ГЛ. Сарданашвили
ГЕОМЕТРИЯ И КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Современные методы теории поля. Т. 2
М.: УРСС, 1998. — 168 с.
Содержание
Введение 3
Предварительные сведения 8
Расслоения (9). Векторные расслоения A0). Аффинные расслоения
A1). Касательные и кокасательные расслоения A1). Касательные и
кокасательные расслоения к расслоениям A2). Векторные поля A3).
Векторные поля на расслоении A4). Мультивекторные поля A6). (S-
N)-cko6kh A6). Внешние формы A6). Внешние формы на
расслоении A7). Производная Ли A8). Тангенциально-значные
формы A8). Распределения A9). Слоения B0). Касательные и
кокасательные расслоения к группам Ли B0). Главное реперное
расслоение B2). Многообразия струй B3). Канонические
горизонтальные расщепления B5). Многообразия струй второго
порядка B5). Полная производная B6). Многообразия струй
высшего порядка B6). Дифференциальные операторы и уравнения
B7). Связности B7). Кривизна связности B8). Линейные связности
B8). Аффинные связности B9). Плоские связности B9).
Композиционные расслоения C0). Пучки C2).
Глава 1. Симплектическая механика 34
§1. Структура Якоби 34
§2. Контактная структура 35
§ 3. Структура Пуассона 36
§4. Симплектическая структура 39
§5. Симплектические гамильтоновы системы 44
§6. Пресимплектические гамильтоновы системы 46
§7. Дираковские системы со связями 48
§8. Гамильтоновы системы с симметриями 54
§9. Обобщенные скобки Пуассона 56
§10. Мультисимплектическая структура 58
Глава 2. Лагранжева механика 61
§ 1. Расслоения над R 61
§2. Уравнения движения 64
§3. Динамические связности 66
§4. Системы отсчета 72
§5. Лагранжевы системы 75
§6. Ньютоновы системы 82
§7. Лагранжевы законы сохранения 86
Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика 90
§ 1. Каноническая структура Пуассона 90
§2. Гамильтоновы связности и гамильтоновы формы 92

§3. Канонические преобразования
§4. Уравнение эволюции
§5. Вырожденные системы
§6. Квадратичные вырожденные системы
§7. Гамильтоновы законы сохранения
§8. Неконсервативные системы с симметриями
§9. Системы с зависящими от времени параметрами
§10. Единый лагранжево-гамильтонов формализм
Глава 4. БРСТ механика
§1. Системы с флуктуациями
§2. Интуитивная БРСТ механика
§3. Механика на градуированных многообразиях
Глава 5. Релятивистская механика
Библиография
Предметный указатель
99
103
103
114
118
120
124
130
133
133
139
143
148
157
161
Предметный
А
автоморфизм расслоений, 10
алгебра Грассмана, 144
— Ли левая, 20
правая, 20
аннулятор распределения, 19
анти-БРСТ преобразования, 141
антидухи, 139
ассоциированное расслоение, 121
атлас локально постоянных
тривиализаций, 29
— расслоения, 9
аффинная связность, 29
аффинное расслоение, 11
Б
база расслоения, 9
БРСТ преобразования, 141
В
вариационная последовательность, 84
вариационные производные, 77
вариационный оператор, 85
векторное поле, 13
левоинвариантное, 20
Лиувилля, 15
локальное, 14
интегрируемое, 14
неособое, 13
указатель
правоинвариантное, 20
проектируемое, 15
Риба, 36
— расслоение, 10 векторные
суперполя, 146
вертикальное векторное поле, 15
— касательное расслоение, 12
— кокасательное расслоение, 13
вертикальный касательный морфизм,
12
— ковариантный дифференциал, 31
— лифт векторного поля, 15
— эндоморфизм, 63
взаимно инерциальные системы
отсчета, 74, 123
вложенное подмногообразие, 20
внешнее произведение, 10
— расслоение, 145
внешняя алгебра, 16, 144
— форма, 16
вполне интегрируемая гамильтонова
система, 45
Г
гамильтон-дираковская система, 49
гамильтониан, 45, 94
— релятивистский, 155
гамильтонова система, 45

— форма ассоциированная с
лагранжианом, 104
, БРСТ расширение, 141
, вертикальное расширение, 135
ограниченная, 112
гамильтоново векторное поле, 38
относительно
пресимплектической формы, 46
симплектической формы,
42
— отображение, 94
генератор локальной 1 -
параметрической группы
диффеоморфизмов, 14 генераторы
представления, 21
гессиан, 77
гиперболоид скоростей, 153
главное расслоение, 120
голономное сечение, 24
голономные автоморфизмы, 23
— координаты, 11
голономный атлас, 11
— корепер, 11
— репер, 11
горизонтальная плотность, 17
— форма, 17
горизонтальное векторное поле, 63
— распределение,29
— слоение, 29
горизонтальный внешний
дифференциал, 85
— лифт векторного поля, 28
градуированная коммутативная
алгебра, 144
банахова, 144
— оболочка, 145
градуированное векторное
пространство, 144
— дифференцирование, 146
— многообразие, 145
градуированной коммутативности
условие, 144
градуированный модуль, 145
д
движение, 65
динамическое векторное поле, 65
дираковская система, 51
полная, 53
дифференциальное уравнение, 27
дифференциальный идеал, 19
— оператор, 27
дуальная связность, 28
дуальное векторное расслоение, 10
духи, 139
3
закон движения, 65
— Ньютона второй, 75
первый, 75
— сохранения, 87
нетеровский, 87
И
изоморфизм расслоений, 10
изотропное подмногообразие, 43
импульсное отображение, 54
эквивариантное, 55
инволютивное распределение, 19
индуцированная форма, 17
индуцированное расслоение, 10
инерциальное преобразование, 123
инерциальные преобразования, 74
интеграл движения в неавтономной
механике, 87
нетеровский, 87
— Пуанкаре—Картана, 94
интегралы движения в инволюции,
45
интегральная кривая, 14
интегральное многообразие
максимальное, 19
максимальной размерности, 19
распределения, 19
— сечение, 28
интегрируемая гамильтон-
дираковская
система, 50
интегрируемые распределения, 19
К
калибровочные преобразования, 121

— условия, 117
каноническая 3-форма, 92
, БРСТ расширение, 142
, вертикальное расширение, 134
, струйное расширение, 130
— симплектическая форма, 41
— тангенциально-значная форма, 18
— форма Лиувилля, 41
на реперном расслоении, 23
канонические когомологии, 58
— координатные преобразования,
100
— координаты,39, 100
— преобразования активные, 100
пассивные, 100
канонический автоморфизм, 100
— лифт векторного поля, 15
каноническое горизонтальное
расщепление, 25
касательное расслоение, 11
касательный морфизм, 11
ковариантный дифференциал, 28
когомологии группы, 56
кограница на группе, 55
кодифференциальный оператор, 57
коизотропное подмногообразие, 43
кокасательное расслоение, 11
композиционное расслоение, 30
контактная форма, 24, 35
контактное многообразие, 35
конфигурационное пространство, 5
вертикальное, 133
релятивистской механики, 152
координаты Дарбу, 36
—, сопутствующие системе отсчета,
73
коприсоединенное представление, 21
косимплектическая структура, 40
коцикл на группе, 55
—, отвечающий действию группы, 56
кривизна связности, 28
кручение динамической связности,
69
Л
лагранжева связность, 79
лагранжево подмногообразие, 43
лагранжиан, 76
— вертикальное расширение, 137
— вполне регулярный, 111
— гиперрегулярный, 78
— квадратичный, 114
— полурегулярный, 107
— регулярный (невырожденный), 77
линейная производная, 11
— связность, 28
локальная 1-параметрическая группа
локальных диффеоморфизмов, 14
локально гамильтоново векторное
поле, 42
М
Маурера—Картана уравнение, 22
метрика Минковского, 153
многогамильтонова система, 110
многообразие струй, 23
второго порядка, 26
высшего порядка, 26
повторное, 25
подмногообразий, 148
полуголономное, 25
мономорфизм расслоений, 10
мультивекторное поле, 16
мультисимплектическая форма, 59
мультискобка, 59
Н
нетеровский ток, 87
ньютонова система, 84
О
обратная задача, 84
общие ковариантные
преобразования, 23
ограничение внешней формы на
подмногообразие, 17
однородный элемент, 144
оператор Гамильтона, 97
— типа Эйлера—Лагранжа, 84
— Эйлера—Лагранжа, 77
— Эйлера—Лагранжа—Картана, 80
осциллятор Берри, 130

относительная скорость, 72
относительное ядро симплектической
формы, 42
отображение гамильтоново, 94
— Гельмгольца—Сонина, 85
— Лежандра, 77
— Пуанкаре—Картана, 81
— Эйлера—Лагранжа, 85
П
первый интеграл движения, 45
плоская связность, 29
плотность энергии, 87
поднятие внешней формы, 17
— функции, 17
подрасслоение, 10
поле параметров, 124
— Якоби, 136
полисимплектическая форма, 60
полная производная, 24, 26
— связность, 64
— система отсчета, 73
полное векторное поле, 14
— семейство гамильтоновых форм,
ПО
послойные координаты, 9
послойный морфизм, 9
правило Лейбница, 37
предпучок, 32
— канонический, 33
пресвязность, 150
пресимплектическая гамильтонова
система, 46
внешняя, 47
внутренняя, 47
— форма, 40
принцип относительности Галилея,
74
припаивающая форма, 28
присоединенное представление, 21
проекция, 9
произведение расслоений, 10
производная Ли, 18
производящая функция, 102
пространство связей, 48
вторичных, 52
лагранжевых, 104
первичных, 48
финальных, 53
— событий в нерелятивистской
механике, 5
вертикальное, 133
прямое произведение структур
Пуассона, 38
пуассонов морфизм, 37
пуассоново бивекторное поле, 35
— многообразие, 37 пучок, 32
— постоянный, 33
— ростков непрерывных функций, 33
Р
ранг 2-формы в точке, 39
распределение, 19
расслоение, 9
— Лежандра, 60
однородное, 59
— параметров, 124
— реперное, 22
решение дифференциального
уравнения, 27
росток многообразия, 43
С
свертка, 17
— векторных расслоений, 10
связи, 48
— вторичные, 49
— второго рода, 52
— первичные, 51
— первого рода, 52
— третичные, 49
— финальные, 53
связность, 27
— Берри, 130
— гамильтонова, 97
— динамическая, 67
симметричная, 68
— композиционная, 31
— локально гамильтонова, 92
сечение, 9
— локальное, 9

сила, 75
— инерции, 75
— физическая, 75
симплектическая гамильтонова
система, 45
— форма, 40
Rn -значная, 60
релятивистская, 154
симплектическое действие группы,
54
— многообразие, 40
— подмногообразие, 43
— слоение, 38
симплектоморфизм, 40
система лагранжева, 75
— отсчета в нерелятивистской
механике, 72
инерциальная абсолютная, 75
сопутствующая, 74
— связей полная, 49
скобки Schouten—Nijenhuis, 16
— Ли векторных полей, 13
— Пуассона, 37
— Якоби, 34
скорость нерелятивистская, 151
— релятивистская, 153
слабое тождество, 86
слоение, 20
— поверхностей уровня, 20
— сингулярное, 20
сопряженное пространство алгебры
Ли, 21
стандартная 1-форма, 5
стандартное векторное поле, 5
стебель пучка, 32
струйное продолжение векторного
поля, 24
морфизма, 24
сечения, 24
структура Пуассона, 37
невырожденная, 37
нулевая, 37
регулярная, 37
— Якоби, 34
структурная группа, 120
струя сечений, 23
сужение расслоения, 10
сумма Уитни векторных расслоений,
10
супермногообразие, 145
суперпространство векторное, 145
суперформа, 147
суперфункция, 146
Т
тензор масс, 83
тензорное произведение векторных
расслоений, 10
типичный слой, 9
тождество Якоби, 34
ток, 86
У
уравнение геодезических, 71
— движения, 65
— динамическое, 65
— свободного движения, 66
— эволюции, 45, 103
уравнения Гамильтона, 45, 97
ограниченные, 112
— Гамильтона—де Дондера, 81
— движения первого порядка, 98
— Картана, 80
— равновесия, 101
— Эйлера—Лагранжа, 77
Ф
фазовое пространство вертикальное,
133
нерелятивистской
неавтономной механики, 5
релятивистской механики, 154
форма гамильтонова, 94
локально, 93
— де Дондера, 81
— левоинвариантная, 21
каноническая, 22
— правоинвариантная, 21
каноническая, 22
— Пуанкаре—Картана, 76
— тангенциально-значная, 18

функции перехода, 9 функция 38
Гамильтона, 94 — слоение, 38
— Казимира, 37 Ч
— Лагранжа, 76 четный сектор, 144
X Я
характеристическое распределение, ядро внешней формы, 39

Введение
Настоящая книга является своего рода приложением общего геометрического аппарата
классической теории поля к теоретической механике. Приходится констатировать, что
в конце XX века мы все еще не имеем строгих математических основ неавтономной
и релятивистской механик, в отличие от симплектической механики консервативных
систем. Такие основные понятия механики, как сила, система отсчета, энергия и др.
нуждаются в математической формализации.
Мы ограничимся здесь случаем механических систем первого порядка, описывае-
описываемых уравнениями движения второго порядка по координатам и уравнениями движения
первого порядка по координатам и импульсам.
Как известно, гамильтонова механика консервативных систем, когда гамильтони-
гамильтонианы не зависят явно от времени, адекватно формулируется в терминах симплектичес-
ких многообразий [1, 12, 46, 71]. Стандартным примером служит механическая систе-
система, пространством событий которой является многообразие М, а фазовым простран-
пространством — кокасательное расслоение Т*М к М. Последнее наделено канонической сим-
симплектической формой
записанной в голономных координатах (y',Pi = yt) на Т*М. Гамильтониан системы с%?
представляет собой вещественную функцию на Т*М, а траекториями движения явля-
являются интегральные кривые гамильтонова векторного поля
¦в = ¦did1 + #{д(
на Т*М, которые удовлетворяют уравнениям Гамильтона
¦д j П - -d?f, (B.2)
Такая формулировка, однако, не допускает прямой экстраполяции на неавтономную
и релятивистскую механики, поскольку симплектическая форма (В.1) не инвариантна
относительно зависящих от времени преобразований, включая переходы между взаимно
инерциальными системами отсчета. Поэтому для описания неконсервативных систем
обычно используют лагранжев формализм. Однако лагранжев и гамильтонов формализ-
формализмы в общем случае неэквивалентны как с физической, так и с математической точек
зрения.
Например, в классической механике наблюдаемыми величинами являются скоро-
скорости, а не импульсы, тогда как в квантовой механике наоборот — именно импульсы, а
не скорости. В гамильтоновой механике нет понятия силы.
В математическом аспекте лагранжева и гамильтонова формулировки механики эк-
эквивалентны только для гиперрегулярных лагранжианов, когда преобразование Лежандра
от скоростей к импульсам является диффеоморфизмом конфигурационного и фазового

4 Введение
пространств. В случае вырожденного лагранжиана необходимо рассмотреть, как прави-
правило, семейство гамильтонианов и уравнений Гамильтона, чтобы воспроизвести решения
уравнений Лагранжа.
В качестве пространства событий в неавтономной механике обычно выбирается про-
произведение
Y = Е х М, (В.З)
где М — некоторое многообразие, а вещественной прямой Е придается смысл оси
времени. Такому пространству событий соответствует конфигурационное пространство
Е х ТМ (В.4)
и фазовое пространство
Е х Т*М, (В.5)
где ТМ и Т*М обозначают соответственно касательное и кокасательное расслоения к
многообразию М [17, 24, 30, 44, 53].
Замечание В.1. Отметим различия в терминологии, встречающиеся в литературе.
Часто конфигурационным пространством называют именно пространство координат
механической системы Y. о
С физической точки зрения выбор прямого произведения (В.З) в качестве простран-
пространства событий означает фиксацию абсолютной инерциальной системы отсчета. При этом
фазовое пространство (В.5) наделяется пресимплектической формой
pr2 il = dptA dy\ (B.6)
индуцированной на нем канонической симплектической формой О (В. 1) на Т*М [22].
Зависящий от времени гамильтониан ЭС представляется вещественной функцией на
ШхТ*М, а траекториями движения являются интегральные кривые временезависимого
гамильтонова векторного поля
¦д:Жх Т*М -> ТТ*М,
удовлетворяющего уравнениям Гамильтона типа (В.2).
Проблема заключается в том, что расщепления (В.З)—(В.5) нарушаются при време-
независимых преобразованиях, а форма (В.6) на фазовом пространстве неавтономной
механики не является канонической и тоже не сохраняется при таких преобразованиях.
Наш подход состоит в том, чтобы описать неавтономную механику как частный
случай классической теории поля на расслоениях над 1-мерной базой Е [17, 23, 33, 64,
65]. Это и послужило поводом включить книгу по механике в серию "Современные
методы теории поля".
Геометрический аппарат классической теории поля хорошо разработан. Ему посвя-
посвящен первый том настоящей серии [8] (см. также [17, 33, 65]). Этот аппарат основан
на представлении классических полей сечениями расслоенных многообразий Y —* X.
Конфигурационным пространством полей в таком подходе является конечномерное
многообразие струй JlY сечений s : X с-> Y. На нем строится лагранжев формализм
классической теории поля. Его гамильтоновым партнером является полисимплектиче-
ский гамильтонов формализм на расслоении Лежандра

Введение 5
когда канонические импульсы соответствуют производным полевых функций по всем
пространственно-временным координатам.
Частный случай X = Ж геометрической теории поля приводит нас к формулировке
неавтономной механики на расслоенном многообразии
я-: Y -> Е (В.7)
с координатами (t, у1), которое имеет смысл пространства событий в нерелятивистской
механике.
Замечание В.2. В нерелятивистской механике база К — ось абсолютного времени,
параметризуемая координатой t с функциями перехода t' = t + const. При такой пара-
параметризации Е наделяется стандартным векторным полем dt и стандартной 1-формой dt.
Последняя является также элементом объема на К. ?
Конфигурационным пространством нерелятивистской неавтономной механики в та-
таком подходе служит многообразие струй JlY сечений расслоения (В.7), параметризуе-
параметризуемое координатами (t, у*, у\). Имеет место каноническое вложение
А : JlY <-> TY, (B.8)
этого конфигурационного пространства в касательное расслоение TY к Y. Мы будем
отождествлять JlY с его образом в TY. Это существенно упрощает многие конструк-
конструкции, а также ведет к важным физическим следствиям. В частности, именно вложение
(В.8) позволяет трактовать многообразие струй JXY как конфигурационное простран-
пространство.
Фазовым пространством нерелятивистской неавтономной механики является рас-
расслоение Лежандра П = V*Y — вертикальное кокасательное расслоение к пространству
событий У-»Кс голономными координатами (t, y',pi — yi). Оно наделено канониче-
канонической 3-формой
ft = dpi A dy{ A dt, (B.9)
которая представляет собой частный случай для X = Е канонической полисимплек-
тической формы [8, 33]. Она инвариантна относительно произвольных автоморфизмов
расслоенного многообразия У-»1и индуцированных ими голономных преобразова-
преобразований фазового пространства V*Y.
В неавтономной гамильтоновой механике каноническая 3-форма il играет ту же
роль, что каноническая симплектическая форма (В.1) в симплектической механике.
Форма (В.9) задает каноническую структуру Пуассона на фазовом пространстве неав-
неавтономной механики и приводит к ее гамильтоновой формулировке в терминах гамильто-
новых связностей и гамильтоновых форм. Эта формулировка согласуется с лагранжевым
формализмом неавтономной механики и эквивалентна ему в случае гиперрегулярных
лагранжианов.
Одна из главных особенностей гамильтоновой неавтономной механики, в сравнении
с механикой консервативных систем, состоит в том, что гамильтониан как геометриче-
геометрический объект на фазовом пространстве неавтономной механики не является функцией.
К нему не применима операция скобок Пуассона. Поэтому, в частности, уравнение
эволюции в неавтономной механике не сводится к скобкам Пуассона, а интегралы дви-
движения не могут быть определены как функции на фазовом пространстве, находящиеся

6 Введение
в инволюции с гамильтонианом. По этой же причине в неавтономной механике не
применима и известная процедура описания систем со связями, использующая скобки
Пуассона гамильтониана с уравнениями связи.
В книге уделяется особое внимание вырожденным лагранжевым системам и гамиль-
тоновым системам со связями. Однако мы ограничиваемся рассмотрением лагранже-
вых связей, когда пространством первичных связей является образ конфигурационного
пространства в фазовом пространстве при переходе от скоростей к импульсам. Именно
такие связи возникают в моделях с вырожденными лагранжианами. Специфика этих
моделей состоит в том, что такому лагранжиану, как правило, соответствует не один,
как в регулярном случае, а некоторое семейство гамильтонианов. Таким образом, это
своего рода многогамильтоновы системы.
В дальнейшем ради простоты мы будем предполагать, что пространство событий
Y —> Е является расслоением с типичным слоем М. Тогда оно тривиально. При этом
разные тривиализации
Г = 1хМ (В.10)
отличаются друг от друга проекциями Y —> М, тогда как проекция Y —* Е в нере-
нерелятивистской механике всегда остается одной и той же. При заданной тривиализации
пространства событий (В.10), имеют место соответствующие тривиализации конфигу-
конфигурационного и фазового пространств
JlY ^ Е х ТМ,
V*Y = R х Т*М.
С физической точки зрения, тривиализация пространства событий (В.10) определен-
определенным образом отделяет время от других параметров механической системы и описывает
некоторую систему отсчету в нерелятивистской механике. Таким образом, следуя гео-
геометрическим методам теории поля и в отличие от принятого до сих пор подхода, мы
формулируем механику в произвольной системе отсчета, не предполагая существования
абсолютного пространства и абсолютной инерциальной системы отсчета. Мы покажем,
что всякая тривиализация пространства событий (В.10) отвечает некоторой полной связ-
связности
Г : Y -» j'r С TY
на расслоении Y —* Ж, которая, благодаря каноническому вложению (В.8), задает поле
скоростей
Г = д{ + Т(дг
"наблюдателя" на пространстве событий Y. В результате развиваемая в рамках геоме-
геометрического подхода формулировка механики оказывается ковариантной относительно
преобразований систем отсчета. Это важно для анализа различных явлений, связанных
с системам!^ отсчета — сил инерции, закона сохранения энергии и др. По аналогии с
калибровочной теорией поля, можно говорить о своего рода калибровочной механике.
Несмотря на общность описания в терминах расслоений, имеет место принципи-
принципиальное отличие механики от теории поля, которое состоит в том, что, поскольку база
расслоения F->1 одномерна, кривизна связностей на нем всегда тождественно рав-
равна 0, и эти связности, в отличие от калибровочных потенциалов в теории поля, не
являются динамическими объектами. Для них нельзя построить, говоря языком тео-
теории поля, калибровочно инвариантный лагранжиан. Поэтому лагранжианы в механике
не инвариантны, а только ковариантны относительно временезависимых преобразова-
преобразований, если даже это преобразования между взаимно инерциальными системами отсчета.

Введение 7
Кстати, именно это обстоятельство позволяет сформулировать понятие взаимно инер-
циальных систем отсчета, которое не является абсолютным, а зависит от механической
системы и ее лагранжиана.
Отметим, что связности играют ключевую роль в формулировке неавтономной ме-
механики. Связности на Y —> Ш описывают, как уже отмечалось, системы отсчета. Всякая
голономная связность на расслоении JlY —* Е задает уравнение движения второго по-
порядка; ему отвечает динамическая связность на расслоении струй JlY —> Y. Интеграль-
Интегральные кривые гамильтоновых связностей на расслоении Лежандра V*Y —> Ш являются
траекториями движения механической системы в фазовом пространстве.
В отличие от нерелятивистского случая, в релятивистской механике не предпола-
предполагается какой-либо выделенной проекции пространства событий Z на ось времени Е.
Допускаются преобразования временной координаты, произвольно (а не только по ло-
ренцевскому закону) зависящие от других координат системы. Конфигурационным про-
пространством такой механической системы является многообразие струй J\Z одномерных
подмногообразий многообразия событий Z [4, 33]. Это обобщает используемое в нере-
нерелятивистской механике понятие струй сечений расслоения. Расслоение струй j\Z —> Z
оказывается проективным расслоением, и мы приходим к общей формулировке реля-
релятивистской механики, частным случаем которой является специальная теория относи-
относительности на пространстве событий Z = Е4. При этом конфигурационное простран-
пространство j\Z релятивистской механики приобретает смысл пространства нерелятивистских
скоростей, а касательное расслоение TZ к пространству событий — пространства ре-
релятивистских скоростей, наделенного псевдоримановой метрикой.
Книга содержит ряд дополнительных разделов (обобщения скобок Пуассона, муль-
тисимплектические структуры, БРСТ механика и др.), чтобы познакомить российского
читателя с наиболее современными математическими методами в теоретической меха-
механике.
В книге используется математический аппарат, в достаточной мере изложенный в
первом томе серии [8] (см. также [33, 42, 63, 67]). Его основные положения, а также
ряд дополнительных вопросов кратко обсуждаются в Предварительных сведениях.
В книге, если специально не оговорено, мы придерживаемся системы единиц (на-
(назовем ее абсолютной), в которой все величины считаются физически безразмерными.
Однако при переходе к физическим моделям в ряде случаев используется универсальная
система единиц, в которой скорость света с и постоянная Планка h приравниваются
единице, а единицей длины является планковская длина
1/2 = GI/2= 1,616-1<Г33см,
где G — ньютоновская гравитационная постоянная. В универсальной системе единиц
декартовы координаты пространства и времени по определению имеют физическую раз-
размерность длины, а функционал действия и компоненты метрического тензора безраз-
безразмерны. Переход от фундаментальной к универсальной системе единиц осуществляется
делением или умножением тех или иных величин на фундаментальную длину, а также
введением массы, имеющей размерность [длина].

Предварительные сведения
Данная глава включает следующие разделы, расположенные в соответствии с логикой
изложения материала.
Расслоения 9
Векторные расслоения 11
Аффинные расслоения 11
Касательные и кокасательные расслоения 11
Касательные и кокасательные расслоения к расслоениям . 13
Векторные поля 13
Векторные поля на расслоении 15
Мультивекторные поля 17
(S-N)-cko6kh 17
Внешние формы 17
Внешние формы на расслоении 17
Производная Ли 19
Тангенциально-значные формы 19
Распределения 19
Слоения 21
Касательные и кокасательные расслоения к группам Ли .21
Главное реперное расслоение 23
Многообразия струй 23
Канонические горизонтальные расщепления 25
Многообразия струй второго порядка 25
Полная производная 27
Многообразия струй высшего порядка 27
Дифференциальные операторы и уравнения 27
Связности 27
Кривизна связности 29
Линейные связности 29
Аффинные связности 29
Плоские связности 29
Композиционные расслоения 31
Пучки 33
Все отображения, как обычно, предполагаются гладкими, а многообразия — конеч-
конечномерными, отделимыми, локально компактными, паракомпактными и, если специ-
специально не оговорено, связными.
Мы используем стандартные обозначения ф, ®, v ил соответственно для прямой
суммы, тензорного произведения, симметризованного тензорного произведения и ан-
тисимметризованного тензорного (внешнего) произведения. Значком _i обозначается
операция свертки дуальных величин — векторов и форм.

Предварительные сведения
Символы дв применяются для упрощенной записи операторов частных производ-
производных по координатам с индексами f.
Композиция отображений обозначается значком о.
Расслоения
Расслоением называется проекция
ж-.Y-^X (П.1)
многообразия Y на п -мерное многообразие X. Под проекцией тг понимается сюръекция
и субмерсия, т. е. отображение, касательный к которому морфизм Ттг — сюръекция.
По определению расслоение (П.1) допускает открытое покрытие {Щ} базы X такое,
что многообразие Y выглядит как бы склеенным из тривиальных расслоений
с одним и тем же типичным слоем V посредством функций перехода
рк : (Щ П СТ^) х V -> (Щ n Uc) х V,
У 6 *~\Щ П U().
Пары областей и морфизмов тривиализации (Щ, ф() составляют атлас расслоения
Ф = {Щ>~ФьР((}- При Данном атласе Ф расслоение Y наделяется атласом ассоции-
ассоциированных послойных координат (жА, у'), где
х\у) = (хх о ж)(у), y?Y,
— координаты базы X, а
2/!B/) = B/!орг2о^)B/)
— координаты типичного слоя V.
Говорят, что расслоение Y —> X тривиально, если оно диффеоморфно произве-
произведению X х V. Разные тривиализации одного и того же расслоения отличаются друг
от друга проекциями Y на его типичный слой V. Всякое расслоение над стягиваемой
базой тривиально.
Сечением расслоения (П.1) называется вложение s : X с-> Y такое, что тг о s = id X.
Аналогично, локальным сечением s расслоения Y —> X на подмногообразии JV С X
называется отображение s : JV c-> F такое, что ж о s = id JV. Если область определения
локального сечения не упоминается, подразумевается, что оно задано на некотором от-
открытом подмножестве базы расслоения. Расслоение по определению имеет локальное
сечение на некоторой открытой окрестности всякой точки х G X. Расслоение, типич-
типичный слой которого диффеоморфен Rm, всегда имеет глобальное сечение, и всякое его
локальное сечение на замкнутом подмногообразии базы X продолжается до глобального
сечения.
В качестве морфизмов расслоений рассматриваются послойные морфизмы, т. ё. такие,
что диаграмма
ф
Y У
I (П.2)
X f—~ X'

Предварительные сведения
коммутативна. Послойный морфизм (П.2) над / = id X называется морфизмом над X.
Говорят, что (П.2) — послойный морфизм над /. Он обозначается —к Если послой-
послойный морфизм (П.2) — погружение, то его образ является подмногообразием в У' и
называется подрасслоением расслоения У' —* X. Послойное вложение часто называют
мономорфизмом расслоений, а послойный диффеоморфизм — изоморфизмом или, если
это диффеоморфизм на себя, автоморфизмом расслоений.
Если дано расслоение тг' : Y' —> X', всякий морфизм / : X —* X' порождает инду-
индуцированное расслоение f*Y' над X, образованное всевозможными парами
{(у1, х) € У' х X : тгV) = /(*)}
с естественной проекцией (у1, х) >-> х. Другими словами, слоем индуцированного рас-
расслоения f*Y' над точкой х € X является слой расслоения Y' над точкой /(ж) € X'.
Если X С X' является подмногообразием в X' и ix — его естественное погружение,
то индуцированное расслоение
называется сужением расслоения Y1 на X С X'.
Произведение расслоений тг : У -» X и тг' : У' —> X над одной и той же базой X
определяется как индуцированное расслоение
Y х У' = тг*У' -> У или YxY' = тг'*У -> У'
с естественной проекцией на X.
Векторные расслоения
Векторным называется расслоение У —> X, слои и типичный слой которого явля-
являются векторными пространствами, и которое наделено атласом линейных послойных
координат. Приведем основные операции с векторными расслоениями над одной и той
же базой:
• дуальное к У векторное расслоение У* с типичным слоем V*, дуальным типичному
слою V векторного расслоения У;
• сумма Уитни У ф У' векторных расслоений У и У' с типичным слоем V ф V —
прямой суммой типичных слоев расслоений У и У';
• тензорное произведение У <8> У' векторных расслоений У и У' с типичным слоем
¦V <8> V — тензорным произведением типичных слоев расслоений У и У;
г
• внешнее произведение AY = Y А ¦ ¦ ¦ A Y расслоения У с типичным слоем —
внешним произведением Л V типичного слоя V расслоения У;
• свертка s. У <8> У* —>Х хШ.

Предварительные сведения 11_
Аффинные расслоения
Аффинным называется расслоение У-»1, слои и типичный слой которого явля-
являются аффинными пространствами, и которое наделено атласом аффинных послойных
координат (жА, у'). Говорят, что аффинное расслоение моделируется над векторным
расслоением Y —> X, если заданы послойные морфизмы
YxY—*Y, (у\у{)^у{ + у\
Л -л.
YxY—>Y, (у V)-> у1'- у"',
где (у1) — линейные послойные координаты на векторном расслоении Y. В частности,
всякое векторное расслоение Y имеет каноническую структуру аффинного расслоения.
Аффинное расслоение, как и векторное, всегда обладает глобальным сечением.
Всякий морфизм Ф : Y —> Y' аффинных расслоений, моделируемых соответственно
над векторными расслоениями Y и Y , порождает линейный морфизм •
Ф : F -> 7',
ВФ' ¦
у °* = Wv3,
последних. Он называется линейной производной Ф.
Касательные и кокасательные расслоения
Слоями касательного расслоения
ttz : TZ -> Z
к многообразию Z являются касательные пространства к Z. Если задан координатный
атлас Фг = {Щ, ф%} многообразия Z, то в качестве атласа касательного расслоения
обычно выбирают голономный атлас
Ф = {иь ф( = T0J.
Ассоциированной системой послойных координат на TZ являются голономные коорди-
координаты (zx, iA) с функциями перехода
Они являются координатами касательных векторов к Z относительно голономных репе-
реперов {д\}. Всякий морфизм многообразий / : Z —> Z' порождает послойный касательный
морфизм к / касательных расслоений
Tf.TZ—^ TZ',
Дуальным к касательному расслоению TZ —у Z является кокасательное расслоение
тг»2 : T*Z -^ Z.
Оно наделяется атласом голономных координат (zx,Z\), которые являются координа-
координатами кокасательных векторов к Z относительно голономных кореперов {dzx}, дуальных
Ш

Y2. Предварительные сведения
Касательные и кокасательные расслоения к расслоениям
Пусть 7Гу '¦ TY —> У — касательное расслоение к расслоению тг: Y —> X. При задан-
заданных послойных координатах (жА, у') на Y голономными координатами на TY являются
(хх, у\ х\ у{).
Расслоение TY естественным образом является также расслоением
тг о тгу : TY -> X,
а касательный морфизм Ттг к тг задает на нем еще и структуру расслоения
Ттг: TY -> ТХ.
В результате имеет место коммутативная диаграмма
TY -ТХ
Касательное расслоение TY —> Y к расслоению Y —> X обладает вертикальным
касательным подрасслоением
VY =
Его слоями являются вертикальные подпространства, касательные к слоям расслое-
расслоения Y. Координатами на VY служат голономные координаты (хх,уг,у1). Если дан
послойный морфизм Ф : Y —> Y', то касательный морфизм ТФ отображает VY С TY в
VY' С TY', и ограничение
УФ = Тф\уу : VY -> VY',
у'* о ГФ = дуФ* = y>dj&, (П.4)
называется вертикальным касательным морфизмом к Ф.
Для всякого векторного расслоения F->I существует каноническое вертикальное
расщепление
VY = Y х У, (П.5)
так как координаты у' преобразуются по тому же линейному закону, что и коорди-
координаты у*. Аффинное расслоение У —> X, моделируемое над векторным расслоением
У —> X, допускает каноническое вертикальное расщепление
VY^YxY, (П.6)
поскольку координаты у1 преобразуются по тому же линейному закону, что и коорди-
координаты у'.
Голономными координатами на кокасательном расслоении T*Y к расслоению
У —* X являются (жА, y',x\,yi). Кокасательное расслоение T*Y является также рас-
расслоением над X, но T*Y не образует расслоения над Т*Х.

Предварительные сведения
Вертикальное кокасательное расслоение V*Y —> Y определяется как векторное рас-
расслоение, дуальное вертикальному касательному расслоению VY —> Y. Однако, в отли-
отличие от VY С TY, какого-либо канонического вложения V*Y в кокасательное расслое-
расслоение T*Y к Y не существует. В то же время имеет место каноническая проекция
V*Y, (П.7)
С : xxdxx + уг<1у ^ yidy\ (П.8)
где {dy'} — голономные базисы слоев вертикального кокасательного расслоения V*Y,
дуальные базисам {9,-} слоев вертикального касательного расслоения VY.
Полностью соотношения между расслоениями TY и VY, а также между T*Y и V*Y
можно представить в виде двух точных последовательностей:
О -> VY <-> TY -> Y х ТХ -> О, (П.9 а)
O^Fx Т*Х ^ T*Y -> V*Y -> 0, (П.9Ь)
где все отображения — это послойные морфизмы над Y. Точность последовательностей
означает, что образ предыдущего отображения совпадает с ядром последующего.
Для упрощения выражений символы ТХ и Т*Х обычно используются для обозна-
обозначения также индуцированных расслоений
Y х ТХ, Y х Т*Х.
X X
Рассмотрим расслоения ТТ*Х и Т*ТХ. В голономных координатах {хх,р\ = жл) на
Т*Х и (жА, vx = жА) на ТХ эти расслоения имеют голономные координаты (х\ р\, хх, р\)
и (хх, vx, x\, v\) соответственно. Сравнивая законы преобразования этих координат,
легко убедиться, что имеет место изоморфизм
Если F->I — расслоение, аналогично получаем изоморфизм
где (xx,yl,pi) — голономные координаты на V*Y и (хх,у',уг) — на VY.
Векторные поля
Векторным полем на многообразии Z называется глобальное сечение касательного
расслоения TZ —> Z. Векторное поле называется неособым, если оно нигде не обраща-
обращается в нуль. Множество ^\(Z) векторных полей на Z образует вещественную алгебру
Ли относительно скобок Ли
[v, и] = (г>А0Ам" - иАаА«")ал.
Векторные поля на многообразии Z образуют модуль над кольцом гладких функций
°) на Z. Этот модуль является локально конечно порожденным.

14 Предварительные сведения ^
Кривая s : () -> Z на интервале () С Ш называется интегральной кривой векторного
поля и на многообразии Z, если
Ts(dt) = uos,
dtsx(t) = u\s(t)), t € ()•
Как известно, для всякого векторного поля и на Z существует единственная интеграль-
интегральная кривая на некотором интервале (-е, е), проходящая через данную точку z ? Z.
Локальным векторным полем на подмногообразии N С Z называется локальное се-
сечение расслоения TZ —> Z на N. Подчеркнем, что оно в общем случае не является век-
векторным полем на многообразии N, поскольку не обязательно принадлежит TN С TZ.
Локальное векторное поле на подмногообразии N именуется интегрируемым, если его
интегральная кривая, проходящая через какую-либо точку JV, принадлежит N. Очевид-
Очевидно, что это имеет место тогда и только тогда, когда оно принимает значения в TN, т. е.
является векторным полем на многообразии N.
Пусть U С Z — открытое подмножество и е > 0. Локальной 1-параметрической
группой локальных диффеоморфизмов Z, определенной на (-е, е) х U, называется ото-
отображение
G : (-е, е) х U Э (*, г) ^ Gt(z) ? Z,
удовлетворяющее следующим условиям:
• для всякого t € (—€, е) Gt — это диффеоморфизм U на открытое подмножество
Gt(U) С Z;
• GM'(z) = Gt о Gv(z), если t +1' G (-6, б).
Когда U = Z и () = Ж, мы имеем 1-параметрическую группу диффеоморфизмов мно-
многообразия Z.
Теорема П.1. Всякая локальная 1-параметрическая группа локальных диффеомор-
диффеоморфизмов G определяет векторное поле и на U такое, что u(z) — TGo(z)(dt) — это ка-
касательный вектор к кривой s(t) = Gt{z) в точке t = 0. Обратно, пусть и — векторное
поле на многообразии Z. Для всякого z E Z существуют: е > 0, окрестность U точки z
и единственная локальная 1-параметрическая группа локальных диффеоморфизмов на
(-е, е) xU, которая определяет и [7]. ?
Коротко можно сказать, что векторное поле и является генератором локальной 1-па-
1-параметрической группы локальных диффеоморфизмов. Это следует из того факта, что
внешняя форма ф на Z инвариантна относительно локальной 1-параметрической груп-
группы локальных диффеоморфизмов G с генератором и, т.е.
д*ф = ф, VgE Gt,
только если ее производная Ли Ьиф = 0.
Векторное поле на многообразии называется полным, если ему соответствует 1-па-
1-параметрическая группа диффеоморфизмов этого многообразия.
Векторные поля на расслоении
Векторное поле
и = их(х)дх + и\у)д{

Предварительные сведения 15
на расслоении Y —> X называется проектируемым, если оно проектируется на векторное
поле их = ихд\ на X, т. е. имеет место коммутативная диаграмма
Tir
Обратно, векторное поле т — тхд\ на базе X расслоения Y —>¦ X в общем случае
может быть поднято до проектируемого на т векторного поля на Y только посредством
некоторой связности на Y -> X (см. (П.47)). Однако для тензорных расслоений
Т=(®гх)<8>(<8>т*х)
имеет место канонический лифт
на Т всякого векторного поля т на X, в частности, канонический лифт
+ dl/Taxv-^ (П. 13)
на касательное расслоение ТХ и канонический лифт
дхр
(П. 14)
на кокасательное расслоение Т*Х. В дальнейшем для упрощения записи мы будем
использовать обозначения
bb (пл5)
Проектируемое векторное поле и = и\уЩ на расслоении Y называется вертикаль-
вертикальным, если оно проектируется на всюду нулевое векторное поле на X. На векторном
расслоении Y —> X, как это следует из расщепления (П.5), существует каноническое
вертикальное векторное поле Лиувилля
uY = y'di.
Например, на касательном расслоении ТХ векторное поле Лиувилля дается выражени-
выражением
игх = ххдх. (П.16)
Соответственно, всякое векторное поле т = тхд\ на многообразии X имеет вертикаль-
вертикальный лифт
ту=тхдх (П. 17)
на касательное расслоение ТХ.

16 Предварительные сведения
Мультивекторные поля
Мультивекторным полем -д степени г (или просто г-векторным полем) на много-
многообразии Z называется сечение
0=1 0А'"Л0А| л • • • Л дк
г
внешнего произведения f\TZ —* Z. Обозначим .%{Z) векторное пространство г-век-
г-векторных полей на Z. Все мультивекторные поля на Z образуют Ъ -градуированную ал-
алгебру относительно операции внешнего произведения.
(S-N)-cko6km
Алгебра мультивекторных полей наделяется скобками Schouten—Nijenhuis, или про-
просто (8-Ы)-скобками
[.,. ]SN : &(Щ х ,57(М) -> ^+,_i(M), (П. 18)
1 ^-х'дм л ¦ • • л дк, v = 1 va'-a'dai л • • • л да„
г\ s\
^ (VtiXl-K->dlivat-a'dXl л • • • л дк_, л да1 л • ¦ ¦ л да,),
которые обобщают скобки Ли векторных полей [16, 71]. Имеют место соотношения
[v, 0 Л U]SN = [U, 0]SN ЛП (-lf11*1^ Л [I/, «]SN.
Внешние формы
Внешней г-формой на многообразии ^ называется сечение
1
г!
Ф = -. Фм...хМ' Л ¦ • • Л dzK
внешнего произведения [\T*Z —> Z. Обозначим (9"T{Z) векторное пространство внеш-
внешних г-форм на многообразии Z. Все внешние формы на Z составляют внешнюю Ъ-гра-
Ъ-градуированную алгебру. На ней задан оператор внешнего дифференцирования, или просто
внешний дифференциал
d : (fr(Z) -> (fr+\Z),
# = 1 d^...xM Л dzXl Л • • • dzK,
который удовлетворяет известным соотношениям
d о d = О,
Л <т) = d@) A(T + {-\)шф Л d{a).

