\ю = 6a\6pp - 6alldpx,
B) eafrle\f)-j = 25ал,
г) £<>07го/57 = 6
(везде суммирование по повторяющимся индексам подразумевается); 6ар — символ
Кронекера.
2. Пусть
о/.
= Yl Ti,_.,fdx"A...Adxi\
= J2 Sh...j),dx»A...Adxi'.
"2
Положим {0/,,0/3} = ji.9i,h ...g^'Ti^Sj^. Доказать, что
Ш| Л *ш2 = {uuui2}y/\g\dx' Л ... Л dxn.
§ 20. Кристаллографические группы и конечные
подгруппы группы вращений плоскости
и пространства. Примеры инвариантных тензоров
В этом параграфе мы познакомимся с кристаллографическими группами. Затем
мы классифицируем конечные подгруппы в ортогональных группах 0(2) и 0(3).
Мы будем рассматривать кристаллическую структуру, целиком заполняющую все
трехмерное евклидово пространство, или же евклидову плоскость (плоская структура).
Одна из стандартных моделей кристалла следующая: считается, что кристалл состоит
из нескольких сортов атомов, жестко закрепленных в пространстве (или на плоскости)
и расположенных друг относительно друга строго определенным образом.
Определение 1. Решеткой кристалла называется совокупность всех атомов кристалла.
Мы резко сузим класс рассматриваемых решеток и ограничимся трансляционно
инвариантными решетками, к определению которых мы сейчас перейдем. Именно такие
решетки соответствуют большинству реальных физических кристаллов (в некотором
приближении). Мы будем считать, что решетка кристалла всегда содержит некоторое
подмножество, определяемое так: это все точки (атомы), являющиеся концами
векторов а = ща\ + njotj + ra3a3 (или на плоскости: a = П\Сс\ 4- Щ^). Здесь щ,П2,
щ —- произвольные целые числа, векторы аи а2, а3 называются векторами основных

§ 20. Кристаллографические группы
137
трансляций. Векторы а\,а2, а3 иногда называются примитивными векторами решетки
и всегда предполагаются линейно независимыми.
Важное требование: обычно считается, что решетка R кристалла переходит в
себя при всех основных трансляциях вдоль векторов аи а2, а3, а значит, и при всех
целочисленных линейных комбинациях этих основных трансляций; т.е. требуется,
чтобы кристаллическая структура оставалась инвариантной при всех трансляциях,
порожденных векторами а,, а2, а3. Это — одно из основных свойств реальных
(«бесконечных») кристаллов.
Обозначим трансляции вдоль векторов а\, а2, а3 через ть т2, т3 соответственно.
Тогда любая из рассматриваемых нами трансляций может быть записана в виде
Т = 71|Т| + п2т2 +п3г3.
Определение 2. Решетка Я называется шрансляционно инвариантной, если она
переходит в себя при произвольной трансляции вида Т = П\тх +п2т2 + щт^.
Аналогичное определение формулируется и в случае плоской решетки.
Итак, в дальнейшем мы будем рассматривать только трансляционно
инвариантные решетки (на плоскости или в пространстве).
Замечание. Обычно начинают изложение математической теории кристаллов с понятия такой
дискретной подгруппы Г группы G3 движений пространства R , что С3/Г компактно. Это
и называют кристаллографической группой Г. Доказывается, что подгруппа трансляций
имеет конечный индекс в Г. Обычно это одна из наиболее симметричных орбит.
Подробное изложение читатель может найти в книге [46].
Определение 3. Параллелепипед, построенный на векторах ai,a2,a3, называется
примитивной ячейкой решетки (кристалла).
Замечание. Пусть нам задана некоторая решетка R. Мы всегда будем считать, что векторы
a\,ot2,cti (оц,а2 на плоскости) таковы, что объем параллелепипеда, построенного на
них, является минимально возможным.
На рис. 18 изображена простейшая двумерная
решетка; показана также ее примитивная ячейка. Ясно,
что в силу трансляционной инвариантности кристалла
весь кристалл (решетка) состоит из объединения
сдвинутых (трансляциями) примитивных ячеек. Простейшая * а(
плоская решетка, изображенная на рис. 18, обладает тем
свойством, что каждый атом (т.е. каждая точка решетки)
/ ч Рис. 18.
получается из какого-то одного атома (произвольного)
путем применения некоторой трансляции Г = п\Т\ + п2т2 -f я3т3. Это обстоятельство
выражают в следующих терминах: множество всех основных трансляций транзишивно
на решетке. Однако это выполнено далеко не для всех решеток. В частности, это может
происходить и по следующей причине: решетка, вообше говоря, состоит из нескольких
типов атомов, а потому (в рамках нашей модели) естественно требовать, чтобы при
основной трансляции атомы одного сорта переходили снова в атомы этого же сорта
и не переходили в те точки решетки, которые заняты атомами другого сорта. Таким
образом, множество основных трансляций может быть не транзитивно на решетке.
Пример такой решетки показан на рис. 19.
Здесь атомы типа А не могут быть переведены основными трансляциями в
атомы типа В (аналогично, атомы типа В не переводятся в атомы типа А). В то же
время основные трансляции транзитивны на атомах типа Л и на атомах типа В (по
отдельности): любой атом типа А (соответственно 5) может быть получен из какого-го
2У. .

138
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
® (л)--<4) ®
® ®
®
одного атома типа А (соответстьенно В) путем
применения некоторой основной трансляции.
Таким образом, видим, что в общем случае
для полного задания решетки кристалла
недостаточно задать совокупность основных трансляций. С
другой стороны, ясно, что поскольку вся решетка
является объединением примитивных ячеек, то для
полного описания решетки, наряду с
совокупностью всех основных трансляций, достаточно задать
расположение атомов в какой-нибудь одной
примитивной ячейке. Конечно, среди множества всех
решеток, у которой все атомы примитивной ячейки
получаются из одного атома этой ячейки применением основных трансляций (двух
трансляций на плоскости и трех — в пространстве).
® ® ® ® @ ®
® ® ® ® ®—® ®
® I ®
® ®-~® ®
® ® ®
Рис. 19.
® ®-j4>
Определение 4. Решетка R (двумерная или трехмерная), все атомы которой
расположены в точках вида ща^ + п^аг + ща^ (П)», + 7120:2 для плоскости), где
щ,712,7*3 — произвольные целые числа, называется решеткой Браве.
Можно сказать, что совокупность основных трансляций транзитивна на решетке
Браве. Из определения видно, что различные решетки Браве отличаются друг от
друга только формой примитивной ячейки. В частности, аффинным преобразованием
любые две решетки Браве могут быть переведены друг в друга, т.е. с аффинной
точки зрения имеется только одна решетка Браве. Метрически рэзчичные решетки
Браве (т.е. решетки, не совмещаемые друг с другом ортогональными
преобразованиями и параллельными переносами) разнятся углами и длинами векторов основных
трансляций.
Определение 5. Пусть Х\,...,Хп — атомы, расположенные внутри примитивной
ячейки; тогда векторы ХЬ...,Х„ (идущие из начала координат — вершины
примитивной ячейки — в точки Хи...,Хп) образуют базис решетки (рис. 20).
Утвержление 1. Задание векторов основных трансляций и базиса решетки R полностью
определяет всю решетку R.
Это утверждение очевидным образом
следует из наших определений базиса, трансляций
и из свойства инвариантности (трансляционной)
решетки. Более детальные рассуждения мы
оставляем читателю как элементарное упражнение на
перечисленные определения.
Окончательно установим соответствие меж-
Рис- 20- ду свойствами идеального бесконечного
кристалла и реального кристалла, имеющего границу. На рис. 21 изображен (идеализировано)
реальный трехмерный кристалл без дефектов, имеющий границу. Здесь числа iV"], JV2, JV3
обозначают число примитивных ячеек, укладывающихся в соответствующих ребрах
нашего параллелепипеда (кристалла), т.е. АВ = 7V|Q!j; ВС — JV^; AD = N^a^.
Будем разрешать трансляции реального кристалла на произвольные векторы,
кратные векторам а,,«2,аз, но при этом будем поступать следующим образом:
сдвинув, например, решетку на вектор ot\, мы срежем слой, вышедший за правую
грань (границу) кристалла и приклеим его к левой грани, которая ровно на вектор at\

§ 20. Кристаллографические группы 139
углубилась внутрь параллелепипеда. Оказывается, что
использование такой формальной модели оправдано: большивгство
физических конструкций и вычислений не меняются при такой
процедуре «периодизации». Ясно, что такая точка зрения в
точности эквивалентна рассмотрению бесконечного идеального
кристалла. Введение описанных выше условий периодичности
на гранях кристалла можно пояснить на наглядном
геометрическом языке. Так как граница кристалла (например, рассмотрим
для простоты одномерный кристалл) состоит из двух атомов
с номерами 1 и JV, то любая трансляция такого «склеенного»
кристалла (т. е. одномерного кристалла с условием
периодичности на его концах) сводится к вращению окружности на угол, кратный 2t/N. В
случае плоских кристаллов введение условия периодичности эквивалентно тому, что мы
вводим тор Г2. Трехмерный кристалл с условием периодичности склеивается в тор Т3.
С каждой решеткой естественно связано понятие симметричной ячейки (не
путать с примитивной ячейкой!). Симметричная ячейка содержит в себе некоторый
выделенный атом, являющийся ее центром.
Определение 6. Фиксируем атом решетки R. Симметричной ячейкой (с центром в
данном атоме) называется множество точек пространства (соответственно
плоскости в случае плоской решетки), расположенных ближе к фиксированному
нами атому, чем к любому другому атому решетки. Симметричная ячейка иногда
называется ячейкой Вигнера—Зейтца (в теории дискретных групп — «областью
Дирихле»).
Примитивная ячейка
На рис. 22 изображена так называемая
гексагональная двумерная (плоская) решетка, на
которой указаны примитивная и симметричная
ячейки (эти ячейки различны!). Границами
(двумерной) симметричной ячейки являются
перпендикуляры, восстановленные к серединам всех
ребер решетки, соединяющих фиксированный атом
со всеми ближайшими соседними атомами.
Теперь мы перейдем к изучению
преобразований, сохраняющих решетку (т.е. преобразу- Симметричная ячейка
юших ее в себя). Рассмотрим группу движений Рис. 22.
пространства (соответственно плоскости), т.е. совокупности всех линейных
преобразований (неоднородных), сохраняющих квадратичную форму ds2 = (dx1)2 +(dx■ )2 + (dx3)2
(соответственно ds2 = (dx1)2 + (da;2)2). Обозначим эту группу через G3 (в случае
плоскости — через G2).
Утверждение 2. Любой элемент д группы G] (соответственно Gj) единственным образом
представляется в виде композиции двух преобразований: g = Т о а, где Т —
трансляция, а а — вращение (собственное или несобственное, т. е. с определителем
+ 1 или -1).
Локазательство. Как было показано в § 4, любое движение g трехмерного пространства
принадлежит к одному из двух типов: 1) винтовое движение g = Га, где а —
вращение, deta = +1, Т — трансляция вдоль оси вращения; 2) g = а, где
a € 0(3) и deta = -1 (зеркальное вращение). В каждом из этих двух типов
описанное представление вида g = Та или g = а однозначно. Утверждение
доказано. ■

140
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Замечание. Так как трансляции и вращения не коммугируют между собой (вообще говоря), то
Та ф аТ (постройте пример!).
Совокупность трансляций {Т} образует, очевидно, подгруппу в G}
(соответственно G2), которая является нормальным делителем в (?з (соответственно G2). В
самом деле, преобразование дТд~] снова является трансляцией для любого вращения
д £ 0(3), где 0(3), как и выше, обозначает группу вращений вокруг точки 0,(д £ 0(2)
для случая плоскости). Отметим, что группа 0(3) (соответственно 0(2)) не является
нормальным делителем в группе G3 (соответственно G2).
Среди всех преобразований группы Gt, (группы Gi) мы выделим теперь все те
преобразования, которые переводят в себя некоторую фиксированную решетку R.
Определение 7. Множество преобразований (движений) из группы G3 (соответственно
G2), переводящих решетку R в себя, называется пространственной группой этой
решетки и будет обозначаться нами через Gt,(R) (соответственно G2(R)).
Ясно, что множество G]{R) (соответственно G2(R)) является группой в обычном
алгебраическом смысле.
Все дальнейшие определения мы сформулируем для случая трехмерного
евклидова пространства, имея в виду, что аналогичные определения и факты имеют место и
в плоском случае.
Группа Gj(R) содержит в себе подгруппу T}(R) — группу трансляций решетки.
Определение 8. Группой трансляций кристалла (т. е. решетки R) называется подгруппа
Ti(R) группы G){R), состоящая из всевозможных трансляций Т (напомним, что
любая трансляция решетки R имеет вид Т = щт\ + п2т2 + щт^, где ть т2, тз —
трансляции, порожденные примитивными векторами решетки ot\, а2, аз).
Напомним также, что мы все время рассматриваем трансляционно инвариантные
решетки R.
Легко показать, что подгруппа T](R) является нормальным делителем в группе
G]{R). В самом деле, нужно доказать, что если д £ G]{R) и t £ Tj(R), то gtg~l £ 2з(Я)
для любых д и t. Иными словами, нужно убедиться в том, что преобразование
gtg' снова является трансляцией решетки. Но это следует из трансляционной
инвариантности решетки.
В дальнейшем изложении мы будем предполагать, что фиксирована некоторая
точка О пространства, принадлежащая нашей решетке, — «начало координат»;
например, вершина примитивной ячейки — начало векторов основных трансляций.
Всевозможные вращения решетки (с определителем ± 1) мы будем рассматривать
относительно этой точки О.
Как было доказано выше, любое преобразование д £ G] допускает однозначное
представление в виде д = Го, где Т — трансляция, а о — вращение с определителем
±1. Иногда для вычислительных целей полезно представлять это разложение в
матричном виде. Отметим, что любое движение д евклидова пространства Е" можно
(однозначно) представить в виде у = Ах + Ь, где у,х — векторы из Е", А £
0(п), Ъ — фиксированный вектор из Е", — вектор, определяющий трансляцию.
Неоднородному преобразованию д пространства R", можно однозначно сопоставить
следующее однородное преобразование пространства Е"+1:
А
0...0
Ь1
6"
1

§20. Кристаллографические группы 141
При этом оператор д, действуя в R" ,
порождает на плоскости R", проходящей через точку
с координатами (0,...,0,1) параллельно коор- г
динатной плоскости Ж" (х1,... ,х") (рис. 23), I \
линейное неоднородное преобразование, совпа- /
дающее с действием оператора д в пространстве L
R". В частности, из явной записи онерато- Г
ра д, очевидно, следует, что группа движений /
пространства Е"+| распадается в полу прямое /
произведение подгруппы вращений
А
0...0
0
0
1
и подгруппы трансляций
0
0...0
ь{
ъп
1
Вернемся теперь к группе преобразований некоторой решетки R. Поскольку
(?з(Я) С бз, то и любой элемент д £ Gj(R) допускает однозначное представление
в виде д = Та, где Т — трансляция, а — вращение (Го Ф аТ, вообще говоря).
Подчеркнем важное обстоятельство: преобразования Г и а не обязаны принадлежать
группе G)(R); в частности, преобразование Т вовсе не обязано быть элементом группы
трансляций кристалла (тем не менее композиция Та уже является преобразованием
решетки, переводя ее в себя).
Группа 0(3) (группа всех трехмерных ортогональных матриц) состоит из двух
компонент связности, а именно: одна компонента (подгруппа собственных вращений
50(3)) состоит из матриц а с определителем +1, а вторая компонента (несобственные
вращения) состоит из матриц о с определителем -1. Группа всех параллельных
переносов в Е3 связна (она описывается тремя параметрами и не отличается от самого
трехмерного пространства). В тоже время группа G3{R) дискретна: дискретность группы
<?з(Я) означает, что в группе G2(R) не существует преобразований, сколь угодно
близких к единице группы (кроме, конечно, самого тождественного преобразования).
Итак, любой элемент д € G3(R) имеет вид д = Го, где преобразования Г и
а восстанавливаются по преобразованию д однозначно, т. е. из равенства Го = Г'о'
следует, что Г = Г' и а = а' (см. доказательство выше). Однако группа Gy(R) не
распадается в прямое произведение двух своих подгрупп, поскольку, вообще говоря,
Та Ф аТ.
Определение 9. Совокупность всех вращений о € 0(3) таких, что для некоторого
Г (трансляции) преобразование Го принадлежит группе G](R), называется
точечной группой кристалла (или решетки R).
Иными словами, вращение о принадлежит точечной группе кристалла R в
том и только в том случае, когда существует такая трансляция Г (не обязательно
принадлежащая группе Г3(Д) трансляций решетки), что композиция преобразований
kx"*'
о°^Ъ
у*
Рис. 23.

142
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Та есть элемент пространственной группы кристалла, т.е. группы (?з(Я). Точечную
группу мы будем обозначать через Si(R). Эту группу часто называют также группой
симметрии кристалла (решетки), а ее элементы — операциями симметрии кристалла
(решетки).
Утверждение 3. Множество преобразований S](R) образует группу в обычном
алгебраическом смысле.
Аоказательство. Так как подгруппа Г3 (группа трансляций) группы (?з является ее
нормальным делителем, то можно рассмотреть проекцию ж группы <?з на
факторгруппу G3/T3- При этом группа G)(R) перейдет в некоторую подгруппу
wG](R) группы Gi/T-}. Из доказанного ранее следует, что факторгруппа G3/T3
изоморфна группе 0(3), таким образом, wGj(R) является подгруппой группы
0(3). Элементами этой подгруппы являются те и только те вращения о, для
которых существует такой элемент Т £ Гз, что композиция Та принадлежит
Gi(R). Поскольку это совпадает с определением множества S^(R), то тем самым
доказано, что множество S-j(R) совпадает с irGj(R), в частности, оно является
группой. Утверждение доказано. ■
Замечание. Так как группа wGj(R) изоморфна факторгруппе Gj(R)/G](R) П Кег(я-), где -к :
G3 -» 0(3), и так как Кег(тг) = Т3 '\ то окончательно я-<33(Д) и 53(Д) я G3(.R)/G3(fl) П
Г3. С другой стороны, пересечение G3№) П Г3 совпадает с группой Г3(Д), т.е. точечная
группа кристалла 5з(Я) изоморфна факторгруппе <?3(Я)/Г3(Я).
Иногда бывает полезно явное вычисление операции умножения в точечной
группе кристалла и вычисление трансляции, отвечающей композиции двух симметрии.
Пусть £*!, о2 G S}(R). Рассмотрим о3 = a{02 G 53(Я). По определению 53(Д)
существуют такие Ti и Т2, что Г1О1 G G3(#), Т2а2 € С3(Д); Т0ГДа (Tiai)(T2a2) G G](R).
Пусть трансляции Т\, Г2 определяются векторами *i, Хг, а вращения аи а2 —
матрицами Ai, А2 соответственно. Тогда, если г — вектор в пространстве М3, то
{Т\а\)г = А\Т + х\, (Т2а2)г — А2Г + х2 (сначала применяется вращение, а потом
трансляция). Отсюда (Г1а|)(Т202)г = {TiaiT2a2)r = {A[A2)r + (Aix2 + x{). Итак, вращение
оз = о 102, определяемое матрицей AiA2, входит в преобразование д = Гз«з, где
трансляция Г3 задается вектором ж3 = Ajx2 + ж,.
• •••••••••••а Приведем теперь пример плоской (двумерной) ре-
• * У~2* • • • шетки R, для которой существует элемент д £ G3(#),
• • £*< • • • разложение которого в композицию вида д — Та облада-
• ••••■••••••• ет тем свойством, что Т g G)(R) и о £ С?з(Я). Решетка
• • • »Я • • • i изображена на рис. 24. Отражение о G 0(2) в прямой I,
""*"*"""*"*"*"*", "*"*"*"*'*"" очевидно, не сохраняет решетку Я; далее, трансляция Т
• •••••■••••■• вдоль вектора J5 (заметим, что эта трансляция не является
••••••• примитивной трансляцией решетки) также не сохраняет
Рис. 24. решетку R, т. е. два преобразования Г и а не
принадлежат группе G2(R). Однако преобразование д = Та, очевидно, переводит решетку
R в себя. Эта операция (преобразование) д = Го является скользящим отражением.
Подчеркнем еще раз, что элементы точечной группы (преобразования) кристалла
(решетки), вообще говоря, не переводят в себя кристалл (решетку), т.е. точечная группа
кристалла не является подгруппой группы движений кристалла. Точечная группа имеет
большое значение в теории кристаллических структур и недаром называется группой
симметрии решетки, поскольку она содержит в себе не только «настоящие» симметрии
Для гомоморфизма ж через Кег (х) обозначается совокупность элементов группы таких, что ir(g) = 1.

§ 20. Кристаллографические группы
143
решетки, но и такие преобразования, которые переводят в себя решетку только после
применения некоторой трансляции, также не являющейся движением решетки. Ясно,
что решетка, изображенная на рис. 24, обладает симметрией скользящего отражения.
Кроме кристаллов с симметрией такого типа часто встречаются кристаллы, обладающие
винтовой (или аксиально-винтовой) симметрией. Эта симметрия является композицией
вращения о € 0(3) и трансляции Т вдоль оси этого вращения. Рекомендуем читателю
построить пример трехмерной решетки, обладающей аксиально-винтовой симметрией.
В теории кристаллических структур часто рассматривают еще одну группу
преобразований, естественно связанную с каждой решеткой.
Определение 10. Стационарной группой Яз(Я) решетки называется подгруппа группы
<?з(Я), состоящая из всех преобразований, сохраняющих решетку и оставляющих
неподвижной точку О — центр вращений.
Напомним, что точка О предполагается фиксированной. Ясно, что Яз(Я) =
Gi{R) П 0(3), поскольку любое преобразование решетки, оставляющее точку О на
месте, является ортогональным преобразованием, т.е. вращением вокруг точки О,
причем определитель этого преобразования может равняться как +1, так и -1. Группа
Яз(Д) не является, вообще говоря, факторгруппой группы G](R) по нормальному
делителю ТЪ(К), т.е. Я3(Я) ф G](R)/T3(R). См. пример на рис. 24.
Утверждение 4. Группы Ht,(R) (стационарная группа), 53(Д) (точечная группа или группа
симметрии), и G3(R) (группа движений решетки), рассматриваемые как подгруппы
в группе G, связаны между собой соотношением Hs(R) = S](R) П С?з(Я).
Локазательство. Докажем сначала, что Hi(R) С S^(R) n G^(R). Пусть о £ Яз(Д).
Тогда а, в частности, является вращением (и принадлежит G](R)), а потому
можно положить g = Та, где Т = Е — тождественное преобразование (сдвиг
на нулевой вектор), т.с. g — а — Еа; отсюда, по определению S](R), получаем,
что а е 53(Д). Обратно: докажем, что Я3(Д) Э 53(Д) П G2(R). Пусть а € 53(Д)
и о G Gi(R). Тот факт, что о сохраняет решетку R и, кроме того, является
вращением, т.е., о G 0(3) П Gi(R) = H-j(R). Это означает, что о входит
в некоторое разложение g ~ Та, в данный момент для нас несущественен.
Утверждение доказано. ■
Замечание. Если решетка R является решеткой Браве, то группы S^R) и Я3(Л) совпадают.
Это непосредственно следует из определения решетки Браве (см. выше).
Далеко не каждая подгруппа ортогональной группы 0(3) может являться
точечной группой (т.е. группой симметрии) некоторой решетки R. Оказывается, что
трансляционная инвариантность решетки накладывает весьма жесткие ограничения на
группы Si(R), G-j(R) и H-j(R). Обозначим через Яз(Я)(0) подгруппу стационарной
группы Яз(Д), состоящую только из собственных вращений, т.е. Яз(Я)(0) = 50(3) П
<?з(Я); каждое вращение из подгруппы Яз(Я)<о) имеет определитель +1 и оставляет
точку О неподвижной. В теории кристаллических структур большое значение имеет
следующая теорема.
Теорема 1. Пусть R — транеяяционно инвариантная решетка. Тогда группа Яз(Д)(о>
состоит из конечного числа преобразований, каждое из которых является поворотом
вокруг некоторой оси, проходящей через точку О, на угол <р, кратный либо тг/3,
либо 7Г/2.

144
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Рис. 25.
доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда ячейка R я.-зляется
решеткой Браве, т. е. все атомы ее примитивной ячейки получаются из точки О путем
применений к точке О основных трансляций решетки. Пусть а £ Я3(Л);о) —
собственное вращение; тогда, как нам известно из §4, преобразование о
является поворотом на некоторый угол <р вокруг некоторой оси I, проходящей
через неподвижную точку О (напомним,
что мы вычисляем группу Яз(Я)(о)
относительно точки О, совпадающей с
одним из атомов решетки). Пусть П —
плоскость, ортогональная I и
проходящая через точку О. Решетка Браве
состоит из точек, определяемых векторами
а = ща}+п2а2+П2а^. Спроектируем все
атомы решетки R параллельно прямой I
на плоскость П и рассмотрим проекции
точек, которые расположены ближе всего к точке О, но не совпадает с ней.
Фиксируем одну из таких точек А\ (их может оказаться несколько, находящихся
на одинаковом расстоянии от точки О; см. рис. 25). Поскольку решетка R
симметрична относительно точки О, то наряду с каждой точкой В\ € R
противоположная ей точка В\ (относительно точки О) также принадлежит R.
При повороте вокруг I на угол <р точка В] перейдет в точку оешетки В2 (так
как преобразование о сохраняет решетку R), т.е. проекция 0А\ перейдет в
проекцию ОА2, составляющую с ней угол <р. Так как вектор..! ОВ\ и ОВ2
принадлежат решетке, то их разность — вектор В\В2 — такж; принадлежит
решетке R. Так как вектор В]В2 параллелен плоскости П, то, следовательно,
после трансляции он определит вектор О А в плоскости П, конец которого —
точка А — снова принадлежит решетке. Отсюда следует, что длина вектора А\А2
не меньше длины вектора ОА\ (\ОА\\ = \ОА2\), так как точки А\ л А2 находятся
на минимально возможном расстоянии от точки О. Итак, в треугольнике ОА\ А2
сторона А\А2 не меньше, чем |Oj4[| = |0^42|■. т-е- УГ°л V не меньше 7г/3.
Применяя последовательно преобразование а, получаем в плоскости II правильный
многоугольник с вершинами А\,А2,... ,Ат (Ат+\ — А\), и так как <р ^ тг/3,
то 1 ^ т < 6. Однако, в силу симметричности решетки R многоугольник
А\ ...Ат также симметричен относительно точки О. Следовательно, т может
принимать только следующие значения: 2,4,6. Итак, угол <р может равняться
только следующим числам: кж, for/2, for/3, т.е. <р = (тг/3, 2тг/3, тг/2, ж). Таким
образом, для решеток Браве теорема доказана. Я
Для того чтобы провести доказательство теоремы в общем случае, осталось
доказать, что в любой решетке содержится подрешетка Браве, переходящая в себя
при повороте на угол <р. Однако мы не будем здесь доказывать это, а предпочтем
дать другое доказательство, продемонстрировав еще одну важную идею, играющую
немалую роль при исследовании кристаллических структур. Рассмотрим сначала случай
плоской решетки. Обозначим через а\ и а2 векторы основных трансляций решетки R.
Пусть <р — поворот вокруг точки О, переводящий решетку в себя. Рассмотрим
вектор ai и применим к нему итерации поворота <р. При этом получим последовательность
векторов Oi, <рац, (p2ai. Так как примитивная решетка содержит только конечное число
атомов, то после конечного числа применений поворота \р точка должна вернуться в
прежнее положение, следовательно, угол уз имеет вид 2тт/п для некоторых целых
тип (рис. 26). Так как вектор а] был вектором трансляции и так как подгруппа

§ 20. Кристаллографические группы
145
tp а
Рис. 26.
трансляции является нормальным делителем группы
движений решетки, то и все векторы оь <pct], tp2ct],... являются
трансляциями решетки. Рассмотрим три вектора а\,<ра{
и Vat]. Если векторы oi и <р2а\ линейно зависимы, то
<р есть поворот на угол, кратный ж/2. Рассмотрим случай,
когда a^ip'ai — базис. В этом случае, для того чтобы
группа движения решетки была дискретна, необходимо и
достаточно, чтобы вектор tpa{ разлагался по векторам а\
и tp2ati с рациональными координатами. Действительно,
если вектор <pat имеет в базисе <*[, цга\ иррациональные
координаты, то, применяя последовательные трансляции
решетки вдоль вектора tpct\, получим, что в
примитивной ячейке решетки содержится бесконечное число точек
(атомов), что противоречит нашему определению
решетки. Таким образом, осталось получить аналитиче-
.ское выражение для координат вектора ipct] в базисе
а\,<рга\. Из рис. 27 получаем следующее выражение:
cos2ip 1
OB = cos ip — .
2 cos ip 2 cos ip
(Здесь <p обозначает также угол, поворотом на который
является <р.) Таким образом, рациональность
координат вектора <poti эквивалентна рациональности cos^>.
Отсюда снова получаем, что угол ip может принимать
только следующие значения: тг/3, 2тг/3, тг/2, ж.
Рассмотрим теперь произвольную трансляционно инвариантную решетку в
трехмерном пространстве. Пусть <р — произвольный поворот решетки вокруг точки О,
переводящий решетку в себя. Рассмотрим ось I, вокруг которой совершается этот
поворот, и рассмотрим плоскость П, ортогональную оси I и проходящую через
точку О. Рассмотрим вектор ct\ — вектор основной трансляции (два других вектора
основных трансляций нас сейчас не интересуют). В том случае, когда вектор at
лежит в плоскости П, дословно повторяются предьщущие рассуждения. В том случае,
когда вектор а{ не лежит в плоскости П, он движется по конусу с вершиной в
точке О и осью — прямой /. Спроектировав этот конус на плоскость П, мы можем
снова повторить предьщущие рассуждения применительно к проекции вектора на
плоскость П. Тем самым теорема полностью доказана.
Теперь рассмотрим плоскую решетку R и группу H2(R)^. Доказанная выше
теорема позволяет полностью описать набор групп Я2(Я)((|) для произвольных плоских
(трансляционно инвариантных) решеток; иными словами, сейчас мы укажем список
из пяти групп таких, что любая группа Яг(Д)(0) совпадает с одной из этих групп.
Теорема 2 (теорема классификации групп Я2(Д)(0)). Пусть Сп (где п = 1,2,3,4,6)
обозначает группу из п элементов следующего вида:
cos ;
sin
п
, 2хк
0£к
т. е. группа Сп состоит из поворотов на угол 2жк/п вокруг точки О. Тогда
для любой плоской решетки R ее группа Яг(Д)(о) совпадает с одной из групп
Сп (п =1,2,3,4,6).
Это непосредственно следует из доказанной выше теоремы.

146
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Итак, плоские решетки могут иметь только те типы собственных симметрии,
которые перечислены выше. Отметим, что группа С\ состоит только из
тождественного преобразования. Если мы теперь захотим перечислить не только собственные
стационарные группы плоских решеток, но и несобственные группы, т. е. полные
группы Нг(Щ, то для этого достаточно воспользоваться тем, что на плоскости
имеется отражение, меняющее ориентацию (например, отражение в оси ж).
Комбинируя это отражение с элементами группы Я2(Я)(о) и рассматривая новую группу
H2(R) = Яг(Д)<о) U Я2(Я)(0), мы, очевидно, и получаем полный список всех
стационарных групп плоских решеток: С1,С2,С^,С4,Св; D\,Di,Dt,,D4,D$, где С; С А,
»=1,2,3,4,6, и Di/Ci=Z2.
Легко предъявить для каждой из этих групп соответствующую плоскую решетку,
инвариантную относительно действия этой группы. Это мы оставляем читателю в
качестве упражнений.
Отметим, что в списке полученных групп симметрии отсутствует группа Cs-
Поскольку плоские трансляционно инвариантные решетки определяют на плоскости
различные орнаменты, то их исследованием занимались специалисты по
декоративным узорам на протяжении многих столетий. В частности, в арабском искусстве
неоднократно предпринимались попытки построить орнамент, основанный на числе 5
(т.е. с группой Я2(Д)(0), изоморфной Cs). Поскольку эти попытки ни к чему не
привели, то в арабские орнаменты были введены так называемые «компромиссные
варианты», нарушающие кое-где орнаментальную симметрию, основанную на числе 5.
Рассмотрим произвольную плоскую трансляционно инвариантную решетку. Мы
описали все возможные варианты для стационарной группы Я2(Д). Как устроены
полные группы G2CR) движений решеток? Оказывается, что существуют ровно 17
неизоморфных друг другу групп, дающих полный список всех групп G2(R)- Мы не
будем здесь это доказывать. Каждой из этих 17 групп отвечает плоская решетка с такой
группой Сг(Д). Интересно отметить, что все эти 17 типов орнаментов также были
обнаружены в древности (в основном египетскими декораторами).
Перейдем теперь к трехмерным решеткам. Здесь задача классификации и полного
описания всех типов группы Я3(Д) и Gi(R) значительно усложняется по сравнению
с плоским случаем. Мы не будем поэтому подробно проводить эту классификацию,
а разберем более простой вопрос: как устроены все конечные группы собственных
вращений в трехмерном пространстве. Поскольку для произвольной трансляционно
инвариантной трехмерной решетки ее стационарная группа (как и группа симметрии
5з(Я)) является дискретной (а следовательно, конечной) группой, то, предъявив
полный список всех конечных подгрупп группы 50(3), мы, тем самым, оценим
«сверху» список групп Я3(Д)(0) и 53(Д)(о) для трехмерных решеток.
Сначала мы приведем некоторый список конечных групп вращений трехмерного
пространства. Рассмотрим некоторую прямую I, проходящую через точку О, и пусть
П — плоскость, ортогональная прямой I и также проходящая через точку О. Рассмотрим
в плоскости П действие группы Сп (циклическая группа поворотов в плоскости П
вокруг точки О на угол 2тг/п). Ясно, что эта группа превращается в группу вращений
всего трехмерного пространства вокруг оси I. Обозначим эту группу той же буквой С„.
Здесь п = 1,2,3,..., причем С\ — группа, состоящая только из тождественного
преобразования. Кроме группы Сп на плоскости П действует еще одна группа Dn.
Отражение плоскости П относительно некоторой прямой д, лежащей в плоскости П, в
трехмерном пространстве можно осуществить поворотом вокруг этой прямой q на угол,
равный ж. Таким образом, эти несобственные вращения плоскости П можно дополнить
до собственных вращений трехмерного пространства. Обозначим возникающую группу
через D'n. Таким образом, группа D'n состоит из следующих преобразований: всех

§20. Кристаллографические группы
147
преобразований из подгруппы Сп и, кроме того, поворотов на угол ж всего трехмерного
пространства вокруг п осей, лежащих в плоскости П и образующих друг с другом
углы, равные Зп = п- Следует отметить, что группа D\, так же как и группа Сг,
состоит только из двух элементов: из тождественного преобразования и полуоборота
вокруг единственной прямой в плоскости ж, поэтому эти две группы изоморфны.
Следовательно, если мы хотим составить список различных (неизоморфных) групп,
то группу D\ следует исключить. Таким образом, получаем следующий список: С„,
в= 1,2,3,...; £>;, № = 2,3,4,...
Кроме этих двух бесконечных серий дискретных
групп, в трехмерном пространстве существуют еще
некоторые более экзотические группы преобразований. В самом
деле, рассмотрим пять правильных многогранников в
трехмерном пространстве (куб, октаэдр, икосаэдр, тетраэдр,
додекаэдр). Каждому из них можно сопоставить конечную
группу собственных вращений, переводящих этот
многогранник' в себя. Этим способом мы получаем еще пять
конечных групп. Однако среди этих пяти групп есть
совпадающие. В действительности, различными будут только три
группы: группы тетраэдра, куба и додекаэдра. Рассмотрим
этот вопрос более подробно. Впишем в куб сферу, а в Рис. 28.
сферу — октаэдр таким образом, чтобы вершины октаэдра совпали с теми точками, в
которых грани куба касаются сферы (рис. 28). Ясно, что всякое вращение, переводящее
куб в себя, оставляет инвариантным также и октаэдр. Верно и обратное;
следовательно, группы симметрии куба и октаэдра совпадают. Точно также устанавливается,
что совпадают группы симметрии (собственных вращений) додекаэдра и икосаэдра.
Обозначим через Т, W,P группы собственных вращений (соответственно) тетраэдра,
куба (и октаэдра), додекаэдра (и икосаэдра). Можно вычислить (мы оставляем это как
задачу для читателя), что порядки этих групп равны соответственно 12, 24, 60. Если же
рассмотреть полные группы вращений многогранников (т. е. включая и несобственные
вращения), то, естественно, полученные группы Т, W,P имеют порядки 24, 48, 120.
Оказывается, что предъявленные нами группы исчерпывают весь список собственных
дискретных групп вращений.
Теорема 3. Полный список конечных групп собственных вращений в трехмерном
пространстве имеет вид
Сп (п= 1,2,3,...),
D'n (п = 2,3,...),
T,W,P,
где Сп — группа (циклическая), состоящая из повторных применений поворота
вокруг некоторой оси I на угол а, равный 2я/п, где п — целое число; D'n — группа
тех же вращений, взятых вместе с отражениями относительно п осей, лежащих в
плоскости, перпендикулярной I, составляющих друг с другом углы а/2; Т, W,P —
группы преобразований, оставляющие инвариантными соответственно правильный
тетраэдр, куб (или октаэдр) и додекаэдр (или икосаэдр).
Доказательство. Во-первых, известно, что всякое собственное вращение в трехмерном
пространстве, не являющееся тождественным, есть вращение вокруг некоторой
оси. Поэтому каждое такое вращение оставляет на единичной сфере
неподвижными ровно две диаметрально противоположные точки, в которых ось вращения
пересекает сферу. Назовем такие точки полюсами вращения.

148
Глава 3. Тензсры. Алгебраическая теория
Пусть теперь задана какая-нибудь конечная группа Г собственных
вращений порядка N. Тогда в ней ровно N - 1 нетождественных преобразований.
Рассмотрим их полюсы. Число и преобразований из Г, оставляющих полюс р
неподвижными, называется кратностью полюса р. Очевидно, эти v
преобразований являются итерациями вращения вокруг соответствующей оси на угол
2-KJv. Они составляют циклическую подгруппу Г^ группы Г порядка v. Число
нетождественных преобразований в группе Гр равно и - 1.
Рассмотрим теперь орбиту точки р относительно группы Г. Покажем,
что число элементов орбиты полюса р кратности и равно в точности Njv.
В самом деле, заметим, что все элементы орбиты являются полюсами той
же кратности и. Это вытекает из следующих простых рассуждений. Пусть
преобразование А из Г переводит р в точку q, а В € Гр, т.е. В оставляет
р на месте. Тогда преобразование А~ ВА переводит q в q. И обратно, если
Т — некоторое преобразование, переводящее q в себя, то преобразование
АТА~1 = В переводит р в р; следовательно, преобразование Т имеет вид
А~1ВА. Таким образом, между элементами группы Гр и преобразованиями Г,
оставляющими на месте точку q, установлено взаимно однозначное соответствие,
которое и доказывает равенство кратностей точек р и q. Обозначим через
S\,S2,...,SV различные преобразования (включая тождественное), оставляющие
инвариантной точку р. Предположим, что в орбите точки р имеется ровно
п точек (включая р). Обозначим эти точки через ¢1,.-., qn. Пусть теперь L; —
одно из преобразований группы Г, переводящих точку р в <?; (г = 1,2,...,п).
Тогда группа Г исчерпывается набором следующих (различных) преобразований:
SiLi,SiLi,... ,S„L\, S\L2, SiL2,...,SvLn_,...,S\Ln, SiLn,.. .,S„Z„.
Итак, N = пи, что в свою очередь означает, что кратность является делителем
числа N. Отсюда, обозначив через пс число полюсов в орбите, содержащей
полюс, а через ис — кратность каждого из них, получим: N —ncvc.
Подсчитаем теперь число пар (S,p), где р — полюс, а 5 — нетождественное
преобразование группы Г, оставляющее этот полюс неподвижным. С одной
стороны, это число равно 2(N -1), поскольку с каждым из N -1 нетождественных
преобразований группы Г связано ровно два полюса. С другой стороны, для
каждого полюса р имеется ит— 1 нетождественных преобразований, оставляющих
этот полюс инвариантным (здесь i/p — кратность полюса). Следовательно, число
таких пар равно £3(^ - 1), где р пробегает множество всех полюсов. Из этого
следует, что
2<ЛГ-1) = £)(1/е- 1)пс, (1)
с
где суммирование в правой части берется по всем орбитам группы Г, содержащим
полюсы. Поскольку N — псис, то, поделив равенство (1) на N, получим
соотношение
Исследуем равенство (2). Пели группа Г состоит только из тождественного
преобразования, то JV = 1 и полюсов нет. Пусть теперь N ^ 2. Тогда левая часть
равенства (2), очевидно, не меньше 1, но меньше 2. Отсюда легко следует, что в
правой части равенства не может быть меньше двух слагаемых. Следовательно,
имеется по крайней мере две орбиты. При этом число орбит не может быть
больше трех, так как иначе сумма в правой части была бы не меньше 2.

§ 20. Кристаллографические группы
149
Таким образом, имеется две или три орбиты. Пусть орбит две. В этом случае
равенство (2) принимает вид: 2 = ^4-^. Но сумма двух целых положительных
чисел равна двум лишь в том случае," когда каждое из них равно единице.
Следовательно, п\ — 1 = п2, т.е. и\ - uj — N. Это значит, что каждая из двух
орбит состоит ровно из одного полюса кратности N. Мы получаем циклическую
группу порядка N поворотов вокруг (вертикальной) оси.
Пусть теперь число орбит равно трем. Тогда
111,2
- + - + - = 1 + -. (3)
V] I/j ^3 N
Расположим кратности в порядке их возрастания: fi ^ "2 ? "з- Все три числа
1 + 1 + 1
»1 "т. *з
^1,^2^3 не могут быть больше двух, иначе мы бы получили: — + — + — ^
I + \ + \ - 1, что противоречит равенству (3). Следовательно, v\ - 2. Отсюда
^ + ^ = \ + jf. Оба числа и2, щ не могут быть ^ 4, так как в этом случае в
левой части мы получили бы сумму, не превосходящую 1/2. Поэтому v2 — 2
или 3. Рассмотрим сначала случай, когда i/i = v-,_ — 2, N = 21/3• Положим
vt, = п. Мы получили два класса полюсов кратности 2, состоящих каждый из
я полюсов, и один класс, состоящий из двух полюсов кратностис! п. Очевидно,
что полученная группа совпадает с группой £>'„ (см. выше).
Теперь рассмотрим случай v\ - 2, vj = 3, ^ — \ + -g. Поскольку i/3 ^ ^ ^ 3,
то возможны следующие три варианта: щ = 3, N = \2, i/3=4, JV = 24,
1/3 = 5, N — 60, которые мы обозначим соответственно через T,W,P. Как мы
сейчас увидим, обозначения эти не случайны и порождены обозначениями для
соответствующих групп правильных многогранников. В самом деле, рассмотрим
случай Т. Здесь мы имеем два класса, состоящих каждый из четырех полюсов 3-го
порядка (т.е. кратности 3). Ясно, что полюсы одного класса должны являться
вершинами правильного тетраэдра, а полюсы другого класса диаметрально
противоположны им. Таким образом, получается группа собственных вращений
тетраэдра. Шесть эквивалентных полюсов кратности 2 являются проекциями
середин шести его ребер из центра О на сферу, в которую вписан тетраэдр.
Теперь рассмотрим случай W. Здесь один класс состоит из шести полюсов
4-го порядка, являющихся вершинами правильного октаэдра; следовательно,
мы получили группу собственных вращений октаэдра. Один класс состоит из
восьми полюсов 3-го порядка (соответствующих центрам его граней); еще один
класс состоит из двенадцати полюсов кратности 2 (соответствующих серединам
его ребер). И, наконец, рассмотрим последний случай — случай Р. Здесь
имеются такие классы: из 12 полюсов кратности 5, являющихся вершинами
правильного икосаэдра; из 20 полюсов кратности 3, соответствующих центрам
20 граней; из 30 полюсов кратности 2, соответствующих серединам 30 ребер
этого многогранника.
Итак, описание групп и доказательство теоремы закончено. ■
Вернемся теперь к описанию стационарных групп трехмерных решеток.
Предварительно введем в рассмотрение некоторые новые группы. Пусть В — отражение
трехмерного пространства относительно точки О, т.е. преобразование В переводит
любую точку X в точку -X. Ясно, что ортогональное преобразование В меняет
ориентацию в R3. Кроме того, В коммутирует с любым врашением, т. е. В есть
образующая центра в группе 0(3); в матричной записи В = -1, где 1 — единичная
матрица. Следовательно, каждая подгруппа Н в группе 50(3) порождает подгруппу Я

150 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
в группе О(З), которая получается из Я присоединением всех элементов вида Вд, где
д € Я. Ясно, что Я содержится в Н как подгруппа индекса 2.
Опишем еще один способ включения зеркальных отражений в конечные группы.
Пусть Г — подгруппа индекса 2 в другой группе Ф собственных вращений, причем
одна половина элементов группы Ф (обозначим их через S) принадлежит Г, а другая
половина элементов Ф (обозначим их через S') не принадлежит Г. Заменим теперь все
элементы S' элементами BS1. Тогда мы получим новую группу, которую обозначим
через ФГ, содержащую Г, в то время как другую половину элементов этой группы
(т.е. элементы, не принадлежащие Г) составляют зеркальные отражения. Например,
имеется группа WT, так как группа Т тетраэдра есть подгруппа индекса 2 группы
октаэдра W.
Теорема 4. Все стационарные группы трансляционно инвариантных трехмерных решеток
задаются следующим списком (содержащим^ 32_ группы, причем все они попарно
неизоморфны): СиС2,С3,С4,С6,СЬС2,С3,С4,С6; D'2,D'3,D\,DlD'2,D'3? D4,D'6;
С2С,,С4С2,С6С3; D^D'2,D'bD\\ D'2C2,ДС3,£»;С4;1)'6С6; T,W,T,W,WT. Каждой
из этих групп отвечает трансляционно инвариантная трехмерная решетка.
Доказательство получается комбинированием доказанной ранее теоремы,
описывающей все собственные конечные группы вращений, далее, описанной процедуры
включения зеркальных операций и, наконец, замечания, согласно которому
допустимыми являются только полюсы кратности 2, 3, 4, 6. Мы не будем проводить во всех
подробностях все эти сопоставления.
Рассмотрим теперь кристаллографические группы в
связи с конкретными тензорными полями. Ограничимся одним
простым примером: выделим такое макроскопическое свойство
кристалла, как электропроводность, описывающее связь между
вектором напряженности £ электрического поля и вектором
плотности тока j. Эта связь имеет следующий вид: jt = askss,
где j = {jt}\ е = {£)}, а {<х|} — тензор электропроводности
вещества. Если вещество изотропно, то тогда <х£ = aS'k, где а —
скаляр, т.е. в простейшем случае электропроводность
задается только одним скаляром а. В общем случае {а'к} является
тензором общего вида. Рассмотрим тензор электропроводности
кристалла, описываемого кубической решеткой в Е3, т. е. кубического кристалла
(рис. 29). Кристалл считается идеальным и решетка R заполняет все пространство.
Ясно, что группа симметрии этого кристалла содержит, в частности, следующие три
ортогональных преобразования:
О 1 (V
а, = | -1 0 О
0 0 1.
Рис. 29.
<*2
0 0 1\
0 10
-1 0 0/
<*3 =
/1
0
\о
0
0
-1
о
о
т.е. а, — поворот на угол 7г/2 вокруг оси z, а2 — поворот на угол тг/2 вокруг оси у,
<*з — поворот на угол х/2 вокруг оси х.
Поскольку решетка R переходит в себя, то, следовательно, эти три операции
симметрии сохраняют тензор {<у{}. Запишем это обстоятельство в аналитической
форме. Обозначим через А матрицу {<х£}; тогда
г = 1,2,3. Вычисляя матрицу Л'м получаем
А'{ — aiAa[x = А для любого
А\ =
( °\
-о\
а\\
Г\
°1
03
а] | = А.

§21. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве
151
Отсюда следует, что а\ = а\\ подобным же образом, вычисляя матрицы А'г и А'3,
получаем, что <т\ = а\ — а\. Группа 53(Д) содержит еще три преобразования:
/-1 0 0\ /1 0 0\ /-1 О О
/3, = 0 -1 0 ; /Ь= 0 -1 0 ; /33= 0 1 О
\ 0 0 1/ \0 0 -1 / \ 0 0 -1.
т.е. Р\ — поворот на угол ж вокруг оси OZ, /32 — поворот на угол ir вокруг оси ОХ,
/33 — поворот на угол х вокруг оси OY. Решетка снова переходит в себя, что дает нам
соотношение А{ =Дт1/3,г' — А, 1 ^ г ^ 3. Вычисляя матрицу А\, получаем
м =
*!
2
°\
3
<*\
°\
г
°i
3
~*2
~*\\
2 1
~аъ ;
3 1
-<г3 /
/*.'
/ 2
-- а\
\ 3
\<г,
°\
г
<П
3
<^
а
а
а
= А,
откуда следует, что а\ — а\ — <г3 — <т\ = 0. Вычисляя матрицы Аг и А], аналогич-
(1 о о
о 1 о
о о 1
т.е. vj. — <rS{, где а — скаляр. Тем самым мы доказали следующее утверждение:
электропроводность кубического кристалла изотропна (т. е. не зависит от направления)
подобно электропроводности изотропного вещества. Этот результат не является
физически очевидным, поскольку в случае кубической решетки можно было бы ожидать,
что электропроводность в направлении ребер кубического кристалла иная, чем
электропроводность в направлении диагонали. Тем самым мы продемонстрировали важное
(хотя и простое) применение свойств группы симметрии Si(R), резко снизив число
независимых компонент у тензора {<т£}.
§ 21. Тензор ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве и
их собственные значения
1. Кососимметрические тензоры. Инварианты электромагнитного поля. Разберем
важный пример тензоров — кососимметрические тензоры 2-го ранга в пространстве
Минковского Kf з • В частности, электромагнитное поле Fa- является таким тензором,
и мы принимаем соответствующую терминологию, называя тензор полем и т. д.
Определение 1. Инвариантами поля Fik называются коэффициенты
характеристического многочлена
F(\) = del(Fik-\gik), (1)
где gtk — метрика Минковского.
Введем векторы электрического и магнитного полей Е и Н, полагая
Еп — Foa, а =1,2,3;
(2)
-Я =2¾. -Я = F-ji, -Я = F\2-
Матрица Fik принимает тогда следующий вид:
/О £,
Fik=\~EJ °з '" _". I. (3)
0
-В,
~Е2
~Е3
Е}
0
Я3
-Я2
Е2
-Я3
0
Я1
Вз
Я2
-Я1
0

152 I лава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Лемма 1. Характеристический многочлен тензора Ь\ь имеет вид
Р(\) = -Л4 + (Е2 - Н2)Л2 + (Е, Н)2. (4)
Доказательство получается прямым вычислением определителя матрицы (¾ -
\gik), где матрица F{k имеет вид (3). Другое доказательство легко получить при помощи
доказанной ниже теоремы 1 о каноническом виде кососимметрических тензоров в
псевдоевклидовом пространстве.
Замечание. Хотя матрица F& в данной точке кососимметрична, ввиду неевклидовости метрики
она, вообще говоря, не может быть приведена к стандартной блочной форме при помощи
лоренцева преобразования.
Переводя формулы (2) на язык дифференциальных форм, мы получаем
F = ^Г Fadxi л &1? = E«dx<) л dx" ~ E^dxl л dxi ~ Rldx л dxl - я3^ж'л dxL- (5)
i<3
Векторы E и H являются векторами лишь по отношению к вращениям трехмер-
п
вида
ного пространства (ж1, ж2,ж3). Так как .¾ — тензор, при лоренцевых преобразованиях
- ; х -х1; х=х\ t= , -, (6)
где х — ct. х — ct', для векторов Е иН имеем
Е'г + '-Н3' Ff.-'-H2'
Тр 7Л' . Т71 ^ С . Тр J
Hj\ — iit, &2 — , , &1 —
Л1?' v^'
H'=H"; Я' =—. с ; Я3 = с—
(7)
)А-? /
Тензоры вида F;k в данной точке образуют шестимерное векторное пространство.
Выясним, как действует в этом пространстве оператор *.
Лемма 2. Справедлива формула
з
*F=-J2 H"dxa Л dxa - Exdx2 Л dx3 - Егйх Л <te' - йз^1 Л <*с2, (8)
где форма F имеет вид
F = #аЛс° Л ds" - H'dx1 Л da;3 - Я2<te3 л dx1 - H*dx] Л dx2.
Аоказательство. Оператор * действует так:
(*П-* = \eMmFlm; F/m=g>'iriF„. (9)

§21. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве 153
Здесь gij — метрика Мииковского,
(\ V
9h =
Vo -I.
тензор F'k будет иметь вид
Fa" = -F0a = -Ea; Fap = Fap; а,0= 1,2,3. (10)
Отсюда немедленно следует утверждение леммы. ■
Следствие. Квадрат оператора * равен — 1.
Введем в пространстве Е6 кососимметрических тензоров 2-го ранга структуру
комплексного линейного пространства, полагая
(a + bi)F = aF + Ъ * F. (11)
В силу следствия это определение корректно: i~F = * * F = —F. Получаем
трехмерное комплексное пространство С .
Замечание. Мы будем считать, что Е есть вещественная часть тензора F, а Н — его мнимая
часть. Это не противоречит предыдущим определениям. Действительно, умножим Е + Ш
на г:
ЦК + Ш) = -Н + iE.
В силу леммы 2 именно так действует оператор *. Таким образом, координаты 2',22,23
в С3 можно ввести, положив
za=Ea+iH", а = 1,2,3. (12)
Оператор * инвариантен относительно преобразований из группы 50(1,3).
Поэтому последние являются комплексно линейными преобразованиями нашего
пространства С3. Более того, как легко видеть, они сохраняют квадратичную форму
(F, F) = - * (F Л *F + iF Л F) = - - (FikFki + ie^'F^Fti). (13)
Запишем эту форму в координатах z],z2,z}. Имеем
з
{F, F) = -Я1 + F? + 2i(E, Н) = (Е + .Н)2 = ^(z°)2- (14)
Таким образом, форма (13) есть скалярный квадрат комплексного 3-вектора
Е + Ш.
Комплексно линейные преобразования пространства С3, сохраняющие
скалярный квадрат, называются, по аналогии с вещественным случаем, комплексно
ортогональными, а образуемая ими группа обозначается через 0(3,С); ее не следует
смешивать с (7(3).
Итак, введение комплексной структуры в пространство кососимметрических
тензоров 2-го ранга определяет гомоморфизм группы Лоренца 50(1,3) в 0(3,Q.
Величины Re{F,F) = Е2 - Н2, ^lm{F,F) = (Е,Н) являются инвариантами
электромагнитного поля.

154
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Разберем теперь вопрос о приведении лорениевыми преобразованиями косо-
симметрического тензора ранга 2 к каноническому виду.
Теорема 1.1. Пусть (F, F) = Е2 - И2 + 2i(E, Н) ф 0.
а) Если (Е, Н) Ф 0, то лоренцевым преобразованием можно привести тензор F
к такому виду, что векторы Е и Н параллельны и оба отличны от нуля.
б) Если (Е, Н) = 0,Е2 — Н2 Ф 0, то можно привести тензор F к такому
виду, что Е Ф 0, Н = 0 при Е2 - Я2 > 0 или Е = О, Н ф 0 при Ег - Я2 < 0.
Каноническая форма тензора F в обоих случаях такова:
( 0 Е" 0 0 \
-Е' 0 0 0
о о о -Я'
\ о о я' о /
(15)
где Е'2 ~ И'2 = Е2-И2, Е'Н' = (Е, Н>.
2. tfyc/n* (.F,.F) = 0, т.е. Е2 - Я2 = О, (Е,Н) = 0. Тогда после любого
лоренцева преобразования векторы Е и Н будут взаимно перпендикулярны и будут
иметь равные длины. Тензор Fik можно привести в этом случае к виду
О Е 0 0\
, -Е О -Е О
* ~ ' О Е 0 0
0 0 О о/
(16)
Доказательство. Пусть {F,F) Ф 0. Положим F — с- га, где с = ^/{.F,F) и {п, п) = I.
Поворотом из 50(3, С) вектор п можно перевести в любой другой, в частности
в вещественный вектор га'. Представим с в виде Е1 + Ш'; новый вектор
электрического поля имеет вид
Е' = Е'п, (17)
а новый вектор магнитного поля — вид
Н' = #'п', (18)
причем с2 = Е'2 - Я'2 -I- 2i(E',H') = {F,F} = Е2 - Н2 + 2г(Е,Н). Векторы Е'
и Н' параллельны. Выбирая в качестве п' единичный вектор оси ж1, мы
получаем канонический вид (15). Утверждение 1, а) теоремы 1 доказано. Если
же (Е,Н) = 0, то <Е',Н') = (Е,Н) = 0. Поэтому или Е' = 0 или Я' = 0.
Утверждение 1, б) тем самым доказано: если Е2 - Н2 > 0, то Я' = 0; если
Е2 -Н2 < 0, Е' = 0.
Докажем, наконец, 2. Вещественными вращениями можно добиться, чтобы
вектор Е был направлен вдоль оси х1. Тогда вектор Н лежит в плоскости
(ж ,х ). Вращением в этой плоскости можно направить его вдоль оси г3.
Теорема доказана. ■

§ 21. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве 155
2. Симметрические тензоры и собственные значения. Тензор энергии-импульса
электромагнитного поля. Пусть Tit — симметрический тензор типа (0, 2) в пространстве
. Минковского с метрикой
доопределение 2. Собственными значениями тензора Тц- называются решения уравнения
P(A) = det(Ttt-A№lk) = 0. (19)
Напомним, что эти собственные значения А — собственные значения оператора
Т'к = g'3Tjk. Соответствующие собственные векторы определяются как решения системы
Ък? = Ь9&?, Р(А) = 0. (20)
Из-за псевдоевклидовости метрики матрицу Tk нельзя, вообще говоря, привести к
диагональному виду преобразованием Лоренца. Мы разберем детально типы
симметрических тензоров в двумерном пространстве Минковского Ef. Имеет место
Теорема 2. 1. Если уравнение Р(\) — 0 имеет два различных вещественных корня Ао # Ai,
то матрица 2¾ приводится (лоренцевым преобразованием) к виду
(До° -Г,)-
2. Если уравнение Р(\) = 0 имеет два комплексно сопряженных корня
Ао,] = <* ± i/З, то матрица Tk приводится к виду
С, Л)-
(22)
3. Если уравнение Р(Х) — 0 имеет два совпадающих корнях А0 = А] = А, то
матрица Tk в любых координатах имеет вид
(*-V .»-;„). и
где величина р. не является инвариантом тензора Tik и, вообще говоря, не может
быть сделана нулевой лоренцевым преобразованием.
Аоказательсгво. Пусть собственные значения Аа Ф \\ (вещественные или комплексные)
различны. Им отвечает пара линейно независимых собственных векторов £о> Ь >
которые находятся из системы (20). Покажем, что эти векторы ортогональны.
Имеем £№fc£f = A0#*£otf = >49ik&ti, поэтому (&,,6> = gik&ti = °- ПУСТЬ
Ао 5^ А) вещественны. Тогда один из собственных векторов времениподобен, а
другой пространственноподобен. Выбирая их в качестве новых координатных
осей, получаем доказательство утверждения 1 теоремы 2.
Пусть Ao,i = a ± г/3. Соответствующие собственные векторы также будут
комплексно сопряжены: |oti = a ± ib. Нормируем эти векторы условиями
(a + ib, а + ib) — {а — ib, а - ib) — 2.
Вместе с условием ортогональности (£o,£i) = 0 это дает
(a, 6)=0, (0,0) + (6,6) = 0, (о, а)-(6,6) =2.
Отсюда \а\2 = 1, |6|2 = -1. В базисе а, Ъ тензор Тц примет вид (22).
Утверждение 2 доказано.

156 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Пусть теперь А0 = А| = А. Допустим, что собственному значению А отвечает
ровно один собственный вектор £. (Если бы таких векторов было два, то матрица
Tit приводилась бы к диагональному виду ( jj °Л , т. е. к виду (23) с ц — 0.)
Покажем, что £ — изотропный вектор. Действительно, в противном случае
ортогональное дополнение вектора £ было бы собственным подпространством,
не содержащим £. Таким образом, |£|2 = 0, и из этого следует, что
(£°)2 -tf')2 = 0^ = £'
(если £° = -£', то нужно еще сделать отражение). Система (20) запишется
поэтому в виде
Too + %\ = А, Тю + Гц = -А,
откуда Гоо = А + //, Гц = -А + р, % = -/t = Гю. Теорема доказана. ■
Пусть теперь Fik — кососимметрический тензор в пространстве Минковского Kj.
По тензору Fik построим симметрический тензор Tit, полагая
Tik = ~ (-g'mFi,Fkm + ~FlmF,mgik) . (24)
Если Fa- — тензор электромагнитного поля, то тензор Г,* называется тензором энергии-
импульса поля Fit. Используя трехмерные векторы Е, Н, определяемые формулой (2),
получим
Е2 + Н2 с
Too — —о , Гоа - - — [Е, Н]а,
8х 4х
Тар=i {~ЕаЕр ~НаНр+\6ap{El+н2)}' (25)
0(,/3=1,2,3.
Величина W — Too называется плотностью энергии электромагнитного поля F;k; вектор
Sa = -Гоа называется вектором Пойнтинга; трехмерный тензор Тар (1 ^ а ^ 3,
1 ^/3^3) — максвелловский тензор напряжений.
Исследуем вопрос о приведении к каноническому виду тензора энергии-
импульса Tik, определенного формулой (24). В соответствии с теоремой 1 приведем к
каноническому виду тензор Fik. В случае (15), когда Е = (£,0,0), Н = (#,0,0), тензор
Tik примет диагональный вид
/+W 0 \
№*)=[ ~W +W )• W = ^ + H\ (26)
V 0 +W/
Здесь все собственные значения равны ±W. В случае (16), когда
Е = (£,0,0), Н = (0,0,Я), Е = Я,
из формул (25) получим
W 0
0 0
W 0
0 0
-W 0\
0 0 1
W 0 ]'
0 0/
Е2 Я2
W = — - —
47Г 4тг
(¾) = \ -w n w n . w = ТГ = 7Г- (27)

§ 22. Поведение тензоров при отображениях
157
Этот случай отвечает последнему утверждению теоремы 2 (формула (23)),
/г = W — случай электромагнитных волн. Тензор энергии-импульса здесь не приводится
к диагональному виду; все собственные значения равны нулю.
§ 22. Поведение тензоров при отображениях
1. Общая операция ограничения тензоров с нижними индексами. Пусть дано
отображение F области m-мерного пространства с координатами х1 ,..., хт в область
n-мерного пространства с координатами х ,... ,хп:
х - х (х ,...,х ), г - 1,...,71. (1)
Тогда каждому тензору Tj,...», типа (0,к) в пространстве (х',...,хп) соответствует
тензор (F*T)f...y в штрихованном пространстве:
(F*T), ,(xV,...,xm') =
Т — —
(V (/,..., *т')). (2)
Проверку того, что F*T — тензор типа (0,к), мы оставляем читателю.
Итак, тензоры типа (0, к) отображаются в направлении, противоположном
направлению отображения пространств. Операция F" называется операцией ограничения
тензора.
Пример. Пусть в n-мерном пространстве задана метрика j,j и m-мерная поверхность
х'=х\х'\...,хт'), i=l,...,n. (3)
Тогда, пользуясь операцией ограничения, мы получаем метрику д<у на поверхности (3),
где
Эх' Эх' , ,
9i'>'= 9i'a7м- !,J =1.-.m.
Это — метрика поверхности, индуцированная метрикой j,j объемлющего пространства.
Рассмотрим теперь случай ограничения кососимметрического тензора TibjL
типа (0,/¾) на А-мерную поверхность х' = х'(ж' ,...,хк) в n-мерном пространстве. В
теории интефирования кососимметрических форм нам будет полезна явная формула
для такого Офаничения.
Теорема 1. Для формы £] T^.^dx'1 Л... l\dx4, ограниченной на к -мерную поверхность
:,<...<Н.
хх — х'(х* ,..., ж* ), имеет место равенство
Y1 £,...*<&'' Л • • ■ Л dxh = Y1 ^'"'^...^х' Л ... л dxh'. (4)
Здесь J1'-4 — минор к-го порядка матрицы ( j^r), составленный из столбцов с
номерами 1^...,¾¾.
Доказательство. Согласно определению (2),
дхц дхч
(^),,.^^,., _...—. (5)

158
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Пользуясь косой симметричностью Ti,_..ik, мы можем переписать правую часть в
виде
дж"
Эх1'
дхч
дхк'
= X) Я...*(Х)*п(*)
дхг-
<r€5t
dxv
- £ г,..^<'-*
»,< — <!*
ii<...<«4
что и доказывает теорему. ■
2. Отображение касательных пространств. Невозможно, вообще говоря,
определить отображение тензоров с верхними индексами, соответствующее отображению
пространств. Но если дано отображение F: х1 — x'(xl,... хт ), i = 1,..., п, то можно
определить отображение F, пространства векторов в точке (ж1,..., хт) в пространство
векторов в точке х'(х
, хт ), г = 1,... ,п. Это отображение строится так:
(ЛГ),и^> >"ГТ^
(6)
(Х1',...,!»)
Аналогично строится отображение F, для тензоров типа (А:, 0). Таким образом,
касательные пространства отображаются в ту же сторону, в которую действует
отображение F. Отображение F, касательных пространств часто называется дифференциалом
отображения F.
Если F — гладкая функция в пространстве, то F, — линейное отображение
касательного пространства в каждой точке в вещественную прямую R, т. е. линейная
форма на векторах. Это и есть дифференциал dF = (J£) в обычном смысле.
На векторных полях (в целом) отображение F, определить нельзя: если точки
Pi и Pi при отображении F переходят в одну точку Р, то из точки Р будут исходить
два вектора: FtT(P{) и FtT(P2), Т=(Т*).
Если гладкое отображение F взаимно однозначно, и отображение F~l гладко, то
можно определить отображение F*, и оно будет изоморфизмом. Такие отображения F
называются диффеоморфизмами.
Задача. Доказать, что для дифференциальных форм шиш7 и гладкого отображения F
справедлива формула
Р>, Л ич) - Р>,) Л Р>2).
§ 23. Векторные поля
1. Одшшараметрические группы диффеоморфизмов. Пусть в области
пространства задано векторное поле, имеющее в координатах (ж1,...,ж") компоненты
£' = {'(х1,.. .,хп). С каждым таким векторным полем связана автономная
система дифференциальных уравнений вида
ж'(0 = f (ж '<*),
dxl
~dT'
,ж"(<)), г= 1,...,га,
(1)
х' =

§ 23. Векторные поля 159
Ее решения х' = x'(t) называются интегральными кривыми векторного поля £*.
Обозначим через
F;(xl0,...,3%) = x, = x(.t,xo,...,xo) (2)
интегральную кривую поля f с начальными условиями
х'\ =х'а. (3)
Формула (2) задает отображение
F, :(^,...,х1)^{х\Ы,...,1^),...,зГа,х1,...,зЦ)) (4)
нашей области в себя, зависящее от параметра t (сдвиг на время t вдоль интегральных
кривых). Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что
отображение Ft определено при малых t в окрестности данной точки (xq,... ,х%) и
локально является диффеоморфизмом. Далее, F0 есть тождественное отображение, и
диффеоморфизмы Ft образуют локальную группу:
Ft+s=F,oF„ *L, = (F,)~'. (5)
Термин «локальная группа» означает, что эти равенства справедливы, если обе части
определены для соответствующих значений параметров ±t, s, t + s. Мы получаем
локальную однопараметрическую группу диффеоморфизмов, связанную с полем £'.
При малых t явный вид отображений Ft таков:
x\t,x]0,...,xo) = x'0 + t?(xl0,...xo) + o(t). (6)
С той же точностью матрица Якоби отображения Ft имеет вид
dxl(t) , д?
ащ охга
Матрица Якоби обратного отображения имеет вид
дх\ { д?
—4 = 6) - t —^ + o(t). (8)
дх' 3 dxi w к '
Наоборот, если мы имеем однопараметрическую локальную группу
диффеоморфизмов Ft — (Ft,...,Ff), то по ней однозначно восстанавливается векторное
поле
d .
г =1,...,п. (9)
^**
Векторное поле £' называется полем скоростей.
Пример. Рассмотрим в плоскости с координатами (х, у) однопараметрическую группу вращений
на угол t вокруг начала координат. Тогда отображение Ft имеет вид
х = xocost - yosin t, у = x0sint + ygcost. (10)
Имеем
dx
dy
- Хо.
1=0
Итак, поле скоростей £', i = 1,2, в декартовых координатах х, у имеет вид
= ~*" Tt
1=0
fli, у) = (-»,*). (И)

160 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Интегральными кривыми этого поля являются окружности х~ + у2 — const (рис. 30).
. . 2. Экспонента от векторного поля. Однопараметриче-
ii* ~~ У'х екая группа диффеоморфизмов Ft(x), соответствующая вектор-
\Х'У> ному полю £<ж), действует на гладких функциях / = fix) пс
правилу
(Я/)(х) = fiFix)). (12
Рассмотрим, например, на прямой однопараметрическую
группу сдвигов Ft(x) = х + t. Векторное поле £ здесь постоянно
Преобразования (12) имеют вид
Рис. 30.
Ftf(x) = f{x + t).
(13
Для аналитических функций f(x) (т.е. разлагающихся в сходящийся степенной ряд i
окрестностях любой точки х) выражение (13) при малых t может быть представлеш
при помощи ряда Тейлора
Ft fix) = f{x + i) = fix) + tf\x) + y/"(x) + ...=
= (£££)'(х)=ехр(*
dxj
fix). (14
Обобщая результат этого вычисления, дадим
Определение 1. Экспонентой векторного поля £ называется оператор
t
exp(W{) = 1 + 4¾ + -idff + • • • = X) - W'
(15
где Э{ — производная по направлению поля £ (формула (17.16)). Действие этоп
оператора на функции fix) определяется равенством
е 2
exp(ta?)/(x) = f{x) + tdtfix) + -idO fix) + ...
(16
Это выражение определено для тех функций fix) и для тех t, для которых рях
стоящий в правой части, сходится.
Утверждение 1. Для аналитических векторных полей 4(ж) (т. е. все функции £'(ж'...., х"
аналитичны) и аналитических функций fix) экспонента векторного поля £(i
совпадает с оператором (12) при достаточно малых t:
exp(*fy/(x) = f(F,(x)).
(1'
доказательство. Рассмотрим такую точку х = (ж',..., хп), где поле £(ж) не обращаете
в нуль. Согласно теореме существования и единственности решений системы (1
в некоторой окрестности этой точки можно сделать замену координат
х = х (у ,...,у ), г = 1,... ,я,
так, что в новых координатах система (1) запишется в виде
(И
(1е-

§ 23. Векторные поля
161
(см. [30]). Для систем с аналитическими правыми частями замену (18) можно
выбрать аналитической. Функция вида f(y) = f(x(y)), где f(x) — аналитическая
функция, также аналитична. В новых координатах равенство (17) примет такой
вид:
д
^pU—Jf(y) = f\y,+t,y2,...,yn),
что немедленно вытекает из (14). Утверждение доказано.
Задача. Вычислите оператор ехр [(ах + Ь)^\.
3. Производная Ли. Примеры. Пусть £ = (£') — векторное поле, Ft —
соответствующая однопараметрическая группа диффеоморфизмов, Т- '"'■' — тензор типа
(p,q). В силу взаимной однозначности отображения Ft определен закон преобразования
тензора от координат x'(t) к х'0. Для тензора Т;''У\ перенесенного из точки
(xl(t),... ,xn(t)) в точку (xg,...,Z(j)i получаем выражение
дхк'< дх0'
(FT)''"''' = Т*1'"'' дХ '
э4
дх1'
(20)
Определение 2. Производной Ли тензорного типа Т-''У вдоль векторного поля £
называется выражение
ч?П =
*«Т)П
(21)
Таким образом, производная Ли измеряет скорость изменения тензора Т,-'"'*'
при деформации пространства, задаваемой отображением Ft. Так как FtT — тензор
типа (р, q) при каждом значении t, то и L(T — так же тензор типа (р, q).
Получим явную формулу для производной Ли. Для этого, используя формулы
(8) и (9), перепишем формулу (20) с точностью до o(t). Имеем
№Г)Ц = 3¾
3' to*
*::
дх'>
дх1'
к дП
ПЛ + Ь
к»*д4
эс
уЧ-1,
-Т
,;i2...i,
«Г
Л-J, Эж'
Дифференцируя равенство (22) по t при ¢ = 0, получаем
-т;
-V,/ 9Г?
л-;»
9ж'
дх%
+ o(t). (22)
£<1V.
= «*
ат,
1,...1,
дх
J, в£
+ .
r--.-v «1
л-л-i* дхЪ
Г„..,„ ^Г
"л-j,
дх1
(23)
2> В механике сплошной среды выражение 37 = §£ + 1цТ, где Г = Т(г,:с) — произвольное тензорное
поле, называется полной производной Т вдоль поля скоростей £ = ({'). В гидродинамике важен
случай Т - ({;).
6 im. 80ТО

162
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Примеры. I. Тензоры нулевого ранга, т.е. скаляры. Имеем
Получаем формулу для производной функции / по направлению £ (производной
функции вдоль векторного поля). Если L(f - О, то функция / постоянна вдоль
интегральных кривых поля £. Такая функция / называется интегралом поля ( или
интегралом соответствующей системы уравнений х1 = £(х\...,хЛ). Например, для
поля, рассмотренного в п. 1, функция f(x,y) = х2 +у2 будет интегралом.
Если / — интеграл поля £, то интегральные кривые поля целиком лежат на
поверхностях уровня f(x',...,xn) = const; само поле £, очевидно, касается этих поверхностей.
Это позволяет понизить порядок исходной системы уравнений х' = £'(х',..., х") от п до
я- 1, ограничив ее (т.е. ограничив векторное поле £'(х',...,хп)) на гиперповерхность
f(x',...,x") — const. Напомним, что размерность этой гиперповерхности равна я— 1.
Именно эта простая геометрическая процедура ограничения поля £ и соответствует
известному в теории дифференциальных уравнений утверждению, что задание первого
интеграла системы позволяет понизить ее порядок на единицу.
2. Тензоры типа (1,0), т.е. векторы. Пусть г] — (>;') — векторное поле. Тогда по
формуле (23) получаем
Отсюда следует
L(r, = -£,{. (26)
Выясним, как действует векторное поле L^rj на функции. Имеет место важная
Теорема 1. di^f — d^(d^f) - d^d^f) = [д^, dn)f. Таким образом, коммутатор
операторов д{ и 9Ч снова будет дифференциальным оператором первого порядка —
т. е. векторным полем L^rj = -£ч£.
Локазательство. Вычислим явно коммутатор [д(,д^]:
ti i d2f ■ ^ df -JV' *f Jd? df
= 4 T) : г + £J—^ r - rf £ : г - if —^ • =
дх' дх1 ox1 дх' дх' дх1 ox1 dx'
( idrf ,дё\ df
= [*дх1-*дх1)м=д^;
3«ecb i4-£h - Wizh = 0 в силу соотношения j^ = --^,. Теорема
доказана. ■
Определение 3. Векторное поле [£,77] = L(q называется коммутатором полей £ и г).
Отметим полезный аналог формулы Лейбница:
W?) = /^ +^Я-
Доказательство получается прямым вычислением, использующим формулу (25).
Из этой формулы непосредственно вытекает следующая

§23. Векторные поля 163
Теорема 2. Пусть в R" задан набор гладких векторных полей £i ,...,£*. Для того, чтобы
существовала система координат у 1,...,уп такая, что векторы ^ касаются
координатных линий (у1), j — 1,..., к, необходимо следующее условие:
Kj,tk\ = f]l4j + f$b, (27)
где /-J. — скалярные функции точки.
Локазательство. Если поля £j являются базисными ортами &j системы координат, то
[<;>&] = 0, так как dei = -jfc и -^^ = ^^. Если же £,- = fj(y)eu где е7- —
базисные орты, и fj(y) — гладкие функции точки, то
dfk dfj
Полагая /]{' = /jf^h -/j? = Л^р-. получим требуемое соотношение. ■
3. Тензоры Т, типа (0,1), т.е. ковекторы. Согласно формуле (23) будем иметь
^=^+¾ (28)
Для дифференциала функции Т, = -^ получим
k d2f df d(k
Вывод. Взятие производной Ли L^ перестановочно со взятием дифференциала:
L((df) = d(L(f). (30)
4. Тензоры gij типа (0,2), т.е. билинейные формы. Имеем
L(9i, = S' — + 9ы "A + 9ik ir- = «ч'• (3D
{яч а^ ' Эх1 Эх'
Тензор «;, называется тензором (малой) деформации. Он описывает изменение
метрики д^ пространства при малой деформации Ft, определенной полем £. В частности,
если метрика евклидова, <fc, = ¢,-,-, то тензор и;, примет вид (см. § 17)
""=5+£- (з2)
5. Вычислим производную Ли элемента объема у'Ые.,...;, (или -уЫ^'Л--- ЛАг"),
где j = detftt. Согласно формуле (23)
Ч ч/Ы^,-.» = t ^Г «,-ч + >/Й (^...;. ^+--+ *.-ч-,* |f ) • (33)
Выражение, стоящее в скобках в правой части формулы (33), равно ^Si,...*,
(см. задачу 3 к § 18). Поэтому правая часть формулы (33) равна
г /п /п Л^1"^, асЛ /ы Л*1 .■-.**-. %Л
6*

164 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Но в скобках стоит след тензора деформации Tr(u,„) = д'тщт, определенного
формулой (31). Поэтому окончательно получаем выражение для производной Ли элемента
объема
LtiVtiK-J = ^'га".'»\/Ы£„..,,„, (34)
где в правой части стоит след тензора щт — тензора деформации. В евклидовом случае,
когда J;, = Ьц, след тензора деформации равен
1 .-» а?
29 Ui™ = ^-
Задачи.
1. Доказать формулу Лейбница для производной Ли:
L((T О R) = (L(T) ® R + Т ® L(R,
где.Т, R — любые тензоры.
.2. Пусть Ш|, ш2 — две дифференциальные формы. Доказать, что
L{(oj, л w-i) = L{0)| Л ш2 + Ш| л £{W2.
3. Пусть F — диффеоморфизм области U в область V, X], Х2 — векторные поля на U,
Yi = .F»№) — соответствующие векторные поля на V. Доказать, что F,\X[t Х2] = [Yb Y2].
4. Пусть Ft, Gs — однопараметрические группы диффеоморфизмов, X, Y —
соответствующие векторные поля. Доказать, что диффеоморфизмы Ft и Gs коммутируют при
любых t, s тогда и только тогда, когда коммутатор полей X и Y равен нулю.
5. Пусть X,,..., Х„ — линейно независимые векторные поля в n-мерной области,
причем [Х^Х,] = Q. Доказать, что существует (локально) система координат (х\...,хп)
такая, что поле JT, касается i-й координатной оси: 9x.(i') = Sf.
§ 24. Алгебры Ли
1. Алгебры Ли и векторные поля.
Определение 1. Линейное пространство V, в котором задана кососимметрическая
билинейная операция [, ], называется алгеброй Ли, если выполняется тождество
Якоби
K,fo,c]] + fo,[cai + rc>K,i?]] = o. (о
Замечание. Для любого £ е V введем оператор ad£ — линейное отображение ad£: V -» У, —
полагая ad^(^) = [£,17]. Тождество Якоби означает, что отображение ad, как говорят
в алгебре, является «дифференцированием» алгебры Ли V (т. е. удовлетворяет формуле
Лейбница):
ad*(to,C]) = [a<U(4),C] + l»7,ad£(01- (2)
Примеры. 1. Трехмерное евклидово пространство является алгеброй Ли относительно операции
векторного умножения.
2. Пусть V — некоторая алгебра линейных операторов. Тогда V можно превратить
в алгебру Ли, полагая
\А,В] = АВ-ВА. (3)
Докажем справедливость тождества Якоби для такой скобки. Имеем
[А, [В, С}] = А[В, С] - [В, С\А = ABC - АСВ - ВС А + СВА,
\С,[А,В\] = САВ -СВА- АВС + ВАС, (4)
[В, [С, А]] = ВС А - ВАС - CAB + АСВ.
При сложении этих выражений получится нуль.

§ 24. Алгебры Ли 165
Замечание. Операция [,) в алгебре Ли часто называется коммутатором.
Следствие 1. Пространство М (п, R) всех матриц порядка п является алгеброй Ли
относительно коммутатора
[А,В\ = АВ -ВА. (5)
Следствие 2. Векторные поля в области пространства R" образуют алгебру Ли
относительно коммутатора:
Следствие 2 вытекает из теоремы 23.1. Алгебра Ли векторных полей, разумеется,
бесконечномерна.
Пусть в области пространства задана некоторая поверхность и векторные поля
£, 7} касаются этой поверхности. Тогда имеет место
Теорема 1. Если два поля £, 7/ касаются некоторой гладкой поверхности, то их
коммутатор также касается этой поверхности.
Доказательство достаточно провести для гиперповерхности /(ж1,..., ж") = 0.
Не ограничивая общности, можно считать, что поверхность задается уравнением
хп = 0. (7)
Касание полей £, щ к этой поверхности означает, что
<*/1/=о = VI/=o = °-
Для поверхности вида (7) условие касания имеет вид
Ги=о = 0; 1/4,.=0 = 0. (8)
Тогда для коммутатора [£,г]\ будем иметь
дхк дхк
IW = ^-^-4 !&;■
Но сети ж" = 0, то £т = fji = 0 ПРИ fc Ф п- Следовательно, [¢, 7l"U"=o = 0. Теорема
доказана. ■
Следствие. Векторные поля, касающиеся некоторой гладкой поверхности, составляют
подалгебру алгебры Ли всех векторных полей.
2. Основные матричные алгебры Ли. С каждой рассмотренной выше группой
линейных преобразований связана матричная алгебра Ли. Пространством этой алгебры
являеются касательное пространство в единице группы; коммутатор — обычный
коммутатор матриц.
Приведем список важнейших матричных групп и их касательных пространств в
единице. Касательные пространства в единице будем обозначать гак же, как и группы,
но малыми буквами.
1) Специальная линейная группа SL(n,W) (илн SL(n, С)) — группа
вещественных (комплексных) матриц n-го порядка с определителем 1. Касательное пространство
sl(n, Ш) (или sl(n, С)) в единице есть пространство матриц с нулевым следом.

166 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
2) Группа вращений SO(n, Щ (или SO(n, С)) — группа вещественных или
комплексных ортогональных матриц с определителем 1:
АТА=\, det4=l, 4 6 50(n,E), 50(п,С). (9)
Тогда so(n,R), so(n,C) — алгебры кососимметрических матриц (вещественных или
комплексных)
Хт = -Х, X<Eso(ntR), so(n,Q. (10)
3) Псевдоортогональные группы SO(p,q). Пусть G = (¾¾) — псевдоевклидова
метрика в пространстве Щ<я, р + q — п. Группа SO(p,q) есть группа вещественных
матриц А (с определителем 1), сохраняющих форму G — (gij):
ATGA = G, det4=l, AeSO(p,q). (11)
В этом случае so{p,q) — алгебра таких матриц X = (х)), что
GX + XTG = 0, X£so(p,q), (12)
или
#,-*i + xfot == 0. (13)
Последнее равенство означает, что матрица
■"ik=9iji?k (14)
кососимметрична. Этим устанавливается изоморфизм между пространством so(p,q) и
пространством всех кососимметрических матриц (порядка п — р + q).
4) Унитарная группа U(п) — группа унитарных матриц n-го порядка
АТА = \, АеЩп). (15)
Алгебра и(п) состоит из косоэрмитовых матриц
хт = -х, хеи{п). (16)
5) Специальная унитарная группа SU(n) — группа унитарных матриц с
определителем 1. Алгебра su(n) состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом
Xх = -X, ТгХ = 0, X 6 su(n). (17)
6) Псевдоунитарная группа U(p,q) — группа линейных преобразований
комплексного n-мерного пространства, где п = р + q, сохраняющих псевдоэрмитово
скалярное произведение
Р п
{£>»/) = Y1 ху - Y1 *у = gijxif; (18)
£ = (х\...,хп), T) = (yl,...,yn); n = p+q.
Если G = (g^) — матрица формы (18), то для матрицы А из группы U(p,q)
будем иметь
ATGA = G; AGU(p,q). (19)

§24. Алгебры Ли 167
Тогда пространство и(р, q) образовано матрицами X = (аг?) такими, что
GX + XTG = 0. (20)
Пространство u(p,q) связьшается изоморфизмом с пространством косоэрмитовых
матриш. матрице x*t £u(p,q) отвечает косоэрмитова матрица (Щк),
Ък = gijxl, uki = -uik. (21)
i подгруппы группа U(p,q), составленная из матриц с
(р, q) имеют нулевой след:
х\ = 0 «• дкщк = 0. (22)
7) Группа SU(p,q) — это подгруппы группа U(p,q), составленная из матриц с
определителем 1; матрицы из su(j>,q) имеют нулевой след:
Теорема 2. Пространства sl(n,M), sl(n,C), so(n,R), so(n,C), sofaq), u(n), su(n),
u(p, q), su(p, q) являются алгебрами Ли относительно коммутирования матриц.
Локазательсгво. Нужно проверить, что каждое из перечисленных пространств замкнуто
относительно коммутатора. Докажем, что
а) если TrX = 0, ТгУ = 0, то Тг[Х, Y] = 0;
б) если X, Y удовлетворяют условию (12), то и [X, У] удовлетворяет этому
условию;
в) если X,Y удовлетворяют условию (20), то и [Х,У] ему удовлетворяет.
Имеем Тг[Х,У] = Тг(ХУ) - Тг(УХ) = 0 (для любых X,Y).
Утверждение а) доказано.
Пусть матрицы X,Y удовлетворяют условию (12), т.е.
XTG = -GX, YTG = -GY.
Тогда
[X, Y]TG = YTXTG - XTYTG = GYX - GXY = -G[X, Y].
Утверждение б) доказано.
Аналогично доказывается и утверждение в). Теорема доказана. ■
Определение 2. Пусть G — одна из групп преобразований 1-7. Касательное
пространство в единице группы G, снабженное операцией коммутирования матриц,
называется алгеброй Ли группы G.
Пример 1. Алгебра Ли so(3,R) группы вращений трехмерного пространства состоит из косо-
симметрических матриц третьего порядка. Введем базис Х,,Х2, Хг в пространстве таких
матриц, полагая
/0 0 0\ /00 1\ /0 -1 0\
X, =-. 0 0 -1 ,Х2= 0 0 0 1 , ЛГз = ( 1 0 0. (23)
\0 1 0/ \-1 0 0/ \0 0 о/
Тогда будем иметь
[ХиХ7] = Хг, 1ХъХг] = Хь [ХЪХ1) = Х1. (24)
Вывод. Алгебра Ли группы SO(3, R) изоморфна алгебре Ли векторов в трехмерном
евклидовом пространстве относительно векторного произведения.
Пример 2. Рассмотрим алгебру Ли so(p,q). Пусть псевдоевклидова метрика имеем вид.
дц=е^ц, £,- = ±1. (25)

168 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Алгебра so(p,q) реализуется кососимметрическими матрицами (см. формулу (14)), причем
коммутатор имеет вид
* (26)
" = (".')), » = (»•;)> »;■■ = -".), »ji = -"■;•
Пример 3. Алгебра Ли su(2). Выберем базис su S2,s, в пространстве косоэрмитовых 2x2-
матриц со следом нуль, полагая
" = (о -°): *2 = *i = (_? J); ^ = ^, = (5 о)- <27>
Тогда будем иметь
\s,,sj] = 2s,, [32,3,1 = 23,, [3,,3,1 = 232. (28)
В силу леммы 14.6 эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли чисто мнимых кватернионов
таких, что х = —х, где коммутатор имеет вид [х,у] = ху - ух. При этом изоморфизме
»<-»5i, j <-* s2, к <-+ з,. (29)
Теорема 3. Существует изоморфизм алгебр Ли
su(2) Д so(3, R). (30)
Локазательство. Поставим в соответствие матрице X 6 su(2) линейное преобразование
ad X трехмерного пространства su(2):
Z>->adX(Z) = [X,Z], X,Z£su(2). (31)
При этом
[adX,adF]=ad[X,F] (32)
в силу тождества Якоби. Это означает, что отображение (31) является
гомоморфизмом алгебры Ли su(2) в алгебру Ли линейных операторов в пространстве
su(2). Пространство su(2) евклидово; длина вектора z = bsx + csj + dsj <->
Ы + cj + dk равна
\z\2 = b2 + c2+d2=:delz. (33)
Преобразование вида
Z^AZA~\ AeSU(2), (34)
ортогонально в смысле скалярного произведения (33) (см. §14): dctAZA'1 =
detZ.
Лемма 1. Преобразование adX, X £ su{2), кососимметрично в метрике (33).
Локазательство. Пусть семейство преобразований A = A(t) из группы SU(2) таково,
что
dA(t)
= Х, 4(0)=1. (35)
dt
Тогда производная по t семейства преобразований
Z ^ A(t)ZA(t)~x

§ 24. Алгебры Ли 169
при t = 0 имеет вид
Z -ч. XZ- ZX = adX(Z).
Следовательно, это преобразование кососимметрично (см. §5, п. 3). Лемма
доказана. ■
Итак, мы имеем гомоморфизм
5И(2) -»• 50(3,1), X у-* ad X. (36)
Ядро его равно нулю (если adX(Z) = О для любого Z, то X = 0), а размерности
пространств su(7) и so(3, К) совпадают (равны трем). Теорема доказана. ■
Замечание. Матрицы преобразований adsi,ads2,ads3 в базисе shs2,si (27) имеют вид
adi| = 2Xh ads2 = 2X2, ads3 = 2X3) (37)
где базис XhX2,X3 в пространстве so(3,R) задается формулами (23).
Пример 4. Алгебра Ли sl(2,R). Введем в этой алгебре базис из матриц У0, У,, У2, полагая
*-(-!i)= *-(i-!)= *-(?!)•
Коммутаторы этих матриц имеют вид
\Y0,Y{] =-2Y2, [Го,^] = 2Г,, [У„Г2] = 2Г0. (39)
Теорема 4. Существует изоморфизм алгебр Ли
sl(2,R) -S- 50(1,2).
Локазательство. Как и в теореме 3, каждой матрице Y из sl(2,R) поставим в
соответствие линейное преобразование ad У трехмерного пространства sl(2, JR).
Преобразования пространства si(2, Ж) в себя вида
У -> AYA'1 (40)
сохраняют квадратичную форму
|Г|2 =detr. (41)
Поэтому (ср. лемму 1) преобразования вида ad У кососимметричны в смысле
метрики (41). Но эта метрика псевдоевклидова и имеем тип (1,2):
dety = det(2/0yo + 2/,^+t/2r2) = det(3/^J3/o **_+»)= jrf - у? - £ (42)
Теорема доказана. ■

170
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
3. Линейные векторные поля. Пусть X = (Х'к) — вещественная (или
комплексная) матрица n-го порядка. Построим векторное поле Tj в пространстве К" (или С),
полагая его значение в точке х£|" (или х S С) равным
Тх(х) = -Хх (43)
или в координатах
Тх(х) = -Х[хк. (44)
Определение 3. Поля вида (43) называются линейными векторными полями.
Найдем интегральные кривые линейного векторного поля (43). Для их
определения имеем систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами (в векторной записи)
х - -Хх. (45)
Теорема 5. Интегральная кривая x(t) паяя (44), задаваемая начальным условием
хф) = ха,
имеет вид
x(t) = cxp(-tX)xa. (46)
Локазательство. Проверим, что кривая (46) удовлетворяет дифференциальному
уравнению (45). Напомним (см. § 14, п. 2), что экспонента от матрицы определяется
как сумма ряда
tX t2X2
exp(-fX) = 1 - — + -^ ... (47)
Дифференцируя этот ряд по t, получим
A i V^
— exp(-tX) = -Х + ... = -X cxp(-tX). (48)
dt 1!
Поэтому
dx d
— = — (exp(-iA)Xo) = -X zxp(-tX)x0 = -Xx,
dt dt
т.е. соотношение (45) выполнено. После этого наша теорема вытекает из
теоремы единственности решения дифференциального уравнения. ■
Из теоремы следует, что однопараметрическая группа диффеоморфизмов,
порожденная линейным полем Тх, — это умножения на матрицу ехр(—tX).
Пример. Матрицы XhX2,X}, образующие базис (23) в алгебре Ли so(S), порождают три
линейных векторных поля в трехмерном евклидовом пространстве. Они обозначаются
обычно через Lx,Ly,L2. Значения этих векторных полей в точке с координатами (x,y,z)
равны
Lx = (0,+z,-y), Ь, = (-г,0,-кв), i2=(+y,-x,0). (49)
Этим полям соответствуют три однопараметрические группы: вращения пространства
R вокруг осей х, у, z соответственно.

§ 24. Алгебры Л»
171
Пусть X и Y — две матрицы порядка п. Вычислим коммутатор двух линейных
векторных полей Тх и TY ■
Теорема 6. Коммутатор векторных полей Тх и Ту имеет вид
[Тх,Тг\ = Т1Х,п, (50)
где [X, Y] = XY - YX — коммутатор матриц X, Y.
Доказательство. Используем формулу (8) для коммутатора векторных полей в
координатах. Будем иметь
[тх,тУГ = хЫ~р - # *'^Р - *W - tf*'4 = И*. W.
Но последнее выражение есть г-я компонента линейного векторного поля T\x,y\-
Теорема доказана. ■
Следствие. Линейные векторные поля образуют относительно обычного коммутирования
конечномерную алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли всех матриц п -го порядка.
Пусть G — одна из рассмотренных в п. 2 групп преобразований ге-мерного
пространства (вещественного или комплексного), g — ее алгебра Ли. Линейные
векторные поля вида Тх, где матрица X лежит в д, образуют алгебру Ли, изоморфную
алгебре Ли группы. Соответствующие однопараметрические группы диффеоморфизмов
получаются умножениями на элементы однопараметрических подгрупп группы G.
Замечание. Соответствующие линейным векторным полям Тх, X € я, дифференциальные
операторы дтх, определенные на гладких функциях в R", называются генераторами
действия группы G. Зная генераторы, можно восстановить действие группы G на
функциях, беря экспоненту от векторного поля £ = Тх (см. § 23):
/№(*)) = /(exp(-iX)*) = ехр(-«3<)/(х). (51)
Пример. Генераторами группы вращений трехмерного пространства 50(3) являются
дифференциальные операторы
д д г д д а д
L-. — Z y^r, Lv = х z—, L, = у х —. (52)
ду sЗг' у dz дх' - Удх ду
Согласно теореме 6 коммутаторы этих дифференциальных операторов вычисляются
по формулам
[!*,£,] = £2, [L„LZ\ = LX, [Lz,Lx] = Ly. (53)
4. Левоинвариантные поля на группах преобразований. Пусть X —
фиксированная матрица re-го порядка (для определенности вещественная). Ей соответствует
линейное преобразование пространств матриц Ж" вида
А ь-> АХ. (54)
Соответствующее линейное векторное поле в пространстве R" матриц n-го порядка
обозначим через Lx- Векторное поле Lx в точке (п х и-матрице) А принимает
значение, равное
Lx(A) = АХ. (55)

172
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Интегральные кривые поля Lx находятся по теореме 5. Для их определения
имеем систему дифференциальных уравнений (одно матричное уравнение)
А - LX(A) - АХ. (56)
Решение этой системы с начальным условием A\t-0 — А{) имеет вид
A = Аа exp(iX). (57)
Таким образом, однопараметрическая группа диффеоморфизмов, порожденная
векторным полем Lx, — это умножения справа на матрицу exp(iX) (правые сдвиги на
exptX).
Для коммутатора векторных полей вида Lx в силу теоремы 6 имеем выражение
[Lx,Ly] - Цх?\- (58)
Поля вида Lx обладают важным свойством левоинвариантности (инвариантность
относительно левых сдвигов):
BLx(A) = Lx(BA). (59)
Пусть G — одна из рассмотренных в п. 2 групп преобразований, заданная
как гладкая поверхность в пространстве Ж" всех матриц га-го порядка. Пусть g —
касательное пространство к группе G в единице. Напомним (§ 14, п. 2), что если X £ д,
то матрица expiX при любом t лежит в G (однопараметрическая подгруппа в G).
Лемма 2. Если X £ д, то векторное поле Lx касается поверхности G, т.е. задает
векторное поле на группе G.
Аоказательство. Вектор Lx(A) в точке А £ G есть начальный вектор скорости кривой
А exp tX £ G. Лемма доказана. ■
Ограничение векторного поля Lx, где X — матрица из алгебры Ли g группы G,
на поверхность G будем также обозначать через Lx. Заметим, что значение векторного
поля Lx в единице группы равно X; поле Lx на G обладает свойством инвариантности
относительно левых сдвигов на элементы группы.
Определение 4. Векторные поля вида Lx на группе G, где X £ g — элемент из
алгебры Ли этой группы, называются левоинвариантными полями на группе G.
Из теоремы 1 и формулы (58) немедленно вытекает
Теорема 7. Левоинвариантные векторные поля на группе G образуют алгебру Ли,
изоморфную алгебре Ли g группы G.
Нам будет также полезна следующая
Лемма 3. Значения левоинеариантных векторных полей в каждой точке группы G
составляют все касательное пространство к группе G в этой точке.
Аоказательство. Если XU...,XN — базис в алгебре Ли д, то векторы LXt(A),
...,Lxs(A) линейно независимы в каждой точке А £ G и образуют базис в
касательном пространстве. Лемма доказана. ■

Ли д.
§ 24. Алгебры Ли, 173
5. Метрика Киллиш-a. Введем сначала понятие метрики Киплинга на алгебре
Определение 5. Евклидово или псевдоевклидово скалярное произведение (,)0 на
алгебре Ли g называется метрикой Киллинга, если все операторы вида ad X
кососимметричны в этой метрике:
{auX(Y),Zh = -(Y,adX(Z))0. (60)
Примеры метрик Киллинга на алгебрах Ли su(2) и sJ(2,l) мы видели в п. 2
(формулы (33) и (41)); там эти метрики были использованы для доказательства теорем
3 и 4. Отметим, что метрика Киллинга (33) для алгебры Ли su(2) евклидова; метрика
Киллинга (41) для si(2,l) псевдоевклидова (типа (1, 2)).
Пусть g — алгебра Ли группы преобразований G; пусть на g задана метрика
Киллинга (,)о- Используя построенные в предыдущем пункте левоинвариантные поля,
можно построить метрику (,) на всей группе, полагая
{LX,LY) = {X,Y}0. (61)
Таким образом, скалярное произведение двух левоинвариантных полей
полагается тождественно равным скалярному произведению их значений в единице группы.
Это соглашение полностью определяет метрику на G в силу леммы 3.
Определение 6. Метрика, определенная равенством (61), называется метрикой Киминга
на группе G.
Пример. Пусть G = SO(n,R). Покажем, что метрика Киллинга на этой группе может быть
индуцирована евклидовой метрикой в пространстве всех матриц R" . Эта евклидова
метрика имеет вид
<х,г) = ]Г%;, х = (*;■), Y = (y)). (62)
•J
Заметим, что это выражение можно переписать в виде
(X,Y)=Tt{XY\ (63)
где Тг — след матрицы; Тг А = а\, если A = (aj). Поверхность SO(n,R) целиком лежит
в сфере радиуса \/п, так как для ортогональной матрицы А n-го порядка будем иметь
(А, А) = Тт(ААТ) = Тг{\) = п.
Пусть X,Y 6 so(n,R), А € SO(n,R). Покажем, что в метрике, индуцированной
евклидовой метрикой (62) на поверхности 50(n,R), имеет место равенство
(LX(A\LY(A)) =Tt(XYT) = (Lx(l), Lr(\)). (64)
По определению индуцированной метрики
{LX{A),LY(A)) = Tr{AX(AY)T) = Tr (AXYTAJ) = Tr (ATAXY'r) = Tr(XYT)
(мы использовали то, что при циклической перестановке сомножителей след
произведения не меняется, и условие ортогональности АТА = 1).
Осталось показать, что операторы вида adX кососимметричны в этой метрике при
X € so(n,R). Если Y,Z € so(n,R), т.е. Ут = -Y, ZJ = -Z, то
(Y,Z)=Tr(YZT)=-Tr(YZ).

174 Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Следовательно,
{ad X(Y), Z) = Tr XYZ - Tr YXZ,
(Y,adX(Z)) = TrYXZ-TrYZX.
Эти два выражения различаются только знаком. Итак, мы получили метрику Киллинга
на группе SO(n,R) (а значит, и на любой ее подгруппе) как ограничение евклидовой
метрики в К" .
Если группа G реализована как подгруппа в унитарной группе U(n), то можно
использовать операцию овеществления, дающую вложение U(n) С SO(2n, Е). Но
можно и прямо написать вид метрики Киллинга для группы U(n):
{X,Y) = ReTrXYт = -ReTrXK
6. Классификация трехмерных алгебр Ли. Пусть задана трехмерная алгебра
Ли L; пусть векторы е1,е2,ез составляют ее базис. Правило коммутации в алгебре L
задается тензором «структурных констант» с,*-, где полагаем по определению
[е,-,е;-1 = с&е*, м = 1,2,3. (65)
Очевидно,
Из тождества Якоби (см. выше) вытекает соотношение
CijCki + cjtcki + cHckj - 0. (67)
Заменами базиса еье2,ез тензор с*;- приведем к простейшему виду. Для этого выразим
его через компоненты симметричного тензора (Ь']) и компоненты вектора (<ц), полагая
Cij = Eijjb +8jai-8iaj. (68)
Условие антисимметричности уже выполнено, а из тождества Якоби (67) вытекает, что
bijaj = 0, (69)
т.е. что вектор (Oj) либо равен нулю, либо является собственным вектором тензора
(Ь']) с собственным значением нуль. Приведем тензор Ьг} к диагональному виду:
6'^ = b^S'i, где Ь(|>,6(2), 6<3) — собственные значения. Поскольку (о,) — собственный
вектор, можно считать, что (о,-) = (о,0,0). Из (69) вытекает, что Ь(1)о = 0, т.е. или о
или Ь(|) равно нулю. Правила коммутации (65) в этом случае примут вид
[е|,е2] = ае2 + Ь(3>ез, [е2,е3] = Ьа>е,, [е3,е,] = Ь(2>е2 - ое3.
Остался еще произвол в изменении знака векторов е{, e2, е3, а также в умножении их на
произвольные положительные числа. Учитывая эту возможность, получаем следующую
таблицу трехмерных алгебр Ли (классификация Бьянки):
Тип
I
II
VIIo
VI0
IX
VIII
a
0
0
0
0
0
0
6<"
0
6«
0
0
1
-1
1
1
ь<3>
0
0
0
0
1
-1
Тип
V
IV
VII
III (a = 1)
VI (а ф 1)
а
1
1
а
а
6<"
0
0
0
0
ь<2>
0
0
1
1
ь(3>
0
1
1
-1

§ 24. Алгебры Ли 175
Тип 1 — абелева алгебра Ли (алгебра Ли группы трансляций). Тип IX — алгебра
Ли группы 50(3).
7. Алгебра Ли конформной группы. Разберем векторные поля, отвечающие
конформным преобразованиям евклидова и псевдоевклидова пространства. Как было
показано в § 15, конформных преобразований в размерностях п ^ 3 весьма мало. Они
отвечают движениям пространства Щл (псевдовращениям и трансляциям), дилатациям,
инверсиям относительно некоторого центра. Введем следующие поля, записанные как
дифференциальные операторы первого порядка:
1) "afr ~ ЯосЯ fab ~~ ЯЬсЯ ~fa* ,
a,b= 1,...,п (псевдовращения),
2) Ра = ^ (трансляции), (70)
3) D = x"-gp (дилатация),
4) Ка = 2дасхсхь-^ - дьсХЬхс-$~ (инверсия).
Для евклидовой метрики мы имеем дас = 6ас и преобразование ехр(Ша4) задает
вращение в плоскости (а,6); для псевдоевклидовой метрики дас = Ха6ас,Ха = ±1.
В этом случае мы получим, что преобразование ехр(Ш„(,) задает либо вращение
(если А„ = Aj), либо элементарное преобразование Лоренца в плоскости (а,Ь) (если
А0 = -Aj). Преобразования exp(ig|r) являются трансляциями вдоль оси х", а
txp(txa^) — дилатация D(x) = tx. Сложнее найти однопараметрическую группу
преобразований exp(iifa), поскольку поле Ка нелинейно. Позднее мы покажем, что
все эти преобразования конформны на Щл.
Замечание. Более того, любое конформное преобразование, близкое к тождественному на R"
или на сфере S", может быть представлено в виде exp(tA), где
п п п
A = J2 Х""ПаЬ + ]Г fPa + 7Л + £V ЛГ.;
aj>= I a~[ a-\
аналогично для всех Щл.
Написанные выше векторные поля (70) образуют алгебру Ли. Без труда
проверяются коммутационные соотношения
[Пйб,Рс] = дасРь -дыРл\ [i\b, КА = gacKb ~дьсКа\
[ПЙ,Д] = [Р.,Л] = [^.,^1 = 0; '
[Pa,Kb] = 2(gabD + Uab); [Pa,D] = Pa; [Ka,D] = -Ka.
Пусть теперь метрика gab евклидова, т.е. даЪ — 6аь- Рассмотрим алгебру Ли,
отвечающую группе псевдовращений SO{n+ 1,1), заданную аналогичными векторными
полями Пл„, где \i,v = I,...,« + 2. Установим соответствие
&а,ь >-» ^/j,m р = а= 1,...,п; 1/ = 6=1,...,ге,
D >-+ П„+1п+2.
Непосредственно проверяется следующий важный факт.

176
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
Утверждение. Соответствие (72) является изоморфизмом алгебр Ли.
Таким образом, в евклидовом случае алгебра Ли (71) изоморфна алгебре Ли группы
SO(n+ 1,1), отвечающей псевдовращениям (т.е. преобразования вида exp(tA) для А из
алгебры Ли (71) являются псевдовращениями).
Замечания. 1. Хотя для п = 2 имеется много локальных конформных преобразований, среди
них имеется подгруппа дробно-линейных преобразований сферы 5 -» S2
az + Ъ
z t-* ,
cz + d
различные подгруппы которой уже использовались для изучения движений евклидовой
плоскости R2, плоскости Лобачевского L2, сферы 52 (см. §§9, 10, 13). Эта группа
изоморфна SL(2,Cj/ ± 1 (см. § 13) и порождается как раз вращениями, трансляциями,
дилатациями и инверсиями на R2 после перехода к стереографической проекции.
Изоморфизм (72) дает изоморфизм алгебры Ли всех бесследных комплексных 2 х 2-матриц с
алгеброй Ли группы Лоренца 50(3,1), реализованной как группа псевдовращений (вида
ехр(Ы)). Этот изоморфизм называется «полуспинорным представлением» группы
Лоренца 50(3,1) в виде комплексных 2 х 2-матриц. Имеется также комплексно сопряженное
представление.
2. Алгебра Ли группы конформных преобразований псевдоевклидова пространства
К£, изоморфна so(p+ \,q+ 1) (проверьте!).
Докажем, наконец, следующее утверждение.
Теорема 8. Пусть длъ — Sab и А = А" Qab+/iaPa+yD + 6aKa. Тогда преобразования вида
St = cxp(tA) являются конформными преобразованиями евклидова пространства
Т.
Для доказательства нужно рассмотреть векторное поле А и показать, что
определяемая им группа (локальных) преобразований St — exp(tA) является конформной
(если мы хотим говорить не о локальных, а о глобальных преобразованиях, то
следует рассматривать эти поля на сфере S", перейдя к сфере от К" преобразованием,
обратным к стереографической проекции, вводящей на S" конформно евклидовы
координаты; однако это несущественно). Если векторное поле (и0) задает движение
евклидовой метрики, то должно быть выполнено условие
диа диь _
Это означает, что «тензор деформации», измеряющий искажение расстояний,
обращается в нуль (см. §23). Для векторных полей иа, задающих конформные преобразования
евклидовой метрики, тензор деформации должен быть пропорционален самой метрике:
диа ди"
а? + а? = •**>**. (73)
где у(х) — гладкая функция. В этом случае, если А = и"-^, получим преобразование
St - exp(tA),
и преобразование метрики будет иметь вид
St(9ab) = S,*(b») = [1 + Щх)\ 6аЪ + 0(t\

§ 24. Алгебры Ли 177
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что все поля (72) удовлетворяют
условию (73). Нам осталось доказать, что из условия (73), наоборот, следует конформность
преобразований S(, определяемых векторным полем
х'=и'{х\...,хя), (74)
или, что то же самое, преобразований ехр(<Л). Доказательство этого факта таково (оно
аналогично соответствующему доказательству для движений). Сдвиг на конечное время
At можно разбить в последовательность (суперпозицию) сдвигов на время f, так как
Зд* = 5(Д4/лг) о ... о 5(д(/лг).
Линейная часть преобразований Sr при малых т = At/N имеет вид
, ди"
Sr=l+TA + 0(T2), А = —.
Поскольку At/N мало, для вектора f в точке ха = (х'0,... ,Xq) имеем
я = е ->е + (#) £(**)?+o(f)2 = &
я-а = я + (£)£<*.)*?+о($)2,
(75)
£лг-1 ~^(n -&-1 + (лг) !&;(xn-i)£n-i + О (jf-)
Точки xq, q = 0,... ,JV - 1, лежат на интегральной траектории x"(t) уравнения (74)
такой, что
*'(0) = xl
х \ж) = х1>
xa((JV-l)f )=^,.
Для скалярного квадрата векторов & получаем из (75)
«.,£i>=(l+M<*o)#)«o,£o) + 0(y)2,
(6,6) = (i+^i)f)(6^,) + o(f)2,
(tN,b) = (1 + №н-,)%) (In-iAn-i) + О (f )2 .
Так как шагов всего N, то
(Ъг,Ы = Р(*)«о,&> + О I iV ■ — 1 . (76)
При фиксированном Af = const и iV -+ оо мы получаем конформность отображения
S&t- Отсюда следует наше утверждение.
Замечания. 1. Из доказательства теоремы вытекает, что если тензор деформации поля равен
нулю, то St = ехр(М) есть движение, где A = «"jjr. Это равносильно тому, что все
линейные преобразования S^'dSt являются кососимметрическими в любой точке:
, fdua\ 1 /ди" ди?\ /ди"

178
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория
2. Более того, возможна ситуация, когда преобразования В(х) = (|jjp-) во всех точках
ж € И" порождают подалгебру Ли i в алгебре Ли всех п х n-матриц. Например, для
четных п это может быть алгебра всех комплексных | х \ -матриц.
Задачи.
1. Докажите, что в последнем случае преобразования 5t задают голоморфные
преобразования С12 -» С12. Для п/2 > 1 эти преобразования, вообще говоря, не конформны.
2. Докажите, что если все В(х) имеют нулевой след, то все преобразования St сохраняют
объем.
3. Доказать изоморфность следующих алгебр Ли:
а) su(l, l)asl(2,R),
б) su(2) х su(2) й so(4),
в) sl(2,Q и 50(1,3),
г) 50(1,2) ~ алгебре векторов в R\2 относительно «векторного произведения» (см.
задачу! к §6).
4. Вычислить левоинвариантные векторные поля на группе единичных кватерионов.
5. Доказать, что метрика Киллинга на группах SO(n) может быть записана в виде
dl2(g) = TT(c,-ldg-g-'dg).
6. Пусть <7,° — метрика Киллинга алгебре Ли д, записанная в базисе Хи...,Х„. Пусть
[X;, Xj] = cjyJT*, ciay = gl\Ar Доказать, что тензор с*,-, антисимметричен по всем трем
индексам.
7. Для группы SO(n,R) внутренние автоморфизмы G t-> AG А'1 являются движениями
метрики Киллинга.
8. Для группы SO{p, q) можно получить метрику Киллинга как ограничение псевдоев-
клидовой метрики {X,Y) = Tr (GXGYT) (G — матрица метрики типа (р,д)). Найти тип
полученной псевдоримановой метрики.
9. Все описанные выше примеры метрик Киллинга получаются (с точностью до
постоянного множителя) как Tr (ad X ■ ad У).
10. Группа SL(2,R) действует как группа движений метрики Лобачевского (см. §10).
Каждой однопараметрической подгруппе в группе SL(2,R) (см. задачу 14.5) соответствует
однопараметричекая группа диффеоморфизмов плоскости Лобачевского. Найти
соответствующие векторные поля на плоскости Лобачевского (в модели Клейна). Вычислить их
коммутаторы.
11. Вычислить алгебру Ли аффинной группы в R"; группы движений п-мерного
евклидова пространства, группы движений пространства Минковского И^ (см. задачу
4.3). Выписать соответствующие генераторы в R", в Rj2-
12. Показать, что линейные векторные поля Lx,LY,Lz в R3, соответствующие действию
группы 50(3,¾, касаются любой сферы с центром в начале координат. Вычислить вид
соответствующих дифференциальных операторов первого порядка на единичной сфере в
сферических координатах.
13. Определим правоинвариантные поля на группе G как ограничение на группу
векторных полей вида RX(A) = -ХА. Доказать, что [Rx,Ry] - Щхуь 1½. Rr] = 0.
14. Выяснить, к какому из описанных в п. 6 типов принадлежат алгебры Ли до(1,2) и
sl(2,R).

Глава 4
Дифференциальное исчисление
тензоров
§ 25. Дифференциальное исчисление
кососимметрических тензоров
1. Градиент кососимметрнческого тензора. Большинство физических законов
записывается в виде дифференциальных соотношений между физическими величинами.
Многие из этих величин представляют собой тензорные поля (в частности, векторные
поля) в пространстве или в области пространства. Поэтому нас интересует вопрос:
какие вообще существуют дифференциальные операции над тензорами, которые в
определенном смысле не зависят от системы координат. (В каком смысле, позднее
будет уточнено). Например, простейшая из операций такова: если функция f(x, а) или
тензорное поле Тк'"'£(х,а) зависит отточки пространства х = (ж1, ж2,ж3) и некоторого
параметра а, не связанного с пространством, то можно взять частную производную
по параметру -^ (х, а) или —1—^— в каждой заданной точке. В классической
механике таким параметром является время t = а. Эта операция не связана с
геометрией пространства (х\х2,х3) и производится отдельно в каждой точке. Другой
общеизвестной дифференциальной операцией, не связанной с римановой метрикой,
является взятие градиента функции (скалярного поля):
Это — ковектор, инвариантным образом построенный из функции / в том смысле,
что при заменах координат его числовая запись меняется согласно тензорному закону:
df df Эх{
X = X(Z), - = —— —-т.
* ' dz> Эх1 dzJ
Часто встречается также следующее многомерное обобщение градиента на кососимме-
трические тензоры.
Определение 1. Пусть Т*,...^. — кососимметрический по всем индексам тензор в
n-мерном пространстве с координатами х\... ,хп, iq = 1,..., п. Его градиентом
^ii-шм называется кососимметрический тензор типа (0, к+ 1) с компонентами
*+' дТ. -г .
(здесь значок jq означает, что индекс jq пропущен).