Предварительные сведения 17
Для всякого морфизма / : Z —> Z', символом /*0 обозначается форма, индуци-
индуцированная на Z формой 0 на Z' посредством морфизма /. Если ф — 1-форма, /*0
определяется условием
v j fф(z) = Tf(v) j 0(/(z)), V« € TZZ.
Выполняются соотношения
/*@ Л а) = /*0 Л /V,
df ф = j (a0).
В частности, если iN : N —> Z — подмногообразие, то индуцированная форма г^0
на N называется ограничением на JV внешней формы ф на Z.
Свертка векторного поля и — и^д^ и г-формы ф дается выражением
и j 0 = У~ иХ"фх, А,. А dzA| Л • • • Л dz * Л • • • Л dzAr =
*=i г! • ' 19)
= т гг: ^Фцщ...аг_,dz A ¦ ¦ ¦ A dz
(г- 1)!
Выполняются соотношения
0(Ui, . . . , Ur) = Ur j • • • Ml J 0,
Внешние формы на расслоении
Для расслоения тг : Y —у X имеет место вложение тг* : (9"*{Х) —> (f*(Y). Внешние
формы
0 = - 0A,...Ar^Al A---AdxXr,
r\
на расслоении Y —> X такие, что # j 0 = 0 для всякого вертикального поля ¦# на
Y ^ X, называются горизонтальными. Горизонтальная n-форма именуется горизонталь-
горизонтальной плотностью.
В случае касательного расслоения ТХ существует другой способ, имея форму а
на X, поднять ее на ТХ [44, 75]. Пусть / — функция на X. Назовем ее поднятием на
ТХ функцию
Пусть а — г-форма на X. Ее поднятием на ТХ называется г-форма а, задаваемая
соотношением
.. ,?г) = 'а(ти Г.. ,тг), (П.21)
А и j a,
d(tt j0) + m'j«jd0, 0 е <^'(Z). (П.2О)

Предварительные сведения
где т,- — произвольные векторные поля на X и т,- — их канонические лифты (П. 13) на
ТХ. В координатах форма (П.21) имеет вид
<r=- <T\v-\TdxXl Л ¦ • • Л dxXr,
а = - iAaA<TAl...Arda;Al Л • • • Л dxXr + ]П aXv..Xrdxx> Л • • • Л dxXi Л • • • Л dxXr].
В частности, справедливо равенство
da = da.
Производная Ли
Производная Ли внешней формы ф вдоль векторного поля и дается выражением
Ьиф = и j dф + d(u j ф).
В частности, если ф — функция, то
Ъиф = и j dф.
Справедливо равенство
Л а) = Ьиф Л а + ф Л Lua.
Тангенциально-значные формы
Элементы тензорного произведения (fr{Z) <S)-^T(Z) называются тангенциально-знач-
тангенциально-значными г-формами
Ф=^\ Фх,...*^1 л ¦ • • л dzK »
Имеет место взаимно однозначное соответствие между тангенциально-значными 1-фор-
мами ф на многообразии Z и линейными послойными отображениями над Z;
ф-.TZ^ TZ,
ф : TZZ Э v >-> v j ф(г) ? TZZ, (П.22)
ф*: T*Z -^ T*Z,
ф*: T*Z Э^'и фB) j v* e T*Z. (П.23)
В частности, каноническая тангенциально-значная 1-форма
0z = dzx ® дх
на Z соответствует тождественным морфизмам (П.22) и (П.23).
Пусть Z = ТХ. Рассмотрим послойный морфизм J расслоения ТТХ -> ТХ в себя
такой, что для всякого векторного поля т на X
J о Т = Ту, J О ту = О,

Предварительные сведения . 19
где f — канонический лифт (П. 13), а ту — вертикальный лифт (П. 17) векторного
поля т на ТХ. В координатах он имеет вид
7(вд) = вА, J(dx) = 0. (П.24)
Очевидно, что J о J = 0 и ранг J равен п. Морфизму J (П.24) соответствует танген-
циально-значная форма
ф3 - dxx ® дх
на касательном расслоении ТХ.
Распределения
Распределением размерности г на к -мерном многообразии Z именуется г-мерное
подрасслоение Т касательного расслоения TZ. Распределение Т называется инволю-
шивным, если для любых векторных полей и и и1, лежащих в Т, их коммутатор [и, и1]
тоже лежит в Т. Аннулятором Т* г-мерного распределения Т называется (к - 70-мерное
подрасслоение кокасательного расслоения Т* Z такое, что в некоторой окрестности U
всякой точки z ? Z существует (к - г) линейно независимых сечений фх,..., фк_г
подрасслоения Т* таких, что
4
Обозначим Л Т* идеал внешней алгебры (f*(Z), порождаемый сечениями подрасслое-
подрасслоения Т* -> Z.
Предложение П.2. Распределение Т является инволютивным тогда и только тогда,
когда Л Т* является дифференциальным идеалом, т. е. d(/\ T*) С Л Т* [73]. ?
Связное подмногообразие N многообразия Z называется интегральным многообра-
многообразием распределения Т на Z, если касательные пространства к N принадлежат слоям
этого распределения. В дальнейшем под интегральным многообразием мы будем по-
понимать только интегральное многообразие максимальной размерности, равной размерно-
размерности Т. Интегральное многообразие N называется максимальным, если не существует
другого интегрального многообразия, содержащего N.
Теорема П.З. Если распределение Т на Z является инволютивным, для всякой точки
z ? Z существует единственное максимальное интегральное многообразие распределе-
распределения Т, проходящее через z [73]. ?
Поэтому инволютивные распределения называются также интегрируемыми распре-
распределениями.
Следствие П.4. Для всякой точки z ? Z имеется локальная система координат
(zl,..., zk) в окрестности U Э z такая, что ограничения Т и Т* на U порождаются г
векторными полями
_д_ д
и (к-г) формами dzk~r+l,..., dzk соответственно. Отсюда следует, что интегральные
многообразия инволютивного распределения на многообразии образуют слоение этого
многообразия, а
Например, всякое 1-мерное распределение на многообразии Z является интегриру-
интегрируемым. Его сечением является неособое векторное поле и на Z, интегральные кривые

20 Предварительные сведения _^^
которого служат интегральными многообразиями указанного распределения. Следствие
П.4 показывает, что в окрестности всякой точки z e Z существует локальная система
координат (z1,..., zk), относительно которой неособое векторное поле и принимает
вид
д
U — г*.
Слоения
Слоением размерности г на многообразии Z называется разбиение Z на связные
подмногообразия Fb (слои слоения), обладающее следующим свойством: в окрестно-
окрестности U всякой точки Z существует локальная система координат (za) такая, что для
всякого слоя Ft компоненты связности пересечения Ft П U задаются уравнениями
г+[ к
z = const, ..., z = const
[10, 41, 61]. В частности, субмерсия является слоением. Подчеркнем, что слои слоения
в общем случае могут не быть вложенными подмногообразиями, т. е. топологическими
подпространствами.
Всякая вещественная функция / на многообразии Z такая, что df Ф 0 всюду на Z,
является субмерсией Z —> Ж и определяет слоение коразмерности 1, слои которого
задаются уравнениями
f(z) = с, сеК.
Оно называется слоением поверхностей уровня функции /. Согласно сказанному выше
всякое слоение коразмерности 1 локально представляет собой слоение поверхностей
уровня
zk = f(z) = const
некоторой функции на Z.
Поверхности уровня всякой функции / Ф const на многообразии Z задают так
называемое сингулярное слоение F [11, 41]. Его слои в общем случаем не будут много-
многообразиями. Однако в некоторой открытой окрестности U всякой неособой точки z, где
df(z) Ф 0, ограничение F на U является слоением с производящей функцией /I .
Касательные и кокасательные расслоения к группам Ли
Пусть G — вещественная связная группа Ли (dim G > 0). Обозначим ^ [соотв. ^ ]
левую [соотв. правую] алгебру Ли левоинвариантных векторных полей &(g) = TLg(?i(e))
[соотв. правоинвариантных векторных полей ?r(g) = TRg(?r(e))] на группе G, где е —
единица группы, a Lg и Rg обозначают, как обычно, левое и правое действие группы G
на себя. Всякому левоинвариантному векторному полю ?;(#) [соотв. правоинвариантно-
му векторному полю ?г(<7)] сопоставляется элемент v = ?i(e) [соотв. v = ?r(e)] касатель-
касательного пространства TeG, которое, таким образом, наделено структурами как левой, так
и правой алгебр Ли. Например, для v € TeG обозначим vt(g) и vr(g) соответствующие
левоинвариантное и правоинвариантное векторные поля. Имеет место соотношение
v,(g) = TLg о TRg\vr(g)) = ad g(vr(g)).
Обозначим {em = em(e)} [соотв. {ет = em(e)}] базис левой [соотв. правой] алгебры Ли
и с?,„ — правые структурные константы:

Предварительные сведения 2Л_
Отображение д •-* д~г определяет изоморфизм
Р ¦ <gi Э ет н* ет = ~ет G g?r (П.25)
левой и правой алгебр Ли. В частности, имеем
г 1 — _ *
Касательное расслоение жд '¦ TG —* G к группе G тривиально, и имеют место изо-
изоморфизмы
в1 : TG Э q ~ (д = vG(q), TL^\q)) EGx%
Левое действие группы G на себя порождает ее присоединенное представление д i—» ad 5
на правой алгебре Ли и естественное тождественное представление на левой алгебре Ли.
Соответственно определено присоединенное представление
е : s >-> ad e'(e) = [е1, е],
adem(en) = стпек,
правой алгебры Ли С?Т на себе.
Левое действие
G х Z Э (g, z) !-)¦ 52 € Z
группы G на многообразии Z определяет гомоморфизм
^ Э ? -» & €
правой алгебры Ли ^. в алгебру Ли векторных полей на Z [7] такой, что
Tgo(eog-1. (П.26)
Векторные поля ?Ст именуются генераторами представления группы G на Z.
Обозначим с^* = TgG векторное пространство, сопряженное пространству TeG,
с базисом {ет}, дуальным базису {?т} пространства TeG. Будем называть его сопря-
сопряженным пространством алгебры Ли. Группа G и алгебра Ли ^/г действуют на с§'* по
коприсоединенному представлению
e)), е*е^\ е € %, (П.27)
{ad* ?'(?*),?) = -(?%[?',?]), e'E^r,
Нужно отметить, что в литературе встречается другое определение коприсоединенного
представления, вытекающее из соотношения
отличного от (П.27) [12].
Внешняя форма ф на группе G называется левоинвариантной [соотв. правоинвари-
антной], если ф(е) = Ц(ф(с/)) [соотв. ф(е) = Щ(ф(д))]. Внешний дифференциал лево-
инвариантной [соотв. правоинвариантной] формы является левоинвариантным [соотв.

22 Предварительные сведения
правоинвариантным]. В частности, для левоинвариантных 1-форм выполняется уравне-
уравнение Маурера—Картана
На группе G определена каноническая левоинвариантная Я^-значная 1-форма
6>, : TeG 3 е .-> е € %.
Компоненты Of ее разложения 0; = 0™ет по базису алгебры Ли ^ образуют базис
пространства внешних левоинвариантных 1-форм на G:
(¦т -if/ — От.
Уравнение Маурера—Картана для них имеет вид
? \ %? А в1
Соответственно, на группе G определена каноническая правоинвариантная ^ -значная
1-форма
вг :TeG3e^s?cfr.
Она связана с 0; соотношением
= 0,(TLg\vg)) = TL~\vg), vg G TgG,
(vg) = Or(TR-g\vg)) = TRg-\vg),
= -TLg о TR;ler(vg) = - adg@r(vg)),
где p — изоморфизм (П.25).
Главное реперное расслоение
Мы не касаемся здесь общей теории главных расслоений, отсылая к литературе
[6, 7, 8]. Пусть X — п -мерное связное ориентированное многообразие. Обозначим
wLX :LX-+X
расслоение ориентированных реперов {sa} в касательных пространствах к многообра-
многообразию X. Назовем его просто реперным расслоение. Это главное расслоение со струк-
структурной группой GL+(n, Ж). Оно ассоциировано с касательным ТХ и кокасательным
Т*Х расслоениями над X. Относительно голономных базисов {д^} слоев касательного
расслоения ТХ всякий элемент {sa} реперного расслоения LX принимает вид
где s^a — матричные элементы естественного представления группы GL+(n, Ж) в!".
Они составляют послойные координаты

Предварительные сведения 23
реперного расслоения LX. В этих координатах каноническое правое действие группы
GL+(n, W) на LX имеет вид
Rg : Л ьч. Л/«, 9 € G?+(n, К).
Реперное расслоение ?Х наделено канонической Шп -значной 1-формой
Оьх = s\dxix ® *в1 (П.28)
где {?„} — фиксированный базис Е" и s"^ — элементы обратной матрицы к s'V
Для реперного расслоения всякий диффеоморфизм / его базы X каноническим
образом поднимается до его автоморфизма
и соответствующих автоморфизмов ассоциированных с ним тензорных расслоений. Эти
автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями или голономными
автоморфизмами. Например, в случае ТХ это — касательные морфизмы / = Г/ к
диффеоморфизмам /. Генераторами общих ковариантных преобразований являются
канонические поднятия т (П. 12) векторных полей г на X.
Многообразия струй
Пусть дано расслоение Y —> X. Рассмотрим классы эквивалентности jis, х € X,
его сечений s, отождествляемых по своим значениям s'(x) и значениям своих частных
производных первого порядка d^s\x) в точках х ? X. Класс эквивалентности jis
называют струей сечений s в точке х G X. Множество JlY всех струй наделяется
структурой многообразия с координатным атласом
(х\ У\ y\)(jis) = (x\ S\X), дХ8*(х)),
^l ij", (П.29)
и называется многообразием струй сечений расслоения Y —> X (или просто многообра-
многообразием струй расслоения Y —> X).
Многообразие струй имеет естественные расслоения
тг1 : JlY Э jlxs ^хЕХ, (П.ЗО)
При этом расслоение (П.31) является аффинным, моделируемым над векторным рас-
расслоением
Т*Х (8) VY — Y.
Y
• Пусть JlY — многообразие струй расслоения Y —> X. Существуют два каноничес-
канонических послойных мономорфизма над У:
А : JlY <-» Т*Х ® ГУ, (П.32)
у
А = dxx ® dx = dxx ® (дх

24 Предварительные сведения
где dx называется полной производной, и
01 : JlY <-» T*Y <g> VY, (П.33)
Y
0, = 0' ® ^ = (dj/ - г/АА
где
0г = dyl - y\dxx (П.34)
именуется контактной формой. Отождествляя 3хY с его образами относительно мор-
физмов (П.32) и (П.ЗЗ), мы можем всякий элемент многообразия струй представить
тангенциально-значными формами
dxx ® (вд + у[дг) или (dy1 -y\dxx)®di.
Любой послойный морфизм расслоений Ф : Y —* Y' над диффеоморфизмом / про-
продолжается до морфизма многообразий струй
31Ф: 3lY^ 3lY',
над Ф, называемого струйным продолжением морфизма Ф.
Всякое сечение s расслоения Y —» X имеет струйное продолжение до сечения
(Jls)(x)=jls,
расслоения 3 Y —* X. Сечение s расслоения 3lY —* X называется голономным, если
оно является струйным продолжением некоторого сечения Y —> X.
Всякое проектируемое векторное поле
и = их(х)дх + и\у)дг
на расслоении Y —* X имеет струйное продолжение до векторного поля
п = г, о 3lu : 3lY -> 3lTY -* T3!Y,
п = ихдх + игдг + {дхи1 + yidjv? - y^dxu^df, (П.35)
на 3lY. Здесь использован канонический послойный морфизм
г, : 3lTY -» TJ'F,
Й°П = (»')а - ЗЙа-
В частности, имеет место канонический изоморфизм
(П.36)
Ух = (»')л-
Можно показать, что струйное продолжение «^й является морфизмом алгебр Ли,
т.е.

Предварительные сведения 25
Канонические горизонтальные расщепления
Канонические морфизмы (П.32) и (П.ЗЗ) определяют канонические вложения
А : JlY х ТХ Э дх н-* dx = дх j А € JlY х TY (П.37)
X Y
И
01 : J'y х F*F Э <fy! !->• 0! = 0i j dj/ € J!F x Т*Г, (П.38)
где {dy1} — базисы слоев V*Y, которые следует отличать от элементов dy' голономных
базисов T*Y. Эти вложения задают каноническое горизонтальное расщепление индуциро-
индуцированных расслоений
JlY xTY = \(TX) ф VY, (П.39)
хх дх + у% = х\дх + Адд + (tf -
JlY х T*Y = Т*Х ф 0i(V*F), (П.40)
Y J'Y
xxdxx + ytdy% = (iA + ijiy\)dxx + yi(dy - y\dxx).
Многообразия струй второго порядка
Рассмотрим многообразие струй JlJlY расслоения JXY —* X. Оно называется
повторным многообразием струй и наделяется координатами
дх11
дха
Существуют два разных расслоения J[JlY над JlY:
• обычное расслоение струй (П.31) над JyY
• и расслоение
J тг0 : J J Y -* J У, ух о J TToi = г/(А).
Точки, в которых проекции жп и J'tto совпадают, образуют аффинное расслоение
^Y —* JXY, называемое полуголономным многообразием струй и задаваемое коорди-
координатным условием
y'w = Ух-
Оно параметризуется координатами (жА, у',у'х, у'их)-

26 Предварительные сведения
Многообразие струй второго порядка J2Y расслоения Y —* X определяется как под-
расслоение 7i"i : J2Y —» JlY расслоения J Y —* J[Y, задаваемое координатным усло-
условием
и параметризуемое координатами (хх,у1,у\, у\^ = у^\). Можно дать другое эквива-
эквивалентное определение многообразия 2-струй J2Y как объединения всех классов экви-
эквивалентности jls сечений s расслоения F-*I, отождествляемых по их значениям и
значениям их частных производных первого и второго порядков в точках х ? X:
Пусть s — сечение расслоения Y —> X и Jls — его струйное продолжение до
сечения расслоения JlY —> X. В свою очередь рассмотрим струйное продолжение
последнего до сечения J^^s расслоения JlJlY —> X. Оно лежит в многообразии
струй J2Y и обозначается J2s.
Предложение П.5. Пусть s — сечение расслоения JXY —» X и j's — его струйное
продолжение до сечения расслоения JlJlY —* X. Следующие услежия эквивалентны:
• сечение s является голономным, т. е. s = Jls, где s — некоторое сечение рассло-
расслоения Y —> X;
• сечение Jl~s принимает значения в J Y;
• сечение j's принимает значения в J Y.
а
Полная производная
Во многих координатных выражениях на многообразиях струй JlY удобно исполь-
использовать оператор полной производной
dx = dx
Он обладает свойствами
йх(ф Л а) = dA@) Л а + ф Л dx(<r),
Многообразия струй высшего порядка
Многообразие струй k-го порядка JkY расслоения Y —» X состоит из классов экви-
эквивалентности jxS, х € X, сечений s расслоения Y таких, что сечения s и s' принадлежат
одному и тому же классу j*s тогда и только тогда, когда их значения и значения их част-
частных производных до fc-ro порядка включительно совпадают в точке х. Многообразие
k
струй JkY параметризуется координатами
= «А, • •' &.*'<*), О < I < fc.
у\,-м0) А, &.<, <
Всякое сечение s расслоения Y -» X имеет fe-струйное продолжение до сечения Jks
расслоения JkY -» X такое, что
ik0i

Предварительные сведения 27
Дифференциальные операторы и уравнения
Пусть JkY — многообразие А;-струй расслоения Y —> X и Е ^ X — векторное
расслоение над X. Всякий послойный морфизм
gf : JkY -* Е
х
над X называется дифференциальным оператором к-то порядка на сечениях расслое-
расслоения Y, или просто на расслоении Y. Он отображает всякое сечение s(x) расслоения
Y —> X в сечение {Wo J s){x) расслоения Е —> X. Ядром дифференциального оператора
называется подмножество
Ker % = WX(O(X)) С JkY, (П.41)
где 0 — нулевое сечение расслоения Е —» X.
Системой дифференциальных уравнений в частных производных к-го порядка (или
просто дифференциальным уравнением) на расслоении Y —*¦ X называется замкнутое под-
расслоение S расслоения JkY —> X [4, 19, 33]. Его решением считается (локальное)
сечение s расслоения Y —> X, к -струйное продолжение Jks которого лежит в S.
В частности, если ядро (П.41) дифференциального оператора i? является замкну-
замкнутым подрасслоением расслоения JkY —> X, оно задает дифференциальное уравнение,
которое коротко можно записать как
gf о Jks = 0.
Связности
Связность на расслоении Y ^> X определяется как глобальное сечение
Г : Y ->¦ JlY,
аффинного расслоения струй JlY —> Y. Всякая такая связность Г в композициях с
морфизмами (П.37) и (П.38) определяет расщепление
А о Г : ТХ -> TY, §ioT: V*Y -> T*Y
точных последовательностей (П.9а) и (П.9Ь). Соответственно, подставляя у\ = Т\(у)
в выражения (П.39) и (П.40), мы получаем горизонтальные расщепления касательного
расслоения
TY = Г(ТХ) ф VY, (П.42)
у
и кокасательного расслоения
T*Y = T*Y ф T(V*Y), (П.43)

28 Предварительные сведения
относительно связности Г на Y. Эквивалентно расщеплению (П.42) связность Г опре-
определяется как проекция
Г : TY 3 ххдх + у{дг >-> (у* - ххТ\)д{ € VY. (П.44)
Связности на расслоении Y —> X образуют аффинное пространство, моделируемое
над линейным пространством припаивающих форм
а = a'xdxx ® д{.
Всякая связность Г на расслоении F-*J определяет дифференциальный оператор
первого порядка на Y
Dr :JlY3z^[z- Г(тгоB))] € Т*Х ® VY, (П.45)
Y
называемый ковариантным дифференциалом. Его действие на сечения s расслоения Y
имеет вид
Vrs = DT о Jls = [dxs{ - (Г о s)\]dxx ® di (П.46)
и называется ковариантным дифференцированием. В частности, сечение s именуется
интегральным сечением для связности Г, если v's = 0, т. е. V о s = Jls. Для всякого
сечения s расслоения Y —» X существует связность Г на F —> X, которая имеет s своим
интегральным сечением. Она является продолжением локального сечения s(x) i—* Jls(x)
расслоения струй JlY -*Гна замкнутом подмногообразии s(X) С Y.
Связность Г на расслоении Y —* X задает горизонтальный лифт
(П.47)
на Y всякого векторного поля т = тхд\ на X.
Кривизна связности
Кривизной связности Г на расслоении Y —> X называется 2-форма
R= Z tf\»dxX Л
Дд* = ^аГ; - д,Т\ + ridjTl - TidjTl (П.48)
Линейные связности
Пусть Г-»1 — векторное расслоение. Линейная связность на Y имеет вид
Y = dxx®[dx+Yxij{x)yjdi\.
Ей соответствует дуальная линейная связность
Г* = dxx ® [дх - Тх
на дуальном векторном расслоении Y* —* X. Например, линейная связность К на каса-
касательном расслоении ТХ к многообразию X и дуальная связность К* на кокасательном
расслоении Т*Х имеют вид
= dxx<8> (дх
xx
К* = dxx в (дх - Kx\(x)xlidv).

Предварительные сведения 29
Аффинные связности
_ Пусть Y -+ X — аффинное расслоение, моделируемое над векторным расслоением
Y —» X. Аффинная связность на Y имеет вид
Г = dx ® [0д + (Гд j(x)if + Гд(ж))9{],
где
— линейная связность на Y.
Плоские связности
Всякая связность Г на расслоении Y —> X определяет горизонтальное распределе-
распределение Т(ТХ) С TY на Y, порождаемое векторными полями (ГТ.47). Следующие условия
эквивалентны.
• Горизонтальное распределение является инволютивным.
• Связность Г — плоская, т. е. ее кривизна всюду равна нулю.
• Через всякую точку у € Y проходит (локальное) интегральное сечение для связ-
связности Г.
Таким образом, плоская связность Г на Y —> X определяет интегрируемое горизонталь-
горизонтальное распределение, т.е. горизонтальное слоение на Y, которое трансверсально расслое-
расслоению Y —> X. Его слой через точку у (EY задается локально интегральным сечением sy
для связности Г через у. Обратно, пусть на расслоении Y —> X существует горизон-
горизонтальное слоение такое, что для любой точки у € Y слой этого слоения через у задается
локально сечением sy расслоения Y —> X, проходящим через у. Тогда морфизм
Г : Y -> JlY,
ГB/) = fay, ж(у) = х,
определяет плоскую связность на Y. Существует взаимно однозначное соответствие
между плоскими связностями и горизонтальными слоениями на расслоении Y —> X.
В свою очередь, для каждого горизонтального слоения на Y —* X имеется атлас
послойных координат (жА, уг) на Y такой, что функции перехода у1 —» y"(yj) не за-
зависят от координат хх (он называется атласом локально постоянных тривиализации), а
слои этого слоения локально определяются уравнениями у1 = const [21, 33]. Два атласа
локально постоянных тривиализации считаются эквивалентными, если их объединение
тоже является таким атласом. Они ассоциированы с одним и тем же горизонтальным
слоением. В результате имеет место взаимно однозначное соответствие между плоскими
связностями Г на расслоении Y —> X и классами эквивалентности атласов локально
постоянных тривиализации расслоения Y таких, что Гд = 0 в координатах, ассоцииро-
ассоциированных с этими атласами.

30 Предварительные сведения
Композиционные расслоения
Рассмотрим композицию расслоений
Y - Е -* X, (П.49)
где
тгГЕ : Y -> Е (П.50)
— расслоения. Назовем (П.49) композиционным расслоением. Композиционное рас-
расслоение (П.49) наделяется атласом послойных координат (хх,ат,у1), где (xti,am) —
послойные координаты на расслоении (П.51). Отличие композиционного расслоения
(П.49) от просто расслоения Y —* X состоит в том, что преобразования координат
ат —> <т""(х , <тк) не зависят от координат у%.
Следующие два факта существенны для применения композиционных расслоений
[33, 65].
Предложение П.6. Для любого сечения h расслоения Е —> X и любого сечения s^
расслоения F-*S их композиция
s = ss о h (П.52)
является сечением композиционного расслоения Y (П.49). Обратно, всякое глобаль-
глобальное сечение s расслоения Y —> X представляет собой композицию (П.52) сечения
h = wys ° 8 расслоения Е —> X и некоторого локального сечения sg расслоения Y —* Е
на подмногообразии h(X) С Е. ?
Предложение П.7. Для всякого сечения h расслоения Е —> X ограничение
Yh = h*Y (П.53)
расслоения Y —> Е на h(X) С Е является подрасслоением
Ч :Yh^Y
расслоения Y —> X. ?
Рассмотрим многообразия струй j'E, J^Y и J1Y расслоений Е -» X, Y ~» Е и
Y —> X, наделенные соответственно координатами
/A m m4 /A m i ~i i \ /A m i m i\
(х ,а ,<7Л), (г ,<r ,y ,y\,ym), (х ,<? ,У,<Т\,У\)-
Существует каноническое отображение
^У^У, (п.54)
В частности, пусть
= dxx в F»А +11^.) + dam ® F>m + 4,0,) (П.55)

Предварительные сведения
связность на расслоении F —> Е и
— связность на расслоении Е —> X. Тогда в соответствии с морфизмом (П.54) опреде-
определена связность
А = dxx ® [дх + ТУдт + (AiT? + А\)д(] (П.56)
на композиционном расслоении Y —* X. Она называется композиционной связностью
и удовлетворяет тому свойству, что горизонтальный лифт Тт на Е всякого векторного
поля г на X посредством связности Г, а потом его горизонтальный лифт А^{Тт) с Е
на Y посредством связности Ay, в точности совпадает с горизонтальным лифтом Ат
векторного поля т с X непосредственно на Y с помощью композиционной связности
(П.56).
Для композиционного расслоения Y (П.49) имеет место следующая точная после-
последовательность вертикальных касательных расслоений:
О ->¦ FSF <-* VY -> Y х FE -> О, (П.57)
s
помимо известной точной последовательности (П.9 а). В дальнейшем V^Y обозначает
вертикальное касательное расслоение к расслоению Y —* Е. Всякая связность А% (П. 55)
на расслоении Y —> Е задает расщепление
VY = VzY ф Az(Y х FE), (П.58)
Y S
tfdi + &mdm = of - Al&m)di + &m(dm + Aldt).
Исходя из этого расщепления, может быть построен дифференциальный оператор пер-
первого порядка
D : JlY -> Т*Х ®
Y
9{, (П.59)
на композиционном расслоении Y. В частности, он может быть введен как композиция
D = pri oDA : JlY -> Т*Х ® FF -> Т*Х ® VYS,
Y Y
где Х>4 — ковариантный дифференциал (П.45) относительно композиционной связно-
связности А, порождаемой связностью А% и некоторой связностью Г на расслоении S —* X.
При этом результат не зависит от выбора Г.
Оператор (П.59) называется вертикальным ковариантным дифференциалом [33, 65].
Он обладает следующим примечательным свойством. Пусть h — сечение расслоения
? —» X и Yn — подрасслоение (П.53) композиционного расслоения Y —* X, являю-
являющееся ограничением расслоения Y —* S на h(X). Тогда вертикальный ковариантный
дифференциал D (П.59), ограниченный на Jiih(J1Yh) С JlY, совпадает с обычным
ковариантным дифференциалом относительно связности
Ah = dxx ® \дх + (Amdxh™ + (А о /i)l)#j| (П.60)

32 Предварительные сведения
на У;,, получаемой ограничением на h(X) связности А% в соответствии с коммутативной
диаграммой
j\y
As
Пример П.З. Пусть Г : Y —> JlY — связность на расслоении F-»I. Тогда со-
согласно каноническому изоморфизму VJlY = j'VF (П.36) вертикальный касательный
морфизм VT : VY —^ VJlY к Г задает связность
VT-.VY ->JlVY,
на вертикальном касательном расслоении VY -*Г->1, Дуальная ей связность на
вертикальном кокасательном расслоении V*Y —> Y —» X имеет вид
V*T:V*Y^JlV*Y,
V*T = dxx ®(дх+Т\~- djViyi — ) . (П.62)
V of dy J
djViyi
of dyj
Пучки
Имеется несколько эквивалентных определений пучков [2, 8]. Для нас целесообраз-
целесообразно исходить из следующего. Пучком на топологическом пространстве X называется
топологическое расслоение S —> X, слоями которого (стеблями пучка) являются абеле-
вы группы Sx, наделенные дискретной топологией.
Предпучок считается заданным на топологическом пространстве X, если каждому
открытому множеству U С X сопоставлена некоторая абелева группа Su (S0 = 0), а
каждой паре открытых множеств V С U сопоставлен гомоморфизм
такой, что
ru = id Su,
W С V С U.
Пример П.4. Пусть X — топологическое пространство, Su — абелева группа по
сложению всех непрерывных вещественных функций, определенных на U С X, а го-
гомоморфизм
U о о
Ту . Ьи —> Оу
определяется как сужение их на V С X. Тогда {Su, ту} — предпучок. D
Всякий предпучок {Su, ту} на топологическом пространстве X определяет пучок.
Стеблем этого пучка Sx в точке х G X служит прямой предел абелевых групп Su, x e U,

Предварительные сведения 33
по отношению к гомоморфизмам г у. Это означает, что для всякой открытой окрестно-
окрестности U точки х каждый элемент s ? Su задает некоторый элемент sx ? Sx, называемый
ростком элемента s в точке х, причем два элемента s ? Su и s' ? Sy определяют один
и тот же росток тогда и только тогда, когда существует такая окрестность W Э х, что
В частности, вещественные функции s, s' на X определяют один и тот же росток sx,
если они совпадают на некоторой окрестности W точки х. Пучок, порождаемый пред-
пучком из Примера П.4, называется пучком ростков непрерывных функций. Если X —
многообразие, то соответствующим образом определяется пучок ростков гладких функ-
функций.
Пример П.5. Пусть X — топологическое пространство и % — абелева группа
всех постоянных вещественных функций на U. Росток sx элемента s € Su, x € U,
однозначно определяется значением s(x) в точке х. Стеблем Sx является множество
действительных чисел Ж, в котором введена дискретная топология. Это постоянный
пучок с коэффициентами в Ж. о
Два разных предпучка могут порождать один и тот же пучок. Например, тот же
пучок ростков непрерывных функций порождается и предпучком только ограниченных
функций.
Обратно, по пучку можно построить предпучок, если всякому открытому подмно-
подмножеству U С X сопоставить абелеву группу T(U, S) сечений пучка S на U С X. В резуль-
результате получим предпучок {Г({7, S), Гу}, называемый каноническим предпучком пучка S.
Можно показать, что пучок, порождаемый каноническим предпучком {Г({7, S), Гу}, со-
совпадает с исходным пучком S, поэтому для простоты мы будем отождествлять понятия
"пучок" и "канонический предпучок".

Глава 1
Симплектическая механика
В этой главе описываются основные структуры гамильтоновой механики. Мы начнем
со структуры Якоби, частным случаем которой являются структура Пуассона и сим-
симплектическая структура. Заметим, что, в отличие от механики консервативных систем,
в неавтономной механике отсутствует симплектическая структура, но вводится канони-
каноническая структура Пуассона. Рассматривается также более общая по сравнению с сим-
плектической пресимплектическая структура. Она играет важную роль при описании
систем со связями, поскольку сужение симплектической формы на подпространство
фазового пространства является в общем случае именно пресимплектической формой.
Мы не углубляемся здесь в общую динамику консервативных систем, рассматривая ее
как частный случай неавтономной механики, но системам со связями уделяется особое
внимание. В заключительных параграфах этой главы приводятся некоторые вариан-
варианты расширения скобок Пуассона и обобщения симплектической структуры, которые
сейчас обсуждаются в литературе. Одно из таких обобщений — полисимплектичес-
кая структура, — служит, как уже отмечалось, основой гамильтоновой формулировки
классической теории поля и исходным пунктом гамильтоновой формулировки неавто-
неавтономной механики.
Всюду в этой главе, если специально не оговорено, Z — к -мерное многообразие,
параметризуемое координатами (zx).
В целях сокращения записи (S-N)-cko6kh [.,. ]sn будут обозначаться просто [.,.].
§ 1. Структура Якоби
Скобками Якоби (структурой Якоби) на многообразии Z называется билинейное ото-
отображение
&\Z) х &\Z) Э (/, д) -> {/, д) € 0°(Z)
на векторном пространстве <?°(Z) вещественных функций на Z, удовлетворяющее усло-
условиям:
(Al) {g,f} = ~{f,g} (антисимметричность),
(А2) {/, {д, h}} + {д, {h, /}} + {ft, {/, д}} = 0 (тождество Якоби),
(A3) носитель {/, д} содержится в пересечении носителей fug.
Скобки Якоби наделяют векторное пространство &°(Z) вещественных функций на
многообразии Z структурой алгебры Ли. В явном виде скобки Якоби можно задать
следующим образом.
Предложение 1.1. Скобки Якоби на многообразии Z однозначно определяются со-
соотношением
{f} Dfd) + (fd A.1)

§ 2. Контактная структура 35
где и — векторное и w — бивекторное поля на Z такие, что
[и, w] = 0, [w, w] = 2и Л w A.2)
[47]. П
Пример 1.1. Выбирая бивекторное поле w = 0 в A.1), находим, что всякое векторное
поле и на многообразии Z задает скобки Якоби
Соотношения A.2), очевидно, выполняются. ?
Скобки Якоби A.1), в которых векторное поле и = 0, называются скобками Пуас-
Пуассона. Из Предложения 1.1 следует, что бивекторное поле w на многообразии Z задает
скобки Пуассона тогда и только тогда, когда
[w, w] = 0.
Такое бивекторное поле называется пуассоновым.
Замечание 1.2. Пусть
w = - w^dft Л dv
— бивекторное поле. Получим координатное выражение для (S-N)-cko6ok
[to, to] = l- w^d^d^ Л dXl Л V
Всякое бивекторное поле w на многообразии Z определяет послойный морфизм
над Z согласно соотношению
to'(e)j/3 = to(z)(e,/3)> z?Z, a,P?T*zZ, A.3)
wl(a) = w'"/(z)alidv.
Этот морфизм является изоморфизмом, если бивекторное поле невырождено. Невы-
Невырожденное бивекторное поле в силу своей антисимметричности существует только на
многообразиях четной размерности. В этой связи напомним, что фазовое пространство
автономной механики является четномерным, тогда как фазовое пространство неавто-
неавтономной механики — нечетномерным. D
§ 2. Контактная структура
Нечетномерные многообразия могут быть наделены контактной структурой.
Определение 1.2. 1-форма в на Bт + 1)-мерном многообразии Z называется кон-
контактной формой, если
в А (<10)т Ф 0
всюду на Z. Пара (Z, в) именуется контактным многообразием, о

36 Глава 1. Симплектическая механика
Заметим, что внешний дифференциал dO контактной формы 0 является пресим-
плектической формой ранга 2т (см. Определение 1.11).
Следующее утверждение является вариантом известной теоремы Дарбу [46].
Теорема 1.3. Для любой точки z Bт + 1)-мерного контактного многообразия (Z, 0)
существуют открытая окрестность U и локальная система координат (z°,..., z2m) на U
такие, что в на U принимает вид
т
о = az — 2__, z az .
Эти координаты называются координатами Дарбу, ?
Контактная структура и структура Якоби связаны следующим образом.
Предложение 1.4. Для всякой контактной формы 0 на многообразии Z существует
единственное неособое векторное поле Е на Z такое, что
EjO=1, EjdO = O A.4)
[46]. Легко видеть, что в координатах Дарбу это векторное поле имеет вид Е = д0. Оно
называется векторным полем Риба. ?
Предложение 1.5. Контактная форма в на Bт+ 1)-мерном многообразии Z опреде-
определяет на нем структуру Якоби, задаваемую векторным полем Риба Е A.4) и бивекторным
полем w таким, что
гой0 _i 6» = 0, A.5)
ги'0 j dO = -(ф -(?j фH)
для произвольной 1-формы ф на Z. [47]. а
В координатах Дарбу скобки Якоби A.1), определяемые контактной формой, имеют
вид
т
if, 9} = J2(9m+igdif - dm+ifdig) + (gdof - fdog),
где
m
I - Z^z Om+if - J,
§3. Структура Пуассона
Структура Пуассона является ключевой для гамильтоновой формулировки как ав-
автономной, так и неавтономной механики. В автономной механике это, как правило,
симплектическая структура.
Как уже отмечалось, бивекторное поле
w=- vTd,, A 8V

§3. Структура Пуассона 37
на многообразии Z определяет на нем скобки Пуассона (структуру Пуассона)
if,g} = w(df,dg) A.6)
тогда и только тогда, когда оно пуассоново, т. е.
[w, w] = 0, vf^dpw*2*3 + w^'dpw*3*1 + w^'d^w^2 = 0.
Помимо свойств (А1—A3), скобки Пуассона A.6) удовлетворяют также правилу Лейбница
Многообразие Z, наделенное пуассоновым бивекторным полем w, называется пуассо-
новым многообразием.
Пример 1.3. Всякое многообразие допускает нулевую структуру Пуассона, характе-
характеризуемую нулевым бивекторным полем w = 0. ?
Структура Пуассона A.6) называется регулярной, если задаваемый бивектором w
морфизм vr : T*Z —» TZ A.3) имеет постоянный ранг. В дальнейшем рассматрива-
рассматриваются только регулярные структуры Пуассона.
Структура Пуассона A.6) называется невырожденной, если морфизм wi A.3) — изо-
изоморфизм. Как уже отмечалось, невырожденная структура Пуассона может существовать
на многообразиях только четной размерности.
Функция С на пуассоновом многообразии (Z, w) называется функцией Казимира,
если
{с,/} = <), v/e^V).
Очевидно, что в случае невырожденной структуры Пуассона функции Казимира могут
быть только константами.
Определение 1.6. Отображение ? : Z —* Z' пуассонова многообразия (Z,w) в пуас-
пуассоново многообразие (Z', «/) называется пуассоновым морфизмом, если для любой пары
функций /, g на Z' справедливо равенство
{/° С, «7° О = {/,<?}'° <•
D
В общем случае структура Пуассона на многообразии Z не переносится на Z' при
отображении многообразий Z —» Z' и не индуцируется на Z' при отображении Z' —> Z.
Приведем условия, когда такое возможно.
Предложение 1.7. Пусть (Z, w) — пуассоново многообразие и тг: Z —» У — рассло-
расслоение. Следующие свойства эквивалентны:
• для любой пары функций (/, д) на У и для всякой точки у 6 У функция
{/ ° Ti 9 ° тг} постоянна на слое ir~l(y);

38 Глава 1. Симплектическая механика
• на многообразии У существует структура Пуассона {.,.}' такая, что тг — пуас-
сонов морфизм, т. е.
{/ о тг, д о тг} = {/, д}' о тг.
Если такая структура Пуассона существует, она единственна [46]. D
Прямое произведение Z x Z' пуассоновых многообразий (Z, w) и (Z1, w') наделяется
естественной структурой Пуассона, задаваемой пуассоновым бивекторным полем w®w'
на Z х Z'. Она называется прямым произведением структур Пуассона. При этом проекции
prt и рг2 являются пуассоновыми морфизмами.
Задание на многообразии Z структуры Пуассона выделяет на нем подкласс гамиль-
тоновых векторных полей — ключевых объектов гамильтоновой динамики.
Определение 1.8. Пусть / — некоторая функция на пуассоновом многообразии
(Z, w). Образ
¦д] = w*df,
ее дифференциала df относительно морфизма ги' называется гамилътоновым векторным
полем, ассоциированным с /. ?
В силу определения гамильтоновы векторные поля §j удовлетворяют соотношениям
*f-4lg = {f,g}, \/ge^\Z), A.7)
[*/,**] = *{/,»>. A-8)
Пример 1.4. С функцией Казимира на пуассоновом многообразии ассоциировано
всюду нулевое гамильтоново векторное поле. D
Соотношение A.8) наделяет множество гамильтоновых векторных полей структурой
вещественной алгебры Ли.
¦ Значения гамильтоновых векторных полей образуют 2т -мерное характеристичес-
характеристическое распределение на многообразии Пуассона (Z,w). Из соотношения A.8) следует, что
это распределение инволютивно, а значит, согласно Теореме П.З интегрируемо. Соот-
Соответствующее слоение называется характеристическим.
Теорема 1.9. Структура Пуассона порождает симплектическую структуру (см. § 1.4)
на слоях характеристического слоения, которое поэтому называется также симплекти-
ческим слоением [71]. ?
Для симплектического слоения существуют локальные координаты
( z2m+1 z*1
описанные в Следствии П.4. Более того, эти координаты можно выбрать таким образом,
что скобки Пуассона принимают следующий канонический вид [71, 74].
Предложение 1.10. В окрестности всякой точки z многообразия Пуассона существу-
существует система координат

§ 4. Симплектическая структура 39
такая, что
{РиУ>} = %, A.9)
{У\ У*} = {Pi, Pj} = {у\ zA} = {pu zA} = {zA, zB} = 0.
Эти координаты называются каноническими. ?
В локальных канонических координатах A.9) скобки Пуассона A.6) даются выра-
выражениями
а функциями Казимира являются произвольные функции от координат zA. Соответ-
Соответственно, гамильтоново векторное поле, ассоциированное с функцией /, принимает вид
Замечание 1.5. Теорему 1.9 можно переформулировать в следующем виде: всякая
структура Пуассона на многообразии Z локально представляет собой прямое произве-
произведение симплектической структуры и нулевой структуры Пуассона. В частности, если
структура Пуассона невырождена, характеристическое распределение совпадает с TZ, a
характеристическое слоение имеет единственный слой — само многообразие Z, которое
наделено симплектической структурой (см. Предложение 1.13). ?
§4. Симплектическая структура
Невырожденная структура Пуассона на многообразии Z определяет на нем сим-
плектическую структуру и обратно.
Всякая 2-форма
u=-uliVdzt> hdzv A.10)
на Л-мерном многообразии Z задает послойный морфизм
О* : TZ -> T*Z,
fl*(») = -t)jflD v?Tzz, (l.ii)
Говорят, что форма П A.10) в точке z имеет ранг г, если в этой точке имеет ранг г
к
морфизм A.11). Это максимальное из чисел 2fc таких, что внешнее произведение /\Q
нигде не обращается в 0.
Назовем ядром 2-формы П множество
Кег П = U {v ? TZZ : v j и j П = 0, Vw € TZZ}, A.12)
которое является ядром морфизма A.11). Очевидно, что всякий его слой Kerz П над
точкой z G Z образует векторное подпространство касательного пространства TZZ, ко-
коразмерность которого равна рангу п в точке z. Если 2-форма U имеет один и тот же

40 Глава 1. Симплектическая механика
ранг г во всех точках, то ее ядро A.12) является распределением, т.е. подрасслоением
касательного расслоения TZ.
Форма П A.10) называется невырожденной, если ее ранг равен dim Z. Невырожден-
Невырожденная 2-форма П может существовать на многообразии только четной размерности 2т.
т
Тогда Л О всюду отлична от 0 и является элементом объема на многообразии Z.
Определение 1.11. Внешняя 2-форма п на многообразии Z называется пресим-
плектической, если она замкнута, т.е. dfl = 0. Пресимплектическая форма именуется
симплектической, если она невырождена. Многообразие, наделенное симплектической
формой, называется симплектическим многообразием. ?
Используя формулу (П.20), легко проверить, что ядро Кег П A.12) пресимплектиче-
ской формы П постоянного ранга образует инволютивное распределение и определяет
слоение на многообразии Z. При сужении на слои этого слоения форма П обращается
вО.
В отличие от структуры Пуассона, пресимплектическая структура индуцируется на
произвольном многообразии Z при его отображении ( : Z —> Z' в пресимплектическое
многообразие (Z1, п'). Очевидно, что индуцированная форма ?*П' является пресим-
плектической формой на Z. Ясно, что, если П' — симплектическая форма, индуциро-
индуцированная форма ?*Q' не обязательно симплектическая.
Определение 1.12. Отображение ( : Z -* Z' симплектического многообразия (Z, Q) в
симплектическое многообразие (Z1, Q') называется симплектоморфизмом, если П = ?*П'.
а
Установим связь между структурами Пуассона и симплектическими структурами.
Предложение 1.13. На многообразии Z четной размерности 2т имеет место взаимно
однозначное соответствие между симплектическими формами П и невырожденными
пуассоновыми бивекторными полями w. Оно дается соотношениями
it , v) = w{$$-d, dv\ A.13)
(см. формулы A.3) и A.11)). ?
Равенства A.13) имеют координатный вид
В частности, канонические координаты для невырожденного пуассонова бивекторного
поля w являются каноническими и для соответствующей ему симплектической фор-
формы П. В этих координатах они имеют вид
fl = dpi A dy, w = дг А д{.
Замечание 1.6. Ввиду указанного в Предложении 1.13 соответствия структуру Пуас-
Пуассона иногда называют косимтектической структурой, п
Фазовое пространство в автономной механике по определению считается симплек-
симплектическим многообразием. При этом в физических моделях мы ограничимся следующим
частным случаем симплектических многообразий.