180
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Прежде чем проверить, что dT — тензор, рассмотрим примеры
ниш MTV — _
Ох'
1) Если к+ I = 1 и Г = /(х) — функция, то согласно определению (dT)i = т-7;
таким образом, это — обычный градиент.
2) Если Г = (Г,) — ковектор, то (dT)ij = ^7 - f£ = -(<#V Этот тензор (<#%
часто называется ротором ковекторного поля; для него употребляется обозначение rot.
Ротор — это кососимметрический тензор типа (0,2).
Замечание. Если п = 3, пространство и координаты z',z2,z3 евклидовы, то обычно тензору
{dT)ij сопоставляют вектор »/* = rotT = *(dT) (см. § 19, п. 3), где V = g - 0 = (ЛГЬ,
4s = Ъ - В = <dTb> = -(«о1)». 4J = s* - й* = №" и» V = г e**W3V
3) Если п = 3и задан кососимметрический тензор Г,-3 = -Т,,-, то
кососимметрический тензор 3-го ранга dT имеет вид
дТп 0Тп дТ2з
(dT)m = ft? - в? + I*' ^)^е^Т)т.
Замечание. Если координаты (х',х2,х3) евклидовы и в соответствии с указанным правилом
сопоставления вектора кососимметрическому тензору т? = Тц, т)2 = —Тц, т]1 = Тц1
(i/=i £''%), то
_ dV Л72 дт?3 _ dif
(dT),u_—+ — + — _—.
Операция, сопоставляющая в евклидовых координатах векторному полю (т?1) = т)
число jL = diVT/, называется дивергенцией.
Перейдем к проверке корректности предыдущего определения.
Теорема 1. Градиент dT кососимметрического тензора ранга к типа (0, к) является
кососимметрическим тензором ранга к + 1 типа (0, к + 1).
.Доказательство (для к = 0,1). Пусть задана замена
По определению
ж' = х'(х ,...,хп), г =1,...,п. (2)
(^,..^=^(-1)^-¾^ (3)
ч
в любой системе координат.
Пусть Tj,...,-, — компоненты тензора в координатах (ж) и 2V. у — компоненты
в координатах (х1).
По определению
дх'1 dxh
Т{ v =Ti, lL—-...—7-. (4)
дТ,, ? ,,
Далее, по определению фадиента тензора
(dT),,, ^^(-l)^'"''^:'^', (5)

§ 25. Дифференциальное нечисление кососимметрических тензоров I 81
Для доказательства теоремы необходимо подставить формулы (5) и (6) в (4)
и убедиться после преобразований, что градиент dTW) выражается через dT(i)
по тензорному закону. Ввиду фомоздкости выкладок мы проведем полное
доказательство для к = 1, к + 1 = 2 (для к — 0 справедливость утверждения
теоремы была доказана в § 16).
Пусть Т{ — ковектор; тогда
дТ, дТ{ дх'
Имеем
{ 1},к' Эх1' Эхк' Эх1' \ 1дхк') дхк' {'Эх1') ~ дх'' дхк' +
+ 'дх1' дх* дхк' дх1' jdxk' дх1' ~ idxi дх1' J дхк' ~
_ (Щ дхГ\ дх*__ (д1\_ дТЛ дх1 dxj _ дх1 dxj
~ [Ъх1 dx^J дх7 ~ \д& ~~ llx1) дх^ 'дх7 ~ ^dT)jidx* дх7'
Итак, для этого случая теорема доказана. ■
2. Внешний дифференциал формы. Дадим другое определение операции фа-
диента кососимметрического тензора, использующее связь с дифференциальными
формами. Тензору Ц,...;, соответствует форма
ш= YL 'A^^dx''A ... A dxh. (7)
i|<...<it
Определим форму du степени к +• 1, полагая
ОТ-
du> = У '':" dxh Л dx" Л ... Л dxh. (8)
£—< дх'«
"о
,,<...<,4
В частности, если ш = / (скаляр), то dw = df = ^ dx' — дифференциал функции.
Теорема 2. Имеет место тождество
dw = Y2 (dTh~J4, dxj] A... A fl!r"+1.
j\<-<3Hl
Локазательство. Из определения dT имеем
^2 (dT)jl.,.JMdxj' Л ... Л dx***' =
дТ -
= V У(-\)"+] \3чГ3м i^A...Ad^\
^-^ L—' dxlfi
Jl<-<j*+l я
Заметим, что dxj' Л ... Л dx3t" = (-1)?+|^' Л dar" Л ... Л dxh А ... Л dxjk*1.
Переобозначим теперь индексы суммирования: в q-u слагаемом положим

182
Глава 4. Дифференциальное нечисление тензоров
«о = jq, i\ - ji, •■-,«* = jk+t- Ясно, что »i < ... < гк, причем индекс »п
пробегает (учитывая все слагаемые) все значения от 1 до п. Отсюда и вытекает
утверждение теоремы. ■
Теорема 3. Дважды взятая операция градиента кососимметрического тензора дает
тождественный нулк
d(dT) = Q или d(dw) = 0. (9)
Доказательство. Имеем
w= ^2 Ti,..itdxix Л... Adxh;
ды= У -1^dxpAdxi'A...Adxil;
*-? дхР
d(dw) = V —-^4*г4Л^Л^'Л... A<te''J.
■',<..<Ч
Но выражение 9Jg'^, симметрично по индексам q,p, а выражение dxqAdxv ко-
сосимметрично: dxv A dxq — —dxq A da?, поэтому их свертка дает тождественный
нуль. Теорема доказана. ■
Замечание. Формулу для дифференциала формы можно записать в таком виде:
d( ^2 Г;М4Ле'''Л...ЛЛв'Ч = ^Г (<Щ,.-ч) AdxU Л... ЛАе'\ (10)
\i|<_<4 / <]<...<ii
где 2j,._,-, рассматривается как скалярная функция. Отсюда нетрудно получить другое
доказательство того, что dT — тензор: так как дифференциал функции dT,,...^. — тензор,
то и его внешнее произведение на dx'1 Л ... Л dx'k — тоже тензор.
Используя операцию коммутирования векторных полей, можно указать еще
одно выражение для дифференциала формы (формула Картана).
Теорема 4. Пусть ш — дифференциальная форма ранга к и Х\,... ,Хк+\ — гладкие
векторные поля. Тогда значение формы <1ш на полях Х\,... ,Хь+\ может быть
найдено по формуле
i
+ ^2(-l)i+iuaxi,Xj],Xl,...,Xi,...,Xi,...,Xw). (11)
i<3
Аоказатвльство проведем для случая к = 1. Пусть T{dx' — ш, тогда
'дТ, dTi'
дх' dxi
2dw = —4- - —4 )dx' A dx3.

2(MX,r) = xW§-gi
(12)
§ 25. Дифференциальное исчисление кососимметрических тензоров 183
Значение формы dw на векторных полях X = (X'), Y = (У) равно
i ■ LV
V За:1 ах^ /
Формула (11) при к = 1 примет вид
2dw(X,Y) = дхш(У) - b\w(X)-w([X, Y]) = дх{Т>Г) -
Правые части формул (12) и (13) совпадают. Теорема доказана. ■
Как действует дифференциал на внешнее произведение двух форм? Имеет место
Теорема 5. Пусть ш\, ш2 — дифференциальные формы степеней р и q соответственно.
■ Тогда
<f(wi Л ш2) — йш\ Л ш2 + (-1/ ш\ Л du>2. (14)
.Доказательство достаточно провести для случая, когда формы ш\, ш2 — одночлены:
и, = fdx'1 Л... Adx'*, ш2 = gdx3' Л... hdx?\
Тогда
ш, л ш2 — fgdx" Л ... Л dx'' Лdx3' Л ... Л dx3'.
Поэтому
d(w, Л ш2) = —г 5 dx* Л dx'1 Л ... Л dar''' + /-—-r dx*1 Л dx" Л ... Л dar''' =
ах* ах*
= (~ dxkA dx"A ... Л dx{A Л (5 dar^'A ... Л da^") + (-1/(/ dx"A ... Л dx1') A
Л ( -=£ dxk А ... Л dxJ' J = dun Л w2 4- (- If ш\ Л dw2,
где мы использовали тождество
dx* Л dx" Л ... Л dx1' Л dar" Л ... Л dar''' =
= (-lfdx*1 Л... Л dxif Л dx* Л dx3' Л... Л dar7'.
Теорема доказана. ■
В присутствии метрики Qij можно определить другую важную
дифференциальную операцию на формах, понижающую ранг формы на единицу и обозначаемую
через Л (дивергенция хососимметрического тензора):
<5 = *~'d*. (15)
Явные формулы для оператора S будут получены в §29. Операция 6 инвариантна
относительно замен с положительным якобианом.
Перейдем к примерам. Рассмотрим трехмерное евклидово пространство.
1. Для скалярного поля /(х) дифференциал d/ представляет собой ковектор.
Отождествляя верхние и нижние индексы, получим вектор grad/ = (|£, ■£, -£\.

184 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
2. Пусть ш = Ttdx' + T2dx2 + T-idxi. Тогда
dw = ( —г } dx A dx + ( —^r - --7 I dx~ f\dx + I ——- - --4 ) dx Л dx'
\dx' dx2/ \9x2 dx3 J \дх3 dx'
— форма ранга 2. Используя оператор *, по форме dw, можно построить ковектор
(1-форму) *dw (см. § 19, п. 3):
(дТъ ЭТ2\ i /дТ, дТЛ , /9Т2 ЯГ, \ ,
** = U? " в?) dX + («? " *0 dX +{М-М) Л ■ ('6)
Если отождествить векторы и ковекторы, то эта операция превратиться в переход от
вектора Т к вектору *dT = rot Т — ротору векторного поля.
3. Пусть опять ш = Т\ dx1 + Тг dx2 + Тз dx3. Вычислим форму 8ш = *_'d * ш.
Это — форма нулевого ранга (т.е. скаляр), так как 6 понижает ранг на 1. Имеем
ш = Tidx1 + r2dx2 + Tjdx3 Д T\dx2 Л dx3 + T2dx3 Л dx1 + T3dx* A dx2 -i
war, аг2 ет,\ , , 3I-i «r, 3T2 dT3
Вывод.
ЗГ, 9T2 0T3
e(D = divr=^l + ^ + 5J. (,7)
Эта формула для дивергенции справедлива лишь в евклидовых координатах.
4. Рассмотрим четырехмерное пространство-время с координатами х° = cijX1,
х2,х3 (с — скорость света) и псевдоевклидовой метрикой
dl2 = (dx0)2 - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2
0
Напомним (см. §21), что электромагнитное поле является кососимметрическим
тензором Р^ 2-го ранга, где i,j = С, 1,2,3. Из теории электромагнитного поля известно,
что тензор Fij должен удовлетворять уравнениям Максвелла. Первая система, или, как
говорят, первая пара уравнений Максвелла имеет вид
dFik dFik дРц
(dF)ijk = —^- ^4--т- = 0, (18)
1 дхг дхЗ дхк K
или, короче, dF — 0, где F — ]Г) F,jdx' A dx1. По-другому эти уравнения можно
•<>
записать, используя введенные в §21 обозначения Е = (Еа), Еа = Foa; Н = (На),
-Я1 = F2i, Н2 = +FU, -Я3 = Fn. Уравнение (18) с (i,j, к) = (1,2,3) примет в этих
обозначениях вид
dFn dFn dF23
1хТ-^хТ + 1хТ=°> "» diVH = °' (W

§25. Дифференциальное нечисление кососимметрнческих тензоров 185
а остальные уравнения вместе означают, что
т, 5Н „ „ 1 5Н
rotE4 ^ = 0, или rotE = . (20)
дх° с dt К '
Таким образом, система (18) эквивалентна системе двух уравнений: скалярного
уравнения (19) и векторного уравнения (20), по этой причине и говорят: пара
уравнений. Эти уравнения никак не связаны с наличием псевдоевклидовой метрики.
Вторая пара уравнений Максвелла для своего написания уже требует
псевдоевклидовой метрики. Ее суммарный вид таков:
4ir
6F = *d*F = jm. (21)
Здесь j(4) — четырехмерный (ко)вектор тока, j(4) = (рс, -/го1, -pi;2, -pi;3) = (р, -j), где
р — плотность электрического заряда в трехмерном пространстве, v = (v\v2,v3) —
• обычная скорость зарядов в трехмерном пространстве. Формулы для оператора * в
псевдоевклидовых координатах, полученные в §21, позволяют переписать уравнения (21)
в виде системы («пары»)
divE = 4irp, (22)
„ 1 дЕ 4тг
r0tH-cl»=TJ' <23)
снова составленной из одного скалярного и одного векторного уравнения.
Задачи. 1. Пусть Х\,...,Хп — линейно независимые в каждой точке л-мерной области
векторные ноля, ш1,...,ш" — дуальный базис 1-форм: ш'(Х{) = <5]. Доказать, что
где величины с,* определены равенством
[Xi,Xj] = CijXi-
2. Доказать, что для гладкого отображения F и любой формы ш справедливо равенство
F'(du) = dF'(<j) (см. §22). Вывести отсюда, что Ь^(ёш) = d(L^).
3. Для каждого векторного поля X = (X') введем линейный оператор i(X) на формах,
полагая
1^)^,...^., =^ш»,...«-м
здесь ш = (¾ ..д) — форма степени к.
а) Доказать, что г(Х) — антидифференцирование:
i(X)(u>\ Лш2) = («(Х)ш|) ЛШ2 + (-1) ш1 ЬЦХ)шг,
где 1ь>| — форма степени к.
б) Доказать формулу
i(X)d+di(X)= Lx,
Lx — производная Ли вдоль поля X.

186 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
§ 26. Кососимметрические тензоры
и теория интегрирования
1. Интегрирование дифференциальных форм. Если в области U n-мерного
пространства задана функция f(z',..., г"), то определен интеграл функции / по области U:
f... f f(z)dzl ... dz" = I ... J f(z)dz A... Adz"
(1)
и
При этом, если задана замена координат
z = z(y), (2)
то имеет место формула замены переменных
f...ff(z)dziA... Adz"= f...fjf(z(y))dylA... ЛАД
(3)
где J = det (yj) — якобиан, a V — прежняя область U, но записанная в координатах
у\-У- У
В этом параграфе мы будем рассматривать только замены переменных с
положительным якобианом.
Заметим, что подынтегральное выражение является кососимметрическим
тензором ранга га. В системе координат z ,...,z" компонента Ti.._n этого тензора по
определению равна /(z) = Т|...„. Вспомним, что кососимметрические тензоры ранга га
в га-мерном пространстве при замене координат z = z(y) преобразуются по формуле
2?..я = J ■ Ти..п, где J = det (jj?). Таким образом, Т'ия = Jf(z), что согласуется с
формулой (3). Итак, подынтегральное выражение — это кососимметрический тензор.
Пример. Если задана риманова метрика (jy), то детерминант д = det (¾¾) при заменах z — z(y)
ведет себя так;
, , / dzk dz'\ -,
д = det(¾) = det (,н— ^)=-^9- (4)
Поэтому выражение ^/д при заменах координат с положительным якобианом ведет
себя как кососимметрический тензор. Напомним, что площадь области на поверхности
определялась так (§ 7, п. 4):
°(и)Ч1
\fg&uAv\ и — z , v = z , п — 2; (5)
мы видим теперь, что интеграл в правой части формулы не зависит от выбора координат.
Если в пространстве (х\х2,хг) с евклидовыми координатами задана поверхность
х' = x'(z), j = 1,2,3, и если мы хотим проинтегрировать по поверхности какую-
нибудь скалярную функцию /(i(z)), определение которой существенно связано с этой
поверхностью (например, ее гауссову кривизну), то этот интеграл определяется так:
интеграл по области U на поверхности равен
//
f(x(z))^gdZ{Adz\ (6)
и
2
где ffip{z)dzlAdz2 — обычный кратный интеграл. Иногда выражение ^/gdz' Adz
и
называют мерой (элементом объема) на поверхности.
Итак, мы приходим к выводам:

§26. Кососимметрические тензорыи теория интегрирования 187
1) В те-мерном пространстве для любой ограниченной области U определен
интеграл /... /Г, где Г — кососимметрический тензор типа (0,п), Т = (Г;,...* ).
2) В координатной записи этот тензор записывается так:
T = Ti...ndz' Л... Adz"
(или Г,...ndz' ... dzn, если не писать значка Л).
3) Г]...„ = f(z) есть скалярная функция точки, но при заменах координат
z — z(y) имеем
J ... J f(z)dz] A... Adz" = J ... f Jf(z)dy A... Adyn.
и V
4) Если мы хотим интегрировать по пространству функцию <p(z), то
необходимо иметь заданный и отмеченный кососимметрический тензор Г в пространстве
(называемый элементом объема или мерой).
Тогда интегралом от функции ip(z) по определению является интеграл от тензора
<p(z)T:
J... f<p(z)T= J... fp^T^dz1 A...Adzn. (7)
и и
5) В случае, если фиксирована метрика (Ду), такой отмеченный
кососимметрический тензор Т = Ti.ndz1 Л ... Л dz11 (относительно замен с положительным
якобианом) задается в виде
T = da= sf\0\dzx A... Adzn.
При этом интеграл от функции ip(z) определяется как
J... JV(z)T = J... J' v(z)s/\g\dz A... Adz".
и и
6) Значок Л означает, что dz1 A dz3 = -dz3 A dz'. При заменах переменных
z' = z'(y), ввиду равенств dz' = -щт dy3 и dy' Л dy3 = -dy3 Л dy', получаем
dzu л... лdzh ]Г j;;-£dy3' а ... a<v\ (8)
где JyJ - минор матрицы Якоби |ij. В частности, при к = п имеем
dz1 A... Adz" = JdylA... Adyn, (9)
где J — якобиан.
7) В евклидовых координатах имеем \/\д\ = 1, и поэтому da = dxx Л ... Л dxn.
Необходимо различать два выражения:
а) «интеграл от кососимметрического тензора ранга п по области» — этот
интеграл имеет смысл всегда («интеграл II рода»);
б) «интеграл I рода от функции по области»: для вычисления этого интеграла
надо знать, по какому элементу объема (мере) ведется интегрирование; надо
функцию умножить на этот элемент объема (кососимметрический тензор) и лишь затем
проинтегрировать. Очевидно, этот интеграл сводится к первому.

188
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Перейдем теперь к произвольным кососимметрическим тензорам ранга А; типа
(О, к) в те-мерном пространстве. Рассмотрим сначала тензор Т, типа (0, 1) (ковектор)
в n-мерном пространстве. В § 18 каждому ковектору Tj мы поставили в соответствие
дифференциальную форму ш = Tj dz3 первой степени.
С чем связано название «дифференциальная форма»? Оказывается, выражение
Tj dz1 можно проинтегрировать по любой кривой z1 ■= z'(t), a ^t ^. b. Действительно,
рассмотрим выражение
IT}z}dt= I Tj(,'dt,
(10)
где $ = z3' = Yt вектор скорости.
Это выражение называется интегралом дифференциальной формы по кривой (в
анализе — «интеграл 2-го рода»).
Другое дело, когда задана кривая z! = z'(t) и некоторая скалярная .функция
f(z(t)), существенно связанная именно с этой кривой, — например, ее кривизна или
кручение. Тогда вводится мера на кривой — элемент длины dl = \z\dt, и интегралом
ь
от функции f(z(t)) вдоль кривой называется выражение J f(z(t))dl (в анализе
а
это «интеграл 1-го рода»). В сущности элемент длины на кривой dl = \z\ it — это
одномерный вариант общего «элемента объема» da = ^J\g\dzx l\... Adz", вводившегося
ранее, так как для п= 1 \д] = \ди\ и y/\g~n\dt = dl, где дп = |i|2, t = z1.
Что же касается интеграла 2-го рода — интеграла от ковекторного поля
(дифференциальной формы) по любой кривой, — то этот интеграл обладает следующими
свойствами: 1) он не зависит от того, как на кривой введен параметр:
dza Г dz"
(И)
f dz" f dza
где t = t(r) и г меняется от а! до ft', когда t меняется от а до ft; 2) результат
интегрирования не зависит также и от координат в пространстве: если z = z(y) и
Т'р = Ta^j, причем za(t) = z"(y(t)), то имеет место равенство
t dza f ,dy^
a a
В самом деле, Tadz" = T'pdjf и оба интеграла берутся вдоль одной и той же кривой
za = za{t) или уР = yP(t), где z(t) = z(y(t)); поэтому они совпадают.
Таким образом, мы уже определили интегрирование кососимметрического
тензора ранга п по (n-мерной) области в n-мерном пространстве и интегрирование
ковекторного поля по любой кривой.
Оказывается, кососимметрические тензоры ранга к (типа (0, я)) интегрируются
по «-мерным поверхностям в n-мерном пространстве. Пусть ^-мерная поверхность
задана параметрически,
xl = x\z\...,z\ i= l,...,n. (13)
и пусть задана область U в А;-мерном пространстве с координатами z',..., zk.

§ 26. Кососимметрические тензорыи теория интегрирования
189
Как вводится интеграл от кососимметрического тензора Т = (T,,...;t) в те-мерном
пространстве с координатами х\...,х" по области U в fc-мерном пространстве с
координатами z],..., zk, если задано вложение (поверхность) х' ~ x'(zx,..., zk)1
Мы будем в целях удобства использовать для кососимметрических тензоров язык
дифференциальных форм.
В §22 п. 1 было определено ограничение кососимметрического тензора Г;,...,-,,.
на поверхность х = x(z). Это уже тензор ранга к в /с-мерном пространстве (на
поверхности).
Определение 1. Обычный кратный интеграл по области от ограничения тензора
№,...ц) — Т на поверхность называется интегралом от кососимметрического
тензора (Ti,...j,) = Т, заданного в n-мерном пространстве, по области U на этой
поверхности х' = x'(z\..., zk), i — I,...,п. Он имеет вид
/"/Г = /"""/\ £ Я,..лАhUz,A...Adzk. (14)
Напомним, что выражение JZ Ti^j^dx1' Л ... Л dx4 Называется ДИффереНЦИ-
алыгой формой степени к; мы уже знаем, что это просто вид записи
кососимметрических тензоров типа (0,fc). Этот интеграл от формы (тензора) по области на поверхности
обладает двумя свойствами:
1) Этот интеграл не меняется при замене переменных на поверхности zq = zq(z),
q = 1,...,/:. В самом деле, ограничение
i,<...<ik I
1 Л ... Л dzk
является тензором ранга к в fc-мерном пространстве z ,... ,z ; при замене переменных
z4 = zq(z'\...z'k) произойдет обычная замена переменных в кратном интеграле по
области U в fc-мерном пространстве.
2) Этот интеграл не меняется при замене координат х' = х'(х'1,..., х") в самом
n-мерном пространстве. Это немедленно следует, как и для к = 1, из того, что при
замене х = х(х') имеет место тождество
]Г Tj,...^1 Л ... Л dxik = Yj Ti-jtdx'j' Л • ■ ■ Л dx'JL, (15)
i|<...<U jl<-<ji
где dx' = jj^jdx'i и компоненты Tj,. .^. получаются из Г;,...,t по обычному
тензорному закону. В евклидовом пространстве на поверхности ж* = x'(z\... ,zk),
г — 1,...,71, определяется риманова метрика: если х1,...,хп — евклидовы коорди-
дх
dz'
паты, то gjjdz'dzi = ^(dxq)2, где dxq = — dz" (см. §7); при этом (¾ = gji и
dz'dz3 = dzJdz'.
Элемент объема па поверхности задается, как всегда, в виде
da = \/\g\dzl Л ... i\dzk\ g = dcl(gij). (16)
Пусть задана какая-либо функция f(z\... ,zk) на поверхности.

190
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Определение 2. Интегралом (I рода) от функции f(z\ ..., z') по поверхности
называется интеграл от функции по элементу объема da на поверхности:
интеграл I рода = /■•• / f(z\... ,zk)\/\g\dzl Л ... Adzk.
и
(на поверхности)
Важно отметить, что интеграл II рода не связан с римановой геометрией
в пространстве и на поверхности, а интеграл I рода связан с ней через элемент
объема ^/\g\dzx Л... Adzk, который является кососимметрическим тензором ранга к
(относительно замен с положительным якобианом), определенным лишь на данной
поверхности по ее римановой метрике, сама же эта риманова метрика поверхности
определяется по евклидовой метрике во всем пространстве.
2. Примеры дифференциальных форм.
Пример 0. Тривиальным примером «интеграла» от тензора 0-го ранга — скаляра f(z) — по
поверхности размерности 0 (точке Р) является по определению значение функции f(x)
в этой точке Р: «интеграл» = f(P). Это тривиальное замечание сделано намеренно —
оно будет полезно при обсуждении общей формулы Стокса.
Пример 1. Интеграл ковекторного поля или дифференциальной формы степени 1 (Ta) = Tadxa
по кривой х' = x'(t), а ^ t ^ 6, обсуждался в предыдущем пункте.
о
■А
Интеграл (II рода) по кривой = / Та <#. (17)
Пример 2. Интеграл от тензорного поля (Ti;) = ^T^dx' Л dx' (дифференциальной формы
степени 2) по поверхности х' — х' (г', z2), i = 1,..., п, имеет следующий вид:
интеграл по поверхности = // У Tjjdx' Adx1,
(18)
(на поверхности)
где Tij = Tij(x{z)) и dx' = ~ dz>, dz' Л dz' = -dz' Adz'. В трехмерном пространстве
(п = 3) и евклидовых координатах x\x2,xi, в которых (dl)2 = y^(cfa')3, эти интегралы
обычно записывают так:
1) интеграл по кривой от ковекторного поля
Ь Q
T- — dt = J T£dt, (19)
а Р
где £ = z, Т = (Та) - (Т°) (вектор и ковектор в евклидовых координатах — совпадающие
понятия, и это инвариантно относительно вращений), Р = (z'(a),z1(a),z3(a)), Q =
(z'(b), z2{b),z3(b)), о ^ t ^ b, T£ = (T,£) — скалярное произведение;
2) интеграл по поверхности («поток») от кососимметрического тензорного поля
типа (0,2) (или формы степени 2)
//5>*^=//Е W) (£*>) л (£*•) =

§ 26. Кососимметрические тензорыи теория интегрирования
191
//fe>
dxi дх> дх' dxi
Заметим, что |fr fp- - §£ |fi = Jji| — минор матрицы Якоби (§-■) ,
q = 1,2. Поэтому окончательно получаем
»<J
{/ u •'<]
dz1 Л dz2.
(20)
В трехмерном евклидовом пространстве с евклидовыми координатами х\ х2, хъ для
поверхности х' = x\z\z) определены базисные касательные векторы в каждой точке
поверхности:
: (дхЛ ЭХ1
¢=^=(^) = в?*
(дхЛ дх{
их векторное произведение [£, rj] нормально к поверхности. Векторное произведение —
это в сущности тензор Т'; = (£V - f ч'). которому сопоставляется «вектор»:
rpl гр2Ъ гр2 гр№ тЗ rpl2, rp ,rpl rpl *тд\
При этом, очевидно, T'3 = J'^.
Вектор [£, т)\ нормален к поверхности. Его длина равна ^/д, где д — det (ру),
dx'
9ij
dzUz3 = V(dx')2; dx* = — dz3
dz'
(cm. §7). Поэтому интеграл по области U на поверхности х' = x'(z , z ) в евклидовом
пространстве и в евклидовых координатах (х',ж2, ж3) приводится к виду
И Y, Tijdx' Adx>= № I £>« J» ) dz1 Л dz2 =
= JJ{T, K,i»]> dz1 Л dz2 = jj(T,n)^gdzl A dz2,
где л — единичный вектор нормали,
К, i7l K,i7l
IK,i7ll V9
Замечание. В четырехмерном пространстве (п = 4) интегралы от форм степени 2 по
поверхностям (k = 2) не могут быть сведены к операциям над одними векторами даже и в
евклидовом пространстве.
Что же касается трехмерного случая, то нами доказана

192
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Теорема 1. В евклидовом трехмерном пространстве интеграл от форм степени 2 г.
поверхностям совпадает с интегралом I рода следующего вида:
J j^Tijdx' Л dxj = J j(T, n)^gdz] Л dz2, (2;
и '<•>' и
где U — область на поверхности, заданной в евклидовых координатах (Xi,x2,x-
в виде xl = x'(z ,z ), г = 1,2,3, п — единичный вектор нормали к noeepxnocmi
Т — вектор, сопоставленный в евклидовых координатах (х\х2,х3) тензору (Г,7
gijdzidzi = i:(dxi)2;dxi = ^thJ.
В трехмерном случае в евклидовых координатах (х\х2, я3) ввиду связи межх
кососимметрическими тензорами (формами) типа (0,2) и векторами, а также ввис
связи между векторами и ковекторами говорят обычно об интегралах от векторно1
поля Та = Та
а) по замкнутой кривой: § Tadx";
г
б) по замкнутой поверхности: JJ{T, n)y/gdz Adz2, где п — единичная норма/
к поверхности. и
Напомним два определения из анализа:
1) Если кривая Г является замкнутой (т.е. Г имеет вид x'(t), где а ^ t ^ с
х'(а) = x'(b), i = 1,2, 3), то интеграл от ковекторного поля
* Taxdt
г
называют циркуляцией поля вдоль кривой Г.
2) Если поверхность U = {f{x\x2,x3) = const} является замкнутой в то
смысле, что она является границей области f(xl,x2,x}) ^ 0, которая ограничена
пространстве, то интеграл
/ J J2Tiidxi Л dxi
называется полным потоком через поверхность тензорного поля (Г,7) = -(Г,,) или,
евклидовом случае, потоком векторного поля Г = (Г1, Г2, Г3) через эту поверхност
Т1 —Т2ъ, Т2 = -Ti}, Г3 — Т]2, если х\х2,х3 — евклидовы координаты.
Возможно, что поверхность в целом нельзя задать параметрически в вш
х1 — x'(z , z"), если она задана уравнением f{x\ х , х ) = С. Однако это можно сдела:
около каждой неособой точки (см. § 7). Интеграл не зависит от выбора координат i
поверхности. Поэтому при вычислении интеграла по всей поверхности нужно разби-
ее на куски так, чтобы каждый кусок по отдельности был представлен параметрическ1
затем надо взять сумму интегралов по кускам. Например, сферу (я1)2 + (х2)2 + (хъ) =
можно разбить на два таких куска — верхнюю и нижнюю полусферы.
Пример 3. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве задана гиперповерхность М™"':
F(x\...,xn) = 0, gradF^O, (2

§26. Кососимметрические тензорыи теория'интегрирования
193
или локально х" = х"(у ,--.,у" )■ Здесь х ,...,хп — евклидовы координаты.
Определена «форма кривизны»
Kd<r = KJgdylb...bdy'-\ (23)
где- К — кривизна (для п = 2 это — кривизна кривой на. плоскости, для п = 3 это —
гауссова кривизна, для случая п > 3 мы определения не приводим, поскольку этот случай
для нас не важен).
Рассмотрим сферу S"~], задаваемую уравнением. ^2(х")2 = 1. На сфере
определен вращательно инвариантный хчемент (п - 1)-мерного объема. fi„_i, который для
п = 2,3 имеет вид
n = 2, fin_i=dip,
7i=3, П„_1 — sm8dddip.
Определим гауссово сферическое отображение поверхности М"~' в сферу 5"-1
следующим образом: рассмотрим в точке Р поверхности Мп~1 единичную нормаль- пР
к. поверхности и перенесем этот вектор пр в начало координат. Конец вектора пР —
это точка сферы S"~'. Соответствие Р н-> пр определяет гауссово отображение
V-: M"~J - S"'1 (25)
(точка Р переходит в конец вектора пР, исходящего из начала координат).
Теорема 2. Верна следующая формула:
Kdff = f*(tln-l),
( К dl = f'(d(p) при и = 2,
\ Ky/gdy1 Ady2 = i>'(U), где O = sin0d0dip при ti = 3,
где da = y/gdy] Л ... Л dy"~l — элемент (п - 1)-мерного объема в локальных
координатах у ,...,у"'1 на поверхности.
(Операция■■ф" на тензорах типа (0,fc) определена;в.§22.)
Локазательство. Доказательство одинаково для всех п ^ 2. Мы проведем его для п = 3.
Выберем в R3 евклидовы координаты с началом Р так, чтобы ось z =х3 была
ортогональна к поверхности в точке Р, а оси х = х и у = х2 были касательны
к поверхности. Тогда у — х, у — у, и поверхность задается около точки Р
уравнением z = f(x,y) с df\p = 0. Далее, К = det ( Vя J.x* ), (¾ = fyj в
точке P(fx — fy — 0). На сфере S"~' = S2 выберем такие же координаты по
отношению к точке ■ф(Р) = Q, так что ось z ортогональна S2, а оси х и у
касаются S2; форма Q = sine d6dp имеет в точке Q вид П = dx Л dy, а сфера
задается около точки Q уравнением z = \/l — х2 — у2; метрика сферы в точке Q
имеет вид <?,j = 5tJ-.
Координаты нормального вектора в точке Р' около точки Р имеют вид.
( Л Л -1 ^
7 3ак
.ф + ti + f? ф + П + fi ф + tt + fi

194
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
(причем fx = fy = 0 в точке Р). Поэтому около точки Р гауссово отображение -ф
записывается в виде
- fx - Ту ,-/-,
х ~ у = (26)
y/1 + fi + fi ф + Il + fi
(точка Р' с координатами х,у переходит в точку Q' с координатами х, у).
По определению формы V>*(fi) (см. §22) имеем
t , ( дх ду дх ду\
V- (П)р = \т -Г - Т тЧ dxAdy = JdxAdy, (27)
Vax Зг/ ду дх/ р
где J — якобиан отображения V в точке Р. Так как Л = /у = О в точке Р,
то, очевидно, J = fxxfyy - fxyfyx = К (гауссова кривизна). Так как модуль |^| в
точке Р равен 1, то окончательно в выбранной системе координат (в точке Р)
верна формула
Ky/\g\dxAdy = i>\aH-l), 71 = 3. (28)
Теорема доказана для п — 3. Для всех остальных п доказательство полностью
аналогично. ■
Замечание. При п = 2 имеем П = dip и форма K^f\g\d<p для кривой х' - х!(у), х2 = х2(у)
имеет вид K^/\g\dy = .Sfifl, где dl — элемент длины (натуральный параметр).
3. Общая формула Стокса. Примеры. Как было отмечено в предыдущем пункте,
определение интеграла от формы степени к по к -мерной поверхности в п-мерном
пространстве не обязательно требует параметризации этой поверхности целиком в виде
х' — x'(zl,...,zk). Так как интеграл инвариантен относительно замен координат в
пространстве и на поверхности и так как интеграл по сумме областей равен сумме
интегралов, то можно разбить поверхность на несколько кусков, а затем на каждом
куске можно отдельно ввести координаты. После этого, проинтегрировав по каждому
куску, надо сложить результаты и получить интеграл по поверхности.
Другое замечание состоит в том, что часто на поверхностях можно ввести такие
глобальные координаты z',...,г*, которые имеют особые точки (см. гл. 1 и 2) на
множестве меньшей размерности, интеграл от формы степени к по которому не даст
никакого вклада. Такими координатами часто пользуются в теории интегрирования.
Например, такими являются полярные координаты (r,ip) на плоскости (особая точка
г = 0), цилиндрические и сферические координаты в пространстве: (r,ip,z) —
цилиндрические (особые точки составляют прямую г = 0), (r,0,ip) — сферические
(особые точки заполняют ту же прямую и отвечают значениям координат г = 0,
в = 0, в = тг). На сфере имеются координаты (в, ip) с особыми точками 6 = 0, в = ж.
Сфера — это простейшая поверхность, на которой в принципе нельзя ввести координат
(единой системы) без особых точек. Во всех этих примерах множество особых точек
координатных систем было малым и оно не давало вклада в интегралы. Поэтому мы
его «не замечали». Из анализа известно о существовании связи между интегралами по
поверхности и по ее границе (формулы Грина для п = 2, Гаусса—Остроградского для
п = 3, к = 3 и Стокса для п = 3, к = 2). Мы рассмотрим сейчас эти формулы с точки
зрения теории кососимметрических тензоров (дифференциальных форм).
Ввиду аддитивности интеграла достаточно знать основные определения для
кусков поверхности. Пусть задана область U в fc-мерном пространстве z\...,zk с
помощью неравенства f(zi,...,zk) ^ С, и пусть Г — это ее граница, определенная

§ 26. Кососимметрические тензорыи теория интегрирования 195
уравнением f(z\...,z') = C. Пусть также задано вложение этой области с границей в
71-мерное пространство с координатами х],.. .,х":
х = х (z ,..., z ), г = 1,2, ...,7i.
Мы получим параметрически заданную поверхность, область U на ней и ее границу Г —
поверхность размерности fe - 1.
Какова связь между интегралами по области U и по ее границе Г от
всевозможных форм соответствующей степени в Ti-мерном пространстве (х\... ,х")1
Наиболее простой случай — это случай к = 1; в этом случае х' = x'(t), z1 = t —
кривая, область U — это отрезок a ^.t ^ Ь, граница Г — это пара точек t = а и t = b,
причем (чисто формально) точка а берется со знаком -, а точка b со знаком +.
Специально упоминался тривиальный случай «интеграла» от скаляра («формы
степени 0») по 0-мерной «поверхности», состоящей по определению из нескольких
точек со знаками.
«Поверхность размерности 0» — это формальная сумма точек ^2±Pi, где Р{ —
точки пространства. «Интеграл» от функции f(x) по «поверхности размерности 0» —
это по определению сумма значений функций в этих точках с соответствующими
знаками:
интеграл = ^ ±f(Pi).
i
Если в пространстве задана кривая x'(t) и отрезок U на ней (о ^ t ^ Ь) с границей
Г = Q — Р, то мы знаем из анализа формулу (Ньютона—Лейбница)
/' = 'W)-/<W* = /5?lf*. (29)
Г U а
Р = х\а), Q = х\Ъ).
Это — простейшая «формула Стокса», связывающая интеграл по границе с интегралом
по области.
В известном смысле многомерные формулы типа Стокса являются ее прямыми
обобщениями и, более того, могут быть формально сведены к этой.
Вернемся к общему случаю области U в координатах zl,...,zk на поверхности
хх = x'(z\. ..,zk), i = 1,... ,7i, с границей Г, заданной уравнением f(z\... ,zk) = С
(область U задается неравенством f(z) $С С).
Если в пространстве х ,..., х" задана форма степени fc - 1 (т. е. кососимметри-
ческий тензор типа (0, fc - 1)), записанная в виде Г = Yl Ti^.i^dx'1 Л ... Л dzu~',
то ее можно проинтегрировать по (fc - 1)-мерной поверхности Г — границе области U
на поверхности x'(z\. ..,zk), i = 1,...,п.
Верна общая
Теорема 3. Для любой дифференциальной формы
Т= ^2 Ti^.^dx'1 Л ... Л dxh-'
ii<...<U-i
с гладкими коэффициентами Г;,...;,._[(х), любой гладкой поверхности x'(z\... ,zk)
и ограниченной области U на ней с гладкой границей Г, состоящей из одного куска,

T96 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
имеет место формула
± / Г = J dT. (30)
г и
Тривиальный вариант этой формулы для к = 1, к - 1 — 0 5(>w указан выше.
Здесь dT — форма степени к (кососимметрический градиент тензора Ti, ,-lt_1 или
дифференциал формы степени к - 1).
В двумерном и трехмерном случае эта формула для разных к носит имена
Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса; эти специальные случаи формулы (30) по
отдельности доказываются в курсе анализа. Мы разберем эти случаи.
1. Плоский случай (п = 2).. Задана замкнутая кривая Г на плоскости х' = x'(t),
х'(а) — х'(Ь). Пусть эта кривая ограничивает область U на плоскости. Для любого
(ко)векторного поля Tadxa — формы степени 1 — определен интеграл по кривой Г.
Если пале Tadx" определено и не имеет особенностей внутри области U, то
справедлива формула
Г dxa ГГ{дТ2 9ТЛ , ,
или
(Tldx + T2dy)= I/ [ ^~~)dxAdy. (31)
г и
/<
Это — формула Грина (частный случай общей формулы Стокса).
Следующее дополнение относится к случаю, когда рассматриваемая плоскость
есть плоскость комплексной переменной z = х + гу. Пусть f(z) = J(x,y) = и(х,у) +
iv(x, у) — комплекснозначная функция. Рассмотрим интеграл
Ф f(z) dz = ф (и + iv)(dx + idy) — ф (udx — vdy) + i Ф (vdx + udy).
г г г
Применим формулу Грина
-ff{z)dz=tt{vy+d£)dxAdy+iII(vy-9£)dxAdy-
V и и
Получаем вывод: если всюду внутри области U функция f(z) является гладкой и
выполнены условия Коши—Римана (см. § 12)
ди dv dv ди
ду дх' ду дх
то форма /(г) dz является замкнутой.
Из этого факта вытекает: если п — целое неотрицательное число, то § zndz = 0
для любого замкнутого контура Г; если п отрицательно, то §zndz = 0 для контура Г,
г
не охватывающего 0, и §zndz не зависит от Г в случае, если Г обходит 0.
г

§ 26. Кососимметрические тензорыи теория интегрирования 197
скажем, против часовой стрелки. Беря в качестве Г единичную окружность z(t) = е1',
О <: t :¾ 2т, в результате простого вычисления получаем
п , Г 0, если пф-\,
z dz = < т ■ ,
1 2тгг, если та = — I.
г
Это лежит в основе важной формулы вычетов. Именно, для равномерно сходящихся
00
рядов /(г) = 5D ^(2 ~~ а)" имеет место формула (контур Г охватывает точку а и
П=-00
лежит в области равномерной сходимости ряда)
f(z)dz — 2зтгс_|,
1 k (33)
[z - a) f(z)dz — 2irick-\.
Эти формулы позволяют для аналитической функции /(г) вычислить
коэффициенты ее разложения в ряд Тейлора (если все степени п ^ 0) или Лорана
(-со < та < со) через интегралы.
2. Трехмерный случай. Пусть задано трехмерное пространство с координатами
х1,хг,х3. Здесь следует различать два случая: к = 2 и к = 3.
а) Пусть fc = 3, U — область и Г — ее граница. Тогда имеет место формула
//E^^///(^ + g-g)^W. ,34,
г l<i и
Если х',х2,ж3 — евклидовы координаты, то можно определить вектор Т, полагая
Т1 = Ггз. Т2 = —Т|з, Г3 = T\i- Если, далее, та — единичный вектор нормали к
поверхности, то согласно теореме 1 получаем
I^Tijdx1 Л dx> = {T,n)^gdzl Adz2, (35)
г •<■>' г
где г1,г2 — координаты на поверхности, da = -Jgdz Adz — элемент площади на
ней.
Далее,
агц дтп дт23 = эг
Зж3 дж2 дж1 9х<
Окончательно получаем
/ ПТ, тг) y/g dz' Л dz2 = I f{T,n)do-= fjj (div Г) dx' Л dx2 A dx1,. (36)
1' г v
Это формула Гаусса—Остроградского в трехмерном евклидовом пространстве.

T98 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
б) Пусть к = 2, U — область на поверхности х' = x'(z\ z ), i = 1,2,3,
Г — граница этой области (кривая). Имеем
fadX° = fI
дТ2
дх1
—j I dx Л dx~ +
+ ( г^т - f^ )dx' Л dxJ + (
ax
dx7
/ОД
Vax2
од
di1
dx Л dx
(37)
В евклидовом случае, когда не надо различать векторы и ковекторы, а также можно
сопоставить кососимметрическому тензору (Ту) вектор Т = (Т1), получим (формула
Стокса)
4 Tadxa =11 (rot Г, га) Vy Лг1 Л dz2
(38)
где rot Г — вектор, сопоставленный кососимметрическому тензору (rot Т)ар = ^ф - |^J.
Итак, во всех этих случаях общая формула Стокса с помощью теоремы 1
преобразуется в разные интегральные формулы из курса анализа. Тем самым она
доказана для трехмерного пространства.
р В заключение мы отметим, что в формулировке общей
теоремы Стокса не надо обязательно считать границу Г состоящей
из одного куска. Если граница Г состоит из нескольких кусков
(рис. 31), то интегралы по разным кускам войдут со знаками +
(или -), которые нужно выбирать правильно. Это отмечалось уже
раньше для тривиального случая к = 1, в котором граница Г
отрезка кривой состоит из двух точек: одна (конечная) со знаком + ,
а вторая (начальная) со знаком -. Здесь следует отметить, что
выбор знака в выражении JJ{T,n)^/gdzl A dz~ (или, как говорят,
«ориентации» границы Г) определяется направлением единичной
нормали п.
Укажем теперь одно важное приложение общей формулы Стокса.
Рассмотрим четырехмерное пространство х = ct, х', х2, х3 с метрикой
+1 0 \
_. , где с — скорость света, t — время.
О -1/
Пусть Fik = -Fki — тензор электромагнитного поля, г, к = О,1,2, 3. Мы будем
сейчас изучать свойства этого тензора при неизменном времени х = ct, так что
разрешается преобразовывать лишь пространственные координаты х', г = 1,2,3:
9ц
/О _ о
/1 _ '1, 1 2 Зч
В этом случае тензор (¾) в четырехмерном пространстве определяется ковектором
электрического поля Еа = Foa, а = 1,2,3, и тензором магнитного поля Нра —
-Нар — Fap, а,@ =1,2,3. Если координаты х',х2,х3 евклидовы, то магнитное поле
определяется вектором магнитного поля (§2!)
Н = #23, Н = ~H\li И = И\2-
На языке дифференциальных форм имеем (см. §25)
d(Fijdxl Л dx1) = 0 (первая пара уравнений Максвелла)

§ 26. Кососимметрические тензорыи теория интегрирования 199
или в трехмерной евклидовой записи:
a)divH=f£ = 0;
б) rotE + ±f?=0.
Из уравнения: а) и формулы Гаусса—Остроградского получаем. (Г — граница
области U~)>
/// divH<fcc' Adx2 Adx = (К n)da = 0
и г
(«поток магнитного поля сквозь, замкнутую поверхность всегда равен нулю»).
Из уравнения б) и формулы Стокса имеем
и.
(Г — граница, области U на поверхности)
/ / (rot Е, n) da = ф Eadx°
и. г
юверхности),
(«производная по времени от потока магнитного поля через поверхность со знаком
минус равна циркуляции электрического поля по границе поверхности»).
Вторая пара уравнений Максвелла имеет вид (см. §25)
3 dFik 1 dFi0 4тг
Eur
дхк +о dt
- J(4).
где jm = (cp,ji,j2,ji),p — плотность заряда, j = (Ji,h,ji) — трехмерный вектор
/+1 _ О V
тока (четырехмерная дивергенция тензора Jit в метрике [ ' _. 1 равна (со
V о -I/
знаком минус) четырехмерному вектору тока, умноженному на 4зг/с).
В трехмерной форме это дает:
а) divE = 4згр;
б) rot Н - - ж =r Tj.
Из а) и формулы Гаусса—Остроградского имеем
/ N 4жр dxl A dx2 A dx3 = /7 (Е,n) da
и г
(«поток электрического поля через границу области равен с точностью до 4зг полному
заряду в этой области»). Из б) и формулы Стокса имеем
с // ~di.*da + Я TJn<iir = / H°dx°'
и и г
где Г — граница области U на поверхности («полный ток через поверхность плюс
производная от потока электрического поля через эту поверхность равен циркуляции
магнитного поля по границе этой поверхности»).
Мы видим здесь различное геометрическое, содержание первой и второй: пар
уравнений Максвелла. Первая пара уравнений Максвелла не связана ни с какой
метрикой пространства; что же касается второй пары, то ее нельзя написать без
метрики. Обычная форма этих уравнений тесно связана с евклидовыми координатами;

200 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
4. Доказательство общей формулы Стокса для куба. Выше было показано, что
классические интегральные формулы Грина и Гаусса—Остро градского являются
частными случаями общей формулы Стокса. В этом пункте мы докажем общую формулу
Стокса для случая, когда областью интегрирования является fc-мерный куб.
, д Сингулярный куб а пространства М™ определяется как
h [ \К гладкое отображение a : Ik —» М" , п ^ к, где 1к — декартов
куб размерности к:
/ = ((^,...,^)10^1^1}.
Уравнения ха — 0 и ха = 1 определяют две (fc - 1)-мерные
1 *" грани 1а и l£ соответственно (рис. 32). Через д1к обозначим
Рис. 32. границу куба /* : dlk = \J(I% U 1~). Пусть /~' есть (к - 1)-
а
форма в М" и dipk~l — ее внешний дифференциал; пусть, далее, а : 1к —» М" —
сингулярный куб.
Теорема 4. Имеет место равенство
„ = J *р
(г(Э1к) 0(11)
(мы считаем, что ориентация на границе д1к индуцирована естественной
ориентацией куба Ik, причем индуцирование осуществляется с помощью внешней
нормали).
Замечание. Здесь под интегралом J у понимается сумма по всем граням куба.
Локазательство. Рассмотрим форму ш = cr*(tp); в силу перестановочности сг* с
операцией d, имеем dhi = dcr"(ip) = a*{dtp), и, следовательно, требуемое утверждение
достаточно доказать в следующем виде:
/-=/'
dbj.
Мы воспользовались здесь тем, что по определению
dip = o-'(dip) и / tp = J <r\tp).
fftf*) 7' (1(.811) OP
Пусть w — aa(xl,..., xk)dxl A ... A dxa Л ... Л dxk, где aa(x',..., xk) — гладкие
функции, а дифференциал dxa пропущен. Тогда
du=Y^dx° Adx' A... AW A... Adxk = У(-\)°-^£х,
^-1 dxa ^ ' дх"
a a
где d х = dx1 Л... Л dxk. Для простоты дальнейших рассуждений предположим,
что функции aa(x',..., xk) представлены в виде произведений:
к
aa(x\...,xk) = Y\_b4a(xq),

§ 26. Кососимметрические тензорыи теория интегрирования 201
где Ь''а — гладкие функции от одной переменной х'. (Напомним, что в курсе
анализа доказывается следующая теорема: любая гладкая функция равномерно
аппроксимируется линейными комбинациями произведений гладких функций,
зависящих от одной переменной; мы, конечно, не будем здесь это доказывать.)
Вычислим в явном виде выражение / dui:
/*.-/(1:.-.г*)л-/(е<-.г^(п^))/.-
= £/- ■/•••/(-1Г'&а(х1)...ьГ,(ха-1)ьГ|(ха+1)...
<*") (I1)
= £'/- /-/(^)-¾^) ...bka(xk):
Ь*(х*)
dx А ... A dx Л ... Л dx* =
" («') <*") (il)
х [Ь"(1) ~ Ь"(0)]) dx1 Л ... Л di" л ... л dxk =
= Х)/-- /••• / (^(^)--^(0-..^(11)-
" <*') (I") <*')
-bi(xl)...b°(0)...b*(x*))<ixl A... Adx* A... Adxk =
J2J ■■■ /••• /(о«(*\...,*;
*>!«-=!
(I1) (i") (I1)
-аа(х ,..., х )|i«=() dx A ... Adx A ... Adx = I ш.
Теорема доказана. ■
Задачи.
1. Вычислить объем групп 50(3, К) и 517(2) в метрике Киллинга.
2. Пусть X' — векторное поле в четырехмерном пространстве Мипковского R{.
Определим интеграл этого векторного поля по трехмерной гиперповерхности («поток»
векторного поля через гиперповерхность) как интеграл от 3-формы X'dSi, где
1 г—
dSi = - Vlsl £jiudx' Л dx Л dx,
в
Ejkii — антисимметричный тензор 4-го ранга. Вывести из общей формулы Стокса
следующее равенство (в псевдоевклидовых координатах):
j **,-!%«.

202 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
3. Пусть U — ограниченная область с гладкой границей в пространстве с римановой
метрикой gij и Qj — пространство всех гладких р-форм, обращающихся в нуль вне
области U. Введем в пространство П^ скалярное произведение, полагая
(Ш),ш2) = / Ш| Л *ш2
и
ДЛЯ JJ-фОрН Ш|,ш2 ш &у-
а) Показать, что пространство Q^ с введенным скалярным произведением евклидово
(см. задачу 2 к § 19)-
б) Оператор * ортогонален:
(*Ш|,*Ш2) = (<jJ\,W2).
в) Операторы S = (-l.)"p+"+I * d* и d сопряжены, т.е.
{du,,u2) = {шидш2).
г) Квадрат оператора 6 равен нулю: 66 = 0.
д) Пусть Д = d5 + 6d. Показать, что оператор Д в пространстве uvv самосопряжен:
(Дш1,ш2) = (шь Awj). Проверить следующие соотношения перестановочности:
Дй = <*Д, Д<5 = <5Д, Д* = *А.
§ 27. Дифференциальные формы
в комплексных пространствах
1. Операторы <f и d". Пусть D — область в комплексном пространстве
С с комплексными координатами z',...,г". Можно рассмотреть «овеществленную»
область D с вещественными координатами ж1,..., х", у\-.,уя, где
zk = xk + iyk, к =1,...,п. (1)
Базис в касательном пространстве к DR (в любой точке) образуют векторы ^т,---,
5?г, я"т, • ••, g~T- Мы будем рассматривать комплексные касательные векторы, т.е.
линейные комбинации
с комплексными коэффициентами. В пространстве таких векторов удобно ввести
комплексный базис ^-, т=г, полагая
JL - I f-JL _ •АЛ JL-L(JL АЛ
№ ~ 2 \дхк ~ %df ) ' Э1* ~ 2 \^* +%дуТ) ' к-]'-'п- (3)
Чтобы сделать дальнейшие формулы более ясными, примем такое
соглашение. Тензорные индексы, отвечающие надчеркнутым координатам, мы всегда будем
надчеркивать, делая исключение для тех обозначений, в которые черта уже входит.
Например, запись auzkz* подразумевает суммирование по обоим индексам (см. также
ниже формулы (4), (7), (9) и т.д.).

§ 27. Дифференциальные формыв комплексных пространствах 203
Любой комплексный вектор £ имеет, таким образом,, вид
к 9 к 9 к I
причем вектор £ является вещественным в том и только в том случае, если £* =£к.
Дуальный базис в пространстве комплексных ковекторов (1-форм) имеет вид
dzk = dxk + idyk, dzk = dxk - idyk\ к = 1,...,n. (5)
Любая комплексная fc-форма ш, 1 ^ fc ^ 2и, представляется в виде линейной
комбинации выражений dz'1 А ... Л dz'r A dz3' Л ... Л Лг;'' rp + q = к. Поэтому ш можно
представить в виде
Ш = U)kfi + wt_ u + ... + w0ii, (6)
где в форму шм, p + q = к, входят р дифференциалов вида dz' и q дифференциалов
вида dz1. Тогда
ШР.? = -ГТ И ^1...471--^1 Л • • • Л ^ Л ^ Л • • • Л d*'"> <7>
Ji-*
причем компоненты Tj,...^,...; кососимметричны по индексам i\...ip и J\...Jq в
отдельности. Форма шм называется формой типа (р, ?)-
Разложение (6) не зависит от выбора комплексных координат. Если w1,..., w" —
другие комплексные координаты в области D и функции w' — w'(zl,... ,zn)
комплексно аналитичны, то dw' есть линейная комбинация форм dz\...,dz", a dw' —
линейная комбинация форм dz\...1dzn.
Лемма 1. Дифференциал d можно однозначно представить в виде
d=d' + d", (8)
где для формы ш типа (р, q) дифференциал d'w имеет тип (р+ l, q), а дифференциал
d"u) — тип (p,q+ I). Операторы d', d" инвариантны относительно комплексно
аналитических замен координат.
Аоказательство. Для формы шм вида (7) имеем
I дТ ■ - -
dujva = У^ "•••',i""'' dz' Adz" A... A dz'* A dzh A ... Adzjl1 +
м р!я! ^-> dz'
М|,-,>,|
'1 h
,V U у" '■"■■>* -* dz" A... A dz*' A dz3 A dzj> Л ... Л dz'-. (9)
wV-J,
Обозначим первое слагаемое в этой формуле через <2'шм, второе — через d"u}pq.
В силу однозначности разложения (6) формы в сумму форм типа (р,д) операторы
d! и d" корректно определяются равенством (9). Их инвариантность следует из
инвариантности разложения (6) относительно комплексно аналитических замен.
Лемма доказана. ■
Следствие. Квадраты операторов d! и d" равны нулю:
(d')2 = (d'f = 0, (10)

204 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
причем эти операторы антикоммутируют между собой:
dV = -d'd". (11)
доказательство. Из равенств d2 = 0 и d = d! + d" вытекает, что
0 = d шм = (d1) шм + (d") шм + (dY'wM + d"d'uM).
В правой части первое слагаемое имеет тип (р + 2, q), второе — (р, q + 2), третье
и четвертое — (р + 1,5+ 1). Следовательно, все эти три формы равны нулю.
Следствие доказано. ■
Определение 1. Форма ш типа (р, 0) называется голоморфной, если
d"w = 0. (12)
Пример. Форма ш типа (0,0) — это комплекснозначная функция /(z',...,z",j',...,z").
Условие d"/ = 0 есть условие комплексной аналитичности функции /:
— = 0, ,= !,...,„.
В общем случае форма ш типа (р, 0) голоморфна, если все ее коэффициенты
являются комплексно аналитическими функциями.
2. Кэлерова метрика. Форма кривизны. Эрмитова метрика в области D задается
набором функций д^, отнесенных к каждой системе координат (г1,...,г"), таких, что
а) gfk = Щ,
б) при заменах координат z; = г^г' ,... ,г" ), где ^- = 0, имеем
dz] ( dzk \
в) форма gjk£*£ положительно определена.
Комплексное скалярное произиедение комплексных касательных векторов
С = (£*i£*)> V ~ (Vk>Vk) задается формулой
(£,4)c = </irfY- (13)
Скалярное произведение (,)с не зависит от выбора комплексных координат. Оно дает
риманову метрику (,)r в вещественной области DR, где
«,4>R=Re<{,jrtc (14)
(см. §11, п. 2). _ _ _
Для вещественных векторов, т.е. для таких векторов £,77, что £ = £k, V = Ч*>
выполняется условие эрмитовости
(t,4)c = (v,Oc- (15)
Поэтому выражение
1 г
it,V)c ~ tt,V)c
(16)

§27. Дифференциальные формыв комплексных пространствах 205
кососимметрично по £ и 7/ и дает дифференциальную: форму Q 2-го ранга, на Z>R.
Явный вид формы П таков:
n = -gjtdzi Adz"; (П)
поэтому П есть форма типа (1,1).
Определение 2. Эрмитова метрика д^ называется кэлеровои, если соответствующая
форма П замкнута:
<Ш = 0.
Геометрический смысл условия кэлеровости будет выяснен в § 29, п. 4.
Пример. Пусть в области D на двумерной вещественной поверхности введены конформные
координаты. Метрика в них имеет вид
ds2=gdzdz. (18)
Тогда форма П есть элемент площади поверхности. Здесь метрика всегда кэлерова, так
как форма П замкнута по соображениям размерности.
Лемма 2. Пусть д^ — эрмитова метрика, д = det (¾¾). Положим
ш = -—: d"d! In а.
2-кг у
Тогда ш есть форма типа (1,1).
доказательство. Нужно лишь проверить, что определение формы ш не зависит от
выбора комплексных координат. Сделаем комплексно аналитическую замену
координат:
dz'
z3 = z3(w\...,w\ —i=0. (19)
awK
Пусть J = det (g^r)- Якобиан соответствующей вещественной замены
координат равен \J\ (см. § 12, п. 2). Поэтому в координатах wl,..., ш™ детерминант g
матрицы эрмитовой формы имеет вид
g = \J\2g = Jig.
Отсюда
d! Ы g = d1 \п J + d' Ы J + d' Ы g = d1 \п J + d' \п g,
где d' In J = 0 в силу аналитичности функции J. Далее,
d"d' \ng = d"d1 In J + d"d' In g = -ctd" In J + d"d' In g = d"d! In g,
где мы использовали равенства d'd" = -d"d' и d"J = 0. Лемма доказана. ■

206 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Рассмотрим снова метрику gdzdz двумерной вещественной поверхности в
конформных координатах. Имеет место
Теорема 1. Форма ш — j-. d"d! \пд имеет вид
ш = -КП, (20)
7Г
где К — гауссова кривизна поверхности, а форма П = \gdz Adz — элемент
площади.
доказательство. Имеем
ctd" In а = In a dz Л dz.
У dzdz У
Мы видели (в §13, п. 1), что для поверхности, заданной в конформных
координатах, величина - j- ^Ц равна гауссовой кривизне. Теорема доказана. ■
§ 28. Ковариантное дифференцирование
1. Евклидова связность. В §25 была разобрана операция взятия градиента
кососимметрического тензора (тензорного поля), которая приводила к кососимметри-
ческому тензору ранга, на единицу большего. Эта операция в компонентах имела
вид
*+| ,ЭТ: -
Эх1'
e*D,,.,..v», = 2J-ir' 'Л. ■ (О
»=1
В частности, при k = 1 мы имели
(dT)y = —4-—4. (2)
; дх' дхз
Указывалось, что dT снова является тензором (это было строго доказано для к — 0,1).
Указывалось также, что операция d — единственная не связанная ни с какой геометрией
дифференциальная операция над тензорами в том смысле, что все остальные сводятся
к ней к к чисто алгебраическим операциям, перечислявшимся ранее (перестановка
индексов, сложение, произведение, след).
Что же касается обычного обобщения градиента функции на тензоры типа (р, q)
JjW.:*~ дхк ()
в пространстве с декартовыми координатами х'... х", то уже говорилось, что результат
этой операции не является тензором типа {р, q + 1). Так как эта операция встречается
довольно часто, мы укажем класс преобразований, относительно которого ее результат
преобразуется как тензор. Это — линейные преобразования.
Теорема 1. Если в пространстве заданы координаты и тензорное поле Т = ^,,..7. то
Т
дТц''т
,||...|, _ " Jl-.J,
ii-j,;* gxk

§ 28. Ковариантное дифференцирование 207
преобразуется как тензор типа (p,q + 1) при всех линейных заменах координат
х = a)z3, i,j = \,...,п, а) = const, z = b'jX3, b'jaj. = б\.
доказательство. Для линейных преобразований имеем
9х{ i d1xi dz{ , ■ ■
—- = a,- = const и „ . , = 0, ——г = о, =; const, а,-oi = ok.
dzi ] dzidzk dxi 3 ] *
По определению тензора
-*, k i, i dzkl dzk* to-" dx3" ,Л m ,,-.
•Ч.Л - J ;W, ^, • • • dxi, dzi, ■ ■ ■ dzi, ~ JU> °<0 H) - W
где (i) = il...ip, (k) = kl...kp, (J) = ji • • • jg, (0 = ii ■ • • V Так как a} = const,
bj. = const, то при дифференцировании формулы (4) будем иметь
ят'*' яг'*' ят''^ я~5
я;<*) _ <"(') _ Г1У). h<*0 „О) _ I1W £fL ь№) О) _ т(0 „' U>h(*> /сч
i(0;r - 9zr - 0zr D(0a(0 - 9a.i я2г »aC> --'U);»^'1!')0»- <->)
Это — закон преобразования тензора. Теорема доказана. ■
д2х'
Мы существенно использовали в доказательстве то, что 9 . t = 0. Рассмотрим,
например, тензоры типа (0,1) или (1,0):
^L - т. dJl - т*
to* " i;t' to* •*"
В силу только что доказанной теоремы Г,;^ и Г.'А преобразуются как тензоры
относительно линейных замен координат. При общих заменах координат ж* = x'(z1,... ,z"),
» = 1,..., п, с g^- £ 0 получим
дТ, д I дх*\ dTi дх1 ЗУ
Т- = i — I Т = —- I- Т- ■
±Г,<1 я,в я,а \ ' Я^' I я,в Я,J *
to? dzi \ 'dzi dzi dzi dzi dzi
dT{ дх? дх* dlxi дх» to' ЗУ
to? dzi dzi 'dzi dzi '-v dzi dzi 'dzi dzi'
Здесь Г — компоненты в системе координат (z), а Т — компоненты в системе
координат (х). Итак, общая формула преобразования имеет вид
dTj _ ~ _ to* to" ЗУ
dTi ~ Ti-i ~ Т^№ dU + т,ЪТГм- (6)
•a i
Слагаемое Г, в xdz, не имеет тензорного характера. Как было показано в § 25, выражение
(df)j:q = fj:q - f?;; = (Tiir - rp;i) gj- g-
является тензором. Но симметрическая часть
- to* to' ЗУ
(Ti:, + r?;j) = (Ti:, + TKi) --f 2Г,-
9z? toJ dzi dzi
не является тензором относительно произвольных замен координат.