§ 4. Симплектическая структура
Пример 1.7. Пусть М — многообразие с координатами (уг) и Т*М — кокасательное
расслоение с голономными координатами (y\pi). Расслоение Т*М наделено канониче-
канонической формой Лиувилля
в = Pidy\
Она определяется условием
v j в(р) = TntM(v) jP, Vv е трт*м, р е т*м.
Ее внешний дифференциал задает каноническую симплектическую форму
П = йв = dpi Adyf A.14)
на Т*М, для которой любые голономные координаты на Т*М являются канонически-
каноническими.
Форма A.14) не является единственной симплектической формой на кокасательном
расслоении Т*М. Для всякой замкнутой 2-формы ф на М, форма
также является симплектической формой на Т*М такой, что
где б — глобальное нулевое сечение расслоения Т*М -* М. Отсюда следует, что всякая
пресимплектическая форма ф на многообразии М может быть представлена как инду-
индуцированная некоторой симплектической формой, например, формой A.15) на Т*М.
а
Каноническая симплектическая форма A.14) играет особую роль в симплектической
геометрии в силу приведенной ниже теоремы Дарбу [46], которая может быть получена
как следствие Предложений 1.10 и 1.13.
Теорема 1.14. В некоторой окрестности U всякой точки z G Z симплектического
многообразия (Z, П) имеется локальная система канонических координат
(y\...,ym,ph...,pm)
такая, что П на G дается координатным выражением A.14). ?
Симплектическая форма П на многообразии Z задает изоморфизм расслоений
(У : TZ -> T*Z
A.11), который в локальных канонических координатах (y%,pi) на Z имеет вид
Соответствующее ей невырожденное пуассоново бивекторное поле w определяет обрат-
обратный изоморфизм
wl = -фУ1 : Т*Z -+ TZ

42 Глава 1. Симплектическая механика
A.3), который в локальных канонических координатах имеет вид
w' : Vidy + vUpi i-> -v'di + Vid1.
В частности, гамильтоновы векторные поля на симплектическом многообразии мо-
могут быть определены следующим образом.
Определение 1.15. Векторное поле # на симплектическом многообразии (Z, П) на-
называется локально гамилътоновым [соотв. гамильтоновым], если форма # j fl является
замкнутой [соотв. точной]. ?
Из этого определения непосредственно следует, что:
• векторное поле ¦& локально гамильтоново тогда и только тогда, когда оно является
генератором локальной 1-параметрической группы локальных симплектоморфиз-
мов, т.е.
• векторное поле •& является гамильтоновым, только если оно является гамильто-
гамильтоновым согласно Определению 1.8 для некоторой функции / на Z, и тогда
tf/jfi= -df; A.16)
• скобки Пуассона, определяемые симплектической формой П, имеют вид
Из формулы A.16) видно, что гамильтоново векторное поле -df касательно к слоям
сингулярного слоения поверхностей уровня функции / в ее неособых точках.
Пример 1.8. Рассмотрим кокасательное расслоение Т*М с канонической симплек-
симплектической формой П A.14). Пусть и = и*д{ — векторное поле на М. Тогда его канони-
канонический лифт
и = u'di - pjdirfd' A.17)
на Т*М является гамильтоновым:
а
Замечание 1.9. Нужно отметить, что в литературе встречается определение гамиль-
тонова векторного поля, которое отличается знаком от A.16) [12]. ?
Выделяют следующие классы подмногообразий симплектического многообразия.
Пусть (Z, П) — симплектическое многообразие и N — его подмногообразие. Рассмо-
Рассмотрим множество
Кег^ П = \J{v? T2Z :и_|И_|П = 0, VwG T2N}. A.18)
z6.IV
Оно называется относительным ядром симплектической формы.
Подмногообразие N С Z именуется

§ 4. Симплектическая структура 43
изотропным, если TN С Кег П,
коизотропным, если Кег^ П С TN,
лагранжевьш, если Ker^ fl = TN,
• симплектическим, если сужение г^п симплектической формы П на N — сим-
симплектическая форма.
Как следует из определений, симплектическая форма, ограниченная на изотропное
или лагранжево подмногообразие, обращается в 0.
Лагранжево подмногообразие 2т-мерного многообразия имеет размерность т. В
локальных канонических координатах (yl,Pi) оно определяется локально соотношени-
соотношениями
УЬ
¦ь = dbs,
где S(ya, рь) — функция от т переменных {уа, рь; а € А, Ъ G В} для некоторого разби-
разбиения (А, В) множества A,..., т). Напомним, что ростком подмногообразия N в точке
z ? Z называется класс эквивалентности (iV; z) подмногообразий многообразия Z, про-
проходящих через точку z и совпадающих с N в какой-либо открытой окрестности точки z.
Тогда росток лагранжева подмногообразия (N; z) симплектически эквивалентен ростку
подпространства
{(у, р) G K2m : й = 0, i = 1,..., т} A.20)
в точке 0 ? Ж2 симплектического пространства Ж2 [29]. Выражение A.20) получается
из A.19) композицией симплектоморфизмов
УЬ •-> -Рь, Рь >-> УЬ
Росток Bга - г)-мерного коизотропного подмногообразия (N; z) симплектически
эквивалентен ростку подпространства
{(y,p)eR2m: у{ = 0,1=1,...,г}
в точке 0 G К2 симплектического пространства К2.
Росток 2(га - г)-мерного симплектического подмногообразия (N; z) симплектиче-
симплектически эквивалентен ростку подпространства
в точке 0 G Ж2т симплектического пространства Ж2т [29].
Пример 1.10. Пусть П — каноническая симплектическая форма A.14) накокаса-
тельном расслоении Т*М к тп-мерному многообразию М. Тогда ее поднятие П (П.21)
является симплектической формой
п = dju A dy* + dpi A #' A.21)

44 Глава 1. Симплектическая механика
на ТТ*М. В силу изоморфизма ТТ*М = Т*ТМ (П. 10), форма A.21) является канони-
канонической симплектической формой на кокасательном расслоении Т*ТМ к многообразию
ТМ в канонических координатах (y',y',Pi,Pi)- Пусть
— гамильтоново векторное поле для некоторой функции / на Т*М. Оно определяет
2тп-мерное подмногообразие
»' = 07, Pi = -dif A-22)
4т-мерного симплектического многообразия Т*ТМ. Ограничение симплектической
формы A.21) на него тождественно равно 0, и оно лагранжево с производящей функцией
f(y\Pi)- a
§ 5. Симплектические гамильтоновы системы
Остановимся коротко на динамике консервативных механических систем на фазо-
фазовом пространстве — симплектическом многообразии Z.
Рассмотрим расслоение
У = 1х^->1 A.23)
с послойными координатами (t, zx), согласующимися с тривиализацией A.23). Послед-
Последнее означает, что функции перехода zx —> z'x координат zx не зависят от t. В случае
тривиального расслоения A.23) его многообразие струй диффеоморфно произведению
= Ex TZ.
В этом легко убедиться, сравнивая преобразования (П.29) координат zx на JlY и пре-
преобразования (П.З) голономных координат iA на TZ. Эти координаты могут быть ото-
отождествлены: zx = zx.
Всякое векторное поле и на многообразии Z определяет замкнутое подрасслоение
5„ = Мх u(Z), A.24)
расслоения JlY -»1и тем самым задает систему дифференциальных уравнений перво-
первого порядка A.24) на К х Z. Ее решениями являются (локальные) сечения г расслоения
A.23) такие, что
dtrx(t) = ux(r(t)),
т.е. ргз os являются интегральными кривыми векторного поля и.
Пусть ЗР — некоторая вещественная функция на симплектическом многообразии
(Z, П) и $%? — соответствующее гамильтоново векторное поле. Согласно сказанному
выше, оно определяет систему дифференциальных уравнений первого порядка
Ж х Sar С Ж х TZ,
= U {г; б TZZ : v j П + d3T(z) = 0}, A.25)

§ 5. Симплектические гамильтоновы системы 45
на расслоении A.24), которая в локальных канонических координатах (у\рд на Z за-
задается условиями
¦jf = д*Ж, pi = -diSf. A.26)
Они называются уравнениями Гамильтона для гамильтониана 3Z*'. Их решения r(t) удо-
удовлетворяют уравнениям
dr% ; dri
— = д'ЗГ, -± = -д^. A.27)
at at
Локальное решение проходит через любую точку гамильтоновой системы A.25).
Подмножество Sw A.25) называется симплектической гамильтоновой системой уши
просто гамильтоновой системой. Ее решением считается гамильтоново векторное поле
для гамильтониана 3?". Интегральные кривые этого векторного поля являются реше-
решениями уравнений Гамильтона A.26).
Пример 1.11. Пусть Z — Т*М — симплектическое многообразие с каноничес-
канонической симплектической формой. Тогда согласно Примеру 1.10 всякая гамильтонова си-
система является лагранжевым подмногообразием A.22) симплектического многообразия
Т*ТМ, наделенного канонической симплектической формой A.21) [45, 69, 70]. Произ-
Производящей функцией этого подмногообразия служит гамильтониан Sf. ?
Пусть Ж — гамильтониан на симплектическом многообразии Z. Производная Ли
произвольной вещественной функции / на Z вдоль гамильтонова векторного поля $%*,
ассоциированного с 3t, имеет вид
U^f = ^->4f = {^,f}- A-28)
Выражение A.28) называется уравнением эволюции. При подстановке в него решения
r(t) уравнений Гамильтона A.27) мы получаем, как принято говорить, эволюцию
dt(f ог) = {Ж, f} о г
функции / во времени на этом решении. В частности, если
} = 0, A.29)
функция / является постоянной на любом решении уравнений Гамильтона для гамиль-
гамильтониана Ж, или, что то же самое, постоянна на интегральных кривых гамильтоно-
гамильтонова векторного поля, ассоциированного с 3F. Функция / ф const, удовлетворяющая
условию A.29), называется первым интегралом движения гамильтоновой системы с га-
гамильтонианом 3Z*'. Геометрически это означает, что гамильтоново векторное поле ¦&,&>
касательно к поверхностям уровня функции / в ее неособых точках.
Пример 1.12. Сам гамильтониан консервативной системы является с очевидностью
первым интегралом движения определяемой им гамильтоновой системы, о
Два первых интеграла /i и /г называются независимыми, если определяемые ими
сингулярные слоения не совпадают. Говорят, что они находятся в инволюции, если
Гамильтонова система на 2т-мерном симплектическом многообразии называется впол-
вполне интегрируемой, если существует т ее независимых первых интегралов /* в инволю-
инволюции.

46 Глава 1. Симплектическая механика
§ 6. Пресимплектические гамильтоновы системы
Обобщим понятие гамильтоновой системы на случай пресимплектического много-
многообразия.
Пусть Z — к -мерное многообразие с пресимплектической формой П и St — функ-
функция на Z. Пресимплектической гамильтоновой системой для гамильтониана 3$? называ-
называется, как и A.25), подмножество
Sir = U {v G TZZ : v j П + <?JF(z) = 0}. A.30)
zez
Ее решением считается локальное интегрируемое векторное поле # на Z, лежащее в
Sst, т. е. удовлетворяющее равенству
tf_ifl = -dJF. A.31)
О нем можно говорить как о гамилътоновом векторном поле для гамильтониана S(f отно-
относительно пресимплектической формы П. Отличие от симплектического случая состоит
в том, что, если форма П вырождена, множество A.30) в общем случае не является под-
подмногообразием и решения уравнений A.31) существуют не везде на многообразии Z.
Заметим, что для всякой точки z G Z слой
{v?T2Z : »jQ + <Ш*(г) = 0} A.32)
множества Sw над z является аффинным пространством, моделируемым над вектор-
векторным пространством
Kerz Q = {ve T2Z :и_|И.|П = 0, VwG TzZ}
— слоем ядра Kerfl A.12) пресимплектической формы П. Слой A.32) однако может
быть пустым.
Предложение 1.16. Уравнение
= Q, v?TzZ, A.33)
имеет решения только в тех точках подмножества
N2 = {z € Z : «j dSt(z) = 0, V« G Kerz П} С Z, A.34)
т. е. где Кегг П С Kerz dH [34, 55].
доказательство. Предположим, что существует вектор v € T2Z, удовлетворяющий
уравнению A.33). Тогда, сворачивая правую часть уравнения A.33) с произвольным эле-
элементом и G Kerz П, получаем равенство и j dSt(z) = 0. Для доказательства обратного
достаточно показать, что
G Im flb.
Это следует из цепочки включений
dJT(z) G Ann(Ker d<%*(z)) С Ann(Kerz П) = Im Ob,
где Ann(V) С T*Z обозначает аннулятор подпространства V G TZZ. P

§ 6. Пресимплектические гамильтоновы системы 47
Замечание 1.13. Небезынтересен случай пресимплектической гамильтоновой систе-
системы с нулевым гамильтонианом (см. Замечание 2.14). Тогда уравнение A.33) допускает
решение на всем многообразии Z. п
Пусть пресимплектическая форма ft имеет постоянный ранг и подмножество Nj
A.34) — подмногообразие Z (не обязательно связное). Тогда Sse —* iV2 является аф-
аффинным расслоением и имеет сечение — локальное гамильтоново векторное поле ¦dsr
на подмногообразии JV2. Оно, однако, не является интегрируемым в точках z € N2, где
П TzNj = 0. Здесь возможны два варианта; назовем их внешним и внутренним.
\
В первом варианте ищется подмногообразие N С N2 такое, что S^\ П TZN ф 0
для всех z E N. Если оно существует, его можно получить следующей процедурой.
Рассмотрим пересечение
и спроектируем его на Z. Получим подмножество
ь П TN2) С Z.
Далее возьмем пересечение
Его проекция на Z даст нам подмножество JV4 и т. д. Поскольку многообразие Z конеч-
конечномерно, процедура на конечном числе шагов завершится одним из следующих случаев.
• Множество Nj для некоторого г ^ 2 оказывается пустым. Это означает, что ре-
решения пресимплектической гамильтоновой системы не существует.
• Множество JVj для некоторого г > 2 не является подмногообразием. В этом случае
говорят, что не существует или не везде на JV,- существует динамическое решение.
• Если Ni+i = N{, начиная с некоторого JV», i > 2, то в окрестности всякой точки
z ? Ni существует локальное векторное поле, принимающее значения в S
Во втором варианте на подмногообразии JV2 вводится индуцированная пресимплек-
пресимплектическая форма П2 = «NjO и рассматривается пресимплектическая гамильтонова систе-
система
S*t= [jive TZN2 : v j fi2 + dm{z) = 0}
для индуцированного на JV2 гамильтониана Щ. = i\tj%?. Повторяя предыдущие рассу-
рассуждения, ищем ее решения. Получаем, что уравнение
v _i П2 + йЩ(?) = 0, v ? TZN2,
имеет решение на подмножестве
Ni = {z € N2: и j i*Nid^{z) = 0, V« G Кегг П2} С JV2
и т.д. Получаем цепочку подмножеств
N2 D Ni D JV4 Э • • •,
которая конечна и оканчивается опять же в одном из следующих трех случаев.

48 Глава 1. Симплектическая механика
• Множество Ni для некоторого г ^ 2 оказывается пустым.
• Множество Ni для некоторого г ^ 2 не является подмногообразием.
• Если N[+\ — Ni, для некоторого JV/, i ^ 2, то на JV/ существует векторное поле,
принимающее значения в S,?j- С TJV/.
Сравнивая внешний и внутренний варианты, легко установить, что всякое реше-
решение # уравнений A.31) на подмногообразии N С N2 С Z в первом варианте является и
решением уравнений
во втором варианте.
Проблема состоит в том, что в случае пресимплектической гамильтоновой системы
на многообразии Z это многообразие, вообще говоря, не наделено структурой Пуас-
Пуассона, т. е. не заданы скобки Пуассона на функциях на Z и трудно написать явные
выражения. Однако, как отмечалось в Примере 1.7, всякая пресимплектическая форма
на многообразии Z может быть представлена как индуцированная некоторой симплек-
тической формой на многообразии, подмногообразием которого является Z. Таким
образом пресимплектические гамильтоновы системы сводятся к дираковским системам
со связями.
§ 7. Дираковские системы со связями
Рассмотрим теперь гамильтоновы системы со связями. Пусть (Z, Vt) — 2тп-мерное
симплектическое многообразие и Ж — гамильтониан на Z, Пусть Q — подмногообра-
подмногообразие Z, называемое пространством первичных связей, или просто пространством связей.
Задача может быть поставлена двояко.
(А) Исследовать решения ассоциированной с Ж гамильтоновой системы на Z', при-
принадлежащие пространству связей Q.
(Б) Определить сужение гамильтоновой системы на пространство связей Q.
Замечание 1.14. Приведем некоторые полезные локальные соотношения. Пусть
Q — вложенное Bт - п) -мерное подмногообразие многообразия Z. Локально оно
задается уравнениями
fa(z)=0, а=1,...,п, A.35)
где fa(z) — локальные функции на Z, называемые связями. Рассмотрим подмножество
Ker i*Q С <?°(Z) вещественных функций / на Z таких, что i*gf — 0. Это ядро морфизма
iq : <9'Q{Z) -» {?°(Q). Всякая такая функция / локально представима в виде
/ = Ё5в/«, A-36)
0=1
где да — некоторые функции на Z.
Обозначим d Ker i*Q подмодуль <f°(Z)-модуля <?X{Z), порождаемый внешними диф-
дифференциалами df функций / из Кеггд. Его элементами являются 1-формы
о- = Е Sfdfi, ft G Ker i*Q, g* G <?°(Z).

§ 7. Дираковские системы со связями 49
Принимая во внимание A.36), замечаем, что всякая такая форма локально представима
в виде
Eadfa + /.Л A.37)
а=1
где д" — некоторые функции и фа — некоторые 1-формы на многообразии Z.
Еще раз подчеркнем, что выражения A.36) и A.37) справедливы локально в области,
где подмногообразие Q задается уравнениями A.35). ?
Решение задачи (А) вполне очевидно. Если гамильтоново векторное поле $;% , огра-
ограниченное на пространство связей Q, касательно к Q, то всякое решение гамильтоновой
системы через точку z ? Q принадлежит TQ. Другими словами, множество
S;A = U {v 6 T2Z : v j О + d^'(z) = 0}
4 zEQ
должно принадлежать TQ С TZ.
Например, пусть Q — вложенное подмногообразие, локально задаваемое уравнени-
уравнениями A.35). Оно удовлетворяет сформулированному выше условию, если
для всех связей, т. е.
«} = ?^Л, A-38)
с=\
где дс — некоторые функции на Z.
Если соотношение A.38) не выполняется, введем вторичные связи
{#", fa} = О-
Если система первичных и вторичных связей не замкнута в смысле условия A.38), рас-
рассмотрим третичные связи
{ЯГ, {ЯГ, fa}} = О
и т.д. Поскольку многообразие Z конечномерно, процедура на конечном числе шагов
завершится построением полной системы связей. Определяемое полной системой связей
подмногообразие будет пусто в окрестностях тех точек, где гамильтоново векторное
поле &%¦• трансверсально пространству первичных связей Q.
Перейдем к решению задачи (Б). Гамильтон-дираковской системой, порождаемой
гамильтонианом Sf на подмногообразии Q симплектического многообразия (Z, П),
называется подмножество
i = 0, \/ueTzQ} A.39)
[48]. Заметим что
С
Поэтому множество A.39) не пусто.
Говорят, что гамильтон-дираковская система на Q имеет решение, если в окрестно-
окрестности всякой точки z e Q существует векторное поле на Q, лежащее в множестве Sq-zr
A.39). В частности, всякое решение задачи (А) является и решением задачи (Б).

50 Глава 1. Симплектическая механика
Пример 1.15. В следующем случае задача (Б) имеет исчерпывающее решение в тер-
терминах ростков. Пусть Z = Т*М — симплектическое многообразие с канонической сим-
плектической формой П и Q — его коизотропное подмногообразие. Тогда TQ является
коизотропным подмногообразием симплектического многообразия ТТ*М с симплек-
тической формой П A.21). Действительно, пусть и G TTQ и v G TTT*M \ TTQ.
Существует векторное поле т„ на Q такое, что его канонический лифт т„ на TQ содер-
содержит и. Аналогично, существует (и не одно) векторное поле т„ на Т*М такое, что его
канонический лифт т„ содержит v. Пусть
Тогда в силу соотношения (П.21) можно записать
v ju ju = Tv(q) _i fu(q) jfl = (tv(z) j tu(z) j Q).
В общем случае произвольного и G TqTQ это выражение отлично от 0, поскольку т„ в
сколь угодно малой окрестности z не принадлежит Кег^ П.
Пусть ЗГ — гамильтониан на Т*М. Гамильтон-дираковская система на коизотроп-
ном Bт - га)-мерном подмногообразии Q имеет решение, если коизотропное подмно-
подмногообразие TQ С ТТ*М и лагранжево подмногообразие S^r A.25) не трансверсальны.
Росток всякой такой пары (TQ, S;.) симплектически эквивалентен паре
({У1 = ¦ ¦ ¦ = У2" = 0}, {уа = daS(p), о = 1,..., 2т}; о), (у,р) ? К4т,
где S — росток функции такой, что ранг в 0 касательного морфизма к морфизму
не максимален. Можно дать и более детальную классификацию ростков производящих
функций S [29]. а
Гамильтон-дираковская система называется интегрируемой, если через каждую точ-
точку множества Sq>^ проходит некоторое ее решение. Очевидно, что это имеет место,
только если Sq»st С TQ.
Заметим, что для всякой точки z ? Q слой
{г> € TZZ : и _, (v j П + d3T(z)) = 0, Vw G T2Q}
множества Sq-%> над z G Q является непустым аффинным пространством, моделируе-
моделируемым над векторным пространством
Ker? Q={v€TzZ: и j v j П = 0, V« € TZQ} A.40)
— слоем относительного ядра Кег^ П A.18) симплектической формы П. Отсюда сле-
следует, что Kerf П С TQ и гамильтон-дираковская система на пространстве связей Q
интегрируема, только если Q — коизотропное подмногообразие. Кроме того, в этом
случае немедленно получаем, что
Чтобы сформулировать достаточные условия интегрируемости гамильтон-дираков-
ской системы, предположим, что для всех z ? Q векторные пространства A-40) имеют

§ 7. Дираковские системы со связями
одну и ту же размерность. Тогда относительное ядро Кег* О —> Q является векторным
расслоением, а гамильтон-дираковская система Sq>^ —у Q — аффинным расслоением
над Q.
Предложение 1.17. Пусть подмногообразие Q симплектического многообразия
(Z, О) коизотропно. Тогда Ker^ ft — инволютивное распределение на Q. Пусть форма
dSf постоянна вдоль слоев соответствующего слоения. Тогда гамильтон-дираковская
система A.39) интегрируема [48].
доказательство. Поскольку множество Sq'jt не пусто, достаточно доказать, что оно
принадлежит TQ. Пусть v ? Sq-^t и z = ttz(v). Для всех и ? Kerf П С TZQ справедливо
равенство
- 0.
Отсюда следует, что v € TZQ. Поскольку Sy%r С TQ, через каждую точку гамильтон-
дираковской системы Sq*3? проходит векторное поле на Q. Это решение не единствен-
единственно: если v — такое векторное поле, то всякое векторное поле v + и, где и принимает
значения в относительном ядре Кег^ О С TQ, тоже является решением гамильтон-ди-
раковской системы. Q
Таким образом, интегрируемые гамильтон-дираковские системы следует рассматри-
рассматривать на коизотропных подмногообразиях. В случае коизотропного подмногообразия Q
гамильтонова система на нем фактически определяется ограничением Uq = i*QU сим-
плектической формы П и ограничением 3^q = iqSf гамильтониана 31? на Q. Действи-
Действительно, если v G TQ, система A.39) представима в виде
Svse = U {v ? T2Q : v j uq + dStQ(z) = 0}. A.41)
zeQ
Система A.41) может быть определена на любом подмногообразии Q. Она на-
называется дираковской системой на пространстве первичных связей Q [5, 34, 54]. Это
пресимплектическая гамильтонова система на многообразии Q с пресимплектической
формой Пд. В частности, из Предложения 1.16 следует, что уравнение
»jflg + 4Щ(?) = 0, v ? T2Q, A.42)
имеет решения только в точках подмножества
N2 = {z ? Q : и j d3TQ(z) = 0, Vu ? Кегг flg}. A.43)
Далее применим внутренний вариант описания пресимплектических систем из предыду-
предыдущего параграфа. Однако в данном случае, когда эта система вложена в симплектической
пространство (Z, О), можно сказать больше.
Предположим, что пространство первичных связей Q — вложенное подмногообра-
подмногообразие, задаваемое локально уравнениями A.35), которые называются первичными связями.
Рассмотрим подмодуль векторных полей
= {и € J^(Z): и j П 6 d Ker i*Q}
на многообразии Z. Локально всякое такое векторное поле пред ставимо в виде
о=1

52
Глава 1. Симплектическая механика
где v — векторное поле, обращающееся в 0 на Q, д" — некоторые функции на Z, а
¦&fa — локальные гамильтоновы векторные поля для функций /„ A.35), т.е.
VfajQ = -dfa.
Рассмотрим подмодуль ^qa(Z) модуля ^q(Z), образованный векторными полями #
на Z такими, что
t? j м j П ? Кег i*Q, Vw e ^q(Z).
Очевидно, на Q эти векторные поля принимают значения в ядре Кег Qq пресимплек-
тической формы Qq.
Пусть пресимплектическая форма Qq имеет постоянный ранг 2т — п — к, т.е.
Kerz Qq имеет размерность к ^ п во всех точках z ? Q. Тогда она определяет сло-
слоение на пространстве связей Q, при ограничении на слои которого Qq обращается в 0.
В этом случае локальными образующими подмодуля ^q°(Z) являются векторные по-
поля, обращающиеся в 0 на Q, и семейство к линейно независимых векторных полей,
которые на Q касательны к слоям указанного слоения. Они имеют вид
аь#/а, 6=1,...,*,
A.44)
0=1
где дЪ — некоторые функции на Z и 0д — гамильтоновы векторные поля для связей /„.
Тогда в качестве первичных связей можно выбрать семейство функций fl, Ъ = 1,..., га,
где первые к функций задаются в виде
a, 6=1,...,*.
0=1
Так как векторные поля A.44) удовлетворяют условиям
щ j §fa j Q ? Кег iq, а = 1,..., га,
то
Тогда согласно A.36) можно записать
6=1,...,*, с=1,...,п,
0=1 ,
A.45)
где Сьс — локальные функции на Z. Связи //,..., fl, подчиняющиеся условию A.45),
называются связями первого рода, а оставшиеся fl+\,. ¦ ¦, fn — второго рода.
Как уже отмечалось, дираковская система на подмногообразии Q может иметь ре-
решение только на подмножестве A.43), т.е. в точках z ? Q, где
e»(z)
= 0, 6=1,...,*.
A.46)
Вторичные связи A.46) определяют локально подмногообразие Nj С Q, называемое
пространством вторичных связей. Существуют векторные поля i? на /, которые на Q

§ 7. Дираковские системы со связями 53
являются гамильтоновыми векторными полями относительно пресимплектической фор-
формы Qq для гамильтониана ^ и на N2 касательны к Q. Локально они имеют вид
где Аа — функции на Z, удовлетворяющие на N2 уравнениям
{ar,ft}+ ? Ae{/i,/i'} = 0, Ь = А+1,...,п.
Процедура повторяется для пространства вторичных связей JV2 и т.д. до много-
многообразия финальных связей N, если оно существует. Локально оно задается финальными
связями
, fa} = ?,$&, о=1,...,в,
где Въа — локальные функции на Z. Среди них выделяются связи первого рода
/ь ... ,fs, т.е. такие, что
{/(,/с} = ЕО«, 6=1,- ..,5, С=1,...,Г.
Решением дираковской системы на финальном пространстве N (она называется полной
дираковской системой) является векторное поле
« = «at + J2 A°0/.,
0=1
где коэффициентные функции As+1,..., Аг выражаются через связи /„ посредством
уравнений
{^, Л} + Е Ae{/«,/»}|tf = 0, Ь = 5 + 1,...,г-. A.47)
0=1
Каждое такое решение является решением гамильтоновой системы на Z для гамильто-
гамильтониана
^ + ЕА°/а.
а=1
Пример 1.16. Если гамильтоново векторное поле $&> касательно к N, то, как следует
из уравнений A.47), оно является и решением дираковской системы на N. Р
Пример 1.17. Рассмотрим полную дираковскую систему на подмногообразии N С Z
таком, что сужение симплектической формы П на N является симплектической фор-
формой. Это система со связями только второго рода. Р
Замечание 1.18. Если связи дираковской системы только первого рода, они образуют
алгебру Ли над Ж. а

54 Глава 1. Симплектическая механика
§ 8. Гамильтоновы системы с симметриями
Наличие симметрии гамильтоновой системы приводит к появлению интегралов дви-
движения. Мы ограничимся здесь симплектическими гамильтоновыми системами с сим-
симметриями (случай пресимплектических систем с симметриями см. в [56]).
Пусть (Z, П) — симплектическое многообразие, на котором задано левое действие
вещественной группы Ли G такое, что для всякого д ? G отображение z >-» gz является
изоморфизмом симплектического многообразия Z. Такое действие группы G называ-
называется симплектическим [12].
Пусть е — элемент правой алгебры Ли ^. группы G к (,е — соответствующее век-
векторное поле на Z. Оно является локально гамильтоновым, т.е.
I^eO = Ufa _i О) = 0.
Допустим, что оно гамильтоново, т. е.
& j О = -dJe,
где Зе — некоторая вещественная функция на Z.
Определение 1.18. Отображение симплектического многообразия Z в сопряженное
пространство алгебры Ли
J:Z^^\
удовлетворяющее соотношению
J?(z) = (J(z), s), Ve € g?r, A.48)
называется импульсным отображением. ?
Легко убедиться, что, если J и Т — два разных импульсных отображения для одного
и того же действия G на Z, то
d{J(z)-?(z),e)=0, Veeg?r,
т. е. J - J' = const на Z.
Пример 1.19. Пусть симплектическая форма на Z является точной: fl = dO, а в —
G-инвариантной, т.е.
! О = 0, V?6^r.
Тогда отображение J : Z —> <^*, определяемое соотношением
<J(z),e> = (&-"*)(*),
является импульсным. D
Задание импульсного отображения J определяет семейство интегралов движения
гамильтоновой системы для гамильтониана ЗР на симплектическом многообразии Z,
если ЗС инвариантен относительно действия группы G на Z. В этом случае
= о, ve€^r,

§ 8. Гамильтоновы системы с симметриями 55
откуда следует, что
{JF,JJ = 0, Ve€g?r.
Таким образом, функции Je{z) A.48) являются первыми интегралами движения. Од-
Однако в общем случае они не находятся в инволюции друг с другом. Найдем их скобки
Пуассона.
Определение 1.19. Импульсное отображение J называется эквивариантным, если
J{gz) = ad* g(J(z)), VgEG.
Пример 1.20. Импульсное отображение из Примера 1.19 является эквивариантным.
Действительно, согласно соотношению (П.27) для его эквивариантности достаточно по-
показать, что
Je(gz) = Jadg~>(?)(z),
т.е.
Последнее следует из соотношения (П.26). ?
Пример 1.21. Пусть, как в Примере 1.8, Т*М — симплектическое многообразие с
канонической симплектической формой П A.14). Пусть группа G действует слева на
М с генераторами
Ее канонический лифт на Т*М с генераторами
?m = e\ndi-pjdieJmdi A.49)
сохраняет каноническую форму Лиувилля в. Согласно Примеру 1.8 векторные поля
A.49) являются гамильтоновыми для функций
A-50)
и, как это следует из Примера 1.20, существует эквивариантное импульсное отображение
В случае G -инвариантного гамильтониана на Т*М функции A.50) являются первыми
интегралами движения. Q
Не всякое импульсное отображение является эквивариантным. Поэтому рассмотрим
разность
<r(g) = J(gz)-ad*g(J(z)). A.51)
Можно показать [12], что эта разность постоянна на Z и удовлетворяет равенству
a(gh) = <TC) + adtg(a(h)). A.52)
Определение 1.20. Отображение а : G —> ^* называется коциклом на группе G,
если выполняется условие A.52). Коцикл а именуется кограницей на группе G, если
существует такой элемент /л е ^*, что
<т(д) = II - аА* д(ц). A.53)

56 Глава 1. Симплектическая механика
Коциклы, отличающиеся на кограницы, образуют классы эквивалентности, составляю-
составляющие группу когомологий группы G. ?
Согласно этому определению, разность A.51) является коциклом на группе G, отве-
отвечающем действию G на Z.
Предложение 1.21. Всякому симплектическому действию группы G на симплекти-
ческом многообразии Z соответствует некоторый когомологический класс [а] на груп-
группе G.
доказательство. Пусть J и J' — разные импульсные отображения, отвечающие
симплектическому действию группы G на симплектическом многообразии Z. Как уже
отмечалось, разность J — J' постоянна на Z. Тогда разность соответствующих коциклов
сг — сг' сводится к когранице A.53), где (i — J — J1. ?
В частности, эквивариантному импульсному отображению соответствует нулевой
когомологический класс на группе G.
Теорема 1.22. Если J — импульсное отображение, отвечающее симплектическому
действию группы G на Z, то имеет место соотношение
{Je, Jve,} = J([e, s1]) - (d(a, e')(e), s) A.54)
(cm. [12], где, однако, гамильтоновы векторные поля отличаются знаком от используе-
используемых здесь и рассматривается левая, а не правая алгебра Ли). ?
В случае эквивариантного импульсного отображения, например, как в Примере 1.21,
соотношение A.54) приводит к гомоморфизму
{J,,Je,} = J({?,e'\) A.55)
алгебры Ли ^> в алгебру Ли функций на симплектическом многообразии Z относи-
относительно скобок Пуассона. Это также искомые скобки Пуассона для первых интегралов
движения G-инвариантной гамильтоновой системы.
§9. Обобщенные скобки Пуассона
Пусть w — пуассоново бивекторное поле на многообразии Z. Рассмотрим обобще-
обобщения определяемых им скобок Пуассона на мультивекторные поля и внешние формы.
Определим на внешней алгебре ^{Z) мультивекторных полей на Z операцию
где [.,. ]sn — (S-N)-cko6kh (П. 18). Эта операция, как можно показать, обладает гомо-
гомологическим свойством
w о w = О
[71]. Для произвольных мультивекторных полей # и v введем скобки
Они обладают свойством

§ 9. Обобщенные скобки Пуассона 57
Таким образом, эти скобки градуированно антисимметричны на факторе
Если пуассоново бивекторное поле w невырождено, оно определяет изоморфизм w'
A.3) расслоений TZ и Т*Z и переносит операцию (S-N)-cko6ok на алгебру внешних
форм [50]:
{.,.}*: <?T(Z) х PS(Z) - <?r+-\z), A.56)
где
™\{ф, °}w) = [to'0, to'ffJsN, Ф,о- € ^*(Я).
В общем случае пуассонова бивекторного поля имеет место гомоморфизм
w(w ф) = —<иг(йф).
Поэтому, чтобы построить скобки A.56), рассмотрим на алгебре внешних форм <f*(Z)
кодифференциальный оператор
6W = w j od - d о w _.: &\Z) -> ffr'\Z), A.57)
SModft Л ¦ • ¦ Л dfr) = ?(-1)!'+1{/о, /,-}4f, Л • • • Л fa Л • ¦ ¦ Л dfT +
(- l)i+;/orf{/i, /,¦} л rf/, л • • ¦ л Tfi л ¦ • ¦ л If; л ¦ • ¦ л dfT,
[18, 43, 71]. Напомним правило свертки
@1 Л • • • Л 0r) J 0 = 0r J • • • 0и 0
мультивекторных полей и внешних форм. Оператор 6W A.57) связан с оператором w
соотношением
Тогда скобки A.56) на алгебре внешних форм определяются как
{.,.}„: &T{Z) х G\Z) -» Gr+s~\Z\
{ф, <r}w = Fшф) Л а + (~1)Шф Л Fша) - 6ш(ф Л а). A.58)
Они обладают свойствами
){ff, {*, 0}и,}ю + (-i)"el(W-»{e, {^, <r}w}w = О,
w'({0, <Г}Ш) = [Ш1ф, w'^JsN-
В частности, для 1-форм скобки A.58) принимают вид
{ф, a}w = Uv4a - \*аф - <ЦМф, <г)), A.59)

58 Глава 1. Симплектическая механика
Они наделяют <^l(Z) структурой алгебры Ли так, что морфизм
w": <?\Z) - JRZ)
является гомоморфизмом алгебр Ли
w^({<p, a}) = [w*<p, w'o-].
Имеет место следующая связь между скобками A.59) и скобками Пуассона A.6):
Оператор 6W A.57) обладает гомологическими свойствами
6ио6„ = 0, A.60)
do6w + 6wod = 0. A.61)
Последнее из них приводит к формуле
ЯФ, °}ш = ~{Ц, С?}*, ~ Ы)Ш{Ф, d<T}w.
Тогда можно ввести скобки
{Ф,'}<=-№,*}«, A62)
[20, 50]. Они являются градуированно антисимметричными
на факторе
Замечание 1.22. Пусть (Z, w) — пуассоново многообразие и <5Ш — кодифференци-
альный оператор A.57). Его гомологическое свойство A.60) определяет канонический
комплекс
. A, &T-\z) -^ <?r(z) -^ • • •.
Гомологические группы H^n{Z) этого комплекса называются каноническими когомоло-
гиями пуассонова многообразия (Z, го). В частности, в случае симплектического 2т-
мерного многообразия (Z, w) имеет место изоморфизм групп канонических когомоло-
гий H^iZ) и групп когомологий де Рама H2m~\Z). ?
§10. Мультисимплектическая структура
Коснемся теперь другой возможности обобщения пуассоновой и симплектической
структур — мультисимплектической и полисимплектической структур.
Пусть М — m-мерное многообразие с координатами (zx). Рассмотрим внешнее
произведение
С : Л Т*М -> М
с голономными координатами (гх,р&), где А = (Ai < ... < Xk) — мульти-индекс
к
длины |А| = к. Многообразие Л Т*М наделено канонической внешней fc-формой ©,
задаваемой соотношением
«„ j...«! j в(р) = тс(«„) j ...тс(«,) j р, р е Л т*м, щ е тЛ т*м).

§ 10. Мультисимплектическая структура 59
Она имеет координатный вид
где сумма берется по всем мульти-индексам Л.
Внешний дифференциал формы A.63) представляет собой (fe + 1)-симплектическую
форму
SlM = dQ = J2 dV\x...\* A dzM Л • • • Л dzXk,
А
которая принадлежит к классу мультисимплектических форм [49]. Если к = 1, d® —
каноническая симплектическая форма на кокасательном расслоении Т*М.
Пример 1.23. В частности, рассмотрим расслоение У —> X над A < те)-мерной
п
базой X и его внешнее произведение Л Т У, на котором задана каноническая форма 0
A.63). Пусть
ZY = T*Y Л ("А* Т*Х) A.64)
— так называемое однородное расслоение Лежандра над У с голономными координатами
(xx,y',pi,p), где координата р подчиняется закону преобразования
Каноническое вложение
iz : T*Y А (У Т*Х) -> Л T*Y
индуцирует на ZY каноническую форму
S = i*z@ = рш + pUy{ А шх,
где используются обозначения ш = dnx, шх = д\ j ш. Ее внешний дифференциал
uz = dp Л ш + dpf Л dy1 Л о>л A.65)
также называется мулыписимплектической формой [35]. Например, в случае расслоения
У —» Е мультисимплектическая форма A.65) сводится к канонической симплектической
форме
uz = dp A dt + dpi Л dy'
на кокасательном расслоении Zy = T*Y. ?
Аналогично тому, как вместо симплектической 2-формы рассматривается некото-
некоторая мультисимплектическая B < к) -форма, вместо пуассонова бивектора можно взять
B < Л)-мультивекторное поле и ввести мулыпискобку
для к функций на многообразии Z [14, 39, 68]. В частности, мультискобка для fc функ-
функций на fc-мерном многообразии Z дается выражением

60 Глава 1. Симплектическая механика
Упомянем еще одно обобщение симплектической структуры, когда рассматривается
не внешняя симплектическая, а Е"-значная 2-форма [58, 59].
Пусть X — тг-мерное многообразие и LX — главное реперное расслоение над ним
с координатами (жА, s^). Реперное расслоение LX наделено канонической К" -значной
1-формой 0Lx (П.28), которая имеет координатный вид
вьх = s^dx» ® ta,
где {?„} — базис К". Возьмем ее внешний дифференциал
йвьх = rfs% Л dvf ® ta. A.66)
Форма A.66) называется п-симплектической. Легко проверить, что она невырождена в
том смысле, что для всякого векторного поля
и = и% + uffi
на LX равенство и j d0LX = 0 имеет место, только если и = 0. По аналогии с сим-
плектическим случаем запишем
«/ j d0LX = -df, A.67)
где / — некоторая К"-значная функция на реперном расслоении LX. Не для любой
такой функции / найдется векторное поле и, удовлетворяющее равенству A.67). Однако
такие функции (например, постоянные вдоль слоев расслоения LX) существуют. Для
них определена скобка Якоби
{/. g} = uf j dg,
которая тоже принадлежит к указанному классу функций.
Возьмем теперь произвольное расслоение У —» X и рассмотрим соответствующее
ему расслоение Лежандра
Il = AT*X®TX<g>V*Y, A.68)
У Y
наделенное голономными координатами (жА, у1, р?) с функциями перехода
ду1 дх'Х (дхХ
Как подробно описано в первом томе [8], расслоение Лежандра A.68) играет роль конеч-
конечномерного фазового пространства в гамильтоновой формулировке классической теории
поля [33, 64, 65]. Оно наделено каноническое векторнозначной формой
A = dp* Ady* Аш®дх, A.69)
называемой полисимплекттеской формой. Для нас эта модель интересна тем, что в слу-
случае X = К она приводит к гамильтоновой формулировке неавтономной механики (Гла-
(Глава 3).

Глава 2
Лагранжева механика
В качестве пространства событий неавтономной механики, как уже обсуждалось, бе-
берется расслоение У —> К, где К играет роль оси времени. Привычный случай прямого
произведения Y = ЖхМ возникает при различных тривиализациях расслоения У —> К,
что соответствует выбору определенной системы отсчета и заданию соответствующей
связности на этом расслоении.
Данная глава посвящена формулировке неавтономной механики на конфигураци-
конфигурационном пространстве координат и скоростей. Им является многообразие струй первого
порядка j'y расслоения У —> К. Общая формулировка лагранжева формализма на
многообразиях струй дана в первом томе [8] (см. также [33, 64, 65]). Помимо лагранже-
лагранжева формализма, в этой главе значительное внимание уделяется уравнениям движения,
их формулировке в терминах связностей. Следует подчеркнуть, что далеко не всякое
уравнение движения является уравнением Лагранжа и наоборот. Взаимно однозначное
соответствие между ними устанавливается в случае ньютоновых систем и регулярных
лагранжианов. При этом вводятся математические определения системы отсчета, силы,
энергии и др. Это делается не ради математических формальностей, но приводит к ря-
ряду важных конструкций, например, к общему выражению для сил инерции, к законам
сохранения.
В этой и следующей главах под 7г: У —*¦ К понимается расслоение с типичным сло-
слоем — то-мерным многообразием М, а К параметризуется декартовой координатой t с
функциями перехода t' = t + const. В универсальной системе единиц она имеет раз-
размерность длины. При такой параметризации Ш, как уже отмечалось, наделяется стан-
стандартным векторным полем д\ и стандартной 1-формой dt. Послойными координатами
на У являются {t,y%).
§ 1. Расслоения над ш
Отметим ряд важных для дальнейших конструкций особенностей расслоений над Ж.
1. Поскольку Ж стягиваемо, всякое расслоение над К тривиально.
2. Стандартное векторное поле dt и стандартная 1-форма dt при преобразованиях
t' = t + const не меняются. Поэтому имеет место взаимно однозначное соответствие
между векторными полями fdt и вещественными функциями / на К, а также меж-
между горизонтальными плотностями фдЛ, и вещественными функциями ф на расслоениях
У —> R. Грубо говоря, участием ТЕ и Т*Ш в тех или иных выражениях можно прене-
пренебречь. Однако подобные упрощения требуют осторожности при использовании универ-
универсальной системы единиц, поскольку, например, коэффициент ф плотности фдЛ имеет
физическую размерность [длина], а не безразмерен, как функция.