208
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Аналогично для тензора Г' будем иметь
-,■ &£i_ д_ ( ,ЛЛ ОТ д* ,д_ (дгЛ =
■' dz1 dz1 \ да?J dz1 дх* dzl \дх' J
дТ дхр dz3 ; dV dxq
= \-Т (7)
дхР dz1 дх' dxldxi dz1'
Как видно, это — не тензор из-за второго слагаемого. Из формулы (7) вытекает, что
j _дТ^_9Г_д^9^_ ,■ ЭУ дх9 _
J ~ ~Ы ~ дх? dz1 дх* дх1 дхч dzi ~
Замечание. Выражение |y = Г.',- (вычисленное в евклидовых координатах) часто называется
дивергенцией векторного поля. Как видите, это выражение Т.', не является скаляром по
отношению к нелинейным заменам координат.
Обычно эту формулу используют лишь в евклидовых координатах (х\...,х"),
смысл дивергенции состоит в следующем: если заданы малые смещения точек
пространства
х -»i + T (x ,...,x ) = x ,
то элемент евклидова объема dx Л... Л dxn после смещения области приобретает
добавок Т!г dx1 Л ... Л dx" (см. §22, п. 2).
Вернемся теперь к закону преобразования градиента
Ввиду доказанной теоремы мы условимся применять эту операцию только в евклидовых
координатах х',...,х" и в координатах, отличающихся от евклидовых линейной
заменой
* * .J
х = a,]?,
Мы показали, что, применяя эту операцию по тем же формулам в другой системе
координат, отличающейся от (х) нелинейной заменой, мы получим выражение Г, '"i'r,
связанное с К.'».,, нетензорным законом преобразования.
Подойдем теперь к вопросу с другой точки зрения: откуда мы знаем, что
операцию взятия градиента надо всегда определять одной и той же формулой? Можно
допустить следующее: а) эта операция существенно связана именно с евклидовой
геометрией; б) что она применяется по формуле (9) лишь в евклидовых координатах х;
в) что результат этой операции есть тензор.
Какие следствия вытекают из этих гипотез? По каким формулам эта операция
должна применяться в других системах координат, связанных с евклидовыми
нелинейной заменой? Для вывода следствий из этих гипотез мы должны, во-первых, вычислить
результат применения этой операции к тензорному полю Т в евклидовых координатах
х\...,хп и лишь затем, согласно тензорному закону, преобразовать этот результат в
другую систему координат х' = x'(z\ ..., zn), i = 1,..., п.

§28. Коварнантное дифференцирование 209
Проделаем это:
^):. = -5^. (i)=iu-;i„ U)=Ju-.Jv (10)
dxs
l0');»
По определению считаем Г,-L тензором. Поэтому имеем
~,к, (i, дхи) dz{k) dxs
^--^):.^(/) dx<i) qz,> (")
где
dxi3) _ dxj' дх>- dzlk) _ dzk< dzk*
ЗгО ~ 02^'"dzV дх& ~ да^ ''' дх1^ '
Спрашивается, какой операцией в системе координат (z',...,z") компоненты Г,',,?,
получаются из компонент Г(() ?
Рассмотрим для простоты векторные поля (Г1) и ковекторные поля (Гу). В этом
.случае из (11) получим
~* - V— — т ^. 9х'
■" ~ ;s 3*' в*»; Г,;г _ Tj:s ft*' dp' °2)
Так как Т.'5 = ~, то из формулы (12) вытекает
~t _ ЯГ дх^ dzk _ дТ dzk
;'~ ^ ^ 0? ~ 0z? й?' (13)
Напомним, что Г* = Г'§§г- Из формулы (13) вытекает равенство
Як
дТ1 dzk д -к { д fdz
Ъ=м* = д*{Т)-Т9*\м\- 04)
.*
Так как Т' = Ts |^-, то получаем окончательное равенство
дТк ~,дх{ d2zk дх"
Тк = Т' — (151)
'' dzi dzs dxLdxm dzi ' v '
Введем теперь обозначение
к дх1 dxm d2zk
Vsq dz° dz* дх'дх™' U6)
Формула (15) приобретает вид
Нами доказана
~* 9Тк к ~,
Теорема 2. Если градиент векторного поля (Г') преобразуется как тензор при любых
заменах координат и в евклидовых координатах (х) вычисляется по обычной
формуле
дх"'

2)0 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
то в любой другой системе координат (z) градиент вычисляется следующим
образом: _
тк — _1_ г* т*
•Т~ a* + " '
где коэффициенты Fkr определяются формулой (16).
Аналогичным образом мы можем преобразовать выражение для ковекторного
поля:
- dxj дх^__ dTj д^_ dxi _ dTj dxi _
Ti;r - Tr,'-fci dz7~dx1dzir^zT~'dz7JzT~
д l~ dzk\ dxi ^ Qfk /dzk dxj\ _ dxi д /dzk
~aP\ k~dxi ) ~д? ~ 'dz7 I ~dx~i 'dz7 J + k'b4fdz7\dx1
dTk k ~ dxi д (dzk\ _ &Г, ~ (dxi dxs d2zk \ ^ dT[ k_
где
рй dz1 dz
1 lr - dz' dz'
dz' dz' 3V
dz' dz' dx'dz' '
Итак, нами доказана
Теорема 3. Если градиент ковекторного поля (Tt) преобразуется как тензор при любых
заменах координат и в евклидовой системе координат вычисляется по обычной
формуле
дхк
то в любой другой системе координат (z) он вычисляется по формуле
Ti-k - о,*"
dTi - ,
Ti:k = д? ~ Tfik' (18)
где набор TTik тот же, что и для векторов (Г1) в теореме 2, т. е. вычисляется по
формуле (16).
Итак, при построении операции взятия градиента, исходящем из того
требования, что ее результат ведет себя как тензор при любых заменах координат х = x(z),
мы приходим к разным формулам для векторов и ковекторов:
ЗТ;
Ti,k - -r-r - TikTr (для ковектора),
ох*
дТ ■ ~
Г;'* = -т-т + ?\kTr (Для вектора).
Однако набор Г^ц. общий для них.
Мы не будем здесь проводить вычисления для любых тензоров типа (p,q), но
приведем без доказательства результат.
Теорема 4. Если градиент Тф.к тензорного поля Тф типа (р, q) преобразуется как тензор
при любых заменах координат и в евклидовой системе координат вычисляется по
формуле
«9Т(,)
r(i) _ gJ0)
J0>;* - дхн >

§28. Ковариаятиое дифференцирование 211
то в любой другой системе координат х = x(z) он вычисляется по формуле
aqHk) V 1
(,);г~ дхг +2^J'i-', l" ~~ 2-, Jl,...(I,-iM,1'.r (19)
з=1 j=l
(запись k\...{k, —»»)... fcp означает, что в наборе kx...kv следует вместо к,
взять г), где набор функций Грк вычисляется по той же формуле (16).
Например, для тензоров 2-го ранга получаем
О/Т!»
9¾ - „ _ „
71 — J_ __ Т1 р™ _ Т р™
2^^ + ^+2¾.
Градиент тензора Г(;'| всегда обозначается через T^'j.,., (i) = tj... гр, (j) = ji... jq.
Следует подчеркнуть, что введенная нами операция существенно связана с
евклидовой геометрией. Дело в том, что мы определяли эту операцию двумя
требованиями:
а) результат операции есть тензор;
б) в евклидовых координатах она вычисляется по обычной формуле
9Т$
т(0 _ 0)
С точки зрения данной операции можно сказать также, что евклидовыми называются
такие координаты, что градиент в них для любого тензора вычисляется по формуле
дтИ)
J0);t - дхк ■
Остается выяснить, каким образом набор Гу = Гу(-г) меняется при замене
координат z' - z'(z'), i- 1,...,п.
Если заданы евклидовы координаты
(х ,...,х ), х =х (z) = x (z(z )),
то, следуя формулам (16), полагаем
к дх1 dxj d2zk d2xm dzk
г* = = (20)
pq dzP dzi 8х*дх1 dzPdzi dxm'
В системе координат (z) будем иметь
n*
дх1 dxi дггк' d2xm dz
к'
^ dzr1 dz* dxldxi dzr'dzf dxm'

212
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Из формул (20) и (21) получаем
к 8zv dzq d2zk Эх1 3xj dz" dzi
Г
ndz? dzi1 дх1дх' Qzv dzq Qz? dzi1
d2zk dx1 dx1 d2zk dzk d2xj
+ ■
так как
dxi dxi dzp' dz<j dz? dz* dxi dz? dzi"
d2[zk(x(z'))\ d I dzk dxl\ d2xl dzk_ dx1 d2zk dxj
Поэтому
dz? dzi' dzP1 \ dx{ dz* ) dz? dz* dx1 dz? dx1 dxi dzi1'
, dz" dz" d2zk 8zk д2т>
"''dzP' dzi1 dz? dz* dxi dz? dzi"
Отсюда следует равенство
dzk' Л,1ь dz" dzq d2zk \ dzk' dzk d2xj dV dzk' k,
dzk У ndz? dzi1 dz? dz* ) ~ dzk dxi dz? dz* ~ dz? dz* dxi ~ **'
Окончательно имеем формулу преобразования
гк' - _£_ Iк a*. __!. dlz"
'< ' dz" ^Г" dz? dz* + dz? dz*)' { '
Полученные результаты мы используем как идейную основу для выработки
более общего понятия ковариантного дифференцирования тензоров, которое уже не
связано ни с какой первоначальной евклидовой системой координат.
Определение 1. Говорят, что задана операция ковариантного дифференцирования (взятия
градиента) тензоров любого типа, если в любой системе координат z',...,z"
задан набор функций Гр?(г), который при замене координат z = z(z')
преобразуется по формуле (22). Величины Гр?(г) называются символами Кристоффеля.
Для векторов и ковекторов определим операцию ковариантного
дифференцирования (градиента) формулами
ОТ
дхк
г'* = ^ + г}*г;,
dTi ,
rp l_ -pj rp
*":*~fe* ikv
а для общих тензоров — формулой (19). Оказывается, закон преобразования (22) для
компонент Г,;- определяется из того требования, что градиент тензора есть снова тензор
(хотя сами Vkj не образуют тензора). Это будет доказано в следующем пункте.
Замечание 1. Операцию ковариантного дифференцирования (градиента) часто называют
дифференциально-геометрической связностью.
Замечание 2. Связность называется евклидовой, если существуют такие координаты х\...,х",
что Г* = 0 (или ТЦук = -^¾1 в этих координатах). Такие координаты также называются
евклидовыми.
Замечание 3. Операцию ковариантного дифференцирования часто обозначают символом V:

§28. Ковариантиое дифференцирование
213
2. Ковариаитное дифференцирование тензоров произвольного ранга. Итак, мы
определили ковариаитное дифференцирование векторных (ковекторных) полей как
операцию, которая в каждой системе координат х\...,хп записывается формулой
Q/Ttl
Т'3 = -~ + П}Тк (вектор), (23)
дТ{ к
Т-;з = ^~i~ Г0Г* (ковектор). (24)
Здесь V'kj — некоторые функции в данной системе координат, при замене координат
преобразующиеся по закону (22) (символы Кристоффеля).
Наоборот, пусть в каждой системе координат х\ ..., хп заданы величины T'kj(x).
Зададим ковариантную производную векторных и ковекторных полей формулами (23),
(24). Покажем, что закон преобразования (22) для величин TJ.;- при заменах координат
хх = х'(х{,..., х" ) определяется, исходя из следующего требования: результат операции
ковариантного дифференцирования есть тензор. Имеет место
Теорема 5. При замене координат хг — х'(х ,...,хп) величины V'kj преобразуются по
формуле
дх1' dxk dxj дх' d1xi
Эх' дхк' дх? дх' дхк' дх?
П<;< = 1%;!~ -_? —г + -__Т 7ППГТ ■ (25)
Аоказательство. Так как выражение
является тензором, то имеем (используя равенство Г1 = Г' |^г)
дТ'' _, _# (дТ{ ,г Лдх' дх? дх! дТ i kdx' dxj
Т'-3' дх? +r*'J' \dxi + kjT ) dxi дх? dxi дх? + kjT дх1 дх?
дх' д ( * дх1 \ i к. дхк дх{ дх?
~ дх1 дх? \ дхк') к> дх* дх{ дх?
дх' дх{ дТк' к.дх1' dlxi , к- дхк дх* дх3
дх1 дхк'.дх? дх{ дх* дх? к] дхк' dxi дх? ~
дТ I , дхк дх3 дх' дх1' д2х{
__ , | Г* „ ' . ' j /тЛ-"'
дх? у ki дхк' дх? дх1 Т dxi дхк' дх? J
откуда и вытекает требуемое утверждение. ■
Следствие 1. Символ V'kj преобразуется как тензор только при линейных или аффинных
преобразованиях координат х'= х'(х ,... ,хп ), где \.х ,, = 0 для всех i,fc', /.
Следствие 2. Альтернированное выражение
Tkj = r'fcj - Г)к - rjitj] (26)
образует тензор (тензор кручения).

214 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Локазательство. Из формулы (25) видно, что при перестановке индексов к' и /
слагаемое —■ % * , не изменится. Поэтому закон преобразования для T'k,j.
вообще не будет содержать этого слагаемого, т.е. будет тензорным. ■
Базируясь на результате следствия 2, введем
Определение 2. Связность TJ.; называется симметричной, если тензор кручения 7¾ =
1¾] тождественно равен нулю, или Tkj = Г*fc.
Пример. Если существуют евклидовы координаты х',...,х", где Г^ = 0, то тензор кручения
равен нулю и, следовательно, евклидова связность симметрична. В других координатах
х' ,...,х* , где х' =х'(х'), символы Г'к,у имеют вид
! дх'' дгх{
Г*, =
*'' дх' дх^дх'''
Это выражение симметрично по к\ /.
Перейдем теперь к тензорам произвольного ранга. Ковариантное
дифференцирование тензоров любого ранга однозначно определяется следующими требованиями:
а) ковариантное дифференцирование — линейная операция;
б) ковариантная производная тензора нулевого ранга (функция) есть обычная
производная
df
в) ковариантная производная векторного (ковекторного) поля задается
формулами (23), (24).
г) ковариантная производная произведения тензоров вычисляется по формуле
дифференцирования произведения:
V*« = (Vk<>) 4> + <>> (vtS<$ , (28)
где 1¾¾ = R^iq) ~~ произведение тензоров.
В качестве основного примера мы рассмотрим тензоры 2-го ранга Т'3, Ту, Г,;.
Имеет место
Теорема 6. При выполнении перечисленных условий ковариантная производная тензоров
2 -го ранга задается формулами
дТ,]
дхк
vkTij = -^ + rjtr'J' + ^1кТи, (29)
vkr; = -~к + itT- - rjtz?, (зо)
дТ ■
VkTij = -^- П*Г0- - г']кТ«. (31)
Для тензора Tj ■', (г) = »'[... ip, (j) = j\ ... j,, типа (p, q) ковариантная производная
вычисляется по формуле
dT{i)
v*'^ = -g$r - VLA -■■■- Т"А + тиГ'П + ■ ■ • + тигП- (32)

§ 28. Ковариантное дифференцирование 215
Локазатвльство. Проведем его для тензоров Г;; типа (0,2), для остальных типов оно
полностью аналогично.
Пусть е.|....., е„ — базисные векторные поля; е',..., е" — дуальный базис
ковекторных полей: (е1, е;) = 8). Компоненты этих тензоров имеют вид
Поэтому из формул (23), (24) получаем
У*е<=ф;-, (33)
Vkt{ = -Г)ке> (34)
(эти формулы можно взять за определение величин Г^).
Любой тензор Г с компонентами Т-'"'-' имеет вид
Т = Г^Ц'е;, 0 ... 0 eif 0 е;'' 0 ... 0 е3'.
В частности, тензор типа (0,2) имеет вид Г = Т^е1 0 е*. Используя свойства
операции V*, тогда имеем
Vk(T) = Vtffij) е* 0 «Н + TyVte*' ® е* + Гуе*' 0 V^r* =
Следовательно, компоненты тензора VkT имеют вид
дхк
а это и есть Щ;к по определению. Теорема доказана.
"J-ii I t
Замечание. Если I" — векторное поле, Tj — ковекторное поле, то определено скалярное поле
T'Ti (след произведения тензоров). Согласно требованиям а)—г) имеет место формула
а / ят11 \ / от1 \
—(Гт,) = (\?кгж + т'(\?кт{) =(^ + т)кт' J т( + f ^ - 1¾ J T'' =
= — (T%) + Г1кГТ( - VJbTjF.
о
Из этой формулы мы видим, что компоненты Г;* ковариантного
дифференцирования ковекторных полей должны быть противоположны по знаку (и совпадать по
модулю) с компонентами для дифференцирования векторных полей, чтобы для скаляра
T'Ti была верна формула
—(T'Tt) = (ЧьТ'Ж+ГфьЪ).
Задача. Пусть £ = у — вектор скорости кривой у = у(1). Определим ковариантную
производную векторного поля ij вдоль кривой 7, полагая V^ = £'V;i7. Показать, что
поле V^i7 зависит только от значений поля г) на кривой у.

216 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
§ 29. Ковариантное дифференцирование и метрика
1. Параллельный перенос векторных полей. Если f = (£*) — любой вектор в
точке Р, то определена для любого тензора ТА\ типа (р, q) производная по направлению
V<T$ = £^2$. (1)
Это — тензор того же типа (р, q) в точке Р. Для скаляров (тензоров нулевого ранга)
операция V^/ имеет вид
V<'^|?S*'' (2)
т. е. совпадает с производной функции / по направлению £ (в данной точке). Напомним
(см. § 23), что если мы двигаемся вдоль некоторой кривой в пространстве
х — x'(t), i = 1,... ,n,
и если производная функции / по направлению вектора скорости этой кривой равна
нулю, то функция не меняется вдоль кривой: если £*^ = jtf(xl(t),... ,x"(t)) = 0, где
ffc = ~ вектор скорости, то
f(x1(t),...,xn(t)) = const.
Верно ли подобное для векторных и тензорных полей? Этот вопрос не имеет пока
смысла, потому что вектор (или тензор) имеет разные компоненты в разных системах
координат; поэтому мы не можем сравнивать два вектора или тензора, заданных в
разных точках пространства. По крайней мере такое сравнение требует дополнительной
геометрической структуры в пространстве; этой дополнительной структурой и является
ковариантное дифференцирование (связность).
Пусть в пространстве заданы координаты (х1,..., х"), ковариантное
дифференцирование Y'kj и произвольная кривая x'(t), a ^t О.
Определение 1. Мы будем говорить, что векторное (тензорное) поле Т является
ковариантно постоянным или параллельным вдоль кривой х' = x'(t) на отрезке
а ^ t ^ Ь, если ковариантная производная поля Т в точках кривой по
направлению вектора скорости кривой равна нулю:
V<T = £*VtT = 0, a^t^b, (3)
k __ dxk
4 ~ dt '
Для векторных полей мы имеем
Vj2" = fVkTl =?!— + Г)кТ>\ = 0. (4)
Подчеркнем, что понятие параллельности, вообще говоря, зависит от
кривой. Исключение представляет лищь евклидова геометрия: в евклидовых координатах
(х1,..., х") мы определяем параллельные векторные поля как поля, имеющие
постоянные компоненты в этих координатах (евклидовых). Эти поля, очевидно, параллельны
вдоль любой кривой. Поскольку результат ковариантного дифференцирования не
зависит от выбора координат, те же поля будут параллельны в любой системе координат
(г1,..., z"), хотя у них в новой системе координат компоненты будут зависеть от точки.

§ 29. Ковариантное дифференцирование и метрика
217
Мы видим, что понятие параллельности векторов в разных точках зависит как
от способа ковариантиого дифференцирования (от дифференциально-геометрической
связности), так и от пути, соединяющего эти две точки. Чтобы связать введенные
геометрические представления с максимально наглядным школьным материалом,
вспомним так называемый пятый постулат Евклида: «Если в точке Р задана прямая,
то через любую точку Q проходит лишь одна параллельная ей прямая». Для нас
будет удобно такое понимание этого постулата (возможно, не совсем формальное):
в евклидовой геометрии, если в точке Р задан вектор {Т')р, то в любой точке Q
существует, причем только один, параллельный ему вектор (T]j)q.
Здесь уместно поставить вопрос: что такое вообще параллельные векторы,
прикрепленные к разным точкам Р и Q? По определению вектор прикреплен к данной
точке (как и любой тензор).
Определим важное понятие параллельного переноса вектора I* из точки
Р = (хо,..., а#) в точку Q = {x\,...,x") вдоль кривой x'(t), где ж'(0) = х'0, х'(\) = х\.
Определение 2. Параллельным переносом вектора Т'Р из точки Р = (xl,...,x$) в точку
Q = (х\,...,х") вдоль кривой х' = x'(t), 0 ^ t ^ 1, ведущей из Р в Q,
называется векторное поле Г', заданное во всех точках кривой и параллельное
вдоль этой кривой: -JfVtT' = 0 для всех 0 ^ t $С 1. При t — 0 векторное поле
Т' в точке Р должно совпадать с исходным вектором Т'Р. При t — 1 векторное
поле Т' в точке Q есть вектор Tq, называющийся результатом параллельного
переноса вектора Т'Р вдоль заданной кривой х' = x'(i) из Р в Q.
В координатах х\...,х" получаем
dxk : дТ dxk А i dxk dT fdxk Л ,
-dtVkT =Ъх-^ + т^к1Г = ~Ж+ {~F^k) T3=0- (5)
Это — уравнение параллельного переноса. Начальное условие (при t = 0):
Т\0) = ТР, i =1,...,п. (6)
Уравнение (5) линейно по Г1. Из теоремы существования и единственности
решений дифференциальных уравнений и теоремы о продолжаемости решения мы для
любой гладкой кривой получим результат:
Теорема 1. Вдоль любой фиксированной гладкой кривой результат параллельного переноса
существует, однозначно определяется начальным вектором Тр и линейно зависит
от начального вектора Тр.
Итак, параллельный перенос вектора вдоль кривой зависит от связности Г^.
Если связность евклидова, т.е. Г^ = 0 в евклидовых координатах, то получаем
уравнение параллельного переноса в виде ~ = 0.
Следствие. В евклидовой геометрии и в евклидовых координатах параллельными вдоль
любой кривой являются векторы, исходящие из разных точек и имеющие одинаковые
компоненты. В любых координатах результат параллельного переноса вектора вдоль
кривой не зависит от кривой, если геометрия евклидова.
Теперь уже ясно интуитивное различие между кривой и евклидовой геометриями:
перенося параллельно один и тот же вектор вдоль разных кривых из Р в Q, при
наличии кривизны получим разные результаты.

218 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
К вопросу о численном измерении кривизны мы перейдем в следующем
параграфе.
2. Геодезические. Мы переходим к рассмотрению линий, являющихся аналогом
прямых для случая произвольной связности. Эти линии, называются геодезическими.
Определение 3. Линия х' = x'(t) называется геодезической, если ее вектор скорости
Т' = ^~ параллелен вдоль нее самой:
Vr(T) = 0.. (7)
В координатах имеем
dx' / dx3 \ dx'
,• dx / dx1 \ dx a /dxJ \ ,■
dt 'V dt ) dt
д /dxi\ _,• dxk
дхг V dt ) " dt
kl d2xj • dxk dx'
1F + ki~dT~dT'
Итак, мы получили уравнение геодезических
d2x> ,- dxk dx*
w+v«iriu=0> j = l>->n- (8)
Если Fjy = 0, то решениями этого уравнения являются обычные прямые, как и должно
быть в евклидовой геометрии.
Для произвольной связности уравнение (8) — это система дифференциальных
уравнений второго порядка. В окрестности точки (х\,...,х$) существует единственное
решение этого уравнения с начальными условиями
ar'Uo = xl,
dx3
~dl
1=0
= x{, j=l,...,n, (9)
для любых агд и Xq (по теореме существования и единственности решений). Поэтому
справедлива следующая
Теорема 2. В некоторой окрестности любой точки Р и для любого вектора Т}> в этой
точке существует единственная геодезическая связности (Г^), начинающаяся в
точке Р с начальным вектором скорости Тр.
Замечание. Из уравнения (8) видно, что геодезические данной связности зависят только от
«симметричной части» связности T\jk) = Г',к + T'kj.
3. Связности, согласованные с метрикой. В этом курсе мы имели два
определения евклидовых координат:
1) координаты х\. ..,хп евклидовы, если метрика gtj имеет в них евклидов вид:
gij = Sij; (10)
2) координаты х\...,х" евклидовы, если компоненты Г*;- связности в этих
координатах нулевые:
Г*-=0, t,j, к =1,...,п (II)
(более общо, Г,у = —Г*,- для несимметричных связностей).
Каково взаимоотношение между этими двумя определениями евклидовых,
координат?

§ 29. Ковариантное дифференцирование и метрика 219
Следует сразу отметить, что понятие связности и понятие римановой метрики
не связаны между собой. Эти две независимые структуры в рассматриваемой области
пространства, так что определения (10) и (11) — это определения разных понятий.
Однако существует способ сопоставить метрике связность, при котором
определения 1) и 2) дают одно и то же с точностью до аффинного преобразования.
Определение 4. Связность I\j называется согласованной с метрикой gij, если ковари-
антная производная метрического тензора тождественно равна нулю:
Vi&j=0, k,i,j =1,...,п. (12)
Укажем два свойства связности, согласованной с метрикой.
1. Если связность согласована с метрикой, то операция опускания любого тензорного
индекса коммутирует с ковариантным дифференцированием.
Локазательство. Из свойств операции V* (формула Лейбница) и формулы (12) вытекает
'формула
v4(am^=am(v42$)
для любого тензора Т^ типа (p,q). Так как операция ковариантного
дифференцирования линейна, то отсюда и вытекает требуемое утверждение. ■
2. Если векторные поля T'(t) и S'(t) параллельны вдоль кривой х' = x'{t), то их
скалярное произведение постоянно вдоль этой кривой.
Локазательство. Докажем, что ^{Г,5) = ^(g^T'Si) = 0. Имеем
d ■ ■ dxk ■ dxk ■ ■
S<*iW = it ^W-s') = -^ guars') =
= ^(~^)s^gijr{^vks^=o.
Другими словами, параллельный перенос векторов из точки Р в точку Q вдоль
данной кривой является ортогональным преобразованием касательного пространства в
точке Р в касательное пространство в точке Q, если связность согласована с метрикой.
Как описать связности, согласованные с данной метрикой? Имеет место важная
Теорема 3. Если метрика дц невырождена (т. е. g = det ((¾) ф 0), то существует и
единственна связность, симметричная и согласованная с этой метрикой g^. Эта
связность в любой системе координат (х ,... ,хп) задается формулами
,] 29 \дх> + dxi Эх') (U)
(формулы Кристоффеля).
Локазательство. По определению имеем
г*. - Г*
1 v — J-jn
Vk9ii = ~ё~ Tik9i> ~ ik9a = °-

220 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Попытаемся решить последнее уравнение относительно Г*,. По определению
опускания индекса имеем
Уравнения (14) примут вид
При этом r;jfc = Г|,*;-, Гу^ = Г;,*1. Переставляя циклически индексы i,j,k,
получим
r i г - d9ii
lijk+ijtik- дхк,
Г.>; + Гад - ^-.
Если (а), (6), (с) — левые части этих формул, то в силу симметричности
связности имеет место равенство (6) 4- (с) - (a) = 2I\,j. Поэтому
_ 1 (dgti dgik _ dgjA _ ,
*А' ~ 2 V в*"' ^ dxkJ~gk,lii-
Поднимая индекс к, получаем требуемую формулу. Теорема доказана. ■
Следствие. Если координаты выбраны так, что в данной точке все первые производные
от gij равны нулю, то в этой точке символы Кристоффеля Г*Л- равны нулю (для
симметричной связности, согласованной с метрикой).
Пример 1. Рассмотрим случай поверхности, расположенной в трехмерном евклидовом
пространстве, с координатами х' = х, х1 = у, ж3 = z (евклидовыми):
I 1, I 2. 2 2,1 2Ч 3 3, I 2,
х = х (z , z ), х = х (z , z ), х = х (z , z ).
Предположим, как мы это уже делали в §8, что ось х3 перпендикулярна касательной
плоскости к поверхности в точке Р, а оси х1, х2 ей параллельны. Около точки Р мы
выберем в качестве параметров х1 их2; тогда поверхность задается уравнением
х3 = /(z',z2), z'=u = x\ z2-v = x\
причем z' = i1, z1 = x2; более того, так как ось х3 ортогональна к поверхности в точке
Р = (0,0), получаем
Гт1 =Тт1 =0 или srad/| 0> = 0 в точке Р = (0,0).
dz' 1(0,0) dz21(0,0) |<0"0'
Для метрики д^ имеем (§ 7, п. 3)
В точке Р, где ~ = 0, имеем <?,j = <5,j и
%у а /а/ а/\ а2/ а/ а2/ а/ =
az* dzk \dz{ dz> J dz'dz* dz' dz'dz* dzi
Поэтому в этих координатах в точке Р все символы Г'4 равны нулю lq,i,k = 1,2).

§ 29. Ковариантное дифференцирование и метрика
221
Пример 2. Для векторного поля (Т') определялась дивергенция
divT' = V,T'=T/,. (15)
Для симметричной связности, согласованной с римановой (псевдоримановой) метрикой,
имеем V,T'' = §£ + Г^Г* и
р, _ 1 я(дди, дди dgki\ _ 1 ,-,^, 1 0д Э , , /—,
г"-29 Va? + a?" а?У ~2? a^-279^ = ^ln^ls|)'
где з = det (#,-)• Итак,
.■ ЯГ*' 1 Эд t 1 Э , г~ ,,
v'T=^4^T=7i^(v^ }' <16)
Вывод. Дивергенция векторного поля VjT' имеет обычную форму V,-T* = Цг в тол<
н только в том случае, если элемент объема у/\д\йхх Л ... Л da;" совпадает с
евклидовым: у/\д\ - \, где д — det (^).
Теперь уже мы имеем определенную связь между связностью (способом ковари-
антного дифференцирования) и римановой метрикой д^: любая риманова геометрия
порождает определенный симметричный способ дифференцирования тензоров, при
котором она сама считается постоянной.
4. Связности, согласованные с комплексной структурой. Рассмотрим область D
в комплексном пространстве с комплексными координатами z\... ,zn, zk = xk + iyk,
где xl,...,x", y1,...,yn — вещественные координаты в овеществленной области DR.
Пусть в области D задана эрмитова метрика
ds2 = hfk dz' dz', hM- 7i,g (17)
(напомним (см. §27), что мы надчеркиваем индекс к, соответствующий dzk). Она
определяет нам риманову метрику в области DR по формуле
dsR = Re (½) [dxl dxk + dydyk}. (18)
В силу сказанного в предыдущем пункте в области DR существует единственная
симметричная связность, согласованная с метрикой ds^. Эта связность, вообще говоря,
не будет согласована с комплексной структурой в D в том смысле, что параллельный
перенос вектора вдоль пути не будет являться унитарным преобразованием. Имеет
место
Теорема 4. Симметричная связность, согласованная с метрикой ds1, будет согласована с
комплексной структурой в области D тогда и только тогда, когда метрика ds1
кэлерова.
Аоказательство. Напомним (см. §27), что эрмитова метрика ds1 называется кэлеровой,
если форма П, определяемая формулой
замкнута:
ilrz-hjidzi Adz', (19)
dhit дЬ.л dh-л dhu
dU = 0 «• —Ц- - = 0, —4 £ = 0. (20)
dz' dz> д? dzk

222 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Введем в пространстве касательных векторов комплексный базис
JL--{JL--—\ JL-iVJL -JL\
д^'2\дхк 'a^J' dzk~ 2\дх«+гдук)' *-''••■ >и-
Любой вектор £ имеет вид f = (£*,£*):
£ = £ hf
C * dz" ? 02*'
T —Г"
причем £ = £ , если ( — вещественный вектор. В таком базисе скалярное
произведение ds^ задается матрицей gap, a, ft — \,...,п, I,... ,п:
9ij =9r3- 0; gtj = 1ц}, g-tj - hib (21)
т.е. матрица G = (дар) имеет вид
С=(ж ?)' Я = (ft,7>- (И)
Тогда обратная матрица G-1 будет иметь вид
Вычислим компоненты Г^ связности, согласованной с метрикой дар, используя
формулы Кристоффеля. Из вида метрики дар будем иметь
„,• 1 т fd9jm , 9дль
J'* 2^ V 9zk ' dzi
2 5 V dzi dz>
Далее,
г" - ' „••* f 9ftft* 4. 9#* d9i'k \ - n-
^-25 {~dzT + ~dF~dz^]-°'
по аналогичной причине rjfc = 0. Наконец,
ri _ 1 im fd9jm _ Щк\ I im ('Щт _ dhjk\ __
jk 29 \dzk dz™) 29 \dzk dz™)
— это выражение равно нулю в силу условия кэлеровости. Аналогичным
образом проверяется, что условие кэлеровости обеспечивает обращение в нуль
компонент rjfc, Г'г, Г^..
Итак, мы показали, что среди величин Гд7 отличны от нуля только Г^
и rjj, причем
Рассмотрим изменение вектора f = (£',£') при бесконечно малом параллельном
переносе вдоль (6z3, 6z3), где 6z} = Szi. В силу доказанного выше будем иметь
(24>

§29. Ковариантное дифференцирование и метрика 223
Поэтому, если А = (а'к) — матрица, имеющая вид
а'к -V'kiSz\
то для вещественных перемещений (6z3, 6z3) (с 5zJ = Szi) матрица
соответствующего параллельного переноса будет иметь вид
-А 0 \
О 1-А)> Ю
что и означает комплекмгую линейность параллельного переноса (см. § 12). ■
Задачи. 1. Доказать, что связность согласована с метрикой тогда и только тогда, когда
для любых векторных полей т;, £и(г
2. Доказать, что при бесконечно малом параллельном переносе вектора £* на бхк его
компоненты изменяются следующим образом (с точностью до малых более высокого
порядка):
r-f-{'lVx* + o(|ftc|).
3. Выразить тензор деформации из § 22 через ковариантные производные.
4. Пусть в области U задана связность; Р — фиксированная точка этой области,
Т = Тр — касательное пространство к U в этой точке. Определим отображение
Е: Т -» U. Пусть £ — вектор из Т. Выпустим из точки Р геодезическую 7(0 с
начальным вектором скорости £. Положим Е(£) = 7{(1). а) Показать, что отображение Е
определено в некоторой окрестности начала координат в Т и является в ней локальным
диффеоморфизмом, б) Показать, что в координатах, определяемых отображением Е, все
символы rfj обращаются в нуль в точке Р.
5. Уравнение движения точечного электрического заряда в поле магнитного полюса имеет
вид
\г,г]
г = a , a = const.
И3
Доказать, что траектория заряда является геодезической линией кругового коиуса.
6. Найти все геодезические на плоскости Лобачевского.
7. Доказать, что геодезическими на сфере являются большие круги и только они.
8. Используя геодезические, доказать, что движение, оставляющее на месте точку и репер
в этой точке, является тождественным.
9. Доказать, что линии уровня функций
dv
(u,»)= ( ^ ± J
J J fin) - a J
>//(") _ a J %Д(") + a
являются геодезическими в метрике
dl1 = (/(u) + g(v))(du2 + dv1), / > 0, g > 0.
10. Доказать, что внутренние автоморфизмы X >-> АХ А'1, где А € 50(3, R), — это все
движения метрики Киллинга на 50(3, R), оставляющие неподвижной единицу группы.
11. Для симметричной связности Г]*, согласованной с метрикой jij, доказать
справедливость следующих тождеств:
i • д9
б) Г"=2^

224 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
12. Доказать, что две близкие точки в римановом пространстве можно связать
геодезической, которая локально единственна.
13. Метрика имеет вид dl2 = gTTdr2 + r2dtp2. Показать, что линия tp = 1ра из центра —
геодезическая.
14. В n-мерном пространстве с метрикой (<?;,) получить следующую формулу:
I X'dSj = / V.X'Viai*=' Л ... Л dxn,
dV V
dSi = _ V \9\ e.-,...i,-,.-d*" Л ... Л dx -'
(ср. задачу 3 к § 26).
15. Пусть М — поверхность в евклидовом пространстве R", т — линейный оператор,
ортогонально проектирующий R" на касательное пространство к поверхности М;
X,Y — векторные ноля в R", касающиеся поверхности М. Показать, что связность,
согласованная с метрикой, индуцированной на поверхности М, имеет вид
( tdY
§ 30. Тензор кривизны
1. Общий тензор кривизны. В предыдущем параграфе объяснялось, что в
неевклидовом пространстве параллельный перенос вектора зависит от пути. Вместе
с тем результат параллельного переноса вектора Т вдоль пути x(t) определяется
уравнением переноса
dT i kdxj
+Г)кТк = 0, (1)
dt 3 dt
которое нужно уметь решать.
Гораздо удобнее, не решая этого уравнения, определить локальную
характеристику отклонения связности (Vjk) от евклидовой. Что это за характеристика? Как
узнать, существуют ли координаты х\...,хп, в которых Г^ = 0? Конечно, если
связность несимметрична, то Т\к = Гуд. - Г]у есть ненулевой тензор; поэтому нельзя
ввести координат таких, что Г^ = 0. В этом случае можно под евклидовыми понимать
координаты, в которых Г^ = ^Tjk, т.е. связность Г';к кососимметрична по нижним
индексам (симметрическая часть Г^ 4- Г^- = 0).
Как выяснить вопрос о существовании евклидовых координат? Нас этот вопрос
будет интересовать для симметричных связностей. Мы знаем такое важное свойство
частных производных в обычном анализе:
д df д df d2f
дхз дх1 дх1 дхз дх'дх1
Если связность допускает евклидовы координаты х\...,хп, то в этих координатах
тензоры дифференцируются по обычным формулам:
ту т(0 _ oxti)
VkT<» - ~дх^-

§ 30. Тензор кривизны 225
Поэтому
(V4V,-V,V4)T$ = 0
или
Это — свойство, верное в любых координатах, так как Тц).*-1 — тензор. Посмотрим
общие связности.
Для векторных полей в любых координатах х\...,хп имеем
+ Г'* V 9х' + Г"Т ) Г'к [дхР+ Г*Т ) - дх* дх' + дх" Г" +
дТр дТ' дТ',
'"дх1 1кдхР+ дх"+ рк ^ i*1»1 ■
Составим выражение (VkVi - V/Vfc)T'. После сокращений получим в
координатах
(VtV, - V,V*)T'- =^-^3- + 0¾ - 1^)3- - (Г* - I*) g.
Введем обозначение
дГ' дГ'
~R'qU = ~дхк~~ ~дх>~ + Г**Г«' ~ Г',Г«*' (2)
Тогда получим формулу
дТ'
(VkV, - V,Vk)T' = -R\klTq +Т[,—, (3)
где Ту — тензор кручения (см. §28). Оказывается, R'qki - это тензор; этот тензор
называется тензором Римана или римановой кривизной. Для симметричных связностей
Тр, = 0. Таким образом, в симметричном случае имеет место следующая
Теорема 1. Для симметричных связностей и для любого векторного поля Т выражение
(VfcVi - V(Vt)T' имеет вид: -R'qkiTq, где R'qkl — тензор Римана, определяемый
формулой
ар> яр'
~R qkl ~ ^ ~ ~з7" + VpkTql " Гр1 qk'
Если связность евклидова, то Rlqki = 0. В точках, где T'pq = 0, верно равенство
qkl ~ дхк дх' '
Выведем формулы для кривизны и кручения в инвариантных обозначениях.
Если £, г], С — векторные поля, то положим
[ТЦ,ч)Г = ТЬ?г{, (4)
UUbvKt^ltjkifv?. (5)
8 Зак. 8098

226
['лава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Дадим явное выражение векторных полей Т(6 tj), Д(6??К через поля £,??, (•
Лемма 1. Для произвольных полей £, г,, £ верны равенства
r«,i») = V{i,-V^-K,iJ]I (6)
fltf,4)C = v,v{c-v{v,c + vK,,lc, (7)
где [6 т)] — коммутатор векторных полей.
Локазательство. Проверим сначала, что в формулах (6), (7) T((,i)) и Д(6??К линейно
зависят от координат полей £,1),(. Дня Т(£,?7) имеем: если £ —f /6 где / —
гладкая функция, то
T(f(,v) = V/{4 - V,(/0 - [Я, q] = /[V{4 - V,£ - [(,1,]] -
где 9,/ — производная функции / вдоль поля ?7. Для R(£,i})
R(H,V) = V,Vrt - VrtV, + Vi/f,,, =
= /V,V{ + (9,/) • V< - /V<V, + V/K,,]_o,/K = /Я&Ч).
Аналогично проверяется, что J?(6/»?) = fR((,i}). Наконец,
Ж* ,4)(/0 = v,[(^/) с + /V{C] - v{[(V)C + /v,Cl +
+ «W>C + /vK,,]C = (W> с + <0{/)V,c +
+ (»,/)V{c + /v,v^c - (в{ V)C - (fl,/)V{C -
- <<%/)v,c - /v{ v,c + (d^f - Q,e{/) с + /vK,,,c = /Д(б i)K.
Теперь в силу доказанной линейности достаточно проверить равенства (6),
(7) для базисных векторных полей £ = ek, 1) = е(, С = еу, где £' = 5£, т/' = $,
С = <5у. Но для таких полей требуемые равенства следуют из определения
тензоров Ты и R'ju. Лемма доказана. ■
Приложение (тетрадный формализм). Пусть в области n-мерного пространства
задана метрика gij. Квадратичную форму <?,j£'£J на касательных векторах в каждой
точке можно привести к постоянному виду. Такое приведение можно сделать гладко
зависящим от точки. Это означает, что (локально) можно выбрать п линейно
независимых гладких векторных полей f i,..., fn таких, что их попарные скалярные
произведения не зависят от точки:
(6,6) = kij, Ы] ~ const. (8)
Например, в общей теории относительности бывает технически удобно выбрать
четверку векторов £0, 6,6,6 (тетраду), где векторы £0 и 6 изотропны, (6,6) = 1, а
векторы £2,6 пространственноподобны, (£2)2 = (б)2 = -U (6.6) = О-
Рассмотрим попарные коммутаторы [6, 6] этих векторных полей. Их можно
разложить по тому же базису ^,..., £„:
[6,61 = 4б> (9)
где c,j — коэффициенты разложения (переменные). Имеет место

§ 30. Тензор кривизны
227
Теорема 2. Для симметричной связности, согласованной с метрикой gij, справедливы
формулы
Г}* = -/i''(Cj,t + Оьщ - C,jt). (10)
где Cjjfc = hiscSjk а компоненты связности Г^ определены равенством
vbfc = 4kfc. do
Локазательство. Из условия симметричности связности T(f;,fj) = 0 и формулы (6)
имеем
Г*;-Г*- = 4 (12)
Далее, обозначим через Гад величину /^1¾. Из условия (11) и согласованности
с метрикой получаем
0 = V6{fc,fc} = I> + ry*.
Циклически переставив индексы i,j, к, получим систему трех уравнений
Г,-,у + Гад = 0,
Г/iji + Tjiki — 0,
Tj,ik + Tij-t = 0.
Решая эту систему совместно с уравнениями (12), получаем искомые формулы
для коэффициентов связности. Теорема доказана. ■
Используя формулу (7), можно выразить тензор кривизны {Я(£;,£;)&,6) через
функции 4j и их производные.
2. Симметрии тензора кривизны. Тензор кривизны, порожденный метрикой.
Какими свойствами обладает тензор кривизны?
Теорема 3. 1. R'qki = -R'qik всегда.
2. Для симметричной связности имеет место тождество
Я\ы + R\i4 + Я*/,* = 0. (13)
3. Для связности, согласованной с метрикой gik, введем тензор Яд/ы = 9ipRPqki-
Тензор R{qu кососимметричен по индексам i,q:
Riqkl — ~Rqikl- (14)
4. Для тензора кривизны симметричной связности, согласованной с метрикой дц.,
имеется симметрия вида
Riqkl = Rkliq- (15)
Локазательство. Равенство 1 очевидно. Для доказательства формулы (13) вычислим
выражение [Vt, V,]e, + [V(, Vq\ek + [V,,, V,t|e;, где e, — базисные векторы,
и воспользуемся равенством -Я',ме; = [Vk,Vi\eq. Будем иметь [Vjt,V/]e? +
[V,, V,]e* + [V„ V*]e, = Vfc(V,e, - V,e,) + V,(V,e* - Vkeq) + Vq(Vke, - V,ek) = 0
(каждая скобка равна нулю в силу симметричности связности).
8*

228
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Для доказательства третьей симметрии достаточно проверить, что {[V/i,Vf]£,
£) = 0 для любого векторного поля £. Имеем
1
2 дхк дх1
1 д2
2 дх1 дхк
«,0 = (v,v^,o + {v^,v,o,
так как связность согласована с метрикой. Вычитая второе равенство из первого,
получим (14), поскольку ^f^r - 5^в?-
Наконец, для тензора кривизны, порожденного метрикой, выведем
тождество (15). На рис. 33 сумма выражений, стоящих в вершинах каждой
заштрихованной грани, равна нулю в силу симметрии (13) и (14). Сложим эти
выражения для граней q и г и вычтем их для граней I и к, получим (15).
Теорема доказана. ■
Из теорем 1 и 3 вытекает
Следствие. Если тензор Римана не обращается в нуль, то нельзя ввести евклидовы
координаты, в которых дц = 6,j и Г^ = 0.
Замечание. Этот результат можно получить иначе. Рассмотрим закон преобразования
компонент Г^: если i = х(х'), то
Эх"
дх' Эх1
д2х"
Г, -, = I Г* h
'' дхк \ '' дх'' дх'' дх' дх''
Пусть связность симметрична, Г,* = Г*;. Мы ищем
такие координаты х', что Г$-, = 0. Для х' = x'(xl,
...,х" ) получаем уравнения
?хк _ к дх' дх> к _ лк
дх' дх'
' дх' дх''
Можно ли решить зги уравнения? Если они
решаются, то
2„*
д'х1
2„'
д'х
= 0.
Рис. 33.
дх* \дх' дх'') дх' \дхк'дх'
Это — условие на правую часть уравнений, эквивалентное равенству
R ,и = 0.
3. Примеры: тензор кривизны двух- и трехмерных пространств, метрики Киллинга.
Тензор кривизны — это тензор 4-го ранга. Естественным образом он получался как
оператор на векторных полях, зависящий от пары (к, I) кососимметрпческим образом:
-R\klTq = Я\1кТ" = (V,..V, - V,V,)Tj - Г* Щ,
ох?
где Ти = Ты - Тг1к — тензор кручения.
В симметрическом случае Ты = 0. Если связность симметрична и согласована
с метрикой gtj, то компоненты Г*; и R'qki выражаются через (¾ и их производные,
причем имеют место симметрии:

§ 30. Тензор кривизны 229
1 • R qkl = ~R qlk,
2-Riqkl — 9imR qkl = — Rqikh
3. Riqkl = Rkliq,
4. R qkl + R Iqk + R klq— 0.
Сколько может быть компонент у тензора Римана?
I. Двумерный случай. Из симметрии Щчы = -.¾^ = -Rqiu — Rkiiq вытекает, что
имеется всего одна ненулевая компонента тензора Римана — это Rn\2- Все остальные
либо получаются из нее перестановками, либо равны нулю.
Определение 1. Тензором Риччи называется выражение Rql = R'qil — след тензора
Римана.
Определение 2. Скалярной кривизной называется след тензора Риччи:
R^g'iRq^g'iR^i,. (16)
Имеет место важная
Теорема 4. Для двумерных поверхностей в трехмерном пространстве скалярная
кривизна R совпадает с удвоенной гауссовой кривизной. Поэтому гауссова кривизна, в
отличие от средней кривизны поверхности, выражается через риманову метрику
самой поверхности (является внутренним инвариантом).
Локазательство. Пусть поверхность задается уравнениями х = x(u,v), у — y(u,v),
z — z(u, v), где x,y,z — евклидовы координаты пространства и (и, v) — (z1, z2) —
координаты на поверхности. Выберем в исследуемой точке Р — (0,0), где ось z
нормальна к поверхности, в качестве параметров u = zl = х, v = z1 = у. Тогда
поверхность около точки Р запишется уравнением z = f(x,y), где grad/|p = 0.
Для компонент метрики на поверхности получим
, 0/ df , 2
^ = ^+3?^J' Z = *' Z =У-
В частности, в точке Р = (0,0) все -0 = 0. Поэтому в этой точке Tkj = 0. В
такой точке имеем формулу (формула (2))
~Л „kl —
■ qkl
dzk dz> '
= 1 ( d2gu d2gqk d2gik d2gql
,kl 2\dzidzk dz{dzl dzidz1 dz{dzk
Отсюда получаем (z1 = x, z2 = y)
_ 1 (d2gg d2gi2 92gu d2g22
2\дхду дхду ду2 дх1
При этом дц = f2 + 1; д22 = /у + 1; дп = fxfy,
92ди Л,2 d*gn
ду2
■ 2-Ixyi
дх1
_-..! д дп
~ fxy' дхду
JxxJyy "г* Тху

230 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Окончательно имеем (в точке Р)
Я.ш = /.«/„ - fly = det ( f.xx f/y )= К.
По определению ЛГ = det /1 fxy в точке Р, где 6^ = gij в выбранных
\ Тух Jyy J
координатах. Однако гауссова кривизна К — это скаляр, а Д1212 — компонента
тензора. Они равны лишь в данной, избранной, системе координат, где д^ = Sij,
det^ij = 1=5- Легко видеть из определения Д, согласно которому Д — дч R'qu,
что
„?'
2 2
Д = 2det(5") Д1212 = Т77-Т Л|2,2 =-Я12|2 = Л-
del (gtj) д
В нашей системе координат д — 1 и Д^п = Я". Поэтому в нашей системе
координат верно равенство Д = 1К\ так как Д и К — оба скаляры, то это
равенство верно всегда. Теорема доказана. ■
Замечание. Как это видно из доказательства, для компонент тензора Римана имеем формулу
R 2 R9
■у (9u922-9u) = ^1212= ~2 = КЯ, 3 = det (д,-,-). (17)
Итак, гауссова кривизна 2Г — это инвариант, для п = 2 равный Д/2,
где R^gi'R^L
Рассмотрим примеры.
1) Евклидова метрика:
Д
<Г = fte' + dy\ R'qkl = О, Я- = у = 0.
>2 _ j_2 , ,2
2) Сфера:
Д 1
dl1 = dr2 + sin2 — dip1;
До
здесь К = — — —j > 0 (кривизна положительна и постоянна).
2 Д„
■-о
3) Плоскость Лобачевского:
dZ2 = dr2 + sh2 — dtp1;
Rq
R 1
здесь К = — — j <0 (кривизна отрицательна и постоянна).
2 R0
В §8 объяснялся наглядный смысл кривизны — когда она бывает положительна
или отрицательна.
II. Трехмерный случай. Здесь все сложнее. Тензор Римана
Riqkl — -Rqikl — ~Riqlk = Rktiq
может здесь рассматриваться в каждой точке как квадратичная фориа на трехмерном
линейном пространстве кососимметрических тензоров 2-го ранга в силу его симметрии.
Если пару [г, q] = -[q,i] обозначить через А, а пару [к, I] = -[I, к\ — через В, то
R[iq\[kt] = RaB = RbA-
Итак, здесь тензор Римана определяется шестью числами. Рассмотрим тензор
Риччи R'qu = Rqi — Riq. Это — симметрический тензор 2-го ранга. Он тоже
определяется шестью числами Rqt, q^l.

§ 30. Тензор кривизны 23 1
Скалярная кривизна Я — это одно число
R = gq,Rql=gq,R'qtl.
В отличие от двумерного случая, скаляр R не определяет весь тензор R'qkt- Однако в
трехмерном случае достаточно знать тензор Риччи, так как верна формула (проверьте)
R
Rap-ib — R<ry9l36 ~ &аб901 + Rjji9ai ~ Rpl9a6 + — (£аб9^ ~ 9(п9рб)- (18)
Скалярная кривизна — это след тензора Риччи Тг(Д?() = g,lRqi. Имеются еще
инварианты — собственные значения А|, Ат, А3, определяемые из уравнения
det(R1,-Xgql) = Q, (19)
причем А| + А2 + А3 = R.
(Когда произносят слово «пространство положительной кривизны», имеется в
виду, что тензор Римана Rab есть положительно определенная квадратичная форма на
кососимметрических тензорах 2-го ранга.)
III. Четырехмерный случай. Здесь тензор Римана не определяется тензором Риччи.
Тем не менее тензор Риччи очень важен. Например, в четырехмерном пространстве-
времени считается, что гравитационное поле — это метрика (gtj), i,j = 0, 1,2,3, а все
другие свойства материи сосредоточены в «тензоре энергии-импульса» АГу (А — это
размерная константа).
Уравнения (Эйнштейна), определяющие метрику пространства-времени, имеют
вид
Rij - -Ядц = Alij, VjlV = 0. (20)
В отсутствие материи имеем
1
Rij - -Rgij = 0 (или Щ = 0). (21)
При этом det(5,j) Ф 0, но метрика индефинитна (она имеет в диагональном виде три
минуса и один плюс; см. §36).
VI. Тензор кривизны метрики Киллинга. Пусть G — матричная группа
преобразований, g — ее алгебра Ли, причем на g задана метрика Киллинга. Введем связность
на группе G, полагая
Vix Lr = - LIX,Y] = -lLx,Lr], (22)
где X,Y 6 g, L%, Ly — соответствующие левоинвариантные векторные поля.
Поля вида L%,X 6 g, образуют базис в касательном пространстве к G в
каждой точке, поэтому формула (22) полностью определяет связность (при условии
выполнимости формулы Лейбница; см. §28).
Лемма 2. Связность (22) симметрична и согласована с метрикой Киллинга.
Доказательство. Проверим, что T(Lx,Ly) = 0 для любых элементов X, Y алгебры
Ли д. Действительно (формула (6)),
T(Lx,LY) '■- vlxLy " Virij: - [Lx,LY] — - LyXX] ~ r ^iy,X) - L[x,y\ - 0.

232 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Докажем теперь согласованность с метрикой Киллинга {,). Достаточно
показать, что для любых векторных полей £, г), ( имеет место следующее правило
дифференцирования скалярного произведения:
$fo.O = (vti7,0 + fo,vto.
Достаточно проверить это равенство, когда f, т], С. — левоинвариантные поля.
В этом случае будем иметь
{Ly,Lz) = {Y,Z)0 = const, dLx{LY,Lz) = 0.
Здесь {,) — соответствующая метрика Киллинга на алгебре д. С другой стороны,
(VLxLY,Lz) + (Lr, VLjLz) = -{(L[XXi,Lz) +
+ {Ly,LIX,z])} = 1-{(IX,Y],Z)0 + (Y,[X, Z])a} = 0,
так как ad X есть кососимметрический относительно метрики Киллинга
линейный оператор (см. § 24). Лемма доказана. ■
Отсюда уже легко вытекает
Следствие. Кривизна симметричной связности, согласованной с метрикой Киллинга, дается
формулой (ср. формулу (7))
R(Lx,LY)Lz = -l-Ll[XXlzh (R(Lx,Lr)Lz,Lw) = -l-(lX,Y],lZ,W]). (23)
Найдем еще геодезические для связности, согласованной с метрикой
Киллинга. Так как сдвиги на группе G являются движениями, достаточно определить
геодезические, проходящие через единицу группы. Имеет место
Теорема 5. Геодезическими метрики Киллинга, проходящими через единицу группы,
являются однопараметрические подгруппы и только они.
Доказательство. Вектором скорости однопараметрической подгруппы вида A(t) =
ехр(<Х), где X 6 g, t — вещественный параметр, является левоинвариантное
поле Lx (точнее, его ограничение на кривую A(t)). Поэтому
VAA = VLlLx = -LlXtXl = 0. (24)
Следовательно, однопараметрические подгруппы являются геодезическими.
Поскольку из единицы можно выпустить однопараметрическую подгруппу с любым
начальным вектором скорости, то мы так получим все геодезические по теореме
единственности. Теорема доказана.
4. Уравнения Петерсоиа—Кодацци. Поверхности постоянной отрицательной
кривизны и уравнение «sin-gordon». Пусть г = г(х\ х1) — поверхность в евклидовом
пространстве R3, gtj — индуцированная на поверхности метрика. На поверхности
возникает также вторая квадратичная форма Ь,-;- dx' dx3, где
ь^(<ЬШп)' (25)

§ 30. Тензор кривизны 233
п — единичный вектор нормали к поверхности, {,) — евклидово скалярное
произведение в R3.
Как вычислить компоненты симметричной связности, согласованной с
метрикой Qijl
Утверждение. Компоненты симметричной связности, согласованной с метрикой д^ на
поверхности г(х\х2), вычисляются по формулам
k I Э2т dr \ ,к
Г^\эхШ>м)9 (М,*=1,2), (26)
ИЛИ
det к дт
— = bijn + rijek, е{ = ~. (27)
Локазательство. Симметричность этой связности очевидна. Достаточно проверить
следующее равенство:
д
^■(e,-,em) = (Vtej, ет) + (е,-, Vjem),
где можно считать, что скалярное произведение берется в евклидовом
пространстве М3. Но векторы V,e,- и -^ отличаются на Ь^п, а (п, em) = 0; поэтому
(V,e,-,em) = \a^>em)- Требуемое равенство запишется так:
а в таком виде оно очевидно. Утверждение доказано. Ш
Векторы (еье2,и) образуют ортонормированный базис в М3, гладко зависящий
отточки поверхности. Вычислим еще производные j~, i — 1,2. Вектор п единичный,
поэтому производная Jp- ему ортогональна (см. §5). Из равенства (и, е,-) = 0 вытекает
д , , I дп \ I деЛ I дп \
откуда
- = -6^, 6^=/¾. (28)
Из равенств (27) и (28) вытекают следующие условия совместности:
92е; dbu , дГ\,- , ,
a^ = d^n-biibtei+^e, + rij[bk>n+Vk<ei] =
■ n ~ bikbljei + -^e,+ rsik[bjsn + r'jse,]
или
Jj~*teT + r'ijT'ks ~ v'ikT'js = bijb'k' bikb'j' (29)
dbii dbik , ,
^-^ = Г^-Г^ (30)

V ч
J s/<hi>dP, у= I yfihqdq- (33)
234 Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров
Уравнения (29) называются соотношениями Гаусса. Левая часть формул (29) совпадает
с тензором кривизны R'ijk, и это равенство эквивалентно доказанной выше теореме о
связи гауссовой и скалярной кривизны (проверьте!).
Формулы (30) называются соотношениями Петерсона—Кодацци.
Замечание. Уравнения Петерсона—К.одацци дают необходимое условие для того, чтобы форма
Ьц(х1,х) могла быть второй квадратичной формой поверхности в R с метрикой
3,j(x', i2), где величины 1¾ вычисляются по метрике j;j, исходя из формул К.ристоффеля.
Можно показать, что это условие является также и достаточным.
Пусть поверхность имеет отрицательную кривизну К < 0. Тогда можно ввести
(локально) такие координаты (р, q) на поверхности, в которых вторая квадратичная
форма примет вид
bijdx' dx3 = 2bpqdpdq (31)
(отсутствуют члены с dp2 и dq2). Если к тому же К = const (например, К = -1), то
из соотношений Петерсона—Кодацци следует
^ = 0, %t = 0 (32)
dq dp
(проверьте!). Выберем новые координаты (ж, у) на поверхности, полагая
я
х = ' "
Pa ф>
В координатах (х,у) первая и вторая квадратичные формы примут вид
ds — dx + 2gxydx dy + dy , bijdx'dx3 — 2bxydxdy. (34)
Положим gxy = cosco, где ш — угол между координатными линиями (ж, у)
(асимптотические линии). Тогда уравнения Гаусса при К = -1 дадут:
шху — %тш. (35)
Это уравнение в физической литературе часто называют уравнением «sin—gordon».
Полагая х — Ч~-,у = ^f, приведем это уравнение к виду
д2ш д2ш
—-^sina, (36)
Задачи. 1. Докажите, что решения уравнения (36), не зависящие от (, и убывающие
при г —> +оо, соответствуют поверхности вращения кривизны К — -1 вида г —
- yj\ - х1 - у1 + In ,'Т* ~V («псевдосфера Бельтрами»).
ух +у
2. Доказать формулу (18).
3. Пусть задана кусочно гладкая кривая x'(t),i =1,2, ограничивающая область U.
Доказать, что Др = ff K^/gdx] Л dx1 есть угол поворота вектора при параллельном
и
обносе вдоль кривой x'(t) (К — гауссова кривизна).
4. Если эта кривая состоит из трех дуг геодезических и кривизна постоянна, то сумма
углов такого геодезического треугольника равна л + Ко, где <т — площадь этого
треугольника (доказать!). Рассмотреть случай сферы и плоскости Лобачевского.

§ 30. Тензор кривизны 235
5. Пусть ¢),...,in — векторные поля в римановом (или псевдоримановом) п-мерном
пространстве; </,, = {&,&/! I&>61 = c*j&. Вычислить компоненты симметричной
связности Г?, (где V4.£i = rfj£i), согласованной с этой метрикой.
6. Обнесем параллельно вектор { = (£ ) вдоль контура квадрата со стороной г, натянутого
на координатные оси х\х' (против часовой стрелки). Пусть £(г) — результат такого
обноса. Доказать, что
£-0 £*
7. Доказать справедливость тождества Бьянки для тензора кривизны симметричной
связности, согласованной с метрикой:
VnR'M + V,fln,-„t + VhRnam = 0.
8. Вывести из формулы предыдущей задачи следующее тождество для дивергенции
тензора Риччи:
, 1 dR
V'*m - 2 дх^-
9. Пусть Xi,...,Xn — ортонормированные векторные поля в n-мерном римановом
пространстве и 1^,...,^,, — дуальный базис 1-форм: Wi(Xj) = <5;j (все индексы можно
считать нижними). Определим 1-формы ыу и 2-формы Пц, полагая
f,j = T)kut; П.-j = -Rijt, wk Л a;,.
Здесь VjtjXj = TjiX,, (/2(^,^).^-,¾ = Д^,-ы; суммирование по дважды
повторяющимся индексам.
а) Доказать, что 0¾ = -Wj,-.
б) Вывести следующие соотношения (структурные уравнения Картана):
dw{ = — iiij Л a)jj,
(fflij = -П,-1 Л d)|j + Ш;( Л fj,j.
10. В обозначениях предыдущей задачи определим формы Пт и форму fJ в случае
четной размерности я, полагая
П{к) = fli,;, Л n,-2i3 Л ... Л П^.,^ Л niti,;
fi = е'1-'^,-,,-, Л ... Л П,-,.,,-. (я = 2т).
а) Доказать, что определение форм Q{t),Q не зависит от выбора ортонормированного
репера Хи ..., Х„.
б) Формы П№),Л замкнуты.
в) Получить выражения для этих форм в координатах.
г) Для я = 2 форма fJ имеет вид П = K^/gdx' Л dx1, К — гауссова кривизна.
д) Вывести формулы, аналогичные формулам задач 9, 10, для псевдоримановых
пространств.

Глава 5
Элементы вариационного исчисления
§31. Одномерные вариационные задачи
1. Уравнения Эйлера—Лагранжа. Мы определили в §29 геодезические линии
х% — x'(t) уравнением VV(T) = 0, где Г" = ^- — вектор скорости кривой, или
d2x' { dxP dxk
^ + Г^1Г = 0- (1)
Если связность r'jk симметрична и согласована с метрикой ^-, то компоненты Г}*
выражаются через <ftj, и поэтому геодезические определяются метрикой. Какими
геометрическими свойствами они обладают кроме того, что параллельный перенос
вектора скорости геодезической вдоль нее самой дает опять ее вектор скорости? Мы
привыкли к тому, что геодезические линии (хотя бы локально) кратчайшие — их длина
не больше длины любой другой кривой, соединяющей те же точки, достаточно близкие
друг к другу. Выясним здесь этот вопрос.
Полезно подойти к нему с более общей точки зрения. Пусть L(x,£,t) —
какая-то функция точки х = (ж1,... ,х") и касательного вектора £ = (£') в этой
точке. Рассмотрим фиксированную пару точек Р = (х\,...,х") и Q = (xi,... ,х"),
всевозможные гладкие кривые у: х' = x'(t), а ^ t ^ Ь (с фиксированными а и Ь),
соединяющие эти две точки: х'(а) — х\, x'(b) = х\.
Рассмотрим величину
Q
5[7] = J L(x(t),x(t),t)dt. (2)
р
На какой кривой у величина S[y] будет минимальна? Величина (функционал) Sly]
будет называться действием.
Q Q я
Пример 1. Пусть Цх, О = gij£'£'. Тогда 5(7] = / Цх, x)dt= f g^x' х' dt = J \x\2 dt. На какой
p p p
кривой 7 = {x(t)} функция 5(7] минимальна?
Пример 2. Пусть Цх,£) = ^giftZ' = \ДьО = If I (длина вектора). Тогда S{y\ = fy/giji'x'dt
р
есть длина кривой 7- У какой кривой у между точками Р и Q длина минимальна?

§ 31. Одномерные вариационные задачи 237
Пример 3. Пусть метрика евклидова; положим L = j6jj£'£' -0{х), где U — некоторая
функция точки. Тогда 5[7] = /[52 у(*')2 _ U(xj\dt. Кривые у, вдоль которых S\j\
минимально, — это траектории движения точки массы т в поле силы /; = -|~.
Имеет место простая
Q
Теорема 1. Если величина S[y] = f L(x,x,t)dt достигает минимума на некоторой
р
кривой у: х' = x'(t) среди всех гладких кривых, идущих из Р в Q, то вдоль кривой
7 выполнены уравнения
где
dL 8L(x,i,t)
дх1 ~ ЭС
d ( dL\ 8L
— —:--=0, г = 1,...,п,
dt \дх'/ дхг ' '
i=i' <и\дх*) \д?д£* ' д?3х> ' d?dt)
(3)
,
(считается, что L = L(xl,...,xn,£1,... ,£a,t), где х и £ — независимые
переменные, но затем подставляется £ — -Jj- вдоль кривой у).
Доказательство. Пусть rf = ri'(t), a ^ t ^ b, — любая гладкая функция такая, что
ri'(a) = 0 и т]'(Ь) — 0. Рассмотрим выражение
.. S[7 + er,]-Sfr) d I
lim = -5(7 +£77] .
£-0 e de lf=o
Здесь 7 + STj — это кривая x' = x'(t) + £rf(t), также идущая из P в Q, близкая
к кривой y(t) при малом е.
Лемма 1. Если S[y] минимально, то для любой гладкой вектор-функции i/(t),
обращающейся в нуль на концах временного интервала,
£-0 е de U=o
Доказательство леммы очевидно.
Перейдем к теореме. Развернем выражение ^-5[т + £Т7]| =0- Имеем
d
Те
ь
Sl7 + et,] \с=0 = / { ^ vHt) + ^ V\t)) <U = 0, (4)
где интеграл по определению вычислен вдоль кривой у:
х' = x'(t), £' = x(t).
Это равенство верно для любой гладкой вектор-функции rj(t), обращающейся
в нуль на концах временного интервала.

238 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Заметим следующее тождество:
гдь , дь i дь t г ,.d (дь\
(интегрирование по частям). Так как ^(а) = rf(b) = 0, получаем: J -pff dt —
а
- J jt (|л) v' &■ Подставляя это выражение в формулу (4), мы видим, что
для любой гладкой вектор-функции r]'(t), обращающейся в нуль на концах
временного интервала, верно равенство
6
d | Г
Sh + еЩ = \
\е=0 J
ds
dL d_ dL
дх*~ Ждх1
Vfdt = 0, (5)
если, напомним, на кривой у: х' = x'(t) достигается минимум функции S[j] на
множестве всех гладких кривых, соединяющих точки Р и Q.
Отсюда следует равенство
i dL d dL
^(*) = ^7--хг7 = 0, i=l,...,n.
ox' dt dx'
Действительно, если tp'(t) Ф 0 для какого-либо i и какого-либо t = t0 между
а и Ь, то легко подобрать такую функцию rj'(t), что (5) не будет равен нулю
(например, полагая rf = ip'f(t), будем иметь под интегралом положительное
число, если /(f) ^ 0 и обращается в нуль на концах). Итак, теорема доказана.
Определение 1. Решения уравнений (-^-) = |^ называют экстремалями
функционала S.
Дадим еще несколько определений.
1. Подынтегральная функция
L = L(x,£,t) = L(x,i,t) (6)
называется лагранжианом.
2. Энергией называется выражение
,dL { dL
Е = E(x,i,t) = B(x,i,t)=C—r -L = x — - L. (7)
d£' dx'
3. Импульсом называется выражение
dL dL
Pi = —■ = — (ковектор). (8)
4. Силой называется выражение
dL
ft = —г- (также ковектор). (9)
dx'

§ 31. Одномерные вариационные задачи 239
5. Уравнение Эйлера—Лагранжа — это уравнение из теоремы 1 (уравнение
экстремалей)
d /dL\ 8L
— —: = —- ИЛИ pi = U.
6. Выражение
6S _ dL d dL
6х' дх' it дх'
называется вариационной производной функционала S[j]. Из доказательства
теоремы 1 вытекает другое определение вариационной производной: это величина —г,
определяемая равенством
d , Г 6S ,
~Т[7 + ет,}\£=0 = J -—r,'dt. (11)
а
Следует сказать, что лагранжиан, энергия и импульс определены неоднозначно, с
точностью до преобразований вида
df(x,t) df , df
L=L+^T' E=E-m> p=p+di-
2. Основные примеры функционалов.
Пример 0. Если L = j ХЖ')2 ~ U(x), где U — функция точки, то /; = - J^- и р; = tnx'.
i
Имеем qjj
Pi = fi или тх'= - —. (12)
Это уравнение (Ньютона) движения частицы массы m в потенциальном силовом
поле / = -grad U, известное из классической механики. Мы получим, что траектория
движения такой частицы совпадают с экстремалями функционала
S = j [у Х/г')2 ~ Щх)] dx
(принцип наименьшего действия).
Пример 1. Если L = \giji'(,', то р, = з,,(', Л: = { ^т £'£'■ Получаем уравнение экстремалей
^Г=2^^' ГДе Л=^'
м У'" дх' 2 дхк
чаем
^ im fSgjk 1 dgi}\ ., ,
м \ Заг' 2 За:*)
dt У] дх{ 2 дхк
Так как дктд,к = 5™, получаем
Заметим теперь следующее тождество:
imd9jt .,:.j I ,ij i« /%Jt , ^ffi*
о -^- ж ar = - г ar о I -^- -\
* dx' 2 \dx> dx1
Подставляя его в предыдущее уравнение, получим
хт + VTjx'x* = 0, (13)

240
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
г™ 1 km fd9it дд,к К, | ....
— симметрическая связность, согласованная с метрикой д^.
Итак, доказана
Q
Теорема 2. Если L — д^х'а? = {х, х) = |х|2, Sfy] = /1*1 dt, то уравнение Эйлера—
р
Лагранжа- для экстремалей (в частности, минимумов) совпадает с уравнением
геодезических.
Пример 2. Если L = y/gijx'x' = \х\, то выражение 5 = f\x\dt (длина) не зависит от
р
параметра t. Уравнения Эйлера—Лагранжа в этом случае имеют вид (jjr) = 5^1 или
to*1 V _ яМ''*'
- т/яцх'х' ) 2y/giji?ii
Если отнести кривую к параметру, пропорциональному натуральному, t = const • I, для
которого -y/gijx'x' = \х\ = const, то получим
- ->v ! д9а ..-.,•
(оь(Ж') = a; ж .
^' 2 дхк
Это — то же самое уравнение, что и в примере 1, но оно получено нами лишь
для кривых, отнесенных к параметру, пропорциональному натуральному.
Условимся в этой главе трактовать термин «натуральный параметр»
расширительно: параметр, пропорциональный натуральному, мы также будем называть натуральным.
Заметим, что в примере 2 можно ограничиться рассмотрением кривых с
натуральным параметром, поскольку значение длины кривой не зависит от параметра
на кривой.
Итак, нами доказана
Теорема 3. Уравнения Эйлера—Лагранжа для экстремалей (в частности, минимумав)
функционала длины L — y/gijCV совпадают с уравнением геодезических, если
на кривой выбирается натуральный параметр. Таким образом, гладкая кривая,
являющаяся кратчайшей среди кривых, соединяющих точки Р и Q, удовлетворяет
уравнению геодезических по отношению к натуральному параметру.
Отметим некоторые свойства энергии и импульса произвольного лагранжиана.
Первое свойство («сохранение энергии»). Если лагранжиан L — L(x,£) не зависит
явно от t, то полная производная энергии Е вдоль экстремали равна нулю:
dE d /.{дЬ \ {дЬ :d (dL\
— = — ( х—r-L ) =£—r+X — —г -
dt dt\ дхг J Эх' dt\dx'J
_ dL_ ,i _ at ..; _ .^ d_ 8L_ _ 8L_
Эх' X dx* X ~X \dt дх* Эх'
Второе свойство («сохранение импульса»). Если координаты х1,... ,х" выбраны
так, что -^ = 0, то вдоль любой экстремали имеет место равенство р,- = (jp) = 0.
Это следует из уравнений Эйлера—Лагранжа. Координата х' называется в этом случае
циклической.

§ 31. Одномерные вариационные задачи 241
Примеры, а) Если L - \giji41, то Е = L = ||i|2. Из закона сохранения энергии имеем
^ = 0 вдоль экстремалей функционала 5 = J Ldt. Итак, экстремали — это всегда
геодезические, а скорость их пробегания постоянна (натуральный параметр).
' Замечание. Если лагранжиан L(x, х) является однородной функцией от £ = х первой степени
однородности, т.е. L(x,Л£) = \Цх,£) (например, L = \/{(,()), то энергия Е тождественно
равна нулю и параметр на экстремали может быть взят любым.
б) Если поверхность в трехмерном евклидовом пространстве задана в
цилиндрических координатах уравнением f(z, г) -О (поверхность вращения), то за одну из координат
на поверхности мы можем взять угол <р, а за другую — г или z (локально). Метрика
имеет вид
dl2 = dz1 + dr2 + г2 dip2.
Если локально имеем г = r(z), то
dl2 = gzz dz2 + r2(z) d<p2, 9ij = ( 9lQz r°2 ).
Лагранжиан для геодезических имеет вид
L=\ {g!zz2 + r2(z)<p2) = Х- {g„r2+r2<p2),
причем энергия Е = L и импульс р9 = Ш = г2<р сохраняются.
Локальные координаты на поверхности — это z и <р. Рассмотрим их орты е, и ег
Скалярные произведения этих ортов таковы:
(е.-, ег) = д„, {ег, ev) = О, {ev, ev) = r2(z).
Рассмотрим вектор скорости геодезической v = (z,tp) и вычислим угол ф между v и ev:
(v,ev) r2tp pv
costp = = -=- = -7=- .
y/(v,v) (e¥,er) VEr VEr
Поэтому rcos^ = % = const. Окончательно получается
Теорема 4 (Клеро). Величина гсо&ф сохраняется вдоль геодезической на поверхности
вращения в Ж .
Так как ру = г2ф = const и 2Е = gzzz2 + г2ф2 = const, получаем: rip = j-, IE—
9zz(z)z2 + Щ, где r = r(z). Это позюляет полностью проинтегрировать уравнение
геодезических на поверхности вращения:
р» dr
dy=^dt, dt= , (15)
V Sn- ~ Ягг'2
Задача. Пусть в лагранжиан L входят высшие производные:
L = L(t,х,х,х,...,х ');
5[7] = J L(t, x,...,xlk)) dt.
т
Доказать, что для экстремалей функционала S[f] имеем уравнение Эйлера—Лагранжа
вида
HZ ~ Hi ~ Ж ~д± + di1 dx~ ~ "' + (_1) dtk дхМ ~ "

242
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
§ 32. Законы сохранения
1. Группы преобразований, сохраняющих вариационную задачу. Полученному
в предыдущем параграфе закону сохранения импульса можно придать более
удобную инвариантную форму, используя однопараметрические группы преобразований
(см. §23).
Пусть в пространстве Ж" задана (локальная) однопараметрическая группа
локальных преобразований Sr, -со < г < со, обладающая следующими свойствами:
1. Для любой точки Р найдется число г0 > 0 и окрестность U точки Р в 1",
где преобразование ST определено (и гладко) при |т| < то'.
ST:U->Rn. (1)
2. S0 — 1 (тождественное преобразование),
ST|+t-2 = ST| о St2, S-T = Sr (2)
(всюду, где все эти отображения определены).
Напомним, что с каждой локальной однопараметрической группой связывается
векторное поле, касающееся траекторий ST(x):
(Г) = Х(х) =—ST(x)\ . (3)
ОТ 1т=0
Векторное поле (X') определяет группу ST согласно теореме существования и
единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом для
любой точки х £ Ж", где (X1) отличен от нуля, найдется окрестность U этой точки и
координаты у1,...,уп в области U такие, что преобразование ST при малых г имеет
вид
ST(yl,...,yn) = (y,+T,y\...,yn). (4)
Именно такую форму теоремы существования решений мы будем использовать далее.
Определение 1. Говорят, что однопараметрическая группа преобразований ST
сохраняет лагранжиан L(x,ti,t), если
—L(SAx),ST4,t) = 0, (5)
ат
где STt — отображение касательных пространств (см. §22).
Вычисляя производную гго г в (5) при т = 0, получаем следующее соотношение:
dL\ tdL ЭХ' tdL
— =Х—: + —r£J—= 0 (6
dr \r=a дх1 dxi дС
(производная Ли функции L(x,£,t) вдоль поля X' равна нулю). Это и есть условие
сохранения лагранжиана относительно группы преобразований ST.
Имеет место следующая
Теорема 1. Если однопараметрическая группа преобразований ST сохраняет лагранжиан
L, то имеет место закон сохранения компоненты импульса вдоль поля X — X':
d ( :dL\ d :
Tt[x^) = dt{Xpi)-°' (7)
где X(x) = £sr(x) |T=0.

§ 32. Законы сохранения 243
Аоказательсгво. Рассмотрим точку х £ Е" , в которой Х(х) -ф- О, и такую ее окрестность
U, что в ней существуют координаты (у],... ,у"), в которых ST записывается
указанным выше образом: ST(y\... ,уп) — (у] +т,у2,... ,уп). В этих координатах
имеем
9Цу,у) _п (ЭЬ\
Однако единичный вектор вдоль оси у — это и есть векторное поле X.
Поэтому в указанных координатах щт — Х'-^. Теорема доказана. ■
2. Некоторые примеры. Применение законов сохранения.
Пример 1. Релятивистская (свободная) частица ненулевой массы тп > О определяется в
пространстве Минковского с координатами (х ,х\х
функционалов (действий) на времениподобных кривых:
5, = у f(x,x)dr, (х,х) = (х°)2 -5>°)2;
S2 = -mcl = -тпс / \/{x,x) dr = -tnc / dl. (9)
Мировые линии массивных частиц в пространстве К}3 являются экстремалями
функционалов 5| или 5г (релятивистский принцип наименьшего действия). Легко проверить
(как и в §31), что экстремали этих двух функционалов совпадают. Как мы увидим,
действие 5г удобно при сопоставлении с классической механикой.
В случае (9) в качестве т можно взять произвольный параметр, обычно он
выбирается в виде т = t = х°/с.
При такой параметризации имеем
пространстве Минковского с координатами (х ,х\х2,х2), ха = ct, одним из двух
(8)
S2 = -mcl = -тс1 / yl - (—) dt,
(Ю)
J V \ с /
a dxa
w =—, «=1,2,3
(w = \wa\ — трехмерная скорость, 1/с — собственное время). Следуя общим правилам,
пишем 5г = f Ldt, где L = -тсг\1\ - р-; заметим, что лагранжиан L записан в
трехмерной форме. Энергия и импульс для такого лагранжиана имеют вид
„ дБ тс'
E-pw-L = x Г, = (11)
V-5-
mw"
ра= _. (12)
При ; -» 0 имеем
ш2 \
ра ~ тш"(1 +...),
т. е. для импульса получаем в первом приближении классическое выражение
ра ~ mwa (13)

244 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
(см. §31), и для энергии — с точностью до постоянной тс1 — классическое выражение
, tnw2
Еятс+—. (И)
Кроме гого, имеет место тождество
Е2-с2р2 = т2с\ Е = сл/р2 + т2с2. (15)
Если Е > 0, то точки (Е,ср) пробегают трехмерное пространство Лобачевского (массовую
поверхность) в пространстве Минковского R? с координатами Е, ср.
В рамках этого трехмерного формализма энергия и импульс неравноправны,
время — выделенная координата.
Обратимся к функционалу действия S\ = *г f(%,j;)dT. В силу результатов
предьщущего параграфа параметр экстремалей здесь натуральный (закон сохранения
формальной «энергии»). Определим 4-импульс р, = (ро,р<,), <* = 1,2,3, формулой
8L „ „ ц <**'
Р'~~£Л> » = 0,1,2,3, где х =—.
дх" ат
Получаем
0L ,„ ЭЬ
Если поднять индекс ковектора р; в метрике Минковского, то получим вектор
р' — тех ', i = 0,1,2,3.
Поскольку вдоль экстремалей функционала Si параметр пробегания натуральный, то:
Р° = Бзг = тсх' > P° = i^; = -mcx'a> « = 1,2,з.
ш2 „ dx'
-о /о тс2 „
р = тсаг = —, = Е,
^ (.6)
-о /о da;a 1 mew" а
р — тсх = тс • —■==== = —р== = ср .
Выводы. 1) 4 -импульс р' связан с трехмерными энергией и импульсом соотношениями
р° = Я, ра=ср"; (17)
4-импулъс называют также вектором энергии-импульса.
2) При лоренцевых преобразованиях вектор энергии-импульса (Е,ср) преобразуется
как 4-вектор; 4-импульсы массивных частиц лежат на массовой поверхности, имеющей
геометрию Лобачевского:
E2-Cy = (pV-5>")2 = mV. (18)
В частности, для перехода в равномерно движущуюся со скоростью v в систему
координат (вдоль оси г1) имеем
(E,cp)^(£f,cp'),

§ 32. Законы сохранения 245
где
Е,= Е+(ср)"~^ Ef=E + pv
, El + cP , f+P , , (,?)
cPi = —7==, Pi = , =, Vi=Pi, Рз=Рз-
При * —► 0 получаем: Е' = Е + pv + const, р — р + const.
Пример 2. Основным постулатом общей теории относительности является тезис или гипотеза
(Эйнштейна): гравитационное поле — это не что иное, как метрика з,у на 4-мерном
пространстве-времени (метрика сигнатуры (Ч ) в каждой точке). При отсутствии
всех других сил пробная частица в гравитационном поле любой массы т > 0 движется
по времениподобным геодезическим, определяемым действием
тс Г
S{ = — J{x,x)dr. (20)
Частица массы m = 0 движется по изотропным геодезическим, вдоль которых {х, х) — 0.
Слабое поле определяется классическим гравитационным потенциалом <р(ха,х),
х" = ct. Оно представляет собой метрику, формально разложенную в ряд по 1/с:
9*ь = э£' + с-2д/2 + О (i), зй> = Ър(х\ х), (21)
(Х °\
где g{J — I _. I —метрика Минковского и члены порядка 1/с отсутствуют.
\0 -1/
Опрелеление 2. Времениподобная геодезическая х" = xa(t), t = 2-, в слабом поле
называется медленной, если -jj- -С с.
Для натурального параметра (собственного времени) медленной геодезической
в слабом поле будем иметь
dr
dl 1 1 dxa dx6 ( x°
dr =
ическои
d2x"
1+0 (Я
„ dx6 dxc
dt.
(22)
Поэтому в уравнении геодезической
dr2 с dr dr '
где параметр пробегания натуральный, можно с точностью до О (р-) заменить dr
на dt.
Утверждение. Уравнение медленных геодезических в слабом поле имеет вид
d2x° дш /1\
-^=-^+оЫ- (23)
т. е. совпадает с уравнением Ньютона для частицы в классическом гравитационном
поле с потенциалом (р.

246 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Локазательство. Для символов Кристоффеля, вычисляемых по формуле
га _ 1 ad (Ны д9Ы _ dfa
Ьс 29 V дх< Эх» dxd
будем иметь: I) производные вида f^f = j ^f имеют порядок О (^) в силу (21)
(метрика д{^ постоянна, величина t считается конечной); 2) производные вида
|^ (а = 1,2,3) имеют порядок О (р-) (величины х" считаются конечными).
Поэтому из слагаемых с символами Кристоффеля в уравнении геодезических
максимальный по порядку величины член — это Гоох°ж° = Гмс2+0 (i). Для Гад
будем иметь
Отсюда вытекает требуемое утверждение. ■
Пример 3. Система из п классических частиц с парным взаимодействием описывается
лагранжианом (в пространстве R3")
£= /] —^- ~ Щх\,- -Л), я, = (xl,x2itXi), (24)
где U = {YlV(xi,Xj).
Мы предположим, что эта система трансляционно инвариантна. Другими словами,
при преобразованиях
*.■-*,■ + £, t = (ti\(\ti\ (25)
лагранжиан не меняется: L —> L. Для этого достаточно, чтобы V была функцией от
разности аргументов:
1^(^,1,-) = V(n-а:,-). (26)
Тогда из закона сохранения импульса следует, что полный импульс сохраняется:
"паян — / j "^i*^tj
(27)
dP
dt
Локазательство. Мы имеем три группы S" (а = 1,2, 3), действующие в Н3" по правилу
S?:i?-*x? + r, х^х^ при рфа, а= 1,2,3, /3=1,2,3. (28)
Векторные поля л<а) = j^Srix) |г=0 имеют вид:
jru) = (1,0,0,3,0,0,..., 1,0,0),
Xй = (0. ),0,0,1,0,. .,0,1,0), (29)
Х!3) = (0,0,1,0,0, 1,...,0,0,1).
Получается гри закона сохранения:
п
-Ржмн,а = / .rnjit, а =1,2,3,
1=1
согласно общей теореме 1. ■

§ 32. Законы сохранения 247
Рассмотрим случай п = 2, L = mi(i|)2 + т2(±2)2 - 2У(Х| - х2). Перейдем к
равномерно движущейся системе координат, в которой Рполн = 0. Тогда имеем
m|X[ + m2x2 = 0. (30)
Выберем в качестве начала отсчета центр масс; тогда m,xi + m2x2 = 0. Следовательно,
7П|Х(
-, V(z,-x2) = V х, + — i, .
\ vn.it
Уравнения Ньютона имеют вид
х2 = --
m2 \ т2
dV(z, -х2)
mi1' = дх~а ' а=1'2'3' <31)
Пусть т* = Ш[ (l + 2i), f7(X[) = ^(^1 + ^ Х[). Из (31) следует уравнение (в системе,
связанной с центром масс)
.-,,_ dU(xt)
mX|--^T' (32)
Итак, имеет место
Теорема 2. Задача о движении двух частиц с трансляционно инвариантным потенциалом в
системе центра масс эквивалентна задаче о движении одной частицы с приведенной массой
т' = 711^] + jjj1) в поле с потенциалом U(xt) = V(xl — х2), где m\Xi + m2x2 = 0.
Итак, группа трансляций приводит к сохранению полного импульса и сведению
двухчастичной задачи к одночастичной.
Пример 4. Перейдем теперь к использованию группы вращений 50(3).
Определение 3. Лагранжиан Цх, х) называется сферически симметричным, если он инвариантен
относительно всех вращений в R3.
В группе 50(3) мы имеем три различных однопараметрических подгруппы:
1) вращения вокруг оси х на угол f>(o£ );
2) вращения вокруг оси у на угол <p(S* );
3) вращения вокруг оси z на угол ^С?^').
Соответствующие векторные ноля в R3 — это найденные в §24, п. 3 линейные
векторные поля LX,LV,LZ:
Lx=(0,-z,y), Lv = (z,0,-x), Lz = (-y,x,0). (33)
Для сферически симметричных лагранжианов согласно общей теореме 1 имеются
законы сохранения следующих величин:
Мх = Ltpa, My = L,pa, Мг = L°pa
(угловые компоненты импульса для вращения вокруг осей x,y,z). Явный вид их таков:
Мх = ург - -zp,, My = zpx - xpz, Ыг = xpy - урх; (Мх) = (Myj = (Мг) = 0. (34)
Таким образом, сохраняется вектор
М = (MI,Ms,Mz) = [x,pj, (35)
где х = (x,y,z). Вектор [х,р] называется моментом импульса.
Пусть имеется система двух частиц, инвариантная относительно полной группы
движений евклидова пространства R3. В этом случае L = m,i5+m2i2-!7(2I-22), причем
U(xl - х2) = !7(|х| - х2]) = U{г). Действительно, из инвариантности относительно всех
вращений и отражений следует, что U(xl - х2) есть функция от г = |х| - х2|. Используя
группу трансляций (результат примера 3), перейдем к задаче об одной частице с массой

248 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
т' — т в поле U(r) с группой симметрии 50(3). При этом имеет силу закон сохранения
момента М = [х,р]. Поскольку U не зависит от времени, то сохраняется также энергия
E = pv-L = ?f + U(r), v = x.
Лемма 1. Движение частицы происходит в плоскости, натянутой на векторы х и р.
Локззательсгво. Так как момент сохраняется и х = р/т, то направление вектора |х, х] = М/т
неизменно. Это направление ортогонально плоскости (х,р). Лемма доказана. ■
Выберем направление М за ось z и перейдем к цилиндрическим координатам
(z,r, ip). Получим
тх2 г2 + г2ф2
L = — - U(г) = т ^- - Щг),
г 9L М
ptf = M = mrip = -~ = const, ф = —г, (36)
otp тг1-
Е=^- + Um(r), (37)
где £/*„, (г) = U(r)+£r.
Окончательный вывод таков: движение частицы сводится к одномерной задаче
(по г) с потенциалом {/^(г); решение дается формулами
, 2
г =-(я-г/эфф),
т
Г dr
Г Mdt
9~fu- I г-
J mr2
Исключая t, можно получить уравнение орбиты <р = ip(r) или г = r(ip). В двух
важных известных случаях U = a/r и U = ar2 целая область пространства (х,х)
заполнена замкнутым орбитами;
a
область Е < 0 для U = — с а < О,
г
область всех Е ^ 0 для U = аг2 с а > 0.
При этом область Е < 0 для Г/ = a/r есть область кеплеровских эллипсов.
Замкнутость орбиты требует выполнения нетривиального равенства
r(ip + 2xn) = г(<р), (39)
где п — некоторое целое число.
Для других сферически симметричных аналитических потенциалов U(r) ^ a/r,
ar2 равенство (39) не может выполняться на целой области фазового пространства
(см. книгу [44]). Вообще говоря, замкнутые орбиты заполняют множество меры нуль.
Движение происходит в конечной области пространства (х,х) при всех -со < t < со,
если неравенство
Е - !7зфф(г-) < О
выделяет конечный отрезок 0 ^ >•„,„ ^ г ^ гтм < со и начальное условие в нем
содержится (здесь Г/зфф = U(r) + j^j, М1 — квадрат величины полного момента
импульса).

§ 32. Законы сохранения 249
Пример 5. Пусть в пространстве Минковского R4 задан лагранжиан Цх, х), х = (х°, х1, х2, х3),
инвариантный относительно группы Лоренца 0(3,1). Группе 0(3,1) в R4 соответствуют
линейные векторные поля, определяющие однопараметрические подгруппы:
X\x) = xkAii = gl,x,Aki, (40)
/' -1 °\
где д°ы = I _] ] — метрика Минковского, Акг — любая постоянная
\0 -1/
кососимметрическая матрица (см. §24). Тогда имеем закон сохранения
PiX' =piXtA ' = const, (41)
где pi = —; есть 4-импульс. Ввиду косой симметричности матрицы А1" выражение (41)
можно переписать в виде
р{хкАк' = - (р(хк - ptXi) A1" = const.
Так как матрица Ак' произвольна, то мы имеем целый тензор сохраняющихся величин
Мц, - х{рк - xkpi = const. (42)
Этот антисимметричный тензор называют 4 -тензором момента.
Удобно рассмотреть соответствующий тензор М'к с верхними индексами. Его
пространственные компоненты Mafi, ar,/3 = 1, 2,3, имеют вид
М"" = с(хар" - хУ), (43)
т. е. совпадают с компонентами трехмерного вектора момента
сМ = с[х,р\, M2i = cMx, Mil=cM„ Mn = cMz. (44)
Компоненты М°\М02,Мт образуют трехмерный вектор
c2ip-Sz = (M-0l,M02,JWw). (45)
Формулы (44) и (45) сразу вытекают из вида 4-импульса
(р*) = (Е,ср),
где р — обычный трехмерный импульс.
Пусть теперь нам задана система из п релятивистских частиц Х[,...,х„, х,- =
(xj,x,',x-,x3). Пусть, далее, лагранжиан L(xt,...,xn, хи...,х„) инвариантен
относительно полной группы Пуанкаре — группы движений пространства Минковского. Тогда
имеем следующие законы сохранения:
( / ^'> z^/CP' I = const (полный 4-импулъс сохраняется),
я
2_]М" — const (Мк1 — тензор момента i-й частицы).
Из формул (45) вытекает, в частности,
2~]c2tpi - 2_,Е<х< = const. (46)
Так как полная энергия ^2 S,- тоже сохраняется, то имеем
У, Е,х{ У с2р{

250 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Следовательно, точка
движется с постоянной скоростью v, равной
£с2р..
£** т
(48)
Точка х есть релятивистский аналог центра масс. Если скорости частиц малы по
сравнению с с, то можно приближенно положить Е, ~ rriiC2, и формула (47) переходит в
классическую формулу
£т;Х;
Заметим, что релятивистский центр масс не инвариантен относительно выбора системы
§ 33. Гамильтонов формализм
1. Преобразование Лежандра. Напомним, что мы ввели энергию и импульсы
для лагранжиана L(x, х), положив
a 9L дЬ
Определение 1. Лагранжиан L называется невырожденным, если
detl^j*°' (2)
и называется сильно невырожденным, если уравнения ра = gV- -'■ можно гладко
и взаимно однозначно решить в виде х" = va(x,p) для всех х,х.
Определение 2. Гамильтонианом Н(х,р) называется энергия Е, выраженная через х и р
(для сильно невырожденных лагранжианов).
Пространство с координатами (х,р) называется фазовым пространством. Переход
от координат (х, х) к координатам (х,р) для сильно невырожденных лагранжианов
обратим. Это и есть преобразование Лежандра от L(x,v) к Н(х,р). При этом уравнения
Эйлера—Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона.
Теорема 1. Пусть £(х, х) — сильно невырожденный лагранжиан и Н(х,р) — гамильто-
L(x,i
ах
ниан, р = —ё^, х = v(x,p). Уравнения Эйлера—Лагранжа
д-±-±(9Л)=0 (3)
дх dt \dxj
эквивалентны уравнениям Гамильтона, в которых х и р считаются независимыми
переменными:
дН ■ дН
р= , х= (4)
дх др
в фазовом пространстве (х,р).

§ 33. Гамильтонов формализм 251
Аоказательсгво. Пусть L = L(x,v), где v — х,
dL
Я = pv - L, v = v(x,p) и р = ——
dv
Докажем следующие равенства:
а) х ~ v — -д-
61 7) = — — I = — I
' " Эх [p=const cte U=:const'
где Я = H(x,p),L = L(x,v).
Доказательство равенства а):
дН д dv dL dv
—— = —(pv - L) — v + р = г>,
dp dp dp dv dp
так как p— -^-
Доказательство равенства б):
дН _ d_ dv_ dL dL dv _dL
dx dx dx dx dv dx dx
Теорема доказана. ■
Заметим, что L = pv -Я, где v = -$-, или L = рх~ И. Действие 5 = /Ldt для
L(x, х) записывается в виде
S = Ldt = \рх- Н(х,р)] dt. (5)
Если кривая 7 имеет вид x(t) и p(t) = §§(х, х), то вдоль этой кривой выполнены
«условия интегрируемости»
dx dH
v^-^7' где V=~T~- (6>
dt dp
Рассмотрим в фазовом пространстве (х,р) лагранжиан L = рх- Н(х,р) на всех
кривых x(t),p(t) без условий интегрируемости % — ^§--
Лемма 1, Уравнения Эйлера—Лагранжа для функционала J[px - Н(х,р)] dt в 7п-мерном
пространстве (х,р) совпадают с уравнениями Гамильтона и автоматически влекут
условие интегрируемости v — —^ = ^.
Аоказательсгво. Пусть L(y,y) = рх - Н(х,р), где у — это координаты (х,р). Мы
имеем
8L^
0 =
\' dL dH
= г, или р=- ——
1 dx'' у dx
(SLY dL ., dH
Лемма доказана. В
Замечание. Мы выводили выше уравнения Эйлера—Лагранжа для кривых, являющихся
экстремалями в классе кривых с закрепленными концами. В фазовом (х,р)-пространстве этому
соответствует класс вариаций, где фиксированы лишь х-координаты концов (рис. 34).

252 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
2. Движущиеся системы координат. Рассмотрим
теперь ситуацию, когда в к задан лагранжиан, меняющийся с
течением времени: L — L(x,x,t). Выведем закон
преобразования различных величин при заменах х — х{х Л), t = t'.
Во-первых, по самому определению при таких
преобразованиях величина S = / Lit не меняется, и L также
не меняется (с точностью до полных производных). Поэтому
имеем
, df(x,t)
L(x,x,t)-> L(x(x,t),x,t)A —. (7)
at
Рассмотрим два случая:
1) замена не содержит времени: х = х(х')\
2) замена содержит время.
В первом случае
Рп
'x=xt 'Х=Хг X
Рис. 34.
дх'
дхг
X — 7 Я ИЛИ v — 7 V ■
дх' дх'
(8)
Вывод. Скорость есть вектор.
Далее, L(x',x',t) — L(x, x,t). Поэтому
L(x\x,t) = L(x(x'), Q^v'>t)i
dL
Js dx ..>
дх'
dL dx{ dx{
Pi' dv' dv1 дх* PidX? '
(9)
т.е. импульс есть ковектор. Для энергии имеем Е = p,V - L = р?у' - L = Е''. Поэтому
энергия есть скаляр (не изменяется).
Перейдем теперь к заменам, содержащим время:
В этом случае
х = х(х ,t), t — i.
.; дх' ? дх1 дх' f { ,
х — -_. х 4- —— = -—7 х +а (х А),
дх' dt дх1
(Ю)
(П)
Будем считать, что в данный момент времени t — to произведена замена (не зависящая
от времени) такая, что х = х при t = i0. Тогда
дх' -I
v - v + — - v' + а'(х', tQ), t0 = t.
at
(12)
Такую систему координат назовем мгновенной. В результате перехода к движущейся
системе координат получим
L —> L = L, L(x, v, t) = L(x, v + a, t);
v -* v — v - a(x,t);
dL dL'
p->p=p, так как -£- = -5-7;
dv dv
E-tE1' - p'v1 -L' = pdv* -ai)~L = E- p.a'V ,*)•

§ 33. Гамильтонов формализм 253
Таким образом, импульс не меняется, а энергия сдвигается на величину, равную
-р;а' = (р, v' - v). Итак,
E = H(x1p)-*E' = H(x\p')-p'iai(x',t) = H'(x',p',t), (13)
где х = х при t = tQ, р = р\а = -§[\t=t ■ Выясним, как изменяются уравнения
Гамильтона. Прежде мы имели х = ~, р = -ff-- Теперь имеем х' = ^-, р' = -^fr
(при t = t0)- Так как х' = х, р — р, получаем
, дН' дН
х = — = — -а = ж-а,
V др
., _ дН' _ дН _ .
Р ~ ~~дх7 " ~~дх ~Р'
Таким образом, изменение уравнений Гамильтона весьма просто. Мы доказали такое
утверждение.
Теорема 2. При переходе в движущуюся систему координат (мгновенную) координата и
импульс не меняются, а энергия (гамильтониан) изменяется на величину -(р,а),
где
дх
, Н -* Н' - (р, а), а = a(x',t).
t=ta
а = "77"
dt
Рассмотрим три важных примера.
Пример 1. Поступательное движение системы координат, при котором a = a(t) не зависит от
х', L=~- U(x).
В этом случае
р — m«, р = р = mv = m(v + а) — mv + та,
Н' = Н-(р',а).
Для уравнений Ньютона
(mv)' = / = mv + та
или
mv' = f-ma = fl. (15)
Таким образом, сила / приобретает инерционный добавок -та.
Пример 2. Вращение системы координат в R1, где а = [П,х'], Q — угловая скорость
(постоянный вектор);
Я' = Я-(р',а) = Я-(р',[а,х']),
р = р, х = х при t = i0.
Уравнения имеют вид
дН' дН д , дН
, дН' дН д , дН .
2
р = р' = тх = т(х + [П, г']) = тх + та.

254 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Имеем
Я FT
р = тх +• m[il,x] = — — 1- \(тх + та), fl\.
ох
Окончательно получаем: если Л = О (вращение постоянно), то
тх = 2т[х,Щ + /„^ + m[[U,x],il\. (16)
Последнее слагаемое есть малая сила, если скорость Я мала, |х| невелико. Сила 2т[х,Щ
называется силой Кориояиса. Получаем
mi' = 2т[и',Щ + /mp„e + 0(П2). (17)
Замечание. Если L = Щ— U(г), то переход в движущуюся систему координат имеет вид
H—*H — pia', pi = mv' = р[ = m(v' +a), (18)
где
p1
н = 2m" + U{x)' (19)
, p'2 (p — ma)2 ma2
H' = f- + U(x) - pa = Z— + U(x) - —.
2m 2m 2
Таким образом, переход в движущуюся систему координат равносилен двум операциям:
а) сдвигу импульса р -> р' - та,
б) замене потенциала U —► Сэфф = U(x) - Щ-.
Пример 3 (включение электромагнитного поля). Пусть L(x, х) — лагранжиан. Определим
новый лагранжиан формулой L = L+ \А&, где 4, — вектор-потенциал
электромагнитного поля, е — заряд, 5 = /Ldt, S = f {Ldt + |Л;<*х'). Операцию добавления к
лагранжиану слагаемого j-4,x' называют «включением поля».
Если H(x,p) = pv - LuH(x,p) = pv - L, где p = Ц, p = |£, то
б б
Pi; = Pi + ~Ai, pi = pi-~Ai,
c c (20)
Н(х,р) = н(х,р--сАУ
Таким образом, включение поля равносильно сдвигу импульса в гамильтониане и этим
похоже на переход к движущейся системе координат (без замены потенциала).
Заметим, что уравнения Эйлера—Лагранжа имеют вид
дЬ
Pi ~ /< = Т1 (без П0ПЯ)>
ах'
б б
pi = /,- + -Fiji1 (с полем), р = р —А.
с с
Здесь Fij = •— - j£y — тензор электромагнитного поля. В силу косой симметричности
тензора F^ выражение Fiji'x1 есть тождественный нуль, поэтому
р,х'= p,V =/,V, (21)
где / — сила в отсутствие поля, / = ||.
Замечание. В трехмерном формализме компонента А0 = ар есть электрический потенциал,
и (Ai,A2,A]) — вектор-потенциал. В этой записи добавок к лагранжиану имеет вид
е<р + '-Ааха, где х° = ct, а = 1,2,3.

§ 33. Гамильтонов формализм 255
3. Принципы Мопертюи и Ферма. Приложения. Разберем теперь вариационные
принципы Мопертюи и Ферма.
Теорема 3 (приниип Мопертюи). Если гамильтониан Н(х,р) не зависит от времени и
фиксирован уровень энергии, то на траекториях движения величина So = J pdx
имеет экстремум среди всех кривых x(t) с данной энергией Е. При этом считается,
что форма pdx выражена через х", dxa.
Локазательсгво. Очевидно, на поверхности Н(х,р) — Е исходный функционал S =
J (pdx - Hdt) достигает экстремума на всех исходных экстремалях (решениях
гамильтоновой системы), поскольку мы рассматриваем экстремальную задачу
в более узком, чем прежде, классе кривых: кривых, лежащих на поверхности
Н(х,р) =Е. На этой поверхности S = j(pdx-Edt) = J(jpdx-d(Et)). Поэтомув
координатах z',...,z2n_1 на этой поверхности (размерности 2п-1) лагранжианы
рх — L(z,z) и L(z,z) - ft(Et) имеют одинаковые уравнения экстремалей.
Следовательно, все экстремали исходного функционала в (х,р) -пространстве
являются и экстремалями нового (укороченного) действия So = J pdx на
поверхности Н = Е. Теорема доказана. ■
Рассмотрим теперь важные примеры.
Пример 1. L = ™— U(x); #(z,p) = j^ + U(x). Вдоль экстремалей выполняется уравнение
. _дН _ р
dp m
Сузим функционал укороченного действия So = J pdx на еще меньшее множество
кривых на поверхности Н = Е, потребовав чтобы вдоль этих кривых выполнялось
соотношение х — р/т. Тогда:
а) |р| = л^/2т(Е - U(x)) из условия Я(х,р) = Е;
б) (р, А) — paxa = \р\ ■ \х\ из условия х = р/т.
Отсюда получаем
50= J pdx= J(p,x)dt= l\p\\x\dt= I \p\\dx\= J y/2m(E - U(x)) \dx\.
Итак, доказана
Теорема 4. Кривые x(t), отвечающие решениям гомильтоновой системы с Н = р2/2т + U(x) = Е
при фиксированной энергии Е, являются (непараметризованнымй) геодезическими новой
метрики
д^=2т(Е-Щх))6ц. (22)
Пример 2. Пусть Н = с(х) • \р\; этот гамильтониан описывает траектории света в изотропной
среде с переменной скоростью света с(х).
Рассмотрим укороченное действие 50 = Jpdx на множестве кривых таких, что
а) Я(х,р) = Ё,
б) х = ~ = с(х)|£| (очевидно, |х| = с(х)).
Так как с(х)|р| = Е, то \р\ = Е/с(х). Так как х = с(х)р/|р|, то (p,dx) = \р\ ■ \dx\. Поэтому
Заметим, что интеграл J Щ равен времени движения света вдоль пути -у. Итак, доказана

256
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Теорема 5 (приниип Ферма). Свет движется вдоль такой кривой, вдаль которой время
движения имеет экстремум среди всех гладких кривых, соединяющих заданные
точки Р и Q. Эти кривые являются геодезическими новой метрики
Замечание. Обычно геодезические получаются из лагранжиана L — gijv'v' или
гамильтониана Н = g''PiPj. Если взять гамильтониан Н'(х,р) = \/Н = у/g''PiPj, то он
будет давать те же траектории движения, поскольку на постоянном уровне энергии
Я = const соответствующие векторные поля гамильтонианов Я и \/Н будут
пропорциональны с постоянным множителем, равным -Л= = -4= = const. Действительно,
(^—дн •_ дн\ ^~. г5(-_ aSB_ •_ a<fa\
[Р = &Г > х ~ -Ц) ~ 2%/Я(р =-^-,1 = -у).
В нашем случае Я' = с(а;)[р| или Я' = \/с2(х)\р\2. Поэтому сразу можно сказать, что
метрика имеет вид g'1 = с2(х)6'' или g,j = -^- ¢,-,-.
В анизотропной среде тензор д,, (или д'1), определяющий скорость, не будет иметь
конформно евклидовой формы.
§ 34. Геометрическая теория фазового пространства
1. Градиентные системы. В любом пространстве Rm с координатами (у1,...,
ут) и «метрикой» д'3 можно определить скалярное произведение ковекторов и поднятие
индексов (см. § 19).
Градиент V/ функции f(y\--,ym) имеет вид
(у/); = «^|Д. (1)
v J' " dy3
При этом тензор дгз не предполагается симметричным. Векторному полю V/
соответствует система уравнений (см. § 23)
V* = (V/)'. (2)
Система вида (2) называется градиентной. Имеет место простая
Лемма 1. Для любой функции h(y) ее производная в силу градиентной системы (2) имеет
вид
■ , > adh df
Локазательство. По определению
dh , dh , dh .. df
dy1 ду1 dy1" dy3
Лемма доказана. ■
Нас здесь будут интересовать невырожденные кососимметрические
«метрики» g'3, задаваемые формой
2П. = g{j dy* Л dy3, (4)
гае 9ij — обратная матрица, ffjj-У* = «5,*, gij = -д,и det^j = д Ф 0. Очевидно,
размерность пространства четна, i,j = 1,..., In.

§ 34. Геометрическая теория фазового пространства' 257
Ледлдла 2. Имеет место формула
- П. Л... л П = у/д.dy Л ... л dy2n; (5)
п
таким образом, у/д — многочлен от gij; он называется «пфаффианом».
Доказательство. Равенство (5) достаточно доказать в каждой точке отдельно. Поэтому
без ограничения общности можно считать, что (¾ = const. Выберем новые
координаты
(х\...,хп, Vu...,pn) = (z\...,zln) (6)
такие, что дц = I _, л ) ■ В этом случае
й = ^2 dx' Л dVu (7)
Пл... ЛП = пЫг* Л... A dz2n.
Таким образом, в данной системе координат лемма доказана, так как у/д— 1.
Ввиду инвариантности формулы (5) лемма доказана в любой системе
координат. ■
Замечание. Таким образом, условие иевырожценности метрики giit т.е. условие, g # О,
равносильно условию П" ф 0.
Определение 1. Пространство с кососимметрической метрикой <J;;-, допускающее
координаты (х,р) такие, что <&,= (. „ j, называется фазовым пространством.
Координаты (х,р), в которых метрика имеет вид (7), назовем каноническими.
Градиентные системы в этой метрике назовем гамильтоновыми.
Гамильтоновы системы в канонических координатах имеют вид
у' = (ЧН)\ i=l,...,2to,
или
, дН дН
X = —-, Pi = -~-r, г=1,...,п. (8)
dpi ах'
Из леммы 1 вытекает
Лемма 3. Производная любой функции f(x,p, t) в силу гамилыпоновой системы (8) имеет
вид
/=-^ + (V/,V#), (9)
где
- Ji^L 2Е - V (^- — - — EL
ду' ду? 4~^ \дх' dpi дх' dpi
В частности, если f = Н = Н(х, р, t), то
дН.
Е = Н = 1н>
так как (VH,VH) = -<V#, УЯ) = 0.
9 Зак. «(»8
,-(/1 и а ^—\ / UJ и а и а и J \

258
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Важность класса гамильтоновых систем определяется доказанной в предыдущем
параграфе теоремой об эквивалентности уравнений Эйлера—Лагранжа (для сильно
невырожденных лагранжианов) и уравнений Гамильтона в фазовом пространстве.
Рассмотрим теперь систему Н — H(x,p,t), явно зависящую от времени t. Имеем
уравнения Гамильтона
дН дН
*=а>' *=-fc' (11)
их следствие Ё = ^- и очевидное равенство i = 1. Рассмотрим расширенное фазовое
пространство с координатами (x,p,t,E), где хп+> = t, pn+i — Е, и кососимметрической
метрикой
/01 0\
I Л
9а =
-I о
0 1
-1 о
\о
о/
которой соответствует форма
П =
У2 dxi Л dpi - dt Л dE.
(12)
(13)
Рассмотрим гамильтониан H(x,p,t,E) = H(x,p,t) -Ей градиентную систему
(Гамильтона), которая имеет вид
др '
Из этих уравнений вытекает
р-
d_H_
дх '
t:
дН_
Е =
дН_
dt '
(14)
Следствие. Уравнения Гамильтона в расширенном фазовом пространстве (х, p,t,E) с
метрикой д^ (или формой fi) с гамильтонианом Н — H(x,p,t) — Е на поверхности
Я = О совпадают с исходными уравнениями Гамильтона в пространстве (х,р), к
которым добавлены соотношения i = 1, Ё = dH/dt.
Если исходный гамильтониан Н не зависит явно от времени, дН/dt = О,
то время t = xn+l является циклической координатой, и соответствующий импульс
pn+i = Е сохраняется.
2. Скобка Пуассона.
Определение 2. Скобкой Пуассона (или коммутатором) двух функций /(ж, р) и д{х, р)
в фазовом пространстве с кососимметрической метрикой
9Ц
о 1
-1 о
о
dg Of
называется скалярное произведение их градиентов
г, „г _ ,„, -v _ м df d9 _ v^ df dg og uj
{f,9i - \vf,vg) -gJ — —т = 2,^--^ -т-т —,
"У 9y3 ~l dxl dpi dxl dpi
где (V/Г =^^, и т.д.
Имеет место следующая
(15)

§ 34. Геометрическая теория фазового пространства
259
Теорема 1. Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:
0 {/,<?} = -{<?,/}, {a/i +itfi,9} = *{fug}+it{fi,g},
где \,ц — константы;
2) {/,& *}}+ {*,{/,$}} + {$.{*,/}} = О (16)
(тождество Якоби);
3). {fg,h} = f<g,b}+9(fM; (17)
4) V{/,<7} = -[V/,V<7],
где [,] — коммутатор векторных полей.
Лоюзательство. Свойства 1) и 3) очевидны, а свойство 2) эквивалентно свойству 4).
Докажем свойство 4). В координатах (х,р) имеем
„. /в/ в/Ч _ /¾ ддх
Вычислим коммутатор этих векторных полей. Напомним (см. §23), что
коммутатор полей X и У в координатах у3 определяется формулой
Используя это равенство для первой х-координаты коммутатора [V/, Vg],
получаем
rVf vol1 = d-l—(d-l\ -?lJL(?l\-?l±(?l\ +
1 J' 9i dp dx\dpJ dx dp\dp) dpdx\dp)
dx dp\dp) dp dp\dx) dx dp\dp) dx dp\dp)
_jb±fjU\±/Wdi_dldi\ = /_v{/ }y.
dp dp\dxf dp\dx dp dp dx/ \ ' / '
здесь мы использовали равенства
dx\dp) dp\dx)' dx\dp) dp\dx)'
Для р-координаты равенство 4) доказывается аналогично. Теорема доказана. ■
Следствие. Функции f(x,p) на фазовом пространстве образуют алгебру Ли относительно
скобки Пуассона.
Заметим, что в силу утверждения 4) теоремы 1 эта алгебра Ли изоморфна алгебре
Ли градиентных векторных полей в кососимметрической метрике jy-
Пусть теперь <fc3- — произвольная кососимметрическая метрика
(невырожденная); Q — gijdy' л dy3. Определим скобку Пуассона {f,g} прежней формулой
^ = ^0^ = ^ (18)
При каком условии на Q гладкие функции образуют алгебру Ли относительно
коммутатора {,}? Ответ дает следующая

260
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Теорема 2. Гладкие функции составляют алгебру Ли относительно скобки Пуассона (18)
в том и только в том случае, если форма ft замкнута: <ffl = 0.
.Доказательство. Нужно проверить лишь справедливость тождества Якоби. Оно
эквивалентно (см. доказательство теоремы 1) тождеству
V{/,<?} = -[V/,Vffl. (19)
Левая часть равенства (19) имеет вид (h-я координата):
v/ , 0t* = a"?3ldld9_ ну / d2f дд_ 21 д2д
U'9' 9 дт/ ду* ду3 9 9 \dyldyldyi ду1 ду1 ду>
правая часть:
, udgki dg df Идды df дд
-IV/, Vj] =д -^-r-^j-^-r -д J-^--^-^ +
ду' ду ду3 ду' ду3 ду
, ijki % d*f ц ki df 92g
+ Q Q —г ; : — qJq r : r-
ду3 ду' ду' ду' ду3 ду1
Приравнивая эти выражения, получим после сокращения и переобозначения
индексов суммирования: равенство (19) эквивалентно равенству
ду' ду' ду' ) ду} ду
Ввиду произвольности величин j£, -А это равенство эквивалентно такому
равенству:
9 ТТ + 5 ~ГГ+9 ТТ=0; J.'.fc= 1.---.271. (20)
ду ду ду'
Умножая равенство (20) на gTkgpjgqi и используя соотношение
9ij ду1 " ^ ду1'
получаем
9gPq dgr dgTp = Q
дут дуР дуч '
а это и есть условие замкнутости формыа ft. Теорема доказана, Ш
Выясним теперь вопрос: в каком случае невырожденную форму ft 2-го ранга
(т. е. такую, что ft" ф 0) можно привести заменой координат к каноническому виду (7)?
Так как форма (7) замкнута, то условие замкнутости формы ft необходимо для
такого приведения. Достаточность вытекает из следующего утверждения, которое мы
приводим без доказательства.
Теорема 3 (Дарбу). Пусть ft — дифференциальная форма 1-го ранга, причем ft" =
ft Л ... Л ft ф 0. Если форма П замкнута, то существуют локальные координаты
х ,...,хп,р\,...,р„, в которых форма ft принимает канонический вид:
ft = 2_, dx' Л dpi.