62 Глава 2. Лагранжева механика
3. Пусть Y —> Е — расслоение и JlY — его многообразие струй с координатами
(t> У*, Vt)- В данном случае канонический мономорфизм (П.32) принимает вид
X:JlY^TY, B.1)
Коротко можно записать
X = dt = dt + yldi, B.2)
где dt — оператор полной производной. В дальнейшем мы будем отождествлять мно-
многообразие струй JlY с его образом в ГУ.
Замечание 2.1. Если в точности следовать выражению (П.32), морфизм А B.2) сле-
следует записать в виде
\ = dt®(dt + yidi).
В универсальной системе единиц он физически безразмерен, а А B.2) имеет размерность
[длина]"'. D
Замечание 2.2. Тривиализация пространства событий Y = Жх М при координатах
(t, у1) приводит к соответствующей тривиализации конфигурационного пространства
JlY = Жх ТМ
при координатах (t, уг,у1), где у} совпадают с голономными координатами у* на ТМ.
?
Одним из следствий вложения B.1) является то, что аффинное расслоение JlY —* Y
моделируется над вертикальным касательным расслоением VY. Это означает, что имеет
место каноническое расщепление (П.6) вертикального касательного расслоения VyJ^Y
к аффинному расслоению JlY —*¦ У:
а : VYJlY ? JlY x VY, а(д-) = д{, B.3)
и соответствующее расщепление вертикального кокасательного расслоения VyJlY к
JlY-^Y:
yJlY = JXY x V*Y.
Y
В этом случае точная последовательность вертикальных касательных расслоений (П. 57)
для композиционного расслоения
принимает вид
О —> VYJlY «^ VJlY -^ JXY x VY —> 0.
у
Отсюда получаем следующий линейный эндоморфизм над JlY вертикального касатель-
касательного расслоения VJlY к JXY —> К:
г; — г о a ottv, B.4)
«(Si) = д\, v(d\) = о.

§ 1. Расслоения над К 63
Очевидно, что
6о? = 0. B.5)
Далее, учитывая каноническое горизонтальное расщепление (П.39) и соответствующую
проекцию
рг2 : JlY xTY -у JlY x VY * VYJlY,
а также вложение VJ[Y <-» TJlY, можно продолжить эндоморфизм B.4) на все каса-
касательное расслоение TJlY:
v(dt) = -yidl, v(dt) = d$, v(dj) = O. B.6)
Он называется вертикальным эндоморфизмом и сохраняет свойство B.5). Соответственно
определяется линейный морфизм кокасательного расслоения
v* : T*JlY -> T*JlY,
v\dt) = О, v\dy{) = 0, v\dyl) = в* = dy< - yUt,
v* о v* = 0.
Используя его, введем вертикальный внешний дифференциал
dv=v*o d,
который действует на алгебре G*{JXY) внешних форм на конфигурационном простран-
пространстве JlY. Например, если / — функция на JlY, тогда
где в' — контактные формы (П.34).
4. Всякая связность
Г = dt ® (dt + Т(д{) B.7)
на расслоении У->1 является плоской. Учитывая мономорфизм А B.1), она отожде-
отождествляется с неособым горизонтальным векторным полем
Т = д{ + Т*д{ B.8)
на У, которое представляет собой горизонтальный лифт Tdt (П.47) стандартного век-
векторного поля dt на Ж посредством связности B.7). Обратно, всякое векторное поле
Г на У такое, что dt j Г = 1, определяет некоторую связность на У —> Ж, причем
интегральные кривые векторного поля B.8):
s : Ж D () -» Y,
dTt(r) = I, dTs\T) = т\ те о,
совпадают с интегральными сечениями
dts{(t) = (Г о s){
связности B.7).

64 Глава 2. Лагранжева механика
Связность Г на расслоении Y —> Ш. определяет на нем горизонтальное интегриру-
интегрируемое распределение, интегральными многообразиями которого являются интегральные
кривые векторного поля B.8), трансверсальные слоям расслоения У —> Ж. Всякой связ-
связности Г соответствует атлас локально постоянных тривиализации — система послойных
координат на У таких, что функции перехода у1 —> y'\yi) не зависят от t и связность Г
в этих координатах принимает вид
Г = dt. B.9)
Обратно, всякий атлас локально постоянных тривиализации расслоения F->1 задает
связность на Y —> Ш, равную B.9) относительно этого атласа.
Связность Г на расслоении У —> К называется полной, если горизонтальное вектор-
векторное поле B.8) является полным.
Предложение 2.1. Всякая тривиализация расслоения У —» К задает на нем полную
связность. Обратно, полная связность Г на расслоении У —> Ж определяет его триви-
ализацию У = Ж х М такую, что векторное поле B.8) сводится к dt ъ координатах,
отвечающих этой тривиализации.
доказательство. Всякая тривиализация У —> Ж определяет горизонтальный лифт
стандартного векторного поля dt на R до векторного поля dt B.8) на У, которое явля-
является полным и отвечает полной связности на У. Обратно, пусть Г — полная связность
на расслоении У->1. Векторное поле Г B.8) является генератором 1-параметрической
группы Gv, которая действует свободно на У. Орбитами этого действия являются ин-
интегральные кривые векторного поля Г. Таким образом, определена проекция
Y^Y/GV = M, B.10)
которую можно наглядно представить себе как проекцию У вдоль интегральных кривых
на некоторый слой, например, У(=о = М, расслоения У. Проекция B.10) вместе с
проекцией У —> Ж и определяют тривиализацию
1р:У = ЖхМ. B.11)
а
Напомним, что разные тривиализации B.11) отличаются друг от друга разными про-
проекциями рг2 оф расслоения У на типичный слой М при одной и той же его проекции
рг, о-ф = 7г на базу Ш.
Связности на расслоении У —» Ж образуют аффинное пространство, моделируемое
над векторным пространством вертикальных полей на У —> Ж. Соответственно, ко-
вариантный дифференциал (П.45), задаваемый связностью Г на У —> Ж, принимает
значения в вертикальном касательном расслоении кУ-*К:
DT:JlY^VY, B.12)
§ 2. Уравнение движения
Пусть J2Y — многообразие струй второго порядка расслоения У->1, параме-
параметризуемое координатами (t,y%,ylt,y\t). Отметим, что оно совпадает с полуголономным
многообразием струй Py .

§ 2. Уравнение движения 65
Определение 2.2. В механике уравнением движения, или динамическим уравнением,
называется дифференциальное уравнение второго порядка на пространстве событий Y,
которое является замкнутым подрасслоением расслоения J2Y —> Ж, задаваемым равен-
равенством
yit=e(t,yj,yi). сиз)
D
Решениями уравнения движения B.13) служат (локальные) сечения s расслоения
Y —» Ж, удовлетворяющие уравнениям
<*?«'=?* о «. B.14)
Такое сечение s называется законом движения, или просто движением.
Замечание 2.3. Специфика уравнений движения B.13) среди других дифференци-
дифференциальных уравнений второго порядка на пространстве событий Y состоит в том, что оно
является сечением расслоения J2Y —> Y. Имея в виду вложение J2Y —> JxJlY, мы
можем рассматривать его как систему дифференциальных уравнений первого порядка
B-15)
y\t) = y't
на конфигурационном пространстве JXY. Его решения s принимают значения в J2Y и,
согласно Предложению П.5, являются голономными, т.е. s = dts. Поэтому уравнения
B.13) и B.15) эквивалентны. D
По аналогии с вложением B.1) имеет место вложение
t, У\ yl Ун) ~ (f, у\ у\, \,У{ =у\,у\= y\t).
раз уравнения дв
совпадает с неособым векторным полем
При таком вложении образ уравнения движения B.13) в касательном расслоении TJlY
на конфигурационном пространстве JXY. Обратно, всякое векторное поле ? на JlY,
удовлетворяющее условиям
<и_1$ = 1, 5@ = о,
где v — эндоморфизм B.6), определяет уравнение движения на пространстве собы-
событий У. Поэтому уравнение движения часто вводят именно как векторное поле B.16)
на многообразии струй JlY. Мы будем называть B.16) динамическим векторным полем.
Его интегральные кривые
а : М Э () -> JlY,
dTt(r) = 1, drJ = 4, dTsi(r) = (С о S)\ г е (),
являются решениями уравнения движения B.13).

66 Глава 2. Лагранжева механика
Легко заметить, что динамическое векторное поле ? B.16) на конфигурационном
пространстве JXY, удовлетворяя условию dt j ? = 1, определяет голономную связ-
связность на расслоении JlY —* Ж. Обратно, всякая голономная связность на расслоении
JlY —*¦ Ж задает динамическое векторное поле B.16). Таким образом, мы приходим к
эквивалентному определению уравнения движения.
Определение 2.3. Уравнение движения на пространстве событий У дается голоном-
голономной связностью ? B.16) на конфигурационном пространстве JlY ->I. D
Интегральные сечения s такой связности ? согласно Предложению П.5 являются
голономными, т. е. 5 = Jls, где s совпадают с интегральными кривыми динамического
векторного поля ? и являются движениями.
В частности, определение уравнения движения как голономной связности позволяет
получить правило его преобразования при переходах к другим послойным координатам
W
j jj'1. B.17)
Связность ? задает на JXY соответствующий ковариантный дифференциал B.12):
D{ : J[JlY -> VYJlY С VJlY,
у* oDi=0, у] oDs= yl - ?\
который, как видно из первого равенства, принимает значения в вертикальном каса-
касательном расслоении VYJlY к расслоению струй JlY —* Y. Таким образом, сечение s
расслоения Y —> Ж является решением уравнения движения B.14) только тогда, когда
ковариантная производная от Jls относительно связности ? равна нулю, т.е.
Динамические векторные поля B.16), а следовательно и уравнения движения B.13)
образуют аффинное пространство, моделируемое над векторным пространством век-
векторных полей на j'F, лежащих в VyJlY. В частности, говорят, что уравнение B.13)
описывает свободное движение, если существует такая система послойных координат
на расслоении У —* Ж, в которых оно принимает вид
Уи = 0. B.18)
Возникает вопрос, всегда ли уравнение свободного движения B.18) существует.
§3. Динамические связности
Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, установим соответствие между го-
голономными связностями на JlY —> Ж (или, что то же самое, уравнениями движения на
пространстве событий У), связностями на расслоении струй J]Y —> У и связностями
на касательном расслоении TY —> У.
Пусть
-у : ./'У -> JyJlY
— связность на расслоении струй JXY —> Y. Под JyJlY понимается многообразие
струй расслоения JlY -+ У, наделенное координатами {t, yx, y\, y\t), где для простоты

§ 3. Динамические связности 67
использованы компактные обозначения (г/А=0 = t,yl). Связность f имеет координатный
вид
x\ B.19)
с функциями перехода
AWi rf)^ B.20)
Предложение 2.4. Всякая связность 7 B.19) на расслоении струй JlY —> У опреде-
определяет голономную связность ?7 B.22) на расслоении J!Y —> К.
доказательство. Рассмотрим композиционное расслоение
J* V V TCP
и морфизм р (П. 54), который в данном случае принимает вид
р : 4J1Y Э (у\ yl, у{{) >-> (у\ yi, y{t) = yl, y\t = Уы + Mi) G j2y- B-21)
Построим композицию отображений
^=pof.J1Y-* JyJlY -> J2Y, B.22)
Она определяет искомую голономную связность на JlY —> Ж. Q
Таким образом, всякая связность f B.19) на расслоении струй JlY —> Y задает
уравнение движения
yl = (То + yllj) B-23)
на пространстве событий Y. Оно может быть определено jcaK ограничение на J2Y
ядра KerD7 вертикального ковариантного дифференциала D7 (П.59), определяемого
связностью у:
Dy : JlJlY -» VYJlY,
Поэтому связности на JlY —+ У называются динамическими. Соответственно, уравнение
B.14) переписывается в виде
dtV -poyojls, B.24)
где р — морфизм B.21).
Ясно, что разные динамические связности могут приводить к одному и тому же
уравнению движения B.23).
Предложение 2.5. Всякая голономная связность ? B.16) на конфигурационном про-
пространстве JXY —*Ш определяет динамическую связность у$ B.25) на расслоении струй
JlY-+Y.
доказательство. Пусть ? — динамическое векторное поле B.16). Для произвольного
вертикального векторного поля
и = а'д{ + 6*0-

68 Глава 2. Лагранжева механика
на расслоении J Y —>• Ш положим
да = к, «(«)]-«([&«]),
^(и) = -а*5,- + (Ь{ - а?д)?)д\,
где г; — эндоморфизм B.6). Тем самым определен морфизм
L : VJlY -* VJ'Y,
h : У% + № » -tfdi + (у\ - у'д)С)д\.
Легко проверить, что он удовлетворяет условию
и можно построить проекцию
Jf = - (L + id VJlY): VJlY -у VYJlY,
2 JlY
Jf : y'di + y\d\ i-> (y\ - \ yjd]A d\.
\ 2 )
Напомним, что голономная связность ? на JlY —> Ж определяет проекцию (П.44):
? : TJlY 3 idt + y'di + у\д\ ^ (уг - iyi)di + (yl - ^H? ? VJXY.
Рассмотрим композицию отображений
If о ? : TJlY -> VJlY -)• VYJ]Y,
Она соответствует связности
Ъ = dt ® U + (V - ^ ^^k1') di\ + dyj ® к' + \д)Сд\\ B.25)
на расслоении струй JlY —у Y. О
Легко убедиться, что динамическая связность j является связностью типа -у$ Для
некоторого уравнения движения ?, только если
Динамическая связность, удовлетворяющая условию B.26), называется симметричной.
Она обладает следующим свойством симметрии:
ду\

§3. Динамические связности 69
Пусть 7 — динамическая связность B.19) и ?7 — определяемое ею уравнение дви-
движения B.22). Тогда динамическая связность, ассоциированная с ?7, имеет вид
Определим кручение динамической связности 7 следующим образом:
T:JlY -> V*Y ® VY,
Видно, что динамическая связность является симметричной, только если ее кручение
равно нулю. Также 7 = 7{т тогда и только тогда, когда Т = 0.
Пример 2.4. Поскольку расслоение струй JXY —> У — аффинное, на нем может
быть определена аффинная связность
7 = V ® [дх
В частности, она является симметричной, если jlj = jjk- Аффинная связность B.27)
определяет линейную связность
на вертикальном касательном расслоении VY —> У. ?
Установим теперь соответствие между динамическими связностями 7 > т-е- связно-
стями на расслоении струй JlY —> У, и связностями
K = dt®(dt + Kfidp) + dyj ® (в,- + К?dp) B.28)
на касательном расслоении TY —> У к пространству событий У. В B.28) использованы
обозначения (П. 15). Рассмотрим диаграмму
'./)!¦ ту
к B.29)
где Jy-ГУ — многообразие струй касательного расслоения ГУ —у Y, параметризуемое
координатами
а струйное продолжение над У канонического вложения А B.1) имеет вид
•*'* : С.»',»', l^t) ^ (*,»', < - 1, У* = Vt, (Ь„ = 0, (з/% = j/;().

70 Глава 2. Лагранжева механика
Соответственно, получаем
J'A о 7 : (*, у\ у\) - (t, у\ t = 1,»' = у\, («)„ = 0, (у% = 7;),
KoX:(t, y\ y\) ^ (t, y\ i=\J = yl, (*)„ = К% (у% = К)).
Отсюда следует, что диаграмма B.29) может быть коммутативной, только если связ-
связность К на TY —> У имеет нулевые компоненты К^. Поскольку многообразие У наде-
наделено послойными координатами (t, у1), где t не преобразуется через у', такие связности
на касательном расслоении TY —> Y существуют. Можно просто положить К° = 0 в К
B.28) и получить требуемую связность
К = dt ® (dt + К10дг) + dyj ® (dj + Kjdt) B.30)
с законом преобразований
'\(^Ц + д,Г)^. B.31)
Теперь диаграмму B.29) можно сделать коммутативной, если связности j и К удовле-
удовлетворяют соотношению
7; = ЯГ' о А = К% у\ t = 1, у< = у\). B.32)
Поскольку подстановка у1 = у\ в B.31) воспроизводит закон преобразований связности
B.20) на j'y —> Y, соотношение B.32) выполняется глобально.
Предложение 2.6. Согласно соотношению B.32), всякая связность К типа B.30) (а
следовательно, произвольная связность К B.28)) на касательном расслоении TY —> У
определяет связность j на расслоении струй JlY -* Y и уравнение движения
на пространстве событий У. ?
Пример 2.5. Имеет место взаимно однозначное соответствие между аффинными
связностями 7 на расслоении струй JXY -+ У и линейными связностями К B.30) на
касательном расслоении TY —» У. Оно задается соотношением B.32) в виде
а
Фиксируем некоторую тривиализацию Y = Ж х М пространства событий У —>¦ Ж
при соответствующих координатах (t, у'), где у' — координаты на М, чьи функции
перехода, очевидно, не зависят от (. Соответствующая тривиализация JlY = Ж х ТМ
осуществляется при координатах (t,y',y'), где у — голономные координаты на ТМ.
В этих координатах закон преобразования B.20) связности -у на JlY —> У имеет вид
" +vJ л," I v -,J I " I "
dylk

§ 3. Динамические связности Т\_
Таким образом, при заданной тривиализации расслоения У —> Ш связность -у на
JlY —> У задает вертикальное временезависимое векторное поле 7о и временезависи-
мую связность 7fc на ТМ —> М.
Обратно, возьмем некоторую связность
на ТМ —> М. В случае упомянутой выше тривиализации расслоения У —» К связность
К определяет связность К B.30) на касательном расслоении ТУ —* Y с компонентами
.йГо = 0, ifT/t = iiffc
и соответствующую связность 7 на J'F —> У с компонентами
7*0=0, 7i=^*. B.34)
Используя закон преобразований B.20), можно получить выражение для связности
B.34) относительно произвольной системы послойных координат (t, у1) на простран-
пространстве событий Y. Она имеет вид
^ л)^Щ *> B-35)
где
T' = dty\t,f) B.36)
— связность на Y —> К, отвечающая данной тривиализации У, т. е. Г = 0 в координатах
(t, у'). Уравнение движения на пространстве событий У, определяемое динамической
связностью B.35), запишется следующим образом:
ytt = dtr{ + yidjF + 7*(%* - Г*). B.37)
Предложение 2.7. Таким образом, всякая связность К на многообразии М задает
уравнение движения B.37) на пространстве событий У. ?
Это уравнение движения описывает консервативную систему и в координатах (t, у1)
принимает форму
У = К),? B.38)
известного уравнения геодезических связности К B.33) на М.
Следствие 2.8. На У существует уравнение равномерного движения тогда и только
тогда, когда его типичный слой М допускает линейную связность с нулевой кривизной.
Оно определяется этой связностью, п
Пусть К — такая плоская связность. В координатах у' на М, в которых Ж) — 0,
такое уравнение свободного движения имеет вид
Г = 0, B.39)

72 Глава 2. Лагранжева механика
а в произвольных координатах
y'tt = dtTJ - Г'ЛГ1' + у\ \2дкТ{ + — д^ Г1" I - — —— ytyT- B.40)
Его можно также получить из уравнения B.17), положив в нем ( = 0и переобозначив
у1 -> у' и у" -»• г/!.
Уравнение B.40) можно принять за общее выражение для уравнения свободного
движения. Ему соответствует аффинная динамическая связность j, задаваемая форму-
формулами B.35), если положить в них К = 0. Такой связности, как отмечалось в Приме-
Примере 2.5, соответствует линейная связность К на TY —> У, которая является плоской.
При некоторой заданной тривиализации расслоения У->Е компоненты R\j кривизны
(П.48) этой связности задают кривизну временезависимой линейной связности Kj на
ТМ —> М, которая при любом t равна 0.
§ 4. Системы отсчета
Пусть Y —> Ж — пространство событий. С физической точки зрения выбор систе-
системы отсчета означает задание в каждой точке Y некоторого касательного вектора, ха-
характеризующего скорость "наблюдателя". Это мотивирует следующее математическое
определение системы отсчета.
Определение 2.9. Система отсчета в нерелятивистской механике отождествляется с
заданием связности Г на пространстве событий Y —> Е. о
Действительно, всякая связность Г на У —*¦ Ш. определяет векторное поле B.8) на У,
которое можно интерпретировать как поле скоростей "наблюдателя", а соответствую-
соответствующий ковариантный дифференциал
Dv(y\) = у\ - Г* = 4 B.41)
— как скорость относительно системы отсчета Г, записанную в координатах у'. В
частности, пусть s : Ж —^ Y — некоторое движение. Тогда ковариантная производная
V1 s (П.46) — это скорость движения относительно системы отсчета Г. Например, если
s — интегральное сечение связности Г, скорость движения s относительно системы
отсчета Г равна 0. Поэтому такое s можно трактовать как движение "наблюдателя" Г.
Замечание 2.6. Таким образом, не конфигурационное пространство JlY, а верти-
вертикальное касательное расслоение VY правильнее называть "пространством координат и
скоростей". Однако в универсальной системе единиц элементы VY следует разделить
на фундаментальную длину, чтобы они имели правильную размерность скорости. Q
Как отмечалось в § 2.1, всякой связности Г соответствует атлас локально постоянных
тривиализации такой, что
Г = dt B.42)
в соответствующих послойных координатах (t, у') с функциями перехода у' —> у", не за-
зависящими от времени. Задание таких координат тоже можно рассматривать как выбор
системы отсчета, отвечающей связности B.42), записанной в этих координатах. Мы

§4. Системы отсчета 73
будем называть их координатами, сопутствующими системе отсчета Г. В координа-
координатах у1, сопутствующих системе отсчета Г, скорость относительно этой системы отсчета,
естественно, равна
Ясно, что системой отсчета является не всякая система послойных координат (t, у1)
на пространстве событий У, а только отвечающая некоторому атласу локально посто-
постоянных тривиализаций, т. е. когда функции перехода координат уг —+ г/" не зависят от
времени t.
Система отсчета называется полной, если связность Г — полная. Согласно Предло-
Предложению 2.1, полная система отсчета соответствует некоторой тривиализаций
¦фГ : У = Ж х М
расслоения У —> Ш и обратно. Координаты, сопутствующие этой системе отсчета, —
это yl°ipr, где у' — координаты на М. В произвольной системе координат связность Г
принимает вид B.36).
В дальнейшем для простоты изложения под системами отсчета мы будем понимать
только полные системы отсчета.
То, что связность Г на расслоении У —> Ж действительно характеризует систему
отсчета в физическом понимании, видно на примере свободного движения. Пусть да-
дана система отсчета Г и у1 — сопутствующие ей координаты. Уравнение свободного
движения B.39) относительно системы отсчета Г в координатах у' имеет вид
dty = и.
Соответственно, уравнение свободного движения B.40) относительно системы отсчета Г
в произвольных координатах у' представимо как
У1 ,k
где 2/f — скорость B.41) относительно системы отсчета Г в координатах у*.
Пример 2.7. Рассмотрим свободное движение на плоскости. Его пространством
событий является У = Ж х К2, параметризуемое координатами ((, у1,у2). Введем вра-
вращающуюся относительно исходной систему отсчета, характеризуемую координатами
у[ = у1 cos wt - у2 sin wt, у2 = у2 cos wt + у1 sin wt.
В этих координатах уравнение свободного движения B.40) имеет вид
ytt = д(г' + 2у{д^ - Г^^Г, B.43)
где
Г1 = dtyl = -wy2, Г2 = dty2 = wyl. B.44)
Подставляя B.44) в B.43), получаем знакомые уравнения
Уи = w2y1 - 2wy2, yjt = w2y2

74 Глава 2. Лагранжева механика
свободного движения в системе координат, сопутствующей вращающейся системе от-
отсчета. ?
Пример 2.8. Уравнение B.38) сохраняет форму уравнения геодезических, будучи
записанным и в произвольной системе координат:
а
Пусть 7 —динамическая связность на JlY —> У и Г : У —> JlY — система отсчета.
Рассмотрим ковариантную производную Г относительно j:
дк,
oT.
Система отсчета Г называется сопутствующей уравнению движения 7, если
Г j V7r = (ftr* - 7о о Г + Г*в*Г'' - Yk(rf[ о T))di = 0.
Предложение 2.10. Интегральные сечения s для системы отсчета Г являются реше-
решениями уравнения движения 7 тогда и только тогда, когда Г — система отсчета, сопут-
сопутствующая 7-
доказательство. Легко проверить, что если s — интегральное сечение для связно-
связности Г, уравнение движения B.24) для s принимает вид
[Г j У7Г] о s = 0.
?
Например, для уравнения свободного движения
it = 0 B.45)
в координатах (t, у1) сопутствующими системами отсчета являются только Г' = vl —
const. В координатах
f = f- v*t - а\ B.46)
связанных с любой такой системой отсчета, уравнение свободного движения B.45), как
это следует из B.40), опять будет выглядеть как уравнение свободного движения.
Назовем системы отсчета Г и Г' такие, что Г - Г' = const в системе координат, со-
сопутствующей системе отсчета Г (или Г'), взаимно инерциальньши. Как легко убедиться,
отношение взаимной инерциальности между системами отсчета является отношением
эквивалентности. Системы координат, сопутствующие взаимно инерциальным систе-
системам отсчета, связаны между собой глобальными преобразованиями координат B.46).
Назовем эти преобразования инерциальньши. Отсюда следует, что уравнения свободного
движения остаются инвариантными при преобразованиях между системами координат,
сопутствующими взаимно инерциальным системам отсчета. Это составляет содержа-
содержание известного принципа относительности Галилея, который, однако, в математическом

§ 5. Лагранжевы системы 75
аспекте ничего дополнительно не постулирует. Мы определили инерциальные системы
отсчета именно так, чтобы они были связаны преобразованиями симметрии уравнений
свободного движения. Общий случай рассмотрен в § 3.8.
Несовпадающие взаимно инерциальные системы существуют не всегда. Легко уста-
установить взаимно однозначное соответствие между взаимно инерциальными системами
отсчета и постоянными векторными полями на многообразии М. Такие ненулевые век-
векторные поля существуют на любом некомпактном многообразии М, а на компактном
многообразии М — только если его эйлерова характеристика равна 0. Например, на
четномерных сферах существует только нулевое постоянное векторное поле.
Как уже отмечалось, динамические векторные поля ? на конфигурационном про-
пространстве j'F образуют аффинное пространство, моделируемое над векторным про-
пространством вертикальных VyJlY-значных векторных полей
Они являются математической моделью физических сил. Правую часть уравнения движе-
движения B.13), т.е. вертикальную компоненту ?'di динамического векторного поля, будем
соответственно именовать просто силой. Ясно, что силы образуют аффинное простран-
пространство, моделируемое над векторным пространством физических сил. Если существует
уравнение свободного движения, за центр этого аффинного пространства естественно
принять правую часть этого уравнения, назвав ее силой инерции. Правая часть уравне-
уравнения B.40) дает общее выражение для силы инерции, которая квадратична по координа-
координатам у\. Обратно, всякую такую комбинацию в правой части уравнения движения можно
исключить переходом к некоторой системе координат. Таким образом, налицо матема-
математическое различие между силами инерции и физическими силами, что в свое время
было предметом бурных дискуссий. Сила инерции, если ее можно ввести в данной ме-
механической системе, является силой, но не физической силой, а физическая сила не
является просто силой. В общем же случае разделить силу канонически на физическую
силу и силу инерции не удается.
Подчеркнем, что с физической точки зрения речь выше идет об обобщенных си-
силах. Реальные силы составляют умноженную на массу правую часть уравнения дви-
движения точечной массивной частицы в декартовых координатах, как это устанавливает
второй закон Ньютона. Разделение их на реальные физические силы и силу инерции
осуществляется согласно первому закону Ньютона, который постулирует существова-
существование абсолютной инерциальной декартовой системы отсчета. Силой инерции считается
вертикальная компонента динамического векторного поля, которое задает свободное
уравнение движения в упомянутой абсолютной инерциальной системе отсчета.
§ 5. Лагранжевы системы
Построение исчерпывающей схемы неавтономной механики на конфигурационном
пространстве JXY осложняется тем, что это пространство не допускает ни одной из ка-
канонических структур, перечисленных в Главе 1. Поскольку JlY нечетномерно, на нем
не существует симплектической формы, а пресимплектическая структура и структура
Пуассона вводятся только при задании на JlY лагранжиана и зависят от его выбора, т. е.
имеют место только для лагранжевых систем. Под лагранжевой системой мы будем по-
понимать механическую систему, движение в которой является решением уравнений Ла-
гранжа, отвечающих некоторому лагранжиану на конфигурационном пространстве JlY.

76 Глава 2. Лагранжева механика
Как уже отмечалось, далеко не все механические системы лагранжевы, а уравнения Ла-
гранжа не всегда являются уравнениями движения, как они определялись в § 2.2, и даже
дифференциальными уравнениями, если следовать определению, данному в Предвари-
Предварительных сведениях.
Заметим, что уравнения Лагранжа — это не единственный тип уравнений, описы-
описывающих лагранжевы системы. В лагранжевом формализме фигурируют еще уравнения
Картана и Гамильтона—де Дондера. Все эти уравнения эквивалентны друг другу в слу-
случае регулярных лагранжианов. Кроме того, уравнения Лагранжа тоже могут быть введе-
введены разными способами. Упомянем два из них. В первом случае они выводятся, исходя
из пресимплектической структуры, определяемой лагранжианом на конфигурационном
пространстве j'F. Во втором случае — как ядро оператора Эйлера—Лагранжа. Опе-
Операторы Эйлера—Лагранжа, в свою очередь, могут быть введены как в рамках вариаци-
вариационной задачи для лагранжианов, так и вне связи с ней как особый тип так называемых
вариационных операторов на расслоении Y -» Ж (см. § 2.6).
Все эти тонкости носят не только формальный характер, а оказываются существен-
существенными, например, в случае вырожденных лагранжианов.
Лагранжиан механической системы определяется как горизонтальная плотность
L = &dt, B.47)
на конфигурационном пространстве JlY, где J2" называется функцией Лагранжа. В
универсальной системе единиц лагранжиан B.47) остается безразмерным.
Мы не будем здесь углубляться в вариационную задачу (см. т.1 [8]), а просто при-
применим первую вариационную формулу.
Возьмем векторное поле
и = u'dt + и{дг, и = О, 1, B.48)
на Y -* Ж и рассмотрим производную Ли лагранжиана B.47) вдоль этого векторного
поля. Для этого необходимо поднять и до векторного поля
п = udt + ид, + dtudj,
согласно формуле (П.35). Тогда получаем
= (п j d&)dt = (udt + игдг + dtu'db&dt. B.49)
Первая вариационная формула обеспечивает каноническое разложение производной Ли
B.49) в соответствии с вариационной задачей:
= (и* - и1у\Щ + dt(u j HL), B.50)
где
HL = iridy1 - (щу1 - 2>)dt B.51)
— форма Пуанкаре—Картана, а
% : J2Y -f V*Y,
g>L = g&y* = (в, - dtd\)^dy\ B.52)

§ 5. Лагранжевы системы 77
— оператор Эйлера—Лагранжа для лагранжиана L, представимый также в виде 2-формы
WL = (д{ - dtdb^dy* A dt.
Коэффициенты %} называются вариационными производными. Мы будем использовать
обозначения
тг,- = d\S/\ -Kji = д\д\^.
Ядро Ker WL С J2Y оператора Эйлера—Лагранжа определяет систему дифференци-
дифференциальных уравнений Эйлера—Лагранжа второго порядка на Y:
(дг - dt$)& = 0. B.53)
Их решениями являются сечения s расслоения Y —> Ж, удовлетворяющие уравнениям
diJ?poJls-dt(vioJls) = 0. B.54)
Замечание 2.9. В общем случае ядро оператора Эйлера—Лагранжа Ker rSL не являет-
является подрасслоением расслоения J2Y —* Ж и B.53) — не дифференциальные уравнения,
если следовать их определению, данному в Предварительных сведениях. Например,
требования к дифференциальным уравнениям выполняются, если ранг морфизма B.52)
постоянен. В частности, это имеет место, если лагранжиан L регулярен (невырожден),
т.е. гессиан
det Tji Ф 0
всюду на конфигурационном пространстве J]Y. ?
Пример 2.10. Рассмотрим простра
Соответствующее конфигурационное
(t, у, yt). Выберем на нем лагранжиан
Пример 2.10. Рассмотрим пространство событий Y = Ж2 —> Ж с координатами (t, у).
Соответствующее конфигурационное пространство JXY параметризуется координатами
Он приводит к оператору Эйлера—Лагранжа
%L=[yyl-dt(y2yt)]dy,
ядро которого не является многообразием в окрестности точки у = 0. ?
Всякий лагранжиан L на конфигурационном пространстве JlY определяет отобра-
отображение Лежандра
L:JlY^ V*Y, B.55)
где (г,у\р() — голономные координаты на вертикальном кокасательном расслоении
V*Y. Действительно, с учетом вертикального расщепления B.3), вертикальный каса-
касательный морфизм VL к L определяет линейный морфизм
VL : JlY х VY -> Ж

78 Глава 2. Лагранжева механика
и, соответственно, морфизм B.55).
В неавтономной механике кокасательное расслоение V*Y играет роль расслоения
Лежандра A.68) и фазового пространства (см. Главу 3).
Замечание 2.11. Отображение Лежандра B.55) является локальным диффеоморфиз-
диффеоморфизмом, т. е. имеет постоянный максимальный ранг тогда и только тогда, когда лагранжиан
L — регулярный. Если отображение Лежандра L — диффеоморфизм, лагранжиан L на-
называется гиперрегулярным. ?
Фазовое пространство V*Y наделено канонической 3-формой
П = dpi A dy* A dt, B.56)
которая получается из полисимплектической формы A.69). Рассмотрим форму
П? = 1*П = diti A dy* A dt, B.57)
индуцированную на конфигурационном пространстве JXY формой B.56) посредством
отображения Лежандра L B.55). Она позволяет ввести на конфигурационном про-
пространстве конструкцию, подобную гамильтоновой механике на фазовом пространстве;
эта конструкция, однако, не является канонической, а зависит от выбора лагранжи-
лагранжиана L. При этом лагранжевым партнером гамильтоновой формы оказывается форма
Пуанкаре—Картана B.51).
В частности, если лагранжиан L регулярен, форма ?lL B.57) определяет на кон-
конфигурационном пространстве JlY структуру Пуассона. Действительно, с ее помощью
всякому вертикальному векторному полю
•в = 0{д{ + ?д\
на расслоении JlY -+ Ж ставится в соответствие 2-форма
' - tflTjidyi} A dt.
Это соответствие взаимно однозначно, если лагранжиан L регулярен. В этом случае для
произвольной 2-формы
ф = @,V + fcdyl) A dt
на JlY алгебраические уравнения
имеют единственное решение
В частности, любая функция / на JlY определяет, согласно соотношению
&f j?lL = -df A dt,

§5. Лагранжевы системы 79
вертикальное векторное поле
f + (тГУЧД^ - дцсь)Щ B.58)
на JXY —> Ш. Тогда для произвольных функций /, g G <f°{JlY) могут быть введены
скобки Пуассона
{f,g}Ldt = <dgjtifjuL, B.59)
lijl djgdjf) + (dnirk - дк-кп)(.-к-1)к\ъ~1)п'\)
При этом вертикальное векторное поле •dj B.58) является гамильтоновым векторным
полем для функции / относительно скобок Пуассона B.59). Структура Пуассона B.59)
определяет соответствующее симплектическое слоение на JlY, которое совпадает с рас-
расслоением j'F —> Ж. Симплектическими формами на слоях этого слоения являются
П( = diri A dy
[33, 72].
Пример 2.12. Если лагранжиан L является гиперрегулярным, структура Пуассона
B.59) очевидно изоморфна канонической структуре Пуассона на фазовом пространстве
V*Y. Действительно, легко вычислить скобки Пуассона
fa, *,•} = {У\ Vj} = 0, {*<, У1} = 6}.
а
Опрвделение 2.11. Связность
на расслоении JlY -+ Ж называется лагранжевой связностью для лагранжиана L, если
выполняется условие
& j Пи = dHL, B.60)
которое имеет координатный вид
«'-»')** = 0, B.61а)
д& - dm - edj-Ki - il-Kji + (? - y>)d^j = 0. B.61 b)
D
Нетрудно заметить, что для регулярного лагранжиана L, как следует из уравнения
B.61а), лагранжева связность является голономной (?' = у\). В силу уравнения B.61Ь)
она всегда существует и единственна. Такая связность, как обсуждалось в § 2.2, задает
уравнение движения.
Чтобы прояснить смысл условия B.60), рассмотрим лагранжиан

80 Глава 2. Лагранжева механика
на повторном многообразии струй JxJlY. Соответствующий оператор Эйлера—Лаг-
ранжа имеет вид
- yl)dyi} Л dt, B.62)
Он называется оператором Эйлера—Лагранжа—Картана. Тогда условие B.60) эквива-
эквивалентно условию
и приводит к системе дифференциальных уравнений первого порядка
#М»@ - »«> = °. <2-63а>
д&- dfKi + (y(t) - y\)diicj = 0 B.63 b)
на расслоении JXY —> Ж. Они именуются уравнениями Картана.
Замечание 2.13. Как будет показано в следующей главе, именно оператор Эйлера—
Лагранжа—Картана служит лагранжевым аналогом оператора Гамильтона. ?
Решениями уравнений Картана являются (локальные) интегральные сечения
s : () —> JlY лагранжевых связностей ?? для лагранжиана L, т. е. Jls = gL о s. Условие
B.60) для них эквивалентно выполнению соотношения
s*(u j dHL) = 0 B.64)
для произвольного вертикального векторного поля и на JXY —> Ж.
Легко заметить, что ограничение оператора Й% на голономное многообразие струй
J2Y С JlJlY воспроизводит оператор Эйлера—Лагранжа %fL. Поэтому уравнения Ла-
Лагранжа B.53) эквивалентны уравнениям Картана B.63 а)—B.63Ь) на голономных сече-
сечениях s = Jls расслоения J Y —+ Ж. Их решениями являются интегральные сечения
голономных лагранжевых связностей, которые принимают значения в ядре оператора
Эйлера—Лагранжа
Разные голономные лагранжевы связности определяют разные уравнения движения,
соответствующие одним и тем же уравнениям Лагранжа.
В случае регулярного лагранжиана L уравнения Картана B.63 а)—B.63Ь) полностью
эквивалентны уравнениям Лагранжа B.53) и приводят к единственному уравнению дви-
движения
l/tt = (t^f {-%&> + Dt'Ki + у"дкп{]. B.65)
По самому своему виду форма Пуанкаре—Картана Нь B.51) представляет собой
послойный морфизм
HL : JlY —> T*Y, B.66)
(р{, p)oHL- (тгй &

§ 5. Лагранжевы системы
конфигурационного пространства j'F в кокасательное расслоение Т*Х, которое в ме-
механике выполняет роль однородного расслоения Лежандра A.64) с голономными ко-
координатами (t, y',p,pi). Морфизм B.66) часто тоже именуют отображением Лежандра.
Мы будем называть его отображением Пуанкаре—Картана, чтобы отличать от отобра-
отображения Лежандра L. Связь между отображениями Лежандра и Пуанкаре—Картана дается
соотношением ^
L = (oHL, B.67)
где С — каноническая проекция T*Y —> V*Y (П.7).
Нетрудно также заметить, что форма Пуанкаре—Картана HL является формой, ин-
индуцированной на конфигурационном пространстве JlY канонической формой Лиувил-
ля
Z^pdt+Pidy1 B.68)
на кокасательном расслоении T*Y посредством морфизма B.66). Соответственно,
dHL = d-Ki A dyl - dipitf - 2?) A dt
является пресимплектической формой, индуцированной на конфигурационном про-
пространстве JlY канонической симплектической формой
dE = dp A dt + dp, A dyl B.69)
на кокасательном расслоении T*Y к пространству событий Y.
Предположим, что образ ^^конфигурационного пространства JlY в T*Y при ото-
отображении Пуанкаре—Картана Hi B.66) является вложенным подмногообразием
iL : ZL <-¦ T*Y.
Он наделяется индуцированной формой де Дондера
По аналогии с уравнениями Картана B.64), вводятся уравнения Гамильтона—де Дондера
для сечений г расслоения ZL —> Ж из условия, что
г*{и j dSL) = 0 B.70)
для произвольного вертикального векторного поля и на Z^ —> Ш. Чтобы получить эти
уравнения в явном виде, нужно подставить решения yl(t, у3,Pj), S^(t, У3,Pj, p) уравне-
уравнений
Pi =^i(t,yj,yi),
р = &(t, y\ y{) - V&, у3, у{)у1 B.71)
в уравнения Картана B.64).
Если лагранжиан L регулярен, уравнения B.71) имеют единственное решение. Тогда
уравнения Гамильтона—де Дондера принимают координатный вид
$г* = -д{г,
dtfi = dtr,
r = &(t,у1,y{(t,у3,pj)) -Piyi(t,у1,!?),

82 Глава 2. Лагранжева механика
и эквивалентны уравнениям Картана. Если лагранжиан L вырожден, уравнения B.71)
могут иметь много различных решений или вообще ни одного. Укажем наиболее общий
случай, когда уравнения Картана и Гамильтона—де Дондера эквивалентны.
Предложение 2.12. Пусть отображение Пуанкаре—Картана Нь ¦ JXY -+ ZL — это
субмерсия. Тогда сечение s расслоения JlY —> X является решением уравнений Карта-
Картана B.64) тогда и только тогда, когда Hio~s является решением уравнений Гамильтона—
де Дондера B.70) [35]. ?
Замечание 2.14. Уравнение Гамильтона—де Дондера B.70) можно рассматривать
как задачу (Б) для дираковской системы на симплектическом многообразии T*Y с ну-
нулевым гамильтонианом и пространством первичных связей Q = Zl при дополнительном
условии, что компонента vl решения v уравнения A.42) равняется 1. ?
В заключение коснемся коротко случая консервативных лагранжевых систем. Пред-
Предположим, что для некоторой тривиализации
в координатах (t, уг) лагранжиан L не зависит от t. В этих координатах на конфигура-
конфигурационном пространство JlY определена пресимплектическая форма
шь — dKi Л dy',
и уравнение B.60) для лагранжевой связности ?l может быть записано в виде
(,L j wl = -й(щу\
Таким образом, консервативная лагранжева система сводится к пресимплектической
гамильтоновой системе с "гамильтонианом" (тг^| — ¦&), и к ней применима процедура,
описанная в §1.6 [55]. Обобщение этой процедуры на неконсервативные вырожден-
вырожденные лагранжевы системы см. в [24, 27, 45]. Мы рассмотрим такие системы в рамках
гамильтонова формализма.
§6. Ньютоновы системы
Пусть L — лагранжиан на конфигурационном пространстве и L — отображение
Лежандра B.55). Возьмем вертикальное касательное отображение VL, которое с учетом
вертикального расщепления B.3) принимает вид
VL : JlY х VY -> V*Y x V*Y
? Y
и порождает послойный морфизм
b = (Idj.y, pr2 oVL): VYJlY -> VyJlY, B.72)
где {dy{} — базисы слоев расслоения VyJlY. Морфизм B.72) определяет отображение
JlY -> VyJlY ® Vy JlY

§ 6. Ньютоновы системы 83
и, наконец,
т : JlY —* V*Y <g) V*Y,
Г у
где (t,y\pij) — голономные координаты на V*Y tg>V*Y. Таким образом, ж^ = по-
появляются компонентами симметричного V VT-значного поля на конфигурационном
пространстве JxY. Оно называется тензором масс.
Пусть лагранжиан L регулярен. Тогда тензор масс невырожден, а для L существует
единственная лагранжева связность, которая согласно уравнению B.61а) голономна и
удовлетворяет уравнению B.61Ь), которое принимает вид
***** = -dfKi - dj^yj + %&. B.73)
Эта связность определяет уравнение движения B.65). Уравнение B.73) приводит к ком-
коммутативной диаграмме
VYJlY —*—
J2Y
%L = b о Dh, ffi = mik(yktt - ?), {2.1 A)
а взятием производной по у\ — к соотношению
?t j dniij + TOjfc7j + mjkji = 0, B.75)
где
— коэффициенты симметричной динамической связности 7& B.25), отвечающей урав-
уравнению движения ^?.
Таким образом, всякий регулярный лагранжиан L определяет динамическое урав-
уравнение ?ь, связанное с оператором Эйлера—Лагранжа WL соотношением B.74), и не-
невырожденный тензор масс m,j, связанный с динамическим уравнением ?& равенством
B.75). Это подводит нас к определению ньютоновой системы.
Опрвделение 2.13. Пусть У-»Е — расслоение, для которого определена послойная
риманова метрика т в расслоении VYJlY -+ JlY:
m:JlY-> V*Y <g) V*Y,
Y
m=- rriijdy' V dyt,
удовлетворяющая условию
ij = d)mik, B.76)

84 Глава 2. Лагранжева механика
и динамическое векторное поле ? B.16) на конфигурационном пространстве J[Y, свя-
связанное с тензором масс го соотношением B.75). Тройка (У, т, ?) называется ньютоновой
системой. ?
Смысл такого определения понятен: оно обобщает второй закон Ньютона для точеч-
точечной массы. Уравнение движения ньютоновой системы можно записать в эквивалентной
форме
mikyu = тп,-*?*. B.77)
Есть две причины, почему это может понадобиться.
Во-первых, как было показано, когда тензор тг^- риманов, регулярный лагранжиан
приводит к ньютоновой системе, где B.77) — уравнение Эйлера—Лагранжа.
Пример 2.15. Уравнение свободного движения в неинерциальной системе координат
B.40) не является уравнением Лагранжа, но оно эквивалентно уравнению Лагранжа для
лагранжиана
а
Во-вторых, в универсальной системе единиц тензор масс m не безразмерен. Напри-
Например, для точечной массы в декартовых координатах уг тензор массы имеет размерность
[длина], а в угловых — размерность длины. В первом случае правая часть уравнения
B.77) является силой, а во втором — моментом силы.
Установим теперь, при каких условиях ньютонова система является лагранжевой.
Это пример так называемой обратной задачи в механике. Она была решена в разных
вариантах. Мы рассмотрим ее как частный случай обратной задачи для динамических
систем на расслоениях [33].
Дело в том, что уравнение B.77) является ядром дифференциального оператора типа
Эйлера—Лагранжа 2-го порядка
gf : J2Y -> V*Y, B.78)
Такие операторы представимы в виде 2-форм
gf = g-0'' A dt, B.79)
где в' — контактные формы (П.34). К ним относятся и операторы Эйлера—Лагранжа
B.52). Таким образом, проблема состоит в том, при каком условии операторы типа
Эйлера—Лагранжа являются операторами Эйлера—Лагранжа.
Для расслоения Y —* Ж имеет место так называемая вариационная последователь-
последовательность
О -+ R _» <f°(Y) ±+ ^°'\J1Y) -U <?l'\j2Y) -^ ^2>I(J3F) -^ • • •, B.80)
где ^"''(j'y) обозначает пространство горизонтальных плотностей J^fdt на JXY, a
(fl'l(J2Y) — пространство 2-форм на J2Y вида Щд' A dt и т.д. Таким образом, эле-
элементами <fo<l(JlY) являются лагранжианы ??dt, а элементами <^>1>I(J2F) — операто-
операторы типа Эйлера—Лагранжа, представляемые в виде 2-форм B.79). Последовательность

§6. Ньютоновы системы 85
B.80) является комплексом, т. е.
8odH = 0, B.81а)
<52о<5 = 0 B.81 Ь)
и т.д., где
dH(f) = dtfdt, f e &°(JlY),
— горизонтальный внешний дифференциал,
S(^dt) = (д( - dtdb^tf A dt B.82)
— отображение Эйлера—Лагранжа (или вариационный оператор) и
62(^в{ Л dt) = [Bdj - dtd) + d2tdf)ffi6j Л в{ +
+ (fljj-gj + д\Щ - 2dtdf^i)ei Л ej + (dfffi - dfWj)e{t Л в1] Л dt = О
— отображение Гельмгольца—Сонина.
Выражение B.82) для вариационного оператора показывает, что его образ Im 6 со-
составляют операторы Эйлера—Лагранжа, а из равенства B.81Ь) следует, что Im 6 С Кег 62 ¦
Таким образом,
<52(Ю = 0 B.83)
является необходимым условием того, чтобы оператор типа Эйлера—Лагранжа C6J был
оператором Эйлера—Лагранжа, т. е.
% = S(L) B.84)
для некоторого лагранжиана L. В координатах это условие имеет вид
д& - diWj + l- dt(d\tfj - д)Щ = 0, B.85 а)
d)%i + д\Щ - 2(Ьд?% = 0, B.85 b)
д"^-д?Щ=0. B.85 с)
Препятствие тому, чтобы условие B.83) влекло B.84), является топологическим. В слу-
случае Y = Жп+1 —> Ж (а значит, во всех случаях локально) вариационная последователь-
последовательность B.80) является точной, т. е. Im 6 = Кег 82.
Применим теперь условие B.83) к оператору B.78). Легко убедиться, что условие
B.85 с) удовлетворяется благодаря симметричности тензора масс. Условие B.85 Ь) вы-
выполняется в силу равенства B.75) и свойства симметрии B.76). И остается еще условие
B.85 а).
Пример 2.16. Рассмотрим одномерное движение точечной массы го0 в среде с со-
сопротивлением, пропорциональным скорости. Оно описывается уравнением
™>оуи = ~kyt, yt ^ 0, B.86)
на пространстве событий I2 -»1с координатами (t, у). Это механическая система с
функцией масс го = то и динамическим векторным полем
? = д, + тду-~Шд1 B.87)
ЛЬ

86 Глава 2. Лагранжева механика
Однако она не является ни ньютоновой, ни лагранжевои. Необходимые условия B.85 а)
и B.85 с) выполняются для любой функции массы m(t, у, yt), а условие B.85Ь) прини-
принимает вид
-ку^тп - km + dtm + ytdym = 0.
Функция масс го = const не удовлетворяет этому уравнению, как и уравнению B.75).
Но есть их решение
Г к 1
т = гооехр—t . B.88)
L™o J
Система с функцией масс B.88) и динамическим векторным полем B.87) является и
ньютоновой, и лагранжевои с функцией Лагранжа
1 Г к 1 2
& = -гооехр —t\yt.
2 [то J
Получаемое из нее уравнение Лагранжа эквивалентно уравнению B.86). ?
Отметим, что, как это следует из равенства B.81 а), лагранжиан L в равенстве B.84)
определен не однозначно, а с точностью до слагаемого dtfdt, где / — некоторая функ-
функция на Y.
§ 7. Лагранжевы законы сохранения
Одним из преимуществ описания механической системы как лагранжевои является
то, что инвариантность лагранжиана относительно тех или иных групп преобразований
позволяет найти первые интегралы движения.
Существуют разные способы получения первых интегралов движения и законов
сохранения. Следуя общей процедуре построения лагранжевых законов сохранения
[8, 33, 66], мы будем исходить из первой вариационной формулы.
Пусть L — лагранжиан B.47) на конфигурационном пространстве j'Y и
и = ид1 + и{ди и =0,1, B.89)
— векторное поле B.48) на расслоении У-»К. Это поле можно интерпретировать как
, генератор локальной 1-параметрической группы локальных автоморфизмов расслоения
Y —> Ж. В частности, если и1 = 0, мы имеем дело с вертикальным векторным по-
полем — генератором вертикальных автоморфизмов расслоения F-*l, проектируемых
на тождественное преобразование базы Ж. Если и = 1, векторное поле и B.89) про-
проектируется на стандартное векторное поле dt на базе Ж, которое является генератором
группы трансляций Ж.
Рассмотрим первую вариационную формулу B.50) для лагранжиана L и векторного
поля и B.89). На уравнениях движения B.53) она принимает форму слабого тождества
-dtT, B.90)
{uxdt + u'di + dtu'dj)^ at -dt(Tn(uyi - u{) - /
где .
T=-ujHL = iri(uty't-u')-u^ B.91)
— ток вдоль векторного поля и.

§ 7. Лагранжевы законы сохранения 87
Если производная Ли \щЬ лагранжиана L вдоль векторного поля и равна 0 (т. е.
лагранжиан L инвариантен относительно 1-параметрической группы преобразований,
генератором которых является и), получаем слабый закон сохранения
О «-^(«'у/-«'¦)-«'.<?'].
На решениях s уравнений Лагранжа B.54) он принимает вид дифференциального закона
сохранения
О и fGTj о J^Xudts' - иг о s) - и Я1 о j'sl.
dtL J
Таким образом, в неавтономной механике сохраняющийся ток B.91) играет роль первого
интеграла движения.
Рассмотрим сначала случай вертикального векторного поля #, когда #' = 0. Тогда
слабое тождество B.90) запишется в виде
Если производная Ли лагранжиана L вдоль ч? равна нулю, мы получаем слабый закон
сохранения
0 и <й(тг,-0') B.92)
и интеграл движения
Т = -7Г.-01'. B.93)
По аналогии с теорией поля, назовем B.92) нетеровским законом сохранения, а ток
B.93) — нетеровским током или нетеровским интегралом движения.
Пример 2.17. Допустим, что при некоторой тривиализации У~1хМв координа-
координатах (?, у1) лагранжиан L не зависит от координаты у1. Тогда его производная Ли вдоль
вертикального векторного поля # = д{ равна 0, и мы имеем нетеровский интеграл дви-
движения B.93), который сводится к соответствующему импульсу Т = ttj . В произвольной
системе координат (t, у'1) этот интеграл движения примет вид
Т—
Это наиболее широко встречающийся пример лагранжева закона сохранения в механи-
механике. ?
В случае горизонтального векторного поля Г B.8), когда и* = 1, слабое тождество
B.90) принимает вид
(9t + T'dt + dtFdb^ = -dtimiyi - Г') - i?), B.94)
где
Тг = т(у\ - Г') - & B.95)
— это плотность энергии относительно системы отсчета Г.
Замечание 2.18. Конечно, как и в отношении сил, речь идет об обобщенной энергии.

88 Глава 2. Лагранжева механика
Пример 2.19. В координатах, сопутствующих системе отсчета Г, слабое тождество
B.94) принимает форму знакомого закона сохранения энергии
-dtfrilt ~ &)¦ B-96)
Пример 2.20. Рассмотрим одномерное движение и систему отсчета Y = К х Ж с
сопутствующими координатами (t, уг). Возьмем равноускоренную относительно данной
систему отсчета
Г = at. B.97)
Построим лагранжиан
L=-(yt- atfdt B.98)
свободного движения относительно равноускоренной системы отсчета B.97). Рассмо-
Рассмотрим закон сохранения плотности энергии относительно системы отсчета B.97), т. е.
вдоль векторного поля
Г = dt + atdy.
Легко убедиться, что производная Ли лагранжиана B.98) вдоль этого векторного поля
равна 0, и мы получаем сохраняющуюся плотность энергии
Тг = .2*
относительно равноускоренной системы отсчета Г. ?
Таким образом, формула B.95) действительно является выражением плотности энер-
энергии относительно системы отсчета Г.
В общем случае всякое векторное поле и B.89) может быть разложено в сумму
и = Г + ¦& некоторого горизонтального векторного поля Г B.8) и вертикального век-
векторного поля -в, в том числе, # = 0. Следовательно, всякий ток B.91) вдоль такого
векторного поля и B.89) на пространстве событий Y может быть представлен как сум-
сумма нетеровского тока вдоль вертикального векторного поля ч? и плотности энергии вдоль
горизонтального векторного поля (т.е. относительно системы отсчета Г B.8) [31, 33]).
Обратно, плотности энергии относительно разных горизонтальных векторных полей Г
и Г' отличаются друг от друга на нетеровскии ток вдоль вертикального векторного поля
Г-Г'.
Используя первую вариационную формулу, можно получить законы сохранения и
для систем, которые не вполне лагранжевы, а именно, если они описываются уравне-
уравнениями типа
(д{ - dtd\)& + Ftf, у\ у]) = 0, B.99)
где L — какой-либо лагранжиан, a F имеет смысл внешней силы. Предположим, что
производная Ли этого лагранжиана вдоль некоторого векторного поля поля и B.89)
равна 0. С учетом этого условия и уравнений B.99) применим к этому лагранжиану
первую вариационную формулу B.50). В результате получим слабое равенство
(и* - yW)Fi и -dt \щ{и*у\ - и'') - и'J?]. B.100)

§ 7. Лагранжевы законы сохранения 89
Например, пусть в системе отсчета с сопутствующими координатами у1 существует
уравнение свободного движения, которое является уравнением Лагранжа для лагранжи-
лагранжиана
\b2t. B.101)
Тогда всякое уравнение движения B.13) можно представить в виде B.99), где L —
лагранжиан свободной системы B.101) и Fi = ?'. Производная Ли лагранжиана B.101)
вдоль векторного поля и — dt равна, очевидно, 0. В этом случае слабое равенство
принимает вид
Это известный закон, который гласит, что изменение энергии системы пропорциональ-
пропорционально мощности действующей на нее внешней силы, т. е. скалярному произведению силы
на скорость системы.

Глава 3
Неавтономная гамильтонова механика
Эта глава посвящена гамильтоновой формулировке неавтономной механики в произ-
произвольных системах отсчета и ее связи с лагранжевым формализмом в случае вырожденных
систем. Отметим следующие особенности этой формулировки в сравнении с симплек-
тической механикой.
• Фазовое пространство неавтономной механики не является симплектическим, а
наделено канонической вырожденной структурой Пуассона.
• Гамильтонианы в неавтономной механике как геометрические объекты не являют-
являются функциями на фазовом пространстве и на них не определены скобки Пуассона.
Поэтому уравнение эволюции в неавтономной механике не сводится к скобкам
Пуассона. В частности, интегралы движения не могут быть определены как функ-
функции на фазовом пространстве, находящиеся в инволюции с гамильтонианом. В
неавтономной механике также неприменима известная процедура описания си-
систем со связями из §2.7, использующая скобки Пуассона с уравнениями связи.
• Гамильтоновы и лагранжевы формулировки неавтономной механики эквивалент-
эквивалентны в случае гиперрегулярных лагранжианов. Однако системы с вырожденными
лагранжианами являются, как правило, многогамильтоновыми. Такая система
описывается целым семейством гамильтонианов и уравнений Гамильтона, чьи ре-
решения призваны воспроизвести решения уравнения Лагранжа.
В качестве примера в § 3.6 дается исчерпывающий анализ важного для приложений
случая вырожденных систем с квадратичными лагранжианами.
§ 1. Каноническая структура Пуассона
Как уже отмечалось, фазовым пространством нерелятивистской неавтономной ме-
механики является вертикальное кокасательное расслоение
7rn:F*y-+y C.1)
над пространством событий Y —> Ж. Оно является частным случаем расслоения Ле-
жандра П A.68) над расслоением У —> X, когда X = Ш. Там принимают значения
отображения Лежандра B.55), порождаемые всевозможными лагранжианами на кон-
конфигурационном пространстве JlY. Фазовое пространство C.1) параметризуется голо-
номными координатами (t, y',Pi = &).

§ 1. Каноническая структура Пуассона
Фазовое пространство V*Y неавтономной механики может быть наделено канони-
канонической структурой Пуассона. Для этого рассмотрим кокасательное расслоение T*Y с
голономными координатами (t, у1, р, р{). На нем заданы каноническая форма Лиувилля
S = pdt + pidy1 C.2)
и каноническая симплектическая форма
dS = dp Л dt + dpi Л dy . C.3)
Соответствующие скобки Пуассона на пространстве функций (f°(T*Y) на T*Y имеют
вид
{/, 9} = Pfbg - SPgdtf + d'fdig - d'gdif. C.4)
Рассмотрим подпространство пространства (f°(T*Y), состоящее из функций (*/,
индуцированных на T*Y функциями / на V*Y посредством канонической проекции
T*Y —> V*Y (П.7), т.е. из функций, не зависящих от координаты р. Легко убедиться,
что это подпространство замкнуто относительно скобок Пуассона C.4). Тогда, в силу
Предложения 1.7, на фазовом пространстве неавтономной механики V*Y существует
каноническая структура Пуассона
{f,9}v = d'fdig-d'gdif, C-5)
порождаемая структурой Пуассона C.4), т. е. такая что
Соответствующее пуассоново бивекторное поле
w(df, dg) = {/, g}v
на расслоении V*Y —> Ш. является вертикальным и в голономных координатах на V*Y
имеет вид
wij = 0, Wij = 0, vtj = 1. C.6)
Таким образом, голономные координаты на V*Y являются каноническими для струк-
структуры Пуассона C.5). Так как ранг бивекторного поля w C.6) постоянен, структура
Пуассона C.5) регулярна. Она с очевидностью вырождена.
При наличии скобок Пуассона C.5), гамильтоново векторное поле tif для функ-
функции / на фазовом пространстве V*Y определяется соотношением
Это вертикальное векторное поле
' difd1 C.7)
на расслоении V*Y —> IK. Отсюда следует, что характеристическое распределение струк-
структуры Пуассона C.5) в точности совпадает с вертикальным касательным расслоением
VV*Y к расслоению V*Y -»• К. Далее, в соответствии с Теоремой 1.9 структура Пуас-
Пуассона C.5) задает симплектическое слоение на фазовом пространстве V*Y, слои которого
совпадают со слоями расслоения V*Y —»• Ж. Симплектические формы
Qt = dpt Л dy'

92 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
на слоях V*Y —> Ж индуцированы канонической симплектической формой на типич-
типичном слое Т*М расслоения F'7 -» I посредством морфизмов тривиализации этого
расслоения [22].
Структура Пуассона C.5) может быть получена и другим способом.
Каноническая полисимплектическая форма A.69) на расслоении Лежандра
V*Y —•> Y C.1) принимает вид
Л = dp, Л dy /\ dt® dt
и в силу Замечания В.2 сводится к канонической внешней 3-форме
n = dpiA dy( Л dt C.8)
[33, 64, 65]. Последняя является внешним дифференциалом канонической 2-формы
© = pidy* A dt C.9)
на фазовом пространстве V*Y. Формы C.8) и C.9) являются каноническими в том смы-
смысле, что они инвариантны при любых преобразованиях голономных координат на V*Y.
При наличии канонической формы C.8) всякая функция / на фазовом пространстве
V*Y определяет соответствующее гамильтоново векторное поле #/ C.7) из соотношения
tfr j « = -<*/Л <й, C.10)
тогда как скобки Пуассона C.5) воспроизводятся в виде
§ 2. Гамильтоновы связности и гамильтоновы формы
В этом параграфе вводятся основные объекты неавтономной гамильтоновой механи-
механики — гамильтоновы связности, гамильтоновы формы, оператор Гамильтона и уравнения
Гамильтона.
Следуя общей схеме полисимплектического гамильтонова формализма, мы будем
называть горизонтальное векторное поле или, что то же самое, связность
7 $+Уй+7.0 С3-11)
на расслоении V*Y —» Ш. локально гамильтоновой, если внешняя форма 7 -J П замкнута,
т.е.
Цп = dG j «) = 0. C.12)
Легко убедиться, что связность у C.11) на V*Y —•> Ш. локально гамильтонова тогда
и только тогда, когда она удовлетворяет соотношениям
0, C.13 а)
% C.13 b)
0. C.13 с)

§ 2. Гамильтоновы связности и гамильтоновы формы 93
Пример 3.1. Всякая связность
Г. v 1 T^v r~ rpv
. I —* J I L Л,
T = dt+Yidi, C.14)
на пространстве событий У-+К продолжается до локально гамильтоновой связности
(П.62) на фазовом пространстве V*Y -» Ж так, что
f j ft = dHv,
Нт=р^у{ -piYUt. C.16)
D
Локально гамильтоновы связности образуют аффинное пространство, моделируемое
над векторным пространством вертикальных векторных полей # на V*Y -+ Ж, которые
удовлетворяют такому же условию
d@jfi) = O, C.17)
что и C.12). Локально они являются гамильтоновыми векторными полями, как пока-
показывает следующая лемма.
Лемма 3.1. Всякая замкнутая форма j j П на расслоении V*Y —> Ж является точной.
доказательство. Проведем разбиение
7 = Г+#, (ЗЛ8)
где Г — связность на расслоении У-+1иГ — ее лифт C.15) на расслоение V*Y -* Ж, а
¦& — вертикальное векторное поле, удовлетворяющее равенству C.17). Легко установить,
что
¦д л J7 = а Л dt,
где а — некоторая 1-форма. Используя свойства групп когомологий де Рама произ-
произведения многообразий, можно показать, что всякая замкнутая 2-форма вида a A dt на
V*Y = Кх Т*М является точной, а следовательно, j j ft — тоже точная форма [33].
Более того, в соответствии с относительной леммой Пуанкаре можно записать локально
1? j J7 = df A dt.
а
Определение 3.2. Внешняя 1-форма Н на фазовом пространстве V*Y называется
локально гамильтоновой, если
7 j п = dH
для некоторой связности j на расслоении V*Y -* Ж. ?
Согласно Предложению 3.1, имеет место взаимно однозначное соответствие меж-
между локально гамильтоновыми связностями и локально гамильтоновыми формами, рас-
рассматриваемыми по модулю замкнутых форм. В частности, форма НГ C.16) является
локально гамильтоновой формой.

94 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Замечание 3.2. В дальнейшем, если специально не оговорено все локально гамиль-
гамильтоновы и гамильтоновы формы рассматриваются по модулю замкнутых форм. ?
Опрвделение 3.3. Гамильтоновой формой на фазовом пространстве V*Y называется
внешняя 1-форма
H = h*E = pidy* - ЯГш, C.19)
индуцированная канонической формой Лиувилля 3 C.2) на T*Y посредством некото-
некоторого сечения h расслоения
С : T*Y -> V*Y. C.20)
В универсальной системе единиц гамильтонова форма остается безразмерной. ?
При заданной тривиализации Y = Жх М пространства событий гамильтонова фор-
форма C.19) выглядит, как известный интеграл Пуанкаре—Картана [1]. Поэтому величи-
величину %? в выражении C.19) для гамильтоновой формы можно назвать гамильтонианом.
При этом из выражения C.19) видно, что гамильтонианы являются не функциями, а
глобально плохо определенными геометрическими объектами, которые имеют смысл
только в составе гамильтоновых форм. Можно, однако, сказать, что гамильтонианы,
как и гамильтоновы формы, образуют аффинное пространство, моделируемое над век-
векторным пространством функций на V*Y.
Например, всякая связность Г на пространстве событий Y -+ Ж является аффинным
сечением
(см. (П.40)) расслоения C.20) и соответственно определяет гамильтонову форму Ну
C.16) на фазовом пространстве V*Y с гамильтонианом
Отсюда следует, что всякая гамильтонова форма на фазовом пространстве V*Y допус-
допускает разбиение
Н = Яг - Щ^Ь = pfdy* - (р,-Г* + ?f)dt, C.21)
где Г — некоторая связность на У -» К и Jf — вещественная функция на V*Y, назы-
называемая функцией Гамильтона. Более того, как мы ниже покажем, каждая гамильтонова
форма допускает каноническое разбиение C.21).
Замечание 3.3. Забегая вперед (см. §3.7), отметим, что функция Гамильтона Щ
в разложении C.21) имеет смысл плотности энергии гамильтоновой системы относи-
относительно системы отсчета Г. При квантовании именно функция Гамильтона Щ, взя-
взятая относительно той или иной системы отсчета Г, а не гамильтониан Sf, становится
гамильтонианом квантовой системы. Ключевой особенностью квантования неконсер-
неконсервативных механических систем является то, что при квантовании в разных системах
отсчета квантовые гамильтонианы отличаются классическим слагаемым. ?
Назовем гамильтоновым отображением всякий послойный морфизм
Ф : V*Y -> JlY,
у}оф = Ф'(р), р е V*Y, C.22)

§ 2. Гамильтоновы связности и гамильтоновы формы 95
фазового пространства в конфигурационное. Его композиция с каноническим морфиз-
мом А B.1) является морфизмом расслоений
Ф : V*Y -> TY,
?
Ф = дг + Ф((р)%. C.23)
Например, всякая связность Г на расслоении Y —* К задает гамильтоново отобра-
отображение
f = roirn:V*Y->Y-*JlY,
для которого векторное поле C.23) совпадает с горизонтальным векторным полем Г
C.14). Обратно, всякое гамильтоново отображение Ф C.22) задает соответствующую
связность
ГФ = Ф о б
на пространстве событий У-»1, где 0 — глобальное нулевое сечение кокасательного
расслоения V*Y —» Y. В частности, нетрудно убедиться, что
If-1.
Предложение 3.4. Любое гамильтоново отображение C.23) определяет гамильтонову
форму
НФ = -Ф j © = ptdy* - p&dt, C.24)
где © — каноническая 2-форма C.9). ?
Прддложение 3.5. Обратно, всякая гамильтонова форма Н на фазовом пространстве
V*Y задает соответствующее гамильтоново отображение
Н : V*Y -> JlY,
у\оН = дгЖ. C.25)
доказательство. Пусть h : V*Y <-> T*Y — сечение расслоения C.20), соответствую-
соответствующее гамильтоновой форме Н, т.е. Н = ti"E. Вертикальный касательный морфизм Vh
к h порождает линейный послойный морфизм
Vh : VV*Y -»• T*Y
над Y, который может быть представлен как сечение
Vh = 2р{ ® dy* - д*<ЗГ2р{ ® dt
расслоения
V*V*Y ® T*Y -+ V*Y.
VY
В результате естественных сверток это сечение превращается в сечение
Vh = (dy{ - tf
расслоения
V*Y x(T*Y

96 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
и принимает значение в образе многообразия струй JlY при его каноническом вложе-
вложении (П.ЗЗ) в T*Y ® VY. ?
Следствие 3.6. Всякой гамильтоновой форме Н на фазовом пространстве V*Y со-
соответствует связность
на пространстве событий Y —> R. п
В частности, легко установить, что
Гяг = Г,
где Ну — гамильтонова форма C.16), определяемая связностью Г на расслоении
Flip
—> к.
Следствие 3.7. Любая гамильтонова форма Н C.19) допускает каноническое разби-
разбиение ___
Н = НГн- Stdt. C.26)
?
Установим теперь связь между локально гамильтоновыми и гамильтоновыми фор-
формами, которые вводились, казалось бы, исходя из совершенно разных соображений.
Предложение 3.8. Локально гамильтоновы формы локально являются гамильтоно-
гамильтоновыми.
доказательство. Пусть даны две произвольные локально гамильтоновы формы Н7
и Ну на фазовом пространстве V*Y. Их разность
а = Щ -Ну,
da = (j- 7') j П,
является 1-формой на V*Y такой, что 2-форма а Л dt замкнута и следовательно, как
в Лемме 3.1, точна. Тогда в соответствии с уже упоминавшейся относительной леммой
Пуанкаре можно записать локально
а = fdt + dg,
где fug — локальные функции на V*Y. Учитывая это, а также разбиение C.18), полу-
получаем, что в окрестности всякой точки р G V*Y любая локально гамильтонова форма Щ
может быть записана в виде
Щ = Яг + fdt
и тем самым является гамильтоновой формой, индуцированной канонической формой
Лиувилля S на T*Y посредством локального сечения
(*, у', Pi) ~ (*, y\vuv = -р^ + f)
расслоения T*Y -> V*Y. a
В обратную сторону справедливо следующее утверждение: всякая гамильтонова фор-
форма является локально гамильтоновой.

§ 2. Гамильтоновы связности и гамильтоновы формы 97
Предложение 3.9. Для любой гамильтоновой формы Н на фазовом пространстве
V*Y существует единственная связность 7я на расслоении V*Y —* К, называемая га-
гамильтоновой связностью, такая что
7я -J П = dH. C.27)
доказательство. Введем на фазовом пространстве V*Y, как и в полисимплектиче-
ском случае, дифференциальный оператор первого порядка — ассоциированный с Н
оператор Гамильтона
WH = dH - A j fi = [{у\ - дКЖ)йрг - (pti + di^)dyi] A dt, C.28)
где А — канонический мономорфизм B.1) и JlV*Y — многообразие струй расслоения
V*Y —> Ш, параметризуемое координатами
(t,yl,Pi,y't,Pti)-
Нетрудно заметить, что ядро оператора Гамильтона 8# C.28) — это образ глобального
сечения
ti { C.29)
расслоения струй J{V*Y —» V*Y, являющегося искомой гамильтоновой связностью. ?
Напомним, что гамильтоновы формы Н на фазовом пространстве V*Y образуют
аффинное пространство, моделируемое над векторным пространством вещественных
функций, а точнее горизонтальных плотностей fdt на расслоении V*Y —> Ж. Тогда
из соотношения C.27) следует, что гамильтоновы связности 7я образуют аффинное
пространство, моделируемое над векторным пространством гамильтоновых векторных
полей C.10). Действительно,
Образ гамильтоновой связности C.29) образует замкнутое вложенное подрасслоение
расслоения J V*Y —> Ш. и определяет тем самым систему дифференциальных уравнений
первого порядка на фазовом пространстве V*Y. Это уравнения Гамильтона
у\ = #Я", C.30 а)
Pti = -di^r (з.зоь)
для гамильтоновой формы Н. Заметим, что, в отличие от уравнений Лагранжа, уравне-
уравнения Гамильтона всегда хорошо определены как система дифференциальных уравнений.
Интегральные сечения г : 1 Э () -» V*Y гамильтоновой связности C.29) (или, что
эквивалентно, интегральные кривые горизонтального векторного поля C.29)) являют-
являются решениями уравнений Гамильтона (З.ЗОа)-(З.ЗОЬ). При этом из уравнений C.30 а)
следует, что для всякого решения г уравнений Гамильтона выполняется соотношение
Jl(irnor) = Hor. C.31)

98 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Замечание 3.4. Уравнения Гамильтона C.30 а)—C.30 Ь) являются частным случаем
уравнений движения первого порядка
y\=l\ Ра=Ъ C.32)
на фазовом пространстве V*Y —> Ш, где j — некоторая связность C.11) на расслоении
V*Y -» Ж.
Пример уравнения движения первого порядка, которое не является уравнениями Га-
Гамильтона, дает движение точечной массы т в среде с сопротивлением из Примера 2.16.
Оно имеет вид
1 к
VI-—V-, Pt = Р- C.33)
т т
Связность
1 к
1 = dt + -pdy рдр
mm
не удовлетворяет условию C.13 с). ?
Отметим, что уравнения Гамильтона C.30 а)—C.30 Ь) могут быть введены и без по-
помощи оператора Гамильтона. На сечениях г расслоения V*Y —> Ш эти уравнения
дУ = д'ЯГ о г, dtT{ = -diSt о г C.34)
эквивалентны условию
г*(и л dH) = 0, C.35)
выполняемому для произвольного вертикального векторного поля и на V*Y —* Е.
Замечание 3.5. Всякая гамильтонова форма Н на фазовом пространстве V*Y опре-
определяет пресимплектическую, а при некоторых дополнительных условиях и контактную
структуры.
По определению, гамильтонова форма Н = h*3 индуцирована канонической фор-
формой Лиувилля Н C.2) посредством некоторого сечения h расслоения T*Y —> V*Y. Со-
Соответственно, ее внешний дифференциал
dH = h*dE = (dpi + di^dt) Л (dy* - d{3tdt) C.36)
индуцирован канонической симплектической формой C.3) и тем самым является пре-
симплектической формой. Пресимплектическая форма C.36) имеет постоянный ранг
2т, поскольку форма
(dH)m = (dpi Л dt/)m - midpi Л dy')™ Л dJF Л dt C.37)
с очевидностью нигде не обращается в 0.
Предложение 3.10. Гамильтонова форма C.15) является контактной формой, если
функция
7я j Я = р$%Г -%Г = \8Р\ C.38)
нигде не обращается в 0 [46].
доказательство. Так как гамильтонова связность 7н C.29) является неособым век-
векторным полем, условие
Н A (dH)m ф О

§ 3. Канонические преобразования 99
того, что форма Я является контактной, эквивалентно условию
7я -I (Я Л (dH)m) = Gя л Н)(Ш)т = W\{dH)m ф 0.
Последнее имеет место, поскольку форма (dH)m C.37) нигде не обращается в 0. D
Заметим, что функцию \3f\ можно сделать нигде не обращающейся в 0, если доба-
добавить к Я какую-либо точную форму, например, форму cdt, с = const. Так, например,
гамильтонова форма Яр C.16) не является контактной, поскольку [Щ\ = 0, тогда как
Ну — dt — контактная форма с [Щ^ — 1 ] = 1.
Если гамильтонова форма Я контактная, соответствующее векторное поле Риба
A.4) имеет вид
Ен = [ЗГГЧн- C.39)
Тогда, согласно Предложению 1.5, можно ввести скобки Якоби, определяемые вектор-
векторным полем C.39) и бивекторным полем wh на V*Y, удовлетворяющим соотношениям
A-5):
юв(Ф,.) -J Я = 0,
-I <Ш" = -(ф - (Ен J Ф)Ю,
для всякой 1-формы ф на V*Y. Получаем
и>в(Ф, о") = Фх<*х - а1ф% +Pitr'EH лф- Ргф'Ен j a,
где ф, а — произвольные 1-формы на V*Y. Соответствующие скобки Якоби на функ-
функциях на фазовом пространстве V*Y имеют вид
) + Ена (fdg - gdf) = {/, g}v + m~W ^ df - ftB
где {/, g}v — скобки Пуассона C.5) и
и
Замечание 3.6. Имея каноническую структуру Пуассона C.5) на фазовом простран-
пространстве V*Y, можно ввести также обобщенные скобки Пуассона { .,. }w A.58) на внешней
алгебре (?*{y*Y) или скобки { .,. }<j A-62) на факторе
В частности, обобщенные скобки Пуассона A.58) двух гамильтоновых форм Н и Н'
имеют вид
{Я, Я'}ю = tAtfse* - di
а
§ 3. Канонические преобразования
Отметим сразу, что канонические преобразования, при которых канонические ко-
координаты ух преобразуются через канонические импульсы р,-, не сохраняют расслоение
V*Y -» Y, что нарушает, в частности, структуру гамильтоновых форм. Другой важный
вопрос — это существование производящей функции канонического преобразования.

100 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Рассматриваются два типа канонических преобразований: активные — автоморфиз-
автоморфизмы фазового пространства, и пассивные — канонические координатные преобразования.
Определение 3.11. Вертикальный автоморфизм р расслоения V*Y —> Ж называется
каноническим автоморфизмом, если он сохраняет каноническую структуру Пуассона C.5)
на фазовом пространстве V*Y, т.е.
{f°P,9°p}v = {f,g}v°p-
Нетрудно убедиться, что автоморфизм р расслоения V*Y —> Ж является канониче-
каноническим тогда и только тогда, когда он сохраняет каноническую форму ft C.8) на V*Y,
т.е.
Определение 3.12. Послойные координаты на расслоении V*Y —> Ж называются
каноническими, если они канонические для структуры Пуассона C.5). ?
Преобразования между системами канонических координат на фазовом простран-
пространстве V*Y естественно назвать каноническими координатными преобразованиями. Они удо-
удовлетворяют соотношениям
=0
pj dPk dpk dPj
'i ду1' др\ ду'г
т = 0,
dyi дук дук
dp'i 9У" др\ dy'j k
— - _ ; ; 0 j .
dpj ду ду dpk
По определению, голономные координаты на расслоении V*Y —» Y являются ка-
каноническими. Соответственно, голономные автоморфизмы
C.40)
фазового пространства, порождаемые произвольными вертикальными автоморфизмами
пространства событий Y —* Ж, являются каноническими автоморфизмами.
Предложение 3.13. Канонические автоморфизмы переводят локально гамильтоновы
связности в локально гамильтоновы и, соответственно, локально гамильтоновы формы
в локально гамильтоновы.
доказательство. Если j — локально гамильтонова связность для Н, то
ТрG).. П = (р-1)\-г _, П) = d((p-l)*H),
и Тр(-/) тоже локально гамильтонова связность. Q

§ 3. Канонические преобразования
Предложение 3.14. Пусть7 — полная локально гамильтонова связность на F*F—>Е,
т.е. векторное поле C.11) является полным. Тогда существуют канонические коорди-
координатные преобразования, которые обращают все компоненты j в 0, т. е. 7 = dt.
доказательство. Выражение C.12) показывает, что всякая локально гамильтоно-
гамильтонова связность 7 является генератором локальной 1-параметрической группы канониче-
канонических автоморфизмов фазового пространства V*Y —* К. Возьмем, например, слой VqY
расслоения V*Y —> Ш над точкой 0 6 I. Тогда канонические координаты на VqY,
переносимые вдоль интегральных кривых полного векторного поля j, удовлетворяют
требуемым условиям, а
Другими словами, полная локально гамильтонова связность 7 на фазовом простран-
пространстве V*Y определяет, согласно Предложению 2.1, некоторую тривиализацию
ф : V*Y -> IK x V0*Y C.41)
расслоения V*Y —* Ш, и координаты на V*Y, соответствующие этой тривиализации,
являются каноническими. Однако подчеркнем, что, хотя слой VqY гомеоморфен Т*М,
тривиализация C.41) не является тривиализацией типа V*Y = Ix Т*М, поскольку
морфизм тривиализации ф не является послойным морфизмом расслоения V*Y —> F.
В частности, пусть Н — гамильтонова форма C.21) такая, что гамильтонова связ-
связность 7я C.29) является полной. Согласно Предложению 3.14, существует тривиа-
тривиализация фазового пространства V*Y в глобальных канонических координатах (q ,рА)
(где qA в общем случае не являются координатами на Y) такая, что
П = dpA Л dqA Л dt, jH = dt, dH = dpA Л dqA
и Н принимает вид гамильтоновой формы
Н =pAdyA
с нулевым гамильтонианом %?. Тогда уравнения Гамильтона в этих координатах сво-
сводятся к уравнениям равновесия
qt = 0, PtA = 0. C.42)
Соответственно, всякий гамильтониан Ж может быть локально обращен в 0, а урав-
уравнения Гамильтона локально приведены к уравнениям равновесия C.42) посредством
локальных канонических преобразований.
Пример 3.7. Рассмотрим одномерное движение с постоянным ускорением а отно-
относительно координат (?, у). Соответствующий гамильтониан и гамильтонова связность
имеют вид
3T=V--ay,
1н = dt + рду + адр.
Эта гамильтонова связность на фазовом пространстве М3 —» М является полной. Кано-
Канонические координатные преобразования
У = У ~ j
обращают ее в -ув = dt. D
at2

102 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Пример 3.8. Рассмотрим одномерный осциллятор относительно тех же координат,
что и в предыдущем Примере. Его гамильтониан и гамильтонова связность имеют вид
7я = dt + рду - удр.
Эта гамильтонова связность является полной на фазовом пространстве Е3 —* Ш. Кано-
Канонические координатные преобразования
у' = у cost - р sin t, р = р cos t + у sin t
обращают ее в jH = 9t. ?
Следует подчеркнуть, что канонические автоморфизмы в общем случае переводят
гамильтоновы формы в гамильтоновы только локально.
Пусть Н — гамильтонова форма C.19) на фазовом пространстве V*Y с координа-
координатами (t,y\pi) и р — канонический автоморфизм. Тогда
d(p*H -H) = 0
и локально можно записать
р*Н-Н = dS,
где 5 — локальная функция на V*Y и
р*Н = р{<1р1 -ЗГо pdt.
Отсюда получаем локальные соотношения
diS = pjdiP> - Pi,
d(S = pjd'p1,
<^F' - <^F = р{д{р* - dtS.
Будучи взятой на графике
канонического автоморфизма, функция 5 играет роль локальной производящей функции
канонического преобразования. В частности, если график Ар параметризуется коорди-
координатами
(*, У, у" = У° Р),
мы получаем знакомое соотношение для гамильтонианов
JT' - ЗР = dtS(t, y\ у1').
Например, локальной производящей функцией голономного автоморфизма C.40)
является
а

§ 4. Уравнение эволюции 103
§4. Уравнение эволюции
Как и в симплектической гамильтоновой механике, для функций / на фазовом
пространстве V*Y неавтономной механики можно определить уравнение эволюции.
Пусть дана гамильтонова форма Н C.21) и соответствующая гамильтонова связ-
связность 7я C.29). Рассмотрим производную Ли функции / ? (?'°(V*Y) вдоль горизон-
горизонтального векторного поля 7я •
Цн/ = 1н j df = (dt + дгЖдг - di3nf)f. C.43)
Это равенство называется уравнением эволюции в неавтономной механике. Действитель-
Действительно, подставляя в него решения уравнений Гамильтона C.34), получим производную
функции / по времени вдоль этих решений.
Существенное отличие уравнения эволюции C.43) от уравнения эволюции A.28) в
симплектической механике состоит в том, что его правая часть не сводится к скобкам
Пуассона, поскольку гамильтониан на фазовом пространстве неавтономной механики
не является функцией. С учетом разбиения C.21) гамильтоновой формы Н, уравнение
эволюции C.43) приводится к виду
Цн f = dtf + (Г% - diPpjd^f + {M, f}v- C-44)
Второй член в правой части этого уравнения существенен (например, для квантования
неконсервативных систем). Когда при квантовании скобки Пуассона в C.44) заменяют-
заменяются операторными скобками, он остается классическим. Его, однако, можно устранить
соответствующим выбором системы канонических координат.
Пусть связность Г в разбиении гамильтоновой формы C.21) выбрана полной. Со-
Сопутствующая системе отсчета Г система координат (t, у') на пространстве событий Y
тривиализует расслоение Y —> Ш, а соответствующая голономная система координат
(t,y',pi) на фазовом пространстве V*Y является канонической. В этой системе коор-
координат уравнение эволюции C.44) принимает привычный вид
Заметим также, что, поскольку уравнение эволюции C.44) не сводится к скобкам
Пуассона, интегралы движения в неавтономной механике уже нельзя определить как
функции на фазовом пространстве, находящиеся в инволюции с гамильтонианом. Мы
вернемся к этому вопросу в §3.7.
§ 5. Вырожденные системы
В этом параграфе мы исследуем связь между гамильтоновым и лагранжевым фор-
формализмами неавтономной механики.
Как мы убедимся, в случае гиперрегулярных лагранжианов, когда отображение Ле-
жандра B.55) конфигурационного пространства на фазовое является диффеоморфиз-
диффеоморфизмом, эти формализмы эквивалентны. Обратно, пусть Н — гамильтонова форма и 7я —
соответствующая гамильтонова связность C.29) на фазовом пространстве V*Y —> М.
Рассмотрим композицию морфизмов
J1Н о 1н : V*Y -> J2Y С JlJlY, C.45)
(у1 Ут, y\t) о JlH о 7Я = @VJF, &ЗГЪ 7Я _, dtfjr),

104 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
где
JlH : JlV*Y ^ JlJlY,
(yi, y\t), y\t) о Ун = {par, yl, dt&an,
— струйное^продолжение гамильтонова отображения Я C.25). Если гамильтоново ото-
отображение Я — диффеоморфизм, тогда JlHojHoH~l является голономной связностью
на расслоении JlY и определяет уравнение движения. Это уравнение движения экви-
эквивалентно уравнению Лагранжа для функции Лагранжа
индуцированной на конфигурационном пространстве JlY функцией \3f\ C.25) по-
посредством обратного морфизма Я.
Сосредоточим свое внимание на случае лагранжевых систем с вырожденными ла-
лагранжианами. Им отвечают многогамильтоновы системы со связями.
Следуя общей схеме полисимплектического гамильтонова формализма, мы скажем,
что гамильтонова форма Я на фазовом пространстве V*Y ассоциирована с лагранжиа-
лагранжианом L на конфигурационном пространстве J Y, если Я удовлетворяет условиям
LoHoL = L, C.46a)
Я = Hq+LoH C.46b)
[33, 64, 65]. Из условия C.46 а) следует, что L о Я — проективный оператор
Pi(p) = di&(t,yi,diM'(p)), p&Q, C.47)
на
Q = L(JlY) С V*Y C.48)
— образе конфигурационного пространства в фазовом пространстве при отображении
Лежандра. Мы будем называть Q пространством лагранжевых связей. Оно задается
соотношениями C.47) для любой ассоциированной с лагранжианом L гамильтоновой
формы Я. Соответственно, Н о L является проекционным отображением на H(Q) С
J Y. Условие C.46 Ь) можно записать в виде
^oH=[JT\ C.49)
всюду на V*Y.
Замечание 3.9. Если специально не оговорено, пространство лагранжевых связей Q
будет пониматься просто как подмножество фазового пространства V*Y, не наделен-
наделенное какой-либо структурой многообразия. Все объекты определены на всем фазовом
пространстве V*Y, и их ограничение на Q означает только, что рассматриваются их
значения в точках, принадлежащих Q с V*Y. о
Установим некоторые общие свойства гамильтоновых форм, ассоциированных с ла-
лагранжианами.