§ 34. Геометрическая теория фазового пространства 261
Пусть мы имеем в фазовом пространстве гамильтонову систему с
гамильтонианом Я. Тогда производная любой функции / = f(x,p) вдоль этой системы
имеет вид
/ = {/,#}• (21)
В частности, х1 = {х\Н} = Щ, р\ = {р,-,Я} = -дН/дх*.
Вывод. Функция f(x,p) является интегралом гамильтоновой системы (интегралом
движения), если она коммутирует с гамильтонианом Я: {/,Я} = 0. Совокупность
интегралов гамильтоновой системы образует алгебру Ли, замкнутую также
относительно перемножения функций.
Предположим, что гамильтониан Н(х,р) не зависит явно от времени: Щ — 0.
Тогда энергия Е = Н(х,р) сохраняется, и все траектории гамильтоновой системы с
гамильтонианом П(х,р) лежат на поверхности уровня Я(ж,у) = Е. Пусть / = f(x,p) —
интеграл этой системы, {/,Я} = 0. Но тогда и {Я,/} = 0, т.е. функция Н(х,р)
постоянна вдоль траекторий градиентной системы V/. Следовательно, векторное поле
V/ касается поверхности уровня Н(х,р) = Е. Так как векторные поля, касающиеся
данной поверхности, образуют подалгебру алгебры Ли всех векторных полей (см. §24,
п. 1), то имеет смысл говорить об алгебре Ли интегралов гамильтоновой системы на
данном уровне энергии Н(х,р) — Е.
Пример 1. Пусть лагранжиан Цх,х) сферически симметричен. Как мы видели выше, трем
однопараметрическим подгруппам в 50(3) соответствуют три интеграла MX,MV,MZ
(интегралы момента), где
, ЭЬ , dL Ы,
Мх = £•-, М5 = £;-; Мг = Ь\-, (22)
LX,L„LZ — соответствующие линейные векторные поля. Коммутаторы этих полей
имеют вид (см. § 24)
[LX,L,] = LZ, [LS,LZ\ = LX, [L„LX] = L,. (23)
Из утверждения 4 теоремы 1 вытекает, что скобки Пуассона компонент момента
вычисляются по формулам
{MX,M,} = -MZ, {M„MZ} = -MX, {М„МХ} = -М,. (24)
Вывод. Функции Мх, Му, Мг на фазовом пространстве сферически симметричной
системы образуют алгебру Ли относительно скобки Пуассона, изоморфную алгебре
Ли so(3).
Пример 2. В кеплеровой задаче гамильтониан В(х,р) в R6 имеет вид
И(х,р) = ■?-+ ■£- а<0. (25)
2т \х\
В силу сферической симметричности здесь имеются три интеграла момента
М = (М,, Мъ М3) = \х, р\ = const. (26)
Оказывается, в этой задаче имеется еще три интеграла
W = (W,, FTj, W3) = \-,м] + ^ = const (27)
Lm J |х|

262
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
(вектор Лапласа—Рунге—Ленца). Вычислим скобки Пуассона {Mi,Wj}, {W^Wj}. Для
этого используем следующие выражения для скобок Пуассона функций {р{, Mj}:
{риМ(} = 0, {pi,M2}=pb {p,,Mj} = -p2, [рг,М]} = -рь
{P2,M2}=pu {рз,М,} = р2, {p3,M2} = -pl
(проверьте!). Имеем
М\ = Xipi - Z3P2,
1 ax [ 1 ax-,
Wy = - [pjMi - PiM2) + —, W2 = - (p1Ml - PlM3) + —j.
m \x\ m \x\
Используя сюйства 1), 3) из теоремы I, получаем
{MhWl}=~{M1,p2Mi-pJM2} + a\Mt,P-} =
= -1{М1,рг}М1 + {МиМъ}р2 - {MhPi}M2 - {МиМ2}рг] +
m
+ — {Mi,xt] + axi\Mi, — \ = —{рзМг - M2p2 + p2M2 - p-sMi] = 0,
\x\ ( \x\) m
{MhW2} = -{MupjMt -p,JW3} + a{Mb ~\ = -[{MbP3}M, - {МьА/зЫ +
m L \x\ ) m
a , 1 m,
+ т-AMi, x2} = —l-ргМ, +PiM2] + —- = Wj.
\x\ m \x\
Точно так же вычисляются остальные скобки {M^Wj}. Получаем следующую таблицу
скобок Пуассона:
(29)
Аналогичное, но более длинное вычисление позволяет найти попарные скобки вида
{Wi, Wj) при постоянном уровне энергии Н(х,р) = Е. Будем иметь
{MuWj}
М,
М2
М3
W,
0
-w,
w2
w2
Wi
0
-Wi
w,
-w2
wt
0
1 P 2E 1P
{W„W2} = M3l {W2,W,} = M„ {W„Wi} = - —M2.
m m m
(30)
Видно, что структура алгебры Ли функций W;,Af,- при постоянном уровне энергии
Н = Е существенно зависит от этого уровня энергии (см. задачу 3 ниже).
3. Канонические преобразования. Пусть имеется произвольная гамильтонова
система с гамильтонианом Я(ж,р):
t дН
dpi
дН
"дх1'
.,71.
Теорема 4. Форма Q = J2 dx' Л dp,- сохраняется в силу гамильтоновой системы:
П = 0.
(31)

§ 34. Геометрическая теория фазового пространства 263
Локазательство. Чтобы вычислить производную формы Q вдоль векторного поля VH
(т. е. производную Ли Q = Ь^дП), нужно воспользоваться следующими фактами
( см. §23, п. 2):
(П, лад = Й, лП2 +П, лП2, (32)
i {дН\ д2Н , д2Н
{dXj=d{WJ=^^dx3 + 9^9Tjd^ <33>
дН\ дгН , д2Н
(dPi)'= ~d Ш) = ~d^Jdx3 - ё?^ *'■ (34)
Поэтому
|2i
Е^л^)=Е{^7^'л^ +
J i д н j i * д н 1
dpj A dpi -мл —-. г dx1 - dx Л —:—- dp,- > = О,
Уз F dx'dxi дх'др, Fl} '
так как внешнее произведение кососимметрично. Теорема доказана. Ш
Следствие (Лиувилль). Фазовый объем любой области в (х,р)-пространстве сохраняется
гамильтоновой системой.
Локазательство. Так как Q = 0, то из формулы (32) вытекает, что (Q А ... Л Q)" = 0.
Согласно лемме 2, элемент объема в фазовом пространстве как раз имеет вид
n-кратного внешнего произведения формы Q на себя. Следствие доказано. ■
Определение 3. Преобразование Ф : Е2" —♦ Е2п фазового пространства (х,р) в себя
называется каноническим, если оно сохраняет кососимметрическое скалярное
произведение (т. е. если форма fi переходит в себя).
Другими словами, канонические преобразования — это движения кососимме-
трической метрики. В силу теоремы 4 сдвиг вдоль траекторий гамильтоновой системы
с гамильтонианом Н(х,р) дает однопараметрическую группу канонических
преобразований. Верно и обратное. Пусть дана произвольная локальная однопараметрическая
группа канонических преобразований Ф<(х,р) = (x(t),p(t)) и пусть X - ф- |(=0 —
соответствующее векторное поле.
Теорема 5. Найдется локально однозначная гладкая функция Гамильтона Н(х,р), по
отношению к которой векторное поле X гамильтоново, т. е. имеет вид
Х=(— -~
\ др ' дх
Локазательство. Пусть в координатах (х,р) поле X имеет вид X — (А',В{), i = 1,... ,п.
Рассмотрим сдвиг на малое время At. Имеем
х{ -+ х1 + А{(х,р)Ы + 0(At2) = х\
"*' Л Pi^Pi + В{(х, р)Ы + 0(At2) = р\.

264 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Условия теоремы требуют сохранения кососимметрической метрики:
У j dx1 Л dp'i = 2_] dx1 Л dpt.
Поэтому
(dx' + (dA')At) Л (dpt + (dBi)At) - dx' Л dp'i = dx' л dp,- +
dA' ,- dA' dBi { J dBi < ,
—r dxr A dp; H dpi Л dp,- H dx Л op,- + x—r dx Л dxr
dxJ v dp, n dpj 3 dx'
+ 0(At2).
Отсюда
dAi dA{ dA'
3pj 5р;- 9р(
9Sj ,- , dBi 9Bi
2) —4 iz' Л ir* = 0 <-<• —' = —4;
dxJ 9x-> 9zJ
dA1 .- 9Д- .- 94' &B,
3) -£--dx> h dpi = - — dx Л dpj <-> —-r = -—^.
oz-7 5pj 9zJ 9p,-
Если 4' — щ, В, = -ffr, то эти условия выполнены. Обратно, из этих
условий видно, что форма A'dpi - В; dx' является полным дифференциалом (по
теореме Грина), и можно положить Н(х,р) = J (-Bi dx'+ A'dpi). Теорема
доказана. ^0^ ■
Замечание. Явно зависящие от времени гамильтонианы H(x,p,t) дают однопараметрические
семейства Ф канонических преобразований, но не группу ($il+t2 ф Ф*, ° Ф*2).
При п — 1 сохранение формы Q = dx Adp равносильно сохранению площади в
(х,р)-плоскости. Поэтому класс канонических преобразований здесь сводится к классу
преобразований, сохраняющих площадь. При п > 1 канонических преобразований
меньше, чем сохраняющих объем (может оказаться, что форма Q Л... Л О сохраняется,
а форма Q не сохраняется).
Линейные канонические преобразования фазового (ж, р)-пространства Е2п
называются симплекттескими. При п =■ 1 группа всех симплектических преобразований
совпадает с SL(2, Ж). Линейные канонические преобразования мы получим, если
Н(х,р) — квадратичная форма:
1 "
В = - ^(aijx'x3 + bijx'pj + Cijpipj). (35)
Соответствующая этой форме симметрическая матрица имеет вид ( wr с ), А —
(a,ij), В = (bij), С = (Cij), где матрицы А и В симметричны. Если у = (х,р), то
гамильтонова система имеет вид
у = Ку, К=(^А _Свт). (36)
Таким образом, матрицы К из алгебры Ли группы симплектических преобразований
имеют вид (36). Эта алгебра Ли совпадает с алгеброй Ли квадратичных гамильтонианов
(35) относительно скобки Пуассона. Простейший пример квадратичного гамильтониана
дает гармонический осциллятор, где Н = fa + тшгхг, ш — частота. Поэтому
квадратичные гамильтонианы называют также обобщенными осцилляторами.

§ 35. Лагранжевы поверхности
265
Задачи. !. Векторному полю X на конфигурационном пространстве поставим в
соответствие функцию Fx на фазовом пространстве, полагая Fx = Р;Х'. Показать, что
2. Пусть функция / = f(x) на фазовом пространстве не зависит от импульсов р.
Показать, что
3. Доказать, что в кеплеровой задаче алгебра Ли интегралов Wi, Mj при фиксированной
энергии Е изоморфна:
а) при Е < О — so(4),
б) при Е = 0 — алгебре Ли группы движений в R3,
в) при Е >0 — 30(1,3).
4. Пусть Q = gikdy' A dyk — симплектическая метрика, X = (Хк) — векторное поле.
Проверить, что форма gikXkdy' замкнута, если и только если производная Ли вдоль
поля X формы ft равна нулю: ЬХЯ = 0.
5. Пусть МХ,МУ, Мх — определенные в п. 2 интегралы момента, М2 = М\ + М* + М}.
Проверить, что
{М\МХ} = {М\МУ} = {М\Мг} = 0.
6. Пусть М = (МиМъMj) = \х,р]. Показать, что функции р,-, М, образуют
относительно скобки Пуассона алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли группы движений трехмерного
евклидова пространства (см. задачу 9 к § 24).
7. Пусть gtj = —gji — невырожденная кососимметрическая матрица, задающая ко-
соскалярное произведение в пространстве R2". Показать, что размерность линейного
подпространства в R2* с нулевым ограничением этого кососкалярного произведения не
превосходит п.
8. Пусть в фазовом пространстве с каноническими координатами х',...,х",р1,...,рп
введены новые координаты Х[,...,Х',Р,,...,РЯ так, что р; = dsff', Р{ = -"'*/',
i = !,...,«, где S(x,X) — некоторая гладкая функция переменных х',Х' (пусть
det (d2S/dx'dX') ф 0). Доказать, что новые координаты также канонические.
(Функция S(x,X) называется производящей функцией канонического преобразования (х,р) i->
(Х,Р).)
§ 35. Лагранжевы поверхности
1. Пучки траекторий и уравнение Гамильтона—Якоби. Для различных целей
существенно знать свойства не индивидуальной траектории гамильтоновой системы,
а целого пучка траекторий. Более точно, постановка вопроса такова: рассмотрим при
t ~ 0 поверхность Г размерности п в 2п-мерном фазовом пространстве (х,р), заданную
как график:
Pi = fi(x\---,Xn), 1=1,...,71. (1)
Каждая точка поверхности Г будет двигаться вдоль тректорий системы с
гамильтонианом H(x,p,t); в момент времени t > 0 получится сдвинутая поверхность Г(, а Г0 = Г.
Удобно рассматривать совокупность поверхностей Г( как (п+ 1)-мерную поверхность в
расширенном фазовом пространстве (x,p,t,E); точки (x(t),p(t),E(t),t), Е = H(x,p,t),
дадут поверхность Г™+1, сечение которой уровнем t = 0 есть Г и которая состоит
целиком из траекторий, начавшихся в Г. Нам, однако, понадобится несколько более
широкий класс подобных поверхностей.
Например: пусть Г = Го есть поверхность х = х0 (импульсы любые, рис. 35);
мы получим в качестве Г"+1 пучок всех траекторий, расходящихся из точки х0 во все
стороны. При t = 0 поверхность Го не задается как график функции р = f(x), но при
t > 0 она может быть таким графиком (хотя бы локально).

266
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Определение 1. Поверхность Г в фазовом пространстве (х, р) р
называется лагранжевой, если для всех кривых 7 на
поверхности Г, начинающихся в любой точке Q 6 Г,
укороченное действие 5 = J pdx является локально
однозначной функцией, зависящей лишь от конечной
точки пути 7-
Определение 1'. Поверхность Гп+1 в расширенном фазовом
пространстве называется лагранжевой, если для всех
путей 7 на Гп+| с началом в точке Q действие 5 =
Jipdx-Edt) (где Е — H(x,p,t) на поверхности Гп+|)
является локально однозначной функцией конечной
точки.
Рис. 35.
Лемма 1. Поверхность Г™ (соответственно Гп+1), имеющая вид графика pi = /;(х), где
г= 1,...,п (или г = 0,1,. ..,п для Гп+|, р0 — Е, х° = t), является лагранжевой в
том и только в том случае, если
dS(x)
дх{
или
dS(x,t) _
дх*
dS(x,t)
dt
= Vi (дляТп)
dS(x,t)
dt
=-*(*•£'')
= -H(x,p,t)
(для Гп+1).
(2)
(3)-
Аоказательство. Пусть 5 — локально однозначная функция. Так как 5 = J pdx
Н(х,р, t) dt по определению, то dS = pdx-И dt. Отсюда следует р =
as
as
Обратно, если р —
as
-Н =
as
-Я =
то функция 5 локально однозначна по
теореме Грина. Лемма доказана.
Действие 5(ж, t) мы назовем действием пучка траекторий, а уравнение
8S
dt
Я(Ж'^)
О
(4)
— уравнением Гамильтона—Якоби.
Если функция S(x,t) известна, то поверхность Гп+1
р-
as
Е =
as
задается уравнениями
а ее сечение t — to есть поверхность Г", получающаяся из Г = Го
движением по времени вдоль траекторий гамильтоновой системы р = -Ц-, х — Щ-.
Дадим теперь другое определение лагранжевой поверхности в фазовом
пространстве (х,р) (или в расширенном фазовом пространстве (х,р, E,t)).
Определение 2. Поверхность Г размерности п в фазовом пространстве называется
лангражевой, если кососимметрическое скалярное произведение любых ее
касательных векторов равно нулю (т. е. ограничение формы Q — Yl dx' л dpi на Г
равно нулю). '
Это определение лангражевой поверхности геометрически инвариантно и не
требует, чтобы она была представлена в виде графика функции pt- = fi(x ,... ,хп).

§ 35. Лагравжевы поверхности 267
Простейшие лагранжевы поверхности имеют вид:
а) Г1(1 = {х = ж0, импульсы любые};
б) ГРл = {р = Ро, координаты любые}.
Очевидно, при канонических преобразованиях лагранжевы поверхности
переходят в лагранжевы. Таково, например, преобразование х —> р, р —► —х:
О = dx Л dpi -* -dpi Л dx = dx Л dpt — П.
При этом поверхности Г1о и Г^, поменяются местами.
Теорема 1. Если лагранжева поверхность в смысле определения 2 задана в виде графика
as(x
Pi = fi(x), то найдется функция S(x) такая, что fi = Щт^, " обратно.
Локазательство. Если поверхность Г задана уравнениями р,- = /.(х), то ограничение
формы О на Г имеет вид
П|г = / dx Л dpi(x) = } dx' Л —4 dx'.
—' -т—' ох1
Поэтому Q|r = £(Ш ~ Ш) dxi Л dxJ- Есш °1г = °. то Ш = Ъ- Эт0 Условие
необходимо и достаточно для того, чтобы интеграл S(x) = j fi(x)dx' давал
функцию, не зависящую от пути (формула Грина). Отсюда и следует наше
утверждение. ■
Аналогичное утверждение, очевидно, имеет место и для расширенного фазового
пространства (x,p,E,t).
Пусть Я = Н(х, р) не зависит явно от времени. Тогда имеет место
I riff ЙТ7 \
Теорема 2. а) Вектор VH = I у-,--gj-l = (х,р) касается поверхности Н = Е0 —
const;
б) Вектор VH имеет нулевое скалярное произведение со всеми векторами,
касательными к уровню энергии Н = Е$;
в) Любая n-мерная лагранжева поверхность, лежащая на уровне энергии
Я(ж,р) = Ео, имеет вектор VH своим касательным вектором во всех своих
точках. В частности, она целиком содержит траектории гамильтоновой системы
с гамильтонианом Н, имеющие с ней хотя бы одну общую точку.
Локазательство. Необходимое и достаточное условие касания вектора £ к поверхности
Н = Еп щштся уравнением £'§т = 0, у — (х,р). Поэтому
, ,« 1 i ikdH {дН
{£, vb) = Шчн>) = «W*^ = H '-^ = o.
У мрзкдения a), b) доказаны. Докажем утверждение в). Пусть Р — точка
л .|'р>'./Сксвой поверхности Г (размерности п), лежащей целиком на уровне
jMepn-iM Н(х,р) = Ео, и ^1,...,£„ — базис касательного пространства к
поверхности Г в точке Р. По условию лангранжевости имеем {&,&) = 0.
Рассмотрим вектор VH в точке Р. Из б) следует, что (VH, £,) = 0, г = 1,..., п.
Скалярное произведение (,) невырождено (detgrjj Ф 0). Поэтому Vff = £А;£,-.

268
Глава 5. Элементы вариационного исчисления
(Напомним, что линейное пространство с нулевым скалярным произведением
имеет размерность не более п.) Следовательно, Vff касается Г. Это верно
во всех точках поверхности Г. Поэтому траектории гамильтониана Н во всех
точках из Г ее касаются (и, значит, на ней лежат). Теорема доказана. ■
Следствие. Рассмотрим любую лагранжеву поверхность S"~' размерности п- 1 на уровне
Н(х,р) — Ец. Из всех ее точек, проведем траектории гамильтоновой системы
в (х,р)-пространстве. Предположим, что получающаяся поверхность будет п-
мерной. Тогда эта п-мерная поверхность Г" будет лагранжевой и будет лежать
на уровне энергии Е0. Если (локально) поверхность Г" задается уравнением
Pi = fi(x) = ~d£' (5)
то функция So(x) удовлетворяет укороченному уравнению Гамильтона—Якоби
При этом функция 5(ж, t) = / pdx — Н dt имеет вид
8S ( 8S\
S(x,t) = -Eot + S0(x), -— =H(x, —J.
2. Случай гамильтонианов, являющихся однородными функциями первого порядка
от импульсов. Следует отдельно остановиться на особенностях гамильтонова
формализма для гамильтонианов Я(ж,р), являющихся однородными функциями первого
порядка от импульсов:
Н(х,\р) = \Н(х,р), А>0. (7)
Например, для лучей света в изотропной среде мы имели гамильтониан Н(х,р) —
с(х)\р\. Такие гамильтонианы определены лишь при р -ф 0, и достаточно знать
лишь траектории при одном уровне энергии Н — Е0 (например, Е0 = 1). Остальные
траектории получаются из них подобием р -* Ар, Я -» АЯ.
Заметим также, что геодезические в метрике gij(x) мы обычно получали из
лагранжиана L = gijv'v3, которому отвечает гамильтониан Я = g'3PiPj, но они
получаются также из гамильтониана Я' = VW — sJg'ipiPj (на уровне энергии
Я = const соответствующие уравнения Гамильтона пропорциональны с постоянным
множителем). Здесь также Я'(ж, Ар) = АЯ'(ж,р), А > 0.
Теорема 3. Если (локальная) однопараметрическая группа преобразований Ф( получена
из гамильтониана Я(ж,р) такого, что Я(ж,Ар) = АЯ(ж,р) при А > 0, то все
преобразования Ф( сохраняют форму pdx — pidx'.
Аоказательство. Рассмотрим преобразования Фд( при малых At. Имеем
дН , f , дН
Pi -* Pi = Pi ~ ^-7 Д', х ^х = х + —-At,
ox' dpi
i { i /9H\
dx' -*dx - dx + At d — .
V tyi J

§ 35. Лаграшкевы поверхности
269
Эти равенства верны с точностью до 0(At ), так как (с той же точностью)
&b№i) = pi =Pi+pi&t,
Фд((ж') = х1' = х' + x'At.
Для формы р Ах
р\ dx' = ( pi - At
дН
Их1
dPi
— pidx' + At
дН
~дх
- dx + р( d
ЭЕ
:)]
+ О(ДГ).
Так как Pi <*(§)=<* (Piff ) -%dPi, то
p'i dx' = pi dx' + At
-dH + d(pi
дН
4- 0( At2)
где / = p
он
H
p dx =pdx + Atdf + 0(At\
L. Если H(x, Xp) = XH(x,p), то
дН ЭН(х,Хр)
= Щх,Р).
r dp эх
Таким образом, p'dx' = pdx + 0(At ); это показывает, что производная Ли
jt(pdx) равна нулю, т.е. форма pdx не меняется с течением времени. Теорема
доказана. ■
Определение 3. Поверхность Г в фазовом пространстве называется конической ла-
гранжевой поверхностью, если ограничение формы pdx на поверхность Г
тождественно равно нулю.
Из теоремы 3 вытекает
Следствие. Гамильтоновы системы, у которых Н(х,Хр) = ХН(х,р), сохраняют класс
конических лагранжевых поверхностей.
Поверхность Г1о (х — х0, импульсы любые) является конической, так как на
ней pdx = 0. Наоборот, поверхность Гро (р = р0 ф 0, координаты любые) не является
конической (pdx £ 0).
Для любого гамильтониана, удовлетворяющего соотношению Н(х, Ар) =
ХН(х,р), с поверхностью Г1о связывается важный пучок траекторий, выходящих
из одной точки. Рассмотрим (п— 1)-мерную поверхность Н = Ео внутри ГХо; эту
поверхность размерности и- 1 мы обозначим через S"~l. Рассмотрим все траектории с
началом только в точках из S""'. В любой момент t > 0 получим поверхность S"~l(t).
Определение 4. Фронтом волны в момент t > 0 для пучка траекторий, выпущенного
при t — 0 из точки жо, называется проекция фазовой поверхности S"~[(t)
в ж-пространство (это — поверхность размерности п - 1 в ж-пространстве,
зависящая от времени t).
Очевидно, в момент t = 0 проекция поверхности S"~'(0) в ж-пространство есть
одна точка ж0 (по определению).

270
Глава S. Элементы вариационного исчисления
Для поверхностей фронта волны имеет место
«принцип Гюйгенса», позволяющий получить поверхность фронта
при ii > t0 > 0 из поверхности фронта в момент t0;
Оказывается, для этого нужно взять поверхность фронта при
t = i0, далее, с центрами (или началами) во всех ее
точках нужно рассмотреть поверхности фронтов, отвечающие
времени tt -10. Огибающая всех этих поверхностей и есть
фронт волны в момент t\ (рис. 36).
Пусть теперь имеется произвольная коническая
поверхность Г", т.е. поверхность, для которой pdx\T* = 0.
Лемма 2. Проекция поверхности Г" в х-пространство имеет
размерность ^ п — 1.
Рис. 36.
Аоказательство. ж-компоненты касательных векторов на Г
связаны линейным соотношением pdx ~0. Поэтому
размерность касательного пространства к проекции не превосходит п-
доказана.
1. Лемма
Таким образом, поверхность Г" нельзя даже локально задать в виде графика
Pi — fi(x) и связать с ней функцию 5(ж). Поэтому мы, как и для разобранного
примера поверхности Г1о, выделяем внутри Г" часть Н(х,р) — Eq, обозначаемую
S"-1. Согласно лемме 2 мы можем выпустить пучок траекторий из S"-1 и получить
(t) на поверхности уровня Н(х,р) = Ео,
лагранжеву поверхность Г" = (J 5"
-со<Коо
целиком состоящую из траекторий. Поверхность Г" уже может иметь (локально) вид
Pi
^ff/r*. Для функции S0(x) имеем укороченное уравнение Гамильтона—Якоби
Е0 = Н[х.
dS0(x)
1 дх
(8)
Эту операцию можно сделать, если гамильтониан не зависит от времени.
Поскольку поверхность Г" является конической, то форма pdx равна нулю
на S"-1. Следовательно, эта форма равна нулю также на каждой поверхности S"~'(i) (в
р
силу теоремы 3). Поэтому функция So(P) = /pdx, задающая лагранжеву поверхность
А
Г", постоянна на поверхности 5" (t) с любым t. Кроме того, Г" лежит на уровне
энергии Н = Е0. Поэтому Е0 = Н (х, ^).
Таким образом, поверхности уровня 5о(ж) = const точно совпадают с проекциями
поверхностей 5"~'(i) в ж-пространство. Итак, доказана
Теорема 4. Поверхности уровня So (ж) = const определенной выше укороченной функции
действия So совпадают с поверхностями фронта волны.
Задача. Пусть в фазовом пространстве R2" заданы п независимых функций /i (х, р),...,
fn{x,p), которые попарно коммутируют: {/ь/j} = 0. Показать, что поверхность,
задаваемая в R2" системой уравнений /, = 0, ...,/„= 0, лагранжева.

§ 36. Вторая вариация для уравнения геодезических 27
§ 36. Вторая вариация для уравнения геодезических
1. Формула второй вариации. Мы вывели в §31 уравнения Эйлера—Лагранжа
= 0, г = l....,n,
SS _ dL
8xi ~ дх1
для экстремалей функционала
d /dL
~dt {дх1
S[j]
= / L(x,x
)dt;
(1)
(2)
выполнение этих уравнений является необходимым условием того, что вдоль некоторой
кривой 7 функционал 5 [7] имеет минимум среди всех кривых, начинающихся в точке
Р и кончающихся в точке Q. Как найти условие того, что кривая у : {х' ~ x'(t)}
действительно дает минимум, если она удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа?
Как мы знаем, для функций многих переменных /(as1,... ,xN) необходимым
условием для того, чтобы точка Р была минимумом, является условие
а достаточным, при соблюдении предыдущего условия, — положительная
определенность квадратичной формы gJlx, dx' dx? в той же точке Р. Поэтому для нахождения
минимума для S[y\, где у удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа,
необходимо вычислить аналогичную второму дифференциалу билинейную форму (вторую
вариацию)
д2
■Sh + \t + ii7i]\ fc0 = G7({, 7/) = G7(77,0,
(3)
д\дц
где т/, ^ — векторные поля, заданные на кривой у If) и обращающиеся в нуль в точках
7(a) = Р и 7(&) = Q-
Лемма 1. Если у: {х' — x'(t)} удовлетворяет уравнениям Эйлера—Лагранжа, то имеет
место формула
G,«,ij) = -
tfSly + К + РП\
dxdfi
А=0
^=0
■Jvaew
dt.
где
i d ( d2L ., d2L ,
d2L
дх1 d±i
d2L
dx1 dxi
?■
(4)
(5)
Аоказательство. Используя формулу первой вариации (см. §31), имеем
FSft + Xt + nvl
д\дц
9 I д \
8X(V^ + X^^)
p=oJ
А=0
д f (dL d dL\ { ,
ь
/(
дх1 дх>
е +
d2L
дх' дх'
е-
dt V дх1 dxi
е +
d2L
дх' д&
Te)Wdt.

272 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Лемма доказана. ■
Определение 1. Линейный оператор J, действующий на векторные поля £(£), заданные
вдоль кривой у, называется оператором Якоби.
Мы разберем только один пример, когда уравнения Эйлера—Лагранжа
совпадают с уравнениями геодезических. Здесь удобно брать действие в виде
ь
1 . .
dt (6)
- / 29^^
(а не функционал длины I = / ^/д^х'х3dt, хотя они и имеют одинаковые экстремали).
Имеет место
2 1 *
Теорема 1. Билинейная форма —эхаи д=о = ^М£>Ч) для S = /1д^х'х1 dt и любой
р=а а
геодезической у : х' = x'(t) имеет вид
ь
С7«, 1?) = - У(Vk* 4- ж^Д^ы) ifft» Л, (7)
а
(МИ '
G1&v) = -JW,v)dt1 (8)
а
(J0 = П? + fiftiju, (9)
R'jki — тензор кривизны, t— натуральный параметр вдоль геодезической у.
Локазагельство. Для лагранжиана L = у д^х'х3 формула первой вариации имеет вид
(см. §31) , ,
.?Г-у4-Ля1 =-
Поэтому
?2
ЭХ
^S[7 + ла|л=о - -yV + iyi'V)^Л = - J(Vii,Q dt.
a a
му
a
= - J{(V(Vii,r,) dt + {Vii, V^)} dt.
a
Второе слагаемое под интегралом есть нуль на кривой у в силу уравнения
геодезических: Vji = 0. Преобразуем первое слагаемое. Имеем
V< Vi - Vi Vf = Д(±, О, V^i = Vi£
в силу симметричности связности. Окончательно получаем
VtViX = Vlt + R(x,0x,
откуда и вытекает наша теорема. ■

§ 36. Вторая вариация для уравнения геодезических
273
Пример. Рассмотрим двумерный случай. Введем около геодезической y(t) специальную систему
координат (х,у), х = х[, у = х1, такую, что:
а) линия (х, 0) есть сама геодезическая у и х — натуральный параметр;
б) координата у ортогональна к геодезической, причем g,-j(i,0) = 5^.
В этом случае билинейная форма G7({,»/) для пары полей {(£), »/(£), нормальных к
7(0, имеет вид
G,(i, Ч) = - J ( |j f' + *"(') t') V. Л,
(10)
где К — гауссова кривизна. Заметим, что G1(£,t)) = 0, если хотя бы одно из полей
пропорционально касательному вектору x(t) с постоянным множителем.
Замечание. Формулу второй вариации можно обобщить и на случай «ломаных векторных
полей», для которых производная Vj{ может иметь разрыв.
Задача. Докажите, что в случае ломаных векторных полей билинейная форма G7(£, ф
имеет вид
" (И)
<?■,({, 10 = - ]Г)(ч> *4(Vifl) - Г Мл) л,
где ДР(У±£) — скачок ковариантной производной в точке Р и суммирование ведется по
всем точкам J°,- разрыва величины Vi£.
2. Сопряженные точки и условие минимальности. Предположим, что метрика </у
риманова. Условие минимальности геодезической у состоит в том, что квадратичная
форма G7(£,£) положительно определена на векторных полях, обращающихся в нуль
на концах геодезической у. Выясним сначала, когда билинейная форма G7(£, г;)
невырождена.
Определение 2. Векторное поле { вдоль экстремали 7, идущей из Р в Q, называется
якобиевым, если оно есть решение уравнения Якоби J£ = 0 и обращается в нуль
в концах Р и Q. В частности, для изучаемого случая S = f(x,x)dt имеем
^ = ^ + ^^^=0, 1=1,...,71. (12)
Определение 3. Точки Р я Q называются сопряженными вдоль геодезической у,
идущей из Р в Q, если существует ненулевое якобиево поле £ вдоль кривой у.
Лемма 2. Билинейная форма G7(£,7/) невырождена тогда и только тогда, когда концевые
точки Р и Q геодезической у не сопряжены вдоль у.
Доказательство. Напомним, что билинейная форма G7(£,r;) называется
невырожденной, если не существует такого векторного поля £, что G7(£,r;) = 0 для любого г)
(поля ^ и т; обращаются в нуль на концах Р и Q). Если поле £ якобиево, то
G-i(i-,4) = 0 ПРИ любом т/. Наоборот, пусть форма G7 вырождена на векторе £,
т.е. G7(^,7?) = 0 для любого т/. Рассмотрим г] = a(t)J£, где функция a(t)
неотрицательна и обращается в нуль на концах (при t — а и t — Ь). Тогда из
формулы второй вариации будем иметь
ь
а
Отсюда следует J£ = 0. Поэтому концы сопряжены. Лемма доказана. ■

274 Глава 5. Элементы вариационного исчисления
Докажем теперь следующее важное необходимое условие минимальности.
Теорема 2. Если геодезическая j, идущая из точки Р в точку Q, содержит внутри себя
пару сопряженных точек Р,Q'', то эта геодезическая у не минимальна.
Локазательство (для случая, когда точки Р и Q не сопряжены
вдоль у)- Тогда билинейная форма G7(£, rj) не вырождена.
Поэтому для минимальной геодезической квадратичная
форма G7(£,£) должна быть положительно определенной:
G7(i,0 > 0, если £ не есть тождественный нуль.
Покажем, что при наличии сопряженных точек это требование
не выполняется. Пусть £ — поле Якоби, отвечающее
точкам Р1,Q'. Построим «ломаное поле» £ между Р и Q,
равное £ между Р' и Q' и нулю вне отрезка P'Q' (рис. 37).
Тогда в силу формулы (11)
G7(£,O = 0.
Это противоречит положительности формы G7. Теорема доказана. ■
Теорема 3. На достаточно малом интервале длин геодезические дают минимум
функционала действия S[y] среди всех гладких кривых, соединяющих те же точки.
Поэтому каждая достаточно короткая геодезическая локально реализует
кратчайшее расстояние между точками.
Локазательство. Условие минимальности геодезической j(t) состоит в том, что
квадратичная форма G7(£, £) положительна для всех векторных полей £, обращающихся
в нуль на концах. В силу формулы (8)
ь ь
<?7(£,0 = -J{{Vk, 0 + {R(x,Oi,m<U = JliVibVit) - (R(x,Qx,0]dt
a a
(интегрирование по частям с учетом равенств £(а) = £(6) = 0). Для достаточно
малого интервала длин Ы имеет место оценка
Рис. 37.
J{R(Xli)x,i)dt <ciAl)J{V^, Vrf>
*£) dt.
(О)
где c(Ai) — некоторая константа, зависящая от метрики gij и длины Ы, причем
с(Д2) стремится к нулю при А1 —» 0. Поскольку
о
i) dt > 0,
из этого вытекает наше утверждение.
Задача. Доказать неравенство (13). Указание. Если £(а) = ((b) = 0, то |£] < const •
max |У±£|Д/, где Д/ = \Ь - а\.
|«,Ы

Глава 6
Многомерные вариационные задачи.
Поля и их геометрические
инварианты
§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи
1. Уравнения Эйлера—Лагранжа. Рассмотрим в евклидовом пространстве К"
с евклидовыми координатами х ,..., х" область D с гладкой (или кусочно гладкой)
границей 3D. Рассмотрим линейное пространство F гладких вектор-функций на D:
F = {f(xl,...,xn); / = {/',..-,/*}}. Область D мы будем называть областью
изменения параметров ж1,..., х". Рассмотрим гладкую функцию L(xP; р>; q'a) от трех
групп переменных: хг, 1 ^ f5 ^ га; р1, 1 ^ j- ^ к; q'a, 1 ^ г ^ к; 1 ^ а ^ га. Функцию L
назовем лагранжианом и построим функционал /[/], определенный на F, следующим
образом:
Л/] = f Ь(хР- /JV); /i»(a^))fe' Л... Л dxn,
D
где f обозначает кратный интеграл / • • - / по тг-мерной области D (для простоты
D D
будем считать, что область D ограничена в К"); их Л ... Л их — сГх есть тг-мерная
форма объема в R"; fx°{xP) = ^(/4^))- Сокращенно будем записывать I[f] так:
D
Простейший случай: п = 1 (одномерные вариационные задачи) был уже
рассмотрен ранее: например, функционал длины дуги l{"() = J \/:h;j!.y)y'y3 dt, и
! . ■>
функционал действия пути y(t),S{j) "— JgijWIfy3 &, определенаъа. на кусочло
1 (• '°
гладких кривых ~,'{t) — {у (t),..., у {1)) в римансвом гу-.о/;ткшсн!«.
Нас будут интересовать а этой главе мнои'уме;»^ функционалы: п > 1.
Простейшим примером служит функционал площади ка двумзриой поверхности, /[/] =
// \' BG - F2 d-xdy, где D С M2(;s, ^) — область изменения параметров х, у; f{x,y) =
D
(и1 (3,.10,1^(3,^), и3(х, у)) —двумерная поверхность в Br(ii';u2,iO с индуцированной
метрикой «У - Е dx" -t- 2.F ito ay + G <ii/2;
b(x,y; /; /„/,) = L(UJy) = VBG - F2 = yj{fx, fx){fy,fy) - (/.,/,)2.
Вернемся к рассмотрению функционалов общего вида.

276
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Рассмотрим «точку» / € F (F — область определения функционала /1. Пусть
г) — гладкая функция, заданная на области D и являющаяся финитной, т. е. равной
нулю вне открытого множества, замыкание которого целиком содержится в С. В
частности, будем считать, что т) = О на фанице 3D области D. Вообще для наших
целей достаточно рассматривать функции с достаточно малым носителем. Назовем
такие функции возмущениями функции /, если f + ет) € F. Здесь е — малый параметр.
Теперь строим выражение -(/[/ + Щ] ~ -П/]) и, переходя к пределу (по е), получаем
функцию
dIlf+sV\ _ , _ с_„_ „__
de
[ &1
которую естественно назвать «производной функционала I в точке / по
направлению г]». Вектор jt = (|«)> определяемый равенством (1)г называется вариационной
производной функционала /[/].
Определение 1. Функцию /0 € F назовем стационарной (или экстремальной,
критической) функцией для функционала I, если ^Ш- = 0, т.е. выражение (1)
обращается в нуль для любого финитного возмущения rj = Sf такого, что
/ + eij € F.
Перейдем к аналитическому исследованию производной
if
тп
= [[ЦзР; f + erf; /j. + erfa) - L{zP; fj; &)] Л
Разлагая подынтефальное выражение в ряд Тейлора, получим
ЩЛ ■
I
эь
df',
D J=t
i=l а=[
d х ■■
= г/Е[|р^+Е|^^]^+/о(е)л
£7 «л
Проинтефируем по частям. Получаем
+eJ hw hdx°\dfU
if dnx + I o(e)dnx.
D
В первом интефале интефирование по переменной ха можно отделить от
интефирования по всем остальным переменным х1,... ,х",... ,хп. Получаем
dL
- if dx"
da'lx

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи
277
{Р и Q зависят от х\... ,2",... ,х"; da 'х = dx1 л ... л dx" л ... л dx"). Поскольку
во внутреннем интервале / на переменные х\ ... ,ха,... ,х" можно смотреть как на
параметры, то получим р
Г д ( dL Л Г \дЬ л дЬ |
D ,i JS -„
d" х = О,
X1,...,£"..., Xя
так как -if{Q) - ч'(Р) — О (см- выше). Итак,
к
Отсюда
(так как lim j- / о(е) <fx = 0).
£-0
j/ d"x + / о(е) dax.
D
6I[f] _ dL_ _ -A _3_ / 3L
<*/' ~ 9/' ^ dxa \dfu
(2)
Если /о € F — стационарная (экстремальная) функция для ![/], то для любого
финитного возмущения т) выполнено тождество
<f х = 0,
/=Л
откуда
(3)
Система дифференциальных уравнений (3) называется системой уравнений Эйлера—
Лагранжа для функционала I. Оформим предыдущие результаты в виде теоремы.
Теорема 1. Функция /о € F является стационарной для функционала I[f] тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений Эйлера—Лагранжа (3).
2. Тензор энергин-импульса. Рассмотрим функционал вида I[f]=jL(f\ f'xi)dnx,
у которого лагранжиан L не зависит явно от переменных х1, 1 ^ г ^ п.
Экстремальные функции / (описывающие «движение системы») являются решениями системы
уравнений Эйлера—Лагранжа
дЬ
df* dxk \dfL
dL
= 0.
(4)
Поступая далее по аналогии с тем, как поступают в механике при выводе закона
сохранения энергии, выполним следующие преобразования:
M_dL_dj^ dL d(fa)
дх1 ~ dfk dxl + df°t dxi

278 Глава б. Многомерные вариационные задачи
Подставляя сюда (4), получаем
эь _ д ( аь_\ df dL_d(fe)
дх' дхк \df"J дх1 df% дх
Так как £ (#) = ^ = ^½). ™
to' \Jx*J дх'дхк
\dfaxJ дх> dfaxk дх*[Тх'> axk\df°/x')
дх{ дхк \df_\J дх{ дГк дхк
В то же время "S = «5* й, а потому
— г*- —
дхк ' дхк
(—А
т.е.
Введем обозначение
*Ч«* "*§)=* (5)
Тогда соотношение (5) примет вид
ЪхТ = °- (7>
Это уравнение означает, что дивергенция тензора Tf во всей области D равна
нулю.
Замечание. Верхние и нижние индексы в евклидовых координатах неразличимы. В
псевдоевклидовом пространстве с метрикой gti можно определить тензор Тл следующим
образом:
„dL ,
т* = 9чЛ° 7Г - 5«^ = 9иТ1 (8)
Определение 2. Тензор Т* называется тензором энергии-импульса данной системы (с
лагранжианом L(f,fx°)).
Уравнение -ф = 0 не определяет однозначно тензор чнергии-импульса. В
самом -icae, к тензору '.Ц*. определенному формулой (6) чля <5), можно добавить
ovmmv вида ^ff, где >/;,*' — любой vsnscp, кососимметрический по индексам к,1.
Тогда, очевидно, новый тсизор .Г* = i'* + 4т-- также удоолетворяет соотношению (7),
Определенный зыаа; геязор У,*, вгоошг ;чнч:рг<. яс с.ччмитручен, ччка.ко гели
.оас.-.чагривать его с точки прения уравнения (7), го ел; „южно .^е.:а7Ь симметрическим
(о сохранением (7)) путем добавления соответствующего кососимметрического (по г, к)
"■зазора гида £] r^r'fei.!- Достаточно потребовать, чтобы кососимметрическим яо г, к
был тензор ^|,-ы, т.е. чтобы этот тензор был кососимметрическим по всем своим
индексам). Однозначное определение тензора энергии-импульса как симметрического
тензора играет особую роль в некоторых физических вопросах (см. об этом ниже).

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 279
В дальнейшем основные приложения понятия тензора энергии-импульса будут
у нас сосредоточены вокруг вариационных задач в четырехмерном псевдоримановом
пространстве — в частности, пространстве Минковского К}, отнесенном к координатам
х°,х[,хг,х*, где хй пропорционально t (времени), а х\х2,х} — пространственные
координаты.
Введем 4-мерный вектор импульса системы с лагранжианом L. Для этого мы
воспользуемся тензором энергии-импульса Тд.
Пусть dSj = j £ijmk dx' Л dx3 Л dxm — стандартные 3-формы на координатных
трехмерных гиперплоскостях (см. задачу 3 к § 26).
Определение 3. Вектор Р = (Ро,Р1,Рг,Рз), где
Р, = Л I T*dSk, 1 = 0,1,2,3, A = const,
a:°=const
- называется 4-вектором импульса (с нижними индексами) системы с
лагранжианом L.
Замечание. Компоненту Т0° = f"fp-L (точка обозначает производную по х° = ct) по
аналогии с формулой для энергии (31.7) следует рассматривать как плотность энергии.
Поэтому J То d?x (d3z = dx' Л dx1 Л <fcr3) есть полная энергия системы. Но мы имеем для
временной компоненты Р0 из определения 3 следующее выражение: Р0 = A J Tq d3r.
i°=const
Обычно полагают А = 1/с, тогда компонента Ро совпадает с полной энергией системы,
умноженной на 1/с (как и для 4-вектора импульса релятивистской частицы — см. §32).
Утверждение 1. Условие -r^- = 0 эквивалентно условию сохранения вектора импульса Р.
Локазательсгво. Будем считать, что рассматриваемые поля / — решения уравнений
Эйлера—Лагранжа — равны нулю вне достаточно большого шара трехмерного
пространства (ж',х2,ж ) (или стремятся к нулю быстрее чем 1/г2, где г2 =
(ж1)2 + (ж2)2 4- (ж3)2). Рассмотрим цилиндр С в пространстве Минковского,
основания Z?| и Di которого заданы уравнениями х = х° и ж0 = х\, а радиус
R достаточно велик. Пусть П — боковая поверхность цилиндра. Из условия
тт = 0 и формулы Стокса следует, что /Т; dSj = 0 при каждом г. Поэтому
(/-/ + /)^, = 0.
4 D2 D, П '
Интеграл по боковой поверхности П можно не учитывать (стремится к нулю,
когда радиус цилиндра R стремится к бесконечности). При R —> со получаем:
fl(x?)= / T?dSk= / if dSk = Pi(xl).
Утверждение доказано. ■
Лемма 1. Вектор импульса системы не меняется при замене Tt на Tt = Т;' + 5Z ~^г >
где ipf — тензор, кососимметрический по k,l.

280 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Аоказателъство. Компоненты Р, имеют вид A / Тк dSk; следовательно, надо доказать,
что J -gr dSk = 0. В силу косой симметричности тр" по к, I имеем
-Г U.UJ; — и. и
Справа стоит интеграл вида / <щ , где ш{ есть 2-форма на трехмерной
5 0
поверхности S, задаваемой уравнением х — const. В силу формулы Стокса
/ duf* — J ш\ \ где 8S — двумерная замкнутая поверхность в S (граница,
S dS _ /2)
«удаленная на бесконечность»), а потому J w] = 0. Лемма доказана. ■
OS
Если нам дана система с лагранжианом L, то ее тензор энергии-импульса
Т'к = д"Тк в физически интересных примерах можно сделать симметричным тензором,
не меняя вектора импульса. Пусть тензор Т'к симметричен.
Выведем из симметричности тензора Т'к так называемый «закон сохранения
момента импульса».
Определение 4. Моментом импульса называется тензор
Mik = f(xi dPk - хк dPl) = - f (sV - xkTa) dS,.
2°=COnSt
Здесь интегрирование выполняется по трехмерной области S. Эта формула
является естественным обобщением классической формулы для момента импульса,
вычисленного для системы частиц (см. § 32)
Mik = ^(Ркх* - Р*хк),
где суммирование выполняется по всем частицам системы.
Лемма 2. Если тензор энергии-импульса Т'к симметричен, то тензор М'к момента
импульса сохраняется '\
Доказательство. Как и выше, мы должны доказать, что
совпадает с
Mlk(xh = - f(xiTk,-xkTil)dS,
Mik(x\) = 1 [&ТЫ - xkTil) dS,,
где D\ и Z?2 задаются, например, уравнениями ж0 = х\, х° = х\. В силу
сделанных ранее замечаний и формулы Стокса достаточно убедиться в том, что
дивергенция подынтегрального выражения в М'к равна нулю:
91(xiTk' - хкГ') = 0.
дх>
' Правильнее было бы сказать, что общефизическое определение сохраняющегося момента сведется
к приведенной выше наглядной формуле, если тензор энергии-импульса симметричен.

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи
281
Вычисляя производные, получим
— (х'Т*' - хкТ") = Tki - Tik = О
ах'
в силу симметричности тензора Т'к и уравнения Щ^- = 0. Лемма доказана. ■
Перейдем к конкретным примерам многомерных вариационных задач.
3. Уравнения электромагнитного поля. Уравнения электромагнитного поля
(уравнения Максвелла) являются уравнениями Эйлера—Лагранжа для функционала
действия S = Sf + Sm + Smf, которое мы сейчас опишем. Слагаемое Sm — это та часть
действия, которая определяется только самими частицами (зарядами), движущимися
в поле (т.е. Sm — это действие частиц в отсутствие поля). Обычно это действие
ь
определяется так: Sm = -J2mcI <Н> где сумма берется по всем частицам, движу-
а »
щимся в поле, m — масса частицы, с — скорость света, интеграл / dl берется
вдоль мировой линии в Ж^з между двумя фиксированными событиями: нахождением
частицы в начальном и конечном положениях в моменты времени t\, t%; I — длина
h
дуги. Это действие можно представить в трехмерном виде: Sm = J Ldt, где L —
функция Лагранжа, L — -mc2y/\ -v2/c2,v — трехмерная скорость (см. §32).
Слагаемое Sm/ — это та часть действия, которая обусловлена
взаимодействием между частицами и полем. Обычно это действие определяется так:
Smf = -^^/ -4* dx", где сумма берется по всем частицам j, е, — заряды, интеграл
берется вдоль мировой линии частицы (как и предыдущий интеграл). Свойства поля
характеризуются 4-вектором {А{}, который обычно называется 4-потенциалом; его
компоненты А{ зависят от времени и пространственных координат. В интеграле Smf
значения вектора {At} вычисляются в точках мировой линии частицы j, вдоль которой
ведется интегрирование. Свойства частицы j с точки зрения ее взаимодействия с
электромагнитным полем определяются только одним параметром — зарядом еу, который
и включен в действие Sm;. Итак, действие Sm + Sm/ для заряда в электромагнитном
поле принимает вид
ь
J (-mcdl- e-Akdxk).
а
Слагаемое 5/ — это та часть действия, которая зависит только от свойств
самого поля; иными словами, Sf есть действие для поля в отсутствие зарядов.
Слагаемое S/ несущественно, если мы интересуемся только движением зарядов в
данном электромагнитном поле, но это слагаемое становится существенным, как
только мы ставим задачу о нахождении уравнений, определяющих само поле.
Напомним, что три пространственные компоненты {А1, А1, А3} 4-вектора
образуют трехмерный вектор А, называемый векторным потенциалом поля. Временная
компонента А0 имеет вид А0 = <р, где вещественная функция tp называется скалярным
потенциалом поля. Здесь индексы поднимаются при помощи метрики Минковского.
Напомним также, что напряженностью электрического поля называется вектор
Е = - - |£ - grad (<р) (это трехмерный вектор). Далее, напряженностью магнитного поля
называется (по определению) трехмерный вектор Н = rot(A). Электромагнитное поле,
у которого Е -ф 0, Н = 0, называется электрическим полем; если же Е = 0, Н -ф 0, то
говорят о магнитном поле.

282
Глава б. Многомерные вариационные задачи
Как обычно, обозначим через Fik = ~t - §j£ тензор электромагнитного поля.
Тогда действие S/ (см. выше) принимается равным
S; = а [ 2 (Е1 - Я2) d*x,
где Я2 = (Н, Н), Е1 = (Е, Е) — скалярные квадраты трехмерных векторов; а —
некоторая постоянная; интеграл берется по всем пространственным координатам и по
всему трехмерному пространству, а по переменной х° (пропорциональной времени) —
между двумя фиксированными моментами. Напомним, что Fik = FikF'k = 2(Я2 - Е1)
(Fik — кососимметричный тензор). Постоянная а обычно выбирается равной — 1/16стг.
Тогда
^/„B.-iV.-JL/iSA
' 16«г
Итак, полное действие S для электромагнитного поля с находящимися в нем
зарядами имеет вид
s = -T.
Jmcdl~J2 f^dx* - -^- JFlkd?2
До сих пор мы рассматривали заряды как точечные, однако иногда удобно
считать заряд распределенным во всем пространстве непрерывным образом. Если
р — плотность заряда, то тогда pdV — заряд, находящийся в объеме dV = dyx (в
трехмерном пространстве); р зависит от ж', ж2,ж3 и времени t.
Рассмотрим мировые линии зарядов bRJ, и пусть ^- есть 4-вектор скорости
зарядов. Тогда 4-вектор j', где j' = р^§-, называется 4-вектором тока.
Три пространственные компоненты j , j , j этого 4-вектора образуют обычный
трехмерный вектор тока j = pv, где v — скорость заряда в данной точке.
Составляющая j° равна ср. Прямое вычисление показывает, что в терминах вектора тока f
действие можно записать в виде
S = -]Г J'rncdl- 1 JAjSx- ^ J'fU*
(проверьте!).
Теперь перейдем к нахождению уравнений поля. При этом будем считать
заданным движение зарядов. Это означает, что при выводе уравнений Эйлера варьированию
должны подвергаться только потенциалы поля (т.е. 4-вектор потенциала 4,).
Итак, поскольку траектории зарядов не варьируются, то SSm = 0, а в слагаемом
Smj не должен варьироваться ток /, так как j' = р^§-. Имеем
6S = 8(SmI + S,) = -J (^fSAi + -Л-6(Е&)\ d*x =
Так как Fa = ^-^, то
J c\c 8тг Vdx' dx J J

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 283
ПОСКОЛЬКУ Fib — -Fki, то
геграл преобразуем путем интегрирования по частям:
/\ (\ 1 Эf^^ 1 г
В последнем слагаемом интегрирование выполняется по границе четырехмерной
области; при этом границей области по пространственным координатам является
«бесконечность», где поля аннулируются (а потому и F'k = 0); границей области
по времени являются два фиксированных момента времени t\, Ц\ в этих точках
аннулируются вариации потенциалов {6Aj}.
Таким образом, последнее слагаемое равно нулю. Итак, J(-j,+j-~r)SAidix=Q.
В силу произвольности вариаций 6А{ получаем
dFik 4тг ,
Это уравнения Эйлера—Лагранжа, возникающие при варьировании потенциалов
полей в действии S. Запишем полученные четыре уравнения (г = 0,1,2,3) в трехмерной
форме. Напомним явный вид тензора F'k:
(тензор записан в координатах х° = ct, ж' = ж, х ~ у, хъ = z, см. §21). Первое
уравнение (при г = 1) имеет, следовательно вид
1 dFm dFn dFn dFn 4ir .
с dt дх dy dz с J
Отсюда -^- + ~gf + {^§r - ~^3x- Аналогично преобразуются и уравнения для
г = 2,3, что окончательно дает
1 дЕ 4тг
rotH=- — + — j. (10)
с at с
Нулевое уравнение (при i = 0) дает
д(Ех) д(Еу) d(Ez) 4тг
1 — Ч = — со,
дх ду dz с и'
т.е.
divE = 47rp. (11)
Уравнения (10), (11) и образуют вторую пару уравнений Максвелла. Напомним
первую пару уравнений Максвелла:
1 дИ
rotE=— —, (12)
с at
divH = 0. (13)
Уравнения (10)-(13) определяют электромагнитное поле и являются основными
уравнениями электродинамики.