§ 5. Вырожденные системы 105
Предложение 3.15. Гамильтонова форма Н, ассоциированная с лагранжианом L,
при ограничении на Q совпадает с формой, индуцированной на V*Y формой Пуанка-
Пуанкаре—Картана Hi B.51) посредством гамильтонова отображения Н, т.е.
Н
= H*HL . C.50)
Доказательство C.50) проводится непосредственными вычислениями.
Действуя на обе части равенства C.49) оператором внешнего дифференцирования,
можно получить равенства
(ji) p?Q, C.51)
p(EQ, C.52)
= О. C.53)
В частности, равенство C.53) показывает, что
• условие C.46 а) следует из условия C.46Ь), если гамильтоново отображение Н
регулярно, т. е.
V^r) ф 0
во всех точках пространства лагранжевых связей Q;
• гамильтоново отображение Н вне пространства лагранжевых связей Q вырождено.
Пример 3.10. Возьмем нулевой лагранжиан L = 0. В этом случае пространством
лагранжевых связей является
Q = б(У)
— образ глобального нулевого сечения 0 расслоения V*Y —> Y. Условие C.46 а) с оче-
очевидностью выполняется для всех гамильтоновых отображений, а условие C.46 Ь) при-
принимает координатный вид
Ему удовлетворяют гамильтоновы формы Яр C.16). О
Остановимся подробно на случае гиперрегулярного лагранжиана L. Для него всегда
существует единственная ассоциированная гамильтонова форма
H = H2-,+L~l*L. C.54)
Соответствующее ей гамильтоново отображение C.25) является диффеоморфизмом
Н — L" , так же как и его струйное продолжение JXH:

106 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Предложение 3.16. Пусть L — гиперрегулярный лагранжиан иЯ — ассоциирован-
ассоциированная с ним гамильтонова форма. Выполняются соотношения
HL = L*H, C.55)
WT={J%*&E, C.56)
Гя = (JlH)*&It C.57)
где efff — оператор Гамильтона C.28) для Н, а % — оператор Эйлера—Лагранжа—
Картана B.62) для L. и
Доказательство следует из непосредственных вычислений.
Соотношения C.50) и C.55) показывают, что именно форма Пуанкаре—Картана
оказывается лагранжевым партнером гамильтоновой формы, тогда как из соотноше-
соотношений C.56) и C.57) следует, что лагранжевым партнером оператора Гамильтона является
оператор Эйлера—Лагранжа—Картана % B.62).
В частности, если 7 — гамильтонова связность для гамильтоновой формы Н C.54),
композиция JlH о 7 C.45), согласно C.57), принимает значения в ядре оператора
Эйлера—Лагранжа—Картана % (а более точно, в ядре оператора Эйлера—Лагранжа
). Тогда композиция
.-> (*, у\ у\ = &ЭИ> о L, y\t) = &3F о L, ylt = 7я -> д*ЗГ о I) =
= (*, У\ Уи 2/@ = У), Уи = 1н л #ЭР о L) G J2Y C.58)
является голономной лагранжевой связностью для лагранжиана L. Обратно, если ? —
лагранжева связность для L, то JlL о?оН является гамильтоновой связностью для Н.
Тем самым доказано следующее утверждение.
Предложение 3.17. Пусть L — гиперрегулярный лагранжиан и Н — ассоциирован-
ассоциированная с ним гамильтонова форма C.54).
(i) Если сечение г расслоения V*Y —* К — решение уравнений Гамильтона C.30 а)-
C.30 Ь) для гамильтоновой формы Н, тогда сечение
s = тгп о г
расслоения Y —> Ш — решение уравнений Лагранжа B.53) для лагранжиана L, а его
струйное продолжение Jls — решение уравнений Картана B.63а)-B.63Ь).
(ii) Обратно, если сечение s расслоения j'Y —> Ш — решение уравнений Картана
для лагранжиана L, тогда сечение
г = Los
расслоения V*Y —> Ш удовлетворяет уравнениям Гамильтона C.30 а)—C.30 Ь) для га-
гамильтоновой формы Н. и
Таким образом, в случае гиперрегулярного лагранжиана L имеет место взаимно од-
однозначное соответствие между решениями уравнений Лагранжа (и, следовательно, урав-
уравнений Картана) и решениями уравнения Гамильтона для единственной ассоциирован-
ассоциированной с L гамильтоновой формы C.54).
В случае регулярного (но не гиперрегулярного) лагранжиана L пространство лагран-
жевых связей Q является открытым подрасслоением расслоения Лежандра V*Y —» Y.

§ 5. Вырожденные системы 107
Тогда всякая ассоциированная с L гамильтонова форма определена на Q С V*Y и,
вообще говоря, не может быть гладко продолжена на все фазовое пространство V*Y.
В то же время, поскольку Q открыто, на нем могут быть индуцированы посредством
вложения Q <-> V*Y структура Пуассона и другие атрибуты фазового пространства.
Если регулярный лагранжиан к тому же и полурегулярен (см. Определение 3.18), то
отображение Лежандра является диффеоморфизмом конфигурационного пространства
JlY на Q, и на пространстве лагранжевых связей Q можно воспроизвести результаты,
справедливые для гиперрегулярных лагранжианов.
Пример 3.11. Пусть Y — расслоение М2^1с координатами (t, у). Его многообра-
многообразие струй J[Y = Ш3 и расслоение Лежандра V*Y = Ш3 параметризуются соответственно
координатами (ж, у, yt) и (t, y,p). Положим функцию Лагранжа равной
J^ = expyt. C.59)
Она регулярна, но не гиперрегулярна. Соответствующее отображение Лежандра имеет
вид
и пространство лагранжевых связей Q задается координатным условием р > 0. Это
открытое подмножество фазового пространства, и отображение Лежандра L является
диффеоморфизмом JlY на Q. Поэтому имеется единственная гамильтонова форма Н
на Q, ассоциированная с лагранжианом C.59). Она имеет вид
?Г=р(\пр- 1).
Однако эту гамильтонову форму нельзя гладко продолжить на все фазовое простран-
пространство V*Y. ?
Переходя к вырожденным системам, мы ограничимся случаем полурегулярных ла-
лагранжианов. С одной стороны, это широкий класс моделей, к которому, например,
относятся все системы с квадратичными по скоростям лагранжианами. С другой сторо-
стороны, в этом случае удается установить содержательные отношения между лагранжевым
и гамильтоновым формализмами.
Определение 3.18. Лагранжиан L называется полурегулярным, если прообраз ?~'(р)
любой точки пространства лагранжевых связей р ? Q является связным подмногообра-
подмногообразием конфигурационного пространства JXY. ?
Условие связности прообраза отображения Лежандра имеет следующее важное след-
следствие.
Предложение 3.19. Все гамильтоновы формы Н, ассоциированные с полурегуляр-
полурегулярным лагранжианом L, совпадают друг с другом на пространстве лагранжевых связей Q:
Н
Q
Q'
Более того, форма Пуанкаре—Картана Нь для лагранжиана L совпадает с формой
Щ = L*H,
(щу\ - &)dt = JT(t, y\ щ)М, C.60)
индуцированной на JlY всякой ассоциированной с L гамильтоновой формой Н по-
посредством отображения Лежандра L.

108 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
доказательство. Пусть и — вертикальное векторное поле на расслоении струй
JlY —> Y. Если оно принимает свои значения в ядре KerTL касательного морфиз-
ма к L, то легко установить, что
= 0.
Отсюда следует, что форма Пуанкаре—Картана HL для полурегулярного лагранжиана L
постоянна на связном прообразе L~l(p) всякой точки р ? Q. Тогда второе утверждение
следует из C.50). ?
Важно подчеркнуть, что, хотя гамильтонианы в гамильтоновых формах из Предло-
Предложения 3.19 совпадают друг с другом на пространстве лагранжевых связей Q, это нельзя
сказать о соответствующих им операторах Гамильтона, поскольку они зависят от произ-
производных гамильтонианов. Поэтому для разных гамильтоновых форм, ассоциированных с
одним и тем же полурегулярным лагранжианом, мы имеем неэквивалентные уравнения
Гамильтона даже при ограничении их на пространство лагранжевых связей Q.
Пусть Н — гамильтонова форма, ассоциированная с полурегулярным лагранжиа-
лагранжианом L. Действуя оператором внешнего дифференцирования на обе стороны соотноше-
соотношения C.60), мы получаем равенство
(yt - д1ЗГ о L)d-Ki Adt- (д{& + д{(Ж* о Щйу* A dt = 0, C.61)
или, что то же самое, систему равенств
М & о L) = 0,
) о L) = 0,
C.62)
которым удовлетворяет гамильтониан формы Н.
Используя равенство C.61), можно показать, что соотношение C.56):
(но не соотношение C.57)) справедливо и в случае полурегулярных лагранжианов. Это
позволяет распространить пункт (i) Предложения 3.17 также на гамильтоновы формы,
ассоциированные с полурегулярными лагранжианами.
Предложение 3.20. Пусть сечение г расслоения V*Y —> Ш является решением урав-
уравнений Гамильтона для гамильтоновой формы Н, ассоциированной с полурегулярным
лагранжианом L. Если г лежит в пространстве лагранжевых связей Q, то сечение
s = тгп о г
расслоения Y —» Е удовлетворяет уравнениям Лагранжа для лагранжиана L, а его струй-
струйное продолжение
s = Hor = Jls
является решением уравнений Картана.
доказательство. Возьмем s = Н о г. Так как г (К) С Q, то
r = Los, J1r = J1LoJxs.

§ 5. Вырожденные системы 109
Если г является решением уравнений Гамильтона, внешняя форма %'ц обращается в 0
в точках jV(E). Поэтому индуцированная форма
обращается в 0 в точках J s(M). Отсюда следует, что сечение s расслоения JlY —> Ш
удовлетворяет уравнениям Картана. Поскольку, согласно уравнению C.30а), s = Jls,
то сечение s является решением уравнений Лагранжа, принадлежащим H(Q). ?
В случае полурегулярных лагранжианов пункт (ii) Предложения 3.17 модифициру-
модифицируется следующим образом.
Предложение 3.21. Пусть сечение s расслоения J[Y —> Ш является решением урав-
уравнений Картана B.63 а)—B.63Ь) для полурегулярного лагранжиана L. Допустим, что
существует ассоциированная с L гамильтонова форма Н такая, что соответствующее
гамильтоново отображение удовлетворяет условию
HoLos = j'(Troos). C.63)
Тогда сечение
г = Los,
rt = TTi(t,S3 ,SJt), r' = s',
расслоения V*Y —* Ш является решением уравнений Гамильтона C.30а)—(З.ЗОЬ) для Н,
с очевидностью принадлежащим пространству лагранжевых связей Q.
доказательство. Уравнения Гамильтона C.30 а) выполняются в силу условия C.63).
Уравнения Гамильтона (З.ЗОЬ) с помощью соотношений C.61) и C.63) сводятся к урав-
уравнениям Картана B.63Ь):
= -(ё{-&Ж oLo
= (dtsj - s{)diirj os + diJZ" о s.
a
Как следует из Предложения 3.20, если Н — гамильтонова форма, ассоциированная
с полурегулярным лагранжианом L, то всякое решение уравнения Гамильтона для Н,
лежащее в пространстве лагранжевых связей Q, порождает решение уравнений Лагран-
Лагранжа и уравнений Картана для лагранжиана L. Таким образом, партнерами лагранжевых
систем являются гамильтоновы системы со связями.
Мы ограничимся в дальнейшем случаем, когда подпространством связей фазового
пространства является пространство лагранжевых связей Q — образ конфигурационно-
конфигурационного пространства при отображении Лежандра. Оно играет роль пространства первичных
связей. Для существования локальных решений уравнений Гамильтона для гамильто-
новой формы Н, лежащих в пространстве лагранжевых связей Q, необходимо, чтобы
горизонтальное векторное поле — гамильтонова связность 7я — касалось Q. Это усло-
условие дается системой уравнений
Pi = $&#, у1, &2П, C.64 а)
j d(Pi - d\&(t, у1, &зг)) - о, C.64b)

110 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
где C.64 а) — уравнение C.47) пространства лагранжевых связей, а C.64Ь) требует, что-
чтобы горизонтальное векторное поле 7я касалось Q в точке с координатами (t, y',Pi). В
отличие от случая консервативных систем со связями, левая часть уравнения C.64Ь) не
представляет собой скобок Пуассона. Поэтому мы не можем следовать той же процедуре
выделения финального пространства связей, что и в § 2.7.
В то же время имеется другая возможность. Для данного решения уравнения Лагран-
жа можно попытаться найти соответствующую гамильтонову форму Н такую, чтобы это
решение было решением уравнений Гамильтона для Н. Для разных решений это будут,
вообще говоря, разные гамильтоновы формы. Таким образом, механические системы
с вырожденными лагранжианами представляют собой своего рода многогамильтоновы
системы.
Заметим, что в случае, например, полурегулярных лагранжианов задача воспроизве-
воспроизведения решений уравнений Картана s как решений уравнений Гамильтона сталкивается
с препятствием, каковым является условие C.63). Это является также препятствием
к тому, чтобы решение s уравнений Картана порождало решение уравнений Лагран-
жа. Поэтому очевидно, что не всякое решение уравнений Картана для данного выро-
вырожденного лагранжиана L может быть представлено как решение каких-либо уравнений
Гамильтона. Однако можно пытаться найти такое семейство ассоциированных с L га-
гамильтоновых форм, чтобы все решения уравнений Лагранжа для L воспроизводились
как решения уравнений Гамильтона для гамильтоновых форм из этого семейства.
Определение 3.22. Семейство гамильтоновых форм Н, ассоциированных с лагран-
лагранжианом L, называется полным, если для всякого решения s уравнений Лагранжа для L
существует решение г уравнений Гамильтона для какой-либо гамильтоновой формы Н
из этого семейства такое, что
s = 7rnor, r = LoJls C.65)
(см. соотношение C.31)). Q
Если L — полурегулярный лагранжиан, то, согласно Предложению 3.21, полное
семейство ассоциированных с ним гамильтоновых форм существует тогда и только то-
тогда, когда для каждого решения s уравнений Лагранжа для L существует гамильтонова
форма Н из этого семейства такая, что выполняется условие
HoLoJls = Jls. C.66)
Пример 3.12. Пусть L = 0. Это полурегулярный лагранжиан. Уравнения Лагранжа
для него сводятся к тождеству 0 = 0. Всякое сечение s расслоения Y —* Ш является их
решением. Для любого такого сечения s существует связность Г на расслоении Y —> R
такая, что s является ее интегральным сечением. Рассмотрим гамильтонову форму НГ
C.16), ассоциированную с L = 0. Она удовлетворяет условию C.66). Уравнения Га-
Гамильтона для нее принимают вид
у\ = г\ р« = -PjdiTj.
Они имеют решение
г = to Jls,
r{ = a\ n = 0,
лежащее в пространстве лагранжевых связей р,- = 0. п

§ 5. Вырожденные системы VV[
Приводимый ниже пример показывает, что полное семейство ассоциированных га-
мильтоновых форм может существовать и тогда, когда лагранжиан не полурегулярен.
Пример 3.13. Пусть Y — расслоение Е2 —> М1 из Примера 3.11, параметризуемое
координатами (t, у). Рассмотрим функцию Лагранжа
Соответствующее отображение Лежандра имеет вид
yl C.67)
а пространство лагранжевых связей Q дано координатным соотношением C.47): р ^ 0.
Заметим, что оно является подмногообразием с границей фазового пространства V*Y.
На Q существуют две ассоциированные с L гамильтоновы формы
H+=pdy-~pV2dt,
~p3/2dt,
которые соответствуют двум различным решениям
Vt = VP, Ш = ~Vp
уравнения C.67). Как легко установить, они образуют полное семейство, а
Замечание 3.14. Пусть 7я — гамильтонова связность для гамильтоновой формы Н,
ассоциированной с полурегулярным лагранжианом L. Согласно соотношению C.62)
композиция JlH о-уя C.45) принимает значения в ядре оператора Эйлера—Лагранжа
<??. Тогда морфизм
JlHo7oL:JlY3(,t, у\ у\) i-f (t,у\ у\ = дгЖ оL, y\t) = $ЗГ о?,y\t = 7я j &ЯГ о L)
при ограничении на H(Q) является локал
расслоения струй J2Y —> JXY, поскольку
при ограничении на H(Q) является локальным голономным сечением на H(Q) С JlY
2
Пусть H(Q) — замкнутое подмногообразие (это имеет место, например, когда лагран-
лагранжиан L является вполне регулярным; см. Определение 3.23). Тогда сечение JlHojHoL
может быть расширено до голономной связности на расслоении JlY —> Е, определя-
определяющей динамическое уравнение на пространстве событий Y. В этом случае, если г —
лежащее в Q решение уравнений Гамильтона для Н, проекция тгп о г является реше-
решением не только уравнений Лагранжа, но и указанного выше динамического уравнения.
D
Определение 3.23. Полурегулярный лагранжиан L называется вполне регулярным,
если: (i) пространство лагранжевых связей Q является замкнутым вложенным подрас-
слоением Iq : Q <-+ у*у расслоения Лежандра V*Y —» Y; (ii) отображение Лежандра
L : JlY —> Q — расслоение, с

112 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
В случае вполне регулярного лагранжиана L для _всякой ассоциированной с ним
гамильтоновой формы Н гамильтоново отображение Н : Q —> JXY является сечением
расслоения L : JlY —> Q, и его образ H(Q) — замкнутое вложенное подмногообразие
конфигурационного пространства JlY. Поэтому, как это следует из Замечания 3.14,
всякое решение уравнений Лагранжа для L, которое может быть представлено как ре-
решение уравнений Гамильтона, является и решением некоторого уравнения движения.
Поскольку в случае вырожденного лагранжиана L решения уравнений Лагранжа от-
отвечают решениям уравнений Гамильтона ассоциированных с L гамильтоновых (вообще
говоря, разных) форм, можно сделать вывод, что уравнения Гамильтона по сравнению с
уравнениями Лагранжа содержат дополнительные условия, связанные, по-видимому, с
тем, что они определены на всем фазовом пространстве. Поэтому попробуем выделить
часть уравнений Гамильтона, определенную на пространстве лагранжевых связей Q.
Мы ограничимся случаем вполне регулярных лагранжианов.
Обозначим Hq = iqH ограничение гамильтоновой формы Н, ассоциированной
с вполне регулярным лагранжианом L, на пространство лагранжевых связей Q. Будем
называть Hq ограниченной гамильтоновой формой. Согласно Предложению 3.19, она одна
и та же для всех гамильтоновых форм, ассоциированных с L. Именно Hq индуцирует
форму Пуанкаре—Картана HL = L*Hq. Зададим на сечениях г расслоения Q —> Ж
ограниченные уравнения Гамильтона
r*(uQ л dHQ) = 0, C.68)
которые должны выполняться для произвольного вертикального векторного поля uq на
расслоении Q —> Ж [32, 33, 65). Для простоты мы будем отождествлять всякое вертикаль-
вертикальное векторное поле Uq на Q —* Ж с его образом Tiq{uq), и поэтому можем переписать
ограниченные уравнения Гамильтона C.68) в виде
r\uQ j dH) = 0, C.69)
где г — сечение расслоения Q —> Ж и uq — произвольное вертикальное векторное поле
на этом расслоении. Ясно, что эти уравнения не эквивалентны уравнениям Гамильтона
C.35) на сечениях того же самого расслоения Q —> Ж.
Следующие два утверждения вместе с Предложением 3.21 устанавливают связь меж-
между уравнениями Картана, Гамильтона—де Дондера, Гамильтона и ограниченными урав-
уравнениями Гамильтона в случае вполне регулярного лагранжиана [33].
Предложение 3.24. Для всякой гамильтоновой формы Н, ассоциированной с впол-
вполне регулярным лагранжианом L, любое решение г уравнений Гамильтона, лежащее в
пространстве лагранжевых связей Q, является решением ограниченных уравнений Га-
Гамильтона C.69).
доказательство. Для всякого вертикального векторного поля uq на расслоении
Q —* Ж векторное поле Тгд(и^) является с очевидностью локальным вертикальным
векторным полем на расслоении V*Y —> Ж. Тогда получаем, что
r*(uQ j dHQ) = r*(uQ j iQdH) = r*(TiQ(uQ) j dH) = 0,
если r — решение уравнений Гамильтона C.35) для гамильтоновой формы Н. и
Предложение 3.25. Сечение s расслоения JlY —> Е является решением уравнений
Картана B.64) тогда и только тогда, когда L о s — решение ограниченных уравнений
Гамильтона C.69).

либо связности на расслоении J Y —> Q. Предположим, что сечение s : Ж ^+ J Y
§ 5. Вырожденные системы VK3
доказательство. Пусть uq — вертикальное векторное поле на Q —> Ж. Так как L —
субмерсия, существует вертикальное векторное поле v на JlY —> К такое, что
TLo v = uq.
Например, в качестве v можно выбрать горизонтальный лифт и посредством какой-
либо связности на расслоении JlY —> Q. Предпа
является решением уравнений Картана B.64). Тогда
(L о s)*(uQ j dHQ) - s*(v j dHL) = 0, C.70)
т.е. Los : R ¦—» Q является решением уравнений C.69). Обратное следует из соотноше-
соотношений C.70), если иметь в виду, что ограничение на s(W) всякого векторного поля v на
JlY является проектируемым векторным полем относительно L. ?
Предложение 3.26. Ограниченные уравнения Гамильтона C.68) эквивалентны урав-
уравнениям Гамильтона—де Дондера B.70).
доказательство. Пусть Н — гамильтонова форма, ассоциированная с вполне регу-
регулярным лагранжианом L, и h — соответствующее сечение расслоения
С : T*Y -> V*Y
(см. Определение 3.3). Это сечение порождает морфизм
Uq = ft о Iq . ty —> X I,
который не зависит от выбора Н, а является сечением расслоения T*Y —> V*Y над
QC V*Y, т.е.
(ofiQ = idQ. C.71)
Более того, для любой гамильтоновой формы Н, ассоциированной с L, можно записать
HQ = i*QH = i*Q(h*E) = h*QE.
Согласно соотношению C.60), имеем
HL = hQoL, C.72)
где Hi — отображение Пуанкаре—Картана B.66), определяемое формой Пуанкаре—
Картана HL. Подставляя B.67) в C.72), получаем
Нь — hQ о ? о Hi.
Отсюда следует, что
hQ о c\Zl= id iL(ZL), C.73)
где iL(ZL) = HL(JlY) — образ отображения Пуанкаре—Картана HL. Соотношения
C.71) и C.73) показывают, что существует изоморфизм расслоений
Q
над Y. Так как Hq = KqE и2ь = i*LE, получаем
Следовательно, уравнения Гамильтона—де Дондера B.70) эквивалентны ограниченным
уравнениям Гамильтона C.68). D

114 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
§ 6. Квадратичные вырожденные системы
В качестве полезного применения развитого в предыдущем параграфе аппарата, в
частности, Предложений 3.20 и 3.21, опишем полные семейства гамильтоновых форм,
ассоциированных с вполне регулярными квадратичными лагранжианами. Это особенно
важно, поскольку в неавтономной механике гамильтонианы не являются функциями и
к ним нельзя применить известный анализ нормальных форм [3] (в частности, квадра-
квадратичных гамильтонианов [1]) в симплектической механике.
Пусть Y —» К — пространство событий неавтономной механики. Рассмотрим на
конфигурационном пространстве j'F квадратичный лагранжиан
где a, b и с — локальные функции на Y. Соответствующее отображение Лежандра
имеет вид
PioL^aijyi + bi. C.75)
Лемма 3.27. Лагранжиан C.74) является полурегулярным.
доказательство. Для всякого р G Q решения системы линейных алгебраических
уравнений C.75) относительно величин у\ образуют аффинное пространство, модели-
моделируемое над векторным пространством однородных линейных алгебраических уравнений
где у3 — голономные координаты вертикального векторного расслоения VY. Оно во
всех случаях связно. ?
Будем предполагать в дальнейшем, что лагранжиан L C.74) вполне регулярен. Оче-
Очевидно, что это имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы оу во всех точках
пространства событий Y постоянен.
Поскольку отображение Лежандра C.75) является аффинным послойным морфиз-
мом над Y, оно определяет послойный линейный морфизм
L:VY->V*Y,
образ которого Q является линейным подрасслоением расслоения Лежандра V*Y —> Y.
Соответственно, пространство лагранжевых связей Q, задаваемое уравнениями C.75),
является аффинным подрасслоением фазового пространства V*Y —* Y, моделируемым
над Q. Поэтому расслоение лагранжевых связей Q —> Ж имеет глобальное сечение. Ради
простоты предположим, что это нулевое сечение 0(F) расслоения V*Y —* Y. Тогда
Q = Q.
Ядро
отображения Лежандра является аффинным подрасслоением расслоения струй JlY—> Y,
моделируемым над векторным расслоением

§ 6. Квадратичные вырожденные системы V15
Поэтому существует связность
T-.Y^KerL, C.76)
ауГ^+^О, C.77)
на пространстве событий Y —> Е, которая принимает значения в ядре отображения
Лежандра Keri. Используя эту связность, можем привести лагранжиан C.74) к виду
2" № '
Например, если квадратичный лагранжиан C.74) регулярен, связность C.76) является
единственным решением алгебраических уравнений C.77).
Предложение 3.28. Существует линейный послойный морфизм
а : V*Y -» VY, C.78)
• i ij
над Y такой, что
Locr oiq = iq.
доказательство. Отображение C.78) является решением в каждой точке простран-
пространства Y алгебраических уравнений
dijcr3 aw = (lib- C.79)
Поскольку матрица а^ симметрична, предположим, что после диагонализации она име-
имеет ненулевые компоненты аАА, А ? I. Тогда решение уравнений C.79) принимает вид
оаа = —jt> аАА' =0, А ф A' G I,
а
тогда как остальные компоненты остаются произвольными. В частности, выберем ре-
решение
: 0, В ф A, A&I. C.80)
а-"
Оно удовлетворяет условию
D
а = а о L о а, C.81)
ij = aikakb<7j".
В дальнейшем под а мы будем подразумевать именно матрицу C.80). Если ква-
квадратичный лагранжиан C.74) регулярен, отображение C.78) однозначно определяется
уравнениями C.79).
Связность C.76) и отображение C.78) являются ключевыми для дальнейшего рас-
рассмотрения объектами.

116 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Предложение 3.29. Матрица а определяет расщепление конфигурационного про-
пространства
JlY = KerL®lm(aoL), C.82)
Y
Vt = \y\ - <rik(akjyi + bk)] + [aik(akjyi + bk)].
a
Отсюда, в частности, следует, что, поскольку L и а — линейные морфизмы, их
композиция L о а задает расслоение фазового пространства V*Y над пространством
лагранжевых связей Q.
Предложение 3.30. Имеет место расщепление фазового пространства
V*Y = Kera®Q, C.83)
Pi = {р{ - а^азкрк] + [а{]-<т}крк].
а
Следствие 3.31. Всякое вертикальное векторное поле
на фазовом пространстве V*Y —> Ш. допускает разложение
и = (и - uQ) + uQ, C.84)
и, = [щ - ац^кик\ + [aij(rjkuk],
где
uq = udi + dijtr1 икдг
— вертикальное векторное поле на расслоении лагранжевых связей Q —* Ш. а
Имея линейный морфизм а C.78) и связность Г C.76), рассмотрим аффинное га-
мильтоново отображение
Ф=Г + о-:У*Г-> JlY, C.85)
и гамильтонову форму
Я = ЯФ + Ldt,
Я = pidy* - У U -\ъ) + \ ^PiPj - с] dt- C-86)
Легко проверить, что Я = Ф и, используя соотношение C.81), что форма Я ассоции-
ассоциирована с квадратичным лагранжианом C.74).
Покажем, что множество гамильтоновых форм C.86), параметризуемых связностя-
ми Г C.76), образует полное семейство.

§ 6. Квадратичные вырожденные системы 117
Для данной гамильтоновой формы C.86) рассмотрим уравнения Гамильтона (З.ЗОа)
для сечений г расслоения V*Y —> Ш. Они имеют вид
Jls = (Г + сг) о г, s = жп о г, C.87)
или
где
/ = ^r' - (Г о
ко вариантная производная относительно связности Г. Выпишем проекции
i^ = pri : JlY-^ Keri,
^ : »j -> »j - <Л<*у W + h),
= pri : JlY-^ Keri, C.88)
и
l
= pr2: JlY->Im(aoL), C.89)
+ 6,),
отвечающие расщеплению C.82). Относительно этих проекций уравнения Гамильтона
C.87) разбиваются на две части:
5"oJls = Tos, C.90)
= crik(akjdtrj + bk),
C.91)
Уравнения Гамильтона C.90) не зависят от канонических импульсов гк и выполня-
выполняют роль калибровочных условий. Более того, для всякого сечения s расслоения Y —> Ш
(в частности, для всякого решения уравнений Лагранжа), существует связность Г C.76)
такая, что выполняются уравнения C.90). В самом деле, пусть Г' — связность на рас-
расслоении У —> Ш, которая имеет своим интегральным сечением s. Положим
Г = 5" о Г',
Г = Г"' - <Jik(akjT'j + bk).
В этом случае, гамильтоново отображение C.85) удовлетворяет условию C.66) для s,
т.е.
ФoLo Jls = J s.
Следовательно всевозможные гамильтонрвы формы C.86) образуют полное семейство.
Разные гамильтоновы формы из этого се(мейства отличаются друг от друга только связ-
связностью Г C.76), что ведет к разным калибровочным условиям C.90).

118 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Предложение 3.32. Для любой гамильтоновой формы Н C.86) уравнения Гамильто-
Гамильтона C.30 Ь) и C.91) на сечениях расслоения Q —> R эквивалентны ограниченным урав-
уравнениям Гамильтона C.69).
доказательство. В соответствии с разбиением C.84) вертикального векторного по-
поля и на фазовом пространстве V*Y —> Ж, ограниченные уравнения Гамильтона C.69)
принимают вид
r*(a,-,W j dH) = 0, C.92а)
* 0. C.92 b)
Уравнения C.92 b) с очевидностью являются уравнениями Гамильтона C.30 Ь) для Н.
Имея в виду соотношения C.77) и C.81), уравнения Гамильтона C.92а) легко привести
к виду C.91). D
Таким образом, именно уравнения C.90) представляют собой те дополнительные
условия, которые отличают уравнения Гамильтона от ограниченных уравнений Гамиль-
Гамильтона C.69) и уравнений Лагранжа в случае квадратичного лагранжиана.
Следствие 3.33. Согласно Предложению 3.25, сечение s расслоения JlY —> Ж явля-
является решением уравнений Картана B.63a)-B.63b) для вполне регулярного квадратич-
квадратичного лагранжиана C.74) тогда и только тогда, когда L о s является решением ограни-
ограниченных гамильтоновых уравнений (З.ЗОЬ) и C.91). Р
Следовательно, уравнения C.90) представляют собой препятствие C.63) к тому, что-
чтобы решения s уравнений Картана порождали решения уравнений Гамильтона и урав-
уравнений Лагранжа для лагранжиана C.74). Ясно, что уравнения C.91) не дают вклада в
условие C.63). Если г = Los, эти уравнения выполняются на решениях s уравнений
Картана B.63 а).
Предложение 3.34. Пусть s — решение уравнений Картана для вполне регулярного
лагранжиана L C.74). Пусть so — сечение расслоения VY —> Ш, которое принимает
значение в Ker L и проектируется на s = Vq os. Тогда сумма s+s0 над Y также является
решением уравнений Картана.
доказательство. Это является непосредственным следствием соотношения
r = Los=Lo(s + s0).
В заключение приведем еще одно следствие. Всякое решение уравнений Лагранжа
для вполне регулярного квадратичного лагранжиана C.74) является решением некоторо-
некоторого уравнения движения. Это следует из того, что гамильтоновы формы, ассоциирован-
ассоциированные с таким лагранжианом, образуют полное семейство, и всякое решение уравнений
Лагранжа служит также решением той или иной системы уравнений Гамильтона.
§ 7. Гамильтоновы законы сохранения
Как уже отмечалось, понятие интегралов движения в механике консервативных си-
систем, определяемых как функции на фазовом пространстве, находящиеся в инволюции с
гамильтонианом, не может быть распространено на неавтономную механику, поскольку
уравнение эволюции C.44) в неавтономной механике не сводится к скобкам Пуассона.

§ 7. Гамильтоновы законы сохранения 119
В §2.7 уже рассматривались законы сохранения в лагранжевой механике. Чтобы
использовать эти результаты в рамках гамильтонова формализма, применим следующую
интересную конструкцию.
Пусть Н — гамильтонова форма C.19) на фазовом пространстве V*Y. Рассмотрим
лагранжиан
LH = (Piyi ~ 3?W C.93)
на многообразии струй JlV*Y фазового пространства V*Y —> Ж. Легко установить, что
форма Пуанкаре—Картана этого лагранжиана в точности совпадает с самой гамильто-
новой формой Н, индуцированной на JlV*Y посредством проекции JXV*Y —» V*Y,
а оператор Эйлера—Лагранжа для LH воспроизводит оператор Гамильтона для Н, ин-
индуцированный таким же образом на J2V*Y. Как следствие, уравнения Лагранжа для
лагранжиана LH C.93) эквивалентны уравнениям Гамильтона для Н. Поэтому для по-
построения гамильтоновых законов сохранения применим уже апробированную процедуру
получения лагранжевых законов сохранения к лагранжиану Ьн ¦
Замечание 3.15. Лагранжиан C.93) играет важную роль при применении методов
функционального интегрирования в механике и теории поля, о
Рассмотрим векторное поле и B.89) на пространстве событий Y и его лифт
и = udt + и'д{ - diUjpjd'
на фазовое пространство V*Y. Легко проверить, что
где j'u — струйное продолжение (П.35) векторного поля й на JlV*Y. Применим по-
поэтому к лагранжиану C.93) первую вариационную формулу B.50). Как частный случай
слабого тождества B.90) получаем на решениях уравнений Гамильтона для гамильтоно-
вой формы Н слабое равенство
- и'0,-JT - и'йJF + ptdtu* и -dti-piu* + иЗГ) C.94)
для тока
f = -р{и{ + и Ж. C.95)
В случае вертикального векторного поля и, когда и( = 0, это равенство сводится к
выражению
Lj^LH ss dt(j?iu).
Если Lji~Lff = 0, получаем слабый закон сохранения
0 и dtipiU1)
нетеровского тока
f = -р(и\
В случае горизонтального векторного поля (связности) Г C.14) на Y слабое равен-
равенство C.94) принимает вид
где J?r = 3f ~ Р«Г* функция Гамильтона из расщепления C.21).

120 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Имеется следующая связь между лагранжевыми и гамильтоновыми сохраняющими-
сохраняющимися токами.
Предложение 3.35. Пусть гамильтонова форма Н на фазовом пространстве V*Y
ассоциирована с полурегулярным лагранжианом L на конфигурационном пространстве
JlY'. Пусть г — решение уравнений Гамильтона C.30а)—C.30 Ь) для Н, которое лежит
в пространстве лагранжевых связей Q, и s — соответствующее решение уравнений
Лагранжа для лагранжиана L такие, что выполняются соотношения C.65). Пусть и —
векторное поле B.89) на пространстве событий Y —* Ж. Тогда получаем
f (г) = Т(Я о г),
J(L о Jl s) = T(s),
где Т — ток B.91) на конфигурационном пространстве J[Y и Т — ток C.95) на фазовом
пространстве V*Y. о
Следствие 3.36. Гамильтоновым аналогом в смысле Предложения 3.35 лагранжевой
функции энергии Тр B.95) относительно системы отсчета Г является функция Гамиль-
Гамильтона Жу из расщепления C.21). Q
Таким образом, можно интерпретировать функцию Гамильтона сЩ как гамильто-
нову функцию энергии относительно системы отсчета Г. В частности, если Г! = 0, мы
получаем известный закон сохранения энергии
в сопутствующих данной системе отсчета координатах. Он является аналогом лагран-
жева закона сохранения энергии B.96).
§ 8. Неконсервативные системы с симметриями
В механике, подобно теории поля, системы с симметриями можно описывать в тер-
терминах расслоений со структурными группами, как это подробно изложено в первом
томе [8]. Однако в механике такое описание имеет следующую существенную особен-
особенность.
Поскольку база главных расслоений одномерна, напряженность калибровочных по-
потенциалов — связностей на этих расслоениях — тождественно равна нулю. Следователь-
Следовательно для них нельзя построить лагранжиан Янга—Миллса, и калибровочные потенциалы
в механике не являются динамическими переменными. Более того, по этой причине в
механике вообще не существуют калибровочно инвариантные лафанжианы, а только
калибровочно ковариантные, в которые калибровочные потенциалы входят как фоно-
фоновые поля.
В то же время в механике особую важность приобретают преобразования, которые
не сохраняют лагранжианы, но оставляют инвариантными уравнения Лафанжа. Это
наиболее общий случай инерциальных преобразований.
Пусть я> : Р —> Е — главное расслоение со структурной группой Ли G, каноническое
действие которой на Р справа
Гд:р^рд, реР, g€G, C.96)

§ 8. Неконсервативные системы с симметриями 121
является послойным, свободным и транзитивным. Пусть
Y = (Px V)/G C.97)
— ассоциированное с Р векторное расслоение с типичным слоем V, на который струк-
структурная группа G действует слева. Напомним, что фактор в выражении C.97) берется
путем отождествления элементов (р, v) и (рд, g"lv) для всех д G G.
Калибровочными преобразованиями называются вертикальные (над X) автоморфиз-
автоморфизмы Ф главного расслоения Р, эквивариантные относительно правого действия C.96)
его структурной группы G, т. е.
ф ° гд = Рд ° ф> V# G G-
Благодаря условию эквивариантности, калибровочные преобразования главного рассло-
расслоения Ф порождают калибровочные преобразования всякого ассоциированного с ним
расслоения:
Фг : (Р х V)/G -> (Ф(Р) х V)/G.
Таким образом, векторное расслоение Y C.97) можно рассматривать как пространство
событий механической системы с группой симметрии G.
Всякой 1 -параметрической группе калибровочных преобразований главного рассло-
расслоения Р соответствует полное вертикальное векторное поле на Р, инвариантное отно-
относительно правого действия группы G на Р. Поэтому множество таких полей находится
во взаимно однозначном соответствии с множеством сечений расслоения
VGP = VP/VG -> X, C.98)
где VP — вертикальное касательное расслоение к главному расслоению Р, а его фак-
фактор берется относительно вертикальных касательных морфизмов Vrg к морфизмам тд
C.96). Расслоение VgP ассоциировано с главным расслоением Р. Его типичным слоем
является правая алгебра Ли с?т структурной группы G, на которую эта группа действу-
действует по присоединенному представлению. Поэтому сечения расслоения C.98) образуют
алгебру Ли.
Соответственно, всякой 1-параметрической группе калибровочных преобразований
ассоциированного с Р пространства событий Y отвечает вертикальное векторное поле
и = ат0)е,ЛЛ <3-")
где em'j — генераторы действия группы G в типичном слое V, a am(t) — локальные
функции на Е. Действительно, при переходе к другим послойным координатам у" с
функциями перехода р, принимающими значения в структурной группе G, векторное
поле C.99) запишется в виде
и = am(t) ad piejjy'id'i = a'm(i)emi^д\.
Векторные поля C.99) находятся, очевидно, во взаимно однозначном соответствии
с сечениями расслоения C.98) и образуют алгебру Ли относительно операции скобок
Ли. Обозначим эту алгебру ^(Е). Всякая тривиализация главного расслоения Р и
соответственно ассоциированного с ним расслоения Y задает изоморфизм алгебры Ли
^(Е) на алгебру Ли, получаемую из ^ расширением поля вещественных чисел до
кольца & {Щ гладких функций на Ж.

122 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Любая 1-параметрическая группа калибровочных преобразований пространства со-
событий Y канонически продолжается до 1-параметрической группы калибровочных пре-
преобразований фазового пространства V*Y с генератором
и = ата)ет
Как легко установить, это векторное поле является гамильтоновым векторным для нете-
ровского тока ptu1 (§ 3.7) относительно канонической 3-формы C.8), и эти нетеровские
токи образуют алгебру Ли, т. е.
jK =#[«,«']'. C.100)
В частности, пусть piu' и piUn — сохраняющиеся нетеровские токи для некоторой
гамильтоновой формы И на фазовом пространстве V*Y. Учитывая, что
[и/и1] = [и, и], Jl[u,u] = [Jlu,Jlu]
и
Lj'S-^я = 0, Ljitfiff = 0,
получаем
т.е. нетеровский ток C.100) тоже сохраняется. Таким образом, в гамильтоновой неав-
неавтономной механике сохраняющиеся нетеровские токи образуют алгебру Ли (сравните с
Примером 1.21).
Этот результат переносится и на нетеровские токи B.93) в лагранжевой механике.
При данном лагранжиане L нетеровские токи B.93) [соотв. сохраняющиеся нетеровские
токи B.93)] вдоль векторных полей C.99) образуют алгебру Ли относительно скобок
Пуассона B.59).
Замечание 3.16. То, что сохраняющиеся нетеровские токи образуют алгебру Ли,
важно при квантовании. Это означает, что состояния квантовой механической системы
образуют представление этой алгебры Ли. Q
Всякая связность на главном расслоении Р порождает связность
A = dt + Am(t)emijyi
на ассоциированном с ним пространстве событий, где Ат — калибровочные потенци-
потенциалы. Однако эти потенциалы, как уже отмечалось, всегда могут быть устранены соот-
соответствующим выбором атласа расслоения Р. При этом все же могут возникнуть нетри-
нетривиальные следствия, если базой пространства событий является не Е, а окружность S1,
и его типичный слой М имеет нетривиальную первую гомотопическую группу.
Рассмотрим теперь случай, когда изоморфизмы пространства событий не сохраня-
сохраняют данный лагранжиан L, но оставляют инвариантным соответствующий ему оператор
Эйлера—Лагранжа ???. Такие преобразования могут существовать, поскольку, как уже
отмечалось, лагранжианы, отличающиеся друг от друга слагаемым dtfdt, где / — не-
некоторая функция на Y, приводят к одному и тому же оператору Эйлера—Лагранжа.
Более точно, можно показать, что для всякого проектируемого векторного поля и на
пространстве событий Y справедливо равенство
Lj2ug-b = 6(LjiuL),

§ 8. Неконсервативные системы с симметриями 123
где J2u — струйное продолжение векторного поля и на многообразие струй 2-го по-
порядка J2Y и <5 — вариационный оператор B.82).
Если для лагранжиана L полное векторное поле и удовлетворяет условию
6(LJluL) = 0, C.102)
то, согласно равенству C.101), получаем
и это означает, что оператор Эйлера—Лагранжа WL и, следовательно, уравнения Ла-
гранжа инвариантны относительно 1-параметрической группы автоморфизмов GT про-
пространства событий Y, генератором которой является векторное поле и. Ограничимся в
дальнейшем случаем, когда и — вертикальное векторное поле на Y —> Ж. Тогда условие
C.102) эквивалентно равенству
Jlu^dJ^ = dtf, C.103)
где / — некоторая функция на Y.
Пусть Г — полная связность на расслоении Y —> Ш, которая при преобразовании
Сг=1=ехр(и) C.104)
переходит в связность Г'. Тогда системы отсчета Г и Г' на пространстве событий Y
можно считать взаимно инерциальными для данного оператора Эйлера—Лагранжа 8^,
поскольку преобразование C.104) оставляет его инвариантным. Соответственно, пре-
преобразование между координатами у' и у", сопутствующими системам отсчета Г и Г',
можно назвать инерциалъным преобразованием для оператора Эйлера—Лагранжа <§?. Эти
координаты связаны условием
Замечание 3.17. Ясно, что преобразования, оставляющие инвариантным лагранжи-
лагранжиан L, являются инерциальными для соответствующего оператора Эйлера—Лагранжа.
Однако часто они сохраняют и систему отсчета, т. е. Г = Г', о
Замечание 3.18. Пусть производная Ли лагранжиана L вдоль вертикального вектор-
векторного поля и удовлетворяет условию C.103). Применим к этой производной Ли первую
вариационную формулу B.50). Тогда слабое тождество B.90) принимает вид закона
сохранения
0 » dtfriU* - /),
который может, однако, сводиться к уже известным нетеровским законам сохранения.
D
Пример 3.19. Рассмотрим пространство событий Y = К2 —> Ш и лагранжиан одно-
одномерного свободного движения
XU C.105)
C.106)
L
Соответствующий ему оператор Эйлера—Лагранжа имеет вид

124 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Вертикальное векторное поле и = vtdy, v = const, на пространстве событий Y является
генератором 1-параметрической группы преобразований, которые оставляют инвари-
инвариантным оператор Эйлера—Лагранжа C.106) и уравнение свободного движения, но не
лагранжиан C.105). Действительно, легко получить, что
LjiuL = Jxu j dS/'dt = (vtdy + vd\) j ytdy't A dt - dt(vy)dt.
Соответствующее преобразование C.104) имеет вид
GT=i = ехр(и) = exp(vtdy): у —> y + vt
и является обычным инерциальным преобразованием для уравнения свободного дви-
движения, как это было описано в § 2.4. D
§ 9. Системы с зависящими от времени параметрами
Рассмотрим пространство событий, которое является композицией расслоений
F-^S-^E, C.107)
параметризуемой координатами (t,am,y%), где (t,am) — координаты расслоения
Е —> R. Мы будем интерпретировать сечения h расслоения S -* I как временеза-
висимые параметры, а расслоение C.107) — как пространство событий системы с па-
параметрами. Назовем Е —> Ж расслоением параметров. Отметим, что расслоение Y —> S
не обязательно тривиально.
Напомним, что, согласно Предложению П.7, для всякого сечения h расслоения
параметров Е —> К ограничение
Yh = h*Y C.108)
расслоения Y —> Е на A(R) С Е является подрасслоением гл : Yh ^-> Y расслоения
F-»l. Расслоение Yh —> Ш можно трактовать как пространство событий системы с
данным полем параметров h(t).
Конфигурационным пространством системы с параметрами является многообразие
струй JlY расслоения C.107), на котором введены координаты (t, а™, у', а™, у\).
Предположим, что на расслоении Y —* S задана некоторая связность
Az = dt ® (% + А*А) + dam ® (дт + А*тд^. C.109)
Тогда на пространстве событий Y может быть введен вертикальный ковариантный диф-
дифференциал (П.59):
D^iyl-Ai-AUaDdi. C.110)
Он обладает тем свойством, что для любого сечения h расслоения параметров ? —» Ж
его ограничение на Jxih(JxYh) С JXY совпадает с обычным ковариантным дифферен-
дифференциалом относительно связности
(Aindthm + (А о Н)\)д{ C.111)

§ 9. Системы с зависящими от времени параметрами 125
на Yji, получаемой ограничением на h(W) связности As ¦ Это дает основание использо-
использовать именно вертикальный ковариантный дифференциал D для построения лагранжи-
лагранжианов систем с параметрами на пространстве событий Y C.107).
Мы предположим, что такого рода лагранжиан L зависит от производных параме-
параметров <г™, находящихся только в составе вертикального ковариантного дифференциала
D C.110), т.е.
L = &(t, ат, у\ у] - А( - )
Ясно, что такой лагранжиан является вырожденным из-за наличия связи
7Гт + 4>Т«=0. C.113)
Эта связь приводит к тому, что полная система уравнений Лагранжа
(д, - dtdj)^ = о, (З.П4)
(dm-dtdtm)j^ = o (З.П5)
не имеет решения, если не выполняется весьма специфическое условие
vid,A\n = 0. C.116)
В этом, однако, и нет необходимости, поскольку поле параметров по самому своему
смыслу не зависит от движения механической системы и является фоновым, т. е., как
говорят, "задается руками", или является решением некоторых уравнений, не зави-
зависящих от координат системы. В моделях с параметрами возможен, конечно, режим
обратной связи, когда функции параметров зависят от состояния системы, но это, как
правило, не лагранжевы модели, и мы их здесь не касаемся. Поэтому в нашем случае
требуется выполнение только уравнений Лагранжа C.114).
Запишем при этом условии первую вариационную формулу. Пусть
и = uldt + um(t, ак)дт + u\t, <г\ у>)ди и* = 0, 1, C.117)
— проектируемое векторное поле как относительно расслоения Y —> Ш, так и относи-
относительно расслоения Y —* Е. Тогда производная Ли \щЬ лагранжиана L относительно
векторного поля и C.117) принимает вид
[и*д( + итдт + игдг + d,umdL + <*,
= (ит - аТи)дт^ + vmdt(um - аТи) + {иг -
dt = dt + а? дт + y\di + а%д*т + yitdj.
На уравнениях Лагранжа C.114) мы приходим к слабому тождеству
[и% + итдт + и{д( + dtumdm + Ь
» (ит - аТ
Если производная Ли Lgi равна 0, получаем закон сохранения
0 « (ит - <г?и*)дт& + -irmdt(um - <т?и{) - dt [*Ли*у1 - и') - и*^\ C.118)
для системы с параметрами.

126 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Запишем теперь эту систему в гамильтоновой форме. Ее фазовым пространством
является вертикальное кокасательное расслоение V*Y. Если дана связность C.109),
оно допускает расщепление
V*Y = As(V?Y) ®(Y x F*?).
y y
Pidy + pmdd = Pi(dy — Amd(T ) + (pm + Ampi)d<j , C.119)
дуальное расщеплению (П.58). В соответствии с этим расщеплением на фазовом про-
пространстве V*Y можно ввести координаты
Pi = Pi, Pm=Pm + KiPi, C.120)
которые однако не являются каноническими. Тогда для любого сечения h расслоения
параметров Е —> Е подмногообразие
{a = h(t),pm = 0} C.121)
фазового пространства V*Y изоморфно расслоению Лежандра V*Yh подрасслоения
C.108) расслоения Y —> Ш, являющегося пространством событий системы с фикси-
фиксированным полем параметров h(t).
Рассмотрим гамильтоновы формы на фазовом пространстве V*Y, ассоциированные
с лагранжианом L C.112). Пусть дана связность
Т = д{ + Гтдт C.122)
на расслоении параметров S —> Ж. Тогда гамильтонову форму, ассоциированную с L,
можно искать в виде
Я = (judy* + pmdam) - [piA{ +ртГт + 3T(t, am, y\ Pi)]dt, C.123)
где
А = dt + Гтдт + А*д{, А1 = А* + А^Т™,
— композиционная связность (П.56) на расслоении Y —» Ж, определяемая связностя-
ми As C.109) на Y -> Е и Г C.122) на Е -> К. При этом функция Гамильтона Я
должна удовлетворять условиям
>.V . <J . О (ЯГ it* <T , V , 7Г*
i if i i \ i i tf ) i
которые следуют из условий C.46 а)-C.46 b) при подстановке в них выражения C.123).
Уравнения Гамильтона для гамильтоновой формы C.123) имеют вид
C.124а)
Ри = -Р}(М* + й4,Гт) - dilT, C.124b)
а? = Гт, C.124 c)
Ptm = -Pi(dmA{ + Г"дтА\,) - dmlr. C.124d)

§ 9. Системы с зависящими от времени параметрами 127
Если гамильтонова форма известна, пространство лагранжевых связей определяется
уравнениями
Pi = *i(t, у\ <Л д'ЖЦ, ат, y\Pi)) C.125)
Pm+4nPi=0. C.126)
Система уравнений C.124а)—C.126) при выполнении условий, рассмотренных в
§3.5, соответствует уравнениям Лагранжа C.114)—C.115). При этом из-за уравнений
C.124d) и C.126) она переопределена. Поэтому уравнения Гамильтона C.124а)-
C.124d) имеют решение, лежащее в пространстве лагранжевых связей C.125)—C.126),
только при весьма специфичных условиях, аналогичных условиям C.116). Однако в на-
нашей ситуации, когда уравнения Лагранжа C.115) игнорируются, и нет необходимости
искать такие решения. Заметим, что уравнения C.124d) и C.126) служат только для
определения импульсов рт и не влияют на другие уравнения.
Поэтому рассмотрим систему уравнений C.124а)-C.124с) и C.125)—C.126). Пред-
Предположим, что связность Г в уравнении C.124с) полная и его решением является поле
параметров h(t) — интегральное сечение полной связности Г. Вместе с уравнением
C.126) оно задает, как уже отмечалось, подмногообразие V*Yh фазового пространства
V*Y, являющееся фазовым пространством модели с фиксированным полем параметров
h(t). Оставшиеся уравнения C.124а)-C.124Ь) и C.125) являются уравнениями этой мо-
модели на фазовом пространстве V*Yh, соответствующие уравнениям Лагранжа C.114) в
присутствии фонового поля параметров h(t).
Обратно, для всякого поля параметров h(t) существует связность Г на расслоении
параметров ? —•> Ж такая, что h(t) — ее интегральное сечение. Тогда соответствую-
соответствующая система уравнений C.124а)—C.124Ь) и C.125)—C.126) описывает модель с данным
полем параметров hit). При этом локально в координатах (t,<jm,y\pi) можно просто
ограничиться уравнениями C.124а)-C.124Ь) и C.125).
Чтобы проиллюстрировать описаную выше конструкцию, приведем два простых
примера.
Пример 3.20. Рассмотрим одномерное движение пробной частицы, которая нахо-
находится в поле силового центра, который сам движется по некоторому явно заданному
закону. Пространством событий этой системы является композиционное расслоение
JK —> КГ —> 1К,
где Y = Е3, ? = Ш2, параметризуемое координатами (t,a,y), где а — координата
силового центра относительно некоторой, как мы будем считать, инерциальной системы
отсчета, а у — координата пробной частицы относительно силового центра. Существует
естественное вложение
Y х ТЕ Э 0, а, у, t, &) ~ 0, a, i,&,y= -&) ? TY,
которое определяет связность
As = dt <g> dt + da <g> (da - dv)
на расслоении У —> S.. Смысл выбора такой связности состоит в том, что отвечающий
ей вертикальный ковариантный дифференциал C.110):
D = (yt + <rt)dy,

128 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
представляет собой скорость пробной частицы относительно инерциальной системы
отсчета. Тогда лагранжиан такой частицы запишется в виде
L = V- (yt + <rtf - V(y)]dt. C.127)
В частности, можно получить закон сохранения (а вернее, изменения) энергии в этой
системе. Возьмем векторное поле и = dt- Очевидно, что производная Ли лагранжиана
C.127) вдоль этого векторного поля равна 0. Тогда непосредственно из формулы C.118)
получаем
0 я -жуаа - dt[iryyt - ?"],
или
0 « dy2J<jt ~ dt [iry(yt + at) - &\,
где
Т = я-„(й + at) - &
— функция энергии пробной частицы относительно инерциальной системы отсчета, о
Пример 3.21. Рассмотрим одномерный осциллятор, частота которого является вре-
менезависимым параметром. Мы будем следовать адиабатической гипотезе, согласно
которой существует такая координата у, что этот осциллятор отличается от стандартно-
стандартного только кинетической энергией. Возьмем в качестве пространства событий системы
композиционное расслоение
F = Mxl+xl^l+xK^i, C.128)
где Ш+ обозначает положительную полупрямую. Оно наделено координатами (t, a >
0,у), где <х — параметр частоты. Соответствующее фазовое пространство V*Y параме-
параметризуется координатами (?, а, у, р<г,Ру).
Гамильтонову форму для осциллятора можно выбрать в виде
Я = pffda + pydy -
^=раТа+1-(*2р2у + у2). C.129)
Ассоциированная с ней связность
Гя = $ + Г?Я,г C.130)
на Y —» Ш является композиционной связностью (П.56), порождаемой некоторой ли-
линейной связностью
Г = dt <g> (dt + ЦЦад,)
на расслоении параметров
— К X 1К —> Ш.
и тривиальной связностью
Аъ - dt ® dt + da- О да
на расслоении Y —* S.

§ 9. Системы с зависящими от времени параметрами 129
Гамильтонова форма C.129) ассоциирована с лагранжианом
L=-(a-2yj-y2)dt,
который действительно, в соответствии с адиабатической гипотезой, в координатах (?, у)
описывает осциллятор с любой наперед заданной переменной частотой а = h(t). Урав-
Уравнения Гамильтона C.124 а)—C.124 с) для гамильтоновой формы C.129) имеют вид
yt = a2py, C.131a)
Pt = -y, C.131b)
at=T(t)a. C.131c)
Они тоже описывают осциллятор с данной переменной частотой а = h(t), если поло-
положить Г = h~ldth. Уравнения C.125) тривиальны.
Рассмотрим каноническое преобразование
2/ =
Py =
P<r =
ay
1
J
/
1
a
i i
УРу
В новых координатах (t, а, у' ,р''^,У9) связность C.130) принимает вид
а гамильтонова форма C.129) запишется в виде
Соответственно, уравнения Гамильтона C.131 а)—C.131 с) трансформируются в уравне-
уравнения
X2 C.132а)
1 C.132Ь)
<Tt=Tt- C.132с)
Подстановка а = h(t) и C.132 с) в уравнения C.132 а) и C.132Ь) превращает последние
в уравнения Гамильтона для гамильтоновой формы
= — dtay'p'y + -(p'y + <r2y'2),
5 Зак. 275

130 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
описывающие известный осциллятор Берри, когда связность C.111) является классиче-
классическим вариантом связности Берри
[52, 60]. D
§10. Единый лагранжево-гамильтонов формализм
Связь между лафанжевым и гамильтоновым формализмами, описанная в предыду-
предыдущих парафафах, нарушается при канонических преобразованиях, когда преобразования
уг —> у'% зависят от импульсов. Следующая конструкция позволяет преодолеть эту труд-
трудность.
Пусть Y —> Ш. — пространство событий. Рассмотрим V*JlY — вертикальное кока-
сательное расслоение к конфигурационному пространству J[Y —> Ш, параметризуемое
координатами
и JXV*Y — многообразие струй фазового пространства V*Y ->Rc координатами
(t,y,Pi,yl,Pti)-
Предложение 3.37. Имеет место изоморфизм этих расслоений
тт тг * у I "I/" ^^ т 1 Tr* T/" А л-» я/ л-1 / О 1 1 \
над J'F.
доказательство. Изоморфизм C.133) легко установить, сравнивая законы коорди-
координатных преобразований (yi,yl) И (j?i,Pti)- ?
Имея в виду изоморфизм C.133), многообразие П можно интерпретировать и как
фазовое пространство над конфигурационным пространством JlY, и как конфигура-
конфигурационное пространство над фазовым пространством V*Y. Поэтому представляется за-
заманчивым использовать Ц как единое конфигурационное и фазовое пространство для
объединенного лафанжева и гамильтонова формализма.
Многообразие П параметризуется голономными координатами
У,у*,у1,Ри,рд, C.134)
где (у',ри) и (yl,Pi) — пары канонически сопряженных координат и импульсов. Мно-
Многообразие П наделяется струйным расширением канонической 3-формы B.56), которое
в координатах C.134) дается выражением
О = (dpu A dy + dpi A dyl) Adt = dt(dpi A dy* A dt), C.135)
где
dt = dt + y'tdj + pud'

§10. Единый лагранжево-гамильтонов формализм
— полная производная на П. Соответствующие скобки Пуассона C.5) имеют вид
u'9*v dPtidyi + dpidyi dptidyi dPidyf {
Очевидно, что каноническая форма C.135) и, следовательно, скобки Пуассона
C.136) инвариантны относительно преобразований П, являющихся струйным продол-
продолжением канонических автоморфизмов фазового пространства V*Y.
Рассмотрим гамильтонову форму
Я = ptidyl + pidyl - Ж'Ц, у', y't,pti,pi)dt
на объединенном фазовом и конфигурационном пространстве П. Соответствующие
уравнения Гамильтона C.30 а)—C.30 Ь) имеют вид
,• 9Ж
М = —, C.137а)
, дЖ
dtyl = ~, C.137Ь)
др{
дЖ
dtPi = -lrr, C.137 c)
дЖ
diPii = —Q-r- C.137d)
Подставляя C.137 а) в C.137 Ь) и C.137 с) в C.137d), получаем уравнения
дЖ дЖ
dt-r—= -r—, C.138а)
дрн др{
дЖ дЖ
dt^-r = —r, C.138b)
ду\ ду1
которые выглядят как уравнения Лагранжа для "лафанжиана" Ж . Однако Ж' не функ-
функция и не является в действительности лагранжианом. Можно выбрать
Ж =-^ + dt(jpiY\ C.139)
где Ly = C/"dt — некоторый лагранжиан на конфигурационном пространстве JlY. То-
Тогда уравнения C.138а)-C.138Ь) эквивалентны уравнениям Лагранжа для лагранжиана
Ly на J'F. Однако их решения в общем случае не являются решениями уравнений
Гамильтона C.137 а)—C.137 d) для гамильтониана C.139). Это иллюстрирует тот факт,
что решения уравнений Гамильтона C.137а)—C.137 d) являются решениями уравнений
Лагранжа C.138 а)—C.138 Ь), но не наоборот.
Чтобы построить объединенный лафанжево-гамильтонов формализм, рассмотрим
гамильтонову форму
Я = ptidy1 + pidy\ - (dt.*n + (pty't -Жп)- y)dt, C.140)
где I'Y — полурегулярный лагранжиан на конфигурационном пространстве JlY и
#п — ассоциированная с ним гамильтонова форма на фазовом пространстве V*Y.

132 Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика
Уравнения Гамильтона C.137 а)—C.137 d) для Н C.140) запишутся в виде
C.141а)
C.141b)
(ЗЛ41с)
дЩх дЩ1 дЗ
dtPti = -dt —~ + —f + —-. C.141 d)
дуг ду1 дуг
Используя соотношения C.46а) и C.51), можно показать, что решения уравнений Га-
Гамильтона C.30 а)—?3.30 Ь) для гамильтоновой формы Нц, лежащие в пространстве ла-
гранжевых связей Ly(JlY) С V*Y, являются решениями уравнений C.141 а)—C.141 d).
Рассмотрим, в свою очередь, уравнения Лагранжа C.138 а)—C.138 Ь) для гамильто-
гамильтоновой формы C.140). Они запишутся так:
Q, C.142 а)
^r ^flT C.142b)
ду\ ду1 ду1
Согласно Предложению 3.21, всякое решение уравнений Лагранжа для лагранжиана Ly
такое, что выполняется условие C.66), является решением уравнений C.142а)-C.142Ь).
В частности, если лагранжиан Ly гиперрегулярный, уравнения C.142а)—C.142Ь)
и уравнения C.141 а)—C.141 d) эквивалентны соответственно уравнениям Лагранжа для
лагранжиана Ly и уравнениям Гамильтона для единственной ассоциированной с ним
гамильтоновой формы.

Глава 4
БРСТ механика
В настоящее время БРСТ формализм является одной из наиболее перспективных схем
квантования в рамках метода функционального интегрирования как в теории поля, так
и в механике. Суть БРСТ формализма состоит в добавлении к обычным динамическим
переменным антикоммугарующих величин так, чтобы лагранжиан или гамильтониан
системы были инвариантны относительно специальных БРСТ преобразований. Этот
подход берет начало в квантовой теории калибровочных полей, когда в функциона-
функционале действия появляются антикоммутирующие духи Фаддеева—Попова и эффективный
лагранжиан, не будучи калибровочно инвариантным, оказывается инвариантным от-
относительно специального класса преобразований, вовлекающих антикоммутирующие
величины [9]. Литература по БРСТ квантованию чрезвычайно обширна, и мы подробно
рассмотрим этот вопрос в четвертом томе серии. Здесь мы остановимся на геометричес-
геометрической формулировке БРСТ механики, которая строится как механика на градуированных
многообразиях. В первом параграфе этой главы описывается расширение механики на
вертикальное касательное расслоение VY к пространству событий F, которое не только
необходимо для ее дальнейшего БРСТ обобщения, но и описывает системы с малыми
линейными флуктуациями. Во втором параграфе БРСТ механика формулируется на
интуитивном уровне, а геометрическому обоснованию этой формулировки посвящен
третий параграф главы.
§ 1. Системы с флуктуациями
Пусть F-»i- пространство событий неавтономной механики, параметризуемое
координатами (t, уг). Рассмотрим вертикальное касательное расслоение VY к расслое-
расслоению Y —> Е и будем интерпретировать его как новое пространство событий, параметри-
параметризуемое голономными координатами (t, у*,уг). Назовем его вертикальным пространством
событий.
Соответствующим ему конфигурационным пространством является многообразие
струй JXVY расслоения VY —> Ш, которое канонически изоморфно вертикальному ка-
касательному расслоению VJlY к обычному конфигурационному пространству JlY —» Е
(см. (П.36)). Назовем VJ Y вертикальным конфигурационным пространством с голо-
голономными координатами
Вертикальным фазовым пространством — расслоением Лежандра над вертикальным
пространством событий VY — служит вертикальное кокасательное расслоение V*VY к
расслоению VY —* К. Оно изоморфно вертикальному касательному расслоению VV*Y

134 Глава 4. БРСТ механика
к обычному фазовому пространству V*Y —> Е (см. (П.11)) и параметризуется коорди-
координатами
(t,yl,Pi,y',Pi).
Каноническими парами "координата—импульс" являются (у*, рг) и (y\pt), как это вид-
видно из законов координатных преобразований
., _dPi_ . др[ .j _ dyj . y>
Pi ~ dPj Pj + dyi У - dy« Pj + W1 Pi'
Таким образом, конфигурационным и фазовым пространствами, отвечающими вер-
вертикальному пространству событий VY, являются вертикальные касательные расслоения
соответственно к обычному конфигурационному и обычному фазовому пространствам.
Это позволяет строить механику на вертикальном пространстве событий, переходя про-
просто к вертикальным касательным морфизмам.
Вертикальное фазовое пространство VV*Y наделено канонической 3-формой
Vtv = dv?l = [dpi Л dy' + dpi Л dy'j Л dt, D.1)
которая является вертикальным расширением канонической 3-формы О C.8). Здесь и в
дальнейшем применяется обозначение ду (П.4):
dv = yidi+pidi.
Каноническая 3-форма D.1) определяет на вертикальном фазовом пространстве струк-
структуру Пуассона
{/, 9hv = Pfdtg + tffdig - d'gdif - d'gdj.
Здесь использованы сокращенные обозначения (П. 15).
Гамильтоновы векторные поля, гамильтоновы связности, гамильтоновы формы и
т.д. вводятся на вертикальном фазовом пространстве VV*Y в соответствии с общей
схемой из § 3.2. Например, всякая гамильтонова форма на VV*Y дается выражением
Hv = pidy' +Pidy' - Jfydt.
Поскольку гамильтоновы формы рассматриваются по модулю точных форм и функ-
функция pi у* на VV*Y глобально определена, мы будем записывать гамильтонову форму на
вертикальном фазовом пространстве FK*K как
Hv = pidy' - yUpi - ,Tvdt. D.2)
Соответствующие уравнения Гамильтона имеют вид
1* = у\ = #чГу, D.3 а)
H=Pti = -di*v, D.3 b)
?=у'^1?,Уу, D.3 с)
Ъ=Ри = -д^у, D.3 d)

§ 1. Системы с флуктуациями 135
где
7 = dt + j'di + ъв* + l'di + 7,d'
— гамильтонова связность на вертикальном фазовом пространстве VV*Y —> BL
Установим теперь соответствие между гамильтоновыми формализмами на фазовом
и вертикальном фазовом пространствах.
Предложение 4.1. Пусть 7я — гамильтонова связность на фазовом пространстве
V*Y —» Ж, ассоциированная с гамильтоновой формой
Н = Pidy{ - :Ж dt. D.4)
Тогда связность Vjg (П.61) на вертикальном фазовом пространстве VV*Y —* Ш явля-
является гамильтоновой связностью, ассоциированной с гамильтоновой формой
Ну = (pidy1 - y'dpi) - дуЗГМ, D.5)
Назовем Ну D.5) вертикальным расширением гамильтоновой формы Н.
доказательство. Легко проверить прямыми вычислениями, что для гамильтоновой
связности
на V*Y —> Ш. связность
VlH = dt+ jdi + Ъд* + ib + ъ&\
7* = дуу1, 7. = dv7i,
на VV*Y —> Е удовлетворяет уравнениям Гамильтона D.3a)-D.3d) для гамильтоновой
формы D.5), т. е.
»? = д\Жу=&,Ж, D.6 а)
Ъ = -diJTv = -д{ .Ж, D.6 b)
7* = д\Жу = дуд\Ж , D.6 с)
7,- = -д(Щг = -дудгЖ. D.6 d)
а
В частности, если дано разбиение гамильтониана
Ж=р{Г' + ^у D.7)
относительно связности Г на пространстве событий Y —> Е, имеет место соответству-
соответствующее разбиение гамильтониана
относительно связности Г C.15) на фазовом пространстве V*Y -» К.

136 Глава 4. БРСТ механика
Уравнения Гамильтона D.6а)-D.6Ь) для гамильтоновои формы Ну D.5) — это в
точности уравнения Гамильтона для гамильтоновои формы Н.
Выясним физический смысл уравнений Гамильтона D.6 с)-D.6 d). Пусть простран-
пространство событий У —> Ж — векторное расслоение. Тогда вертикальное пространство собы-
событий в голономных координатах изоморфно прямой сумме
Его можно интерпретировать как пространство событий исходной механической систе-
системы и ее малых линейных флуктуации, описываемых суммой
где ? — малый параметр. Соответственно вертикальное фазовое пространство
VV*Y = V*Y Ф V*Y
R
тоже можно интерпретировать как фазовое пространство исходной механической си-
системы и ее малых линейных флуктуации
у' + еу, Pi + ?pi.
Пусть исходная механическая система описывается гамильтоновои формой Н на фа-
фазовом пространстве V*Y. Будем искать ее флуктуации r(t), которые являются полями
Якоби, т.е. если r(t) — решение уравнений Гамильтона для гамильтоновои формы Н,
то и
r(t) + er(t)
в первом порядке по малому параметру е тоже является решением этих уравнений Га-
Гамильтона. Нетрудно убедиться, что такие поля Якоби подчиняются уравнениям Гамиль-
Гамильтона D.6c)-D.6d) для Ну D.5). Подставляя в них решение r(t) уравнений Гамильтона
D.6а)-D.6Ь), получаем систему однородных линейных дифференциальных уравнений
для полей Якоби r(t). Это действительно уравнения линейных флуктуации.
Гамильтонову форму Ну D.5) можно также ввести следующим образом. Рассмотрим
вертикальное касательное расслоение VT*Y к кокасательному расслоению T*Y —* Ж,
параметризуемое координатами
(t,y',Pi,P,y',Pi,P)-
Оно наделено канонической формой
сохраняющейся при голономных координатных преобразованиях. Можно рассмотреть
также каноническую форму
By + dtfpi),
так как форма d(y'pi) глобально определена. Следуя Определению 3.3, представим
гамильтонову форму Н D.4) в виде индуцированной формы Н = h*3, где h — сечение
расслоения T*Y -> V*Y. Тогда
Ну = (Vh)*3v,

§ 1. Системы с флуктуациями 137
где Vh : VV*Y —> VT*Y — вертикальный касательный морфизм к h.
Предложение 4.1 можно обобщить следующим образом.
Предложение 4.2. Всякая связность 7 на фазовом пространстве V*Y —> Ж продол-
продолжается до гамильтоновой связности Vj (П.61) на вертикальном фазовом пространстве
VV*Y -> К.
доказательство. Рассмотрим гамильтонову форму
Hv = ptidy - j'dt) - y\dpi -j,dt) = pidy - y'dpt - (prf - yl%)dt.
Соответствующая гамильтонова связность на VV*Y —+ Ж дается уравнениями Гамиль-
Гамильтона D.3 а)-D.3 d) и имеет вид
1% = т\ Ъ = Ъ, 1 = Vjd1!3 ~ tfd^j, 7» = -PAT* + V^ily D-8)
В частности, легко установить, что если j — локально гамильтонова связность на фа-
фазовом пространстве V*Y —> Ж, подчиняющаяся соотношениям C.13 а)—C.13 с), то га-
гамильтонова связность D.8) совпадает со связностью Vj (П.61). ?
Отсюда следует, что всякое уравнение движения первого порядка C.32) на фазовом
пространстве V*Y может быть представлено как часть D.3 а), D.3 Ь) уравнений Гамиль-
Гамильтона на вертикальном фазовом пространстве. В частности, уравнения движения C.33) в
среде с сопротивлением (см. Замечание 3.4) являются уравнениями Гамильтона D.3 а),
D.3Ь) для гамильтониана
/1 к
\ те
на вертикальном фазовом пространстве.
Аналогично тому, как это сделано для гамильтоновых формализмов, устанавлива-
устанавливается связь между лагранжевыми формализмами на конфигурационном и вертикальным
конфигурационном пространствами.
Пусть L — JS'dt — лагранжиан B.47) на обычном конфигурационном пространстве
J]Y. Возьмем вертикальный касательный морфизм
V& : JlY -» Ж х Ж
к функции Лагранжа i? и рассмотрим лагранжиан
Lv = (pr2 oV??)dt ~ 2vdt, D.9)
на вертикальном конфигурационном пространстве VJlY. Он называется вертикальным
расширением лагранжиана L. Соответствующие ему уравнения Лагранжа имеют вид
(д{ - dtdh&v = 0, D.10а)
b = 0. D.10b)
Уравнения Лагранжа D.10 а) являются в точности уравнениями Лагранжа для исходного
лагранжиана L. В случае векторного расслоения Y —* Ж уравнения Лагранжа D.10Ь),
подобно уравнениям Гамильтона D.6 с)-D.6 d), могут описывать малые линейные флук-
флуктуации исходной системы.

138 Глава 4. БРСТ механика
Лагранжиан Ly D.9) на вертикальном конфигурационном пространстве VJlY опре-
определяет отображение Лежандра Ly, которое представляет собой вертикальный касатель-
касательный морфизм к отображению Лежандра L:
Lv = VL : VJlY -» VV*Y, D.11)
Pi = д\2у = vu pi = dvwh D.12)
где, как и раньше, 7гг- = д\3'.
Аналогично всякая гамильтонова форма Ну D.5) на вертикальном фазовом про-
пространстве VV*Y задает гамильтоново отображение Ну, которое является вертикальным
касательным морфизмом к гамильтонову отображению Н:
Hv = VH:VV*Y->VJlY, D.13)
у\ = д'Щг = д{зг, у\ = дуд*зг.
Предложение 4.3. Если гамильтонова форма Н на фазовом пространстве V*Y ассо-
ассоциирована с лагранжианом L на конфигурационном пространстве J1 У, то ее вертикаль-
вертикальное расширение Ну D.5) на вертикальном фазовом пространстве VV*Y ассоциировано
с вертикальным расширением Ly D.9) лагранжиана L на вертикальном конфигураци-
конфигурационном пространстве VJlY.
доказательство. Согласно равенствам D.11) и D.13), условие C.46 а) для Ну при-
принимает вид ^
VL о VH о VL = VL,
что непосредственно следует из условия C.46а) для Н. Условие C.46Ь) для Ну, запи-
записанное в координатной форме C.49), выполняется в силу условия C.49) для Н. а
Из равенств D.12) следует, что если лагранжиан L на конфигурационном простран-
пространстве JlY полурегулярный, то таковым является и его вертикальное расширение Ly D.9)
на вертикальном конфигурационном пространстве VJlY. Поэтому Предложение 4.3
может быть переформулировано и для полурегулярных лагранжианов. В частности, для
Ну и Ly выполняется соотношение C.60), если оно выполняется для Н и L.
Таким образом, если лагранжева система с лагранжианом L и гамильтонова система
с гамильтоновой формой Н ассоциированы, то соответствующие системы с флуктуаци-
ями — полями Якоби — тоже ассоциированы.
Замечание 4.1. Пусть Ну — гамильтонова форма D.2) на вертикальном фазовом
пространстве VV*Y. Следуя примеру лагранжиана C.93), рассмотрим лагранжиан
1>н = Pid - у'рн - <%v D-14)
на многообразии струй JlVV*Y вертикального фазового пространства VV*Y —»¦ Ж. Не-
Нетрудно убедиться, что уравнения Лагранжа этого лагранжиана в точности воспроизводят
уравнения Гамильтона D.3 а)—D.3d) для гамильтоновой формы Ну. В частности, пусть
Н — гамильтонова форма на обычном фазовом пространстве V*Y и J%y — dy§f'. В
этом случае лагранжиан D.14) принимает вид
lh = Ш - $зг) - у\ри + QiSn.
Как легко заметить, он обращается в 0 на решениях уравнений Гамильтона для гамиль-
гамильтоновой формы Н, что обуславливает его применение при формулировке механики в
терминах функциональных интегралов [36, 37]. D

§ 2. Интуитивная БРСТ механика 139
§ 2. Интуитивная БРСТ механика
Все объекты и операции, вводимые в этом параграфе, носят формальный алгебраи-
алгебраический характер. Их геометрическому обоснованию будет посвящен следующий пара-
параграф.
Пусть пространство событий Y —* R является векторным расслоением. Помимо
координат (t,y%,pi,y\pi) на вертикальном фазовом пространстве VV*Y введем еще
величины
J,Ci,7?,Ci, D.15)
которые будем считать антикоммутирующими. Следуя физической терминологии, бу-
будем именовать их соответственно духами и антидухами. Пусть с* и с' имеют те же
функции перехода по индексам г, что и координаты у1, а с,- и с, — те же функции
перехода, что и координаты р,- (а также р{), т.е.
«¦ дун j , ду> ^ дун , _, сУ_ ...„
C=W ' Ci = W4' C=W ' Ci = WiCj- (Лб)
Всевозможные формальные произведения элементов D.15) порождают алгебру по-
полиномов над кольцом локальных комплексных функций на VV*Y. Дополненная еди-
единицей, она образует й2-градуированное кольцо полиномов ^(с,с) по антикоммутиру-
ющим переменным. Будем считать, что такой полином глобально определен, если он
инвариантен при преобразованиях D.16).
Договоримся упорядочивать, как правило, полином от антикоммутирующих пере-
переменных так, чтобы все антидухи с располагались слева от духов с.
Введем формальные операторы левых производных
д д
эс> а! DЛ7)
по антикоммутирующим переменным, определяемые как операции понижения степени
полинома. Они удовлетворяют следующим условиям.
• Обозначим {ф}, {<т} степени однородных полиномов ф и а. Тогда
д дф i,i,\ дсг д дф <ал да
ас дс ас ас ос ас
• Производные по антикоммутирующим переменным антикоммутируют, а произ-
производные по антикоммутирующим переменным и по обычным координатам комму-
коммутируют.
Ради удобства введем общие обозначения qA для всех переменных механической
системы, полагая четность {q} = 0 для обычных координат и {q} — 1 для духов и
антидухов. Очевидно, что четность однородного полинома по антикоммутирующим
переменным равна его степени. Тогда приведенные выше условия на операторы произ-
производных запишутся в виде

140 Глава 4. БРСТ механика
Введем дифференциалы dq как объекты, дуальные производным d/dq, определив
свертку
а в_ в
dqA J
и четность
{dq} = {q}.
Задавая формально операцию внешнего произведения дифференциалов dq по правилу
dq Л dq' = (-l){?}{!r'}+V Л dq, D.21)
расширим кольцо полиномов &(с,с) до B,Й2)-биградуированного кольца полиномов
&(c,c,dq). Последнее определяется как алгебра внешних форм по переменным q с
коэффициентами из кольца &(с,с), где произведение qdq' удовлетворяет правилу пе-
перестановки
Как обычно, обозначим \ф\ степень такой внешней формы. Тогда перестановочные
соотношения D.21) запишутся в общем виде
ф, ф, G € & (с, с, dq). D.22)
С учетом этого правила операция свертки производных d/dq с формами из ^(с, с, dq)
определяется, наряду с D.20), соотношением
— J(ф^a)=(—Jф)^a + (-l)W+{ф]{q]фA(—^a), ф,а ? &>(c,c,dq). D.23)
dq \dq / \dq )
Введем, наконец, оператор внешнего дифференцирования d на кольце &(с, с, dq).
Он определяется в виде
d
dф = 2_Jdq —-(ф), D.24)
A dq
где операция взятия производной
d
(с, с, dq),
удовлетворяет таким же правилам D.18) и D.19), как и на элементах .^*(с, с), при усло-
условии, что
Из правил перестановки D.19) и D.21) следует, что внешний дифференциал D.24) обла-
обладает гомологическим свойством
d о d = 0.
Нетрудно убедиться, что при с = 0, с = 0 алгебра .#*(<:, с, dg) сводится к алгебре
внешних форм от коммутирующих переменных, а операции D.22)—D.24) — к обычным
операциям на этой алгебре.

§ 2. Интуитивная БРСТ механика 141
Основным критерием БРСТ расширения механики является инвариантность отно-
относительно БРСТ и анти-БРСТ преобразований с генераторами
id д гд д
» = сду;+с^+гу^+{р1Щ' D>25)
_ _j д д гд д
» +^{*1р D26)
[36, 37]. Генераторы D.25)-D.26) являются, как нетрудно убедиться, нильпотентными:
tftf = 0, dtf = 0, tftf + tftf = O. D.27)
Эти соотношения следует понимать в том смысле, что для произвольной функции f(q)
выполняются равенства
1? j d(d j df) = О,
L(i(?j df) = О,
L(J(t)j(i/) + i?j d(S _. df) = 0.
Замечание 4.2. Свойство нильпотентности D.27) является ключевым в БРСТ моде-
моделях [38]. Физические состояния определяются как гомологические классы генераторов
БРСТ и анти-БРСТ преобразований. Q
Следуя указанному выше критерию, возьмем для произвольной гамильтоновой фор-
формы Н D.4) на фазовом пространстве V*Y ее вертикальное расширение Ну D.5). По-
Посмотрим, какую 1-форму Не к ней надо добавить, чтобы сумма
Hg = Ну + Не
была бы БРСТ инвариантна, т. е. ее производная Ли вдоль векторного поля # D.25)
была бы равна 0:
U(HV + Нс) = ¦в j d(Hv + Не) + d(tf j (Hv + He)) = 0. D.28)
Вычисления приводят к следующему результату:
Hs = Pidy1 - y'dpi + i(cidj - c'dci) - dy%Tdt - <%cdt, D.29)
Назовем форму Hs БРСТ расширением гамильтоновой формы Н. Нетрудно проверить,
что гамильтонова форма D.29) инвариантна также относительно анти-БРСТ преобра-
преобразований, т. е. удовлетворяет условию типа D.28) для векторного поля # D.26).
В частности, если дано разбиение гамильтониана
относительно линейной связности Г на пространстве событий Y —» Е, имеет место
соответствующее разбиение БРСТ расширенного гамильтониана

142 Глава 4. БРСТ механика
относительно связности Г C.15) на фазовом пространстве V*Y —>¦ Ж. Это разбиение
показывает, что форма D.29) глобально определена, а связность задана на величинах
(с', с;) как на элементах расслоения VV*Y.
Введем также БРСТ расширение канонической 3-формы fi C.8). Оно получается из
канонической 3-формы fly D.1) и имеет вид
^s = [dpi Л dy + dpi Л dy' +i(ddiA dc - dcl Л dc^j] Л dt. D.30)
Форма D.30) задана глобально и по определению БРСТ инвариантна. Найдем гамиль-
тоново векторное поле
для гамильтоновой формы Hs D.29) относительно 3-формы П$. Оно удовлетворяет
уравнениям Гамильтона
7* = ^ = 0*«5Р, D.31а)
H=Pti = -di?r, D.31b)
у{=у1=д*Ж3, D.31с)
Ъ = Рн =-di*%, D.31 d)
Я* = 4 = (с,-^ + с?д,)д{?Г, D.31 е)
л = Qi = -(9^ + ^д,)д^, D.3i о
5* = cj = (c,-0* + edfrffSP, D.31 g)
5i = ск = -(С]в* + ed^diSt D.31 h)
для гамильтоновой формы Hs-
Уравнения D.31 a)—D.31 b), как легко заметить, являются уравнениями Гамильтона
для исходной гамильтоновой формы Н.
Проясним смысл остальных уравнений. Пусть q(t) — решение уравнений Гамиль-
Гамильтона D.31 а)-D.31 h), где y%(t),pi(t) — решение уравнений Гамильтона D.31 а)-D.31 Ь).
Тогда
является решением уравнений Гамильтона для гамильтониана Н, обобщенных на слу-
случай четных, но не обязательно вещественных переменных y',pi. Необходимость такого
обобщения, казалось бы, прямо следует из уравнений D.31 с)—D.31 d), которые допуска-
допускают вещественные решения y'(t), pi(t) только при нулевых духовых решениях уравнений
D.31 е)—D.31 h). Однако делать этого не следует. В механике, как и в теории поля,
лагранжианы и гамильтонианы, выражаемые через антикоммутирующие переменные,
являются атрибутами квантовой, а не классической теории. Для них не выписываются
уравнения движения. Например, в классической теории поля лагранжиан дираковских
фермионных полей является чисто вещественным, тогда как в квантовой теории он
фигурирует в производящем функционале как составленный из антикоммутирующих
величин.

§ 3. Механика на градуированных многообразиях 143
Замечание 4.3. В заключение приведем еще одну конструкцию, которая является
ключевой для приложений БРСТ формализма. Как уже отмечалось в Замечании 3.3,
при квантовании в системе отсчета Г функция Гамильтона Щ? классической системы,
взятая из разбиения C.21), превращается в гамильтониан квантовой системы.
Пусть 3? — некоторая функция Гамильтона. Рассмотрим операторы
действующие на функции f(q) по закону
0(Я = 0 j df,
В результате простых вычислений находим
Легко убедиться, что операторы Щ и Sffp являются нильпотентными:
J^ о ^ = 0, Wp oWp = Q. D.32)
Пусть c%s — БРСТ расширение функции Гамильтона Sf, рассматриваемое как опера-
оператор на функциях /(<?). Имеют место соотношения
= О,
Эти соотношения вместе с D.32) определяют структуру супералгебры Ли на операторах
Щ, Wp, STS [26]. ?
§ 3. Механика на градуированных многообразиях
Общий путь построения БРСТ механики — это сформулировать механику на су-
супермногообразиях [13, 25, 57]. Однако проведенное выше на интуитивном уровне рас-
рассмотрение показывает, что можно существенно упростить задачу.
Во-первых, мы строим не супермеханику вообще, а БРСТ расширение обычной ме-
механики, исходя из условия инвариантности относительно БРСТ и анти-БРСТ преобра-
преобразований. Генераторы этих преобразований D.25)—D.26) могут быть глобально опреде-
определены, если функции перехода по индексам г для духов с1 касательны к функциям пе-
перехода для координат у'. Чтобы удовлетворить этому условию, мы предположили, что
пространство событий Y —> Е является векторным расслоением. Это означает, что все
функции перехода между антикоммутирующими переменными являются линейными с
коэффициентами, зависящими только от t.,

144 Глава 4. БРСТ механика
Во-вторых, БРСТ расширение гамильтонианов не более чем полиномиально по ду-
духовым переменным. Это сужает класс рассматриваемых суперфункций и упрощает опе-
операции с ними.
Напомним некоторые основные понятия.
Векторное пространство Q называется %2-градуированным, или просто градуирован-
градуированным, если задано разложение
Q = Qo®Q\,
где Qo называется четным, a Q\ — нечетным сектором градуированного пространства.
Элемент градуированного векторного пространства именуется однородным, если он при-
принадлежит только Qo или Q,. Как и раньше, будем обозначать {v} степень однородно-
однородного элемента v e Q- Говорят, что градуированное векторное пространство Q является
(т, п)-мерным, если dim Qq = m, dim Q\ = п.
Градуированной коммутативной алгеброй В называется алгебра, являющаяся градуи-
градуированным пространством В = В0®В\ и такая, что выполняется условие градуированной
коммутативности:
aras = (-l)rsasar е Br+S, ar € Br, as ? Bs, s,r = Q, 1.
Градуированной коммутативной банаховой алгеброй В называется градуированная ком-
коммутативная алгебра, если она банахова и удовлетворяет условию
Пусть V — векторное пространство (в общем случае бесконечномерное) и
Л=ЛУ = ЖфЛ^ D.33)
к
— его внешняя алгебра. Это Ъ -градуированная коммутативная алгебра, которая наделя-
наделяется также йг-градуировкой так, что
2т
Л0 = Ш ф Л V,
т
2т+\
А, = ф Л V.
т
Она называется алгеброй Грассмана. В некотором фиксированном базисе {с1, г € /}
векторного пространства V ее элементы имеют вид
о = ? ? а,-,.,-^1 • • ¦ с'\ D.34)
где сумма берется по всем наборам индексов {i\ • • ¦ ik), не получаемым друг из друга
перестановкой.
Для простоты мы не будем писать значок внешнего произведения для элементов
алгебры Грассмана. Алгебра Грассмана становится градуированной коммутативной ба-
банаховой алгеброй, если для всякого ее элемента D.34) задать норму

§ 3. Механика на градуированных многообразиях 145
Заметим, что встречается также другое определение банаховой алгебры Грассмана
[40], которое эквивалентно предыдущему только в случае бесконечномерного простран-
пространства V [28].
Пусть Q — градуированное векторное пространство ч В — градуированная комму-
коммутативная алгебра с единицей. Если Q является двусторонним 5-модулем таким, что
asvr = vras G Qs+r,
он называется градуированным В-модулем. Понятно, что всякий градуированный В -мо-
-модуль является также Во -модулем.
Пример 4.4. Всякое градуированное векторное пространство Q превращается в гра-
градуированный В-модуль взятием его градуированной В-оболочки
BQ = BQ0 ф BQi ={BQ®QQ®Bl®Qi)® (Bi ®Q0®B0® Qi).
Градуированная оболочка
В = (&о ф В\ ) © (Во ф В\ )
(тп, и)-мерного градуированного векторного пространства Qm>n называется векторным
суперпространством. Его Во-подмодулем является
Вт'п = Вот Ф В",
который тоже именуют векторным суперпространством. Если алгебра В банахова, су-
суперпространство вт+п превращается в банахово посредством нормы
11«.с;|| = ? 1Ы|, а,- ? В,
i
где {с1} — фиксированный базис Qm'n. a
Главным математическим объектом теории супермногообразий является пучок !Э$
градуированных коммутативных алгебр на многообразии Z. Это топологическое рас-
расслоение над .?, слоями которого являются градуированные коммутативные алгебры Bz,
наделенные дискретной топологией. Обозначим (Z, ^{U)) его канонический предпу-
чок, где .^(U) — градуированная коммутативная алгебра сечений пучка Л? на откры-
открытом подмножестве U С Z относительно поточечных операций. Если пучок Ш удо-
удовлетворяет ряду условий — так называемым аксиомам Ротштейна, — он называется
R-супермногообразием [15, 28, 62]. Это понятие включает в себя в качестве вариантов
градуированные многообразия Березина, супермногообразия по A. Rogers и бесконеч-
бесконечномерные супермногообразия, описанные A. Jadczyk и К. Pilch.
Мы ограничимся следующим типом R-супермногообразий [25]. Пусть Е —* Z —
векторное расслоение с типичным слоем V и Е* —> Z — дуальное к нему расслоение.
Рассмотрим внешнее расслоение
) D.35)
k Z )
над Z, получаемой из Е. Его типичным слоем является алгебра Грассмана А D.33).
Сечения внешнего расслоения образуют пучок алгебр Грассмана & над многообрази-
многообразием Z, который относится к классу градуированных многообразий. Его сечения — сечения

146 Глава 4. БРСТ механика
внешнего расслоения D.35) — называются суперфункциями. В послойных координатах
(zA, у') относительно базисов {с;} слоев расслоении Е —* Z суперфункции имеют вид
/ = ? ? vV'••¦<*» D.зб)
fc (t,-tt)
где {с1} — дуальные базисы слоев Л7*.
Рассмотрим пучок der !§8 фадуированных дифференцирований пучка ?$. Пусть
U — открытое подмножество многообразия Z и S?(U) — ограничение пучка грассма-
новых алгебр !зё на U. Градуированным дифференцированием пучка @?(U) называется
его эндоморфизм такой, что
•9 : &{U)
¦&(ab) = §{а)Ъ + (-1)т{а]а$(Ъ), D.37)
для однородных элементов § и а, Ъ G ?&(U). Градуированные дифференцирования
?&(U) образуют, очевидно, ^"-модуль der ?&(U), а предпучок таких 3?-модулей поро-
порождает пучок der <3§. Можно показать, что он изоморфен пучку сечений расслоения
ТЕ®/\Е-> Z. D.38)
Е
Его элементы могут трактоваться как Л-зависимые векторные поля на расслоении Е,
т.е. их коэффициентами являются сечения внешнего расслоения /\ Е —¦> Z'. Назовем их
векторными суперполями. Они имеют вид
где а\ аг — суперфункции D.36), а
— элементы голономных базисов на ТЕ. С учетом разбиения VE = Е х Е (П.5) они
могут быть отождествлены с базисными элементами с,- в расслоении Е. Тогда действие
операторов градуированного дифференцирования д/дс% на суперфункции D.36) ана-
аналогично свертке векторов и мультиковекторов по формуле (П. 19). Согласно правилу
D.37), они имеют четность 1. Операторы градуированного дифференцирования д/dz
действуют на суперфункции D.36) как обычные производные и имеют четность 0.
Дуальным к пучку градуированных дифференцирований deril? является пучок
der*^, порождаемый линейными морфизмами
D.40)
Это пучок сечений расслоения
Т*Е ®hE->Z.
Е
Его элементы имеют вид
ф = aAdzA + aide1, D.41)

§ 3. Механика на градуированных многообразиях 147
где ал, о,- — суперфункции D.36), a dc' = dy' — элементы голономных базисов слоев
Т*Е. Их можно рассматривать как Л-зависимые 1-формы на расслоении Е, а морфиз-
мы D.40) — как свертку векторных полей D.39) и 1-форм D.41).
Определена операция внешнего дифференцирования суперфункций:
d : Z& -> der* ^,
{/>W j df.
Она распространяется на всю внешнюю алгебру Л-зависимых форм на Е, которые на-
называются внешними суперформами и представляются сечениями расслоения
l\T*E®hE^Z, D.42)
Е
где Л Т*Е — внешнее расслоение, получаемое из Т*Е.
Векторные суперполя как сечения расслоения D.38) и внешние суперформы как се-
сечения расслоения D.42) являются теми математическими объектами, которые мы рас-
рассматривали в предыдущем параграфе как формальные векторные поля и формальные
формы от антикоммутирующих переменных. Операции с ними подчиняются правилам
D.18)-D.24).
При этом описанное выше БРСТ расширение гамильтоновой механики получается
в терминах векторных суперполей и суперфункций, если выбрать в качестве много-
многообразия Z вертикальное фазовое пространство VV*Y, а в качестве расслоения Е —
вертикальное касательное расслоение к расслоению VV*Y -»1и взять комплексифи-
цированную алгебру Грассмана.