284 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Найдем теперь явное выражение для тензора энергии-импульса
электромагнитного поля при условии отсутствия заряда. Действие 5/ имеет вид --^ f Flkd4x,
поэтому в терминах п. 2 настоящего параграфа функция L имеет вид
1 2 1 /ЭА, дАк\г
-Pik —
16С7Г 16С7Г \дхк дх1 )
Роль величин /J (см. п. 2) играют здесь компоненты потенциала А{. Следовательно,
по определению тензора энергии-импульса Тк получаем
к дАг dL к
-1 i — ~^—: , г.. , Dili.
дЬ
Найдем —тттт- Для этого вычислим дифференциал dL. Имеем
8тгс V дх дх ) 8тгс V дхк дх1) 4тгс дхк
dL 1 „ь,
Отсюда —,..-■.■ = F ; следовательно,
к 1 дА, к1 1^ ь ,т
4тгс дх1 \Ьжс
Поднимая индекс г при помощи метрики Минковского g'k, получим
rpik _ 9 &Ai „ы 1 ik „ „ш
Т -~bTcdx^F +шГс9 F,mF ■
Полученный тензор энергии-импульса пока что не симметричен. Выше мы предъявили
один из рецептов удаления кососимметричной части тензора Т'*. Применив этот рецепт
в нашем случае, вычтем из Т'к сумму вида -~^ ffr-F*', которую можно представить как
-^(■фм) (см. выше). В самом деле,
дА* „ы д , м idF" д i ,.,
^'= ^(^)-Л'—= -(^),
"ft?"
О = 0).
Как было показано в п. 2, величина £j(ip'kt) может быть добавлена к тензору
энергии-импульса без изменения вектора импульса системы.
Так как |jf - -ф — Fn, то окончательно для симметричного тензора энергии-
импульса электромагнитного поля получаем
Tik = j-L (-F*Ff + l-g'kFlmFlm^j . (13')
Задача. Пусть плотность зарядов р равна нулю, вектор-потенциал электромагнитного
поля Ai зависит от одной переменной х и имеет вид Л,(г - d), i — 0,1,2,3. Если Ai(x) —
гладкая функция, при всех х ограниченная по модулю общей константой, то все
алгебраические инварианты (собственные значения) электромагнитного поля тождественно
равны нулю (доказать!). Это случай электромагнитных волн, распространяющихся вдоль
оси х.

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 285
4. Уравнения гравитационного поля. Пусть в М4 задана метрика д^ и Г% —
симметричная связность, согласованная с этой метрикой. Через а:0,^',^2,^3 обозначим
криволинейные координаты в М4. В физике квадрат элемента длины dl2 в М4
отождествляют с гравитационным полем, dl2 = д^ dx' dx*, gtj = g^. Пусть g = det(^j).
В инерциальнои системе отсчета при использовании евклидовых пространственных
координат ж' = х, х1 = у, хг = г и времени ха = ct получим dl2 = (dxa)2 - (dx1)2 -
(dx2)1 - (dx*)2 (напомним, что такие координаты называются псевдоевклидовыми).
Пространство-время, в котором глобально введены такие координаты, называется
плоским.
Мы будем в дальнейшем рассматривать в М4, вообще говоря, переменную
псевдориманову метрику (такое пространство-время М4 иногда называют кривым, в
отличие от плоского). Однако в каждой отдельной точке ж0 6 М4 можно, конечно,
привести д^ к диагональному виду путем соответствующего преобразования координат
в некоторой окрестности точки ж0. После приведения к диагональному виду матрица
метрического тензора д^ имеет одно положительное и три отрицательных собственных
значения, а потому д = det (дф < 0.
Пусть <Ш = s/=gd4x — стандартная 4-форма объема. Через R'jkl обозначим
тензор кривизны Римана, построенный по аффинной связности T'jk, согласованной
с gij. Напомним (см. §30), что после опускания верхнего индекса у тензора R'jkl
получается следующая явная формула, выражающая Д^ы через д^ и производные
метрического тензора:
р ._ х ( d29im . 92ды d2gg d2ghm \ _г"ГРл
Щыт ~ 2 \ дх" дх1 да? дх™ дх" Эх" дх< дх1) + 9пр( kl im l km ilh
Для тензора Риччи Rik = R4iqk = glmRiimk легко получить следующее выражение:
р _ дГ;* ЭГц , _ m ,
*Uk — -£—, 7ГТ + LitLlm - >-ilL km
дх' дхК
(проверьте!). Напомним также, что скалярной кривизной R называется следующий
инвариант:
ту ik п И km п
л = g Rit = g g Raim-
Уравнения Эйнштейна для гравитационного поля можно получить как уравнения
Эйлера—Лагранжа при варьировании действия (Гильберта) этого поля. Опишем этот
функционал действия Sg. Считается, что Sg = JRdfi, где интеграл берется по всему
трехмерному пространству (х1,х2,х3) и по временной координате х" в пределах
Теорема 2. Имеет место тождество
8jR^/\g~\d4x
6д*>
так что
= Ыц ~ 2RSii) >/№>
6Sg = J (idt - l-Rgikj 6gik V\g~\<fx.

286
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Локазательсгво. Выражение для Sg можно несколько упростить, избавившись от вторых
производных д2дц/дхр дхч, входящих в инвариант Д. После этого упрощения
(которое мы сейчас выполним) подынтегральное выражение будет содержать
только тензор д^ и символы Кристоффеля T'jt.
Имеем
R\f~9 - \f-99kRik =
jk^jk
Эх1
dxk
ikfyl т-,т
-a [я -zzr-9 tzt+9 rar,m
-A?rL)-
Преобразуем первые две суммы:
I ik ^-ik * l I ikW \ W & I I—~ ik\
^" ~M=M{^9 V*)-V*M{y/^9 ]'
I ik^il & I I \k-ri \ r,l ^ I /~~ZJk\
^99 ^=^^99 ^)-^^(^99 )•
Полные производные (точнее, дивергенции) ^(-/^/г'*) и ■^(■^дд'кТ1и)
можно отбросить без ущерба для вариации 6Sg. Дело в том, что интегралы
равны нулю. В самом деле, полюуясь формулой Стокса, эти интегралы можно
преобразовать к интегралам по границе 3D области D. Так как при варьировании
Sg мы должны варьировать gik (рассматривая их как независимые переменные),
то вариации бдц. должны быть равны нулю на 3D (см. выше вывод уравнений
Эйлера—Лагранжа); следовательно, б( f ) = 0. Итак, можно считать, что
6(fRdti) =6{jGJ=g~(?x), где
43D'
^^ = 11^(^/)-11^(^^)-(^^-4^)/^. (14)
'Эх1
Поскольку связность V'jk согласована с метрикой, то имеет место тождество
9 1кГ
1
Э
•J^g дхк
(проверьте!). Разделив (14) на л/-5> получим
Э
(v^O
,1 pi кр
g = -г;,пр/? - п*
V=9 дх1
Преобразуем второе слагаемое:
(у/Чда)-и^т,Ьп-т1атТт)9а.
-4
a:(v^/)=^- '
9 -lik-z~r--l-ik9 hp-lik-
./1&MV аз '~*"у/=д2у/=д8згЯ likdx'~ ik9 '" ikdx'-
Здесь мы воспользовались соотношением Г*,- = т~я^г- Напомним далее, что
1г = -Г^т'-Г^''т. Отсюда
- -Ii*r^a + 11Л,<Г* + Г'т,г1,/т = -Ш' + 2Г1,Г^5т'.

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 287
Отсюда
G = 2Г'кТ1т1дтк - Г'аГй.д" - T%jU" ~ <Лг£г1т - Г'кГТт) =
— /.'^ггр' Р™1 г' г1™1 г1™1 г1' ч „'*vr,mr'' n' рт \ _
= W'm*r£ - rUrK.) - 9ik(T%Tlkm - VlikVTm) = /(1¾ - Г^).
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Лемма 3.
Еще раз поясним, что гравитационное поле определяется метрическим
тензором gtj, а потому при вариации действия варьированию должны подвергаться
компоненты g\j, рассматриваемые как независимые переменные.
Найдем 6Sg (варьированию подвергается только гравитационное поле, т.е.
метрика). Имеем
б I Ry/^cPx^S J gikRit^/^ctix =
(RayflsJ* + Rikgik6(y/^g) +gay/^6Ri^ <fx.
Найдем Sg'k. Если A1* — алгебраическое дополнение элемента дц, в матрице
(дар), то д = Yl9it^'k (по определению д), где суммирование происходит только
по », а к фиксировано. Ясно, что 6д = (Sgik)Al (суммирование по i, к), так как
дифференциал Sgik каждой компоненты да нужно умножить (при приведении
подобных членов) на коэффициент при этой компоненте в выражении для д,
т.е. на Д'*. Так как д1* = ~, то Д'* = дд'к, откуда 6д = gg'kSgit. Так как
д'кда = 6\ = 4, то (Sg,k)gik+glk(Sgik) = 0, т.е. 6д = -ggikSg,k. Таким образом,
1 - l -.*'/-:„ «„«
= /(«
<5( V-3) = Т7== ^ = -, /=- 9-9ikSg = - - ^/-3 &jt<fy
Отсюда
6 j Ryf^^x = j Г Да - -Яд») 6gik^^x + f ^(SR^yf^dtx.
Найдем теперь <5Я,А. Предварительно заметим, что вариации 6Т)к
образуют тензор (напомним, что символы Кристоффеля Г^ тензора не образуют).
Действительно, по определению операции V{ = £'V; ковариантного
дифференцирования вдоль векторного поля £ получаем Va,-(<?j) = ГуЭц, где di —
стандартные координатные векторные поля: 9,- = j~. Таким образом, Г^ —
коэффициенты разложения вектора, перенесенного параллельно вдоль
координатной линии. Выражение ¢11¾¾ является, следовательно, разностью двух
векторов, полученных параллельным переносом из точки Q в точку Q вдоль
координатной линии двумя способами: при помощи исходной связности Гу
и при помощи проварьированной связности Г*3- + STkj. Так как разность двух
векторов, вычисленная в одной и той же точке Q, есть вектор, то величины <5Гу-
образуют тензор.

288
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Для подсчета вариации SRik фиксируем: произвольную точку и введем в
некоторой окрестности этой точки систему координат, инерциальную в этой
точке (см. задачу 4 из §29). Это означает, что в этой точке Г;, = 0, так как
—•(<;'*) = 0 в выбранной точке. Имеем
iltD х(^*к ^а,Н лт г."1 л' \jk „•* ( ® /лг>' \ ^ txrl \\ -
9 ^ = 4^-^ '"т~ " ктг =9 wi6Vik)~Mm,))-
= 9 ^№')-« 34^) = -^ 8Га-д6Ги)=-^,
\^ = д*8Г\к-ди6Гкк.
Так как <5Г^ — тензор, то величины W1 также образуют тензор (вектор),
dW'
а потому его дивергенция -^- в нашей специальной системе координат
(инерциальной в выбранной точке) не изменится при переходе к любой другой
криволинейной системе координат. При этом, конечно, следует использовать
инвариантное определение divT = V,T', так как величина g^(Tl) не носит
тензорного характера (относительно произвольных замен). Напомним (см. §29),
что явная формула для divT в произвольной системе координат относительно
римановой симметричной связности такова:
, ЭТ* , д ,— 1
дх1 дх1 v J=g дх1
Получаемg'k6Rik=-i== -^(^gW1). Таким образом, интеграл /д'к8Щкл/~д<^х
преобразован нами к следующему виду: f ^(^/^gW^cPx. В силу формулы
Стокса этот интеграл превращается в интеграл по границе четырехмерной
области 8D от W1. Так как на 3D вариация поля равна нулю, то этот интеграл
также равен нулю. Окончательно получаем
SSg = у f Дд - -ЯдЛ 8gik^g~d?x.
Тогда
Теорема 2 доказана. ■
Обычно действие Sg записывают с коэффициентом А специального вида
j
tt-q, где с — скорость света, G — так называемая «гравитационная постоянная».
^т4/(^4Ц^^л
Полное действие вместе с материей имеет вид Sg + Sm - Sn(MH0C.
Теперь рассмотрим вариацию SSm. Действие Sm обычно записывается (в
криволинейных координатах) в виде - J h^f^gctx, где Л — функция, определяемая
свойствами материи, зависящая от метрики и полей, определяющих материю.
(Напомним, что интегрирование осуществляется по всему трехмерному пространству
х1,х2,х2, а по времени ха — между двумя фиксированными моментами, т.е. по
бесконечной четырехмерной области, заключенной между двумя гиперповерхностями
ж0 = х°\, ха = х\; х\,х\ — некоторые постоянные.) Итак,
\^д-\6д'к ** 2 ™ сз Sg* cy/W\

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 2S9
Это уравнение гравитационного поля, если величина т-= г% известна
сл/isi °д'
Заметим, что эти уравнения нелинейны, а потому сумма двух решений (полей) не
обязана быть решением.
В теории относительности принимается, что величина ~ Щ- —Тт
являемы. 6я
ется тензором энергии-импульса системы. Для физически важных полей (например,
электромагнитного) выражение
2 SSm
совпадает с ранее введенным симметричным тензором энергии-импульса.
Действительно,
cSm=JK v^i ctx=xjFitFikV\i\ctix=,xjFikgi''ghjFpj у/Ы**= jus*, *"«) у/\д\ <***•
Очевидно, -имеем (проверьте!)
--6Sm = f -^-(-F'Flk + l-gikFlmF"n)6gik^d'x.
с J 4irc 4
Подынтегральное выражение совпадает с выражением (13')-
В случае так называемого пустого пространства (в отсутствие материи) Tik — О,
и тогда уравнения гравитационного поля принимают вид Я,-* = 0. В самом деле, из (15)
можно получить giaRik - \R6l = ^giaTik, т.е. Rf- \R6? = ^¾. Сворачивая по
(а, к), получаем R-2R= ^рГ, где Г = Т£, т. е. R = -^Г, и уравнения нашего поля
принимают вид Rit = ~jrffi*_ i9ik.T). Если Тц = 0, то и Rtk = 0. Из уравнения /¾¾ = 0
отнюдь не следует, что пустое пространство-время является плоским: равенства нулю
тензора Риччи для этого недостаточно. Плоскость пространства-времени вытекала бы
из равенства нулю всего тензора кривизны Римана R'jki- Если бы пространство-время
было трехмерно, то пустое пространство было бы обязательно плоским, поскольку
в этом случае тензор Римана выражается через тензор Риччи (формула (30.18)). В
двумерном случае из приведенных вычислений вытекает следующая
Теорема 3. Величина S[g\ = J К dS, где dS — ^/gdxi Л dx2, а К — гауссова кривизна,
не меняется при локальном изменении метрики р,7, i,j = 1,2.
Доказательство. В двумерном случае имеем К = R/2, Rij — \Rgij — Kgij. Вариация
функционала S равна (см. выше)
SS = J (¾ - l-Rgii) 6gijdS = 0.
Теорема доказана. ■
Для замкнутой поверхности в R2 локальность изменения метрики
несущественна, поэтому получаем
Следствие (Гаусс—Бонне). Интеграл от гауссовой кривизны по замкнутой поверхности
в трехмерном евклидовом пространстве не меняется при гладкой деформации
поверхности:
IKdS =
const.
Численное значение этой константы будет вычислено в томе II.
ЮЗак. 8098

290
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
5. Мыльные пленки. Рассмотрим гладкую гиперповерхность V" С К™,
заданную, например, в виде графика х" = f(x\...,xn~ ). Пусть областью определения
функции / является ограниченная область D в К"-1; рассмотрим функционал площади
S\f], определенный на пространстве всех таких функций /: S[f] = / y/\detA\dn~]x.
D
Здесь A = (gtj(x)), х € D, — индуцированная риманова метрика на поверхности
Vя-1, а (2я~'ж = dxl Л dx2 Л ... Л Ас"-1, где х\...,хп~х — евклидовы координаты
в D. Лагранжиан \/|det 4| можно записать в явном виде через
х4 //г"-*^Ая(Р) функцию /.
^
Пусть йт
форма (п - 1)-мерного объема на V;
тогда S[f] = JdTn~. Пусть Р € У
п(Р)
единичная
нормаль к V" в точке Р, а(Р) — угол между п(Р) и
е„ = (0,... ,0,1) (рис. 38); тогда
S[f]
У У cosa(
(Р)'
Рис. 38.
(0,...,0,1),
Далее, cosa(P) = (e„,n(P))
i
'l+E(A02
Итак, S[f] = J Jl+J2(fxi
)2 Лв'л... Л dx" '.
Рассмотрим экстремальные поверхности V для функционала площади S[f]
(т.е. графики экстремальных функций х" = f(x), х € D). Уравнение Эйлера—
Лагранжа (здесь к = 1) имеет вид
Л-1 «
i=l
/*
5=1
1 + Е(Д>)2
j=i
= о.
(16)
Определение 5. Поверхности, являющиеся экстремальными для функционала
площади 5, называются минимальными поверхностями.
Замечание. Минимальные поверхности моделируются, например, в R3 с помощью мыльных
пленок, затягивающих замкнутый проволочный контур (в отсутствие силы тяжести).
Для двумерной минимальной поверхности, заданной в виде графика z = f(x,y)
в R3(x,y,z), уравнение (16) приобретает вид
(1 + fl)J„ ~ 2fxyfxfy + (1 + f))fxx = 0
(проверьте!).
Уравнение минимальной поверхности V"-' допускает запись на языке локальных
инвариантов вложения этой поверхности в R".

§37. Простейшие многомерные вариационные задачи 291
Теорема 4. Пусть V ' С К" — гладкая гиперповерхность. Средняя кривизна Я равна
тождественно нулю тогда и только тогда, когда V"-' можно представить в
окрестности каждой своей точки в виде графика экстремальной функции для
функционала площади (т. е. решения уравнения минимальной поверхности).
Таким образом, условие Я = 0 и есть условие минимальности поверхности
Vn~l С R".
Доказательство теоремы сводится к прямому вычислению средней кривизны
Я = Tr(A~lQ) для графика х" = /(ж), где A, Q — матрицы первой и второй
квадратичных форм соответственно, и проверке факта, что уравнение Я = 0 совпадает
с уравнением Эйлера—Лагранжа (16).
Мы не будем проводить здесь это вычисление в общем случае, а рассмотрим
только специальный случай: двумерная минимальная поверхность в М3.
Зададим поверхность V С ft5 радиус-вектором г = r(u,v) (по крайней мере
локально). Тогда S[r] = J \JEG - F1 dudv, где (^ £ j — матрица первой
• квадратичной формы:
E = {ru,ru); F=(rn,rv); G=(rv,rv).
Средняя кривизна И имеет вид
Я = Tr U~lQ) = EG\Fi(GL -WM + EN),
где ( 7. \r ) — матрица второй квадратичной формы:
L = {r*u,n), М = (rm,n), N = (rv„n),
п — единичная нормаль к поверхности.
Выберем на V2 (локально) конформные (изотермические) координаты.
Существование таких локальных координат для вещественно аналитических метрик А
было доказано нами ранее (см. §13). Для простоты будем считать, что и, v — уже
конформные координаты.
В конформных координатах F = 0 и Е = G; следовательно,
S[r]= // \/(ru,ra){rv, rv)dudv- II \J(xl + yl + zl)(xl+yl +z%)dudv.
D D
Далее, Я = ^(L + N) = |(rBB + r„,n) = ^(Ar,n), где Д — оператор Лапласа.
Рассмотрим уравнения Эйлера—Лагранжа для S[r] в координатах u,v. При
этом следует иметь в виду, что возможность записать уравнение Эйлера—Лагранжа в
конформных координатах следует из того, что при варьировании функционала S[r] с
помощью возмущения т) можно считать все функции r(u,v) + er)(u,v) отнесенными
к конформным координатам. Для этого достаточно ввести конформные координаты
u£,v£ на каждой поверхности r(u,v) + er)(u,v) (дело в том, что координаты и, v, вообще
говоря, уже не конформны на возмущенной поверхности г + ет]). Координаты (u€,v£)
можно считать гладко зависящими от е.
Уравнения Эйлера—Лагранжа принимают вид
£<*.) + £(*.) = о,
£ы + £ы = о,
10*
dv
Э_
0av;"" ' dv
5j(za) + g-v
a (¾) + =(¾) = о
т. е. Дг — 0.

292 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Радиус-векторы г, удовлетворяющие уравнению Дг = 0, называются гармоническими.
Таким образом, в конформных координатах «минимальность радиус-вектора» (т.е. его
экстремальность для функционала площади) означает его гармоничность.
Замечание. Говорить о гармоничности радиус-вектора г(и, и) можно только относительно
какой-либо системы координат (в данном случае эти координаты конформны). При
изменении координат свойство гармоничности, вообще говоря, разрушается.
Итак, поскольку Дг = О, то Н — ^(Дг, п) = 0, и мы доказали интересующее
нас утверждение в одну сторону.
Обратно, пусть Н = 0, мы должны доказать, что Дг = 0 (в конформных
координатах). Так как (Дг, п) = О, то достаточно проверить еще два равенства:
(Дг,тн) = 0, (Дг,г„) = 0. Отсюда будет следовать, что Дг = 0. В самом деле, векторы
п, гн, г„ образуют репер в любой регулярной точке поверхности r(u, v) (по определению
поверхности). В силу выбора координат Е = G и F — 0, т.е. (га, га) — (rv,rv) и
(г„г,) = 0. Дифференцируя по и и v, получаем
Vim, ?*а/ — vuviTy),
Vuviru) = Vvv,T,)i
(rm,rv) + (ra,rav) = 0,
(Пш,Г„) + (ra> Г„„) =0.
Нам следует проверить тождества
(Гии,Ги) + (rvv,Tu) -0,
(Пш,П> + {r„,rv) = 0.
Два последних уравнения, очевидно, вытекают из (17). Тем самым доказано
Контур
Рис. 39.
Контур
Рис. 40.
Утвержление 2. Двумерная поверхность тогда и только тогда описывается минимальным
радиус-вектором, когда Н = 0. В конформных координатах минимальный радиус-
вектор становится гармоническим.
Структура минимальных поверхностей V2 С R3 довольно сложна; например,
если фиксирован граничный контур S1 С М3, то, вообще говоря, на него можно
натянуть много «мьшьных пленок» (т. е. нет теоремы единственности для решения
дифференциального уравнения Я = 0 или Дг = 0). Примеры см. на рис. 39,40.
Решения уравнений Я = 0, Дг = 0 могут иметь особенности. Пример («тройной
лист Мебиуса») см. на рис. 41,42.

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 293
Гармонические радиус-векторы являются решениями уравнения Эйлера-
Лагранжа для еще одного многомерного (двумерного) функционала.
Контур
Пленка
Сечение
Рис.41. Рис.42.
Функционал Дирихле. Рассмотрим трехмерный радиус-вектор r(u,v) (координаты
и, v произвольны). Функционалом Дирихле называется следующий функционал:
f E + G
D[r]= J —j~dudv,
D(a,o)
где E, G — коэффициенты первой квадратичной формы для поверхности r(u,v).
Здесь
L(rv, rv) = - (х\ + yl + z\ + xl + у] + zl),
а потому уравнение Эйлера—Лагранжа (в векторной записи) имеет вид Аг = 0;
решения — гармонические радиус-векторы.
Так как
E + G
> VEG - F2,
то
Щг] > S[r]
для любого кусочно гладкого радиус-вектора r(u, v) и равенство достигается тогда
и только тогда, когда Е = G; F = 0, т.е. в конформной системе координат.
Таким образом, любая экстремаль D[r], для которой координаты и, v оказались
конформными, является экстремалью S[r]; обратное неверно. Для того чтобы получить
вес экстремали функционала S[r], следует рассмотреть все экстремали функционала
D\r] (т.е. гармонические радиус-векторы), отобрать из них только те, для которых
и, v оказываются конформными координатами, а затем подвергнуть и, v произвольной
регулярной замене координат.
Гармонический радиус-вектор r(u,v), для которого координаты и, v не
конформны, не будет описывать минимальную поверхность. Пример: г(м, v) — (и, v, Re
f(u + iv)) — график вещественной (или мнимой) части нелинейной комплексно
аналитической функции /(u + iv).
Связь между функционалами D[r] и S[r] во многом аналогична связи между
ь
функционалами длины /'[7] и действия 5*[7] = f\j\2dt пут f. Ясно, что (i*[Tl)2 ^
. а
(b - a)Sa[y], и равенство достигается тогда и только тогда, когда параметр t на
траектории 7(£) пропорционален длине дуги (такие экстремали la\j] будут геодезическими,
если параметр натуральный). Это обстоятельство связано с тем, что функционалы lba\j]
и S[r] инвариантны относительно замены переменных, а функционалы S'[7] и D\t]
не инвариантны.

294
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
6. Уравнение равновесия тонкой пластинки. Рассмотрим один частный случай
равновесие деформируемых тел: равновесия изогнутой тонкой пластинки. Будем
считать пластинку тонкой (т. е. будем предполагать, что ее толщина мала по сравнению
с ее размерами в двух других направлениях). Будем считать, что в недеформированном
состоянии пластинка является плоской. Деформацию будем считать малой, т. е. будем
предполагать, что смещения точек пластинки малы по сравнению с се толщиной.
Уравнения равновесия пластинки получаются как уравнения Эйлера—Лагранжа при
варьировании ее свободной энергии.
При изгибании пластинки в некоторых ее точках возникают растяжения, а в
некоторых — сжатия. На выпуклой стороне происходит растяжение, на вогнутой —
сжатие. По мере углубления в толщу пластинки растяжения и сжатия уменьшаются.
Зоны растяжения и сжатия отделены друг от друга так называемой «нейтральной
поверхностью», на которой растяжения или сжатия отсутствуют. Эта поверхность
расположена на середине толщины пластинки.
Введем декартову систему координат х, у, z с началом в точке О на нейтральной
поверхности и осью Ог, ортогональной к этой поверхности. Плоскость (х, у) совпадает
с плоскостью недеформированной пластинки. Через ((х,у) обозначим вертикальное
смещение точек нейтральной поверхности при изгибе (рис. 43).
Пусть ft. — толщина пластинки; тогда полная свободная энергия F изогнутой
пластинки вычисляется по следующей формуле:
F =
Eh'
24(1 - а2)
Ш+0)1-
1-ff)
д\
д\ д\
\дхду> дх2 дуг
\dxdy,
где интегрирование производится по всей области
определения функции смещения С, = С,(х,у), Е —
модуль растяжения (модуль Юнга), а —
коэффициент Пуассона, вычисляемые из соотношений
Е--
9Кц
.0
2ii
\ЪК_
2 ЗК + ц
^хй.
-'<*.*>
ък + ц , ^ -г И Рис 43
в которых К и ц — модуль всестороннего сжатия и модуль сдвига; эти постоянные К
и ц определяются свойствами материала, из которого изготовлена пластинка.
Перейдем к выводу уравнений равновесия. Отметим, что ввиду малости
деформаций можно считать, что dxdy = dS, где dS — элемент поверхности (на нейтральной
поверхности). Проварьируем энергию F. Представим F в виде суммы двух интегралов:
F =
Eh'
24(1-(72)
II
(ДО 2dS +2(1
ff\(д2( v д2<д1(
J J [\дхду) дх1 ду2
dS
(здесь Д — оператор Лапласа) и будем варьировать эти интегралы по отдельности.
IJ{A°2ds4J
(Д()(Д<Ю dS = J HAC)(div grad ¢¢) dS =
= /У div(A< grad 6QdS - //(grad A(, grad SQ dS.
Пусть 7 = dD — контур, ограничивающий область определения D функции
С(ж,2/). Например, 7 может быть контуром, охватывающим пластинку. Тогда интеграл
//div (Д£ grad 6Q dS можно по формуле Стокса преобразовать к виду ^A((n,
D 7

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи
295
grad 6Qdl, где dl — элемент длины дуги вдоль у, п — вектор внешней нормали к: 7-
Ясно, что
* Д( (n.grad 6Q dl= I ДС -—- dl,
где j~ — дифференцирование по направлению внешней нормали п к контуру -у.
Аналогично
/'/'(grad ё(, grad ДО dS = //div ((6 Q grad AQdS - ff(6QA\dS =
D D D
= ^ tfC(n, grad ДО <«- I f(SQ Д^й5= Фб^^-^-dl- fhSQA^dS.
7 Д 7 D
Итак, мы' преобразовали первый интеграл а выражении для 6F к виду
5 ^ //(ДО2 <tf = //(^) Д2< dS- j>6( ^^ Л + / Д¢ ^ Д.
D D 7 7
Перейдем ко второму интегралу в выражении для 8F:
д2С д26(, д2С д26( д26( д\
'' \дхду) дх2 ду2
D
'//(
8S-
II
дхду дхду дх2 ду2 дх2 ду2.
dS.
Подынтегральное выражение можно представить в следующем виде:
а / ас/- &/■ as/- я2/-\ я /as/- s?t я*,* я2/
da: '
\ 5у джду дх 9у2/ ду\дх дхду ду дх2 J
Отсюда
'//I
а2С
дхду
дХ д2С
дх2 ду2
dS
= f(n,
T)dl =
= cos0 I—— -— — —^ ]+ sin в -г— -—; z—it-; )dl
J [ \ду дхду дх ду2)
9V «'■ -2
F I Г"
V дх дхду ду дх2
где в — угол между осью Ох и нормалью п (рис. 44). Выразим g ^ g через -g* и
д_
ду
f, где £ = ¾. Так как & = costf £ - sin«$; £ = sintf £+ costf |, то
П
**l«=<f*«
2sin0cos0 sin в—r-cos в—-
дхду дх2 ду2
dl+
J dl
7
дЧ
^^os.(0-g)+(cos^-sin^)9a;9j/J
dl.

296
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Второй интеграл можно взять по частям. Так как интегрирование выполняется
по замкнутому контуру, то пределы интегрирования сливаются в одну точку, а потому
интеграл принимает вид
Г д Г (дгС д2С\ , , д2(
dl
дхду
1
(второй интеграл — интеграл от полной производной — обратился в нуль).
Окончательно для вариации свободной энергии получаем
W=^~^\ H(6QA\dS-
Ы11
г»(до , „ ,«Л. J&< »'(\,,.j» .-.1.,^
дп dl\ \ <ty2 дя2 J &x ду
0-J- я2л я2
dl+
+ ф —— ДС + (1 -<х) 2sin0cos0—— -sin в—^ -cos 9-^ dl }
J дп L s '\ дхду дх2 ду2 J J J
4-
Чтобы получить уравнения равновесия пластинки
*" ч. v ^ я (уравнения Эйлера—Лагранжа), нужно приравнять нулю
сумму 6F + SU, где С/ — потенциальная энергия пластинки,
связанная с наличием действующих на нее внешних сил.
Вариация SU равна взятой с обратным знаком работе
внешних сил при смещении пластинки.
Пусть Р — действующая на пластинку внешняя сила,
Q1 ^ отнесенная к единице площади ее поверхности (имеется в
виду нейтральная поверхность) и направленная по нормали
Рис- ^- к ней. Тогда работа, произведенная внешней силой при
смещении точек пластинки на расстояние <$£, равна // Р6( dS. Отсюда в качестве условия
D
минимальности (а точнее экстремальности) полной свободной энергии пластинки
получаем уравнение ,.
AF- / Р<5(й5 = 0. (18)
В это соотношение входят как поверхностные, так и контурные интегралы.
Поскольку вариация <5£ произвольна и может иметь сколь угодно малый носитель (в
частности, носитель <5( может не затрагивать контур 7), то, следовательно, по
отдельности равны нулю как поверхностный, так и контурный интегралы. Поверхностный
интеграл имеет вид . 3
Eh 2
//(
12(1 -а)
AX-P)6<;dS = 0.
В силу произвольности 6( имеем ЯД2£ - Р = 0, где Я = щг^; эта величина
называется жесткостью пластинки при изгибе (или цилиндрической жесткостью); Я
определяется свойствами материала. Итак, уравнение равновесия пластинки,
изгибаемой действующими на нее внешними силами, имеет вид
ЯД2С - Р = 0.
Это уравнение нужно дополнить граничными условиями, получающимися из
обращения в нуль контурных интегралов в уравнении (18). Обычно при этом выделяется
несколько важных частных случаев.

§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи 297
а) Пусть часть края пластинки 7 = 9D свободна, т. е. на нее не действуют
внешние силы. Тогда вдоль этой части границы вариации <5£ и <5(g£) произвольны, а
потому должны аннулироваться коэффициенты при этих вариациях в соответствующих
контурных интегралах. Это дает следующую систему граничных условий:
——^ + {\-<r) — [sm0cas9[ —-7- -4 + (sin2 в - cos2 в) —±- =0;
дп д1\ \дх2 ду1) дхду)
( д2( j а2с , д2С\
ДС + (1-(г) 2sin0cos0 —-^--sin' в—4 -cos 0-¼ =0.
V дхду дх2 ду2 J
б) Пусть края пластинки жестко закреплены (например, жестко заделаны в
материал). В этом случае края пластинки не могут испытывать никаких вертикальных
смещений, а также не может измениться направление края пластинки; следовательно,
б( = 0 и <5(f£) = 0 (отсюда следует, что все контурные интегралы тождественно
равны нулю); граничные условия приобретают простой вид: £ = 0, 1^ = 0. Первое
означает, что края не смещаются по вертикали при деформации, а второе означает,
что направление края остается при деформации горизонтальным.
Задачи. I. Показать, что для экстремалей функционала S(F) = J F Л *F = J FikF'kd*x
при условии d(Fit dx' A dx') = 0 справедливы уравнения Максвелла (в пустоте). Здесь
Fik — кососимметрический тензор в пространстве Минковского R{.
2. Доказать, что:
а) р* = i / Г° d3x, d3x = dx' Л dx2 Л dx3.
Вектор с составляющими ^Т10, |Т20, £т3° называется плотностью импульса системы, а
величина Г00 — плотность энергии.
б) | /Г00 d3x = -cf Г00 d*. (здесь Т0"*»^ Г01 dx2Adx3 + T02dx3Adxl + T03dx,Adx2).
v ev
в) й 11 ^°° <?х = - § Ta" dap. Трехмерный тензор Т"" называется тензором напряже-
v av
ний (тензором плотности потока импульса).
3. Рассмотрим функционал 5[Г] = f R^/\g\dV, где R = g'kRik, Яц = ^j - ^f +
r'tHJi _ T™rim и метрика j,-t считается фиксированной. Показать, что для экстремалей
Г = (Г*) этого функционала справедливы формулы Кристоффеля, выражающие Г?,- через
компоненты метрического тензора.
4. Чему равен тензор энергии-импульса гравитационного поля (определенный по
рецептам пп. 2-4)?
5. Пусть F = Fikdx' Л dx', i,k =0,1,2,3 — тензор электромагнитного поля в
четырехмерном пространстве-времени с метрикой (¾). Показать, что уравнения Максвелла
имеют в этом случае вид dF = 0, SF = ^i, где j — ток, 6 = *d*.
6. В четномерном римановом (или псевдоримановом) пространстве рассмотрим
функционал
S[g]= fd,
где форма П определена в задаче 9 к § 30. Показать, что

298 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
§ 38. Примеры лагранжианов
1. Рассмотрим комплексное скалярное поле ip(x) в пространстве й| с метрикой
даъ и зададим действие в виде
S = const/ hl (^,^\-m2c2y{x)ip(x) с?х= /л/ж, (1)
где черта обозначает комплексное сопряжение, ft — постоянная Планка (размерности
действия), с — скорость света. Здесь т ^ 0 называется массой частицы, описываемой
полем ip, Л = ЛI <р, ф, т£,т£ ) — лагранжиан; формально <р и ip считаются
независимыми переменными. Уравнения Эйлера—Лагранжа принимают вид «уравнения
Клейна—Гордона»:
ss as 222 92 -Л а2
— =0, — = 0, (h2a + m2c2)<p = 0, 0 = -^-^-^ (2)
Dtp d<p (dx"Y *-f (дх"У
(Sip и Sip считаются независимыми).
Тензор энергии-импульса имеет вид (см. §37)
rrba гаЪ_„асм(д<Р dip dip dip \ „
(х - °\
Здесь даь = ( ' _. 1 — метрика Минковского. Плотность энергии такова:
\0 -1/
„оо sr^ dip dip 2_
Т = > f- m ipip. (4)
^ dxc dxc yy
с
Действие (1) инвариантно относительно группы преобразований
ip —► e""ip, ф —> е~,а<^ (a = const). (5)
Эта группа порождает сохраняющийся ток
та ■ <л( -dip dip\
Задача. Выведите равенство |£ = 0 из уравнений Эйлера—Лагранжа.
Величина / J° d х = Q называется «зарядом» поля ip.
f=const
Включение внешнего электромагнитного поля производится по правилу р —>
р+е-А, mep = ih£:
d d е
Эх" dxa ch
где Аа(х) — вектор-потенциал электромагнитного поля, е — заряд, с и ft —
универсальные постоянные. Полный лагранжиан имеет вид (полагаем ft= 1)
/ 80 it dip re \ ,, 1 „i
ЧМ*>=(-£ + -А.<Ь ~-^aip\-m2c2^-—FabF-. (8)

§ 38. Примеры лагранжианов
299
Задача. Проверьте инвариантность этого действия относительно «калибровочных
преобразований» (ft = с = 1):
id - -it, - ®а
ip^e <р, <р^е <p; Л„-» Aa + —, a = a(x), S -» S. (9)
Действительное скалярное поле является, как говорят, «нейтральным» {(р = р);
здесь
1 Iдю дч>\ ■>■>■> -> •>
A=2\to'te/ mCv' (П + т'с )V = 0, (10)
вектор тока (6) обращается в нуль, J" ~ 0. Включение электромагнитного поля
невозможно, так как решения уравнений Эйлера—Лагранжа не будут вещественными.
Решения свободного уравнения (2) или (10) вида const-ег**,х' обладают свойством
, , mV
(М) = —5-. (11)
п
Считается, что такое решение изображает свободную частицу массы т с
импульсом р = hk, пропорциональным вектору к. Поэтому импульс лежит на
массовой поверхности (р,р) = т с .
2. Лагранжиан комплексного векторного поля ip с массой та^Ов пространстве
R} имеет вид (пусть h = с = 1)
bd acdVa Oipc 2 ab - д , ч с f . j4
5 5 ^bfl >Ра<РЪ=Л, <P = (<P0,<Pl,<P2,Pl), S= \(Гх,
(12)
причем наложены дополнительные условия на поле:
д<ра д(ра
-^-= 0. -^- = 0. (13)
За:0 0х° v
Тензор энергии-импульса имеет вид
Группа ip —> e"V, <^ —> е~т<^ порождает сохраняющийся ток
Задачи. 1. Проверьте сохранение тока §£r = 0 в силу уравнений Эйлера—Лагранжа
— = 0, — = 0-*(П + го2)р = 0. (16)
Sip Sip
2. Проверьте что при отсутствии дополнительных условий (13) на векторное поле
энергия J Т d?x не будет, вообще говоря, положительной величиной.
Включение электромагнитного поля производится снова по правилу
!i^J?+eA° (Д = С=1). (17)

300
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Решения типа плоской волны е1'*1' обладают (при h = с — 1) свойством
(к, к) = т2 (проверьте!). Тем самым к — импульс, лежащий на массовой поверхности.
Полный лагранжиан (вместе с электромагнитным полем) инвариантен
относительно калибровочных преобразований
^e»<*V, е-е-'0^, Аа^Аа+^. (18)
Особый случай представляет собой уже встречавшееся ранее векторное поле нулевой
массы m = 0 (например, электромагнитное поле). В этом случае, если поле (р
вещественно, лагранжиан эквивалентен лагранжиану электромагнитного поля:
A = consti^°6, где ^ = ^т-Й, (19)
Эх" дх"
который инвариантен относительно калибровочной группы:
да(х)
^-^--^Г, S-+S. (20)
Позднее (см. §40) будет рассмотрен еще важный класс «спинорных» полей, где
значения поля ip лежат в пространстве спиноров.
§ 39. Простейшие понятия общей теории
относительности
1. Напомним сначала некоторые элементы специальной теории относительности
Эйнштейна (СТО; интересно, что в создании этой теории кроме общеизвестных
физиков — Эйнштейна и Лоренца — участвовали также крупнейшие геометры своего
времени — Пуанкаре и Минковский). Согласно СТО «событию», происшедшему
в одной точке пространства в некоторый момент времени, сопоставляется точка
четырехмерного пространства-времени К| с метрикой Минковского dl2 = (dx0)2 -
з
^2(dxa)2 в псевдоевклидовых координатах х",а = 0,1,2,3, где х° — ct,t — время, с —
скорость света в пустоте (с « 299793 км/с). Определялись времениподобные, световые
(или изотропные) и пространственноподобные векторы £, для которых соответственно
(£.0 > 0; (£iO = 0 или {£,0 < 0, а также кривые у(т) времениподобные, световые
или пространственноподобные, у которых по определению вектор скорости v — ■£ (в
каждой точке) таков, что (v,v) > 0, либо (v,v) = 0, либо (v,v) < 0 соответственно.
Мировая линия массивной частицы (масса m > 0) времениподобна, а мировая линия
безмассовой частицы (масса m = 0) световая. При изложении СТО можно пользоваться
одним из двух лагранжианов свободной массивной частицы:
S(1) = J L^drr = а J (v, v) dr или 5<2) = f L^dr = 0 f ^/{v,v)dr.
7(т) 7(т) 7(т) 7(t)
Здесь j(r) — мировая линия частицы в пространстве Минковского К{, v = -£р —
вектор 4-скорости, а и /3 — константы, значение которых a = j те, /3 = -тс (см.
§32). Обычно в физической литературе используют лагранжиан Lis — P^{v,v), для
которого действие 5(2) = / Lis dr пропорционально четырехмерной длине мировой

§39. Простейшие понятия общей теории относительности 301
линии у(т). Функционал I или 5( ' не зависит от параметра т. Поэтому можно
выбрать г = ^ = t (мировое время). Окончательно получаем лагранжиан в трехмерном
формализме, удобный для сопоставления с классической механикой:
г«» = p{v,v)v* = ^/,-1^, (1)
где v — -£ или v" =
dx" .
d(xafc)
о
V
С dx"
= с,
'
а
V
_ dx°
dt
= ад , а — 1,2,3
(ад™ — компоненты так называемого вектора трехмерной скорости w = (^f) в R3).
Если |ад| < с (нерелятивистский случай), то
i8-l>M*-lbf^.*{i-£ + o(*)).
(2)
Полагая /3 = -тс, мы приходим при |ад|/с ->0к лагранжиану свободной частицы в
классической механике с точностью до членов 0(w4/c4).
Энергия и импульс имеют вид для свободной частицы
дЬю а) mc2 mwa
E-w-~ LC3 = —■==, ра
dw
№ v^
dig
dwa
9"b-
метрика
(3)
Мин-
Полагая E/c = p0, мы получим 4-вектор р = (р"), где р" = даЬрь, д"
ковского. Непосредственно проверяется равенство, которому удовлетворяет 4-импульс
свободной частицы массы то:
3
р"рЬ9аЬ ={Р,Р) = (Р0)2 - Х^а)2 = m2(;2- (4)
а=1
Уравнение (4) задает массовую поверхность в линейном (кокасательном) пространстве
импульсов (р") с метрикой даЬ. Это — пространство Лобачевского (см. § 10), на
котором элемент объема имеет вид dcr = —£.
При использовании лагранжиана ь[в = a{v,v) мы из результатов §31 получаем:
ftl 1\\ 11\
формальная величина v-^- - LjB — Lcb = a{v, v) сохраняется вдоль экстремалей (в
силу уравнения Эйлера—Лагранжа). Поэтому {v,v) = const; тем самым параметр г
на кривой у(т) должен быть натуральным: dl = drconst. Пусть dr = — (собственное
dL0) л •
время). Определим 4-вектор энергии-импульса ра = -^-, где ■у" = -j-,r —
натуральный параметр, dr = —. Выбирая а = т/2, получим то же самое значение 4-импульса
(Ро,Ра) — Р, что и для лагранжиана LCJ (выше). Отсюда следует, в частности, что ра —
действительно 4-вектор при преобразованиях в К}. Величина {v,v) вдоль траекторий
постоянна; при dr = ~ имеем (г>, v) = с2. Величина v для параметра т = 1/с и
называется обычно инвариантной 4-скоростью (•и0), в отличие от 3-скорости w = (ад1, ад2, го3).

302 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Соответствие таково:
v
ад"
V'
с\, <»,!») = (»0)2 - Х>")2 = с2. (5)
Если в пространстве Щ имеется электромагнитное поле с вектор-потенциалом Аа(х),
то лагранжиан частицы во внешнем ноле имеет вид
L(l) = l£? + -aJ^-, т = -, (6)
с ат с
или
о\ п\ е dx х
La) = 4? + -4„— + elo, t = -. (7)
с at с
Таким образом, включение внешнего поля Аа(х) равносильно сдвигу 4-импульса
(см. §33)
е
Ра^Ра+-Аа(х). (8)
с
В гамильтоновом формализме гамильтониан свободной частицы имеет вид
3
Я = Е(р) — c\Jp2 + m?(P- = сро, где р2 — J2(Pa)2- При включении поля Аа = (Ао, Аа)
а=1
имеем
Е(р) -> Н(х,р) = С\Г%2{Ра + ~Аа) + m2c2 + еА°№
(9)
(см. § 33). Тензор напряженности имеет вид Fab = |^J- ^, где F0a = Btt (электрическое
поле) и .Faja = Яа;3 (магнитное поле). Действие самого поля имеет вид
S{A} = -^-J FabFabctx. (10)
При этом должны выполняться уравнения
1) d(F„(, dx Л dx ) - \ г- + dx Л dx A dx = 0
\ дхс дх° дх")
(первая пара уравнений Максвелла),
2) при отсутствии частиц мы имеем ^- = 0 (вторая пара уравнений Максвелла).
Если имеется набор частиц с зарядами eu...,eN, массами m.\,. ..,mx,
мировыми линиями Ji,..-,jn в К} и поле Л„(х), то полное действие системы частиц и
поля таково (два варианта):
N N г 1
S(I) = 5>y(t4,».-)dT+ ^у ejUAx)v°)dT-—jFabFabdAx; (11)
S(2) = -y,miC2 j xj\-^dt +
N

§ 39. Простейшие понятия обшей теории относительности
303
где 7i(T) — xf(r) — координаты i-й частицы, ад, и v, — скорости i-й частицы. Из вида
лагранжиана частицы во внешнем поле (11) следует, что параметр вдоль экстремали во
внешнем поле совпадает с натуральным параметром (или собственным временем):
dL(l) г(|) ЭЬ$ r(l) . . d
v— Lu' = v— L% = const -{v,v), —(v,v) = 0.
dv dv dr
2. Включение гравитационных сил в СТО по указанной схеме невозможно. Точнее:
чисто формально можно попытаться ввести «вектор-потенциал» гравитационных сил
Да, где заряды е, заменены массами то; («масса частицы есть ее гравитационный
заряд»); вектор-потенциал А%(х) естественно взять таким, что в специальной системе
координат в которой мы определяли экспериментально гравитационные силы, он
должен иметь вид А = (^,0,0,0), где ср — обычный гравитационный потенциал,
удовлетворяющий уравнению Даламбера вместо уравнения Лапласа. В этом случае
движение частицы во внешнем поле А можно получить из лагранжиана (11), где
А заменено на AG и е на т. Однако (на это указал еще Пуанкаре) для смещения
перигелия Меркурия получится неправильная поправка к закону Ньютона, численно не
совпадающая с наблюдаемой (хотя и имеющая правильный порядок величины). Таким
образом, следует искать другого пути для соединения гравитационного поля с теорией
относительности. Основная гипотеза общей теории относительности Эйнштейна (ОТО)
такова: гравитационное поле есть просто метрика даЬ сигнатуры ( + - - — ) в
четырехмерном пространстве-времени М4 с координатами (х°,х',х2,х3); при этом
метрика даь, вообще говоря, имеет ненулевую кривизну (величина кривизны и
характеризует степень нетривиальности гравитационного поля). Пробная частица во
внешнем гравитационном поле — это просто «свободная частица в пространстве с
метрикой даь», которая движется по времениподобной геодезической ^(т) = {ха(т)},
задаваемой лагранжианом (здесь m Ф 0)
it) . . ftX (IX
£св =m(v,v)=m — — даЬ. (13)
dr ат
Если m = 0, то частица движется по световой геодезической в метрике даь.
Собственное время вдоль линии 7(т) — это - = т, — = dr, \v\ = const.
Включение электромагнитного поля с вектор-потенциалом Аа(х) производится как
выше, только метрика Минковского заменяется метрикой даь'.
J Lm dr= f L™ dr + - f Aa(x) dx*
(14)
7(т) 7(т) 7(т)
Действие самого поля имеет вид
■т,аЬ
8АЬ дАа
Sma = -77r:JF»^"y/-9^x, Fab = ^-^, (15)
\6жс] " v * ' " dx" дхь '
где da - ^gd^x — элемент объема, g = det (даъ), Fab = дасдмРы — результат
поднятия индексов у тензора Fab в метрике даь- Уравнения Максвелла в метрике даЬ
таковы:
О^поля п .
——— = 0 (в отсутствие зарядов),
бАа
d(Fabdxa Л dx") = 0 (1-я пара), (16)
VbF0' = 0 (2-я пара).

304
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Не обсуждая пока уравнений для самого гравитационного поля даь, укахе л одно простое
следствие гипотезы Эйнштейна. Рассмотрим достаточно слабое гравитационное поле —
метрику даь (пока мы не уточняем термин «слабое») и «медленную» массивную частицу
в этом поле, движущуюся по геодезической
ха + Г££6жс = 0, а,Ь,с = 0,1,2, 3, (17)
где Г£с — символы Кристоффеля (коэффициенты связности, порожденной
метрикой даь, — см. §29). За время здесь взято собственное время вдоль геодезической —
натуральный параметр т = 1/с. Пусть t — х°/с, как и в СТО. Будем предполагать,
что «слабая» метрика даь представлена в виде формального ряда по 1/с, причем 1/с
считается малым параметром:
1
9*ъ - *2? + с-29% + *-*$ + ■ ■ - = *2? + О (£) (18)
(здесь предполагается, что #!& = 0, a g{J — метрика Минковского). Мы считаем
частицу медленной, т. е. ~ < с (величина - —■ имеет порядок О (£) по определению
«медленности»). Для собственного времени г или натурального параметра имеем
dl /1 dx" dxb i Xn\
dT = l = i*!ult°">dt (i = 7) (19)
или
dT = Jl+o(-^dt= [l + o(-)]di. (20)
Для символов Кристоффеля имеем (см. § 29)
„0 1 ad (d9bd , dgcd ддъЛ ,
Г*=29 {w + M-^)- (21)
Так как х° = ct и t — конечная величина, то в силу (18) производные вида -^jt в
формуле для Ft,, имеют порядок О (^) (метрика Минковского д$ постоянна).
Производные вида -^* имеют порядок О (Л) при а — 1,2,3, так как
величины х" считаются конечными. В уравнении (17) можно в силу (20) с той же точностью
заменить dr на dt; из слагаемых с символами Кристоффеля в этом уравнении
при а = 1,2,3 наибольший порядок будет иметь ГоЬж°ж° и ГооС2 + 0(^), так как
величины ха при а = 1,2,3 имеют порядок 0(1). Для 1¾ в силу (18) имеем
*=1Г (_£)♦„('),
Уравнение (17) приобретает вид
^-r„V+0(l), (23)
где ГоЬ = j ^. Для медленных частиц в слабом поле уравнение (23) должно совпадать
с уравнением Ньютона частицы в классическом гравитационном поле с потенциалом

§ 39. Простейшие понятия общей теории относительности
305
<р(х) с точностью до величин порядка 0('-). Поскольку с2Го0 = | j^c' + 0(-), то
коэффициент метрики gw должен иметь вид
500=1 + -^-+0(^), (24)
где ip — ньютоновский фавитационный потенциал. В этом случае уравнение (23)
приобретет вид уравнения Ньютона
dip /b
■о(-). (25)
Таким образом имеет место
Утверждение. Если справедлива гипотеза Эйнштейна, то коэффициент метрики дт
должен зависеть от гравитационного потенциала (в слабом поле) так:
ltp(X) ( l\
5оо=1 + -^-+0(^)
В частности, собственное время dr = — отличается от мирового времени dt;
для неподвижной частицы с мировой линией х" = const (а = 1,2,3) получим
/ fdxa\2 _
cdr = \jgmI— J d< = cv?oodi,
dr ^ «tt 1 +
с2 Л
(26)
Так как всегда <р :% 0, мы имеем следствие: в слабом гравитационном поле время
между двумя событиями уменьшается (для неподвижной частицы):
т < t, если ip < 0
(имеется в виду временной интервал между двумя событиями (х° = х°и х" = 0)
и (ж0 = х°> ж" =0) Вдоль мировой линии ж" = 0, а = 1,2,3).
3. Рассмотрим теперь гравитационное поле (даь), т.е. метрику сигнатуры
(Н ) в области четырехмерного пространства, где нет никаких других полей и
частиц. Мы примем гипотезу, что теория гравитационного поля должна быть, как
говорят, «общековариантной», т. е. уравнения самого гравитационного поля должны
иметь одинаковый вид во всех системах координат и выражаться через тензор кривизны
R"bcd метрики даь- Не входя в детальное обсуждение этого вопроса, укажем уравнение
Эйнштейна для гравитационного поля в пустоте через кривизну Риччи Rbc = R"bac:
Rab - 2%.* = 0 (27)
(или Я0б = 0, так как |iZ = j-RJI). Оператор Эйнштейна Я0б - jitya* обладает важным
свойством для любой метрики даь~.
V.(#-^Mj)=0 (28)
(следствие тождеств Бьянки — см. §30). Уравнение (27) на метрику даь обладает
следующими свойствами:

306 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
1) Это уравнение имеет второй порядок.
2) Для слабых полей, где дт = 1 + Щ^- +0(-^), это уравнение приводит к
уравнению Пуассона для потенциала >р:
Ед2ш(х)
—^4 = 0 (29)
(это будет показано ниже).
3. Это уравнение может быть записано как уравнение Эйлера—Лагранжа.
Действие и лагранжиан (указанный Гильбертом) имеют вид
S= I Ryfatfz, g = det (gab), R = Rl (30)
[ная производная ^¾ вычислялис
ss ~ \R^ ~ -jR9a.b)Sgab\/::gdAx,
i ss _ i (31)
Вариация SS и вариационная производная ^¾ вычислялись в § 37 и имеют вид
f=g dgf
-^-&*ъ- -Rgab-
Задача. Покажите, что операторы вида R^ - fRgat являются вариационными произвол
1
2
ными тогда и только тогда, когда f = \; в лагранжевом случае должно быть выполнено
тождество (28).
Замечание. Требованиям 1-3 удовлетворяют также уравнения вида
Д«4 - ^ЩаЬ = Affai- (32)
До настоящего времени нет оснований считать, что А Ф 0 (А называют «космологической
постоянной»; пока считается, что А = 0; по космологическим оценкам А < 10"56см-2).
Простейшим нетривиальным решением уравнения Пуассона Aip = 0 (вне
создающих поле масс) является стационарное сферически симметричное решение
const 1 v—, „ ,
V= , r2 = V(xff)2, (33)
г -^-'
o=l
причем константа может быть отождествлена с суммарной массой тела, создающего
поле <р (тело сферически симметрично),
М
tp=-G—, (34)
г
где G — 6,67- Ю- см3/гс — фавитационная постоянная Ньютона. Найдем аналог
ньютоновского потенциала -G у в ОТО. Рассмотрим сферически симметричную
о
метрику даь, не зависящую от времени t = —. Будем искать метрику в виде (пусть
с=1)
dl2 = c2dt2gm+gudr2 ~r2dQ2, (35)
где goo = е", gu = -еА, dti2 — d92 + sin2 в dip2 — элемент длины на единичной
сфере в сферических координатах (9,ip). При этом из стационарности и сферической
симметричности следует, что доо = 5м(г) и дп = 9\ЛГ)- Для коэффициентов Г"с,

§ 34. Простейшие понятия общей теории относительности 307
согласно формулам Кристоффеля (см. §29) (х° = ct, х' — г, х2 = в, xi = tp), имеем
у
_ За
От'
л Зол
pi А'
L11 — у.
Н „„-А
Г22 = -re ,
pO 1>
1 00 — 2 >
р0 и'
1 10 — fi
р! _ У 1/-Л
i 00 — 2 '
pi А
1 10 — 2>
Гз3 = - sin в cos 9,
г2 _ гз _ 1
1 12 — 1 13 - г>
ГЬ = -rsin2 ве~х.
Г1,1, = feA~"
r]3 = ctge,
Составляя уравнения Эйнштейна Rab = 0, окончательно получаем: А = 0, е х(~+-^) -
ji = 0, e~x(j - Jj) + р = 0. Имеем интеграл A + v = fit). Заменой t' = ip(t) можно
сделать функцию / нулевой. Решение имеет вид
а 1
5оо - 1 , Зп - ', —■; ,
г 1 - (а/г)
где а — некоторая константа.
Это — метрика Шварцшильда
dl2 - (1 - -) с2 dt2 — dr2 - г2 dQ2. (36)
V г/ 1 - (а/г)
При г —> оо метрика становится слабой, и мы имеем
9**9а+^$ + 0(^), (37)
где 2
<?£' = ■ (38)
г
Отсюда получаем: а = Щр.^ где м — масса тела, создающего поле, G и с — константы.
Величину а = ~д- для тела массы М называют гравитационным радиусом Шварцшильда
(для массы Земли а = 0,44 см, для массы Солнца а = 3 км). Если тело столь плотно,
что его размер порядка (или меньше чем) а, то из формулы (36) видно возникновение
некоторых особенностей при 1—► а. Более детально об этих особенностях будет сказано
далее, в § 30 тома II. Пока можно утверждать только, что формула (36) корректна в
области г > а.
Ранее мы указали, что коэффициент <?оо определяется потенциалом ip (с
точностью до О (^)). Этого было достаточно для сопоставления уравнения медленных
времениподобных геодезических с классическим уравнением Ньютона частицы в поле
<р (см. выше). Зная метрику поля полностью, мы можем изучить также поправки к
движению быстрых частиц при больших г, в частности безмассовых частиц. Уравнение
световых геодезических в метрике (36) имеет вид
d2xa „ dxa dxb
-ТТ + Гьс-Г1Г = ^ « = 0,1,2,3, (39)
dj)1 dj) ат)
гДе 9ab-jb -f- = 0- He решая уравнения, мы приведем здесь формулу для световой
геодезической в сферически симметричной метрике Шварцшильда (геодезическая
лежит в плоскости с координатами г, уз). Уравнение световой геодезической имеет вид
ip= I ; | ^ -, p = const. (40)
V7-M1-7)
При a —* 0 в качестве предела получаем прямую rcos<^ = р. При малых а можно
вычислить поправку к прямолинейности для светового луча, вытекающую из формулы
.для (р(т).

308
Глава б. Многомерные вариационные задачи
4. С точки зрения ОТО предполагается, что взаимодействие всех видов полей и
частиц (всех полей, кроме гравитационного!) с метрикой даь (гравитационным полем)
происходит через так называемый тензор энергии-импульса Таь следующим образом:
полное уравнение Эйнштейна имеет вид
Rab ~ -Rg„b = COnSt • Tab (41)
или
Ra - гЛ<Й = const • Г*. (42)
При этом константа предполагается универсальной. Для уточнения ее значения следует
рассмотреть слабую метрику вида (36) и тензор энергии-импульса пылевидного облака,
где давление равно нулю и скорости вещества равны нулю. Тензор Таь в этом случае
имеет вид
(рс2 0 0 о\
о о 1- <43>
где р — плотность массы. Мы знаем, что доо— 1 + -^ + 0(4), гДе Ч> — гравитационный
потенциал, и выполнено уравнение Пуассона
Aip = 4irGp. (44)
Заметим, что Г0° = рс2 и Г„ = рс2 для тензора (43). Нетривиальные по модулю О(^)
величины ГЦс, нужные для вычисления Rq, таковы (см. выше):
*-г£+0(7)-
Уравнение Эйнштейна имеет вид
дЦ- -R6q= const Г",
1 -
R% = const (То - - Та) = const ■ — . (45)
Для тензора энергии-импульса (43) имеем: До — -^ = const • Ц-. Требование, что
уравнение Эйнштейна (45) превращается в уравнение Пуассона (44), когда тензор
энергии-импульса имеет вид (43), позволяет сделать вывод:
1 8ir£
Даб--Я<?06 = —Г„6, (46)
предполагая размерную константу универсальной (const = -^-). Из соотношения (46)
следует тождество
VbTl = 0, (47)
заменяющее в ОТО законы сохранения.

§ 39. Простейшие понятия общей теории относительности
309
Укажем виды тензора энергии-импульса, которые у нас уже встречались и важны
в первую очередь.
1. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля (см. выше)
T* = ^(-FKF* + ^g*FedF") (с=1). (48)
2. Тензор энергии-импульса изотропной сплошной среды (гидродинамический тензор
энергии-импульса)
Таь = (р + е) иащ - рдаь, (49)
где р и £ — давление и плотность энергии среды в «сопутствующей» системе координат
(в данной точке), в которой среда покоится (или ио = 1, иа = 0, а = 1,2,3). Здесь
и = - — вектор 4-скорости среды (и, и) = иащдаЬ = 1. В указанной сопутствующей
системе отсчета Таь имеет вид
Tab = I р р J ■ (50)
Для замыкания уравнений Эйнштейна необходимо знать уравнение состояния —
связь между рис. Для пылевидного вещества р = 0, е = р&. Для так называемого
«ультрарелятивистского» уравнения состояния р = е/3 или ТЦ = 0.
Задача. Докажите, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет вид
1 \ SS
2 V=9Sg"'
S = --^ J Р<ЛРыд'сдиу/^д^х, g = det(&6).
Замечание. В изложении ОТО обычно определяют симметричный тензор энергии-импульса
вещества Tab следующим образом:
^материи _ 1 /—т ,<-п
где действие для полей материи предполагается заданным явно в виде функционала как
от полей материи, так и от метрики гравитационного поля.
Например, для лагранжианов скалярного и векторного полей (см. § 38) метрика
явно входит в виде скалярного произведения градиента в лагранжиан. Для спинорного
поля (см. §40) дело обстоит сложнее. Введение спиноров в ОТО обсуждается в §41.
Тензор энергии-импульса сплошной среды, указанный в этом парафафе, содержит
метрику очевидным образом. Полное действие фавитационного поля и материи имеет
вид
•^полное = / (лу-да X + Лматерии]- (52)
Например, если «материей» является электромагнитное поле Fab, то
Полное = J {Ry/^cfx + const FabFab y/^jjefx).
(53)
Полная система уравнений (Максвелла и Эйнштейна) имеет вид
= 0, %Р = 0. (54)
6Аа бд"

310
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Замечание. Многократно обсуждался вопрос о том, имеет ли точный смысл плотность энергии
самого гравитационного поля (и весь тензор энергии-импульса как обшековариантная
величина). Из сказанного выше, принимая определение (51) как единственное
общефизически верное, видим, что в этом отношении гравитационное поле отличается от
всех остальных физических типов полей материи, у которых геизор энергии-импульса
определяется по отношению к заданной метрике (конечно, считая верной основную
гипотезу Эйнштейна, что гравитационное поле есть метрика, следствия которой сейчас
уже успешно выдержали ряд экспериментальных проверок). Как итог всех обсуждений
представляется наиболее вероятным, что никакого общековариантного тензора
энергии-импульса, кроме правой части уравнения Эйнштейна, не существует. Имеется один
важный случай, когда имеет смысл понятие «глобальной гравитационной энергии» (не
плотности!): пусть рассматривается «локализованный» чисто гравитационный пакет на
фоне метрики Минковского. Из сопоставления с классической нерялитивистской
гравитацией следует, что компоненты метрики (точнее, их отклонение от метрики Минковского)
должны убывать достаточно регулярно со скоростью порядка г-1 по пространственным
направлениям при г —► со (не быстрее!). В этом случае определяется полная «масса
поля» через его асимптотику на пространственной бесконечности по рецепту,
соответствующему определению массы тела через асимптотику потенциала в классической
гравитации. Эта величина как функционал от трехмерной метрики и ее временных
производных оказывается гамильтонианом системы и поэтому может рассматриваться как
физическая энергия локализованного гравитационного пакета. Положительность этой
величины лишь недавно строго доказана геометрами и физиками. Эта «гравитационная
энергия» инвариантна относительно произвольных (внутри) замен координат, которые,
однако, для корректности и однозначности этого определения должны достаточно
быстро затухать на пространственной бесконечности. Уместно заметить, что в этом случае
локализованный «гравитационный пакет» рассматривается по определению как новый
объект на фоне метрики Минковского, и его энергия определяется согласно тем же
общефизическим рецептам, но уже по отношению к метрике Минковского. На сегодня
ни одного такого «локализованного» точного решения (без особенностей метрики, в
отсутствие других сортов материи) не известно, хотя их существование, по-видимому,
неэффективно можно извлечь из имеющихся в литературе математических теорем; такие
«локализованные нелинейные гравитационные волны» не наблюдались пока и вряд ли
скоро будут обнаружены; однако этот вопрос представляет собой большой формальный
интерес и интенсивно обсуждается в современной литературе. Еще один случай
представляет теория малых колебаний метрики около любого фона, которая рассматривается как
теория поля, энергия которого определяется по отношению к фоновой метрике (хотя при
построении такой теории необходимо быть осторожным и ввести соглашение о правиле
устранения координатного произвола).
Эти вопросы в рамках данной книги подробно не рассматриваются.
§40. Спинорное представление групп 50(3) и 0(3,1).
Уравнение Дирака и его свойства
1. Автоморфизмы алгебры матриц. Рассмотрим полную матричную алгебру
JVf(ra,Q в n-мерном пространстве С. Построение спинорного представления
указанных групп основано на следующем свойстве матричной алгебры.
Лемма 1. Любой автоморфизм ассоциативной алгебры М(п, С) является внутренним
(напомним, что автоморфизмом h : М(га, С) —» М(га, С) алгебры называется ее
изоморфизм на себя; внутренним автоморфизмом алгебры М(га, С) называется
автоморфизм вида h(x) = дхд~], где д — матрица из группы GL(n, С)).
Доказательство. Напомним, что элемент Р алгебры М(п,С) называется проектором,
если Р2 = Р. Проекторы Р, Q называются ортогональными, если PQ = QP = 0;

§40. Сшшориое представление групп SO(3) и 0(3, 1) 311
очевидно, образы ортогональных проекторов имеют нулевое пересечение.
Проектор Р называется одномерным, если Р(С) есть одномерное пространство.
Одномерными попарно ортогональными проекторами являются, в частности,
матрицы Р\,... ,Рп, определяемые формулой
,Рл*-/ 1- если k = l = i,
{п)1 ~ \ 0, если к ф г или I ф i. (1>
Имеем
P? = Pi, PiPj = Q при »?£ j, Р, + ... +Р„=:1. (2)
Рассмотрим теперь автоморфизм h: М(п,С) —> М(га,С) и положим Л(Р;) =
Р-. Так как, очевидно, ft(l) = 1, соотношения (2) превращаются под действием h
в соотношения
(Р/)2 = Р/, P/Pj = 0 при гфз, Р{ + ...+Р>я=1. (3)
Таким образом, Р/ — проекторы; эти проекторы нетривиальны и попарно
• ортогональны, и Р((С) + ... 4- ^С1) = С Поэтому все эти проекторы
одномерны. Положим Р/(С) = С* •
Обозначим через Uj, где 1 :% » ^ га, 1 < j :% га, элемент алгебры M(ra,Q, у
которого (tij)i = 1 при * = к, j = I и &j), = 0 для остальных значений к, I;
иначе говоря, *у(е;-) = е,- и *,-;■(ег) = 0 при г ф j, где е^ ..., е„ — стандартный
базис пространства С". Очевидно,
Ui = Pi, tijtrs = 0 при г ф s, tijtTi = trj. (4)
Полагая Щ1ф = ijj и применяя h к соотношениям (3), получаем соотношения
4 = Р/, Й/« = 0 при »,4«, ^4=4г (5)
Поскольку Psi|j = 0 при кф j, образ <у(С) одномерен и совпадает с Cj, более
того, t'ij изоморфно отображает С* на Cj.
Зафиксируем произвольный ненулевой вектор ej £ С, и положим е|- = ?и(е\).
Векторы е\,...,е'п отличны от нуля и лежат в Cj,..., CJ,; поэтому они составляют
базис пространства С. Определим преобразование д: С" —» С" формулой
5(е*) = е'{ (6)
и покажем, что для любого х £ М(га, С)
h(x) = gxg~*. (7)
Прежде всего заметим, что
<y(ej) - tijt'u(e\) = t\j(e'i) = еу,
t'ij(e'T) = tijt'TT(e'r) ~0 при гфг.
Из этого видно, что i'jj(er) =^5-1^) для любого г, т.е. что
HUj) = gtijg'1
при любых i,j. Но тогда h(x) — дхд~1 при любом х, поскольку любая матрица х
представляется как линейная комбинация матриц вида iy.
Лемма 1 доказана. ■
Далее нам будут важны некоторые специальные реализации матричных алгебр
JVf(2, С) и М(4,0 с помощью образующих специального вида — так называемых
матриц Паули и Дирака.

312 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
2. Сиинорное представление группы SO(3). Выберем в алгебре М{2, Q
следующую систему образующих:
Матрицы (Ту (j = 1,2,3) называются матрицами Паули (см. § 14); вместе с матрицей I
они дают аддитивный базис в алгебре M(2,Q как линейном (четырехмерном)
пространстве, поскольку они линейно независимы. Они связаны соотношениями:
1) ffqfft - ffiffq = liffk, где (q,l,k) — четная перестановка;
2) CTqffl + ffiffq = 2(5,(.
Мы записываем их так:
О К, <Т|] = 2»<7*,
2) i>?, ffi} - 26ql.
Соотношения 1) означают просто, что матрицы | <г,- реализуют представление
алгебры Ли группы 50(3) (или SU(2)). Отметим важное свойство соотношений 2).
Реализуем трехмерное евклидово пространство Ш?(х1,х2,х3) как пространство бесследных
2 х 2-матриц с евклидовым базисом <т,-,
(ж ,х ,х ) У-* х"(Та.
Пусть А £ 0(3) — ортогональное преобразование
A:R3-»R3, х"' = А^. (9)
Положим
o'q = Xaqcra. (10)
Оказывается, соотношения 2) сохраняются при ортогональных преобразованиях
вида (10)
Wq, 0|} = 2й,|.
Это очевидным образом выводится из определения ортогональности матрицы Л.
Для соотношений 1) имеем
№'a,<r'p\ = M<r7, \p<rs] = \1\р[<т7,<Тб] = 2i(\l\pel(o-t),
где
( 1, если (7, S,t)— четная перестановка,
elt = sl6t = < — 1, если (7, S, t) — нечетная перестановка,
( 0, если среди чисел -у, 5, t имеются совпадения.
Окончательно имеем
[v'aiVp] = 2ieap^ff'1, если А £ SO(3).
Таким образом, соотношения 1) также сохраняются при преобразованиях вида (10) для
ортогональной матрицы Л в ж с определителем +1. Соотношения 1) и 2) полностью
определяют матричную алгебру М(2, Q. Действительно, в силу этих соотношений все
произведения <г;(г,- выражаются линейно через 1,0^,05,03- Отсюда вытекает
Теорема 1. Преобразование (10) для А из 50(3) задает автоморфизм Л(А) : М(2, Q —>
М(2,С). Следовательно, по лемме 1 найдется преобразование g = g(h) : С2 —> С2
такое, что h(x) — gxg~l для любой матрицы х.

§40. Спинорное представление групп SO(3) н 0(3,1)
313
Определение 1. Сопоставление A >-* <7(Л) называется спинорпым представлением группы
SO(3) в группу GL(2,C).
Это представление многозначно: матрица д(А) определена с точностью до
ненулевого множителя Л £ С. Эту многозначность можно уменьшить, если потребовать,
чтобы g(A) € SL(2,Q. Тогда представление делается двузначным, и два значения д(\)
получаются одно из другого умножением на -1.
Задача. Показать, что образ последнего двузначного представления лежит в SU(2) и
что композиция этого двузначного представления с проекцией SU(2) -> 5t/(2)/(±l)
осуществляет изоморфизм (см. § 13, 14)
SO(3)->St/(2)/(±l).
Проверьте, что вращению на угол ip вокруг оси с направляющим вектором п =
(rij,n,, п2), п\ + nl + п\ = 1, соответствует преобразование
д{
п,<р) = exp|-i-{пхах + «„«г, 4- nzaz)\ .
3. Спинорное представление группы Лоренца. Перейдем к алгебре M(4,Q.
Выберем в этой алгебре образующие 1,7 , 7* > 7 > 7 > удовлетворяющие соотношениям
a b , b а ~ ab * /. «*
7 7 +7 7 =2^ ■ 1, (11)
где даЬ — метрика Минковского. Для этого достаточно положить
м\ -•.)• мх чу мл, »')■ мл,»!) <■»
(это — 4 х 4-матрицы, записанные как блочные 2 х 2-матрицы с 2 х 2-блоками).
Лемма 2. Все 4 х 4-матрицы 1,7а,7а7(' (а < ь)> 7*7*7' (а < Ь < с) и у5 = 7°7'7273
линейно независимы; алгебра над полем С с образующими 7°!7'i72i73 и
соотношениями (И) изоморфна матричной алгебре М(4,Q.
.Доказательство. Из соотношений (11) следует, что любое произведение элементов -у"
можно свести к линейным комбинациям элементов, указанных в лемме 2. Кроме
того, число этих элементов равно 16, как и размерность М(4, Q. Таким образом,
все утверждения леммы 2 будут доказаны, если проверить линейную
независимость указанных в лемме произведений для матриц 70i7'i72>73> заданных
формулами (12). Мы предлагаем читателю выписать все эти 16 матриц и
проверить непосредственно их линейную независимость (здесь сложных вычислений
нет). ■
Перейдем теперь к построению спинорного представления группы 0(3,1),
используя лемму 1. Рассмотрим пространство Минковского К* (ж0, ж1, ж2, ж3) и матрицу
А £ 0(3,1), Л = (XI). Определим матрицы
7"=Л»У. (13)
Из соотношений (11) и из того, что матрица А сохраняет метрику Минковского <?а*
следует, что матрицы 7'0 будут удовлетворять тем же соотношениям
,7 } = 2g 1.

314
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
В силу леммы 2 это показывает, что отображение h — h(A) : М(4, С) —» М(4, С),
действующее по формулам 1 >-> 1, т'нт". является автоморфизмом полной линейной
алгебры М(4,С). Поэтому существует такое д = д(А) 6 GL(4,Q, что /г.(ж) = gxg~l.
Сопоставление А >-» <?(Л) называется спинорным представлением группы 0(3,1) в фуппу
GL(4, Q. Это представление многозначно: матрицы <? и Ар, где А — отличное от нуля
комплексное число, соответствуют одному и тому же А £ 0(3, I). Переходя к группе
SL(4,С), получим двузначное представление
\^±g(A)£SL(4,Q-
Определение 2. Четырехмерное пространство С4, на котором действует спинорное
представление, называется пространством спиноров (4-компонентных). Элемент
этого пространства ф £ €7 называется спинором (пишется как столбец).
По построению (см. формулы (12)), пространство С4 разложено в сумму:
*=(£). pec2, хес2. (14)
Очевидно, ограничение спинорного представления группы 0(3,1) на подгруппу 50(3)
распадается в сумму двух изоморфных неприводимых (спинорных) представлений,
описанных выше.
Замечание. Выбирая базис 7° = 7°i 7° — ~*7"> получим соотношение
{7*,7>} = 2й"-1. (15)
С их помощью можно построить спинорное представление группы 50(4), аналогичное
спинорному представлению группы 0(3,1).
Задачи. 1. Для вращений из S0(3) С 0(3,1) на угол ip вокруг единичного вектора
п = («i, п2) пз) в К3 спинорное представление имеет вид
9(<Р, п) = ехр | -i- (п, Е, + п2Е2 + п3£3)} ,
2. Для гиперболического вращения на мнимый угол ip в плоскости (х°,п), где п —
трехмерный единичный вектор (элементарного преобразования Лоренца), спинорное
представление имеет вид
g(4>,n) = exp|--(n,a, + n2a2 + n3a3)\ ,
где ai = ( £ 0 ) ■
3. Докажите, что представление пространственного отражения Р(х°, i) = (z°, -х), где
х — трехмерный вектор, имеет вид
д(Р) = »/р7 i где г]Р = ±i или г}Р — ±1.
4. Покажите, что оператор отражения времени T(i°, ж) = (-ж0,!) представляется в виде
д(Т) = Wt V. где Ы = 1.

§40. Спинорное представление групп 50(3) и 0(3, 1) 315
В пространстве спиноров Ф ~ \\,} можно перейти к новому базису
v + x f <р-х
V = ^T> * = -7Г (,6)
Из формул, задающих спинорное представление (задачи 1— 3), следует, что
«полуспиноры» т) и £ преобразуются независимо при преобразованиях из собственной группы
Лоренца 50(3,1) С 0(3,1) и переходят друг в друга при пространственном отражении
(проверьте):
#):^(,^1), (17)
Р(х ,х) = (х ,-х).
Определение 3. Действия группы 50(3,1) на т] и £ называются полуспинорными
представлениями собственной группы Лоренца 50(3,1); обозначения: д+ для rj
и д- для £.
(Другое описание полуспинорного представления будет дано в п. 3 §41).
Эти представления (по отдельности) не продолжаются на всю группу Лоренца
0(3,1).
Заметим, что матрица 7° в базисе Ф = { I) имеет вид (проверьте!)
,ч: j)-
Спинорное представление группы 0(3,1) не является унитарным. Можно,
однако, построить индефинитное скалярное произведение, инвариантное относительно
спинорного представления: для этого достаточно положить {ф,ф) = Фгу°Ф. Здесь
Ф" — (ФиФ2>Фз>Ф1) — вектор-строка, комплексно сопряженный к столбцу ф.
Задача 5. Проверьте, что величина t/>*7V инвариантна относительно группы 0(3,1).
Определение 4. Спинор (строка) ф = Ф*у называется дираковски сопряженным с ф.
Заметим, что форма фф инвариантна относительно спинорного представления.
Задача 6. Докажите, что величина ф~/аф преобразуется как вектор (относительно
0(3,1)), величина $у"уь,ф — тензор 2-го ранга, ф-у'^^Ф — тензор 3-го ранга,
фу5ф = фу y't^V1 — тензор 4-го ранга (псевдоскаляр).
Задача 7. Докажите, что полуспинорные представления д+ и </_ группы 50(3,1) в
GL(2, Q не обладают никаким инвариантным (ненулевым) скалярным произведением.
Указание. Отсутствие инвариантов у полуспинорного представления вытекает из изо-
морфности одного из них стандартному представлению группы SL(2,C), а
другого — сопряженному представлению. Изоморфизм между алгебрами Ли
группы 5£(2, С) и группы Лоренца есть частный случай изоморфизма (24.72)
при п = 2, где алгебра Ли конформных преобразований сферы S2 реализуется
как алгебра Ли группы 50(3,1).
В базисе ф = I j. J форма (ф,ф) = фф имеет вид фф = ф*уйф — Cl + l't
(проверьте!).

316
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
4. Уравнение Дирака. Алгебра 7-матРиц с соотношениями (11) естественно
возникает из следующего вопроса: пусть задан оператор Клейна—Гордона П + га2.
Можно ли разложить его в произведение операторов 1-го порядка так:
-(D + m2) = (i/A+m)(yJL + (_m))? (19)
Задача. Докажите, что разложение (19) эквивалентно соотношениям
{/,7*} = 2/*-l, (20)
где G = длЬ-^ -~s (т.е. разложение (19) возможно, если в качестве коэффициентов взять
элементы алгебры 7-матриц).
Определение 5. Уравнение «
(i7^-mV=° (21)
на спинорное поле ф называется уравнением Дирака.
Задача. Проверьте, что сопряженное уравнение имеет вид
»5^7 +»»* = 0, (22)
где ф = 1р'уа.
Уравнение Дирака получается из действия
<?х, (23)
[\i ( Эф Эф \ ■
где ф и ф считаются независимыми. Тензор энергии-импульса и ток имеют вид
^=^(^5-1^)=^ (24)
Г=фуаф, а = 0,1,2,3. (25)
Величина J0 = фу°ф = ф*(у°)2ф = ф*ф есть плотность заряда. Заряд имеет вид
Q= [ ф*ф£х = IJ°d3x.
(26)
Очевидно, Q > 0. Напротив, плотность энергии Т00 не является положительно
определенной; это вызывает ряд трудностей, которые мы здесь обсуждать не будем.
Решения типа const • е1'*'1' имеют волновой вектор на массовой поверхности
{к,к) = т2 (й = с = 1). Их отождествляют с частицами, если fc° > 0 (т.е. импульс
лежит на верхней части массовой поверхности). Необходимость этого ограничения
вытекает из требования положительности энергии частицы.
В базисе (7), £) уравнения Дирака приобретут вид
д( (27)
г— = -{аг,р)£ + тг},
где р = i-fe (ft = с = 1). Мы видим, что при нулевой массе т = 0 это уравнение
распадается на два независимых уравнения (уравнения Вейля), описывающих частицы,
законы движения которых не инвариантны относительно пространственных отражений

§ 41. Ковариантное дифференцирование полей 317
(полуспинорное представление группы 50(3,1) не продолжается на пространственное
отражение) и которые имеют нулевую массу (полуспинорное представление не обладает
инвариантным скалярным произведением, которое в лагранжиане могло бы дать члены
■ типа массы).
5. Уравнение Дирака в электромагнитном поле. Оператор зарядового сопряжения.
Включение внешнего электромагнитного поля производится по стандартному правилу
Ра ~' Pa + еАа (h — с - 1). Поэтому мы должны сделать обычную замену в лагранжиане
и уравнениях
д д
где е — заряд (ft = с = 1). Уравнения Дирака во внешнем поле принимают вид
д (28)
ф[(7а)Т(-^а- + геАа(х))-т]=0,
где 7° — 7°iTa - _*7а (СР- замечание в п. 3) и Т обозначает транспонирование.
<Г1у'С = -(??■ (29)
Рассмотрим матрицу С — 727°- 0|1а обладает следующим свойством (проверьте):
C-'fC = _(
Из формулы (29) и уравнения Дирака вытекает
Теорема 2. Если поля ф(х), ф(х) удовлетворяют уравнениям Дирака (28) с зарядом е в
поле Аа(х), то поля фс(х) = С$(х) и ^с(х) = С~1ф(х) удовлетворяют уравнениям
(28) в том же поле Аа(х), но с заменой е —♦ — е.
Преобразование ф —> фс называют преобразованием зарядового сопряжения, так
как оно меняет знак заряда у частицы, описываемой полем ф. Отсюда вытекает важное
следствие: спинорное представление и уравнение Дирака описывает сразу два сорта
частиц: частицы с зарядом е и частицы с зарядом -е. Одно и то же решение ф(х)
уравнений Дирака (28) определяет волновую функцию электрона ф(х) и волновую
функцию позитрона фс(х).
Задача. Проверьте, что: а) оператор зарядового сопряжения коммутирует с собственной
группой Лоренца; б) этот оператор коммутирует с пространственным отражением
g{P) = ripj0, если i\p = ±i (и не коммутирует, если i\r — ±1); в) этот оператор f —< fc
коммутирует с временным отражением, если tfr = ± 1 (см. задачи 3, 4 из п. 3).
§41. Ковариантное дифференцирование полей с
произвольной симметрией
1. Калибровочные преобразования. Калибровочно инвариантные лагранжианы.
Начнем с важного примера. Рассмотрим комплексное скалярное поле ф и лагранжиан
вида
l=l(**I?'If)' (1)
где черта обозначает комплексное сопряжение, фиф считаются формально
независимыми (см. § 38).

318
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Пусть лагранжиан L инвариантен относительно группы зарядовых
преобразований вида
■ф -* e'*Vi Ф —* е~11рф (<р = const); (2)
Например, такой инвариантностью обладает рассмотренный в § 38 лагранжиан вида
, к2 аЦ Н дФ 2 2т. ...
L = h9 д*д*-ПСП- (4)
Исходя из принципа локальности, потребуем инвариантности лагранжиана
относительно более общих преобразований вида (2), а именно, допустим, что <р зависит от х.
Это означает, что группа (2) действует в каждой точке независимо.
Оказывается, можно получить лагранжиан, инвариантный относительно таких
преобразований
ф - e'^V, Ф - е-"*^, (5)
при помощи следующей процедуры:
1) вводим новое ковекторное поле Аа, которое при преобразованиях (5)
преобразуется с помощью градиентных преобразований
Аа-^Аа-^ (Л = с=1); (6)
2) вводим новый лагранжиан L, полагая
где
дф
Уаф=~ + кАаф\ (8)
выражение (7) является скаляром, поскольку Уаф есть ковектор; _
3) полный лагранжиан инвариантной теории должен иметь вид Ь(ф, ф,Х?ф,Чф) +
L\ (j4, y~) , где член L\ градиентно инвариантен. Вид члена L\ будет обсуждаться в
§42.
Теорема 1. Лагранжиан (7) инвариантен относительно (локальных) преобразований
(5), (6).
Локазательство. Вычислим, как преобразуется «ковариантная производная». Имеем
VaV - 5r(efc**ty) + ie [au - fe) i> = e""*» [|£ + ie4aV<] = e^V^.
Поэтому при преобразованиях (5), (6) новый лагранжиан не изменится:
He^e-^e^Vait, e~it*V~^) = Цф,ф, V^, V~0)
в силу инвариантности исходного лагранжиана. Теорема доказана. ■
Рассмотрим теперь общий случай, когда ф(х) = (ф1(х),..., фя(х)) есть поле
в пространстве R" со значениями в (вещественном) векторном пространстве. Пусть

§ 41. Ковариантное дифференцирование полей 319
задан лагранжиан L (ф, 0 J , инвариантный относительно некоторой группы G матриц
порядка N:
Ковариантная производная поля ф(х) задается формулой
дф
^аф=— + Аа(х)ф, (Ю)
где Аа(х) (а = \,...,п) — набор матричнозначных функций в пространстве R" со
значениями в алгебре Ли группы G. Требуется, чтобы величины Аа(х) при заменах по
х образовывали ковектор:
ду3
Аа(х) = Ар(у)—, у = у(х). (11)
Теорема 2. При преобразованиях вида
ф(х)->д(х)ф(х), (12)
Аа(х) - д(х)Аа(х)д~' (х) - ^- д~\х) (13)
ковариантная производная преобразуется по закону
Чаф->д(х)Чаф. (14)
Лагранжиан L [ф, -^ Аа) = Ь(ф, Vаф) при указанных преобразованиях инвариан-
тен.
Аоказательство. Из формул (10), (12), (13) имеем
Vaf{x) ~* дх^^(х) Ф)+ [gAa3'] ~ ^&£Г 3'1}Зф = 9(х) [|?+АаФ\ = 9{Х) Уаф-
Равенство (14) доказано. Заметим теперь, что ковариантная производная вектор-
функции ф образует ковектор:
ду3
V„V(z) = Vpfiy) ^, У = У(*),
так же, как и градиент -^. Поэтому из равенства (14) и условия
инвариантности (9) вытекает инвариантность нового лагранжиана:
Ь(дф,д\>аф) = Цф,Чаф).
Утверждение доказано. Ш
Введенное поле Аа называют калибровочным (или компенсирующим) полем (или
связностью), а преобразования вида (13) — калибровочными преобразованиями. Эти
преобразования образуют калибровочную группу.
Требование инвариантности лагранжиана относительно группы локальных
преобразований вида (12) определяет лагранжиан взаимодействия поля ф с калибровочным
полем, но не определяет лагранжиана самого калибровочного поля. Мы вернемся к
этому вопросу в § 42.

320
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Замечание. Частным случаем векторнозначных полей являются поля, принимающие значения
в алгебре Ли g группы G. Пусть В(х) — такое поле. Калибровочное поле (связность)
Аа определяет ковариантную производную поля В(х) по формуле
дВ г ,
где [4,,,-В] = АаВ - ВАа — коммутатор в алгебре Ли.
Задачи. 1. Проверьте, что при калибровочных преобразованиях вида
B{x)-*g(x)B(x)g-'(x),
_. 9g(x) ,
Aa(x)->g{x)Aa{x)g {х) - -—-g
oxr
ковариантная производная VaB преобразуется по закону
VaB->g{x)(VaB)g-\x).
2. Проверьте, что бесконечно малые калибровочные преобразования могут быть
представлены в виде
ф(х)^ф(х) + В(х)^х) + о(В),
А„(х) -» А„(х) + ЧцВ(х) + о(В),
где В(х) — поле, принимающее значение в алгебре Ли.
2. Форма кривизны. Вычислим коммутатор двух ковариантных производных:
[V,, V,] ф = V,V^ - V„V„V- =JL(Jt + A„i^ +А„(^ + A,*) -
-°-(°± + Л.*\-Л.(°*. + Л.*\ = (
'dku дА
Введем обозначение
'■.-£-& + iv«- <■«>
Вывод. Коммутатор операторов V,,, V„ есть оператор умножения на матрицу F^.
Теорема 3. При калибровочных преобразованиях (13) величины F^ преобразуются
следующим образом:
F^-^gF^g-1. (17)
Величины Fpv образуют антисимметричный тензор 1-го ранга (со значениями в
алгебре Ли д) и при заменах координат преобразуются по закону
F^) = Fap(y)^^, у = у(х). (18)
для F,
Доказательство состоит в прямой подстановке формул (13) в выражение (16)

реформа П = 52 Fpfdt? Л dx" со значениями в алгебре Ли g группы G называется
формой кривизны СВЯЗНОСТИ Ац.

§ 41. Ковариантное дифференцирование полей J21
Связность Ар называется тривиальной, если существует така» функция дь(х) со
значениями, а группе G, что
ддо(х) _,
М*) = —^гЗо (*)• (19)
Теорема 4. Форма кривизны тривиальной связности равна нулю.
Доказательства. Применяя к полю Ат калибровочное преобразование An —* А„ —
§Ay,(fl - gjrs~'r д, = Зо '. получим А№ = 0. Согласно предыдущему утверждению
форма кривизны F^ перейдет в формул 1Р^до, которая есть нуль. Утверждение
доказано. щ
Задача. I. Докажите обратное утверждение: если форма кривизны связности есть
тождественный нуль, то связность тривиальна (локально).
2. Определим ковариантный дифференциал формы П, полагая
Ш = S <V*-**» + V"F^ + v/»-f-a) fcX' Л Ае* Л <far". (20)
\<р<1/
Докажите, что если ft — форма кривизны некоторой связности, то справедливо тождество
Бьянки: Dfl = 0.
3. Основные примеры, a) G = U(l) = 50(2). Мы уже знаем (см. §38), что
введение электромагнитного поля Ар, взаимодействующего со скалярным комплексным
полем ф, эквивалентно замене в лагранжиане всех производных J^ на ковариантные
производные Vaf = J^ + 1еАаф. Именно с обсуждения этого примера мы и начали
этот параграф. Здесь группа G — одномерная коммутативная группа G = 1/(1) = {е"*"}.
Ее алгебра Ли также одномерна и коммутативна (т.е. имеет тождественно нулевой
коммутатор) и состоит из чисто мнимых чисел. Связность — это вектор-потенциал
самого электромагнитного поля ieA^x). Форма кривизны этой связности — это тензор
напряженности электромагнитного поля F^ = |jf - gj£ (члена с коммутаторами здесь
нет). Тождество Бьянки — это условие замкнутости формы П = ^^, dx11 Л dx" =
d^dx?). <•<"
Другие примеры связаны с некоммутативными калибровочными группами.
б) Линейная связность. G = GL(n,Щ. Координаты х\...,х" в некоторой
области U задают базис др,---,д^г в пространстве векторов. Поэтому касательные
векторные поля в области U можно рассматривать как векторнозначные функции
£ = (£'>•••>О (со значениями в R"). Замена координат х" —> х" = х"'(х) в области U
определяет локальное преобразование вида
^-^ = 1^=0(^- (2D
Здесь матрица д(х) = (||И обратима, т.е. лежите группе GL(n,U). Обратная матрица
имеет вид д~* = {Ш?)■ Алгебра Ли группы GL(n,Ш.) образована всеми матрицами
п-го порядка. Поэтому коэффициенты связности А^х) сами являются матрицами
I 1 Зик. 8IW8

322 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
тг-го порядка. Обозначим их матричные элементы через (A^fx = П^. Ковариантная
производная вектор-функции (т. е. касательного вектора) £ имеет вид
(V"°" = £г + Г^ " V^ = £ + ^ (22)
Калибровочное преобразование коэффициентов связности Г^, задаваемое
преобразованием координат, где д{х) = (|^-), дает
Эх"' „ 0хА &с"' 9 /Эх'
Гл" ~*Гл> ~ дх" Га" а** + 9х" д& \ Эх* ) ■ (23)
Поскольку ^(х) есть ковектор, то А^ = Jv-^/" те-
„. _ (hf_ дэ/_ „ дх^ cfc/ д2х"
Ау ~ to/ 02^1^ Эх* + ~дх" дху dxf''
Мы получили выведенный в §28 закон преобразования для символов Кристоффеля.
Отметим, что матричнозначная форма кривизны этой связности имеет вид
(■Р/иЛл = Я Л./И/, (25)
где fi*A,/w — тензор кривизны (см. § 30).
Пусть в области U задана риманова метрика дар{х). Построим (локально)
нормированный базис попарно ортогональных касательных векторов е^... ,е„:
(еа,ер) =Sap.
Ковариантные производные вида Ve<te^ = 5^Г/з07е7 для симметричной связности,
согласованной с метрикой дар, бьши вычислены в §30. В этом случае калибровочные
преобразования дают
где £ = £"е„ — касательное векторное поле, д(х) — ортогональная п х п-матрица
при каждом х. Связность имеет вид (Аа)р1 = Г^ат, где при каждом а матрица Г^
антисимметрична по индексам /3 и у и поэтому лежит в алгебре Ли ортогональной
группы. Форма кривизны (^)ха = Rxx^v также принимает значение в алгебре Ли
кососимметрических матриц:
-"'ХА,/И' — ~~ -"-Ах,/!!/
(см. § 30). Для псевдоримановой метрики все аналогично.
Для случая метрики на двумерной поверхности форма кривизны имеет вид
U = K^gdxl Arfx2, (26)
где К — гауссова кривизна поверхности.
в) Картановская связность. G — аффинная группа (линейные преобразования и
трансляции). Пусть задана любая линейная связность V^" на касательных векторах.
Определим «картановскую связность» формулой
V^' = V.f + C (27)

§ 41. Ковариантное дифференцирование полей
323
Залача. 1) Покажите, что связность V,, инвариантна относительно локальных аффинных
преобразований вида
£ -» 3« + У> (28)
где д = (Цг-) — матрица замены координат х = х'(х), ау = (у'(х),.. .,уп(х)) — любой
вектор.
2) Покажите, что форма кривизны этой связности (со значениями в алгебре Ли аффинной
группы — см. §§4, 24) имеет вид
(R"
Здесь Itx.iiv — тензор кривизны связности, ГД, — тензор кручения.
г) Ковариантное дифференцирование спиноров и /метрика. Пусть М4 —
пространственно-временной континуум с метрикой дар (типа (1, 3)). Связность,
согласованная с этой метрикой, порождает ковариантное дифференцирование спиноров. Мы
разберем подробно случай полуспинорного представления (см. §40). Явная реализация
этого представления такова. Представим произвольную эрмитову 2 х 2-матрицу U,
—т
U - U, в виде
и=\ „' ,,,2 „0 „3 )=и<Га, U =U, 30)
\ и — 111 и — и J
где а0 — \\ j ), сг,, сг2, сг3 — матрицы Паули (см. §40); матрицы а0,...,а^
образуют базис в (вещественном) пространстве эрмитовых матриц. Тогда определитель
матрицы U имеет вид
dettf = (и0)2 - («')2 - (и2)2 - («У-
Этот определитель сохраняется при преобразованиях вида U i-» gUgr, где
матрица д лежит в группе SL(2,С). Таким образом, преобразование U i-> gUgr можно
рассматривать как сохраняющее метрику преобразование пространства Минковско-
го (с координатами и ,и',и2,и3), т.е. как элемент группы SO(3,1). Мы получаем
соответствие (гомоморфизм) SL(2,Q —> SO(3,1), при котором матрицы д и -д
переходят в одну. Обратное отображение SO(3,1) —► SL(2,Q двузначно — это и есть
полуспинорное представление.
Элементы пространства С2, в котором действует группа SL(2,Q,
называем (двухкомпонентными) спинорами; поля со значениями в этом пространстве —
спинорными полями. При действии группы SL(2, С) они преобразуются по закону
«х)-»д(*)«х), g(x)£SL(2,Q. (31)
Определено также сопряженное представление £ —► <j£.
Ковариантная производная спинорного поля по определению имеет вид
*°^~В;+М' (32)
где Аа — комплексная бесследная 2 х 2-матрица (из алгебры Ли группы SL(2,Q).
Мы требуем, чтобы сопряженные спиноры дифференцировались по правилу
^ = ^ + ¾. (33)

324
Глава 6. Многомерные вариационные задачи
Тем самым определена ковариантная производная от эрмитовых матриц
(правило Лейбница). Эрмитовы матрицы U отождествляются с касательными векторами и"
посредством равенства U = и"аа, где (и") — компоненты касательного вектора в
«тетраде» векторов еа,е\,ег,ег, е„ = -е, = -е\ = -е\ = 1, и векторы еа попарно
ортогональны. При таком отождествлении локальные преобразования спиноров вида (31)
соответствуют локальным лоренцевым преобразованиям из группы SO(3,1).
Наложим требование, чтобы ковариантная производная Va{7, определенная по спинорной
связности (32), (33), совпадала с выражением <JpVavP, где V„i/ — ковариантная
производная вектора vr относительно симметричной связности, согласованной с
метрикой д^:
VaU = <7PVaup, U = vPap (34)
(компоненты этой связности в тетраде были вычислены в §30).
Задача. Доказать, что условиями (32)-(34) ковариантная производная спннорных полей
определяется однозначно, причем справедлива формула
(суммирование по индексу /3 с учетом знака, т.е. слагаемое, отвечающее /3 = 0, берется
с плюсом, остальные — с минусом).
Полное спинорное представление группы SO(3,1) разлагается в прямую сумму
представления SL(2,C) и комплексно сопряженного. Таким образом, равенства (32)-
(34) позволяют ковариантно дифференцировать также четырехкомпонентные спиноры.
Задача. Вывести вид уравнения Дирака в присутствии метрики.
Замечание. Каждому спинору £ = (40,?1) соответствует эрмитова матрица U = (£™f).
Отвечающий ей вектор u* = cL^'iP изотропен, поскольку матрица U вырождена (имеет
нулевой детерминант).
Задача. Выберем базис £ = (£°,£'), »7 = OAV) в пространстве спиноров С2 такой, что
С0*?' -i'yf — 1- Показать, что с этим базисом канонически связан репер в пространстве
Минковского (тетрада), в котором метрика принимает вид
(Sft) =
0
I
0
0
I
0
0
0
0
0
I
0
0
0
0
1
§ 42. Примеры калибровочно инвариантных
функционалов. Уравнения Максвелла и
Янга—Миллса. Функционалы с тождественно
нулевой вариационной производной
(характеристические классы)
Лагранжиан L — ЦАц, #ф) калибровочного поля должен обладать следующими
свойствами:
1) ЦА,,, fj£) — скаляр,
2) Ь(Ац, -цф) не меняется при калибровочных преобразованиях.

§42. Калибровочно инвариантные функционалы 325
Простейший такой лагранжиан имеет вид
где
дА„ дАи
^= ft? "ft?+ 1^^
Здесь д^и = д^(х) — произвольная метрика в рассматриваемой области: через (,)
обозначена форма Киллинга для алгебры Ли группы G (мы считаем, что она не
вырождена).
Построенный лагранжиан является скаляром, поскольку он образован
посредством алгебраических операций над тензорами. Проверим его калибровочную
инвариантность. При калибровочных преобразованиях (41.13) форма кривизны F^
перейдет в gF^g'1. Ввиду ивариантности формы Киллинга (см. §24) будем иметь
igF^g'^gF^g'1) = (i^,, FXx);
отсюда получаем калибровочную инвариантность лагранжиана (1). Пусть метрика д^
евклидова или псевдоевклидова: д^ — Epfipv, е^ = ±1. Выведем уравнения Эйлера—
Лагранжа для экстремалей функционала
S[All\ = J~{Flu„FIUf)te,x (2)
(по дважды повторяющимся индексам ц, v суммирование с учетом знаков е„,бц — ±1).
Теорема 1. Для экстремалей функицонала (2) имеем уравнения
V^" = 0. (3)
где VpFf, = ^- + [A^F^] (см. §41).
Аоказательство. Для малой локальной вариации 6Ац будем иметь
6S = -jf{Flll/,6Flll,)dnx,
где SFfu, — -^ SA„ - ■£? 5Ац + [бА^, А„] + [А^, 6А„]. Интегрируя в выражении
для 6S по частям:
и используя инвариантность формы Киллинга:
(FpyASA^A,]) = -(1-^,, А,\,бА>),
получим

326 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
После преобразования индексов получим
6S = /(¾1 + [A^F^M^dTx = J {V.F^eA^dTx,
причем 6S равняется нулю на экстремалях при произвольной вариации 8А„.
Поэтому для экстремалей функционала (2) получаем уравнение V^F^ = 0.
Утверждение доказано. ■
Замечание. Сами уравнения V^F^, = 0 и тождество Бьянки VAJ?)1V + V^Fv\ + V,^ = 0 могут
быть написаны и без гипотезы невырожденности метрики Киллинга. Однако они не
будут иметь (во всяком случае простого) лагранжева вида.
Задача. Для связности Картана аффинной группы эти уравнения после подстановки
связи между метрикой и кривизной примут вид уравнений Эйнштейна (извлечение из
современных работ)
Rab ~ J R9at = 0. (4)
Пример. В абелевом случае (G = U(\) — электромагнитное поле) получаем лагранжиан вида
L~ 4\^-ы) ~ 4*"' (5)
т. е. стандартный лагранжиан электромагнитного поля (см. § 38). Уравнения (3) совпадают
здесь с уравнениями Максвелла
£-*
Замечание. Калибровочное поле Af для группы G - SU(2) называется часто полем Янга—
Миллса.
Задача. Вывести уравнения экстремалей |f = 0 для лагранжиана
b = -7^V'{^,^),
\_
где метрика д^х) произвольна и фиксирована (внешнее поле).
Действие вида
S[A\= flTF^ctz
в четырехмерном пространстве обладает дополнительной симметрией — относительно
группы всех конформных преобразований в К* (или в R^) (см. описание этой группы
в §15). Дифференциал любого конформного преобразования сводится к дилатации
и вращению (см. § 15), поэтому достаточно проверить конформную инвариантность
только относительно дилатации х -* Ах. При таких преобразованиях будем иметь
Fpw —> A-2i^,„ (Fpy — тензор), <Г~х -* А4 <Гх,
где <Гх — элемент объема. Отсюда, очевидно, имеем
IxF^ctx-^lxF^ctx.
Вывод. Лагранжиан (2) и уравнения Максвелла—Янга—Миллса (3) в пространстве
Минковского конформно инвариантны, т. е. имеют группу симметрии 0(4,2)
(см. § 15).

§ 42. Калибровочно инвариантные функционалы 327
Важную роль играют также калибровочно инвариантные дифференциальные
формы со скалярными значениями, зависящие от А^. Например, форма (степени 2)
с, = Тг П = ^ Tr F^ dx" Л dx" (7)
ft<v
калибровочно инвариантна:
Тт(дПд~1) = ТгП.
Здесь Тг обозначает след матрицы. Форма с\ - ТгП (локально) является точной
(полным дифференциалом): ТгП = <2(Тг А), где А = Ар dx!1. Действительно,
p.<v Ч '
поскольку след коммутатора матриц равен нулю.
При локальной вариации связности А/, —* А/, + 6А,, форма ТгП переходит в
форму ТгП + Тг<5П, где Тг<5П = dTr6A — точная форма. Поэтому функционал
|[Л„] = J'
)\\Ар\ = I ТгП
R2
(для двумерного пространства) имеет тождественно нулевую вариационную
производную
¢5,1^1 = Jd(Tr6A) = 0 (8)
R2
в силу локальности вариации.
Опрелелеиие 1. Замкнутые калибровочно инвариантные формы ш такие, что функци-
оналы J ш имеют тождественно нулевую вариационную производную, -fj~ = О,
будем называть (дифференциально геометрическими) характеристическими
классами.
Другие характеристические классы строятся так:
с, = Тг(Пл... ЛП) = ТгП', »^1, (9)
с; — это калибровочно инвариантная форма ранга 2»; коэффициенты формы П в (9)
перемножаются как матрицы.
Задача, а) Докажите, что формы с< замкнуты при :^ 1.
б) Докажите, что функционал
SilA,]= [а
R2'
(для пространства размерности 2i) имеет тождественно нулевую вариационную
производную:
SStJA] _ 0

328 Глава 6. Многомерные вариационные задачи
в) Докажите это также для функционала вида
/ ас[ Л с, + /Зс2, / ас, + /Зс| Л сг + -ус^
R4 R6
и т.д. для любых многочленов от с*.
Для группы G = SO(2n) нетривиальными являются лишь р; = сц\ С\ — сз =
С5 = ... =0. Кроме того, имеется еще один характеристический класс
Хп = e'"-i2-f2,!i2 Л аА Л ... Л П^.ь,, (10)
где e"',J« — знак перестановки [,'",•"), О;, — матричные элементы формы
кривизны Q = 5Z -^" dx1* Л dx".
fi<v
Пример 1. При п= 1 получим для xi выражение (см. предыдущий параграф)
X, = £'''2П,„у-= 2KJgdxx Л dx2. (11)
Как известно (см. § 37), функционал вида
S[gij\= / K^/gdx Kdx1- j -RJgdxx hdx1 (12)
R2 R2
имеет тождественно нулевую вариационную производную по метрике (см. § 37).
Пример 2. При я = 2 имеем х2 и с2. Для римановой метрики
Х2 = £*'"RiJia,RHpr dx* Л dx" Л dxp Л dx°,
с2 = Rij„vR% dx" Л dx" Л dx' Л dx".
Задача. Докажите, что все формы Хп замкнуты и являются характеристическими
классами.
Общий характеристический класс для G = SO(2n) имеет вид многочлена от
Хп,С2,С4,..., С2„_2.
Задача. Покажите, что для G = 50(4) функционалы
/*2' /С2' /*2' 1Х2СЬ I'1
R8 R8
имеют тождественно нулевую вариационную производную, т.е. все формы х2, сг, Хъ
X2ci,Cj являются характеристическими классами.

Список литературы
I. Книги учебного типа по геометрии и топологии
1. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967.
2. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: Гостехиздат, 1956.
3. Погорелое А. В. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука, 1974.
4. Погорелое А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. — М.: Наука, 1969.
5. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — М; Л.:
Гостехиздат, 1948.
6. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука, 1971.
7. Норден А. П. Теория поверхностей. — М.: Гостехиздат, 1956.
8. Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. — М: Гостехиздат, 1952.
9. Зейферт Т., Трельфамь В. Топология. — М.; Л.: ГОНТИ, 1938.
10. Зейферт Т., Трельфамь В. Вариационное исчисление в целом. — М: ИЛ, 1947.
11. Милнор Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965.
12. Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М.: Мир, 1971.
13. Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. —
М.: Наука, 1985,
14. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1984.
15. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.
16. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. — М.: ИЛ, 1960.
17. Номидзу К. Группа Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960.
18. Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. — М.: ИЛ, 1961.
19. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир, 1967.
20. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971.
21. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. — М.:
Мир, 1964.
22. Стинрод Н. Топология косых произведений. — М.: ИЛ, 1953.
23. Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1971.
24. Новиков С. П., Мищенко А. С, Соловьев Ю. П., Фоменко А. Т. Задачи по геометрии. —
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.
25. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981.
26. Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.:
Наука, 1977.
27. Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949.
28. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы
теории гомологии. — М.: Наука, 1984.
II. Книги по дифференциальным уравнениям
и классической механике
29. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1969.
30. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
31. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: Наука, 1978.

330
Список литературы
32. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.
33. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. — М.: ИЛ, 1958.
34. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Наука, 1973.
35. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого
тела около неподвижной точки. — М.: Гостехиздат, 1954.
III. Дополнительная литература
36. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1969.
37. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.:
Наука, 1984.
38. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1973.
39. Мизнер Ч., Торн К., УилерДж. Гравитация. — М.: Мир, 1977.
40. Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1983, 1984.
41. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. — М.: Гостехиздат, 1954.
42. Пайерлс Р. Квантовая теория твердых тел. — М.: ИЛ, 1956.
43. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир,
1977.
44. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. — М.: Наука, 1967.
45. Славное А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. —
М.: Наука, 1978.
46. Делоне Б. Н., Александров А. Д., Падуров Н. Н. Математические основы структурного
анализа кристаллов. — Л.; М.: ОНТИ, 1934.
47. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975.
48. Теория солитонов / Под ред. С. П. Новикова. — М.: Наука, 1979.
49. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем в
астрофизике и газовой динамике. — М.: Наука, 1980.
50. Нелинейные волны. — М.: Наука, 1979, с. 60-72.

Предметный указатель
Алгебра Ли, 164
Аффинная группа, 31
Вариационная производная, 239,276
Вектор, 21
— времениподобный, 48
— изотропный (световой), 49
— пространственноподобный, 49
— скорости кривой, 17,20
— энергии-импульса, 244
Векторное поле левоинвариантное, 172
линейное, 170
— произведение, 43
Вектор-потенциал электромагнитного
поля, 254
Включение электромагнитного
поля, 254,317
Внешний дифференциал формы, 181
Внешняя алгебра, 130
Вторая квадратичная форма
поверхности, 67
Гамильтониан, 250
Гамильтонова система, 257
Гармонический радиус-вектор, 292
Гауссово отображение, 193
Геодезическая, 218
— медленная, 245
Гессиан, 66
Гиперповерхность, 58
Гиперэллиптическая кривая, 88
Гипотеза Эйнштейна, 245
Главная нормаль, 44
Главные кривизны, 69, 71
— направления, 68
Гравитационный радиус, 307
Градиент кососимметрического
тензора, 179
Градиентная система, 256
Граница области, 13
Группа, 28
— Галилея, 38
— движений, 29
— калибровочная, 319
— Пуанкаре, 50
— симметрии кристалла, 142
— трансляций кристалла, 140
— унитарная, 81
Движение, 29
— собственное, 32
Действие, 236
— для гравитационного поля, 285
— — электромагнитного поля, 282
Дивергенция, 180,183
Дираковское сопряжение, 315
Диффеоморфизм, 158
Дифференциал отображения, 158
Дифференциальная форма, 126
Длина кривой, 17
Длина кривой, 24
Закон Гука, 122
Зеркальное вращение, 35
Изотропный (световой) конус, 48
Импульс, 238
Инварианты электромагнитного поля, 151
Инверсия, 108
Интеграл векторного поля, 162
— от кососимметрического тензора, 189
функции по поверхности, 190
— по антикоммутирующим
переменным, 130
Интегралы Лапласа—Рунге—Ленца, 261
Интегральная кривая, 159
Картановская связность, 322
Касательный вектор кривой, 17
Квадратичная форма (на векторах), 23
Кватернионы, 103
Ковариантно постоянное векторное
поле, 216
Ковариантное дифференцирование, 212
Ковектор, 22
Коммутатор векторных полей, 162
Комплексно аналитическая замена
координат, 85
функция, 85
Координаты декартовы, //
— евклидовы, 16,26
— изотермические, 90
— конформные, 89
— полярные, 15
— псевдоевклидовы, 26
— псевдосферические, 27
— сферические, 16
— цилиндрические, 15
Кососимметрический линейный
оператор, 134
Кривизна гауссова, 66, 69
— кривой, 40,43
ориентированная, 40
— риманова, 225

332
Предметный указатель
— скалярная, 229
— средняя, 66, 69
Кручение кривой, 45
Лагранжиан, 238
— невырожденный, 250
— поля векторного комплексного, 299
скалярного действительного, 299
комплексного, 298
— сильно невырожденный, 250
Линейный оператор, 117
Локальные координаты на поверхности, 58
Матрица Якоби замены координат, 14
Матрицы Паули, 104,311
Метрика евклидова, 25
— Киллинга, 173
— кэлерова, 205
— Лобачевского, 77
— — в модели Клейна, 78
Пуанкаре, 77
— на поверхности, 60
— псевдоевклидова, 26
— псевдориманова, 26
— риманова, 24
— сферы, 74
— Шварцшильда, 307
— эрмитова, 204
Минимальная поверхность, 290
Мировая линия точечной частицы, 12
Момент импульса, 249
Натуральное уравнение кривой, 45
Натуральный параметр, 20
Невырожденные точки кривой, 44
Неособая поверхность, 56,58
— точка поверхности, 57,58
системы координат, 14
— с границей, 12
Овеществление, 13
Ограничение тензора, 157
Однопараметрическая подгруппа, 103
Оператор Якоби, 272
— *, 135
Опускание индексов, 132
Параллельный перенос вектора, 217
Первая квадратичная форма
поверхности, 60
Перестановка индексов, 123
Площадь области на поверхности, 63
Поверхность лагранжева, 266
коническая, 269
Поднятие индексов, 132
Поле гравитационное, 245
— — слабое, 245
— калибровочное, 319
— электромагнитное, 151
— Янга—Миллса, 326
Поливектор, 130
Полный поток тензорного поля через
поверхность, 192
Полуспинорное представление, 315
Преобразование калибровочное, 319
— каноническое, 263
— конформное, 33,107
— Лежандра, 250
— Лоренца, 50
собственное, 52
— области, 28
комплексного пространства, 87
— ортохронное, 51
— симплектическое, 264
— унитарное, 81
Примитивная ячейка решетки, 137
Принцип Мопертюи, 255
— наименьшего действия, 239
релятивистский, 243
— Ферма, 256
Производная Ли, 161
Производящая функция канонического
преобразования, 265
Пространственная группа решетки, 140
Пространственно-временной интервал, 27
— континуум, 12
Пространство евклидово, 16
— Минковского, 26
— п-мерное декартово пространство, //
Пространство-время плоское, 285
Пфаффиан, 257
Радиус кривизны, 40,43
Размерность пространства, 12
Решетка Браве, 138
— кристалла, 136
Риманова поверхность, 88
Ротор, 180
Свертка, 124
Связность дифференциально-
геометрическая, 212
— симметрическая, 214
— согласованная с метрикой, 219
Сила, 238
Символы Кристоффеля, 212
Симметрический линейный оператор, 134
Скалярное произведение, 17,24, 118
вектора и ковектора, 125
евклидово, 17
— — ковекторов, 118
эрмитово, 80
Скобка Пуассона, 258
Скользящее отражение, 32
След линейного оператора, 124
Собственное время, 50
Собственные значения квадратичной
формы, 134

Предметный указатель
Сопряженные точки, 213
Сохраняющийся ток, 298
Спинорное представление группы
вращений, 313
Лоренца, 313
Стереографическая проекция, 14, 77
Тензор, 118
— деформации, 121
— кручения, 213
— малой деформации, 122
— момента импульса, 280
— напряжений, 121
Тензор Римана, 225
— Риччи, 229
— энергии-импульса, 277
сплошной среды, 309
электромагнитного поля, 155,284
Тензорное умножение, 124
Тетрадный формализм, 226
Тождество Бьянки, 235
— Якоби, 164
Точечная группа решетки, 141
Углы Эйлера, 99
Угол между линиями, 18,24
Уравнение Вейля, 316
— Гамильтона—Якоби, 266
укороченное, 268
— Дирака, 316
— Клейна—Гордона, 298
— Лиувилля, 95
— Эйлера—Лагранжа, 239
— sin-gordon, 232
Уравнения Гамильтона, 250
— Коши—Римана, 85
— Максвелла, 184
— Петерсона—Кодацци, 234
— Эйнштейна, 285
Фазовое пространство, 250,257
Форма голоморфная, 204
— кривизны, 193,320
— типа (р, q), 129
Формула вычетов, 197
— Стокса, 194
— Эйлера, 70
Формулы Кристоффеля, 219
— Френе, 41,45
Фронт волны, 269
Функционал Дирихле, 293
Характеристический класс, 527
Циклическая координата, 240
Циркуляция векторного поля, 192
Экспонента векторного поля, 160
— от матрицы, 101
Экстремаль, 238
Электромагнитные волны, 151
Элемент объема, 129
Энергия, 238
Якобиан, 14
— комплексный, 85
Якобиево поле, 273
7-матрицы, 313
4-вектор тока, 282