Глава 5
Релятивистская механика
Особенностью нерелятивистской механики, как уже отмечалось, является то, что про-
проекция пространства событий Y —»¦ Ж, а вслед за ним фазового и конфигурационного
пространств на ось времени Ж изначально фиксирована. Это означает, что преобра-
преобразования временной координаты t —* t', зависящие от других координат механической
системы, в нерелятивистской механике не рассматриваются. Мы покажем, что отмена
этого ограничения сама по себе, без апелляции к каким-либо физическим принципам,
ведет к общей формулировке релятивистской механики, частным случаем которой для
систем, параметризуемых декартовыми координатами, становится специальная теория
относительности.
Ключевым является тот факт, что для построения конфигурационного пространства
системы, когда расслоение Y —¦> Ж пространства событий не фиксировано, мы не мо-
можем использовать математический аппарат струй сечений расслоений. Его обобщает
формализм струй подмногообразий [4, 33].
Определение 5.1. Пусть Z — многообразие размерности т + п. Многообразие J^Z
струй первого порядка п-мерных подмногообразий многообразия Z является объединением
Jlz = U \s\\
zez
классов эквивалентности [S]l вложенных га-мерных подмногообразий Z, которые про-
проходят через точку z € Z и касаются друг друга в z. Имеет место естественная проекция
J\Z -+Z.O
Множество струй j\Z наделяется структурой многообразия следующим образом.
Пусть У —>¦ X — (т + га)-расслоение над га-мерной базой X и Ф — вложение рас-
расслоения Y в многообразие Z. Тогда имеет место естественное вложение многообразия
струй JlY сечений расслоения Y ^ X ъ множество JnZ:
J^:JlY^4z, E.1)
jls >-> [5]ф(,(а.)), S = 1т(Ф о s),
где s — сечения расслоения Y —»¦ X.
Првдложение 5.2. Вложение E.1) задает карту на многообразии J\Z. Такие карты
покрывают все множество J\Z, и функции перехода между ними дифференцируемы.
Они наделяют множество j\z структурой конечномерного многообразия.
доказательство. Доказательство основывается на том факте, что для всякого под-
подмногообразия S С Z, принадлежащего струе [5]^, существует окрестность Uz точки z и

Глава 5. Релятивистская механика 149
цилиндрическая окрестность Us пересечения Uz n S такие, что имеет место расслоение
us^uzn s.
Это означает, что всякая струя [S\\ принадлежит карте упомянутого выше вида. ?
В дальнейшем мы будем использовать следующую систему координат на многообра-
многообразии струй JnZ подмногообразий многообразия Z.
Пусть многообразие Z имеет координатный атлас
(zA), A=l,...)n + m. E.2)
По определению J®Z — многообразие, диффеоморфное Z. Однако, в отличие от Z,
зададим на J^Z координатный атлас, заменив каждую координатную карту (U; zA) на Z
п + т\ (п + га)!
т I п\т\
координатными картами на том же открытом подмножестве U, соответствующими раз-
различным разб
координаты
личным разбиениям набора (zl ¦ ¦ ¦ zA) на наборы из п и т координат. Обозначим эти
(хх,у'), A=l,...,n, i=l,...,m. E.3)
Функции перехода между координатными картами E.3) на J%Z, являющимися разбие-
разбиением одной и той же координатной карты E.2) на Z, сводятся просто к перестановкам
координат хх и у'. Функции перехода между произвольными координатными картами
E.3) на многообразии J®Z имеют вид
Xх = ? V, У*), У1 = fix", У4), E.4)
Имея координатный атлас E.3) на многообразии J^Z, введем на многообразии струй
J^Z координаты
(хх,у\у\), А=1,...,п, «=1,...,тв. E.5)
Замечание 5.1. Если S С Z является вложенным подмногообразием, которое при-
принадлежит струе [S]l, то существует открытая окрестность Uz точки z € Z и система
координат (ж , у1) E.3) на Uz такие, что S П Uz задается уравнением
у{ = S\xx)
и
(хх, у\ y{)([S]l) = (xx(z), 51(
?
Используя операторы полных производных
dx = Эх + у\В\

150 Глава 5. Релятивистская механика
функции перехода между координатами E.5) при преобразованиях координат E.4) мож-
можно записать в следующем виде. Пусть даны координатные преобразования E.4). Легко
установить, что
[\] E.6)
Тогда получаем
\{^)V А (?*?)Г(Л л <5J)
Нетрудно заметить, что координатные преобразования (П.29) являются частным
случаем координатных преобразований E.7), когда функции перехода д" E.4) не за-
зависят от координат у'. В то же время, в сравнении с (П.29), преобразования координат
E.7) не являются аффинными. Это означает, что расслоение струй J^Z —» Z не является
аффинным расслоением. Выясним характер этого расслоения.
Имеет место взаимно однозначное соответствие между струями [S]lz в точке z € Z
и п-мерными векторными подпространствами касательного пространства TZZ:
[S)lz к-> x\dx + yi([S]\)di). E.8)
Расслоение j\Z —» Z имеет структурную группу
GL(n, m; Щ С GL(m + n, Ж)
линейных преобразований векторного пространства Шт+п, которые сохраняют его век-
векторное подпространство Ж". Типичным слоем этого расслоения является многообразие
Грассмана
M.G(m +n,n) = GL(n + т; W)/GL(n, т; Ш)
п -мерных векторных подпространств векторного пространства Жт+". В частности, если
п = 1, координаты у'о на j\Z —» Z с функциями перехода E.7) — это в точности
стандартные координаты на проективном пространстве ЖРт.
Пример 5.2. Пусть Y —»¦ X — (го + п)-мерное расслоение над п-мерной базой X и
JlY — многообразие струй первого порядка его сечений. Пусть J^Y — многообразие
струй первого порядка п-мерных подмногообразий Y. Тогда образ вложения JlY <—>
j\Y E.1) является аффинным подрасслоением расслоения J^Y —» У. Его образ в точке
у G У состоит из п-мерных векторных подпространств касательных пространств TyY,
чьи пересечения с вертикальным касательным подпространством сводятся к точке 0. ?
Замечание 5.3. Обобщая понятие связности на расслоении, можно рассмотреть гло-
глобальные сечения расслоения J^Z —»¦ Z, трактуя их как своего рода пресвязности на
многообразии Z [51]. Действительно, согласно известной теореме, если такая пресвяз-
ность Г существует, ее образ T(Z) в касательном расслоении TZ —»¦ Z при отобра-
отображении j\Z —»¦ TZ E.8) является векторным подрасслоением со структурной группой
GL(n, Ж). Фактор TZ/V(Z) — это также векторное подрасслоение со структурной груп-
группой GL(m, К). В результате имеет место расщепление
TZ = T(Z) Ф TZ/G(Z),
которое можно трактовать как горизонтальное расщепление касательного расслоения
TZ, определяемое связностью Г. Однако следует подчеркнуть, что, поскольку J?,Z -+ Z

Глава 5. Релятивистская механика
не является аффинным расслоением, пресвязности, в отличие от связностей на рас-
расслоениях, не образуют аффинного пространства и вообще существуют не на всяком
многообразии Z, ?
Обратимся теперь к механике, когда пространством событий является многообра-
многообразие Z, проекция которого на ось времени Ш. не фиксирована или вообще не определена.
Чтобы построить конфигурационное пространство такой системы, используем при-
приведенный выше формализм струй подмногообразий в случае 1-мерных подмногообра-
подмногообразий.
Пусть пространство событий Z — (т + 1)-мерное многообразие. Введем на нем
координатный атлас E.3) с функциями перехода E.4):
z°^z*(z°,zj), z^^V). E-9)
Координаты z° в различных координатных картах на Z играют роль времени. При
заданной координатной карте (U; z°, zl) в области ее определения U С Z задано рас-
расслоение
U Э (/, z') i-v z° € () С К,
которое можно рассматривать как пространство событий некоторой локальной нереля-
нерелятивистской механической системы.
В качестве конфигурационного пространства системы выберем многообразие струй
первого порядка J\Z одномерных подмногообразий пространства событий Z. Оно на-
наделено координатами (z°, z', z'o) E.5). При этом координаты z'q можно интерпретировать
как нерелятивистскую скорость относительно локальной системы отсчета — локальной
пресвязности Г, для которой координаты (z°, z1) являются сопутствующими, т.е. ее
компоненты Г1 = zQ о Г равны нулю. Подобно системам отсчета в нерелятивистской
механике, всякую локальную пресвязность Г можно интерпретировать как локальную
нерелятивистскую систему отсчета. Недостаток таких систем отсчета, однако, состоит
в том, что, в отличие от нерелятивистской механики, при преобразованиях координат,
поскольку закон преобразований Zq —» z'o и Г1 -* Г1 не является с необходимостью аф-
аффинным, относительные скорости z'o'—T" не выражаются через относительные скорости
4 -г*.
Найдем упомянутый выше закон преобразований координат z'o. Пусть даны коор-
координатные преобразования E.9). Полная производная E.6) имеет вид
(dz° dz°
oz" azK
Тогда в качестве частного случая выражения E.7) получаем уравнение
Его решением является
'а? ,аЛ //as0

152 Глава 5. Релятивистская механика
Этот закон преобразования нерелятивистских скоростей иллюстрирует тот факт, что
расслоение струй J\Z —> Z не аффинно, а проективно.
Пример 5.4. Возьмем случай специальной теории относительности, когда простран-
пространством событий является Z — Ж4. Пусть на нем заданы декартовы координаты
{z\z\ г =1,2,3. E.11)
Рассмотрим лоренцевский поворот в плоскости (z°, zl):
z — z en ol z sn ol j
zl = -z° sh a + z{ ch a,
z2'3 = z2'3.
Подставляя эти преобразования в формулу E.10), получаем
¦ — sh a + z\ ch a
cha - Zq sh a
-2,3 _ z0
0 ch a - zl sh a'
Это в точности закон преобразования нерелятивистских скоростей, в чем легко убедить-
убедиться, если подставить
1 v
ch а = , sha =
1 — v vl — v
где v — скорость движущейся системы отсчета вдоль оси zl. п
Этот пример показывает, что многообразие струй J\Z можно интерпретировать как
конфигурационное пространство релятивистской механики и что правомерно трактовать
координаты z'o в качестве значений нерелятивистских скоростей. Таким образом, кон-
конфигурационное пространство J\Y релятивистской механики является пространством
нерелятивистских скоростей. Заметим, что мы нигде не прибегали к условию, что z° —
декартова координата, как обычное время. Поэтому построенный выше формализм
является общим. Он пригоден и к системам, параметризуемым не только декартовы-
декартовыми координатами. В случае декартовых координат мы приходим к специальной теории
относительности.
Введем теперь релятивистские скорости. Рассмотрим касательное расслоение TZ к
пространству событий Z, наделенное голономными координатами
Согласно E.8), имеет место (многозначное) отображение А конфигурационного про-
пространства j\Z в касательное расслоение TZ, когда точке (z°, z', zq) ставится в соответ-
соответствие прямая с координатами
в касательном пространстве к Z в точке (z°,zl). Обратно, на образе \(J{Z) С TZ
определен морфизм
E.12)

Глава 5. Релятивистская механика
такой, что
Действительно, легко проверить, что законы преобразований координат z\ и z'/z° иден-
идентичны. Поэтому векторы касательного пространства TZ можно интерпретировать как
релятивистские скорости с компонентами (i , i!). Заметим, однако, что в универсаль-
универсальной системе единиц эти векторы надо разделить на фундаментальную длину, чтобы
они имели физическую размерность релятивистских скоростей, которые, например, в
декартовых координатах безразмерны.
Отображение А конфигурационного пространства j{ Z в касательное расслоение TZ
является многозначным, а обратный морфизм E.12) — сюръекцией. Выделим поэтому
в касательном расслоении TZ такое подрасслоение Q, чтобы отображение
р : Q - J\Z
было инъекцией. Для этого предположим, что многообразие Z ориентируемо и допус-
допускает псевдориманову метрику д, и выберем в качестве слоев Qz CTZZ подрасслоения Q
гиперболоиды, называемые гиперболоидами скоростей и задаваемые соотношениями
gl№(z)z>1z''=l, ц,и = 0,1,...,т. E.13)
Расслоение Q представляет собой объединение двух связных вложенных подмногообра-
подмногообразий
Q = U Qz = Q+ и Q~ с tz.
Ограничение морфизма E.12) на каждое из этих подмногообразий является вложением
в J\Z.
Рассмотрим образ этого вложения в слое J\Z над точкой z e Z. В окрестности
всякой точки z & Z существует локальная система координат (z°, z') такая, что псевдо-
риманова метрика g(z) в z в соответствующей голономной системе координат на TZZ
превращается в метрику Минковского
В этих координатах гиперболоид скоростей Qz С TZZ задается уравнением
(i0J - 5>'J = 1- E-14)
Он состоит из двух полостей: Qf при z° > 0 и QJ при z° < 0. Образ каждой из
них в пространстве нерелятивистских скоростей j{ при отображении E.12) является
открытым шаром
Таким образом, в самом общем виде мы приходим к известному условию реляти-
релятивистской теории, являющемуся физическим постулатом специальной теории относи-
относительности и гласящему, что нерелятивистские скорости релятивистской механической
системы ограничены.

154 Глава 5. Релятивистская механика
На гиперболоиде E.14) отображение E.12) сводится к знакомому соотношению меж-
между нерелятивистскими и релятивистскими скоростями в специальной теории относи-
относительности
1
Z =
Заметим, однако, что в универсальной системе единиц величины z имеют в общем слу-
случае физическую размерность, и единица в правой части выражения E.13) должна быть
заменена размерной величиной. Например, в декартовых координатах компоненты ка-
касательных векторов z имеют размерность длины, тогда как метрический тензор остается
безразмерным. Поэтому их свертку следует приравнять квадрату фундаментальной дли-
длины — корню из ньютоновской гравитационной постоянной VG. В то же время для
релятивистских скоростей
»^ E.15)
выражение E.13) сохраняет свой вид, как это должно быть согласно специальной теории
относительности.
В заключение остановимся на основных особенностях лагранжева и гамильтонова
формализмов релятивистской механики.
Проблема состоит в том, что лагранжиан по самому своему определению может
быть задан на конфигурационном пространстве J\Z релятивистской системы только
локально — на координатной карте E.5), которая может рассматриваться как конфигу-
конфигурационное пространство нерелятивистской системы. Он представляет собой локальную
1-форму
L = J^dz°. E.16)
Примером является лагранжиан специальной теории относительности
L = -myjl - EDJ dz° E.17)
для свободной точечной частицы массы т.
Более обещающим представляется описание релятивистской динамики на фазовом
пространстве релятивистской механики, каковым служит кокасательное расслоение T*Z
к пространству событий Z с голономными координатами
(/, z\ р0 = i0, рг = i;).
Оно наделено канонической симплектической формой
Q = dp,1Adz1', ^ = 0,1,2,3. E.18)
Назовем ее релятивистской симплектической формой.
Замечание 5.5. По отношению ко всякой локальной лагранжевой системе с лагран-
лагранжианом L на карте E.5) фазовое пространство T*Z играет роль однородного расслоения

Глава 5. Релятивистская механика 155
Лежандра. Лагранжиан L E.16) определяет на T*Z локальную дираковскую систему с
нулевым гамильтонианом на пространстве первичных связей
^ % <5Л9)
Уравнениями движения этой дираковской системы являются уравнения Гамильтона—
де Дондера B.70) для лагранжиана L. Допустим, что удается разрешить уравнения E.19)
относительно
Po=Po(z'l,Pi).
Тогда решением дираковской системы являются интегральные кривые векторного поля
¦& =¦ д0 + tf'di + Ъд{
на пространстве первичных связей E.19), удовлетворяющего условию
1? j Од = 0, E.20)
где Пд — ограничение на E.19) релятивистской симплектической формы E.18). Это
условие представляет собой уравнения Гамильтона автономной нерелятивистской меха-
механики для гамильтониана Ж" = —ро- Например, лагранжиан E.17) специальной теории
относительности определяет дираковскую систему с нулевым гамильтонианом на про-
пространстве первичных связей
Ро-ЕР? = "»2. E.21)
?
Релятивистскую систему на симплектическом фазовом пространстве T*Z можно
описывать как гамильтонову систему с некоторым гамильтонианом Н на Т* Z. Назовем
его релятивистским гамильтонианом. В отличие от нерелятивистского гамильтониана,
он не имеет смысла функции энергии. Всякий такой гамильтониан Н определяет га-
мильтоново отображение
H:T*Z-> TZ,
фазового пространства T*Z в пространство релятивистских скоростей TZ. Заметим,
что в универсальной системе единиц правильнее писать
(см. соотношение E.15)).
Поскольку предполагается, что релятивистские скорости связаны соотношением
E.13), получаем аналогичное условие связи
1 ()
на фазовом пространстве. Это означает, что релятивистская система в присутствии псев-
доримановой метрики д на пространстве событий Z должна описываться как дираков-
ская система на пространстве первичных связей E.22).

156 Глава 5. Релятивистская механика
Например, релятивистский гамильтониан специальной теории относительности
имеет вид
^4 E-23)
а пространство первичных связей задается E.22) задается соотношением E.21). Реляти-
Релятивистский гамильтониан E.23) на этом пространстве связей сводится к константе, и мы
в согласии с Замечанием 5.5 получаем дираковскую систему на пространстве первичных
связей с гамильтонианом, дифференциал которого равен 0. Таким образом, лагранжиан
специальной теории относительности E.16), заданный на локальных картах, отличаю-
отличающихся друг от друга преобразованиями Лоренца, описывает глобальную релятивистскую
систему.
Понятно, что не всякий локальный лагранжиан на релятивистском конфигураци-
конфигурационном пространстве j\Z обладает таким свойством.

Библиография
[1] В.И.Арнольд, Математические методы классической механики. М.: Наука, 1978.
[2] Г. Бредон, Теория пучков. М.: Наука, 1988.
[3] А. Д. Бруно, Нормальные формы симплектических систем, УМН 43 A988) N1,
23.
[4] А. Виноградов, И. Красильщик, В.Лычагин, Введение в геометрию нелинейных
дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.
[5] Д. Гитман, И.Тютин, Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука,
1986.
[6] Р. Зуланке, П. Винтген, Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975.
[7] Ш. Кобаяси, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии, m.l. М.: Наука,
1981.
[8] Г. А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. I. Геометрия и классичес-
классические поля. М.: УРСС, 1996.
[9] А. А. Славнов, Л. Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей.
М.: Наука, 1978.
[10] И.Тамура, Топология слоений. М., 1979.
[11] Д. Б. Фукс, Когомологии бесконечномерных алгебр Ли и характеристические
классы слоений, в сб: Итоги науки и техники, ВИНИТИ, серия "Современные
проблемы математики", 10 A978) 179.
[12] R.Abraham and J. Marsden, Foundations of Mechanics, Second Edition (Ben-
jamin/Cummings Publ. Сотр., London, 1978).
[13] S. Albeverio and Shao-Ming Fei, BRST Structures and symplectic geometry on a class
of supermanifolds, Lett. Math. Phys. 33 A995) 207.
[14] J.de Azcarraga, A. Perelomov and J. Perez Bueno, The Schouten—Nijenhuis bracket,
cohomology and generalized Poisson structures, /. Phys. A 29 A996) 7993.
[15] C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, V. Pestov, Foundations of supermani-
fold theory: the axiomatic approach, Diff. Geom. and Appl, 3 A993) 135.
[16] K. Bhaskara and K. Vismanath, Poisson Algebras and Poisson Manifolds, Pithman Re-
Research Notes in Mathematics, 174 (Longhman Sci., Harlow, 1988).
[17] E. Binz, H. Fischer and J. Sniatycki, Geometry of Classical Fields (North-Holland, Am-
Amsterdam, 1988).
[18] J-L. Brylinski, A differential complex for Poisson manifolds, / Diff. Geom. 28 A988)
93.
[19] R. Bryant, S. Chern, R. Gardner, H. Goldschmidt, P. Griffiths, Exterior Differential Sys-
Systems (Springer-Verlag, Berlin, 1991).

158 Библиография
[20] A. Cabras and A. Vinogradov, Extension of the Poisson bracket to differential forms and
multi-vectors, J. Geom. Phys. 9 A992) 75.
[21] D. Canarutto, Bundle splittings, connections and locally principle fibred manifolds,
Bull. U. M. I. Algebra e Geometria Serie VI V-D A986) 18.
[22] J. Cariiiena and M. Raiiada, Poisson maps and canonical transformations for time-
dependent Hamiltonian systems, / Math. Phys. 30 A989) 2258.
[23] J. Cariiiena, J. Fernandez-Nunez and E. Martinez, A geometric approach to Noether's
second theorem in time-dependent Lagrangian mechanics, Lett. Math. Phys. 23 A991)
51.
[24] J. Cariiiena and J. Fernandez-Nunez, Geometric theory of time-dependent singular La-
grangians, Fortschr. Phys. 41 A993) 517.
[25] J. Cariiiena and H. Figueroa, Hamiltonian versus Lagrangian formulations of superme-
chanics, /. Phys. A 30 A997) 2705.
[26] S.Cecotti and C.Vafa, Topological anti-topological fusion, Nucl. Phys. B367 A991)
359.
[27] D. Chinea, M. de Leon, and C. Marrero, The constraint algorithm for time-dependent
Lagrangians, /. Math. Phys. 35 A994) 3410.
[28] R. Cianci, Introduction to Supermaniifolds (Bibliopolis, Naples, 1990).
[29] W. Domitrz and S. Janeczko, Normal forms of symplectic structures on the stratified
spaces, Colloquium Mathematicum LXVIII A995) fasc.l, 101.
[30] A. Echeverria Enriquez, M. Mufioz Lecanda and N. Roman Roy, Geometrical setting
of time-dependent regular systems. Alternative models, Rev. Math. Phys. 3 A991) 301.
[31] A. Echeverria Enriquez, M. Mufioz Lecanda and N.Roman Roy, Non-standard con-
connections in classical mechanics, J. Phys. A 19 A995) 5553.
[32] G. Giachetta and L. Mangiarotti, Constrained Hamiltonian systems and gauge theories,
Int. J. Theor. Phys. 34 A995) 2353.
[33] G. Giachetta, L. Mangiarotti and G. Sardanashvily, New Lagrangian and Hamiltonian
Methods in Field Theory (World Scientific, Singapore, 1997).
[34] M. Gotay, M. Nester and G. Hinds, Presymplectic manifolds and the Dirac—Bergman
theory of constraints, /. Math. Phys. 19 A978) 2388.
[35] M. Gotay, A multisymplectic framework for classical field theory and the calculus of
variations. I. Covenant Hamiltonian formalism, in Mechanics, Analysis and Geometry:
200 Years after Lagrange, ed. M. Francaviglia (Elsevier Science Publishers B. V., 1991),
p. 203.
[36] E. Gozzi, M.Reuter and W. Thacker, Hidden BRS invariance in classical mechanics,
Phys. Rev. D40 A989) 3363.
[37] E. Gozzi, M. Reuter and W. Thacker, Symmetries of the classical path integral on a
generalized phase-space manifold, Phys. Rev. D46 A992) 757.
[38] M. Henneaux and C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems (Princeton Univ. Press,
Princeton, 1992).
[39] R. Ibdiiez, M. de Leon, J. Marrero and D. Martin de Diego, Dynamics of Poisson and
Nambu—Poisson brackets, /. Math. Phys. 38 A997) 2332.

Библиография -|59
[40] A.Jadczyk and К. Pilch, Superspaces and Supersymmetries, Comm. Math. Phys. 78
A981K91.
[41] F. Kamber and P. Tondeur, Foliated Bundles and Characteristic Classes, Lecture Notes
in Mathematics, 493 (Springer-Verlag, Berlin, 1975).
[42] I. Kolaf, P. Michor and J. Slovak, Natural Operations in Differential Geometry (Springer-
Verlag, Berlin, 1993).
[43] Y. Kosmann-Schwarzbach and F. Magri, Poisson—Nijenhuis structures, Ann. I'Inst.
Henri Poincare 53 A990) 35.
[44] M.de Leon and P. Rodrigues, Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics
(North-Holland, Amsterdam, 1989).
[45] M. de Leon and J. Marrero, Constrained time-dependent Lagrangian systems and La-
grangian submanifolds, /. Math. Phys. 34 A993) 622.
[46] P. Libermann and C-M. Marie, Symplectic Geometry and Analitical Mechanics (D. Reidel
Publishing Company, Dordrecht, 1987).
[47] C-M. Marie, On Jacobi manifolds and Jacobi bundles, in Symplectic Geometry,
Groupoids, and Integrable Systems, ed. P. Dazord and A. Weinstein (Springer-Verlag,
Berlin, 1989), p. 227.
[48] G. Marmo, G. Mendella and W. Tulczyjew, Constrained Hamiltonian systems as im-
implicit differential equations, /. Phys. A 30 A997) 277.
[49] G. Martin, A Darboux theorem for multi-symplectic manifolds, Lett. Math. Phys. 16
A988) 133.
[50] P. Michor, A generalization of Hamiltonian mechanics, /. Geom. Phys. 2 A985) N2,
67.
[51] M.Modugno, A. Vinogradov, Some variations on the notion of connections, Ann.
Matem. Рига ed Appl. CLXVII A994) 33.
[52] R. Montgomery, The connection whose holonomy is the classical adiabatic angles of
Hannay and Berry and its generalization to the non-integrable case, Comm. Math. Phys.
120 A988) 269.
[53] G. Morandi, С Ferrario and G. Lo Vecchio, The inverse problem in the calculus of
variations and the geometry of the tangent bundle, Phys. Rep. 188 A990) 147.
[54] M. Munoz-Lecanda, Hamiltonian systems with constraints: A geometric approach, Int.
J. Theor. Phys. 28 A989) 1405.
[55] M. Munoz and N. Roman-Roy, Lagrangian theory for presymplectic systems, Ann. Inst.
Henri Poincare 57 A992) 27.
[56] M. Munoz and N. Roman-Roy, Gauge systems: Presymplectic and group action theory,
Int. J. Theor. Phys. 32 A993) 2077.
[57] Kh. Nirov and A. Razumov, Equivalence between Lagrangian and Hamiltonian BRST
formalisms, /. Math. Phys. 34 A993) 3933.
[58] L. Norris, Symplectic geometry on T*M derived from n-symplectic geometry on LM,
J. Geom. Phys. 13 A994) 51.
[59] L. Norris, Schouten—Nijenhuis brackets, /. Math. Phys. 38 A997) 2694.
[60] P. Pereshogin and P. Pronin, Geometrical treatment of nonholonomic phase in quan-
quantum mechanics and applications, Int. J. Theor. Phys. 32 A993) 219.

160 Библиография
[61] В. Reinhart, Differential Geometry and Foliations (Springer-Vcrlag, Berlin, 1983).
[62] M. Rotstein, The axioms of /supermanifolds and a new structure arising from them,
Trans. Amer. Math. Society 297 A986) 159.
[63] G. Sardanashvily, Gauge Theory in Jet Manifolds (Hadronic Press, Palm Harbor, 1993).
[64] G. Sardanashvily, Constraint field systems in multimomentum canonical variables, /.
Math. Phys. 35 A994) 6584.
[65] G. Sardanashvily, Generalized Hamiltonian Formalism for Field Theory. Constraint Sys-
Systems. (World Scientific, Singapore, 1995).
[66] G. Sardanashvily, Stress-energy-momentum tensors in constraint field theories, /. Math.
Phys. 38 A997) 847.
[67] D. Saunders, The Geometry of Jet Bundles (Cambr. Univ. Press, Cambridge, 1989).
[68] L. Takhtajan, On foundations of the generalized Nambu mechanics, Comm. Math. Phys.
160A994J95.
[69] W. Tulczyjew, Lagrangian submanifolds and Hamiltonian dynamics, С R. Acad. Set.
Paris A 283 A976) 15.
[70] W. Tulczyjew, Lagrangian submanifolds and Lagrangian dynamics, C. R. Acad. Sci.
Paris A 283 A976) 675.
[71] I. Vaisman, Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds (Birkhauser Verlag, Basel,
1994).
[72] I. Vaisman, Second order Hamiltonian vector fields on tangent bundles, Diff. Geom.
andAppl. 5 A995) 153.
[73] F.Warner, Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups (Springer-Vcrlag,
Berlin, 1983).
[74] A.Weinstein, The local structure of Poisson manifolds, /. Diff. Geom. 18 A983) 523.
[75] K. Yano and S. Ishihara, Tangent and Cotangent Bundles, Pure and Applied Mathematics
Ser. 16 (Marcel Dekkcr, N.Y., 1973).

Предметный указатель
автоморфизм расслоений, 10
алгебра Грассмана, 144
— Ли левая, 20
правая, 20
аннулятор распределения, 19
анти-БРСТ преобразования, 141
антидухи, 139
ассоциированное расслоение, 121
атлас локально постоянных
тривиализаций, 29
— расслоения, 9
аффинная связность, 29
аффинное расслоение, 11
база расслоения, 9
БРСТ преобразования, 141
В
вариационная последовательность, 84
вариационные производные, 77
вариационный оператор, 85
векторное поле, 13
левоинвариантное, 20
Лиувилля, 15
локальное, 14
интегрируемое, 14
неособое, 13
правоинвариантное, 20
проектируемое, 15
Риба, 36
— расслоение, 10
векторные суперполя, 146
вертикальное векторное поле, 15
— касательное расслоение, 12
— кокасательное расслоение, 13
вертикальный касательный морфизм, 12
— ковариантный дифференциал, 31
— лифт векторного поля, 15
— эндоморфизм, 63
взаимно инерциальные системы отсчета,
74, 123
вложенное подмногообразие, 20
внешнее произведение, 10
— расслоение, 145
внешняя алгебра, 16, 144
— форма, 16
вполне интегрируемая гамильтонова
система, 45
гамильтон-дираковская система, 49
гамильтониан, 45, 94
— релятивистский, 155
гамильтонова система, 45
— форма ассоциированная с
лагранжианом, 104
, БРСТ расширение, 141
, вертикальное расширение, 135
ограниченная, 112
гамильтоново векторное поле, 38
относительно пресимплектической
формы, 46
симллектической формы, 42
— отображение, 94
генератор локальной 1-параметрической
группы диффеоморфизмов, 14
генераторы представления, 21
гессиан, 77
гиперболоид скоростей, 153
главное расслоение, 120
голономное сечение, 24
голономные автоморфизмы, 23
— координаты, 11
голономный атлас, 11
— корепер, 11
— репер, 11
горизонтальная плотность, 17
— форма, 17

162
Предметный указатель
горизонтальное векторное поле, 63
— распределение, 29
— слоение, 29
горизонтальный внешний
дифференциал, 85
— лифт векторного поля, 28
градуированная коммутативная алгебра, 144
банахова, 144
— оболочка, 145
градуированное векторное
пространство, 144
— дифференцирование, 146
— многообразие, 145
градуированной коммутативности
условие, 144
градуированный модуль, 145
д
движение, 65
динамическое векторное поле, 65
дираковская система, 51
полная, 53
дифференциальное уравнение, 27
дифференциальный идеал, 19
— оператор, 27
дуальная связность, 28
дуальное векторное расслоение, 10
духи, 139
закон движения, 65
— Ньютона второй, 75
первый, 75
— сохранения, 87
нетеровский, 87
И
изоморфизм расслоений, 10
изотропное подмногообразие, 43
импульсное отображение, 54
— — эквивариантное, 55
инволютивное распределение, 19
индуцированная форма, 17
индуцированное расслоение, 10
инерциальное преобразование, 123
инерциальные преобразования, 74
интеграл движения в неавтономной
механике, 87
нетеровский, 87
— Пуанкаре—Картана, 94
интегралы движения в инволюции, 45
интегральная кривая, 14
интегральное многообразие
максимальное, 19
максимальной размерности, 19
распределения, 19
— сечение, 28
интегрируемая гамильтон-дираковская
система, 50
интегрируемые распределения, 19
калибровочные преобразования, 121
— условия, 117
каноническая 3-форма, 92
, БРСТ расширение, 142
, вертикальное расширение, 134
, струйное расширение, 130
— симплектическая форма, 41
— тангенциально-значная форма, 18
— форма Лиувилля, 41
на реперном расслоении, 23
канонические когомологии, 58
— координатные преобразования, 100
— координаты, 39, 100
— преобразования активные, 100
пассивные, 100
канонический автоморфизм, 100
— лифт векторного поля, 15
каноническое горизонтальное
расщепление, 25
касательное расслоение, 11
касательный морфизм, 11
ковариантный дифференциал, 28
когомологии группы, 56
кограница на группе, 55
кодифференциальный оператор, 57
коизотропное подмногообразие, 43
кокасательное расслоение, 11
композиционное расслоение, 30
контактная форма, 24, 35
контактное многообразие, 35
конфигурационное пространство, 5
вертикальное, 133
релятивистской механики, 152
координаты Дарбу, 36
—, сопутствующие системе отсчета, 73
коприсоединенное представление, 21
косимплектическая структура, 40
коцикл на группе, 55
—, отвечающий действию группы, 56

Предметный указатель
163
кривизна связности, 28
кручение динамической связности, 69
Л
лагранжева связность, 79
лагранжево подмногообразие, 43
лагранжиан, 76
— вертикальное расширение, 137
— вполне регулярный, 111
— гиперрегулярный, 78
— квадратичный, 114
— полурегулярный, 107
— регулярный (невырожденный), 77
линейная производная, 11
— связность, 28
локальная 1-параметрическая группа
локальных диффеоморфизмов, 14
локально гамильтоново векторное поле, 42
М
Маурера—Картана уравнение, 22
метрика Минковского, 153
многогамильтонова система, ПО
многообразие струй, 23
второго порядка, 26
высшего порядка, 26
повторное, 25
подмногообразий, 148
полуголономное, 25
мономорфизм расслоений, 10
мультивекторное поле, 16
мультисимплектическая форма, 59
мультискобка, 59
Н
нетеровский ток, 87
ньютонова система, 84
обратная задача, 84
общие ковариантные преобразования, 23
ограничение внешней формы на
подмногообразие, 17
однородный элемент, 144
оператор Гамильтона, 97
— типа Эйлера—Лагранжа, 84
— Эйлера—Лагранжа, 77
— Эйлера—Лагранжа—Картана, 80
осциллятор Берри, 130
относительная скорость, 72
относительное ядро симплектической
формы, 42
отображение гамильтоново, 94
— Гельмгольца—Сонина, 85
— Лежандра, 77
— Пуанкаре—Картана, 81
— Эйлера—Лагранжа, 85
П
первый интеграл движения, 45
плоская связность, 29
плотность энергии, 87
поднятие внешней формы, 17
— функции, 17
подрасслоение, 10
поле параметров, 124
— Якоби, 136
полисимплектическая форма, 60
полная производная, 24, 26
— связность, 64
— система отсчета, 73
полное векторное поле, 14
— семейство гамильтоновых форм, 110
послойные координаты, 9
послойный морфизм, 9
правило Лейбница, 37
предпучок, 32
— канонический, 33
пресвязность, 150
пресимплектическая гамильтонова
система, 46
внешняя, 47
внутренняя, 47
— форма, 40
принцип относительности Галилея, 74
припаивающая форма, 28
присоединенное представление, 21
проекция,9
произведение расслоений, 10
производная Ли, 18
производящая функция, 102
пространство связей, 48
вторичных, 52
лагранжевых, 104
первичных, 48
финальных, 53
— событий в нерелятивистской механике, 5
вертикальное, 133
прямое произведение структур Пуассона, 38

164
Предметный указатель
пуассонов морфизм, 37
пуассоново бивекторное поле, 35
— многообразие, 37
пучок,32
— постоянный, 33
— ростков непрерывных функций, 33
ранг 2-формы в точке, 39
распределение, 19
расслоение, 9
— Лежандра, 60
однородное, 59
— параметров, 124
— реперное, 22
решение дифференциального уравнения, 27
росток многообразия, 43
С
свертка, 17
— векторных расслоений, 10
связи, 48
— вторичные, 49
— второго рода, 52
— первичные, 51
— первого рода, 52
— третичные, 49
— финальные, 53
связность, 27
— Берри, 130
— гамильтонова, 97
— динамическая, 67
симметричная, 68
— композиционная, 31
— локально гамильтонова, 92
сечение, 9
— локальное, 9
сила, 75
— инерции, 75
— физическая, 75
симплектическая гамильтонова система, 45
— форма, 40
R" -значная, 60
релятивистская, 154
симплектическое действие группы, 54
— многообразие, 40
— подмногообразие, 43
— слоение, 38
симплектоморфизм, 40
система лагранжева, 75
— отсчета в нерелятивистской механике, 72
инерциальная абсолютная, 75
сопутствующая, 74
— связей полная, 49
скобки Schouten—Nijenhuis, 16
— Ли векторных полей, 13
— Пуассона, 37
— Якоби, 34
скорость нерелятивистская, 151
— релятивистская, 153
слабое тождество, 86
слоение, 20
— поверхностей уровня, 20
— сингулярное, 20
сопряженное пространство алгебры Ли, 21
стандартная 1-форма, 5
стандартное векторное поле, 5
стебель пучка, 32
струйное продолжение векторного поля, 24
морфизма, 24
сечения, 24
структура Пуассона, 37
невырожденная, 37
нулевая, 37
регулярная, 37
— Якоби, 34
структурная группа, 120
струя сечений, 23
сужение расслоения, 10
сумма Уитни векторных расслоений, 10
супермногообразие, 145
суперпространство векторное, 145
суперформа, 147
суперфункция, 146
тензор масс, 83
тензорное произведение векторных
расслоений, 10
типичный слой, 9
тождество Якоби, 34
ток, 86
уравнение геодезических, 71
— движения, 65
— динамическое, 65
— свободного движения, 66
— эволюции, 45, 103
уравнения Гамильтона, 45, 97

Предметный указатель 165
¦ — ограниченные, 112 функции перехода, 9
• Гамильтона—де Дондера, 81 функция Гамильтона, 94
движения первого порядка, 98 — Казимира, 37
Картана, 80 — Лагранжа, 76
¦ равновесия, 101
¦ Эйлера—Лагранжа, 77
характеристическое распределение, 38
фазовое пространство вертикальное, 133 — слоение, 38
нерелятивистской неавтономной
механики, 5
релятивистской механики, 154
форма гамильтонова, 94 ц
локально, 93
— де Дондера, 81 четный сектор, 144
— левоинвариантная, 21
каноническая, 22
— правоинвариантная, 21
каноническая, 22 „
— Пуанкаре—Картана, 76
— тангенциально-значная, 18 ядро внешней формы, 39

Содержание
Введение
Предварительные сведения 8
Расслоения (9). Векторные расслоения A0). Аффинные расслоения A1). Каса-
Касательные и кокасательныерасслоения A1). Касательные и кокасательныерас-
кокасательныерасслоения к расслоениям A2). Векторные поля A3). Векторные поля на расслое-
расслоении A4). Мультивекторныеполя A6). (S-N)-cko6ku A6). Внешние формы A6).
Внешние формы на расслоении A7). Производная Ли A8). Тангенциально-
значные формы A8). Распределения A9). Слоения B0). Касательные и кокаса-
кокасательные расслоения к группам Ли B0). Главное реперное расслоение B2). Л/но-
гообразия струй B3). Канонические горизонтальные расщепления B5). Много-
Многообразия струй второго порядка B5). Полная производная B6). Многообразия
струй высшего порядка B6). Дифференциальные операторы и уравнения B7).
Связности B7). Кривизна связности B8). Линейные связности B8). Аффин-
Аффинные связности B9). Плоские связности B9). Композиционные расслоения C0).
C2).
Глава 1. Симплектическая механика 34
§1. Структура Якоби 34
§2. Контактная структура 35
§3. Структура Пуассона 36
§4. Симплектическая структура 39
§5. Симплектические гамильтоновы системы 44
§6. Пресимплектические гамильтоновы системы 46
§7. Дираковские системы со связями 48
§8. Гамильтоновы системы с симметриями 54
§9. Обобщенные скобки Пуассона 56
§10. Мультисимплектическая структура 58
Глава 2. Лагранжева механика 61
§1. Расслоения над Е 61
§2. Уравнения движения 64
§3. Динамические связности 66
§4. Системы отсчета 72
§5. Лагранжевы системы 75
§6. Ньютоновы системы 82
§7. Лагранжевы законы сохранения 86

Содержание 167
Глава 3. Неавтономная гамильтонова механика 90
§1. Каноническая структура Пуассона 90
§2. Гамильтоновы связности и гамильтоновы формы 92
§3. Канонические преобразования 99
§4. Уравнение эволюции 103
§5. Вырожденные системы 103
§6. Квадратичные вырожденные системы 114
§7. Гамильтоновы законы сохранения 118
§8. Неконсервативные системы с симметриями 120
§9. Системы с зависящими от времени параметрами 124
§10. Единый лагранжево-гамильтонов формализм 130
Глава 4. БРСТ механика 133
§1. Системы с флуктуациями 133
§2. Интуитивная БРСТ механика 139
§3. Механика на градуированных многообразиях 143
Глава 5. Релятивистская механика 148
Библиография 157
Предметный указатель 161